Die Welt der Primzahlen

Springer-Lehrbuch Paulo Ribenboim Die Welt der Primzahlen Geheimnisse und Rekorde Zweite, vollständig überarbeitete ...

Author: Paulo Ribenboim | Jorg Richstein | Wilfrid Keller

128 downloads 576 Views 2MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!

Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Springer-Lehrbuch

Paulo Ribenboim

Die Welt der Primzahlen Geheimnisse und Rekorde Zweite, vollständig überarbeitete und aktualisierte Auflage

Aus dem Englischen übersetzt von Jörg Richstein. Auf den neuesten Stand gebracht von Wilfrid Keller.

123

Prof. Dr. Paulo Ribenboim Department of Mathematics and Statistics Queen’s University Kingston, Ontario K7L 3N6 Canada

Die Abbildung auf der Titelseite zeigt den Verlauf der Funktion r2 (2n) aus Kapitel 4, Abschnitt VI (D) im Bereich 2 ≤ n ≤ 500000.

Bibliograﬁsche Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliograﬁe; detaillierte bibliograﬁsche Daten sind im Internet über http://dnb.ddb.de abrufbar.

Aktualisierte Übersetzung der englischen Ausgabe The Little Book of Bigger Primes von Paulo Ribenboim, Springer New York, 2. Auﬂ. 2004, ISBN 0-387-20169-6

Mathematics Subject Classiﬁcation (2000): 11A41, 11B39, 11A51

ISSN 0937-7433 ISBN 978-3-642-18078-1 e-ISBN 978-3-642-18079-8 DOI 10.1007/978-3-642-18079-8 Springer Heidelberg Dordrecht London New York c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006, 2011 Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Einbandentwurf: WMXDesign GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier Springer ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media (www.springer.com)

Nel mezzo del cammin di nostra vita mi ritrovai per una selva oscura che la diritta via era smarrita Dante Alighieri, L’Inferno

Vorwort zur zweiten Auflage

Die zweite Auﬂage dieses Buches k¨ onnte den Untertitel tragen: Die alten Geheimnisse und neue Rekorde. In der Tat wurden seit der ersten Auﬂage keine entscheidenden Fortschritte erzielt, um der L¨ osung der wichtigsten noch ausstehenden Fragen u aher zu kommen. ¨ber die Primzahlen n¨ Demgegen¨ uber ﬁndet sich hier eine F¨ ulle beeindruckender neuer Rekorde, die Zeugnis ablegen von einer außerordentlichen Rechent¨atigkeit, welche zumeist im Rahmen groß angelegter Vorhaben koordiniert stattﬁndet. Die genannten Ergebnisse spiegeln in der Regel den Stand vom August 2010 wieder. Die Zusammenstellung dieser Daten wurde durchweg von Wilfrid Keller vorgenommen. Ihm spreche ich erneut meinen Dank aus – der im gleichen Maße wie die Rekordzahlen anw¨achst. Der gesamte Text des Buches ist noch einmal u ¨berarbeitet worden, wobei einige Passagen neu hinzugef¨ ugt wurden. Beispielsweise sollte in dem Unterabschnitt u ¨ber die Faktorisierung den neueren Verfahren, die auf Siebtechniken beruhen, Rechnung getragen werden. Rio de Janeiro September 2010

Paulo Ribenboim

Vorwort zur ersten Auflage

¨ Das vorliegende Buch ist eine Ubersetzung von The Little Book of Bigger Primes, welches eine komprimierte Fassung des fr¨ uheren, umfassenderen The New Book of Prime Number Records darstellt. Man h¨atte daher als Titel anstelle von Die Welt der Primzahlen auch Eine Auswahl aus The New Book of Prime Number Records w¨ahlen k¨onnen, was Sie aber vielleicht gar nicht erst dazu bewogen h¨atte, das Buch aufzuschlagen, geschweige denn, es zu kaufen. Dieses Paperback unterscheidet sich kaum von seinem großen Bruder. Gleich einem Bonsai, der s¨ amtliche Merkmale eines großen Baumes tr¨agt, sollte es die gleiche verh¨ angnisvolle Anziehungskraft ausu ben. Ich w¨ u nsche mir, dass es genauso gef¨ahrlich wie das andere ist. ¨ Ich w¨ unsche Ihnen, junger Student, Lehrer oder Mathematiker im Ruhestand, Ingenieur, Computer-Fan und Ihnen allen, die Sie Freunde der Zahlen sind, dass Sie dazu verleitet werden, u ¨ber die wunderbare Theorie der Primzahlen samt ihrer tief verwurzelten Geheimnisse nachzudenken. Ich w¨ unsche Ihnen, dass Sie Ihren Kopf und Ihre Finger gebrauchen – in dieser Reihenfolge. Im Laufe der Zeit sind die Primzahlen gr¨oßer geworden“. In un” z¨ahmbarer Emsigkeit haben Rechenspezialisten Rekorde in H¨ohen getrieben, die fr¨ uher noch undenkbar waren. Diese Anstrengungen f¨ uhrten zu neuen Algorithmen und großen Fortschritten bei den Programmiertechniken und Hardware-Entwicklungen – oder sie wurden da-

x

Vorwort zur ersten Auﬂage

durch u oglich gemacht. Ein fruchtbares Zusammen¨berhaupt erst m¨ wirken beim Bestreben, große, fantastische Zahlen hervorzubringen. Die Rekorde, von denen hier berichtet wird, sind s¨amtlich aktualisiert worden. Es handelt sich um eine Momentaufnahme von Ende Mai 2006. Was die theoretischen Ergebnisse anbelangt, so gab es nur wenige Fortschritte. Sie werden an geeigneter Stelle erl¨autert. Die alten klassischen Probleme sind nach wie vor oﬀen und h¨oren nicht auf, unseren großen Geistern zu trotzen. Mit einem verschmitzten L¨acheln sagen sie uns: Wenn ihr mich l¨ ost, werdet ihr nichts mehr zu tun ha” ben.“ Nicht wissend, dass wir Mathematiker mehr Probleme erﬁnden, als wir l¨osen k¨onnen. Langeweile werden wir keine haben. Kingston, Ontario, Kanada Juli 2006

Paulo Ribenboim

Danksagungen

Es l¨asst keinen Autor unber¨ uhrt, wenn eines seiner B¨ ucher u ¨bersetzt wird. Eine Ausgabe dieses Buches auf Deutsch erfreut mich besonders, und sie ist auch angebracht, denn viele der Entdeckungen u ¨ber Primzahlen wurden zuerst in deutscher Sprache ver¨oﬀentlicht. ¨ Ein besonderes Gl¨ uck ist es, wenn die Ubersetzer Experten des betreﬀenden Fachgebiets sind. Die Zusammenarbeit mit J¨org Richstein, ¨ der eine gelungene Ubersetzung erstellte, und mit Wilfrid Keller, der die Rekorde aktualisierte, war eine wunderbare Erfahrung. Ihre hingebungsvolle Arbeit erinnert an den Winzer in Sauternes, der mit unerm¨ udlicher Sorgfalt seiner S´emillon-Rebe ihren k¨ostlichen Nektar entlockt, oder an den stolzen Maßschneider in Buenos Aires, der nicht zufrieden war, bis das Jackett wie angegossen passte. Dieses Selbstverst¨ andnis und ihre Sachkenntnis b¨ urgen f¨ ur einen aussagekr¨aftigen Text. J¨org Richstein hat sich regelm¨ aßig mit mir besprochen, um verschiedene Sachverhalte m¨ oglichst treﬀend auszudr¨ ucken. Die Aktualisierung der Rekorde wurde von Wilfrid Keller gewissenhaft vorgenommen, wobei er insbesondere auf die Glaubw¨ urdigkeit der angemeldeten Resultate zu achten hatte. Ihnen beiden bin ich zu großem Dank verpﬂichtet. Chris Caldwell unterh¨ alt eine h¨ ochst ergiebige und gut dokumentierte Website u auﬁg mit großem Nutzen zu ¨ber Primzahlen, die ich h¨ Rate gezogen habe. Schließlich m¨ ochte ich mich bei zahlreichen Kollegen bedanken, die mir ihre Arbeiten zusandten und mir manches Mal ihre Ergebnisse geduldig erkl¨arten. Ihre Namen sind im Text verzeichnet.

Inhaltsverzeichnis

Vorwort zur zweiten Auflage Vorwort zur ersten Auflage Danksagungen Anleitung fu ¨ r den Leser Erkl¨ arung der Symbole

vii ix xi xvii xix

Einleitung 1 Wie viele Primzahlen gibt es? I Beweis von Euklid . . . . . . II Ein Beweis von Goldbach! . . III Beweis von Euler . . . . . . . IV Beweis von Thue . . . . . . . V Drei vergessene Beweise . . . A Beweis von Perott . . B Beweis von Auric . . . C Beweis von M´etrod . . VI Beweis von Washington . . . VII Beweis von Furstenberg . . .

1

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

3 3 6 8 10 10 11 11 12 12 13

2 Wie kann man Primzahlen erkennen? 15 I Das Sieb des Eratosthenes . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 II Einige grundlegende S¨ atze u ¨ber Kongruenzen . . . . . . 17

xiv

Inhaltsverzeichnis

A

Der kleine Satz von Fermat und Primitivwurzeln modulo einer Primzahl . . . . . . . . . . . . . . . B Der Satz von Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . C Die Eigenschaften von Giuga und von Wolstenholme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D Primzahlpotenzen als Teiler der Fakult¨at einer Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E Der chinesische Restsatz . . . . . . . . . . . . . . F Die Eulersche φ-Funktion . . . . . . . . . . . . . G Folgen von Binomialzahlen . . . . . . . . . . . . H Quadratische Reste . . . . . . . . . . . . . . . . . III Klassische Primzahltests auf der Grundlage von Kongruenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Lucas-Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Primzahltests auf der Grundlage von Lucas-Folgen . . . VI Fermat-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII Mersenne-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII Pseudoprimzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Pseudoprimzahlen zur Basis 2 (psp) . . . . . . . B Pseudoprimzahlen zur Basis a (psp(a)) . . . . . . C Euler-Pseudoprimzahlen zur Basis a (epsp(a)) . . D Starke Pseudoprimzahlen zur Basis a (spsp(a)) . IX Carmichael-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X Lucas-Pseudoprimzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Fibonacci-Pseudoprimzahlen . . . . . . . . . . . B Lucas-Pseudoprimzahlen (lpsp(P, Q)) . . . . . . C Euler-Lucas-Pseudoprimzahlen (elpsp(P, Q)) und starke Lucas-Pseudoprimzahlen (slpsp(P, Q)) . . D Carmichael-Lucas-Zahlen . . . . . . . . . . . . . XI Primzahltests und Faktorisierung . . . . . . . . . . . . . A Aufwand f¨ ur einen Primzahltest . . . . . . . . . B Weitere Primzahltests . . . . . . . . . . . . . . . C Titanische und sonderbare Primzahlen . . . . . . D Faktorisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E Kryptographie mit ¨ oﬀentlichem Schl¨ ussel . . . . 3 Gibt es primzahldefinierende Funktionen? I Funktionen mit der Eigenschaft (a) . . . . . II Funktionen mit der Eigenschaft (b) . . . . . III Primzahlerzeugende Polynome . . . . . . . A Primzahlwerte linearer Polynome . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

17 20 22 24 27 28 34 37 39 44 59 71 76 90 90 94 97 98 102 105 106 108 109 110 111 112 113 123 126 132

137 . 137 . 143 . 144 . 146

Inhaltsverzeichnis

IV

¨ B Uber quadratische Zahlk¨ orper . . . . . . . . . . C Primzahlerzeugende quadratische Polynome . . D Der Wettlauf um Primzahlwerte und Primteiler Funktionen mit der Eigenschaft (c) . . . . . . . . . . .

xv

. . . .

146 151 155 158

4 Wie sind die Primzahlen verteilt? 163 I Die Funktion π(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 A Historische Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . 165 B Summen unter Einschluss der M¨obius-Funktion . 178 C Primzahltabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 D Exakte Werte von π(x) und Vergleiche mit x/ log x, Li(x) und R(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 E Die nichttrivialen Nullstellen von ζ(s) . . . . . . 183 F Nullstellenfreie Bereiche von ζ(s) und das Fehlerglied im Primzahlsatz . . . . . . . . . . . . . . 187 G Einige Eigenschaften von π(x) . . . . . . . . . . 188 H Die Verteilung der Werte von Eulers Funktion . 190 II Die n-te Primzahl und L¨ ucken zwischen Primzahlen . . 191 A Die n-te Primzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 B L¨ ucken zwischen Primzahlen . . . . . . . . . . . 192 III Primzahlzwillinge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 IV Primzahlmehrlinge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 V Primzahlen in arithmetischer Folge . . . . . . . . . . . . 213 A Es gibt unendlich viele! . . . . . . . . . . . . . . 213 B Die kleinste Primzahl in einer arithmetischen Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 C Primzahlreihen in arithmetischer Folge . . . . . . 217 VI Goldbachs ber¨ uhmte Vermutung . . . . . . . . . . . . . 220 VII Die Verteilung von Pseudoprimzahlen und CarmichaelZahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 A Verteilung von Pseudoprimzahlen . . . . . . . . . 226 B Verteilung von Carmichael-Zahlen . . . . . . . . 228 C Verteilung von Lucas-Pseudoprimzahlen . . . . . 230 5 Welche besonderen Arten von Primzahlen wurden untersucht? I Regul¨ are Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . II Sophie-Germain-Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . III Wieferich-Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . IV Wilson-Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Repunit-Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

233 233 237 240 245 246

xvi

Inhaltsverzeichnis

VI Zahlen der Form k × bn ± 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 248 VII Primzahlen und linear rekurrente Folgen zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 6 Heuristische und probabilistische Betrachtungen I Primzahlwerte linearer Polynome . . . . . . . . . . II Primzahlwerte von Polynomen beliebigen Grades . III Polynome mit großen Bereichen zerlegbarer Werte IV Partitio Numerorum . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

263 264 267 275 277

Anhang

283

Ausklang

287

Literatur Webseiten Primzahlen bis 10 000 Verzeichnis der Tabellen Verzeichnis der Rekorde Namensverzeichnis Sachverzeichnis

289 333 337 341 343 345 359

Anleitung fu¨r den Leser

Falls eine nicht selbsterkl¨ arende Bezeichnung ohne weitere Erl¨auterung zum Beispiel auf Seite 107 erscheint, sehen Sie bei den Erkl¨arungen der Symbole nach. Diese sind nach der Seitenzahl geordnet; die Deﬁnition der Bezeichnung sollte vor oder auf Seite 107 erscheinen. Wenn Sie wissen m¨ ochten, wo und wie oft Ihr Name in diesem Buch erw¨ahnt wird, bl¨ attern Sie zum Namensverzeichnis am Ende des Buches. Sollte ich dazu anmerken, dass es keinen direkten Zusammenhang zwischen der Errungenschaft und der Anzahl der Erw¨ahnungen gibt? Und falls Sie schließlich das Buch gar nicht lesen wollen, sondern einfach eine Information u ¨ber Cullen-Zahlen suchen – was v¨ollig legitim, wenn nicht gar l¨ oblich ist – dann gehen Sie schnell zum Sachverzeichnis. Sehen Sie nicht unter Zahlen, sondern unter Cullen nach. Bei einem Thema wie starke Lucas-Pseudoprimzahlen haben Sie genau drei M¨oglichkeiten . . .

Erkl¨arung der Symbole

Diese u ¨blichen Bezeichnungen werden im Text ohne weitere Erl¨auterung verwendet: Symbol

Erkl¨ arung

m|n m-n pe ∥ n ggT(m, n) kgV(m, n) log x Z Q R C

die Zahl m teilt die Zahl n die Zahl m teilt die Zahl n nicht p ist eine Primzahl und pe | n, aber pe+1 - n gr¨ oßter gemeinsamer Teiler von m und n kleinstes gemeinsames Vielfaches von m und n nat¨ urlicher Logarithmus der reellen Zahl x > 0 Ring der ganzen Zahlen K¨ orper der rationalen Zahlen K¨ orper der reellen Zahlen K¨ orper der komplexen Zahlen

Die folgenden Symbole sind in der Reihenfolge ihres Auftretens im Buch aufgelistet:

xx

Erkl¨arung der Symbole

Seite

Symbol

Erkl¨ arung

3 4

pn p#

7 15

Fn [x]

19 28 29 30 31

gp φ(n) λ(n) ω(n) L(x)

32 35 35 36 36

Vφ (m) t∗n k(m) P [m] Sr

die n-te Primzahl Produkt aller Primzahlen q ≤ p, oder Primfakult¨ at von p n n-te Fermat-Zahl, Fn = 22 + 1 ganzzahliger Anteil von x, die einzige ganze Zahl [x], die [x] ≤ x < [x] + 1 erf¨ ullt kleinste Primitivwurzel modulo p Eulersche phi-Funktion Carmichael-Funktion Anzahl der verschiedenen Primfaktoren Anzahl der zerlegbaren n ≤ x, f¨ ur die n − 1 von φ(n) geteilt wird #{n ≥ 1 | φ(n) = m} primitiver Teil von an − bn quadratfreier Kern von m gr¨ oßter Primfaktor von m Menge der Zahlen n mit h¨ochstens r log log n verschiedenen Primfaktoren

44

( ) a , (a | p) p ( ) a , (a | b) b Un = Un (P, Q)

44

Vn = Vn (P, Q)

50 51

ρ(n) = ρ(n, U ) ψ(p) ( ) α, β p

37 38

53

53

ψα,β (p)

53

ψα,β (pe )

53 57

( ∏ e) λα,β p P(U )

57

P(V )

Legendre-Symbol Jacobi-Symbol n-tes Glied der Lucas-Folge mit Parametern (P, Q) n-tes Glied der begleitenden Lucas-Folge mit Parametern (P, Q) kleinstes r ≥ 1, f¨ ur dass gilt n | Ur = p − (D | p) ein Symbol, das sich auf die Wurzeln α, β von X 2 − P X + Q bezieht ( ) α, β = p− mit ungerader Primzahl p p = pe−1 ψα,β (p) mit e ≥ 1 und ungerader Primzahl p kgV{ψα,β (pe )} Menge der Primzahlen p, die irgendeinen Term Un ̸= 0 teilen Menge der Primzahlen p, die irgendeinen Term Vn ̸= 0 teilen

Erkl¨arung der Symbole

Seite

Symbol

Erkl¨ arung

59

Un∗

59

ψD

73 73 77 86 88 88 88

Pn Cn Mq σ(n) τ (n) H(n) V (x)

89 90 94 96

s(n) psp psp(a) Bpsp (n)

97 98

epsp(a) Bepsp (n)

98 100

spsp(a) Bspsp (n)

103

M3 (m)

103

Mk (m)

104

Ck

106 108

lpsp(P, Q) Blpsp (n, D)

109

elpsp(P, Q)

109

slpsp(P, Q)

138

π(x)

(∏ s

xxi

) pei i

i=1

Primitiver Teil von Un ( ( )) s 1 ∏ ei −1 D = s−1 pi pi − 2 pi i=1 n-stellige Primzahl zerlegbare Zahl mit n Stellen = 2q − 1, Mersenne-Zahl Teilersumme von n Anzahl der Teiler von n harmonisches Mittel der Teiler von n Anzahl der vollkommenen Zahlen kleiner oder gleich x Summe der echten Teiler von n Pseudoprimzahl zur Basis 2 Pseudoprimzahl zur Basis a Anzahl der Basen a, 1 < a ≤ n − 1, ggT(a, n) = 1, f¨ ur die n eine psp(a) ist Euler-Pseudoprimzahl zur Basis a Anzahl der Basen a, 1 < a ≤ n − 1, ggT(a, n) = 1, f¨ ur die n eine epsp(a) ist starke Pseudoprimzahl zur Basis a Anzahl der Basen a, 1 < a ≤ n − 1, ggT(a, n) = 1, f¨ ur die n eine spsp(a) ist = (6m + 1)(12m + 1)(18m + 1) k−2 ∏ = (6m + 1)(12m + 1) (9 × 2i m + 1) i=1

Menge der zerlegbaren Zahlen n > k mit 1 < a < n, ggT(a, n) = 1, die an−k ≡ 1 (mod n) erf¨ ullen (im Fall k > 1 die Kn¨odel-Zahlen) Lucas-Pseudoprimzahl mit Parametern (P, Q) Anzahl der Zahlen P , 1 ≤ P ≤ n, f¨ ur die ein Q mit P 2 − 4Q ≡ D (mod n) derart existiert, dass n eine lpsp(P, Q) ist Euler-Lucas-Pseudoprimzahl mit Parametern (P, Q) starke Lucas-Pseudoprimzahl mit Parametern (P, Q) die Anzahl der Primzahlen p ≤ x

xxii

Erkl¨arung der Symbole

Seite

Symbol

Erkl¨ arung

140 147

µ(x) ∆

147 148 148 148 155 157 157 164 165

√ Q( d) Cld oder Cl∆ hd oder h∆ ed πf∗(X) (N ) P0 [m] P0 [f (X)] f (x) ∼ h(x) f (x) = g(x) +O(h(x))

M¨ obius-Funktion Fundamentaldiskriminante zu d ̸= 0, 1 geh¨ orend √ = Q( ∆), quadratischer √ Zahlk¨orper Klassengruppe √ von Q( d) Klassenzahl Q( d) Exponent der Klassengruppe Cld #{n | 0 ≤ n ≤ N, |f (n)| ist prim} kleinster Primfaktor von m > 1 = min{P0 [f (k)] | k = 0, 1, 2, . . . } f , h sind asymptotisch gleich die Diﬀerenz f (x) − g(x) ist letztendlich durch ein konstantes Vielfaches von h(x) beschr¨ ankt die Diﬀerenz f (x) − g(x) ist im Vergleich zu h(x) vernachl¨assigbar Riemannsche Zetafunktion Bernoulli-Zahl ∑ = nj=1 j k Bernoulli-Polynom Logarithmisches Integral ∑ = p≤x log p, Tschebyscheﬀ-Funktion Realteil von s Gamma-Funktion Eulersche Konstante gewichtete Primzahlpotenzen z¨ahlende Funktion Riemann-Funktion von Mangoldt-Funktion summatorische Funktion der von MangoldtFunktion Mertens-Funktion #{a | 1 ≤ a ≤ x, a ist kein Vielfaches von 2, 3, . . . , pm } n-te Nullstelle von ζ(s) in der oberen H¨ alfte des kritischen Streifens #{ρ = σ + it | 0 ≤ σ ≤ 1, ζ(ρ) = 0, 0 < t ≤ T} = pn+1 − pn

165 165 167 168 168 169 170 171 171 171 173

f (x) = g(x) +o(h(x)) ζ(s) Bk Sk (n) Bk (X) Li(x) θ(x) Re(s) Γ(s) γ J(x)

174 175 176

R(x) Λ(x) ψ(x)

178 180

M (x) φ(x, m)

184

ρn

184

N (T )

192

dn

Erkl¨arung der Symbole

Seite

xxiii

Symbol

Erkl¨ arung

193

g(p)

193 193 198 198 198 201 201

G p[m] log2 x log3 x log4 x B π2 (x)

202

C2

Anzahl der aufeinander folgenden zerlegbaren Zahlen gr¨ oßer als p = {m | m = g(p) f¨ ur ein p > 2} die kleinste Primzahl p mit g(p) = m log log x log log log x log log log log x Brunsche Konstante #{p prim | p ≤ x und p + 2 ist ebenfalls eine(Primzahl} ) ∏ 1 = 1− , Primzahlzwillings(p − 1)2 p>2

205 206

π2k (x) π2,6 (x)

206

π4,6 (x)

207

π2,6,8 (x)

207

B2,6

207

B4,6

207

B2,6,8

208

ρ∗ (x)

209 214 215

ρ(x) πd,a (x) p(d, a)

konstante #{n ≥ 1 | pn ≤ x und pn+1 − pn = 2k} #{p prim | p ≤ x und p + 2, p + 6 sind auch Primzahlen} #{p prim | p ≤ x und p + 4, p + 6 sind auch Primzahlen} #{p prim | p ≤ x und p + 2, p + 6, p + 8 sind(auch Primzahlen} ) ∑ 1 1 1 = + + , p p+2 p+6 summiert u ¨ber alle Primzahldrillinge (p, p +(2, p + 6) ) ∑ 1 1 1 = + + , p p+4 p+6 summiert u ¨ber alle Primzahldrillinge (p, p +(4, p + 6) ) ∑ 1 1 1 1 = + + + , p p+2 p+6 p+8 summiert u ¨ber alle Primzahlvierlinge (p, p + 2, p + 6, p + 8) = k, wenn es ein zul¨ assiges (k − 1)-Tupel unterhalb von x gibt, aber keines mit mehr Komponenten ( ) = lim supy→∞ π(x + y) − π(y) #{p prim | p ≤ x, p ≡ a (mod d)} kleinste Primzahl in der arithmetischen Folge {a + kd | k ≥ 0}

xxiv

Erkl¨arung der Symbole

Seite

Symbol

Erkl¨ arung

215 216 221 222 223

p(d) L Pk S, S0 r2 (2n)

224

G′ (n)

226 226

(psp)n P π(x)

226 226

P πa (x) EP π(x)

226 226

EP πa (x) SP π(x)

226 227 227

SP πa (x) l(x) psp(d, a)

228 230

CN (x) Lπ(x)

231

SLπ(x)

234 235 236 236 236 236 238

ζp h(p) πreg (x) πir (x) ii(p) πiis (x) Sd,a (x)

242

qp (a)

245

W (p)

= max{p(d, a) | 1 ≤ a < d, ggT(a, d) = 1} Linniks Konstante Menge der k-Fastprimzahlen Schnirelmanns Konstanten Anzahl der Darstellungen von 2n als Summe zweier Primzahlen #{2n | 2n ≤ x, 2n ist keine Summe zweier Primzahlen} n-te Pseudoprimzahl Anzahl der Pseudoprimzahlen zur Basis 2, kleiner oder gleich x dergleichen zur Basis a Anzahl der Euler-Pseudoprimzahlen zur Basis 2, kleiner oder gleich x dergleichen zur Basis a Anzahl der starken Pseudoprimzahlen zur Basis 2, kleiner oder gleich x dergleichen zur Basis a = elog x log log log x/ log log x kleinste Pseudoprimzahl in der arithmetischen Folge {a + kd | k ≥ 1} mit ggT(a, d) = 1 #{n | 1 ≤ n ≤ x, n Carmichael-Zahl} Anzahl der Lucas-Pseudoprimzahlen mit Parametern (P, Q), kleiner oder gleich x Anzahl der starken Lucas-Pseudoprimzahlen mit Parametern (P, Q), kleiner oder gleich x = cos(2π/p) + i sin(2π/p) Klassenzahl des p-ten Kreisteilungsk¨orpers Anzahl der regul¨ aren Primzahlen p ≤ x Anzahl der irregul¨ aren Primzahlen p ≤ x Irregularit¨ atsindex von p Anzahl der Primzahlen p ≤ x mit ii(p) = s #{p prim | p ≤ x, dp + a ist prim} ap−1 − 1 = , Fermat-Quotient von p zur Basis a p (p − 1)! + 1 = , Wilson-Quotient p

Erkl¨arung der Symbole

Seite

Symbol

Erkl¨ arung

246

Rn

=

253 253 254

Cn Cπ(x) Wn

257

P(T )

257 261 268 275 278 278

πH (x) S2n+1 πf (X) (x) p(f ) πX,X+2k (x) πX 2 +1 (x)

279

πaX 2 +bX+c (x)

xxv

10n − 1 , Repunit-Zahl 9 n = n × 2 + 1, Cullen-Zahl #{n | Cn ≤ x und Cn ist prim} = n × 2n − 1, Woodall-Zahl oder CullenZahl der zweiten Art Menge der Primzahlen p, die irgendeinen Term der Folge T = (Tn )n≥0 teilen #{p ∈ P(H) | p ≤ x} NSW-Zahl #{n ≥ 1 | |f (n)| ≤ x und |f (n)| ist prim} kleinste Zahl m ≥ 1, f¨ ur die |f (m)| prim ist #{p prim | p + 2k prim und p + 2k ≤ x} #{p prim | p hat die Form p = m2 + 1 und p ≤ x} #{p prim | p hat die Form p = am2 + bm + c und p ≤ x}

Einleitung

Das Guinness Buch der Rekorde wurde dadurch ber¨ uhmt, die ausschlaggebende Informationsquelle zu sein, wenn es darum geht, liebenswerte Auseinandersetzungen an (hoﬀentlich Guinness-beladenen) Stammtischen zu schlichten. Der riesige Erfolg der Erfassung aller nur denkbarer Heldentaten, Anomalien, Ausdauer- und ¨ahnlicher Spitzenleistungen beeinﬂusste diese im Gegenzug und regte zu immer neuen Rekorden an. Und ob es nun Paare waren, die unz¨ahlige Stunden tanzten oder Leute, die sich tagelang zusammen mit Giftschlangen in einen Sarg legten, die Motivation war immer dieselbe: Einmal in der Bibel der Rekorde namentlich verzeichnet zu sein. So gibt es wirklich alle m¨oglichen Eintr¨ age, seien es athletische Leistungen, Menschen mit extremen Ausmaßen, unglaublicher Ausdauer oder sonstigen erstaunlichen F¨ahigkeiten. Rekorde im wissenschaftlichen Bereich sind jedoch selten zu ﬁnden. Und das, obwohl Wissenschaftler – und Mathematiker im Besonderen – ebenso gerne bei einem Glas Wein oder Bier an einer Theke plaudern. Und sp¨atestens, wenn der Weingeist ihnen in die K¨opfe steigt, fangen sie an, u urzlich errungene Fortschritte zu wettern, wie zum ¨ber k¨ Beispiel auch u ¨ber neueste Entdeckungen aus dem Reich der Zahlen. Ehrlich gesagt w¨ urde ich es sogar als sehr kultiviert empﬁnden, in unserer Lokalzeitung von einer gepﬂegten Pr¨ ugelei in einem unserer Pubs zu lesen, deren Ursache es war, dass man sich dar¨ uber gestritten hat, welches der gr¨ oßte bekannte Primzahlzwilling ist. Allerdings w¨ urde nicht jeder Handgreiﬂichkeiten zwischen Menschen als w¨ unschenswert erachten, selbst wenn es um solch hochwichtige Dinge geht. Vielleicht sollte ich daher lieber einige dieser Rekorde oﬀenlegen. Und jeder, der es besser weiß, sollte nicht z¨ogern, mir neue Informationen zukommen zu lassen.

