Лекции по физике для студентов факультета экономики и управления производством

РГУ нефти и газа им. И.М. ГУБКИНА

ЛЕКЦИИ ПО ФИЗИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ФАКУЛЬТЕТА ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ ПРОИВОДСТВОМ

Автор

профессор Бекетов ВГ.

ВВОДНАЯ ЧАСТЬ ТОЧНОСТЬ. ЗНАЧАЩИЕ ЦИФРЫ ЧИСЛА Результаты измерений и расчетов записываются с помощью чисел. Числа состоят из цифр. Цифр всего десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Числа состоят из целой и дробной частей. Дробная часть числа записывается в виде десятичной дроби. Каждая цифра в числе стоит на определенном месте, которое называется разрядом. Разряды с их наименованиями изображены ниже на схеме. тысячи сотни десятки

Целая часть числа

единицы

11111,11111 десятые сотые

Дробная часть числа

тысячные десятитысячные Любое число можно записать в стандартном виде с помощью степени с основанием 10. В этом случае целая часть числа содержит только разряд единиц. а остальные цифры числа находятся в его дробной части. Для сохранения разряда целой части числа используется множитель – степень 10 n , где показатель n равен максимальному номеру разряда исходного числа. Например, число 5237 в стандартном виде должно быть записано так: 5,237·103. Источником числовых данных могут быть только измерения. Любой результат измерения принято записывать с указанием соответствующей аб-

солютной погрешности измерения, которая выражается в тех же единицах, что и сама величина. Для обозначения абсолютной погрешности используется символ ∆. Например, при измерении силы тока в амперах результат измерения записывают так: i = (0,25 ± 0,02) А, где ∆i = 0,02 А – модуль так называемой абсолютной погрешности измерения. Если конкретное число является результатом измерения, то запись этого числа должна обязательно содержать все цифры вплоть до последнего разряда числа, соответствующего самому мелкому делению прибора. Допустим, мы измеряем диаметр цилиндра микрометром, позволяющим измерять этот диаметр вплоть до 0,01 мм (одной сотой миллиметра). В этом случае результат измерения должен содержать конкретное число десятых и конкретное число сотых миллиметра. Пусть при этом микрометр показал, например, ровно 12 миллиметров. В этом случае результат измерения должен быть записан так: (12,00 ± 0,01) мм. Точность результата измерения определяется так называемой относительной погрешностью – отношением абсолютной погрешности измерения к самому числу – результату измерения, умноженному на 100 %. Относительная погрешность – всегда безразмерное число. Для обозначения относительной погрешности используется символ ε. Так относительная погрешность результата измерения диаметра в нашем примере равна

0,01мм 1 = = 0,00083 = 0,083 %. 12,00мм 1200

Все числа, с которыми мы имеем дело при решении задач, являются результатами измерений и последующих расчетов. Поэтому все числа являются приближенными и записываются с помощью конечного числа цифр, зависящего от точности этого числа. При этом погрешность числа, как прави-

ло, не записывается. Принято считать, что все цифры записанного конкретного числа являются точными за исключением последней, а модуль погрешности этой последней записанной цифры равен 1. При этом погрешность последней цифры считается погрешностью самого числа, причем в том разряде, в котором и находится эта последняя цифра. Например, в числе 4,53 верными считаются цифры 4 и 5, а цифра 3 имеет погрешность ±1. При этом погрешность самого числа равна ± 0,01. С указанием погрешности это число должно быть записано так: 4,53 ± 0,01. Особую трудность в понимании смысла точности числа представляют нули. Последние нули в целой части числа необходимы для обозначения его разряда, но они ничего не говорят о точности числа. Чтобы выяснить точность этого числа, его нужно записать в стандартном виде. Если нули окажутся последними в дробной части числа, то единственным их назначение будет указание на точность этого числа. Например, в записи числа 2000 нельзя обойтись без этих трех нулей, иначе это число превратится в 2. А если это число записать в стандартном виде 2,000·103, то без этих трех нулей можно было бы обойтись Ведь числа 2, 2,0, 2,00 и 2,000 по величине совершенно одинаковы. Значит, эти нули необходимы для обозначения точности числа: 2 = 2 ±1, 2,0 = 2.0 ± 0,1, 2,00 = ± 0,01, 2,000 = ± 0,001. Точность числа определяется его относительной погрешностью – отношением абсолютной погрешности к самому числу, умноженным на 100 %. Так точность числа 2 равна 1/2 = 50 %, точность числа 2,0 равна 1/20 = 5 %, точность числа 2,00 равна 0,5 %, а точность числа 2,000 равна 0,05 %. Чем больше цифр в записи числа, тем оно точнее.

Рассмотрим два числа с одинаковым набором цифр: 1,23 и 123. Какое из них точнее? Точность числа 1,23 равна 0,01/1,23 = 1/123, точность числа 123 равна 1/123. Значит, точности разных по величине (разряду) чисел с одинаковым набором цифр равны. Следовательно, точность числа никак не связана с разрядами этого числа, а зависит только от числа так называемых значащих цифр. Значащими цифрами являются все цифры числа, обязательно содержащего дробную часть, считая слева направо, начиная с первой, отличной от нуля. Так в числе 2357, например, четыре значащие цифры, в числе 2,357 тоже четыре значащие цифры, в числе 2000 число значащих цифр определить невозможно. В числе 2000,0 – пять значащих цифр. В числе 0, 00012300 значащими являются последние пять цифр: 1, 2, 3, 0, 0. Первые четыре нуля нужны только для обозначения разряда и пропадут при записи числа в стандартном виде: 1,2300·10-4. Чтобы выяснить точность целого числа с последними нулями, это число нужно записать в стандартном виде. Оставшиеся после запятой нули укажут на точность числа. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ РЕЗУЛЬТАТА РАСЧЕТА При сложении или вычитании двух чисел складываются их абсолютные погрешности. Но при расчетах по физическим формулам мы имеем дело, как правило, с умножением и делением. Покажем, что при умножении или делении двух чисел или двух степеней складываются их относительные погрешности. Пусть расчетная формула выглядит следующим образом: z = A⋅ xm ⋅ yn ,

где A = const, а m и n – целые числа, положительные или отрицательные. Относительные погрешности величин x, y, и z будут соответственно равны:

εz =

∆z ∆x ∆y , εx = , εy = . z x y

Прологарифмируем исходную формулу: ln z = ln A + m ln x + n ln y .

Найдем дифференциал левой и правой частей, используя частные производные: dz dx dy =0+m +n . z x y

Три дифференциала dz, dx, и dy примем за соответствующие абсолютные погрешности: dz = ∆z, dx =∆x, dy = ∆y. Получим соотношение между относительными погрешностями: ε z = mε x + nε y ,

то есть относительные погрешности множителей и делителей складываются, что и требовалось доказать. Притом складываются столько раз, сколько раз каждый из них входит в формулу множителем (делителем): m раз x и n раз y. Полученная формула связи относительных погрешностей справедлива только в том случае, если величины x и y или обе завышены или обе занижены. Но на практике погрешности величин, входящих в формулу, как правило, компенсируют друг друга. Поэтому относительную погрешность результата расчета принято рассчитывать как среднюю квадратичную: εz =

(mε x )2 + (nε y )2 .

Итак, в результате любых вычислений (расчетов) погрешность всегда возрастает. Если исходные данные, использованные для расчетов, содержали не более двух значащих цифр, то результат расчета будет содержать только одну верную цифру – первую, вторая цифра уже будет содержать ошибку. Поэтому при решении расчетных задач в ответе можно писать не более двух цифр. Остальные цифры должны быть отброшены с выполнением правила округления: если первая отбрасываемая цифра меньше 5, то последняя оставленная цифра не меняется, а если первая отбрасываемая

цифра равна или больше 5, то последняя оставленная цифра увеличивается на 1. РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Различают прямые и косвенные измерения. Прямое измерение состоит в сравнении измеряемой величины с эталоном с помощью измерительного прибора. Косвенное измерение представляет собой расчет измеряемой величины по формуле, в которую подставляют результаты прямых измерений. Например, объем некоторого тела можно измерить методом вытеснения жидкости с помощью мерного цилиндра – прямое измерение. А можно, измерив соответствующие линейные размеры тела, вычислить его объем по формуле – косвенное измерение. Для расчета погрешностей результатов прямых измерений некоторой величины х нужно сделать несколько (n) измерений этой величины. Напоминаем, что запись каждого из n результатов измерения должна обязательно содержать все цифры, в том числе и 0 вплоть до последнего разряда числа, соответствующего самому мелкому делению прибора. Далее обработка идет по следующей схеме. 1. Вычисляем среднее арифметическое значение величины х по формуле n

хср =

х1 + х 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + х n = n

∑x i =1

n

i

.

Среднее значение также должно содержать столько цифр, в том числе и нулей, сколько их в записях результатов измерений. 2. Вычисляем среднюю квадратичную погрешность величины х по формуле n

∑ (∆x )

2

i

σx =

i =1

n(n − 1)

,

где ∆хi = хi – хср – абсолютная погрешность каждого из n результатов измерений. В записях квадратов этих абсолютных погрешностей должно содержаться в два раза больше цифр, в том числе и нулей, чем в записях результатов измерений. А в записи средней квадратичной погрешности – столько же цифр, что и в записях результатов измерений. 3. Вычисляем предварительную абсолютную погрешность измеряемой величины путем умножения ее средней квадратичной погрешности на коэффициент Стьюдента. Значение коэффициента Стьюдента для данного числа n и для доверительной вероятности α = 95 % берем из таблицы. ∆x ′ = σ ⋅ tα (n ) .

В записи этой погрешности должно содержаться столько же цифр, что и в записях результатов измерений. 4. Вычисляем окончательную абсолютную погрешность измеряемой величины с учетом погрешности прибора δ по формуле ∆x =

(∆x ′)2 + δ 2 .

Значение этой погрешности нужно округлить, оставив только две значащие цифры. 5. Уточняем запись среднего значения измеряемой величины, сопоставив его с величиной абсолютной погрешности. Число, обозначающее среднее значение измеряемой величины, нужно округлить, оставив в нем все цифры вплоть до разряда, являющегося последним в окончательной записи абсолютной погрешности. Записываем результат измерений в виде суммы округленного среднего значения и абсолютной погрешности: х = хср ± ∆х. Например, мы получили следующие величины: среднее значение хср = 2,36752 и значение окончательной абсолютной погрешности: ∆х = 0,08364. После округления получим ∆х = 0,084. Следовательно, среднее значение нужно округлить до тысячных: хср = 2,368. Окончательно запишем х = 2,368 ± 0,084.

6. Вычисляем относительную погрешность измеряемой величины по формуле εx =

∆x . x ср

КОЭФФИЦИЕНТ СТЬЮДЕНТА Число прямых измерений всегда конечно. Поэтому средняя квадратичная погрешность заведомо меньше истинной абсолютной погрешности. Чтобы получить близкое к реальности значение абсолютной погрешности, нужно увеличить среднюю квадратичную погрешность, умножив ее на коэффициент Стьюдента. В теории Стьюдента рассчитаны значения этого коэффициента в зависимости от доверительной вероятности и числа измерений. С ростом доверительной вероятности, то есть надежности значения абсолютной погрешности, коэффициент Стьюдента увеличивается. А с ростом числа измерений, увеличивающим надежность результатов, коэффициент Стьюдента уменьшается. ВОПРОСЫ ПО ТЕОРИИ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ 1. Какие измерения называются прямыми, а какие – косвенными? 2. Что такое абсолютная и относительная погрешности? Чему равна, например, погрешность числа 2,50? 3. Как выполнить расчет погрешности результатов прямых измерений? Какие шесть шагов нужно при этом сделать? 4. Как зависит коэффициент Стьюдента от числа измерений и от доверительной вероятности? 5. Как выполнить оценку погрешности результата косвенного измерения? Составьте формулу для расчета, например, относительной погрешности результата вычисления электрической мощности P по формуле: P = U – напряжение на участке, R – сопротивление участка.

U2 , где R

КОЕ-ЧТО ИЗ МАТЕМАТИКИ Для успешного освоения предлагаемого курса физики нужно знать основы математического анализа и, как минимум, уметь найти производную от комбинации элементарных функций и взять табличный интеграл. Также нужно знать, что такое вектор и как с ним работать, поскольку в описании физической реальности нельзя обойтись без векторных величин. Многие физические величины являются векторами. Напомним, что вектор можно изобразить в виде направленного отрезка определенной длины. Вектор имеет две характеристики: модуль (абсолютную величину или просто величину) и направление. Каждая из этих характеристик может быть постоянной или изменяться независимо от другой. Векторы складываются по правилу треугольника:

a

b r r r a +b = c

c При умножении вектора на число получается новый вектор, который направлен в ту же сторону, что и старый, если число положительное, и в противоположную сторону, если число отрицательное. Модуль нового вектора равен произведению модуля старого вектора на модуль этого числа. При умножении вектора на число 0, получается нулевой вектор, не имеющий ни величины, ни направления. r a x = a ⋅ cos α .

r a

α 0

х Любой вектор можно спроецировать на ось координат. Проекция век-

тора на ось координат равна произведению модуля этого вектора на косинус

угла между вектором и осью. Если угол острый, то его косинус и соответственно проекция вектора положительны. Если угол тупой, то его косинус и соответственно проекция вектора отрицательны. Если вектор перпендикулярен оси, то его проекция на эту ось равна нулю. Любой вектор можно представить

z

в виде суммы трех его составляющих по осям координат:

a

r r r r a = ax ⋅ i + a y ⋅ j + az ⋅ k ,

где ax, ay, и az – проекции вектора, а r r r i , j , k – единичные векторы (орты) соот-

ветствующих осей координат.

0 x

r

На рисунке вектор a , обозначенный жирным шрифтом, выходит из на-

y

чала координат. Он равен сумме трех векторов, каждый из которых направлен вдоль своей оси координат. Существуют два разных умножения вектора на вектор: скалярное и векторное. Результатом скалярного произведения вектора на вектор является число, равное произведению модуля первого вектора на модуль второго и на косинус угла между ними: r r r r a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos α ,

или равное сумме одноименных проекций этих векторов на оси координат: r r a ⋅ b = a x bx + a y b y + a z bz .

Скалярное умножение обозначается точкой. Результатом векторного произведения вектора на вектор является вектор. Векторное умножение обозначается косым крестиком. Например, вектор r r r с равен векторному произведению векторов a и b :

r r r a ×b = c . r r r Вектор с перпендикулярен векторам a и b и его направление определяется

по правилу буравчика (правого винта), как это показано на рисунке, на котором все векторы обозначены жирным шрифтом. Буравчик вращается от перr

r

вого вектора a в сторону второго вектора b . Если векторы – множители поr

менять местами, то вектор с изменит направление на противоположное.

c

r

Модуль вектора с равен произведению модуля первого вектора на модуль второго и на синус угла между ними: r r r c = a ⋅ b ⋅ sin α .

α a

b

СТЕПЕНЬ И ЛОГАРИФМ Считаем нужным напомнить, что такое степень и логарифм. Степенью называется двухуровневое выражение вида a b , нижняя и верхняя части которого неравнозначны. показатель степени

b

a основание степени Для удобства обозначим эту степень буквой у. Имеем равенство y = ab .

где а – основание степени у, а b – показатель степени у. Чтобы выразить а и b из этого равенства, нужно применить разные правила.

Основание а степени у равно корню из этой степени: a=b y,

а показатель b степени у равен логарифму этой степени по основанию а: b = log a y .

Итак, показатель степени и логарифм степени – это практически одно и то же. Чтобы убедиться, проверьте тождество: a b = a log a y ,

и левая и правая части которого равны у.

