Dinamica dei Gas Rarefatti: (C.I.M.E. Vol. 33)

f - line

in the x, y-plane will be given by

the conditions of the flow, e. g., if all streamlines are known to start with the same initial velocity vector. In practical problems boundary conditions will be given in the physical plane while the functions

'!l

(q,8) and

tp

(q, 8) can only be

determined by conditions in the hodograph plane. A tedious process of successive approximations has then to be applied . Assume that the flow around an elliptical profile

E with given velocity at infinity has to be

found. We would then start from the known solution of this problem for an incompressible fluid. This gives us a velocity distribution along the ellipse and allows us to map the ellipse onto the hodograph plane where it appears as a streamline problem for a flow around


along

E'. We try to solve the compressible fluid E' in the hodograph plane. This supplies a

E' and enables us, according to the first me-

thod described in this section, to plot the corresponding streamline E1 in the physical plane which will not coincide with E. A contour between E and

E1 might be assumed and the whole procedure repeated, and so

36

- 28 M. Z. v. Krzywoblocki

on.

2.3. Bergman's Operator Technique in General We shall briefly discuss the main results obtainable by means of Bergman's operators. The reader who is more deeply interested in the subject is referred to the original sources

[4 - 9 , 47, 48, 51, 60) .

We begin with the discussion of differential equations in two variables. In general, Bergman considers a differential equation of the form: (2.3.1)

"'~

:=

L(U) = U xx

=

~

+U

yy

+ aU

'Z

x

~

+ b U + c U = O. y

By means of substitutions : (2.3.2)

z=x+iy,

z

*' = x - ly. ,

Eq. (2.3.1) takes the form: (2.3.3.)

L(U)=U

-

zz

Let A= A(z,

1\0?<

!i'+AU +BU'!t+CU= 0, B=A,U(z,z )=U(x,y). z z

z*}, B:B(z, z",) , C::C(z,

z~,

for (z, zll-)J "£(0, 0),

be continuously differentiable functions and let (2.3.4)

D=n

z

-1~ z

dz*"+ B,

F=-A -AB+C, z

o

where n = n(z) is an arbitrary analytic function of a complex variable which is regular for Let further

z E "ij. 2( 0) .

,...E(z, z*' ,

'I\: 4 t), for (z, z )(11 (0,0),

\t

I ~ 1,

be twice

continuously differentiable solution of the equation: (2.3.5)

-

2 -

B(E)=(I-t )E*t-t z

-1~ .... r""E )~ 0 E~+2tz(E ~+DE ....... + z

37

zz

..

- 29 M. Z. v Krzywoblocki

which possesses the following properties

*

For (z, z }eU;4 (0, o) lim (1 - t 2// 2

(2.3.6)

E ~z,

(uniformly in t) . Further

z~)(

(z,

z*,t) = 0

z

t=+1

-u:

t

-1'E If is continuous for

z

It I

(0, O),

~ 1.

Let

f

U(z, z-)I. } = lE(Z, z1f.,t} f (z(l-t 2/ ) 2} (l-t 2)-1/2 dt,

(2.3.7)

s where

f

is an analytic function of a complex variable , regular at the

origin, (2.3.8)

z* E(z,

l, t} = exp[ - J Adzif + n(z}] E(Z,

1

and s is a path in the complex and

1 and omits the point

zit, t} ,

t- plane which connects the points - 1

t = 0 • Then Eq. (2. 3, 7) is a solution of the

equation: L(U}

(2.3.9)

= Uzz·..+ AU z + BU z~ + CU = 0 ,

which is twice continuously differentiable in

-Uf(o,

OJ. For the proof,

see [ 4.J . We call

E (see Eq. (2. 3. 8) } a generating function for the differen-

tial equation (2.3. 9) with respect to the origin. Eq. (2.3. 7) yields complex solutions of Eq. (2. 3. 9) . If B(z, z} = A(z, and C(z,

z}

is real, we obtain for

l = z real

38

solutions writing:

z)

- 30 M. Z. v, Krzywoblocki

where we denote by El the function (2.3.8) and by E2 an analogously formed expression such that E 2(z, z', t) = El (z', z, t) . To a given differential equation (2.3.9) there exist infinitely many generating functions E. It is of interest to investigate them, and to determine those which have some interesting properties. For harmonic functions we have the representation: (2.3.11) where

g is an arbitrary analytic function of a complex variable

We shall show that the generating functions E" i = 1, 2, in (2.3.10) can 1

be chosen in such a way that (2.3.10), after a slight modification, represents a generalization of the formula (2. 3. 11) . Bergmann distinguishes various kinds of operators. He calls the operator C2(z,

t; g) which transforms

g(z) into U(z, z>l') the integral opera-

tor of the first kind for the equation

L = 0 . An integral operator of

this kind can be obtained as follows. Let 00

(2.3.12)

g(z)

=

I n=O

and let

12.3.13) 11,/2)" -121r)-1[ gl'll_t 2))t- 2dt Inn+l) \nl/2)rln+l/21j"1 s If E,(z, z~ t) , i ;: 1, 2, are of the form: 1

z'* (2.3.14)

E 1(Z,z; t)=exp[-{ A(z,

Jo

(2.3.15) E 2(z, zl\', t) = exp[ -

rA(Z~

/)dt]~+tz:f(z,

z*,

til '

z) dzJ[ l+tzl ((z ,z, t )] ,

\,

39

A/.

- 31 -

M. Z. v.Krzywoblocki

then C2(z, z;~" g) :E 1(z, z ,t) f (z(l-t 2)/2) + 'sl '

=,'

(2,3.16)

will be an integral operator of the first kind. Here

f

is defined

by

(2,3.13) . For various applications it is convenient to write the integral operator (2.3.7) in a somewhat modified form and to derive for it different representations . We introduce the function

g(z) (inverse to

(2.3.13) )by the relation: (2.3.17)

('1 2 2 1/2 g(z) = f(z(l-t )/2) (l-t )dt. Jt =-l

I

If

1(-

E(z, z,If.,t) =exp[•

(z

-j

**JL 1+ ~

A(z, z ) di

o (2.3.18)

~

n

'If

n

(n)

=z Q

(z, z)

.,.,(z, z ) ,

then the integral operator

!

(2.3.19)

E(z,

z~ t) f(z(1-t 2)/2) (1_t 2)-1/2

dt

. . sl

can also be written in the form:

z*

exp[ -

~

(2.3.20)

~

f A (z, t) dz+]f g(z) + Lr(2n+1J/ 22n r (n+1) I -1 .

ti

n=l

(n) ',.. . Q (z, z ) ~

z1

'0' • •

40

\

J

('zn_1 g(z/ll,) dz n · .• dZ1 '

!~

- 32 M. Z. v. Krzywoblocki

[l

or

exp . -

-/I.

z

*'

",,'jr

A(z, z ) dz ,.Lg(z) +

L

z

(2.3.21)

•/. 0

Here (n)

Q

(2.3.22) (2n)

p(2) = _ 2 F

(2

2n

(n),l\.

B (n, n+1) Q (z, z ) .

n=l

(j

where P

-(A-

'z

I

if

=)'

(z, z)

(z -~)

n-1

.1

g(C) d~J'

*' p

~

(2n)

i't

(z, z ) dz ,

0

are given in the form:

,

*

l

12n+1) pI2n+2) " _ 2[ p;2n) +DpI2n)+F[ p I2n)dt

12.3.23)

We note that in addition to (2.3.13), f(z/2) function of

g in the form :

(2.3,24)

='IT

-1[ g(O)

n" 1,2, ...

can be represented as a

If/2 dg(z sin2~ ) z sin'l7' d ( z sin2"J .10

+ 2/

The operator of the first kind can be represented in terms of integrals.

'*-

-)f

Let D(z, z ) and F(z, z ) be functions of two complex variables

z

and

z;f,. which are regular in a domain "LL 4 of the space of two complex variables

z and z*', and Ie

g(z) be a function of a complex variable z ~ \2 "A .2 .. (4 which is regular in the domain eLL. (!Jv and 1..,- include the

I."

origin. )

41

- 33 M. Z. v. Krzywoblocki

We introduce :

where

F)/

~» =

dz .. dZ*Il dz 1

. dz

-v-

1\= F{z», zVi-1 ) ,

dz

j+1

dz. dz. J J-1

= D (z '1>-1 '

D )/-1

l+

z

-J+'-1

J\):: J~{g), we denote the some of the

and by

T (F», D\1_1' " ' , F 1 ; g) and

>\

j+1

Di

»-1

2

. dZ 1 ) , etc. ,

expressions

where all possible combinations of F,..

occur, except those for which we have D 1 in the last place.

Then (2. 3. 26)

is a solution of the equation V (z, 0) = g{z) ,

(2. 3. 27)

L (V) = 0 which has the property that 1t:

V{O, z) = g {OJ •

Various properties of the integral operator of the first kind are discussed

in

(4].

It may be valuable to present a solution of the differential equa-

tion:

f1 2 V+F{r 2 )V=0,

(2.3.8 ) where

2 is an entire function of F(t)

In the case

r 2 = x 2 + Y2 = z z*.

of the differential equation (2.3.28) , the generating function

E(z, z~, t) of the integral operator of the first kind is a real function

42

- 34 M. Z. v.Krzywoblocki

of r 2 = z z"'" and t . The generating function

L 00

(2.3.29)

E (t 2 , t) = 1 +

t 2n Q(2n) (!2)

,

n=1 where

Q(2n) is provided by :

(2.3.30)

(2.3.31)

is thus real and we may speak of the conjugate solutions of Eq. (2,3,28) whose developments at the origin are given by :

1

1

('.3.3') V { E(r'. t)Re [ flu)] (l-t ') -1/'dt • RelLE (t'. t)f(U)(I-t') -1/ 'dt}.

(2.3.33)

where

II

w=L1E(1'2,t)Im~f(U~ (l_t 2)-1/2dt = Iml1 E(1'2,t)f(U)(1_t2)-1/2dt}, (1

2

u = z ( 1 - t ) /2 .

A real solution, regular at the origin, can be written in the form: 00

(2.3.34)

V=

~[

an J(n)(l')

cos'1\.~

- bn J(n) (t)

sin"t\~J

while its conjugate is given by: (2.3.35)

~"(n)

w=\

Ib J tr=01.. n

(r)cosn~+a J n

43

(n)' (l'lSinn({JJ, I

'

- 35 M. Z. v. Krzywoblocki

where (2.3.36)

Integral operators can be of an expontial type like :

k m

(2.3.37)

E

= exp

-

Q,

jt-

-

Q - Q (z, z ,t) -

~

(z, z.J(-,., ) t .

,"'" Let u(z,

*

z) be the solution of Eq. (2.3.9) obtained by applying a gene-

rating function of the the form (2.3.37) to the function f(z) n

= 1,

2, .... Then the function U(zl' z2)

= u(z, l')

= zn,

(where z

= zl +iz 2,

z = zl - iz 2) satisfies for any fixed value of z2 an ordinary linear differential equation (in the variable z 1) : k

(2,3.38)

~

Br (z

1

r=O The order

ct"U = 0,

,z

) --

2

d zl' 1

(B k = 1 ) .

k of Eq. (2.3.38) is independent of the value of n appearing

in the function

f(z) = zn

,and depends only on the degree

m of

Q

in (2.3.37) , It is always possible to determine an equation (2.3.38) whose order is at most Eichler [14]

m+l.

considers another type of a differential equation, na-

mely, (2.3.39)

~2 ~ + N (x)

r

0,

where (2.3.40)

N (x)

The solutions (2.3.41)

~

of

f(,) -

= Co + C1 x + C2 x

2

+ , .. .

Eq. (2. 3. 39) are generated by integral operators:

f.'

S (x, y,

~ ) 1(0 d ~, 44

, . x + iy .

- 36 M. Z. v.

Krzywoblocki

satisfies:

where

s

(2.3.42)

xx

+S

yy

N (x) S = 0, S (x, y, z) x

+ is (x, y, z) = N(x)/2 . y

In analogy to Eq. (2.3. 17) ~I (z, z) can be represented in the form:

(2.3.43)

+ ... ,

2i

X

(2.3.44)

PI (x) '(1/

N(x)dx t

Kl' P2(x) • (1/ 2J.X(Pl' tN(x) PI (x))dx t K2 • "

where ~ n are integration constants (ascending series) . e 2 (z,

z,

g) also can be written in the form :

(descending series) where the

q (x) are connected by the recurrence n

formulae: (2.3.46)

q"

+ Nqo = 0 , q\ + Nq1 = - 2qb ' . . .

We may discuss briefly a certain class of fourth - order equations which will indicate how how the methods employed previously are extended.

Consider equations of the form:

(2.3.47) where

L(U) = U

'" ~+ MU + LU "f+ NU'II-"'+ AU zzz z zz zz z z z

+ BU

~+

z

CU = 0,

M, L, N, A, B, C are entire functions of the complex variables

z, z*. When written in terms of the variables : x = (z+z*:)/2 , y=(z-tj/2i, (which become real if the variable z is replaced of z ) the equation assumes the form:

45

by

z,

the conjugate

- 37 M. Z. v. Krzywoblocki

fl/J. U + aUxx + 2bUxy+ cUyy+ dU x+ c Uy+ fU =

(2.3.48) where

a, b, c, d, e,

°,

and f, are simply related to the coefficients of

Eq. (2.3.47) . There exist four functions

E(kr)(z, z*', t) , k = I, II,

which are defined for sufficiently small values, say \z\ \z'

< J2' and for


It I ~ 1, possessing the following property: if fr(C)

r= 1, 2, are any analytic functions of

and g" (~)

r= 1,2,

~

defined and regular

in a neighborhood of the origin, then U (z,

l)

=

L2 11 [E (Ir)(z, ttl fr (z(l_t 2) /2) +

n=1 -1 (2.3.49)

+E

(1If1)

>to 2 ~ 2 -1/2 (z, z ,t) gr (z· (l-t )/2 ~ (l-t ) dt,

is a solution of Eq. (2.3,47) . Coversely, if U(z, z*) is a solution of (2.3.47) defined in a neighborhood of the origin z =z* =

°

,then U can

be represented in the form (2.3.49) by meal'J.8 of suitably chosen functions fj-t

and

g""

p=

1, 2 . The functions

E(kj4)(z,

t,

t ) introduced above

have the property that : (Il)

(2.3,50)

E

(2,3, 51)

~\~) z

*' _

(12) _ (112) .... _ _ (Ill) (z, 0, t) - E (0, z ,t) - 1, E (z, 0, t) -E (0, z , t)-O, (z, 0, t) = E~II 1)(0, ...

Each of the four functions

z~

t) = 0, E(I!) (z, 0, t)=E(1I 2)(0, z z

z~ t)= 1 .

E (kfl) is required to satisfy the following

partial differential equation: L (E):z-l t -l(l_t 2)[E ....... +ME +LE +/2+AE /2] 1 zz z t tz tz t

46

+

- 38 M. Z. v. Krzywoblocki

- z-1 t -2[E

~+ ME

it

zz z

z

+ LE */2 + AE /2Jz

4 [ E ~ "'1-+ ME ] -(3/4) z -2 t -3 (1-t) tz z t

+(3/4)z -2 t -4 [ EIt"'l-+ME-I + L(E) =0, zz J

(2.3.52) where

+

L

is the operator defined

by

eq. (2.3.47) .

There were developped integral operators which transform functions of two variables into solutions of certain classes of partial differential equations in three variables. We consider a partial differential equation of the form : (2.3.53) We shall find an integral operator generating solutions of Eq. (2. 3. 53). Let H(t, 't) satisfy the equation: (2.3.54) for

2 (1- 't') Ht't' -

1'1'1"

't

-1

1 and 0 ~:r

2

(1+ 1') H/ l"t(Hl"l"+ 2 t

< 1"0

-1

H1" + BH)

= 0,

(where l"0 is any positive constant) and

where (2.3.55) Suppose

2 2

B= - (3/2) A - I'A /2 - r A /4 + C •

t

H / t't is continuous at ~ t

Let (2.3.56)

E('t,'t)

= exp (-2

-1

=r =0

.

(r

Jo A I'dt) H (r,l:) ,

and let f (w, ~) be analytic in the complex variables w, ~ for 2 W(U (0) and I~k 1 . Then the function ,\,(X) defined by

(2.3.57)

'Y(X) = (2'l1if 1{

(i

E(t, "C)

~(1:1 )t~-1

47

f(U(1-"C\~) d't~-ld~ ,

- 39 M. Z. v. Krzywoblocki

satisfies Eq. (2.3.53) in a neighborhood of the origin, where u =x

+ (iy + z)

/2 . ~ + (iy -

z)

/2 .

~

-1

.

A solution of Eq. (2.3.53) may be given by a series expansion. We shall say that function

g(B,~),

0 ~B~'lr,

0~f~2"lr

satisfies condition

L if it can be expanded into a uniformly convergent series of Legendre functions:

00

g(B,f) = r[A P (cos B) n=O no n,o

+

n

(2.3.58)

+ '[ (A m =1

nm

cos m f+ B

nm

sin'l1\,(g) P I

n, n

(cos B)J '

The coefficients A ,B are expressible as certain integrals which nm nm can be obtained by taking account of the orthogonality properties of the terms of the above series . Let

S be the spherical surface

r =

y and

~

the interior of S.

Suppose that there exists a positive functions A(r, B,

~

, such that every function

in':) and is continuous

Suppose further that

in

~

'I' (r,

) +S

(p' B ,

~

B,

f ) which

satisfies Eq. (2, 3. 53)

also satisfies the inequality :

) satisfies condition

L. Then

r can

be expanded into the following series , uniformly convergent in every compact subset of

~ 00

*" (f nI *' (Y)) -1 [ AnoPn,o (cos B) + f (r, B, ~) = k=o t n In("t) n "\

n

(2.3.60)

+ [ ( A nm cos mCl+ B sin m£D) P (cos B)] , ! nm I n,m m=l

48

- 40 M. Z.v. Krzywoblocki

1 1

where ~

(2.3,61)

I n (t)

=

2 n

E(l', 1') (1-'1:)

d"C,

-1 Bergman considers a partial

A3 ~ + F

(2.3.62)

(y, z) ~

differential equation of the form:

= O. ,If-

We introduce the variables: and express the function of Z and Z

'* ; we

X = x,

Z = (z+iy) /2,

Z = -(z-iy)/2 ,

F(y, z) appearing in Eq. (2. 3. 62) as a function

also use the symbol

F for this new function.

The equation (2.3.62) then assumes the form: (2.3.63)

'I' XX - 'Y zz it-

r

.lr

+ F( Z,

Z)

=0

We proceed to obtain particular solutions of (2.3.63) which are polynomials in X, as follows, Let

-lzt

(2.3.64)

+F

and let the polynomials

P

(2.3.65)

Let the functions (2.3.66)

-

~ Z~

(2.3.6'7)

N

== ( k-lI)' (

. ';

k-\)

flo

'I>

) Z

k=O, 1, 2,' . "

equation:

N-k+~ fl>

Z,

2N; \)=k, k-2, . . . , k-2

[~],

~

(Z. Z ) satisfy the equations :

p(N-l,k,k)

-

rr(N,k,k) it-

ZZ

P (N-l,k,\») N

N

- 'lz

(Z, Z ) be any solution of the

p(N, k/l!) be defined as follows:

IT (N, k,d.)

NN

~

~

¥ =0

(N k k 2») , ,-

N=O, 1,2"

~

-

rZ

+ ('ol+2)('ol+1)1T(N, k, ,,+2)_

49

+

F 1T(N,K,K) - 0

-

p(N-l, k-2, \»)

TT~z!'V)

+

+ F 1T(N, k,» )=0, ))
- 41 M. Z. v. Krzywoblocki

Then one finds by direct computation that the functions :

'I' (N, k)(X, Z, Z) = 1 (2'ITi)-I[ uN ~ -(N-k)~-1 de + ~~I=1 [k/2J

+;-

(2.3.68)

IT(N,k,k-2))) (Z,Z) xk-2~

»=0 ill

+X +Z

u = Z,

(where

~

-1

) are (complex) solutions of Eq. (2. 3.63) .

The following equations and systems are treated by Bergman in [4]: (2.3.69) (i)

1II 1x

+ 11.1 + I

yy

11/ I zz

+ F(y, z) ltJ = 0; T

(2.3.70) (ii) in the domain of the three-dimensional Riemannian space; (iii) system of equations :

()2'Y _ ~ ()}\: -F(z,z t/ z l zl 1 1

(2.3.71)

"\

where zl' z~ ,z2' z;, are independent complex variables and

F, G

are entire functions of the indicated variables ; (iv)

equations of mixed type : a special case

: 00

M(\Ij)

(2.3.72)

I

=\IJ

I

xx

+ I(x)

\IJ 1

yy

= 0, I(x) = \' a (-xt,a 1>O .... ~1 n

(v)

initial value problem in the large ;

(vi)

generalized Cauchy-Riemann equations

(vii)

the differential equation:

(2.3.73)

6

2

0/+

N(x)'I'=O,

with a new type of singularity of N ; (viii)

an integral operator

fOIl

equations with non-analytic coefficients.

50

- 42 M. Z. v. Krzywoblocki

2.4. Generalization of the Hodograph Technique to Diabatic Flow. This was done in

[ 60J

the continuity equation with tained for (2.4.1)

f

Starting with the Euler equation and dQ

f

0, Qf 0,

the following results was ob-

in the hodograph plane : a

\II

1 I'qq

~ (J I ' (J

-c'l' -b\ll +a \If -b 1 'q e H'IH) I, q I' q 1,

-c

III =0

1, (J II q

,

where

2.5. Generalization of the Hodograph Technique to Magneto-Gas Dynamics. It is assumed that a diabatic flow is inviscid, non-heat conducting,

obeying the perfect gas law, heat being added by means of sources distributed in the flow domain with an electro-magnetic field. Starting with the equations of continuity, momentum, energy and the pressure-density-entropy relation, accompanied by Maxwell's equations, we obtain (see details in

):

[ 61J

where

(2.5.2)

+ ('t-

1) c

-2

2 -1

Q, q - (pc)

51

F e 'q

]

,

- 43 M. Z. v. Krzywoblocki

b

= (pq)

(2.5.3)

-1 { g(sin

- c -2[ q - g(sin

e - cos e ) e+ cos e U[(t- 1) Q, e- fIFe, eJ},

(2.5.4)

c=

(2.5,5)

d = y -1[ q _ g (sine + cos eu '

(2.5.6)

e = q J1 6)

(pq)-1 g(sin

L!'"

e - cos e) ;

q - g ( sin

2

2-2

M =q c

,

e+ cos e)1 ,g, -g 1 x 'y

= w (x, y) ,

is the electromagnetic force potential and Q contains the e Joule heat. The Maxwell equations and Ohm's law are transformed dire-

and

F

ctly

into the hodograph plane by means of a simple transformation of

derivatives. In the work in question the author derived the canonical forms in the hodograph plane, discussed the general approach to solving equations and proposed a detailed table-procedure for particular steps of a solution. In particular, an inverse problem was solved. In it, in the physical (x, y) - plane the streamlines map into a pattern of concentric circles about the or igin .

2.6

Transonic Flow. Due to the importance of the transonic regime in the flow around

a blunt

body (Apollo shape), as furnishing the initial data for the

supersonic domain (characteristics), the transonic flow is treated in more details . Stark

[71J

uses the Bergman integral operator to generate fami-

lies of flow patterns which yield the transonic flow pattern(the solution due to Ringleb

[68J

is a special case ) . In order to obtain a flow

52

- 44 M. Z. v. Krzywoblocki

pattern of a certain shape by this method it is necessary to determine the specific associate functions of the operator for the subsonic region and for the supersonic region. First the Chaplygin equation was transformed into

=0

(2.6.1)

J

where M. Jf =

(2.6.2)

U.ingA."

J9q-1 d q,

defined by

I()4.)

~ +lA- f.tl('tl]

9

= -2 (1- M2) •

1/2 d1: we obtain equatlollll

of the form: (2.6.3)

~).).+'I' 99 + 4 N ~). = 0,

(2.6.4)

uJ -Ill

1M 199

+ 4N VI

J

0, for M > 1 (supersonic).

1M

Nl! N(A) , N1:: N1 (A)

Here

for M < 1 (subsonic)

and

(2.6. 5a)

~= (1/2) log[ (hT)(1+T) -1 {(1+hT) (1_hT)-1 }

(2.6.5b)

T= (1_M2)1/2 ,

1/hJ

- arctan (T), - -T = (M 2- 1) 1/2 ,h =[ (~- 1)(t+ 1).1J*. A=h -1 arctan (hT) Bergman integral operator for the subsonic region is given ~

P(f)~

1

=1m P

(2.6.7)

(2.6.6)

by:

(f),

(A 1E(1) +A 2(Z(1_t 2 )/2)2/3 E (2)) f(Z(1-t 2)/2J (1_t 2 )-1/2 dt , E(k)=Hl(k), E*
t

q(n,k)/(_t 2Z)n-(1/2)+(2k/3), k=1,2.

n=O Here P(f) is the Bergman integral operator of the second kind,

53

- 45 M . Z. v. Krzywoblocki

z='X+i8

, H = H (A) depends upon

N, and AI' A2 are complex

constants. C is a sUitably chosen curve in the complex t - plane connecting the points t= - 1 and t= 1 . In general C is the path of the upper

[3]). The functions q (n, k) are

half of the unit circle, (see (2) and

dependent upon the differential equation:they satisfy the system of ordinary differential equations:

q (0, k)+ 4 F q( 0, k)= 0

n

'

2(n+2k/ 3) q~' k) + q}. ~n+1, k) + 4F q (n+1, k) = 0 , where 2 F = - N - Nl,/2,

n = 1,2,' . "

k = 1, 2.

Correspondingly, in the supersonic region, we have

--

z = i(I\+ 8),

depends on N1" A1 and A2 are complex constants,

and H = H

(")

C is taken

along the upper half of the unit circle and the functions

q(n, k)

are certain functions which depend only on the differential

equation and they satisfy the system of ordinary differential equations, _ -(O,k)

+4 F

-q (O,k) = 0

1

q/\/I

2 i (n+2k/ 3)

qt,

'

k)+ q~n/l+1, k) _ 4F 1q(n+l, k) = 0 ,

n = 0,1,2, . . . . For the supersonic region, the integral operator is given by : ~ =

1m

P ( f) ,

J,

i'lij '" IA PI + A,[ '11-"I!'J '!3 ,,1 2111['11-,'1!2J 11-,'1- 1!'dL. "

54

- 46 M, Z, v, Krzywoblocki

(2,6,8)

E(k)=HE (k) , E*(k)= fq(n,k)/(_t2zt-1/2+(2k/3), k=l,2, n=O

We associate with every stream function '\' the functions: (269) ' ,

AX(9):'lim_'I'

~

M~ 1

when approaching from (2,6,10)

the subsonic region, and

-y 19)= lim

Ai

Xt 9)=lim_].iM M-+1 oM

'2

-M .... l+

~

X(9)=-M~1 lim + 1J ~M

'2

when approaching from the supersonic region . Stark proposes two methods for obtaining the associate functions. In method

I, there are used the expressions:

(2.6.11)

"V 1(8) = a (1) + fL')I)cos n (8-8 ) + b(l)sin n(Q A. 0 rl=in 0 n

(2.6.12)

X.

(8) = a(2) + 2

0

Qo~

~

,

f~1 la(2)cos n (8-8 ) + b(2)sin n(Q - Q )1. non o~

The associate function in the subsonic region of the desired stream function is given by :

(2.6.13) with respect to the operator (2.6.7) such that these associate functions satisfy the limit relations:

55

- 47 -

M. Z. v. Krzywoblocki

(2.6.14)

cos [p(8-8 0 )

-

'If: J'

lim l'1'1\.P (G(,If) I M-Ht

:: 0

A corresponding treatment in the supersonic case gives the associate function in the supersonic region. In method II, one considers the functions Xl (8),

X2(8)

expanded

in Taylor series instead of the Fourier series in Eqs. (2.6.11) and (2.6.12) used in method 1. Correspondingly different associate functions are provided which permit further treatment similar to the considerations of method I . We compute two stream functions 'X)8) , (2.6.16)

X2(8)

are of the form:

X1(8) =

a sin 8,

X. 2(8)

f

whose

conresponding

= b sin 8 ,

where a, and b are real constants . We follow streamlines which cross the sonic line , To pass from the hodograph (q,8) -paIne to the physical (x, y)-plane involves integrating equations:

l 2 2 -1 -1 dx = [ (M -l)(pq) cos 8· ~8 -(pq) sin 8 'rqJ dq (2.6.17)

-i

+[ 2

cos 8'

'P q - (y q) -1 sin

8·

f 8 1j d 8,

1dq

2 2 -1 -1 dy= [ (M-1)(Pq) sin8'~8+(pq) cos8'f q (2.6,18)

+[ f1 sin 8 'lI'q + (pq)-l cos

56

+

8'~ 8

1

d8.

+

- 48 M. Z. v. Krzywoblocki

Once we know the relation between the density can integrate Eqs. (2.6.17)

p and

velocity

q, we

and (2.6.18) to yield the sonic line in

the physical (x, y)-plane.

r defined by corresponding

For stream functions

'X 1(e),

x2(e)

given in (2.6.16), the sonic line in the physical (x, y)-plane is given

e by

in terms of the parameter

:

(2.6.19)

x = (1/2) (6/5)3[ a-(6b /5)J cos 2

(2. B. 20)

y = (B/5)3

e,

t (1/2)[at (Bb/5)] (e -'If/2) (1/4)la- (6b /5)J sin

t

2e} ,

provided we take the origin in the physical plane as the image of the point q=(5/6)1/2,

e ='tr/2

The value of

is calculated

q

on the sonic line in the hodograph plane. M2 = q 2/ [1 -

by

(¥ - 1) q 2/2 J with

t=1.4.

Example

(I) : sonic line in physical plane is circular.

If we consider the stream function

1

defined

by

(2. 6. 16)with

a, b related according to : (2.6.21)

a

+ (6b / 5) = 0,

then (2.6.19) and (2.6.20) yield for parametric equations of the sonic line in the physical plane : (2.6.22)

3

x = a(6/5) cos

Elimination of (2.6.23)

x

e

2

y = (1/2)a(6/5) sin 2 e

e,

gives:

223 + Y - a(6/5) x = 0 ,

57

.

- 49 M. Z. v. Krzywoblocki

which gives a circle through the origin with center on x-axis . If we set a = c (6/5)1/2, then (2.6.16) under the restriction (2.6.21) ,

becomes: (2.6.24)

X 1(9)

= C(6/5)1/2 sin 9,

X2(9)

= _C(5/6)1/2 sin 9,

which define the Ringleb solution:

'r = (c/q) sin 9 ,

(2.6.25)

of Chaplygin's equation. There are computed grid values and stream lines for the stream function defined by (2.6.24) with the explicit value 1/6 for the constant C=11(5/18) ~ 2,538. The associate function

fA

(~)

with respect to he (subsonic)

Bergman operator (2.6.7) is given by: 00

(2.6.26)

where

fA (

~ ) ~ ~ 7/ 61\~/r (2m+5/3) +

L/r

(2m+7/3) ] (2

l; = T + C3T 3 + c5 T5 + ... , (see [7]

(2.6.27) K = Z(6/5)1/2

r

(2/3), L = -i(1l/50)(2/15)1/6

), and

r

(1/3),

provided we take for AI' A2 the specific values given by = exp [ - 1f i( 1/2

+ k/6)l

~ )2m).

' k= 1, 2 . The associate function

Ak =

~( , )

with respect to the (supersonic) Bergman operator (2.6.8) is

where K, L are the constants defined by (2.6.27) . For the given coordinates (Mach number M and angle 9) of points in the hodograph plane, the stream functions are evaluated by applying the

58

- 50 M. Z. v. Krzywoblocki

operators in which the associate functions are calculated by Burrough B-5000 truncated (after the first ten non-zero terms). and tabulated in

[71J . Also

the Ringleb stream functions

l'

= (c/ q) sin

9 are tabula-

ted for the purpose of an investigation of the accuracy of the numerical operator methods discussed here . Example (II): sonic line in physical plane is not circular. We consider the stream function defined by the corresponding limit functions : (2.6.29) where

"X 1(8) = c sin c is given

8.

X2(9) = (-c/2) sin 8 •

='rr(5/18)1/6~

by c

2.538.

According to Eqs. (2.6.19) and (2.6.20). the sonic line in the physical plane for stream function is given by the parametric equations: (2.6.30)

x=(4c/5) (6/5)3 cos 2e. y=(c/5) (6/5)3 [ (9- 'If/2) +2 sin 29J.

The associate function

fB(~)

fB (C) is furnished by (2.6.13) :

= cFil)(O; ~) - (c/2) Gil)(O; ~) 00

= ~7/6

~J[X/f (2m + 5/3) +

)( = 2 f(2/3).

L = i(1/20) (18/5)2/3 r

(2.6.31) where (2.6.32)

the associate function

'"

fB (~) is given by

59

(1/3).

- 51 -

M. Z. v. Krzywoblocki 00

f (~) = ~7/6 ~o B -ell r

(2.6.33)

where

X ,rAJ.,

are given

by

t[ 'X Ir

(2m + 5/3) +

(2m+7 13)] (2.6.32).

To determine streamlines in the hodograph plane for Expample (II) , an ALGOL procedure was written which yields stream function value for given coordinates q, q and uses

e . This

procedure first computes M from

fB(~) in (2.6.7) if M < 1 , or uses ~(~) in (2.6.8)

if M > 1, (for M:: 1, stream function equals 'Xl (e) cedure, interpolations to find out in the q direction factor

10

-3

at

the path of

f

). Using this pro-

= constant were carried

5 degree intervals of

e using

tolerance

. To obtain the image in the physical plane, Eqs. (2. 6.17)

and (2.6.18) were integrated using the trapezoid rule. The path of integration was along q = (5/6) 11 2 from

e = 40 degrees,

e = 90

degrees clockwise to

then along de = 0 to a point on the stream line under

consideration, and then along this stream line to the point whose image is sought in the physical plane.

2.7. Gilbert's Technique. A lot of work on integral operators was done by [43 - 46J and Gilbert L1, 17 - 31, 32, 33J

Kreyszig

Below, we shall

briefly discuss some recent results obtained by Gilbert. His technique was used in the development of the generalized axially symmetric potential theory (abbreviated GASPT) and the GASPT differential operator is of the form :

60

- 52 M. Z. v. Krzywoblocki

For illustrative purposes we shall briefly present Gilbert's technique applied to a generalized axially symmetric potential (see

[17]

) :

,2

. . .2

1

L[U)=~ +~ +1<9OZ OJ

(2.7.1)

of the form

'" u

.;

=0.