2

Einleitung

Ich werde mich darauf beschr¨ anken, von Primzahlen zu berichten. Dies sind nat¨ urliche Zahlen wie 2, 3, 5, 7, 11, . . . , die nicht Vielfache von kleineren Zahlen als sie selbst (ausgenommen der 1) sind. Falls eine nat¨ urliche Zahl ungleich 1 keine Primzahl ist, nennt man sie zerlegbar . Primzahlen sind elementar wichtig: Der Fundamentalsatz der Arithmetik besagt, dass sich jede nat¨ urliche Zahl gr¨oßer als 1 auf eindeutige Weise als Produkt von Primzahlen schreiben l¨asst. Ohne große M¨ uhe ist die Frage Welches ist die schr¨agste Primzahl?“ ” zu beantworten: Es ist die 2, denn sie ist die einzige gerade Primzahl! Es wird viele Gelegenheiten geben, auf weitere Primzahlen wie 1093 oder 608 981 813 029 zu treﬀen, die unverwechselbare und bemerkenswerte Eigenschaften besitzen. Primzahlen sind wie die Mitglieder einer Familie, sie ¨ahneln sich, sind aber doch verschieden. Als ich der Aufgabe gegen¨ uberstand, Primzahlrekorde vorzustellen, musste ich mir vor allem dar¨ uber klar werden, wie dieses Buch zu gliedern sei. Mit anderen Worten, wie die wesentlichen Z¨ uge der Untersuchung und Entwicklung der Theorie der Primzahlen zu klassiﬁzieren sind. Eine bestimmte Menge von Zahlen zu studieren – in diesem Fall die Primzahlen – wirft sofort einige Fragen auf, die ich hier einmal zwanglos formulieren will: Wie viele dieser Zahlen gibt es? Wie kann man feststellen, ob eine beliebige Zahl zur Menge geh¨ ort? Wie kann man sie beschreiben? Wie sind die Zahlen verteilt, sowohl im Großen als auch in kleinen Intervallen betrachtet? Welche Besonderheiten zeichnen einige dieser Zahlen aus, wie kann man experimentell vorgehen, wie Vorhersagen ihres Auftretens treﬀen – so wie in jeder anderen Wissenschaft auch? Ich habe die Pr¨ asentation daher in die folgenden Themen unterteilt: (1) Wie viele Primzahlen gibt es? (2) Wie kann man Primzahlen erkennen? (3) Gibt es primzahldeﬁnierende Funktionen? (4) Wie sind die Primzahlen verteilt? (5) Welche besonderen Arten von Primzahlen wurden untersucht? (6) Heuristische und probabilistische Betrachtungen. Die Diskussion und Beantwortung dieser Fragen wird mich dazu f¨ uhren, die maßgeblichen Rekorde anzugeben.

1 Wie viele Primzahlen gibt es?

Die Frage, wie viele Primzahlen es gibt, wird durch den fundamentalen Satz beantwortet: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Ich werde mehrere Beweise f¨ ur diesen Satz vorstellen, darunter vier Varianten unterschiedlicher Ans¨ atze. Die Beweise stammen von ber¨ uhmten Mathematikern, aber auch von solchen, die in Vergessenheit geraten sind. Manche der Beweise deuten auf interessante Entwicklungen hin, andere sind einfach nur raﬃniert oder merkw¨ urdig. Nat¨ urlich gibt es noch mehr Beweise f¨ ur die Existenz unendlich vieler Primzahlen – wenn auch nicht unendlich viele.

I Beweis von Euklid Angenommen, p1 = 2 < p2 = 3 < · · · < pr w¨ urde die Gesamtheit aller Primzahlen darstellen. Es sei P = p1 p2 · · · pr + 1 und p eine Primzahl, die P teilt. Dann kann p keine der Zahlen p1 , p2 , . . . , pr sein, denn andernfalls m¨ usste p auch die Diﬀerenz P − p1 p2 · · · pr = 1 teilen, was aber unm¨oglich ist. Daher ist p eine zus¨atzliche Primzahl, so dass p1 , p2 , . . . , pr nicht schon alle Primzahlen gewesen sein k¨onnen. Ich bezeichne die aufsteigend unendliche Folge der Primzahlen nun stets durch p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, . . . , pn , . . . .

P. Ribenboim, Die Welt der Primzahlen, 2. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-18079-8_1, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

4

1. Wie viele Primzahlen gibt es?

Eine elegante Variante des euklidischen Beweises wurde 1878 von Kummer angegeben. Beweis von Kummer. Angenommen, es g¨abe nur endlich viele Primzahlen p1 < p2 < · · · < pr . Es sei N = p1 p2 · · · pr , wobei N > 2. Die Zahl N − 1, die wie alle nat¨ urlichen Zahlen ein Produkt von Primzahlen ist, muss mit N einen gemeinsamen Teiler pi haben, der dann wiederum die Diﬀerenz N − (N − 1) = 1 teilen m¨ usste, was nicht sein kann. Dieser Beweis eines bedeutenden Mathematikers gleicht einer Perle: Er ist rund, glanzvoll und sch¨ on in seiner Einfachheit. Ein ¨ahnlicher Beweis wie der von Kummer wurde 1890 von Stieltjes vorgestellt, einem weiteren großen Mathematiker. Wenn Ihnen Kummers Beweis gefallen hat, vergleichen Sie ihn doch mit dem folgenden, der noch einfacher und sch¨oner ist. Auf ihn wurde ich von W. Narkiewicz aufmerksam gemacht. Der Beweis wurde 1915 von H. Brocard im Interm´ediaire des Math´ematiciens 22, Seite 253, ver¨oﬀentlicht und dort Hermite zugeschrieben. Hierbei handelt es sich um eine weitere Variante des euklidischen Beweises: Es gen¨ ugt zu zeigen, dass es f¨ ur jede nat¨ urliche Zahl n eine Primzahl p gibt, die gr¨oßer als n ist. Zu diesem Zweck betrachte man einen beliebigen Primteiler p der Zahl n! + 1! (Wenn Sie das zweite !, das eigentlich den Beweis abschließt, nicht m¨ogen, dann beziehen Sie es einfach auf die 1.) Euklids Beweis ist zwar recht einfach, doch gibt er keinerlei Auskunft u ¨ber die Beschaﬀenheit der neuen Primzahl, die in jedem Schritt erzeugt wird. Man weiß nur, dass sie in ihrer Gr¨oße h¨ochstens gleich P = p1 p2 · · · pn + 1 ist. Es kann also sein, dass die Zahl P f¨ ur manche Indizes n selbst eine Primzahl, f¨ ur andere n aber zerlegbar ist. F¨ ur jedes prime p bezeichne p# das Produkt aller Primzahlen q mit q ≤ p. Der Ausdruck p# wird auch die Primfakult¨ at von p genannt.1 Folgende Fragen sind bislang ungekl¨ art: Gibt es unendlich viele Primzahlen p, f¨ ur die p# + 1 prim ist? Gibt es unendlich viele Primzahlen p, f¨ ur die p# + 1 zerlegbar ist?

1 Anm. d. Ubers.: ¨ Nach einem Vorschlag von Dubner (1987) wird im Englischen das Produkt p# als primorial of p bezeichnet, in Anlehnung an das englische Wort factorial f¨ ur die Fakult¨ at einer Zahl.

I. Beweis von Euklid

5

Rekord Die gr¨oßten bekannten Primzahlen der Form p# + 1 sind: Primzahl 392113# + 1 366439# + 1 145823# + 1

Stellen 169966 158936 63142

Jahr 2001 2001 2000

Entdecker D. Heuer u. a. D. Heuer u. a. A.E. Anderson, D.E. Robinson u. a.

Die Zahlen p# + 1 wurden f¨ ur alle p < 120000 von Caldwell & Gallot (2002) auf ihre Primalit¨ at hin untersucht. Dabei stellte sich heraus, dass sie im betrachteten Intervall nur f¨ ur p = 2, 3, 5, 7, 11, 31, 379, 1019, 1021, 2657, 3229, 4547, 4787, 11549, 13649, 18523, 23801, 24029 und 42209 prim sind. Fr¨ uhere Arbeiten stammen von Borning (1972), Templer (1980), Buhler, Crandall & Penk (1982), Caldwell & Dubner (1993), und Caldwell (1995). Caldwell & Gallot f¨ uhrten eine ¨ ahnliche Untersuchung f¨ ur Zahlen der Form p# − 1 durch. Im oben erw¨ ahnten Artikel wird berichtet, dass diese Zahlen im Bereich von p < 120000 nur f¨ ur p = 3, 5, 11, 13, 41, 89, 317, 337, 991, 1873, 2053, 2377, 4093, 4297, 4583, 6569, 13033 und 15877 Primzahlen sind. Inzwischen weiß man, dass f¨ ur die Formen p# + 1 und p# − 1 außer den genannten Primzahlen keine weiteren mit p < 637000 beziehungsweise p < 650000 existieren. Der Beweis von Euklid wirft noch weitere Fragen auf. Eine davon ist diese: Man betrachte die Folge q1 = 2, q2 = 3, q3 = 7, q4 = 43, q5 = 139, q6 = 50 207, q7 = 340 999, q8 = 2 365 347 734 339, . . ., wo qn+1 der gr¨oßte Primfaktor von q1 q2 · · · qn + 1 ist (so dass qn+1 ̸= q1 , q2 , . . . , qn ). Hierzu stellte Mullin (1963) folgende Fragen: Enth¨alt die Folge (qn )n≥1 alle Primzahlen? Falls nicht, sind nur endlich viele ausgeschlossen? Ist die Folge monoton? Was die erste Frage angeht, so ist leicht einzusehen, dass die 5 in Mullins Folge nicht vorkommen kann. Dar¨ uber hinaus fanden Cox & van der Poorten (1968) Kongruenzkriterien, mit deren Hilfe man entscheiden kann, ob eine Primzahl nicht zur Folge geh¨ort. Auf diese Weise konnten sie zeigen, dass 2, 3, 7 und 43 die einzigen Primzahlen bis einschließlich 47 sind, die Mullins Folge angeh¨oren. Der ausf¨ uhrliche Beweis ist im Buch von Narkiewicz (2000) enthalten.

6

1. Wie viele Primzahlen gibt es?

Bez¨ uglich der zweiten Frage herrscht die Meinung vor, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die nicht Element von Mullins Folge sind, was die zweite Frage negativ beantworten w¨ urde. Schließlich konnte Naur 1984 durch Erweiterung vorausgegangener Berechnungen zeigen, dass q10 < q9 ; die Folge ist also nicht monoton. Im Jahre 1991 betrachtete Shanks die ¨ ahnlich erzeugte Folge l1 = 2, l2 = 3, l3 = 7, l4 = 43, l5 = 13, l6 = 53, l7 = 5, l8 = 6 221 671, . . . , wobei diesmal ln+1 der kleinste Primfaktor von l1 l2 · · · ln + 1 ist. Shanks vermutete, dass (ln )n≥1 s¨ amtliche Primzahlen enth¨alt. Die G¨ ultigkeit dieser Aussage ist bisher weder bewiesen noch widerlegt. Wagstaﬀ bestimmte 1993 alle Folgenglieder ln mit n ≤ 43, indem er Berechnungen von Guy & Nowakowski aus dem Jahre 1975 fortf¨ uhrte. Die Berechnung von Gliedern dieser beiden Folgen erfordert es in der Regel, Zahlen von betr¨ achtlicher Gr¨ oße in ihre Primteiler zu zerlegen. Dies wird mit zunehmender Stellenanzahl immer schwieriger. So konnten erst im M¨ arz 2010 vier weitere Folgenglieder ln bestimmt werden, nachdem l44 als ein 68-stelliger Primteiler der 180-stelligen Zahl l1 l2 · · · l43 + 1 gefunden war. Zur Bestimmung des n¨achsten Terms l48 ist nun eine 256-stellige Zahl zu faktorisieren. Auf das Problem der Faktorisierung von Zahlen werde ich in Kapitel 2, Abschnitt XI, D eingehen. Im Jahre 1985 betrachtete Odoni die ¨ ahnlich erzeugte Folge w1 = 2, w2 = 3, w3 = 7, . . . , wn+1 = w1 w2 · · · wn + 1 und zeigte, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, die kein Glied der Folge teilen. Andererseits gibt es nat¨ urlich unendlich viele Primzahlen, die irgendein wi teilen.

II Ein Beweis von Goldbach! Der Grundgedanke im Beweis von Goldbach ist zugleich einfach und ergiebig. Es gen¨ ugt, eine unendliche Folge nat¨ urlicher Zahlen 1 < a1 < a2 < a3 < · · · zu ﬁnden, die paarweise teilerfremd sind (das heißt, sie haben keine gemeinsamen Teiler). Falls also p1 eine Primzahl ist, die a1 teilt, die Primzahl p2 die Zahl a2 teilt, und so weiter, dann sind alle p1 , p2 , . . . verschieden. Der Sinn dieses Ansatzes besteht darin, dass der gr¨oßte gemeinsame Teiler durch fortgesetzte euklidische Divisionen ermittelt werden kann, ohne dass die Primfaktoren der Zahlen bekannt sein m¨ ussten.

II. Ein Beweis von Goldbach!

7

F¨ ur einen guten Einfall scheint niemand die Urheberschaft beanspruchen zu k¨onnen, insbesondere dann, wenn es sich um einen einfachen Gedanken handelt. In diesem Fall dachte ich urspr¨ unglich, dass er von P´olya & Szeg¨ o stammt (siehe deren Buch von 1924). E. Specker ¨ wies mich aber darauf hin, dass P´olya eine Ubungsaufgabe von Hurwitz (1891) verwendet hatte. Schließlich machte W. Narkiewicz mich darauf aufmerksam, dass es Goldbach war, der den nachfolgenden Beweis in einem Brief an Euler (20./31. Juli 1730) aufschrieb. Dieser Beweis, der auf den Fermat-Zahlen beruht, ist vielleicht der einzige, den Goldbach schriftlich festgehalten hat. n

Die Fermat-Zahlen Fn = 22 + 1 (f¨ ur n ≥ 0) sind paarweise teilerfremd. Beweis. Durch Induktion u ¨ber m kann man leicht zeigen, dass Fm − 2 = F0 F1 · · · Fm−1 ; daher ist Fn Teiler von Fm − 2, wenn n < m. Falls nun eine Primzahl p sowohl Fn als auch Fm teilen sollte, m¨ usste sie auch Fm − 2 und Fm und somit die 2 teilen, daher bleibt nur p = 2. Aber Fn ist ungerade und deshalb nicht durch 2 teilbar, was zeigt, dass die beiden Fermat-Zahlen teilerfremd sind. Im Einzelnen lauten die ersten Fermat-Zahlen F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537. Es sind allesamt Primzahlen. F5 ist bereits 10-stellig, und jede weitere Fermat-Zahl ist ungef¨ahr so groß wie das Quadrat der vorherigen, so dass die Zahlen der Folge sehr rasch anwachsen. Die Frage, ob f¨ ur gegebenes n die Zahl Fn eine Primzahl ist oder wie man gegebenenfalls einen Primteiler von ihr ﬁnden kann, stellt ein wichtiges Problem dar, das ich in Kapitel 2 noch einmal aufgreifen werde. Es w¨are w¨ unschenswert, weitere unendliche Folgen paarweise teilerfremder Zahlen zu ﬁnden, ohne dabei die Existenz unendlich vieler Primzahlen vorauszusetzen. In einer 1964 erschienenen Arbeit ging Edwards dieser Frage nach und gab verschiedene solcher rekursiv deﬁnierter Folgen an. Wenn beispielsweise S0 und a teilerfremde ganze Zahlen sind, wobei S0 > a ≥ 1, dann sind die Glieder der durch die rekursive Relation Sn − a = Sn−1 (Sn−1 − a) (f¨ ur n ≥ 1) deﬁnierten Folge Sn paarweise teilerfremd. Im einfachsten Falle, wenn also S0 = 3 und a = 2, ergibt sich die Folge der Fermat-Zahlen: Sn = n Fn = 22 + 1.

8

1. Wie viele Primzahlen gibt es?

Entsprechend erh¨ alt man, wenn S0 ungerade ist und 2 Sn = Sn−1 − 2 (f¨ ur n ≥ 1),

gesetzt wird, wiederum eine Folge Sn paarweise teilerfremder Zahlen. Diese Folge, die ¨ ahnlich schnell w¨ achst wie die obige, wurde von Lucas n¨aher untersucht. Ich werde darauf in Kapitel 2 zur¨ uckkommen. Ebenfalls ohne die Unendlichkeit der Anzahl von Primzahlen vorauszusetzen, fand Bellman im Jahre 1947 eine Methode, unendliche Folgen paarweise teilerfremder Zahlen zu erzeugen. Man beginnt mit einem nichtkonstanten Polynom f (X) mit ganzzahligen Koeﬃzienten, wobei f (0) ̸= 0. Zudem gelte, dass immer wenn n, f (0) teilerfremd sind, dies auch ur f (n), ( f¨ ) f (0) der Fall ist. Nun sei f1 (X) = f (X) und fm+1 (X) = f fm (X) f¨ ur m ≥ 1. Wenn es vorkommt, dass fm (0) = f (0) f¨ ur alle m ≥ 1, und außerdem n und f (0) teilerfremd sind, dann sind auch die Zahlen n, f1 (n), f2(n), . . . , fm(n), . . . paarweise teilerfremd. So erf¨ ullt beispielweisef(X)= n 2 (X − 1) + 1 die Voraussetzungen, und es ergibt sich fn (−1) = 22 + 1, womit wir wieder bei den Fermat-Zahlen sind! Die folgende Beweisvariante, die auf den Ansatz von Hurwitz zur¨ uckgeht, wurde mir freundlicherweise von P. Schorn mitgeteilt. Beweis von Schorn. Zun¨ achst stellt man fest: Wenn n eine nat¨ urliche Zahl ist und 1 ≤ i < j ≤ n, dann gilt ( ) ggT (n!)i + 1, (n!)j + 1 = 1. Denn wenn man j = i + d setzt, dann ist 1 ≤ d < n und daher ( ) ( ) ggT (n!)i + 1), (n!)j + 1 = ggT (n!)i + 1, n!d = 1, weil jede Primzahl p, die (n!)d teilt, h¨ ochstens gleich n ist. Falls nun die Anzahl der Primzahlen m w¨are und man n = m + 1 w¨ahlt, folgt aus obiger Bemerkung, dass die m + 1 Zahlen (m + 1)!i + 1 (1 ≤ i ≤ m + 1) paarweise teilerfremd sind, so dass es mindestens m + 1 verschiedene Primzahlen geben muss, ein Widerspruch zur Annahme.

III Beweis von Euler Dies ist ein eher indirekter Beweis, den man in einem gewissem Sinne als unnat¨ urlich bezeichnen kann. Andererseits f¨ uhrt er jedoch zu h¨ochst bedeutsamen Folgerungen, auf die ich noch hinweisen werde.

III. Beweis von Euler

9

Euler zeigte, dass es unendlich viele Primzahlen geben muss, weil ein bestimmter, aus allen Primzahlen gebildeter Ausdruck unendlich groß wird. Es sei p eine beliebige Primzahl. Dann ist 1/p < 1, und die geometrische Reihe summiert sich zu ∞ ∑ 1 1 = . k p 1 − (1/p) k=0

F¨ ur eine weitere Primzahl q ergibt sich analog ∞ ∑ 1 1 = . qk 1 − (1/q) k=0

Indem man diese Gleichungen miteinander multipliziert, erh¨alt man: 1+

1 1 1 1 1 1 1 + + 2+ + 2 + ··· = × . p q p pq q 1 − (1/p) 1 − (1/q)

Die linke Seite ist genau die Summe der Inversen aller nat¨ urlichen h k Zahlen der Form p q (h ≥ 0, k ≥ 0), wobei jede genau einmal gez¨ahlt wird, denn jede nat¨ urliche Zahl besitzt eine eindeutige Darstellung als Produkt von Primfaktoren. Diese einfache Idee ist die Basis des nun folgenden Beweises. Beweis von Euler. Angenommen, p1 , p2 , . . . , pn seien s¨amtliche Primzahlen. F¨ ur jedes i = 1, . . . , n ist ∞ ∑ 1 1 = . k 1 − (1/pi ) p k=0 i

Wenn man diese n Gleichungen miteinander multipliziert, erh¨alt man (∞ ) n n ∏ ∑ 1 ∏ 1 = . k 1 − (1/p p i) i=1 k=0 i i=1 Die linke Seite ist gleich der Summe der Inversen aller nat¨ urlichen Zahlen, jeweils einmal gez¨ ahlt, was sich aus der Eindeutigkeit der Primfaktorenzerlegung ergibt. Die Reihenfolge der Summation ist beliebig, weil die Summanden ∑∞ der Reihe positiv sind. Daher ist die linke Seite gleich n=1 (1/n), und diese Reihe ist divergent. Doch die rechte Seite hat oﬀensichtlich einen endlichen Wert, und dies ist ein Widerspruch. In Kapitel 4 werde ich auf die Entwicklungen eingehen, die sich hieraus ergeben.

10

1. Wie viele Primzahlen gibt es?

IV Beweis von Thue Der Beweis von Thue (1897) benutzt lediglich den Fundamentalsatz der eindeutigen Darstellung einer nat¨ urlichen Zahl als ein Produkt von Primfaktoren. Beweis von Thue. Es seien n, k ≥ 1 nat¨ urliche Zahlen, die der Ungleichung (1 + n)k < 2n gen¨ ugen, und p1 = 2, p2 = 3, . . . , pr alle Primzahlen bis 2n . Nehmen wir an, dass r ≤ k. Aufgrund des Fundamentalsatzes u ¨ber die Primfaktorenzerlegung l¨asst sich jede Zahl m, 1 ≤ m ≤ 2n , in eindeutiger Weise schreiben als m = 2e1 · 3e2 · · · perr , wobei 0 ≤ e1 ≤ n, 0 ≤ e2 ≤ n, . . . , 0 ≤ er ≤ n. Das Abz¨ahlen aller m¨ oglichen Kombinationen ergibt 2n ≤ (n + 1)nr−1 < (n + 1)r ≤ (n + 1)k < 2n , was nicht sein kann. Also muss r ≥ k + 1 sein. W¨ahle nun n = 2k2 . Aus 1 + 2k2 < 22k f¨ ur jedes k ≥ 1 gewinnt man 2

2

(1 + 2k2 )k < 22k = 4k . 2

Daher gibt es bis 4k mindestens k + 1 Primzahlen. Da aber k beliebig gew¨ahlt werden kann, zeigt dies, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Tats¨achlich zeigt der Beweis auch, dass k + 1 eine untere Schranke 2 f¨ ur die Anzahl der Primzahlen kleiner als 4k ist, was sogar ein quantitatives Resultat darstellt – wenngleich ein ziemlich schlechtes. Im Kapitel 4 werde ich Fragen dieser Art noch einmal aufgreifen.

V Drei vergessene Beweise Die n¨achsten Beweise stammen von Perott, Auric und M´etrod. Wer erinnert sich schon an diese Namen? Wenn es nicht Dicksons History of the Theory of Numbers g¨ abe, w¨ aren sie wohl v¨ollig in Vergessenheit geraten. Wie ich zeigen werde, sind diese Beweise gleichermaßen unterhaltsam wie geistreich, obwohl sie zu keinen neuen Erkenntnissen f¨ uhren.

V. Drei vergessene Beweise

A

11

Beweis von Perott

Der Beweis von Perott stammt aus dem Jahre ∑ 1881. 2 Man muss hierzu wissen, dass die Reihe ∞ n=1 (1/n ) konvergiert, mit einer Summe kleiner als 2. (Dass diese Summe genau π 2 /6 betr¨agt, ist ein ber¨ uhmtes Resultat von Euler, auf das ich in Kapitel 4 noch einmal zur¨ uckkommen werde.) Tats¨ achlich ist ) ∞ ∞ ∞ ( ∑ ∑ ∑ 1 1 1 1 < 1 + = 1 + − = 1 + 1 = 2. 2 n n(n + 1) n n + 1 n=1 n=1 n=1 Nehmen wir nun an, es g¨ abe nur r Primzahlen p1 < p2 < · · · < pr . Es sei N eine beliebige ganze Zahl mit p1 p2 · · · pr < N . Die Anzahl derjenigen m ≤ N , die nicht durch ein Quadrat teilbar sind, ist 2r (was genau der Anzahl der m¨ oglichen Mengen verschiedener Primzahlen entspricht), weil jede Zahl in eindeutiger Weise das Produkt von Primzahlen ist. Da nur h¨ ochstens N/p2i Zahlen m ≤ N durch p2i teilbar sind, ist die Anzahl derjenigen m ≤ N , die sich durch irgendein r ∑ Quadrat teilen lassen, h¨ ochstens gleich (N/p2i ). Daher ist i=1

N ≤ 2r +

r ∑ N i=1

p2i

< 2r + N

(∑ ∞

1 −1 2 n n=1

) = 2r + N (1 − δ),

f¨ ur ein δ > 0. Wenn man N so w¨ ahlt, dass N δ ≥ 2r wird, f¨ uhrt dies zu einem Widerspruch.

B

Beweis von Auric

Der Beweis von Auric, der 1915 ver¨ oﬀentlicht wurde, ist sehr einfach. Angenommen, es g¨ abe nur r Primzahlen p1 < p2 < · · · < pr . Es sei t ≥ 1 eine beliebige ganze Zahl und N = ptr . Aufgrund der eindeutigen Primfaktorenzerlegung l¨ asst sich jede Zahl m, 1 ≤ m ≤ N , als f1 f2 fr m = p1 p2 · · · pr schreiben, wobei die Folge (f1 , f2 , . . . , fr ), fi ≥ 0, eindeutig festgelegt ist. Aus pf1i ≤ pfi i ≤ m ≤ N = ptr ergibt sich f¨ ur i = 1, 2, . . . , r, dass fi ≤ tE, wobei E = (log pr )/(log p1 ). Daher ist die Anzahl N (von ganzen Zahlen m, 1 ≤ m ≤ N ) h¨ochstens gleich der Anzahl von Folgen (f1 , f2 , . . . , fr ), und somit ist ptr = N < (tE + 1)r < tr (E + 1)r . F¨ ur gen¨ ugend großes t wird diese Ungleichung unwahr, was zeigt, dass die Anzahl der Primzahlen ins Unendliche wachsen muss.

12

C

1. Wie viele Primzahlen gibt es?

Beweis von M´ etrod

Der Beweis von M´etrod aus dem Jahre 1917 ist ebenfalls sehr einfach. Angenommen, es g¨ abe nur r Primzahlen p1 < p2 < · · · < pr . Es sei N = p1 p2 · · · pr , und Qi = N/pi f¨ ur i = 1, 2, . . . , r. F¨ ur kein i teilt pi die Zahl Q , wohingegen p Teiler von Q ist, sofern j ̸= i. Man setze i i j ∑ nun S = ri=1 Qi und bezeichne mit q einen beliebigen Primteiler von S. Dann ist q verschieden von allen pi , denn pi teilt Qj f¨ ur alle i ̸= j, doch pi ist kein Teiler von Qi . Daher muss q eine weitere Primzahl sein!

VI Beweis von Washington Der Beweis von Washington (1980) f¨ uhrt u ¨ber kommutative Algebra. Die Zutaten sind elementare Fakten der Theorie der Hauptidealringe, Faktorringe, Dedekindscher Ringe und algebraischer Zahlen, und k¨onnen in jedem einschl¨ agigen Fachbuch nachgelesen werden, wie etwa dem von Samuel (1967): Es sind keinerlei Geheimnisse damit verbunden. Zun¨achst werde ich die ben¨ otigten Tatsachen angeben: 1. In jedem Zahlk¨ orper endlichen Grades ist der Ring der algebraischen Zahlen ein Dedekindscher Ring: Jedes vom Nullideal verschiedene Ideal ist in eindeutiger Weise ein Produkt von Primidealen. 2. In jedem Zahlk¨ orper endlichen Grades gibt es nur endlich viele Primideale, die eine beliebige gegebene Primzahl p teilen. 3. Ein Dedekindscher Ring mit nur endlich vielen Primidealen ist ein Hauptidealring, und somit ist jedes von Null verschiedene Element das bis auf Einheiten eindeutige Produkt von Primelementen. Beweis von Washington. Man betrachte den K¨orper aller Zahlen √ der Form a + b −5, wobei a, b rationale Zahlen sind. Der Ring der algebraischen Zahlen dieses K¨ orpers setzt sich aus den Zahlen obiger Form zusammen, in denen a, b √ gew¨ ohnliche √ ganze Zahlen sind. Man kann leicht zeigen, dass 2, 3, 1 + −5, 1 − 5 Primzahlen dieses Rings sind, da sie sich nicht in das Produkt algebraischer Zahlen zerlegen lassen, es sei denn, einer der Faktoren ist eine Einheit“ 1 oder −1. ” Man beachte zudem, dass √ √ (1 + −5)(1 − −5) = 2 × 3,

VII. Beweis von Furstenberg

13

so dass die Zerlegung der 6 in Primfaktoren nicht eindeutig ist. Daher ist dieser Ring kein Faktorring und somit auch kein Hauptidealring. Es muss also nach obiger Tatsache 3 unendlich viele Primideale geben, und aufgrund von Tatsache 2 ist die Existenz unendlich vieler Primzahlen nachgewiesen.