ЧАСТЬ 1. ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ СТРОЕНИЕ МАТЕРИИ ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ И МАТЕМАТИКА. РОЛЬ И МЕСТО ФИЗИКИ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ Естествознание – совокупность наук о природе, то есть о материальном мире. Разделение естествознания на различные науки соответствует различным уровням организации материи. Так астрономия изучает объекты космического уровня, геология – строение Земли, биология – жизнь, живую материю, химия – явления химического уровня и т.д. Физика имеет дело с самым фундаментальным уровнем организации материального мира, с самыми глубинными свойствами неживой материи. Физические исследования составляют фундамент большинства естественных наук, в том числе всех технических дисциплин: электротехники, технической термодинамики, сопротивления материалов и других. Физика вооружает эти науки основными понятиями и новыми методами. Разные естественные науки не обособлены друг от друга. Все они вместе с математикой являются продуктами и частью общественного сознания. Большие успехи уже достигнуты и ожидаются в будущем на стыке разных естественно-научных дисциплин. Успешно развиваются такие науки, как биофизика, биохимия, астрофизика, химическая физика, физическая химия и т.д. У каждой науки есть свой собственный предмет изучения, свой метод исследования, свой язык. Язык естественных наук, и в особенности язык физики, по существу математический. Например, любую законченную мысль о предметах или явлениях, имеющих количественную характеристику, можно записать в виде уравнения. Чтобы овладеть математическим языком, необходимо усвоить ряд абстрактных понятий, многие из которых не имеют аналога в мире нашей повседневности. По мысли Галилея и Фейнмана сама природа как бы разговаривает с нами на языке математики. А Иммануил Кант утверждал, что во

всяком учении о природе подлинной науки заключается ровно столько, сколько в ней математики. Основной принцип естествознания состоит в том, что любые гипотезы и теории об устройстве и поведении объектов природы должны допускать экспериментальную проверку. В этом смысле математика отличается от естественных наук. Главный принцип построения математики – внутренняя непротиворечивость. Например, предположив, что через точку, не лежащую на некоторой прямой, проходит не более одной прямой, параллельной данной, получим евклидову геометрию. А предположив, что через эту точку проходит бесчисленное множество прямых, параллельных данной, получим геометрию Лобачевского. И при этом математика не обязана отвечать на вопрос, как устроен мир: по Евклиду или по Лобачевскому. Поэтому математика не включается в структуру естествознания. НАУЧНЫЙ МЕТОД Общим для всех естественных наук является научный метод, суть которого заключается в триаде: наблюдение → размышление → опыт. Наблюдение включает в себя накопление эмпирического материала. В В ходе размышления высказываются гипотезы и строятся научные теории, которые на стадии опыта подвергаются экспериментальной проверке. Если результаты теоретических расчетов, выполненных на основании предложенной теории, совпадают с результатами эксперимента в пределах погрешности последнего, то можно предположить, что это теория верна. Эйнштейн говорил, что самым непостижимым во Вселенной является то, что она все-таки постижима. ПОНИТИЕ СОБЫТИЯ В ФИЗИКЕ Всякий физический процесс происходит в пространстве и времени. Любой физический закон содержит явно или неявно пространственно-

временные отношения. Физика исследует количественные отношения между различными физическими величинами, принимающими то или иное значение в пространстве и времени. В узком смысле событием можно назвать саму четверку чисел {x, y, z, t}. ВЕЩЕСТВО И ПОЛЕ Материя в природе существует в двух формах: в форме вещества и в форме поля. Из вещества сформированы все нерукотворные и рукотворные тела. Все тела, хоть и представляются нам сплошными, на самом деле как бы пустота. Ведь вся масса сосредоточена в ярах атомов, а расстояния между ядрами в 10000000 раз превышают размер самих ядер. Таким образом, тела устроены из вещества, «сцементированного» полем. Как вещество, так и поле состоит из частиц. Важнейшими внутренними свойствами частиц являются масса или ее отсутствие, электрический заряд, спин и др. Вселенная состоит из частиц вещества, между которыми действуют силы. Силы измеряются в Ньютонах: 1 Н =

кг ⋅ м . Взаимодействие осуществляс2

ется через поле. ИЕРАРХИЯ ОБЪЕКТОВ В ПРИРОДЕ Все мироздание принято разделять на три уровня, как это показано ниже в таблице. Микромир

Элементарные частицы → ядра → атомы → молекулы →

Макромир

→ макротела от пылинок до планет →

Мегамир

→ звезды → галактики → Метагалактика (Вселенная)

СТРОЕНИЕ ВЕЩЕСТВА Структурные уровни вещества, из которого сформированы все тела в природе, показаны ниже в таблице. Все тела: кристаллические (твердые), жидкие и газообразные, – состоят из молекул, атомов или ионов. Молекулы состоят из атомов. Атомы – из ядер и электронов. Ядра – из нуклонов. Нуклоны – из кварков. Структурный уровень вещества

Составные элементы

нуклон

кварки

ядро

нуклоны

атом

ядро и электроны

молекула

атомы

кристалл

молекулы, атомы, ионы ЭНЕРГИЯ

Энергия – это общая количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи. Любой объект природы обладает энергией уже потому, что существует. Все процессы сопровождаются превращением энергии из одного вида в другой и передачей энергии от одного тела к другому путем совершения работы. Энергия в природе проявляется в формах энергии покоя, энергии движения и энергии взаимодействия тел. Изменение энергии Е тела или системы тел равно работе Авнш внешних сил: Е 2 − Е1 = Авнш .

Это уравнение выражает закон сохранения и превращения энергии – один самых основных законов природы. Энергия и работа измеряются в Джоулях: 1 Дж = 1 Н·м. Масса тела эквивалентна энергии в соответствии с формулой Эйнштейна:

E 0 = mc 2 ,

где m – так называемая масса покоя, с – скорость света в вакууме. Эта энергия E 0 называется энергией покоя. Кинетической энергией Екин называется энергия движения. Кинетической энергией тело обладает вследствие своего движения относительно других тел. Безмассовые частицы, например фотон, также обладают энергией, притом по существу только кинетической, и всегда движутся со скоростью света. Эти частицы являются частицами поля и обладают частотой ν. Энергия таких частиц вычисляется по формуле Планка E = h ⋅ν ,

где h – постоянная Планка. Энергия взаимодействия различных тел называется потенциальной энергией Епот. Формула для вычисления потенциальной энергии определяется видом соответствующего взаимодействия. Кинетическая энергия и энергия покоя принадлежат самой частице (телу), в то время как потенциальная энергия принадлежит всем взаимодействующим телам. АГРЕГАТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ВЕЩЕСТВА Существование вещества в трех агрегатных состояниях (фазах): кристаллическом (твердом), жидком и газообразном, – обусловлено соотношением между интенсивностью хаотического теплового движения, выраженного в средней кинетической энергии молекул Екин , и степенью упорядоченности, выраженной в потенциальной энергии Епот взаимодействия между молекулами. Если средняя кинетическая энергия молекул много меньше потенциальной энергии взаимодействия между ними (Екин << Епот), то вещество находится в кристаллическом состоянии. В расположении молекул или других

структурных элементов кристалла (атомов или ионов) наблюдается так называемый дальний порядок. Если средняя кинетическая энергия молекул много больше потенциальной энергии взаимодействия между ними (Екин >> Епот), то вещество находится в газообразном состоянии. Молекулы находятся в непрерывном хаотическом (тепловом) движении – полный беспорядок. Если средняя кинетическая энергия молекул примерно равна потенциальной энергии взаимодействия между ними (Екин ≈ Епот), то вещество находится в жидком состоянии. В расположении молекул наблюдается так называемый ближний порядок. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ПОСТОЯННЫЕ. ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ Во всей Вселенной между любыми телами действует гравитация – взаимное притяжение – в соответствии с законом Всемирного тяготения, в котором коэффициентом пропорциональности является гравитационная постоянная γ = 6,7 ⋅ 10

−11

Н ⋅ м2 , являющаяся одной из фундаментальных мировых фикг 2

зических постоянных (констант). Другой фундаментальной мировой физической постоянной является скорость света в вакууме с = 3 ⋅ 10 8

м . Эта скорость является предельной скос

ростью движения материальных объектов, в том числе максимальной скоростью распространения взаимодействий и передачи информации. Частицы, обладающие массой покоя, всегда движутся со скоростями, меньшими скорости света в вакууме. При движении макро- и микротел со скоростями, много меньшими с, действуют законы классической (Ньютоновской) механики. Именно эти тела и являются объектами изучения в классической механике. При этом кинетическая энергия этих тел много меньше их энергии покоя: E кин << mc 2 .

При движении макро- и микротел со скоростями, близкими к скорости света в вакууме, действуют законы релятивистской механики (Эйнштейновской специальной теории относительности). При этом E кин ≥ mc 2 .

Во всех формулах, описывающих явления микромира, присутствует еще одна фундаментальная мировая физическая постоянная – постоянная Планка h = 6,6 ⋅ 10 −34 Дж ⋅ с , называемая также квантом действия. При выполнении условия

h ≈ R , где R – размер тела (частицы) а p – его p

импульс, вступают в силу законы квантовой механики. Объектами изучения в квантовой физике являются структурные элементы микромира и частицы полей. Итак, основными физическими теориями являются классическая и квантовая механика, каждая из которых в свою очередь могут быть нерелятивистской и релятивистской. ПИНЦИП СООТВЕТСТВИЯ Появление новых экспериментальных данных, не укладывающихся в рамки теории, имеющейся для описания этого круга явлений, требует создания новой теории, способной объяснить эти данные. При этом «старая» теория не всегда отвергается как ложная. В физике существует преемственность согласно принципу соответствия, сформулированному Нильсом Бором: любая новая теория, претендующая на более глубокое описание физической реальности и на более широкую область применимости, чем старая, должна включать в себя эту старую теорию как предельный случай. Так релятивистская механика переходит в классическую при условии c → ∞ , а квантовая механика переходит в классическую при условии h → 0 .

ПРОИСХОЖДЕНИЕ ВСЕЛЕННОЙ. ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ Есть весьма веские основания предполагать, что Вселенная появилась в результате Большого взрыва (Big bang) и продолжает находиться в состоянии расширения. При этом в самом начале Вселенная с конечной массой и бесконечно большой плотностью была сосредоточена в бесконечно малом объеме пространства. Если время существования Вселенной принять за один год, то время жизни человечества придется на последние 90 минут. Пространство и время, которые заполнены материей, представляются гладкими и непрерывными. Однако встает вопрос, до каких пор можно уменьшать длину отрезка и промежуток времени. Из фундаментальных констант c., h, γ можно сформировать так называемую планковскую длину LP =

γ ⋅h c

3

= 10 −35 м. Этот отрезок можно пройти

со скоростью с за промежуток времени ∆t P = 10 −43 с, также называемый планковским. При расстояниях и промежутках времени, меньших соответствующих планковских, перестает быть применимым понятие непрерывного пространства – времени. Пространство и время становятся «поврежденными зернистостью». ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ И ВРЕМЕННОЙ ДИАПАЗОНЫ ВО ВСЕЛЕННОЙ Различают три уровня мироздания: микромир, макромир и мегамир. К микромиру относят следующие объекты: элементарные частицы → ядра → атомы → молекулы. К мегамиру – звезды → галактики → Метагалактика (Вселенная). К макромиру относят все остальные объекты от мельчайших пылинок до планет. Пространственные диапазоны для этих миров указаны ниже в таблице.

микромир

от 10-18 до 10-7 м

макромир

от 10-6 до 107 м

мегамир

от 108 до 1026 м

Характерные размеры объектов микромира таковы: от 10-15 до 10-14 – размер ядер; от 10-8 до 10-7 – размер атомов; от 10-7 до 10-6 – размер молекул. Временной диапазон составляет от 10-26 до 1018 с. Промежуток времени 1018 с, равный 15 миллиардам лет, является временем существования Вселенной, размер которой составляет 1026 м. ПРИНЦИП МИНИМУМА (ЭКОНОМИИ) ЭНЕРГИИ. СВЯЗАННЫЕ СОСТОЯНИЯ Любая частица во внешнем поле или система взаимодействующих частиц во внешнем и во внутреннем полях, будучи предоставлена самой себе, займет положение, соответствующее минимально возможному значению энергии, то есть расположится на дне «потенциальной ямы» – в этом и заключается принцип минимума энергии. Взаимодействующие притягивающиеся частицы, объединившиеся в некоторое составное тело, окажутся в энергетически выгодном связанном состоянии. Чтобы отделить эти частицы друг от друга, то есть разрушить это составное тело, нужно затратить энергию, равную так называемой энергии связи. Примерами связанных состояний являются нуклон, ядро, атом, молекула, кристалл, любое твердое тело, планетная система, звездное скопление, галактика, Вселенная. Для каждого структурного уровня существует свой порог энергии. При энергиях, ниже этого порога, все объекты данного уровня неделимы, и их можно считать бесструктурными. При воздействии на эти объекты энергией,

сравнимой с пороговой или превышающей ее, они обнаруживают внутреннюю структуру и могут быть разделены на составляющие их элементы. Как видно из приведенной ниже таблицы, по мере углубления в микромир пороговая энергия возрастает, и мы встречаем все более стабильные объекты. Так разрушить атом гораздо легче, чем ядро атома. Объект

Пороговая энергия, эВ

атом

1 – 10

ядро

106 – 107

нуклон

108 – 109

1 эВ = 1,6·10-19 Дж, где е = 1,6·10-19 Кл – так называемый элементарный электрический заряд. СОСТАВ ЯДРА. НУКЛОНЫ. ИЗОТОПЫ Ядра атомов (их еще называют нуклидами) состоят из протонов и нейтронов, называемых нуклонами. Протон – элементарная частица, обладающая положительным элементарным электрическим зарядом e = 1,6 ⋅ 10 −19 Кл. Электрические заряды протона и электрона равны по модулю и противоположны по знаку. Масса покоя протона m p = 1,672 ⋅ 10 −27 кг, что в 1837 раз больше массы электрона. Нейтрон – элементарная частица, не обладающая электрическим зарядом (электрически нейтральная). Масса покоя нейтрона mn = 1,673 ⋅ 10 −27 кг, что немногим больше массы протона. Нуклид (ядро) обозначается следующим образом, Z X A , где X –.символ соответствующего химического элемента, Z – число протонов в ядре, равное его электрическому заряду, N – число нейтронов в ядре, A = Z + N – суммарное число нуклонов в ядре, называемое массовым числом. Из легких нуклидов желательно знать следующие:

1

H 1 – протон, нуклид водорода;

1

H 2 – дейтрон, нуклид тяжелого водорода – дейтерия;

1

H 3 – тритон, нуклид сверхтяжелого водорода – трития;

1

He 3 – нуклид гелия-3;

1

He 4 – α-частица, нуклид гелия-4.

Ядра одного и того же химического элемента с разным числом нейтронов называются изотопами. ЭНЕРГИЯ СВЯЗИ И ДЕФЕКТ МАССЫ ЯДРА Ядро атома – очень стабильная система. Здесь имеет место связь массы и энергии в соответствии с формулой А. Эйнштейна E = mc 2 , и масса каждого нуклона в ядре меньше массы этого же нуклона в свободном состоянии (вне ядра). Поэтому чтобы разрушить ядро, нужно затратить энергию, равную энергии связи ядра, компенсирующую эту разницу в массе. Разность суммарной массы всех нуклонов в ядре и массы этого ядра называется дефектом массы: ∆m = (Z ⋅ m p + N ⋅ m n ) − m ядра .

При этом энергия связи ядра вычисляется по формуле Эйнштейна: E св = ∆m ⋅ c 2 .

Относительная стабильность ядра каждого химического элемента определяется энергией связи, приходящейся на один нуклон, – E св A . Внутри ядра происходит «борьба» между ядерными силами, притягивающими нуклоны друг к другу, и силами электрического отталкивания между положительно заряженными протонами. Поэтому энергия связи, приходящаяся на один нуклон, довольно сложным образом зависит от массового числа А. Наиболее стабильны ядра химических элементов с массовыми числами от 50 до 60. Поэтому тяжелые ядра испытывают тенденцию (стремление) к делению, а очень легкие ядра испытывают тенденцию к объединению (синтезу) в более стабильные ядра. Энергия, которая выделяется при делении тяже-

лых ядер и при синтезе легких ядер, равна разности между суммарной энергий связи продуктов соответствующей реакции и энергией связи исходного ядра. Причем выделяющаяся энергия в расчете на один нуклон в случае синтеза легких ядер почти на порядок больше, чем в случае деления тяжелых. Одним из наиболее стабильных ядер является ядро гелия-4, называемое α-частицей. Именно α-частица способна вылететь из нестабильного ядра.

