Обратные тригонометрические функции: Элективный курс для учащихся 10-11-х профильных классов

Тамбовский областной институт повышения квалификации работников образования

Дятлук Е.Н., Милосердова Л.А.

Элективный курс «Обратные тригонометрические функции» для учащихся 10-11-х профильных классов

Учебно-методическое пособие

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА. Актуальность курса. Предлагаемый курс предназначен для тех, кто готовит учащихся к школьным выпускным экзаменам и к конкурсным экзаменам по математике при поступлении в высшие учебные заведения. Он призван как можно полнее расширить рамки математических знаний каждого ученика, учитывая уровень его математической подготовки. Несмотря на то, что «Тригонометрия»- одна из центральных тем программы, и на ней сосредоточено внимание учащихся, по- прежнему задания, содержащие тригонометрические функции, являются одними из самых сложных для выпускников. Обратным тригонометрическим функциям в стандартных школьных учебниках, к сожалению, должного внимания не уделяется. Изучают определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и котангенса только лишь для того, чтобы затем перейти к решению тригонометрических уравнений и неравенств. Однако немаловажную роль играют и понятия аркфункций и их свойства. Материал не изложен в учебниках, но содержится в программе ЕГЭ и Всероссийского централизованного тестирования. Цели курса: -повышение уровня математической культуры учащихся, - формирование устойчивого интереса к математике у учащихся, имеющих к ней склонности, и развитие их математических способностей; -формирование умений решать задачи, отвечающие требованиям для поступающих в вузы, где математика является одним из профилирующих предметов. Для реализации этой цели необходимо решение следующих задач: - углубить теоретические знания учащихся по теории обратных тригонометрических функций; -сформировать представление о методах и способах решения уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции; -развитие исследовательских умений и навыков учащихся. Программа курса предполагает дальнейшее развитие у школьников математической, исследовательской и коммуникативной компетентностей. Курс направлен на более глубокое понимание и осознание математических методов познания действительности, на развитие математического мышления учащихся, устной и письменной математической речи. На занятиях решаются нестандартные задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил, определяющих точный алгоритм их решения. Учащиеся учатся находить и применять различные методы для решения задач. Требования к уровню усвоения курса. По окончанию изучения курса учащиеся должны уметь: выполнять построения графиков обратных тригонометрических функций; применять теорию к преобразованию выражений с аркфункциями; решать уравнения и неравенства с аркфункциями; владеть: методами исследования свойств обратных тригонометрических функций; различными методами решения уравнений и неравенств с аркфункциями. В процессе изучения курса предполагаются следующие виды обучения: традиционное (объяснительно-иллюстративное) обучение, деятельностное (самостоятельное добывание знаний в процессе решения учебных проблем, развитие творческого мышления и познавательной активности учащихся) и инновационное (самообразование, саморазвитие учащихся посредством самостоятельной работы с информационным материалом).

Эти виды обучения предполагают следующие формы организации обучения: - коллективные, индивидуальные и групповые; - взаимного обучения, самообучение, саморазвитие. Занятия включают в себя теоретическую и практическую части, в зависимости от целесообразности – лекции, консультации, практикумы, самостоятельную и исследовательскую работу. Эффективность обучения отслеживается следующими формами контроля: - математический диктант; - срезы знаний и умений в процессе обучения; - итоговый контроль. Итоговый контроль предусматривает выполнение контрольной работы. Показателем эффективности обучения следует считать повышающийся интерес к математике, творческую активность и результативность учащихся. Курс рассчитан на 16 часов, однако его программа может корректироваться. Учитывая особенности школы, класса, уровень подготовки учащихся, учитель может изменять последовательность изучения материала, уровень его сложности, самостоятельно распределять часы и выбирать конкретные формы занятий. Примерный учебно-тематический план (16 ч) № п/п 1.

Тема занятия Функции у=arcsinx y=arccosx y=arctgx

Теоретические занятия

Практические занятия

2

2

y=arcctgx. 2.

Операции над обратными тригонометрическими функциями.

4

3.

Обратные тригонометрические операции над тригонометрическими функциями.

2

4.

Уравнения с аркфункциями.

2

5.

Неравенства с аркфункциями.

2

6.

Контрольная работа.

2

Итого:

2 ВСЕГО:

14 16

В результате изучения данного курса учащийся должен овладеть следующими общеучебными и коммуникационными компетенциями: -приводить полные обоснования при решении задач, используя при этом изученные теоретические сведения, необходимую математическую символику,

-уметь точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и применять их, излагая собственные рассуждения при решении задач, -свободно оперировать аппаратом алгебры и тригонометрии при решении задач, -уметь самостоятельно и мотивированно организовывать свою познавательную деятельность (от постановки цели до получения и оценки результата), -творчески решать учебные и практические задачи: уметь мотивированно отказываться от образца, искать оригинальные решения, -уметь вести диалог в групповом взаимодействии, следовать этическим нормам и правилам ведения диалога, -уметь самому убеждать и доказывать, приводить примеры, подбирать аргументы, формулировать выводы. Содержание курса Занятие 1 (2 ч). Тема: Функции y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x. Цель: полное освещение данного вопроса. I.Функция y = arcsin х. Рассмотрим функцию y = sin x. Так как область определения этой функции - вся ось Ох, а область изменения значений - отрезок [-1; 1], то об обратной функции (по отношению к функции y = sin x) имеет смысл говорить только на отрезке [-1; 1] оси Оу. Пусть, например, известно, что у = sin x = а, где -1 ≤ а ≤ 1. Сколько значений х можно найти из последнего уравнения? На рис. 1 видно, что существует бесконечно много значений аргумента х (х1, х2, х3, ...), обладающих тем свойством, что

<Рисунок 1> sin xi = a, где i = 1, 2, ... . Для того, чтобы получить обратную (однозначную) функцию к функции y = sin x, достаточно рассмотреть какой-либо наибольший отрезок оси Ох, на котором функция y = sin x или монотонно возрастает, или монотонно убывает. Функция y = sin x монотонно возрастает от -1 до +1, наπ ⎡ π π⎤ ⎡ π ⎤ пример, на отрезке ⎢− , ⎥ и вообще на любом отрезке вида ⎢− + 2πκ , + 2πκ ⎥ , где k = 0, ± 1, 2 ⎣ 2 2⎦ ⎣ 2 ⎦ 3π ⎡π ⎤ ± 2, ... . Она монотонно убывает от +1 до -1 на любом отрезке вида ⎢ + 2πκ , + 2πκ ⎥ , где k = 2 ⎣2 ⎦ 0, ± 1, ± 2, ... На всей оси Ох функция y = sin x обратной (однозначной) функции не имеет. На каждом же из отрезков монотонности функция y = sin x имеет обратную функцию. Остается теперь зафиксировать какой-либо из этих отрезков. В качестве отрезка оси Ох, на котором рассматривается

⎡ π π⎤ функция y = sin x и обратная к ней функция, обычно берут отрезок ⎢− , ⎥ . Итак, рассмотрим ⎣ 2 2⎦ ⎡ π π⎤ функцию y = sin x на отрезке ⎢− , ⎥ . На этом отрезке функция y = sin x монотонно возрастает, ⎣ 2 2⎦ принимая все значения от -1 до +1. Следовательно, для любого у0 из отрезка [-1, 1] оси Оу найдет⎡ π π⎤ ся, и притом только одно, значение х0 из отрезка ⎢− , ⎥ оси Ох такое, что у0 = sin х0, т.е. для ⎣ 2 2⎦ функции y = sin x на указанном отрезке существует обратная (однозначная) функция, которую условились называть арксинусом и обозначать так: х = arcsin y. Меняя, как обычно, обозначения, пишут y = arcsin x. График обратной функции симметричен с графиком основной функции относительно биссектрисы I - III координатных углов.