VII Beweis von Furstenberg ¨ Dieser originelle Beweis basiert auf topologischen Uberlegungen und wurde 1955 ver¨ oﬀentlicht. Da er so kurz ist, kann ich ihn nicht besser ¨ darstellen als im Wortlaut. Hier wird er in deutscher Ubersetzung wiedergegeben: In dieser Mitteilung m¨ ochten wir einen elementaren topo” logischen“ Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen vorschlagen. Wir f¨ uhren eine Topologie im Raum der ganzen Zahlen S ein, indem wir die arithmetischen Folgen (−∞ bis +∞) als Basis verwenden. Es ist nicht schwer zu veriﬁzieren, dass dies wirklich einen topologischen Raum darstellt. Tats¨achlich kann man zeigen, dass S unter dieser Topologie normal und daher metrisierbar ist. Jede arithmetische Folge ist abgeschlossen und auch oﬀen, da ihr Komplement die Vereinigung anderer arithmetischer Folgen derselben Diﬀerenz ist. Daraus resultiert, dass die Vereinigung jeder endlichen Anzahl arithmetischer ∪ Folgen abgeschlossen ist. Betrachte nun die Menge A = Ap , wobei Ap sich aus allen Vielfachen von p zusammensetzt und p die Menge der Primzahlen ≥ 2 durchl¨ auft. Die einzigen Zahlen, die nicht zu A geh¨ oren, sind −1 und 1, und da die Menge {−1, 1} oﬀensichtlich nicht oﬀen ist, kann A nicht abgeschlossen sein. Daher ist A keine endliche Vereinigung abgeschlossener Mengen, was beweist, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Golomb hat Furstenbergs Gedanken weiterentwickelt und ver¨oﬀentlichte 1959 einen interessanten kleinen Artikel dar¨ uber.

2 Wie kann man Primzahlen erkennen?

In Artikel 329 der Disquisitiones Arithmeticae schreibt Gauß (1801): Dass die Aufgabe, die Primzahlen von den zusammengesetzten zu unterscheiden und letztere in ihre Primfactoren zu zerlegen, zu den wichtigsten und n¨ utzlichsten der gesamten Arithmetik geh¨ ort und die Bem¨ uhungen und den Scharfsinn sowohl der alten wie auch der neueren Geometer in Anspruch genommen hat, ist so bekannt, dass es u ussig w¨ are, hier¨ uber viele Worte zu verlieren. [ . . . ] ¨berﬂ¨ Ausserdem aber d¨ urfte es die W¨ urde der Wissenschaft erheischen, alle H¨ ulfsmittel zur L¨ osung jenes so eleganten und ber¨ uhmten Problems ﬂeissig zu vervollkommnen. Die erste Feststellung im Zusammenhang mit den Fragen der Primalit¨at und Faktorisierung von Zahlen ist klar: F¨ ur beide Probleme existiert ein Algorithmus. Damit ist ein Verfahren gemeint, das f¨ ur beliebiges N in endlich vielen Schritten erkennen l¨asst, ob N eine Primzahl ist, oder im Falle der Zerlegbarkeit die Primfaktoren liefert. F¨ ur eine gegebene nat¨ urliche Zahl N muss man√nur alle Zahlen n = 2, 3, . . . √ bis zu [ N ] (der gr¨ oßten ganzen Zahl, die N nicht u ¨berschreitet) der Reihe nach daraufhin pr¨ ufen, ob sie Teiler von N sind. Wenn dies f¨ ur kein n der Fall ist, handelt es sich bei N um eine Primzahl. Falls jedoch etwa N0 ein Teiler von N ist, schreibt man N = N0 N1 , wobei N1 < N ,

P. Ribenboim, Die Welt der Primzahlen, 2. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-18079-8_2, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

16

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

und wiederholt den Vorgang f¨ ur N0 und N1 . Dies ergibt schließlich die vollst¨andige Primfaktorenzerlegung von N . Was ich gerade sagte, ist so oﬀensichtlich, dass es fast schon belanglos erscheint. Es sollte allerdings nicht unerw¨ahnt bleiben, dass es f¨ ur große Zahlen N sehr lange dauern kann, bis dieser Algorithmus entschieden hat, ob N prim oder aber zerlegbar ist. Diese Bemerkung ber¨ uhrt den wichtigsten praktischen Aspekt, n¨amlich ein eﬃzientes Verfahren daf¨ ur zu ﬁnden – eines, das so wenig Rechenoperationen wie m¨ oglich erfordert und somit schneller und kosteng¨ unstiger durchzuf¨ uhren ist. Dieses Kapitel ist in mehrere Abschnitte unterteilt, in denen ich verschiedene Ans¨ atze untersuchen und die dazu notwendigen theoretischen Grundlagen erl¨ autern werde.

I Das Sieb des Eratosthenes Wie bereits gesagt, kann man mit der Probedivision durch alle Zahlen n mit n2 ≤ N feststellen, ob N eine Primzahl ist. Da die Multiplikation eine einfachere Operation ist als die Division, hatte Eratosthenes im 3. Jahrhundert v. Chr. die Idee, die notwendigen Berechnungen mit Hilfe des seitdem bekannten Siebes zu organisieren. Es dient dazu, s¨ amtliche Primzahlen sowie die Faktorisierungen der zerlegbaren Zahlen unterhalb einer gegebenen Grenze zu bestimmen. Dies wird nun anhand eines Beispiels (f¨ ur N = 101) illustriert.

11 21 31 41 51 61 71 81 91 101

2 12 22 32 42 52 62 72 82 92

3 13 23 33 43 53 63 73 83 93

4 14 24 34 44 54 64 74 84 94

5 15 25 35 45 55 65 75 85 95

6 16 26 36 46 56 66 76 86 96

7 17 27 37 47 57 67 77 87 97

8 18 28 38 48 58 68 78 88 98

9

10 20

19 29 30 39 40 49 50 59 60 69 70 79 80 89 90 99 100

II. Einige grundlegende S¨ atze u ¨ber Kongruenzen

17

Man geht wie folgt vor: Schreibe alle Zahlen bis 101 auf; streiche alle Vielfachen der 2, die gr¨ oßer als 2 sind; in jedem weiteren Schritt streiche alle Vielfachen der kleinsten u ¨brig gebliebenen Zahl p, die gr¨oßer als p sind. Man ist fertig, wenn p2 >√ 101 ist. So werden alle Vielfachen von 2, 3, 5, 7 < 101 ausgesiebt. Die Zahl 53 blieb u ¨brig und ist deshalb prim. Die Primzahlen bis 101 sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101. Dieses Verfahren bildet die Grundlage der Siebtheorie, die dazu entwickelt wurde, Absch¨ atzungen f¨ ur die Anzahl von Primzahlen zu gewinnen, die zus¨ atzliche Bedingungen erf¨ ullen.

II Einige grundlegende S¨atze u ¨ber Kongruenzen In diesem Abschnitt beabsichtige ich, einige klassische Primzahltests und Faktorisierungsverfahren zu beschreiben. Diese st¨ utzen sich auf S¨atze u ber Kongruenzen, vor allem auf den kleinen Satz“ von Fer¨ ” mat, den alten Wilson’schen Satz sowie Eulers Verallgemeinerung des Satzes von Fermat. Ein Unterabschnitt wird den quadratischen Resten gewidmet sein. Dieses Thema ist von zentraler Bedeutung und steht auch im Zusammenhang mit Primzahltests, worauf ich bei passender Gelegenheit hinweisen werde.

A

Der kleine Satz von Fermat und Primitivwurzeln modulo einer Primzahl

Kleiner Satz von Fermat. Falls p eine Primzahl ist und a eine ganze Zahl, dann gilt ap ≡ a (mod p). Insbesondere gilt: Wenn p kein Teiler von a ist, dann ist ap−1 ≡ 1 (mod p). Der erste Beweis des kleinen Satzes von Fermat wurde von Euler ver¨oﬀentlicht. Beweis. Die Aussage ist richtig f¨ ur a = 1. Angenommen, sie gelte f¨ ur ein a, dann ist durch Induktion (a + 1)p ≡ ap + 1 ≡ a + 1 (mod p). Somit ist der Satz f¨ ur jede nat¨ urliche Zahl a bewiesen. Obiger Beweis ben¨ otigte allein die Tatsache,( dass f¨ ur eine Primzahl ) p p und 1 ≤ k ≤ p − 1 der Binomialkoeﬃzient k ein Vielfaches von p ist. Man beachte diese unmittelbare Folgerung: Falls p - a und pn die h¨ochste Potenz von p ist, die ap−1 − 1 teilt, dann ist pn+e die h¨ochste

18

2. Wie kann man Primzahlen erkennen? e

Potenz von p, die ap (p−1) − 1 teilt (wobei e ≥ 1); bei dieser Aussage muss n mindestens 2 betragen, falls p = 2 ist. Aus dem Satz folgt, dass es f¨ ur jede ganze Zahl a, die kein Vielfaches von p ist, einen kleinsten Exponenten h ≥ 1 geben muss, so dass ah ≡ 1 (mod p). Dar¨ uber hinaus gilt ak ≡ 1 (mod p) genau dann, wenn h ein Teiler von k ist; insbesondere ist h Teiler von p−1. Diesen Exponenten h nennt man die Ordnung von a modulo p. Man beachte, dass a mod p, a2 mod p, . . . , ah−1 mod p, und 1 mod p alle verschieden sind. Es ist nicht schwer zu zeigen, dass es f¨ ur jede Primzahl p mindestens eine Zahl g gibt, die von p nicht geteilt wird und die modulo p genau die Ordnung p − 1 hat. In diesem Fall sind die Mengen {g 0 mod p, g 1 mod p, . . . , g p−2 mod p} und {1 mod p, 2 mod p, . . . , (p − 1) mod p} gleich. Jede Zahl g, 1 ≤ g ≤ p − 1, f¨ ur die g mod p die Ordnung p − 1 hat, nennt man Primitivwurzel modulo p. Ich erw¨ahne hier den folgenden Satz: ∑ k Es sei p eine ungerade Primzahl, k ≥ 1 und S = p−1 j=1 j . Dann gilt { −1 mod p, falls p − 1 | k, S≡ 0 mod p, falls p − 1 - k. Beweis. In der Tat gilt zun¨ achst j k ≡ 1 (mod p) f¨ ur j = 1, 2, . . . , p−1, falls k von p − 1 geteilt wird, so dass S ≡ p − 1 ≡ −1 (mod p). Falls p − 1 kein Teiler von k ist, bezeichne g eine Primitivwurzel modulo p. Dann ist g k ̸≡ 1 (mod p). Da die Mengen von Restklassen {1 mod p, 2 mod p, . . . , (p − 1) mod p} und {g mod p, 2g mod p, . . . , (p − 1)g mod p} gleich sind, folgt gk S ≡

p−1 ∑ j=1

(gj)k ≡

p−1 ∑

jk ≡ S

(mod p).

j=1

Somit ergibt sich, dass (g k − 1)S ≡ 0 (mod p), und da p kein Teiler von g k − 1 ist, muss S ≡ 0 (mod p) gelten. Eine Primitivwurzel modulo p l¨ asst sich mit Hilfe eines einfachen Verfahrens bestimmen, auf welches Gauß in den Artikeln 73, 74 der Disquisitiones Arithmeticae hinwies. Man geht dazu wie folgt vor: Schritt 1. W¨ahle eine beliebige Zahl a, 1 < a < p, zum Beispiel a = 2, und schreibe jeweils die Reste von a, a2 , a3 , . . . modulo p auf.

II. Einige grundlegende S¨ atze u ¨ber Kongruenzen

19

Es sei t der kleinste Exponent, der at ≡ 1 (mod p) erf¨ ullt. Falls t = p − 1, dann ist a eine Primitivwurzel modulo p. Ansonsten gehe zum n¨achsten Schritt. Schritt 2. W¨ ahle eine beliebige Zahl b, 1 < b < p, so dass b ̸≡ ai (mod p) f¨ ur i = 1, . . . , t. Es sei nun u der kleinste Exponent, f¨ ur den u b ≡ 1 (mod p) gilt. Es ist leicht einzusehen, dass u kein Faktor von t sein kann, sonst w¨ are bt ≡ 1 (mod p). Aber 1, a, a2 , . . . , at−1 sind t paarweise inkongruente L¨ osungen der Kongruenz X t ≡ 1 (mod p) und dies sind alle m¨ oglichen L¨ osungen, daher b ≡ am (mod p) f¨ ur irgendein m, 0 ≤ m ≤ t − 1, was der Annahme widerspr¨ache. Falls u = p − 1, dann ist b eine Primitivwurzel modulo p. Falls hingegen u ̸= p − 1, sei v das kleinste gemeinsame Vielfache von t und u; also v = mn, wobei m ein Teiler von t, n ein Teiler von u, und ggT(m, n) = 1 ist. Es sei a′ ≡ at/m (mod p), b′ ≡ bu/n (mod p), so dass c = a′ b′ die Ordnung mn = v modulo p hat. Falls also v = p − 1, dann ist c eine Primitivwurzel modulo p. Andernfalls gehe zum n¨achsten Schritt, der auft. ¨ahnlich wie Schritt 2 verl¨ Man beachte, dass v > t, so dass man in jedem Schritt entweder eine Primitivwurzel modulo p ﬁndet, oder aber eine Zahl mit einer gr¨oßeren Ordnung modulo p konstruiert hat. Dieses Verfahren muss schließlich zum Ende kommen, und man erlangt eine Zahl mit Ordnung p − 1 modulo p, also eine Primitivwurzel modulo p. Gauß veranschaulichte das Verfahren anhand des Beispiels p = 73 und fand g = 5 als Primitivwurzel modulo 73. Das obige Konstruktionsverfahren f¨ uhrt zwar immer zum Ziel, jedoch nicht notwendigerweise zur kleinsten Zahl gp , 1 < gp < p, die eine Primitivwurzel modulo p darstellt. Die Bestimmung von gp erfordert die sukzessive Berechnung der Ordnungen der Zahlen a = 2, 3, . . . modulo p. Es kann nicht auf einheitliche Weise f¨ ur alle Primzahlen p vorausgesagt werden, welche die kleinste Primitivwurzel modulo p ist. Jedoch wurden einige Resultate u ¨ber die Gr¨oße von gp erzielt. 1944 bewies Pillai, dass es unendlich viele prime p gibt, f¨ ur die gp > C log log p ist (mit einer positiven Konstanten C). Insbesondere ist lim supp→∞ gp = ∞. Einige Jahre sp¨ater gelang es Fridlender (1949) unter Verwendung eines tieﬂiegenden Satzes von Linnik u ¨ber Primzahlen in arithmetischen Folgen (siehe Kapitel 4), und unabh¨angig von ihm Sali´e (1950), zu zeigen, dass gp > C log p f¨ ur eine Konstante C und unendlich viele Primzahlen p gilt. Andererseits

20

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

w¨achst gp auch nicht allzu schnell, wie Burgess 1962 bewies: gp ≤ Cp1/4+ε (f¨ ur ε > 0, eine Konstante C > 0, und gen¨ ugend großes p). Grosswald gab im Jahre 1981 f¨ ur Burgess’ Ergebnis explizite Werte 24 an: Falls p > ee dann gilt gp < p0,499 . Der Beweis eines schw¨ acheren Resultats (mit 1/2 anstelle von 1/4), das Winogradoﬀ zugeschrieben wird, ﬁndet sich in Landaus Vorlesungen u ¨ber Zahlentheorie, Teil VII, Kapitel 14 (siehe die Literatur zu den Allgemeinen Grundlagen). Der folgende Satz l¨ asst sich einfach beweisen (als Problem von Powell 1983 gestellt, L¨ osung von Kearnes aus dem Jahre 1984): F¨ ur jede positive ganze Zahl M existieren unendlich viele Primzahlen p derart, dass M < gp < p − M . Zur Illustration ﬁndet sich auf der folgenden Seite eine Tabelle mit der jeweils kleinsten Primitivwurzel modulo p f¨ ur alle Primzahlen p < 1000. Ein kurzer Blick auf die Tabelle legt sofort die Frage nahe, ob 2 eine Primitivwurzel f¨ ur unendlich viele Primzahlen ist. Oder allgemeiner gefragt: Falls a ̸= ±1 keine Quadratzahl ist, ist dann a eine Primitivwurzel modulo unendlich vieler Primzahlen? Auf dieses schwierige Problem werde ich in Kapitel 4 noch einmal zur¨ uckkommen.

B

Der Satz von Wilson

Satz von Wilson. Falls p eine Primzahl ist, so gilt (p − 1)! ≡ −1

(mod p).

Beweis. Folgt als Korollar aus Fermats kleinem Satz. Denn 1, 2, . . . , p − 1 sind Wurzeln der Kongruenz X p−1 − 1 ≡ 0 (mod p). Aber eine Kongruenz modulo p kann nicht mehr Wurzeln haben, als ihr Grad betr¨agt. Daher ist X p−1 − 1 ≡ (X − 1)(X − 2) · · · (X − (p − 1)) (mod p). Wenn man die konstanten Terme beider Seiten vergleicht, erh¨alt man −1 ≡ (−1)p−1 (p − 1)! = (p − 1)! (mod p) (was auch f¨ ur den Fall p = 2 zutriﬀt).

II. Einige grundlegende S¨ atze u ¨ber Kongruenzen

Tabelle 1.

21

Die kleinste Primitivwurzel modulo p

p

gp

p

gp

p

gp

p

gp

p

gp

p

gp

2 3 5 7 11

1 2 2 3 2

127 131 137 139 149

3 2 3 2 2

283 293 307 311 313

3 2 5 17 10

467 479 487 491 499

2 13 3 2 7

661 673 677 683 691

2 5 2 5 3

877 881 883 887 907

2 3 2 5 2

13 17 19 23 29

2 3 2 5 2

151 157 163 167 173

6 5 2 5 2

317 331 337 347 349

2 3 10 2 2

503 509 521 523 541

5 2 3 2 2

701 709 719 727 733

2 2 11 5 6

911 919 929 937 941

17 7 3 5 2

31 37 41 43 47

3 2 6 3 5

179 181 191 193 197

2 2 19 5 2

353 359 367 373 379

3 7 6 2 2

547 557 563 569 571

2 2 2 3 3

739 743 751 757 761

3 5 3 2 6

947 953 967 971 977

2 3 5 6 3

53 59 61 67 71

2 2 2 2 7

199 211 223 227 229

3 2 3 2 6

383 389 397 401 409

5 2 5 3 21

577 587 593 599 601

5 2 3 7 7

769 773 787 797 809

11 2 2 2 3

983 991 997

5 6 7

73 79 83 89 97

5 3 2 3 5

233 239 241 251 257

3 7 7 6 3

419 421 431 433 439

2 2 7 5 15

607 613 617 619 631

3 2 3 2 3

811 821 823 827 829

3 3 3 2 2

101 103 107 109 113

2 5 2 6 3

263 269 271 277 281

5 2 6 5 3

443 449 457 461 463

2 3 13 2 3

641 643 647 653 659

3 11 5 2 2

839 853 857 859 863

11 2 3 2 5

Der Satz von Wilson stellt zugleich eine Charakterisierung der Primzahlen dar. Wenn n¨ amlich N > 1 eine zerlegbare nat¨ urliche Zahl ist, etwa N = mn mit 1 < m, n < N − 1, so ist m ein Teiler von N und (N − 1)!, und damit (N − 1)! ̸≡ −1 (mod N ). Allerdings hat Wilsons Charakterisierung der Primzahlen keine praktische Bedeutung, wenn es darum geht, N auf Primalit¨at hin zu testen. Denn es ist kein Algorithmus bekannt, der N ! schnell (z.B. in log N Schritten) berechnen k¨ onnte.

22

C

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Die Eigenschaften von Giuga und von Wolstenholme

Ich werde nun weitere Eigenschaften betrachten, die von Primzahlen erf¨ ullt sind. Die Eigenschaft von Giuga Wie bereits erw¨ ahnt, erf¨ ullt eine Primzahl p nach dem kleinen Satz von Fermat die Kongruenz 1p−1 + 2p−1 + · · · + (p − 1)p−1 ≡ −1 (mod p). Im Jahre 1950 fragte Giuga, ob auch die Umkehrung gilt: Falls n > 1 die Summe 1n−1 + 2n−1 + · · · + (n − 1)n−1 + 1 teilt, ist n dann eine Primzahl? Es ist leicht zu zeigen, dass n die Eigenschaft von Giuga genau dann erf¨ ullt, wenn f¨ ur jeden Primteiler p von n gilt, dass p2 (p − 1) Teiler von n − p ist. Denn wenn man n = pt setzt, entspricht Giugas Bedingung A=1+

pt−1 ∑

j pt−1 ≡ 0 (mod p),

j=1

w¨ahrend die Forderung, dass p2 (p − 1) die Zahl pt − p teilt, a¨quivalent zur Verkn¨ upfung der Bedingungen p | t − 1 und p − 1 | t − 1 ist. Aber pt − 1 = (p − 1)t + (t − 1), und daher nach dem kleinem Satz von Fermat pt−1 ∑ A≡1+ j t−1 ≡ 1 + tS (mod p), j=1

wobei S =

∑p−1 j=1

j t−1 . Somit ist {

A≡

1−t 1

(mod p), (mod p),

falls p − 1 | t − 1 falls p − 1 - t − 1.

Daher, wenn A ≡ 0 (mod p), dann p−1 | t−1 und p | t−1. Umgekehrt implizieren letztere Bedingungen, dass A ≡ 0 (mod p) und p - t, also ist n quadratfrei und somit A ≡ 0 (mod n). Es folgt sofort, dass n ≡ p ≡ 1 (mod p − 1), so dass mit p | n auch p − 1 | n − 1 gilt. Eine zerlegbare Zahl mit dieser Eigenschaft nennt man eine Carmichael-Zahl.

II. Einige grundlegende S¨ atze u ¨ber Kongruenzen

23

In Abschnitt IX werde ich zeigen, dass diese Bedingung eine scharfe Einschr¨ankung bedeutet. Jedenfalls weiß man heute, dass eine zerlegbare Zahl n, die Giugas Bedingung erf¨ ullt (sofern es eine geben sollte), mindestens 13887 Stellen haben muss; siehe Bedocchi (1985) und Borwein, Borwein, Borwein & Girgensohn (1996). Die Eigenschaft von Wolstenholme Im Jahre 1862 bewies Wolstenholme den folgenden interessanten Satz: Falls p ≥ 5 eine Primzahl ist, dann ist der Z¨ahler von 1+

1 1 1 + + ··· + 2 3 p−1

durch p2 teilbar und der Nenner von 1+

1 1 1 + + ··· + 22 32 (p − 1)2

ist ein Vielfaches von p. Ein Beweis ﬁndet sich in Hardy & Wright (1938), siehe die Literatur zu den Allgemeinen Grundlagen. Von dieser Eigenschaft ausgehend l¨asst sich unschwer ableiten, dass f¨ ur jede Primzahl n ≥ 5 gilt: ( ) 2n − 1 ≡ 1 (mod n3 ). n−1 Triﬀt auch die Umkehrung zu? Diese nach wie vor oﬀene Frage wurde vor vielen Jahren von J.P. Jones gestellt. Eine Bejahung der Frage w¨ urde eine interessante und formal einfache Charakterisierung der Primzahlen liefern. Das Problem f¨ uhrt auf nat¨ urliche Weise zu den folgenden Begriﬀen und Fragestellungen. Es sei n ≥ 5 ungerade, und ( ) 2n − 1 A(n) = . n−1 F¨ ur jedes k ≥ 1 k¨ onnten wir nun die folgende Menge betrachten: Wk = {n ungerade, n ≥ 5 | A(n) ≡ 1 (mod nk )}. Dann gilt W1 ⊃ W2 ⊃ W3 ⊃ W4 ⊃ . . . . Nach dem Satz von Wolstenholme geh¨ort jede Primzahl gr¨ oßer als 3 zu W3 . Die von Jones gestellte Frage besteht nun darin, ob W3 genau die Menge der Primzahlen darstellt.

24

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Eine Primzahl, die zu W4 geh¨ ort, nennt man eine WolstenholmePrimzahl. Es sind bisher nur zwei Wolstenholme-Primzahlen bekannt: 16843 wurde im Jahre 1964 von Selfridge und Pollack gefunden, die Zahl 2124679 wurde im Jahre 1993 von Crandall, Ernvall und Mets¨ankyl¨a entdeckt. McIntosh zeigte 1995 durch Computerberechnungen, dass es keine weitere Wolstenholme-Primzahl p < 5 × 108 gibt; diese Untersuchung wurde 2004 bis p < 109 ausgedehnt, siehe auch McIntosh & Roettger (2007). Die Menge der zerlegbaren Zahlen aus W2 enth¨alt die Quadrate der Wolstenholme-Primzahlen. McIntosh vermutete sogar, dass beide Mengen u ¨bereinstimmen, und veriﬁzierte dies bis 109 : Das einzige zerlegbare n ∈ W2 mit n < 109 ist n = 283686649 = 168432 . McIntosh vermutete zudem, dass es unendlich viele WolstenholmePrimzahlen gibt und man geht heute davon aus, dass diese Vermutung richtig ist. Ein Beweis daf¨ ur d¨ urfte aber sehr schwierig sein.

D

Primzahlpotenzen als Teiler der Fakult¨ at einer Zahl

Im Jahre 1808 bestimmte Legendre den genauen Exponenten der Potenz pm einer Primzahl p, die eine Fakult¨ at a! teilt (derart, dass pm+1 kein Teiler mehr von a! ist). Es gibt einen sehr sch¨ onen Ausdruck von m in Form der p-adischen Entwicklung von a: a = ak pk + ak−1 pk−1 + · · · + a1 p + a0 , wobei pk ≤ a < pk+1 und 0 ≤ ai ≤ p − 1 (f¨ ur i = 0, 1, . . . , k). Die Zahlen a0 , a1 , . . . , ak sind die Ziﬀern von a zur Basis p. Beispielsweise ist 328 = 2 × 53 + 3 × 52 + 3, so dass 328 zur Basis 5 aus den Ziﬀern 2, 3, 0, 3 besteht. Unter Verwendung der obigen Bezeichnungsweise: Satz von Legendre. m=

∞ [ ] ∑ a i=1

pi

=

a − (a0 + a1 + · · · + ak ) . p−1

Beweis. Nach Deﬁnition ist a! = pm b, wobei p - b. Es sei a = q1 p + r1 mit 0 ≤ q1 , 0 ≤ r1 < p; also q1 = [a/p]. Die Vielfachen von p kleiner als a sind p, 2p, . . . , q1 p ≤ a. Also pq1 (q1 !) = pm b′ , wobei p - b′ . Daher

II. Einige grundlegende S¨ atze u ¨ber Kongruenzen

25

q1 + m1 = m, wobei pm1 die maximale Potenz von p ist, die q1 ! teilt. Da nach Induktion q1 < a, folgt [ ] [ ] [ ] q1 q1 q1 m1 = + 2 + 3 + ··· . p p p [

Aber

] [ ] [ ] q1 [a/p] a = = i+1 , pi pi p

wie man leicht u ufen kann. Also ¨berpr¨ [ ] [ ] [ ] a a a m= + 2 + 3 + ··· . p p p Nun leite ich den zweiten Ausdruck unter Verwendung der p-adischen Ziﬀern von a = ak pk + · · · + a1 p + a0 her. Folglich, [ ] a = ak pk−1 + · · · + a1 , p [ ] a = ak pk−2 + · · · + a2 , p2 .. [ ] . a = ak . pk Also ∞ [ ] ∑ a i=0

pi

= a1 + a2 (p + 1) + a3 (p2 + p + 1) + · · · + ak (pk−1 + pk−2 + · · · + p + 1) } 1 { = a1 (p − 1) + a2 (p2 − 1) + · · · + ak (pk − 1) p−1 } 1 { = a − (a0 + a1 + · · · + ak ) . p−1

Kummer benutzte 1852 das Resultat von Legendre, um die maximale Potenz pm von p zu bestimmen, die den Binomialkoeﬃzient ( ) a+b (a + b)! = a a!b! teilt, wobei a ≥ 1, b ≥ 1.

26

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Es sei a = a0 + a1 p + · · · + at pt , b = b0 + b1 p + · · · + bt pt , wobei 0 ≤ ai ≤ p − ∑ 1, 0 ≤ bi ≤ p −∑ 1, und entweder at ̸= 0 oder bt ̸= 0. t Es bezeichne Sa = i=0 ai , Sb = ti=0 bi die Summen der p-adischen Ziﬀern von a, b. Dar¨ uber hinaus sei ci , 0 ≤ ci ≤ p − 1, und εi = 0 oder 1 wie folgt deﬁniert: a0 + b0 = ε0 p + c0 , ε0 + a1 + b1 = ε1 p + c1 , .. . εt−1 + at + bt = εt p + ct . Sukzessive Multiplikation dieser Gleichungen mit 1, p, p2 , . . . und Summation derselben liefert a + b + ε0 p + ε1 p2 + · · · + εt−1 pt = ε0 p + ε1 p2 + · · · + εt−1 pt + εt pt+1 + c0 + c1 p + · · · + ct pt . Also a + b = c0 + c1 p + · · · + ct pt + εt pt+1 , was die Darstellung von a + b zur Basis p ist. Analog erh¨ alt man durch Addition dieser Gleichungen: Sa + Sb + (ε0 + ε1 + · · · + εt−1 ) = (ε0 + ε1 + · · · + εt )p + Sa+b − εt . Unter Verwendung des Satzes von Legendre: (p − 1)m = (a + b) − Sa+b − a + Sa − b + Sb = (p − 1)(ε0 + ε1 + · · · + εt ). Daraus das folgende Ergebnis: Satz (a+b) von Kummer. Der Exponent der maximalen Potenz von p, die ¨ teilt, ist gleich der Anzahl ε0 + ε1 + · · · + εt der Ubertr¨ age, die a bei der Addition von a und b zur Basis p entstehen. Dieser Satz wurde von Lucas 1878 erneut gefunden. Frasnay erweiterte dieses Resultat 1991, indem er ganze Zahlen durch p-adische Zahlen ersetzte. Die S¨atze von Legendre und Kummer kommen h¨auﬁg zur Anwendung, sowohl in p-adischer Analysis, als auch beispielsweise in Kapitel 3, Abschnitt III.

