Дифференциальные уравнения: задачи и решения

Г.И. Просветов

МОСКВА

т

• «Дом книги «Молодая Гвардия», Б. Полянка, 28 • «Дом книги «На Л а д о ж с к о й » , Л а д о ж с к а я , 8, стр. 1 • «Торговый дом «Библио-Глобус», Мясницкая, 6 • Сеть магазинов «Московский Дом

Книги»

238-5001

(495)221-7733 (495) 781-1900 Единый справочный телефон (495) 789-3591

• Сеть магазинов «Новый к н и ж н ы й » , «Библиосфера», «Читай-Город»

Единые справочные телефоны (495) 937-85-81, (499) 177-22-11 ВОРОНЕЖ • Сеть магазинов

«Библиосфера»

Пр-т Революции, 32

(4732) 72-73-44

20 лет Октября, 90

(4732)39-51-06

Южно-Моравская, 40

(4732) 70-67-19

ЕКАТЕРИНБУРГ • Сеть магазинов «Дом

книги»

Антона Валека, 12

(343) 253-5010 (доб. 110)

КУРСК (4712) 58-40-04

• «Библиосфера», К. Маркса, 12

РОСТОВ-НА-ДОНУ (863) 299-9197

• «Деловая литература», Серафимовича, 53

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ (812) 448-2355

• «Дом книги на Невском», Невский пр-т, 28 • « Д о м деловой книги на Л и г о в с к о м » , Л и г о в с к и й пр-т, 99

(812) 764-5069

СЫКТЫВКАР

• Сеть магазинов «Сила ума» и «Книга за к н и г о й »

Единый справочный телефон (8212) 29-14-42

ЯКУТСК • Сеть магазинов « К н и ж н ы й маркет». (4112) 42-89-60

Ярославского, 16/1

1е5

(Ьоок.ги

ЕВ-МАГАЗИН ДЕЛОВОЙ ЛИТЕРАТ

ОПТОВАЯ ПРОДАЖА: ООО 11757^,

«АЛЬША-ПРЕСС» 117 (^95) 777-^0-60,926-73-03 (аЬез1Ьоок

13ВЫ

973-5-94280-507-4

Издательство

М о с к в а , а/я

Тел./факс:

е - т а И : 8а1е5

.ги

7 8 5 9 4 2 ' '8050741

Дифференциальные

уравнения

г. и. просветов I

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: ЗАДАЧИ и РЕШЕНИЯ Учебно-практическое пособие

Москва

|Альфа-Пресс 2011

УДК 517.9(075) ББК 22.161я7 П 82

Предисловие

I

Как только вы испробуете все воз­ можные способы решения и не найде­ те подходящего, тут же найдется реше­ ние простое и очевидное для всех других людей. Уравнение Смэйфу

П 82 Просветов Г. И. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: ЗДДАЧИ И РЕШЕ­ НИЯ: Учебно-практическое пособие. — М.: Издательство «Альфа-Пресс», 2011. - 88 с. 18ВЫ 978-5-94280-507-4 В учебно-практическом пособии рассмотрены основные методы и приемы решения дифференциальных уравнений. Приведенные в учеб­ ном материале примеры и задачи позволяют успешно овладеть знаниями по изучаемой дисциплине. Пособие содержит программу курса, задачи для самостоятельного ре­ шения с ответами и задачи для контрольной работы. Издание рассчитано на преподавателей и студентов высших учебных заведений.

УДК 517.9(075) ББК 22.161я7 I8ВN 978-5-94280-507-4

© Просветов Г. И., 2011 © ООО Издательство «Альфа-Пресс», 2011

В настоящее время существует ряд обстоятельных руководств по дифференциальным уравнениям, предназначенных для студентов высших учебных заведений. Но ощущается потребность в пособии, которое на простых и конкретных примерах способно показать чита­ телю со скромной математической подготовкой весь арсенал совре­ менных методов дифференциальных уравнений. Одна из попыток решить эту задачу — перед вами, уважаемый читатель. Предлагаемое пособие знакомит читателя с важнейшими разделами дифференциальных уравнений и призвано помочь тем, кто осваива­ ет этот курс, особенно в системе заочного и вечернего образования. Как правило, это студенты с довольно скромной математической подготовкой. Цель этой книги — просто и доходчиво на конкретных примерах изложить людям, которые, возможно, совершенно незнакомы с ма­ тематической литературой, основные методы и приемы решения дифференциальных уравнений. В пособии рассмотрены такие темы, как метод изоклин, составле­ ние дифференциального уравнения данного семейства кривых, диф­ ференциальные уравнения первого порядка, существование и един­ ственность решения, метод введения параметра, понижение порядка дифференциального уравнения, дифференциальные уравнения с по­ стоянными коэффициентами, линейные дифференциальные урав­ нения с переменными коэффициентами, свойства решений, систе­ мы дифференциальных уравнений, устойчивость, особые точки, уравнения в частных производных первого порядка, дифференциро­ вание решения по параметру, разложение решения по степеням па­ раметра. 3

Весь материал книги разбит на главы, а главы — на параграфы. Каждый параграф — это отдельная тема. В начале параграфа приво­ дится необходимый минимум теоретических сведений, затем по­ дробно разбираются модельные примеры. После каждого примера приводится задача для самостоятельного решения. Ответы ко всем задачам помещены в конце книги. Пособие содержит также програм­ му курса и задачи для контрольной работы. За годы учебы на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова пути автора пересекались с множеством выдаюш^ихся ученых и замечательных педагогов. Но, пожалуй, только к од­ ному из них были не применимы слова «один из», потому что в этом случае надо говорить просто «самый». Иногда судьба преподносит нам шикарные подарки. Одним из таких подарков было то, что прак­ тические занятия по дифференциальным уравнениям в нашей 212-й группе вел профессор кафедры дифференциальных уравнений Алек­ сей Федорович Филиппов. Эрудиция в его области у него была совер­ шенно феноменальная. Умение за небольшой промежуток времени просто и доходчиво объяснить любой вопрос, разбор с помощью сту­ дентов офомного количества примеров в аудитории, четко проду­ манные домашние задания — вот что всегда было характерно для за­ нятий Алексея Федоровича. Но несмотря на всю легкость и простоту чувствовалось, чтое, кроме знания, для преподавания на таком уров­ не требуется нечто особенное, чем обладал только один человек — профессор Алексей Федорович Филиппов. К сожалению, Алексея Федоровича уже нет с нами, поэтому книга посвящается светлой его памяти. Хочется надеяться, что знакомство с книгой будет как приятным, так и полезным. Автор

Глава 1 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные или дифференциалы неизвестной функции. Если иско­ мая функция у{х) — функция одной переменной, то это обыкновенное дифференциальное уравнение. Если уравнение содержит частные про­ изводные, то его называют дифференциальным уравнением с частными производными. Мы будем рассматривать только обыкновенные диф­ ференциальные уравнения. Порядок дифференциального уравнения — это наивысший порядок производных (дифференциалов) неизвестной функции, входящих в уравнение. Общий вид дифференциального уравнения п-то порадшПх, у, = 0. Решение дифференциального уравнения — это функция у=/{х), оп­ ределенная на некотором промежутке, такая, что Г{х,/{х),/'(х), Р"\х)) = О для всех X из этого промежутка. Пример 1- Дано дифференциальное уравнение у" у = 0. Про­ верим, что функция у^'^тх является решением этого дифференци­ ального уравнения для всех действительных х. 7" = ( у ' ) ' = ((51ПХ)')' = (С08Х)' = - 8 Ш Х

Тогда у" У = -81ПХ + 81пх = 0. Задача 1. Дано дифференциальное уравнение}^" + >^ = 0. Прове­ рить, что функция У = со$х является решением этого дифференциаль­ ного уравнения для всех действительных х.

Общее решение дифференциального уравнения п-го порядка все­ гда содержит п произвольных постоянных, не зависимых друг от дру­ га. Задав п начальных условий, мы можем найти значения этих постоянных. Начнем изучение дифференциальных уравнений с диф­ ференциальных уравнений 1-го порядка, то есть уравнений вида Г{х, у, У) = 0. 5

Глава 2 МЕТОД ИЗОКЛИН Поле направлений состоит из точек, в каждой из которых опреде­ лен вектор. Интегральная кривая в каждой своей точке касается поля направлений. Изоклина — это множество точек, в которых векторы поля направлений одинаковы. Метод изоклин позволяет построить поле направлений уравнения Для каждой точки (х, у) из области определения функции /спра­ ведливо, что У = ^Есс? где а — угол наклона касательной к кривой, проходящей через точку (х, у). Для нескольких значений к из облас­ ти значений функции/строим изоклины/(х, у) = к. Через точки изо­ клин /(х, у) = к проводим короткие отрезки под углом а = гтсХ^к к оси Ох. По этому полю направлений строим интегральные кривые, у которых в точках пересечения с каждой изоклиной касательные па­ раллельны отрезкам, построенным на этой изоклине. Хотя точность метода изоклин небольшая, он дает представление о поведении решений уравнения / =/(х, у).

Пример 2. С помощью метода изоклин начертим

решения уравнения }^ = — Здесь/(х, у) = —

приближенно

1.

1.

/(х, у) = к-^ —у- -1 = к~^ = А: + 1 -> х' + у = 2(А: + 1). Если ^ = О, то х^ + У = 2(0 + 1) х^ + У = 2. Если Ус= 1, т е х ' + У = 2(1 + 1)->х' + У = 4. Если ^ = 2, т е х ' + У = 2(2+ 1 )->х2 + у = 6. Если А: = - 1 ,тох2 + У = 2(-1 + 1 )-^х2 + У = 0 - > х = у = 0.

Если)^ = -0,5 ,тох2 + У = 2(-0,5+ О — х^ + У = 1. При X решения уравнения тоже стремятся к +оо. При X ^ — решения уравнения также стремятся к —оо.

6

\

Глава 3

Глава 4

СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДАННОГО СЕМЕЙСТВА КРИВЫХ Иногда для семейства кривых ф(х, у, С^, С2, С„) = О требуется найти дифференциальное уравнение, решением которого является это семейство кривых. В этом случае дифференцируем п раз уравне­ ние ф(л:, у, С1, С2, С„) = О, исключаем постоянные Су, С2, С„ и получаем уравнение Г(х, у, у\О =

0.

Составим дифференциальное уравнение семейства + Ы"".

Пример 3-

кривых 3^ =

у" = {у')'

Тогда -

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными могут

0

= (2ах + /ю^)' = 2а + ^е\ у"

Отсюда у — у' Задача 3.

4- Решим дифференциальное уравнение

Ь^" — {2ах

+ ^е"") =

у = у'^

ху'=^у^-у. у^ — у

ах^ — 2ах = а(х^ — 2х) =

Составить дифференциальное уравнение семейства

Пусть X ^ 0. Тогда у' = . Это уравнение с разделяющимися переменными. ^у с1у у^ — у Напомним, что у' = — . Отсюда — == . ах

Пусть у^ — у^ р 'У

0,то

ах

X

с1у

есть ут^Оиу^ 1. Тогда — У

Проинтегрируем обе части уравнения: йу р(1х с ^У . . 'У(У- 1) —у X •'V(V— 1) у - 1

-=1п\х\ С, У

|х|+С,

X

-У

г —1 - - - М У + С , У- 1 У

\^-^~~-1п\у\ у - 1

1 п | з , _ 1 | - 1 п Ы = 1п

8

ху'

и найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию >^(1) = 0,5. ху' + у = у^ —

1(х-\)

кривых у = е'^^

Пример

= 2ах + ^е"^ - (2а + /^е^) = 2ах - 2а = 2а(х - 1), то есть

= 0.

быть записаны в виде у' =/{х)§{у) или М{х)М(у)(1х + Р{х) (у)(1у Для решения такого уравнения надо обе его части умножить или разделить на такое выражение, чтобы в одну часть уравнения входи­ ло только X , а в другую — только у, а затем проинтегрировать обе ча­ сти. При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестные хну, могут быть потеряны решения, обращающие это выражение в нуль.

\п\х\+С, 1п

у~\

= 1п

| х | + С, 9

1п

У-

1

у-

У

1

Обозначим С = ±е^1. Тогда -—^ = Сх -> 1 - - = Сх - 1 - Сх = - -

У

У

С — произвольная постоянная. Это ответ.

У

- Ос) = 1, где

По ходу решения мы накладывали ограничения хч^О,уч^Оиуч^ I . х = О не является решением, так как это не есть функция вида>^(;с). Случай >' = О удовлетворяет исходному уравнению (х х О' + О = О - 0 = 0). Случай у = 1 удовлетворяет исходному уравнению (х х ГН-1 = 1 —• 1 = 1), но = 1 уже содержится в формуле 3^(1 - Ос) = 1 при С = 0. Общее решение: - Сх) = 1; у = 0. Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию >^(1) = 0,5. Я1)(1 - С X 1) = 1 -> 0,5(1 - С) = 1 - 1 - С = 2 - С = - 1 - >

^у{1-{-\)х)=\-^у(1+х) = 1. Пример 5. Решим дифференциальное уравнение {1+у^)с1х-\-хус1у=^0.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Пусть

и у 7^0. г.. =^-xу(^у--— _ ^_ Тотя2^{\^у^)аx

У^У

Глава 5 УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ К УРАВНЕНИЯМ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Уравнение у' /{ах + Ъу + с) заменой 1= ах + Ьу + с сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Пример 6- Решим дифференциальное уравнение у' = со8(з; - х). Сделаем замену 1 = у — х. Тогда 1' = {у — х)' = у' — \. Отсюда у' = I ' + 1. Поэтому у' = С08(3^ — Х) г' + 1 = С08 г г' = С08 I — — = со8г- 1.

х О

— = - г^ —У^У1 + ^ - "

- 1п|хI = -0,5 [^^11^ 4- С1 -> 21п |х| = -1п|1 + /| + 2С1 14-у

- 1п(|хР) + 1п(1 + / ) = 2С1 -> 1п(х2) + 1x1(1+ У) = 2С, - \п{А1 + / ) ) = 2С, -> = е^^' + У) = е^^!. Обозначим С = е^^ч Тогдах^(1 + У) = С, где С- произвольная по­ стоянная. По ходу решения мы накладывали ограничения х^()\\у^{), X = О удовлетворяет исходному уравнению ((1 + У)(/0 + Оу(1у = О О = 0), но оно содержится в формуле х^(1 + }^^) = С при С = 0. ^ = О не удовлетворяет исходному уравнению (((1 + 0^)^х + хО^О = = О д^х = О, но это не тождество). Задача 4- Решить дифференциальное уравнение "V1 + У^с1х =

Пусть С08 ^ - 1 ^ 0 . Тогда

I

г = [^х

^С08^-1 г ^(^2)

^

+С--

— = с1х

^1-со8г

I

С08 г - 1 ^

= х

л.

г

С08 ^ — 1

= сЬс

+ С - - ^ . 2, / о ч = ^ + < ^ ^

у-х

^281пЧг/2)

Если С08 ^ - 1 = о, то С08 г = 1 г = 2т1к, к — целое число -^у-х^ = 2пк у = х-\- 2пк, к — целое число. у—х Ответ: с1§ — — = х + С;у = х + 2кк, к — целое число. Задача 6. Решить дифференциальное уравнение д'' — >^ = 2х — 3.

