数値電界計算の基礎と応用 (理工学講座)

学

理工 講座

数値電界計算の 基礎 と応用 宅間

董

 濵田昌司

TOU 東京電機大学出版局

本書 の全 部 また は一 部 を無 断 で複 写 複 製(コ ピー)す る こ とは,著 作 権 法上 で の 例 外 を除 き,禁 じ られ て い ます。 小 局 は,著 者 か ら複写 に係 る 権 利 の 管 理 につ き委託 を受 けて い ます ので,本 書 か らの複 写 を希望 され る場 合 は,必 ず小局(03-5280-3422)宛 ご連 絡 くだ さい。

口絵1  誘 電体 球群 の 電 界 計算

口絵2  人体形状接地導体群の電界計算

口絵3  人 体 両肺 モ デ ルの 誘 導電 界 計 算

口絵4  人体 モ デル 内 の誘 導 電 流計 算

(口 絵1か

ら口 絵4の

計 算 内 容 の 詳 細 は10.8節

で 説 明)

ま えが き

  計 算 機 と計 算 手 法 の 発 展 に よ っ て 数 値 的 な電 界 計 算 法 は 画 期 的 な 進 展 を遂 げ た。 電 界 計 算 の 基 本 式 で あ る ラ プ ラ ス の式 が 見 出 さ れ た1782年 た現 在,非

か ら約220年

経

常 に複 雑 な 三 次 元 の 配 置 で も高 精 度 で詳 細 な 電 界 が 求 め られ る よ うに

な っ た 。 そ の結 果,絶 縁 設 計,放

電 応 用,静

電 気 工 学,電 気 環 境 な ど電 気 を 利用

す る さ ま ざ ま な分 野 で,定 量 的 に 電 界 を 求 め る こ とが 必 須 の テ ク ニ ッ ク とな り, 高性 能,高 能 率,小

型 化,な

どの 要 求 か ら最 近 い っ そ う重 要 に な っ て い る。 電界

計 算 は,一 般 的 な 電 磁 波 計 算 あ る い は磁 界 の 計 算 と相 当 異 な り,多

くの 場 合 最 大

の電 界 を高 精 度 で 求 め る こ とが 必 要 で あ る。 そ の た め 電 界 計 算 特 有 の 方 法 が 利 用 され る と と もに,計 算 機 性 能 の 向 上 に応 じて 新 しい技 法 が 開 発 さ れ て き た。   筆 者 の1人 社)は,数

が 昭 和55年(1980年)に

著 した 旧 著 『数 値 電 界 計 算 法 』(コ ロ ナ

値 的 な 電界 計 算 法 の基 礎 か ら種 々 の 場 の具 体 的 な計 算 法 を で き る だ け

分 か りや す く解 説 して,だ

れ で もが 使 え る 道 具 にす る よ う に企 図 した もの で あ っ

た。 実 際 に数 値 電 界 計 算 法 の 開発 時 期 に 自 ら行 っ た計 算 体 験 をベ ー ス に し,ほ と ん どが 自分 の 計 算 例 を使 用 した 内 容 で あ っ た 。 旧著 は各 分 野 で の 数 値 電 界 計 算 に 対 す る必 要 性 を満 た す 書 と して歓 迎 され,中

国 語 で も翻 訳 出 版 さ れ た 。 しか し,

そ の 後 絶 版 と な り,ま た 基 本 的 な手 法 は変 わ りな い もの の,よ

り高 度 な 計 算 を可

能 に す る テ ク ニ ッ ク も導 入 さ れ て 内 容 の 一 部 が 古 くな っ た 。 そ こ で 旧 著 の 内 容 を 全 面 的 に 見 直 し,新 しい 事 項 を含 め て 書 き直 した の が 本 書 で あ る。 この 四 半 世 紀 の 間 に,以 前 は大 型 計 算 機 を必 要 と した 数 値 電 界 計 算 が,個 ー ソ ナ ル コ ン ピ ュー タ(PC)利 (ソ フ トウ ェ ア)を

人 が 自 由 に使 え るパ

用 技 術 へ と進 化 し

,ま た さ ま ざ ま な プ ロ グ ラ ム

ネ ッ トワ ー ク か ら取 得 で き る時 代 とな っ た 。 しか しな が ら,

や や もす る と複 雑 な プ ロ グ ラ ム を い わ ば ブ ラ ッ クボ ック ス と して 盲 信 して 使 用 す る こ とが 多 い の も事 実 で あ る。   本 書 は電 界 計 算 の み を対 象 と し,関 連 の 深 い磁 界 計 算 は扱 わ な い 。 ま た 周 波 数

の 高 い 電磁 波(電

波)の 計 算 も範 囲 外 で あ る 。 い わ ば比 較 的 低 周 波 の 電 界 の 計 算

だ け を説 明 し て い る 。 そ の理 由 は書 中 で も説 明 して い る が,電 界 分 布 を 高 精 度 で 求 め る た め の 手 法 とそ の 応 用 を説 明 した 本 で あ り,そ れ は 磁 界 や 電磁 波 の 計 算 と 異 な る こ とで あ る 。 この 点 が 本 書 の 第一 の特 徴 で あ る。 第 二 の特 徴 は,先 た よ う な情 勢 を背 景 に,プ

に述 べ

ロ グ ラ ム の詳 細 よ りも計 算 法 の 基 礎 や 疑 問 点 を で き る

だ け て い ね い に説 明 して い る こ とで あ る 。   本 書 の 構 成 は,第Ⅰ

部 「各 種 の 数 値 電 界 計 算 法 」,第Ⅱ 部 「各 種 の 場 の 計 算

法 」,付 録 か らな る。 第Ⅰ 部 で は計 算 法 の も と に な っ て い る ラ プ ラ ス の 式(な

ら

び にポ ア ソ ンの 式)と 境 界 条 件 か ら,も っ ぱ ら使 用 さ れ て い る4種 類 の 数 値 計 算 法 を基 礎 的 に 解 説 した 。4種 類 の 方 法 とは,領 域 分 割 法 に属 す る差 分 法 と有 限 要 素 法,境 界 分 割 法 に属 す る 表 面 電 荷 法 と電荷 重 畳 法 で あ る。 さ ら に,各 方 法 の 問 題 点,長 所,短

所 を述 べ て 比 較 す る と と も に,精 度 の 評 価 方 法 や,4種

類 以外 の

計 算 法 も説 明 した 。 さ らに 最 近 の新 しい 発 展 分 野 と して,曲 面 形 状 表 面 電 荷 法 と 高 速 多 重 極 法 を そ れ ぞ れ独 立 した1章 した 計 算 法 で,種

を含 む場 合,直

部 に解 説

々の よ り複 雑 な場 の 電 界 を計 算 す る 方 法 につ い て 説 明 した 。 取

り上 げ た 場 は,複 合 誘 電 体,一 静 電 誘 導 計 算,一

と して 解 説 した 。 第Ⅱ 部 は,第Ⅰ

様 電 界 や 既 知 の 電 界 を 含 む 配 置,静

般 三 次 元 配 置,表

電 容 量 計 算,

面 導 電 性 や 体 積 導 電 性 を含 む 配 置,空

流 イ オ ン流 場,最 適 形 状 設 計,な

間電 荷

ど多 岐 に わ た る 。

  先 に 述 べ た よ う に,本 書 は 旧著 『数 値 電 界 計 算 法』(コ ロ ナ 社)の

新版 に相 当

し,実 際 に 共 通 す る部 分 も多 い。 しか し今 回 旧著 の 内 容 を徹 底 的 に見 直 し て相 当 部 分 を書 き直 す と と もに,新

しい 内 容 を含 め た。 そ の た め に,旧 著 に 記 載 して い

た い くつ か の 具 体 的 な 計 算 例 や 電荷 重 畳 法 の プ ロ グ ラム な ど を割 愛 す る こ と に な っ たが,そ

の代 わ り計 算 法 につ い て 解 説 した 第Ⅰ 部 の 各 章 に は 新 た に 演 習 問題 を

作 成 した。 また 付 録 に は,本 文 に含 め る に は い く らか 詳 細 な 内 容 や い さ さ か複 雑 な式 を取 りま とめ た。   本 書 で は,全 体 を通 して な るべ く用 語 や 記 号 を 統 一 す る よ う に心 が け た。 代 表 的 な記 号 は 以 下 の とお りで あ る 。   φ;(空 間 の)電

位,V;電

極 電 圧,Eま

た はE(ベ

ク トル);電

界,q;空

間電

荷 密 度,σ;表

面 電荷 密 度,ρ;体

積 抵 抗 率,ρs;表

ε0;真 空 また は気 体 の 誘 電 率,d;ギ 量,S;境

界(面

面 抵 抗 率,ε;媒

質 の 誘 電 率,

ャ ッ プ の 長 さ(電 極 間 距 離),C;静

電容

積)。

  ま た 電 位,電 界 を求 め る 空 間 を 領 域,領

域 を 囲 む 周 辺 を境 界,2種

類 の誘電 体

の境 界 を界 面 と呼 ぶ こ と に して い る 。   本 書 の 執 筆 は,5.6節

特 異 点 の 処 理,第9章

曲 面 形 状 表 面 電 荷 法,第10章

高

速 多 重 極 法,を 主 に濵 田 が 担 当 し,他 の 個 所 と全 体 の 調 整 は 主 に 宅 間 が 担 当 し た。 な お 第Ⅱ 部 に と りま とめ た 電 界 計 算 の 応 用 は 多 方 面 にわ た っ て 多 数 の 論 文 が 存 在 し,重 要 な 内 容 を記 載 した 文 献 は で き る だ け 目 を通 して 言 及 す る よ う に務 め た が,不 十 分 と思 わ れ る分 野 もあ る。 た と え ば放 電 シ ミュ レー シ ョ ン な どは レ ビ ュー 論 文 しか挙 げ て い ない 。 こ れ ら につ い て お 詫 びす る と と も に,今 後 の た め に 読者 か ら ご指 摘 い た だ け れ ば幸 い で あ る。   最 後 に,電 界 に 関す る い ろ い ろ な 問 題 に つ い て 始 終 ご討 論,ご 旧著 の 共 著 者 で も あ る 河 野 照 哉 先 生,な て い る河 本 正 氏,ブ

指 導 い た だ き,

らび に 参 考 文 献 の共 著 者 と して も挙 が っ

ンチ ャ イ ・テ チ ャ ア ム ナ ー ト(Boonchai

ほか,電 力 中 央 研 究 所,京 都 大 学 の 関係 者,な

Techaumnat)氏

,

世 話 に な っ た 東 京 電 機 大 学 出 版 局 植 村 八 潮 氏,編

らび に 本 書 を 出版 す る に あ た りお 集 課 吉 田 拓 歩 氏,京

都大 学東 田

紀 子 氏 に心 か ら感 謝 します 。 2006年7月

  著 者 しる す

目

第Ⅰ

部 

第1章 

次

各 種 の 数 値 電 界 計 算 法

 1

電 界 計 算 の 方 法

 3

  1.1  解 析 的 方 法

  3

  1.2  影 像 電 荷 法

 5

  1.3  ア ナ ロ グ 法(フ

ィ ー ル ドマ ッ ピ ン グ) 

6

  1.4  磁 界 計 算 法 と の 関 係

 7

第2章

  9

  電 界 計 算 の 基礎

  2.1  ラ プ ラ ス の 式

  9

  2.2  境 界 条 件

 11

  2.3  境 界 条 件 と影 像 電 荷

 12

  2.4  時 間 的 変 化 が あ る場 合

 14

  2.5  数 値 電 界 計 算 法 の 分 類

  15

第3章 

差

分

法 

18

  3.1  計 算 法 の あ ら ま し

  18

  3.2  テイ ラ ー 級 数 式 か らの 導 出

  20

  3.3  分 割 が 等 間 隔 で な い と き の 式

  21

  3.4  電 位 の 方 程 式

  22

  3.5  境 界 の 処 理 方 法

 23

 3.5.1  回転 軸 上

 23

 3.5.2  対 称 面 な ど ∂φ/∂n(法線 方 向微 係 数)=0の

境界

 24

 3.5.3  無 限 遠

  25

 3.5.4  電 極 表 面上

  27

  3.6  計 算 上 の 問 題 点

  27

 3.6.1  領 域 分割

  27

  3.6.2  連 立一 次 方程 式 の 解 法

第4章 

  29

有 限要 素 法

  31

  4.1  計 算 法 の 基 礎

  32

  4.2  具 体 的 な 計 算 手 順

  33

  4.3  電 位 の 方 程 式 と電 界

 35

  4.4  回 転 対 称 場 の 場 合

 36

  4.5  重 み つ き残 差 法

  36

  4.6  簡 単 な例

  37

  4.7  精 度 向 上 の 方 法―

第5章 

高 次式 の利用

表 面 電 荷 法

  40

 43

  5.1  計 算 法 の 基 本

 44

  5.2  平 面 要 素 と 曲 面 要 素

  45

  5.3  二 次 元 場 の 計 算

  46

  5.4  回 転 対 称 場 の計 算   5.5  電 荷(あ

  48

る い は 電 荷 密 度)の

式 と電界

  5.6  特 異 点 の 処 理

 51

  5.6.1  特 異 点 と積 分 の種 類   5.6.2  特 異積 分

  54

  電 荷 重畳 法

 57

  6.1  計 算 法 の 原 理

  57

  6.2  仮 想 電 荷 の 電 位,電

界

  6.3  仮 想 電 荷 の 方 程 式 と 電 界   6.4  簡 単 な 例   6.5  計 算 上 の2,3の

 59  61   63

問題

 6.5.1  仮 想電 荷 と輪郭 点 の 配置  6.5.2  電 位係 数 に つ いて   6.6  仮 想 電 荷 の 種 類  6.6.1  仮想 電 荷 の 条件  6.6.2  円板 電 荷

 51   53

  5.6.3  準 特異 積 分

第6章

 49

 64   64  66   68   68   69

 6.6.3  仮 想 電 荷 の 一般 化

第7章

 71

  電 界 計 算 法 の 比 較 と精 度

 74

  7.1  差 分 法 と 有 限 要 素 法 の 比 較

  74

  7.2  表 面 電 荷 法 と電 荷 重 畳 法 の 比 較

 77

  7.3  計 算 法 の 比 較 表

 79

  7.4  計 算 精 度 の 評 価

 81

  7.5  領 域 分 割 法 の 計 算 誤 差

 83

  7.6  境 界 分 割 法 の 計 算 誤 差

  85

第8章

  そ の 他 の 方 法

  8.1  モ ンテ カ ル ロ 法   8.2  境 界 要 素 法

 91   91

 8.2.2  表面 電 荷 法 との違 い

  93

  8.4  FDTD法

とFI法

 8.4.1  FDTD法  8.4.2  FI法   8.5  SPFD法

  曲 面 形 状 表 面 電 荷法

  9.1  曲 面 形 状 の 表 現  9.1.1  ベ ジエ 曲 面 に よ る曲面 の 表現

   94   96  96   98  98

 101   101   101

 9.1.2  曲面 上 の接 線 ベ ク トル

 103

 9.1.3  制 御 点 座標 の決 定 方法

 105

  9.2  面 積 分  

89   90

 8.2.1  境 界 要 素 法 の基 礎

  8.3  コ ン ビ ネ ー シ ョ ン法

第9章

 

9.2.1  法 線 ベ ク トル と面積 分  9.2.2  面 積 座 標 上 の面 積分  9.2.3  Log‐L1変 換 によ る準 特異 積 分

  9.3  電 荷 密 度 の 表 現   9.4  境 界 条 件 の 表 現 方 法

  106  106  107  110   111   113

第10章 

高 速 多重 極 法

 

116

  10.1  ツ リー 法

  116

  10.2  多 重 極 展 開 と局 所 展 開

  119

  10.3  多 重 極 展 開係 数 の 階 層 的 計 算

 121

  10.4  距 離 の 判 定

  123

  10.5  局 所 展 開 係 数 の 階 層 的 計 算

  124

  10.6  FMMに

よ る相 互 作 用 計 算

 127

  10.7  表 面 電 荷 法 へ の 適 用  

  128

10.7.1  適 用 方法

  128

  10.7.2  FMM‐BEM,FMM‐SCMの   10.8  FMM‐SCMの

第Ⅱ

特徴

  129

計算 例

 130

  10.8.1  多 体系 の 計 算

 130

  10.8.2  人体 内誘 導 電流 の 計 算

  131

部 

第11章

各 種 の 場 の 計 算 法

 133

  複 合 誘 電体 の 計 算

  135

  11.1  差 分 法 に よ る 計 算

  135

  11.2  有 限 要 素 法 に よ る計 算

  138

  11.3  電 荷 重 畳 法 に よ る計 算

  140

  11.4  表 面 電 荷 法 に よ る 計 算

 144

  11.5  誘 電 率 が 非 常 に 異 な る と きの 計 算

  146

  11.6  計 算 例―

  147

第12章 

三重 点効 果

対 称 的 配 置,周

  12.1  対 称 的 配 置,周  

期 的 配 置,一

期 的配 置の 計算

様 電 界,既

知 電 界 の 計 算

  150   150

12.1.1  対 称 性 と境 界

 150

  12.1.2  周 期境 界 な ど

  152

  12.2  一 様 電 界,既

知 電 界 を含 む 計 算

  155

  12.2.1  原 理

 155

  12.2.2  単 一誘 電 体 の場 合

 156

  12.2.3  複合 誘 電体 の場 合

  156

  12.3  計 算 例

  157

  12.3.1  一様 電 界 の場 合

  157

  12.3.2  既 知 電界 の場 合

 158

第13章

  静 電 容 量 の計 算

  160

  13.1  静 電 容 量 の 基 礎 式

  160

  13.2  境 界 分 割 法 に よ る計 算

 162

  13.3  領 域 分 割 法 に よ る計 算

  164

  13.4  複 合 誘 電 体 に お け る 問 題 点

  166

第14章

 168

  静 電 誘導 の 計 算

  14.1  接 地 導 体 へ の 静 電 誘 導

  168

  14.4  複 素 仮 想 電 荷 法

 173

  14.5  複 合 誘 電 体 場 の 浮 遊 電 位 計 算

  175

  14.5.1  一 般 の場 合

  175

  14.5.2  一 様電 界 の 場合

  177

  14.5.3  計 算例

第15章

  178

 一 般 三 次 元 配 置の 計 算

 180

  15.1  一 般 三 次 元 配 置 の 計 算 の 問 題 点

  180

  15.2  領 域 分 割 法 に よ る 計 算

  181

  15.3  電 荷 重 畳 法 に よ る 計 算

  184

  15.3.1  各種 の 仮 想 電荷

  184

  15.3.2  電荷 密 度 の変 化 す る リ ン グ電荷

  186

  15.3.3  円 弧電 荷

 187

  15.4  表 面 電 荷 法 に よ る 計 算

 189

  15.5  三 角 形 表 面 電 荷 法

  191

  15.6  計 算 例

  194

第16章 

導 電 率 を含 む計 算

 

195

  16.1  計 算 の 基 礎

 196

  16.2  差 分 法 に よ る 計 算

 197

  16.3  有 限 要 素 法 に よ る計 算

 198

  16.4  電 荷 重 畳 法 に よ る体 積 抵 抗 を含 む計 算 

200

 16.5  電 荷 重 畳 法 に よ る 表 面 抵 抗 を含 む 計 算 

204

 16.6  抵 抗 値 が 電 界 に 依 存 す る 場 合 

207

 16.7  浮 遊 電 位 の 計 算 

208

 16.7.1  計 算 の 原理 

208

 16.7.2  計 算例 

210

 16.8  数 値 計 算 との 比 較 に 用 い ら れ る 配 置 

第17章 

空 間 電 荷 が あ る 場 合 の 計 算 

212

214

 17.1  空 間 電 荷 を 含 む 計 算 の 問 題 点 

214

 17.2  領 域 分 割 法 に よ る 計 算 

216

 17.3  電 荷 重 畳 法 に よ る 計 算 

219

 17.4  表 面 電 荷 が 存 在 す る と き の 計 算 

222

第18章 

直 流 イ オ ン 流 場 の 計 算 

225

 18.1  イ オ ン流 場 の 基 本 式 

226

 18.2  イ オ ン の 存 在 が 電 界 に 影 響 しな い とす る 計 算 

227

 18.3  イ オ ン の 存 在 が 電 界 の 方 向 に 影 響 し な い とす る 計 算 

229

 18.3.1  基 本 式 

229

 18.3.2  計 算 の 仮 定 

231

 18.3.3  Deutschの

仮 定 

232

 18.4  領 域 分 割 法 に よ る 計 算― 単 極 性 イ オ ン流 場 

233

 18.5  両 極 性 イ オ ン 流 場 の 計 算 

235

 18.6  計 算 の 安 定 化 

237

 18.6.1  上 流有 限要 素 法   18.6.2  電 流 連続 の積 分 式 の使 用   18.7  計 算 例 

第19章 

最 適 形 状 の 設 計 法 

定 義 と構 成 

 19.1.2  電界 解 析 のCAE   19.2  最 適 設 計 法 の 基 本   19.2.1  最 適 設 計 

239 241

 19.1  電 界 計 算 に お け るCAE,CAD   19.1.1  CAE,CADの

237

243 244 244 245 246 246

  19.2.2  最 適 条 件

 246

  19.2.3  電 極(導 体)形 状 の最 適 化

  247

  19.2.4  絶 縁 物(固 体 誘 電体)形 状 の最 適 化

 249

  19.3  解 析 的 方 法 に よ る 最 適 形 状 設 計

  251

  19.4  数 値 的 方 法 に よ る 最 適 形 状 設 計

  252

  19.4.1  計 算 の プ ロセ ス

  252

  19.4.2  電 極 形 状 の修 正 方法

 253

  19.4.3  絶 縁 物 形状 の 修正 方 法

  254

  19.5  計 算 例 と 今 後 の 課 題

  255

  19.5.1  電 界 最 適計 算 の経 緯

  255

  19.5.2  計 算 例

  256

  19.5.3  今 後 の 課題

  257

付録

 

  付 録1  仮 想 電 荷 の 電 位,電

界 の式

 259

  付 録2  最 小 二 乗 法 を用 い る 電 荷 重 畳 法   付 録3  第2種

完 全 だ 円 積 分E(k)の

算術 幾何 平均 法 に よる計算

  付 録4  面積 座 標   付 録5 

(9・7)式 のkの

259

 261  262  262

導出

  付 録6  電 荷 密 度λkcoskφ

に よる電 界

  264   266

演習 問題 解 答

  267

参考 文 献

  273

索引

 280

第Ⅰ 部 各種 の数値 電界計算法

第1章  電界計算 の方法

  数値 電 界 計 算 法 を説 明 す る 前 に,二,三

触 れ て お い た ほ うが よ い と思 わ れ る点

が あ る 。 まず,数 値 電 界 計 算 法 以 外 の(古 典 的 な)計 算 法 や,電 流 界 との 相 似 性 を利 用 して 電 界 を 求 め る ア ナ ロ グ法 で あ る。 また,電 界 と密 接 に 関係 し,類 似 の 式 の多 い磁 界 の 計 算 法 と比 べ て,電 界 計 算 は ど う違 うか と い う点 で あ る 。 本 章 で は こ れ らの 点 を簡 単 に 説 明 す る。

1.1 

解 析 的 方 法

  電 磁 気 学 の教 科 書 の 多 くは,最 初 が 電界,続

い て 電 流 界,次

界 と磁 界 の 両 方 が 関 係 す る 電 磁 誘 導 に移 り,最 後 に電 磁 波,電

に磁 界,さ

らに電

波 の順 に説 明 して

い る 。 教 科 書 の 前 半 部 分 に説 明 され る静 電 界 の 計 算 法 は,総 括 す れ ば ラ プ ラ ス の 式 を 適 当 な 境 界 条 件 の も とで解 くこ と で あ る が,簡 単 に解 け る の は一 次 元,す わ ち 変 数 が1個

な

の場 合 に 限 られ る。 そ の た め,計 算 機 の な い 昔 か ら影 像 電 荷 法 ,

等 角 写 像 法,座 標 変 換 法,な

ど さ ま ざ ま な方 法 が工 夫 され て きた 。 こ れ ら を ま と

め て 解 析 的 方 法 と 呼 ぶ こ と にす る が,そ

の 特 徴 は電 位 や 電 界 の 分 布 が 直 接(陽

に)式 で与 え られ る こ とで あ る。 な お解 析 的 方 法 の う ち 影 像 電 荷 法 は 数 値 的 方 法 に も し ば しば利 用 され て重 要 なの で 次節 に 説 明 す る。 (1)  等 角 写像 法  等 角 写 像 法 の原 理 は,平 等 電 界 や 円筒 電 界 な ど既 知 の(簡

単 な)電 界 分 布 の等

電位 面 と電 気 力 線 と を適 当 な 複 素 関数 で 写 像 す る と,写 像 され た 配 置 も等 電 位 面 と電 気 力 線 の 関 係 を保 つ とい う こ と で あ る。 こ の 関 数 は初 等 関 数 は もち ろ ん,だ 円 関 数 の よ うな 高 等 関数 で も よい 。 また 何 回 で も繰 り返 し写像 が 行 え る の で,か な り複 雑 な形 状 の 電 極 につ い て も電 界 が 求 め られ る こ とが あ る 。   しか し等 角 写 像 法 は複 素 平 面 上 の 複 素 関 数 を使 用 す る こ とか ら分 か る よ う に, 二 次 元 配 置 に しか 適 用 で きな い 。 一 般 三 次 元 は もち ろ ん,回 転 対 称 配 置 に つ い て も,等 角 写 像 す る よ う な 関 数 は 見 出 さ れ て い な い 。 た だ し,回 転 対 称 の 配 置 を二 次元 電 界 で 近 似 す る こ と は しば し ば行 わ れ て きた。 た と え ば,長 年 放 電 や 高 電 圧 の 分 野 で 平 等 電 界(一 様 電 界)用

電 極 と して 用 い られ て きた ロ ゴ ウ ス キ ー 電 極

は,等 角 写 像 法 で 与 え ら れ た形 状 で あ る。 無 限 に広 い 二 次 元 形 状 は 実 際 に は 使 用 で きな い の で,断

面 を適 当 な半 径 で 回 転 した 形 状 が使 用 され たが,回

転対称 にす

る と二 次 元 の 場 合 よ り電 界 の 一 様 性 が 悪 くな るの で注 意 が 必 要 で あ る。   ま た,等 角 写 像 法 は 与 え られ た 電極 形 状 に 対 して,そ れ を平 等 電 界 や 円筒 電 界 に写 像 す る 関 数 を見 出 す こ とが で きな い。 こ れ が 一 般 的 に 可 能 な の は 多 角 形 の 電 極 だ け で あ る(「Schwartz‐Christoffel変

換 」 と呼 ば れ る 方 法)。 した が っ て,等

角 写 像 法 の 利 用 は,す で に先 人 の 行 っ た計 算 例 か ら役 に 立 ちそ う な もの を探 して くる こ とに な るが,一 般 的 な複 雑 な 形 状 に は も ち ろ ん使 え な い 。 (2)  変 数 分 離 法(座

標 変 換 法)

  与 え られ た 電 極 形 状 が座 標 変 換 に よ って1変 この 方 法 が 有 効 で あ る。 極 座 標(球 座 標),円

数 だ け で表 され る場 合,し

筒 座 標 は と くに 有 用 で,ほ

ば しば と ん どの

電磁 気 学 の教 科 書 に ラ プ ラス の 式 とベ ク トル演 算 の 式 が 記 載 され て い る 。 そ もそ も ラ プ ラス の式 自体 が 最 初 は最 も簡 単 な(x,y,z)の 標 で 与 え られ た の で あ る。 他 に,だ 円(体)座 標,放 の座 標 系 が あ り,回 転 だ 円体,回

デ カ ル ト座 標 で は な く極 座 物 面 座 標,円

環 座 標 な ど各 種

転 放 物 面,回 転 双 曲 面 な どの 回 転 対 称 な 電 極 の

電界 を表 す こ とが で きる。 実 際 の 電 極 形 状 を こ の よ う な座 標 系 に 合 う形 状 で 近 似 して,電 界 分 布 や 静 電 容 量 あ る い はそ の パ ラ メ ー タ依 存 性 を調 べ る た め に 用 い る こ と も多 い。   双 球 面 座 標 を 用 い る と,球 対 球 あ る い は 球 対 平 面 配 置 の 電 界 を 求 め る こ とが で

きる 。 こ の配 置 の 電 界 を 影 像 電 荷 法 で 求 め る と きは 点 電 荷 を 無 限 個 使 用 す る の に 対 して,双 球 面座 標 の式 は ル ジ ャ ン ドル 関 数 の 無 限級 数 に な る 。 しか し,実 際 の 球 電 極 に はか な らず 支 え る 導体(支

持 棒)が

存 在 す るの で,球 だ け の 配 置 は 近似

で あ る 。 表 面 電 界 が あ ま り高 くな らな い よ う に支 持 棒 を あ る 程 度 太 く しな け れ ば い け な い が,こ

の よ うな支 持 棒 の 存 在 が今 度 は球 表 面 の 電 界 に 影 響 す る。 支 持 棒

を含 め る と,電 界 は数 値 的 方 法 で ない と計 算 で きな い 。 (3)  解 析 的 方 法 の 意 味   電 磁 気 学 の教 科 書 に説 明 され て い る よ うに,古 典 的 な 電 界 計算 に は 多 彩 な 数学 的 手 法 が 応 用 され て きた。 しか し これ らの 方 法 が 使 え るの は,ご 条 件(媒

く簡 単 な配 置 と

質 の 一様 な特 性 な ど)の 場 合 か,特 殊 な ケ ー ス に 限 られ る 。 現 実 の 複 雑

な導 体 と誘 電 体(絶

縁 物)あ

る い は 抵 抗 体 な どが 存 在 す る配 置 の 電界 は 数 値 的方

法 で な け れ ば 求 ま ら な い。 そ れ ど こ ろ か現 在 で は た とえ 解 析 解 が あ っ て も,複 雑 な 関 数 の 無 限 級 数 で 表 さ れ る よ う な場 合 は,む

しろ 数値 計 算 に よっ て は るか に容

易 に精 密 な解 が得 られ る。   しか し,解 析 的 方 法 はパ ラ メ ー タの 影 響 を理 解 す る た め に役 立 つ ほ か,い る厳 密 解 と して,同

わゆ

じ配 置 を 数 値 的 方 法 で 計 算 して精 度 や 近 似 の程 度 を評 価 す る

の に用 い られ る 。 ま た電 荷 重 畳 法 の 「仮 想 電荷 」 の 電位 や 電 界 の 式 な ど,い ろ い ろ な 数値 的 方 法 の 手 法 に活 か され て い る。 中 で も重 要 な の は 次節 に述 べ る影 像 電 荷 法 で あ る。 影 像 電 荷 に よ っ て 平 面,球,円

筒 形 状 の導 体 を表 す の は い ろ い ろ な

数 値 電界 計 算 で 頻 繁 に使 用 さ れ る テ ク ニ ッ クで あ る。

1.2  影 像 電荷 法   影 像 法 や 鏡 像 法 とい う こ と もあ る。 電 極 表 面 に分 布 して 存 在 す る電 荷(あ

るい

は複 合 誘 電 体 の場 合 の 分 極 電 荷)を

内 部 の 孤 立 した 電 荷 や 電 荷 群 の作 用 で 代 用 す

る方 法 で あ る。 この 電 荷 を影 像(電

荷),鏡

合 少 数 個 の 電 荷 が用 い られ るが,二

つ の 境 界 条 件 を繰 り返 し満 足 させ る た め に無

限個 の影 像 電 荷 を 使 用 す る こ と もあ る 。

像,イ

メ ー ジ な ど と呼 ぶ 。 多 くの 場

  電 磁 気 学 の教 科 書 に 出 て くる影 像 電 荷 の適 用 は 簡 単 な配 置 に 限 られ,一 般 的 な 問 題 を解 くこ と はで き な い 。 内 部 に 多 数 個 の電 荷(仮

想 電 荷 と呼 ぶ)を

配置 す る

電 荷 重 畳 法 は 原 理 的 に影 像 電 荷 法 と似 て い る が,も っ と一 般 的 な 配 置 を計 算 で き る。 しか し,数 値 電 界 計 算 法 の な か で も電 荷 重 畳 法 や 表 面 電 荷 法 の よ う に電 荷 を 未 知 数 とす る方 法 で は,大 地(無

限接 地 平 面)や

球 導 体 の 存 在 を 影 像 電荷 で 与 え

る(表 す)の

が 普 通 で,こ の と き影 像 電 荷 法 を使 用 す る こ と に な る。 これ につ い

て は,2.3節

で説 明 す る。

1.3  ア ナ ロ グ法(フ

ィ ー ル ドマ ッ ピ ン グ)

  アナ ロ グ法 は 静 電 界 と電 流 界 との相 似 性 をベ ー ス に して,電 流 界 の 電 位 測 定 か ら電 界 を求 め る 方 法 で あ る 。 す な わ ち,静 電 界 で は電 位 φの 式 は,2.1節

で説 明

す る よ う に, (1・1)

で あ る(ε は 誘 電 率)。 一 方 オ ー ム の法 則 が 成 立 す る場 合,直 流 定 常 電 流 界 の 電 位 は この 式 の 誘 電 率 を導 電 率 で 置 き換 え た 式 に な る。 そ こ で 導 電 紙(カ 紙)や 電 解 液 の 直流 電 流 界 の 電 位 を測 定 す れ ば,同

ーボ ン

じ配 置 で 対 応 す る誘 電 率 の 静

電 界 の 電 位 分 布 に な る。 デ カ ル ト座 標(x,y)の 二 次 元 場 で は,導 電 界 以 外 の 空 間 は 導 電 率 が0で

あ る ため,こ

の 空 間 に存 在 す る プ ロ ー ブ は 電 界 を 乱 さ な い 。 こ れ

が 静 電 界 を直 接 プ ロー ブ で測 定 す る方 法 と比 べ た ア ナ ロ グ法 の 利 点 で あ る 。 多 く の 場 合 媒 質 の誘 電 率 は一 定 で あ るが,異

な る媒 質 で は 導 電 紙 の 導 電 率 か 電 解 液 の

深 さ を誘 電 率 に比 例 させ て変 え る。   一 方(r,z)の

回 転 対 称 場 で は,静 電 界 の(1・1)式 は (1・2)

な の で,導 電 率 あ る い は電 解 液 の 深 さ を中 心 軸 か らの 距 離rと 誘 電 率 に比 例 させ て 変 え る。   この よ う な ア ナ ロ グ法 は,数 値 電 界 計 算 法 が 発 達 す る前 に は 電 力 機 器 の 絶 縁 設

計 な ど に盛 ん に利 用 され た。 しか し,電 界 を電 位 分 布 か ら求 め る の で 高 い精 度 が 得 られ な い と い う弱 点 が あ る。 さ ら に,簡 便 な導 電 紙 法 は 本 質 的 に(x,y)の 次 元 配 置 に しか 適 用 で きず,回

転 対 称 配 置 は電 解 液 槽 法 が 使 用 され るが,精

二 度を

上 げ る た め に は 大 き な装 置 が 必 要 に な っ て 多 大 な手 間 を要 す る。 現 在 は 数 値 的 方 法 に よ っ て ア ナ ロ グ法 よ り もは るか に 簡 単 に,ま た 複 雑 な一 般 三 次 元 配 置 まで 電 界 が 計 算 で きる よ う に な り,ア ナ ロ グ 法 は 使 用 さ れ な くな っ た 。

1.4  磁 界 計算 法 との 関係  磁 界 問 題 は電 界 問 題 と と も に 電 磁 気 学 を構 成 す る 二 つ の大 き な テ ー マ で あ る。 両 者 が 共 存 す る 電 磁 波 あ る い は 電 波 の 分 野 は別 と して も,電 界 と磁 界 に は多 くの 共 通 す る 関係 式 が あ る。 ま た磁 界 を利 用 す る機 器 が 多 数 存 在 して磁 界 計 算 の必 要 性 は 電 界 計 算 に 劣 ら な い か そ れ 以 上 とい え る。   低 周 波 領 域 の 電 界 と磁 界 の 計 算 を比 べ る と,多 で あ るが,電

くの 場 合 磁 界 計 算 の ほ うが 複 雑

界 計 算 は よ り高 い 精 度 が 必 要 な こ とが 基 本 的 な相 違 点 で あ る。 磁 界

計 算 の複 雑 さは,電 界 で は 未 知 関 数 が ス カ ラ ポ テ ン シ ャル で あ る の に対 し,磁 界 は多 くの場 合 ベ ク トルポ テ ン シ ャ ルで あ る こ と と,鉄 の よ う な磁 束 密 度 と磁 界 の 関 係 が 非 線 形 な う え に ヒ ス テ リ シ ス を有 す る材 料 が 重 要 で あ る こ とに よ る。 しか し磁 界 で は 平 均 的 な値 の必 要 な場 合 が 多 い の に対 し,電 界 は放 電 や 絶縁 の よ う に 最 大 値 が 支 配 的 な現 象 の た め に 高 い 計 算 精 度 が 要 求 され る。 そ の た め に,電 荷 重 畳 法 の よ うな 電 界 計 算 だ け に 用 い られ る 精 度 の 高 い 方 法 が 発 展 して きた 。   数 値 計 算 方 法 は も ち ろ ん 電 界,磁 界 に 共 通 す る もの もあ り,ま た磁 界 計 算 に つ い て はす で に 多 くの 数 値 計 算 の 解 説 書 が 出 版 さ れ て い る。 しか し磁 界 特 有 の 留 意 事 項 も あ り,精 度 を重 視 す る 電 界 計 算 とは 相 違 点 も多 い 。 そ の た め 本 書 で は 電 界 計 算 の ま と まっ た 解 説 とす る た め に磁 界計 算 に は基 本 的 に 触 れ な い こ と に した 。

第1章 

1.フ

演習 問題

ィー ル ドマ ッ ピ ン グ は,静 電 界 を 直 流 電 流 の 場(電

る方 法 で あ る が,静

流 界)の

測 定 か ら求 め

電 界 の 場 に 直 接 プ ロー ブ を持 ち 込 ん で も簡 単 に は電 界 が 求

め られ な い 理 由 を説 明 し な さ い。 2.電

界 計 算(低

周 波 の 場 合)を 磁 界 計 算 と比 べ た と き の特 徴 を述 べ な さ い。

第2章  電 界計算 の基礎

  電 界 を計 算 す る に は,ま ず そ の も とに な る 方 程 式 や 計 算 条件 を知 ら な け れ ば い け な い 。 電 界 と磁 界 の振 舞 い は す べ て マ ク ス ウ ェル の 式 で 表 され る が,本 章 で は まず マ ク ス ウェ ル の 式 か ら静 電 界 の 式 を導 き,そ れ に伴 っ て い ろ い ろ な 条 件(場 の特 性)を

説 明 す る。 さ ら に計 算 に 必 要 な,あ る い は 計 算 で用 い られ る2種 類 の

境 界 条 件 を 説 明 す る。 ま た 本 書 で 主 に 取 り扱 う,静 的 な場 で あ る 静 電 界 の 適 用 範 囲,す

な わ ち作 用 源(電

源)が

時 間 と と も に 変化 す る と き の 適 用 条 件 を 述 べ る。

最 後 に数 値 的 な電 界 計 算 法 の 大 まか な 分類 を説 明す る が,計 算 法 の よ り詳細 な比 較 は 第7章 で 述 べ る 。

2.1 

ラ プ ラ ス の 式

  電 磁 界 の状 態 はす べ て マ ク ス ウ ェ ル の 式 で与 え られ るが,そ

の様相 は高周波 と

低 周 波 で相 当 に相 違 す る。 電 界 と磁 界 が 一 定 の比 率 で 共 存 しつ つ 空 間 を伝 播 す る い わ ゆ る電 磁 波 あ るい は電 波 の 特 性 は ,低 周 波 で は ほ とん ど現 れ ず,電 界 と磁 界 を分 離 して扱 っ て よい 。   電 磁 界 の 基 本 式,い な の は,電 界Eと

わ ゆ る マ クス ウ ェ ル の 式 は4個 あ る が,静

電 束 密 度Dに

関 す る次 の2式

電界 計 算 に 必 要

で あ る。 (2・1)

(2・2)

こ れ ら の 式 中 の 変 数 は 自明 で あ る が,Bは る 。 磁 界 が 存 在 し な い 場 合,あ (2・1)式 の右 辺 が0で

磁 束 密 度,qは

空 間の電荷 密 度で あ

るい は存在 して も時 間的 に変化 しない場合 には

あ る。 す な わ ち, (2・3)

とな る が,回 転 が0の ベ ク トル は ス カ ラポ テ ンシ ャル を有 す る(ス カ ラポ テ ン シ ャ ル で 表 さ れ る)と

い うベ ク トル界 の 法 則 か ら, (2・4)

と な る。 こ の ス カ ラポ テ ン シ ャ ル φが 電 界 計 算 に お け る 電 位 で あ る。(2・2)式 と(2・4)式 を 結 び付 け る に は,さ 必 要 で あ る。 ほ とん どの場 合,両

らに構 成 方 程 式 と呼 ば れ るEとDの

関係式 が

者 は 誘 電 率 εを 一 定 と した次 の比 例 関係 で あ る。 (2・5)

これ ら に よ って,電

位 を与 え る式 は 次 の 基 本 式 に な る。 (2・6)

  さ ら に,空

間 電荷 が 存 在 せ ず(電 荷 密 度q=0),誘

電 率 εが 一 定 で あ れ ば 次 の

ラプ ラス の式 に な る。 (2・7)

この ベ ク トル 演 算 の 式 を 具体 的 に基 本 的 な 座 標 系 で の 式 で与 え る と, (x,y)の

(x,y,z)の

二 次 元 デ カ ル ト座 標 ； 

三 次 元 デ カ ル ト座 標 ； 

(r,z)の 円 筒 座 標(回 転 対 称)；    ラ プ ラ ス の 式 は 多 くの 静 電 界 問 題 の 基 本 式 で あ るが,多

(2・8)

(2・9)

(2.10) 種多様 な配置の電界 が

す べ て こ の 簡 単 な 式 で 表 され る の は驚 くべ きこ とで あ る 。 ま た こ の簡 単 な式 を解 くの に 四 苦八 苦 す る の が 電 界 計 算 で あ る。 さ らに,熱 伝 導 な ど の物 理 現 象 で も同 じラ プ ラ ス の 式 が 現 れ る 。

2.2 

境 界 条 件

  静 電 界 計 算 の もっ と も基 本 的 な問 題 は,電 極(導

体)に

定 ま っ た(既 知 の)電

圧 が 印加 され た と き,電 極 内 部 以 外 の 空 間 の 電界 を求 め る こ と で あ る 。 電 極 表 面 を 「境 界 」,電 極 以 外 の 空 間 を 「領 域 」 と呼 ぶ こ とに す る。 と りあ え ず,2種 の 誘 電 体 の境 界(界

類

面)は 別 とす る 。 問 題 は領 域 中 で ラ プ ラス の式 (2・7)

を満 足 し,境 界S上

で 与 え られ た値(電

極 電 圧)を

と る,す

なわ ち (2・11)

と な る よ うな 関 数 φ を 求 め る 境 界 値 問 題 で あ る 。 電 極 が 複 数 個 あ る と き(接 地 状 態 の 大 地 を含 む)は,Vは

もち ろ ん 対 応 して い くつ か の値 を と る。

  誘 電 体 界 面 を 考 え な い と き,境 界 条 件 に は 次 の2種 類 が あ る。   (a)  境 界 上 で φ が 一 定(デ

ィ リク レ境 界 条 件) 

た と え ば,i番

目の 電 極

(表 面)で (2・12)

 (b)  境 界 上 で φの 法 線 方 向 微 係 数 ∂φ/∂n,す な わ ち法 線 方 向 電 界Enが (ノイ マ ン境 界 条 件) 

一定

多 くの 場 合, (2・13)

が 用 い られ る 。   普 通 の 配 置 で は境 界 条 件 は(a)だ

け が 現 れ,(b)は

計 算 す る 領 域 を な るべ く狭

くす る た め に人 工 的 に設 定 す る境 界 条 件 と考 え て も よ い 。 た とえ ば 図2・1(a)の よ う に2個

の 同 じ電 極 が 上 下 対 称 に 配 置 さ れ て い て,そ

Vの 場 合 は,両 者 の 中 間 の 水 平 面 は φ=0の 方,(b)の

間 のx=0(y軸

も 回転 対 称 の 配 置 な らr=0の 上)でEn=0の

っ た く同 じ(対 称)な (a),(b)の

デ ィ リ ク レ境 界 条 件 に な る。 一

よ う に両 電 極 が 同 じ電 位 な らEn=0の

の(a),(b)と

れ ぞ れ の 電 位 がVと-

境 界 条 件 に な る。 ま た 図2・1

軸 上(z軸

上),二

次 元 の 配 置 な ら中

境 界 条 件 と な る。 要 す る に 左 右 の 電 界 分 布 が ま

ら,軸 上 の 電 界 は軸 と直 角 な 方 向 の成 分 を持 た な い 。 結 局

配 置 と も,回 転 対 称 で は も ち ろ ん,二

次 元 で も左 右 対 称 で あ れ ば,

図2.1  上 下 対 称 な配 置

全体 の1/4の

図2.2  無 限 遠 を含 む 配置 の 人 工境 界

領 域 だ け を対 象 とす れ ば よい 。

  さ ら に,大 気 中 の 放 電 ギ ャ ッ プ な どは 通 常 無 限 遠 まで 広 が っ た 領 域 が 対 象 に な る 。 この よ うな 配 置 の 電 界 を 計 算 す る に は,領 域 を 分 割 す る数 値 計 算 法 で は,遠 方領 域 の 分 割 を粗 くす る と して も ど こ か で 領 域 を 限 らな け れ ば い け な い 。 す な わ ち ど こか に 人工 的 な 境 界 を設 定 す る必 要 が あ る。   こ の と き 「人 工 境 界 」(あ る い は 「仮 想 境 界 」 と もい う)と ら適 当 に離 れ た 個 所 に,φ=0あ

して,中 心 領 域 か

る い は ∂φ/∂n=0の 境 界 を設 け る 。 図2・2は

半

球 棒 対 接 地 平 面 の 配 置 に お い て,こ の よ うな 人 工 境 界 で 領域 を限 っ た例 で あ る 。   な お,無 限 遠 の境 界 条 件 の 設 定 に つ い て は,3.5.3項

2.3 

で も説 明 す る。

境 界 条 件 と影 像 電 荷

  電 荷 重 畳 法 や 表 面 電 荷 法 の よ う に電 荷 を未 知 数 とす る方 法 で は,大 地(無 地 平 面)の 図2・3(a)に

限接

存 在 を影 像 電 荷 で 与 え る の が 普 通 で あ る。 大 地 に 対 す る 影 像 電 荷 は, 示 す よ う に,二 次 元 場 で も三 次 元 場 で も大 地 面 か ら下 の 同 じ位 置

(影像 の 位 置)に

同 じ種 類 で 等 量 反対 符 号 の電 荷 を置 け ば よい 。 一 方 大 地 で な く,

∂φ/∂n=0の 平 面 が あ る と きは,同

じ(影 像 の)位 置 に等 量 同 符 号 の 電 荷 を置 く。

こ れ に よ っ て対 称 の 平 面 が 与 え られ る。   また接 地 さ れ た 球 や 円 筒 の 内 部 の 電 界 は,た

と え ば電 荷 重 畳 法 で は そ れ ぞ れ の

外 部 に仮 想 電 荷 を 配 置 して 表 現 して も よ いが,影 量 が 自動 的 に 与 え られ る の で,(未

像 電 荷 を用 い る と電 荷 の 位 置 と

知 の)電 荷 数 が 半 分 で 済 む し,外 部 電 荷 の 位

置 を 選 択 し な くて よ い。 影 像 電 荷 の 位 置 は,図2・3(b)の D(=R2/d)の

よ う に 中心 か ら

距 離 で,電 荷 量Q'は,

  球 の 場 合:Q'=−(D/R)Q   円筒 の 場 合(単

位 長 さ 当 た りの 電 荷 密 度):Q'=−Q

である。   しか し境 界 面 が2個 あ っ て繰 り返 して 置 くた め に 影 像 電 荷 が 無 限 個 必 要 な と き は,も

はや 影 像 電 荷 に頼 ら な い ほ うが よい こ とが 多 い 。 た と え ば 図2・4の

を電 荷 重 畳 法 で 計 算 す る場 合,影 地)平

配置

像 電 荷 は下 側 平 面 に対 して の み与 え,上 側(接

面 に つ い て は 通 常 の 仮 想 電 荷 で 与 え る ほ うが プ ロ グ ラ ム の変 更 も不 必 要 で

(a)大

地

(b)球

また は 円筒

図2.3  影 像 電荷 の例

図2.4  2枚 の接 地平 板 間 の 高電 位 球 (電界重 畳 法 に よ る計 算)

容 易 に計 算 で き る。 つ ま り空 間 の 電 界 は球 内 と上側 平 面 内部 に 配 置 した 仮 想 電 荷 (と そ れ ぞ れ の 下側 平 面 に対 す る影 像 電荷)に

2.4 

よ って 与 え られ る。

時 間 的 変 化 が あ る場 合

  与 え られ た 境 界 条 件,具

体 的 に は 決 ま っ た電 圧 が 印加 され た 電 極 系 に対 し て電

界 分 布 が 求 ま った と して,こ の 電 圧 が 時 間 と と もに 変化 す る と きの 電 界 分 布 が ど う な るか とい う こ とで あ る 。   電 界 が 時 間 と と も に変 化 し な い状 態 は一 般 に静 電 界 と呼 ば れ る 。 本 書 で述 べ る 電 界 計 算 の ほ とん ど は静 電 界 計 算 で あ るか ら,直 流 の電 界 に しか 適 用 で きな い よ う に思 わ れ る が そ うで は な い 。 実 際 に は 印 加 電 圧 が 商 用 周 波 数 の 交 流 で も,も っ と変 化 の 早 い イ ンパ ル ス で も,多

くの場 合,各

所 の 電 界 は 単 に 印加 電 圧 の 瞬 時 値

に 「比 例 して」 変 化 す る だ け で 電 界 分 布 は 同 じ なの で あ る。 す な わ ち 誘 電 体 が 導 電性 を有 しな い(完 全 な絶 縁 物 の)場 合,印 加 電 圧 の時 間 的 変 化 が 電 磁 波 の 進 行 時 間 に匹 敵(対 応)す

る ほ ど速 くな い 限 り,電 界 の 状 態 は 定 常 的 な （直 流 の ） 印

加 電 圧 に お け る 分 布 の ま まで,単

に 大 き さ が 比 例 的 に 変 わ る だ け で あ る。 しか

し,次 の よ う な場 合 は 注 意 しな け れ ば い け な い 。 (1)  時 間 的 変 化 が 異 な る複 数 の 印加 電 圧 が あ る 場 合   基 本 的 に は ど の よ う な 時 間 で も,そ れ ぞ れ の 印 加 電 圧 の 瞬 時 値 が 印 加 され た (直流 の)条 件 で 計 算 した 電 界 分 布 で よ い。 しか し実 用 的 に重 要 な ケ ー ス と して 三相 交 流 電 圧 が あ る。 この 場 合 も瞬 時 瞬時 の電 界 分 布 は各(三 瞬 時値 に 対 してそ れ ぞ れ の 電 界 を 加 算 して 求 め られ るが,複

相 の)印 加 電 圧 の

素数表示 に よって交

流 定 常 状 態 の 電 界 分 布 を 一 度 に 表 す こ とが で きる 。 これ に つ い て は14.4節

で説

明す る 。 (2)  誘 電 体 が導 電 性 を 有 す る 場 合   こ の場 合 は比 較 的 ゆ っ く り した 時 間 的 変 化 や,低

い 周 波 数 の 印 加 電 圧 で も 問題

で あ る。 導 電 性 の た め に 電 流 が 流 れ るが こ の 移 動 した 真 電 荷 が 電 界 に 影 響 す る。 真 電 荷 の 移 動 に時 間 を要 す る た め に 一 般 に印 加 電 圧 に比 例 した電 界 分 布 に な らな

い。 こ れ は抵 抗Rと

コ ンデ ンサCか

らな る並 列 回 路 が,交 流 電 圧 に対 し て周 波

数 に依 存 し た イ ン ピー ダ ン ス に な る こ と と同 じで あ る 。 この と き直 列 に存 在 す る 2種 類 の 媒 質(た

と え ば導 電 性 の あ る 固体 誘 電 体 と空 気)の 特 性 が 異 な る と,両

媒 質 の 兼 ね 合 い で分 担 電 圧 や 電 界 が 変 化 す る 。 つ ま り,コ ンデ ンサ だ け か らな る イ ン ピー ダ ンス の場 合 と異 な っ て,固 体 誘 電 体 に か か る 電圧 は 印加 電圧 の 瞬 時 値 に比 例 しな い 。 こ の場 合 の 計 算 は 第16章

に述 べ る 。

(3)  空 間 電 荷 の あ る 場 合   空 間 電荷 が 存 在 して も瞬 時 の電 界 は 空 間電 荷 を含 め て計 算 で き る。 た だ し,空 間 電 荷 は通 常 電 界 の 作 用 で 移 動 す る の で,電 界 の 時 間 的変 化 の 計 算 に は 移 動 を 考 慮 す る こ とが 必 要 に な る 。 大 気 中 の イ オ ン流 の場 合 に は,印 加 電 圧 の変 化 が イ オ ンの 電 極 間 移 動 時 間 よ りず っ と ゆ る や か で な い と定 常 状 態 の計 算 は で きな い 。 ま た,大 気 中 イ オ ン流 を表 す式 が 非 線 形 で あ る た め に,印 加 電 圧 に 比 例 した 電 界 に も な らな い 。 これ ら の空 間 電 荷 や イ オ ン流 が 存 在 す る と きの電 界 計 算 は そ れ ぞ れ 第17章,18章

で 説 明 す る。

(4)  時 間 的 変 化 が 速 い 場 合   非 常 に速 い過 渡 現 象 や 周 波 数 の 非 常 に 高 い 交 流 の場 合 に は,静 電 界 と い う取 扱 い は で きな い。 前 者 は い わ ゆ る進 行 波 現 象 と して,波 源 か ら時 間 と と もに移 動 す る 電 界 とな り,各 所 の 電 界 は到 達 時 刻 に よっ て相 違 す る。 ま た後 者 は,波 源 の 遠 方 で は 電 界 と磁 界 が 一 定 の大 き さで 双 方 に 直 交 す る 方 向 に 空 間 を進 行 す る電 磁 波 あ る い は電 波 とな り,電 界 だ け の 独 立 した(あ

る い は磁 界 と分 離 した)場

では な

い。 本 書 は こ れ らの 電 界 計 算 に つ い て は述 べ ない 。

2.5 

数 値 電 界 計 算 法 の 分 類

  2.1節 に 述 べ た よ う に,電 界 計 算 の 基 本 は,適

当 な境 界 条 件 の も と で ラ プ ラ ス

の 式 を満 足 す る電 位 φ を求 め る こ とで あ る。 電 位,電

界 は(境 界 を 除 い て)場

所 と と もに 連 続 的 に変 化 す る のが 普 通 で あ る か ら,ど ん な狭 い 領 域 で も無 限 の 関 数 値 が あ る こ と に な る。 こ の よ う な 連 続 的 に 変 わ る量 を,「 離 散 化(飛

び飛 び の

値 を と る こ と),あ

るい は有 限化 」 して,計 算 機 で 求 め る の が 数 値 計 算 で あ る。

  電 界 分 布 を有 限 の 個 数(の 電 位 あ る い は 電 界)で か,境 界 を 分 割 す る か の2通 法』※1にお い て,著

り し か な い 。1980年

表 す に は,領 域 を分 割 す る 発 行 の 旧 著 『数 値 電 界 計 算

者 らは い ろ い ろ な数 値 電 界 計 算 法 を まず 「領 域 分 割 法 」※2と

「境 界 分 割 法」 に大 別 す る こ と を提 案 して い る。 そ れ は 有 限化 す る量(変 象 とす る 場 の 方 程 式,電 界 の 求 め 方,精 度,な

数),対

どが,領 域 分 割 法 と境 界 分 割 法 と

で基 本 的 に相 違 す る か ら で あ る 。   こ れ まで も っ ぱ ら使 用 さ れ て きた 主 な数 値 電 界 計 算 法 は4種 類 あ り,す なわ ち 差 分 法,有

限 要 素 法,表

面 電 荷 法,電

荷 重 畳 法(代 用 電 荷 法 とい わ れ る こ と もあ

る)で あ る 。 領 域 分 割 法 は,領 域 を有 限 個 に分 割 し分 割 点 の 電位 を未 知 数 とす る 方 法 で,差 分 法 と有 限 要 素 法 が こ れ に 属 す る。 一 方,境 に存 在 す る電 荷(あ

る い は そ の作 用)を

界 分 割 法 は 境 界 と境 界 上

分 割 して 電 界 を 求 め る方 法 で,表 面 電荷

法 と電 荷 重 畳 法 が こ れ に属 す る。 た だ し,ど ち らの 方 法 で も,境 界,す

な わ ち電

極 表 面 の 電 位 あ る い は電 荷 分 布 が 定 ま る と領域 の 電 界 分 布 は 一 意 的 に定 ま っ て し ま う こ と,す な わ ち 「与 え られ た 境 界 条 件 と ラプ ラス の式 を満 足 す る 解 は た だ一 つ の 正 し い電 界 分 布 で あ る 」 とい う静 電 界 の一 意性 の 定 理 が も と に な っ て い る。   こ れ らの 計 算 法 の 相 互 比 較 は,各 方 法 を説 明 した 後 第7章

で 行 うが,計

算法の

大 分 類 と して 領 域 分 割 法 と境 界 分 割 法 を常 に認 識 して お い て い た だ きた い 。   な お,数 値 計 算 法 が これ らの4種 類 だ け か と い え ば 決 して そ うで は な い 。 た と え ば,モ

ンテ カ ル ロ 法 や 境 界 要 素 法,さ

ら に よ り高 周 波 の 電 磁 波(電

波)に

もっ

ぱ ら用 い られ る計 算 法 が あ る。 な か で も境 界 要 素 法 は 表 面 電 荷 法 と似 て い るが , よ り一 般 的 な(し

たが っ て よ り柔軟 性 の あ る)方 法 で あ る。 こ れ ら につ い て は 第

8章 で 解 説 す る 。

※1  河野 照 哉,宅 間董 共 著 『 数 値 電界 計 算 法』,コ ロ ナ社 ,昭 和55年 ※2  ご く最 近 に な って 「領域 分 割 法 」 とい う名称 が 異 な る意 味 で も使 用 され て い る。 こ の方 法 (domain decomposition method)は,解

析 対 象 が非 常 に 大 きい場 合 に,全 体 を い くつ か の小 領域

に分 割 して,各 小 領 域 の 問題 を別 々 に(並 列 処理 な どで)解 き,こ れ らを統 合 化 して 全体 の解 を 得 る とい う方法 であ る[2.1]。

第2章 

1.雷

雲 の 下 で は 地 表 面 付 近 の 電 界 が30kV/mに

大 地 に 立 っ て い る 身長1.8mの る(ビ 2.簡

演習 問題

リ ッと くる)こ

人 が 水 道 の 蛇 口(接 地 状 態)に

標)を

対 象 に す る。 電 位 φが,

φ=ax2+by2+cxy+dx+ey+f(a,b,c,d,e,fは で あ る と,a=−bの

触 れ て も感 電 す

とは な い 。 そ の 理 由 を説 明 しな さい 。

単 の た め,二 次 元 配 置(x,y座

 

もな る こ とが あ る。 こ の と き,

定 数)

と き こ の 式 は ラ プ ラ ス の 式 を満 た す 。 した が っ て,二

元 配 置 の電 位 は す べ て この 式 で 表 され る。 こ の 主 張 は 正 しい か,正 を述 べ,正 3.半

4.前

し くな い か

し くな い と思 う場 合 は 理 由 を説 明 しな さい 。

径R1,R2(R1＜R2)の

心)球

次

の 電圧 がVの

問 題 で,最

同 心 球 の 配 置 で,外 側 球 が 接 地 され て い て 内 側(中 と きの 電 位 と電界 の 式 を求 め な さい 。

大 電 界 と利 用 率(平 均 電 界/最 大 電 界)の 式 を求 め な さい 。 ま た

R1=1cm,R2=2cm,V=1kVの

と きの 最 大 電 界 と利 用 率 の 値 を 求 め な さい 。

第3章  差

  差 分 法(finite difference method)は

分

法

電 界 計 算 に 限 らず 微 分 方 程 式 を 数 値 的 に

解 く基 本 的 な 方 法 で あ る。 英 語 のfinite difference(有 現 れ る無 限微 小 量dx,dy,dφ

限 差 分)と

は微 分 の 式 に

な どを 代 用 す る 有 限 の 差(差 分)Δx,Δy,Δ

ど を意 味 す る 。 差 が 有 限 の大 き さで あ れ ば,量

φな

を表 す 個 数 も有 限 に な り,そ の結

果 計 算 機 で扱 え るわ けで あ る 。   差 分 法 は 他 の 方 法 に比 べ て もっ と も古 くか ら用 い られ て お り,19世

紀 末の ボ

ル ツマ ンの 提 案 が そ の 最 初 と され て い る[3・1]。 電 界 計 算 に も他 の 数値 的 方 法 に先 が け て 適 用 さ れ た が,現 在 で もな お 複 雑 大 規 模 な配 置 の 電 界 計 算 に使 用 され て い る。 差 分 法 の計 算 テ クニ ック に は 数 多 くの バ リエ ー シ ョ ンが あ り,特 に 開発 初 期 に い ろ い ろ な検 討 や 提 案 が 行 わ れ た 。 しか し本 章 は,そ れ らの 詳 細 を紹 介 す るの で は な く,計 算 法 の 基 礎 と計 算 上 の 問 題 点 の解 説 を 中心 とす る。

3.1 

計 算 法 の あ ら ま し

  差 分 法 の基 本 は領 域 を格 子 で 分 割 し,ラ プ ラ ス の 式 を 差 分 の式 に 置 き換 え て, 格 子 点 の 電 位 を未 知 数 とす る方 程 式 を作 る こ と で あ る。 格 子 に よ る分 割 は通 常 各 座 標 軸 に 平 行 な線 上 で 行 う。 (1)  二 次 元 場 の 場 合   図3・1の

よ うな 二 次 元 座 標(x,y)で の 未 知 関 数 φ に対 して,

図3.1  差 分法 の 領域 分 割(二 次 元 場)

(3・1)

の よ う に,近

似 す る 。 φ0は 点(x0,y0)の

y4)の 電 位 で あ る 。 点(x0,y0)近 子 間 隔Δxが

電 位,φ2,φ4は

そ れ ぞ れ 点(x2,y0),(x0,

傍 の 差 分 に は 次 の よ うな 近 似 の 可 能 性 が あ る。 格

一 定 の 場 合,

(3・2)

  しか し2階 の 微 分 に 現 れ る1階 微 分 につ い て は 中 間 の値 を取 る の が 妥 当 で あ る。 す な わ ち,

(3・3)

こ こ で,a,bは

そ れ ぞ れ φ0と φ2,φ3と

φ0の 中 間 の 点 のx座

標 で ある。同様 に

して,

(3・4)

図 の よ う に格 子 間 隔 が 一 定(Δx=Δy=h)で

あ れ ば 二 次 元 場 の ラ プ ラ ス の 式 か ら, (3・5)

と な る。 これ が 基 本 の 差 分 式 で あ る が,ど

の 点 も平 等 で あ れ ば(重

み がな けれ

ば)中 央 の点 の 電 位 φ0は 周 囲4点 の 電 位 の(単 純 な)平 均 に な る と期 待 で き る。 (2)  回転 対称 場 の 場 合   (r,z)座 標 の 回転 対 称 場 で は,ラ プ ラ ス の 式 は(2・10)式 で あ る が 次 の よ うにr の1階 微 分 を含 ん で い る。 (3・6)

そ の た め に,こ の1階 微 分 の項 を3.1節

に 述 べ た よ うな 次 の 差 分 式 で 近 似 す る。 (3・7)

差 分 式 は結 局, (3・8)

と な る。 この よ う に 回 転 対 称 場 は二 次 元 場 に比 べ て 微 小 量hの

か か っ た項 が 付

け加 わ る のが 特 徴 で,そ の た め計 算 に 当 た っ て 後 に述 べ る よ う な い くつ か の 余 計 な処 理 が 必 要 で あ る 。

3.2 

テ イ ラ ー 級 数 式 か ら の 導 出

  (x,y)座 標 の 二 次 元 場 に お い て 点(x0,y0)の 近 傍 の 点 の 電 位 φ を テ イ ラ ー 級 数 で表 す と,

(3・9)

こ こ で 添 字0は   図3・1の

座 標(x0,y0)に

お け る値 を意 味 す る 。

よ う に 領 域 を 間 隔hの

電 位 φ1,φ2,φ3,φ4を

等 間 隔 格 子 で 分 割 し て,0点

二 次 ま で の 項 で 表 す と,(3・9)式

か ら

の 周 り の4点

の

(3・10)

(3・11)

(3・12)

(3・13)

こ れ らの 式 を辺 々相 加 え る と, (3・14)

こ の式 は,二 次 元 場 の ラ プ ラ ス の 式 か ら,や は り(3・5)式 に な る 。   こ こで 注 意 す べ きこ とは,φ の 差 分 式 が テ イ ラ ー展 開 式 の一 次 の 項 で は な く二 次 まで 取 っ て い る こ とで,格

子 間 隔hが

小 さい と きは良い近 似で あ るこ とを意

味 して い る。

3.3  分 割 が 等 間隔 で ない と きの式   図3.2の

よ う な 回 転 対 称 場 で,近 接 格 子 点 と の 間 隔 が そ れ ぞ れh1∼h4の

図3.2  格 子 間隔 が異 な る場 合 (回転 対称 場)

とき

を例 に と る。 図3.1よ

り も 一 般 的 な 番 号 付 け と し,i番

て,上 下 左 右 の 格 子 点(そ

目の格 子点 を中心 と し

れ ぞ れi-m,i-1,i+1,i+m)の

電 位 を,(3・6)

式 の テ イ ラ ー展 開 式 で 表 して(3・7)式 を用 い る。 す る と 次 の よ う な φiと近 接 格 子 点 電 位 との 関 係 式 を 導 くこ とが で き る。 (3・15) こ こ で,

(3・16)

計 算 す べ き領 域 の 各 格 子 点 に順 に 番 号 を付 け,そ の 電 位 を近 接 格 子 点 の 電 位 で 表 す と,格 子 点 電 位φiを 未 知 数 と す る 連 立 一 次 方 程 式 が 作 ら れ る 。 係 数Pi,jは (3・16)式 の よ う に格 子 間 隔h1∼h4とi点 最 初 の 添 字 は 連 立 方 程 式 のi番 φjに関 す る係 数(j列

目(i行

のr座 標r0と

で 与 え ら れ る 定 数 で,

目)で あ る こ とを 示 し,二 つ 目 の 添 字 は

目)で あ る こ と を示 して い る。 回 転 対 称 場 で は な く(x,y)

座 標 の場 合 は 係 数 をr0で 除 した後r0を 無 限 大 に した 式 で あ る。

3.4  電位 の 方程 式  以 上 で 差分 法 に よ る電 界 計 算 の 準備 が で き た。 領 域 全 体 の格 子 点 に つ い て た と え ば 回 転 対 称 場 で は(3・8)式 あ る い は(3・15)式 を作 り,全 体 の 連 立 一 次 方 程 式 を境 界 条 件 を 用 い て 解 け ば よ い。 す な わ ち,

(3・17)

にお い て,境 界 条 件 と して電 極 表 面 と一 致 す る格 子 点 の 電 位 を電 極 電 圧Viと ば解 くべ き多 元 連 立 一 次 方 程 式(支

すれ

配 方 程 式)が 得 られ る。 こ の 連 立 方 程 式 の左

辺 の係 数 は 大 部 分 が0で,疎

行 列 あ る い は スパ ー ス マ トリ ック ス な ど と呼 ば れ る。

  以 上 の よ う に差 分 法 の 原 理 は い た っ て 簡 単 で コー デ ィ ング も比 較 的 容 易 で あ る が,実

際 に 計 算 す る場 合 は,以

法,な

どに 種 々の 問 題 が あ る。

3.5 

下 に 述 べ る よ う に境 界 の処 理 方 法,領 域 の 分 割 方

境 界 の 処 理 方 法

  次 の よ うな 境 界 で 特 別 な 考 慮 が 必 要 で あ る 。 3.5.1 

回 転 軸 上(図3・3)

  回転 対 称 場 で は常 にr=0(z軸)が

一 つ の 境 界 に な る。 こ れ は 二 次 元 場 と相 違

す る 点 の 一 つ で あ る 。 す な わ ち 図3・1の (3・8)式 の 右 辺 でr0=0で

φ2に 相 当 す る 点 が 存 在 しな い,ま

た

あ る の で 差 分 式 を変 形 しな け れ ば な らな い 。 こ の た め

に はL'Hopitalの 定 理 に よっ て,(3・6)式

の 第2項

が,

(3・18)

と な る こ と を 用 い る と,回

転 軸 上 で は(3・6)式

は 次 式 に な る。

(3・19)

  (3・10)式,(3・12)式,(3・13)式 き,一

の テ イ ラ ー 展 開 式 でx→r,y→yと

般 に 回 転 軸 上 で は 電 界 は 常 にz成

と,(3・19)式

分 だ け な の で(∂ φ/∂r)r=0=0で

を 用 い て 偏 微 分 の 項 を 消 去 す る と,等

した と あ る こと

間 隔 格 子 で は(3・8)式

の代

わ り に,

(3・20)

と な る 。 ま た 格 子 間 隔 の 異 な る 場 合 は(3・15)式,(3・16)式

の 代 わ りに次 式 を用

い な け れ ば な らな い 。 (3・21)

図3.3  回転 軸 上 の格 子 点

図3.4 〓

の 面 上 の格 子 点

(3・22)

3.5.2 

対 称 面 な ど ∂φ/∂n(法 線 方 向 微 係 数)=0の

境 界(図3・4)

  電 界 が 接 線 方 向 だ け の(電 気 力 線 が 表 面 に沿 っ て い る)境 界 で は そ れ ぞ れ 次 の 式 を用 い る 。   二 次 元 場 で は(3・5)式 の 代 わ りに, (3・23)

(3・24)

た だ し(3・23)式,(3・24)式

は,図3・4の

よ う に そ れ ぞ れ φ2,φ4を

領域 内 の

格 子 点 の電 位 とす る 。   回 転 対 称 場 で は(3・8)式

の 代 わ り に, (3・25)

(3・26)

3.5.3 

無 限遠

  孤 立 した 電 極 系 な ど,領 域 が 無 限 遠 ま で広 が っ て い る場 合 を 「開 空 間 」 と呼 ぶ こ と もあ る 。 この 場 合 に 人 工(仮 あ る こ とは2・2節

想)境 界 を 設 定 して,領 域 を 有 限 に す る必 要 の

で 触 れ た(図2・2)。

以 下 で は も う少 し詳 し く,次 の よ う な

方 法 を説 明 す る 。 (1)  電 界 値 が 必 要 な 中 心 領 域 か ら 適 当 に 離 れ た 個 所 に,φ=0あ ∂φ/∂n=0の

人 工 境 界 を 設 け る 方 法:2.2節

の 図2・2は

るいは

半球 棒 対平 面 の例 で あ

る。 こ の 方 法 の 難 点 は,第 一 に 電 位 関 数 φが 距 離 と と も に 減 少 す る 割 合 が 小 さ い(遅

い)こ

とで あ る 。 特 に 二 次 元 場 で は 距 離Lに

変 化 す る だ け な の で,φ=0と れ ば な ら な い。 第 二 に,こ

対 して(−1nL)の

関数 形で

見 なす に は相 当 に離 れ た 箇 所 まで 領 域 に 含 め な け の よ う な実 際 と相 違 す る仮 想 境 界 を設 け る こ とが 電 界

値 に どの 程 度 影 響 す る か は ほ とん ど検 討 され て い な い。 (2)  中 心 部 の 電 極 を 解 析 解 が 得 ら れ る もの に 置 き換 え,そ れ に よ っ て 生 ず る 電 位 を 遠 方 領 域 の 境 界 値 と す る 方 法:図2・2の 回転 双 曲 面 や 回 転 放 物 面 で 置 き換 え,得

配置で はた とえば半球 棒 を適 当な

られ た遠 方 領 域 の 電 位 を境 界 値 と し本 来

の電 極 配 置 を差 分 法 で解 く。 た だ この 方 法 は比 較 的 単 純 な配 置 に 限 られ,一 般 的 に使 用 で きる もの で は な い 。 (3)  よ り厳 密 な 取 扱 い と して,boundary 方 法[3.2]:こ れ は 図3・5の の 電 位 φsがRの

relaxation

よ う に適 当 な 領 域Rを

methodと

名 付 け られ た

囲 む 仮 想 境 界Sを

と り,S上

内外 で ラ プ ラ ス の 式 を満 足 す る よ うに 定 め る もの で あ る。Sは

適 当 に小 さ く単 純 な 四 角 形 に 選 ぶ 。   まず 境 界 の 各 点 に 適 当 な 電 位 φs(i)を 与 え る。 領 域Rの

内 部 で は電 極 電 位V

と φsと か ら通 常 の 差 分 法 で 電 界 が 計 算 で き る の で,そ の 結 果 か らS上 向電 界(∂ φ/∂n)1を求 め る。 一 方Rの

の法線 方

外 部 で は,等 価 的 な 電 荷 密 度 σと外 部 電 位

φ,法 線 方 向電 界(∂ φ/∂n)2とに次 の 関係 が あ る。

図3.5 

boundary

relaxation

method〔3.2〕

(3・27)

(3・28)

こ こ で,lは

電 位 点 と微 小 面 積dsと

の 距 離 で あ る 。 第5章

の考 え を用 い る と,(3・27)式,(3・28)式

に述べ る表 面電荷 法

か ら(∂φ/∂n)2を φSで 表 す こ とが で き

る。 す な わ ち境 界 の 各 点 で次 式 の よ う に書 け る。 (3・29)

を解 い て

(3・30)

P(i,j)は 既 知 の 量 な の で,φsが 与 え ら れ る と(∂φ/∂n)2も求 め られ る。 そ こ で 内 外 の 法 線 方 向 電 界 が 等 し くな る よ うに,k回

目の 境 界 上 電 位 φskを (3・31)

と して 収 束 す る まで 繰 り返 す 。 ω は 適 当 な 定 数 で あ る 。 こ の 方 法 は厳 密 な 代 わ りに もち ろ ん プ ロ グ ラム が 複 雑 に な る の で,む うが 良 い 場 合 が 多 い 。 あ る い は8・3節 な す こ と もで き よ う。

