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祡®-¬¥â®¤¨ç¥áª®¥ ¯®á®¡¨¥
®áª¢ 2006
®¤¥à¦ ¨¥ 1.
1.1. à ¢¥¨¥ äãªæ¨© . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. ¥ª®â®àë¥ ä®à¬ã«ë ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¢ëà ¦¥¨©, ᮤ¥à¦ é¨å ®-¬ «®¥ . . . . . . . . 1.3. ®à¬ã« ¥©«®à . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. ®à¬ã« ¥©«®à á ®áâ â®çë¬ ç«¥®¬ ¢ ä®à¬¥ ¥ ® . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. ®à¬ã« ¥©«®à á ®áâ â®çë¬ ç«¥®¬ ¢ ä®à¬¥ £à ¦ . . . . . . . . . . . . 1.3.3. ¥®à¥¬ ¥¤¨á⢥®á⨠¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ä®à¬ã«®© ¥©«®à . . . 1.3.4. ®à¬ã« ª«®à¥ . . . . . . . . . . . 1.4. ¯¥à 樨 ¤ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï¬¨ ä®à¬ã«®© ª«®à¥ . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. ëç¨á«¥¨¥ ¯à¥¤¥«®¢ á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«ë ¥©«®à . . . . . . . . . .
2.
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5
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6 7
.
7
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7
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8 8
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11
.
13
2.1. ८¡à §®¢ ¨¥ ¢ëà ¦¥¨©, ᮤ¥à¦ é¨å ®-¬ «®¥ . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. ।áâ ¢«¥¨¥ äãªæ¨© ä®à¬ã«®© ª«®à¥ . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. ।áâ ¢«¥¨¥ ¡ äãªæ¨© ä®à¬ã«®© ¢ ª«®à¥ ¤® o xk , £¤¥ k | 䨪á¨à®¢ ®¥ ç¨á«® . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. ®ª § ⥫ì ï äãªæ¨ï . . . . . . . . . 2.2.3. ¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨¥ äãªæ¨¨ . . . . . . . . 2.2.4. ਣ®®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ äãªæ¨¨ . . . . . . . 2.2.5. ⥯¥ ï äãªæ¨ï . . . . . . . . . . . . 2.2.6. ஡®-à 樮 «ì ï äãªæ¨ï . . . . . . 2.2.7. ®£ à¨ä¬¨ç¥áª ï äãªæ¨ï . . . . . . . . 2.3. ।áâ ¢«¥¨¥ ä®à¬ã«®© ¥©«®à . ¬¥ ¯¥à¥¬¥®© . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5
14 14 14 14 21 22 23 24 25 27 27
2.4. ।áâ ¢«¥¨¥ ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¯à¨ x → ∞ . 2.5. ।áâ ¢«¥¨¥ ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¬®£®ç«¥ âà á楤¥âãî ¨«¨ ¨àà 樮 «ìãî äãªæ¨î . . . . . . . . . . . .
3.
3.1. ।áâ ¢«¥¨ï ä®à¬ã«®© ª«®à¥ â ¡«¨çëå äãªæ¨© ¯à¨ x → 0 . . . . . . . . . . (x) 3.2. ।¥« äãªæ¨¨ ¢¨¤ fg(x) . .. . .. ... .. . 1
3.3. ।¥« äãªæ¨¨ ¢¨¤ f (x) g(x) . . . . . . . . . .
29
30
37 37 38 52
4.
58
5.
63
4.1. ।áâ ¢«¥¨¥ ä®à¬ã«®© ¥©«®à . . . . . . . . 4.2. ëç¨á«¥¨¥ ¯à¥¤¥«®¢ . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. ।áâ ¢«¥¨¥ ä®à¬ã«®© ¥©«®à . . . . . . . . 5.2. ëç¨á«¥¨¥ ¯à¥¤¥«®¢ . . . . . . . . . . . . . . . .
4
58 61 63 66
1.
1.1. à ¢¥¨¥ äãªæ¨© ãáâì äãªæ¨ï g (x) ¥ ®¡à é ¥âáï ¢ ®«ì ¢ ¥ª®â®à®© ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ x0 . ®£¤ : (x) = 1, â® £®¢®àïâ, çâ® äãªæ¨ï f (x) ) ¥á«¨ x→x lim fg(x) 0 íª¢¨¢ «¥â äãªæ¨¨ g (x) ¯à¨ x → x0 , ¨ ¯¨èãâ ¯à¨
f (x) ∼ g (x)
x → x0 .
(x) ¡) ¥á«¨ x→x lim fg(x) = 0, â® £®¢®àïâ, çâ® äãªæ¨ï f (x) ¥áâì ®-¬ «®¥ 0 ®â äãªæ¨¨ g (x) ¯à¨ x → x0 , ¨ ¯¨èãâ
¯à¨ x → x0 . (1) ¬¥ç ¨¥ 1. ®à¬ã«ã ¢¨¤ (1) á«¥¤ã¥â ç¨â âì ⮫쪮 á«¥¢ ¯à ¢®, â ª ª ª ¯à ¢ ï ç áâì ®¡®§ ç ¥â ª« áá äãªæ¨©, ¡¥áª®¥ç® ¬ «ëå ¯® áà ¢¥¨î á g (x) ¯à¨ x → x0 . ¢¥á⢮ (1) ¬®¦® ¯®¨¬ âì ª ª ®¡®§ 票¥ ¯à¨ ¤«¥¦®á⨠äãªæ¨¨ f (x) ª ª« ááã o(g (x)). ¯¨áì f (x) = o(1) ®§ ç ¥â, çâ® äãªæ¨ï f (x) ï¥âáï ¡¥áª®¥ç® ¬ «®© ¯à¨ x → x0 , â® ¥áâì x→x lim f (x) = 0. 0
᫨ f (x) = o(g (x)), £¤¥ g (x) | ¡¥áª®¥ç® ¬ « ï äãªæ¨ï ¯à¨ x → x0 , â® äãªæ¨î f (x) §ë¢ îâ ¡¥áª®¥ç® ¬ «®© ¡®«¥¥ ¢ë᮪®£® ¯®à浪 ¯® áà ¢¥¨î á äãªæ¨¥© g (x) ¯à¨ x → x0 . «ï ⮣® ç⮡ë äãªæ¨ï f (x) ¡ë« íª¢¨¢ «¥â äãªæ¨¨ g (x) ¯à¨ x → x0 , ¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç®, çâ®¡ë ¨¬¥« ¬¥áâ® ä®à¬ã« f (x) − g (x) = o(g (x)) ¯à¨ x → x0 . ¢) ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ ¢¨¤ f (x) = a (x − x0 )n + o((x − x0 )n ) ¯à¨ x → x0 , £¤¥ a 6= 0, á« £ ¥¬®¥ a (x − x0 )n §ë¢ ¥âáï £« ¢®© ç áâìî äãªæ¨¨ f (x) ¯à¨ x → x0 . f (x) = o(g (x))
5
1.2. ¥ª®â®àë¥ ä®à¬ã«ë ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¢ëà ¦¥¨©, ᮤ¥à¦ é¨å ®-¬ «®¥ ãáâì ¢ «¥¢®© ç áâ¨ à ¢¥á⢠§ ¯¨áì ¢¨¤ o(f ) ®¡®§ ç ¥â ª®ªà¥â®£® ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«ï ª« áá o(f ), x → x0 , C 6= 0 | ¯®áâ®ï ï. ®£¤ ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ä®à¬ã«ë: o(Cf ) = o(f ) ; (2) C · o(f ) = o(f ) ; (3) o(f ) + o(f ) = o(f ) ; (4) o(o(f )) = o(f ) ; (5) o(f + o(f )) = o(f ) ; (6) o(f ) · o(g) = o(f g) ; (7) n−1 n f o(f ) = o(f ) ; (8) ¡ ¢ o(f n ) = o f n−1 , f
¥á«¨
f (x) 6= 0 ∀x ∈ U˙ δ (x0 ) ;
(9)
(10) ¯à¨¬¥à, ä®à¬ã« (7) ®§ ç ¥â, çâ® ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ α (x) · β (x) «î¡®£® í«¥¬¥â α (x) ¨§ ª« áá äãªæ¨© o(f ) ¨ β (x) ¨§ ª« áá äãªæ¨© o(g) ï¥âáï í«¥¬¥â®¬ ª« áá äãªæ¨© o(f g). ¬¥ç ¨¥ 2. ਢ¥¤¥ë¥ ä®à¬ã«ë á«¥¤ã¥â ç¨â âì ⮫쪮 á«¥¢ ¯à ¢®, ãç¨âë¢ ï, çâ® ¢ «¥¢ëå ç áâïå 㪠§ ª®ªà¥âë© ¯à¥¤áâ ¢¨â¥«ì ª« áá , ¢ ¯à ¢ëå | ª« áá äãªæ¨©. ¥ª®â®àë¥ ¨§ 㪠§ ëå ä®à¬ã« ¥¢¥àë ¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ¨¨ ¨å á¯à ¢ «¥¢®. (o(f ))α = o(f α ) , α > 0.
6
1.3. ®à¬ã« ¥©«®à 1.3.1. ®à¬ã« ¥©«®à á ®áâ â®çë¬ ç«¥®¬ ¢ ä®à¬¥ ¥ ® ãáâì áãé¥áâ¢ã¥â f (n) (x0 ). ®£¤ ¨¬¥¥â ¬¥áâ® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ f 0 (x0 ) f 00 (x0 ) (x − x0 ) + (x − x0 )2 + . . . + 1! 2! f (n) (x0 ) + (x − x0 )n + o((x − x0 )n ) ¯à¨ x → x0 n!
f (x) = f (x0 ) +
¨«¨, ¢ ᮪à 饮© ä®à¬¥, f (x) =
n X f (k) (x0 ) k=0
k!
(x − x0 )k + o((x − x0 )n )
®£®ç«¥ Pn (x) =
n X f (k) (x0 )
k!
k=0
¯à¨ x → x0 . (11)
(x − x0 )k
§ë¢ ¥âáï ¬®£®ç«¥®¬ ¥©«®à äãªæ¨¨ f (x) ¢ â®çª¥ x0 . ãªæ¨ï rn (x) = f (x)−Pn (x), £¤¥ rn (x) = o((x − x0 )n ) ¯à¨ x → x0 , §ë¢ ¥âáï ®áâ â®çë¬ ç«¥®¬ n-£® ¯®à浪 ä®à¬ã«ë ¥©«®à . ®à¬ã« (11) §ë¢ ¥âáï ä®à¬ã«®© ¥©«®à n-£® ¯®à浪 ¤«ï äãªæ¨¨ f (x) ¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ x0 á ®áâ â®çë¬ ç«¥®¬ ¢ ä®à¬¥ ¥ ®.
1.3.2. ®à¬ã« ¥©«®à á ®áâ â®çë¬ ç«¥®¬ ¢ ä®à¬¥ £à ¦
᫨ äãªæ¨ï f (x) ¨¬¥¥â ¢ ¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ x0 ¯à®¨§¢®¤ë¥ ¤® (n + 1)-£® ¯®à浪 ¢ª«îç¨â¥«ì®, â® ¤«ï «î¡®© â®çª¨ x ¨§ í⮩ ®ªà¥áâ®á⨠©¤¥âáï â®çª ξ , «¥¦ é ï ¬¥¦¤ã x ¨ x0 (x < ξ < x0 ¨«¨ x0 < ξ < x), ¨ â ª ï, çâ® 7
f (x) =
n X f k (x0 ) k=0
k!
(x − x0 )k +
f (n+1) (ξ) (x − x0 )n+1 . (n + 1) !
(12)
®à¬ã« (12) §ë¢ ¥âáï ä®à¬ã«®© ¥©«®à á ®áâ â®çë¬ (n+1) ç«¥®¬ rn (x) = f (n+1)!(ξ) (x − x0 )n+1 ¢ ä®à¬¥ £à ¦ .
1.3.3. ¥®à¥¬ ¥¤¨á⢥®á⨠¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ä®à¬ã«®© ¥©«®à ãáâì áãé¥áâ¢ã¥â f n (x0 ). ®£¤ äãªæ¨ï f (x) ¥¤¨áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¢¨¤¥ f (x) =
n X
ak (x − x0 )k + o((x − x0 )n )
¯à¨
x → x0 ,
(13)
k=0
¯à¨ç¥¬ ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï (13) ®¯à¥¤¥«ïîâáï ä®à(k) ¬ã« ¬¨ ak = f k!(x0 ) , k = 0, 1, . . . , n.
1.3.4. ®à¬ã« ª«®à¥
᫨ x0 = 0, â® ä®à¬ã« ¥©«®à ¯à¨¨¬ ¥â ¢¨¤ f (x) =
n X f (k) (0) k=0
k!
xk + o(xn )
¯à¨
x→0
(14)
¨ §ë¢ ¥âáï ä®à¬ã«®© ª«®à¥ . ਢ¥¤¥¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ®á®¢ëå äãªæ¨©: ex = 1 + x +
xn x2 + ... + + o(xn ) ¨«¨ 2! n! n X xk ex = + o(xn ) k! k=0
8
¯à¨
x → 0.
(15)
¡ ¢ x2 x4 x2n + + ... + + o x2n+1 ¨«¨ 2! 4! (2n)! n X ¡ ¢ x2k ch x = + o x2n+1 ¯à¨ x → 0. (2k)!
(16)
¡ ¢ x3 x5 x2n+1 + + ... + + o x2n+2 ¨«¨ 3! 5! (2n + 1)! n 2k+1 X ¡ ¢ x sh x = + o x2n+2 ¯à¨ x → 0. (2k + 1)!
(17)
¡ ¢ x2 x4 x2n + − . . . + (−1)n + o x2n+1 ¨«¨ 2! 4! (2n)! n X ¡ ¢ x2k cos x = + o x2n+1 ¯à¨ x → 0. (−1)k (2k)!
(18)
ch x = 1 +
k=0
sh x = x +
k=0
cos x = 1 −
k=0
¡ ¢ x3 x5 x2n+1 + − . . . + (−1)n + o x2n+2 ¨«¨ 3! 5! (2n + 1)! n 2k+1 X ¡ ¢ x + o x2n+2 ¯à¨ x → 0. (19) sin x = (−1)k (2k + 1)!
sin x = x −
k=0
α (α − 1) 2 α (α − 1) (α − 2) 3 x + x + ...+ 2! 3! α (α − 1) . . . (α − (n − 1)) n + x + o(xn ) ¨«¨ n! n X α Cαk xk + o(xn ) , ¯à¨ x → 0, α ∈ / N, α 6= 0, (20) (1 + x) = (1 + x)α = 1 + αx +
k=0
£¤¥ Cα0 = 1, Cαk = 1 1+x
=
n X
α(α−1)...(α−(k−1)) , k!
(−1)k xk + o(xn )
k=0
9
k = 1, 2, . . . ;
¯à¨
¢ ç áâ®áâ¨, x
→
0;
(21)
1 1−x
=
n X
xk + o(xn )
¯à¨
x
→
0.
(22)
k=0
x2 x3 xn + − . . . + (−1)n−1 + o(xn ) ¨«¨ 2 3 n n X xk + o(xn ) ¯à¨ x → 0; (23) ln (1 + x) = (−1)k−1 k
ln (1 + x) = x −
k=1
n X xk ln (1 − x) = − + o(xn ) k
¯à¨
x → 0.
(24)
k=1
¦ë¬¨ ¯à ªâ¨ª¥ ïîâáï ᢮©á⢠¯à¥¤áâ ¢«¥¨© ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ç¥âëå ¨ ¥ç¥âëå äãªæ¨©. ãáâì f (x) | ç¥â ï äãªæ¨ï ¨ áãé¥áâ¢ã¥â f (2n+1) (0), ⮣¤ ¥¥ ä®à¬ã« ª«®à¥ ¯à¨¬¥â ¢¨¤ f (x) =
n X f (2k) (0) k=0
(2k) !
¡ ¢ x2k + o x2n+1
¯à¨
x → 0.
(25)
ãáâì f (x) | ¥ç¥â ï äãªæ¨ï ¨ áãé¥áâ¢ã¥â f (2n+2) (0), ⮣¤ ¥¥ ä®à¬ã« ª«®à¥ ¯à¨¬¥â ¢¨¤ f (x) =
n X f (2k+1) (0) k=0
(2k + 1) !
¡ ¢ x2k+1 + o x2n+2
¯à¨
x → 0.
(26)
¬¥ç ¨¥ 3. ®à冷ª ®-¬ «®£® ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ïå (25) ¨ (26) ¥¤¨¨æã ¢ëè¥ á⥯¥¨ ¯®á«¥¤¥£® ç«¥ ¬®£®ç«¥ , â ª ª ª ¢ ®¡®¨å ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ïå á« £ ¥¬®¥, á«¥¤ãî饥 § áâ à襩 á⥯¥ìî ¬®£®ç«¥ ¥©«®à , à ¢® ã«î.
10
1.4. ¯¥à 樨 ¤ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï¬¨ ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ¬¥ç ¨¥ 4. à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨¥ ®¯¥à 樨 ¤ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï¬¨ ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ x0 ¢ë¯®«ïîâ «®£¨ç® ä®à¬ã«¥ ª«®à¥ . ¦®, çâ® à¨ä¬¥â¨ç¥áª¨¥ ®¯¥à 樨 ¯à¨¬¥¨¬ë ⮫쪮 ª ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï¬ ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á⨠®¤®© ¨ ⮩ ¦¥ â®çª¨ x0 . «®¦¥¨¥, ¢ëç¨â ¨¥ ¨ 㬮¦¥¨¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨© äãªæ¨© ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯ã⥬ ¢ë¯®«¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ®¯¥à 権 ¤ ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¯à¨ ®¤¨ ª®¢ëå á⥯¥ïå.