II. Einige grundlegende S¨ atze u ¨ber Kongruenzen

E

27

Der chinesische Restsatz

Obwohl unser vorrangiges Interesse hier bei den Primzahlen liegt, kommt man nicht umhin, sich auch mit gew¨ohnlichen ganzen Zahlen zu besch¨aftigen – was bei vielen Fragen aufgrund der eindeutigen Primfaktorenzerlegung ganzer Zahlen im Wesentlichen auf die simultane Betrachtung verschiedener Primzahlen hinausl¨auft. Einer der Schl¨ ussel zur Verkn¨ upfung von Resultaten u ¨ber ganze Zahlen n und ihrer Primfaktoren ist sehr alt. Tats¨achlich wussten schon die Chinesen des Altertums davon und er wird daher als der chinesische Restsatz bezeichnet. Allerdings war er laut A. Zachariou (pers¨onliche Mitteilung) bereits im antiken Griechenland bekannt. Da aber die Griechen so viele Theoreme entdeckten, werde ich in diesem Fall den traditionellen Namen beibehalten. Ich bin sicher, dass die meisten Leser den Satz bereits kennen: Es seien n1 , n2 , . . . , nk paarweise teilerfremde Zahlen gr¨oßer als 1 und a1 , a2 , . . . , ak beliebige ganze Zahlen. Dann existiert eine Zahl a derart, dass  a ≡ a1 (mod n1 )     a ≡ a2 (mod n2 ) ..  .    a ≡ ak (mod nk ). Eine weitere Zahl a′ erf¨ ullt obige Kongruenzen nur genau dann, wenn a ≡ a′ (mod n1 n2 · · · nk ). Es gibt also genau ein a mit 0 ≤ a < n1 n2 · · · nk . Der Beweis ist sehr einfach, man kann ihn in vielen B¨ uchern, aber auch in einem kurzen Artikel von Mozzochi (1967) nachlesen. Der chinesische Restsatz hat viele Anwendungen. Es ist denkbar, dass eine dieser Anwendungen darin bestand, wie chinesische Gener¨ale ihre Truppen z¨ ahlten: Aufstellung in Reihen zu 7!

Aufstellung in Reihen zu 11! Aufstellung in Reihen zu 13! Aufstellung in Reihen zu 17!

(nicht 7 Fakult¨at, sondern ein ¨ GEBRULLTES milit¨arisches Kommando.)

28

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Durch Z¨ahlen der Reste der unvollst¨ andigen Reihen konnten die intelligenten Gener¨ ale nun die Anzahl ihrer Soldaten ermitteln.1 Hier ist eine weitere Anwendung des chinesischen Restsatzes: Es sei n = p1 p2 · · · pk ein Produkt verschiedener Primzahlen und gi eine Primitivwurzel modulo pi (f¨ ur jedes i). Falls nun g, mit 1 ≤ g ≤ n − 1 die Kongruenz g ≡ gi (mod pi ) f¨ ur jedes i = 1, 2, . . . , k erf¨ ullt, dann ist die Ordnung von g modulo pi f¨ ur jedes i = 1, 2, . . . , k gleich pi − 1 ∏k und die Ordnung von g modulo n ist i=1 (pi − 1).

F

Die Eulersche φ-Funktion

Euler verallgemeinerte den kleinen Satz von Fermat, indem er eine Funktion einf¨ uhrte, die man Eulersche φ-Funktion nennt. F¨ ur jedes n ≥ 1 bezeichne φ(n) die Anzahl der Zahlen a mit 1 ≤ a < n und ggT(a, n) = 1. F¨ ur prime n = p wird φ(p) = p − 1; zudem gilt ( ) 1 φ(pk ) = pk−1 (p − 1) = pk 1 − . p Im Falle m, n ≥ 1 und ggT(m, n) = 1 erh¨alt man dar¨ uber hinaus φ(mn) = φ(m)φ(n), das heißt, φ ist eine multiplikative Funktion. ∏ Und so ergibt sich f¨ ur eine beliebige ganze Zahl n = p pk (Produkt aller Primteiler p von n, k ≥ 1), dass ) ∏ ∏( 1 k−1 φ(n) = p (p − 1) = n 1− . p p p Eine weitere, einfache Eigenschaft ist: n = Euler bewies folgenden Satz:

∑

d|n φ(d).

Satz von Euler. Wenn ggT(a, n) = 1, dann gilt aφ(n) ≡ 1 (mod n). Beweis. Es sei r = φ(n) und b1 , . . . , br paarweise modulo n inkongruente ganze Zahlen mit ggT(bi , n) = 1 f¨ ur i = 1, . . . , r. Dann sind auch ab1 , . . . , abr paarweise modulo n inkongruent und es gilt ggT(abi , n) = 1 f¨ ur i = 1, . . . , r. Somit sind die Mengen {b1 mod n, . . . , br mod n} und {ab1 mod n, . . . , abr mod n} gleich. Weiter ar

r ∏ i=1

bi ≡

r ∏ i=1

abi ≡

r ∏

bi

(mod n).

i=1

1 Unter uns gesagt, wurde das so wahrscheinlich nie praktiziert. Die Frage nach der Existenz intelligenter Gener¨ ale ist nach wie vor weit oﬀen.

II. Einige grundlegende S¨ atze u ¨ber Kongruenzen

29

Somit ist (a −1) r

r ∏

bi ≡ 0 (mod n) und daher ar ≡ 1 (mod n).

i=1

V¨ollig analog zum kleinen Satz von Fermat folgt auch aus dem Satz von Euler, dass es einen kleinsten positiven Exponenten e mit ae ≡ 1 (mod n) gibt. Dieser wird Ordnung von a modulo n genannt. Wenn n eine Primzahl ist, f¨ allt diese Deﬁnition mit der fr¨ uheren zusammen. Man beachte auch, dass am ≡ 1 (mod n) genau dann gilt, wenn m ein Vielfaches der Ordnung e von a mod n ist. Insbesondere ist e Teiler von φ(n). Wieder liegt es nahe, sich zu fragen, ob es f¨ ur n > 2 immer eine zu n teilerfremde ganze Zahl a derart gibt, dass die Ordnung von a mod n gerade gleich φ(n) ist. Man erinnere sich, dass solche Zahlen f¨ ur prime n = p existieren, dies sind die Primitivwurzeln modulo p. F¨ ur Potenzen n = pe ungerader Primzahlen gilt dies ebenso. Genauer sind folgende Aussagen gleichwertig: (i) g ist eine Primitivwurzel modulo p und g p−1 ̸≡ 1 (mod p2 ); (ii) g ist eine Primitivwurzel modulo p2 ; (iii) F¨ ur jedes e ≥ 2 ist g eine Primitivwurzel modulo pe . Man beachte, dass 10 eine Primitivwurzel modulo 487 ist, aber 10486 ≡ 1 (mod 4872 ), so dass 10 keine Primitivwurzel modulo 4872 sein kann. Die Zahl 487 ist f¨ ur die Basis 10 das kleinste Beispiel mit dieser Eigenschaft. Ein weiteres Beispiel w¨are 14 modulo 29. Im Falle, dass n von 4p oder pq geteilt wird (wobei p, q verschiedene ungerade Primzahlen sind), gibt es jedoch keine zu n teilerfremde Zahl a mit einer Ordnung φ(n). Tats¨ achlich kann man einfach zeigen, dass die Ordnung von a mod n h¨ ochstens gleich λ(n) ist, wobei λ(n) die folgende, von Carmichael 1912 deﬁnierte Funktion bezeichnet: λ(1) = 1, λ(2) = 1, λ(4) = 2, λ(2r ) = 2r−2

(f¨ ur r ≥ 3),

λ(pr ) = pr−1 (p − 1) = φ(pr ) f¨ ur prime p > 2 und r ≥ 1, ( r r1 r2 ) { } λ 2 p1 p2 · · · prss = kgV λ(2r ), λ(pr11 ), . . . , λ(prss ) (mit kgV ist das kleinste gemeinsame Vielfache gemeint).

30

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Man beachte, dass λ(n) Teiler von φ(n) ist, aber kleiner sein kann, und dass es eine ganze, zu n teilerfremde Zahl a gibt, die modulo n eine Ordnung λ(n) hat. Ich m¨ochte diese Gelegenheit nutzen, um die Eulersche φ-Funktion genauer zu untersuchen. Zun¨ achst werde ich mich dem Lehmer-Problem zuwenden, danach den Werten von φ, der Valenz, den nicht angenommenen Werten, der Durchschnittsfunktion usw. Das Lehmer-Problem Man erinnere sich, dass φ(p) f¨ ur prime p den Wert p − 1 annimmt. Lehmer fragte im Jahre 1932, ob es eine zerlegbare Zahl n gibt, f¨ ur die φ(n) Teiler von n − 1 ist. Sieben Jahrzehnte, nachdem Lehmer diese Frage aufwarf, scheint deren Beantwortung noch immer in weiter Ferne zu liegen. Die Verneinung w¨ urde eine weitere Charakterisierung der Primzahlen liefern. Was kann u ¨berhaupt gesagt werden, solange das Problem noch ungel¨ost ist? Vielleicht nur, dass die Existenz zerlegbarer Zahlen n, f¨ ur welche φ(n) Teiler von n − 1 ist, aus mancherlei Gr¨ unden h¨ochst unwahrscheinlich ist: (a) Eine solche Zahl m¨ usste sehr groß sein (wenn es sie denn gibt); (b) eine solche Zahl m¨ usste viele Primfaktoren haben (wenn es sie denn gibt); (c) die Anzahl derartiger zerlegbarer Zahlen, die kleiner als eine gegebene reelle Zahl x sind, ist durch eine sehr langsam wachsende Funktion von x beschr¨ ankt. Lehmer zeigte 1932: Falls n zerlegbar und φ(n) Teiler von n − 1 ist, dann muss n ungerade und quadratfrei sein, und die Anzahl verschiedener Primfaktoren von n ist ω(n) ≥ 7. Eine sp¨atere Arbeit von Schuh (1944) lieferte ω(n) ≥ 11 (obwohl sein Beweis fehlerhaft war). Lieuwens zeigte 1970: Wenn 3 | n, dann ist ω(n) ≥ 213 und n > 5,5×10570 ; und falls 30 - n, dann ist ω(n) ≥ 13. Dabei wurde auch Schuhs Beweis berichtigt. Subbarao & Siva Rama Prasad (1985) versch¨arften die untere Grenze von Lieuwens f¨ ur die Anzahl der Primfaktoren auf ω(n) ≥ 1850.

II. Einige grundlegende S¨ atze u ¨ber Kongruenzen

31

Rekord Cohen und Hagis zeigten 1980: Falls n zerlegbar und φ(n) Teiler von n − 1 ist, dann muss n > 1020 und ω(n) ≥ 14 sein. Wall (1980) bewies unter der Voraussetzung ggT(30, n) = 1, dass ω(n) ≥ 26. Das bislang beste Resultat f¨ ur den urspr¨ unglich von Lieuwens betrachteten Fall 3 | n wurde 1988 von Hagis geliefert, der eine computergest¨ utzte Beweistechnik verwendete. Er konnte nachweisen, dass jedes der fraglichen n den Beschr¨ ankungen ω(n) ≥ 298848 und n > 101937043 unterliegt. Pomerance zeigte 1977, dass f¨ ur jede hinreichend große positive reelle Zahl x die Anzahl L(x) derjenigen zerlegbaren n ≤ x, f¨ ur die φ(n) Teiler von n − 1 ist, der folgenden Ungleichung gen¨ ugt: L(x) ≤ x1/2 (log x)3/4 . k

Dar¨ uber hinaus gilt n < k2 , falls ω(n) = k. Shan (1985) gelang es, obige Ungleichung zu versch¨ arfen, indem er den Exponenten 3/4 durch 1/2 ersetzen konnte. Von der Eulerschen φ-Funktion angenommene Werte Es ist nicht schwer nachzuweisen, dass nicht jede gerade Zahl m > 1 von Eulers Funktion als Wert angenommen wird. Beispielsweise zeigte Schinzel im Jahre 1956, dass f¨ ur jedes k ≥ 1 die Zahl 2 × 7k kein Wert der Eulerschen φ-Funktion ist. Mendelsohn bewies 1976 die Existenz unendlich vieler Primzahlen p mit der Eigenschaft, dass 2k p f¨ ur kein k ≥ 1 im Wertebereich von φ liegt. Hinsichtlich interessanter Werte, die von Eulers Funktion angenommen werden, stellte Erd¨ os 1946 die folgende Aufgabe: Man zeige, dass es f¨ ur jedes k ≥ 1 ein n gibt, f¨ ur das φ(n) = k!. Eine L¨osung wurde von Lambek 1948 angegeben; das gleiche Ergebnis erzielte sp¨ater Gupta (1950). Die n¨achsten Resultate zeigen, wie sprunghaft sich die φ-Funktion verh¨alt. So bewies Somayajulu im Jahre 1950, dass lim sup n→∞

φ(n + 1) = ∞ und φ(n)

lim inf n→∞

φ(n + 1) = 0. φ(n)

Dieses Ergebnis wurde von Schinzel und Sierpi´ nski verbessert, siehe Schinzel (1954): die Menge aller Zahlen φ(n + 1)/φ(n) liegt dicht in der Menge aller positiven reellen Zahlen.

32

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Schinzel & Sierpi´ nski (1954) und Schinzel (1954) bewiesen auch das Folgende: F¨ ur jedes m, k ≥ 1 existieren n, h ≥ 1 derart, dass φ(n + i) >m φ(n + i − 1)

und

φ(h + i − 1) >m φ(h + i)

f¨ ur i = 1, 2, . . . , k. Es gilt zudem, dass die Menge aller Zahlen φ(n)/n im Intervall (0, 1) dicht liegt. Die Valenz der Eulerschen φ-Funktion Ich werde nun die Valenz“ der Eulerschen Funktion untersuchen, mit ” anderen Worten, wie oft ein Wert φ(n) angenommen wird. Um die Ergebnisse systematisch erl¨ autern zu k¨ onnen, ist es von Vorteil, eine spezielle Schreibweise einzuf¨ uhren. F¨ ur m ≥ 1 bezeichne Vφ (m) = #{n ≥ 1 | φ(n) = m}. Welche sind die m¨ oglichen Werte von Vφ (m)? Ich hatte bereits gesagt, dass es unendlich viele gerade Zahlen m gibt, f¨ ur die Vφ (m) den Wert 0 annimmt. Zudem gilt φ(n) = m f¨ ur m = 2 × 36k+1 (k ≥ 1) ge6k+2 nau dann, wenn n = 3 oder n = 2 × 36k+2 . Somit gibt es unendlich viele ganze Zahlen m, f¨ ur die Vφ (m) = 2. Es ist nicht schwer zu zeigen, dass Vφ (m) ̸= ∞ f¨ ur alle m ≥ 1. Schinzel fand 1956 einen einfacheren Beweis des folgenden Satzes von Pillai (1929): sup{Vφ (m)} = ∞. Mit anderen Worten, f¨ ur jedes k ≥ 1 gibt es eine Zahl mk derart, dass mindestens k Zahlen n mit φ(n) = mk existieren. Obiges Resultat ist schw¨ acher als die alte Vermutung von Sierpi´ nski: F¨ ur jede ganze Zahl k ≥ 2 gibt es m > 1, so dass k = Vφ (m). Mit sehr ausgekl¨ ugelten Methoden gelang es Ford erst vor relativ kurzer Zeit im Jahre 1999, diese Vermutung zu beweisen. Die Vermutung von Carmichael Die das Studium der Valenz von φ beherrschende Vermutung geht auf Carmichael (1922) zur¨ uck: Vφ nimmt niemals den Wert 1 an. Mit anderen Worten: F¨ ur jedes n ≥ 1 gibt es ein n′ ≥ 1, n′ ̸= n derart, ′ dass φ(n ) = φ(n). Diese Vermutung wurde von Klee untersucht, der 1947 nachwies, dass sie f¨ ur jedes n mit φ(n) < 10400 richtig ist. Masai & Valette (1982)

II. Einige grundlegende S¨ atze u ¨ber Kongruenzen

33

zeigten mit Hilfe von Klees Methode, dass man auch φ(n) < 1010000 setzen kann. Im Jahre 1994 gelang es Schlaﬂy & Wagon, die untere Grenze f¨ ur Carmichaels Vermutung durch intensive Berechnungen – wiederum im Wesentlichen unter Verwendung von Klees Verfahren – 7 erheblich zu erweitern: Falls Vφ (n) = 1, so muss n > 1010 sein. Mit Hilfe viel leistungsf¨ ahigerer Methoden verbesserte Ford 1998 die untere 10 Grenze weiter und erreichte n > 1010 . Zuvor war bereits ein ebenfalls von Wagon verfasster Artikel u ¨ber die Vermutung von Carmichael in der Zeitschrift The Mathematical Intelligencer (1986) erschienen. Numerische Belege weisen auf die Korrektheit der Vermutung hin. Allerdings zeigte Pomerance 1974: Angenommen m ist eine nat¨ urliche Zahl mit der Eigenschaft, dass wenn p eine Primzahl ist und p − 1 den Wert φ(m) teilt, m von p2 geteilt wird. Dann gilt Vφ (φ(m)) = 1. Nat¨ urlich w¨are Carmichaels Vermutung falsch, wenn es ein derartiges m g¨ abe. Allerdings ist man weit davon entfernt, die Existenz einer solchen Zahl m nachzuweisen, und vielleicht wird dies auch nie gelingen. Die wichtigste Arbeit der letzten Zeit bez¨ uglich der Vermutung von Carmichael stammt von K. Ford (1998). F¨ ur jedes x > 0 sei E(x) = #{n | 1 ≤ n < x, es gibt k > 1 mit φ(k) = n} und E1 (x) = #{n | 1 ≤ n < x, es gibt ein eindeutiges k mit φ(k) = n}. Carmichaels Vermutung bedeutet, dass E1 (x) = 0 f¨ ur jedes x > 0. Ford bewies: Falls die Vermutung falsch ist, gibt es ein C > 0 derart, dass f¨ ur jedes gen¨ ugend große x gilt: E(x) ≤ C E1 (x). Es folgt, dass Carmichaels Vermutung ¨aquivalent zur Aussage ist: lim inf x→∞

10

E1 (x) = 0. E(x)

Ford zeigte auch, dass E1 (1010 ) = 0. Schließlich – quasi als Gegenst¨ uck zur Vermutung von Carmichael – ist es nicht abwegig zu erwarten, dass jedes s > 1 von Vφ als Wert angenommen wird; dies wurde von Sierpi´ nski vermutet. Tats¨achlich werde ich in Kapitel 6, Abschnitt II darauf hinweisen, dass diese Aussage als Korollar aus einer h¨ ochst interessanten, unbewiesenen Hypothese folgt. Wie steht es mit der Valenz der Valenz-Funktion Vφ ? Ich hatte schon gesagt, dass es unendlich viele m gibt, die als Wert von φ nicht auftauchen, f¨ ur die also Vφ (m) = 0. Also nimmt Vφ den Wert 0 unendlich oft an. Dies wurde 1958 von Erd¨ os verallgemeinert: Wenn s ≥ 1 als Wert von Vφ angenommen wird, so geschieht dies sogar unendlich oft. (Man

34

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

versuche einmal, diese Aussage direkt durch Eulers φ-Funktion auszudr¨ ucken, um den Grund f¨ ur meine zus¨ atzliche Notation zu verstehen.) Das Wachstum der Eulerschen φ-Funktion Bis jetzt habe ich das Wachstum der Funktion φ noch nicht betrachtet. Da φ(p) = p−1 f¨ ur alle primen p, ist lim sup φ(n) = ∞. Auf die gleiche Weise erh¨alt man aus φ(p) = p − 1, dass lim sup φ(n)/n = 1. Ich m¨ochte das Vorstellen weiterer Resultate u ¨ber das Wachstum von φ auf Kapitel 4 verschieben, denn sie erfordern Methoden, die erst dort diskutiert werden.

G

Folgen von Binomialzahlen

Die vorangegangenen Betrachtungen bezogen sich auf Kongruenzen modulo einer gegebenen ganzen Zahl n > 1, wobei a eine beliebige zu n teilerfremde, nat¨ urliche Zahl war. Es gibt eine weitere, sehr aufschlussreiche Anschauungsweise. Diesmal sei a > 1 gegeben und man betrachte die Folgen der Zahlen an − 1 und an + 1 (f¨ ur n ≥ 1). Allgemeiner k¨ onnte man, falls a > b ≥ 1 mit ggT(a, b) = 1, die Folgen an − bn (n ≥ 1) und an + bn (n ≥ 1) untersuchen. Eine sich sofort aufdr¨ angende Frage (mit einer sofortigen Antwort) ist die nach der Bestimmung s¨ amtlicher Primzahlen p, f¨ ur die es ein n ≥ 1 derart gibt, dass p Teiler von an − bn ist. Dies sind Primzahlen p, die ab nicht teilen, denn a und b sind teilerfremd. Umgekehrt gilt: Falls p - ab, bb′ ≡ 1 (mod p) und n ist die Ordnung von ab′ mod p, dann teilt p die Diﬀerenz an − bn . F¨ ur die Binomialzahlen der Form an +bn wird es komplizierter. Falls p ̸= 2 und es n ≥ 1 derart gibt, dass p Teiler von an + bn ist, dann p - ab(a − b). Die Umkehrung ist falsch; beispielsweise ist 7 f¨ ur kein n n ≥ 1 Teiler von 2 + 1. Primitive Primfaktoren Falls n ≥ 1 die kleinste ganze Zahl mit der Eigenschaft ist, dass p die Binomialzahl an − bn (beziehungsweise an + bn ) teilt, dann heißt p primitiver Primfaktor der entsprechenden Folge von Binomialzahlen. In diesem Fall folgt aus dem kleinen Satz von Fermat, dass p − 1 von n geteilt wird, was Legendre auﬃel. Also taucht jedes prime p - ab als primitiver Faktor irgendeiner Binomialzahl an − bn auf. Gilt auch die Umkehrung, d.h. hat jede Binomialzahl einen primitiven Faktor?

II. Einige grundlegende S¨ atze u ¨ber Kongruenzen

35

Zsigmondy bewies im Jahre 1892 den folgenden, sehr interessanten Satz, der viele Anwendungen fand: Es sei a > b ≥ 1 und ggT(a, b) = 1. Dann hat jede Zahl an − bn einen primitiven Primfaktor – mit den einzigen Ausnahmen a − b = 1, n = 1; 26 − 1 = 63; und a2 − b2 , wobei a, b ungerade sind und a + b eine Zweierpotenz ist. Analog gilt f¨ ur a > b ≥ 1, dass jede Zahl an + bn mit der einzigen 3 Ausnahme 2 + 1 = 9 einen primitiven Primfaktor besitzt. Den Spezialfall b = 1 hatte Bang 1886 bewiesen. Im Laufe der Zeit wurde dieser Satz – auch Bangs Spezialfall genannt – von einer ganzen Reihe von Mathematikern teilweise unbewusst erneut bewiesen: Birkhoﬀ & Vandiver (1904), Carmichael (1913), Kanold (1950), Artin (1955), L¨ uneburg (1981), und wahrscheinlich weiteren. Der Beweis ist bestimmt nicht oﬀensichtlich. Jedoch ist es sehr einfach, solche Folgen aufzuschreiben und das fortlaufende Auftreten neuer primitiver Primfaktoren zu beobachten. Es ist interessant, den primitiven Teil t∗n von an − bn zu betrachten, und zwar schreibe man an − bn = t∗n t′n mit ggT(t∗n , t′n ) = 1, wobei eine Primzahl p genau dann Teiler von t∗n ist, wenn es sich bei p um einen primitiven Faktor von an − bn handelt. In numerischen Experimenten mit Folgen an − bn kann man beobachten, dass t∗n abgesehen von ein paar anf¨anglichen Termen zerlegbar ist. Und tats¨achlich bewies Schinzel 1962 den folgenden Satz: Es sei k(m) der quadratfreie Kern von m (das heißt, m geteilt durch seinen gr¨oßten quadratischen Faktor) und { 1, falls k(ab) ≡ 1 (mod 4), e= 2, falls k(ab) ≡ 2 oder 3 (mod 4). Falls n/ek(ab) ganzzahlig und ungerade und n > 1 ist, dann hat an −bn bis auf wenige Ausnahmen (von denen die gr¨oßtm¨ogliche n = 20 ist) mindestens zwei verschiedene primitive Primfaktoren. F¨ ur n > 1 und b = 1 sind diese Ausnahmen: falls a = 2 : n = 4, 12, 20; falls a = 3 : n = 6; falls a = 4 : n = 3. Es gibt also unendlich viele n, f¨ ur die der primitive Teil von an − bn zerlegbar ist.

36

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Schinzel zeigte auch: Wenn ab = ch mit h ≥ 3, oder h = 2 und k(c) ungerade, dann gibt es unendlich viele n derart, dass der primitive Teil von an − bn mindestens drei Primfaktoren besitzt. F¨ ur die Binomialzahlen an +bn folgt die Zerlegbarkeit des primitiven Teils unmittelbar, sobald n > 10 und n/ek(ab) ungerade ist. Man beachte nur, dass jeder primitive Primfaktor von a2n − b2n auch ein primitiver Primfaktor von an + bn ist. Hier einige Fragen, die sehr schwer zu beantworten sind: Gibt es unendlich viele n derart, dass der primitive Teil von an − bn prim ist? Gibt es unendlich viele n mit der Eigenschaft, dass der primitive Teil von an − bn quadratfrei ist? Und wie verh¨alt es sich mit den scheinbar einfacheren Fragen: Gibt es unendlich viele n, f¨ ur die der primitive Teil t∗n von an − bn einen Primfaktor p derart hat, dass p2 kein Teiler von an − bn ist? Gibt es unendlich viele n mit der Eigenschaft, dass t∗n einen quadratfreien Kern k(t∗n ) ̸= 1 hat? Diese Fragen sind f¨ ur den Spezialfall b = 1 letztendlich in sehr u ¨berraschender Weise mit Fermats letztem Satz verbunden! Der gr¨ oßte Primfaktor Auch die Absch¨ atzung der Gr¨ oße des gr¨ oßten Primfaktors von an − bn (f¨ ur a > b ≥ 1 und ggT(a, b) = 1) stellt sich als interessantes Problem heraus. Es bezeichne im Folgenden P [m] den gr¨oßten Primfaktor von m ≥ 1. Unter Verwendung des Satzes von Zsigmondy ist es nicht schwer zu zeigen, dass P [an − bn ] ≥ n + 1, wenn n > 2. Schinzel zeigte 1962, dass P [an −bn ] ≥ 2n+1 in den folgenden F¨allen gilt (mit n > 2): 4 - n, mit der Ausnahme von a = 2, b = 1, n = 6; k(ab) | n oder k(ab) = 2, mit den Ausnahmen a = 2, b = 1, n = 4, 6, oder 12. Erd¨os vermutete 1965, dass limn→∞ P [2n − 1]/n = ∞. Trotz sehr interessanter Arbeiten dazu konnte diese Vermutung bis heute nicht abschließend gekl¨ art werden. Allerdings gibt es sehr gute Teilergebnisse, von denen ich nun berichten werde. Stewart zeigte 1975 unter Verwendung von Bakers Ungleichungen f¨ ur Linearformen von Logarithmen das Folgende: Es sei 0 < r < 1/ log 2 und Sr die Menge derjenigen ganzen Zahlen n, die h¨ochstens

II. Einige grundlegende S¨ atze u ¨ber Kongruenzen

37

r log log n verschiedene Primfaktoren haben (die Menge Sr hat Dichte 1). Dann gilt P [an − bn ] lim = ∞. n→∞ n n∈S r

Wie schnell w¨ achst dieser Ausdruck? Diese Frage beantwortete Stewart im Jahre 1977 mit Hilfe sch¨ arferer Ungleichungen vom Bakerschen Typ: P [an − bn ] (log n)λ >C , n log log log n f¨ ur eine geeignete Konstante C > 0 und λ = 1 − r log 2, n ∈ Sr . Stewart zeigte zudem, dass f¨ ur jede hinreichend große Primzahl p P [ap − bp ]/p > C log p mit C > 0. Der Spezialfall der Mersenneschen Zahlen 2p − 1 wurde 1976 von Erd¨ os und Shorey behandelt. Es gibt auch eine enge Beziehung zwischen den Zahlen an − 1, den Werten der Kreisteilungspolynome und Primzahlen in speziellen arithmetischen Folgen. Aber ich kann nicht alles auf einmal erkl¨aren – haben Sie ein wenig Geduld, bis ich dieses Thema erneut in Kapitel 4, Abschnitt IV aufgreifen werde.

H

Quadratische Reste

In der von Fermat, Euler, Legendre und Gauß entwickelten Theorie quadratischer diophantischer Gleichungen ist es von enormer Wichtigkeit zu entscheiden, wann eine ganze Zahl a modulo einer Primzahl p > 2 ein Quadrat ist. Falls p > 2 kein Teiler von a ist und falls es eine ganze Zahl b derart gibt, dass a ≡ b2 (mod p), dann nennt man a einen quadratischen Rest modulo p, andernfalls ist a ein quadratischer Nichtrest modulo p. Legendre f¨ uhrte die folgende praktische Notation ein: { ( ) +1 a ist quadratischer Rest modulo p, a = (a | p) = p −1 sonst. Es hat sich dar¨ uber hinaus als n¨ utzlich erwiesen, (a | p) = 0 zu setzen, falls p Teiler von a ist. Ich werde nun die wichtigsten Eigenschaften des Legendre-Symbols angeben. Literaturhinweise gibt es reichlich – praktisch jedes Buch u ¨ber elementare Zahlentheorie. Falls a ≡ a′ (mod p), dann ( ) ( ′) a a = . p p

38

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

F¨ ur alle ganzen Zahlen a, a′ gilt: ( ′) ( )( ′) aa a a = . p p p Es reicht also f¨ ur die Berechnung des Legendre-Symbols, (q | p) zu bestimmen, wobei q = −1, 2 oder eine ungerade, von p verschiedene Primzahl ist. Euler bewies die folgende Kongruenz: ( ) a ≡ a(p−1)/2 (mod p). p Insbesondere:

und

(

−1 p

{

) =

+1 wenn p ≡ 1 (mod 4), −1 wenn p ≡ −1 (mod 4),

( ) { +1 wenn p ≡ ±1 2 = p −1 wenn p ≡ ±3

(mod 8), (mod 8).