<Рисунок 2> Свойства функции y = arcsin x. 1)Область определения: отрезок [-1; 1]. ⎡ π π⎤ 2)Область значений: отрезок ⎢− , ⎥ . ⎣ 2 2⎦ 3)Функция y = arcsin x нечетная: arcsin (-x) = - arcsin x. ⎡ π π⎤ 4)Функция y = arcsin x монотонно возрастающая на [-1; 1] от ⎢− , ⎥ . ⎣ 2 2⎦ 5)Функция y = arcsin x отрицательна на [-1; 0) и положительна на (0; 1], аrcsin 0 =0. ⎡ π π⎤ Перечисленные свойства вытекают из свойств функции y = sin x на отрезке ⎢− , ⎥ . ⎣ 2 2⎦ ⎡ π π⎤ ОПР. Арксинусом числа а называется такое число из отрезка ⎢− , ⎥ , синус которого равен а. ⎣ 2 2⎦ 1 Пример 1. Найти α = arcsin . Данный пример подробно можно сформулировать так: найти такой 2 π π 1 аргумент α, лежащий в пределах от − до , синус которого равен . 2 2 2 1 Решение. Существует бесчисленное множество аргументов, синус которых равен , например: 2 π 5π 13π −7π , , , и т.д. Но нас интересует только тот аргумент, который находится на отрезке 6 6 6 6

π 1 π ⎡ π π⎤ ⎢− 2 , 2 ⎥ . Таким аргументом будет 6 . Итак, arcsin 2 = 6 . ⎣ ⎦ ⎛ 3⎞ Пример 2. Найти α = arcsin⎜ − ⎟ . ⎝ 2 ⎠ ⎛ π 3⎞ Решение. Рассуждая так же, как и в примере 1, получим arcsin⎜ − ⎟ = − . 3 ⎝ 2 ⎠ Устные упражнения. 1 1 3 2 3 Найти: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin , arcsin ( − ), arcsin , arcsin ( − , arc), arcsin 2 2 2 2 2 2 ), arcsin 0. sin ( − 2 ⎛ 3 π 3⎞ π ⎡ π π⎤ ⎛ π⎞ Образец ответа: arcsin⎜ − ⎟ = − . , т.к. − ∈ ⎢− ; ⎥ , sin⎜ − ⎟ = − ⎝ 3⎠ 2 3 3 ⎣ 2 2⎦ ⎝ 2 ⎠

⎛ Имеют ли смысл выражения: arcsin⎜ − ⎝ Расположите в порядке возрастания: а)arcsin

π

6

, arcsin (-0,3), arcsin 0,9;

(

)

2⎞ ⎟ ; arcsin 1,5; arcsin 3 − 20 ? 3⎠

б) arcsin (-0,5), arcsin (-0,7), arcsin

π 8

.

II. Функция y = arccos x. Функция y = cos x определена на всей оси Ох и изменяется в отрезке [-1, 1] оси Оу. Если поставить вопрос об определении тех х, при которых y = cos x = a, где -1 ≤ а ≤ 1, то увидим, что эта задача решается неоднозначно. На рис. 3

<Рисунок 3> видно, что существует бесконечно много значений аргумента х (х1, х2, х3, ...), обладающих тем свойством, что cos xi = a, где i = 1, 2, ... . Для того, чтобы мы могли ввести функцию, обратную по отношению к функции y = cos x, нам нужно взять наибольший отрезок оси Ох, на котором она или монотонно возрастает, или монотонно убывает. Функция y = cos x монотонно возрастает от -1 до +1 на любом отрезке вида ( 2κ − 1) ⋅ π ,2πκ , где k = 0, ± 1, ± 2, ... ; она монотонно убывает от +1 до

[ ] -1 на любом отрезке вида [ 2πκ ,( 2κ + 1)π ] , где k = 0, ± 1, ± 2, ...

В качестве отрезка оси Ох, на котором рассматривается функция y = cos x и обратная к ней функция, обычно берут отрезок [0, π]. На этом отрезке функция y = cos x монотонно убывает, принимая все значения от +1 до -1. Следовательно, для любого у0 из отрезка [-1, 1] оси Оу найдется, и

притом только одно, значение х0 из отрезка [0, π] такое, что у0 = cos х0, т.е. для функции y = cos x на указанном отрезке существует обратная (однозначная) функция, которую условились называть арккосинусом и обозначать так: х = arccos y. Меняя, как обычно, обозначения, пишут: y = arccos x. График функции y = arccos x симметричен с графиком функции y = cos x относительно биссектрисы I - III координатных углов. Свойства функции y = arccos x вытекают из соответствующих свойств функции y = cos x на отрезке [0, π] и видны из графика на рис. 4.

<Рисунок 4> Перечислим эти свойства: 1) Область определения: отрезок [-1; 1]. 2) Область значений: отрезок [0, π]. 3) Функция y = arccos x ни четная, ни нечетная. Для нее выполняется тождество arccos (-x) = π - arccos x. 4) Функция y = arccos x монотонно убывающая на [-1; 1] от π до 0. ⎛ π⎞ 5) График пересекает ось Ох в точке (1, 0), а ось Оу в точке ⎜ 0, ⎟ . ⎝ 2⎠ 6) Функция y = arccos x положительна на [-1, 1), arccos 1 = 0. ОПР. Арккосинусом числа а называется такое число из отрезка [0, π], косинус которого равен а. ⎛ 3⎞ Пример 1. Найти α = arccos ⎜ − ⎟ . ⎝ 2 ⎠ Подробно данный пример можно сформулировать так: найти такой аргумент α, лежащий в преде3 лах от 0 до π, косинус которого равен − . 2 3 Решение. Существует бесчисленное множество аргументов, косинус которых равен − , напри2 5π 7π −5π −7π мер: и т.д. Но нас интересует только тот аргумент, который находится на отрез, , , 6 6 6 6 ⎛ 3 ⎞ 5π 5π . Итак, arccos⎜ − ⎟ = . ке [0, π]. Таким аргументом будет 6 6 ⎝ 2 ⎠ ⎛ 2⎞ ⎟. Пример 2. Найти α = arccos⎜ ⎝ 2 ⎠

⎛ 2⎞ π ⎟= . Решение. Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, получим arccos⎜ ⎝ 2 ⎠ 4 Устные упражнения. Найти: arccos 1, arccos 0, arccos

⎛ 3 2 3⎞ ⎛ 1⎞ , arccos ⎜ − ⎟ , arccos ⎜ − ⎟ , arccos . ⎝ 2⎠ 2 2 ⎝ 2 ⎠

Имеют ли смысл выражения: arccos

5 , arccos

( )

2 , arccos π, arccos − 3 ? 3

Расположите в порядке возрастания: а)arccos 0,4; arccos (-0,2); arccos (-0,8);

б)arccos 0,9; arccos (-0,6); arccos

π 5

;