᫨ n n X X f (x) = ak xk + o(xn ) , g (x) = bk xk + o(xn ) , x → 0, â® k=0
1) f (x) ± g (x) =
n X
k=0
(ak ± bk )xk + o(xn ) , x → 0;
k=0
2) f (x) g (x) =
n X
k
n
ck x + o(x ) , x → 0,
£¤¥
ck =
k X
ai bk−i .
i=0
k=0
¬¥ç ¨¥ 5. ¬®¦¥¨¥ ¨ ¢®§¢¥¤¥¨¥ ¢ á⥯¥ì ¯à¥¤áâ ¢«¥¨© ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ®áãé¥á⢫ï¥âáï ¯® áâ ¤ àâë¬ ä®à¬ã« ¬ 㬮¦¥¨ï ¨ ¢®§¢¥¤¥¨ï ¢ á⥯¥ì ¬®£®ç«¥®¢, ® á ãç¥â®¬ ¯à ¢¨« ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¢ëà ¦¥¨©, ᮤ¥à¦ é¨å ®-¬ «®¥ ((2) | (10), á. 6). ।áâ ¢«¥¨¥ ä®à¬ã«®© ª«®à¥ á«®¦®© äãªæ¨¨ F (x) = f (ϕ (x)) ¤® o(xn ), £¤¥ ϕ (x) = o(1) ¯à¨ x → 0, ¯®«ãç ¥¬ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: 1) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ äãªæ¨î ϕ (x) ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ¤® o(xn ); 2) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ äãªæ¨î f (y) ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ¤® o(yn ); 3) § ¬¥ï¥¬ y ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥¬ ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨¨ ϕ (x); 4) à áªàë¢ ¥¬ ᪮¡ª¨, á®åà ïï ç«¥ë á⥯¥¨ ¥ ¢ëè¥ n. 11
ç áâ®áâ¨, ¥á«¨ + o(y n ), â®
ϕ (x) = Axm , m ∈ N, f (y) =
F (x) = f (Axm ) =
n X
n P k=0
ak y k +
Ak ak xmk + o(xmn ) , x → 0.
k=0
।áâ ¢«¥¨¥ ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ç á⮣® ¤¢ãå äãªæ¨© ¯®«ãç î⠨ᯮ«ì§ãï ¯à ¢¨«® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï α(x) 1 á«®¦®© äãªæ¨¨. ãáâì f (x) = 1+β(x) = α (x) · 1+β(x) , £¤¥ β (x) → 0. â®à®© ¬®¦¨â¥«ì ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ¯® ¯à ¢¨«ã ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï á«®¦®© äãªæ¨¨ ¤«ï 1 ¢¥è¥© äãªæ¨¨ 1+y . ⥬ ¯¥à¥¬®¦ ¥¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ᮬ®¦¨â¥«¥©. «ï ¯®«ãç¥¨ï ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ç á⮣® ¤¢ãå äãªæ¨© ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ¨á¯®«ì§ã¥âáï â ª¦¥ ¬¥â®¤ ¥®¯à¥¤¥«¥ëå ª®íää¨æ¨¥â®¢. g(x) ãáâì f (x) = h(x) ¨ ¨§¢¥áâë ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï äãªæ¨© g (x) ¨ h (x) ä®à¬ã«®© ª«®à¥ , â® ®â à ¢¥á⢠f (x) h (x) = g (x) ¯¥à¥å®¤¨¬ ª à ¢¥áâ¢ã ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¯à¥¤áâ ¢«¥¨© ä®à¬ã«®© ª«®à¥ , ¯à¨ç¥¬ ¤«ï äãªæ¨¨ f (x) ¡¥à¥¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ á ¥®¯à¥¤¥«¥ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥â ¬¨. «¥¢®© ç á⨠à áªàë¢ ¥¬ ᪮¡ª¨ ¯® ¯à ¢¨«ã 㬮¦¥¨ï ¯à¥¤áâ ¢«¥¨© ¨ ¯®«ãç ¥¬ á¨á⥬ã ãà ¢¥¨©. à¨à ¢¨¢ ¥¬ ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ á®®â¢¥âáâ¢ãîé¨å á⥯¥ïå ¯à¥¤áâ ¢«¥¨© ¢ «¥¢®© ¨ ¯à ¢®© ç áâïå. ¥è¥¨ï á¨á⥬ë ïîâáï ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¨áª®¬®£® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï äãªæ¨¨ f (x).
¢ï§ì ¯à¥¤áâ ¢«¥¨© ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨¨ ¨ ¥¥ ¯à®¨§¢®¤®©. ãáâì áãé¥áâ¢ã¥â f (n+1) (0) ¨ ¨§¢¥áâ®, çâ®
12
f 0 (x) =
n X
ak xk + o(xn ) ,
⮣¤
k=0
f (x) = f (0) +
n X ¡ ¢ ak k+1 x + o xn+1 , k+1
(27)
k=0
â® ¥áâì á« £ ¥¬ë¥ ¬®£®ç«¥ ¥©«®à äãªæ¨¨ f (x) ¯®«ãç îâáï ¯®ç«¥ë¬ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥¬ ¬®£®ç«¥ ¥©«®à ¯à®¨§¢®¤®© f 0 (x). ¦® ¯à¨ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¨ ¥ ¯®â¥àïâì ç«¥ ã«¥¢®£® ¯®à浪 f (0).
1.5. ëç¨á«¥¨¥ ¯à¥¤¥«®¢ á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«ë ¥©«®à ।¥« äãªæ¨¨ ¢¨¤
f (x) g(x)
.
ãáâì f (x) = axn + o(xn ) ¨ ®£¤
g (x) = bxn + o(xn ) , x → 0, b 6= 0.
axn + o(xn ) a f (x) = lim n = . n x→0 bx + o(x ) x→0 g (x) b lim
1
।¥« äãªæ¨¨ ¢¨¤ (f (x)) g(x) . ãáâì f (x) = 1 + axn + o(xn ) ,
x → 0, a 6= 0
¨
g (x) = bxn + o(xn ) , x → 0, b 6= 0.
®£¤
1
1
a
lim f (x) g(x) = lim (1 + axn + o(xn )) (bxn +o(xn )) = e b .
x→0
x→0
13
2.
2.1. ८¡à §®¢ ¨¥ ¢ëà ¦¥¨©, ᮤ¥à¦ é¨å ®-¬ «®¥ ਬ¥à 2.1. ¡¯à®áâ¨âì ¡ ¢¢ ¡ ¢ëà ¦¥¨¥ ¡ ¢¢
2 3 2x¡ + 3x2 + o x3¡ − ¯à¨ x → 0¡. ¢ ¢¢ x ¡+ 3x +2 o x ¡ 3 ¢¢ 2 3 . 2x + 3x + o x − x + 3x + o x = x + o x3 . /
¬¥ç ¨¥ 6. § ¨¬®¥ ã¨ç⮦¥¨¥ ª¢ ¤à â¨çëå ç«¥®¢ ¯®à浪 ®-¬ «®£®. §®áâì ¡ ¢ ¥ ¡ ¢«¥ç¥â ¢ ¡ ¯®¨¦¥¨ï ¢ o x3 − o x3 = o x3 . ¥¢¥à® áç¨â âì ¥¥ à ¢®© ã«î, â ª ª ª ¬ë 室¨¬ à §®áâì ¤¢ãå, ¢®®¡é¥ £®¢®àï, à §«¨çëå äãªæ¨© ®¤®£® ª« áá . 2.2. ¯à®áâ¨âì ¢ëà ¦¥¨¥¡ ¢¢ ¡ ਬ¥à ¡ ¢¢ ¡ 3x + 5x2 + x4 − o x4 1 + 5x − x3 + o x3 ¯à¨ x → 0. . ®ç«¥® 㬮¦¨¬ ¢ëà ¦¥¨ï ¢ ᪮¡ª å (á¬. § ¬¥ç ¨¥ 5, á. 11). ᯮ«ì§ã¥¬ â ¡«¨çãî § ¯¨áì ¤«ï ¯à¨¢¥¤¥¨ï ¯®¤®¡ëå á« £ ¥¬ëå: ¡ ¢ 3x + 5x2 + x4 + o¡x4 ¢ + 2 3 + 15x + 25x + o¡x4 ¢ − − 3x4 + o¡ x4¢ = 2 3 = 3x + 20x + 25x − 2x4 +¡ o¢ x4 . «¥ë ¢ëè¥ ç¥â¢¥à⮩ á⥯¥¨ ïîâáï o x4 ¯à¨ x → 0. /
¬¥ç ¨¥ 7. ¡«¨ç ï ä®à¬ § ¯¨á¨ ¯à¥¤¯®« £ ¥â, çâ® ¯®¤®¡ë¥ á« £ ¥¬ë¥ ¢ë¯¨áë¢ îâáï ¯® ¬¥à¥ ¨å ¯®«ãç¥¨ï ¯à¨ à áªàë⨨ ᪮¡®ª ¯® áâப ¬ ¨«¨ ¯® á⮫¡æ ¬.
2.2. ।áâ ¢«¥¨¥ äãªæ¨© ä®à¬ã«®© ª«®à¥ 2.2.1. ।áâ ¢«¥¨¥ äãªæ¨© ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ¡ ¢ ¤® o xk , £¤¥ k | 䨪á¨à®¢ ®¥ ç¨á«® ਬ¥à 2.3. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨î f (x) = ex + x2 |x| ¤® o(xn ). ª¨¥ § ç¥¨ï ¬®¦¥â ¯à¨¨¬ âì n? 14
. ᮮ⢥âá⢨¨ á ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ â®ç®áâì ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ x0 ¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ëè¥, 祬 ¨¡®«ì訩 ¯®à冷ª ¯à®¨§¢®¤®©, áãé¥áâ¢ãî饩 ¢ í⮩ â®çª¥. ãáâì g (x) = x2 |x|, ⮣¤ g (0) = g0 (0) = g00 (0) = 0, g000 (0) ¥ áãé¥áâ¢ã¥â. ®í⮬㠯।áâ ¢«¥¨ï ä®à¬ã«®© ª«®à¥ n äãªæ¨¨¡g (x) ¢ ¤® o(x ) ¨¬¥îâ ¢¨¤: g (x) = o(x) ¯à¨ n = 1; 2 g (x) = o x ¯à¨ n = 2; ¯à¨ n ≥ 3 ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¥ áãé¥áâ¢ãîâ. ᯮ«ì§ãï â ¡«¨ç®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¯®ª § ⥫쮩 äãªæ¨¨ (15) ¨ ¯à ¢¨«® á«®¦¥¨ï ¯à¥¤áâ ¢«¥¨©, ¨¬¥¥¬ ¡ ¢ 2 f (x) = 1 + x + o(x) ¯à¨ n = 1 ; f (x) = 1 + x + x2 + o x2 ¯à¨ n = 2; ¯à¨ n ≥ 3 ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¥ áãé¥áâ¢ã¥â. /
ਠ¢®§¢¥¤¥¨¨ ¢ á⥯¥ì ¨ ¯¥à¥¬®¦¥¨¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨© ä®à¬ã«®© ¥©«®à â®ç®áâì ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¨¬¥ì訬 ¯®à浪®¬ ®-¬ «®£® ¢ १ã«ìâ¨àãî饬 ¢ëà ¦¥¨¨. «¥ë ¡®«¥¥ ¢ë᮪®£® ¯®à浪 ¬®¦® ¥ ¢ë¯¨áë¢ âì ¨ ¥ ãç¨âë¢ âì ¢ ¢ëç¨á«¥¨ïå, â ª ª ª ®¨ ïîâáï ®-¬ «ë¬. ਬ¥à√2.4. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨î ¡ 2¢ x f (x) = e · 1 + x ¤® o x . . ãªæ¨ï √ ï¥âáï ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥¬ ¤¢ãå äãªæ¨©. ª ª ª x e ∼ 1 ¨ 1 + x ∼ 1 ¯à¨ x → 0, ⮠室¨¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ®¡¥¨å äãªæ¨© ¤® ¶ µ ¨áª®¬®£® ¯®à浪 :¶ µ f (x)
=
1+x+
¡ ¢ x2 + o x2 2
1+
¡ ¢ x x2 − + o x2 2 8
áªàë¢ ¥¬ ¯¥à¢ãî ᪮¡ªã, ¢ ª ¦¤®¬ á« £ ¥¬®¬ ãç¨âë¢ ¥¬ ⮫쪮 â¥ ç«¥ë ¢â®à®£® ¬®¦¨â¥«ï, á⥯¥ì ª®â®àëå ¯®á«¥ à áªàëâ¨ï ¢á¥å ᪮¡®ª ¥ ¯à¥¢®á室¨â 2, â® ¥áâì â®ç®á⨠¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï, µ ⮣¤ ¶ f (x) =
³ ´ ¡ ¢ x x2 x − + o x2 + x 1 + + o(x) + 2 8 2 2 ¡ ¢ x 3x 7x2 + (1 + o(1)) = 1 + + + o x2 , x → 0./ 2 2 8
1+
15
ਬ¥à 2.5. ।áâ ¢¨âì ¡ ¢ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨î f (x) = sin x · ln (1 + x) ¤® o x5 . . ª ª ª sin x ∼ x, ln (1 + x) ∼ x ¯à¨ x → 0¡, â® ¢ sin x ¨ 4 ln (1 + x) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ¤® o x : µ ¶µ ¶ ¡ 4¢ ¡ 4¢ x3 x2 x3 x4 +o x x− + − +o x = f (x) = x − 3! 2 3 4 µ ¶ µ ¶ ¡ ¢ ¡ ¢ x3 x2 x3 x4 x2 = =x x− + − + o x4 − x− + o x2 2 3 4 3! 2 ¡ ¢ x3 x4 x5 = x2 − + − + o x5 , x → 0. 2 6 6 áâ «ìë¥ ç«¥ë ®¯ãé¥ë ¯® ¯à ¢¨« ¬ ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¢ëà ¦¥¨©, ᮤ¥à¦ é¨å ®-¬ «®¥./ ਠ¢®§¢¥¤¥¨¨ ¢ á⥯¥ì ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¢ ¦® ¥ ¯®â¥àïâì ç«¥ë, ïî騥áï ¯®¯ à묨 ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï¬¨ á« £ ¥¬ëå, ¯à¨¬¥à: ¡ ¡ ¢¢2 ¡ ¢2 ¡ ¢2 x + 2x2 + 3x3 + o x3 = x2 + 2x2 + 3x3 + ¡ ¢ ¡ ¢¡ ¡ ¢¢ + 2 x · 2x2 + x · 3x3 + 2x2 · 3x3 +o x3 x + 2x2 + 3x3 + o x3 .
ਬ¥à 22.6. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨î ¡ ¢ f (x) = ex−x ¤® o x3 . . f (x) ï¥âáï á«®¦®© äãªæ¨¥© (á¬. á. 11|12). ãâà¥ïï äãªæ¨ï x − x2 ∼ x ¯à¨ x → 0, ¯®í⮬㠢¥èîî
äãªæ¨î ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬2 ä®à¬ã«®© ¡ 3 ª«®à¥ ¢ ¡¤® ¨áª®¬®£® ¢ t3 t t ¯®à浪 : e = 1 + t + 2 + 6 + o t , £¤¥ t = x − x2 → 0 ¯à¨ x → 0. ®£¤ ¡ ¢2 ¡ ¢3 ¡ ¢ ¡ ¢ x − x2 x − x2 2 f (x) = 1 + x − x + + + o x3 . 2 6
®«ã祮¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¥ ï¥âáï ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥¬ ä®à¬ã«®© ª«®à¥ , ¤«ï ¯®«ãç¥¨ï ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ä®à¬ã«®© ª«®à¥ à áªàë¢ ¥¬ ᪮¡ª¨ ¨ ¯®«ãç ¥¬ 16
f (x) = 1 + x −
¡ ¢ x2 5x3 − + o x3 , x → 0./ 2 6
ਬ¥à 2.7. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨î ¡ ¢ f (x) = esin ln(1+2x) ¤® o x3 . . ãªæ¨ï f (x) ï¥âáï á«®¦®© äãªæ¨¥© á
¥áª®«ìª¨¬¨ ¢«®¦¥ë¬¨ äãªæ¨ï¬¨. ।áâ ¢«¥¨¥ ç¨ ¥¬ á ¡¢ãâ॥© äãªæ¨¨. ª ª ª ln (1 + t) = ¢ t2 t3 3 t − 2 + 3 + o t , £¤¥ t = 2x → 0 ¯à¨ x → 0, â® ¡ ¢ ¡ ¢ (2x)2 (2x)3 8x3 + +o x3 = 2x−2x2 + +o x3 . 2 3 3 ³ ´ ¡ ¢ 3 ¡®§ ç ï u = 2x − 2x2 + 8x3 + o x3 , ¨¬¥¥¬ u → 0 ¯à¨ ¡ ¢ 3 x → 0, sin u = u − u6 + o u3 , ⮣¤ µ ¶ ¡ 3¢ 8x3 1 2 sin ln (1 + 2x) = 2x − 2x + +o x − (2x + o(x))3 = 3 6 ¡ ¢ 4x3 = 2x − 2x2 + + o x3 . 3 ³ ´ ¡ ¢ 3 «ï y = 2x − 2x2 + 4x3 + o x3 ¨¬¥¥¬ y → 0 ¯à¨ x → 0, ¡ ¢ 3 2 ey = 1 + y + y2 + y6 + o y 3 , ⮣¤ µ ¶ ¡ 3¢ ¡ ¢¢2 4x3 1¡ 2 f (x) = 1+ 2x − 2x + +o x + 2x − 2x2 + o x2 + 3 2 ¡ ¢ ¡ ¢ 4x3 1 + o x3 ./ + (2x + o(x))3 + o x3 = 1 + 2x − 6 3 ln (1 + 2x) = 2x−
. ¥è¥¨¥ ¯à¨¬¥à ¬®¦® § ¯¨á âì ¢ ¤à㣮© ä®à¬¥. ।á-
â ¢«¥¨¥ ç¨ ¥¬ á ¢ãâ२å äãªæ¨©, ¢ë¯¨áë¢ ï "á奬ã" ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 äãªæ¨¨ ¨ ¯®¤áâ ¢«ïï ¢ ¥¥ ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 à£ã¬¥â:
17
½ µ ¶¾ ¡ 3¢ 8x3 2 f (x) = exp sin 2x − 2x + +o x = 3 ½µ ¶ ¾ ¡ ¢ ¡ ¢ 8x3 1 = exp 2x − 2x2 + + o x3 − (2x + o(x))3 + o x3 = 3 6 ¾ ½ ¡ 3¢ 4x3 2 +o x = = exp 2x − 2x + 3 µ ¶ ¡ 3¢ ¡ ¢¢2 4x3 1¡ 2 = 1 + 2x − 2x + +o x + 2x − 2x2 + + o x2 + 3 2 ¡ ¢ ¡ ¢ 1 4x3 + (2x + o(x))3 + o x3 = 1 + 2x − + o x3 , x → 0./ 6 3
ਬ¥à 2.8. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨î ¡ 5¢ arcsin x3 f (x) = ln(1+x . 2 ) ¤® o x ¡ ¢ . ª ª ª arcsin x3 ∼ x3 , ln 1 + x2 ∼ x2 ¯à¨ x¡ →¢ 0, ⮡ arcsin ¢x3 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ¤® o x7 , ¡ ¢ ln 1 + x2 | ¤® o x6 ¨ ᮪à é ¥¬ ¤à®¡ì: ¡ ¢ ¡ ¢ x3 + o x7 x + o x5 f (x) = = = 4 6 2 4 x2 − x2 + x3 + o(x6 ) 1 − x2 + x3 + o(x4 ) à µ 2 ¶ µ 2 ¶ ! ¡ ¡ 5 ¢¢ ¡ 4¢ ¡ 2¢ 2 x x4 x = x+o x 1− − + +o x + − +o x = 2 3 2 ¶ µ ¡ 4¢ ¡ ¢ ¡ ¡ 5 ¢¢ x3 x5 x2 x4 − +o x = x+ − +o x5 ./ = x+o x 1+ 2 12 2 12 ¬¥ç ¨¥ 8. ਠà¥è¥¨¨ § ¤ ç ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ä®à¬ã«®© ¥©«®à á«®¦®© äãªæ¨¨ ¨á¯®«ì§ã¥âáï ¤«ï ¥¡®«ìè¨å 䨪á¨à®¢ ëå n, â ª ª ª íâ ¯ à áªàëâ¨ï ᪮¡®ª ¢ ®¡é¥¬ á«ãç ¥ âà㤮 ¢ë¯®«¨¬ ¤«ï ¯à®¨§¢®«ì®£® n. ᪫î票¥ á®áâ ¢«ïîâ ç áâë¥ á«ãç ¨, ⨯ ϕ (x) = Axm , m ∈ N. ¤à㣨å á«ãç ïå 楫¥á®®¡à §® ¯à¥®¡à §®¢ âì äãªæ¨î â ª¨¬ ®¡à §®¬, çâ®¡ë ¨§¡¥¦ âì ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï á«®¦®© äãªæ¨¨ ä®à¬ã«®© ¥©«®à . 18
ਬ¥à 2.9. ¡à¥¤áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨î ¢ f (x) = tg x ¤® o x6 . . ®á¯®«ì§ã¥¬áï ¬¥â®¤®¬ ¥®¯à¥¤¥«¥ëå ª®íäsin x ä¨æ¨¥â®¢. tg x = cos x , ⮣¤ cos x · tg x = sin x. ª ª ª äãªæ¨ï y = tg x ¥ç¥â ï, â® ¥¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ä®à-
¬ã«®© ª«®à¥ á ¥®¯à¥¤¥«¥ë¬¨ ª®íää¨æ¨¥â ¬¨ ¡¥à¥¬ ⮫쪮 ¯® ¥ç¥âë¬ á⥯¥ï¬. à¨à ¢¨¢ ¥¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ä®à¬ã« ¬¨ ª«®à¥ á â®ç®áâìî ¤® ³ ¡ 6¢ ¡ 5 ¢´ ¡ ¡ ¢¢ x2 x4 3 o x : 1 − 2 + 24 + o x ax + bx + cx5 + o x6 = ³ = x−
x3 6
+
x5 120
¡ ¢´ + o x6 .
