Квазимногообразия метрических алгебр

Алгебра и логика, 42, N 6 (2003), 747—762

УДК 512.57

КВАЗИМНОГООБРАЗИЯ МЕТРИЧЕСКИХ АЛГЕБР∗)

В. А. ХУДЯКОВ Введение Пусть σ — сигнатура, состоящая только из функциональных символов. Метрической алгеброй сигнатуры σ называется пара (A, ρA ), где A — универсальная алгебра данной сигнатуры, а ρA — метрика на A, которая может принимать произвольные значения из [0, ∞]. Через M обозначается категория всех метрических алгебр данной сигнатуры, в которой морфизмами являются алгебраические гомоморфизмы ϕ : A → B, не увеличивающие расстояния между точками, т. е. ρB (ϕ(x), ϕ(y)) 6 ρA (x, y), для всех x, y ∈ A. Используется предикатное представление метрических алгебр: каждой метрической алгебре (A, ρA ) поставим в соответствие алгебраическую систему A′ расширенной сигнатуры σ ′ = σ ∪ {pε : ε ∈ R, ε > 0}, где pε — двухместные предикатные символы (символ p0 всегда интерпретируется как равенство), σ-редукт которой совпадает с A, а предикаты определяются по правилу A′ |= pε (x, y) ⇔ ρA (x, y) 6 ε. Очевидно, что такие системы удовлетворяют следующим предложениям (кванторы всеобщности опущены) ∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП ”Интеграция“, проект 274,

Госкомитета РФ по высшему образованию, грант 1998 г., РФФИ, проект N 96-01-00097, и DFG, грант 436113/2670. c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2003

748

В. А. Худяков pε (x, y) → pδ (y, x),

δ > ε > 0,

(M )

pε (x, y) & pδ (y, z) → pε+δ (x, z), δ, ε > 0, а также бесконечным квазитождествам замкнутости ^

pε (x, y) → pδ (x, y), δ > 0.

(M∞ )

ε>δ

Обратно, по всякой алгебраической системе A расширенной сигнатуры, удовлетворяющей (M ) и (M∞ ), можно определить метрику на ее редукте, полагая ρA (x, y) = inf{ε : A |= pε (x, y)}. Более того, при таком представлении существует соответствие между гомоморфизмами расширенных систем и морфизмами категории M. Данное представление используется в § 1 для характеризации непрерывных квазимногообразий метрических алгебр. В § 3 описываются решетки конгруэнций вида ConK A, где K — непрерывное квазимногообразие и A ∈ K. Оказывается, что класс таких решеток совпадает с классом всех непрерывных по Скотту решеток. В § 4 для непрерывных квазимногообразий доказывается теорема о подпрямом разложении. Нормированные пространства рассматриваются в § 5, дается доказательство теоремы Хана–Банаха о продолжении линейного функционала с использованием методов универсальной алгебры. § 1. Характеризационная теорема Общее определение конгруэнции на алгебраической системе содержится в [1], здесь же ограничимся специальным случаем этого понятия. Конгруэнцией на метрической алгебре A называется множество θ троек hx, y, εi, где x, y ∈ A и ε > 0, удовлетворяющее условиям (C1): θ0 = {hx, yi : hx, y, 0i ∈ θ} — отношение эквивалентности; (C2): θ0 замкнуто относительно основных операций, т. е. для каждой основной операции f из hxy , yi i ∈ θ0 , i < n, следует hf (x0 , . . . , xn−1 ), f (y0 , . . . , yn−1 )i ∈ θ0 ; (C3): если hx0 , y0 i, hx1 , y1 i ∈ θ0 и hx0 , x1 , εi ∈ θ, то hy0 , y1 , εi ∈ θ;

