Математико-статистические методы анализа данных: Учебно-методическая разработка

Самарский институт (филиал) Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Российский государственный торгово-экономический университет» Кафедра информатики и математики

Зайчикова Н.А.

МАТЕМАТИКО-СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ДАННЫХ

Учебно-методическая разработка по дисциплине «Математико-статистические методы» Для студентов, обучающихся по специальности: 080109 Бухгалтерский учет, анализ и аудит 080102 Мировая экономика

Самара 2010

УДК 519.2 ББК 22.1 М 34 Автор-составитель

кандидат физ.-мат. наук, доцент кафедры

информатики и математики Зайчикова Н.А.

Математико-статистические методы анализа данных: Учебно-методическая разработка/ Зайчикова Н.А.; Самарский институт (филиал) РГТЭУ. Самара: 2010. 61 стр.

2

Оглавление 1. Цели, задачи и предмет дисциплины ........................................................................ 6 2. Требования к уровню освоения дисциплины........................................................... 8 2.1. Инновационные технологии, используемые в учебном процессе ............. 9 3. Распределение часов по темам и видам учебной работы...................................... 11 4. Содержание курса и методические рекомендации по его изучению .................. 12 5. Темы практических занятий и методические указания по их проведению ........ 18 6. Задания и методические рекомендации для самостоятельной работы студентов ......................................................................................................................................... 23 7. Тестовые материалы для контроля знаний студентов........................................... 37 8. Вопросы для подготовки к зачету ........................................................................... 56 9. Учебно-методическое обеспечение дисциплины .................................................. 59 9.1. Литература............................................................................................................ 59 9.2. Методическое обеспечение ................................................................................ 60 9.3. Информационное обеспечение .......................................................................... 61

3

Введение Проведение экономических исследований в современном мире происходит на качественно новом уровне по сравнению с прошлым. Сегодня важно давать наиболее адекватную оценку ситуации или процесса, проводя анализ того, что предшествовало данному положению вещей, того, что имеется на данном этапе, того, как, возможно, будут развиваться события и того, что входит в другие варианты понимания или развития событий, которые мы не учли или посчитали наименее возможными. При этом применение количественных методов анализа и обработки информации дают наиболее объективные оценки деятельности предприятий, микро- и макроэкономических показателей, прогнозы показателей на будущее. Именно это и составляет

предмет

изучения дисциплины

«Математико-статистические методы». Изучение данного курса даст будущим специалистам

современное

представление

о

количественном

анализе

экономических операций и его математических основах, позволит получать наиболее вероятные количественные значения экономических показателей, устанавливать связь между различными случайными параметрами и принимать обоснованные решения в экономике. Теоретической

основой

курса

«Математико-статистических

методов»

являются теория вероятностей и математической статистики, тесная взаимосвязь со смежными курсами, а также современная учебная и методическая литература. Теория вероятностей развивалась изначально на основе наблюдений за азартными играми, результатами коммерческой деятельности и желания людей угадывать их исходы. Со временем теория вероятностей оформилась как отдельное направление в математике, получила свою аксиоматику, свои определения, теоремы и леммы. Теория вероятностей зародилась в XVI-XVII вв. Основоположниками теории вероятностей можно назвать Паскаля, Ферма и Гюйгенса. Следующий период истории теории вероятностей (XVIII-XIX вв.) связан с именами А. Муавра, П. Лапласа, К. Гаусса и С. Пуассона. В этот период теория вероятностей уже находит ряд актуальных применений в науке и технике. 4

Третий период истории теории вероятностей (2-я половина XIX в.) связан в основном с именами русских математиков П. Л. Чебышева, А. М. Ляпунова и А. А. Маркова. Со 2-й половины XIX в. исследования по теории вероятностей в России занимают ведущее место в мире. Чебышев и его ученики, Ляпунов и Марков, поставили и решили ряд задач

теории вероятностей, обобщающих

теоремы Бернулли и Лапласа. Чебышев чрезвычайно просто доказал закон больших

чисел

при

весьма

общих

предположениях.

Он

же

впервые

сформулировал центральную предельную теорему для сумм независимых случайных величин и указал один из методов её доказательства. Другой метод решения этого вопроса получил Ляпунов. Марков впервые рассмотрел один случай зависимых испытаний, который впоследствии получил название цепей Маркова. Основоположником современной теории вероятностей можно по праву считать выдающегося математика XX столетия академика А.Н. Колмогорова, который внес величайший вклад в становление

аппарата и развитие

статистических методов. На базе аппарата теории вероятностей появились такие дисциплины, как математическая статистика, теория случайных процессов, теория массового обслуживания и другие. В них математический аппарат теории вероятностей расширяется и применяется к различным моделям и ситуациям. Появление электронно-вычислительных машин, позволивших применить эти теории для решения широкого круга экономических задач, возникающих на практике, и дальнейшее развитие электронных технологий в настоящее время сделало применение статистических методов исследования экономических задач ещё более актуальным. Курс математико-статистических методов занимает особое место в структуре учебных планов для экономических специальностей как продолжение курса математики. Он используется для изучения ряда других смежных дисциплин; позволяет на более глубоком уровне освоить другие курсы информационной и экономической направленности; имеет самостоятельное значение для развития общего интеллектуального потенциала студентов. 5

1. Цели, задачи и предмет дисциплины Курс «Математико-статистические методы» можно отнести к блоку дисциплин предметной подготовки студентов экономических специальностей и соответствует содержанию раздела ЕН. Ф. 1 государственного образовательного стандарта по специальностям: 080109 «Бухгалтерский учет и аудит», 080102 «Мировая экономика». При изучении этого курса ставиться цель закрепить и расширить знания по математике, полученные на первом курсе университета. Сформулировать научные представления, практические умения и навыки в области методов количественной оценки и математического моделирования экономических явлений, выявление статистических закономерностей и анализа полученной информации. После изучения курса студенты должны быть готовы использовать полученные знания, как

при изучении смежных

дисциплин, так и в

профессиональной деятельности. Задачи дисциплины состоят в том, чтобы сформировать у студентов научное

мировоззрение,

развить

логическое

мышление,

научить

решать

математические задачи, обучить количественному анализу экономических процессов с помощью математических инструментов. В процессе освоения предлагаемого материала студенты должны учиться применять имеющиеся в их распоряжении

знания

систематизации,

из

обработки

области и

высшей

анализа

математики,

данных,

а

также

методы

сбора,

осуществлять

интерпретацию результатов; они должны овладеть стандартными методами исследования

задач,

которые

лежат

в

основе

деятельности

различных

предприятий и систем обслуживания. Особенностью курса является изучение математического аппарата в сочетании с математическими приемами и методами, применяемыми в экономической деятельности. В курсе изучаются разделы: теория вероятностей, массового обслуживания, математическая статистика. 6

Данная дисциплина имеет непосредственную взаимосвязь с дисциплинами «Математика», «Эконометрика», «Статистика», «Информационные технологии в экономике» и является хорошим основанием для всех последующих дисциплин, связанных с моделированием и анализом экономических процессов. В ходе освоения курса предусмотрено чтение лекций, проведение практических занятий, выполнение контрольных работ и

домашних заданий.

Курс предполагает, помимо посещения лекций и практических занятий, выполнение

домашних

заданий,

регулярные

консультации

студентов

преподавателями в течение всего времени обучения, самостоятельную работу студентов с изучаемым материалом, выполнение ими расчетной работы, рефератов, небольших по объёму исследовательских работ практической направленности, работу с электронными ресурсами.