~.P

Solutions to Eq. (2. 7.1) may be constructed by an operator which transforms functions of a single complex variable f( rt ) into axially symmetric potentials

u(r, 9), (r 2 = z 2

+

1 -1

u (1' 9) = A (f, ~, X ): n 0

(2.7.2)

l '

9 = cos z/ r) :

-1 k-1 1 f(rt) (u-U) u· du,

Tl

11= Z+i y(u+u· 1)/2

where

E>

0

is sufficiently small,

IX-Xol

l

<£,

X:(z,P), Xo::(zo,

po"

is a differentiable arc in the u-pla-

ne; here the arc is taken as the upper half of a unit circle.

If

f(Q") has a Taylor expansion convergent in some neighborhood of

tJ = 0 : (2.7.3)

f (cf)

L

=

an o-n ,

n=O

then the operator

A ( f,

n

L,

X) defines an axially symmetric poten0

tial for sufficiently smalll- : (2.7.4)

This may be seen by considering the identity: "I1'

(2.7.5)

n ). 1-2~ -1 2 t Cn(cos 9)=2 (nD r(2)+n) (r(),) )

J

n

[z+ifcos~J (sinf)

2A-l

o

It is convenient to continue the arguments of u(!o, 9) to complex values, if the followings are introduced:

t' = (z 2 +P2) 1/2,

61

~ = z1' -1

,

dr.

- 53 M. Z. v. Krzywoblocki

f

which reduces to Let

u(r, B)

=cos

be an a xially symmetric potential regular at the ori-

1

gin:

-1

(2.7.6)

z and p.

B for real

u(l', 9) = 1

,.1 k-l -1 f(o') (u - u) u du, 00

where

lui

=

1m u? 0,

1,

f(O')

=[

an (t'n ,

f(a') may be generated by the following integral transform:

then

. (1-2~(),l"

(2.7.7)

where

W(t'.

S ) ==

u(r, B) ,and

-1

2.2 .. k/2 .. 1

+0' t )

d~,

C is the real axis.

Let K

(O"r-~ E ) = (2i)-k • (1- 2 ~ tr

(2.7.8)

then

-1

k 1r- 1 (1-

r

1 +0' 2 1'- 2 ) - k/ 2-1 ,

K (0"1" ,e)

is analytic in

~

) is analytic in

is harmonic, W(t.

$ =± 1.

f 2)(k-1)/2(1_Q"2 t: 2) .

S S

and also, since utI', B) except for the points

Thus the integral involved in the expression for f (0")

is a Cauchy-integral and the restriction of the integration path to the real axis is not necessary. Gilbert

applies the similar technique to a generali-

Zed axially symmetric wave equation of the form (GASWE) :

62

M. Z. v. Krzywoblocki

,"\2u

",\2

1 "\ u

u + _v_u_ + 2 \l y~ x2

(2.7.9)

vi

Here solutions to (2.7.9) with

k

2 + k u

lJ

~

\J

0

\~y

,

1 = rea.

y

> 0 will be investigated by using

Bergman's operator method. Henrici [38J gave an integral representation for a complete system of solutions for (2.7.9) ; namely, for 2 2 2 -1 r = x + y , 9 = cos xl r , we have:

l ))

[kr (cos 9 + i sin 9 cos ~ ) ] -'JJ l>+n [k r (cos 9 + i sin 9 cos

)-'V+1 J (k' ' (k rsm(Jsm~ y_1 rsm(Jsm~

(2.7. 10 ). for

1r

[j

>

0 and n

•

= 0,

[j

•

)

(.

smlf

)2~1_1

f)] .

d~,

1, 2,' . • .

It is known that an arbitrary solution to (2.7.9), regular about the

origin may be expressed as a Bessel-Gegenbauer series (see,

[38J ):

-\}

w (r, 9) =1'(2);) (k r) . (2.7.11)

. fL annl' rh2 \.l+ ~

n)] -1 J"

v+n

(kr) CV (cos 9),

n

n=O and an arbitrary analytic function regular about the origin may be expressed as a Neumann series

(2.7.12)

f (0') =".

-" n-~

(16

a

i

J + (0') . n V n

It may be shown for r sufficiently small that the class of analytic

63

- 55 M. Z. v. Krzywoblocki

functions (2.7.12) may be mapped onto the class of functions (2.7.11) by an operator of the form :

Xk..[fJ

(2.7.13)

hk

"l.:' t

J

~-1 [k y (? - ~ -1) / (2 i)-'] , -1

. f(krt)(>-S)~

d~,

~

w(r,8)::u(x, y)= J{k[f] , ()=x+(i/2)y(~+~

(2.7,14)

t

where

-1

-1

),

is a differentiable arc in the w-plane , defined by :

1v=. .sIS=e .~ ;O~ri~1rJ'l h~=-(iky) 1- \)/2·rCY+ 1/ 2 )[r(l/2)] -1 . I

(

1

I

it is useful for us to consider replacing the contour 1., by an arbitrary smooth contour

t

which has + 1 and - 1 as end points .

Cauchy's theorem tells us that both representations are the same provided that we do not pas I> over a singularity of the integrand in the process of deforming

£'

into

1v

Gilbert and Howard consider the problem of obtaining an inverse operator of the form :

(2.7.15)

'JC~v [UJ{

K (0', r, g)

u (r f ' r(l-

~

21'/2) d

S~ f(k~),

where a, b are appropriately selected limits of integration and 2 2 1/2 r = (x +y) , $= x/ r. They take a = - 1, b = + 1 , and try to determine r(2)>)

K (IS, r

s)

such that:

(kr)-t+1K(~' q

Itt

an n!(r(n+2 ») )-\+n (kr)

64

c~ (S)} d~

- 56 M. Z. v. Krzywoblocki

= (kcr'(,)

(2.7.16)

f.

a J"

n=O

v+n

n

(ko').

This may be done formally by recalling the orthogonality relation for the Gebenbauer polynomials

[16]

:

( = On m

(2.7.17)

2

1-2 ~ [ 'I1T(n+2Y)

r 2(~) (V+ n) ]

the right-hand side may be written as :

by use of the Legendre duplication formula. Thus , if we define : K (~, r, ~ ):: a\) (1-

S2)'i)-1/2 (2 2~-1 )-1

(kr)

v

-\>

(kO') (l>+ m) .

(2.7.18)

we have: (kll')-\)a

(2;7.19)

1'1'1\

~+m

(kO') =r(2'Y) (kr)-» .

j

Km(O" r, ~ ) u

J

+l

-1

Consequently, if we define:

65

21/2

(rS' r (1- ~)

)d

S.

-1

;

- 57 M. Z. v. Krzywoblocki

K{cr, r,O:::

fL

K (tl', r, m

s)

=

m=O V = a.)r/cr) (l-

(2.7.20)

52)v-1/2

~ (v+m) J ,1

-1

'\l+m

(k(j'){J (kr)) )l+m

i=o then we get formally :

(2.7.21)

r(2~){kr)

-1[+1

21/2

K{~ r,;) u{r5,r{1- ~)

)dS= f{kO").

-1 K (~ r , ~ )

In order to show that the series expansion for

converges to a holomorphic function of the two complex variables ~

's

and that the representation (2.7.21) is valid, one considers

the asymptotic behavior of its Gegenbauer coefficients as

m~

00.

For the proof of this statement and the location of singularities and the growth of solutions, the reader is referred to [29]. [32J consider the gene~

As another example, Gilbert and Howard

ralized bi-axially symmetric Helmholtz equation( GBSHE) in the form:

r'

> 0, k>O.

\l

We shall consider these solutions of the GBSHE which are of the class C2 in some neighborhood of the origin and even in x and in y . Then we must have, for u{x, y) , a solution (2.7.23)

u

x

=0

on x = 0 ,

Henrici [39] furnishes

u y

=0

: on

y

=0

.

a complete set of solutions, regular about

the origin, as this particular class of solutions (denoted by S) cited

66

.~

C1'1\

j

- 58 -

M. Z. v. Krzywoblocki

below (2.7.22) ; ('V -1/2 ~ -1/2) -f-v f (r t) = P , (t)(kr) J (kr) n=O 1 ". n ' n 1'1+Y+2n J " ,

(2.7.24)

t = cos 20 , r2 =

where

Polynomials (see

i

[161

+

i

and P (cI., n

~ ) stands

for the Jacobi

);

=

p(V- 1/ 2, }1-1/2)(t) (kr~v- J (kr) f (r t) = n } jAH+2n - n '

•r

(~+n+1/ 2{r (~f (1/ 2)r (n+I)] -Ilr(k~)-~ -" J~ +~ +2n (k<1)l

.t

(O'/xt

T2 (~,

O'=X+iyCosP,

1.~,'V;$ 1.

x=rcosO,

1 2 2 . 2j, r~=_ky sID t /4,

",1)( sin+)2l>.1

y=rsinO, gl= ..

dfJ,

y2sin2~/(4Xa'),

k"''V'>OJ,.=O, 1, 2,,,,,

An arbitrary solution of the class S may be represented in a series

. P (V-1/2,/"\ -1/2)(COS 20) J (kr) n l'+})+2n ,

(2.7.25) and an

even analytic function regular about the origin may be expres-

sed as

Z 00

(2.7.26)(

a 2n Jfi+'V+ 2n (0") •

Hence for r sufficiently small it follows that the class of analytic functions (2.7.26) is mapped onto the class of solutions (2.7.25) by an operator of the form;

67

- 59 -

M. Z. v. Krzywoblocki ~

w(r,e)=u(x,y)~OLfJ=a

1 -1

-1 2'V-l

f(kO")('iJ4(~-~)

.

+1

(2.7.27) where

J. 1 1 -1 'i'2{r, 1-~,\);~, "1)~

. (J= x+iy

(~- ~-ll

/2,

~1 = i(~- ~-1)2/

I

d" (16 xC') ,

It is useful to continue the arguments of the solutions (2.7.22)

to complex values. A cpntinuation of r2

= x2 +

u(x, y) of

i ,

5= cos 2 e = (x 2-i) / (x 2_y2) to complex values allows one to obtain an inverse operator

0 -1 [ u ] which maps the class of solutions

S

back onto the class of analytic function (2.7.26) .

t

To obtain such an operator in the form : (2.7.28)

I( k'1"

a- I [,.]

0

K(a',

r, e)u[r ((1+i)/2)1/2, r((1-~)/~]cH

-1

we try determine (kG') -I'

K

such that, formally:

-> ~ '2n JW

.+

2n (k<)

0

"'-ik.,

(kr)

r, f,

).

This may be done by recalling the orthogonality relation for the Jacobi polynomials :

68

- 60 M. Z. v. Krzywoblocki

1

(v-l/2,;~\-1/2)

+1(1_I=)V-l/2(1+f) 11+1/2 P (V-l/2"M-l/2)(f) P

-1

~

n

>

=1

"

m

2r+~(n+l)+ 1/2f (n+f+l/2)

nm

. (L) d~

.

(2.7.30) Thus, if we define :

E)

Kn(G', r,

2

rH + 2n (kr))

.

(2.7.31)

where

-(~+I»)l / ~+I> 1)n(kr kit) J~+H2n(ka') (J

Pn(~-1/2,)A"1/2)(f)

bn = (2n +JA +») rtn +}I+)))

we have a 2n (kO")

-1

.

(1_E/- 1/ 2(1 +pJl-l/2,

(r(n +/A + 1/2))-1,

-(~+») J ~t\)+ 2n(kO')

f

+1

-

1

Kn (Ir, r,

S).

(2.7.32) Hence

i

-

+1

(2.7.33) f(kO") =

s) u l r((1+g)/2) 1/ 2,r((1-S)/2) 1/ 2

K

W,

=

2-(~\H)(r!d

r,

d~,

-1

where K(
~) ~

. ~(2n+,"+\)

Jr

/'+"(1-

S) P-1/2 (1+~ /1.-1/2.

(n+)) +1") (r(n+flt~))

-1

;1 -1 ('V- 1/ 2 jA-l/2) J tl +V+ 2n (ko') [ J f+ll+ 2n(kr)J Pn '

To verify that these formal calculations are justified and that

69

(S ). K

- 61 -

M. Z. v. Krzywoblocki

as a function of the complex variables,

(J

,1",

and

$

is

holomorphic, the reader is referred to the proof given by Gilbert and Howard

[32J.

Also the location of the singularities and the

growth of the solutions are given in

[321 . Application

rators in ordinary differential equations was achieved blocki [59J

of integral opeby

v. Krzywo-

.

3. Reduction of Independent Variables. 3. 1. Preliminary Remarka. The idea of the reduction of the number of independent variables in solving the partial differential equations was actually introduced into the field of incompressible fluid dynamics by L. Prandtl in 1904.

In the course of the years the technique was generalized to compressible fluids and to hypersonics. In this case we deal with a viscous , heat-conducting fluid . The main goal of the technique is to deal with ordinary differential equations in place of partial differential equations. The two-point boundary value problem in ordinary differential equations has a rigorous solution in some cases at least . But the two-curve boundary value problem in partial differential equations has up to now in general no rigorous solution. For this reason, ordinary differential equations are often preferable in handling some problems in mathematical physics.

3.2. Early Approaches. Assume a system of partial non-linear differential equations of arbitrary order and degree in n dependent variables

70

f.(x, y) 1

and

- 62 M. Z. v. Krzywoblocki

in two independent variables

[Dj : fl(X,

(3.2.1)

-

(x, y):

y, f" f,

1

,f.

1, X

1

1,

, . . . ) = 0, (i=l, 2,' . " n), Y

with the following boundary conditions superimposed on it :

which show that some functions

f. should fulfill the boundary value

problem only along the curve

{1x( 1) , / 1) whereas the others

J

should fulfill it only along the curve {x(2), y(2)}. We shall add to

[DJ

the system (3.2.4)

one more equation of the form:

11n+1 (x, y ; f(n+1)(x, y)) = 9n+1(x, y;z) ; z = f(n+1)(x, y) ,

f 1 (x, y) is some real function of x and y, n+ satisfying the following conditions : the independent variable y should where the function

be expressable explicitly in terms of x and z; any derivatives of f with respect to x and y must be expressable explicitly in terms n+1 of x and z only. The so obtained system, associated with the original system system

[D] [ D11

is denoted by the symbol is

[ D11

related to the original system

a particular solution of [ D11

. The associated

IDJ in the

is a particular solution of

sense that

[DJ., since

a particular solution of a system of (n+ 1) -differential equations is a particular solution of the reduced system of n - equations. The function f

~

1(x, y)= z -

will be introduced into

71

Q),.,

Pi

(i=1, "', n).

- 63M. Z. v. Krzywoblocki

Then, with the system D

(3.2.5)

2

lDJ '

we associate the system

:~.(x,z;F.(x,z), 1

2

dF· -d1

1

Z

[D2]:

'

d ~i, . . . ) = O,(i=l ''',n), dz

with the boundary conditions:

~(1) (1) (1)

(3.2.6)cUi (x

(3 2 7) ••

(1U~~

dF

I

iI

,z ;~(X,'II,dz\ (1) (1) ,"·)=O,(i,=I,".,j), I x, Z I

ca(2) ( (2) z(2)'F (x(2) z(2)) dF k \ . .. )=0 (k=J'+1 ... n) x, 'k ' 'dz (2) (2)' " '" x ,z ,

IJ k

In this we can associate the first original system with an ordinary differential equation at the end of our chain association. Hence, in particular, let us restrict ourselves to the system of the first

order:

(3.2.8)

[D]: ~1' (x, y;

f. ,f. 1

1, X

,f.

1,

i = 0,

Y

(i=I,"', n),

with the boundary conditions : (3.2.9)

where the functions

t i (1) ,

tk (2)

are of known , given forms in terms

of x, y, f ,etc. A special case of the above boundary conditions may k,x be:

with

d. i '

d. k

being known .

72

- 64 M. Z. v. Krzywoblocki

Let us introduce a parameter function

F(x, z)

u

and let us associate with any

of two independent variables a parametric function

y.(x; u) of one independent variable and of the parameter u ; then the 1

system

[Dl

(3.2.13)

Y.(x;u) =~.(x, Yl(x;u), . ", y (x;u); u),

of (3.2.8) is associated with the system:

1

(i = 1,"', n) ,

n

1

or with the system :

[D~: Yi = fi(x, y 1(x;u), . ",

+

Yn(x;u) ; u)

n

+ y.

(3.2.14)

J~

Ai .(x'Y1'· ", yn;u)y.,

J

(i=l,,,·, n),

J

subject to the following boundary conditions: (3.2.15)

y.(a~l)

; u) = r.(1)

11

(a(~)

;y.(a(I);u),

1111

Y.(a(~) ;u), "', u),

(i=I,"', j),

11

a special case of which will be (3.2.17)

y.(P) ;u) = d..(u) , 1

1

1

(i=l,"', j),

(3.2.18) and the dot over the symbol respect

to x, and

y

denotes

the ordinary derivative with

u is a parameter.

We are entirely working in the real domain and dealing with the system of ordinary, first order differential equations (3.2.14). v. Krzywoblocki

[49J

proves the existence and uniqueness theorems of

the system (3.2.14) first with

(3.2.17) and (3.2.18) and next with

73

- 65 -

M. Z. v. Krzywoblocki

more general boundary conditions by employing the integral system corresponding to (3.2.14), thus obtaining the existence theorem (but not uniqueness) for a system of the original form (3,2.8) , 3.3. Michal's Approach. Michal

considers an

r-parameter continuous transformation

group: Gr'. xi -- fi(x 1J'"

J

xm. } J

Y= ~(y;a1, ... ,

(3.3.1) where the

XiS

J

'"

J

=

a r )- f(x'a) J

J

at) =r(y;a), (i=l,"', m, m>l, r

(i~

t)

1),

and a's are numerical and y is a variable of calss

with n sufficiently large, in a Banach space, SG

.?

C(n)

B. The group

is assumed to possess S ~ 1 functionally independent

Fr~­

r

chet differentiable absolute invariants:

where

s< m . It is further assumed that

Fr~chet differentiable, absolute invariant y for all admissable

y and

A B-valued function (xl"

G

r

g(y, xl, ... xm) solvable in

XiS.

Y(X 1,'"

,xm) of the numerical variables

. . ,xm) is called an invariant function

y is the same function of the y = H(x) then

y

possesses a B-valued,

y

as

XiS

under

is of the

Gr if, under Gr

x IS,

i. e., if

= H(x) .

If Band B1 are two reflexive Banach spaces (not necessarily di-

stinct, (3.3.3)

i. e., they may be the same Banach space) and if :

n (x,

y(x)

J

kOx

...

J

"ly -

dx g 74

)

- 66 M. Z. v. Krzywoblocki

is a B -valued

g-th order differential invariant

functions y(x 1, .. " xm ) under the group

of invariant b-valued

G, then r

0

is expressable

in the form: (3.3.4) where the corresponding B-valued functions

(,? i' "',

))

~

s) exist

and are determined by the formula:

m

i

1

(3.3.5) '1>( ~ i(x, "', x ), .. " "ls(x , . ", x

m

))

=

= g(y (xl, .. '/Xm),X l ,'" An outline of the proof of the above statement is given in

,x.~). [ 65] .

Conversely, if Bl and B are two Banach spaces (not necessarily distinct) and if the

s

»(II} i'

... , "Is) is an arbitrary B-valued function of

-invariants "ti' "', 1s ' then the corresponding

B-valued

function y(x 1, ... , xm) determined by Eq. (3.3.5) is an invariant function under

Gr' In addition, the B1- valued

expression (3.3.4) may be expressed as ferential invariant under

a B1-valued q'th order dif-

0 of invariant B-valued functions y(x 1, ... , xm)

G. r

If

(3.3.6)

y(x) is a solution to the partial differential equation: 0 (x, y(x)

'C}y 'h ' "', h

=0 ,

g)

"Ox

where

q'th order differential

0 is defined in the discussion following (3.3.3) and, in addition

y(x) is an invariant function under

G then y(x) is said to be an invar

riant solution of Eq. (3.3.6) . 1 m Hence , an invariant solution y(x , "', x ) of Eq. (3.3.6) deter-

mines, by means of Eq.(3.3.5), a solutiony(1Yl 1 ,"" "ls)to the

75

- 67 -

M. Z. v. Krzywoblocki

corresponding partial differential equation: (3.3.7)

w

(yt,» (,) ,

~)) il<1j "

w("t,'J(1)"") and

where y,

~gy

••

= 0,

''d\g

»(r1j) are defined by (3.3.4) and

(3.3.5) , respectively. To each solution 'J (1) of Eq, (3.3.7) corresponds an invariant solution y(x) of Eq. (3.3. S) . The correspondence is given by (3.3.5). Morgan

[siJ

deals with one-dimensional normed linear

spaces and continuous groups in only one numerical parameter a. 3.4. Examples of the Reduction to Parametric Functions. We restrict ourselves to two independent variables and for illustrative purposes assume a one - parameter continuous group of transformations of the form: _2

where

_

x == - Y

(3.4.1) f.(i 1

=

2 f (a) x :....;. f y

2

-"' 2 '

= 1, 2) are some functions of the numerical parameter a.

Then one must have : (3.4.2)

Y g (x)

= y g (x) ,

where g(x) is some function of x. Suppose, that the function g(x) can be represented in the form

g(f 1(a) ). g(x), then Eq. (3.4.2)

implies:

which may enable one to find out the form of the function consequently that

of g(x)

g(f 1) and

For example, if m, n, p, are real num-

bers , then one may choose :

76

- 68 -

M. Z. v. Krzywohlocki

f =a 1

m

n t mp = 0 ;

p=-nm

-1

;

P

fl= exp (ma) ; f2= exp(n a) ; g = x ; ntmp=O ; p = -nm

-1

fl= exp (ima); f2= exp (ina); g=xP ; ntmp=O; p = -nm -1 ;

(3.4.4)

where in the last proposition only the rea 1 parts Re

f fJ

should be

taken into account. One may construct easily more complicated funcf. ( i = 1, 2) and

tions

1

(3.4.5)

x= ma

+ x; y=yexp

which results in (3.4.6)

g (na); y=yexp (pi)

= yexp (px) ,

p = • n/ m, or :

x = mat x ; Y= yexp (a exp n) ; y = y exp (px) = y exp (px) ,

which results in

p = - m

-1

exp n. The absolute invariants of the group

are: (3.4.7)

~

p

"\ = y

=yx ;

exp (px) .

In a similar way we deal with the dependent variables; thus • as an example one may choose:

For illustrative purposes assume a function

g(x) equal to

r

x,

say . Then it should be : (3.4.9) The procedure is identical with the one, explained above. The absolute invariants of the group (3.4.8) are :

(3.4.10)

go

=

k(

r

x

Hence by virtue of equation :

77

- 69 M. Z. v. Krzywoblocki 1 m z( (x , . . . ,x )

(3.4.11)

= FJ'

(~),

the invariant solutions of equation

1 ~(x "

(3.4.12)

. . ,x

opy

m

n

·,~)=O,

; y l' .

~(x

f

must be of the form :

x

(3.4.13) with

~

given

-r

by Eq. (3. 4. 7) . Contrary to Morgan's approach, there

are no conditions superimposed upon the differential form or system. Hence the function

g(x) = x -r

a loss of generality

in Eq. (3.4.13)

one may assume it to be equal to unity .

Yo are equal to

Moreover, x is a constant and the functions

Fo

(x = const.

,~

)

= Fer

("( j

, which is correct.

In case of two independent variables

1

Nt = "l (x,

is arbitrary and without

1

2

x, x,

when the function

2

x) satisfies the usual conditions of analyticity, is expan-

dable in power series, etc., one can choose this invariant "\.

in an

arbitrary manner. It is usually possible to construct the one-parameter continuous group of transformation: _ i 1 m . xi = f (x '... J x J. a) J (1=1 J •.• J m', m

(3. 4. 14)

Y6 = fo (yI ; a),

(S = 1,

corresponding to the chosen

"t! '

~ ~

2);

"', n; n ~ 1 ) .

i. e., satisfying all the properties of

such a group. In practical applications, the function

"'l = y/ f(x)

is

often used. Applying the usual procedure from the theory of groups, one can easily verify whether the function in question satisfies the conditions of the one-parameter group of transformations. Let us choose :

78

- 70 M. Z. v. Drzywoblocki

(3.4.15)

1=y/f(x);

x=xexPP1;

Then, from the condition that (3.4.16)

Y / f (x) =

"I

is

PI = parameter.

an invariant, i. e., from:

y / f (x) ;

one has: (3.4.17)

Y=

yf(xexPP 1)/f(x).

This transformation is valid in the extreme case when

P = O.

In the next step one gets : (3.4.18)

x

= x exp P2

;

Y = y f (x exp P2) /f(x)

or inserting Eqs. (3. 4.15) and (3.4.17) into (3.4.18) :

Similarly, one can easily verify that Eq.(3.4.15) represents an invariant : (3.4.20)

Y / f(X) = [Y f(x exp P1)/f(x)] / f(x exp PI) = y/f(x) .

3. 5. Application of Theory to the Hypersonic Boundary Layer. Assuming that fundamenta system of equations governing the distribution of the veloc.ity components, density, pressure and temperature is given in form of the solution of Maxwell-Boltzmann equation as derived by Grad in Cartesian tensor notation one obtains a system of equations in case of a flow without external forces. After some elementary operations on tensor forms in the case of a two - dimensional Caru1== u,

tesian coordinates, the system with form (see

(49]):

79

u 2 ::. v, etc. takes the

.. 71 M. Z. v. Krzywoblocki -1

(3.5.1)

9(u u, x+ v u, y) + c(

(3.5.2)

f (uv, x +vv, y )+d.,

(p,

=v

M

-1

(p,

x

+p

+P ) xy, Y

xx, x

+p

y

+p

yx,x

yy,y

=0 ;

)=0

(3.5.3) (3.5.4)

01.

p=R9T;

eo

,2 . c2

0

'

:;: V R T Go

0

0

0'

"I D l-(C T), u + (c T), v] + p (u, + v, ) + p u, + .... I v x v y x y xx x

(3.5.5)

(p

xx

u),

x

+ (p

xx

v),

y

+ (2/15)(2 S

- S )+ y, y

x, x

+ (2/3) (2p u, + 2p u, -p v, -p xxx

(3.5.6) + (2 / 3) P (2u, (p

xy

u),

x

- v, ) + Ii y

x

+(p

xy y

xy

v),

y

+ (S

+ P (u, + v, ) + p u, yy,/ xy x y (3.5.7)

=0 ;

+ p (u, + v, ) + p v, + ( S + S ) /2 xy y x yy y x, x y, y

+ Ii (p

-1

yy

f.I 1-

u),

x

yxx yy

-1

.

+ (2/3) (2p

v),

y

y, x

)/5 + P v, + xx x

y

Vo

yy

+S

= 0;

+ p(u, + v, ) +

r-1 p pxy = 0, "X.= c + (p

r-1 p pxx

Q

f'

x, y

v,) + y

R

+ (2/15)(2

-1 0

x

,fA =. Re :;: L fo U0

r

s y, y - Sx, x) +

v, + 2p v, - p u, - p u,) + yy y yx x xy y xx x

(3.5.8) +(2/3)p(2v,

y

-u,)+ x


(S u), + (S v), + (11/5)S u, x x xy Xx

80

=0;

+ (2/5) S v, x

y

+

r' -1

- 72 M. Z. v. Krzywoblocki

+ (7/5)8 u,

Y Y

+ 7 Cl(, -1 [p

+(2/5)S (RT),

xx

_2d..- 1p - 1 [p

(P

xx

(3.5.9) + 5 Q,-1 P (RT),

x

Y

v,

+p

x

xx, x.

x

(RT),

xy

+P

xy, y

+ (5/2) i-I

-1

+2 c(,

RT(p

xx, x

+p

xy, y

)+

1-

y

)+p

~ A-I

xy

(P

Rp 8

yx, x

+P

= 0,

x

yy, y

)

+

)= R,..,

(S u), + ( 8 v), + (2/5) S u, + (7/5) 8 v, + yx yy xy xx + (2/5) S u, + (11/5) S v, + 2 0/.-1 RT (p +P )+ Y x Y Y yx, X yy, y +7c(,-I[p _ 2 d.. -1

O-l[p

I

(3.5.10) + 5 rJ. -lp (RT), (3.5.11)

P

xx

yx

=p

xx

yx

y

(RT), (P

x

xx, x

+ (5/2)

+p; P

xy

+p

yy

+P

(RT),

xy, y

~-1 ~ i = P

yx

y

J-

) + P (P +P ) + yy yx, x yy, y 1Rp8 y

=0 ,

= Pxy = Pyx;P

yy

=p

yy

+p.

This is a system of ten non-linear partial differential equations of the first order in the dependent variables and two independent variables. To transform the system of the above equations , one may choose the

following rules of transformations:

Q.(x, y) = Q(x, z); z = y / g(x); z, 1

(3;5 12)

z

'y

=g

-1

X

= - zg

-1

g'

. Q = z d Q/ dz' Q1 = z, dQ/ dz '1, x 'x ',y y

where all the higher order derivatives of

;

z with respect to yare

equal to zero and primes denote derivatives with respect to z. We introduce new

dependent variables:

81

etc.,

M. Z. v. Krzywoblocki

(3,5.13)

... v:;: g' v; p

xy

:;:gtp ,iP :;: gl(p g' xJ x, y xy

·1"'" ), :;: g'px,y , y

then we obtain, from Eq. (3.5.1 ) : (3.5.14)

.... ·1 r ... 9(-zu+v)u'+ i L-z P~x(x,z)+ pixy (x,z)

1 :;:

0,

where prime denotes ordinary differentiation with respect to Let u' (x, z):;: G, d z:;: G-1 du, z :;:

J G-1 du,

z.

then Eq. (3.5.14) can be

given in the form

o (-zu +

(3.5.15)

)

.v. ) u' +

01.. -ll~ .. zp ~

xx

""}

(x, u) + pI (x, u) :;: 0 , xy

where prime denotes ordinary differentiation with respect

to

With the new dependent variables:

;P

....

p:;: g' p

;p

....

yy

= g' p

yy

u . yy

=g'P

yy

one easily gets, from Eq. (3.5.2): (3.5.16)

o (-zu +v. . ) v'

J

(x, u) + cl.

-1["":Pyy(x, u) - zp'xy (x,u))

=0

.

After all the transformation in the equations of continuity and state, one obtains (3.5.17)

If we use a new dependent variable,

....

S :;: g'S , Eq. (3. 5, 5) takes the y y

form:

..

"" o(-zu + v) d (c T)/du - zp + ~} v xx (3.5.18)

+ ;, (x, u) P

yy

[(g')--zv'(x, 1] u) p

- -L zS' (x, u) -

x

With the use of new dependent variables one easily obtains :

82

S'y(x, u)l'J

xy

/2 :;: 0 .

S :;: g' S ,p X

+

X

xx

.... = gl P

xx

,

,

- 74 M. Z. v. Krzywoblocki

~~ _ z d(u pxx )/ du + d(; pxx )/ du

- (2/15)[2zS 1 (x, u) + 8' (x, u)l + x X 'j

+ (2/3) [ -2zPx;{2. (gl) -1 + ZVI(X, U)) Pxy - ;'(X, u) P (3.5.19)

fa,

.1

-1

"" gppxx

pf'

yy1}

G +

=0;

1 { -Zd(U Pxy )/du+d(;p xy )/du+[8x (x,U)-ZS'Y (x,U)] /5 -

_ZV'(X,U)P (3.5.20)

+ do.

-1

xx

_[Z_V'I(X,u)] p +(gl)-1p {G + xy yyj

-1 ~ ~ gpp

xy

= 0 ;

r1- z d (upyy)/du + d(;p yy ) /du + (2/15)[zSIx(x, u) + 28y' (x, U)] + + (2/3) [zp

xx

- ((g') -1 + 2 zv ' (x, u)) P + xy

(3.5.21)+2;' (X,U)pJ}

G+ c(l

p f.-I gp;yy

=0.

Components of the heat flow vector are given in the forms of:

t-,

d(uSx)/du + d(;-SX )/du + (1/5) [[ -11, + 2;-' (x, U)) SX +

+ [7 (gl)-1 _2ZV'(X, u)] S 1 + 2ct- 1[_zd (RTp )/du +d(RTp )/ xx xy yj + 5 ol.-1 (-zP

xx

+; ) d (RT)/du - 20(,-1 xy

0 -1f[-zPI

I

+ pi (x, u)l P + [ -z pi (x, u) + pi (x, U)] xy 'J xx xy yy (3.5.22)

~_

+ (5/2)rJ..,

-1

~

xx

d~J +

(x, u) +

PXyl) G +

JJ

A-1 gR p Sx = 0,

z d (USy)/dU + d (;Sy)/dU + (1/5)~~(gl)-1 - 7 ZV'(X, U)] Sx +

+[_2z+11;'(C,u)]sl+201.-1[-Zd(RTP )/du+d(RTp )/duJ+ y3 xy yy 83

- 75 -

M. Z. v. Krzywoblocki

+ 5cl- 1( -zp

xy

+P

yy

+ pi (x, u)] p xy

xy

+[ -

) d(RT)/du - 2 r( -lflf[_zPI (x, u) + ~I xx Zpl

xy

(x, u) + pi (x, yy

+ (5/2) ri -1 ~ A-I g R P Sy

(3.5,23)

l}

u)]

p G + yyJ

=0 •

Eqs. (3.5.15) to (3.5.23) jointly with the equation for G, i. e., ,etc., ~, etc. , xx represent the system of 23 ordinary, non-linear, first order differenG = 1/(dz/ du), and equations (definitions) for P

tial equations for 23 dependent functions,

S x

Pxx;

P , yy

p

Pxx; pxy ,

S y

P

Pyy;

P

xx

P

xy

"-

xy

P

z· v' J

P "-

yy

J

p . p' J

J

T;

"-

yy

S x

v

"-

S , y

G,

in one independent variable u with a parameter x. One may preserve the original forms of dependent functions without introducing the functions

v, pxx

' etc., thus obtaining a little more complicated

structure of the remaining equations . Basically, when all the des like

,etc., are inserted into the main xx system of equations, it reduces to ten equations for : z, v, PI p, T,

P

xx

,p

yy

v

,

p

magnitu~

, G ,P

,S S .

x y

3.6. Particular Gases of the Direct Reduction of Independent Variables (with no Parameters) . Below, we demonstrate how a group may be found such that a particular system of partial differential equations is conformally invariant under the group in question. The technique, shown below is a new one.

84

- 76 M. Z. v. Krzywoblocki

[ 62 J

Consider the system of equations

u = u (x, y) .

(3.6.1)

= 0

,

We wish find a

conformal invariance under a group

_

1 A 1 :x=f(x,y;a),

2

y = f (x, y ; a) ,

4 3 u = f ( u; a) :=. f

(3.6.2)

Al

5 (u;a)+f(a).

5

il~

Since

oy

= 0,

on Of

Eqs. (3.6.1) , (3.6.2) yield:

1..

=

vx

(f4 ) U

()x

"vJ

+ 1.. (f4 ) fl oy U oy

4

=u

(3.6.3)

A function the yls up to the der

r1Ek

4

(l.!.