-=хус!у. Задача 5- Решить дифференциальное уравнение е~^(1 + }^') = 1-

10

11

Глава 6

(-1

ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Функция Г{х, у) называется однородной степени р, если для всех к>0 выполнено Г{кх, ку) = к!'Г{х,у). Однородные уравнения могут быть записаны в виде у' = /(у/х) или

М(х, у)(1х + М{х, у)(1у = О, где М{х, у) и Щх, у) — однородные функ­ ции одной и той же степени. Сделав замену у = Г(х)х, получим уравнение с разделяющимися переменными, у' = (/х)' = + /х' = /'х + Решим дифференциальное уравнение (х-у)с1х-^(х-^у)с1у=0. Здесь М(х, у)=х-у, Щх, у)=х-^у. Это однородные функции первой степени: М{кх, ку) = кх-ку = к(х-у) = кМ(х,у); Щкх, ку) = кх + ку=к(х'^у) = кМ{х,у). у Сделаем замену;^ = 1{х)х (то есть / = - ) . Тогда с1у = ^{^x) = x^^ + Шх. X Отсюда {х - у)йх + (л: + у)ау = О ^ (х - (х)ах + (х + Ы){ха( +(с1х) = 0 — - х((1 - / М х + ( 1 + Г ^ х ) ) = О - х = О или (1 - Г)с1х + (1 + ГХхШ Г(1х) = 0-^ х = 0 или(1 -\-{^)(^x + x(^ + Ос^(^0. X = О не удовлетворяет исходному уравнению ((О — у)сЮ + (О + у)с1у = О ус1у = О, но это не тождество). Рассмотрим уравнение (1 + /^)^х + х{1 + ()с1( = 0. Это уравнение с разделяющимися переменными. (1 + /2)^х + х(1 + = О - (1 + /')^х = -х(И- /)^/ с1х (1 + 0^/ ^ г^х г(1 + /)^Г ^ . , -> =— С, - — = — С, - 1 п 1 /2 + 1 '' П р и м е р 7-

X

X

12

+

^ X

^

=

+

-1

)с1г-^ С,-\п\х\=\-

+I

-

-> С, - 1п|х| = агс1ё / + 0,51^-!^^ 2С1 - 21п|х| = 2агс1ё/ + 1п|1 + /^1 — 2С1 = 1п(х2) + 1п(1 + /2) + 2агс1§ / ^ 2С1 = 1п(х2(1 + /2)) + 2агс1в / - 2С1 = \п(х' + х2/2) + 2агс1ё Обозначим С = 2С1. Тогда С = 1п(х2 + х^/^) + 2агс1ё Г С 1п(х2 + / ) + 2агс1ё - , где С — произвольная постоянная. З а д а ч а 7- Решить дифференциальное уравнение X

П р и м е р 8.

Определим тип дифференциального уравнения / + х2>;' = ху/.

Выразим у' из исходного уравнения: У У + х^}'' = хуУ ^ у^ = хуу' — х^у' -> у^ = х(у — х)у' у' =х(у - х) у' Обозначим Г(х, у) = х(у - х) ТогтПкх,ку)= = — = Дх,у), кх(ку - кх) к^х(у - х) х{у - х) Это однородное дифференциальное уравнение первого порядка. З а д а ч а 8. Определить тип дифференциального уравнения у' = = е^/^ + >'/х

Глава 7 УРАВНЕНИЯ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ К ОДНОРОДНЫМ

Пример 10- Определим, какая замена потребуется при решении уравнения (2х + >^ + 1)^л: - (4х + 2;; - 3)с1у = 0.

Система линейных уравнений 1 4 ^ 2у—3 = 0 имеет реше­ ний. Поэтому заменой 1=2х + у+ 1 исходное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

/ ах-\- оу+ с \ Уравнение вида У =/{ —т— приводится к однородному уравнению с помощью переноса начала координат в точку, которая яв. [ + + с=О ляется решением системы линейных уравнении | ^ Ьу + с = О * Если система линейных уравнении^ \ах-^Ьу+с

=0

не имеет

решений, то заменой 1= ах + Ьу + с исходное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Пример 9- Приведем дифференциальное уравнение {2х -4у-\- 6)(1х +{х + у - 3)(1у = О к однородному уравнению. Решим систему линейных уравнений: х-2у = -3 х= 1 2х - 4у + 6 = О у=2х + у=3 х-\-у-3 = 0 XI = X - 1 Сделаем замену переменных: У1 =у-2 ' Гх = Х1 + 1 (с1х=с1х, ^''^']у = У.-^2 ^\с1у = с1у,' Отсюда {2х-Ау + в)с1х (х +у-3)с1у = О(2(х, + 1) - 4{у, + 2) + + 6)^X1 + (XI + 1 + + 2 - 3)(1у, = О - (2х, - 4у1)с1х, + (х^ + уОс1у, == 0. Получено однородное уравнение. Задача 9- Привести дифференциальное уравнение (х + 4>^)>;' = = 2 х + З з ; - 5 к однородному уравнению. 14

Задача 10- Определить, какая замена потребуется при решении уравнения х - > ^ — 1 + (з; — х + 2)у' = 0. Иногда дифференциальное уравнение сводится к однородному уравнению с помощью замены у = 1"". Пример 11- Приведем дифференциальное уравнение 2х^>^' = у^-^ху к однородному уравнению. Сделаем замену >^ = г'". Тогда 2x^7' = у^ + ху-^ 2х^(^'")' = (г'")^ + хг'" 2тх^^'"~^г' = г^'" + хг'". Приравняем степени всех слагаемых: 2 + т—1 = 3т=1+т-^ т -\г1 = Зт = I т т -^1 = Зт т = 0,5. Тогда у = I''' и 2 X 0,5x2^'''-^^' = г'^''' + хг''' -

-> —^' = V? + хЛ/7-^ Х'г' = г" + XI.

Это однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Задача 11 - Привести дифференциальное уравнение 2у-\-{х^у-^ \)ху' = 0 к однородному уравнению.

Глава 8 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Отсюда

Уравнение у' + а{х)у = Ь{х) называется линейным. Каков план решения линейного уравнения? Сначала решаем уравнение с разде­ ляющимися переменными у' + а{х)у = О, в его общем решении заме­ няем произвольную постоянную С на неизвестную функцию С{х) и, подставив полученное выражение в исходное уравнение, найдем С{х). Это метод называется методом вариации постоянной. Пример 12- Решим дифференциальное уравнение (2л: + 1)У = 4х+2у. Для определения типа уравнения выразим у'. 2 4х Получим у' = у+ . Это линейное дифференциальное 2х+ I 2л: + 1 уравнение первого порядка. Сначала решаем уравнение с разделяюш^имися переменными 2у _^^У _ Ь _^^У_ 1ах _^ау _с1{2хЛ-\) _^ ^ ~ 2л: 4- 1 ~" 7х 2л:+1~">^ 2х+\~" у 2л:+1"" сау г(1у ^ ГОКАХ с(1{2х+\); ^ _^ ^^^^^ = 1п|2х + 11 + - е'"'^' = ^УП\ЪС.1\.С, ^ у ^ 2х+ \ . \у\= е = е^'|2х + 11 - = ±е^'(2х + 1). Обозначим С= ±е^'. Тогда >^ = С(2х + 1). Применим метод вариации постоянной. Считаем, что у = С(х)(2х + 1). Подставим эту функцию в исходное уравнение: (2л + 1)(С(х)(2л: + 1))' = 4х+ 2С(х)(2х + 1) -> - (2х + 1)(С'(л:)(2х + 1) + 2С(х)) = 4;с + 2С(х)(2;с + 1) (2х + 1УС\х) = 4х (если слагаемые, содержащие С{х), 4х не уничтожились, то решаем неверно) С'(х) = {2х+ \У

16

4х(1х _ г (4л: + 2 - 2)^л: _ г 22 г 2 (2х-^1У ^^""^ " ^ (2л: (2х + 1)2 1)^ " ^ (2х + 1)^ " ^ ^2л:2 +^ 1 " ^ (2х (2х ++ 1)' 1)^ ^"^'^" _ г 2с1х гс 2йх гс 2ах _ (.^(2х+1) (.^(2х+1) (2л:+1)2 ^ 2л:+1 (2х+1) 1 = 1п|2х+ 11+ + С. 2х + 1 ' Тогда у = С{х){2х + 1) = (1п|2л: + 11 + + С1)(2л: + 1), где С, произвольная постоянная. Задача 12- Решить дифференциальное уравнение у' + у1%х = 1 /^^ г . гЗШХйЬс г Й^С08Х \ = С08Х . \ Указание: \Щхс1х=^ со8л: / = . ^ со8л: _ г

Пример 13. Решим дифференциальное уравнение {^т^у + ха%у)у' = 1. (1у с1у 1 (8111^ + хаёу)у' = 1 ($т^у + ха^у)— = 1 —- = —^ й^х $т^у + хс1^у Если й(у = О, то з; = соп81; и = О, но по условию (8т^ + ха^у)у' = 1. Поэтому с1у^0. (1х , . Тогда — = 8111 >^ хс12,у. Это линейное относительно х уравнение, ау Решим его методом вариации постоянной. (1х с1х гс1х г — =ха^у-* — = {аёу)(^у-^\—= с1$у (1у ау X ^ X ^ г сов у г ^8Ш V 1п|х|= -(1у+ С 1 - 1 п | х | = I + С , - 1 п | х | = 1п|8тз;| + С ^ 8т>^ ^ Ш{у - е'""^1 = е'""^^">'1-' ^' - |л:| = е^'|8ту| - х= ±е^'8т};. Обозначим С = ±е^'. Тогда л: = С^ту. Пусть х(у) = С{у)?>\пу. Отсюда х'у = {С{у)?>ту)'у ='С'(у)^\пу + С(у)со8>^. Поэтому х'у = 81п^ + л:с1;ё>^ ^ С'(>^)51п^ + С(д;)со8>^ = = 8Ш^ + С(>^) X 8т >^ X с1ёз^ С'(д^)8тз; = 8т V С'{у) = 8ту ^ ->С(;;) = -со8>^+С,. Тогда л:(>^) = С(з;)8т>' х = (С, - со8з;)8ту. Задача 13. Решить дифференциальное уравнение (2е^ — х)у' = 1.

17

Глава 9 УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ

Дифференциальное уравнение вида;;' = а{х)у + Ь{х)у" называется уравнением Бернулли. Заменой I = Х/у""'^ оно сводится к линейному дифференциальному уравнению первого порядка. Пример 14- Сведем дифференциальное уравнение у' = у^со^х-^ у12>х к линейному дифференциальному уравнению первого порядка. у' 1§Х Это уравнение Бернулли. = / с о 8 Х + — =С08;сН- — . У 1 у' Сделаем замену 1= — = у~^. Тогда г' = {у~^)' = -3}^"^' = -3 —, то / / е с т у'ь - = - -I'. у'

^%Х

I'

Отсюда — = С 0 8 Х + — ^ = со^х + 1Щх. Получено линейное / у' 3 дифференциальное уравнение первого порядка Задача 14. Свести дифференциальное уравнение у'^у' = 1 + — К линейному дифференциальному уравнению первого порядка

18

Глава 10 УРАВНЕНИЕ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ Уравнение М(х, у)с1х + М{х, у)с1у = О называется уравнением в пол­ ных дифференциалах, если М{х, у)(1х + Щх, у)(1у = с1Г{х, у), то есть ^^М{х,у)и^=Щх,у). ду дх Тогда = —( — ] = — и = —( — ] = дМ дудх ду\дх) ду дхду дх\ду1 ~дх' дуд

дМ

дм

Отсюда ^ . . ду дх Функция Р(х, у) находится из условий Г(х, у) = |М(х, у)с1х + фО;) дГ ^-г- = Щх,у). ду Пример 15. Решим дифференциальное уравнение 2хус1х -^{х^- у^)йу = 0. дм (2ху) = 2х, Положим М{х, у) = 2ху, М{х, у)=х^ — у'^. Тогда ду ду дМ дх дх = и' - у^) = 2 х дм дм Так как — = — , то это уравнение в полных дифференциалах. ду дх Тогда Г{х, у) = \м{х, у)ск + ф(>') = \2ху(1х + ф(>') = у^2хс1х + (^{у) = ^у^у + (^{у). дГ = N{x,у)• + Ф'СУ) = ^ - У • ду +Ф(>^)) = ^ ^ ~ду ' Ф'Ы = - / - ф) = -у'/З - Г{х, у)=х'у- уУЗ. 19

Общее решение уравнения 2ху(1х + {х^ — у^)^у = О задается форму­ лой Р(х, у)=:>^у — У/3 = С, где С — произвольная постоянная. Задача 15. Решить дифференциальное уравнение 2х'{ 1 + 1п у)с1х = {2у - ^Шу.

Глава 11 РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ НАХОЖДЕНИЯ ИНТЕГРИРУЮЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ После умножения обеих частей дифференциального уравнения на интегрирующий множитель получается уравнение в полных диф­ ференциалах. Никаких специальных рецептов нахождения интегри­ рующего множителя не существует. Все зависит от мастерства иссле­ дователя. Напомним формулы для вычисления дифференциалов: (1(и\) = = уйи^ийу, ^(-) = й(и^) = ти^^-'йщ ^(1пи) = - . Пример 16- Решим дифференциальное уравнение {х^ + У + у)йх-хф^ = О -> (х^ + у'^)(1х^уйх-хйу = ^. Так как 3; = О не удовлетворяет исходному уравнению, то разделим обе части полученного уравнения на ^1 Получим х^-^у\ ^ ^ 1(ху \^ /х\ л:

Сделаем замену ^ = —. у Тогда (1^ + \)с^x + = О — + Й6С = О — ^(агс1вг + х) = О — X гтсЩ 1-^х = агс!^У — + х = С. Задача 16- Решить дифференциальное уравнение (х^-^у^ + х)с1х-^ ус1у = 0. 21

Глава 12 СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ Теорема 1. Рассмотрим уравнение у' =/{х, у). Пусть в замкнутой В = {{х, у) \ - < а, \у - Уо\ Ь} функция/{х, у) и ее частд/

области

пая производная — непрерывны.

дх

Х о - ^ < л : < Х о + ^ существует единст­ у' =/(х, у) с начальным условием у{хо) = уо. Пример 17- Выделим область на плоскости {х, у), в которой через каждую точку проходит единственное решение уравнения (х-2)У = л[у-х. л[у-х Воспользуемся теоремой \.у = х-2 л[у-х Здесь/(х, у) = х-2 ' При X ^ 2 и >^ > О функция Дх, у) непрерывна. д/ д /л[у-х\_ ^/УУ\ 2л[^{х-2)' ду ду \-2 ) ду\х-21 д/ непрерывна. При X ^ 2 и V > О частная производная —ду Начальное условие у{Хо) = Уо, Хо ^2,у^> 0. Тогда по теореме 1 су­ ществует единственное решение уравнения (х — 2)у' = — х с таким начальным условием. Задача 17. Выделить область на плоскости (х, у), в которой че­ рез каждую точку проходит единственное решение уравнения ху' = у

Тогда на некотором отрезке

венное решение уравнения

22

Теорема 2 Рассмотрим уравнение 3;^''^ = /(х, у, у\ Пусть в области О функция/(х, у) и ее частные производные ^'^ ду аУ ду^"-'^ непрерывны, а точка (Хо, Уо, Уо,Уо^"~^^) лежит внутри области В. Тогда существует единственное решение уравнения у^"^ = /(х, у,у\.., у^"~^^) с начальным условием у{Хо) = Уо, у\хо) = Уо, У^^'^Кх^) = Уо^'-^\ Пример 18. Определим, при каких начальных условиях сущест­ вует единственное решение уравнения (х — у)у'у"' = \п{ху), \п{ху) Воспользуемся теоремой 2. у'" = . 1п(ху) Здесь/(х, у, у\ = и - У)У При ху>0,х^у,у' ^0 д / 1п(ху) \ функция/(х, у, у\ непрерывна. д/ ду д I \п{ху) ду ду\{х-у)у1 ((Х-У)УУ \{х-у)у)\ д/ При ху> О, Х7^ у, у' ^ О частная производная — непрерывна. ду д/ д Щху) \п{ху) дУ дуНх-у)У^ {Х-У){УГ При ху>0,х^у,у'7^0 частная производная — непрерывна. ду д/ д \п{ху) ду дУ(х-у)У- ) = 0. Здесь нет никаких ограничений. Зададим начальные условия: у{хо) = з^о, У\хо) = Уо, У(хо) = у^', ХоУо > о, Хо ^ Уо, Уо ^ О, Уо любое. Тогда по теореме 2 существует един­ ственное решение уравнения (х - у)Уу" = 1п(ху) с таким начальным условием. Задача 18. Определить, при каких начальных условиях сущест­ вует единственное решение уравнения (х + \)у"= у + .