Квазимногообразия метрических алгебр

749

(C4): для всякого ε из A |= pε (x, y) следует hx, y, εi ∈ θ. По каждой конгруэнции θ на A можно построить систему с носителем A/θ0 , в которой основные операции и отношения определяются по правилам f (a0 /θ0 , . . . , an /θ0 ) = f (a0 , . . . , an )/θ0 , A |= pε (a0 /θ0 , a1 /θ0 ) ⇔ ha0 , a1 , εi ∈ θ. Назовем ее фактор-системой системы A по конгруэнции θ и обозначим через A/θ. Для произвольного класса K метрических алгебр конгруэнцию θ на A из K назовем K-конгруэнцией, если A/θ ∈ K. Частично упорядоченное множество K-конгруэнций на A относительно включения обозначают через ConK A. Если K — предмногообразие, то на самом деле ConK A является полной решеткой. На множестве всех конгруэнций метрической алгебры A рассмотрим частичный оператор ·µ такой, что θµ = {hx, y, εi : hx, y, δi ∈ θ для всех δ > ε}, если правая часть является конгруэнцией, значение ·µ на θ не определено в противном случае. Везде далее переменные s и t (с индексами и без) используются только для обозначения термов, а запись x — для конечной последовательности переменных (x1 , . . . , xk ) требуемой длины. Семейство квазитождеств Γ назовем непрерывным, если оно содержит аксиомы равенства, и для всякого квазитождества (∀x) pε1 (s1 , t1 )& . . . &pεn (sn , tn ) → pε0 (s0 , t0 ) из Γ и произвольного ε > 0 найдется δ > 0 такое, что квазитождество (∀x) pε1 +δ (s1 , t1 )& . . . &pεn +δ (sn , tn ) → pε0 +ε (s0 , t0 ) также принадлежит Γ. Классы метрических алгебр, определенные непрерывными семействами квазитождеств, назовем непрерывными квазимногообразиями. Так как произвольные объединения и конечные пересечения непрерывных семейств квазитождеств являются непрерывными, то непрерывные квазимногообразия относительно включения образуют решетку. По аналогии с квазимногообразиями, минимальное непрерывное квазимногообразие, содержащее A, обозначим через Qµ (A). ЛЕММА 1. Пусть K = Mod(Γ ∪ (M ) ∪ (M∞ )) и K∗ = Mod(Γ ∪ ∪(M )), где Γ — непрерывное семейство квазитождеств. Тогда для любых

750

В. А. Худяков

системы A ∈ K и K∗ -конгруэнции на A конгруэнция θµ определена и принадлежит ConK A. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если θµ — конгруэнция, то A/θµ |= (M∞ ). Проверим, что из (∀x) (&pεi (si , ti ) → pε0 (s0 , t0 )) ∈ Γ∪(M ) и hs1 , t1 , ε1 i[y], . . . . . . , hsn , tn , εn i[y] ∈ θµ для некоторых y вытекает hs0 , t0 , ε0 i[y] ∈ θµ . Действительно, по определению ·µ для всех δ > 0 имеем hsi , ti , εi + δi[y] ∈ θ, 1 6 i 6 n. Поскольку Γ∪(M ) непрерывно, hs0 , t0 , ε0 +εi[y] ∈ θ для каждого ε > 0, откуда hs0 , t0 , ε0 i[y] ∈ θµ . Свойства (C1)–(C3) для θµ очевидны, так как Γ содержит аксиомы равенства, а свойство (C4) следует из того, что θ — конгруэнция. Кроме того, A/θµ |= Γ ∪ (M ). 2 Надпрямым спектром называется тройка (см., напр. [1]) hI, (Ai )i∈I , (ϕij )i6j i, где I — направленное вверх предупорядоченное множество с наименьшим элементом 0, (Ai )i∈I — семейство систем, и ϕij : Ai → Aj — сюръективные гомоморфизмы такие, что ϕii = idAi и  ϕik = ϕjk ϕij для S Ai × {i} ≡, где всех i 6 j 6 k. Рассмотрим множество A = i∈I

(a, i) ≡ (b, j) ⇔ (∃k ∈ I)(i, j 6 k и ϕik (a) = ϕjk (b)). Через ha, ii обозначается смежный класс по ≡, содержащий (a, i). На множестве A определим основные операции (f A) и предикаты по правилу f A(ha1 , i1 i, . . . , han , in i) = hf Aj (ϕi0 j (a0 ), . . . , ϕin j (an )), ji, j > i1 , . . . , in ; A |= p(ha0 , i0 i, ha1 , i1 i) тогда и только тогда, когда Aj |= p(ϕi0 j (a0 ), ϕi1 j (a1 )) для некоторого j > i0 , i1 . Полученную таким образом систему называют надпрямым пределом по спектру Λ и обозначают lim Λ. −→ В [1] доказано: если Λ = hI, Ai , ϕij i — надпрямой спектр, то lim Λ ∼ −→ = S ∼ θi и θi = ker ϕ0i , причем {θi }i∈I — направленное = A0 /θ, где θ = i∈I

вверх множество конгруэнций на A0 . Обратно, если {θi }i∈I — направленS ное вверх множество конгруэнций на A и θ = θi , то Λ = hI, A/θi , ϕij i i∈I

(где i 6 j ⇔ θi ⊆ θj и ϕij : A/θi → A/θj — естественные гомоморфизмы для i 6 j) является надпрямым спектром, θ — конгруэнцией на Λ. Отсюда естественно вытекает следующее определение: A, и A/θ ∼ = lim −→