'Ox

uy

'Ox r.l

+

2l) + f4 (uu ';)x 'Oy i) x ()y

~ ';)y

+ QU ]1.) oy Jy

.

of the XIS, yls, and the partial derivatives of

k - th order is said to be conformally invariant un-

(we drop E k

r)

and simply say 1 k 1

if :

t

- _1 -n uy U r.l (x.y (x), "',y (x), - 1 ' "', - - k ) U(xm)

ux

(3.6.4)

k n kn 1 n ()y 1 n ~y =F(x,y ,''',y , " ' , " ' , k;a)r.l(x,y (x),· .. ,y ,"":"'-k)' 0(Xm) U(xmJ k n 1 n uy . 1 where F(x, y , ... ,y " ' , " ' , U(xm)k ; a) IS an arbitrary

r.

under

function and

r.l is the same function of the original and transformed

variables. From Eqs. (3.6.3) and (3.6.4) , it is required that:

~ ux oJ

UU=U(u f4

uY

(3.6.5)

= F

+ ()f4

uy )

'Oy uy

+

f4(~ ~

'Ou UU ou (x, y, u, vy' Tx; a) ~ ,

85

'Ox

vy

+

~ OY) uy 'Of

- 77 -

lVI.

where the function

F

z. v. Krzywoblocki

has to satisfy some conditions due to the group

properties but is otherwise arbitrary, i. e., there are sought solution of Eq. (3. 6. 5) which satisfy the conditions of a one -parameter group of transformation. One such a class of solutions is obtained by equating on both sides of equation all terms in (3.6.3) containing

~~

explicitly and set-

ting all other terms equal to zero. Eq. (3. 6.3) then yields;

uf4

(3.6.6)

Ox oy

u~

of4

(3.6.7)

u~

k

oY

0, 0,

0,

(3.6.8)

which implies that

'Oil

= f4

'JJ

UU

.l1

()u

or

'Oy 0y'

Oy=F(x,y,u;a)

The system of partial differential equations

u~ =0.

G will be called

system corresponding to Eq. (3. 6.1) and to the group If

'";)

the

AI'

u = 0, Eq. (3.6.1) is satisfied. However, solutions will be sought

for which sformation with

ulo.

Since the definition of a group states that the tran-

Al has an inverse, the Jacobian determinant associated

AI:

(3.6,9)

i)

(x, y, ill I =

o(x, y, u)

Vx ax Jx ~

~ ~

oy 'OJ 'Ox

oy

~y

~

() u I oii OU --I ox

uy

UUI

I

86

- 78 M. Z. v. Krzywoblocki 4

cannot be zero . If in the last equation of (3. 6.2), If = 0, then o ii '0 u () ii . . (x y- ti) = - =m WhlCh c a s e ' , =0 0X uy vu = 0 u(x, y, u) , contrary to the original assumption. Therefore it is necessary that

lu

f4

f

0•

Similarly, the subgroup: (3.6.10)

SA: .1

x= f1(x,

y; a),

_

2

Y = f (x, y ; a) ,

must have an inverse and therefore neither the Jacobian determinant associated with SA 1

(3.6.11)i 0 (x, 51)1

I U(x,

=

y)

vX' uX" () x

() y

nor the Jacobian determinant:

Y)I-

U(X, (3.6.12) II uti, y) -

Uy vi

~y

-0y

associated with the inverse transformation may be equal to zero . From (3.6.12) , it follows that not both l)u equal to zero .. If ~

(3.6.13)

f

~;

and

~~

are

0, then from (3.6.8) :

Ox

uy = 0,

and therefore (3.6.14)

~~ f

O.

Eqs. (3.6.6), (3.6.7), (3.6.8) and the above remarks imply that:

87

- 79 -

M. Z. v. Krzywoblocki

ax '(Jy = 0,

(3.6.15 )

Hence, (3.6.2) satisfying conditions (3.6.15) furnishes the conformal invariance . We shall apply the above technique which may be called a technique of vanishing coefficients, to the time dependent Navier-Stokes equations in three dimension of motion of a viscous, compressible, perfect gas. The equations of motion are ;

.

(1)

Y(UU Tt""

JU

2

(3.6.16)

_uu ) + _ClP

UU

+ u ~ + v"'5Y + w () z 2

2

_

()x

2

2

2

_{1(1.:.:. + () u + ~) _ 3-1tl(~ +~ + "Zl w = ()x 2 uz 2 ()x 2 UXdy tlx()z) 0,

vi

Ov ()v ":-'v 'v "Ip (ii) 0 ( +u+ v _u- + w _u_ ) + _u_ J (It ox

uy

uz

_

uY

(3.6.17)

and (iii)

0 (

F

0 w + u J w + v "\) w + w Ox "\)y

ot

··,2w

?}

()X

uy

2

J w) 0z

+ () p z

•

r}

02

~)=O "'I 2 uz

u

_11(-101- +---.!.+ 0W).!.r(_u +_v + I ">. 2 "'I 2 ,2 3 uxi) z

(3.6.18)

()

vyuz

Z

-,2

.

In addition, the gas is described by equations of state, continuity and conservation of energy. They are, respectively (3.6.19)

(i v)

(3.6.20)

(v)

p =

9R T

(state) ,

J \~ +';) (pu) + ~) + ~

-'S"t

'Ox

-vy

88

()z

o

(continuity),

- 80 -

M. Z. v. Krzywoblocki

and

+ ( U w+ b)2 + (u u + dw)2 +

Uy

2 au "'uv SY

/-I,

\)w

+)z)

21

= 0 (energ~,

R

C and k are constants . v The above system of six partial differential equations in six un-

known functions of system that

Oz Tx

+ 3 ( T,; +

(3.6.21 ) where

uz

II

II

A

x, y,

z

and t will be

A

II

II

is conformally invariant under

•

referred to as the

In order to find the conditions on a group

find the system corresponding to

"A

II

such

A1 ' it is necessary to

and AI. Al is a transforma-

tion group defined as : _

I

-

2

_ 3

AI: x =f (x, y, z;a) , y=f (x, y, z;a), z=f (x, y, z;a) , _ 4 5 6

u =f (u;a)=. f (u;a) u + f (a) .

Since no new techniques are involved in finding the system in question, this problem will be left to the reader. The present paper will confine its attention to one such group under which mally invariant. It is the following group :

y = y - '( 2a ,

t

= t - ~ 4a ,

u = u,

z = z+ ~3 a ,

v = v, w = w ,

89

II

A

II

is confor-

~

81

~

M. Z. v. Krzywoblocki

(3.6.22)

-p=p,

T=T

where the r's are arbitrary constants. The conformal invariance of 1 the system of equations "A" under the group P is easily verified. The invariants of

pl

may be chosen as follows:

With the use of equation (3.6.23) the system

"A" is reduced to

the following system which will be referred to as the system" B " :

90

- 82 M. Z. v. Krzywoblocki.

(3.6.24)

" B "

(3.6.25)

(3.6.27)

V'V2

VY2

()'q3+K2))1~ + ... ) +... = 0 ,

(ii)V 5

(t3

(iii))5

()Y3 ( ~ 3013 +

(i v) ~ 4

= R\'\ \>6 '

+~2

(3.6.29) (vi)

C ))

v

U().\ V2)

U())5 VI)

i3~

(3.6.28)

+ ... ) +... = 0 ,

t2 t1 ~

~V5

(v)

()Y3

+t2

)"'l1

+t1 Oll{l

d P\ Y3)

d ()\ Y3)

oV 6

5

(t -0 +'6 t 3

()~3

+0 4

o"'t2

~3

=0 ,

0\16

2 1

~ + ... )+ ... = 0 . 'tJ.1

The system "B" is absolutely invariant under the group:

(3.6.30)

)5

j

=V

j

(j

= 1, .. " 6) ,

whose invariants , as in the previous case, may be chosen as follows:

91

• 83 -

M, Z. v. Krzywoblocki

The system

"B" may be reduced to a system

51

included) with independent variables n C"

is,

(3.6.32)

and

.5 2

11

C"

(not

. The system

similarly, absolutely invariant under the group: p(3) :

~ = f: + > 1 >1

1/

a

08

'

?)2

= F _y a )2 09'

'1' =t (i=l'" 6) ii'

whose invariants, as in the previous cases, may be chosen as :

p.( 0( )

(3.6.33)

J

(3.6.34)

92

, ,

- 84 M. Z. v. Krzywoblocki

+[r2 t9 (t l05 t 6~9+ ~16667aa+2t3t5(7ta) ~

0 t/

+ 2 t 3 (r5 2 9 2+ (3.6.35)

+ ¥1 t 4

~~

t t

'6 8 t 9 J

t

¥

(a 2 ) + 3i 46'6 6a

t t

+r.

2

d c-A 2

J

0,

i 4 t 6 t8

:l]

(t 2 t 3 ~ 7 + t4 t6)

i d

t

(9 ( Y1 6 +

~'"

-,,d~

'¥ 5t9 1~519 +'h!8 i + 't,r4'{ 6(8 It 5 ~ 9 93

(~5 r9+¥7~ a) +

i~ 31 =

+ t 2 t 3 5 9ta 5 t 9+ 2 7 08)+

+ ~ 3 5)+ 7 '18

+

+

t

+ K7 8 i +

- 85 M. Z. v. Krzywoblocki

(3.6.37) (iv)

(v)

(3.6.38)

P4 =R

~5 ~6

t 3 ~ 6 t8

[

+

d 1~5 d d..

6) ~ 8]

¥2 ~ 5 ~ 9 + ( ~ 2 17 + ~ 4 6

94

d( ~ 5 ~3) d
=

0,

- 86 M. Z. v. Krzywoblocki

where:

Al

~~

¥3 t 6 t,

5[

+¥2

t6 t9 i I

+[(¥1~6+t305)t9+ (3.6.40)

+[¥2

+

t3¥7 t 81

t5 69+(t2 t7+ 04

Y6)t8J~3

~2

+ '

and

+(\ I

2 2

2 2 2 + \' ) (y' \' + 2 '( Y (i 3 , 5 '. 9 .5 ,7

95

2

2

\<J 8 ,g \ + \1,7 )/ ) u8

+

- 87 M. Z. v. Krzywoblocki

The triply invariant solutions of the original system under p(l) (eq, (3.6.22),

p(2)

(3.6.32)) are determined

(eq.

I:

(3.6.30)) and p(3)

A II

(eq.

by the solutions of the system of ordinary

differential equations, "D

II ,

The correspondence is given by the rela-

tions :

d.. = '2 ': 6 \ 9 x

l(\

1 ') 6 t , 3 ) 5)

t

i9t

I

t

3 \ 7 \ 8] Y

t

,

~ i 2 j 5 a9 t

(3.6.42)

\

()

\;1 1

=u

( \ 2 :\ 7 t

,3 =v

'I

2

~

j

4 \ 6) ) 8

z

3

t

6' 8 t,

:!,

'

6

=T .

Although the present investigation considered a perfect gas, the reduction used can evidently be applied if equation (3.6.19) is replaced by a general equation of state, ~,

Cv

and

k (see eqs.

F (p,

f

,T)

=0

. Furthermore,

(3.6.16), (3.6.17) , (3.6.18) and (3.6.21)

could have been taken as arbitrary functions

of

p

and

T .

The technique discussed in this chapter can be applied to all the regimes

(sub - trans- supersonic) and to all kinds of fluids: inviscid,

viscous, MHD, etc. There are serious disadvantages of this technique: (i) it is very difficult to find invariant groups; (ii) it is certainly very difficult to satisfy the boundary conditions, particularly two-curve B, C. , in many practical cases .

96

- 88 M. Z. v. Krzywoblocki

4. Topological Technique.

4.1. Fundamental Concepts. Without explaining all the details of the topological technique, we are going directly to the final results. The technique is based upon the elementary fundamentals of homology . Assume a three - dimensional nonsteady rotational flow of a perfect, inviscid, non-heat-conducting fluid in an electromagnetic field. The fundamental equations governing the hydrodynamic phenomena are: equation of motion: ~ q, t

(4.1.1)

+(

... M)~ q. v q

+ rI'l-ln v

p

equations of continuity and state : (4.1.2) pressure -density- entropy relation:

-+

where

P

unit mass,

denotes the external (including electromagnetic) forces per

...q

the velocity, and

From the first law d Q = T dS with

h

S the entropy .

of thermodynamics: -1

= cv d T + P d (P ),

= cp T =cv

T

+

Pf

.. 1

'

c ,c v

p

= constant,

one obtains the vector equation: (4.1.4)

T

\J

S

- \]h +

P-1 \7p 97

=

0

T\JS = VQ

- 89 M. Z. v; Krzywoblocki

The expression d,Q contains the Joule heat as well as any other enrgy (heat) addition or subtraction from or to outside. Addition of the expression

~ x

(\l x ~ ) to both sides of Eq. (4.1. 1.)

combining terms on

the left-hand side and using Eq. (4.1. 4) furnishes the generalized Crocco equation: ~

-?

(4.1. 5)

~

-7

+ \J H - 'iJ Q = q x w+ p

q, t

;

2 -7 -t H=q 12+h; w=curl q ;

(4.1. 6)

ct

H = h = c T at the point where o 0 p 0 fined as:

= O. The velocity of sound is de-

(4.1. 7) which in a

steady flow can be obtained from the generalized energy

;:.u;::~n °:2';: ::~~ 1;-1 a2- t~. d~

-f

d Q' K

(r .J<)

where the integration is performed along a streamline, ~

,)-,

(~,

= streamsurfaces, from a point "j = 0 to a point

r

The function K(

'\' 'fl

• /, ) = const., II

<)

II

•

,j), ) assumes a constant value along a streamline,

= constant.

In the case of a unsteady flow one may calculate

the velocity of sound from the generalized equation of energy obtained by means of the combination of Eqs. (4. 1. 1) and (4. 1. 4) and integration

with respect to the running coordinate

1:

w along the particle line [(

A. XJ

V) = constant

(4.1.9)

2 fW q't' dW-t

q 12 ~

The function

( A' x.. , 'V

-7

0

L (A,

1 + (¥-1)

-1 a 2.('~/ow -7p.

X' »)assumes

(,t'X ,))).

a constant value along a particle line

) = constant. The particle surfaces

identically the continuity

/w

dW 1 -} dQ = L

equation (4.1. 2) .

98

A, X , \>

satisfy

- 90 M. Z. v. Krzywoblocki

Consider the following two fundamental equations (continuity and Crocco) : (4.1. 10)

div

(9 q) +9, t = 9d i v ~ +grad 9 . q+P, t

-+

q x

(4.1.11)

-7-7 w = q, t

+ \I (H

=0

~

- Q) - P .

From (4.1.11) we get:

-+qX(qxW)=(q'W)q-qw=qxLq't 7 -t ~ -7 -? 27 ~ root ~J + Mv(H-Q)-P .

(4.1.12)

We may propose a certain number of hydrodynamic systems: -+ -1 -i (I) div q = (grad q+ t) ;

curl~" (II)

div

(~ q)

curl (III)

div

q-2! = -

P,

p.

9

(~. ill
f' t

(9 ell = 9 q-2

+ I7(H-QI-ilJ)

;

t (~'~iq - qx[ ~'t +\7(H -

Q) -

pJ}+ gradfx~;

(q x~) = div q, t + ,l(H - Q) - div P;

curl

(et x ~)

cr. - curl

= curl

t

P.

For the purpose of the particular interest in an inviscid , non heat-conducting fluid, the system (I) is taken into account: (4.1.13)

~

div q = W; W = -

(4. 1.141 curl
Z:; t

0

9 -1 (grad p' ~q +


Wand

(q·;l11. -~x

Z being

r'

P't); j

J}.

+ 17 (H - QI - P

known and given .

The electromagnetic part of the set of equations governing the dynamic system in question consists of two groups. As the first group, we choose the pre - Maxwell system: (4.1.15)

~

curl B =

~

tl J, 99

- 91 M. Z. v. Krzywoblocki -4

(4.1.16)

div

(4.1.17)

curl E

(4.1.18)

div E

0,

B ~

~

= - V B/ () t

,

= k -lcl

-+ where the used symbols denote: E

ty;

= electrostatic

vector field intensi-4

k = permittivity of the medium (dielectric constant) ; H = magnetic

vector field intensity;

B = ft it ;

11 =

permiability of the medium

(assumed to be equal to unity); (1= charge density;

i' = "1 A;

1 current

(amp) ;

-; = conduction current density; A = cross-sectional area.

These are two systems of equations, Eqs. (4.1.15) , (4.1.16) and (4.1.17)

(4.1.18)

~

--i

in two unknown vectors

Band

E.

The second group consists of : a)

Ohm's law: ~

-I

(4.1.19)

J = ()1(E

"

+ ,~~ q x II )

~ 1= electrical conductivity;

b)

Joule's heat:

(4.1.20) c)

Q = J2 0" -1. l'

Q:; Q

1

+Q

ext

"

the forces arising from the charge density and from the induced

magnetic effect due to the motion of the electrically conducting fluid through the magnetic lines of force : (4.1.21)

4 P

...,

1

=(l.E

"4""

+ JxB'

~

~

4

P = PI + P

'

ext

.

The hydrodynamic system, Eqs. (4.1.13), (4.1.14) and the electromagnetic system, Eqs. (4.1.15) to (4.1.18) are interrelated. Moreover, the right-hand sides of each system contain the unknown functions from itself.

100

- 92 M. Z. v. Krzywoblocki -'t

Thus the functions

Wand Z in Eqs. (4.1.13) and (4.1.14) contain the

unknown functions

p

fJ,

~~

J in (4.1.15) contains

~

The function H, Q t' Q, the ex and the constant parameters k, jJ. , t:r 1 are known and

the unknown vectors vector

-)

-7~->-)

,q, J, E, H. The vector E, q, and

tl .

given. All the other scalar functions and vectors can be calculated from the equations given above. This suggests that one may apply some sort of successive approximation process, in which the right-hand sides would consist of functions known and given from the previous steps of the successive approximation procedure. In each step the study of the pre-Maxwell system or of the hydrodynamical system is reduced to the study of systems having the form: (4.1.22)

-+ div Z

= () ;

~

curl Z

;::t.

=;::::

4

div ~

= O.

By comparison with Eqs. (4.1.13), (4.1.14), both systems of equations, hydrodynamic one (4.1.13), (4.1.14) and electromagnetic one, Eqs. (4.1.15) to (4.1. 18) are actually representable in each step of the successive approximation procedure by means of the system (4.1. 22) . The system (4.1. 22) was extensively studied by Blank, Friedrichs and Grad in connection with application of it to the pre-Maxwell system. We shall use the most important results of those investigations in the generalization. The fundamental philosophy in the present generalization is the following: the system of equations of an irrotational flow of an inviscid, incompressible fluid is identical to the system of equations of electromagnetics in special conditions (div

It = 0 ; curll = 0 ; or

~

curl E = 0 ) .

101

div

Ii = 0 ;

- 93 -

M. Z. v. Krzywoblocki

The generalization to the electromagnetohydrodynamics of a rotational flow of a compressible fluid and embedding it into the entirety of the Blank-Friedr ichs -Grad theory is obtained by a successive approximation procedure, in each step of which the right-hand sides of equations are assumed to be known and given. The theorems derived in

[lOJ

are applied below to the electro-

magnetic equations. Blank et al. define the period as the

constant of

homology class in the vector field . These are:

[r}[r; z] · fr ;Z ~ ;

(4.1.23) (4.1.24) (4.1.25)

(4.1.26)

~J

· [s ,l·jsz, dS;

[~1·[2:

L= open surface ;

[c]. [c x} 15,·;ii;

closed surface

[IJ .

J ' open

{S

The (C, S) or

ctor ; its periods or with charges,

C = open curve ;

D. We have four homology groups in D :

curve

E

= closed curve ;

S = closed surface;

J~.d§

yJ.

in a three-dimensional domain

face

r

ij, C

closed curve

{rl

,open sur-

group is associated with the electric ve-

(E periods) may be associated with emf, V = [ C;E] Q

=

k[ S ;

E) . The

(r, L)

or 'h),

group refers

to the magnetic vectors; its periods ('YY\, periods ) are defined by flux

~

=

[L; B]

[r;

)A I =

and current

BJ

in external circuits A ~

well-posed problem gives boundary values of ~

set of 'Y'r\. pariods ; or of

Zt and a set of

Z and the values of a n E periods.

The system (4.1. 15) to (4.1.18) is transferred into the form (with -4 B

UBI Ut) :

102

- 94 M. Z. v. Krzywoblocki

.:..

l

= -B;

(4.1.27)

curl

(4.1. 28)

curl B =

.!.t

-4

J

with

and

q

-4

fJ

;

div

g

div

~

= k- 1 q;

o,

assumed to be given as functions of space coordina-

tes at a given time

-+

t. With curl curl

E

...E

unique solution of (4.1. 23) , (4.1. 24) for -+

trary boundary values sentation [S; E]

Et

E

and

~

=

-}It J , there exists a and

...B

possessing arbi-

periods in closed surface repre-

,compatible with

q

or

open curve

E

Blank, Friedrichs, and Grad show that

[C ;

EJ,

is given by minimi-

zing the expression:

(4.1.29)

F

[ill • Jo2- 11curl

E)2 dV

+

~ E\. /' 1 dV.

subiect to the admissibility condition: (4.1.30) Obviously (4.1.31)

div -4 E = k -1 q; ~

-i

E t given on

* S;

~

[ S ; E]

B [= _:1curjl E ~1 An:t:er SOlUtiJon

F

=D2

B

dV +

B

~

or

ri LC

]

E given.

o:ained by minimizing:

SltEt x B . dS ,

subject to the admissiblity condition: (4.1. 32)

curl

....

B

=

rJ

~

. ~

Only the given and known boundary values,

Et' appear in Eq

(4.1. 31) , (well-posed problem) . Also there exists a unique solution of (4.1. 27), (4.1. 28) with given boundary values

13n and ~

well as given boundary values

pari ods

([r ; B) or [r ;

En and "m. pariods

103

([L;

BJ

E) or

f;

) as E

~

- 95 M. Z. v. Krzywoblocki

4.2. Application to the System of Hydrodynamic Equations. Consider the system of equations(4.1.13) , (4.1.14) . The righthand sides of these equations are supposed to be known and given in each step of the successive approximation procedure. A solution for q

~

in the subsystem of Eqs. (4.1.13), (4.1.14) furnishes the vector q.

In each step of the successive approximation procedure this subsystem can be representable in a system of the form: (4.2.1)

curl

-+

-4

= N;

M

div ~

-+

=

M

R',

--+

N:::::Z,

(4.2.2)

R=W.

Then there exists a unique solution of (4.2.1) ( or of (4.1. 13) ,(4.1.14) ) ~

with given boundary values open surface periods

.,

(I;

A]

->--7

M (i. e., A = q ) and flY\. n n n or close curve periods

li;

pariods :

J'

compa-

[z::.;

A

A

tible with N.

q,

For the vector field of the velocity

the'h1. period

be generally assumed to be relevant to the

J may

physical applications

and notions . It may be referred to as the total (velocity) flux concept through the surface

I

.

The period

li ;

AJ can be interpreted as

the circulation. A unique solution of (4.2.1), or of (4.1.13), (4.1.14) exists with given boundary values

4

Mt (i. e. ,

-+

ther representations : open curve periods periods

rS ; AJ compatible

4

At = qt ) and f

[c;

periods in ei-

AJ or closed

surface

with R. The physical interpretation of

the periods is difficult, if in general possible; let us remodel the system (4.2.1) in the sense: -1

(4.2.3)

curl curl

div M

104

.-)

=R

div:='=;

=

0

J

- 96 M. Z. v. Krzywoblocki

which can be treated as a system consisting of two srbsystems: ;3

-4

curl Z

(4.2.5)

curl M =Z

, div Z = 0 ;

,...J

.-'

.~

-t

;:Z

~

=

(4.2.4)

-+

; div M = R ;

(div;:=

=0 ) ;

-t

( div Z = 0 ) .

Then we have a unique solution of the system (4.2.3) with arbitrary

~t (i, e., 1. =cr.) and tl;

boundary values [C ; MJ

1)

[8;

(or

M

arbitrarily prescribed periods

compatible withR .

In the approach accepted in the present work, each of the statements presented above is valid independently in each step of the chosen successive approximation procedure. Denoting particular steps in this procedure by the letter

"m II

,

we have the following system of equations (i)

hydrodynamical :

(4.2.6)

div

(~)m+1

= - [ p(grad

(4.2.7)

curl

(
=

(ii)

p . q+ P't) J m

q~2I (q. tJ)""q -q X[
+

;

'V

(H-Q) -

PJ) m ;

electromagnetic:

(4.2.8)

-+ curl B

(4.2.9)

-+ Curl E

~

-7

div

= ttJm

m+1

=-

m+!

UB m / 0t

~

div E

13m, ~, ~m' ~lm'

The quantities

=0 ; B m+!

m+!

=k

-!

~

appearing in the system of

equations are calculated directly from the following equations : (4.2.10) (4.2.11)

-+ curl q

m

~

J

m

= C5'

=

~

w m

~

(E

1 m

+ AA q r

m

---+ X H );

m

105

- 97 M. Z. v. Krzywoblocki

(4.2.12)

Qlm =

-10

J~ C' ~1

the velocity of sound,

a

P

2

1m

-t

-t

-1

=~E

m

+J)(B

m

m

can be calculated from Eq. (4.1. 9) .

Thus, the expressions (4.2.10) to (4.2.12) do not need to be considered The systems (4.2.6) , (4.2.7) and (4.2.8) are of the form; (4.2.13)

curl

-t

-t

-10

A =N m+l m

div A m+1

=(J

m

or of the form ; -4

(4.2.14)

= curl

curl curl A m+1

-t-+

N m

~

=S

div A 1 m+

m

= (tm

•

Blank et al. propose a variational solution of the system; -4

-+

--1

=S

div A

(4.2.15)

curl curl A

(4.2.16)

admissible ;

div

(4.2.17)

variational;

curl curl A

A=

(j"

-4

= 0-

,. -4

=S ,

which system admits an arbitrary specification of the boundary values At

with the given

the vector

(4.

periods [S ; AJ or [C ; Al . We propose that

....

Am+l

is then given by minimizing the expression;

'.18) F lAm+!l

'1,

,-11 ,urI 1m+!I'

dV -

J. Am+! . Sm

dV •

which in case of the present system and of the applied successive approximation procedure takes the form; (4.2.19)

)--'

-I

F ~ cl m+1 _ =

! -11 2

--l 12 curl (qm+l)

JD

106

- 98 M. Z. v. Krzywoblocki

(4.2.20)

S~ = q~2I (q'(;)) -q .-qx [
(4.2.21)

F[

(4.'.22)

F

m

= 1,

B.n+11 ~ ID 2- 11our1 tm+d'

lE'm+11

]:-ll curdm+11'

dV

Q).

-1

dV -

PJ}

m ;

Sm

dV;

J: s:"

dV •

Bm+1 . m+1 .

2, 3, .... The tangential values of the functions in question on the boundary:

~,

Bt ; Et are

given and arbitrary. The zero-approximation values,

"" ; t), qo (x -t t), Po (x

Wo

-I ; t), and Eo(x; "" t) are also known (x"+ ; t) , Bo(x

and given. The tool of the calculus of variation which has to be applied to minimize the expression (4.2.18) is a well-known one and does not need to be presented here. We may have to demonstrate that the sequence of functions

-+

Am+1

, obtained in the manner described above, converges -7

uniformly to a function A . Under some restrictive conditions , v. Krzywoblocki demonstrates in [57]

that it should be possible in some cases to construct such a

proof of the convergence. The technique presented in this chapter may be applied to all kinds of fluids. The disadvantages of this technique are : (i) it is relatively easy to construct the existence proof but it is difficult to find a formal solution at a point ; (ii) the boundary conditions on a given curve can be satisfied ; but two - curve boundary value problem is unsolved up to now. In all the techniques, cited above, it is very clearly seen that the application of the high speed computing machines is an imperative aspect of each of these techniques.

107

- 99 M. Z.v. Krzywoblocki

5. Sub-light Relativistic Hypersonics Based On The Relativistic Energodynamics 5. 1. Preliminary Remarks The upper limit of hypersonics was never uniquely defined . Actually, there was constructed the so-called relativistic hypersonics based upon the special theory of relativity in the Einstein formulation. But, the Einsteinian classical special theory of relativity should not be applied to describe the dynamic phenomena in a matterfull

medium. It

refers only to a matter-less medium (light, electromagnetic waves) . Hence, the approach to the sub-light relativistic hypersonics from the side of the "light-barrier" has to be based upon a more realistic approach to the description of the phenomena in the region of velocities below the velocity of light. As such one we have chosen the relativistic energodynamics, whose principal fundamentals are explained below. Recently, there appeared some objections against the special theory of relativity in the Einstein formulation which is based , between others, upon the hypothesis of the constancy of the speed of light. These objections mainly refer to the following items : (1) the constancy of the speed of light; (2) the so-called time-dilatation. The problem of the constancy of the light was discussed by the author in some of his previous papers (see references). In the

years 1959 - 61 the author of the present work proposed

(see references) a some sort of remodelling the Eistein special thory of relativity. The proposition referes to the following items: (1) the velocity of light is not a constant, but a function of the position and possibly time (space-time) ;

108

- 100 -

M. Z. v. Krzywoblocki

(2) The geometrical model of Einstein's metric of a four-dimensional space - time invariant under the transformations of the four space-time coordinates is substituted by the ener-

gy model of the (author's) metric of a four-dimensional space-time invariant under the transformations of the four space-time coordinates. The stipulation is that the total energy in the system in question is invariant under the transformations of the four space-time coordinates; (3) all the above given assumptions clearly demonstrate that the Einstein special theory of relativity is a particular case of the generalized special theory of relativity proposed by the author. As the first points we discuss the fundamental equations and the transformation of coordinates. It will be clearly seen that actually the relativistic energodynamics is a some sort of an extension (into the domain of the sub-light velocities) of the classical special theory of relativity in the Einstein formulation.

5. 2. Fundamental

Equations

Assume a compressible medium of the density motion with the velocity

~

q

P

being in

The following equations are taken

into consideration: (1) The generalized first law of thermodynamics in the form convenient for our purposes : (5.2.1)

d U

= dQ-dW-dE +dE 1

where:

109

2

- 101 M. Z. v. Krzywoblocki

d U = variation of the internal energy of a unit mass of the medium that takes place when it is undergoing a change from the initial to the final state (denote it by the symbol dQ

[r - FJ ) ;

= elementary amount of energy which flows into (or from) the unit

mass of the medium from (or to) the surrounding space-time when when it is in

~ - FJ ; here one may include the addition of the

energy of an electromagnetic origin (joule heat) ; d W

= elementary work done by a unit mass against the surrounding pre~ sure in

d E1

[r - FJ ;

= elementary energy decrease of a unit mass that is caused due to

[r - F]

the gain of mass in dE

2

(conversion of energy into mass) ;

= elementary energy increase of a unit mass that is caused due to the loss of mass in

fr-Fl (conversion L

of mass into energy) .

"

The momentum equation for an inviscid non-heat-conducting fluid is of the form: (5.2.2)

where; p ~

n1

=pressure; = momentum source (or sink) due to the mass gain per unit volu-+

me due to the conversion of energy into mass (units of

n1

are

force per unit volume) ; ---t

n2

= momentum source (or sink) due to the mass loss per unit volu-

me due to the conversion of mass into enrgy ; -t

F

= the sum of the extraneous body forces per unit volume including the force of an electromagnetic origin .

Equation of state: (5.2.3)

p = R PT

, R

f

const.,

110

- 102 M. Z. v. Krzywoblocki

where:

T= temperature. Let: -1

d W = P d v; v = F

(5.2.4)

;

d U =do d (p v) ,

where:

d.. = coefficient function of (possibly) arguments (p, v) . Introducing Eqs. (5.2.3), (5.2.4) into Eq. (5.2.1) furnishes:

(5.2.5)

d Q = (~+1) d (RT) • vdp + dEl· dE 2•

We refer the differential d Q in Eq. (5. 2.5) to the element of the path of a particle (particle line) in an unsteady motion or of the streamline in a steady motion, by

q

Us,

with

q

"Up/u.

=

ct· V'p

; multiply Eq. (5. 2. 5)

and rearrange it, so as to obtain the expression for

this expression is equated to the expression for vq. Eq. (5.2.2) by multiplying it scalarly by

q . Next

'i/ p

v

q. VP ;

obtained from

we integrate the so-

obtained result along a particle line or along a streamline at any time t

= t 1, i.e., between

s = So and s

,with q = 0 for

s = so' and

with R T = pv

f (5.2.6)

q. t ds

so(S

}sQ with

,

i

P =E - E - Q 1

+2

1 q2 +

2

pI:.

/I

'

+

q=q

-I--t q

f(~

+1) d ( pv ) -

1 Fe' d1 = F (t) = constant = C (s ) ,

ads = dst, F(t) being an arbitrary function of integration, which

- without the loss of generality - may be assumed to be equal to a constant. The constant C (s) is a constant only along a particle-line or a streamline, but it may vary, and actually varies in a rotational flow, from a particle-line to a particle-line.

111

- 103 M. Z. v. Krzywoblocki

At this point we shall propose two basic assumptions. First is that the potential energy of the dynamic system in question may be transformed - by a process which is unknown, as yet - into the energy of light. Second, that the velocity of light is not a constant magnitude, but is a function of the position (and even possibly of time) . Briefly, in our case.: F.E.}. _s (d.+ 1) d (pv) = Ac 2 /2,

(5.2.7)

s~

where the symbol "c" denotes the velocity of light and A is a proportionality coefficient. The constant on the right-hand side of Eq. (5.2.6) may be

chosen so as to represent the potential energy of the system

at rest (i. e., q = 0) , without energy addition from the outside (Q = 0) and without any work done on the system by the extraneous forces

(£0 s~ -1 Ite . d~ = 0 ) . Or,

taking the full spectrum from q

= 0 upward

into account, it may represent the maximum velocity obtainable in the = 0) and all of the terms

system when the conditions are stationary (q, t

2

on the left-hand side of Eq. (5.2.6) are equal to zero except q /2 . Hence, on ther right-hand side of Eq. (5. 2. 6) we can write: C(s)

(5.2.8)

=A c~

/2

= q2 max /

2

2/ = cm

2.