α – РАДИОАКТИВНОСТЬ α-частица состоит из двух протонов и двух нейтронов. α – радиоактивностью называется процесс самопроизвольного «вылета» α-частицы из тяжелого недостаточно стабильного ядра. При этом заряд ядра уменьшается на две единицы, а массовое число уменьшается на четыре единицы, и данное ядро X превращается в ядро Y другого элемента. Соответствующая ядерная реакция записывается следующим образом: Z

X A − 2 He 4 → Z − 2Y A− 4 .

β – РАДИОАКТИВНОСТЬ. ЭЛЕКТРОНЫ. ПОЗИТРОНЫ. НЕЙТРИНО Имеются два вида β – частиц: β − и β + . β − – частица – это электрон ( −1 e 0 ), элементарная частица с массой покоя me = 9,1 ⋅ 10 −31 кг, обладающая отрицательным электрическим зарядом, по модулю равным элементарному заряду e = 1,6 ⋅ 10 −19 Кл. β + – частица – это античастица электрона, называемая позитроном ( +1 e 0 ). Позитрон обладает той же массой покоя, что и электрон, и противоположным по знаку, т.е. положительным, электрическим зарядом e = 1,6 ⋅ 10 −19 Кл. Массовые числа электрона и позитрона равны нулю.

Электронов и позитронов в ядре нет и быть не может. Поэтому β – радиоактивность является не внутриядерным, а внутринуклонным процессом. «Вылет» из ядра β – частиц вызван превращениями внутри ядра атома нейтрона в протон или протона в нейтрон. Имеются три вида β– радиоактивности: β − – распад, β + – распад и К – захват.

В основе β − – распада лежит превращение нейтрона в протон: n1 →1 p 1 + −1 e 0 + ν~e .

0

При этом ядро химического элемента X превращается в ядро элемента Y в соответствии с реакцией X A → Z +1Y A + −1 e 0 .

Z

В основе β + – распада лежит превращение протона в нейтрон: p 1 → 0 n1 + 1 e 0 + ν e .

1

К – захват состоит в поглощении протоном ядра электрона из К – оболочки атома и превращении этого протона в нейтрон: 1

p 1 + −1 e 0 → 0 n1 + ν e .

В двух последних случаях превращение ядра происходит в соответствии с реакцией Z

X A → Z −1Y A + 1 e 0 .

Превращения нейтрона в протон и протона в нейтрон сопровождаются появлением частиц, называемых нейтрино. Нейтрино – это элементарная частица с почти нулевой массой и не имеющая электрического заряда (электрически нейтральная частица), и поэтому обладающая огромной проникающей способностью. Нейтрино наряду с фотонами являются самыми распространенными частицами во Вселенной. Их в миллиарды раз больше, чем протонов, нейтронов и электронов вместе взятых. ЧАСТИЦЫ И АНТИЧАСТИЦЫ. АННИГИЛЯЦИЯ Все элементарные частицы обладают целым набором внутренних свойств, определяющим само существование этой частицы и ее индивидуальность. Масса покоя, время жизни, электрический заряд относятся к этим свойствам. Некоторые внутренние свойства также называются различными зарядами. Отсутствие какого-нибудь из этих свойств выражается в равенстве нулю соответствующего заряда.

Каждая частица обладает особым внутренним свойством, называемым спином, в том числе и равным нулю. Благодаря спину частица «ведет себя» подобно вращающемуся волчку, то есть обладает собственным моментом импульса. Спин проявляется как вектор, и внутреннее квантовое состояние реализуется определенным положением этого вектора в пространстве (проекцией). Практически у каждой элементарной частицы есть своя античастица, которая имеет те же массу покоя, время жизни и спин, но отличается знаками электрического и всех других зарядов. Спин античастицы имеет противоположную ориентацию в пространстве. Для обозначения символа античастицы над символом соответствующей частицы ставится значок «~» (тильда). Одна из античастиц, античастица электрона, имеет собственное название – позитрон. Название остальных античастиц образуется из названий соответствующих частиц с добавлением приставки «анти». ~ e = +1 e 0 – антиэлектрон (позитрон); ~ p = −1 p1 – антипротон; n~ – антинейтрон и т.д.

Важнейшим свойством родственных частиц и античастиц является их способность к аннигиляции, то есть к взаимному уничтожению при встрече. При этом вместо «исчезнувших» частиц появляются совсем другие частицы – частицы поля. Так например, аннигиляция электрона и позитрона сопровождается «рождением» двух фотонов ( γ ): −1

e+ +1 e → γ + γ .

Здесь масса превратилась в энергию, а вещество превратилось в поле. В принципе из антипротонов, антинейтронов и антиэлектронов можно построить антиатом и антивещество. Но из-за аннигиляции совместное существование вещества и антивещества невозможно. Наша Вселенная состоит из вещества. Число же античастиц очень мало.

ФЕРМИОНЫ И БОЗОНЫ. ПРИНЦИП ЗАПРЕТА Собственный момент импульса элементарных частиц – спин – принято измерять в единицах ћ (h перечеркнутое), где ћ = h 2π , h – постоянная Планка. Здесь следует напомнить, что постоянная Планка имеет размерность момента импульса. В единицах ћ спин всех элементарных частиц принимает значения или целые: 0, 1, 2, … или полуцелые: 1 2 , 3 2 , 5 2 , … Частицы с целыми спинами называются бозонами. Все бозоны являются «коллективистами»: в каждом квантовом состоянии может находиться любое число бозонов. Все бозоны являются частицами – квантами – какого-нибудь поля. Из всех бозонов самыми распространенными во Вселенной являются фотоны. Частицы с полуцелыми спинами называются фермионами. Все фермионы являются «индивидуалистами». Фермионы подчиняются принципу запрета (принципу Паули): в каждом квантовом состоянии может находиться только один фермион. Все фермионы являются частицами вещества. Именно благодаря совместному действию двух принципов: принципа минимума энергии и принципа запрета, – в нашем мире существует многообразие веществ. Ядра и атомы различных химических элементов устроены поразному. В то же время все электрические поля, например, устроены одинаково, ведь поля состоят из бозонов.

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФЕРМИОНЫ В настоящее время считается, что все вещество во Вселенной построено из фундаментальных фермионов. Фундаментальными фермионами называют лептоны и кварки. Все известные лептоны и кварки и их свойства даны ниже в таблице.

Поколения Семейства

1 – ое

2 – ое

q, 3 – ье

в ед. e

B

L

Лептоны нейтральные

νe

νµ

ντ

0

0

1

заряженные

e

µ

τ

–1

0

1

верхние

u

c

t

+2/3

1/3

0

нижние

d

s

b

–1/3

1/3

0

Кварки

Каждый фундаментальный фермион имеет спин, равный (1/2) ћ. При этом возможны два внутренних квантовых состояния с проекциями вектораспина: +1/2 и –1/2. Все вещество во Вселенной в основном построено из фундаментальных фермионов первого поколения. Частицы второго и третьего поколений являются нестабильными и распадаются с образованием частиц первого поколения. Все заряженные лептоны: электрон (e), мюон (µ) и таон (τ) обладают одинаковым отрицательным электрическим зарядом – e = −1,6 ⋅ 10 −19 Кл. Масса мюона примерно в 200 раз, а масса таона примерно в 3500 раз больше массы электрона. Все лептоны могут находиться в свободном состоянии. Все лептоны обладают особым внутренним свойством, делающим их собственно лептонами. Это свойство называется лептонным зарядом, который обозначается буквой L. У частиц, не являющихся лептонами, лептонный заряд равен нулю. Все кварки также обладают своим особым внутренним свойством, делающим их собственно кварками. Это свойство называется барионным зарядом, который обозначается буквой B. Барионный заряд любого кварка равен 1/3. У всех лептонов барионный заряд равен нулю. Электрон, мюон и таон всегда появляются в паре только со своим родственным нейтрино. Такое поведение объясняется наличием трех разных лептонных зарядов: лептонного электронного, лептонного мюонного и лептонного таонного, как это показано ниже в таблице.

Пары

Лептонные заряды

лептонов

Le

Lµ

Lτ

(e, νe)

1

0

0

(µ, νµ)

0

1

0

(τ, ντ)

0

0

1

Каждый кварк имеет собственное название: u – верхний, d – нижний, c – очарованный, s – странный, t – истинный, b – красивый. Все названия происходят от соответствующих английских слов. Оказывается, что у всех кварков есть еще четыре внутренних квантовых состояния: очарование, странность, истинность и красота. У очарованного кварка очарование равно 1, а у остальных кварков очарование равно нулю, т.к. они не являются очарованными. У странного кварка странность равна –1 (так принято), а у остальных кварков странность равна нулю, т.к. они не являются странными. И так далее. Напомним, что отсутствие некоторого свойства у элементарной частицы выражается равенством нулю соответствующего зарядового числа. Все фундаментальные фермионы имеют соответствующие античастицы, у которых спин и все заряды: электрический, три лептонных и барионный, странность, – имеют противоположные знаки. Таким образом, всего имеется 12 лептонов и 12 кварков. Кварки в свободном состоянии не существуют. Они являются строительным материалом для так называемых адронов – частиц, участвующих в сильном взаимодействии. Представители семейства адронов и их свойства показаны ниже в таблице. Мезоны не являются барионами, и поэтому их барионный заряд равен нулю. Каждый мезон состоит из пары кварк – антикварк. Напомним, что у любого кварка барионный заряд равен 1/3, а у любого антикварка барионный заряд равен –1/3, что в сумме дает нулевой барионный заряд. Спин у мезонов целый, и мезоны являются бозонами.

Адроны Свойства

Барионы Мезоны

Нуклоны

Гипероны

π

K

η

φ

p

n

Λ

Σ

Ξ

Ω

Спин, в ед. ћ

0

0

0

1

1/2

1/2

1/2

1/2

1/2

3/2

B

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

Каждый барион состоит из трех кварков. Так например, кварковый состав протона – {uud}, а кварковый состав нейтрона – {udd}. ИЗОТОПИЧЕСКИЕ МУЛЬТИПЛЕТЫ Этот материал дополнительный и предназначен для подготовки к лабораторной работе по элементарным частицам. Частицы, имеющие примерно одинаковые массы, одинаковый барионный заряд, спин, странность и отличающиеся только электрическим зарядом, образуют так называемый мультиплет. Все частицы мультиплета обладают еще одним одинаковым внутренним свойством, получившим название «изотопический спин», Т. Термин изотопический происходит от изотопов. А термин спин использован потому, что изотопический спин тоже проявляет себя как вектор. Каждая частица мультиплета является реализацией одного из внутренних квантовых состояний одной и той же частицы с данным значением изотопического спина. Эти внутренние квантовые состояния отличаются значениями проекций Тz вектора изотопического спина. Следовательно, число таких квантовых состояний равно числу N частиц в мультиплете. Невероятно интересной особенностью квантового поведения микрообъектов является то обстоятельство, что проекции спина и изотопического спина частицы соответственно могут отличаться друг от друга только на 1ћ. Таким образом, для расчета N имеем формулу N = 2T + 1 , откуда следует, что изотопический спин

T=

N −1 . 2

Если у элементарной частицы нет «напарников», например у странного кварка, то она составляет так называемый синглет – мультиплет из одной частицы. N = 1, следовательно, согласно формуле Т = 0, Тz = 0 – одна проекция изотопического спина и соответственно одна частица. Верхний u и нижний d кварки составляют дублет. У этих кварков примерно одинаковые массы, одинаковый барионный заряд, спин, странность (равная нулю у обоих) и отличаются они только электрическим зарядом. Их изотопический спин согласно формуле равен 1/2, а проекции изотопического спина равны +1/2 и –1/2. Таким образом, верхний и нижний кварки являются разными квантовыми состояниями одной и той же частицы с изотопическим спином 1/2. Существуют также три π-мезона, образующие триплет { π + , π 0 , π − }. Каждая из частиц триплета является реализацией того или иного квантового состояния π-мезона, изотопический спин которого равен 1, а проекции соответственно равны +1 для π + , 0 – для π 0 и –1 – для π − . Далее идет обязательный материал. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ Все реакции превращения и взаимодействия частиц происходят при обязательном выполнении основных законов сохранения: – закона сохранения энергии; – закона сохранения импульса; – закона сохранения момента импульса; – закона сохранения электрического заряда; – закона сохранения трех лептонных и барионного зарядов, – закона сохранения странности.

В истории науки не известно ни одного факта нарушения этих законов сохранения. Они считаются универсальными и важнейшими законами природы. Все перечисленные законы сохранения позволяют анализировать процессы, механизм которых еще не раскрыт, и предсказывать существование еще не известных объектов и их свойства. Рассмотрим, как выполняются законы сохранения, на примере реакции распада протона ( β + – распада): 1

p 1 → 0 n1 + 1 e 0 + ν e .

Именно научный анализ реакции β + – распада привел к открытию позитрона и нейтрино. Выполнение закона сохранения энергии с учетом эквивалентности энергии и массы ( E = mc 2 ) обеспечено равенством массовых чисел до и после распада: 1 = 1. Электрический заряд до и после распада равен +1. Барионный заряд до и после распада равен +1. Электронный лептонный заряд до и после распада равен 0 (у протона и нейтрона электронный лептонный заряд равен 0, у позитрона –1, а у электронного нейтрино +1). Мюонный и таонный лептонные заряды до и после распада равны 0. Странность до и после распада равна 0. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ Все происходящее в природе можно свести к четырем фундаментальным взаимодействиям: 1) сильному – S; 2) электромагнитному – E; 3) слабому – W; 4) гравитационному – G. Ниже в таблице представлены эти взаимодействия и их характеристики.

Вид взаимодействия

Участники взаимодействия

S

Кварки и адроны

E

Все частицы, обладающие электрическим зарядом Кварки, лептоны и все составные частицы Все частицы

W G

Относительная интенсивность взаимодействия 1

Радиус действия, м 10-15

10-2

∞

10-6

10-18

10-39

∞

Кварки способны принимать участие во всех четырех взаимодействиях. Поэтому в таблице даны значения относительных интенсивностей различных взаимодействий, участниками которых являются именно кварки. Наиболее интенсивно сильное взаимодействие кварков. Относительная интенсивность сильного взаимодействия кварков принята за единицу. Интенсивность других взаимодействий дана в сравнении с интенсивностью сильного взаимодействия. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ И ЕГО РОЛЬ В ПРИРОДЕ Гравитационное взаимодействие является самым слабым и в то же время самым универсальным Оно обеспечивает взаимное притяжение всех тел во Вселенной, имеющих массу. Это взаимное притяжение осуществляется в соответствии с законом всемирного тяготения, справедливым для точечных масс: F =γ

m1 m2 . r2

Гравитационные силы являются дальнодействующими, и гравитационное взаимодействие распространяется на бесконечность. Гравитация удерживает все тела на Земле, собирает вещество в планеты и звезды, удерживает планеты на орбитах и «связывает» звезды в скопления и галактики. Таким образом, в астрономических масштабах гравитация играет определяющую роль.

