Школьные физические олимпиады

А. Р. Зильберман

ШКОЛЬНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ

Москва Издательство МЦНМО 2009

УДК 53 (023) ББК 22.3я721 + 74.262.22 З61 Поддержано Департаментом образования г. Москвы в рамках программы «Одарённые дети»

З61

Зильберман А. Р. Школьные физические олимпиады. — М.: МЦНМО, 2009. — 256 с. ISBN 978-5-94057-470-5 В сборник вошли задачи по физике, предназначенные для подготовки школьников 7—11 классов к физическим олимпиадам. Некоторые задачи совсем просты, другие — намного сложнее — на олимпиадах всякое бывает... В начале каждого раздела приводятся важные для понимания задачи с подробными решениями, для других задач предлагаются подсказки, ответы и/или краткие решения, часть задач не содержит даже ответов — для того, чтобы учителю было удобно их использовать для работы в классе. Автор надеется, что сборник окажется полезным как для интересующихся физикой школьников, так и для их учителей.

ББК 22.3я721 + 74.262.22

ISBN 978-5-94057-470-5

© Зильберман А. Р., 2009. © МЦНМО, 2009.

ОГЛАВЛЕНИЕ Школьные физические олимпиады 1. Кинематика Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Движение тела в поле тяжести. Немного теории . . . . . Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Динамика Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Законы сохранения импульса-энергии Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задачи по механике без ответов и решений . . . . . . . .

4. Решение задач про газовые законы и основы МКТ Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Задачи про газовые законы, МКТ и термодинамику . . . Задачи без ответов и решений . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Электростатика

5 15 15 16 25

35 35 45

55 55 59 64

71 75 85 91

99

Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Задачи без ответов и решений . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6. Как рассчитать токи в простой электрической цепи

119

Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Задачи без ответов и решений . . . . . . . . . . . . . . . . 138

7. Задачи про магнитные поля и электромагнитную индукцию

147

Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4

Оглавление Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

8. Решение задач про цепи переменного тока

159

Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

9. Решение задач по геометрической оптике

181

Примеры решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Задачи без ответов и решений . . . . . . . . . . . . . . . . 193

10. Задачи на сообразительность, не вполне серьезные задачи и прочее

197

11. Пример олимпиадных заданий для 7—11 классов с рекомендациями по оценке работ

201

7 класс . . . . . 8 класс . . . . . 9 класс . . . . . 10 класс . . . . 11 класс . . . . Решения задач .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

201 202 203 204 205 207

Подсказки

215

Ответы и решения

221

ШКОЛЬНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ Цели. Цели проведения школьных олимпиад достаточно ясны. Это и пробуждение интереса к изучению предмета у сильных учеников, которым на уроках часто бывает просто скучно, и дополнительная возможность обучения физике на более широком материале и на более высоком уровне. Это возможность для участников проверить свои силы в прямом соревновании с одноклассниками (для многих школьников, особенно для мальчишек, это очень важно), проявить свои способности (часто не вполне заметные на уроках, где к успеху приводит обыкновение «учить материал и добросовестно выполнять домашние задания»), реализовать спортивные амбиции и победить (на мой взгляд, ничего плохого в этом нет). Трудно переоценить пользу от проведения олимпиад и для учителя — это хорошая встряска, вызов, испытание, и просто праздник души. Администрация школы тоже имеет свои интересы — олимпиады, в какой-то степени, определяют «лицо» школы — учитель должен иметь в виду и это. В общем, проводить в школе физические олимпиады просто необходимо, а то разумные ученики могут увлечься и другими предметами — например, химией. Уровень. Очень важный вопрос — каким должен быть уровень школьных олимпиад? Должны ли задачи школьных олимпиад быть «общедоступными», чтобы каждый хороший ученик мог их решить, или они должны быть сложными, требующими изрядной сообразительности. Должны ли задачи быть «программными»

6

Школьные физические олимпиады

и, в хорошем смысле, стандартными — таких задач достаточно много в любой книжке для абитуриентов вузов, или же они обязаны быть необычными, выходящими за рамки изученного материала, требующими для решения не просто напряжения, но и «озарения». Стоит ли включать в олимпиаду трудные задачи, если у Вас всего два часа в неделю, а всем известно, что за это время ничего нельзя успеть, только выучить наизусть основные определения, да несколько формул... Ответ очень прост — олимпиаду проводите Вы, делайте так, как считаете правильным. Лично я считаю, что олимпиада без необычных и трудных задач просто не имеет смысла. Возможно, целесообразен компромисс: одна — две задачи достаточно просты и доступны каждому, одна потруднее, еще одна — «олимпиадная», для настоящих любителей. Собственно, так и делают практически на всех олимпиадах — от районных и до Всероссийских. Нужно сказать, что даже простые задачи по физике вовсе не так просты, практика показывает — нет таких задач, с которыми часть участников не смогли бы не справиться, «нулевые» работы все равно будут, и немало. На мой взгляд, это не так уж страшно, для некоторых учеников это будет полезным стимулом для развития, остальным небесполезно будет узнать о пределах их компетенции — в школе еще не поздно сменить приоритеты в изучении разных наук (каждый учитель встречал хороших, милых, старательных, добросовестных учеников и учениц, которым предмет «физика» давался с трудом — тем более трудолюбиво они его преодолевали, честь им и хвала за это — но пусть именно олимпиада все расставит по местам). Стоит иметь в виду и связь школьной физической олимпиады с олимпиадами следующих уровней — районной (окружной), городской и выше. Если на школьной олим-

Школьные физические олимпиады

7

пиаде задачи будут совсем простыми, то победители школьного тура выступят на более серьезной олимпиаде совсем плохо, такой провал намного сильнее действует на честолюбивого подростка, чем неудача в школьном туре, — в результате он, скорее всего, никогда больше на олимпиаду по физике не пойдет. Виды задач. Обычно на олимпиадах по физике даются задачи «теоретического», вычислительного характера. В принципе вполне возможны задачи и совершенно других типов — экспериментальные задания, в которых нужно провести измерения и получить определенные результаты, «качественные» задачи, в которых нет определенного ответа, а оценить нужно рассуждения и объяснения участника. Возможны задания тестового типа, где приходится выбрать один из предлагаемых вариантов ответа, иногда встречаются задания причудливого типа — в виде кроссворда, текста с пропущенными словами или выражениями — этот ряд можно продолжить. Экспериментальные задания очень хороши для заключительного этапа соревнования — если олимпиада проводится в несколько этапов. Тестовые задания и всякие кроссворды, на мой взгляд, совершенно неинтересны для сколько-нибудь разумных участников, а по поводу включения в олимпиады качественных заданий суждения встречаются разные. Все же, на мой взгляд, предпочтительны именно задания первого типа — в них можно достаточно объективно оценить успешность решения (это в меньшей степени относится к полному и правильному решению задачи — тут все ясно для любого типа заданий, а вот если решение не вполне верное, оценить его для «теоретической» задачи можно довольно аккуратно, для других же типов заданий разумных критериев предложить, скорее всего, не удастся — вер-

8

Школьные физические олимпиады

нее, предложить-то можно, а вот достигнуть согласия по этому поводу среди членов жюри практически невозможно, практика это подтверждает). Объективность же оценки решений для олимпиады-соревнования очень важна. Новизна и оригинальность. Нужно ли для школьного тура подбирать непременно новые, ранее не публиковавшиеся задачи? Ну, хорошо бы, конечно — да где же их взять... На практике, даже на заключительных турах Всероссийских олимпиад значительная часть задач выглядит подозрительно знакомой — немного поискав, можно найти практически те же задачи в старых (а то и не очень старых) номерах журнала «Квант», да и в распространенных сборниках задач повышенного уровня — недостатка в таких сборниках в последние годы нет. Для большинства школьников новыми будут почти любые задачи, особенно стараться придумать что-то совсем новое и не стоит. Впрочем, среди собранных в сборнике заданий изрядная часть окажется неизвестной большинству будущих участников школьных физических олимпиад (во всяком случае — я на это надеюсь). Составление заданий. Несколько практических советов по подготовке и проведению олимпиады. Задания для олимпиады подготовить не слишком трудно — интересных задач по физике можно без особого труда набрать с избытком. Труднее сбалансировать их по уровню трудности, охвату пройденных на занятиях тем, характеру заданий — удачным можно считать набор, в котором представлены и трудные, и легкие (ну, относительно легкие) задания, где примерно половина заданий относится к недавно пройденному материалу, где хотя бы одна задача может быть решена практически без вычислений, на уровне здравого смысла, где есть

Школьные физические олимпиады

9

хотя бы одна задача, которую почти никто из участников не решит (если совсем никто — это неудача, значит Вы плохо знаете уровень своих учеников), где есть хотя бы одна задача, которая вызовет интерес и жаркие споры среди участников, где есть хотя бы одна задача, которую участник принесет домой и будет предлагать родителям ее решить, а они не решат... В общем, список пожеланий неограничен, выполнить их все вряд ли получится — не беда, к совершенству можно стремиться не только в текущем году, что-нибудь можно оставить на следующий год. Задач должно быть не слишком много — для 7 и 8 классов можно ограничиться тремя задачами и дать для решения два часа (астрономических), для 9 и 10 классов задач лучше дать четыре — на три часа. Для 11 класса можно поступить так же, но лучше предложить вариант потруднее, из пяти задач на четыре часа (благо список возможных тем для выпускников намного шире, чем даже для десятиклассников посреди учебного года). Задания стоит распечатать и раздать каждому из участников, тексты заданий можно им оставить — есть шанс, что они еще раз смогут над ними посидеть дома, после окончания олимпиады.

Разбор задач. Нет смысла проводить разбор задач сразу после окончания работы — большинство участников будут сильно утомлены решением задач, им трудно будет даже внимательно слушать. А вот сделать разбор на занятии физического кружка (если он в школе работает) будет очень полезно. В ином случае можно распечатать и раздать (или вывесить на стенде) краткие решения задач с комментариями, касающимися выставления баллов за возможные неполные решения.

10

Школьные физические олимпиады

Оценка решений. Целесообразно оценивать каждую задачу одинаковым числом баллов (после долгих споров на «больших» физических олимпиадах принято делать именно так), удобно взять максимальный балл равным пяти. Полное решение задачи оценивается полным баллом, не слишком серьезные погрешности (например — не доведенное до численного ответа решение, либо неверный численный ответ при верном «буквенном», нехватка действительно необходимых, хотя бы кратких пояснений, другие погрешности, которые Вы не сочтете слишком серьезными) уменьшают оценку до 4 баллов. Если существенная часть задачи сделана, но задача не доведена до конца (за что, по Вашему мнению, оценку 4 ставить было бы слишком щедро) — оценка задачи будет 3 балла. Это касалось тех случаев, когда задача в основном решена (полностью, не совсем полностью, либо частично). А если задача решена неверно — можно поставить 1 балл (за проблески разумного в написанном), или 2 балла (за существенные соображения, из которых, все же, не видно решения). Оценка работ. Для окончательного расчета предлагается учитывать только полностью (5 баллов), или почти полностью (4 балла) решенные задачи — каждую за одну решенную задачу, не делая различий между 4 и 5 баллами, а задачи, оцененные тремя баллами считать каждую за половину решенной задачи. Места, занятые участниками, определяются по числу решенных задач, без учета «мелких» баллов 0, 1 и 2. Таким образом, участник с баллами 1, 4, 5, 3, 3 имеет три решенные задачи, участник 3, 5, 4, 5, 2 имеет 3,5 решенные задачи, а участник 2, 2, 1, 1, 3 имеет 0,5 решенной задачи. Мелкие же баллы можно учитывать только для определения «тонких» различий между участниками,

Школьные физические олимпиады

11

набравшими одинаковое количество решенных задач. Такая система имеет определенные преимущества, она «сглаживает» небольшие отклонения в оценках (намного проще выделить случаи, когда задача практически решена и поставить за нее 4 или 5 баллов, когда задача решена наполовину и поставить за это 3 балла, чем суммировать «мусорные» баллы, полученные непонятно за что...). Такая система оценок понятна участникам и, как показывает многолетняя практика, легко ими принимается. Проверка работ. Очень удобно поручить оценку одной задачи во всех работах данного класса одному проверяющему — это заметно повышает объективность проверки, что всегда является трудной проблемой, когда часть работ проверяет один член жюри, а часть — другой. Во всех случаях целесообразно после окончания основной проверки внимательно просмотреть все работы, претендующие на награждение (таких работ обычно не так много), — часто при проверке происходят обидные ошибки (легко просто не заметить не слишком аккуратно написанное решение, пропустить важную часть решения — при длительной работе глаз проверяющего «замыливается», он может пропустить что-то важное, а то и зачесть за решение просто похожее, но неверное рассуждение — даже и без всякого злого умысла). На больших олимпиадах обычно предусмотрена возможность апелляции, когда участник может попытаться «защитить» свое решение при заниженной оценке его работы членом жюри. Вряд ли это нужно для школьной олимпиады, по крайней мере, официально. Все же, учитель должен быть готов признать допущенную при проверке работы ошибку, если участник на нее укажет — такое встречается очень часто (я имею в ви-

12

Школьные физические олимпиады

ду ошибки при проверке), никакой, даже многолетний опыт участия в проведении олимпиад, не гарантирует безошибочной проверки — я знаю, о чем говорю! Оригинальные решения. Особенно важно не допустить ошибки при оценке оригинального, нетривиального решения задачи — такие решения, к счастью, попадаются регулярно, многие школьники (особенно младшие) соображают просто блестяще, и подобные случаи нельзя пропускать. Положение усложняется тем, что такие решения часто излагаются сумбурно, без достаточных обоснований, порой — и с ошибками. Тем не менее, ценность подобных решений следует отмечать отдельно, если при награждении победителей олимпиады мы учитываем только число решенных задач, то следует предусмотреть специальные призы «за красивое и оригинальное решение задачи». Проведение олимпиады. Во время проведения олимпиады, как правило, запрещено пользоваться учебными пособиями, справочниками, сделанными ранее записями (например, школьными тетрадями) — иначе некоторые участники могут получить неоправданные преимущества. Есть смысл ограничить применение мощной вычислительной техники (например, разрешить пользоваться только непрограммируемыми калькуляторами) — возможности современных «наладонников» поражают воображение, такой малогабаритный компьютер, размером с обычный калькулятор, может содержать, например, обширную базу задач, возможно и с решениями. Во всяком случае, на физических олимпиадах высокого уровня (включая международные) такие ограничения приняты уже давно. Списывание. Во время проведения олимпиады приходится решать множество проблем — например, пре-

Школьные физические олимпиады

13

сечение списывания (школьники в нашей стране списывают повсеместно, и на олимпиадах тоже), не очень помогают и привычные заклинания «работайте самостоятельно, списывать на олимпиаде — просто нечестно по отношению к окружающим» — многих это не останавливает. Помогает то, что при проверке работ многие случаи списывания сразу бросаются в глаза — большинство списывающих плохо понимают, что они списывают, они совершают глупейшие ошибки, копируют чужой текст с абсолютной точностью, включая ненужные подробности — при выявлении таких работ следует проявлять решительность и беспощадность, честная игра на олимпиадах — важная сторона дела. Кого позвать на помощь. Во многих школах охотно привлекают к проведению олимпиад студентов — будущих физиков и математиков, выпускников «своей» школы — это просто замечательная традиция, она позволяет поднять престиж участия школьников в олимпиаде до небывалых высот, студенты очень неплохо проверяют олимпиадные работы, да и списывать при них становится затруднительным. Кстати, для проведения олимпиады в младших классах можно привлечь и некоторых старшеклассников — польза тут получается взаимной. А вот привлекать к проведению олимпиады родителей — дело очень, как бы это сказать, неоднозначное — родителям очень трудно быть объективными и справедливыми, их можно понять, но не стоит звать на олимпиаду (кстати, и для учителя могут стать проблемой собственные дети, участвующие в олимпиаде...). Итак... В предлагаемом сборнике собраны олимпиадные задачи разной трудности — от совсем простых и до весьма сложных, особенно трудные задачи отмечены «звездочкой» (не всегда трудную задачу легко отличить

14

Школьные физические олимпиады

«на глаз»). К большинству задач приведены не только ответы, но и краткие решения, часть задач решена довольно подробно. Задачи разбиты по темам, но не разделены «по классам» — при современной разноголосице программ изучения предмета это сделать затруднительно, самим Вам виднее, к какому классу при выбранной программе удобно отнести данную задачу. Предлагаются и готовые наборы задач — с примерами оценивания решений «в баллах», может быть, это поможет Вам выбрать удобную систему оценивания олимпиадных работ. Кроме обычных задач приведено несколько (совсем немного) примеров заданий других типов — игровых методик «измерь сам», экспериментальных заданий, задач «на сообразительность», задач-шуток. А. Р. Зильберман

РАЗДЕЛ 1

КИНЕМАТИКА Примеры решения задач Задача 1. Первый час автомобиль ехал по дороге со скоростью 40 км/ч, следующий час — со скоростью 60 км/ч. Найти среднюю скорость автомобиля на всем пути и на второй половине пути. Решение. Всего автомобиль проехал 100 км за 2 часа, его средняя скорость на всем пути равна 50 км/ч. Всю вторую половину пути (и, кстати, некоторую часть первой половины — но это не важно) автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, значит его средняя скорость на второй половине пути равна 60 км/ч. А вот посчитать его среднюю скорость на первой половине пути было бы сложнее, хорошо, что нас об этом не спрашивали... Задача 2. Автомобиль ехал из города M в город Д со скоростью ровно 40 км/ч, назад — со скоростью 60 км/ч. Найти его среднюю скорость за все время путешествия туда и обратно. Решение. Полное перемещение автомобиля оказалось нулевым — следовательно, его средняя скорость равна нулю! А вот для того, чтобы получить «правильный ответ — 48 км/ч», нужно сформулировать задачу иначе, что и сделано в следующей задаче. Задача 3. Автомобиль ехал из города М в город Д по прямой дороге, половину пути со скоростью 40 км/ч, вторую половину — со скоростью 60 км/ч. Найти его среднюю скорость за все время путешествия.

16

Раздел 1. Кинематика

Решение. Длина пути в условии не задана, одно из двух — либо эта величина для решения не понадобится (какая бы ни была длина пути, ответ получится один и тот же), либо ее просто забыли дать — такое бывает, и не слишком редко, и даже на школьных олимпиадах. В любом случае, полезно задать эту длину — в «буквенном» виде, или прямо в численном, что немного проще. Сделаем это — пусть расстояние между городами равно 240 км (число не хуже любого другого, а его половинки «делятся» на 40 и 60, что упрощает вычисления). Тогда время путешествия T = 120/40 + 120/60 = 5 (часов). Отсюда средняя скорость V = 240/5 = 48 км/ч. Если бы мы взяли другую длину пути (например, вдвое больше), то и общее время изменилось бы соответственно, и ответ остался бы тем же. На самом деле, задачу мы решили (если догадались записать последнее рассуждение), но без труда решение можно сделать аккуратнее. Запишем его в «буквенном» виде: пусть вся длина пути составляет L, тогда время проезда первой половины 0,5L/V1 , для второй половины 0,5L/V2 , средняя скорость на всем пути V=

0,5L V1

2V · V L = 1 2 = 2 · 40 · 60 = 48 км/час. 0,5L V1 + V2 100 + V2

Движение тела в поле тяжести. Немного теории Часто этот раздел кинематики называют немного иначе — движение тела (иногда говорят про «материальную точку»), брошенного под углом к горизонту. Это название не слишком удачное — попробуйте бросить тело как-то иначе, не под углом к горизонту, а потом расскажите, что у Вас получилось... Но дело не в названиях — раздел этот не слишком прост, многие

Движение тела в поле тяжести. Немного теории

17

задачи требуют изрядной сообразительности и аккуратности в «арифметической» части решения, и тему нужно изучать серьезно. Итак, задача: тело брошено из заданной точки под заданным углом a к горизонту, при броске ему сообщили известную скорость V0 . Нужно описать движение тела при некоторых упрощающих предположениях — ускорение свободного падения g одинаково во всех точках, где тело побывало (можно сказать и иначе: «Землю считать плоской!»), сопротивлением воздуха при движении тела пренебречь. Не всегда эти предположения разумны — если бросить тело с очень большой скоростью, оно сможет улететь очень далеко от поверхности Земли, а там притяжение может серьезно ослабеть (а значит, и ускорение свободного падения нельзя будет считать неизменным — таким же, как и у поверхности). Да и сила сопротивления воздуха может играть очень важную роль. Чаще всего мы просто вынуждены пренебрегать сопротивлением воздуха, чтобы не усложнять задачу до полной нерешаемости — но следует уметь отличать случаи, в которых это предположение не слишком искажает ответ, от прочих случаев! Для решения таких задач удобно применить математический прием — ввести вертикальную и горизонтальную оси координат и рассмотреть как бы два независимых простых движения вдоль этих осей. Почему так можно поступать — насколько независимы такие два движения? Что касается вертикального движения, это вполне разумно: бросим одновременно несколько тел с одинаковыми вертикальными и различными горизонтальными составляющими скоростей — все эти тела в любой момент времени окажутся на одной и той же высоте, одновременно достигнут верхней точки полета и одновременно упадут на Землю. А вот движения по горизонтали не совсем уж независимы от

18

Раздел 1. Кинематика

вертикальной компоненты скорости — тела, брошенные с разными вертикальными и одинаковыми горизонтальными составляющими скорости, упадут на Землю не одновременно, а значит, пролетят различные расстояния по горизонтали. Получившиеся движения довольно просты, — особенно вдоль горизонтальной оси, — это просто равномерное движение с постоянной скоростью V X = V0 · cos a. Движение по вертикали происходит с постоянным ускорением, и там все тоже просто. Выберем начало координат в точке броска, направление вертикальной оси вверх будем считать положительным (при этом ускорение вдоль этой оси получится «минус же»). Тогда координаты будут изменяться со временем так: X(t) = V X · t = V0 · t · cos a

и

Y(t) = V0 · t · sin a − 0,5 · g · t2.

Эти уравнения могут оказаться полезными, например, для такой задачи: камень бросают с высоты 1 м с начальной скоростью 20 м/с под углом 45◦ к поверхности. Перелетит ли он стену высоты 20 м, построенную на расстоянии 30 м от точки броска? Выбрав X = 30 м, найдем время полета до стены «по горизон30 тали» t = ≈ 2,1 с (примерно, точно считать со20 · cos 45◦ всем необязательно — впрочем, это будет видно дальше). Теперь посмотрим, — какая координата по вертикали будет через такое время, и сравним ее с величиной (20 − 1) = 19 м: Y = 20 · 2,1 · sin 45◦ − 0,5 · 10 · 2,12 = 29 − 22 = 7 < 19 м. Итак, не перелетит, причем нехватка очень большая и точный расчет не был необходим, мы даже ускорение свободного падения разумно округлили! И учет сопротивления воздуха результат наш не изменит, даже еще труднее было бы перебросить стену. А вот при высоте

Движение тела в поле тяжести. Немного теории

19

стены 8 м пришлось бы повторить расчет, сделать его поточнее, да и ускорение свободного падения пришлось бы взять поаккуратнее, а если бы получился ответ типа «перелетит с запасом 5 см», то непременно нужно было бы сказать, что учет сопротивления воздуха тут просто необходим! Еще одно важное замечание относительно полученных уравнений: до момента броска тело не двигалось (или, по крайней мере, двигалось не так), после падения на Землю эти уравнения тоже нельзя применять. Ясно, что нужно дополнительно записать ограничения для t в этих уравнениях: 0 6 t 6 tП . Для многих применений полезно исключить из этих двух уравнений время t и получить одно уравнение, которое связывает между собой вертикальные и горизонтальные координаты для каждой из точек, в которых побывает тело при полете — это и есть знаменитое «уравнение траектории». Проще выразить t из первого уравнения и подставить во второе. После простых преобразований получим: Y = X · tg a − или Y = X · tg a −

gX 2 , 2V02 · cos2 a

gX 2 · (1 + tg2 a). 2V02

Второй вариант формулы удобнее — в нее входит только одна функция угла — «тангенс альфа». Предыдущую задачу при помощи этого уравнения можно было решить совсем просто — подставить вместо X расстояние до стены 30 м и найти величину Y, после чего опять сравнить ее с величиной 19 м (с учетом того, что начало координат смещено вверх на 1 м — высота точки броска). Впрочем, при ее первом решении мы делали то же, что и при выводе формулы траектории. Но уравнение траектории подходит и для куда более

20

Раздел 1. Кинематика

сложных расчетов. Рассмотрим пример: тело бросают из точки, которая находится на высоте H над поверхностью Земли. Точка, в которую нужно попасть, лежит на расстоянии L по горизонтали от точки броска. При какой скорости бросания это возможно? Понятно, что нужно найти минимальное значение скорости, а любое ´ большее значение условию задачи удовлетворяет. Ясно и то, что нам не задан угол бросания, и его придется находить самостоятельно — этот оптимальный угол, при котором окажется достаточной минимальная скорость бросания. Если бы точки старта и финиша находились на одной высоте (случай H = 0), то выгоднее всего было бы бросать под углом 45 градусов. А в нашем случае придется думать. Итак, запишем уравнение траектории, которая проходит через точку (−H, L): −H = L · tg a −

gL2 · (1 + tg2 a). 2V02

У нас получилось уравнение, в котором удобно рассматривать в качестве неизвестной величины значение tg a (если Вы привыкли обозначать неизвестные одной буквой, можно этот тангенс обозначить буквой Z, потому как X и Y уже заняты). Получится gL2 gL2 2 · Z − L · Z + − H = 0. 2V02 2V02

Для любого значения скорости можно попытаться найти угол бросания. Сколько таких углов мы получим для каждого заданного значения скорости? Если скорость мала, то корней у нашего уравнения вообще не будет, если скорость достаточно велика, то корни будут, и их будет два, как у обычного квадратного уравнения. По мере уменьшения скорости бросания корни уравнения (т. е. подходящие углы) становятся все ближе друг

Движение тела в поле тяжести. Немного теории

21

к другу, и при определенном (минимально возможном) значении скорости корни сливаются в один — это и есть оптимальный угол. Для нахождения минимальной скорости вовсе не обязательно решать полученное квадратное уравнение — достаточно исследовать его дискриминант. Посмотрим на дискриминант  этого квадратного уравнения: D = L2 − 4

g · L2 · 2V02

g · L2 − H . Приравняем его 2V02

к нулю (условие на минимальную скорость бросания). Отсюда легко получить √ значение квадрата минималь2 ной скорости: V0 = g · ( H2√+ L2 − H). Для H = 0 получим известное значение V02 = gL. Кстати, для уравнения с нулевым дискриминантом и оптимальный угол бросания находится легко. И еще — если бы в условии задачи мы задали расстояние L* между точками бросания и падения на Землю, а не расстояние L по горизонтали, ответ получился бы немного красивее: V02 = g(L* − H).

Задача 4. Камень бросают из точки наклонной плоскости, образующей угол a с горизонтом (точка падения находится ниже точки броска). С какой скоростью нужно уметь бросать камень, чтобы он упал на расстоянии D от точки броска? Сопротивление воздуха не учитывать. Решение. Бросать нужно так, чтобы точка падения была как можно ниже (ведь есть много точек наклонной плоскости, разделенных расстоянием D), тогда L* = D, H = D · sin a, и минимальная скорость Vмин = [g · D · (1 − sin a)]0,5 . Задача 5. Компьютерный расчет полета камня, брошенного со скоростью 40 м/с под некоторым углом к горизонту, показал, что вначале расстояние до точки броска возрастало, через 5 секунд после броска стало максимальным, а дальше — уменьшалось. Найти по

22

Раздел 1. Кинематика

этим данным максимальную высоту подъема камня над уровнем точки броска. Ускорение при расчете принималось равным 10 м/с2 , сопротивление воздуха не учитывалось. Решение. Через 5 секунд камень окажется в точке с координатами X1 = 40 · 5 · cos a, Y1 = 40 · 5 · sin a − − 10 · 52 /2. Горизонтальная скорость камня не изменяется, V X1 = 40 · cos a, вертикальная скорость в интересующей нас точке VY1 = 40 · sin a − 10 · 5. Ясно, что вектор скорости камня и радиус-вектор, проведенный из точки броска (начала координат), для самой удаленной точки должны быть перпендикулярны друг другу. Из VY X1 = − 1 . ПодY1 V X1 50 − 40 · sin a 40 · 5 · cos a = . Отсюда ставляя, получим: 40 · 5 · sin a − 125 40 · cos a sin a = 57 , и максимальная высота подъема над точкой 60

простых геометрических соображений

броска

2

2 2 1600 · (57/60) = 361 ≈ 72 м. H = V · sin a =

2g

2 · 10

5

Задача 6. У нас в школе мне рассказали любопытную историю. В те давние годы, когда ученики еще умели играть в баскетбол, в нашем спортивном зале один ученик бросил баскетбольный мяч другому, а тот поймал его ровно через 6 секунд, при этом мяч не касался других игроков, а также стен, пола и потолка зала. Правдива ли эта история? Решение. Оценим высоту зала, в котором мяч может лететь 6 секунд, не касаясь потолка и пола. Если точка броска и точка «ловли» мяча находятся на одной высоте, мяч летел 3 секунды вверх и три секунды вниз. Чтобы достигнуть верхней точки через три секунды,

Движение тела в поле тяжести. Немного теории

23

мяч должен был иметь вертикальную компоненту скорости 30 м/с. Но при этом за три секунды мяч должен был подняться на высоту Vср · T = 15 · 3 = 45 м. Многовато для школьного зала! Задача 7. На листе бумаги с уменьшением в 10 раз нарисовали траекторию камня, брошенного под углом 45◦ к поверхности земли со скоростью 20 м/с. По нарисованной кривой ползет с неизменной по величине скоростью 0,02 м/с маленький жучок. Чему равно ускорение жучка в точке, соответствующей вершине траектории камня? Решение. В верхней точке траектории ускорение камня направлено перпендикулярно его скорости и равно (как и в остальных точках траектории) ускорению свободного падения g. Тогда g = (V0 · cos 45◦ )2

(V0 · cos 45◦ )2 . Отсюда R

. При уменьшении рисунка в 10 раз раR= g диус кривизны траектории в любой ее точке становится в 10 раз меньше, ускорение жучка всюду перпендикулярно его скорости (его скорость не меняется по модулю), тогда в интересующей нас точке траектории ускорение жучка 2

2

a = ur = 10 · u = R

10u2 g = 2 · 10−4 м/с2 . (V0 · cos 45◦ )2

Задача 8. Корабль пришельцев из космоса представляет собой цилиндр высотой 100 м и диаметром 100 м, стоящий вертикально на плоской поверхности. Единственной уязвимой точкой корабля является маленький люк, находящийся в центре верхнего круга, да и то только в том случае, если попавший в него снаряд имеет скорость не меньше 20 м/с и прилетает под углом к вертикали не более, чем 45◦ (данные получены из

24

Раздел 1. Кинематика

источника, заслуживающего полного доверия). В нашем распоряжении маленькая пушка, находящаяся на уровне земли. При какой минимальной скорости вылета снаряда из ствола пушки мы можем поразить корабль? Стрелять можно под любым углом и из любой точки на поверхности земли. Решение. Удобно «обратить» траекторию снаряда — стрелять из конечной точки (люк) и смотреть — куда и с какой скоростью упадет снаряд. Если при скорости 20 м/с снаряд, вылетающий под углом 45◦ , перелетит край корабля и упадет на землю — задача будет сразу решена. Однако, простой расчет показывает, что он ударится о верхнюю плоскую поверхность цилиндра на расстоянии 20 метров от точки выстрела. Ясно, что скорость придется увеличить так, чтобы при том же значении угла дальность превысила 50 метров — радиус цилиндра. Для этого скорость придется увеличить до 50 м/с (значение g приближенно принято 10 м/с2 ). Скорость снаряда внизу найдем из закона сохранения механической энергии — она получится примерно 67 м/с. Можно легко найти и оптимальную точку для стрельбы с поверхности земли (точку падения снаряда при выстреле сверху), но об этом в задаче не спрашивали. Задача 9. Воздушный шар сферической формы имеет радиус R = 5 м и удерживается натянутой веревкой так, что его центр находится на высоте H = 6 м над плоской поверхностью. С уровня этой поверхности бросают камень так, что он перелетает шар, почти касаясь его в верхней точке. С какой минимальной скоростью придется бросать камень и на каком расстоянии от центра шара находится при этом точка броска? Решение. Удобно провести расчет для второй части траектории — начиная от верхней точки и далее —

Задачи

25

до земли, это — половина всей траектории. Скорость в верхней точке горизонтальна, минимальное ее значение найдем из условия на радиус кривизны — он 2

не может быть меньше R: V = g, Время движения до R земли — это просто время падения с высоты R + H без начальной скорости, дальность полета по горизонтали r 2(H + R) p V = 2(H + R)R; g расстояние до центра шара найдем из теоремы Пифагора: p 2(H + R)R + H2 = 12,1 м.

Такое же расстояние — от точки броска. Скорость в точке броска можно найти и чисто «кинематически», а можно воспользоваться законом сохранения энергии для вертикальной составляющей скорости VВ (горизонтальная скорость камня в полете не изменяется): VВ2 = V 2 + 2g · (R + H) и квадрат полной скорости VП в точке броска VП2 = V 2 + VВ2 = 2V 2 + 2g · (R + H) = 2g · (2R + H), VП ≈ 18 м/с. Задачи1 1.1. Первую треть пути пешеход двигался равномерно со скоростью 2 км/ч, остальную часть пути — со скоростью 1 км/ч. Найти среднюю скорость движения на первой и второй половинах пути. Найти среднюю скорость за первую половину времени всего путешествия. 1

Номера задач, к которым имеются подсказки, помечены буквой «п» (например, 1.8п ).

26

Раздел 1. Кинематика

1.2. Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 40 км/ч, потом 1 час простоял неподвижно, затем двигался со скоростью 60 км/ч. Средняя скорость движения за все время пути оказалась равна 40 км/ч. Найти время путешествия. 1.3. Первую треть пути черепаха проползла равномерно за 1 час, вторую треть — тоже равномерно, но за 2 часа, третью — так же, за три часа. Во сколько раз средняя скорость на первой половине пути больше, чем на второй? 1.4. На крыше сидит наблюдатель, рядом с ним слушатель. Вдали от них дятел ритмично долбит клювом неподвижное дерево. Наблюдатель видит в бинокль, что дятел совершает ровно 60 ударов в минуту, а слушатель слышит точно 59 ударов в минуту, оба хорошо знают свое дело. С какой скоростью и куда едет крыша? Скорость звука в воздухе 330 м/с. 1.5. Между городами А и Б по прямой дороге идут навстречу друг другу два пешехода. Первая встреча между ними произошла точно посредине дороги, сразу после встречи они с теми же скоростями пошли обратно, а дойдя до концов дороги снова повернули обратно — до следующей встречи, и так далее. Вторая встреча произошла через 1 час после первой, на расстоянии 0,5 км от середины дороги. Через какое время после этого и где именно произойдет встреча номер 7? А встреча номер 8? Считайте, что пешеходы неутомимы и могут ходить непрерывно хоть целые сутки. Скорость каждого из пешеходов меняется только по направлению, но не по величине. 1.6. По прямой дороге, ведущей через поле, медленно едет автобус — его скорость 5 м/с. Вы можете двигаться

Задачи

27

по полю со скоростью 3 м/с, расстояние от Вас до дороги в данный момент составляет 30 метров, до автобуса — 50 метров. Сможете ли Вы добежать до какой-нибудь точки дороги раньше, чем в ней окажется автобус? 1.7. В компьютерной модели рассматривают движение точки внутри квадрата со стороной L. Скорость точки составляет по величине V , после столкновения с одной из сторон направление движения точки меняется — она отскакивает под некоторым случайным углом (равновероятно в пределах ±90◦ к нормали), величина скорости не меняется. Оценить число столкновений с одной из сторон квадрата за большой интервал времени T. 1.8п . На тонкий прямой стержень длины L = 10 м насажены N = 20 одинаковых маленьких бусинок, которые могут скользить по нему без трения. Скорости бусинок одинаковы и составляют V = 2 м/с, при столкновениях друг с другом и с концами стержня скорости бусинок меняют направление, оставаясь прежними по величине. В начальный момент половина бусинок едет вправо, половина — влево. Сколько ударов бусинок о концы стержня произойдет за время T = 1 час? А сколько всего ударов произойдет за это время между бусинками? 1.9. Скорость воды в реке 2 м/с, ширина реки 30 м. Спортсмен должен переплыть реку за 40 секунд, его скорость относительно воды все время постоянна и составляет 1 м/с. На сколько метров его «снесет» вдоль по течению? Считать движение прямолинейным. 1.10п . В условии предыдущей задачи уберем требование про 40 секунд, зато потребуем, чтобы «снос» оказался минимально возможным. Найти время путешествия.

28

Раздел 1. Кинематика

1.11. Фонарь висит на высоте H = 4 м, человек ростом h = 1,5 м удаляется от него по горизонтальной площади с постоянной скоростью V = 1 м/с. Найти скорость и ускорение тени его макушки при расстоянии L = 10 м от фонаря. 1.12. Школьник попросил у милиционера прикурить и бросился бежать. Через 4 секунды милиционер понял, что нужно делать, и бросился вдогонку. Скорость школьника постоянна и составляет 2 м/с, милиционер имеет начальную скорость 1 м/с и постоянное ускорение 0,2 м/с2 . Через какое время он даст школьнику прикурить? 1.13п . Две точки находятся на плоской поверхности Земли, на расстоянии L друг от друга. Из этих точек одновременно бросают два камня. Первый бросают вертикально вверх, а второй так, чтобы камни столкнулись в воздухе. При какой минимальной скорости второго камня это вообще возможно? Сопротивлением воздуха пренебречь. 1.14. С какой скоростью нужно подбросить вверх камень, чтобы на высоту 30 метров он поднялся меньше, чем за 2 секунды? Земля, как известно, плоская, и воздуха над ней нет. 1.15. С какой высоты нужно сбросить вниз камень, чтобы последние 25 метров он пролетел за 1 секунду? 1.16. С высоты 45 метров над землей отпускают без начальной скорости кирпич. В тот же момент с уровня земли, из точки, которая находится в том месте, куда упал бы кирпич, вертикально вверх бросают другой камень. С какой скоростью его нужно бросить, чтобы он столкнулся в воздухе с кирпичом?

Задачи

29

1.17. С поверхности Земли бросают вверх камень, через 2 секунды еще один камень бросают из той же точки вверх с той же скоростью. Найти эту скорость, если удар произошел на высоте H = 10 м. 1.18. Юноша бросает камень, стараясь попасть им в лампочку, которая по горизонтали отстоит от точки броска на 20 м и находится на высоте 4 м над уровнем Земли. Точка броска находится на высоте 1 м. С какой скоростью нужно уметь бросать камень, чтобы попасть в лампочку? Земля в тех местах плоская, сопротивление воздуха пренебрежимо мало. 1.19. Пушка выбрасывает снаряд со скоростью 60 м/с под произвольным углом к горизонту. Может ли снаряд пролететь 200 м по горизонтали, не поднимаясь выше 30 м над точкой выстрела? Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. 1.20п . Стена имеет высоту H = 30 м и толщину L = 10 м. С какой минимальной скоростью и под каким углом к горизонту нужно бросить камень с поверхности, чтобы перебросить его через стену? 1.21п . На расстоянии L = 30 м стоит забор высоты h = 10 м. Вы можете бросить камень со скоростью V = 25 м/с с уровня земли. Как нужно бросить камень, чтобы он упал как можно дальше за забором? На какое расстояние можно его туда забросить? Забор построен на горизонтальной площадке. 1.22. Ускорение свободного падения на Луне составляет 1,7 м/с2 . На большой горизонтальной площадке бросают камень с уровня поверхности. Он должен упасть на расстоянии 170 м от точки броска, при этом он не должен подниматься над поверхностью выше, чем на 17 м. Достаточно ли скорости броска 20 м/с?

30

Раздел 1. Кинематика

1.23п . Камень бросают с уровня земли, он должен попасть в цель, нарисованную на поверхности земли на расстоянии 100 м от точки броска. При этом полет не должен продолжаться более 5 секунд, а высота подъема не должна превышать 20 м. С какой минимальной скоростью нужно бросать? Земля в тех местах плоская, воздуха на ней нет. Ускорение свободного падения принять 10 м/с2 . 1.24. Пушка стреляет со скоростью 100 м/с под углом к горизонту не менее 30◦ . Может ли снаряд пролететь 200 м по горизонтали, не поднимаясь выше 30 м над точкой выстрела? Сопротивление воздуха мало. 1.25. Плоский склон горы поднимается под углом a = 30◦ к горизонту. Найти максимальную дальность полета камня (расстояние между точками броска и падения), брошенного с поверхности со скоростью V0 = 30 м/с. 1.26. Материальная точка движется вдоль прямой, скорость ее непрерывно возрастает — она пропорциональна квадрату времени, прошедшего с начала движения. В момент t = 3 с скорость достигла значения V = 6 м/с. Найти ускорение точки в этот момент времени. 1.27. Известная операционная система падает с большой высоты со скоростью V0 . В тот момент, когда до Земли остается H0 , она начинает тормозить — у нее появляется ускорение, которое направлено против движения и пропорционально величине скорости, причем начальное значение этого ускорения составляет по величине a0 . На какой высоте операционная система окончательно повиснет?

Задачи

31

1.28. Вдали от всех других тел, в глубинах космоса движется летающая тарелка. Скорость ее в данный момент V0 . Пилот хочет произвести маневр, в результате которого вектор скорости повернется на угол 90◦ , став по величине таким же, как и до начала маневра. Ускорение тарелки при маневре не должно превышать заданной величины a0 . Найти минимальное время маневра. 1.29. Два стержня длины L каждый соединены шарнирно, свободный конец одного из стержней шарнирно закреплен, второй конец другого стержня начинают двигать с постоянной по величине и направлению скоростью V0 , в начальный момент вектор скорости параллелен биссектрисе угла 2a, составленного стержнями в этот момент. Найти величину и направление вектора ускорения шарнира, соединяющего стержни, через очень маленький отрезок времени после начала движения. 1.30. На плоскости, в вершинах квадрата со стороной L находятся четыре маленьких черепахи. По сигналу они начинают двигаться с постоянными по величине скоростями V0 , каждая черепаха в данный момент движется точно на свою соседку по часовой стрелке. Найти ускорение черепахи в тот момент, когда расстояние от нее до соседок уменьшится в 3 раза. Через какое время это произойдет? 1.31. Три таракана находятся в вершинах правильного треугольника на горизонтальной плоскости, длина стороны L. По сигналу они начинают движение — скорость каждого по величине постоянна и равна V0 , а направлена точно на соседа по часовой стрелке. Найти время движения до их встречи. Найти ускорение таракана через очень малое время после начала движения.

32

Раздел 1. Кинематика

1.32. Тележка едет по горизонтальному столу под действием привязанной к ней нерастяжимой нити. Нить не горизонтальна — она переброшена через маленький блок, закрепленный на высоте H над плоскостью, конец нити тянут с постоянной скоростью V0 , направленной горизонтально. Найти скорость тележки и ее ускорение в зависимости от угла между нитью и горизонтом. 1.33. Грампластинка вращается со скоростью 78 оборотов в минуту. По пластинке ползет крошечный жучок, его скорость относительно пластинки 1 см/с, он движется по радиусу к центру пластинки. Найти его ускорение в тот момент, когда расстояние до центра составляет 10 см. 1.34п . Точка движется вдоль оси X, график зависимости скорости от координаты представляет собой четвертушку окружности — максимум скорости V0 в начале координат, скорость спадает вначале медленно, потом все быстрее, и обращается в нуль в точке с координатой X0 . Найти время перемещения от 0 до X0 и ускорение при приближении к точке X0 . 1.35. Скорость точки при движении по прямой меняется по закону V (x) = 2 + 0,2 · x2 , где x — в метрах, а V — в м/с. Найти ускорение при прохождении x1 = 2 м. Оценить время путешествия от x1 до x2 = 3 м. 1.36. Точка A движется вдоль оси X с постоянной скоростью V , точка Б движется по плоскости XY так, что расстояние от нее до начала координат все время такое же, как и до точки A, и составляет L. Найти ускорение точки Б в зависимости от ее расстояния H до оси X.

Задачи

33

1.37. Вдоль оси X движется точка. Ее ускорение все время пропорционально ее скорости, в начале координат скорость была равна 1 м/с, ускорение в этот момент 0,1 м/с2 . Найти зависимость скорости от координаты. 1.38п . Кролик бежит по прямой с постоянной скоростью V1 , за ним по плоскости гонится лиса. Скорость лисы V2 постоянна по величине и все время направлена в ту точку, где находится в данный момент кролик. В некоторый момент расстояние между участниками забега составляет L, а угол между векторами скоростей a. Найти ускорение лисы в этот момент. 1.39п . Воздушный шар сферической формы имеет радиус R = 5 м и удерживается натянутой веревкой так, что его центр находится на высоте H = 6 м над плоской поверхностью. С уровня этой поверхности бросают камень так, что он перелетает через шар, причем траектория камня лежит в вертикальной плоскости, проходящей через центр шара. С какой минимальной скоростью бросали камень? 1.40п . По прямой дорожке бежит со скоростью V кролик. За ним бежит лиса, ее скорость по величине также равна V и направлена в каждый момент точно на кролика. В некоторый момент скорость лисы перпендикулярна дорожке, а расстояние между лисой и дорожкой составляет L. Найти минимальное расстояние между участниками забега. 1.41. Колесо радиуса R катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости, скорость центра колеса V0 . Найти скорость и ускорение точки, находящейся на высоте H. 1.42. Точка движется по плоскости с постоянным по модулю ускорением. В некоторый момент скорость

34

Раздел 1. Кинематика

и ускорение составляют угол 45◦ . Что произойдет раньше — вектор скорости повернется на 1◦ , или скорость изменится по модулю на 1 %? 1.43. Тело бросили под углом f к горизонту со скоростью V0 . За какое время вектор скорости повернется на угол f/2? 1.44. Автомобиль едет по ровной горизонтальной поверхности по направлению к стене. Есть два варианта не врезаться в стену — затормозить или «отвернуть». Какой из вариантов требует меньшего коэффициента трения m? Какой из них займет меньше времени при заданном m? Во сколько раз? 1.45. Два футболиста бегут друг другу навстречу по прямой, их скорости равны 5 м/с. Судья благоразумно держится от них на достаточном расстоянии — между судьей и одним из игроков расстояние все время ровно 30 метров, между судьей и другим игроком — 40 метров. Найти скорость и ускорение судьи в тот момент, когда между игроками будет расстояние 50 метров. 1.46. Тело бросили со скоростью 50 м/с под углом 30◦ к горизонту. Вектор его скорости все время поворачивается. Найти угловую скорость его вращения около верхней точки траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь.