áªàë¢ ï ᪮¡ª¨ ¨ ¯à¨à ¢¨¢ ï ª®íää¨æ¨¥âë ¯à¨ ®¤¨ ª®¢ëå á⥯¥ïå, ¯®«ãç ¥¬ á¨á⥬ã ãà ¢¥¨©: x: x3 : x5 :
a = 1; − a2 + b = − 16 ; b 1 a 24 − 2 + c = 120 .
¥è ï á¨á⥬ã, ¯®«ãç ¥¬ a = 1, b =
1 3, c
=
2 15
. â ª,
¡ ¢ 1 2 tg x = x + x3 + x5 + o x6 , x → 0./ 3 15
¬¥ç ¨¥ 9. «®£¨ç® ¯à¥¤ë¤ã饬㠯ਬ¥àã ¬®¦® ¯®«ãç¨âì ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨¨ ¡ 6¢ y = th x ¤® o x . ¨¬¥®, ¡ ¢ 1 2 th x = x − x3 + x5 + o x6 , x → 0. 3 15
ਬ¥à 2.10. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨î ¡ ¢ f (x) = arcsin x ¤® o x6 . . ©¤¥¬ ¡ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ¯à¢ ®¨§¢®¤®© ¤® o x6 : ¡ ¢ x2 3x4 1 =1+ + + o x5 . f 0 (x) = √ 2 2 8 1−x 19
⥣à¨àãï ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¯à®¨§¢®¤®© ¨ ãç¨âë¢ ï, çâ® ¨¬¥¥¬ (á¬. ä®à¬ã«ã (27), á. 13):
arcsin 0 = 0,
arcsin x = x +
¡ ¢ x3 3x5 + + o x6 ./ 6 40
ਬ¥à 2.11. ¢ ¡ 2 ¢ ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨î ¡ 1 ।áâ ¢¨âì f (x) = arccos 2 + x ¤® o x . . à£ã¬¥â äãªæ¨¨ ¥ áâ६¨âìáï ª ã«î ¯à¨ x → 0. ¥¬ ¥ ¬¥¥¥ ¬®¦® ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï á¢ï§ìî ¯à¥¤áâ ¢«¥¨© ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨¨ ¨ ¥¥ ¯à®¨§¢®¤®©: µ µ ¶¶0 1 1 2 arccos +x = −q = ¡1 ¢2 = − √ q 2) 2 1− 2 +x 3 · 1 − 4(x+x 3 à ! ¡ ¢ 2 2 x+x 2 4x 2 1+ + o(x) = − √ − √ + o(x) . = −√ 3 3 3 3 3 µ ¶ ¡ ¢ 1 2x2 π 2 ®£¤ f (x) = arccos + x = − √ x− √ +o x2 , x → 0./ 2 3 3 3 3
ਬ¥à 2.12. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨î ³ ´ √ ¡ ¢ 2 2 f (x) = x ln x + 1 + x ¤® o x2n . . ©¤¥¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ³ ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ¯à´ √ 2 ®¨§¢®¤®© äãªæ¨¨ g (x) = ln x + 1 + x . ® ä®à¬ã«¥ ) , = (−1) 2(2k−1)!! (4.7.) ¯à¨ α = − 12 , £¤¥ C−k 1 = 2 ( 2 ) (k! 2 k k! 2 ¨ ¯à ¢¨«ã ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ä®à¬ã«®© ª«®à¥ á«®¦®© äãªæ¨¨ ¨¬¥¥¬ − 1 − 3 ... − 1 −(k−1)
k
n−1 X (−1)k (2k − 1)!! ¡ 2n ¢ 1 2k =1+ g 0 (x) = √ x + o x , x → 0. 2k k! 1 + x2 k=1
ç¨âë¢ ï, çâ® f (0) = ln 1 = 0, ¯®«ãç ¥¬ n−1 ³ ´ p X (2k − 1)!! ¡ 2n ¢ 2k+1 2 ln x + 1 + x = x + x + o x , x → 0. 2k k! (2k + 1) k=1
20
®£¤
³ ´ p f (x) = x2 ln x + 1 + x2 = Ã ! n−1 X (2k − 1)!! ¡ 2n ¢ 2 2k+1 =x x+ x +o x = 2k · k! (2k + 1) = x3 +
k=1 n−2 X k=1
2k
¡ ¢ (2k − 1)!! x2k+3 + o x2n , x → 0./ · k! (2k + 1)
¬¥ç ¨¥ 10. ¨¯¨ç®© ®è¨¡ª®© ï¥âáï ¯à¨¬¥¥¨¥ ¯à¨¥¬ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨ï ª ¯à®¨§¢¥¤¥¨î âà á楤¥â®© äãªæ¨¨ ¬®£®ç«¥, ¯à¨¬¥à, ª äãªæ¨¨ f (x) ¢ ¯à¨¬¥à¥ 2.12. í⮬ á«ãç ¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¯à®¨§¢®¤®© á«®¦¥¥ ¨á室®£® ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï.
2.2.2.
®ª § ⥫ì ï äãªæ¨ï
®ª § ⥫ìãî äãªæ¨î ¯à¨¢®¤¨¬ ª ®á®¢ ¨î e ¨ ¯®«ì§ã¥¬áï ¯à ¢¨«®¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï á«®¦®© äãªæ¨¨ (á¬. á. 12|13). ਬ¥à 2.13. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨î ¡ 2n+1 ¢ 2 x f (x) = 5 ¤® o x . ¢k n ¡ 2 ¡ ¢ © 2 ª X x ln 5 + o x2n+1 = . f (x) = exp x ln 5 = k! k=0 n X
=
k=0
¡ ¢ x2k lnk 5 + o x2n+1 , x → 0./ k!
ਬ¥à 2.14. ।áâ ¢¨âì ¡ 3 ¢ ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨î f (x) = exp {4 cos x} ¤® o x . ¶¾ ½ µ ¡ ¢ x2 + o x3 = . f (x) = exp 4 1 − 2 © ¡ ¢ª ¡ ¡ ¢¢ = e4 · exp −2x2 + o x3 = e4 · 1 − 2x2 + o x3 = ¡ ¢ = e4 − 2e4 x2 + o x3 , x → 0./
21
ਬ¥à 2.15. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨î ¡ ¢ ¤® o x5 .
f (x) = (ch x)sin x
. f (x) = exp {sin x · ln ch x} = ½µ ¶ µ ¶¾ ¡ ¢ ¡ ¢ x3 x2 x4 = exp x− + o x4 ln 1 + + + o x4 = 3! 2! 4! (à ! µµ ¶ ¡ 4¢ ¡ ¢ x3 x2 x4 = exp x− +o x + + o x4 − 3! 2! 4! !) ¶ µ ¡ 2¢ 2 ¡ 4¢ 1 x2 +o x +o x = − 2 2! ½µ ¶µ 2 ¶¾ ¡ 4¢ ¡ 4¢ x3 x x4 = exp x− +o x − +o x = 6 2 12 ½ 3 ¾ ¡ 5¢ ¡ ¢ x x5 x3 x5 = exp − +o x =1+ − + o x5 , x → 0./ 2 6 2 6
2.2.3.
¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨¥ äãªæ¨¨
«ï ¯®«ãç¥¨ï ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨å äãªæ¨© ¯à¥®¡à §ã¥¬ ¨á室®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¢ á㬬㠣¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨å äãªæ¨© ¤à㣨å à£ã¬¥â®¢: ਬ¥à 2.16. ।áâ ¢¨âì ¡ ¢ ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨î f (x) = sh2 x · ch x ¤® o x2n+1 . 1 1 . f (x) = sh2 x · ch x = (ch 2x − 1) ch x = (ch 3x − ch x) = 2 4 ! à n n 2k 2k X X ¡ ¢ 1 (3x) x = − + o x2n+1 = 4 (2k)! (2k)! k=0
k=0
n X ¡ ¢ 32k − 1 2k = x + o x2n+1 , x → 0./ 4 · (2k)! k=0
¬¥ç ¨¥ 11. «ï ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï ¢ëà ¦¥¨© 㤮¡® ¨á¯®«ì§®¢ âì ä®à¬ã«ë: 22
1 1 (ch 2x + 1) ; sh2 x = (ch 2x − 1) ; 2 2 2 2 ch 2x = ch x + sh x; sh 2x = 2 sh x ch x;
ch2 x−sh2 x = 1;
ch2 x =
sh (x ± y) = sh x ch y ± ch x sh x; ch (x ± y) = ch x ch y ± sh x sh x; 2 ch x ch y = ch (x + y) + ch (x − y) ; 2 sh x sh y = ch (x + y) − ch (x − y) ; 2 sh x ch y = sh (x + y) + sh (x − y) .
2.2.4. ਣ®®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ äãªæ¨¨ ਬ¥à 2.17. ।áâ ¢¨âì ª«®à¥ äãªæ¨î ¡ 2n+1ä®à¬ã«®© ¢ 2 f (x) = sin x · cos x ¤® o x . (1 − cos 2x) cos x − cos 3x . f (x) = sin2 x · cos x = cos x = = 2 4 ! à n n 2k X ¡ ¢ 1 X (3x)2k k x = − + o x2n+1 = (−1) (−1)k 4 (2k)! (2k)! k=0
k=0
=
n X k=0
(−1)k
¡ ¢ 1 − 32k 2k x + o x2n+1 , x → 0./ 4 · (2k)!
ਬ¥à 2.18. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨î ¡ ¢ ¤® o x3 . ¶ µ 2
f (x) = sin (ch x)
. f (x) = sin (ch x) = sin 1 +
¡ ¢ x + o x3 2
ª ª ª à£ã¬¥â á¨ãá ¥ áâ६¨âìáï ª ã«î ¯à¨ x → 0, â® ¨á¯®«ì§ãï ä®à¬ã«ã á¨ãá á㬬ë, ¯®«ãç ¥¬ ¶ µ 2 ¶ µ ¡ 3¢ ¡ 3¢ x x2 +o x = sin 1 · cos +o x + f (x) = sin 1 + 2 2 µ 2 ¶ ¡ ¢ ¡ ¢ x x2 + cos 1 · sin + o x3 = sin 1 + cos 1 · + o x3 , x → 0./ 2 2
23
2.2.5.
⥯¥ ï äãªæ¨ï
ਬ¥à 2.19. √।áâ ¢¨âì ª«®à¥ äãªæ¨¨ ¡ ä®à¬ã«®© ¢ √ 1 1 + x, √1+x , 3 1 + x ¤® o x3 . . ) ᯮ«ì§ãï â ¡«¨ç®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ (20) á⥯¥®© äãªæ¨¨ ¯à¨ α = 12 , ¯®«ãç ¥¬ √ 1 1+x=1+ x+ 2
1 2
¡ 1¢ ¡ ¢¡ ¢ ¡ ¢ − 2 2 12 − 21 − 32 3 x + x + o x3 = 2 6 ¡ ¢ x x2 x3 =1+ − + + o x3 , x → 0. 2 8 16
¡) ᯮ«ì§ãï â ¡«¨ç®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ (20) á⥯¥®© äãªæ¨¨ ¯à¨ α = − 12 , ¯®«ãç ¥¬ ¡ 1¢ ¡ 3¢ ¡ ¢¡ ¢¡ ¢ − 2 − 2 2 − 21 − 32 − 25 3 ¡ 3 ¢ 1 1 √ = 1− x+ x + x +o x = 2 2 6 1+x ¡ ¢ x 3x2 5x3 =1− + − + o x3 , x → 0. 2 8 16
¢) ᯮ«ì§ãï â ¡«¨ç®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ (20) á⥯¥®© äãªæ¨¨ ¯à¨ α = 13 , ¯®«ãç ¥¬ √ 1 3 1+x=1+ x+ 3
1 3
¡ 2¢ ¡ ¢¡ ¢ ¡ ¢ − 3 2 31 − 23 − 53 3 x + x + o x3 = 2 6 ¡ ¢ x x2 5x3 =1+ − + + o x3 , x → 0./ 3 9 81
¬¥ç ¨¥ 12. «ï ã¯à®é¥¨ï ¢ëç¨á«¥¨© ¯®«¥§® ¨á¯®«ì§®¢ âì ४ãàà¥â®¥ á®®â®è¥¨¥ Cαk+1 =
α (α − 1) . . . (α − (k − 1)) (α − k) α−k = Cαk · . (k + 1)! k+1
।áâ ¢¨âì √ ਬ¥à 2.20. ¡ 2n+1 ¢ ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨¨ 1 1 + x2 ¨ √1−x ¤® o x . 2 . ᯮ«ì§ãï ¯à ¢¨«® á«®¦®© äãªæ¨¨, ᢮©á⢠√ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨© ç¥âëå äãªæ¨© ¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï äãªæ¨© 1 + x ¨ √1 1+x
, ¯®«ãç ¥¬
24
n
p
1+
x2
¡ ¢ x2 X (−1)k−1 (2k − 3) !! 2k = 1+ + x +o x2n+1 , x → 0; k 2 2 · k! k=2 n X
¡ ¢ 1 (2k − 1)!! 2k √ x + o x2n+1 , x → 0./ =1+ k 2 · k! 1 − x2 k=1
ਬ¥à ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨î √ 2.21. ।áâ ¢¨âì n f (x) = 4 + x ¤® o(x ). . ª
n √ x X (−1)k−1 (2k−3)!! k x +o(xn ) , x → 0, ª ª 1 + x = 1+ + 2 2k · k! k=2
r √ x â® 4 + x = 2 1 + = 4 ! Ã n X 1 x (−1)k−1 (2k − 3)!! ³ x ´k =2 1+ · + + o(xn ) = 2 4 2k · k! 4 k=2
=2+
x + 4
n X (−1)k−1 (2k − 3)!! k=2
23k−1 · k!
xk + o(xn ) , x → 0./
2.2.6. ஡®-à 樮 «ì ï äãªæ¨ï 1. à®¡ì ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ ¢ ¢¨¤¥ áã¬¬ë ¬®£®ç«¥ (¢®§¬®¦® ã«¥¢®£®) ¨ ¯à ¢¨«ì®© ¤à®¡¨. 2. ਠ¥®¡å®¤¨¬®á⨠¯à ¢¨«ìãî ¤à®¡ì à ᪫ ¤ë¢ ¥¬ á㬬㠤஡¥© á® § ¬¥ ⥫¥¬ ¢¨¤ 1 + αtm , ®â¢¥ç îé¨å ¨«¨ ᢮¤ïé¨åáï ª â ¡«¨çë¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï¬. 3. ®«ãç ¥¬ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¯® ä®à¬ã«¥ ª«®à¥ ¤«ï ¢á¥å ¢å®¤ïé¨å ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¤à®¡¥©. ਢ®¤¨¬ ¯®¤®¡ë¥ á« £ ¥¬ë¥. Pk (t) «ï ¯®«ãç¥¨ï ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¤à®¡¨ ¢¨¤ 1+αt ä®àm ¬ã«®© ª«®à¥ , £¤¥ Pk (t) | ¬®£®ç«¥, ¨¬¥î騩 ¥áª®«ìª® ®â«¨çëå ®â ã«ï á« £ ¥¬ëå, ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© 1 ª«®à¥ ¤à®¡ì 1+αt m ¨ 㬮¦¨âì ¥¥ ¬®£®ç«¥. 25
ਬ¥à 2.22. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨î ¡ 4n+3 ¢ x2 +2x+7 ¤® o x . 1−x4
f (x) = .