Квазимногообразия метрических алгебр

751

µ-пределом по надпрямому спектру Λназывается (и обозначается через   µ µ S S limµ Λ) система A0 θi , если θi определена; в противном −→ i∈I i∈I случае полагаем, что µ-предел не существует. Говорят, что класс K метрических алгебр замкнут относительно оператора образования µ-пределов (L µs ), если для произвольного надпря→

мого спектра систем из K его µ-предел существует и лежит в K. Аналогично, класс K замкнут относительно операторов образования подсистем (S) (прямых произведений (P)), если любая подсистема системы (соответственно, прямое произведение систем) из K снова принадлежит K. Пусть X — множество переменных, а ∆ — множество атомных формул с переменными из X. Говорят, что A ∈ K определена в K порождающими X и определяющими соотношениями ∆, если она удовлетворяет следующим условиям: 1) X порождает A; 2) на A выполняются все соотношения из ∆; 3) для любых системы B ∈ K и отображения f : X → B такого, что B |= ∆[f (X)], последнее продолжается до гомоморфизма из A на B. Нетрудно видеть: если такая система существует, то она единственна с точностью до изоморфизма. В этом случае ее обозначают через FK (X, ∆). Более того, если K — предмногообразие, то она существует для всех X и ∆ (см. [1]). ТЕОРЕМА 2. Класс K метрических алгебр является непрерывным квазимногообразием тогда и только тогда, когда он замкнут относительно операторов L µs , P и S. →

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Д о с т а т о ч н о с т ь. (а) Покажем, что K можно определить семейством квазитождеств, если он замкнут относительно L µs , →

P и S. Пусть A — нетривиальная модель квазиэквациональной теории

K. Докажем, что A ∈ K. Рассмотрим множество Q ложных при тождественной интерпретации импликаций вида α1 (a)& . . . &αn (a) → α0 (a), где αi — атомные формулы от переменных из A. Множество Q непусто, так как в нем содержатся импликации вида p0 (x, x) → p0 (x, y) для всех x 6= y. Определим надпрямой спектр hI, A∆ , f∆Γ i, где I — множество всех конеч-

752

В. А. Худяков

ных подмножеств Q, упорядоченное по включению, A∆ = FK (A, p(∆)), p(∆) — посылки импликаций из ∆, а f∆Γ — гомоморфизмы, индуцированные отображениями a 7→ a. Покажем, что отображение f : A → → limµ hI, A∆ , f∆Γ i = A∗ , определенное по правилу a 7→ a/((∪ ker f∅∆ )µ )0 , −→ является вложением. Пусть A |= pε (s(a), t(a)) для термов s(a) и t(a), тогда pε (s(a), t(a)) входит в посылку некоторой импликации ∆ ∈ Q и, следовательно, A∆ |= |= pε (s(f∅∆ (a)), t(f∅∆ (a))), откуда A∗ |= pε (s(f (a)), t((a))). Пусть теперь A 6|= pε (s(a), t(a)). Тогда A 6|= pε+δ (s(a), t(a)) для некоторого δ > 0 (в противном случае по (M∞ ) имеем A |= pε (s(a), t(a))). Так как &p(∆) → pε+δ (s(a), t(a)) ∈ Q для всякого ∆ ∈ I, то lim A∆ 6|= −→ 6|= pε+δ (s, t)[ha1 , Γi, . . . , hak , Γi] для произвольного Γ ∈ I. Следовательно, по определению ·µ имеем A∗ 6|= pε (s(f (a)), t(f (a))). (б) Пусть K не может быть определен непрерывным семейством квазитождеств. Тогда найдется импликация q = (&pεi (si (x), ti (x)) → → pε0 (s0 (x), t0 (x))) такая, что K |= (∀x)q, но существуют ε > 0, системы Aδ ∈ K, δ > 0, и интерпретация ϕδ переменных из q в системе Aδ такие, что Aδ |= (¬ qδ )[ϕδ ], где qδ ⇋ (&pεi +δ (si (x), ti (x)) → pε0 +ε (s0 (x), t0 (x))). Q Aδ , πij — естественные проекции, Пусть I = {[λ, ∞) : λ > 0}, Bi = δ∈i

B = limµ hI, Bi , πij i и ϕ — предельная интерпретация, индуцированная ϕδ . −→ Тогда B |= (¬ q)[ϕ], получаем противоречие. Н е о б х о д и м о с т ь. Из леммы 1 непросредственно следует, что любой класс метрических алгебр, определенный непрерывным семейством квазитождеств, замкнут относительно L µs . Замкнутость относительно P и →