Die Berechnung des Legendre-Symbols (q | p) f¨ ur beliebiges, ungerades q ̸= p kann man mit einem einfachen und schnellen Algorithmus durchf¨ uhren, der nur ganzzahlige Divisionen mit Rest erfordert und auf dem Gauß’schen Reziprozit¨ atsgesetz basiert: ( ) ( ) p−1 q−1 p q = (−1) 2 × 2 . q p Das Legendre-Symbol stellte sich als so entscheidend heraus, dass es Jacobi zur folgenden Verallgemeinerung veranlasste, die man heute als Jacobi-Symbol bezeichnet. Wieder gibt es Literaturhinweise in H¨ ulle und F¨ ulle, zum Beispiel Grosswalds Buch (1966, zweite Auﬂage 1984), oder (warum nicht?) mein eigenes Buch (1972, erweiterte Auﬂage 2001). Es sei a eine ganze Zahl ungleich 0 und b eine ungerade Zahl mit ggT(a, b) = 1. Das Jacobi-Symbol (a | b) ist in folgender als ∏ Weise ep Erweiterung des Legendre-Symbols deﬁniert. Es sei b = p|b p > 0 (mit ep ≥ 1). Dann sei ( ) ∏ ( )ep a a = , b p p|b ( ) a  ( )  , falls a > 0,  a (b ) = a  −b  , falls a < 0. − b

III. Klassische Primzahltests auf der Grundlage von Kongruenzen

39

(a | b) nimmt die Werte +1 oder −1 an. Man beachte, dass (a) ( a ) = = +1 wenn a > 0. 1 −1 Hier ist eine Auﬂistung einiger Eigenschaften des Jacobi-Symbols (die in der Deﬁnition getroﬀenen Annahmen vorausgesetzt): ( ′) ( )( ′) aa a a = , b b b ( a ) (a) ( a ) = bb′ b b′ { ( ) +1 falls b ≡ 1 (mod 4), −1 = (−1)(b−1)/2 = b −1 falls b ≡ −1 (mod 4), { ( ) +1 falls b ≡ ±1 (mod 8), 2 2 = (−1)(b −1)/8 = b −1 falls b ≡ ±3 (mod 8). Den Schl¨ ussel zur Berechnung des Jacobi-Symbols stellt das Reziprozit¨atsgesetz dar, das leicht aus dem Gauß’schen Reziprozit¨atsgesetz f¨ ur das Legendre-Symbol abzuleiten ist: F¨ ur zwei teilerfremde, ungerade ganze Zahlen a, b gilt ( ) ( ) a−1 b−1 a b =ε (−1) 2 × 2 , b a {

wobei ε=

+1 −1

falls a > 0 oder b > 0 falls a < 0 und b < 0.

Und schließlich, falls b ≥ 3 und a ein Quadrat modulo b ist: (a | b) = +1.

III Klassische Primzahltests auf der Grundlage von Kongruenzen Nach der Besprechung der S¨ atze von Fermat, Wilson, und Euler bin ich nun bereit. F¨ ur mich sind die klassischen, auf Kongruenzen basierenden Primzahltests diejenigen, die Lehmer angab. Sie erweitern oder verwenden fr¨ uhere Tests von Lucas, Pocklington und Proth. F¨ ur klassische Tests, die auf rekurrenten Folgen beruhen, habe ich einen anderen Abschnitt reserviert.

40

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Der Satz von Wilson, der ja eine Charakterisierung der Primzahlen darstellt, scheint zun¨ achst als Primzahltest vielversprechend zu sein. Da die Berechnung der Fakult¨ at jedoch viel zu aufw¨andig ist, scheidet er als praktischer Test aus. Der kleine Satz von Fermat lautet f¨ ur primes p und eine nat¨ urliche p−1 Zahl a, die kein Vielfaches von p ist, dass a ≡ 1 (mod p) erf¨ ullt ist. Allerdings m¨ ochte ich an dieser Stelle sofort anmerken, dass die Umkehrung dieses Satzes nicht gilt – es gibt zerlegbare Zahlen N und a ≥ 2 mit aN −1 ≡ 1 (mod N ). Ich werde Abschnitt VIII dem Studium dieser f¨ ur Primalit¨ atsfragen außerordentlich wichtigen Zahlen widmen. Dennoch entdeckte Lucas im Jahre 1876 eine richtige Umkehrung von Fermats kleinem Satz. Diese besagt: Test 1. Es sei N > 1. Angenommen, es existiert eine ganze Zahl a > 1 mit den Eigenschaften (i) aN −1 ≡ 1 (mod N ), (ii) am ̸≡ 1 (mod N ) f¨ ur m = 1, 2, . . . , N − 2. Dann ist N prim. Nachteil dieses zun¨ achst perfekt aussehenden Tests: Er ben¨otigt N − 2 aufeinander folgende Multiplikationen mit a und das Finden der Reste modulo N – dies sind zu viele Operationen. Beweis. Es reicht zu zeigen, dass jede Zahl m, 1 ≤ m < N , teilerfremd zu N ist, also φ(N ) = N − 1 gilt. Dazu wiederum gen¨ ugt es nachzuweisen, dass es ein a mit 1 ≤ a < N und ggT(a, N ) = 1 mit einer Ordnung von a mod N gleich N − 1 gibt. Dies aber ist genau die Aussage der Annahme. Lucas gab 1891 den folgenden Test an: Test 2. Es sei N > 1. Angenommen, es existiert eine ganze Zahl a > 1 mit den Eigenschaften (i) aN −1 ≡ 1 (mod N ), (ii) am ̸≡ 1 (mod N ) f¨ ur jedes m < N , das Teiler von N − 1 ist. Dann ist N prim. Nachteil dieses Tests: Er erfordert die Kenntnis aller Faktoren von N −1, so dass er nur f¨ ur die F¨ alle einfach anwendbar ist, in denen N −1 leicht faktorisierbar ist, so wie bei N = 2n + 1 oder N = 3 × 2n + 1.

III. Klassische Primzahltests auf der Grundlage von Kongruenzen

41

Der Beweis von Test 2 ist nat¨ urlich der gleiche wie der von Test 1. Im Jahre 1967 verbesserten Brillhart & Selfridge Lucas’ Test und gestalteten ihn ﬂexibler; siehe auch den 1975 erschienenen Artikel von Brillhart, Lehmer & Selfridge: Test 3. Es sei N > 1. Angenommen, f¨ ur jeden Primfaktor q von N − 1 existiert eine ganze Zahl a = a(q) > 1 derart, dass (i) aN −1 ≡ 1 (mod N ), (ii) a(N −1)/q ̸≡ 1 (mod N ). Dann ist N prim. Nachteil dieses Tests: Man ben¨ otigt wieder die gesamte Primfaktorenzerlegung von N − 1, jedoch m¨ ussen diesmal weniger Kongruenzen erf¨ ullt sein. Wenn man aufmerksam liest, stellt man fest, dass es zur Veriﬁkation von aN −1 ≡ 1 (mod N ) w¨ ahrend der Rechnung notwendig ist, den n Rest von a modulo N (f¨ ur jedes n ≤ N − 1) zu bestimmen. Also h¨atte man ja eigentlich auch den ersten Lucas-Test verwenden k¨onnen. Es gibt jedoch einen sehr schnellen Algorithmus zur Berechnung von an , also auch an mod N , ohne dabei s¨ amtliche vorherigen Potenzen ber¨ ucksichtigen zu m¨ ussen. Dieser funktioniert wie folgt: Man schreibe den Exponenten n zur Basis 2: n = n0 2k + n1 2k−1 + · · · + nk−1 2 + nk , wobei jedes ni gleich 0 oder 1 und n0 = 1 ist. Deﬁniere nun die Zahlen r0 , r1 , r2 , . . . sukzessive wie folgt, wobei r0 = a. F¨ ur j ≥ 0: { rj2 falls nj+1 = 0, rj+1 = 2 arj falls nj+1 = 1. Dann ist an = rk . So muss man h¨ ochstens 2k Operationen durchf¨ uhren, jeweils entweder ein Quadrieren oder eine Multiplikation mit a. Falls es um die Berechnung von an mod N geht, ist es sogar einfacher; in jedem Schritt muss man rj durch den Rest modulo N ersetzen. Nun ist k gleich [ ] log n . log 2

42

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Und daher sind f¨ ur n = N − 1 nur [ ] log N 2 log 2 Operationen notwendig, um aN −1 mod N zu bestimmen. Insbesondere ist es unn¨otig, alle Potenzen an mod N auszurechnen. Man k¨onnte diese Prozedur ja einmal zur Berechnung von 21092 mod 10932 heranziehen, das Ergebnis sollte 21092 ≡ 1 (mod 10932 ) sein, wenn man sich nicht verrechnet hat. Dies hat eigentlich gar nichts mit Primalit¨at zu tun, wird allerdings viel sp¨ater in Kapitel 5 eine Rolle spielen. Ich m¨ochte noch einmal zum Test von Brillhart und Selfridge zur¨ uckkehren und den Beweis angeben. Beweis von Test 3. Es reicht zu zeigen, dass φ(N ) = N − 1. Und da φ(N ) ≤ N −1 ist, gen¨ ugt der Nachweis, dass N −1 die Zahl φ(N ) teilt. Falls dies nicht der Fall sein sollte, gibt es eine Primzahl q und r ≥ 1 derart, dass q r Teiler von N − 1 ist, jedoch ist φ(N ) kein Vielfaches von q r . Es sei a = a(q) und e die Ordnung von a mod N . Also ist e ein Teiler von N − 1, aber kein Teiler von (N − 1)/q, somit teilt q r die Zahl e. Aus aφ(N) ≡ 1 (mod N ) folgt, dass e Teiler von φ(N ) ist, so dass q r | φ(N ), was einen Widerspruch darstellt und den Beweis abschließt. Im Abschnitt u ur ¨ber Fermat-Zahlen werde ich Pepins Primzahltest f¨ Fermat-Zahlen als Konsequenz von Test 3 entwickeln. Um die Primzahltests eﬃzienter zu gestalten, w¨are es w¨ unschenswert, wenn man auf die Bestimmung aller Primfaktoren von N −1 verzichten k¨onnte. Es gibt Tests, die nur eine teilweise Faktorisierung von N − 1 erfordern. Das grundlegende Resultat wurde 1914 von Pocklington bewiesen und ist tats¨ achlich sehr einfach: Es sei N − 1 = q n R, wobei n ≥ 1 und q eine Primzahl ist, die R nicht teilt. Angenommen, es g¨ abe eine ganze Zahl a > 1 mit den Eigenschaften: (i) aN −1 ≡ 1 (mod N ), (ii) ggT(a(N−1)/q − 1, N ) = 1. Dann hat jeder Primfaktor von N die Form mq n + 1 mit m ≥ 1.

III. Klassische Primzahltests auf der Grundlage von Kongruenzen

43

Beweis. Es sei p ein Primfaktor von N und e die Ordnung von a mod p, so dass also e Teiler von p − 1 ist. Nach Bedingung (ii) kann e den Quotienten (N − 1)/q nicht teilen, da p Teiler von N ist. Daher teilt q nicht (N − 1)/e, also ist q n Teiler von e und erst recht von p − 1. Obige Aussage sieht weniger nach einem Primzahltest als nach einem Resultat u nachweisen l¨asst, ¨ber Faktoren aus. Wenn sich allerdings √ n dass jeder Primfaktor p = mq + 1 gr¨ oßer ist als N , dann ist N eine Primzahl. F¨ ur relativ große q n ist dieser Nachweis nicht zu zeitaufw¨andig. Pocklington gab noch die folgende Verbesserung an: Es sei N − 1 = F R, wobei ggT(F, R) = 1, und die Faktorisierung von F sei bekannt. Angenommen, f¨ ur jeden Primfaktor q von F gibt es eine ganze Zahl a = a(q) > 1 derart, dass gilt: (i) aN −1 ≡ 1 (mod N ), (ii) ggT(a(N −1)/q − 1, N ) = 1. Dann hat jeder Primfaktor von N die Form mF + 1, mit m ≥ 1. Dieselben Bemerkungen wie oben treﬀen auch hier zu. Falls also √ F > N , dann ist N prim. Dieses Resultat ist sehr n¨ utzlich, um die Primalit¨at von Zahlen spezieller Form nachzuweisen. Das alte Kriterium von Proth (1878) l¨asst sich leicht ableiten: Test 4. Es sei N = 2n h + 1 mit ungeradem h und 2n > h. Angenommen, es existiert eine Zahl a > 1 derart, dass a(N−1)/2 ≡ −1 (mod N ). Dann ist N eine Primzahl. Beweis. N − 1 = 2n h, mit ungeradem h und aN −1 ≡ 1 (mod N ). Da N ungerade ist, folgt ggT(a(N−1)/2 − 1, N ) = 1. Nach obigem Resultat hat jeder Primfaktor p von N√die Form p = 2n m + 1 > 2n . Aber N = 2n h + 1 < 22n und daher N < 2n < p, somit ist N prim. Im folgenden Test (unter Verwendung derselben Schreibweise) ist es notwendig vorauszusetzen, dass der nicht-faktorisierte Teil R von N −1 keinen Primfaktor kleiner als eine gegebene Grenze B hat. Genauer: Test 5. Es sei N − 1 = F R, wobei ggT(F, R) = 1, und die Faktorisie√ rung von F sei bekannt. Dar¨ uber hinaus sei B derart, dass F B > N und R keinen Primfaktor kleiner als B hat.

44

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Angenommen (i) F¨ ur jeden Primfaktor q von F existiert ein Zahl a = a(q) > 1 mit aN −1 ≡ 1 (mod N ) und ggT(a(N −1)/q − 1, N ) = 1. (ii) Es gibt eine Zahl b > 1 derart, dass bN −1 ≡ 1 (mod N ) und ggT(bF − 1, N ) = 1. Dann ist N eine Primzahl. Beweis. Es sei p ein Primfaktor von N und e die Ordnung von b modulo N , so dass e sowohl p − 1 als auch N − 1 = F R teilt. Da e kein Teiler von F ist, folgt ggT(e, R) ̸= 1. Daher muss es eine Primzahl q mit q | e und q | R geben, somit gilt q | p − 1. Allerdings teilt F nach obigem Test von Pocklington p − 1 und da ggT(F, √ R) = 1, muss qF Teiler von p − 1 sein. Also p − 1 ≥ qF ≥ BF > N . Dies impliziert, dass p = N , also ist N prim. Der Artikel von Brillhart, Lehmer & Selfridge (1975) enth¨alt weitere Varianten dieser Tests, die sich bestens zum Nachweis der Primalit¨at von Zahlen der Form 2r + 1, 22r ± 2r + 1 und 22r−1 ± 2r + 1 eignen. Ich habe nun schon genug gesagt, daher nur noch eine kurze Bemerkung: Obige Tests erfordern die Kenntnis von Primfaktoren von N −1. Sp¨ater werden weitere Tests vorgestellt, die dann unter Verwendung linear rekurrenter Folgen die Kenntnis von Primfaktoren von N + 1 voraussetzen.

IV Lucas-Folgen Es seien P und Q zwei ganze Zahlen ungleich 0. Man betrachte das Polynom X 2 − P X + Q mit Diskriminante D = 2 P − 4Q und den Wurzeln √ √ P+ D P− D α= , β= . 2 2 Dann ist   α + β = P, αβ = Q, √  α − β = D. Ich werde D ̸= 0 annehmen. Man beachte, dass D ≡ 0 (mod 4) oder D ≡ 1 (mod 4). Deﬁniere nun die Folgen von Zahlen Un (P, Q) =

αn − β n α−β

und Vn (P, Q) = αn + β n ,

f¨ ur n ≥ 0.

IV. Lucas-Folgen

45

Insbesondere gilt U0 (P, Q) = 0 und U1 (P, Q) = 1, w¨ahrend V0 (P, Q) = 2 und V1 (P, Q) = P . Die Folgen U (P, Q) = (Un (P, Q))n≥0

und V (P, Q) = (Vn (P, Q))n≥0

heißen Lucas-Folgen zum Paar (P, Q) geh¨orend. Spezialf¨alle wurden unter Anderem von Fibonacci, Fermat und Pell untersucht. Es waren bereits viele Einzelergebnisse u ¨ber diese Folgen bekannt, bevor Lucas im Jahre 1878 in einem bahnbrechenden Artikel eine allgemeine Theorie dazu entwickelte; er erschien in Band I des American Journal of Mathematics. Die Arbeit ist ein umfangreicher und gehaltvoller Abriss, der Lucas-Folgen mit vielen interessanten Themenbereichen verkn¨ upft, so zum Beispiel mit den trigonometrischen Funktionen, Kettenbr¨ uchen, der Anzahl der Divisionen im Algorithmus zur Bestimmung des gr¨oßten gemeinsamen Teilers und auch mit Primzahltests. Und genau aus diesem letzten Grund werde ich hier die Lucas-Folgen behandeln. Falls Sie die anderen Zusammenh¨ange neugierig gemacht haben, die ich erw¨ ahnte, dann sehen Sie im Literaturverzeichnis am Ende des Buches nach und/oder ziehen Sie den Artikel selbst zu Rate. Ich sollte allerdings davor warnen, dass die verwendeten Methoden trotz der Tragweite des Artikels teilweise indirekt und m¨ uhsam sind. Vielleicht ist es daher ratsam, stattdessen die lange Abhandlung von Carmichael aus dem Jahre 1913 zu lesen, wo er Fehler korrigiert und Resultate verallgemeinert hat. Wie man leicht nachrechnen kann, gilt zun¨achst f¨ ur jedes n ≥ 2, { Un (P, Q) = P Un−1 (P, Q) − Q Un−2 (P, Q), Vn (P, Q) = P Vn−1 (P, Q) − Q Vn−2 (P, Q). Insofern verdienen es diese Folgen, als linear rekurrente Folgen der Ordnung 2 bezeichnet zu werden (jeder Term h¨angt linear von den zwei vorherigen ab). Umgekehrt zeigte Binet im Jahre 1843 unter den Voraussetzungen P , Q wie oben, D = P 2 − 4Q ̸= 0, W0 = 0 (bzw. 2), W1 = 1 (bzw. P ) und Wn = P Wn−1 − QWn−2 f¨ ur n ≥ 2, dass Wn =

αn − β n α−β

(bzw. Wn = αn + β n ) f¨ ur n ≥ 0;

wobei α, β die Wurzeln des Polynoms X 2 − P X + Q sind. Dies ist trivialerweise so, denn die Zahlenfolgen ( n ) α − βn (Wn )n≥0 und (bzw. (αn + β n )n≥0 ), α − β n≥0

46

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

haben die ersten beiden Terme gemeinsam und leiten sich aus derselben linear rekurrenten Deﬁnition zweiter Ordnung ab. Bevor ich fortfahre, hier zun¨ achst die wesentlichsten Spezialf¨alle, die schon vor der Entwicklung der allgemeinen Theorie behandelt worden waren. Die den Werten P = 1, Q = −1, U0 = U0 (1, −1) = 0 und U1 = U1 (1, −1) = 1 zugeh¨ orige Folge wurde zuerst von Fibonacci betrachtet. Sie beginnt so: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, . . . Diese Zahlen tauchten das erste Mal in einem Problem in Fibonaccis Liber Abaci auf, ver¨ oﬀentlicht im Jahre 1202. In diesem Buch wurden auch erstmalig arabische Zahlen in Europa vorgestellt. Das Problem, das sich heute in vielen Zahlentheorieb¨ uchern wiederﬁndet, betriﬀt spezielle Vermehrungsmuster bei Kaninchen. Ich muss ehrlich sagen, dass ich auf solcherlei Erkl¨arungen keinen allzu großen Wert lege. Was Kaninchen anbelangt, ziehe ich einen guten Teller lapin chasseur“ 2 mit frischen Nudeln vor. ” Die Begleitfolge der Fibonacci-Zahlen, immer noch aus P = 1, Q = −1 gebildet, ist die Folge der Lucas-Zahlen: V0 = V0 (1, −1) = 2, V1 = V1 (1, −1) = 1, und sie beginnt folgendermaßen: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, 15127, . . . Wenn P = 3, Q = 2, dann erh¨ alt man die Folgen Un (3, 2) = 2n − 1 und

Vn (3, 2) = 2n + 1,

f¨ ur n ≥ 0.

Diese Folgen bereiteten Fermat viele schlaﬂose N¨achte (zu Details siehe Abschnitte VI und VII). Die zum Paar P = 2, Q = −1 assoziierten Folgen nennt man die Pell-Folgen; die ersten Folgenglieder sind: Un (2, −1) :

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, . . .

Vn (2, −1) :

2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, 2786, 6726, 16238, 39202, . . .

2 Kaninchen

auf J¨ ager-Art

IV. Lucas-Folgen

47

¨ Lucas bemerkte eine große Ahnlichkeit zwischen den Folgen Un (P, Q) n n (bzw. Vn (P, Q)) und (a − b )/(a − b) (bzw. an + bn ), wobei a, b gegeben sind, a > b ≥ 1, ggT(a, b) = 1 und n ≥ 0. Dies ist kein Wunder, denn die eine Folge ist ein Spezialfall der anderen. Man betrachte nur das Paar (a + b, ab). Dann sind D = (a − b)2 ̸= 0, α = a, β = b und a n − bn , Vn (a + b, ab) = an + bn . a−b Es ist nat¨ urlich w¨ unschenswert, die wichtigsten Ergebnisse zu den n n Zahlenfolgen (a − b )/(a − b), an + bn (was Teilbarkeit und Primalit¨at angeht) auf die weitaus gr¨ oßere Klasse der Lucas-Folgen zu u ¨bertragen. Ich werde daher die Verallgemeinerungen von Fermats kleinem Satz, dem Satz von Euler, usw., auf Lucas-Folgen vorstellen. Dies wird keine wesentlichen Schwierigkeiten bereiten, die Entwicklung erfordert allerdings eine erstaunliche Anzahl von Schritten, wenngleich auch s¨amtlich auf elementarem Niveau. Im Folgenden werde ich nach und nach die wichtigsten Fakten zusammenstellen, die zum Beweis der Hauptresultate notwendig sind. Wenn Sie m¨ ochten, k¨onnen Sie die Details ja einmal ausarbeiten. Aber ich werde auch explizit den Beginn etlicher Lucas-Folgen angeben, so dass Sie vielleicht schon damit zufrieden sind, die Aussagen numerisch zu kontrollieren (siehe die Tabellen am Ende dieses Abschnitts). Zun¨achst die algebraischen Fakten, danach die Teilbarkeitseigenschaften. Um die Formeln zu vereinfachen, werde ich nur Un = Un (P, Q) und Vn = Vn (P, Q) schreiben. Es gelten die folgenden algebraischen Eigenschaften: Un (a + b, ab) =

(IV.1) Un = P Un−1 − QUn−2 (n ≥ 2), Vn = P Vn−1 − QVn−2 (n ≥ 2),

U0 = 0, V0 = 2,

(IV.2) U2n = Un Vn , V2n = Vn2 − 2Qn . (IV.3) Um+n = Um Vn − Qn Um−n , Vm+n = Vm Vn − Qn Vm−n (f¨ ur m ≥ n). (IV.4) Um+n = Um Un+1 − QUm−1 Un , 2Vm+n = Vm Vn + DUm Un . (IV.5) DUn = 2Vn+1 − P Vn , Vn = 2Un+1 − P Un . (IV.6) Un2 = Un−1 Un+1 + Qn−1 , Vn2 = DUn2 + 4Qn .

U1 = 1, V1 = P.

48

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

(IV.7)

(IV.8)

(IV.9) D

Um Vn − Un Vm = 2Qn Um−n (f¨ ur m ≥ n), Um Vn + Un Vm = 2Um+n . ( ) ( ) ( ) n n n n−1 n−1 n−3 2 Un = P + P D+ P n−5 D2 + · · · , 1 3 5 ( ) ( ) n n n−1 n n−2 2 Vn = P + P D+ P n−4 D2 + · · · . 2 4 Wenn m ungerade ist und k ≥ 1, dann

(m−1)/2

Ukm

( ) ( ) m m k = Ukm − Q Uk(m−2) + Q2k Uk(m−4) − . . . 1 2 (

Vkm

) m−1 m ± Q 2 k Uk , (m − 1)/2 ( ) ( ) m m = Vkm + Qk Vk(m−2) + Q2k Vk(m−4) + · · · 1 2 ( ) m−1 m + Q 2 k Vk . (m − 1)/2

Wenn m gerade ist und k ≥ 1, dann ( ) ( ) [ m m m/2 m k D Uk = Vkm − Q Vk(m−2) + Q2k Vk(m−4) − · · · 1 2 (

) ( ) ] m m (m/2)k m/2 +(−1) Q V0 − (−1) Q(m/2) k , m/2 m/2 [ ( ) k (m) 2k Vkm = Vkm + m 1 Q Vk(m−2) + 2 Q Vk(m−4) + · · · m/2

( ) ] ( m ) m (m/2)k + Q V0 − Q(m/2)k . m/2 m/2 (IV.10)

P

m

Um = Vm−1 + QVm−3 + Q2 Vm−5 + · · · + (letzter Summand), wobei { Q(m−2)/2 P falls m gerade, letzter Summand = Q(m−1)/2 falls m ungerade.

( ) ( ) m m = Vm + QVm−2 + Q2 Vm−4 + · · · + (letzter Summand), 1 2

IV. Lucas-Folgen

49

wobei

( ) m   Qm/2  m/2 ( ) letzter Summand = m   Q(m−1)/2 P  (m − 1)/2

falls m gerade, falls m ungerade.

F¨ ur die n¨achste Eigenschaft ben¨ otigt man zun¨achst die folgende Identit¨at von Lagrange, die auf das Jahr 1741 zur¨ uckgeht: n X n + Y n = (X + Y )n − XY (X + Y )n−2 ( )1 n n−3 + X 2 Y 2 (X + Y )n−4 2 1 ( ) n n−4 − X 3 Y 3 (X + Y )n−6 + · · · 3 2 ( ) rn n−r −1 + (−1) X r Y r (X + Y )n−2r ± · · · , r r−1 wobei die Summe bis 2r ≤ n l¨ auft. Man beachte, dass alle Koeﬃzienten ganzzahlig sind. (IV.11)

Wenn m ≥ 1 und q ungerade ist, dann q q q−2 Umq = D(q−1)/2 Um + Qm D (q−3)/2 Um 1 ( ) q q−3 q−4 + Q2m D(q−5)/2 Um + ··· 2 1 ( ) q q−r−1 q−2r + Qmr D(q−2r−1)/2 Um + ··· r r−1 + letzter Summand, mit dem letzten Summanden ( ) q−1 q−1 q (q − 1)/2 Q 2 m Um = q Q 2 m Um . (q − 1)/2 (q − 3)/2

Nun werde ich die Teilbarkeitseigenschaften vorstellen, und zwar in der Reihenfolge, in der man sie nach und nach beweisen kann. (IV.12)

Un ≡ Vn−1 (mod Q), Vn ≡ P n

(mod Q).

Hinweis: Verwende (IV.10) oder Beweis durch Induktion.

50

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

(IV.13)

Es sei p eine ungerade Primzahl. Dann ist Ukp ≡ D

p−1 2

und f¨ ur e ≥ 1, Upe ≡ D (

Insbesondere: Up ≡

Uk

p−1 e 2

D p

(mod p)

(mod p).

) (mod p).

Hinweis: Verwende (IV.9). (IV.14)

Vp ≡ P (mod p).

Hinweis: Verwende (IV.10). (IV.15)

Wenn n, k ≥ 1, dann ist Un Teiler von Ukn .

Hinweis: Verwende (IV.3). (IV.16)

Wenn n, k ≥ 1 mit ungeradem k, dann ist Vn Teiler von Vkn .

Hinweis: Verwende (IV.9). Bezeichnung. Wenn es f¨ ur n ≥ 2 eine Zahl r ≥ 1 derart gibt, dass n Teiler von Ur ist, dann bezeichne ρ(n) = ρ(n, U ) das kleinste solche r. (IV.17) Angenommen, es existiert ρ(n) mit ggT(n, 2Q) = 1. Dann gilt n | Uk genau dann, wenn ρ(n) | k. Hinweis: Verwende (IV.15) und (IV.7). Es wird sich zeigen, dass ρ(n) f¨ ur die meisten n mit ggT(n, 2Q) = 1 existiert, jedoch nicht f¨ ur alle. (IV.18) Wenn Q und P gerade sind, dann sind Un f¨ ur n ≥ 2 und Vn f¨ ur n ≥ 1 ebenfalls gerade. Wenn Q gerade und P ungerade ist, dann sind Un und Vn f¨ ur n ≥ 1 ungerade. Wenn Q ungerade und P gerade ist, dann ist Un ≡ n (mod 2) und Vn ungerade. Wenn Q und P ungerade sind, dann sind Un und Vn gerade, wenn n durch 3 teilbar ist, w¨ ahrend sonst Un und Vn ungerade sind. Insbesondere ist Vn gerade, wenn Un gerade ist. Hinweis: Verwende (IV.12), (IV.5), (IV.2), (IV.6) und (IV.1).

IV. Lucas-Folgen

51

Es folgt nun das erste Hauptresultat. Es ist ein Begleitergebnis von (IV.18) und verallgemeinert den kleinen Satz von Fermat: (IV.19) Es sei p eine ungerade Primzahl. Wenn p | P und p | Q, dann p | Uk f¨ ur jedes k > 1. Wenn p | P und p - Q, dann p | Uk genau dann, wenn k gerade ist. Wenn p - P und p | Q, dann p - Uk f¨ ur jedes k ≥ 1. Wenn p - P , p - Q und p | D, dann p | Uk genau dann, wenn p | k. Wenn p - P QD, dann p | Uψ(p) , wobei ψ(p) = p − (D | p) und (D | p) das Legendre-Symbol ist. Beweis. Wenn p | P und p | Q, dann folgt nach (IV.1) p | Uk f¨ ur jedes k > 1. Wenn p | P = U2 , so folgt aus (IV.15), dass p | U2k f¨ ur jedes k ≥ 1. Da p - Q und U2k+1 = P U2k − QU2k−1 , erh¨alt man durch Induktion, dass p - U2k+1 . Wenn p - P und p | Q, so folgt wiederum durch Induktion und (IV.1), dass p - Uk f¨ ur jedes k ≥ 1. Wenn p - P Q und p | D, dann ergibt (IV.8), dass 2p−1 Up ≡ 0 (mod p), so dass p | Up . Andererseits, falls p - n, dann folgt mit (IV.8), dass 2n−1 Un ≡ nP n−1 ̸≡ 0 (mod p) und daher p - Un . Schließlich der interessanteste Fall: Angenommen, p - P QD. Wenn (D | p) = −1, erh¨ alt man mit (IV.8) (

) ( ) p+1 p+1 Pp + P p−2 D + · · · 1 3 ( ) p+1 + P D(p−1)/2 ≡ P + P D(p−1)/2 ≡ 0 p

2p Up+1 =

(mod p),

also p | Up+1 . Falls (D | p) = 1, so existiert ein C mit P 2 − 4Q = D ≡ C 2 (mod p); daher P 2 ̸≡ C 2 (mod p) und p - C. Nach (IV.8) sieht man unter Beachtung von (

dass

p−1 1

)

( ≡ −1 (mod p),

p−1 3

) ≡ −1

(mod p),

...