し ろす べ て を表 面 電 荷 法 で 行 うほ

に 述 べ る コ ン ビ ネ ー シ ョ ン法 の 一 種 と見

3.5.4 

電 極 表面 上

  電 極 表 面 が 曲 面 で あ る と,一 般 に正 方形 格 子,長 方 形格 子 で は 格 子 点 が電 極 面 に一 致 しな い。 一 致 しな い ま まで 最 も近 い格 子 点 で 表 面 形 状 を 凹 凸 に近 似 す る こ と もあ る が,電 界 値 を必 要 とす る よ う な電 極 表 面 で は相 当 に分 割 を密 に しな け れ ば な らな い 。 そ れ よ りは電 極 表 面 に格 子 点 を とっ て 不 等 間 隔 格 子 の 差 分 式 を使 用 す る ほ うが よい 。 す なわ ち 図3・2で

点 線 を電 極 表 面 とす る と,h1,h2を

適 当に

と っ て格 子 点 を電 極 表 面 に一 致 させ,差 分 式 と して(3・15)式,(3・16)式

を使 用

す る。 φi-m,φi-1は 電 極 電 圧(境

界 条 件)と

な る。 な お 滑 らか な 曲面 の境 界 を等

間隔 格 子 で 凹 凸 に(階 段 状 に)近 似 した と き の誤 差 に つ い て は,8.5節

で触 れ る。

  簡 単 な 配 置 で は座 標 変 換 が 有 効 で あ る。 通 常 の電 界 計 算 で は 曲率 半 径 の小 さい 電極 に生 ず る 最 大 電 界 の 必 要 な こ とが 多 い が,こ

の 電極 と一 方 の 座 標 面 が一 致 す

る よ う な座 標 変換 を行 い,変 換 した座 標 で 差 分 式 を作 る と正 方 形格 子,長 方 形 格 子 で 分 割 して も,も

との座 標 で は格 子 点 が 電極 表 面 に 一 致 す る 。 電 位,電 界 値 の

低 い相 手 側 の(対)電

極 で は 一 致 して い な くて も求 め る 最 大 電 界 に た い して影 響

しな い 。 先 端 が 半 球 の 丸 棒 対 接 地 平 面 配 置 の 電 界 を双 球 面 座 標 に変 換 して計 算 し た例 で は,双 球 面 座 標 で 等 間 隔 に 分 割 す る と原 座 標 の格 子 点 が 最 大 電界 を生 じる 半 球 表 面 に 一 致 し,ま た 半 球 付 近 の 分 割 が 密 で 遠 方 ほ ど分 割 が 疎 に な る とい う効 果 が 自動 的 に 得 られ る[3.3]。 た だ し座 標 変 換 に よる 方 法 は,適 合 す る 座 標 系 の な い形 状 に は 適 用 で きな い こ と と,差 分 式 が 複 雑 に な る こ とが 欠 点 で あ る 。

3.6 

3.6.1 

計 算 上 の 問 題 点

領 域分 割

  領 域 を どの く らい 細 か く分 割 す るか は,第 一 に対 象 とす る 電 界 の 必 要 精 度 に よ るが,副

次 的 に は 計 算 時 間,計 算 機 容 量 に依 存 す る 重 要 な 問 題 で あ る 。 まず,差

分 式 と し て 図3・1,図3.2の

よ うに φ0を周 囲 の も っ と も近 い4点

の 電 位 か ら与

え る 必 要 は な く,た と え ば周 囲8点

の 電 位 を使 用 して も よ い。 一 般 に 近 接 格 子 点

を 多 く取 る ほ ど同 じ分 割 で は 精 度 が よ くな る。 差 分 法 の 利 用 初 期 に は,こ の よ う な4点

よ り多 い格 子 点 を用 い る各 種 の 差 分 式 が 提 案 され て い る 。 しか し関 係 す る

格 子 点 が 多 くな る と差 分 式 が 複 雑 に な る う え に,以 下 に 述 べ る よ う な境 界 で の 処 理 も面 倒 に な る の で,正 方 形 また は長 方 形 の 分 割 で上 下左 右 の4点 の 電 位 か ら中 心 格 子 点 の 電 位 を与 え るの が 普 通 で あ る 。   格 子 間 隔 を領 域 の場 所 に よ っ て 変 え る こ と は しば しば 行 わ れ る。 む しろ領 域 が 無 限遠 に まで 広 が っ て い る配 置 な ど は,ほ

とん ど の場 合 格 子 間 隔 を 変 え る こ とが

必 要 で あ る。 そ れ は 通 常 の 電 界 計 算 で は,必 要 と す る 電 界 値 が 領 域 の ご く一 部 で,し か もそ の 付 近 の電 界 変 化 の 急 な こ とが 多 い の で,そ

の よ う な箇 所 の分 割 を

局 部 的 に 密 に し て計 算 の 精 度 を上 げ る と と もに,重 要 で な い 部 分 の分 割 を粗 く し て全 体 の格 子 点(つ

ま り方 程 式 の 未 知 数)の

数 を減 らす た め で あ る。

  格 子 間 隔 を変 え る に は 次 の 二 つ の や り方 が あ る 。   (a)  場 所(座

標)と

と も に 連 続 的 に 変 え る 

これ は格 子 間 隔 を座 標 の 関 数

と して 変 え る場 合 と座 標 変 換 に よ る場 合 とが あ る。 座 標 変 換 で は 一 方 の座 標 系 で は 等 間 隔 の 分 割 が 他 の座 標 系 で は不 等 間 隔 の 分 割 に な る。 と くに比 較 的簡 単 な配 置 で,一

方 の 座 標 面 が 電 極 表 面 あ るい は そ の 一 部 と一 致 す る

よ うな座 標 系 を選 ぶ と,境 界 の 処 理 が 容 易 に な る上 に,こ の 座 標 系 で は等 間 隔 の 分 割 で も元 の座 標 系 で 重 要 な個 所 の 分 割 を密 に す る こ と が で き る。 半 球 棒 対 接 地 平 面 の電 界 を双 球 面座 標 に変 換 して 計 算 した例 を3.5.4項

で

紹 介 した。   (b)  領 域 を い くつ か の 部 分 領 域 に分 け,部 分 領 域 内 で は 等 分 割 とす る  転 対 称 場 な ら,そ れ ぞ れ の 部 分 領 域 内 部 は(3・8)式,部

回

分領域 の境界 で は

(3・15)式 を 用 い る こ と に な る。 問 題 は 部 分 領 域 間で 格 子 間 隔 の 変 化 が 大 きす ぎる と,連 立 一 次 方 程 式(3・17)式

を解 く際,解

が 収 束 し な くな る 場

合 の あ る こ とで あ る。 文 献[3.4]は こ の変 化 の比 率 の 限界 を8と

して い る 。

3.6.2 

連 立一 次方 程式 の解 法

  差 分 法 も次 章 に述 べ る有 限 要 素 法 も各 点 の電 位 を得 る には 大 規 模 な 連 立 一 次方 程 式 を解 か な け れ ば い け な い 。 た と え ば1座 元,回

転 対 称 場 で は 未 知 数 の 数(方

標 あ た り100に

分 割 す る と,二 次

程 式 の 元 数)は104個,一

般三 次 元場 で は

106個 とな り,係 数 行 列 の 成 分Pi,jは そ れ ぞ れ108個,1012個

と な る 。 した が っ

て 分 割 が い く らか 細 か く な る と,計 算 機 の 容 量 か らす べ て の 係 数 を記 憶 で き な い 。 しか し差 分 法,有

限要 素 法 で は ほ と ん どの 係 数 が0(疎

行 列)な

の で こ の点

を考 慮 した 計 算 に な る。   解 法 は 大 別 して 直 接 法 と反 復 法 が あ る。 直 接 法 は,古

くか ら知 られ て い る ガ ウ

ス の消 去 法 な どで あ る が,要 す る に 逆 行 列 を 作 る 方 法 で あ る。N個 場 合,単

純 に 考 え る と0(N2)(0(M)はMの

の 記 憶 容 量 と0(N3)の

の未 知数 の

オー ダの 数 で あ る こ と を 意 味 す る)

演 算 量 を必 要 とす る 。 そ の た め に,Pi,jの 番 号 付 け を工 夫

し記 憶 容 量 を節 約 して 計 算 す るが,0で

ない 成分 だ け を 行 お よび列 を与 え るポ イ

ン トマ トリ ッ クス と と もに 記 憶 させ る 方 法 が あ り,そ の 一 つ の ウ ェ ー ブ フ ロ ン ト 法[3.5]などが よ く使 用 され る。   一 方 反 復 法 は,最 初 に φiに適 当 な値(初 式 か ら新 し い 値 を 求 め,そ

の 結 果 を2回

期 値 あ る い は 出 発 値)を

与 えて差分

目 の 出 発 値 と して 次 々 に 計 算 を繰 り返

し,真 の値 に近 づ け る 方 法 で あ る。 この 方 法 で も係 数 行 列 の 各 成 分 を 求 め る な ら 0(N2)の

記 憶 容 量 を 必 要 とす るが,演

算 量 は0(N2)で

よい。連立 方程式 全体 で

な く各 差 分 式 だ け を 記 憶 す る方 法 な ら,必 要 な 記 憶 容 量 と演 算 量 は0(N)と

な

り,大 規 模 な 行 列 で は直 接 法 よ り有 利 で あ る。 そ の 代 わ り反 復 法 は収 束 が 遅 い と い う欠 点 が あ り,収 束 を 速 め る ため に,新 め る と と も に,繰 (SOR法;successive の よ う な 未 知 数(あ

しい結 果 を次 々 に組 み 入 れ て計 算 を進

り返 し ご と の 変 化 量 を 過 評 価 して 加 味 す る 逐 次 加 速 緩 和 法 over‐relaxation method)な る い は 分 割 数)と

は,高 速 多 重 極 法(FMM,第10章)に

どが 用 い られ る 。 な お,以

必 要 な 記 憶 容 量,演 関 して10・7節

上

算量 の 関係 につ いて

で も解 説 して い る。

  大 規 模 な連 立 一 次 方 程 式 の 解 法 は計 算 機 の 進 歩 と と も に非 常 に 発 達 し,現 在 は

い ろ い ろ な 計 算 機 ラ イ ブ ラ リを利 用 す る こ とが で き る。 した が っ て こ こで は これ 以 上 は説 明 し ない 。 な お 反 復 解 法 につ い て は文 献[3.6],[3.7]に

分 か りや す く解

説 さ れ て い る 。 ま た行 列 の 数 値 計 算 全 般 に 関 して は 文 献[3.8]を 推 薦 で きる 。

第3章  演習問題

1.図

問3・1(a)の

よ う に,直

る 二 次 元 配 置(x,y座 V,凹

標)が

角 の 凸 形 導 体 が 直 角 の 凹 形 導 体 と向 か い あ っ て い あ る 。 距 離d=2cm,凸

形 の 導 体 は 接 地 の と き,図

形 の 導 体 は 電 位V=100

のP点(x=y=1cmの

点)の 電 位 を 簡 単 な 差

分 法 で 求 め な さ い。   (注)図(b)の 点(た

よ う に1cmの

正 方 形 の 格 子 に 分 割 し,境

と え ば,x=5cm,y=1cm)の

電 位 を50Vと

界 条 件 と して,離

す る 。 な お,配

れ た

置 はx,y

に 関 して対 称 で あ る 。

(b)

(a) 図 問3.1

2.前

問 題 で,二 次 元 配 置(x,y座

標)で

は な く回転 対 称 配 置(r,z座

標)の

合 の 差 分 式 を作 り,二 次 元 配 置 との違 い を考 え な さ い 。

場

3.ま

た,回 転 対 称 配 置 の場 合,境 界 条 件 が ど う な る か 考 え な さ い 。

4.本

文 図3・2の

よ う な分 割 間 隔 が 一 定 で な い場 合 の 差 分 式 を導 出 しな さ い。

第4章  有 限要素法

  有 限 要 素 法(finite element

method)も

差 分 法 と 同 じ く領 域 を 分 割 す る 方 法 で

あ る。 しか し差 分 法 は 近接 点(格 子 点)の 電 位 の 関 係 式(一 次 結 合)を

も と に した

方 法 で あ る の に対 し,有 限 要 素 法 は領 域 の 小 部 分 の 特 性 をベ ー ス とす る 。 分 割 し た小 部分 が 「有 限 要 素 」 で,二 次 元,回 小 体 積 で あ る。 有 限 要 素 法 は,こ

転 対 称 場 で は小 面 積,一

般三次 元場 では

の部 分 の 電 位 を簡 単 な関 数 で近 似 す る の が 基 本

で あ る。 た だ し求 め る値 は 各 要 素 の頂 点(節 点)の 電 位 で あ る。   有 限 要 素 法 は1943年

のCourantの

提 唱 が 最 初 と さ れ て い る[4.1]。 大 型計 算機

の 発 達 に つ れ て 実 用 の 数 値 解析 の 手 法 と して利 用 され る よ う に な っ た の は,1950 年 以 後 の こ とで す で に半 世 紀 以 上 も前 で あ る 。 そ の 後 の 発 展 は き わ め て 目覚 し く,機 械,建

築,土 木 な どの 分 野 で構 造 解 析 の 手段 と し て研 究 手 法 の 主 流 と な っ

て い る ほ か,近 年 は ほ とん どあ ら ゆ る 分 野 の 数 値 解 析 手 法 と して 利 用 さ れ る に至 っている。   電 界 計 算 へ の 利 用 は1968年

のZienkiewiczの

論 文[4.2]が最 初 で あ る が,当

時

は 同 じ領 域 分 割 法 で あ る差 分 法 が もっ ぱ ら使 用 され,有 限 要 素 法 は ほ と ん ど用 い られ な か っ た 。 電 界 計 算 の 対 象 が よ り複 雑 に な る に 従 っ て 差 分 法 よ りも有 限 要 素 法 を 利 用 す る例 が 増 え た。 本 章 で は 計 算 法 の 基 礎 と と くに 差 分 法 と比 較 した 長 所,短 所 を 中 心 に 説 明 す る 。

4.1 

計 算 法 の 基 礎

  有 限 要 素 法 に 関 す る 一 般 的 な解 説 は す で に多 くの 本 が あ る(た

と え ば,文 献

[4.3])。 また 具 体 的 な プ ロ グ ラ ム 例 も公 開 さ れ て い る。 以 前 は最 初 に応 用 が 進 ん だ構 造 解 析 分 野 の応 力 と ひず み に 関 す る解 説 が 多 か っ た が,こ

こで は電 界 計 算 の

基 本 に話 を限 る。   先 に述 べ た よ うに,有 で は 電 位)を

限要 素 法 は領 域 の小 部 分(有

限 要 素)の 特 性(電 界 計 算

座 標 の 簡 単 な 関 数 で 近 似 す る。 た とえ ば座 標 の 一 次 式 で あ る とす

る。 こ の よ うに 近 似 して も よ い ほ ど領 域 を細 か く分 割 す る とい い換 え て も よ い。 要 素 内 の 電 位,電

界 は こ の近 似 に よ っ て,要 素 周 辺 の 適 当 な点 の 電 位,た

要 素 の 形 が 三 角 形 な ら3頂 点(通 常 「節 点 」 とい う)の 電 位(ま

とえ ば

だ 未 知 の値 で あ

る)と 座 標 の 関 数 と して表 す こ とが で きる 。 この よ うな 手 続 き に よ って,結 域 全 体 の 電 位 を 節 点 の電 位 で 形 式 的 に 表現 で き る の で,そ

局領

の結 果 領 域 全 体 の ポ テ

ン シ ャル エ ネ ル ギ ー も節 点 の 電 位 に よ っ て 与 え ら れ る こ と に な る。 そ こ で こ の ポ テ ン シ ャ ルエ ネ ル ギ ーが 最小 に な る よ うに 各 点 の電 位 を定 め る の が こ の方 法 の 原 理 で あ る。 有 限 要 素 法 で も結 局 は各 点(節 点)の 電 位 の 関 係 式 に な るが,そ

の もと

に な って い る 考 えが 差 分 法 と全 く違 っ て い る こ とが 理 解 さ れ るで あ ろ う。 以 下 で は まず こ の取 扱 い を式 で 追 っ てみ る。   ラ プ ラ ス の 式 が ポ テ ン シ ャ ルエ ネ ル ギ ー 最 小 の 原 理 と等 しい こ とは,よ

り一 般

に次 の オ イ ラ ー の 理 論 か ら導 か れ る[4.4][4.5]。 す な わ ち あ る領 域 内 で,未 知 関 数 φ(x,y,z)が 微 分 方 程 式,

(4・1)

を満 足 す る こ と と,次 の 積 分 (4・2)

を最 小 に す る こ と と は全 く等 価 で あ る。 誘 電 率 εを含 め た場 の 方 程 式,

(4・3)

を(4・1)式

と 比 較 す る と,

二 次 元場 で は

(4・4)

 回転対称場 では (4・5)

で あ る こ とが 容 易 に 分 か る。 す なわ ち(4・3)式 は,   二 次 元場 で は (4・6)

回転対称場 では (4・7)

を 最小 にす る こ と と等 価 で あ る。 こ こ ま で 来 れ ば す ぐ分 か る よ う にXは

領域 の

ポ テ ン シ ャ ル エ ネ ル ギ ー で あ る か ら,「 ポ テ ン シ ャ ル エ ネ ル ギ ー が 最 小 に な る よ うに電 位 分 布 を定 め れ ば,こ

れ が 求 め る静 電 界 で あ る」 とい え る。 具 体 的 な計 算

手 順 は 次 の とお りで あ る 。

4.2  具体 的 な計 算 手 順   二 次 元 場 を例 に と る と,図4・1の 素 内 の電 位 φ を座 標x,yの

よ う に領 域 を三 角 形 で 分 割 し,各 三 角 形 要

一 次 式 と して 次 の よ う に近 似 す る。 (4・8)

電 界 のx方

向,y方

向 成 分 は そ れ ぞ れ-∂ φ/∂x,-∂ φ/∂yであ る か ら,(4・8)式

は,「 要 素 内 で 電 界 が 一 定 で あ る 」 と見 な せ る ほ ど各 要 素 が 十 分 小 さい と仮 定 し て い る こ と と 同 じで あ る 。 係 数 α1∼ α3は三 角 形 要 素 の3頂 座 標 と電 位 φi,φj,φm(こ

点(節 点)i,j,mの

れ らは 未 知 数 で あ る)と か ら次 式 で 与 え られ る。

図4.1  有 限 要素 法 の 領域 分 割

(4・9)

こ の 式 か らα1∼α3を

こ こ で,Δ

求 め て(4・8)式

は 三 角 形ijmの

面 積 で,ま

に 代 入 す る と,

た

を 順 に 変 え れ ば よ い) 

(4・10)

で あ る。 行 列 表 示 で は,

(4・11)

こ こ で,

  領 域 の す べ て の 要 素 の 電 位 φ を(4・11)式

に 従 っ て 各 節 点 電 位(一

す る)で 表 わ す と,ポ テ ン シ ャ ル エ ネ ル ギ ーXもφiの

般 にφiと

関 数 で あ る。 した が っ て

Xが 最 小 に な る よ う に φiを定 め れ ば,こ

の値 は(4・8)式 の 仮 定 の も と に得 られ

た 近 似 値 で あ り,要 素 分 割 を細 か くす れ ば得 られ た 値 が 真 の 空 間電 位 に 近 づ くこ とが 期 待 で き る。Xを

最 小 にす る に は 節 点 電 位 φiを変 数 パ ラ メ ー タ と考 え,各

φiに対 す る 微 分 を0と す る。   す な わ ち,要 素1の

ポ テ ンシ ャ ル エ ネ ルギ ーXeは(4・6)式

から (4・12)

した が っ て,系 全 体 の ポ テ ン シ ャ ル エ ネ ル ギ ーXは, (領 域 内 の す べ て の 要 素 の和)   

Xを む)6個

φiに関 して微 分 して0と お く と,図4・1の

(4・13) よ う にi節 点 に 関 係 す る(囲

の 要 素 だ け が 残 る。 (4・14)

4.3 

電 位 の 方 程 式 と電 界

  (4・12)式 で分 か る よ うに,各 要 素 の ポ テ ン シ ャル エ ネ ル ギ ー は節 点 電 位 φiの 二 次 式 で あ る 。 そ こ で φiで微 分 す る と節 点 電位(未 知 数)に 関す る 一 次 式 が 導 か れ る。 す べ て の 節 点 電 位 に対 して(4・14)式

を作 る こ とに よ り,未 知 数 と同 じ数

の 多 元 連 立 一 次 方 程 式 が作 られ る。 す な わ ち 境 界 条 件 と して電 極 上 に と っ た節 点 電位 φb=Viを 用 い て,差 分 式 の(3・17)式 と同 様 な 電 位 の 方 程 式(支 配 方 程 式)

(4・15)

を解 く問 題 に な る。 左 辺 の係 数Pijはi節

点 を と り囲 む 数 個 を除 い て ほ とん ど0

で あ り,係 数 は 差 分 法 と同様 に 疎 行 列 で あ る 。  電 界 は 各 要 素 内 で 一 定 で,(4・8)式

か ら次 式 で 与 え られ る。 (4・16)

4.4 

回転 対 称 場 の 場 合

  回 転 対 称 場 の 計 算 手 順 も,二 次 元 場 と ほ と ん ど同 様 で あ る。(4・8)式 12)式 まで はx→r,y→zと

した 式 が そ の ま ま使 え る。 しか し ポ テ ン シ ャ ル エ ネ

ル ギ ー を求 め る とこ ろ で(4・6)式 エ ネ ル ギ ー 密 度Wを

よ り(4・

と(4・7)式 の 差 が 現 れ る 。 こ れ は 二 次 元場 で は

面 積 積 分 す る の に対 し,回 転 対 称 場 で は体 積 積 分 に な る た

め と考 え て よ い 。Wは

座 標 に対 し て 無 関係 な の で,Δ

を三 角 形ijmの

面 積 とす

る と, 二 次 元 場; 

(4・17)

回転対 称場; 

(4・18)

の 関 係 か ら,回 転 対 称 場 で 要 素1の

ポ テ ン シ ャ ル エ ネ ル ギ ーX1は(4・12)式

の

代 わ りに 次 式 と な る。

(4・19)

こ こ でbi∼bm,ci∼cmは(4・10)式

でx→r,y→zと

  空 間 電 荷 も 含 め た よ り一 般 化 し た 取 扱 い は 第17章

して 与 え られ る 。 に 述 べ る。

4.5  重 み つ き残 差 法   有 限要 素 法 の 前 節 まで の 説 明 は 変 分 原 理(最 小 エ ネ ル ギ ー 原 理)を い る。 こ れ に 対 して,一 般 の 数 値 計 算 法 と して は,有

も とに して

限要 素 法 を重 み つ き残 差 法

と して 説 明 す る ほ う が 普 通 で あ る。 こ の 方 法 は,領 域R内

で 成 立 す る偏 微 分 方

程 式 の解 を線 形 独 立 な 関 数 群 φkの 一 次 結 合 で 近 似 して,そ

の 誤 差e(「 残 差 」 と

い う)を 重 み を付 して 領 域 内 で 最 小 に,あ る い は平 均 的 に0に す る も の で あ る 。 す な わ ち,一 般 的 に領 域 内 で 成 り立 つ 方 程 式 を, (4・20)

と し(φ0は 厳 密 解),近

似 解 φ を有 限 個(n個)の

φkの 一 次 結 合 で 表 す 。 (4・21)

Ckは

未 知 の 係 数 で あ る 。 一 般 に,D(φ)≠qで,残

差 はe=D(φ)−qで

あ る が,

重 み 関 数 ψiを 使 用 し て, (4・22)

で あ る よ うに 未 知 係 数 を決 定 す る。 す な わ ち,線 形独 立 の 適 当 な重 み 関 数 群 を用 い る こ とに よ っ て,未 知 係 数Ckを 素dυ は二 次 元 場 で あ れ ばdxdyで

与 え るn個

の 式 が 得 られ る 。 こ の式 の 体 積 要

あ る。

  重 み 関 数 の 選 び 方 に よ っ て,選 点 法,最

小 二 乗 法,モ ー メ ン ト法,な

どの 方 法

に な る が,近 似 関 数 と 同 じ φiを用 い る の が 「ガ ラ ー キ ン(Galerkin)法

」 であ

る 。 電 界 計 算 の 場 合 に は,領 域 の 方 程 式 は ラ プ ラ ス の 式 あ るい は ポ ア ソ ン の 式 で,各 三 角 形 要 素 の 近 似 解 φは(4・11)式 で 与 え られ る。 係 数Niは とい うが,ガ

「補 間 関 数 」

ラ ー キ ン法 で は 重 み 関 数 と して 補 間 関 数 を用 い る。 す な わ ち,領 域

全 体 の 電 位(す べ て の 要 素 の 電位 の 和)に

つ い て(4・22)式 を, (4・23)

あ る い は, (4・24)

とす る こ と に よ っ て,Ckを

4.6 

与 え る一 次 方 程 式 が 形 成 され る。

簡 単 な 例

  4.4節 ま で に述 べ た よ うに 有 限 要 素 法 で は差 分 法 に比 べ て 節 点 電 位 φi(差 分 法 で は 格 子 点 電 位)の 連 立 方程 式 を作 る過 程 が 非 常 に複 雑 で あ る。初 め て有 限 要 素 法 に接 す る と途 中 で何 が何 だか 分 か ら な くな る の が 普 通 で あ る 。 そ こ で この プ ロ セ ス に 慣 れ る た め に図4・2の

よ うな 二 次 元 の 規 則 的 な(regular)要 素 分 割 の 場 合 の

図4.2  規 則 的 に分 割 した ときの 有 限要 素 法 (二次元 場 また は 回転 対称 場)

電 位 方 程 式 を求 め て み る。 こ れ は 差 分 法 の 長 方 形 格 子 に よ る 分 割 に 相 当 す るが, 有 限 要 素 法 で は 三 角 形 が 分 割 単 位 で あ る。 また 誘 電 率 εは領 域 内 で 一 定 とす る。  i番 目の 節 点 φiを含 む 要 素 の ポ テ ン シ ャ ルエ ネ ル ギ ー は 次 の(4・12)式,

で 与 え られ る か ら, (4・25)

こ こ で(4・10)式

で あ る か ら,要

に 示 し た よ う に,

素1で

は

〓し た が っ て, (4・26)

同 様 に 要 素2で

は,(4・25)式

でj→m,m→nと

した 式 に な り,

(4・27)

要 素3は

い く ら か 相 違 し て,(4・25)式

でj→n,m→pと

す る と,

(4・28)

要 素4∼6に

つ い て も 同 様 に ∂Xe/∂φiを作 る。 領 域 内 の 全 要 素 の う ちφiに 関 係

す る の は1∼6の

要 素 だ け で あ る か ら,結 局

(4・29)

こ の 式 を0と

お く と,

(4・30)

  (4・30)式 は 実 は 間 隔 が そ れ ぞ れhx,hyの

長 方 形 格 子 で 分 割 して,φiを 上 下 左

右 の 格 子 点 電 位 か ら与 え る差 分 式 と全 く同 じで あ る。 実 際 にhx=hy(正 子)な

方形 格

ら(4・30)式 は 差 分 法 の(3・5)式 と全 く同 じ, (4・31)

に な る。   規 則 的 に分 割 した 場 合 の有 限 要 素 法 が 差 分 法 と全 く同 じ電 位 方 程 式 を 与 え る こ と は 回 転 対 称 場 で も 同 じで あ る。 図4・2が

回 転 対 称 場 の 場 合 ,x→r,y→zと

す る と(4・19)式,(4・26)式

は次 式 とな る 。

か ら,要 素1で

(4・32)

こ こ でr0はi節

点 のr座

標 で あ る 。 同 様 に 要 素2,3に

つ いては

(4・33)

(4・34)

要 素4∼6に

つ い て も〓を作ると，〓

か ら,次 式 が

得 られ る 。

(4・35)

こ の 式 が 差 分 法 の(3・15)式,(3・16)式

でh1=h4=hz,h2=h3=hrと

した 式 と

全 く同 じ な こ とは 容 易 に確 か め る こ とが で き る。

4.7  精 度 向上 の 方法―

高次 式 の利 用

  こ れ ま で に述 べ た 有 限要 素 法 は 要 素 内 の 電 位 を座 標 の 一 次 式 で 近 似 して い る。 こ れ は 要 素 内 で は 電 界 が(4・16)式 の よ う に 一 定 とい う こ とで あ る。 こ れ に対 し て 二 次 以 上 の 式 を用 い れ ば 同 じ分 割 で も精 度 が 向 上 す る 。 特 に重 要 な の は 次 の 二 つ である。 (1)  6節 点 要 素  中(通 常 は 中 点)に

図4・3の

よ う に,三 角 形 要 素 の3頂 点 の ほ か に各 辺 の 途

も節 点 を取 り6節 点 とす る。 こ の よ うな 要 素 で は,6個

の係

数 を用 い て φ を 完 全 二 次 多 項 式 で 与 え る こ とが で きる 。 (4・36)

したが っ て 電 界 は (4・37) (4・38)

の よ う にx,yの

一 次 式 と な り,図4・3を

さ ら に4個

の 三 角 形 に 分 割 し た3節

点 要 素 の場 合 よ り精 度 が 良 い 。 回転 対 称 場 で も同 じで あ る 。   (4・36)式 の 係 数 α1∼ α6は,i∼nの6個

の 節 点 の座 標 と電 位 か ら (4・39)

等 に よ っ て 与 え られ,要 素 内 の φ は(4・10)式

と同 様 に6節

点 の 電 位 φi∼φnの

一 次 式 と な る。 こ こ で節 点 だ け で な く各 要 素 間 の す べ て の境 界 で,3節 場 合 と 同様 に φの 連 続 性 が 成 り立 っ て い る こ と に注 意 さ れ た い。

点要素 の

図4.3  6節 点 を有 す る三 角 形 要素

図4.4  四 辺 形 要素

  φが 節 点 電 位 の 一 次 式 と して 表 わ され れ ば,そ の あ との 計 算 手 順 は単 純 な 三 角 形 要 素 の場 合 と同 じで あ る。 た だ し,α1∼ α6の 計 算,ポ

テ ンシャルエ ネルギー

の積 分 計 算 な どは は る か に 面 倒 な式 に な る 。 普 通 は 三 角 形 の辺 の 中点 に節 点 を置 くが,こ の 座 標 の 計 算 等 は す べ て計 算 機 に 行 わ せ る 。 (2)  四 辺 形 要 素 

対 象 とす る領 域 を 三 角 形 で は な く縦 横 の格 子 で 分 割 す る と

分 割 要 素 は 四 辺 形 に な る。 図4・4の

よ うな4節

点 の 要 素 で は,電 位 を4個 の 係

数 を 有 す る式 で 与 え る こ とが で き る。 (4・40)

この と き,電 界 は 座 標 の 一 次 式 と な る。 (4・41)

そ れ ぞ れ の 四辺 形 を対 角 線 で2分 割 す れ ば 三 角 形 要 素 に な る が,同

じ節 点 数 で も

三 角 形 要 素 の 場 合 よ り四 辺 形 の ほ うが 精 度 が よ い 。 こ れ は 要 素 内 の 電 界 が(4・ 41)式 の よ う に座 標 の 一 次 式 と して 表 され る た め で あ る。

第4章  演習問題 1.有

限 要 素 法 の 電 界 の 式(4・16)が,図

問4・1の

よ うな 三 角 形 の 場 合,電 位 差

÷距 離 で あ る こ とを説 明 しな さい 。

図 問4.1

2.4.7節

に 説 明 した よ う に,二 次 元 配 置(x,y座

標)の 有 限 要 素 法 で 要 素 の 形

状 を三 角 形 で な く四辺 形 にす る と,電 位 φ は, (a,b,c,dは

定 数) 

(問4・1)

と表 わ す こ とが で き る。 こ の と きの 電 位 を求 め る手 順 を考 え な さ い 。 た だ し, 四 辺 形 の 頂 点 の 電 位 と座 標 を,そ れ ぞ れ φi(xi,yi)(i=1−4)と (問4・1)式

す る。 ま た,

か ら要 素 内 の 電 界 が ど う な る か,そ の 式 を書 きな さ い(電 界 の 式

に はa,b,c,dを

そ の ま ま使 っ て よい)。

第5章  表面電荷法

  差 分 法,有

限 要 素 法 は領 域 の 電 位 の 関係 式 を作 っ て 各 点 の 電 位 を求 め る方 法 で

あ るの に比 べ て,電 界(静 電 界)を 形 成 す る電 荷 を対 象 とす る(求 め る)の が 表 面 電 荷 法(surface

charge method。

また はsuface charge simulation method,な

ど とい う こ と も あ る。)で あ る。 関 係 す る 領 域 内 の す べ て の 電 荷 の 大 き さ(量) と位 置 が 決 まれ ば,ク ー ロ ン の 式 か ら どの 点 の 電 位,電

界 も与 え る こ とが で き

る。 表 面 電 荷 法 は,ま た よ り一 般 的 な 方 法 で あ る境 界 要 素 法 の 一 部 と見 な さ れ る こ と もあ るが,境 界 要 素 法 は第8章

で説明す る。

  表 面 電 荷 法 を は じめ て 用 い た の は 電 磁 界 方 程 式 で 有 名 な マ ク ス ウ ェ ル(J.C. Maxwell)で

あ る 。彼 は キ ャ ベ ンデ ィ シ ュ の 実 験 結 果 を検 証 す る た め に,空 間 に

孤 立 す る正 方 形 導 体 を6×6の

小 正 方形 に分 け て そ の 静 電 容 量 を 求 め た[5.1]。も ち

ろ ん 計 算 機 の な い 時 代 な の で筆 算 で あ る。 こ の よ う に 表 面 電荷 法 の 原 理 は古 くか ら 自明 で あ っ た が,電 界 計 算 の 手 法 と して 本格 的 に用 い られ る よ う に な っ た の は や は り計 算 機 が 使 え る よ う に な っ て か ら で あ る。1950年 Reitanら が 小 区分 法(methods を求 め,70年

of subareas)の

代 中 ご ろ に か け て,マ

代 後 半 に,ま ずD.K.

名 称 で,長 方 形 導 体 の 静 電 容 量

イ ク ロ 波 の 分 野 でmicrostripの

算 の 論 文 が 多 数 報 告 さ れ た 。IEM(integral れ て い る。 一 方,航 空 工 学 の 分 野 で は1960年

equation method)の

静電 容量計 名 称 も用 い ら

代 初 め こ ろ ま で に,表 面 電荷 法 に

相 当す る方 法 が 流 体 解析 に適 用 され,多 大 な 計算 が 行 わ れ て い る[5.2]。 な か で も, 1960年 代 にR.F.Harringtonは

一 般 的 な 場 の解 法 と して モ ー メ ン ト法(method

of moments)な

る 名 称 の 方 法[5.3]を 提 案 し,こ

し た 場 合 をequivalent

source

の 方 法 を特 に 静 電 界 計 算 に 適 用

method[5.4][5.5]と 名 付 け た 。70年

代 に入 る と表面

電 荷 法 を 実 際 に 使 用 す る 際 の 問 題 点 や 計 算 速 度 が 検 討 さ れ て い る[5.6]。   数 値 電 界 計 算 法 の 中 で,表

面 電 荷 法 は 最 近 に な っ て 計 算 機 の 大 容 量 化,高

速化

に 伴 っ て と く に 三 次 元 配 置 の 計 算 法 と し て め ざ ま し く発 達 し た 。 そ の 中 で も 曲 面 形 状 表 面 電 荷 法 に つ い て は ま と め て 第9章

5.1 

で 説 明 す る。

計 算 法 の 基 本

  静 電 界 の場 で は 電 極(導

体)の

電荷 はす べ て表 面 に存 在 す る 。 表 面 の微 小 面 積

Δ Sに お け る表 面 電 荷 密 度 を σ とす る と,こ の 電 荷(密 度)に よ る空 間 の 電 位 は, (5・1)

で あ る。 こ こ でlは

空 間 の 被 作 用 点(電 位 点)と 作 用 源,す

な わ ち表 面 電 荷

(σΔS)と の距 離 で あ る。 す べ て の 電荷 の 作 用 を考 え る と,空 間 のi点 の 電 位 は, (5・2)

とな る が,表 面 を 電 荷 密 度 一 定 と見 なせ る小 区 分(要 素)ΔSjに

分 けて積分 の式

を有 限個 の加 算 式 とす る と,

(5.3) こ の よ う に して,i点

の 電 位 と 各 表 面 要 素 の 電 荷Qj(=σjΔSj)と

きる。lijはi点 とQjと

の距 離 で あ る。

  電 極 表 面 で は電 位 は 通 常 一 定 の 値(電 辺 はViと

の 関係 式が で

な る 。 し た が っ て,分

極 電 圧Vi)が

与 え られ て い る の で,左

割 要 素 の 数 と同 じ だ け のViの 点 を取 れ ば 未 知 数

Qiが 求 め られ る こ と に な る。 こ の 点 か ら表 面 電 荷 法 を積 分 方 程 式 法 あ る い は 積 分 方 程 式 法 の1種

とい う こ と も あ る。 境 界 条 件 を与 え る 点(輪 郭 点)は そ れ ぞ れ の

要 素 上 に 適 当 な1点

を取 る こ とが 多 い。 こ れ を選 点 法(あ

る い は ポ イ ン トマ ッチ

ン グ;point

matching)と

い うが,こ

の 方 法 は モ ー メ ン ト法 にお い て 各 点 で デ ィ

ラ ッ クの δ関 数 を作 用 させ る こ と と 同 じで あ る。 た だ し,電 荷 密 度 は各 要 素 内 で 一 定 で は な く座 標 の 関数 と して 変 化 さ せ る こ とが 多 い

。 こ の と き は,σ の作 用 は

(5・1)式 の よ う に 簡 単 で は な く,各 要 素 で 積 分 した 電 位 と しな け れ ば い け な い。

5.2 

平 面 要 素 と 曲 面 要 素

  以 上 の よ う に表 面 電 荷 法 の 原 理 は い か に も単 純 で あ る が,実 際 の 数値 計 算 は 簡 単 で な い 。 多 種 多 様 な手 法 が あ る が,根 本 的 な 相 違 点 は 表 面 の 分 割 要 素 が 平 面 か 曲面 か で あ る 。 平 面 で あ る と,電 荷 密 度 が 一 定 あ る い は座 標 の 簡 単 な 関 数 で あ る 場 合,そ

の 電 位 や 電 界 は 具 体 的 な解 析 式 で 表 せ るの で,(5・3)式

のQiの

係数 を

直 接(数 値 積 分 な し に)式 で 与 え る こ とが で きる。 しか し,曲 面 の 電 極 形 状 は多 面 体 で 模 擬(近 似)し

なければい けない。

  分 割 要 素 が 平 面 三 角 形 で あ る 方 法 を,筆 者 らは 「三 角 形 表 面 電 荷 法 」 と呼 ん で い るが,三 角 形 表 面 電 荷 法 は対 称 性 の な い(あ

る い は対 称 性 を考 慮 しな い)一 般

三 次 元 配 置 の 計 算 に 適 して い る 方 法 な の で,15.5節 座 標 の 一 次 式 で あ る場 合 の 電 位,電

で 説 明 す る。 三 角 形 電 荷 が

界 の具 体 的 な式 もそ こで 説 明 す る 。

  一 方,曲 面 の表 面 要 素 を用 い る 場 合 は,形 状 の 模 擬 精 度 は 平 面 要 素 の 多 面 体 よ り改 善 され るが 次 の 問題 が あ る。   (a)  電荷 の 作 用(電 位,電

界)を

陽 に式 で 表 せ ず,数 値 積 分 が 必 要 で あ る 。

  (b)  そ の 結 果,電 極 表 面 で 電 位 を 与 え る 点,す

な わ ちlijが0と

な る点が特

異 点 と な り,そ の点 で の 積 分 が 面 倒 に な る 。   (c)  曲 面 要 素 の 形 状 は 通 常 座 標 の 簡 単 な 関 数 で 与 え る こ とが 多 いが,実 電 極 形 状 との 整 合 性,要   (d)

際の

素 間境 界 で の 接 続 条件 が 問 題 に な る。

境 界 条件 の 与 え方 も選 点 法 で な く,要 素 全 体 で の 積 分 で 与 え る な どの バ リエ ー シ ョ ンが 可 能 で あ る。

  (e)

表 面 の電 荷 密 度 を一 定 で な く,座 標 の 関数,と

くに多 項 式 とす る こ とが

多 い 。 高 次 の式 を用 い る ほ ど 同 じ分 割 で は精 度 が 向 上 す るが,そ

の代 わ り

計 算 は複 雑 に な る。 た だ し,電 荷 と被 作 用 点(電 位 点)が 充 分 離 れ て い る と き,す な わ ちlijが 充 分 大 き い場 合 は 電 荷 を 点 電 荷 と見 な して 簡 略 化 す る こ と もあ る。  二 次 元 場,回 して,二

5.3 

転 対 称 場 で は分 割 要 素 は ど ち ら も断 面 の線 分 で あ る。 以 下 に 例 と

次 元 配 置,回

転 対 称 配 置 の 計 算 を説 明す る 。

二 次 元 場 の 計 算

  二 次 元 場 の 分 割 は 実 際 には 無 限 に長 い帯 状 の 要 素 に な る。 この と き各 要 素 の 電 荷 密 度 を一 定 で な く,座 標tの 多 項 式 で 表 す と と もに 隣 接 要 素 間 で 連 続 とす る こ とが しば し ば行 わ れ る。 図5・1(a)の

よ うに 電 極 表 面 の 断 面 の 線 分 をtで 表 し,

t1とt2の 間 をj番 目の 要 素 とす る と,j要 素 の 電 荷 密 度 σ(j)の 生 ず る 電位ujは, 次 章 で 説 明 す る電 荷 重 畳 法 の 電 位 の 式(付 録1)を

使 用 して 次 式 の よ うに 与 え ら

れ る 。 二 次 元 場 で は無 限長 線 電荷 の 式 で あ る。 (5・4)

こ の式 は 大 地(接

地 平 面)が

 電 極 全 体 のn要

素 の作 用 に よ っ て,i点

(a)二

あ る と きで,そ

の 影像 電 荷 の作 用 も含 ん で い る 。

の 電 位 φiは次 式 で 与 え られ る 。

次元 場 図5.1  表面 電 荷法 の 説 明 図

(b)回

転対 称 場

図5.2  二 次 元場 の 直線 的 な表面 形 状

(5・5)

二 次 元 場 の 電 位 の 式(5・5)式

は,分 割 要 素 が 図5・2の

あ れ ば 積 分 を 陽 に 表 せ る。 こ の 場 合,要

よ う に(断 面 で)直

素 内 の 位 置X,Yは

線で

中 点 の 座 標 をX0,

Y0と して, (5・6)

で あ るか ら

(5・7)

この 式 は σ(j)が 定 数 で あ る と,次 の不 定 積 分 を用 い て解 析 的 に表 せ る。

(5・8)

σ(j)がtの

一 次 式 の 場 合 で も,相 当複 雑 に な る が不 定 積 分 が 可 能 で あ る。 もち

ろ ん 電 界 も数 値 積 分 な しに求 め られ る。

5.4 

回 転 対 称 場 の 計 算

  回転 対 称 場 の 分 割 は 断 面 で 線 分 で も実 際 は筒 形 の 要 素 に な る。 配 置 が(r,z) 座 標 で 与 え ら れ,回 転 対 称 で あ る こ と を考 慮 す る と,図5・1(b)の

場 合,j要

素

の 電 荷 密 度 σ(j)の 生 じる 電 位ujは 次 式 の よ う に与 え ら れ る。

(5・9)

こ の式 は 次 章 の電 荷 重 畳 法 で使 用 され る リ ング 電 荷 の 式 で ,大 地 に対 す る影 像 電 荷 の作 用 も含 ん で い る 。K(k)は

第1種 の 完 全 だ 円 積 分 で, (5・10)

で あ る。 リ ン グ電 荷 の式 な ら び に完 全 だ 円 積 分 に つ い て は6・2節

で説 明 す る。

  電 位 の 式(5・9)式 は常 に 数 値 積 分 が 必 要 で あ る。 数 値 積 分 の 方 法 は 台 形 公 式, シ ン プ ソ ンの 公 式 を用 い る 方 法,ロ

ンベ ル ク積 分 ,ガ

ウ ス積 分 な どあ るが,い

ず

れ も非 常 に多 数 回 の 計 算 が 必 要 なの で数 値 積 分 を な る べ く高 速 で行 う工 夫 が 望 ま しい 。 一 般 に 電極 表 面 の(断 面)形

状 は,直 線 か 円 弧 で あ る こ とが 多 い が,線

分

tを 三 角 関 数 を含 む 式 で 表 す と計 算 時 間 が 長 くな るの で,各 区 分 を 次 の よ う に放 物 線 で 近 似 して一 方 の座 標 につ い て積 分 す る ほ うが 良 い 。 (5・11)

と 表 す と,(5・9)式

は

(5・12)

こ こ でk1,k2は(5・10)式 内 で 一 定 で な い と き は,や 換 え る。

でZを(5・11)式 は りRの

と し た 値 で あ る 。 ま た σ(j)が

一 次 式 と し て(5・9)式

をt→Rと

区分

して書 き

  (5・11)式 の 係 数A,B,Cは

各 区 分 の 端 点 と通 常 は 区 分 の 中 間 に と っ た 輪 郭

点 の 座 標 か ら求 め ら れ る。 区 分 の 形 状 がz軸

に 平 行 に 近 い(縦

の)場 合 に は,

(5・11)式 で な く, (5・13)

の 式 を 用 い,(5・9)式

をZに

関 す る積 分 とす る ほ うが 良 い 。 筆 者 ら は 区 分 が 座

標 軸 と な す 角 が45° よ り大 か 小 か で,(5・11)式 Zに

関 す る 積 分 の と き は σ(j)もZの

5.5  電荷(あ

式 と電 界

る い は 二 次 元 場 の(5・4)式,回

う に,各 要 素 の 電 荷Qjの

を 使 い分 け て い る 。

一 次 式 にす る 。

るい は電荷 密度)の

  5.1節 の(5・3)式,あ

と(5・13)式

転 対 称 場 の(5・9)式 の よ

生 じ る電 位 を電 極 表 面 の 適 当 な 個 所(輪

郭 点i)で

計

算 す る。 σ(j)が 一 定 の と きの 具 体 的 な手 順 は 以 下 の よ う に な る。   (a)  電 極 表 面 を適 当 に 小 区 分(n要

素)に 分 割 す る。

  (b)  各 要 素 上 の適 当 な 点 を輪 郭 点 に と り,全 要 素 の 表 面 電 荷 が 輪 郭 点 に生 じ る電 位 を,(5・4)式

ま た は(5・9)式 に よ り計 算 す る。 これ が σ(j)とi番

目 の輪 郭 点 の 間 の電 位 係 数P(i,j)で   (c)  各 輪 郭 点 でφi=V1∼Vn(電 連 立 一 次 方 程 式(支

あ る。

極 電 圧)と

置 い てσjあ る い はQjに

対す る

配 方 程 式),

(5・14)

が 形 成 さ れ る 。(5・14)式

で は 簡 単 の た め にP(i,j)をPij,σ(j)をσjと

書いて いる。 (d) 

(5・14)式

(e) 

得 ら れ た σ(j)を 用 い て 必 要 な 点 の 電 位,電 (5・4)式

を 解 い て σ(j)を 求 め る 。

ま た は(5・9)式

である。

界 を 計 算 す る。 電 位 の 式 は

  電 界 は得 られ た 各 表 面 電 荷 に よ る 電 界 の 作 用 を積 分 あ る い は加 算 して 求 め られ る 。 本 来 の式 は,電 位 の(5・2)式 に 対 応 した 次式 で あ る。 (5・15)

電 荷 か ら 充 分 遠 方 で は 電 位 の(5・3)式

と 同 様 に,各 電 荷 σjΔSjを点 電 荷 と 考 え

て,そ の 作 用 を 放 射 状 の 電 界σjΔSj/(4πε0lij2)と す る こ と も あ る が,さ

もなけ れ

ば電 位 と同 様 に各 電 荷 の 作 用 を積 分 す る こ とに な る。 もち ろ ん電 位 と違 っ て 方 向 (成 分)も 考 慮 しな け れ ば い け な い。   図5・3(a)に

示 す よ う な 電 極 表 面 上 で は,電 界E(の

大 き さE)と

電荷 密 度 σ

に は次 の 関係 が あ る。 (5・16)

し た が っ て 通 常 の 電 極 で は,未

知 数 を求 め る だ け で 電 極 上 の 電 界 が 得 られ る こ と

に な る 。 こ れ は 表 面 電 荷 法 の 長 所 の 一 つ で あ る 。 し か し 図5・3(b)の の な い(厚

み を 考 え な い 薄 板 の)電

両 面 の 電 荷 σ1,σ2と

極 で は こ の 関係 が 成 立 しな い 。 こ れ は 電 極 の

電 界E1,E2に

ら れ る の が σ=σ1+σ2だ

よ う に厚 み

σ1=ε0E1,σ2=ε0E2の

関 係 が あ っ て,求

け で あ る た め で あ る。

(a) 厚 み の あ る電極

(b) 厚 み の ない 電極

図5.3  電 極 表 面 の電 荷 密 度 と電 界

め

5.6 

5.6.1 

特 異 点 の 処 理

特 異 点 と積 分 の 種 類

  5.2節 に お い て,表 面 電 荷 法 は 基 本 的 に 分 割 要 素 が 平 面 か 曲面 か で 相 違 し,曲 面 要 素 で は電 荷 の 作 用 を数 値 積 分 で 与 え な けれ ば な ら な い こ とを 述 べ た 。 数 値 積 分 の 実 行 に あ た っ て 大 き な 障 害 と な る 問題 に,数 値 積 分 の 特 異 点 処 理 が あ る 。 た と え ば 点 電 荷,線

電 荷 か らの 距 離 をrと

す る と,r→0の

位 置 は特 異 点 で 電 位 ・

電界 は 無 限 大 とな り,有 限 け た しか 扱 え な い 数 値 計 算 で は正 解 が 得 られ な い 。 た とえrが0で

な く と もr≪1で

あ れ ば,精 度 の 点 で 各 種 の 困 難 が 発 生 す る。 表 面

電 荷 法 で は基 本 的 に 要 素 と して 面 電 荷 を取 り扱 う の で,一 種 の 角(か

ど)点 で あ

る面 端 部 で 接 線 方 向 電 界 成 分 が 無 限 大 とな る こ と を 除 く と,面 上 で も電 位 ・電 界 は有 限値 で あ る。 しか し,電 荷 の 「面 」 を 「線 の 積 分 」 や 「点 の 積 分 」 と して表 現(数 値 積 分)す

る と き に先 の 特 異 性 が 現 れ る 。 先 に述 べ た よ うHに,平 面 要 素 で

は必 要 な積 分 が 解 析 式 で 与 え られ る の で こ の 困 難 を 回避 で き るが,曲

面 要 素 の場

合 は一 般 的 に特 異 点 処 理 が 避 け られ な い 。   特 異 点 の処 理 に 関 して,ま ず 最 初 に積 分 の種 類 分 け を行 う。 電 位 ・電 界 の 計 算 点 と電 荷 と の 位 置 関 係 に よ り以 下 の3種

に 分 類 さ れ る。(a)計

(b)計

算 点 が 電 荷 上 で は な い が ご く近 傍,(c)そ

(a)特

異 積 分,(b)準

特 異積 分,(c)通

算 点 が 電 荷 上,

れ 以 外 。 これ ら を そ れ ぞ れ,

常 の 積 分,と

呼 ぶ 。 図5・4に

模 式的

な説 明 図 を示 す 。   (a)に

つ い て は,要 素 へ の接 近 方 向 に応 じて 各 方 向成 分 ご とに 値 が 異 な る 場

(a)特 異 積 分

(b)準

特 異積 分

(c)通 常 の積 分

図5.4  要素(曲 線)と 電 界 計 算点(黒 丸)と の位 置 関係

合 と 同一 値 と な る場 合 が あ り,そ れ ぞ れ の 値 も無 限 大 に な る 場 合 と有 限 値 に な る 場 合 とが あ る 。 例 え ば,(電

荷 の)面 上 電位 は接 近 方 向 に よ らず 同 一 の 有 限 値 と

な る。 面 端 部 の 電 界 は 接 近 方 向 に よ って 値 が 異 な り,外 向 き接 線 方 向 成 分 は無 限 大 で他 成 分 は 有 限値 と い う ケ ー ス で あ る 。 無 限 大 成 分 は 数 値 計 算 不 可 能 で あ り, 表 面 電 荷 法 と い う手 法 全 体 の 観 点 か ら 回避 策 を 考 え る必 要 が あ る。   5.5節 で 図5・3(b)に

関 して 述 べ た よ うに,面 要 素 表 裏 の 法 線 方 向 電 界 は,接

近 方 向 に よ っ て 異 な る2種 る。 こ こ でEnpは 界,±Ensは

類 の 有 限 値E1,E2(=Enp±Ens)を

持 つ ケース であ

特 異 点 を く り抜 い た と して 得 られ る特 異 点 位 置 の 法 線 方 向 電

法 線 方 向 電 界 の 特 異 点 寄 与 分 を意 味 す る。 単 独 に存 在 す る 平 面 要 素

電 荷 が 作 る 法 線 方 向 電 界 はEnp=0,Ens=σ/(2ε)で ≠0,Ens=σ/(2ε)と

あ る が,曲

面 要 素 で はEnp

な る 。 σは 要 素 の 考 えて い る 点 で の 電 荷 密 度 で あ る。 な お,

Enpは 一 意 な有 限 値 で あ り数値 積 分 に よ っ て値 を求 め る こ と が で き,コ ー シ ー の 主 値(積

分 の 有 限 部 分 の 一 種)と

呼 ば れ る。

  (c)  は一 般 的 な ガ ウ ス 積 分 公 式 を用 い て 高 速 か つ 高 精 度 に 積 分 値 が 求 め られ る場 合 で,そ ス型 のN点

れ が 困 難 な ケ ー ス が(b)に

あ た る 。(c)の

通 常 の 積 分 は,ガ ウ

積 分 公 式 の 分 点 をxi,重 み を ωiと す る と,次 式 で 積 分 を実 行 で き る 。 (5・17)

  た だ し,分 点 は[0-1]区

間 に 配 置 さ れ て い る と した 。 一 般 に,電 界 計 算 点 が

要素 よ り十 分 遠 方 に あ れ ばNの

小 さな低 精 度 の 公 式 で 目標 精 度 を 達 成 で きる が,

電 界 計 算 点 が 要 素 に接 近 す る につ れ てNの

大 きな高精 度の 公式 を使用 す るこ と

が必 要 に な る。 利 用 可 能 な最 高精 度 の 公 式 を用 い て も 目標 精 度 を達 成 で きな い場 合 は,要 素 を細 分 割 して 分 割 さ れ た 区分 ご と に積 分 公 式 を適 用 す る こ と も多 い。 しか し,計 算 点 の 要 素 へ の接 近 が 著 しい場 合 は この 方 式 で も計 算 速 度 が 著 し く低 下す る の で,準 特 異積 分 専 用 の 計 算 法 を採 用 す るほ うが よ い 。   次 項 以 下 に述 べ る 特 異 積 分,準

特 異 積 分 の ほ か に,サ イ ズ の 異 な る複 数 要 素 の

境 界 位 置 で 積 分 点 配 置 の ア ンバ ラ ンス に起 因 して 計 算 精 度 の 低 下 が 起 こ る ケ ー ス もあ る。 こ う した 問 題 に対 す る包 括 的 で有 効 な 手 法 が 完 備 され て い る と は い い が

た い。 い ず れ に して も,必 要 な 計 算 精 度 を最 速 で 実 現 で きる 計 算 手 法 を 選択 す る に は,真 値(ま

た は低 速 高 精 度 の 数 値 計 算 値)と

の 比 較 な ど を含 め た 計 算 精 度 と

速 度 の面 倒 な 検 証 が 必 要 で あ る。 5.6.2    (a)の

特異積 分 特 異 積 分 を 表 す 基 本 式 は 次 式 で あ る。 (5・18)

x =0が

特 異 点(分 母=0)で

定 され る。 分 子F(x)は

あ る 。 た だ し表 面 電 荷 法 で は 多 くの 場 合a=1,2に

限

一 般 に特 異 点 で も0に な ら な い が,法 線 方 向 電 界 を 求 め

る場 合 の よ う に0因 子xbを

含 む こ と も あ る。 しか し,そ れ で もb＜aな

ら特 異 点

処 理 が 必 要 で あ る。 共 通 す る 戦 略 と して は,(a)分

子 に な るべ く高 次 の0因

子

が 現 れ る よ うに 式 の 変 形 や 変 数 変 換 を行 う,(b)巨

視 的 に キ ャ ン セ ル して 和 が

0に な る項 が 発 生 す る よ う に変 形 あ る い は変 換 して そ れ を ス キ ップ す る ,が 挙 げ られ る。 前 者 の 例 と して は,一 般 三 次 元 面 要 素 に 対 し極 座 標 変 換 を施 してbを1 増 加 させ る手 法 が 代 表 的 で あ る。b≧aと

な れ ば こ の 積 分 は 特 異 で な くな り,通

常 の積 分 と 同様 に 容 易 に数 値 積 分 が 可 能 で あ る。 しか し,こ う した 解 析 的努 力 に よっ て も,特 異 性 や 計 算 精 度,速 らの 場 合 はKuttの

度 が 改 善 され ない 場 合 も多 く,こ の と きは 筆 者

有 限 部 分 積 分 公 式[5.7]の適 用 を 試 み て い る。 詳 細 は 省 くが ,

こ れ は 次 式 の よ う に分 母 の 特 異 性 を一 つ 低 減 で き る積 分 公 式 で あ る。

(5・19)

分 点xiは0＜x＜1区

間 にN-1個

配 置 し,x＜0に

も1個 配 置 す る 。 少 な い 計 算

量 と演 算 時 間 で 有 用 な 計 算 結 果 の 得 られ る こ とが 多 い が ,x＜0位

置 の分点 の処

理 に 苦 慮 す る場 合 もあ る。 そ れ で も な お,特 異 積 分 値 が 数値 的 に安 定 しな い場 合 は,dを

小 さな 値 と した 準 特 異 積 分 値(次

項 で 説 明)を 近 似 値 と して採 用 す る こ

とが多 い 。dの 値 の 選 択 に任 意 性 が あ る こ と と計 算 の 高 速 化 に難 が あ る こ と を 除 くと,要 求 精 度 が 極 端 に 高 くな け れ ば実 用 精 度 を満 足 で きる こ とが 多 い 。

5.6.3   (b)の

準特 異 積 分 準 特 異 積 分 を表 す基 本 式 は次 式 と な る。 (5・20)

dは 計 算 位 置 と特 異 点(x=0)と 照)。x=0に

の 離 隔 距 離 で 微 小 値(d≪1)で

お い て も分 母 は0と

あ る(図5・5参

な ら な い の で 一 見 簡 単 に 思 わ れ る が,準 特 異 積

分 を 許 容 精 度 内 で 高 速 に 実 行 す る の は,し

ば し ば特 異 積 分 の 実 行 よ り困 難 で あ

る。 標 準 的 な 計 算 法 は,特 異 点 近傍 で は小 サ イ ズ に遠 方 で は大 サ イ ズ に 積 分 区 間 を分 割 し,そ れ ぞ れ に ガ ウス の積 分 公 式 を適 用 す る方 法 で あ る。 そ れ で もd≪1 で は 計 算 速 度 が 著 し く低 下 す る。 こ の と き は 筆 者 らの 場 合 はHayamiの

「Log

‐L1変 換 」[5.8]の 適用 を試 み て い る。Log‐L1変 換 は積 分 公 式 の 分 点 位 置 を,極 近 傍 で は 密 に,遠 方 で は疎 にす る変 換 で あ り次 式 で 定 義 さ れ る。

(5.21)   図5・6に,R座

標 上 で ほ ぼ 均 等 に 配 置 さ れ た 分 点 が,x座

標 上 で不均 一 な配

置 に 変 換 され る様 子 を 示 し た。 積 分 区 間 を特 異 点 近 傍 で は小 さ く遠 方 で は 大 き く す る 手 法 と同 様 の 効 果 が,比 較 的少 な い 分 点 数 の 計 算 で得 られ る。 微 分 の 変 換 式 は 次 の と お りで あ る。

図5.5  準特 異 積 分 の電 界 計算 点

図5.6  Log‐L1変 換 に よ る分点 配 置 の 変 更

よ って,準 特 異 積 分 は 次 式 と な る 。

(5・22)

分 母 に近 い 形 式 の 因子 が 分 子 に現 れ るの で特 異 性 を 緩 和 で き る と も解 釈 で き る 。 結 局,分 母 の 特 異 性 を お お よ そ一 つ低 減 で きる効 用 が あ る。 た だ,準 特 異積 分 は Log‐L1変 換 な ど を用 い た場 合 で も なお 計 算 負 荷 が 大 き い。 類 似 法 と して 「Log‐ L2変 換 」 な ど も提 案 され て お り,ケ ー ス に よっ て はLog‐L1変 換 よ り も有 効 で あ る。 た だ し,経 験 的 に はLog‐L1変 換 の ほ うが 汎 用 性 が 高 い よ う で あ る。

第5章  演習 問題 1. 表 面 電 荷 法 を最 初 に 用 い た の はマ クス ウ ェル で あ る 。 彼 は 空 間 に孤 立 して 存   在 す る正 方 形 導 体 の 静 電 容 量 を 求 め る の に,導 体 を6×6=36個

の小 正方形 に

分 け て 表 面 電 荷 法 を適 用 した。 正 方 形 導 体 の 電 位 を与 え た と き に 電 荷 量 が 求 め られ れ ば 静 電 容 量 が得 られ る わ け で あ る 。 そ れ ぞ れ の小 正 方 形 の 電 荷 を一 定 と す る と,独 立 な 未 知 数 は 何 個 に な る か を 考 え な さ い 。 ま た 正 方 形 導 体 が 大 地 (接地 平 面)上 で 水 平 に存 在 す る と き に は 未知 数 は 何 個 に な る か 。 2. 図 問5・1の

よ うな 電 荷 密 度 一 定 の 長 方 形 電 荷 が 中 心 か ら距 離dの

る 電 位 の 式 を求 め な さ い。 ま たa=b(=w/2)の

正 方 形 の と き,d=0に

点 に生 じ おける

電位 を求 め,電 荷 量 と こ の電 位 の 比 が 前 問 の 正 方 形 導体 の 静 電 容 量 に は な ら な い こ と を説 明 しな さい 。

図 問5.1

3. 本 文5.5節

で は 各 要 素 の 電 荷 密 度 σ(j)が 一 定 の 場 合 の 計 算 手 順 を説 明 した 。

電 荷 密 度 が座 標 の 一 次 式 で,し か も各 要 素 間 で 連続 で あ る とす る と,一 定 の場 合 と どの よ う に違 うか 考 え な さ い。 4. 本 文5.5節

で 述 べ た よ う に,導 体 表 面 で は 電 界Eと

電 荷 密 度 σにE=σ/ε0の

関係 が あ る。 電 荷 密 度 σの 電 気 一 重 層 は σ/(2ε0)の電 界 を 生 じ る は ず で あ る が,2倍

の 違 い が あ る の は なぜ か を 考 え な さ い。

第6章  電荷重畳法

  電 荷 重 畳 法(charge

simulation method)は,1969年

ン工 科 大 学 のH.Steinbiglerが べ た 影 像(電

荷)法

当時 の 西 ドイ ツ ミュ ンヘ

博 士 論 文 で 提 案 した 方 法 で あ る[6.1]。 第1章

に述

と似 て い るが,影 像 法 は ご く簡 単 な配 置 の計 算 に しか 使 え な

い の に対 し,も っ と一 般 的 な 配 置 に適 用 で き る計 算 法 で あ る。 電 荷 重 畳 法 と は 電 極 内 部 に配 置 した 仮 想 的 な 電荷 の 作 用 を重 畳 して,真 の 電 界 分 布 を模 擬 す る こ と を意 味 して い る。 一 方,境 界(単

一 誘 電 体 で は 電 極 表 面)上

に輪 郭 点 を 置 く点 で

は前 章 の 表 面 電荷 法 と似 て い る が,表 面 電 荷 そ の もの を 直 接 相 手 に しな い 。   た い て い の 数値 計 算 法 は電 界 計 算 だ け に適 用 され る わ け で は な いが,電 法 は 等 電 位 面 を 電 極 の模 擬 に 用 い る点 で,他 ず,も

荷重畳

の 場 の 計 算 に は ほ とん ど用 い られ

っ ぱ ら静 電 界 計 算 に使 用 さ れ る ユ ニ ー ク な 方 法 で あ る 。 と くに 高電 圧 工 学

や 絶 縁 設 計 の 分 野 で は,プ

ロ グ ラ ム が 簡 単 で コ ー デ ィ ング が 容 易 な上 に精 度 の 高

い電 界 計 算 法 と して重 宝 され て きた 。

6.1 

計 算 法 の 原 理

  電 荷 重 畳 法 は,と

くに 二 次 元 場,回 転 対 称 場 に 適 した 方 法 で あ る。 図6・1の

よ う に,二 次 元 場 で は 無 限長 線 電 荷(紙 ン グ(円 環)電 荷,線

電 荷(軸

上)を,「

面 に 垂 直),回

転 対 称 場 で は点 電 荷,リ

電 極 の 内 部 に 電 極 形 状 に近 い よ う に 配

置 」 し,こ れ ら の 電荷 の作 る 等 電 位 面 で電 極 を模 擬 す るの が 計 算 の 基 本 で あ る 。

(a)二 次元 場

(b)回

転 対称 場

図6.1  電荷 重 畳 法 の説 明 図

内 部 に置 く電 荷 を 仮 想 電 荷 と呼 ぶ 。 実 際 に は電 極 表 面 に 存 在 す る 電 荷 の代 わ りに 代 用 す る と い う点 か ら仮 想 電 荷 を代 用 電荷,電 で はErsatzladungsmethode;substitute

荷 重 畳 法 を 代 用 電荷 法(ド

charge method)と

イ ツ語

呼 ぶ こ と も あ る。

  電 荷 重 畳 法 で は,電 極 の 内 部 に 置 く一 つ 一 つ の 仮 想 電 荷 は,も

はや影像法 の内

部 電 荷 の よ う に電 極 の 電 位 と 直接 の 関 係 を持 っ て い る わ け で は な い。 電 荷 全 体 で (他 に 電 極 が あ れ ば そ の 中 の 仮 想 電 荷 の作 用 も含 め て),で

きる だ け電 極 の 形 に 近

い等 電 位 面 が で き る よ う にす る だ け で あ る。 そ の た め に空 間 の 本 来 電 極 表 面 で あ る面 上 に有 限 個 の 点 を と っ て,こ

の 点 の 電 位 が 電 極 電 圧Vに

を決 定 す る。 この 電 荷 群 の 作 る φ=Vの

な る よ う に電 荷 群

等 電 位 面 が 電 極 表 面 と一 致 す る な ら,電

荷 群 の作 る電 界 は 電 極 外 部 の 正 しい電 界 を与 え る。 こ れ は 「等 電 位 面 を 同 じ電 位 の 電極 と置 き換 え て も電 界 分 布 は変 わ らな い 」 とい う静 電 界 の定 理 に よ っ て 保 証 され て い る。 電 位 を与 え る電 極 上 の 点 を 輪 郭 点(ド イ ツ 語 でKonturpunkt；contour point)と 呼 び｡し

ば しばKPと

略称 する。

  電 荷 重 畳 法 は ま た 次 の よ う に 考 え る こ と もで きる 。 そ れ ぞ れ が ラ プ ラス の 式 を 満 足 す る 電 位u1,u2,…,unの ∼unの

和 φ(一 次 結 合)が 境 界 条 件 を満 足 す る よ う にu1

係 数 を 決 め る の で あ る。Ajを 定 数 と して φ=ΣAjujが

境 界 条件 を満足 す

る と,φ も ラ プ ラ ス の 式 を 満 足 す る の で,φ は電 極 外 部 の 正 しい 解 で あ る。 こ れ は 「ラ プ ラス の 式 を満 た し,境 界 条 件 を満 足 す る解 は た だ 一 つ で あ る 」 と い う静 電 界 の 一 意性 の 定 理 に よ って 保 証 され る。 こ の よ う な部 分 解 の 和 に よ っ て 真 の 解 を求 め る 方 法 は,1.1節

に述 べ た 座 標 変 換 に よる 級 数 解(し

そ の例 で あ る。 し た が っ て 部 分 解ujは は ない が,こ

6.2 

界

電 荷 重 畳 法 で 使 用 され る仮 想 電 荷 の 種 類 と位 置 を 与 え る 値(特

値:X,Y,R,Zな

性

ど)を 示 す 。 これ 以 外 の 仮 想 電 荷 を使 う こ と も可 能 で あ る

が この 点 は6・6節 た は(r,z)に

必 ず し も具 体 的 な電 荷 の作 用 で あ る 必 要

れ まで に提 案 され て い る の はす べ て 具体 的 な形 状 の 電 荷 で あ る。

仮 想 電 荷 の 電 位,電

  図6・2に

ば しば 無 限 級 数)も

で 説 明 す る。 電 界 計 算 に は 図6・2の

与 え る 電 位,電

界 の 式 が 必 要 で あ るが,こ

電 荷 が 領 域 の 点(x,y)ま れ ら は 付 録1に

まとめ

て示 した。 この う ち回 転 対 称 場 の リ ン グ電荷 に つ い て だ け い くらか 説 明 を加 え る 。   図6・3の

よ う なz軸 に 関 し て 回 転 対 称 な リ ン グ電 荷 の 電 位 は,帯

電 コイ ルあ

る い は帯 電 円 環 とい う名 前 で 通 常 の 電 磁 気 学 の 本 に も述 べ られ て い るが,ほ

とん

ど は ル ジ ャ ン ドル 関 数 を用 い た 無 限級 数 式 が 与 え られ て い る。 電 荷 重 畳 法 で は完 全 だ 円積 分 の 式 を用 い る の が 普 通 で あ る。 リ ング 電 荷 の 位 置(高 をR,電

荷 密 度 を λ とす る と,P点(r,z)の

(a)二 次 元 場

電 位 は次 式 に な る 。

(b)回

転 対 称場

図6.2  電荷 重 畳法 で使 用 され る仮想 電 荷

さ)をZ,半

径

図6.3  リ ング電荷 に よ る電 位

(6・1)

こ こ でlは リ ング 電 荷 のdθ 部 分 とP点

と の距 離 で あ る。

(6・2)

θ/2=α と 置 き,cos2α

の 対 称 性 を 考 慮 す る と(6・1)式

は,

(6・3)

積 分 は 第1種 完 全 だ 円 積 分 と呼 ば れ,通 常K(k)と

表 され る。 これ を用 い る と, (6・4)

こ こ でQは

全 電 荷 でQ=2πRλ,ま

た 母 数kは,

(6・5)

ま たr方 ぞ れr,zで

向,z方

向 の 電 界Er,Ezは,付

録1に

与 え て い る が,(6・4)式

をそれ

微 分 し,

(6・6)

の式 を用 い れ ば導 く こ とが で き る。 こ こ で

(6・7)

は第2種 完 全 だ 円 積 分 と呼 ば れ る。   な お付 録1の

式 は す べ てy=0ま

考 慮 し た 式 で,二 (B+z)を

た はz=0の

次 元 場 で は(y+Y),回

位 置 に あ る 大 地(接

地 平 面)を

転 対 称 場 で は(z+Z),(A+z)

含 む 項 が 大 地 に対 す る 影 像 電 荷 の作 用 で あ る。 逆 にy=0ま

,

た はz=0

が 対 称 面 に な る と き は,こ れ らの 項 で 電 荷 の 符 号 を 逆 に す れ ば よい 。 す な わ ち (y+Y),(z+Z),(A+z),(B+z)を

含 む 項 の 符 号 をす べ て 変 え れ ば 対 称 面 を考

慮 した 式 に な る。

6.3 

仮 想 電 荷 の 方 程 式 と電 界

  図6・1に

示 した よ う に,電 荷 重 畳 法 で は 電 極 内 部 の 「適 当 な 位 置 に 適 当 な 個

数 」 の 仮 想 電 荷 を置 き,こ の仮 想 電 荷Q(j)を

未 知 数 と して 境 界 条 件 を満 足 す る

よ う に決 定 す る。 仮 想 電 荷 の 個 数 と配置 は 前 も って(入 力 デ ー タ と し て)与 え る の が 普 通 の 方 法 で あ る。Q(j)に じるが,P(i,j)は

よ っ てiな る点 にuj=P(i,j)Q(j)の

「電 位 係 数 」 と呼 ば れ,(6・4)式

か ら分 か る よ うに,電 荷 の 種 類 と位 置,な し,Q(j)に

よ らな い 。 そ こでn個

電 位 を生

あ る い は 付 録1の

電位 の式

らび に被 作 用 点i点 の位 置 だ け に依 存

の 仮 想 電 荷 に よっ てi点 の 電 位 φiは線 形和 , (6・8)

と な る 。 電 極 表 面 上 の 適 当 なn点(輪

郭 点)を と っ て,仮 想 電 荷 群 の 生 じ る電 位

(通常 は 大 地 に 対 す る影 像 電 荷 の作 用 も含 め る)を 電 極 電 圧 に等 しい と置 く。 輪 郭 点 は 電 極 電 圧 と等 しい電 位 の 等 電 位 面 を な るべ く電 極 形 状(輪

郭)に

一致す る

面 にす るた めで あ る 。   仮 想 電 荷 と 輪 郭 点 の 個 数 が と も にn個

で あ る と,(6・8)式

のn個

未 知 数 とす る次 の多 元 連 立 一 次 方程 式(支 配 方 程 式)が 形 成 され る。

のQ(j)を

(6・9)

こ こ で 簡 単 の た めQ(j)をQj,P(i,j)をPijと

書 い て い る。  Steinbiglerの

博士

論 文 で は,仮 想 電 荷 と輪 郭 点 の 数 を変 え,誤 差 の 最 小 二 乗 法 に よ っ て支 配 方 程 式 を作 る方 法 も提 案 され て い る が,こ   電 極 電 圧V1∼Vn(図6・1で