S очевидна. 2 § 2. Построение непрерывных квазимногообразий В этом параграфе приводится достаточно общая конструкция для построения примеров непрерывных квазимногообразий. ТЕОРЕМА 3. Пусть A — произвольный класс систем, в котором выполняется некоторое непрерывное семейство квазитождеств Γ, тогда Qµ (A) = L µs SP(A). →

Квазимногообразия метрических алгебр

753

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По лемме 1 оператор L µs определен на любом →

надпрямом спектре систем из SP(A). Поэтому достаточно проверить, что L µs SP →

⊇ L µs PL µs SP. →

→

(а) Докажем включение PL µs ⊆ SL µs P. Пусть hIj , Ajk , ϕjkl ij∈J — семей→ → Q ство надпрямых спектров и все Ajk ∈ SP(A). Покажем, что limµ Aji ∈ −→ j∈J Q µ ∈ L s SP(A). Построим новый спектр hK, Bk , ψkl i, в котором K = Ij с → j∈J Q j порядком прямого произведения, Bk = Ak(j) , а ψk индуцируются соотj∈J

ветствующими отображениями из заданных спектров. Определим отобраQ жение h : limµ Bk → limµ Aji по правилу: −→ −→ (1) для каждого x ∈ limµ Bk зафиксируем l ∈ K и xl ∈ Bl такие, что −→ µ ψl∞ (xl ) = x; (2) каждой проекции xl (j) сопоставим ее образ относительно (ϕj )µl(j)∞ , обозначив его через yj ; Q (3) элемент y ∈ limµ Aji такой, что y(j) = yj , возьмем в каче−→ стве h(x). Проверим корректность определения. Пусть (k, xk ) и (l, xl ) — разµ личные пары, которые можно выбрать по правилу (1). Так как ψk∞ (xk ) = µ (xl ), то для всякого ε > 0 найдется m > k, l такой, что Bm |= = ψl∞

|= pε (ψkm (xk ),ψlm (xl )). Следовательно для каждого j ∈ J имеем limµ Ajm |= −→ |= pε ((ϕj )µk(j)∞ (xk (j)), (ϕj )µl∞ (xl (j))), т. е. (ϕj )µk(j)∞ (xk (j)) = (ϕj )µl∞ (xl (j)). Нетрудно также видеть, что это отображение является сюръективным. Покажем, что h — гомоморфизм. Пусть limµ Bk |= pε (x, y), тогда −→ для всякого δ > ε найдутся k ∈ K и элементы xk , yk ∈ Bk такие, что Q µ µ Bk |= pδ (xk , yk ) и ψk∞ (xk ) = x, а ψk∞ (yk ) = y. Следовательно limµ Aji |= −→ j∈J |= pε (h(x), h(y)). Q Покажем, что h — вложение. Пусть limµ Aji |= pε (h(x), h(y)) для −→ j∈J некоторых x и y. Тогда для каждого δ > ε, j ∈ J и ij ∈ Ij найдутся xjij и yijj такие, что Ajij |= pδ (xjij , yijj ). Следовательно, Bk |= pδ (xk , yk ), где k(j) = = ij , xk (j) = xjij и yk (j) = yijj . Отсюда limµ Bk |= pε (x, y) по определению −→ отображения h. (б) Докажем включение L µs L µs ⊆ SL µs P. Пусть hJ, Aj , ϕij i — над→ →

→

754

В. А. Худяков

прямой спектр, в котором каждая система Aj изоморфна некоторому µпределу limµ hIj , Ajk , ϕjkl i. Тогда, пользуясь рассуждениями, аналогичны−→ ми приведенным выше, и предполагая, что J не имеет наибольшего элемента, можно показать, что limµ limµ Aji вложима в limhK, Bk , ψkl i, где −→ −→ −→ Q Q Ij ⊂ K ⊂ (Ij ∪ {ej }); ej — наибольший элемент в Ij ∪ {ej }; если

j∈J

j∈J

k(j) = ej , то k(j ′ ) = ej ′ для всякого j ′ 6 j; для всякого k ∈ K найдется j такой, что kj 6= ej ; для всякого j ∈ J найдется k ∈ K такой, что Q j k(j) = ej ; Bk = Ak(j) (все системы Ajej полагаем тривиальными); ψkl — j∈J

отображения, индуцированные соответствующими ϕij . 2

СЛЕДСТВИЕ 4. Если A и B — непрерывные квазимногообразия, то A ∨ B = L µs SP(A ∪ B). →

