Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ул...
7 downloads
168 Views
510KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ульяновский государственный технический университет
МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Методические указания для самостоятельной работы студентов (второе издание)
Составители: А. Р. Сибирёва, Т. Б. Распутько
Ульяновск 2005
УДК 517(076) ББК 22.161я7
Рецензент кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа УГПУ М.С. Чунаева Одобрено секцией методических пособий научно-методического Совета университета
Методы интегрирования: методические указания для самостоятельной работы студентов / сост.: А. Р. Сибирёва, Т. Б. Распутько. – Ульяновск : УлГТУ 2005, 40 с. Методические указания составлены в соответствии с учебной программой по курсу «Высшая математика». Указания предназначены для самостоятельной и индивидуальной работы студентов втузов. Сборник содержит задачи по теме «Интегралы», даны образцы решения задач. Методические указания способствуют успешному усвоению темы и совершенствованию математического аппарата студента.
© Сибирева А. Р., Распутько Т. Б., составление, 2005 Оформление .УлГТУ, 2005
3
Первообразная функция и неопределенный интеграл Отыскание функции F(x) по известному её дифференциалу dF(x)=f(x)dx [или по известной её производной F’(x)=f(x)], т.е. действие обратное дифференцированию, называется интегрированием, а искомая функция F(x) называется первообразной функцией от функции f(x). Всякая непрерывная функция f(x) имеет бесчисленное множество различных первообразных функций, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым. Если F(x) есть первообразная от f(x), т.е. если F’(x)=f(x), то и F(x)+C, где C – произвольная постоянная, есть также первообразная от f(x), так как (F(x)+C)’=F’(x)=f(x). Общее выражение F(x)+C совокупности всех первообразных от функции f(x) называют неопределенным интегралом от этой функции и обозначают ∫ f ( x)dx = F ( x) + C . Свойства неопределенного интеграла. I. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла ∫ af ( x)dx = a ∫ f ( x)dx . II. Интеграл суммы равен сумме интегралов слагаемых
∫ [ f ( x) + f ( x)]dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f d [ f ( x)dx] = f ( x) или d ∫ f ( x)dx = f ( x)dx . dx ∫ ∫ F ' ( x)dx = F ( x) + C или ∫ dF ( x) = F ( x) + C . 1
III. IV. 1.
∫x
n
dx =
n +1
x n +1
2
1
∫
3.
∫ e dx = e
4.
dx = ln x + C x x
x
+C
ax ∫ a dx = ln a + C 5. ∫ sin xdx = − cos x + C x
6.
∫ cos xdx = sin x + C
7.
∫ cos
8. 9.
1 2
x
1
∫ sin
2
x
( x)dx .
Основные формулы интегрирования. 1.* u ( x) n +1 n + C , n ≠ −1 . u ( x ) du ( x ) = + C , n ≠ −1 ∫ n +1 В частности, ∫ du ( x) = u ( x) + C
В частности, ∫ dx = x + C 2.
2
2.*
∫
3.*
∫e
4.*
au( x) ∫ a du ( x) = ln a + C ∫ sin u( x)du ( x) = − cos u( x) + C
5.*
du ( x) = ln u ( x) + C u ( x) u( x)
du ( x) = e u ( x ) + C
u( x)
6.*
∫ cos u( x)du ( x) = sin u ( x) + C
dx = tgx + C
7.*
dx = −ctgx + C
8.*
1 du ( x) = tgu ( x) + C u ( x) 1 ∫ sin 2 u ( x) du( x) = −ctg u( x) + C
∫ shxdx = chx + C
9.*
∫ cos
2
∫ sh u( x)du( x) = ch u( x) + C
4
10
∫ chxdx = shx + C
11
∫ ch x dx = thx + C
1
10.*
∫ ch u ( x)du ( x) = sh u ( x) + C
11.*
∫ ch u ( x) du( x) = th u ( x) + C
2
12
12.*
1
∫ sh x dx = −cthx + C 2
13
∫ sin x dx = ln tg 2 + C
13.*
14
∫ cos x dx = ln tg ( 2 + 4 ) + C
π
14.*
15
x dx 1 = arctg +C 2 ∫a +x a a
15.*
1
x
1
x
2
16 17 18
∫x
∫ ∫
2
1 dx x−a ln = +C 2 2a x + a −a
dx a −x 2
2
dx x ±a 2
2
= arcsin
1
2
x +C a
= ln x + x 2 ± a 2 + C
16.* 17.* 18.*
1 du ( x) = −cth u ( x) + C u ( x) u ( x) 1 ∫ sin u ( x) du ( x) = ln tg 2 + C
∫ sh
2
u ( x) π + ) +C 2 4 du ( x) 1 u ( x) ∫ a 2 + (u ( x))2 = a arctg a + C 1
∫ cos u ( x) du ( x) = ln tg (
du ( x) u ( x) − a 1 +C = ln 2 2 2a u ( x ) + a −a
∫ (u ( x))
∫ ∫
du ( x) a − (u ( x)) 2
2
du ( x) (u ( x)) ± a 2
2
= arcsin
u ( x) +C a
= ln u ( x) + (u ( x)) 2 ± a 2 + C
В этих формулах a – постоянная, х- независимая переменная, u(x)- любая дифференцируемая функция от независимой переменной х. Замечание. Справедливость формул интегрирования, а также каждый результат интегрирования можно проверить путем дифференцирования, так как интегрирование есть действие обратное дифференцированию. Определенный интеграл. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Если 1) разделить отрезок произвольным способом на n частичных отрезков длиною Δx1, Δx2, Δx3,...,Δxn, 2) выбрать в каждом частичном отрезке по одной произвольной точке ξ1,ξ2,ξ3,..., ξn, 3) вычислить значение функции f(x) в выбранных точках, 4) составить сумму n
f (ξ1)Δx1 + f (ξ2 )Δx2 + f (ξ3 )Δx3 + ... + f (ξn )Δxn = ∑ f (ξi )Δxi , i =1
то она называется интегральной суммой функции f(x) на отрезке [a,b]. По-разному деля отрезок [a,b] на n частичных отрезков и по-разному выбирая в них по одной точке ξi , можно для функции f(x) и отрезка [a,b] составить бесчисленное множество различных интегральных сумм. При этом оказывается, что все интегральные суммы при неограниченном возрастании n и при стремлении к нулю длины наибольшего частичного отрезка, имеют один общий предел.
5
Предел интегральных сумм функции f(x) на отрезке [a,b] при maxΔxi→0 называют определенным интегралом функции f(x) на отрезке [a,b] и обозначают
b
∫ f ( x)dx . a
Для вычисления определенного интеграла в случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служит формула НьютонаЛейбница b
∫ f (x)dx = F(x)
b a
= F(b) − F(a),
(19)
a
определенный интеграл равен разности значений неопределенного интеграла при верхнем и нижнем пределах интегрирования. Табличное интегрирование. Метод внесения выражения под знак дифференциала. Задача 1.0. А) ∫ ( x10 − 5 x 3 + 3x − 7)dx = Интеграл суммы равен сумме интегралов. = ∫ x10 dx + ∫ (−5) x 3dx + ∫ 3 xdx + ∫ (−7)dx = Константы вынесем за знаки интегралов. = ∫ x10 dx − 5∫ x 3dx + 3∫ xdx − 7 ∫ dx = =
Воспользуемся формулой (1).
x11 x4 x2 − 5 + 3 − 7x + С . 11 4 2
Замечание. При вычислении интеграла от суммы нескольких функций сумму произвольных постоянных заменяют одной произвольной постоянной, обозначаемой C. 1 2 1 2 Перепишем подынтегральное выражеB) ( + − + )dx =
∫
x7
= ∫ ( x−7 +
5x4
3x 2
x
2 −4 1 −2 x − x + 2 x −1 )dx = 5 3
= ∫ x − 7 dx +
2 −4 1 x dx − ∫ x − 2 dx + 2∫ x −1dx = ∫ 5 3
ние, используя формулу
1 = x−n . n x
Интеграл суммы равен сумме интегралов, константы вынесем за знаки интегралов. Воспользуемся формулой (1). Будьте внимательны, при нахождении интеграла от
1 (или х-1) нужно воспользоx
ваться формулой (2). x −7 +1 2 x −4 +1 1 x −2 +1 x −6 2 x −3 1 x −1 + ⋅ − ⋅ + 2 ln x + C = + ⋅ − ⋅ + 2 ln x + C = − 7 + 1 5 (−4 + 1) 3 (−2 + 1) − 6 5 (−3) 3 (−1) 1 2 1 = − + + 2 ln x + C . 6 3 − 6 x 15 x 3x 1 выражение, используя C) ∫ (3 x 7 + 5 x + )dx = Перепишем подынтегральное m m − x 1 формулы k x m = x k ; k m = x k . x =
6 7
1
−
1
= ∫ ( x 3 + x 5 + x 2 )dx = 7 +1 3
1 +1 5
1 − +1 2
Воспользуемся формулой (1). 10
6
1
10
6
1
x x x x 3 x5 x2 3 3 5 5 = + + +C = + + +C = x + x + 2x 2 + C = 7 1 1 10 6 1 10 6 +1 +1 − +1 3 5 2 3 5 2 3 5 = 3 x10 + 5 x 6 + 2 x + C . 10 6
Задача 1. Найти неопределенные интегралы от функций: А B C 7 5 1 9 1 9 5 1. x + 2x − 7 x + 1 3 x5 + x + + 4 + 5 + 7 4 3 7x 7x 6 2 5 7 − 6 − 8+ 5− 4x x x x x
2. 3.
x − 2x + 6x + 4 8
3
− x3 + 9 x 4 − 2 x + 2
4.
− 2 x6 + 7 x 2 − 6 x + 1
5.
5x − 4 x + 6 x − 3
6. 7. 8. 9.
8
5
8x9 + 7 x7 − 2 x + 1 6 x + 3x − 9 x + 6 4
2
8x + 4 x + 2 x − 6 9
2
− 3x 9 − 3x 7 + 11x − 1
10. 6 x − 4 x − 6 x − 4 5
9
11. 7 x 3 + x 4 + 9 x − 8 12. − 6 x 8 + 5 x 6 − 6 x + 3 13. 2 x 12 − 2 x 5 + 8 x − 3 14. 12 x 17 − 6 x 5 + 8 x − 8 15. 8x6 +4x4 +4x −9 16. 6 x 14 − 6 x 5 − 2 x + 4
x
3 2 1 5 − 9 − 7 − 6 6x x 5x 3x
4 7 1 7 + − − x 9 2x 2 8x 3 6x 1 6 7 4 − 5− 9 + 8− x x 8x 3x −
5 1 3 1 + 4 + 6 + 8 2x x 3x 7x
6 5 1 8 + 4 + 5 − 5 7x x 3x 2x −
3 1 4 9 + 7 − 9 − 2 x x x 2x
3 9 1 5 + 6 + 5 + 4 6x x 4x 2x 9 1 4 2 − 8 − 6 − 7 x x 3x 9x 2 1 4 6 + 2 − 5 + 3 x x 5x 7x −
7 6 1 4 − 5 + 8 + 6 5x x 5x 4x
−
2 3 1 3 + 3 − 2 − 9 5x x 2x 4x
−
4 1 3 7 + 5− 3+ 9 x x 5x 4x
1 3 9 8 + 7 − 2 + 5 3x 8x x x 6 8 7 3 − 3 + 2 + 9 2x x x 5x
−
5
x6 − 9 x +
x 8
7
x3 2
− 2 x5 + 3 x + 7
9
5
x8
6
x6 − 5 x8 −
x 2
x 2 − x8 −
9
x2
2
− 9 x − 5 x4 +
7
3
− 3 x4 + x9 +
8
8
x5 − x9 +
x9 4
4
− 8 x9 + 7 x + 4
x7 − 8 x −
x5 + 6 x +
5 5
x6
5
x5 − 6 x −
7 5
x8
1 x5
4
− 9 x7 + x4 + 9
x 6 x3
− 3 x7 + x5 − 9
x
7
− 6 x5 + 4 x − 8
x
6 3
2 5
x6 + x3 −
x2 1 7
x6
x2
7
17. − x 15 + 2 x 8 − 3x − 5 18. − 9 x + x + 4 x − 1 7
19.