7

2. Требования к уровню освоения дисциплины В результате изучения дисциплины специалист должен иметь представление о: • количественном анализе экономических процессов; • математическом моделировании экономических процессов и систем; • методах теории вероятностей; • методах математической статистики; • системах массового обслуживания. знать: • основные понятия, определения, теоремы и их следствия и постановку задач теории вероятностей, примеры экономических задач; • теоретические основы и решение задач математической статистики; • теорию марковских цепей и решение задач массового обслуживания. уметь: • составлять математические модели экономических задач, приводящих к вероятностным задачам; • решать задачи теории вероятностей (определять вероятность событий, задавать случайные величины и находить их числовые характеристики, определять и подбирать соответствующие законы распределения дискретных и непрерывных случайных величин, применять понятие многомерной случайной величины и решать соответствующие задачи, решать задачи на применение закона больших чисел); • вычислять показатели эффективности для различных систем массового обслуживания и проводить их анализ; • решать задачи математической статистики (вычислять оценки вариационных рядов, осуществлять проверку статистических гипотез). 8

приобрести навыки: • составления математических моделей вероятностных задач; • определения закона распределения случайной величины; • определения числовых характеристик случайных величин; • построения размеченного графа состояний системы массового обслуживания и определения основных параметров; • построения графиков теоретической и эмпирической функции распределения, плотности распределения вероятностей, кумуляты, полигона распределения вероятностей, гистограммы частот и относительных частот; • вычисления точечных и интервальных оценок вариационных рядов.

2.1. Инновационные технологии, используемые в учебном

процессе

«Группа шума» – небольшая группа студентов, которая прерывая обычный ход занятия, дискутирует с преподавателем (темы 1-4). Деловая игра – метод имитации (подражания, изображения) принятия решений

руководящими

работниками

или

специалистами

в

различных

производственных ситуациях (в учебном процессе – в искусственно созданных ситуациях), осуществляемый по заданным правилам группой людей в диалоговом режиме (раздел 1, 3). «Деловая корзина» – коллективная проработка и анализ решений заданий, которые студенты сначала по очереди

вынимают из «корзины» и решают

самостоятельно.

студентов

Метод

активизирует

и

ориентирует

их

на

самостоятельное решение различных проблем в исследовательской деятельности (темы 1, 4, 10). Дискуссия – обсуждение спорного вопроса, обмен мнениями, идеями между двумя и более лицами. Цель метода обнаружить различия в понимании проблемы и ее решения, определить правильные подходы к решению задачи и прийти к единой точке зрения (темы 1-4, 10-12). Доклад-презентация – публичное сообщение, представляющее собой развёрнутое изложение определённой темы, вопроса программы (темы 6, 10, 11). 9

В процессе обучения рекомендуется использование мультимедийных докладов в форме презентаций как при проведении лекций преподавателями, так и на практических занятиях студентами в виде докладов по отдельным проблемным вопросам тематики дисциплины. (Доклады-презентации могут использоваться в темах 1, 2, 5, 6, 8-12, по рефератам №1-4.) Занятие-исследование – практическое занятие, в ходе которого студенты проверяют и подтверждают теоретические результаты (тема 6). «Мозговая атака» – метод обучения, в ходе которого студенты делятся на две группы: генераторов идей и критиков (тема 10). Тестовое задание – минимальная составляющая единица теста, которая состоит из условия (вопроса) и в зависимости от типа задания может содержать или не содержать набор ответов для выбора.

10

3. Распределение часов по темам и видам учебной работы

Виды учебных занятий Аудиторные занятия, из них Самост. Названия разделов и тем работа Практ. Лекции занятия Раздел 1. Теория вероятностей 1. Основные понятия и теоремы 7 4 3 4 теории вероятностей. 2. Повторные независимые 2 1 1 2 испытания. 3. Случайные величины и их 4 2 2 3 числовые характеристики. 4. Основные законы 4 2 2 4 распределения. 5. Многомерные случайные 4 2 2 3 величины. 6. Закон больших чисел и 3 1 2 3 предельные теоремы. Раздел 2. Марковские цепи в экономике 7. Пуассоновский поток 2 событий. Система уравнений Колмогорова. 8. Системы массового 3 обслуживания с отказами. 9. Системы массового 3 обслуживания с ожиданием. Раздел 3. Математическая статистика 10. Вариационные ряды и их 4 2 2 4 характеристики. 11. Основы математической 4 2 2 4 теории выборочного метода. 12. Проверка статистических 4 2 2 4 гипотез. ИТОГО 36 18 18 39 Всего часов по учебному плану

11

4. Содержание курса и методические рекомендации по его изучению Введение. Раскрывает значение теории вероятностей и математической статистики как важнейшей составляющей в системе фундаментальной подготовки современного специалиста и

в решении экономических, управленческих и коммерческих

задач. РАЗДЕЛ 1. Теория вероятностей Тема 1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей Предмет и задачи теории вероятностей. Статистические закономерности, области применения теории вероятностей в экономике и коммерции. Примеры экономических задач, приводящих к вероятностным задачам. Опыт, событие. Относительная частота. Построение математической модели случайного опыта: пространство элементарных событий, события в модели. Классификация

событий.

Классическое

определение

вероятности.

Статистическое

определение

вероятности.

Геометрическое

определение

вероятности. Элементы Действия

комбинаторики. над

событиями.

Непосредственное Теорема

сложения

вычисление

вероятностей.

вероятностей.

Условная

вероятность событий. Теорема умножения вероятностей. Независимые события. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Теоретико-множественная трактовка основных понятий и аксиоматическое построение теории вероятностей. Проработка материала по конспектам лекций и учебной литературе. Литература: [1- 5].

12

Учебно-методическая литература: [1,3].

Тема 2. Повторные независимые испытания Формула Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа. Свойства функции Лапласа. Проработка материала по конспектам лекций и учебной литературе. Литература: [1-5]. Учебно-методическая литература: [1,3].

Тема 3. Случайные величины и их числовые характеристики Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины.

Математические

операции

над

случайными

величинами.

Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Функция

распределения

случайной

величины.

Непрерывные

величины.

Плотность вероятности. Мода и медиана. Квантили. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс. Проработка материала по конспектам лекций и учебной литературе. Литература: [1-5]. Учебно-методическая литература: [3].

Тема 4. Основные законы распределения Биномиальный

закон

распределения,

закон

распределения

Пуассона,

геометрическое, гипергеометрическое, равномерное, показательное, нормальное, логарифмически-нормальное распределение. Распределение случайных величин, 13

представляющих функции нормальных величин (распределения Пирсона, Стьюдента, Фишера). Проработка материала по конспектам лекций и учебной литературе. Литература: [1-4]. Учебно-методическая литература: [3].

Тема 5. Многомерные случайные величины Понятие многомерной случайной величины и закон ее распределения. Функция распределения многомерной случайной величины. Плотность вероятности двумерной случайной величины. Условные законы распределения. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Регрессия. Зависимые и независимые случайные величины. Ковариация и коэффициент корреляции. Проработка материала по конспектам лекций и учебной литературе. Литература: [1-3]. Учебно-методическая литература: [3]. Тема 6. Закон больших чисел и предельные теоремы Закон больших чисел. Неравенство Маркова. Лемма Чебышева. Неравенство Чебышева. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема. Проработка материала по конспектам лекций и учебной литературе. Литература: [1-3]. РАЗДЕЛ 2. Марковские цепи в экономике.