Глава 13 МЕТОД ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА

(у'У

Метод введения параметра применяется к дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной, а разре­ шенным относительно независимой переменной или искомой функ­ ции. В этом случае делается замена у' = р, то есть с1у = р с1х. После ре­ шения дифференциального уравнения получается параметрическое уравнение кривой. Пример 19. Решим дифференциальное уравнение {у + у' = х методом введения параметра. Пусть у' = /7, то есть с1у = р ^х. Отсюда х = (у + у' = р^ р. Тогда с1у = рс1х-^рс1х = р с1(р^ + р) р(1х = р{3р^ + 1)ф ^ рс1х = = (Зр'+р)с1р - ^и = ^[(3/ + / ; ) ф +С-у=^р'+ 4 ]-р' 2 + С, где Спроизвольная постоянная. \х = р'+р Т' < Ответ:^ 3 4 ^ 1 2 + ^. 'У

'У

Задача 19- Решить дифференциальное уравнение у = {у')^ — 2{у')^ методом введения параметра.

§ 13.1. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА И КЛЕРО Дифференциальное уравнение шту^ ху' + \}(у') называется урав­ нением Клеро. Уравнение Лагранжа — это дифференциальное уравне­ ние вида у = Ц)(у')х + \\^{у'), где функция ц)(У) отлична от у\ Уравнения Лагранжа и Клеро могут быть решены методом введе­ ния параметра. Пример 20- Решим дифференциальное уравнение у = ху' — (уУ. Это уравнение Клеро. Воспользуемся методом введения параме­ тра. 24

Пусть у' = /?, то есть с1у = р с1х. Тогда у^ху' -^у = хр-р^-^ (1у= ^(хр - р^) ^ р с1х = р с!х-^ + хф-2р(1р-> {х-2р)с1р = 0. X X IXV у? Если х-2;? = О, то;? = - . Отсюда = =хх - = —. Если ф = О, то /? = С, где С — произвольная постоянная. Тогда у = хр-р'-^Сх-С\ Отъ^т.у=Сх- С\у= - . Задача 20- Решить дифференциальное уравнение у^ху' -у' -2. Пример 21 - Решим дифференциальное уравнение у=2ху'- 4(>'')^. Это уравнение Лагранжа. Воспользуемся методом введения пара­ метра. Пусть у' = р,то есть ^у = р с1х. Тогда у = 2ху' - 4(у -^у = 2хр- V (^У= Щ^Р - V ) р^х = = 2 / 7 ^ х + 2 х ф - 1 2 / ф - / 7 й ^ + 2 х ф - 1 2 / ф = 0->/7х; + 2 х - Пр' = = 0. Это линейное относительно х дифференциальное уравнение. Ре­ шим его методом вариации постоянной. рс1х-^2хф = 0-^ рс1х = -2х (1р. Пусть /7^0. (1х ф г^х гс1р _ ^ , , Тогда/7й^х = - 2 х ф - > — = - 2 — - — = -2 — + С 1 - 1 п | х | = X р ^X ^р = -21п|/7| + С^-е'"'^' = е-2^"1^"^ ^' -> |х| = е^'/?"^ - х = ±е^'/?-1 Положим С = ±е^'. Отсюда х = Ср'^. Пустьх= С{р)р-\ = (1{С(р)р-^) = р-ЧС(р) - 2С(р)р-Чр. Поэтому рс1х + 2 х ф - 1 2 / ф = О ^ р(р-ЧС(р) - 2 О Д / ? - » + + 2С(р)р-Чр- \2рЧр = 0-^р-ЧС{р) - \2рЧр = 0^(1С(р) = ПрЧр ^ '(1С(р) = | 1 2 / ф - С{р) = Зр' + С,. Тогда X = С{р)р'' = (3/ + С,)р-' = 3р'+ С^-\ Отсюдау-^2хр- Ар' = 2{3р^ + С^-^)р - 4р' = 2р' + 2С^-\ Если р = О, то >^ = 2х/7 - V = 2х X О - 4 X 0^ = 0. Гх=3/+С^-^ 'У

Ответ: >^ = 0 ; | ^ ^

+ 2С^-1-

Задача 21- Решить дифференциальное уравнение у + ху'^

Глава 14 ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ § 14.1. ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, КОТОРОЕ НЕ СОДЕРЖИТ ИСКОМОЙ ФУНКЦИИ Если в дифференциальное уравнение не входит искомая функция ^, то есть оно имеет вид Р{х, у^''\= О, то заменой I = ;^^> по­ рядок понижается на к единиц. Пример 22. Решим

дифференциальное уравнение о^у" = у'^. В уравнение не входит искомая функция у. Замена 1 = у'. Тогда I' = у" И х^1' = 1^. Это уравнение с разделяющимися переменными: (1х

-=

При

о получаем— I'

Проинтегрируем обе части: X

Отсюда I = , ^ ^ ^ ^ . Н о г = хс1х

Поэтому у =

X'

с

1

ах

— х^

1

- - = - - - С^. I X '

'

/ , т о е с т ь / = — .

1 г

Схс1х

1

{С,х+\~

Если в дифференциальное уравнение не входит переменная х, то есть оно имеет вид Г (у, у\) = О, порядок уравнения можно по­ низить, взяв за новую независимую переменную у и сделав замену У=Р(У)-

Пример 23. Решим дифференциальное уравнение у" = у. Так как в дифференциальное уравнение не входит переменная х, то делаем замену = р{у). Тогда у" = (уУ = (р(у)У = РуУ' = РуРТогда уравнение у" = у запишется в виде РуР = у. Это уравнение с разделяющимися переменными: р—

1

гс1{С,х+

Если г = о, то нению). Ответ: >;= ^;{х-

с,

26

1)\ /

1

1+

С,х

,

\

= о и >^ = С = С0П81 (удовлетворяет исходному урав­

^1п|Ис,

= у, рар = уау.

Проинтегрируем обе части: |/?ф = ^у^у + С,

С,х\) + С2У,

С=

сотг.

у = у

+ С,

/7^ =

+

+ 2С.

Поэтому

^ = / + С1, д^' = "УУ +

мися переменными:

табличные:

1п\ +

л! / +

Задача 23. Понизить =

,

Шр

= у'.

. Это уравнение с разделяющи­

= " V / + С^.

Проинтегрируем обе части: 1)с1х

уравнения

§ 14.2. ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, КОТОРОЕ НЕ СОДЕРЖИТ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

-2уу'\пу

1 /

порядок дифференциального

2у\

Обозначим С^ = 2С. Тогдар^ = у'^С,.

=—, *

Задача 22. Понизить у"^ + ху" =

^ с1у

= (1х. г

=

+ С2. Оба интеграла

| = л: + С2. порядок дифференциального уравнения у "

у'\

§ 14.3. ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, ОДНОРОДНОГО ОТНОСИТЕЛЬНО ИСКОМОЙ ФУНКЦИИ и ЕЕ ПРОИЗВОДНЫХ Если искомую функцию и ее производные умножить на число к, а дифференциальное уравнение при этом не изменится (то есть мно27

житель к сократится), то такое дифференциальное уравнение являет­ ся однородным относительно искомой функции и ее производных. В этом случае для понижения порядка дифференциального уравнения дела­ ется замена у' = у1, ^ = ^{х).

Пример 24. Решим дифференциальное уравнение хуу" - х(у'У = = уу'. Умножим у,у'иу"ш число к. Тогда дифференциальное уравне­ ние примет вид х(ку){ку") - х(ку'У = {ку){ку') хуу" - х{у'У = уу\ то есть исходное дифференциальное уравнение однородно относи­ тельно;^, у ' и у". Сделаем замену = = Тогда = (;;')' = (У1У = у'1 + У1' = = У1^1 + У1'=У1^+У1'. Отсюда хуу" - х{у'У =уу' — ху{у1^ + у1') - х{у1У = у^у1-^ ху\' = = у\у\х7: - г) = 0.

к, г

^

йх

Еслихг-г=0, ТОХ-—-г=0-> — = — (^х I X

1пк| = 1п|х| +

- е*"1^1 = е ' " 1 ^ 1 ^ ^ ' - |^| = е^'|х| -

Положим С = ±е^'. Тогда г = Отсюл2^у' = у^-^у'

= уXСx-^у'=Сxу-^

\— = \сх(1х+С^ -> 1п|>;| =

^

Положим С1 = ±е^ч Тогда Если

= О, то >^ =

Сх.

е йг

— =

^ йх — + С,-^ ^ X

^ I г = ±е^'х

с1у ^у — = Сху-^ — = Схс1х-^ ёх у

+ С2 -> е'"1^1 = е^^/^^^^ -

\у\

е^^е^^'/^

С^^^""'^^.

0. Но этот результат уже содержится

в формуле

•^=С1е^х72приС1 = 0. Задача 24- Понизить порядок дифференциального уравнения хуу" + уу' = х(у')\\ х). К какому типу относится полученное диф­ ференциальное уравнение первого порядка?

§ 14.4. ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, ОДНОРОДНОГО ОТНОСИТЕЛЬНО НЕКОТОРЫХ СТЕПЕНЕЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ИСКОМОЙ ФУНКЦИИ Если в дифференциальном уравнении умножить независимую переменную х на число к, искомую функцию у — т к!", производ­ ную У — на к'"~\ю производную у" — на к""'^ и т. д., а диффе­ ренциальное уравнение при этом не изменится, то такое дифферен28

циальное уравнение является однородным относительно некоторых степеней независимой переменной и искомой функции. Число т заранее неизвестно. После нахождения числа т делается замена х = ^\у = ^(Ое'"^ По­ лученное дифференциальное уравнение будет содержать лишь функ­ цию и ее производные. После этого делается замена 1' = р{1) (см. § 14.2). Пример 25. Решим дифференциальное уравнение Ах'^у^у" = •

=х'-у\ Умножим независимую переменную х на число к, искомую функ­ цию — на к"', производную у' — на к"''\ю производную у" — на к"'-'. Тогда 4(кхУ{куУк"'-у = (кхУ - (ку)' -> Ах'уУк'"'"'^^-' = = кV - к'у\ Приравняем показатели множителя к: 2 Зт т — 2 = 2 = 4т т - 1/2. Если бы полученная система оказалась несовместной, то этот спо­ соб понижения порядка дифференциального уравнения неприменим. Сделаем замену х = е', у = гСОе'"' = г(/)е'/1

Ухх =

Отсюда АХУУ" = Х'-У'--

4(оГи^'/'у{1"-

|)е-^'/2 = (еО^- (ге^/у -

4 Л " - 1.

Полученное уравнение не содержит независимой переменной (. Сделаем замену 1' =р{1). Тогда 1" = {1')' = (р{1)У = р'1' = р'р. Отсюда 4 Л " = 1

С

2

__1

41^р'р = 1

/7 ф 4 г >—— == 11-> 44/? ф == — —

л/2Сг^-1 29

Положим С, = 2С. Тогда +

21 аг

^2Се - 1

= Л ^ + ,

21(11

ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

<^|-' V г ' - 1/С,' чУ С, Так какх = е', то / = 1пх ,.п^ получаем, что г(0 = —р,~ У ^ У Из равенства 7 = г(Ое''

2 ГГ1

Отсюда ± ^^-^ . -

_

= г + С,

±

,2

- -

= 1п . + С

Задача 2 5 . Понизить порядок дифференциального уравнения х^у" — Ъху' =

— Ау.

§ 14.5. ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПРИВЕДЕНИЕМ ОБЕИХ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЯ К ПОЛНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ Порядок дифференциального уравнения легко понижается, если удается преобразовать уравнение к виду, в котором обе части уравне­ ния являются полными производными.

УУ" у'у'"

Пример 2в. Понизим порядок дифференциального уравнения

2{у")\ = 2{у"У - ^ = ^ =

У

У

{\пу"У = 2(\пуУ — \пу"

у" = С{у'У ^у = Су-- (Ыу'У = (СуУ -

= 2\пу' + 1п С ^

1п>;' = Су + 1п С1 - =

С^^Ч

Получено уравнение с разделяющимися переменными.

Мы видим, что иногда при интегрировании удобнее вместо по­ стоянной С использовать постоянную 1п С. Задача 2 6 . Понизить порядок дифференциального уравнения

УУ'' = У'{У-^ 1).

Глава 15

— = Ш•

лГс^?-Т

Это уравнения вида ау" + Ьу' -^су = 0, где а, Ь, с — коэффициен­ ты. Составляем характеристическое уравнение а\} + + с = О и ре­ шаем его. Если это квадратное уравнение имеет два различных действитель­ ных корня \^ ^ ?^2» то общее решение дифференциального уравнения у{х) = ^е^'"" + СзС^^"", где С^и С2 — произвольные постоянные. Пример 2 7 . Решим дифференциальное уравнение У'-2у'-Зу = 0. Составляем характеристическое уравнение — 3 = О и реша­ ем его. Х1 = —\, Х2 = 3. Тогда общее решение дифференциального уравнения у{х) = С1е^^'' + Сзе^^^^ = С,е"'' + Сзб-^'', где С1 и С2 — произволь­ ные постоянные. Задача 2 7 - Решить дифференциальное уравнение У -\-2у' -3у = 0.

Если характеристическое уравнение аХ^ + ЬХ + с = 0 имеет только один действительный корень X, то общее решение дифференциаль­ ного уравнения у(х) = (С^ + С2х )е^. Пример 2 8 . Решим дифференциальное уравнение у" - Ау' + 4>^ = 0. Составляем характеристическое уравнение — + 4 = О и решаем его. Получаем кратный корень Х = 2. Тогда общее решение дифферен­ циального уравненияу(х) = (С, + С2х)е^'' = (С, + С2х)е^^ где С, и С2 — произвольные постоянные.

31

Задача 28. Решить дифференциальное у'' -6у' -\-9у = 0.

Глава 16

уравнение

Если характеристическое уравнение аХ^ + ЬХ + с = Оя& имеет дей­ ствительных корней (то есть В= ~ 4ас < 0), то положим = "2^, Р = ~^2^- Читатель, знакомый с комплексными числами, конечно же, понял, что речь идет о комплексных решениях а ± р/ квадратно­ го уравнения аХ^ + ЬХ + с = 0 {П= - Аас < 0). Тогда общее решение дифференциального уравнения у{х) = = С^е'^соз рх + СзС'^зхп Рх, где С^и С2 — произвольные постоянные.

ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Пример 29. Решим дифференциальное

уравнение у"-^^ 4у'+ 13у = 0. Составляем характеристическое уравнение Х^ + 4Х+ 13 = 0. Здесь а=1,Ь = 4,с=13. В=Ь''-4ас = 4'-4х1 х 13 = - 3 6 < 0. -Ь -4 л/То| л/|-36| Тогда общее решение дифференциального уравнения у{х) = = С^е^созрх + С2е'^81прд: = ^ е - ^ с о з З х + С2&~^$тЗх, где и С2произвольные постоянные. Задача 29. Решить дифференциальное уравнение у" + 4у=0.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго поряд­ ка с постоянными коэффициентами — ау" ЬУ + су= /(х), а, Ь,с —

это уравнения вида + где коэффициенты. Обпдее решение такого диф­ ференциального уравнения есть сумма общего решения однородно­ го уравнения (см. главу 15) и частного решения неоднородного урав­ нения. Общее решение также можно найти методом вариации постоян­ ной. Находим общее решение соответствующего однородного урав­ нения. Вместо постоянных С, пишем функции СДх). Вычисляем у' и сумму с С/(х) приравниваем нулю. Подставим >^(х) в исходное урав­ нение. Мы получили систему из двух уравнений относительно функ­ ций С/(х). Находим сами функции С, (х).