5
− 7 x 16 + 6 x 9 + 7 x − 2
20. 5 x 5 + 4 x 7 − 4 x − 8 21. 6 x8 + 5 x 7 + 7 x − 9 22. − 7 x 8 − 3x 5 + 9 x − 6 23. 3x9 + 4x8 − 4x − 2 24. 2 x 7 − x5 − 4 x − 8 25. − 7 x 3 + x 2 − 4 x − 8 26. 2 x + 4 x − 4 x + 3 5
4
27. 4 x 7 − 9 x 9 − 2 x − 4 28. 8 x 9 − 8 x 2 − 12 x + 7 29. 2 x 7 − 4 x 2 + 4 x − 6 30. 2 x − 4 x − x − 3 13
4
1 6 4 1 + 7 − 6− 4 x x 5x 9x 6 6 1 9 − 6 + 3 + 7 8x x 5x 3x −
7 1 3 8 + 4 − 6 − 8 x x 2x 5x
1 8 7 9 − 9 + 8 + 6 2x 5x x 4x 2 6 1 7 − 2 − 5 + 9 8x x 7x 4x −
9 1 5 − 3 + 5 4x x 3x
7 1 8 5 + 4 − 2 − 7 8x x 9x 3x 9 1 5 3 − 8 − 3 − 2 + 2x x 2x 4x −
− x5 − 9 x4 − 8 5
4
2
x4 + 4 x +
x4 − x3 −
x5 7 3
x3 8 7
− 4 x7 + x9 +
5 6 1 8 − 3 − 2 + 4 7x x 5x 9x
− 2 x5 + 8 x +
−
8 1 5 3 − 2 + 7 + 4 2x x 2x 3x
x8 − 6 x +
5
x7 + 6 x +
5
x2 7
5
x2
3 4
x 7 3
x8
5 5
x4
− 9 x5 + x5 + 5
x7
9 4
− 6 x5 + 9 x −
−
1 5 7 5 + 3 + 2 − 9 7x 6x x 3x 7 1 6 2 − 5 + 8 − 4 3x x 5x 7x
x9
4
1 3 2 7 − 6 + 5 − 9 2x 5x x 5x
−
8
3
−
6 1 4 8 + 3 − 4 − 5 5x 2x 5x x
x3 8
4
− x − 8 x9 − 7
x
6
x3 + x7 + x7 + 9 x −
3
x8 − 9 x 2 − x6 − 9 x4 −
8 9
x4
8 x 3 x5
Задачи 2-7 решаются с помощью формул второго столбца таблицы интегралов. Но подынтегральные выражения сначала нужно преобразовать к виду, предложенному в таблице. Для этого 1) выяснить – какую из функций, стоящих под интегралом, следует принять равной u(x), 2) заменить выражение dx выражением du / u’ (действительно, du=u’dx, отсюда dx = du / u ' ), 3) если после этого не получалась формула из таблицы, нужно выбрать в качестве u(x) другое выражение или использовать другой способ взятия интеграла, 4) применить соответствующую формулу второго столбца таблицы интегралов. Задача 2.0. А) ∫ (5 x + 2)9 dx .
8
Для нахождения интегралов такого типа воспользуемся формулой (1*). Здесь u(x)=5x+2. Для использования формулы (1*) нужно, чтобы u(x) стояло также под знаком дифференциала. du=u’dx, отсюда dx =
du du . Заменим dx на . Иными словами, запишем u' u'
u=5x+2 под знаком дифференциала, и разделим при этом на u’(x)=(5x+2)’. 9 ∫ (5x + 2) dx =
B)
∫
(5 x + 2)9 d (5 x + 2) 1 1 (5 x + 2)10 (5 x + 2)10 9 = x + d x + = + C = +C ( 5 2 ) ( 5 2 ) ∫ (5x + 2)' 5∫ 5 10 50 5
4
(1 − 3x) dx = ∫ (1 − 3x) 4 dx = 5
Здесь u(x)=1-3x. Запишем это выражение под знаком дифференциала, при этом сразу же разделим на производную этого выражения. 5 4
5 +1 4
5 4
9 4
(1 − 3x) d (1 − 3x) 1 1 (1 − 3 x) 1 (1 − 3 x) = − ∫ (1 − 3x) d (1 − 3x) = − +C =− +C = 9 (1 − 3x)' 3 3 5 3 +1 4 4 4 4 =− (1 − 3x)9 + C . 27 x x x x ( + 3) − 7 d ( + 3) ( + 3) − 7 d ( + 3) x 1 2 2 С) ∫ dx = ∫ ( + 3) − 7 dx = ∫ 2 =∫ 2 = x x 1 2 7 ( + 3) ( + 3)' 2 2 2 x x ( + 3) − 7 +1 ( + 3) − 6 x x 1 1 = 2∫ ( + 3) − 7 d ( + 3) =2 2 +C = 2 2 +C = − +C. − 7 +1 −6 2 2 3 ( x + 3) 6 2 =∫
Задача 2. Найти неопределенные интегралы функций. 1. (14x-4)11 x 9 1−
2
2.
(8x+10)
3.
(7x-8)7
4.
(-8x+6)6
5.
(8x+3)4
6.
(-6x+9)6
7.
(12x-9)11
8.
(13x+9)5
12
15 (13x − 10) 2 14 (7 x − 6) 4
(3 +
x 5 ) 13
−
12 +
x 5
9 (5 x + 6) 5
3
(3 +
3x 4 ) 11
4 (5 x + 12)13
5
−1+
x 14
13 ( x − 7) 4
3
(9 +
3x 2 ) 14
1 (−8 x + 7)12
7
−3+
x 14
9 (3x − 7) 14
7
( −1 +
4x 2 ) 5
−1 (5 x + 15)14
4
9
9.
(13x-3)13
10. (8x-13)5
8
−2+
4
(6 −
11. (15x+3)6 12. (10x+15)7
5
13. (-4x+12)8 14. (9x+13)3 15. (5x+11)6 16. (-2x+9)11 17. (5x-7)3 18. (-11x+2)12 19. (10x-8)5 20. (8x-15)2 21. (-13x+10)11 22. (10x+8)15 23. (-13x+6)9 24. (-8x+4)14
27. (14x+4)5 28. (7x-15)4
6 (2 x − 5) 4
3x 3 ) 10
−9 (14 x + 15) 7
− 11 +
x 12
( −8 +
2x 4 ) 13
7 (−3x + 11) 14 4 − (3x − 1) 5
x 11
−1+
3x 2 ) 5
12 (5 x − 13) 13 1 (−7 x + 5)12
7
(−14 +
9
−3+
x 5
−
4 (14 x + 8) 4
8
(12 −
4x 3 ) 15
−
5 (−8 x + 2)14
3
−2+
x 10
15 (−6 x + 2)10
5
(5 +
x 4 ) 13
−
6
10 +
x 7
4 (−12 x + 7)11
4
(10 −
5
2+
4
x (2 − ) 3 9
7
2−
x 7
7 ( x − 5) 8
3
(1 +
3x 8 ) 2
9 (−6 x + 15)11
13 +
x 10
1 (−10 x + 8) 14
25. (2x+7)10 26. (-11x+13)8
x 4
3x 3 ) 7
x 11
7
x ( −1 + ) 8 8
6
10 −
6
x (14 − ) 5 8
x 11
7 (11x − 13)14
7 (−7 x + 11) 9 8 (4 x − 1)14 − 11 (11x + 15) 7
8 (−10 x + 5) 5 9 (12 x − 13) 5 4 − (11x − 7) 2
10
29. (-4x+8)8 30. (-14x+3)5
5−
9
( −6 +
1
Задача 3.0. А) ∫ arccos 5 x
1− x2
11 (10 x + 4) 10
x 15
9
14
x 2 ) 11
(−7 x + 8)13
dx
Здесь u(x)=arccos x. Запишем arccos x под знаком дифференциала, при этом разделим подынтегральное выражение на u ' ( x) = (arccos x)' = −
1
.
1− x2 d (arccos x) d (arccos x) 1 1 1 5 5 5 = ∫ arccos x ⋅ 1 − x 2 dx = ∫ arccos x ⋅ 1 − x 2 (arccos x)' = ∫ arccos x ⋅ 1 − x 2 1 − 1 − x2 = − ∫ arccos 5 xd (arccos x) =
Воспользуемся формулой (1*) . arccos 6 x =− + C. 6
B)
∫ (10 x − 3)
3
5 x 2 − 3x + 1dx
Здесь u(x)=5x2-3x+1. Запишем это выражение под знаком дифференциала, одновременно деля подынтегральное выражение на u’(x)=10x-3. (10 x − 3)3 5 x 2 − 3x + 1d (5 x 2 − 3x + 1) = ∫ 3 5 x 2 − 3 x + 1d (5 x 2 − 3 x + 1) = ∫ 10 x − 3 1
1 3
+1
4
( 5 x 2 − 3 x + 1) 3 3 = ∫ ( 5 x 2 − 3 x + 1) d ( 5 x 2 − 3 x + 1) = + C = ( 5 x 2 − 3 x + 1) 3 + C . 1 4 +1 3 2 1 C) ∫ ln 3 x ⋅ dx x 1 du d (ln x) d (ln x) = = xd (ln x) . Положим u(x)=lnx, тогда dx = = 1 u' (ln x)' x 2 2 2 1 1 3 3 3 ∫1 ln x ⋅ x dx = ∫1 ln x ⋅ x ⋅ x d (ln x) = ∫1 ln x d (ln x) =
Воспользуемся формулой (1*) и формулой Ньютона-Лейбница (19) =
Задача 3. 1. ∫ sin 3 x cos x dx
ln 4 x 4
2 1
=
ln 4 2 ln 4 1 1 4 − = ln 2. 4 4 4
8 9 ∫ x − 13x + 5dx
π
14 x + 3 dx + 3x + 2)3
π
3
∫ tg
3
x⋅
0
2.
∫ tg
4
x
1 dx cos 2 x
∫ (7 x
2
6
∫ cos 0
5
1 dx cos 2 x
x sin x dx
11
3.
2 ∫ ln x ⋅
1 dx x
∫x
π
⋅ 5 − 15 x 3 + 8dx
2
6
∫ sin
7
x cos x dx
0
4. 5.
14 x + 3 ∫ (7 x 2 + 3x + 2)3 dx
1 3 ∫ arctg x 1 + x 2 dx 1
∫ arcsin x
1− x
2
dx
∫x
e
1
π
8 x − 4dx
6
1
∫ ln x ⋅ x dx
7
2
1
∫ ctgx ⋅ sin π
2
3
6. 7.
∫ cos ∫ ctg
5
3
x sin xdx
x
∫ (x
1 dx sin 2 x
∫x
π
4x + 5 dx + 5 x + 1) 3 3
4
∫ tg
2
x⋅
0
15 x 4 − 13 dx
3
4
π
x
dx
1 dx cos 2 x
4
∫ cos
2
x sin x dx
2
x cos x dx
0
8. 9.
4 ∫ ln x ⋅
1 dx x
5 ∫ arctg x
10.
∫ ch
11.
∫ sin
4
1 dx 1+ x2
10 x 4 + 6 x ∫ (2 x 5 + 3x 2 + 2) 4 dx
π
∫ (21x
e2
2
− 3) ⋅ 4 7 x 3 − 3x dx
4
∫ sin 0
∫ ln
x⋅
2
1
x shxdx
∫ (− x
− 2x + 6 dx 2 + 6 x + 1) 6
π
2
∫ ctg π
1 dx x
x⋅
2
4
7
∫ (90 x
x cos xdx
9
+ 2) ⋅ 9 x 8
10
+ 2 x dx
π
6
∫ tg
3
x⋅
0
12. 13.
∫ tg
5
x
1 dx cos 2 x
6 ∫ ln x ⋅
18 x + 12 x dx 6 + 4 x 3 + 2) 7 5
∫ (3x
1 dx x
∫ (24 x
5
2
+ 1) ⋅ 7 4 x 6 + x dx
π
3
∫ cos
1 dx sin 2 x
1 dx cos 2 x
3
x sin x dx
3
x cos x dx
0
π
3
∫ sin 0
14.
∫ arcsin
15.
∫ sh
16.
∫ cos
2
7
x
1 1− x
2
x chx dx
dx
18 x + 5 ∫ (9 x 2 + 5 x + 2) 3 dx
e3
∫x
π
6
⋅ − 13x + 8dx 4
7
∫ ln
3
x⋅
1
2
∫ ctg π
3
x⋅
6
17.
∫ ctg
4
7
x sin x dx
x
1 dx sin 2 x
− 5x + 3 dx 5 + 3x + 2) 5 4
∫ (− x ∫x
3
7 x + 13dx 4
π
3
∫ tg
4
x⋅
0
2π
3
∫ cos
1 dx x
4
1 dx sin 2 x
1 dx cos 2 x
x sin x dx
0
18.
1 8 ∫ ln x ⋅ x dx
19. arctg 3 x 1 dx ∫ 1 + x2
40 x 7 + 8 ∫ (5 x 8 + 8 x + 9) 3 dx
π
∫x
e4
2
⋅ 6 x − 5dx 8
3
2
∫ sin
4
x cos x dx
0
∫ ln 1
4
x⋅
1 dx x
12
20.
7 ∫ th x
1 dx ch 2 x
30 x 2 − 8 ∫ (10 x 3 − 8 x + 2) 9 dx
∫ sin
x cos x dx
∫ (26 x
π
2
x⋅
1 dx sin 2 x
tg 5 x ⋅
1 dx cos 2 x
∫ ctg π
4
3
21.
5
12
0
+ 5) ⋅ 2 x + 5 x + 1dx 13
∫ π
−
22.
∫ tg
23.
10
x
1 dx cos 2 x
3π
− 39 x + 20 x dx 3 + 5 x 4 + 2) 5 2
∫ (−13x
1 3 ∫ ln x ⋅ x dx
∫x
3
4
∫ cos
5
x sin x dx
5
x cos x dx
0
2π
6 x 4 − 5dx
3
4
3
∫ sin 0
24.