We can apply Eq. (5.2.6) to a matter-less form of enrgy. In this case the potential enrgy

Jrs Y

-1

So

-t

-t

Fe' ds

fS (d.. + 1)

d (pv) , the work of the extraneous forces

lso

,E 1 and E2 are identically equal to zero. The motion

of the matter-less energy takes place in form of a wave propagation; hence, the symbol -+ q denotes now the velocity of the wave propagation From Eq. (5.2.6) one gets (the corresponding functions are denoted by the subscript

"l"):

112

- 104 M. Z. v. Krzywoblcki

(5.2.9)

(S q~,t lSLO

For a steady-condition motion with no energy exchange one has q

l,t

= 0, Ql=

ql = q lm = const. Extenging the range of the pos-

0,

sible values of

q t up to the value of the velocity of light , we see

that this extreme case corresponds to the Einstein special theory of . . -1 2 -1 2 . 2 2 2 2 relatlvlty. 2 qt = 2 c t wlth qt = (dx/ dt) +(dy/ dt) +(dz/ dt) or 2 2 2 2 (dx) + (dy) +(dz) = cmt(dt) .

r

In a stationary motion Eq. (5.2.6) can be written in the form: (5.2.10) where the term

r2 refers to all the remaining terms. By the physical

definition of the velocity one has q2

= (dx/dt)2 + (dy/dt)2+(dz/dt)2

and Eq. (5.2.10) can be remodelled into the form: (5.2.11)

5. 3. Transformation Equations Assume a coordinate system (x, y, z, t) and the metric: (5.3.1)

2 2 2 2 (dx) + (dy) + (dz) - f(dt)

= 0, f = f(x, y, z,

t),

which suppose to be invariant under the transformation of coordinates of the form: (5.3.2a)

Xl =~(x

(5.3.2b)

yl

=Y

~

- Ut)= A

,

Zl

=Z

;

113

=c:J,.

(x, t) ;

- 105 -

M. Z. v. Krzywoblocki

(5.3.2c)

t =~

tl=p+ ~t=B;~=~(x,t);

(x, t) ,

U = U (x, t) is a given function. From the condition:

where (5.3.3)

(dx)2 - f (dt)2 = (dXl)2 - f' (dt,)2 ,

inserting Eqs. (5.3. 2a, b, c) into Eq. (5.3.3) with: , etc.,

(5.3.4) we get the relations : (5.3.5a)

(A, )2 _ fl (B, )2 = 1 ;

x

x 2

2

(5.3.5b)

(A't) - f'(B't)

(5.3.5c)

A, A, - fiB, B, = 0 , txt x

= -f ;

which imply that : (5.3.6a) (5.3.6b) f, fl being known and given, Eqs. (5. 3. 6a, b) allow

With the functions

one to find solutions for A and B . Consider the quadratic form: (5.3.7)

2 (d"l;') =a .. dx.dx.=O, (ij=l, 2, 3, 4), lJ 1 J

and a transformation of C'oordinates : (5.3.8)

T : (x.) = x.( x!) ; 1

1

1

T

-1

: x! = x! (x.) , 1

which implies that : (5.3.9)

dx~ =( ox'./OXj) dx .. 1

1

J

J

114

1

1

- 106 M. Z. v. Krzywoblocki

Suppose: (5.2.10)

a

dx dx = a I dx l dx l ijij ijij

=0 .

Inserting Eq. (5.3.9) into Eq. (5.3.10) furnishes:

'0 x!

() X.I

(5.3.11)

(alt~ -a~j ()x~

()x:)dX( dxl'

=0,

which implies that: (5.3.12) with

ad.~

a ' ij = a lji , Ad..p = A~cl .

= a \'101. ,

The system of partial differential equations (5.3.12) contains tions and 24 functions (

ad..~

= 10, a\j = 10, xli = 4

10 equa-

). The additio-

nal equation is given by relation (5.3.7) or (5.3.10j. Assume that: (5.3.13)

all

= a 22 = a 33 = 1 ; a 44 = knwon function; a ij = 0; if j ;

also: (5.3.14)

a l =a l =a l =0 12 13 23 .

Espressions (5.3.10)

, (5.3. 12) give us a system of 11 equations in

11 unknowns (a I . a I . a I . a I . a I . a I . a I . Xl . Xl . Xl . Xl ) 11' 22' 33' 44' 14' 24' 34' l' 2' 3' 4 . The corresponding expressions A .. are given in the Appendix. IJ We may consider some special cases:

(I)

Let x = Xl . X = Xl which implies that: 2 2' 3 3'

(5.3.15)

()X'2/ihd.

(5.3.16)

OXd,. /Ox 2

= 020. ;

=6~2

;

ox

OXr}.,/

l /()

()x 3

115

x~

=

= 00.3

03~; .

c:A.= 1,2,3,4;

- 107 M. Z. v. Krzywoblocki

Eqs. (A 1) to (A 10) give:

-a ' (Vxl/ox)2 44 4 1

(5.3.17)

(5.3.19)A 33

=

1 - a l33

A44= a 44 - a~l

= 0,

a'33 = 1 ;

('0 xII / OX 4)2

(5.3.20)

- 2 a l14 ( ()

-a ' ('()x'/ux) 44 4 4

(5.3.21) A12

=

A14=

A13

= A23

= 0;

2

x~/

() x4 ) (

ux'4/ d x4 )

=0;

= 0;

- all (u x \ / () xII) (0 x\

/ () x4 ) -

(5.3.22)

(5.3.24) A3: - 2 a l34 (ux'4 / UX 4 ) = 0, a 34

= O.

Eqs. (5.3.10), (5.3.17), (5.3,20), (5.3.22) (call it system I) are four equations in five unknowns: a ' . a ' . a ' . x' . x' 11' 44' 14' l' 4' Obviously in this case we have : (5.3,25) Eq. (5.3.10) in system I has the form:

116

- 108 M. Z. v. Krzywoblocki

(5.3.26)

+ 2 a l14

(dXI) (dx l

1

4

)

=0 .

The Jacobian of the transformation:

o

(5.3.27)

(x~) J =()(x\

= (vx l / ~Xl) (0 xli ()x 4) - (vx l/'()x 4)(ox 4/{)x l ) f o.

1

Let us consider Eqs. (5. 3. 17), (5. 3. 20), (5. 3. 22) as a system of algebraic equations in three unknowns: all' 2a{4 ; a44 ; then the determinant of their coefficients cannot vanish. In. reality, we have:

(Ox D

l / U\)2

=(i)xl/ {)x4)2

1/() xl )( C)x4/ Uxl)

(0 xli '0 Xl )2

(C)xl/'O x4)( (jX I4/ Vx4)

(ox 4/0X 4)

(Jx

(;)xl/ Vx l )( Vx l/ ()x4)

2

(0 x l/ Ux l )( 0x4/ () x4) (0 x4/U xl)(o xi()x 4)

(5.3.28) = - J2 (c)xl/axl) (ux 4/0 x4 )

f

O.

5.4. Transformation Based Upon The Principle of The Invariance of The Total Energy Space-Time Metric Below, we derive the transformation equations, which may be considered to be a some sort of an analogy to the well-known Lorentz transformation. They are based not upon the principle of the invariance of the light space-time metric, like in the Einstein special theory of relativity, but upon a completely new principle, i. e., the principle of the invariance of the energy space-time metric, expressed in four dimensional space

117

- 109 M. Z. v. Krzywoblocki

- time coordinate system. This principle states: Principle of The Invariance of The Energy Space-Time Metric: "let us express the energy equation, Eq. (5.2.11), in the form: (5.4.1)

(dx)

2

2

+ (dy) + (dz)

2

2 2 - I (dt) = 0 .

Then the energy space-time metric (5.4.1) is invariant under any group of transformations of (x, y, z, t) . " Assume the transformation equations: (5.4.2)

Xl =~(x-Ut) = A ; yl= Y ; Zl= z;

tl =

rx+pt=B,

where, in general U=U(x,t). Inserting Eqs. (5.4.2) into Eq. (5.4.1) furnishes the result : (5.4.3) (dX,)2 _ p2(dt,)2 = (dx)2 _ I2(dt)2 , which gives:: (5.4.4a) (5.4.4b) (5 . 4 . 4) c

(A )2_ p2(B )2 = _ 12 't 't .

Since the function

U is known and given, the system(5. 4. 4a, b , c ,re-

presents a system of three equations in three unknown functions d,.,

~

'/. Recombining the above system furnishes : (5.4.5a) (5.4.5b) Eq. (5.4. 5b) gives the equation for

~

118

which may be solved by some sort

- 110 M. Z. v. Krzywoblocki

of an iteration process:

~2[[(Ut)'tJ2 - r2 [(x-Ut),J 2J= (c{'x)2 (x_Ut)2 r2 -

(~'t)2(X-Ut)2 + 2c\GI.'t(Ut),x(x-Ut) +

(5.4.6) + 2 d..

r+-, xr

2

(x-Ut)(x-Ut),

2

- r ; ~= ~(x,t).

x

Eqs. (5.4.4a) and (5.4.4c) provide a simultaneous system of equations for ~

and '( 2 l2 2] -2 ~ = (A) - I (1') - (

1, t) 2 x 2 -

-2~~'t-(~'tt)2;

(5.4.7)

~

2

2 ] -2 = l(A, x) - 1 (1') - 2

2

t, t

x (~

t), t -

~=~(x,t);

rr 'xx-( ( 'x) 2 x 2

(5.4.8) The inverse transformations can be calculated from Eqs. (5. 3. 2a, b, c. ). One gets:

~x,+~Ut')((1.~+~~U)-l

(5.4.9a)

x=(

(5.4.9b)

t:: (~t-r't'Hck~+-~r\J)

·1

Assume the forms :

~I[ Xl

(5.4.10a)

x::

(5.4.10b)

y::yl

(5.4.10c)

t:: -

+ UI(XI, tl) tl] ;Z::ZI

t' Xl + ~I t l

,

with:

119

- 111 M. Z. v. Krzywoblocki

(5.4.11)

d.'=cI..'(x',t');

t'

(3'=P'(x',t ' );

A comparison of Eqs. (5.4. ga, b) (5.4.12)


(5.4.13)

t=~[~(~+~V)-1

=t(x',t').

and (5. 4.10a, b, c) furnishes:

r V)r 1

~' = (~

V'

~ V)

+

=d.~-1

-1

V .

When applying the above transformation equation to the special theory of the relativistic energodynamics, one has to assume that the velocity

= const. In many problems of the relativistic character the both

V

axes,

x

and

x' , may coincide and the velocity

V

may have only

x-component. This simplifies enormously the formal calculations, given above. 5.5. Generalized Transformation Equations For Velocity From Eqs. (5.4.2) one gets the transformation equations for the velocity components: ~,

=

dre( (x-Ut)] _ r.' d[yx + ~t] - L'\x

,

d

+ III x - tit (~Vt)

[rc + yx +

(5.5.1)

(5.5.2)

y'

= dy/dt' = Y(dt/dt' )

(5.5.3)

i'

= dz/dt' =

(5.5.4)

dt/dt' = dt/d(

z(dt/dt' Yx+ Pt)

ddt

J.

(~t) J -1

) =[

t x+ i x+d( ~ t)/dtJ -1,

where dot over an unprimed symbol denotes the total derivative with respect to time

t and dot over a primed symbol denotes the total

120

- 112 M. Z. v. Krzywoblocki

derivative with respect to time t ' , i.e., d/dt and d/dt ' , respectively. From Eqs. (5. 4.10a to c) we obtain the reciprocal

~ = d [d. 1 (x' t Ultl)J/d[ -

=[~lxltJ..IXI

(5.5.5) (5.5.6)

Y= dy'/d(•

,[

(5.5.7) z=z' (5.5.8)

t d(

txlt

•

t x' t

~ Itt)

iIUltl)/dt')/dt~[ - ~'X'_i'x'td(

~'t')

= yl[

-1

Wtl)dt']

_1'~1 - ~ 'x't d(~ 't')/dt'J

•

-l'x'-l'x'+d(~'t')

dt'/dt = [ -

equations:

-1 ;

/ dtJ 1,-1 ;

t 'x' -('x' + d(~ 't')/dt'] -1

5.6. Generalized Transformation Equations For Acceleration We easily get: (5.6.1)

x= dx/dt = d[
/dt '

dt'/dt,

and

x' = d 2x/dt 2 = d \d ~'(XltUltl)J /d~.

dtl/dtl /dt =

= dt l/dt'di(dt/dt l )-1 d[d..I(XltU'tl)] /dtl)

/dt ' =

t

= dt ' / dt· (dt/ dt') -2 dt/ dt ' . d 2[ d... ' (x' t Ultl)] / dt ,2 -(d[cil(xl t Ultl)] /dtl) d 2t/dtI2} = = (dt/dt l)-3{ dt/dt ' . d 2[ c{l(XltUltl)] /dtI2_ (5.6.2)

- d[d..'(xl+Ultl)] /dt ' . (d 2t/dt I2 )}.

121

- 113 -

M. Z. v. Krzywoblocki

Now:

=~'(x'+ U't') + d..,(x'+iJlt'

(5.6.3)

dl<:\.'(X' + U't')] /dt'

(5. 6.4)

d2~,(X' + U't')] /dt,2=d..'(x' + U't') + 2d.'(x'+U't'+U')+o..'(~'+U't+2iJl).

+ U' ) ;

From Eq. (5.5.8) : dt/dt'=-

(5.6.5)

¥'x'-

~'x'+ ~'t'+~'

2 2 " d t/ dt' = - 'x' -

t

=-l 'x'

(5.6.6)

It...

tx' - fx'

.,.t

•

•

- ~ 'x' + ~ It' + P' + ~' ;:

- 2 ~ 'x' - t Ix' + ~ It' + 2 ~ I

.

Inserting Eqs. (5.6.3) to (5.6.6) into (5.6.2) furnishes:

x =~(- ¥'x'-

¥IXI +

~

It I +

i3'f*'(X'+U't')+2~'(X'+U't'+U')

+ ol'(x'+ U't ' +2U')] - [d..'(XI+U't') + oL I

(x l+ Ult'+ UI)] .

(5.6.7) Similarly: (5.6.8)

Y= dy/dt = dy'/dt' . dt'/dt

y = d2y/dt~ d(dy'/dt'.dt'/dt)/dt = = dl(dY'/dt')(dt/dt,)-l] /dt' . (dt'/dt) = = dt'/dt· (dt/dt ,)-2 { (dt/dt ' )(d 2Y'/dt I2 ) - dy'/dt" d2t/dt ,2 } (5.6.9)

= (dt/dt ,)-3{ dt/dt " yl - Y'd 2t/dt I2 }.

122

- 114 -

M. Z. v. Krzywoblocki

Inserting Eqs. (5.6.5), (5.6.') into Eq. (5.6.9.) furnished:

y =[(- ~ 'x' _~/X' +~ It' +~ ') y'- y' (- ~'x' - 2 ~ ,~, - t'x' +~ It' + 2 ~'~

(-

tx'- t'x'+~'t'+ ~'f3

And:

z=l(-

t'~'- ¥'x'+~'t'+ 3')z'-

- z' (- ~'x' - 2 ~'x' t ~'t' + 2 ~J_~I)(I)] (5.6.11)

. (- tx' -

. ~'x'

+

. ~Itl

+13 ')

-3 •

5,7. Generalized Special Relativity and Mechanics. The Dynamics of a Particle In this section we discuss the dynamics of a particle, Assume two particles moving in the system

S' before a head-on collision

with the velocities + u' and -u' parallel to the x-axis in such a way that a head-on encounter can occur, By hypothesis the two particles are perfectly similar and elastic; it is evident that they will first be brought to rest after the collision and then rebound under the action of the elastic forces developed, moving back over their original paths with the respective velocities

-u I and +u I of the same magnitude as

before but reversed in direction, In this system of coordinates the collision is obviously such as to satisfy the conservation laws of mass and momentum, Let us now change to a second system of coordinates relative to the first in the

S moving

x- direction with velocity (-V). From the

section 5,4 we have the following results :

123

- 115 M. Z. v. Krzywoblocki

(5.7.1)

T: x'=d.,(x-Ut); T

-1

: x=

'x' + ct' U't';

;t'=tx+

~t

Y = y'

z = z'

(5.7.2)

where

01..

y'=y; z'=z

~,

d..',

,

r' , U' are given by :

(5.7.3)

(5.7.4)

~'= ((3+~U)

(5.7.5)

t

=

-1

;

td..-1 (~+ y U) -1 ;

(5.7.6) Assume now that: (5.7.7)

U=

tv;

U' =

J' V, I

where

V is the velocity of 8' with respect to

8

and

0 , 6

functions of (x, t) . Then we get: (5.7.8)

x'=.i(x-OVt); y'=y

z'

= z; t'

=Kx+~t,

which furnishes: (5.7.9)

x=ci.'(x'+ o'Vt'); y=y';z=z'

and

~o:C1(~+X6v)-1,

(5.7.10)

1:1(.'=

(5.7.11)

O'v=d.~-16V , 124

;t=- ~'x'+~'t',

are

- 116 M. Z. v. Krzywoblocki

or: (5.7.12)

.r

~ 1 =( ~ + 0u V)

-1

;

t

r

-1

= K~ (~ + K0 V)

-1

;

JI

r:t-1J

= rJ.. r"

•

For velocities we get from Eq. (5.7.9) :

x = d[ ~1(XI+

(IVtlij /d(- "IXI + ~Itl) =

=[ d (ct' x')/dt' + d( Q\.' ,

= (~'x' +ci'x'

0 'Vt')/dt'~

'!

[d(- tx')/dt'

+d(~'t')/dt'l1

l

+ ct' u 'Vt' +cL'a'Vt' +

(5.7.13) K'x ' + ~'tl) = yl(- ('x' -

t'xl + ~ It' + ~')

-1

(5.7.14)

Y= dy'/d(-

(5.7.15)

• / ,.., (.1-1 z=dz l d(_Y'X'+(3lt')=Z'(- r'x'- tx'+~'tl+ I-I)

;

, et c.

o

We proced now with the head-on collision. Let u1 and

u2 be the ve-

locities of the two particles in the S system before the collision, and let m 1 and m 2 be the masses of the two particles before the collision. Furthermore,

let us denote by M the sum of the masses of the two

particles at the instant of the collision when they have come to relative rest, and are hence both moving with the velocity + V with respect to our present system of coordinates} S .

In accordance with the conservation laws, which must also hold in this new system of coordinates, the total mass and total momentum of the two particles must be the same before collision and at the instant of relative rest, so that we can evidently write.

125

- 117 M. Z. v. Krzywoolocki

(5.7.16)

m +m =M' 1 2 '

and (5.7.17)

m 1u 1 +m 2u2 =MV.

From Eq. (5. 7.13) we have: (5. 7.18)

x=[{ ~IXI+ ~IXI+ d{ ~I 6 'Vt')/dtj {_ ~ IXI_ txl+ ~ It I + ~,)-1;

hance, for our problem, we have for the particles 1 and 2: (5.7.19)

u 1 = f~'x'1+a(lu'+[d(ol'

oIVtl)/dt~l}(- fIxl- tl UI + ~ltl+ ~1)-1

(5.7.20)

u2=1~;x;-",;u'+[d(oI.' O'Vtl)/dtl)~{-

i;x;+ r2u'+~lt+

~;)-1,

where: (5. 7. 21a)

0(1

(5. 7. 21b)

~

(5. 7. 21c)

1

=

I = 1

(\,1

(Xl

tl)

0(.

I = o(.l{XI , t;) ; 2 2

1),

~

I = fl'(x ' , t;) ; 2 2

l' 1 '

~I{XI

1

t 1 = XI{XIl '

,t

tl) 1 '

¥;=

t{x; , tl)2 '.

J =[ d{~' o'Vt')/dt') XI=XI

(5.7.22) [d{oL ' o'Vt')/dt ' 1

tl= til

1

(5.7.23)

[d{d,'6IVt')/dt']2=[d{o(,'6IVt')/dt~

xl:x l • t'=t f

2

Rearranging we get: (5.7.24)

u l{- vlu -d- I ) -[d(ct.'OIVt')/dt,l =d..IXI+U (VI Xl- B't ' - ~'1); ~11 1 J I l l 1:1111"11

(5725) • •

u'{Y'u +,J,)_fd(,.J '("Vt')/dt'] 2=,j'xl+u 0 2 2 "I. 2 l "\ a \1\.2 2 2(VIX' () 2 2 _~'t'_r.!') : 2 2 \J 2 .

126

- 118 M. Z. v.Krzywoblocki

Let

V = Const. then Eqs. (5.7.24), (5.7.25) can be written as:

(5.7.26)

u l(-

~lU(d..l)-v[d(o..'6It')/d.~1ci:lxl+u1(~ l x l- PIt l- ~1);

(5.7.27)

u l( t

~u2 +d, ~)- V[d( ~ 16' 't')/dt ']

2= ~

t

~x~ +u 2( ~x2- F2t 2- ~2)'

Consider Eqs. (5.7.26), (5.7.27)as a system of linear algebraic equahons in the unknowns

u I , V, and solve for

V:

_~I

c(,'xltu (V-IXI _~Itl _~I)

\flu + ~I

CA.lxltul(~IXI - Rlt l -RI)

_VIU

alII

o2 2

111°11

11

1

2 2 2 2 0 2 2 '·2 2 \- 2 V=r-------------------~~--· - V I U - 0(..1 - [ d( Q,. I rJ It 1)/ dt I11 o1 1 1 VIU+d.. 1

02 2

=f (-

2

-[d(d.,'C't')/dt '] 2

VIU _ti,I) L{,X' +u (Ylx l • Altl 1 L22 2°22 r21

tOll

.~I)J

'-2

•

_( vlu +cLl)rd.'xl+u (VIXI - 13 It I _AI)] 622 2L11 1'11 111"1 1

(5.7. 28)

.~( ~1 u 1+ ~ 1) [d(

ci,

I O't')/dt '] 2+(

or 2~+ :t 2)[d( ~ I 6Itl)/dt~lrl

Next, from Eqs. (5.7.16), (5.7.17) we get: (5.7.29)

m u + m 2u 2 = (m + m ) V , 1 1 1 2

or dividing by (5.7.30)

m 1m 2

m and rearranging:

2

-1

= (V-u 2 ) (u 1 - V)

-1

.

Inserting Eq. (5.7.28) into Eq. (5.7.30) furnishes:

127

- 119 -

M. Z. v. Krzywoblocki

m /m 1 2

~~

~

~

~ 2'J

= (- V I U - I )[ci.. I XI +u ( VI X - It I - 1)1 - ( V I U +,tl). DIll

222(12222

.[d.11Xl1+u 1('Ii 1I Xl1- '"ill1t 1l - r 1.I );j lf ( A

0

+(Vlu +<1 I )[d(cA,I 022 2

J}-l

Olt l)/dt I 1

02.22

I·_d( 01" I 6' It 1)/ dt I) 2+

V I U + /1,1) 01 1 1

-uJ[u _[(_VIU ~ 1 011

_d-I)r~,X + 2~22

+u (YIXI-Bltl_AI)]_(v'lu +c\,I)rd,lxl+u (VIXI-P.ltl_~I)l}. 2 0 2 2 ,- 2 ,- 2 0 2 2 2 L 1 1 1 0 1 1 ,- 1 1 '-I 'J [('/lu +0(..1 dd(i'o't')/dt,l +(tlu +d,' )

(5.7.31)

[ °1 I l L

J2 02 2

2

rd(~"hl)/dt'J(-lJ-1 ~

l'

We may try to obtain the results of the classical special relativity for m/m2' let: (5.7.32)

<1..1 = c:I.. 2 = (1- V2/ c 2)-1 / 2 = const. =
(5.7.33)

~1

" t2 = - Vc -2 (l-V 2/c 2)-1/2

(5.7.34)

(3~

=

~2

2 2 -1/2

= (l-V /c )

= ct l = const.

Eqs. (5.7.19) and (5.7.20) become:

-2

(5.7.36)

u 1 = (u'+ V)(Vulc

(5.7.37)

u2 = (-u'+V)(- Vulc

-2

= -«"'Vc

+ 1) ; +1).

128

-2

= const. ;

- 120 M. Z. v. Krzywoblocki

From Eqs.(5.7.36)and (5.7.37)we get: (5.7.38)

(I-U: c- 2// 2 = (I_V 2c· 2)1/2 (l.u ,2 c- 2// 2 (1+Vu ' c- 2 )-1 ,

(5.7.39)

(l_u 2 c -2//2 = (1- V 2c -2//2(I_U,2c -2)1/2 (1- VUIC -2)-1. 2

From Eqs. (5.7.38), (5.7.39) we get: (5.7.40)

2 -2 1/2 2 -2 -1/2 -2 -2 -1 (l-u 2c ) (l-u 1c ) =(l+Vulc HI-Vu 'c )

Inserting Eqs. (5.7.36) , (5.7.37) into eq. (5.7.35) gives: (5.7.41)

-2 -2-1 m / m = (1 + VUIC ) (I-Vu lc ) .

1

2

Again, inserting Eq. (5.7.40) into Eq. (5.7.41) furnishes (5.7.42)

2 -2 1/2 2 -2 -1/2 m/m 2 = (l-u 2c ) (l-u{) ,

which is the result of the class·ical theory of relativity. To express the moving mass in terms of the rest mass we set: (5.7.43)

u 2 =0,

m 2 =m O '

m =m 1 '

u =u 1 .

Eq. (5.7.31) becomes:

[ft (-~ ;uHnu+. . ;i[

m/m = o

.[u (5.7.44)

•

V

I)

-~ 2I [d.. 11Xl1 +u( aVIlXI.Qlt~. l "'1"1 d( ,l.' 6't ')dt~, +
I u- Q,1)(d.. I Xl) 1 1 2 2

+~; U-o.;)(.).,X')-

h;u+o.;)

0.' ,

[d.-;x;+U( (;x; -~; t; - p;)n·

[d(q,' 6 't'r t'],

129

+d.,[ d(eV 6't'~t'1 J-] -1,

- 121 -

M. Z. v. Krzywoblocki

or

Next, omit the subscripy 1 remembering that the quantities without subscript belong to particle I, and replace the subscript 2 by the subscript 0, remembering that hese quantities belong to particle 2 :

1ci";[

m " mo[u [( tj u+d.') [d( d.' 6:")/ dt (5,7.46)

.!!-!

'u- d. ')("-; x;)- d,; [d..'x'+u

d (,,' 6

",)/~,~},

(r 'x' _p"'_ ~ '~-1_1]

-1

Special Cases: We try to investigate Eq. (5.7.46) for the case (a)

Let

eX. , ;::

f\. '0

;::

const.

p' ;:

~'0

;::

const.

t' ;: t 0

6' ;: 6'0

when~u-10:

'" const. ;::

const.

Eq. (5.7.46) becomes:

m" mo[u[( tu+ .. ')0[' 6' +
130

- 122 M. Z. v. Krzywobloeki

(5.7.49)

ct. 1 = (I-V 2-2-1/2 e)

( ,Vi = 1,

tl= _IX,IVc

-2

~I

,

= c{ I

•

Inserting Eq. (5.7.49) into Eq. (5.7.48) gives: (5.7.50)

-1

m=m (uct l (_t(.IVC

-2

o

)+2C(.'e(.'

-1

-1)

-1

-2-1 =m (I-Vue) , 0

and (5.7.51)

lim m = mo' u~O

(b)

This result can however, be found to be true under more general

assumption, i. e., we assume (5.7.47) and : (5. 7 . 52)

~I

0I

= ~I .

With Eq. (5.7.52) inserted into Eq. (5.7.48) one gets: (5.7.53)

r -1.1 m=mo (1+utu l ( ~I) )

or (5.7.54)

m

= mo

(1+u «.1

-1

~

I)

-1

,

and (5.7.55)

lim u~O

m = m

o

5.8. Three Kinds Of Fundamental Laws Conservation considerations, even if not expressed in the forms of final laws, used to play an important role in the early physics. It is sufficient to mention the names and works of Galileo, Newyon. The beginning of the 20th century witnessed the appearance of the Einstein

131

- 123 -

M. Z. v. Krzywoblocki

postulates about the symmetry of space (equivalence of directions and different points in space) . The problem of stability and optimization of dynamic systems played undoubtedly an important role in the thinking of the physicists in previous centuries. However, those considerations were evidently either not yet precisely elaborated or not thought to be particularly important. Actually, a great impact towards considerations of this character was furnished by the development of the calculus of variations in last centuries. It seems that today it should be firmly established that actually every energetic system we deal with should be in equilibrium (stable)/ The recent broad application of the calculus of variations (or of the Pontryagin maximum principle which is equivalent) in engineering, mechanics, physics, etc., seems to indicate that the optimization requirements in problems in which we are looking for an analytical representation of the energetic system in question (by means of solving a differential system which describes mathematically tre energetic system) are lot less important than the requirements superimposed upon the system by the symmetry and conservation laws. Thus, it seems that the optimum energy principles , as we, shall call them, which

require'

that a certain kind of energy ( for illustratuve pllrpose we may consider the potential energy) of the dynamic system in question, which is in an

equilibrium state, or at least in a quasi-equilibrium state, be

a minimum (optimum for the stability conditions), represent a third kind (with symmetry and conservation laws) of laws which have to be used to determine analytically the status of the energetic system in question. There arises the question of the examples of the energetic systems

132

- 124 -

M. Z. v. Krzywoblocki

to which one can and should apply all three kinds of laws, discussed above. We may briefly mention three such cases: (1) Assume a relativistic multi-fluid magneto-hydrodynamics (hypersonics) ; it consists of at least two fluids; electron-fluid and ion-fluid. It may consist of three

electron -, ion -, and neutral

- fluids. In the

case the velocity range would be of the order comparable to the order of the velocity of light, the relativistic phenomena should be considered. In this case the equilibrium state of the three -or multi-fluid of the magneto-hydro-dynamic character could be considered as a superposition of three one-fluid systems, each being in an equilibrium state in itself. Obviously, the above three kinds of laws, discussed above, could and should be applied to such a complex system. (2) A possible model of the structure of the universe. (3) In the case one neglects the transformation of the time-coordi-

*'

nate,

i. e., t=t , one deals only with the space coordinates. But obviou-

sly , in such non-relativistic system one can preserve all three kinds of laws mentioned above. It seems that they should be preserved in all the complex systems, the "classical"

which interfere one with each other. Thus,

energodynamics can be applied to hypersonic multi-

fluid magneto-hydro-dynamics in a nonrelativistic region. Assume in the space-time R an energetic system in a closdd domain D. Actually, one may consider open infinite domain, of

L

is a

D

00

I

contained

L referring to an

, under the condition that the total energy If

finite one. Similarly, in the space-time R there is located

*"

\~ L- in D . We seek a correspondence between

\" L-

and

L* . To this

end we require the following set of laws to be preserved: (1) The conservation laws (Newton) referring to the conservation

133

- 125 -

M. Z. v. Krzywoblocki

*'

of momentum, mass and energy, in Rand

R,

i. e., expressed in

four dimensional space-time (or only in space) ; (2) The symmetry laws (Einstein) expressing the independence of the equations, governing the dynamic system in question upon the tran.

'1t

sformations of the space-time coordinate system from R to R and vice versa; (3) The stability laws expressing the equilibrium state of the dynamic systems in

Rand

R* .

We require that the set of laws (1), (2), and (3) be satisfied for any system of space-time coordinates under any arbitrary group of transformation of the four coordinates stant quantity, where respect to

R H R* with

U being a con-

U denotes a relative velocity of

R* with

R.

The principle of the invariance of the total energy space-time metric furniches the transformation equations between

Rand

*

R . The

remaining conservation laws, i. e., these of momentum and mass, may be transformed from R to R* by using the transformation of coordinates obtained above. The main reason why the equation of the conservation of energy is used as the tool for furnishing the transformation of coordinates is that this is the only equation which contains expressions for all the kinds of energy in the system in question . Equations of the conservation of momentum and mass are not of this character. Moreover, in the case of a transformation of mass into another kind of energy (light, say), the equation of the conservation of mass loses its meaning, unless we mtroduce the concept of some sort of souces or sinks of energy (mass). The same remark refers to the equation of the conservation of momentum (sources of momentum) .

134

- 126 M. Z. v. Krzywoblocki

5. 9.0ptimum Energy Principle We may discuss more thoroughly the third kind of laws governing the phenomena of the mechanical nature in a dynamic sub-system, i. e. , the stability laws expressing the equilibrium state of the dynamic subsystem in question. Actually, very often in the classical fields of the mathematical physics (fluid dynamic including gas-dynamics, aerodynamics, kinetic theory of gases, etc.) the third kind of laws is not taken into account at all. It is usually tacitly assumed that the dynamic system in question is stable. Moreover, it is often assumed that the systems in question extend up to infinity (for example, in the case of a flow of a gas around a body the usual assumption is that the incoming stream extends in all directions up to infinity). This implies that there does not exist the problem of the influence and of the interference of the neighboring sub-systems with the sub-system under consideration. But, if one wants to consider an ensemble of sub-systems, interacting one with each other, then actually the stability conditions should be considered. To different particular problems, different criteria may and should be applied, always expressing the condition that the energy distribution is such as to assure the equilibrium of the sub-system. For illustrative

purpose, one may require that the potential energy of

the sub-system should be a minimum. In the case we consider a system composed of a few sub-systems an analogous variational principle should be proposed . The optimum energy principle leads to a variational principle of the form (this should be (5.9.1)

r jI(x,

P. E. dv = I = min., or y, z, t)

135

treated as an example only):

¢ 1=

0.

~

127 M. Z.. v. Rrzywoblocki

The author presented above the principles of the relativistic (and classical) energodynamics as applied to the

multi~fluid

relativistic

hyper~

sonics of an ionized gas. The fundamental equations and concepts were derived and the three kinds of laws governing the behavior of a dynamic system of a continuous medium were discussed . A particular attention was paid to the optimum energy principle, so important in composite systems for the stability considerations. Mathematically, it is expressed in form of a variational principle. 6. Concluding Remarks The author presented some techniques of solving differential equations occuring in the field of hypersonics of both neutral and ionized gases. But there are many indications that the practical aerodynamics may follow a different path from those described above. Let us discuss briefly a hypersonic flow around a thick, blunt body. Concerning the suband tran-sonic regions, it seems justified to assume that the best methods available at the present time (for the flow around a blunt thick body) are those which deal directly with the original forms of the equations of conservation of momentum, mass and energy. Thus, these equations should be subject to direct programming without any previous significant remodelling them. This implies that the process of programming becomes the most important one . In the supersonic domain the application of the theory of characteristics seems to be generally acceptable (with a combination with numerical methods). The problem of programming and computing of a general three-dimensional flow-pattern around finite bodies seems to be a good example demonstrating the necessity of organizing large centers of numerical analysis

136

and

- 128 -

M. Z. v. Krzywoblcoki

and computing. The author would like to emphasize that at the present status of affairs a derivation of new equations describing the hypersonic phenomena is not important. We have derived in the past a considerable amount of such equations which we are unable to solve up to now. As a matter of fact, we did not solve, as yet, Euler's equations of motion in a three-dimensional flow around Apollo shape with both angles of attack and yaw. The most important analytical aspect of the hypersonic aerodynamics today is the creation of a methodology of solving the differential equations occurring in this field. The problem of importance or unimportance of particular aspects of hypersonics is somewhat similar to the question of the importance or unimportance of a value-free science. A value -free science is considered by many scientists to be an absurd in a strict sense. The science has its own standards by which its statements are tested or evaluated. On the other hand, it is not enough

to state that scientific values are merely methodologica, con-

cerning with means and not ends. An exception to this is if they aid in an objective pursuit of truth. But the truth has many faces. A concept can be true or false in the degree to which it corresponds to the standards of the science itself. The same concept may be good or bad, correspondingly, if it contributes more or less to the basic needs of human life ( or to any other aspect on the earth) . Some scientists believe that science is an idle curiosity; but some believe that it has a responsiblity to serve these basic needs, cited above. From this point of view it seems obvious that the primary analytic problem today in hypersonicaerodynamics is the problem of solving equations occurring in this field. When this cannot be achieved in a purely analytic form, the tool of the highspeed computing machines must be applied.