РАЗДЕЛ 2

ДИНАМИКА Примеры решения задач Задача 1. Школьный динамометр тянут в разные стороны, приложив к его корпусу (первый крючок) и к пружинке (второй крючок) одинаковые по величине силы 1 Н. Движется ли динамометр? Что показывает при этом динамометр? Решение. Если динамометр привязать к стене и потянуть за свободный крючок силой 1 Н, он покажет ровно 1 Н — это ясно, именно для таких измерений динамометр и сделан. Но в этом случае на него как раз и действуют две силы по 1 Н каждая, которые направлены в противоположные стороны. Итак, показания динамометра 1 Н. Задача 2. На гладком горизонтальном столе находятся два тела масс M1 и M2 , связанные легкой нерастяжимой нитью. Тела тянут в противоположные стороны силами F1 и F2 , направленными параллельно нити. Найти силу натяжения нити. Решение. Обозначим искомую силу натяжения буквой T, тогда для каждого из тел можно записать уравнения движения (ускорения тел одинаковы — нить нерастяжима): F1 − T = M1 · a; T − F2 = M2 · a. Отсюда получим T=

F1 · M 2 + F2 · M 1 . M1 + M2

Задача 3. В условиях предыдущей задачи вместо нити применили очень легкую пружинку. Найти силу

36

Раздел 2. Динамика

натяжения пружинки после того, как движение установилось. Решение. Если движение установилось и длина пружинки больше не меняется, то она ничем не отличается от нерастяжимой нити и ответ будет таким же, как и в предыдущей задаче. Задача 4. В условиях предыдущей задачи пружинка оказалась не очень легкой — ее масса составляет m. Одинаковы ли силы натяжения в разных частях пружинки при установившемся движении? Найти удлинение пружинки в этих условиях, если известно, что при равенстве приложенных сил F1 = F2 = F0 пружинка удлинилась на X0 . Решение. Система в этом случае движется ускоренно, силы натяжения вдоль весомой (точнее — «массомой») пружинки теперь различны в разных точках. Проще всего найти натяжения на концах пружинки и затем посчитать ее длину в растянутом состоянии. Найдем F1 − F2 вначале ускорение системы: a = . Для груM1 + M2 + m зов: F1 − T1 = a · M1 ; T2 − F2 = a · M2 , и натяжения пружины легко находятся. Растяжение пружины определяется средней силой натяжения — полусуммой T1 и T2 (это несложно доказать, мысленно разбив пружину на множество маленьких частей, каждая из которых растягивается различными для разных частей, но почти одинаковыми между собой силами, и остается найти сумму таких маленьких приращений длин. Если мы выберем кусочки одинаковых масс, то получится простая арифметическая прогрессия и ответ сразу будет виT + T2 ден). Итак, изменение длины пружины X = X0 · 1 , 2F0

Примеры решения задач

37

F1 (M2 + m) + F2 M1 F2 (M1 + m) + F1 M2 , T2 = , откуда M1 + M2 + m M1 + M2 + m X F1 (2M2 + m) + F2 (2M1 + m) X= 0 · . M1 + M2 + m 2F0

где T1 =

Задача 5. Школьный динамометр тянут в разные стороны, приложив к его корпусу (первый крючок) и к пружинке (второй крючок) силы 1 Н и 3 Н. Движется ли динамометр? Что показывает при этом динамометр? Решение. Конечно, движется. Его ускорение определяется суммарной силой (разность сил 3 Н и 1 Н) и массой динамометра. А вот показания динамометра (растяжение пружины) зависят от многих факторов, не упомянутых в условии задачи. Собственно, все необходимые рассуждения приведены в решениях трех предыдущих задач. Задача 6. Жесткий, очень легкий стержень используют в качестве рычага — к его концам на нитях подвешены грузы M1 и M2 , расстояния от концов нитей до точки опоры L1 и L2 , соответственно (рис. 1). Вначале L1

L2

M2

M1

Рис. 1

рычаг удерживают так, что он остается горизонтальным, затем его отпускают. Найти силы натяжения нитей и ускорения грузов через небольшое время после отпускания — пока стержень еще почти не повернулся. Решение. Начальные ускорения грузов вертикальны — силы тяжести и натяжения нитей, действующие на грузы, вначале направлены по вертикали (только после заметного поворота рычага нити перестанут быть

38

Раздел 2. Динамика

вертикальными). Ускорения грузов связаны между собой — они направлены в противоположные стороны, а отношение их величин определяется отношением «плеч» рычага: a1 : a2 = −L1 : L2 . Для того, чтобы это доказать, достаточно повернуть рычаг на очень малый угол и сравнить смещения грузов. Силы натяжения нитей до отпускания были равны силам тяжести, действовавшим на грузы, и те были неподвижны. Сразу после того, как мы отпустим стержень, силы натяжения изменятся, и у грузов появятся ускорения. Если масса стержня очень мала («очень легкий стержень»), то моменты сил натяжений должны практически компенсировать друг друга, иначе стержень начал бы стремительно вращаться — формально, с бесконечно большим угловым ускорением. А глядя на систему, можно сразу понять, что сначала движения грузов и вращение стержня довольно медленные, ни о каких огромных ускорениях и угловых ускорениях речи быть не может. Условие равенства моментов сил позволяет написать: T1 · L1 = T2 · L2 . Четыре неизвестные величины — ускорения двух грузов и натяжение двух нитей — требуют для их нахождения четырех уравнений. Два мы уже написали (связь ускорений тел и равенство моментов сил). Еще два уравнения мы получим из уравнений динамики: M1 · g − T1 = M1 · a1 и M2 · g − T2 = M2 · a2 . Этих уравнений достаточно для решения задачи. Но есть еще один вопрос: что же такое «небольшое время после отпускания...»? Имеет ли это время отношение к свойствам стержня, грузов и нитей? Даже приближенный ответ на этот вопрос требует понимания свойств упругих волн, которые побегут по стержню сразу после его отпускания, так что оставим этот вопрос до одиннадцатого класса.

Примеры решения задач

39

Задача 7. Грузы M и 2M подвешены на блоке при помощи легкой и нерастяжимой нити. Ось блока начинают перемещать по вертикали. Куда должно быть направлено ускорение оси блока и каким оно должно быть, чтобы тяжелый груз мог некоторое время (пока нить не «закончится») оставаться неподвижным? Решение. Чтобы ускорение большого груза оказалось нулевым, сила натяжения привязанной к этому грузу нити должна быть равна 2M · g. Тогда ускорение второго Mg − 2Mg

груза будет равно = −g. Следовательно, блок M нужно двигать по вертикали так, чтобы его ускорение было направлено вверх и составляло ровно g. Обратите внимание: не «двигать вверх», а «двигать с ускорением, направленным вверх» — это не одно и то же!

Задача 8. Два конца длинной тонкой нити мы удерживаем, зажав их пальцами, свисающая вниз средняя часть нити поддерживает блок, к оси которого прикреплен груз (рис. 2). Слева пальцы сжаты сильно, чтобы нить начала проскальзывать, ее нужно тянуть с силой не менее 7 Н, справа пальцы сжаты слабее, там достаточно силы 3 Н. Масса груза, прикрепленного к оси блока, составляет 1 кг. Найти его ускорение. Поддерживающие блок концы нити вертикальны. Рис. 2 Решение. Примем для расчета g = 10 м/с2 (можно посчитать и при точном значении, но принципиальной разницы нет никакой). Понятно, что если взять массу груза меньше 0,6 кг, то он двигаться не будет — натяжения частей нити наверху будет недостаточно для проскальзывания. А вот в нашем случае проскальзывание будет только в «слабом» месте, ведь сумма сил натяжения частей нити получается меньше

40

Раздел 2. Динамика

10 Н — при ускорении груза, направленном вниз. Итак, сила натяжения нити будет определяться силой трения в «слабом» месте и составит T = 3H, ускорение груза находим из уравнения Mg − 2T = Ma, a = 0,4g = 4 м/с2 .

Задача 9. К оси легкого блока прикрепили груз массы M, сам блок удерживается переброшенной через него нитью, один конец которой закреплен, а к другому концу привязан грузик массы m (рис. 3). m m m m m Этот груз мы вначале держим так, чтобы свободные концы нитей были вертикальны. Отпустим грузик, и система придет в движение. Найти ускорение блока. Решение. Важно разобраться с натяжением нити — если нить не будет натянута, то груз и прикрепленный к нему блок будут проM M M M M сто падать с ускорением g. Можно поступить так: решать задачу, обозначив натяжение ниРис. 3 ти T, а если оно (натяжение) в результате получится отрицательным — значит, нить не натянута. Итак, обозначим силу натяжения нити буквой T, ускорение блока и связанного с ним груза M — буквой a. Сила натяжения куска нити, привязанного к грузу M, равна 2T (как обычно — для совсем легкого блока), ускорение верхнего груза при натянутой нити равно 2a (нить нерастяжима). Теперь запишем уравнения динамики для грузов: M · g − 2T = M · a; Отсюда a=

g · (M + 2m) M + 4m

m · g + T = m · 2a. и

T=

M·m·g . M + 4m

Натяжение нити не равно нулю, верхний груз движется с ускорением, которое превышает ускорение свободного падения — все в порядке.

Примеры решения задач

41

Задача 10. К оси блока прикрепили грузик массы m, через блок переброшена нить, один конец которой закреплен, а к другому концу привязан груз массы M (рис. 4). Грузик наверху мы вначале дерm m m m m жим так, чтобы свободные концы нитей были вертикальны. Отпустим грузик и система придет в движение. Найти ускорение блока. Чему равно натяжение нити до отпускания грузика и во время движения? Решение. А вот в этой задаче все иначе — нить натянута не будет, тела просто M M M M M M свободно падают. Можно решить и формальРис. 4 но: обозначим натяжение куска нити, привязанного к нижнему грузу буквой T, тогда верхний кусок должен иметь натяжение 2T (мы предположили, что нить натянута!). Если ускорение нижнего груза a, то верхний должен иметь вдвое меньшее ускорение. Теперь уравнения динамики: Mg − T = Ma; mg + 2T = m · 0,5a. Решая систему, получим для силы m·M·g

натяжения: T = − , что означает — для случая «соM + 4m гласованного» движения грузов при натянутой нити, ее натяжение должно было быть отрицательным, а это невозможно. Итак, грузы и блок свободно падают, натяжение нити равно нулю. Задача 11. С какой силой F нужно давить на куб, чтобы его удерживать неподвижным? Масса куба M, масса груза m, груз свисает на вертикальной нити и касается куба (рис. 5). Стол гладкий. Решение. Сила F должна уравновесить горизонтальную силу натяжения нити (эта сила действует на блок — но блок прикреплен к кубу и составляет с ним при движении по горизонтали одно тело). Если куб неподвижен, значит и груз не движется, тогда сила натяжения

42

Раздел 2. Динамика

M

m m m m m m

Рис. 5

свисающего конца нити должна уравновесить силу тяжести mg, действующую на груз. Силы натяжения нити с двух сторон блока одинаковы, окончательно F = mg. От массы куба ответ не зависит. Задача 12. Куб массы M находится на поверхности гладкого горизонтального стола. Грузик m касается его гладкой боковой поверхности, свисающий конец нити вертикален. Вначале систему удерживают, затем отпускают. Найти ускорение куба.

M

m m m m m

Рис. 6

Решение. При смещении груза по вертикали укорачивается горизонтальный отрезок нити, при этом смещение куба вместе с грузом по горизонтали в точности равно вертикальному смещению груза. Это означает, что соответствующие ускорения равны между собой. По горизонтали тела движутся вместе, под действием силы натяжения нити T: (M + m)a = T. Для груза по mg вертикали: mg − T = ma. Отсюда a = . M + 2m

Задача 13. Когда маленький тяжелый камень падает на Землю с большой высоты, установившаяся ско-

Примеры решения задач

43

рость его падения составляет 200 м/с. Если прикрепить к нему небольшой парашют, скорость падения камня быстро устанавливается и составляет 5 м/с. Если взять парашют немного побольше, то установившаяся скорость падения составляет 3 м/с. Чтобы использовать оба парашюта вместе, возьмем длинную легкую нить и большой невесомый блок: нить перекинем через блок так, чтобы ее длинные концы были направлены вверх, привяжем малый парашют к одному концу нити, а большой — к другому. Камень подвесим к оси блока. Вначале будем удерживать парашюты так, чтобы не лежащие на блоке участки нити были вертикальны, а затем отпустим всю систему. Какая установившаяся скорость падения будет у камня в этом случае? Считать, что к моменту установления скорости ни один из парашютов еще не касается блока, массы парашютов пренебрежимо малы. Сила сопротивления для парашюта пропорциональна квадрату его скорости, силой трения блока о воздух пренебречь. Решение. По условию задачи силы сопротивления воздуха для камня и парашюта пропорциональны квадратам их скоростей. Поскольку установившаяся скорость падения камня без парашюта в десятки раз больше, чем с парашютами, то сила трения камня о воздух при падении с парашютами в несколько тысяч раз меньше, чем силы трения парашютов о воздух, и ею можно пренебречь. При установившемся равномерном движении системы из камня массой M, блока, парашютов и нитей сила натяжения нити, соединяющей камень с осью блока, равна Mg, а силы натяжения участков основной длинной нити с двух сторон от блока равны друг другу и составляют по

Mg . Поскольку, как отмечалось, силы 2

44

Раздел 2. Динамика

сопротивления для парашютов пропорциональны квадратам их скоростей, то √ установившиеся скорости парашютов уменьшатся в 2 раз по сравнению с их значениями V1 = 5 м/с и V2 = 3 м/с для падения камня с одним из парашютов. Так как нить нерастяжима, то скорость V камня, подвешенного к блоку, будет равна средней скорости движения парашютов: V =

V1 + V2 √ ≈ 2,8 м/с. 2 2

Задача 14. На закрепленной оси может вращаться блок, состоящий из двух склеенных дисков радиусов R и 2R. Нить закреплена одним концом на окружности малого диска, и на этот диск намотано несколько витков, другой конец нити образует петлю, удерживающую нижний блок, диаметр которого подобран так, что все свешивающиеся концы нити вертикальны. К этому блоку привязан груз M, к свободному концу нити прикреплен груз 3M (рис. 7). Найти ускорения грузов. Блоки и нить невесомые, трения нет. Решение. Обозначим силу натяжения куска нити, привязанного к грузу 3M, буквой Q, а натяжения свисающих кусков нити, Рис. 7 удерживающих нижний блок — буквой T. Тогда сила натяжения нити, привязанной к грузу M, составит 2T. Связь между этими силами мы найдем из анализа моментов сил, действующих на верхний блок — он невесом, поэтому сумма этих моментов должна быть нулевой: T · 2R = T · R + Q · 2R. Отсюда Q = T . 2 Найдем связь между ускорениями грузов. Пусть верхний блок повернулся на угол a, тогда груз 3M опустится на 2R · a, на «внутренний» блок намотается R · a, свисающий петлей конец нити укоротится на R · a, нижний блок и привязанный к нему груз M

3M

Задачи

45

поднимутся на 0,5 · R · a. Отсюда видно, что если груз 3M движется с ускорением a, направленным вниз, то ускорение груза M направлено вверх и составляет a . 4 Теперь запишем для каждого груза уравнение динамики: 2T − Mg = M · a ; 3Mg − T = 3M · a. Отсюда получаем 44 · g a= ≈ 0,9 · g. 49

4

2

Задачи 2.1п . Школьный динамометр тянут в разные стороны, приложив к его корпусу (первый крючок) и к пружинке (второй крючок) одинаковые по величине силы 10 Н. Что показывает при этом школьный динамометр? 2.2. На горизонтальном столе находится груз массы M = 2 кг. К нему привязана нить, которую тянут вверх, под углом a = 30◦ к горизонтали, постепенно увеличивая силу. При какой минимальной величине приложенной силы F груз начнет двигаться? Коэффициент трения между грузом и столом m = 0,7. 2.3. На горизонтальном столе находится груз массы M = 2 кг. К нему привязана нить, которую тянут вниз, под углом a = 30◦ к горизонтали, постепенно увеличивая силу. При какой минимальной величине приложенной силы F груз начнет двигаться? Коэффициент трения между грузом и столом m = 0,7. 2.4. На горизонтальном столе находится груз массы M = 2 кг. К нему привязана нить, которую тянут вниз, под углом a = 60◦ к горизонтали, постепенно увеличивая силу. При какой минимальной величине приложенной силы F груз начнет двигаться? Коэффициент трения между грузом и столом m = 0,9.

46

Раздел 2. Динамика

2.5п . Груз массы 1 кг подвешен на нити к потолку. К нему прикрепили легкую пружинку, на конце которой висит груз массы 2 кг. Система неподвижна. Нить пережигают. С каким ускорением движется сразу после этого верхний груз? А нижний? 2.6. Груз массы 1 кг подвешен на нити к потолку. К нему прикрепили пружинку массы 0,2 кг, на конце которой висит груз массы 2 кг. Система неподвижна. Нить пережигают. С каким ускорением движется сразу после этого верхний груз? А нижний? 2.7. Груз массы 1 кг подвешен на нити к потолку. К нему прикрепили кусок нити, на конце которой висит груз массы 2 кг. Система неподвижна. Верхнюю нить пережигают. С каким ускорением движется сразу после этого верхний груз? А нижний? m m m m m m

m m m m m

m m m m m

2.8. В системе на рисунке три маленькие груза массы m, большой внизу — массы M (рис. 8). Найти их ускорения и натяжения разных частей нитей.

M M M M M

2.9п . Через неподвижный легкий блок переброшена нить, к одному ее концу приРис. 8 вязан груз M, к другому концу — ось подвижного блока. На легкой нити, переброшенной через этот блок, висят грузы m и 3m. Систему растормаживают, и грузы начинают двигаться без рывков. При каких значениях массы M хотя бы один из грузов может некоторое время оставаться неподвижным? 2.10. Через неподвижный легкий блок переброшена нить, к одному ее концу привязан груз M, за свисающий конец нити ухватился жук массы M/2, который ползет по нити вверх так, что все время остается на

47

Задачи

одной высоте. С каким ускорением движется при этом груз M? 2.11п . На легком блоке подвешены при помощи нерастяжимой нити грузы 1 кг и 5 кг. С каким ускорением нужно двигать блок по вертикали, чтобы ускорение одного из грузов было в 1000 раз меньше по величине, чем другого? Ответ нужно получить с точностью не хуже 1 %. 2.12. На куске каната длины 1 м и массы 2 кг подвешен груз массы 10 кг. Свободный конец каната тянут вертикально вверх с ускорением 3 м/с2 . Найти силу натяжения каната в середине куска и на его концах. 2.13п . Массы трех грузов в системе равны M, правый нижний груз имеет массу 2M (рис. 9). Верхние грузы вначале удерживают, и в тот момент, когда скорости остальных двух грузов равны нулю, грузы отпускают. Найти ускорения каждого из грузов и натяжение длинной нити. 2.14. Массивный клин имеет угол a при основании и угол 90◦ при вершине. Одинаковые грузы массы m каждый связаны легкой нерастяжимой нитью, переброшенной через блок, который прикреплен к вершине клина (рис. 10). С какой силой нужно действовать на клин по горизонтали, чтобы он мог оставаться неподвижным? 2.15. Подставка сложной формы имеет массу M. Брусок наверху массы

m m m m m

m m m m m

m m m m m m

M M M M M

Рис. 9

Рис. 10 2m M

m

Рис. 11

48

Раздел 2. Динамика

2m, свисает на нити груз m (рис. 11). Найти ускорение подставки. Трения нет. 2.16. Два одинаковых клина массы M каждый могут двигаться без трения по горизонтальной поверхности. Шар массы m аккуратно помещают сверху и отпускают (рис. 12). Найти ускорение шара. Угол при основании клина a. 2.17. Куб массы M толкают вправо горизонтальной силой F, брусок m при этом поднимается вверх (рис. 13). Найти силу натяжения нити, переброшенной через блок. 2.18. Найти силу натяжения нити в точке A и ускорения грузов. Массы грузов одинаковы и равны M (рис. 14). Ось верхнего блока закреплена неподвижно. 2.19. Найти силу натяжения нити в точке A. Масса слева M, справа M и 2M (рис. 15). Ось верхнего блока закреплена неподвижно. 2.20. На неподвижном блоке подвешены на нити одинаковые грузы M и M, на один из них поставили дополнительно грузик m. С какой силой грузик давит на груз во время движения?

M M M M M M F M

m

M

M

Рис. 12

M M M M M M

A

m m m m m M M M M M M

Рис. 13

A

M M M M M M

Рис. 14

M M M M M M

2M 2M 2M 2M 2M 2M

Рис. 15

49

Задачи

2.21п . В системе на рисунке 16 нижний груз имеет вдвое большую массу, чем каждый из двух других. Груз слева вначале удерживают, затем отпускают. Найти ускорения тел.

M M M M M M M M M M

2.22. В системе на рисунке 17 маленькие грузы имеют массы m, большой груз — массу 3m. С какой силой груз m давит на 3m во время движения? 2.23. Через легкий блок переброшена нить, к ее концам прикреплены грузы M и 3M. С каким ускорением нужно двигать ось блока вверх, чтобы ускорения грузов отличались друг от друга по величине вдвое?

2M 2M 2M 2M 2M

Рис. 16

m

m 3m 3m 3m 3m 3m 3m

2.24п . На гладком горизонтальном столе находится куб массы 2 кг, на его верхРис. 17 ней грани лежит большой, легкий лист бумаги, сверху находится еще один кубик массы 1 кг. Коэффициент трения между бумагой и телами равен 0,6. Лист тянут горизонтальной силой 10 Н. Найти ускорение листа бумаги. 2.25. На очень легком блоке при помощи нерастяжимой и невесомой нити подвешены два груза, массы которых M и 3M. Блок двигают с ускорением вертикально так, что тяжелый груз остается на месте. С каким ускорением движется при этом легкий груз? Чему равно ускорение блока? Куски нити остаются вертикальными. 2.26. Клин с углом a = 30◦ при основании двигают по горизонтальной плоскости. С каким ускорением нужно его двигать, чтобы тележка, находящаяся на его на-

50

Раздел 2. Динамика

клонной грани, ехала вверх по клину, а вертикальная составляющая ее ускорения составляла a0 = g/10? 2.27. Корзина массы M = 3 кг уравновешена на неподвижном блоке при помощи груза такой же массы. В корзину аккуратно кладут груз массы m = 0,5 кг, система приходит в движение. С какой силой груз давит на дно корзины? На сколько изменилась при этом сила натяжения нити по сравнению с прежним случаем (уравновешенная корзина)? 2.28. На горизонтальной гладкой плоскости двигаются два тела, массы которых M и 3M. Они связаны нитью длины L, которая в процессе движения остается натянутой. В некоторый момент скорость легкого тела равна нулю, скорость тяжелого в этот момент равна V . Найти силу натяжения нити. Через какой отрезок времени скорость легкого тела снова станет равной нулю? Найти максимальное значение скорости легкого тела. 2.29. По гладкому горизонтальному столу движется легкий жесткий стержень длины L, на нем закреплены три маленьких грузика — один из них имеет массу 2M и закреплен у одного из концов стержня, второй и третий имеют одинаковые массы M и закреплены посредине стержня и на другом его конце. В некоторый момент скорость средней бусинки равна нулю, а скорость тяжелой составляет V . Найти силы натяжения стержня по обе стороны от его центра и время одного полного оборота стержня. 2.30. На легком клине массы m с углом a = 45◦ при основании находится приклеенная к нему тележка массы M = 10m. Тележка приклеена к наклонной плоскости клина, и вся система неподвижна. В некоторый момент тележка отклеивается (должно быть, клей был не

51

Задачи

очень...), система приходит в движение. Найти ускорение клина при движении. 2.31п . Бетонный блок массы 1000 кг находится на горизонтальной поверхности. К нему под углом 30◦ к горизонту приложили силу 2000 Н, но он не поехал. Однако, когда эту силу увеличили до 2020 Н, блок все же поехал. Найти по этим данным коэффициент трения на указанной поверхности. 2.32п . На тело, находящееся на горизонтальной шероховатой поверхности стола, начинает действовать по горизонтали сила, величина которой возрастает со временем по линейному закону. Смещение тела за время T, прошедшее с момента начала действия силы, составляет L, за время 2T — смещение равно 50L. Найти смещение за интервалы 0,5T и 3T. 2.33. На гладком горизонтальном столе находится тело массы M — слева, к нему прикреплен блок, и тело массы m (рис. 18). К концу нити приложена горизонтальная сила F. С каким ускорением движется этот конец нити? F M

m

Рис. 18

2.34. В системе, изображенной на рисунке 19, все блоки очень легкие, а нити нерастяжимые и тоже очень легкие. Найти ускорения блоков, если массы всех грузов одинаковы. 2.35. На легком подвижном блоке подвешены грузы M и 2M, к оси этого блока прикреплена нить, переброшенная через неподвижный блок, к другому концу

52

Раздел 2. Динамика

2M 2M 2M 2M 2M

M M M M M M 2M 2M 2M 2M 2M 2M

Рис. 19

Рис. 20

2M 2M 2M 2M 2M 2M

Рис. 21

этой нити прикреплен еще один груз. Какой должна быть масса этого груза, чтобы после растормаживания системы один из грузов мог оставаться неподвижным в течение некоторого времени (пока не кончится нить)? Система начинает двигаться без рывков. 2.36. В системе, изображенной на рисунке 20 все блоки очень легкие, а нити нерастяжимые и тоже очень легкие. Найти ускорения блоков, если массы двух верхних грузов одинаковы, а нижнего — в 8 раз меньше. Оси двух верхних блоков закреплены. 2.37. В нижней точке сферической ямы радиуса R = 5 м находится маленькое тело. Ему ударом придают горизонтальную скорость V = 5 м/с. Найти его полное ускорение сразу после начала движения. Коэффициент трения m = 0,7. 2.38п . В системе, изображенной на рисунке 21, крайний левый груз имеет массу M, остальные грузы —

53

Задачи

массы 2M. Найти ускорения всех грузов. Блоки, нити — все, как обычно. 2.39. На блоке при помощи легкой нерастяжимой нити подвешены грузы M и 2M. Блок представляет собой тонкий обруч радиуса R и массы m, вся масса сосредоточена по его окружности. Найти ускорения грузов после того, как мы перестали их удерживать. Ось блока неподвижна. 2.40. Блоки в системе на рисунке 22 совсем легкие, нити невесомые и нерастяжимые. Оси верхних двух блоков закреплены, масса среднего груза M, нижний груз имеет массу 2M, груз слева 3M. Найти ускорения всех грузов.

3M 3M 3M 3M 3M 3M M M M M M

2M 2M 2M 2M 2M 2M 2.41. На шероховатом горизонтальном столе находится клин массы 1 кг Рис. 22 с углом 30◦ при основании. По гладкой поверхности клина скользит груз массы 2 кг. При каких значениях коэффициента трения на столе клин может оставаться неподвижным?

2.42. По наклонной плоскости с углом a скатывается без проскальзывания тонкий обруч. Найти ускорение оси обруча. При каком значении коэффициента трения на наклонной плоскости возможно качение обруча без проскальзывания? 2.43. На гладком горизонтальном столе находится клин с углом 30◦ при основании, по его наклонной поверхности скользит без трения маленькое тело. При каком отношении масс тела и клина ускорение клина относительно стола составит 0,1g? А 2g?

54

Раздел 2. Динамика

2.44п . Автомобиль на горизонтальной площадке все время едет по кругу радиуса 100 м со скоростью 20 м/с. За какое наименьшее время он сможет увеличить свою скорость до 21 м/с? Коэффициент трения равен 0,9. 2.45п . Наклонная плоскость составляет угол 30◦ с горизонтом. Колесо телеги скатывается без начальной скорости с заданной высоты, причем проводятся три разных опыта — когда трения на плоскости вовсе нет (смазана маслом...), когда трение очень велико и когда коэффициент трения составляет ровно m. В первом и во втором случае времена поездки отличались в 1,2 раза. Найти ускорение колеса в третьем случае. Колесо телеги имеет толстый обод и довольно массивную ось. 2.46. На горизонтальном шероховатом столе помещены грузы M (внизу) и m, связанные нитью, переброшенной через неподвижный блок (рис. 23). Коэффициенты трения грузов друг о друга и нижнего груза о поверхность стола одинаковы и равны m. С какой горизонтальной силой нужно потянуть нижний груз, чтобы тела пришли в движение? Нити горизонтальны. m M

Рис. 23

2.47. На очень легкий клин массы M с углом 45◦ при основании поместили тележку массы 1000M и отпустили. С какой силой давит тележка на клин во время движения? Коэффициент трения между клином и горизонтальной поверхностью стола равен 0,2.

РАЗДЕЛ 3

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА-ЭНЕРГИИ В некоторых случаях механические задачи удобно решать не при помощи записи уравнений динамики, а при помощи уравнений законов сохранения импульса и энергии системы. Несколько примеров решения таких задач. Примеры решения задач Задача 1. На гладком горизонтальном столе покоится шайба массы M, на нее налетает со скоростью V0 шайба массы m, между шайбами происходит абсолютно упругий лобовой удар. Найти скорости шайб после удара. Решение. Обозначим скорости шайб после удара V1 и V2 , направим их для определенности в ту же сторону, куда двигалась до удара налетающая шайба (за шайбу M можно быть уверенным, а вот первая шайба после удара может полететь и обратно — в этом случае скорость V1 получится отрицательной). Уравнения законов сохранения импульса и энергии: mV0 = mV1 + MV2 ;

mV02 mV12 MV22 = + . 2 2 2

Разделим каждое уравнение (левую и правую части) на m, перенесем одно из слагаемых (первое) из правой части в левую и используем обозначение k = M m . Полу2 2 чим уравнения попроще: V0 − V1 = kV2 ; V0 − V1 = kV22 . Тут

56

Раздел 3. Законы сохранения импульса-энергии

есть возможность совершить математическую ошибку: первое уравнение перепишем без изменений, в качестве второго возьмем результат деления второго уравнения на первое (разность квадратов хорошо делится на просто разность: V0 − V1 = kV2 ;

V0 + V1 = V2 .

Получилась совсем простая система уравнений, если 2 · V0 . Сразу 1+k (1 − k) · V0 можно получить и первую скорость V1 = . Где 1+k

уравнения сложить, то сразу найдется V2 =

же ошибка? А вот где — мы потеряли пару корней системы, одно из уравнений было второго порядка. Потеряли их мы при делении, так нельзя обращаться с функциями, нужно быть внимательнее. Потерянная пара: V1 = V0 ; V2 = 0. Ясно, что эти значения подходят, а вот реализуются ли они хотя бы в некоторых случаях? Ответ положительный, посмотрите, например, на задачу 3.8. Итак, для такого удара возможны две пары решений. Кстати, после деления уравнений друг на друга мы получили и еще один полезный результат: относительная скорость тел после такого удара оказывается такой же по величине, что и до удара. Этот факт тоже может пригодиться при решении задач. Задача 2. Найти максимальное значение энергии деформации при ударе тел, описанном в 1. Решение. Максимальное значение энергии деформации будет в тот момент, когда скорости тел станут одинаковыми (до этого момента центры тел сближались, после — начали удаляться, максимальное сближение, т. е. максимальная энергия деформации, получается именно в этот момент). Тогда для скоростей в этот

Примеры решения задач

57

момент: V1 = V2 ;

mV0 = mV1 + MV2 ;

mV02 mV12 MV22 = + + Wдеф. 2 2 2

k · mV 2

0 . Такой же ответ получится, если Отсюда Wдеф = 2(1 + k) просят найти потери кинетической энергии при абсолютно неупругом ударе этих же тел.

Задача 3. На длинной нити неподвижно висит кусок пенопласта массы M = 2 кг, на него налетает маленького размера пуля массы m = 9 г, летящая в горизонтальном направлении со скоростью V1 = 200 м/с. Пуля пробивает кусок пенопласта насквозь и вылетает горизонтально, имея скорость V2 = 160 м/с. На какую высоту «откачнется» кусок пенопласта после этого? Считайте, что он движется поступательно, не поворачиваясь. Решение. Тут выделяется тепло, поэтому нельзя напрямую использовать закон сохранения механической энергии. Рассмотрим вначале «пробой пенопласта» — при таких размерах (масса куска задана, размер куска порядка десятка-другого сантиметров) пуля пробивает его очень быстро — средняя скорость движения внутри куска составит 180 м/с, время пролета — несколько тысячных долей секунды. За какое время кусок на нити отклонится очень незначительно (сравниваем время воздействия с периодом свободных колебаний куска на длинной нити). Итак — при расчете дальнейшего движения куска пенопласта будем считать, что он моm(V1 − V2 )

ментально приобрел скорость V = = 0,18 м/с. M Далее потерь механической энергии нет, поэтому высоту подъема H можно определить из закона сохранения 2

механической энергии: H = V ≈ 0,16 см. Отклонение 2g

58

Раздел 3. Законы сохранения импульса-энергии

совсем маленькое, оговорка в условии об отсутствии вращения очень важна. Задача 4. На вершине гладкой полусферической горки покоится очень маленькое тело массы m. От малого точка тело начинает скользить по горке. Найти силу, с которой тело давит на поверхность горки, как функцию высоты тела над основанием горки H. Решение. Горка гладкая, для нахождения скорости тела V воспользуемся законом сохранения механиче2

ской энергии: mV = mg · (R − H); V 2 = 2g · (R − H). Соб2 ственно, нам нужен именно квадрат скорости, ускорение тела найти не просто, но его проекция на радиус (центростремительное ускорение) выражается со2

всем просто: a = V . Запишем уравнение второго закоR на Ньютона в проекции на радиальное направление: 2

mg cos a − N = mV . Выразим косинус через высоту H R   и радиус R: cos a = H . Тогда N = mg · 3H − 2 . При H ,

R R R 2 равном , сила реакции обращается в ноль, тело пе3

рестает давить на поверхность горки, отрывается от ее поверхности и дальше летит по параболе (под действием только силы тяжести). Высота отрыва H = 2R . 3

Задача 5. На блоке массы m с закрепленной осью при помощи легкой, нерастяжимой нити подвешены грузы масс M1 и M2 . Найти ускорения грузов. Вся масса блока сосредоточена в его ободе — именно обода касается нить, причем трение между нитью и ободом велико, и нить по ободу не проскальзывает. Решение. Решим эту задачу «энергетическим» методом. Будем считать, что тела двигаются равноускоренно (при небольшом усложнении решения это легко можно доказать!), ускорение одного из тел обозначим буквой a.

59

Задачи

За время t после начала движения тела приобретут скорости V = a · t, с такой же по величине скоростью двигаются «массомые» точки блока. Общая кинетическая энергия системы K=

(M1 + M2 + m) · V 2 (M1 + M2 + m) · a2 · t2 = . 2 2

Если масса первого тела больше, то потенциальная (M1 − M2 ) · g · at2

. энергия системы уменьшилась на P = 2 Тепла в системе не выделяется (нить не проскальзывает!), приращение кинетической энергии системы равно убыли потенциальной: (M1 + M2 + m) · a2 · t2 (M1 − M2 )g · at2 = ; 2 2 g · (M1 − M2 ) a= . M1 + M2 + m

Про «небольшое усложнение» — можно было рассмотреть малый интервал времени t в процессе движения, обозначить «текущее» значение скорости V и найти приращение кинетической энергии и убыль потенциальной за этот интервал (без начального предположения о постоянстве ускорения). Для нахождения смещения за очень малый интервал времени скорость можно считать постоянной, это упрощает формулы. Ускорение получилось бы не зависящим от скорости V , то есть постоянным. Задачи 3.1. На гладком горизонтальном столе покоится спичечный коробок массы 9 г, одна из его боковых граней смазана клеем. Муха массы 1 г летит горизонтально

60

Раздел 3. Законы сохранения импульса-энергии

со скоростью 20 м/с и «влипает» в клейкую грань. Могло ли при ударе выделиться 0,2 Дж в виде тепла? А 0,18 Дж? 3.2п . Шайба массы 0,1 кг скользит по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью 2 м/с, навстречу ей движется шайба массы 0,2 кг, она имеет скорость 1 м/с. Скорости эти параллельны (вернее — антипараллельны, они направлены в противоположные стороны). Между шайбами происходит нелобовой, абсолютно упругий удар. Во сколько раз может измениться при ударе кинетическая энергия первой шайбы? 3.3. На гладком горизонтальном столе лежит пробирка длины L и массы M, в нее влетает шарик массы m, имеющий скорость V0 вдоль оси пробирки. Через какое время он из пробирки выскочит? Удар шарика о внутренний торец пробирки лобовой и абсолютно упругий. 3.4п . В глубинах космоса происходит взрыв — неподвижная вначале конструкция массы M разлетается на три одинаковых куска, и полная энергия осколков равна E. Какую максимальную скорость может иметь один из осколков? 3.5. Гладкая стенка движется со скоростью 2 м/с, вектор скорости стенки перпендикулярен ее плоскости. Навстречу стенке летит упругий шарик, его скорость направлена под углом 45◦ к плоскости. При какой величине скорости шарика он отскочит после абсолютно упругого удара под углом 60◦ к плоскости? 3.6п . На одинаковых нитях подвешены практически в одной точке два маленьких, упругих шарика. Их отводят в разные стороны, отклоняя от вертикали на 90◦ , и отпускают. При каких отношениях масс шариков один из них после отскока сможет подняться выше точки,

Задачи

61

из которой его отпустили, так, чтобы нить до этого момента оставалась натянутой? 3.7. На горизонтальном гладком столе покоится клин массы M с углом a при основании. На него наезжает со скоростью V0 маленькое тело массы m и начинает подниматься вверх по клину (у основания клина сделан плавный «въезд»). При какой высоте клина H маленькое тело поднимется по нему на самый верх? 3.8п . На гладком горизонтальном полу покоится подвижная горка массы M и высоты H. По горизонтальной поверхности движется со скоростью V маленькая тележка массы m. Тележка наезжает на горку и начинает по ней двигаться вверх, горка при этом тоже начинает двигаться. Какую скорость будет иметь горка после того, как тележка ее покинет? Поверхность горки гладкая, плавно изогнутая, тележка может по ней проехать без отрыва от поверхности и ударов. 3.9п . На гладком горизонтальном столе находятся две пластмассовые шайбы одинаковых диаметров, но различных масс. Одна из них покоится, другая налетает на нее и между шайбами происходит удар. Может ли налетающая шайба после удара остановиться? При каких отношениях масс шайб это возможно? 3.10. По гладкому горизонтальному столу скользит шайба, она налетает на такую же, но неподвижную шайбу, и между ними происходит лобовой удар. Какая часть энергии системы переходит при ударе в тепло, если скорость налетавшей шайбы уменьшается в результате удара в 20 раз? 3.11. В упрощенной модели гимназии школьники изображаются цилиндрами одинаковой высоты, оси цилиндров вертикальны. Площадь зала для отдыха гим-

62

Раздел 3. Законы сохранения импульса-энергии

назистов на перемене равна 200 м2 , на этой площади хаотически расположены 100 десятиклассников диаметра 0,5 м каждый. Они практически неподвижны. Пятиклассник половинного диаметра бегает по залу со скоростью 3 м/с. Натыкаясь на десятиклассника, он набивает себе синяк, но после отражения продолжает свое движение. Оцените — сколько синяков он себе набивает за перемену длительностью 15 минут? 3.12. На гладком горизонтальном столе покоится глубокая тарелка массы M, на дне которой лежит монета массы M/5. Тарелку резко толкают в горизонтальном направлении так, что монета сразу после удара еще не движется. В процессе дальнейшего движения монета поднимается по стенке тарелки на максимальную высоту h. Найти максимальное и минимальное значения скорости тарелки при движении. Трения в системе нет, монета при движении не отрывается от внутренней поверхности тарелки. 3.13. В компьютерной модели бильярдный стол имеет форму квадрата со стороной L = 1 м с боковыми стенками-бортиками, по нему хаотически двигаются N = 1000 маленьких шайб диаметра d = 0,5 см и массы m = 1 г каждая, они сталкиваются со стенками и друг с другом. Полная кинетическая энергия всех шайб E = 1000 Дж. С какой средней силой шайбы действуют на одну из стенок стола? 3.14. Через легкий блок, закрепленный на большой высоте H над горизонтальной поверхностью земли, переброшена гибкая веревка, концы которой сложены внизу двумя «бухтами», которые не препятствуют движению. С одной стороны за веревку ухватился человек массы M, который быстро перебирает руками, стараясь висеть на одной высоте над землей. При

Задачи

63

некоторой установившейся скорости движения веревки это ему удается. Найти эту скорость. Масса одного метра веревки r. Ускорение свободного падения g. Трение в блоке отсутствует. 3.15. На легком клине массы M с углом 45◦ при основании находится приклеенная к нему тележка массы 10M. Тележка приклеена на высоте H над плоскостью основания клина, и вся система неподвижна. В некоторый момент тележка отклеивается (наверное, клей был не очень...), система приходит в движение. Найти скорость клина перед тем, как тележка его покинет. Клин не переворачивается! 3.16. В глубинах космоса летит космический корабль, на который не действуют никакие внешние силы. Скорость корабля V1 = 1000 м/с. Внезапно от него отлетает назад отсек, имеющий массу в 5 раз меньше, чем весь корабль. Скорость отсека относительно корабля в конце этого маневра составляет V2 = 200 м/с. Найти изменившуюся скорость корабля (остатка корабля). Корабль и отсек движутся вдоль прямой. 3.17. На гладком горизонтальном столе лежит пенопластовый куб массы M = 1 кг. В него попадает горизонтально летящая со скоростью V = 200 м/с пуля массы m = 10 г, пробивает его и летит дальше со скоростью V /3. Найти скорость куба и количество выделившегося при этом тепла. 3.18. На гладком горизонтальном ледяном катке известный хоккеист массы 100 кг движется со скоростью 2 м/с и налетает на судью, движущегося ему навстречу со скоростью 1,5 м/с. После безболезненного столкновения они оба останавливаются. Какое количество тепла выделилось в этом процессе?

64

Раздел 3. Законы сохранения импульса-энергии

3.19п . Кирпич массы M падает без начальной скорости с высоты H. На половине высоты в него попадает горизонтально летящий кусок пластилина массы M/10 и мгновенно прилипает к кирпичу. Скорость куска пластилина перед ударом равна V0 . Какое количество тепла выделяется при ударе? Найти модуль скорости кирпича перед ударом о землю. Задачи по механике без ответов и решений 3.20. По прямой дороге автомобиль едет 2 часа с постоянной скоростью 90 км/ч, затем 1 час стоит в пробке, остаток пути едет с постоянной скоростью 60 км/ч. Найти среднюю скорость за все время пути. 3.21. Ледяной айсберг плавает в пресной воде, объем выступающей над водой части айсберга составляет 200 м3 . Какую массу выдержит айсберг «на себе», не затонув? 3.22. Две силы параллельны друг другу и направлены в разные стороны. Одна сила 10 Н, другая 12 Н. Расстояние между линиями действия сил равно 2 м. Какую третью силу нужно добавить к этим двум, чтобы эти три силы обеспечили равновесие очень легкого тела? Нарисуйте чертеж, укажите величину и точку приложения третьей силы. 3.23. По прямой дороге автомобиль едет 2 часа с постоянной скоростью 60 км/ч, затем 1 час стоит в пробке, затем еще 1 час едет со скоростью 50 км/ч. Найти среднюю скорость за все время пути и среднюю скорость на второй половине пути. 3.24. Ледяной айсберг плавает в соленой воде, полный объем его составляет 3000 м3 . Какую массу выдер-

Задачи по механике без ответов и решений

65

жит айсберг «на себе», не затонув? Плотность айсберга 0,9 г/см3 , плотность соленой воды 1,05 г/см3 . 3.25. Две силы параллельны друг другу и направлены в одну сторону. Одна сила 20 Н, другая 24 Н. Расстояние между линиями действия сил равно 3 м. Какую третью силу нужно добавить к этим двум, чтобы эти три силы обеспечили равновесие очень легкого тела? Нарисуйте чертеж, укажите величину и точку приложения третьей силы. 3.26. Вдоль оси X движется точка, скорость точки в пределах заданной дистанции обратно пропорциональна расстоянию от нее до начала координат. Во сколько раз больше времени она тратит на прохождение второй половины дистанции по сравнению с первой? 3.27. В системе на рисунке 24 большой груз вдвое тяжелее малого. Блоки одинаковые, очень легкие. Нити нерастяжимые, массы нитей пренебрежимо малы, свободные куски нитей вертикальны. Найти ускорение большого груза. 3.28. Яма имеет полусферическую форму, ее радиус R = 1 м, стенки гладкие. На уровне горизонтального диаметра приклеено очень маленькое тело. Оно Рис. 24 отклеивается и начинает скользить вниз без начальной скорости. Внизу небольшой кусочек поверхности шероховатый, коэффициент трения там m = 0,1. шероховатый кусочек имеет форму круга, его радиус r = 1 см, центр круга находится около самой нижней точке поверхности ямы. Какая часть начальной потенциальной энергии тела выделится при первом преодолении шероховатого кусочка?