1 1−x4
=
n P
¡ ¢ x4k + o x4n+3 , x → 0.
k=0
¬®¦¨¬ ¯®«ã祮¥
¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¬®£®ç«¥ x2 + 2x + 7 ¨ ¯à¨¢¥¤¥¬ ¯®¤®¡ë¥ á« £ ¥¬ë¥: à n ! ¡ 2 ¢ X ¡ ¢ f (x) = x + 2x + 7 x4k + o x4n+3 = k=0
=
n X
n n ¡ ¢ X ¡ ¢ X ¡ ¢ x4k+2 +o x4n+5 + 2·x4k+1 +o x4n+4 + 7·x4k +o x4n+3 =
k=0
k=0
=
k=0
n ³ X
´
¡ ¢ 7 · x4k + 2 · x4k+1 + x4k+2 + o x4n+3 , x → 0./
k=0
ਬ¥à 2.23. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨î 2x2 +2x−7 f (x) = x2 +x−2 ¤® o(xn ). . ।áâ ¢¨¬ äãªæ¨î ¢ ¢¨¤¥ áã¬¬ë ¬®£®ç«¥ ¨ ¯à ¢¨«ì®© ¤à®¡¨ ¨ à §«®¦¨¬ ¯à ¢¨«ìãî ¤à®¡ì á㬬ã 3 1 1 f (x) = 2 − 2 =2+ − . x +x−2 x+2 x−1 1 1 1 + ®£¤ f (x) = 2 + · = 2 1 + x2 1−x à n ! n ³ ´k X 1 X k x n (−1) =2+ + o(x ) + xk + o(xn ) , x → 0. 2 2 k=0
k=0
ª ª ª ç«¥ë ã«¥¢®© á⥯¥¨ ¥ ¯®¯ ¤ îâ ¯®¤ ®¡éãî ä®à¬ã«ã, â®, ¯à¨¢®¤ï ¯®¤®¡ë¥ á« £ ¥¬ë¥, ¢ë¯¨áë¢ ¥¬ ª®áâ â㠮⤥«ì®: n à ! k f (x) =
7 X + 2 k=1
(−1) + 1 xk + o(xn ) , x → 0./ 2k+1
¬¥ç ¨¥ 13.
᫨ α ∈ N, â® ®áâ â®çë© P ç«¥ ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ ä®à¬ã«®© ª«®à¥ (1 + x)α = αk=1 Cαk xk à ¢¥ ã«î. ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ ¬®£®ç«¥ ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ x0 6= 0 á¬. ¯à¨¬¥à 2.27. 26
2.2.7. ®£ à¨ä¬¨ç¥áª ï äãªæ¨ï 1 ¬¥ç ¨¥ 14. ª ª ª (ln (1 + x))0 = 1+x ¨ ln 1 = 0, â® ä®à¬ã« (23) ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«ãç¥ ¨â¥£à¨à®¢ ¨¥¬ ä®à¬ã«ë (21). ®à¬ã« (24) ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«ãç¥ ¨§ ä®à¬ã«ë (23) ¯® ¯à ¢¨«ã á«®¦®© äãªæ¨¨. ।áâ ¢«¥¨¥ «®£ à¨ä¬¨ç¥áª®© äãªæ¨¨ ¢ë¯®«ïîâ, § ¯¨á ¢ äãªæ¨î ¢ ¢¨¤¥ «¨¥©®© ª®¬¡¨ 樨 äãªæ¨© ¢¨¤ ln (1 + αxm ) ¨, ¢®§¬®¦®, ª®áâ âë. ਬ¥à 2.24. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨î 4−x f (x) = ln (3−2x)(5−x) ¤® o(xn ).
µ ¶ ³ ³ 4 x´ 2x x´ . f (x) = ln + ln 1 − − ln 1 − − ln 1 − = 15 4 3 5 n n n X X 4 xk 2k xk X xk − + + + o(xn ) = = ln 15 4k k 3k k 5k k k=1
n X 4 xk = ln + 15 k k=1
k=9
k=1
õ ¶ ! 1 1 2 k + k − k + o(xn ) , x → 0./ 3 5 4
ਬ¥à 2.25. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨î ¡ 3n+2 ¢ 4+x3 f (x) = ln 3−x3 ¤® o x . µ ¶ µ ¶ 4 x3 x3 . f (x) = ln + ln 1 + − ln 1 − = 3 4 3 n n ¡ ¢ 4 X (−1)k−1 x3k X x3k = ln + + + o x3n+2 = k k 3 4 k 3 k k=1 k=1 à ! n ¡ ¢ 4 X x3k (−1)k−1 1 = ln + + k + o x3n+2 , x → 0./ k 3 k 4 3 k=1
2.3. ।áâ ¢«¥¨¥ ä®à¬ã«®© ¥©«®à . ¬¥ ¯¥à¥¬¥®© ¥è¥¨¥ § ¤ ç¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï äãªæ¨¨ ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ x0 6= 0 á®á⮨⠨§ âà¥å íâ ¯®¢: 27
) § ¬¥®© ¯¥à¥¬¥®© t = x − x0 ¨á室 ï § ¤ ç ᢮¤¨âáï ª ¯à¥¤áâ ¢«¥¨î ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨¨ g (t) = f (x0 + t) ¤® ⮣® ¦¥ ¯®à浪 ®-¬ «®£®, çâ® ¨ ¨á室 ï § ¤ ç ; ¡) à¥è ¥âáï § ¤ ç ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨¨ g (t) = f (x0 + t); ¢) ¢ë¯®«ï¥âáï ®¡à â ï § ¬¥ ¯¥à¥¬¥®£®, â® ¥áâì ¯®¤áâ ®¢ª ¢ëà ¦¥¨ï x − x0 ¢¬¥áâ® ¯¥à¥¬¥®© t. ਬ¥à 2.26. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ x0 = −1 äãªæ¨î f (x) = ln (x + 2) ¤® o((x + 1)n ). . ãáâì t = x + 1. ª ª ª f (x) = ln (x + 2) = ln (1 + (1 + x)), P k â® g (t) = ln (1 + t) = nk=1 (−1)k−1 tk + o(tn ) , t → 0. ®£¤ f (x) = ln (1 + (1 + x)) =
n X (−1)k−1 (x + 1)k
k
k=1
+ o((x + 1)n ) , x → −1./
¬¥ç ¨¥ 15. ¥ § ¡ë¢ ©â¥ ¢ë¯®«¨âì ®¡à âãî § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥ëå. ®«ã票¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨¨ g (t) = f (x0 + t) ¥ ï¥âáï à¥è¥¨¥¬ ¯®áâ ¢«¥®© § ¤ ç¨. ਬ¥à 2.27. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ x0 = −1 ¬®£®ç«¥ f (x) = x3 . .f (x) = (x + 1)3 − 3 (x + 1)2 + 3 (x + 1) − 1.
¯ã᪠âì ᪮¡ª¨ ¥«ì§ï ¤ ¦¥ ¢ «¨¥©®¬ ç«¥¥. / ª ª ª ä®à¬ã« ¥©«®à ï¥âáï á¯¥æ¨ «ì®£® ¢¨¤ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥¬ äãªæ¨¨ ¢ ¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï, â® ¯à¨ à¥è¥¨¨ § ¤ ç ¥®¡å®¤¨¬® ®¡à â¨âì ¢¨¬ ¨¥ á«¥¤ãî騥 ¬®¬¥âë: 1. ।áâ ¢«¥¨¥ ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ x0 äãªæ¨¨ f (x) ¤®«¦® ¯à¥¤áâ ¢«ïâì ᮡ®© á㬬ã á« £ ¥¬ëå ¢¨¤ ak (x − x0 )k , ¢ ª®â®à®© ¯à¨¢¥¤¥ë ¢á¥ ¯®¤®¡ë¥ á« £ ¥¬ë¥. 28
2. ¥¤®¯ãá⨬® à áªàë⨥ ᪮¡®ª ¢ ¢ëà ¦¥¨¨ (x − x0 )k ¯à¨ «î¡®¬ k. 3. ।áâ ¢«¥¨¥ äãªæ¨¨ á㬬®© ¯® á⥯¥ï¬ (x − x0 )k ¯à¨ x 6→ x0 ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨î ¥ ï¥âáï ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥¬ ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ x0 .
2.4. ।áâ ¢«¥¨¥ ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¯à¨ x → ∞ «ï ¯®«ãç¥¨ï ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ä®à¬ã«®© ¥©«®à äãªæ¨¨ ¡ ¢ f (x) ¯à¨ x → ∞ ¤® o x1n ¢ë¯®«ï¥¬ § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥®© t = x1 , ¡1¢ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨î f t ¤® o(tn ) ¨ ¢ë¯®«ï¥¬ ®¡à âãî § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥®©. ਬ¥à √ 2.28. ।áâ ¢¨âì ¡ 1 ¢ ä®à¬ã«®© ¥©«®à äãªæ¨î 2 f (x) = x − x − 1 − x ¤® o x2 ¯à¨ x → +∞. . ãáâì t = x1 , ⮣¤ t → 0 ¯à¨ x → ∞. r
p
1 − (t + t2 ) − 1 . t ¡ 2¢ ª ª ª १ã«ìâ¨àãî饥 ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¤® o t , â® ç¨á«¨â¥«ì ¡ 3¢ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ ¤® o t : y (t) =
1 1 1 − −1− = 2 t t t
y (t) = ¡ ¢ ¡ ¢2 1 − 12 t + t2 − 18 t + t2 −
1 16
³¡ ¡ ¢3 ¢3 ´ t + t2 + o t + t2 −1
= t¶ µ ¡ ¢ ¡ ¢ 1 1 5 5 1 5 5 = − t − t2 − t3 + o t3 = − − t− t2 +o t2 , t → 0. t 2 8 16 2 8 16 µ ¶ p 1 5 5 1 2 f (x) = x − x − 1 − x = − − − + o 2 , x → ∞./ 2 2 8x 16x x
=
29
2.5. ।áâ ¢«¥¨¥ ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¬®£®ç«¥ âà á楤¥âãî ¨«¨ ¨àà 樮 «ìãî äãªæ¨î ¤ ç ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¬®£®ç«¥ âà á楤¥âãî ¨«¨ ¨àà 樮 «ìãî äãªæ¨î à¥è ¥âáï ¢ ¥áª®«ìª® íâ ¯®¢: 1. ¬¥®© ¯¥à¥¬¥®© ᢮¤¨¬ § ¤ çã ª ¯à¥¤áâ ¢«¥¨î ä®à¬ã«®© ª«®à¥ . 2. à á楤¥âãî ¨«¨ ¨àà 樮 «ìãî äãªæ¨î ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ ä®à¬ã«®© ª«®à¥ . 3. ¬®¦ ¥¬ ¯®«ã祮¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¬®£®ç«¥ (ª ª ¯à ¢¨«®, ¤¢ãç«¥). 4. ਢ®¤¨¬ ¯®¤®¡ë¥ ç«¥ë, ¯à¨ ¥®¡å®¤¨¬®á⨠¨á¯®«ì§ãï § ¬¥ã ¨¤¥ªá á㬬¨à®¢ ¨ï. 5. 믮«ï¥¬ ®¡à âãî § ¬¥ã. ਬ¥à 2.29. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ¥©«®à äãªæ¨î 2 +2x+2 f (x) = (x + 1) ln x1−2x−x ¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ x0 = −1 ¤® 2 ³ ´ o (x + 1)2n . . 믮«¨¬ § ¬¥ã ¯¥à¥¬¥®© t = x + 1. ®«ã稬 ¶¶ µ µ ¡ ¢ 1 + t2 t2 2 g (t) = t ln . = t − ln 2 + ln 1 + t − ln 1 − 2 − t2 2
।áâ ¢«¥¨¥ ¥®¡å®¤¨¬® ¢ë¯®«¨âì á â®ç®áâìî ¡ 2n ¢ o t , ® â ª ª ª «®£ à¨ä¬¨ç¥áª¨¥ äãªæ¨¨¡ 㬮¦ îâáï ¢ t, â® ¨å ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì á â®ç®áâìî ¤® o t2n−1 : X ¡ ¢ n−1 ¡ ¢ t2k 2 (−1)k−1 ln 1 + t = + o t2n−1 , t → 0; k k=1
¶ µ n−1 X t2k ¡ ¢ t2 =− + o t2n−1 , t → 0. ln 1 − k 2 2 ·k k=1
30
¤®
Ã
! n−1 ¡ 2n−1 ¢ (−1)k−1 t2k X t2k g (t) = t − ln 2 + + +o t = k 2k · k k=1 k=1 ¶ n−1 Xµ ¡ ¢ 1 t2k+1 = −t · ln 2 + (−1)k−1 + k + o t2n , t → 0. 2 k n−1 X
k=1
믮«ï¥¬ ®¡à âãî § ¬¥ã: f (x) = − (x + 1) ln 2 +
n−1 Xµ
¶
(x + 1)2k+1 + k ³ ´ + o (x + 1)2n , x → −1./
(−1)k−1 +
k=1
1 2k
ਬ¥à ³ 2 2.30.´ ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ¥©«®à äãªæ¨î f (x) = x2 − 2x cos (2x − 4) ¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ x0 = 2 ¤® ³ ´ o (x − 2)2n+1 .
³
´
ãáâì t = x − 2. ®«ã稬 g (t) = t2 − 2 cos 2t. ।áâ ¢«¥¨¥ ¥®¡å®¤¨¬® ¢ë¯®«¨âì á â®ç®áâìî ¡ 2n+1 ¢ ¤® o t , âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª ï äãªæ¨ï 㬮¦ ¥âáï ¬®£®ç«¥ á ®â«¨çë¬ ®â ã«ï ¬« ¤è¨¬ ç«¥®¬, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¯à¨ 㬮¦¥¨¨ ¬®£®ç«¥ â®ç®áâì ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¥ ¯®¢ëá¨âáï. ।áâ ¢¨¬ ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨î y (t) = cos 2t ¡ 2n+1 ¢ ¤® o t : n .
¡ ¢ 22k · t2k + o t2n+1 , t → 0. (2k)! k=0 ! ¶ ÃX µ 2 n 2k 2k ¡ 2n+1 ¢ t k 2 ·t (−1) −2 +o t . g (t) = 2 (2k)!
cos 2t =
®£¤
X
2
(−1)k
k=0
«ï ¯à¨¢¥¤¥¨ï ¯®¤®¡ëå á« £ ¥¬ëå ¢ë¯®«¨¬ § ¬¥ã ¨¤¥ªá á㬬¨à®¢ ¨ï. áªà®¥¬ ¯¥à¢ãî ᪮¡ªã ¨ ¢¥á¥¬ ¬®¦¨â¥«¨ ¯®¤ § ª¨ á㬬¨à®¢ ¨ï: 31
g (t) =
n X k=0
(−1)k
¡ ¢ t2k+2 · 22k−1 + o t2n+3 − (2k)! −
n X
(−1)k
k=1
¡ ¢ t2k · 22k+1 + o t2n+1 . (2k)!
¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ 䨪á¨à®¢ ¨¨ ¨¤¥ªá á㬬¨à®¢ ¨ï ¢ ®¡¥¨å á㬬 å á⥯¥¨ ¯¥à¥¬¥®© ᮮ⢥âá⢥® à ¢ë 2k + 2 ¨ 2k . ç¨â, § ¬¥¨¢ ¢ ¯¥à¢®© á㬬¥ k + 1 ®¢ë© ¨¤¥ªá á㬬¨à®¢ ¨ï, ¬ë ¯®«ã稬 ¢ ®¡¥¨å á㬬 å ®¤¨ ª®¢ë¥ á⥯¥¨ ¯¥à¥¬¥®© ¯à¨ ®¤¨ ª®¢ëå ¨¤¥ªá å á㬬¨à®¢ ¨ï. 뤥«ï¥¬ ¢ ¬ ¢¨¤¥ k+1 ¢® ¢á¥å ¬¥áâ å ¢å®¦¤¥¨ï ¨¤¥ªá á㬬¨à®¢ ¨ï ¢ ¯¥à¢®© á㬬¥: n g (t) =
X
(−1)k+1−1
k=0
¡ ¢ t2(k+1) · 22(k+1)−3 + o t2n+3 − (2 (k + 1) − 2)! −
n X
(−1)k
k=0
¡ ¢ t2k · 22k+1 + o t2n+1 . (2k)!
ਠ¨§¬¥¥¨¨ k ®â 0 ¤® n ®¢ë© ¨¤¥ªá k + 1 ¨§¬¥ï¥âáï ®â 1 ¤® n+1, ®¡®§ ç ï ®¢ë© ¨¤¥ªá á㬬¨à®¢ ¨ï «î¡®© ¡ãª¢®©, ¯à¨¬¥à, k, ¯®«ãç ¥¬ g (t) =
n+1 X k=1
(−1)k−1
¡ ¢ t2k · 22k−3 + o t2n+3 − (2k − 2)! −
n X k=0
(−1)k
¡ ¢ t2k · 22k+1 + o t2n+1 . (2k)!
ਢ®¤¨¬ ¯®¤®¡ë¥ á« £ ¥¬ë¥: ¯¥à¢ë© ç«¥ ¢â®à®© á㬬ë | ª®áâ â | ¥ ¯®¯ ¤ ¥â ¯®¤ ®¡éãî ä®à¬ã«ã, â ª ª ª íâ á⥯¥ì ¯à¨áãâáâ¢ã¥â ⮫쪮 ¢® ¢â®à®© á㬬¥, ¥£® ¢ë¯¨áë¢ ¥¬ ®â¤¥«ì®. ஬¥ ¡ ⮣®,¢ ®â¡à áë¢ ¥¬ ç«¥ë ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï, ᮤ¥à¦ 騥áï ¢ o t2n+1 : 32
g (t) = 2+
n X k=1
¡ ¢ t2k · 22k−2 ¡ ¢ (−1)k−1 2k 2 − k + 8 +o t2n+1 , t → 0. (2k)!
®á«¥ ®¡à ⮩ § ¬¥ë ¯¥à¥¬¥®© ¨¬¥¥¬ f (x) = 2 +
n X
¡ ¢ (x − 2)2k · 22k−2 + (−1)k−1 2k 2 − k + 8 (2k)! k=1 ³ ´ + o (x − 2)2n+1 ,
x → 2.