СЛЕДСТВИЕ 5. Если A — метрическая алгебра, в которой все основные операции равномерно непрерывны, то Qµ (A) = L µs SP(A). →

§ 3. Решетки относительных конгруэнций В этом параграфе дается полная характеризация решеток вида ConK A, где K — непрерывное квазимногообразие и A ∈ K. Оказывается, что это в точности непрерывные по Скотту решетки. Определение непрерывной по Скотту решетки содержится в [2], здесь же используется следующая характеризационная ТЕОРЕМА 6 [2]. Полная решетка непрерывна по Скотту тогда и только тогда, когда она вложима в некоторую декартову степень отрезка [0, 1] с сохранением произвольных пересечений и сумм по цепям. ТЕОРЕМА 7. Пусть K — непрерывное квазимногообразие, A ∈ K. Тогда ConK A — непрерывная по Скотту решетка. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть X = {{x, y} : x, y ∈ A, x 6= y}. Построим вложение ϕ : ConK A → [−∞, 0]X по правилу ϕ(θ)({x, y}) = −inf{ε : hx, y, εi ∈ θ}.

Квазимногообразия метрических алгебр

755

Проверим, что ϕ сохраняет произвольные пересечения и суммы по направленным подмножествам. (а) Так как ϕ(1A)({x, y}) = 0 для всех {x, y} ∈ X, а A/1A — тривиальная система, то пустое пересечение сохраняется. (б) Пусть {θi : i ∈ I} — непустое семейство из ConK A. Тогда ϕ(∧θi )({x, y}) = −inf{ε : hx, y, εi ∈ ∧θi } для каждого i ∈ I. Следовательно, ϕ(∧θi ) 6 ∧ϕ(θi ). Предположим, что неравенство строгое, т. е. существуют пара {x, y} ∈ X и a ∈ R такие, что ϕ(∧θi )({x, y}) < a < ∧ϕ(θi )({x, y}). Очевидно, a < ϕ(θi )({x, y}) = −inf{ε : hx, y, εi ∈ θi } для всех i ∈ I, т. е., учитывая K |= (M ), имеем hx, y, −ai ∈ θi (i ∈ I). Так как K — непрерывное квазимногообразие, то ∧θi = ∩θi . Отсюда hx, y, −ai ∈ ∧θi , т. е. a > − inf{ε : hx, y, εi ∈ ∧θi } = ϕ(∧θi ), получаем противоречие. (в) Пусть теперь {θi : i ∈ I} — направленное семейство из ConK A. По (б) вложение ϕ сохраняет порядок. Следовательно, ϕ(∨θi ) > ∨ϕ(θi ). Предположим, что ϕ(∨θi ) 6= ∨ϕ(θi ). Тогда найдутся пара {x, y} ∈ X и числа a, δ > 0 такие, что ϕ(∨θi )({x, y}) > a > a − δ > ∨ϕ(θi )({x, y}). Поскольку K замкнуто относительно образования µ-пределов, т. е. ∨θi = = (∪θi )µ , получаем hx, y, −ai ∈ / ∨θi . С другой стороны, имеем − inf{ε : hx, y, εi ∈ ∨θi } > a, получаем противоречие. Таким образом, ϕ

является вложением решетки ConK A в куб

[−∞, 0]X с сохранением пересечений и сумм по направленным подмножествам. Следовательно, по теореме 6 решетка ConK A непрерывна по Скотту. 2 ТЕОРЕМА 8. Пусть L — непрерывная по Скотту решетка. Тогда найдется непрерывное квазимногообразие K такое, что ConK FK (∅) ∼ = L. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По теореме 6 существует вложение ϕ решетки L в некоторый куб [−1, 0]X , сохраняющее произвольные пересечения и суммы по направленным подмножествам. Будем строить искомое квазимногообразие в функциональной сигнатуре σ = {c} ∪ {x : x ∈ X}, состоящей только из константных символов.