III. Функция y = arctg x. Рассмотрим функцию y = tg x. Область определения этой функции - вся ось Ох, за

π

⋅ ( 2 n + 1) , где n = 0, ± 1, ± 2, ... , и область изменения значе2 ний - вся ось Оу. Об обратной функции (по отношению к функции y = tg x) можно уже говорить для всей оси Оу. Задача нахождения х из уравнения tg x = a и здесь имеет бесчисленное множество решений. На рис.5 видно,

исключением точек вида xn =

<Рисунок 5>

что существует бесконечно много значений аргумента х (х1, х2, ...), таких, что tg xi = a, где i = 1, 2, ... . Для того, чтобы получить обратную (однозначную) функцию к функции y = tg x, достаточно рассмотреть какой-либо наибольший интервал оси Ох, на котором она монотонно возраста⎛ π π⎞ ет. Функция y = tg x монотонно возрастает от - ∞ до + ∞, например, на интервале ⎜ − , ⎟ и во⎝ 2 2⎠

π ⎞ ⎛ π обще на любом интервале вида ⎜ − + πκ , + πκ ⎟ , где k = 0, ± 1, ± 2, ... В качестве интервала оси ⎠ ⎝ 2 2 Ох, на котором рассматривается функция y = tg x и обратная к ней функция, берут обычно интер⎛ π π⎞ вал ⎜ − , ⎟ . ⎝ 2 2⎠ На этом интервале функция y = tg x монотонно возрастает, принимая все значения от - ∞ до + ∞.

Следовательно, для любого у0, лежащего на оси Оу, найдется, и притом только одно, значение х0 ⎛ π π⎞ из интервала ⎜ − , ⎟ такое, что у0=tg х0, т.е. для функции y = tg x на указанном интервале суще⎝ 2 2⎠ ствует обратная (однозначная) функция, которую условились называть арктангенсом и обозначать так: х = arctg y. Меняя, как обычно, обозначения, пишут: y = arctg x. График функции y = arctg x симметричен с графиком функции y = tg x относительно биссектрисы I - III координатных углов. Свойства функции y = arctg x вытекают из соответствующих свойств функции y = tg x на ⎛ π π⎞ интервале ⎜ − , ⎟ и видны из графика на рис. 6. ⎝ 2 2⎠

<Рисунок 6> Перечислим эти свойства: 1) Область определения: х - любое действительное число. ⎛ π π⎞ 2) Область значений: интервал ⎜ − , ⎟ . ⎝ 2 2⎠ 3) Функция y = arctg x нечетная: arctg (-x) = - arctg x. 4) Функция y = arctg x монотонно возрастающая на R. 5) arctg x < 0 на (- ∞; 0) и arcctg x > 0 на (0; + ∞), arctg 0 = 0. 6) Прямые y =

π

2

и y=−

π

2

- горизонтальные асимптоты графика.

⎛ π π⎞ ОПР. Арктангенсом числа а называется такое число из интервала ⎜ − , ⎟ , тангенс которого ра⎝ 2 2⎠ вен а. ⎛ 3⎞ Пример 1. Найти α = arctg ⎜ ⎟ . ⎝ 3⎠ Подробно данный пример можно сформулировать так: найти такой аргумент α, лежащий в преде3 π π лах от − до , тангенс которого равен . 3 2 2 3 Решение. Существует бесчисленное множество аргументов, тангенс которых равен , напри3 π 7π −5π мер: , , и т.д. Но нас интересует только тот аргумент, который находится в интервале 6 6 6

⎛ 3⎞ π π ⎛ π π⎞ ⎜ − , ⎟ . Таким аргументом будет . Итак, arctg ⎜ ⎟ = . ⎝ 2 2⎠ 6 ⎝ 3⎠ 6 Пример 2. Найти α = arctg (-1). Решение. Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, получим arctg (−1) = −

π 4

.

Устные упражнения. ⎛ 3⎞ Найти: arctg ⎜ ⎟ , arctg (-1), arctg 0, arctg 3 . ⎝ 3⎠ Расположите в порядке возрастания: а) arctg 100, arctg (-5), arctg 0,7; б) arctg (-95), arctg 3,4, arctg 17. IV. Функция y = arcctg x. Функция y = сtg x определена на всей оси Ох, за исключением точек вида хn = πn, где n = 0, ± 1, ± 2, ... Областью изменения ее значений является вся ось Оу. Существует бесконечно много значений аргумента х (х1, х2, ...), для которых сtg xi = a, где i = 1, 2, ... (рис. 7).

<Рисунок 7> В качестве интервала оси Ох, на котором определяется обратная функция по отношению к функции y = сtg x, берут обычно интервал (0, π). На этом интервале функция y = сtg x монотонно убывает, принимая все значения от + ∞ до - ∞. Следовательно, для любого у0, лежащего на оси Оу, найдется, и притом только одно, значение х0 из интервала (0, π) такое, что у0 = сtg х0, а это и значит, что на указанном интервале существует обратная (однозначная) функция, которую называют арккотангенсом и обозначают так: х = arcсtg y. Меняя обозначение, пишут: y = arcсtg x. График функции y = arcсtg x симметричен с графиком функции y = сtg x относительно биссектрисы I - III координатных углов. Свойства функции y = arсctg x вытекают из соответствующих свойств функции y = сtg x на интервале (0, π) и видны из графика на рис. 8.

<Рисунок 8> Перечислим эти свойства: 1) Область определения: х - любое действительное число. 2) Область изменения: интервал (0, π). 3) Функция y = arсctg x ни четная, ни нечетная. Для нее выполняется тождество arсctg (-x) = π - arсctg x. 4) Функция y = arcсtg x монотонно убывающая на R. ⎛ π⎞ 5) График пересекает ось Оу в точке ⎜ 0, ⎟ . К оси Ох при х → + ∞ он приближается асимптоти⎝ 2⎠ чески (ось Ох является для него горизонтальной асимптотой при х → + ∞ ). Прямая у = π также служит асимптотой графика (при х → - ∞). 6) arcсtg x > 0 при любых x. Нулей функции нет. ОПР. Арккотангенсом числа а называется такое число из интервала (0, π), котангенс которого равен а. ⎛ 1 ⎞ Пример 1. Найти α = arсctg ⎜ − ⎟ . ⎝ 3⎠ Подробно данный пример можно сформулировать так: найти такой аргумент α, лежащий в преде1 . лах от 0 до π, котангенс которого равен − 3 1 , наРешение. Существует бесчисленное множество аргументов, котангенс которых равен − 3 −π 5π −7π и т.д. Но нас интересует только тот аргумент, который находится в интерва, , пример: 6 6 6 5π ⎛ 1 ⎞ 5π ле (0, π). Таким аргументом будет . Итак, arctg ⎜ − ⎟ = . ⎝ 6 6 3⎠ Пример 2. Найти α = arcсtg 1. Решение. Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, получим arcctg 1 =

π 4

.

Устные упражнения. ⎛ 3⎞ Найти: arcсtg ⎜ ⎟ , arcсtg (-1), arcсtg 3 . ⎝ 3⎠ Расположите в порядке возрастания: а) arcсtg 1,2, arcсtg р, arcсtg (-5); б) arcсtg (-7), arcсtg (-2,5), arcсtg 1,4. Примечание: исследование функции y = arcctg x и построение ее графика может быть задано на дом.