66

Раздел 3. Законы сохранения импульса-энергии

3.29. Вдоль прямого участка дороги стоят люди — они встречают дорогого гостя из далекой страны. Интервал между встречающими составляет 0,5 м. Один из встречающих делает шаг в сторону и тут же возвращается на место. Через 2 секунды то же самое делает его сосед справа — и так далее. С большой высоты кажется, что вдоль шеренги бежит волна — определить скорость этой волны и ее длину. 3.30. Большой аквариум в форме куба имеет объем 1000 м3 . Он налит водой до половины. Найти силу, с которой вода давит на дно аквариума. Найти силу, с которой вода давит на одну из боковых стенок. Атмосферное давление 105 Па. 3.31. Буратино массы 40 кг сделан из дерева, его плотность 0,8 г/см3 . Утонет ли Буратино в воде, если к его ногам привязать кусок стального рельса массы 20 кг? Считайте, что плотность стали в 10 раз больше плотности воды. 3.32. Фигурка лицеиста сделана из чистого алюминия, его плотность в 2,7 раза больше плотности воды. А голова у фигурки совершенно пустая (ничего не весит, стенки фигурки в этом месте совсем тонкие), объем головы лицеиста составляет 2/3 полного объема фигурки. Утонет ли фигурка в воде? 3.33. Камень падал с высоты 45 метров. Найти среднюю скорость камня на всем пути и за первую половину времени падения. Сопротивление воздуха отсутствует, ускорение свободного падения принять 10 м/с2 . 3.34. Большой кусок льда массы 100 кг плавает в воде (плотность льда равно 0,9 плотности воды). С какой силой нужно надавить на него вниз, чтобы он полностью погрузился в воду?

Задачи по механике без ответов и решений

67

3.35. Груз массы 20 кг тянут вверх по наклонной плоскости с углом 45◦ . Сила направлена вдоль наклонной плоскости, сила трения постоянна и равна 30 Н. Какую работу нужно совершить, чтобы поднять груз с уровня пола на высоту 3 метра? Каков в данном случае к. п. д. наклонной плоскости, как механизма для совершения работы? 3.36. Первую четверть пути по прямой жук прополз со скоростью V , оставшуюся часть — со скоростью 2V . Найти среднюю скорость жука на всем пути и отдельно — на первой половине пути. 3.37. Деревянный цилиндр длины 4 см приклеен торцом к алюминиевому цилиндру длины 1 см (получается ровный цилиндр длины 5 см). Тело опустили в воду. Какой длины кусок торчит над водой? Плотность дерева равно 0,8 плотности воды, алюминия — 2,7 плотности воды. 3.38. Деревянный шар радиуса 10 см сунули в воду, его центр находится на глубине 1 метр. Давление воды на этой глубине составляет 1,1 атм. С какой силой вода давит на верхнюю половину шара? В ответе можно использовать: объем шара 4189 см3 , площадь поперечного сечения шара в самом широком месте 314 см2 . Вес 1 куб.см воды составляет 0,01 Н. 3.39. Школьник находится на горизонтальной поверхности. На него действуют горизонтально направленные силы: на Север (там кофе и свежие коржики) сила 20 Н, на Запад — через дорогу (там зал игровых автоматов) сила 30 Н, на Восток (в школу) сила 10 Н, и еще — сила трения. Школьник неподвижен. Найти величину и направление силы трения.

68

Раздел 3. Законы сохранения импульса-энергии

3.40. Две одинаковые фигурки сделаны частью из алюминия, частью — из дерева. Первая — из равных масс этих веществ, вторая — из равных объемов этих же веществ. Плотность дерева ровно в три раза меньше, чем алюминия. Какая из фигурок легче? Во сколько раз? 3.41. Камень бросили вертикально вверх. Известно, что за третью секунду полета камень сместился вверх на 2 метра. Куда и на сколько метров камень сместится за четвертую секунду полета? 3.42. По очень длинной наклонной плоскости начинает скатываться тонкий обруч радиуса R. Сколько оборотов вокруг своей оси он сделает за время t? На сколько он опустится за это время по вертикали? Угол наклонной плоскости к горизонту a = 30◦ . Коэффициент трения m = 0,1. 3.43. Очень легкий стержень длины L = 1 м лежит на гладком горизонтальном столе, на концах стержня прикреплены очень маленькие шарики масс M и 2M. Шарику M придают мгновенным ударом скорость V в направлении, перпендикулярном стержню. Сколько полных оборотов совершит стержень, скользя по столу, за большой интервал времени T? Найти смещение центра масс за это же время. 3.44. Стенка едет параллельно самой себе со скоростью 2 м/с. Навстречу стенке под углом 45◦ к ее плоскости движется легкий шарик, его скорость 5 м/с. Найти величину скорости шарика после абсолютно упругого удара. 3.45. Сплошной диск начинает движение вдоль наклонной плоскости с углом a, коэффициент трения

Задачи по механике без ответов и решений

69

маленький — он составляет m = 0,05. Найти ускорение оси диска. Диск однородный. 3.46. Шарик массы m = 10 г движется со скоростью V = 2 м/с перпендикулярно к плоскости стенки, стенка движется параллельно самой себе со скоростью 2V . Найти величину скорости шарика после абсолютно упругого столкновения со стенкой. Стенка имеет массу несколько десятков килограммов. 3.47. Автобус массы 3000 кг едет со скоростью 20 м/с вдоль дороги, навстречу ему (нарушение правил дорожного движения!) едет со скоростью 10 м/с маленький автомобиль массы 300 кг. После лобового, кратковременного удара скорость легкого автомобиля направлена в другую сторону и составляет 30 м/с (сразу после удара). Какое количество тепла выделилось при ударе? 3.48. На легком шероховатом коврике стоит велосипедное колесо, вся масса которого сосредоточена в его ободе. Коврик тянут горизонтально с постоянным ускорением a = 2 м/с2 . С каким ускорением движется центр колеса? Считать трение большим — при этом колесо движется без проскальзывания. Каким должен быть для такого движения коэффициент трения между колесом и ковриком? 3.49. Автомобиль «Жигули» самой первой модели едет по огромной горизонтальной асфальтовой площади, описывая круг радиуса 200 м. Его скорость составляет при этом 20 м/с. При каком значении коэффициента трения между асфальтом и шинами автомобиля такое движение возможно? Представим себе, что коэффициент трения ровно вдвое больше этого, минимального значения. За какое время автомобиль сможет увеличить свою скорость до 20,5 м/с, не прекращая движения

70

Раздел 3. Законы сохранения импульса-энергии

по кругу? Центр тяжести автомобиля находится на его оси симметрии, на равных расстояниях от передней и задней осей. 3.50. На гладком горизонтальном столе находится брусок кубической формы массы 2 кг, на его верхней поверхности — второй брусок, его масса 1 кг. Коэффициент трения между поверхностями брусков составляет 0,7. Большой брусок тянут влево горизонтальной силой 6 Н, малый — вправо, горизонтальной силой 3H (эти две силы направлены в противоположные стороны!). Найти ускорения брусков. 3.51. Навстречу друг другу по одной прямой с одинаковыми скоростями V = 1 м/с движутся шарики масс M и 3M. Какую максимальную скорость может приобрести легкий шарик после лобового удара?

РАЗДЕЛ 4

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПРО ГАЗОВЫЕ ЗАКОНЫ И ОСНОВЫ МКТ Молекулы очень малы, обычные молекулы невозможно рассмотреть даже в самый сильный оптический микроскоп — но некоторые параметры молекул можно довольно точно посчитать (масса), а некоторые получится только очень грубо оценить (размеры, скорость), да еще хорошо бы понять, что такое «размер молекулы» и про какую именно «скорость молекулы» мы говорим. Итак, масса молекулы находится как «масса одного моля»/«число молекул в моле». Например, для молекулы 0,018

воды m = = 3 · 10−26 кг (можно и поточнее посчи6 · 1023 тать — число Авогадро известно с хорошей точностью, да и молярную массу любой молекулы несложно найти). Оценка размера молекулы начинается с вопроса о том, что же считать ее размером. Вот если бы она была идеально отполированным кубиком! Однако, она и не кубик, и не шарик, и вообще у нее нет четко очерченных границ. Как быть в таких случаях? Начнем издали. Оценим размер куда более знакомого объекта — школьника. Школьников все мы видели, массу среднего школьника примем равной 60 кг (а потом посмотрим — сильно ли влияет этот выбор на результат), плотность школьника — примерно как у воды (вспомним, что стоит как следует вдохнуть воздух, и после этого можно «висеть» в воде, погрузившись почти полностью, а если выдохнуть, то сразу начинаешь тонуть). Теперь можно

72

Раздел 4. Газовые законы и основы МКТ

найти объем школьника: V = 60 = 0,06 куб. метра. 1000 Если теперь принять, что школьник имеет форму куба, то его размер находится как корень кубический из объема, т. е. примерно 0,4 м. Вот такой получился размер — меньше роста (размера «в высоту»), больше толщины (размера «в глубину»). Если мы ничего о форме тела школьника не знаем, то лучше этого ответа мы ничего и не найдем (вместо кубика можно было взять шарик, но ответ получился бы примерно тем же, а считать диаметр шара сложнее, чем ребро куба). А вот если у нас есть дополнительная информация (из анализа фотографий, например), то ответ можно сделать куда более разумным. Пусть стало известно, что «ширина» школьника в среднем вчетверо меньше его высоты, а его «глубина» — еще в три раза меньше. Тогда H · H · H = V , отсюда H = 1,5 м (нет смысла делать более 4 12 точный расчет такой плохо определенной величины, ориентироваться на возможности калькулятора в таком «расчете» просто неграмотно!). Мы получили вполне разумную оценку роста школьника, если бы мы взяли массу порядка 100 кг (и такие школьники бывают!), получим примерно 1,7—1,8 м — тоже вполне разумно. Оценим теперь размер молекулы воды. Найдем объем, который приходится на одну молекулу в «жидкой воде» — в ней молекулы плотнее всего упакованы (сильнее прижаты друг к другу, чем в твердом, «ледяном» состоянии). Моль воды имеет массу 18 г, его объем 18 куб. сантиметров. Тогда на одну молекулу прихо−6

дится объем V = 18 · 1023 = 3 · 10−29 м3 . Если у нас нет 6 · 10 информации о форме молекулы воды (или — если мы не хотим учитывать сложную форму молекул), проще всего считать ее кубиком и размер найти точно так, как мы только что находили размер кубического школьника:

Раздел 4. Газовые законы и основы МКТ

73

√ 3

d = V = 3 · 10−10 м. Вот и все! Оценить влияние формы достаточно сложных молекул на результат расчета можно, например, так: посчитать размер молекул бензина, считая молекулы кубиками — а после этого провести эксперимент, посмотрев площадь пятна от капли бензина на поверхности воды. Считая пленку «жидкой поверхностью толщиной в одну молекулу» и зная массу капли, можно сравнить размеры, полученные этими двумя способами. Очень поучительный получится результат! Использованная идея годится и для совсем другого расчета. Оценим среднее расстояние между соседними молекулами разреженного газа для конкретного случая — азот при давлении 1 атм и температуре 300 К. Для этого найдем объем, который в этом газе приходится на одну молекулу, а дальше все получится просто. Итак, возьмем моль азота при этих условиях и найдем объем указанной в условии порции, а затем разделим этот объем на число молекул: 8,3 · 300 V = R·T = 5 = 4 · 10−26 м3 . 23 P · NА

10 · 6 · 10

Будем считать, что объем разделен на плотно упакованные кубические клетки, а каждая молекула «в среднем» сидит в центре своей клетки. Тогда среднее расстояние между соседними (ближайшими) молекулами равно √ ребру кубической клетки: d = 3 V = 3 · 10−9 м. Видно, что газ разреженный — при таком соотношении между размерами молекулы и расстоянием между «соседями» сами молекулы занимают довольно малую — примерно 1 часть — объема сосуда. Мы и в этом случае провели 1000 расчет очень приближенно — такие не слишком определенные величины, как «среднее расстояние между соседними молекулами» нет смысла считать точнее.

74

Раздел 4. Газовые законы и основы МКТ

Если газ достаточно разреженный (а это — обычное дело, нам чаще всего приходится иметь дело именно с разреженными газами), то практически любой расчет делается при помощи формулы, связывающей давление P, объем V , количество газа n и температуру T — это знаменитое «уравнение состояния идеального газа» P · V = n · R · T. Как находить одну из этих величин, если заданы все остальные, это совсем просто и понятно. Но можно сформулировать задачу так, что вопрос будет про какую-нибудь другую величину — например, про плотность газа. Итак, задача: найти плотность азота при температуре 300 К и давлении 0,2 атм. Решим ее. Судя по условию, газ довольно разреженный (воздух, состоящий на 80 % из азота и при существенно большем давлении можно считать разреженным, мы им свободно дышим и легко через него проходим), а если бы это было и не так — других формул у нас все равно нет — используем эту, любимую. В условии не задан объем какойлибо порции газа, зададим его сами. Возьмем 1 кубический метр азота и найдем количество газа в этом объеме. Зная молярную массу азота M = 0,028 кг/моль, найдем массу этой порции — и задача решена. Количество газа n = P · V , масса m = n · M = M · P · V , отсюда R·T R·T плотность r= m = M·P = V

R·T

0,028 · 20 000 ≈ 0,2 кг/м3 . (8,3 · 300)

Выбранный нами объем так и не вошел в ответ, выбирали мы его для конкретности — так проще рассуждать, ведь не обязательно сразу сообразишь, что объем может быть каким угодно, а плотность получится одна и та же. Впрочем, можно и сообразить — «взяв объем, скажем, в пять раз больше, мы увеличим ровно в пять раз количество газа, следовательно, какой бы объем ни

Примеры решения задач

75

взять, плотность получится одна и та же». Можно было просто переписать любимую формулу, подставив в нее выражение для количества газа через массу порции газа и его молярную массу: n = m/M, тогда сразу выражается отношение m/V = (M · P)/(R · T), а это и есть плотность. Можно было взять моль газа и найти занимаемый им объем, после чего сразу находится плотность, ведь масса моля известна. В общем, чем проще задача, тем больше равноценных и красивых способов ее решать... Вот еще одна задача, где вопрос может показаться неожиданным: найти разность давлений воздуха на высоте 20 м и на высоте 50 м над уровнем земли. Температура 0 ◦C, давление 1 атм. Решение: если мы найдем плотность воздуха r при этих условиях, то разность давлений DP = r · g · DH. Плотность находим так же, как и в предыдущей задаче, сложность только в том, что воздух — это смесь газов. Считая, что он состоит из 80 % азота и 20 % кислорода, найдем массу моля смеси: m = 0,8 · 0,028 + 0,2 · 0,032 ≈ 0,029 кг. Объем, занимаемый этим молем, V = (R · T)/P и плотность найдется, как отношение этих двух величин. Дальше все понятно, ответ составит примерно 35 Па. Плотность газа придется рассчитывать и при нахождении, например, подъемной силы воздушного шара заданного объема, при расчете количества воздуха в баллонах акваланга, необходимого для дыхания под водой в течение известного времени, при расчете количества ишаков, необходимых для перевозки заданного количества паров ртути через пустыню, и во многих других случаях. Примеры решения задач Задача 1. Очень большой сосуд, содержащий очень разреженный газ, поделен пополам очень тонкой пере-

76

Раздел 4. Газовые законы и основы МКТ

городкой, в которой сделано очень небольшое отверстие. В одной части сосуда температура стенок поддерживается равной T, в другой — вдвое больше. Одинаковые ли концентрации частиц будут в половинах сосуда? Найти отношение давлений, установившихся в половинах сосуда. Зачем в условии задачи специально упомянута «очень тонкая» перегородка? Решение. Если газ очень разреженный, а толщина стенки совсем мала, то молекулы пролетают через дырку без ударов друг о друга. При этом нужно учесть, что при одинаковых концентрациях молекул в обеих частях сосуда быстрые молекулы из горячей части будут чаще влетать в холодную часть, чем «холодные» в горячую и равенство концентраций обязательно нарушится. Концентрация в холодной части будет нарастать, а в горячей уменьшаться до тех пор, пока не сравняются потоки молекул. Это произойдет при отношении концентраций nг : nх = vх : vг = (Tх : Tг )0,5 = 0,707. При этом давление в горячей части окажется выше, несмотря на меньшую концентрацию молекул: Pг = 1,414Pх . Задача 2. В кубическом сосуде объема V = 1 л находится некоторое количество гелия при температуре T = 300 К. Оценить давление газа, при котором число ударов молекул друг о друга за некоторый отрезок времени равно числу ударов молекул о стенки сосуда. Решение. Для оценки числа ударов молекул друг о друга запишем известное выражение для длины свободного пробега молекул — среднего расстояния, пробегаемого молекулой между последовательными ударами, выразив его через величину диаметра молекулы d и концентрацию n : l = 12 . Время пролета этоp·d ·n

го расстояния равно vl , тогда за большой интервал

Примеры решения задач

77

времени молекула совершит v · t ударов о другие моl лекулы. Если число молекул в сосуде N, то для нахождения полного числа ударов молекул друг о друга нужно умножить число ударов одной молекулы о другие на число молекул, деленное на два — чтобы не учитывать удары дважды. Итак, полное число ударов молекул друг о друга за выбранный интервал времени 0,5 · N · v · t = 0,5 · N · v · t · p · d2 · n. l Число ударов молекул о стенки сосуда можно найти обычным путем — это часть стандартного рассуждения при расчете давления газа на стенку сосуда. Обозначив величину компоненты скорости молекул вдоль одной выбранной оси vx , длину ребра стенки сосуда a, получим для числа ударов о все 6 стенок куба за большой интервал времени t: 6t · vx · N/(2a). Приравнивая полученные выражения и учитывая, что значение компоненты скорости √ vx можно грубо оценить по энергии молекулы vx = v/ 3, получим выражение для концентрации молекул: 0,5 · N · v · t · p · d2 · n = n=

6t · vx · N ; 2a

6 ≈ 5 · 1020 1/м3 . 0,5 · p · d2 · a

Значение диаметра молекулы гелия мы взяли из справочника: d = 2 · 10−10 м. Полученная концентрация соответствует величине давления в сосуде P = n · k · T = = 2 Па. Это очень маленькое давление — в обычных условиях число ударов молекул друг о друга во много раз превышает число ударов молекул о стенки сосуда. Задача 3. Некоторое количество одноатомного газа — гелия — занимает объем V = 20 л при давлении p = 0,5 атм и температуре T = 300 К. Над этим газом проводят процесс, при котором ему медленно сообщают

78

Раздел 4. Газовые законы и основы МКТ

количество теплоты Q = 40 Дж. Температура газа при этом увеличивается на DT = 10 К. Определить, сжимается или расширяется газ в этом процессе. Решение. Для того, чтобы ответить на вопрос задачи, нужно выяснить, какую работу совершил газ в этом процессе: если положительную, то газ расширялся, а если отрицательную — то сжимался. Найдем изменение внутренней энергии данной порции газа. Для одноатомного гелия DU = 1,5 · n · R · DT = 1,5 · P · V · DT ≈ 50 Дж. Это T больше количества теплоты Q = 40 Дж, подведенного к газу. Совершенная газом работа A = Q − DU = −10 Дж, т. е. отрицательна. Следовательно, газ сжимался. Задача 4. Найти плотность водяного пара над большой лужей при температуре +20 ◦ C. Найти среднюю энергию молекул пара при этой температуре. Оценить расстояние между соседними молекулами пара. Давление насыщенного водяного пара при этой температуре составляет 100 Па. Решение. Пар над лужей можно считать насыщенным, этот пар — довольно разреженный газ и можно пользоваться уравнением состояния идеального газа: P · V = n · R · T = m · R · T, M

отсюда выразим плотность пара r= m = M·P = V

R·T

0,018 · 3000 = 2,2 · 10−2 кг/м3 . 8,3 · 293

Для оценки расстояний между соседними молекулами найдем объем, занимаемый молем пара при заданных условиях, затем — объем, приходящийся на одну молекулу, а дальше снова поговорим о геометрических свойствах куба: V1 = V = R · T = NА

P · NА

8,3 · 293 ≈ 1,3 · 10−24 м3 . 3000 · 6 · 1023

Примеры решения задач

79

Расстояние оценим как длину ребра куба (расстояние между √ центрами прилегающих друг к другу кубов): d = 3 V1 ≈ 1,1 · 10−8 м. Видно, что это расстояние на два порядка превышает размеры молекул — газ и в самом деле довольно разреженный. Задача 5. Найдите число молекул всех видов в комнате объема 200 м3 при давлении 740 мм ртутного столба и температуре +15 ◦ C. Решение. Если в комнате находится обычный воздух, а не какой-то экзотический газ, который при этих условиях близок к ожижению, мы можем воспользоваться уравнением состояния идеального газа (за неимением лучшего, но это вполне разумная модель для заданных условий). Число всех молекул газа N=

NА · P · V 6 · 1023 · 105 · (740/760) · 200 = ≈ 5 · 1027 . R·T 8,3 · 288

Может показаться, что при вычислениях мы практически ничем не пренебрегли —однако, это не так. Тут нужно учесть «человеческий фактор» — жизненный опыт показывает, что в таких комнатах всегда полно народа! Пусть, например, в этой комнате сидит, стоит и бегает 20 школьников по 50 кг (в среднем). Тогда это лишняя тысяча килограммов. Если считать, что человек в основном состоит из воды, а моль воды имеет массу 18 грамм, тогда дополнительное число молекул 23

N1 = 6 · 10 · 1000 ≈ 3 · 1028 молекул — почти на порядок 0,018 больше, чем молекул газа, а мы еще не учли столы, стулья и доску! Из этого поучительного примера видно, что условие задачи следует читать очень внимательно (может быть автор задачи сам «прокололся» и не подумал о людях) — напишите в решении задачи, что Вы

80

Раздел 4. Газовые законы и основы МКТ

считали только молекулы газов — и придраться к Вашему решению будет намного сложнее. Задача 6. В пустой сосуд объема 10 л поместили 10 г воды и нагрели сосуд до +100 ◦ C. Какое давление установится в сосуде? Решение. Найдем давление, которое создавала бы в сосуде порция водяного пара массы 10 грамм при этих условиях: P= m·R·T = M·V

0,01 · 8,3 · 373 ≈ 1,7 · 105 Па. 0,018 · 0,01

Но это еще не ответ — мы хорошо знаем, что давление насыщенных паров воды при этой температуре составляет 1 атм = 105 Па, а это значит, что полученный нами ответ не годится — давление пара составит только 105 Па, просто не вся вода испарится! Задача 7. В сосуде под поршнем находится порция гелия при давлении P1 = 104 Па и температуре T1 = 200 К. Объем сосуда увеличивают от V1 = 0,002 м3 до V2 = 0,006 м3 , сохраняя давление газа неизменным, после этого газ продолжают нагревать при неизменном объеме, пока его давление не возрастет до P2 = 4 · 104 Па. Определите максимальную температуру газа в первой и второй частях описанного процесса и найдите количество подведенной теплоты. Решение. Это совсем простая задача. Температура в первой части процесса (при изобарическом расшиV2 = 3 раза и достигает V1 P T2 = 600 К, затем она еще возрастает в 2 = 4 раза, P1

рении газа) увеличивается в

и максимальная температура в конце этой части процесса составляет T3 = 2400 К. Для нахождения количество подведенной теплоты воспользуемся уравнением

Примеры решения задач

81

первого начала термодинамики: Q = A + DU. Работу газ совершает на первом этапе процесса, а при изохорическом нагревании работа газа равна нулю. Итак, работа газа A = P1 · (V2 − V1 ) = 40 Дж. Приращение внутренней энергии газа DU = 1,5nRT3 − 1,5nRT1 = 1,5 · (P2 · V2 − P1 · V1 ) = = 1,5 · 220 = 330 Дж. Итак, подведенное во всем процессе количество теплоты Q = 370 Дж. Задача 8. Азот вначале нагревают, затем охлаждают — так, что от начального состояния P1 = 0,5 атм, V1 = 30 л до конечного P2 = 0,5 атм, V2 = 50 л график процесса на диаграмме PV представляет собой половину окружности (одна «клетка» по вертикальной оси равна 0,1 атм, «клетка» по горизонтали составляет 10 литров). Какую работу совершает газ в этом процессе? Решение. Максимальное давление газа в этом процессе на одну «клетку» выше P1 и составляет Pв = = 0,6 атм (индекс в отмечает параметры газа, соответствующие вершине графика). Работу газа можно найти по площади под графиком давления, так сказать, «по клеточкам», только сначала надо вычислить работу, соответствующую этой клеточке: A1 = 10 000 Па · 0,01 м3 = = 100 Дж. Площадь полукруга, вписанного в «двухклеточный» прямоугольник, меньше площади прямоугольника: A∩ = 2A1 · p , под этим полукругом находит4 ся прямоугольник из 10 клеток, полное количество клеток 10 + 2 · p = 10 + p = 11,57 клеток. Итак, работа 4 2 A = 1157 Дж ≈ 1,16 кДж. А вот то, что газ — азот, в решении не использовалось.

82

Раздел 4. Газовые законы и основы МКТ

Задача 9. Найти количество теплоты, которое получил газ в части процесса, описанного в предыдущей задаче — на первой половине процесса («четвертушка» окружности). Решение. Используем решение предыдущей задачи — работа газа на половине процесса из предыдущей задачи в точности равна половине вычисленной там работы. Найдем приращение внутренней энергии порции газа (учитывая, что азот — двухатомный газ): DU = 2,5n · R · Tв − 2,5n · R · T1 = 2,5 · (Pв · Vв − P1 · V1 ) =

= 2,5 · (6 · 104 · 0,04 − 5 · 104 · 0,03) = 2250 Дж.

Подведенное тепло Q = 1157/2 + 2250 = 2830 Дж ≈ 2,8 кДж. Задача 10. Моль гелия в процессе расширения получает тепло, теплоемкость газа в этом процессе постоянна и составляет C = 15 Дж/моль · К. Найти изменение температуры газа в этом процессе при совершении им работы A = 20 Дж. Решение. Воспользуемся для решения этой задачи уравнением первого начала термодинамики: Q = A + DU. Выразим входящие в него величины количества теплоты Q и приращения внутренней энергии DU через приращение температуры DT : Q = C · DT, DU = 1,5R · DT. A Теперь получаем: C · DT = A + 1,5 · R · DT, DT = =

C − 1,5R 20 = = 8 К. Итак, температура возрастет на 8 К. 15 − 1,5 · 8,3

Задача 11. Для работы тепловой машины использованы большой открытый сосуд с водой, поддерживаемой при температуре +100 ◦C, и большой сосуд с водой,

Примеры решения задач

83

в котором плавают куски льда (догадайтесь сами — какова температура воды и льда в этом сосуде). За 1999 циклов конденсируется 5 кг пара. Какое количество льда при этом превратится в воду? Цикл работы тепловой машины длится 10 секунд. Найти механическую мощность тепловой машины. Удельная теплота плавления льда 330 кДж/кг, удельная теплота испарения воды 2,3 МДж/кг. Решение. В условии задачи ничего не сказано про то, как устроена тепловая машина, а ведь от этого может сильно зависеть ответ — придется сделать дополнительные предположения самостоятельно. Итак, будем считать, что машина работает по циклу Карно — собственно, это единственный цикл, для которого известно выражение для к. п. д. (не вдаваясь в подробности, заметим — единственная «идеальная тепловая машина», которая использует два тепловых резервуара с фиксированными температурами, работает именно по циклу Карно, и ни по какому-либо другому). Опишем работу цикла для нашего случая: нагреватель отдает тепло рабочему телу за счет конденсации пара при постоянной температуре 373 К, рабочее тело отдает тепло холодильнику при фиксированной температуре 273 К и при этом образуется лед. Разность этих количеств теплоты за цикл (или — целое число циклов) переходит в механическую работу. С другой стороны, эта работа составляет известную часть энергии, полученной от нагревателя T − Tх в виде тепла: A = h · Qн = Qн · н . Обозначим удельTн ную теплоту парообразования r, массу сконденсировавшегося пара mп , удельную теплоту плавления льда l, массу расплавившегося льда mл . Тогда за целое число циклов (например — за 1999): r · mп = A + l · mл = h · r · mп + l · mл .

84

Раздел 4. Газовые законы и основы МКТ

Отсюда выразим массу расплавившегося льда: mл =

(1 − h) · r · mп (Tх /Tн ) · r · mп = = l l (273/373) · 2,3 · 106 · 5 = = 25,5 кг. 3,3 · 105

Для расчета средней механической мощности (ее можно считать за любое целое количество циклов) найдем работу за 1999 циклов — время совершения этой работы составляет 10 · 1999 = 19 990 секунд, работа A = h · Qн = h · r · mп = 100 · 2,3 · 106 · 5 = 3 · 106 Дж. 373

6 Мощность составляет 3 · 10 = 150 Вт.

19 990

Задача 12. Для работы обращенной тепловой машины использованы большой открытый сосуд с водой, поддерживаемой при температуре +100 ◦C, и большой сосуд с водой, в котором плавают куски льда (догадайтесь сами — какова температура воды и льда в этом сосуде). За 1999 циклов испаряется 5 кг пара. Какое количество воды при этом превратится в лед? Цикл работы тепловой машины длится 10 секунд. Найти механическую мощность, необходимую для работы этой тепловой машины. Удельная теплота плавления льда 330 кДж/кг, удельная теплота испарения воды 2,3 МДж/кг. Решение. А эту задачу мы уже практически решили — в предыдущей задаче был произведен расчет для «прямого» цикла Карно (тепловой машины, которая совершает работу за счет передачи тепла от горячего тела к холодному), обращенный цикл Карно использует тот же цикл, но все процессы протекают наоборот — тепло отнимается от холодного тела и при этом вода превращается в лед, горячему телу тепло отдается, при

Задачи про газовые законы, МКТ и термодинамику

85

этом образуется пар, а работу теперь приходится совершать, иначе тепло «не пойдет» от холодного тела к горячему. Все состояния газа проходятся в обратном порядке, при этом соотношения количеств энергии и совершаемой работы такие же, как и в прямом цикле. Итак, в лед превратится 25,5 кг, необходимая средняя механическая мощность равна 150 Вт. Задачи про газовые законы, МКТ и термодинамику 4.1. Сколько молекул кислорода обеспечат в сосуде объема 1 см3 давление 10 Па при температуре +100 ◦C? 4.2п . В пустой сосуд объема 1 литр налили 100 г воды и закрыли сосуд. Какое давление установилось бы в сосуде, если бы вдруг исчезли силы притяжения между молекулами воды? Температура +27 ◦C. 4.3п . Найти плотность смеси из равных масс гелия и азота при давлении 0,1 атм и температуре 250 К. 4.4п . Найти плотность смеси равных количеств водорода и азота при давлении 0,5 атм и температуре 300 К. 4.5п . Какой газ имеет плотность около 80 г/м3 при нормальных условиях (нормальные условия — это давление 1 атм и температура 0 ◦ C)? 4.6. Найти процентное содержание газов в смеси гелия и кислорода, если при давлении 0,5 атм и температуре +50 ◦C плотность смеси составляет 0,2 г/литр. 4.7п . В сосуде объема 1 литр находится гелий при температуре 300 К и давлении 1 Па. Отметим два атома из всего количества атомов в сосуде и будем за ними пристально наблюдать. Оценить время, за которое эти два атома столкнутся друг с другом 1000 раз. Диаметр атома гелия принять равным 2 · 10−10 м.

86

Раздел 4. Газовые законы и основы МКТ

4.8п . Сосуд, содержащий аргон при температуре T0 = 30 К, движется со скоростью V0 = 1000 м/с. Какой станет температура газа в сосуде через некоторое время после резкой его остановки? Теплообменом пренебречь. 4.9п . В сосуде объемом 1 литр находится гелий при температуре 300 К. Плотность газа такова, что длина свободного пробега в нем составляет 0,5 мкм. Понаблюдаем за одной из частиц, которая только что ударилась об одну из стенок сосуда. Каковы ее шансы удариться о противоположную стенку сосуда раньше, чем через 0,5 секунды после этого? 4.10. Найти подъемную силу воздушного шара объема 2000 м3 , если в нем находится водород. Шар сделан из очень эластичного материала, давление и температура снаружи — нормальные. 4.11п . В кубическом сосуде объема 1 литр находится смесь одинаковых масс гелия и кислорода при температуре 300 К и давлении 0,5 атм (измерено в центре сосуда). Найти разность сил, действующих изнутри на верхнюю и нижнюю стенки сосуда. Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с2 . 4.12. Найти плотность влажного воздуха при температуре 373 К и давлении 1 атм, если водяного пара в воздухе 10 % от общего числа молекул. Найти также абсолютную и относительную влажность. 4.13п . В сосуде объемом 10 л находится газ неон при температуре 300 К и давлении 0,5 атм, в другом сосуде объема 20 л находится гелий при температуре 400 К и давлении 1 атм. Сосуды соединяют тонкой трубкой. Какое давление установится в сосудах? Неон и гелий — одноатомные газы, молярная масса неона 20 г/моль,

Задачи про газовые законы, МКТ и термодинамику

87

гелия — в 5 раз меньше. Теплообмена с окружающей средой нет. 4.14п . В очень большом теплоизолированном сосуде объемом находится порция азота. Газ сжали до объема 1 литр, при этом его давление составило 0,5 атм. Найти совершенную при сжатии работу. 4.15. В сосуде объемом 10 л находится газ неон при температуре 300 К и давлении 0,5 атм, в другом сосуде объема 20 л находится азот при температуре 400 К и давлении 1 атм. Сосуды соединяют тонкой трубкой. Какое давление установится в сосудах? Неон — одноатомный газ, молярная масса 20 г/моль, азот — двухатомный газ, 28 г/моль. Теплообмена с окружающей средой нет. 4.16п . Разреженный газ изотермически расширяется от V до 2V , затем от 2V до 8V . В какой из частей процесса газ получил большее количество теплоты? Во сколько раз? 4.17п . Моль гелия вначале занимает объем 10 литров при давлении 2 атм. Газ адиабатически расширяется, пока его давление не уменьшается в 300 раз. Какую работу совершает P 1 при этом газ? 4.18. Цикл Карно 1 → 2 → 3 → 4 → 2 → 1, проводимый с заданной порцией идеального газа, имеет термо4 3 V динамический к. п. д. h0 . Цикл разделили на два (рис. 25) — первый Рис. 25 1 → 2 → 4 → 1, и второй 4 → 2 → 3 → 4 (процесс 4—2 идет при повышении давления и объема газа и зависимость давления от объема на этом участке линейная). Известен к. п. д. первого из циклов

88

Раздел 4. Газовые законы и основы МКТ

1 → 2 → 4 → 1, он равен h1 . Найти термодинамический к. п. д. второго цикла h2 . 4.19п . В блюдце налили воды и оставили на столе. Оценить время, за которое уровень воды уменьшится на 1 мм при влажности воздуха 20 %. Считать, что при ударе молекулы пара о поверхность воды вероятность «влипнуть» составляет 1 %, а большинство молекул просто отскакивают от поверхности жидкости. Давление насыщенных паров принять равным 1000 Па. 4.20. При высоких температурах происходит частичная диссоциация молекул кислорода на атомы. Какая часть молекул кислорода развалилась, если при температуре 800 К и давлении 0,5 атм плотность кислорода составляет 0,2 г/литр? 4.21. В сосуде под поршнем находится смесь 4 г кислорода и 1 г гелия. Газ нагревают, и он при этом расширяется. Работа газа при расширении составила A = 200 Дж, теплоемкость порции газа в этом процессе оказалась постоянной и была равна C = 20 Дж/К. Найти изменение температуры смеси. 4.22. Грамм гелия участвует в процессе с молярной теплоемкостью C = 20 Дж/(моль · К). Газ получил Q = 20 Дж в виде тепла. Найти совершенную газом работу. 4.23. Известно, что теплоемкость порции газа может быть практически какой угодно — в зависимости от процесса, в котором газ участвует. Подберем такой процесс, что теплоемкость 1 моля гелия составляет в нем 5 Дж/К. При этом моль гелия увеличил свой объем, совершив работу A = 20 Дж. Найти изменение температуры газа и количество подведенной теплоты.

Задачи про газовые законы, МКТ и термодинамику

89

4.24. Тепловой насос качает тепло с улицы при температуре −20 ◦ C в комнату, температура которой +20 ◦C. Если насос не включен, температура комнаты за счет плохой термоизоляции уменьшается на градус за полчаса. При включении электроплитки мощностью 1 кВт это время увеличивается до 2 часов. Какую минимальную мощность может потреблять от сети тепловой насос, чтобы поддерживать в комнате постоянную температуру? 4.25п . Порция азота расширяется в процессе с молярной теплоемкостью 2005 Дж/(моль · К). Как изменится давление газа при увеличении его объема вдвое? 4.26. Моль гелия расширяется изотермически, совершая работу 2,5 кДж, затем его сжимают изобарически, совершив над ним работу 0,7 кДж, и, наконец, сжимают адиабатически, возвращая в начальное состояние. Найти термодинамический к. п. д. получившегося цикла. 4.27. В теплоизолированном гладком вертикальном цилиндрическом сосуде находится под тяжелым поршнем порция гелия. Тяжелый поршень массы M «висит» на высоте H над дном сосуда. На поршень ставят дополнительный груз массы M. Найти высоту, на которой поршень в конце концов остановится. Считайте, что поршень и сосуд тепло не получают. Атмосферное давление отсутствует. 4.28. В теплоизолированном гладком вертикальном цилиндрическом сосуде находится под тяжелым поршнем порция гелия. Поршень «висит» на высоте H над дном сосуда. Поршню придают ударом небольшую скорость V вниз. Найти высоту, на которой поршень в конце концов остановится. Считайте, что поршень и сосуд

90

Раздел 4. Газовые законы и основы МКТ

тепло не получают. Атмосферное давление отсутствует, масса поршня M. 4.29. С порцией азота (двухатомный газ) проводят циклический процесс, состоящий из двух изобар и двух изохор. Какой максимальный термодинамический к. п. д. может иметь этот процесс, если отношение давлений на изобарах равно 2? 4.30. Один моль гелия находится в сосуде объемом V = 10 литров при температуре T = 300 К. Газ начинает расширяться, его объем возрастает плавно на 2 %, при этом его давление снижается на 3 %. Увеличилась при этом температура газа, или уменьшилась? Получал газ тепло от окружающей среды, или отдавал? Найти это количество теплоты. Гелий — одноатомный газ. 4.31. Порция гелия в циклическом процессе вначале расширяется без подвода тепла, при этом температура газа уменьшается от 500 К до 499 К, затем сжимается при неизменном давлении до первоначального объема и, наконец, нагревается при постоянном объеме до первоначальной температуры. Найти наименьшее значение температуры в этом цикле, а также термодинамический к. п. д. цикла. 4.32п . Вертикальный цилиндрический сосуд содержит две порции гелия, отделенные друг от друга и от окружающего пространства двумя одинаковыми массивными поршнями массы M каждый. Вначале объемы и температуры порций одинаковы, и расстояние между поршнями составляет H. «Нижнюю» часть газа медленно нагревают. Какое количество тепла нужно сообщить гелию в нижней части сосуда, чтобы увеличить его объем в два раза? Каким станет расстояние между поршнями через большой интервал времени —

Задачи без ответов и решений

91

когда температуры порций газа снова сравняются? Теплоемкостью стенок и поршней пренебречь. Снаружи воздух откачан, теплоотдача в окружающее пространство пренебрежимо мала, трения нет. Теплопроводность поршня, разделяющего порции газа, достаточно мала — за время нагрева тепло в верхнюю полость практически не поступает. 4.33. Порция гелия вначале расширяется в 2 раза при постоянном давлении, потом охлаждается при постоянном объеме, затем ее сжимают без подвода тепла, пока давление и объем не вернутся к начальным значениям. Известно, что в этом цикле максимальная температура была в 3 раза больше минимальной. Найти к. п. д. описанного цикла. 4.34. Реклама чудо-нагревателя «Интеллигентное тепло» утверждает, что для нагревания воздуха в обычной жилой комнате объема 50 м3 от +20 ◦C до 21 ◦ C зимой, когда температура воздуха на улице −10 ◦ C, достаточно всего 10 кДж электроэнергии. Возможно ли это, хотя бы в принципе? Перекачивать в комнату тепло от более нагретых тел не разрешается! Задачи без ответов и решений 4.35. В сосуде находится смесь одинаковых масс криптона и гелия при давлении 1 атм и температуре 300 К. Проследим за одним из атомов криптона. Оценить число его соударений с другими частицами за 1 час. 4.36. Давление разреженного газа в сосуде убывает от 1 атм до 0,2 атм при увеличении объема от 2 л до 20 л, при этом зависимость давления от объема линейная. Найти максимальную температуру газа в этом

92

Раздел 4. Газовые законы и основы МКТ

процессе. Минимальная температура газа в этом процессе 200 К. 4.37. Моль азота расширяется от начального объема 40 л до конечного 60 л, при этом давление монотонно меняется от 0,9 атм до 1 атм (закон изменения не задан!). Найти возможные значения средней теплоемкости азота в этом процессе. 4.38. Порция гелия занимает объем 20 л при давлении 1 атм. Какую максимальную работу может совершить газ, расширяясь без подвода тепла? 4.39. В кубическом сосуде объема 1 л находится смесь равных количеств гелия и азота при температуре 300 К и давлении 1000 Па. Какое количество ударов о стенки сосуда производят отдельно атомы гелия и молекулы азота за 1 минуту? 4.40. Моль кислорода расширяется от начального объема 20 л до конечного 50 л, при этом давление линейно меняется от 1 атм до 0,6 атм. Найти среднюю теплоемкость газа в этом процессе. 4.41. В теплоизолированном сосуде находится порция гелия при давлении 0,1 атм и температуре 400 К, в другом таком же сосуде находится порция азота при 0,2 атм и 250 К. Сосуды соединяют тонкой трубкой. Какая температура установится после этого? Каким станет давление? 4.42. В массивном кубическом сосуде объема 1 л находится 10 000 кубиков-пылинок массы 1 · 10−6 г каждая, температура стенок сосуда 1000 К. Все это летает в космосе вдали от тяготеющих масс. Оценить число ударов пылинок друг о друга за год. Плотность пылинок 5 г/см3 .

Задачи без ответов и решений

93

4.43. В большом сосуде находится гелий при температуре 100 К и давлении 1000 Па. Пылинка в виде кубика объема 1 куб. мм летает по сосуду. Найти число ударов атомов гелия об одну из граней этого кубика за 100 секунд. Все это происходит в состоянии невесомости. 4.44. Цикл тепловой машины проводят с порцией гелия. Он состоит из двух изобар с отношением давлений 2 : 1 и двух изохор. Найти максимально возможный термодинамический к. п. д. такого цикла. 4.45. Найти среднюю молярную массу для смеси 40 % частиц кислорода, 40 % частиц гелия и 20 % частиц водяного пара. Возьмем два определенных атома гелия из всех. За какое (примерно) время между этими атомами произойдет 1000 ударов? Молярная масса гелия 4 г/моль, кислорода — 32 г/моль, водорода — 2 г/моль. диаметр молекулы (атома) гелия принять равным 2 · 10−10 м. 4.46. В пустой кубический сосуд влетает поток атомов гелия, имеющих одинаковые по величине скорости. Примерно через какое время в сосуде установится хаотическое движение частиц? Объем сосуда 1 литр, скорости влетающих атомов 1000 м/с. 4.47. Что больше — среднеквадратическая скорость молекул в сосуде или среднее значение модуля скорости молекул («среднемодульная» скорость)? 4.48. Что больше — медианное значение модуля скорости, или «среднемодульная» скорость молекул в сосуде? (Медианным называют такое значение модуля скорости, что ровно половина частиц имеет большие по модулю скорости).

94

Раздел 4. Газовые законы и основы МКТ

4.49. При увеличении температуры некоторой жидкости от 300 К до 400 К количество молекул, имеющих достаточную для испарения энергию, увеличивается в 3 раза. Во сколько раз возрастает при этом давление насыщенных паров? 4.50. В сосуде начального объема 10 литров находится воздух при давлении 1 атм. Газ расширяют до объема 60 литров так, что давление при этом монотонно убывает. Какое количество тепла мог получить газ в этом процессе? 4.51. В комнате объема 200 м3 нужно поддерживать температуру +15 ◦C, температура на улице −20 ◦ C. Если комнату не отапливают, то температура воздуха падает за 1 минуту на 1 градус (только температура воздуха, остальные части комнаты охладиться за это время не успевают). Какую минимальную мощность нужно затрачивать для поддержания в комнате постоянной температуры? Никаких других «тепловых резервуаров», кроме упомянутых, у Вас нет. 4.52. Какое количество ртути было в комнате объема 200 м3 , если она (ртуть!) вся испарилась? Давление насыщенных паров ртути при 300 К составляет 0,15 Па. Моль ртути имеет массу 200 г. 4.53. В сосуде начального объема 100 литров находится азот при давлении 0,1 атм. Газ расширяют до объема 120 литров так, что давление при этом монотонно возрастает до 0,5 атм. Какое количество тепла мог получить газ в этом процессе? 4.54. В горизонтальном цилиндрическом сосуде находится порция гелия. Сосуд закрыт массивным поршнем, который может двигаться по горизонтали без трения. С газом в сосуде проводят два опыта: наружное

Задачи без ответов и решений

95

давление увеличивают в три раза — один раз очень быстро, другой раз — очень медленно. В каком из опытов конечный объем газа окажется меньше? Во сколько раз? 4.55. В цилиндре под поршнем находится при нормальных условиях порция гелия в количестве n = = 2 моль. Ей сообщают количество теплоты Q = 100 Дж, при этом температура гелия увеличивается на DT = = 10 К. Оцените изменение объема газа, считая его теплоемкость в этом процессе постоянной. 4.56. Моль гелия участвует в циклическом процессе, составленном из двух изотерм и двух изохор. При изохорическом нагревании газ получает 1000 Дж в виде тепла, при изотермическом расширении газ получает еще 500 Дж в виде тепла. Известно, что минимальная температура в процессе составляла 300 К. Найти максимальную температуру, работу над газом при изотермическом сжатии и термодинамический к. п. д. цикла. 4.57. Порция гелия находится внутри очень эластичной, нетеплопроводящей оболочки, давления внутри и снаружи одинаковы, температуры вначале тоже одинаковы. Наружное давление скачком увеличивается вдвое, оболочка начинает сжиматься. Через некоторое время внутри оболочки температура перестает меняться. Во сколько раз изменился при этом объем газа внутри оболочки? Теплоемкостью оболочки пренебречь по сравнению с теплоемкостью газа внутри. Силы тяжести нет. 4.58. Порция гелия изотермически расширяется из начального состояния, получив при этом 1 кДж в виде тепла, затем сжимается изобарически до начального объема, при этом над газом совершают работу 0,63 кДж.