れ に つ い て は 付 録2に 紹 介 す る。

は す べ てV)は

境 界 条 件 と して 与 え ら れ,係

P(i,j)も 仮 想 電 荷 の 種 類 と位 置 が 与 え られ れ ば 決 ま る値 な の で,(6・9)式 Q(1)∼Q(n)が

求 め ら れ る 。 この 電 荷 量(普

含 め て)は 領 域(電 電位,電

極 外)全

数

から

通 は大 地 に対 す る 影 像 電 荷 の作 用 も

体 の 電 界 分 布 を等 価 的 に 与 え る もの で,任

意の点 の

界 を容 易 に 計 算 す る こ とが で きる 。

  す な わ ち電 位 φ は(6・8)式 と 同 じ式 で,既 知 の(求 め られ た)Q(j)を

用 い て, (6・10)

か ら計 算 さ れ る 。 電 界 は領 域 分 割 法 の よ うに 電 位 を微 分 す る の で は な く,各 仮 想 電 荷 の 電 界 の 解 析 式(付 録1)を 場 で はr,z方 Fy,Fr,Fzを

向 に つ い て,そ

加 算 す る。 二 次 元 場で はx,y方 れ ぞ れ 電 界 係 数(単

向,回 転 対 称

位 の 電 荷 量 に よ る 電 界)Fx,

使 用 して 次 式 の よ うに 表 さ れ る 。

二 次元場 ；

 (6・11)

回転 対 称 場 ；

 (6・12)

電 界 の 精 度 は,仮 想 電 荷 の作 る 等 電 位 面 が どの く らい 電極 形 状 に近 い か に依 存 す る の で,二 つ の輪 郭 点 の 中 間 の 電 極 表 面 上(に (し ば しばAP:ド

イ ツ 語 でAufpunktと

相 当す る領 域 中 の 点)に

「検 査 点

呼 ば れ る)」 を と り,こ の 点 の 電 位 が ど

の く らい 電 極 電 圧 と相 違 して い る か を調 べ る 。

6.4  簡 単 な 例   電 荷 重 畳 法 の計 算 原 理 とそ の 問 題 点 を理 解 す る た め に ご く簡 単 な 例 題 を示 す 。 図6・4の 2cm,大

よ う な球 対 大 地(接

地 平 面)の 配 置 の 電 界 を対 象 とす る。 球 の 直 径 を

地 との 離 隔 距 離 を1cm,球

の 電位 を1kVと

す る。

  図 の よ う に,輪 郭 点 をz軸 上 の 両 端,す

な わ ち 座 標(0,1),(0,3)に,仮

想電荷

と し て 点 電 荷Q1,Q2を(0,1.5),(0,2)に

置 く。 こ れ に よ っ て 電 荷 と電 位 の 式,

(6・8)式 は,大 地 に対 す る 影像 電 荷 の作 用 も含 め て,

と な る 。 た だ し,単

位 は 〔cm〕 と

〔kV〕 で,Qi/(4π

ε0)=qi(i=1,2)と

して い

る 。 こ れ を 解 く と,

で あ る 。 球 先 端 の 最 大 電 界Emは

求 め たQ1,Q2の

作 用 を計 算 す れ ば よい 。

とな る 。 影 像 電 荷 の 作 用 は電 位 で は マ イ ナ ス に,電 界 で は プ ラ ス に な る こ と に注 意 が 必 要 で あ る。 こ の1.87kV/cmと べ て5.6%相

い う値 は 詳 しい 計 算 に よ る真 値 の1.77と 比

違 す る だ け で あ る。

図6.4  球 対 大 地 の配 置

  仮 想 電 荷 の 位 置 は そ の ま まで(0,3)の

点 の 輪 郭 点 を球 側 面 の(1,2)に

合,電 荷 と電 位 の 関係 式 は い くらか 複 雑 に な るが,そ

れ で も未 知 数 が2個

か ら筆 算 で も求 め られ る 。 結 果 は,q1=0.114,q2=1.227で 大 電 界Emは1.84kV/cmと

移 し た場 で ある

あ る。球 先端 の最

な っ て,真 値 との 差 は わ ず か4.0%で

あ る。

  こ の計 算 例 か らつ ぎの こ とが 分 か る。   (a)  た っ た2個 の 輪 郭 点 と2個 の 電荷(2個

の 未 知 数!)で,か

な り真 値 に

近 い 最 大 電 界 値 が 得 られ る の は驚 くべ き こ と で あ る 。 こ れ は た と え ば 差 分 法 や 有 限 要 素 法 で 領 域 を 分 割 して計 算 す る こ と を想 像 す れ ば 容 易 に理 解 さ れ よ う。 輪 郭 点 の 数 と仮 想 電 荷 の種 類 や 数 を増 や せ ば 計 算 手 順 は そ の ま ま で 高 い 精 度 が 得 られ そ うで あ るが,実  

際 にそ うで あ る 。

電荷 重 畳 法 は 原 理 が 簡 単 なた め に影 像 電荷 法 の 一 種 の よ う に考 え られ た り,ま た 誰 に で も思 い つ け る方 法 の よ うに み な さ れ る こ とが あ るが,そ は い わ ば 「コ ロ ン ブ ス の卵 」 で あ る。Steinbiglerが

れ

発 表 す る まで は,誰

も電 荷 重 畳 法 が こ の よ うに 精 度 の 高 い,一 般 的 な電 界 計 算 法 に な る とは 考 え な か っ た の で あ り,こ の 点 か ら電 荷 重 畳 法 を 「Steinbigler法 」 と呼 ん で も差 し支 え な い 。   (b)  計 算 例 か ら も分 か る よ うに,計 算 す べ き配 置 が 与 え られ て も輪 郭 点 の取 り方,仮 想 電 荷 の種 類 と配 置 方 法 に は相 当 の 自由 度 が あ る。 計 算 結 果 が こ れ らに依 存 す る こ と と,良 い 配 置 の 選 定 に は 「経 験 と勘 」 を必 要 とす る こ とが 電 荷 重 畳 法 の 欠 点 で もあ る 。 以 下 に お い て 輪 郭 点 と電 荷 の 配 置 方 法 な ど を説 明す る。

6.5 

計 算 上 の2,3の

問 題

6.5.1  仮 想 電 荷 と輪 郭 点 の 配 置   電荷 重畳法 の計 算精度 は仮 想電荷 と輪 郭点の配置 に顕 著 に依存 す るので,良 い 配置 を選ぶ こ とが重 要で ある。輪郭点 は電極 表面上 なので,ま ず 輪郭点 の位 置 を

(a)丸 み の ない 凸部 の 先 端

(b)丸

み の ない 凹 部 の底,角

(c)誘 電体 界 面 と 電極 との 接触 点

図6.5  輪 郭 点 を配 置 で きな い箇所

定 め そ れ に 対 応 させ て仮 想 電 荷 の位 置 を決 め る の が 普 通 で あ る 。   輪 郭 点 は 電 界 値 を 求 め た い 重 要 な箇 所 や,電 置 す る。 外 側 の 電 極(シ

ー ス)や

界変化が急激 な ところでは密 に配

タ ン ク壁,近 接 物 体 の よ うに 電 界 値 を 必 要 とせ

ず,電 位 を 与 えれ ば よ い もの は,わ ず か の 輪 郭 点 と仮 想 電 荷 で も十 分 で あ る 。 図 6・5の よ う に丸 み を帯 び な い 凸 部 や 凹 部 の先 端,2種 面 が 接 触 して い る 箇 所(三

重 点,11.6節)は,二

類 の 誘 電 体 の 界 面 と電 極 表

次 元 場 で も回 転 対 称 場 で も輪

郭 点 を置 く こ とが で き な い。 これ らの 点 は電 界 特 異 点 で 電 界 が 理 論 上 無 限大 ま た は0に

な る点 で あ る 。 丸 み を帯 び な い 凹 部 は実 際 に た と え ば 図6・1(b)の

配置に

あ る よ う に,電 極 と支 持 導 体 との 接 続 部 分 な ど で しば しば 生 ず る。   仮 想 電 荷 の 配 置 は 輪 郭 点 に比 べ さ らに 自由 度 が あ り,す で に述 べ た よ う に 良 い 配 置 を選 ぶ に は い く らか の 経 験 が 必 要 で あ る。 二 次 元 場 の 無 限 長 線 電 荷 や 回転 対 称 場 の 点 電 荷,リ 6・6の

ン グ電 荷 の よ う に断 面 図 で 境 界 に対 して 点 状 に な る もの は,図

よ う に輪 郭 点 に 対 向 し て 境 界 の 垂 線 上 に 置 くの が よ い。 この 垂 線 の 長 さ

aと両 隣 りの 輪 郭 点 間 の 距 離 の 和bと

は適 当 にバ ラ ンス させ る必 要 が あ る 。 す な

わち (6・13)

と置 く と,fが 点)で

小 さす ぎ る と図6・6(b)の

電極 形 状 が 模 擬 で きず,電

よ う に 等 電 位 面 は 輪 郭 点 の 中 間(検 査

位 不 足 に な る。 一 方,fが

大 きす ぎ る と電 荷 が

(a)仮 想 電 荷 と輪 郭 点

(b)fが

小のとき

(c)fが

大の とき

図6.6  輪 郭 点 と仮 想 電荷 の 位 置 の 関係

密 す ぎて,図(c)の

よ う に等 電 位 面 が 正 負 に 振 動 して か え っ て 電 界 誤 差 が 大 き く

な る こ とが あ る う え に,け た 落 ち誤 差 も生 じや す くな る(6.5.2項  fの 最 適 値 は 配 置 に よ って 異 な り,一 般 に0.2∼1.5の らは 電 荷 重 畳 法 の 計 算 経 験 か ら通 常 の 配 置 に はf=0.6を 点 の 粗 な 場 合 は0.5,密

な 場 合 は1.0,一

般 に0.75付

脚 注 参 照)。

範 囲 と され て い る。 筆 者 用 い て い る。 また 輪 郭 近 が 良 い と い う報 告 も あ

る 〔6.2]。 い ず れ に し て も輪 郭 点 が 粗 に な る に従 い,電 荷 は ほ ぼ 一 定 のfに な る よ う電 極 表 面 か ら離 して 配 置 しな け れ ば な らな い 。 6.5.2 

電位 係 数 につ い て

  (6・9)式 の 係 数 行 列 は 領 域 分 割 法 に お け る電 位 方 程 式 の 係 数 行 列 の よ う に0 項 の 多 い い わ ゆ る疎(ス 係 数P(i,j)の

パ ー ス)行 列 で は な い。 単 一 誘 電 体 の 場 合 に は通 常 電 位

す べ て が0で

数,電 界 係 数,特

な い。 し た が っ て 計 算 時 間 を短 くす る に は,電 位 係

に 回 転 対 称 場 で は完 全 だ 円 積 分 の計 算 を な る べ く速 くす る必 要

が あ る。 た と え ば 回 転 対 称 場 に 輪 郭 点,検 査 点 が そ れ ぞ れn個,計

算 点 がk個,

リ ン グ電 荷 がl個 使 用 さ れ て い る と,検 査 点 で は電 位 だ け 計 算 す る と して も大 地 に 対 す る 影 像 電 荷 も含 め て4(n+k)l回

の 第1種

完 全 だ 円 積 分,4kl回

の 第2種

完 全 だ 円 積 分 の 計 算 が 必 要 で あ る。   完 全 だ 円 積 分 は 数 学 の 書 で は母 数kの が 多 い 。 た と え ばK(k)は[6.3],

べ き級 数 展 開 式 が 与 え ら れ て い る こ と

ま た は,

(6・14)

ここで

  E(k)に

つ い て も 同 様 にkま

た はlの 展 開 式 が あ り,と も にkよ

級 数 の ほ うが 収 束 が 速 い 。 しか し,よ

り もlの べ き

り収 束 が 速 い の は 次 の算 術 幾 何 平 均 法 で あ

る[6.4]。   2数a,bに

対 し て,a1=(a+b)/2,b1=√abと

し,以

下

(6・15)

と置 く と,数 列{an｝,{bn}は

同 じ極 限値,算 術 幾 何 平 均L(a,b)に

収 束 し,た と

え ば第1種 完 全 だ 円積 分K(k)は, (6・16)

で与 え られ る 。E(k)に

つ い て は付 録3に

述 べ る。

  電 荷 重 畳 法 で も う一 つ の 問題 は,(6・9)式

を解 く際 に け た 落 ち ※が 起 こ りや す

い こ とで あ る 。特 に電 荷 や 輪 郭 点 の 配 置 が 密 で あ る と起 こ りや す い 。 こ れ は た と え ばj番 目の 電 荷 とk番 とP(i,k)(k列)が

目の 電 荷 が 同 じ種 類 で近 接 して い る と,P(i,j)(j列)

近 い 値 とな っ て,係

数行 列 が 「特 異(singular)」

に 近 くな

るた めで あ る 。 輪 郭 点 が 近 接 す る と係 数 行 列 の2行 が 近 い 値 とな って 同様 な 現 象 が 起 こ る。 こ れ を防 ぐに は 倍 精 度 計 算 ※が 有 効 で,基 本 的 に は 常 に倍 精 度 計 算 と す るの が よ い。

※:数 値 計 算 に は離 散 化 誤 差,打 切 り誤 差,丸 め誤 差,け た 落 ち とい っ た 種 々の 誤 差 を伴 う。 離 散化 誤 差 は連 続 的 に 変 わ る量 を と び とび(discrete)の

値 で 近似 す る た め の 誤 差 で,た と え

ば 積 分 をΔhの き ざみ 幅の 関数 和 で 代 用 す るた め に 生 じる(台 形 公 式,シ

ンプ ソ ンの公 式 な ど

す べ て の 数値 積 分 の)誤 差 であ る。 打切 り誤差 は本 来 無 限 回 の 操作 の必 要 な計 算 を有 限 回 で打 ち 切 る こ とに よ る誤 差 で,無 限 級 数 の和 を 求 め る と きや 反 復 計 算 で収 束 を判 定 して打 ち切 る と きに 生 じる。 ま た丸 め 誤差 は本 来 無 限 あ る い は もっ と け た数 の 多 い 数 を,有 限 の け た 数で 近 似 して 取 り扱 うた め に生 じる。 けた 落 ち は 二 つ の 数a,bが 効 け た 数がa,bの

近 い値 の 数 で あ る と,差(a−b)の

有

有効 けた 数 に比 べ て小 さ くなる こ と を意 味 す る。

  け た 落 ち 誤 差 を防 ぐに は倍 精 度 計 算 が 有 効 で あ る。倍 精 度 計算 は,普 通 の 計算(1倍 算)で 一つ の数 字 を1語(た

とえ ば32ビ

ッ ト)で 表 す の に対 し,2語

精度計

で表 現 して 有効 け た数 を

増 や す もの で あ る。1倍 精 度 の 有効 数 字 は 約7け た,倍 精 度 の そ れ は約16け

たで あ る。 な お さ

らに 有効 けた 数 を増 や す4倍 精 度 計算 が あ る 。

6.6 

6.6.1 

仮 想 電 荷 の 種 類

仮 想 電荷 の条 件

  通 常 の 電 荷 重 畳 法 で 用 い る仮 想 電 荷 は,6.1節

で 述 べ た よ う に,二 次 元 場 で は

無 限 長 線 電 荷,回 転 対 称 場 で は リ ン グ電 荷 とz軸 上 の 点 電 荷,線

電 荷 の3種 類 で

あ る。 し たが っ て,こ れ 以 外 の 電 荷 あ る い は 一 般 に 具 体 的 な電 荷 と関 係 の な い ラ プ ラ ス の 式 の解 を使 用 す る こ とが 考 え られ る 。   しか し上 記 の仮 想 電 荷 で非 常 に 一 般 的 な 計 算 法 が構 成 で き て い る た め,新

たに

使 用 す る電 荷 は 少 な くと も次 の 条 件 を満 た さ な け れ ば な ら な い。   (a)  電 位,電 界 が 解 析 的 に 表 され る こ と。 も し数 値 計 算 が 必 要 で あ る とむ し ろ 表 面 電荷 法 を使 用 す る ほ うが 良 い 。   (b)  電 荷 重 畳 法 で は計 算 の 難 しい,ま

た は不 可 能 な配 置 を計 算 で き る こ と。

  (c)  計 算 精 度 や 時 間が 改 善 され る こ と。   旧著 に は,二 次 元 場 で 複 素 関 数 を用 い て仮 想 電 荷 の 数 を減 ら した り,計 算 時 間 を短 縮 す る例 が 説 明 され て い る 。 一 つ の 例 は 一 部 の境 界 条 件 を満 足 す る関 数(有 限領 域 の グ リー ン関 数)を 使 用 す る方 法 で,計 算 対 象 は接 地 さ れ た 半 無 限 矩 形 導 体 壁 間 の 円 筒 導 体 チ ャ ネ ル で あ る 。壁 上 で0に

な る よ う な 関 数 を用 い れ ば壁 外

の 仮 想 電 荷 が不 要 に な る 。 しか し,種 々 の 配 置 に対 し て そ の た び に異 な る グ リー ン関 数 を用 い る の で は計 算 法 の一 般 性 が 失 わ れ,面

倒 で あ る。 他 の 例 は厚 み の な

い 箔 状 電 極 の 計 算 で あ る 。 電 荷 重 畳 法 は仮 想 電 荷 が 常 に電 極 内 に な け れ ば な らな い とい う制 約 が あ るが,適

当 な座 標 変 換(等

角 写 像 法)に

よ っ て 箔 形 状 を 円形 に

す る と,内 部 に 電 荷 を お く こ とが で きて,確 か に電 荷 重 畳 法 で 計 算 で き る。 しか し適 用 は あ く まで も二 次 元 配 置 に 限 られ る の で,通 常 は表 面 電 荷 法 で 容 易 に計 算 で き る。 6.6.2 

円板 電荷

  円 板 電 荷 と い っ て も円 板 上 の 電 荷 密 度 の 分 布 に よ っ て 無 数 の 可 能性 が あ る が, た い て い は 電 位,電

界 を 解 析 的 に表 せ な い。 図6・7の

電 位 一 定 の 円板 電 荷(円 にz=0平

板 導 体)に

限 り,電 位,電

よ う に無 限 空 間 中 に あ る

界 を解 析 的 に表 せ る[6.5]。 特

面 上 に あ る と きの 電 位,電 界 の 式 は, (6・17)

(6・18)

(6・19)

こ こ で,〓,Qは

円板 上 の 全 電 荷

である。

図6.7  円板 電荷(帯 電 円板 導体)

  円 板 電 荷 は 先 に 述 べ た(a)∼(c)の が 解 析 的 に 表 され る うえ に,リ の で 計 算 時 間 は 約1/2で

条 件 を ほ ぼ満 た して い る 。 電 位,電

界 の式

ン グ電 荷 と比 べ て完 全 だ 円 積 分 の 計 算 が 不 必 要 な

済 む 。 また 回 転 軸 に垂 直 な 導 体 と い う性 格 か ら,次 の よ

う な種 々 の特 殊 な利 用 が 可 能 で あ る。   (a)  平 た い 電 極 を少 な い 数 の 電荷 で 模 擬 す る場 合 。   (b)  先 端 で 電 界 が 無 限 大 とな る切 断 さ れ た 丸棒 の 模 擬(電

荷 上 で も電 位 が 一

定 な た め 棒 先 端 表 面 に置 く こ とが で きる)。   (c)  厚 み の ない 部 分 を有 す る 特 殊 な(す べ て で は な い)電 極 の 模 擬 。   図6・8に

支 持 円板 を有 す る シー ル ド電 極 を 計 算 す る た め の 電 荷 配 置 と得 られ

た電 界 分 布 を示 す 。 円板 電 荷 で注 意 す べ きこ とは 単 独 に存 在 す る厚 み の な い 円 板 を 円 板 電 荷 で 模 擬 で き な い こ とで あ る 。 す な わ ち こ の よ う な 円 板 を1個(1枚) の 円板 導 体 で 模 擬 し よ う と して も,大 地 や 他 の 電極 の 作 用 で 導 体 が 一 定 電 位 に な らな い た め で あ る。 また 複 数 個 の 半 径 の異 な る 円板 電 荷 を 重 ね る の は,そ

れぞれ

の端 部 が 電 界 特 異 点 で無 限 大 の 電 荷 密 度 で あ る た め,正 確 な模 擬 に な ら な い 。 同 じ理 由 で 穴 の あ い た 円板 導 体 も模 擬 で きな い 。

(a)電 極,輪 郭 点,仮 想 電 荷 の 配置

(b)上

部平 板 上 下 側(大 地 側)の 電 界

図6.8  厚 み の な い平 板 を含 む配置 の計 算例

6.6.3 

仮 想電 荷 の一 般化

  標 準 的 な電 荷 重 畳 法 に 用 い る仮 想 電 荷 は点,直 の な い 電 荷 で あ る が,よ

の 電位,電

半 径 を そ れ ぞ れa,bと

ン グ)と い う体 積

り一 般 的 な 電 荷 形 状 と して体 積 を 有 す る電 荷 を用 い る こ

とが で き る。 た と え ば 二 次 元 の 場 合,(x,y)座 電 荷 で あ るが,こ

線,曲 線(リ

標 で断 面が だ円 の電荷 はだ円筒

界 は 簡 単 な式 で 表 せ る。 さ らに,だ

す る と,だ 円 筒 電 荷 はa=bの

(厚 み の な い)箔 電 荷,a=b=0の

円 の 長 半 径,短

と きは 円筒 電 荷,b=0は

と き は線 電 荷 に な る とい う融 通 性 が あ る。 た

だ し適 用 は 二 次 元 配 置 に 限 られ る 。   回 転 対 称 場 に つ い て は 考 え ら れ る電 荷 形 状 が 図6・9の

よ う に 整 理 され て い

る[6.6〕 。 図 の 矢 印 は縮 退 の 方 向 を示 し,縮 退 の 少 な い もの ほ ど一 般 的 な 形 状 で あ る。 こ の 図 に よ る と回転 だ 円 体 は有 限 長 線,円 板,点

を縮 退形 状 と して含 ん で い

る の で,回 転 だ 円体 電荷 と リ ング 電荷 を用 い る 通 常 の 電 荷 重 畳 法 よ り も一 般 的 な 電 荷 重 畳法 を構 成 で きる こ と に な る 。 そ れ だ け で は プ ロ グ ラム 上 仮 想 電 荷 の 種 類 を増 や す に す ぎ な い が,球 や だ 円体 電 荷 の 利 点 は 高 電 圧 の 配置 で しば しば 生 じる 球,半

球,回 転 だ 円体 形 状 の 電 極 表 面 に 直 接(表

面 に一 致 させ て)置

くこ とが 可

能 な 点 で あ る。 こ の よ う な電 極 の 一 部 と一 致 す る 電 荷 が 作 る電 界 分 布 は,模 擬 し よ う とす る 電 極 の 作 る電 界 分 布 に近 い と考 え られ る(た だ し前 項 で 述 べ た 円 板 電

図6.9  電荷 形 状 の整 理

荷 は端 部 で 電 界 が 無 限 大 に な る の で 例 外 で あ る)の で,仮

想 電 荷 の 数 を減 ら した

り精 度 を 向 上 させ る こ とが で きる 。 実 際 に一 般 三 次 元 の水 平 配 置 球 ギ ャ ップ に 回 転 だ 円 体 電 荷 を 適 用 して 計 算 し,そ の よ う な効 果 が 報 告 され て い る[6.7]。 問題 は 縮 退 形 状 を含 め て7∼8種

類 もの 仮 想 電 荷 を使 用 す る こ とで,プ

ログラムや入力

デ ー タの作 成 が 面 倒 に な る こ とで あ る。 た だ 回 転 だ 円 体 電 荷 の 電 位,電 あ ま り複 雑 な も の で は な い。

界の式 は

第6章  演習問題 1. 電 荷 重 畳 法 の 簡 単 な 例 を 計 算 す る 。 図 問6・1の 1cm)で,z軸

に対 して 回 転 対 称 な 円筒 電 極(円

こ れ を3個 の 点 電 荷Q1,Q2,Q3で

よ う に 両 端 が 半 球(半

筒 部 分 の 長 さ2cm)が

径

ある。

模 擬 す る。Q2の 位 置 を 原 点 と し,点 電 荷

を そ れ ぞ れ(0,1),(0,0),(0,−1)に

置 く。 電 極 の 電 位 が1Vの

と き,輪 郭 点

(KP)の 位 置 を,   (a)  半 球 先 端(0,2)と 円 筒 部 分 中 央(1,0)  

(b)  円 筒 部 分 の端(1,1)と

円筒 部 分 中 央(1,0)

の場合 につ いて,各 電 荷 の値 な らび に この 電極 の静 電 容 量 の近 似 値 を求 め な さい 。

(a)

(b)

図 問6.1

2. 前 問 題 の 仮 想 電 荷 を2個

の 点 電 荷Q1,Q3と1個

は それ ぞ れ 半 球 の 中心(0,1),(0,−1)に,線 (軸 上)に 置 く。 輪 郭 点 が 前 問 題 の(a),(b)の

の 線 電 荷Q2と

電荷 は2個 の 点 電 荷 をつ な ぐ線 上 場 合 につ い て,各 電 荷 の 値 な

らび に こ の 電極 の 静 電 容 量 の 近 似 値 を求 め な さ い。 3. 本 文6.6.2項

し,点 電 荷

の 円板 導 体 上 の電 界 と電 荷 密 度 を 求 め な さい 。

第7章  電界 計算法 の比較 と精 度

  第3章

か ら第6章

で,代 表 的 な 数値 電 界 計 算 法 と して,領 域 分 割 法 で あ る差 分

法 と有 限 要 素 法,境 界 分 割 法 で あ る 表 面 電 荷 法 と電 荷 重 畳 法 に つ い て 説 明 した 。 2.5節 に述 べ た よ う に,他 に もい くつ か の 電 界 計 算 法 が あ るが これ ら に つ い て は 次 章 で 述 べ る。   電 界 計 算 で は どの よ う な 目 的 の 計算 を,ど ん な 配 置 や 条 件 で 行 う か に よ っ て 適 切 な計 算 法 が 相 違 す る 。 し たが っ て,適

当 な 計 算 法 を 選 ぶ に は計 算 法 の 特 徴 を 知

ら な け れ ば い け な い 。 特 に重 要 な の は 計 算 精 度 で あ る 。 この 章 で は 差 分 法 と有 限 要 素 法 の 比 較,表 面 電 荷 法 と電 荷 重 畳 法 の比 較,全 体 の 比 較 表,さ

ら に計 算 精 度

につ い て 説 明 す る。

7.1 

差 分 法 と有 限 要 素 法 の 比 較

  差分 法 と有 限 要 素 法 は微 分 を 点 間 の 差 分 で 近 似 す るか,要 素 の特 性 を簡 単 な 関 数 で 近 似 す る か の 違 い が あ るが,ど

ち ら も領 域 の 各 点 の 電 位 φiの連 立 一 次 方 程

式 に な る の で,計 算 上 の相 違 は この 方 程 式 を作 る まで の プ ロ セ ス で あ る。 と こ ろ が4.6節

に述 べ た よ う に,二 次 元 場 で も回 転 対 称 場 で も一 様 に 長 方 形 格 子 で 分 割

した と きの 差 分 法 と,さ

らに 二 分 割 した 三 角 形 要 素 に よ る有 限 要 素 法 は ま った く

同 じ φiの式 を与 え る。 した が っ て 境 界 に お け る い く らか の相 違 を 除 け ば,同

じ

電 位 ・電 界 値 が 得 られ る し精 度 も同 じで あ る。 相 違 点 は有 限 要 素 法 の ほ うが プ ロ

グ ラ ム,入 力 デ ー タ と も複 雑 で,何 倍 も手 間 が か か る こ と だ け で あ る。 比 較 的 簡 単 な単 一 誘 電 体 の 配 置 で 境 界 も複 雑 で な い場 合 に は差 分 法 で な く有 限 要 素 法 を 適 用 す る メ リ ッ トは あ ま りな い とい っ て よ い。 そ れ に もか か わ らず,電 界 計 算 の 分 野 で も有 限 要 素 法 の 利 用 が 増 加 し て き た の は,有 限 要 素 法 の ほ う が 柔 軟 性 が あ り,一 般 的 に複 雑 な 問 題 ほ ど有 利 に な る た め で あ る。 高 次 近 似 関 数 の 利 用 に よ る 精 度 の 向上 は4.7節

で 説 明 した が,他

に 次 の よ う な利 点 が あ る 。

(1)  領 域 分 割   差 分 法 で は通 常 領 域 を座 標 軸 に 平 行 な正 方 形 あ る い は 長 方 形 格 子 で 一 様 に(規 則 的 に)分 割 す る が,有

限要 素 法 で は電 界 の 高 い と こ ろ や 変 化 の 激 しい と こ ろ を

密 に し,遠 方 領 域 を粗 にす る の が 容 易 で あ る 。 ま た座 標 軸 に無 関 係 に分 割 で きる の で,た

と え ば電 極 表 面 で は 法 線 方 向 に分 割 点 を取 れ る な ど,分 割 に 自 由度 が あ

る。 こ れ ら に よ っ て,未 知 数 の 節 約,同 た だ し差 分 法 の ほ うが 分 割(メ

じ未 知 数 の 数 で は精 度 の 向 上 が 図 れ る。

ッ シ ュ生 成)の

容 易 な の は 当 然 で あ る。

(2)  境 界 の 処 理   差 分 法 は 回転 軸 上 や 電 極 表 面 な ど種 々 の境 界 で 特 別 な処 理 の 必 要 な こ とを3.5 節 で説 明 した 。 有 限 要 素 法 で は 方 程 式 が 要 素 の 処 理 を も と に して い るの で,回 転 軸 上 で も特 別 な 考慮 を必 要 と し ない 。 電 極 表 面 上 も常 に 節 点 を 置 くこ とが で きる の で 同 様 で あ る。 さ ら に 第11章

に述 べ る よ う な複 合 誘 電 体 界 面 に お い て も,界

面 上 に節 点 を 置 き,界 面 の 両 側 で 要 素 の 誘 電 率 を 変 え た 式 を 使 用 す る だ け で 済 む。 特 に 有 利 な の は,∂ φ/∂n=0と な る 対 称 面 な どの 境 界 の 処 理 で あ る 。 この 電 気 力 線 が 境 界 に 並 行 で あ る とい う 条 件 は,「 自 然 境 界 」 あ る い は 「断 熱 境 界 」 と も呼 ば れ る が,有

限 要 素 法 で は境 界 値 を指 定 しな い境 界 は 自動 的 に この 条 件 が 満

足 され る の で あ る 。 こ の こ とは た と え ば以 下 の 例 で 示 す こ とが で き る。   図7・1でiを 要 素1,2,3に

∂φ/∂y=0上 の 点 で あ る とす る と,図4.2で 対 す る ∂Xe/∂φiは(4・26)∼(4・28)式

計 算 した よ う に,

で 与 え ら れ る。hx=hyの

と きポ テ ン シ ャ ル エ ネ ル ギ ー の微 分 を0と お くと,∂X/∂ φi=Σ ∂Xe/∂φi=0か ら (7・1)

図7.1 

自然境 界

〓上 の節 点(二 次元 場)

と な っ て,差 分 法 で 与 え た ∂φ/∂y=0の(3・24)式

にな る。

  た だ無 限遠 に 関 して は差 分 法 と 同様 に ど こ で領 域 を 局 限(人 工 境 界 の 設 定)し て,い

か な る境 界 条 件 を与 え るか の 考 慮 が 常 に 必 要 で,2.2節

あ る い は3.5.3項

で 解 説 した 方 法 を用 い な け れ ば い け な い 。 (3)  入 力 デ ー タの 作 成   プ ロ グ ラ ム,入 力 デ ー タが 複 雑 で,作 成 に手 間 が か か る と い う有 限 要 素 法 の 難 点 は,計 算 機 処 理 手 法 の 発 達 に よ っ て,領 域 の 自動 分 割 法 な ど入 力 デ ー タの 自動 作 成 ソ フ トが 開 発 され,か

な りの 程 度 克 服 さ れ る よ うに な っ た。

  こ の よ う な デ ー タ作 成 ソ フ トは,CAD(19.1節

参 照)な

どにお ける幾何 形状

モ デ リ ング ソフ トと格 子 分 割 ソ フ ト(メ ッ シ ュ ジ ェ ネ レー タ)と か ら成 る が,有 限 要 素 法 等 の 市 販 ソ フ トウ ェ ア に は た い て い付 属 して い る 。 ま た イ ン タ ー ネ ッ ト 上 で 無 料 の ソ フ トウ ェ ア も無 数 に公 開 され てい る。 い くつ か の 研 究 機 関 も ソ フ ト ウ ェ ア の ラ イ セ ンス 提 供 を行 っ て お り,理 化 学研 究 所 のV―CADと

呼 ば れ る三

次 元 ボ リ ュ ー ム デ ー タ 用 ソ フ ト ウ ェ ア 〔7.1],日本 原 子 力 研 究 開 発 機 構 の GRID3DSTと

呼 ば れ る並 列 メ ッ シ ュ ジェ ネ レー タ[7.2]などが 利 用 で きる 。

  メ ッシ ュ ジェ ネ レー タ の概 要 と動 向 に つ い て は,メ

ッ シ ュの 最 適 化 や 品 質 評 価

も含 め て,文 献[7.3]な どが 参 考 に な る。 この 文 献 に は イ ン タ ー ネ ッ ト上 の 各 種 フ リ ー コ ー ドの 情 報 も記 載 され て い る。

7.2  表 面 電荷 法 と電 荷 重畳 法 の 比較   電 荷 重 畳 法 は まず プ ロ グ ラ ム が 簡 単 で,そ の 最 大 の 理 由 は 電 位 や 電 界 が 式 で与 え られ る こ とで あ る 。 表 面 電 荷 法 は 平 面 電 荷 を用 い る場 合 を除 い て電 位,電

界の

計 算 に 数 値 積 分 が 必 要 で あ る。 さ ら に数 値 積 分 に お け る特 異 点 の 処 理(5.6節), 要 素 形 状 の 模 擬 方 法,電

荷 密 度 を座 標 の 高 次 式 で 表 す 場 合 の処 理,要 素 境 界 で の

連 続 性 な どの 付 帯 条 件,な

ど を考 慮 し な け れ ば い け な い。

  第二 に 計 算 時 間 は 一般 に表 面 電 荷 法 の ほ う が 長 い 。 数 値 積 分 を伴 う 回転 対 称 場 の計 算 時 間 は,表 面 電 荷 法 の 要 素 数 と同 じ電 荷 数 の 電 荷 重 畳 法 に比 べ て3-4倍

と

され て い る 。 第 三 に計 算 時 間 と 関係 す るが,電 荷 重 畳 法 は電 極 表 面 が 滑 らか で あ れ ば分 割 要 素 上 で電 荷 密 度 が 一 定 の 簡 単 な表 面 電荷 法 よ りは精 度 が よい 。 こ れ は 電 荷 重 畳 法 で は 電 極 を等 電位 面(必 然 的 に滑 らか で あ る)で 模 擬 す るの に,表 面 電 荷 法 は 表 面 電 荷 を直 接 用 い るた め,特 に よ る 。 旧 著 に は,球 対 大 地(接

に電 極 表 面 付 近 で 誤 差 が 大 き くな る こ と

地 平 面)の

荷 を使 用 した 電 荷 重 畳 法 で は 最 大 で0.2%,未

電 界 計 算 の 誤 差 が,16個 知 数 が 同 じ数 の16要

電荷 密 度 一 定)に 分 割 した表 面 電 荷 法 で は0.9%で

の仮 想 電

素(各

要素 の

あ る結 果 を 紹 介 して い る 。

  しか し表 面 電荷 法 で 電 荷 密 度 を高 次 の 多 項 式 で表 し,表 面 積 分 を 十 分 な精 度 で 実 行 す る と,電 荷 重 畳 法 よ り高 精 度 な電 界 計 算 の 可 能 な こ とが 文 献[7.4]に 示 さ れ て い る。 こ れ は 本 来 表 面 に存 在 す る電 荷 を電 荷 重 畳 法 で は内 部 の(離 れ た 位 置 の)仮 想 電 荷 で模 擬 す る た め と され て い る 。 この よ うな 高 精 度 の 計 算 は 最 近 の計 算 機 の 大 容 量 化 で 可 能 に な っ た も の で,さ (SCM)‐

高 速 多 重 極 法(FMM)の

らに発 展 した 曲面 形状 表 面 電荷 法

組 合 せ につ い て は 第9章,10章

で まとめ て

説 明 す る。   また 表 面 電 荷 法 は 次 の よ う な利 点 が あ り,電 荷 重 畳 法 で は 計 算 で きな い 配 置 も あ る。   (a)  入 力 デ ー タの作 成 が 容 易 で あ る。 計 算 プ ロ グ ラ ム が存 在 す る と,表 面 電 荷 法 は電 極 形状(表

面)を 要 素 に分 割 す る だ け で,表 面 電 荷 の 種 類 や 位 置

を 考 え な くて よい 。 つ ま り電 荷 重 畳 法 で 必 要 な仮 想 電 荷 の 種 類,位 置 を決

め る た め の 「経 験 と勘 」 が 不 要 で あ る。   (b)  厚 み の な い,あ

るいは薄い電極の計算 が容易で ある。電荷 重畳法 では仮

想 電 荷 は 通 常 電 極 内 部 に な け れ ば な らな い の で,金 属 箔 の よ うに 厚 み の な い 電 極 は 計 算 が で きな い。 絶 対 に 計 算 で き な い わ け で は な く,図7・2に 示 す よ うな 仮 想 の境 界(点 線)を

設 けて 領 域 を二 つ に分 け て 計 算 す る方 法

が あ る[7.5］ 。 こ の 図 で 電極 と境 界 の 両 側 に仮 想 電 荷 を 置 き領 域Aの

電界 は

電 荷7∼12,領

境界 条

域Bの

電 界 は電 荷1∼6で

与 え,輪 郭 点a∼fの

件 か ら電 荷 を求 め る 。 この 方 法 は領 域A,Bと 質 的 に は 第11章 る。 図7・2か

も同 じ誘 電 率 で あ る が,本

に 述 べ る複 合 誘 電 体 の 電 荷 重 畳 法 に よ る 計 算 と同 じで あ ら分 か る よ う に電 極 上 で も輪 郭 点 の2倍

の 数の電荷 が必 要

な うえ に,余 計 な仮 想 の境 界 を作 り余 分 な輪 郭 点 と仮 想 電 荷 を 与 え な け れ ば な らな い の で,た   (c)  誘 電 体 の 界 面(境 は 第11章

い て い の 場 合 表 面 電 荷 法 で 計 算 す る ほ うが 良 い 。 界 面)で

は 電 荷 数 が 少 な くて 済 む。 複 合 誘 電体 の 計 算

に説 明 す る が,電 荷 重 畳 法 で は 界 面 の 分 極 電 荷 を模 擬 す る の に ,

界 面 よ り離 れ た 位 置 で 両 側 に仮 想 電 荷 を 配 置 し な け れ ば い け な い。 さ ら に,一 方 の 誘 電 体 が 薄 い 場 合 な どは 適 切 に配 置 す る の が 必 ず し も簡 単 で な い 。 これ に対 して,表

面 電 荷 法 で は界 面 に 直 接 電 気 一 重 層 を 置 くだ け で よ

く,半 分 の 数 の 未 知 数(電 荷)で

済 む上 に 配 置 が 容 易 で あ る。

  数 値 計 算 で は 一 般 に プ ロ グ ラ ム 内 容 は複 雑 で も,よ

り一 般 性 が あ り入 力 の手 間

の 少 な い 方 法 は 次 第 に使 用 割 合 が増 加 す る。 こ の こ とは 表 面 電荷 法 と電荷 重 畳 法

図7.2  厚 み の な い電 極 の電 荷 重畳 法 に よる計 算

との 関 係 に も当 て は ま り,曲 面 要 素 に よ る形 状 模 擬 手 法(第9章

に説 明)の 発 展

な ど に伴 っ て 汎用 的 な表 面 電 荷 法 の使 用 が 増 え て きて い る。 重 要 な点 は,差 分 法 と有 限要 素 法 の 関 係 と異 な り,表 面 電 荷 法 と電 荷 重 畳 法 は両 者 を併 用 す るの が 可 能 な こ とで あ る 。 む しろ複 雑 な配 置 で,表 面 電 荷 と電極 内 の仮 想 電 荷 を そ れ ぞ れ 適 当す る個 所 に 配 置 し,積 極 的 に 両 方 法 の 長 所 を 活 用 す る こ とで う ま く計 算 で き る場 合 が あ る 。

7.3 

計 算 法 の 比 較 表

  2.5節 に,数 値 電 界 計 算 法 は 領 域 分 割 法 と境 界 分 割 法 に 大 別 さ れ る こ と を述 べ たが,計

算 法 の も と に な っ て い る 方 程 式(支

程 式 法,後

配 方 程 式)の 形 式 か ら前 者 は微 分 方

者 は 積 分 方 程 式 法 と呼 ば れ る こ と もあ る。 領 域 分 割 法 は領 域 を有 限個

に 分 割 し分 割 点 の 電 位 を 未 知 数 とす る 方 法 で,差 分 法 と有 限 要 素 法 が こ れ に属 し,境 界 分 割 法 は境 界 と境 界 上 に 存 在 す る電 荷(あ 電 界 を 求 め る方 法 で,表

るい は そ の作 用)を

面 電 荷 法 と電 荷 重 畳 法 が これ に属 す る 。

  こ れ ら4種 類 の 方 法 の 主 な 特 徴 を ま とめ て 表7・1に 数 は32bitPC(パ

分 割 して

示す 。表 中の未 知変数 の

ー ソ ナ ル コ ン ピ ュ ー タ)を 使 用 した 場 合 の 概 算 値 で あ る。 旧

著 の 表 で は,未 知 数 の 数 は 領 域 分 割 法 が400‐50000,境

界 分 割 法 が1000以

下で

あ っ た が,現 在 は は る か に 大 き く な っ て い る。 こ の 頃 以 降 の さ ら に大 きな 進 展 は,当 時 大 型 計 算 機 で な け れ ば 出 来 な か っ た 電 界 計 算 が,現 在 は は る か に複 雑 な 問題 を 誰 もがPCで

解 け る よ うに な っ た こ とで あ る。

  以 下 で は,領 域 分 割 法 と境 界 分 割 法 とい う区 別 が,次

の よ う な決 定 的 な相 違 を

生 じる こ と だけ を再 度 強 調 した い 。   (a)  領 域 分 割 法 で は 系 の(支

配)方

程 式 か ら求 め ら れ る の が 電 位 で あ る た

め,電 界 を計 算 す る際 の 数 値 微 分 に よ る誤 差 が 大 い に 問 題 で あ る。 こ れ に つ い て は さ らに7.5節

で解 説 す る。

  (b)  領 域 が 無 限 遠 に ま で 至 る場 合(開

空 間),境 界 分 割 法 で は 電 荷 の 作 用 が

無 限 遠 で 零 に な る の で 無 限 遠 の境 界 条件 が 自動 的 に満 足 さ れ る 。 領 域 分 割

表7・1 

数値 計 算 法 の比 較(原 則 的 に 電界 計 算 に 関 す る内 容)

法 で は適 当 な 箇 所 に仮 想 の境 界(人 工 境 界)を 設 け る必 要 が あ る。  (c)  境 界 分 割 法 は 領 域 分 割 法 に比 べ 分 割 数 が1次 元 少 な い た め,方 程 式(未 知 数)の

数 も1次 元 分 少 な くな る 。 そ の結 果,境 界 分 割 法 の連 立 一 次 方 程

式 は 未 知 数 が 少 な け れ ば 直 接 法 で 解 くこ と が で き る。 境 界 分 割 法 は フ ル (密 な)行 列 で あ る の に 対 して,領 域 分 割 法 の 係 数 行 列 は 大 規 模 で スパ ー ス(疎

な)行 列 に な るの で,3.6.2項

に 触 れ た よ う な特 別 な 方 法 が 必 要 で

あ る。  (d) 

しか し記憶 容 量 の点 か らは,境 界 分 割 法 の ほ うが 少 な くて 済 む の は二 次

元,回

転 対 称 場 まで で,三

次 元 配 置 で は係 数 行 列 の 番 号 付 け を工 夫 す る こ

と に よっ て,領 域 分 割 法 の ほ うが む しろ必 要 容 量 が 少 な い 。 た だ し,こ れ は1座 標 に 対 して 同 じよ うな(間 隔 で の)分 割 を した場 合 で,境 で も高 速 多 重 極 法(第10章)の

界分割法

よ うな 細 か い 分 割 が 可 能 な方 法 は も ち ろ

ん 大 容 量 が 必 要 で あ る。   さて この よ う な 長 所 短 所 か ら,各 数 値 計 算 法 が どの よ う な電 界 問 題 に 適 して い る か,言 葉 を か え れ ば与 え られ た 問題 に対 して どの 計 算 法 を用 い る の が 良 い か と い う点 で あ るが,ご

く一 般 的 に は表7・1に

記 した とお りで あ る。 読 者 の 中 に は,

電 界 だ け で な く どん な場 で も有 限 要 素 法 で解 け るの で,こ れ さ え あ れ ば 他 の計 算 法 は不 要 と考 え る 人 が い る か も しれ な い。 有 限 要 素 法 は た しか に もっ と も汎 用 性 の高 い方 法 とい っ て よ く,ほ とん どあ らゆ る場 の解 析 に適 用 され て い る 。 しか し 電 界 計 算 で は 少 し事 情 が 違 っ て い て,有 限 要 素 法 は い くつ か あ る数 値 計 算 法 の 一 つ にす ぎな い 。 こ れ は 第 一 に電 界 の多 くの 問 題 が 高 い 精 度 を 必 要 と し,計 算 機 の 限 られ た容 量 と計 算 時 間 の も とで は,電 荷 重 畳 法 や 表 面 電 荷 法 の ほ うが 精 度 が 高 い た め で あ る。 また 人 体 内 の 誘 導 電 界 計算 の よ う に,複 雑 で 大 規 模 な計 算 に は 有 限 要 素 法 で な く分 割 の 容 易 な 差 分 法 も使 わ れ て い る。   計 算 法 の 選 択 に 関 して,筆 者 の 独 断 的 な意 見 を述 べ る とす れ ば,「 境 界 分 割 法 で計 算 で き る とこ ろ は な るべ く境 界 分 割 法 を用 い よ」 で あ る。 しか し境 界 分 割 法 は あ く まで も ラ プ ラス の 式 の解 を も と に して い るの で,そ きな い。 た と え ば,空 間 電 荷 の あ る場 合(ポ

れ 以 外 の場 に は適 用 で

ア ソ ンの 式)や

導 電 率 が 電 界 に依 存

す る非 線 形 の 場 で は,特 殊 な 問題 を除 い て 領 域 分 割 法 を用 い る しか 手 が ない 。   な お,具 体 的 な 配 置 に 実 際 に計 算 法 を適 用 し,比 較 す る こ と も行 わ れ て い る 。 た と え ば,文 献[7.6]は 高 電 圧 実 験 室 の 配 置 を 有 限 要 素 法,電 荷 重 畳 法,モ カ ル ロ 法 で 計 算 し,文 献[7.7]は よ り線 導 体,凹

み 電 極(固

ンテ

体誘 電体 の凸形 ボ イ

ド),偏 軸 棒 ギ ャ ップ,を 各 種 の 方 法 で 計 算 し比 較 して い る 。

7.4 

計 算精 度 の 評価

 測定,計 算 を問 わずすべ ての定量的 な解析 では精度が決 定的 に重要 であ る。 明

確 な精 度 評 価 な く して は 定 量 的 な 議 論 は で きな い とい っ て よい 。 電 界 計 算 は 定 量 的 な解 析 に使 わ れ る もの で あ る か ら,計 算 誤 差 は もち ろ ん 非 常 に重 要 で,自 分 の 計 算 した 結 果 の精 度 を常 に把 握 あ るい は評 価 で き な け れ ば い け な い。   と ころ が 現 実 に は残 念 なが ら,計 算 精 度 が お ろそ か に され,誤 差 の不 明 な計 算 結 果 の報 告 さ れ る こ とが しば しば あ る。 実 験 の 場 合 は ま っ た く同 じ条 件 で も測 定 値 が ば らつ くのが 普 通 で あ るが,計

算 で は 同 じ プ ロ グ ラ ム で 計 算 す る 限 り何 度 で

もま っ た く同 じ結 果 が 得 られ る。 そ の た め に,も

っ と も ら しい 値 で あ る と,正

し

い結 果 だ と信 じ込 み や す い 。 さ らに 電 界 計 算 で は次 の よ うな 問 題 が あ る 。   (a)  通 常,計 算 誤 差 を評 価 す る に は実 験 値 と比 較 す る こ とが 行 わ れ るが,電 界 を求 め る実 験,た

と え ば ア ナ ロ グ法 に よ る測 定 は 数 値 計 算 よ り精 度 が は

る か に低 くほ とん ど使 用 で きな い 。   (b)  そ の た め 解 析 的 に 求 め られ る配 置 を 選 ん で,数 値 計 算 の 結 果 を解 析 解 (厳密 解)と

比 較 す る こ とが し ば しば 行 わ れ る が,解 析 解 の あ る の は 単 純

な 配 置 に限 られ る。 そ の た め に 実 際 の複 雑 な 配 置 の計 算 誤 差 よ り も低 く見 積 も られ る こ とが多 い 。   (c)  数値 計 算 で 求 め られ る値 に は,電 位,電 界,電

荷 量,電

荷 密 度 な どが あ

る が,電 位 の 値 で精 度 を評 価 す るの は危 険 で あ る。 電 界 の 誤 差 は電 位 よ り 通 常 大 き く,と くに 領 域 分 割 法 で は は る か に 大 き くな る こ とが あ る。   (d)  電極 形 状 と表 面 電 界 の 関 係 と して,次 式 は力 線 の 式,あ

の式 を用 い る こ とが で き る。 こ の

る い は 「Spielreinの 関 係 式 」 な ど と も 呼 ば れ るが,表

面 付 近 の 電 束 密 度 の振 舞 い か ら容 易 に導 出 で き る式 で あ る 。

(7・2)

 こ こでnは

電 極 表 面 の 法 線 方 向 単 位 ベ ク トル,Hは

径 の逆 数 の 平 均)で

平 均 曲 率(主

あ る。 た とえ ば 電 極 先 端 が 半 径Rの

曲率 半

球 状 な らH=1/R

で あ る 。(7・2)式 の左 辺 は 電 界 計 算 か ら得 られ る 値,右 辺 は形 状 か ら与 え

られ る値 で あ る。 両 辺 を比 較 す る こ と に よ っ て,た

とえ ば 電 荷 重 畳 法 で は

仮 想 電 荷 に よ る近 似 の 良 さ,す な わ ち計 算 精 度 をチ ェ ッ クで き る。 通 常 両 辺 の 値 は0.5%以

下 の 精 度 で 一 致 しな け れ ば 良 い近 似 と い え な い 。

  この 式 で は左 辺 の計 算 に 電 位 の2階 微 分 が 必 要 で あ る た め鋭 敏 な精 度 評 価 が 出 来 る 。 た と え ば 旧著 の例 で は,仮 想 電 荷 の 配 置 が まず い場 合 は,電 位 が5け

た,電 界 が2け

た まで 合 っ て い て も左 辺 の 曲 率 半 径 は1け た ま で

しか 合 わ な い例 を示 し て い る[7.8]。こ れ に 対 して,良 が7け

7.5 

た,曲 率 半径 は4-5け

い配置 の場合 は電位

た まで 一 致 す る 。

領 域 分 割 法 の 計 算 誤 差

  領 域 分 割 法 で あ る差 分 法,有

限 要 素 法 で の 電 界 の 計 算 誤 差 は,主 に 電 位 か ら電

界 を近 似 的 に(平 均 的 に)求 め る 際 に 生 じる。 この 誤 差 は電 極 配 置 や 分 割 の 細 か さ に依 存 す る 。 必 要 な 精 度 を 得 る の に ど の く らい細 か く分 割 す べ きか に つ い て, 簡 単 な配 置 で の 結 果 を述 べ る。   図7・3の

配 置 で,二

次 元 場,回

転 対 称 場 で 電 気 力 線 に 沿 っ て(x方

向 に)一

様 に 等 間 隔 に 分 割 して電 位 を求 め た と きの 電 界 の誤 差 を調 べ る 。   電 気 力 線 上 の 各 点(格 子 点 あ る い は 節 点)の 電 位 を φ(0),φ(1),φ(2),… る と,電 極 表 面(0点)の   (a)  E1:電

とす

電 界 値 を 得 るの に 次 の よ う な 方 法 が 用 い られ る 。

極 と最 近 接 点 の電 位 差 を距 離 で 割 っ て 電 界 とす る。 図7・3で

は,

(7・3)

 (b)  E2:二

次 式ax2+bx+cを

隣 接3点

の 電 位 に あ て は め て 電 界 を求 め る。

図7.3  電 極上 の電界 を求 め るた め の分 割

(7・4)

 (c)E3:四

次 式 を 隣 接5点

の 電 位 に あ て はめ る。 (7・5)

  中 心 電 極,外 側 電 極 の 半 径 をそ れ ぞ れr,Rと 界 付 近 の 電 界 は,二 K/(r+x)2(同

次 元 場 で はK/(r+x)(同

心 球 形)と

な る こ とが 多 い。Kはrに

す る と,中 心 電 極 表 面 の 最 大 電 軸 円 筒 形),回

転対称 場 では

よ ら な い 常 数 で あ る 。 同心 球

形 の 電 位 分 布 で 電 位 が 正 しい 値 に求 ま っ た と き のE1,E2,E3の

誤 差 を 図7・4

に示 す 。 誤 差 は真 値 か らの 最 大相 対 誤 差 で あ る 。 この 図 か ら も っ と も簡 単 に電 位 差/距 離 と して 求 め た電 界(E1)は

誤 差 が 非 常 に大 きい こ と,分 割 数 を増 や す と

電界 誤 差 が しば しば 分 割 数 の 反比 例 以 上 に減 少 す る こ とが 分 か る。   結 論 と して,電 極 表 面 の 最 大 電 界 を誤 差5%で

求 め る た め に は,電 極 付 近 の 必

要 な 分 割 の お お よ そ の 見 積 も りは,電 界 分 布 がK/(r+x)2の

図7.4  図7.3の 計 算 誤差(同 心 球 形 の場 合)

同 心 球 形 の場 合E1,

E2,E3で 方,図

そ れ ぞ れ 電 極 半 径rの1/20,1/5,2/5程 は 省 略 し た が,電 界 分 布 がK/(r+x)の

10,1/3,1/2程

の 電 位,電 界 分 布 で2%の

7.6 

同 軸 円筒 形 の 場 合 は そ れ ぞ れ1/

度 で よ い 。 た だ し,高 電 圧 機 器 の 絶 縁 設 計 や放 電 現 象 の 解 析 な

どで は 多 くの場 合5%よ

電 圧 の5%以

度の分 割 が必 要 であ る。一

り もっ と高 い 精 度 が 必 要 で あ る。 また 通 常 の 高 電 圧 機 器 精 度 を得 る に は,隣 接 す る分 割 点 間 の 電 位 差 が 電 極 間

下 で なけ れ ば な ら な い とい う報 告 もあ る[7.9]。

境 界 分 割 法 の 計 算 誤 差

  電 荷 重 畳 法 で は 第6章 点(AP)を

に述 べ た よ う に,輪 郭 点(KP)の

中 間 の 境 界 面 上 に検 査

と り,境 界 条 件 が ど の 程 度 満 足 され て い るか を 調 べ る。 要 す る に そ の

点 で の 電 極 電 圧 と の 差 を調 べ る。KPで

は 境 界 条 件 が 完 全 に 満 足 され て い る の

で,計 算 さ れ た 電位 と電 極 電 圧 と の差 は 一 般 にAPで く な る。 しか し電 界 の 誤 差 はKPとAPの

最 大(絶

対 値 で極 大)に

近

両 方 で極 大 値 を とる こ とが 多 い 。

  電 荷 重 畳 法 の仮 想 電 荷 群 で 与 え ら れ る 近 似 的 な電 位 を φ,真 の 電 位 を φrと す る と,電 位 の誤 差, (7・6)

もや は りラ プ ラス の 式 を満 足 す る。 そ こで 誤 差Pの

ポ テ ン シ ャ ル 問題 を 考 え る

こ と に よ っ て 電 界 誤 差 の 検 討 が 行 わ れ て い る[7.10][7.11]。 す な わ ち,電 極 上 で は真 値 φr=Vに

対 して φ は 図7・5(a)ま

こ れ ら は図6・6で

た は(b)の よ うな 分 布 に な る こ とが 多 い が,

説 明 した よ う に輪 郭 点 と仮 想 電荷 の 相 対 的 な 配 置 か ら生 じる。

電 界 特 異 点 の な い電 極 を対 象 に,こ れ らの 分 布 を次 の よ うに 正 弦 波 で 近 似 す る 。

(a)

 (7・7)

(b)

 (7・8)

こ こでPmは 角 度,nは

電 極 上 の 電 位 誤 差 の 最 大 値,θ は 電 極(球

電 極 を 想 定)表

面 を表 す

分 割 数 で あ る。 この 近 似 を 用 い る と電 界 誤 差 の最 大 値fmは

一般 に次

式 で 与 え ら れ る。

(a)P=Pmsin2nθ

(b)P=Pmsinnθ

図7.5  電 位 誤 差 の二 つ の タ イ プ(o印:輪

郭 点,た だ し実 際 の輪 郭 は曲 面)

(7・9)

こ こで,k=2:球

電 極 の 軸 上 で電 位 誤 差 が(7・7)式 の と き

=1 .5:球 電 極 の 軸 上 で 電位 誤 差 が(7・8)式 の と き =1:そ

の他の とき

ま たlは 輪 郭 点 間 の 距 離 で あ る。   Pmは 検 査 点 電 位 と電 極 電 圧 の 差 と考 えて よ い の で,こ

の 式 は 電 界 誤 差 を評 価

す る の に便 利 な 式 で あ る。fmは 絶 対 誤 差 を意 味 し,相 対 誤 差 はfmを そ の 点 の 電 界 で割 れ ば よ い。 実 際 の電 位 誤 差 は(7・7)式,(7・8)式 分 布 に は な ら な いが,問

の よ う な ピー ク値 一 定 の

題 に して い る付 近 の 最 大 電 位 誤 差 をPmと

すればや は り

(7・9)式 が 適 用 で き る。 また 輪 郭 点 が 等 間 隔 で な い と きは そ の付 近 の 電 極 上 の 電 位 誤 差 分 布 を(7・7)式,(7・8)式

に あ て は め れ ばや は り電 界 誤 差 の 近 似 値 が 得 ら

れ る。(7・9)式 に よ る と輪 郭 点 を密 に してlを 小 さ くす る と電 界 の 誤 差 が む し ろ 増 え る よ う に見 え るが,実

際 に はPmがl以

上 に 減 少 し て 電 界 誤 差 も小 さ く な

る。 しか し境 界 の 分 割 を細 か く して も電 界 の 精 度 は電 位 ほ ど は 良 く な らず,lが 非 常 に小 さ い と電 界 誤 差 は電 位 誤 差 よ りは るか に大 き くな り う る こ とに注 意 し な けれ ば な らな い 。   なお,文

献[7.12]で は電 荷 重 畳 法 で 仮 想 電 荷 の 配 置 の 影 響 を調 べ て い る。6.5.

1項 の(6・13)式,す

な わ ち(仮 想 電 荷 と輪 郭 点 間 の 距 離 ／ 両 隣 り輪 郭 点 間 の 距

離)と 誤 差 の 関 係 を 円 筒,球,回

転 だ 円体,な

どの 電 極 配 置 につ い て検 討 した も

のである。   第11章

に説 明 す る 複 合 誘 電 体 の 場 合 に は,誘 電 体 の 界 面(境

界 面)に

お いて

境 界 条 件 が どの 程 度 満 足 され て い る か を調 べ る。 す な わ ち2種 類 の 誘 電 体 の そ れ ぞ れ につ い て,界 面 上 のKPの (電束 密 度),接

中 間 に 検 査 点(AP)を

線 方 向 電 界 を計 算,表

と り,電 位,法

線 方 向電界

示 して 比 較 す る。 電 位 の 合 致 度(連 続 性)

に 比 べ て 電 界 の 連 続 性 は相 対 的 に は か な り劣 る の が 普 通 で あ る 。   一 方,表 面 電 荷 法 の計 算 精 度 は これ まで に述 べ た 電 荷 重 畳 法 の 考 え が ほ とん ど そ の ま ま適 用 で き る が,表 で,特

面 に直接 電荷 が存在 す る点 が相違 す る。表 面電荷 法

に滑 らか な 電 極 を滑 らか で な い 形 状 で 模 擬 す る こ とや 不 連 続 な電 荷 分 布 の

使 用 は 表 面 に近 い ほ ど大 きな 電 界 誤 差 を もた らす 。 た と え ば,文 献[7.13]は 電 荷 密 度 を ス テ ッ プ状(区

分 的 に 一 定 の)関 数 で 近 似 し た と きの 誤 差 を検 討 して い

る 。 しか し電 荷 密 度 の 高 次 表 現 や 高 精 度 の 表 面 積 分 に よっ て 表 面 電 荷 法 が 電荷 重 畳 法 以 上 の 高 精 度 を実 現 し得 る こ とを す で に7.3節

で述べた。

  複 合 誘 電 体 場 で の も う一 つ の 相 違 点 と して,第11章

に 述 べ る よ う に,表 面 電

荷 法 で は複 合 誘 電 体 は界 面 の 電 気 一 重 層 で 表 さ れ る の で,電 位 と接 線 方 向 電 界 の 連 続性 は常 に満 足 され て い る 。 したが っ て 電 荷 重 畳 法 と異 な り,電 束 密 度(の 法 線 方 向 成 分)の

連 続 性 だ け をチ ェ ック す れ ば よい とい う利 点 が あ る 。 た だ し,電

位 の 局 所 的 な誤 差 が 電 界 で は 拡 大 さ れ て 現 れ る こ とが あ る の で,接

線方 向電界 も

チ ェ ッ クす る こ とが 望 ま しい 。 なお 電極 表 面 の電 界 は,す べ て の 電 荷 の作 用 を積 分 して得 ら れ る 電 界 の 他 に,5.5節 れ る σ/ε0の2通 りが 可 能 な の で,両 用 い る こ とが で きる 。

の(5・16)式 の よ う に,電 荷 密 度 σか ら得 ら 方 を計 算 して 比 較 す る こ と も精 度 の 評 価 に

第7章  演習問題 1. 次 の よ うな 電 界 を計 算 す る の に最 も適 して い る方 法(数 値 計 算 法)を

選択の

  理 由 と と も に述 べ な さい 。  

(a)  縦 向 きの球 ギ ャ ッ プ(支 持 す る た め の 柄 も含 む)の 最 大 電 界

 

(b)  送 電 線(鉄 塔 の 効 果 は無 視)下

 

(c)  薄 い正 方 形 電極 対 大 地 の 配 置(電 界 計 の 校 正 に使 わ れ る)の 電 界 分 布

 

(d)  誘 電 率 が電 界 に 依 存 す る 固体 材 料 内 部 の 電 界 分 布

 

(e)  電 磁 界 に よっ て 誘 導 さ れ る 人 体 内 の 電 界 分 布

の地 上 電 界

2. 電 荷 重 畳 法 と表 面 電 荷 法 を比 較 して 長 所 短 所 を述 べ な さい 。 3. 電 界 計 算 の 精 度 の評 価 に用 い られ る,電 極 形 状 と表 面 電 界 の 関係 式(7・2)式 を,曲 率 半 径Rの

電 極 表 面 に つ い て 導 出 しな さ い(図 問7.1参

図 問7.1

照)。

第8章  その他 の方 法

  こ れ ま で に 述 べ た代 表 的 な四 つ の 方 法 の ほか に もい ろ い ろ な方 法 が 使 用,あ

る

い は提 案 され て い る。 モ ンテ カ ル ロ 法 の よ う に ま っ た く異 な る計 算 原 理 に よ る も の もあ るが,四

つ の 方 法 の バ リエ ー シ ョ ン とい うべ き も の もあ り,そ れ らを含 め

る とか な り多 数 に 上 る。   こ こ で は電 界 計 算 法 と して 比 較 的 重 要 と思 わ れ る い くつ か を 説 明 す る。 た だ し,主 に周 波 数 の 高 い電 磁 波(電 波)の で 取 り上 げ る の は,モ で あ る 。 ま た,時

計 算 に用 い られ る方 法 は 扱 わ な い。 こ こ

ン テ カ ル ロ法,境 界 要 素 法(BEM),コ

ン ビネ ー シ ョ ン法

間的 に変 動 す る磁 界 に よ って 生 じる場 の 計 算 が,た

とえば人体

内 誘 導 電 界 や 誘 導 電 流 の計 算 で 行 わ れ る が,こ れ らの い くつ か も こ こで 簡 単 に 説 明 す る。 そ れ ら はFDTD法,FI法(あ

る い はFIT法),SPFD法

な どで あ る。

これ らの 方 法 を実 際 に使 用 す る に は媒 質 の モ デ リ ン グや 境 界 条件 の 設 定 な どに つ い て もっ と詳 し く解 説 す る 必 要 が あ るが,こ

こで は 各 方 法 の 特 徴 と相 互 の比 較 を

中心 に 簡 単 に説 明 す る。   ほ か に,過 渡 的 電 磁 界 の解 析 方 法 と して,線 電 流 や 面 電 流 の分 布 を仮 定 し周 波 数 成 分 ご と に電 磁 界 を 計 算 す る モ ー メ ン ト法,人

体 の 誘 導 電 界 や 電 流 の 計 算 で,

人体 を抵 抗 か ら な る 電 流 回路 網 で 構 成 し,こ の 回 路 網 方 程 式 を解 く方 法(「 イ ン ピー ダ ンス 法 」 と呼 ば れ る),格 子 点 で の 物 理 量 に加 え て そ の微 分 値(ま 分 値)も

考 慮 す る,セ

polation profile)法,な

ミ ・ラ グ ラ ン ジ ュ法 の一 種 で あ るCIP(constrained ど もあ る が こ こで は述 べ な い 。

た は積 inter

8.1 

モ ン テ カ ル ロ 法[8.1][8.2]

  モ ンテ カ ル ロ法(Monte

Carlo method)は,一

般 に数学 や物 理 の 問題 を対応

す る確 率 的 な過 程 に置 き換 え て 解 く方 法 で,偏 微 分 方 程 式 の解 法 の 一 つ で あ る。 電 界 計 算 で は,ラ と も呼 ば れ る が,ジ

プ ラ ス の 式 に従 う よ う な 「ラ ンダ ム 歩 行 」(酔 歩 あ る い は 乱 歩 グザ グ の 勝 手 な 運 動 を させ た試 行 を 意 味 す る)を

させた確率

か ら電 位 分 布 を 求 め る。 こ れ ま で に解 説 した 方 法 の どれ と も全 く相 違 して い る が,空

間 の電 位 を求 め る点 で は領 域 分 割 法 に属 す る。

  図8・1の 1点Bjに

よ う な二 次 元 場 で 規 則 的 に 分 割 した 領 域 内 の1点P点

至 る確 率p(P,Bj)を

この 確 率 はP点

か ら,境 界 の

考 え る。 格 子 間 隔 ず つ しか 移 動 で き な い とす る と,

の 隣 接 格 子 点 の 確 率 と次 の 関係 に あ る。 (8・1)

Pが 境 界 上 の 点 の と き は

(8・2)

と定 義 す る と, (8・3)

は,(8・1)式

に よ って 領 域 内 で(正

方格 子 の)差 分 方程 式 を満 足 し,境 界 で 与 え

図8.1  ラ プ ラス式 の計算 領 域

られ た 関 数V(Bj)と を,P点

な る よ う な ラ プ ラ ス の 式 の 解 で あ る。 そ こで 確 率p(P,Bj)

か ら ラ ン ダ ム歩 行 させ てBjに 至 る も の の 比 率 と して 求 め れ ば(8・3)式

か ら φ(P)が 得 られ る。 した が っ て,モ

ン テ カ ル ロ法 は全 体 の 電 位 を計 算 す る こ

とな く,局 所 の 電 位 だ け を求 め る こ と の で きる の が 特 徴 で あ る 。   モ ンテ カ ル ロ法 の可 能性 は前 か ら知 られ て い た が,電 界 計 算 に限 らず た い て い の偏 微 分 方 程 式 は直 接 解 くほ うが 有 効 で あ っ た 。 モ ン テ カ ル ロ 法 の 最 大 の 欠 点 は 格 子 間 隔 ず つ 移 動 して境 界 に 達 す る の に きわ め て 長 い 時 間 の か か る こ と で あ る 。 そ の 後"floating

random

walk method"と

呼 ば れ る 計 算 の 速 い 方 法 が 提 案 さ れ,

電 界 計 算 へ の 応 用 も報 告 さ れ た 。 こ の 方 法 は歩 行 の 方 向 を格 子 点 に 限 らず 任 意 の 方 向 に取 り,し か も1回 の歩 行 長 さ を境 界 まで の最 短距 離 に取 る もの で あ る。 文 献[8.3]は,有 して,モ

限 要 素 法,電

荷 重 畳 法,モ

ンテ カ ル ロ 法 を種 々 の 電 極 配 置 で 比 較

ン テ カ ル ロ 法 は 入 力 デ ー タ,記 憶 容 量 が 少 な くて 済 む の で,複 雑 な一 般

三 次 元 配 置 の 局 所 領 域 の 電 界 計 算 に 適 して い る と述 べ て い る 。   ま た ポ ア ソ ンの 式 へ 適 用 した 論 文[8.4]も 報 告 さ れ た が,そ 経 た現 在,モ

の 後 約4半

世紀を

ン テ カ ル ロ 法 は 電 界 計 算 に ほ とん ど適 用 さ れ て い な い 。 こ れ は 計 算

機 の 発 達 と この 方 法 以 外 の 数値 計 算 手 法 の 進 展 に よ って,当

時計 算 の 困 難 で あ っ

た 複 雑 な 配 置 の 電 界 計 算 が 比 較 的 容 易 に で き る よ う に な った た め で あ る。

8.2 

8.2.1 

境 界 要 素 法

境 界要 素法 の基 礎

  表 面 電荷 法 が もっ ぱ ら電 界 計 算 に使 用 され る 方 法 で あ るの に対 して,境 界 要 素 法(boundary

element

method,BEM)は

よ り一 般 的 な 方 法 で あ る 。 表 面 電 荷

法 は 間接 境 界 要 素 法 と して境 界 要 素 法 の 一 部 と見 な され る こ と もあ る 。   電 界 計 算 に お け る ポ テ ン シ ャ ル φは,2.1節

に 述 べ た ポ ア ソ ン の式,(2・6)式

で 与 え られ る が,誘 電 率 ε0が一 定 で 空 間 電 荷 密 度 が0の 式 に な る。

場 合 ,次 の ラ プ ラス の

(8・4)

  一 方,φ

と ψ が2階

Sに お い て,グ

微 分 可 能 な 関 数 の と き,図8・2(a)の

よ う な 領 域 Ω,境

界

リ ー ン の 定 理 か ら 次 の 関 係 が 成 り立 つ 。

(8・5)

φ と ψ が と もに ラ プ ラ ス の 式 を満 足 す る と き は, (8・6)

と な る 。 ψ は 「基 本 解 」 と呼 ば れ る が,三

次 元 場 で は1/(4πr),二

ln(1/r)/2π で あ る。 す な わ ち係 数 を別 に して 三 次 元 で はP点 元 で は 無 限長 線 電 荷 の 作 る 電 位 を示 し,rはP点   Pが 領 域 内 に あ る と き,Pを 境 界Ssと

して,こ

次元 場 で は

に あ る点 電荷 ,二 次

か ら任 意 点 まで の距 離 で あ る。

中 心 とす る 半 径Rの

球 面(二

次 元 場 で は 円)を

の 境 界 で 次 の 積 分 を考 え る。 (8・7)

Ssの 半 径Rを0に

近 づ け る と こ の 積 分 はP点

う に(8・5)式 の 積 分 表 面SをSsと

の 電 位 φ と な る。 図8・2(b)の

そ れ 以 外 に 分 け て,こ

よ

の よ うな操作 を施す

と,一 般 に 次 式 が 成 り立 つ 。 (8・8)

 係 数CはPが

領 域 内 部 に あ っ てSsが 球 面 で あ れ ば1で あ る が,滑

(a)

(b)

図8.2  境 界要 素 法 の計 算 領域 と境 界

らか な 境 界

上 な ら1/2と

な る。 こ の よ うに して 得 られ た(8・8)式 は,電 位 が 境 界 で の値 と そ

の法 線 方 向 微 係 数 の 境 界 積 分 に よ っ て 表 され る こ と を示 し,境 界 要 素 法 の 基 本 式 である。 8.2.2 

表 面 電 荷 法 との 違 い

  媒 質 の境 界(電 極 表 面 と誘 電 体 界 面)だ

け を分 割 し,分 割 要 素(セ

ル,パ

ッチ

な ど と もい う)上 の量 を 未 知 数 とす る の は 表 面 電 荷 法 も境 界 要 素 法 も 同 じで あ る 。 しか し,表 面 電 荷 法 は具 体 的 な電 荷 密 度(誘 電 体 界 面 で は分 極 電 荷 密 度)を 未 知 数 とす るの に対 して,境 界 要 素 法 の 未 知 数 は ポ テ ン シ ャル(電 界 計 算 で は 電 位 φ)と そ の 法 線 方 向 微 係 数 ∂φ/∂n(電 界 で は法 線 方 向 成 分En)の 電 極 表 面 で は 電 位 の 値 は 与 え ら れ(既 知),電 よ うにEnに

荷 密 度 σ は5.5節

二 つで ある。 の(5・16)式

の

比 例 す る の で,二 つ の 方 法 は 同 じで あ る。

  一 方,誘 電 体 界 面 で は 電 位 は 既 知 で な く,電 荷 密 度 σは両 誘 電 体 表 面 のEnの 差 に比 例 す る の で,φ

と ∂φ/∂nの 両 方 を 未 知 数 とす る境 界 要 素 法 は 表 面 電 荷 法

と相 違 す る。 こ れ を 説 明 す る に は,基 本 式(8・8)式 に お い て 内 部 の 点 に対 して は C=1で

あ るが,境 界Sの

外 部 を考 え る と(8.6)式 か ら, (8・9)

で あ る 。 こ こ で,φeは

外 部 領 域 で の ラ プ ラ ス の 式 の 解 で,境

向 き が 逆 に な る た め に2項 S上 で は φ=φeで

目 は(8・6)式

界S上

で は法線 の

と符 号 が 異 な る 。(8・8),(8・9)式

か ら

あ る こ と を 用 い る と,

(8・10)

す な わ ち,任 意 点 で の 電 位 はS上

の(内

部 領 域 と外 部 領 域 の)電

位 の法 線方 向

微 係 数 で 表 され,法 線 の 向 きを 考 え る と両 者 の 差 で あ る。 誘 電 体 界 面 の 電 荷 密 度 は こ の 値 に比 例 す る。 こ の よ う な 定 式 化 か ら,表 面 電 荷 法 は 「間 接 境 界 要 素 法 (indirect BEM)」