Пример 30- Решим дифференциальное уравнение

у"-2у'-3у = ^'\ Общее решение соответствующего однородного дифференциаль­ ного уравнения у" — 2у' — 3у = 0 есть у(х) = ^е""" + СзС^^ где и Сз — произвольные постоянные (см. пример 27). Считаем, что = ^ ( х ) и = СзСх), то есть>'(;с) = С^{х)&-''-\- С2 (х)еЧ Это общее решение дифференциального уравнения ^'^ — 2у' — 3у^ еЧ Найдем функции С1(х) и СгСх). у' = (С,(х)&-'+ С2(х)&'')' = -С,{х)&-' + ЗС2(х)с''+(С[(х)е-' + С;(х)&''). Сумму с С/(х) приравниваем нулю: С1'(х)е~'' + С2 (х)е'''' = 0. Тогда У = - С 1 (х)е-^ + З С 2 (х)е^ Отсюда у" = (-С,{х)с-' + ЗС2(х)е^^)' = С,(х)е-' + 9С2(х)е^^ - С;(х)е-^ + ЗС2'(х)е^^ 33

Подставим все в исходное уравнение у" - 2у' - Зу = е'^^ то есть С,{х)&-' + 9С2(х)е^^ - С;(х)е-^ + ЗС^{х)е'' - 2{-С,{х)^-' + ЗС2(л:)е^^) - 3(С1(х)е-^ + С2(х)е^^ = Отсюда -С;(х)е-^+ гС{{х)^'' = е'^ (все слагаемые с С^{x) должны сократиться). Получили систему линейных относительно С[{х) и уравнеГе-^С;+е^^С2' = 0 НИИ I _^-х(^'^ з^зх^' = • Решив эту систему относительно С[ и С{, получаем С[{х) = — ^ е ^ ^ С{{х) = — е^ 4 4 Отсюда С,{х) = - 4ге'^ + С 3 , С2(х) = | е ^ + С4. 20 4 Тогда >;(х) = С,(х)е-^ + С2(х)е^^ = ( - — е ' ^ + + ( - е^ + С,)&'' = 20 4 = С4е^'' + СзС"'' + у где С3 и С4 — произвольные постоянные. Задача 30. Решить дифференциальное уравнение у" — у = Метод вариации постоянной часто приводит к сложным вычисле­ ниям. Иногда для дифференциальных уравнений с правой частью специального вида частное решение можно найти методом неопре­ деленных коэффициентов. Если правая часть дифференциального уравнения имеет вид РМб^"" {Рт{х) — многочлен степени т), то частное решение ищется в виде Ух = х'0^(х)€^'', где 5 — кратность корня у характеристического уравнения (5 = О, если у не является корнем характеристического уравнения), 0^{х) = Лх'^ + Вх""'^ + ... + Я Для нахождения коэффициентов многочлена От{х) нужно под­ ставить Ух в исходное уравнение и решить систему линейных уравне­ ний относительное, В,.... В. Пример 31- Решим дифференциальное уравнение у" ^ у'— 2у = Ъх^^, Здесь т = 1, Р„{х) = Зх, у = 1. Тогда 0„{х) =Ах+ В. Однородное уравнение у" у' - 2у = 0. Характеристическое уравнение + X - 2 = 0. Его корни ^1 = - 2 , 1. Тогда общее решение однородного уравнения равно у^ = = ^е""^ + С2е^ где С, и С2 — произвольные постоянные. у = 1 является корнем кратности 5 = 1 характеристического уравне­ ния. Поэтому частное решение исходного дифференциального урав­ нения будем искать в виде у^ = х'(2^(х)е^'' = х(Ах+ В)е''= (Ах^ + Вх)е\

34

Тогда 1 = ЦАх' + ^х)е^' = (2Ах + В)е + И х ' + Вх)&' = {Ах^ + {2А + В)х + ^)е" и У1 = (у{У = ( ( ^ ^ ' + (2А + В)х + Б)е^)' = (2Ах + 2А + В)е + (Ах"" + + {2А + В)х + В)^' = (Ах^ + (4А + В)х + 2Л + 2^)е^ Отсюда у{' + К - 2 = Зхе^ - (Ах^ + {4А + В)х + 2А + 2В)е + + {Ах^ + {2А + В)х + 5)е^ - 2(>4х' + Вх)е = Зхе^ — + 2^ + 3^ = З х Получаем систему линейных уравнений: ' 6Л = 3 1^=1/2 2^ + 3^?=0 ^ [ 5 = - 1 / 3 *

У

Тогда у, = (Лх' + 5х)е^ " ( Т ~ У) Поэтому общее решение исходного дифференциального уравне­ ния равно 3^ = 3^1+}^о =

|у-у

) е ^ + ^е"'^ +

С2е^

где

и

С2

- про­

извольные постоянные. Задача 31. Определить, в каком виде нужно искать частное ре­ шение дифференциального уравнения у" -2у' + у= 6х&\ Если правая часть дифференциального уравнения имеет вид Р ^^(х)е^со8 рх + Р^^(х)е"^81п рх (Р ^^(х) и Р ^^(х) - многочлены сте­ пеней и ^2 соответственно), то частное решение ищется в виде у, = х^е"^(С^(х)со8 Рх + /?^(л :)8т рх), где т = тахС ^ ь т2), ОМ и Я^{х) — многочлены с неопределенными коэффициентами степени т, 5 — кратность корня а + р/ характеристического уравнения = О, если а + р/ не является корнем характеристического уравнения). Для нахождения коэффициентов многочленов 0^{х) и Я^{х) нуж­ но подставить ^1 в исходное уравнение. Пример 32. Решим дифференциальное уравнение у" — 9у = е^'^совх. Здесь а = 3, р = 1, = ^2 = 0. Тогда т = тах ( т 1 , Аг/2) = тах(0, 0) = 0. Поэтому 0^(х) = Л, К^{х) = В. Однородное уравнение у" -9у=0. Характеристическое уравнение - 9 = 0. Его корни = - 3 , ^2 = 3. Тогда общее решение однородного уравнения равно Уо = С^с'^"" + С2е^'^ где С, и С2 — произвольные постоянные. Число а + р / = 3 + / не является корнем характеристического урав­ нения. Поэтому 5 = 0. Частное решение исходного дифференциального уравнения бу­ дем искать в виде у^ = х'е'"^((3^(х)со8 Рх + К^(х)зт^х) = Ле^^созх + + ^е^'^зшх = (.4С08Х + ^81пх)е^''. 35

Отсюда у{ = ((^со8 ;с+ ^?8т ;с)е^'')' = (-^8тх+^со5;с)е^'' + 3(Асо^х+В$тх)&^'' = = ((ЗА + ^)со8х + (3^5 - А)$тх)е^\ У1 = (У1У = (((3^ + В)со$х + ( 3 ^ - А)8тх)е''У = (-(ЗА + В)$тх + + (3^-^)со8х)е^^ + 3((3^ + В)со$х + (ЗВ - А)$тх)е'' = = ((Ы + 6В)со$х+(8В-6А)$тх)&^\ Тогда у{' - 9у; = е^^со8х — ((8^ + 65)со8х + ( 8 ^ - 6^)81пх)е^^ - 9(^со8;с+^8тх)еЗ^ = е^^со8х^ ((-у^ + 6^)со8х+ ( - ^ - 6А)$тх)&^' = = е^''со8х. Получаем систему линейных уравнений: -А-^6В=1 Л = -1/37 -6А-В =0 ^=6/37 • , / I 6 \ Тогда = (У4СО8Х +^?8тх)е^'' = I - — С08л:+ — 8тх1е^''. Поэтому общее решение исходного дифференциального уравне/6 1 \ ния равно ^ = ^1 + 3^0 = I ^ - — со8х1 е^^ + С^е-^"" + Сзе^^ где и Сг — произвольные постоянные. Задача 32. Определить, в каком виде нужно искать частное ре­ шение дифференциального уравнения у" + у = х$тх. Частное решение дифференциального уравнения ау'' + Ьу' + = ="Мх) -^Мх) есть сумма частных решений дифференциальных урав­ нений ау" + Ьу' + су =/х{х) и ау" + -\- су= /2(х).

ьу

Глава 17 УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА

Дифференциальное уравнение вида а„ху^"^ + а„_1х + а^ху' + а^у = /(х), где — коэффициенты, называется уравнением Эйлера. Заменойх = е ' п р и х > О (илих = - е ^ п р и х < 0) уравнение Эйлера сводится к линейному дифференциальному уравнению с постоян­ ными коэффициентами. При этом характеристическое уравнение можно получить, подставив в уравнение Эйлера вместо хУ^^ слагае­ мое Х(Х- 1 ) . . . ( А . - 1 ) . Пример 33- Решим дифференциальное уравнение х^у'"ху'— у = 0. Это уравнение Эйлера. Сделаем замену х = е ^ при х > О (или х = - е ' при X < 0). Получим линейное уравнение с постоянными коэффици­ ентами. Характеристическое уравнение этого линейного уравнения будет Х(Х-\)(Х-2) + Х-1 = 0-(Х-\)(Х(Х-2)-\-1) = 0--(Х-1)(Х'-2Х-^1) =0 "~^У"~^^

+

...

+

Тогда};(0 = (С1 + С2/+ СзГ>'. Н о / = 1п |х|. Отсюда >'(/) = (С, + С21п|х| + Сз1п ^1)^Задача 33. Решить дифференциальное уравнение хУ -4ху' + + 6у = 0.

37

Глава 18 РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ С ПОМОЩЬЮ ПОДБОРА ЧАСТНОГО РЕШЕНИЯ Мы ограничимся рассмотрением дифференциальных уравнений вида ао(х)У' + а^{х)У + а2{х)у = 0. Как правило, такие уравнения не решаются. Но если удастся по­ добрать частное решение у^, то можно воспользоваться формулой Лиувилля

У[

У2

= Се

га1{х)с1х

Частное решение ищется в виде многочлена или в виде экспо­ ненты. Пример 34. Решим дифференциальное уравнение ху"-{2х+\)у-^{х-^ 1)>^ = 0. Здесь а^{х) = х, Й,(;С) = -(2;с + 1). Будем искать частное решение у^ в виде экспоненты: у^ = е'". Тогда у{ = ае"^ и у" = а^е^. Отсюда ху';-{1х^+ 1)>;1 = 0 - > х Л ' ^ - ( 2 х + 1)ае'^+(х+ 1)е"^ = 0 {а^-1а^ О х - д 4- 1 =0. + 1=О Получаем систему уравнений ^ 1а'- ^- 2^^ =0 Если бы полученная система уравнений оказалась несовместной, то частного решения в виде экспоненты не существует. Мы нашли частное решение у^ = е^ Тогда у[ = е^ Воспользуемся формулой Лиувилля. У\

у\

38

У2 У2

= Се

{ОХШУ^

г -(2х+1)й!х-

-г-

У2У1 -

У2У1

^^'"'и/

У1

е Получаем, чтоу

У1

\е)

1.

е^

Задача 34. Решить дифференциальное уравнение ху"-{х^\)у'-1{х1)>; = 0. Пример 35. Решим дифференциальное уравнение (х'^\)у" -1у = ^. Здесь ао(х) = + 1, а^{у^ = 0. Будем искать частное решение у^ в виде экспоненты: у^ = е'^. Тогда у[ = ае"^ и у'; = й^е''^ Отсюда

(х' + Х)у'{ - 2^1 = О - (х' 4- Х)а'е' - 2е^ = О -> а V + «2 - 2 = 0.

Получаем систему уравнений ' ^ 2 2 =- 0о2 -= Оо • видим, что система уравнений не имеет решений. Поэтому частного решения в виде экс­ поненты не существует. Будем искать частное решение в виде многочлена. Сначала оп­ ределим степень п многочлена. Пусть + ... ТогдаX = лх"-^ + ... и у'( = п{п - Ох""^ + ... Отсюда (х^ + 1 К - 2>^1 = О - (х^ + \Шп - Х)х'-^ + ...) - 2(х'' + ...) = О 1)-2)х" + ... = 0. Тогда л(л - 1) - 2 = О -> я = 2. Поэтому = х^ + У4Х + Д у[ = 2х + А, у," = 2. Отсюда (х' + 1)3;;' _ 2>;1 = О - 2(х' + 1) - 2(х' + .4х + ^) = О -2Ах + 2 - 2^9 = О, то есть У1 = О, ^ = 1. Поэтому = х^ + ^ + ^ = х^ + 1 и = 2х. Воспользуемся формулой Лиувилля. Уг У[ Уг

У1

= Се

--3^2>1-3^2>';

=

Се У]

У\

39

В интеграле

И I = агс!;^ X Отсюда

1Г

;

V+

Уг

1 ;

с

(х" +1)^

Уг

х'+Х

=1;^ (х^ + 1)-,дх.

; йх сделаем замену х = 1§ Г. Тогда ах =

' {х""1~+1)1)'

• \

\

——

С08 X

-с\. С/ (1 + со8 20^/= у

Глава 19

СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

1 \/ 1 21ёМ у 8ш2/| + С1 = у ^агс1ёх+ у ^ ^ ^^2^ ] "

Мы обозначили у через С^.

Получаем, что >; = (х2+1)(с2( агс1§х+ ^ _^^2 1 = СДх' + 1) + С2(л: + (х' + 1) жа%х).

Задача 35. Решить дифференциальное уравнение (х^- 1)з'" + ( х - 3 ) у ' - 3 ' = 0 .

Общий вид линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами у" + р(х)у' ^ д(х)у = 0. Это уравнение -0,5[;?(/)^/ ,

С помощью замены у = (здесь нижний предел интегрирова­ ния не важен) можно привести к уравнению + 0{х)1 = 0. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать уравнения вида у'' + 0{х)у = 0. Теорема 7. Пусть у(х) — отличное от тождественного нуля регаение уравнения у" + 0(х)у = 0. Тогда у(х) может обращаться в нуль в конечном числе точек. Теорема о чередовании нулей. Пусть у^(х) и У2{х) — линейно незави­ симые решения уравнения у" + 0(х)у = 0. Тогда нули этих решений чередуются.

Теорема Штурма (теорема сравнения). Даны уравнения у" + 0(х)у=

О

и + Р{х)1 = О, где 0(х) > Р(х). Пусть — решение уравнения г'' + Р{х)1 = 0. Если ^{х^) = 1{х2) = О, то любое решение уравнения у" + 0{х)у = о имеет нуль на отрезке [х^, Х2]. Теорема 2. Если Р{х) < О, то любое отличное от тождественного нуля решение уравнения 1'' + Р{х)1 = О обращается в нуль не более одного раза. Теорема 3. Дано уравнение у" + 0{х)у = О, где х > x^. Пусть 0{х) > т^ = С0П81 > 0. Тогда любое решение уравнения у" + 0{х)у = О имеет бесконечно много нулей. Теорема Кнезера. Дано уравнение 1" + Р{х)1 = О, где х > 0. Пусть Р{х) < . Тогда любое отличное от тождественного нуля решение уравнения 1" + Р(х)1 = О не может иметь двух нулей. 41

Дано уравнение у" + = О, где х > 0. Пусть 0{х) > > ' е > 0. Тогда любое решение уравнения у" + 0{х)у = О имеет бесконечно много нулей. Теорема об асимптотике. Дано уравнение у" + (1 + 9(х))>' = О, где X > 1. Пусть ^(х) < у = СОП81 > 0. Тогдау{х) = С^^тx + Сзсовх + + ф(х), где (р(х) — О (х — + 0 0 ) . Теорема 4.