В микромире гравитацией можно пренебречь по сравнению с другими более интенсивными взаимодействиями. Например, атом водорода, удерживаемый как единое целое одной гравитационной силой, имел бы размеры порядка размеров всей Вселенной. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ И ЕГО РОЛЬ В ПРИРОДЕ Электромагнитное взаимодействие примерно в 100 раз слабее сильного взаимодействия. В электромагнитном взаимодействии участвуют только электрически заряженные частицы и тела. Тела, имеющие одинаковые по знаку электрические заряды отталкиваются, а имеющие заряды разных знаков притягиваются. Это отталкивание и притяжение осуществляется в соответствии с законом Кулона, справедливым для точечных заряженных тел: F =k

q1 q 2 r2

,

где q1 и q2 – величины электрических зарядов. Кулоновские силы являются дальнодействующими, и электромагнитное взаимодействие распространяется на бесконечность. Электромагнитное взаимодействие обеспечивает существование атома посредством кулоновского притяжения электрически положительно заряженного ядра и отрицательно заряженных электронов. Электромагнитное взаимодействие лежит в основе межмолекулярных сил, обеспечивающих существование молекул и поведение кристаллов, жидкостей и газообразных тел. А также лежит в основе сил упругости и трения, химических реакций, всех наблюдаемых электрических, магнитных и оптических явлений. Напомним, что свет – это электромагнитная волна. СЛАБОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ И ЕГО РОЛЬ В ПРИРОДЕ Слабое взаимодействие присуще всем фундаментальным фермионам и его предназначением является изменение природы частиц, то есть превраще-

ние одного кварка или лептона в другой кварк или лептон. В микромире слабое взаимодействие играет решающую роль. В результате слабого взаимодействия происходит распад – превращение нейтрона 0

n1 →1 p 1 + −1 e 0 + ν~e ,

мюона −1

µ → −1 e + ν~e + ν µ .

Слабое взаимодействие проявляется не только в микромире. Его влияние распространяется и на мегамир. Без слабого взаимодействия погасло бы Солнце и другие звезды, поскольку «топливом» для термоядерных реакций, обеспечивающих «горение» звезд, служит гелий-4, полученный из четырех протонов, два из которых превратились в нейтроны: 1

p 1 → 0 n1 + 1 e 0 + ν e .

А ведь эта реакция осуществляется благодаря слабому взаимодействию. Нейтрино участвуют только в слабом взаимодействии. СИЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ И ЕГО РОЛЬ В ПРИРОДЕ Сильное взаимодействие существует только в микромире на околоядерном уровне. Благодаря сильному взаимодействию существуют нуклоны и ядра атомов. Собственно сильное взаимодействие объединяет кварки и антикварки в нуклоны и другие адроны. Действие же ядерных сил, связывающих нуклоны в ядре, обеспечено остаточным сильным взаимодействием. Сильные и ядерные силы являются короткодействующими, причем удивительной особенностью этих сил является то, что они не убывают с увеличением расстояния между частицами. СТАНДАРТНАЯ МОДЕЛЬ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. СИЛОВОЕ ПОЛЕ Взаимодействие различных тел в природе, в том числе и взаимодействие элементарных частиц, осуществляется посредством физического силового поля – одной из форм распространенной в пространстве материи.

Две частицы вещества (два физических тела) не могут вступить во взаимодействие, то есть испытать действие силы притяжения или отталкивания, до тех пор, пока не «узнают» с помощью соответствующего переносчика о существовании друг друга. Эти частицы-переносчики являются элементарными частицами (квантами) соответствующих полей. Все они являются бозонами и называются фундаментальными векторными бозонами. В таблице ниже представлены частицы-переносчики четырех фундаментальных взаимодействий и свойства этих частиц. Взаимодействие

Спин

S

Частицыпереносчики Глюоны (g)

E W

G

1

Электрический заряд, в ед. е 0

Масса, в mp 0

Фотоны (γ)

1

0

0

W+

1

+1

85,7

W–

1

–1

85,7

Z0

1

0

97,2

Гравитоны

2

0

0

Переносчики сильного взаимодействия называются глюонами. Это безмассовые электрически нейтральные частицы. Переносчиками электромагнитного взаимодействия являются фотоны, также безмассовые электрически нейтральные частицы. Переносчиками слабого взаимодействия являются W +, W –, Z 0 – бозоны. Это очень массивные частицы (их масса почти в 100 раз превышает массу протона) и две из них имеют электрический заряд. Переносчики гравитационного взаимодействия получили название гравитоны. Хотя в настоящее время гравитоны экспериментально не обнаружены, их свойства известны. Они должны быть безмассовыми электрически нейтральными частицами со спином, равным 2.

ВИРТУАЛЬНЫЕ ЧАСТИЦЫ Частицы-переносчики взаимодействий называются виртуальными. Квантовый механизм взаимодействия состоит в том, что одна из взаимодействующих частиц вещества испускает виртуальный бозон, который почти сразу же поглощается другой взаимодействующей частицей. Таким образом, две взаимодействующие частицы обмениваются виртуальными бозонами. Время жизни виртуальных бозонов крайне мало. В отличие от реальных частиц их нельзя непосредственно зарегистрировать. Однако, сообщив им достаточную энергию, можно превратить виртуальные частицы из «призраков» в реальные частицы. Так реальные фотоны проявляются в виде электромагнитных волн – света. В процессе испускания и поглощения виртуальных частиц обязательно происходит «кажущееся» нарушение закона сохранения энергии. Однако, это нарушение вполне согласуется с законами квантовой физики, как это будет показано в дальнейшем (см. соотношение неопределенностей Гейзенберга). Если масса виртуальных бозонов велика, то переносимые ими силы являются короткодействующими. Это имеет место в случае слабого взаимодействия. При нулевой массе виртуальные бозоны переносят дальнодействующие силы, поскольку движутся со скоростью света, что имеет место в случаях электромагнитного и гравитационного взаимодействий. Исключением в этом смысле является сильное взаимодействие. Хотя глюоны являются безмассовыми частицами, сильные и ядерные силы короткодействующие. Кварки и глюоны не могут существовать в свободном виде, а представляют собой так называемую кварк-глюонную пазму. Квантами поля ядерных сил являются π-мезоны. Обмениваясь виртуальными π-мезонами, нуклоны удерживаются в ядре. При этом нейтрон может превратиться в протон, а протон – в нейтрон. Эти реакции происходят по следующим схемам: n → p +π − , p → n +π + , n → n +π 0, p → p +π 0 .

Напомним, что π-мезоны являются одновременно и адронами и бозонами.

ВОПРОСЫ К ТЕСТУ № 1 1. Что такое естествознание? Назовите естественнонаучные дисциплины. 2. Что такое научный метод? Какова роль опыта в познании окружающего мира? 3. В чем заключается суть научного метода познания? 4. Какова роль эксперимента для естественнонаучных дисциплин? 5. Понятие события в физике. 6. Почему математика не относится к естественнонаучным дисциплинам? Какова роль математики в познании окружающего мира? 7. Что такое фундаментальные постоянные c и h и какова их роль? Какова максимальная скорость передачи информации в нашем мире? 8. Что такое минимальный квант действия? какова его размерность? 9. Напишите формулу, определяющую энергию покоя. 10. Формула Планка для энергии фотонов. 11. По какому принципу физику делят на релятивистскую и нерелятивистскую (ньютоновскую)? 12. Объекты изучения в классической и квантовой физике. 13. Преемственность в науке и принцип соответствия Нильса Бора. 14. Сформулируйте принцип соответствия Нильса Бора. 15. Пространственный диапазон в нашей Вселенной. Микро-, макро- и мегамиры. 16. Какие объекты в нашей Вселенной принято относить к микро-, макро- и мегамирам? 17. Временной диапазон в нашей Вселенной. Что такое Big bang? 18. Каковы минимальные и максимальные пространственные и временные интервалы в природе? 19. Строение атома.

20. Как молекулярно-кинетическая теория объясняет различие между твердым кристаллическим, жидким и газообразным состояниями вещества? 21. Состав атомного ядра. 22. Что означают символы A и Z в записи Z X A ? 23. Что такое нуклоны? Чем протон отличается от нейтрона? 24. Как называются элементы 1 X 2 , 1 X 3 , 2 X 4 и 2 X 3 ? 25. Сколько протонов и нейтронов в следующих изотопах: 92 U 235 , 92 U 238 , 6

C 12 , 6 C 14 , 2 He 4 , 2 He3 и 8 O 16 ?

26. Что такое дефект массы и энергия связи ядра? 27. Что такое α – распад? 28. Виды β – распада. Расскажите о β – – распадах β + – распадах. 29. Что такое нейтрино? Какие виды нейтрино Вам известны? 30. Какими свойствами обладают нейтрино? 31. Что такое частицы и античастицы? Приведите примеры. 32. Что такое античастицы? Чем отличается позитрон от электрона? Протон от антипротона? 33. Что такое фермионы и бозоны? Приведите примеры. 34. Сформулируйте принцип запрета Паули.

ВОПРОСЫ К ТЕСТУ № 2 1. Что такое античастицы? 2. Лептоны и кварки. Их характеристики. 3. Сравните свойства лептонов и антилептонов. Почему в обычных условиях мы не встречаемся с антивеществом? 4. Семейства лептонов и кварков и их характеристики 5. Назовите основные характеристики элементарных частиц. Какие стабильные частицы Вам известны? 6. Что такое электрический заряд? 7. Что такое лептонный заряд? 8. Что такое барионный заряд? 9. Чему равны электрический, лептонный и барионный заряды следующих элементарных частиц: фотона, протона, антипротона, электрона, позитрона, мюона, таона, антинейтрино, электронного нейтрино, электронного антинейтрино, мюонного нейтрино, мюонного антинейтрино, кварка, верхнеего и нижнего кварков, антикварка, странного кварка и очарованного кварка? 10. Фундаментальные взаимодействия и их характеристики. 11. Фундаментальные взаимодействия и их роль в природе. 12. Характеристики фундаментальных взаимодействий. 13. Какие взаимодействия характерны для микромира? 14. Сравните интенсивности и радиусы действия различных фундаментальных взаимодействий. 15. Сравните гравитационное и электромагнитное взаимодействия. 16. Сравните электромагнитное и слабое взаимодействия. 17. Сравните сильное и слабое взаимодействия. 18. Какова роль в природе сильного и слабого взаимодействий? 19. Какие изменения произойдут, если «выключить» электромагнитное взаимодействие? 20. Какие изменения в природе вызовет «выключение» слабого взаимодействия?

21. Какие изменения произойдут, если «выключить» сильное взаимодействие? 22. Какие изменения произойдут, если «выключить» гравитационное взаимодействие? 23. Законы сохранения лептонного и барионного зарядов. Приведите примеры. 24. На основе законов сохранения электрического, лептонного и барионного зарядов сделайте вывод о возможности следующего превращения элементарных частиц: n = p + −1 e . 25. На основе законов сохранения электрического, лептонного и барионного зарядов сделайте вывод о возможности следующего превращения элементарных частиц: p = n+ −1 e . 26. На основе законов сохранения электрического, лептонного и барионного зарядов сделайте вывод о возможности следующего превращения элементарных частиц: p = n+ +1 e + ν e . 27. На основе законов сохранения электрического, лептонного и барионного зарядов сделайте вывод о возможности следующего превращения элементарных частиц: γ + γ = −1 e+ +1 e . 28. На основе законов сохранения электрического, лептонного и барионного зарядов сделайте вывод о возможности следующего превращения элементарных частиц: p + −1 e = n+ 0 ν 0 . 29. Что такое виртуальные частицы? 30. Расскажите о переносчиках фундаментальных взаимодействий. 31. Расскажите о переносчика сильного взаимодействия. 32. Расскажите о переносчика электромагнитного взаимодействия. 33. Расскажите о переносчика слабого взаимодействия. 34. Расскажите о переносчика сильного взаимодействия. 35. Кварковый состав протона и нейтрона. 36. Определите кварковую структуру и характеристики следующих барионов, исходя из их названия: протон, антипротон, антинейтрон.

37. Что означают названия: барионы, мезоны, адроны? Каково их кварковое строение? 38. Поясните, какие превращения происходят на кварковом уровне при β – и β + – распадах ядер.

ЧАСТЬ 2. ОСНОВЫ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Механика – часть физики, изучающая движение и взаимодействие физических тел в пространстве и времени. При этом физика имеет дело не с реальными телами: автомобилями, поездами, пушками, снарядами и т.д., а с физическими моделями, заменяющими эти реальные тела. Кинематика – часть механики, изучающая характеристики движения: скорость и ускорение физических тел. Динамика – часть механики, изучающая взаимодействие физических тел как причину ускорения. ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ В классической механике пространство считается абсолютным, то есть не зависящим от наличия в нем материи. Пространство рассматривается как вместилище для материи. Пространство прямолинейно, трехмерно, бесконечно, безгранично, однородно (одинаково устроено в любой его точке) и изотропно (одинаково устроено по всем направлениям). Время считается абсолютным, то есть не зависящим от пространства и процессов, происходящих с материей. Время бесконечно и однородно. КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Если все точки физического тела движутся одинаково (тело при этом не поворачивается), это физическое тело можно заменить моделью – материальной точкой. Движение материальной точки рассматривается по отношению к некоторой системе отсчета – декартовой системе координат, связанной с какой-нибудь точкой пространства или телом отсчета (cм. рисунок). Некоторая система отсчета К = {x, y, z}, связанная, например, с Землей, считается неподвижной и называется лабораторной. Любая другая система отсчета К′ = {x′, y′, z′}, движущаяся относительно системы К, называется подвижной.

r

Вдоль осей координат направлены единичные векторы – орты: i – r

r

r

r

r

вдоль оси x, j – вдоль оси y, k – вдоль оси z. i = j = k = 1 . Положение материальной точки в пространстве определяется ее координатами x, y, z в системе отсчета (измеряемыми в метрах) и радиусом – векr

тором r , проведенным из начала отсчета в данную точку. Координаты материальной точки являются и координатами (проекциями) радиуса – вектора. Координаты являются явными функциями от времени. r r r r r = x ⋅ i + y ⋅ j + z ⋅ k , м.

Пусть в процессе движения материальная точка переместилась из точr

r

ки 1 с радиусом – вектором r1 в точку 2 с радиусом – вектором r2 . При этом материальная точка совершила перемещение r r r ∆r = r2 − r1 . траектория

z 1

∆r

r1

2

r2 0

y

x r

r

r

На рисунке векторы r1 , r2 , и ∆r обозначены без стрелок жирным шрифтом. Перемещение в единицу времени есть вектор скорости. Вектор мгновенной скорости определяется как производная от радиуса – вектора по времени: r r r r r dr dx r dy r dz r = i + j + k = v x ⋅ i + v y ⋅ j + v z ⋅ k , м/с. v= dt dt dt dt

Вектор скорости является явной функцией от времени. Модуль вектора скорости можно вычислить по формуле

r v = v x2 + v y2 + v z2 .

Любое криволинейное движение можно представить в виде векторной суммы трех прямолинейных движений по осям x, y и z. Материальная точка движется по некоторой линия – траектории. Длина пройденной траектории называется пройденным путем S и измеряется в метрах (м). Пройденный путь является монотонно возрастающей функцией времени: S = f (t ) . Производная от пройденного пути по времени есть модуль мгновенной скорости: r dS , м/с, v = dt

где dS – дифференциал (бесконечно малое приращение) пройденного пути S, а dt– дифференциал времени t. Модуль мгновенной скорости является явной функцией от времени Чтобы вычислить пройденный путь, нужно проинтегрировать модуль мгновенной скорости по времени от 0 до t: t

r S = ∫ v dt . 0

Для вычисления средней скорости нужно пройденный путь за время t разделить на это время: vср =

S . t

Если движение происходит в плоскости, достаточно двух осей координат. Имеем x = f1 (t ) , y = f 2 (t ) . Исключив из обоих равенств время t, получим уравнение траектории y = f (x ) . Так же для плоской траектории имеем v x =

dx dy и v y = , откуда dt dt

v x dx dt dx = ⋅ = . v y dt dy dy

Если вектор скорости в процессе движения изменяется, то материальная точка движется с ускорением. Ускорение – это изменение скорости в

единицу времени. Вектор мгновенного ускорения равен производной от вектора скорости по времени: r r r r r dv = a x ⋅ i + a y ⋅ j + a z ⋅ k , м/с2. a= dt

Модуль вектора ускорения можно вычислить по формуле r a = a x2 + a 2y + a z2 . r

Вектор v может изменяться по величине и по направлению. Если вектор скорости по величине не меняется, то движение равномерное, если меняется – то неравномерное. Если вектор скорости по направлению не меняется, то движение прямолинейное, если меняется, то криволинейное. Таким образом, имеют место четыре вида движений: r

1) прямолинейное и равномерное, если v = const; 2) прямолинейное и неравномерное; 3) криволинейное и равномерное; 4) криволинейное и неравномерное. r

Если вектор a = const, то движение материальной точки является равноускоренным. Можно доказать, что траекторией равноускоренного движеr

r

ния является прямая, если вектор v параллелен вектору a , или парабола, есr

r

ли вектор v не параллелен вектору a . r

r

На этом рисунке векторы v и a обозначены v

жирным шрифтом. r

r

Если вектор v параллелен вектору a , то движеa α

ние прямолинейное. Если угол α острый, то движение криволинейное и ускоренное. Если угол α тупой, то движение криволинейное и замедленное

Различают две основные задачи механики: прямую и обратную.