137

- 129 -

M. Z. v. Krzywoblocki

Acknowledgement

The author expresses his deep thanks to: the Department of the Navy, Office of Naval Research, Washington, D. C"

in particular to

Dr. Ralph D. Cooper, Head, Fluid Dynamics Branch, ONR, for providing the transatlantic transportation; to Bing Fund, Los Angeles, California, in particular to Mrs. Anna H. Bing Arnold, for a grant covering the remaining travel expenses, which grants facilitated the author the trip to Italy to deliver the summer course in Varenna. His deep gratitude is due to the Engineering Research Division of the Michigan State University, East Lansing, Michigan, in particular to Mr. John W. Hoffman, Director, and to the Chairman of the Mechanical Engineering Department of Michigan State University, Professor Dr. Charles R. St. Clair, for providing an assistant for preparing the present paper. Finally, his thanks are due to Mr. H. R. Kim, a Ph. D. candidate in the Space Program of MSU, Instructor in the M. E. Department of MSU, for his invaluable help in preparing the present paper. To Mrs. Edna Harney, Secretary, M. E. Department of MSU, the author is deeply indebted for patience in taking care of all the correspondence and innumerous changes in schedule, etc. associated with the accomplished trip to Italy.

139

- 130 M. Z. v. Krzywohlocki

Appendix A =1 - a l (0 Xl I i) x )2 - 2a l ( () Xl I d x )( () Xl I 1111 1 1 14 1 1 4

(A 1)

-a~2

(0

-a l

( 0 Xl I i) x )2 - 2a l (0 Xl I 3 1 34 3

33

-a 44 (() xli 0 Xl)

-a 22 ( () xV

2

0

x 2)2 - 2a 124

i oxV () x 2 )2 -2a 34

-a4/o x4/0 x 2)2

-ab( (A 3)

2

(()xll1

ox)( 2

oxll ux 2 )4

(0

x21 () x 2)( d xli () x 2) -

(()

x31 0 x 2)( 0 x4/0

2a 14 ( 0 xII

- 2a 24 (

'0

x3)(

"0

2

-a l 33

xii 2

xl41

() x 3) 0 x 3) -

=0;

A ::a - a l (c Xl Iv x )2 - 2a l (0 Xl lox )( 44 44 11 1 4 14 1 4 -a ln (0 42

x41 0 x 3) -

0 x21 0 x3)( () x41

"0 xV V X3)2 - 2a 34 ( () x~1 '0 x3)( ()

-a I ( ) Xl I "0 x) 44 4 3

x 2) -

=0 ;

x~1 0 X3)2 -

-a~2( ox~1 0 x 3)

u x1)( () Xl 4lox)1 -

=0;

-a 3

A33::1-a l1 (0

x )1

x~1 V X1)2 - 2a~4( ~ Xl/U x 1)( 0x~1 "Ox 1)-

A =1- a l (0 xliv x)2 - 2a l 22 11 1 2 14

(A 2)

d

'Ox )2 - 2a l (0 xii 4 24 2

(; Xl4I () x4)-

ux)( 'Oxll 4 4

Ox )4

n' xii3 eX 4)2 - 2a 34l (u xii3 ux 4)( Qxl/ox )4 4 141

- 131 -

.

M. Z. v; Krzywoblocki

(A 4)

(A 5)

-a' (0 x' / () x) 44

-a

44

4

2

4

= O· '

(0 x'4lox 1)( () x'4I U x2) = 0 '.

A =-a' (u 13 11 -a 22 (()

x'/o x )(0 x'l 0 x ) - 2a' (~x' 1"0 x )( (. x'l () x )1 1 1 314· 1 1 4 3 xV 0 x1)( ') xlI

() x3) -

2a 24 ( ()

xV

UX1)( () X.V () x3)-

-a'33 (ox'IOx)(ox'/Ox)-2a' (bx'/Ox)(Ox'/ux)3 1 3 3 34 3 1 ~ 3 (A 6)

- a 44 ( () x

41ax1)( 0 x4/ d x4)

- a' ( Q x' I 22 2 - a' ( 33 (A 7)

= 0;

() x1)( "0 x'2/ '0 x4) - 2a'24 ("0 x'2I '0 x1)( "0 x'41"0 x4 ) -

"0 x'3/ 'Ox 1)( 0 x'3/ 0 x. 4 ) - 2a'34 ('0 x'3/ -0 x1)(0 x'4/ 0 x4 ) -

- a' ('Ox'/ 'Ox 44

A23 -=-a 11 (()

4

(Ox'l 4

1

x~j'o x2)(o

-a 2la x'21

0 x2)(

'Ox ) '" O· 4

'

xl/"() x3) - 2a 14 (o xV d x2)( ()x4/

0 x21 0 x3) -

142

2a 24 (

()x 3)-

()x~ / () x2 )( 0 x4/ () x3)-

- 132 M. Z. v. Krzywohlocki

-a' (~x'I()x )( 44' 4 2

(A 8)

-a' ( ';.

33

x'i t'

. 3

-a'44 (~x'i 4

(A 9)

I

"'\x'i 4 v

x )( (,

2

J

x'i 3

(.x) - 3

= O·'

7' x ) -2a' (-;--' x'i \.0 4 34 'oJ 3

'( x 2)(-(',~ x'i ) 4 \..

x )-

4

0X )( '(.Ix l /-·x ) = O· 2 4 ,. 4 '

-~ 1""1"x)(ox' "" I...."x)-2a'('.:-x' , 1:-',X)(0X' ,~, I '"r/x)--a'(ox' 34 11 1 v 3 1 v 4 14 1 ~ 3 4' 4

A

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153

CENTRO INTERNAZIONALE MATE MATICO ESTIVO (C. 1. M. E.)

J. KAMFE: DE FERIET

,

LA THEORIE DE L'INFORMATION

,

ET LA MECANIQL'E STATISTIQUE CLASSIQUE ,

I

DES SYSTEMES EN EQUILIBR.E

Corso tenuto a Varenna (Como) dal 21 al 29 agosto 1964

155

LA THEORlE DE L'INFORMATlON ET LA MECANlQUE STATISTlQUE CLASSlQUE DES SYSTEMES EN EQUILIBRE par ,

,

Joseph KAMPE DE FERIET (Universite - Lille) I - lNTRODU CTlON. Le but de ces lecons est modeste; elles ne pretendent aucunement attirer votre attention par leur nouveaute et leur originalite; elles se proposent seulement de vous montrer, aussi simplement que possible, comment les progres du Calcul des Probabilites et specialement d'un de ses nouveaux chapitres, la Theorie de l'lnformation, permettent d'unifier et de clarifier l'expose de la Mecanique Statistique c1assique, tout en lui donnant, - au moins aux yeux du Mathematicien, - un peu de la rigueur qui lui fait parfois defaut. En effet la Mecanique Statistique, - sous la forme primitive et rudimentaire de la TMorie Cinetique dans les travaux de J. C. MAXWELL (1859-1879) et de L. BOLTZMANN (1872-1898) et sous la forme plus m11re et plus generale de J. W. GIBBS (1902), - est nee

a une epoque

ou Ie Calcul

des Probabilites, sur lequel elle devrait sans cesse s'appuyer, etait encore encombre par les battages de cartes et les jeux de des. Les theoremes limites, outils indispensables de la Statistique,poin-

a peine sous ce fatras, herite de la question du Pascal a propos du jeu de "passe-dix".

taient

chevalier de Mere

a

Commel'a note N. WIENER ~O]P. 897 : "It (la Mecanique Statistique) developpeu without an adequate armory of concepts and mathematical technique, which is only ~ (ceci est ecrit en 1938 ) in the process of development at the hands of the modern school of students of integral theoryll ; elle s 'etait donc developpee I gra:ce

a de geniales

intuitions physiques, sans

Ie support mathematique indispensable "putting the cart before the horse II •

157

- 146 -

J. Kampe De Feriet

A.1. KHINCHIN, (dans Ie premier ouvrage qu1un matMmaticien puisse lire d1un bout ges

~lectriques

a lIautre

sans ressentir, en tournant les"pages, des

d~char­

qui vont du picotement agaGant au choc violent) est encore

plus pr~cis et plus s~vere~ [IS] p. 2. II In the first investigations (MAXWELL, BOLTZMANN) these applications of statistical methods were not of a systematical character. Fairly vague and somewhat timid probabilistic arguments do not pretend here to be the fundamental basis ... The notions of the theory of probability do not appear in a precise form and are not free from a certain amount of confusion which often discredits the mathematical arguments by making them either void of any content or even definitely incorrect. The limit theorems of the theory of probability do not find any application as yet. The mathematical level of all these investigations is quite low ... " 11 n1est pas rare, aujourd'hui encore, de retrouver dans des livres d'enseignement la p~riode

r~p~tition

pure et simple des arguments de cette

premi~re

: IIMany of BOLTZMANNls arguments have been repeated by, almost

all, textbooks and,Iam sorry to add, not always in a critical fashion II R. KURTH ~O]p. 76. Apres Illes vues profondes (de BOLTZMANN) probablement claires dans son esprit, mais dont GIBBS parait d lune

lI

l'expos~

admirable

reste si confus ll (p. VIII) Ie livre de

clart~ II

: II comme tout est en ordre et s len chaf

a la traduction francaise

ne" , nous dit Marcel Brillouin dans sa prMace t6bJ. Mais R. KURTH

[20] p. S7 qui admire aussi la clart~ logique (IIGIBBS

book is still distinguished by the clarity of its arguments and presentation II) doit

n~anmoins

conStater"GIBBS ... hardly touched the problems of probabili-

ty connected with the foundations of Statistical Mechanics ". KHINCHIN tIS} p.4 note avec s~v~r'it~ :

158

II

The mathematical level of

- 147 -

J. Kampe De Feriet

the book is not high; although the argument are clear from the logical standpoint, they do not pretend to any analytical rigor II cision la lacune fondamentale

II

•

Il pointe avec pre-

The limit theorem of the theory of probabili-

ty does not find any application (at that time they were not quite developped in the theory of probability itself)". Cette derniere remarque est d'une grande importance et transforme la critique en louange: la notion d'ensemble representatif (deja utilisee par J. C. MAXWELL) joue un rtlle fondamental dans l'expose de GIBBS; elle ne trouve sa justification mathematique que dans la loi forte des grands nombres ; or GIBBS ecrivait en 1902 et la premiere demonstration de cette loi n'a ete donnee, pour un cas tres particulier, par Emile BOREL,qu'en 1909 ; il a fallu attendre jusqu'a 1930 pour la demonstration generale de A.N. KOLMOGOROV. Aux regrets de l'absence d 'un cadre mathanatique rigoureux se

m~le

donc notre admiration pour Ia

clarte des intuitions de GIBBS. Le noeud de la Mecanique Statistique des systemes en equilibre statistique reside dans la distribution canonique de GIBBS; Ie but de ces

le~ons

est de vous montrer comment la Theorie de l'Information, a la fois sous I'aspect que lui a donne Sir Ronald FISHER (1925) et sous celui de Claude SHANNON etNorbert WIENER (1948), eclaire d'un: jour nouveau tout Ie probleme; nous developperons surtout Ie second point de vue, parce que dans nos essais d'une extension de la Mecanique Statistique aux milieux continus, c'est lui qui nOUE; fourni un fil conducteur precieux.

[151, [16J .

II - MECANIQUE STATISTIQUE. Nous allons rapidement rappeler les traits essentiels de la Mecanique Statistique sous la forme que leur a donnee J. W. GIBBS [6]' On considere un systeme materiel holonome ayant

159

k degres de liberte, c'est-a-dire

~

148 J. Kampe De Feriet

que la position de ce systeme dans l'espace est dMinie par les valeurs de k

coordonn~es:

q l' '"

qk ' L'ensemble des points

Wc = (q1""

qk)

compatibles avec les liaisons constitue l'espace de configuration E

d~signant l'~nergie cin~tique

c sont dMinis par :

du systeme,les

OE c Pj =Oqj

ou

k

moments

n

c ;

conjugu~s

dq, q'

j

=~

dt

l'ensemble des points Wv

= (PI'"

"Pk)

n ; un ~tat

constitue l'espace des vitesses

ou phase du systeme est -- ---

v

dMini par Ie couple:

w = (w, w) c v l'ensemble des points w constitue l'espace des phases (1)

n = nc

X

nv '

L '~nergie potentielle du systeme ~nergie

~tant d~sign~e

par E , soit son p

totale : E=E+E, c p

Le mouvement du systeme doit satisfaire aux

2k

~quations

differentiel-

(l)L'espace des phases n a 2 k dimensions, mais du point de vue m~trique on ~e peut Ie consid~rer comme un sous ensemble de l'espace euclidien R2 ; on trouvera dans [2] de tres importantes remarques sur les propri~tes metriques de n,

160

- 149 J. Kampe De Feriet les de HAMILTON-JACOBI

(~)

dq. uE _J = _ (2: 1) dt Op. J Nous ne consid~rons que des l'~nergie

tot ale E ne

dp. _J dt syst~mes

d~pend

j = 1. 2•... k .

-~.

J conservatifs. c 'est-a.-dire que

pas explicitement du temps: E = E (w)

(2.2)

Sous des conditions de int~ressant

d'unicit~ - 00

=

la

des

r~gularit~

M~canique.

int~grales

on

de E •

d~montre

v~rifi~es

alors Ie

pour tous les

tMor~me

syst~mes

d 'existence et

de (2.1) : a. tout w£ n correspond pour

< t < + 00 un et un seul point j

L'ensemble des points Ttw. quand

t

= 1.2 .... k],

varie de

n l'orbite (unique) passant par w; nous

-00

a. + 00. dMinit dans

r~serverons

Ie nom de trajectoi-

re a. l'ensemble des points =1.2 ...

Ttwc =[qj(t). dans I' espace de configuration

kJ

n

c

L 'ensemble des Tt dMinit un groupe aMlien de transformations

cette

propri~t~

constituant Ie principe de HUYGHENS pour les

syst~mes

conservatifs. Une propri~t~ fondamentale est exprim~e par Ie Th~or~me de LIOUVILLE : Soit

'f

la

(J' -

alg~bre (corps bor~lien) des parties de n

(2.)Nous avons utilis~ pour repr~senter I'Hamiltonien ( = ~nergie totale) du syst~me la lettre E au lieu du H classique en M~canique Analytique. parce que l'usage s I est ~tabli de d~signer par H la mesure de l'information qui jouera un r6le important plus loin.

161

- 150 -

J; Kampl! De Fl!riet

mesurables par rapport a. la me sure de LEBESGUE de

l'~l~ment

m dMinie a. partir

de volume a. 2 k dimensions:

= dq1

dw

.. , .. dqk dP1'" dPk

La me sure de tout ensemble A E

Jf est invariante par Ie groupe des tran-

sformations T t :

-co
(2,3)

Pour construire la

M~canique

des phases une mesure de

Statistique classique on introduit sur llespace

probabilit~

P

,absolument continue (3) par

rapport a. la mesure de LEBESGUE: P«m Clest la. une

diff~rence

essentielle avec la

ou on suppose au contraire la meSllre de par rapport

a

M~canique

probabilit~

Statistique quantique P

singllli~re

(4)

m, P -l- m

la

probabilit~

P

brable de surfaces

~tant concentr~e, d'~nergie

par exemple, sur une famille

constante

E(w) = d..

i

1

Du point de vue moderne la l'~tude

du mOllvement

pose que

l'~tat

d~nom­

al~atoire

du

M~canique

=

1, 2""

Statistiqlle consiste dans

syst~me mat~riel consid~r~,

initial est choisi au hasard selon la loi de

(3) c'est-a.-dire que la condition m(A)

probabilit~

= 0 implique PIA) = 0

(4) clest-a.-dire qulil existe une partie A de n telle que: m(A) = 0 , PIA) = 1 m(AI) = min) , P(AI) =·0

162

si lIon sup:

- 151 -

J.

Prob

(2.4)

[WE

La loi de variation de la satisfaire

De Fe'riet

AE~

AJ = PtA)

probabilit~

Kamp~

en fonction du temps doit

~videmment

a la condition:

(2.5) qui exprime simplement que la dans

l'~coulement

probabilit~

se conserve (comme la masse

d'un fluide) lorsque lIon suit Ie point Ttw Ie long de

son orbite. On dit que Ie mouvement probabilit~

al~atoire

est stationnaire si la me sure de

est invariante

(2.6)

-oo
consid~rerons

dans cette

~tude.

Au langage purement probabiliste que nous venons d 'employer on pr~fere

presque toujours, dans les

image, dont ment

l'id~e

employ~e

trait~s

premiere remonte

de

M~canique

a MAXWELL

mat~riel donn~

pies al'instant initial dans I'espace des phases de des points wI"'" wN

situ~s

n'exercent aucune action

a chaque instant

de cet ensemble paratt, du mouvement

al~atoire

; on distribue ces co-

fa~on

dans 1a partie A de

= NP(A) ; puis on laisse ces systemes

definit

~t~ syst~matique­

par GIBBS: on postule l'existence d 'un nombre "tres grand"

N de copies identiques du systeme

nA

et a

Statistique, une

~vo1uer,

n

que Ie nombre nA soit

pr~cis~ment:

en supposant qu'ils

m~caniqueles

uns sur 1es autres;1e nuage des points

t

repr~sentatif;

l'ensemb1e

a beaucoup d'esprits

1a

consid~ration

, moins abstraite que celle

du systeme ; c 'est ainsi qu 'a la notion de mouve-

163

- 152 -

J.. Kampe De Feriet

ment

al~atoire

stationnaire correspond ici celle

d'~quilibre

statistique:

dans la partie A il entre et il sort constamment des points w., mais Ie J nombre nA de ces points est ind~pendant du temps. Le nuage est constamment en mouvement, mais pour un observateur qui compte seulement les pdn1s il semble en En fait,

~quilibre.

gr~ce

(5)

a la loi forte des grands nombres 1'ensemble

repr~­

sentatif de GIBBS est seulement une image approcMe de la description probabiliste. Soit en effet

IA (w) l'indicateur de la partie A; considE!rons la

suite infinie de variables alE!atoires

ind~pendantes

(5) Il faut souligner, - car la tentation de confusion n'est pas imaginaire, que m~me si Ie systeme ·mat~riel se r~duit a une mol~cule (poss~dant k degr~s de libert~, k ~ 3) I 'ensemble reprE!sentatif de GIBBS ne doit a aucun prix Mre confondu avec un gaz de MAXWELL-BOLTZMANN; dans I 'ensemble gibbsien les N mol~cules s'ignorent completement les unes les autres et n'exercent les unes sur les autres aucune action; en outre leurs orbites individuelles sont des courbes continues; dans Ie gaz maxwellien, au contraire, les molE!cules agissent les unes sur les autres (tout au moins quand leur distance n'est pas trop grande); leur action mutuelle est port~e a son paroxysme au moment d'un choc , qui d~truit la continuit~ de l'orbite. Oserons-nous avouer que, convaincu de l'abtme s~parant l'ensemble gibbsien et Ie gaz maxwellien, nous avons toujours admir~ avec surprise que sur deux modeles aussi diff~rents, on ait pu fonder la m~me Thermodynamique !

164

- 153 -

J. Kampe De Feriet

w1' ••• wN' •••

Ies points

ind~pendantes,

~tant

r~sultat

Ie

d'une suite infinie

faites chacune selon Ia Ioi de

probabilit~

d'~preuves

P(A). La loi forte

des grands nombres probr Iim k(X 1+... +X N) =X]=l - N-'+co nous donne:

~

r lim

Prob

l

= p(A)l = 1

'J

N->too N

d'~preuves ind~pendantes

pour presque toutes les suites infinies

Ie rapport

nA

N

tend vers P(A) ; quand Nest "tres grand" rna is fini on peut donc

distribuer "approximativement"I'ensemble nombre des points Dans la

situ~s

dans A

M~canique

ment continue par rapport

repr~sentatif

a I'instant initial soit donn~ par nA= NP(A).

Statistique classique la mesure P

a Ia

presque partout dans r(w)

~tant

mesure de LEBESGUEjd'apres Ie

de RADON-NIKODYM il existe une fonction r(w) , d~termin~e

de faGon que Ie

~

densit~

de

absolu-

th~oreme

probabilit~,

0, satisfaisant les trois conditions: 0

r(w) E L(O)

(2.7)

iOr(W)dW = 1 telle que pour tout (2.8)

A£

:r on ait

P(A) =ir(W)dW.

Pour que Ie systeme soit en chaque

t

~quilibre

statistique il faut et il suffit que pour

donn~

(2.9)

r (TtW) = r(w)

sauf peut-Mre sur un ensemble At Comme la condition

de mesure nulle.

m(\) = 0 n1entratne pas

165

- 154 -

J .. Kampe De Feriet

m

[V < t < A-]= t -00

n'~tant

(I 'union

pas

d~nombrable),

satisfaite pour presque tout

w

temps. Mais, pratiquement, en ~cart~e

0

+00

on ne peut pas en conclure que (2.9) est

simultan~ment

M~canique

parce que lIon n 'envisage que des

pour toutes les valeurs du

densit~s

continues en

plus discontinues sur un nombre fini de surfaces dans ~quilibre

voit que: pour que Ie systeme soit en fit que la

densit~

souvent: une

de

probabilit~

int~grale

~quations

les 2 k

~quations

a aborder un sujet oil.,

taine confusion; d 'apres la

n.

est

wou au

Dans ce cas on

statistique il faut et il suf-

r(w) soit un invariant (ou comme 1'0/1 dit

premiere des

Ceci nous amene

difficult~

Statistique cette

th~orie g~n~rale

de HAMILTON-JACOBI). semble-t-il, regne une cer-

des

~quations diff~rentielles,

de HAMILTON-JACOBI peuvent admettre

invariants ind~pendants :o/l(W)""

2.k-l

'Y2k_1(w) au plus:

-oo
r~ponse

paratt donc simple : on obtient

nant pour la r(~ 1""

densit~

de

probabilit~

l'~quilibre

statistique en pre-

une fonction quelconque

'Y2k-l) satisfaisant les conditions (2.7). Or pratiquement, -

sauf dans des travaux r~cents, par exemple H. GRAD [9) en 1952, - Ie seul invariant que 1'on voit apparattre est

1'~nergie

E(w) du systeme; 1'on

suppose toujours :

r

(2.10)

La raison terpr~tation M~thodes

invoqu~e

= r(E) pour ce choix repose, croyons-nous sur une in-

,

confuse d'une th~oreme ~nonc~ par H. POtNCARE dans "Les

nouvelles de la

M~canique

C~leste".

En effet, on affirme en

s'appuyant sur Ie titre du Chapitre V [24] p. 233 "Non-existence des int~-

,

grales uniformes" que H. POINCARE

a d~montre

166

qu'il n'existe qu'un seul

- 155 J. Kampe De Feriet

invariant fonction uniforme de

l'~nergie

UJ;

E.

Mais si on se donne la peine de lire Ie Chapitre V, on constate que I

POINCARE envisage un probleme

tr~s

particulier, puisqu'il suppose essen-

tiellement que E est une fonction analytique d lun para metre I" E

2

= Eo(wc ) + rEI (w) + I" E 2(w) + ...

w ; il ~crit (p. 233) : IIJe me propose de d~­ v montrer que, sauf certains cas exceptionnels que nous ~tudierons plus loin,

ou

Eo est

ind~pendante

~quations

les

de

(de HAMILTON-JACOBI) n'admettent pas d'autre

analytique et uniforme que l'integrale

int~grale

E = const. II

La demonstration ne s'applique done qulaux invariants qui sont

a

la fois "analytiques et uniformes ll• II est clair, d'apres Ie contexte, que par Ilanalytique ll POINCARE" entend lIanalytique par rapport nage de

t' = 011;

il resulte aussi de l'examen de sa

quand il parle d'une

int~grale

a l'

au voisi-

d~monstration

anqJytique, cette fonction doit

~tre

que,

une inte-

grale pour toutes les valeurs de ,u (voisines de 0) et non seulement pour une valeur

num~rique

donnee de

III

en effet il utilise

;

ses dans ses calculs des developpements en me les coefficients des puissances tage

a egarer

,~'

s~rie

a plusieurs

et identifie terme

repri-

a ter-

. Ce qui a peut-Mre contribue davan-

certains auteurs, c lest Ie titre de Pavant dernier paragraphe

du Chapitre V: (p. 259)

IIInt~grales

non holomorphes en

f

II ; or des les

3 premieres lignes , on voit que POINCARE" rejette bien l'hypothese que ses

int~grales

sont analytiques en

F = F'(W) +/"F FII (w) OU FI non-holomorphes pour /-l

=0

f

,mais qu'illes suppose de la forme

et FII sont analytiques en ~ ; elles sont bien mais developpables selon les puissances de

vJi! .... Ces hypotheses avaient un sens dans Ie contexte de ses recherches de

M~canique C~leste

; elles nlen ont aucun dans Ie cadre general de la

167

- 156 -

J.

Kamp~

De Feriet

Mecanique, ou l'on n'a aucune raison d'introduire un paramHre et de considerer des invariants

= ~ (w, f)

t·

(w,

r)

qui satisfassent la condition 0/( Tt w,)4) =

pour toutes les valeurs de

l.l.

Nous nous rangeons donc entieremeht a 1'opinion exprimee par C. TRUESDELL dans les belles leGons qu'il a professees ici

m~me,

ala

Villa Monastero, en 1960 : (28)p. 43 "This Theorem (Ie theoreme du Chapitre V) is sometimes regarded as showing that, apart from exceptional cases, a Hamiltonian system has no time-independent integrals other than its energy. This would be a happy result for Statistical Mechanics, but it is certainly not what POINCARE claims, nor can I see any reason to expect it" , En realite la raison pour laquelle on suppose toujours que la densite de probabilite ne depend que de 1'invariant E ne resulte pas du tMore/

me mal compris de POINCARE sur l'inexistence d'autres invariants fonctions uniformes de

w ,mais plutbt de la coutume bien etablie de

melanger, deux theories differentes : on sert au lecteur une sorte de cocktail ou, a la liqueur pure et transparente des idees de GIBBS, on ajoute un peu des alcools puissants mais mal decantes de BOLTZMANN; ala Mecanique Statistique exposee au debut de ce paragraphe, ou les orbites sont essentiellement continues (6)

on melange de la Theorie cinetique :

on admet que des chocs peuvent se produire a certains instants t , au ---n cours desquels les q .(t) restent continues mais les p .(t) presentent des J J discontinuites de premiere espece, p ,(t-O) et p ,(HO) prenant des J J valeurs diff~rentes. En d'autres termes la trajectoire Ttwc reste une

(6) Les fonctions q .(t) et p .(t) sont non-seulement continues mais admettent, par 1'hypothese Jm~me J des equations de HAMILTON-JACOBI, des derivees q.(t) et p,(t) continues. J J

168

- 157 -

J. Kampe De Feriet

se

d~compose

n,

mais llorbite T w c t en une suite dlarcs de courbes ; chaque arc est continu dans

courbe continue dans llespace de configuration

un intervalle ouvert (tn' t n+1) , mais les

extr~mit~s

des deux arcs corre-

spondants aux deux intervalles (t

I' t ) et (t ,t 1) ne se raccordent n- n n n+ pas; a cause de la discontinuit~ des p ,(t) aux instants t un invariant ne J n prendra pas, en g~n~ral, une seule valeur constante, quand t varie de - 00

a + 00, mais une suite de valeurs constantes \lJ (T w) =

1

t

diff~rentes:

C(,

n

sur chaque arc de llorbite ; il y a un seul invariant, qui conserve la valeur sur tous les arcs de Porbite, c lest

pr~cis~ment ll~nergi'e

m~me

:

-oo
~lastiques.

(7)

(\l) Dans [2)P. 19-22, A.BLANC - LAPIERRE, P. CASAL et A.TORTRAT mettent en relief les difficult~s du concept de choc purement ~lastique de 2 mol~cules. liEn effet dans ll~tude du choc, on ne peut plus assimiler les corps qui y participent a des corps solides indMormables; on admettra qu I ils sont parfaitement ~lastiques, clest-a-dire que ll~nergie emmagasin~e par chacun dleux, lorsqulil subit une d~formation, est irit~gralement restitu~e lorsque cette dMormation cesse .Mais il est alors possible de montrer que, Iorsque deux corps de cette esp~ce entrent en collision, Ie choc provoque en chacun dleux des vibrations qui, en g~n~ral, subsistent apr~s leur s~paration,de sorte qulapr~s Ie choc on ne peut plus consid~rer ces corps comme des solides indMormables ... On voit dans quel1e inextricable situation on se trouve si, des milliards de fois par seconde, il faut cesser de consid~rer une mol~cule comme un corps solide et la regarder comme un corps ~lastique ... La M~canique Statistique, el1e, ne cherche pas a r~sou­ dre ces difficult~s qui ne proviennent peut-~tre en definitive que d lune idee un peu trop anthropomorphique des pMnom~nes mol~culairesll .

169

- 158 -

J. Kampe De Feriet

persuad~s

Nous sommes, pour notre part, par l'invariant

E

(jusqu'aux travaux

r~cents

que Ie rt>le exc1usif joue

de H. GRAD, de R. M.LEWIS

et de C. TRUESDELL) dans la Mecanique Statistique, - est une trace, peuttltre enfouie dans Ie subconsciert, des vieilles idees sur llinvariance de E et de

E

seul dans les chocs elastiques. (8) .

Ces points bilit~

dans

~tant pr~cises,

l'~quilibre

que lIon admette pour la densite de proba-

statistique une fonction ne

d~pendaht

que de

l'~nergie:

r = r(E)

ou une expression plus generale

d~pendant

de

m invariants

il nlen reste pas moins vrai quIa chaque fonction r dra une Mecanique Statistique

m~canique

ete compl~tement

Statistique sur une fonction

la distribution canonique: -

(2.11)

r(E) =

correspon-

diff~rente.

Or, en fait, cet arbitraire a fonde toute la

particuli~re

~limine ; GIBBS

r

[61

bien determinee,

J

~E

~(@)

ot

Z(~) ~ e -@Edw

~ ~tant un param~tre qui, lorsque llensemble representatif est susceptible dlune

interpr~tation

temp~rature

thermodynamique, joue Ie rtle de llinverse de la

absolue.

(Il Une expression claire des

id~es

que nous venons dlesquisser se trouve

d~ja dans ces lignes de MAXWELL (cherchant a justifier Ie theoreme ergod ique dans son c~l~bre memoire de 1879) "each encounter will introduce a dis-turbance into the motion ci. the system, so that it will pass from one undisturbed path into another. The two paths must both satisfy the equation of energy and they must intersect each other in the phase for which the condi .. tions of encounter with the fixed obstacle are satisfied, but they are not subject to the ~quations of momentum" (cit~es par C. TRUESDELL [28J p. 22)

170

- 159 -

J. Kampe De Feriet

De m~me dans Ie cas g~n~ral [28] p. 41 la distribution pantacanoniexp( -~1 'l'l- .. ·-(am 'I'm} (2.12)

r('Vl""

Z(

apparatt comme Les

~"

...

~m)::

Z(~l"" ~m)

~m) ~ Lexp(- ~,'I',- ... -~m 'fm)dw

priviligi~e.

consid~rations

par lesquelles GIBBS introduit la distribution

canonique n font guere qu 'une valeur heuristique ; la premiere justification, dont la rigueur satisfasse un matMmaticien, a

~t~ donn~e

par A. I.KHINCHIN

~8) p. 84-93. - Il d~montre que la distribution canonique est une cons~­ quence du TMoreme Central limite du Calcul des

Probahilit~s

lorsque Ie

nombre . k des degr~s de libert~ tend vers l'infini ; il pousse m~me pr~cision

la

jusqu 'a donner l'ordre de grandeur de l'approximation en fonction

Nous contentant de renvoyer nous aborderons

l'~tude

a cet ouvrage,

aujourd'hui classique,

de la distribution canonique d 'un tout autre point de

vue; d'abord au • III, nous pla~ant dans Ie cercle d'id~es de B. MANDELBROT,

(221 nous montrerons

de quelle lumiere la th~orie de

l'estimation statistique de Sir Ronald FISHER peut (\clairer la signification de la distribution canonique ; ensuite au § IV , d~veloppant une id(\e de E. T. JAYNES

[13) nous (\tablirons,

comment dans Ie cadre de la Th(\orie de l'In-

formation de Cl. SHANNON et N. WIENER, les distributions canoniques ou pantacanoniques sont une

cons~quence imm~diate

de l'Information.

171

du principe du Maximum

- 160 -

J.

Kamp~

De FE!riet

III - ESTIMATION D'UN PARA METRE ET STATISTIQUES EXHAUSTIVES. L'un des problemes fondamentaux de la Statistique matMmatique est Ie suivant : on sait qu 'un point probabilit~,

al~atoire

X = (Y I , .•. Ym ) dans R donn~e

appartenant a une famille

Prob[X~A1 =P(A, 9)

(3.1) on fait

Xl' ... x N les points metres 8 qui

AER m ,

al~atoires ind~pendants

observ~s

s

J de RS

repr~sentent

8E.J

Math~matique

variable

Xl""

XN ; soient

Ie mieux ces observations ?

[51

que sont dus les principes g~n~raux

de la solution de ce probleme et la terminologie

employ~e

en Statistique

; nous nous bornerons au cas ou m = I (X est alors une

al~atoire

consid~r~e

sur R), ou s = 1 et ou les lois de

probabilit~

sont absolument continues, admettant une

p(x, IJ) ; cette fonction est

suppos~e

de la fa-

densit~

connue pour tout

de pro-

Xe R

et

pour En que :

d~signant

N par B un ensemble mesurable de R il est clair ( I

(3.2)

:

; comment estimer les valeurs des s para-

C'est a Sir Ronald FISHER

babilit~

donn~

de

N observations inctependantes de X , c 'est -a-dire que I 'on consi-

dere la suite de N points

mille

oMit a une loi de

d~pendant

de lois

IJ = (6 1, .•. 8s) parcourant un intervalle

parametres

m

= I L(x l ,···, x N' 8)dx 1, .. dX N JB

OU L(x 1, ... x N' 8) = p(xl' 8)x .. , -------

172

X

p(x N, 8)

- 161 Kamp~

J.