Глава 20 ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ, ПРИВЕДЕННЫЕ К НОРМАЛЬНОМУ ВИДУ Мы ограничимся рассмотрением дифференциальных уравнений первого порядка. В этом случае нормальный вид системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффи­ циентами — это система дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных: < Здесь а^^ — коэффициенты, x^ = x^{^),x^ =л* рица из коэффициентов системы.

Пусть А = (а^) — мат­

8 20.1. МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ НЕИЗВЕСТНЫХ

Путем исключения неизвестных систему можно свести к диффе­ ренциальному уравнению более высокого порядка с одной неизвест­ ной функцией. Пример 36. Решим Х2 =

Зх, +

4x2

систему дифференциальных уравнений

'

= (х,У =

XI (2х, + Х2У = 2x1 + ^2 = + (Зх, + 4^2) (подставили из 2-го уравнения) = 2^1 + 3x1 + ^^2Из -го уравнения Х2 = х^ — 2x1. Тогда XI = 2x1 + 3^1 + 4x2 — 2х^ + Зх, + 4(х1 — 2x1) = 6x1 — 5x1, то есть х, — 6x1 + 5х, = 0.

1

43

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (см. главу 15). Его решение XI = С]е' + Сзе^', где С, и С2 — произвольные постоянные. Отсюда X I = Су&'+5С2^^'. Тогда Х2 = х , - 2х, = С^е' + 5С2е'' - 2{С,с' + € 2 ^ " ) = - С , е ' + ЗСзе''. Ответ: х, = С,е' + Сзе^ Х 2 = - ^ е ' + ЗСге''. = С,е'

В матричной форме

Задача 3 6 . Решить

+

С2&''

систему дифференциальных уравнений

(Х,=Х,-Х2 \Х2

=

-4X1

+

^2

'

§ 20.2. МЕТОД СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ Найдем собственные значения собственного значения

Х„ м а т р и ц ы А.

^^1,

Х1 о п р е д е л и м

Е с л и для каждого собственного

Д л я каждого

с о б с т в е н н ы й вектор значения число

V,.

собственных

в е к т о р о в р а в н о к р а т н о с т и э т о г о с о б с т в е н н о г о з н а ч е н и я , то о б щ е е р е ­ ш е н и е с и с т е м ы д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й задается ф о р м у л о й

+ ... + С„е^"'у„, где С^, С„ — п р о и з в о л ь н ы е п о с т о я н н ы е . Пример 37. Решим методом собственных векторов систему дифГ X = Зх + 4;; ференциальных уравнений ^ у — 2у ' Найдем собственные векторы и собственные значения матрицы

С1е^''у1

системы

= 3-Х

4

- ( 3 - ; ^ ) ( 2 - ; ^ ) - 4 х 5 = А,2-5^-14=0.

5 2-Х Собственные значения: Х^ = - 2 , Х2 = 7. Найдем собственные век­ торы. 4 ^ Тогда ^ 3 - ( - 2 ) 5 2 (-2)] I ^ — 5х + 4;; = О — <^ 44

найдем соответствующее значение главной переменной ^* | ^ _ ^ ^'^ • VI = (-0,8; 1) — собственный вектор, соответствующий собствен­ ному значению Х^ = —2. Пусть теперь Х2 = 7. ^0^ '-4 4 ' X '0^ Тогда ^ 3 - 7 4 ^ X 5 2-7 0 5 -5_ 0 =у •х-у = 0- ух — любое [ >^ = Г У2 = (1; Г) — собственный вектор, соответствующий собственному значению Х2 = 7. Общее решение системы дифференциальных уравнений задается 1 Г-0,8 формулой , где

С, и

С2 — произвольные

х = - 0 , 8 С 1 е - ' ' + Сзе'' постоянные, то есть < ^ \ ^ [>;=С,е - 2 ' + С 2 е

Задача 37. Решить методом собственных векторов систему диф­ ференциальных уравнений | ^ - '^-{^2у ' Е с л и с о б с т в е н н о е з н а ч е н и е А.^ = а +

р/ (р

0)

матрицы системы

д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й является к о м п л е к с н ы м ч и с л о м , то в е^^^у, н у ж н о взять д е й с т в и т е л ь н у ю и к о м п л е к с н у ю ч а с т и .

Пример 38. Решим методом собственных векторов систему диф­ ференциальных уравнений | ^ _ ^ 2х+ Зу'

5 2

-ХЕ)

д&1{А

V нас одна свободная переменная у. Приравняем ее единице и

' X

' . V — любое

^0' 0

' 5 4^ х^ 5 4 .У.

'0^ 0

Найдем собственные значения матрицы системы

1 1 -2 3

1 = (1 - ХЮ - Л) + 2 = А.' - 4А + 5 = 0. -2 3 - Х Собственные значения: ^1 2 = 2± 1. Это комплексно сопряженные собственные значения: 2 + / =2-1. Найдем собственный сектор, со­ ответствующий собственному значению А. = 2 + /. 1 1 ' X X ^ 1- 2 - 1 0^ -2 3-2-/ - 2 1 - / ^ ^3^^ 0 6&{(А-ХЕ)

=

1-Х

45

( - 1 - / ) х + ;^ = 0 -2;с-+- (!-/)>; = О (—1 - /)х + >^ = О (второе уравнение получается из первого уравнения умножением обеих частей на 1 — /) х= 1 I 1 +/ Тогда е'(2+0/ 1 = е^'е'' 1 ' = е^'(со8/+ / 8 т / ) 1 1+ / 1+/ 1+/ ^2,

Г

С08/+/81ПГ

[ ( С 0 8 / + /81п 0(1 + О С08Г + /е2

С08 Г-$тГ Эйлера е" = С08 / + /81п (). = Се^ Отсюда

С08 / + / 81П / С08 / — 81П / + /(С08 / + 81П /) 81п г (мы воспользовались формулой 81П Г + С08 / С08/ С08 / — 81п / ^

8Ш/ , где 8 т / + С08 Г

Су

и

— произвольные постоянные. З а д а ч а 38- Решить методом собственных векторов систему диф\ = —X — 5у ференциальныхуравнений ^ ^ С2

к

Пусть для собственного значения А. кратности число собствен­ ных векторов меньше а ранг матрицы (то есть число нену­ левых строк в ступенчатом виде матрицы) равен л

к,

Тогда степень многочлена равна

де

X, = {Ш' +

А - ХЕ

з= к + г - п. Ищем решения в ви­

X, = {Ы' + ...)еЧ 39- Решим методом собственных векторов систему диф­

...)е^

Пример

ференциальных уравнений ] ^ ^ ^ . \^У Х^ ^у Найдем собственные значения матрицы системы А7

= 2.

2 1 . Здесь -1 4

1 + 9 = 0, - 1 4 - ; ^ = (2 - ; ^ ) ( 4 - Х ) - ^ Х^Х""-вХ то есть Ху2 ^ 3- Кратность корня Ху2 равна к = 2, Ранг матрицы А — 2^ равен 1 = гк - \ ~ ^гк - \ ^ гк = 1. -3 -1 1 0 0 (^а{л-XЕ) =

46

2-х

Тогда степень многочлена равна 5 = /: + г—« = 2 + 1 — 2 = 1. Отсю­ да х = + Ь)е\; = (сг + ^ е ^ X = {ЪШ + 3/? + й)е^ у = (Зс/ + 3^ + с)е^'. Поэтому ^ = 2;с + 3; (ЗаГ + ЗЬ + а)е'' = 2{а( + /?)е^' + (с/ 4- с1)&" _^ у=-х+4у (Зс{ + ЗйГ + с)о'' = - ( л / + Ь)е" + 4(с/ + 'Зй[ = 2д[ + с ЗаГ + 3/? + а = (2а + с)Г + 2/) + _^ 3^ + ^ = 2/? + ^ Зс = 4с — й З с / + З й ^ + с = ( 4 с - а ) Г + 4йГ-/? 3^+с = 4 ^ - ^ Так как кратность = 2, то в ответ входят две произвольные посто­ янные С1 и С2. Положим а = С}, ^ = С2. Тогда с = а = Су, ^ = а + Ь = С2. Отсюда X = (а/ + г>)е^' = (С^ / + С2)е^', >; = (с/ + ^)е^' = (С,Г + С, + €2)6^'. З а д а ч а 39- Решить методом собственных векторов систему диф­ ференциальных уравнений | ^ ^ _ ^ •

Глава 21 СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, НЕ ПРИВЕДЕННЫЕ К НОРМАЛЬНОМУ ВИДУ Системы дифференциальных уравнений, не приведенные к нормаль­ ному виду, — это системы, не разрешенные относительно старших производных. М ы ограничимся рассмотрением систем вида ах+ Ьх сх-^ с1у + еу +/у=0 §х -\- кх + Ьс + ру ду ту = О ' Находим корни характеристического уравнения аХ^ + ЬХ-\-с (11}-\-еХ+/ = 0. ^1} + + I р1} + дХ + т После этого решение отыскивается тем же способом, что и для нормальной системы.

Пример 40. Решим систему дифференциальных уравнений 'х-х + 1у-2у = 0 х — х-\-у + у = 0 Находим корни характеристического уравнения: - 1 2X^-2 = 0Х^-\ 2(^^-1) = 0Х-\ х - \ Х+ 1 1 -2Х + 2) 1 1 \,х =- 1. При А. = 3 получаем Г 3^-1 2 x 3 ^ - 2 X 0 3-1 3+1 16 Го1 2 ^ .х: ^ 4 О 0 0 х = -2у х=-2 -2 у — любое У= 1 1 48

При Х = —\м ' 0 0' X -2 0 .У.

( - 1 )2 - 1 2 х ( - 1 ) 2 - 2 ^ X -1-1 - 1 + 1 , .У. О' ^ ' 0 0 ^ X 0 1 0 У^ х=0 у — любое

X При А- = 1 получаем 12_1 2 x 1 ^ - 2 1-1 1+1 О О О 1 X — любое

0^ 0 0" 0 х=0 >;=1

0 х = 1 _^ у = = 0 ~" 0

1 , где С,, С2, Сз + Сзе' = С^е^^ - 2 + СзСО 1 произвольные постоянные. Задача 40. Решить систему дифференциальных уравнений х + х-2у +у-Ъу = 0 -2х-х-2х + Ау-\-5у = ^' Тогда

Глава 22 ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ где А'=

,т =

'ту

,А —

матрица системы.

4>' + е - у ( е 2 ' + ! ) •

Здесь Г{0

=

О

е

4^ •

+ Се2

Тогда матрица Вронского равна матрицу Ж " ' .

50

решение этой сис­

^Зе^'

1У=

е' е' Зе''

е'

Зе^' -е'

-2е-'

а ^

-2е^'

Зе-'

е'

О

е^УСе'Ч- 1)

е-2'

-2е2'

• «1 = -

й^(е2'+ е2'+

е

^е2

. Найдем обратную

1)

1

_-2е^ е''+ 1 • =-1п | е ' ^ + 1| +

'+1

е2

С1->

е'

е^

(И

'4-1

^2 = -Т1 е2

-2е-' -2е^^ 1

е''+

'+1

е2^+

1

г -2е2^ = - 1 п ( е ' Ч - 1) + С^.

1

= агс1:ёеЧ- С2.

,-1п(е2'+1)^ агс1ёе ' + С 2 ' е' 2е2' ^ Г С 1 - 1 п ( е 2 ' + 1)1 Тогда агс1ёе'+ С2 ^ е' Зе^' ^ ^3^, е'(С, - 1п (е'' + 1)) + 2е'Чагс1ве' + С^) е'(С1 - 1п (е'^ + 1)) + Зе^ЧагсГве' + С^) Получаем, что V=

щ^{-\

у = -х + Щ1

20, находим общее ^2е^'

2е^' х

вы-

а

-Ь

~с

Поэтому

х=^у +

I х=-х+2у Однородная система | ^ = ^_

темы: С,е'

е' X Зе^' -

Задача 41.

^7 (е2'+ 1)

Используя материал главы

=

с

е2'+

-х + 2у

>' = - З х +

Тогда

1

ё аё-Ъс

Отсюда

Сначала решаем линейную однородную систему X = АХ {си. гла­ ву 20). Пусть + ... + С„Х„ — общее решение линейной однород­ ной системы. Из Х|, Х^ составляем матрицу Вронского IV, находим обратную матрицу и решаем систему О = Тогда общее решение линейной неоднородной системы диффе­ ренциальных уравнений равно Х= Ц^1/. Пример 41- Решим систему дифференциальных уравнений х=

числяется по формуле В~^ =

Зе-' -е-2'

Дана линейная неоднородная система Х=АХ+ Р{1),

а Ь

Напомним, что обратная матрица для матрицы В =

ГС

Решить систему дифференциальных

уравнений

Глава 23 УСТОЙЧИВОСТЬ Дана система уравнений —'-

х„), / = 1,

п. Пусть все

а/

функции /(и частные производные — - непрерывны при / > ^^. Введем следующие обозначения: х = ( Х } , х ) = (/^{и /„(/, х)). Тогда исходную систему можно записать так: х). ш Решение х = ф(0 называется устойчивым по Ляпунову, если для любого 8 > О существует 5 > О такое, что для любого решения си­ стемы из условия \х((о) - ф(/о)| < 5 следует - ф (0| < е при всех / > /о- Если же для некоторого 8 > О такого б > О не существует, то ре­ шение ф(0 называется неустойчивым. Устойчивое по Ляпунову решение ф(0 называется асимптотически устойчивым, если для любого решения х{Г) из условия |х(Го) - фС^о)! < 5 следует х (0 - ф(0 О (Г ^ +оо), то есть все решения с достаточно близкими начальными условиями неограниченно приближаются кф ( 0 при (-^ +00. Наличие или отсутствие устойчивости не зависит от выбора Вопрос об устойчивости решения х = ф(0 сводится с помощью за­ мены у = х (0 — ф(0 к вопросу об устойчивости решения у(1) = 0. По­ этому в дальнейшем будем рассматривать вопрос об устойчивости ре­ шения л: = 0.

§ 23.1. УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ

Для исследования на устойчивость решения х = О системы — = /(^ х^, х„) надо выделить в каждой функции / линейную часть (например, с помощью формулы Тейлора). Получим для нашей системы первое приближение = Ах. ш 52

Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. 1) Если все собственные значения матрицы А имеют отрицатель­ ные действительные части (то есть все Яе < 0), то решение х = О асимптотически устойчиво. 2) Если хоть одно собственное значение матрицы А имеет поло­ жительную действительную часть (есть Яе Х/ > 0), то решение х ^ О неустойчиво. В случае Ке = О теорема Ляпунова неприменима. Нужны даль­ нейшие исследования. 3л: Пример 42. Дана система \Г д: == е^^^2^-со8 [4+^-2&У

•

Исследуем на устойчивость нулевое решение этой системы с по­ мощью теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Выделим с помощью формулы Тейлора в функциях е''^^^ - со$Зх и "V 4 + 8х — 2е^ линейную часть.