あ る い は 「間接 法 」 と呼 ば れ る こ とが あ る 。

  また 表 面 電荷 法 は,実 際 に 存 在 す る 電荷(分

極 電 荷 も含 め る)を 対 象 と して,

存 在 す る す べ て の境 界 で の 電 荷 の作 用 を加 算(積

分)す

る の に対 して,境 界 要 素

法 は前 節 の 式 の 導 出 か ら分 か る よ うに,任 意 の 閉 曲 面 を対 象 と して よい 。 具 体 的 な媒 質 の 境 界 で な くて も よい の で あ る 。 こ の点 か ら,境 界 要 素 法 の ほ うが 融 通 性 に富 む とい って よい 。逆 に,同

じ誘 電 体 界 面 で 同 じ分 割 な ら境 界 要 素 法 は 未 知 数

が2倍

に な る。 表 面 電 荷 法 は ぎ り ぎ りの 少 な い 未 知 数 で 計 算 法 を構 成(場

現)す

る た め に融 通 性 が 乏 しい の で あ る。

8.3 

を表

コ ン ビ ネ ー シ ョ ン 法[8.5][8.6]

  コ ン ビ ネ ー シ ョ ン法 は領 域 分 割 法 と境 界 分 割 法 を併 用 す る方 法 で あ る。7.3節 に説 明 した よ う に,領 域 分 割 法 と境 界 分 割 法 はそ れ ぞ れ 長 所,短 所 が 異 な り,適 当 な 計 算 対 象(電

極 配 置)も

異 な っ て い る 。 そ こで そ れ ぞ れ別 な計 算 法 が 適 して

い る 部 分 か ら成 り立 って い る 計 算 対 象 の場 合 に,適 材 適 所 で 各 計 算 法 が 分 担 す れ ば効 果 的 と考 え られ る。 コ ン ビネ ー シ ョ ン法 は,有

限 要 素 法(あ

る い は 差 分 法)

と電 荷 重 畳 法 を組 み 合 せ た計 算 な どが 報 告 され て い る。 計 算 対 象 は2種 類 あ る い は そ れ 以 上 の 個 数 の 複 合 誘 電 体 で 領 域 が 無 限 遠 に ま で 広 が っ て い る場 合 で あ る 。 以 下 文 献[8.5]に

したが っ て この 方 法 の概 略 を述 べ る 。

  コ ン ビ ネ ー シ ョ ン法 は全 体 の 領 域 を 有 限要 素 法 で計 算 す る 領 域(FE領 電 荷 重 畳 法 で 計 算 す る領 域(CS領

域)に

域)と

分 け,二 つ の 領 域 の 境 界 と して 結 合 面

を置 く。 結 合 面 は 実 際 の 誘 電 体 界 面 に と って も よい が,全

く仮 想 の 境 界 面 で も よ

い 。 む しろ 全 く仮 想 の境 界 面 に とっ た ほ うが 処 理 が 簡 単 で,ま た 一 度 作 成 して お け ば 他 の 問 題 に も適 用 で きる とい う メ リ ッ トが あ る 。 図8・3に 領 域 内 部 の 節 点 数 をNF,結

合 面 上 の 節 点 数 をNG,CS領

とす る と,結 合 面 上 でCS領

域 の 電 位(境 界 条 件)を

NG個

示 す よ う に,FE

域 の 仮 想 電 荷 数 をNc 与 え る た め にFE領

域 内に

の 仮 想 電 荷 を置 く必 要 が あ る。 そ こで 全 体 の未 知 数 は, (8・11)

とな る。N個 電 位 か ら,CS領

の 未 知 数 が す べ て 求 ま る と,FE領 域 で は(NC+NG)個

域 内 で は(NF+NG)個

の節 点

の 仮 想 電 荷 の 電 荷 量 か らそ れ ぞ れ 電 界 分

図8.3 

コ ン ビネー シ ョン法 の 説 明図

布 が 求 め られ る 。 さ て コ ン ビ ネ ー シ ョ ン法 の 支 配 方 程 式 で あ る が,結 合 面 以 外 の 領 域 で は そ れ ぞ れ 通 常 の有 限 要 素 法,電

荷 重 畳 法 の 式 で あ る。 結 合 面 のi点 で は

まず 電 位 の 連 続 条 件 か ら, (8・12)

φFE(i)は 未 知 数 そ の も の で あ る が,φCS(i)は

次式 で 与 え られ る。

(8・13)

ま た 電 束 密 度(の

法 線 方 向成 分)の

連 続 条 件 か ら,結 合 面 に 垂 直 な方 向 の 電 界

Enに つ い て, (8・14)

結 合 面 が 同 一 誘 電 体 中 で あ れ ば も ち ろ ん εFE=εCSで

あ る 。 こ の 式 でEnFE,EnCS

をそ れ ぞ れ 次 式 で 与 え る 。

(8・15)

(8・16)

こ こ でd(i)はi点

と法 線 方 向 の 隣接 節 点i'点 と の距 離 ,Fn(i,j)は

法線 方向電界

図8.4  コ ン ビネー シ ョ ン法 の 方程 式 構 成

係 数(単 位 の 電 荷 に よ る 法 線 方 向電 界,第11章   以 上 で φ(i),Q(i)に

参 照)で

対 し線 形 な方 程 式 が2NG個

領 域 に 一 定 電 位 の 電 極 が な い 場合,図8・4の

あ る。

で き た。 全 体 の 方 程 式 はFE

よ う な行 列 に な る。 こ の 図 で ① は

CS領

域 の 輪 郭 点 に 対 す る 式,②,③

は そ れ ぞ れ(8・13)式,(8・14)式,④

FE領

域 の各 節 点 に対 す る式 で あ る。 電 荷 重 畳 法 と有 限 要 素 法 の 係 数 が 混 在 す る

た め に,一 部 は 零 要 素 が 無 く,一 部(図8・4のA44)は

は

零 要素 の多 い行 とな っ

て お り,方 程 式 の解 法 に配 慮 が 必 要 で あ る 。 未 知 数が 少 な い と きは で きる だ け 直 接 法 で 解 くの が よ い が,多

い と きはSOR法

な ど の 反 復 解 法 や 部 分 行 列 を用 い る

こ とに な る。 計 算 例 と して は,球 電 極 の 下 に 平 板 の絶 縁 物 が あ る場 合 ,平 板 上 に 表 面 電 荷 が 存 在 す る 場 合 や,さ

ら に複 雑 な 配 置 と して 棒 電 極,絶

縁 油,油

浸 紙,

ガ ラ ス,空 気 か らな る 回 転 対 称 配 置 の 計 算 結 果 が 報 告 さ れ て い る。

8.4 

FDTD法

8.4.1 

とFI法

FDTD法

  FDTD(finite

difference time domain;有

限 差 分 時 間領 域)法

は,も

ともとの

時 間 変 化 も含 め た マ クス ウ ェ ル の 式 を差 分 法 で 解 く方 法 で あ る。 時 間 的 変 化 を 追 う 点 に特 徴 が あ る。 三 次 元 配 置 の 電 磁 現 象 の 汎 用 的 な解 析 法 と して,1966年 K.S.Yeeに

に

よ って 提 案 され た[8.7]が,当 時 は 計 算 機 性 能 の 点 で 活 用 で き る状 態 に

至 ら な か っ た。1985年

ご ろ か ら利 用 が 増 加 し,最 近 は と くに ア ン テ ナ な ど 波 源

や 散 乱 体 を含 む 電 波 伝 播 の 標 準 的解 析 方 法 と し て広 く用 い られ る よ うに な っ た。   時 間 を含 め た マ クス ウ ェ ル の式 と して,(2・1)式

の (8・17)

な ら び に,

(8・18)

を用 い る。(8・17)式 の 右 辺 に,磁 界 の エ ネ ル ギ ー 損 失 を表 す κ'Hな る項 を 付 加 す る(κ'は

「等 価 磁 気 伝 導 率 」 と呼 ば れ る)こ

と もあ る。FDTD法

は これ らの

式 と媒 質 の 特 性 を与 え る(関 係 づ け る)構 成 方 程 式 を も とに して 差 分 法 で 解 く。 構 成 方 程 式 は,次 の よ う な2章 の(2・5)式 な らび にBとHの

関 係 式 で あ る。

ε,μ は そ れ ぞ れ 媒 質 の 誘 電 率,透 磁 率 で あ る。 電 波 解 析 の 分 野 に 多 数 の 解 説 が あ る の で,こ

れ 以 上 の 詳 細 は述 べ な い が,座 標 軸 に平 行 な 分 割格 子 の 各 点 に ポ テ

ン シ ャル で は な く電界,磁

界 を定 義 し,一 般 的 に 時 間 を含 め て 電 磁 波(電 波)の

挙 動 を追 う。   こ の と き,安 定 に解 くた め に は,時 (分割 格 子 間 隔)hと

間 ス テ ップ δtは 領 域 分 割 セ ル の 大 き さ

伝 播 速 度υ の 比h/υ よ り小 さ くな け れ ば い け な い(こ

「CFL(Courant‐Friedrichs‐Levy)条

れは

件 」 あ る い は 「Courantの 条 件 」 と呼 ば れ

る)。 伝 播 速 度υ を 光 速 とす る と,こ の 条 件 の た め に低 周 波 で は 電 磁 界 の 変 化 時 間 に比 べ て け た違 い に 小 さい 時 間 ス テ ッ プ に な る 。 そ こ で低 周 波 の 場 合 は,電 磁 波 の伝 播 速 度 を人 為 的 に小 さ く(遅 く)し て条 件 を 緩 和 す る と か,高 周 波(た え ば10MHz)で

計 算 しそ の結 果 を 「周 波 数 ス ケ ー リ ン グ」 に よ っ て 低 周 波(た

と え ば商 用 周 波)に 換 算 す る,と   FDTD法

と

い っ た 方 法 も用 い られ る。

は差 分 法 で あ る か ら分 割 は座 標 軸 に 平 行 で,直 方 体 セ ル を用 い る の

が 基 本 で あ る。 媒 質 の 境 界 が 座 標 軸 に 平 行 で な い場 合 に斜 め格 子 を 用 い る方 法 や 斜 交 座 標 の 適 用 もす で に報 告 さ れて い る[8.8]が,いず れ も プ ログ ラ ムが 複 雑 に な る。

8.4.2 

FI法[8.9]

  FI(finite

integral;有

三 次 元 の 電 界,磁

限 積 分,あ

る い はfinite integral

界 を 時 間 変 化 を 含 め て 追 う 点 でFDTD法

と は 独 立 に1977年

にT.Weilandに

の 式 を も と に し,こ

technique;FIT)法

は

に 近 い が,FDTD法

よっ て 提 案 さ れ た 。 積 分 形 式 の マ クス ウ ェ ル

れ を 離 散 化 し て 計 算 す る 。 前 項 の(8・17),(8・18)式

を境 界

S上 で 面 積 分 す る と,

(8・19)

(8・20)

と な る。 た だ し,回 転 の 面 積 分 を 閉 曲線Cに

沿 うdlの 線 積 分 に書 き換 え,ま た

等 価 磁 気 伝 導 率 κ'Hの 項 も含 め て い る。 こ れ らの 式 を 離 散 化 して 解 くが,Eと Hの 代 わ りにEとBを

変 数 にす る こ と もあ る 。

  こ の よ うに,積 分 形 が も と に な る の で,計 算 対 象 の境 界 に応 じた 要 素 形 状 を使 用 す る こ とや,場

所 に よ っ て 格 子 間 隔 を変 化 させ る こ とがFDTD法

よ り容 易 で

あ る。 ま た,媒 質 境 界 で 磁 束 密 度 の 法 線 方 向 成 分 の 連 続 性 や 要 素 の 辺 で 電 界 の 接 線 方 向成 分 の 連 続 性 が 自動 的 に満 足 され る な ど の利 点 が あ る。

8.5 

SPFD法[8.10]

  SPFD法(scholar

potential finitedifference;ス

変 動 磁 界 に よっ て 発 生 す る電 界,誘 る磁 界(二

カ ラ ポ テ ン シ ャル 差 分 法)は,

導 電 流 を,誘 導 電 流 が 十 分 小 さ い と き発 生 す

次 効 果)を 無 視 して解 く方 法 で あ る。 低 周 波 で の 人体 誘 導 電 界,電 流

の計 算 に用 い られ,人 体 を立 方 体 の セ ル に分 割 して分 割 点(格 子 点)の ス カ ラ ポ テ ン シ ャ ル(電 位)を 計 算 す る。   人 体 の 電気 的 特 性 は導 電 率 だ け を考 慮 し,外 部(空 気 部 分)の る。 前 節 の マ ク ス ウ ェ ル の 式(8・17),(8・18)式

分割 は不要 であ

にお いて 時 間変化 を角周 波数

ω の 複 素 数 で扱 う と, (8・21) (8・22)

で あ る。 た だ し,商 用 周 波 領 域 の 低 周 波 で あ る た め 変 位 電 流 の 項 を 無 視 し て い る 。 また,人 体 の 電 気 的 特 性 は 導 電 率 κ だ け で 考 え る。 変 位 電 流 を無 視 した 場 合 の 電 流 連 続 の 式 は, (8・23)

で あ る。(8・23)式

よ り,導 電 率 κ を有 す る 媒 質(人 体)と

空 気(導

電 率0)と

の 境 界 の境 界 条件 は, (8・24)

で あ る 。 一 方,磁

束 密 度BはdiυB=0の

と ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ルAで

条 件 よ り,

表 す こ と が で き る 。こ れ を(8・21)式

に代 入 す る と, (8・25)

で あ る 。 回 転 が0の

ベ ク トル は ス カ ラ ポ テ ン シ ャ ル で 表 さ れ る の で

,

(8・26)

と な る 。(8・26)式

を(8・23)式

に 代 入 して 整 理 す る と, (8・27)

と な る 。 媒 質 と 空 気 と の 境 界 の 境 界 条 件 は ,(8・26)式

を(8・24)式

に 代 入 して, (8・28)

で あ る。 し たが っ て,こ

の 式 を 境 界 条 件 と して ,(8・27)式

を 離 散 化 して 解 け ば

よ い。 人体 内 の 誘 導 電 界 や誘 導 電 流 の 計 算 で は,外 か ら印加 され る磁 界 を ベ ク ト ル ポ テ ン シ ャ ルAで

与 え ,こ のAに

求 め る。 こ れ がSPFDな

対 し て,ス カ ラポ テ ン シ ャ ル φ を 差 分 法 で

る 名 称 の 由 来 で あ る。(8・27)式 を積 分 形 式 に 書 き換 え

る と, (8・29)

で あ る(演 習 問 題)。   3.5.4項

に も触 れ た が,滑

らか な境 界 を(座 標 軸 に 平 行 な)等 間 隔 格 子 で 凹 凸

に模 擬 す る こ とは 誤 差 に な る。 この よ う な 「階段 近 似(staircasing)」 つ い て は 文 献[8.11]で 検 討 され て い るが,SPFD法

に 限 らず 差 分 法 に 共 通 す る 問

題 で あ る。 この 文 献 は 具 体 的 に簡 単 な 配 置 で の 誤 差 を調 べ て い るが,低 磁 界 下 の 球 内 の 誘 導 電 界 で は 最 大 値 が20-30%,一 最 大 値 が250%を

の誤差 に

周波一様

様 電界 下の球導 体で はや は り

越 え る誤 差 を 生 じて い る。 こ れ を 防 ぐに は,境 界 上 に 分 割 点

(格子 点)を 取 っ た 不 等 間 隔 格 子 の 適 用 が 考 え られ る が,そ

の付近 では差分 式の

変 更 が 必 要 で,人 体 の誘 導 電 界 ・誘 導 電 流 計 算 の よ う な複 雑 か つ 膨 大 な分 割 の 場 合 に は非 常 に 面 倒 で あ る 。 実 際 に 階段 近似 誤 差 の 有 効 な 防止 方 法 の 開発 や 定 量 的 評価 は ま だ ほ とん ど行 わ れ て い な い。

第8章  演習問題 1. 本 文(8・8)式 のCが

滑 らか な 境 界 表 面 上 で1/2に

な る こ とを 説 明 しな さ い 。

2.  コ ン ビ ネ ー シ ョ ン法 の 難 点 を述 べ な さい 。 3. SPFD法 標)で

の 離 散 化 し た式 を考 え る 。 図 問8・1の

よ う な 二 次 元 配 置(x,y座

格 子 間 隔 が す べ て等 しい 正 方 格 子 の場 合,点 線 の 領 域 で電 流 の 出入 りを

考 え て 離 散 化 した 式 を作 りな さい 。

図 問8.1

第9章  曲面形状表面電荷法

  一 般 三 次 元 形 状 の 曲 面 物 体 に 対 して は,第5章

や15.5節

に 述 べ る平 面 要 素 よ

り曲 面 要 素 を 用 い る方 が,実 際 に 近 い 模 擬 が で きる 上 に,必 要 な演 算 時 間 や 記 憶 容 量 が 少 な くて 済 む場 合 が 多 い。 電 界 計 算 の 分 野 で,旧 著 の刊 行 以 降 に 著 し く進 展 し たの が 曲 面 形 状 表 面 電 荷 法 で あ る が,内 容 が多 岐 に わ た る の で こ こで独 立 し た 章 に ま と め て 説 明 す る 。 曲 面 形 状 表 面 電 荷 法 は計 算技 法 が 複 雑 で コー デ ィ ン グ の 手 間 も大 きい が,計 算 プ ロ グ ラ ム が 完 成 す れ ば 汎 用 性 が 高 く,魅 力 的 で あ る。 この 章 の 説 明 は,曲 面 要 素 に よ る形 状 の 表 現(模 擬),電

荷 密 度 の 表 現,境

界条件

の 表 現(整 合 法),さ ら に数 値 積 分 を 高 精 度 ・高 速 に 実 行 す る技 法,で あ るが,目 標 は 実 際 の 表 面 電荷 状 態 に な るべ く近 い模 擬 状 態 を 数値 的 に実 現 す る こ とで あ る。

9.1 

9.1.1 

曲 面 形 状 の 表 現

ベ ジエ 曲 面 に よ る 曲 面 の 表 現

  表 面 の 分 割 要 素 を こ こ で は 「パ ッ チ 」 と 呼 ぶ こ と に す る。 まず ベ ジ エ(Bezier )曲 面 パ ッチ[9.1]を例 に して,媒 介 変 数 を 用 い た 曲 面 形 状 の 表 現 方 法 を 説 明 す る。 な お,CAD分

野 で は ベ ジ エ 曲 線 とい う線 分 端 部 の 接 線 方 向 を 自 由 に 制 御

で き る 曲線 が 有 名 で あ る が,ベ

ジ エ 曲 面 は ベ ジエ 曲線 を拡 張 した も の で あ り,面

の接 線 方 向や 法 線 方 向 を 制御 で きる とい う便 利 な長 所 を もつ 。

 図9・1(a)の

平 面 三 角 形 の表 現 を考 え る。 空 間 中 の3点P1,P2,P3を

す る 平 面 三 角 形 上 のP点

は,付 録4に

頂点と

説 明 の あ る面 積 座 標(u,υ,w)を

媒介 変 数

と して 次 式 で 表 さ れ る。 (9・1)

容 易 に 分 か る よ う に,P(1,0,0)=P1,P(0,1,0)=P2,P(1/3,1/3,1/3)=P1/3 +P2/3+P3/3な P3の

ど の 関 係 が あ り,結

局,Pは

総 和 が1の

重 み が 付 い たP1,P2,

平 均 値 と 理 解 で き る 。 こ こ で は こ れ を 「ブ レ ン ド」 と 呼 ぶ こ と に す る 。 こ

の よ う に 面 積 座 標 を 用 い れ ば,空

間 図 形 を 数 個 の ベ ク トル の ブ レ ン ド と し て 表 現

で き る 。 平 面 三 角 形 は 面 積 座 標 の 一 次 式 で あ る が,こ

の 考 え方 を 高 次 に 拡 張 す

る。   図9・1(b)の

よ う に6点P1∼P6が

P4,P5P4P3の

三 つ の 組 合 せ に 注 目 し,(9・1)式

(u,υ,w)を

与 え ら れ た と す る 。 先 ずP1P6P5,P6P2 よ り3枚

与 え る と そ れ ぞ れ 平 面 三 角 形 上 の1点(計3点)が

P165,P624,P543と

す る 。 次 に 図9・1(c)の

よ う に,こ

の 平 面 三 角 形 を作 る。 定 ま る。 こ れ ら を

れ ら の3点

(a) 平 面 三角 形

(b) 曲面 三角 形 の 準備

(c) 曲 面三 角 形(二 次)

図9.1  一 次 曲面 パ ッチ と二次 曲面 パ ッチ

を頂 点 とす る

新 た な 平 面 三角 形 を考 え てP点

を次 式 で 表 す 。 (9・2)

(9・1)式 (u,υ,w)と

の 拡 張 を 意 図 し て い る の で あ え て(9・1)式

と同 形 と して い る。 こ の 点 が

と も に ど の よ う に 変 化 す る か を 考 え る 。P(1,0,0)=P1は

か る 。P(1/3,1/3,1/3)は3個

の 小 三 角 形 の 重 心 を3頂

重 心 位 置 で あ る 。 さ ら に(u,υ,w)を

容 易 に分

点 とす る 新 た な 三 角 形 の

変 化 さ せ た 状 況 を 考 え る と,PはP1∼P6

で 定 義 さ れ た 三 角 形 領 域 上 を 動 く 点 で あ る こ と が 分 か る 。 こ こ で,P1∼P6が1 平 面 上 に 無 け れ ば,Pも (9・1)式

平 面 上 に 固 定 さ れ ず 曲 面 上 の 点 と な る 。P165な

で 表 現 し て(9・2)式

ど を

に 代 入 す る と次 式 とな る。

(9・3)

  つ ま りPはP1∼P6を(u,υ,w)の

二 次 式 で ブ レ ン ド し た 点 で あ り,こ

二 次 の ベ ジ エ 三 角 形 パ ッ チ と 呼 ぶ 。P1∼P6の

固 定 点 は 制 御 点 と 呼 ば れ,制

れ を 御 点

座 標 を 数 値 で 与 え れ ば,(u,υ,w)に

応 じ た 空 間 上 の 点(こ の 曲 面 パ ッ チ 上 の 点)

を 計 算 で き る 。 な お,P1,P2,P3は

常 に こ の パ ッ チ 上 の 点 で あ る が,高

チ の 場 合 はP4以

次パ ッ

降 は パ ッチ 上 の 点 に は な ら な い こ とに 注 意 を 要 す る。 た と え

ば,P(0,1/2,1/2)はP4の

近 傍 に 位 置 す る が,一

  さ ら に 高 次 へ の 拡 張 も 手 順 は 同 様 で,三

般 的 に はP4と

一 致 しな い 。

次 の 場 合 の 結 果 は 図9・2の

記 号 を用

い て 次 式 とな る 。

(9・4)

 この 場 合 は,10個

の 制御 点 ベ ク トル の ブ レ ン ドで 曲面 パ ッチ が 表 現 さ れ る 。

9.1.2  曲 面 上 の 接 線 ベ ク トル   次 に 必 要 な の は 面 上 の 接 線 ベ ク ト ル で あ る 。 図9・3の

現 され る 曲 面 上 で は一 般 に,uを

一 定 と し た と き の〓

よ う に(u,υ,w)で

表

υを 一 定 と

図9.2  三次 パ ッチ の制 御 点

した と き の

図9.3  曲面 上 の接 線 ベ ク トル

〓wを 一 定 と した と き の

接 線 ベ ク トル が 基 本 と な る 。 た だ し,u+υ+w=1よ

だ か ら明 らか に),u,υ,wが

る い は 接 線 ベ ク トル

そ れ ぞ れ 一 定 な線 上 の 各2本

の ベ ク トル は 大 き さ

向 きで あ る。 さ ら に

形 の式 が6種

類)の

〓な ど(同

関 係 も一 般 に 成 立 す る 。 これ は 図9・3の

た は 差)は 他 の1本

類の

り(あ

が 等 し く,逆

和(ま

〓の6種

ベ ク トル の2本

と一 致 す る こ とを 意 味 す る 。 結 局,接

の

線 ベ ク トル は6

種 類 中2種 類 の み が 独 立 で あ る。   具 体 的 な 式 は(9・1）,(9・3),(9・4)式 か ら

〓が 得 られ る

れ ら は 図9・1(a)の

三 角 形 の 辺 の ベ ク トル 表 示 に 一 致 す る 。 平 面 パ ッ チ な

の 場 合 は(9・1)式 が,こ

を偏 微 分 す れ ば得 られ る。 一 次 パ ッチ

の で 場 所(u,υ,w)に (9・4)式

よ ら な い 定 ベ ク トル と な っ て い る 。 三 次 パ ッ チ の 場 合 は

を偏 微 分 して 形 を整 え る と以 下 と な る。

(9・5)

(9・6)

三 次パ ッチ の 接 線 ベ ク トル は,制 御 点 間 ベ ク トル の 差(図9・2の

小 さな一 次パ

ッチ の接 線 ベ ク トル)を 二 次 ブ レ ン ドした 形 式 で あ る こ とが 分 か る。

9.1.3  制 御 点 座 標 の 決 定 方 法   こ こ まで は 制 御 点 座 標 を既 知 と して い た が,実 際 に は与 え られ た,あ

るい は所

望 す る 曲 面 形 状 に合 わせ て 制 御 点座 標 を定 め る 必 要 が あ る。 目標 とす る 面 形 状 が 既 知 の 場 合,基

本 の3頂

他 の 点(P4∼P10)を

点P1,P2,P3は

そ の 面 上 に 適 宜 配 置 す れ ば 良 い が,

目標 面 上 に 配 置 して もパ ッチ 形 状 は 端 部 で 滑 らか に な ら な

い 。 そ こ でP4∼P10は,所

望 す る 面 の 接 線 ベ ク トル や 法 線 ベ ク トル を 考 慮 して

定 め る。 三 角 形 頂 点 位 置P3((u,υ,w)=(0,0,1))に ∂P/∂u￨υ一 定,∂P/∂υ￨u一 定を考 え る と,図9・3よ 線 ベ ク トル を意 味 す る 。 三 次 パ ッチ の 場 合,こ

お い て,接 りこれ らはP3位

線 ベ ク トル

置 での辺方 向接

れ ら は(9・5),(9・6)式

で き,

か ら計 算

〓と な る(図9・4参

つ ま り,P3と

隣 接 制 御 点P5,P6だ

三 角 形 頂 点 位 置P3と

  しか し な お,三 る 。 一 方,三

け で 定 ま る ベ ク トル と な っ て い る 。 よ っ て ,

そ こ で の 辺 方 向 接 線 ベ ク ト ル が 既 知 な ら,制

を 逆 算 で き る 。P4,P7,P8,P9も

照)。

御 点P5

,P6

同様 で あ る 。

角 形 頂 点 位 置 の 辺 方 向 接 線 ベ ク トル は 既 知 で な い の が 普 通 で あ

角形 頂点 位置 とそ こでの 面の法 線方 向が既 知 であ る場合 は多 いの

で,こ

の と き は 次 式 で 接 線 ベ ク ト ルt1=kτ1,t2=kτ2を

9・5参

照)。

推 定 す る と よ い(図

(9・7)

  た だ し,Rは2頂

点 間(辺

の)ベ

ク トル,n1,n2は

τ2は単 位 接 線 ベ ク トル で あ る 。(9・7)式 のkの

単 位 法 線 ベ ク トル,τ1,

導 出 につ い て は付 録5で

説 明す

る が,こ の 値 を採 用 す る と,曲 線 の 両 端 点 と 中央 点 の3点 で接 線 ベ ク トル長 が 自 動 的 に一 致 す る。 この た め,面 積 座 標 か ら実 座 標 へ の形 状 の 引 き伸 ば し率 が 曲 線 上 の全 域 で 概 ね 均 一 と な り,形 状 の ひず み が小 さ くな っ て都 合 が 良 い。

図9.4 

三 次 パ ッ チ 頂 点(P3)の

 一 方,P10の

接 線 ベ ク トル

図9.5  接 線 ベ ク トルの 推 定

設 定 に は任 意 性 が あ る が,簡 易 的 に 次 の ブ レ ン ド式 で 値 を定 め る

こ と が多 い[9.1]。 (9・8)

あ る い は,P10を(u,υ,w)の

関 数 と して 適 切 に 定 義 す れ ばパ ッチ の辺 近 傍 形 状

の 制 御 も 可 能 に な り[9.2],隣接 パ ッ チ と 辺 上 で 滑 ら か な 接 続(「 幾 何 的 連 続 (G1連 続)」 と も呼 ぶ)も 行 え るが 詳 細 は 省 く。

9.2  面 積 分

9.2.1 

法 線 ベ ク トル と 面 積 分

 次 に法 線 ベ ク トル の 計 算 を考 え る。2個 の 独 立 な 接 線 ベ ク トル の 外 積 方 向 が 単 位 法 線 ベ ク トルn(u,υ,w)を J(u,υ,w)の w)￨で

与 え る か ら,

絶 対 値 を￨J(u,υ,w)｜

あ る 。 こ こ で,￨J(u,υ,w）｜

(面 積 素 の 引 き 伸 ば し 率)で

あ り,次

と す る と,n(u,υ,w)=J(u,υ,w)/￨J(u,υ, は面 積 座 標 か ら実 座 標 へ の 変 換 の ヤ コ ビ ア ン 式 が 成 立 す る。 (9・9)

よって,曲 面 上 の 面 積 分 は 次式 の よ うに 面積 座 標 上 の面 積 分 と して 実 行 可 能 であ る。

(9・10)

  こ の 式 で 関 数Fが1な σ(P)=σ(u,υ,w)を

ら パ ッ チ 面 積 を 与 え る 面 積 分 で あ る。 ま た,

電 荷 密 度 と してF(P)=σr-1,F(P)=σr-2な

位,電 界 を計 算 で き る。 結 局,空

ど とす れ ば 電

間 曲 面 上 の 面 積 分 を 面 積 座 標 上 の 面 積 分 に 変換

で きた の で,以 下,面 積 座 標 上 の 面 積 分 の み を考 察 す れ ば よ い。 つ ま り面 積 分 に 関 して は,空

間座 標 が 関 与 す る手 続 きが完 了 し た こ とに な る。

9.2.2  面 積 座 標 上 の 面 積 分   三 角 形 の 面 積 座 標 上 で の 通 常 の 面 積 分 は,「 分 点 の 面 積 座 標 」 と 「分 点 の 重 み 」 と の 対 で 表 現 さ れ る 数 値 積 分 公 式 に よ っ て 実 行 で き る 。 例 え ば3点

公 式 を採 用 す

る と 分 点 が(u,υ,w)=(4/6,1/6,1/6),(1/6,4/6,1/6),(1/6,1/6,4/6)(図9・6(a) 参 照)で

重 み が す べ て1/3で

あ り,面

積 分 は次 式 とな る。

(9・11)

  こ こ で 因 子1/2は,Jを

外 積(平

行 四 辺 形 面 積)で

ま た は 基 準 三 角 形 の 面 積 を1/2と w)=F(P(u,υ,w))￨J(u,υ,w)￨と

算 出 した た め の 調 整 係 数,

す る 規 格 化 係 数 と 解 釈 で き る。f(u,υ,

見 な せ ば(9・10)式 の 計 算 が 行 え る。 高 次 の 三

角 形積 分 公 式[9・3］ の使 用 方 法 も3点 公 式 と同 様 で あ る 。 参 考 の た め 図(b)に73点 公 式 の 分 点 を示 す 。 三 角 形 形 状 に 応 じた対 称 的 な 分 点 配 置 と な っ て い る。 な お, 分 点 の(u,υ,w)が

定 数 な の で,パ

ッチ の 位 置,接 線 ベ ク トル の ブ レ ン ドの 重 み

も定 数 とな る。 こ れ らの 定 数 を 予 め 計 算 してお け ば 分 点 の座 標 や 接 線 ベ ク トル を 高 速 に計 算 で き る。73点 公 式 な どの 単 一 公 式 で は精 度 が 不 足 す る場 合 は,三 角 形 領 域 を 階層 的 に 多 分 割 して 三 角 形 公 式 を複 合 使 用 す る こ と もあ る。 図(c)に こ の例 を示 す が,電 界 計 算 点 近 傍(こ   表 面電 荷 に よ る電 位,電

の 例 で は重 心 付 近)に 分 点 が 集 中 して い る。

界 の 計算 に お い て は,特 異 点 処 理 の常 套 手 段 と して 極

座 標 変換 が 使 用 さ れ る。 そ こで,(u0,υ0,w0)を

極 と して 極 座 標 変 換 を行 う方 法

(a)3点

(b)73点

公式

(c)階 層 的複 合 公 式

公式

図9.6  各種 積 分 公式 の分 点

を 説 明 す る 。 面 積 座 標 を 図9・7(a)の ,w)=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(u0,υ0,w0)に と し,三

角 形 重 心 か らp1に

線 分 の 長 さ をp0pi,こ

対 応 す る 位 置 をp1,p2,p3,p0

向 か う 方 向 に 角 度 θ の 基 準 線 を と る 。p0とpiを

結 ぶ

の 線 分 の 角 度 を θiと す る 。 こ の 正 三 角 形 の 各 頂 点 か ら対

辺 ま で の 距 離 を 単 位 長 さ と す る と,辺 成立す る。

様 に 正 三 角 形 と し て 作 図 す る 。(u,υ

長 は2/√3,面

積 は1/√3と

な り,次

式が

(a)面 積 座 標

(b)極 座 標 変 換

図9.7  面 積 座 標 か ら極 座 標へ の変 換

(9・12)

  以 上 の 準 備 の 下 でp0を

極 と す る 極 座 標 を 考 え る 。 図9・7(b)の

角 度 θ を な し 距 離 ρ に 位 置 す るp点 cos(θ −2π/3)+υ0と

よ う にp0か

ら

の 面 積 座 標 は,u=ρcosθ+u0,υ=ρ

表 現 で き る 。 因 子cosは

線 分p0pのu,υ

方 向 長 さ を幾 何 学

的 に 算 出 し た こ と を 意 味 す る。 こ の 変 換 の ヤ コ ビ ア ン を 計 算 す る と

〓が 成 立 す る こ とが わ か る。 よ っ て,極 座 標 変 換 時 の 面 積 分 は 次 式 で 表 さ れ る。 (9・13)

  た だ し,ρ(θ)maxは め る(図9・8参 結 局,極

θ1∼ θ2,θ2∼ θ3,θ3∼ θ1+2π

照)。 図 中 のA,Bは

座 標 変 換 を 実 行 す る と,被

の 位 置 で はf(u,υ,w)の

の 区 間ご とに幾何 学 的に 求

適 宜p0p1,p0p2,p0p3に 積 分 関 数 がf(u,υ,w)ρ

読 み替 え る と良 い 。 の 形 式 と な り,ρ=0

特 異 性 が 緩 和 され る。

  電 位,電

界 の 計 算 で は,一 般 に(u0,υ0,w0)は

三 角 形 の 頂 点,辺

上,三

角形

の 内部,外

部 に 位 置 し,こ れ に 応 じて θ,ρ と も に積 分 区 間が 変 化 す るが,19通

りの場 合 を考 慮 す れ ば 自由 な極 位 置 で 変 換 を 実 行 で きる 。 こ の と き,ρ の積 分 区 間は 一 般 に ρ(θ)min∼ ρ(θ)maxと

な お,〓

な る が,以

下 で は そ れ ぞ れρmin,ρmaxと

は どち ら も一 次 元 の 積 分 で,ガ

表 記 す る 。

ウ ス の積 分 公 式 な ど を 用 い

図9.8 

ρmaxの

図9.9  線積 分 の変 換

計 算

て計 算 で き る。 積 分 公 式 が∫01dsと い う形 で 与 え られ て い る と き は,図9・9の うに 変 数 をsに 線 形 変 換 して〓 9.2.3 

Log-L1変

よ

な ど とす る 。

換 に よる準特 異積 分

  5.6.3項 に も述 べ た が,動 径 方 向(ρ 方 向)の 一 次 元積 分 をLog-L1変 て準 特 異 積 分 を行 う方 法 を説 明 す る 。 この 変 換 は 図9・10に 9と 同様 な 変 数sに 対 す る積 分 で,結

換[9.4]し

示 す よ うに,図9・

局 次 式 と な る。

(9・14)

こ こで,Rは

図9・10に

与 え て い る が,積 分 公 式 の 分 点 を 極 近 傍 で は 密 に,遠

方 で は疎 にす る 変 換 で あ る。 ま たDは,実 との 実 垂 直 距 離d(図9・11参

照)で

座 標 の 極 位 置P0と

積 分 値 計 算 点C

定 ま る 定 数 で あ る 。 例 え ば ρ の射 線 毎(θ

毎)に〓と

規 格 化 す る 。 な お,前 項 に

述 べ た よ う に,〓

で ある。規 格化式 の分 母 は

P0位 置 で の 積 分 路 方 向 の接 線 ベ ク トル 長 で あ る が,P0位

置 で のdρ か ら 「dρに

対 応 す る 実 空 間 微 小 距 離 」 へ の 引 き伸 ば し率 で も あ る 。 実 際 に は,Cの が 与 え ら れ,P0お 点Pの

中 でCを

よ び(u0,υ0,w0)は

実座 標

未 知 で あ る こ と も多 い 。 こ の と き は 面 上

鉛 直 上 方 位 置 とす る もの を,評 価 関 数〓

かつ〓 (C-P)=0な   図9・12に(1/3,1/3,1/3)の

ど と して ニ ュ ー トン法 な どで 探 索 す る と よ い。 位 置 を極 と した と きの 極 座 標 変 換 時 の 分 点 お よ

図9.10 

Log‐L1変

図9.11  準特 異 積 分 点 と極 位 置

換

(a) 極 座標 変換 時

(b) 極 座 標 変換+Log‐L1変

換時

図9.12  積 分 の分 点

び 極 座 標 変 換+Log-L1変 (16×16×3点)と

換 時 の 分 点 の 例 を 示 す 。(a)(b)の

した 。 図9・6と

分点数 は同数

比 較 す る と,極 座 標 変 換 に よ り分 点 配 置 が

極 周 辺 で 密 とな る こ とが 分 か る。 ま た,Log-L1変

換 に よ りさ ら に極 近 傍 に 分 点

が 集 中 し,極 近 傍 で の 積 分 精 度 の 向上 に 寄 与 す る こ とが 分 か る。

9.3  電 荷密 度 の 表現   こ こで は 曲面 形 状 の 表 現 に用 い た ベ ジエ パ ッチ よ り一 般 的 な ラ グ ラ ン ジ ュ 補 間 多 項 式[9.5]を採 用 して,電 荷 密 度 σ(u,υ,w)の 表 現 を考 え る 。 一 次 の σ は具 体 的 に は 次 式 で 表 現 され る。 (9・15)

  た だ し,σ1,σ2,σ3は3頂 ,w)と

点 で の 電 荷 密 度 で あ る 。 一 般 的 に は σ=ΣiσiNi(u,υ

記 述 で き,Ni(u,υ,w)は

形 状 関 数 と呼 ば れ る。 形 状 関 数 と い っ て も こ こ

で は 「空 間 形 状 の 表 現 」 に 使 用 し て い る の で は な い が,通 15)式 は(9・1)式 方,二

称 に 従 っ て い る 。(9・

と 同 形 で あ り 形 状 関 数 は 座 標 の ブ レ ン ド表 現 と 考 え て 良 い 。 一

次 の σは 次 式 とな る 。

(9・16)

  た だ し6点(各

点 を こ こ で は ノ ー ド と呼 ぶ)の 番 号 は 図9・1(b)と

これ らの 関 数 の特 徴 は,例

え ばN1=u(2u-1)は1番

∼6番 ノー ド位 置 で は 値 が0と の 性 質 を持 ち,(9・3)式

同 じ とす る 。

ノ ー ド位 置 で は値 が1で2

な る こ と で あ る(図9・13参

照) 。N2∼N6も

同様

の 二 次 ベ ジ エ パ ッチ と は性 質 が 異 な る。 三 次 以 上 の 形 状

関 数 も広 く知 られ て い るが,通 常 の 電界 計 算 で は電 荷 密 度 は 二 次 表 現 で 十 分 で あ る こ とが 多 い 。   な お,形 状 表 現 に は 端 部 接 線 制 御 が可 能 なベ ジエ パ ッチ を使 用 し,電 荷 密 度 の 表 現 には ノ ー ド値 が1ま

た は0に な る ラグ ラ ン ジ ュ 多 項 式 を使 用 す る の は 以 下 の

理 由 に よ る。 形状 の 「端 部勾 配 の不 連 続 」 は 角(か

ど)を 生 成 して電 界 強 度 を大

(a)u(2u-1)

(b)υ(2υ-1)

(c)4uυ

図9.13  二次 の 形状 関 数 の例

き く変 動 させ る が,ベ

ジエ パ ッチ を用 い れ ば角 の生 成 を回 避 で き る。 一 方,電 荷

密 度 表 現 に ラグ ラ ン ジ ュ 多 項 式 を用 い る と,電 荷 密 度 分 布 の 一 部 が ノ ー ド位 置 で 0に な り,こ こ で の特 異 積 分 に 零 因 子 と して作 用 し有 利 で あ る。   通 常 はパ ッチ(分 割 要 素)を

複 数 枚 使 用 す る が,要 素 の接 続 線 上 な ら び に接 続

頂 点 上 の 電 荷 密 度 を,隣 接 要 素 の 値 と同 じ(連 続)と す る か ど う か とい う選 択 が あ る 。 滑 らか な 曲 面 上 で は電 荷 密 度 の 値 は連 続 的 に 変 化 す る の で,電 荷 密 度 の値 (σ1∼σ6)を 隣 接 要 素 と 共 有 させ た 方 が 自然 で あ り,精 度 も よ く な る 。 し か し, 形状 の 角 部 や 媒 質 の不 連 続 部 な どで は 電 荷 密 度 は必 ず しも連 続 で な い の で この 原 則 は 当 て は ま ら な い。   な お,隣 接 要 素 と電 荷 密 度 を連 続 的 に 表現 す る こ と を 「適 合 」,不 連 続 に 表 現 す る こ とを 「非 適 合 」 と呼 ぶ こ と もあ る。 適 合 表 現 と非 適 合 表 現 とで は,電 荷 密 度 表 現 に必 要 な 未 知 数(ノ 方 程 式 の 元 数(=境

ー ドの 電 荷 密 度 値)の 総 数 が 相 違 す る の で,解

くべ き

界 条 件 式 の 個 数)も 相 違 す る点 に注 意 を 要 す る 。

9.4  境 界条 件 の 表現 方 法   表 面 電 荷 法 に よ る 静 電 界 計 算 で は,導 体 境 界 に て 電 位 φが 指 定 値 φ0と一 致 す る(φ − φ0=0)こ

と と,誘 電 体 境 界(界

面)に

で あ る こ と,す な わ ち界 面 の 表 値(Dnface)と −Dnback=0)こ

て電束 密 度法線 方 向成分 が 連続

裏 値(Dnback)と

が 一 致 す る(Dnface

とが 要 請 さ れ る。 理 想 的 に は形 状 を表 現 す るパ ッチ 上 の あ らゆ る

位 置 で この 条 件 を満 足 させ た い が,こ

れ は計 算 モ デ ル(形 状 や 電 荷 密 度 の 表 現)

の 近 似 誤 差 に よっ て も,計 算 時 間 の 制約 に よっ て も不 可 能 で あ る。 特 に,電 荷 密 度 表 現 に用 い る 未 知 数 の 総 数 は 有 限 個(N個)で

あ る か ら,未 知 数 を 連 立 一 次

方 程 式 の解 と して 数 値 的 に 求 め る た め に,境 界 条 件 式 もN個 あ る。N個

に集約 す る必要 が

の 境 界 条 件 式 を 適 切 に 作 成 す る 汎 用 的 な手 法 と し て は,モ ー メ ン ト

法(重 み 付 き残 差 法 と ほ ぼ 同 義)が 重 み付 き残 差 法,後 も解 説 して い る。

標 準 的 なの で,ま ず こ れ を 説 明 す る。 な お,

で 述 べ る ガ ラー キ ン法 な ど に つ い て は有 限 要 素 法 の4 .5節 で

  通 し番 号 でi番 ノー ド(i=1∼N個)に

て 定 義 され た 電 荷 密 度 値 σiはi番 ノ ー

ドを 含 む 要 素 上 に 形 状 関 数 に応 じた 分 布 で σ を 「張 る 」(図9・13参

照)。 こ の

影 響 領 域 をSiと 表 示 す る。 前 節 で 述 べ た 適 合 表 現 の 場 合 はi番 ノー ドを含 む全 要 素 がSiの 構 成 要 素 と な る 。Siは 幸 いN種

類 存 在 し,し か もSj≠iと は 必 ず 異 な

る領 域 とな る。 非 適 合 表 現 の 場 合 は 電 荷 密 度 値 の 通 し番 号iを1∼N'と σiの 関 与 の あ る 要 素 の み でSiを 定 義 す れ ば,や

して,

は りN′種のSi(≠Sj≠i)が 得 られ

る 。 そ こ で誘 電 体 境 界 の場 合 は 境 界 条 件 と して 次 式 を採 用 す る 。 (9・17)

こ こで,ωiはSi上

で 定 義 さ れ る 重 み 関 数 で あ る。 導 体 境 界 の場 合 も被 積 分 関 数

を φ−φ0に 変 更 す る だ け で あ る 。 ωi=1と 境 界 条 件 の 満 足 具 合(0か

す れ ば(9・17)式 は,Si上

の平均 的 な

ど う か)を 表 現 す る式 で あ る。 こ の 値 が0な

的 に は境 界 条 件 が 満 足 され て い る とい う の が,モ

ー メ ン ト法(重

ら ば平 均

み付 き残 差 法)

の考 え方 で あ る。(9・17)式 の場 合 はSiを 通 過 す る電 束 本 数 の 連 続 に まで 条 件 を 緩 め た と も解 釈 で き る。   実 際 に は,ωiを1で

は な く,ωiの 形 状 関 数(関

連 要 素 個 あ る)と

同 じ とす る

こ とが 多 い。 この 場 合 は(9・17)式 はSi上 の 重 み 付 き平 均 と して境 界 条 件 を表 現 す る 。 σiの の 形 状 関 数 はi番 ノ ー ド位 置 で値 が ピー ク に な る か ら,i番

ノ ー ド位 置

の 満 足 具 合 を重 視 した 重 み 付 き平 均 と な る。 この 方 式 は特 に ガ ラ ー キ ン法 と も呼 ばれ る。 曲 面 要 素 を用 い る表 面 電 荷 法 の 場 合 は(9・17)式 を解 析 的 に 処 理 で きず, 数 値 面 積 分 を行 う必 要 が あ るが,こ

の 点 を い とわ な け れ ば ガ ラー キ ン法 の 適 用 は

容 易 で あ る 。 数 値 面 積 分 の 方 法 は す で に説 明 した と お りで あ る。 しか し,Dnの 計 算 に既 に 数 値 面 積 分 を行 っ て い るの で,(9・17)式

は 実 は二 重 の 数 値 面 積 分 を

行 わ ね ば 計 算 で きず,計 算 負 荷 が きわ め て 高 い 。   実 用 的 に は 計 算 負 荷 を低 減 す る工 夫 が 必 要 で,代 表 的 な方 法 は2種 類 あ る 。 一 つ は(9・17)式 の 数値 面 積 分 精 度 を緩 め る 方 法 で あ る。(9・17)式

はそ もそ も平 均

的 な 意 味 しか もた な い と割 り切 っ て必 要 精 度 を緩 め れ ば,計 算 速 度 が 改 善 され 実 用 的 な解 法 に な る。 こ の方 法 は,他

の有 効 な計 算 手 段 が 少 な い角 点 や 稜 線 近 傍 の

処 理 に 特 に 有 効 で あ る。 も う 一 つ は重 み 関 数 ωiに δ関 数 を採 用 す る 方 法 で あ る。 要 す る に面 積 分 を1点 で の境 界 条 件 式 に 置 き換 え て 面 積 分 を回 避 す る方 法 で あ り,一 般 に選 点 法(ポ

イ ン トマ ッチ ング)と 呼 ば れ る 。 選 点 位 置 は 可 能 な ら ノ

ー ド位 置 を選 択 す る こ とが 多 い が

,次 の場 合 に は不 都 合 が 生 じる。

(a)  電荷 密 度 表 現 に 非 適 合 部 が あ れ ば境 界 条 件 の数 よ り未 知 数 の総 数 が 大 き くな る。 (b)  誘 電 体 角 点 や稜 線 上 の ノ ー ドで はDnを

正 し く計 算 で き ない 。

(c)  σ を二 次 表 現 した と きの 辺 中 点 の ノ ー ド位 置 で パ ッチ の 接 続 が 辺 上 で 滑 らか で な い と きに(b)と 同様 の 不都 合 を生 じ る。   この よ う に 選 点 法 に は 制 約 が 多 い が 適 用 可 能 な ら計 算 速 度 を大 幅 に改 善 で き る。 た だ し,解 の 安 定 性 は ガ ラ ー キ ン 法 に 及 ば な い 。 筆 者 ら の 場 合 は,(a), (b)は

ガ ラ ー キ ン法 を 適 用 し,(c)は

滑 らか な 接 続(G1接

続)が

可 能 なパ ッ

チ[9.3]の使 用 で 対 応 して い る。 この 方 法 に よ り経 験 的 に は相 当 に 複 雑 な形 状 の 系 で も有 意 な 数 値 解 が得 られ て い る 。 一 般 論 と して は要 素 の 次 数 や 境 界 条 件 整 合 法 の 選 択 に お い て は,連 立 一 次 方 程 式 の 数 値 解 法 の性 質 も加 味 した総 合 的 な 判 断 が 必 要 で,た

と え ば 次章 に 述 べ る 高速 多 重 極 法 な どの 高 速 解 法 を採 用 した上 で,そ

れ に適 した選 択 を行 う こ とが 望 ま しい。

第9章  演習問題 1.  高 次 の ベ ジ エ 曲 面 パ ッ チ で は,P1,P2,P3以

外 の点 は曲面上 に ない ことを

説 明 しな さ い。 2.  本 文(9・12)式 3.  本 文9.2.2項

を導 出 しな さい 。 の 図9・7に

cosθ+u0,υ=ρcos(θ

お い て,距

−2π/3)+υ0と

離 ρ に 位 置 す るp点

の 面 積 座 標 は,u=ρ

表 され る こ と を説 明 し な さ い。

第10章  高速多重極法

  高 速 多 重 極 法(fast したN体

multipole method:FMM)はV.Rokhlinが1983年

間相 互 作 用 のO(N)計

ー ダの 数 を 意 味 す る 。N体

に提 案

算 ア ル ゴ リ ズ ム で あ る[10.1][10.2]。O(N)はNの オ

間 相 互 作 用 の 計 算 に は 古 典 的 に はO(N2)回

必 要 で あ る と考 え られ て い た が,FMMを の 数 値 計 算 が 可 能 と な る 。 境 界 要 素 法,表 計 算 法 に 対 して もFMMが

用 い れ ばO(N)の

の演 算が

演 算量 で実用精 度 内

面 電 荷 法 な ど のN×N密

行 列 を扱 う

適 用 可 能 で,必 要 な 記 憶 容 量 と 演 算 回 数 と をO(N)

に まで 激 減 させ る こ とが で き る。 この 章 で は,FMMア

ル ゴ リズ ム の 骨 子 を 解 説

す る が,空 間 を分 割 す る 木 構 造 を 用 い た分 割統 治 法 の適 用 と,場 の 級 数 展 開 表 現 とを う ま く使 っ た,大 変 に効 率 の 良 い 計 算 手 法 で あ る。 説 明 の 都 合 上,最 初 に ツ リー 法(tree

method)[10.3]と 呼 ば れ る方 法 を説 明 す る。 な お,筆 者 の1人

が執筆

を分 担 した 文 献[10.4]に も基 本 的 に本 章 と同 じ内 容 が 記 載 され て い る。

10.1 

ツ リー 法

  ツ リー 法 もN体

間 相 互 作 用 の 高 速 計 算 ア ル ゴ リズ ム の 一 種 で あ り,こ の ア ル

ゴ リズ ム を使 用 す る と演 算 回 数 はO(Nlog え 方 に 高 い 共 通 性 を 持 ち,ツ

N)と

な る 。 ツ リー 法 とFMMと

は考

リー 法 に追 加 と修 正 を加 え る こ と でFMMア

ルゴ

リズ ム が 得 られ る とい う位 置 付 け にあ る。   図10・1(a)に

多 数 の 点 電 荷 が 描 か れ た 図 を示 す 。 こ の 例 で は 約700個

の点が

描 画 さ れ て い る 。 こ の う ち,中 央 や や 右 上 に1点 を描 い て い る 。 この 白丸 位 置 で の電 気 力(ま 考 え る 。 最 初 の作 業 は,図(b)の

た は 電 界,電 位)を

よ う な空 間 格 子(セ

で あ る 。 図 に は 最 小 サ イ ズ の 正 方 形 セ ル(リ 16×16個

描 か れ て い る。 セ ル の 作 成 に は,次

先 ず 点 電荷 全 体 を含 む 大 き な 正 方 形(図 考 え,こ れ をル ー トセ ル(根 セ ル)と で,一

だ け 白 丸 印 の 点(矢

計算す るこ とを

ル と呼 ぶ)を

ー フ セ ル:葉

印 で 指 示)

導入す る こ と

セ ル と 呼 ぶ)が

の よ うな 階 層 的 な 手 法 を用 い る。

で は 辺 長 が リー フの16倍 呼 ぶ 。 次 に ル ー トセ ル を4分

の 正 方 形)を 割すること

回 り小 さな 正 方 形 セ ル を4個 作 成 す る。 こ の 手 順 を繰 り返 して 細 分 化 さ れ

た セ ル を次 々 と作 成 して い く と,各 種 大 小 セ ル か らな る階 層 化 され た セ ル 群 が で き上 が る。 こ の よ う な 階 層 的 分 割 を 木構 造 と呼 ぶ。 こ こ で は 絵 を 描 く都 合 か ら, 二 次 元 問 題 用 の4分 木 正 方 形 セ ル を用 い て 解 説 して い るが,三

次元問題 を考 える

際 は8分 木 立 方体 セ ル に読 み 替 え る と よい 。   これ らの セ ル を 使 っ て 点 電 荷 群 を グ ル ー ピ ン グ して い くの が 次 の作 業 で あ る 。 方 針 と して は,な る べ く多 くの 点 電 荷 を 大 き くま とめ て グ ルー ピ ン グ した い と考 え る。 た だ し,白 丸 印 に 「遠 い 」 位 置 で は 大 き な セ ル が 使 用 で き,白 丸 印 に 「近 い 」 位 置 で は小 さい セ ル しか 使 用 で き な い とす る。 図(c)は リ ー フ の8倍

の辺長

を持 つ セ ル を使 っ て グ ル ー ピ ン グ し た と こ ろで あ る(太 線 で描 い た左 下 の大 き な 正 方 形 領 域)。 白 丸 印 か らあ る程 度 「遠 い 」 位 置 とす る 必 要 が あ る の で,こ で は1個 の グ ル ー ピ ン グ が や っ とで あ る 。 図(d)は リー フの4倍

の例

の 辺 長 を持 つ セ

ル を使 って さ らに グル ー ピ ング を した と ころ で あ る。 今 回 は8個 の グル ー ピ ン グ を 行 え た 。 セ ル サ イ ズ を小 さ く し なが ら同 様 の 手 順 を繰 り返 す と,図(e)を

経 て,

最 終 的 に 図(f)の 状 態 と な る。 た だ し,白 丸 点 を 含 む リー フ セ ル と,そ の 周 辺 の 8個 の リー フ セ ル につ い て は,白

丸 印 に 「近 す ぎ る 」 の で グ ル ー ピ ング を あ き ら

め た(「 遠 い 」 「近 い 」 の 具 体 的 判 定 方 法 は 後 述)。 結 局,白 丸 点 の 近 傍 を 除 い て, 点 電 荷 群 が 各 種 セ ル に よ っ て 集 団 に分 割 され た こ とに な る 。   この グル ー ピ ング を有 効 に利 用 して,ツ

リー 法 で 白 丸 点 位 置 の 電 気 力 を計 算 す

る。 た だ し,計 算 精 度 の 面 で や や 荒 っ ぽ い 手 法 を用 い る が,精 度 の 改 善 法 は 次節 で述 べ る。 図(g)は,先

の グ ル ー ピ ン グ した セ ル の 内 部 点 電 荷 群 を,思

い切 っ て

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g) 図10.1 

等価 な点 電 荷(2重

丸 で 表 示)1個

ツ リー法 に よる計 算

で 近 似 した 様 子 で あ る 。 も し も こ の 近 似 が 許

され る な ら,特 に 大 き な セ ル で は,多 数 の 点 電 荷 の 寄 与 を た っ た1点

で表現 で

き,計 算 効 率 が劇 的 に改 善 され る と期 待 で きる 。 等 価 点 電 荷 の 電荷 量 の 求 め 方 は 後 述 す る と し て,図(g)の 電荷 の 寄 与:25個

分,遠

白丸 位 置 の電 気 力 の 計 算 に必 要 な 計 算 回 数 は,近 傍 点 方 セ ル の寄 与:34個

分 で,計59回

す れ ば よ い。 すべ て の点 電荷 に対 す る総 当 り計 算 で は700回

ク ー ロ ンの式 を 適 用 近 い計算が必要 であ

る か ら,こ れ は 大 変 に効 率 の 良 い 方 法 と い え る。 こ こで 各 寄 与 の 計 算 回 数 を吟 味 す る と以 下 の よ う に な る。 近 傍 点 電 荷 の 個 数 は 概 ね 定 数 個 で あ る(Nが

大き く

な っ て も変 化 し な い)。 遠 方 セ ル の個 数 は,各 大 き さ の セ ル ご と に は 概 ね 定 数 個 で あ る が,小

さ い も の か ら大 きい も の まで の セ ル の 種 類 は概 ねlog N種

よ っ て,近 傍 点 電 荷 の 寄 与 数 はO(定 (定 数 ×logN)=O(logN)と

数)=O(N0),遠

で あ る。

方 セ ル の 寄 与 数 はO

表 現 で きる 。 相 互作 用 計 算 で は,白 丸 の 位 置 をN

回変 更 して 以上 の 計 算 を 繰 り返 す こ と に な る の で,相 互 作 用 計 算 回数 は 先 の 結 果 にNを

掛 け て,総

リー法 はO(NlogN)の

計 算 回 数 はO(N)+O(NlogN)=O(NlogN)と

な り,結 局 ツ

相 互 作 用 計 算 ア ル ゴ リ ズ ム と な る。 こ の よ う に ツ リー 法

の ポ イ ン トは,階 層 的 な 空 間 セ ル構 造 を導 入 して,階 層 的 分 割 統 治 を可 能 に した 点 とい え る 。   しか し,実 は こ こ ま で 説 明 して きた 方 法 に は重 大 な 欠 点 が あ る 。 そ れ は,こ

の

ま まの 方 法 を実 行 して も 「計 算 精 度 が さ っ ぱ りあ が ら ない 」 とい う点 で あ る。 理 由 は簡 単 で,遠

方 セ ルの 寄 与 を 「等 価 な 点 電 荷 」 で近 似 す る とい う のが,精

度の

面 で 問 題 が あ る の で あ る。

10.2  多重 極展 開 と局 所展 開  前 節 の 方 法 で は精 度 が 不 十 分 と い う結 論 で あ っ たが,こ

れ を改 善 す る の は 実 は

容 易 で あ る。 電 荷 群 を1個 の 等 価 な 「点 電 荷 」 で 近 似 した の が 精 度 が あ が らな か っ た原 因 な の で,こ

れ を,「 点 電 荷+双

極 子+四

重 極 子+…｣で

近似 す れ ば 精

度 向 上 が 可 能 だ と考 え られ る 。 実 際 に こ の 方 法 は うま くい き,電 荷 の 近 似 表 現 の 次 数 を 目標 精 度 に応 じて 必 要 な 次 数 に 上 げ る こ とで,目

的 に 適 う精 度 で の相 互 作

用 計 算 が 可 能 と な る 。 数 学 的 に は こ れ は,場 の 多 重 極 展 開 に 対 応 し,次 式 で 表現 され る 。 な お 本 章 の 数 式 はす べ て 一 般 三 次 元 配 置 用 の 公 式 を示 して い る 。 (10・1)

こ こ で,φ:展

開 半 径 外 部 の 任 意 点 の ポ テ ン シ ャ ル,r,θ,φ:ポ

テ ン シ ャル を 求

め る 点 の 極 座 標(極 座 標 中心 は展 開 中 心 座 標),Ynm:球 極 展 開 係 数 で あ る 。 この 式 は,先

面 調 和 関 数,Mnm:多

に述 べ た 「点 電 荷+双

極 子+四

重

重 極 子+…｣

に よ る表 現 そ の もの で あ る 。   (10・1)式 の 使 用 方 法 を 図10・2に

示 す 。 多 重 極 展 開 係 数 が 既 知 で あ れ ば,展

開 半 径 の外 部 か ら観 測 す る 限 り,展 開 半 径 内部 に存 在 す る各 点 電 荷 の 寄 与 を 個 別 に直 接 計 算 す る こ と と,多 重 極 展 開係 数 を 用 い て(10・1)式 で 寄 与 を 計 算 す る こ と とは,数

学 的 に 等 価 な 結 果 を与 え る。 静 電 界 計 算 の 場 合 だ と,例 え ば6∼10

次 程 度 まで の 計 算 で も,実 用 上 十分 な 精 度 の計 算 が 可 能 で あ る。 高 精 度 を要 求 す る ほ ど高 次 の 計 算 が 必 要 で,演 算 の 手 間 も増 え る が,そ

れ で もた か だ か10次

程

度 の 級 数 計 算 で,莫 大 な 数 の 点 電 荷 群 を ま と め て(10・1)式 で 取 り扱 え る こ とに な る。 な お,演 算 の 手 間 は 目標 精 度 に依 存 す る が,Nと の 演 算 回 数 を 考 え る と きに はNに がO(NlogN)の

対 す る定 数 部 に あ た る。 こ の た め,ツ

リー法

相 互 作 用 計 算 ア ル ゴ リズ ム で あ る とい う結 論 に変 化 は な い。

  ツ リー 法 の 骨 子 は以 上 で あ るが,実 方 法 が 必 要 で,そ

は 無 関 係 な の で,全 体

際 に は多 重 極 展 開係 数 を 具 体 的 に決 定 す る

れ は 次節 で 説 明 す る 。 こ こで は,少

しだ け 寄 り道 し,ツ リー 法

で は使 用 し なか っ た 局所 展 開 につ い て触 れ る。 多 重 極 展 開 が 展 開 球 面 の外 部 場 を 記 述 す る 式 で あ る の に 対 し,展 開球 面 の 内 部 場 を記 述 す る 式 が 局 所 展 開 で,次 式 で表 現 され る。 (10・2)

こ こ で,Lnm:局

所 展 開係 数 で あ る。(10・2)式

た 。 局 所 展 開 係 数 が 既 知 で あ れ ば,展

の 使 用 方 法 を 図10・3に

図示 し

開半 径 の 内部 か ら観 測 す る 限 り,展 開 半 径

外 部 の 点 電 荷 の 寄 与 を個 別 に 直 接 計 算 す る の と,局 所 展 開係 数 を用 い て(10・2) 式 で 計 算 す る の と は,数 学 的 に等 価 な結 果 を与 え る 。 多 重 極 展 開 と は表 裏 の 関 係 にあ り,FMMア

ル ゴ リズ ム で は 局 所 展 開 を使 用 す る こ とに な る。

図10.2  多重 極 展 開 の使 用 方法

図10.3  局所 展 開 の使 用 方法

10.3  多 重極 展 開係 数 の階層 的計 算   ツ リー 法 で は 全 セ ル の 多 重 極 展 開 係 数 が 既 知 で あ る 必 要 が あ る。 先 に 図10・1 に示 した よ う に,ツ

リー法 で は様 々 な大 き さの セ ル を使 用 し,さ

らに,図10・1

の 白丸 の 位 置 を変 更 す る と,利 用 す る セ ル の 配 置 ・組 合 せ も変 化 す る。 そ こ で, 関 与 し うる す べ て の セ ル(大

きな もの も小 さ な もの も)に 対 して,最 初 に 一 度 だ

け多 重 極 展 開 係 数 の 計 算 を実 施 す る 。 最 初 に一 度 だ け 計 算 して お け ば,後 は何 度 で も繰 り返 し,こ れ らの 係 数 を使 う こ とが で きる 。 そ の計 算 に は 図10・4の

よう

な 階層 的 な 方 法 を使 用 す る。   図10・4(a)に

は点 電 荷 群,(b)に

は 「リー フセ ル に対 し て定 義 され た多 重 極 展

開 の 収 束 円 」 を 描 画 した。 セ ル形 状 は 正 確 に は 常 に 正 方 形 ま た は 立 方 形 で あ る が,以

下 で は こ の 円 も単 に セ ル と呼 ぶ こ とが あ る 。 実 際 に は 収 束 円 同士 は オ ー バ

ー ラ ップ し隙 間 は で き ない が

,図 が 煩 雑 に な る の で 円 のサ イ ズ を少 し小 さ 目に 作

図 して い る。 図(b)の 各 リー フセ ル に 多 重 極 展 開 係 数 を定 義 す る に は,内 部 点 電 荷 の個 数 回 だ け,次 の 「点 電 荷 の 寄 与 を多 重 極 展 開 係 数 に 変 換 す る公 式 」 を実 行 す れ ば よい 。 (10・3)

た だ し,q:点

電 荷 量,ρ,α,β:点

電 荷 の 極 座 標(極 座 標 中 心 は 展 開 中 心)で あ る 。

点 電荷 が 複 数 個 存 在 す る と き は,単 純 にMnmの

ス カ ラ和 を 計 算 す れ ば よ い。 こ

の計 算 は,す べ て の 点 電 荷 に つ い て 実 行 す る の で,総 計N回(10・3)式

を使 用 す

る こ とに な る。   次 に,図(c)の

よ うに,リ

ー フ セ ル を4個

ま とめ た ひ と回 りサ イ ズ の 大 きい セ

ル を考 え る 。 この 大 きな セ ルの 多 重 極 展 開係 数 は,内 部 の4個

のセ ルの多重極展

開係 数 か ら計 算 で き る。 具 体 的 な 式 は記 載 しな い が,「 多 重 極 展 開係 数 を 別 の 多 重 極 展 開係 数 に変 換 す る 公 式 」 は既 知 で あ る の で,こ の 公 式 を4回 適 用 す るの で あ る 。 な お,多 重 極 展 開 か ら多 重 極 展 開 へ の 変 換 をM2M(multipole )変 換(図10・5(a)参

照)と

to multipole

呼 ぶ 。 これ で,リ ー フ セ ル よ りひ と 回 り大 き

い(親 の)セ ル に多 重 極 展 開 係 数 が 定 義 さ れ る。   さ らに,図10・4(d)の

よ う に,こ

重 極 展 開 を 定 義 で き る の で,こ 明 は省 略 す る が,セ

の操 作 を 階 層 的 に 繰 り返 す と,全 セ ル に 多

れ で ツ リ ー法 が使 用 で き る状 態 と な る。 な お,証

ル の総 数 を 計 算 す る とO(N)と

な る の で,M2M変

(a)

(b)

(c)

(d)

図10.4  多 重極 展 開係 数 の階 層 的計 算

換 の実行

(a)  M2M変

(b) M2L変

換

換

(c)  L2L変

換

図10.5  展 開式 の 変換

回 数 もO(N)と

な る。 ツ リー 法 はO(N1ogN)の

節 に 述 べ た 多重 極 展 開係 数 の 計 算 量 は,Nが

ア ル ゴ リズ ム で あ る か ら,こ の 大 きけ れ ばO(NlogN)に

対 して 無

視 す る こ とが で きる 計算 量 で あ る 。

10.4  距 離 の 判 定   ツ リー 法 をベ ー ス に して,FMMの は,変 更 点1点

と追 加 点1点

考 え 方 を説 明 す るの で あ るが,こ

の ため に

の説 明 が 必 要 で あ る。 こ の節 で は 変 更 点 の 説 明 を 行

う。 実 は ツ リー 法 で はセ ル と 白 丸 と の 「遠 近 」 の 判 定 を,「 セ ル と白 丸 との 距 離 r」 と 「セ ルサ イ ズa(正

確 に は 多 重 極 展 開 半 径)」 との 比 較 で 実 行 す る 。 通 常 は

次式 を満 足 す る と きに,「 遠 い 」 と判 定 す る(図10・6(a)参

照)。

(10.4)

(a) ツ リー法 の 実距 離 判 定

(b) FMMの

図10.6  距 離 の 判 定

セル 間距 離 判 定

  一 方,FMMで

は 「セ ル と 白 丸 との 遠 近 の 判 定 」 と い う 考 え 方 は 用 い ず,「 セ

ル 同 士 の 遠 近 判 定 」 とい う考 え方 だ け を用 い,し か も同 サ イ ズ の セ ル 同 士 の 遠 近 だ け を 考 慮 す る。 例 え ば 「セ ル 同 士 の 間 に1セ 参 照)」 あ る い は 「セ ル 同士 の 間 に2セ

ル 分 の離 隔 が あ る(図10・6(b)

ル 分 の離 隔 が あ る」 の ど ち らか を満 足 す

る と きに 「遠 い 」 と判 定 す る。 どち らの 遠 近 判 定 規 則 を用 い て も構 わ な い が,前 者 を採 用 す る場 合 は,あ

る セ ル に と っ て は 隣 接 す る セ ル だ け が 「近 い(近 接)」

セ ル と な り,そ れ 以 外 の セ ル は 「遠 い(遠 方)」 セ ル と な る。 い ず れ に して も, FMMで

は 遠 近 を 「実 距 離 」 で は な く 「セ ル の 離 隔 数 」 だ け で 判 定 し,セ ル に よ

る分 割 統 治 を徹 底 す る の で あ る。

10.5  局所 展 開係 数 の階 層的 計算   次 に ツ リー 法 に 対 す る 追 加 点 の 説 明 を行 う。 実 行 す る 内 容 は,す べ て の セ ル に 局 所 展 開 係 数 を 定 義 す る こ とで あ る。 ツ リー 法 で は,多 重 極 展 開 係 数 だ け を 定 義 した が,今 回 は そ の 多 重 極 展 開 係 数 を用 い て 局 所 展 開係 数 を 定 義 す る。 この た め に,今 回 も階 層 的 な方 法 を使 用 す るが,使

用 す る公 式 は 以 下 の 二 つ で あ る。

 (a)  多 重 極 展 開 係 数 を 局 所 展 開 係 数 に 変 換 す る公 式(図10・5(b)参 M2L(multipole

to local)変

換 と呼 ぶ 。

 (b)  局 所 展 開 係 数 を 局 所 展 開 係 数 に 変 換 す る公 式(図10・5(c)参 (local

to local)変

照)=

照)=L2L

換 と呼 ぶ 。

  どち ら も,具 体 的 な変 換 公 式 が 整 備 さ れ て い る が,計

算 手 法 を理 解 す る 上 で

は,数 式 の 詳 細 は 無 視 して よ い 。   局 所 展 開 の 定 義 手 順 を示 す 。 大 き な セ ル か ら小 さ な セ ル に 向 か っ て 階 層 的順 序 に従 っ て 定 義 して い く。 図10・7(a)の

よ う に,あ

る セ ル で は既 に 局 所 展 開 係 数

が 定 義 さ れ て い る とす る。 こ の 局 所 展 開係 数 に は,近 接 セ ル の寄 与 を除 く,遠 方 セ ル か ら の寄 与 が す べ て 記 述 され て い る 。 図(a)で 描 い た 白 丸 セ ル よ り外 側 の 遠 方 セ ル の 寄 与 は,す で に局 所 展 開 係 数 の形 で情 報 が 記 録 され て い る とい う意 味 で あ る。 な お,系 全 体 を 内包 す る 大 き なセ ル,す な わ ち ル ー トセ ル は,外 側 に 点 電

荷 が 存 在 しな い の で,こ の セ ル の 局 所 展 開係 数 は 値 が 零 とな る。 よっ て,ル セ ル は 局 所 展 開係 数 が 定 義 済 み(既 知)の   図10・7(a)の

ー ト

セ ル で あ る。

中央 セ ル の 内 部 に は,新 た に 局 所 展 開係 数 を定 義 す べ きセ ル が4

個 含 まれ て い る が,図(b)の

よ うに そ の 内 の1個

に 注 目す る。 な お,大

きい 方 の

セ ル を 「親 セ ル 」,内 側 の 小 さ い セ ル を 「子 セ ル」 と呼 ぶ 。 先 ず 図(c)の よ う に, 親 セ ル の 局 所 展 開 の 内 容 を子 セ ル の 局 所 展 開 係 数 に変 換 す る(L2L変

換 公式 を

使 用)。 次 に,「 親 セ ル の 近 接 セ ル の 子 セ ル で,自 分 の 近 接 セ ル で は な い セ ル 」 を 考 え る と,図(d)の

よ うに 多 数(こ

の 場 合 は27個)の

らの セ ル の多 重 極 展 開 の 内 容 を,図(e)の 換 し て加 え る(M2L変

セ ル が 選 択 され る。 こ れ

よ うに 作 成 中 セ ル の 局 所 展 開係 数 に 変

換 公 式 を使 用)。 この 結 果,図(f)に

描 い た8個

の近接 セ

ル を 除 き,遠 方 セ ル の 寄 与 はす べ て 局 所 展 開係 数 の 形 で 情 報 が 記 録 され る。 同 時 に,図(f)と

図(a)と は サ イ ズ の相 違 以 外 は全 く同 一 の状 態 に な っ て い る の で,さ

らに 内 側 の 子 セ ル(孫 セ ル,子 孫 セ ル)に 関 して も 同様 の手 順 で 次 々 と局 所 展 開 係 数 を 定 義 す る こ とが で き る。 最 終 的 に は全 セ ル に 局 所 展 開係 数 が 定 義 され る こ とに な る 。   な お,セ

ル の 総 数 はO(N)な

とな る 。 た だ し,図(c)と

換 とM2L変

換 の 実 行 回 数 もO(N)

図(e)を 比 較 す れ ば 明 らか な よ う に,ど

あ っ て も,比 例 定 数 はM2L変 M2L変

の で,L2L変

ち ら もO(N)で

換 の 方 が 圧 倒 的 に大 き く,要 す る に 演 算 速 度 は

換 の 計 算 効 率 に 大 き く依 存 す る こ とに な る 。

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f) 図10.7  局 所展 開係 数 の 階層 的 定 義