De

F~riet

dMinit la fonction de vraisemblance (likelihood function). En

g~n~ral

op~rent,

les statisticiens

non sur les nombres

observ~s

Xl' ... xN eux-mt!mes, mais sur certaines fonctions de ces nombres qu'ils appellent des IIstatistiques II ou des lIestimateursll. Consid~rant

e=

la variable aleatoire.

on prendra comme estimation de 0 la valeur observ~es de

e

= La valeur moyenne de la statistique

par :

=

8(x 1,··· xN) L (Xl' .,' xN' O)dxl' '. dX N ~ RN

~videmment

une fonction de

la fonction b(

or

b(O)

I'~crit

dMinit Ie biais de la st'atistique

sous Ia forme

m~me

e

si

=0

9

on dit que Ia statistique

(3.5) (

0; si on

9= 0 + b(O),

(3,4)

De

donn~e

ef

(3. 3)

c1est

8 est

Ia variance

- 2 e - a)

jde

est sans biais (unbiased),

Ia statistique a pour v:Ieur : [ 9(x 1", .x N) -

=

e}·.

-

L(xl'" 'X N' 0) dx l ", ,dx N

RN On de

p(X, 0)

d~montre

qu'elle satisfait sous certaines conditions de

a l'in~ga1it~

de CRAMER-RAO

(1 N

+ b I (0)) 2

j::P(X, 6) [~ log pIx, 6)) 2 dx 173

r~gularit~

• 162 J. Kampe De Feriet propos~

FISHER a m~tre

9) contenue dans une observation xl de

r

I

de prendre comme me sure de l'information (sur Ie paX la quantit~

+oo

= p(x, . 9)r.~()8 log p(x, 9)) 2 dx

J

-00

La

quantit~

d'information contenu dans

N observations

ind~pendantes

(xl' ... xN) est alors Ie nombre NI qui figure au d~nominateur de (3.6) : plus l'information est grande, plus la borne inf~rieure des fluctuations de

9 est petite.

la statistique

Lorsque, dans

l'in~gaIM

on dit que la statistique

9

de CRAMER-RAO,

l'egalit~

est

r~alisee,

est efficace (efficient).

Mais Ia notion la plus importante, toujours due 1l FISHER, est la suivante : soit 't'( 9)

a(Xl' ...

la

densit~

de

probabilit~

de la variable

al~atoire

XN), parfaitement determin~e en fonction de

p(x, 9), par la

formule:

ott

A designe Ie domaine contenu entre les deux surfaces: 9

et

Considerons Ia probabilit~ conditionnelle du point al~atoire N (Xl' ... XN) dans R , quand on sait que (Xl"" XN) a pris la valeur

e

9

(c'est.1l-dire que Ie point est sur la surface

stique

S9); on dit que la stati-

9 est exhaustive (sufficient) si cette probabilite conditionelle est

174

- 163 -

J. Kampe De

ind~pendante

F~riet

de B ; en dlautres termes .toute l'information que llobserva-

tion de (xl' ... xN) nous fournit sur

Best contenue dans la

d~termination

de la surface particuliere SB qui passe par ce point ; la

~onnaissance

de la position du point (xl' ... ' xN) sur cette surface ne nous apporte aucune information

suppl~mentaire

A titre d 'exemple

sur

consid~rons

par -x

1

p(x,B) = - h'ttB Des calculs

~l~mentaires

B .

la famille de lois normales

2

2B

e

d~finie

B >0

montrent que la statistique:

est sans biais, efficace et exhaustive;apres l'observation (xl'··· xN) nous estimerons done Ie parametre par la for mule

a = !N

r x~ N 1

J

On constate d 'ailleurs que cette valeur est ceUe que lIon obtient par la thode du maximum de vraisemblance (maximum likelihood) consistant

m~­

a

chercher la valeur B qui rend maximum L(x l , ... xN' B) pour les valeurs observ~es

(xl' ... xN) . Ces quelques notions

~tant rappel~es,

sultat fondamental de la TMorie : si la que il nlexiste pas en

g~n~ral

nous pouvons aborder un

densit~

de

probabilit~

r~­

est quelcon-

de statistiques exhaustives ; celles-ci nle-

xistent que pour des lois tres particulieres du type exponentiel. B. O. KOOPMAN (1936) a

donn~

une premiere

d~montration bas~e

sur la remarque que, s lil existe au moins une statistique exhaustive

a(Xl' ... XN)

alors l'egalit~ 175

• 164 -

J. Kampe De Feriet

entratne pour tout

e: L(x l , ... xN,ct) =

L(Y l ,··· YN'cC.) Mais dans sa demonstration il fait intervenir des conditions d 'analyti-

cite des fonctions,superflues comme l'a montre E. B. DYNKIN qui a non seulement resolu Ie

probl~me

[4}

dans un cas plus general, mais en-

core a introduit des idees nouvelles d'une grande importance, en particulier la definition d 'une statistique exhaustive necessaire (necessary and sufficient statistic).

n dit que la fonction

F(lt l , .•. x N) est dependante de la fonction

= G(x l ' ...' XN) entratne

G(x l '· .. x N) si l'egalite G(yl'· .. YN) F(y I' ... yN)

= F(x l ,···

xN) ; les fonctions F et G sont equivalentes

si chacune est dependante de l'autre. La fonction

e (xl' ... xN)

est dite

une statistique necessaire si elle est dependante de toute statistique exhaustive. Toute fonction dependante d'une statistique necessaire est elle

m~me

une statistique necessaire. Deux statistiques necessaires et exhaustives sont equivalentes. Le rang

r

de la famille de lois de probabilite correspondant est dMini par

sion de l'espace fonctionnellineaire G(x, e)

l

e

=s-

I , s etant la dimen-

contenant toutes les fonctions

= log p(x, e) p(x,

ou

r

a

varie dans l'intervalle

eo )

[e l , e2 ]

et

eo

est une valeur arbi-

traire dans cet intervalle ; on aura bien entendu en general r = + 00 176

•

- 165 -

J.. Kampe De Feriet

Sous une condition t~

de la

1L

d~rive

oX

g~n~rale

<'J

r~sultats

rest fini, alors la

p(x, B)

r~gularit~

(existence et continui-

p(x, B) sur un ensemble dense sur

DYNKIN (p. 25 et 26) prouve les a) Si Ie rang

de

l.;

= exp [

les systemes de fonctions

suivants :

densit~

de

probabilit~

c j (e)tr/ x ) + cote) +

(1"Vl""

R), E. B.

a la forme:

~/c (X)J

~Ir) (qui forment une base pour~)

et (1, c ,... c ) etai:J.t lineairement independants. 1 r b) Pour tout N

~

r Ie systeme de fonctions :

forme un systeme de statistiques necessaires et exhaustives, les fonctions

8.

etant independantes fonctionnellement. J Considerons par exemple la famille de lois de probabilites defi-

nies par: -x

p(x, B) =

ee e 1

x ) 0

x

=0

L 'espace lineaire G(x, e)

£ 1

11 est done de rang Par consequent pour

<0

eontient toutes les fonetions 1

= ( - - -)

eo

B> 0

B

x

eo e

+ Log-

1 et admet eomme base N

~

(1, x)

1 la fonction

est une statistique necessaire et exhaustive

177

toute autre statistique

- 186 -

J. Kampe De Feriet

n~cessaire

et exhaustive lui est

~quivalente

et nous prendrons selon l'u-

sage

fa qui est

~galement

~

=

(xl +... + xN)

sans biais.

IV. - LA DISTRIBUTION CANONIQUE ET LA THEORIE DE L'ESTIMATION

Revenons aux

syst~mes m~caniques

§n ; nous supposerons que peut toujours prendre

~gal

E

l'~nergie

conservatifs

consid~r~s

au

a un minimum isol~, que lIon

E

a: = 0

puisque l'on dispose d'une constante arbitraire dans

l'~nergie

potentielle.

Nous introduirons les notations suivantes :

D = x

{w: O~E~x).

tw: Quand phases

n

x croit

0

a + 00,

E=xJ. les surfaces

~x

dans I' espace des

s 'enveloppent l'une l'autre comme une famille de spMres

(ce sont les hypoth~ses m~mes de KHINCHIN Designons Ie volume du domaine (4.1)

7

V(x)

=

(18)

p. 33) ;

D par

x

f

; dw ,!

Dx

Nous dMinirons la fonction de structure du

178

syst~me

par

- 167 J. Kampe De Feriet

dO'

(4.2)

Sex)

=1 Ix

x

Sex)

\grad E I

()E 2

= + [(-)

dV

(18]

p.

36

revenons

a la

~l~mentaires ~tant rappel~es,

Statistique et supposons Ie systeme en probabilit~ ~tant

r~sulte

M~canique

statistique, la

densit~

l'~nergie

= reEl imm~diatement

alors

nergie du systeme E(w) probabilit~

~quilibre

fonction seulement de

r 11

que:

= Sex).

dx

Ces dMinitions

de

et (9)

+

Jqj

On d~montre tres facilment (4.3)

0

Ix

dG' d~signe l'~l~ment d'aire de la surface x

ou

>

Igrad E \

des

est une variable

est dMinie par la

densit~

r~sultats pr~c~dents

al~atoire

X

que l'e-

dont la loi de

:

p(x) = r(x)S(x)

x ) 0

(4.4) =

On a

~videmment

1

x <0

0

la condition :

+00

(4.5)

r(x)S(x)dx = 1

Q

(9) On a evidemment grad E \ > 0 , puis que par hypothese les ~quations de HAMILTON-JACOBI n'admettent pas de point singulier dans

I

n. 179

- 168 -

J.

Kamp~

De

F~riet

La valeur moyenne de 1'~nergie a donc pour valeur :

(+00

E=

(4.6)

X

i

r(x)S(x)dx ,

I

)!;

et sa variance est (4.7)

donn~e

(E - E)

Ceci

~tant,

2

par

+00

=

] C:

consid~rons

(WI' ••• , wN) nous en

-2

(x-E) r(x)S(x)dx.

un ensemble

d~duisons

les

repr~sentatif

N variables

de GIBBS

al~atoires ind~pendan­

tes : (4.8) ayant toutes la

m~me

loi de

probabilit~

1'on a toujours par hypothese syst~me ~tant

~

XJ

dMinie par (4.4) ; (notons que

0) :r;emarquons en passant que Ie

conservatif, on n'est pas

sterne au m~me instant pour tous les

oblig~

de

consid~rer l'~tat

du sy-

w. [l'instant initial dans (4.8)], J

puisque

pour tout

t

Admettons que la loi de rametre

repr~senter

9 , qui doit

gie du systeme (de

probabi1it~

m~me

ne

d~pende

que d 'un seul pa-

la valeur moyenne

(4.6) de

l'~ner-

que les Thermodynamiciens nous affirment

que la seule grandeur macroscopique que 1'on puisse mesurer sur un gaz est sa (4.9)

temp~rature)

; la

densit~

de

p(x, 9) = r(x, 9)S(x)

=0 la fonction de structure, qui ne

probabilit~ S'~crira

alors :

x?O x<0

d~pend

180

que de Ia dMinition m~canique du

• 169 -

J. Kampe De Feriet

systeme, devant Mre

ind~pendante

du para metre introduit dans la Stati-

stique. Nous voulons que

soit une statistique semble

et exhaustive ; dans I 'observation d 'un en-

n~eessaire

repr~sentatif

partieulier :

nous prendrons done eomme valeur du parametre

e'est-a-dire que nous estimerons

E par la moyenne

Si no us admettons que la Statistique stive quel que soit Ie nombre N doit

~tre ~gal

pel~

au

a I

et

d'apr~s

~

9

est n~eessaire et exhau-

1 , Ie rang de la loi de

Ie tMoreme fondamental de DYNKIN rap-

§ III la densit~ de probabilit~ doit ~tre de la forme

x :;. 0

(4.10)

Dans eette formule nous avons pris

'Y 1(x) = x

statistique n~eessaire et exhaustive ~tant par hypothese tre statistique

doit lui

probabilit~

n~eessaire

paree que la

9 ,

toute au-

et exhaustive

~tre ~quivalente .Comme

nous pouvons disposer de la fonetion

181

- 170 -

J.

',\!(x)

Kamp~

De Feriet

nous prendrons:

].

t (x)

= log S(x).

Faisons un changement de paramMre en posant :

f= - c 1 (8) et introduisons la fonction de partition

,.teo

Z(~) = I e -P S(x)dx

(4.11)

lc

transform~e

qui nlest pas autre chose que la

tion de structure ; nous supposons pour tout

p>

telle que cette fonction existe

0 ; on sait qu'elle estalors analytique en

v~es

'+eo

-J 0 x

(4.12)

Z'(3) =

(4.13)

ZIf(?) =

existent et sont continues Ceci

S(x}

de LAPLACE de la fone-

~tant

-~xS(x)dx

e

pour que la

.; ses

d~ri-

< 0

JJ+~x e - ~x\"' S(x}dx pour~>

~

> 0

O.

densit~

de

probabi1it~

(4.10) satisfasse la

condition (4. 5) il faut et il suffit que e -co(8)

= reoe

c 1(8)x

S(x)dx

JO ou avec Ie nouveau

param~tre

~

:

-c o(8) e En conclusion la toire

X = E(w)

densit~

= Z(~}.

de

probabilit~

doit avoir la forme :

182

(4.10) de la variable

al~a­

- 171 J.

F~riet

- ~x

p(x,~)

(4.14)

De

Kamp~

= eZ(~)S(X)

x

=0

x

ce qui donne pour la

densit~

de

~

0

<

0

r

:

probabilit~

- ~x

(4.15)

r(x,

c'est-a-dire

=_e__ Z(d)

~)

pr~cis~ment

x

~

0

la distribution canonique.

La distribution canonique de GIBBS appara!t ainsi comme la seule loi de pour

probabilit~

l'~nergie

ne

d~pendant

que d'un seul parametre et admettant

la statistique exhaustive suffisante

e

(4. 16)

1

= -

(E1 +••. +E N)

N

D'apres B. MANDELBROT [22) p. rait

~t~ d~montr~e

dans un

m~moire

m~me ~poque

1021, cette propri~t~ au-

pour la premiere fois par

L~o

SZILARD, en 1925,

ou il aurait, sans employer le terme,

d~couvert,

a la

que Sir Ronald FISHER,la notion de statistique exhaustive.

Est- il besoin de souligner l'importance de cette

interpr~tation

qui replace la tMorie de GIBBS dans le cadre de la Statistique

math~­

matique moderne. Notons, en terminant, deux

r~sultats

se

d~duisant

immMiatement

du simple rapprochement de (4.6) et (4.7) avec (4.12) et (4.13) : (4.17) (4.18)

d E= - -

df

(E_~)2

=

d2

d~2

log

Z(~)

log

Z(~)

183

> 0 >0

- 172 J. Kampe De Feriet

ces formules nous serviront au

§VI.

V - LA THEORIE DE L'INFORMATION. Nous avons vu au § III que des 1925, Sir Ronald FISHER avait propos~

quantit~

une me sure de la

vation faite en vue d 'estimer Ie

babilit~. se

d'information contenue dans une obser-

param~tre

d rune famille de lois de pro-

En 1948 Claude SHANNON [25] et de Norbert WIENER ~o),

pla~ant

dans un cadre beaucoup plus bas~e

le tMorie,

sur des

id~es

tout

g~n~ral,

a fait

FISHER; cette tMorie apris rapidement un conduisant

a des

ont construit une nouvel-

diff~rentes

de celles de

d~veloppement consid~rableJ

applications de grande importance dans l'etude de la

transmission de l'information(codage), de la linguistique, de l'automation ... R~cemment

E. T. JAYNES

[13]

a montr~ que Ie principe du maximum

de l'information pourrait jouer un rtlle unifiant et simplifiant en que Statistique; de d'~crire

m~me

que les

automatiquement les

nique soumis

~quations

~quations

a des liaisons holonomes

ximum conduit automatiquement

a la

M~cani­

de LAGRANGE permettent

du mouvement d'un systeme

donn~es,

m~ca­

ainsi ce principe du ma-

loi de probabilite correspondant

a

l'equilibre statistique sous des contraintes statistiques donnees. On considere des systemes (beaucoup plus gene raux que les systemes

mat~riels

divers etats

n;

de la Mecanique)

susceptibles de prendre

w; l'ensemble de ces

~tats

definit l'espace des phases

dans une experience on observera la realisation d'un w bien

d~­

termine ; une suite d 'etats consecutifs (obtenue par l'evolution du systeme selon ses lois propres), definit une orbite

dans

n

Les exemples suivants illustrent les diverses possibilites

184

- 173 -

J. Kampe De Feriet

1 - Ie

syst~me

est une machine

a ~crire

(lettres majuscules et minuscules n

sage, la

s~quence

2 - Ie

~tats

+ signes divers) ; l'espace des

comprend done 88 points ; une orbite constitue un mes-

phases

langage

; elle peut prendre 88

des points

~tant d~termin~e

par la structure du

employ~.

syst~me

est la roue d 'une loterie ; l'aiguille tourne devant une

circonf~rence

(cadran) ; les

~tats

w sont les points de la circon-

f~rence

ou s'arrNe l'aiguille, l'espace nest alors un intervalle

continu

Co,

2 l't

J;

une orbite est constitu~e d 'une suite arbitraire

de points. 3

-Ie systeme est une corde vibrante, de d'ALEMBERT-EULER; un Ie

d~placement

~tat

consid~r~e

avec l'approximation

w de la corde est dMini par

transversal u(x) et la vitesse transversale

v(x);

nest alors l'ensemble des couples de fonctions [U(x) , v(x)] continues dans ~O, f et s'annulent aux extr~mit~s de la corde x

= 1 ; une

orbite est

d~finie

x, d~pendant du temps t

~t u(x, t)

= v(x, t)

x

dans n par la suite de fonctions

= 0 et de

[U(X, t), v(x, t~, integrales des equations:

utd v(x, t) =i-2 u(x, t) Ox

Supposons que 1bn connaisse a priori la probabilite que les differents

~tats

wont de se manifester dans une observation du

syst~me

cela signifie que l'espace des phases est un espace de probabilite (n,~, P), ou

~

est une G'-alg~bre de parties de

ction d'ensemble (j'-additive, definie sur

185

'F ,

n

telle que

et

P

une fon-

- 174 J. Kampe De Feriet

o

~

PtA) ~ 1 p(n) = 1

(n,1/,

avant d'avoir effectu~ aucune observation sur

a priori

~prouvons

Pouvons-nous mesurer l'incertitude que nous

P) ? Pouvons-nojls

mesurer l'information que nous tirerons a posteriori de l'observation d'un ~tat wE(n, 1(, P) ? Nous admettrons que ces deux mesures doivent Mre apport~e

formation

par une observation

~tant

identique

~gales

l'in-

a l'incertitude

avant toute observation. Les

consid~rations

les les expressions

heuristiques suivantes rendront plus naturel-

math~matiques

introduites plus loin: supposons que, l'~tat

dans une observation, nous sachions seulement que se trouve dans une partie la

quantit~

PtA)

A de

n ; il

d' information ainsi fournie

et soit

ind~pendante

pIe de sa position si valeur de cette

seulement de la mesure

propri~t~

de

A, par exem-

est un espace m~trique : soit

n

quantit~

semble naturel d'admettre que

d~pend

de toute autre

F [P(AN la

d'information. ind~pen,.

Supposons maintenant que l'on fasse deux observations dantes de

l'~tat r~alis~

sique on emploie deux

W ,

(par exemple dans une

m~thodes

observation nous apprendra que en dMuisons

r~alis~

W

~videmment

W€

de mesure W€

exp~rience

diff~rentes)

; la

A et la seconde que

An B ; il

par~it

premi~re

III

E B ; nous

logique d'admettre que

l'information obtenue par ces deux observations

ind~pendantes

me des informations fournies par chacune d'elles

186

de phy-

:

est la som-

- 175 -

J.

OU,

Kamp~

De

F~riet

a cause 'de I 'ind~pendance des observations -:

(5.1)

Si done nous admettons que la fonction

F

est continue sur l'in-

... -, tervalle : 0, Ij , cette condition Mtermine (a une constante multiplicative

pr~s)

la fonction

F

:

F LP(A)]

(5.2)

Notons, en pa,ssant, ces

- ,- log PtA)

r~sultats

conformes

w€ n (condition toujours

1 - si lion sait seulement que s~e

a notre intuition : r~ali­

par dMinition), notre information - est nulle

2 - si nous

consid~rons

une suite

)A de parties de

n ,

d~croissante

(au sens strict)

n

la suite des informations correspondantes va en

croissant:

l'information augmente avec la Quand on passe de

A, J

a

pr~cision

de I 'observation.

A, 1 Ie gain d'information est J+ PtA,) J > log P(Aj +1)

~gal

a

°

Ceci

~tant consid~rons

un nombre fini de parties

une partition finie de

AI'" . An de

187

n

deux

n , c 'est-a.-dire

a deux

disjointes :

... 176 .~ J. Kampe De

: ,n A.

J

'1

=

F~riet

0 quantit~

Evaluons maintenant la

d'information que nous recevrons

en moyenne, lorsque nos observations nous permettent seulement de sal'~tat

voir que

w se trouve dans l'une des parties A., mais que nous J

sommes incapables de distinguer l'un de l'autre deux

~tats

w' et

w"

qui appartiennent au m~me A.; l'information fournie par l'observation J

w~

A. J P(A .), J

~tant

la

-log P(A.)

et la

J

quantit~

probabilit~

moyenne de l'information,

fournie par une observation a pour valeur

=-

H

(5.3)

c'est

que

w~A. ~tant

J

d'autre part

esp~rance math~matique

:

L.3 P(A.)J log P(A.)J

cette for mule qui est la base de la tMorie de l'information. Remarquons que la partition [AI""

probabilit~s

sont seulement soumises aux conditions J

Si l'une des

I 3 P(A.)J

>;, 0

P(A.)

(5.4)

en posant

AJ ~tant quelconque, les

probabilit~s

=1 .

est nulle la formule conserve son sens,

:

x log x Nous ferons,

~

=0

pour

x

=0

plusieurs reprises, usage de

l'in~galit~

~l~men

taire log x (5i 5)

Cette (5.6)

< x-I

log x = x in~galit~

permet de H

,~

x

f

1

si et seulement si x = 1 .

1

d~montrer imm~diatement l'in~galit~

log n

188

..

- 177 J. Kampe De Fhiet

~tant

Ie maximum

atteint si et seulement si 1

P(A.) = J n Consid~rons

[AI' ... Anl

j = 1, 2.•. n

une partition plus fine que la partition

c'est-4-dire supposons que chaque partie

m~me partitionn~e

en un nombre fini (variable avec

J,

~tant

la fonction

x log x

classique de

convexit~

J

convexe dans l'intervalle

montre que la

Aj soit elle de parties

B. kll B. 1 = ~ J, J,

II B. k = A.

'R"

j)

quantit~

r

LO,

donn~e

k -,

I)

f

1 ;

l'in~galit~

moyenne d'information

fournie par la partition fine '\ -

j, k

satisfait

P(B. k) log P(B. ) J, J,k

~

(5.7) Plus la partition est fine plus l'information que lIon en tire D'autre part, si au lieu de l'observation d'un seul nous

r~alisons

sant les

~tats

une suite de

WI' • ••

N

WN,

~preuves ind~pendantes,

e~t ~tat

grande. W

,

nous fournis-

en operant sur I 'espace produit

nN = n \ ...

x

n

avec la mesure produit P

N

=P

.( ... '/.. P

nous obtenons par les m@mes raisonnements qui nous ont conduits (5.3)

189

~

- 178 -

J.

=- N

HN

(5.8) v~rifie,

ce qui

attachons

a la

Ces

-j

Kamp~

De

F~riet

P(A.) log P(A.) = NH J

J

encore une fois, une des

propri~t~s

intuitives que nous

notion d'information.

propri~t~s ~l~mentaires ~tant rappel~es consid~rons

Ie cas

ou l'espace des phases est un ensemble fini , ... n = \W • 1

La loi de p. J

= Prob

probabilit~

W \

n

est alors dMinie par n nombres

r;.. w=w.lJ.;

L

(5.9)

j

La partition la plus fine de un point quantit~

Aj

n

p. = 1 J

est celIe ou chaque partie se

r~duit

a

= {Wjl; la formule (5.7) no us donne alors cornme

moyenne dlinformation susceptible dletre fournie par une obser-

vation du

syst~me

: H =

(5.10)

-1j p.J log p.J

Clest la formule qui sert de point de

d~part

a la

Th~orie

de

SHANNON 1-25: p. 19. ... ..J On peut

d~montrer

que cette expression est la seule

tion de SHANNON, mise au point et satisfasse aux syst~me

propri~t~s

compl~t~e

(d~monstra­

par KHINCHIN) qui

suivantes. Nous voulons dMinir pour chaque

fini l'information par une fonction ne

d~pendant

que des proba-

bilit~s ; soit fl (1), f2(Pl' P2)'''' fn(Pl'''' Pn)'''' la suite de fonctions

ainsi obtenues devant satisfaire aux axiomes suivants AI)

fn(Pl""

Ie domaine :

:

Pn) est une fonction ~~n negative d~finie et continue dans Pj

~ 0

T Pj 190

=

1

- 179 Kamp~

J.

A2 )

fn(Pl""

Pn)

est une fonction symE\trique de ses

A3)

f n+k (P1'''' Pn'~'

\)

fn(Pl""

g)

= fn(Pl''''

~

f (P " " P ) + LP. f n 1 n. J m

arguments

Pn)

~ 0

r. k J,

~, •.•

I-

p. J

J

a une

n

1 1 fn(u' ... Ii)

Pn ) ~

p.=~r·k J J,

Alors,

De F~riet

r j , m) p. J

constante multiplicative

pr~s

(qui revient

a fixer

la

base du logarithme) on a f (p l' . .. p ) n n tMor~me

Ce axiomes

A.

un

syst~me

et spE\cialement

a l'entropie

J

A

5

log P. J

sont prE\cisE\ment ceux que lion

en Thermodynamique, lorsque lion

donnE\ comme fractionnE\ en

Dans ce qui litE\ donnE\e

~ J

d 'unicitE\ doit sa grande importance au fait que les

1

doit imposer

= - \. p.

prE\c~de,

syst~mes

;

partie Is .

nous sommes partis d rune loi ··de probabi-

P pour en dE\duire la quantitE\ moyenne d'information

que lIon peut dE\duire d'une observation de l'E\tat dE\rE\

consid~re

nous avons admis que

H

H

w du syst~me consi-

reprE\sente aussi la mesure de no-

tre incertitude avant toute observation . Nous nous proposons de retourner en quelque sorte la situation: supposons qu'on nous fournisse a priori, avant toute observation, certaines informations sur Ie peut-on dE\terminer la loi de probabilitE\

191

PtA),

syst~me:

compatible avec les

- 180 J.

Kamp~

De

F~riet

informations donnees, qui corresponde au maximum de notre incertitude H ? . .• Bien entendu, si cette loi existe, c' est avec elle que nous obtiendrons egalement Ie maximum d'information, quand nous ferons a posteriori une observation de

w •

Ce principe du maximum

d~ncertitude

(appele plus volontiers

dans la litterature maximum d'information) est,

a notre

avis, Ie coeur

mtlme de la theorie '; nous pensons que quand il aura ete pleinement assimile il fera apparattre la notion d'information comme plus primitive que celle de probabilite : au lieu de deduire, comme on Ie fait, la mesure de l'information de la Theore des probabilites, nous sommes convaincus 'que l'axiomatiq)le de la Theorie de l'information soigneusement mise au point servira de base

a l'introduction

des probabilites.

Nous ne considerons actuellement que des

syst~mes

prenant un

nombre fini d'etats. Supposons que la seule information fournie a priori soit Ie nombre

n de ces etats

n'ayant aucune raison d'attribuer

; depuis LAPLACE on admet que

a un

etat une probabilite differente 'de

celle d'un autre etat, on doit prendre p, J

=

1 n

Or nous savons, d'apres (5.6), que parmi tous les choix possibles pour les

p.

J

c 'est precisement ce choix qui correspond au maxi-

mum de l'incertitude a priori ou de l'information a posteriori H ;: log n . Nous allons etendre cette methode, chant

a determiner les p, de J

a des

mani~re

cas plus gene raux, en cher-

a maximiser

H

en tenant

compte des contraintes imposees par des informations supplementaires

192

- 181 Kamp~

J.

donn~es

res se

a priori sur Ie systeme. En pr~sentent

al~atoire

U(w)

g~n~ral

ces

De

F~riet

donn~es suppl~mentai­

de la maniere suivante ; on considere une variable

n

prenant sur

les valeurs

U(W 1), ... U(wn ) et l'on

nous donne sa valeur moyenne

I

(5.11)

p. U(w.) J J

~

On la suppose, bien entendu non moins un Si n

=2

j

tel que

U(w.)

n

>2

d~g~n~r~e,

c 'est-a.-dire qu'il existe au

f U

J (5.9) et

(5.11)

il Y a une

infinit~

les conditions

1M ; mais si

=U

bles; nous choisirons celle qui rend

d~terminent

de lois de

la loi de probabi-

probabilit~

possi-

H maximum

Introduisons la fonction de partition (5.12)

qui est dMinie pour tout

~

r~el

elle est strictement positive.

On a :

-L U(w.)e J

Z"( \~)

= [U(w.) e

2 - ~U(w.) J

j

L'in~galit~

- ~U(w.) J

Z' (~)

J

de SCHWARZ montre que

droll

193

• 182 • J. Kampe De Feriet

zn

Zl 2 (-) Z

= -Z La fonction

0

est donc convexe ; il en est de

log Z(S)

ction log Y( ~)

~

m~me

de la fon-

011:

Y(~)

= e

~U Z(~)

e ~[U-U(Wjil

=[ j

comme il Y a au moins un jll

IT -

pour lequel

jl

J

Y(+oo) = Y(-oo) = +

et de

U(w)

; il en r~sulte que

<0

U(W'II)

IT -

pour lequel

J

>

0

et un

00

m~me

log Y(+oo) = log Y(-oo) = + II

r~sulte

de la

et une seule valeur

"

~

convexit~

de

~

00

et de cette remarque qu1il existe une telle que

d

d~ log Y(~)

:

= 0

c lest-a-dire teUe que d

d ~ log Z( ~ )

(5.13)

- -

IT D).

(queUe que soit la valeur numerique donnee Ceci etant cherchons Ie maximum de contraintes

(5.9)

et

H

-pIT = Lp.[log _1 ,J p,

-tJ.,

H,

en tenant compte des

(5.11) par la methode des multiplicateurs:

J

:: [p, log p~ JJ

-cl. -

J

J

194

-d,- ~U(w.)

J

~U(W,)] J

- 183 -

J.

l'in~galit~

En nous appuyant sur

Kamp~

(5.5), nous obtenons :

@U ~ ~(e-~~-"aU(Wj)_Pj)

H -cJi-

De Feriet

=

e-~Z(~)-l

J

Si nous prenons;

= log

Q,

Z( (3 ) nous avons :

H ~ log Z(@) et d lapr~s I 'in~galit~ (5.5)

-

ment si

l'~galit~

ne peut

d~termin~

pour j = 1,2 ... n

par la condition que

probabilit~

L U(w.) e

Z(~)

~

.

J

J

doit

(5.11)

soit

v~ri­

:

\"

1

c'est-a.-dire que

atteinte que si et seule-

J

p.= - - J Z (S)

Me avec cette loi de

~tre

\~U(w.)

e

Le parametre (3 est

+ (aU

-~U(w.) J

~tre ~gal

£ru- = -Z((3)-U

a. la racine unique

, ~

de

l'~quation

(5.13) ; dlou la conclusion

IT

lorsque la valeur moyenne a priori est (5.14) ou

...

~

donn~

est donn~e Ie maximum de llincertitude

par

HMAX

= log

est la racine unique de

seulement si la loi de

e

1\

Z(~)

+" ~ U

(5.13); ce maximum est atteint si et

probabilit~

est

d~finie

par:

"~U(w.)

p. = " J Z (~)

J

pour tout

195

j

•

- 184 -

J. Kampe De Feriet

Ce principe s'etend au cas OU lion connaUra!t les valeurs moyen-

Ul' ...

nes

Ur

de

ment independantes

r

variables aleatoires non degenerees et lineaire· ~

r

n - 2 . En designant par

:

I -~IUl(w.)-J ...- ~ r Ur (w.)J

Z(~I'''' ~r ) = . e J la fonction de partition, on a : (q.16)

ou

A

•

~ 1''''

I"r

(,l

sont les racines' uniques des

r

equations

- - U.1

(5.17)

Ie maximum etant atteint si et seulement si

"

p. = J

(5.18)

e

Bien entendu si

...

-~lU1(w.)- ... -~ U (w.)

pour tout

r

= n - 1, les p. sont completement

determines par la solution de d "t:slgne . I 'on par

aux cas

r r J

J

J

n equations lineaires compatibles

H(l) MAX' H(2) MAX' . . .

r = 1,2,3 ... n - 2,

Comme nous pouvions nous

si

l ' e maXlmum correspon dant

on obtient la chaine d'inegalites :

y attendre

intuitivement l'informa-

hon a priori contenue dans la donnee de la valeur moyenne

U, dimir

--

nue l'incertitude maxima que no us pouvions avoir quand nous connaissions seulement les valeurs moyennes

196

Ul' . .. ITr-l

.

- 185 J. Kampl! De

Les

r~sultats

F~riet

relatifs au cas ou l'espace des phases

nest fi-

ni, que nous venons de rappeler sommairement, ne sont pas suffisants pour les applications

a

a la

M~canique

Statistique ou

n

est un continu

2 k dimensions. pr~sente

Le premier cas qui se des phases

nest la droite

r~elle

a l'esprit

est celui ou l'espace

R; ne traitant que Ie cas, ou

il existe une densit~ de probabilit~, N. WIENER

[30]

p.

76

se contente

d'~crire

"Thus a reasonable measure of· the amount of information associated with the curve

f1(x)

is

The quantity we here define as amount of information is the negative of the quantity usually defined as entropy in similar situation . The definition here given is not the one given by

R. A. FISHER for statistical

problems, although it is a statistical definition and can be used to replace FISHER's definition in the technique of statistics" . L'allusion

a

la possibilit~ de remplacer la dMinition de FISHER rappeMe au § III n'est pas Ie seul mystere qui se cache pour nous dans ces lignes. En d~finition

effet appliquons la

de WIENER

a une loi de

probabilit~

unifor-

me sur un irttervalle (a, bJ f (x) = 0 1

x

< a

x > b

1 b-a

f (x) = -

1

Nous obtenons pour la d 'un

~tat

du

quantit~

d'information fournie par l'observation

syst~me:

197

- 186 -

J. Kamp~ De

F~riet

log (b-a) c 'est-a-dire que cette tive selon que m~me

b - a

quantit~

n~ga­

d'information est positive, nulle ou

est sup~rieur, ~gal ou inf~rieur a l l .... De

Claude SHANNON

"g~n~ralisell

Ie cas fini

I J pJ log PJ

H

=-

H

= -l.ooP(X) log p(x)dx

par

:+00 (5.19)

p(x)

~

0

d~signant

la

densit~

de

probabilit~

.