96

Раздел 4. Газовые законы и основы МКТ

После этого газ изохорически нагревают, пока давление не станет равно начальному. Найти количество тепла, полученное газом при изохорическом нагревании. Найти термодинамический к. п. д. такого цикла. 4.59. В комнате, заполненной воздухом, находится пустой кубический сосуд объема 100 литров. В стенке сосуда открывается маленькое отверстие площади 1 см2 , и через 0,001 с закрывается. Оценить количество молекул, попавших в сосуд за это время. Оценить давление, которое установится в сосуде. Стенки сосуда не проводят тепло, теплоемкостью стенок пренебречь. 4.60. Моль гелия в сосуде расширяется от начального объема V1 = 10 л до конечного V2 = 50 л, при этом давление газа в процессе меняется так, что P · V 2 = const. Начальная температура газа T1 = 300 К. Найти конечную температуру. Найти работу газа в процессе (если не получится найти точно, посчитайте приближенно!). Найти полученное в процессе количество теплоты. 4.61. В сферическом сосуде объема 1 литр хаотически движутся 100 маленьких шариков. Оценить среднее расстояние между соседними шариками. 4.62. В сосуде находится 0,1 моль гелия при температуре 100 К, в него влетают еще 1020 атомов гелия, имеющие одинаковые скорости 3000 м/с. Какая температура установится в сосуде? Во сколько раз возрастет давление газа? 4.63. Порция азота вначале расширяется при постоянном давлении в три раза, затем нагревается при неизменном объеме в 1,5 раза, затем треть молекул удаляется из сосуда. Во сколько раз изменилось давление газа по сравнению с начальным?

Задачи без ответов и решений

97

4.64. В глубинах космоса летает кубический сосуд объема 1000 м3 , заполненный азотом при нормальных условиях. Метеорит пробивает в стенке дыру площади 1 см2 . Через какое время из сосуда выйдет 0,5 % газа? 4.65. В сосуде находится 0,1 моль кислорода при температуре 200 К, в него влетают 1022 атомов гелия, имеющие одинаковые скорости 2000 м/с. Какая температура установится в сосуде? Во сколько раз возрастет давление в сосуде? 4.66. Порция водорода в сосуде расширяется от 10 литров до 70 литров, при этом его давление падает от 0,7 атм до 0,1 атм, причем давление линейно зависит от объема (график на диаграмме PV представляет собой отрезок прямой). Найти максимальную и минимальную температуру газа в процессе. Масса газа в сосуде 4 грамма. 4.67. Найти плотность смеси из равных масс гелия и азота при давлении 0,1 атм и температуре 250 К. Молярная масса азота 28 г/моль, атомная масса гелия 4 г/моль. 4.68. Оценить расстояние между соседними молекулами в насыщенном водяном паре при температуре +100 ◦C. 4.69. Цикл проводится с порцией азота и состоит из изобарического расширения, изохорического охлаждения и изотермического сжатия. Минимальная температура в цикле T1 = 300 К, максимальная температура T2 = 400 К. Найти термодинамический к. п. д. этого цикла (можно сделать это приближенно!). 4.70. В вертикальном цилиндрическом сосуде под тяжелым поршнем находится порция гелия. Поршень «висит» на высоте H над дном сосуда. На поршень

98

Раздел 4. Газовые законы и основы МКТ

аккуратно кладут гирьку, масса которой в 5 раз меньше массы поршня. На какой высоте будет висеть поршень после того, как его движение прекратится? Теплоемкость поршня и стенок сосуда пренебрежимо мала, трения нет.

РАЗДЕЛ 5

ЭЛЕКТРОСТАТИКА Примеры решения задач Задача 1. Два маленьких шарика, массы которых m и M, заряжены одинаковыми зарядами Q и мы их удерживаем на расстоянии L друг от друга. Отпускаем шарики, и они начинают разлетаться (кроме сил электростатического отталкивания никаких других сил нет). Найти скорости шариков после разлета на большое расстояние. Найти скорости шариков после разлета на расстояние 7L. Решение. Найдем энергию взаимодействия электрических зарядов. Пусть сначала они находятся очень далеко, принесем их в заданные точки и посчитаем необходимую работу. Работа эта не должна зависеть от того, как именно мы перемещали заряды, важны только начальные и конечные позиции. Итак, перенесем в нужную точку первый заряд — это не требует совершения работы, ведь на него внешние поля не действуют («первый заряд — бесплатно»). Теперь переносим второй заряд — потенциал нужной точки в поле первого заряда f = k · Q/L и работа A = f · Q = k · Q2 /L. Суммарная кинетическая энергия шариков после разлета равна этой величине, можно еще записать уравнение закона сохранения импульса: m · V12 M · V22 k · Q2 + = ; L 2 2

m · V1 = M · V2 .

100

Раздел 5. Электростатика

Отсюда легко находятся скорости шариков: r V1 =

2 · k · Q2 ; m · L · (1 + m/M)

V2 = m · V1 . M

Аналогично решается и второй вопрос — в этом случае нужно учесть (и вычесть) энергию взаимодействия зарядов на расстоянии 7L: m · V12 M · V22 k · Q2 k · Q2 + = − ; 2 2 L 7L

m · V1 = M · V2 .

Задача 2. Два одинаковых проводящих шарика радиуса R соединены длинной тонкой натянутой проволочкой длины L (L ≫ R). Систему внесем в однородное электрическое поле E0 , направленное вдоль проволочки. Какой заряд протечет по проволочке? Какое количество тепла выделится в сопротивлении проволочки? Решение. Заряды будут перебегать с одного шарика на другой до тех пор, пока потенциалы шариков не уравняются. Для этого должно выполняться условие (Q — перетекший заряд):   Q 2k · Q k·Q − −k · = . L · E0 = R

R

R

Отсюда полный перетекший заряд Q = L · E0 · R/(2k). Зависимость разности потенциалов от величины перетекшего заряда (до установления равновесия) линейная, среднюю разность потенциалов найдем как полусумму начальной величины L · E0 и конечной нулевой величины, тогда количество выделившегося тепла W = Dfсредн · Q =

0,5L · E0 · L · E0 · R 0,25L2 · E20 · R = . 2k k

Задача 3. Концентрические проводящие сферы имеют радиусы r и R. Между сферами, на расстоянии L

Примеры решения задач

101

от общего центра находится точечный заряд Q. Найти потенциалы сфер. До внесения заряда Q сферы не были заряжены. Решение. Снаружи от большой сферы поле совпадает с полем точечного заряда Q, помещенного в общий центр сфер (на наружной поверхности большой сферы соберется полный заряд Q, он распределится по поверхности равномерно). Тогда потенциал большой сферы f1 = k · Q/R. Потенциал внутренней сферы равен потенциалу в центре (поле внутри малой сферы отсутствует), этот потенциал совсем просто найти, ведь заряды, распределенные на сферах, дают в этой точке нулевой потенциал (суммарный заряд каждой из сфер равен нулю, сумма потенциалов от этих зарядов в центре тоже нулевая), тогда f2 = k · Q/L. Задача 4. Плоский конденсатор состоит из двух больших пластин площади S каждая, расположенных на малом расстоянии d (S ≫ d2 ) друг от друга. Пластины заряжены, их заряды Q и 2Q. Найти разность потенциалов между пластинами. Решение. Поле в промежутке между пластинами равно разности полей, создаваемых пластинами: E=

2Q Q Q − = . 2e0 · S 2e0 · S 2e0 · S

Разность потенциалов Df = E · d =

Q·d . 2e0 · S

Задача 5. В предыдущей задаче пластины замыкают резистором R. Какой заряд протечет по этому резистору? Сколько в нем выделится тепла? Решение. Пусть к данному моменту уже перетек заряд q. Тогда разность потенциалов между пластинами Df =

q 2Q − q Q + q Q − = − . 2e0 · S 2e0 · S 2e0 · S e0 · S

102

Раздел 5. Электростатика

Мы видим, что разность потенциалов линейно зависит от величины перетекшего заряда, для нахождения выделившегося тепла можно взять среднюю величину Q

разности потенциалов Dfсредн = . Полный перетек4e0 · S ший заряд q0 найдем из условия обращения разности Q

(можно было и догадатьпотенциалов в ноль: q0 = 2 ся — нулевая разность потенциалов получается в случае равенства зарядов пластин). Выделившееся тепло Q2

W = Dfсредн · q0 = . Для объяснения последней фор8e0 · S мулы полезно построить график зависимости разности потенциалов Df, как функции перетекшего заряда q, и понять, что площадь под графиком равна работе электрических сил по переносу зарядов с одного проводника на другой (в нашем случае — и количеству выделившегося в соединительном проводнике тепла). Можно было задачу решать по-другому: при замыкании пластин и перетекании зарядов с одной пластины на другую поле снаружи не меняется, падает до нуля только поле между пластинами — выделившееся тепло равно энергии поля между пластинами, это поле — такое же, как  у этого конденсатора, заряженного заряQ

Q

дами и − . На самом деле — это более сложная 2 2 задача, чем кажется на первый взгляд — поле снаружи все-таки немного меняется при перетекании зарядов, а энергия поля снаружи во много раз превышает энергию поля «внутри» — даже незначительное изменение этого поля может сильно «испортить» энергетический баланс. Задача 6. Конденсатор емкости C заряжен до напряжения V0 . К нему подключают другой такой же конденсатор. Сопротивление соединяющих проводов равно r. Какое количество тепла выделится в проводах?

103

Задачи

C · V02 Решение. Начальная энергия системы , поло2

вина заряда перетечет на второй конденсатор, энергия C·V2

C·V2

C·V2

0 0 0 после установления равновесия + = . По8 8 4 ловина энергии из системы «ушла», значит, именно эта часть перешла в тепло. Ответ получился не зависящим от величины сопротивления резистора — это неудивительно, ведь при уменьшении сопротивления увеличивается ток через этот резистор и меняется время протекания заряда, получается в итоге та же величина. Но все получается еще интереснее — при очень маленькой величине сопротивления (а то и при нулевом сопротивлении в случае сверхпроводящего соединения) в цепи протекают большие токи, необходимо учитывать магнитное поле и энергию магнитного поля (вообще, если в электростатических задачах происходит что-то странное, то виновато, как правило, магнитное поле). В случае нулевого сопротивления в системе возникнут колебания, состояние равновесия просто не будет достигнуто. Полезно рассмотреть аналогию — в U-образной трубке, перекрытой внизу краном, налита в одном «колене» вода. Откроем кран, вода начнет перераспределяться между частями трубки, и в конце уровни сравняются. При этом потенциальная энергия воды явно станет меньше, часть энергии перейдет в тепло. Но если вязкое трение отсутствует, то вода не остановится, она так и будет постоянно колебаться.

Задачи 5.1. Можно ли при помощи чувствительного динамометра измерить силу взаимодействия между двумя единичными (система СИ) точечными зарядами, находящимися на расстоянии 1 км друг от друга?

104

Раздел 5. Электростатика

5.2п . Два проводника заряжены в одном случае одноименными, в другом — такими же по величине, но разноименными зарядами. Одинаковы ли силы взаимодействия в этих случаях? 5.3. Неподвижный медный шарик диаметра 1 см помещен во внешнее электростатическое поле с напряженностью 1000 В/м. Достаточно ли в нем свободных электронов, чтобы скомпенсировать внутри себя такое поле? 5.4. Медный шарик диаметра d = 1 см движется с постоянным ускорением a = 100 м/с2 . Найти напряженность электрического поля в центре шарика. Найти максимальную разность потенциалов между точками этого шарика. 5.5. В вершинах правильного треугольника со стороной L находятся три маленьких заряженных тела. Одно из них закреплено, два других одинаковые — масса каждого из них M, заряд каждого из них Q. Какой заряд нужно поместить на закрепленное тело, чтобы при отпускании двух других их ускорения оказались минимальными? Чему равна величина такого ускорения? 5.6. Тонкостенная непроводящая сфера радиуса 0,1 м заряжена равномерно по поверхности, полный ее заряд составляет 10 мкКл. Из нее вырезали и убрали маленький кусочек площади 0,1 кв. см. Найти напряженность поля в центре сферы и в центре дырки. 5.7. Два одинаковых маленьких шарика массы M каждый имеют одинаковые заряды Q и расположены на расстоянии L друг от друга. Еще один маленький шарик массы 0,5M с зарядом 4Q находится на расстоянии 2L от первого из них и 3L от второго. Вначале

Задачи

105

шарики удерживают, затем — одновременно отпускают. Где будет легкий шарик в тот момент, когда расстояние между первыми и вторым станет в три раза больше начального? Какие скорости будут у каждого из шариков в этот момент? 5.8п . Система неподвижных зарядов симметрична относительно некоторой оси. На очень большом расстоянии от зарядов, в точке А на этой оси поле составляет E1 = 100 В/м, а в точке Б, которая находится еще дальше от зарядов, на расстоянии L = 1 м от точки А на той же оси, поле E2 = 99 В/м. Отойдем от точки А на расстояние d = 1 см перпендикулярно к оси. В этой точке поле уже не направлено точно вдоль оси. Найти перпендикулярную к оси составляющую электрического поля в этой точке. 5.9. Два тонких квадратных листка из диэлектрика, каждый площади S заряжены равномерно по поверхности зарядами Q1 и Q2 . Листки расположены параллельно на небольшом расстоянии друг от друга. Найти напряженность поля в пространстве между листками и снаружи — рядом с поверхностью. 5.10. По длинному цилиндрическому проводнику течет ток I. Найти напряженность электрического поля внутри проводника. Поперечная площадь проводника S, удельное сопротивление металла r. 5.11. Длинный цилиндрический проводник составлен из двух кусков, имеющих различные удельные сопротивления кусков — r1 и r2 . Поперечная площадь S, по проводнику течет ток I. Найти величину заряда, собравшегося «на стыке» проводников.

106

Раздел 5. Электростатика

5.12. Оценить скорость электрона в электроннолучевой трубке перед ударом об экран. Ускоряющее напряжение 15 000 В. 5.13. В однородном электрическом поле E0 два одноименных заряда Q и q расположены на расстоянии L друг от друга. Соединяющая их прямая образует угол a с направлением поля. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы поменять местами эти заряды? 5.14. Вдоль прямой расположены точечные заряды Q, Q и q. Расстояние между соседними зарядами составляет L. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы поменять местами заряды Q и q? 5.15. На маленький шарик массы M1 , заряженный зарядом +Q, налетает из бесконечности шарик M2 с зарядом +q. Скорость этого шарика направлена вдоль линии центров и составляет вдали V0 . Найти минимальное расстояние между шариками. Какие скорости будут иметь шарики после разлета? 5.16. Проводящая уединенная сфера радиуса R заряжена до потенциала f. Найти максимальное значение разности потенциалов в поле этой сферы между двумя точками, которые расположены на расстоянии L друг от друга. 5.17. К незаряженной проводящей сфере радиуса R подносят точечный заряд Q на расстояние L (L > R). Найти потенциал сферы. Каким был бы этот потенциал, если бы сфера была заряжена зарядом q? 5.18. К проводящей сфере радиуса R поднесли на расстояние L точечный заряд Q, а затем сферу заземлили при помощи очень тонкого проводника. Какой заряд стек со сферы по этому проводнику?

Задачи

107

5.19. Разноименные точечные заряды +Q и −q расположены на расстоянии а друг от друга. Покажите, что точки с нулевым потенциалом лежат на сфере. Найдите радиус этой сферы и положение ее центра. 5.20. На большом расстоянии друг от друга расположены проводники, емкости которых равны C1 и C2 . Проводник C1 заряжен зарядом Q. При помощи очень тонкого провода их соединяют друг с другом. Какой заряд перетечет на второй проводник? Сравните начальную и конечную энергию проводников. Куда делась часть энергии? 5.21. Проводящие сферы радиусов R и r находятся очень далеко друг от друга. Вначале они не заряжены. Батарейку напряжением U0 подключают очень тонкими проводами «минусом» к одной сфере и «плюсом» к другой. Найти заряд, протекший через батарею и работу батареи. Сравнить эту работу с энергией получившегося поля. 5.22. Две большие параллельные пластины площади S каждая расположены на малом расстоянии d, образуя плоский конденсатор. Заряды пластин равны Q1 и Q2 . Найти разность потенциалов между ними. Найти количество теплоты, которое выделится при замыкании пластин между собой. 5.23. Между пластинами незаряженного конденсатора вставлена еще одна тонкая пластина, на которую помещен заряд Q. Расстояние между пластинами конденсатора D, площадь каждой пластины S, средняя пластина расположена на расстоянии d от одной из крайних. Замкнем крайние пластины между собой. Найти выделившееся тепло. Какую минимальную ра-

108

Раздел 5. Электростатика

боту нужно совершить, чтобы при замкнутых крайних пластинах передвинуть среднюю на середину? 5.24. Уединенный проводящий шар радиуса 1 м заряжен до потенциала +1000 В. Его соединяют с «землей» при помощи незаряженного конденсатора емкости 1000 пФ. Какой заряд окажется на присоединенной к шару пластине конденсатора? 5.25. Конденсаторы емкости C1 = 1 мкФ и C2 = 2 мкФ заряжены до напряжения V = 6 В и соединены последовательно, «плюс» одного с «минусом» другого. К выводам получившейся цепочки присоединили резистор R = 1 кОм. Какой заряд протечет через этот резистор за большое время? Сколько выделится тепла? 5.26. Две большие параллельные непроводящие пластины площади S каждая расположены на небольшом расстоянии d друг от друга. Одна из пластин равномерно заряжена по поверхности зарядом +Q, другая — зарядом −3Q. Найти напряженность поля между пластинами. Какую работу нужно совершить, чтобы увеличить расстояние между пластинами в два раза? 5.27. Тонкий непроводящий диск радиуса R равномерно заряжен по поверхности полным зарядом Q. Оценить расстояние от центра диска до точки А на его оси, в которой напряженность поля EА в 20 раз меньше, чем около поверхности диска. 5.28. Проводящий шар радиуса R заряжен полным зарядом Q. На расстоянии 3R от его центра помещен точечный заряд q. Найти потенциал шара. Какой заряд протечет по тонкому проводнику, если мы с его помощью заземлим шар? 5.29. Проводящая сфера радиуса R заряжена полным зарядом Q. На расстоянии R/3 от ее центра помещен

Задачи

109

точечный заряд q. Найти потенциал сферы. Какой заряд протечет по тонкому проводнику, если мы с его помощью заземлим сферу? 5.30. К заряженному до напряжения V конденсатору емкости C подключили цепочку из последовательно соединенных резистора и незаряженного конденсатора 2C. Какой полный заряд протечет по резистору? Какое количество тепла выделится в резисторе? 5.31. Четыре одинаковых тонких проводящих пластины площади S каждая расположены параллельно очень близко друг к другу, расстояние между соседними пластинами равно d. Первую и третью пластины соединили проводником, между второй и четвертой включили батарейку напряжения U. Какие силы действуют на каждую из пластинок? 5.32. Четыре одинаковые параллельные пластины площади S каждая расположены в пространстве так, что расстояние между соседними равно d (это расстояние во много раз меньше размеров пластин). Соединим проводником наружные пластины. Найти емкость между внутренними пластинами. 5.33. Четыре одинаковые параллельные пластины площади S каждая расположены в пространстве так, что расстояние между соседними равно d (это расстояние во много раз меньше размеров пластин). Соединим проводником наружные пластины. Найти емкость между соединенными внешними и одной из внутренних пластин. 5.34. Четыре одинаковые параллельные пластины площади S каждая расположены в пространстве так, что расстояние между соседними равно d (это расстояние во много раз меньше размеров пластин). Соединим про-

110

Раздел 5. Электростатика

водником первую и третью пластины. Найти емкость между оставшимися второй и четвертой пластинами. 5.35. Четыре одинаковые параллельные пластины площади S каждая расположены в пространстве так, что расстояние между соседними равно d (это расстояние во много раз меньше размеров пластин). Соединим проводником первую и третью пластины, другим проводником соединим вторую и четвертую пластины. Найти емкость между получившимися парами пластин. Задачи без ответов и решений 5.36. Точечные заряды Q и −3Q расположены на расстоянии L друг от друга. Где находятся точки нулевого потенциала? («Бесконечно удаленные» точки не считаются). 5.37. Конденсатор емкостью C = 100 мкФ заряжен до напряжения V = 50 В. К нему подключают цепочку из резисторов: 100 Ом, и последовательно с ним — параллельно соединенные 200 Ом и 300 Ом. Какой заряд протечет через резистор 100 Ом за время t = 1 · 10−6 с? Какой заряд протечет за большое время через резистор 200 Ом? Какое количество теплоты выделится за большое время в резисторе 300 Ом? 5.38. К батарейке напряжения V0 подключили цепь из последовательно соединенных конденсаторов C = = 10 мкФ, 2C и резистора R = 1 кОм. Конденсатор 2C до подключения был заряжен до напряжения 2V0 . Какой заряд протечет за большое время через резистор? Сколько в нем выделится тепла? Если возможны два варианта — сделайте полный расчет для одного из них.

Задачи без ответов и решений

111

5.39. Конденсатор емкости 100 мкФ заряжен до напряжения 50 В. К его выводам подключают параллельно соединенные резисторы 100 Ом и 300 Ом. Какой заряд протечет через резистор 100 Ом за большое время? Сколько тепла выделится в резисторе 300 Ом за это же время? 5.40. Две заряженные частицы (их массы M и 2M, заряды одинаковы и равны Q) в начальный момент неподвижны и находятся на расстоянии L друг от друга. Частицы начинают двигаться. Найти скорости частиц через большое время. 5.41. Конденсаторы C и 2C соединены последовательно, к выводам получившейся цепочки подключены параллельно соединенные резисторы R и 2R. В начальный момент конденсатор большой емкости не заряжен, конденсатор C заряжен до напряжения V . Какой заряд протечет через меньший резистор за большое время? Какое количество теплоты в нем за это время выделится? 5.42. Конденсатор C = 100 мкФ заряжен до напряжения V = 50 В. Его подключают «плюсом» к «плюсу» батарейки напряжения E = 12 В. Найти выделившееся в сопротивлении проводов тепло. 5.43. Три конденсатора емкости C каждый соединили последовательно. Средний конденсатор зарядили до напряжения V , остальные два вначале не заряжены. Крайние выводы получившейся цепочки соединили между собой резистором R. Какой ток потечет через резистор сразу после подключения? Какой полный заряд протечет по резистору? Сколько тепла в нем всего выделится?

112

Раздел 5. Электростатика

5.44. Четыре конденсатора емкости C каждый соединили последовательно. Средний конденсатор зарядили до напряжения V , остальные вначале не заряжены. Крайние выводы получившейся цепочки соединили между собой резистором R. Какой ток потечет через резистор сразу после подключения? Сколько тепла в нем о выделится к тому моменту, когда ток через резистор упадет в два раза? 5.45. В вершинах квадрата с длиной стороны а находятся два заряда Q и один заряд 3Q. Найти максимально возможное значение напряженности поля и потенциала в четвертой вершине. 5.46. Сфера радиуса R заряжена до потенциала V , после чего в ее центр дополнительно помещен заряд Q. Какую работу нужно совершить, чтобы заряд с поверхности сферы перенести на удаленный проводник емкости C, который первоначально заряжен не был? 5.47. Конденсатор емкости C заряжен до напряжения V , его соединяют последовательно с незаряженным конденсатором 2C и подключают к батарейке напряжения 4V . Какой заряд протечет через батарейку и сколько тепла выделится в системе? 5.48. Концентрические сферы радиусов R и 3R заряжены одинаковыми зарядами Q и Q. Какую работу необходимо совершить, чтобы весь заряд с внешней сферы перенести на внутреннюю? 5.49. Удаленные на большое расстояние друг от друга проводники имеют емкости C1 и C2 . Первый заряжен до потенциала V , второй вначале не заряжен. Соединим эти сферы конденсатором C (вначале и он не заряжен). Какие заряды установятся на проводниках и какое количество тепла выделится в системе?

Задачи без ответов и решений

113

5.50. К батарейке напряжения V подключили последовательно соединенные конденсаторы C и 3C. После установления напряжений в цепи параллельно конденсатору большей емкости подключают резистор R. Какой ток потечет сразу после подключения через резистор? Какое количество тепла выделится за большое время в резисторе? Сопротивление проводников очень мало. 5.51. Сфера радиуса R сделана из непроводящего материала и заряжена равномерно по поверхности полным зарядом Q. В поверхности вырезают маленькое круглое отверстие, площадь которого в 10 000 раз меньше площади сферы. Найти разность потенциалов между центром сферы и центром отверстия. Найти напряженность поля в центре сферы. 5.52. Две батарейки 6 В и 12 В соединены последовательно. Конденсаторы C = 100 мкФ и еще один такой же соединены последовательно, их выводы присоединены к крайним выводам батареек. Вольтметр подключают между точкой соединения конденсаторов и точкой соединения батареек. Какой заряд протечет по вольтметру и сколько тепла в нем выделится? 5.53. Два электрона (масса электрона m = 9 · 10−31 кг, а заряд q = −1,6 · 10−19 Кл) летят по прямой навстречу друг другу. Когда они были на расстоянии L = 1 м друг от друга, их скорости составляли V = 1 · 106 м/с. Найти минимальное расстояние между электронами. 5.54. Квадратный листок из диэлектрика имеет площадь 0,01 м2 . Он равномерно заряжен по поверхности полным зарядом Q = 1 мкКл. Проведем перпендикулярную листку прямую через его центр. Найти напряженность поля в точке этой прямой на расстоянии d1 = 1 см от плоскости листка. То же — на расстоянии d2 = 1 м.

114

Раздел 5. Электростатика

5.55. Две батарейки V1 и V2 соединены последовательно. Конденсаторы C1 и C2 соединены последовательно, их выводы присоединены к крайним выводам батареек. Амперметр подключают между точкой соединения конденсаторов и точкой соединения батареек. Какой заряд протечет по амперметру и сколько тепла в нем выделится? 5.56. Конденсаторы C и 2C соединили последовательно и подключили крайними выводами к батарейке V . Подождав достаточно долго, отключили от схемы конденсатор C и подключили обратно, поменяв местами его выводы. Найти установившиеся напряжения конденсаторов. 5.57. Конденсатор емкости C = 100 мкФ подключен к батарейке напряжения V = 6 В последовательно с резистором r = 100 кОм. Вольтметр, имеющий сопротивление R = 200 кОм, периодически подключают параллельно конденсатору и отключают от него. Время подключения составляет каждый раз t = 0,05 с, время, в течение которого вольтметр отключен, составляет каждый раз 2t. Что показывает вольтметр? 5.58. Два одинаковых конденсатора емкости C = = 10 мкФ каждый вначале заряжены до напряжения U0 = 10 В и соединены параллельно при помощи длинных проводов общим сопротивлением r = 1 Ом. Резистор R = 10 кОм подключают непосредственно к выводам одного из конденсаторов. Какое количество тепла выделится в сопротивлении проводов за большое время? 5.59. Большой уединенный проводник при помощи резистора R все время поочередно подключают на время t1 к проводнику, потенциал которого поддерживается равным f1 , и на время t2 — к другому проводнику, по-

Задачи без ответов и решений

115

тенциал которого поддерживается равным f2 . Считая t1 и t2 малыми, определить среднюю тепловую мощность, рассеиваемую в резисторе. 5.60. Проводящий шар радиуса R заряжен до потенциала V0 , к нему подносят точечный заряд q. При каком расстоянии от заряда до центра шара сила взаимодействия между шаром и точечным зарядом будет нулевой? 5.61. В Вашем распоряжении есть конденсаторы одинаковой емкости 1 мкФ, они выдерживают напряжение 200 В. Соединим последовательно два таких конденсатора. Можно ли подключать получившийся конденсатор емкости 0,5 мкФ к источнику постоянного напряжения 300 В? 5.62. Две концентрические проводящие сферы радиусов r и R не заряжены. В точке на расстоянии (R + r)/2 помещают точечный заряд Q. Найти разность потенциалов между сферами. 5.63. Две концентрические проводящие сферы радиусов r и R вначале не заряжены. В точке на расстоянии (R + r)/2 помещают точечный заряд Q. Соединим сферы тонким проводником. Какой заряд по нему протечет? 5.64. Оценить электрическую емкость проводника — медной монетки диаметром 1 см и толщиной 0,5 мм. 5.65. Проводящая сфера радиуса R вначале не заряжена. На расстоянии 5R от центра сферы закреплен точечный заряд Q. Сферу заземляют тонким проводником, имеющим сопротивление r. Какой заряд протечет по заземляющему проводнику? Какое количество теплоты в нем выделится? 5.66. Проводящие концентрические сферы радиусов R, 2R и 5R заряжены. Их потенциалы составляют

116

Раздел 5. Электростатика

(в том же порядке) V , 3V и 7V . Какой заряд протечет по тонкому проводнику, которым мы заземлим среднюю сферу? 5.67. Конденсатор сделан из двух больших пластин площади S каждая, находящихся на малом расстоянии d друг от друга. Заряды пластин составляли Q и −Q. В него медленно вносят пластину диэлектрика e, толщина которой чуть меньше d, между пластиной и обкладками конденсатора остаются тонкие зазоры. Какую работу совершают при этом силы, действующие на пластину со стороны заряженных обкладок конденсатора? 5.68. Три маленьких заряженных шарика закреплены на одной прямой, расстояния между соседними шариками a. Массы шариков m, 2m и 5m, заряды их q, Q и 2q соответственно. Шарики отпускают. Найдите их скорости после разлета на большие расстояния. 5.69. Тонкий непроводящий диск радиуса R равномерно заряжен по поверхности полным зарядом Q. Оценить расстояние от центра диска вдоль его оси до точки, в которой напряженность поля в 5 раз меньше, чем около поверхности диска. Найти потенциал поля в этой точке. 5.70. В центре проводящей сферы радиуса R помещен проводящий шарик радиуса R/5, заряд шарика Q. На сфере находится заряд 5Q. Каковы потенциалы шарика и сферы? Сферу заземляют. Какой потенциал будет теперь у шарика? Сколько тепла выделится в системе? 5.71. В центре проводящей сферы радиуса R помещен проводящий шарик радиуса 0,999R, заряд шарика Q. На сфере находится заряд 5Q. Каковы потенциалы

Задачи без ответов и решений

117

шарика и сферы? Сферу заземляют. Какой потенциал будет теперь у шарика? Сколько тепла выделится в системе? 5.72. Три крошечных шарика, массы которых равны 1 г, 1 кг и 1 кг находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной 1 см. Шарики заряжены одинаковыми зарядами — по 1 мкКл. Вначале их удерживают, затем отпускают. Найти скорости шариков через большое время.

РАЗДЕЛ 6

КАК РАССЧИТАТЬ ТОКИ В ПРОСТОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ Начнем с очень простой схемы, которая содержит идеальную батарейку и резистор — «нагрузку» (рис. 26). А V0

R Б

Рис. 26

Точка А «положительнее» точки Б — это «сделала» батарейка, именно к этому сводится ее роль в электрических цепях. Резистор подключен к тем же точкам А и Б (провода мы считаем идеальными, не имеющими электрического сопротивления). Ток через резистор течет от «положительной» точки к «отрицательной» — это направление принято в литературе и согласовано с направлением движения положительных носителей заряда. Сразу стоит обсудить такой вопрос: а что делать, если неизвестно, какая точка «положительнее»? Если в схеме несколько батареек и напряжения заданы «буквами», либо схема достаточно сложна и сразу выяснить «положительность» не получается, то можно расставить стрелки токов совершенно произвольно, а если потом выяснится, что величина тока номер пять отрицательна и составляет, например, −2 A, это будет означать, что он просто течет в другую сторону и пересчитывать ничего не нужно. Внимание! Это относится к схемам с батарейками, резисторами, лампочками и тому подобными

120

Раздел 6. Токи в простой электрической цепи

привычными элементами. А вот если в схеме есть диод, который проводит ток только в одном направлении, дело может усложниться и потребуется дополнительный анализ. Теперь поговорим немного о батарейке. Известно, что напряжение батарейки (напряжение, измеренное между ее выводами) зависит от величины отнимаемого от нее тока — при увеличении тока напряжение падает. Причины этого не так просты, как пишется в учебниках — во всяком случае, батарейки на практике ведут себя совсем не так, как следует из простой модели «идеальная батарейка последовательно с внутренним сопротивлением», при больших токах напряжение падает намного сильнее, чем следовало бы из такой модели, да и батарейка тяжело переносит такие токи — в тончайшем слое, где и проходят химические реакции, температура очень сильно возрастает и свойства батарейки изменяются. Мы все равно будем пользоваться именно такой моделью расчета, однако придется помнить, что она очень приблизительна. Итак, будем считать, что внутри обычной батарейки находится идеальный источник V0 , напряжение которого остается неизменным при любых значениях тока через него, а последовательно с этим источником включен резистор r — «внутреннее сопротивление» батарейки и именно этот резистор виноват в том, что напряжение батарейки зависит от величины тока: U = V0 − r · I (минус относится к случаю, когда именно наша батарейка «проталкивает» заряды по внешней цепи — если изменить направление тока на противоположное, подключив в цепь еще одну батарейку с большим напряжением и правильно выбрав ее полярность, то напряжение на зажимах нашей батарейки окажется больше U0 . Такая картина наблюдается при зарядке аккумуляторов). Кстати, напряжение U0

Раздел 6. Токи в простой электрической цепи

121

(его называют по старой традиции «электродвижущая сила», э. д. с.) по мере старения батарейки практически не меняется, а изменение характеристик связано с возрастанием внутреннего сопротивления «подсаженной» батарейки. Перейдем к расчету цепей. Стандартный «школьный» метод расчета состоит в последовательном упрощении цепи — замене параллельных или последовательных участков эквивалентными. Рассмотрим пример — нужно в схеме на рисунке найти токи через каждый из резисторов (рис. 27). R1 V0

R2

Рис. 27

R**

R1 R3

R*

V0

Рис. 28

V0

Рис. 29

Резисторы R2 и R3 соединены параллельно, вместо R R

них можно подключить резистор R* = 2 3 — полуR2 + R3 чившаяся схема приведена на рисунке 28. Схема теперь стала проще, ее уже можно и не переделывать дальше, но для порядка — заменим последовательно соединенные резисторы R1 и R* одним резистором R** — рисунок 29. В последней схеме легко найти ток — это будет один из требуемых токов — через резистор R1 . Для нахождения токов через остальные резисторы нужно вернуться к схеме рис. 28 — сумма токов через эти резисторы равна найденному току через R1 , отношение токов можно определить из условия равенства напряжений, ведь эти резисторы соединены параллельно. В общем, решение простое, но очень нудное и многоступенчатое. Кроме того, не всякую схему можно таким способом упростить — например, широко известный «мостик» из

122

Раздел 6. Токи в простой электрической цепи

резисторов при соответствующем включении не содержит ни параллельно, ни последовательно соединенных пар резисторов. Проблемы возникают и в менее экзотических схемах — например, при попытках рассчитать цепь с двумя включенными параллельно источниками (не идеальными, разумеется). Именно с такой схемы мы и начнем. К параллельно соединенным батарейкам подключен резистор R и требуется определить ток через него. Параметры батареек заданы — их э. д. с. составляют E1 и E2 , соответственно, внутренние сопротивления r1 и r2 (рис. 30). Полезно сразу перерисовать схему, заменяя батарейки их идеализированными моделями — выделив внутренние сопротивления (рис. 31). r1 E1 r1

E2 r2

Рис. 30

r2 R

R

E1

V

E2

Рис. 31

В схеме дополнительно нарисован вольтметр — мы будем считать прибор идеальным, имеющим бесконечно большое сопротивление (вообще разговор об идеальных измерительных приборах очень важен, мы к нему непременно вернемся). Вольтметр нужен для наглядности решения задачи — пусть показания его равны V , именно эту величину мы и постараемся найти, через нее сразу можно выразить ток резистора R. Для нахождения этой величины нужно написать какое-то уравнение, в которое она войдет. Ясно, что это уравнение должно связывать токи через элементы нашей цепи — ток через R равен сумме токов, которые текут через батарейки. Внимание! В этом месте рассуждений можно говорить

Раздел 6. Токи в простой электрической цепи

123

о законе сохранения заряда, о стационарности процессов в такой цепи, о 1-ом законе Кирхгофа, наконец, но целесообразно всю эту научность немного отложить — хотя бы до конца решения этой задачи — для разумного человека это равенство вполне очевидно, особенно, если упомянуть гидроаналогию. Единственная тонкость тут связана с направлением токов через батарейки — естественно нарисовать оба тока «вверх», а ток через R — «вниз». Однако, если напряжение одной из батареек существенно больше, чем у другой (тут важно не только соотношение между напряжениями, но для наглядности мы говорим именно так), то именно она может определять направления токов и ток через другую батарейку вполне может течь «вниз». Так вот: это совершенно безразлично для нашего способа решения — просто в результате вычислений ток через эту другую батарейку окажется отрицательным, это и будет означать его обратное направление и ничего пересчитывать нам не придется. Итак, выразим токи в каждой из неразветвленных частей нашей цепи (ток в ветви с вольтметром равен нулю, ведь его сопротивление очень велико). Для нахождения тока в ветви очень удобен резистор — для него мы можем записать закон Ома, а через остальные элементы этой (неразветвленной!) части цепи ток будет таким же. Ток через первую из батареек найдем как ток через резистор r1 — для этого нужно знать напряжение между концами этого резистора. Видно, что нижний конец этого резистора «положительнее» верхнего на величину E1 − V (мы вычитаем именно в этом порядке, так как направили ток от нижней точки к верхней — если бы мы выбрали направление тока сверху вниз, то и вычитать нужно было бы из V величину E1 ). Почему так получилось ясно: нижний конец резистора «положительнее» самой нижней точки схемы на величину э. д. с.

124

Раздел 6. Токи в простой электрической цепи

первой батарейки, а верхний конец резистора «положительнее» на величину показаний вольтметра — он как раз и показывает, на сколько один его вывод «положительнее» другого. Для второй батарейки ток записывается аналогично, для резистора R все совсем просто — E − V E2 − V V + r = . и напишем обещанное уравнение: 1r R 1 2 Неизвестную величину V отсюда легко выразить:

V=

E1 r1 1 r1

+ Er22

+ r12 + R1

.

Ток через резистор R находится сразу (собственно, он уже записан в правой части нашего уравнения). Ответ можно записать и в более изящной форме, но это уже лишняя работа. Отметим, что ничего такого, что школьнику не было бы знакомо, мы не делали — просто мы разумно выбрали неизвестные величины (в данном случае нам хватило одной) и записали понятное уравнение. Такой способ расчета цепей, при котором в качестве неизвестных величин выбираются потенциалы узлов схемы, а в качестве уравнений выбираются соотношения токов в узлах (сумма токов втекающих...) называется метод узловых потенциалов и мы уже только что рассчитали одну цепь этим методом. Стоит сразу указать место этого метода среди других — это очень удобная разновидность метода расчета при помощи законов Кирхгофа, но разумный выбор неизвестных величин (потенциалы узлов) позволяет экономить — все уравнения для контуров в этом случае выполняются автоматически и становятся ненужными. Как велика может оказаться эта экономия можно увидеть на примере задачи 1.

Раздел 6. Токи в простой электрической цепи

125

Проведем при помощи этого метода более сложный расчет — рассчитаем «мостик». Найдем ток через резистор r (рис. 32). Батарейку будем считать идеальной. V0 R

R

R

V0 R

V2

V1

V

r 0

Рис. 32

Рис. 33

На рисунке 33 изображен «скелет» нашей схемы — на нем удобно рисовать токи и задавать потенциалы. На этом рисунке условно показан вольтметр — одним концом (нижним) он подключен к «общей» точке этой цепи, другим — к интересующей нас точке, потенциал которой мы измеряем («общая точка» — это просто такая точка, относительно которой мы измеряем все потенциалы в схеме, выбрать ее можно произвольно, так мы и сделали). На рисунке стрелками показаны направления токов и выписаны значения потенциалов узлов. Часть из них нам известна — потенциал «верхнего узла» V0 , часть предстоит определить — потенциалы «левого узла» V1 и «правого узла» V2 . Важное замечание: известных и неизвестных потенциалов на схеме должно быть изображено ровно столько, сколько нужно для выражения всех токов в цепи — для каждого резистора в схеме должны быть определены потенциалы его концов. В нашем случае хватило двух неизвестных величин (если бы мы не задали, например, потенциала V2 , то нельзя было бы записать токи для трех резисторов схемы). Ясно, что достаточно написать два уравнения — запишем их для левого и правого узлов. Напоминание: если стрелка, изображающая ток на участке АБ,

126

Раздел 6. Токи в простой электрической цепи

направлена от А к Б, то для нахождения тока нужно вычитать из потенциала точки А потенциал точки Б. V0 − V1 V1 V1 − V2 = + ; R R R V0 − V2 V1 − V2 V2 + = r . R R

Из этих уравнений легко найти V2 , искомый ток I = V2 /r. (Известно, что систему из двух уравнений с двумя неизвестными большинство школьников решить все же могут, а вот систему из пяти или даже из четырех уравнений — практически не смогут. Задача могла быть поставлена немного иначе — дан мостик и нужно определить сопротивление между какими-либо точками цепи. Трудность представляет только такой вариант, при котором нельзя цепь сразу упростить — при подключении мостика точками 1 и 2, либо теми точками, к которым в последней задаче была подключена батарейка (кстати, ответы в этих двух случаях одинаковы), а если мостик подключить по другому — концами одного из резисторов, то ее можно легко преобразовать. Найти сопротивление можно так: подключить к заданным точкам идеальную (так проще сделать расчет) батарейку и найти ток через нее. Сопротивление определится как отношение напряжения батарейки к найденному току. Метод узловых потенциалов очень универсален — практически без изменений он позволяет рассчитать распределение зарядов в схеме из конденсаторов, возможен расчет цепи переменного тока (если познакомиться с комплексными числами), в цепи постоянного тока могут быть включены и нелинейные элементы — их характеристики задаются либо аналитически — например, ток I = k · V 2 , либо графически, при этом решение тоже частично будет графическим. Не всегда следует

Раздел 6. Токи в простой электрической цепи

127

применять этот метод «в лоб» — иногда полезно выбрать неизвестные величины немного иначе: часть неизвестных могут быть потенциалами, а часть — может быть, одно — током какой-нибудь ветви. Это относится к случаю, когда нужно найти всего один ток в цепи. Тем не менее, не всегда следует пользоваться именно этим методом, бывают задачи, вовсе не предназначенные для собственно расчета, а составленные в расчете на изящное искусственное решение — только такие задачи и решаются «красиво», часто они попадаются на физических (и математических) олимпиадах. К ним можно относиться по-разному, однако, они бывают иногда очень поучительны. Довольно много таких задач используют правило: если разность потенциалов между двумя точками цепи в точности равна нулю, то по соединяющим эти точки неразветвленным участкам цепи ток не течет — при этом можно эти точки соединить «накоротко», либо совсем разомкнуть — токи в цепи при этом не изменятся, а вид схемы может сильно упроститься. Известная задача про «кубик из сопротивлений» как раз такова: кубик из тонкой проволоки показан на рисунке 34, сопротивление каждого ребра кубика R. Нужно найти сопротивление между диагонально расположенными точками А и Б.

б1

Б а1

Б

б2 б3

а2 А

А

Рис. 34

а3

Рис. 35

128

Раздел 6. Токи в простой электрической цепи

Для нахождения сопротивления поступим следующим образом: подключим идеальную батарейку между точками А и Б и рассмотрим получившуюся схему (рис. 35). Введем обозначения: буквами а1 , а2 , а3 обозначены концы ребер кубика, «выходящих» из точки А, буквами б1 , б2 , б3 — концы ребер, «выходящих» из точки Б. Ясно, что потенциалы точек, которые мы обозначили буквами А, должны быть одинаковыми — эти точки совершенно равноправны (тут можно говорить и о «симметрии» схемы), то же самое можно сказать про потенциалы точек б — они также равны между собой. Это значит, что точки а можно соединить между собой, а точки б — между собой. Полученная после этого схема совсем проста — ребра кубика изображены на этой схеме в виде резисторов, получилась комбинация параллельно соединенных резисторов и последовательного соединения таких групп.