â®à®© ¢ ਠ⠢믮«¥¨ï § ¬¥ë ¨¤¥ªá á㬬¨à®¢ ¨ï. ¤¥ªá á㬬¨à®¢ ¨ï § ¬¥ï¥¬ ¢ á㬬¥, ¢ ª®â®à®© á⥯¥ì ¯¥à¥¬¥®© ¯à¨ ®¤¨ ª®¢®¬ § 票¨ ⥪ã饣® ¨¤¥ªá á㬬¨à®¢ ¨ï ¡®«ìè¥, ¢ ¤ ®¬ á«ãç ¥ ¢ ¯¥à¢®© á㬬¥: n X
(−1)k
k=0
¡ ¢ t2k+2 · 22k−1 + o t2n+3 . (2k)!
¡®§ 稬 ¥¬®© ¨¤¥ªá á㬬¨à®¢ ¨ï ¢ ¤à㣮© á㬬¥ ç¥à¥§ l. «ï ⮣® çâ®¡ë ¬®¦® ¡ë«® ¯à¨¢¥á⨠¯®¤®¡ë¥ á« £ ¥¬ë¥, ¥®¡å®¤¨¬®, çâ®¡ë ¯à¨ ®¤¨ ª®¢ëå § 票ïå ¨¤¥ªá á㬬¨à®¢ ¨ï á⥯¥¨ ¯¥à¥¬¥®© ¢ ¯¥à¢®© ¨ ¢® ¢â®à®© á㬬 å ᮢ¯ ¤ «¨, â® ¥áâì 2k + 2 = 2l. ®£¤ k = l − 1. ®¢ë© ¨¤¥ªá ¬¥ï¥âáï ®â 1 ¤® n + 1. ®¤áâ ¢«ïï, ¯®«ãç ¥¬ Xn+1 l=1
(−1)l−1
¡ ¢ t2l · 22l−3 + o t2n+3 . (2l − 2)!
®¢ì § ¬¥¨¢ ¥¬®© ¨¤¥ªá á㬬¨à®¢ ¨ï k, ¯à¨¢®¤¨¬ ¯®¤®¡ë¥ á« £ ¥¬ë¥ â ª ¦¥, ª ª ¢ ¯¥à¢®¬ à¥è¥¨¨. / ਬ¥à ä®à¬ã«®© ¥©«®à äãªæ¨î ¡ 2 2.31. ।áâ ¢¨âì ¢ −x−1 f (x) = x + 6x + 7 3 ¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ x0 = −3 ¤® o((x + 3)n ). 33
¡ . 믮«¨¬ ¢ 9 t2 − 2 e−t ln 3 .
§ ¬¥ã ¯¥à¥¬¥®© t = x + 3. ®«ã稬 g (t) =
।áâ ¢¨¬ ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨î ¤® o(tn ): n k k
y (t) = e−t ln 3
X (−1) tk ln 3 + o(tn ) , t → 0. k! k=0 ! à ¡2 ¢ Xn (−1)k tk lnk 3 ®£¤ g (t) = 9 t − 2 + o(tn ) . k=0 k! y (t) =
믮«ï¥¬ § ¬¥ã ¨¤¥ªá á㬬¨à®¢ ¨ï,®¡®§ ç ï ®¢ë© ¨¤¥ªá á㬬¨à®¢ ¨ï ¡ãª¢®© k g (t) =
n X (−1)k · 9 · tk+2 lnk 3 k=0
k! −
¡ ¢ + o tn+2 −
n X (−1)k · 18 · tk lnk 3 k=0
=
n X (−1)k+2−2 · 9 · tk+2 lnk+2−2 3 k=0
((k + 2) − 2)! −
=
k=2
+ o(tn ) =
¡ ¢ + o tn+2 −
n X (−1)k · 18 · tk lnk 3 k=0
n+2 X
k!
k!
+ o(tn ) =
¡ ¢ (−1)k−2 · 9 · tk lnk−2 3 + o tn+2 − (k − 2)! −
n X (−1)k · 18 · tk lnk 3 k=0
k!
+ o(tn ) =
= −18 + 18t · ln 3+ n X ¢ (−1)k · 9 · tk lnk−2 3 ¡ + k (k − 1) − 2 ln2 3 + o(tn ) , t → 0. k! k=2
34
®á«¥ ®¡à ⮩ § ¬¥ë ¯¥à¥¬¥®© ¯à¨ x → −3 ¨¬¥¥¬ f (x) = −18 + 18 (x + 3) · ln 3+ n X ¢ (−1)k · 9 · (x + 3)k lnk−2 3 ¡ 2 + k − k − 2 ln2 3 +o((x + 3)n ) ./ k! k=2
¬¥ç ¨¥ 16. ¥«ì§ï à áªàë¢ âì ᪮¡ª¨ ¢ «¨¥©®¬ ç«¥¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï, â ª ª ª ®® ¢ë¯®«¥® ¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ x0 = −3. ਬ¥à 2.32. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ¥©«®à äãªæ¨î ¡ ¢¡ ¢1 f (x)³ = x2 − 2x´− 1 2x − x2 2 ¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ x0 = 1 ¤® o (x − 1)2n+1 . ¡ ¢√ . ãáâì t = x − 1. ®«ã稬 g (t) = t2 − 2 1 − t2 . √ ।áâ ¢¨¬ ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨î y (t) = 1 − t2 ¡ 2n+1 ¢ ¤® o t : n
¡ 2n+1 ¢ t2 X (−1)k (2k − 3)!! 2k y (t) = 1 − + t + o t , t → 0. 2 2k · k! k=2
¬¥¥¬
à ! n ¡2 ¢ ¡ 2n+1 ¢ t2 X (−1)k (2k − 3)!! 2k g (t) = t − 2 1 − + t +o t . 2 2k · k! k=2
믮«ï¥¬ § ¬¥ã ¨¤¥ªá á㬬¨à®¢ ¨ï n
g (t) = −2 + 2t2 −
¡ 2n+3 ¢ t4 X (−1)k (2k − 3)!! 2k+2 + t + o t − 2 2k · k! k=2 n X
−
k=2
= −2 + 2t2 −
t4 2
+
n+1 X k=3
¡ 2n+1 ¢ (−1)k (2k − 3)!! 2k t + o t = 2k−1 · k!
¡ ¢ (−1)k−1 (2k − 5)!! 2k t + o t2n+1 + k−1 2 · (k − 1)!
+
n X (−1)k (2k − 3)!!
2k−1
k=2
35
· k!
¡ ¢ t2k + o t2n+1 =
n
= −2+ 2t2−
¡ ¢ t4 X (−1)k (2k − 5)!! + (k − 3)t2k + o t2n+1 , t → 0. k−1 4 2 · k! k=3
®á«¥ ®¡à ⮩ § ¬¥ë ¯¥à¥¬¥®© ¨¬¥¥¬ f (x) = −2 + 2 (x − 1)2 − +
n X (−1)k (2k − 5)!! k=3
2k−1 · k!
(x − 1)4 + 4
³ ´ (k − 3) (x − 1)2k +o (x − 1)2n+1 , x → 1./
36
3.
¬¥ç ¨¥ 17. ਠ¢ëç¨á«¥¨¨ ¯à¥¤¥«®¢ ¢¨¤ 1 (x) g(x)
lim f (x)
x→0 g(x)
¨
¢¨¤ lim f ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ äãªæ¨© ä®à¬ã«®© ª«®àx→0 ¥ ¡ã¤¥¬ ¯¨á âì ¯®¤à §ã¬¥¢ ï, çâ® x → 0.
3.1. ।áâ ¢«¥¨ï ä®à¬ã«®© ª«®à¥ â ¡«¨çëå äãªæ¨© ¯à¨ x → 0 ¡ ¢ x3 x5 + + o x6 , 6 120 2 ¡ ¢ x x4 cos x = 1 − + + o x5 , 2 24 3 ¡ ¢ x x5 sh x = x + + + o x6 , 6 120 ¡ ¢ x2 x4 ch x = 1 + + + o x5 , 2 24 3 ¡ ¢ 2x5 x + + o x6 , tg x = x + 3 15 3 ¡ ¢ x 2x5 th x = x − + + o x6 , 3 15 3 ¡ ¢ 3x5 x + + o x6 , arcsin x = x + 6 40 ¡ ¢ x3 x5 arctg x = x − + + o x6 , 3 5 2 3 ¡ ¢ x x x4 ln (1 + x) = x − + − + o x4 , 2 3 4 2 3 ¡ ¢ x x x4 ln (1 − x) = −x − − − + o x4 , 2 3 4 ³ ´ 3 p ¡ ¢ 3x5 x + + o x6 , ln x + 1 + x2 = x − 6 40 sin x = x −
37
¡ ¢ 1 = 1 − x + x2 − x3 + x4 + o x4 , 1+x ¡ ¢ 1 = 1 + x + x2 + x3 + x4 + o x4 , 1−x √ ¡ ¢ x x2 x3 1+x=1+ − + + o x3 , 2 8 16 ¡ ¢ 1 x 3x2 5x3 √ =1− + − + o x3 . 2 8 16 1+x
3.2.
।¥« äãªæ¨¨ ¢¨¤
f (x) g(x)
¬¥ç ¨¥ 18. ¤ ®¬ à §¤¥«¥ ¢® ¢á¥å ¯à¨¬¥à å ¬ë ¨á¯®«ì§ã¥¬ ®¡®§ 票¥ f (x) ¤«ï ç¨á«¨â¥«ï ¤à®¡¨ ¨ g (x) ¤«ï § ¬¥ ⥫ï. ਬ¥à 3.1. ©â¨
lim
x→0
x cos x − arctg x . ln (1 − x3 )
ª ª ª ¢ § ¬¥ ⥫¥ ¤à®¡¨ ®¤ äãªæ¨ï, â® ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¥¥ ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ¡ ¢¤® ¯¥à¢®£® § 稬®£® (¥ ã«¥¢®£®) ç«¥ : g (x) = −x3 + o x3 . ¨á«¨â¥«ì ¤à®¡¨ â ª ¦¥ ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ¡ ¢ ¤® o x3 . ª ª ª ¡ ¢ cos x 㬮¦ ¥âáï x, â® ¥£® á«¥¤ã¥â ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¤® o x2 . .
cos x = 1 −
¡ ¢ x2 + o x2 , 2
arctg x = x −
¡ ¢ x3 + o x3 . 3
¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ x3 x3 x3 + o x3 − x + + o x3 = − + o x3 . 2 3 6 ¡ ¢ 3 − x + o x3 f (x) 1 ®£¤ lim = lim 63 = ./ x→0 g (x) x→0 −x + o(x3 ) 6
f (x) = x −
³
ਬ¥à 3.2. ©â¨
lim
sin
x→0
38
x 1−x
´ + ln (1 − x) −
tg (sh x) − arctg x
x2 2
.
. ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ tg x ¨ sh x ¢á¥ ç«¥ë ¯¥à¢®£® ¨ âà¥â쥣® ¯®à浪 ¯®«®¦¨â¥«ìë, ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ arctg x ç«¥ âà¥â쥣® ¯®à浪 | ®âà¨æ ⥫¥. ®í⮬㠢 § ¬¥ ⥫¥ ç«¥ âà¥â쥣® ¯®à浪 ®â«¨ç¥ ®â 0. ä®à¬ã«®© ª«®à¡ ।áâ ¢¨¬ ¢ ¥ § ¬¥ â¥«ì ¤à®¡¨ ¤® o x3 :
ª ª ª
sh x = x +
¡ ¢ ¡ ¢ x3 t3 + o x3 , tg t = t + + o t3 , t → 0, â® 3! 3
µ ¶ ¡ 3¢ ¡ ¢ x3 (x + o(x))3 tg (sh x) = x + +o x + + o x3 = 3! 3 3 3 ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ x x x3 =x+ + o x3 + + o x3 = x + + o x3 . 3! 3 2 ¡ ¢ 3 ª ª ª arctg x = x − x3 + o x3 , â® µ ¶ ¡ 3¢ ¡ 3¢ ¡ ¢ x3 x3 5x3 g (x) = x + +o x − x− +o x = + o x3 . 2 3 6
ª ª ª ©¤¥ £« ¢ ï ç áâì ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï, â® â®ç®áâì ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¢ë¡à ¯à ¢¨«ì®. ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ç¨á«¨â¥«ì ¤à®¡¨ ¤® ¡ 3।áâ ¢¨¬ ¢ x o x . ¬¥ â¥«ì ¤à®¡¨ 1−x ¯à¥¤áâ ¢¨¬ á â®ç®áâìî ¤® ¡ 2¢ o x , â ª ª ª ç¨á«¨â¥«ì ¯®à浪 x: ¡ ¡ ¢¢ ¡ ¢ x = x 1 + x + x2 + o x2 = x + x2 + x3 + o x3 . 1−x ¡ ¢ 3 ª ª ª sin t = t − t3! + o t3 , t → 0, â® µ
¶
¡ ¡ ¢¢ (x + o(x))3 ¡ ¢ = x + x2 + x3 + o x3 − + o x3 = 3! ¡ 3¢ 3 ¡ ¢ ¡ ¢ x +o x 5x3 = x + x2 + + o x3 . = x + x2 + x3 + o x3 − 3! 6 ¡ 3¢ x2 x3 − +o x . ln (1 − x) = −x − 2 3 sin
x 1−x
39
f (x) =
µ ¶ ¡ ¢ 5x3 x + x2 + + o x3 + 6 µ ¶ ¡ 3¢ ¡ ¢ x2 x3 x2 x3 + −x − − +o x − = + o x3 . 2 3 2 2 ¡ 3¢ x3 +o x f (x) 3 lim = lim 5x2 3 = ./ 3 x→0 g (x) x→0 5 + o(x ) 6
ਬ¥à 3.3. ©â¨
lim
x→0
³ ´ ln ch2 x 2 ( ) tg xe−x − x arctg (x cos) − tg x
.
।áâ ¢«¥¨ï tg x ¨ arctg x ®â«¨ç îâáï § ª®¬ ªã¡¨ç¥áª®£® ç«¥ , ¯®í⮬㠯®¯à®¡ã¥¬ ¡ ¢¯à¥¤áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ª«®à¥ § ¬¥ â¥«ì ¤à®¡¨ ¤® o x3 . à£ã¬¥â¥ á«®¦®© äãªæ¨¨ ¡ 2 ¢ cos x 㬮¦ ¥âáï x, § ç¨â, cos x ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ ¤® o x : .
µ ¶ ¡ ¢ ¡ ¢ x2 x3 x cos x = x 1 − + o x2 =x− + o x3 . 2 2
tg x = x +
¡ ¢ x3 + o x3 , 3
arctg t = t −
¡ ¢ t3 + o t3 , t → 0. 3
®£¤
arctg (x cos x) = ¶ µ ¡ ¢ ¡ ¢ (x + o(x))3 x3 + o x3 − + o x3 = = x− 2 3 ¡ 3¢ 3 ¡ ¢ x +o x ¡ ¢ ¡ ¢ x3 5x3 =x− + o x3 − + o x3 = x − + o x3 . 2 3 6 µ ¶ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ x3 7x3 5x3 +o x3 − x + + o x3 =− +o x3 . g (x) = x− 6 3 6
ª ª ª ©¤¥ £« ¢ ï ç áâì ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï, â® â®ç®áâì ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¢ë¡à ¯à ¢¨«ì®. 40
ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ç¨á«¨â¥«ì ¤à®¡¨ ¤® ¡ ।áâ ¢¨¬ ¢ ¡ ¢ o x3 . ªá¯®¥â㠯।áâ ¢«ï¥¬ ¤® o x2 , â ª ª ª ® 㬮¦ ¥âáï x. ª ª ª à£ã¬¥â ¯®ª § ⥫쮩 äãªæ¨¨ ¯®à浪 x2 , â® ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ íªá¯®¥âë ¤®áâ â®ç® ¢§ïâì 2 ¢¬¥áâ® ¤¢ ¯¥à¢ëå ç«¥ 2et = 1+t+o(t) , ⮣¤ , ¯®¤áâ ¢«ïï −x ¡ ¡ ¢¢ ¡ ¢ t, ¯®«ãç ¥¬: xe−x = x 1 − x2 + o x2 = x − x3 + o x3 . ¡ ¢ t3 + o t3 , t → 0, â® 3 ´ ³ ¡ ¡ 3 ¢¢ (x + o(x))3 ¡ ¢ 3 −x2 = x−x +o x + tg xe + o x3 = 3 ¡ 3¢ 3 ¡ ¢ x +o x ¡ ¢ ¡ ¢ 2x3 = x − x3 + o x3 + + o x3 = x − + o x3 . 3 3
ª ª ª
tg t = t +
®£ à¨ä¬¨ç¥áª ï ¡ ¢äãªæ¨ï ¤¥«¨âáï x, ¯®í⮬㠯।áâ ¢«ï¥¬ ¥¥ ¤® o x4 . ¢ ¤à â £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ª®á¨ãá ¬®¦® ¯à¥®¡à §®¢ âì ¯® ä®à¬ã«¥ ¯®¨¦¥¨ï á⥯¥¨, ® â ª ª ª ® ï¥âáï à£ã¬¥â®¬ «®£ à¨ä¬¨ç¥áª®© äãªæ¨¨, ⮠㤮¡¥¥ ¯à¥¤áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨î µ ¶ ¡ 2 ¢ ¡ 4¢ x2 x4 ln ch x = 2 ln (ch x) = 2 ln 1 + + +o x = 2 24 ³ 2 ¡ 2 ¢´2 x + o x 2 4 ¡ ¢ ¡ ¢ 2 x x = 2 + + o x4 − + o x4 = 2 24 2 µ =2
¶ ¡ 4 ¢ x4 ¡ 4¢ ¡ ¢ x2 x4 x4 + +o x − +o x = x2 − + o x4 . 2 24 8 6 µ ¶ 4 ¡ 4¢ ¡ ¢ x3 2 x x − +o x = − +o x3 . 6 2 ¡ ¢ 3 − x2 + o x3 f (x) 3 lim = lim 7x3 = ./ 3 x→0 g (x) x→0 − 7 6 + o(x )
¡ ¢ 1 2x3 +o x3 − f (x) = x− 3 x
41
ਬ¥à 3.4. ©â¨
√ (ln (e (1 + 2x)))1/4 + 1 − x − 2 cos x ³ ´ lim ¡√ ¢ . x→0 x exp √1−4x − (x + 1) ch 5x
.