Dans les deux cas Claude SHANNON appelle sterne ; nous nous sommes soigneusement

gard~s

H 1"'entropie" du syde 1'emploi de ce mot,

jusqu'aux applications oil. l'on pourra constater que, pour certains systemes

mat~riels,

H coincide effectivement avec 1'entropie

les Thermodynamiciens ; nous

esp~rons

ainsi

~viter

calcul~e

par

autant que possible

les reactions en chaines que produit I 'apparition du mot

"entropie" dans

un texte ; sur beaucoup d'esprits il produit Peffet de la cape rouge du matador sur un taureau ; il a des

[11]

r~sonances m~taphysiques [H. GRAD

va jusqu'a lui trouver un parfum IItMOlogiqUerr]. 11 est piquant de noter que la definition de C. SHANNON est mani-

festement

inspir~e

finissant

la "negentropie II

de la fameuse fonction

H

H de

L. BOLTZMANN,

du gaz de la tMorie cinetique par :

'1f(U,

v, w,) log flu, v, w) du dv dw

R3

198

de-

- 187 J. Kampl! De Fl!riet

f(u, v, w)

ou

d 'une

est la

mol~cule.

pe bleue du

densit~

de

probabilit~

- En vous parlant, je vois briller devant moi, la nap-

Lac de Ctlme; si on y versait toute l'encre

puis 70 ans pour

~crire

sur la fonction

Quels sont les rapports de la Claude SHANNON et de la

de-

!-

nquantit~

"n~gentropien

d'information"

H de

H de BOLTZMANN? Peutr~pondre

pour Ie moment, serait-il plus sage de

crivait Henri POINCARE'" en 1912,

d~pens~e

H de BOLTZMANN, Ie lac se

transformerait en une immense tache noire

~tre

(u, v, w)

de la vitess.e

a l'~poque

en citant ce

qu'~-

ou les quanta faisaient l'ob-

jet des discussions du monde scientifique ; "M. SOMMERFELD a propos~

a celle

une tMorie qu'il veut rattacher

de M. PLANCK; bien que Ie

seul lien qu'il y ait entre elles, c'est que la lettre

h figure dans les

/

deux formules"

(oeuvres d'Henri POINCARE t IX, p. 667) .

Le paradoxe

signal~

plus haut,

lit~ uniforme sur un intervalle

la

quantit~

quantit~

[a,

d'information dans Ie

bl

a l'occasion

de la loi de probabi-

est dtJ. essentiellement au fait que

cas continu n'est pas la limite de la

d'information pour des partitions de plus en plus fines

par (5.3), chaque

A.

J

tendant vers un point

d~finie

; en effet, dans l'exemple

consid~r~, si on divise La, bj en n intervalles ~gaux, on aura P(A.) = 1., d lOU H = log n et lIon trouve comme limite, non pas J n log (b-a) mais '+ ,< , Pour lever ces qu faux

consid~rations

difficult~s

heuristiques qui nous ont servi d'introduction ; au

lieu de parler de l'information l~e,

fondamentales, il faut remonter jus-

d~duite

il faut comparer les informations

d'une mesure de

a l'int~rieur

probabilit~

iso-

d'une classe de me-

sures. Consid~rant l'espace de mesure

199

(0,1)

nous choisirons une me-

- 188 -

J. Kampll De Fllriet

sure de rM{!rence t ,

qui n 'est pas n{!cessairement une mesure de

probabilit{! : elle est seulement assujettie a Mre G"-finie (10) ; cette g{!n{!ralisation est absolument n{!cessaire parce que lorsque

n = R la

me-

sure de comparaison naturelle est la mesure de LEBESGUE ; on a alors

m (R)

= + co

•

Ceci (!tant, quand on remplace la me sure de rM{!rence "t' par une mesure de

probabilit~

P la variation de la

nue dans l'observation que

a, d 'apr~s

WE. A

- log P(A)

quantit~

(esp~rance

(5.2), la valeur : P(A)

+ logt'(A) = - log't'(A)

Si l'on consid~re une partition finie [AI"" moyenne

d'information conte-

calcul~e

matMmatique)

An] de dans

n ,

l'hypoth~se

la valeur oll

Pest

la vraie mesure, de cette variation d'information a pour valeur:

L'in~galit~

P(A.) log _ J J 't"(Aj)

= -LP(A.)

I (P 11') n

(5.20)

j

(5.5) permet d'{!crire :

~ L~A.)

I (P It') n

.

J

J

- P(A.)] J

d'oll

I (P 11: )

~ t(n) - 1

n

en particulier, dans Ie cas oll t(n) = + co , on en dMuit seulement:

I (P \ 1') n

(10) c'est-a-dire que

n

est

< + co d~composable

U :COAj =

telle que

n

't( Aj)

par une partition

ApAk = ~

j

Fk

soit finie par tout

200

j ..

d~nombrable;

~ 189~

J. Kampe De Feriet

Lorsque la mesure

a la

est singuli~re par rapport

P

mesure t

leur comparaison n'a plus de sens ; en effet il existe, par dMinition ne partition de

0

compl~mentaires

en deux ensembles

A et

u~

AI

tels que:

par

cons~quent,

1:(A)

P(A')= 0

l(A') =1"(0)

pour cette partition :

=~

12(PI1') si

=0

PIA) = 1

l' (0) est finie

+ 0 x logt(O);

= ~ O(); si 1: (0) = +

12

Au contraire si

0()

0()

,

12 est ind~termin~e.

Pest absolument continue par rapport

a 1:'

P«'"t' il ne se

pr~sente

plus aucune

difficu1t~

; en effet pour un ensemble

-C (A) = 0 implique PtA) = 0 ; par

la condition correspondant

a une valeur bien

~ PtA) log ~~!l = ~

Si l'espace des phases

0

Ie terme

PtA) log PIA) + PtA) log 1; (A)

a0

d~termin~e ~gale

cons~quent

•

est infini on peut former une suite

infinie de partitions de plus en plus fines, alors sous certaines tions sur la mani~re

dont 1:(A.)...), 0 quartd

J

on a : (5.21)

lim

In(PI!)

~

I(Pil)

~

'I' (w)

d~signe

-1

condi~

A. tend vers un point

J

f(W) log

f (w)

w

d 1:

0

n~+O()

OU

A

la

d~riv~e

de RADON-N1KODYM de

201

P

par rapport

- 190 -

J. Kampe De Feriet

a "t'

(dMinie

a un

ensemble de 1: -mesure nulle pres, (11)).

On comprend alors pourquoi (5.19) n'est pas la limite de (5.10); on ne peut comparer que des mesures absolument continues I June par rapport

a I 'autre.

Par rapport

a

Rune mesure de probabilite sur un

ensemble fini peut toujours t!tre consideree comme constituee par un nombre fini de masses PI' ... Pn ~ placees en des point toute me sure de probabilite

[Xl'···

xJ ;

P admettant une densite de probabilite

a cette distribution de masses. Les deux cas sont irreductibles l'un a l'autre. p(x)

est singuliere par rapport

Si lIon ecrit (5.10) sous la forme '\ p. H = - L p. log..:.1 . J 1 J

on voit qu'elle represente la variation d'information quand on passe de la mesure l' , uniforme sur I 'ensemble fini {WI' ... W n) (tous les points ont la mt!me masse) notons que l' (f2) son

1.n l' ,

a la

mesure definie par les masses

p.

J

= n, on pourrait prendre comme mesure de comparai-

qui est une me sure de probabilite. Mais ce choix est im-

possible des que I 'on generalise Ie cas de I 'ensemble fini, mt!me par exemple pour un ensemble ayant une infinite denombrable de points

La mesure uniforme l' do "'"ant

:

a chaque point la mt!me me sure 1

est telle que

(11) L'ouvrage de KULLBACK [19J est Ie premier, a notre connaissan ce, qui ait systematiquement adopte ce point de vue; nous y renvoyons pour un expose detaille des demonstrations,

202

- 191 -

J.

't'(O) = +

00

Kamp~

De Feriet

;

la formule

_ \"j=+oo Pj H - - Lj=l Pj log '1 repr~sente

encore ici la variation d'information quand on passe de 1:'

a

s~rie

P

; la

ne converge pas

n~cessairement

d'ailleurs, bien que

j=+oo _ Lj=l Pj - 1

p. ~O J

de telle sorte que lIon peut avoir Dans Ie cas 011 d'elle-m~me

0 = R

H =

+ 00

•

• la mesure uniforme qui s'impose

est la mesure de LEBESGUE

m; on ne peut donc lui com-

parer que des mesures absolument continues par rapport

«

p d~riv~e

La

simplemente la p(x)

:

m

de RADON-NIKODYM de

densit~

a elle

de

probabilit~

P

par rapport

a

m est

:

!:~{XI dx "1,

~O

On voit donc que la formule de WIENER-SHANNON

1 +00

H=repr~sente,

non pas, une

_:(X) log p(x) dx

quantit~

d'information, rna is la variation d'in-

formation quand on passe de la me sure de LEBESGUE probabilit~

leurs de me une

-

P

; Ie fait que cette

00

a + 00

quantit~

,

qui

~tait

int~grale

a la

mesure de

peut prendre toutes les va-

absurde quand on la considerait com-

d'information, n'a donc plus rien de choquant.

203

- 192 J. Kampe De Feriet

VI - LE PRINCIPE DU MAXIMUM DE LIENTROPIE EN MECANIQUE STATISTIQUE. Reprenons les definitions et les notations du § IV ; nous considerons un systeme materiel en equilibre statistique ; la loi de probabilite, definie sur une C' -algebre de parties de par rapport

a la

me sure de LEBESGUE

nest absolument continue m

dans

2k

R ;

nous supposons

que la densite de probabilite (derivee de RADON-NIKODYM de

a

rapport

m) ne depend que du seul invariant

E(w)

P

par

(energie totale du

systeme conservatif.) . Nous appellerons entropie du systeme materiel la variation de la quantite drinformation quand on passe de la mesure de LEBESGUE a la mesure de probabilite

m

P I

H = I(Pim) = -/

(e.1)

r,-E(w)!

In -

log rl-.E(w)l dw

~

droll, en appliquant a cette integrale, la formule du changement de variaE(w)

ble

=x

on tire de (4. 3)cette expression de lrentropie : i+Oo

H

(6.2)

= -.

r(x)

10-

log r(xfl

S(x)dx

./

Oll

S(x)

est la fonction de structure du systeme definie par

En appliquant l'inegalite gral nous obtenons

(5.5) ala fonction sous Ie signe inte-

,"+00

,

H.~

r- 1 r(x)Lr(x)

- 1] S(x)dx.

JO d'oll en tenant compte de

H

~

(4. 2) .

(4.3) et (4.5) :

V(+oo) - 1

204

- 193 -

J.

KHINCHIN

[18J

fait itnplicitement

V(+oo) = +

(6.3)

Kamp~

De

F~riet

l'hypoth~se

00 ;

dans ce cas on obtient seulement pour l'entropie (~.

H ~

4)

+ 00

;

il serait in:teressant de rechercher s'il n 'existe pas des

lesquels ces

V(+oo)

syst~me

(volume de l'espace des phases

n)

syst~mes

pour

est fini; pour

l'entropie serait bornl:\e supl:\rieurement.

Nous allons prouver la proposition suivante : La distribution canonique de GIBBS rend maximum l'entropie

H lors-

que lIon suppose donnl:\e la valeur moyenne de lll:\nergie

E =

(4.6)

l+~

r(x) S(x)dx;

.10 elle est la seule

a possl:\der

cette propriete.

Pour tenir compte des conditions (4.5) r(x)

et

(4.6)

imposl:\es

introduisons les multiplicateurs de LAGRANGE fV et \3 H -

-:l, -

;~ E = 10t:(X)'-. lOg~( ) -·Iv r x

;xJ S(x)dx

. S(x)dx

En appliquant l'inl:\galitl:\ H _,

-.,E

(5.5)

~

(+oo;- e-·\ - r,x - r(x)]

./0'

Ie second membre a pour valeur :

205

S(x)dx

.

a

- 194 J. Kampe De Feriet

en introduisant la fonction de partition nous

d~terminons

Z(\3)

dMinie par

(4.11)

si

:'\, par :

cV = log Z(G) I

(6.5) nous obtenons

H ;S; log Z(~) + ~E l'~galit~ ~tant

satisfaite si et seulement si pour tout

x

- ~x

(6.E)

r(x)

= eZ(p)

(4.6) soit satisfaite il faut et il suffitque

Pour que la condition

+00

x

(6.7)

o

Si nous faisons (comme KHINCHIN) de partition,

transform~e

existe pour tout ~ (pour

de LAPLACE

> 0,

(1 > 0) et ses

par

cons~quent

l'hypoth~se

que la fonction

de la fonctibn de structure

c lest alors une fonction analytique de (3

d~riv~es.

Z'(P)

.-1+:e-~XS{X)dx

Z"(~)

=}o

( +00 2 -r;\.x

existent et sont continues pour tout Llin~galit~

= E

S(x)dx

Z (~)

x e \ S(x)dx

@> O.

de SCHWARTZ nous donne

:

206

<0

>0

- 195 -

J.

Kamp~

De

F~riet

Z' 2 -Z" -(-)

Z Done

log Z((3)

Z

est une fonetion eonvexe de

~

dans

(0, +00) .

Introduisons la fonetions: Y(!3)

= e ~E Z{(3);

puisque

> 0, la fonction

log Y(~)

est ~galement eonvexe

= log Y(+oo) = +00

log Y(O)

(6.8) En effet

d'autre part

Y(O) • Z(O) • /:"'S(X)dX • V(+",) • + •

si lion admet llhypothese de KHINCHIN

(6.3).

En outre: Y(::l)

> -

IE/2 I

~2 E

)0

>e dlou il

r~sulte

n r~sulte

:

Y(+oo)

1"/2 E

S(x)dx

=Ke

= + 00

imm~diatement

des

propri~t~s

de

log

Y(~)

A

existe une et une seule valeur

(-1 pour laquelle

d

d~ log Y((3)

207

::;

E

+

d

:

~ log Z(~)

=0

qu lil

- 196 -

J.

Par

Kamp~

De Feriet

cons~quent

HMAX = log Z( ce maximum

~tant

p)"

+ ~E

atteint si et seulement si

.

r(x)

= e - '~ Z( '3) \

~ ~tant

la racine de

l'~quation

- - E

qui existe toujours et est unique si Nous retrouvons ainsi

m~thode

•

§ IV

bas~e sur la notion de

11 faut souligner que contraire-

statistique necessaire et exhaustive.

a la

0

a nouveau la distribution canonique, par

une m~thode toute differente de cene du

ment

>

E

de KHINCHIN, ou la distribution canonique n'appa-

rait que comme une limite lorsque Ie nombre de degres de liberte augmente

indefiniment, les deux methodes que nous avons decrites sont

compl~tement ind~pendantes

si bien

a

Exemple A:

attir~

k

k = 1

que

a

de

k

k =

l~O.

et la demontration s'appUque aus-

oscillateur lineaire .

Considerons un point materiel se mouvant sur un axe 2 vers l'origine par une force - m ~ x . Po sons q

p ::

=x

l'espace de configuration

nc

est l'axe

n

I 'axe Op , l'espace des phases v gie a pour valeur :

208

Ox,

dx dt

0'f' n

l'espace des vitesses Ie plan Oqp , L 'ener-

- 197 J. Kampe De Feriet

E

la II surfaee II

m

=2" (p

2

+»2 q2)

~ est done repr~sent~e par l'ellipse 2 .2 2 2x P + v q =m

Ie IIvolume II

V(x)

int~rieur

a l'ellipse est

~gal

a

2 ITx

V(x) = - -

m ""

d I ou la fonetion de structure (6.9)

S(x)

On en dMuit

imm~diatement

Z(r.:l)

(6.10)

\~

L'~nergie moyenne

E

:

21T

= mV

la fonction de partition

=!1T .!. m),l ~

~tant donn~e la densit~ de probabilit~ qui rend

l'entropie maxima est dMinie par la distribution canonique

mv

~:l

r(E) = -211 i'". e

(6.11)

..

~E

'i

~

;)U

~ est la racine (unique) de l'equation

elest-a-dire (6.12)

Llentropie maxima a pour valeur (6.13)

HMAX

21r

Si lion eonsidere l'ensemble re un nombre

-

= 1 + log -;-'i> E repr~sentatif

N tres grand dloscillateurs

209

de GIBBS, elest-a-di-

1in~aires,

~voluant

sans

- 198 Kamp~

J.

agir les uns sur les autres , l'ensemble

~tant

De

F~riet

~quilibre

en

statistique

avec la distribution (6.11), l'entropie telle que la dMinissent les Physiciens sera

pr~cis~ment

:

S = NH

Exemple

B.

L 'exemple nous parait b~tard,

MAX

pr~c~dent

int~ressant

id~es

est une illustration des

d'en esquisser un autre, appartenant

ou l'introduction d I un choc

~lastique,

de vue de GIBBS et de BOLTZMANN ;

m~lange

Consid~rons

que fois qu 'il atteint Ie point Z. = 0 . Si nous

un point

OZ

l'~nergie

(6.14) Par

E

hypoth~se

nergie

E

n

c mouvement

~lastique

cha-

par W la vitesse du

w2

= m(gZ~)

chaque fois que Ie point

mat~riel

atteint le point

instantan~ment remplac~e

par

0, la

+ W1 :

l'~

reste donc invariante

L'espace de configuration dans

mat~riel

a pour valeur

- W1 (W 1 > 0) est

vitesse

d~signons

a ce type

les deux points

pes ant, mobile sur une verticale OZ, subissant un choc

point sur

de GIBBS ; il

nest Ia verticale OZ (0 ~ Z < + 00);

c

Ia trajectoire est un intervalle p~riodique

0

~

Z

~

H parcouru d'un

; I'espace des vitesses est I'axe OW(- 00

I'espace des phases est Ie demi-plan OWZ, confond avec Ia IIsurface'1.

x

dMinie par W2

m(gZ~)

= x;

210

Z

~

< W <+00)

0 . L'orbite

se

;

- 199 -

J.

,-

t-, \

Kamp~

De

F~riet

c 'est un arc de parabole AHB oil.

DB = + W:+

~

1

"

~\

I

I

OA =

-

V2Xm'

WI

L'orbite est discontinue, Ie point·

B

0

repr~sentatif

squement de

TtW passant bruA enB

a

chaque

choc. On obtient facilement :

3/

2 V(x) =- (2x)

2

m

3g

d 'oil. la fonction de structure : .!..(2x) S(x) =mg m

1/

2

et la fonction de partition :

-

-3/

Z(~) =~g \/2;: ~ 2 E >0

La valeur moyenne de l'~nergie t~

de

probabilit~

~tant donn~e, la dertsi-

qui rend l'entropie maxima est la distribution canoni-

que.

= mg

(6.15)

r(E)

oil.

l'~quation

@ est la racine de

rm V21T

£.@l=_~ 1 Z (8) \

2 ~

211

A

\3

'E A

3/ 2 e-

-A

=- E

~=

3

iE'

• 200 J.

Kamp~

De

F~riet

on a H

MAX

3 2

1 mg

= - + log(-

Si dans (6.15) on remplace voit que les deux variables

211 Vi -) m E

al~atoires

3 2+ - log - E 2 3

par Z

son expression (6.14) on (cote) et

W

(vitesse) sont

des variables independantes ; leurs lois de probabilite ont respectivement pour densites:

Z>O

(6.16) et (6.17) Z et

C! (W) =

\1 ~,

W suivent donc respectivement la loi de LAPLACE et la 10i

normale . Si nous

consid~rons

"tres grand" nombre

maintenant un ensemble representatif d1ull

N de ces points materiels, Ie nombre des

points compris dans la couche

(ZJ Z+dZ) sera:

ce qui est precisement la distribution de la masse specifique dans une atmosphere en equilibre a temperature constante selon la loi barometrique de LAPLACE, la temperature absolue To

~tant

definie par :

1

= --A mR~

Du fait que notre modele, melange hybride de GIBBS et de BOLTZMANN, nous conduit ala loi barometrique de LAPLACE auronsnous la naivete de croire qu1une atmosphere en equilibre est effectivement constituee par un nombre tres grand de billes tombant en chute

212

- 201 -

J. Kampe De Feriet

libre au dessus d lun plan

~lastique

parfaitement poli ? ..

Dans d'autres problemes de la Physique tMorique, dont

ll~che­

a d~brouiller que celui-ci, combien de fois la

veau est moins ais~

r~us­

site d lun modele n lest-elle pas prise pour une preuve que la Nature a llextr~me bont~

de se conduire effectivement selon les regles de notre

modele ? •. C.

GAZ de KNUDSEN. On dit qulun gaz est un gaz de Knudsen lorsqu lil est suffisamment

rarMi~

mol~cules

pour que les

ais~

m~me

de montrer que,

lIautre aucune force, des

~tre consid~r~es

mol~cules

si elles nlexercent llune sur

ne peuvent pas

les l.lnes des, aut:r:es (au sens du Calcul des se reduisent pas

a des

Soit en effet l~cules

;

d~signons

position de la mol~cule

Probabilit~s)

par·

S(P;()

une sphere de centre

r~servoir

mol~cules

D . La

et de rayon

conditionnelle de la

de centre P 2 quand on connait la position de la

PI doit

ind~pendants

P

de forme spMrique et

probabilit~

~videmment

satisfaire aux conditions

Prob

r

Prob

[p 2 ~ D - S(P l' 2 E~ = 1

P2 f

.

213

c )J

S(P l' 2

ce qui montre clairement que les deux points sont pas

, si elles ne

D le domaine de llespace Oll se meuvent les mo-

mol~cule

de centre

~tre ind~pendantes

points .

(. Supposons qu lil n I y ait que deux de rayon E dans le

ind~­

comme

(voir H. GRAD [1~ p. 242).

pendantes les unes des autres 11 est

puissent

:

=0

al~atoires

PI et

P 2 ne

- 202..-

J. Kampe De Feriet

Pour nous Ie un ensemble de

t~ C

maine

v~ritable

n points

mat~riels

PI""

constitu~

par

P n conte nus dans un do.

R 3 ; l'espace de configuration est done Ie domaine n

~,

si nous

gaz de KNUDSEN est done

d~signons

par

c

= (.I,;,n =. _~1\ ~, , .. \

VI""

uA L,.

R3n

Vn les vitesses des points

mat~riels

l'espace des vitesses est ; nV

= R3 l(

...

)(

R3 = R3n

d'ot! l'espace des phases

n = Ll n x R3n Aucune force ment

ext~rieure

cin~tique

n'agissant sur ces points leur

; elle a pour valeur

~nergie

est pure-

;

m,

222. E = -2 L (u.+v.+w,J J J J

(6.18)

si nous supposons que taus les points ont la mt!me masse et si (u. v. w.) d~signent les projections de la vitesse V,. Nous admettrons J J J J que E est Ie seul invariant du systeme, ce qui exprime que les chocs des points avec la paroi du vent mt!me avoir deux

r~servoir

a deux

sont

des chocs

~lastiques

~lastiques

; les points peu-

(notons cependant

que la probabilit~ de pr~sence simultan~e au mt!me point de instant

t

donn~

de deux

mol~cules

P, et J

P

Le volume de l'hypersphere ; -j=n 2 2 ) , ' l(u,+v,+w, -J= J J J

214

~

2x m

k'

A , ,a

est nulle).

un

- 203 Kamp~

J.

De

F~riet

3n

etant .

(2Y;x) 2 m

(Vb.

on obtient donc

designant Ie volume du domaine aCR3)

N

V(x)

= VII

1

- rc

dloit la fonction de structure du

h

211 3n

- 3 (-::i"2 2n +'1) m

2.

Xi

syst~me mat~riel

S(x)

et par consequent la fonction de partition a pour valeur :

3n

Z(~) = V;(2:)"2

(6.19)

-3n

~2

Supposons donnee la valeur moyenne me

soit

~

E

de l'energie du syst~-

la racine de llequation

~=

3n 2

Z (~)

1 ~ = - E

A

~=

3n

2E

La loi de probabilite qui rend l'entropie maxima est donne par: A

r(E) ::

-(aE e Z(~)

et

r(E) = 0

En designant par

1.1 (x, y, z)

si au mains pour un j l'indicateur

215

de t::. :

P.¢ /). J.

- 204- Kamp~

J.

I~(x,

la

densit~

probabilit~

de

~quilibre

riel en

y, z)

=1

(x, y,

= 0

(x, y, z)

De Feriet

z)€b.

1A

qui rend maxima l'entropie du systeme

mat~­

prend la forme :

" -m~\-=" "2 L ( u.2+ v.2+ w.2) J

r=e

(6.20)

J J

J

"IT I (x., y, z.) . fJ. J J J J

Le principe du maximum de l'entropie nous a done permis de prouver (puis que

r

d~eompose

se

1 - la position de ehaque les autres 2

mol~eules

- la position de ehaque

mol~eule

~

la vitesse de ehaque tes les autres

4

- pour une se sont

4n

produits) que

est

ind~pendante

de la position de tilutes

est

ind~pendante

de sa vitesse et de

. mol~eule

mol~cules

la vitesse de toutes les autres 3

en

mol~cule

est

ind~pendante

des vitesses de tou-

mol~eules

mol~eule

les trois composantes

ind~pendantes

et ont la

m~me

u., V., w. de la vitesJ J J loi de probabilit~ (isotropie)

Notons que 5

11 (x, un

y, z)

ne se d~eomposant pas (sauf dans les cas OU t.:\

parall~l~pipede

tions de x,

de y

parallele aux axes) en un produit de et

eule ne sont pas, en

de

z

g~n~ral,

, les trois

eoordonn~es

ind~pendantes

.

Le maximum de l'entropie a pour valeur

216

est

3 fone-

d'une

mol~­

- 205 -

J. Kampe De Feriet

3n

(6.21)

HMAX =

211

'2 (l+logm) + n

• -3/ 2 log (V[\ 3 )

Si nous admettons que notre systeme de repr~sente

effectivement un gaz de KNUDSEN Ie

de ce gaz sera

mat~riels

temp~rature

absolue

par :

3 E=-nkT

(6.22)

ou

d~finie

n points

2

k est la constante

de BOLTZMANN

k = 1,380

x

10

-16

c.g.s.

On en tire et l'expression de I 'entropie prend la forme : 3n HMAX = "2 (1 + log

c 'est-a-dire

pr~cis~ment

l'entropie

2~k

~)

+nlog (Vb T

calcul~e

par les

3/ 2

)

m~thodes

habituel-

les de la Thermodynamique. Ne devrions-nous pas tltre presque surpris qu'un scMma aussi simplifi~

donne un

r~sultat

en parfait accord avec la Pysique

exp~ri­

mentale? .. Nous nous contenterons de souligner que, pour nous, cet accord justifie l'usage du mot entropie en d~signer

M~canique

Statistique, pour

la mesure H de l'incertitude ou de l'information telle qu 'elle

a ~t~ dMinie au

§ V pour les systemes les plus

217

g~n~raux.

- 206 -

J. Kampl! De Fl!riet

VII

-

CONCLUSION.

le~ons

Si ces M~canique

attirer votre attention sur Ie profit que la

Statistique classique peut tirer des progres du Calcul des

Pr6babilit~s,

est loin

ont pu

manqu~

elles n'auront pas

d'~tre

leur but; l'exemple choisi ici

unique; pour n'en citer qu'un seul autre n'est-il pas cu-

rieux que des outils puissants comme la raissent jamais dans les

expos~s

th~orie

actuels de la

des martingales n'appa-

M~canique

Dans plusieurs directions il y aurait sans doute a m~thodes

consacr~es

un peu archai4ues ,

attitude n'est nullement

motiv~e

op~rer

Statistique ? une refonte des

par un long usage. Une telle

par un manque de respect pour les pion-

niers, qui ont eu Ie courage, avec leurs htiches en silex,de s 'attaquer

a des

diplodocus ; bien au contraire , clest en profitant de nos outils

matMmatiques modernes que nous les honorerons, en les selon la

pens~e

de PASCAL:

d~passant,car,

"si nous sommes grands, c'est parce que

neuS semmes montes sur les epaules de nos ancIHres".

218

- 207 J. Kampe De Feriet BIBLIOGRAPHIE

1. -B.P. ADHIKARI, , D.D. JOSHI - Distance, discrimination et sum~

r~­

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~:

(ajoutee

a la

correction des epreuves, 1

Mai 1965).

Le ProfesseurHarold Grad a bien voulu attirer notre attention sur un enonce du Chapitre XI : "Maximum and minimum properties of various distributions in phase" [6aJ p. 130, OU Gibbs demontre "Theorem II : if an ensemble of systems is

canonically distributed in phase , the

average index of probability is less than in any other distribution having the same average energy". 11 n1a donc manql.le

a

J. W. Gibbs, pour donner

a ce

resultat ma-

thematique (qu1il demontre d1ailleurs en quelques !ignes, en usant une inegalite equivalente

a (5.5)

) toute sa signification profonde, que Ie

cadre d1une theorie generale, comme celui qui nous est fourni aujourd Ihui par la theorie de lIinformation.

222

CENTRO lNTERNAZlONALE MATEMATlCO ESTlVO (C.l.M.E.)

M. LUNC

EQUATIONS DE TRANSPORT

Corso tenuto a Varenna (Como) dal 21 al 29 agosto 1964

223

EQUATIONS DE TRANSPORT PAR Micha~

LUNC

(Academie polonaise des Sciences)

Introduction. Cet expose aura pour but de montrer comment

a partir

de la

theo~

rie cinetique des gaz on peut obtenir les equations macroscopiques qui decrivent llevolution du fluide reel, en llocourence dlun gaz rarefie. Le probleme general est

extrem~ment

vaste car il englobe la

cine~

matique et la dynamique du mouvement mais, aussi, Ie probleme de radiation, de diffusion de matiere, la propagation de la chaleur et une quantite d lautres choses. 11 est bien evident que lIon ne pourra faire ici qulun essai de presentation de quelques problemes choisis un peu arbitrairement et subjectivement. Mais les problemes qui seront

abor~

des ici ne seraient pas tous menes jusqu Ill. la solution. Dans certains de cas

celle~ci

ble, peut

~tre

existe, dans dlautres elle reste

a trouver.

11 nous sem-

a tort, que des problemes poses et non encore resolus

peuvent Mre plus interessants pour beaucoup dlauditeurs que les blemes llfinis II. On

t~chera

pro~

donc de faire ici quelques ouvertures sur

Pavenir et de susciter, nous Pesperons, des recherches nouvelles. Grandeurs moleculaires. Le concept fondamental qui est theorie cinetique des gaz

a la base des applications de la

a la mecanique des fluides : c lest llexisten-

ce dlun systeme materiel bien defini-Ia molecule. A chaque instant t ce systemes peut

~tre

parfaitement defini par deux ensembles conjugues

des grandeurs : les coordonnees generalises et les vitesses generalises. Ce dernier des ensembles peut

~tre

remplace par un autre

celui des moments conjungues.

225

ensemble~

- 216 M. Lunc

L'ensemble des

coordonn~es g~n~ralis~es

sera

ou, d'une manH~re abr~g~e

q. /i=l, 2, .,' s/

par

d€sign~

..... q

par II est bien

1

~vident

que

qi

ne possMe pas,

rielles . L 'ensemble des vitesses

g~nE!ralement, gE!nE!ralis~es

de propriE!tE!s vecto-

sera dE!signE! par

.

qi

~/ q cette grandeur, non plus, ne possede pas de carac-

ou bien par

tere vectoriel/ . L'ensemble des moments conjuguE!s sera dE!sign~ par p. 1

...l.

ou par

p .

Vne remarque importante

la connaissance des moments

s'impose des cet instant. On sait que gE!nE!ralis~s

d 'un systeme matE!riel dE!-

pend essentiellement de la connaissance de la fonction de Lagrange dE' de ce systeme. Or la fonction de Lagrange ne peut

~tre

connue que si

l'on connatt l'action globale exerc~e par tout ce qui se trouve en dehors de notre systeme matE!riel. En l'occurrence, la fonction de Lagrange pour notre molE!cule doit se dE!duire des forces que toutes les autres molE!cules exercent sur la ntltre . Comme la fonction de Lagrange ne contient d'autres informations sur ces forces que les valeurs ,

des coordonnees IE!cule il en

g~nE!ralis~es

r~sulte

et des vitesses gE!nE!ralisE!es de notre mo-

que toutes les autres molE!cules n'interviennent que

collectivement. Clest, bien entendu, une excessive simplification. Entre autres dMauts une telle maniere de

proc~der

fait fi des rencontres de

notre molE!cules avec d'autres , La fonction de Lagrange devrait contenir les informations sur toutes les molE!cules du gaz. Mais Ie nombre de molE!cules E!tant toujours tres E!levE! la chose est tout

a fait

impos-

sible. Ainsi on ne peut pas trouver, en toute rigueur, les moments conjuguE!s des coordonnE!es gE!nE!ralisE!es de la molE!cule. Et pourtant clest ce qu'on fait couramment. Autrement dit on attribue cules extE!rieures la

propri~tE!

a toutes

les molE!-

de crE!er un champ des forces local. On

226

- 217 M. !'unc

suppos~s tr~s

excepte, toutefois les intervalles de temps, squlune

mol~cule

proximit~

quelconque se trouve dans la

a la

force collective des autres

de notre

mol~cules.

Pendant ces

courts intervalles de rencontre la fonction de Lagrande doit ment

d~pendre

ses de deux

coordonn~es g~n~ralis~es

des

mol~cules.

~tre

~quations

de

La distinction entre les

quelqulutilit~

~videmment

doit

n~cessaire­

et , peut Mre, des vitesp~riodes

ou la fonction compliqu~e

de Lagrange peut Mre connue et celles ou elle est trop pour

mol~­

~tre n~glig~e

cule qui fait que son action individuelle ne puisse plus par rapport

courts, lor-

~cho

trouver son

dans les

de mouvement. Souslignons, une fOls de plus, la brievete des

periodes de renco'ntre - condition gaz est plus

rar~fi~

d lautant mieux satisfaite que Ie ~­

. Lleffet des rencontres doit figurer dans les mani~re

quations uniquement de la

statistique.

Pas sons maintenant au sujet prope de cet

expos~.

Si les coordon-

n~es g~n~ralis~es et les vitesses g~n~ralisees d rune mol~cule sont con-

nues qui

aun

certain instant

d~pendent

attach~es

~

de

t

~

alors nous pouvons former des fonctions

q , q . et

a chaque

mol~cule

t.