V. Домашнее задание.

1.Вычислите arcsin

⎛ 3⎞ 3π 3 ⎛ 1⎞ +2 arctg ⎜ ⎟ - arсcos ⎜ − ⎟ +arcctg (-1). Ответ: . 2 4 ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠

⎡ π 3π ⎤ 2.Найти функцию, обратную к функции y = sin x на множестве G = ⎢ ; ⎥ . ⎣2 2 ⎦ ⎡ π 3π ⎤ Решение. Так как функция y = sin x монотонно убывает от -1 до 1 на множестве G = ⎢ ; ⎥ , то ⎣2 2 ⎦ для каждого а∈ Н= [− 1;1] уравнение sin t = a имеет единственное решение t ∈ G. По формулам приведения получаем sin t = sin (р-t). ⎡ π 3π ⎤ ⎡ π π⎤ Для t ∈ ⎢ ; ⎥ имеем р-t ∈ ⎢− ; ⎥ . Поэтому по определению арксинуса имеем, что для ⎣2 2 ⎦ ⎣ 2 2⎦ ⎡ π 3π ⎤ t ∈ ⎢ ; ⎥ единственным решением уравнения sin (р-t) = а, а∈ [− 1;1] будет р-t = arcsin а, ⎣2 2 ⎦ т.е. t = р - arcsin а. Значит, искомая функция имеет вид f-1 (x) = р – arcsin х, х ∈ [− 1;1] . Занятие 2 ( 2 ч). Тема: Обратные тригонометрические функции, их графики. Цель: на данном занятии необходимо отработать навыки в определении значений тригонометрических функций, в построении графиков обратных тригонометрических функций с использованием D(у), Е (у) и необходимых преобразований. Наряду с проверкой домашнего задания уместно провести математический диктант I ВАРИАНТ 1. Для каких чисел определен арксинус? 3 ; 2. Найти а) arcsin(−1) + arcsin 2 ⎛ 3⎞ 3 . б) arccos⎜ − ⎟ + arcsin 2 ⎝ 2 ⎠

II ВАРИАНТ 1. Для каких чисел определен арккосинус? ⎛ 1⎞ 2. Найти а) arcsin 0 − arcsin⎜ − ⎟ ; ⎝ 2⎠

б) arccos(−1) + arctg 3 .

3.Расположите в порядке возрастания arcsin (-0,5), arcsin (-0,7), arcsin

π

8

.

аrcсos 0,9, arcсos (-0,6), arсcos

π 5

.

4.Постройте график функции (схематически) y = ⎮arcsin x⎮ y =⎮arctg x⎮ На данном уроке выполнить упражнения, включающие нахождение области определения и x 1 области значения функций типа: y = arcsin , y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos 2 . 2 x Пример. Найти область определения и множество значений функции у = arccos х . ⎧ х ≥ 0, . Решая эту систему, получим Решение. Очевидно, что D(у) найдется из условий ⎨ − 1 ≤ х ≤ 1 ⎩ D(у) = [0;1] . Из монотонного убывания функции арккосинус следует, что при изменении х от 0 до

1 рассматриваемая функция будет принимать все значения между у(0)= arcсos 0 = ⎡ π⎤ arcсos 1 = 0. Поэтому Е(у) = ⎢0; ⎥ . ⎣ 2⎦ Следует построить графики функций: а) y = arcsin 2x; б) y = 2 arcsin 2x; в) y = arcsin

π 2

и у(1) =

1 1 1 x ; г) y = arcsin ; д) y = arcsin 2 ; x 2 x

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ е) y = arcsin ⎜ ⎟ ; ж) y = ⎪arcsin ⎜ ⎟ ⎪. ⎝ x⎠ ⎝ x⎠ ⎛ 1⎞ Пример. Построим график y = arccos ⎜ 2 ⎟ ⎝x ⎠

⎡ x ≤ −1, 2 ≤ 1 или х ≥ 1, т.е. ⎢ x ≥ 1. x2 ⎣ 1 ⎡ π⎤ 2. Е (у): ⎢0; ⎥ , т.к. 2 > 0 . x ⎣ 2⎦ 3. Функция четная, т.к. у (-х) = у (х). 4. Точки пересечения: с Оу (х = 0) график не может пересекаться, т.к. функция определена толь1 ко при ⎮х⎮ ≥ 1; с Ох (у = 0) график пересекается в (-1; 0) и (1; 0), т.к. 2 = 1 лишь при х = ±1. x 5. В силу четности достаточно ее исследовать для х ≥ 1. 1 1 Если х = 1, то у(1) = arccos 1 = 0. Если х → + ∞, то 2 → 0 ( 2 > 0). x x 1 π 1 π Значит, arccos 2 → , причем arccos 2 < . Наименьшее у = 0 при х = ± 1, наибольшего 2 2 x x нет. 1 6. Функция в области определения неотрицательна, т.е. arccos 2 ≥ 0. x π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ 7. Дополнительные точки ⎜ 4 2 ≈ 1,19; ⎟ ; ⎜ 2 ≈ 1,41; ⎟. 4⎠ ⎝ 3⎠ ⎝

1. Д (у):

1

<Рисунок 9> В домашнее задание можно включить следующие упражнения:

построить графики функ-

⎛ 1⎞ ций: y = arccos ⎜ ⎟ , y = 2 arcctg x, y = arccos ⎮x⎮. ⎝ x⎠

Графики обратных функций

<Рисунок 10> Занятие №3 (2 ч). Тема: Операции над обратными тригонометрическими функциями. Цель: Расширить математические познания (это важно для поступающих на специальности с повышенными требованиями к математической подготовке) путем введения основных соотношений для обратных тригонометрических функций.

Материал для занятия Некоторые простейшие тригонометрические операции над обратными тригонометрическими функциями: sin (arcsin x) = x , ⎪x⎪ ≤ 1; cos (arсcos x) = x , ⎪x⎪ ≤ 1; tg (arctg x)= x , x ∈ R; ctg (arcctg x) = x , x ∈ R.

Упражнения. а) tg (1,5 π + arctg 5) = - ctg (arctg 5 ) = −

1 1 =− . 5 tg ( arctg 5)

1 1 ; tg (arcctg x ) = . x x б) cos (π + arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Пусть arcsin 0,6 = α , sin α = 0,6;

ctg (arctg x ) =

- cos α = − 1 − sin 2 α = − 1 − 0,36 = −0,8 cos (arcsin x ) =

1 − x 2 ; sin (arccos x) =

x − x2 .

⎡ π π⎤ Замечание: Берем перед корнем знак “+” потому, что α = arcsin x удовлетворяет ⎢− ; ⎥ . ⎣ 2 2⎦ 12 5 в) sin (1,5 π + arcsin ).Ответ: − ; 13 13 1 г) ctg (π + arctg 3).Ответ: ; 3 1 д) tg (π – arcctg 4).Ответ: − . 4 5 12 ) . Ответ: − . е) cos (0,5 π + arccos 13 13 Вычислить: a) sin (2 arctg 5) . 2 tgα 2⋅5 5 2 tg ( arctg 5) 5 Пусть arctg 5 = α , тогда sin 2 α = = = или sin (2 arctg 5) = = ; 2 2 1 + tg α 1 + 25 13 1 + tg ( arctg 5) 13

б) cos (π + 2 arcsin 0,8).Ответ: 0,28. 3 3 3 + arctg . в) arctg 4 7 3 3 3 Пусть α = arctg , β = arctg , 4 7 3 3 3 + tgα + tgβ 4 7 = 3⇒α +β = π . тогда tg (α + β) = = 3 1 − tgα ⋅ tgβ 3 3 3 1− ⋅ 4 7 12 5 г) sin (arcsin + arcsin ). 13 13 д) Доказать, что для всех x ∈ [-1; 1] верно arcsin x + arccos x =

π 2

.