14

Тема 7. Пуассоновский поток событий. Система уравнений Колмогорова. Примеры систем массового обслуживания. Случайные процессы. Процессы Маркова. Пуассоновские

потоки событий. Вывод формул для расчета

вероятностей событий в потоке требований Пуассона. Дифференциальные уравнения Колмогорова и предельные вероятности состояний системы. Процессы гибели и размножения. Проработка материала по учебной литературе. Литература: [1, 2, 5]. Учебно-методическая литература [2,3]. Тема 8. Системы массового обслуживания с отказами Определение систем массового обслуживания. Примеры. Основные элементы систем

массового

обслуживания.

Классификация

систем

массового

обслуживания. Показатели эффективности. Время обслуживания. Система уравнений

Эрланга.

Установившийся

режим

работы

систем

массового

обслуживания. Формулы Эрланга для финальных вероятностей. Показатели эффективности для систем массового обслуживания с отказами. Проработка материала по учебной литературе. Литература: [1, 2, 5, 6]. Учебно-методическая литература [2,3]. Тема 9. Системы массового обслуживания с ожиданием Системы массового обслуживания с ограниченной очередью ожидания. Формулы Эрланга для финальных вероятностей. Показатели эффективности. Системы массового обслуживания с неограниченной очередью ожидания. 15

Условия наступления установившегося режима. Формулы для финальных вероятностей. Показатели эффективности. Проработка материала по учебной литературе. Литература: [1, 2, 5, 6]. Учебно-методическая литература [2,3]. РАЗДЕЛ 3. Математическая статистика Тема 10. Вариационные ряды и их характеристики Вариационные ряды и их графическое изображение. Средние величины. Показатели вариации. Упрощенный способ расчета средней арифметической и дисперсии. Начальные и центральные моменты вариационного ряда. Асимметрия и эксцесс. Проработка материала по конспектам лекций и учебной литературе. Литература: [1-5]. Тема 11. Основы математической теории выборочного метода Общие сведения о выборочном методе. Понятие оценки параметров. Методы нахождения

оценок.

Оценка

параметров

генеральной

совокупности

по

собственно-случайной выборке. Точечные оценки. Понятие интервального оценивания. Доверительная вероятность и предельная ошибка выборки. Оценка характеристик генеральной совокупности по малой выборке. Проработка материала по конспектам лекций и учебной литературе. Литература: [1-5].

16

Тема 12. Проверка статистических гипотез Принцип практической уверенности. Статистическая гипотеза и общая схема ее проверки. Проверка гипотез о равенстве средних двух и более совокупностей. Проверка гипотез о равенстве долей признака в двух и более совокупностях. Проверка гипотез о равенстве дисперсий двух и более совокупностей. Проверка гипотез о числовых значениях параметров. Построение теоретического закона распределения по опытным данным. Проверка гипотез о законе распределения. Проверка гипотез об однородности выборок. Проработка материала по конспектам лекций и учебной литературе. Литература: [1-5].

17

5. Темы практических занятий и методические указания по их проведению

Раздел 1. Теория вероятностей. Тема 1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей. Вопросы к теме: 1. Решение задач на классическое и геометрическое определение вероятности. 2. Непосредственное вычисление вероятностей с использованием формул комбинаторики. 3. Решение задач с использованием теоремы сложения вероятностей и понятия условной вероятности событий. 4. Решение задач с использованием теоремы умножения вероятностей. 5. Формула полной вероятности и формула Байеса. Литература: [1-5]. Учебно-методическая литература: [1,3].

Тема 2. Повторные независимые испытания. Вопросы к теме: 1. Решение задач с использованием формул Бернулли и Пуассона. 2. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа. Литература: [1-5]. Учебно-методическая литература: [1,3].

Тема 3. Случайные величины и их числовые характеристики. Вопросы к теме:

18

1. Закон

распределения

дискретной

случайной

величины.

Построение

полигона распределения. 2. Вычисление числовых характеристик дискретных случайных величин: математического

ожидания,

дисперсии,

среднего

квадратического

отклонения. 3. Построение функции распределения дискретной случайной величины. 4. Непрерывные величины. Плотность вероятности и ее график. 5. Вычисление числовых характеристик непрерывных случайных величин: математического

ожидания,

дисперсии,

среднего

квадратического

отклонения. 6. Мода и медиана. Квантили. Моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс. Литература: [1-5]. Учебно-методическая литература: [3].

Тема 4. Основные законы распределения. Вопросы к теме: 1. Решение задач на определение числовых характеристик случайных величин распределенных распределения равномерному,

по

биномиальному

Пуассона,

закону

геометрическому,

показательному,

распределения,

закону

гипергеометрическому,

нормальному,

логарифмически-

нормальному распределению. 2. Построение полигона распределения, плотности и функции распределения данной случайной величины. 3. Определение закона распределения заданной случайной величины. Литература: [1-4]. Учебно-методическая литература: [3]. 19

Тема 5. Многомерные случайные величины. Вопросы к теме: 1. Функция распределения многомерной случайной величины. 2. Условные законы распределения. 3. Числовые характеристики двумерной случайной величины. Регрессия. 4. Зависимые и независимые случайные величины. Ковариация и коэффициент корреляции. Литература: [1-3]. Учебно-методическая литература: [3]. Тема 6. Закон больших чисел и предельные теоремы. Вопросы к теме: 1. Решение задач с использованием неравенства Маркова, неравенства Чебышева, теоремы Чебышева, теоремы Бернулли, центральной предельной теоремы. Литература: [1-3]. Возможно проведение итогового занятия по разделу в форме «деловой игры», а также использование в ходе аудиторных занятий таких методов обучения как «группа шума», «деловая корзина» (темы 1-4), дискуссия (темы 1-4), докладпрезентация (темы 1-6), занятие-исследование (тема 1, 4, 6) и тесты. Раздел 3. Математическая статистика. Тема 10. Вариационные ряды и их характеристики. Вопросы к теме: 1. Вариационные ряды и их графическое изображение.

20

2. Средние величины, показатели вариации. Упрощенный способ расчета средней арифметической и дисперсии. 3. Начальные и центральные моменты вариационного ряда. Литература: [1-5]. Тема 11. Основы математической теории выборочного метода. Вопросы к теме: 1. Оценка параметров генеральной совокупности по собственно-случайной выборке. 2. Интервальное оценивание. 3. Решение задач на определение доверительной вероятности и предельной ошибки выборки. 4. Оценка характеристик генеральной совокупности по малой выборке. Литература: [1-5].

Тема 12. Проверка статистических гипотез. Вопросы к теме: 1. Проверка гипотез о равенстве средних двух и более совокупностей. 2. Проверка гипотез о равенстве долей признака в двух и более совокупностях. 3. Проверка гипотез о равенстве дисперсий двух и более совокупностей. 4. Проверка гипотез о числовых значениях параметров. 5. Построение теоретического закона распределения по опытным данным. 6. Проверка гипотез о законе распределения. 7. Проверка гипотез об однородности выборок.

Литература: [1-5]. 21

Возможно проведение итогового занятия по разделу в форме «деловой игры», а также использование в ходе аудиторных занятий таких методов обучения как «деловая корзина» (тема10), дискуссия (темы 10-12), доклад-презентация (тема 10, 11), «мозговая атака» (тема 10) и тесты.

22

6. Задания и методические рекомендации для самостоятельной работы

студентов

Разделы и темы для

Виды и содержание самостоятельной работы

самостоятельного изучения Раздел 1. Теория вероятностей. Проработка материала по конспектам лекций и Тема 1. Основные понятия и

учебной литературе:

теоремы теории вероятностей.