Рис. 36

Общее сопротивление равно Rобщ = R + R + R = 5R . 3 6 3 6 Для того, чтобы задача «решалась» таким способом, она должна быть составленной специально — нужно либо подобрать значения сопротивлений в обычной схеме, либо выбрать очень «симметричную» схему. Впрочем, возможны исключения — если нас интересует условие, при выполнении которого ток в заданной ветви не будет течь (баланс мостика), то это наш случай, и все, что

129

Примеры решения задач

между интересующими нас точками включено, можно выбросить. Примеры решения задач Задача 1. Батарейка имеет напряжение 10 В. В схеме (рис. 37) использованы одинаковые вольтметры, найти их показания.

V V

V

Решение. Решим эту задачу без соV V ставления уравнений — «на пальцах». Ток батарейки в этой схеме протекает через параллельно соединенные два вольтметра, Рис. 37 разделившись пополам между ними, а затем — через тройку вольтметров, при этом он делится на три равные доли (вольтметры одинаковые). Ясно, что показания любого вольтметра из тройки меньше показаний «парных» вольтметров в 3 : 2 = 1,5 раза. В сумме же показания любого вольтметра из пары и любого из тройки составляет 10 В. Итак, вольтметры в паре показывают по 6 В, вольтметры в тройке — по 4 В. Схема, конечно же, совершенно бессмысленная, такую можно встретить только на физической олимпиаде. Однако, соединять вольтметры последовательно иногда не лишено смысла — например, если у Вас есть только «вольтметры школьные на 6 Вольт», а нужно померить напряжение батарейки «Крона», у которой напряжение больше 9 Вольт. Кстати, иногда полезно соединять параллельно амперметры, подумайте сами — в каких случаях. Задача 2. Батарейка имеет напряжение 6 В. В схеме (рис. 38) использованы одинаковые вольтметры, найти их показания.

130

Раздел 6. Токи в простой электрической цепи

Решение. Заменим на схеме каждый вольтметр резистором (а для проV V текающих токов каждый вольтметр представляет собой просто резистор — после того, как он перестанет «разРис. 38 махивать» стрелкой и создавать на своих зажимах э. д. с. индукции). Такую задачу мы уже решали выше — получается самый обычный «мостик», в котором все резисторы, кроме одного, одинаковы, а один — там, где включены два вольтметра — имеет вдвое большее сопротивление. Нам не нужно находить токи, достаточно определить потенциалы узлов. Итак, будем считать нулевым потенциал точки, присоединенной к «минусу» батарейки, тогда потенциал слева («плюс» батарейки) составит +6 В. Обозначим потенциал верхнего узла V1 , потенциал нижнего узла V2 . Уравнения для узлов: V

V

V

V

6 − V1 V1 − V2 V 1 = + , R R 2R

6 − V2 V1 − V2 V 2 + = . R R R

Сопротивление вольтметра мы обозначили буквой R, эта величина заведомо в ответ не попадет. Решая систему уравнений, получим V1 = 48/13 (В), V2 = 42/13 (В). Тогда показания вольтметров (слева сверху, по часовой стрелке): 6 − 48/13 = 30/13 (В), 24/13 (В), 24/13 (В), 42/13 (В), 36/13 (В). Задача 3. Что показывает вольтметр в изображенной на рис. 39 схеме? Миллиамперметры одинаковые, батарейки идеальные. Найти 2 мА 2,2 мА сопротивления приборов. A A Решение. В условии за4,5 В 4,8 В V дачи ничего не сказано про направления токов — точРис. 39 нее, направление тока через

Примеры решения задач

131

вольтметр понятно, а токи через миллиамперметры могут либо оба течь в направлении от «плюса» батарейки 4,8 в к «плюсу» второй батарейки, либо оба тока могут «втекать» в вольтметр. Нам придется разобрать обе возможности. Введем обозначения: напряжение вольтметра обозначим V , сопротивление каждого из миллиамперметров r, сопротивление вольтметра R. Итак, пусть оба тока «втекают» в вольтметр. Тогда для напряжения вольтметра можно записать два уравнения (будем писать прямо «в числах» — как записать эти же уравнения в буквенных обозначениях, вполне очевидно; величины токов будем выражать в миллиамперах, тогда величины сопротивлений получаются в килоомах): V = 4,5 − 2 · r; V = 4,8 − 2,2 · r. Приравнивая правые части, получим r = 1,5 кОм (это многовато для такого — на несколько миллиампер — миллиамперметра!), V = 1,5 В. Через вольтметр течет суммарный ток 4,2 мА, тогда сопротивление вольтметра R = 1,5/4,2 = 0,36 кОм (это очень мало для такого вольтметра). В другом случае V = 4,5 + 2 · r; V = 4,8 − 2,2 · r. При этом r = 71 Ом, V = 4,64 В, и R = 23 кОм. Эти величины выглядят вполне правдоподобно (хотя, всякие бывают приборы, особенно в школьных лабораториях...). Задача 4. Электрическая цепь содержит всего 40 резисторов, сопротивления резисторов первого «звена» равны 1 Ом, второго — по 10 Ом, третьего — по 100 Ом и так далее — до 20 звена (рис. 40). Найти сопротивление цепи между точками А и Б. 10

1 1

10

100 100

Рис. 40

132

Раздел 6. Токи в простой электрической цепи

Решение. Из условия задачи видно, что сопротивления звеньев быстро возрастают, для приближенного вычисления можно отбросить «удаленные» звенья — ответ почти не изменится. Для примера отбросим все звенья, кроме первого — в этом случае сопротивление составит R1 = 2 Ом. Теперь оставим два звена — получится простая последовательно-параллельная схема, которую можно рассчитать обычными способами: R2 = 1 + 1 · 20/(1 + 20) = 1,952 Ом. Для трех звеньев получится R3 = 1,951 Ом, т. е. почти тот же результат. Можно этим и ограничиться, можно посчитать еще несколько значений — ответ изменится совсем немного. Однако в этой задаче можно применить и другой способ расчета. Вместо того, чтобы отбрасывать лишние звенья, дополним эту цепь справа очень большим числом звеньев, сделаем эту цепочку бесконечной. Ясно, что изменения справа от звена номер 20 (а именно столько звеньев было в исходной цепи) изменят измеряемое сопротивление совсем мало, поэтому результат такого расчета будет очень точным. Обозначим искомое сопротивление Z, и попробуем его найти следующим образом: отбросим первое звено 1 Ом — 1 Ом, у нас получится цепь (тоже бесконечной длины!), все резисторы которой больше исходных ровно в 10 раз, значит — сопротивление этой цепи составляет 10Z. Тогда вернем на место первое звено, а всю остальную цепочку заменим резистором 10Z. Теперь можно записать: Z = 1 + 1 · 10Z/(1 + 10Z), или 10Z2 − 19 · Z − 1 = 0. Получилось уравнение для определения неизвестной √ величины Z. Отсюда: Z = (19 + 401)/20 = 1,951 Ом. Мы видим, что «почти точное» решение дает практически тот же ответ.

Примеры решения задач

133

Задача 5. Два из трех резисторов в схеме на рисунке 41 одинаковые, третий резистор имеет другое сопротивление. Когда к цепи подключили два идеальных вольтметра — верхний показал 2 В, а нижний 3 В. Вольтметры заменили на идеальные амперметры, — верхний амперметр показал 0,06 А. Какой ток показывает при этом второй амперметр?

Рис. 41

Решение. Сопротивления крайних резисторов не могут быть одинаковы — в этом случае показания вольтметров были бы равны друг другу. Пусть одинаковые резисторы R находятся слева, а резистор X — справа (верхний вольтметр подключен к (R + X), а нижний к (R + R)). Токи через резисторы одинаковы (вольтметры идеальные). Тогда отношение показаний вольтметров равно отношению сопротивлений: 2 : 3 = (R + X) : 2R. Отсюда X = R/3. После замены вольтметров на амперметры, резисторы оказываются подключенными к батарейке параллельно (идеальный амперметр похож на кусок провода, не имеющий сопротивления, стоит перерисовать схему с проводами вместо амперметров — и сразу все станет ясно), и токи через них E , E и E = 3E . При этом верхний амперметр R

R

X

R

показывает сумму токов E и E , а нижний — сумR

X

му токов E и E . Тогда ток «нижнего» амперметра R R I1 = 0,06 · 4/2 = 0,12 A. Если же одинаковые резисторы

134

Раздел 6. Токи в простой электрической цепи

находятся справа, то третий резистор Y можно найти из условия 2 : 3 = 2R : (R + Y), Y = 2R. Теперь для токов: 0,06 = E + E и I2 = E + E = 0,06 · 2/1,5 = 0,08 A. R

2R

R

R

Задача 6. Нелинейный двухполюсник имеет «квадратичную» вольтамперную характеристику — напряжение между его выводами пропорционально квадрату текущего через него тока. Двухполюсник подключают к батарейке напряжением U последовательно с вольтметром, при этом вольтметр показывает половину напряжения батарейки. Параллельно двухполюснику подключают еще один такой же вольтметр. Найти показания вольтметров. Внутреннее сопротивление батарейки считать малым. Решение. Обозначим напряжение на «одиноком» двухполюснике V , тогда на каждом из параллельно соединенных двухполюсников напряжение составляет (U − V ). Ток через двухполюсник при напряжении V составляет k · V 2 , при напряжении U − V ток двухполюсника равен k · (U − V )2 и сумма токов параллельно включенных двухполюсников равна току 2 2 одиночного: √ k · V = 2k · (U − V ) . Отсюда сразу находим V = U · (2 − 2) ≈ 0,585U, напряжение на параллельно включенных двухполюсниках U − V ≈ 0,415U. Задачи 6.1п . К батарейке подключили последовательно соединенные вольтметр и миллиамперметр. Вольтметр показывает 3 В, миллиамперметр — 1 мА. Параллельно вольтметру подключают резистор, после этого показания вольтметра уменьшаются до 2,8 В, а показания миллиамперметра теперь 2,5 мА. Найти по этим данным сопротивление резистора.

Задачи

135

6.2. К идеальной батарейке подключили последовательно соединенные вольтметр и амперметр. Вольтметр показывает 6 В, амперметр — 1 мА. Параллельно вольтметру подключают еще один такой же вольтметр, после этого показания амперметра возрастают до 1,8 мА. Найти по этим данным сопротивления приборов. 6.3. К идеальной батарейке подключены последовательно соединенные вольтметр и амперметр. Вольтметр показывает 6 В, амперметр — 1 мА. Параллельно амперметру подключают еще один такой же амперметр, после этого показания первого амперметра уменьшаются до 0,51 мА. Считая показания приборов точными, найти по этим данным сопротивления приборов. 6.4. К выводам сложной схемы, состоящей из батареек и резисторов, подключили вольтметр — он показал 6 В. К этим же выводам подключили амперметр — он показал ток 1 А. Какую максимальную мощность можно получить, подключая нагреватель к этим выводам? Каким должно быть при этом оптимальное сопротивление нагревателя? Приборы считать идеальными. 6.5. Спираль нагревателя должна работать в широком диапазоне температур, при этом она сильно меняет свое сопротивление — от 16 до 25 Ом. Придумайте и рассчитайте простую схему включения нагревателя, чтобы его мощность во всем диапазоне температур была почти постоянной и составляла 20 Вт плюс-минус 1 % (не хуже — лучше бы поменьше!). Постарайтесь обойтись без микропроцессоров, сложной электроники и «человеческого участия» в процессе регулирования. 6.6. Собрана сложная электрическая цепь, состоящая из 57 батареек и 2005 различных резисторов. Между точками А и Б этой схемы подключают вольтметр —

136

Раздел 6. Токи в простой электрической цепи

он показывает 2 В. Убираем вольтметр, подключаем амперметр — его показания 18 мА. Убираем амперметр, подключаем между этими точками резистор сопротивлением 17 Ом. Какой ток по нему потечет? Приборы и элементы цепи считать идеальными. 6.7. Два вольтметра подключены к батарейке последовательно и показывают 2 В и 3 В, соответственно. Параллельно первому подключают еще один вольтметр, он показывает при этом 1 В. Что покажет последний вольтметр, если один из первых двух перегорит (сопротивление перегоревшего прибора при этом станет бесконечно большим)? 6.8. Два одинаковых вольтметра соединили параллельно, третий вольтметр подключили к этой комбинации последовательно и к концам получившейся цепи присоединили батарейку. При этом вольтметры показывают 4 В, 4 В и 5 В. Какое напряжение у батарейки? Могут ли быть одинаковыми все три вольтметра? Что покажут приборы, если их соединить последовательно и подключить к батарейке? Показания приборов считайте точными, батарейка идеальная. 6.9. Сто одинаковых батареек (э. д. с. каждой батарейки 1,5 В, внутреннее сопротивление 1 Ом) подключают последовательно, выводы получившейся цепи соединяют между собой — получается кольцо. Подключим вольтметр параллельно одной из батареек. Какое напряжение он покажет? Учтите, что при изготовлении цепи ровно 20 батареек из 100 были подключены в обратной полярности. 6.10п . Есть пять резисторов, их сопротивления 1 Ом, 2 Ом, 3 Ом, 4 Ом и 5 Ом. Как их нужно соединить, чтобы

Задачи

137

полученная цепочка имела сопротивление как можно ближе к p Ом (p = 3,141592...). 6.11п . В схеме «мостика» из резисторов четыре имеют сопротивление 1 Ом, а один — сопротивление 5 Ом (рис. 42). Какой из резисторов нужно отключить от цепи, чтобы ток через батарейку изменился сильнее всего? Рис. 42

6.12. В схеме «мостика» из резисторов (см. предыдущую задачу) четыре имеют сопротивление 1 Ом, а один — сопротивление 5 Ом. Какой из резисторов нужно замкнуть накоротко (соединить проводником его выводы), чтобы ток через батарейку изменился сильнее всего? 6.13. К источнику с э. д. с. 6 В и внутренним сопротивлением 2 Ом подключают нагреватель для аквариума, имеющий сопротивление 6 Ом. Параллельно нагревателю подключен еще один резистор сопротивлением 6 Ом, этот резистор находится в стороне от аквариума. Какое количество тепла выделится в аквариуме за 1 час? Чему равен к. п. д. схемы подключения нагревателя? 6.14. Резистор 10 Ом включен параллельно с лампочкой для фонаря, последовательно с ними включен еще один резистор 10 Ом. Всю эту цепь присоединяют к источнику питания и подбирают его напряжение так, чтобы напряжение лампочки составило 3,5 В (при этом напряжении ток лампочки равен 0,25 А). Найдите напряжение источника. 6.15п . К батарейке подключены 2 резистора, соединенные последовательно. Подключим вольтметр параллельно одному из резисторов — он покажет напряже-

138

Раздел 6. Токи в простой электрической цепи

ние 2 В, если подключить его параллельно другому резистору — он снова покажет 2 В. Когда вольтметр подключили прямо к выводам батарейки, он показал 6 В. Что покажет вольтметр, если отсоединить один из резисторов, а вольтметр включить вместо него? Не задавайте лишних вопросов, почитайте условие задачи и решите сами — идеальный этот вольтметр, или нет. 6.16. Два одинаковых вольтметра соединены последовательно и подключены к батарейке. Параллельно одному из вольтметров подключен резистор, при этом показания вольтметров составляют 1,4 В и 3,1 В. Отключим теперь один из вольтметров. Что будет показывать оставшийся прибор? Напряжение батарейки можно считать неизменным. Задачи без ответов и решений 6.17. Вольтметр и миллиамперметр соединены последовательно и подключены к батарейке, при этом показания приборов 6,1 В и 1 мА. Параллельно миллиамперметру подключают второй вольтметр, показания первого вольтметра увеличиваются до 6,3 В, второй вольтметр (он того же типа, что и первый) показывает 0,4 В. Какой ток теперь течет через миллиамперметр? Батарейку можно считать идеальной. 6.18. Три одинаковые батарейки напряжением 1,5 В каждая вначале не соединены друг с другом. Затем между каждым выводом батарейки и каждым из пяти оставшихся выводов подключают резистор сопротивлением 1000 Ом. Сколько всего получится резисторов? Какой ток при этом будет течь через каждую из батареек?

139

Задачи без ответов и решений

6.19. Лампочка для фонаря рассчитана на ток 0,15 А при напряжении 2,5 В. Нужно подключить ее к автомобильному аккумулятору напряжением 12 В при помощи последовательного резистора. Найти сопротивление этого резистора и тепловую мощность, которая на нем рассеивается. 6.20. «Вольт-Амперная» характеристика лампы накаливания нелинейная, сопротивление нити накала сильно меняется в соответствии с ее температурой. Будем считать, что сопротивление нити накала прямо пропорционально ее температуре (естественно, выраженной в Кельвинах: R = a · T), а практически вся мощность, потребляемая лампой, идет «в излучение», причем мощность излучения пропорциональна четвертой степени температуры (P = s · T4 ). Получите формулу, которая связывает приложенное напряжение и силу тока нити накаливания. 6.21. Параллельно друг другу включено очень много резисторов: 10 Ом, 20 Ом, 40 Ом и так далее — каждый следующий вдвое больше. Найти полное сопротивление этой цепи. 6.22. Слева батарейка 3 В, подключенный к ней резистор 10 кОм, справа батарейка 5 В, резистор 20 кОм (рис. 43). Вольтметр показывает 3,5 В. Найти по этим данным сопротивление вольтметра.

V

Рис. 43

6.23. К батарейке 6 В подключены последовательно соединенные резисторы 1 кОм и 3 кОм. Вольтметром измеряют напряжения на одном и другом резисторах. Найти отношение этих двух напряжений. Вольтметр не идеальный!

140

Раздел 6. Токи в простой электрической цепи

6.24. Одно «Т-образное звено» цепи содержит три резистора — два по 10 Ом (верхние) и 100 Ом (рис. 44). Звенья включены одно за одним, образуя длинную цепочку. Рис. 44 Найти сопротивление такой цепи, содержащей 2008 звеньев. 6.25. К батарее с ЭДС 9 В и неизвестным внутренним сопротивлением подключены последовательно амперметр и вольтметр. Сопротивления приборов неизвестны. Если параллельно вольтметру включить резистор (его величина тоже неизвестна), то показание амперметра вдвое увеличивается, а показание вольтметра вдвое уменьшается. Каким стало показание вольтметра после подключения резистора? 6.26. Амперметр «тепловой» системы измеряет текущий через него ток по выделяемому в его внутреннем сопротивлении количеству теплоты. В проводимом эксперименте текущий через амперметр ток периодически меняет и величину и направление: в течение 0,2 с он равен 2 А, следующие 0,1 с ток течет в другую сторону и равен 1 А. Затем снова 2 А, потом 1 А, и так далее. Какой ток показывает при этом амперметр? 6.27. Омметр состоит из миллиамперметра, рассчитанного на максимальный ток I = 1 мА, источника тока и добавочного резистора, регулировкой сопротивления которого омметр устанавливается на нулевую отметку при замкнутых накоротко выводах (ноль омметра находится в правом конце шкалы). Схему собирают из батареи для карманного фонарика с ЭДС 1 = 4,5 В, резистора с неизвестным сопротивлением и омметра. Когда омметр включают последовательно, он показывает ноль. Когда его включают параллельно батарее, он показывает бесконечно большое сопротивление. Опре-

Задачи без ответов и решений

141

делите величину неизвестного сопротивления резистора и напряжения на батарее и на омметре. 6.28. Схема, приведенная на рисунке 45, содержит 50 разных амперметров и 50 одинаковых вольтметров. Показания первого вольтметра U1 = 9,6 В, первого амперметра — I1 = 9,5 мА, второго амперметра I2 = 9,2 мА. Определите по этим данным сумму показаний всех вольтметров. A1

A50

A2 V1

V2

V49

V50

Рис. 45

6.29. Для исследования солнечной батареи используется многопредельный вольтметр (он состоит из чувствительного микроамперметра и набора добавочных резисторов). Подключив его к батарее на пределе 1 В, мы получаем показание U1 = 0,7 В. Переключив вольтметр на предел 10 В, мы получим показание U2 = 2,6 В. Что получилось бы на пределе 100 В? Известно, что при неизменном освещении солнечная батарея ведет себя как обычный источник, последовательно к которому подключен резистор большого сопротивления. 6.30. В схеме на рисунке 46 амперметры показывают токи 0,2 А и 0,3 А. После того как A два резистора в схеме поменяли местами, показания амперметров не изменились. Какой ток течет через баA тарею? Считать напряжение батареи неизменным. Сопротивления амперметров пренебрежимо малы. Рис. 46

142

Раздел 6. Токи в простой электрической цепи

6.31. К батарейке подключены последовательно соединенные амперметр и вольтметр, параллельно вольтметру подключен резистор, сопротивление которого неизвестно. При этом амперметр показывает ток 10 мА, вольтметр — напряжение 2 В. После того как резистор отключили от вольтметра и подключили параллельно амперметру, показания амперметра уменьшились до 2,5 мА. Определите по этим данным сопротивление резистора. Чему равно сопротивление вольтметра? Можно ли определить по этим данным сопротивление амперметра и напряжение батареи? Батарею считать идеальной. 6.32. Полупроводниковый терморезистор имеет зависимость сопротивления от температуры вида R = = R0 (l − at). Когда терморезистор нагрет до температуры t, он рассеивает в окружающую среду мощность P = B(t − tокр ). Какой ток будет течь в цепи, если к терморезистору подключить источник с напряжением U? 6.33. К батарейке с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением подключены последовательно друг другу два одинаковых миллиамперметра, которые показывают ток I1 = 1 мА. Параллельно одному из них подключают вольтметр, при этом показания этого миллиамперметра уменьшаются до I2 = 0,8 мА, а вольтметр показывает напряжение U = 0,3 В. Что показывает второй миллиамперметр? Чему равно напряжение батарейки? Каковы сопротивления приборов? 6.34. От катушки с проводом из сплава с высоким удельным сопротивлением отрезали два куска длиной 1 м и 3 м. Провода эти соединили параллельно и подключили к источнику питания. От левого конца одного из проводов и от правого конца другого отмерили по 0,2 м, и получившиеся точки соединили куском такого

Задачи без ответов и решений

143

же провода (длина этого куска неизвестна). Найдите отношение токов в длинных частях первых двух проводов. При какой длине провода-соединителя в нем будет рассеиваться максимальная мощность? 6.35. К точкам А и Б подключена многозвенная резисторная цепь (рис. 47). Каждое звено содержит два одинаковых резистора, сопротивление резисторов каждого следующего звена в два раза больше предыдущего. Каким будет сопротивление между точками А и Б при очень большом числе звеньев? Резисторы в первом звене имеют сопротивление R. 2R

R

4R

А R

2R

4R

Б

Рис. 47

6.36. Между Москвой и Петербургом протянута двухпроводная телефонная линия. Сопротивление одного метра проволоки равно r = 0,05 Ом. Из-за несовершенства изоляции сопротивление между проводами составляет R = 105 Ом на каждый метр линии. К концам линии в Москве подключают источник напряжением U = 100 В. Что покажет вольтметр, если его подключить: а) к концам линии в Петербурге; б) в середине линии? Длина линии 600 км. 6.37. Схема имеет N входных зажимов, один выходной и один общий («земля»). На каждом из входных зажимов потенциал относительно «земли» составляет от +50 до +200 В. 1) Нарисуйте вариант схемы, который обеспечит на выходном зажиме максимальный из приложенных к входам потенциалов.

144

Раздел 6. Токи в простой электрической цепи

2) Нарисуйте другой вариант — обеспечивающий на выходном зажиме минимальный из приложенных потенциалов. Постарайтесь обойтись без применения дополнительных источников питания. 6.38. Четыре одинаковых амперметра и резистор включены так, как показано на рисунке 48. Амперметр A1 показывает 2A, амперметр A2 показывает 3A. Какие токи протекают через амперметры A3 , A4 и резистор? Найдите отношение внутреннего сопротивления амперметра к сопротивлению резистора. A1

A2 A3

V V

A4

Рис. 48

V

Рис. 49

6.39. В схеме, приведенной на рисунке 49, все вольтметры и резисторы одинаковые. ЭДС батареи 1 = 5 В, ее внутреннее сопротивление мало. Верхний вольтметр показывает U = 2 В. Что показывают остальные вольтметры? 6.40. Имеется батарея с ЭДС 100 В и внутренним сопротивлением 2 Ом. На нагрузке нужно получить напряжение 20 В, причем при изменении сопротивления нагрузки от 50 до 100 Ом напряжение на ней должно меняться не более чем на 2 %. Придумайте простую схему для питания нагрузки и рассчитайте параметры этой схемы. 6.41. Если терморегулятор электрического утюга поставлен в положение «капрон», то утюг периодически включается на 10 с и выключается на 40 с. Поверхность

145

Задачи без ответов и решений А V1

V2

Рис. 50

Б

V3

Рис. 51

Рис. 52

утюга при этом нагревается до температуры 100 ◦C. Если терморегулятор поставить в положение «хлопок», то утюг автоматически включается на 20 с и выключается на 30 с. Определите установившуюся температуру поверхности утюга в этом положении терморегулятора. Найдите, до какой температуры нагревается включенный утюг, если терморегулятор выйдет из строя. Считать, что теплоотдача пропорциональна разности температур утюга и окружающего воздуха. Температура в комнате 20 ◦ C. 6.42. Цепь, показанная на рисунке 50, собрана из одинаковых вольтметров и одинаковых резисторов. Первый вольтметр показывает U1 = 10 В, а третий — U3 = 8 В. Каковы показания второго вольтметра? 6.43. В схеме на рисунке 51 все резисторы по 100 Ом, батарейки 3 В, 6 В и 12 В. Найти токи J3 , J6 , J12 . 6.44. Найти сопротивление цепи между точками А и Б (рис. 52). Все резисторы по 10 Ом.

РАЗДЕЛ 7

ЗАДАЧИ ПРО МАГНИТНЫЕ ПОЛЯ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНУЮ ИНДУКЦИЮ Примеры решения задач Задача 1. Медный стержень длины L движется поступательно со скоростью V0 в перпендикулярном к себе направлении. Все это происходит в магнитном поле с индукцией B0 , вектор магнитной индукции перпендикулярен как самому стержню, так и вектору его скорости. Найти разность потенциалов между концами стержня. Решение. Магнитные силы (силы Лоренца) действуют на все заряженные частицы стержня, но движение большинства из них задано, они жестко «привязаны» к стержню. Другое дело — электроны проводимости, они могут смещаться свободно внутри куска металла. Действующие на них магнитные силы приводят к смещению электронов проводимости, возникает электрическое поле, стремящееся компенсировать действие магнитного. Но смещение свободных электронов продолжается, пока электрические силы, действующие на любой свободный электрон, не уравновесят магнитные. Это произойдет при выполнении условия q · V0 · B0 = q · E, E = V0 · B0 . Таким образом, внутри проводника возникает однородное электрическое поле, направленное вдоль стержня (нужно посмотреть — куда направлена магнитная сила). Разность потенциалов между концами стерж-

148

Раздел 7. Задачи про магнитные поля

ня Df = E · L = V0 · B0 · L. Может показаться, что измеряя разность потенциалов вольтметром, мы сможем определить скорость движения проводника — это не так. Очень полезно подумать, почему же вольтметр в этом случае ничего не покажет. Задача 2. Длинный цилиндрический соленоид диаметра d создает внутри себя однородное магнитное поле с индукцией B0 . На расстоянии L = 5d от оси соленоида находится массивная заряженная частица массы M с зарядом Q. Ток через соленоид отключают, при этом поле быстро уменьшается до нуля. С какой скоростью будет двигаться частица после отключения поля? Решение. Во время выключения (точнее — при изменении магнитного поля) возникнет электрическое поле, оно будет действовать на заряженную частицу (напомним, что по условию задачи эта частица вначале неподвижна, магнитное поле на нее непосредственно не действует). Будем считать, что время уменьшения тока настолько мало, что частица за это время не успеет заметно сдвинуться с места (скорость набрать сумеет, а заметно сдвинуться не сумеет — тут нет никакого противоречия, из дальнейшего решения можно видеть, что набранная скорость при уменьшении времени выключения практически не меняется, а величина сдвига уменьшением интервала времени может быть сделана сколь угодно малой). Проведем через точку, в которой находится в начальный момент частица, плоскость, перпендикулярную оси соленоида, а в этой плоскости проходящую через эту точку окружность, центр которой лежит на оси соленоида. При изменении магнитного поля соленоида от начального значения до нуля поток чеB pd2

рез эту окружность меняется на DF = 0 (магнитное 4 поле снаружи от длинного соленоида мы считаем прене-

Примеры решения задач

149

брежимо малым). Тогда э. д. с. индукции в контуре радиуса L = 5d (как и в любом контуре, «охватывающем» B pd2

0 соленоид одним витком) будет равна E = − DF t = 4t и напряженность электрического поля («создающего»

эту э. д. с.) будет получится E = Тогда сила F = Q · E = Q·B ·d

Q · B0 · d 40t

B0 pd2 B ·d E = = 0 . 2p · 5d 4t · 2p · 5d 40t

и набранная скорость

0 V = F ·t = . Мы посчитали случай линейного M 40 · M изменения поля со временем, но можно разбить малый интервал времени t на множество совсем уж маленьких интервальчиков, на каждом из которых считать закон изменения магнитного поля линейным, а действующую на заряд силу постоянной, а потом суммировать изменения импульса частицы.

Задача 3. Тонким изолированным проводом намотали катушку, содержащую 3 витка, расположенных вплотную друг к другу (провод в изоляции, так что витки не контактируют друг с другом). Индуктивность такой катушки оказалась равна L. Разделим катушку на две — первая содержит 1 виток провода, вторая — 2 витка. Какая индуктивность у каждой из катушек? Решение. Если витки катушки намотаны вплотную друг к другу (так, что магнитный поток от одного витка полностью, без потерь, проходит через остальные витки — как в нашем случае, индуктивность катушки пропорциональна квадрату числа ее витков, т. е. индуктивность одновитковой катушки L/9, двухвитковой 4L/9. В сумме эти величины не дают L — и не должны, при расчете индуктивности последовательно соединенных катушек нужно обязательно учитывать «взаимную индуктивность», связанную с магнитными потоками полей одних витков через сечение других.

150

Раздел 7. Задачи про магнитные поля

Задача 4. Маленький цилиндрический магнит создает на своей оси (она вертикальна) магнитное поле, направленное вдоль этой оси. На большом расстоянии от магнита в интересующей нас области пространства можно считать, что поле убывает вдоль этой оси по закону: B = B0 · (1 − A · X), где X — расстояние до магнита. Маленькое массивное проводящее кольцо падает под действием поля тяжести и магнитного поля с установившейся, постоянной скоростью (центр кольца все время находится на оси магнита, масса кольца d, сопротивление куска проволоки, из которой кольцо сделано, равно M, диаметр кольца d. Найти скорость движения кольца. Решение. При установившемся движении кольца пронизывающий его магнитный поток за время t изменяется на величину 0,25p · d2 · (B2 − B1 ) = 0,25p · d2 · B0 × × A · V · t. Ток кольца определяется по закону Ома: 0,25p · d2 · B · A · V

0 I= . Дальше возникают проблемы — R нас интересует не магнитная индукция вдоль оси, эта составляющая поля дает горизонтальную силу, только деформирующую кольцо, нас же интересует сила вертикальная, а она связана с горизонтальной проекцией магнитного поля (когда мы смещаемся от оси магнита, а именно «в стороне» от оси и течет ток по кольцу). Один из способов решения этой задачи связан с нахождением этой горизонтальной составляющей вектора магнитной индукции. Проще всего это можно сделать, рассматривая магнитный поток через маленький вертикальный цилиндр диаметра d, ось которого совпадает с осью магнита, разность потоков через торцы этого цилиндра должна «выйти» через его боковую поверхность. Мы поступим иначе — при установившемся движении кольца его кинетическая энергия не меняется, тогда

Примеры решения задач

151

разность потенциальных энергий кольца в два момента времени должна быть равна количеству тепла, выделившемуся в сопротивлении кольца. Пусть моменты разделены интервалом времени T, тогда разность потенциальных энергий M · g · V · T = I2 · R · T, или V=

16M · g · R

p2 · d4 · B20 · A2

.

Задача 5. Параллельные рельсы расположены на расстоянии d друг от друга, между рельсами сделаны две проводящие перемычки— сопротивление первой R1 , второй — R2 . Расстояние между перемычками L. Еще одна перемычка, параллельная первым двум, движется вдоль рельсов со скоростью V в области между ними. Найти токи во всех трех перемычках. Магнитная индукция B0 , вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости, в которой находятся рельсы. Все проводники считать идеальными. Решение. Вихревое электрическое поле возникает только в движущейся перемычке, э. д. с. индукции, как обычно, V · B0 · d. Токи перемычек I1 =

V · B0 · d , R1

I2 =

V · B0 · d , R2

I3 = I1 + I2 .

Если бы подвижная перемычка имела ненулевое сопротивление, то задача стала бы немного длиннее — после нахождения э. д. с. индукции пришлось бы нарисовать схему из батарейки (с учетом внутреннего сопротивления — сопротивления перемычки) и двух резисторов R1 и R2 — и найти токи. Задача 6. По катушке индуктивности L уже давно течет ток I0 от внешнего источника. Параллельно этой катушке подключают еще одну такую же катушку

152

Раздел 7. Задачи про магнитные поля

и резистор сопротивлением R. После этого внешний источник отключают. Какой заряд после этого протечет через резистор? Какое количество тепла в нем выделится? Решение. Ток через первую катушку можно считать установившимся (он течет уже давно...), э. д. с. индукции этой катушки равна нулю, и подключение новых элементов ни на что не повлияет, токи через них не потекут. Все интересное начнется после отключения внешнего источника — теперь возникнут токи и через вторую катушку, и через резистор. Катушки включены параллельно, величины э. д. с. получаются все время одинаковыми, индуктивности катушек тоже одинаковы, тогда изменения токов катушек равны между собой. Условно направим на схеме вверх токи второй катушки J и резистора I, а ток первой катушки — вниз (направления этих токов могут быть взяты произвольно, в случае чего у нас получится отрицательное значение для тока). Тогда I0 − J = J + I, и I = I0 − 2J. Для идеальных катушек (а у нас как раз такие) протекание зарядов I

через резистор закончится при I0 − J = J, или J = 0 . Ко2 нечно, процесс этот может занять очень много времени, но нам некуда торопиться... Теперь совсем просто поL · I2

0 , энергия катусчитать выделившееся тепло: Wнач = 2 шек при достижении указанных токов в сумме составит

L · I2

0 половину этой величины, в тепло перейдет Wтепл = . 4 Для расчета заряда, протекшего через резистор, рассмотрим вторую катушку и резистор: они соединены параллельно, ток через резистор можно выразить по закону Ома через э. д. с. индукции второй катушки и сопротивление: I · R = L · DJ , или I · Dt = DQR = L · DJ . После R Dt суммирования в левой части получим полный заряд,

Задачи

153

протекший через резистор. В правой части сумма приращений токов равна разности конечного и начального значений, т. е. I0 /2. Тогда заряд QR = L · I0 /2R. Задачи 7.1. Маленькая стрелка компаса, лежащего на горизонтальной поверхности стола, показывает точно на север. Длинный полосовой магнит, ориентированный с Запада на Восток, кладем на стол так, что продолжение оси магнита проходит через иглу компаса. Стрелка компаса отклоняется при этом от правильного направления на угол 30◦ . Во сколько раз «сильнее» должен быть магнит, чтобы отклонение стрелки составило 60◦ ? 7.2. Из тонкой проволоки сделано кольцо в форме окружности. Если пропустить по кольцу ток I0 , поле в центре кольца имеет магнитную индукцию B0 . Подключим теперь кольцо проводами к батарейке, точки подсоединения проводов делят кольцо в отношении 4 : 1, а ток через батарейку при помощи реостата установим снова I0 . Каким теперь будет поле в центре кольца? А если короткая часть кольца сделана из проволоки того же диаметра, но из сплава с вдвое большим удельным сопротивлением? 7.3. Пучок электронов разогнали ускоряющим напряжением 1000 В и отклоняют магнитным полем, перпендикулярным скорости частиц. Ширина области, в которой действует магнитное поле, составляет 2 см. При какой индукции этого поля электроны отклонятся на 1◦ ? 7.4. По тонкому проволочному кольцу диаметра D = 2 м течет ток I = 3 А, магнитное поле с индукцией

154

Раздел 7. Задачи про магнитные поля

B = 0,2 Тл перпендикулярно плоскости контура. Найти силу натяжения проволоки, из которой сделан контур. 7.5. На горизонтальных параллельных рельсах лежит ломик массы M = 5 кг (он перпендикулярен рельсам). Магнитное поле с индукцией B = 0,2 Тл направлено вверх. Между рельсами подключают конденсатор емкости C = 1000 мкФ, заряженный до напряжения V = 100 В, он быстро разряжается через сопротивление цепи r = 10 Ом. Какую скорость приобретет лом? Расстояние между рельсами d = 1,5 м, трения нет. 7.6. Длинный цилиндрический магнит создает в точках, лежащих на оси цилиндра, магнитное поле, которое направлено вдоль этой оси. В точке А на расстоянии L1 = 1 м от торца магнита индукция магнитного поля B1 = 1,00 мТл, в точке Б на расстоянии L2 = 1,1 м от торца магнита индукция поля B2 = 0,98 мТл. Отодвинемся из точки А на d = 1 мм от оси, поле в этой точке уже не параллельно оси магнита. Найти перпендикулярную к оси составляющую вектора магнитной индукции в этой точке. 7.7. Из кусочка очень тонкой проволоки, имеющего сопротивление r = 100 Ом, сделали кольцо диаметра d = 1 мм. Двигаем это кольцо вдоль оси магнита из предыдущей задачи с постоянной скоростью V0 = 5 см/с (центр кольца лежит все время на оси магнита, плоскость кольца перпендикулярна оси). Какая сила действует на кольцо со стороны магнита, когда центр кольца проходит точку A? 7.8. Параллельные рельсы находятся в магнитном поле, направление вектора магнитной индукции перпендикулярно плоскости рельсов, индукция поля B0 . Рельсы замкнуты перемычкой, имеющей сопротивле-

Задачи

155

ние R. Еще одна перемычка, имеющая совсем малое сопротивление, может двигаться вдоль рельсов поступательно, замыкая рельсы между собой. С какой силой нужно действовать на подвижную перемычку, чтобы ее скорость все время была V0 ? Расстояние между рельсами d. Примечание. Собственно, решение этой задачи приведено в любом школьном учебнике. Так вот, нужно найти серьезную ошибку в приведенном решении. И еще — как же быть, при каких условиях эта задача имеет не слишком сложное решение? 7.9. В предыдущей задаче вместо неподвижной перемычки подключен конденсатор емкости C. С какой силой нужно действовать на подвижную перемычку, чтобы ее ускорение было равно постоянной величине a0 ? Масса подвижной перемычки M. 7.10. В предыдущей задаче вместо конденсатора подключаем катушку индуктивности L, а подвижной перемычке придаем начальную скорость V0 вдоль рельсов. Найти максимальное смещение перемычки. 7.11. Контур из куска тонкого провода сопротивлением 200 Ом сделан в виде квадрата площади 0,5 м2 . Он находится в магнитном поле 0,2 Тл, вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости контура. Контур деформируют, сделав из него окружность, лежащую в той же плоскости. Найти протекший по контуру заряд. 7.12п . Две одинаковые катушки индуктивности 1 мГн каждая соединили последовательно и измерили получившуюся индуктивность — она оказалась равна 2,2 мГн. Не меняя взаимного расположения катушек, их отключили друг от друга и соединили вновь — теперь

156

Раздел 7. Задачи про магнитные поля

уже параллельно. Какую индуктивность мы теперь получили? 7.13. Длинные параллельные рельсы расположены на расстоянии 1 м друг от друга, перпендикулярно их плоскости действует магнитное поле с индукцией 0,2 Тл. Рельсы соединены в одном месте резистором 200 Ом, на расстоянии 20 м от этого места — другим резистором, его сопротивление равно 100 Ом. Между ними рельсы замкнуты проводящим стержнем, его сопротивление между точками подключения к рельсам равно 50 Ом. Стержень движется вдоль рельсов со скоростью 0,2 м/с. Найдите токи через резисторы. 7.14. Две большие параллельные проводящие пластины площади S каждая имеют заряды Q и 3Q, соответственно. Расстояние между пластинами d (оно намного меньше размеров пластин). Между пластинами подключают катушку индуктивности L. Найти максимальное значение тока через катушку. 7.15. Параллельно друг другу подключены катушка 1 Гн, конденсатор 1 мкФ и резистор 1 МОм. По катушке протекает постоянный по величине ток 3 А от внешнего источника. В некоторый момент провода от внешнего источника обрывают. Найти максимальный заряд конденсатора, полный заряд, протекший через резистор, и полное количество тепла, которое выделится на нем. 7.16. Длинный соленоид диаметра d = 0,1 м создает внутри себя однородное магнитное поле, индукция которого меняется по закону B(t) = 0,01 · (1 + 2t), (тут время — в секундах, а магнитная индукция — в Тесла). Вокруг соленоида из куска тонкой проволоки, имеющего сопротивление r = 1000 Ом, сделан замкнутый контур в виде квадрата, плоскость которого перпендикулярна

Задачи

157

оси соленоида, квадрат охватывает соленоид снаружи. Параллельно одной стороне квадрата подключен вольтметр, его сопротивление составляет R = 500 Ом. Найти показания вольтметра. 7.17п . На тороидальный сердечник из материала с большой магнитной проницаемостью намотали катушку с большим числом витков. Подключили ее к источнику с большим внутренним сопротивлением — через 1 секунду ток практически перестал меняться и оказался равным 10 мА. На второй точно такой же сердечник намотали катушку, используя кусок такого же провода, но вдвое большей длины, катушки соединили параллельно и снова подключили к тому же источнику. Какие токи будут протекать через катушки через 1 секунду после подключения? Какими станут эти токи через большое время? Катушки расположены так, что магнитное поле одной из них не создает потока через другую. Провод, которым намотаны катушки, имеет малое удельное сопротивление.

РАЗДЕЛ 8

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПРО ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА Часто приходится иметь дело с «гармоническими» напряжениями: V (t) = V0 · cos ·(w0 · t + f0 ). Величины с индексом «ноль» — постоянные. V0 — амплитуда напряжения, (w0 · t + f0 ) — эту величину называют «фаза» переменного напряжения, f0 — «начальная фаза», w0 — «круговая частота» (она измеряется в «радианах в секунду» — в отличие от «циклической частоты», которая измеряется в «периодах в секунду». Путаница часто возникает из-за того, что обе величины имеют одинаковые размерности 1/с — частота домашней силовой сети F = 50 Гц соответствует w0 = 314 с−1 , частота радиостанции F = 1 МГц — это w0 = 6,28 · 106 с−1 . Гармонические напряжения позволяют узнать реакцию цепи на любые периодические воздействия, так как эти воздействия легко представить в виде суммы гармонических напряжений разных (кратных) частот. Такой подход («ряды Фурье») очень распространен и удобен во многих практических применениях. Начнем с анализа совсем простой схемы: гармоническое напряжение V (t) = V0 · cos(w0 · t + f0 ) приложено к резистору R, нужно найти ток через резистор. Применяя закон Ома, получим: I(t) = V (t)/R = (V0 /R) · cos(w0 · t + f0 ).

160

Раздел 8. Решение задач про цепи переменного тока

Ток в цепи представляет гармоническую функцию, ток меняется со временем синхронно с напряжением — эти функции одновременно «проходят через ноль», одновременно достигают максимумов и минимумов. Но если вместо резистора включить в цепь конденсатор, который может накапливать энергию и «подпитывать» цепь в те моменты, когда, например, напряжение обращается в ноль — ток и напряжение могут (и будут) меняться несинхронно, возникнет фазовый сдвиг. Разберемся с простой схемой: к источнику гармонического напряжения V (t) = V0 · cos(w0 · t + f0 ) подключают конденсатор емкости C. Вопрос тот же — найти ток в цепи. Сразу нужно разобраться — как ток может вообще течь по «разорванной» цепи, ведь пластины конденсатора не соединены между собой? Заряды пластин все время меняются, по проводам течет меняющийся ток — но в промежутке между пластинами тока нет. Или есть? Все тут не так просто — если судить о наличии тока по возникающему вокруг магнитному полю, то оно такое, как если бы этот ток был, в том числе — и между обкладками конденсатора. С этим вполне можно разобраться, но можно получить результат без особых раздумий: введем обозначения — заряд верхней обкладки конденсатора обозначим Q, ток, «втекающий» в эту обкладку пусть обозначается I (и заряд, и ток — функции времени). Тогда за малый интервал Dt можно записать: I · Dt = D · Q, или I = D · Q/Dt. При очень малом Dt это напоминает производную — но только напоминает, тут нет предельного перехода, заряд — дискретная величина. Но использовать производные для очень маленьких интервалов времени вполне можно, как прием приближенных вычислений. Итак, заряд Q(t) = C · V0 · cos(w0 · t + f0 ),

Раздел 8. Решение задач про цепи переменного тока

161

а ток I(t) = −w0 · C · V0 · sin(w0 · t + f0 ).

Преобразуем это выражение к виду, максимально похожему на полученное выше выражение для тока через резистор: I(t) =

V0 · cos(w0 · t + f0 + p/2) = 1/w0 · C

=

V0 · cos(w0 · t + f0 + p/2). XC

Вместо сопротивления резистора тут величина XC = = 1 — ее часто называют «емкостное сопротивлеw0 · C ние». Размерность этой величины «Ом», конденсатор так же ограничивает силу тока в цепи, как и резистор. Но нужно учитывать, что это все же не обычное сопротивление, нельзя, например, просто суммировать сопротивления — обычное и «емкостное» при последовательном соединении в цепи конденсатора и резистора. И еще — в аргументе гармонической функции добавилась величина p/2 — говорят, что есть «сдвиг фаз» между напряжением и током в цепи, что ток «опережает» на четверть периода приложенное напряжение. Нарисуйте на одной картинке два графика — один − sin(w0 · t + f0 ), другой cos(w0 · t + f0 ), посмотрите на моменты пересечения оси времени при возрастании функции — и все станет ясно. Только это «опережение» не означает, что ток в цепи с конденсатором появляется за четверть периода до подключения конденсатора к цепи! Похожие рассуждения можно провести для цепи с катушкой L, получится почти такая же ситуация, только «сдвиг по фазе» будет −p/2 (минус!), а «индуктивное» сопротивление XL = w0 · L. Разберем несколько задач.