10.6  FMMに

よる相 互作用 計 算

  よ うや く,FMMに 中 に,電 気 力(ま リー フセ ル(こ

よ る相 互 作 用 計 算 が で きる段 階 に到 達 した。 図10・8の

真

た は電 界 ・電 位)を 計 算 す べ き 白丸 の位 置 と,そ の 白丸 を含 む

れ の 局 所 展 開係 数 は定 義 済 み)を 描 い た。 同 図 に は さ ら に,こ の

リー フセ ル の局 所 展 開 係 数 が 寄 与 情 報 を持 っ て い な い,近 接 セ ル群(周

辺 の8セ

ル)内 の 点 電 荷 群 と,自 セ ル 内 の 点 電 荷 群 も描 い た 。 白丸 位 置 で の計 算 を実 行 す る が,必 要 な計 算 は 次 の2種 類 だ け で あ る。  (a)  局 所 展 開係 数 を用 い て 遠 方 セ ル の 寄 与 を1回

だけ計算

 (b)  残 っ た点 電 荷 の 寄 与 を 直接 クー ロ ンの式 で 計 算 こ れ で,全 点 電 荷 の 寄 与 が 漏 れ な く計 算 され る こ とに な る。 この と き,(a)の 算 回 数 は1回,(b)の で,合 計 もNに

計 算 回 数 は 概 ね 定 数 個 分(Nに

なる。

ル ゴ リズ ム の 説 明 は 以 上 で あ るが,も

理 して お く。 多 重 極 展 開係 数 の 定 義 にO(N),局 備 計 算 を要 し,相 互 作 用 の 本 計 算 にO(N)の O(N)の

は 依 存 しな い)で あ る の

依 存 しな い 定 数 回 と な る。 相 互 作 用 計 算 回 数 は こ の 結 果 にNを

掛 け れ ば求 め ら れ,総 計 算 回数 はO(N)と   FMMア

計

う一 度,FMMの

演 算 回 数 を整

所 展 開 係 数 の 定 義 にO(N)の 計 算 を 要 す る の で,結

計 算 量 とな る 。

図10.8  白丸 位置 の 場 の計 算

準

局全計 算 が

10.7  表 面 電 荷 法 へ の 適 用

10.7.1適

用 方法

  FMMは

も と も と,境 界 要 素 法(BEM)の

表 面 電 荷 法(SCM)は

ため に開発 された高速 解法 であ る。

境 界 要 素 法 の 一 種 で あ るか ら,FMMはSCMに

きる 。 本 節 で は こ の 適 用 方 法 の 概 略 を 述 べ,FMM-BEM,

も適 用 で

FMM-SCMの

特徴 を

あ る。 ベ ク トルxは

表面電荷 密

述 べ る。   SCMの

支 配 方 程 式 は 連 立 一 次 方 程 式Ax=bで

度 分 布 を 表 すN個

の 未 知 数 で あ り,N×N密

(積分 方 程 式)を 表 す 。Ax=bか

行 列Aの

各 行 が1個

の境界 条件 式

らxを 解 くこ とが 目標 で あ る。 まず,通

常解 法

を 用 い る 場 合 につ い て 述 べ る 。Aは 密 行 列 な の で,行 列 の成 分 をす べ て 記 憶 す る に はO(N2)の

記 憶 容 量 が 必 要 で あ る 。 標 準 的 な 直 接 解 法(ガ

で 連 立 一 次 方 程 式 を解 く と,求 解 に は さ らにO(N3)の

ウ ス の 消 去 法 な ど)

演 算 量 が 必 要 で あ り,莫

大 な 計 算 コス トを要 す る こ とに な る。   そ こで,非

対 称 行 列 用 の 反 復 解 法[10.5](Bi-CGSTAB法,GMRES法

使 用 してAx=bを 算 結 果)さ

解 く とす る と,係 数 行 列Aと

え計 算 で きれ ばxが

数 行 列 ベ ク トル 積Axの

の 表 面 電 荷 分 布xが

FMMを

格 納 す る必 要 は な くな る 。 こ れ で,記

演

え計 算 で 憶 容量 が

なる とい う問 題 点 は解 決 され る。

  一 方,係

が,こ

任 意 ベ ク トル との 積(Axの

求 め られ る 。 係 数 行 列 ベ ク トル積Axさ

きれ ば 良 い の で,係 数 行 列Aを O(N2)に

な ど)を

計 算 は,「 境 界 条 件 式 を 立 て た 全 境 界 位 置 で

作 る 電 位 ・電 界 」 を 計 算 す る 作 業 を意 味 して い る。 と こ ろ

の 作 業 はFMMで 用 い れ ばAxが

行 うN体

間 相 互 作 用 の 計 算 と 同一 作 業 と み な せ る の で,

計 算 で き る。 しか も そ の 演 算 量 ・必 要 記 憶 容 量 はO(N)

で よい 。 よ っ て反 復 解 法 と組 み 合 せ る こ とで,演 算 量,記 憶 容 量 と も にO(N)で xを求 め る こ とが で き る。 こ の 計 算 法 がFMM‐SCMで   な お,BEMやSCMで

あ る。

使 用 す る境 界 要 素 は,図10・9(a)の

よ うな 面(平

面ま

た は 曲 面)形 状 だ が,数 値 面 積 分 公 式 で 離 散 化 す る と(b)の 様 に 複 数 の点 電 荷 群

(a)

(b)

図10.9  三角 形 要 素 の点 電荷 群 へ の 置 き換 え

と等 価 で あ る。 よ っ て,面 形 状 要素 で あ っ て も,点 電荷 を用 い て 解 説 したFMM の 考 え 方 を そ の ま ま 適 用 で き る。 た だ し,要 素 を分 割 統 治(リ

ー フ セ ル へ 配 属)

して か ら点 電荷 群 へ 離 散 化 す る 考 え方 と,要 素 を 点 電荷 群 に離 散 化 して か ら点 電 荷 を分 割 統 治 す る 考 え方 とが あ り,筆 者 らの 場 合 は前 者 を採 用 して い る 。 10.7.2 

FMM‐BEM,FMM‐SCMの

  計 算 法 の 比 較 に つ い て は7.3節

特徴 に も記 載 した が,こ

明 す る.FMM‐BEM,FMM‐SCMは,BEMあ

る い はSCMの

長 所 を併 せ 持 つ 。 未 知 数 の 個 数 をN,系 して,主

の1次

含め て説

特 徴 とFMMの

元 あ た り分 割 数 の 代 表 値 をDと

な 特 徴 を 列 挙 す る と以 下 の とお りで あ る。(a)NがO(D2),(b)演

コ ス トがO(N)=O(D2) 高 い,(d)無

,(c)ポ

  こ こで 特 に(a)(b)が

算

テ ンシャル勾 配す なわち電界 の数値計 算精度 が

限境 界 の 取 扱 いが 容 易,(e)要

が 比 較 的 容 易,(f)表

素 分 割(メ

ッ シ ュ パ タ ー ン の生 成)

面 力 の優 勢 な 系 の解 析 に適 す る。 最 も重 要 な 特 徴 で あ る。(a)は,三

の 二 次 元 問 題 に 変 換 さ れ る た め で あ る。 な お,差 (FEM)な

こ で はFMMも

ど の 領 域 分 割 法 で はNはO(D3)と

次元問題 が境界面上

分 法(FDM),有

限要 素 法

な る。 よ っ て,同 程 度 の 要 素 サ イ

ズ で 同 じス ケ ー ル の 問 題 を取 り扱 う場 合 は,BEM

,SCMはFDM,FEMよ

な い 未 知 数 で 計 算 を 行 え,高 速 解 法 を 適 用 す れ ば 演 算 コ ス トもFDM

り少

(O(D3)以 SCM,BEMと

上)よ

り有 利 で あ る[10.6]。 さ ら に,FMMを

比 較 した と きのFMM‐BEM,FMM‐SCMの

,FEM

適 用 し な い(普

通 の)

高 速 ・大 容 量 性 能 の

向上 は 顕 著 で あ る。 た とえ ば32bitのPCで 前 者 はせ い ぜ い1万

一 般 三 次 元 の 電 界 計 算 を 行 う場 合,

未 知 数 程 度 が 限 界 な の に対 し,後 者 は100万

未 知 数 を超 え る

規 模 の計 算 が 可 能 で あ る。   一 方,短 所 も把 握 して お くべ きで あ り,全 体 的 に はFDM,FEMと 汎 用 性 ・柔軟 性 の 面 で 劣 る。 具 体 的 に は以 下 の 点 で あ る。(g)非 が 困 難,(h)非

比 較 して 同 次 項 の取 扱 い

線 形 項 の 取 扱 い が 大 変 困 難 で あ る。 こ う した 計 算 も必 ず し も不 可

能 で は な い が,(a)をO(D3)と

せ ざ る を得 な くな り,(b)もO(D3)と

なっ て し

ま う。 結 局 「O(D2)の 長 所 を 残 した ま ま」 と い う の は 無 理 の よ う で あ る。 全 体 に,FMM-BEM, 

FMM-SCMとFDM,FEMは

互 い に補 い 合 う よ う な 長 所 ・

短所 を持 っ て い る 。 互 い の 長 所 を う ま く組 み 合 せ て,効 率 の 良 い 計 算 法 を得 るの が 望 ま し い。

10.8  FMM-SCMの

計算 例

  三 次 元 ラ プ ラ ス場 の 解 析 にFMM-SCMを

適 用 す る と,通 常 のSCMと

て飛 躍 的 に 多 数 の 要 素,未 知 数 を用 い た計 算 が 可 能 に な る 。 特 に,第9章 した 曲 面 形 状SCMにFMMを

比較 し で説明

適 用 す る と,高 速,大 容 量,高 精 度 の 電 界 計 算 法

に な る。 こ う し た長 所 を活 か して,一 般 的 に は解 析 が 困 難 な 「大 小 ス ケ ー ル の媒 体 が 混 在 す る 問 題 」 や 「画 素 デ ー タ をそ の ま ま要 素 と した解 析 」 な どが す で に行 わ れ て い る。 以 下 で は筆 者 らの 計 算 例 を い くつ か 示 す が,す

べ て32bit PCで

実

行 した も の で あ る。 10.8.1 

  口絵1に

多 体 系 の 計 算[10.7]

垂 直 方 向 の 一様 電 界 下 に あ る多 数 個 の 誘 電 体 球 の 電 界 計 算 結 果 を示 し

た。 各 誘 電 体 球 は 曲面 要 素192個 した 。1球 あ た り386未

で表 現 し,電 荷 密 度 分 布 は二 次 形 状 関 数 で 表 現

知 数 で あ る。 こ の 球 を14×14×14=2744個,格

配列 させ た 。 総 未 知 数 は1059184個

子状 に

で あ る 。 図 中 の カ ラ ー グ ラ デ ー シ ョ ンは 電

界 強 度 の 強 弱 を意 味 し,各 球 の 上 下 方 向の 南 北 極 付 近 が 強 電 界 とな っ て い る 。 注

意 深 く観 察 す る と,球 の 位 置 に応 じて電 界 分 布 が微 妙 に異 な っ て い る こ とが 分 か る。 な お,球 の 位 置 が 規 則 的 な 配列 か らず れ た場 合 や,欠 陥 が存 在 す る場 合 の 計 算 な ど も可 能 で あ る。   口絵2は

一様 電 界 下(上

空 に雷 雲 を想 定)の 大 地 に 整 列 した多 数 の 人体 表 面 で

の 電 界 強度 で あ る 。 人 体 は 接 地 導 体 と してお り,曲 面 要 素 を使 用 し電 荷 密 度 表 現 は二 次 で あ る。1人 体 あ た り4078未 た 。 総 未 知 数 は652480個

知 数 で 表 現 して,こ れ を8×20体

整 列 させ

で あ る。 電 界 強 度 分 布 を カ ラー 表 示 した が,人 体 モ デ

ル の 頭 部 で 電 界 が 強 く,特 に列 の 角 に あ た る位 置 の モ デ ル の 頭 部 で 強 くな っ て い る こ とが 分 か る 。全 体 と して 非 常 に複 雑 な形 状 で あ る が,問 題 な く電 界 計 算 を実 行 で き る。

10.8.2  人 体 内 誘 導 電 流 の 計 算   以 下 は 静 電 界 計 算 で は な いが,変

動 磁 界 に よっ て 人 体 に誘 導 され る 電 流(誘

電 界 が 各所 の 導 電 率 に対 応 す る 電 流 を生 じる)の 計 算 結 果 を示 す 。 口絵3は

導

人の

両 肺 形 状 を2分 岐 細 管 で 近 似 した モ デ ル で あ る。 この モ デ ル を胸 郭 状 の 容 器 内 に 納 め,低 周 波 一 様 磁 界 を 印 加 した 場 合 の体 内 誘 導 電 界 分 布 を計 算 し た 結 果 で あ る[10.8〕 。 分 岐 細 管 の 作 成 に は 数 学 モ デ ル を用 い,気 数 は414391個

管 支 末 端 数 は2036,総

未知

で あ る 。 形 状 は 曲 面 要 素 表 現,電 荷 密 度 は二 次 表 現 で あ り,境 界

条 件 の表 現 に は細 管 分 岐 の谷 部 分 で ガ ラー キ ン法 を採 用 して い る。 分 岐 の谷 部 で 誘 導 電 界(=電   口絵4は

流)の 顕 著 な 増 大 が 確 認 で き る。

情 報 通 信 研 究 機 構(NICT)が

公 開 して い る 日本 人 成 人 男 性 標 準 モ デ

ル を対 象 と した 計 算[10.9][10.10]で,約800万 個 の 立 方 体 ボ ク セ ル(1辺2mm)で モ デ ル が 表 現 さ れ て い る。 こ の ボ ク セ ル の 面 に注 目 し,表 裏 の 導 電 率 が 異 な る 面 を平 面 四 角 形 要 素SCMの

要 素 と見 な す と,FMM‐SCMが

適 用 で き る。 鉛 直 方

向 一様 交 流 磁 界 を 印加 し て体 内誘 導 電 界 を計 算 し,誘 導 電 流(=誘 率)分

導 電 界 ×導 電

布 を カ ラ ー表 示 した 図 で あ る 。 平 面 形 状 で 電荷 密 度 一 定 の 要 素 を 使 用 して

い る が,境 界 条 件 表 現 を ガ ラ ー キ ン法 と して 計 算 結 果 の 安 定 性 を確 保 して い る 。 総 要 素 数 は3921953個

だ が 約6時

間 で 電界 計 算 が 可 能 で あ る 。

第10章  演習問題 1.三

次 元 解 析 用 の8分

らな り,こ れ を第0層 を 第1層

木 セ ル構 造 を 考 え る 。 ル ー トセ ル は1個(80)の とす る。 そ の 子 セ ル は8個(81)の

とす る。 第L層

は8L個

 な お,r≠1の

2.計

セ ル の総 数Mと

セ ルか ら な り,こ れ

の セ ル か ら な り,こ こ で は こ の 層 を リー フ セ

ル 層 とす る。 各 リー フセ ル に点 電荷 が1個 の 総 数Nと

セ ルか

ず つ 配 属 され て い る場 合 に ,点 電 荷

の 関係 を示 しな さい 。

と き,

〓で あ る。

算 した い 配 置 に 一様 な電 界 が 存 在 す る場 合,高

取 り扱 え ば よ いか 考 え な さい 。

速 多重極法 では どの ように

第Ⅱ 部  各種 の場 の計算 法

第11章  複合誘電体 の計算

  次 章 以 下 の,一 様 電 界,既 知 電 界,静 電 誘 導 の 計 算 な ど に複 合 誘 電体 の 計 算 が 出 て くるの で,第Ⅱ

部 の 最 初 に まず 複 合 誘 電体 の 計 算 法 を説 明 す る。

 複 合 誘 電 体 とは誘 電体(絶

縁 物)が2種

εが 場 所 に よっ て 変 わ る と きは,場

類 以 上 あ る 配 置 で あ る。 一 般 に誘 電 率

の方 程 式 は 第2章

の(2・6)式,す

なわ ち (11・1)

で あ る 。 しか しほ とん どの 計 算 で は,媒 質 と して 存 在 す る 気 体(静 電 界 で は真 空 も同 じで あ る),液 体,固 体 は そ れ ぞ れ 誘 電 率 が 一 定 の 材 料 と して 扱 わ れ る。 こ の と き各 誘 電 体 の 内 部 で は,空 間 電荷 が 存 在 しな い場 合 ラプ ラ スの 式 (11・2)

が 成 り立 つ 。 そ こで εが 不 連 続 に変 化 す る誘 電 体 界 面(境

界 面)に

お い て の み境

界 条件 を満 足 す る よ うな 処 理 を行 うの が 普 通 で あ る。 た だ し材 料 の 誘 電 率 が た と え ば 電 界 に依 存 して 変 わ る よ うな場 合 に は,境 界 だ け の処 理 で は計 算 で き な い。  な お 第Ⅰ 部 で は境 界 分 割 法 を表 面 電 荷 法,電 荷 重 畳 法 の 順 に 説 明 した が,以 下 で は 電荷 重 畳 法 を先 に 説 明 す る。

11.1  差 分 法 に よ る 計 算  差 分 法 を 使 用 す る 場 合,誘

電 体 界 面 で は まず 格 子 点 の あ て は め 方 が 問 題 で あ

る。 電極 表 面 の 場 合 の(3・15)式,(3・16)式

の よ う に,等 間 隔 で な い 格 子 に よ っ

て 界 面 上 に格 子 点 を とる こ と もで き るが,差 分 式 が 複 雑 に な る の で 図11・1の う に等 間 隔格 子 で,界

よ

面 に最 も近 い 格 子 点 を界 面 上 の 点 とす る計 算 が ほ とん どで

あ る。 界 面 と格 子 点 が 一 致 しな い 場 合,界 面 付 近 の 電 界 は も ち ろ ん あ ま り正 確 に は求 ま らな い 。   界 面 上i点 の 差 分 式 を 得 る に は,i点

を囲 む 領 域 に ガ ウ ス の 定 理 を適 用 して 求

め る方 法 と,界 面 に 垂 直 な電 束 密 度 の 連 続 条件 を適 用 す る 方 法 とが あ る。 前 者 の 方 法 は, (11・3)

を計 算 す る[11.1]。 こ こ で(εgradφ)nは 微 小 面 積dsに 線 方 向 成 分 を意 味 す る。 た と え ば 図11・1の が違 う場 合,領 域1に

お け る 電束 密 度 の 外 向 き法

二 次 元 場 で1∼8の

各領域 の誘 電率

お け る(11・3)式 の 寄 与 分 は 図 の 点 線 に 沿 っ て, (11・4)

領 域2∼8に

つ い て も(11・3)式 を計 算 して加 え合 わせ る と次 式 が得 られ る 。

(11・5)  二 つ の 誘 電 体(εAお

よ び εB)の

境 界 面 の 格 子 点 が た と え ば 図11・1のr,i,n

で あ る と,ε7=ε8=ε1=ε2=εA,ε3=ε4=ε5=ε6=εB,ま

た 境 界 面 がj,i,qで

図11.1  差 分 法 にお け る誘 電 体界 面 の 処 理

あ

る と,ε1=ε2=ε3=ε4=ε5=εA,ε6=ε7=ε8=εBと

し て そ れ ぞ れ(11・5)式

を 使 用

す る わ け で あ る。

  一 方,回

転 対 称 場 に(11・3)式

を 適 用 す る と,た

と え ば 領 域1に

つ い て は(11・

4)式 の 代 わ りに 次 式 と な る 。

(11・6)

 領 域1∼8に

つ い て も 同様 な 式 を作 っ て加 え合 わせ る と,

(11・7)

界 面 以 外 の 格 子 点 で は 第3章

に述 べ た通 常 の 差 分 式 が で き る の で,結

局(11・5)

式 あ る い は(11・7)式 と界 面 以 外 の 格 子 点 電 位 に対 す る 連 立 一 次 方 程 式 を解 け ば よい 。  とこ ろ が 回 転 対 称 場 で は 次 式 の よ う な もう一 つ の 差 分 式 が あ る 。

(11・8)

両 式 の 違 い はh/r0の な い と も 言 え る が,回 誘 電 体 界 面 がr,i,nの

項 だ け で あ る か ら分 割 が 細 か い と き に は あ ま り問 題 に な ら 転 軸 付 近 で は 明 ら か に 差 を 生 じ る 。(11・8)式 場 合,ε7=ε8=ε1=ε2=εA,ε3=ε4=ε5=ε6=εBと

界 面 領 域 全 体 が そ れ ぞ れ εA,εBで

はた とえば す る と,

あ る と した 差 分 式 と電 束 密 度 の 連 続 性 か ら導

出 さ れ る[11.2]。

  (11・7)式 をA-タ

イ プ,(11・8)式

をB-タ

イ プ と名 付 け る と,界 面 の 格 子 間

隔,誘 電 率 の 相 違 に よっ て 差 分 式 は複 雑 に も簡 単 に も な るが,常 ち らか の タ イプ に分 類 され る。 実 際 に 図11・2の

に この 二 つ の ど

よ う な同 心 球 の 電 極 に,二

つの

図11.2  比 較 計算 に用 い られ た同 心球 電 極

差 分 式 を 適 用 し て比 較 した 例 で は,計 算 値 の 誤 差 は,特

に 回 転 軸 上(r=0)で

B-タ イ プ の 差 分 式 の ほ う が小 さい こ とが 報 告 さ れ て い る[11.3]。 初 期の差分法 の文 献 に は,A,Bが

ほ と ん ど 同 じ く らい の 割 合 で 現 れ て い る が,そ

の 後 は 主 にB-

タイ プ が 使 用 され て い る よ うで あ る。 こ れ につ い て は 次 節 の 有 限 要 素 法 で も言 及 す る。   な お 図11・1で

格 子 間 隔 が す べ て相 違 す る と きの 差 分 式(回

転 対 称 場 で はB-

タイ プ)は 文 献[11.4]に 与 え られ て い る の で 必 要 とす る読 者 は 参 照 され た い 。

11.2  有 限要 素 法 に よる計 算   有 限 要 素 法 は 複 合 誘 電 体 場 の 計 算 で ほ とん ど何 の 問 題 も生 じな い 。 節 点 を 常 に 誘 電 体 界 面 上 に とる こ とが で き る し,4.1節

で 説 明 した よ う に,最 初 の ポ テ ン シ

ャル エ ネ ル ギ ー の 式 に誘 電 率 が 含 まれ て い るの で,各 三 角 形 要 素 が 有 す る誘 電 率 をポ テ ン シ ャル エ ネ ル ギ ー の 式 に与 え る だ け で 済 む 。 た め しに 前 節 で 差 分 式 を導 出 した 図11・1の

配 置 につ い て,有

限 要素 法 で 電 位 の 式 を 求 め て 差 分 法 の場 合 と

比 較 して み る 。   二 次 元 の 場 合 三 角 形 要 素1に 節 の(4・26)式 でhy=hと

つ い て は,ポ

テ ン シ ャ ル エ ネ ル ギ ー の 微 分 は4.6

し た式 と同 じで (11・9)

こ こ でΔ

は 要 素 の 面 積 で あ る 。 要 素2∼8に

=1∼8)の

つ い て も 全 く 同 様 で,∂Xe/∂φi(e

式 は 誘 電 率 が 対 応 す る 要 素 の 誘 電 率 ,φjが

る 点(j,n,p,r)の

図11・1のi点

と対 向 す

電 位 に な る に す ぎ な い 。 結 局,

(11・10)

に よ って 差 分 式 と同 じ(11・5)式 が 得 ら れ る 。 す な わ ち こ の 場 合 に も 「領 域 を規 則 的 に 分 割 した有 限 要 素 法 は 差 分 法 と 同 じ電 位 の 式 を 与 え る」 とい う原 則 が 成 り 立 っ て い る。 も ち ろ ん要 素 内 の 電 位 を座 標 の 一 次 式 で近 似 した場 合 で あ る。   一 方,回

転 対 称 場 で 同 様 な 計 算 を 行 う と 要 素1,2の

の 微 分 は(4・32)式,(4・33)式

でhr=hz=hと

ポ テ ン シ ャ ル エ ネル ギ ー

した 式 で あ る。

(11・11)

(11・12)

要素3に

つい ては (11・13)

要 す る に(4・19)式 か ら分 か る よ う に,定 数 倍 を 除 き二 次 元 場 でx→r,y→zと した 式 に各 三 角 形 要 素 の 重 心 のr座 標 を掛 け れ ば よ い 。i点 の まわ りの す べ て の 要素 に つ い て こ れ ら を加 え る と,(11・10)式

か ら次 式 が 得 られ る 。

(11・14)

この 式 は,差 分 法 の(11・7)式

と も(11・8)式 と もす べ て の 電 位 の係 数 が 相 違 して

い る 。 そ こ で 前 節 で 行 っ た ガ ウ ス の 定 理(11・3)式 の か を検 討 す る。 実 は(11・14)式 は 図11・3の 辺 が4h/3の

四 辺 形(実

か ら の導 出 と ど こが 相 違 す る

よ う なi点 を 中心 とす る 断 面 の1

際 に は 回転 対 称 な 円筒)に

ガ ウ ス の 定 理 を適 用 し,(11・

図11.3 

有 限 要 素 法 の(11.14)式

を 与 え る 区 分(点 線)

6)式 の 代 わ り に,

(11・15)

を作 って す べ て の側 面 につ い て加 え合 わせ れ ば 得 られ る 。 す な わ ち 回 転 対 称 場 で はi点 を 囲 む どの よ うな 体 積 に ガ ウ ス の 定 理 を適 用 す るか で電 位 の 式 が 相 違 す る。  (11・7)式,(11・8)式,(11・14)式

の 相 違 は〓

の と き,す な わ ち 回転 軸 付

近 で の み 差 を生 ず る が,回 転 軸 上 で 最 大 電 界 を生 じる 配 置 は は な は だ 多 い の で 無 視 で きな い 問 題 で あ る 。 実 は領 域 を規 則 的 に分 割 した場 合 に,差 分 法 と有 限 要 素 法 とで 電 位 の 式 が 異 な る こ とは 単 一 誘 電 体 の 場 合 に もあ り,回 転 軸 上 の 式(差 法 で は(3・20)式)が

分

そ の 例 で あ る。 差 分 法 で どの 式 を用 い る と最 も精 度 が 高 い

か は 現 在 の と こ ろ 必 ず し も明 らか に さ れ て い な い よ う で あ るが,領 域 の ポ テ ン シ ャル エ ネ ル ギ ー最 小 の 条 件 か ら導 か れ る(11・14)式 が最 も良 い と思 わ れ る。 しか し これ は 付 近 の電 界 分 布 に依 存 す るか も しれ な い。

11.3 

電荷 重畳 法 に よる計 算

 二つの誘電体が 電界の作用 を受 けて分極 す ると き,そ れぞれの誘 電率が場 所 に

よ らず 一 定 で あ る と分 極 電 荷 は 界 面 に の み 現 れ,こ

の 界 面 電 荷 は電 気 一 重 層 で あ

る。 電 気 一 重 層 は単 極 性 の 電 荷 の 層 で あ っ て,そ の 両 側 で 電 位 は連 続 で あ る が , 電 界 は存 在 す る電 荷 量(密 度)に

比 例 した不 連 続 を生 じる 。 ま た場 の 電 界 は分 極

電 荷 を含 め て す べ て の 空 間 が 単 一 誘 電 体(真

空 と見 な して よい)で

あ る 場 合 の電

界 に等 しい 。   電 荷 重 畳 法 で は,実 際 は 電 極 表 面 に 存 在 す る 電 荷 の 作 用 を電 極 内 部 に 配 置 し た 仮 想 電 荷 の 作 用 で 置 き換 え る よ う に,誘 電 体 の 界 面 電 荷 を仮 想 電 荷 で 代 用 す る 。 た だ 誘 電 体 の 界 面 は電 極 表 面 と違 っ た境 界 条 件 で あ り,ま た二 つ の 誘 電 体 の 両 方 の 電 界 を与 え な け れ ば な らな い 。 そ の た め に図11・4に

模 式 的 に示 す よ う に ,誘

電 体 εA,εBの 双 方 の 内 部 に 仮 想 電 荷 を 配 置 し,εA内 の 仮 想 電 荷QAと 仮 想 電 荷Qと

で εB内 の電 界 を,εB内 の仮 想 電 荷QBと

電極 内の

電 極 内 の仮 想 電 荷Qと

で

εA内の 電 界 を与 え る 。 そ れ ぞ れ の 仮 想 電 荷 は電 極 表 面 と誘 電 体 界 面 の 境 界 条 件 か ら与 え られ る全 体 の 連 立 一 次 方 程 式 を解 い て 求 め られ る。  境 界 条件 は,  (a)  電極 上:電 位 一 定(=V(i))  (b)  誘 電 体 界 面 上:電 位 の 連 続 お よ び電 束 密 度(の 法 線 方 向 成 分)の

図11.4  複 合 誘 電体 場 の 電荷 重 畳 法(説 明図)

連 続,

で あ る｡

図11・4に

示 した よ う に,電 極 内,εA内,εB内

の仮想 電荷 を番号付 け してそれ

ぞ れ〓

と表 わ す と,

各 輪 郭 点iに お け る境 界 条件(a),(b)は

次 の よ うに な る。

(a)  電 極 上 εA側電 極 上:

〓(11・16)

εB側電 極 上:

〓(11・17)

  た だ し図11・4で

は εB側 の電 極 は な い 。 ま た 大 地(接

作 用 と してP(i,j)に

含 める。

地 電 位)は

影像 電荷 の

(b)  誘 電 体 界 面 上

電位の連続 条件 (11・18)

電束密度 の連続 条件

(11・19)

こ れ ら の 式 で,P(i,j)は6.2,6.3節

で 説 明 し た 電 位 係 数 で,付

録1に

て い る 。 ま た 電 界 係Fn(i,j)は,同

様 に(6・11)式,(6・12)式

に 与 え た 電界 係

数Fに

与 え られ

よ っ て,

二 次 元 場;

〓(11・20)

回転対称場;

〓(11・21)

の よ う に 与 え ら れ る 。Fn(i,j)はj点 電 界 で あ る 。 角 度 θは 図11・5に 線 がy軸

ま た はz軸

の 単 位 電 荷 量 が 界 面 上i点

に 生 じる法 線 方 向

示 す よ う にεA＜ εBと し て εBか ら εAに 立 て た 垂

と な す 角 と 定 義 し て お く と,(11・20)式,(11・21)式

て の 場 合 に 変 更 な し に 使 用 で き る 。 そ の 代 わ り,θ は0∼360°(あ

をす べ る い は-180°

図11.5  界 面 上 電界 の 法線 方 向 成分

か ら180°)の 範 囲 を とる 。   こ こで 往 々 に して誤 解 を生 じ るの は,電 位 係 数,電 界 係 数 と電 荷 との 関 係 で あ る。 最 初 に述 べ た よ う に分 極 電 荷 を含 め て す べ て の 空 間 を 真 空 中 と見 なす な ら, 電 位 係 数,電 界 係 数 は ε0のつ い た 式 を用 い る。 ま た す べ て の 空 間 を εA中 と見 な す な ら ε0の代 わ り に εAと お い た 式 を用 い る。 どち らで も同 じ電 界 を与 え る が, 求 め られ る仮 想 電 荷 は εA/ε0倍だ け 相 違 す る 。 た とえ ば 真 空 中 と見 な した 取 扱 い で は 電 極 表 面 の 電 荷 密 度 は(真 電 荷+分

極 電 荷)が

求 め られ,実

際 に εA内 に あ

る 場合 の 真 電 荷 と相 違 す る の で 「静 電 容 量 」 を 求 め る際 に注 意 が 必 要 で あ る。 こ の 点 に つ い て は13.4節   (11・16)∼(11・21)式 し,表11・1の

で よ り詳 し く解 説 す る。 に よ っ て 仮 想 電 荷Q(j),QA(j),QB(j)を

未知数 と

よ うな係 数 を有 す る 支 配 方 程 式 が で き る。 単 一 誘 電 体 の場 合 と異

な り係 数行 列 はか な り0項 を含 ん で い る。 こ の方 程 式 か ら得 られ た 電 荷 量 を用 い て 各所 の 電 位,電 界 を求 め る手 順 は,6.3節

に説 明 し た単 一 誘 電 体 の 場 合 と同 様

で あ る 。 た だ し計 算 点 が ど ち らの 誘 電 体 に属 す る か を 入 力 デ ー タに よ っ て 与 え, そ れ ぞ れ 電 位,電 界 の 計 算 式 を使 い 分 け な け れ ば な らな い 。 解 の 精 度 を チ ェ ッ ク す る た め に は誘 電 体 界 面 で も輪 郭 点(KP)の

中 間 に検 査 点(AP)を

とる が,電 極 表

面 の よ う に電 極 電 圧 との 一 致 の 程 度 で 判 定 す る わ け に は い か な い 。7.6節 に 述 べ た よ うに,界 面 上 の検 査 点 に は εA側 と εB側 の そ れ ぞ れ の 電 位,電 界,電 線 方 向 成 分,接 線 方 向 成 分,両

界 の法

者 の εA側,εB側 の比 を求 め て 総 合 的 に 判 断 す る

のが 普 通 で あ る 。   も う一 つ 電 極 表 面 と誘 電 体 界 面 とが 相 違 す る点 は,後 者 で は1個 の 輪 郭 点 に対 して2個 の 仮 想 電 荷(未 知 数)が 必 要 な こ とで あ る。 これ は輪 郭 点1個

に境 界 条

件 が 二 つ あ る こ と に対 応 して い る 。 そ の 結 果 複 雑 な形 状 で 誘 電 体 が 多 数 あ る場 合 に は電 荷 重 畳 法 の 適 用 は難 し くな る。

表11.1  複合 誘 電 体場 の係 数 行列 の各 項

11.4  表 面 電荷 法 に よる計算   分 極 電 荷 は 電 気 一 重 層 で あ る か ら表 面 電 荷 法 で は 電 極 の 表 面 電 荷 と 同様 に 表 現 で き,電 荷 重 畳 法 の よ う に2個(界

面 両 側)の

電 荷 を与 え る 必 要 が な い 。 こ れ

は,表 面 電荷 法 で は界 面 に お い て電 位 の 連 続 性 が 満 足 さ れ て い て,電 束 密 度 の 連 続 条 件 の み 必 要 な こ とに対 応 して い る 。   図11・6の

よ う な複 合 誘 電 体 の 界 面i点 に お け る電 荷 密 度 を σ(i),法 線 方 向

電 界 を εA,εBに つ い て そ れ ぞ れEnA,EnB,ま の 電 界 をEn0と

た σ(i)以 外 の 電 荷 に よ る 輪 郭 点

す る と, (11・22)

(11・23)

こ こ で は 全 空 間 を 真 空 中 と 見 な し て い る 。 εA中 と 見 な す と き は(11・23)式 び 電 位,電

界 の 式 の ε0を εAと す れ ば よ い 。 こ の 二 つ の 式 か ら,

お よ

図11.6  複 合 誘 電体 に お け る表 面 電荷 法

(11・24)

 電 極 表 面 あ る い は 界 面 のj要 素(区 よ るi点 の 法 線 方 向 電 界En(i,j)は,二

間t1∼t2:図11・6)に

あ る 電 荷 σ(j)に

次 元 場 で は,

(11・25)

 回 転 対 称 場 で は,

(11・26)

と書 け る。 こ こ でFx,Fyは

単 位 電荷 密 度 の無 限 長 線 電荷 に よ る 電 界,Fr,Fzは

単 位 電荷 密 度 の リ ン グ電 荷 の 電 界 で と も に付 録1に のEn0は,(11・25)式

与 え られ て い る。(11・24)式

あ る い は(11・26)式 を輪 郭 点 の ご く近 傍 を 除 く全 要 素 に つ

い て加 え合 わ せ て 次 式 を得 る。

(11・27)

これ が 誘 電 体 界 面 の電 荷 密 度 に対 す る 方 程 式 で あ る。 こ こで 電 荷 密 度 が 座 標 の 関 数 と して 要 素 内 で 変 化 す る と きは,同

じ要 素 内 で あ っ て も σ(j)の 値 は 輪 郭 点 に

よ って 異 な る。 電 極 表 面 電 荷 に対 す る式 と(11・27)式 とが 全 体 の 電荷 量(電 荷 密

度)を 求 め る支 配 方 程 式 と な る。 あ る い は 電極 に つ い て は 電荷 重 畳 法,界 面 に つ い て は表 面 電荷 法 とす る こ と も可 能 で あ る。 な お ,第5章 電荷 法 に は い ろ い ろ な計 算 技 法(バ 形 状 の 模 擬,電 荷 密 度 表 現,境

で触 れ た よ う に,表 面

リエ ー シ ョ ン)が 存 在 す る が,電 極 や 誘 電体

界 条件 の 設 定 方 法 の 詳細 な どは ま とめ て 第9章

で

説 明 した 。   実 際 の 計 算 に あ た っ て 重 要 な の は,誘 電 体 界 面 の角 度,電 界 の 方 向 を 間違 え な い よ うに 定 め てお く こ とで あ る 。 界 面 の 角 度 は ,前 節 の 図11・5で に εBか ら εA(εA＜ εB)に立 て た 垂 線 がy軸

また はz軸

説 明 した よ う

と なす 角 と し,EnA,EnBは

常 に εBか ら εAの向 き を正 と決 め て お く と よい 。

11.5  誘電 率 が非 常 に異 な る と きの計算   誘 電 率 が 非 常 に 異 な る2種 類 の 誘 電 体 が 電 界 の方 向 に 直 列 に存 在 す る と,誘 電 率 の 大 き い方 の電 界 が 小 さ くな るが,こ

の よ う な配 置 を 電 荷 重 畳 法 で 計 算 す る と

大 きな(相 対)誤 差 を 生 じる。 これ は誘 電 率 の 大 き い方 の 電 界 は外 部 の(た い は 電極 の 作 る)電 界 と誘 電 体 界 面 の(分 極)電 殺 して表 され るが,両

いて

荷 に よ る 電 界 が 重 畳 あ る い は相

者 が 同 じよ うな 大 き さで 逆 方 向 で あ る の で,電 荷 重 畳 法 や

表 面 電 荷 法 で は大 きな け た 落 ち誤 差 を 生 じる た め で あ る。   電 荷 重 畳 法 で 仮 想 電 荷 を 用 い て 電 界 を 表 す の に 別 な 方 法[11.5][11.6]があ る 。 こ れ は 各 誘 電 体 の 電 界 を,そ

れ を 直 接 と り ま く周 囲 の 電 荷 だ け で 表 す も の で ,図11・

4を 例 に と る と εB内 の 電 界 を εA内 の 仮 想 電 荷 だ け で 与 え る 。 す な わ ちQ(j) (j=1∼k)とQB(j)(j=m+1∼n)で

εA内 の 電 界 を,QA(j)(j=k+1∼m)で

内 の 電 界 を 与 え る の で あ る 。 電 極 上,界 式 と は 違 っ た 式 で 表 さ れ,係 16)∼(11・19)式

εB

面 上 の 境 界 条 件 は,(11・16)∼(11・19)

数 行 列 も 表11・1と

は 相 違 す る が,こ

れ ら は(11・

に な ら っ て 容 易 に 作 れ る の で こ こ で は 省 略 す る 。 こ の 方 法 を β-

法 と名 付 け る と,実 際 の εB内 の 電 界 は電 極 表 面 電荷 と誘 電 体 界 面 電 荷 で 形 成 さ れ て い る か ら,先 に説 明 した 通 常 の 方 法(α-法)の

ほ うが 実 際 の 状 況 に 近 い が ,

多 くの 場 合 両 方 法 は等 価 で あ る。 しか し次 の よ うな違 い が あ る。

(a)β-法

は,図11・4で

い え ば εBが εAよ り非 常 に 大 きい と きの 電 界 計 算 に

適 して い る。 この と き は εB内 部 の 電 界 が 非 常 に小 さ くな るの で,α-法 で は電 極 内 の 電 荷Qと 必 要 が あ る が,有

εA内の 電 荷QAの

作 用 が εB内 で ち ょう ど相 殺 さ れ る

限個 の 電 荷 個 数 あ るい は近 似 した 電 荷 分 布 で は これ は 必

ず し も容 易 で な い。 そ れ に 比 べ β-法で はQAが0に 擬 しや す く,精 度 が 高 くな る 。 こ れ は εB=∞

近 づ けば よい ので模

とい う実 際 に導 体 の場 合 を

と って み れ ば容 易 に理 解 で きる 。 (b)逆

に εB/εAが1に

近 い と α-法 が 有 利 で あ る 。 こ の と き は,α-法

0に 近 くな る 。 εA=εBの =0と

(c)同

な るが

,β-法

と き 実 際 に 界 面 電 荷 は0に

で はQAが

のQAが

な り α-法 で はQA=QB

有 限 の 値 を 有 す る こ とに な る 。

じ使 用 電 荷 数 で あ っ て も,実 際 に電 位,電

界 を計 算 す る と きの 延 べ 使

用 電 荷 数 は β-法の ほ う が少 な くい く らか 有 利 で あ る 。  電荷 重 畳 法 で は εAと εBの界 面 の 電 荷 を 界 面 両 側 の 電 荷 で模 擬 す る た め に,そ の作 用 を一 方 は εB内の 電 界,他

方 は εA内 の 電 界 を 表 す よ う に分 離 して扱 う こ と

が で き る。 しか し表 面 電 荷 法 の 表 面 電 荷 は 電 気 一 重 層 で ,通 常 は 分 離 で き な い 。 そ の た め に,誘 電 率 の 非 常 に 異 な る複 合 誘 電 体 場 の 計 算 で は,2種

類 の表面 電荷

を用 い る方 法 が 試 み られ て い る。 電 荷 重 畳 法 の β-法 と 同 様 に,εB内 の 電 界 は 一 方 の 表 面 電 荷 だ け で表 され る。 各 区分 の 輪 郭 点 の 未 知 数 が2倍

に な る の に対 応 し

て 境 界 条 件 も電 位 の 連 続 条 件 と電 束 密 度 の 連 続 条 件 が 課 され る。 あ る い は輪 郭 点 で 電 位 と電 束 密 度 の 二 つ を未 知 数 とす る境 界 要 素 法(8

.2節)を

用 い て も通 常 の

表 面 電 荷 法 よ り精 度 が 向 上 す る 。

11.6  計 算 例―

三重 点効 果

  複 合 誘 電 体 の 計 算 例 は 多 数 あ る が,こ

こ で は 実 用 的 に も重 要 な 三 重 点 効 果

(triple-junctioneffect)の 計 算 を述 べ る。 三 重 点 効 果 とは,電 極 と2種 類 の 誘 電 体 が そ れ ぞ れ 直 線 上 の 境 界 面 を な し1点

に会 す る点 で の電 界 の特 異 性 で あ

る[1l.7][11.8]。 通 常 は 一 方 の 誘 電 体 が 固体 絶 縁 物 な の で 接 触 点 の 電 界 と考 え て も よ

い｡6.5.1項

の 図6・5に

電 荷 重 畳 法 で 輪 郭 点 を置 け な い場 所 と して,丸

み を帯

び な い電 極 凸 部 や 凹部 の 先 端 とな らん で 複 合 誘 電 体 の 界 面 が 電極 と接 触 して い る 点,す

な わ ち 三 重 点 を あ げ た 。 こ れ らの 点 は理 論 上 電 界 が 無 限 大 あ る い は零 に な

る点 で,本 来 電荷 重 畳 法 に よ る電 界 の模 擬 が 難 し く,ま た 差 分 法,有

限要素法で

も電 界 の 振 舞 い を調 べ る に は,三 重 点 付 近 で 分 割 を非 常 に細 か く し な け れ ば な ら ない。   電 極 と固 体 絶 縁 物 との 接 触 は 支 持 絶 縁 物 と して しば しば 生 じる が,接

触角 が

90度 で な い と き は接 触 点 は 常 に電 界 特 異 点 に な る。 こ の 場 合 の 電 界 計 算 は 誘 電 体 界 面 が(断

面 で)直

線 で あ れ ば 表 面 電 荷 法 が 適 して い る が,こ

法 の 計 算 を 説 明 す る 。 計 算 例 は 図11・7に

こ で は電 荷 重 畳

示 す よ う な二 次 元 の 平 行 平 板(平

電 極 間 に斜 め の 誘 電 体 界 面 が あ る配 置 で,誘

面)

電 率 の比 は εB/εA=4で あ る。 なお

現 実 の 配 置 は 二 次 元 で は な いが 接 触 点 の ご く近 傍 の 電 界 挙 動 を考 え る と きは 二 次 元 と して よい 。 上 下 の 電 極 との 接 触 点P点,Q点 Qか

付 近 の 電 界Eは,そ

れ ぞ れP,

らの 距 離lに 対 して 両 対 数 グ ラ フで 直 線 に な る。 す な わ ち, (11・28)

と表 され る。 こ こ でVは

印 加 電 圧(電

極 間 の 電 位 差),dは

は 配 置 に依 存 す る 定 数 で あ る 。 図 の 場 合 接 触 角 αが90度

図11.7 

「高木 効 果 」 の配 置 と計 算 結果―

電 極 間 距 離,K,m 以 下 で あ る と,P点

三重 点 付 近

の 誘 電 体 界 面 上 電 界(εB/εA=4,α=45°)

付

近 で はm＜0で

電 界 は無 限 大 に 近 づ き,Q点

付 近 で はm＞0で

零 に近 づ く。 筆 者

の 一 人 は こ の 電 界 特 異 性 を 最 初 の 報 告 者 に ち な ん で 「高 木 効 果 」 と 名 付 け て い る。 α=90°の 場 合 に はm=0と   図11・8に

な っ て 電 界 特 異 性 は 生 じな い 。

三 重 点付 近 の 電 界 を 電 荷 重 畳 法 で 計 算 す る場 合 に 筆 者 らが 用 い て い

る輪 郭 点 と仮 想 電 荷 の 配 置 を示 す 。 仮 想 電荷 は三 重 点 を 通 る 直 線 上 に 配 置 し,輪 郭 点 の 位 置 をx軸

上 でxK(j)と

す る と,対 応 す る仮 想 電 荷 のxL,yL座

標 を次式

で 与 え る。 (11・29)

こ こでjは 輪 郭 点 あ る い は 電 荷 の 番 号,α は 図11・7の

接 触 角 で あ る 。 さ らに 隣

接 電荷 に 次 の 関係, (11・30)

を与 え る と,三 重 点 に 一 定 の比 で(等 比 級 数 的 に)近 づ く配 置 に な っ て,電 界 が 無 限 大 あ るい は零 に 近 づ くよ うな 場 所 で も比較 的 容 易 に計 算 で き る。 三 重 点 か ら 離 れ る に したが っ て,輪 郭 点 と仮 想 電 荷 の 数 は バ ラ ンス を保 ちつ つ 少 な く(ま ば ら に)す る。

図11.8  三重 点 付 近 の輪 郭 点 と仮 想 電荷 の配 置

第12章  対 称 的 配 置,周

期 的 配 置,一

様 電 界,

既 知電界 の計算

  計 算 す る 配 置 が 与 え られ た と き,す

ぐに計 算 に取 りか か らず に な るべ く楽 に,

つ ま り容 量 や 計 算 時 間 を節 約 で き る 方 法 を考 え る と,計 算 時 間 や コス トだ け で な く,計 算 精 度 も改 善 され る こ とが あ る 。 そ の 典 型 的 な 例 は,対 称(的)配 置 や周 期 的 配 置,あ

るい は一 様 電 界,既 知 電 界 が 印 加 さ れ た と きの 計 算 で あ る。 以 下 で は

主 に電 荷 重 畳 法 や 表 面 電 荷 法 を対 象 に して,こ れ らの 計 算 法 を述 べ る。 た だ し, 大 容 量 計 算 機 の 進 展 の お か げ で い ろ い ろ 面 倒 な工 夫 を す る よ り,複 雑 な ま ま 直接 計 算 した ほ うが よ い場 合 も多 くな っ た。 計 算 精 度 は 分 割 を細 か くす る こ とで 稼 ぐ とい う,技

よ りも力 任 せ の 方 向 で あ る が,少

な く と も以 下 に述 べ る ケ ー ス は適 用

して 損 は な い と思 わ れ る。

12.1  対 称 的配 置,周 期 的 配置 の計算 12.1.1 

対 称 性 と境 界

  計 算 す べ き配 置 の 対 称 性 を利 用 す る と,多

くの 場 合 計 算 が 非 常 に簡 単 に な る。

そ もそ も回 転 対 称 配 置 は,回 転 角 に依 存 しな いr,zだ 用 し て い る。 そ の ほ か の 配 置 で は,図12・1は

け の 配 置 で あ る こ と を利

よ く知 られ た 例 で,一 様 電 界E0

中 に 球 あ る い は 円 筒 が あ る と,中 心 を 通 っ てE0に

垂 直 な 面(図(a)の

点 線 部 分)

が 等 電位 面 に な る 。 した が っ て一 様 電 界 対 大 地 上 半 球 あ る い は 半 円 筒 の 配 置 に な

(a)

(a)

(b)

(b)

図12.1  一 様 電 界 中 の球 あ るい は 円筒

る。 もち ろ んy平 全 体 の1/4の

面(x=0)あ

図12.2  球 あ るい は 円筒 の 無 限列 ①

る い はz軸 に対 して も対 称 で あ る か ら,結 局 図(a)

配 置 を 考 え る だ け で よ い。

  こ れ らは す ぐ分 か る 例 で あ る が,ほ 図12・2の

(c)

か に 図2・1の

配 置 を2.2節

で 説 明 した 。

よ う な 球 あ るい は 円 筒 が 等 間隔 に 無 限 個 並 ん だ 配 置 に な る と う っか り

す る こ とが 多 い 。 図 の よ う に各 電極 の 電 位 差 が 同 じで あ る と,点 線 の 面(球 あ る い は 円 筒 の 中 心 を通 っ て紙 面 に垂 直 な面)が の よ うな0とV(あ

る いVと2Vで

等 電 位 面 に な る。 した が っ て 図(b)

も同 じ)の 電極 で 囲 まれ た 領 域 だ け を計 算

す れ ば よい 。 これ は さ ら に 中 間 の等 電 位 面 が あ る か ら結 局 図(c)の 領 域 が 計 算 の 領 域 に な る 。 も ち ろ ん 一 点 鎖 線 の 面 に対 して も対 称 で,こ

の面上 では電位の法線

方 向微 係 数 ∂φ/∂n=0で あ る 。   同 じ球 あ る い は 円 筒 の 無 限 列 で も電 圧 が 異 な る と対 称 面 の 電 界 条 件 が 相 違 す る。 図12・3で

円 筒 に 交 互 に 同 じ電 圧 を与 え た配 置 は,電 気 集 じん な どの 分 野 で

荷 電 粒 子 の 移 動 や 閉込 め に使 わ れ る 「電 界 カ ー テ ン」 の 配 置 で あ る。 この 配 置 は 対 称 性 か らV1とV2の そ こ で 図(b)の

球 の 中 心 を通 る 図(a)の 点 線 の面 が ∂φ/∂n=0の 面 に な る。

よ う な 領 域 を と っ て 電 界 を 計 算 す れ ば よ い。 一 点 鎖 線 の 面 も

∂φ/∂n=0で あ る。4.3節

に 述 べ た よ う に,有 限 要 素 法 で は こ の 境 界 条 件 は 自然

境 界 と呼 ば れ 自然 に満 足 され る。 電 荷 重 畳 法 で は,左 右 の 境 界 外 に配 置 した仮 想 電 荷 をQ(j)と

す る と,輪 郭 点 にお け る 次 の 式 か ら電 荷 量 が 求 め られ る。

(a)

(b) 図12.3  球 あ る いは 円筒 の 無 限列 ②

電極 上(図 の実線 上):  左右 の点線の境界 上: (12・1) こ こ で,P(i,j)は Fn(i,j)=Fx(i,j)(二

12.1.2 

電 位 係 数,Fn(i,j)は 次 元 場)あ

法 線 方 向 電 界 係 数 で,図(b)の

る い はFn(i,j)=Fz(i,j)(回

場 合 は

転 対 称 場)で

あ る。

周 期境 界 な ど

  球 あ るい は 円 筒 が 図12・4の

よ うV1,V2,V3の

は 少 々 複 雑 で あ る 。V1,V2,V3が

三 つ の 電 圧 で繰 り返 す と き

三 相 交 流 の 場 合 は,進 行 波 を生 じ る 「進 行 波

電 界 カ ー テ ン」 の 配 置 で あ る 。 こ の 配 置 に は対 称 な 等 電 位 面 あ る い は ∂φ/∂nの 面 は な い が,3導

体 ず つ 全 く同 じ電 界 分 布 を繰 り返 す こ とか ら,た

とえ ば 図(a)

の 点線 間 の 領 域 を とっ て 次 の よ うな 周 期(的)境 界 と して計 算 で き る。  (a)  領 域 分 割 法 で は,領 域 内 の 通 常 の 方 程 式 の ほ か に,図(b)の の 境 界 の格 子 点i点 で,次

よ う に両 側

の 条 件 を付 加 す る。

(12・2)

こ こで,添 字 のl,rは

左 右 の 境 界 を 意 味 して い る 。

 (b)  電 荷 重 畳 法 で は,図12・5の 右 の 境 界 外 の仮 想 電 荷 をQ(j)と

説 明 図 に示 す よ うに 電 極 内 の 仮 想 電 荷 と左 す る と,次 の 式 か ら仮 想 電 荷 量 が 求 め ら

(a)

(b)

図12.4  三 相 の球 あ るい は平 行 円筒 の無 限 列

図12.5 

図12.4の

電 荷 重 畳 法 に よ る計算

れ る 。 た だ し,境 界外 の 電 荷 の 配 置 に は注 意 が 必 要 で あ る 。

電極(導 体)上：  左 右 の境 界 上 ： 

  こ こ で,m,m'は 場 で はFx(i,j),回

(12・3)

左 右 の境 界 上 の 輪 郭 点 番 号 で あ る 。Fn(i,j)は 転 対 称 場 で はFz(i,j)で

対 称 で,一

点 鎖 線 上(y=0の

  大 地(接

地 平 面)が

あ る。 図12・5は

平 面 あ る い はz軸)で

大 地 が あ る 場 合 に は電 界 分 布 は も はや 同 図 の(b),(c)の

∂φ/∂n=0に な る の で,図(b)の

場 合 は図12・6の

もち ろ ん 上 下 に も

∂φ/∂n=0で あ る。

あ る と対 称 性 も変 化 す る。 図12・2(a)で

じで は ない 。 しか し図12・3の

や は り二 次 元

電極列 の下 部 に

簡 単 な領域 の分布 と同

よ う に,相 変 わ らず 点 線 の 面 が

よ う な 領 域 の 計 算 を行 え ば よ い。 上 下 方 向 に 関

して は もは や 対 称性 が な く,特 に球 の 場 合 は 一 般 三 次 元 の 配 置 に な る。 図12・4 の 三 相 電 圧(進

行 波 電 界 カー テ ン)の

算 方 法 は 図12・4(b),図12・5に

と き も,上 下 の 対 称 性 が 失 わ れ る だ け で計

関 して述 べ た も の と全 く同 じで あ る 。

  図12・7は

も う少 し複 雑 な列 で,一 平 面 に規 則 正 し く無 限 個 並 ん だ 球 と大 地 の

配 置 で あ る[12.1]。 球 の 電 位 が す べ て 同 じで あ る と,こ の 配 置 は 高 電 圧 部 分 の シー ル ドに 用 い られ る分 割 形 電 極(ポ

リ コ ン電 極)の 例 で あ る。 ポ リ コ ン電 極 は 高 電

圧 機 器 の 寸 法 が 大 き く,ま た そ の 電圧 が 非 常 に高 い た め に1個 の シ ー ル ド電 極 で は 大 きす ぎ る場 合,そ

の代 わ りに使 わ れ る。 実 際 に は 球 で は な い が 簡 単 の た め に

球 電 極 と して 話 を 進 め る。 こ の 配 置 は 上 か ら見 た 図(a)に 点 線 で 示 した よ う に, 六 角 形 の電 界 分 布 の 繰 り返 しで,さ

らに そ の う ち 角 度30°の 部 分 が 分 か れ ば 他 の

部 分 は す べ て 同 じで あ る 。 した が っ て 高 さ方 向(z方

向)も

考 え る と,六 角 柱 あ

る い は三 角 柱 の 電 界 分 布 を 求 め れ ば よ い。 図(c)に 示 す よ う に この 点 線 は 面 の 対 称 性 か ら ∂φ/∂n=0の 面 に な っ て い る 。

(a)

(b)

図12.6  球 あ るい は 円筒 の 無 限列 対 大 地

(a)

(b)

(c)

図12.7  無 限個 の球(ポ リコ ン)対 大 地

12.2  一 様 電 界,既

12.2.1 

知 電 界 を含 む 計 算

原 理

  無 限遠 で の 電 界 が 一 様 電 界 や 簡 単 な既 知 の 電 界E0で,求

め る 電 界Eは

局 部の

変 化 にす ぎな い と い う 配 置 が しば しば あ る。 典 型 的 な例 と して は雷 雲 下 の 地 上 物 体 付 近 の電 界 な どが あ げ られ る。 もっ と小 さな 電極 で も要 す る に 考 慮 す べ き局 部 に比 べ て,全 体 の 電 界 を形 成 す る電 極 が 十 分 大 き く離 れ て い れ ば こ の よ う な取 扱 いが で きる。 さ ら に一 様 電 界 中 で は 理 論 解 の求 まる 配 置 が い ろ い ろ あ る の で,数 値 計 算 結 果 の精 度 を調 べ る た め に も重 要 で あ る。   問 題 は求 め る 電 位 φ,電 界Eを, (12・4) (12・5)

と して,変 動 項 φp,Epの 計 算 を ご く局 部 の 数 値 計 算 だ け で 済 ませ ら れ る か と い う こ とで あ る。 差 分 法 や 有 限 要 素 法 の よ う な 領 域 分 割 の 方 法 で は,(12・4)式, (12・5)式 の よ う に分 け て も計 算 が 非 常 に 簡 単 に な る わ け で は な く,計 算 の 領 域 が 小 さ くな る こ と も な い 。 せ い ぜ い φp,Epが が 正 確 に(た

とえ ば解 析 式 で)与

φ0,E0に

比 べ て 小 さ く,φ0,E0

え られ る と き に数 値 計 算 の 誤 差 を小 さ くす る 目

的 に 使 わ れ る程 度 で あ る。   これ に対 して電 荷 重 畳 法 や 表 面 電 荷 法 で は,局 限 され た境 界 部 分 に あ る 電荷 だ け で 領 域 全 体 の 電 界 を与 え る の で,き

わ め て 効 率 の 良 い 計 算 の で き る場 合 が あ

る 。 回 転 対 称 場 の 電 荷 重 畳 法 を 例 に こ の 方 法 を説 明 す る。 二 次 元 場,表

面 電荷 法

で もほ とん ど 同様 で あ る。   な お 既 知 電 界 の 特 別 な 場 合 と して,電 界 が 無 限 大 とな る特 異 点 近 傍 で の電 界 や 電 荷 の振 舞 い が 分 か っ て い る場 合,対

象 とす る(求 め る)変 数 か ら こ の 関 数 を差 し

引 く こ と で特 異 性 を軽 減 で きる こ とが あ る 。 た と え ば,x=−1か 状 導 体 の端 部 の 電 荷 密 度 が1/(π√1−x2)と

ら1の

幅 の箔

な る こ と を用 い る な どで あ る[12.2]。

12.2.2   第6章

単 一 誘電 体 の場合 に 述 べ た 式 の 代 わ りに 電 極 上 の 輪 郭 点i点

に 対 し て 次 式 を 用 い る。 φ0

が既 知 の 電 位 で あ る。 (12・6)

電界 に つ い て は そ れ ぞ れ 次 式 よ り計 算 す る 。 (12・7)

(12・8)

こ こ でQ(j)は Fz(i,j)は

第6章

仮 想 電 荷,V(i)はi点

の 電 位(電

に 述 べ た 電 位 係 数,電

極 電 圧),P(i,j),Fr(i

,j),

界 係 数 で あ る。

12.2.3  複 合 誘 電 体 の 場 合   11・4節 の(11・16)∼(11・19)式 (a)電

の 代 わ りに境 界 条 件 の 式 が 次 式 の よ う に な る 。

極上

εA側電 極 上: 〓(12・9)

εB側電 極 上: 〓(12・10)

(b)  誘 電体 界面上 電位 の連 続条件 (11・18)式

電束密度 の連続条件

と 同 じ。

(12・11)

こ こ でQ(j),QA(j),QB(j)は は(11・20)あ

そ れ ぞ れ 電 極 内,εA内,εB内

る い は(11・21)式

の 仮 想 電 荷 ,Fn(i,j)

で 与 え ら れ る 電 界 係 数 ,∂ φ0/∂nは 界 面 に お け

る φ0の 法 線 方 向 微 係 数 で あ る 。

  プ ロ グ ラ ム に い く らか の 修 正 は 必 要 で あ る が,φ0が 簡 単 な 関 数 で あ る と仮 想 電 荷 群 で φ0を与 え る よ り も計 算 が ず っ と簡 単 に な る。 そ の 例 を 次 節 に示 す 。

12.3 

計算 例

12.3.1  図12・8の

一様 電界 の場 合 よ う な 一 様 電 界E0(-zの

方 向)の

場 で は,

(12・12)

で あ る。 そ こで 電 極 上 の 輪 郭 点 に 対 して(12・6)式 を作 り,Q(j)が

求 め られ る。

一 様 電 界 を表 わす た め に遠 方 に仮 想 電 荷 を 配 置 す る代 わ りに

,半 球 内 の仮 想 電 荷

だ け で 電 界 分 布 を 与 え る こ とが で き る。 差 分 法 や 有 限要 素 法 と比 べ て い か に簡 単 に な る か 理 解 さ れ る で あ ろ う。

図12.8  一様 電 界 中 の半 球 突起

 半 球 が 固体 誘 電 体 で あ る 複 合 誘 電 体 の 場 合 は 同 様 に(12・9)∼(12・11)式

で,

(12・13)

とお け ば よ い 。 θは 図11・5で

定 義 した 界 面 上 の 角 度 で あ る 。 導 体 の場 合 と同 様

に,広 い 領 域 内 で 各所 の 電 位 を 計 算 す る領 域 分 割 法 に比 べ,電 部(半

球 内 部)の

12.3.2 

荷 重 畳 法 は ご く局

電荷 を求 め る だ け で よ い 。

既 知電 界 の場 合

 一 様 電 界 で は な い が や は り無 限 遠 に及 ぶ 電 界 が あ ら か じ め分 か っ て い る と き は,こ の 電界 を重 畳 す る と計 算 が 簡 単 に な る。 図12・9の

ような同軸円筒構 造の

ガス 絶 縁 線 路 の ス ペ ー サ(支 持 用 固体 絶 縁 物)部 分 の 電 界 を例 に とる と,

(12・14)

を用 い れ ば よ い。 θはや は り図11・5で 係 が(12・13)式 12・9はr方

定 義 した 角 度 で あ る 。 電 界 と角 度 との 関

と違 う の は,一 様 電 界 場 で は 電 界 が−zの

向 の た め で あ る。 ま た 図12・9はz=0の

置 で あ る か ら,2.3節

面 に対 し て上 下 対 称 な 配

に 述 べ た よ う に,電 界 計 算 は この 面 に対 称 な位 置 に あ る 同

極 性 で 等 量 の 電荷 の作 用 をP(i,j),Fn(i,j)に   図12・9の

方 向 な の に 対 し,図

含 め て 行 わ れ る。

よ うに既 知 の 電 界 を生 じる外 部 電 極(図 で は 中 心 導 体 と シー ス)が

有 限 の 位 置 に存 在 す る と き は,一 様 電 界 場 ほ どは 有 利 な計 算 に な らな い 。 こ れ は 局 部 的 な 電 界 の 乱 れ が外 部 電 極 の表 面 電 荷 に も影 響 を与 え る た め で あ る。 しか し 重 畳 しな い 計 算 に比 べ て 明 らか に 次 の 点 で 有 利 で あ る。  (a)  既 知 電 界 を作 る仮 想 電 荷 を置 く必 要 が な い 。 電極 内 の電 荷 は 分 極 電荷 に

影 響 され た 分 だ け を与 えれ ば よ く,局 部 に 仮 想 電 荷 を 置 くだ け で 済 む 。 (b)  一 般 に 電 界 の 必 要 な箇 所 よ り離 れ る に従 っ て 輪 郭 点 の 間 隔 を大 き くと り 仮 想 電 荷 の 数 を減 らす の が 普 通 で あ るが,図12・9の

よ うな 同軸 円筒 配 置

の 内 側 導 体 内 な ど で はz軸 に 近 づ くた め こ れが 困 難 な こ とが あ る。 既 知 電 界 を重 畳 す る と この 問題 も解 決 さ れ る 。

図12.9  既 知 電界 の重 畳 に よる電 界 計算

第13章  静電容 量 の計 算

  1個 あ る い は 複 数 の 導 体 が 存 在 す る と きに 導 体 間 や 導 体-大 地 間 の 静 電 容 量 の 計 算 が しば しば 必 要 に な る 。 い っ た ん 静 電 容 量 が 求 まる と電 圧 と電 荷 量 の 関係 が 等 価 な静 電 容 量 の 回路 で 明確 に 表 され る。   簡 単 な電 極 配 置 の 静 電 容 量 は解 析 式 で 与 え ら れ る が,電 界 分 布 が 数 値 計 算 で し か 求 め られ な い 配 置 で は,静 電 容 量 も数 値 的 に計 算 しな け れ ば い け な い。 静 電 容 量 の 計 算 に は本 質 的 に境 界 分 割 法(電 荷 重 畳 法 あ る い は 表 面 電 荷 法)の

ほ うが 領

域 分 割 法 よ り適 して い る。 これ は境 界 分 割 法 が 電 荷 を未 知 数 と して,本

質的に電

位 と電 荷 の 関係 式 を も と に して い るか らで あ る。   この 章 で は,静 電 容 量 の 計 算 法 を境 界 分 割 法,特 る。 ま た 第11章

に 電 荷 重 畳 法 を 中 心 に述 べ

に も触 れ た が,間 違 い や す い 複 合 誘 電 体 場 で の 静 電 容 量 の 計 算

を最 後 に説 明 す る。

13.1  静 電 容 量 の 基 礎 式   m個 の 導 体 の電 圧(大 荷 をQ1,Q2,…,Qmと

地 に対 す る 電 位)をV1,V2,…,Vm,各

す る と,QiとViの

る係 数Cijを 用 い て 次 式 の よ う に書 け る。

導 体 が有す る電

関係 は 導 体 の 形 状 と配 置 だ け に依 存 す

(13・1)

こ こ でCi0は 導 体iの 自 己 容 量 あ るい は対 地 容 量 と呼 ば れ,Cij(i≠j)は

導 体iと

jとの 間 の 部分 容 量 あ る い は相 互 容 量 と呼 ば れ る。 そ の 意 味 す る と こ ろ は 図13・ 1に 明 らか な よ う に,各 導 体 間 の 電 位 差 と電 荷 量 の 関 係 を与 え る等 価 的 な コ ン デ ンサ の値 で あ る 。

図13.1  多 導 体系 の静 電容 量 (13・1)式

は ま た次 式 の よ う に 書 くこ と もで き る。

(13・2)

こ こ で 一 般 にDijは 容 量 係 数,Dij(i≠j)は

静 電 誘 導 係 数 と呼 ば れ ,i以

をす べ て 接 地 した と き,導 体iの 電 位 を1Vに

外 の導体

す る た め に そ れ ぞ れ 導 体iあ

るい

はjに 与 え るべ き電 荷 量 で あ る。  (13・1)式

と(13・2)式

を比 較 す る と一 般 に次 式 の成 り立 つ こ と が分 か る 。

(13・3)

す な わ ち,Dii,Dijが

分 か れ ばす ぐに 容 量 が 求 め られ る。

 ま た 一 般 にDij=Djiの

関 係 が あ る の で, (13・4)

で あ る。 対 地 容 量 お よ び相 互 容 量 は す べ て 正 の値 で あ る。   初 め に述 べ た よ うに,静 電 容 量 の 計 算 に は本 質 的 に境 界 分 割 法(電 荷 重 畳 法 あ る い は 表 面 電 荷 法)の

ほ うが 領 域 分 割 法 よ り適 して い る。 そ れ は 第Ⅰ 部 で解 説 し

た よ う に境 界 分 割 法 の 支 配 方 程 式 が 電 圧 と電 荷 の 関 係 式 で ,(13・2)式

と よ く似

て い る た め で あ る。 中 で も電 荷 重 畳 法 が 最 も適 して い る。 各 導 体 の 電 荷 量Qiを 求 め る の に,表 面 電 荷 法 で は 電 極 表 面 の 電 荷 密 度 を数 値 積 分 す る 必 要 が あ る が, 電 荷 重 畳 法 で は仮 想 電 荷 の 値 を た だ 加 算 す る だ け で よ い 。

13.2  境 界 分割 法 に よる計算   電荷 重 畳 法 に お け る仮 想 電 荷 の 電 荷 量 と電 極 電 位 の 方 程 式(支

配 方 程 式)は

次

式 の よ う に な っ て い る。

(13・5)

こ の 式 は(6・9)式 式,(13・2)式

と 同 じ で あ る が,仮

のQi,Viと

想 電 荷 の 電 荷 量 ,輪

郭 点 の 電 位 を(13・1)

混 同 しな い よ うに 小 文 字 で 表 わ して い る。

  (13・5)式 か ら静 電 容 量 を求 め る に は 二 つ の 方 法 が あ る。 一 つ は た と え ば導 体 1の 電 圧V1=1,他

のす べ て の 導 体 の 電 圧 を0と

して 電 界 計 算 を 行 い ,仮 想 電 荷

の値 を求 め る 。 各 導 体 内 の 仮 想 電 荷 の和 は,そ れ ぞ れ の 個 数 をm1 ,m2,…,mmと す る と, (13・6) こ の と き(13・2)式

か ら分 か る よ う に, (13・7)

こ れ か ら(13・3)式

に よ っ て,

(13・8)

こ の 方 法 は 電 荷 重 畳 法 に よ る電 界 計 算 プ ロ グ ラ ムが そ の ま ま使 え,静 電 容 量 を求 め る に は(13・6)式,(13・8)式

の 容 易 な 計 算 だ け で 済 む が,m個

べ て の 静 電 容 量 を 求 め よ う とす る とm回

の導体 群 のす

の電 界 計 算 が 必 要 で あ る。

  も う一 つ の 方 法 は,通 常 の 電 界 計 算 の よ う に 適 当 な輪 郭 点 を と っ て(13・5)式 の電 位 係 数 行 列 を作 り,電 界 計 算 す る こ と な く逆 行 列 を 求 め る もの で あ る。 逆 行 列 の計 算 プ ロ グ ラ ム は た い て い の 電 子 計 算 機 に サ ブ ルー チ ン と して備 え られ て い る。 す る と(13・5)式 か ら,

(13・9)

と な る 。 導 体1の

仮 想 電 荷(輪

郭 点)の

個 数 をm1,導

す で に 述 べ た よ う に 導 体 内 の 仮 想 電 荷 量 は(13・6)式 の 電 位 に つ い て はυ1=υ2…=…=υm1=V1等

体2をm2,…

と す る と,

で与 え られ る。 また 輪 郭 点

が 成 り立 つ 。 こ れ か ら(13・9)式

は,

(13・10)

の よ うに ま とめ る こ とが で きる 。 この 式 は(13・2)式 と同 じで あ るか ら,(13・3) 式 を用 い て 仮 想 電 荷 の値 を計 算 す る こ とな く各 部 の容 量 が 求 め られ る。 導 体2∼ mに

つ い て も 同 様 で あ る。 こ の 方 法 は(13・10)式

に 至 る 計 算 を電 荷 重 畳 法 の プ

ロ グ ラ ム に付 加 す る必 要 が あ る が,導 体 数 が 多 い と き に も一 度 にす べ て の 容 量 が 計 算 で き る の で 便 利 で あ る 。 た だ電 界 計 算 な し に容 量 が 求 め られ る と述 べ た が, 電 界 分 布 が 仮 想 電 荷 で正 し く模 擬 され て い るか ど うか をチ ェ ッ クす る た め に,電 界 計 算 を行 っ て チ ェ ッ クす る ほ うが 安 全 で あ る。  も う一 つ の境 界 分 割 法 で あ る表 面 電荷 法 で は,要 素 内 で 電 荷 密 度 一 定 の 方 法 な

ら電 荷 重 畳 法 にお け る 仮 想 電 荷q(j)を

各 要 素 の 電 荷 量 と考 え れ ば 以 上 の 計 算 法

が そ の ま ま使 え る 。 す な わ ちj番 目の 要 素 を線 分t1∼t2(図5・1)と

す る と,

 二 次元場：

〓(13・11)

 回転 対 称 場 ： と な る 。 こ こ でrは

〓(13・12)

σ(j)のr座

標 で あ る 。(13・11),(13・12)式

転 対 称 場 で は 数 値 的 に 行 わ な け れ ば な ら な い の で,電

の線積 分 は 回

荷 重 畳 法 よ り面 倒 で あ る。

13.3  領 域 分割 法 に よる計 算   13・1節 に述 べ た よ う に領 域 分 割 法 で も導 体 の 有 す る 電 荷 が得 ら れ れ ば 静 電 容 量 を 求 め る こ とが で き る。 通 常 の 電 界 計 算 の プ ロセ ス に従 うな ら,電 界 計 算 → 導 体 表 面 の 電 界 と電 荷 密 度 の 計 算 → 表 面 電 荷 密 度 の 積 分,と

い う手 順 で 導 体 の 電荷

を 得 れ ば よ い。 しか し差 分 法 や 有 限 要 素 法 で こ の 手 順 か ら静 電 容 量 を 求 め る の は,領 域 分 割 法 に比 べ 面 倒 で 精 度 も劣 る。   差 分 法 で い く らか 簡 便 な方 法 は系 の 方 程 式 に 導 体 の 有 す る電 荷Qを

未知 数 と

して 繰 り入 れ る 方 法 で あ る[13.1]。 こ れ は 導 体 を 囲 む 閉 じた 小 領 域 に 次 の ガ ウ ス の 定 理 を適 用 して 関係 式 を作 る。 (13・13)

こ こ でDnは

微 小 面 積ds上

の 電 束 密 度 の 外 向 き法 線 方 向 の 成 分,Qは

小領 域 内

の全 電荷 で あ る。   図13・2の

説 明 図 で い え ば,導 体 を 囲 む 領 域 と し て 図 のa∼fの

(13・13)式 を適 用 す る と,た と え ば 表 面a上 (hは 格 子 間 隔)と

点線部分に

で はDn=−ε∂ φ/∂n=− ε(φ2−V)/h

な る か ら,全 体 と して 二 次 元 場 で は, (13・14)