Доказательство: arcsin x =

π

2

– arccos x

sin (arcsin x ) = sin (

π

2 x = cos (arccos x ) x=x

– arccos x)

Для самостоятельного решения: sin (arccos tg (arccos

1 1 ) , ctg (arccos ). 4 5

2 4 1 ), cos (arcsin ) , cos (arcsin ( − )), sin (arctg (- 3)), 3 5 2

Для домашнего решения. 1) sin (arcsin 0,6 + arctg 0). Ответ: 2) arcsin

1

+ arcsin

1

. Ответ:

23 5 26

π

4 5 10 3) ctg (π – arccos 0,6). Ответ: - 0,75 12 4) cos (2 arcctg 5). Ответ: − 13 5) sin (1,5 π – arcsin 0,8). Ответ: - 0,6

6) arctg 0,5 – arctg 3. Ответ: −

π

4

Занятие № 4 (2ч). Тема: Операции над обратными тригонометрическими функциями. Цель: на данном занятии показать использование соотношений в преобразовании более сложных выражений. Материал для занятия. После проверки домашнего задания можно предложить следующие упражнения:

УСТНО: а) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8); б) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5); в) sin (arctg -3), 1 1 1 cos (arcсtg( − )); г) tg (arccos ), ctg (arccos( )). 2 4 5 ПИСЬМЕННО: 4 5 16 1) cos ( arcsin + arcsin + arcsin ). 5 13 65 4 5 16 = β, arcsin = γ , причём α, β, γ ∈ I ч, тогда Пусть: arcsin = α , arcsin 5 13 65 сos (α + β + γ) = cos ((α + β) + γ) = cos α cos β cos γ – sin α sin β cos γ – sinα cos β sin γ + 16 25 256 4 5 63 4 12 16 3 5 16 cos α sin β sin γ = 1 − ⋅ 1− ⋅ 1− − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = 0. 25 169 625 5 13 65 5 13 65 5 13 65 2) cos (arctg 5–arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) = 1 1 1 1 25 19 2 arctg 0,8 + 0 , 6 1 − cos ( 5 ) = 0 , 8 + 0 , 6 1 − = 0 , 8 + 0 , 6 ⋅ = 26 26 26 5 26 1 + tg 2 ( arctg 5) 1 + tg 2 ( arctg 5) 3) tg (π - arcsin 0,6 ) = - tg (arcsin 0,6 ) = −

1 =− ctg (arcsin 0,6)

1 1 sin 2 (arcsin 0,6)

=− −1

3 4 4) arctg + arccos 5 17 3 4 ⎞ 3⎞ 4 3⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ − sin⎜ arctg ⎟ sin⎜ arccos cos⎜ arctg + arccos ⎟= ⎟ = cos⎜ arctg ⎟ ⋅ ⎝ ⎝ ⎝ 5 5⎠ 17 5⎠ ⎝ 17 ⎠ 17 ⎠ 3⎞ 16 ⎛ = − 1 − cos2 ⎜ arctg ⎟ 1 − ⎝ 5⎠ 17

25 4 ⋅ − 1− 34 17

3 4

4 1 ⋅ − 3⎞ 17 2⎛ 1 + tg ⎜ arctg ⎟ ⎝ 5⎠

1 1 2 3 4 π = ⇒ arctg + arccos = 3⎞ 17 2 5 ⎛ 17 4 1 + tg 2 ⎜ arctg ⎟ ⎝ 5⎠

Самостоятельная работа поможет выявить уровень усвоения материала B–I 12 1) tg (arctg 2 – arctg ) 13

2) cos(π - arctg2) 3) arcsin

4 + arccos 5

1 50

⎛ 19 ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 22 ⎠

B – II 3 8 ) 1) cos ( arcsin + arcsin 5 17

⎛ 5⎞ ⎜− ⎟ ⎝ 5⎠

2) sin (1,5π - arctg 3)

⎛ 3π ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 4⎠

3) arcctg3 – arctg 2

⎛ 36⎞ ⎜ ⎟ ⎝ 85⎠

3 ⎞ ⎛ ⎜− ⎟ ⎝ 10 ⎠ ⎛ π⎞ ⎜− ⎟ ⎝ 4⎠

Для домашнего задания можно предложить: 1 1 2 1) ctg (arctg + arctg + arctg ); 3 4 9 1 2) sin2 (arctg 2 – arcctg ( − )); 3 3 1 5 + tg ( arcsin )); 3) sin (2 arctg 4 2 13 3 4) sin (2 arctg ); 4 1 5 )). 5) tg ( (arcsin 2 12 Занятие № 5 (2ч). Тема: Обратные тригонометрические операции над тригонометрическими функциями. Цель: сформировать представление учащихся об обратных тригонометрических операциях над тригонометрическими функциями, основное внимание уделить повышению осмысленности изучаемой теории. При изучении данной темы предполагается ограничение объема теоретического материала, подлежащего запоминанию.

Материал для занятия: Изучение нового материала можно начать с исследования функции y = arcsin (sin x) и построения ее графика. 1. ОДЗ: R ⎡ π π⎤ 2. Е(y): ⎢− ; ⎥ . ⎣ 2 2⎦

π π ⎡ π π⎤ такое, что 3. Каждому x ∈ R ставится в соответствие y ∈ ⎢− ; ⎥ , т.е. − ≤ y ≤ 2 2 ⎣ 2 2⎦ sin y = sin x. 4. Функция нечетна: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x). 5. T = 2π 6. График y = arcsin (sin x) на [0; π]:

a) 0 ≤ x ≤

π

б)

2

π 2

имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и −

π 2

≤ y ≤

π 2

.

≤ x ≤ π получим y = arcsin (sin x) = arcsin (π - x) = π - x, ибо

sin y = sin (π – x) = sinx , 0 ≤ π - x ≤

π 2

.

π ⎧ ⎪⎪x ,0 ≤ x ≤ 2 , Итак, y = arcsin(sin x ) = ⎨ ⎪π − x , π ≤ x ≤ π . ⎪⎩ 2

<Рисунок11> Построив y = arcsin (sin x) на [0; π], продолжим симметрично относительно начала координат на [-π; 0], учитывая нечетность этой функции. Используя периодичность, продолжим на всю числовую ось. Затем записать некоторые соотношения: arcsin (sin α) = α , если −

π

π

≤ α ≤

2 2 arccos (cos α) = α , если 0 ≤ α ≤ π;

arctg (tg α) = α, если −

π

< α <

π

2 2 arcctg (ctg α) = α, если 0 < α < π. и выполнить следующие упражнения:

a) arccos(sin 2).Ответ: 2 -

π

2

π

;

π

; 2 б) arcsin (cos 0,6).Ответ: - 0,1π; в) arctg (tg 2).Ответ: 2 - π; г) arcctg(tg 0,6).Ответ: 0,9 π; д) arccos (cos (

;

- 2)) = arccos (cos (2 -

π

2

)=2-

π 2

.

- 0,6; 2 2 ж) аrctg (tg 2) = arctg (tg (2 - π)). Ответ:2 - π; е) аrcsin (sin (

- 0,6)). Ответ:

π

з) аrcctg (tg 0,6) = arcctg( ctg (

π

2 и) аrcsin (cos (2 arctg ( 2 + 1))).