162

Раздел 8. Решение задач про цепи переменного тока

Примеры решения задач Задача 1. Конденсатор емкости C включен последовательно с резистором R (рис. 53). По цепи протекает ток I(t) = I0 · cos(w0 · t + f0 ). Найти напряжение между выводами этой цепочки. R

C

Рис. 53

Решение. Напряжение на резисторе VR = R · I(t) = R · I0 · cos(w0 · t + f0 ). Напряжение на конденсаторе VC = XC · I0 · cos(w0 · t + f0 − p/2) — ток опережает, значит, напряжение отстает. Сумма напряжений V (t) = VR + VC = I0 · (R · cos(w0 · t + f0 ) + + XC · cos(w0 · t + f0 − p/2)) = I0 · R · (cos(w0 · t + f0 ) + + (XC /R) · sin(w0 · t + f0 )) = I0 · R · (cos(w0 · t + f0 ) + + tg f · sin(w0 · t + f0 )) = (I0 · R/ cos f) · (cos(w0 · t + f0 ) × × cos f + sin f · sin(w0 · t + f0 )) = = (I0 · R/ cos f) · (cos(w0 · t + f0 − f)). Учитывая, что tg f = XC /R, cos f = p

1 =q 1 1 + tg2 f 1+ 2

1 w0 · C 2 · R 2

.

163

Примеры решения задач

Все довольно просто, только громоздко — и это для совсем простой задачи! Разумеется, есть и куда более простой метод расчета таких цепей — метод векторных диаграмм. Метод графический, основан на простой аналогии: если вектор A вращается вокруг начала координат с угловой скоростью w0 , его проекция на ось X будет такой: X(t) = A · cos(w0 · t + f0 ), как раз такая функция нам и нужна. Будем изображать гармонические напряжения и токи в виде вращающихся векторов — учитывая различные (в том числе, и по размерности) амплитуды и сдвиги фаз. Ясно — чему соответствует, например, сумма векторов, изображающих напряжения конденсатора и резистора в предыдущей задаче. Можно рисовать разными цветами векторы, изображающие напряжения и токи в цепи, можно рисовать две отдельные картинки для напряжений и токов — на практике рисуют все на одной картинке, но стараются не перепутать между собой (помогают надписи!) напряжения и токи. КартинUR = R · I I ка для задачи 1 приведена на f рис. 54. Даже такая картинка позволяет уверенно написать все нужUобщ ные формулы, без особенно нудUC = RC · I ной тригонометрии. Но для чисРис. 54 ленных расчетов метод векторных диаграмм намного пракUR = 50 В тичнее. Нарисуем картинку для f = 32◦ R = 500 Ом, C = 10 мкФ, w0 = = 314 с−1 , I0 = 0,1 A: найдем вна1 чале XC = −5 = 318 Ом. 314 · 1 · 10

Векторы, изображающие напряжение конденсатора и напря-

UC = 31,8 В

Uобщ = 60 В

Рис. 55

164

Раздел 8. Решение задач про цепи переменного тока

жение резистора, нарисуем в одинаковых масштабах (рис. 55). Вектор, изображающий суммарное напряжение получается в том же масштабе, его величина находится при помощи пропорции: напряжение резистора 50 В, оно изображено в виде вектора длины 5 клеток — одна клетка соответствует напряжению 10 В. Напряжение конденсатора 31,8 В можно довольно точно изобразить, если взять лист миллиметровой бумаги. Угол сдвига фаз f между суммарным напряжением и током цепи (или — напряжением резистора, у него нет сдвига фаз ток-напряжение) находится прямо из рисунка (можно измерить его транспортиром, раньше — до изобретения калькулятора — так и делали). И еще — если токи изображать амплитудными значениями, то напряжения также получаются амплитудными. Но часто рисуют такую же картинку, изображая действующие (эффективные) значения напряжений и токов. Так делать можно — важно на одной картинке «не смешивать» амплитудные и эффективные значения. Кстати, значения «с чертежа» получились довольно близкими к выL R численным: 32,5◦ и 59,3 В. А Б Задача 2. Катушка L = 2 Гн и резистор R = 1 кОм соединены последовательно и подключены к источнику Рис. 56 V (t) = 100 · cos(1000t) (рис. 56). Найти амплитуду тока в цепи и угол сдвига фаз между напряжением источника и током в цепи. ∼

Решение. Вычислим XL = 1000 · 2 = 2000 Ом. Нарисуем вектор, изображающий ток в цепи (рис. 57). Нарисуем на этой же картинке векторы, изображающие напряжение катушки 2000I и напряжение резистора 1000I. Второй вектор совпадает по фазе с вектором,

165

Примеры решения задач

изображающим ток, первый опережает его на p/2. Второй вектор вдвое короче первого, нарисуем суммарный вектор — его длина соответствует амплитуде приложенного напряжения 100 В. Запишем выражение для тока: 100 · cos(1000t − f)

I(t) = √

10002 + 20002

.

Теперь можно вычислить ток, а можно просто найти напряжение на резисторе, прямо на картинке, и затем разделить его на 2000 Ом.

VL = I · 2000

f

I

VR = I · 1000 f = 64◦ (чертеж); Vобщ = 100 В; VR = 44,6 В (чертеж); I=

VR = 45 мА 1000

Рис. 57

Задача 3. Электропаяльник мощности 20 Вт предназначен для подключения к переменному напряжению 36 В (действующее значение). Подключим его к сети 220 В последовательно с конденсатором. Найти необходимую емкость этого конденсатора. Решение. Нарисуем на диаграмме (рис. 58) вектор, изображающий ток через паяльник (I = 20/36 = 0,56 А). Сопротивление обмотки паяльника 362 /20 = 65 Ом. Тогда (XC2 + 652 )0,5 = V /I. Отсюда находим емкостное сопротивление и емкость c ≈ 8 мкФ (можно посчитать и точнее, но и такой точности вполне достаточно, цепи переменного тока считают, как правило, для практических целей, а напряжение сети 220 В может изменяться в довольно широких пределах, точность плюс-минус 10 % считается просто превосходной, часто случаются отклонения и куда большие. Все современные сложные приборы — компьютеры, телевизоры, измерительные приборы и другие, умеют хорошо работать и при плюс-минус 30 %, и даже более. Конденсаторы, как правило, выпускаются на определенные емкости, можно

166

Раздел 8. Решение задач про цепи переменного тока

легко найти, например, 1 мкФ, 2 мкФ, 10 мкФ, а также 3,3 мкФ и 4,7 мкФ (вот такие конденсаторы!). Хорошо бы использовать один конденсатор, к примеру, 10 мкФ. Посмотрим, допустимо ли это. Можно посчитать мощность при таком выборе конденсатора — получается примерно 30 Вт. Это много для паяльника на 20 Вт, он будет сильно перегреваться. Можно C ≃ 8 мкФ соединить параллельно 3,3 и 4,7 мкФ — поVобщ = 220 В (эфф.) лучится почти то, что надо. Можно выбрать из кучи конденсаторов 10 мкФ один, емкость которого примерно на и VC = 218 ужност р к о а г 20 % ниже номиналь(с чертежа) ду иуса 11 см рад ной величины — но это может и не получиться. Рис. 58 Во всяком случае, такой паяльник с конденсатором выпускался, продавался недорого, подходящий трансформатор стоил бы намного дороже конденсатора. Кроме графического способа с векторными диаграммами, можно использовать красивый и удобный аналитический способ — практически полный аналог векторных диаграмм, «метод комплексных амплитуд». Для VR = 36 В (1,8 см)

I = 0,56 А

Примеры решения задач

167

этого нужно использовать комплексные числа, позволяющие легко учитывать сдвиги фаз в цепи. Если индуктивное сопротивление записать в виде XL = i · w0 · L (тут i — «мнимая единица»), то при нахождении тока I = V нужный сдвиг фаз получится автоматически XL (при умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются, при делении модули делятся друг на друга, а аргументы вычитаются. У записанного в виде i · w0 · L числа модуль равен w0 · L, а аргумент p . Емкостное сопротивление нужно 2

записать в виде XC = 1 . Сопротивление обычного i · w0 · C резистора R, тут сдвига фаз нет. С такими комплексными сопротивлениями можно работать, как с обычными комплексными числами — все известные способы расчета цепей постоянного тока можно использовать без особых проблем. Например, последовательный LCR контур имеет полное комплексное сопротивление Z = i · w0 · L + 1 + R, легко можно найти модуль i · w0 · r C 2  w0 · L − 1 этого числа mod Z = + R2 и аргумент w0 · C   w0 · L − w 1·C

0 arg Z = arctg . При делении напряжения на R такое комплексное сопротивление сразу можно найти и амплитуду тока, и сдвиг фаз. Часто и делить не надо — достаточно посмотреть на выражение для комплексного сопротивления цепи (эту величину часто называют «импеданс»), чтобы увидеть значения модуля и аргумента этой величины.

Задача 4. К источнику переменного напряжения V0 · cos w0 · t подключена простая цепочка — последовательно соединенные конденсатор C и резистор R.

168

Раздел 8. Решение задач про цепи переменного тока

Найти сдвиг фаз между током цепи и приложенным напряжением. Решение. Эта совсем простая задача иллюстрирует нахождение сдвига фаз методом комплексных амплитуд. Запишем выражение для импеданса цепи: Z = R + 1 , Аргумент данной величины легко найти: i · w 0 ·C  1 . Для нахождения тока придется f = − arctg R · w0 · C делить напряжение на импеданс, этот аргумент будет вычитаться из фазы приложенного напряжения, тогда получится, что   ток опережает напряжение на величину 1 arctg . Если R = 0, то этот сдвиг фаз равен p . R · w0 · C

2

Задача 5. Катушка L соединена параллельно с конденсатором C, последовательно с ними подключен конденсатор емкости C. Найти сопроL тивление этой цепи на частоте w, определить частоты, на которых это А Б сопротивление очень мало или весьма C C велико. Рис. 59 Решение. Схема приведена на рис. 59. Сопротивление цепи равно Z=

XC XL + XC = XC + XL

1 iwC · iwL 1 iwC + iwL

2w2 · L · C − 1 . + 1 =i 2 iwC

w · C · (1 − w LC)

Оно очень мало при w1 = √ 1 и очень велико при w2 = 2LC √ 1 = √ = w1 · 2. LC

Задача 6. К источнику напряжения V (t) = 100 × × cos(1000t) подключена цепь, содержащая катушку индуктивности 1 Гн, конденсатор емкости 1 мкФ и резистор R (его сопротивление в условии численно не задано). Схема приведена на рис. 60. Какова амплитуда

169

Примеры решения задач

тока, протекающего через резистор? Какой сдвиг фаз будет между этим током и приложенным к схеме напряжением?

∼

C

R

I

Рис. 60

Решение. Найдем емкостное и индуктивное сопротивления на этой частоте: XC = 1000 Ом, XL = 1000 Ом. Параметры элементов (и частота источника) в условии задачи явно подобраны, будем внимательны! Обозначим ток через резистор буквой I. Напряжение на резисторе (и на конденсаторе) V1 = I · R, ток V

через конденсатор 1 , суммарный ток I + I · R , отсюда XC XC находим напряжение на катушке и выражаем суммарное напряжение (его величина задана в условии, легко составить для нахождения тока через ре уравнение  I·R V зистор: I + · XL + I · R = V , тогда I = = V . XC 1 − 1 + XL XL Видим, что при данных значениях L, C, w ток через резистор не зависит от его сопротивления. Для этого и была придумана эта схема — при настройке контура «в резонанс» ток через резистор не меняется при изменении сопротивления — и это без применения сложных электронных схем регулирования!

Задача 7. Из одинаковых LC звеньев собрана «бесконечная цепочка», содержащая очень много таких звеньев. Индуктивность катушки L = 1 · 10−7 Гн, емкость конденсатора C = 1 · 10−11 Ф. Подадим на вход этой цепи гармоническое напряжение достаточно низкой частоты V (t) = V0 · cos wt. Несколько вопросов: 1. Какую частоту мы назвали «достаточно низкой»? 2. Каким сопротивлением обладает эта цепочка? 3. Рассмотрим звено номер N. Каким будет напряжение на выходе этого звена VN (t) в сравнении с входным напряжением?

170

Раздел 8. Решение задач про цепи переменного тока

Решение. Воспользуемся комплексными числами. Пусть сопротивление этой цепи Z, тогда добавим в начало цепи еще одно звено — сопротивление получившейся цепи останется прежним: Z =

Z · XC + XL . Отсюда Z + XC

Z2 + Z · XC = Z · XC + Z · XL + XL XC , Z2 − Z · XL − XL XC = 0. q Z = −0,5 · XL + 0,25XL2 + XC · XL . q √ На низкой частоте Z ≈ XC · XL = L = 100 Ом. C На низких частотах сопротивление цепи получается практически постоянным и не вносит сдвига фаз. Кстати, теперь ясно — что следует называть «достаточно низкими» частотами: нужно, чтобы XC было намного больше вычисленного Z, а XL — намного меньше. Это q

1 = 1109 1/с (получилась довольно будет при w ≪ L·C высокая частота — для нашей цепочки достаточно низкими являются частоты порядка десятков МГц! Ответить на третий вопрос немного сложнее. Рассмотрим катушку и конденсатор сразу после звена номер N. Напряжение на выходе этого звена по величине должно быть таким же, как и на входе цепочки — элементы цепи идеальные и потерь энергии не происходит. Значит, возможны только фазовые сдвиги. На низких частотах они должны быть малыми, обозначим фазовый сдвиг, который «дает» одно звено цепочки буквой f, это малый угол. Ток, втекающий в звено номер (N + 1) равен V /Z. Этот ток равен току через катушку на входе

следующего звена

V N − V N +1 V · f V = . = V · f/XL . Отсюда XL XL √Z

можно найти величину угла: f = w · LC. Интересно, что угол сдвига фаз пропорционален частоте, это означает √ «задержку по времени» на величину LC = 1 · 10−9 с на каждое звено цепи.

Задачи

171

Задачи 8.1. Схема из двух одинаковых резисторов и конденсатора подключена к источнику переменного напряжения 36 В, 50 Гц (рис. 61). В схему включены и два идеальных амперметра переменного A A тока, их показания 0,3 А и 0,2 А. Считая показания приборов точны- ∼ ми, определить емкость конденсатора Рис. 61 и величину сопротивления резистора. 8.2. К сети 220 В, 50 Гц подключены последовательно соединенные конденсатор 10 мкФ и нагреватель — резистор 1000 Ом. Какую катушку нужно подключить параллельно нагревателю, чтобы ток через него стала максимально возможным? Чему равен этот ток? 8.3. К источнику переменного напряжения подключены последовательно соединенные катушка 2 Гн и резистор 200 Ом. Ток в цепи при этом составляет 0,2 А. Вместо этой цепочки к источнику подключили конденсатор 10 мкФ — ток при этом равен 0,3 А. Найти по этим данным частоту источника переменного напряжения. 8.4. Резистор 200 Ом подключен к сети 220 В, 50 Гц необычным способом — через трансформатор с двумя одинаковыми обмотками (рис. 62). Трансформатор намотан на тороидальном ∼ сердечнике из материала с большой магнитной проницаемостью, каждая обмотРис. 62 ка имеет индуктивность 5 Гн. Найти ток через резистор. 8.5. В Вашем распоряжении имеются резистор сопротивлением 1000 Ом, катушка индуктивности 1 Гн, конденсатор емкости 10 мкФ. Источник переменного

172

Раздел 8. Решение задач про цепи переменного тока

напряжения имеет частоту 50 Гц и амплитуду напряжения 1 В. Как нужно соединить элементы цепи, чтобы получить минимально возможную (но не нулевую!) амплитуду тока через резистор? А как нужно их соединить, чтобы эта амплитуда была максимально возможной? Найти эти амплитуды. 8.6. На тороидальный сердечник, сделанный из материала с большой магнитной проницаемостью, намотана толстым проводом катушка с большим числом витков. От середины обмотки сделан отвод, лампа 110 В, 60 Вт подключена между этим отводом и началом катушки, начало и конец обмотки подключены с электросети 220 В. Найти токи каждой из половин обмотки. 8.7. Два источника переменного напряжения с частотами 50 и 400 Гц включены, как показано на рис. 63. Индуктивность катушки 1 Гн, емкость конденсатора 1 мкФ. Амплитуда напря∼ ∼ жения каждого генератора 10 В. Сопротивление провода, которым намотана каРис. 63 тушка, составляет 1 Ом. Найти максимальное значение заряда одной из пластин конденсатора. Найти среднюю тепловую мощность. 8.8. Источник переменного напряжения частоты w подключен к последовательно соединенным катушке 1 Гн и конденсатору 1 мкФ. Подключенный к источнику переменного напряжения вольтметр показывает амплитуду 1 В, амплитуда напряжения на катушке 100 В. Элементы цепи идеальные. На какой частоте это происходит? А если сопротивление провода, которым намотана катушка, не равно нулю, при каких значениях сопротивления провода описанное вообще возможно?

Задачи

173

8.9. К источнику переменного напряжения подключили последовательно амперметр переменного тока с нулевым сопротивлением и два «черных ящика», каждый из которых может содержать один из следующих элементов: конденсатор, катушку или резистор. После того, как ящики переключили из последовательного соединения в параллельное, показания амперметра не изменились. После этого начали плавно увеличивать частоту источника — вначале показания амперметра уменьшались, затем начали увеличиваться. Во сколько раз должна измениться частота, чтобы показания амперметра вернулись к начальному значению? Элементы внутри ящиков можно считать идеальными. 8.10. В сеть 220 В, 50 Гц включены два последовательно соединенных конденсатора 1 мкФ, параллельно одному из них подключен резистор 100 кОм. Найти мощность, переходящую в тепло. 8.11. В обычной схеме однополупериодного выпрямителя (резистор нагрузки подключен к сети переменного напряжения частоты 50 Гц последовательно с диодом, параллельно резистору включен конденсатор большой емкости) резистор нагрузки 500 Ом, емкость конденсатора 1000 мкФ. Найти величину коэффициента пульсаций выпрямленного напряжения. Диод считайте идеальным. Во сколько раз уменьшится коэффициент пульсаций напряжения резистора нагрузки, если последовательно с ним включить катушку индуктивности 100 Гн? 8.12. В схеме (рис. 64) применен идеальный трансформатор, число витков вторичной обмотки вдвое больше первичной. Источник переменного напряжения 220 В, 50 Гц. Найти действующее значение тока

174

Раздел 8. Решение задач про цепи переменного тока

1 кОм 1 мкФ

∼

первичной обмотки и сдвиг фаз между напряжением и током в первичной цепи.

8.13. Прибор П подключен к сети 220 В, 50 Гц последовательно с конденсатором 0,5 мкФ, Напряжение на приборе 180 В. Цепь потребляет от сети ток 0,01 А (все значения действующие). Найти среднюю мощность, которую прибор потребляет от сети. Рис. 64

8.14. Из нескольких одинаковых LC звеньев, каждое из которых состоит из конденсатора 1 мкФ и катушки 1 Гн, собрана схема (рис. 65) для измерений на частоте 50 Гц. ∼ К выходу последнего звена (параллельно последней из катушек) подключают конденсатор. При каРис. 65 кой емкости этого конденсатора ток, потребляемый цепью от источника переменного напряжения не будет зависеть от числа подключенных звеньев? Однозначен ли ответ? 8.15п . Электрическая лампочка включена в сеть 50 Гц последовательно с катушкой индуктивности L = 1 Гн. Параллельно лампочке подключили конденсатор неизвестной емкости, при этом накал лампочки не изменился. Определите емкость этого конденсатора. 8.16. Неподалеку от включенного в сеть трансформатора поместили замкнутый виток из медной проволоки — в нем течет небольшой переменный ток, сдвинутый на 45◦ относительно тока первичной обмотки трансформатора. Во сколько раз изменится средняя тепловая мощность, рассеиваемая в витке, если вместо меди сделать виток из нихрома — сплава с высоким удельным

Задачи

175

сопротивлением (в 65 раз больше, чем у меди). Размеры витка и его расположение такие же, как и в первом случае, ток первичной обмотки трансформатора считать неизменным. 8.17. Катушка индуктивностью L намотана на тороидальный сердечник, сделанный из материала с большой магнитной проницаемостью. Катушку подключают к выходу генератора звуковой частоты последовательно с амперметром перемен- ∼ A ного тока (рис. 66). Конденсатор емкостью C подключен к отводу от середины Рис. 66 катушки. Амплитуда напряжения на выходе генератора равна U и не зависит от его частоты. Найти зависимость показаний амперметра от частоты генератора w. Сопротивление амперметра и внутреннее сопротивление генератора считать нулевыми. 8.18. Электрический прибор подключен в сеть 220 В, 50 Гц последовательно с резистором 100 Ом. Ток через резистор составляет 0,5 А, напряжение на приборе при этом 200 В. Найти среднюю мощность, потребляемую от сети прибором. Каково «пиковое» значение потребляемой от сети мощности? 8.19. Трансформатор намотан на тороидальном сердечнике из материала с большой магнитной проницаемостью, первичная обмотка содержит вдвое меньше витков, чем вторичная. Собрана схема (рис. 67), оба конденсатора имеют емкости по 10 мкФ. Источник имеет напряжение 220 В, частота сети 50 Гц. Что A покажет амперметр в этой схеме? Со- ∼ противление амперметра и внутреннее сопротивление источника считать нуРис. 67 левыми.

176

Раздел 8. Решение задач про цепи переменного тока

8.20. «Черный ящик» с двумя выводами содержит ровно два элемента (возможны резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности). Его подключают в сеть 220 В, 50 Гц последовательно с катушкой индуктивности 1 Гн. При этом от сети потребляется ток 0,1 А, напряжение «ящика» равно 250 В. Предложите возможную схему ящика, рассчитайте параметры элементов. 8.21. Схема, изображенная на рис. 68 подключена к сети 220 В, 50 Гц. Что покажет миллиамперметр магнитоэлектрической системы (предназначенный для измерений на постоянном токе)? Конденсатор имеет емкость ∼ A 0,01 мкФ. 8.22. К сети 220 В, 50 Гц подключены катушка 1 Гн и конденсатор. При какой емкости конденсатора напряжение на нем составит 220 В? Конденсатор какой емкости ни в коем случае нельзя включать в эту схему? Рис. 68

8.23. К сети 220 В, 50 Гц подключают схему из двух конденсаторов 1 мкФ и двух резисторов 1 кОм (рис. 69), в диагональ получившегося «мостика» включен идеальный амперметр переменного тока. Какой ток он ∼ A покажет? А если вместо амперметра подключить вольтметр — что он покажет? 8.24. К сети 220 В, 50 Гц подключают последовательно соединенные резистор 100 Ом и идеальный диод. Какая средняя мощность при этом выделяется в резисторе? Как изменится эта мощность, если параллельно резистору включить конденсатор 1000 мкФ? Рис. 69

Задачи

177

8.25. К источнику переменного напряжения подключены параллельно соединенные конденсатор и катушка. Ток в цепи источника составляет 1 мА, при этом ток через конденсатор 0,8 мА. Во сколько раз нужно изменить частоту источника, чтобы наступил резонанс? 8.26. К источнику переменного напряжения подключены катушка, резистор и конденсатор, токи в цепи измеряют три идеальных амперметA3 A1 A2 ра (рис. 70). Токи составляют 1 А, ∼ 0,7 А и 0,5 А. Как изменятся показания приборов, если резистор из Рис. 70 схемы удалить? 8.27. К генератору звуковой частоты подключена схема из двух ∼ резисторов R и двух конденсаторов C (рис. 71). При какой частоте генератора сдвиг фаз между напряжеРис. 71 нием генератора и напряжением на выходе цепи окажется равным нулю? Во сколько раз при этом выходное напряжение меньше напряжения генератора? 8.28. Катушку индуктивности и конденсатор соединили параллельно и подключили к сети переменного напряжения 220 В, 50 Гц последовательно с амперметром переменного тока, амперметр показал 0,015 А. Теперь катушку и конденсатор соединили последовательно и вновь подключили к сети. Напряжение конденсатора измерили вольтметром, он показал 300 В, напряжение на выводах катушки оказалось 85 В. Считая показания приборов точными, а сами приборы идеальными, определить емкость конденсатора, индуктивность катушки и сопротивление провода, которым намотана

178

Раздел 8. Решение задач про цепи переменного тока А Б

В

Рис. 72

катушка. Потери энергии в цепи определяются активным сопротивлением катушки. 8.29. Параллельно включены катушки L и 2L, к ним подключен (тоже параллельно) резистор R. В данный момент токи через катушки одинаковы, направлены в одну сторону и составляют в сумме 2I0 . Внешние элементы цепи отключают. Какой заряд протечет через резистор начиная с этого момента? Сколько тепла выделится в резисторе? 8.30. К точкам А и Б схемы (рис. 72) подключают источник переменного напряжения 36 В, 50 Гц. Что покажет вольтметр постоянного тока с большим внутренним сопротивлением, если его включить между точками Б и В? Конденсаторы все одинаковые, их емкости 10 мкФ. Диоды можно считать идеальными. 8.31. К источнику переменного напряжения (звуковой генератор) подключены последовательно соединенные катушка 1 Гн, конденсатор 1 мкФ и резистор. Увеличиваем частоту генератора, его напряжение при этом практически не меняется. Каким должно быть сопротивление резистора, чтобы напряжение, измеренное на выводах конденсатора вольтметром переменного напряжения, имеющим очень большое сопротивление, с ростом частоты вначале увеличивалось, а потом уменьшалось? На какой частоте это напряжение будет максимальным при величине сопротивления 100 Ом?

Задачи

179

8.32. Катушка содержит 1000 витков провода и намотана на тороидальном сердечнике из материала с очень большой магнитной проницаемостью. Катушку включают последовательно с резистором 100 Ом в сеть переменного напряжения 36 В, 50 Гц. От части витков катушки (250 витков — это четверть обмотки) сделан отвод, и эта часть катушки замкнута проводником, имеющим очень малое сопротивление, с ближним концом катушки. Какой ток течет по этому проводнику? Рассеянием магнитного потока пренебречь. 8.33. К звуковому генератору подключают последовательно соединенные конденсатор 1 мкФ и катушку 1 Гн. Частоту генератора изменяют, при помощи вольтметра с сопротивлением 20 кОм измеряют напряжение на катушке. На какой частоте генератора показания вольтметра будут максимальны? Чему равно максимальное напряжение? Напряжение на зажимах генератора равно 1 В (эффективное значение) на всех частотах. Элементы цепи считать идеальными. 8.34. Цепь из последовательно соединенных катушки L и конденсатора C используют в качестве фильтра низких частот — при подключении цепи к выходу звукового генератора напряжение на резисторе нагрузки R, подключенном параллельно конденсатору (рис. 73), начинает убывать при повышении частоты выше определенного значения. При каких значениях сопротивления нагрузки частотная характеристика фильтра будет монотонной функцией частоты (при больших значениях сопротивления будет явно выражен резонанс и напря- ∼ жение при увеличении частоты будет сначала возрастать, и только потом начРис. 73 нет убывать)?

РАЗДЕЛ 9

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКЕ Примеры решения задач Задача 1. На главной оптической оси тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием 10 см находится маленький светящийся шарик, его диаметр 1 мм, он расположен на расстоянии 5 м от линзы. Сила света источника 0,01 Кд. Изображение источника получают на экране. Найти освещенность изображения. Диаметр линзы 2 см. Решение. Введем понятные обозначения: Sист — площадь поперечного сечения светящегося шарика, Sл — площадь линзы, F — фокусное расстояние, a — расстояние от источника до линзы, I — сила света источника. Не будем проводить расчет очень точно, формулы геометрической оптики не слишком точны и сами по себе. Заметим, что расстояние от источника света до линзы во много раз больше фокусного расстояния, изображение получается почти в фокусе линзы. Учтем это, тогда размер изображения (светлый кружок на экране) меньше размера источника в a/F раз. На линзу падает световой поток Ф = I · SЛ /a2 . Этот световой поток попадает на экран, освещенность изображения Ф/Sиз = Ф/(Sист · F2 /a2 ) = I · Sл/(Sист · F2 ) =

= (I/Sист ) · (Sл/F2 ) = 400 Люкс.

182

Раздел 9. Решение задач по геометрической оптике

Ответ не зависит от расстояния до источника света, если это расстояние во много раз превышает фокусное расстояние линзы — чем дальше источник, тем меньше размер его изображения. Величина (I/Sист ) носит название «яркость» источника света, величина (Sл/F2 ) — «светосила» линзы (часто так называют величину d2 /F2 , не очень отличающуюся от записанной выше). Получается, что освещенность изображения равна произведению яркости источника на светосилу линзы. Задача 2. Параллельно главной оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием F движется точечный источник света. На каком расстоянии от линзы он окажется в тот момент, когда скорость его изображения в линзе будет равна по величине скорости источника? Расстояние от главной оптической оси линзы до источника H = F. Решение. При таком расстоянии до главной оптической оси изображение двигается под углом 45◦ к главной оптической оси, проекция скорости на √ направление главной оптической оси равна Vист / 2. 1 1 Запишем уравнение линзы: 1 a + b = F . Тут величины a и b — функции времени, возьмем производные по времени от левой и правой частей этого уравнения. V Vист a + √ ист 2 = 0. Для такого случая b = √ . 4 2 a 2·b 2 . Тогда a = F√ 1+ 4 2

Получим −

Задача 3. На расстоянии d = 0,6 см от центра стеклянного шара радиуса R = 1 см находится точечный источник света. При каких значениях коэффициента преломления стекла n весь испускаемый источником световой поток выйдет наружу? Снаружи — вакуум, источник излучает во все стороны равномерно.

Примеры решения задач

183

Решение. Падающий на границу раздела двух сред тонкий пучок частично отражается, частично преломляется — часть энергии (светового потока при этом уходит в окружающую шар среду, а следующие падения «остатка» пучка происходят под теми же углами к нормали в точке падения и каждый раз такая же часть энергии уходит из шара наружу. Если нет заметного поглощения энергии внутри, вся испущенная источником энергия «уйдет» наружу. Что же может помешать этому? Вспомним, что не всегда существует преломленный луч — при падении пучка под большими углами к нормали возможно «полное внутреннее отражение», когда все отражается назад в оптически более плотную среду (в нашем случае — в стекло). Итак, найдем максимальный «угол падения» луча на сферическую поверхность: по теореме синусов R = d , отсюда sin a = d · sin f. R sin f sin a Видно, что значение «синуса угла падения» a не превосходит 0,6 — это значит, что при величине коэффициента преломления меньшем, чем 1 = 0,6 = 1,66... явления полного внутреннего отражения не произойдет. a L Задача 4. Точечный источник V0 движется по прямой с постоянной скоростью V0 , эта прямая составляРис. 74 ет угол a = 20◦ с главной оптической осью тонкой собирающей линзы оптической силы 10 Дптр, прямая пересекает ось на расстоянии L = 20 см от центра линзы (рис. 74). Найти минимальное значение относительной скорости источника и его изображения в линзе. Считайте, что при таких условиях формула линзы выполняется точно. Решение. На рис. 75 приведен чертеж, на рис. 76 показан вектор относительной скорости источника и изоб-

184

Раздел 9. Решение задач по геометрической оптике

L

L

Рис. 75

Vотн

−Vиз 2a V0

Рис. 76

ражения в линзе. При таком выборе численных значений (прямая, по которой движется точечный источник света, пересекает главную оптическую ось линзы на удвоенном фокусном расстоянии) изображение движется вдоль прямой, составляющей угол 40◦ с первой прямой. Скорость изображения меняется в чрезвычайно широких пределах (формально — от минус до плюс бесконечности), значит, при разных положениях источника относительно линзы относительная скорость меняется в очень широких пределах. Из рис. 76 следует, что минимальное значение этой скорости получается, когда вектор относительной скорости перпендикулярен второй прямой, при этом получается V0 · cos 40◦ ≈ 0,77V0 . Это и есть ответ задачи. Задача 5. Коэффициент преломления плотной атмосферы маленькой, но очень массивной планеты уменьшается с высотой h над ее поверхностью от величины n0 до 1 по линейному закону. Найдите, на какой высоте над поверхностью планеты находится оптический канал, по которому световые лучи будут обходить планету, оставаясь на постоянной высоте. Радиус планеты R = 100 км. Коэффициент преломления около поверхности планеты n0 = 2, он падает до 1,5 на высоте h0 = 100 км. Решение. На рис. 77 приведен чертеж — изображен луч, который распространяется в очень тонком канале,

185

Примеры решения задач A

R+h

R R R+ R R R + +hh + + + hhhh+ + + +DDD + + DDhhhhhh

B

R O

Рис. 77

канал находится на высоте h над поверхностью планеты и имеет очень малую толщину Dh. Луч света должен испытывать полное внутреннее отражение на «внешней» поверхности раздела сред, как показано на рисунке. Коэффициент преломления меняется с высотой h по закону: n = n0 − a · h, где a = 5 · 10−6 м−1 . Будем считать, что в канале коэффициент преломления постоянный и соответствует высоте h, а на внешней границе слоя имеет место перепад коэффициента преломления, соответствующий толщине канала Dh : Dn = −a · Dh. Угол падения изображен на рисунке, это угол BAO, синус R+h этого угла равен . Для полного внутреннего R + h + Dh

отражения нужно выполнить условие: sin ∠BAO · n = 1. n Отсюда h = 0 − R = 1,5 · 105 м = 150 км. 2a 2

n − Dn

Задача 6. Небольшая плоско-выпуклая линза отштампована из прозрачной пластмассы. Форма выпуклой поверхности аккуратно рассчитана при помощи ЭВМ, она немного отличается от сферической (сферическая поверхность «собирает» лучи параллельного пучка в фокусе только приблизительно). Диаметр плоской

186

Раздел 9. Решение задач по геометрической оптике

поверхности линзы 2 см, толщина линзы 0,5 см. Найти фокусное расстояние линзы. Коэффициент преломления пластмассы 1,5. Решение. Воспользуемся известным свойством собирающей линзы: если на линзу падает параллельный пучок лучей (выберем самый удобный случай — лучи падают на плоскую сторону линзы перпендикулярно этой плоскости), то пучок сойA дется в главном фокусе линзы (на чертеже рис. 78 это точка F) O B и время распространения любого F луча из этого пучка от плоской поверхности линзы до этой точки одинаково. Сравним времена расРис. 78 пространения для крайнего и для центрального лучей (рис. 78). Центральный должен пройти меньшее расстояние, но на части пути (внутри линзы) его скорость меньше в n = 1,5 раза. Тогда: AF OB · n BF c = c + c .

Если считать фокусным расстояние BF = f, то p

(f + d)2 + D2 /4 d · n f = c +c c

(тут толщина линзы OB = d = 0,5 см, диаметр линзы D = 2 см, коэффициент преломления материала линзы n = 1,5). После возведения левой и правой части в квадрат получаем простое уравнение первой степени относительно f. Решая, получаем f = 1,375 ≈ 1,4 см. А теперь мы легко найдем фокусное расстояние OF = f + d = 2,6 см.

Задачи

187

Задачи 9.1. Очень маленький источник света движется вдоль главной оптической оси собирающей линзы со скоростью V0 , линза движется ему навстречу со скоростью 2V0 . В некоторый момент скорость изображения источника в линзе оказалась равна по величине V0 (все скорости измерены в неподвижной системе отсчета). Какое увеличение дает в этот момент линза? Каково ускорение изображения в этот момент? Фокусное расстояние линзы F, изображение получают на экране, расположенном перпендикулярно главной оптической оси линзы. 9.2. Для уменьшения отражения света от поверхности линзы применяют очень тонкий «просветляющий» слой из стекла с меньшим коэффициентом преломления, чем у стекла линзы. Этот слой должен сильно уменьшать отражение для «главной» длины волны 0,55 мкм (зеленый цвет, для него чувствительность глаза особенно велика). Какова наименьшая возможная толщина этого слоя? Как изменится отражение света для красной и фиолетовой частей спектра? 9.3. В фокусе большого параболического отражателя находится точечный источник радиоволн частоты f = 1000 МГц, диаметр параболического отражателя D = 6 м, фокусное расстояние отражателя F = 0,5 м. Изза дифракции система излучает расходящийся пучок волн. Оцените, на сколько нужно отодвинуть излучатель вдоль оси параболоида, чтобы расходимость пучка увеличилась втрое. 9.4. На главной оптической оси тонкой собирающей линзы диаметра 1 см с фокусным расстоянием 10 см находится точечный источник света. На какой макси-

188

Раздел 9. Решение задач по геометрической оптике

мальный угол линза может отклонить падающий на нее луч? 9.5. При помощи собирающей линзы на экране получают действительное изображение источника света, который представляет собой короткий прямолинейный отрезок, расположенный на главной оптической оси линзы перпендикулярно этой оси. При этом увеличение составляет G1 = 0,1. Каким станет увеличение, если повернуть отрезок так, чтобы он составил угол 45◦ с оптической осью? 9.6. Плоская волна длиной l = 0,5 мм падает перпендикулярно на непрозрачный экран, в котором прорезаны четыре длинные параллельные щели шириной d = 0,2 мм каждая, расстояние между соседними щелями D = 2 мм. Закроем вторую из щелей (главное — не крайнюю). Найти угол между нормалью к экрану и направлением на ближайший минимум. Во сколько раз отличаются интенсивности (проще — мощности излучения) в максимуме и этом минимуме? 9.7. «Суточный» ТВ-спутник выработал свой ресурс, его заменили другим, запущенным на ту же орбиту, но первый не отключился и продолжает работу. Теперь телевизионные приемники принимают одновременно два сигнала, частоты которых точно совпадают. Найдите процент времени, в течение которого мощность суммарного сигнала в 1000 раз меньше мощности сигнала от одного передатчика. Скорости спутников почти одинаковы, работает система коррекции орбиты. 9.8. Плоская монохроматическая волна с длиной l = 0,55 мкм падает перпендикулярно на очень тонкий плоский непрозрачный лист. В листе прорезаны две длинные параллельные щели шириной 0,5 мм и 1 мм,

Задачи

189

расстояния между ближайшими краями щелей составляет 0,5 мм. На расстоянии 10 м от листа параллельно ему расположен экран для наблюдения интерференции. На каком расстоянии от главного максимума располагается ближайшая серая полоса? Рассчитайте и для ближайшей черной полосы. 9.9. При фотографировании удаленного точечного источника света на фотографии из-за невысокого качества объектива и применяемого фотоматериала получается светлый кружок диаметра 0,1 мм. С какого максимального расстояния можно сфотографировать в тех же условиях два точечных источника, расположенных на расстоянии 1 см друг от друга, чтобы на фотографии их изображения не перекрывались? Фокусное расстояние объектива 5 см. 9.10. Плосковыпуклая линза сделана из стекла с коэффициентом преломления 1,6. Радиус сферической поверхности 10 см, толщина линзы 0,2 см. На плоскую поверхность линзы параллельно главной оптической оси направляют широкий параллельный пучок лучей и фокусируют его на экране, открыв только небольшой участок линзы вблизи главной оптической оси (сильно «задиафрагмированная» линза). После этого диафрагму убирают, открывая всю поверхность линзы. Найти диаметр получившегося на экране светлого пятна. 9.11. На широте Москвы построена вертикальная стена. Во сколько раз отличаются в полдень освещенность стены прямыми cолнечными лучами и освещенность в центре солнечного «зайчика», посылаемого на стену плоским зеркалом диаметра 10 см с расстояния 0,5 м от стены?

190

Раздел 9. Решение задач по геометрической оптике

9.12п . Зеркало антенны радиолокатора представляет собой параболоид вращения с «выходным» диаметром 6 м, в фокусе которого (глубоко внутри параболоида) расположен точечный излучатель энергии (длина волны излучения 30 см). Этот же отражатель используется в качестве элемента приемной антенны радиолокатора. Мощность локатора при излучении 200 кВт, минимальная мощность принимаемого сигнала, при которой радиолокатор нормально работает, составляет 1 · 10−13 Вт. Оцените максимальную дальность обнаружения самолета. Площадь отражающей поверхности самолета 5 м2 , Считайте, что 10 % падающей на самолет мощности отражается равномерно во все стороны. 9.13п . На одной оси находятся на расстоянии 40 см друг от друга две собирающие линзы — слева линза диаметра 1 см с оптической силой 10 дптр, справа — линза 5 дптр диаметра 10 см. На расстоянии 20 см слева от маленькой линзы на главной оптической оси линз находится точечный источник света, справа от оптической системы помещают экран, который перпендикулярен этой оси. На каком расстоянии от большой линзы нужно расположить экран, чтобы светлое пятно на нем оказалось наименьшим по диаметру? Найти диаметр этого пятна. Как изменится освещенность пятна, если маленькую линзу вообще убрать? 9.14. В фокусе тонкой собирающей линзы диаметра 1 см с фокусным расстоянием 5 см помещен фотодиод, площадь светочувствительной поверхности фотодиода 0,5 мм2 . Точечный источник света расположен на расстоянии 1 м от плоскости линзы. Во сколько раз изменится ток фотодиода при перемещении источника в точку оптической оси линзы на расстоянии 30 см от

Задачи

191

линзы? Ток фотодиода пропорционален падающему на него световому потоку. 9.15. Два одинаковых радиопередатчика расположены на высоте несколько десятков метров над землей и транслируют слабый телевизионный сигнал, принимаемый со спутника. Ветер раскачивает опоры передатчиков, амплитуды колебаний превышают длину волны, на которой передатчики работают. При одновременной работе радиопередатчиков мощность принимаемого антенной сигнала меняется в широких пределах. Считая «раскачивания» передатчиков независимыми, оцените процент времени, в течение которого мощность принимаемого сигнала не превышает 1/1000 от средней принимаемой мощности. Разумно ли так использовать передатчики? 9.16. Симметричную рассеивающую линзу с оптической силой −10 дптр используют в качестве зеркала. При этом получаются два изображения удаленного предмета — размер одного в 2,5 раза больше, чем другого. Определить по этим данным коэффициент преломления стекла, из которого сделана линза, и радиус кривизны ее поверхностей. 9.17. Источник света представляет собой тонкую нить длины 10 см, расположенную на главной оптической оси собирающей линзы с фокусным расстоянием 5 см. Ближний конец нити находится на расстоянии 10 см, диаметр линзы 1 см. Найти минимальный размер освещенного пятна на экране, расположенном с другой стороны линзы перпендикулярно главной оптической оси. На каком расстоянии от линзы должен находиться для этого экран?

192

Раздел 9. Решение задач по геометрической оптике

9.18. Искусственный хрусталик для глаза сделан так, что позволяет четко видеть удаленные предметы. В отличие от «настоящего» хрусталика, кривизна поверхностей которого может изменяться (при этом глаз фокусируется на выбранных объектах — это называется аккомодацией глаза), искусственный хрусталик жесткий и перестраиваться не может. Оцените оптическую силу очков, дающих возможность без напряжения читать книгу с расстояния 30 сантиметров. 9.19. Фотографию Буратино — вид спереди, расстояние до аппарата 1 м — делают при помощи простого фотоаппарата с фокусным расстоянием объектива 5 см. На фото глаза оказались «в фокусе», а кончик носа оказался размытым. До какого диаметра следует задиафрагмировать линзу, чтобы весь снимок получился резким? У Буратино нос морковкой, он перпендикулярен плоскости лица и имеет длину 30 см. Допустимо «размытие» точки на пленке до диаметра 0,1 мм. 9.20. Увеличенное вдвое изображение предмета получают на экране при помощи собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 20 см. Предмет остается на месте, а линзу и экран передвигают так, чтобы изображение стало еще в 3 раза больше. На сколько сантиметров пришлось передвинуть линзу? А экран? 9.21. Уменьшенное вдвое изображение предмета получают на экране при помощи собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 10 см. Предмет остается на месте, а линзу и экран передвигают так, чтобы изображение стало еще в 2 раза меньше. На сколько сантиметров пришлось передвинуть линзу? А экран? 9.22. Хрусталик глаза Буратино можно считать тонкой линзой. Во сколько раз должно измениться ее фо-

Задачи без ответов и решений

193

кусное расстояние при переводе зрения с удаленного предмета на кончик носа? Расстояние от кончика носа до зрачка составляет 8 см, глаз считайте шариком диаметра 2 см. 9.23. Хрусталик глаза Буратино можно считать тонкой линзой неизменной оптической силы. Буратино без очков четко видит удаленные предметы. Сколько диоптрий должны иметь линзы очков, в которых он четко увидит Золотой ключик с расстояния 20 см? Считайте глаз шариком диаметра 4 см. Линзы очков тонкие и вплотную прилегают к глазам. Задачи без ответов и решений 9.24. Увеличенное вдвое изображение предмета получают на экране при помощи собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 20 см. Предмет остается на месте, а линзу и экран передвигают так, чтобы изображение стало еще в 3 раза больше. На сколько сантиметров пришлось передвинуть линзу? А экран? 9.25. Уменьшенное вдвое изображение предмета получают на экране при помощи собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 10 см. Предмет остается на месте, а линзу и экран передвигают так, чтобы изображение стало еще в 2 раза меньше. На сколько сантиметров пришлось передвинуть линзу? А экран? 9.26. Хрусталик глаза Буратино можно считать тонкой линзой. Во сколько раз должно измениться ее фокусное расстояние при переводе зрения с удаленного предмета на кончик носа? Расстояние от кончика носа до зрачка составляет 8 см, глаз считайте шариком диаметра 2 см.