52

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

(

2

p−2

Up−1

) ( ) p−1 p−1 p−2 = P + P p−4 D 1 3 ( ) ( ) p−1 p−1 p−6 2 + P D + ··· + P D(p−3)/2 5 p−2 ≡ −[P p−2 + P p−4 D + P p−6 D 2 + · · · + P D (p−3)/2 ] ( p−1 ) P − D(p−1)/2 ≡ −P P2 − D P p−1 − C p−1 ≡ −P ≡ 0 (mod p). P 2 − C2

Also p | Up−1 . Unter Verwendung der oben eingef¨ uhrten Bezeichnung ρ(p) lassen sich einige der Aussagen von (IV.19) wie folgt umformulieren: Wenn p eine ungerade Primzahl ist und p - Q, dann gilt: Wenn p | P , dann ρ(p) = 2. Wenn p - P , p | D, dann ρ(p) = p. Wenn p - P D, dann ist ρ(p) Teiler von ψ(p). Man schließe im letzten Fall nicht voreilig, dass ρ(p) = ψ(p). Ich werde auf diesen Punkt noch zur¨ uckkommen, nachdem ich die wesentlichen Eigenschaften von Lucas-Folgen aufgelistet habe. Die spezielle Lucas-Folge Un (a + 1, a) hat die Diskriminante D = (a − 1)2 ; und wenn p - a(a2 − 1), dann (

D p

) =1

und

p | Up−1 =

ap−1 − 1 , a−1

also p | ap−1 − 1 (was trivial ist, wenn p | a2 − 1) – und das ist Fermats kleiner Satz. (IV.20) Es sei e ≥ 1 und pe die maximale Potenz von p, die Um teilt. Wenn p - k und f ≥ 1, dann ist pe+f Teiler von Umkpf . Dar¨ uber hinaus ist pe+f die maximale Potenz von p, die Umkpf teilt, wenn p | Q und pe ̸= 2, w¨ ahrend Umk /2 ungerade ist, wenn pe = 2. Hinweis: Verwende (IV.19), (IV.18), (IV.11) und (IV.6). Nun zur Verallgemeinerung des Satzes von Euler:

IV. Lucas-Folgen

53

F¨ ur Wurzeln α und β von X 2 − P X + Q deﬁniere das Symbol  ( )   1 falls Q gerade, α, β = 0 falls Q ungerade und P gerade,  2  −1 falls Q und P ungerade und f¨ ur p ̸= 2:

(

α, β p

)

( =

D p

)

(also ist es 0, wenn p | D). Setze ( ψα,β (p) = p −

α, β p

)

f¨ ur jedes prime p, sowie ψα,β (pe ) = pe−1 ψα,β (p) f¨ ur e ≥ 1. F¨ ur n =

∏

e p|n p

sei die Carmichael-Funktion wie folgt deﬁniert: λα,β (n) = kgV{ψα,β (pe )}

(wobei kgV das kleinste gemeinsame Vielfache bezeichne). Deﬁniere weiter die verallgemeinerte Euler-Funktion durch ∏ ψα,β (n) = ψα,β (pe ). p|n

Also wird ψα,β (n) von λα,β (n) geteilt. Es l¨asst sich leicht nachpr¨ ufen, dass ψa,1 (p) = p − 1 = φ(p) f¨ ur jedes prime p gilt, das a nicht teilt; wenn also ggT(a, n) = 1, dann ψa,1 (n) = φ(n) sowie λa,1 (n) = λ(n), wobei λ(n) die ebenfalls von Carmichael deﬁnierte Funktion aus Abschnitt II ist. Hier nun die Erweiterung des Satzes von Euler: (IV.21) Wenn ggT(n, Q) = 1, dann ist n Teiler von Uλα,β (n) und somit auch von Uψα,β (n) . Hinweis: Verwende (IV.19) und (IV.20). Man muss dazu sagen, dass die Teilbarkeitseigenschaften der Begleitfolge (Vn )n≥1 nicht so einfach zu beschreiben sind. Man beachte zum Beispiel

54

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

(IV.22)

1

Wenn p - 2QD, dann Vp−(D|p) ≡ 2Q 2 [1−(D|p)] (mod p).

Hinweis: Verwende (IV.5), (IV.13), (IV.19) und (IV.14). Dies kann nun dazu verwendet werden, um Aussagen u ¨ber die Teilbarkeit von Uψ(p)/2 und Vψ(p)/2 herzuleiten. (IV.23)

Angenommen, p - 2QD. Dann gilt p | Uψ(p)/2 p | Vψ(p)/2

) Q | p = 1, ( ) genau dann, wenn Q | p = −1. genau dann, wenn

(

Hinweis: F¨ ur die erste Behauptung, verwende (IV.2), (IV.6), (IV.22) und die Kongruenz (Q | p) ≡ Q(p−1)/2 (mod p). F¨ ur die zweite Behauptung, verwende (IV.2), (IV.19), die erste Aussage, sowie (IV.6). F¨ ur die n¨achsten Resultate setze ich ggT(P, Q) = 1 voraus. (IV.24)

ggT(Un , Q) = 1 und ggT(Vn , Q) = 1, f¨ ur jedes n ≥ 1.

Hinweis: Verwende (IV.12). (IV.25)

ggT(Un , Vn ) = 1 oder 2.

Hinweis: Verwende (IV.16) und (IV.24). (IV.26)

Wenn d = ggT(m, n), dann Ud = ggT(Um , Un ).

Hinweis: Verwende (IV.15), (IV.7), (IV.24), (IV.18) und (IV.6). Dieser Beweis ist nicht ganz so) einfach und ben¨otigt die Verwendung der ( Lucas-Folge Un (Vd , Qd ) n≥0 . (IV.27)

Wenn ggT(m, n) = 1, dann ggT(Um , Un ) = 1.

Kein Hinweis hierzu. (IV.28)

Wenn d = ggT(m, n) und m/d, n/d ungerade sind, dann Vd = ggT(Vm , Vn ).

Hinweis: Verwende den gleichen Beweis wie f¨ ur (IV.26). Und hier ein Resultat ¨ ahnlich (IV.17), allerdings unter der Voraussetzung ggT(P, Q) = 1: (IV.29) Angenommen, ρ(n) existiert. Dann gilt n | Uk genau dann, wenn ρ(n) | k.

IV. Lucas-Folgen

55

Hinweis: Verwende (IV.15), (IV.24) und (IV.3). Ich unterbreche hier kurz, um einmal ausf¨ uhrlich aufzuschreiben, was im Falle der Fibonacci-Zahlen Un sowie der Lucas-Zahlen Vn passiert; sei also nun P = 1, Q = −1, D = 5. Eigenschaft (IV.18) wird zum Gesetz des Erscheinens von p. Und obwohl ich diese Zeilen am Halloween-Abend schreibe, w¨ urde es mir 3 doch wehtun, es Gesetz der Erscheinung“ zu nennen. ” Gesetz der Erscheinung (hoppla, des Erscheinens) von p: p | Up−1 wenn (5 | p) = 1, das heißt, p ≡ ±1 (mod 10), p | Up+1 wenn (5 | p) = −1, das heißt, p ≡ ±3 (mod 10). Eigenschaft (IV.19) ist das Gesetz der Wiederholung. F¨ ur die Lucas-Zahlen gelten die folgenden Eigenschaften: p | Vp−1 − 2 wenn (5 | p) = 1, das heißt, p ≡ ±1 (mod 10), p | Vp+1 + 2 wenn (5 | p) = −1, das heißt, p ≡ ±3 (mod 10). Jarden zeigte 1958, dass im Falle der Fibonacci-Folge die Funktion ψ(p) p − (5 | p) = ρ(p) ρ(p) unbeschr¨ankt ist (wenn die Primzahl p gegen Unendlich geht). Dieses Resultat wurde von Kiss & Phong 1978 verallgemeinert: Es existiert C > 0 (das nur von P und Q abh¨angt), so dass ψ(p)/ρ(p) unbeschr¨ankt ist, jedoch gilt immer noch ψ(p)/ρ(p) < C[p/(log p)] (f¨ ur p gegen Unendlich). Ich werde nun das Verhalten der Lucas-Folgen modulo einer Primzahl p angeben. Der Fall p = 2 verh¨ alt sich wie in (IV.18) beschrieben. Beispielsweise sind f¨ ur ungerades P und Q die Folgen (Un mod 2)n≥0 , (Vn mod 2)n≥0 gleich 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, . . . . Interessanter wird es, wenn p eine ungerade Primzahl ist. (IV.30)

Wenn p - 2QD und (D | p) = 1, dann Un+p−1 ≡ Un

(mod p),

Vn+p−1 ≡ Vn

(mod p).

3 Anm. d. Ubers.: ¨ Der Autor spielt im Original an dieser Stelle auf die direkte ¨ Ubersetzung des franz¨ osischen loi d’apparition ins Englische an, was zu apparition law“ ” f¨ uhrt; dies bedeutet Gesetz der (Geister-)Erscheinung“. ”

56

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Die Folgen (Un mod p)n≥0 , (Vn mod p)n≥0 haben somit die Periodenl¨ange p − 1. Beweis. Nach (IV.4), Un+p−1 = Un Up − QUn−1 Up−1 ; nach (IV.19) ist ρ(p) Teiler von p − (D | p) = p − 1; nach (IV.15) folgt p | Up−1 ; was auch stimmt, wenn p | P , p - Q, da p − 1 dann gerade ist, und somit p | Up−1 nach (IV.19). Mit (IV.13), Up ≡ (D | p) ≡ 1

(mod p).

Also Un+p−1 ≡ Un (mod p). Nun folgt aus (IV.5), Vn+p−1 = 2Un+p − P Un ≡ 2Un+1 − P Un ≡ Vn (mod p). Das Begleitresultat sieht folgendermaßen aus: (IV.31) Es sei p - 2QD und e die Ordnung von Q mod p. Wenn (D | p) = −1, dann Un+e(p+1) ≡ Un

(mod p),

Vn+e(p+1) ≡ Vn

(mod p).

Somit haben die Folgen (Un mod p)n≥0 , (Vn mod p)n≥0 eine Periodenl¨ange von e(p + 1). Beweis. Wenn p - P , folgt aus (IV.19), (IV.15), p | Up−(D|p) = Up+1 was auch stimmt, wenn p | P . Nach (IV.22), Vp+1 ≡ 2Q (mod p). Ich werde nun durch Induktion u ¨ber r ≥ 1 zeigen, dass Vr(p+1) ≡ 2Qr (mod p). Die Aussage ist richtig f¨ ur r ≥ 1. Dann folgt nach (IV.4) 2V(r+1)(p+1) = Vr(p+1) Vp+1 + DUr(p+1) Up+1 ≡ 4Qr+1

(mod p),

so dass V(r+1)(p+1) ≡ 2Qr+1 (mod p). Insbesondere Ve(p+1) ≡ 2Qe ≡ 2 (mod p). Nach (IV.7), Un+e(p+1) Ve(p+1) − Ue(p+1) Vn+e(p+1) = 2Qe(p+1) Un , und somit 2Un+e(p+1) ≡ 2Un (mod p), womit die erste Kongruenz hergestellt ist. Die zweite Kongruenz folgt aus (IV.5).

IV. Lucas-Folgen

57

Es ist sinnvoll, einige der vorangegangenen Ergebnisse einmal anhand der folgenden Mengen zusammenzufassen: P(U ) = {p prim | es gibt n derart, dass Un ̸= 0 und p | Un }, P(V ) = {p prim | es gibt n derart, dass Vn ̸= 0 und p | Vn }. Dies sind die Mengen der Primteiler der Folgen U = (Un )n≥1 bzw. V = (Vn )n≥1 . Die Parameter (P, Q) seien zwei von 0 verschiedene, teilerfremde Zahlen, die Diskriminante ist D = P 2 − 4Q ̸= 0. Ein erster Fall ergibt sich, wenn es ein n > 1 gibt, f¨ ur das Un = 0, n n oder ¨aquivalent, wenn α = β , das heißt α/β ist eine Einheitswurzel. Wenn n der kleinste derartige Index ist, dann ist Ur ̸= 0 f¨ ur r = 1, . . . , n − 1 und Unk+r = αnk Ur (f¨ ur jedes k ≥ 1), so dass P(U ) aus allen Primteilern von U2 · · · Un−1 besteht. Analog setzt sich P(V ) aus den Primzahlen zusammen, die V1 V2 · · · Vn−1 Vn teilen. Der interessantere Fall ist der, wenn α/β keine Einheitswurzel ist, also Un ̸= 0, Vn ̸= 0 f¨ ur jedes n ≥ 1. Dann ist P(U ) = {p prim | p teilt Q nicht}. Dies folgt aus (IV.18) und (IV.19). Insbesondere ist P(U ) f¨ ur die Folge der Fibonacci-Zahlen gleich der Menge aller Primzahlen. F¨ ur die begleitende Lucas-Folge V = (Vn )n≥1 l¨asst sich keine a¨hnlich pr¨azise Aussage treﬀen. Aus U2n = Un Vn (n ≥ 1) folgt, dass P(V ) eine Teilmenge von P(U ) ist. Nach (IV.18) gilt 2 ∈ P(V ) genau dann, wenn Q ungerade ist. Es folgt zudem aus (IV.24) und (IV.6), dass wenn p ̸= 2 und p | DQ, dann p ̸∈ P(V ), w¨ahrend wenn p - 2DQ und (Q | p) = −1, dann p ∈ P(V ) [siehe (IV.23)]; andererseits ist p ̸∈ P(V ), wenn p - 2DQ, (Q | p) = 1 und (D | p) = −(−1 | p). Dies reicht ohne eine weitere Analyse nicht aus, um zu entscheiden, ob eine Primzahl p mit p - 2DQ, (Q | p) = 1 und (D | p) = (−1 | p) zu P(V ) geh¨ort oder nicht. Zumindest ist sicher, dass P(V ) auch eine unendliche Menge ist. F¨ ur die Folge der Lucas-Zahlen mit P = 1, Q = −1, D = 5, lassen sich die vorangegangenen Aussagen folgendermaßen angeben: Wenn p = 3, 7, 11, 19 (mod 20), dann p ∈ P(V ); Wenn p ≡ 13, 17 (mod 20), dann p ̸∈ P(V ). F¨ ur p ≡ 1, 9 (mod 20) kann man ohne eine sorgf¨altige Untersuchung, wie zum Beispiel der von Ward von 1961, zu keiner Entscheidung gelangen. Bereits im Jahre 1958 hatte Jarden die Existenz unendlich vieler Primzahlen p mit p ≡ 1 (mod 20) nachgewiesen, f¨ ur die p ̸∈ P(V ) gilt. Andererseits zeigte er, dass in P(V ) unendlich viele p mit p ≡ 1 (mod 40) enthalten sind.

58

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

An sp¨aterer Stelle (in Kapitel 5, Abschnitt VIII) werde ich auf die Mengen P(U ), P(V ) zur¨ uckkommen und der Frage nach ihrer Dichte innerhalb der Menge aller Primzahlen nachgehen. In Analogie zum Satz von Bang und Zsigmondy betrachtete Carmichael auch die primitiven Primfaktoren der Lucas-Folgen mit Parametern (P, Q): p ist ein primitiver Primfaktor von Uk (bzw. Vk ), wenn p | Uk (bzw. p | Vk ), aber p keine der vorangegangenen Zahlen in der betrachteten Folge teilt. Der Beweis des Satzes von Zsigmondy ist nicht besonders einfach, und hier ist es noch etwas heikler. Carmichael zeigte, dass Un bei positiver Diskriminante f¨ ur jedes n ̸= 1, 2, 6 einen primitiven Primfaktor hat, außer wenn n = 12 und P = ±1, Q = −1. Die Situation ist g¨ unstiger, wenn D ein Quadrat ist. Dann hat Un f¨ ur jedes n einen primitiven Primfaktor, außer wenn n = 6, P = ±3, Q = 2. Ist Ihnen aufgefallen, dass diese zweite Aussage Zsigmondys Satz beinhaltet? Dar¨ uber hinaus ist der Ausnahmefall f¨ ur P = 1 und Q = −1 genau die Fibonacci-Zahl U12 = 144. F¨ ur die Begleitfolge Vn gilt, dass diese im Falle D > 0 f¨ ur alle n ̸= 1, 3 einen primitiven Primfaktor besitzt, außer wenn n = 6, P = ±1, Q = −1 (die Lucas-Zahl V6 = 18). Falls D ein Quadrat ist, gibt es nur noch die einzige Ausnahme n = 3, P = ±3, Q = 2, was auch im Satz von Zsigmondy enthalten ist. F¨ ur D < 0 gilt die obige Aussage jedoch nicht mehr. Wie schon Carmichael bemerkte, hat Un mit P = 1, Q = 2 f¨ ur n = 1, 2, 3, 5, 8, 12, 13, 18 keine primitiven Primfaktoren. Schinzel zeigte 1962: Es sei (Un )n≥0 die Lucas-Folge mit teilerfremden Parametern (P, Q) derart, dass die Diskriminante D < 0. Angenommen, dass α/β keine Einheitswurzel ist. Dann gibt es ein explizit berechenbares n0 (in Abh¨ angigkeit von P , Q ), so dass Un f¨ ur n > n0 einen primitiven Primfaktor hat. Sp¨ater bewies Schinzel im Jahre 1974 das gleiche Resultat mit absoluter Konstante n0 – unabh¨ angig von der Lucas-Folge. Dies war ein beachtliches Ergebnis. Mit Hilfe der Methoden von Baker konnte Stewart 1977 zeigen, dass Un einen primitiven Primfaktor besitzt, wenn n > e452 267 . Dar¨ uber hinaus bewies Stewart auch, dass es f¨ ur gegebenes n (n ̸= 6, n > 4)

V. Primzahltests auf der Grundlage von Lucas-Folgen

59

nur endlich viele Lucas-Folgen gibt, die explizit bestimmbar sind (sagt Stewart, ohne es zu tun), so dass Un keinen primitiven Primfaktor hat. Es ist interessant, einmal den primitiven Teil Un∗ von Un zu betrachten: Un = Un∗ Un′ mit ggT(Un∗ , Un′ ) = 1 wobei p genau dann Un∗ teilt, wenn p primitiver Primfaktor von Un ist. Im Jahre 1963 gab Schinzel Bedingungen f¨ ur die Existenz von zwei (oder geradem e > 2) verschiedenen primitiven Primfaktoren an. Es folgt, dass wenn D > 0 oder D < 0 und α/β keine Einheitswurzel ist, es unendlich viele n derart gibt, dass der primitive Teil Un∗ zerlegbar ist. Kann man irgendeine Aussage dar¨ uber treﬀen, ob Un∗ quadratfrei ist? Dies ist eine sehr schwierige Frage. Man denke nur an den speziellen Fall, wenn P = 3, Q = 2, woraus sich die Folge 2n − 1 ergibt (siehe die Kommentare in Abschnitt II).

V Primzahltests auf der Grundlage von Lucas-Folgen Was Lucas begann, setzte Lehmer fort, andere verfeinerten es. Die Primzahltests f¨ ur eine Zahl N , die nun vorgestellt werden, erfordern die Kenntnis der Primfaktoren von N + 1. In diesem Sinne sind sie als eine Erg¨anzung zu den Tests aus Abschnitt III zu verstehen, in denen man Primfaktoren von N − 1 ben¨ otigte. Als Werkzeug werden die Lucas-Folgen dienen. Nach (IV.18) gilt: Wenn N eine ungerade Primzahl ist und U = (Un )n≥0 eine Lucas-Folge mit Diskriminante D, wobei N - DP Q, dann wird UN−(D|N) von N geteilt. Wenn also das Jacobi-Symbol (D | N ) = −1 ist, so teilt N die Zahl UN +1 . Allerdings m¨ ochte ich (wie schon in Abschnitt III) sofort anmerken, dass die direkte Umkehrung nicht gilt. Denn es gibt zerlegbare Zahlen N und Lucas-Folgen (Un )n≥0 mit Diskriminante D, so dass N Teiler von UN −(D|N ) ist. Solche Zahlen werden in Abschnitt X untersucht. Es wird sich als n¨ utzlich herausstellen, f¨ ur Zahlen D > 1 die folgendermaßen deﬁnierte Funktion ψD einzuf¨ uhren: ∏ F¨ ur N = si=1 pei i , sei ψD (N ) =

s 1 ∏

2s−1

i=1

pei i −1

(

( pi −

D pi

)) .

60

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Tabelle 2.

Fibonacci- und Lucas-Zahlen P = 1, Q = −1

Fibonacci-Zahlen

Lucas-Zahlen

U (0) = 0 U (1) = 1 U (2) = 1 U (3) = 2 U (4) = 3 U (5) = 5 U (6) = 8 U (7) = 13 U (8) = 21 U (9) = 34 U (10) = 55 U (11) = 89 U (12) = 144 U (13) = 233 U (14) = 377 U (15) = 610 U (16) = 987 U (17) = 1597 U (18) = 2584 U (19) = 4181 U (20) = 6765 U (21) = 10946 U (22) = 17711 U (23) = 28657 U (24) = 46368 U (25) = 75025 U (26) = 121393 U (27) = 196418 U (28) = 317811 U (29) = 514229 U (30) = 832040 U (31) = 1346269 U (32) = 2178309 U (33) = 3524578 U (34) = 5702887 U (35) = 9227465 U (36) = 14930352 U (37) = 24157817 U (38) = 39088169 U (39) = 63245986 U (40) = 102334155

V (0) = 2 V (1) = 1 V (2) = 3 V (3) = 4 V (4) = 7 V (5) = 11 V (6) = 18 V (7) = 29 V (8) = 47 V (9) = 76 V (10) = 123 V (11) = 199 V (12) = 322 V (13) = 521 V (14) = 843 V (15) = 1364 V (16) = 2207 V (17) = 3571 V (18) = 5778 V (19) = 9349 V (20) = 15127 V (21) = 24476 V (22) = 39603 V (23) = 64079 V (24) = 103682 V (25) = 167761 V (26) = 271443 V (27) = 439204 V (28) = 710647 V (29) = 1149851 V (30) = 1860498 V (31) = 3010349 V (32) = 4870847 V (33) = 7881196 V (34) = 12752043 V (35) = 20633239 V (36) = 33385282 V (37) = 54018521 V (38) = 87403803 V (39) = 141422324 V (40) = 228826127

V. Primzahltests auf der Grundlage von Lucas-Folgen

Tabelle 3.

Zahlen 2n − 1 und 2n + 1 P = 3, Q = 2

Zahlen 2n − 1

Zahlen 2n + 1

U (0) = 0 U (1) = 1 U (2) = 3 U (3) = 7 U (4) = 15 U (5) = 31 U (6) = 63 U (7) = 127 U (8) = 255 U (9) = 511 U (10) = 1023 U (11) = 2047 U (12) = 4095 U (13) = 8191 U (14) = 16383 U (15) = 32767 U (16) = 65535 U (17) = 131071 U (18) = 262143 U (19) = 524287 U (20) = 1048575 U (21) = 2097151 U (22) = 4194303 U (23) = 8388607 U (24) = 16777215 U (25) = 33554431 U (26) = 67108863 U (27) = 134217727 U (28) = 268435455 U (29) = 536870911 U (30) = 1073741823 U (31) = 2147483647 U (32) = 4294967295 U (33) = 8589934591 U (34) = 17179869183 U (35) = 34359738367 U (36) = 68719476735 U (37) = 137438953471 U (38) = 274877906943 U (39) = 549755813887 U (40) = 1099511627775

V (0) = 2 V (1) = 3 V (2) = 5 V (3) = 9 V (4) = 17 V (5) = 33 V (6) = 65 V (7) = 129 V (8) = 257 V (9) = 513 V (10) = 1025 V (11) = 2049 V (12) = 4097 V (13) = 8193 V (14) = 16385 V (15) = 32769 V (16) = 65537 V (17) = 131073 V (18) = 262145 V (19) = 524289 V (20) = 1048577 V (21) = 2097153 V (22) = 4194305 V (23) = 8388609 V (24) = 16777217 V (25) = 33554433 V (26) = 67108865 V (27) = 134217729 V (28) = 268435457 V (29) = 536870913 V (30) = 1073741825 V (31) = 2147483649 V (32) = 4294967297 V (33) = 8589934593 V (34) = 17179869185 V (35) = 34359738369 V (36) = 68719476737 V (37) = 137438953473 V (38) = 274877906945 V (39) = 549755813889 V (40) = 1099511627777

61

62

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Tabelle 4.

Pell-Zahlen

P = 2, Q = −1 Pell-Zahlen

Begleitende Pell-Zahlen

U (0) = 0 U (1) = 1 U (2) = 2 U (3) = 5 U (4) = 12 U (5) = 29 U (6) = 70 U (7) = 169 U (8) = 408 U (9) = 985 U (10) = 2378 U (11) = 5741 U (12) = 13860 U (13) = 33461 U (14) = 80782 U (15) = 195025 U (16) = 470832 U (17) = 1136689 U (18) = 2744210 U (19) = 6625109 U (20) = 15994428 U (21) = 38613965 U (22) = 93222358 U (23) = 225058681 U (24) = 543339720 U (25) = 1311738121 U (26) = 3166815962 U (27) = 7645370045 U (28) = 1845756052 U (29) = 44560482149 U (30) = 107578520350 U (31) = 259717522849 U (32) = 627013566048 U (33) = 1513744654945 U (34) = 3654502875938 U (35) = 8822750406821 U (36) = 21300003689580 U (37) = 51422757785981 U (38) = 124145519261542 U (39) = 299713796309065 U (40) = 723573111879672

V (0) = 2 V (1) = 2 V (2) = 6 V (3) = 14 V (4) = 34 V (5) = 82 V (6) = 198 V (7) = 478 V (8) = 1154 V (9) = 2786 V (10) = 6726 V (11) = 16238 V (12) = 39202 V (13) = 94642 V (14) = 228486 V (15) = 551614 V (16) = 1331714 V (17) = 3215042 V (18) = 7761798 V (19) = 18738638 V (20) = 45239074 V (21) = 109216786 V (22) = 263672646 V (23) = 636562078 V (24) = 1536796802 V (25) = 3710155682 V (26) = 8957108166 V (27) = 21624372014 V (28) = 52205852194 V (29) = 126036076402 V (30) = 304278004998 V (31) = 734592086398 V (32) = 1773462177794 V (33) = 4281516441986 V (34) = 10336495061766 V (35) = 24954506565518 V (36) = 60245508192802 V (37) = 145445522951122 V (38) = 351136554095046 V (39) = 847718631141214 V (40) = 2046573816377474

V. Primzahltests auf der Grundlage von Lucas-Folgen

Tabelle 5.

Zahlen U (4, 3) und V (4, 3) P = 4, Q = 3

Zahlen

Begleitzahlen

U (0) = 0 U (1) = 1 U (2) = 4 U (3) = 13 U (4) = 40 U (5) = 121 U (6) = 364 U (7) = 1093 U (8) = 3280 U (9) = 9841 U (10) = 29524 U (11) = 88573 U (12) = 265720 U (13) = 797161 U (14) = 2391484 U (15) = 7174453 U (16) = 21523360 U (17) = 64570081 U (18) = 193710244 U (19) = 581130733 U (20) = 1743392200 U (21) = 5230176601 U (22) = 15690529804 U (23) = 47071589413 U (24) = 141214768240 U (25) = 423644304721 U (26) = 1270932914164 U (27) = 3812798742493 U (28) = 11438396227480 U (29) = 34315188682441 U (30) = 102945566047324 U (31) = 308836698141973 U (32) = 926510094425920 U (33) = 2779530283277761 U (34) = 8338590849833284 U (35) = 25015772549499853 U (36) = 75047317648499560 U (37) = 225141952945498681 U (38) = 675425858836496044 U (39) = 2026277576509488133 U (40) = 6078832729528464400

V (0) = 2 V (1) = 4 V (2) = 10 V (3) = 28 V (4) = 82 V (5) = 244 V (6) = 730 V (7) = 2188 V (8) = 6562 V (9) = 19684 V (10) = 59050 V (11) = 177148 V (12) = 531442 V (13) = 1594324 V (14) = 4782970 V (15) = 14348908 V (16) = 43046722 V (17) = 129140164 V (18) = 387420490 V (19) = 1162261468 V (20) = 3486784402 V (21) = 10460353204 V (22) = 31381059610 V (23) = 94143178828 V (24) = 282429536482 V (25) = 847288609444 V (26) = 2541865828330 V (27) = 7625597484988 V (28) = 22876792454962 V (29) = 68630377364884 V (30) = 205891132094650 V (31) = 617673396283948 V (32) = 1853020188851842 V (33) = 5559060566555524 V (34) = 16677181699666570 V (35) = 50031545098999708 V (36) = 150094635296999122 V (37) = 450283905890997364 V (38) = 1350851717672992090 V (39) = 4052555153018976268 V (40) = 12157665459056928802

63

64

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Man beachte, dass wenn (Un )n≥0 eine Lucas-Folge mit Diskriminante D ist, und α, β die Wurzeln des zugeh¨origen Polynoms sind, die Funktion ψα,β aus Abschnitt IV in folgender Weise mit ψD verwandt ist: ψα,β (N ) = 2s−1 ψD (N ). Da es notwendig sein wird, gleichzeitig verschiedene Lucas-Folgen mit derselben Diskriminante D zu betrachten, ist es vorteilhaft, ψD anstelle von ψα,β zu verwenden. Beispielsweise haben U (P, Q) und U (P ′ , Q′ ) f¨ ur P ′ = P + 2, Q′ = P + Q + 1 dieselbe Diskriminante. Ich werde mit einigen Vorbereitungen und einfachen Ergebnissen beginnen. (V.1) F¨ ur ungerades N mit ggT(N, D) = 1 gilt ψD (N ) = N −(D | N ) genau dann, wenn N eine Primzahl ist. Beweis. Falls N prim ist, folgt nach Deﬁnition ψD (N ) = N − (D | N ). Falls N = pe mit primem p, e ≥ 2, dann ist ψD (N ) ein Vielfaches von p, w¨ahrend dies ur N − (D | N ) nicht gilt. ∏s f¨ Falls N = i=1 pei i mit s ≥ 2, dann ist ψD (N ) ≤

s 1 ∏

2s−1

i=1

pei i −1 (pi

( ) s ∏ 1 1 + 1) = 2N 1+ 2 pi i=1

2 3 4N ≤ 2N × × × · · · ≤ < N − 1, 3 5 5 da N > 5. (V.2) Wenn N ungerade ist und ggT(N, D) = 1, wobei N − (D | N ) den Wert ψD (N ) teilt, dann ist N eine Primzahl. Beweis. Angenommen, N sei zerlegbar. Es sei zun¨achst N = pe mit einer Primzahl p und e ≥ 2; dann ψD (N ) = pe − pe−1 (D | p). Daher, pe − pe−1 < pe − 1 ≤ N − (D | N ) ≤ ψD (N ) = pe − pe−1 (D | p), also wird (D | p) = −1 und N − (D | N ) = pe ± 1 teilt ψD (N ) = pe + pe−1 = pe + 1 + (pe−1 − 1), was unm¨oglich ist. Falls N mindestens zwei verschiedene Primfaktoren hat, so folgt aus dem Beweis von (V.1), dass ψD (N ) < N − 1 ≤ N − (D | N ), was der Voraussetzung widerspricht. Also muss N eine Primzahl sein.