᫨ âà㤮 ¯à¥¤¯®«®¦¨âì ¥®¡å®¤¨¬ãî â®ç®áâì ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï, ⮠室¨¬ ¯¥à¢ë¥ âਠ§ 稬ëå (®â«¨çëå ®â ã«ï) ç«¥ . ¯¨á¨ ¢¥¤¥¬ â ª, çâ®¡ë ¯à¨ ¥®¡å®¤¨¬®á⨠«¥£ª® ¡ë«® ¤®¯¨á âì ¤®¯®«¨â¥«ìë¥ ç«¥ë ¤«ï ¢ë¤¥«¥¨ï £« ¢®© ç áâ¨. ä®à¬ã«®© ª«®à¥ § ¬¥ â¥«ì ¤à®¡¨ ¤® ¡ ।áâ ¢¨¬ ¢ o x3 . «ï ⮣® ¡çâ®¡ë ¯à¥¤áâ ¢¨âì à£ã¬¥â ¯®ª § ⥫쮩 ¢ 1 3 äãªæ¨¨ ¤® o x , äãªæ¨î √1−4x ¯à¥¤áâ ¢¨¬ á â®ç®áâìî ¡ 2¢ ¤® o x , â ª ª ª ® 㬮¦ ¥âáï x. ¡ ¢ t 3t2 1 √ =1+ + + o t2 , t → 0, â® 2 8 1−t à ! ¡ 2¢ ¡ ¢ 4x 3 (4x)2 x √ =x 1+ + +o x = x + 2x2 + 6x3 + o x3 . 2 8 1 − 4x
ª ª ª,
µ exp
x √ 1 − 4x
¶
¡ ¡ ¢¢ = exp x + 2x2 + 6x3 + o x3 =
¡ ¡ ¢¢2 ¡ ¡ 3 ¢¢ x + 2x2 + o x2 2 3 = 1 + x + 2x + 6x + o x + + 2 ¡ ¢ (x + o(x))3 + + o x3 = 6 ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ x2 + 4x3 + o x3 x3 + o x3 = 1+ x + 2x + 6x + + + o x3 = 2 6 ¡ ¢ 5x2 49x3 =1+x+ + + o x3 . 2 6 2
3
42
।áâ ¢¨¬ ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ¢â®à®© ç«¥ § ¬¥ ⥫ï. ª ª ª x + 1 ∼¡1 ¯à¨ → 0,¢â® £¨¯¥à¡®«¨ç¥áªãî ¢ x¡√ ¡ ¢ 2 äãªæ¨î ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ ¤® o x3 : ch 5x = 1 + 5x2 + o x3 . µ ¶ ³√ ´ ¡ 3¢ 5x2 (x + 1) ch 5x = (x + 1) 1 + +o x = 2 ¡ ¢ 5x2 5x3 =1+x+ + + o x3 . 2 ¶ 2 µ ¡ 3¢ 5x2 49x3 g (x) = 1 + x + + +o x − 2 6 µ ¶ ¡ 3¢ ¡ ¢ 5x2 5x3 17x3 − 1+x+ + +o x = + o x3 . 2 2 3
ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ç¨á«¨â¥«ì ¤à®¡¨ ¤® ¡ ।áâ ¢¨¬ ¢ o x3 . ª ª ª «®£ à¨ä¬¨ç¥áª ï äãªæ¨ï ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ 1, ¥ â®çª¨ e,
â® ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ä®à¬ã«®© ¯à¥®¡à §®¢ ¨ï «®£ à¨ä¬ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï: ln (e (1 + 2x)) = ln e + ln (1 + 2x) = ¡ ¢ ¡ ¢ (2x)2 (2x)3 8x3 + + o x3 = 1 + 2x − 2x2 + + o x3 . 2 3 3 ¢ ¢ ¡ ¢ ¡ ¡ ¡ ¢ x 1 · − 34 x2 14 · − 34 · − 74 x3 (1 + x)1/4 = 1 + + 4 + + o x3 = 4 2 6 ¡ ¢ x 3x2 7x3 =1+ − + + o x3 . 4 32 128
= 1 + 2x −
µ ¶ ¡ 3 ¢ 1/4 8x3 2 (ln (e (1 + 2x))) = 1 + 2x − 2x + +o x = 3 ³ ¡ ¢´ 3 ¡ ¡ ¢¢2 2x − 2x2 + 8x3 + o x3 3 2x − 2x2 + o x2 =1+ − + 4 32 ¡ ¢ 7 (2x + o(x))3 + + o x3 = 128 1/4
43
= 1+
¡ ¢ 3x2 3x3 ¡ ¢ 7x3 ¡ ¢ x x2 2x3 − + + o x3 − + + o x3 + + o x3 . 2 2 3 8 4 16
ª ª ª ãç¥â ªã¡¨ç¥áª®£® ç«¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ª®àï ª¢ ¤à ⮣® § ç¨â¥«ì® ã¯à®áâ¨â ¯à¨¢¥¤¥¨¥ ¯®¤®¡ëå á« £ ¥¬ëå, â® ¯®ª ¥ ¯à¨¢®¤¨¬ ¯®¤®¡ë¥ á« £ ¥¬ë¥. √ ¡ ¢ x x2 x3 1−x=1− − − + o x3 , 2 8 16
cos x = 1 −
¡ ¢ x2 + o x3 . 2
®á¯®«ì§ã¥¬áï â ¡«¨ç®© § ¯¨áìî ¤«ï ¯à¨¢¥¤¥¨ï ¯®¤®¡ëå ç«¥®¢ (á¬. § ¬¥ç ¨¥ 7, á. 14). f (x) = (ln (e (1 + 2x)))1/4 +
√ 1 − x − 2 cos x =
=1 + x2³
+1 − x2
−2+ +
´ 2 2 2 − x8 +x2 + + − x2 − 3x8 ³ 3 ´ ¡ ¢ 3 3 3 − x16 + o x3 = + 2x3 + 3x4 + 7x 16 µ ¶ ¡ ¢ 43 ¡ ¢ 2 3 3 = + + x3 + o x3 = x3 + o x3 . 3 4 8 24 ¡ 3¢ 43 3 x +o x f (x) 43 = lim 24 ./ lim = 3 x→0 17x + o(x3 ) x→0 g (x) 136 3
³
ਬ¥à 3.5. ©â¨
lim
x→0
´
√ − 2 6 1 + 3x4 ³ ´ . x2 x arctg x − exp 1+x + 1 2
ch x + cos
2x 2+x2
. àªâ £¥á | ¥ç¥â ï äãªæ¨ï, á«¥¤®¢ ⥫ì®, ¥£® ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ᮤ¥à¦¨â ⮫쪮 ¥ç¥âë¥ á⥯¥¨. ®á«¥ 㬮¦¥¨ï x ¯®«ã稬 ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥, ᮤ¥à¦ 饥 ⮫쪮 ç¥âë¥ á⥯¥¨. à£ã¬¥â ¯®ª § ⥫쮩 äãªæ¨¨ | ç¥â ï äãªæ¨ï, § ç¨â, á«®¦ ï äãªæ¨ï |
44
ç¥â ï, ¥¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ⮦¥ ¡ã¤¥â ᮤ¥à¦ âì ⮫쪮 ç¥âë¥ á⥯¥¨. ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ § ¬¥ ⥫ï ç«¥ë ã«¥¢®£®2 ¯®à浪 x 2 ¨ ¢§ ¨¬®³ ã¨ç⮦ âáï. «¥¥, x · arctg x ∼ x2 , 1+x 2 ∼ x ´ x2 1 − exp 1+x ∼ x2 ¯à¨ x → 0. â ª, ç«¥ë ¢â®à®£® ¯®à浪 2 â ª¦¥ ¡ 3 ¢ ¢§ ¨¬® ã¨ç⮦ âáï. ।áâ ¢«¥¨¥ ¡ 3 ¢ § ¬¥ â¥«ï ¤® o x ¥¤®áâ â®ç®, â ª ª ª ¨¬¥¥â ¢¨¤ o x ¨ ¥ ®¯à¥¤¥«ï¥â £« ¢ãî ç áâì. ä®à¬ã«®© ª«®à¥ § ¬¥ â¥«ì ¤à®¡¨ ¤® ¡ ।áâ ¢¨¬ ¢ o x5 . ª ª ª àªâ £¥á 㬮¦ ¥âáï x, â® ¥£® ¤®áâ â®ç® ¡ ¢ ¡ ¢ 3 ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¤® o x4 , â® ¥áâì arctg x = x − x3 + o x4 . ¡ 3¢ x2 ¬¥ â¥«ì ¤à®¡¨ 1+x : 2 ¤®áâ â®ç® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¤® o x ¡ ¡ 3 ¢¢ ¡ 5¢ x2 2 2 2 4 = x 1 − x + o x = x − x + o x . 1 + x2 µ ¶ ¡ ¡ ¢¢ x2 ®£¤ exp = exp x2 − x4 + o x5 = 2 1+x ¡ 2 ¡ ¢¢ 1 ¡ 2 ¡ ¢¢2 ¡ ¢ = 1 + x − x4 + o x5 + x + o x3 + o x5 = 2 ¡ ¢ 1 = 1 + x2 − x4 + o x5 . 2 ¡ ¡ ¢¢ ¦®: á« £ ¥¬®¥ ¢ ¢¨¤¥ 12 x2 + o x2 2 ¢¬¥áâ® ¡ 2 ¡ 3 ¢¢2 1 ª ¯®¨¦¥¨î â®ç®á⨠¯à¥¤á2 x +o x ¡ ¯à¨¢¥¤¥â ¢ â ¢«¥¨ï ¤® o x4 . µ ¶ 4 ¡ 5¢ ¡ 5¢ ¡ ¢ x4 x4 2 x 2 g (x) = x − +o x − 1 + x − +o x +1 = +o x5 . 3 2 6
« ¢ ï ç áâì § ¬¥ â¥«ï ©¤¥ . ®ç®áâì ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¢ë¡à ¯à ¢¨«ì®. ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ç¨á«¨â¥«ì ¤à®¡¨ ¤® ¡ ।áâ ¢¨¬ ¢ o x5 : 2 4 ch x = 1 +
¡ ¢ x x + + o x5 . 2 4!
45
2x ª ª ª 2+x 2 ∼ x ¯à¨ x → 0, ª®á¨ãá | ç¥â ï äãªæ¨ï ¨ ¥¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ᮤ¥à¦¨â ç«¥ë ⮫쪮 ç¥âëå ¡ ¢ á⥯¥¥©, â® ¥£® à£ã¬¥â ¤®áâ â®ç® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¤® o¡x4 ¢. ® ¥áâì § ¬¥ â¥«ì ¤à®¡¨ ¤®áâ â®ç® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¤® o x3 :
µ ¶ ¡ 3¢ ¡ ¢ 2x x x2 x3 = x 1 − + o x + o x4 . = = x − 2 2 x 2+x 2 2 1+ 2 µ ¶ µ ¶ ¡ 4¢ x3 2x = cos x − = ®£¤ cos + o x 2 + x2 2 ¶ µ ¡ 4¢ 2 ¡ ¢¢4 ¡ ¢ 1 x3 1 ¡ =1− +o x + x + o x2 + o x5 = x− 2 2 24 2 4 4 ¡ ¢ ¡ ¢ x x x x2 13x4 =1− + + + o x5 = 1 − + + o x5 . 2 2 24 2 24 µ ¶ p ¡ 5¢ ¡ ¢ 3x4 6 4 2 1 + 3x = 2 1 + +o x = 2 + x4 + o x5 . 6 µ ¶ ¡ 5¢ ¡ 5¢ x2 x4 x2 13x4 f (x) = 1 + + +o x + 1− + +o x − 2 24 2 24 ¡ ¢ ¡ ¡ ¢¢ 5x4 + o x5 . − 2 + x4 + o x5 = − 12 ¡ 5¢ 4 − 5x + o x f (x) 5 lim = lim x12 = − ./ 4 x→0 g (x) x→0 2 + o(x5 ) 6
ਬ¥à 3.6. ©â¨
√ e(x3 +x2 −1) e 1−2x + x+1 ¢¢ ¡ ¡ ¢¢ . lim ¡ ¡ x x→0 sh ln 1 + x − sin ln 1 + 2 2
à£ã¬¥âë £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª®£® ¨ âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª®£® á¨ãá ¢ § ¬¥ ⥫¥ ¤à®¡¨ ᮢ¯ ¤ îâ. «¥¤®¢ ⥫ì®, ç«¥ë ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ¢§ ¨¬® ã¨ç⮦ âáï. ᨫ㠥ç¥â®á⨠®¡¥¨å äãªæ¨© ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ᮤ¥à¦ â ⮫쪮 ç«¥ë ¥ç¥â®© á⥯¥¨. à¨ç¥¬ ç«¥ë âà¥â쥣® ¯®à浪 ®â«¨ç îâáï .
46
⮫쪮 § ª®¬. ®í⮬㠧 ¬¥ â¥«ì ¤à®¡¨ ä®à¡ ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ ¬ã«®© ª«®à¥ ¤® o x3 . ¡ ¢ ®£ à¨ä¬¨ç¥áªãî äãªæ¨î ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ ¤® o x3 : ³ ¡ ¢ x ´ x 1 ³ x ´2 1 ³ x ´3 ln 1 + = − + + o x3 . 2 2 2 2 3 2 µ ¶ ³ ³ ´´ ³ ´ ¡ 3¢ x x 1 x 2 1 ³ x ´3 sh ln 1 + = − + +o x + 2 2 2 2 3 2 ´3 ¡ ¢ 1 ³x + + o(x) + o x3 . 6 2
¥à¢ãî ᪮¡ªã ¬®¦® ¥ à áªàë¢ âì, â ª ª ª ® ¢§ ¨¬® ã¨ç⮦ ¥âáï á â ª®© ¦¥ ᪮¡ª®© ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª®£® á¨ãá . 㡨ç¥áª®¥ á« £ ¥¬®¥ ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ âਣ®®¬¥âà¨ç¥áª®£® á¨ãá ®â«¨ç ¥âáï ⮫쪮 § ª®¬. «¥¤®¢ ⥫ì®, g (x) = 2 ·
´3 ¡ ¢ x3 ¡ ¢ 1 ³x + o(x) + o x3 = + o x3 . 6 2 24
«®£¨ç® ¡ ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ç¨á«¨â¥«ì ¤à®¡¨ ä®à¬ã«®© ¢ ª«®à¥ ¤® o x3 : √ ¡ ¢ (2x) (2x)2 (2x)3 − − + o x3 = 1 − 2x = 1 − 2 8 16 ¡ ¢ x2 x3 =1−x− − + o x3 . 2 2 ½ ¾ ©√ ª ¡ ¢ x2 x3 exp 1 − 2x = exp 1 − x − − + o x3 = 2 2 ¾ ½ ¡ 3¢ x2 x3 − +o x = = e · exp −x − 2 2 à ¶ µ ¶ µ ¡ 3¢ ¡ 2¢ 2 1 x2 x2 x3 + +o x + x+ +o x − =e 1− x+ 2 2 2 2 ! ¡ 3¢ (x + o(x))3 − +o x = 6
47
Ã
¡ ¢¢ µ ¶ ¡ 2 ¡ 3¢ x + x3 + o x3 x2 x3 =e 1− x+ + +o x + − 2 2 2 ¶ ¡ 3¢ ¡ ¢ x3 ex3 + o x3 . = e − ex − − +o x 6 6 ¡ 3¢ 1 2 3 =1−x+x −x +o x . 1+x ¡ ¢ £ ¡ ¢¡ ¡ ¢¢¤ e x3 + x2 − 1 = e x3 + x2 − 1 1 − x + x2 − x3 + o x3 = x+1 £¡ 3 = e x (1 + o(1)) + x2 (1 − x + o(x)) − ¡ ¡ ¢¢¢¤ ¡ ¢ − 1 − x + x2 − x3 + o x3 = −e + ex + ex3 + o x3 . ¡ ¢ ¡ ¡ ¢¢ ex3 + o x3 + −e + ex + ex3 + o x3 = 6 ¡ ¢ 5ex3 + o x3 . = 6 ¡ 3¢ 5ex3 f (x) 6 +o x lim = lim x3 = 20e./ x→0 g (x) x→0 + o(x3 )
f (x) = e − ex −
24
ਬ¥à 3.7. ©â¨ lim
³ ´ √ ln (1 − 3x)2/3 − (1 + 3x)2/3 + ch 8x − 83 x2
x→0+0
.
sin (sin x) − arctg (arctg x)
.
।áâ ¢¨¬ § ¬¥ ⥫ì ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ¤® o
¡ 3¢ x :
¡ ¢ ¡ ¢ t3 t3 + o t3 , arctg t = t − + o t3 , t → 0. 3! 3 µ ¶ ¡ ¢ ¡ ¢ x3 (x + o(x))3 sin (sin x) = x − + o x3 − + o x3 = 6 6 ¡ ¢ x3 =x− + o x3 . 3 sin t = t −
48
µ ¶ ¡ 3¢ ¡ ¢ x3 (x + o(x))3 arctg (arctg x) = x − +o x − + o x3 = 3 3 ¡ ¢ 2x3 + o x3 . =x− 3 ¶ µ ¶ µ ¡ 3¢ ¡ 3¢ x3 2x3 x3 ¡ 3 ¢ g (x) = x − +o x − x− +o x = +o x . 3 3 3 ¡ ¢ ।áâ ¢¨¬ ç¨á«¨â¥«ì ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ¤® o x3 .
ª ª ª ¢ ¯¥à¢ëå ¤¢ãå á« £ ¥¬ëå ç«¥ë ç¥âëå á⥯¥¥© ᮢ¯ ¤ îâ, ¥ç¥âëå á⥯¥¥© ®â«¨ç îâáï § ª®¬, â® (1 − 3x)2/3 − (1 + 3x)2/3 = ¡2¢ ¡ 1¢ ¡ 4¢ ¡ ¢ ¡ ¢ · −3 · −3 2 8 = −2· (3x)−2· 3 (3x)3+o x3 = −4x− x3+o x3 , 3 6 3 √ ch 8x = 1 +
¡√ ¢2 ¡√ ¢4 ¡√ ¢6 ¡ ¢ 8x 8x 8x + + + o x3 = 2 24 24 · 30 ¡ ¢ 8x2 32x3 + + o x3 . = 1 + 4x + 3 45
µµ ¶ ¡ ¢ 8x3 8x2 −4x − + o x3 + 1 + 4x + + 3 3 ¶ µ ¶ ¡ 3 ¢ 8x2 ¡ 3¢ ¡ ¢ 88 3 88 32x3 +o x − = ln 1− x + o x = − x3+o x3 , + 45 3 45 45 ¡ ¢ 3 3 − 88 f (x) 88 45 x + o x lim = lim = − ./ 3 x x→0+0 g (x) x→0+0 15 + o(x3 ) f (x) = ln
3
ਬ¥à 3.8. ©â¨
¡ ¢ arctg 3 + x2 − arctg (2 + cos x) lim . x→0 ln (1 + x) − ex + 1
49
.