– 0,6) =

π

2

- 0,6 ≈ 0,9π.

1) cos2α =

1 − tg 2α 1 + tg 2α

cos( 2 arctg ( 2 + 1)) =

1 − ( 2 + 1) 2 1 + ( 2 + 1)

2) arcsin(cos 2α ) = arcsin( −

2

=−

2 2

2 π )= − . 2 4

Для самостоятельного решения можно предложить аналогичные задания: arccos (sin 0,5).Ответ: 0,5π - 0,5 2 π arctg (ctg π ). Ответ: − 3 6 arcsin (sin 1); arcsin (sin3); arcsin (sin4); arcsin (sin5); arcsin (sin6); Построить график y = arctg (tg x).

<Рисунок 12> Домашнее задание. Предложить любые задания из приложения. Занятие № 6 (2ч). Тема: Уравнения с аркфункциями. Цель: сформировать представление учащихся об уравнениях, содержащих обратные тригонометрические функции, и о методах их решения.

С целью проверки достижения учащимися обязательных результатов обучения можно в начале занятия провести математический диктант. I ВАРИАНТ 1.Найдите значение выражения ⎛ ⎛ 3⎞ 2⎞ ⎟ - arccos ⎜ − ⎟. аrcsin ⎜⎜ − ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 2.Укажите область определения функции у = аrcsin (2х-5). 3.Укажите область значений функции

π

− 2 arccosх. 3 4.Найдите значение выражения аrcsin 0,3 + arсcos 0,3. у=

II ВАРИАНТ 1.Найдите значение выражения ⎛ 1⎞ аrcsin (-1) - arccos ⎜ − ⎟ . ⎝ 2⎠

2.Укажите область определения функции у = arccos (1-х2 ). 3.Укажите область значений функции у = р - 2 аrcsinх. 4.Найдите значение выражения аrcsin 0,8 + arсcos 0,8.

5.Известно, что аrcsin х =

π 8

. Найдите arccosх. 5.Известно, что аrccos х =

6.Известно, что sin(аrcsin х) = 7.Известно, что arсcosх =

π 5

1 Найдите х. 3

.

π 10

6.Известно, что cos(аrccos х) = 7.Известно, что arсcos (-х) =

Найдите arсcos(-х).

. Найдите arcsin х. 1 Найдите х. 6

3π . 5

Найдите аrсcos х.

8.Вычислите ctg(arctg

2 ). 3

8.Вычислите tg(arсctg

4 ). 5

Материал для занятия. При решении уравнения с аркфункциями от обеих частей равенства α ( x) = β ( x) придется брать некоторую тригонометрическую функцию f . Для того чтобы получить после этого уравнения с тем же множеством решений, что и исходное, удобно брать в качестве f функцию монотонную на пересечении областей значения функции α (x) и β (x) .

Пример 1. Решить уравнение arcctg x =arccos x. Решение. Областью определения уравнения будет отрезок [− 1;1] ,при этом E(arcctg x) ∩ E(arcсos x)=(0; π ) . Поэтому от обеих частей уравнения можно брать либо котангенс, либо косинус. Имеем x = ctg(arccos x). Вычислим ctg(arcсos x). Пусть arccos x = α . Тогда 0< α < π при x ≤ 1 и соs α = x. Отсюда sin α = 1 − x 2 . Следовательно, получаем x=

x 1− x2

⇔ x = 0.

Ответ: 0.

3x − 1 =π . x+3 3x − 1 π = . Возьмем тангенс от обеих частей уравнеРешение. Представим уравнение в виде arctg x+3 4 3x − 1 = 1 , 3х-1=х+3, х=2. ния x+3 Ответ: 2. Пример 3. Решите уравнение arcsin 2x = 3 arcsin x. ⎡ 1 1⎤ Решение. Область определения уравнения есть отрезок ⎢− ; ⎥ и при этом ⎣ 2 2⎦ ⎡ π π⎤ E(arcsin 2x) ∩ E(3 arcsin x) ⊂ ⎢− ; ⎥ . Следовательно, ⎣ 2 2⎦ arcsin 2x = 3arcsin x ⇔ 2x = sin(3arcsinx).Но sin 3 α = sin α (3-4 sin 2 α ). ⎡ х = 0, 2 Следовательно, arsin 2x = 3 arcsin x ⇔ 2x = x (3-4x ) ⇔ ⎢⎢ х = 0,5, ⎢⎣ х = −0,5 Пример 2. Решить уравнение

4arctg

Ответ: 0; 0,5; -0,5. Заметим, что уравнения с аркфункциями можно решать, преобразовывая их так, чтобы не терялись решения. Но тогда обязательна проверка найденных результатов на предмет отсеивания лишних корней. Пример 4. Решите уравнение arcsin 2x + arctg 3х = р. Решение. Так как −

π

≤ arcsin 2 x ≤

π

и−

π

p arctg 3x p

2 2 2 Следовательно, уравнение не имеет решение.

π

2

, то –р < arcsin 2x + arctg 3х < р.

Пример 5. Решите уравнение arctg

x −1 = 2 arctg (x-1). x

Решение. Возьмем тангенс от обеих частей уравнения. Тогда

x −1 =tg(2arctg(x-1)) или с учётом x

2( x − 1) x −1 = . Отсюда x=1 или x=0. Значение x=0 отсеиваетx 1 − ( x − 1) 2 ся по очевидным причинам. Подставим значение x=1 в исходное уравнение. Получим истинное числовое множество arctg 0=2 arctg 0, так как arctg 0=0. Ответ: 0.

формулы тангенса двойного угла

Пример 6. Решите уравнение: 2arcsin 2х = arccos 7x. Решение: Определим область допустимых значений переменной х заданного уравнения:

. Так как

Возьмем косинус от обеих частей уравнения и

тогда .

С учетом О.Д.З. получаем

. Для самостоятельного решения предложить следующие уравнения. №1. arcsin(2x+1) = arcсos x. Ответ: 0. π №8. arctg (х+х2) + arctg (х2 – х) = π 4 №2. arccos(x 3 )+ arccos x = . Ответ: 0,5 2 5 −1 Ответ: ± 1 π 2 = - arcsin 1 − x . Ответ: 1 №3. arcsin x 2 π 3 + arccos x. Ответ: №9. arcsin х = π 21 6 2 №4. arcsin 2x + arcsin x = . Ответ: 3 14 3х 4х + arcsin = arcsin х. №10. arcsin π 5 5 №5. arcsin (1-x)- 2 arcsin x = . Ответ: 0 2 Ответ: 0; 1; -1. π 5 №6. 2 arctg x +3 arcctg x = . Ответ: Ш №11. arcсos│х│= arcsin 2х. Ответ: 2 5 π π №7. arcsin x + arccos (x+1) = . Ответ: Ш №12. arctg х 2 + х + arcsin х 2 + х + 1 = . 2 2 Ответ: -1; 0.