∫ arcsin
2
x
1 1− x
2
dx
25. cth5 x 1 dx ∫ sh 2 x
10 x − 7 ∫ (5 x 2 − 7 x + 2) 3 dx
e5
∫x
π
8
∫ ln 1
⋅ − 11x + 15dx 3
x⋅
5
9
2
∫ ctg π
5
1 dx x
x⋅
4
∫ cos
26.
9
x ⋅ sin x dx
∫ (9 x
18 x + 6 dx + 6 x + 5) 2
π
6
∫ tg
2
6
x⋅
0
27.
∫ ctg
6
x
1 dx sin 2 x
∫ (−20 x + 8) ⋅
4
− 10 x + 8 x dx 2
5π
6
∫ cos
1 dx sin 2 x
1 dx cos 2 x
6
x sin x dx
6
x cos x dx
0
28.
1 5 ∫ ln x ⋅ x dx
29. arctg 4 x 1 dx ∫ 1 + x2
∫ sh
30.
3
27 x 2 + 8 x ∫ (9 x 3 + 4 x 2 + 17) 3 dx
3π
∫ (−9 x
e6
8
∫ sin 0
+ 15) ⋅ − x + 15 x dx 9
∫ ln
6
x⋅
1
π
15 x + 4 ∫ (3x 5 + 4 x − 2) 5 dx 4
x chx dx
4
2
∫ ctg π
6
6
Задача 4.0. А)
1 dx x
x⋅
1 dx sin 2 x
dx
∫ 3 − 5x
Здесь u(x)=3-5x. Запишем (3-5х) под знаком дифференциала, деля на производную u’(x) =(3-5x)’=-5. dx
d (3 − 5 x)
1 d (3 − 5 x) = (3 − 5 x)
∫ 3 − 5x = ∫ (−5)(3 − 5x) = − 5 ∫ Воспользуемся формулой (2*).
1 = − ln 3 − 5 x + C . 5
B)
1
∫x 0
2
x dx −4
Здесь u(x)=x2- 4. Запишем (x2- 4) под знаком дифференциала, деля на производную u’(x)=(x2-4)’=2x.
13 1
1
1
xdx xd ( x 2 − 4) 1 d ( x 2 − 4) = = ∫0 x 2 − 4 ∫0 ( x 2 − 4) ⋅ 2 x 2 ∫0 x 2 − 4 =
Воспользуемся формулой (2*) и формулой Ньютона-Лейбница (19). =
1 ln x 2 − 4 2
1 0
=
Произведем двойную подстановку 1 1 1 1 3 ln 1 − 4 − ln 0 − 4 = (ln 3 − ln 4) = ln 2 2 2 2 4 dx d (arctg x) d (arctg x) =∫ =∫ = ln arct x + C . C) ∫ 2 1 arctg x ⋅ (1 + x ) arctg x 2 arctg x ⋅ (1 + x ) ⋅ (1 + x 2 ) =
Задача 4. А
B
С
1.
∫ 8x − 14
6x + 2 ∫0 3x 2 + 2 x + 5 dx
∫ ln x ⋅ x dx
2.
dx ∫ 13x − 2
3
2x + 4 dx x 2 + 4x
ex ∫ e x + 5 dx
3.
dx ∫ 6x + 1
x dx 2 x −3
∫ (sin x + 2) dx
4. 5.
dx
dx ∫ 11x − 3 dx ∫ − 6x + 13
1
∫ 1
1
∫ 0
2
− 8x + 2 dx 2 + 2x
∫ − 4x 1
1
∫x 0
2
x dx +9
1
cos x
dx
∫ arcsin x
1 − x2 dx ∫ (tgx + 3) ⋅ cos 2 x
6.
dx ∫ 9x − 6
x3 ∫−2 x 4 + 2 dx
∫ (5 + ln x) ⋅ x dx
7.
dx ∫ − 11x + 5
2
ex ∫ e x − 7 dx
8.
dx ∫ 7x − 13
2x + 7 ∫−1 x 2 + 7 x + 5 dx
∫ (cos x + 5) dx
9.
dx ∫ 15x − 3
3
∫ arccos x
−1
∫ 1
x dx 2 x − 10
0
∫ 1
x dx 2 x + 16
1
sin x
dx
1 − x2 dx ∫ (ctgx − 7) ⋅ sin 2 x
10.
dx ∫ 10x + 11
− 12 x 3 + 4 x ∫0 − 3x 4 + 2 x 2 + 4 dx
11.
dx ∫ 7x + 8
1
x ∫0 − x 2 + 25 dx
∫ lg x ⋅ x dx
12.
∫ 4x − 12
1
− 2x + 1 ∫0 − x 2 + x + 4 dx
3x ∫ 3 x + 5 dx
13.
dx ∫ 3x + 9
2
∫ (sin x − 10) dx
dx
1
∫ 0
x dx 2 x + 36
1
cos x
14
14. 15.
dx ∫ 9x − 5 dx ∫ 5x + 9
2
− x +1 dx 2 + 3x + 4
∫−x 1
5
dx
∫ (7 + arcsin x)
1 − x2
dx
x ∫1 − x 2 + 121 dx
∫ (tgx + 2) ⋅ cos
1
2
x
16.
∫ − 7x + 3
x2 ∫0 3x 3 − 4 dx
∫ (9 + ln x) ⋅ x dx
17.
dx ∫ 13 x − 14
4
2x ∫ 2 x + 1 dx
dx
∫ 0
x dx 2 x − 100
1
18.
dx ∫ 14x + 13
− 2x + x 2 ∫1 − 3x 2 + x 3 dx
∫ (cos x − 25) dx
19.
dx ∫ 14x − 7
1
∫ arcctgx ⋅ (1 + x
20. 21.
dx ∫ 4x − 9 dx ∫ − 12x + 2
2
∫ 0
x dx 2 x −9
4
∫ 3x
2
1
2
∫ 1
3x − 1 dx − 2x + 2
x dx 2 x +4
sin x
dx
∫ log
ex ∫ e x + 8 dx
23.
10
∫ (sin x + 8) dx
x dx 2 x − 144
∫ 5
2
x
1 dx 2 x⋅x
− 6x + 1 ∫−1 − 3x 2 + x − 4 dx
dx ∫ − 6x + 3
)
dx
∫ (ctgx − 7) ⋅ sin
dx 22. ∫ 3x + 8
4
2
cos x
dx 24. ∫ 9x + 10
8x 3 ∫0 2 x 4 − 3 dx
∫ (5 + arccos x) ⋅
25.
1
∫ (tgx − 9) ⋅ cos
26.
dx ∫ 12x + 4 dx ∫ 11x + 15
dx 27. ∫ 13x + 10
28. 29. 30.
dx ∫ 3x + 12 dx ∫ 6x + 3 dx
∫ 11x − 3
1
∫ 0
x dx 2 x + 49
0,5
8x + 1 dx 2 −x+2
∫ − 4x 0
1
∫
2
x
0
1
∫ 2x
∫
x dx 2 x + 10
1 0,5
∫ 2x 0
2x − 1 dx − 2x − 1
2
0
2
x dx − 7
4x + 3 dx + 3x − 3
2
Задача 5.0. А) ∫ sin(3x + 9)dx Положим u(x)=3x+9. Заменим dx на
dx
1− x2
dx
∫ log
2
x
1 dx 5 x⋅ x
7x ∫ 7 x + 5 dx sin x
∫ (cos x + 2) dx dx
∫ (3 + arctgx) ⋅ (1 + x dx
∫ (tgx − 6) ⋅ cos
2
x
d (3x + 9) d (3x + 9) du , то есть dx = . = u' (3x + 9)' 3
2
)
15
1
∫ sin(3x + 9)dx = 3 ∫ sin(3x + 9)d (3x + 9) = Воспользуемся формулой (5* ). 1 1 = (− cos(3x + 9)) + C = − cos(3 x + 9) + C . 3 3 2
B) ∫ 1
dx sin (π 2
4
x)
. d (π x) 4 du 4 = d (π x) . , то есть dx = 4 π u' x)' π ( 4 π 2 2 dx 4 d ( 4 x) ∫1 sin 2 (π x) = π ∫1 sin 2 (π x) = 4 4
Положим u ( x) = π 4 x . Заменим dx на
Воспользуемся формулой (8*) и формулой Ньютона – Лейбница (19). =
4
π
(−ctg (
π
x)) 12 = −
4 C) ∫ e cos(e + 2)dx . x
π 4 π 4 π 4 π 4 ctg ( ⋅ 2) − (− ctg ( ⋅ 1)) = − ctg ( ) + ctg ( ) = . π π π π 4 4 2 4 π 4
x
Положим u(x)=ex+2. Заменим dx на x x ∫ e cos(e + 2)dx = ∫
d (e x + 2) d (e x + 2) du = , то есть dx = x . u' (e + 2)' ex
e x cos(e x + 2)d (e x + 2) = ∫ cos(e x + 2)d (e x + 2) = x e
Воспользуемся формулой (6*).
=sin(ex+2)+C.
Задача 5. А 1.
∫ sin(−7 x + 1)dx
В 1
∫ cos 0
2.
∫ cos(3x + 2)dx
2
∫ sin 1
3.
∫ sin(2 x + 5)dx ∫ cos(−3x + 2)dx
∫ cos
∫ sin(8x + 1)dx ∫ cos(−4 x + 1)dx
∫ cos
∫ sin(6 x + 1)dx
2
3 6 6
(π
4
2
∫ cos
(π
4
x)
(π
∫ cos
2
(10 x + 6) dx (5 x 2 + 6 x + 10)
∫ (14 x − 3) sin(7 x
2
− 3x + 5)dx
∫ ( 6 x + 7 ) cos( 3 x
2
+ 7 x − 1) dx
x) x)
(3x 2 + 6 x) ∫ sin 2 ( x 3 + 3x 2 + 1) dx
∫ (5x 8
+ 7 x + 5)dx
x)
dx 2
2
x)
dx
2
0
∫ (−2 x + 7) sin(− x
dx
2
∫ sin
(π (π
2
1
1
7.
2
+ 3x + 1)dx
x)
dx
0
6.
3
dx
2
1
5.
(π
2
1
∫ sin
(π
dx
0
4.
∫ (2 x + 3) cos( x
dx 2
С 2
x)
4
+ 7) cos( x 5 + 7 x + 1)dx
16
8.
∫ cos(−8x + 2)dx
4
∫ sin 2
9.
∫ sin(3x − 9)dx ∫ cos(7 x − 8)dx
11.
∫ sin(−8 x + 3)dx
12.
∫ cos(−2 x + 3)dx
13.
∫ sin(−7 x + 1)dx
14.
∫ cos(2 x − 7)dx
15.
∫ sin(6 x + 7)dx
16.
∫ cos(−4 x + 9)dx ∫ sin(8x + 3)dx
∫ cos
∫ cos(−7 x + 6)dx
∫ cos
∫ sin(4 x − 3)dx ∫ cos(5x + 6)dx
∫ cos
∫ sin(−3x + 5)dx ∫ cos(3x − 7)dx ∫ sin(4 x + 3)dx
∫ cos(−5x + 9)dx
2
(π
6
x)
6
4
∫ cos
2
(π
4 4
2
∫ (20 x − 1) cos(10 x
− x + 5)dx
8
2
+ 6 x − 4)dx
(7 x 6 + 15 x 4 ) ∫ sin 2 ( x 7 + 3x 5 − 15) dx
∫ (−18 x + 6) cos(−9 x ∫ (30 x
5
2
+ 6 x − 12)dx
− 20 x 4 ) sin(5 x 6 − 4 x 5 + 1)dx
(3 x 2 + 6 x) ∫ cos 2 ( x 3 + 3x 2 + 1) dx
∫ (5 x
4
+ 4 x) sin( x 5 + 2 x 2 + 7)dx
∫ sin
2
2
− 5 x + 6)dx
(−18 x + 4) dx (−9 x 2 + 4 x + 8)
∫ (4 x
3
+ 6 x) cos( x 4 + 3x 2 + 1)dx
∫ (5x
4
+ 7) sin( x 5 + 7 x − 9)dx
x) x)
∫ cos
2
(6 x + 2) dx (3 x 2 + 2 x + 5)
∫ (4 x − 10) sin(2 x
2
− 10 x + 15)dx
x)
∫ (7 x
8 dx
(π
∫ (−14 x + 6) sin(−7 x
x)
dx 2
(12 x + 8) dx (6 x 2 + 8 x − 3)
2
x)
dx
6
3
(π
(π
2
∫ cos ∫ sin
3
dx
3
4
24.
2
∫ cos
∫ (24 x − 5) cos(12 x
dx
3
2
23.
(π
2
− 4 x) sin(7 x 3 − 2 x 2 + 1)dx
x)
dx
∫ cos 1
22.
(π
2
0
∫ sin
3
dx
3
−1
21.
(π
2
2
∫ sin
(π dx
∫ sin
1
20.
2
1.5
1
19.
(π
2
2
x)
x) 12 1.5π dx ∫π sin 2 ( x ) 3 π dx ∫0 cos 2 ( x ) 3 2π dx ∫π sin 2 ( x ) 4 π dx ∫0 cos 2 ( x ) 4 2π dx ∫π sin 2 ( x ) 6 π dx ∫0 cos 2 ( x ) 6 0 dx
1
18.
8 dx
3
−1
17.
(π
2
2
10.