1. Если известен закон движения, т.е. известны в явном виде зависимости координат материальной точки от времени, то можно путем взятия производных вычислить проекции векторов скорости и ускорения – прямая задача. 2. Если известны начальные координаты материальной точки, вектор начальной скорости, и зависимость вектора ускорения от времени, то можно путем интегрирования по времени получить закон движения, т.е. зависимости координат от времени – обратная задача: t

r r r v = v0 + ∫ a ⋅ dt , 0 t

r r r r = r0 + ∫ v ⋅ dt . 0

ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Причиной изменения скорости тела является действие силы на это тело. Если на материальную точку никакие силы не действуют, то она движется относительно Вселенной прямолинейно и равномерно или покоится. Связанная с такой точкой система отсчета называется инерциальной системой отсчета. Все инерциальные системы отсчета движутся относительно друг друга и относительно Вселенной прямолинейно и равномерно. Существование инерциальных систем отсчета утверждается первым законом Ньютона. В природе существует только взаимодействие между телами. На каждую силу действия со стороны одного из взаимодействующих тел на другое следует ответ (реакция) – сила противодействия со стороны этого другого тела на первое. Причем сила – это вектор. Третий закон Ньютона утверждает, что сила действия и сила противодействия всегда направлены по одной прямой навстречу друг другу и равны по величине: r r F1− 2 = F2 −1 .

Каждое физическое тело обладает массой, которая позволяет ему сохранять свое механическое состояние, т.е. двигаться с постоянной скоростью или покоиться. Масса тела – мера его инертности. Чем больше масса тела, тем меньше ускорение при одном и том же воздействии на это тело: r r a1 m2 = , m1 a1 = m2 a 2 при F1 = F2 , a 2 m1

откуда следует, что вектор силы можно определить как произведение массы тела на вектор его ускорения: r r кг ⋅ м F = m⋅a , . с2

Второй закон Ньютона утверждает, что в инерциальной системе отсчета ускорение тела создается совместным действием всех остальных тел на данное тело. Причем все реальные силы, источником каждой из которых должно быть конкретное тело, складываются как векторы, откуда r r m ⋅ a = ∑ Fi . i

Эта формула является аналитическим выражением второго закона Ньютона. РАБОТА И МОЩНОСТЬ r

Элементарной работой силы F называется скалярное произведение этого вектора силы на вектор элементарного перемещения: F r r r r δA = F ⋅ dr = F ⋅ dr ⋅ cos α .

α dr δA – бесконечно малая величина, но не дифференциал, поэтому использован

символ δ. Как будет показано, работа может зависеть от траектории, в то время как дифференциал никогда не зависит от траектории.

Как известно, скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов, откуда δA = Fx ⋅ dx + Fy ⋅ dy + Fz ⋅ dz .

Чтобы вычислить работу по перемещению материальной точки из точки 1 траектории в точку 2, нужно взять интеграл 2

r r A = ∫ F ⋅ dr , Дж. 1

Работа, совершенная в единицу времени называется мощностью, которая измеряется в Ваттах (Вт): P=

A , Дж/с = Вт. t

Для вычисления мгновенной мощности нужно взять производную: r r δA F ⋅ dr r r P= = = F ⋅v . dt dt

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ Согласно второму закону Ньютона, векторная сумма всех сил сообщает телу ускорение, и скорость тела изменяется. Покажем, что работа всех сил, действующих на материальную точку, равна изменению ее кинетической энергии. r 2 r r 2 r r 2 r r mv 22 mv12 dv r A = ∫ ∑ Fi ⋅ dr = ∫ ma ⋅ dr = ∫ m ⋅ ⋅ dr = ∫ m ⋅ v ⋅ dv = − , dt 2 2 1 i 1 1 1 2

где Ek =

mv 2 – кинетическая энергия материальной точки. 2

ИМПУЛЬС МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Импульсом материальной точки называется векторная физическая величина, равная произведению массы этой материальной точки на вектор ее скорости: r r p = m⋅v .

Покажем, что производная от вектора импульса материальной точки по времени равна векторной сумме сил, действующих на эту материальную точку: r r r r dp dv = m⋅ = m ⋅ a = ∑ Fi . dt dt i

Это уравнение также является уравнением второго законы Ньютона. Чтобы найти изменение импульса, нужно проинтегрировать векторную сумму всех сил по времени: t r r ∆p = ∫ ∑ Fi ⋅ dt . 0

i

Итак, чтобы изменить импульс материальной точки, нужно подействовать на нее некоторой силой в течение длительного времени. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА Взаимодействующие между собой тела – материальные точки – составляют систему Импульс системы материальных точек – это векторная сумма r

r

импульсов всех материальных точек, составляющих систему: p = ∑ mi vi . i

Производная от вектора импульса системы материальных точек по времени равна векторной сумме сил, действующих между материальными точками, составляющими систему – внутренних сил, и сил, действующих на материальные точки, составляющие систему, со стороны тел, не входящих в систему, – внешних сил. Но векторная сумма всех внутренних сил как сил действия и противодействия по третьему закону Ньютона равна нулевому вектору. Итак, получим r r r r dp = ∑ F внтр + ∑ Fвнш = ∑ Fвнш , dt

откуда изменение импульса системы будет равно интегралу от векторной суммы всех внешних сил по времени: t r r ∆p = ∫ ∑ Fвнш ⋅ dt , 0

то есть изменить импульс системы материальных точек могут только внешние силы, действующие в течение некоторого промежутка времени. Таким образом, если внешние силы на систему не действуют, а такая система материальных точек называется замкнутой, то импульс такой системы не изменяется, то есть сохраняется. Мы получили закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы не изменятся, какие бы взаимодействия и превращения ни происходили бы внутри этой замкнутой системы. Если внешние силы компенсируют друг друга, то импульс системы также не изменяется. Если внешние силы на систему все же действуют и не компенсируют друг друга, то в ходе процессов внутри системы, происходящих в течение очень малого промежутка времени, как это бывает при ударе тел или при взрыве, импульс системы также можно считать неизменным, т.е. применить к этой системе закон сохранения импульса. При абсолютно неупругом ударе двух шаров эти шары как бы слипаются, образовав одно тело. В этом случае уравнение закона сохранения импульса имеет следующий вид: m1v1 ± m2 v2 = (m1 + m2 ) ⋅ v ,

при этом знак «+» ставится, если шары до удара двигались навстречу друг другу, и знак «–», если в одну сторону. АБСОЛЮТНО ТВЕРДОЕ ТЕЛО. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ. УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕ Если физическое тело поворачивается, и это вращение принципиально важно для конкретной задачи, то это тело нельзя считать материальной точкой. В этом случае используется другая модель – абсолютно твердое тело. В дальнейшем слово «абсолютно» будем опускать. Пусть некоторое твердое тело вращается вокруг оси 0z с угловой скоr

ростью ω. С помощью правила буравчика определяют вектор ϕ угла поворо-

r

та этого тела (на рисунке вектор ϕ обозначен жирным шрифтом) Этот вектор параллелен оси вращения. Если он направлен на нас, то тело вращается против часовой стрелки, как это и показано на рисунке. Величина этого вектора измеряется в радианах, т.е. в безразмерных единицах.

φ Вектор угловой скорости равен

ω

производной от вектора угла пово-

z

рота тела по времени: r r dϕ 1 ω= , . dt c

Вектор углового ускорения равен производной от вектора угловой скорости тела по времени:

r

r r dϕ 1 ε = , . dt c 2

dm

Ели тело вращается вокруг оси ,

r

S φ

0

0z, каждая точка этого тела движется по окружности радиуса r, перпендикулярной этой оси, и за некоторое время ∆t описывает дугу, длина которой S равна произведению угла поворота тела φ, выраженного обязательно в ради-

анах, на радиус r: S =ϕ ⋅r.

Продифференцировав это уравнение по времени, можно получить связь между линейной скоростью каждой точки тела с его угловой скоростью: v=

dS dϕ = ⋅r =ω ⋅r, dt dt

v =ω ⋅r.

Линейная скорость движения точки по окружности равна произведению угловой скорости на радиус окружности. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ r

Если материальная точка движется со скоростью v относительно некоr

торой системы отсчета, то она обладает не только импульсом mv , но и моментом импульса относительно точки 0 – начала координат. Момент импульса материальной точки – это вектор, равный векторноr

му произведению радиуса – вектора r материальной точки m на вектор ее r

импульса mv :

L Вектор момента импульса r r r L = r × mv

mv α

l r

0

l – плечо импульса

m

r

Вектор L момента импульса как результат векторного произведения r

r

перпендикулярен векторам – множителям r и mv , а его направление определяется по правилу буравчика ( см. рисунок). r

r

Модуль вектора L равен произведению модуля вектора r на модуль r

вектора mv и на синус угла между ними. На рисунке это угол α.

r r r L = r ⋅ mv sin α .

Как видно из рисунка, l – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, вдоль которой направлен импульс материальной точки. Этот перпендикуляр, а точнее его длина, называется плечом импульса. В образовавшемся прямоугольном треугольнике этот перпендикуляр находится напротив угла, смежного с углом α, следовательно, плечо импульса равно r r l = r sin 180 0 − α = r sin α .

(

)

r

r

Заменив в уравнении для модуля L произведение r sin α на l, получим важное правило: модуль момента импульса материальной точки равен произведению модуля ее импульса на плечо: r L = mvl .

Пусть материальная точка движется по окружности радиуса r вокруг оси 0z, перпендикулярной этой окружности и проходящей через ее центр. В этом случае проекция момента импульса этой материальной точки на ось 0z будет равна произведению ее импульса на радиус окружности. В этом случае радиус будет плечом импульса. Lz = mvr .

МОМЕНТ СИЛЫ Пусть момент импульса материальной точки изменяется со временем. Возьмем производную от момента импульса по времени. r r r r dr r r r r r r r r r r dL d r dv r = (r × mv ) = × mv + r × m = v × mv + r × ma = 0 + r × F = r × F . dt dt dt dt r r r Векторное произведение r × F называется моментом силы M : r r r M =r×F .

Окончательно получим r r dL =M. dt

Итак, производная от момента импульса материальной точки по времени равна моменту силы, действующей на эту точку. Как и в случае вектора момента импульса, можно показать, что модуль вектора момента силы равен произведению силы на ее плечо: M = F ⋅l .

Следовательно, чтобы изменить момент импульса материальной точки одной только силы недостаточно. У этой силы должно быть плечо! МОМЕНТ ИМПУЛЬСА ТВЕРДОГО ТЕЛА. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ Абсолютно твердое тело состоит из бесчисленного множества мате-

z

риальных точек массы dm. Если это тело вращается вокруг оси 0z, то ка-

ω

ждая материальная точка движется по окружности, расположенной в плоскости (x; y), а радиус этой окружности равен

0

r

r=

dm

x2 + y2 .

Проекция момента импульса твердого тела на ось 0z будет равна сумме проекций моментов импульсов каждой материальной точки тела, то есть сумме бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых. Такая сумма является интегралом, который нужно взять по всему объему тела. L z = ∫ dm ⋅ v ⋅ r = V

∫ dm ⋅ ω ⋅ r V

2

= ω ∫ r 2 dm . V

Последний интеграл называется моментом инерции тела относительно оси 0z:

I = ∫ r 2 dm . V

Величина этого интеграла зависит от распределения массы внутри твердого тел относительно оси вращения. Итак, момент импульса твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции этого тела относительно этой оси на угловую скорость вращения тела: Lz = I z ⋅ ω .

Путем интегрирования по объему тела можно получить формулы для вычисления момента инерции данного тела: – I = ml 2 – момент инерции материальной точки относительно оси, отстоящей от нее на расстоянии l; – I = mR 2 – момент инерции полого цилиндра массы m и радиуса R относительно оси этого цилиндра; – I=

mR 2 момент инерции сплошного однородного цилиндра массы m и ра2

диуса R относительно оси этого цилиндра. УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ ДЛЯ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА Пусть момент импульса твердого тела изменяется. Возьмем производную по времени от момента им-

M

пульса, выраженного через произведение момента инерции тела на угловую скорость: ω

dLz dω = Iz ⋅ = Iz ⋅ε . dt dt

С другой стороны эта производная равна моменту силы, действующей на тело: dLz = Mz . dt

Сравнив эти два уравнения, получим Iz ⋅ε = M z

– произведение момента инерции твердого тела относительно некоторой оси на его угловое ускорение равно моменту силы относительно этой оси, действующей на тело. Последнее уравнение является уравнением динамики твердого тела или уравнением второго закона Ньютона для твердого тела. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА Вектор момента импульса системы тел равен сумме векторов моментов импульса всех тел системы, а проекция вектора момента импульса системы тел на ось 0z равна сумме проекций векторов моментов импульса всех тел системы на эту ось: Lz = ∑ Lzi . i

Производная по времени от проекции вектора момента импульса системы тел на ось 0z будет равна сумме проекций на ось 0z всех моментов сил, как внутренних, так и внешних: dLz = ∑ (Fz )внш + ∑ (Fz )внтр . dt

Но все внутренние силы попарно являются взаимно противоположными векторами и имеют одинаковые плечи, следовательно, суммарный момент всех внутренних сил равен нулю, а значит, что производная по времени от проекции вектора момента импульса системы тел на ось 0z будет равна сумме проекций на ось 0z только всех моментов внешних сил: dLz = ∑ (Fz )внш , dt

а следовательно только внешние силы могут изменить момент импульса системы тел. Таким образом, если внешние силы на систему не действуют, то есть она является замкнутой, то момент импульса такой системы не изменяется, то есть сохраняется.

Мы получили закон сохранения момента импульса: момент импульс замкнутой системы не изменятся, какие бы взаимодействия и превращения ни происходили бы внутри этой замкнутой системы. Если моменты внешних сил компенсируют друг друга, то момент импульса системы также не изменяется. Внимание!!! Если известно, что импульс системы сохраняется, а это будет в тех случаях, если система замкнутая, или если внешние силы компенсируют друг друга, то момент импульса сохраняется только, если система замкнутая. Ведь у внешних сил могут быть разные плечи, и эти моменты не будут компенсировать друг друга. И наоборот, из сохранения момента импульса системы не всегда следует, что и импульс ее сохраняется. Уравнение закона сохранения момента импульса для системы взаимодействующих тел следует записывать следующим образом: L1 + L2 = L1' + L'2 ,

где L1 и L2 – моменты импульса тел системы до взаимодействия, а L1' и L'2 – моменты импульса этих тел после взаимодействия. Уравнение закона сохранения момента импульса для твердого тела следует записывать следующим образом: ω1 I 1 = ω 2 I 2 ,

где ω1 I1 – момент импульса тела до взаимодействия, а ω 2 I 2 – после взаимодействия. ДВИЖЕНИЕ СПУТНИКА Спутник движется под действием гравитационной силы вокруг некоторого центрального массивного тела по параболе. При этом сила гравитационного притяжения лежит на прямой, проходящей через центр. Поэтому она не имеет плеча и не может изменить момент импульса спутника. Таким образом, к спутнику можно применить закон сохранения момента импульса: r r r r r1 ⋅ mv1 = r2⋅ mv2 .

КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА Выражение для кинетической энергии вращающегося абсолютно твердого тела получим путем интегрирования по всему объему тела выражения для кинетической энергии материальной точки массы dm – маленького кусочка твердого тела: Ek = ∫ V

dm ⋅ v 2 Iω 2 . = ∫ ω 2 r 2⋅ dm = 2 2 V

Если твердое тело и движется поступательно и вращается, то его кинетическая энергия состоит из двух слагаемых, кинетической энергии поступательного движения и слагаемых: кинетической энергии вращательного движения: Ek =

mv 2 Iω 2 + . 2 2

В заключение, приведем сравнительную таблицу пар физических величин являющихся аналогами в кинематике и динамике материальной точки и кинематике и динамике абсолютно твердого тела. Материальная точка

Твердое тело

Масса

m

Момент инерции

I

Скорость

v

Угловая скорость

ω

Ускорение

a

Угловое ускорение

ε

Импульс

mv

Момент импульса

Iω

Уравнение динамики

ma = F

Уравнение динамики

Iε = M

Кинетическая энергия

mv 2 2

Кинетическая энергия

Iω 2 2

CИЛОВОЕ ПОЛЕ КОНСЕРВАТИВНЫХ СИЛ Материальная точка, оказавшаяся в силовом поле, обладает в каждой точке поля потенциальной энергией и подвергается действию консервативной силы со стороны поля, «толкающей» эту материальную точку в сторону

уменьшения энергии – принцип минимума энергии. Причем работа по перемещению материальной точки осуществляется за счет потенциальной энергии Ep. Сила называется консервативной, если работа этой силы не зависит от траектории. r

Так работа силы Fкнс на пути 1 – a – 2 равна работе

2

a

этой силы на пути 1 – b – 2: r

∫F

кнс

r

r ⋅ dr =

1− a − 2

∫F

кнс

r ⋅ dr .

1− b − 2

b 1

Из определения консервативной силы следует, что работа консервативной силы по любой замкнутой траектории равна нулю. r r F ∫ кнс ⋅ dr = 0 . l

Докажем это: r

∫F

кнс

l

r ⋅ dr =

r

∫F

кнс

r ⋅ dr +

1− a − 2

r

∫F

кнс

2 − b −1

r ⋅ dr =

r

∫F

кнс

r

r ⋅ dr =

l

∫F

кнс

1− a − 2

r

r ⋅ dr −

∫F

кнс

r ⋅ dr = 0.

1−b − 2

Такой интеграл от вектора по замкнутой траектории называется циркуляцией этого вектора. Здесь это циркуляция вектора силы. Консервативными являются гравитационная, кулоновская силы и силы абсолютной упругости. Потенциальная энергия как функция координат E p = f (x, y, z ) – представляет собой потенциальное числовое поле. Вектор силы как функция координат r r r r F = Fx ⋅ i + Fy ⋅ j + Fz ⋅ k

– векторное поле. Поскольку работа консервативной силы совершается за счет потенциальной энергии, имеем

δA = −dE p .

Дифференциал потенциальной энергии имеет вид: dE p =

∂E p ∂x

⋅ dx +

∂E p ∂y

⋅ dy +

∂E p ∂z

⋅ dz .

Сравнив его с выражением для элементарной работы δA = Fx ⋅ dx + Fy ⋅ dy + Fz ⋅ dz ,

получим формулы связи консервативной силы с потенциальной энергией в дифференциальном виде: dE p  ,  Fx = − dx  dE p r  , F = − gradE p .  Fy = − dy   dE p  Fz = − , dz 

где gradE p – вектор, называемый градиентом потенциальной энергии, и в интегральном виде: 2

r r F ∫ ⋅ d r = E p1 − E p 2 . 1

В случае так называемого центрального поля сил консервативная сила и потенциальная энергия зависят только от радиуса, т.е. от расстояния от центра поля. В этом случае F =−

dE p dr

, E p = − ∫ F ⋅ dr + const .

МЕХАНИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ Кинетическая и потенциальная энергии вместе составляют механическую энергию тела. Работа консервативных сил не приводит к изменению механической энергии, «сохраняют» ее. Поэтому эти силы так и называются.

ДИССИПАТИВНЫЕ СИЛЫ Диссипативными называются силы, в ре-

v

зультате работы которых механическая энергия тел превращаются в их внутреннюю (тепловую) энер-

Fтр

гию. Диссипативными являются все силы трения. Эти силы всегда направлены прямо противоположно вектору скорости. Их работа всегда зависит от траектории движения тела. r

r

δAдсп = F ⋅ dr = − F ⋅ dr .

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ И ПРЕВРАЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ Среди сил, действующих на тело, есть внутренние консервативные, внутренние диссипативные и внешние силы. Работа A всех сил будет равна сумме работы Aвнтр.кнс внутренних консервативных сил, работы Aвнтр.дсп внутренних диссипативных сил и работы Aвнш внешних сил. Работа всех сил равна изменению кинетической энергии тела. Работа внутренних консервативных сил равна со знаком «–» изменению его потенциальной энергии. Таким образом, получим: E k 2 − E k 1 = E p1 − E p 2 + Aвнтр.дсп + Aвнш

или

(E k 2 − E k1 ) + (E p 2 − E p1 ) = Aвнтр.дсп + Aвнш – закон сохранения и превращения энергии: изменение механической энергии системы тел равно сумме работ внутренних диссипативных и внешних сил. Работа диссипативных сил отрицательна и всегда приводит к уменьшению механической энергии путем ее превращения во внутреннюю. Механическая энергия замкнутой консервативной системы тел не изменяется. E k 1 + E p1 = E k 2 + E p 2 .

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И СИММЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА – ВРЕМЕНИ Все основные законы сохранения связаны со свойствами пространства и времени: – закон сохранения импульса связан с однородностью пространства; – закон сохранения момента импульса связан с изотропностью пространства; – закон сохранения энергии связан с однородностью времени. Однородность и изотропность представляют собой разновидности симметрии.

ЧАСТЬ 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ И ВОЛНЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД Электрический заряд – это внутреннее свойство электронов (e), протонов (p) и многих других элементарных частиц. Электрический заряд частицы поддается количественному измерению, так как сила электромагнитного взаимодействия прямо пропорциональна электрическому заряду. Наименьший по величине экспериментально обнаруженный электрический заряд, равный e = 1,6 ⋅ 10 −19 Кл ,

получил название «элементарный заряд». Электрон обладает элементарным отрицательным зарядом, а протон – элементарным положительным зарядом: q e = −e , q p = e .

Если в теле число электронов равно числу протонов, то тело не заряжено. Именно электроны могут переходить с одного тела на другое. Тело заряжено положительно, если часть электронов удалена из него, а заряжено положительно, если число электронов в теле больше числа протонов в нем. Этот недостаток или избыток электронов составляет сторонний заряд тела. Когда мы будем говорить о заряженных телах, мы будем иметь в виду именно сторонний заряд. Часто зарядом называют само заряженное тело. ПРОВОДНИКИ И ДИЭЛЕКТРИКИ Проводники электрического тока – это тела (вещества), в которых имеются свободные носители заряда, то есть заряженные частицы: электроны или ионы, – которые могут перемещаться вдоль тела. Все металлы являются проводниками. Диэлектрики – это вещества, в которых нет свободных носителей заряда. Они являются изоляторами. В диэлектрике электрическое поле ослабляется в ε раз.

Величина ε называется диэлектрической проницаемостью. В вакууме и воздухе ε = 1, в диэлектрике ε > 1, в металле ε → ∞ (электрическое поле в металле ослабляется до нуля). ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗАРЯДОВ. ЗАКОН КУЛОНА Взаимодействие между электрически заряженными телами осуществляется через электрическое поле. Схема взаимодействия изображена ниже на рисунке.

создает заряд +

действует Электрическое

заряд +

поле действует

создает

Взаимодействие точечных зарядов в вакууме подчиняется закону Кулона: F=

1

q1 q 2

4πε 0 r 2

,

где ε0 = 8,9·10-12 Ф/м – электрическая постоянная. Согласно закону Кулона сила взаимодействия двух точечных зарядов прямо пропорциональна модулю произведения величин зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Заряды одного знака отталкиваются, а противоположные по знаку заряды притягиваются. Электрическая кулоновская сила – сила прямого действия, она направлена вдоль прямой, на которой расположены точечные заряды, как это показано ниже на рисунке. В векторной форме закон Кулона выглядит следующим образом:

+

+

F

r1-2 q2

q1

r F=

q1 q 2 r er , 4πε 0 r12−2 1

r r1−2 r – единичный направляющий вектор, направленный вдоль радиугде er = r1−2

са – вектора r1-2. Закон Кулона применим и для взаимодействующих проводящих шаров, где r1-2 – расстояние между центрами шаров. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ И ЕГО ХАРАКТЕРИСТИКИ Электростатическое поле – это поле, созданное неподвижными зарядами. Поле способно действовать с некоторой силой на любой точечный заряд, помещенный в это поле. Эта способность не зависит от помещенного заряда, а является свойством самого поля. Мера этого свойства является силовой характеристикой поля. Силовая характеристика электрического поля, и в частности электростатического поля, называется напряженностью. Напряженность электрического поля в некоторой его точке – это вектор, равный вектору силы, действующей со стороны поля на точечный положительный электрический заряд, помещенный в эту точку, деленному на величину этого заряда: r r F Н E= , . q + Кл

Эта формула определения напряженности используется для расчета силы, действующей на точечный заряд, а не для расчета напряженности. Точечный заряд, помещенный в электростатическое поле, обладает потенциальной энергией, источником которой является само поле. Поле обладает запасом энергии. Мера этого свойства поля является его энергетической характеристикой. Энергетическая характеристика электрического поля, и в частности электростатического поля, называется потенциалом. Потенциал электрического поля в некоторой его точке равен потенциальной энер-

гии, которой обладает точечный положительный электрический заряд, помещенный в эту точку, деленной на величину этого заряда: ϕ=

W Дж = В (Вольт). , q + Кл

Эта формула используется для расчета потенциальной энергии. СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕННОСТЬЮ И ПОТЕНЦИАЛОМ Согласно закону Кулона электростатическое поле – это поле центральных сил и, следовательно, является потенциальным, а электрические силы являются консервативными. Работа электростатического поля по перемещению точечного заряда из одной точки поля в другую, как и любая работа консервативных сил, равна разности потенциальных энергий этого заряда в поле: 2

r r A1− 2 = ∫ F ⋅ dr = W1 − W2 . 1

Разделив это уравнение на заряд, получим с учетом формул определения напряженности и потенциала формулу связи напряженности с потенциалом в интегральном виде: 2

r r E ∫ ⋅ dr = ϕ 1 − ϕ 2 – 1

В правой части формулы стоит разность потенциалов первой и второй точек поля. Разность потенциалов двух точек поля – это работа электрического поля по переносу единицы положительного заряда из первой точки поля во вторую. Используя связь консервативной силы с потенциальной энергией: r F = − gradE p

и разделив обе части этого равенства на заряд, получим с учетом формул определения напряженности и потенциала формулы связи напряженности с потенциалом в дифференциальном виде в векторной форме: r E = − gradϕ

и в проекциях на оси координат:  ∂ϕ  E x = − ∂x ,  ∂ϕ  , E y = − ∂ y   ∂ϕ . E z = − ∂z 

1 φ1

2 >

Вектор напряженности поля E все-

E

гда направлен в сторону уменьшения

φ2

потенциала.

ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА Е Как и любая работа консервативных сил, работа электростатического поля по перемещению точечного заряда по замкнутому контуру равна нулю: r r F ∫ ⋅ dr = 0 . l

Используя формулу определения напряженности, получим теорему о циркуляции вектора напряженности электростатического поля: r r E ∫ ⋅ dr = 0 . l

Циркуляция вектора напряженности электростатического поля по любому замкнутому контуру равна нулю. Равенство нулю циркуляции вектора является признаком потенциального характера соответствующего поля. РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННОСТИ И ПОТЕНЦИАЛА Чтобы получить формулу для расчета модуля вектора напряженности электрического поля, созданного точечным электрическим зарядом, используем закон Кулона и определение напряженности. E=

1

q1 q 2 2

4πε 0 r q 2

=

1

q1

4πε 0 r 2

откуда для любого точечного заряда q получим

,

r E =

q

1

–

4πε 0 r 2

формулу для расчета модуля вектора напряженности созданного этим зарядом поля в точке с радиусом – вектором r. Вектор напряженности поля,

E

созданного положительным заря-

+ q

r

дом, совпадает по направлению с

E – q

радиусом – вектором точки. r

Вектор напряженности поля, созданного отрицательным зарядом, направлен в сторону, противоположную радиусу – вектору точки. Чтобы получить формулу для расчета потенциала поля точечного заряда, используем связь потенциала с напряженностью для центрального поля: Er = −

dϕ . dr

Далее берем неопределенный интеграл:  1 q q  ⋅ dr = + ϕ∞ , 2  4πε 0 r  4πε 0 r 

ϕ = − ∫ E r ⋅ dr = − ∫ 

где константа φ0 , – потенциал поля на бесконечности – равна нулю. Итак: ϕ=

q

4πε 0 r

–

формула для расчета потенциала поля, созданного точечным зарядом q в точке с радиусом – вектором r. Потенциал поля – это число, знак которого совпадает со знаком заряда. Положительный заряд создает вокруг себя электростатическое поле с положительным потенциалом, отрицательный заряд – поле с отрицательным потенциалом. Каждый точечный заряд создает свое электростатическое поле независимо от других зарядов. Поле, созданное системой точечных зарядов, представляет собой суперпозицию (сумму) полей, созданных каждым из зарядов: r r E = ∑ Ei и ϕ = ∑ ϕ i . i

i

СИЛОВЫЕ ЛИНИИ Электрическое поле можно наглядно изобразить с помощью силовых линий. Силовые линии – это прямые или кривые линии, в каждой точке которых векторы Е направлены по касательным к этим линиям. Ниже на рисунке изображены силовые линии полей положительного и отрицательного точечных зарядов и силовые линии поля, образованного двумя противоположно заряженными бесконечными плоскостями.

+ Е

– Е

+

Е –

Как видно из рисунков, поля положительного и отрицательного точечных зарядов являются центральными (сферически симметричными), а поле, образованное двумя противоположно заряженными бесконечными плоскостями является однородным: во всех точках поля векторы Е одинаковы, а силовые линии параллельны и расположены на одинаковом расстоянии друг от друга. Силовые линии показывают не только направление поля, но его силу: там, где силовые линии расположены чаще, там поле сильнее. Однородное поле везде одинаково.

ПОТОК ВЕКТОРА Рассмотрим элементарную площадку dS

площади dS и вектор а. Проведем к этой a

площадке с ее лицевой стороны перпендикуляр (нормаль) и отложим вдоль него вектор

α

dS, по величине равный площади площадки.

dS

Угол между этими векторами обозначим α. Потоком вектора а через элементарную площадку dS называется скалярное произведение векторов а и dS: r r dΦ = a ⋅ dS .

Чтобы найти поток вектора через поверхность конечной площади, нужно взять интеграл r r Φ = ∫ a ⋅ dS . S

Заметим, что поток – это число. ТЕОРЕМА ГАУССА Электростатическое поле создается электрическими зарядами, причем напряженность поля прямо пропорциональна величине заряда. Чем больше заряд, тем больше силовых линий выходит из заряженного тела, и больше поток вектора напряженности. Все это отражено в теореме Гаусса: поток ΦE вектора напряженности электрического поля через любую замкнутую поверхность S прямо пропорционален электрическому заряду qвнтр, заключенному внутри этой поверхности: ΦE =

qвнтр

ε0

r

r

или ∫ E ⋅ dS = S

1

ε0

∫ ρ ⋅ dV , V

где V – объем, заключенный внутри замкнутой поверхности S, а ρ =

dq – dV

объемная плотность заряда. Теорема Гаусса отражает потенциальный характер электростатического поля. В качестве примера покажем, что

E

из теоремы Гаусса следует закон КуS

лона. Для этого окружим точечный за-

+q

ряд + q сферической поверхностью раE

диуса r, а заряд расположим в центре этой поверхности. В этом случае сило-

r

вые линии напряженности Е электростатического поля будут перпендикулярны замкнутой поверхности S. Скалярное произведение векторов будет равно произведению их модулей. Во всех точках этой поверхности векторы Е должны быть одинаковы по модулю, и этот модуль можно вынести из-под знака интеграла. Поток вектора Е будет равен Φ E = ∫ E ⋅ dS = E ⋅ 4πr 2 . Подставив его в теорему Гаусса, получим S

E ⋅ 4πr 2 =

q

ε0

, откуда E =

q 4πε 0 r 2

, как и следует из закона Кулона.