756

В. А. Худяков

Для этого понадобятся вспомогательные системы Aa , a ∈ ϕ(L), носителями которых являются множества Aa = {d} ∪ {dx : a(x) 6= 0}; означиa = d (a(x) = 0) и вание констант выполняется по правилу cAa = d, cA x a cA x = dx (a(x) 6= 0), а предикаты определяются следующим образом:

Aa |= pε (m, m), m ∈ Aa ; Aa |= pε (d, dx ) ⇔ Aa |= pε (dx , d) ⇔ −a(x) 6 ε; Aa |= pε (dx , dy ) ⇔ −a(x) − a(y) 6 ε. Нетрудно проверить, что все системы Aa являются метрическими алгебрами, A0 — тривиальная система, и гомоморфизм из Aa в Ab существует тогда и только тогда, когда a 6 b. Положим K = {B : Aa 6 B для некоторого a ∈ ϕ(L)} и покажем, что класс K является непрерывным квазимногообразием. Очевидно, что K замкнут относительно образования подсистем, поэтому остается доказать замкнутость относительно образования декартовых произведений и µ-пределов. (a) Класс K содержит тривиальную систему и, следовательно, замкнут относительно прямых произведений по пустому множеству индексов. Пусть {Bi : i ∈ I} — непустое семейство систем из K. По определению для каждого i ∈ I найдется единственный ai ∈ ϕ(L) такой, что Bi > Aai . Q Покажем, что Aai > A∧ai . Действительно, i∈I

Q

i∈I

Aai |= pε (cx , cy ) ⇔ (∀i ∈ I)(Aai |= pε (cx , cy )) ⇔ (∀i ∈ I)(−ai (x) − ai (y) 6 ε) ⇔ − ∧ ai (x) − ∧ai (y) 6 ε ⇔ A∧ai |= pε (cx , cy ).

Для пар вида (c, cx ) рассуждения аналогичны. (б) Пусть hI, Bi , ψij i — надпрямой спектр систем из K. Покажем, что µ

lim Bi ∈ K. Действительно, по определению для всякого i ∈ I найдется −→ ai ∈ ϕ(L) такое, что Bi > Aai . Так как Bi (i ∈ I) образуют надпрямой спектр, то {ai : i ∈ I} — направленное подмножество в [−1, 0]X . С другой

Квазимногообразия метрических алгебр

757

стороны, limµ Bi |= pε (cx , cy ) ⇔ (∀δ > 0)(∃i ∈ I)(B |= pε+δ (cx , cy )) −→ ⇔ (∀δ > 0)(∃i ∈ I)(−ai (x) − ai (y) 6 ε + δ) ⇔ − ∨ ai (x) − ∨ai (y) 6 ε ⇔ A∨ai |= pε (cx , cy ). Осталось заметить, что Aϕ(0) ∼ = FK (∅). 2

§ 4. Теорема о подпрямом разложении Нетривиальная система A непрерывного квазимногообразия K называется конечно подпрямо неразложимой в K, если для всякого подпрямоQ го вложения A 6 Bi в конечное прямое произведение по меньшей мере i∈I

одна из проекций πi является изоморфизмом. В терминах решеток отно-

сительных конгруэнций это равносильно тому, что нуль решетки неразложим в конечное пересечение. Из теоремы 7 и следствия I.3.10 [2], которое утверждает, что в непрерывной решетке каждый элемент представим в виде объединения неразложимых, получаем СЛЕДСТВИЕ 9. В непрерывном квазимногообразии K каждая система представима в виде подпрямого произведения конечно подпрямо неразложимых систем из K. Пусть K — предмногообразие. Нетривиальную систему A ∈ K назовем подпрямо неразложимой, если найдутся элементы x, y ∈ A, которые склеивают всякий гомоморфизм, не являющийся изоморфизмом. В метрических алгебрах, в отличие от обычных, сближение элементов может и не носить такого радикального характера. Нетривиальная система A в непрерывном квазимногообразии K называется K-неразложимой (см. [3]), если существуют элементы x, y ∈ A такие, что для всякого гомоморфизма ϕ, не являющегося изоморфизмом, расстояние между их образами строго меньше расстояния между прообразами, т. е. ρϕ(A) (ϕ(x), ϕ(y)) < ρA (x, y). В терминах нашего представления это означает следующее: существует пара

758

В. А. Худяков

(x, y) ∈ A2 такая, что для всякой ненулевой конгруэнции θ на A найдется ε > 0 такой, что hx, y, εi ∈ θ, но A 6|= pε (x, y). Заметим, что всякая подпрямо K-неразложимая система является Kнеразложимой. И хотя в классе метрических алгебр классическая теорема о подпрямом разложении неверна (см. § 5), имеет место следующая ТЕОРЕМА 10. Пусть K — непрерывное квазимногообразие. Тогда любая система из K представима в виде подпрямого произведения Kнеразложимых систем. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть A ∈ K. Без ограничения общности можно считать, что A — нетривиальная система. Для каждой пары (x, y) ∈ ∈ A2 (x 6= y) зафиксируем максимальную K-конгруэнцию θ(xy) с условием hx, y, εi ∈ θ(xy) ⇔ A |= pε (x, y).