∫ (21x
dx
6
+ 9 x 2 ) cos( x 7 + 3x 3 + 5)dx
x)
12
x)
∫ sin
2
(−16 x + 15) dx (−8 x 2 + 15 x − 18)
17
25.
∫ sin(2 x + 1)dx
26.
∫ cos(8x + 7)dx
27.
∫ sin(6 x + 7)dx
28.
∫ cos(−8x + 6)dx
29.
∫ sin(5 x + 4)dx
30.
∫ cos(5 x − 3)dx
∫ (−12 x + 13) cos(−6 x
2π
dx ∫π sin 2 ( x ) 3 π dx ∫ 2 x ) 0.5π cos ( 3 3π dx ∫2π sin 2 ( x ) 4 π dx ∫−π cos 2 ( x ) 4 3π dx ∫ 2 x ) 1.5π sin ( 6 0 dx ∫−π cos 2 ( x ) 6
Задача 6.0. А) ∫ e 6 x +1 dx Положим u(x)=6x+1. Заменим dx на
∫e
6 x +1
dx =
∫ (22 x + 31) sin(11x
2
2
+ 13x + 1)dx
+ 31x + 1)dx
(7 x 6 + 12 x 3 ) ∫ cos 2 ( x 7 + 3x 4 − 2) dx
∫ (4 x
3
+ 6 x) sin( x 4 + 3x 2 − 5)dx
∫ (4 x − 4) cos(2 x ∫ sin
2
2
− 4 x + 6)dx
(6 x + 5)dx (3x 2 + 5 x − 7)
d (6 x + 1) d (6 x + 1) du , то есть dx = = . u' (6 x + 1)' 6
1 6 x +1 e d (6 x + 1) = 6∫
Воспользуемся формулой (3*). =
В)
1
3 x ∫ x ⋅5
4
+7
1 6 x +1 e +C. 6
dx .
0
Положим u(x)=x4+7. Заменим dx на 1
3 x ∫ x ⋅5
4
+7
0
1
dx = ∫ x 3 ⋅ 5 x
4
+7
d ( x 4 + 7) d ( x 4 + 7 ) du = , то есть dx = 4 . u' ( x + 7)' 4x 3 1
⋅
0
4 d ( x 4 + 7) 1 dx = ∫ 5 x + 7 d ( x 4 + 7) = 3 40 4x
Воспользуемся формулой (4* ) и формулой Ньютона-Лейбница (19) 4
1 5 x +7 = 4 ln 5
С) ∫ 2 tgx ⋅
1 0
57 57 1 51+ 7 1 5 7 1 8 7 . = − = (5 − 1) = (5 − 5 ) = ln 5 4 ln 5 4 ln 5 4 ln 5 4 ln 5
1 dx . cos 2 x
d (tgx) d (tgx) du = , то есть dx = . (tgx)' 1 / cos 2 x u' d (tgx) 1 ⋅ ⋅ = 2 tgx d (tgx) = 2 cos x 1 / cos 2 x ∫
Положим u(x)=tg x. Заменим dx на
∫2
tgx
⋅
1 dx = ∫ 2 tgx cos 2 x
Воспользуемся формулой (4*). =
2 tgx +C. ln 2
18
Задача 6. А 1.
∫e
7 x +3
2.
∫5
−2 x +1
3.
∫e
4 x −3
4.
∫3
4 x +1
5.
∫e
−5 x + 4
dx
B 1
С 1 dx cos 2 x
∫3
tgx
∫e
sin x
∫2
arctgx
∫e
sh x
∫7
sin x
∫e
3x
∫5
sh x
∫e
tgx
∫4
ex
∫e
arctgx
∫2
ctgx
⋅
∫e
cos x
sin xdx
2 7 x +1 ∫ x ⋅ 2 dx
∫5
arctgx
1
∫e
ch x
∫6
cos x
∫e
2x
∫8
ch x
∫e
ctgx
x 2 ∫x ⋅2
3
+1
dx
⋅
0
dx
1
2 x ∫ (3x + 5)7
3
+5 x + 6
dx
cos xdx
0
dx
1
3 x ∫ x ⋅3
4
+5
dx
⋅
0
dx
1
3 x ∫ ( 4 x + 2) 6
4
+ 2 x +1
dx
1 dx 1+ x2
ch xdx
0
dx
1
4 x ∫ x ⋅4
5
+10
dx
⋅ cos xdx
0
6. ∫ 2
7 x−6
dx
1
∫ (2 x + 3)8
x 2 + 3 x −1
dx
3 x dx
0
7.
∫e
4 x −9
8.
∫7
−6 x + 2
9.
∫e
2 x +5
10
∫8
−2 x + 6
11
∫e
5 x −3
12
∫6
−5 x + 7
13
∫e
−5 x + 6
14
∫4
5 x −8
15
∫e
−9 x + 3
16
∫9
2 x +5
17
∫e
−4 x + 7
18
∫3
4 x+3
dx
1
2 4x ∫12 x ⋅ 2
3
+5
dx
ch xdx
0
dx
1
−2 x 2 ∫ (−6 x + 3)8
3
+ 3 x +12
dx
1 dx cos 2 x
0
dx
1
3 3x ∫ x ⋅3
4
−10
dx
e x dx
0
dx
1
3 5x ∫ (20 x + 8)6
4
+8 x −1
dx
1 dx 1+ x2
0
dx
1
4 6x ∫ x ⋅6
5
−10
dx
0
dx
1
7x ∫ (14 x − 5)8
2
−5 x + 4
dx
1 dx sin 2 x
0
dx
1
3
0
dx
∫ (6 x
2
+ 9) 7
2 x 3 + 9 x −1
dx
⋅
1 dx 1+ x2
sh xdx
0
dx
1
3 2x ∫ x ⋅8
4
−5
dx
⋅ sin xdx
0
dx
1
∫ (12 x + 8)6 3
3 x 4 +8 x − 7
dx
2 x dx
0
dx
1
4 2x ∫ x ⋅3
5
−7
dx
sh xdx
0
dx
1
−4 x ∫ (−8 x + 5)8 0
2
+5 x −6
dx
1 dx sin 2 x
19
19
∫e
−3 x + 4
20
∫4
5 x −1
2 x ∫ 5 2 dx x
1
dx
∫x
2
⋅2
5 x 3 −1
dx
0
1
dx
2 6 x −5 x +10 dx ∫ (18 x − 5)7
∫e
arcsin x
1
∫2
sin x
∫e
thx
∫3
arccos x
∫e
ex
∫3
cos x
∫e
cthx
∫5
sh x
∫e
arccos x
∫6
3x
∫e
arctgx
3
1 1− x2
0
21
∫e
9 x −7
22
∫5
4 x+6
23
∫e
3 x +8
24
∫6
5 x +3
25
∫e
5 x −3
26
∫5
−3 x + 4
27
∫e
28
∫2
4 x+7
∫e
−2 x + 5
dx
∫x
3
⋅3
7 x 4 −6
dx
dx
cos xdx
0
1
dx
∫ (−28 x
− 2) 6 − 7 x
3
4
−2 x+4
dx
1 dx ch 2 x
0
1
dx
4 2 x −1 ∫ x ⋅ 9 dx 5
⋅
0
1
dx
5x ∫ (10 x + 4)8
2
+ 4 x −6
dx
1 1 − x2
dx
e x dx
0
1
dx
2 6x ∫ x ⋅2
3
−7
dx
⋅ sin xdx
0
1
dx
2 6x ∫ (18 x − 8)7
3
−8 x −6
dx
0
10 x − 6
1
dx
3 3x ∫ x ⋅3
4
−2
dx
1 dx sh 2 x
ch xdx
0
1
dx
3 5x ∫ (20 x − 2)6
4
− 2 x −1
dx
1 − x2
0
29
1
dx
∫x
4
⋅9
4 x 5 +10
dx
1
dx
3 x dx
0
30
∫7
3x+4
1
dx
∫ (16 x + 7)8
8 x 2 + 7 x −1
dx
0
Задача 7.0.
А)
dx
∫ 16 − 9 x
2
1 dx 1+ x2
. dx
∫ 16 − 9 x
2
= −∫
dx = (3x) 2 − 4 2
Приведем выражение к виду (16*). Положим u(x)=3x. Заменим dx на есть dx =
du , то u'
d (3x) d (3 x) = . (3x)' 3 =−
d (3 x) 1 = ∫ 3 (3x) 2 − 4 2
Воспользуемся формулой (16*). (Будьте внимательны! Какую из формул (15*-18* ) использовать в Вашей задаче?) 3x + 4 3x − 4 1 1 1 +C. =− ⋅ +C = ln ln 24 3x − 4 3 2 ⋅ 4 3x + 4
20
dx
∫ 7 + 5x
В)
dx
∫ 7 + 5x
2
=∫
2
dx ( 7 ) + ( 5 x) 2
Приведем dx =
; 2
=
выражение
к
виду
∫
Положим
u ( x) = 5 x ,
тогда
du d ( 5 x) d ( 5 x) . Отсюда = = u' ( 5 x)' 5 du u 67 8 } d ( 5 x) 1 1 1 5x = = ⋅ arctg +C. ∫ 5 ( 7 ) 2 + ( 5 x) 2 5 { 7 7 { 123 123 a2
С)
(15*).
a
u2
a
x 3 dx 25 − x 8
Замечание. Часто в подобной ситуации студенты делают попытку принять в качестве u(x)=25-x8. Тогда dx =
∫
x 3 dx 25 − x 8
=∫
d (25 − x 8 ) d (25 − x 8 ) . = (25 − x 8 )' − 8x 7 1
x 3 d (25 − x 8 ) 25 − x 8 ⋅ (−8 x 7 )
=−
− 1 1 8 2 ( 25 − x ) ⋅ 7 d (25 − x 8 ) . ∫ 8 x
К виду (1*), как пытались, подынтегральное выражение мы не привели, мешает множитель
1 . Попытка неудачна. Выберем в качестве u(x) другое x7
выражение. Решение.
∫
x 3 dx 25 − x 8
=∫
x 3 dx 52 − (x 4 ) 2
=
du d ( x 4 ) Приведем выражение к виду (17*). Положим u(x)=x , тогда dx = = . u' 4x 3 x3d (x 4 ) d (x 4 ) 1 =∫ = ∫ = 52 − (x 4 ) 2 ⋅ 4x 3 4 52 − (x 4 ) 2 4
Воспользуемся формулой (17*). =
D)
∫
1 x4 arcsin +C. 4 5
dx x − 6 x + 10 2
Выделим полный квадрат в подкоренном выражении.
∫
dx x − 6 x + 10 2
=∫
dx ( x − 2 ⋅ 3x + 3 ) + 1 2
2
=∫
dx ( x − 3) 2 + 1
Приведем выражение к виду (18*). Положим u(x)=x-3, тогда dx =
du d ( x − 3) = = d ( x − 3) . u' ( x − 3)' d ( x − 3) =∫ = ( x − 3) 2 + 1
=
21
Воспользуемся формулой (18*). = ln ( x − 3) + ( x − 3) 2 + 1 + C .
Задача 7. A 1. 2.
B
dx
∫ 25 + 9 x ∫
dx
∫ 3 − 5x
2
4 + 49 x 2 dx 3. ∫ 16 − 81x 2
4. 5.