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК Электрический ток – это направленное движение электрического заряда. v

dq

+ dV

Пусть элементарный заряд dq, находящийся в объеме dV, движется со скоростью v.

dq на вектор его скорости наdV r r зывается вектором поверхностной плотности тока: j = ρ ⋅ v . Если движущий-

Произведение объемной плотности заряда ρ =

ся заряд пересекает некоторую поверхность S, то интеграл, взятый по этой r

r

поверхности от скалярного произведения j ⋅ dS , называется силой тока: r r r r r dq dr r dq dr ⋅ dS dq i = ∫ j ⋅ dS = ∫ ⋅ ⋅ dS = = , dV dt dt ∫S dV dt S S

и, следовательно, сила тока равна производной от заряда по времени: i=

dq Кл , = А (ампер). dt с

СТОРОННИЕ СИЛЫ Электрические силы «толкают» положительный заряд только в сторону уменьшения потенциала. При круговом токе положительный заряд должен пройти участок от меньшего потенциала к большему. Поэтому для создания кругового тока необходимы так называемые сторонние силы, силы неэлектрической природы, которые будут «толкать» положительный заряд от меньшего потенциала к большему. Такие сторонние силы действуют в источниках тока (см. рисунок внизу) и направлены от «минуса» к «плюсу». Естор – вектор напряженности поля сторонних –

+

сил, направленный от меньшего потенциала к Естор

большему.

ЗАКОНЫ ОМА Поверхностная плотность тока прямо пропорциональна суммарной напряженности электрического поля и поля сторонних сил: r r r j = σ E + Eстор .

(

)

В этой формуле σ – удельная электропроводность, являющаяся коэффициентом пропорциональности, а ρ =

1

σ

– удельное электрическое сопротивление.

Разделив левую и правую части уравнения на σ, получим r r r ρj = E + E стор –

закон Ома в дифференциальной форме. Закон так называется, поскольку он применим для каждой точки проводящей среды. Проинтегрируем обе части закона вдоль линии l проводящей среды с площадью поперечного сечения S от точки 1 до точки 2: 2

r

r

2

r

r

2

r

r

∫ ρ ⋅ j ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl + ∫ Eстор ⋅ dl 1

1

1

и рассмотрим каждый из трех интегралов по отдельности. Преобразуем интеграл в левой части уравнения: r r 2 r r ρ ⋅ dl ∫1 ρ ⋅ j ⋅ dl = ∫1 j ⋅ S ⋅ S = i ⋅ R1−2 . 2

Здесь R1-2 – сопротивление участка цепи, а произведение силы тока на участке цепи на сопротивление этого участка i ⋅ R1−2 = U

называется напряжением. Электрическое сопротивление измеряется в Омах. 1 Ом =

1В . А

Первый интеграл в правой части уравнения 2

r

r

∫ E ⋅ dl

= ϕ1 − ϕ 2

1

есть разность потенциалов на участке цепи, то есть работа сил электрического поля по перемещению единицы положительного заряда от начала до конца участка. А второй интеграл r r E ⋅ d l = ε1-2 – стор ∫ 2

1

так называемая эдс, – работа сторонних сил по перемещению единицы положительного заряда от начала до конца участка.

Итак, мы получили формулу

ε1-2,

iR1-2 = φ1 – φ2 +

которая называется законом Ома для участка цепи в интегральной форме, где напряжение, разность потенциалов и эдс измеряются в вольтах. Этот закон является частным случаем закона сохранения энергии, а напряжение есть суммарная работа и сил электрического поля, и сторонних сил по перемещению единицы положительного заряда от начала до конца участка. Обратим внимание, что разность потенциалов и эдс являются алгебраическими величинами, то есть могут быть отрицательными. Для правильной расстановки знаков при

ε необходимо начало и конец участка обозна-

чить соответственно точками 1 и 2, ориентируясь по направлению тока (открытые стрелки на рисунках внизу). При этом напряжение будет всегда положительно. Разность потенциалов следует записать в виде φ1 – φ2. Тогда

ε

нужно будет записать со знаком «плюс», если направление сторонних сил, показанное на рисунках черными стрелками, совпадает с направлением тока, и со знаком «минус», если направления сторонних сил и тока противоположны.

ε1-2 > 0 1

ε1-2 < 0 2

2

1

i

i

ε1-2 < 0 1

ε1-2 > 0 2

i

2

1

i

ЗАКОН ОМА ДЛЯ ЗАМКНУТОЙ ЦЕПИ –

В случае замкнутой цепи нет ни начала, ни

+

конца участка, и разность потенциалов обращается

ε

r R

в ноль. Источник тока со своим внутренним сопро-

i

тивлением r называется внутренним участком цепи. К источнику тока подключен внешний участок (нагрузка) цепи с сопротивлением R.

Обратим внимание, что на внешнем участке цепи ток идет от «плюса» к «минусу», а на внутреннем участке от «минуса» к «плюсу». При принятых обозначениях закон Ома для замкнутой цепи будет выглядеть так: i (R + r) = ε.

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ Магнитное поле существенно отличается от электрического. Магнитное поле создается только движущимся зарядом или электрическим то ком. Магнитное поле действует на движущийся заряд или ток с некоторой силой. Взаимодействие проводников с током осуществляется через магнитное поле. Схема взаимодействия показана ниже на рисунке. Электрический ток создает

Электрический ток действует Магнитное поле

действует

создает

Силовые линии магнитного поля всегда замкнутые и расположены вокруг линии тока. Вдоль касательных к силовым линиям магнитного поля на-

правлен вектор магнитной индукции В, который является силовой характеристикой магнитного поля. Вектор В всегда расположен в плос-

i

кости,

перпендикулярной

вектору

скорости движения заряда или на-

r

правлению тока. Направление вектоB

ра В определяется по правилу буравчика, как это показано на рисунке.

Замкнутость силовых линий магнитного поля говорит о его вихревом характере. Вследствие этого поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность всегда равен нулю: r r B ∫ ⋅ dS = 0 – S

теорема Гаусса для магнитного поля. ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА МАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ Так как магнитное поле создается электрическим током, циркуляция вектора магнитной индукции вдоль любого замкнутого контура l прямо пропорциональна силе тока, пронизывающего этот контур: r r r r B ⋅ d l = µ 0 ∫ ∫ j ⋅ dS . l

S

Эта формула называется теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции. Здесь µ0 – магнитная постоянная, S – площадь поверхности, натянутой на контур l, а r

r

∫ j ⋅ dS = i

внтр

–

S

cила тока, пронизывающего контур. То, что циркуляция вектора магнитной индукции отлична от нуля, также свидетельствует о вихревом характере магнитного поля.

Покажем для примера, как с помощью теоремы о циркуляции получить выражение для значения вектора магнитной индукции для бесконечно длинного прямого провода с током. Воспользуемся рисунком, расположенным выше. В качестве контура l возьмем изображенную там окружность радиуса r, перпендикулярную проводнику с током и с центром в этом проводнике. Эта окружность является одной из силовых линий магнитного поля. Во всех ее точках вектор В совпадает по направлению с вектором dl и одинаков по модулю. В этом случае циркуляция превращается в произведение: r r B ∫ ⋅ dl = B ⋅ 2πr . l

Контур пронизывает только ток i. Подставив все это в теорему о циркуляции, получим B=

µ0 ⋅ i . 2πr

СИЛЫ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ Поскольку магнитное поле создается движущимся зарядом или током, оно способно действовать с некоторой силой на движущийся заряд или ток. Но действие магнитного поля принципиально отличается от действия электрического поля. На рисунках ниже слева показана сила F, действующая на движущийся заряд, и справа – сила dF, действующая на элемент проводника с током. Эти силы перпендикулярны плоскости, содержащей движущийся заряд и вектор магнитной индукции. Их направление определяется по правилу буравчика или по правилу левой руки. Магнитные силы прямо пропорциональны модулю вектора магнитной индукции, модулю заряда и его скорости или силе тока. Кроме того, эти силы зависят от ориентации вектора В. Магнитная сила, действующая на движущийся электрический заряд, называется силой Лоренца и вычисляется путем векторного произведения по формуле: r r r F = qv × B .

Модуль этой силы будет равен F = q vB sin α ,

где α – угол между векторами qv и В. Сила Лоренца в зависимости от ориентации вектора В принимает максимальное значение при α = 90º.

F dF B +q

B

α

α v

i·dl

Магнитная сила, действующая на элементарный проводник с током, называется силой Ампера и вычисляется также путем векторного произведения по формуле: r r r dF = idl ⋅ B .

Модуль этой силы будет равен r dF = idl B sin α ,

где α – угол между векторами i·dl и В. Сила Лоренца в зависимости от ориентации вектора В принимает максимальное значение при α = 90º. Формула силы Ампера используется для определения вектора магнитной индукции как силовой характеристики магнитного поля: B=

Fmax Н , = Тл (тесла). il А ⋅ м

ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯДА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ Пусть

v

заряженная

частица

массы m движется со скоростью v,

B

направленной

F r

+q

перпендикулярно

вектору В. На рисунке этот вектор направлен от нас и изображен кружочком с крестиком.

Сила Лоренца перпендикулярна векторам скорости и магнитной индукции. Ее модуль вычислим по формуле силы Лоренца. F = qvB .

Поскольку вектор силы перпендикулярен вектору скорости, сила Лоренца создает нормальное (центростремительное) ускорение. Поэтому заряженная частица будет двигаться по окружности некоторого радиуса r. Воспользовавшись вторым законом Ньютона: мулу для расчета радиуса окружности: r =

mv 2 = qvB , получим форr

mv . qB

РАБОТА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ Сила Лоренца перпендикулярна скорости заряженной частицы и ее перемещению. Следовательно, сила Лоренца работу не совершает. Работа совершается при перемещении в магнитном поле проводника с током. На проводник с током со стороны магнитного поля действует сила Ампера. Работа совершается за счет энергии источника, поддерживающего ток в проводнике. Найдем выражение для элементарной B

работы δА, совершаемой при перемещении на

dr

вектор dr проводника длины l с током i в магнитном поле с вектором магнитной индукции

il

В.

r

r

( r r)

r

δA = FА ⋅ dr = il × B ⋅ dr

Последнее выражение представляет собой смешанное векторное и скалярное произведение векторов, которое можно преобразовать:

(ilr × Br )⋅ drr = −i(lr × drr )⋅ Br = i(drr × lr )⋅ Br . Выражение, стоящее в скобках представляет собой вектор элементарной площади: r r r dr × l = dS .

Мы получили r r

δ A = i ⋅ dS ⋅ B = i ⋅ dΦ B ,

то есть работа при движении проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на изменение магнитного потока: δA = i ⋅ dΦ B .

Пусть металлическая пере-

dr i

a

мычка ab скользит вдоль П – образной металлической рамки, в

B FA

il b

которую включен источник тока. По перемычке сверху вниз идет ток i.

Контур с током расположен перпендикулярно магнитному полю В. Вектор В направлен от нас (на рисунке он обозначен кружочком с крестиком). На перемычку со стороны магнитного поля действует сила Ампера FA = ilB , поскольку векторы il и В перпендикулярны. Когда перемычка переместится вправо на вектор dr , площадь контура увеличится на величину площади серого прямоугольника il ⋅ dr = i ⋅ dS . Сила Ампера совпадает по направлению с вектором dr. Совершенная при этом работа будет равна: δA = FA ⋅ dr = ilB ⋅ dr = iB ⋅ dS = i ⋅ dΦ B .

Итак, совершенная силой Ампера работа связана с изменением магнитного потока. Причем эта работа осуществлена за счет энергии источника тока.

ЯВЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ Пусть опять перемычка ab +

i

a

скользит со скоростью v вдоль П – образной рамки, но без источника

v

B FA

тока. Магнитное поле опять пер-

F

–

пендикулярно рамке и вектор В направлен от нас. При движении

b

перемычки в контуре идет ток, как это показано на рисунке. Этот ток называется индукционным, а его возникновение есть один из случаев явления электромагнитной индукции. Почему же возник ток? Единственной причиной появления тока может быть электрическое поле. Перемычка ab оказалась как бы источником тока, потенциал в точке а (+) оказался больше потенциала в точке b (–). Что же произошло? При движении перемычки увеличивается площадь контура и магнитный поток через него. Увеличение магнитного потока и явилось причиной появления электрического поля. С увеличением магнитного потока связано совершение внешней силой F работы δA = i ⋅ dΦ . На перемычку ab при этом действует сила Ампера FА. При постоянной скорости перемычки эти силы уравновешивают друг друга, и работа силы Ампера равна по модулю и противоположна по знаку работе силы F. Эта работа δAинд = −i ⋅ dΦ

есть не что иное, как работа сторонних индукционных сил внутри перемычки, а в расчете на единицу заряда – это эдс индукции:

εинд = δA

инд

dq

= −i ⋅

dΦ dq dΦ dΦ . =− ⋅ =− dq dt dq dt

Итак, мы получили формулу закона Фарадея:

εинд = − dΦ , dt

согласно которому эдс индукции равна производной от магнитного потока по времени со знаком «минус».

В более широком смысле явление электромагнитной индукции состоит в том, что переменное магнитное поле порождает в пространстве вихревое электрическое поле. Циркуляция вектора напряженности вихревого электрического поля уже не равна нулю, а представляет собой эдс индукции: r r E ∫ ⋅ dl =

εинд.

l

Чтобы показать, что именно переменное магнитное поле является причиной появления эдс индукции, преобразуем производную от магнитного потока по времени: r dΦ d  r r  ∂B r =  ∫ B ⋅ dS  = ∫ ⋅ dS . dt dt  S ∂ t  S

Теперь можно записать закон Фарадея в интегральной форме: r r r ∂B r ∫l E ⋅ dl = − ∫S ∂t ⋅ dS .

ЯВЛЕНИЕ МАГНИТОЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ Как мы уже знаем, источником магнитного поля являются движущиеся электрические заряды – электрический ток. При этом циркуляция вектора В по любому контуру пропорциональна потоку вектора поверхностной плотности тока через поверхность, натянутую на этот контур: r r r r B ⋅ d l = µ 0 ∫ ∫ j ⋅ dS . l

S

Великий английский физик Максвелл заметил, что с этим уравнением не все в порядке. Ведь предполагаемый контур можно мысленно стянуть в точку. Тогда циркуляция станет равной нулю вектора В, а поверхность, натянутая на этот контур, станет замкнутой. Если левая часть уравнения равна нулю, значит и правая часть тоже будет равна нулю. Итак, мы получим r

r

∫ j ⋅ dS = 0 , S

то есть электрический заряд окажется запертым внутри воображаемой замкнутой поверхности, чего быть не может.

Значит, в правую часть уравнения нужно добавить еще один член. Как же он должен выглядеть? Если электрический заряд с течением времени вытекает из объема через замкнутую поверхность, заключающую в себе этот объем, то напряженность электрического поля уменьшается, и производная от напряженности электрического поля по времени будет отрицательной. Добавив в правую часть уравнения член, содержащий эту производную, можно будет устранить возникшее недоразумение: r r r ∂E r ∫S j ⋅ dS + ε 0 ∫S ∂t ⋅ dS = 0 ,

что вполне допустимо. Теперь этот второй член нужно добавить в теорему о циркуляции вектора В. Получим новое уравнение, уравнение Максвелла: r r r r r ∂E r ∫l B ⋅ dl = µ 0 ∫S j ⋅ dS + µ 0ε 0 ∫S ∂t ⋅ dS .