।áâ ¢¨¬ § ¬¥ ⥫ì ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ¤® o
¡ 2¢ x :
µ ¶ ¡ 2¢ ¡ 2¢ ¡ ¢ x2 x2 g (x) = x− +o x − 1 + x + +o x +1 = −x2 +o x2 . 2 2
à£ã¬¥âë àªâ £¥á ¢ ç¨á«¨â¥«¥ ¤à®¡¨ ª ¡ ¥ áâ६ïâáï ¢ ã«î ¯à¨ x → 0. த¨ää¥à¥æ¨à㥬 arctg 3 + x2 ¨ ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¯à®¨§¢®¤ãî ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ¤® o(x): ¡ ¡ ¢¢0 arctg 3 + x2 =
2x 1 + (3 +
®£¤ (á¬. á. 8)
x2 )2
=
1 x · 3x 5 1+ + 5
x2 10
=
x + o(x) . 5
¡ ¢ ¡ ¢ x2 arctg 3 + x2 = arctg 3 + + o x2 . 10
− sin x = 1 + (2 + cos x)2 − sin x −x + o(x) x = = = − +o(x) . 2 5 + 4 cos x + cos x 5 + 4 + o(x) + 1 + o(x) 10
«®£¨ç®
(arctg (2 + cos x))0 =
¡ ¢ x2 + o x2 . 20 µ ¶ ¡ 2¢ ¡ 2¢ ¡ ¢ x2 x2 x2 f (x) = arctg 3 + + o x − arctg 3 − + o x = + o x2 . 10 20 ¡ 220 ¢ x2 + o x f (x) 1 lim = lim 20 2 = − ./ x→0 g (x) x→0 −x + o(x2 ) 20
®£¤
arctg (2 + cos x) = arctg 3 −
³
ਬ¥à 3.9. ©â¨
lim
x→0
arcsin
√1 2
´ √ ¢ ¡ + 12 x − arctg 1 + x 2
(cos 2x)ctg x − (1 − th 5x)2/5
.
¡ 2.¢ ।áâ ¢¨¬ § ¬¥ â¥«ì ¤à®¡¨ ¯® ä®à¬ã«¥ ¥©«®à ¤® o x : à ! ¡ 3¢ ¡ ¡ ¢¢ ¡ ¢ (2x)2 ln cos 2x = ln 1− + o x = ln 1−2x2 + o x3 = −2x2+o x3 . 2
50
½
¾ cos x · ln cos 2x (cos 2x) = exp = sin x ( ¡ ¡ ¢¢ ) © ¡ ¢ª (1 + o(x)) · −2x2 + o x3 = exp −2x + o x2 = = exp 2 (x + o(x )) ¡ ¡ ¢¢ 1 ¡ ¡ ¢¢2 ¡ ¢ = 1+ −2x + o x2 + −2x + o x2 = 1−2x+2x2 +o x2 . 2 ¡ ¡ ¢¢2/5 2/5 (1 − th 5x) = 1 − 5x + o x2 = ¡ 2 ¢¢ ¡ ¢¢2 ¡ ¢ 2¡ 3 ¡ =1+ −5x + o x − −5x + o x2 + o x2 = 5 25 ¡ ¢ = 1 − 2x − 3x2 + o x2 . ctg x
¡ ¡ ¢¢ g (x) = 1 − 2x + 2x2 + o x2 − ¡ ¡ ¢¢ ¡ ¢ − 1 − 2x − 3x2 + o x2 = 5x2 + o x2 .
ç¨á«¨â¥«ì ¤à®¡¨ ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ¤® ¡ ।áâ ¢¨¬ ¢ o x2 . «ï í⮣® ¥®¡å®¤¨¬® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¯à®¨§¢®¤ë¥ ®¡®¨å á« £ ¥¬ëå ¤® o(x): µ ¶ 1 x 0 1 1 arcsin √ + = r = q = ´ ³ 1 2 2 2 √x + o(x) 2 − x 1 2 2 2 1− √ + 2
2
µ ¶ 1 1 x √ q √ =√ = 1+ + o(x) . x 2 4 2 + o(x) 2 1 − 2√ 2 µ ¶ ¡ ¢ 1 x π x x2 arcsin √ + = +√ + + o x2 . 4 2 2 2 16
«®£¨ç®
³ ´ √ ´0 1 1 ³ √ ¢ = √ 1− 2x+ o(x) . arctg 1+x 2 = √ ¡ √ 2 1+ 2x+ o(x) 2 ³ √ ´ π ¡ ¢ x x2 arctg 1 + x 2 = + √ − + o x2 . 4 2 2
51
µ f (x) =
¶ ¡ ¢ π x2 x +√ + + o x2 − 4 2 16 µ ¶ ¡ 2¢ ¡ ¢ π x x2 9x2 − +√ − +o x + o x2 . = 4 2 16 2 ¡ ¢ 2 9x + o x2 f (x) 9 lim = lim 162 = ./ 2 x→0 g (x) x→0 5x + o(x ) 80 1
3.3. ।¥« äãªæ¨¨ ¢¨¤ f (x) g(x) ¬¥ç ¨¥ 19. ¤ ®¬ à §¤¥«¥ ¢® ¢á¥å ¯à¨¬¥à å ¬ë ¨á¯®«ì§ã¥¬ ®¡®§ 票¥ f (x) ¤«ï ®á®¢ ¨ï ¨ g (x) ¤«ï ¯®ª § ⥫ï á⥯¥¨. ਬ¥à 3.10. ©â¨
! 14 Ã√ 1 − x2 x lim . x→0 cos x
. ª ª ª § ¬¥ â¥«ì ¯®ª § â¥«ï ¢ëà ¦¥¨ï ¨¬¥¥â ç¥â¢¥àâãî á⥯¥ì, ¡ ¢ â® ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ®á®¢ ¨¥ ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ¤® o x4 (á¬. á. 13). ¡ ¢ 1 − 12 x2 − 18 x4 + o x4 f (x) = = 1 4 1 − 12 x2 + 24 x + o(x4 ) µ ¶µ µ 2 ¶ ¡ ¢ ¡ ¢ x2 x4 x x4 = 1− − + o x4 1− − + + o x4 + 2 8 2 24 ! µ 2 ¶ ¡ 2¢ 2 ¡ 4¢ x + − +o x +o x = 2 ¶µ ¶ µ ¡ 4¢ ¡ 4¢ ¡ ¢ x2 5x4 x4 x2 x4 +o x 1+ + +o x = 1− +o x4 . = 1− − 2 8 2 24 6 g(x)
lim f (x)
x→0
µ ¶1 ½ ¾ ¡ 4 ¢ x4 x4 1 = lim 1 − +o x = exp − ./ x→0 6 6
52
µ
¶ 5x 5 √ arcsin x 6 3 ਬ¥à 3.11. ©â¨ lim . − cos 2x 2 x→0 3 + x ¡ ¢ . áᬮâਬ ¯®ª § ⥫ì á⥯¥¨ arcsin5 x = x5 +o x5 . ª ª ª ¢ ç¨á«¨â¥«¥ 5x, â® ®á®¢ ¨¥ ¡äãªæ¨¨ ¤®áâ â®ç® ¯à¥¤á¢ â ¢¨âì ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ¤® o x4 : µ ¶ ¡ 4¢ 6 2 x2 x4 = 1− + +o x . 2 = 2 3 + x2 3 9 1 + x3 r √ 2x4 3 3 cos 2x = 1 − 2x2 + + o(x4 ) = 3 µ ¶ ¡ 4¢ ¡ ¢¢2 ¡ ¢ 2x4 1 ¡ 1 2 −2x + +o x − −2x2 + o x2 + o x4 = = 1+ 3 3 27 ¡ ¢ 2x2 2x4 =1− + + o x4 . 3 27 µ ¶ ¡ 4¢ x2 x4 − f (x) = 2 1 − + +o x 3 9 µ ¶ ¡ 4¢ ¡ ¢ 2x2 2x4 4x4 − 1− + +o x =1+ + o x4 . 3 27 27 lim (f (x))g(x)
x→0
µ ¶ 5x ¡ 4 ¢ x5 +o(x5 ) 20 4x4 = lim 1 + +o x = e 27 ./ x→0 27 Ã
ਬ¥à 3.12. ©â¨
lim
1 − cos x
!
1
ln
(1+x)3 1+3x
2
sh x2
x→0
.
¬¥â¨¬, çâ® 1 − cos x ∼ x2 , sh¡ x2¢ ∼ x2 ¯à¨ x → 0.
᫨ ¯à¥¤áâ ¢¨âì ®á®¢ ¨¥ ¤® o x3 , â® ¯®á«¥ ᮪à2 é¥¨ï ¤à®¡¨ x2 ¬ë ¯®«ã稬 ®â®è¥¨¥ 1+o(x) 1+o(x) . ®«ã祮¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¥ ¯®§¢®«ï¥â ¢ë¤¥«¨âì £« ¢ãî ç áâì 2
.
53
2
2
®á®¢ ¨ï. ¥®¡å®¤¨¬® ãç¥áâì á«¥¤ãî騩 ç«¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ¡ ¢ ¨ ¢ë¯®«¨âì ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¤® o x4 . à¨ç¥¬ ¢â®à®© ç«¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï § ¬¥ ⥫ï è¥á⮣® ¯®à浪 , ç¨á«¨â¥«ï | ç¥â¢¥à⮣® ¯®à浪 . ®á«¥ ¢ë¯®«¥¨ï ¤¥«¥¨ï ¯à¥¤áâ ¢«¥¨© § ç¨¬ë¬ ®ª ¦¥âáï ¡ 4 ¢â®«ìª® ç«¥ ¬¥ì襩 á⥯¥¨, ¯®í⮬㠯।áâ ¢«¥¨¥ ¤® o x ¤®áâ â®ç®. ®ïᨬ: ãç¨âë¢ ï á«¥¤ãî騩 ç«¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï § ¬¥ ⥫ï, ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¡ 6 ¢ ¥®¡å®¤¨¬® ¢ë¯®«¨âì ¡ ¤à¢ x4 x6 x2 ®¡¨ ¤® o x . ® ¥áâì 1 − cos x = 2 − 24 + 24·30 + o x6 , ¡ ¢ 2 2 6 sh x2 = x2 + x48 + o x6 . f (x) =
x2 2
−
x4 24
x2 2
+
+
x6 24·30
x6 48
¡ ¢ + o x6
+ o(x6 )
=
1−
x2 12
+
1+
x4 12·30
x4 24
¡ ¢ + o x4
+ o(x4 )
=
¶µ ¶ µ ¡ 4¢ ¡ 4¢ x4 x2 ¡ ¢ x2 x4 1− = 1− +o x2 , = 1− + +o x +o x 12 12 · 30 24 12
â ª ª ª § 票¥ ¯à¥¤¥« ¢«¨ï¥â ⮫쪮 § 票¥ ¢â®à®£® ç«¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨ï ®á®¢ ¨ï. ® ¥áâì ¬ë ¢§ï«¨ «¨è¨¥ ç«¥ë ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ ¤à®¡¨. â ª, f (x) =
1 − cos x = x2 2
¡ ¢ x2 x4 − + o x4 , 2 24
¡ ¢ + o x4
−
x4 24
x2 2
+ o(x4 )
sh
¡ ¢ x2 x2 = + o x4 . 2 2
¡ ¢ 2 ¡ ¢ 1 − x12 + o x2 x2 = =1− + o x2 . 2 1 + o(x ) 12
।áâ ¢¨¬ ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ¤® ¯®ª § ⥫ï á⥯¥¨:
¡ ¢ o x2
§ ¬¥ ⥫ì
! (1 + x)3 = 3 ln (1 + x) − ln (1 + 3x) = ln 1 + 3x µ ¶ µ ¶ ¡ 2¢ ¡ 2¢ ¡ ¢ x2 9x2 =3 x− +o x − 3x − +o x = 3x2 + o x2 . 2 2 Ã
54
lim (f (x))
x→0
g(x)
1 µ ¶ ¡ 2 ¢ 3x2 +o(x2 ) 1 x2 = lim 1 − +o x = e− 36 ./ x→0 12
ਬ¥à 3.13. ©â¨
lim
x tg x ´ ³ x2 ch x − exp − 2
x→0
1 √ ln2 (x+ 1+x2 )
.
. áᬮâਬ ®á®¢ ¨¥. ¨á«¨â¥«ì ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¤® ¢â®à®£® § 稬®£® ç«¥ : µ ¶ ¡ 3¢ ¡ ¢ x4 x3 = x2 + x tg x = x x + +o x + o x4 . 3 3 ¡ 4¢ ¬¥ â¥«ì ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¤® o x : µ 2¶ ¡ ¢ x x2 x4 ch x− exp − =1+ + + o x4 − 2 2 24 µ ¶ 2 4 ¡ 4¢ ¡ ¢ x x x4 + +o x = x2 − + o x4 . − 1− 2 8 12
®£¤ f (x) =
x2 +
x4 3 x4 12
¡ ¢ + o x4
1+
x2 3 x2 12
¡ ¢ + o x2
= = x2 − + o(x4 ) 1 − + o(x2 ) µ ¶µ ¶ ¡ 2¢ ¡ 2¢ ¡ ¢ x2 x2 5x2 = 1+ +o x 1+ +o x =1+ + o x2 . 3 12 12 ¡ ¢ ®ª § ⥫ì á⥯¥¨ ¤®áâ â®ç® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¤® o x2 , â® ³ ´ √ ¥áâì ln x + 1 + x2 ¤® o(x): ³ ´ p ln x + 1 + x2 = ln (x + 1 + o(x)) = x + o(x) .
â ª,
lim (f (x))
x→0
g(x)
¶ 1 µ ¡ 2 ¢ x2 +o(x2 ) 5 5x2 +o x = e 12 ./ = lim 1 + x→0 12
55
µ
ਬ¥à 3.14. ©â¨
lim
x→0
√ ¶x2 ctg x4 etg x − 1 + 2x . 2x ch x − ln (1 + sh x)2
।áâ ¢¨¬ ¯®ª § ⥫ì á⥯¥¨ â ª, çâ®¡ë ®¯à¥¤¥«¨âì ¯¥à¢ë¥ § ç¨¬ë¥ ç«¥ë ç¨á«¨â¥«ï ¨ § ¬¥ ⥫ï: .
¡ ¢ ¡ ¡ ¢¢ x2 1 + o x4 1 + o x2 x2 cos x4 x ctg x = = = 2 . sin x4 x4 + o(x4 ) x + o(x2 ) 2
4
«¥¤®¢ ⥫ì®, ®á®¢ ¨¥ ¤®áâ â®ç® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ä®à¡ 2¢ ¬ã«®© ª«®à¥ ¤® o x . µ ¶ ¡ ¢ x2 2x ch x − ln (1 + sh x)2 = 2x 1 + + o x3 − 2 µ ¶ 3 ¡ ¡ ¢¢ ¡ ¢ x − 2 ln 1 + x + = 2x + x3 + o x4 − + o x4 6 ³ ¡ 4 ¢´2 x3 µ ¶ x + + o x 3 ¡ ¢ 6 x − 2 x + + o x4 − + 6 2 ! ¡ ¡ ¢¢3 x + o x2 (x + o(x))4 5x4 ¡ 4 ¢ + − = x2 + o x . 3 4 6 √ etg x − 1 + 2x = ½ ¾ µ ¶ ¡ 4¢ ¡ 4¢ x3 x2 x3 5x4 = exp x + +o x − 1+x− + − +o x = 3 2 2 8 µ ¶ µ ¶ ¡ 3¢ ¡ 3¢ 2 x3 1 x3 =1+ x+ +o x + x+ +o x + 3 2 3 ¡ ¢¢3 ¡ ¢¢4 ¡ ¢ 1¡ 1 ¡ + x + o x2 x + o x2 + + o x4 − 24 ¶ µ 6 ¡ 4¢ ¡ ¢ x2 x3 5x4 + − +o x = x2 + x4 + o x4 . − 1+x− 2 2 8
56
f (x) =
¡ ¢ 1 + x2 + o x2
= + o(x2 ) µ ¶ ¡ ¡ 2 ¢¢ ¡ 2¢ ¡ ¢ 5x2 x2 2 = 1+x +o x 1− +o x =1+ + o x2 . 6 6 5x2 6
1+
lim (f (x))g(x)
x→0
(x2 ) µ ¶ 1+o 2 2 ¡ ¢ x +o(x2 ) x = lim 1 + + o x2 x→0 6 Ã
ਬ¥à 3.15. ©â¨ . ª ª ª arctg x1 ∼ 3𠨬¥¥¬: x33 arctg x1 ∼ 2x 3
lim
x→+0
r 2
cos x + x ·
3
1 x+ 8
=
!
1
e 6 ./
3 arctg x3
1 x
.