^^+2у _ ^^^3^ = 1 + ^ + 2}; + 0(х^ + у^) - (1 + 0(х^)) = х-\-2у -\-0(х^ + у^). •У4 + 8х - 2е^ = ^4(1+2х) - 2(1 + >; + 0(у')) = 2-у1+2х - 2(1 + 0{у')) = 2(1 + { X 2;с + 0(х')) - 2(1 + >; + 0{у')) = 2х-2у-\+ 0(х^ + у^). , д: = е ^^2,-со8 3;с х = х+2у-{- 0(х^ + у^) у=2х-2у+ 0(х^ + у^)' В полученной системе матрица А = 21 -22' . Найдем ее собст­ \-Х 2 = Х'-Х-^6 = 0. венные значения. 2 -2-Х = (1 - Х){-2-Х)-А

Отсюда ^1 = —3 и ^2 = 2. Так как Х,2 = 2 > О, то решение х = у = О неустойчиво. х = 1п(Зе^-2со8;с) Задача 42. Дана система з)=2е^-д/8+ 12;; ' Исследовать на устойчивость нулевое решение этой системы с по­ мощью теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Пример 43. Дана система х=1п(4>; + е-^^) у=2у-

1 +л/1 - б х •

Исследуем на устойчивость нулевое решение этой системы с по­ мощью теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

53

Пусть/,(;с, у) = 1п(4;; + е"^^) и^х, у) = 2у - I + л Л Г ^ . Найдем частные производные первого порадка функций /1 (х, у) и/2(х, у) в точ­ ке х = ^ = 0. _Зе-зхо -Зе-^^ ^ = ^ 1 п ( 4 з ; + е-'0 = 4у + &-'' Тогда 4 X 0 + е-'^^ = - 3 . 4 4 Тогда 4 X 0 + е-^^' 4>; + е-^^ ду ду -2 = -2. | = | ( 2 , - 1 ^ ^ ^ ) = 2 , т о е с х ь | ( 0 , 0 ) = 2. ^/1(0,

дх

Матрица У4 = дМО, дх ные значения.

-3-к

-2

0)

0)

дА(0, ду

^/2(0,

ду

0)

0)

6 X 0 ) 2/3 •

-3 4 . Найдем ее собствен-2 2

4 = (-3 - Х){2 - Х ) + 8 = А.2 + ;, + 2 = 0. 2-:^

- 1 - / У 7 " и^ = Отсюда Х1 = 2

2

Так как действительные части собственных значений отрицатель­ ны (Ке = Яе = —1/2 < 0), то решение х = у = 0 устойчиво. х = гв(у-х) З а д а ч а 43. Дана система у = 2 ' - 2С08(71/3 - х) ' Исследовать на устойчивость нулевое решение этой системы с по­ мощью теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

54

Для системы

X ~ у —X —X

_ 2 _ определим положе[ У •^х X у ния равновесия и исследуем их на устойчивость. Приравняем правые части исходной системы нулю и решим полу­ ченную систему " 'х = 0 3^ = 0 3; - х^ - X = О 3; - х^ - X = О 3; = Х^ + X х(1 - х ) = 0 х= 1 • Зх - х^ - 3; = О 2х-2x^ = 0 3^ = 2 У нас два положения равновесия: (О, 0) и (1, 2). Исследуем их на устойчивость. П р и м е р 44-

<

.

Для положения равновесия (О, 0) первое приближение системы Гх = з ^-х

х = у-.х^ — X

Матрица А = - 1 1 . Найдем ее собственные значения. 3 -1 -1-Х 1 =^(-1-ХУ-3 = Х' + 2Х-2 = 0. 3 -1-Х Отсюда = - 1 ~и ^2 = - 1 Так как Х2 = —I + > О, то положение равновесия х = 3; = О неустойчиво. Теперь займемся положением равновесия (1,2). Пусть /1 (х, >') = - X + 3; - х^ и/зСх, з') = Зх - з' - х1 Найдем частные производные первого порядка функций/^(х, у) и/2(х, з') в точке (1, 2). -

Уз

+

лТ.

Уз~

- ^ | - х + з'-л:'| = - 1 - 2 х . Т о г д а ^ ( 1 , 2 ) = - 1 - 2 х 1 =-3. дх дА^_д. - х + з ; - х ' ) = 1,то есть 1^(1, 2) = 1. ду ду \ ду Й

дх ду

=

А

дх

З х - з ^ - х ' ! = 3 - 2 х . Тогда ^ ( 1 , 2) = 3 - 2 х 1 = 1.

|-(зх-з^-х^) = -1,тоесть|(1,2) = - 1 .

гдМ\,2) дМ\,2) дх ду -3 1 . Найдем ее собстМатрица А = дМ\Л) дМ\Л) 1 -1 ^х ду венные значения. -3-Х 1 = (-3 - Х){-\ X) - 1 = Л' + 4Х + 2 = 0. 1 -1-Х Отсюда Х^ = - 2 - лГ2'< О и = - 2 0. Так как найденные собственные значения отрицательны, то поло­ жение равновесия (1,2) устойчиво. х=(х-1)(з^-1) З а д а ч а 44. Для системы У = ху-2 определить положе­ ния равновесия и исследовать их на устойчивость. +

л Т <

Глава 24 ОСОБЫЕ ТОЧКИ (1х/Ш=Р(х, у) с1у _ 0{х,у) —с1х= Р(х, у)' (1у/с1г = 0{х, у) или уравнения "" где Р(х, у) и 0(х, у) — непрерывно дифференцируемые функции, на­ зывается точка, в которой Р(х, у) = 0{х, у) = 0. ах-^ Ьу Для исследования особой точки системы ух== сх+(1у или уравне­ сх+(1у а Ь^ ния >^ ах-^Ьу находят собственные значения матрицы А = с (1 Особой тонкой системы

X '0' '13^ 0^ Если = 1, то 2 - 1 3 1 4-1 0 13^ 0 х = -Ъу _ X = -3 X 1 = -3 ' х + 3>; = О у — любое у=^\ Собственный вектор (—3, 1) соответствует собственному значе­ нию = 1. С ^ '0^ '-3 3 ' X '0^ Если ?1 = 5, то ' 2 - 5 3 " X 0^ 1 4-5 1 -1 0 ;с= 1 х=у ' Х - у = ^7=1у — любое Собственный вектор (1, 1) соответствует собственному значению

Интегральные кривые будут касаться прямой с направляющим вектором (—3, 1), который соответствует меньшему по модулю собст­ венному значению = 1.

8 24.1. УЗЕЛ Если собственные значения матрицы А действительные и одного знака, то особая точка — узел. П р и м е р 4 5 - Исследуем особую точку х = у = 0 системы х'=2х + Ъу у = х-^ Ау ' Матрица системы А = 2 3 . Найдем ее собственные значе­ 1 4 ния. 2-х1 4 -3: ^ = (2 - Х){А - - 3 = X' - 6;^ + 5 = 0. Отсюда = 1 > О и = 5 > 0. Так как собственные значения матрицы Л действительные и одно­ го знака, то особая точка (О, 0) является узлом. Посмотрим, как рас­ положены интегральные кривые вблизи точки (О, 0). Найдем собственные векторы, соответствующие собственным значениям = 1 и ^2 = 5. 56

З а д а ч а 4 5 - Исследовать особую точку х = >^ = О системы х=Ъх у=1х + у

§ 24.2. СЕДЛО Если собственные значения матрицы А действительные и разных знаков, то особая точка — седло. 57

П р и м е р 4 6 . Исследуем особую точку х = у = 0 системы х=3х + 4у у = 2х-^у •

Матрица системы А =

Найдем ее собственные значе-

3-Х 4 ния. 2 1 Отсюда X, = - К О и = 5 > 0. Так как собственные значения матрицы А действительные и раз­ ных знаков, то особая точка (О, 0) является седлом. Посмотрим, как расположены интегральные кривые вблизи точки (О, 0). Найдем собственные векторы, соответствующие собственным значениям = - 1 и ^ 5. 0^ 4 Если = — 1, то Г З - ( - 1 ) 0 2 1-(-1) '0^ •х + >' = 0- х = -у '4 4' X у=\ у — любое 0 2 2^ Собственный вектор ( - 1 , 1) соответствует собственному значе­ нию ? 1 , = - 1 . 0^ '-2 4 ^ X 0^ 4 ' X Если ^.з'^^, то ' 3 -25 1-5 2 - 4 ^У ^ 0 0 х=2х1=2 х = 2у 'Х-2у = 0у=\ у — любое Собственный вектор (2, 1) соответствует собственному значению Х,-5, Изобразим прямые с направляющими векторами ( - 1 , 1) и (2, 1). Расположение интегральных кривых вблизи седла (О, 0) будет следу­ ющим.

З а д а ч а 4 6 - Исследовать особую точку х = у = О системы х=3х- 4у у = х-2у •

8 24.3. ФОКУС Если собственные значения матрицы А комплексные с отличной т нуля действительной частью, то особая точка — фокус. П р и м е р 4 7 . Исследуем особую точку х = у = О системы х=у у = у-2х' О . Найдем ее собственные значе­ Матрица системы А = - 2 0-Х 1 + 2 = 0. ния. - 2 1 - ; ^ = -Х{1-Х)-^-2=^Х^-Х

1 + /У7~

Отсюда Х^ = . Действительные части 2 ^и Х^ 2= собственных значений отличны от нуля: Ке = Ке >.2 = 1/2 ^ 0. Так как собственные значения матрицы А комплексные с отлич­ ной от нуля действительной частью, то особая точка (О, 0) является фокусом. Посмотрим, как расположены интефальные кривые вблизи точки (О, 0). Так как Яе Х^ = КеХ2 = 1/2 > О, то фокус (О, 0) будет неустойчивым. Поэтому при возрастании / решения неограниченно удаляются от особой точки (О, 0). у=0 При X = 1, >' = О получаем, что ух == у-2х = 0-2х1=-2 •

59

Вектор скорости (О, -2) в точке (1,0) говорит о том, что возраста­ нию Г соответствует движение по часовой стрелке. З а д а ч а 4 7 - Исследовать особую точку х = у = 0 системы ^ х = х-\- Зу у = -6х - 5у ' 8 24.4. ЦЕНТР

Если собственные значения матрицы А чисто мнимые, то особая точка — центр. П р и м е р 4 8 . Исследуем особую точку х = у = 0 системы х =х —у у = 2х-у' Матрица системы А = П2 -П - 1 . Найдем ее собственные значе­ 1-Х - 1 = (1 - Х){-\ ?1) + 2 = + 1 = 0. ния. 2 - 1 Отсюда Х = ± 1 . Так как собственные значения матрицы А чисто мнимые, то осо­ бая точка (О, 0) является центром. Посмотрим, как расположены интегральные кривые вблизи точки (О, 0). Интегральными кривыми будут эллипсы. Так как в вершинах эл­ липса векторы (х, у) (из начала координат в вершину (х, у) эллипса) и (х, у) (вектор скорости в вершине (х, у)) ортогональны, то их ска­ лярное произведение равно нулю. Тогда хх + уу = 0 — х(х-у)-^ у{2х -у) = 0 —х^ + ху-у^=^0-^ у^ - ху - х^ = 0. Это квадратное относительно у уравнение. х±хЛр5 Дискриминант П = (-хУ + 4х^ = 5х\а у = . Оси эллипса расположены на прямых у =

•х:(1-У5")

иу=

х(1 + У5")

.

Прих= 1,;; = О получаем, что^ у = 2х-у=2х 1-0 = 2В точке (1,0) вектор скорости равен (1,2). Мы видим, что решение х = у = 0 устойчиво, но не асимптотичес­ ки устойчиво, так как при / О решения не стремятся к 0. 60

§ 24.5. ВЫРОЖДЕННЫЙ И ДИКРИТИЧЕСКИЙ УЗЛЫ

Если собственные значения матрицы А равны и отличны от нуля, то особая точка может быть вырожденным узлом либо дикритическим узлом. Дикритический узел имеет место только в случае системы вида ^у.Во всех других случаях при А,} = А ^ О особая точка будет вы­ рожденным узлом. ,2

особую точку х = у = 0 системы УХ == XУ' У х = ах Это система вида у=ау П р и м е р 49- Исследуем

а=\.

Поэтому особая точка (О, 0) яв­ ляется дикритическим узлом. В этом случае каждый вектор является собственным для матрицы системы. Поэтому по любому на­ правлению в начало координат вхо­ дит прямая. 61

З а д а ч а 4 9 . Исследовать особую точку х = }^ = О системы л: = 2х у = 2у П р и м е р 5 0 . Исследуем особую точку х = у = 0 системы х=2у-3х у = у-2х ' 2 . Найдем ее собственные значе­ Матрица системы А = -3 -2 1 ^ 2 = (-3 - ^1) + 4 = А.' + 2:^ + 1 = 0. ния. -3-Х -2 1-;^ Отсюда = = — I ^ 0.

Так как собственные значения матрицы А равны и отличны от ну­ ля, а исходная система отлична от системы вида | ^ ^ , то особая точка (О, 0) является вырожденным узлом. Посмотрим, как располо­ жены интегральные кривые вблизи точки (О, 0). Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению Х = - \. 0^ '-2 2 ^ X 0' X Г-3-(-1) 2 0 2 2 ^ .у. 0 -2 -^х

у ^-^^ у_любое I = 1• Собственный вектор (1,1) соответствует собственному значению X = - 1 . Изобразим прямую с направляющим вектором (1, 1). [ ^ = 2>;-Зх = 2 х О - З х 1 = -3 П р и х = 1,>^ = 0 п о л у ч а е м , ч т о | ^ = ^ _ 2 ; ^ = 0 - 2 х 1 = ~2 В точке (1,0) вектор скорости равен (-3, - 2 ) .

З а д а ч а 5 0 . Исследовать особую точку х = у = О системы х=2х- у у= х

Если хотя бы одно собственное значение равно нулю, то получа­ ем параллельные прямые. § 24.6. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ При исследовании особой точки системы с1х/Ш=Р{х, у) ренести начало координат в исследуемую точку и разложить функ­ ции Р и б в окрестности этой точки в ряд Тейлора, ограничившись членами первого порядка. Если {^^^^^^у^^^^^^у где функции ф (х, >;) и у (х,;;) дважды не­ прерывно дифференцируемы и ф(х,>;)= 0 ( х ^ + у 2 ) , \]^{х,у) = 0{х'^+у^), то в случае, когда действительная часть собственных значений мат-

рицы ас Ъ(1 отлична от нуля, функции ф(х, у) и \|/(д:, у) можно от­ бросить при исследовании особой точки. В случае чисто мнимых собственных значений особая точка будет центром при наличии оси симметрии у интегральных кривых (то есть сх + + \|/(х, у) уравнение у = ——^—; не меняется при замене х на -х или ах + Ьу + ф(х, у) у на -у) и фокусом при отсутствии оси симметрии у интегральных кривых. П р и м е р 5 1 . Определим особые точки уравнения хх^-х^-\-\=0. Сделаем замену у= х. Тогда у = х =-х^-\-х^ - \ -у^ + д:^ - 1. \ — у Получаем систему ^ ^ = _ у 2 + д ;2__ | . Приравняем нулю правые ;.у=о у= 0 части системы: ^ _ у 2 _ ^ ^ 2 _ ^ ^ ^ х=±\'

У нас две особые точ ки: (1, 0) и (— 1, 0). Исследуем точку (1, 0). 62

63

, х= + 1 _ {х=у Сделаем замену ] у = у^ • Тогда система ^ ^) метвид

| ^ ^ ^ _ ^ 2

4. ^2

Глава 25 НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

_ | при-

+ (^^+1 _1 )2

Перейдем к системе <^

^^^2х^'

Матрица этой системы А = О 1 . Найдем ее собственные зна­ 2 О

0-Х 1 = - 2 = 0. Отсюда ^1 = ±^/2". чения. 2 0-;^ Так как собственные значения матрицы А действительные и раз­ ных знаков, то особая точка (1,0) является седлом. Исследуем точку ( - 1 , 0 ) . X = XI — 1 х^у Сделаем замену У = У1 . Тогда система у = _у2^^2_^ ПРИмет вид

=У1

Х1

^1

= -3

^1' +

( ^ 1

Перейдем к системе

-1)'-1

_

=У1

§ 2 5 . 1 . ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Х1

1 У, = -2х,-у^

+х

ф(/,

Матрица этой системы А = ^0 1 . Найдем ее собственные зна-2 О

0-:^ 1 = Х^ + 2 = 0. Отсюда X = ±1л[2. чения. - 2 0-Х Так как собственные значения матрицы А чисто мнимые, то осо­ бая точка ( - 1 , 0) будет либо центром, либо фокусом.