∫ ∫
dx 25 − 64 x dx
2
9 x 2 − 16 dx 6. ∫ 16 x 2 − 9
7. 8.
dx
∫ 16 + 49 x ∫
2
dx
36 + 81x 2 dx 9. ∫ 100 − 9 x 2
10 11
∫ ∫
dx 16 − 9 x 2 dx
121x 2 − 4 dx 12 ∫ 49 x 2 − 9
13 14
dx ∫ 36 + 100 x 2
∫
dx
9 + 36 x 2 dx 15 ∫ 144 − 25 x 2
16 17
∫ ∫
dx 4 − 81x 2 dx
64 x 2 − 121 dx 18 ∫ 81x 2 − 144
∫ 15 + 2 x ∫
∫
dx
dx 3 − 8x 2 dx
5 x − 11 dx ∫ 2 x 2 − 13 2
dx
∫ 5 + 8x ∫
∫
dx
dx 2 − 6x 2 dx
7 − 15 x 2 dx ∫ 10 x 2 − 3 dx
∫ 5 + 13x ∫
dx
∫
dx 6 − 17 x 2 dx 19 − 5 x
2
D
∫ ∫ ∫
∫
4 − x6 x 2 dx x6 + 4
∫
x 2 dx x6 − 9
∫
∫
x 2 dx x 6 + 16 xdx
∫
∫
∫ ∫
25 − x 4 xdx 16 − x 4 xdx 49 − x 4 xdx 4 x + 81
∫ ∫ ∫
xdx + 49
∫
x 3 dx
∫
∫x
4
∫
∫
∫
4
∫
∫
xdx − 100
∫x
∫
2
2 + 19 x 2 dx ∫ 3 − 8x 2
∫
∫
25 − x 6 x 2 dx
∫
2
7 + 10 x 2 dx ∫ 8 − 13x 2
∫
x6 − 4 x 2 dx
∫
2
3 + 11x 2 dx ∫ 5 − 7x 2
∫
x dx
∫
2
dx
dx
C 2
25 − x 8 x 3 dx 9 − x8 x 3 dx
∫ ∫
∫
36 − x 8 x 3 dx x 8 + 25
∫
x 3 dx x 8 − 49
∫
∫
x 3 dx x 8 + 81
∫
∫
dx x + 4x + 5 dx 2
x 2 + 6x + 8 dx 2 x + 4x + 5 dx x 2 + 6 x + 10 dx 2 x − 6 x + 13 dx x + 10 x + 29 dx 2
x 2 − 10 x + 24 dx x 2 − 4x + 3 dx 2 x + 8 x + 17 dx x 2 + 8 x + 20 dx 2 x − 8 x + 17 dx x 2 + 8 x + 41 dx x 2 + 10 x + 26 dx x 2 − 10 x + 24 dx 2 x + 2 x + 17 dx x 2 + 14 x + 48 dx 2 x − 2 x + 37 dx x − 2 x + 37 2
22
19 20
dx ∫ 36 + 25 x 2
dx ∫ 6 x 2 − 10
dx
∫
16 + 81x 2 dx 21 ∫ 100 − 49 x 2
22 23
∫ ∫
81 − 64 x dx
2
26
2
2
100 + 49 x dx 27 ∫ 121 − 81x 2
28 29
∫ ∫
∫
dx
3 − 8x dx
∫
2
∫
∫
dx
∫
144 − 64 x 2 dx
∫
2
14 − 3 x 2 dx
2
4
∫
∫
x 5 dx
∫
4 + x 12 x 5 dx x 12 + 9 x 5 dx 25 − x 12 x 5 dx
∫
81 − x 12
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ Формула интегрирования по частям имеет вид ∫ udv = uv − ∫ vdu . Для определенного интеграла
∫ udv = uv a
b
b a
∫
∫
∫
b
∫
x 4 dx x 10 + 16
∫
+9
∫
∫
x 5 dx
− ∫ vdu .
dx
∫
x dx 10 −9
∫
2
dx
∫ 16 x
4 − x 10 x 4 dx x 10 + 4
9 − x 12 x 5 dx ∫ 25 + x 12
6 + 7x 2 dx ∫ 3 − 10 x 2
9 x 2 − 36 dx 30 ∫ 16 x 2 − 25
25 − x 10 x 4 dx
∫x
2
dx
3 − 2x dx
x 10 − 4 x 4 dx
∫
2
dx
11 − 2 x dx ∫ 7x 2 − 5
dx
∫
dx 15 + 2 x
∫
dx
∫ 64 + 9 x
∫
∫
36 x − 16 dx 24 ∫ 100 x 2 − 9
25
∫
14 + 3x 2 dx ∫ 7 − 10 x 2
dx
x 4 dx
∫
x + 12 x + 40 dx 2
x 2 + 12 x + 32 dx 2 x − 12 x + 40 dx x − 12 x + 52 dx 2 x + 14 x + 50 2
dx x + 14 x + 50 dx 2
x 2 − 14 x + 53 dx 2 x − 14 x + 45
∫x ∫ ∫ ∫
2
dx + 4 x + 20 dx
x 2 + 6 x + 34 dx 2 x − 6 x + 34 dx x 2 + 10 x + 34
(20) (21)
a
Применение формулы интегрирования по частям целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл будет проще исходного или когда он будет ему подобен. Таблица типичных интегралов, к которым применима формула интегрирования по частям. u dv ∫ udv
∫ x sin xdx
x
sin x dx
23
∫ x cos xdx ∫ P ( x) sin xdx ∫ P ( x) cos xdx
x
cos x dx
n
Pn(x)
sin x dx
n
Pn(x)
cos x dx
∫ x ⋅ e dx ∫ x ⋅ a dx ∫ P ( x) ⋅ e dx ∫ P ( x) ⋅ a dx ∫ ln xdx ∫ log xdx ∫ P ( x) ⋅ ln xdx ∫ P ( x) ⋅ log xdx ∫ arctg x dx x
х
e x dx
x
х
a x dx
x
Pn(х)
e x dx
x
Pn(х)
a x dx
ln x
dx
log a x
dx
ln x
Pn ( x)dx
log a x
Pn ( x)dx
arctg x
dx
( arcctg x , arcsin x , arccos x )
( arcctg x , arcsin x arccos x ) arctg x ( arcctg x )
Pn ( x)dx
Применить формулу n раз
(где Pn(x)- многочлен степени n)
n
n
a
n
n
a
∫ P ( x)arctg xdx n
Применить формулу n раз
( arcctg x ) Задача 8.0. А) ∫ (5 x + 4) sin 3xdx Здесь u=5x+4;
du=u'dx=(5x+4)'dx=5dx;
dv=sin3xdx; v = ∫ dv = ∫ sin 3xdx =
1 1 sin 3xd (3x) = − cos 3x ∫ 3 3
(1)
.
Отсюда по формуле (20) 1
1
1
5 x + 4) ⋅ (− cos 3 x) − ∫ (− ) cos 3 x ⋅ 5{ dx = − (5 x + 4) cos 3 x + ∫ (5 x + 4) sin 3xdx = (14 24 3 3 243 3 243 3 14 14 u
+
du
ϑ
ϑ
5 1 5 1 1 5 cos(3x)dx = − (5 x + 4) cos 3x + ⋅ ∫ cos 3xd (3 x) = − (5 x + 4) cos 3x + sin 3 x + C ∫ 3 3 3 3 3 9
В)
2
∫ ( 3x
2
-2 x + 8 ) ln 5 x dx
1
Здесь (5 x)' 5 1 dx = dx = dx ; 5x 5x x 3 2 x x dv = (3x 2 − 2 x + 8)dx ; v = ∫ dv = ∫ (3x 2 − 2 x + 8)dx = 3 −2 + 8x = x 3 − x 2 + 8x . 3 2
u = ln 5 x ; du = u ' dx = (ln 5 x)' dx =
1
Произвольная постоянная С возникающая при взятии неопределенного интеграла здесь традиционно не ставиться. Нетрудно убедиться, что это не приводит к ошибке в решении задачи
24
Воспользуемся формулой (21) 2
2
1 2 5 x ⋅ ( x 3 − x 2 + 8 x) 12 − ∫ ( x 3 − x 2 + 8 x) ⋅ dx = ∫1 (3x − 2 x + 8) ln 5xdx = ln{ 144244 3 144244 3 x u { 1 ϑ ϑ du
Произведем двойную подстановку в первом слагаемом и раскроем скобки в подынтегральном выражении 2
x3 x2 = ln 10 ⋅ (2 − 2 + 8 ⋅ 2) − ln 5 ⋅ (1 − 1 + 8) − ∫ ( x − x + 8)dx = 20 ln 10 − 8 ln 5 − ( − + 8 x) 12 = 3 2 1 3
2
2
53 1 1 23 22 = 20 ln 10 − 8 ln 5 − ( − + 8 ⋅ 2) + ( − + 8) = 20 ln 10 − 8 ln 5 − 6 3 2 3 2 2 7x С) ∫ x e dx
Применим формулу интегрирования по частям, положим u=x2; du=(x2)’dx=2xdx; dv = e 7 x dx ; v = ∫ e 7 x dx =
∫x
2
1 1 7x e d (7 x ) = e 7 x . ∫ 7 7
1 1 1 2 e 7 x dx = { x 2 ⋅ e 7 x − ∫ e 7 x ⋅ 2{ xdx = x 2 e 7 x − ∫ xe 7 x dx = 723 723 du 7 7 u 1 1 ϑ
ϑ
К последнему интегралу применим формулу интегрирования по частям еще раз, полагая 1 7x 1 e d (7 x ) = e 7 x . ∫ 7 7 2 1 7x 1 7x 1 2 7x 2 1 7x 1 1 7x − ( {x ⋅ e − ∫ e dx { ) = x e − ( xe − ⋅ ∫ e d (7 x)) = 7 u 1 723 7 7 7 7 7 7 123 du
u=x; du=dx; dv = e 7 x dx ; v = ∫ e 7 x dx = =
1 2 7x x e 7
ϑ
ϑ
1 2 1 1 7x = x 2 e 7 x − ( xe 7 x − e + C) . 49 7 7 7
Задача 8. А 1.
∫ (7 x + 2) sin 2 xdx
В 2
∫ (x
5
− 1) ln 3xdx
С
∫x
2
e dx
∫x
2
2 5 x dx
∫x
2
sin 2 xdx
∫x
2
cos 2 xdx
∫x
2
e 4 x dx
∫x
2
5 6 x dx
∫x
2
sin 7 xdx
3x
1
2.
∫ (6 x + 2) cos 2 xdx
3.
∫ (5 x + 2)e
4.
∫ (4 x + 2)3
2
3 ∫ ( x + 3x − 2) ln 2 xdx 1
2x
dx
2
∫ (x
2
− 3) ln 4 xdx
1
2x
dx
2
5 ∫ ( x + 6 x − 7) ln 8xdx 1
5.
∫ (3x + 7) sin 3xdx
2
∫ (x
9
− 10) ln xdx
1
6.
∫ (− x + 2) cos 3xdx
7.
∫ (2 x + 1)e
2
2 ∫ ( x − 3x + 4) ln 5xdx 1
3x
dx
2
6 ∫ ( x − 7) ln 8xdx 1
25
8.
∫ (3x + 4)3
3x
dx
2
9 ∫ ( x + 10 x − 1) ln 2 xdx
∫x
2
∫x
2
e 9 x dx
∫x
2
10 2 x dx
∫x
2
sin 3xdx
∫x
2
cos 4 xdx
∫x
2
e 5 x dx
∫x
2
6 7 x dx
∫x
2
sin 8 xdx
∫x
2
cos 9 xdx
∫x
2
e 9 x dx
∫x
2
87 x dx
∫x
2
sin 6 xdx
∫x
2
cos 5 xdx
∫x
2
e 4 x dx
∫x
2
3 2 x dx
∫x
2
sin 9 xdx
∫x
2
cos 8 xdx
∫x
2
e 7 x dx
∫x
2
8 5 x dx
cos 8 xdx
1
9.
∫ (4 x + 5) sin 3xdx
2
∫ (x
3
+ 3) ln 4 xdx
1
10.
∫ (5 x + 9) cos 3xdx
11.
∫ (6 x + 8)e
12.
∫ (−x + 6)3 dx
2
5 ∫ ( x − 6 x − 7) ln 8 xdx 1
4x
dx
2
9 ∫ ( x − 9) ln 9 xdx 1
4x
2
∫ (x
10
− 9 x + 8) ln 7 xdx
1
13.
∫ (8x + 5) sin 4 xdx
2
6 ∫ ( x + 5) ln 4 xdx 1
14.
∫ (9 x + 4) cos 4 xdx
2
∫ (x
3
− 2 x + 1) ln xdx
1
15.
∫ (10 x + 3)e
16.
∫ (−9 x + 2)3
4x
dx
2
11 ∫ ( x − 10) ln 9 xdx 1
5x
dx
2
8 ∫ ( x + 7 x − 6) ln 5xdx 1
17.
∫ (9 x − 2) sin 5xdx
2
∫ (x
4
− 3) ln 2 xdx
1
18.
∫ (−8 x + 3) cos 5 xdx
19.
∫ (8 x − 3)e
20.
∫ (−7 x + 4)3
2
10 ∫ ( x − 9 x − 8) ln 7 xdx 1
6x
dx
2
6 ∫ ( x + 5) ln 4 xdx 1
6x
dx
2
∫ (x
3
− 3x − 1) ln 7 xdx
1
21.
∫ (7 x − 4) sin 6 xdx
2
9 ∫ ( x + 8) ln 2 xdx 1
22.
∫ (−6 x + 5) cos 6 xdx
2
∫ (x
7
+ 6 x + 5) ln 4 xdx
1
23.
∫ (6 x − 5)e
24.
∫ (−5 x + 6)3
6x
dx
2
5 ∫ ( x + 2) ln 9 xdx 1
6x
dx
2
8 ∫ ( x + 7 x + 6) ln 10 xdx 1
25.
∫ (5x − 6) sin 6 xdx
2
∫ (x
5
+ 4) ln 3 xdx
1
26.
∫ (−4 x + 7) cos 6 xdx
2
2 ∫ ( x − 3x + 4) ln 5xdx 1
26
27.
∫ (9 x − 8)e
28.
∫ (−9 x + 8)3
7x
2
dx
6 ∫ ( x + 5) ln 6 xdx
∫x
2
sin 6 xdx
∫x
2
cos 5 xdx
∫x
2
e 4 x dx
∫x
2
3 9 x dx
1
7x
2
dx
∫ (x
4
− 3x + 2) ln 8 xdx
1
29.
∫ (−8x + 7) sin 7 xdx
2
7 ∫ ( x − 6) ln 5xdx 1
30.