1. Классификация событий. 2. Классическое определение вероятности. 3. Статистическое определение вероятности. 4. Геометрическое определение вероятности. 5. Элементы комбинаторики. 6. Непосредственное

вычисление

вероятностей. 7. Действия над событиями. 8. Теорема сложения вероятностей. 9. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимые события. 10. Формула полной вероятности. Формула Байеса. 11. Теоретико-множественная основных

понятий

и

трактовка аксиоматическое

построение теории вероятностей. Выполнение домашних заданий: 1. Решение

задач

на

классическое

и

геометрическое определение вероятности. 2. Непосредственное вычисление вероятностей с использованием формул комбинаторики. 3. Решение задач с использованием теоремы сложения вероятностей и понятия условной 23

Разделы и темы для

Виды и содержание самостоятельной работы

самостоятельного изучения вероятности событий. 4. Решение задач с использованием теоремы умножения вероятностей. 5. Формула полной вероятности и формула Байеса. Проработка учебной и научной литературы: [1, 2, 4, 5]. Решение

задач,

упражнений

из

учебной

литературы [1, 3, 4, 5], из учебно-методической литературы [1,3]. Подготовка к аттестационной самостоятельной работе «Расчет вероятностей событий». Реферат № 1 «Прикладные задачи теории вероятностей в коммерческой (экономической) деятельности». Реферат № 2 (по персоналиям) «Вклад ученого в

развитие

теории

вероятностей

(математической статистики) и прикладные исследования». Тема 2. Повторные независимые Проработка материала по конспектам лекций и испытания.

учебной литературе: 1. Формула Бернулли. 2. Формула Пуассона. 3. Локальная и интегральная вормулы МуавраЛапласа. Выполнение домашних заданий: 1. Решение задач с использованием формул Бернулли и Пуассона. 2. Решение задач на применение локальной и 24

Разделы и темы для

Виды и содержание самостоятельной работы

самостоятельного изучения интегральной формул Муавра-Лапласа. Проработка учебной и научной литературы: [1, 2, 4, 5]. Решение

задач,

упражнений

из

учебной

литературы [1, 3, 4, 5], из учебно-методической литературы [1,3]. Подготовка к аттестационной самостоятельной работе «Расчет вероятностей событий». Реферат № 1 «Прикладные задачи теории вероятностей в коммерческой (экономической) деятельности». Реферат № 2 (по персоналиям) «Вклад ученого в

развитие

теории

вероятностей

(математической статистики) и прикладные исследования». Тема 3. Случайные величины и

Проработка материала по конспектам лекций и

их числовые характеристики.

учебной литературе: 1. Понятие

случайной

распределения

величины.

дискретной

Закон

случайной

величины. 2. Математические операции над случайными величинами. 3. Математическое

ожидание

дискретной

случайной величины. 4. Дисперсия дискретной случайной величины. 5. Функция

распределения

случайной

случайные

величины.

величины. 6. Непрерывные

Плотность вероятности. 25

Разделы и темы для

Виды и содержание самостоятельной работы

самостоятельного изучения 7. Мода и медиана. Квантили. Теоретические моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс. Выполнение домашних заданий: 1. Построение полигона распределения и функции распределения по заданному закону распределения. 2. Вычисление

числовых

характеристик

дискретных и непрерывных случайных величин: математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения. 3. Построение графика плотности вероятности непрерывной случайной величины. 4. Вычисление моды и медианы, квантилей, qпроцентных точек,

моментов случайных

величин, асимметрии и эксцесса. Проработка учебной и научной литературы: [1, 2, 4, 5]. Решение

задач,

упражнений

из

учебной

литературы [1, 3, 4, 5], из учебно-методической литературы [3]. Подготовка к контрольной работе №1 «Основы теории вероятностей». Реферат № 1 «Прикладные задачи теории вероятностей в коммерческой (экономической) деятельности». Реферат № 2 (по персоналиям) «Вклад ученого в

развитие

теории

вероятностей

(математической статистики) и прикладные исследования». 26

Разделы и темы для

Виды и содержание самостоятельной работы

самостоятельного изучения Тема 4. Основные законы

Проработка материала по конспектам лекций и

распределения.

учебной литературе: 1. Биномиальный закон распределения. 2. Закон распределения Пуассона. 3. Геометрическое распределение. 4. Гипергеометрическое распределение. 5. Равномерный закон распределения. 6. Показательный

(экспоненциальный)

закон

распределения. 7. Нормальный закон распределения. 8. Логарифмически-нормальное распределение. 9. Распределение

случайных

величин,

представляющих собой функции нормальных величин: (распределения Пирсона, Стьюдента, Фишера). Выполнение домашних заданий: 1. Решение задач на определение числовых характеристик распределенных

случайных по

величин

биномиальному

закону

распределения, закону распределения Пуассона, геометрическому, равномерному,

гипергеометрическому, показательному,

нормальному,

логарифмически-нормальному распределению. 2. Построение

полигона

распределения,

плотности и функции распределения данной случайной величины. 3. Определение закона распределения заданной случайной величины. Проработка учебной и научной литературы: [1, 27

Разделы и темы для

Виды и содержание самостоятельной работы

самостоятельного изучения 2, 4, 5]. Решение

задач,

упражнений

из

учебной

литературы [1, 3, 4, 5], из учебно-методической литературы [3]. Подготовка к контрольной работе №1 «Основы теории вероятностей». Реферат № 1 «Прикладные задачи теории вероятностей в коммерческой (экономической) деятельности». Реферат № 2 (по персоналиям) «Вклад ученого в

развитие

теории

вероятностей

(математической статистики) и прикладные исследования». Тема 5. Многомерные

Проработка материала по конспектам лекций и

случайные величины.

учебной литературе: 1. Понятие многомерной случайной величины и закона ее распределения. 2. Функция

распределения

многомерной

случайной величины. 3. Плотность

вероятности

двумерной

случайной величины. 4. Условные законы распределения. Числовые характеристики

двумерной

случайной

величины. Регрессия. 5. Зависимые

и

независимые

случайные

величины. 6. Ковариация и коэффициент корреляции. 7. Двумерный распределения. 28

нормальный

закон

Разделы и темы для

Виды и содержание самостоятельной работы

самостоятельного изучения 8. Функция влучайных величин. Композиция законов распределения. Выполнение домашних заданий: 1. Функция

распределения

многомерной

случайной величины. 2. Условные законы распределения. 3. Числовые

характеристики

двумерной

случайной величины. Регрессия. 4. Зависимые величины.

и

независимые

Ковариация

и

случайные коэффициент

корреляции. Проработка учебной и научной литературы: [1, 2, 4, 5]. Решение

задач,

упражнений

из

учебной

литературы [1, 3, 4, 5], из учебно-методической литературы [3]. Подготовка к контрольной работе №1 «Основы теории вероятностей». Реферат № 1 «Прикладные задачи теории вероятностей в коммерческой (экономической) деятельности». Реферат № 2 (по персоналиям) «Вклад ученого в

развитие

теории

вероятностей

(математической статистики) и прикладные исследования». Тема 6. Закон больших чисел и

Проработка материала по конспектам лекций и

предельные теоремы.