Из первоначальной системы ^ = ^д 4- _ ^ получим уравне­ -у^ + + 1 . Мы видим, что это уравнение не меняется при ние у = у замене у на —у. 1) + Х^ + 1 Действительно, (-3^)' = -У = -У ' у -у^ + х ' + 1 . Это говорит о том, что интегральные кривые симме­ У = тричны относительно оси Ох. Поэтому особая точка ( - 1 , 0 ) является центром. Пример 5 1 - Определить особые точки уравнения х - 2х + 2х-'' = 0. ;2

64

Первым интегралом системы х^,х„), 1 = 1 , п , называ­ ется непрерывно дифференцируемая функция х^, х„), полная производная которой в силу системы равна нулю: с1ц) дц> , х,

3)1 = - 2 х г

-(-УУ

Получить точное решение нелинейной системы дифференциаль­ ных уравнений удается крайне редко. Можно попытаться с помощью исключения неизвестных свести нелинейную систему к дифферен­ циальному уравнению более высокого порядка и постараться пони­ зить порядок полученного дифференциального уравнения. А можно исхитриться и найти интефируемые комбинации.

;^2

- ( - ; ; ' +

х 2 +

(Эф

(Зф

(Эф

(Эф

.

<3ф ^

_

^

Очень часто первым интегралом называют не функцию (Г, Х 1 а соотношение х„) = где — произвольная постоянная. Пример 5 2 - Выясним, являются ли функции ц = + 2ху и 2 Гу первыми интефалами системы ^ ^ ^ 1х=(х^-Г)/у (Р2 = X— _^ ф

ф(/, х „

С,

, . . . , х„),

С

>1

Полная производная функции ф, в силу системы равна

= -— + <Эф1

^/

(7/

^х+-^у= 2ху) 2ху) {-х) — (г' + 2ху) = дх ду дГ у дх ду 2у(х^ — /) = 2/ + + 2х{-х) = 0. Поэтому функция 2ху является У первым интегралом системы ^'х={х ^ ^ _ ^/У +

-Т

—(/2 +

+

—а'

+

+

ф1 =

+

'-0

65

Полная производная функции ф2 в силу системы равна

(1х _ (1у _ (II =

Н

/ д ^ = —(х^ ГУ) + —(х' -Гу) + {-х) — {х' - Гу) • дх ду д{ у дх ду = —у-ь 2х(х^ — Гу)/у + Полученное выражение не равно тож­ дественно нулю. Поэтому функция ф2 = не является первым интефалом системы

и ф2 = у^/х^ — 2\пх первыми интегралами системы -

х = ху

8 25.2. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ КОМБИНАЦИИ Для нахождения интегрируемых комбинаций надо записать сис­ тему в симметричной форме _

йу а2{х, у,

г)

_

(11 а^(х, у, ^)'

Взяв любую из переменных х, у, 1в качестве независимой пере­ менной (например, х при отличной от нуля функции а^), получим обычную систему

1^^/^^^^^/^^.

Интегрируемая комбинация — это равенство, в обеих частях кото­ рого находятся полные дифференциалы. Для решения системы нуж­ но найти столько независимых интегрируемых комбинаций, сколько уравнений в системе. При нахождении интегрируемых комбинаций весьма полезно следующее свойство. Если ^ = *1 *2

"*

= : ^ т о - = - = *1 *2

к,Ь,-^...^к„Ь„'

*"

с1х (1у (11 Пример 53. Решим систему — = — = — . у I X

— = — -^х(1х = уёу у извольная постоянная. X

66

-

()г) = ^(У) -

(1

йх+ (1у _

I

(1(х + у) _ (11 _^

у-^Х

I

У+ Х

\п\х + у\ \п\1\-\-\пС2-^Х

= У + С,

где С, - про-

+

I

у=С21,

где С2 — произвольная постоянная. В выражение

=

Выражение х-^у= =

3;^

+ С1 не входит переменная I. С21 содержит переменную I.

+ С, и X +

=

независимы.

(1х

Задача 52. Выяснить, являются ли функции ф1 = х\пу — х^у

(1х

X

Поэтому

'х=(х'-0/У у = -х

а^{х, у, I)

у

Задача 53. Решить систему

у+ 1

(1у =

й1

= —\—. х+ г х-^у

Глава 26

^ = !!^-^^ ху У1

Для решения уравнений в частных производных вида

а,

а,

ф„ системы

Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид 0,

где Р— произвольная непрерывно дифференцируемая функция. В частности, если 1 входит только в один из первых интегралов (например, только в ф„), то общее решение исходного уравнения можно записать в следующем виде: ф„ = / ( ф 1 , Ф ^ - О = О, где/— про­ извольная непрерывно дифференцируемая функция. П р и м е р 54- Найдем общее решение уравнения Ху—

- Х'-—

=

У1.

дх ду Так как п = 2 (две независимых переменных), то для решения уравнения ху— - х^— = у1 нужно найти два независимых первых дх ду ёх с1у с11 интеграла системы — = —- = — . ху - г у1 — = —^^хс1х = -у(1у — х^х + уау = 0-^ с^{^^ + у^) = 0 — xу -г лг^ + у = С1. Один первый интеграл найден.

68

I

у— дх

Ь'

/^(Ф„...,Ф«) =

= ^^а\п\х\ с1\п\1\

1п|х|

+

1п

С2 = 1пк|

-

1= С^х 1/х = С2. Найден еще один первый интеграл. Полученные первые интегралы независимы, так как один из них не содержит переменной а в другой первый интеграл переменная у входит. Тогда общее решение исходного уравнения задается равенством + У, 1/х), где Г— произвольная непрерывно дифференцируемая функция. З а д а ч а 5 4 . Найти общее решение уравнения

УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

нужно найти п независимых первых интегралов ф1,

X

•^х—=х-у. ду

Чтобы найти поверхность г = 1{х, у), удовлетворяющую дифференциальному уравнению а^{х,у, 1)— + а2(х,у, 1)— = Ь{х, у, ^) и прох = х{!)

ходящую через данную линию у = у(0, нужно найти два независимых первых интеграла (1х

йу

(11

ц>1{х, у, ^) =

и

ф2(д:, у, г) =

С2

системы

Подставив в первые интегралы выражения х{(), у{1), ф), получим систему 1^^^^^ ^1 . Исключив в этой системе параметр /, придем 1 Ф2(0 ^ С2 к соотношению Р{С^, Сз) = 0. Но ф1(х, у , ^) = С1 и ф2(х, у , 1) С2. По­ этому 7^(ф1, Ф2) = 0. П р и м е р 5 5 . Найдем поверхность 1 = 1{х, у), удовлетворяющую

,д1

д1

дифференциальному уравнению у^— ^ ху — = х и проходящую чедх ду [х= 0 резлинию<^ ^=^у2Нужно найти два независимых первых интеграла системы (^х _ с1у _ ^1 у^ ху X ах ау ах (1у 2 2 л_ ^ 2 2 ^ — = >— = >х(1х = уау-^х^^у^+ с, - ^ х ^ - У = С1. у ху у X

69

Один первый интеграл найден. ^ =^ ^ = ^^-^ ^Хп\у\ ё1--\п\у\ 1^ С,^\п\у\ 1= С,, ху X у Найден еще один первый интеграл. Полученные первые интефалы независимы, так как один из них не содержит переменной х, а в другой первый интефал переменная х входит. \х'-у'=С, Получена система <^ \х\\у\ 1= С'^^^ поверхность проходит через линию ^ х^ = ^02 . Тогда ^

х'-у'=С,

\^'-у'=С,

[|>'| = У=^ " ^ 1 1пУ^, + С, = С2

1 п + С1 = С2 - \Г\-У1-{Х^-У^) + х^-у^ = \п\у\-1-^\п-у^у^-х^ + + х ' - / = 1п|>^|-^. З а д а ч а 5 5 . Найти поверхность I = 1(х, у), удовлетворяющую дифференциальному уравнению у^— + у1— + дх ду через линию х-у = 0 х-у^ = I'

= О и проходящую

Глава 27 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ РЕШЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ с1х

Дана система дифференциальных уравнений —

х , ц), х(/о) =

Если существуют непрерывные производные функции / п о л: и ц, дх с1и д/ д/ то существует производная ^ " ^ ^ ^ ' ^(^о) ^Хц)При дифференцировании по начальным данным начальные усло­ вия берем за параметр. с1х X П р и м е р 5 6 . Пусть — = — + ц/е ^ с11 /

дх д\х

= 1. Найдем — при ц = 0.

Здесь/(Г, X, ц) = у + ц / е - \о = I ^(ц) = Ь а/ а X 1 д/ д X Тогда — = — ( - + ц/е-^) = - - ц/е-^ — = — ( - + дх

цГе-^ =

дх ( ( д[х д^ ( = {е-\а\^)= Г = 0. дх с1и д/ д/ Положим и= — . Тогда — = — и + —, и{!о) = а'{\1) д^ ш дх д^ ёи 1 -> — = ( - - ц/е-^)^/ + Г е - \ = 0. ш / с1х X ёх X

Если ц = О, то — = - у + ц^е-^ х{\)^ ёх X с1и х(\) = 1 - ^ ^ = 7' ^(1) " ^ "

у

\

" ^7 ~

и(\) = О -> — = ( - - 0/е-^)^^ + /е-^ ^^(1) = 0 - — = - + / е - \) = 0. ёх

X

ёГ

Г

_ =

с1х с11 = . X

Г

= сИп\1\ 1п|;с| = 1п|/| +

\пС^

71

х{\)

=1

1 = 1 — С= 1

— Сх

—х=

ёи

и

— = - + /е-',

=

0.

Глава 28

Это линейное уравнение первого порядка. Применим метод вари­ ации постоянной.

ёи и — = с1( /

-и=а—и= с1и

РАЗЛОЖЕНИЕ РЕШЕНИЯ

С{Г)(.

и

Отсюда — = - + /е-' -> С ^/ ^

'(0/

П О СТЕПЕНЯМ ПАРАМЕТРА

+

= С(г) + / е " ' -

С

-0^.

'(0

= е " ' ->

— С(/) = С, - е-' -> ^/ = (С1 - /е Но

«(1) = О -

(С1 - е-^)

Задача 56. Пусть

X

1=О-

4" = ^ +

+

С, = е-^ -

^/ = (е'^ - е-^/ = — .

-^(0) = 1. Найти —

при ц =

0.

Дана система дифференциальных уравнений — =/(/, х, ц), х(/о) = Если функции /, и их частные производные по искомой функ­ ции X и параметру ц до порядка /? включительно непрерывны, то ре­ шение X также имеет непрерывные производные до порядка р вклю­ чительно и разлагается в ряд по степеням параметра ц: Хо(0 + м^,(0 + + ... + + Для нахождения этого разложения подставим в исходные уравне­ ния и начальные данные это выражение. Разложим все функции по степеням параметра ц. Получим систему уравнений, из которых по­ следовательно находим х,, ^2, Хр. X =

Пример 57. Разложим решение уравнения до второй степени параметра ц. Тогда

у' = 4^-/-^Уо-^[1у[-^

\У^У'1

1\\!-

у' = 4[1Х — / , у{\) = I

+ ... = 4 м х

- (>;о +

ЦУ1 +

+ ...)^ ^0 + \^У\ + - = 4 ^ - У1 - У - 1у^Ух\^ - 1у^У1\^ - ... Приравняем слагаемые при соответствующих степенях ц.

у'^ = -у^, У[ = ^х- 2у^у^, у\ -у1 >^о(1) = 1, = О, >'2(1) = 0.

Тогда ловиях

У^ = -У1-^— ^0

-

= -У1-'

(1) = 1 - 1 /1 = 1 +

гу^у^ при начальных ус­ ) = йГх->

С-

1

С = О-> — 3^0

У^^Уг +

= X-

=х +

с.

1 >'о = - . X

Отсюда у ; = 4х - 1у^у\; = 4х - — . Это линейное дифференци­ альное уравнение первого порядка. Применим метод вариации посто­ янной.

73

Ответы

йх X У\ У\ с1\п\у^\ 2сЛп\х\ О — 1п|>',| + 21п|;с| = 1пС, — у^х^ = ±С1. _С Ш Положим С = ±С|. Отсюда ууХ'^ = С У1 = ^2 ~^ У1 ^ ^2 • , 2 у , С'(х)х'-2хС{х) = ^4х 2 ОД С (х) = 4г Тогда V, = 4х X х^ х^ -^С(х)=х' + С,-^у, = ^^^, х^ Но 1) = о - ^ — ^ = о с , = - 1 = - — - = - х-^ 1^ Отсюда У2 = —У1 — 2уоУ2 у'г ^ -{х,^ - х - — . Это линейное X

у=х/2

дифференциальное уравнение первого порядка. Применим метод ва­ риации постоянной. Ь2

Тотту2

ГЛ

= - — - У 2

'

/ 2

=

С{Х)

-242

—г^ ^У2

С{Х)Х'-2ХС{Х)

2

-2ч2

Отсюда У2 = -{х^ - X О = -(х -х У X х^ - х^ - С'{х) = -х' + 2х'-х-' - ОД = -х'/7 + 2x^/3 + \/х+ С2 -^У2 = (-х'П + 2x73 + \/х + С2)/х' --У2 = -х?/1 + 2л:/3 + \/^ + С2/л:2. Но У2{\ = О - - 1 7 7 + 2 x 1 / 3 + 1/1-^ + С2/1' = О - С2 = -32 /21 _ ^ ^ = _^/7 + 2х/3+ 1 / х ^ - ^ . Тогда >^ = + Ц>^1 + Ц^>^2 + о{\х^) = 32 -)а^ + о(ц^). = 1/;с + {х^ - х-^)^ + {-хУ7 + 2;с/3 + 1/л:^ 12х^ Задача 57. Разложить решение уравнения у' = 6|а/х -

= 1 + Зц до второй степени параметра ц.

>^(1) =

4-^3^^+ 1 + С=1п|;с|;л: = 0. 5. е-^ = 1 + е.2х + у-\ у 7. у= ±х; агс81п — = 1п х + С. 8. Однородное первого порядка. 9. Замена х^=х-4,у^=у+ 1. А0.1 = х-у1. 11. = 1/г' и 21' + (х' + х^'к' = 0. 12. 81пх+ Ссо§х. 13. х = е>'+ Се-^'. 14.Замена I = у\ 15. х\ +1п С. 16. 2х+1п(х^ + / ) = С. Л7.у{Хо)=Уо.Хо^О, \Уо\>\хо1 18. >'(л^) = Уо, у'(хо) = Уо, Хо ^ -\, Уо > О, любое.

а\ а\

22. (О' + ^г =2г,г = / . 23. ур' - 2у\п у = р (линейное отно­ сительно /?), р = у'. 24- х^' -\- 1= -х^1^ (уравнение Бернулли), / = у1;у = 0. 25.1" = б1\ = 26. 27. С,е^ + С2&~^\е С^и С2- про­ извольные постоянные. 28. (С, + ОДе^ где С; и Сз - произ­ вольные постоянные. 29. С1С052Х + С281П 2х, где С, и С2 — произвольные постоянные. 30. + СзС-" + (X - 1/2)е\е С, и С4 — произвольные постоянные. 31. х^(.4х+ ^)е\

У+\ Су.