∫ (8 x − 7) cos 7 xdx
2
5 ∫ ( x + 4 x + 3) ln 4 xdx 1
Интегрирование дробно-рациональных выражений Рассмотрим интеграл от дробно-рациональной функции
Pn ( x) dx , где m ( x)
∫Q
Pn(x)- многочлен степени n, Qm(x) –многочлен степени m. Для его нахождения 1) если n≥m, разделим Pn(x) на Qm(x). Представим подынтегральную функцию в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби
R ( x) (у Q( x)
которой степень числителя ниже степени знаменателя). 2) Разложить знаменатель Q(x) на простейшие действительные множители. В общем случае, согласно основной теореме алгебры, это разложение может содержать линейные и квадратичные множители Q( x) = a 0 ( x − a ) m ...( x − b) k ( x 2 + px + q) n ...( x 2 + cx + d ) r . 3) Написать схему разложения дроби на элементарные слагаемые дроби в следующем виде Am Bk A A2 B B2 R( x) = 1 + + ... + + ... + 1 + + ... + + ... + 2 m 2 Q( x) x − a ( x − a) x − b ( x − b) ( x − a) ( x − b) k M x + Nn M x + N1 M x + N2 + 2 1 + 2 2 + ... + 2 n + ... + 2 x + px + q ( x + px + q ) ( x + px + q ) n C x + D1 C x + D2 C x + Dr + 21 + 2 2 + ... + 2 r . 2 x + cx + d ( x + cx + d ) ( x + cx + d ) r
(*)
4) Освободиться от знаменателей, умножая обе части равенства (*) на Q(x). 5) Два многочлена равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Составить систему уравнений, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х. 6) Решить систему уравнений, найти A1,...,Am; B1,...,Bk;...;C1,D1,...,Cr,Dr. 7) Подставить найденные значения A1,...,Am; B1,...,Bk;...;C1,D1,...,Cr,Dr в выражение (*). 8) Найти интегралы от целой части дроби и суммы элементарных дробей. Задача 9.0 А)
5 x + 18
∫ x( x + 3)
2
dx
27
Старшая степень числителя n=1, старшая степень знаменателя m=3, n<m, следовательно, целую часть выделять не требуется. Запишем разложение дроби
5 x + 18 на элементарные слагаемые по x( x + 3) 2
схеме (*) A B C 5 x + 18 = + + . 2 x x + 3 ( x + 3) 2 x( x + 3)
Умножим обе части равенства на x(x+3)2. 5x+18=A(x+3)2+Bx(x+3)+Cx, 5x+18=Ax2+A⋅6x+9A+Bx2+3Bx+Cx. Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях равенства x2 0=A+B, (1) 1 x 5=6A+3B+C, (2) 0 x 18=9A. (3) Из (3) A=2. Подставим A=2 в (1), отсюда B=-2 . Подставим найденные значения A и B в(2) 5=6⋅2+3⋅(-2)+С, С=-1. Итак, 5 x + 18
∫ x( x + 3)
2
d ( x + 3) 2 2 1 dx = ∫ ( − − )dx = 2 ln x − 2∫ − ∫ ( x + 3) − 2 d ( x + 3) = 2 x x + 3 ( x + 3) x+3 = 2 ln x − 2 ln x + 3 −
В)
( x + 3) −2 +1 1 x2 + C = ln + +C. 2 − 2 +1 x+3 ( x + 3)
3x 3 + 5 x 2 + 12 x + 5 ∫ ( x 2 + 1)( x 2 + 4) dx
Старшая степень числителя n=3, старшая степень знаменателя m=4, n<m, целую часть выделять не требуется. Запишем разложение подынтегральной дроби на элементарные слагаемые по схеме (*) . 3x 3 + 5 x 2 + 12 x + 5 Ax + B Cx + D = 2 + 2 ( x 2 + 1)( x 2 + 4) x +1 x +4
((x2+1), (x2+4)- квадратичные выражения, дискриминанты которых меньше 0, поэтому в числителях элементарных дробей - двучлены). Умножим обе части равенства на (x2+1)(x2+4). 3x 3 + 5 x 2 + 12 x + 5 = ( Ax + B)( x 2 + 4) + (Cx + D)( x 2 + 1) , 3x 3 + 5 x 2 + 12 x + 5 = Ax 3 + Bx 2 + 4 Ax + 4 B + Cx 3 + Dx 2 + Cx + D . Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в правой и левой частях равенства x3 3=A+C, 2 x 5=B+D, 1 x 12=4A+C, 0 x 5=4B+D.
28
Найдем A,B,C и D. A=3, B=0, C=0, D=5. xd ( x 2 + 1) 3x 3 + 5 x 2 + 12 x + 5 3x 5 dx dx ( ) dx 3 = + = ∫ ( x 2 + 1)( x 2 + 4) ∫ x2 +1 x2 + 4 ∫ ( x 2 + 1) ⋅ 2 x + 5∫ x 2 + 2 2 = 3 d ( x 2 + 1) 5 5 x 3 x + arctg = ln( x 2 + 1) + arctg + C . ∫ 2 2 2 2 2 2 2 x +1 2 x − 3x + 3 C) ∫ 2 dx x − 3x + 2 =
Старшая степень числителя равна старшей степени знаменателя. Выделим целую часть. 1 1 x 2 − 3x + 3 ( x 2 − 3x + 2) + 1 ; = =1+ 2 =1+ 2 2 ( x − 1)( x − 2) x − 3x + 2 x − 3x + 2 x − 3x + 2 1 A B ; = + ( x − 1)( x − 2) x − 1 x − 2
1=A(x-2)+B(x-1); x1 0=A+B; 0 x 1=--2A-B.
Отсюда, А=-1, B=1.
d ( x − 1) d ( x − 2) 1 1 x − 3x + 3 dx = ∫ (1 − )dx = ∫ dx − ∫ + +∫ = 2 x −1 x − 2 x −1 x−2 − 3x + 2 = x − ln x − 1 + ln x − 2 + C
∫x
2
Задача 9. Найти неопределенные интегралы от заданных функций. A B C 2 3 2 − 8 x + 26 1. x − 5 x − 13 x − 3x + 49 x − 108 ( x − 7)( x − 4)
( x 2 + 36)( x 2 + 49)
x 2 − 5 x − 14
2.
5 x 2 + 3x − 5 x 2 ( x + 1)
7 x 2 − 4 x + 45 ( x − 2)( x 2 + 9)
x 3 − 13x 2 + 36 x + 1 x 2 − 13x + 36
3.
2 x 2 + 17 x + 42 ( x + 6) 2 ( x + 3) 5 x + 31 ( x + 3)( x − 1)
3x 2 + 3 ( x 2 + 1)( x 2 + 25)
x 4 − 3x 3 − 28 x 2 + 1 x 2 − 3x − 28
3x 2 − 2 x + 2 ( x − 3)( x 2 + 2 x + 8)
x 5 − 13x 4 + 42 x 3 + 1 x 2 − 13x + 42
5.
− 11x 2 − 15 x + 20 x 2 ( x + 4)
2 x 3 + 5 x 2 + 18 x + 125 ( x 2 + 25)( x 2 + 9)
x 6 − 6 x 5 − 16 x 4 + 1 x 2 − 6 x − 16
6.
7x 2 + 6x + 9 x 2 ( x + 3) − 2x − 7 ( x + 8)( x − 1)
− 4 x 2 − 19 x − 39 ( x + 3)( x 2 + 5 x + 9)
x 2 − 9 x + 21 x 2 − 9 x + 20
3x 3 + 2 x 2 + 48 x + 8 ( x 2 + 4)( x 2 + 16)
x 3 + 3x 2 − 10 x + 1 x 2 + 3x − 10
− 8 x 2 − 4 x + 45 x 2 ( x + 9)
5 x 2 + 6 x + 13 ( x + 1)( x 2 + x + 4)
x 4 − 5x 3 + 4 x 2 + 1 x 2 − 5x + 4
x 3 − 2 x 2 + 9 x − 32 ( x 2 + 16)( x 2 + 9)
x 5 − 12 x 4 + 27 x 3 + 1 x 2 − 12 x + 27
6 x 2 − 4 x + 12 ( x − 2)( x 2 + 3)
x 6 − 4 x 5 − 32 x 4 + 1 x 2 − 4 x − 32
4.
7. 8. 9.
− 6 x 2 − 16 x + 79 ( x + 5) 2 ( x − 4) 10. 4 x + 21 x( x + 3)
29
11. 13x 2 − 31x + 21 x 2 ( x − 7)
12. 5 x 2 + 20 x + 23 ( x + 1) 2 ( x + 5) 13. − 18 x − 36 ( x + 7)( x − 2)
14. 6 x 2 − 6 x + 45 x 2 ( x + 5) − 6 x − 22 15. ( x + 5) 2 ( x + 1)
16.
− 36 ( x − 1)( x − 10)
17. 7 x 2 − 49 x + 49 x 2 ( x − 7)
18. − 7 x 2 + 37 x − 42 ( x − 3) 2 ( x − 4) 30 19. ( x + 6) x
20. 5 x 2 − 45 x − 70 x 2 ( x + 7)
21. 2 x 2 − 18 x − 72 ( x + 3) 2 ( x − 2) − 9x + 3 22. ( x + 3)( x − 2)
23. 12 x 2 − 7 x − 20 x 2 ( x − 4)
24. 6 x 2 + 70 x + 218 ( x + 6) 2 ( x − 1) 25. − 10 x + 40 ( x − 8) x
26. 5 x 2 + 47 x + 30 x 2 ( x + 6)
27. 2 x 2 − 18 x − 13 ( x + 1) 2 ( x − 6) − x − 49 28. ( x − 7)( x + 1)
29. x 2 + x − 1 x 2 ( x − 1)
2 x 3 − 5 x 2 + 162 x − 5 ( x 2 + 1)( x 2 + 81)
x 2 − 7x + 7 x 2 − 7x + 6
− 4 x 2 − 7 x − 31 ( x − 1)( x 2 + x + 5)
x 3 − 12 x 2 + 32 x + 1 x 2 − 12 x + 32
− x 3 + 3x 2 − 4 x + 243 ( x 2 + 81)( x 2 + 4)
x 4 − 2 x 3 − 15 x 2 + 1 x 2 − 2 x − 15
− 3x 2 − 28 x − 49 ( x − 6)( x 2 + 4 x + 5)
x 5 − 14 x 4 + 48 x 3 + 1 x 2 − 14 x + 48
x 3 − 4 x 2 + 49 x − 36 ( x 2 + 9)( x 2 + 49)
x 6 − 15 x 5 + 54 x 4 + 1 x 2 − 15 x + 54
8 x 2 + 22 x + 56 ( x + 4)( x 2 + 2 x + 8)
x 2 + 2x − 2 x 2 + 2x − 3
6 x 2 + 216 ( x 2 + 36)( x 2 + 16)
x 3 + 3x 2 − 18 x + 1 x 2 + 3x − 18
− 2 x 2 − 14 x − 24 ( x − 1)( x 2 + 4 x + 5)
x 4 − 6x 3 − 7x 2 + 1 x 2 − 6x − 7
x 3 − 2 x 2 + 81x − 50 ( x 2 + 25)( x 2 + 81)
x 5 + 2 x 4 − 8x 3 + 1 x 2 + 2x − 8
8 x 2 − x + 44 ( x − 4)( x 2 + x + 8)
x 6 + 3x 5 − 10 x 4 + 1 x 2 + 3x − 10
x 3 − 5x 2 + 9x − 5 ( x 2 + 1)( x 2 + 9)
x 2 − 9 x + 21 x 2 − 9 x + 20
− x 2 − 6 x − 18 ( x − 3)( x 2 + 6)
x 3 − 12 x 2 + 35 x + 1 x 2 − 12 x + 35
x 3 + 4 x 2 + x + 100 ( x 2 + 25)( x 2 + 1)
x 4 − 2 x 3 − 48 x 2 + 1 x 2 − 2 x − 48
− 2 x 2 − 15 x − 38 ( x − 6)( x 2 + x + 8)
x 5 − 6 x 4 + 8x 3 + 1 x 2 − 6x + 8
− 3x 3 − 2 x 2 − 192 x − 72 ( x 2 + 36)( x 2 + 64)
x 6 − 5x 5 + 4 x 4 + 1 x 2 − 5x + 4
7 x 2 + 13 ( x − 6)( x 2 + 2 x + 5)
x 2 − 3x + 3 x 2 − 3x + 2
− 3x 3 − 75 x ( x 2 + 49)( x 2 + 25)
x 3 − 13x 2 + 40 x + 1 x 2 − 13x + 40
6 x 2 + 18 x + 24 ( x − 1)( x 2 + 4 x + 7)
x 4 − x 3 − 2x 2 + 1 x2 − x − 2
4 x 3 + 3x 2 + 4 x + 27 ( x 2 + 9)( x 2 + 1)
x 5 − 4 x 4 + 3x 3 + 1 x 2 − 4x + 3
30
30. − 9 x 2 + 104 x − 292
6 x 2 − 6 x + 16 ( x − 3)( x 2 + 4)
( x − 6) 2 ( x − 4)
x 6 − 5x 5 + 6x 4 + 1 x 2 − 5x + 6
Интегрирование простейших тригонометрических выражений. Задача 10.0 A) ∫ sin 5 x cos 2 xdx . Интегралы от нечетной степени синуса или косинуса, интегралы вида m n ∫ sin x cos xdx , где хотя бы одно из чисел m, n – нечетно, можно найти путем отделения от нечетной степени одного множителя и замены конфигурации подынтегрального выражения. 5 2 Отделим от нечетной степени один ∫ sin x ⋅ cos x dx = множитель. 4 2 Отметим, что d(cosx)= -sinx dx, = ∫ sin x ⋅ cos x ⋅ sin x dx = отсюда sinx dx= -d(cosx). = − ∫ sin 4 x cos 2 x d (cos x) =
Обозначим cosx=t, тогда
= − ∫ (1 − cos 2 x) 2 ⋅ cos 2 x d (cos x) =
= − ∫ (1 − t 2 ) 2 t 2 dt = − ∫ (1 − 2t 2 + t 4 ) ⋅ t 2 dt = − ∫ (t 2 − 2t 4 + t 6 )dt = −
t3 t5 t7 +2 − +C = 3 5 7
1 2 1 = − cos 3 t + cos 5 t − cos 7 t + C . 3 5 7 π
12
B) ∫ cos 4 xdx . 0
Интегралы от четной степени синуса или косинуса или интегралы вида n ∫ sin x cos xdx , где m, n –четные, можно найти, пользуясь формулами понижения степени m
1 (1 − cos 2u ) ; 2
cos 2 u =
π
π
sin 2 u = π
12
∫ cos xdx = 4
0
12
∫
(cos x) dx = 2
2
0
12
∫ 0
1 1 (1 + cos 2u ) ; sin u ⋅ cos u = sin 2u . 2 2
1 + cos 2 x 2 1 ( ) dx = 2 4
π
12
∫ (1 + 2 cos 2 x + cos
2
2 x)dx .