учебной литературе: 1. Неравенство Маркова (лемма Чебышева). 2. Неравенство Чебышева. 29

Разделы и темы для

Виды и содержание самостоятельной работы

самостоятельного изучения 3. Теорема Чебышева. 4. Теорема Бернулли. 5. Центральная предельная теорема. Выполнение домашних заданий: 1. Решение

задач

с

использованием

неравенства Маркова, неравенства Чебышева, теоремы

Чебышева,

теоремы

Бернулли,

центральной предельной теоремы. Проработка учебной и научной литературы: [1, 2, 4, 5]. Решение

задач,

упражнений

из

учебной

литературы [1, 3, 4, 5]. Подготовка к контрольной работе №1 «Основы теории вероятностей». Реферат № 1 «Прикладные задачи теории вероятностей в коммерческой (экономической) деятельности». Реферат № 2 (по персоналиям) «Вклад ученого в

развитие

теории

вероятностей

(математической статистики) и прикладные исследования». Раздел 2. Марковские цепи в

Проработка материала по конспектам лекций и

экономике.

учебной литературе:

Тема 7. Пуассоновский поток

1. Потоки

событий. Система уравнений

событий;

Колмогорова.

2. Дискретный случайный процесс; марковский

событий,

простейший

поток

процесс в СМО, размеченный граф состояний системы. 3. Стационарный режим в СМО; предельные 30

Разделы и темы для

Виды и содержание самостоятельной работы

самостоятельного изучения вероятности

состояний,

система

дифференциальных уравнений Колмогорова. 4. Схема процессов гибели и размножения. массового обслуживания. Выполнение домашних заданий: 1. Определение системе

вероятностей

массового

событий

обслуживания

в с

пуассоновским потоком требований 2. Построение размеченного графа состояний системы массового обслуживания. 3. Определение системы

предельных

массового

использованием формул

вероятностей

обслуживания

с

системы уравнений

Колмогорова. 4. Определение предельных вероятностей для процессов гибели и размножения. Проработка учебной и научной литературы: [1, 2, 5]. Решение

задач,

упражнений

из

учебной

литературы [1, 5], из учебно-методической литературы [2]. Тема 8. Системы массового

Проработка материала по конспектам лекций и

обслуживания с отказами.

учебной литературе: 1. Определение, классификация

основные

элементы

систем

и

массового

обслуживания. 2. Показатели

эффективности.

обслуживания. 3. Система уравнений Эрланга. 31

Время

Разделы и темы для

Виды и содержание самостоятельной работы

самостоятельного изучения 4. Установившийся

режим

работы

систем

массового обслуживания. 5. Формулы

Эрланга

для

финальных

вероятностей. 6. Показатели

эффективности

для

систем

массового обслуживания с отказами. Выполнение домашних заданий: 1. Вычисление показателей эффективности для систем массового обслуживания с отказами. Проработка учебной и научной литературы: [1, 2, 5, 6]. Решение

задач,

литературы

упражнений

[1,5],

из

из

учебной

учебно-методической

литературы [2]. Тема 9. Системы массового

Проработка материала по конспектам лекций и

обслуживания с ожиданием.

учебной литературе: 1. Системы массового обслуживания (СМО) с ограниченной очередью ожидания. 2. Формулы

Эрланга

для

предельных

вероятностей. 3. Показатели

эффективности.

Системы

массового обслуживания с неограниченной очередью ожидания. 4. Условия

наступления

установившегося

режима. 5. Формулы

для

нахождения

предельных

вероятностей. 6. Показатели эффективности работы СМО. Выполнение домашних заданий: 32

Разделы и темы для

Виды и содержание самостоятельной работы

самостоятельного изучения 1. Вычисление показателей эффективности для систем

массового

обслуживания

с

ограниченной очередью ожидания. 2. Вычисление показателей эффективности для систем

массового

обслуживания

с

неограниченной очередью ожидания. Проработка учебной и научной литературы: [1, 2, 5, 6]. Решение

задач,

литературы

упражнений

[1,5],

из

из

учебной

учебно-методической

литературы [2]. Раздел 3. Математическая

Проработка материала по конспектам лекций и

статистика.

учебной литературе:

Тема 10. Вариационные ряды и

1. Вариационные

их характеристики.

изображение.

ряды

и

их

графическое

2. Средние величины. 3. Показатели вариации. 4. Упрощенный

способ

расчета

средней

арифметической и дисперсии. 5. Начальные

и

центральные

моменты

вариационного ряда. Выполнение домашних заданий: 1. Графическое рядов

изображение

(полигон,

эмпирической

вариационных

гистограмма,

функции

графики

распределения

и

кумуляты). 2. Расчет

средних

величин,

показателей

вариации. Упрощенный способ расчета средней арифметической и дисперсии. 33

Разделы и темы для

Виды и содержание самостоятельной работы

самостоятельного изучения 3. Расчет начальных и центральных моментов вариационного ряда. Проработка учебной и научной литературы: [1, 2, 4, 5]. Решение

задач,

упражнений

из

учебной

литературы [1, 3, 4, 5]. Подготовка

к

контрольной

работе

№1

«Элементы математической статистики». Реферат № 3 «Математическая статистика в социальных исследованиях». Реферат № 4 «Математическая статистика в экономических исследованиях». Тема 11. Основы

Проработка материала по конспектам лекций и

математической теории

учебной литературе:

выборочного метода.

1. Выборочный метод. 2. Понятие оценки параметров. 3. Методы нахождения оценок. 4. Оценка

параметров

совокупности

по

генеральной

собственно-случайной

выборке. 5. Определение

эффективности

оценок

с

помощью неравенства Рао-Крамера-Фреше. 6. Понятие

интервального

Доверительная

вероятность

оценивания. и

предельная

ошибка выборки. 7. Оценка

характеристик

генеральной

совокупности по малой выборке. Выполнение домашних заданий: 1. Оценка 34

параметров

генеральной

Разделы и темы для

Виды и содержание самостоятельной работы

самостоятельного изучения совокупности

по

собственно-случайной

выборке. 2. Решение

задач

доверительной

на

вероятности

определение и

предельной

ошибки выборки. 3. Оценка

характеристик

генеральной

совокупности по малой выборке. Проработка учебной и научной литературы: [1, 2, 4, 5]. Решение

задач,

упражнений

из

учебной

литературы [1, 3, 4, 5]. Подготовка

к

контрольной

работе

№1

«Элементы математической статистики». Реферат № 3 «Математическая статистика в социальных исследованиях». Реферат № 4 «Математическая статистика в экономических исследованиях». Тема 12. Проверка

Проработка материала по конспектам лекций и

статистических гипотез.

учебной литературе: 1. Принцип практической уверенности. 2. Статистическая гипотеза и общая схема ее поверки. 3. Проверка гипотез о равенстве средних двух и более совокупностей. 4. Проверка

гипотез

о

равенстве

долей

признака в двух и более совокупностях. 5. Проверка гипотез о равенстве дисперсий двух и более совокупностей. 6. Проверка гипотез о числовых значениях 35

Разделы и темы для

Виды и содержание самостоятельной работы

самостоятельного изучения параметров. 7. Построение

теоретического

закона

распределения по опытным данным. Проверка гипотез о законе распределения. 8. Проверка гипотез об однородности выборок. Выполнение домашних заданий: 1. Проверка гипотез о равенстве средних двух и более совокупностей. 2. Проверка

гипотез

о

равенстве

долей

признака в двух и более совокупностях. 3. Проверка гипотез о равенстве дисперсий двух и более совокупностей. 4. Проверка гипотез о числовых значениях параметров. 5. Построение

теоретического

закона

распределения по опытным данным. 6. Проверка гипотез о законе распределения. 7. Проверка гипотез об однородности выборок. Проработка учебной и научной литературы: [1, 2, 4, 5]. Решение

задач,

упражнений

из

учебной

литературы [1, 3, 4, 5]. Подготовка

к

контрольной

работе

№1

«Элементы математической статистики». Реферат № 3 «Математическая статистика в социальных исследованиях». Реферат № 4 «Математическая статистика в экономических исследованиях».