Домашнее задание. Предложить задания из приложения. Занятие № 7 (2ч). Тема: Неравенства с аркфункциями. Цель: сформировать умение решать простейшие неравенства, содержащих обратные тригонометрические функции; сформировать представление о более сложных неравенствах с арк-

функциями и о методах их решения. Материал для занятия. Простейшими неравенствами с аркфункциями являются следующие соотношения: аrcsin x ≥ α , arcsin x < α , arcsin x > α , arcsin x ≤ α и такие же неравенства, левая часть в которых заменена на arccos x , arctg x, arcctg x. Рассмотрим решение неравенств, содержащих arcsin x. 1.arcsin x ≥ α . Если α ≤ −

π

2

, то в силу определения arcsin x решением

1 ≤ x ≤ 1 . Если −

π 2

≤α ≤

π 2

неравенства

будет отрезок -

, то беря от обеих частей неравенства синус и учитывая, что sin t воз-

⎡ π π⎤ растает на множестве ⎢− ; ⎥ , получим в качестве решения отрезок sin α ≤ x ≤ 1 . Наконец, если ⎣ 2 2⎦

αf

π

, то в силу определения arcsin x решений нет, т. е. х ∈ Ш. 2 2.arcsin x > α . Если α p −

π

, то решением неравенства является отрезок [− 1;1] . Если −

π

≤α ≤

π

, то снова вы2 2 2 числяя синус от обеих частей неравенства, получим в качестве решения промежуток sin α < х ≤ 1. Наконец, если α ≥

π

π

2

, то x ∈ Ш, так как по определению arcsin x не может быть боль-

. 2 3. arcsin x ≤ α . Сведем это неравенство к уже изученному случаю. Для этого умножим обе его части на -1 и воспользуемся нечетностью arcsin x: - arcsin x ≥ α ⇔ arcsin(-x) ≥ −α . Если теперь обозначить:-x = y, - α = β , то получим знакомое неравенство arcsin y ≥ β . Опираясь на него, запишем сразу ответ для нашего неравенства:

ше, чем

-если α p − -если −

π 2

-если α ≥

π

2

(т.е. β f

≤α p

π 2

π 2

π

2

(т.е. −

(т.е. β ≤ −

π 2

), то x ∈ Ш,

π 2

pβ ≤

π 2

), то -1≤ х < sin α ,

), то -1≤х≤1.

4.arcsin x < α . Результат получается аналогично предыдущему случаю: -если α ≤ − -если −

π 2

-если α f

π

2

то x ∈ Ш,

pα ≤

π

π 2

, то -1≤ х < sin α ,

, то -1≤х≤1. 2 5.Неравенства arccos x ≥ α , arccos x > α , arccos x < α , arccos x ≤ α сводятся к предыдущим неравенствам, если учесть, что arcsin x + arccos x =

π

. 2 Примечание: предложить учащимся самостоятельно решить все простейшие неравенства с аркфункциями.

Рассмотрим решение более сложных неравенств с аркфункциями. Здесь придется брать от обеих частей неравенства синус (косинус) или тангенс (котангенс). Чтобы при этом множество решений исходного неравенства не менялось, надо, чтобы обе части неравенства лежали внутри или совпадали с промежутком монотонности sin t, cos t, tg t, ctg t соответственно. Если множество значений обеих частей неравенства не укладывается в один и тот же промежуток монотонности основной тригонометрической функции, то неравенство следует тождественно преобразовать или выделить промежуток монотонности и решать неравенство отдельно на каждом таком промежутке. Пример 1. Решить неравенство arctg (x+1) + arctg (1-x) ≥

π

. 4 Решение. Левая часть неравенства принимает значения на интервале (-р; р), на котором ни одна из основных функций sin t, cos t, tg t, ctg t не является монотонной. Поэтому преобразуем неравенство к виду arctg (x+1) ≥

π

- arctg (1-x) (*). Функция arctg (x+1) ограничена. Следовательно, неравенст4 во (*) надо рассматривать лишь при тех х, при которых

π

2

f

π

4

− arctg (1 − x) ⇔ arctg (1 − x) f −

π

4

⇔ 1 − x f −1 ⇔ x p 2 . При этом условии обе части нера-

⎡ π π⎤ венства (*) принимают значения внутри отрезка ⎢− ; ⎥ , и от обеих частей можно взять тангенс: ⎣ 2 2⎦ 1 − (1 − х) ⎧ х ⎧ , ⎧ х 2 ≤ 2, , ⎪х + 1 ≥ ⎪х + 1 ≥ х 1 ( 1 ) + − ⇔− 2≤х≤ 2. ⇔ ⇔ 2− х ⎨ ⎨ ⎨ p 2 х ⎩ ⎪⎩ х p 2 ⎪х p 2 ⎩

[

Ответ: х ∈ − 2 ; 2

]

Пример 2. Решите неравенство сos(arсcos(х2 – 50)) < arсcos(cos50) Решение. Типичной ошибкой при решении данного неравенства является переход к неравенству х2 – 50 < 50, которое не является равносильным данному. На самом деле, допустимые значения исходного неравенства определяются условием │х2 – 50│≤ 1 и только для них сos(arсcos(х2 – 50)) = х2 – 50. Далее, учитывая, что 0≤16р-50≤р, имеем arсcos(cos50)= arсcos(cos(16р-50))=16р-50. ⎧⎪ х 2 − 50 p 16π − 50, Поэтому исходное неравенство равносильно системе ⎨ 2 ⎪⎩ х − 50 ≤ 1. 2 2 ⎪⎧ х p 16π , ⎪⎧ х p 16π , Отсюда ⎨ Так как 16р<51, то 49≤х2<16р и, значит, 7≤│х│< 4 π , ⇔⎨ 2 2 ⎪⎩49 ≤ х ≤ 51. ⎪⎩− 1 ≤ х − 50 ≤ 1,

] [ ) Ответ: х ∈ (− 4 π ;−7]∪ [7;4 π ) (

т.е. х ∈ − 4 π ;−7 ∪ 7;4 π .

Пример 3. Решите неравенство 16 arctg x arcctg x ≥ р2. π ⎛π ⎞ Решение. Так как arcctg x = - arctg x, то 16 arctg x ⎜ − arctgx ⎟ ≥ р2. Отсюда, 2 ⎝2 ⎠ 2 2 16 arctg х - 8р arctg x + р ≤ 0, т.е. (4 arctg x – р) ≤0. Это возможно при 4 arctg x – р =0, т.е. arctg x =

π ⎛ π π⎞ , х ∈ ⎜ − ; ⎟ и, значит, х = tg =1. 4 4 ⎝ 2 2⎠

π

Ответ: 1. Для самостоятельного решения предложить следующие неравенства.

⎡ π π⎤ . Ответ: ⎢− ; ⎥ . π 2 ⎣ 2 2⎦ 2 №2.(arcsinх) ≤ 1. Ответ: [-sin1; sin1]. №3. arcsin (log2 x) > 0. Ответ: (1;2]. ⎛ 2⎤ №4. arcsin х < arсcos х. Ответ: ⎜ − 1; ⎥. ⎜ 2 ⎦ ⎝ ⎛ 1⎤ №5. arcsin (р arctg х) > 0. Ответ: ⎜⎜ 0; tg ⎥ . π⎦ ⎝ №1. arcsin

2х

≥−

π

№6. arcsin (х2 – 0,5х -1,5) < -

π 6

.

⎡ 1 + 17 ⎞ ⎛ 1 − 17 1 ⎤ ⎟∪⎜ ;− ⎥ . Ответ: ⎢1; 4 ⎟⎠ ⎜⎝ 4 2⎦ ⎣⎢ ⎛ 1 1⎤ №7. arсcos х < arcsin 2х. Ответ: ⎜⎜ ; ⎥ . ⎝ 5 2⎦ 2 . №8. arcsin x + arccos x ≥ π Ответ: 2 №9. р arсcosх > (arсcos(-х))2 – р2. Ответ: [− 1;1) .