回転 対 称 場 で は(11・6)式 と同 様 な計 算 か ら,

図13.2  領 域分 割 法 に お け る導 体 電荷 の計 算

(13・15)

こ こ で 添 字 は 各 格 子 点 で の 値 を 示 し て い る 。(13・14)式 格 子 点 電 位 φiの差 分 式 と と も に 電 位 の 方 程 式 と し てQを m個 あ る と き は13.2節

を,

求 め れ ば よい 。 導 体 が

で 説 明 し た よ う に 導 体 の 電 位 をV1=1,V2=…=Vm=0,

次 にV2=1,V1=V3=…=Vm=0,… 割 法 の(13・10)式

あ る い は(13・15)式

と 変 え たm回

の計算 が必要 である。境 界分

の よ うに す べ て の静 電 容 量 を 一 度 に求 め る こ とは で きな い 。

  一 方 有 限 要 素 法 で は,第4章

で解 説 した よ うに 差 分 法 と相 違 す る の は,節 点 電

位(差 分 法 で は格 子 点 電 位)を 未 知 数 とす る連 立 方 程 式 を作 る 過 程 だ け で あ るか ら,(13・13)式

か ら導 か れ る節 点 電 位 と導 体 電 荷 の 関 係 式 を も と も との 支 配 方 程

式 に付 加 す れ ば よ い。 ほ か の 点 は差 分 法 と 同 じで あ る。

13.4  複 合 誘 電体 にお け る 問題点  2種 類 以 上 の誘 電 体 が 存 在 す る 場 合 の静 電 容 量 の 計 算 は い さ さ か 複 雑 で,電 荷 重畳 法 で も単 純 に電 極 の 電 位 と仮 想 電 荷 の 和 を結 びつ け る わ け に い か な い 。 こ れ は 非 常 に間 違 い やす い 点 な の で こ の節 で 分 か りや す く説 明 す る。 ま た こ の 問 題 は 次 章 に 述 べ る絶 縁 され た(浮 遊)導 体 の 誘 導 電 位 計 算 に 直 接 関係 して い る 。   11.3節 で 述 べ た 電 荷 重 畳 法 に よ る複 合 誘 電 体 場 の計 算 は,誘 電 体 界 面 に 分 極 電荷(両

側 の 仮 想 電 荷 で 模 擬)を

配 置 し 「真 空 中 」 と見 な して 電 界 計 算 す る も の

で あ っ た。 この 方 法 で は 電 極 内 の 仮 想 電 荷 は 等 価 的 な 電 極 表 面 電 荷 を 模 擬 し, 「真 電 荷 」 を与 え る の で は な い 。 た と え ば 図13・3の

ような平行 平面 の電極 間 に

二 つ の 誘 電 体 εA,εBが あ り電 極 に 垂 直 な 界 面 で 分 け ら れ て い る 場 合,電

荷 重畳

法(表 面 電 荷 法 で も同 じ)で 与 え る 表 面 電 荷 密 度 は真 電 荷 密 度 σtrueと分 極 電 荷 密 度 σpolの和 な の で あ る 。 した が って 真 空 中 と した 電 界 計 算 か ら静 電 容 量 を求 め る と,εA内 で は ε0SA/d,εB内 で は ε0SB/dと な っ て し ま う(SA,SBは

そ れぞ れ

εA,εBに お け る 電 極 面 積 で あ る)。 と こ ろ が 電 磁 気 学 の 教 え る よ うに,Eを

表面

電 界 とす る と, (13・16)

で あ り,静

電 容 量 の 計 算 に は σtrue+σpolで な く σtrueをと ら な け れ ば な ら な い こ と

を 考 慮 す る と,静

電 容 量 の 値 は,

図13.3  複合 誘 電 体場 の 静 電容 量(誘 電 体 界 面 が 電 極 表面 と交 わ る場合)

図13.4  複合 誘 電 体 場 の静 電 容 量 (誘電 体界 面 が 電極 表 面 に 接 して い ない 場合)

εA内で は  (13・17)

  εB内で は

が 正 しい 式 に な る。 す な わ ち 図13・4の きは13.2節

よ う に 電 極 表 面 が す べ て εB内 に あ る と

の 方 法 で 求 め られ る 電 極 内 の 仮 想 電 荷 あ る い は 静 電 容 量 を εB/ε0倍

す れ ば正 しい 静 電 容 量 に な る。   図13・3の

よ う に誘 電 体 界 面 が 電 極 表 面 と交 わ る と きは 電荷 重 畳 法 で は簡 単 に

い か な い 。 そ れ は 仮 想 電 荷 の 電 界 が,εA内 の 電 極 表 面 と εB内の 電 極 表 面 の 両 方 に 及 ん で い て 分 離 で き な い か らで あ る 。 こ の と きは 面 倒 で あ るが εA側 の 表 面 電 荷 密 度σAと εB側の 表 面 電 荷 密 度 σBを そ れ ぞ れ 求 め,

(13・18)

か ら静 電 容 量 を 求 め な け れ ば な ら な い 。   表 面 電 荷 法 で は 図13・3の

場 合 に,εAに

の 表 面 で は σ(j)=σBεB/ε0と

お い て,(13・11)式

ば よ い 。 こ れ は 結 局(13・18)式

接 す る 表 面 で は σ(j)=σAεA/ε0,εB内

と 同 じ こ と で,電

あ る い は(13・12)式

を適用す れ

荷 重 畳 法 と 異 な りσA,σBが

配 方 程 式 か ら 直 接 求 め ら れ る の で い く らか 計 算 が 楽 で あ る 。

支

第14章  静 電誘導 の計算

  電 圧 の 印 加 さ れ た,あ

る い は電 位(多

くの場 合 は高 電 位)を

有す る導体が他 の

導 体 に生 じ る静 電 誘 導 は,両 者 の 静 電 容 量 で 決 ま るの で,静 電 誘 導 の 計 算 は静 電 容 量 の計 算 法 と 共 通 す る点 が 多 い 。 静 電 容 量 に は2種 類 あ る。 一 つ は被 誘 導 導 体 が 決 ま っ た(通 常 は 接 地)電 位 に あ る場 合 で,こ の と きは 静 電 誘 導 で 流 れ る電 流 が 問 題 で あ る。 他 の 一 つ は 被 誘 導 導 体 が 絶 縁 され て い る場 合(し と い わ れ る)で,実

用 的 に は 絶 縁 され た 電 線,柵,電

ば しば 「浮 遊 」

界 緩 和 用 の シ ー ル ド電 極 な

どで 問題 に な る。 この と きは通 常 静 電 誘 導 電 圧 が 問 題 に な るが,と

きに は こ の導

体 の静 電 誘 導 電 流 が 必 要 な こ と もあ る。   こ の 章 で は,2種

類 の静 電 誘 導 の計 算 法 を,前 章 と 同 じ く電 荷 重 畳 法 を中 心 に

述 べ るが,絶 縁 され た 導 体 が2種 類 の 誘 電 体 と接 して い る と きの 誘 導 電 圧(浮 遊 電 位)の 計算 は 間 違 い や す いの で注 意 を要 す る。 最 後 の節 で この 計 算 法 を解 説 す る。

14.1  接 地 導 体へ の静電 誘 導   13.1節 に述 べ た よ うに,導 体iの 対 地 容 量 をC0,導 Cj(j≠i)と す る と,導 体iの 有 す る電 荷Qは

体jに 対 す る 相 互 容 量 を

各 導 体 の 電 位 に よっ て, (14・1)

で与 え られ る。 導 体iが 接 地 され て い る と き はVi=0で,

(14・2)

こ れ が 接 地 導 体 に 対 す る誘 導 の 基 本 式 で あ る 。 相 互 容 量Cjは で 定 ま る定 数 で,第13章

各導体 の配置 だけ

の 方 法 で 計 算 す る こ とが で き る。

(1)  過 渡 的 な 電 圧 の場 合  他 の 導 体 が す べ て接 地 さ れ て い て 導 体1に

急 に 電圧V1(t)が

印 加 され た とす る

と,導 体iに 誘 導 さ れ る 電 荷 お よび 電 流 は,そ れ ぞ れ (14・3)

(14・4)

で 与 え られ る。 (2)  交 流 電 圧 の 場 合   交 流 電 圧V0cosωtが

印 加 され た と きの 定常 状 態 の計 算 に は,場

の状態がすべ

て 角 周 波 数 ω で変 化 す る こ とか ら複 素 数 計 算 を 行 う のが 便 利 で あ る。 す な わ ち, す べ て の 量 がexpj(ωt+ψ)で V1=V0cosωtが

表 さ れ る も の と す る。 導 体1だ

け に交 流 電圧

印 加 さ れ他 の 導 体 は す べ て 接 地 さ れ て い る と,導 体iの 電 荷,

電 流 は,

(14・5)

た だ しV1の

位 相 角 を0に

と っ て い る。

  他 の 導 体 に も交 流 電 圧 が 印 加 さ れ て い る と き は,そ れ ぞ れ の 複 素 数 電 圧 を (14・2)式 で重 畳 す れ ば よ い 。 実 用 的 に しば し ば生 じ る の は 三 相 交 流 で あ る。 導 体1,2,3に

三 相 交 流(線

間 電圧V0)が

印加 され て い る とす る と,

(14・6)

こ こで(14・6)式 の 絶 対 値(波

高 値)だ

すべ て 実 効 値 で な く波 高 値 で 示 す 。

け を考 え る と次 の 式 に な る 。 以 後 の 式 も

(14・7)

  (14・7)式 が 導体1,2,3に

対 し て完 全 に 対 称 な 式 に な っ て い る の は,三 相 電

圧 の対 称 性 か ら考 え て 当然 の 結 果 で あ る。 導 体iと 三 相 導 体 との 電 気 的 な結 合 が 等 し くてC1=C2=C3の

と きは,Q=I=0で

誘 導 は生 じな い 。 ま た 三 相 交 流 の1

線 が 地 絡 して 接 地 状 態 に あ る線 に 誘 導 で 流 れ る 電 流 も,(14・6)式,(14・7)式

か

ら容 易 に 計 算 で き,他 の2線 の 電 圧 が 変 わ らな い とす る と, (14・8)

(14・9)

と な る。 もち ろん 実 際 の1線 地 絡 で は 健 全 相 の 電圧 上 昇(非 接 地 の 系 統 で は 線 間 電 圧V0ま

で)を 考 え な け れ ば な らな い 。

14.2  絶縁 され た(浮 遊)導 体 へ の静 電誘 導―

境界分割

法 に よる計 算  静電誘導 問題 に限 らず絶縁 された(浮遊 の)導体 を含 む電界計算 の必要 なこ とが

図14.1  絶縁 され た 導 体 の誘 導 電圧

しば しば あ る 。 こ の よ うな 場合 に は絶 縁 され て い る 導 体 の電 位 が 未 知 で,他 の作 用 で 生 じ る誘 導 電 位 の値Vfを

求 め な け れ ば な らな い 。 そ の た め に は 通 常 絶

縁 さ れ た 導 体 上 の 全 電 荷 の和 が 零 で あ る こ と を 利 用 してVfを 法 で は 図14・1に

導体

求 める。電荷重 畳

模 式 的 に示 す よ う に絶 縁 さ れ た 導 体 内 部 に 仮 想 電 荷q1∼qmを

配 置 す る な ら,輪 郭 点1∼mで

す べ て の仮 想 電 荷 に対 して 次 の諸 式 が 成 り立 つ 。

(14・10)

ま た,

(14・11)

  (14・10)式 か らVfを 消 去 した(m−1)個 個 の 輪 郭 点 に対 してm個

の式 と(14・11)式 とか ら,や は りm

の 方 程 式 が で き る 。他 の導 体 上 の 輪 郭 点 に対 す る電 位

の 方 程 式 は通 常 の 電 荷 重 畳 法 の 場 合 と同 様 で あ る。 結 局 領 域 全 体 の 仮 想 電 荷qj (j=1∼n)に

対 して 次 の 式 が で きる 。

(14・12)

こ の式 が 絶 縁 され た 導 体 を含 む 配 置 の 仮 想 電 荷 を与 え る 式 で あ る。 こ れ を解 い て

得 た 電荷 量 か ら領 域 内 の す べ て の 点 の 電 位,電 様 に 得 られ る 。 もち ろ ん 誘 導 電 圧Vfも る一 定 電 荷Qfを

界 が 通 常 の 電荷 重 畳 法 の 場 合 と 同

同 様 に計 算 さ れ る。 絶 縁 さ れ た 導 体 が あ

有 す る と きは(14・11)式 の 代 わ りに, (14・13)

と し て(14・12)式

を作 れ ば よい 。

  た だ し,こ の 方 法 は(14・12)式 か ら分 か る よ う に解 くべ き連 立 一 次 方 程 式 の か な りの 要 素(成 分)が

も と も と のP(i,j)よ

り変 わ る こ とに な る 。 こ れ に対 して

次 の 方法 で は ほ とん どの 要 素 の値 を変 え な い で 計 算 で き る 。 (14・10)式 か ら,Vfを

左 辺 に移 して, (14・14)

とす る。 す な わ ちVfも 仮 想 電 荷 量qjと 同 じ未 知 数 と し て扱 い ,(14・11)式

を付

加 して 連 立 一 次 方 程 式 を作 る 。 浮 遊 導 体 以 外 の 輪 郭 点 で の 方 程 式 は 通 常 の 電 荷 重 畳 法 と同 じで あ る 。 こ の 方 法 で は(14・12)式

の 方 法 よ り方 程 式 が1個

多 くな る

が,係 数 行 列 の 要 素 は ほ と ん ど も との ま まで あ り,ま た 浮 遊 電 位Vfは

得 られ た

電 荷 量 か ら再 計 算 す る こ と な く,直 接 求 め られ る。   表 面 電 荷 法 に よ る誘 導 電 圧 の 計 算 は電 荷 重 畳 法 とほ と ん ど同 様 で あ る 。 す な わ ち絶 縁 さ れ た 導 体 の 表 面 電 荷 の 和 を0あ

る い は既 知 の 電荷 量Qfと

し,そ の 代 わ

り輪 郭 点 に 関 す る方 程 式 か ら未 知 電 位 の 値 を消 去 す る こ と に よっ て,場 の 状 態 を 与 え る 方 程 式,し 置,特

た が っ て 表 面 電 荷 を求 め る こ とが で き る。 た だ通 常 の 導 体 配

に誘 導 問題 を生 じる よ う な送 電線 導 体 の 場 合 に は,表 面 電 荷 法 よ り電 荷 重

畳 法 の ほ うが は る か に 計 算 が 楽 で あ る。

14.3  絶縁 された(浮 遊)導 体 へ の静 電誘 導―

領域 分 割

法 に よる計算  多 くの場合 電荷重畳法 が正確 な静 電誘導量 を得 る最 適の方法 であ るが,差 分 法

や 有 限 要 素 法 で も も ち ろ ん 計 算 は 可 能 で あ る。2種 類 あ る静 電 誘 導 の う ち,接 地 導 体 へ の 誘 導 電 流 は す で に述 べ た よ う に 静 電 容 量 の計 算 に 帰 せ ら れ る 。 絶 縁 され た 導体 の 誘 導 電 圧(浮 遊 電 位)は,図13・2に

示 した よ うに,ガ

ウスの定理 を こ

の 導 体 を 囲 む小 領 域 に 適 用 し て計 算 さ れ る。 す な わ ち 二 次 元 場 で は前 章 の(13・ 14)式 を あ らた め てV=Vfと

お き,

(14・15)

と書 く と,絶 縁 され た 導 体 が 電 荷 を持 た な い と きは(14・15)式 り,Vfが

未 知 数 とな る。 す な わ ちVfに 対 して1個

の 右 辺 が0と

な

の 方 程 式 が で きた わ け で,こ

の 式 を 他 の 格 子 点 に お け る電 位 の 関係 式 と と も に解 け ば よい 。 回 転 対 称 場 で は (13・15)式 でV=Vf,Q=0と

した 式 に な る だ け で 全 く同 じで あ る。

  有 限 要 素 法 で も,差 分 法 と同 様 に絶 縁 さ れ た 導 体 の 電 位Vfを 程 式 に 組 み 込 む こ と もで き るが,プ

未 知 数 と して 方

ロ グ ラム と方 程 式 の一 般性 を保 持 した 全 く別

の 方 法 が あ る。 こ れ は電 磁 気 学 で よ く知 られ て い る よ う に,電 界 分 布 の 点 か ら は 導 体 を無 限 大 の 誘 電 率 を 有 す る誘 電 体 と見 な して よい こ とか ら,絶 縁 され た導 体 の 部 分 を非 常 に誘 電 率 の 大 きい(計 算 機 に は 無 限 大 の数 は入 れ られ な い)領 域 と して,複 合 誘 電 体 の電 界 計 算 を行 う方 法 で あ る 。 この 方 法 で,一 様 電 界 中 の 導 体 球 あ る い は導 体 円 筒 の 電 界 を 計 算 した と こ ろ(回 転 対 称 場 で 球 あ る い は 円 筒 を 48,外

部 を180の

要 素 で 分 割),電

位,電

界 の 誤 差 は そ れ ぞ れ 約0.02%,1∼2%

で あ っ た と報 告 さ れ て い る[14.1]。 導 体 部 分 の比 誘 電 率 と して は104∼106が

もっ と

も良 い 。 この 方 法 は プ ロ グ ラ ム を 変 更 す る必 要 が な い代 わ りに,導 体 内 部 の 余 計 な 分割 の 必 要 な こ とが 欠 点 で あ る 。

14.4  複 素仮 想 電荷 法   これ まで に述 べ た ほ とん どの 電 界 計 算 で は,印 加 電 圧 の 時 間 的 変 動 は 全 く考 慮 して い なか っ た。 た とえ 時 間的 に 変 動 して も,電 磁 波 の取 扱 い が 必 要 な ほ ど速 い

時 間 変 化 で な け れ ば,場 の 電 界 分 布 は 印 加 電 圧 に 比 例 す る だ け で全 く変 化 しな い 。 これ は2.4節

に 説 明 して い る 。 た とえ ば交 流 電 圧 の 導 体 が1個

だ けある とき

は,場 の 電 位,電 界 は 至 る と こ ろ 印 加 電 圧 と位 相 が 同 じで 瞬 時 値 に 比 例 す る。 し か し多 相 交 流 の 場 合 に は 各 点 の 電 位,電 界 は,そ

れ ぞ れ の 相 の 電 圧 に よ る 電 位,

電界 を位 相 を考 え て 重 畳 した もの にな る。 こ れ を求 め る に は 瞬 時 瞬 時 の 印 加 電 圧 か ら各 相 の作 用 を実 数 計 算 して重 畳 す る こ と も可 能 で あ る が,印 加 電圧 を複 素 数 と し場 の 状 態 を 「複 素 仮 想 電 荷 」 で与 え るの が 便 利 で あ る[14.2][14.3]。   普 通 の 電 荷 重 畳 法 の 電 界 計 算 で は 支 配 方 程 式 は(6・9)式 あ る い は(13・5)式 で あ る が,そ

の代 わ りに,

(14・16)

と す る 。υ1∼υnが

同 じ角 周 波 数 ω で 変 化 す る と き は,q1∼qnも

変 化 す る こ と は 容 易 に 分 か る 。 た と え ば 三 相 交 流(線 の 輪 郭 点 を1∼k,k+1∼m,m+1∼nと 14・2に

角 周波 数 ω で

間 電 圧V0)の

す る と,(14・16)式

場 合,各

の 右辺 の電位 を図

示 す よ う に,

(14・17)

図14.2  複 素 仮想 電 荷 法(説 明 図)

相

と と れ ば よ い 。Vは√2V0/√3で

あ る。(14・16)式

を 計 算 機 で 解 くの は ,実 部 と

虚 部 を分 け て あ らた め て 消 去 法 を適 用 して も よ い し,あ る い は実 数 係 数 で複 素 数 解 を 直接 得 るサ ブ ル ー チ ンを 使 う こ と もで き る。 い ず れ に して も通 常 の 電 荷 重 畳 法 の 計算 プ ロ グ ラ ム を複 素 仮 想 電 荷 法 の プ ロ グ ラム に変 え る の は難 しい こ とで は な い。 な お,複 素 仮 想 電 荷 法 で 間 違 い や す い こ とは,仮 想 電 荷 とそ の所 属 す る導 体 とは一 般 に 位 相 が 相 違 す る とい う こ とで あ る。 した が っ て,接 地 導 体 で も位 相 角0の 電 位 を 有 す る導 体 で も そ の 内 部 の 仮 想 電 荷 は 複 素 数 に な る 。 こ れ は仮 想 電 荷 の 値 が 所 属 す る 導 体 の 電 位 だ け で 定 ま るの で は な く,他 の 導 体 電 位 に も影 響 さ れ る ため で あ る。 そ の結 果 輪 郭 点1個

につ い て 常 に2個(実

部 と虚 部)の

未知数

が 生 じる こ とに な る。   絶縁 され た導 体 の 浮 遊 電 位 は実 用 上 は ほ とん ど時 間 的 に 変 化 す る 印 加 電 圧 で 問 題 に な る 。 直 流 電 圧 で は,静 電 的 な結 合 よ り導 体 を支 持 す る 絶 縁 物 の 漏 れ(ろ え い)抵 抗 が 支 配 的 で,接

う

地状 態 と見 な して よい こ とが 多 い た め で あ る 。 先 に述

べ た よ うに,高 電 位 の 導 体 が1個

の と きは,交 流 電 圧 で も一 般 的 な過 渡 電 圧 で も

誘 導 電 圧 は 印 加 電 圧 の 瞬 時 値 に 比 例 して 変 わ る に す ぎ な い。 しか し多 相 交 流 にお い て は瞬 時 瞬 時 の 電 位 が 各 相 の作 用 で 変 わ る の で,複 素 仮 想 電 荷 法 に よる 計 算 が 便 利 で あ る。 す な わ ち(14・16)式 の 位 相 差ψ に よ っ てexp(jψ)の

と同 様 に,た

とえ ば(14・12)式 の 右 辺 を各 電 圧

複 素 数 で 表 し,左 辺 の 仮 想 電 荷 をす べ て 複 素 数

とす る。 そ の他 の 点 は実 数 計 算 と 同様 で あ る 。

14.5  複 合 誘電 体 場 の 浮遊 電位 計 算 14.5.1 

一 般 の 場 合

  2種 類 以 上 の 誘 電 体 が 存 在 す る複 合 誘 電 体 場 で も,浮 遊 導 体 の 接 す る誘 電 体 が 1種 類 で あ れ ば14.2節

に述 べ た 方 法 が そ の ま ま適 用 で き る 。 し か し浮 遊 導 体 と

い って も実 際 に は そ れ だ け で 空 間 に 浮 か ん で い る こ とは ほ と ん どな く,通 常 は 固

体 の 絶 縁 物 で 支 え られ て い る 。 こ の よ う に浮 遊 導 体 が2種 類 の 誘 電 体 と接 して い る と,電 荷 重 畳 法 で 「浮 遊 導 体 内 部 の仮 想 電 荷 量 の 和 が 零 で あ る 」,あ

るいは表

面 電荷 法 で 「浮 遊 導 体 の 表 面 電荷 の 和 が 零 で あ る 」 とい う条 件 で計 算 す る の は 間 違 い で あ る。 す な わ ち,13.4節 荷 法 で は 表 面 電 荷)は,誘

で も説 明 し た よ う に,内 部 の 仮 想 電 荷(表

電 体 の 分 極 電 荷(の

作 用)を

面電

含めた等価 的な電荷 を表

わ して お り,浮 遊 電位 を正 し く求 め る に は,分 極 電 荷 を除 い て 真 電 荷 だ け の 和 が 零 で あ る とい う計 算 を 行 わ な け れ ば い け な い[14.4][14.5]。   図14・3の

よ うな空 間 中 の 浮 遊 導体 が ガ ス(真 空 で も同 じ)と 固 体 誘 電体 に接

して い る場 合 を と る。 浮 遊 導 体 の 電 荷 がQで

あ る と,前 章 の(13・13)式

の ガウ

ス の 定 理 に よ って, (14・18)

こ こ でDnは

表 面 の 微 小 面 積ds上

に お け る 電 束 密 度 の外 向 き法 線 方 向 成 分 ,Q

は積 分 領 域 内 の 全 電 荷 で あ る。 この 式 は 浮 遊 導 体 に 対 して 導 体 表 面 の 電 界Eng , Endに よ っ て 次 の よ う に与 え られ る。 (14・19)

(14・20) (14・21)

図14.3  固体 誘 電 体 に 支持 され た 浮遊 導 体

こ こ で,添

字e,g,dは

そ れ ぞ れ 電 極 内,ガ

そ れ ぞ れ 浮 遊 導 体 の ガス 側 表 面,固 電 率(真

ス 側,固

体 側 を表 し,Eng,Endは

体 側 表 面 の 法 線 方 向 電 界,εg,εdは ガ ス の 誘

空 中 の 誘 電 率 ε0にほ ぼ等 しい)と

固体 の 誘 電 率,qは

仮 想 電 荷,Fnは

電界 係 数 の法 線 方 向成 分 で あ る。   これ ら の式 の 電 界 係 数 に は 複 合 誘 電 体 場 の 電 荷 重 畳 法 の式 が 用 い られ るが 説 明 は省 略 す る。(14・19)式

に(14・20),(14・21)式

を代 入 して,次

の 関係, (14・22)

(14・23)

を用 い る と,以 下 の 式 が 導 か れ る 。

(14・24)

こ の 式 でQ=0と

お け ば,仮 想 電 荷qe,qg,qdに

で,こ の 式 を14.2節

の(14・11)式

対す る一つ の方程 式 とな るの

の代 りに 用 い れ ば 良 い 。 た だ し,複 合 誘 電 体

場 で あ る か らガ ス と固 体 絶 縁 物 の境 界 の 輪 郭 点 に は(通 常 の)複 合 誘 電体 場 の 式 が 適 用 され る。 14.5.2 

一様 電界 の場 合

  送 電 線 下 の 電 界 の よ う に電 圧 源 が 遠 方 に あ っ て 浮 遊 導 体 付 近 が 一 様 電界 と見 な せ る場 合,一

様 電 界E0を

導 入 す る と電 源 を 考 慮 しな くて よい の で 計 算 が 容 易 に

な る。 こ の と き導 体 表 面 の(真)電 荷 の和Qは, (14・25)

こ こで,En0はE0の

導 体 表 面 にお け る 法 線 方 向成 分 で あ る 。 (14・26)

な ど を用 い て 変 形 す る と,

(14・27)

と,(14・24)式

〓の 項 を 含 む 式 に な る 。 した が っ て,一 様 電

に

界 下 の 浮 遊 電 位 の 計 算 に は(14・24)式

14.5.3 

の 代 りに(14・27)式

を 用 い れ ば 良 い。

計 算 例

  浮 遊 電 位 計 算 の 一 例 は,送 電 線 下 の 電 界 を計 測 す る た め の 交 流 電 界 計 で あ る。 電 界 測 定 の 原 理 は交 流 の 電 界 に よ って 上 下 の導 体(セ 流 を 求 め る も の で あ る 。 図14・4(a)は れ た 円板 状 導 体(セ

ンサ 電 極,プ

サ 電 極 は 厚 みL1,L2の2個

ンサ 電 極)に

誘 起 され る電

そ の モ デ ル で,円 柱 形 状 絶 縁 物 に 支 持 さ

ロー ブ)が 一 様 電界 下 にあ る場 合 で あ る 。 セ ン

の 電 極 か ら成 っ て い るが,計

算 で は セ ンサ 電 極 間 の

イ ンピー ダ ンス が 小 さ い の で 同 電 位 と して 扱 っ て い る。  文 献[14.4][14.5]で

は支 持 絶 縁 物 の 電 界 計 出 力 に及 ぼ す 影 響 が,い

(a)

(b)

図14.4  一様 電 界 下 の電 界 計 と支 持 絶縁 物 の 配置 と電荷 重 畳 法 に よる計 算 の 配置(説 明図)

ろ い ろ な条

件 で調 べ られ て い る 。 計 算 結 果 は 省 略 す る が,変 化 のパ ラ メー タは,支 持 絶 縁 物 の 半 径,長

さ,誘 電 率,セ

る。 図14・4(b)に

ンサ 電 極 の 厚 み,上

下 の セ ンサ 電 極 の厚 み の 比 で あ

電 荷 重 畳 法 で 計 算 す る と き の 輪 郭 点 と仮 想 電 荷 の 配 置 の 例 だ

け を示 す 。 た だ し図(b)は 模 式 図 で 固体 絶 縁 物 を 図(a)よ りず っ と太 く して い る。   固体 の 絶縁 物 が 存 在 す る と,存 在 しな い場 合 に比 べ て,浮 遊 導 体 先 端 の 電 界 は 上 昇 す る が 電 位 は低 下 す る 。 なお 固 体 絶 縁 物 に 体 積 導 電 性 や 表 面 導 電 性 が あ る場 合 の 計 算 法 を16.7節 べ る。

で 説 明 し,図14・4の

電 界 計 モ デ ル に対 す る計 算 結 果 も述

第15章  一 般三 次元配置 の計算

  通 常 の 空 間 的 配 置 で,回

転 対 称 で な い 場 合 を 一 般 三 次 元 配 置 と呼 ぶ こ と に す

る。 これ まで に説 明 した 計 算 は 第9,10章

を除 い て ほ と ん どが 二 次 元 か 回 転対 称

の 配 置 で あ る が,実 際 の 配 置 はす べ て 多 か れ 少 な か れ 一 般 三 次 元 で あ る。 しか し 一 般 三 次 元 配 置 の 電 界 計 算 は二 次 元 や 回 転 対 称 に比 べ て 種 の 困 難 を伴 い,し

,次 節 に 述 べ る よ うな 各

ば しば 三 次 元 用 の工 夫 が 必 要 で あ る 。

  た だ し,差 分 法 と有 限 要 素 法 で は一 般 三 次 元 配 置 の電 界 計 算 は 二 次 元 場 と本 質 的 な相 違 は な い。 ど ち ら も手 法 の 拡 張 で 処 理 で き る。 こ れ に対 して 電 荷 重 畳 法 は 通常 使 用 す る仮 想 電 荷 が す べ て 二 次 元 用(無

限 長)か

回転 対 称 な もの なの で,一

般 三 次 元 で は そ れ な りの対 応 が 避 け られ な い 。 また 表 面 電 荷 法 で は 三 角 形 表 面 電 荷 法 と名付 け た一 般 三 次 元 用 の 方 法 が あ る。 な お この 章 で は 説 明 の都 合 か ら,第 5章,第6章

と は異 な り表 面 電 荷 法 は 電荷 重 畳 法 の後 で 説 明 す る。

15.1  一 般 三 次 元 配 置 の 計 算 の 問 題 点  容 易 に分 か る こ と で あ る が,以 下 の よ うな 問 題 が あ る 。  (a)  プ ロ グ ラ ムが 複 雑 に な り,計 算 時 間 が 増 大 す る 。 二 次 元,回 と比 べ る と,計 算 時 間 は1∼2け

転対称 配置

た 増 加 す る と考 え て よい 。

 (b)  未 知 数 と連 立 方程 式 の 係 数(行 列 の 要 素)が 増 大 して しば し ば計 算 機 の 容 量 を越 え る。 た とえ ば 領 域 分 割 法 で は1座 標 あ た り20∼100に

分割す る

と,未

知 数(ス

数 は 大 半 が0で

カ ラ ポ テ ン シ ャ ル で あ る 電 位)の

数 は8000∼106個,係

あ る が と に か く そ の 個 数 は6.4×107∼1012個

う 。 使 用 計 算 機 の 計 算 限 界 を 見 積 も る と,記 精 度 計 算 の 場 合,106(100万)個

になって しま

憶 方 法 を 工 夫 し な け れ ば,倍

で8Mbyte,108(1億)個

で800Mbyte

の 記 憶 容 量 を必 要 とす る。

 (c)  三 次 元 配 置 そ の もの や 分 割 状 態 を図 示 す る の が 難 し く,正 確 な 配 置 を理 解 す る の が 容 易 で な い 。 そ の た め 入 力 デ ー タの作 成,計 算 結 果 の 表示 が 難 し く誤 りや す い 。   三 次 元 配 置 の こ の よ う な計 算 の 面 倒 さ を軽 減 す る た め に,あ

らか じめ い くつ か

の 部 分構 造 を用 意 して 配 置 を構 成 す る 方 法 も提 案 さ れ て い る。 筆 者 らの 提 案 し た 方 法 は,電 荷 重 畳 法 で,部 分 パ ー ツ(「 ブ ロ ッ ク」 と呼 ぶ)と 板,円

し て 球,円 柱,平

錐 台 な どの 導 体 形 状 を用 意 し,入 力 デ ー タ と して 各 ブ ロ ッ ク の 位 置,寸

法,電 位,さ

らに 重 要 度 に応 じて 輪 郭 点 と仮 想 電 荷 の 数 が 異 な る レベ ル を 選 択 す

る こ と に よっ て 三 次 元構 造 を 表 現 す る もの で あ る[15.1]。 文 献[15.2]は,や 荷 重 畳 法 で 基 本 パ ー ツ(「 セ グ メ ン ト」 と呼 ん で い る)と ブセ グ メ ン トと して 半 球,T字

円 柱,エ

は り電

して リ ン グ や 曲 面,サ

ル 形 構 造 な どを 含 め た 三 次 元 電 界 解 析 法

を提 案 して い る。

15.2  領 域 分割 法 に よ る計 算  差 分 法 で はx,y,zの

デ カ ル ト座 標 に お け る ラ プ ラ ス の 式, (15・1)

を,二 次 元 場 と同 じ よ う に格 子 点 電 位 の差 分 式 で 近 似 す れ ば よ い。 そ の た め に は 図15・1の

よ う なP(x0,y0,z0)点

に 隣接 す る6点 の 格 子 点 電 位 φ1∼ φ6を テ イ ラ

ー 展 開 の 二 階 微 分 ま で と っ て 近 似 す る と簡 単 に得 られ る。 た と え ば φ1,φ2に つ い て は,

図15.1 x,y,z座

標 にお け る格 子 点

(15・2)

これ か ら一 階微 分,二 階 微 分 の 項 を消 去 す る と,図15・1の

場 合,

(15・3)

hx=hy=hzの

と き は,φ0は 予 想 さ れ る よ う に φ1∼ φ6の 算 術 平 均 で あ る。 領 域

内 の 各 格 子 点 に つ い て,(15・3)式

あ る い は 類 似 の 一 次 の 関 係 式 を 作 り,境 界 条

件 を用 い て(3・17)式 の多 元 連 立 一 次 方程 式 を解 け ば 各 点 の電 位 が 求 め ら れ る 。   有 限 要 素 法 で は 二 次 元,回 転 対 称 場 を三 角 形 で 分 割 す る の に 対 し,一 般 三 次 元 場 を 四 面 体 要 素 で分 割 す る。 四 面 体 要 素 の 特 性(電

位)を

表 す(近

似 す る)に

は,次 の よ う に座 標 の 一 次 式 にす る の が 最 も簡 単 で あ る 。 (15・4)

α1∼ α4は 図15・2の 示 で,

よ うに 四 面 体 の4頂

点(節 点)の 座 標 と電 位 の 値 か ら行 列 表

図15.2  四 面体 要 素

図15.3  10節 点 を有 す る 四面 体 要素

(15・5)

と表 され る。 これ に よ っ て 要 素 内 の φが4節 られ る わ け で,次

点 の 電 位 φ1∼ φ4の 関 数 と して与 え

式 の ポ テ ン シ ャ ルエ ネ ル ギ ー, (15・6)

を 最 小 に す る よ う に 領 域 の φiを定 め れ ば こ れ が 求 め る解 で あ る 。 そ の 計 算 手 順 等 は 第4章

に述 べ た の と全 く同 じで,結 局 差 分 法 と 同様 な 各 節 点 の 電 位 を未 知 数

とす る 多 元 連 立 一 次 方 程 式 を解 くこ と に な る 。  電界 は(15・4)式 に よれ ば 各 要 素 内 で 一 定 で, (15・7)

で あ る が,4.7節 で は 図15・3の

に述 べ た6節 点 の 三 角 形 要 素(図4・3)に よ う な10節

対 応 して,三 次 元 場

点 を有 す る 四 面 体 要 素 を 用 い て 解 の 精 度 を 向 上 させ

る こ とが で き る。 す な わ ち要 素 内 の 電 位 を,

(15・8)

とお き,要 素 内 の 電 界 を 一 次 式 で表 す こ とが で き る。 係 数 α1∼ α10は四 面体 の4 頂 点 と各 稜 の 中 間 点6個 の 計10個

の 節 点 の座 標 と電 位 の 値 か ら,(15・5)式

様 に して与 え られ る。 た だ し計 算 の プ ロ グ ラ ム は相 当 複 雑 に な る。

と同

15.3  電荷 重畳 法 に よ る計 算   す で に 述 べ た よ うに 電 荷 重 畳 法 で 一 般 三 次 元 場 を計 算 す る に は,回 転 対 称 場 の 仮 想 電荷(点,リ

ン グ,線 電 荷)が

す べ て 回 転 対 称 な電 界 しか 与 え な い の で,こ

れ ら の 電 荷 だ け で は 計 算 で き な い 。 非 対 称 性 を表 現 で き る 電 荷 配 置 が 必 要 で あ る。 一 般 三 次 元 場 とい っ て も,た

と え ば 高 電 圧 工 学 の 分 野 で 通 常 現 れ る 配 置 は,

電 極 そ の も の は 回転 対 称 で 周 囲 の 電 極 配 置 に よ っ て 電 界 が 一 般 三 次 元 に な る 場 合,あ

る い は個 々 の 電 極 が 局 所 的 に 回転 対 称 な 形 状 か ら成 る 場 合 が多 い 。 こ の よ

うな 場 合,非 対 称 性 を表 す に は,電 荷 の位 置 を局 所 回転 軸(電

極 の軸)よ

りず ら

せ る か,電 荷 密 度 を場 所 に よ っ て 変 え る か で あ る。   具 体 的 に 回 転 対 称 な リ ン グ電 荷 の 代 わ りに用 い られ る仮 想 電 荷 を 図15.4に

示

し,こ れ らを以 下 に 説 明 す る。 な お リ ング 電荷 以 外 の 仮 想 電 荷 の 一 般 三 次 元 場 に お け る取 扱 い に は触 れ ない が,電

極 の 支 持 棒(柄)の

よ うな 細 い 円筒 で 電 界 の 非

対 称 性 が あ る と きは,円 筒 の 回 転 軸 よ りず ら して 何 本 か の線 電 荷 を 配 置 す る。 点 電荷 は も ち ろ ん軸 上 だ け で な く適 当 な とこ ろ に 自由 に置 く こ とが で き る。 15.3.1 

各種 の仮 想電 荷

  図15・4の 電荷,回

仮 想 電 荷 の う ち,ま

ず 点 電 荷(と

転 軸 よ りず ら した リ ン グ電 荷,に

線 電 荷),直

線(弦)電

荷,円

板

つ い て 簡 単 に説 明 す る。 ほ と ん どは 電

荷 密 度 が 場 所 的 に 一 定 で あ る。 (1)  点 電 荷 と(回 転 軸 に平 行 な)線 電 荷:こ

れ は プ ロ グ ラ ム は簡 単 で あ る が あ

ま り有 効 な方 法 で は な い。 円 形 断 面 を 表 す た め に 回転 対 称 場 な ら1個 の リ ン グ電 荷 で 済 む の に 比 べ て多 数 個 の 点 電 荷 が 必 要 に な る。 通 常 の(電 荷 密 度 一 定 の)リ

ング電 荷 を局 所 回 転 軸 を 中心 に して 配 置 し,残

りの 非 対 称 な電 界 成

分 を点 電 荷 と線 電 荷 で 表 す 方 法 の ほ うが い くらか は よい 。 (2)  直 線(弦)電 く方 法 で,リ

荷[15.3][15.4]:こ れ は リ ン グ電 荷 の 代 わ りに 有 限 長 線 電 荷 を 置 ン グ を弦 の電 荷 で 代 用 す る 方 法 と も考 え られ る。 電 極 模 擬 の 状

態 は リ ング電 荷 よ り劣 る が 電 位 係 数,電 界 係 数 の 計 算 は は る か に 速 い。 直 線

(a) 電 極 形状

(b) A‐B断 面 の電 荷 配置 図15.4  局 所 的 回転 対 称 形状

電 荷 の 電荷 密 度 を一 定 で な く距 離 の 関 数(座 標 の 高 次 式)と

す る こ と も可 能

で あ る。 (3)  円板 電荷:表

面 電 荷 の代 わ りに電 極 内 部 に 配 置 した 円 板 電 荷 で 電 界 分 布 を

表 す 方 法 で あ る。 円板 電 荷(6.6.2項

に 説 明)は 電 位,電

界が簡 単な解析 式

で 与 え られ る こ とが 利 点 で あ る。 た だ し多 数 の 円板 電 荷 の 位 置 と半 径 を入 力 デ ー タ と して作 成 しな け れ ば な らず,あ

と で述 べ る 三 角 形 表 面 電 荷 法 の よ う

な一般性 に欠ける。 (4)  局 所 回転 軸 よ りず ら した リ ン グ電 荷:局

所 的 に 回 転 対 称 な電 極 の 断 面 に 何

個 か の 中心 位 置 をず ら した リ ン グ電 荷 を配 置 し,対 応 し て 同 じ数 の 輪 郭 点 を 電 極 表 面 に 置 く。 い くつ か の 断 面 で こ れ を行 っ て全 体 の 電 界 分 布 を模 擬 す る わ けで あ る が,リ

ン グ電 荷 の 位 置 と径 を適 当 に とる と一 つ の 断面 に置 く電 荷

の 数 は比 較 的 少 な くて す む 。 電 荷 密 度 一 定 の リ ング 電 荷 に よ る電 位,電 界 は 局 所 軸 が 大 地 に対 して 斜 め の場 合 に は影 像 リ ング 電荷 の作 用 を含 め た 式 は か な り複 雑 に な る[15.5]。 しか し,そ れ で も回転 対 称 場 と同 様 に,算 術 幾 何 平 均 法 で 比 較 的高 速 に 計 算 で きる完 全 だ 円積 分 の 値 しか 含 まな い の が 利 点 で あ る 。

15.3.2  電 荷 密 度 の 変 化 す る リ ング 電 荷   電荷 密 度 が 場 所(角

度)と

と も に変 わ る リ ン グ電 荷 は 多 くの場 合 電 位,電

界の

式 が解 析 的 に 表せ ず 数 値 積 分 が 必 要 に な る 。 現 在 使 用 され て い る 方 法 は,局 所 的 に 回 転 対 称 な 電 極 に 対 し て,リ

ン グ 電荷 の 電 荷 密 度 を 回 転 角φ の フ ー リエ 級 数

で表 す も の で あ る[15.6]。 た と え ば 配 置 に面 対 称性 が あ る と き を例 に と る と,こ の 場 合 の 電 界 分 布 はφ の 偶 関数 に な るか ら,図15・5に

示 す よ う にj番 目 の リ ング

電 荷 の線 電荷 密 度q(j)を, (15・9)

で 与 え る 。(15・9)式 じ る 電 位 φkは,次

の1成

分λjkcoskφ

が 図15・6の

よ う にP(r,θ,z)点

に生

の よ うに 特 殊 関数 で表 せ る。

(15・10)

こ こ で

〓は

半 整 数 次 の ル ジ ャ ン ドル 関 数 で あ る。q(j)がP点

に 生 ず る 電 位 は, (15・11)

す べ て の 仮 想 電 荷 に よ る電 位 は, (15・12)

とな り,電 極 表 面 に適 当 に配 置 した 輪 郭 点 の 電 位(図15・5)を

電 極 電圧 とす る

こ とに よ って,λjkを 未 知 数 とす る 方 程 式 が形 成 さ れ る 。(15・12)式 q,k)は(15・10)式

を意 味 し,輪 郭 点P点

の 配 置,リ

の 係 数A(P

,

ング 電 荷 の 位 置 と径 お よ び

kで定 ま る定 数 で あ る。 通 常 は さ らに 大 地 に対 す る影 像 電 荷 の作 用 も含 め る。 未 知 数 の 数 は 回 転 対 称 場 のn個

か らn(K+1)個

に 増 加 す る 。 た だ しKの

値 は各 リ

ン グ電 荷 で 同 じで は な い 。 一 般 に一 つ の 断 面 の 輪 郭 点 は,対 応 す る面 内 の リ ン グ 電 荷 の 次 数 に 対 応 して(K+1)個

置 くの が よい 。 実 際 の 計 算 に は さ ら に電 位 だ け

図15.5  電荷 密 度 がφ の 関数 で あ る リン グ電荷

図15.6  リ ング電 荷 とP点 との 関係

で な く 電 界 の 式 が 必 要 で あ る 。 こ れ ら の 式 は ま と め て 付 録6に る か らEr,Eθ,Ezの3成 お よ びQk+1/2(Y)が

分 が 必 要 で,半

示す 。三次元 であ

整 数 次 の ル ジ ャ ン ド ル 関 数Qk-1/2(Y)

含 まれる。

  こ の方 法 の利 点 は,リ

ン グ電 荷 の 配 置 と怪 を 決 め る手 間 が ご くわ ず か で,回 転

対 称 場 と ほ と ん ど同 様 に1個

の リ ン グ電 荷 を 配 置 し,Kの

値 を与 え るだ けで よ

い こ とで あ る。 また 電 界 の 計 算 精 度 も高 い 。 問 題 は半 整 数 次 の ル ジ ャ ン ドル 関 数 の 計 算 が 面 倒 な こ とで あ る。 この 関 数 は ,ラ プ ラス の式 を 円 環 座 標 で 解 く と き に 現 れ る もの で 「円 環 関 数」[15.7]と 呼 ば れ て い る 。種 々 の計 算 方 法 が あ る が 精 度 の よい もの は 計 算 時 間が 長 く,計 算 時 間の 短 い 方 法 は 大 き な け た 落 ち誤 差 を生 じる こ とが あ る(旧 著 で は付 録5に

円環 関 数 の数 値 計 算 法 の 検 討 結 果 を記 載 して い た

が 本 書 で は 割愛 した)。 15.3.3 

円 弧 電 荷[15.8]

  これ まで に説 明 した 方 法 の 多 くは,電 極 が 回 転 対 称 で な く断 面 が 円 形 で な い 場 合 に は 適用 が 難 しい 。 局 所 的 回 転 対 称 な形 状 で は な く,角 を 丸 め た 長 方 形 の よ う に 一 部 が 丸 ま っ た形 状 を模 擬 す る に は,リ

ング(円)の

一部 であ る円弧電荷 を用

い る方 法 が 適 して い る 。   円弧 電荷 は電 荷 密 度 が 一 定 で,電

位,電 界 の作 用 を数 値 積 分 で 与 え る 方 法[15.9]

も提 案 され て い る が,電 荷 密 度 が 角 度 と と も に変 化 す る円 弧 電 荷 を次 の よ う に だ

円積 分 で 表 す こ とが で き る。 図15・7の あ る 半 径eの

円 弧 電 荷 が 点P(r,θ,z)に

よ うに,中 心 がz軸 上 でz=dの

面上 に

生 じ る電 位 は,円 弧 電 荷 の 電 荷 密 度 σが

角 度 θの 余 弦 関 数 で 変 化 す る と き,次 の 式 に な る 。 角 の 点(角

度 π/4)で 対 称 と

して, と す る と,

(15・13)

 こ こ で,

(15・14)

こ の 式 に 現 れ る 積 分Ia,Ib,Icは

次 の(不

表 す こ と が で き る 。 な お,u=sinψ,x=sinθ

完 全)だ

円 積 分Fお

よ びEを

用 い て

で あ る。

 第一種 だ円積分 (15・15)

 第二種 だ円積分 (15・16)

  電 界 の 式 はP点

の 電 位 を3成 分r,θ,zで

り分 母 が 高 次 の積 分 式 が 生 じる が,こ らの 不 完 全 だ 円積 分 は 分 母kの

微 分 す れ ば 求 め ら れ る。Ia∼Icよ

れ ら もだ 円積 分 で 表 す こ とが で き る。 こ れ

べ き級 数 展 開式 もあ る が,完 全 だ 円積 分 と 同様

に算 術 幾 何 平 均 法 に よ っ て ず っ と高 速 に計 算 で き る。

図15.7 

円弧 電荷

15.4  表 面 電 荷法 に よる計 算   表 面 電荷 法 は境 界(電 極 表 面 あ るい は誘 電 体 界 面)の で あ る か ら,と

電 荷 を未 知 数 とす る方 法

もか く境 界 形 状 を分 割 して分 割 要 素 の 電荷 あ る い は 電 荷 密 度 を 未

知 数 とす る 方 程 式 を作 る点 で は 一 般 三 次 元 配 置 で も 同 じで あ る。 この と き分 割 要 素 が 曲 面 で あ る と電 荷 の作 る電 位,電 界 を 数 値積 分 で与 え な け れ ば い け な い。   表 面 電 荷 法 で 個 々 の 電 極 形 状 が(局 15.3.2項 8(a)の

所 的 に)回

転 対称 で あ れば電荷 重畳 法 の

に 説 明 し た 方 法 と ほ と ん ど 同 じ や り方[15.10]が使 え る 。 す な わ ち 図15・ よ う に 円 筒 座 標(r,θ,z)の

座 標 系 で,区

分t1∼t2の

表 面 電 荷 密 度 σがP(r,

θ,z)点 に 生 じ る 電 位 は,

(15・17)

こ こ でkは〓 =(z−Z)2+r2+R2で

と お い た フ ー リ エ 級 数 の 次 数,Y=L2/2rR,L2 あ る 。(15・17)式

の 線 積 分 をZ=A+BR+CR2と

お い てR

の 関数 とす る な どの 点 は 回転 対 称 場 と 同 じで あ る。 こ の よ う な フ ー リエ 級 数 表 現

(a)電 極 形 状 が 回転 対 称 な と き

(b)回

転対称でないとき

図15.8  表 面 電荷 法 に よる計 算

の 電 荷 密 度 を用 い る表 面 電 荷 法 や,チ 表 面 電 荷 法(HSSSM)」

ェ ビ シ ェ フ多 項 式 を用 い る 高 精 度 な 「高 速

と呼 ぶ 方 法 も 開発 され て い る[15.11]。 た だ し,こ れ らの 方

法 の 適 用 は基 本 的 に 局 所 的 に 回 転 対 称 な 形 状 か らな る 配 置 に 限 られ る。   こ れ に 対 して,も っ と一 般 的 な 曲面 形 状 を対 象 とす る 表 面 電 荷 法 は 旧 著 の 刊 行 以 降 に 著 し く発 展 した 方 法 で,内 容 が 豊 富 な た め 独 立 した 章 と して 第9章

で まと

め て説 明 した 。 しか し三 角 形 や 四 角 形 の平 面(曲 面 で な い)電 荷 の 電 位,電

界は

数 値 積 分 で な く陽 に式 で 与 え られ る こ とか ら,三 次 元 配 置 に 適 した計 算 法 を構 築 す る こ と が で き る 。 た とえ ば 図15・8(b)に

示 す 直 方 体 電 極 は,電 荷 重 畳 法 で は

計 算 の難 しい 配 置 で あ る が,三 角 形 表 面 電 荷 法 で 容 易 に計 算 で き る。 以 下 の 節 で 説 明 す る。

15.5  三 角形 表 面電 荷 法  三次元配 置の電位 を次 の表面電荷法 の基本式 で表す。 (15・18)

この 式 で σは 電 極 表 面 のds部

分 の 電荷 密 度,lはdsと

る 。 複 合 誘 電体 の 界 面 で は11.4節

空 間 のP点

との 距 離 で あ

の 式 を用 い れ ば よ い。

 具 体 的 な 計 算 の 過 程 は 次 の よ う に な る 。  (a)  電 極 表 面 を三 角 形 あ るい は 四 角 形 の 小 要 素 に分 割 す る 。  (b)  各 要 素 の 電 荷 密 度 σを一 定 あ る い は座 標 の 関係 式 とす る。  (c) j番

目の 要 素 の適 当 な 点(重 心 あ る い は 三 角 形,四

を と っ て,(15・18)式

角 形 の 頂 点)に 輪 郭 点

か ら σjの 式 を 作 る 。

 分 割 が 四 角 形 の 場 合 は 四 角 形 上 の 表 面 電 荷 密 度 σ を 図15・9(a)の

よ う な(X,

Y)平 面 上 で, (15・19)

の 関 数 形 で 表 す と,σ

に よ るP点(x,y,z)の

電 位 φ が 次 の 式 よ り計 算 さ れ る 。

(15・20)

こ こ で,l=√(X-x)2+(Y-y)2+z2。

こ の 四 角 形 電 荷 に よ る電 位,電

界 の 式 も数

値 積 分 で な く解 析 式 で表 す こ とが で きる 。 しか し電極 形 状 を模 擬 す る に は三 角 形 の ほ うが 一 般 的 なの で 以 下 三 角 形 分 割 の場 合 につ い て述 べ る。  図15・9(b)の

よ う に 頂 点A,B,Cの

三 角 形 が(X,Y)平

面 上 に あ る と し て,

そ の 表 面 電 荷 密 度 σを座 標 の 一 次 式 で 与 え る。 (15・21)

この 三 角 形 表 面 電 荷 がP点(x,y,z)に

生 じ る電 位 φは 次 式 で 与 え られ る ※。

※ こ れ ら の式 の導 出 はか な り厄 介 で あ る。 最 も面 倒 な の は電 荷 密 度 の α1に関 係 す る 電 位 の 式 で,ln(t+√at2+bt+c)のtに

関 す る不 定 積 分 の式 が 必 要 で あ る。

(a)四

(b)三

角形

角形

図15.9  板 状表 面 電荷

(15・22)

こ こ で,

また

Σ

はA,B,Cを

順 に 変 え て3回 加 算 す る こ と を意 味 す る 。

 三 角 形 の3頂 点A,B,Cの表

面電 荷密度 σA,σB,σCはα1,α2,α3と

(15・23)

の 関 係 が あ る の で,3頂

点(輪 郭 点)の 電 位 条 件 か ら σA∼ σC,一 般 にσiを 未 知 数

とす る 連 立 一 次 方 程 式 を構 成 で き る。 得 られ た 電 荷 密 度 の値 か ら領 域 の 任 意 の 点 の 電位,電

界 が 計 算 され る。 こ の 方 法 は 三 角 形 に よ る分 割 とい う点 で は(次 元 は

三 次元 か ら二 次 元 に低 下 して い る が)有

限要 素 法 と共 通 す る 面 が あ り,ま た 三 角

形 を電 極 内 部 に 配 置 す れ ば 電 荷 重 畳 法 の 仮 想 電荷 と も な る。   三角 形 表 面 電 荷 法 は特 に 一 般 三 次 元 配 置 の ラ プ ラ ス 場 の 計 算 法 と して 次 の よ う な特 徴 が あ る。  (a)  有 限要 素 法 に比 べ る と,有 限 要 素 法 が 空 間(容 積)を 分 割 す る の に対 し て,面(電

極 表 面)の

分 割 だ け で 済 むか ら分 割 が 非 常 に容 易 で あ る 。 ま た

電 界 も解 析 式 で 表 さ れ る の で 精 度 も比 較 的 良 い 。  (b)  電 界 重 畳 法 に 比 べ て 局 所 的 に 回転 対 称 性 を持 た な い 一 般 的 な 電 極 を模 擬 す る こ とが で き る。 また 三 角 形 を電 極 表 面 に 置 くと,(仮 想)電

荷 の種 類

や 配 置 な どの 入 力 デ ー タ が 要 らな い 。 しか し,表 面 が 滑 らか な 電 極 で は, 特 に 電極 表 面 付 近 の 計 算 精 度 が 電 荷 重 畳 法 よ り劣 る。  (c)  回 転対 称 場 の表 面 電 荷 法 あ るい は局 所 的 に 回 転 対 称 な 電 極 の 表 面 電 荷 法 に比 べ て,電 位,電 界 の 計 算 に 数 値 積 分 を要 しな い の で 計 算 時 間 が 短 い 。 ま た 輪 郭 点 を 三 角 形 の 頂 点 に と っ て もそ の 点 の 電 位 は 有 限 で,5.6節

に述

べ た よ うな 面 倒 な特 異 点 の 処 理 を必 要 と しな い 。 電 界 は各 三 角 形 要 素 の 辺 上 で 無 限大 に な るが,三  なお,三

角 形 を電 極 内 部 に置 け ば 電 界 も有 限 で あ る 。

角 形 表 面 電 荷 法 で 電 荷 密 度 に 高 次 の 式 を用 い る ほ ど式 は複 雑 に な る

が,精

度 が 向 上 す る 。 こ こ で は(15・21)式

の 一 次 式 の 場 合 を 説 明 し た が,二

式,三

次 式 の 場 合 の 式 が 報 告 さ れ て い る[15.12]。

次

15.6  計 算 例   す で に多 数 の 一 般 三 次 元 配 置 の 電 界 計 算 が 報 告 され て い る 。 旧 著 で は そ の い く つ か を 挙 げ る と と も に,一 部 を や や 詳 し く説 明 して い る。 図 面 を示 して い る の は,有

限 要 素 法 で は,三 相 一 括 ガ ス 絶 縁 線 路 の ス ペ ー サ 部 分 の 計 算 で あ る[15.12]。

電 荷 重 畳 法 で は,高 電 圧 の電 圧 測 定 に用 い られ る標 準 球 ギ ャ ップ(垂 直 配 置,水 平 配 置)な

らび に 偏 軸 球 ギ ャ ッ プの 計 算 で あ る[15.13]。 ど ち ら も15.3.2項

した 方 法 で あ る が,用

い た リ ン グ電 荷 の フー リエ 級 数 の 次 数 は2か

に説明

ら6の 範 囲 で

あ る 。 なお 標 準 球 ギ ャ ップ に つ い て は,球 ギ ャ ップ の 接 続 線 や 近接 物 体 の効 果 も 解 析 され て い る 。   一 般 三 次 元 場 計 算 の 問 題 は,解 析 的 に求 め られ る よ う な配 置 が な く計 算 精 度 の 評 価 が 難 しい こ とで あ る。 しか し便 法 と して,回 転 対 称 場 を 回転 対 称 で な い分 割 や(電 荷)配

置 で 計 算 して そ の 結 果 を解 析 解 と比 較 で き る。 た とえ ば 電 荷 重 畳 法

で は,図15・10の

よ うな 球 対 接 地 平 面 の 回 転 対 称 な配 置 で,リ

す る 軸 を 水 平 に す れ ば 一 般 三 次 元 の 計 算 に な る。15.3.2項

ン グ電 荷 を配 置

に 説 明 した 方 法 で リ

ン グ 電 荷9個

で 計 算 した 結 果 で は,最 大 電 界 の 計 算 誤 差(相 対 誤 差)は(3∼

11)×10-5で

あ っ た 。 同 じ数 の リ ン グ 電 荷 を 回 転 対 称 に 配 置 し た 場 合 は(5∼

8)×10-5で

あ る か ら,一 般 三 次 元 の 計 算 で も回 転 対 称 場 に 近 い 精 度 が 可 能 な こ

とを示 して い る。

(a)回 転 対 称電 荷 配 置

(b)一

般 三 次元 電 荷 配 置

図15.10  誤 差 を調べ る ため の 配置(説 明 図)

第16章  導電率 を含 む計算

  これ まで に述 べ た 計 算 で は,媒 質 は誘 電 率 が 変 わ る だ け で す べ て 完 全 な絶 縁 物 と見 な して い た 。 しか し固体 や 液 体 が 存 在 す る場 合 の電 界 は しば し ばそ の導 電性 が 問 題 に な る。 一 般 に 導 電 性 が 無 視 で き ない 場 の 電 界 は,材 料 の 誘 電 率 を ε,抵 抗 率 を ρ,印 加 電 圧 の 角 周 波 数 を ω とす る と,パ ラ メ ー タ ερω に よ っ て 支 配 さ れ る こ とが 知 ら れ て い る 。 εは 通 常 あ ま り大 き く変 わ る値 で は な い が,ρ は け た 違 い に変 わ り得 る値 で,抵 抗 値 の 小 さ い場 合 や 直 流 な い し低 周 波 の 場 合 に,導 電 性 を無 視 で き な い 。 実 用 的 に は 直 流 印加 時 の 電 界 分 布,半 固体 絶 縁 物 表 面 の汚 損 の 影 響,抵

導 電 材 料 を含 む 配 置,

抗 要 素 を含 む 分圧 器 の特 性 の 検 討,な

ど にお い

て,導 電 性 を含 め た 電 界 計 算 が 必 要 で あ る。 な お,以 下 で は 抵 抗 率 を使 用 す る の で,導 電性 あ る い は 導 電 率 で な く抵 抗 と い う用 語 を用 い る 。   抵 抗 に は 体 積 抵 抗 と表 面 抵 抗 の2種 類 が あ る。 表 面 抵 抗 は電 流 路 の 厚 みtが ご く薄 い 体 積 抵 抗(抵

抗 率 ρ)で あ る が,厚

み の な い 抵 抗 と して 表 面 抵 抗 率 ρs

=ρ/t(有 限)で 取 り扱 わ れ る も の で あ る 。 以 下 の 節 で は体 積 抵 抗 と表 面 抵 抗 の 計 算 法 を,主

と して抵 抗 率 が 電 圧,電

り立 つ と き)で,交

ー ム の 法則 が 成

流 定 常 場 に つ い て 解 説 す る 。 また 絶 縁 され た導 体 が2種 類 の

誘 電 体 と接 触 して,一 算 法 も説 明 す る 。

流 に よ らず 一 定 な場 合(オ

方 の 誘 電 体 が 導 電 性 を有 す る と きの 電 位(浮

遊電 位)の 計

16.1  計 算 の 基 礎   一 般 に 誘 電 率 ε,体 積 抵 抗 率 ρの 媒 質 に お い て,電 界 をE,電

流 密 度 をj,空

間 電 荷 密 度 をqと す る と次 の 式 が 成 立 す る 。 (16・1)

(16・2)

こ の2式

か ら,ε が 時 間 的 に 一 定 で あ る と, (16・3)

角 周 波 数 ω の 交 流 電 圧 に対 し,定 常 的 な 電 界 分 布 を 複 素 数 で 取 り扱 う こ とが で きる。 (16・4)

(16・4)式

か ら ε,ρ,ω

に よ っ て以 下 の ケー ス に 分 か れ る。

 (a)  高 周 波 あ る い は容 量 の 場 合(ε ρω≫1) (16・5)

これ は 通 常 の静 電 界 の(交 流 で の)式

である。

 (b)  直 流 あ る い は低 抵 抗 の 場 合(ε ρω≪1) (16・6)

こ れ は(16・5)式 に お い て εを1/ρ と した 式 と同 じで,1.3節 や 導 電 紙 の 電 流 場 を利 用 して 電 界 を 求 め る ア ナ ロ グ 法(フ

に述 べ た 電 解 液 ィ ー ル ドマ ッ ピ ン

グ)の 基 礎 式 で あ る。  (c)  一 般 的 な 場 合  (16・4)式 は ω が 一 定 の と き通 常 の 誘 電 率 を複 素 誘 電 率 (16・7)

で 置 き換 えた 式 に 等 し い。 ε,ρが 場 所 的 に 一 定 で あ る とdiυE=0が

成 立 し再

び ラ プ ラ ス の 式 に な る。 これ か ら い ろ い ろ な 特 性(関

係)を

導 く こ とが で き,

また 電 荷 重 畳 法 の 適用 が 可 能 に な る。 た と え ば,ε と ρが 至 る と こ ろ 場 所 的 に 一 定 な一 様 媒 質 中 で は

,ど の よ う な電 圧 波 形 で も どの よ うな ε,ρ の 組 合 せ で

も電界 分 布 は常 に 同 じで あ る。   しか し実 際 に は 固 体,液 体 の 抵 抗 率 は 電 界 に依 存 す るの が 普 通 で,そ の た め に場 所 的 に一 定 で な くな りラ プ ラス の式 が 使 え な い こ と も多 い。 そ の 場 合 に は (16・4)式 か ら の計 算 が 必 要 で あ る。 この よ う な非 線 形 の 計 算 は16.6節

に述べ

る 。 また 抵 抗 率 を含 む 計 算 が 誘 電 率 の場 合 と相 違 す る の は,第 一 に,始 め に 述 べ た よ う に,た い て い の 場 合 媒 質 の比 誘 電 率 εsは1か は10ま

らせ いぜ い数 十,多

で で あ る の に,ρ は け た違 い に 変 わ り う る こ とで,実

106Ω ・m程 度 まで あ りう る。 第 二 に,2.4節 圧 波 形 に影 響 され,時

際 に10-7か

く ら

に も述 べ た こ と で あ るが,印 加 電

間 と と も に変 化 す る こ と で あ る 。

16.2  差 分 法 に よ る 計 算   差 分 法 で は通 常 の(抵 抗 分 の な い 場 合 の)計 算 を複 素 数 計 算 に 変 え れ ば よ い。 各 媒 質 の 内 部 で は ε,ρ と も一 定 で 界 面(境 は,11.1節

のみ不 連続 に変化す る と き

に述 べ た 複 合 誘 電体 の 界 面 の 差 分 式 の εを複 素 誘 電 率(16・7)式

え る だ け で よ い。 た だ し各 格 子 点 の 電 位(未   図16・1の

界 面)で

知 数)は

に変

すべ て 複 素 数 で あ る。

よ うな 隣 接8格 子 点 を使 用 した 報 告[16.1]で は,(16・4)式

を,

(16・8)

の差 分 式 に して 計算 して い る。 しか し係 数Ajは

格 子 内 の エ ネ ルギ ー ε￨E2￨/2が最

小 とな る条 件 か ら与 えて い る の で,一 様 な 分 割 で は あ る が この 方 法 は 差 分 法 よ り む しろ 有 限 要 素 法 の 考 え に近 い。   以 上 は体 積 抵 抗 の 計 算 で あ る が,表 面 抵 抗 は電 流 路 を狭 い 格 子 間 隔 で の 体 積 抵 抗 に 置 き換 え て計 算 が 行 わ れ て い る。 た だ し,こ の方 法 は 格 子 間隔 が 非 常 に狭 い

図16.1  複素 電 位 に よ る差分 法

と誤 差 が 大 き くな る。

16.3  有 限要 素 法 に よ る計 算  (16・3)式

か ら時 間 微 分 をdiυ の 外 へ 出 し た 式,

(16・9)

は,4.1節

に 述 べ た オ イ ラ ー の 理 論 に よっ て,次 の 汎 関 数 を領 域V内

において最

小 に す る こ と と等 価 で あ る。 (16・10)

二 次 元場:

回転対称 場:

f1は 単位 時 間 に単 位 体 積 あ た り消 費 さ れ る ジ ュ ー ル損,f2は テ ン シ ャ ル エ ネ ル ギ ー を示 す 。 した が っ て,(16・10)式

単 位 体 積 あ た りの ポ

の汎 関 数 の 次 元 は4.1節

で 述 べ た汎 関 数 と時 間 の 単位 だ け相 違 し,瞬 時 エ ネル ギ ー で あ る。  交 流 の場 合 は(16・10)式

は 回転 対 称 場 で, (16・11)

に な る。 した が って(4・7)式

と比 較 す れ ば 分 か る よ う に,通 常 の 静 電 界 の有 限 要

素 法 で εを(1/ρ+jω ε)に変 え,電 位 φの 座 標 に よ る微 分 値 の2乗 位 φ の絶 対 値 の2乗

の 項 を複 素 電

とす れ ば 同 様 に 計 算 す る こ とが で きる[16.2]。 な お,φ が 波 高

値 で 与 え られ て い る と きは,エ

ネ ル ギ ー は全 体 に1/2を

  表 面 抵 抗 を考 え る場 合 は,(16・10)式

掛 け る 必 要 が あ る。

に 表 面 で 消 費 され る ジ ュー ル 損, (16・12)

を付 け 加 え る。 こ こ で ρsは 表 面 抵 抗 率,isは

表 面 に 沿 う電 流 密 度 で あ る。 交 流

の場 合 次 の よ う な計 算 が 提 案 さ れ て い る[16.2]。 (16・13)

と して,要 素 内 電 位 の 近 似 関 数 と して 最 も簡 単 な 一 次 式 を使 う と きは,図16・2 に示 す よ う に三 角 形 要 素i,j,mの

界 面i,jに

沿って は (16・14)

た だ しLはi,j間

の距 離 で あ る 。

二 次 元場: (16・15)

回転 対 称 場: (16・16)

図16.2  有 限要 素 法 の表 面 抵抗 を有 す る界面

こ こ でri,rjは

そ れ ぞ れi,j点

のr座 標 で あ る 。

  結 局 表 面 抵 抗 を含 む 場 合 に は,領 域 で 作 られ る系 の 方 程 式 に ∂Xs/∂φi,∂Xs/∂ φjの項 を付 け 加 え る こ と に な る。 有 限 要 素 法 の 最 大 の 利 点 は 非 線 形 の 計 算,す な わ ち抵 抗 率 が 電 界 に依 存 して 変 わ る場 合 に も計 算 の 可 能 な こ とで あ る が,こ につ い て は16.6節

れ

で述 べ る。

16.4  電 荷 重 畳 法 に よる体積 抵 抗 を含 む計 算   16.1節

に述 べ た よ う に,ε,ρ が 電 界 や 電 流 に よ っ て 変 化 せ ず,場 所 的 に 一 定

で あ る と ラ プ ラ ス の 式 が 成 り立 つ 。 す な わ ち オ ー ムの 法 則 が 成 立 す る な らば,媒 質 中 を電 流 が 流 れ て も境 界 を 除 け ば 真 電 荷 は存 在 せ ず 至 る と こ ろq=0で

あ る。

電 荷 重 畳 法 は ラ プ ラ ス の 式 の 解 を 重 畳 す る 方 法 な の で 適 当 な境 界 条 件 を与 え る と,体 積 抵 抗 を含 む 配 置 の電 界 を 計 算 す る こ とが で き る。 た だ し交 流 の 定 常 場 で は 「複 素 仮 想 電 荷 」[16.3]が 必 要 で あ る。   界 面 で の 境 界 条件 と して通 常 の 複 合 誘 電 体 と違 うの は,電 束 密 度 の連 続 条 件 に 体 積 抵 抗 で 生 じ る真 電 荷(電 すA,B,2種

類 の 導 電 率(抵

荷 密 度 σ)の 作 用 が 入 る こ と で あ る。 図16・3に 抗 率ρA,ρB)を 有 す る 誘 電 体(半

導 体)界

示

面 を考

図16.3  導 電 率 を有 す る誘 電体 界 面

え る と,電 束 密 度(の

法 線 方 向成 分)の

連続条件 は, (16・17)

こ こ で 添 字nは

界 面 に 垂 直 な 成 分 を表 し,以 下 同 様 で あ る 。 一 方 σ は 次 式 で 与

え られ る。 (16・18)

jは 電 流 密 度 で,j=E/ρ

で あ る か ら,

(16・19)

角 周 波 数 ω の 交 流 場 で は 時 間積 分 を1/jω で置 き換 え て, (16・20)

この式 と(16・17)式 を組 み 合 せ て 書 き直 す と次式 に な る。

(16・21)

こ の 式 は 通 常 の 複 合 誘 電 体 に お け る 電 束 密 度 連 続 の 境 界 条 件 で ,誘 電

εA,εB

を複 素 誘 電 率 に 書 き直 した 式 に等 しい。 した が っ てす で に 領 域 分 割 法 に よ る計 算 で 述 べ た よ うに,体 積 抵 抗 場 の 交 流 電 界 は す べ て の 式 の誘 電 率 を複 素 誘 電 率 に書 き直 す だ け で よい 。 第11章

の複 合 誘 電 体 場 に な らっ て 輪 郭 点iで の 境 界 条 件 を

ま とめ る と次 の よ う に な る。 (a) 

電 極 上: (16・22)

さ し当 た り印 加 電 圧(高 位 相 角 を0に

圧 電 極)は1種

類 とす る。 こ の と き は一 般 に 印 加 電 圧 の

と る こ とが で き る。 多 相 の 場 合 は 位 相 差 を考 えて 複 素 数 で 扱 うだ け

で あ る。 (b)  誘 電 体 界 面 上:

 電位の連続 条件: (16・23)

 電束密度(の 法線方 向成分)の 連続 条件: (16・21)式

 図16・4に

模 式 的 に示 す よ う な電 極 内,誘 電 体A内,B内

の 仮 想 電 荷Q,QA,

QBの 式 と して,上 の 境 界 条 件 を具 体 的 に 式 で 与 え る。 以 下 の 式 で 実 部,虚 そ れ ぞ れ 添 字re,imで す る 仮 想 電 荷Q(j)の 21)式)で (a) 

表 し,ま たP(i,j),Fn(i,j)の

部は

は そ れ ぞ れ 輪 郭 点i点 に 対

電 位 係 数,法 線 方 向 電 界 係 数(11.3節

の(11・20),(11・

ある。

電 極 上:

A側 電 極 上: (16・24)

(16・25)

図16.4  複 素仮 想 電 荷 重畳 法(体 積 抵 抗,表

面 抵抗 の場)

B側 電極 上: (16・26)

(16・27)

(b)  誘 電 体 界 面 上:

 電位の連続 条件: (16・28)

(16・29)

 電束密 度の連続 条件:

(16・30)

(16・31)

  こ れ ら の 式 に よ っ て6種

類 の 未 知 数Qre,Qim,QAre,QAim,QBre,QBimに

対 し

て 連 立 一 次 方 程 式 が で き る の で これ を解 け ば よい 。 得 られ た 電 荷 量 か ら任 意 の 点 の 複 素 電 位,複

素 電 界,そ

れ ぞ れ の 絶 対 値(波

高 値 ま た は実 効 値),位

相 が計算

され る。 通 常 の(抵 抗 を含 ま な い)複 合 誘 電 体 の 電 界 計 算 プ ロ グ ラム が あ れ ば , コ ー デ ィ ング も容 易 で あ る。 電 荷 量 に 対 す る方 程 式 の 係 数行 列 は 表16・1に