194

Раздел 9. Решение задач по геометрической оптике

9.27. Хрусталик глаза Буратино можно считать тонкой линзой неизменной оптической силы. Буратино без очков четко видит удаленные предметы. Сколько диоптрий должны иметь линзы очков, в которых он четко увидит Золотой ключик с расстояния 20 см? Считайте глаз шариком диаметра 4 см. Линзы очков тонкие и вплотную прилегают к глазам. 9.28. На главной оптической оси тонкой собирающей линзы диаметра 1 см с фокусным расстоянием 10 см находится точечный источник света. На какой максимальный угол линза может отклонить падающий на нее луч? 9.29. Человек может четко видеть предметы, расположенные как далеко от него, так и достаточно близко — фокусное расстояние хрусталика меняется в некоторых пределах, «настраиваясь» на нужное расстояние до объекта (объективы современных фотоаппаратов имеют такую же возможность, устройство для изменения фокусного расстояния грамотные люди называют «трансфокатор», остальные употребляют термин «зумм»). Чему равен «оптический зумм» глаза, если он настраивается в пределах от 8 см до бесконечности? Считайте, что глаз имеет форму шара с диаметром 3 см. 9.30. В солнечный день можно «выжигать по дереву» при помощи собирающей линзы. Определите, во сколько раз изменится освещенность изображения Солнца, полученного плосковыпуклой линзой, если такую же линзу прижать плоской стороной к плоской стороне первой линзы, образуя двояковыпуклую линзу? 9.31. При каких положениях точечного источника относительно тонкой собирающей линзы с фокусным

Задачи без ответов и решений

195

расстоянием F = 0,5 м можно хотя бы из одной точки видеть одновременно и изображение, и источник? 9.32. На вертикальной стене нарисован человечек «ростом» h = 20 см, голова человечка находится на высоте H = 2 м над полом. При помощи линзы с фокусным расстоянием F = 0,1 м получают изображение человечка на полу. Найдите размер наиболее четкого изображения. 9.33. Точечный источник света находится на расстоянии 50 см от экрана. Собирающую линзу с фокусным расстоянием 20 см, параллельную экрану, перемещают между источником и экраном. При каком положении линзы относительно источника диаметр пятна, видимого на экране, будет минимальным? 9.34. На главной оптической оси тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием 25 см, на расстоянии 150 см от линзы находится точечный источник света. На каких расстояниях от плоскости линзы находятся точки, из которых одновременно можно увидеть и изображение источника в линзе, и сам источник? 9.35. На главной оптической оси тонкой собирающей линзы диаметра 1 см с фокусным расстоянием 10 см находится точечный источник света. На какой максимальный угол линза может отклонить падающий на нее луч? 9.36. Человек может четко видеть предметы, расположенные как далеко от него, так и достаточно близко — фокусное расстояние хрусталика меняется в некоторых пределах, «настраиваясь» на нужное расстояние до объекта (объективы современных фотоаппаратов имеют такую же возможность, устройство для изменения фокусного расстояния грамотные люди называют «трансфо-

196

Раздел 9. Решение задач по геометрической оптике

катор», остальные употребляют термин «зумм»). Чему равен «оптический зумм» глаза, если он настраивается в пределах от 8 см до бесконечности? Считайте, что глаз имеет форму шара с диаметром 3 см. 9.37. В солнечный день можно «выжигать по дереву» при помощи собирающей линзы. Определите, во сколько раз изменится освещенность изображения Солнца, полученного плосковыпуклой линзой, если такую же линзу прижать плоской стороной к плоской стороне первой линзы, образуя двояковыпуклую линзу? 9.38. При каких положениях точечного источника относительно тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием F = 0,5 м можно хотя бы из одной точки видеть одновременно и изображение, и источник? 9.39. На вертикальной стене нарисован человечек «ростом» h = 20 см, голова человечка находится на высоте H = 2 м над полом. При помощи линзы с фокусным расстоянием F = 0,1 м получают изображение человечка на полу. Найдите размер наиболее четкого изображения. 9.40. Точечный источник света находится на расстоянии 50 см от экрана. Собирающую линзу с фокусным расстоянием 20 см, параллельную экрану, перемещают между источником и экраном. При каком положении линзы относительно источника диаметр пятна, видимого на экране, будет минимальным? 9.41. На главной оптической оси тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием 25 см, на расстоянии 150 см от линзы находится точечный источник света. На каких расстояниях от плоскости линзы находятся точки, из которых одновременно можно увидеть и изображение источника в линзе, и сам источник?

Р А З Д Е Л 10

ЗАДАЧИ НА СООБРАЗИТЕЛЬНОСТЬ, НЕ ВПОЛНЕ СЕРЬЕЗНЫЕ ЗАДАЧИ И ПРОЧЕЕ Задачи бывают разные, многие из них не слишком интересны — сразу понятно, как такую задачу нужно решать, остается только считать. Но есть задачи иного сорта — в таких нужно придумать что-то необычное, а без этого считай, не считай — ничего не получится. Про такие задачи говорят, что они «на сообразительность», их решать намного интереснее. Вот несколько примеров. 10.1п . «Лампочки». На кухонном столе — три одинаковые настольные лампы, очень простые — подставка и лампочка, даже без абажура. Провода от них тянутся через дырку в стене в комнату, там есть три кнопки, каждая кнопка управляет одной лампой, только неясно — какой именно. Нужно это узнать. Как решает эту проблему нормальный человек? Он включает кнопку номер 1 и идет в кухню, где смотрит и записывает — какая из ламп включена. Потом он возвращается в комнату и нажимает кнопку 2, затем снова идет на кухню. Третий раз можно не ходить, достаточно определить две лампы и сообразить про оставшуюся (впрочем, если Вы программист, то нужно сходить третий раз, ведь нужно завершить цикл...). Так вот — разрешается сходить на кухню только один раз! Сразу нужно предупредить: задача имеет красивое, честное решение (не нужно

198

Раздел 10. Задачи на сообразительность

подглядывать через дырку, не нужно дергать за провода и слушать — какая лампа упадет, не нужно посылать на кухню приятеля и так далее). И еще — это задача по физике. Если за две-три минуты не сообразили, можно посмотреть подсказку. Если и после этого не сообразили — посмотрите решение. Если и после этого не поняли — тогда я уж и не знаю, прочитайте все еще раз, может и поможет... 10.2п . «Сырое куриное яйцо». Сырое куриное яйцо — штука хрупкая, его очень легко раздавить, даже случайно. Задача сформулирована в виде пари (пари — это типа «спорим, что...»). Итак: спорим, что Вы не сможете раздавить, или разбить это самое яйцо сильно накачанным баскетбольным мячом. Я положу его на пол в пустой комнате, а после этого Вы можете действовать. Только мячом! Нельзя дотрагиваться до него другими предметами, даже руками, придерживать, поворачивать, перемещать — просто придавите или ударьте его мячом. Сможете? Понятно, что получилась задача про «как положить». Если не сообразите — смотрите подсказку. Если и тут не сообразите — смотрите решение. Если и теперь не догадаетесь — сделайте именно так, как написано в решении — тут уж наверняка поймете. 10.3п . «Таблица». Нарисована простая прямоугольная таблица — в ней 4 строки и 5 столбцов, всего получается 20 клеток. В каждую клетку нужно поместить число (положительное, отрицательное или ноль — можно целое, можно дробное, можно даже иррациональное, если Вы знаете про такие). Задача — подобрать числа так, чтобы в сумме в каждой строке получилось 10, и в каждом столбце — тоже 10. Если бы таблица была квадратная (поровну строк и столбцов), то все было бы совсем просто — а вот попробуйте так. Только проверь-

Раздел 10. Задачи на сообразительность

199

те внимательно суммы, когда придумаете! Это очень хитрая задача. Если минут за пять не получится — смотрите подсказку и так далее... 10.4п . «Закономерность». Есть такие задачи, в которых приведена последовательность букв, слов или чисел — нужно угадать, какая там закономерность, и продолжить ряд. Например: 2, 4, 6, 8, ?, ... Ясно, что дальше будет 10, потом 12 и так далее. Или такая последовательность: а, б, в, г, д, ?, ... Легко догадаться, что это буквы из алфавита, по порядку, следующая буква е, затем ё, и далее. А теперь сама задача: дана последовательность русских букв р, д, т, ч, п, ?, ?, ... Последовательность не слишком хитрая, наверняка знакомая — попробуйте угадать! Подсказка и решение ждут Вас. 10.5п . «Копейки». Не так уж и давно в ходу были медные монетки достоинством 1, 2, 3 и 5 копеек. Так вот — 1 копейка весила 1 грамм, 2 копейки — 2 грамма, 3 копейки — 3 грамма и 5 копеек — ровно 5 грамм. Для чего это могло пригодиться? Задача довольно проста. Но подсказка и решение уже готовы. 10.6. Как определить высоту здания при помощи барометра и секундомера? 10.7. А как определить высоту здания при помощи термометра и секундомера? 10.8. Три брата — близнецы. Они живут друг над другом, на пятом, шестом и седьмом этажах высотного дома, в котором квартиры на разных этажах совершенно одинаковы. Братья любят по вечерам стоять в одинаковых позах, по стойке «смирно», на балконах — друг над другом. В некоторый момент брат с шестого этажа говорит «А!». Который из двух других услышит его раньше?

200

Раздел 10. Задачи на сообразительность

10.9. Чему равна молярная теплоемкость гелия при изохорическом расширении? 10.10. Два землекопа могут выкопать кубическую яму глубины 1 м за 2 часа. За какое время эту яму смогут выкопать 7200 землекопов? 10.11. В глубоком космосе, вдали от всех тяготеющих масс, два крокодила масс M и 2M летят со скоростями соответственно 2V и V , составляющими угол a = 60◦ . После столкновения большой крокодил проглатывает маленького, и дальше они двигаются уже вместе. Найти их скорость. Какое количество тепла могло при этом выделиться? 10.12п . Высоко подбрасываем монету — она падает гербом вверх. Бросаем еще раз — опять падает вверх гербом. И так происходит 50 раз — как мы ни бросаем, все равно, падает гербом вверх. Какая вероятность того, что при следующем броске она снова упадет вверх гербом? 10.13. В глубоком космосе, вдали от всех тяготеющих масс, находится очень большой «бублик», заполненный водой. Неподалеку друг от друга, в центрах поперечных сечений бублика, удерживают два небольших шарика одинаковых диаметров — свинцовый и деревянный. Шарики отпускают. Как они будут двигаться после этого? 10.14. Школьный «полосовой» магнит попал в руки пятиклассников и потерял окраску — они его просто ободрали. Как теперь узнать — где у него Северный полюс, а где — Южный? Других магнитов у Вас нет, есть только работающий «черно-белый» телевизор. Примечание: ни в коем случае нельзя для этой цели использовать цветной телевизор, или монитор! Кстати, почему?

Р А З Д Е Л 11

ПРИМЕР ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАНИЙ ДЛЯ 7—11 КЛАССОВ С РЕКОМЕНДАЦИЯМИ ПО ОЦЕНКЕ РАБОТ Уровень олимпиады — не слишком высокий (задачи существенно проще заданий Всероссийской олимпиады, но могут оказаться слишком сложными для школьного тура в обычной школе). Рассматривайте их в качестве примера подбора по темам и типам заданий. Этот вариант предлагался в конце ноября 2008 года на Окружном туре физической олимпиады в г. Москве. 7 класс 7.1. Автомобиль все время ехал по прямой. Несколько часов он двигался с постоянной скоростью 40 км/ч, затем 1 час простоял в пробке, после чего еще два часа продолжал движение со скоростью 60 км/ч и прибыл в пункт назначения. Найти среднюю скорость автомобиля за все время путешествия. Найти среднюю скорость за последние 2,5 часа движения. 7.2. Статуэтка победителя олимпиады по физике отлита из золота и алюминия — голова сделана из золота (плотность 19,3 г/см3 ), ее объем составляет 2/3 общего объема статуэтки, остальное — из алюминия (плотность 2,7 г/куб.см). Утонет ли статуэтка в озере из жидкой ртути (плотность 13,6 г/куб.см)?

202

Раздел 11. Олимпиадные задания для 7—11 классов

7.3. Фирма по продаже компьютеров объявляет рекламную акцию — при начальной цене компьютера 10 485 рублей 76 копеек она обещает каждый день снижать цену ровно вдвое — при условии, что Вы покупаете каждый день по одному компьютеру. Какую сумму придется выложить за компьютеры в течение первого месяца (31 день)? Если предыдущая цена «не делится», цена округляется до целого числа копеек (по обычным правилам округления).

8 класс 8.1. Статуэтка победителя олимпиады по физике отлита из золота и алюминия — голова сделана из золота (плотность 19,3 г/куб.см), ее объем составляет 2/3 общего объема статуэтки, остальное — из алюминия (плотность 2,7 г/куб.см). Утонет ли статуэтка в озере из жидкой ртути (плотность 13,6 г/куб.см)? 8.2. В стакан налита вода при комнатной температуре +20 ◦C — до половины объема. Туда доливают еще столько же воды при температуре +30 ◦C — установившаяся температура оказалась равна +23 ◦C. В другой такой же стакан наливают воду при комнатной температуре до 1/3 объема и доливают горячей водой (+30 ◦ C) доверху. Какая температура установится в этом стакане? Потерями тепла в окружающее пространство за время установления температуры можно пренебречь. 8.3. Автомобиль едет все время по прямой, его скорость за первый час была 40 км/ч. В течение второго часа он «прибавил» и ехал равномерно — средняя скорость за первые два часа составила 60 км/ч. Потом он снова прибавил скорости, и средняя скорость за первые

203

9 класс

три часа оказалась 70 км/ч. Найти среднюю скорость движения на первой и второй половинах пути. 8.4. По окружности радиуса R = 100 м бежит с постоянной скоростью V1 = 0,628 м/с кролик, нерастяжимая натянутая веревочка привязана к кролику и закреплена в центре круга. В начальный момент времени в центре круга находится улитка, она бросается в погоню — ползет по веревочке со скоростью V2 = 0,2 см/с. На каком расстоянии от начальной своей точки будет находиться кролик в тот момент, когда улитка его догонит? Считать размеры кролика и улитки очень маленькими. Почти точное значение числа «пи» 3,1415926. 9 класс 9.1. В легкий тонкостенный сосуд, содержащий 500 г воды при начальной температуре +20 ◦ C доливают еще 400 г воды. Известно, что через 10 минут после этого температура воды во всем сосуде стала равна +15 ◦C. Какая температура была у второй порции воды? Известно, что за время опыта теплообмен с окружающей средой составил 2000 Дж. Температура воздуха в комнате +25 ◦ C. 9.2. С поверхности земли вертикально вверх бросают камень — упав на землю, он «втыкается» в нее и мгновенно останавливается. Какой может быть начальная скорость этого камня, чтобы за четвертую секунду после броска его смещение было равно нулю? Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с2 . 9.3. Резисторы 200 Ом и 500 Ом соединены параллельно, последовательно с этой цепочкой включили резистор 100 Ом (рис. 79). К выводам получив-

Рис. 79

204

Раздел 11. Олимпиадные задания для 7—11 классов

шейся последовательно-параллельной схемы несколько раз подключали разные батарейки. Полный заряд, протекший через резистор 500 Ом, оказался равным 0,5 Кл. Полное количество тепла, выделившееся в резисторе 200 Ом, равно 10 Дж. Какой полный заряд протек через резистор 100 Ом? Сколько тепла выделилось в резисторе 100 Ом? 9.4. Если сбросить массивное тело с большой высоты, то из-за сопротивления воздуха оно большую часть пути будет двигаться с постоянной, установившейся скоростью. Для пластмассового бильярдного шара эта скорость составляет 100 м/с. Если его сделать из материала с вдвое большей плотностью, то при тех же размерах его скорость увеличится до 140 м/с. Если взять шар из того же материала, что и бильярдный шар, но вдвое большего диаметра, то скорость установившегося движения также составит 140 м/с. Какой станет эта скорость для шара из того же материала, но в 10 раз меньшего диаметра? 10 класс 10.1. На плоской поверхности нарисован квадрат, длина стороны квадрата 10 м. Вдоль сторон этого квадрата должен пробежать маленький жуF чок — его мгновенное ускорение не должно превышать ни в какой момент величины 1 см/с2 . За какое минимальное время он сможет это сделать?

Рис. 80

10.2. В системе, изображенной на рисунке 80, масса малого груза 1 кг, масса большого 2 кг. Блоки невесомые, нити нерастяжимые. С какой силой F нужно

11 класс

205

тянуть вверх ось подвижного блока, чтобы он имел ускорение 2 м/с2 , направленное вверх? 10.3. На гладком горизонтальном столе находится брусок массы 3 кг, на его плоской верхней грани — кубик массы 1 кг, коэффициент трения между кубиком и бруском 0,7. Кубик тянут горизонтальной силой 4 Н вправо, брусок — противоположно направленной силой 12 Н. Найти ускорения тел. Какими станут ускорения, если уменьшить коэффициент трения до 0,5? 10.4. В легкий тонкостенный сосуд, содержащий 500 г воды при начальной температуре +20 ◦C доливают еще 400 г воды. Известно, что через 10 минут после этого температура воды во всем сосуде стала равна +15 ◦C. Какая температура была у второй порции воды? Известно, что за время опыта теплообмен с окружающей средой составил 2000 Дж. Температура воздуха в комнате +25 ◦ C. 10.5. Соединим параллельно школьный вольтметр и школьный миллиамперметр — получим новый прибор, назовем его амперовольтметр. Соединим такие же два прибора последовательно — у нас получится вольтоамперметр. Возьмем неизвестный резистор, параллельно резистору включим вольтоамперметр. Последовательно с этой цепью включим амперовольтметр и батарейку. Показания приборов: амперовольтметр— 7 мА и 0,3 В, вольтоамперметр — 2,7 В и 2,7 мА. Найти по этим данным сопротивление резистора. 11 класс 11.1. На гладком горизонтальном столе лежит очень жесткий тонкий стержень длины 1 м. Четыре одинаковые пружинки прикреплены к стержню — одна к левому

206

Раздел 11. Олимпиадные задания для 7—11 классов

A

Рис. 81

краю, две — к правому и одна — к середине (рис. 81). В начальный момент все пружинки перпендикулярны стержню и натянуты, но силы натяжения очень малы. Удлиним «серединную» пружинку, сдвинув точку А (конец этой пружинки) вдоль направления пружинки на 1 см. Найти натяжения каждой из пружинок в растянутом состоянии. Жесткость пружинки 110 Н/см. 11.2. Моль гелия (одноатомный газ) вначале изотермически расширяется — при этом он получает в виде тепла 1620 Дж, затем его охлаждают при неизменном объеме, отняв у него 1000 Дж в виде тепла. После этого газ адиабатически сжимают до начального состояния. Найти термодинамический к. п. д. этого цикла. 11.3. Два одинаковых удаленных друг от друга сферических проводника радиуса 10 см каждый заряжены до разности потенциалов V = 1000 В. Их соединяют при помощи длинных проводов конденсатором емкости C = 1000 пФ. Какая энергия излучится в окружающее пространство? Считайте, что провода имеют нулевое сопротивление, конденсатор можно считать идеальным. А

V Б V V

Рис. 82

11.4. В схеме на рисунке 82 батарейки одинаковые, их напряжения — по 3 В. Вольтметры взяты тоже одинаковые, сопротивление каждого вольтметра 1 кОм. Какой резистор нужно включить между точками А и Б, чтобы ток через этот резистор составлял

Решения задач

207

ровно 1 мА? Какими при этом будут показания вольтметров? 11.5. На главной оптической оси тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием 25 см на расстоянии 150 см от линзы находится точечный источник света. На каких расстояниях от плоскости линзы находятся точки, из которых одновременно можно увидеть и изображение источника в линзе, и сам источник? Решения задач Общие соображения об оценке задач — в предисловии. Некоторые конкретные, дополнительные рекомендации по оценке задач (исходя из 5 баллов за одну задачу) приведены в конце решений большинства задач. 7.1. Можно ввести время движения со скоростью 40 км/ч, составить уравнение и получить ответ (это время сократится), но можно проще — за последние три часа автомобиль проехал 120 км, т. е. средняя скорость за последние три часа тоже 40 км/ч. Итак, средняя скорость на всем пути 40 км/ч. За последние 2,5 часа 120/2,5 = 48 км/ч. Если сделана верно любая половина задачи, но только одна — 3 балла. 7.2. Посчитаем среднюю плотность и сравним с плотностью ртути: 19,3 · 2/3 + 2,7 · 1/3 = 13,77 (г/куб.см). Это больше 13,6 г/куб.см, утонет. Отсутствие объяснений (счет и верный ответ) — 4 балла. 7.3. Тут нужно считать. Можно догадаться (знакомое число!), что 1 048 576 = 220, но можно и без этого. Запишем цепочку чисел: 10485,76, 5242,88, 2621,44, 1310,72, 655,36, 327,68, 163,84, 81,92, 40,96, 20,48, 10,24, 5,12, 2,56, 1,28, 0,64, 0,32, 0,16, 0,08, 0,04,

208

Раздел 11. Олимпиадные задания для 7—11 классов

0,02, 0,01, 0, ... 0. (если округлять 0,5 до «четной», либо — по 1 копейке до конца). Сумму посчитать можно геометрически, по площадям прямоугольников, можно посчитать и «в числах» — это ничуть не хуже. Ответ при округлении до нулей 10485,76 · 2 − 0,01 = 20971,51 (или на 10 копеек больше — если вместо нулей в последние дни считать 1 коп). Задача длинная, нудная — если есть идея подсчета, но не сделано до конца — до 3 баллов. 8.1. См. решение задачи 7.2. 8.2. Обозначим теплоемкость стакана C Дж/град, тогда C · (23 − 20) + 4200 · 0,5V · (23 − 20) = = 4200 · 0,5V · (30 − 23)C · (t − 20) + 4200 · (V /3) · (t − 20) = = 4200 · (2V /3) · (30 − t). Если разделить каждое уравнение на 4200V , останется две неизвестных величины: C/4200V и t. Ответ: t = 24 ◦C. Если участник не догадался использовать теплоемкость стакана — не более 1 балла. 8.3. Легко сообразить, что 1 час скорость была 40 км/ч, затем 1 час скорость 80 км/ч, третий час — скорость 90 км/ч. Половина пути — 105 км. Средняя скорость на первой половине V1 = (40 + 65)/(1 + 65/80) = = 58 км/ч. Средняя скорость на второй половине V2 = (105)/(15/80 + 1) = 88,4 км/ч. Если дан ответ только на один вопрос из двух, 3 балла. 8.4. Время погони 100/0,002 = 50 000 с. Кролик за это время пробежал 0,628 · 50 000 = 3,14 · 104 м. Один круг кролик пробегает примерно за 628/0,628 = 1000 секунд. Получается почти 50 кругов. Более точное значение длины 50 кругов 2·3,1415926·100·50=31415,926 м.

Решения задач

209

Расстояние «по дуге» 15,93 м, примерно 16 м. По хорде (т. е. по прямой) — практически столько же. За разумный разговор о точности данных задачи и ответ «расстояние почти ноль» — до 5 баллов, в зависимости от убедительности объяснений. 9.1. Температура снаружи выше — поэтому теплообмен с окружающей средой сводится к притоку тепла в систему. Тогда 4200 · 0,4 · (t − 15) + 2000 = 4200 · 0,5 · (20 − 15). T = 22,4 ◦ C. Если нет рассуждений о притоке или «оттоке» тепла, даже при верном ответе — не более 3 баллов. 9.2. Либо движение закончилось до начала четвертой секунды (т. е. продолжалось меньше трех секунд). В этом случае (принимая g = 10 м/с2 ) начальная скорость V 6 15 м/с. Либо верхняя точка полета пришлась точно на середину четвертой секунды — т. е. начальная скорость была «погашена» за 3,5 с. В этом случае начальная скорость V = 35 м/с. За один из вариантов — только 3 балла. 9.3. Ток через резистор 200 Ом в любой момент в 2,5 раза больше тока через 500 Ом, суммарный ток через 100 Ом в любой момент в 3,5 раза больше тока через 500 Ом — тогда заряд, протекший через 100 Ом, равен 0,5 · 3,5 = 1,75 Кл. Суммарный ток через резистор 100 Ом в любой момент больше тока через 200 Ом ровно в 1,4 раза. Тогда в нем выделилось почти столько же тепла (точнее, 10 · 1,42 · 100/200 = 9,8 Дж). Только заряд, или только тепло — до 3 баллов. 9.4. Данные задачи позволяют определить зависимость силы сопротивления от скорости и поперечной площади падающего тела. Подходит модель F = k · S · V 2 .

210

Раздел 11. Олимпиадные задания для 7—11 классов

При уменьшении диаметра тела в 10 раз его масса уменьшилась в 1000 раз, площадь поперечного сечения стала меньше в 100 раз. При сохранении зависимости сила сопротивления уравновесит силу тяжести при скорости в 10 раз меньшей, т. е. установившаяся скорость падения 10 м/с. 10.1. Если ускорение ограничено, то поворот может происходить только при нулевой скорости. Если принять начальную скорость за ноль, то первый отрезок нужно проходить так: двигаться с максимальным ускорением до середины отрезка, а затем тормозить с максимальным ускорением. p Тогда первый отрезок будет пройден за время t1 = 2 L/a = 63,25 с. Если проходить все четыре стороны так же, как и первую, понадобится 4 · t1 = 253 с. Однако, в условии ничего не сказано про начальную (и конечную!) скорости, этим можно воспользоваться для ускорения процесса — не тормозить на последнем отрезке и заранее разогнаться до начала первого (до такой скорости, чтобы успеть затормозить к концу первого отрезка). При этом первый p и последний отрезки можно пройти за время t2 = 2L/a = 44,7 с и весь квадрат — за время 2 · t1 + 2 · t2 = 216 с. Возможны и промежуточные варианты типа 3 · t1 + t2 = 235 с. На вопросы нужно отвечать аккуратно: «В условии это не указано!», решение без хитростей (4 · t1 ) следует оценивать в 4 балла из 5. 10.2. Задачу можно решать «в лоб», но есть и более короткое решение: на груз m действует вверх сила натяжения T, вниз сила mg, на груз 2m вверх сила 2T, вниз — сила 2mg. Итак, ясно — ускорения грузов одинаковы (и направлены в одну сторону, например — вверх). Обозначим их ускорения a, тогда ускорение блока a0 = 1,5a. Сила натяжения нити

Решения задач

211

T = 0,5F. Для маленького груза 0,5F − mg = ma. Отсюда F = 2m · g + 2m · a0 /3 = 21,3 Н.

10.3. Тут нужно понять — двигаются ли грузы вместе, или сила трения недостаточна, и они имеют разные ускорения. Максимально возможная сила трения при m = 0,7 равна 7 Н. Проверим возможность движения без проскальзывания тел друг относительно друга: ускорение a = (12 − 4)/(1 + 3) = 2 м/с2 . Для этого нужна сила трения: fтр − f = ma, или fтр = 4 + 2 = 6 Н для малого и F − fтр = Ma, fтр = 12 − 6 = 6 Н. Итак, при данном значении коэффициента трения тела едут вместе с ускорением 2 м/с2 . Для m = 0,5 максимальное значение силы трения 5 Н, ее недостаточно для движения тел без проскальзывания, ускорения тел различны, и сила трения равна своему максимальному значению 5 Н. Ускорение малого: (5 − 4)/1 = 1 м/с2 против силы f. Ускорение большого (12 − 5)/3 = 2,33 м/с2 . Без анализа возможного проскальзывания — даже при верном ответе — не более 3 баллов. 10.4. См. решение задачи 9.1. 10.5. Глядя на параллельно соединенные приборы (рис. 83), отметим — при токе через миллиамперметр 7 мА напряжение на нем составляет 0,3 В, при токе 2,7 мА напряжение 0,3 · 2,7/7 = 0,116 В. Тогда напряжение на резисторе получается 2,7 + 0,116 = 2,816 В. Ток через «параллельный» вольтметр тоже легко найти: через «последовательный» вольтметр при напряжении 2,7 В течет ток V 2,7 мА — при напряжении 0,3 В V A ток составит 0,3 мА. Итак, ток чеA рез резистор составляет 7 + 0,3 − 2,7 = = 4,6 мА. Сопротивление резистора R = 2,816/4,6 · 10−3 = 612 Ом. Рис. 83

212

Раздел 11. Олимпиадные задания для 7—11 классов

11.1. Стержень немного «перекосится», смещения его концов будут неодинаковыми. Правый конец сместится на вдвое меньшую величину d (две пружины, такая же сила — моменты этих сил относительно середины стержня одинаковы), левый конец сместится на 2d, смещение середины стержня 1,5d. Удлинения пружин: левой 2d, правых — каждой — d, средней (1 см — 1,5d). Из условия равновесия сил: k · 2d + 2k · d = k · (1 − 1,5d), отсюда d = (2/11) см. Тогда натяжения пружин 40 Н, 20 Н, 20 Н, 80 Н. 11.2. Совсем простая задача. От нагревателя за цикл получено 1620 Дж, холодильнику отдано 1000 Дж. Работа в цикле 620 Дж. Термодинамический к. п. д. 620/1620 = 31/81. Примерно 38 %. 11.3. Обозначим заряды шаров Q1 и Q2 , тогда

k · Q1 k · Q2 − = V0 . Если конденсатор зарядится q и −q, то R R k · (Q1 − q) k · (Q2 + q) q − = . Отсюда получим соотношение: R R C k · Q1 k · Q2 − . Энергия электрического поля до подq= R R k · Q21 k · Q22 + , энергия после ключения конденсатора W1 = 2R 2R 2 k · (Q1 − q) k · (Q2 + q)2 q2 установления зарядов W2 = + + . 2R 2R 2C

Разность энергий W1 − W2 из системы «ушла» — если есть потери (например — соединяющие провода имеют определенное сопротивление), то перешла в тепло, если потерь нет, то излучилась в окружающее пространство (при очень малом, но ненулевом сопротивлении проводов — частично излучается, частично переходит в тепло). Вычисляем: W1 − W2 =

0,5V02 1 C

+ 2k · R

= 0,5V0 · q.

Решения задач

213

(После расчета перетекшего заряда ответ можно записать сразу — заряд перетекает при средней разности потенциалов 0,5V0 ). Если заряды шаров сразу приняты равными по величине (в условии этого нет!), то оценку задачи следует понизить на 1 балл. 11.4. Если показания одного из «нижних» вольтметров V , то второй покажет столько же, верхний покажет (6 − 2V ). Обозначим сопротивление вольтметра R, тогда ток 1 мА равен разности токов правой ветви: 6 − 2V V I0 = − . Отсюда V = 5 В. Показания вольтметров: R

R

3

V , V и 6 − 2V = 8 В. Сопротивление r: r · I0 = 2V − 3 = 1 В. 3

Сопротивление резистора r = 1 кОм. 3

3

11.5 Изображение точечного источника получается на расстоянии 30 см от линзы. Проведем из источника «крайние» лучи — за линзу и после преломления в линзе (рис. 84). Сразу видна та область пространства, из которой виден источник света (там, где он не закрыт линзой) и область, из которой видны преломленные лучи. Обозначим расстояние от плоскости линзы до «пунктира» — самых близких из удовлетворяющих условию точек через X, тогда из подобия: 30 = 150 . X = 75 см. X − 30

150 + X

Рис. 84

ПОДСКАЗКИ 1.8. Можно считать, что бусинки просто «проскакивают» друг через друга! 1.10. Нужно найти оптимальное направление движения — если плыть перпендикулярно течению, то время окажется наименьшим, зато скорость «сноса» течением большая, если почти против течения — скорость сноса уменьшится, зато сильно увеличится время путешествия. В нашем случае (числа в задаче аккуратно подобраны) оптимальное направление движения пловца относительно воды — под углом 120◦ к направлению течения. 1.13. Столкновение должно произойти раньше, чем первый камень упадет на землю. 1.20. Как выглядит часть траектории над стеной? 1.21. Нужно проверить — не подойдет ли бросок под 45◦ . 1.23. Нужно проверить, какое из условий («меньше 5 секунд», или «не выше 20 м») накладывает на скорость броска более жесткие ограничения. 1.34. Такая зависимость между скоростью и координатой получается при гармонических колебаниях вдоль прямой. 1.38. Ускорение лисы связано только с поворотом вектора ее скорости. Нет смысла переходить в подвижную систему отсчета, станет только сложнее. 1.39. Может показаться, что самая «выгодная» траектория почти касается шара в его верхней точке —

216

Подсказки

однако, это не так. Можно выбрать более «экономную» траекторию. Конечно, она почти касается шара в симметричных точках, расположенных на одной высоте. Вообще — это довольно сложная задача! 1.40. Удобно перейти в систему отсчета, где один из участников окажется неподвижным — в данном случае нужно «сесть» на кролика. Все равно, задача и после этого оказывается очень сложной. 2.1. Посмотрите внимательно на шкалу школьного динамометра! 2.5. Сразу — это пока пружинка не успела заметно изменить длину, а значит, и натяжение. 2.9. Для неподвижности груза M натяжение привязанной к нему нити должно быть Mg. 2.11. При таком большом отношении ускорений один из грузов можно просто считать неподвижным. 2.13. Ускорения верхних грузов одинаковы. 2.21. Ускорения нижнего груза и груза справа одинаковы — масса нижнего груза вдвое больше, но и силы, которые на него действуют, также вдвое больше, чем для груза справа. 2.24. Нужно найти ускорения кубов. 2.31. Сила, при которой начинается движение, лежит между 2000 Н и 2020 Н — можно взять, например, полусумму этих значений — но модель сухого трения не слишком точная, мелкими погрешностями расчета вполне можно пренебречь, и посчитать для значения 2000 Н. 2.32. Движение начинается не сразу, после начала движения ускорение не остается постоянным.

Подсказки

217

2.38. Все ускорения, кроме ускорения правого груза, одинаковы. a = g/11. 2.44. Учтите, что изменение малое. 2.45. При некотором «критическом» значении коэффициента трения (и более высоком) — проскальзывания нет. 3.2. Суммарный импульс в нашем случае равен нулю. 3.4. Максимальный импульс одного осколка — когда два других летят вместе. 3.6. Условие составлено намеренно не слишком понятно — чтобы его выполнить, шарик должен описать полный оборот в вертикальной плоскости, причем с натянутой нитью. 3.8. При малой высоте горки тележка переедет через нее. Придется рассмотреть два варианта. 3.9. Понятно, что так может быть (если вообще может) только при лобовом ударе. 3.19. При столкновении меняется не только горизонтальная скорость кирпича, но и вертикальная! 4.2. Получится что-то похожее на идеальный газ... 4.3. Плотность можно рассчитать для любого количества смеси — есть смысл взять удобное количество, например 56 граммов (по 28 г каждого газа). 4.4. Плотность можно рассчитать для любого количества смеси, возьмем удобное значение 1 моль — по 0,5 моль каждого из газов. 4.5. Из заданных в условии величин можно найти молярную массу газа.

218

Подсказки

4.7. Газ довольно разреженный, длина свободного пробега не слишком мала. Долго придется ждать... 4.8. При такой температуре скорости хаотического движения атомов аргона получаются совсем небольшими по сравнению со скоростью сосуда, для упрощения можно считать, что они все до остановки сосуда имеют скорости 1000 м/с. 4.9. При хаотическом движении частицы скорость ее удаления от стенки не постоянна — расстояние до стенки вовсе не пропорционально прошедшему времени. 4.11. Если найти плотность смеси, то совсем просто определить разность давлений вверху и внизу... 4.13. Внутренняя энергия системы не меняется — теплообмена с окружающей средой нет, работа над окружающими телами тоже равна нулю. 4.14. Сосуд очень большой, давление и температура газа увеличились при сжатии во много раз. 4.16. Работа газа при расширении и количество полученной газом теплоты в этом процессе одинаковы. 4.17. Считайте, что температура газа уменьшилась во много раз. 4.19. При 100 % влажности количество вылетающих из воды молекул компенсирует количество «влипающих» за то же время. 4.25. Очень большая теплоемкость для порции 1 моль! 4.32. Давление в каждой части сосуда остается неизменным — для верхней части оно равно Mg/S, для нижней части — вдвое больше.

Подсказки

219

5.2. Для точечных зарядов силы были бы одинаковы. А вот для проводников, размеры которых совсем не малы... 5.8. Нарисуем вдоль оси тонкий цилиндр — центры его оснований нужно расположить в точках А и Б, интересующая нас точка должна принадлежать его боковой поверхности. Перпендикулярная составляющая поля практически одинакова в точках боковой поверхности этого цилиндра. А теперь нарисуем силовые линии, входящие в ближнее основание цилиндра и проходящие частью через второе основание, а частью — через боковую поверхность. 6.1. Если получилось сопротивление 1,12 кОм — забыли про ток через вольтметр, если получилось 1,87 кОм — не учли, что ток через вольтметр в этой схеме уже не 1 мА. 6.10. Есть хорошее приближение числа «пи» дробью: p ≈ 22/7. Погрешность при этом очень мала!

6.11. При отключении резистора сопротивление схемы не может стать меньше — для решения достаточно сообразить, в каком из случаев мы получим наибольшее сопротивление между точками цепи, подключенными к батарейке.

6.15. Напряжение батарейки одинаково в обоих случаях и равно 6 В. 7.12. Индуктивность в первом случае получается больше «правильных» 2 мГн за счет «взаимных» магнитных потоков, поток магнитного поля первой катушки через сечение второй пропорционален току первой катушки. 7.17. У второй катушки вдвое больше витков, ее индуктивность в 4 раза больше, чем у первой.

220

Подсказки

8.15. Один ответ очевиден: C = 0. Поищите еще один ответ! 9.12. Угол «расхождения» излучаемого пучка радиоволн определяется дифракцией, направление на первый минимум получается примерно под углом l/D. 9.13. Если убрать маленькую линзу, полный световой поток, падающий на оптическую систему, останется прежним. 10.1. Включенная лампочка не только светит, но и... 10.2. Если просто положить яйцо посреди комнаты, то непременно проиграете! 10.3. Не получается? Все правильно, и не должно получаться! Осталось это доказать (что подобрать числа невозможно). 10.4. Посчитаем: раз, два, три, четыре, пять, ... Но правильное продолжение не «ш», а «в». Думайте дальше! 10.5. К концу дня мелких монеток в кассе магазина накапливалось очень много. Как их быстро пересчитать? 10.12. Тяжелый шарик притягивает к себе не только деревянного собрата, но и окружающую воду!

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 1.1. На первой половине пути 1,5 км/ч, на второй половине пути 1 км/ч. За первую половину времени всего путешествия 1,4 км/ч. 1.2. 6 часов. 1.3. В два раза. 1.4. Если бы крыша была неподвижна, слышно было бы ровно 60 ударов в минуту (столько же, сколько и видно), просто звук удара приходил бы каждый раз на одно и то же время позже. В нашем случае запаздывание звука должно каждый раз немного возрастать — на «разницу» между 1 с и 60/59 с, т. е. на 1/59 секунды. За это время звук «проходит» расстояние 330/59 ≈ 5,6 метров, это расстояние и должна проезжать крыша за время между ударами — за 1 секунду. Итак, крыша уезжает, скорость ее примерно 5,6 м/с. 1.5. Третья встреча произойдет через час после второй, снова посредине, четвертая — еще через час и там же, где вторая и так далее. Тогда встреча номер 7 (как и все «нечетные») будет посредине пути, через 5 часов после второй, а следующая — еще через час, там же, где вторая — на расстоянии 0,5 км от середины дороги. 1.6. Ясно, что бежать нужно не по кратчайшему пути по направлению к дороге — до этой точки автобусу нужно проехать 40 метров, он там будет через 8 секунд, не успеть добежать! Нужно идти с некоторым «упреждением» — пусть это упреждение составляет X, тогда до этой точки автобусу нужно ехать (40√+ X) мет302 + X 2 . ров, а вам до этой точки нужно пройти

222

Ответы и решения

Найдем такое X, при котором мы окажемся в этой точке одновременно с автобусом, а дальше будем думать (можно вместо этого написать неравенство, думать тогда не придется, √ зато неравенство решать труднее...). 40 + X

302 + X 2

Итак, = . У этого уравнения есть только 5 3 одно решение (числа в условии задачи аккуратно подобраны!), X = 22,5 м. Если теперь подумать, то станет ясно — раньше прибежать не получится, только одновременно. Вот если бы корней было два, как и положено для квадратного уравнения, тогда можно было бы найти целую область возможных значений для X. V ·T 1.7. Число ударов примерно равно √ . 2 2·L

1.9. Перпендикулярная составляющая скорости составляет 30/40 = 0,75 √ м/с. Тогда скорость пловца вдоль q 7 м/с. Эта скорость может добав1− 9 = течения 16 4 ляться к скорости √  течения, тогда снос за 40 секунд  7 составит 2 + · 40 ≈ 106,5 м, либо эта скорость вы4 читается из скорости течения, тогда снос составит √   7 2− · 40 ≈ 53,5 м. 4

1.10. Примерно 52 м.

1.11. Скорость постоянна и равна 1,6 м/с, ускорение равно нулю. 1.12. Примерно через 15 секунд (если участников забега считать материальными точками). 1.14. V0 > 25 м/с. 1.15. H > 45 м. 1.16. V0 > 15 м/с. 1.17. Чуть больше 17 м/с.

Ответы и решения

223

1.18. Примерно 13 м/с. 1.19. Траектория явно ниже «оптимальной» для дальнего броска, нужно использовать максимальную возможную высоту H = 30 м. Тогда время полета T = p = 8H/g, вертикальная составляющая скорости при √ броске VB = 2g · H, горизонтальная составляющая VГ = = L , и полная скорость при броске T

V=

q

VB2 + VГ2 =

r

  L2 ≈ 47 м/с < 60 м/с. 2g · H 1 + 2 16H

Может! 1.20. Самая выгодная траектория почти касается верхних краев стены. Около этих точек вектор скорости наклонен к горизонту под углом 45◦ . Скорость в каждой √ из этих точек определяется «дальностью» L: VH = g · L. Скорость в точке броска q p 2 V = VH + 2g · H = g · L + 2g · H ≈ 26 м/с. Горизонтальная составляющая скорости не меняется, угол бросания a определяется из соотношения cos a = угол a ≈ 74◦ .

VH · cos 45◦ ≈ 0,27, V

1.21. Под углом 45◦ . На 32,5 м. 1.22. Да. 1.24. Не может. 1.25. 60 м. 1.26. 4 м/с2 .

224

Ответы и решения

V02 1.27. H = H0 − a . 0

1.28. Если затормозить и разогнаться в перпендику2V

лярном направлении, это займет T1 = a 0 . Если пово0 рачивать, не меняя скорости по модулю, то придется V2

пролететь четверть окружности радиуса R = a0 со ско0 p · R pV0 = . Видно, что это ростью V0 , это потребует T2 = 2V0√ 2a0 время меньше. Поскольку DV = 2V0 , то ускорение a должно быть постоянным и направленным под углом √ V 135◦ к начальной скорости V0 , тогда T3 = 2 a 0 < T2 < T1 ! 0

1.29. a =

V02 2

.

4L · sin a · cos a 3V02 1.30. Ускорение , через T = 2L . L 3V0

1.31. Время движения до встречи T = 2L . Ускорение V 2 · sin 60◦ a= 0 . L

3V0

V02 · tg3 a V0 . 1.32. Скорость cos a , ускорение h

1.33. Жучок вращается вместе с пластинкой с постоянной угловой скоростью w = 2p · 78 рад/с, полная ско60 рость складывается из скорости V0 относительно пластинки и скорости вращения на расстоянии R от центра — эта скорость V = w · R. Первый из векторов только поворачивается, второй — поворачивается и укорачивается (жучок ползет к центру). Приращение скорости за малый интервал времени t состоит из трех величин: поворот вектора V0 дает добавку DV1 = V0 · Df = V0 · w · t, добавка перпендикулярна радиусу, «укорочение» вектора скорости вращения дает добавку в ту же сторо-

225

Ответы и решения

ну: DV2 = V0 · Df = V0 · w · t, поворот скорости вращения дает добавку к центру: DV3 = w · R · Df = w · R · w · t. В нашем случае добавка DV3 существенно больше двух других по величине, и ускорение жучка направлено под небольшим углом к радиусу, по направлению к центру.pПолное ускорение найдем по теореме Пифагора: a = w4 · R2 + 4 · w2 · V02 ≈ 6,67 м/с2 . 1.34. Найдем «круговую» частоту w =

составляет четверть периода: t = T = 4

в этой точке максимально, a = w · V0 =

V0 . Время X0

p · X0 . Ускорение 2V0

V02 . X0

1.35. a = 0,4 · V1 · X1 = 2,24 м/с2 . Грубая оценка времени путешествия через Vср = (V1 + V2 )/2 дает примерно 0,3 секунды, это отличается от точного ответа меньше, чем на 2 %. 1.36. Ускорение направлено к оси X (под прямым углом), a =

V02 . 4H · (1 − H2 /L2 )

1.37. Скорость V = 1 + X/10, тут скорость V в метрах в секунду, координата X в метрах. 1.38. Ускорение a =

V1 · V2 · sin a . L

1.39. Пусть эти точки лежат на радиусах, составляющих с горизонтом угол a (для верхней точки шара угол был бы равен 90◦ ). Вектор скорости камня V в такой точке перпендикулярен радиусу, он составляет угол a с вертикалью. Тогда время полета между этими точками можно определить из перемещения по горизонтали и движения по вертикали: t = 2R · cos a = 2V · gcos a . V · sin a g·R . Запишем теперь значение полной меОтсюда V = sin a 2

226

Ответы и решения

ханической энергии камня для этой траектории и выясним — при каком значении угла a она окажется минимальной: 2

W = mV + mg(H + R · sin a) = 2  m·g·R + m · g · R · sin a + m · g · H. = 2 sin a

Выражение в скобках минимально, когда слагаемые равны друг другу (произведение их не зависит от угла a, т. е. постоянно!). Отсюда получим sin2 a = 1 , угол состав2 ляет 45◦ (если Вы сумеете получить этот результат без вычислений — мои поздравления, я не сумел...). Теперь mV 2

1 =W, легко найти необходимую скорость броска: 2 q √ и V1 = 2g(H + R 2) ≈ 16 м/с. Можно посчитать и угол, под которым нужно бросать, найти точку броска и максимальную высоту подъема камня — но все это в задаче не спрашивали.