0
Найдем каждый интеграл отдельно 1 4
1 2 1 4
π
12
π
12
1 ∫0 cos 2 xdx = 4
1 ∫0 cos 2 xdx = 4
π
2
12
∫ 0
Итак,
12
∫ cos 0
4
xdx =
π 48
12
∫ 0
1 dx = x 4
+
π
=
12 0
π 48
;
12
π 1 1 1 1 12 cos 2 ( 2 ) sin 2 xd x = x = ( − 0) = ; 0 ∫0 4 4 2 8
1 + cos 4 x 1 dx = 2 8 = ((
π
π
π
π 96
− 0) +
π
12
1 ∫0 dx + 32
π
12
1
1
∫ cos 4 xd (4 x) = ( 8 x + 32 sin 4 x) 0
1 3 3 π − 0)) = + ( 32 2 96 64
1 π 3 2π + 8 + 3 . + + = 8 96 64 64
π 0
12
=
31
C) ∫ sin 3x cos 5 xdx . Интегралы вида
∫ sin(ax) ⋅ cos(bx) dx, ∫ sin(ax) ⋅ sin(bx) dx, ∫ cos(ax) ⋅ cos(bx) dx найдем путем разложения на слагаемые по формулам 1 sin ax ⋅ cos bx = [sin(a + b) x + sin(a − b) x], 2 1 sin ax ⋅ sin bx = [cos(a − b) x − cos(a + b) x], 2 1 cos ax ⋅ cos bx = [cos(a + b) x + cos(a − b) x] . 2 1 1 1 ∫ sin 3x cos 5x = 2 ∫ [sin 8 x + sin(−2 x)]dx = 16 ∫ sin 8xd (8x) − 4 ∫ sin 2 xd (2 x) = =
1 1 cos 2 x − cos 8 x + C . 4 16
Задача 10. В A) и C) найти неопределенные интегралы от заданных функций, в B) – определенный интеграл на промежутке [a;b]. A B C 3 8 1. sin x ⋅ cos x sin 2 x ⋅ cos 2 x, a = 0, b = π sin 2 x ⋅ cos 3x 12
2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.
sin x ⋅ cos x sin 2 x ⋅ cos 2 2 3 x sin x sin 2 ⋅ cos 2 4 cos 4 x 10
5
π x , a = 0, b = 2 12 π x , a = 0, b = 4 6
sin 5 x ⋅ cos 7 x sin 2 2 x ⋅ cos 2 2 x, a = 0, b = π 12 4 3 π sin x ⋅ cos x sin 2 x ⋅ cos 2 x, a = − , b = 0 12 3 π cos x sin 2 x ⋅ cos 2 x, a = 0, b = 6 6 sin x 3 2 sin x ⋅ cos x sin 2 x ⋅ cos 2 x , a = 0, b = π 2 2 6 6 5 π x x sin x ⋅ cos x sin 2 ⋅ cos 2 , a = 0, b = 4 4 3 5 π sin x sin 2 2 x ⋅ cos 2 2 x, a = 0, b = 8 4 cos x 5 10 sin x ⋅ cos x sin 4 x , a = 0, b = π 2 6 11 3 sin x ⋅ cos x sin 2 x ⋅ cos 2 x, a = 0, b = π 4 5 π x x cos x sin 2 ⋅ cos 2 , a = 0, b = 2 2 4 sin 4 x 3 8 sin x ⋅ cos x sin 2 x ⋅ cos 2 x , a = 0, b = π 4 4 2
sin 5 x ⋅ sin 7 x cos 5 x ⋅ cos 3 x sin 2 x ⋅ cos 6 x sin 7 x ⋅ sin 2 x
cos 6 x ⋅ cos 4 x sin 7 x ⋅ cos x sin 3 x ⋅ sin 5 x cos 2 x ⋅ cos 4 x sin 8 x ⋅ cos 6 x
sin 3 x ⋅ sin 7 x cos 4 x ⋅ cos 6 x sin 10 x ⋅ cos 2 x
32
14. sin 9 x ⋅ cos 3 x sin 4 x , a = 0, b = π
sin 8 x ⋅ sin 4 x
15. sin x
cos x ⋅ cos 5 x
3
6
cos x 16. sin 3 x ⋅ cos 9 x
2 4 π x cos 4 , a = 0, b = 2 4
sin 2 x ⋅ cos 2 x, a = 0, b =
π
sin 3 x ⋅ cos 9 x
3
17. sin x ⋅ cos x sin 2 x ⋅ cos 2 x , a = 0, b = π
sin 7 x ⋅ sin 5 x
18. cos x
cos 3 x ⋅ cos 6 x
12
5
8
3
2 2 3 2π x x sin 2 ⋅ cos 2 , a = 0, b = 4 4 3
sin x 19. sin 3 x ⋅ cos10 x sin 4 x, a = 0, b = π 3 8 5 20. sin x ⋅ cos x sin 4 x , a = 0, b = π 2 3 5 5π 21. sin x sin 2 x ⋅ cos 2 x, a = 0, b = 2 12 cos x 5 7 22. sin x ⋅ cos x sin 2 x ⋅ cos 2 x , a = 0, b = 5π 2 2 12
sin 3 x ⋅ cos 7 x
sin 5 x ⋅ sin 4 x cos 10 x ⋅ cos 2 x sin 5 x ⋅ cos 11x
23. sin 8 x ⋅ cos 3 x sin 2 x ⋅ cos 2 x , a = 0, b = 5π
sin 6 x ⋅ sin 2 x
4 4 6 5 5π x 24. cos x cos 4 , a = 0, b = 2 12 sin 6 x 3 16 25. sin x ⋅ cos x sin 4 x , a = 0, b = 5π 2 12 4 5 26. sin x ⋅ cos x sin 4 x , a = 0, b = 3π 2 4 3 7π x x 27. sin x sin 2 ⋅ cos 2 , a = 0, b = 2 2 12 cos10 x 28. sin 5 x ⋅ cos 2 x sin 2 x ⋅ cos 2 x , a = 0, b = 7π 4 4 6 6 3 29. sin x ⋅ cos x cos 4 x , a = 0, b = 3π 2 4 5 2π x 30. cos x sin 4 , a = 0, b = 2 3 sin 2 x
cos 7 x ⋅ cos x sin 4 x ⋅ cos 9 x sin 2 x ⋅ sin 6 x cos 3 x ⋅ cos 5 x sin 2 x ⋅ cos 8 x
sin 4 x ⋅ sin 6 x cos 3 x ⋅ cos 7 x
Замена переменной Задача 11.0
5
A) ∫ 0
xdx 1 + 3x
.
1 3 при х=0 t = 1 + 3 ⋅ 0 = 1 , при х=5 t = 1 + 3 ⋅ 5 = 4 .
1 3
1 3
2 3
Положим 1 + 3x = t , тогда x = (t 2 − 1) , dx = ( t 2 − )' dt = tdt ,
33 5
∫ 0
4
xdx
=∫
1 + 3x
1
1 (t 2 − 1) ⋅ 2 tdt 4 2 1 t3 3 3 = ∫ (t 2 − 1)dt = ( − t ) 14 = 4 . t 91 9 3
dx
B) ∫
x ( x + 1) 3
.
Положим x=t 6 , тогда dx=6t5dt, t = 6 x .
∫
t 2 dt t2 +1−1 1 6t 5 dt =∫ 3 2 = 6∫ 2 = 6∫ 2 dt = 6∫ (1 − 2 )dt = 6(t − arctg t ) + C = 3 t (t + 1) t +1 t +1 t +1 x ( x + 1) dx
Произведем обратную замену. = 6( x − arctg 6 x ) + C . Задача 11. A 1 1. xdx 6
∫ 0
2.
3
∫ 0
3.
1 + 4x xdx 1+ x
1
dx
∫ x+
∫
∫ 2
∫
xdx 4 + 9x xdx
1
∫ 0
8.
1
∫ 0
9.
x (3 x + 1)
dx x 5 (3 x + 1)
( 2 − x ) dx
∫
10
x (5 x + 1)
xdx
∫
2 3
9 + 16 x xdx 3+ x
dx
1
∫ 0
11.
5
∫ 0
12.
dx 10
x −1 dx
∫x−
xdx
∫ x+4
16 − 4 x xdx 4+ x
4
1
∫
0
25 − 9 x
x3 3
x
dx
∫
∫
xdx
4
dx
2 3 ∫ x ( 4 − x ) dx
∫
x 9 (5 x + 1) dx
∫
x ( x − 1) 3
dx 6
0
13.
7
( 3 − x ) dx
2 3
0
10.
x
6
2+ x
3
∫x
3
dx
0
7.
x3
∫
2
∫x
4
dx
1
0
6.
x
∫ x+
0
5.
dx
∫1+
2 3 ∫ x ( 1 − x ) dx 0
4.
B
x 5 (3 x − 1) dx
10
x 7 (5 x − 1)
34
14.
3
∫ 0
15.
xdx 6+ x
1
dx
1
∫ x + 16
∫ 2
∫ 0
18.
xdx 9 + 16 x xdx 7+x
6
∫
1
∫
0
20.
1
∫ 0
21.
xdx 16 + 25 x xdx 8+ x
7
∫
2 3 ∫ x ( 7 − x ) dx
∫
1
∫
∫ 0
23.
1
∫ 0
24.
xdx 36 − 16 x xdx 15 + x
8
25.
dx 6
dx 10
dx 10
2
∫
xdx 16 − 7 x xdx 14 + x
9
∫x 1
∫ 0
29.
3
∫ 0
30.
x 9 (5 x + 4) dx x −2 dx
∫ x − 16
( 9 − x ) dx
2 3
xdx 25 + 36 x xdx 13 + x
10
∫x 0
( 10 − x ) dx
2 3
4
x3
3
x
dx
dx x ( x − 4) 3
dx
∫
6
x 5 (3 x − 4)
∫
10
x (5 x − 4)
dx
0
28.
x 7 (5 x + 4)
∫
0
27.
x ( x + 4) 5 3
1
∫
x
x ( 3 x + 4)
∫ x + 16
0
26.
3
2 3 ∫ x ( 8 − x ) dx 0
x3
dx
0
22.
4
dx
∫ x+9
2 3 ∫ x ( 6 − x ) dx
∫
x dx
0
19.
x (5 x − 1) 9
∫2+
0
17.
dx 10
2 3 ∫ x ( 5 − x ) dx 0
16.
∫
∫
7
dx 10
x 9 (5 x − 4) dx
∫3+
x dx
∫ x + 25
3
x
Задача 12.0 К интегралам от функций, рационально зависящих от тригонометрических функций, сводятся интегралы
35
∫ R ( x, ∫ R ( x, ∫ R ( x,
a 2 − x 2 )dx - подстановкой x=a⋅sint, a 2 + x 2 )dx - подстановкой x=a⋅tgt, x 2 − a 2 )dx - подстановкой x=a/cost.
Здесь R- рациональная функция от соответствующих выражений. A)
5/ 2
x2
∫
dx .