(1)

Это возможно, так как множество K-конгруэнций на A, удовлетворяющих (1), непусто (0A в нем содержится) и замкнуто относительно сумм по цепям. Действительно, пусть (θα ) — цепь K-конгруэнций, удовлетворяющих (1) для пары (x, y). Тогда (∪θα )µ — также K-конгруэнция, так как K замкнуто относительно L µs и удовлетворяет (1) по определению оператора ·µ . → T (xy) Нетрудно видеть, что 0A = θ и все системы A/θ(xy) K(x,y)

неразложимы. 2

§ 5. Нормированные пространства Одним из важнейших примеров метрических алгебр являются нормированные векторные пространства. Пусть σ = {+, 0, α·}α∈R , а N — класс, определенный соотношениями (M ), (M∞ ) и квазитождествами pε (x, y) → pε (x + z, y + z),

pε (x, 0) → p|α|ε (αx, 0),

pε (αx + αy, α(x + y)),

pε (αx + βx, (α + β)x),

pε (α(βx), (αβ)x),

pε (1x, x),

pε (0x, 0),

(N )

Квазимногообразия метрических алгебр

759

где α, β ∈ R, ε > 0. Нетрудно видеть, что N совпадает с категорией обобщенно нормированных векторных пространств и является непрерывным квазимногообразием. В этом важном частном случае удобно рассмотреть новое представление конгруэнции. Каждой конгруэнции θ на нормированном векторном пространстве A поставим в соответствие множество S(θ) = {x : hx, 0, 1i ∈ ∈ θ}. Очевидно, что S(θ) удовлетворяет условиям (S1): S(θ) содержит единичный шар; (S2): S(θ) — выпуклое множество; (S3): S(θ) симметрично относительно 0, т. е. из x ∈ S(θ) вытекает −x ∈ S(θ); (S4) для каждого x ∈ A множество {α : α · x ∈ S(θ)} замкнуто в топологии вещественных чисел. Обратно, всякое множество, удовлетворяющее условиям (S1)—(S4), может быть представлено в виде S(θ) для некоторой конгруэнции θ. Более того, S(θ) ⊇ S(θ′ ) тогда и только тогда, когда θ ⊇ θ′ . Множества вида S(θ) образуют полную решетку, пересечение в которой совпадает с теоретико-множественным, а объединение ∨Si равно (∪Si )c− , где ·c — выпуклое замыкание, а ·− — замыкание по правилу (S4). Класс K обладает свойством расширения конгруэнций, если для всех A, B ∈ K таких, что A 6 B, и конгруэнции θ ∈ ConK A, найдется η ∈ ConK B, продолжающая θ на B. ЛЕММА 11. Класс N обладает свойством расширения конгруэнций. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Приведем два доказательства: в первом расширение строится явным образом, во втором — используются свойства решетки конгруэнций, но расширение явно не указано. Пусть B ∈ N, A 6 B, θ ∈ ConN A и η = {hx, y, ci : (∃ a, b > 0)(a + b = c) (∃ z ∈ A)(A |= |= pa (x, y + z)&hz, 0, bi ∈ θ)}. Нетрудно проверить, что η — конгруэнция, B/η |= Mod((M ) ∪ (N )) и η|A = θ. По лемме 1 и определению оператора ·µ , конгруэнция η µ является требуемым расширением. Приведем другое доказательство этой леммы. Пусть B ∈ N, A 6 B

760

В. А. Худяков

и θ ∈ ConN A. Пусть B′ обозначает систему с носителем B, предикаты в которой определяются по правилу B′ |= pε (x, y) ⇔ x = y. Тогда множество S(θ) можно рассматривать как представление некоторой конгруэнции на B′ . Следовательно, требуемое продолжение есть конгруэнция, соответствующая S(θ) ∨ S(0B). 2 Через R обозначается N-система с носителем R, естественными операциями 0, +, α· и предикатами, определенными по правилу pa (x, y) ⇔ |x − y| 6 a, а через R∗ — система с теми же основными операциями и носителем, где pa (x, y) ⇔ x = y. Систему A назовем системой без бесконечных расстояний, если для каждой пары (x, y) ∈ A2 найдется ε > 0 такой, что A |= pε (x, y). ЛЕММА 12. Для любых непрерывного подквазимногообразия K класса N и K-неразложимой системы A либо A ∼ = R∗ . = R, либо A ∼ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть A — K-неразложимая система, и (x, y) — пара из определения неразложимости. Не ограничивая общности, можно считать, что A |= p1 (x, y) и A 6|= pε (x, y) для всех ε < 1. В случае, когда A порождается элементом x − y, требуемое очевидно. Зафиксируем произвольный z ∈ A такой, что z 6= α(x−y) для каждого α ∈ R. Рассмотрим подсистему B системы A, порожденную элементами z и (x − y). Пусть h — гомоморфизм из B на какую-нибудь K-систему такой, что h(B) |= pε (h(x − y), h(0)) ⇔ Bpε (x − y, 0) для всех ε > 0. Получаем противоречие с леммой 11. С л у ч а й 1: B без бесконечных расстояний. Тогда (x − y) лежит на границе выпуклого множества D = {v ∈ B : B |= p1 (v, 0)} и, следовательно, D лежит по одну сторону некоторой прямой, проходящей через (x − y). Пусть w — вектор, параллельный этой прямой. Очевидно, что B порождается (x−y) и w, а также B 6|= pε (x−y +αw, 0) для ε < 1 и α ∈ R. Определив теперь ϕ(α(x − y) + βw) = α, получим требуемый гомоморфизм.