32.

(Ах

+ ^)81ПХ + (СХ + /))С08Х.

33. ^ х ' + С2х\ 34. С,е" + С(3х+ 1 )еЛ

75

3 5 - С , ( х - 3 ) + С 2 /(х+1). 36. X, = С,е-' + Сге-^', Х2 = 2С,е-' 2С20^\е С] и С2 — произвольные постоянные.

Гп

37. С^е' -П 1

1

38. С, -С08 2 / - 2 8 т 2/ С08 2/ 2со8 2/ — 8 ш 2 / 8 т 2/ 39.

X

= {С, ^С^П^',

у =

= ( 2 С , - С 2 + 2С2/)е'.

40. Се 41.

С08 / 81П Г X - 8 т / С08/ X

- 8 т г + с, 1/С08/+ С 0 8 / +

С2

42. Неустойчиво. 43. Устойчиво. 44. (1, 2) и (2, 1) неустойчивы. 45. Узел. 46. Седло. 47. Фокус. 48. Центр. 49. Дикритический узел. 50. Вырожденный узел. 51. Седло (О, 0), центры (1,0) и (-1,0). 52. Да; нет 53. х-у=С,(у-1), -^1){Х-УУ

(Х + У

= С2.

БЛ.Г{х^-/,х-у'^1) = 0. 55. (1 + У1У = Зу1(\-х)+ у\ 56. 1. 57. 1 + Зц + (-2 - Зх)^' + о{^'). X х^

Программа учебного курса «Дифференциальные уравнения» 1. Основные сведения о дифференциальных уравнениях. Дифференци­ альное уравнение. Обыкновенное дифференциальное уравнение. Диффе­ ренциальное уравнение с частными производными. Порядок дифференци­ ального уравнения. Решение дифференциального уравнения. Общее решение дифференциального уравнения п-го порядка. 2. Метод изоклин. Поле направлений. Интефальная кривая. Изоклина. 3. Составление дифференциального уравнения данного семейства кри­ вых. 4. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. 5. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися перемен­ ными. 6. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Функ­ ция, однородная степени р. 7. Уравнения, приводящиеся к однородным. Уравнение вида у' = ах+ Ьу + с \ = / 1. Что делать в случае, когда система линейных уравнений а1Х +Ь,уах ^^У^^ ^ несовместна? а^х + + С1 = О 8. Уравнения, приводящиеся к однородным. Замена у = г"'. Всегда ли применима такая замена? 9. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод ва­ риации постоянной. 10. Линейные относительно переменной х дифференциальные уравне­ ния первого порядка. 11. Уравнение Бернулли. Сведение уравнения Бернулли к линейному дифференциальному уравнению первого порядка. 12. Уравнение в полных дифференциалах. 13. Решение дифференциальных уравнений с помощью нахождения интефирующего множителя. Какие специальные рецепты нахождения интег­ рирующего множителя известны? Правила действия с дифференциалами. 14. Существование и единственность решения для дифференциального уравнения первого порядка. 15. Существование и единственность решения для дифференциального уравнения порядка п.

I

77

16. Метод введения параметра. К каким дифференциальным уравнени­ ям применяется метод введения параметра? 17. Уравнение Клеро. 18. Уравнение Лагранжа. 19. Понижение порядка дифференциального уравнения. Понижение по­ рядка дифференциального уравнения, которое не содержит искомой функ­ ции. 20. Понижение порядка дифференциального уравнения, которое не со­ держит независимой переменной. 21. Понижение порядка дифференциального уравнения, однородного относительно искомой функции и ее производных. Как определяется одно­ родность дифференциального уравнения относительно искомой функции и ее производных? 22. Понижение порядка дифференциального уравнения, однородного относительно некоторых степеней независимой переменной и искомой функции. Как определяется однородность дифференциального уравнения относительно некоторых степеней независимой переменной и искомой функции? 23. Понижение порядка дифференциального уравнения приведением обеих частей уравнения к полной производной. 24. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго по­ рядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Случай положительного дискриминанта характеристического уравнения. 25. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго по­ рядка с постоянными коэффициентами. Случай нулевого дискриминанта характеристического уравнения. 26. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго по­ рядка с постоянными коэффициентами. Случай отрицательного дискрими­ нанта характеристического уравнения. 27. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго по­ рядка с постоянными коэффициентами. Метод вариации постоянной. 28. Поиск частного решения линейного неоднородного дифференциаль­ ного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Чему равно частное решение в случае, когда правая часть линейного неоднород­ ного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэф­ фициентами содержит сумму функций? 29. Уравнение Эйлера. Сведение уравнения Эйлера к линейному диффе­ ренциальному уравнению с постоянными коэффициентами. Как по уравне­ нию Эйлера составить характеристическое уравнение этого линейного диф­ ференциального уравнения с постоянными коэффициентами? 30. Решение линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами с помощью подбора частного решения в виде экспоненты. Формула Лиувилля. 31. Решение линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами с помощью подбора частного решения в виде многочлена. 78

32. Свойства решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Общий вид линейного диффе­ ренциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. К какому уравнению и с помощью какой замены сводится такое уравнение? Теоремы о числе нулей линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Теорема о чередовании нулей. Теорема Штурма (теорема сравнения). Теорема Кнезера. Теорема об асимп­ тотике. 33. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с по­ стоянными коэффициентами, приведенные к нормальному виду Нормаль­ ный вид системы дифференциальных уравнений. Метод исключения неиз­ вестных. 34. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с по­ стоянными коэффициентами, приведенные к нормальному виду Метод соб­ ственных векторов. Случай равенства числа собственных векторов кратнос­ ти соответствующего собственного значения. 35. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с по­ стоянными коэффициентами, приведенные к нормальному виду Метод соб­ ственных векторов. Случай комплексных собственных значений. 36. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с по­ стоянными коэффициентами, приведенные к нормальному виду Метод соб­ ственных векторов. Случай, когда число собственных векторов меньше крат­ ности соответствующего собственного значения. 37. Системы дифференциальных уравнений, не приведенные к нормаль­ ному виду 38. Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений. Матрица Вронского. 39. Устойчивость. Устойчивое по Ляпунову решение. Неустойчивое ре­ шение. Асимптотически устойчивое решение. Почему обычно рассматрива­ ется вопрос об устойчивости нулевого решения? 40. Устойчивость по первому приближению. Первое приближение. Тео­ рема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Примеры. В ка­ ком случае теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению не применима? 41. Определение положений равновесия системы и исследование их на устойчивость. 42. Особые точки. Узел. 43. Седло. 44. Фокус. 45. Центр. 46. Вырожденный и дикритический узлы. 47. Особые точки. Общий случай. 48. Первые интегралы. Полная производная в силу системы. 49. Нелинейные системы дифференциальных уравнений. Симметрич­ ная форма системы. Как от симметричной формы перейти к обычной запи79

Задачи для контрольной работы по курсу «Дифференциальные уравнения»

СИ системы? Интегрируемые комбинации. Сколько и каких интегрируемых комбинаций нужно найти для решения системы? 50. Уравнения в частных производных первого порядка. 51. Нахождение поверхности, удовлетворяющей данному уравнению в частных производных первого порядка и проходящей через данную линию. 52. Дифференцирование решения по параметру 53. Разложение решения по степеням параметра.

1 - 1 0 . Решить дифференциальные уравнения: з)у" ку' ту=0; б) у'' пу' ру = 0; в) у'' ду' + гу = 0.

т) у" зу' 1у=/{х) методом вариации постоянной; д) у" + 5у' ^у= /(х) с помощью подбора частного решения. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

к -7 -9 -11 -13 -15 -17 -19 -21 7 9

11—20-

т 12 20 30 42 56 72 90 110 12 20

п 6 8 -10 -12 -14 -16 -18 20 -6 -8

Р 9 16 25 36 49 64 81 100 9 16

г 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144

Я 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

5

-5 -2 -4 2 -4 0 1 -6 0 2

/ 6 5 4 10 3 4 0 9 9 -8

т

2С08Х

х'+Х -х^ + Зх —81п 2х 8т2;с е-^ 9 х ' - 12х+2 Збе^^ Ззш X

а) Решить методом исключения неизвестных систему = ЬС1 + тх2

дифференциальных уравнении ^ ^ ^ . б) Решить методом собственных векторов систему дифференциальных уравнении в) Исследовать (тип, устойчивость) особую точку х = у = 0 систех= кх-^ ту мы у= 1х-\- пу

1^^^^^^.^^^ .

81

к 1 т п

11 3 3 2 4

12 1 7 -2 -8

13 5 1 3 3

14 1 7 -3 -9

15 4 2 1 5

16 -5 2 1 -4

17 1 5 -3 9

18 -7 -1 3 -3

19 8 2 -3 3

2 1 - 3 0 . Выяснить, является ли функция /(х, у) первым интегра\ = ху лом системы ^ ^ ^2 ^_ ^ 2 . 21 22 23 24 25

/ и , }^)

2ху-ЗхУ Аух^ + 5ху бл:^ - 1ху' 8x2 _ 9^з^з

9>'^л:2 ^_ 2ух^

26 27 28 29 30

/(^,

8л: V

+ ^х'у 1у'х' + 2 х У Ах^у^ — 5х^у 1хУ + АхУ бху — 5хУ

Приложение

20 -2 4 -3 -9

ПЕРВАЯ ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ 1. С = 0.

10. (с1Ех)' = -1/51П^х

2. х'=\. 3. {х'У = 2х 4. (х')' = 3х2. 5. (л^)' = - и 2л/х 6. (х")' = рх'^^. 7. (зшх)' = С08Х.

11. (1пх)'= 1А. 12. (1о8^)' = х\па' ' 13. ( е Т = е'. \А.т = аПпа.

9. (18Х)' = 1/со52х.

18. (агсс^ёх)' = -1/(1 + х^).

8. (С08Х)' = - з ш х .

15. (агсзш х)' = 1 /V1 - . 16. (агссозх)' = -1/л/1 - х ^ 17. (агс18х)' = 1/(1 + х').

ВТОРАЯ ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ 1. - . 2. - . 3. {Е\Х))' = 2я(х)я'(х). 4. (я'(х))' = ЗяЧх)я'(х). 1 Я'(х). 5- {-ШУ 6.

10. (сгё(я(х)))' = -^'(Х)/81П2^(Х). 11. (1пя(х))' = я'(х)/^(х). 12. (1оЕ„я(х))'= ^'^""^ Я(х)1па 13.(е«<"»)' = Я'(х)е^Ч 14.(а«<^>)' = я'(х)а«'"*1па.

= р8''-\х)8'(х).

15. (агс81пя(х))' = ^'(х)/УГ^^яЧ^. 16. (агссо8я(х))' = -я'(х)/"\/1 -я'(х)7. (51ПЯ(Х))' = ^'(Х)С08^(Х). 8. (С08^(Х))' = -Я'(Х)81ПЯ(Х). 17. (агс1в^(х))' = я'(х)/(1 +я'(х)). 9. (18(я(х)))' = Я'(х)/со8=я(х) 18. (агсс18я(х))' = -я'(х)/(1 + .г^(х)).

83

Содержание

Литература Просветов Г. И. Математика в экономике: Задачи и решения. 2-е изд. М.: Издательство РДЛ, 2005. Просветов Г. И. Математика для гуманитариев: Задачи и решения. М.: Издательство «Альфа-Пресс», 2008. Просветов Г. И. Математический анализ: Задачи и решения. 2-е изд. М.: Издательство «Альфа-Пресс», 2008. Просветов Г. И. Теоретическая механика: Задачи и решения. М.: Изда­ тельство «Альфа-Пресс», 2010. Просветов Г. И. Уравнения в частных производных: Задачи и решения. М.: Издательство «Альфа-Пресс», 2009. Филиппов Л. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1979.

84

Предисловие

3

ГЛАВА 1. Основные сведения о дифференциальных уравнениях

5

ГЛАВА 2. Метод изоклин

6

ГЛАВА 3. Составление дифференциального уравнения данного семейст­ ва кривых

8

ГЛАВА 4. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

9

ГЛАВА 5. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными

11

ГЛАВА 6. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка ..

12

ГЛАВА 7. Уравнения, приводящиеся к однородным

14

ГЛАВА 8. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

16

ГЛАВА 9. Уравнение Бернулли

18

ГЛАВА 10. Уравнение в полных дифференциалах ГЛАВА 11. Решение дифференциальных уравнений с помощью нахожде­ ния интегрирующего множителя

19 21

ГЛАВА 12. Существование и единственность решения

22

ГЛАВА 13. Метод введения параметра 13.1. Уравнения Лафанжа и Клеро

24 24

ГЛАВА 14. Понижение порядка дифференциального уравнения 14.1. Понижение порядка дифференциального уравнения, которое не содержит искомой функции 14.2. Понижение порядка дифференциального уравнения, которое не содержит независимой переменной

26 26 27

85

27

ГЛАВА 25. Нелинейные системы дифференциальных уравнений 25.1. Первые интегралы 25.2. Интегрируемые комбинации

65 65 66

28

ГЛАВА 26. Уравнения в частных производных первого порядка

68

30

ГЛАВА 27. Дифференцирование решения по параметру

71

ГЛАВА 15. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

31

ГЛАВА 28. Разложение решения по степеням параметра

73

ГЛАВА 16. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второ­ го порядка с постоянными коэффициентами

33

75 77

ГЛАВА 17. Уравнение Эйлера

37

Ответы Профамма учебного курса «Дифференциальные уравнения» Задачи для контрольной работы по курсу «Дифференциальные урав­ нения» Приложение. Таблицы производных Литература

ГЛАВА 18. Решение линейных дифференциальных уравнений с переменны­ ми коэффициентами с помощью подбора частного решения ....

38

ГЛАВА 19. Свойства решений линейньгк дифференциальных уравнений вто­ рого порядка с переменными коэффициентами

41

ГЛАВА 20. Линейные однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, приведенные к нормальному виду 20.1. Метод исключения неизвестных 20.2. Метод собственных векторов

43 43 44

ГЛАВА 21. Системы дифференциальных уравнений, не приведенные к нор­ мальному виду

48

ГЛАВА 22. Линейные неоднородные системы дифференциальных урав­ нений

50

ГЛАВА 23. Устойчивость 23.1. Устойчивость по первому приближению

52 52

ГЛАВА 24. Особые точки 24.1. Узел 24.2. Седло 24.3. Фокус 24.4. Центр 24.5. Вырожденный и дикритический узлы 24.6. Общий случай

56 56 57 59 60 61 63

14.3. Понижение порядка дифференциального уравнения, однород­ ного относительно искомой функции и ее производных 14.4. Понижение порядка дифференциального уравнения, однород­ ного относительно некоторых степеней независимой перемен­ ной и искомой функции 14.5. Понижение порядка дифференциального уравнения приведе­ нием обеих частей уравнения к полной производной

86

81 83 84

Учебно-Практическое пособие Просветов Георгий Иванович ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ: ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ

Санитарно-эпидемиологическое заключение № 77.ФЦ.15.953.П.000115.06.03 от 16.06.2003 года Подписано в печать 10.10.10 г Бумага офсетная. Формат 60x84/16. Гарнитура «Ньютон». Печать офсетная. Печ. л. 5,5. Тираж 1000 экз. Зак. № 6040. ООО Издательство «Альфа-Пресс» 117574, Москва, а/я 117 Тел.: (495) 777-40-60, 926-73-03 \у\у^.Ье81Ьоок.ги е-таН: Ьоок@Ье81;Ьоок.ги Отпечатано в ФГУП «Производственно-издательский комбинат ВИНИТИ» Адрес: 140010, Моск. обл., Люберцы, Октябрьский пр-т, 403. Тел.: (495) 554-21-86.