36

7. Тестовые материалы для контроля знаний студентов 1 1. Две фирмы на рынке непродовольственных товаров рекламируют свою продукцию, каждый в своем сегменте. Вероятности «срабатывания» рекламы отличны от 0 и 1. Рассматриваются события: А – «сработала» первая рекламная кампания; В – «сработала» вторая рекламная кампания; С – не «сработала» ни одна рекламная кампания. Из приведенных ниже утверждений верны следующие утверждения (отметить несколько вариантов): а) [ ] А, В и С образуют полную группу событий; б) [ ] А, В независимы; в) [ ] А, В несовместны; г) [ ] А и С независимы; д) [ ] А и С несовместны; е) [ ] В и С независимы; ж) [ ] В и С несовместны; з) [ ] А, В и С независимы в совокупности; и) [ ] А, В и С попарно несовместны; к) [ ] В и С противоположны. 2. На рынке продовольственных товаров появляются два новых продукта. В качестве испытания может рассматриваться (отметить несколько вариантов): а) [ ] появление двух новых товаров на рынке; б) [ ] появление первого товара на рынке; в) [ ] появление второго товара на рынке; г) [ ] удачное появление первого товара на рынке; д) [ ] удачное появление второго товара на рынке; е) [ ] удачное появление двух товаров на рынке. 1

Тестовые материалы подготовлены с использованием Учебно-методического комплекса дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы»/ кафедра прикладной математики; СанктПетербургский государственный технологический институт. 2007. 36 с. 37

3. Покупаются два набора оргтехники. Вероятность покупки со скидкой для каждого равна 50%. Из приведенных ниже множеств могут рассматриваться в качестве множества равновозможных исходов данного испытания следующие (отметить несколько вариантов): а)

[ ] Ω = {ω1 , ω 2 , ω 3 , ω 4 } , где

ω1 - оба набора куплены со скидкой; ω 2 - оба набора куплены без скидки; ω 3 - первый набор куплен со скидкой, а второй – без;

ω 4 - второй набор куплен со скидкой, а первый – без;

б)

[ ] Ω = {ω1 , ω 2 , ω 3 , ω 4 } , где

ω1 - первый набор куплен со скидкой; ω 2 - первый набор куплен без скидки; ω 3 - второй набор куплен со скидкой;

ω 4 - второй набор куплен без скидки;

в)

[ ] Ω = {ω1 , ω 2 , ω 3 } , где

ω1 - оба набора куплены со скидкой; ω 2 - оба набора куплены без скидки; ω 3 - результаты покупок различны.

г)

[ ] Ω = {ω1 , ω 2 } , где

ω1 - первый набор куплен со скидкой; ω 2 - второй набор куплен со скидкой;

д)

[ ] Ω = {ω1 , ω 2 } , где

ω1 - результаты первой и второй покупок одинаковы; ω 2 - результаты первой и второй покупок различны; 38

е)

[ ] Ω = {ω1 , ω 2 } , где

ω1 - обе покупок совершены со скидкой; ω 2 - хотя бы одна из покупок совершена со скидкой.

4. Две торговых сети пытаются расположить свои торговые точки в данном районе. Событие А – первая торговая сеть расположила свои торговые точки в данном районе, Событие В – вторая торговая сеть расположила свои торговые точки в данном районе. Установить правильные соответствия между событиями. Хотя бы одна из торговых сетей не

A+ B

расположила свои торговые точки в данном районе Обе торговые сети расположили торговые

A⋅ B + A⋅ B

точки в данном районе

Обе торговые сети не смогли расположить

A⋅ B

торговые точки в данном районе Хотя бы одна торговая сеть расположила свои

A⋅ B 39

торговые точки в данном районе Лишь одна торговая сеть расположила свои

A+ B

торговые точки в данном районе 5. Для проверки качества изделий, поступивших в магазин отобрано три изделия. Рассмотрим события: А – первое изделие – бракованное; В – второе изделие – бракованное; С – третье изделие – бракованное. Установить правильные соответствия между событиями. Все изделия – бракованные

A+ B +C

Все изделия – доброкачественные

A⋅ B ⋅C

Не все изделия – бракованные

A⋅ B ⋅C

Не все изделия – доброкачественные

A+ B +C

40

6. События А и В несовместны, и их вероятности не равны нулю. Из приведенных ниже формул верны следующие (отметить несколько вариантов): а) [ ] Р(А+В)=Р(А)+Р(В); б) [ ] Р(А+В)=Р(А)+Р(В) – Р(АВ); в) [ ] Р(А+В)=Р(А)+Р(В) – Р(А)Р(В); г) [ ] Р(АВ)=Р(А)Р(В); д) [ ] Р(АВ)=Р(В)Р(А|В); е) [ ] Р(АВ)=0; ж) [ ] Р(А|В)=Р(А); з) [ ] Р(А|В)=0; и) [ ] Р(В|A)=0; к) [ ] Р(В|A)=Р(А). 7. Вероятность случайного события А может быть (отметить несколько вариантов): а) [ ] положительным числом; б) [ ] отрицательным числом; в) [ ] равно нулю; г) [ ] больше единицы; д) [ ] равна единице; е) [ ] случайной величиной; ж) [ ] из интервала (0;1); з) [ ] из отрезка [0;1]. 8. Вероятность достоверного события А может быть: а) [ ] положительным числом; б) [ ] отрицательным числом; в) [ ] равно нулю; г) [ ] больше единицы; д) [ ] равна единице; 41

е) [ ] случайной величиной; ж) [ ] из интервала (0;1); з) [ ] из отрезка [0;1]. 9. Вероятность невозможного события А может быть: а) [ ] положительным числом; б) [ ] отрицательным числом; в) [ ] равно нулю; г) [ ] больше единицы; д) [ ] равна единице; е) [ ] случайной величиной; ж) [ ] из интервала (0;1); з) [ ] из отрезка [0;1]. 10. Формула полной вероятности позволяет найти: а) [ ] вероятность события А, если известны условные вероятности гипотез при выполнении А и их безусловные вероятности; б) [ ] вероятность события А, если известны условные вероятности А при условии каждой из гипотез и вероятности этих гипотез; в) [ ] условные вероятности события А при каждой из гипотез, если известны вероятности гипотез и их условные вероятности при условии А; г) [ ] условные вероятности гипотез при условии А, если известны условные вероятности А при условии каждой из гипотез и вероятности этих гипотез; д) [ ] условные вероятности гипотез при условии А, если известны условные вероятности А при условии каждой из гипотез и вероятность события А.

42

11. Формула Байеса позволяет найти: а) [ ] вероятность события А, если известны условные вероятности гипотез при условии А и их безусловные вероятности; б) [ ] вероятность события А, если известны условные вероятности А при условии каждой из гипотез и вероятности этих гипотез; в) [ ] условные вероятности события А при условии каждой из гипотез, если известны условные вероятности гипотез при условии А и их безусловные вероятности; г) [ ] условные вероятности гипотез при условии А, если известны условные вероятности А при условии каждой из гипотез и вероятности этих гипотез; д) [ ] условные вероятности гипотез при условии А, если известны условные вероятности А при условии каждой из гипотез и вероятность события А. 12. Формула полной вероятности верна для гипотез, которые: а) [ ] попарно несовместны; б) [ ] попарно независимы; в) [ ] независимы в совокупности; г) [ ] образуют полную группу; д) [ ] в сумме дают достоверное событие; е) [ ] в сумме дают невозможное событие. 13. Формула Байеса верна для гипотез, которые: а) [ ] попарно несовместны; б) [ ] попарно независимы; в) [ ] независимы в совокупности; г) [ ] образуют полную группу; д) [ ] в сумме дают достоверное событие; е) [ ] в сумме дают невозможное событие.