¯à¨ x → 0, â® ¤«ï ¯®ª § ⥫ï á⥯¥¨ ¯à¨ x → 0¡. ¢ ᮢ ¨¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥¬ ¤® o x3 : π 2
√ ¡ ¢ 1 x2 + o x3 + x2 · 3 1 + 8x = 2 µ2 ¶ 2 ¡ ¢ ¡ ¢ 1 2 8x 4x3 x 3 +o x + x 1+ + o(x) = 1 + + o x3 . =1− 2 2 3 3 f (x) = 1 −
g(x)
lim (f (x))
x→+0
µ ¶ 3π ¡ 3 ¢ 2x3 4x3 = lim 1 + +o x x→+0 3
ਬ¥à 3.16. ©â¨
= e2π ./
x ¶ ¶ 2+cos µ µ x4 x2 + ch x lim ln 1 − . x→+0 2
. «®£¨ç® ¯à¨¬¥àã 3.15, ¢ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¨ ª®á¨ãá ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ¢ ¯®ª § ⥫¥ á⥯¥¨ § 票¥ ¯à¥¤¥« x ¢«¨ï¥â ⮫쪮 ¯¥à¢ë© ç«¥. ¨¬¥®, 2+cos ∼ x34 ¯à¨ x → 0. x4
57
।áâ ¢¨¬ ä®à¬ã«®© ª«®à¥ ®á®¢ ¨¥ ¤® o f (x) =
¡ 4¢ x :
µ 2 ¶ ¡ ¢ x x4 − − + o x4 + 2 8 µ ¶ ¡ 4¢ ¡ ¢ x2 x4 x4 + 1+ + +o x =1− + o x4 . 2 24 12 g(x)
lim (f (x))
x→+0
=
µ ¶3 ¡ 4 ¢ x4 x4 lim 1 − +o x x→+0 12
=
1
e− 4 ./
4. 4.1. ।áâ ¢«¥¨¥ ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¤ ç 1. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ x0 =´ 5 äãªæ¨î y = log3 (2x2 − 20x + 53) ¤® ³ o (x − 5)2n+1 . ¤ ç 2. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á⨠´ ³ 3 −6x2 +12x x â®çª¨ x0 = 2 äãªæ¨î y = 5 ¤® o (x − 2)3n+2 . ¤ ç 3. ³à¥¤áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨î y = ´ 2n 2 = x sh x ¤® o (x) . ¤ ç 4. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á⨠³ ´ 2n x2 +2x+2 â®çª¨ x0 = −1 äãªæ¨î y = (x + 1) ln 1−2x−x . 2 ¤® o (x + 1) ¤ ç 5. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®©¡ ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á¢ ⨳ â®çª¨ x0 ´= − π4 äãªæ¨î y = x + π4 (sin x + cos x) ¤® o
¡ ¢2n+1 x + π4 .
¤ ç 6. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á⨠2 â®çª¨ x0 = 2 äãªæ¨î y = x√3−4x+4 ¤® o((x − 2)n ). 7−3x ¤ ç 7. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á⨳ â®çª¨ x´0 = −2 äãªæ¨î y = cos (x + 2) · cos (x + 3) ¤® o (x + 2)2n . ¤ ç 8. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á⨠³ ´ â®çª¨ x0 = 3 äãªæ¨î y = sh (x − 3) ch (x − 4) ¤® o (x − 3)2n . 58
¤ ç 9. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á⨳ â®çª¨ x0 ´ = 12 äãªæ¨î y = (2x + 3) e4x2 +4x−3 ¤® ¡ ¢2n+1 o x − 12 . ¤ ç 10. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á⨠(x2 +6x+8)(x2 +6x+10) ¤® â®çª¨ x0 = −3 ³ ´ äãªæ¨î y = (x + 5) e o (x + 3)4n+3 . ¤ ç 11. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á⨠n x−2 â®çª¨ x0 = 2 äãªæ¨î y = (x−3) 2 ¤® o((x − 2) ). ¤ ç 12. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á⨠³ ´ x−1 â®çª¨ x0 = 1 äãªæ¨î y = (4x−2x2 −1)2 ¤® o (x − 1)2n . ¤ ç 13. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á⨠2 â®çª¨ x0 = −1 äãªæ¨î y = 2xx2 +2x−7 ¤® o((x + 1)n ). +x−2 ¤ ç 14. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á⨠n â®çª¨ x0 = −1 äãªæ¨î y = −x3x+9 2 −x+2 ¤® o((x + 1) ). ¤ ç 15. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ¥©«®à ³ ¢ ®ªà¥áâ®á⨠´ x+2 â®çª¨ x0 = −1 äãªæ¨î y = x(x2 +3x+3) ¤® o (x + 2)3n+2 . ¤ ç 16. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ x0 = −1 äãªæ¨î y = (x + 2) ln (x + 3) ¤® o((x + 1)n ). ¤ ç 17. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¡ 2 ¢ √ ¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ x = 1 äãªæ¨î y = x − 2x − 1 ln x2 − 2x + 5 ¤® 0 ³ ´ o (x − 1)2n+1 . ¤ ç 18. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á´(x2 −x+ 5 ) ³ 4 ⨠â®çª¨ x0 = 12 äãªæ¨î y = log5 3+2x ¤® 5−2x o
³¡ ¢2n ´ x − 12 .
¤ ç 19. ।áâ ¢¨âì¡ä®à¬ã«®© ¥©«®à ³¢ ®ªà¥áâ®á⨠´ ¡ ¢ ¢ π 2 â®çª¨ x0 = 2 äãªæ¨î y = x − πx cos2 x ¤® o x − π2 2n+1 . ¤ ç 20. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© 2¥©«®à ¡ ¢ ®ªà¥áâ®á¢ ⨳ â®çª¨ x´0 = −1 äãªæ¨î y = 5x +10x−3 1 + sin πx ¤® x+1 2 2n o (x + 1) . ¤ ç 21. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á⨠59
√
â®çª¨ x0 = −1 äãªæ¨î y = (x + 2) −x ¤® o((x + 1)n ). ¤ ç 22. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¡ ¢¢ ®ªà¥áâ®á⨳ â®çª¨ x0´ = 2 äãªæ¨î y = x2 − 4x 2x2 −4x+5 ¤® o (x − 2)2n+1 . ¤ ç 23. ।áâ ¢¨âì¡ ä®à¬ã«®© ¢ ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ x0 = 3 äãªæ¨î y = x2 − 6x e6−2x ¤® o((x − 3)n ). ¤ ç 24. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨î ³ ´ ¡ 2 ¢ 2 2n+1 y = x − 3 ch x ¤® o (x) . ¤ ç 25. ।áâ ¢¨âì ³ ´ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨î ¡ ¢ 2n 3 y = 4x − x sh 2x ¤® o (x) . ¤ ç 26. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®©¡ ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á¢ π π ⨳ â®çª¨ x0 ´= − 4 äãªæ¨î y = x + 4 sin x + cos x ¤® o
¡ ¢2n+1 x + π4
¤ ç 27. ।áâ ¢¨âì ¡ä®à¬ã«®© ¢ √¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ x0 = −1 äãªæ¨î y = x2 + 2x −2x − 1 ¤® o((x + 1)n ). ¤ ç 28. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¡ √ ¢ ¢®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ x0 = 4 äãªæ¨î y = (2x − 6) sh ln x − 1 + √x−3 ¤® x−1 n o((x − 4) ). ¤ ç 29. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ®ªà¥áâ®á¡ 2 ¥©«®à ¢ ¡ ¢√ ¢ 4 ⨠â®çª¨ x0 = −3 äãªæ¨î y = x + 6x th ln x + 7 ¤® o((x + 3)n ). ¤ ç 30. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á⨠³ ´ 2x+8 â®çª¨ x0 = −3 äãªæ¨î y = arctg 1−x ¤® o (x + 3)2n . ¤ ç 31. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á⨠¡√ ¢ â®çª¨ x0 = 4 äãªæ¨î y = ln 5 + x + 3 ¤® o((x − 4)n ). ¤ ç 32. ä®à¬ã«®© ª«®à¥ äãªæ¨î q ।áâ ¢¨âì ¡ 2n+1 ¢ 1 3 y = x arcsin 2 − x ¤® o x . ¤ ç 33. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á⨠â®çª¨ x0 = −2 äãªæ¨î y = (x + 2) arccos √x(x+2) ¤® 2 +4x+5 ³ ´ o (x + 2)2n+1 . ¤ ç 34. ।áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®© ¥©«®à ¢ ®ªà¥áâ®á⨠60
â®çª¨
x0 = 1 ³ ´ o (x − 1)2n .
äãªæ¨î
¡ ¢ x−1 y = x2 − 2x + 3 arccos √10−2x+x 2
4.2. ëç¨á«¥¨¥ ¯à¥¤¥«®¢ ©â¨ ¯à¥¤¥«ë 1.
lim
tg x −
x 1+x2
x→0 arcsin x
−x
.
2
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10 . 11 .
cos x − ex lim √ . x→0 1 + x2 − 1 √ 2x 4 ch 2+x cos x − 1 2 + 4 ln √ lim . 2 x→0 e−x /2 − 1 − x2 µ ¶ 2 12 cos x sin (1−x) √ 1 lim x − ln x . x→1 2 1 ³√ x ´ sin2 (x−2) lim 3 − x + ln . x→2 2 ´ ³√ ln 1 + x2 − x + tg x ¡ ¢ . lim x→0 x ch x − ex2 etg x − x − ch x . lim x→0 sin x − arctg x √ arcsin (xex ) − x 3 1 + 3x lim . x→0 ln (1 + sin 2x) − 2 sh (x − x2 ) µ ¶ 2 x arcsin x ctg x lim . x→0 ln (1 + x2 ) √ 2 e2 sin x+x − 1 + 4x − 5x2 ³ ´ lim . x→0 sh 2x − ln 1+x 1−x √ x 3 3x + ch 2x − arctg −x x lim . −x/2 x→0 tg x · e − ln (1 + x)
61
¤®
µ 12 . 13 . 14 . 15 .
16 . 17 .
18 .
19 .
lim
x→0
¶ 1 1−cos x sh x + arcsin x . ch x − cos x + x
lim (1 + sin (ex − 1) + ln (1 − x))
x→0
21 .
.
√ 1 x 3 e sin x − (1 + 2x) 2x − ex 3 1 − 5x + 2e 9x lim . x→0 tg sh x − x √ 2 ex /2 arcsin x − 3 cos 3x sh x ³ ´ lim . x x→0 ln 1+arctg 1−arctg x − 2x cos x √ ¡ ¢ ln ch x − tg2 12 sh x √ lim . x→0 e 1+x2 −1 − ch x á ¢2 ¡ ¢−2 2 3 !1/x 1 + x2 − 1 − x2 + 3x lim . x→0 (tg x − arctg x) ln (e + x) ³√ ´ ¡√ ¢ arccos 23 + x4 − arcctg 3 + 2x lim ¡ ¡ √ ¢¢ctg x . x→0 ch x 3 − (1 + tg 2x)3/4 à ! x12 √ 3 tg x − x3 − x5 2 lim − 2 ln (cos x) . x→0 sin x + sh x x µ
20 .
sh2 x x5
lim
x→+0
1
x sh x sin4 x − + sin x x 10
µ ¡ ¡ ¢¢−1 lim 1 − sh x2 − x ·
x→0
π + sh 2x − 4 arctg (ex ) . x→0 tg x − sin x
23 .
x + 2 ln ln(1+x) x . x→0 π − 2 arcsin (1 − 2x4 ) lim
62
.
3 ¶ x−ln(1+x+x2 ) 1 + tg x cos x
22 .
lim
¶ ln(tg x)
24 .
25 . 26 . 27 .
¶ 4 x x+2 x ln lim e . x→+∞ 4 x−2 !x4 Ã√ √ 2 + 2x − x2 − 2x x2 x . lim e− 2 x→+∞ 2 µ µ µ ¶¶ ¶ x+1 1 2 2 1 + 4 ln x . lim ln tg ln − sh + x→+∞ x x x3 ³ ³ ´´ p 3 lim 4 ln x − ln x ctg x − 1 − sh2 x . 2
µ
− x3
x→+0
µ µ ¶¶ 1 1 cos x 28 . lim 3 ln x − ln − sin 2x − . x→+0 x 3 sh x
5.
5.1. ।áâ ¢«¥¨¥ ä®à¬ã«®© ¥©«®à
³ ´ (x − 5)2k + o (x − 5)2n+1 . k=1 ³ ´ n 8 k P 3k 3n+2 5 ·ln 5 2. (x − 2) + o (x − 2) . k! 1. 1 +
3.
k=0 n−1 P k=1
n P (−1)k−1 ·2k 3k ·k·ln 3
22k−1 2k+1 (2k)! x
4 . (x + 1) ln 2 + 5.
n−1 P k=0
√ 2 (−1) (2k+1)! k−1
¡ ¢ + o x2n . n−1 P³
(−1)k−1 +
k=1
1 2k
´
(x+1)2k+1 k
³ ´ + o (x + 1)2n .
³¡ ¡ ¢2k+2 ¢2n+1 ´ x + π4 + o x + π4 .
6 . (x − 2)2 +(x − 2)3 +2 (x − 2)4 +
n−2 P k=3
+ o((x − 2)n ) .
63
(3k−2)(3k−5)·...·1 k!
(x − 2)k+2 +
´ n ³ P (−1)k 22k−2 sin 1 (−1)k 22k−1 cos 1 2k−1 2k 7 . cos 1+ (x + 2) + (x + 2) + (2k−1)! (2k)! k=1 ´ ³ + o (x + 2)2n . ´ ³ ´ n ³ 2k−2 P 2k−1 2k 2n 2 ch 1 22k−1 sh 1 8. (x − 3) + (x − 3) +o (x − 3) . (2k−1)! (2k)! k=1 ³ ´ ³ ´ n ¢2k 2·4k ¡ ¢2k+1 ¡ ¢2n+1 ¡ P 4k+1 9. x − 12 + e4 ·k! x − 12 + o x − 12 . e4 ·k! k=0 ´ ³ ´ n ³ P 4k 4k+1 4n+3 −2 1 10 . (x + 3) + (x + 3) + o (x + 3) . e·k! e·k! 11 .
k=0 n−1 P
k (x − 2)k+1 + o((x − 2)n ) .
k=0 n−1 P
³ ´ 2n 12 . k (x − 1) + o (x − 1) . k=0 ³ ´ n P 1 (−1)k − 2k+1 (x + 1)k + o((x + 1)n ) . 13 . 52 + k=1 ´ n ³ P 1 14 . (−1)k + 2k−1 (x + 1)k + o((x + 1)n ) . k=0 ´ ³ ´ n ³ P 15 . − (x + 1)3k − (x + 1)3k+1 + o (x + 1)3n+2 . 2k+1
k=0
n ¡ ¢ P (−1)k (k+1) (x + 1)k + o((x + 1)n ) . 16 . ln 2 + ln 2 + 12 (x + 1) + 2k ·k(k−1) k=2
n ¢ ¡ P (−1)k (2k−1) 17 . − ln 4 + ln 2 − 41 (x − 1)2 + (x − 1)2k + 4k ·k(k−1) k=2 ³ ´ + o (x − 1)2n+1 . ³¡ ¢ n−1 ¢ ¢ ´ ¡ P (10k+3) ¡ 1 2n 1 2k+1 x − x − + o . 18 . ln 51 · x − 12 + 2 k 2 2 (4k −1)4 ln 5 π2 4
19 . − + ³¡ ¢2n+1 ´ . + o x − π2
k=1 n P (−1)k−1 22k−3 (2k)! k=2
¡ 2 ¢¡ ¢2k 4k − 2k + π 2 x − π2
+
n ¢ P (−1)k π 2k−2 ¡ 20k 2 − 10k + 5π 2 (x + 1)2k−1 + 20 . − π 2 (x + 1) + 22k−2 (2k)! k=2 ³ ´ 2n + o (x + 1) .
64
21 . 1 +
1 2
(x + 1) −
5 8
(x + 1)2 −
n P (2k−5)!! 2k ·k!
k=3
(4k − 3) (x + 1)k +
+ o((x + 1)n ) . ³ ´ n P 2k 2n+1 2 lnk−1 2 22 . − 8 + (k − 4 ln 2) (x − 2) + o (x − 2) . k! k=1
23 . − 9 + 18 (x − 3) +
k=2
+ o((x − 3)n ) . 24 . − 3 + 2x2 + 25 .
8x2
+
n−1 P
n ¢ P (−2)k−2 ¡ 2 k − k − 36 (x − 3)k + k!
n 2k−3 ¡ ¢ 2k ¡ 2n+1 ¢ P 2 2 . (2k)! 4k − 2k − 12 x + o x
k=2 22k−1 (2k+1)!
¡ ¢ ¡ ¢ 16 − 4k 2 − 4k x2k+1 + o x2n .
k=1 n ³ P
¢2k (−1)k (1−2k) ¡ √ + + 26 . x + π4 2(2k)! k=1 ´ ³¡ ¢2n+1 . + o x + π4 √1 2
(−1)k+1 (2k) √ 2(2k+1)!
¡ ¢2k+1 ´ + x + π4
27 . − 1 + (x + 1) + 32 (x + 1)2 − 12 (x + 1)3 n ¢ P (2k−7)!! ¡ 2 3k − 17k + 15 (x + 1)k + o((x + 1)n ) . + k! k=4 √ √ √ 2 7 3 11 3 28 . 3 + (x − 4) + 6 72 (x − 4) n P (−1)n (2k−5)!! (4k + 3) (x − 4)k + o((x − 4)n ) . + 6k k!
+
2 19 29 . − 27 + 3 (x + 3) + 8 (x + 3) n P (−1)k ·4·(2k−5)!! + (14k − 9) (x + 3)k + o((x + 3)n ) . 8k k!
+
+
k=3
k=3
30 . arctg 12 + 31 . ln 6 +
n−1 P k=0
n P (−1)k−1 (2k−1)!! k=4
32 . 33 .
π 4x
− x2 +
n−1 P
(−1)k 2k+1
k=0
34 . π
(−1)k 22k+1 (2k+1)
2k+1 ·9k ·k·k! n−1 P k=1
³ ´ (x + 3)2k+1 + o (x + 3)2n (x − 4)k + o((x − 4)n )
(−1)k−1 2k (2k−1)!! 2k+2 x k!(2k+1)
¡ ¢ + o x2n+1
³ ´ (x + 2)2k+2 + o (x + 2)2n+1 +
2 9
(x − 1)
+
65
π 2
(x − 1)2
+
+
n−1 P k=1
(−1)k 9k+1
³
2 2k+1
−
9 2k−1
´
³ ´ (x − 1)2k+1 + o (x − 1)2n
5.2. ëç¨á«¥¨¥ ¯à¥¤¥«®¢ 1 1 1 . − 4. 2 . − 3. 3 . − 13 6 . 4 . exp{ 8 cos2 1 }. 5 . exp{− 4 }. 1 5 2 3 8 6 . 3 . 7 . 3. 8 . 3 . 9 . exp{ 3 }. 10 . − 2 . 11 . − 3 . 12 . exp{ 13 }. √ √ 13 . exp{− 13 }. 14 . 13. 15 . 6. 16 . − 2. 17 . e4 . 18 . 43 . 19 . e. 10 1 4 3 20 . e2 . 21 . exp{− 15 2 }. 22 . 3 . 23 . 24 . 24 . exp{ 5 }. 25 . exp{ 2 }. 5 3 26 . ln 4 . 27 . ln 5. 28 . ln 10 .
66