Это уравнение имеет важный физический смысл. У магнитного поля есть два источника: первый – это движущийся электрический заряд или ток, а второй – это переменное электрическое поле. Переменное электрическое поле порождает в пространстве магнитное поле. Это явление и называется явлением магнитоэлектрической индукции. Выражение r ∂E r ε0 = j см ∂t

получило название вектора поверхностной плотности тока смещения или просто ток смещения. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА Четыре уравнения: теорема Гаусса для электрического поля, закон Фарадея, теорема Гаусса для магнитного поля и уравнение Максвелла, – составляют систему уравнений Максвелла. Именно Максвелл записал все эти уравнения в той форме, в какой они записаны ниже.

r r 1 E ∫ ⋅ dS =

∫ ρ ⋅ dV ,

S

V

ε0

r r r ∂B r ∫l E ⋅ dl = − ∫S ∂t ⋅ dS ,

r

r

∫ B ⋅ dS = 0 , S

r r r r r ∂E r ∫l B ⋅ dl = µ 0 ∫S j ⋅ dS + µ 0ε 0 ∫S ∂t ⋅ dS .

Первые два уравнения показывают, как возникает электрическое поле. Во-первых, согласно теореме Гаусса для электрического поля оно создается положительными и отрицательными электрическими зарядами. Это поле имеет потенциальный характер. Во-вторых, согласно закону Фарадея вихревое электрическое поле порождается переменным магнитным полем. Естественно, что это поле имеет вихревой характер. Вторые два уравнения рассказывают о магнитном поле. Магнитное поле всегда вихревое и имеет только вихревой характер. Поэтому поток вектора магнитной индукции согласно теореме Гаусса для магнитного поля всегда равен нулю. Две причины возникновения магнитного поля: движущийся электрический заряд и переменное электрическое поле, – содержатся в четвертом уравнении. Обратим еще раз внимание на то, что отличие от нуля потока вектора через любую замкнутую поверхность говорит о потенциальном характере поля этого вектора, а отличие от нуля циркуляции вектора по любому замкнутому контуру говорит о вихревом характере этого поля. В случае статики, то есть когда электрическое и магнитное поля неизменны (производные по времени равны нулю), система из четырех уравнений разбивается на две системы: r r 1 E ∫ ⋅ dS =

∫ ρ ⋅ dV и

r r E ∫ ⋅ dl = 0 , – два уравнения электростатики. Электроста-

S

V

l

ε0

тическое поле – поле с потоком, но без циркуляции, имеющее только потенциальный характер.

r r r r r r ⋅ = B d S 0 и B ∫ ∫ ⋅ dl = µ 0 ∫ j ⋅ dS , – два уравнения магнитостатики. Магнитное поS

l

S

ле – поле с циркуляцией, но без потока, имеющее только вихревой характер.

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Свободные колебания осуществляются в так называемых колебательных системах. Колебательная система – это система тел, в которой имеется «потенциальная яма», то есть потенциальная энергия имеет минимум, соответствующий положению устойчивого равновесия. В колебательной системе при ее смещении из положения равновесия действует консервативная сила, возвращающая систему в положение равновесия. Смещение из положения равновесия обозначим буквой ψ. В механических колебательных системах это координата или угол. В электрических колебательных системах это заряд, сила тока или напряжение. Потенциальная энергия име-

Ep

ет вид параболы Ep =

βψ 2 2

.

При этом консервативная возвращающая сила будет равна ψ

0 Fψ

Fψ = −

dE p dψ

= − βψ .

Эта сила называется квазиупругой, так как по форме похожа на силу упругости, возникающую при аб-

0

ψ

солютно упругих деформациях. Квазиупругая сила прямо пропорциональна смещению.

Используем второй закон Ньютона. Ускорение равно второй производной от смещения по времени. Если в колебательной системе нет трения или сопротивления, уравнение закона будет выглядеть следующим образом: d 2ψ m ⋅ 2 = − βψ . dt

Преобразуем это уравнение и представим его в виде

d 2ψ +ω 2 = 0, dt 2

где ω – циклическая частота колебаний, величина которой ω = ется в

β m

и измеря-

1 . Выражение в правой части зависит от свойств колебательной сисс

темы. Это уравнение называется дифференциальным уравнением гармонических колебаний. В случае электрических колебаний роль второго закона Ньютона играет закон Ома, преобразование которого приводит к тому же дифференциальному уравнению гармонических колебаний, но циклическая частота имеет другое выражение. Решением этого дифференциального уравнения являются гармонические колебания: ψ = A cos(ω ⋅ t + ϕ 0 ) .

Гармоническими называются колебания, происходящие по закону косинуса или синуса. Напомним, что sinx и cosx имеют одинаковые графики, лишь cдвинутые вдоль оси 0х (сдвинутые по фазе). В этой формуле А – амплитуда колебаний, ϕ = ω ⋅ t + ϕ 0 – фаза колебаний, а φ0 – начальная фаза. Фаза колебаний – безразмерная величина. На рисунке ниже показан график гармонических колебаний, т.е. функции ψ = f (t ) .

ψ А

0

t T

Гармонические колебания – периодический процесс. Время Т одного полного колебания называется периодом. Через каждый период во времени колебательная система приходит в то же состояние, и функция ψ = f (t ) принимает то же самое значение (см. рисунок). Поскольку cos ϕ = cos(ϕ + 2π ) , через каждый период во времени фаза колебаний изменяется на 2π. Используем это обстоятельство для получения формулы связи периода с циклической частотой. Прибавим период Т к моменту времени t. Получим ψ (t + T ) = A cos(ω (t + T ) + ϕ 0 ) = A cos(ω ⋅ t + ϕ 0 + ω ⋅ T ) = A cos(ω ⋅ t + ϕ 0 + 2π ) ,

откуда следует, что ωT = 2π . Итак, T=

2π

ω

. 1

Период колебаний обратен частоте: Т = , а циклическая частота связаν

на с частотой равенством ω = 2π ⋅ν . В отличие от циклической просто частота измеряется в Гц (Герцах). 1 Гц = 1/с. ВОЛНА. УРАВНЕНИЕ ВОЛНЫ Колебания, происходящие в одной точке пространства, возбуждают колебания в соседних точках. Идет процесс распространения колебаний, называемый волной. Теперь смещение ψ (t, x ) является функцией двух переменных: времени и координаты. Линия, вдоль которой распространяются колебания, называется лучом волны. Пусть волна распространяется вдоль оси х. Колебания в точке х = 0:

v 0

x

x

ψ (t , x = 0 ) = A cos(ω ⋅ t + ϕ 0 ) .

Колебания в точках х > 0 отстают по фазе от колебаний в предыдущих точках. В момент времени t фаза колебаний в точке х меньше на величину, соотx v

ветствующую времени ∆t = . Таким образом, Колебания в точке х имеют вид:

   

x v



ψ (t , x ) = A cos ω  t −  + ϕ 0  . 

Это и есть уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х. Волна называется плоской, потому что фронт этой волны представляет собой плоскость, перпендикулярную оси х. На рисунке ниже изображена волна в некоторый момент времени. Расстояние, которое волна проходит за один период колебаний, называется длиной волны. Соответственно, длина волны равна произведению скорости волны на период. ψ λ λ = v ⋅T .

0

x

Преобразуем фазу колебаний, исключив из ее выражения скорость волны: ϕ = ω ⋅t −

Величина k =

ω⋅x

2π

λ

v

+ ϕ0 = ω ⋅ t −

ω ⋅T ⋅ x 2π + ϕ0 = ω ⋅ t − ⋅ x + ϕ0 = ω ⋅ t − k ⋅ x + ϕ0 , λ λ

называется волновым числом. Теперь уравнение волны бу-

дет иметь вид ψ (t , x ) = A cos(ω ⋅ t − k ⋅ x + ϕ 0 ) ,

который считается каноническим. Отметим, что волновой процесс отличается тройственной периодичностью: состояние среды периодически повторяется через каждые 2π по фазе, через каждый период во времени и через каждую длину волны в пространстве.

ПЛОСКАЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА В ВАКУУМЕ

Пусть в плоскости

y

i

y0z идет переменный элек-

E

трический ток в направле0

нии оси 0y, меняющийся по закону

z

i = I cos ω ⋅ t .

c B

x

Во всем остальном пространстве нет ни зарядов, ни токов.

Переменный ток вдоль оси 0y породит в пространстве переменное магнитное поле, направленное вдоль оси 0z, также изменяющееся по гармоническому закону. Переменное магнитное поле породит в пространстве электрическое поле, направленное вдоль оси 0y, которое также будет изменяться по гармоническому закону. Переменное электрическое поле в свою очередь породит переменное магнитное поле и так далее. Вспомним, что производная от косинуса есть минус синус, а от синуса – косинус, то есть все время гармонические функции. Таким образом, порождая друг друга, переменные электрическое и магнитное поля будут распространяться вдоль оси 0х в виде плоской электромагнитной волны. Во всех точках плоскости, перпендикулярной оси 0х, колебания вектора Е напряженности электрического поля и вектора В индукции магнитного поля происходят в одинаковой фазе: r r  E = E max cos(ω ⋅ t − k ⋅ x ) . r r  B = Bmax cos(ω ⋅ t − k ⋅ x )

Эти формулы получены при решении системы уравнений Максвелла, причем скорость этой плоской электромагнитной волны получается равной с = 3·108 м/c,

то есть равной скорости видимого света в вакууме. Это обстоятельство и навело Максвелла на мысль, что видимый свет есть не что иное, как электромагнитная волна. Скорость с электромагнитной волны равна произведению длины волны на частоту: c = λ ⋅ν .

Таким образом, длина электромагнитной волны и ее частота обратно пропорциональны друг другу. Физики часто называют электромагнитную волну светом. Диапазон частот электромагнитных волн огромен. Ощущение видимого света вызывают электромагнитные волны с частотами примерно от 4·1014 до 8·1014 Гц. ПЕРЕНОС ЭНЕРГИИ ВОЛНОЙ. ИНТЕНСИВНОСТЬ ВОЛНЫ Распространяющиеся колебания частиц вещества внутри вещества называются механическими или звуковыми волнами. Распространение переменного электромагнитного поля называется электромагнитной волной. Однако ни механические, ни электромагнитные волны не сопровождаются переносом самого вещества и не связаны с переносом массы. В волне от точки к точке происходит перенос энергии без переноса массы. В незатухающей волне передается энергия, равная максимальной потенциальной энергии колебаний, пропорциональная квадрату амплитуды волны. Энергия, переносимая волной в единицу времени называется потоком энергии. Поверхностная плотность потока энергии I называется интенсивностью волны: I=

dE Вт , . dt ⋅ ∆S м 2

СЛОЖЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ

Гармоническое колебание ψ = А cos(ω ⋅ t + ϕ 0 )

A

можно изобразить с помощью векω

торной диаграммы, изображенной

φ0 ψ

0

на рисунке слева. Вектор А расположен под углом φ0 к оси 0ψ.

Если представить, что вектор А вращается с угловой скоростью ω, как это показано на рисунке, то проекция вектора на ось 0ψ будет равна значениям функции ψ(t). С помощью векторной диаграммы можно произвести сложение двух колебаний одинакового направления и одной и той же частоты: ψ = ψ 1 + ψ 2 = A1 cos(ω ⋅ t + ϕ 01 ) + A2 cos(ω ⋅ t + ϕ 02 ) .

Сумма двух этих колебаний А

должна иметь вид

А2

ψ = A cos(ω ⋅ t + ϕ 0 ) .

Амплитуда А будет равна сумме

δ

векторов А1 и А2:

А1 ψ

0

r r r А = А1 + А2 .

Величину вектора А найдем с помощью теоремы косинусов: A 2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos δ ,

где δ = ϕ 02 − ϕ 01 – сдвиг колебаний по фазе. Теперь можно получить выражение для интенсивности результата сложения двух колебаний. Поскольку интенсивность прямо пропорциональна квадрату амплитуды, получим: I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos δ .

Таким образом, интенсивность результата сложения колебаний зависит от сдвига этих колебаний по фазе. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН Пусть два луча приходят в одну точку пространства. Тогда в этой точке происходит сложение колебаний. Если две волны имеют одинаковую частоту, и если сдвиг по фазе между переносимыми этими волнами колебаниями не меняется с течением времени, то эти волны называются когерентными. При попадании лучей когерентных волн в одну точку происходит интерференция этих волн. Интерференция волн – это сложение когерентных волн, приводящее к их взаимному усилению или гашению. Причиной интерференции является зависимость результата сложения колебаний от их сдвига по фазе. Вернемся к формуле для интенсивности результата сложения колебаний: I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos δ

и обратим внимание на то, что I ≠ I 1 + I 2 , то есть интенсивность результата сложения не равна сумме интенсивностей двух приходящих в одну точку лучей. Равенство нарушается из-за присутствия в правой части интерференционного члена 2 I 1 I 2 cos δ . Поскольку cos δ может принимать все значения от 1 до –1, интенсивность результата сложения колебаний принимает значения от максимального I max = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 при δ max = 2πm (максимум интерференции)

до минимального I min = I 1 + I 2 − 2 I 1 I 2 при δ min = π (2m + 1) (минимум интерференции)

где m – любое целое число. Если волны не когерентные, интерференция отсутствует. Покажем это. Чтобы зарегистрировать интерференцию, необходимо наблюдать процесс сложения в течение некоторого времени, по крайней мере, большего, чем период колебаний. Но за это время сдвиг по фазе может хаотически меняться, и

в формуле сложения интенсивностей должно стоять среднее значение cos δ . Но это среднее значение за один период колебаний равно нулю. Следовательно, мы получим I = I 1 + I 2 , то есть интенсивность волны при сложении двух лучей равна сумме интенсивностей этих лучей, и интерференция отсутствует. Отметим, что способность к интерференции является важнейшим признаком волнового процесса и составляет волновую природу света. ШКАЛА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН Электромагнитные волны представляют собой непрерывный ряд излучений, простирающихся от радиоволн до γ – лучей. На рисунке ниже изображена шкала электромагнитных волн. 1

2

3 4

5

104 106 108 1010 1012 1014 1016 1018

ν, Гц

Цифрами обозначены диапазоны частот электромагнитных волн: 1 – радиоволны; 2 – инфракрасные лучи; 3 – видимый свет; 4 – ультрафиолетовые лучи; 5 – рентгеновские и γ – лучи. Видимый свет занимает диапазон примерно от 4·1014 до 8·1014 Гц. Видимый белый свет является суммой электромагнитных волн разных частот, каждая из которых вызывает ощущение от красного до фиолетового цвета по мере роста частоты (так называемых спектральных цветов: красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий и фиолетовый). Интерференция белого света приводит к появлению цветных максимумов, поскольку для каждой частоты имеется свое условие максимума интерференции. Примером может служить игра цветов на тонких пленках и на компактдисках.

Распространение белого света во многих случаях можно рассматривать, отвлекаясь от его волновой природы и полагая, что свет распространяется вдоль прямых линий, называемых лучами. Именно благодаря лучу света у человечества сформировалось понятие прямой линии. Волновой своей природой свет обязан длине волны. Предположив, что в пределе длина волны λ → ∞, можно вполне строго объяснить отражение и преломление света, образование тени и другие явления, которые изучает геометрическая оптика. Таким образом, условие λ → ∞ является приближением геометрической оптики. В приближении геометрической оптики свет за преградой не должен проникать в область геометрической тени. В действительности же световая волна распространяется во всем пространстве, проникая и в область геометрической тени. Это проникновение тем больше, чем меньше размер преграды или отверстия. При размерах преграды или отверстия, сравнимых с длиной волны, приближение геометрической оптики недопустимо. В силу вступает волновая оптика. Условие λ ≥ R, где R – размер преграды или отверстия, является приближением волновой оптики. При достаточно малых длинах волн свет способен проявлять свои квантовые, корпускулярные, свойства. Условие λ ≤

hc , h – постоянная ∆E пор

Планка, а ∆Епор – пороговая энергия, является приближением квантовой оптики. О квантовых свойствах света будет рассказано в следующей части лекций.