43

14. Вероятность брака при изготовлении изделия равна р. Изготовлено 10 изделий. Вероятность того, что среди них ровно 2 доброкачественных равна а) [ ] 10 p 2 (1 − p) 8 ; б) [ ] 45 p 2 (1 − p ) 8 ; в) [ ] 10 p 8 (1 − p) 2 ; г) [ ] 45 p 8 (1 − p) 2 ; д) [ ] 90 p 8 (1 − p ) 2 ; е) [ ] 90 p 2 (1 − p) 8 . 15. Вероятность брака при изготовлении изделия равна р. Изготовлено 10 изделий. Вероятность того, что среди них ровно 2 бракованных равна а) [ ] 10 p 2 (1 − p) 8 ; б) [ ] 45 p 2 (1 − p ) 8 ; в) [ ] 10 p 8 (1 − p) 2 ; г) [ ] 45 p 8 (1 − p) 2 ; д) [ ] 90 p 8 (1 − p ) 2 ; е) [ ] 90 p 2 (1 − p) 8 . 16. Математическое ожидание случайной величины может быть: а) [ ] положительным числом; б) [ ] отрицательным числом; в) [ ] равно нулю; г) [ ] больше единицы; д) [ ] равно единице; е) [ ] случайной величиной. 17. Дисперсия непрерывной случайной величины может быть: а) [ ] положительным числом; б) [ ] отрицательным числом; в) [ ] равно нулю; 44

г) [ ] равна единице; д) [ ] больше единицы; е) [ ] случайной величиной. 18. Для закона распределения случайной величины, представленного в таблице ниже, -1

1

2

4

0.1

0.2

0.5

0.2

график функции распределения изображен на рисунке а) [ ]

б) [ ]

45

в) [ ]

г) [ ]

д) [ ]

19. Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется выражением: а) [ ] б) [ ]

1 n ∑ xi ; n i =1 n

∑x p i =1

в) [ ] г) [ ]

i

i

;

1 n ∑ xi p i ; n i =1 +∞

∫ x f ( x) dx ;

−∞

46

д) [ ]

+∞

∫x

f ( x) dx ;

2

−∞

е) [ ]

b

∫

f ( x) dx ;

a

ж) [ ]

x

∫

f (t ) dt .

−∞

20. Математическое ожидание дискретной случайной величины определяется выражением: а) [ ]

1 n ∑ xi ; n i =1

б) [ ]

∑x p

n

i

i =1

в) [ ] г) [ ]

i

;

1 n ∑ xi p i ; n i =1 +∞

∫ x f ( x) dx ;

−∞

д) [ ]

n

∑x i =1

е) [ ]

+∞

∫x

2

2

i

pi ;

f ( x) dx ;

−∞

ж) [ ]

b

∫

f ( x) dx ;

a

з) [ ]

x

∫

f (t ) dt .

−∞

21. Локальная теорема Муавра-Лапласа позволяет найти а) [ ] вероятность наступления события m раз в n независимых испытаниях; б) [ ] вероятность того, что число m наступления события A в n независимых испытаниях заключено в пределах от a до b при достаточно большом числе испытаний;

47

в) [ ] вероятность наступления события m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе испытаний; г) [ ] вероятность того, что число m наступления события A в n независимых испытаниях заключено в пределах от a до b; д) [ ] вероятность наступления события A в независимых испытаниях при достаточно большом числе испытаний. 22. Интегральная теорема Муавра-Лапласа позволяет найти а) [ ] вероятность наступления события m раз в n независимых испытаниях; б) [ ] вероятность того, что число m наступления события A в n независимых испытаниях заключено в пределах от a до b при достаточно большом числе испытаний; в) [ ] вероятность наступления события m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе испытаний; г) [ ] вероятность того, что число m наступления события A в n независимых испытаниях заключено в пределах от a до b; д) [ ] вероятность наступления события A в независимых испытаниях при достаточно большом числе испытаний. 23. Функции распределения случайной величины X 0, если х ≤ 0; 3/5, если 0<x ≤ 1; F (x) =

4/5, если 1<x ≤ 1,5; 14/15, если 1,5<x ≤ 3; 1, если х>3;

соответствует закон распределения а)

[ ] xi

0

1

1,5

3

48

б)

в)

г)

pi

3/5

4/5

14/15

1

xi

0

1

1,5

3

pi

0

3/5

4/5

14/15

xi

0

1

1,5

3

pi

3/5

1/5

2/15

1/15

xi

0

1

1,5

3

pi

0

3/5

4/15

3/15

[ ]

[ ]

[ ]

24. Константа С в выражении плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х равна С х2, если - 1 ≤ х ≤ 1, f (x)=

0, если |x|>1.

а) [ ] 1; б) [ ] 1/2; в) [ ] 2/3; г) [ ] 3/2; д) [ ] -1; е) [ ] 0; ж) [ ] произвольная. 49

25. Закон распределения случайного вектора (X,Y) дискретного типа дан в таблице приведенной ниже. Элемент, отмеченный звездочкой, равен yj 0

1

2

-1

*

0,05

0,05

1

0,25

0,25

0,2

xi

а) [ ] 0; б) [ ] 0,05; в) [ ] 0,9; г) [ ] 0,25; д) [ ] 0,2; е) [ ] 0,75. 26. Для двух дискретных случайных величин Х и У, заданных таблично, xi

0

1

yj

0

1

2

pi

0,4

0,6

pj

0,1

0,3

0,6

их сумма задается таблицей вида

а) [ ]

zk

( xi + y i )

pk

б) [ ]

zk

( xi + y i )

pk

в) [ ]

zk

( xi + y i )

0

1

2

0,04

0,12

0,24

0

1

2

3

0,04

0,18

0,42

0,36

1 50

2

3

pk

г) [ ]

zk

zk

0,18

0,36

0

1

2

0,1

0,3

0,6

( xi + y i )

pk

д) [ ]

0,06

( xi + y i )

pk

0

1

2

3

0,04

0,18

0,24

0,36

27. Для непрерывной случайной величины распределенной равномерно на отрезке [2;6] плотность распределения вероятностей равна а) [ ] 0,5; б) [ ] 1; в) [ ] C; г) [ ] -0,5 д) [ ] 0,75; е) [ ] 0,25. 28. Утверждение о том, что частость события при большом числе испытаний стремится к вероятности этого события, носит название а) [ ] закона больших чисел б) [ ] неравенства Чебышева в) [ ] неравенства Маркова г) [ ] Теоремы Бернулли д) [ ] Теоремы Пуассона е) [ ] Теоремы Чебышева 29. Мода вариационного ряда 1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,5,6,6,7,7,7,8 равна а) [ ] 1; б) [ ] 8; в) [ ] 3; 51