示す

表16・1 

(注)a:電

抵 抗 を含 む電 荷 重 畳法 の 方程 式 の係 数 行 列 の0項

位 の連 続 条件,実 部,b:電

c,d:電

位 の連 続 条件,虚 部

束 密 度 の 連 続 条 件,⃝:0項,〓:表

面 抵 抗 場 の み0項

よ う に約 半 分 が0項 で あ る 。

16.5  電荷 重畳 法 に よ る表面 抵抗 を含 む計 算   表 面 抵 抗 を 含 め た計 算 法 と して,Bachmann法

と呼 ば れ る方 法 が あ る[16.4]。 旧

著 で は この 方 法 が 原 理 的 に 間違 って い る こ とを 分 か りや す く説 明 して い る。 正 し い 計算 の 原 理 は,表 面 導 電 性 の た め に生 じる 表 面(誘 電 体 界 面)の 真 電 荷 密 度 の 作 用 を,界 面 の 電 束 密 度(の 法 線 方 向 成 分)連 続 の境 界 条 件 に 組 み 入 れ る こ とで あ る[16.3]。   図16・5の 流I(i)に

よ う に界 面(固 体 表 面)上i点

の 真 電荷 密 度 σを,界 面 を流 れ る 電

よ っ て 次 の よ う に与 え る。 た だ し二 次 元 場,回

転 対称 場の ように電流

路 が 一 次 元 に表 現 で き る場 合 とす る。

(16・32)

図16.5  表 面 抵抗Rと

こ こ でR(i)は

図16・5に

表 面 電荷 密 度 σ

示 す よ う にi点 と(i−1)点

間 の 抵 抗,S(i)はi点

に

属 す る微 小 表 面積 で あ る。   交 流 の場 合 に は, (16・33)

す な わ ち表 面抵 抗 の 場 合 も体 積 抵 抗 と同 様 に複 素 仮 想 電 荷 を使 用 して,(16・33) 式 の表 面 電 荷(真

電 荷 密 度)を 表 せ ば,電 界 分 布 を与 え る こ とが で き る 。 そ の た

め に は電 束 密 度 の 連 続 条 件 に(16・33)式 のσ(i)を 使 用 す る。 (16・34)

体 積 抵 抗 と比べ て 相 違 す る の は こ の 電 束 密 度 の連 続 条 件 式 だ け で あ る。 した が っ て 図16・4に QA,QBに

模 式 的 に 示 し た よ う な 電 極 内,誘

対 す る 式 は,(16・24)∼(16・29)式

電 体A内,B内

ま で は 全 く同 じで,界

度 の 連 続 条 件 の み相 違 す る。 す な わ ち(16・30)式,(16・31)式 に な る。

の 仮 想 電 荷Q, 面上 電束密

の二つが次 の よ う

(16・35)

(16・36)

こ れ ら の 式 に よ っ て6種 ば,任

類 の 未 知 数Qre,Qim,QAre,QAim,QBre,QBimを

意 の 点 の 複 素 電 位,複

表16.1に

示 す と お りで,体

  (16・32)式,(16・33)式 意 味 し て お り,ま

求 めれ

素 電 界 を 計算 す る こ とが で き る。 係 数 行 列 の状 況 は 積 抵 抗 の 場 合 とほ とん ど 同 じで あ るが 一 部 相 違 す る。 の σ(i)を 与 え る 式 は,界

面 上 電 位 の 差 の さ ら に差 を

た抵 抗 分 は長 さ に比 例 す るの で電 界 の 式 で与 え る こ とが考 え ら

れ る 。 た と え ば 二 次 元 場 で は,(16・32)式

の 代 わ り に, (16・37)

図16.6  導電 性 の あ る2媒 質A,B

を使 用 す る こ と もで き る。 こ こ でl(i),ρs(i),Et(i)は (i−1)点 間 の 長 さ,表 面 抵 抗 率,接 電界 の微 分(電 位 の 二 階 微 分)を

そ れ ぞ れ 表 面 上i点

と

線方 向平均 電界 で ある。 この式 か らさ らに

用 い た式 も考 え られ る 。

  ま た 回 転 対 称 場 で は,(16・34)式

で 体 積 導 電 性 も含 め る と次 の よ う な 式 に な

る[16.5]。

(16・38)

こ こ でEtは

接 線 方 向 電 界,r(i),r(i+1)な

ど は 図16・6に

示 す 。lは 電 流 路 の

長 さで あ る。

16.6  抵 抗値 が電 界 に依 存 す る場合   抵 抗 値 が 電 界 に無 関 係 とい う オ ー ム の法 則 は一 般 的 に成 り立 つ わ け で は な い 。 特 に電 界 計 算 で 問 題 に な る よ うな比 較 的 高 い抵 抗 で は多 か れ 少 な か れ 電 界 に依 存 して変 化 す る ほ うが 普 通 で あ る。 絶 縁 油,油 浸 紙 の抵 抗 率 は,電 界,温 等 の 周 囲 条 件 で2け

度,水 分

た程 度 も変 わ り うる 。

  体 積 抵 抗 が 電 界 に依 存 す る場 合,有

限 要 素 法 で は体 積 抵 抗 率 と電界 の 関係 も入

力 デ ー タ と して記 憶 させ て お き,適 当 な抵 抗 率 の 初 期 値 か ら出発 して,得

られ た

電 界 に対 応 す る抵 抗 率 を与 え て 次 々 に 計 算 を繰 り返 す 。 各 要 素 内 の 抵 抗 率 は 場 所 的 に 一 定 で あ るが,適

当 に細 か く分 割 さ れ て い れ ば正 しい 電 界 分 布 に収 束 す る 。

こ の 方 法 の 各 回 の 計 算 は11.2節

に述 べ た複 合 誘 電 体 の 計 算 で,誘 電 率 が す べ て

の 要 素 ご と に変 わ る場 合 と考 え て も よい 。 した が っ て誘 電率 が 電 界 に依 存 す る場 合,あ

る い は抵 抗 率 と誘 電 率 の 両 方 が 電 界 に 依 存 す る場 合 に も 同様 に用 い られ

る。 これ に対 し電 荷 重 畳 法 は 体 積 抵 抗 が 電 界 に依 存 す る と き に は 適 用 で き な い 。 こ れ は領 域 が ラ プ ラ ス の 式 の 場 で な く非 線 形 に な っ て い る た め と も言 え る し,場 所 場 所 で 抵 抗 率 が 異 な るた め 領 域 分 割 法 で な い 電 荷 重 畳 法 は 適用 で き な い と考 え る こ と もで き る。   表 面抵 抗 が 電 界(表

面 の 接 線 方 向 電 界)に 依 存 す る場 合 に は,有

限要 素 法 で も

電 荷 重 畳 法 で も どち らで も使 用 で きる 。 と もに 適 当 な表 面抵 抗 率 の 初 期 値 か ら 出 発 して,得

られ た電 界 に対 応 す る抵 抗 率 を与 え て 計 算 を繰 り返 せ ば よ い。 二 次 元

場 の(16・38)式 は接 線 方 向 電 界Et÷

表 面 抵 抗 率ρsの 形 に な っ て い るが,一

般に

ρsとEtの 関 係 が 複 雑 な た め に,反 復 な しに 一 度 で 計 算 が 済 む よ うな う ま い 方 法 は な い よ うで あ る。

16.7  浮遊 電位 の 計算 16.7.1 

計算 の原 理

  14.5節 に説 明 した 複 合 誘 電 体 場の 浮 遊 電 位 計 算 は,固 体 絶 縁 物 の 導 電 性 が0, す な わ ち 抵 抗 無 限大 の 完全 絶 縁 物 の 場 合 で あ る 。 実 用 的 に は しば し ば 固体 の 導 電 性 が 問題 に な る 。 特 に重 要 な の は 表 面 抵 抗 の 影 響 で あ る。14.5節

で は導体 表面

の真 電荷 量 を0と

電 性)に

した が,導 電 性 が あ る場 合 に は 真 電 荷 が抵 抗(導

て流 出す る の で,残 す な わ ち,流

よっ

っ た 真 電 荷 と流 出 した 電 荷 の和 を0と す る 式 を用 い る[16.6]。

出電 流 をIと す る と

(16・39)

角 周 波 数 ω の 交 流 場 で は, (16・40)

 体 積 抵 抗 の場 合,抵 抗 率 ρ を一 定 とす る と,Iは

図16・7の

よ う に 固体 誘 電 体

との接 触 面(Γd)で の電 流 密 度Jの 積 分 で 与 え られ る。 (16・41)

こ の 式 に14.5節

の(14・21)式

を代 入 す る と

(16・42)

こ の よ う な 電 流 とQの

式 を 浮 遊 電 位 の 式 に 付 加 す れ ば 良 い 。 た だ し,Q,I,q

はす べ て複 素 数 と して 取 り扱 う。  一 方,表

面 抵 抗 の 場 合,電 流 の流 出 路 は面 だ け なの で,二 次 元 や 回転 対 称場 の

断 面 で は 線(一

次 元)に

な る。 図16・7の

よ う に(浮 遊)導

体 の 電 位 をVf,Vf

に最 も近 い 輪 郭 点 の 電 位 をV1と す る と,流 出 電 流 は (16・43)

 こ こ でR1はVfとV1の

間 の 抵 抗 で,表

面 抵 抗 率 を ρsと す る と,

(16・44)

図16.7  浮 遊 導体 と固体 絶 縁 物 の配 置 例

こ こ でl1は 電 流 路 の 長 さ,Wは に,こ の よ う な 電 流 とQの

電 流 路 の 巾 で あ る。 体 積 抵 抗 の 場 合 と 同 じ よ う

関係 式 を,仮 想 電 荷 の 一 つ の 方 程 式 と し て 付 加 す れ

ば よ い。 これ らの 式 の 中 でR1は

定 数,Vfは

未 知 数 で あ るが,V1は

作 用 と して与 え られ る。 もち ろ んI,Vf,V1は 16.7.2 

仮想 電荷 の

すべ て 複 素 数 で あ る。

計算例

  図14・4の

一 様 電 界 下 の 電界 計(電 界 プ ロー ブ)モ デ ル の 配 置 で 固 体 支 持 絶 縁

物 の 表 面 抵 抗 の 影 響 が 調 べ られ て い る[16.5]。 送 電 線 下 の 電 界 を測 定 す る と きな ど に 湿 度 や 雨 の 影 響 で 絶 縁 物 の 表 面 抵 抗 が低 下 す る こ とが 考 え られ る の で,こ

のよ

うな 計 算 は実 用 的 に 重 要 で あ る 。   一 様 電 界 中 に 固体 絶 縁 物 で支 持 され た絶 縁(浮 は 固体 絶 縁 物 の 表 面 抵 抗(抵

抗

遊)導 体 が あ る と き,こ の 電 位

ρs)に よ っ て,図16・8の

よ うに変化 す る。

表 面抵 抗 が 充 分 大 きい と浮 遊 電 位 は ほ とん ど実 数 部 だ け で あ るが,抵

抗 率 の低 下

と と もに 虚 数 部 が 増 加 し,抵 抗 が 充 分 低 い と虚 数 部 だ け,す な わ ち位 相 の 逆 転 し た 値 に な る。 浮 遊 電 位 の 絶 対 値 は 抵 抗 が 大 きい と き は ρsに よ らず ほ ぼ 一 定 で, 抵 抗Rが

充 分 低 く な る と ρsに 比 例 して 低 くな る 。 な お,図16・8のV0は

絶 縁 物 が な い と き(εs=1,R=∞)の(空

間)電 位 で,支

固体

持 棒 が 細 い た め に,

表 面 抵 抗 が 大 きい と きの 浮 遊 電 位 とほ と ん ど同 じで あ る。   こ の よ うな 特 性 は,定 性 的 に 図16・9の

よ うな 浮 遊 導 体 と支 持 物 の 等 価 回路 で

理 解 す る こ とが で きる 。 浮 遊 導 体 の 電 位Vfは (16・45)

と表 わ され る。Vは 高 電 圧 電 源 の電 圧,C〓Rは 抗Rの

対 地 静 電 容 量C(jωC)と

表面抵

並 列 イ ン ピー ダ ン ス で あ る 。 の と き;

〓(16・46)

の と き;

〓(16・47)

図16.8  図14.4の 浮 遊電 位 の 表面 抵 抗 率 に よ る変化

  一 方,浮 遊 導 体 へ の誘 導 電荷(電 出 力 に相 当 す る)は,図

図16.9  浮 遊導 体 と固体 絶 縁物 の等 価 回 路

界 計 の 上 側 電極 に誘 導 さ れ る 電荷 で 電 界 計 の

に は 示 して い な い が,常

に実 数 部 が 虚 数 部 よ り大 き く,

抵 抗 が 十 分 大 きい と き は十 分 小 さい と きの ほ ぼ1/3に C0とCの

な る。 抵 抗 が 大 きい と きは

分 圧 回 路 の 誘 導 電 荷 で あ り,抵 抗 の小 さ い と き は浮 遊 導 体 と固 体 絶 縁

物 が 一 体 の 導 体 の ケ ー ス(単 一 誘 電 体 の 電 界)に

な る。

  こ の よ う な 等 価 回 路 か ら分 か る よ う に,固 体 絶 縁 物 の 導 電 性 が 問 題 に な る の は,抵 抗 の イ ン ピ ー ダ ンスZRが

対 地 静 電 容 量Cの

程 度 以 下 に な る と き で あ る。 た だ し,等 価 回 路 のCは 求 め られ な い 。 文 献[16.5]に,電 る評 価 と お よそ1け

イ ン ピー ダ ン スZcの10倍 数 値 計 算 で な い と正 確 に

界 計 支 持 棒 の 表 面 抵 抗 の影 響 は 等 価 回路 に よ

た相 違 す る こ と,表 面 抵 抗 を含 め た 浮遊 電 位 の 正 確 な計 算 に

数 値 的 方 法 が有 用 で あ る こ とが 説 明 さ れ て い る。

16.8  数 値 計 算 との比 較 に用 い られ る配置   導 電性 を含 む電 界 計 算 例 もす で に多 数報 告 され て い る 。 旧著 に は 有 限 要 素 法 で は 表 面 抵 抗(半

導 電 層)が

あ る場 合 と な い 場 合 の ピ ンが い しの 電 位 分 布 の 計 算,

電荷 重 畳 法 で は 抵 抗 分 圧 器[16.3],同軸 ガス 絶 縁 線 路 の 円 板 状 ス ペ ー サ の 電 界 計 算 が説 明 され て い る 。   以 下 で は 数 値 計 算 の 妥 当性 や 精 度 の チ ェ ッ ク に 用 い ら れ る解 析 解 だ け を述 べ る。 交 流 定 常 場 に 図16・10に Bが 導 電 性(体

示 す よ う なA,B,2種

積 抵 抗 率 ρま た は 表 面 抵 抗率ρs)を

二 次 元 場 で は,2個

有 す る 場 合 で あ る 。 図(a)の

の 平 行 平 面 の 電 極 間 に 交 流 電 圧Vexp(jωt)が

Bが 直 列 に存 在 す る配 置,図(b)の で媒 質Aの

類 の 媒 質 が 存 在 して,媒 質

中 に 球 形 のBが

印 加 され ,A,

回転 対 称 場 で は,一 様 電 界E0exp(jωt)の

存 在 す る配 置 で あ る 。 これ らの 電 位 は 次 の よ う な式

に な る。 図(a)の 場 合 は体 積 抵 抗 の み,(b)は

体 積 抵 抗 また は 表 面 抵 抗 の 場 合 で

あ る。  図(a)の 場 合:

(16・48)

こ こで

 図(b)の 場 合:   (r,θ)の 極 座 標 表 示 で,

下

〓で あ る 。

(16・49)

こ こ でT2=ω

ρ(2εA+εB)(体

抗 の と き)で

あ る。

積 抵 抗 の と き),ま

た はωRρs(2εA+εB)/2(表

(a) 図16.10  一 方 が 導 電性 を有 す る2媒 質 の 配置

(b)

面 抵

第17章  空 間電荷 が あ る場合 の計算

  第2章

に説 明 した よ う に,空 間 電 荷 が 存 在 す る場 合 の 電 界 は,こ れ まで 述 べ て

きた よ う な ラ プ ラス の 式 で は な く,ポ ア ソ ンの 式,(2・6)式

で 与 え られ る。 媒 質

の 誘 電 率 εが 一 定 の 領域 で は,次 式 と な る。 (17・1)

こ こでqは

空 間 電 荷 密 度 で あ る 。 一 般 に放 電 現 象 の 関係 す る場 で は常 に 空 間 電 荷

が存 在 す る。 これ は放 電 現 象 が 電 荷 の 発 生 を 意 味 す る か ら 当然 の こ とで あ り,そ の た め ポ ア ソ ンの 式 を解 くこ とは,放 電 現 象 の 解 析 や 放 電 を利 用 す る機 器 の 設 計 で 重 要 で あ る。  ポ ア ソ ンの 式 で は 電位 φ とqと い う二 つ の 関 数 が 存 在 す る た め に,qが れ た(既 知 の)関 数 で あ る か,あ

与えら

るい は も う一 つ 別 な 関係 式(と 境 界 条 件)が

な

い と問 題 が 解 け ない 。 こ の章 で は まず ポ ア ソ ンの 式 を解 く際 の 問題 点 を説 明 した 後,主

17.1 

にqが 与 え られ て い る 場合 の 計 算 法 を 実 際 の計 算 例 を も とに説 明 す る。

空 間 電 荷 を含 む 計 算 の 問 題 点

  数値的 な電界 計算法 は,ラ プ ラスの式 であれば基本 的に どんな配 置で も十分 な 精度で解 ける まで進展 したの に対 して,ポ ア ソンの式 の一般的 な解法 は これ まで 確 立 され ていない。 これは空間電荷の取扱 いや式 にいろい ろな問題 があ るか らで

あ る。 以 下 に まず この 点 を説 明 す る。 (1)  一 般 に,電 荷 密 度qを 荷 の な い 場 合,未

与 え る 条 件 が 明 確 に 定 ま ら な い:こ

の 点 は空間電

知 関 数 φが ラ プ ラ ス の 式 と境 界 条 件 で 一 意 的 に 定 ま る こ と と

比 べ て 決 定 的 に相 違 す る。 さ ら に,多

くの場 合,空

間電 荷 は ドリ フ ト,拡 散 な ど

の作 用 で 移 動 し,電 荷 密 度 が 変 化 す る の が 普 通 で あ る。 した が っ て ポ ア ソ ン場 で qを与 え られ た(既 知 の)関 数 とす る取 扱 い は,単

なる仮定 か大 まかな近似 なの

が 普通 で あ る。 またqを 与 え る式 が 明確 で あ っ て も境 界 条件 が 明確 で ない こ と も 多 い。 そ の 例 は 次 章 の イ オ ン流 場 の 計 算 で あ る 。 (2)  解 析 的 に解 け るポ ア ソ ン の 式 が 少 な い:ラ

プ ラ ス 場 で は二 次 元 場,回 転 対

称 場 で 簡 単 な式 で 表 さ れ る 配 置 が 多 数 あ る の に 比 べ て,ポ ア ソ ンの 式 で は解 析 解 が 得 られ る の は ほ とん ど一 次 元(1変

数)に

限 ら れ,そ の 場 合 で もす で に 相 当 に

複 雑 な式 に な る。 た と え ば,一 次 元(座 標x)の

電 荷 密 度q(x)に

対 す るポ ア ソ

ン式 の 解 は, (17・2)

で あ るが,二

次 元 の 計 算 が 難 しい た め に 放 電 の シ ミュ レー シ ョ ン に この 式 が 代 用

され る こ とが あ る く らい で あ る。   二 次 元 場,回 転 対 称 場 で も電 荷 密 度 が 一 定 な 場 合,無 在 す る。 た とえ ば,帯 電 液 体(上 部 は気 体)を

限 級 数 で 表 され る式 は存

含 む 円筒 タ ン ク 中 の 電 界 が,変

数

分 離 法 を適 用 しベ ッセ ル 関数 と双 曲線 関数 を含 む無 限級 数 で 求 め られ て い る[17.1]。 (3)  解 を 重 畳 す る の が 容 易 で な い:qを

含 む た め に ラ プ ラ ス場 の よ う に簡 単 に

解 を重 畳 す る こ とが で きな い 。 特 別 な場 合 にポ ア ソ ン場 の 特 解 を ラ プ ラス 場 の解 に重 畳 す る こ とは 可 能 で あ るが,特 解 が 得 られ る ケ ー ス に限 られ,一 般 的 な電 荷 分 布 に適 用 で き る方 法 で は ない 。ポ ア ソ ンの 式 を数 値 的 に解 く場 合 で も式 の非 線 形 性 が しば しば 障 害 に な る 。  さて,す

で に 述 べ た よ う に,ポ ア ソ ンの 式 を解 くの は,基 本 的 に

 (a)  電 荷 密 度qが 既 知 の 場 合

 (b)qが

未 知 数(未 知 関 数)の 場 合

に分 け られ る。(a)の

場 合,qは

時 間 に 関 係 な く,座 標 だ け の 関 数 とす る 計 算 が

多 い 。 先 に 述 べ た よ うに,空 間 の電 荷 は ドリ フ ト,拡 散 な どの作 用 で 移 動 し,電 荷 密 度 も変 化 す るの が 普 通 なの で,qの   一 方(b)の 式)を

時 間 的変 化 は 繰 返 し計 算 で 追 跡 す る。

場 合 は,一 般 に は二 つ の 偏 微 分 方 程 式(ポ

連 立 させ て 解 くが,ラ

ア ソ ンの 式 とqを 与 え る

プ ラス の 式 に帰 せ られ る特 別 な ケ ー ス もあ る。 た と

え ば誘 電体 の 表 面 を電 流 が 流 れ る 表 面 導 電性 の 場 合 や,導

電率が一 定で オームの

法 則 が 成 り立 つ 体 積 導 電性 の 場 合 で あ る。 これ らは前 章 に解 説 した よ う に誘 電 体 界 面 で 適 当 な処 理(境

界 条 件 の 設 定)を

行 う だ け で よい 。 ま た 注 意 す べ き点 は,

ｑは正 味 の 電 荷 密 度 で あ る か ら,正 負 の 電 荷 密 度 が至 る と こ ろ バ ラ ンス して い る と,た と え 「空 間 電荷 電 流 」 が 存 在 して も,場 の状 態 を 与 え る式 は ラ プ ラ ス の 式 で あ る 。 この た め に,空 間 電 荷 あ る い は 電 荷 密 度 を,空 間 中 の正 味(ネ 電 荷(正

電 荷‐負 電 荷)と

ッ ト)の

定義す る こともある。

17・2 領域 分割 法 に よ る計 算   差 分 法 の 場 合 は 図17・1の

よ う に 回 転 対 称 場 の(r,z)座

で 分 割 した とす る と,(17・1)式

標 を 一 定 の格 子 間 隔h

の左 辺Δ φ は次 式 の よ う に近 似 され る。 (17・3)

した が っ て,点(r0,z0)に

お け る 電 荷 密 度 をq0と

す る と, (17・4)

と な る。 こ こで,考  (17・3)式

でr0=0の

え て い る空 間 は 気 体 と して 誘 電 率 を ε0と して い る 。 と き は,(3・20)式

に な ら っ て,

(17・5)

ま た 二 次 元 場(x,y座

標)で

は,(17・4)式

は も ち ろ ん,

図17.1  差 分 法 の領 域 分 割

図17.2  平 行 平板 電 極 間 の放 電 モ デ ル

(17・6)

と な る 。 各 点 の 電 荷 密 度 が 与 え ら れ て い れ ば,す 式 あ る い は(17・6)式

を 作 り,未

べ て の 点 に(17・4)式,(17・5)

知 数 φiを 求 め る こ と が で き る 。

  比 較 的 初 期 の計 算 例 と して平 行 平 板 電 極 間 の 放 電 に つ い て 空 間 電荷 に よ る電 界 ひ ず み を 求 め た 論 文[17.2]があ る。 図17・2の

よ う な 半 径Rの

回転対 称 な放電 路

を有 す る低 気 圧 水 素 中 の 放 電 の 計 算 で あ る 。 計 算 に 必 要 なqの 値 は 電 離 増 倍 の 式 か ら得 た もの が用 い られ て い る 。 論 文 中 に は 明 記 さ れ て い な いが こ の 値 は ひず み を無 視 し た電 界 か ら計 算 した値 ら しい 。 放 電路 半 径 は 得 られ た電 界 か ら再 び電 離 増 倍 量 を計 算 して 実 験 と も っ と も良 く合 うRを

と っ て い る。 そ の10年

進 展 シ ミュ レー シ ョ ンの 計 算 で は,差 分 式 の 電 位 φ(r,z)−V(z/d)と q(r,z)を,zに

後の放 電 電荷 密 度

関 して フー リエ 級 数 に展 開 して 計 算 を速 め た 方 法 が 報 告 され て い

る[17.3]。 しか し差 分 法 を使 う と,電 界 を 電 位 か ら求 め る 際 に大 きな 誤 差 が 生 じる ため,放

電 シ ミュ レー シ ョン の よ うな 繰 返 し計 算 で は,誤 差 が 累 積 して 計 算 が 不

安 定 に な りや す い 欠 点 が 指 摘 さ れ て い る[17.4]。   電 子 な どの 荷 電 粒 子 が 電 界 に よ っ て 加 速 さ れ る こ とが 放 電 の 基 因 で あ る か ら, 電 界 計 算 は放 電 シ ミュ レー シ ョ ンに お い て 決 定 的 な重 要 性 を有 す るが 本 書 で は こ れ 以 上 解 説 す る余 裕 が な い 。 文 献[17.5]に は グ ロー 放 電 か ら大 気 中 の 長 ギ ャ ップ 放 電 に わ た る計 算 機 シ ミ ュ レー シ ョ ンの 現 状 が 分 か りやす く解 説 され て い る。

 有 限 要 素 法 で は4・1節

に 述 べ た オ イ ラー の 理 論 に よっ て(17・1)式

は次 式 の 汎

関数 を最 小 にす る こ と と等 価 で あ る。 (17・7)

したが っ て 各 要 素 の 電荷 密 度 の値 が 与 え られ て い れ ば,通 常 の 有 限 要 素 法 に よ る 電 界 計 算 と 同様 に,各 節 点 電 位 φiに よ っ て(17・7)式 の 被 積 分 項 を表 し,X(φ) を 最 小 に す る よ う なφiの 組 を こ の 式 か ら求 め れ ば よ い,そ −q φの 項 は,二 次 元 場 で要 素 内 のqが

の 際(17・7)式

の

一 定 で あ る と 次式 を導 く こ とが で きる 。 (17・8)

こ こで,Xq(e),ｑ(e),Δ(e)は る一 つ の 要 素(e要

素)の

図17・3に 汎 関 数 のqに

示 す よ う に,そ れ ぞ れi節 点 に 関 係 す よ る寄 与 分,電 荷 密 度,面

節 点 電 位 に つ い て(17・8)式 を 付 け加 え た 連 立 一 次 方 程 式 が,節

積 で あ る。 各

点 電位 を与 える

支 配 方 程 式 で あ る。  た と え ば 図17・3の (4・29)式

よ う な 規 則 的 な 分 割(4.6節

の ∂X/∂φiに(17・8)式

の 図4・2と

同 じ)の

と き は,

が 付 け 加 わ る 。 つ ま り,

(17・9)

図17.3  空 間電 荷 を含 む有 限要 素 法(説 明 図)

q

こ こ でΔ=hxhy/2で

あ る 。 特 にhx=hy=hの

と きは,

(17・10)

(ｅ)がす べ て等 しい な ら もち ろ ん 差 分 法 の(17・6)式 と一 致 す る 。   また 回 転 対 称 場 で は や は り要 素 内 のqを 一 定 とす る と,次 式 に な る。

(17・11)

こ こ で,Δ(e)は

各 要 素 の 面 積,(2ri+rj+rm)eは

rmの 式 を 意 味 す る 。 図17・3の 式 に(17・11)式

各 要 素 の3頂

点 のr座

よ う な 規 則 的 な 分 割 の と き は4.6節

標ri

,rj,

の ∂X/∂φiの

を 付 加 し て,

(17・12)

が,φiに

対 す る 式 に な る 。hr=hzで,6個

ん 差 分 法 の(17・4)式

の 要 素 のq(e)が

等 しい と き は も ち ろ

と 同 じで あ る。

17.3  電 荷重 畳 法 に よる計算   領 域 分 割 法 で はポ ア ソ ンの 式 を直 接 解 くが,電 荷 重 畳 法 で は こ の 方 法 は使 え な い 。 しか し空 間電 荷 以 外 の(電 位,電

極 電 荷 に よ る)ラ プ ラ ス場 の 電 界 に 空 間 電 荷 の 電

界 を重 畳 す る 方 法 が しば しば 用 い られ る 。 空 間電 荷 は リ ン グ電 荷 や 線 電 荷

の よ うな 電 荷 重 畳 法 の仮 想 電 荷 で模 擬 す る こ と もあ り,よ

り精 密 に適 当 な分 布 を

仮 定 して模 擬 す る こ と もあ る。 い ず れ に して も この 方 法 の本 質 は ラ プ ラス 場 の 計 算 で あ る。 以 下 い くつ か の 基 礎 的 な 計 算 例 に よ っ て 計 算 方 法 を概 説 す る。   電 荷 重 畳 法 の 計 算 例 で は,空 気 中 の 長 ギ ャ ップ で放 電 路(リ 上 電 界 の計 算[17.6]があ る。 図17・4に

ー ダ)を 含 め た 地

示 す よ う に,上 部棒 電極 か ら伸 び 出 した 導

図17.4  長 ギ ャ ップ放 電 にお け る電 界 計算

電 性 の 高 い リー ダ チ ャ ンネ ル(直 径2cm,電

図17.5  直流 コ ロナ イ オ ンの 電荷 重 畳 法 に よ る計算(説 明 図)

し,リ ー ダの 各 所 に存 在 す る コ ロ ナ(ス

位 勾 配1kV/cm)は

線 電荷 で 模 擬

トリー マ)電 荷 群 は 多 数 個 の リ ング 電 荷

で 模 擬 して い る。 コ ロ ナ 電 荷 群 の空 間 電 荷 量 は放 電 進展 中 に 注 入 され た電 荷 量 の 測 定 値 か ら与 えて い る 。 この 計 算 は 空 間 電 荷 の 存 在 す る領 域 内 部 の 電 界 は 問題 に して い な い が,本 質 的 に 一 般 三 次 元 配 置 の ラ プ ラ ス場 の 電 界 計算 で あ る。   同 様 に電 荷 重 畳 法 に よる 計 算 例 と して,図17・5に

示 す よ うな 棒 対 平 板 ギ ャ ッ

プか らの 正 極 性 イ オ ン雲 を リ ング電 荷 で 模 擬 した計 算[17.7]があ る 。 計 算 内容 は イ オ ンが 電 界 の作 用 で ドリ フ トす る時 間変 化 を追 っ た もの で,当 の 電 界 計 算 が 必 要 で あ る。 こ の 電 界Eは

対 象 とす る イ オ ン(リ

の 電荷 の 作 用 と して与 え られ る。 計 算 の プ ロセ ス は,イ 時 間Δt=Δl/(kE)(Δlは

微 小 距 離, kは 移 動 度)の

に 繰 り返 し計 算 す る。 繰 返 しの1ス

然空間電荷領域 内 ン グ 電荷)以

外

オ ンに働 く電 気 力 が 微 小

間 に 移 動 させ る 距 離 を 次 々

テ ップ はΔlを 一 定 と し て最 も速 い イ オ ンが

移 動 す る 時 間 で あ る 。棒 電 極 先 端 の 電 界 が イ オ ンの ドリ フ トの た め に 回復 す る と,新 た に リ ン グ電 荷 を与 えて 次 々 に発 生 す る イ オ ンを模 擬 す る 。 しか し電 極 先 端 の 最 初 の電 荷 分 布 や 次 々 に 発 生 す る リ ング 電 荷 の 電 荷 量 な どを 厳 密 に与 え る こ

と は容 易 で な い 。   そ の 後 の計 算 で も ほ とん ど 同 じ手 法 が 用 い られ て い る。 た とえ ば 文 献[17.8]で は,円 形 の平 行 平 板 電 極 間 で(一

方 の 電極 の 中心 の孔 に あ る)針 電 極 か らの 負 極

性 パ ル ス コ ロ ナ の 挙 動 が 電 荷 重 畳 法 で 計 算 され て い る 。 空 間 電 荷 は62個 グ電 荷(離

隔40μm)で

テ ッ プ,2か

の リン

模 擬 し,繰 返 しの 時 間 間 隔 は2μ 秒 まで は0.01μ 秒 の ス

ら20μ 秒 ま で は0.1μ 秒 ス テ ッ プ,…

と,コ ロ ナ の発 生 直 後 は電 荷

同 士 の 反 発 力 の大 きい こ と を考 慮 して 間 隔 を短 く して い る 。   この よ う な 電 荷 重 畳 法 の 空 間 電 荷 を含 め た 計 算 は,空

間に置 いた仮 想 電荷群

Qs(k)が 既 知 で あ る と,電 極 上 の 輪 郭 点i点 にお い て, (17・13)

の式 を作 り,電 極 内 の仮 想 電 荷 量Q(j)を Qs(k)の 作 用,す

求 め る こ とに な る。 このQ(j)は

当然

な わ ち影 像 電 荷 を含 ん だ値 で あ る。 も し空 間電 荷 で 生 じる電 極

内 の影 像 電 荷 量Q'(j)が

必 要 な と きは,次 式 か ら求 め れ ば よ い 。 (17・14)

さ らに大 地 が存 在 す る と き に は,(17・13)式,(17・14)式 係 数P(i,k)に

で 空 間 電 荷 に よる 電 位

大 地 に対 す る 影 像 電 荷 の作 用 を含 め る。

  電 荷 重 畳 法 に よ る計 算 で 注 意 が 必 要 な の は,第 一 に 電極 内 仮 想 電荷 の 配 置 で あ る。 空 間電 荷 の な い と きは 電 極 の形 に 近 い(相 似 な)配 置 に す れ ば よい が,空 電 荷 が あ る とそ の 近 くの電 極 表 面 の 電荷 密 度 が 増 大 す る の で,内

間

部仮 想 電 荷 の 密

度 を増 や す と か,影 像 点 付 近 に仮 想 電 荷 を 置 くな ど の配 慮 が 必 要 で あ る。   第 二 に 空 間 に連 続 的 に存 在 す る仮 想 電 荷 を 離 散 的 な点,リ す る の は,考 慮 す る 点Pが 空 間 電荷 密 度qに

ン グ,線 電 荷 で模 擬

空 間 電 荷 に近 い と 大 き な 誤 差 を も た らす 。 厳 密 に は

よる 電 位,電

界 と して 次式 を用 い る必 要 が あ るが,数

値積分が

必 要 な た め に 計 算 時 間 の 長 くな るの が 難 点 で あ る 。 (17・15)

(17・16)

  回転 対 称 場 で は(17・15)式 が 次 式 に な る こ と は電 荷 重 畳 法 にお け る リ ング 電 荷 の電 位 の 式(付 録1),あ

る い は 第5章

に 述 べ た 表 面 電 荷 法 の 電 位 の 式 か ら容 易

に理 解 され よ う。 (17・17)

こ こ で(R,Z),(r,z)は

そ れ ぞ れ 空 間 電 荷 と 点Pの

座 標,  K(k)は

第1種

の完

全 だ 円 積 分 で,

で あ る。 電界 の 式 も 同様 に リ ン グ電 荷 の 式 か ら容 易 に導 か れ る 。 こ の よ うな 空 間 電荷 の電 位,電

界 の計 算 法 は た と え ば 放 電 進 展 の 計 算 機 シ ミュ レー シ ョ ン[17.5]に

用 い られ て い る。 時 々刻 々 の 電 子 の な だ れ 増 倍,イ を考 慮 してqが 与 え られ,こ のqに

オ ンの発 生 消 滅,電 荷 の 移 動

よ っ て 求 め た 電 界 か らま た放 電 進 展 を計 算 す

る とい う繰 返 し計 算 が 行 わ れ る。   一 様 な電 荷 密 度 の 立 方 体 電荷 を 同 じ電 荷 量 の 点 電 荷 で 模 擬 した と きの 電 位,電 界 の 誤 差 は文 献[17.9]に

示 され て い る。 一 様 で も広 が りの あ る電 荷 密 度 を 点 電

荷 で 近 似 す る の は 相 当 に粗 い 近 似 で あ る か ら,正 確 に は10.2節

で述べ た多重 極

電 荷 で 表 す ほ うが よい 。

17.4  表面 電荷 が 存在 す る と きの 計算   表 面 電 荷 は空 間電 荷 の 一 種 と考 え て も よ いが,有

限 の厚 み の 電 荷 分 布 と考 え る

よ り厚 み の な い電 荷 層 と見 なす ほ うが 良 い 場 合 が しば しば あ る。 た とえ ば 固 体 誘 電 体 表 面 に蓄 積 した電 荷 な どで あ る 。 この 空 間 電荷 と表 面電 荷 の 関係 は,体 積 抵 抗 と表 面 抵 抗 との 関係 に相 当 して い る 。   有 限 要 素 法 で は 表 面 電 荷(電 荷 密 度 σ)に よ る エ ネ ル ギ ー 量 を(17・7)式

に付

け加 え て 次 式 の 汎 関 数 とす る 。 (17・18)

た だ し,表 面 電 荷 以 外 の 空 間 電荷qに

よ る項 は除 い て い る。

 要 素 内 電 位 の 近 似 関数 と して 最 も簡 単 な 一 次 式 を使 う と き は,図17・6に よ うに 界 面i,jに

示す

沿 っ て は 次 式 に な る。 (17・19)

た だ しLはi,j間 項 は 要 素 の1辺

の 距 離 で あ る 。 し た が っ て 二 次 元 場 で は(17・18)式 の σ を 一 定 と す る と,次

の− σφ の

式 を 導 く こ と が で き る[17.9]。

(17・20)

こ こで,Xσ(f),σ(f),L(f)は

図17・6の

「辺 」 にお け る汎 関 数 の σに よ る寄 与 分,表

よ う に,そ

れ ぞ れi節 点 に 関 係 す る

面 電 荷 密 度,長

さ で あ る。 空 間 電 荷

の 場 合 と同 様 に各 節 点 の 方 程 式 に(17・20)式 が付 け加 わ る こ と に な る。 回 転 対 称 場 で は(17・18)式

が2πrの か か っ た 積 分 に な る た め,や

は り要 素 のr座 標 に 関

係 した別 の 式 に な る 。 式 の導 出 は 必 要 な 読 者 に まか せ る。

 電荷 重畳 法 では誘 電体界 面 の電束密 度連 続 の境界 条件 に表 面電荷 密度 σを組 み入れ れば よい。す なわ ち, (17・21)

で あ る。 こ れ は 絶 縁 物 に導 電 性 が あ る と き に,そ の作 用 で 生 じ る真 電 荷 の 電荷 密

図17.6  表面 電荷 が あ る と きの有 限 要素 法

度 を組 み 入 れ る(第16章

で 説 明)の

と 同 じで あ る。 具 体 的 に は界 面 の 各 輪 郭 点

i点 で与 え られ た σ(i)を 付 加 した 式 を立 て る こ と に な るが ,左 辺 の式 は複 合 誘 電 体 の 計 算 法 で 述 べ た もの と同 じで あ る。 計算 例 と して真 空 中 の 固 体 絶 縁 物 の 表 面 電 荷 の 作 用 を 検 討 し た も の が あ る[17.10]。 な お,(17・21)式 に 示 した よ う に εA＜εBと して,電

の 左 辺 は,図11・5

界 は 常 に εBか らεAの 向 き を正 と 定 め て お く

と よい 。   一 方 表 面 電荷 法 で は界 面 の 分 極 電 荷 に,与 え られ た 真 電 荷 の 密 度 σ(i)を 付 加 す れ ば よい 。 こ れ ら の 計 算 は 第16章

の体 積 抵 抗,表

面 抵 抗 の 場 合 よ り簡 単 で あ

る。 しか し空 間 電荷 の場 合 と同 様 に,表 面 電 荷 の 正 確 な値 を測 定 あ る い は 評価 す るの が 困難 な た め,既 知 の 表 面 電 荷 密 度 とい うの は粗 い 近 似 で あ る こ とが 多 い 。   放 電 現 象 の 解 析 な どで は,放 電 条 件 を設 定 す る こ と に よ っ て,(17・21)式 用 い る こ とな く真 電 荷 密 度 を 求 め る こ と が で きる[17.11]。 た と え ば,沿

を

面放 電 の

放 電路 の 電 界Edが 与 え られ て い る と き,各 点 の放 電 路 の 電 位 φ は, (17・22)

とな る 。 こ こで,V0は(沿

面 放 電 が 出発 す る)電 極 の電 圧,lは

で あ る。 表 面 の 各 点 の境 界 条 件 と して,(17・22)式 を与 え る式 に な る。

電 極 か らの 距 離

の 電 位 を用 い れ ば真 電荷 密 度

第18章  直 流 イ オ ン流 場 の計 算

  高 電 界 に よ っ て放 電 が 発 生 し,生

じた イ オ ンが 電界 な どの 作 用 で移 動 す る と き

の 電界 分 布 が イ オ ン流 場 で あ る。 電 界 分 布 は ポ ア ソ ンの 式 で 与 え られ る が,電

荷

密 度qは

ア

既 知 で な く,電 位 φ とqと い う二 つ の 未 知 関数 が 存 在 す る の で,ポ

ソ ンの 式 の ほ か に別 な 式 が 必 要 で あ る。 こ の と き φ とqを 二 つ の 式 か ら 反 復 計 算 で 求 め よ う とす る と,計 算 が 不 安 定 で 発 散 しや す い とい う問 題 が あ る 。   実 用 的 に は針 対 平 板 電 極 の 放 電 特 性,電

気 集塵 器 の 電 気 的特 性,直

流 送電線 の

イ オ ン流 帯 電 や コ ロ ナ放 電 の 解 析 な どに 現 れ る 重 要 問 題 で あ る 。 この よ う なケ ー ス で は,イ

オ ン流 の 存 在 す る媒 質 は 多 くの 場 合 大 気 で,印 加 電 圧 は 直 流 で あ る 。

したが っ て イ オ ンの 速 度 は 電 界 に比 例 し,比 例 定 数 が 移 動 度 で あ る。   イ オ ン流 場 の 計 算 方 法 に 関 して は,こ れ ま で に,特 ご ろ にか け て 多 数 の 論 文 が 発 表 され,こ

に1970年

代 か ら90年 代 中

れ ら を ま とめ るだ けで 優 に1冊 の 本 に な

る ほ どで あ る。 この 章 で は ま ず イ オ ン流 場 の 基 本 式 を 説 明 した 後,簡

易計算 法 と

して イ オ ンの存 在 が 電 界 の方 向 を変 え な い とす る近 似 計 算 な ど を述 べ,さ

らに イ

オ ン流 場 の さ ま ざ ま な計 算 方 法 や 計 算 条 件 を 説 明 す る 。 な お 直 流 イ オ ン流 計 算 に 関 して は,文 献[18.1]に 計 算 の も と に な る 条 件 か ら実 用 面 まで,こ 自 身 の 手 法 も含 め て広 汎 か つ 詳 細 な 内 容 が ま とめ られ て い る。

の文献の著 者

18.1  イ オ ン流 場 の 基 本 式   電 流 が1種

類 の イ オ ン流 に よる 場 合 に は,電 流 密 度jは 電 荷 密 度qと

次の関係

にある。 (18・1)

こ こ でvは

イ オ ンの 速 度 で あ る。 さ ら に 移 動 速 度 が 電 界 に 比 例 す る と きは,比

例 定 数 をk(移

動 度)と

して, (18・2)

が 成 り立 つ 。 定 常 電 流 界 で は電 流 連 続 の 式 が 成 り立 つ の で,結

局,次

の2式 が 基

本 式 で あ る。 ボ ア ソ ン の 式 ：〓

電 流 連 続 の 式 ：〓

(18・3)

ま た は〓 (18・4)

と く にk=一

定 の と き は,

(18・5)

で あ る。 これ らの 二 つ の 偏 微 分 方 程 式 か ら,適 当 な境 界 条 件 の も と に φ とqと を 求 め る 問 題 に な る。 正 負 の イ オ ンが 存 在 す る(両 極 性 あ る い は 双 極 性 の)と に は もっ と複 雑 な 式 が 必 要 で あ る が,こ れ に つ い て は18.5節 イ オ ン流 は空 間 的,時

間 的 に一 様 で な い こ とが 多 い が,現

ン流 が 空 間的 に対 称(二

き

に述 べ る。 実 際 の

在 まで の と ころ,イ

次 元 場 あ る い は 回 転 対 称 場 の取 扱 い)で,時

オ

間的に変動

しな い 定 常 的 な場 合 しか 計 算 さ れ て い な い 。   こ の 計 算 の 第 一 の 難 点 は,前 章 に も述 べ た よ う にqの 境 界 条 件 が φの よ う に 明確 に 与 え られ な い こ とで あ る。 そ れ どこ ろ か(18・4)式,(18・5)式

の電流連続

の 式 で さ え い た る と こ ろ で 成 り立 つ わ け で は な い。 イ オ ンを発 生 す る 高 電 界 電 極 近 傍 の い わ ゆ る電 離 領 域 で は,1種

類 の イ オ ン だ け が 存 在 す る の で は な く,ま た

イ オ ンの 移 動 速 度 が 電 界 に 比 例 す る とい う こ と も必 ず し も成 り立 た な い た め で あ

る。 これ らにつ い て は さ らに 以 下 の節 で 実 際 の 計 算 例 に 関 連 して 述 べ る 。

18.2  イ オ ンの存 在 が 電 界 に影響 しない とす る計算   この 計 算 方 法 は 電 界 分 布 をq=0の

ラ プ ラ ス の 式 か ら求 め る も の で,空

間電荷

密 度 の 小 さい 場 合 に限 ら れ る 。 しか し次節 以 下 に述 べ る も っ と複 雑 な計 算 法 と比 べ て 決 して 無 意 味 な 方 法 で は な く,実 際 に イ オ ン流 に よる 帯 電 量 の 計 算 な ど に し ば しば 用 い られ る 。 問 題 は どの よ う な 電流 密 度 まで こ の 方 法 が 適 用 で きる か と い う点 に あ る。  計 算 例 と して 有 名 な の は 一 様 電 界 イ オ ン流 中 の 誘 電 体 球(比 電 量 の 計 算 で あ る[18.2]。 図18・1の て,半 径Rの

誘 電 体 球 がQだ

よ うに 無 限 遠 で 一 様 電 界E0で

誘 電 率 εs)の 帯 あ る場 に お い

け 帯 電 す る と,球 表 面 上 で 半 径 方 向(r方

向)の

電界 は, (18・6)

とな る。 電荷 は電 気 力 線 に沿 っ て 球 に流 れ 込 む とす る。 球 面 上 で 電 界 が0に

なる

角 度 を θ0と し,こ の θ0で囲 まれ る 電 気 力 線 数 Ψ を と っ て こ の 中 の 電 荷 数 を 求 め る 。 一 様 電 界 領 域 に お け る 一 様 な 電 流 密 度 をj0と す る と,誘 電 体 球 の 帯 電 量 を与 え る 方程 式 は, (18・7)

図18.1  一様 イオ ン流 に よる誘 電 体 球 の帯 電

こ こ で Ψ は, (18・8)

で あ る か ら,(18・6)式

を 代 入 し て(18・7)式

を 解 く と,帯

電 量 と して 次 式 が 得 ら

れ る。

(18・9)

この 式 は 最 初 に 導 出 した研 究 者 の 名 前 を と っ て 「Pauthenierの 式 」 と呼 ば れ る 。 球 が 導 体 の と き の 計 算 はεsを 無 限 大 とす れ ば よ い。 こ の よ うな 計 算 は 図18・2 の よ う な モ デ ル配 置 に 対 して,直 流 送 電 線 か らの イ オ ン流 に よ る帯 電 計算 に も適 用 さ れ て い る 〔18.3]。 帯 電 量 に 及 ぼ す 直 列 抵 抗R,大

地 か らの 高 さD,被

帯 電体 の

形 状 等 の影 響 を検 討 した もの で あ る 。   こ の 計 算 で は,(18・6)式

か ら分 か る よ う に,誘 電 体 球 は 「一 様 に 」 帯 電 す る

こ とが 仮 定 され て い る の で,球

の絶 縁 抵 抗 が 高 く電 界 に対 す る向 きが 固 定 され て

い る と きは 計 算 どお り にな らな い。 導 電 性 あ る い は 回転 の た め に一 様 に帯 電 す る 粒 子 よ り帯 電 量 は小 さ く な る[18.4]。 文 献[18.5]は

こ の よ う な絶 縁 球 の 帯 電 の 時 間

特 性 を誘 電 率 な ど各 種 の パ ラ メ ー タに つ い て計 算 して い る 。   以 上 の 計 算 は要 す る に被 帯 電 体 の存 在 と帯 電 電 荷 に よ る 電 界 変 化 は 考慮 して い るが,イ

オ ンの 存 在(空

間 電 荷)に

よる 電 界 の 変 化 を無 視 して ラ プ ラ ス の 式 を適

用 す る もの で あ る。 どの よ う な電 流 密 度 に な る と この 計 算 法 が 適 用 で きな い か は 文 献[18.6]に 記 載 さ れ て い る。 図18・3に 圧V,ギ

ャ ッ プ間 距 離d)に

示 す よ う な平 行 平 板 ギ ャ ップ(印 加 電

一 様 な電 流(電

流 密 度j)が

流 れ て い る 場 合,ギ

ャ

ッ プ間 の 電 界 は近 似 的 に次 の パ ラ メ ー タ ξで 与 え られ る 。 (18・10)

こ こ で,E0は

イ オ ン流 が な い と きの 電 界,kは

三 の 値 に つ い て ギ ャ ッ プ中 の 電 界 を 図18・3に 10%変

わ る の は,ξ〓0.4の

イ オ ンの 移 動 度 で あ る。 ξの 二, 示 す が,ギ

ャップ中の電界が最大

と きで あ る。 これ か ら イ オ ン流 に よ る 電 界 ひず み を

図18.2  イ オ ン流 帯 電 を 計 算 す るた め の モ デ ル配 置

図18.3  イオ ン流 に よる電 界 ひ ず み(一 様 イ オ ン流)

無 視 で き ない 限界 値 と して 次式 が 得 ら れ る。 (18・11)

空 気 中 の イ オ ン の 移 動 度 と し てk=2×10-4m2/V・sを

と り,jlimの

二,三

の値 を

求 め る と,

のと き の とき こ の よ う に限 界 電 流 が 著 し く小 さい の で,大 気 中 イ オ ンの存 在 を無 視 す る計 算 方 法 を用 い て よ い か ど うか は十 分 注 意 しな け れ ば い け な い。

18.3  イ オ ンの存 在 が電 界 の方 向 に影 響 しな い とす る計算 18.3.1 

基 本 式

  イ オ ン 流 に よ る 電 界 ひ ず み を 無 視 で き な い と き は,(18・3)式,(18・4)式 は(18・5)式

か ら,φ,qを

求 め る 計 算 に な る が,厳

また

密 な 計 算 が 難 し い た め に,

「イ オ ン は 電 荷 の 方 向 に は 影 響 せ ず 大 き さ だ け に 影 響 す る」 と い う 仮 定 (「Deutschの 仮 定」 と呼 ば れ る)に 基 づ い た計 算 が し ば しば行 わ れ て きた 。 こ の 仮 定 を用 い る と空 間 電 荷 が な い と きの 電 界 分 布 が 計 算 で きる場 合,そ

の電気力 線

に 沿 っ た 経 路 を と る こ と に よっ て 一 次 元 の 計 算 に 帰 せ られ る こ とが ミ ソ で あ る。 つ ま り ベ ク トル 量 の 計 算 を ス カ ラ で 取 り扱 う こ と が で き る。 こ の 仮 定 は, Deutsch,

Felici, Popkovら

の 研 究 者 に用 い られ て きた が,単 極,双

極 の直流 送

電 線 の コロ ナ 問 題 の 解 析 に 適 用 した 論 文[18.7]が 有 名 で あ る。   以 下 に まず 二 次 元 配 置 の 単 極 性 の場 合 を簡 単 に 解 説 す る。 空 間 電 荷 の 存 在 しな い 場 合 の 電 界 をF,存 量Cを

在 す る場 合 の 電 界 をEと

す る と,計 算 の 仮 定 か らス カ ラ

用 い て, (18・12)

こ れ を(18・4)式

に 代 入 してdivF=0を

用 い る と,kが

一 定 の 場 合, (18・13)

こ の 式 は 電 気 力 線 に 沿 っ てCq=一 な わ ち電 線 上 の 値 を示 す)で

定=C0q0(添

字0は

電 気 力 線 の 出 発 点,す

あ る こ と を意 味 して い る。 ま た(18・3)式,(18・5)

式 か ら, (18・14)

と な る 。 電 気 力 線 に 沿 う 距 離 をlと q0×F/q(電

す る と,gradq=dq/dl,ま

気 力 線 に 沿 っ て は 電 界 を ス カ ラ 量E,Fと

し て よ い)を

たE=CF=C0 用 い る と,

(18・15)

これ を積 分 して, (18・16)

電 気 力 線 路l上 のF(空 演 算 に よっ てq0,C0を

間電 荷 が な い と き の 電 界)は 分 か って い る の で,適 与 え れ ば こ の式 か らqが 得 られ る。

当な

18.3.2 

計算 の仮 定

 直 流 イ オ ン流 場 の 計 算 で はDeutschの

仮 定 の ほ か に次 の 特 性 が 仮 定 され る こ

とが 多 い。  (a)  イ オ ンの 拡 散 は電 界 に よ る移 動 に比 べ て 無 視 で きる。  (b)  移 動 度kは

電界 に よ らず 一 定 で あ る。

 (c)  電 離 領 域 の 厚 さ は無 視 で き る。  (d)  電 線 表 面 の 電 界 は コ ロナ 開始 電圧 以 上 で は 常 に コ ロナ 開 始 電 界 の ま まで あ る。   Deutschの

仮 定 の 前 に,他

の計 算 法 で も使 用 さ れ る(a)∼(d)の

に つ い て説 明 す る。 まず(a)と(b)の

仮 定 は,直

仮 定 の妥 当 性

流 送 電 線 の イ オ ン流 場 で は ほ ぼ

成 り立 つ と考 え て よ い。 他 の 計 算 法 で もそ の ま ま使 用 さ れ る こ とが 多 い が,(b) に つ い て は 高 電 界 領 域 で イ オ ン発 生 後 の 時 間 的 変 化 や 電 界 依 存 性 を考 慮 した 計 算 も あ る[18.1][18.8]。(c)に つ い て は,二 (1μA/cm以

下)で

次 元 場 で は 実 用 送 電 線 の イ オ ン流 の 範 囲

は,導 体 近 傍 の 電 界 分 布 は イ オ ン流 に よ っ て ほ と ん ど変 わ ら

な い こ とを 計 算 で確 か め,仮

定 が 成 り立 つ と結 論 さ れ て い る[18.9]。 また 回転 対 称

場 で は,正 極 性 針 対 平 板 配 置 の イ オ ン流 場 の 電 界 分 布 と正 イ オ ン密 度 が こ の 計 算 法 で 検 討 され て い る[18.10]。 電 離 領 域 を 考 慮 す る と針 先 端 付 近 の 正 イ オ ン密 度 が 大 き くな る が,電 界 分 布 は全 領 域 に わ た っ て ほ とん ど 同 じで仮 定(c)の

成立 す る

こ とが 明 らか に され て い る。   仮 定(d)は

イ オ ン流 計 算 で 非 常 に重 要 な電 荷 密 度 に対 す る境 界 条 件 で あ るが,

こ の ほ か に 電 線 表 面 で 電 荷 密 度 一 定,な 11]は,気

体 で は電 界 一 定,液

密 度 が 電 界 に 依 存(た

どが 使 用 され る こ と も あ る。 文 献[18.

体 で は 電 荷 密 度 一 定,固

と え ば電 界 の 指 数 関 数),と

体 へ の 電荷 注 入 で は 電 流

して3種 類 の 簡 単 な 電 極 で そ

の 効 果 を検 討 して い る。 な お 電 界 一 定 の 特 別 な ケ ー ス と して,電 界 が 零(こ き 電 流 が 一 定 な ら 電 荷 密 度 無 限 大)の charge

limited flow)あ

のと

場 合 は 「空 間 電 荷 制 限 条 件 」(space

る い は 「Mott‐Gurney近 似 」 と 呼 ば れ る 。 文 献[18.12]

は 針 対 平 板 の 配 置 で 電 界 一 定(な

らび に 零)と 電 荷 密 度 一 定 の場 合 を計 算 し,両

者 は 空 間 の 電 界 や 電 荷 に大 き く は影 響 しな い との 結 果 を得 て い る。   文 献[18.1]は 以 上 の(a)か 仮 定(d)に

ら(c)の 仮 定 に つ い て も詳 し く論 じて い るが,特

に

つ い て は,平 滑 な 導 体 で コ ロ ナ が 導 体 表 面 で 一 様 に発 生 して い る 場 合

は よ く成 り立 つ が,そ

う で な い 場 合 は 適 当 で な い と報 告 して い る。 す な わ ち 実 用

送 電 線 の よ う に コ ロナ 放 電 の 発 生 状 態 が 一 様 で な い と きは,仮 定(d)の  (e)  導 体 表 面 の 発 生 イ オ ン流 密 度j0は そ の 表 面 電 界 値E0で の 仮 定 を 用 い,実 験 式j0=bexp(aE0)を る[18.1][18.13]。 た だ し定 数a,bは

代 わ りに,

定 まる 。

境 界 条 件 に す る ほ うが 良 い と し て い

放 電 状 態 に 依 存 す る の で,送 電 線 の 素 導 体 配 置

に よ って 変 化 し,実 測 の 電流 特 性 と比 較 して 定 め られ る。 18.3.3 

Deutschの

仮 定

  こ の節 の 計 算 法 で 最 も根 本 的 な 問 題 は も ち ろ んDeutschの

仮 定 で あ る。 こ の

仮 定 に基 づ い た 計 算 が 多 数 行 わ れ て 実 験 結 果 と も比 較 され て い る。 コ ロ ナ を発 生 す る電 極 は全 体 の 領 域 に 比 べ て細 い た め に しば しば座 標 変 換 して 解 か れ る 。 た と え ば(垂 直 の)針 対 平 板 で は双 曲 面 座 標[18.12],電気 力 線 と 等 電 位 面 で 分 割 す る 「電 気 力 線 法 」[18.1]な どで あ る。 こ れ まで の 検 討 結 果 の い くつ か を述 べ る と,ま ず 回転 対 称 な 正 極 性 針 対 平 板 電 極 の 場 合,な うに定 数 を定 め る と,針 直 下(回 離 まで は電 界 の 誤 差 約6%と

る べ くDeutschの

転 軸 上)か

仮 定 が 成 り立 つ よ

ら平 板 上 で ギ ャ ッ プの 長 さ程 度 の距

い う報 告 が あ る[18.8]。 ま た,単 極 の 水 平 導 体 対 平 板

配 置 で 線 下 方 の 電 界 や イ オ ン流 は ほ ぼ(対 称 軸 に対 して 線 下 の 角 度 θ=60° 以 下 の 範 囲 で)正

確 に 求 め ら れ,ま

た 実 験 結 果 と合 う こ と も 報 告 さ れ て い

る[18.1][18.14]。 さ ら に,水 平 線 対 平 板,偏 心 円 筒,垂 直 線 対 平 板 で 計 算 し,最 大 値 で 基準 化 した計 算 値 は実 測 値 と よ く合 うが,電 流,電

荷 密 度 の 大 き さ は移 動 度 に

依 存 す る と い う結 果 が 得 られ て い る[18.15]。   しか しこ れ まで に妥 当性 が 検 討 さ れ た の は,ほ

とん どが 比 較 的簡 単 な電 極 配 置

で あ る。 針 対 平 板 や 導 体 対 平 板 配 置 の線 直 下 とい うの は,本 来 対 称 性 か らい か に コ ロ ナ を生 じて もDeutschの

仮 定 が 成 り立 つ 領 域 で あ る。 とす る と,両 極 性 の

送 電 線 で も こ の 計 算 法 が 適 用 され て い る け れ ど も[18.16],多線,多

極 の 送電線 で

そ の よ う な(方 向 の 変 わ らな い)対 称 面 が な い場 合,妥

当 な計 算 法 で あ る か ど う

か は あ や しい。 さ ら に風 の作 用 が あ る と き に,電 界 に よ る移 動 と風 に よ る 移 動 を 複 合 さ せ て な お か つDeutschの

仮 定 が 成 り立 つ とす る計 算 ま で あ る が,そ

の妥

当性 は 裏付 け られ て い な い。 筆 者 ら の考 え で は多 線,多 極 の 配 置 で風 の 作 用 が あ る 場 合 の 計 算 は,次 節 以 下 に 述 べ るDeutschの

仮 定 に よ らな い 方 法 を 用 い る べ

きで あ る。

18.4  領 域 分割 法 に よる計 算― 単 極性 イ オ ン流 場   「空 間電 荷 は電 界 の 方 向 を 変 え な い 」 と い うDeutschの 法 で は,ポ

ア ソ ンの 式(18・3)式

仮 定 を使 用 しな い計 算

と,電 流 連 続 の 式 で あ る(18・4)式 ま た は(18・

5)式 と を交 互 に使 用 して,二 つ の 未 知 関 数 の 一 方 を既 知 と して 収 束 す る ま で反 復 計 算 す る。   差 分 法 で は 図18・4の と,点(r0,z0)の

よ う に 回 転 対 称 場 の 領 域 を一 定 の 格 子 間 隔 で 分 割 す る

電 位 φ0,電 荷 密 度q0と 周 辺 格 子 点 の 値 との 関 係 式 は,ポ

アソ

ンの式 か ら(17.4)式 と同 じ, (18・17)

電 流 連 続 の 式 か ら,

図18.4  差 分 法 の 領域 分 割(回 転 対 称場)

(18・18)

が 導 か れ る 。 こ れ ら を領 域 の 各 点 につ い て作 り,そ れ ぞ れ,φi,qiを 一 次 方 程 式 とす る 。 適 当 な初 期 値 か らφiの 計 算(qi:既 知)→φiの 計 算(新

しいqiを 使 用),を

求 める連立

知)→qiの 計 算(φi:既

収 束 す る まで 反 復 す る。

  同 じ領 域 分 割 法 で あ る 有 限 要 素 法 は,差 分 法 に比 べ プ ロ グ ラ ムが 複 雑 な うえ に 入 力 デ ー タの 量 が 何 倍 に もな るが,イ る 。 第 一 に イ オ ン流 場 は,イ

オ ン流 場 の 計 算 に よ り適 して い る と思 わ れ

オ ンを発 生 す る 小 さ い(あ

る い は 細 い)放 電 電 極 の

あ る著 し く不 平 等 な 電 極 配 置 の た め,高 電 界 部 分 を細 か く分 割 す る必 要 が あ り, 領 域 分 割 の 自由 な有 限要 素 法 が 適 して い る 。 第 二 に 時 間 的 変 化 な ど複 雑 な条 件 を 組 み 入 れ る の に 有 限 要 素 法 の ほ うが 柔 軟 性 が あ る。 有 限 要 素 法 に よ る直 流 イ オ ン 流 場 の 計 算 もす で にか な りの 論 文 が あ るが,最

初 の報 告 は1979年

と 思 わ れ る 。 た だ し一 次 元 の 同 軸 円筒 配 置 で あ る。 そ の 後,ダ (集 塵 器),単

の 文献[18.17] ク ト中 水 平 導 体

線 の 送 電 線 の計 算 が 行 わ れ た[18.18]が,と も に単 極 性 で あ る。

  差 分 法 や 有 限 要 素 法 の 計 算 で も っ と も重 要 な こ と は,電 流 連 続 の 式 に一 階 微 分 の項 が含 まれ る た め に,先 に述 べ た よ う な単 純 な 反 復 計 算 で は不 安 定 を生 じや す い,あ る い は簡 単 な 分 割 で の 反復 計 算 で は常 に 不 安 定 とな っ て絶 対 に計 算 で きな い点 で あ る。 そ の た め に細 い 電極 付 近 で 分 割 を 密 にす る ほ か,適 夫 して 計 算 を安 定 化 しな け れ ば い け な い 。 文 献[18.18]の 既 知 と して ポ ア ソ ン の式 か ら電 位 を求 め,次 (method

当 な 計 算 法 を工

計 算 で は,電 荷 密 度 を

に電 位 を既 知 と し て 「特 性 曲線 法 」

of characteristics)と 呼 ぶ 方 法 で 電 荷 密 度 を 求 め る 計 算 を反 復 す る が,

後 者 の方 法 は イ オ ンの 移 動 方 向上 で の 関 係 式 を用 い る もの で あ る。   しば しば 用 い られ る の は 「上 流 有 限 要 素 法 」 で あ る。 上 流 有 限要 素 法 は座 標 に よ る一 階微 分 の 項 を 「上 流 側 」 の 要 素 だ け で 近 似 す る もの で,そ

の点 の 未 知 変 数

の 値 は作 用 す る上 流 の 影 響 は受 け る が 下 流 側 の 影 響 を受 け な い とい う考 え が も と に な っ て い る[18.19]。 イ オ ン流 場 で は作 用 す る 力 は 電 界,変 (18・5)式 のgradqの

数 は 電 荷 で あ る が,

項 に 上 流 有 限 要 素 法 を適 用 す る こ と に よ っ て 安 定 な 数 値 計

算 法 に な る 。 これ につ い て は18.6節

で さ らに説 明 す る。

18.5  両 極性 イオ ン流 場 の計算   発 生 源(高 電 圧 電 極)が

正 負 両 極 性 で あ る と,正 負 両 イ オ ンの 電 荷 密 度q+,

q-が 未 知 数 に な る う え に,イ オ ンの 再 結 合 も考 慮 し な け れ ば な ら な い 。18.3節 に述 べ た よ うに,こ

の よ う な両 極 性 の 直 流 送 電 線 の 場 にお い て も,Deutschの

仮

定 を も と に した計 算 が あ り,ま た風 の効 果 を含 め た 計 算 まで あ る 。 しか し,こ こ で は こ の 仮 定 を用 い な い よ り一 般 的 な 有 限 要 素 法 に よ る筆 者 ら の 計 算 法 を 述 べ る[18.20]。   両 極 性 イ オ ンの 存 在 す る場 で は 定 常 イ オ ン流 場 の方 程 式 は,電 位 φ,正 負 の イ オ ン流(電 流)密

度j+,j-に

対 して次 の 諸 式 に な る。 (18・19)

(18・20) (18・21)

(18・22)

(18・23)

こ こでk+,k-は

正 負 イ オ ンの 移 動 度 で電 界 に よ らず 一 定 とす る。 ま た,イ

の拡 散 を電 界 に よ る移 動 に比 べ 無 視 して い る。eは 電 子 の 電 荷,Rは の再 結 合 係 数,Wは

風 速(ベ

オン

正 負 イオ ン

ク トル 量)で あ る。

  領 域 分 割 法 で は特 に 電 界 が 不 平 等 な送 電 線 付 近 で 電 位,電 界 の 誤 差 を生 じやす い の で,計 算 精 度 を あ げ る た め に φ は空 間 電 荷 が な い と きの 静 電 界 φeと空 間電 荷 に よる 電 位φqに 分 離 す る 。 (18・24)

φeに対 す る 方 程 式 と境 界 条 件 は,通 常 の ラ プ ラ ス 場 と同 じで あ る 。 φqに つ い て は, (18・25)

φq=0(す

べ て の 境 界 上)

(18・20)∼(18・23)式

 (18.26)

は 次 の よ うに 書 き換 え られ る。

(18・27)

(18・28)

こ こ でυ+,υ-は

正 負 イ オ ンの 移 動 速 度 で, (18・29) (18・30)

q+

,q-に

対 す る 境 界 条 件 は,こ

の 論 文[18.20〕 ではそ れぞれ正負の送電 線上で 一定

値 に と っ て い る。 q+=q

m(m番

q-=qn(n番 大 地,架

空 地 線,仮

目 の 正 極 送 電 線 上) 

(18・31)

目の 負 極 送 電 線 上) 

(18・32)

想 境 界 に お い て は,q+,q-の

境 界条件 は不 要で ある。す で

に述 べ た よ うに電 荷 密 度 の 境 界 条件 は イ オ ン流 場 電 界 計 算 の 難 点 で,導 体 表 面 の イ オ ン発 生 機 構 を も と に して物 理 的 プ ロ セ ス を 考 慮 しな け れ ば 正 しい境 界 条 件 は 与 え られ な いが,現 在 は残 念 な が ら合 理 的 な境 界 条 件 を与 え る まで に至 っ て い な い。 そ こ で18.3節

に述 べ た仮 定(d)や(e)が

用 い られ て い るわ け で あ る が ,こ

の 論 文 で は全 体 の 領 域 に 比 べ 送 電 線 が 細 い こ と,さ

らに線 対 平板 の 精 密 計 算 の 結

果 で 線 表 面 の 電 荷 密 度 が 一 定 に な っ て い る こ と を 考 慮 して,(18・31)式,(18・ 32)式 の よ うに 電 荷 密 度 一 定 の 境 界 条 件 を 与 え て い る。 しか しqmやqnの

値はこ

の ま ま で は 不 明 な の で,送 電 線 上 の コ ロナ 電 流 や大 地 上 の電 流 分 布 の 測 定 値 か ら 決 め る必 要 が あ る。   これ に よ っ てq+,q-を

求 め る準 備 が で き た。 こ れ ら の方 程 式 と境 界 条 件 に 対

し,全 体 の領 域 を小 要 素 に 分 け て 有 限要 素 法 を適 用 す れ ば よ い。 計 算 手 順 の概 略 は 次 の と お りで あ る。   (a)  空 間 電界 が な い と きの 電 位 φeと 電界Eeを   (b)  正 極 送 電 線 上 以 外 の 節 点 で はq+(i)=0,負

求 める。 極 送電線上 以外 の節 点で は

と お く。 (c) 

(18・25)式

で9+,q-を

既 知 と し て φqを 求 め る 。 こ の 計 算 法 は17.2節

で 述 べ た も の と 同 じ で(17.4)式

を 用 い れ ば よ い 。q+ ,q-が

で な く座 標 の 線 形 な 関 数 に す る と,少

要素 内 で一定

し違 う取 扱 い に な る が ,結

果 はほ と

ん ど変 わ ら な い。 (d) 

grαdφe,grαdφq,Wの

値 か ら(18・29)式,(18・30)式

を 用 い て,v+,

v-を 求 め る 。 (e) q+(i),q-(i)をq+(i),q-(i)と

し て 記 憶 し て お く。

(f) 

後 述 す る 上 流 有 限 要 素 法 に よ り 新 た なq+(i),q-(i)を

(9) 

max{￨q+(i)-q+(i)￨,￨q-(i)-q-(i)￨}/max{￨q+(i)￨,￨q-(i)￨}が

求 め る。 与

え ら れ た 収 束 判 定 パ ラ メ ー タ よ り小 さ く な る ま で(c)∼(f)の 返 す 。maxは

計 算 を繰 り

最 大 値 を 意 味 す る。

18.6  計 算 の 安 定 化

18.6.1 

上流 有 限 要素 法

  イ オ ン流 場 の 計 算 プ ロ セ ス で φ(電 位)とq(電 は,18.4節

荷 密 度)の

計 算 が 難 しい の

に 述 べ た よ う に,反 復 計 算 が 不 安 定 に 陥 り発 散 しやす い こ とで あ る。

これ は方 程 式 に含 まれ る座 標 の 一 階 微 分 の 項(移

流 項 と呼 ば れ る)か

ら生 じる数

値 的 誤 差 が 反 復 の 度 に 蓄 積 し,増 大 す るた め で あ る。 上 流 有 限要 素 法 は この よ う な不 安 定 性 を 回 避 す る 一 つ の 方 法 で,一

階 微 分 の 項 を(通 常 の 両 側 差 分 で は な

く)上 流 側 だ け で 近 似 す る 方 法 で あ る 。   図18・5の 微 分gradq+を

よ う な 二 次 元 の 有 限 要 素 分 割 中 の 節 点i点 を と る と,q+に

対す る

「上 流 要 素 」 に お け る量 だ け で 近 似 す る[18.19]。 こ こで 上 流 要 素 と

は終 点 がi節 点 に な る よ うな ベ ク トルv+(i)を 三 角 形 要 素 の こ とで 図18・5で て 同様 な 上 流 要 素(図

描 い た と き,こ の ベ ク トル を含 む

は 三 角 形ijkで あ る。q-に

で はilm)が

つ い て もv-(t)に つ い

定 め られ る。 す る と イ オ ン流 場 の 方 程 式 中 の

図18.5  上 流 有 限要 素 法 gradq+は

三 角 形ijkで

次 の よ う に近 似 され る。 (18・33)

こ こ で,b,cは

そ れ ぞ れ ベ ク トルki,jiを90度

ク トル の 外 積 を 表 す 。qi,qj,qkは 分)で

回 転 し た ベ ク トル で,b×cは

各 点 に お け る 重 心 領 域(図18・6(a)の

ベ

斜 線部

定 義 さ れ た 電 荷 密 度 で あ る 。 こ の よ う な 近 似 か ら(18・27),(18・28)式

は

次 式 に な る。

(18・34)

(18・35)

e,fは

そ れ ぞ れ ベ ク トルmi,liを90度

度υ+,υ-,そ

回 転 し た ベ ク トル で あ る 。 こ の2式

の 他 の 値 が 与 え ら れ た(既

知 の)と

き,未

知 数qi+,qi-を

は速 求 め る

二 次 式 と考 え る こ とが で き る。   す る と,こ (18・34)式

こ で は 証 明 を 省 略 す る が,qj+≧0,qk+≧0,か

でqi+の

小 さ く な い 方 の 根 は0よ

つqi-≧0で

り大 き くqj+,qk+,qi-の

あ る と,

は 小 さ い と い う こ と が 成 り立 つ 。 同 様 に,ql-≧0,qm-≧0か

つqi+≧0で

最大値 よ り あ る と,

(a)

(b)

図18.6  i接 点 を 囲 む三 角形 要 素(斜 線 部分 が 重心 領 域)

(18・35)式 でqi-の 小 さ くな い 方 の根 は0よ

り大 き くql-,qm-,qi+の

最大 値 よ り

は小 さい と い う こ とが 成 り立 つ 。 こ れ らに よ っ て,電 荷 密 度 は 正 負 両 極 性 と も0 よ り大 き く,最 大 値 は境 界 で 生 じる とい う物 理 的 事 実 と合 致 す る。 こ れ が い わ ゆ る｢最 大 値 原 理 」 で,繰 返 しの数 値 計 算 で 発 散 が 生 じず,安

定 性 を もた らす 。

18.6.2  電 流 連 続 の 積 分 式 の 使 用   φ(電 位)既

知 と し て ρ(電 荷 密 度)を

計 算 → ρ既 知 と して φ を計 算,と

いう

反 復 にお い て,φ を求 め る の に ポ ア ソ ンの 式 で は な く次 の 電 流 連 続 の 積 分 式 を使 用 す る方 法 で あ る[18.21]。 (18・36)