V. Primzahltests auf der Grundlage von Lucas-Folgen

65

(V.3) Wenn N ungerade und U = U (P, Q) eine Lucas-Folge mit Diskriminante D ist, wobei ggT(N, QD) = 1, dann gilt N | UψD (N ) . Beweis. Da ggT(N, Q) = 1, folgt aus (IV.21), dass N den Wert λα,β (N wobei α, β die Wurzeln von X 2 − P X + Q sind. Wenn ∏)s teilt, ei N = i=1 pi , dann gilt { ( ( ))} D ei −1 λα,β (N ) = kgV pi pi − pi { ( ( ))} 1 ei −1 D = 2kgV pi pi − 2 pi und λα,β (N ) teilt 2

( ( )) D pei i −1 pi − = ψD (N ). 2 pi

s ∏ 1 i=1

Nach (IV.15) ist N ein Teiler von UψD (N ) . (V.4) Wenn N ungerade und U = U (P, Q) eine Lucas-Folge mit Diskriminante D ist, wobei (D | N ) = −1 und N die Zahl UN +1 teilt, dann gilt ggT(N, QD) = 1. Beweis. Da (D | N ) ̸= 0, folgt ggT(N, D) = 1. Falls es eine Primzahl p derart gibt, dass p | N und p | Q, dann p - P , da p - D = P 2 −4Q. Nach (IV.18) p - Un f¨ ur jedes n ≥ 1, was der Voraussetzung widerspricht. Daher ggT(N, Q) = 1. Noch ein weiteres Resultat, das an sp¨ aterer Stelle ben¨otigt wird: (V.5) Es sei N ungerade und q ein beliebiger Primfaktor von N + 1. Angenommen, U = U (P, Q) und V = V (P, Q) sind die zu den Zahlen P, Q assoziierten Lucas-Folgen mit Diskriminante D ̸= 0. Dar¨ uber hinaus sei ggT(P, Q) = 1 oder ggT(N, Q) = 1. Wenn N sowohl Teiler von U(N +1)/q als auch von V(N +1)/2 ist, so teilt N auch V(N+1)/2q . Beweis. N +1 N +1 N +1 = + u 2 2q q

mit u =

q−1 . 2

Nach (IV.4): 2V(N +1)/2 = V(N+1)/2q V[(N +1)/q]u + DU(N +1)/2q U[(N+1)/q]u .

66

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Nach (IV.15) ist N Teiler von U[(N+1)/q]u , also teilt N auch das Produkt V(N +1)/2q V[(N +1)/q]u . Falls ggT(P, Q) = 1, folgt mit (IV.21) ggT(U[(N +1)/q]u , V[(N +1)/q]u ) = 1 oder 2, daher ggT(N, V[(N +1)/q]u ) = 1, also ist N Teiler von V(N +1)/2q . Falls ggT(N, Q) = 1 und falls es eine Primzahl p gibt, die N und V[(N +1)/q]u teilt, dann folgt mit (IV.6), dass p auch 4Q teilen muss und da p ungerade ist, m¨ usste auch p | Q gelten, Widerspruch. Bevor ich zu den Primzahltests komme, werde ich einige einfache hinreichende Bedingungen f¨ ur die Zerlegbarkeit einer Zahl angeben: Es sei N > 1 ungerade. Angenommen, es gibt eine Lucas-Folge (Un )n≥0 mit Parametern (P, Q) und Diskriminante D derart, dass ggT(N, QD) = 1, (Q | N ) = 1 und N - U 1 [N −(D/N )] . Dann ist N 2 zerlegbar. Die analoge Aussage f¨ ur die begleitende Lucas-Folge (Vn )n≥0 : Angenommen, eine solche existiere mit Parametern (P, Q) und Diskriminante D derart, dass N - QD, (Q | N ) = −1 und N - V 1 [N −(D/N )] . 2 Dann ist N zerlegbar. Beweis. Falls N = p eine ungerade Primzahl w¨are, die QD nicht teilt und wenn (Q | p) = 1, dann folgte nach (IV.23) p | Uψ(p)/2 bzw. im Falle (Q | p) = −1, p | Vψ(p)/2 . In beiden F¨ allen ergibt sich ein Widerspruch. Ich bin nun soweit, einige Tests vorzustellen; jeder nachfolgende wird besser sein als der vorangegangene. ∏ Test 1. Es sei N > 1 ungerade und N + 1 = si=1 qifi . Angenommen, es existiert eine Zahl D mit (D | N ) = −1 derart, dass es f¨ ur jeden (i) Primfaktor qi von N + 1 eine Lucas-Folge (Un )n≥0 mit Diskriminante D = Pi2 − 4Qi und ggT(Pi , Qi ) = 1 oder ggT(N, Qi ) = 1 gibt, wobei (i) (i) ferner N | UN+1 und N - U(N +1)/qi gilt. Dann ist N eine Primzahl. Nachteil dieses Tests: Er setzt die Kenntnis aller Primfaktoren von (i) N + 1 voraus und erfordert die Berechnung der Un f¨ ur alle n = 1, 2, . . . , N + 1. (i)

Beweis. Nach (V.3) und (V.4), N | UψD (N ) f¨ ur jedes i = 1, . . . , s. Es (i)

sei ρ(i) (N ) die kleinste Zahl r mit N | Ur . Nach (IV.29) oder (IV.22) und der Annahme folgt ρ(i) (N ) | (N + 1), ρ(i) (N ) - (N + 1)/qi sowie

V. Primzahltests auf der Grundlage von Lucas-Folgen

67

ρ(i) (N ) | ψD (N ). Daher qifi | ρ(i) (N ) f¨ ur jedes i = 1, . . . , s. Somit (N + 1) | ψD (N ) und nach (V.2) ist N prim. Der folgende Test ben¨ otigt nur die halbe Anzahl an Rechenschritten: ∏ Test 2. Es sei N > 1 ungerade und N +1 = si=1 qifi . Angenommen, es gibt eine Zahl D mit (D | N ) = −1 derart, dass es f¨ ur jeden Primfaktor (i) qi von N + 1 eine Lucas-Folge (Vn )n≥0 mit Diskriminante D = Pi2 − 4Qi und ggT(Pi , Qi ) = 1 oder ggT(N, Qi ) = 1 gibt, wobei ferner (i) (i) N | V(N +1)/2 und N - V(N +1)/2qi gilt. Dann ist N eine Primzahl. (i)

(i)

Beweis. Nach (IV.2), N | UN+1 . Mit (V.5), N - U(N+1)/qi . Die Primalit¨at von N folgt nun aus Test 1. Die folgenden Tests erfordern nur eine partielle Faktorisierung von N + 1. Test √ 3. Es sei N > 1 ungerade und q ein Primfaktor von N + 1 mit 2q > N + 1. Angenommen, es existiert eine Lucas-Folge (Vn )n≥0 mit Diskriminante D = P 2 − 4Q und ggT(P, Q) = 1 oder ggT(N, Q) = 1, so dass (D | N ) = −1 und N | V(N +1)/2 , N - V(N +1)/2q . Dann ist N eine Primzahl. Nachteil dieses Tests: Er setzt die Kenntnis eines recht großen Primfaktors von N + 1 voraus. ∏ Beweis. Es sei N = si=1 pei i . Nach (IV.2), N | UN+1 und somit wegen (IV.29) oder (IV.22), ρ(N ) | (N + 1). Nach (V.5), N - U(N +1)/q ; daher ρ(N ) - (N + 1)/q, also q | ρ(N ). Nach (V.4) und (V.3), N | UψD (N ) , ∏ also ist ρ(N ) Teiler von ψD (N ), das wiederum N si=1 (pi − (D | pi )) teilt. Da q - N gibt es ein pi derart, dass q Teiler von pi − (D√| pi ) ist, damit pi ≡ (D √ | pi ) (mod 2q). Und schließlich pi ≥ 2q − 1 > N und 1 ≤ N/pi < N < 2q − 1, und dies impliziert, dass N/pi = 1, d.h. N ist prim. Der n¨achste Test stammt von Morrison aus dem Jahre 1975 und stellt ein Analogon zum Test von Pocklington aus Abschnitt III dar: Test 4. Es sei N > 1 ungerade und N + 1 = F R, wobei ggT(F, R) = 1 und die Faktorisierung von F bekannt sei. Angenommen, es existiert

68

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

D mit (D | N ) = −1 derart, dass es f¨ ur jeden Primfaktor qi von F (i) eine Lucas-Folge (Un )n≥0 mit Diskriminante D = Pi2 − 4Qi gibt, (i) wobei ggT(Pi , Qi ) = 1 oder ggT(N, Qi ) = 1 und ferner N | UN +1 und (i)

ggT(U(N+1)/qi , N ) = 1 gilt. Dann erf¨ ullt jeder Primfaktor p von N die √ Kongruenz p ≡ (D | p) (mod F ). Falls dar¨ uber hinaus F > N + 1 gilt, dann ist N eine Primzahl. Beweis. Nach Annahme, ρ(i) (N ) | (N + 1) und erst recht ρ(i) (p) | (i) (N + 1). Aber p - U(N +1)/q , also ρ(i) (p) | (N + 1)/qi nach (IV.29) oder (IV.22). Wenn qifi die maximale Potenz von qi ist, die F teilt, dann qifi | ρ(i) (p), also teilt qifi nach (IV.18) p − (D | p). Daraus folgt, dass F Teiler von p − (D | p) ist. √ √ Schließlich,√wenn F > N +1, dann p+1 ≥ p−(D | p) ≥ F > N + 1; somit p > N . Dies aber bedeutet, dass N selbst eine Primzahl ist.

Das n¨achste Ergebnis gibt genauere Auskunft u ¨ber die m¨oglichen Primfaktoren von N . (V.6) Es sei N ungerade, N + 1 = F R, wobei ggT(F, R) = 1 und die Faktorisierung von F bekannt sei. Angenommen, es existiert eine Lucas-Folge (Un )n≥0 mit Diskriminante D = P 2 − 4Q, wobei ggT(P, Q) = 1 oder ggT(N, Q) = 1 und (D | N ) = −1, N | UN +1 und ggT(UF , N ) = 1. Falls p ein Primfaktor von N ist, dann gibt es einen Primfaktor q von R derart, dass p ≡ (D | p) (mod q). Beweis. ρ(p) | (p − (D | p)) nach (IV.18) und ρ(p) | (N + 1). Aber p - UF , also ρ(p) - F . Daher ggT(ρ(p), R) ̸= 1, und es existiert ein primes q, so dass q | R und q | ρ(p); insbesondere, p ≡ (D | p) (mod q). Dieses Ergebnis ﬁndet im folgenden Test eine Anwendung: Test 5. Es sei N > 1 ungerade und N +1 = F R mit ggT(F, R) = 1. Die Faktorisierung von √ F sei bekannt, R habe keinen Primfaktor kleiner als B, wobei BF > N +1. Angenommen, es existiert D mit (D | N ) = −1 derart, dass die folgenden Bedingungen erf¨ ullt sind: (i)

(i) F¨ ur jeden Primfaktor qi von F existiert eine Lucas-Folge (Un )n≥0 mit Diskriminante D = Pi2 − 4Qi , wobei ggT(Pi , Qi ) = 1 oder (i) (i) ggT(N, Qi ) = 1 und N | UN +1 sowie ggT(U(N +1)/qi , N ) = 1.

V. Primzahltests auf der Grundlage von Lucas-Folgen

69

(ii) Es gibt eine Lucas-Folge (Un′ )n≥0 mit Diskriminante D = P ′2 − ′ 4Q′ , wobei ggT(P ′ , Q′ ) = 1 oder ggT(N, Q′ ) = 1 und N | UN+1 sowie ggT(UF′ , N ) = 1. Dann ist N eine Primzahl. Beweis. Es sei p ein Primfaktor von N . Es ist p ≡ (D | p) (mod F ) nach Test 4 und aufgrund von (V.6) gibt es einen Primfaktor q von R derart, dass p ≡ (D | p) (mod q). Daher p ≡ (D | p) (mod qF ), und somit √ p + 1 ≥ p − (D | p) ≥ qF ≥ BF > N + 1. √ Daher ist p > N und N eine Primzahl. Dieser Test ist ﬂexibler als die anderen, denn er ben¨otigt nur eine teilweise Faktorisierung von N + 1 bis zu dem Punkt, an dem man sicher sein kann, dass der nicht faktorisierte Teil von N + 1 keine Faktoren kleiner als B hat. Ich m¨ochte nun kurz angeben, wie man Lucas-Folgenglieder mit großen Indizes schnell berechnen kann. Eine der Methoden ¨ahnelt derjenigen aus Abschnitt III zur Berechnung von hohen Potenzen. Schreibe n = n0 2k +n1 2k−1 +· · ·+nk , mit ni = 0 oder 1 und n0 = 1; also k = [(log n)/(log 2)]. Die Berechnung von Un (oder Vn ) erfordert nun die simultane Berechnung von Um , Vm f¨ ur verschiedene Werte m. Die folgenden Formeln werden ben¨ otigt: { U2j = Uj Vj , [siehe Formeln (IV.2)] V2j = Vj2 − 2Qj , { 2U2j+1 = V2j + P U2j , [siehe Formeln (IV.5)] 2V2j+1 = P V2j + DU2j . Setze s0 = n0 = 1 und sj+1 = 2sj + nj+1 . Dann ist sk = n. Also reicht es, Usj , Vsj f¨ ur j ≤ k zu berechnen; man beachte, dass { U2sj oder Usj+1 = U2sj +nj+1 = U2sj +1 , { V2sj oder Vsj+1 = V2sj +nj+1 = V2sj +1 . Daher gen¨ ugt es, 2k Zahlen Ui und 2k Zahlen Vi auszurechnen, das heißt, insgesamt nur 4k Zahlen.

70

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Zur Berechnung von Un modulo N muss man nur in jedem Schritt die Zahlen durch ihren kleinsten positiven Rest modulo N ersetzen. Die zweite Methode ist ebenfalls sehr schnell. F¨ ur j ≥ 1 ist ( ) ( )( ) Uj+1 Vj+1 P −Q Uj Vj = . Uj Vj 1 0 Uj−1 Vj−1 F¨ ur

ist

( P M= 1 (

Un Vn Un−1 Vn−1

) −Q 0

)

( =M

n−1

) U1 V1 . 0 2

Zur Bestimmung der Potenzen von M , beispielsweise M m , schreibt man m in Bin¨ardarstellung und verf¨ ahrt wie bei der Berechnung der Potenzen einer Zahl. Zur Berechnung von Un modulo N muss man wiederum alle in obiger Rechnung auftretenden Zahlen durch ihren kleinsten positiven Rest modulo N ersetzen. Am Ende dieses Abschnitts m¨ ochte ich noch darauf hinweisen, dass es viele weitere Primzahltests derselben Familie gibt, die sich besonders f¨ ur Zahlen spezieller Form eignen und entweder auf Lucas- oder auf ¨ahnlichen Folgen basieren. Manchmal ist es n¨ utzlich, Tests, die Lucas-Folgen verwenden, mit solchen aus Abschnitt III zu kombinieren; siehe auch den Artikel von Brillhart, Lehmer & Selfridge (1975). Als Kommentar m¨ochte ich (mit einem lachenden Auge) die folgende Faustregel hinzuf¨ ugen: Je l¨anger die Aussage der Test-Prozedur, desto schneller f¨ uhrt sie zu einer Entscheidung u at. ¨ber die Primalit¨ Die bisher vorgestellten Tests sind auf Zahlen der Form 2n − 1 anwendbar (siehe Abschnitt VII u ¨ber Mersenne-Zahlen, in dem der Test explizit angegeben ist), sowie f¨ ur Zahlen k × 2n − 1 geeignet (siehe beispielsweise den Artikel von Inkeri von 1960 oder Riesels Buch, 1985). Im Jahre 1998 ver¨ oﬀentlichte H.C. Williams ein Buch, das sich dem historischen und mathematischen Studium der Arbeit von Lucas widmet. Seine sorgf¨ altige und fundierte Ausarbeitung des Themas sei jedem ans Herz gelegt, der mehr lernen m¨ochte, als ich hier in dieser kurzen Abhandlung vorstellen konnte.

VI. Fermat-Zahlen

71

VI Fermat-Zahlen F¨ ur Zahlen einer speziellen Form gibt es geeignetere Methoden, um zu testen, ob es sich um Primzahlen handelt oder ob sie zerlegbar sind. Die Zahlen der Form 2m + 1 wurden bereits vor langer Zeit betrachtet. Falls 2m + 1 eine Primzahl ist, muss der Exponent m die Form n m = 2n haben, also handelt es sich um eine Fermat-Zahl Fn = 22 + 1. Die Fermat-Zahlen F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537 sind Primzahlen. Fermat glaubte, dass alle Fermat-Zahlen prim sind und versuchte dies auch zu beweisen. Um die 10-ziﬀrige Zahl F5 auf Primalit¨at zu testen, ben¨ otigt man eine Tabelle aller Primzahlen unterhalb von 100 000 (die Fermat nicht zur Verf¨ ugung stand). Oder man leitet ein Kriterium ab, das hilft, einen Faktor einer Fermat-Zahl zu ﬁnden. Dies gelang Fermat nicht. Euler zeigte, dass jeder Faktor von Fn (f¨ ur n ≥ 2) die Form k × n+2 2 + 1 haben muss, und fand auf diese Weise, dass 641 ein Teiler von F5 ist: F5 = 641 × 6700417. Beweis. Es gen¨ ugt zu zeigen, dass jeder Primfaktor von Fn besagte n n+1 Form hat. Aus 22 ≡ −1 (mod p) folgt 22 ≡ 1 (mod p), also ist 2n+1 die Ordnung von 2 modulo p. Nach dem kleinen Satz von Fermat wird p − 1 von 2n+1 geteilt; insbesondere ist 8 ein Teiler von p − 1. Daher ist das Legendre-Symbol 2(p−1)/2 ≡ (2 | p) ≡ 1 (mod p), und so ist 2n+1 ein Teiler von (p − 1)/2; dies zeigt, dass p = k × 2n+2 + 1. Da die Zahlen Fn mit wachsendem n sehr schnell gr¨oßer werden, wird es zunehmend m¨ uhsam, ihre Primalit¨at zu pr¨ ufen. Unter Verwendung der von Lucas gefundenen Umkehrung des kleinen Satzes von Fermat gelang es Pepin im Jahre 1877, einen Primzahltest f¨ ur Fermat-Zahlen anzugeben. Und zwar: n

Pepins Test. Es sei Fn = 22 + 1 (mit n ≥ 2) und k ≥ 2. Dann sind die folgenden Bedingungen ¨ aquivalent: (i) Fn ist prim und (k | Fn ) = −1. (ii) k (Fn −1)/2 ≡ −1 (mod Fn ).

72

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Beweis. Wenn man (i) voraussetzt, so ergibt sich aus Eulers Kriterium f¨ ur das Legendre-Symbol ( ) k (Fn −1)/2 k ≡ ≡ −1 (mod Fn ). Fn Falls umgekehrt (ii) als wahr angenommen wird, sei a, 1 ≤ a < Fn derart gew¨ahlt, dass a ≡ k (mod Fn ). Aus a(Fn −1)/2 ≡ −1 (mod Fn ) folgt aFn −1 ≡ 1 (mod Fn ) und nach Test 3 aus Abschnitt III ist Fn prim. Daher ( ) k ≡ k (Fn −1)/2 ≡ −1 (mod Fn ). Fn M¨ogliche Werte f¨ ur k sind k = 3, 5, 10, da Fn ≡ 2 (mod 3), Fn ≡ 2 (mod 5), Fn ≡ 1 (mod 8); somit nach Jacobis Reziprozit¨atsgesetz ( ) ( ) ( ) 3 Fn 2 = = = −1, Fn 3 3 ( ) ( ) ( ) 5 Fn 2 = = = −1, Fn 5 5 ( ) ( )( ) 10 2 5 = = −1. Fn Fn Fn Dieser Test hat sich in der Praxis sehr bew¨ahrt. Allerdings erh¨alt man bei zerlegbarem Fn keinen Faktor. Lucas verwendete den Test zum Nachweis der Zerlegbarkeit von F6 . Im Alter von 82 Jahren zeigte Landry 1880, dass F6 = 274177 × 67280421310721. Landry erl¨auterte nie, auf welche Weise er F6 faktorisiert hat. Williams rekonstruierte 1993 Landrys Methode aufgrund von Hinweisen, die er in Briefen und Arbeiten von Landry fand. Das Beste an der Geschichte ist ihre pl¨otzliche Wendung, die erst k¨ urzlich bekannt wurde. In einer Biographie u ¨ber Clausen, verfasst von Biermann im Jahre 1964, ist vermerkt, dass Clausen (der als kompetenter Rechner und wichtiger Astronom bekannt war) bereits am 1. Januar 1855 in einem Brief an Gauß die komplette Faktorisierung von F6 angegeben hatte. In diesem Brief, der sich nach wie vor in der Bibliothek der Universit¨ at G¨ ottingen beﬁndet, vertritt Clausen dar¨ uber hinaus die Meinung, dass der gr¨ oßere der beiden Faktoren die

VI. Fermat-Zahlen

73

zur damaligen Zeit gr¨ oßte bekannte Primzahl war. Erstaunlicherweise ist diese Bemerkung in Biermanns Biographie lange Zeit unbemerkt geblieben. Die Faktorisierung der als zerlegbar bekannten Fermat-Zahlen ist seit jeher Gegenstand intensiver Forschung gewesen. Die folgende Tabelle zeigt den gegenw¨ artigen Stand der Dinge. Die Bezeichnung P n bedeutet eine n-ziﬀrige Primzahl, w¨ahrend Cn f¨ ur eine zerlegbare Zahl mit n Stellen steht.

Tabelle 6.

Vollst¨ andig faktorisierte Fermat-Zahlen

= 641 × 6700417 = 274177 × 67280421310721 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721 = 1238926361552897 × P 62 = 2424833 × 7455602825647884208337395736200454918783366342657 × P 99 F10 = 45592577 × 6487031809 × 4659775785220018543264560743076778192897 × P 252 F11 = 319489 × 974849 × 167988556341760475137 × 3560841906445833920513 × P 564 F5 F6 F7 F8 F9

Bemerkungen. F5 : Euler (1732) F6 : Faktor 1 Clausen (unver¨ oﬀentlicht, 1855), Landry und Le Lasseur (1880) F7 : Morrison und Brillhart (1970) F8 : Faktor 1 Brent und Pollard (1980) F9 : Faktor 1 Western (1903), andere Faktoren A.K. Lenstra und Manasse (1990) F10 : Faktor 1 Selfridge (1953), Faktor 2 Brillhart (1962), andere Faktoren Brent (1995) F11 : Faktoren 1 und 2 Cunningham (1899), andere Faktoren Brent (1988), Primalit¨at von Faktor 5 Morain (1988)

74

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Es ist nicht ganz leicht, einerseits u ¨ber die sich st¨andig ergebenden Resultate informiert zu sein und andererseits mit den neuesten Entwicklungen zur Faktorisierung solcher Zahlen vertraut zu bleiben. In diesem Zusammenhang sind die Artikel von Brent (1999) und von Brent, Crandall, Dilcher und van Halewyn (2000) sehr aufschlussreich. Ich m¨ochte mich bei W. Keller daf¨ ur bedanken, mich auf dem Laufenden zu halten, was die Entwicklung bez¨ uglich der Fermat-Zahlen angeht. Die kleinsten Fermat-Zahlen mit unbekanntem Status sind F33 , F34 , F35 , F40 , F41 , F44 , . . . . Tabelle 7.

Unvollst¨ andig faktorisierte Fermat-Zahlen

F12 = 114689 × 26017793 × 63766529 × 190274191361 × 1256132134125569 × 568630647535356955169033410940867804839360742060818433 × C1133 F13 = 2710954639361 × 2663848877152141313 × 3603109844542291969 × 319546020820551643220672513 × C2391 F14 = 116928085873074369829035993834596371340386703423373313 × C4880 F15 = 1214251009 × 2327042503868417 × 168768817029516972383024127016961 × C9808 F16 = 825753601 × 188981757975021318420037633 × C19694 F17 = 31065037602817 × C39444 F18 = 13631489 × 81274690703860512587777 × C78884 F19 = 70525124609 × 646730219521 × 37590055514133754286524446080499713 × C157770 F21 = 4485296422913 × C631294 F22 = 64658705994591851009055774868504577 × C1262577 F23 = 167772161 × C2525215

Tabelle 8.

Zerlegbare Fermat-Zahlen ohne bekannten Faktor

F20 : F24 :

Buell und Young (1987) Mayer, Papadopoulos und Crandall (1999)

VI. Fermat-Zahlen

75

Rekorde A.

Die gr¨oßte bekannte Fermat-Primzahl ist F4 = 65537.

B. Die gr¨oßte bekannte zerlegbare Fermat-Zahl ist F2478782 und besitzt den Faktor 3 · 22478785 + 1. Dieser 746190-stellige Faktor wurde von J.B. Cosgrave und seiner Proth-Gallot-Gruppe am 10. Oktober 2003 gefunden. Wesentlich beteiligt an dieser Entdeckung waren Programme von P. Jobling, G. Woltman und Y. Gallot. C. Bis Ende August 2010 waren 243 zerlegbare Fermat-Zahlen bekannt. Einige oﬀene Probleme: (1) Gibt es unendlich viele Fermat-Zahlen, die Primzahlen sind? Diese Frage gewann aufgrund eines ber¨ uhmten Resultats von Gauß erheblich an Bedeutung (siehe Disquisitiones Arithmeticae, Artikel 365, 366 – die letzten im Buch, als kr¨ onender Abschluss f¨ ur Vieles, was vorher entwickelt wurde). Er zeigte: Wenn das gleichseitige Polygon mit n ≥ 3 Seiten mit Lineal und Zirkel konstruiert werden kann, dann ist n = 2k p1 p2 · · · ph , wobei k ≥ 0, h ≥ 0 und p1 , . . . , ph verschiedene ungerade Primzahlen sind, die s¨ amtlich Fermat-Zahlen sein m¨ ussen. Eisenstein stellte im Jahre 1844 die Aufgabe zu zeigen, dass es tats¨achlich unendlich viele prime Fermat-Zahlen gibt. Ich sollte noch hinzuf¨ ugen, dass bereits 1828 ein anonymer Autor behauptet hat, dass 2

22

2 + 1, 22 + 1, 22 + 1, 22

+ 1, 22

2 22

+ 1, . . .

allesamt Primzahlen sind. Er erg¨ anzte zudem, dass es sich dabei um 3 alle primen Fermat-Zahlen handelt (abgesehen von 22 + 1). Allerdings fand Selfridge 1953 einen Faktor von F16 , womit obige Vermutung widerlegt war. (2) Gibt es unendlich viele zerlegbare Fermat-Zahlen? Die Beantwortung der Fragen (1) und (2) scheint außerhalb der Reichweite heutiger Methoden zu liegen, was zudem zeigt, wie wenig man in diesem Zusammenhang weiß. (3) Ist jede Fermat-Zahl quadratfrei (d.h., ohne quadratischen Faktor)?

76

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Unter anderem vermuteten Lehmer und Schinzel, dass es unendlich viele quadratfreie Fermat-Zahlen gibt. Es ist nicht schwer zu zeigen: Wenn p eine Primzahl ist und p2 eine Fermat-Zahl teilt, dann gilt 2p−1 ≡ 1 (mod p2 ) – dies wird im Detail in Kapitel 5, Abschnitt III bewiesen werden. Falls es unendlich viele Fermat-Zahlen mit einem quadratischen Faktor gibt, m¨ ussen auch unendlich viele Primzahlen p die Kongruenz erf¨ ullen, da Fermat-Zahlen paarweise teilerfremd sind. Obige Kongruenz wird in Kapitel 5 behandelt werden. An dieser Stelle sei gesagt, dass sie sehr selten erf¨ ullt ist. Insbesondere ist unbekannt, ob sie unendlich oft gilt. Sierpi´ nski untersuchte 1958 Zahlen der Form Sn = nn + 1 mit n ≥ 2. m Er bewies, dass es f¨ ur primes Sn ein m ≥ 0 mit der Eigenschaft n = 22 gibt, also dass Sn eine Fermat-Zahl ist: Sn = Fm+2m . Daraus kann man ableiten, dass 5 und 257 die einzigen primen Sn mit weniger als 3 × 1020 Stellen sind: Tats¨ achlich ergeben sich f¨ ur m = 0, 1 die Zahlen F1 = 5, F3 = 257; f¨ ur m = 2, 3, 4 oder 5 sind dies F6 , F11 , F20 und F37 , die s¨ amtlich zerlegbar sind. F¨ ur m = 6 erh¨alt man F70 , deren Status unbekannt ist. Da 210 > 103 , folgt 70

F70 > 22

> 210

21

20

= (210 )10

20

> 103×10 .