г) [ ] 4; д) [ ] 5; е) [ ] 7. 30. Медиана вариационного ряда 1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,6,7,7,7,8 равна а) [ ] 1; б) [ ] 8; в) [ ] 2 и 4; г) [ ] 1,5; д) [ ] 2,5; е) [ ] 3,5. 31. Гистограмма интервального ряда, представленного таблицей, xi

1-3

3-5

5-7

ni

2

3

5

изображена на рисунке а) [ ]

52

б) [ ]

в) [ ]

г) [ ]

д) [ ]

32. Для основной гипотезы H 0 = 4 альтернативная гипотеза (несколько вариантов ответа) 53

а) [ ] H 1 = {− ∞;+∞}; б) [ ] H 1 = {x ≠ 4}; в) [ ] H 1 = {(−∞;−4) ∪ (4;+∞)} ; г) [ ] H 1 = {(−∞;4) ∪ (4;+∞)} д) [ ] H 1 = {x ≤ 4} ; е) [ ] H 1 = {x > 4}. 33. Несмещенной оценкой генеральной средней является а) [ ] генеральная средняя; б) [ ] выборочная средняя; в) [ ] генеральная дисперсия; г) [ ] выборочная дисперсия; д) [ ] генеральное среднеквадратическое отклонение; е) [ ] выборочное среднеквадратическое отклонение. 34. Выборочная средняя вариационного ряда, представленного таблицей, xi

5

6

7

ni

2

3

5

равна а) [ ] 63; б) [ ] 6,3; в) [ ] 6; г) [ ] 3,3; д) [ ] 10; е) [ ] 28; ж) [ ] 2,8. 35. Выборочная средняя интервального ряда, представленного таблицей, 54

xi

1-2

2-3

3-4

ni

2

3

5

равна а) [ ] 23; б) [ ] 2,3; в) [ ] 10; г) [ ] 33; д) [ ] 3,3; е) [ ] 28; ж) [ ] 2,8. 36. Доверительный интервал для оценки Θ* = 1 – это интервал вида а) [ ] (-1;1); б) [ ] (-2;1); в) [ ] (0;2); г) [ ] [-1;1]; д) [ ] [-2;1]. 37. При построении доверительного интервала используется таблица значений функции а) [ ] Лапласа; б) [ ] Стьюдента; в) [ ] Фишера; г) [ ] Пирсона; д) [ ] нормального распределения; е) [ ] логнормального распределения.

55

8. Вопросы для подготовки к зачету

1. Понятие случайного события. Достоверные, невозможные, несовместные, противоположные события. Полная группа событий. Сумма и произведение событий. 2. Классическое, геометрическое, статистическое определение вероятности. 3. Построение математической модели случайного опыта: пространство элементарных событий, события в модели 4. Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность, независимые события. Свойства вероятностей независимых событий. Теорема умножения вероятностей. 5. Элементы комбинаторики: количество элементов в упорядоченной, неупорядоченной, с возвращением, без возвращения выборках. 6. Формула полной вероятности и формула Байеса. 7. Сравнение понятий частости и вероятности события. 8. Понятие последовательности независимых испытаний. Формула Бернулли. 9. Приближенные формулы Лапласа. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа. 10.Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины, их сравнение. Закон распределения, функция распределения дискретной и непрерывной случайной величины. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины. 11. Примеры законов распределения случайной величины: биномиальный, геометрический, гипергеометрический, Пуассона, равномерный, показательный, нормальный, логнормальный. Свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону. Распределение случайных величин, представляющих функции нормальных величин (распределение Пирсона, Стьюдента, Фишера). 12. Основные числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент корреляции, линейная регрессия. Мода и медиана случайной величины. 56

13. Теоретические моменты случайных величин. Асимметрия и эксцесс теоретического распределения. Квантили и q-процентные точки случайных величин. 14. Закон больших чисел. Закон больших чисел в широком и в узком смысле. Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева. Центральная предельная теорема. Теорема Бернулли. 15. Основные понятия теории массового обслуживания. Определение случайного процесса и его характеристики. Примеры. 16. Понятие пуассоновского потока событий. Примеры. 17. Марковские процессы в СМО. Примеры. 18. Система дифференциальных уравнений Колмогорова. Предельные вероятности состояний СМО. 19. Процессы гибели и размножения. Примеры. 20. Классификация СМО. 21. Показатели эффективности СМО. 22. Время обслуживания. 23. СМО с отказами. 24. Система уравнений Эрланга. 25. Установившийся режим работы СМО. 26. Показатели эффективности для СМО с отказами. 27. СМО с ограниченной очередью ожиданий. 28. Показатели эффективности для СМО с ограниченной очередью ожидания. 29. СМО с неограниченной очередью ожидания. 30. Показатели эффективности для СМО с неограниченной очередью ожидания. 31. Многомерные случайные величины. Функция распределения многомерной случайной величины, ее свойства. Функция распределения многомерной случайной величины, ее геометрический смысл. 32. Условные законы распределения двумерной случайной величины. Линии регрессии. Ковариация и коэффициент корреляции. Зависимые и независимые случайные величины. Связь понятий независимости и некоррелированности случайных величин. 57

33. Вариационные ряды и их графическое изображение. Полигон и гистограмма. Группировка вариационного ряда. Формула Стерджеса. 34. Кумулятивная кривая ранжированного вариационного ряда. 35. Кумулятивная кривая интервального вариационного ряда. 36. Статистические закономерности, области применения теории вероятностей в экономике и коммерции. 37. Выборочный метод. Понятие оценки параметров. 38. Упрощенный способ расчета средней арифметической (выборочной средней) и дисперсии вариационного ряда. 39. Начальные и центральные моменты вариационного ряда. Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения. 40. Оценка параметров генеральной совокупности по собственно-случайной выборке. 41. Понятие интервального оценивания. Доверительная вероятность и предельная ошибка выборки. 42. Доверительный интервал. Схема построения доверительного интервала. 43. Статистическая гипотеза и общая схема ее проверки.

58

9. Учебно-методическое обеспечение дисциплины

9.1. Литература Основная: 1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 1977. 2. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Высшая школа, 1979. 3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Юнити, 2009.

Дополнительная: 4. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов. СПб: Питер, 2004. 5. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. – М.: Дело, 2003. 6. Кузнецов Б.Т. Математические методы и модели исследования операций. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. 7. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х частях. Ч. II. - М.: Высшая школа, 1999.

59

9.2. Методическое обеспечение Перечень учебно-методических изданий, рекомендуемых студентам для подготовки к занятиям и выполнения самостоятельной работы, а также методические

материалы

на

бумажных

и/или

электронных

носителях,

предоставляемые студентам во время занятий: 1. Теория вероятностей: Сборник заданий для самостоятельной работы. Методические указания. / Сост.: Л.А. Молодцова. – Самара: Самар. ин-т (фил.) ГОУ ВПО «РГТЭУ», 2005. - 56 с. 2. Зайчикова Н.А. Прикладная математика. Практикум. – Самара.: 2006. – 43 с. 3. Математика: Учеб.-методический комплекс/ М.В. Зайцев, И.В. Сухорукова, А.А. Туганбаев; РГТЭУ, 2007.- 132 стр.

60

9.3. Информационное обеспечение При подготовке к практическим занятиям и самостоятельной работе можно использовать компьютерные классы со стандартным программным обеспечением: • ОС Windows; • пакет программных средств офисного назначения MS Office; • язык программирования Visual Basic 6.0. Интернет – ресурсы. www.chtivo.ru www.prosto-tak.ru/i www.nkl.ru www.ismart.ru www.bookroom.ru www.lib.ua-ru www.intuit.ru.

61