Домашнее задание. Предложить задания из приложения.

Занятие № 8 (2ч). Контрольная работа. ВАРИАНТ 1. ⎛1 ⎛ 4 ⎞⎞ 1.Вычислить а) ctg ⎜⎜ arccos⎜ − ⎟ ⎟⎟ ; ⎝ 17 ⎠ ⎠ ⎝2

3 ⎛ 1⎞ 1 + 3arсcos0 б)2arcsin ⎜ − ⎟ + arccos 2 ⎝ 2⎠ 2 ⎛ 3⎞ ⎟ - arсtg − 3 + 2 arсcos 1 . 2arсcos ⎜⎜ − ⎟ 2 ⎝ 2 ⎠ 2.Упростить tg(arctg х + arctg у). 3.Найти область определения функции 5х + 1 у = arcsin . 2 4.Определить знак числа а, если а = arсcos (-0,6) – arсcos (-0,75). 5.Построить график функции а) у = │arсctg х│; б) у = 2 arсcos х. 6.Решить уравнение сos(arсcos(х+2))=х2 х +1 7.Решить уравнение 6 arctg =2р 2 8.Решить неравенство arcsin х < arсtg х

(

)

ВАРИАНТ 2. ⎛1 ⎛ 3 ⎞⎞ 1.Вычислить а) sin ⎜⎜ arcctg ⎜ − ⎟ ⎟⎟ ; ⎝ 4 ⎠⎠ ⎝2 ⎛ ⎛ 2⎞ 3⎞ ⎟ + arсtg(-1) + arсcos ⎜ ⎟ б)2arcsin ⎜⎜ − ⎟ ⎜ 2 ⎟ + 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 ⎛ 1⎞ arсcos(-1) + 3 arсctg − 3 - arсcos ⎜ − ⎟ 2 ⎝ 2⎠

(

)

2.Упростить sin (arcsin х - arcsin у). 3.Найти область определения функции 3х − 1 у = arсcos . 3 4.Определить знак числа а, если а = arсsin 0,3 – arсsin 0,2. 5.Построить график функции а) у = │arсsin х│; б) у = 0,5 arсcos х. 6.Решите уравнение sin(arcsin(4х-1))=3х2 7.Решите уравнение 2 arсctg(2х-3) = р 8.Решите неравенство arcsin х < arссtg х

ПРИЛОЖЕНИЕ.

№1.Найти область определения: 1 а) y=arcsin x ; б)y= arctg 2x; в)y= arctg 2 ж) y= arcsin x .

x ; г)y= arccos

x ; д)y=arctg

1 ; е)y= arcctg 2−x

№2.Построить графики функций: a) y = arccos 2x; б) y = 2 arccos x; в) y = arccos (cosx); г) y = arctg (ctgx); д)у =

arctgx arctgx

.

x−4;

№3.В каких границах заключены дуги: 1 x π а) 2 arcsin x; б) 2 arccos х; в) arctg x; г) π - arctg x; д) arccos − ; е) arctg x2 - π. 2 2 2 3 ⎛ 2⎞ №4.Построить: а) arctg (- 0,3); б) arccos ; в) arcsin ⎜ − ⎟ ; г) arcctg (-1,5). ⎝ 3⎠ 4 №5.Вычислить: 1 1 3 4 ⎛ ⎞ а) arccos (sin 2); б) sin ⎜ arcsin + arctg 5⎟ ; в) arcsin + arcsin ; г) sin (π + 2 arcsin ); ⎝ ⎠ 5 5 5 10 3 3 3 4 1 3 3 + arctg ; е) arctg – arctg3; ж) tg (π – arcsin ); з) arctg + arccos . 4 7 2 5 5 17 №6. Вычислить: 2 1 а) cos (2 arcsin ); б) tg (arccos ); в) sin (arcctg 3 ); г) ctg (arctg(-1)); 2 2 2 1 1 3 1 3 )); е) sin (arcsin + arccos ); ж) cos (arccos ( − ) + arcsin ); д) cos (2 arcsin ( − 2 2 2 2 2 2 №7.Вычислить: 3 1 5 1 π 1 3 а) sin(2 arctg ) + tg ( arcsin ); б) – cos2 ( – arcsin ); 2 4 2 13 2 2 5 1 5 1 4 ); г) arcctg (tg (arcctg + arcctg )). – arccos в) tg (2 arcsin 13 9 5 26 №8.Вычислить: 9 1) arcsin (sin 700); 2) arcsin (sin 2100); 3) arcsin (sin π ); 4) arccos (cos 1700); 5) arccos (cos 6π); 4 2π ). 6) arctg (tg 5 №9.Решить уравнения: 1) 2 arctg x +3 arcctg x = 5. Ответ: ctg 5. 5π 2 1 3 2 2 . Ответ: ; 2) arcsin х + arccos х = 36 2 2 3) arcsin 2x = 2 arcsin x. Ответ: 0. 4) 3 arcsin х -р = 0. Ответ: 0,75. 5) 2 arcsin х + arсcos (1-х) = 0. Ответ: 0. 6) 6 arcsin (х2 – 6х + 8,5) = р. Ответ: 2; 4. π 5π 7) tg(3 arctg x) = ctg (3 arctg x). Ответ: ± tg ;±tg ;±1 . 12 12 2 . 8) arcsin х = arccos x. Ответ: 2 д) arctg

№10.Решить неравенства: 1) arcsin х < arcsin 2х. Ответ: (0;0,5]. 2) arcsin х2 ≥ 1. Ответ: [-1;- sin1] ∪ [ sin1;1]. ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3 3) arсcosх < arcсtg 2x. Ответ: ⎜⎜ − ;0 ⎟⎟ ∪ ⎜⎜ ;1] . 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ 2 4) (arctg x) - 4 arctg x + 3 > 0. Ответ: (− ∞; tg1) . 5) arсcos(х2 – х -2)<

⎡ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎟ ∪ ⎜1 + 2 + . Ответ: ⎢− 1;1 − 2 + ; 3] . ⎟ ⎜ 4 2⎠ ⎝ 2 ⎣⎢

π

⎡ 1⎤ 6) arсcos(х-1) ≤ 2 arсcosх. Ответ: х ∈ ⎢0; ⎥ . ⎣ 2⎦ Литература. 1.Азаров А.И., Булатов В.И., Федосенко В.С., Шибут А.С. Тригонометрия. Тождества, уравнения, неравенства, системы: Учеб.пособ. Минск, 1999. 2.Зив Б.Г., Алтынов П.И. Алгебра и начала анализа. Геометрия. 10-11 кл.:Уч.-метод.пособие.М.:Дрофа, 1999. 3.Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа: Учеб.пособие для учащихся шк. И классов с углубл.изуч.математики.-М.:Просвещение, 1995. 4.Мерлин А.В, Мерлина Н.И. Нестандартные задачи по математике в школьном курсе. Чебоксары, 1998. 5.Потапов М.К., Олехник С.Н., Нестеренко Ю.В. Конкурсные заадчи по математике: Справ.пособ. М., 1992. 6.Шахно К.У. Как готовиться к приемным экзаменам в вуз по математике. Минск, 1970.