1.40. Минимальное расстояние достигается через очень большое время — лиса все время сокращает расстояние, но все медленней и медленней. Минимальное расстояние будет равно половине начального, т. е. L/2. 1.41. Ускорения всех точек колеса направлены к центру колеса и равны V02 /R. Скорость точки колеса на p высоте H равна по величине V0 · 2H/R. T

tg 45◦

≈ 1.42. Время на поворот — больше, 1 = T2 200 · sin 0,5◦ ≈ 0,6. 1.43. Время t =

V0 · tg(f/2) . g

1.44. Для варианта «отвернуть» нужен вдвое больший коэффициент трения. При одинаковых значени-

227

Ответы и решения

ях m вариант «отвернуть» требует больше времени — в p/2 раз. 1.45. Скорость 5 м/с, ускорение примерно 2,3 м/с2 . 1.46. Угловая скорость примерно 0,23 рад/с. 2.1. Чуть больше 4 Н. m·M·g

2.2. F · cos a = m · (M · g − F · sin a), F = = cos a + mu · sin a = 11,5 H. 2.3. F · cos a = m(M · g + F · sin a), = 27 H.

F=

m·M·g = cos a − m · sin a

2.4. Груз не будет двигаться даже при очень большой силе — это называется «заклинивание». 2.5. Ускорение верхнего сразу после пережигания 3 · g, у нижнего ускорение равно нулю.

2.6. Ускорение верхнего сразу после пережигания 3,2 · g, у нижнего ускорение равно нулю.

2.7. В таком виде задачу решить нельзя — ответ зависит от свойств нити (у пружинки все понятно!), как соотносятся между собой время пережигания верхней нити и время «установления» натяжения нижней нити — непонятно. Если время установления очень мало (ну, подождали мы совсем немного, но этого оказалось достаточно) — оба груза Q падают с ускорением g. Другой граничный случай — как с пружинкой. Верный ответ T T m m m m m m m m m m m лежит где-то между этими двумя. m m m m m m F 2.8. Введем понятные обозначения для сил натяжения нитей (рис. 85). Ускорение груза M направим вниз и обозначим a, тогда ускорения двух грузов слева по величине равны 2a, ихнаправления понят-

F

M M M M M M

Рис. 85

228

Ответы и решения

ны. Запишем уравнения для трех движущихся грузов: T − mg = m · 2a; mg + F − T = m · 2a; Mg − 2F = Ma. Отсюда a=

4m · M · g mg(3M + 8m) M·g , F= , T= ; Q = F + mg. M + 8m M + 8m M + 8m

2.10. a = g/2. 2.11. Если неподвижен груз 1 кг, блок нужно двигать с ускорением 0,4g, направленным вниз. Во втором случае — с ускорением 2g, направленным вверх. 2.12. В середине каната сила натяжения 143 Н, в верхней точке 156 Н, в нижней 130 Н. 2.13. Верхние грузы имеют ускорение 1,25g, легкий нижний — ускорение 0,5g, тяжелый 0,75g. 2.14. Сила F = 0,5m · g · cos 2a.

2.15. Ускорение подставки a = 2g/(5 + 3M/m).

2.16. a =

g . 1 + 2M · ctg2 a/m

2.17. Сила натяжения T =

F+M·g+m·g . 2 + M /m

2.18. Ускорения всех грузов одинаковы, a = g/3. Сила натяжения T A = 4M · g/3. 2.19. T A = 16 M · g/11. 2.20. Сила N =

m·g . 1 + m/2M

2.21. Нижний груз и груз справа имеют ускорения 0,5 g, груз слева имеет ускорение 1,5 g. 2.22. Сила N = 0,75 · m · g.

2.23. По условию задачи блок движется вверх, но это — направление скорости блока, а его ускорение может быть направлено и вверх, и вниз! Возможны

229

Ответы и решения

несколько вариантов: при направленном вверх ускорении блока a1 = g/5, при направленном вниз a2 = g/7 и a3 = 3g/5. Формально можно получить и еще один ответ — при направленном вниз ускорении 3g, но он не подходит — в этом случае нити не были бы натянуты и грузы падали бы свободно с ускорением g. 2.24. Ускорение листа 0,4g. 2.25. Легкий груз имеет при этом ускорение 2g, направленное вверх, ускорение блока равно g и тоже направлено вверх. 2.26. Ускорение a = (g · sin2 a + a0 )/ sin a · cos a = 8 м/с2 .

2.27. Сила N = 12mg/13 ≈ 4,6 Н, сила натяжения нити изменилась на Mg/13 ≈ 2,3 Н. 2

2.28. Сила натяжения T = 3 · M · V , время t = 2p · L , V 4L максимальная скорость 1,5V . 2

2.29. Сила со стороны тяжелого грузика T1 = 3M · V ,

L 2,5M · V 2 со стороны легкого T2 = , время одного оборота L p·L t= . V g · m · sin a · cos a 5g = . 2.30. Ускорение клина a = 6 m + M · sin2 a

2.31. Коэффициент трения m = 0,19.

2.32. После начала движения ускорение пропорционально времени, прошедшему с этого момента, тогда скорость пропорциональна квадрату этого времени, а смещение — третьей степени этого времени. Обозначим интервал времени от начала движения до окончания первого интервала T буквой t, тогда до окончания второго интервала T пройдет (T + t) и можно записать:

(T + t)3 = 50, отсюда t = 0,3725 · T. Видно, что за t3

230

Ответы и решения

первые 0,5T тело вообще не двигалось. Смещение за интервал времени 3T — это смещение за время (2T + t), L · (2T + t)3 ≈ 260L. t3 F . 2.33. Ускорение a = 4F + m M

и L3 =

2.34. Все подвижные блоки имеют ускорения g/5: нижний — вниз, остальные вверх. 2.35. При 1,6M покоится M, при 8M — покоится 2M, при 8M/3 покоится сам этот груз. 2.36. Ускорение нижнего направлено вверх, двух других — вниз, величины ускорений одинаковы и равны a = 15g/17. 2.37. Около 13 м/с2 . 2.39. a =

g . 3 + m /M

2.40. Ускорения M и 2M одинаковы. Они по g/5 вверх, груз 3M0,6g вниз. 2.41. При коэффициенте трения 0,35 (число округлено!) и более. 2.42. Ускорение 0,5g sin a, коэффициент трения m > > 0,5 tg a. 2.43. При отношении масс 4,1 : 1 (число округлено!), ускорение 2g — невозможно. 2.44. Касательное ускорение при такой скорости 8 м/c2 , время разгона примерно 1/8 с. 2.46. F = (M + 2m)mg. √ 2.47. 3Mg/ 2. 3.1. Не больше 0,18 Дж. 3.2. Кинетическая энергия не изменится.

Ответы и решения

231

3.3. Время 2L/V0 . 3.4. VM = (4E/3M). 3.5. Примерно 3,86 м/с. 3.6. При отношении масс m/M < 0,55. 3.7. H = V 2 /2g · (1 + m/M).

3.8. Если переедет, то горка остановится, если высота горки слишком велика (см. задачу 3.7), скорость горки будет равна VГ = 2V /(1 + m/M). 3.9. Если масса налетающей больше — может, часть энергии при этом перейдет в тепло. Если массы равны — то при абсолютно упругом ударе. 3.10. 9,5 %. 3.11. Примерно 103 синяков. Уточнять ответ нет смысла — он может сильно меняться при изменении положений препятствий. p 12gH/5, 3.12. Максимальная скорость тарелки V = 1 p минимальная скорость V2 = 8gH/5. 3.13. F = E/L = 1000 H. p 3.14. V = Mg/r.

3.15. Скорость клина V =

3.16. V = 1040 м/с.

p 50g · H/33.

3.17. Скорость куба V ≈ 1,33 м/с. Выделится в виде тепла W ≈ 177 Дж. 3.18. 350 Дж. r 3.19. V =

V2 12g · H + 0 . 11 1100

4.1. Примерно 2 · 1015 мкДж молекул.

232

Ответы и решения

4.2. Давление P= n·R·T = V

(100/18) · 8,3 · 300 ≈ 1,4 · 107 · Па = 140 атм. 0,001

Можно, конечно, из объема сосуда 1 л вычесть объем, занимаемый молекулами воды — примерно 0,1 л (по условию задачи исчезли только силы притяжения, а объем молекул остался прежним), но смысла в этом нет, уточнение полученного ответа было бы целесообразным, если бы он имел какой-нибудь смысл... 4.3. Всего получится 28/4 + 28/28 = 8 моль смеси, объем такой порции V = 8 · 8,3 · 250/1 · 104 = 1,66 м3 . Плотность r = 56/1,66 = 34 (г/м3 ). 8,3 · 300

= 0,05(м3 ). Мас4.4. Объем смеси V = R · T = P 5 · 104 са выбранной порции 0,5 · 2 + 0,5 · 28 = 15 (г). Плотность смеси r = 15/0,05 = 300 г/м3 . 4.5. Расчет дает примерно 1,8 г/моль, с учетом возможных погрешностей (...около 80 г/м3 мкДж) — это водород. 4.6. Масса 1 моль смеси 10,7 г. По количеству частиц — получается 3 атома гелия на одну молекулу кислорода. 4.7. Будем считать, что частицы за искомое время успеют много раз побывать вдали друг от друга (не получится одна-две длинные серии ударов выделенных частиц, пока они не разлетятся). Оценим полное число ударов одной частицы со всеми остальными, для этого найдем длину свободного пробега в нашем случае: l = 1/(p · d2 · n) = V /(p · d2 · N). За большое время t частица пролетит «в длину» v · t и испытает v · t/l = v · t · p · d2 · N/V соударений со всеми остальными

Ответы и решения

233

частицами. Число ударов с выбранной нами частицей в N раз меньше (число частиц в сосуде огромно, нет смысла говорить про N − 1, или про N − 2 частиц). Отсюда, заданное в условии число ударов N0 = v · t · p · d2 /V , и время t = N0 · V /v · p · d2 ≈ 5 · 1015 · c ≈ 150 млн лет. 4.8. После остановки сосуда движение атомов быстро хаотизируется (благодаря их соударениям), а средняя энергия остается прежней. Отсюда температура после остановки сосуда T=

2 · eср m · V02 M · V02 40 · 10−3 · (1000)2 = = = = 1600 K. 3k 3k 3R 3 · 8,3

4.9. Задача состоит в том, чтобы оценить суммарное перемещение, составленное хаотически направленными кусками, каждый из которых равен в среднем длине свободного пробега. Пусть к перемещению Sn добавляется очередной l, составляющий с ним угол a. Тогда (Sn+1)2 = (Sn )2 + l2 − 2l · Sn · cos a. Угол может быть произвольным, добавка «с косинусом» в среднем даст нулевое 2 2 значение, √ если так, то (Sn ) = n · l . Тогда перемещение Sn = l · n. За время t = 0,5 секунды частица пролетит «в длину» v · t ≈ 700 м, совершив при этом n = v · t ≈ 700−7 ≈ 1,4 · 109 l

5 · 10

ударов, смещение S = 5 · 10−7 · (1,4 · 109)0,5 ≈ 0,02 м = 2 см. Это в 5 раз меньше необходимого расстояния, шансов совсем мало! 4.10. Примерно 24 кН. 4.11. Разность сил 1,4 · 10−3 · Н.

234

Ответы и решения

4.12. Плотность влажного воздуха 0,9 кг/м3 , абсолютная влажность 58 г/м3 относительная влажность 10 % (парциальное давление паров воды составляет 0,1 атм, а насыщенный пар при этой температуре создает давление 1 атм). 4.13. Примерно 0,83 атм. 4.14. Работа примерно равна 125 Дж. 4.15. Примерно 0,85 атм. 4.16. Работы газа на частях процесса, как и количество полученной теплоты, одинаковы. Доказать это довольно просто — разобьем (мысленно!) каждый из двух процессов расширения на большое количество узких «полосок» — на каждой из таких полосок объем увеличивается совсем немного и давление можно считать почти неизменным. Возьмем число таких полосок одним и тем же для каждой из двух частей процесса, пусть эти полоски имеют одинаковую ширину на каждой из частей. Тогда на второй части процесса полоски шире вдвое, но давления на одинаковых по номеру полосках из первой и второй частей отличаются также ровно вдвое — работы получаются в сумме одинаковыми. И вообще — работа газа при расширении на данной изотерме зависит только от отношения конечного и начального объемов газа. А вот вычислить вид этой зависимости сложнее. Оказывается, это натуральный логарифм отношения объемов (логарифм по основанию e = 2,718...). 4.17. Примерно 300 Дж. 4.18. h2 = (h0 − h1 )/(1 − h1 ).

4.19. Найдем количество «влипающих» за время t молекул пара. Обозначим скорость в перпендикулярном к поверхности воды направлении через vx концентрацию молекул насыщенного пара n (большая часть

235

Ответы и решения

молекул упруго отскакивает от поверхности, в этом случае будем считать, что концентрация у поверхности практически такая же, как и вдали от нее), площадь поверхности S: N = 0,5vx Sn · 0,01t. При влажности 20 % количество «влипающих» молекул равно 0,2 · N, а количество вылетающих из воды молекул равно N, таким образом, количество молекул воды уменьшается на 0,8 · N. В слое воды толщины d = 1 мм содержится N A · rж · S · d/M молекул (M = 18 · 10−3 · кг/моль — масса 1 моль воды). Отсюда найдем время понижения уровня воды на величину d: t = N A · rж · S · d/(M · 0,5vx · S · n · 0,01 · 0,8). Учтем, что Pнас = n · k · T

и vx =

p

k · T/m =

p

R · T/M,

и получим t ≈ 90 с. Результат выглядит не вполне разумным, в действительности около поверхности возникает тонкий слой насыщенного пара, который уменьшает испарение, если ждать лень — дуйте на блюдце! 4.20. Примерно 20 %. 4.21. C · DT = A + n1 · 2,5 · R · DT + n2 · 1,5 · R · DT; DT =

200 ≈ 14 K. 20 − 2,5 · 0,125 · 8,3 − 1,5 · 0,25 · 8,3

4.22. Примерно 12,5 Дж. A 4.23. C · DT = A + 1,5 · R · DT; DT = = −2,7 K; C − 1,5 · R Q = −13,3 Дж (газ охлаждался и отдавал теплоту).

4.24. Обозначим мощность потерь P, тогда при включении электроплитки компенсируется 3 этой мощности 4

236

Ответы и решения

(время остывания увеличивается в 4 раза). Это означает, что мощность тепловых потерь составляет 1,33 кВт. Тепловой насос «перекачивает» тепло с улицы в комнату, при этом «отопительный коэффициент» — отношение тепловой мощности, поступающей в комнату к потребляемой из сети мощности, равен Tкомн = 293 ≈ 7,3 Tкомн − Tул 293 − 253

(вспомним, что тепловой насос использует обращенный тепловой цикл, а соотношение между полученным от нагревателя в прямом цикле количества тепла и совершаемой за цикл работой определяется известной формулой для к. п. д. тепловой машины и остается прежним для обращенного цикла). Минимальная мощность N = 1,33/7,3 = 0,18 кВт. 4.25. Процесс — практически изотерма, это для изотермы характерна огромная теплоемкость. Давление уменьшится также вдвое. 4.26. 30 %. 4.27. Поршень окончательно остановится при наступлении равновесия — давление газа при новой температуре должно «держать» двойную массу. Для начального и конечного состояний равновесия: M · g · H = n · R · T1; 2M · g · h = n · R · T2 мкДж. Газ нагревается за счет уменьшения потенциальной энергии поршня с грузом: 1,5 · n · R · (T2 − T1 ) = 2M · g · (H − h). Отсюда h = 0,7 H. 4.28. H1 = H + V 2 /(5g). 4.29. Обозначим минимальный объем в цикле V , минимальное давление P. Пусть максимальный объем

Ответы и решения

237

в n раз больше минимального. Тогда работа в цикле A = P · V · (n − 1). Азот — двухатомный газ, при его нагревании от минимальной температуры T до максимальной T · (2n − 1) внутренняя энергия увеличивается на n · 2,5 · R · T · (2n − 1) = 2,5 · P · V · (2n − 1). Получаемое газом от нагревателя количество теплоты должно обеспечить работу газа при расширении 2 · P · V · (n − 1), полное количество полученной теплоты QH = 2,5 · P · V · (2n − 1) + + 2 · P · V · (n − 1), и к. п. д. цикла получается равным h=

P · V · (n − 1) n−1 . = 2,5 · P · V · (2n − 1) + 2 · P · V · (n − 1) 7n − 4,5

Простой анализ показывает, что при увеличении n к. п. д. увеличивается и приближается к 1/7. Это и есть максимально возможный к. п. д. такого цикла. 4.30. Температура уменьшилась на 3 K, газ получил примерно 12,5 Дж в виде тепла. 4.31. Минимальная температура в цикле 497,5 K. Термодинамический к. п. д. цикла 0,2 %. 4.32. Количество тепла Q = 2,5 · M · g · H; расстояние между поршнями увеличится в конце до 5H/3. 4.33. Термодинамический к. п. д. цикла h = 4/15. 4.34. При нагревании на 1 градус внутренняя энергия воздуха в комнате (смесь двухатомных газов) возрастает на DU = n · 2,5 · R · DT = 2,5 · n · R · T · (DT/T) =

= 2,5 · P · V · (DT/T) = 2,5 · 1 · 105 · 50 · (1/293) = 43 кДж.

Видно, что это существенно больше обещанных 10 кДж. Если рекламируемый прибор — обычный нагреватель,

238

Ответы и решения

как и следует из его описания, то ничего не выйдет. Однако, «в принципе» это вполне возможно, если использовать 10 кДж не для прямого обогрева, а для работы теплового насоса — обращенной тепловой машины, которая может перекачивать тепло с улицы в комнату (в условии запрещено перекачивать в комнату тепло от более нагретых тел, а на улице температура ниже комнатной). «Обогревательный коэффициент» в таком случае может составлять K=

Tкомн = 293 ≈ 10, Tкомн − Tул 293 − 263

таким способом можно обеспечить почти 100 кДж тепла. Но это — «в принципе», а на практике такой коэффициент недостижим. 5.1. Нельзя! Сила взаимодействия F=

k · Q2 9 · 109 · 1 = = 9000 Н L2 106

— огромная сила, вес груза в 1 тонну. Чувствительный динамометр просто сломается! 5.2. Для разноименных зарядов сила будет немного больше — притягивающиеся заряды окажутся немного ближе друг к другу. 5.3. Масса такого шарика примерно 4 грамма — это около 1/15 моль, примерно 6 · 1022 мкДж атомов. Если на один атом меди приходится ровно один электрон проводимости (в общем, так оно и есть), то полный заряд такой кучи электронов 1,6 · 10−19 · 4 · 1022 ≈ 6 · 103 · Кл. Это очень много, ничтожной доли такого заряда достаточно для компенсации практически любого возможного поля в этом объеме.

Ответы и решения

239

5.4. Свободные электроны (электроны проводимости) могут двигаться с ускорением, равным ускорению шарика, только за счет электрического поля. Они перестанут перераспределяться когда возникнет поле 9 · 10 E = ma q =

−31 · 1 · 102

1,6 · 10−19

≈ 5,6 · 10−10 · В/м.

Максимальная разность потенциалов в этом поле Df = = E · d. 5.5. q = −0,5Q, a =

k · Q2 · cos 30◦ . M · L2

5.6. EЦ ≈ 7 · 102 В/м, EД ≈ 4,5 · 106 В/м.

5.7. На расстоянии 6L от первого и 9L — от второго. Скорость второго r шарика все время равна нулю, ско52k · Q2

рость легкого V = , скорость первого шарика 153M · L2 в два раза меньше.

5.8. Густота силовых линий пропорциональна напря(E1 − E2 ) · d = 0,005 В/м. 2L Q − Q2 Q + Q2 5.9. Внутри E1 = 1 , снаружи E2 = 1 . e0 · S e0 · S

женности поля: E+ =

5.10. E = r · I/S.

5.11. Q = S · (E1 − E2 ) · e0 = (r1 − r2 ) · I.

5.12. Скорости электронов, вылетающих из нагретого катода, невелики — известные опыты показывают, что достаточно тормозящего потенциала величиной несколько вольт, чтобы остановить практически все вылетающие электроны. Тогда можно записать соотношение для энергии: e · U = mV 2/2, V = (2eU/m)1/2 = = 2,8 · 106 м/с. Получилась скорость во много раз меньшая, чем скорость света, поэтому можно не переделывать решение с учетом зависимости массы электрона от

240

Ответы и решения

его скорости. Для больших напряжений это непременно пришлось бы учитывать (вопрос о том, в самом ли деле возрастает масса электрона при больших скоростях, или так даже говорить нельзя —в данном случае не очень важен, можно считать, что масса не меняется, но формула для энергии совсем другая). 5.13. Это совсем простая задача. Расстояние между зарядами в конце процесса такое же, как и в начале — поэтому можно учитывать только работу против сил внешнего поля. Пусть заряд Q придется двигать против поля — тогда работа по передвижению его параллельно вектору напряженности на l = L cos a равна Q · E0 · L · cos a. Теперь передвинем вдоль поля на такое же расстояние заряд q, и останется только передвинуть эти заряды на свои новые места — это мы делаем в перпендикулярном полю направлении без совершения работы против сил внешнего поля. Окончательно: A = (Q − q) · E0 · L · cos a.

5.14. Ясно, что если поменять местами заряд q, расположенный с краю, и расположенный на другом краю заряд Q, то работа равна нулю. Интерес представляет обмен центрального заряда Q и заряда q. Работа не зависит от того, в каком порядке и по каким траекториям будут двигаться заряды — выберем вариант попроще: унесем заряд q на бесконечность, затем передвинем на его место заряд Q и, наконец, перенесем q из бесконечности на новое его место в центре. Будем для упрощения разбирательств со знаками зарядов считать их положительными — полученные формулы годятся для любых зарядов, а положительность нужна только для нас — чтобы не напутать со знаками работ. Итак, расчет работ против сил поля: A = −q(kQ/L + kQ/2L) − Q(kQ/L − kQ/2L) + q(2kQ/L).

Ответы и решения

241

5.15. По смыслу задачи заряды должны отталкиваться. Минимальное расстояние соответствует моменту равенства скоростей (движение происходит вдоль одной прямой). Воспользуемся законом сохранения импульса для нахождения этой скорости: M2 · V0 = (M1 + M2 ) · V1 . Теперь для нахождения минимального расстояния L применим закон сохранения энергии: M1 · V02 /2 = = (M1 + M2 ) · V12 /2 + kQq/L. Не будем решать эту простую систему. Поговорим лучше о разлете шаров. Ясно, что при разлете на большое расстояние шары снова будут иметь нулевую энергию взаимодействия — тогда это просто был абсолютно упругий удар шаров, и скорости можно найти обычным способом. Кстати, силы упругости, которые действуют на сталкивающиеся тела, имеют электромагнетическую природу. 5.16. Вначале нужно разобраться — как расположить эти точки, чтобы получить максимальную разность потенциалов. Ясно, что разумнее всего выбрать одну из них около поверхности шара, а другую расположить подальше от центра. Тогда искомая разность потенциалов Df = kQ · {1/R − 1/(R + L)}.

5.17. Под воздействием поднесенного заряда произойдет перераспределение заряда сферы, поле внутри должно отсутствовать — значит, мы можем выбрать для расчета любую точку сферы. Рассчитаем потенциал центра — если заряд сферы равен нулю, то суммарный потенциал от этих зарядов в центре — равноудаленной от них точке — равен нулю. Тогда потенциал центра определяется только поднесенным зарядом: f = k · Q/L. Если заряд сферы q, потенциал для центра сферы f = k · Q/L + k · q/R. 5.18. Полный потенциал определяется «своими» зарядами и поднесенным Q. Расчет опять проведем для

242

Ответы и решения

центра сферы — должен получиться нулевой потенциал: k · Q/L + k · q/R = 0, q = −Q · R/L. Вначале сфера была не заряжена, значит по проводнику «стек» заряд −q = Q · R/L. 5.19. Геометрические расчеты на плоскости не сложны. Выберем координатную плоскость так, что один из зарядов попадет в начало координат, а второй окажется на оси X. Запишем для произвольной точки с координатами X и Y потенциал и приравняем его к нулю: f= √

k·q k·Q −p = 0. 2 2 X +Y (X − a)2 + Y 2

Введем обозначение z = q/Q, тогда после довольно нудных преобразований у нас получится уравнение: 2 2   a a 2 +Y = z· . X− 2 2 1−z

1−z

Это уравнение окружности. Центр окружности лежит в точке с координатой X = a/(1 − z2 ), радиус окружности (сферы) R = z · a/(1 − z2 ). Полученные выражения можно использовать при расчетах системы заряд — проводящая заземленная сфера, рассматривая вместо нее заряд-изображение, который вместе с исходным зарядом дает на нужной сфере нулевой потенциал. 5.20. Если заряженные тела расположены очень далеко друг от друга, то можно пренебречь вкладом заряда одного тела в потенциал другого. В этом случае можно записать: (Q − q)/C1 = q/C2 . Отсюда q = Q · C1 /(C1 + C2 ). Конечная энергия равновесного распределения зарядов оказывается меньше, чем начальная. При перетекании зарядов часть энергии перейдет в тепловую. На самом деле, этот вопрос сложнее. Если сопротивление соединяющего проводника мало, то ток ограничен величиной

Ответы и решения

243

возникающего магнитного поля. В общем случае возникают колебания, их энергия понемногу перейдет в тепло (или не перейдет — в случае сверхпроводника, тогда колебания будут продолжаться). 5.21. Задача очень похожа на предыдущую — только потенциалы тел уже не будут в равновесном состоянии равны. Та сфера, которая подключена к «плюсу» батарейки, будет иметь потенциал на U0 выше. Суммарный заряд равен нулю, поэтому возникшие на сферах заряды будут равными по величине и противоположными по знаку. В энергетических расчетах придется учесть работу батареи по переносу заряда с одной сферы на другую. 5.22. Напряженность поля в пространстве между пластинами определяется полными зарядами обкладок: E=

Q1 − Q2 , 2e0 · S

Df = E · d =

(Q1 − Q2 ) · d . 2e0 · S

При замыкании пластин поле между ними исчезнет, поле же снаружи останется неизменным — значит и его энергия при перетекании зарядов не изменится. В тепло перейдет энергия поля, сосредоточенного между пластинами. Напряженность его мы нашли, энергия: W=

e0 · E2 · S · d (Q1 − Q2 )2 · d = . 2 8e0 · S

5.23. Полный заряд системы при перераспределении зарядов остался прежним, поле снаружи неизменно. Все энергетические обмены относятся к пространству между пластинами. До соединения проводников поле внутри составляло E0 = Q/2e0 · S. После того, как перераспределятся заряды, они создадут дополнительное поле E. Теперь с одной стороны пластины поле равно

244

Ответы и решения

сумме (E0 + E), а с другой стороны — разности (E0 − E). Потенциалы крайних пластин равны между собой, значит отношение полей (E0 + E)/(E0 − E) = (D − d)/d. Отсюда находим E1 = 2E0 · (D − d)/D, E2 = 2E0 · d/D. Найдем разность энергий до соединения пластин и после — это и будет количество выделившегося тепла. Для упрощения записи обозначим d/D = x. Энергия до замыкания W0 = e0 · E20 · S · D/2, энергия системы после замыкания.  E2 · S · d E2 · S · (D − d)  1 W = e0 · + 2 . 2

2

После подстановки и преобразований получим: Wтепл =

Q2 · D · (1 − 2x)2 . 8 · e0 S

Видно, что при x = 0,5 полученное выражение обращается в нуль — потенциалы пластин и без соединения равны между собой. Работу найти легко — собственно, мы ее уже нашли. При медленном движении пластины вся работа идет на увеличение энергии системы, в этом случае она по величине равна тому количеству энергии, которое перешло в тепло при замыкании пластин. 5.24. Заряд пластины 0,1 мкКл. 5.25. Протечет заряд 8 мкКл, выделится в виде тепла 48 мкДж. 5.26. Работа A =

3Q2 · d . 2e0 · S

5.27. Расстояние L ≈ R · (10)0,5 . 5.28. Потенциал шара f = Q1 = Q + q/3.

k · (Q + q/3) . Протечет заряд R

5.29. Потенциал шара f = Q1 = Q + q.

k · (Q + q) . Протечет заряд R

Ответы и решения

245

5.30. Перетечет заряд Q = 2C · V /3. Выделится в виде тепла C · V 2 /6. 5.31. Величина силы F1 = =

2q · Q + q2 Q2 , F4 = . 2e0 · S 2e0 · S 3e · S 5.32. C = 0 . 2d 3e0 · S . 5.33. C = 2d 2e · S 5.34. C = 0 . 3d

2q · Q + Q2 q2 , F2 = , F3 = 2e0 · S 2e0 · S

5.35. Емкость между парами пластин 3. 6.1. 1,79 кОм. 6.2. Сопротивление вольтметра 6 кОм, сопротивление амперметра 0,75 кОм. 6.3. Сопротивление вольтметра 6 кОм, сопротивление амперметра 245 Ом. 6.4. Максимальная мощность 1,5 Вт при сопротивлении нагревателя 6 Ом. 6.5. Если подключить нагреватель к батарейке, то при изменении сопротивления нагревателя тепловая мощность обязательно будет меняться. Известно, что максимальная мощность нагревателя получается при равенстве его сопротивления и внутреннего сопротивления источника. Но в районе максимума функция изменяется при изменении аргумента медленнее всего. Отсюда идея — возьмем батарейку с последовательно подключенным вспомогательным резистором (он будет играть роль «внутреннего» сопротивления источника), сопротивление этого резистора должно быть выбрано где-то посредине между 16 Ом и 25 Ом, с этим мы

246

Ответы и решения

сейчас разберемся. Напряжение батарейки возьмем «с запасом» — чтобы мощность нагревателя была примерно 20 Вт, с этим мы тоже разберемся. Потребуем, чтобы мощность нагревателя в «крайних» состояниях получалась одна и та же — это и будет минимальное значение мощности, максимальное значение получится «посредине». Итак, пусть напряжение источника E, его «внутреннее сопротивление» X. Равенство мощностей при 16 Ом и 25 Ом: 2 E2 · 16 = E · 25 2 . 2 (X + 16) (X + 25)

Отсюда X = 20 Ом (ровно!). Теперь найдем отношение максимальной и минимальной мощностей: Pмакс E2 · 20/(20 + 20)2 = = 81/80. Pмин E2 · 16/(20 + 16)2

Итак, максимальная мощность должна составлять 20 · 161/160 = 20,125 Вт, минимальная 20 · 159/160 = = 19,875 Вт, мы «уложились в диапазон разброса ±0,65 % — и без всякой электроники! 6.6. Ток I =

2 = 0,0156 А = 15,6 мА. Количе17 + 2/0,018

ство батареек и резисторов на ответ не влияет, вся эта сложная цепь эквивалентна одной батарейке с э. д. с. 2 В и током «короткого замыкания» 18 мА. 6.7. Если перегорит новый вольтметр, то показания вернутся к начальному значению 3 В. Если перегорит «старый» вольтметр — будет приблизительно 3,57 В. 6.8. Одинаковыми вольтметры быть не могут, иначе третий вольтметр показывал бы ровно вдвое больше, чем первый, или второй. При последовательном соединении вольтметры покажут 3,43 В, 3,43 В и 2,14 В.

Ответы и решения

247

6.9. При подключении к одной из этих 20 батареек вольтметр покажет 2,4 В, к любой из остальных — покажет 0,6 В (если бы все батарейки были включены правильно, показания вольтметра были бы нулевыми!). 6.10. Резисторы 2 Ом и 5 Ом соединим параллельно, резисторы 3 Ом и 4 Ом соединим параллельно. Теперь подключим полученные пары последовательно. Резистор 1 Ом мы не использовали. 6.11. Если резистор 5 Ом включен в «диагональ» мостика, то его отключать бесполезно, можно отключить любой из резисторов 1 Ом. Если же резистор 5 Ом подключен, например, к «плюсу» батарейки, нужно отключить резистор, также подключенный к «плюсу» — через него течет самый большой ток. 6.12. В данном случае сопротивление должно уменьшаться, выберем резистор, через который течет самый маленький ток — это резистор 5 Ом. 6.13. Примерно 7,8 кДж за час, к. п. д. схемы 30 %. 6.14. Напряжение источника 9,5 В. 6.15. Покажет 3 В. 6.16. При отключении «одинокого» вольтметра цепь будет разомкнута, и второй покажет 0. Если отключить другой, оставшийся покажет примерно 2,47 В. 7.1. В три раза. 7.2. В первом случае поле нулевое, во втором его магнитная индукция 2B0 /15. 7.3. Угол отклонения мал, можно считать, что продольная скорость практически не изменилась. Тогда время p пролета области магнитного поля t = d/v, где v = 2 · Q · U/m. Ускорение создает сила Лоренца:

248

Ответы и решения

q·v·B

a = m , приращение скорости Dv = a · t = v · 2 · sin 0,5◦ . Отсюда B = 9 · 10−5 Тл.

7.4. Собственное поле тока, текущего по кольцу, во много раз меньше внешнего, сила натяжения T = = I · B · R = 0,6 Н. 7.5. Скорость v = C · V · B · d/M = 0,006 м/с.

7.6. Рассмотрим тонкий цилиндр диаметра d, расположенный на оси магнита, торцы цилиндра — в точках А и Б. Магнитный поток, «входящий» в ближний торец цилиндра, частично «выходит» через дальний торец, частично — через боковую поверхность цилиндра. Тогда p · d2 · (B1 − B2 ) = p · d · (L2 − L1 ) · B+ . Отсюда B+ = 5 · 10−8 Тл.

7.7. Действующая на кольцо сила связана именно с перпендикулярной составляющей магнитного поля — «продольная» составляющая только растягивает кольцо. Легко найти ток в кольце и силу Ампера, которая и действует на кольцо. Кольцо проходит от А до Б за время t = (L2 − L1 )/v, магнитный поток изменяется на величину DF = p · d2 · (B1 − B2 ), сила тока в кольце I = DF/r · t = p · d2 · v · (B1 − B2 )/r · (L2 − L1 ). Сила F = p · d · I · B+ = 5 · 10−23 Н. Сила совершенно ничтожная — учет таких сил смысла не имеет, скорее, это тренировка в счете... Кстати, можно было сделать этот расчет из энергетических соображений — работа этой силы идет на нагревание кольца. 7.8. Ошибка возникает, если не учитывать «собственного» магнитного поля тока контура — самоиндукции. При малом сопротивлении цепи это поле может оказаться определяющим, особенно глупо не учитывать самоиндукции в сверхпроводящем контуре — случается и такое... Честный расчет тут провести трудно —

249

Ответы и решения

индуктивность контура при перемещении перемычки изменяется. А вот при большом сопротивлении контура решение без учета самоиндукции выглядит вполне корректным. 7.9. F = a0 · (M + B2 · d2 · C).

7.10. Возникают гармонические колебания, максимальное смещение M · L · V0/(B · d). 7.11. Примерно 0,14 мКл.

7.12. 0,55 мГн или 0,45 мГн — в зависимости от подключения катушек (при одном варианте подключения катушек друг к другу магнитный поток второй катушки будет добавляться к «своему» потоку первой, стоит переключить провода — и потоки будут вычитаться). 7.13. Ток через резистор 100 Ом I100 ≈ 0,23 мА, ток через резистор 200 Ом — вдвое меньше. 7.14. Можно решать эту задачу самыми разными способами — вот один из них: добавим одинаковые заряды q и q к зарядам пластин. При этом изменятся только наружные поля, а поле между пластинами останется прежним. Именно этим полем определяется разность потенциалов между пластинами, а значит — и ответ задачи. Заряды q выберем так, чтобы получился обычный, «правильно заряженный» конденсатор: 3Q + q = −(Q + q), отсюда q = −2Q, мы получили конденсатор емкости C = e0 · S/d, заряженный зарядами Q и −Q. Максимальный ток катушки I определится из уравнения Q2 /2C = L · I2 /2. I = Q/(L · C)0,5 . 7.15. Максимальный заряд конденсатора Q = √ I 2

L·C

=

= 3 · 10−3 Кл, Тепло W = L · I = 4,5 Дж, заряд через рези2

стор qR = L · I = 3 · 10−6 Кл. R

250

Ответы и решения

7.16. Примерно 30 мкВ. 7.17. Через секунду суммарный ток через катушки снова равен 10 мА (он определяется отношением напряжения источника и его внутреннего сопротивления). Отношение токов катушек определяется их индуктивностями: скорость возрастания тока больше у той катушки, у которой меньше индуктивность, ведь катушки включены параллельно, их э. д. с. индукции одинаковы (сопротивления катушек по условию задачи малы!). Ясно, что ток первой катушки составит 8 мА, а второй катушки (ее индуктивность в 4 раза больше) только 2 мА. Но через очень большое время важны будут именно сопротивления катушек — а они отличаются в 2 раза. Тогда ток первой составит 2I/3 ≈ 6,67 мА, а второй I/3 ≈ 3,33 мА. 8.1. Примерно 280 Ом и 17 мкФ. 8.2. 1 Гн, 0,7 А. 8.3. Частота примерно 42 Гц. 8.4. В зависимости от подключения обмоток ток 1,1 А, или примерно 35 мА (действующие значения). 8.5. Примерно 40 мкА, примерно 3,2 мА. 8.6. Токи направлены противоположно и равны 0,27 А. 8.7. 13 мкКл, 17 мкВт. 8.8. Частота w = 995 1/с или 1005 1/с. Сопротивление не больше 10 Ом. 8.9. Катушка, конденсатор. В 2,62 раза — меньше, или больше, в зависимости от того, была частота ниже, или выше резонансной. 8.10. Примерно 0,12 Вт.

Ответы и решения

251

8.11. k = DU/U ≈ 0,04. Уменьшится еще примерно в 80 раз. 8.12. Примерно 0,17 А, ток опережает примерно на 0,9 радиан. 8.13. Примерно 1,5 Вт, угол примерно 46◦ . 8.14. 9 мкФ и 9/8 мкФ. Видно, что есть два ответа. 8.15. Примерно 230 мкФ. 8.16. Уменьшится примерно в 32 раза. 8.17. I = U · (1 − 0,25 · w2 · LC)/w · L. 8.18. 30 Вт и 165 Вт.

8.19. Примерно 0,28 А. 8.20. Например, последовательно соединенные конденсатор 1,3 мкФ и резистор 700 Ом (примерно). 8.21. Примерно 0,15 мА. 8.22. 5 мкФ. Нельзя включать конденсатор 10 мкФ. 8.23. Амперметр покажет примерно 115 мА. Идеальный вольтметр покажет 220 В. 8.24. Примерно 240 В. Увеличится примерно в 3,5 раза. 8.25. Увеличить в 1,5 раза. 8.26. 0,87 А, 0,5 и 0,5 А. 8.27. На частоте w = 1/RC. Меньше в 3 раза. 8.28. 0,09 мкФ, 33,5 Гн. 3,5 кОм. 8.29. 4L · I0 /3R; 4L · I02 /3. 8.30. 250 В.

252

Ответы и решения

8.31. При сопротивлении меньше 1,4 кОм; на частоте w ≈ 997,5 1/с. 8.32. 1,44 А.

8.33. Частота w ≈ 1000,625 1/с, максимальное напряжение 20 В. 8.34. R < (L/2C)0,5 мкДж. √ 9.1. G = −1, или −1/ 3, ускорение −18V02 /F, или √ 2 −2 · 3 · V0 /F.

9.2. Четверть длины волны — примерно 0,14 мкм, для фиолетовой части спектра — отражение почти не изменится, для красной — уменьшится, но незначительно. 9.3. Примерно на 7,5 см. 9.4. Примерно 0,05 радиана. 9.5. Примерно 1/14. 9.6. Примерно 1,3 радиана, примерно в 25 раз. 9.7. Примерно 1 %. 9.8. 0,2 см, 1 см. 9.9. Примерно 5 метров. 9.10. Примерно 1,3 мм. 9.11. Примерно вдвое. 9.12. Примерно 130 км. 9.13. На расстоянии примерно 30 см, диаметр пятна примерно 0,7 см. Освещенность центральной части пятна станет больше, а освещенность краев пятна — меньше (с двумя линзами получается неравномерно освещенное круглое пятно). 9.14. Ток увеличится примерно в 2,5 раза.

Ответы и решения

253

9.15. Примерно 1,5 %. Очень неудачное техническое решение. 9.16. n=1,4. R = −8 см.

9.17. Диаметр пятна 2 мм, расстояние до экрана 8 см. 9.18. Примерно +3 диоптрии. 9.19. Диаметр открытой части линзы 4—5 мм. 9.20. Линзу — придвинуть примерно на 7,67 см, экран — отодвинуть на 80 см. 9.21. Линзу — отодвинуть на 20 см, экран — отодвинуть на 7,5 см. 9.22. Уменьшить в 1,25 раза. 9.23. +5 дптр. 10.1. Включим сразу две лампы (нажмем две кнопки), подождем немного — полминутки, выключим одну из кнопок и быстро на кухню! Одна лампа горит — это от кнопки, которую мы оставили включенной, одна лампа горячая — понятно, какая это была кнопка, остается холодной одна из ламп — от нетронутой кнопки. Кстати, смогли бы Вы придумать решение для четырех ламп, а не для трех (на кухню все равно можно войти только один раз!) 10.2. Положите яйцо в угол, при этом накачанный мяч до него не достанет! Только посмотрите заранее — не помешает ли Вам плинтус. 10.3. Посчитаем сумму всех двадцати чисел двумя способами — один раз по строкам, при этом получится 40 (четыре строки по 10), другой раз — по столбцам, тогда получится 50 (пять столбцов по 10). Противоречие! 10.4. Вышел зайчик погулять.

254

Ответы и решения

10.5. Взвесить их все вместе, без разбора. 330 грамм — 330 копеек. Сейчас есть машинки для счета монеток, раньше они были дороги, да и ненадежны — а возможная ошибка в несколько копеек была не так важна. 10.6. Сбросить с крыши барометр, и измерить время падения его на землю. По времени падения рассчитать высоту, учтя скорость звука. 10.7. Сбросить с крыши термометр... Кстати — а как определить высоту здания при помощи двух секундомеров? 10.8. Раньше услышит нижний — уши у человека находятся выше рта! 10.9. Изохорического расширения не бывает! 10.10. Ну, не за две секунды... 10.11. Суммарный импульс направлен по биссектрисе, он равен 2 · 2 · M · V · cos 30◦ , остается разделить этот импульс на суммарную массу. Сравним начальную и конечную кинетические энергии — разность даст нам минимальное количество тепла. Могло выделиться и больше — если беднягу не просто проглотили, а еще и пережевали и переварили... 10.12. Стандартный ответ: «Все равно 50 %!», который обычно дают математики, совершенно неверен! Ну что мы знаем про эту монету, кроме того, что она пятьдесят раз подряд упала вверх орлом? Не простая это монета! Скорее всего, у нее с двух сторон орел (бывает, однако...). Про «вероятность 0,5» можно говорить, если мы либо совсем ничего не знаем про эту монету (вероятность при полном неведении), либо при полной уверенности в симметричном устройстве монеты (после

Ответы и решения

255

тщательного обследования монеты). В нашем случае все вовсе не так! 10.13. При этом создается перепад давлений в воде, легкий шар в результате отталкивается от тяжелого — они будут двигаться друг от друга. Разумеется, эффект от притяжения и отталкивания совершенно ничтожен, на практике его и измерить невозможно — на то и «не вполне серьезный» раздел. Такие задачи на олимпиадах встречаются, нужно попробовать угадать, что от Вас хотят услышать — нелегко, конечно. Но никто и не обещал, что на физической олимпиаде будет легко! 10.14. Нужно поднести магнит вплотную к экрану — придумайте сами, как его нужно расположить, чтобы магнитная сила (сила Лоренца) вызвала видимое искривление строк на экране. А уж по этим искривлениям можно сообразить — куда направлен вектор магнитной индукции (не забудьте, электроны летят по направлению к экрану, и еще — электроны в телевизорах отрицательные). А с цветным телевизором этот номер закончится плохо — расположенная внутри кинескопа стальная маска с многочисленными маленькими дырочками — через них электроны от трех электронных «пушек» попадают на пятнышки люминофора трех разных цветов, каждый на свои — намагнитится, дополнительное магнитное поле немного отклонит летящие электроны, они перестанут попадать куда нужно, из за этого на экране возникнет противное цветное пятно. Если магнит был сильный, пятно невозможно будет полностью удалить, «размагничивая» маску обычными способами. В общем, не советую даже пробовать!

Зильберман Александр Рафаилович ШКОЛЬНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ Тех. редактор Д. Е. Щербаков Подписано в печать 15/XII 2008 года. Формат 60 × 90 1/16. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Объём 16 печ. л. Гарнитура Школьная. Тираж 2000 экз. Заказ № .

Издательство Московского центра непрерывного математического образования. 119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241 74 83. Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП «Типография „Наука“». 119099, Москва, Шубинский пер., 6.