25 − x 2
0
Произведем подстановку x=5sint, тогда dx=5costdt, при х=0 t=arcsin0=0, 5/ 2
π
6 π 25 25 3 25 sin 2 t ⋅ 5 cos t 1 − cos 2t 25 1 dx = ∫ dt = 25 ∫ dt = (t − sin 2t ) 0 6 = π− . 5 cos t 2 2 2 12 8 25 − x 2 0 0 dx
x2
∫ 0
B)
π
x 25 − x 2 = 25 − 25 sin 2 t = 5 cos t , t = arcsin , 5 5 1 π при x = t = arcsin = . 2 2 6
∫(
6
7 + x2 )3
Подстановка x = 7tgt , тогда dx =
С)
7 dt , cos 2 t
2
∫
Подстановка x =
1 sin t ; dx = 2 dt , cos t cos t
при x=1 t=0, при x=2 t =
∫ 1
1 x , t = arctg . cos t 7
7 dt 2 1 1 1 x dx cos t ∫ ( 7 + x 2 ) 3 = ∫ 7 3 = 7 ∫ cos tdt = 7 sin t + C = 7 sin(arctg 7 ) + C . ( ) cos t x 2 − 1dx x3
1
2
7 + x 2 = 7 + 7tg 2 t = 7
x − 1dx = x3 2
π
3
∫
π
3
x2 − 1 =
1 1 − 1 = tgt , t = arccos , 2 x cos t
.
sin t π dt π 3 3 2 3 cos t = sin 2 tdt = 1 − cos 2t dt = 1 (t − 1 sin 2t ) π 3 = π . − 0 ∫ ∫ 1 2 2 2 6 8 0 0 cos 3 t
tgt ⋅
0
Задача 12. A 1.
2
∫
4 − x 2 dx
0
2.
1
∫( 0
dx 4 − x 2 )3
B
∫( ∫(
dx
C 2 2
2+ x ) 2
3
dx 2 + x 2 )5
dx
∫
2 2
2 2
∫
2
3
x x2 − 2
x 2 − 2dx x3
36
3.
1
∫( 0
4.
x 2 dx 4−x ) 2
∫x
3
3
∫
∫(
9 − x 2 dx
0
5.
1.5
∫( 0
6.
1.5
∫( 0
7.
dx
∫(
9 − x 2 )3 x 2 dx
∫x
9 − x 2 )3
4
∫
∫(
16 − x 2 dx
0
8.
2
∫( 0
9.
2
∫( 0
10.
dx 16 − x 2 ) 3 2
x dx 16 − x ) 2
3
5
∫
11.
∫( 0
12.
2.5
∫( 0
13.
dx 25 − x ) 2
3
x 2 dx 25 − x 2 ) 3
6
∫ 3
∫( 0
15.
3
∫( 0
16.
dx 36 − x 2 ) 3 2
x dx 36 − x ) 2
3
7
∫
49 − x dx
3.5
dx
∫( 0
18.
3.5
∫( 0
19.
49 − x ) 2
∫ 0
3
x 2 dx 49 − x 2 ) 3
8
64 − x dx 2
∫x
∫( ∫x
∫(
2
0
17.
∫(
∫(
36 − x 2 dx
0
14.
∫x
∫(
25 − x 2 dx
0
2.5
∫(
∫( ∫x
∫(
dx
2 3
2+ x
∫
2
x x2 − 3
2
dx
dx
2 3
3 + x 2 )3
x 2 − 3dx x3
∫
3
dx
4
3+ x )
4
dx
dx
∫
2 5
4
x 2 − 4dx x3
∫
3 + x2
2
dx
x x2 − 4
3
2 5
4+ x ) 2
2 5
dx
dx
∫
3
3
2 5
4 + x 2 )5 dx
x 2 − 5dx x3
∫
5
2 6
4+ x
∫
2
2 2
dx
dx x x2 − 6
2 6
5 + x 2 )3
x 2 − 6dx x3
∫
6
dx
2 7
5+ x ) 2
2 7
dx
dx
∫
5
3
2 7
7
dx
2 8
6+ x ) 2
2 8
dx
2 8
6 + x 2 )5
∫
8
dx
6
6+ x
6
3
6
7 + x2 )3
3
8
7+x ) 2
8
dx
3
8
4
dx
10
8+ x ) 2
3
x x2 − 9
x x 2 − 16 x 2 − 16dx x3
∫
7 + x2
x 2 − 8dx x3
dx
∫
5
x x2 − 8
x 2 − 9dx x3
∫
dx
3
dx
∫
2
dx
dx
∫
3
x x2 − 7
x 2 − 7dx x3
∫
5 + x2
x x2 − 5
dx
∫
10
3
x x 2 − 25
37
20.
4
∫( 0
21.
4
∫( 0
22.
dx
∫(
64 − x 2 ) 3 2
x dx 64 − x ) 2
∫x
3
9
∫
81 − x dx
4.5
dx
∫(
2
0
23.
∫( 0
24.
4.5
∫( 0
25.
81 − x ) 2
∫(
3
x 2 dx
∫x
81 − x 2 ) 3
10
∫
∫(
100 − x 2 dx
0
26.
5
∫( 0
27.
5
∫( 0
28.
dx
∫(
100 − x 2 ) 3 2
x dx 100 − x ) 2
∫x
3
11
∫
121 − x
∫(
2
0
29.
5.5
∫( 0
30.
5.5
∫( 0
dx 121 − x ) 2
∫(
3
x 2 dx
∫x
121 − x 2 ) 3
dx
10
x 2 − 25dx x3
∫
8 + x2 )5
5
dx
12
8+ x
dx
∫
2
12
dx
3
12
x 2 − 36dx x3
∫
9+ x )
2 3
6
dx
x x 2 − 36
14
9+ x ) 2
dx
∫
5
14
dx
3
14
x 2 − 49dx x3
∫
9 + x2
7
dx
x x 2 − 49
16
16 + x ) 2
dx
∫
3
16
dx
3
16
x 2 − 64dx x3
∫
16 + x 2 ) 5
8
dx
x x 2 − 64
18
16 + x
dx
∫
2
18
dx
3
18
x 2 − 81dx x3
∫
25 + x 2 ) 3
9
dx
x x 2 − 81
20
25 + x ) 2
dx
∫
5
20
dx
20
∫
25 + x 2
10
x x − 100 2
3
x 2 − 100dx x3
Задача 13.0 К интегралам от рациональных функций сводятся следующие интегралы, где R – рациональная функция. I.
x
∫ R(sin x, cos x)dx - подстановкой t = tg 2 . При этом sin x =
II.
2t , 1+ t2
cos x =
1− t2 2dt , x = 2arctg t , dx = . 2 1+ t2 1+ t
(20)
∫ R(sin x, cos x)dx , где R(-sin x; -cos x)=R(sin x; cos x)- подстановкой tgx=t, при этом
III.
t
1
dt . 1+ t2 1+ t 1+ t dt x x ∫ R(e )dx - подстановкой e =t, при этом x=ln t; dx = t . sin x =
2
; cos x =
2
; x=arctg t, dx =
(21)
38
А)
dx
∫ 2 sin x − cos x . x 2
Полагая tg = t и заменяя sin x, cos x, dx их выражениями (20) через t, получим 2t 1− t2 2dt dx 2dt ( 2 ⋅ − )= 2 : . = 2 2 2 2 sin x − cos x 1 + t 1+ t 1+ t t + 4t − 1 dx
∫ 2 sin x − cos x = ∫ t
2
d (t + 2) t +2− 5 2dt 1 +C = = 2∫ = ln 2 + 4t − 1 (t + 2) − 5 5 t +2+ 5 x 2 +C . = ln 5 2 + 5 + tg x 2 2 − 5 + tg
1
arctg 3
B)
∫ 0
dx . 9 cos x + sin 2 x 2
Подынтегральная функция не меняется от замены sin x на (-sin x), cos x на (-cos x). Применим подстановку tg x= t . При этом dx dt 1 t dt : (9( , = )2 + ( )2 ) = 2 2 2 2 9 cos x + sin x 1 + t 9 + t2 1+ t 1+ t 2
при х=0 t=0, при х=arctg3 t=3. arctg 3
∫ 0
C)
3
dx dt t 1 =∫ = arctg 2 2 2 3 3 9 cos x + sin x 0 9 + t
3 0
π 1 = (arctg 1 − arcgt 0) = . 3 12
3x
e dx . 2x +1
∫e
Применим подстановку ex=t, тогда.
e 3 x dx t 3 dt 1 dt x x = ∫ e 2 x + 1 ∫ (t 2 + 1)t = ∫ (1 − t 2 + 1)dt = ∫ dt − ∫ t 2 + 1 = t + arctg t + C = e + arctg e + C .
Задача 13. A 1.
dx
∫ 2 sin x − cos x
B π /4
∫ 0
dx 1 + 2 cos x ⋅ sin x
2.
∫ 3 + 2 cos x
dx
arctg 2
3.
dx
π /4
∫ 1 + 2 sin x
∫ 0
∫ 0
dx 1 + 4 cos x ⋅ sin x
4.
dx ∫ cos x − 3
arctg 4
5.
dx ∫ 3 sin x − cos x
π /4
∫ 0
∫ 0
dx 2 4 cos x + sin 2 x
dx 2 16 cos x + sin 2 x
dx 1 + 6 cos x ⋅ sin x
C
∫
x
e dx e 2x + 1
e 2 x dx ∫ ex +1
∫e
dx +1
x
e 2 x dx ∫ ex −1 e 3 x dx ∫ e 2x − 1
39
6.
dx ∫ 4 + 3 cos x
arctg 5
7.
dx ∫ 1 + 3 sin x
π /4
8.
dx
∫ cos x − 7
∫ 0
∫ 0
dx 1 + 8 cos x ⋅ sin x
arctg 6
∫ 0
9.
dx ∫ 2 sin x + cos x
π /4
10.
dx ∫ 2 − 3 cos x
arctg 7
11.
dx ∫ 1 − 2 sin x
π /4
dx ∫ cos x − 15
arctg 8
12. 13. 14.
dx
∫ 3 sin x − cos x dx ∫ 4 + 3 cos x
∫ 0
0
∫ 0
dx 1 + 12 cos x ⋅ sin x
∫ 0
π /4
∫ 0
arctg 2
∫ 0
16.
dx ∫ cos x − 24 dx ∫ 4 sin x − cos x
π /4
19.
dx
dx ∫ 1 + 4 sin x
∫ 0
∫ 0
∫ 0
dx 2 64 cos x + sin 2 x
dx 1 + 14 cos x ⋅ sin x
arctg 9
∫ 5 + 4 cos x
dx 2 49 cos x + sin 2 x
∫
π /4
18.
dx 2 36 cos x + sin 2 x
dx 1 + 10 cos x ⋅ sin x
dx 15. ∫ 1 − 3 sin x
17.
dx 2 25 cos x + sin 2 x
dx 2 16 cos x + sin 2 x
dx 1 + 16 cos x ⋅ sin x dx 2 81 cos x + sin 2 x
dx 1 + 18 cos x ⋅ sin x
arctg 10
∫ 0
π /6
∫ 0
dx 1 − 2 cos x ⋅ sin x
dx 20. ∫ cos x − 35
arctg 11
21.
dx ∫ 4 sin x − cos x
π /4
dx ∫ 5 + 4 cos x
arctg 12
22.
dx 23. ∫ 1 − 4 sin x
∫ 0
∫ 0
∫ 0
π /4
∫ 0
dx 2 100 cos x + sin 2 x
dx 2 121 cos x + sin 2 x
dx 1 + 3 cos 2 x dx 2 144 cos x + sin 2 x
dx 1 + 8 sin 2 x
∫
e x dx 1 − e 2x
e 2 x dx ∫ ex + 4
∫e
dx +5
x
e 2 x dx ∫ ex − 6 e 3 x dx ∫ e 2x − 4
∫
e x dx e 2x + 3
e 2 x dx ∫ ex + 6
∫e
dx +3
x
e 2 x dx ∫ ex − 9 e 3 x dx ∫ e 2x − 9
∫
e x dx 4 − e 2x
e 2 x dx ∫ ex + 7
∫e
dx +7
x
e 2 x dx ∫ ex − 7 e 3 x dx ∫ e 2 x − 16
∫
e x dx e 2 x + 10
e 2 x dx ∫ ex − 2
∫e
dx x +2
40
24.
dx ∫ cos x − 48
arctg 13
∫ 0
dx 25. ∫ 5 sin x − cos x
π /4
26.
dx ∫ 6 + 5 cos x
arctg 14
dx ∫ 1 + 6 sin x
π /4
27. 28. 29.
dx
∫ cos x − 63 dx ∫ 6 sin x − cos x
dx 30. ∫ 7 + 6 cos x
∫ 0
dx 1 − 8 cos x ⋅ sin x
∫ 0
∫ 0
∫ 0
∫ 0
0
dx 2 225 cos x + sin 2 x
dx 1 − 12 cos x ⋅ sin x
arctg 16
∫
dx 2 196 cos x + sin 2 x
dx 1 − 10 cos x ⋅ sin x
arctg 15
π /4
dx 2 169 cos x + sin 2 x
dx 2 256 cos x + sin 2 x
e 2 x dx ∫ ex − 2 e 3 x dx ∫ e 2 x − 25
∫
e x dx e 2 x + 25
e 2 x dx ∫ ex − 3
∫e
dx +8
x
e 2 x dx ∫ ex − 8 e 3 x dx ∫ e 2 x − 49
Список литературы 1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. –М.: Наука, 1977. - 416 с. 2. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Демидовича Б.П. –М.: Наука, 1972. –472 с. 3. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. –М.: Высшая школа, 1964. –478 с. 4. Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. Ч. III. – Харьков: Изд. ХГУ, 1971. – 500 с. 5. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа. Ч. I. Под ред. А. В. Ефимова, Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1993. –478 с. Учебное издание МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Методические указания для самостоятельной работы студентов (второе издание) Составители: Сибирёва Анна Рудольфовна Распутько Татьяна Борисовна