Квазимногообразия метрических алгебр

761

С л у ч а й 2: B |= pε (x − y, 0) для некоторого ε и B 6|= pδ (z, 0) для всех δ. Требуемый гомоморфизм — это ϕ(α(x − y) + βz) = α. С л у ч а й 3: B 6|= pε (x − y, 0) для всех ε, но существуют v ∈ B и δ > 0 такие, что B |= pδ (v, 0). Нетрудно видеть, что отображение ϕ(α(x − y) + + βv) = α является гомоморфизмом из B на R∗ . С л у ч а й 4: B 6|= pε (v, 0) для всех v 6= 0 и ε > 0. В этом случае возьмем ϕ(α(x − y) + βz) = α. 2 Как показывает лемма, в N всего две N-неразложимые системы (которые, как нетрудно видеть, не являются подпрямо неразложимыми). Отсюда и из теоремы 10 вытекает СЛЕДСТВИЕ 13. Решетка непрерывных подквазимногообразий класса N трехэлементна. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно заметить, что всякое квазитождество, выполненное в R, выполняется и в R∗ . Предположим, что существует некоторое квазитождество (∀x)(pε1 (s1 (x), t1 (x))& . . . & pεn (sn (x), tn (x)) → → pε0 (s0 (x), t0 (x))) истинное в R, но ложное в R∗ . Считая, что системы обладают одним носителем, зафиксируем элементы a, на которых в R∗ это квазитождество не выполняется. Тогда si (a) = ti (a), i = 1, . . . , n, и, кроме того, s0 (a) 6= t0 (a). Пусть K > ε0 /|s0 (a) − t0 (a)| и b получается из a умножением каждого элемента на K. Нетрудно видеть, что R 6|= (pε1 (s1 (x), t1 (x)) & . . . & pεn (sn (x), tn (x)) → pε0 (s0 (x), t0 (x)))[b]. 2 ТЕОРЕМА (Хана–Банаха) 14. Система R инъективна в классе всех систем из N без бесконечных расстояний, т. е. если A 6 B ∈ N, B без бесконечных расстояний и h : A → R — гомоморфизм, то найдется гомоморфизм f : B → R такой, что f |A = h. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть θ = ker h. Если θ = 1A, то взяв f : x 7→ 7→ 0, получаем требуемое продолжение. Пусть теперь θ 6= 1A, и η — максимальное расширение θ на B (оно существует по лемме 11 и определению ·µ ). Покажем, что отображение f : x 7→ x/η является требуемым. Пусть f (B) 6∼ = R, тогда, как и в доказательстве леммы 12, можно построить больший, чем f , гомоморфизм из B,

762

В. А. Худяков

продолжающий h, получаем противоречие с тем, что η максимально. 2 Из доказательства теоремы 14 следует также, что R инъективна во всем N.

ЛИТЕРАТУРА 1. N. Weaver, Quasi-varieties of metric algebras, Algebra Univers., 33, N 1 (1995), 1—9. 2. G. Gierz, K. H. Hoffmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislove, D. S. Scott, A compendium of continuous lattices, Berlin a.o., Springer-Verlag, 1980. 3. В. А. Горбунов, Алгебраическая теория квазимногообразий (Сибирская школа алгебры и логики), Новосибирск, Научная книга (ИДМИ), 1999.

Адрес автора: ХУДЯКОВ Владимир Александрович, РОССИЯ, 655016, г. Абакан, пр. Дружбы Народов, д. 20, кв. 183. e-mail: [email protected]

Поступило 14 февраля 2001 г.