す な わ ち,あ る 閉 曲 面 で 電 流 の 出 入 りが 定 常 的 に は0と い う条 件 で あ る。 こ の 式 を φ を 数 値 的 に求 め る 具 体 的 な 式 に す る に もい ろ い ろ な 方 法 が あ るが,も

っと

も簡 単 な の は次 の二 つ で あ る。  (a)  図18・6で  (b) 

節 点iを 囲 む三 角 形 要 素 に 流 入 す る電 流 を0と す る 。

この 図 の重 心 領 域 に流 入 す る 電 流 を0と す る。

 文 献[18.21]は

理 論 解 の あ る単 極 性 イ オ ン流 で の 計 算 で い く らか 精 度 の よか っ

た方 法(a)を

採 用 して い る。 この と き,図 の1要 素(三

か ら流 入 す る 電 流 は,風(風

速W)の

角 形ijk)に

関 し て辺jk

作 用 も考 慮 して, (18・37)

これ ら を 図 の 各 三 角 形 要 素 につ い て加 算 す る と,

(18・38)

こ こ で 各 点 の 電 荷 密 度 は 重 心 で の 値,ρc+,ρc-を

と っ て い る 。 す な わ ち,

(18・39)

ま た,Δ

は 三 角 形 要 素 の 面 積 。f,g,hは

の 絶 対 値 。Wnは

風 速 のjkに

そ れ ぞ れ ベ ク ト ルij,jk,ki。gはg

垂 直 な 成 分 で あ る。 風 が な い と きに は上 式 は 次 式 に

な る。

(18・40)

図 か ら分 か る よ う に,三 積,h・g,f・gは

角 形 要 素ijkが 鈍 角 三 角 形 で な け れ ば,ベ

ク トル の 内

と も に0以 下 の 値 で あ る。 こ の こ と か らi点 を 囲 む 三 角 形 要

素 に鈍 角 三 角 形 が な け れ ば(18・40)式 の(φj− φi),(φk− φi)の 係 数 は す べ て0 以 下 で あ る 。 す な わ ち,i点

の 周 りに は か な らず φiよ り小 さ な あ る い は大 きな 電

位 を有 す る 点 が 存 在 し,結 局 電 位 の 最 大 あ るい は最 小 は境 界 に存 在 す る とい う こ と に な る。 こ の 結 果,節

点 電 位 に 「最 大 値 原 理 」 が 成 り立 ち,こ れ が 数 値 計算 の

安 定 性 を保 証 す る 。   以 上 の 証 明 は風 が な く,ま た鈍 角 三 角 形 要 素 が 存 在 し な い とい う 条 件 で あ る が ,こ れ らは最 大 値 原 理 の 必 要 条 件 で は な く十 分 条 件 で あ る 点 に注 意 す べ きで あ る 。 す な わ ち,こ れ ら の条 件 が 完 全 に は満 た され て い な くて も,ま た か な りの風 速 まで(18・36)式 式(の

は φiの安 定 な 計 算 法 を構 成 す る。 こ の よ う に,解

組 合 せ)を 換 え た だ け で 計 算 が 安 定 に な る の は 興 味 深 い 。

くべ き方 程

18.7 

計 算例

  有 限要 素 法 に よ る計 算 例 と して,送 電 線1本(単 界 と イ オ ン流(電 流)密 密 度 で,風 密 度(q0)一

度 分 布 を,図18・7に

極 配 置)の 場 合 の大 地 表 面 電 示 す[18.20]。 地 表面 の 電界 と電流

速が パ ラ メ ー タで あ る。 上 流 有 限 要 素 法 で 電 線表 面 の境 界 条 件 は 電 荷 定 と し て い る 。 横 方 向 の 風 速 が パ ラ メー タ に な っ て い るが,電

界よ

りも電 流 の ほ うが風 の 影 響 を 大 き く受 け る。 これ は電 流 密 度 が 電 界 と電 荷 密 度 の 積 で あ る こ とか ら当 然 予 想 され る特 性 で あ る。   ま た 両 極 性 イ オ ン 流 場 の 計 算 結 果 と し て18.6.2項 high

voltage)2回

線 直 流 送 電 線 の 結 果 を 図18・8に

の 方 法 に よ るUHV(ultra 示 す[18.21]。や は り地 表 面 で

の 電 界 と 電 流 密 度 で あ る 。 図 中 に は 実 測 値 も 記 載 して い る が,負

極性 の電流密 度

以 外 は よ く合 っ て い る 。 た だ し実 測 値 は バ ラ ツ キ が は な は だ し く大 き い 。

(a) 送 電 線 配置

(b) 地 表 面電 界 図18.7 

(c) 地 表 面 電流 密 度

単 極 配 置 の 地 表 面 電 界 と 地 表 面 電 流(q0=8.854×10-8C/m3)

(a)要 素 分割 図

(b)地

表 面電 界

(c)地

表面 電 流密 度

図18.8  双 極 直流 送 電線 の イオ ン流 場 の 有 限要 素 法 に よる計 算

第19章  最適形 状 の設計法

  こ れ ま で の 章 の 説 明 は す べ て与 え られ た 電 極 形 状,配

置,条 件(電

圧,誘

電率

な ど)に 対 して 電 界 分 布 を計 算 す る もの で あ っ た。 逆 に望 ま しい 電 界 分 布 を持 つ よう な電 極 形 状 や 絶 縁 物(誘 電 体)形

状 の 必 要 な場 合 が あ る。 望 ま しい 電界 分 布

とは,絶 縁 設 計 の 面 で は た と え ば与 え られ た配 置 で 最 大 電 界 の も っ と も小 さ くな る形 状 が あ げ られ る。   筆 者 らの 意 見 で は,電 界 分 布 の 面 で 一 般 的 に使 用 で き る,す な わ ち一 意 的 に 可 能 な 「最 適 設 計 法 」 とい うの は確 立 され て い な い。 現 在 の 設 計 法 は,最 適 な 条件 に合 う よ うに 形 状 を繰 り返 し修 正 す る とい う方 法 で あ る。 比 較 的 簡 単 な最 適 条件 に対 して形 状 を求 め る こ と はす で に多 くの 論 文 が あ る 。 一 方,計 CAE,CADと

算 機 を駆 使 す る

呼 ば れ る 自動 設 計 手 法 は,こ の よ う な 最 適 設 計 を そ の 一 部 と して

含 ん で い る が,必 ず し も並 行 しな い で 進展 して きた 。   こ の章 で は まずCAE,CADに

触 れ た後,電

界 分 野 に お け る最 適 形 状 設 計 を 説

明す る。 最 適 設 計 法 の 基 礎 と して,電 界 問 題 で の最 適 条 件 な どを 説 明 し,解 析 的 方 法 や数 値 的 方 法,設

計 例 な どを レ ビ ュー す る。 な お,最 適 条件,最

う用 語 は しば し ば最 適 化 条 件,最 適 化 形状 と も い わ れ る が,こ を使 用 す る。

適 形 状 とい

こで は簡 単 な前 者

19.1  電 界 計 算 に お け るCAE,

19.1.1 

CAE,

CADの

CAD

定 義 と構 成

  計 算 機 に よっ て 詳 細 か つ 正 確,高 速 の 計 算 が 可 能 に な り,放 電 現 象 の 解 析 や 絶 縁 設 計 に 革 命 的 な進 歩 が も た ら され た 。 現 在 の 電 界 計 算 は,一 方 で は,複 雑 な (特殊 な)場 合 や よ り一 般 化 した 場 合 の 計 算 法 の 開 発 が 行 わ れ,他 方 で は,で るだ け 使 い 易 く,短 い 時 間 で 安 心 して使 え る(user‐friendlyな)技

術 の確 立 へ

と進 ん で い る 。 計 算 機 に よ っ て 研 究 や 設 計 ・開 発 を 支 援 す る 技 術 を,一 CAE(computer IEEE(米

aided

engineering)あ

国 電 気 電 子 学 会)電

気,電

る い はCAD(CA

子 用 語 辞 典1984年

き

design)と

般に 呼 ぶ。

版[19.1]は,  CAEを

「計

算 機 援 用 工 学 」 の 名 称 で 「工 学 的 な 解 析 や 設 計 に計 算 機 を応 用 す る こ と。 数 学 的 な 問 題 を解 くこ と,プ ロセ ス の制 御,数

値 的 な 制 御,複 雑 な 計 算 や 反 復 計 算 を行

うプ ロ グ ラ ム の 実 行 等 が 含 ま れ る。」 と説 明 して い る 。 一 方,CADは

「計 算 機

援 用 設 計 」 の 名 称 で,「 各 種 の 設 計 や 解 析 に 計 算 機 を応 用 す る こ と。 モ デ ル の 製 作,解 析,シ

ミュ レー シ ョン,製 造 の た め の設 計 の 最 適 化 な ど を行 う。 計 算 機 援

用 製 造 と組 み 合 せ てCAD/CAMと   CAEは

よ ば れ る こ と も あ る。」 と な っ て い る。

「色 々 な 現 象 の 解 析 や 機 器 の 開発,設

計 段 階 に お い て モ デ ル を用 い て

様 々 の現 象 を 計 算 機 で シ ミュ レ ー トす る シ ス テ ム 」 と,「 シ ミュ レ ー シ ョ ン」 に 重 点 を お い て 定 義 さ れ る こ と もあ る。CADが の に対 し て,CAEは

個 々 の 設 計 を意 味 す る こ とが 多 い

初 期 の 基 本 設 計 か ら詳 細 設 計 まで 開発,設

計 の 全 体 を対 象

とす る。   CAEを

構 築 し て い く ス テ ッ プ と し て 次 の よ う な 段 階 が 考 え られ て い る[19.2]。

 ス テ ップ1: 

単 な る解 析 技 術 の 適 用

 ス テ ッ プ2: 

プ リ処 理(前

処 理),ポ

ス ト処 理(後 処 理)を

充 実 さ せ,開

癸

者 や 設 計 者 が 計 算 機 上 で モ デ ル を作 成 す る と と も に,解 析 結 果 を 望 ま しい 出力 形 態 で 与 え る 。  ス テ ッ プ3: 

与 え ら れ た モ デ ル の 解 析 だ け で な く,最 適 化 ル ー チ ン を 導 入

し,計 算 機 に よ っ て 最 適 値 を 求 め る。  ス テ ップ4: 

モ デ ル化 や シ ミュ レ ー シ ョン を単 一 の 現 象 や 解 析 に つ い て 行 う の で な く,複 数 の現 象,解 析 を総 合 し,エ ン ジニ ア リ ン グの す べ て を対 象 と した 計 算 支 援 シス テ ム。

  現 在CAEと

よ ば れ る も の は ス テ ッ プ2よ

究 極 の シ ス テ ム は,い い は 広 義 のCAEと

19.1.2 

わ ゆ るCIM(computer 

り上 の レ ベ ル を 指 し,ス

テ ッ プ4の

integrated  manufacturing)あ

る

呼 ば れ る もの に な る。

電 界 解 析 のCAE

  放 電 現 象 の 解 析 や 機 器 の 絶 縁 設 計 に お け る 電 界 計 算 あ る い は電 界 解 析 の役 割 は,対 象 とす る 現 象 に よ っ て 様 々 で あ る 。 た と え ば,絶 縁 物 の 基 礎 的 物 理 特 性 (た と え ば 気 体 の 電 離 係 数 の 値 な ど)を 抽 出 して 電 界 の 関 数 と して 与 え(モ デ リ ング あ る い は シ ミュ レー シ ョ ン),放 電 特 性 を計 算 機 上 で 求 め,予   一 般 に,電 界 解 析 の概 略 の シス テ ム は 図19・1の プ リ処 理 部,ポ

測 す る。

よ うな 三 つ の 部 分 か ら成 り,

ス ト処 理 部 を援 用 して 解 析 部 で 電界 計 算 が行 わ れ る。 こ の よ う な

シス テ ム の 基 本 は 一般 の(電 界 解 析 以 外 の)CAEシ

ス テ ム と も共 通 して い るが,

解 析 部 と解 析 部 の 入 力 作 成 は,電 界 計 算 特 有 の もの で あ る。   ドイ ツ で は1980年

代 後 半 か ら,い

電 界 解 析 法 を 総 合 化 したVENUSと が,10年

くつ か の 大 学 と 産 業 界 が 共 同 して す べ て の 呼 ぶ 広 汎 な シ ス テ ム の 構 築 を 目指 した[19.3]

も し な い う ち に こ れ に 関 す る 報 告 は 立 ち 消 え に な っ た。 プ リ処 理 部,

図19.1  電界 解 析CAEの

概 略 シス テ ム

ポ ス ト処 理 部 と 結 合 し た 電 界 解 析 シ ス テ ム と し て,わ 一 般 三 次 元 場 解 析 シ ス テ ム[19.4] ,電 with

electric field analysis)と

が 国 で は表 面 電 荷 法 に よ る

荷 重 畳 法 を ベ ー ス と し たCADEF(CAD 呼 ば れ るPC(パ

ソ コ ン)用

system

の シ ス テ ム[19.5]が

開発 され て い る。

19.2  最 適 設計 法 の基本 19.2.1 

最適 設計

  電 界 分 野 に 限 らな い が,最

適 設 計 で は 次 の よ う な点 を選 択 す る か,少

な くとも

考慮 す る必 要 が あ る 。  (a)

電 位 や 電 界(一

般 に,ポ

テ ンシ ャル や フ ィー ル ド)を 求 め るの に どの よ

う な計 算 法 を 用 い る か 。  (b)

「最 適 」 と は ど うい う状 況 か,ま

た どの よ う な最 適 条 件 を用 い る か 。

 (c)  ど の よ うに 最 適 化 す るか 。  (a)は 電 界 解 析 全 般 の 問 題 で,7.3節

に 各種 の 数 値 計 算 法 の 比 較 を 行 っ て い る

の で こ こで は触 れ な い 。 19.2.2 

最適 条件

  電圧 の 印 加 さ れ る 機 器 や 電 界 を発 生 す る 機 器 は 多 種 多 様 な も の が あ り,最 適 化 の 要 求 も千 差 万 別 で あ る。 機 器 の 場 合,究 極 的 な 最 適 条 件 は コ ス トの 最 小 化 と考 え る の が 普 通 で,実 際 に も設 計 にお け る 重 要 な 考 慮 項 目で あ る。 しか し,製 作 年 数(金 利),設

計 余 裕,信

頼 度 な ど も考 慮 に含 め る と複 雑 な条 件 に な る 。

  電 界 設 計 が 支 配 的 要 素 で あ る 高 電 圧 機 器,高

電 界 機 器 を と っ て も,機 器 の 材

質,形 状,配 置 な ど色 々 な設 計 の パ ラ メ ー タが あ る。 固体 絶 縁,油

浸絶縁 で なる

べ く絶 縁 耐 力 が 高 く,損 失 の 少 な い 絶 縁 材 料 を選 ぶ こ と も一 種 の 最 適 設 計 で あ る 。 また 材 料 や 形 状 が 与 え られ て 配 置 を 最 適 に す る例 で は,絶 縁 距 離 す な わ ち ギ ャ ップ 長 の 選 択 が あ る。 特 別 な例 で は,三 相 の 高 電 圧 送 電 線 で(静

電誘導 の点か

図19.2  固体 絶 縁物 の表 面 電界

ら)地 表 面 の 電 界 を最 も低 くす る 配 置 な ど もあ る 。 この よ うな 複 数 の設 計 パ ラ メ ー タに つ い て は ,最 後 の19.5.3項

で も触 れ る。

  しか し,こ れ まで の電 界 問 題 の 最 適 設 計 の 論 文 は,ほ て最 適 な 形 状 を求 め る もの で,主   (a)  電極(導

とん どが 電 界 分 布 に 関 し

に 次 の2種 類 で あ る。

体)形 状 の 最 適 化

  (b)  絶 縁 物(支 持 用 固 体 絶 縁 物)形

19.2.3  電 極(導 体)形

状 の 最 適 化(図19・2)

状 の最 適 化

  最 適 条 件 は 「電 極 表 面 の 電 界 を一 定 にす る 」 の が ほ とん どで あ る。 最 も普 通 の (誘 電 体 が1種 の で,与

類 の)ラ

プ ラス の式 の 場 合,最 大 の 電 界 は 必 ず 電 極 表 面 に生 じる

え られ た 条 件 の も とで 電 極 表 面 の 電 界 を 一 定 に す る の は,「 配 置 の 最 大

電 界 を最 も低 くす る」 と い う条 件 と多 くの 場 合 等価 で あ る。   こ の よ うな 条 件 は,高 電圧 絶 縁 の分 野 で 放 電 発 生 が 最 大 電 界 に 支 配 さ れ,放 電 開 始 電 圧 が 最 大 電 界 で 与 え られ る こ とが 多 い こ と に基因 して い る。 た だ し,「 放 電 開 始 」 で あ っ て,火 花 放 電 が コ ロ ナ を経 由 し て 生 じ る場 合 に は,「 火 花 電 圧, あ る い はフ ラツ シ オー バ 発 生 」 は必 ず し も最 大 電 界 で 決 ま らな い 。 ま た,厳 密 に は電 極 表 面 の 各 所 の 放 電 開始 電 圧 を一 定 にす る,あ

るい は全 体 と して 最 低 に す る

形 状 が 望 ま しい 「最 適 条 件 」 に な る。 た と え ば,気 体 中 の コ ロ ナ 開 始 電 圧(平 電 界 に近 い 配 置 で は火 花 電圧)を

等

最 も高 くす る た め に は,電 界 あ る い は 最 大 電 界

そ の も の で は な く,電 極 表 面 全 体 で電 気 力 線 に 沿 っ て 次 の 積 分 か ら放 電 開 始 電 圧

を計 算 し,こ れ を 最 大 にす る形 状 を求 め る こ とに な る。 (19・1)

こ こ で(α − η)は 気 体 の 実 効 電 離 係 数,Kは

適 当 な 定 数 で あ る 。 さ らに,絶 縁

油 の よ う に絶 縁 破 壊 電 圧 が 油 中 の 弱 点 分 布 か ら決 ま る と きは,最 く,体 積 効 果(volume

theory)を

大電界だけで な

考 慮 した 計 算 が 必 要 に な る。

  こ の よ う な表 面 電 界 だ け で な く,放 電 開始 電 圧 を考 慮 した 最 適 形状 計 算 の 試 み もす で に 初 期 の こ ろ か ら報 告 され て い る[19.6]が,さ らに 表 面 電 界 だ け で な く,気 体 の 放 電 特 性 を考 慮 した 最 適 化 も報 告 され て い る[19.7]。 た だ し,い ず れ も簡 単 な 電 極 系 で,こ

れ まで の と こ ろ研 究 室 で の試 算 の レベ ル で あ る。 表 面 電 界 一 定 と い

う簡 単 な 最 適 条 件 に比 べ て,複 雑 な計 算 を必 要 とす る ほ ど絶 縁 特 性 が 大 き く改 善 され る か ど う か は,対 象 とす る 高 電 圧 機 器 の絶 縁 物,配

置 と絶 縁 条件 に 依 存 す る

と思 わ れ る。   境 界 条 件 と ラ プ ラス の式 に よっ て 一 意 の解 が 得 られ る 「順 問題 」 と比 べ て,表 面 電 界 が 最 低 あ る い は一 定 の 形 状 を求 め る こ と には 次 の よ う な 問 題 が あ る。  (a)  電 界 は 配 置 を大 き くす れ ばい く らで も低 くな る の で,適

当な付帯条件が

必要で ある。  (b)  領 域 全 体 で は最 適 条件 を満 足 で きな い こ とが しば しば あ る 。  図19・3は

ガ ス 絶 縁 開 閉 装 置(GIS;gas

基 本 構 造 で,そ

insulated switchgear)に

れ ぞ れ 単 相 線 路(同 軸 円 筒),三

相 線 路,単

用 い られ る

相線路 の端 末であ る

が,こ れ らの 簡 単 な例 で最 適 計 算 の 条 件 や プ ロ セ ス を説 明 す る。   こ の場 合 の最 適 条 件 は最 大 電 界 を最 も低 くす る こ とで あ るが,シ

ー ス(外 側 容

器)を 大 き くす れ ば最 大 電 界 は い く らで も低 くで き る。 そ の た め に,ま ず 占有 容 積 あ る い は 製 作 コス トが 最 も低 くな る よ う に,「 シ ー ス 径 一 定 」 とい う付 帯 条 件 で 最 適 化 す る こ とが 多 い 。 よ く知 ら れ て い る よ う に,単 相 の 同 軸 円筒 配 置 で は, シー ス 半 径Rが r=R/e≒0.37Rの

一 定 の と き,最 大 電 界 が も っ と も低 く な る の は 中 心 導 体 半 径 と きで あ る 。 三 相 線 路 の 配 置(二 次 元)で

も シー ス 径 が 与 え ら

れ れ ば 最 大 電 界 を最 低 にす る 導 体 径 が 決 まる が,導 体 径 だ け で な く,導 体 の 位 置

(a)単 相 線 路(一 次 元)

(b)三 相 線 路(二 次 元)

(c)単 相 線 路端 末(回 転 対 称) 図19.3  高電 圧 線路 の配 置例

と印 加 電 圧 の組 合 せ も最 適化 の パ ラ メ ー タで あ る。   一 方,単 相 線 路 の 端 末 で は 導 体 先 端 か ら シ ー ス 端 ま で の 距 離Lも

最適化 の変

数 あ る い は パ ラ メ ー タ に な る 。 た と え ば 導 体 の 先 端 が 半 球 形 状 でL=2Rの 最大 電 界 が もっ と も低 くな る の は,図19・4に と きで あ る[19.8]。 この 配 置 で はLを

と き,

示 す よ う に導 体 半 径r≒0 .48Rの

ど の よ うに と っ て も端 末 部 分 の 電 界 は 同軸 部

分(中 心 部)の 電 界 よ り高 くな る 。 そ の た め 表 面 電 界 一 定 とい う条 件 を 導 体 全 体 に課 す こ とが で き な い。 も ち ろ ん 同 軸 部 分 の 導 体 径 を 変 えれ ば 導 体 の全 表 面 の電 界 を一 定 にす る こ と は可 能 で あ るが,同

軸 部 分 で は不 必 要 に高 い 電 界 に な るの で

実 用 的 に無 意 味 で あ る。 した が っ て電 界 を 一 定 にす る個 所(範

囲)を 指 定 す る よ

うな付 帯 条 件 が 必 要 に な る。 19.2.4 

絶 縁 物(固

体 誘 電 体)形

状 の最適 化

  こ れ ま で の 報 告 は,電 極 形 状 が 与 え られ て い て,電 極 間 の 固 体 絶 縁 物 の(表 面)形 状(電 界 問 題 と して は2種 類 の 誘 電 体 の 界 面 形状)を ん どで あ る。2種 類 以 上 の 誘 電 体(絶 縁 物)が

変 化 させ る の が ほ と

存 在 す る 複 合 誘 電 体 で は,最 大 電

(a)配

(b)最

置

大 電 界Em

図19.4  同 軸 円筒 配 置 に お け る最 大電 界

界 が 常 に 電 極(導 体)表

面 で 生 じる とい う法 則 が も は や 成 り立 た な い 。 こ の よ う

な場 合 に使 用 さ れ る最 適 条 件 は,「 絶 縁 物 表 面 の 電 界 を 一 定 にす る」 とい う もの で あ る 。 しか し,絶 縁 物 と 電極 と の接 触 角 が90度 論 的 に0ま

た は無 限 大 に な る(11.6節

で な い と,接 触 点 の電 界 は 理

に 述 べ た 「高 木 効 果 」 あ る い は 「三 重 点

効 果 」)の で 注 意 を要 す る 。   最 適 化 す る表 面 電界 は,絶 縁 の 分 野 で は 図19・2に

例 を示 す よ うに 次 の2種

類

が ある。  (a)  電 界 の絶 対 値(最

大 電 界)E

 (b)  沿 面 方 向 成 分Et どち らの 電 界 が 絶 縁 特 性 に支 配 的 か は,雰 囲 気(周 絶 縁 条 件 に依 存 す る が,こ

囲 の 媒 質)や

印加 電 圧 な どの

れ ま で の 報 告 の多 く は沿 面 方 向 電 界 を とっ て い る。 し

か し,大 気 圧 空 気 中 で 球 対 平 板 電極 間の ひ だ な し固 体 絶 縁 物 につ い て 調 べ た実 験 で は,表 面 が 清 浄 な場 合,相 対 湿 度 の低 い と き も,高 い と き も(60%以

上),最

大

電 界 を最 も低 くす る 設 計 の ほ うが フ ラ ツ シ オ ー バ 電 圧 が 高 い[19.9]。 沿 面放電 は本 質 的 に 固 体 絶 縁 物 外 の 放 電 で あ る か ら,乾 燥 して 清 浄 な 雰 囲 気 な ら この 論 文 が 示 す よ う に 沿 面 方 向 電 界 よ り最 大 電 界 の ほ うが 支 配 的 で あ る と思 わ れ る。 しか し, 湿 度 が 高 い 場 合 や,汚 損 表 面,金 属 ダス トが 存 在 す る場 合 な どは簡 単 で は な い 。

19.3  解 析 的 方 法 に よる最 適形 状 設 計   電 界 問 題 で,最

適 条 件 か ら最 適 な設 計 値(形

状)を

直接 求 め る こ とは 特 別 な場

合 を除 いて は出 来 ない。あ るい はその よ うな一般 的方 法 は まだ見 出され てお ら ず,次 章 に 述 べ る よ う な繰 返 し修 正 とい う方 法 が 用 い られ る 。   簡 単 な 最 適 形 状 が 繰 返 しに よ らず に 求 め ら れ る場 合 が あ る が,等 角 写 像 法 を用 い る もの で 二 次 元 配 置 に 限 られ る。 中 で も,中 心 部 分 が ほ ぼ平 行 平 面 で 端 を 適 当 な曲 面 形 状 とす る平 等 電 界 電 極(あ

る い は 一 様 電 界 形 成 用 電 極)は,放

試験,放 電 励 起 レー ザ の電 極 と して重 要 な もの で,Rogowski電

電や絶縁

極,Chang電

極な

ど等 角 写 像 法 に よ る形 状 が提 案 され て い る 。 ギ ャ ップ 中 の 至 る と こ ろで 電 界 が 一 様 な 完全 平 等 電 界 は 無 限 の大 き さが 必 要 で 実現 で き な い 。 実 用 の電 極 が 最 適 か ど うか,す

な わ ち 電 界 が 一 様 か ど うか は 通 常 電 極 表 面 の電 界 分 布 で評 価 され る。

  電 極 の 表 面 電 界 が 完 全 に 一 定 で あ る形 状 はBorda電 に な る 流 体 噴 出 孔 の 形 状 と して1766年

にBordaが

に示 す よ う に,上 部 電 極 の 電 界(電 気 力 線)の よ っ て π/2-Borda電 面 の 場 合(上

極 と π-Borda電 極 の2種

下 が 非 対 称)と,影

極 と 呼 ば れ,流 速 が 一 定

与 え た も の で あ る。 図19・5

方 向 の 変 化 範 囲(図

の 角 度 θ)に

類 が あ る。 ま た 下 部 電 極 が 接 地 平

像 の位 置 に 上 部 電 極 と 同 じ形 状 が あ る場 合(対

称)と が あ る 。  Borda電

極 は,完

全 な 平 等 電 界 で あ るW平

面 → 実 際 の 形 状 で あ るz平 面(x,y座

(a)π/2-Borda

標)ま

面 か ら,t平 で4段

面 →logζ 平 面 → ζ平

階 の 変 換(写

像)を 経 て 導 出

(b)π-Borda

図19.5  2種 類 のBorda電 極 の形 状(太 い矢 印 が 電界 一 定 の範 囲)

され る[19.10]が,い ず れ に して も次 節 に 述 べ る繰 返 し修 正 の 方 法 で な く,形 状 を 直 接 式 で 与 え る こ とが で き る 。 文 献[19.11]に 電 界 が 一 定 な領 域 の 端 点 の 電 界 異 常 性 が 述 べ られ て い る。 一 方,回

転 対 称 配 置 で は表 面 電 界 が 一 定 な 電 極 形 状 は,

数値 的 な方 法 で しか 求 め られ ない が,文

献[19.12]に 記 述 され て い る 。

19.4  数値 的 方法 に よ る最 適 形状 設 計 19.4.1 

計算 の プ ロセス

 図19・6に

示 す よ う に,電 界 計 算 → 最 適 条 件 の 判 定 → 形 状 の 修 正 → 電 界 計 算,

とい う プ ロセ ス を繰 り返 す 。 この 中 で,形 状 の 修 正 方 法 が,最 適 形 状 設 計 の 鍵 と

図19.6 

最 適 設計 の 概略 の フロ ーチ ャー ト

な る 部 分 で,こ の 方 法 の 良 否 が 計 算 時 間 と精 度 を支 配 す る。 す で に何 種 類 もの 方 法 が提 案 さ れ て い るが,ど

れ が よ い か は 必 ず し も明 らか で な い 。 一 般 的傾 向 と し

て は,特 殊 な 方 法 は精 度 が 高 い が 適 用 範 囲 が 狭 く,広

く使 用 で き る方 法 は 精 度 が

劣 る 。 この 傾 向 は 数 値 的 な 電 界 計 算 法 全 体 の 傾 向 と同 じで あ る 。

19.4.2  電 極 形 状 の 修 正 方 法   電 荷 重 畳 法 で は 形 状(輪

郭 点)の

修 正 を 中 心 とす る方 法 と,電 荷(仮

想 電 荷)

の位 置 や 大 き さ(量)の 修 正 を 中心 とす る方 法 が あ る。 前 者 で は 各 点 の 電 界Eと 平 均 値 の 差 に比 例 した 量 だ け 輪 郭 点 を移 動 させ る方 法[19.13]や,平 均 曲 率Hと 界Eと

の 次 の 関 係(Spielreinの

関 係 式,7.4節)を

電

用 い る方 法 が 使 用 さ れ て い

る[19.6][19.14]。 (19・2)

こ れか ら電 界 の 修 正 量ΔEと

形状 の 修 正 量ΔHの

関係 は,次 の よ う に な る。 (19・3)

こ こでnは

境 界(電

極 表 面)の 法 線 方 向 単 位ベ ク トル で あ る。

  一 方,電 荷 の 位 置,大

き さ を変 化 させ,生

じた 等 電 位 面 を電 極 形 状 とす る 方 法

(「Metzの 方 法 」 と呼 ば れ る)[19.15]は,計 算 時 間 の 点 で は優 れ て い るが 自動 化 が 難 しい 。 こ の 方 法 を発 展 させ て,自 動 的 に電 荷 を 追 加 して行 く方 法 も 開発 され て い るが,次

に述 べ る絶 縁 物 形 状 の 最 適 化 に は適 用 が 難 しい よ うで あ る。

  表 面 電 荷 法,境

界 要 素 法 で は,表 面 の輪 郭 点(節 点)を 移 動 させ る 方 法 と,分 割

要 素 を変 形 す る 方 法 とが あ る 。 これ ま で の 報 告 は ほ とん ど前 者 で,た

とえばマ ク

ス ウ ェ ル 応 力 εE2/2に 比 例 した 量 を修 正 量 とす る方 法[19.16]などが 提 案 され て い る。 分 割 要 素 を 変 形 す る方 法 で は 図19・7の セ ク タ に 分 け,各

よ う に電 極 断 面(円

あ る い は弧)を

セ ク タ を電 界 に応 じて 相 似 に 拡 大 あ る い は 縮 小 す る 方 法 が あ

る[19.17]。 こ の方 法 は 電 荷 重 畳 法,有

限 要 素 法 に も適 用 可 能 で あ る。

 表 面 電 荷 法 を 用 い る手 法 の う ち,表

面 電 界Eiと

目標 電 界 値Eの

差 の平 方和

(a)半

球棒 対 平 板(b)棒

(c)セ

ク タの 変形(d)最

先端 表 面 の セ ク タ分 割

終形 状

図19.7  分 割 形状 の変 形 に よ る最適 化

Σ(E−Ei)2を

目 的 関 数 と し,ニ

か つ 収 束 も 早 い(反

ュ ー ト ン法 で 最 適 化 す る 方 法 は,一

復 関 数 が 少 な い)の

般 的 で あ り,

で 有 力 な 方 法 で あ る[19.18]。

19.4.3  絶 縁 物 形 状 の 修 正 方 法   最 適 条 件 が 沿 面 方 向電 界 一 定 の場 合,絶 縁 物 表 面 近 くの近 接 した 等 電 位 面 φA, φB(距 離Δl)か

ら (19・4)

と して,Etが

望 み の値 に な る よ う にΔlあ る い は等 電 位 面 を 動 か す 方 法 が 多 い 。

た と え ば 図19・8(a)で

は,Etが

与 え られ た 一 定 値E0に

一 致 し な い と き, B点

を 同 じ等 電 位 線 上 のB'点 に移 動 させ る 。 あ る い は 文 献[19.19]で でΔlを 変 え る よ り,図(b)の 方 が 良 い と して い る。

は,等 電 位 面 上

よ うにΔlを 一 定 に して 別 な 等 電 位 面 に 移 動 させ る

(a)同

(b)同

じ等電 位 面 に移 動

じΔlで 移 動

図19.8  誘 電 体 界 面形 状 の修 正

  ま た,表 面 電 荷 法 で は各 部 分 の 電 荷 密 度 の 面 を適 当 に 回転 させ る 方 法[19.20]や 形 状 の 表 現 に ス プ ラ イ ン 関 数 を用 い る 修 正 方 法[19.21]が 提 案 され て い る。 ス プ ラ イ ン関 数 を 用 い る利 点 と して,少

な い 変 数 で電 極 形 状 が 滑 らか に な る こ とな どが

あ げ られ て い る。

19.5  計 算例 と今後 の課 題 19.5.1 

電界最 適 計算 の経 緯

  計 算 機 を 用 い た 最 適 形 状 設 計 は,電

界 分 野 で は1972年

告[19.22]が 最 初 と思 わ れ る 。 同 軸 円 筒 電 極 間 の 円錐 ス ペ ー サ(固

のK.Antolicの

報

体 の 支 持 絶 縁 物)

表 面 の 沿 面 方 向電 界 を 一 定 にす る 形 状 を有 限 要 素 法 で 求 め た もの で あ る 。 そ の後 の 約15年

間 に 多 数 の 論 文 が 発 表 さ れ た が,最 適 化 の 手 法 が 一 通 り開 発 され,新

しい 手 法 や 応 用 を提 案 す る の が 難 し く な り,発 表 は低 調 に な っ た 。1990年 ば に他 分 野 に お け る 逆 問 題 研 究 の発 展,AI(人

代半

工 知 能)技 術 の 応 用 な どに 刺 激

され て 一 時 論 文 数 が 増 加 した。 た と え ば ニ ュー ラ ル ネ ッ トワ ー ク を用 い る電 界 最 適 化[19.23]であ る 。 さ らに,非 線 形 計 画 問 題 や 磁 界 分 野 の 最 適 計 算 に お け る 手 法 と して,逐 次 二 次 計 画 法,シ

ミュ レー テ ィ ッ ド ・ア ニ ー リ ン グ法,ロ

ーゼ ンブ ロ

ッ ク法,遺 伝 的 ア ル ゴ リ ズ ム が 発 表 さ れ,こ れ らの 手 法 の適 用 が 期 待 され る と こ ろで あ るが,画 期 的 な進 展 は見 られ て い な い 。

19.5.2 

計 算 例

  文 献[19.24]に 文36件

は1995年

こ ろ まで の 電 極 形 状,絶

につ い て,発 表 年,計

縁物 形状 の最適形状設計 の論

算 法,計 算 内 容 が 表 に な っ て い る。 こ れ に よる と,

1980年 こ ろ まで は も っ ぱ ら差 分 法 と 電 荷 重 畳 法 が 用 い ら れ,そ

の後表面電 荷法

が 多 くな っ て い る。   基 礎 的 な 配 置 で は,回 転 対 称 の棒 対 大 地(接 地 平 面)ギ

ャ ッ プ で棒(先 端)表

面 の 電 界 を一 定 にす る 計 算 が 多 数 報 告 され て い る 。 実 用 機 器 で は ガ ス絶 縁 開 閉 装 置(GIS)に

関 す る 計 算 が もっ と も多 い 。 こ れ は 高 気 圧 ガ ス の 絶 縁 特 性 が 最 大 電

界 に 依存 し,最 大 電 界 を低 下 させ る と寸 法 が 小 型 に な るた め で あ る。   実 用 機 器 で は 気 中絶 縁,ガ

ス絶 縁(お

も にGIS)の

さ ま ざ ま な個 所 の 最 適 計 算

が報 告 され て い る。 複 雑 な形 状 で はた と え ば 変 圧 器 引 出 し リー ド線 部 分 の シ ー ル ドリ ン グ の 電 界 を 最 小 に す る 形 状 の 計 算(表

面 電 荷 法)が

あ る[19.25]。 最適 計算

で一 般 的 に 難 しい の は,三 次 元 配 置 で 複 合 誘 電 体 の 場 合 で あ るが,図19・9は の よ う な 計 算 の 例 で,単 相 ガ ス絶 縁 線 路 の 円柱(コ 計 算(境

界 要 素 法)[19.26]であ る。 なお 筆 者 の1人

置(R=3cm)

(b)電

ー ン)形 支 持 ス ペ ー サ の 最 適

が 委 員 長 を務 め た 「電 磁 界 解 析

と そ の 逆 ・最 適 化 問 題 へ の 応 用 調 査 専 門 委 員 会(設

(a)配

そ

置 期 間:1993年4月

界絶対値 最適 化 形 状

∼1996

(c)沿 面 方 向電 界 最 適 化 形状

図19.9  固体 絶 縁 物(支 持 ス ペー サ,比 誘 電 率6)の 電 界 最 適化

(a) A点,B点 を 固定 し,AB 間 の形状 を変 え て,AB間 の表 面電 界 を一様 にす る。

(b) C点 を固 定 し,CD間 の 形状 を変 え て,AB間 の 表面 電 界 を一 様 にす る。

(c) A点,B点 を 固定 し,内 部 導体 の形 状 を変 え て,表 面 電界 を一 様 にす る。

図19.10  電 界 の 最 適形 状 計算 の 比 較 に用 い た モ デ ル

年3月)」

は,電 界 ・磁 界 の 標 準 的 な計 算 モ デ ル を設 定 して 各 種 の 比 較 計 算 を 行

って い る が,電 界 で は 図19・10の

よ う な モ デ ル を 採 用 して い る[19.27］ 。回転対称

配 置 で接 地 容 器 中 の 課 電 導 体 端 末 の 表 面 電 界 を一 様 にす る 問 題,な

ら び に三 次 元

配 置 で接 地 立 方 体 容 器 中 の課 電 導 体 球 の表 面 電 界 を一 様 に す る問 題 で あ る。 19.5.3 

今 後 の課 題

  最 初 に も述 べ た よ う に,電 界 分 野 で の 一 般 的 な 最 適 設 計 法 は ま だ確 立 され て い な い とい っ て よい 。 ラプ ラ ス の 式 に 対 す る数 値 的 な 電 界 計 算 法 は十 分 確 立 さ れ て い るが,最

適 計 算 で は 最 適 化 の 手 法,形 状(あ

る い は 設 計 変 数 の)修

種 々雑 多 な バ リエ ー シ ョ ンが あ る 。 この よ う な現 状 を背 景 に,よ

正 法 な どに

り有 効 な最 適 計

算 法 の課 題 を ま と め る と,  (a)  各 種 の 最 適 計 算 法 の 適 当す る 問 題(計 算 対 象)を

明 らか にす る 。

 (b)  一 意 な解 を得 る た め に必 要 な付 帯 条 件 を 明 らか にす る。  (c)  計 算 時 間 と精 度 あ るい は許 容 範 囲 との 関係 を 明 らか にす る。  (d)  形 状 修 正 の 繰 返 し計 算 で発 生 す る 不 安 定 性 や 局 所 的 最 適 解 の 回避 方 法 を 確 立 す る。

な どで あ る 。   さ らに,19.2.2項

に触 れ た 設 計 パ ラ メ ー タ(設 計 変 数)が

手 法 の 問 題 が あ る。 電 気 機 器 設 計,特

多 い場合 の最 適化

に 磁 界 解 析 の 分 野 で は そ の よ う な検 討 も進

ん で い る。 設 計 変 数 が 多 数 あ っ て 計 算 負 荷 が 過 大 な 場 合 の 「応 答 曲 面 近 似 法 」[19.28]な どで あ る。 こ の 手 法 は対 象 とす る 機 器 の応 答 を多 項 式 な どの 回 帰 式 で モ デ ル 化 し,実 験 結 果 か ら回 帰 式 の 係 数 を推 定(応 答 曲面 式 を算 出)す あ る設 計 変 数 は 目的 関 数 を重 み付 け し,線 形 化 す る こ とで1個

る。 複 数

の 目的 関 数 にす る

こ と もあ るが,遺 伝 的 ア ル ゴ リズ ム に よ っ て よ り総 合 化 した 最 適 化 を 行 う こ と も あ る。

付録

付 録1  仮想 電 荷(図6・2)の

電位,電

界 の式

す べ て大 地 に対 す る 影像 電 荷 の作 用 を含 ん だ式 で あ る。 a. 二 次 元 場 λを単 位 長 さ あ た りの 電 荷 密 度 〔C/m〕 とす る。 電 位:

電界:

b. 回転対称場 Qを 全 電 荷 〔C〕,λを単 位 長 さ あ た りの 電 荷 密 度 〔C/m〕 とす る。 (b.1)  点 電 荷

電位:

電界:

(b.2)  線 電 荷 ・有 限 長 線 電 荷

電位:

  特 にr=0の

と き,

電界:

  特 にr=0の

と き,

・半 無 限長 線 電 荷(B→

∞)

電 位:

  特 にr=0の

と き,

電 界:

  特 にr=0の

と き,

C.  リ ン グ 電 荷

電 位:

  特 にr=0の

と き,

電界:

ここで

K(k),E(k)は

そ れ ぞ れ 第1種,第2種

の完全 だ円積分。

付録2  最小二乗法 を用 いる電荷重畳法   5.1節 に 述 べ た仮 想 電 荷 の 作 る 等 電 位 面 を 同 じ数 の 輪 郭 点 で 電 極 電圧 と 同 じに 置 く方 法 で な く,次 式 の誤 差 の 二 乗 の和 を最 小 に す る こ と に よっ て 支 配 方 程 式 を 作 る[a.1]。この 方 法 で は仮 想 電 荷 の 数nと

輪 郭 点 の数mは

同 じで な くて も よ い 。

 i番 目 の輪 郭 点 にお け る 電 位 差 を δφiとす る と,二 乗 誤差 の 和Rは,

 二 乗 誤 差 に は 重 要 な部 分 の誤 差 が よ り小 さ くな る よ う に重 み を つ け る こ と もで き る。Rを

最 小 に す る た め に は 各 電 荷 に つ い て,

と置 く。 こ れ か ら次 のn個

のQjを 未 知 数 とす る連 立 一 次 方 程 式 が 形 成 さ れ る 。

こ こで

  Steinbiglerは 実 際 の 配 置 に つ い て 通 常 の 電 荷 重 畳 法 と比 較 計 算 を行 っ て い る が,最 小 二 乗 法 に よる 方 法 で ほ ん の わず か精 度 が 改 善 さ れ る だ け で あ る。 そ の た め 支 配 方 程 式 の 作 成 が 面 倒 な こ と もあ っ て ほ とん ど使 用 され て い な い 。 た だ使 用 す る仮 想 電 荷 数 を な る べ く減 ら した い と きに は い く らか有 効 で あ る 。

付 録3  第2種

完 全 だ 円積 分E(k)の

算術幾何平均法 によ

る計算[a.2]   正 の2数a,bに

つ い て,  と し て,以

と お く と,数 列{an},{bn}は

下

同 じ値M(a,b)に

近 づ く。

  さ ら に,〓

か ら 出 発 し て 順 にan,bn,cn,を

算 す る 。 十 分 大 き なnに

た だ し,c0=k2で

付録  4面

計

対 し て,

あ る 。

積座標

(a)  面 積 座 標 の 定 義   面積 座 標 は以 前 は 主 に 有 限 要 素 法 に お い て 用 い られ,頻

繁 に必 要 に な る 面積 積

分 な どの 計 算 に 利 用 さ れ た 。 そ の 後 表 面 を分 割 す る表 面 電 荷 法 で も利 用 され て い る。 図A・1に

示 す よ う な 二 次 元(x,y)座

標 の 三 角 形ijmに

義 され る三 つ の座 標u,υ,ω が 面積 座 標 で あ る 。

お い て,次

の式 で定

図A.1  面 積 座 標

(A5・1)

u =1

,υ=w=0が

ま たu=0と

頂 点iを 表 わ す こ と は 容 易 に 分 か る 。 頂 点j,mも し てυ,wを

が 得 ら れ,u=0が と1対1に

辺jmを

=

表 わ す こ と が 分 か る 。 ま た 座 標u,υ,wはx,y座

標

示 す よ う に,

三 角 形Pjmの 面 積 /三 角 形ijmの 面 積

が 成 り立 っ て い る 。υ,wも

こ こで,Δ

消 去 す る と,

対 応 し,図A・1に u

同 様 で あ る。

は三 角 形ijmの

同 様 で あ る 。 さ ら に(A5・1)式

面 積 で,ai,bi,ci等

は4.2節

あ る。 面積 座 標 は負 の 値 を と る こ と もあ る。 図 のP点 合 で あ る。 面 積 座 標 は 通 常1以 標 は1以 上 にな る こ と もあ る。

下 の値 で あ る が,1個

か ら

に与 え た も の と 同 じで

が 三角形 の外 側 にある場 の 座 標 が 負 で あ る と他 の 座

(b)  面積 座標 の図示 と積分   座 標u,υ,wは2個

だ け が 独 立 な の で 二 次 元 平 面 に 図 示 す る こ とが で き る。

デ カ ル ト座 標 の横 軸,縦 軸,を

そ れ ぞ れ 座 標u,υ

とす る こ と もあ るが,そ

き は三 つ の 座 標 に 対 して対 称 で な くな る。9.2.2項(図9・7)で (極 座 標 の θ=0の をυ 軸,w軸

方 向)をu軸,そ

のと

述 べ た の は横 軸

れ か らそ れ ぞ れ2π/3,4π/3回

転 した方 向

とす る 表 示 で あ る。 こ の 図 示 方 法 で は,(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)

は正 三 角 形 に な る。   面 積 座 標 を用 い る こ とに よっ て 複 雑 な計 算 が 相 当 に 簡 単 に な る。 そ の 一 つ と し て 有 限 要 素 法 で は 三 角 形 全 体 に わ た る面 積 積 分 の 計 算 が しば しば必 要 で あ る が, こ の積 分 が 面 積 座 標 で表 わ され る と次 の公 式 で た だ ち に 計 算 で きる 。

(c)  有 限 要 素 法 の 電 位 の表 現   前 節 の 面 積 座 標 を使 用 す る と,通 常 の 三 角 形 要 素 で 三 つ の節 点 電 位 を未 知 数 と す る有 限 要 素 法 の 近 似 関 数 は 次 式 で 与 え られ る。 こ れ は(4・10)式 と比 較 す れ ば 容 易 に確 か め られ る。

この よ う な 一 次 式 の場 合 はk1=φi,k2=φj,k3=φmで

あ る。

  また 三 角 形 の3節 点 と3辺 の 中点 の 電 位 を未 知 数 とす る近 似 関 数(6節 形 要 素)は,二

点三 角

次式 で

一 つ の 三 角 形 内 の φ を二 次 式 で 近 似 す る ほ うが ,こ の 三 角 形 を さ ら に4個 の 三 角 形 に細 分 して 一 次 式 で 近 似 す る よ り,一 般 に精 度 の 向 上 す る こ とは4.7節

で説

明 した。

付 録5 

(9・7)式

のkの

  本 文 図9・2のP3,P6,P7,P1で

導 出[a.3] 表 現 さ れ る 辺 曲 線(υ=0)を

例 に して 説 明 す

図A.2

る 。P3位

置(u=0,w=1)で

し,P1位

置(u=1,w=0)で

る 。 た だ し,t1,t2ま る 。 ま た,こ (9・5)式

の 接 線 ベ ク ト ル をt1,単 の 接 線 ベ ク ト ル をt2,単 た は τ1,τ2の 向 き は 図9・5に

の 辺 曲 線 の 中 点 位 置(u=w=0.5)で

位 接 線 ベ ク トル を τ1と 位 接 線 ベ ク ト ル を τ2と す

合 わ せ て 図A・2の

の 接 線 ベ ク ト ル をtcと

定 義 す る と,次

こ れ ら よ り,tcを

よ っ て,tcの

式 も成 り 立 つ 。

書 き直 す と次 式 とな る。

長 さ の2乗

は 次 式 で 表 さ れ る。

  こ の 曲 線 の 歪 を 小 さ くす る 簡 便 な 方 法 と し て,￨t1￨=￨t2￨=￨tc￨=kと

られ る。

す る。

よ り以 下 の 式 が 成 立 す る 。

今,R=P1−P3と

課 し て,こ

向 きに と

のkを

与 え る 式 を 導 出 す る 。t1=kτ1,t2=kτ2も

い う条 件 を

考 慮 す る と次 式 が 得

こ こ で,R・(τ1−

よ っ て,k/3￨R￨は

τ2)/￨R￨=A,τ1・

τ2=Bと

お くと 次 式 と な る。

次 式 とな る 。

k/(3￨R￨)を 正 の値 に す る た め に+符

号 を採 用 す る と,本 文(9.7)式 が 得 られ る 。

付 録6  電荷 密 度 λkcoskψ に よる電界   こ の式 は,電 荷 重 畳 法 に よ る一 般 三 次 元 場 の 計 算 で リ ン グ電 荷 の 成 分 と して 出 て くる 式 で あ る 。 この 成 分 がP点(r,θ,z)に に対 す る 影 像 電 荷 の 作 用 は含 ま な い 場 合)で

生 じる電 界 の 式(た あ る 。k=0の

だ し,接 地 平 面

と き は 〔付 録1〕 の

リ ング電 荷 の 式 に な る の で 省 略 す る。

こ こで

  特 にr=0の

と き は,〓

Er=0(k≧2ま

(k=1で

た は θ≠0の

方 向),Eθ=Ez=0

θ=0の

方 向)

演習問題解答

第1章 1. 持 ち込 ん だ プ ロ ー ブが 電 界 を乱 す た め 。 電 流 界 で は 大 気 の 導 電 率 が 零 で あ る た め そ こ に存 在 す る プ ロ ー ブ は 電 界 を乱 さ な い 。 静 電 界 で も等 電 位 面(線)に 沿 っ て プ ロー ブ を 配 置 す れ ば電 界 を乱 さ な い が 等 電 位 面 の位 置 が 不 明 な と き は適 用 で き ない 。 2. 1.4節 に説 明 。 電 界 計 算 は お も に ラ プ ラス の 式 を対 象 に し,未 知 数(関 数) は ス カ ラポ テ ン シ ャル で そ の境 界 条件 が 明 確 で あ る(導 体 表 面 で電 位 が 一 定)。 ま た,多

くの 場 合 媒 質 の 特 性 は線 形 で あ る。 しか し,電 界 値 に高 精 度 が 要 求 さ

れる こ とが 多 い。  磁 界 問題 に も ラ プ ラス の 式 が 現 れ る が,し

ば しば ベ ク トル ポ テ ンシ ャ ル が 未 知

数 と な り,ま た鉄 心 の よ う な異 方 性 や ヒス テ リ シス を伴 う材 料 が 重 要 で あ る 。

第2章 1. 雷 雲 に よ る電 界 は 短 時 間 に は 変 動 し な い(直 流 で あ る)。 この よ う な 電 界 に 対 して 人体 は 導 体 と見 な して よい 。 そ の た め 大 地 と同 じ接 地 電 位 で 水 道 管 との 間 に電 位 差 が 発 生 しな い 。 2. 正 し くな い 。 正 しい 電 位 で あ る た め に は ラ プ ラ ス の 式 を満 足 す る ほ か に境 界 条件 を満 足 しな けれ ば い け な い 。 3.  (2・10)式 で 電 位 がrだ

け の 関 数 で あ る か ら,容 易 に積 分 で き る。 積 分 して 境

界 条 件 を用 い る と,電 位 φ,電 界E(r方

向 成 分 の み)は,

4.  最 大 電 界 はV/{R1ln(R2/R1)},ま

た 平 均 電 界 はV/(R2−R1)で

あ る か ら,利

用 率 はR1ln(R2/R1)/(R2−R1)  

R1=1cm,R2=2cm,V=1kVの

と き の 最 大 電 界 は1.44kV/cm,利

用 率 は

0.693

第3章 1. 図 問3・1(b)の

よ う に 間 隔1cmの

の 格 子 点 を 順 にP,A,B,C,Dと A点

格 子 で 分 割 し て 差 分 法 を 適 用 す る 。y=1

す る と,対

称 性 か らx=1,y=2のG点

の電位 は

と 等 し い 。 差 分 式 は,

  4φP=2φA(1) 

4φ4=φP+φB+100(2)

  4φB=φA+φC+100(3) 

4φC=φB+φD+100(4)

φD=50と

す る と,φP=2050/97=21.1。

し て は 良 い 近 似 値 で あ る 。 も し,φDを を50と

し て も,φP=7650/362=21.1と

と す る と,φP=550/26=21.2と 2.  一 般 に,間

隔hの

正 し い 電 位 は20.2な 未 知 数 と し,さ

ので荒 い分割 に

ら に 先 の 点(6,1)の

電位

ほ と ん ど 同 じ で あ る 。 一 方,φC=50 僅 か に 相 違 す る。

正 方 格 子 で 分 割 し た と き,P点

と 周 囲 の4点a,b,c,dと

の

電 位 の 関 係 式 は,

とな り,P点

のr座r0の

項 が 付 け 加 わ る 。 二 次 元 配 置 で は 図 問3・1の

電極

が どこ にあ って も(平 行 移 動 して も)差 分 式 は 同 じで 電 位 も変 わ ら な い が,回 転 対 称 配 置 で はr座 標 の ど こ に あ る か が 電 位 に 影 響 す る。r0が 大 き くな る と 二 次 元 配 置 の 電 位 に近 づ く。 さ ら に,回 転 対 称 配 置 で は 図 問3・1(b)のG点 の電 位 はA点 3. 問3・1が ろ で はy=1の

と等 し くな い 。 回 転 対 称 配 置 の と き,rが 電 位 は50Vで

充 分 大 き い(か

ど部 分 よ り離 れ た)と

こ

あ る。 一 方zが 充 分 大 きい と こ ろ で は 同軸 円 筒 電

極 配 置 の 電 位 に な る。 4. 本 文3.3節

に説 明 し た よ う に,各 格 子 点 の 電 位 を テ イ ラ ー 展 開 の 式 で 表 し

て,ま ず 一 次 の微 分 項 を消 去 し,ラ プ ラス の式 を用 い る。

第4章 1.  こ の 三 角 形 の 各 頂 点 で φ0,φ1,φ2と

  で あ る 。 こ れ か ら電 界(の 2.  要 素 の 頂 点 の 電 位,座

 で あ る。a,b,c,dを

各 成 分)は

標 とa,b,c,dの

この4個

電 位 差 ÷距 離 とな る。 関 係 は,

の 連 立 一 次 式 の 未 知 数 と考 え て解 く と,φiの 一

次 式 と して 表 され る。 後 は4.2節 の 計 算 にxあ

な る 電 位 は,

と同 じ手 順 で あ るが ポ テ ン シ ャル エ ネ ル ギ ー

る い はyの 積 分 が 必 要 で あ る 。

 電 界 の 式 は(4・41)式 の よ う に座 標 の 一 次 式 に な る。

第5章 1. 対 称 な 位 置 の 電 荷 は 同 じに して よ い の で6個

で あ る 。 ま た大 地(接

地 平 面)

は 同 じ影 像 電 荷 を 配 置 す れ ば 表 され る の で独 立 な未 知 数 は や は り6個 で あ る 。 2. 図 問5・1の

斜 線 部 の よ う な1/4部

い｡す な わ ち電 位 φ は,

の 式 を用 い,さ

らにyの 積 分 が

で あ る こ と を 用 い る と,

分 の 電 荷 の 作 用 を積 分 し,4倍

すれ ば よ

こ の式 は,も

ち ろ ん 本 文15.5節

の 三 角 形 表 面 電 荷 法 の 式 を 用 い て 出す こ と も

で きる。   a=b=w/2,d=0と

す る と,φ=σwln(1+√2)/(π

さ の 正 方 形 の 場 合,σw2/φ=π

ε0/ln(1+√2)=31.6pF。

定 の 正 方 形 の 中 心 の 電 位 で,正 頂 点 な ら 中 心 の1/2)が,導

ε0)と な る 。1辺

が単 位長

この電位 は電荷密 度一

方 形 の 場 所 に よ っ て 電 位 が 相 違 す る(正

方形 の

体の場合 は電位が一 定で電荷 密度 が場所 に よって

相違す る。

3. 要 素jの 端 点 の 電 荷 密 度 を λj,λj+1とす る と,電 荷 密 度 が 一 定 の 場 合 の 電 位 係 数P(i,j)は

σ(j)だ け で 決 ま る の に 対 して,λj,λj+1の2個

の変数 が関与す

る。 ま た 電 極 表 面 が 閉 じて い な い 断 面 の と き はλjの 数 は 要 素 の 数 よ り1個 多 くな る 。 選 点 法 を用 い る と境 界 条件 が 不 足 す る の で,電 荷 密 度 の 変 化 が 少 な い 方 の端 で λn=λn+1と す る な どの 便 法 が 用 い られ る。 4.  自分 自身 以 外 の 電 荷 の 作 用(電 界)に よ る。 こ の 電 界 は 表 面 に垂 直 に σ/(2ε0) で あ る 。 電 気 一 重 層 は 両 側 に(反 対 向 きの)σ/(2ε0)の 電 界 を作 るが,導 内 側 で は 他 の 電 荷 の 作 用 で 打 ち 消 さ れ,外

体の

向 き に は加 算 さ れ て σ/ε0とな る 。

導 体 表 面 の い た る と こ ろで そ の よ う に な っ て い る 。

第6章 1.  対 称 性 か らQ1=Q3で

あ る 。 計 算 は 未 知 数 をq1=Q1/4π

ε0,q2=Q2/4π

す る と よ い 。(a)Q1=8.884×10-11C,Q2=−1.437×10-11C,静

ε0と 電 容 量 は

(2Q1+Q2)/V=163pF,(b)Q1=7.287×10-11C,Q2=0.821×10-11C,静 電 容 量 は154pF。

正 確 な 値 は158pFな

の で 静 電 容 量 の 値 に 関 す る 限 り(b)の

模 擬 の ほ うが よ い。

2.  電 荷 の 式 は 付 録1に がQ2で(0,−1)か

与 え ら れ て い る 。 輪 郭 点 の 座 標 が(r,z)の ら(0,1)に

あ

る 線

電 荷

の

生

じ

と き,電 る 電 位

荷 量 は,

〓 で あ る 。 こ れ か ら(a)Q1=9.275×10-11C,Q2 =−2 =1

.259×10-11C,静 .441×10-11C,静

電 容 量 は163pF,(b)Q1=6.969×10-11C,Q2 電 容 量 は154pF。

仮 想 電 荷 の 電 荷 量 は 相 違 す る が,静

電 容 量 は 中 央 の 電 荷 が 点 電 荷 で も線 電 荷 で も ほ とん ど同 じで あ る。 3.  Ezの(6・19)式

で はz=0と

す る と 常 に0に

な る よ う に 見 え る が,zの

小 さい

と き,Y=z/√R2−r2と 端 点(r=R)以

な っ て,Ez=Q/(4π

外 は 常 に0で

ε0R√R2−r2)で

あ る 。 一 方,Erは

あ る 。 電 荷 密 度 は,σ=ε0Ez=Q/(4πR√R2−r2)

第7章 1. (a)-(c)は

比 較 的 局 所 的 な 電 界 を精 度 よ く求 め る場 合 が 多 く,境 界 分 割 法

が 適 して い る。 コー デ ィ ング の 容 易 な 点 も考 慮 す る と,(a),(b)は 法,(c)は

表 面 電 荷 法 。(d),(e)は

(e)でmmオ

差 分 法 あ る い は 有 限 要 素 法 で あ る が,

ー ダ の 細 分 割 の 場 合 は 差 分 法 が 適 して い る。(e)は

き る高 速 多 重 極 法 の 表 面 電 荷 法(第9,10章)の 2. 本 文7.2節

極細 分割 で

適 用 も可 能 で あ る 。

に記 載 。 主 要 な 相 違 点 は コ ー デ ィ ング(プ

度,計 算 時 間,特 異 点 の 処 理,汎 3. 図 問7・1の

電荷重 畳

用 性,な

ロ グ ラ ム)の 難 易,精

ど。

よ う に,電 極 表 面 の 電 界 をE,ΔR離

れ た 点 の 電 界 をE+ΔEと

して ガ ウ ス の 定 理 を適 用 す る 。 πR2E=π(R+ΔR)2(E+ΔE)   二 次 の 微 小 項 を 無 視 して 整 理 す る と,ΔE/ΔR=−2E/R。

第8章 1. (滑 ら か な)境 界 表 面 上 のP点 を本 文(8・7)式 のSeと

を 中 心 とす る半 径Rの

す る。 半 球 の 表 面 積 が2πR2で

づけ る と この 積 分 は,φ(P)/2す

な わ ちC=1/2と

半 球 を 取 り,こ の半 球 あ る か ら,Rを0に

な る。 φ(P)はP点

近

の電位 で

あ る。 2. 本 文8.3節 界 分 割 法(た

に記 載 。 一 番 の 難 点 は,領 域 分 割 法(た と えば 電 荷 重畳 法)を 併 用 した場 合,対

上 に,全 体 の(支 配)方

と え ば 有 限 要 素 法)と

境

象 とす る未 知 数 が 異 な る

程 式 の係 数 が 疎 な部 分 と密 な 部 分 とか ら成 り,大 規 模

な 問題 で は解 くの が 容 易 で な い こ とで あ る。 3. (8・28)式 を離 散化 す る と次 の 式 に な る 。

こ こ で,図

問8・1に

子 点1,2,3,4の

示 す よ う に κA∼ κcは 各 象 限 の セ ル の 導 電 率 ,φiは 電 位,Aiは

(A2,A3はx方

各格

φ0を通 る 辺 の 中 点 の 磁 気 ベ ク トル ポ テ ン シ ャ ル

向 成 分,A1,A4はy方

向 成 分),hは

格 子 間 隔 で あ る。

第9章 1.  ま ずu+υ+w=1と

い う 条 件 に 注 意 す る 。 た と え ばP4を

の 場 合 はu=0,υ=w=1/2と り,(P2+P3)/2=P4の たP4に

考 え る と,二

場 合 はP(0,1/2,1/2)=P4と

な

な る が,任

意 に配 置 され

対 し て は こ の 等 式 は 成 立 し な い 。 ま た 三 次 式 で は,u=0,υ=2/3,

w =1/3と

し て ,P(0,2/3,1/3)=(P3+6P5+12P4+8P2)/27と

的 に はP(0,2/3,1/3)≠P4で

な る が,一

余 弦 法 則 か ら)導 3. 付 録5の

般

ある。

2. (解 答 は 省 略)重 心 を原 点 と す る正 三 角 形 を作 図 して(た

u軸,そ

次式

し て,P(0,1/2,1/2)=P2/4+P4/2+P3/4と

とえば角度 の式 は

く こ とが で き る。

面 積 座 標 の 説 明 で 述 べ た よ う に,横 軸(極 れ か ら そ れ ぞ れ2π/3,4π/3回

座 標 の θ=0の

転 した 方 向 をυ 軸,w軸

方 向)を

とす る 表 示 方

法 を と る と,容 易 に こ れ らの 式 が 導 け る。

第10章 1. 〓

こ の例 か ら も分 か る よ う に,通 常 は セ ル の 総 数 はO(Ｎ)で 2. 一様 電 界(無

限 遠 か らの 寄 与)の

計 算 点 に はL2L変

ある。

効 果 を ル ー トセ ル に加 え る と よい 。 各 電 界

換 の 繰 返 し に よ っ て こ の効 果 が 伝 え ら れ る。FMMの

回 数 に 対 し て 追 加 す る 計 算 回 数 は1回

で 済 む 。 た だ し,L2L変

計算

換 の 繰 返 しに

よ り若 干 の 数 値 計 算 誤 差 の混 入 が 懸 念 さ れ る 。 そ こ で 普 通 は,FMMの

計算 と

は 別 に各 電 界 計 算 点 で 一 様 電 界 の 効 果 を個 別 計 算 し(と い っ て も一 様 電 界 で あ れ ば 一 定 値 で あ る),FMMの

計 算 結 果 に これ を足 し込 む と よい 。FMMの

算 回 数 に対 して 追 加 す る計 算 回 数 はN回 荷 と して は実 際 上 問 題 に な らな い 。

とな る が,O(N)で

計

あ るので計算 負

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加 藤,ほ

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大 久 保,ほ

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E.Kim,ほ

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K.Antolic:1st

[19.23] 

H.Okubo,

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河 本,宅

間:電

[19.25] 

C.Trinitis

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Braunschweig,

No.31.05(1987)

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か:電 か:電

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か:電

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藤 島,ほ et

か:電

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磁 界 解 析 と そ の 逆

・最 適 化 問 題 へ の 応 用,技

気 学 会 論 文 誌D,Vol.123, Trans.,

Vol.

AS-14,

No.4,

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p.1902(2004)

付録 [a.1]  [6.1]の 文 献 [a.2]  [6.4]の 文 献 [a.3]  濱 田,宅

間:平

成11年

電 気 学 会 全 国 大 会 予 稿,No.38

術 報 告 第611号(1996)

p.371(2003),な

ら び に,

索

引

FMM‐BEM,

FMM‐SCM 

128

数 字

G 6節

点 要 素   40

GIS;gas

insulated

switchgear 

248

B

H Bachmann法  Borda電

204

HSSSM 

極   251

boundary

relaxation

method 

190

25

I C

IEM(integral CAD 

equation

method) 

43

244

K CADEF 

246

CAE 

Kuttの

244,245

CFL(Courant‐Friedrichs‐Levy)条

有 限 部 分 積 分 公 式   53

件   97

L charge

simulation

method 

57

CIM 

245

L2L(local

CIP法

  89

Log‐L1変

Courantの

to local)変

換   124

換   54,110

条 件   97

M D

M2L(multipole Deutschの domain

decomposition

to local)変

M2M(multipole

仮 定   230,232 method 

method

16

methods

of moments 

43

of subareas 

43

E

Metzの equivalent

source

method 

Monte

44

方 法   253 Carlo

method 

Mott‐Gurney近

90

似   231

F

P fast

multipole

FDTD法

method:FMM 

Pauthenierの

integral)法 

FIT(finite

integral

fl oating

116

  96

FI(finite

random

walk

98

method 

式   228

point matching 

technique)法

  98 91

換   124

to multipole)変

45

換   122

重 み つ き残 差法   36

S Schwartz‐Christoffel変 SOR法 

開 空 間  25

29

space

charge

SPFD法 

limited flow 

substitute

回転 だ 円体71 method 

method  T

triple‐junction effect  147 V VENUS 

階段 近 似   100

64

charge

charge

解析 的方 法  3 階層 的分 割統 治   119

関 係 式  82,253

Steinbigler法 

surface

231

98

Spielreinの

か

換  4

245

58 43

ガ ス絶 縁 開 閉装 置  248,256 仮想 境 界   12 仮想 電 荷  58,64,68,259 ガ ラー キ ン法37,114 間接 境 界 要素 法  93 完全 だ円積 分   66

幾何 的 連続   106 あ

ア ナ ロ グ法   6,196

木構 造   117 既 知 電 界  155 境 界 条 件  11,113 境 界 分 割法   16,80,85,160

イ オ ン 流 場   225

境 界 要 素法   43,91,128,147,253,256

一 意 性 の 定 理   59

鏡 像 法  5

一 様 電 界   155

,177 一 様 電 界 形 成 用 電 極   251 一 般 三 次 元 配 置   180

極 座 標 変換   107 局所 展 開  119 曲面 形状 表 面 電荷 法   101

移 流 項   237 イ ン ピ ー ダ ン ス 法   89

空 間 電荷   214 空 間 電荷 制 限 条件  231

打 切 り誤 差   67

計 算機 援 用 工 学  244 影 像 電 荷   12

計 算機 援 用 設計   244

影像 電荷 法  5

計 算 法 の比 較 表  79

円 環 関 数   187

係 数行 列  66

円 弧 電 荷   187

けた 落 ち誤 差  146

円 板 電 荷   69

検 査 点  62

オ イ ラ ー の 理 論   32

格子 分 割  76

応 答 曲 面 近 似 法   258

高 速多 重 極 法  116

高 速 表面 電 荷 法   190

絶 縁 物(固 体 誘 電 体)形 状 の最 適 化  249

交 流 電界 計   178

接 触 点  148

コ ンビ ネー シ ョ ン法  94

接 線 ベ ク トル  103

さ 最小 二 乗 法  261

セ ル  117 線 電荷   57 選 点法   44,115

最大 値 原理  239,240 最 適 形状 設 計   243

相 互 容 量   161

最 適 条件   246 た

座 標 変換 法   4 差 分 法  18,135,181,197,216,233

第1種 完全 だ 円積 分  60

三 角 形表 面 電 荷 法  45,191

第2種 完 全 だ円 積 分  61

残 差  36

対 称 的 配 置  150

三 重点 効 果   147,250

対 称 面  24

算術 幾 何 平 均 法  67

体 積抵 抗   195 対 地 容量   161

磁界 計 算 法  7

代用 電 荷 法  58

自己容 量  161

だ 円筒 電 荷  71

自然 境 界  75

高木 効 果   149,250

支 配 方 程式  22,35,49,61,79

多 重 極 展 開  119

四辺 形 要素   41

断熱 境 界  75

周 期 的 配置   150 準 特 異積 分   51,54

逐 次 加 速緩 和 法  29

小 区 分法   43

直 接 法  29

上 流有 限要 素 法  234,237

直 流 イ オ ン流 場  225

人工(仮 想)境 界   12,25

直 流 送電 線   241

進行 波 電 界 カー テ ン  152,153 ツ リー法  116 酔歩   90 ス カ ラポ テ ンシ ャル差 分 法  98

デ ィ リク レ境 界 条 件  11 適 合 表 現   113

制御 点   103

電 位 係 数  61

静 電 界  14

電 位 の 方程 式  22,35

静 電 誘導   168

電 界 カー テ ン  151

静 電誘 導 係 数   161

電 界係 数  62

静 電容 量   160

電荷 重 畳 法   57,141,184,200,204,219,253

積分 方 程 式 法  44,79

電気 一 重 層   141

絶縁 され た 導体  170

電極(導 体)形 状 の 最 適化  247

電 気力 線 法  232

ポ ア ソ ンの 式   214

電 流連 続 の積 分 式  239

ポ イ ン トマ ッ チ ン グ  44,115 法 線 ベ ク トル   106

等 角写 像 法  3

補 間 関 数   37

等価 磁 気伝 導 率   97

ポ テ ン シ ャ ル エ ネ ル ギ ー 最 小 の 原 理   32

導 電性   195

ポ リ コ ン 電 極   154

特 異積 分  51,53 ま

特 異点  51 マ クス ウェ ルの 式  9

特性 曲線 法  234

丸 め 誤 差   67

な ノ イマ ン境 界 条 件   11 は

メ ッ シ ュ ジ ェ ネ レ ー タ   76 面 積 座 標   262 面 積 分   107

倍 精 度計 算  67,68 パ ッチ  101

モ ー メ ン ト法  43,113

反 復 法  29

モ ン テ カ ル ロ 法  81,90 や

非 適合 表 現   113 微 分 方程 式 法  79

有 限 差 分 時 間 領 域 法   96

平 等電 界 電極   251

有 限 要 素 法   31,138,182,198,218,234,262

表 面抵 抗   195 表 面電 荷  222

容 量 係 数   161

表 面電 荷 法  43,128,144,224,253 ら

フ ィー ル ドマ ッ ピ ング  6,196

ラ グ ラ ン ジ ュ 補 間 多 項 式   111

複合 誘 電体  135,166,175

ラ プ ラ ス の 式  9,135,197

複 素仮 想 電荷   200

ラ ン ダ ム 歩 行   90

複 素仮 想 電荷 法   173 複素 誘 電率   196,201

力 線 の 式   82

部分 容 量  161

離 散 化   15

浮遊 電位  168,175,208

離 散 化 誤 差   67

ブ レン ド  102

領 域 分 割   27

ブ レ ン ド表 現   112

領 域 分 割 法   16,80,83

分 極 電荷   141

両 極 性 イ オ ン流 場   235 輪 郭 点   58,61,64

ベ ジエ 曲面   101 変 数分 離 法  4

リ ン グ 電 荷   57,59

著者 略歴

宅 間 

董

昭和36年  東 京 大 学 工学 部 電 気 工学 科 卒 業 昭和41年   東 京 大 学 大学 院 工 学系 研 究 科 博 士課 程 修 了,工 学博 士  東 京 大 学 工学 部 専 任 講 師 昭和42年‐ 平成 7年 まで  電 力 中央 研 究 所 勤務 平 成 7年‐平成14年 まで  京 都 大学 工 学 部(後,大 平 成14年 よ り  電 力 中央 研 究 所研 究 顧 問 平 成16年 よ り  東 京 電機 大 学 特 別専 任 教 授

学院 工 学研 究 科)教 授

濵田 昌 司 昭和62年  京都大学工学部電子工学科卒業 平成 4年  東京大学大学院工学系研究科博士課程修了,博 士(工 学)  東京電機大学助手 平成 5年   同学専任 講師 平成 9年  京都大学大学院工学研究科専任 講師 平成17年 より  同学助教授

理 工学講座  数値 電界計算 の基礎 と応用 2006年9月20日

 第1版1刷

発行

著

者 宅 間 董 濵 田昌 司 学校法人 東京電機大 学

発行所 東 京電機 大学 出版 局 代表者  加藤康太郎 〒101-8457

東 京都 千 代 田 区神 田錦 町2-2 振 替 口 座00160-5-71715

印刷   三 美 印刷(株) 製本  渡 辺製 本(株) 装丁   鎌 田正 志

〓

Takuma

電 話   (03)5280-3433(営

業)

(03)5280-3422(編

集)

Tadasu,Hamada

Printed inJapan *無 断 で転 載 す る こ と を禁 じます 。 *落 丁 ・乱 丁 本 はお 取 替 え い た し ます 。 ISBN4-501-11310-3

C3054

Shoji

2006