Ces fonctions sont en quelque sorte

individuelle. Soit ~

G = G ( q,

....4, t

)

(1)

une telle fonction. Lorsque Ie mouvement de la chaque instant la valeur de

mol~cule

est connu , on connaitra a

G qui devient ainsi une fonction de

seulement . Or la connaissance de mouvement de chaque G

me on lla vu, impossible. On devra donc ction de

2s+1

et

a chaque instant est li~e a la conLagrange a chaque instant ce qui est, com-

par la suite la connaissance de naissance de la fonction de

mol~cule

t

variables ind~pendantes

227

consid~rer

qi'

qj

et

t

G comme fon-

- 218 M. Lunc

La fonction IE:lculaire

attachee

G

/propriE:ltE:l

a la

molE:lcule sera appellE:le grandeur mo-

molE:lculaire selon certains auteurs/. Parmi des

innombrables grandeurs molE:lculaires certaines possedent des propriE:ltE:ls physiques particulierement simples . Telles seront la masse, la quantitE:l de mouvement, l'E:lnergie d'une molE:lcule et certaines autres. Souvent il est plus facile de dMinir une quantitE:l par ce qu 'elle n1est pas, plutot par ce qu'elle est. Prenons, comme exemple une moIE:lcule ponctuelle et supposons que donnE:les cartE:lsiennes et (La position

i

q.1=c.1

/i=1, 2, 3/ soient ses coor~

q.= X. 1

1

ses vitesses.

et la vitesse

c sont

maintenant des vrais vecteurs~

ConsidE:lrons l'entourage du point de l'espace de phase stant

t. Une fonction quelconque de

x,"t

et

t

ne sera pas une gran-

deur molE:lculaire si cette fonction n 'est pas attachee particuli ere, mais

a l'ensemble

Ct, c) a l'in-

a une

molE:lcule

des molE:lcules ayant les memes coor-

donnE:les dans l'espace de phase. Ainsi, la fonction de distribution -> ...\

f(x, c, t)

ne sera pas considE:lrE:le comme une grandeur moleculaire ,

bien que possE:ldant certaines de ses proprietes . La fonction de distribution est, en somme, une propriete collective et non individuelle. Cette distinction entre les proprietes collectives et individuelles tient, en fin de compte, a la difference entre la partie previsible du mouvement entre les rencontres et Ie mouvement imprevisible pendant celles-ci L 'observation macroscopique ne permet de mesurer que les valeurs moyennes des grandeurs moleculaires. L'E:lvolution de ces valeurs moyennes qui est Ie sujet principal de la mecanique des fluides generalisE:le-ce sont prE:lcisement les equations de transport qui vont Nre etudies ici. La definition de la valeur moyenne d'une grandeur moleculaire G (q., 1

q. t) J

est la suivante:

228

21-9 -

M. Lunc

= g(q.,1 t) =J G (q.~., t) lJ

f (q., 1

q.,J t)

d

"4/

s

j

f(q.,

q., t) dS-c;

(2)

1 J

-'"

d q d~signe un ~lement s-dimensions nel de l'espace de vitesses g~n~ralis~es et l'int~gration est effectu~e

Dans cette ~quation Ie symbole

dans l'espace entier de vitesses leur moyenne

donn~e

par

g~n~ralis~es

. La dMinition d'une va-

(2) peut, bien entendu, etre

.......... les fonctions de q, q et t et qui ne sont pas,

~tendue

a toutes

n~cessairement,

des

grandeurmoMculaires. Il est evident que dans certains cas cette dMinition peut conduire aux integrales divergentes et deporvues, alors, de sens physique. Attirons ici l'attention sur un probleme que nous croyons fort ressant et qui, nous semble -t-il Na pas nous choisissons pour

r~pr~senter

la place des vitesses

g~neralisees

G(q.,p.,t) 1

J

a

conjugu~s

. On dMinira dans Ie nouvel espace g~n~ralisees

p. une nouvelle moyenne de la grandeur

pa~=

Supposons que

notre gaz les moments

de phase comprenant les coordonnees conjugues

~te r~solu.

int~­

q. et les moments 1

mol~culaire

g(q.,t) = jG(q.'P.,t) f (q.,p.,t) d Plff(q.,p.,t) d P 1

1

J

1

J

s)

1

J

s

(3)

Il n'est pas du tout certain que cette nouvelle moyenne qui, evidemment, est differente, dans Ie cas l'~quation

(2)

se comporte d'une

g~n~ral,

mani~re

de la moyenne dMinie par independante. Voici done

un interessant sujet de recherche. /

Etat d'equilibre d'un gaz Si f ( q., ci.., t) r~pr~sente la fonction de distribution 1 J des vitesses g~n~ralis~es du gaz, et si

of

<;Df

=it

(4)

229

- 220 M. !'unc

repr~sente ll~qllation de BOLTZMANN

Chapman~Cowlingl

que de

l!op~rateur

ou'Dest un

Ion utilise les notations op~rateur diff~rentiel et

Nous disons que Ie gaz se trouve dans

of e

L'effet des rencontres distribution des vitesses

de

~

mol~culaires.

des rencontres

ut

classi-

lI~tat d'~quilibre

lorsque

(5)

:;: 0 mol~culaires

g~n~ralis~es

ne modifie pas la fonction de

lorsque Ie gaz se trouve dans

l'etat d'~quilibre. II nous semble utile de dire

a cette place, et bien que cela ne

concerne pas directement Ie sujet central de cet ner des preuves stribution

a l'appui

a lI~tat

expos~,

et sans don-

de ce qui va Hre dit que la fonction de di-

d '~quilibre peut toujours

~tre exprim~e

tion des

int~grales

premieres de mouvement. On

diverses

int~grales

intensives et par E

n

les

comme fonc-

d~signera

int~grales

par

I

m extensives.

Les unes, comme les autres restent constantes pour une particule dans llintervalle de temps La fonction de distribution iO)(q., 1

s~parant deux rencontres mol~culaires a lIetat d 'equilibre sera d~sign~e par

.*)

q.) et elle ne depend pas explicitement de temps. On peut monJ

trer qu'elle peut

~tre exprim~e

:;: exp

par la relation

L n

~Nous

A (q.,I ) E . n 1 m n

(6)

avions admis la possibilit~ d lexistence des int~grales I , bien que nous ne connaissons pratiquement aucun cas ou ces int~graTes existent r~ellement.

230

- 221 M. Lunc A sont certaines fonctions qui doivent etre d~dermin~es par la connaisn sance des valeurs moyennes des E . Remarquons que les integrales pren

mieres Im et En d~pendent, elles, de vitesses g~n~ralisees,. Si l'on a, en particulier, a faire aux molecules ponctuelles, il n'existe pas d'integrales premieres intensives, quant aux integrales extensives elles se reduisent aux sUlvantes/ on se place dans Ie cas de la m~canique classique nonrelativistej: 1. La conservation de masse ou, ce que revient au sid~rons

un gaz sans

r~actions

m~me

si nous con-

chimiQues, conservation du nombre des

molecules. Cette integrale peut toujours Hre

~crite

comme une constante,

par ex. comme unite. 2. L'integrale premiere exprimant la conservation de mol~cule.

~mc2 3.

l'~nergie

d 'une

On peut l'ecrire sous forme de la somme de l'energie cinetique

et de l'energie potentielle U(x). L'int~grale

mouvement. Cette

premiere exprimant la conservation de la quantite de int~grale

3 int~grales premieres tes de vitesse

doit

~tre consid~r~e

ind~pendantes

pouvant etre

r~duites

aux 3 composan-

c .• 1

Il est evident que la forme lineaire des sives est egalement une d'ajoutter

comme se composant de

int~grale

inh~grales

premieres exsten-

premiere extensive. On a aussi Ie droit

a chaque int~grale extensive une constante quelconque.

Ainsi la fonction de distribution

a l'~tat d 'equilibre pour un gaz com-

pose de molecules ponctuelles est

231

- 222 M. Lunc

Les coefficients A, AI' B I , B 2, et B3 sont certaines fqnctions de position qui doivent etre

d~termin~es

a llaide

des valeurs moyennes,

consid~r~es

comme connues. On montre que si Pon connatt la densit~ numerique n, la vitesse moyenne du gaz

v et la temperature T , la fonction de distri-

bution slecrit f (0)..... (e, x, t)

-" t) ] 3/2 exp [ ='lI-3/2..... n{x, t) [m/ 2kT (x,

m{ ......... c-v) 2/ 2kT]

(8)

d I~tre des foncti ons de lieu et

Les quantites n, T et v. sont supposees 1

de temps. On verra plus loin qu'elles ne sont pas du tout arbitraires. Le contraire serait dlailleurs bien etonnant:il faut, tout au moins, satisfaire les equations generales de mouvement du fluide. En fait, les conditions suffisantes vont Hre trouvees comme etant beaucoup plus strictes.

,

Etats slecartant de l'equilibre A premier abord on serait tente de mesurer l'ecart de !letat de

uef

l'equilibre par la valeur de l'expression

¥.

Pour de tres nombreu-

ses raisons qui ne seraient pas donnees

a cet

endroit, cette maniere

de

proc~der

nlest pas indiquee. Des resultats plus consistants peuvent

etre trouves lorsqu'on procede de la maniere qui sera indiquee et qui est aisement applicable aux equations de transport . Soit f la fonction de distribution vraie et soit

f{ 0) la fonction de

distribution qui serait celle de l'etat de l'equilibre correspondant aux valeurs locales des moyennes de toutes les integrales premieres extensives de mouvement. On peut toujours poser f

= f(O)

(I

+~)

ou ,l; est une certaine fonction des q.,

'f

tion de distribution

(9)

q.

et de t. Du fait que la fonc-J /0) donne les valeurs correctes de la moyenne de 1

232

- 223 M. Lunc

chaque fonction

E

J

n

',it

En f

et, par

, on a 0

JE n riO)

+P) ds4

(1

cons~quent

JEnP riO) ',it Cette derniere

~quation

peut

P sont

(11)

0

0

~tre interprN~e

tes les moyennes des produits des

L (q., t) 1

a l'~tat

dans l'eq. (12) a

Par

<

p2)(O)

consid~rer

l'expression

~o,

(12)

d'~quilibre.

~t~ appel~e

La fonction

L(q., t) apparaissant 1

par nous la mesure de

l'~cart

L'~tat

nous disons que est tres

~loign~

l'~tat

de

est voisin de

l'~quilibre

l'~quilibre

g~n~rale

des

~quations

L'~quation

lorsque

~tats.

de transport. ind~pendantes

Passons au systeme des variables

qi' Pj .

fondamentale de Boltzmann s '~crit alors sous la forme C\ f

JJ

ou

l'~quili-

lorsque L»1. Dans la

suite nous allons nous occuper du premier de ces deux Forme

de

Cette quantite ne peut E!tre nulle que lorsqu'il y a ~quilibre.

d~finition

L «1.

=

a

<)(0) d~signe la moyenne prise avec la distribution

ou Ie symbole

[1].

premieres extensives par

a l'iHat d'~quilibre.

nulles

correspondant

comme signifiant que tou-

int~grales

Ceci nous conduit tout naturellement

bre

(10)

Uf () f = "'\7" + (H f} =_e ut '()t'

(13)

H est la fonction de Hamilton et f lIes parentheses de Poisson

M et

finies pour deux fonctions quelconques

ON -aM {M, ~} =oM () Pi Oqi - () qi

IN () p.

1

233

N par (14)

d~-

- 224 M. !:'unc

Exprimons aussi la grandeur moleculaire en fonction de t, multiplions les deux cotes de l'eq. (13) par

q., p. et 1 J G et integrons dans

tout l'espace des moments conjugues. On obtient, alors, une nouvelle equation qui ne contiendra que les fonctions des variables

q. et 1

t

et

qui est

JG[ ~:

(15)

Dans la suite l'operateur moyenne (3)

< >sera pris

dans Ie sens de l'eq.

, en se servant de l'integration d'apres l'espace des moments. De-

veloppons Ie cote gauche de l'eq. (15). On aura

/

G

~f dS) P =/' G ~ tf u

P .;

d s

G

() H op.

1

P jG

df d Jq. s 1

UH Qq.

1

~ d t= up. 1

S

~

...lo

d P

s

(16)

Si lIon tient compte de la definition de Ia moyenne, alors on transcrit (16) sous la forme

Le dernier terme de ( 17) peut etre transforme par Ie theoreme de

234

- 225 M. Lunc

int~grale

GA USS-OSTROGRADSKI en une m~e

Ie long de l'hypersurface fer-

enveloppant Ie sous-espace entier des moments

dans l'espace cntier des

conjugu~s,

et p .. Si l'expression ( 0

q.

J

1

plong~

~uq.H f) tend

as-

sez rapidement vers z~ro lorsque Ie point figuratif se ra~proche de I' hypersurface d 'int~gration,

l'int~grale

Ie long de cette hypersurface

disparait. Le regroupement des autres termes nous conduit

~/o)+

n 2.. (G)-

at \'

at

n~OG>+ ~ (0 UH)+ n ~ /G OH \at Op. ()p. Uql' \' ;-'p.

~quations

() ([H, G}) j G 1

- n

Les

a l'~quation

U 1

1

=

()~

>-

f

(18)

dsp

canoniques de mouvement de Hamilton-Jacobi

nous don-

nent

UH D~signons

OH () qi

= 4i

() Pi

() G

par (

V >

!J

l'expression

De

G

.

< q.) = v. , 1

1

-'>

f

at

n

et posons

(19)

= - Pi

V. = q. 1

1

d p

(20)

V.

(21)

s

-

l'op~rateur d~riv~e

Introduisons aussi

d

dt

= at

+

1

substantielle

g~n~ralis~e

(22)

V, 1

Transcrivons maintenantl'eq. (18) en tenant compte des (21) et (22), Alors

235

~qs,

(19). (201

- 226 -

M. Lunc

n

~ (G)+ (~~

~i)(G)- n <~~}- n([H,Gl>i-

+ n

o oq.

+

ueG

(n
(23)

1

Si nous posons la forme

ctt~

G=l, Ie

g~n~ralis~e

1 dn n dt

de

droit de

l'~quation

C)vi

+ ""'\""':'= IJ

de

(23) s'annulle et lIon obtient

continuit~

:

0

(24)

qi

ce qui permet de simplifier

l'~q.

(23) . On obtient alors la forme ge-

nerale de I' ~quation de transport d 'une grandeur

mol~culaire

i.. (G) + .!.n dt

(25)

, Equations de transport des grandeurs moleculaires additivement inva.riantes. Parmi les diverses grandeurs

mol~culaires

il en existent qui jou-

issent de la propriete de se conserver dans une paire de dant leur rencontre. de mouvement et

De cette

l'~nergie

propri~t~

totale

mol~cules

jouissent la masse, la

repr~sent~e

pen-

quantit~

par la fonction de Hamil-

ton. Si la conservation additive de deux premieres de ces grandeurs ne presente aucun probleme, la conservation de la fonction de Hamilton peut,

a premiere

vue, sembler

~tonnante.

Nous avions bien

insist~

sur Ie fait que la fonction de Hamilton ne peut pas t!tre connue pendant les periodes de rencontre. L'explication est pourtant physiquement simple: pendant ces

p~riodes

lecules varient, en effet, tres

les hamiltoniens de chacune de deux moconsid~rablement

236

et de maniere difficil-

- 227 -

M. ;tunc

N~anmoins

ment calculable.

la somme de ces deux variations est ri-

goureusement nulle en raison de la loi de conservation de l'energie dans un systeme materiel

isol~ constitu~

par la paire des molecules.

L'equation de transport de chaque grandeur moleculaire additivement po~sede

invariante ne

pas de second membre. L'equation de transport

de masse nous a donn~ (24) et nous n'y reviendrons plus. , Equation de transport de l'~nergie. Si nous posons celle-ci se

r~duit

d

()

dt

H

G=H dans l'equation

aussitot

d~signat

I UH) -"ut

par

E la

de transport (25),

a 1

+ -n

Transformons Ie dernier terme de

et en

g~nerale

(26)

l'~q.

(26) en

~crivant

diff~rence

(27)

E=H-(H). Alors

(28)

est

l'intensit~

quantit~

du flux

g~n~ralis~

pourrait etre appelee

de l'energie interne du gaz. Cette

"intensit~

de flux generalise de chaleur!'

Calculons les termes successifs de l'eq. (26) 1/

2/

\)(> dtd(H)= Ot H

u + vi ()qi

<> H sera utilis~ sans changement;

/ ~)= Q(H> _(.E.!).

\0t,

()t

ut'

237

- 228 M. [June

Ie troisieme terme sera L'~quation

de transport de -

1

Cas particulier:

1

,

1

mol~cules

eompos~

1

.e.

De

l'~q.

= my.

() t

Le flux

Ri " Dans eette

1

()qi

(29)

= 0

ponetuelles. On a mainte-

+ mC.1

,,< ~m \+ U(xi,t)

potentielle de la

+ E, (30)

mol~cule.

d~duisons

\ 2m

g~n~ralis~

Ri

.l

() t

" (~ 2 + ~) =(~> 2

(31)

"0 t

2

sera

n (Cl.H)= nm + 2 (2V.C.C. J 1 J ~quation

-

2

" 2 ~ = - l/_p_)= _ () t

n

mol~eules

+ U (xi,t)

l'~nergie

(30) nous

de

2

2 m

ou U(x., t) est

1 ORi -

ponctuelles dans un champ de potentiel.

= mel'

p.

1 H=-

1

prend alors la forme

"0

Prenons un gaz q.= x.

l'~nergi.e

.) . JE >+ uqi
v·

nant

VR

1 i par - - n Oqi

remplae~

figurent une

c.c 2 )

quantit~

1

= V.p .. + Q. J lJ

tens orielle

1

Pij

(32)

dMinie par

dite tenseur de pression et Ie veeteur (34)

qui est L'~q.

llintensit~

de flux de chaleur.

(29) devient maintenat

238

- 229 M. I:.unc

() [ mv V· 1 JXi 2

2

mv

+

2

+ 3kT ) +

2

2

A _v_ ( + Q) = i.. (.!!!Y.2 + 3kT) + v dU _ + 1 'Ql' () i dt 2 n JXi vl ij 2 i () xi n Q xi

.!.

+

+

(35)

n ;

Equation de transport de Revenons

a l'~quation

quantit~

de mouvement

g~n~rale

(25) et posons pour pour

j= 1, 2, 3 j

>3

En raison de la conservation additive de G, Ie

(25)

est nul. Les termes successifs de (25)

1/

d dt

G

2/

() -;;,1 aq.

3/

JG

=

0

(n

)

cOt~

droit de

l'~q.

sont les suivants:

= n1

1

(Tt >=

()v. - m

'J/

pour j=l, 2, 3 et = 0 pour j

4/([H, GJ)=

>3 ;

j=l, 2, 3; i=l, 2, .. , s;

Si, maintenant, on fait usage des ~qs. (19) Ie dernier terme devient

({H, G}) = Mais il est bien

my.

1

~vident

o_v._J o qi que Ie dernier terme de cette expression est

239

- 230 M. -IJunc

~gal,

selon la seconde loi de

l~cule

que nous

a la

m~canique,

force agissant sur la mo-

d~signerons

par mF. . Rassemblant J termes nous obtenons l'~quation de mouvement dv. J dt

alors tous ces

1 OPij = F. J

-Y

qui ne differe pas par sa forme des d~riv~e

(36)

o~ ~quations

de mouvement habituelles

p .. dont Ie sens ne differe du tenlJ et j non sup~rieurs a 3. seur habituel de pression que pour

mais qui contient la

Dans Ie cas

g~n~ral

de

nous avons

= OPij

+

'Ox.

k

> 3 ; i, j = I, 2, 3.

(37)

1

Ainsi

l'~quation

de mouvement prise dans Ie cas Ie plus

contenir des termes

compl~mentaires

qui ressemblent aux

composantes du tenseur de pression et qui peuvent cas ou il existe des quantit~s

Vk

corr~lations

/k>3/ et Ci

Forme dMinitive de

g~n~ral

diff~rer

peut

d~riv~es

z~ro

de

des au

non-nulles entre les composantes des

/i=l,2,3/.

l'~quation

de transport de

l'~nergie

uP ..

__ lJ calcul~ d'apres (36) dans l'~q. (35) on OXi obtient successivement, apres avoir divis~ l'~q. (35) par m, Substituons

d dt

2

(!... + 2

3kT 2m dv.

+

.!. oU

m

()Xi

vi

+

1

OQi

9

'Ox. 1

P ..

+

.!.

avJ.

J> PWbx'1

av .

+

1 OU) = + vi (F.1 - -dt) = - - + - - +-2!. _J + v. (F. + -1 Jl OXi 2m dt .P 'Ox1. 1 1 m OXi 3k dT

1 OQi

= O.

240

(38)

- 231 M. Lunc

Or Ie dernier terme est nul puisque lion a dit que les

mol~cules

vent dans un champ de potentiel. De cette maniere on obtient de transport d '~nergie pour un gaz dT 2m dt

3k

1

oQi

+ - ax. p 1

nit~

y

de

mol~cules

a

v. p.. IJ_-J Ox.

l'~quation

monoatomiques

(3~

0

1

Le sens physique de cette

~quation

r~pr~sente

Le premier terme

1

+

compos~

se meu-

est fort simple.

la variation de

l'~nergie

interne d'une u-

de masse de notre gaz. Le second terme-c'est l'apport de

l'~ner­

gie par conduction thermique. Le troisieme terme de (39) donne la transformation en

~nergie

interne du travail

effectu~

sur Ie gaz par les

forces dissipatives. 11 n'y a aucune mol~cules

difficult~

a

g~n~raliser

(39) aux gaz composEls des

plus complexes. 11 faut alors prendre a la place de (30) une

expression

appropri~e

pour

Transport des grandeurs

H et utiliser

mol~culaires

dans

l'~q.

(36) complete.

l'~tat d'~quilibre.

L '~tat d '~quilibre est, comme on l'a deja dit, 11 faut, en cons~quent,

m~me

temps, satisfaire aussi

l'~quation

d~fini

par

l'~q.

(5) ..

de Boltzmann et, par

il faut qu'en meme temps

;Vf =

0

(40)

Or cette derniere equation fournit une fort large classe de solutions qui ne sont pas toujours compatibles avec (5). Nous savons, par ailleurs, que la solution forme (6), et se reduit pour

mol~cules

g~n~rale

de (5) est de

ponctuelles a la distribution

maxwellienne (8). Nous allons nous limiter ici au cas de ponctuelles et, par

cons~quent,

done agir l'operateur

J)

mol~cules

a la distribution maxwellienne. Faisons

sur f(O).

241

- 232 -

M, t-unc

On obtient ...."

fDf(O) =(_(/ () t

+ c. ~ + """:\

1

'?II)

F, ::;;-)

uX.

(

f 0

) ::I

1.) C. 1

1

En raison de la forme particuliere de la fonction de distribution nous aurons ici

a.

partir de

l'~q.

(36)

(42)

Puisque. d'autre part, dans 3k dT 2m dt

+ E.

'()v i

p 0\

l'~q,

=_

K

m

(39) on aura

(l1P __ 3 _

.p

dt

2 T

= --mk -dtd ( In )'0 T -3/2 )

Q.= 0 celle-ci conduit 1 dT) =

dt

= 0

(43)

Nous voyons que Ie long de la trajectoire moyenne Ie produit'p T- 3/ 2 reste constant. (42)

et

(43)

L'~volution

du gaz est donc adiabatique. Substituons

dans l'~q. (41). On obtient

242

-. 233 M. Lunc

~f

(0)

() [ ( ) =fO Ci U· x .

-3/2 (lnyT

aj V

mCiCj

1

1

L

~X.

(lnT- 5/ 2) +

u 1

~ kT

+

a

2kT

C)

Vj dT + C. C.(~ -- + 2TdT .. 1

J

i

~

VXi

+ ~ C C2 OT ~quation

(

1

= f(O) l·-C.

Cette

dT

-lnpT)+~(~+2TdTOij)

~.

}= °

(44)

1

doit etre satisfaite quelque soit la valeur de C .. Il en 1

r~sulte

que les coefficients de C., de C.C. et de C.C 2 doivent etre nuls. 1 1 J 1 Le premier et Ie dernier de ces coefficients seraient nuls lorsque Ia temperature est uniforme. On a donc

(45)

T = T(t) . Ie deuxieme coefficient est nul si

(46)

et

o

v. () x.l = 0, lorsque i J

f

(47)

On doit donc avoir v

i

d -1/2 = - (In T )x dt i

(48)

Le seul mouvement permis est donc une expansion ou compression adiabatiques. 11 convient ici d1attirer llattention sur des conclusions

~­

trangement similaires/ mais non-identiques/ obtenues assez r~cemment par A. A. NIKOLSKI

(z1.

Il a montr~, notamment, la possibilit~ de

distribution maxwellienne pour un mouvement

243

d~crit

par

ll~quation

Ia

.• 234 -

M. Lunc X.

v

qui

r~pr~sente

1

=-+

i

une dilatation ou contraction uniformes de l'Univers. Cel-

le·ci correspond donc

a la loi

T (t) =at

et p(t) L'~quation L'~q.

(49)

t

=

particuli~re

:

;t2

(50)

b(x) t+ 3.

(51) occup~

(50) est valable dans l'espace entier

par Ie gaz.

(51.), par contre, est vaiable Ie long de chaque trajectoire, seu-

lement. Revenons au cas plus d~quations ~quations

l'~quilibre d~crit

de

par Ie

syst~me

(48). De deux premi~res de ces

et

(43), (45), (46), (47)

nous tirons

?Jp

i~x.

1

avec

~quation

Uy

+ v.

put Cette

g~n~ral

1

=

°.

(52)

48. nous donne

aT

'Oy

-'-

y"0t - 2T'\)t

11 est certai qu'

-

()T 2 Tot

-3

(x

up

+3)

i F7Jx i

a cM~ de solutions

=0

(50) et (51)

(53),

peuvent exister

de nombreuses autres et ce sujet, nous semble, est digne de recherches futures. Les

~tats

voisins de

l'~quilibre.

Reprenons pour les

mol~cules

_ (0)

f (c.,x.,t) - f lJ

ou

i

l ) est

conditions

d~crite

par (8)

d'~quilibre donn~es

ponctuelles

l'~q.

(9)

,-r

-:

(c.,x.,t): 1 +Q(c.,x.,t), lJ

..

~lJ-

mais ne remplit pas, par les

244

~qs.

(43)

a

n~c~ssairement, (48)

les

. Par contre ,

- 235 M. Lunc

nous allons exiger de cette fonction f(O) exactes de

n, v. et 1

T

queUe nous donne les valeurs

en chaque point et

a chaque

instant. De la

fonction ~ nous exigeons donc que • (0)

_ (0)

\ l' )

=" Ci

En plus de ca, nous voulons que la

<

j) >

,2' (0) = ,C ~ = 0

>

(55)

in~galit~

1

soit satisfaite.

11 est bien

~vident

par la relation (41)

qu'exprim~

que ,Q)f(O) ne sera plus nul, bien

(sans, bien entendu, quleUe soit ~gal~e au z~ro) .

On aura, apres avoir tenu compte de (36)

~f(O) =f (0)[t ..!. (InpT- 3/ 2 ) + C. l2 (In OT- 3/ 2) _! ~Pij J + dt Jx. r p ;:lx, r

1

J

1

mCiCj () Vj

+ - - (-kT

+

2 _1

~x.

2T

1

dt

mCiC

'-' ) + - ij

2kT

l,1)p) ~quations

d/:

=

0.

(56)

1

(57)

de conservation additive exigent que

j

:JJr d3 -e • 0

I

Ci:{)f d 3

.Jc1Jr Puisque

1 '0T} Tux.

imm~diatement

On trouve

Les

dT (

-

d3

C·

(58)

= 0,

(59)

C = o.

(60)

sous forme

f

(61)

245

- 236 M. !'unc

Les eqs. (59)

f

c. 'J) iO)d

)1

,(60)

s'ecriront

!

C+/ C. ~Q)f(O) d3 C+ C.~~ f(O) 3) 1 )1

......

d C

3

=0

(62)

(63) L'integration montre que lion a 1

/

'7'1 (0)

mC . .vf 1

'0

--> _

("

d 3 C - - ::;:- (p .. - o.. p) U X. 1J 1J J

(64)

et - P-

d dt

(In9 T

-3/2

).

(65)

Il est bien evident que ces expression s 'annullent lorsque Ie gaz est en etat d 'equilibre. Ainsi les equations (59) et (60) s'ecriront

~

C=.L. ! . 'ox. JmC.[J,~f(O)+(:;)J.)f(O)Jd 1

3

'f

(p .. -

1J

~.1J

p)

(66)

J

J

m;2[q;.l) flO) + (21

~) flO)] d/'

P

:t

(In y T- 3/ 2 ) ,

(67)

Pour toute autre grandeur moleculaire il faut, evidemment, prendre en consideration l'equation complMe de transport. Choix de la fonction

qi

Notations

p

Pour choisir une fonction mise au point par H. GRAD

r31 L.

_

appropriee on utilisera. ici la methode

et qui fait usage de polyne,mes orthogo-

naux semlables aux polyne,mes d'Hermite (et que lion designera ici

246

- 237 M. £unc

par Ie nom de polynemes de Grad). La dMinition de ces polynemes sera

donn~e

plus bas. Mais tout dlabord on introduira ici une notation

approprit'!e, bast'!e essentiellement sur la notation de Grad, avec de petites modifications de dt'!tail. On se bornera dans la suite aux seules coordonnt'!es cartt'!siennes et lion utilisera les notations tensorielles habituelles. 1. Un tenseur de n-me ordre sera dt'!signt'! par un indice inft'!rieur pris entre parentheses indiquant son ordre, suivi par les indices (ou par un indice) relatifs aux diverses composantes. On t'!crira donc

T(n) = T(),

, , = T(n)..:' n 11' 12"" In

2. L 'ensemble des indices a

(68) ~t~ d~signt'!

dans la formule prt'!ce-

dente, et sera aussi dt'!signt'! dans la suite, par la lettre sousignees. Notons donc (69)

pour un ensemble de

a lettre

k indices

pilote

3. Le tenseur, originellement de llordre contracte s

n+2s

et qui a t'!tt'!

fois sera dt'!signt'! par un indice supt'!rieur, indiquant son

ordre primitif et par llindice inft'!rieur, comme prt'!cedemment , pour son ordre apres contraction. Ainsi:

4. On introduira la vitesse sans dimension

c,

U=~ i 2kT

Vrn

c =

(71 )

n 247

- 238 M. !.une

5. On d~signera par

n

form~

g(n)!. Ie tenseur

par Ie produit de

compos antes de la vitesse sans dimension . Cette grandeur

laire est done

d~finie

mol~cu­

par (72)

6. On introduira deux

a) La finie par les

~quations

esp~ees

de tenseurs unitaires

premi~re esp~ce

de tenseurs unitaires sera de-

sueeessives (73)

(74)

D'une

mani~re g~nerale

2s,

design~ par

de s 0(2)

Ie tenseur unitaire de

0(2s)i

sera

premi~re esp~ee

d'ordre

form~ par la somme de produits

dont les indices ne se rep~tent pas et qui, ensemble, con-

stituent !. tout entier . Comme on voit sur l'exemple fourni par (74) les r~petitions des

6

ne sont pas prises en eonsid~ration et Ie

6(2s)

nombre de termes pour

l'~q.

est done ~gal

a

1..3.5 ••• (2s-1) = (2s-1) II

b) La seeonde m~e

par la

r~gle

esp~ee

de tenseurs unitaires sera for-

que lIon peut aisement diviner

a partir

de l'exemple

suivant

+

6

+... +6

+...

i i

1m

On voit done que

d (m)(2)

est

+0 i

i

(75)

m-1 m

eonstitu~ par la somme de tous les

248

- 239 -

M. t.unc

,

o(2)

diff~rents form~s

a partir de l'ensemble i contenant m

~lements.

'":\(m)

Lo tenseur suivant

(.) (4)

sera

etc.

7. Une troisieme espece de tenseurs, un peu form~e

lorsqu 'on dispose de

lIon prend la

moiti~

2 ensembles des indices

Cette expression contient

J.. et

n!

J..

que

(76) termes

diff~rents.

des polyntlmes de GRAD

Les polyntlmes de GRAD seront dMinis par H(

et

pard (2n).!.,

Propri~t~s

i

sera

des indices dans chacun de deux ensembles. Cette

design~e

espe.ce sera

diff~rente,

.

n)~

l'~quation:

=

(77).

Les produits tels que (n) O(2S).!. g(n-2s).!. sont form~s de

n

~l~ments

dont

ments qui restent les

6:

a la maniere des

diff~rents

2s

a la

sont

grandeur

produits ainsi

Les polyntlmes

on prend l'ensemble .!. compos~

attribu~s g(

n~

au

2)" s

1

()

~~~).!.

et les n-2s

~le­

apres quoi on ajoutte tous

constitu~s.

de Grad

cons~cutifs

seraient donc: (78)

249

240 -

~

M.Lunc ,-.

= f2

H(1)i

Le polyntlme peut prouver

H(2)~ =

2g(2)~ - 6'(2)~

H

2 3/2

H(n)~

(3)~

est

ais~ment

=

g(3)~

(2, Dans cette i

et par

~quation l'~lement

(2)~

U,J H( n,:, )'

sup~rier

= H( n+ 1)",:,+J

Ie symbole nouveau

r~gle

~

+ j

de

=

g(1)~

par rapport

qu'iI existe une

de former des polyntlmes d'ordre

(80)

_ 2J/ l a(3)

symm~trique

(79)

1/2 U" 1

=

g(1)i

a tous ses indices. On

r~currence

par la

permettant

r~gle

(82)

+0(2)'':" J,H( n-,:, 1)' d~signe

I 'ensemble

form~

par

j.

Les polyntlmes de Grad forment, comme iI l'a

d~montr~,

un

en-

semble complet de fonctions orthogonales dans I 'espace entier des U, et avec une fonction de poids

exp (- U2 ). On

d~montre

1

que I 'on a une

relation fondamentale de normalisation et de I 'orthogonalit~

1'(

-3/1

(83)

H(n )'1

et une autre qui enjd~COUle :

2

~

H(m)~ H(n)I. exp(-U ) d3 U = 0 ; si

mFn

ou si ~

F

I., ou si les deux in~galMs se trouvent simultan~­

ment remplies. Notons que les deux ensembles d~r~s

comme

diff~rents

lorsqu'au moins un

250

~

~lement

et I. seront conside l'un des ens em-

- 241 -

M, Lunc

bles ne se trouve pas dans l'autre. Les ensemble que l'on obtient par un changement quelconque de l'ordre des tre, consideres comme

~gaux,

~lements

seraient, par con-

Une fois de plus, notons que Ie cMe

droit de l'equation (84) contient, en principe, n! termes, dont certains, ou meme tous, peuvent

~tre

nuls.

Le developpement de la fonction ~ en une serie des polyntlmes

de

GRAD. Puis que les polynomes de GRAD forment un ensemble complet des fonctions, nous pouvons representer chaque "bonne" fonction par Ie

de-

veloppement en serie 0<>

~(U"x"t) 1 J

1 [

;;:!

= \

L

~ ~(2n) A(n)~ (xj' t) H(n)~ (U )J(O)

(84)

YI.: 0

Dans ce developpement les rtlles de la variable

U, et des variables 1

x, et t se trouvent nettement separes. J Si la fonction