Primzahlen der Form nn + 1 sind sehr selten. Gibt es nur endlich viele solcher Primzahlen? Falls ja, dann g¨ abe es unendlich viele zerlegbare Fermat-Zahlen. Aber all dies ist pure Spekulation ohne jegliche Grundlage f¨ ur eine plausible Vermutung. Das im Jahre 2001 erschienene Buch der drei Autoren Kˇr´ıˇzek, Luca & Somer mit dem Titel 17 Lectures on Fermat’s Last (hoppla) Numbers, besteht aus 257 Seiten mit sehr interessanten Fakten u ¨ber Fermat-Zahlen. Wie viele Seiten wird das n¨ achste Buch u ¨ber Fermat-Zahlen wohl haben, wenn man den rasanten Fortschritt beim Studium dieser Zahlen bedenkt?

VII Mersenne-Zahlen Falls eine Zahl der Form 2m − 1 prim ist, so muss dies schon f¨ ur den Exponenten m = q gelten. Dar¨ uber hinaus l¨asst sich leicht nachpr¨ ufen,

VII. Mersenne-Zahlen

77

dass Primzahlpotenzen der Form 2m − 1 Primzahlen sein m¨ ussen und somit auch m eine Primzahl ist. [Wenn Sie dies nicht alleine k¨onnen, sehen Sie im Artikel von Ligh & Neal (1974) nach.] Zahlen Mq = 2q − 1 (mit primem q) nennt man Mersenne-Zahlen. Man wurde durch das Studium der vollkommenen Zahlen auf sie aufmerksam (siehe den Anhang in diesem Abschnitt). Bereits zu Zeiten Mersennes wusste man, dass einige MersenneZahlen prim, andere zerlegbar sind. Beispielsweise sind M2 = 3, M3 = 7, M5 = 31 und M7 = 127 Primzahlen, hingegen ist M11 = 23 × 89. Im Jahre 1640 erkl¨ arte Mersenne, dass Mq f¨ ur q = 13, 17, 19, 31, 67, 127 und 257 prim sei, was f¨ ur 67 und 257 nicht stimmt. Im Bereich kleiner als 257 u ¨bersah er zudem die Exponenten 61, 89, 107, die auch zu Mersenne-Primzahlen f¨ uhren. Allerdings war seine Aussage recht beeindruckend, bedenkt man die Gr¨ oße der betrachteten Zahlen. Das Problem ist oﬀensichtlich, die Primalit¨at einer Mersenne-Zahl festzustellen oder gegebenenfalls ihre Faktoren zu bestimmen. Ein klassisches Resultat u ¨ber Faktoren von Mersenne-Zahlen wurde erstmals 1750 von Euler erw¨ ahnt und 1775 von Lagrange, sp¨ater erneut von Lucas (1878) bewiesen: Es sei q eine Primzahl mit q ≡ 3 (mod 4). Dann teilt 2q + 1 die Zahl Mq genau dann, wenn 2q + 1 eine Primzahl ist. In diesem Fall ist Mq zerlegbar, falls q > 3. Beweis. Es sei n = 2q + 1 ein Faktor von Mq . Da 22 ̸≡ 1 (mod n), (−2n)q ̸≡ 1 (mod n), 22q − 1 = (2q + 1)Mq ≡ 0 (mod n), ist n nach Lucas’ Test 3 (siehe Abschnitt III) prim. Umgekehrt sei p = 2q+1 prim. Da p ≡ 7 (mod 8), wird (2 | p) = 1, so dass es ein m gibt mit 2 ≡ m2 (mod p). Es folgt, dass 2q ≡ 2(p−1)/2 ≡ mp−1 ≡ 1 (mod p), also teilt p die Zahl Mq . Wenn dar¨ uber hinaus q > 3, dann ist Mq = 2q − 1 > 2q + 1 = p, also Mq zerlegbar. Daher hat Mq f¨ ur q = 11, 23, 83, 131, 179, 191, 239, 251 die Faktoren 23, 47, 167, 263, 359, 383, 479, 503. Um 1825 betrachtete Sophie Germain im Zusammenhang mit dem kleinen Satz von Fermat Primzahlen q, f¨ ur die auch 2q + 1 prim ist. Solche Primzahlen nennt man heute Sophie-Germain-Primzahlen, ich werde in Kapitel 5 auf sie zur¨ uckkommen. Es ist sehr leicht, die Form der Faktoren der Mersenne-Zahlen zu bestimmen:

78

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Teiler n von Mq (q > 2) erf¨ ullen n ≡ ±1 (mod 8) und n ≡ 1 (mod q). Beweis. Es gen¨ ugt zu zeigen, dass jeder Primfaktor p von Mq die angegebene Form hat. Falls p die Zahl Mq = 2q − 1 teilt, dann gilt 2q ≡ 1 (mod p); also teilt q nach dem kleinen Satz von Fermat p − 1, das heißt, p − 1 = 2kq (da p ̸= 2). Also ( ) 2 ≡ 2(p−1)/2 ≡ 2qk ≡ 1 (mod p), p somit folgt p ≡ ±1 (mod 8) nach der in Abschnitt II erw¨ahnten Eigenschaft des Legendre-Symbols. Die Primzahlen M13 und M17 wurden von Cataldi durch Probedivision als solche nachgewiesen. Euler zeigte ebenfalls auf diese Weise, dass M31 prim ist, konnte sich aber aufgrund der oben erw¨ahnten Form der Faktoren von Mersenne-Zahlen viele Berechnungen sparen. Siehe in diesem Zusammenhang auch Williams & Shallit (1994). Die zur Zeit beste Methode zum Nachweis der Primalit¨at oder der Zerlegbarkeit von Mq basiert auf der Berechnung einer rekursiven Folge, die auf Lucas (1878) und Lehmer (1930, 1935) zur¨ uckgeht; siehe auch Western (1932), Hardy & Wright (1938, S. 223) und Kaplansky (1945). Allerdings kann man mit dieser Methode keine Faktoren ﬁnden. F¨ ur ungerades n ≥ 3 ist Mn = 2n − 1 ≡ 7 (mod 12). Dar¨ uber hinaus gilt f¨ ur das Jacobi-Symbol im Falle N ≡ 7 (mod 12): ( ) ( ) 3 N = (−1)(N −1)/2 = −1. N 3 Primzahltest f¨ ur Mersenne-Zahlen. Es sei P = 2, Q = −2. Betrachte die zugeh¨ origen Lucas-Folgen (Um )m≥0 , (Vm )m≥0 , mit Diskriminante D = 12. Dann ist N = Mn > 3 genau dann eine Primzahl, wenn N Teiler von V(N+1)/2 ist. Beweis. Es sei N > 3 prim. Nach (IV.2) ist 2 (N +1)/2 V(N = VN +1 − 4(−2)(N −1)/2 +1)/2 = VN +1 + 2Q ( ) −2 ≡ VN +1 − 4 ≡ VN +1 + 4 (mod N ), N

VII. Mersenne-Zahlen

(

weil

−2 N

)

( =

−1 N

)(

2 N

79

) = −1

wegen N ≡ 3 (mod 4) und N ≡ 7 (mod 8). Daher reicht es zu zeigen, dass VN +1 ≡ −4 (mod N ). Nach (IV.4) ist 2VN +1 = VN V1 + DUN U1 = 2VN + 12UN ; also mit (IV.14) und (IV.13): VN +1 = VN + 6UN ≡ 2 + 6(12 | N ) ≡ 2 − 6 ≡ −4 (mod N ). Nehme nun umgekehrt an, dass N Teiler von V(N +1)/2 ist. Dann teilt 2 2 N nach (IV.2) auch UN+1 . Es folgt nach (IV.6) V(N+1)/2 −12U(N+1)/2 = 4(−2)(N +1)/2 ; daher ggT(N, U(N +1)/2 ) = 1. Und wegen ggT(N, 2) = 1 ist N nach Test 1 (Abschnitt V) eine Primzahl. Zur praktischen Berechnung ist es empfehlenswert, die Lucas-Folge (Vm )m≥0 durch die rekursiv deﬁnierte Folge (Sk )k≥0 zu ersetzen: Sk+1 = Sk2 − 2.

S0 = 4,

Die ersten Folgenglieder sind 4, 14, 194, . . . . Der Test dr¨ uckt sich nun so aus: Mn = 2n − 1 ist genau dann prim, wenn Mn Teiler von Sn−2 ist. k−1

Beweis. S0 = 4 = V2 /2. Angenommen Sk−1 = V2k /22 Sk =

2 Sk−1

−2=

V22k 22k

k+1

V k+1 + 22 −2= 2 22k

−2=

, dann ist

V2k+1 . 22k

Aufgrund des Tests ist Mn genau dann eine Primzahl, wenn Mn Teiler von n−2 V(Mn +1)/2 = V2n−1 = 22 Sn−2 ist, d.h. wenn Mn | Sn−2 gilt. Das Verfahren eignet sich durch seinen iterativen Charakter in der Praxis sehr gut. S¨ amtliche großen Mersenne-Primzahlen wurden auf diese Weise gefunden. Lucas selbst wies im Jahre 1876 die Primalit¨at von M127 nach und zeigte, dass M67 zerlegbar ist. Kurze Zeit sp¨ater fand Perwuschin, dass auch M61 prim ist. Schließlich gelang es Lehmer 1927 (ver¨oﬀentlicht 1932) zu zeigen, dass M257 zerlegbar ist, und korrigierte damit Mersennes Aussage. Man beachte, dass es sich bei M127

80

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

um eine 39-stellige Zahl handelt. Sie war die gr¨oßte bekannte Primzahl vor dem Computerzeitalter. S¨amtliche Mersenne-Primzahlen mit q ≤ 127 wurden vor dem Computerzeitalter entdeckt. A. Turing unternahm 1951 einen ersten Versuch, elektronische Computer bei der Suche nach Mersenne-Primzahlen einzusetzen, allerdings ohne Erfolg. Unterst¨ utzt von D.H. und E. Lehmer f¨ uhrte Robinson im Jahre 1952 den Lucas-Test auf einem SWAC-Computer (des National Bureau of Standards in Los Angeles) durch. Er entdeckte am 30. Januar 1952 die Mersenne-Primzahlen M521 und M607 – die erste derartige Entdeckung auf einem Computer. Noch im selben Jahr wurden die Primzahlen M1279 , M2203 und M2281 gefunden. Der Lucas-Lehmer-Primzahltest f¨ ur Mersenne-Zahlen Mq erfordert eine immense Rechenleistung, wenn q sehr groß ist. Um diese Aufgabe bew¨altigen zu k¨ onnen, muss man die Arbeit auf gr¨oßere Teams aufteilen, die jeweils mit hochleistungsf¨ ahigen Computern ausgestattet sind. Dar¨ uber hinaus kommen sehr spezielle Programme zum Einsatz. Eine große Rolle spielt die Multiplikation mit schneller FourierTransformation, die 1971 von Sch¨ onhage & Strassen entwickelt wurde. Als maßgeblich haben sich die Programme von Crandall und Woltman herausgestellt. G.F. Woltman hat ein weltumspannendes Projekt namens GIMPS ( Great Internet Mersenne Prime Search“) organisiert, das einzig und ” allein der Entdeckung neuer Riesen-Mersenne-Primzahlen dient. Jeder, der m¨ochte, kann mit seinem eigenen Computer daran teilnehmen. Man erh¨alt die notwendige Software und ein Intervall primer Exponenten als sein Territorium f¨ ur die Suche. Zur Zeit sind einige tausend Teilnehmer aktiv am GIMPS-Projekt beteiligt. Vor gar nicht allzu langer Zeit gaben Gold- und Diamantensch¨ urfer ihre Familien und Freunde auf, nur um in irgendwelchen unwirtlichen Gegenden, Dschungeln mit Schlangen, krankheitsverseuchten S¨ umpfen oder hohen, schneebedeckten, felsigen Bergen irgendwann die kostbare Entdeckung zu machen, die sie reich machen sollte. Der moderne Mersenne-Primzahlen-Sucher erlebt ein ¨ahnliches Abenteuer. Die Fundstellen sind unvorhersagbar, gl¨ ucklich der, der SIE als Erster ﬁndet. Keine Reicht¨ umer, aber Ruhm. Meine Metapher ist gar nicht so realit¨ atsfremd. Man sehe sich dazu nur einmal Woltmans eigene Beschreibung zur Entdeckung der 38sten Mersenne-Primzahl (1999) an – der Kapit¨an der Mersenne-Forscher erz¨ahlt. . .

VII. Mersenne-Zahlen

Tabelle 9.

Mersenne-Primzahlen Mq

q

Jahr

Entdecker

2 3 5 7 13 17 19 31 61 89 107 127 521 607 1279 2203 2281 3217 4253 4423 9689 9941 11213 19937 21701 23209 44497 86243 110503 132049 216091 756839 859433 1257787

– – – – 1461 1588 1588 1750 1883 1911 1913 1876 1952 1952 1952 1952 1952 1957 1961 1961 1963 1963 1963 1971 1978 1979 1979 1982 1988 1983 1985 1992 1993 1996

– – – – Unbekannt∗ P.A. Cataldi P.A. Cataldi L. Euler I.M. Perwuschin R.E. Powers E. Fauquembergue E. Lucas R.M. Robinson R.M. Robinson R.M. Robinson R.M. Robinson R.M. Robinson H. Riesel A. Hurwitz A. Hurwitz D.B. Gillies D.B. Gillies D.B. Gillies B. Tuckerman L.C. Noll und L. Nickel L.C. Noll H. Nelson und D. Slowinski D. Slowinski W.N. Colquitt und L. Welsh, Jr. D. Slowinski D. Slowinski D. Slowinski und P. Gage D. Slowinski und P. Gage D. Slowinski und P. Gage

*Siehe Dicksons History of the Theory of Numbers, Bd. I, S. 6.

81

82

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Tabelle 9 (Fortsetzung) q 1398269 2976221 3021377 6972593 13466917 20996011 24036583 25964951 30402457 32582657 37156667 42643801 43112609

Jahr

Entdecker

1996 1997 1998 1999 2001 2003 2004 2005 2005 2006 2008 2009 2008

J. Armengaud, G.F. Woltman und GIMPS G. Spence, G.F. Woltman und GIMPS R. Clarkson, G.F. Woltman∗∗ N. Hajratwala, G.F. Woltman∗∗ M. Cameron, G.F. Woltman∗∗ M. Shafer, G.F. Woltman∗∗ J. Findley, G.F. Woltman∗∗ M. Nowak, G.F. Woltman∗∗ C. Cooper, S.R. Boone, G.F. Woltman∗∗ C. Cooper, S.R. Boone, G.F. Woltman∗∗ H.-M. Elvenich, G.F. Woltman∗∗ O.M. Strindmo, G.F. Woltman∗∗ E. Smith, G.F. Woltman∗∗ **mit S. Kurowski und GIMPS

Rekord Tabelle 9 zeigt alle 47 bisher gefundenen Mersenne-Primzahlen. Die gr¨oßte bekannte Mersenne-Primzahl mit q = 43112609 hat 12978189 Ziﬀern. Ihre Entdeckung am 23. August 2008 wird Smith, Woltman, Kurowski u. a. zugeschrieben. Smith hatte als Systemverwalter des Mathematik-Departments der Universit¨ at von Los Angeles Monate zuvor die Bildschirmschoner durch das GIMPS-Programm ersetzt, und einer dieser Rechner bekam das gl¨ ucksbringende Segment zu fassen. Unter den drei bekannten Mersenne-Primzahlen, die mehr als zehn Millionen Stellen haben, war die gr¨ oßte als erste bekannt geworden. Deshalb bekamen deren Entdecker das von der Electronic Frontier Foundation ausgesetzte Preisgeld von 100 000 US-Dollar zugesprochen. Man wird immer neue Begriﬀe erﬁnden m¨ ussen, denn bis dahin hatte man Primzahlen mit mindestens einer Million Stellen als Megaprimzahlen bezeichnet. Inzwischen kennt man 29 Megaprimzahlen; vergleiche auch Tabelle 24 in Kapitel 5, Abschnitt 6. Nicht nur im bereits genannten Fall wurden die Mersenne-Primzahlen nicht nach ihrer wachsenden Gr¨ oße entdeckt. Die Primzahl M110503 wurde erst lange nach der Entdeckung von M132049 und M216091 gefunden. Es kann also passieren, dass die n¨achste noch zu ﬁndende Mersenne-Primzahl einen Exponenten q < 43112609 hat, da zur Zeit

VII. Mersenne-Zahlen

83

noch nicht alle Mq mit primem q unterhalb dieser Grenze auf Primalit¨at hin untersucht worden sind. Bis Ende August 2010 wurden alle Exponenten bis 3,1 × 107 getestet und alle bis 2,1 × 107 ein weiteres Mal kontrolliert. Die Suche nach Sophie Germain-Primzahlen q der Form q = k × 2N − 1 (so dass auch 2q + 1 prim ist) f¨ uhrt, wie bereits erw¨ahnt, zu zerlegbaren Mersenne-Zahlen Mq .

Rekord Die gr¨oßte bekannte zerlegbare Mersenne-Zahl Mq hat den Exponenten q = 183027 × 2265440 − 1 und wurde im M¨arz 2010 von T. Wu und J. Penn´e gefunden. Die Primzahl q ist die gr¨oßte bekannte SophieGermain-Primzahl (siehe Kapitel 5, Abschnitt II). Das Buch von Riesel (1985) enth¨ alt eine Tabelle der vollst¨andigen Faktorisierungen aller Zahlen Mn = 2n − 1 mit ungeradem n ≤ 257. Eine umfassendere Tabelle ﬁndet sich im Buch von Brillhart et al. (1983, 1988; siehe auch die dritte Auﬂage, 2002). Wie schon bei den Fermat-Zahlen gibt es auch im Zusammenhang mit den Mersenne-Zahlen viele oﬀene Probleme: (1) Gibt es unendlich viele Mersenne-Primzahlen? (2) Gibt es unendlich viele zerlegbare Mersenne-Zahlen? Ich werde noch versuchen zu begr¨ unden, warum die Antwort in beiden F¨allen Ja“ sein sollte. Beispielsweise werde ich in Kapitel 6, Ab” schnitt I, nach (D5), darauf hinweisen, dass es in einigen Folgen, die der Folge der Mersenne-Zahlen ¨ ahneln, unendlich viele zerlegbare Zahlen gibt. (3) Ist jede Mersenne-Zahl quadratfrei? Rotkiewicz zeigte 1965, dass eine Primzahl p, deren Quadrat p2 eine Mersenne-Zahl teilt, die Kongruenz 2p−1 ≡ 1 (mod p2 ) erf¨ ullt. Dies ist dieselbe Kongruenz, die bereits im Zusammenhang mit Fermat-Zahlen auftauchte, welche einen quadratischen Faktor enthalten. Ich m¨ochte an dieser Stelle noch zwei weitere Probleme erw¨ahnen, die sich auf Mersenne-Zahlen beziehen. Eines davon ist gel¨ost, das andere noch oﬀen. Wenn Mq eine Mersenne-Primzahl ist, gilt dies dann auch f¨ ur MMq ? Die Antwort ist negativ: M13 ist eine Primzahl, MM13 = 28191 − 1 jedoch zerlegbar, wie Wheeler nachwies, siehe Robinson (1954).

84

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Man beachte, dass MM13 mehr als 2400 Stellen hat. Keller entdeckte 1976 den Primfaktor p = 2 × 20644229 × M13 + 1 = 338193759479 der Mersenne-Zahl MM13 und gab damit zugleich einen einfachen Beweis f¨ ur ihre Zerlegbarkeit an. Nur 13-maliges Quadrieren modulo p 13 ist notwendig, um nachzuweisen, dass 22 ≡ 2 (mod p). Dies wurde mir von Keller in einem Brief mitgeteilt. Das zweite Problem stammt von Catalan aus dem Jahre 1876 und ist in Dicksons History of the Theory Numbers, Bd. I, S. 22 erw¨ahnt: Man betrachte die Folge der Zahlen C1 = 22 − 1 = 3 = M2 , C2 = 2C1 − 1 = 7 = M3 , C3 = 2C2 − 1 = 127 = M7 , C4 = 2C3 − 1 = 2127 − 1 = M127 , · · · · · · · · · · · · · ·· Cn+1 = 2Cn − 1 · · · · · · · · · · · · · ·· Sind alle Zahlen Cn Primzahlen? Gibt es unendlich viele, die prim sind? Zur Zeit ist es noch unm¨ oglich, C5 zu testen. Diese Zahl hat mehr als 1037 Stellen! Abschließend noch eine interessante Vermutung u ¨ber die MersennePrimzahlen. Sie geht auf Bateman, Selfridge & Wagstaﬀ (1989) zur¨ uck. Vermutung. Es sei p eine ungerade nat¨ urliche Zahl (nicht notwendigerweise prim). Falls zwei der folgenden Bedingungen erf¨ ullt sind, so ist auch die dritte erf¨ ullt: (a) p ist gleich 2k ± 1 oder 4k ± 3 (f¨ ur ein k ≥ 1). (b) Mp ist prim. (c) (2p + 1)/3 ist prim. R. Lifchitz hat gezeigt, dass die Vermutung f¨ ur alle p < 16777213 richtig ist. In diesem Bereich sind p = 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 127 die einzigen Primzahlen, die allen drei Bedingungen gen¨ ugen. Es ist denkbar, dass dies u ¨berhaupt die Einzigen mit dieser Eigenschaft sind.

VII. Mersenne-Zahlen

85

Es sei noch angemerkt, dass die Primzahlen (bzw. Quasiprimzahlen) der Form (2p + 1)/3 f¨ ur alle p < 720000 bestimmt worden sind, wie mir von H. und R. Lifchitz mitgeteilt wurde. In denjenigen F¨allen, in denen bereits zwei der obigen Bedingungen als nicht erf¨ ullt erkannt sind, ist deren Kenntnis jedoch entbehrlich.

¨ber vollkommene Zahlen Nachtrag u Ich werde nun vollkommene Zahlen behandeln und davon berichten, in welchem Zusammenhang sie mit den Mersenne-Zahlen stehen. Eine nat¨ urliche Zahl n > 1 heißt vollkommen, wenn sie gleich der Summe ihrer Teiler d mit d < n ist. Beispielsweise sind n = 6, 28, 496, 8128 die vollkommenen Zahlen kleiner als 10000. Vollkommene Zahlen waren bereits in der Antike bekannt. Die erste vollkommene Zahl 6 wurde von den mystischen und religi¨osen Schreibern mit der Sch¨ opfung in Zusammenhang gebracht; es dauerte 6 Tage, bis die Welt vollkommen war. Euklid zeigte in seinen Elementen, Buch IX, Lehrsatz 36, dass wenn q und Mq = 2q − 1 Primzahlen sind, die Zahl N = 2q−1 (2q − 1) vollkommen ist. In einem posthum ver¨ oﬀentlichten Artikel bewies Euler die Umkehrung: Jede gerade vollkommene Zahl hat die von Euklid angegebene Form. Folglich ist die Kenntnis der geraden vollkommenen Zahlen gleichbedeutend mit der Kenntnis der Mersenne-Primzahlen. Aber was ist mit ungeraden vollkommenen Zahlen? Existieren sie? Nicht eine Einzige wurde jemals gefunden! Diese Frage blieb trotz intensiver Bem¨ uhungen bis heute unbeantwortet. Eine Kurzinformation u ¨ber die Fortschritte hin zu einer L¨osung des Problems kann man Guys Buch entnehmen (Neuauﬂage 2004, siehe Allgemeine Grundlagen). Neuere Ergebnisse sind zudem weiter unten erw¨ahnt. Es gibt eine ganze Heerschar von Methoden, mit Hilfe derer man versucht hat, das Problem anzugehen. Ich denke, es ist sinnvoll, einige davon zu beschreiben, um dem Leser ein Gef¨ uhl daf¨ ur zu geben, was m¨oglich ist, wenn man sich scheinbar in einer Sackgasse beﬁndet. Die Idee ist, die Existenz einer ungeraden vollkommenen Zahl N anzunehmen, um dann verschiedene Konsequenzen abzuleiten. Beispielsweise die Anzahl ihrer verschiedenen Primteiler ω(N ) betreﬀend oder die Gr¨oße von N , die multiplikative und die additive Form von N usw. Ich ¨ m¨ochte eine Ubersicht u uglich einiger Ans¨atze ¨ber die Fortschritte bez¨ geben.

86

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

(a) Anzahl der verschiedenen Primfaktoren ω(N ) Hagis (1980, angek¨ undigt 1975) bewies, dass ω(N ) ≥ 8. Das gleiche Resultat wurde von Chein (1979) in seiner Dissertation erzielt. Im Jahre 1983 zeigten Hagis und unabh¨angig davon Kishore, dass wenn 3 - N , dann ω(N ) ≥ 11. Beide Resultate konnten von Nielsen (2007) versch¨arft werden. F¨ ur den Fall 3 - N zeigte er ω(N ) ≥ 12 und f¨ ur den allgemeinen Fall ω(N ) ≥ 9. Ein weiteres Ergebnis in diesem Zusammenhang wurde von Dickson 1913 angegeben: F¨ ur jedes k ≥ 1 gibt es h¨ ochstens endlich viele ungerade vollkommene Zahlen N derart, dass ω(N ) = k. Shapiro vereinfachte den Beweis im Jahre 1949. Dicksons Satz wurde 1956 von Kanold auf Zahlen N verallgemeinert, die der Bedingung σ(N )/N = α gen¨ ugen (α ist eine gegebene, rationale Zahl und σ(N ) bezeichnet die Summe aller Teiler von N ). Im Beweis wurde die Tatsache verwendet, dass die Gleichung aX 3 − bY 3 = c h¨ochstens endlich viele L¨ osungen mit ganzzahligen x, y besitzt. Baker konnte unter Verwendung seiner ber¨ uhmten Methode der Linearformen in Logarithmen eine eﬀektive Absch¨atzung der Anzahl der L¨osungen erreichen. Mit Hilfe dieser Absch¨atzung gelang es Pomerance 1977 (mit α = 2) zu zeigen, dass f¨ ur jedes k ≥ 1 gilt: Wenn die Anzahl der verschiedenen Primfaktoren der ungeraden vollkommenen Zahl N gleich k ist, dann gilt N < (4k)(4k)

2 2k

.

Heath-Brown konnte die Aussage von Pomerance 1994 erheblich versch¨arfen: Falls die Anzahl der verschiedenen Primfaktoren der ungeraden vollkommenen Zahl N gleich k ist, dann gilt k

N < 44 . Nach einer Verbesserung durch Cook im Jahre 1999 zeigte Nielsen 2003, dass auch k N < 24 . (b) Untere Schranke fu ¨r N Brent, Cohen & te Riele (1991) fanden heraus, dass eine ungerade vollkommene Zahl N gr¨ oßer als 10300 sein muss. Zuvor hatten Brent & Cohen 1989 gezeigt, dass N > 10160 . Hagis hatte 1973 bewiesen, dass N > 1050 .

VII. Mersenne-Zahlen

87

Buxton & Elmore hatten 1976 behauptet, dass N > 10200 . Diese Aussage war jedoch nicht ausreichend begr¨ undet, so dass man dieses Ergebnis nicht akzeptieren sollte. Grytczuk & Wojtowicz ver¨oﬀentlichten 1999 eine weitaus gr¨ oßere untere Schranke f¨ ur N . Allerdings fand F. Saidak einen Fehler im Beweis, der von den Autoren im Jahre 2000 auch best¨atigt wurde. (c) Multiplikative Struktur von N Das erste Ergebnis stammt von Euler: N = pe k2 , wobei p eine Primzahl ist, die k nicht teilt und p ≡ e ≡ 1 (mod 4). Es gibt eine Vielzahl von Resultaten zur Zahl k. Beispielsweise zeigten Hagis & McDaniel 1972, dass k keine Kubikzahl sein kann. (d) Gr¨ oßter Primfaktor von N Im Jahre 2008 zeigten Goto & Ohno, dass N einen Primfaktor gr¨oßer als 108 haben muss. Davor hatten Hagis & McDaniel (1972) bewiesen, dass der gr¨oßte Primfaktor von N gr¨ oßer als 100110 sein muss. Diese Grenze wurde dann von Hagis & Cohen (1998) auf 106 und von Jenkins (2003) auf 107 erh¨ oht. Muskat ermittelte 1966, dass N einen Primzahlpotenzfaktor besitzen muss, der gr¨oßer als 1012 ist. (e) Andere Primfaktoren von N Pomerance zeigte 1975, dass der zweitgr¨ oßte Primfaktor von N gr¨oßer oder gleich 139 sein muss. Diese Grenze wurde von Hagis (1981) auf 103 und von Iannucci (1999) auf 104 erh¨oht. Im Jahre 2000 konnte Iannucci dar¨ uber hinaus nachweisen, dass der drittgr¨oßte Primfaktor von N die Zahl 100 u ¨bertreﬀen muss. Gr¨ un bewies 1952, dass der kleinste Primfaktor p1 von N der Ungleichung p1 < 23 ω(N ) + 2 gen¨ ugen muss. In seiner Dissertation zeigte Kishore (1977), dass der i-te Primfaktor i−1 von N (f¨ ur i = 2, 3, 4, 5, 6) kleiner als 22 (ω(N ) − i + 1) ist. Perisastri bewies 1958, dass 1 ∑1 π < < 2 log . 2 p 2 p|N

Dieses Resultat wurde von Suryanarayana (1963), Suryanarayana & Hagis (1970) und Cohen (1978) versch¨ arft.

88

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

(f ) Additive Struktur von N Touchard bewies 1953, dass N ≡ 1 (mod 12) oder N ≡ 9 (mod 36). Sp¨ater gab Satyanarayana (1959) einen einfacheren Beweis an. (g) Ores Vermutung Ore betrachtete 1948 das harmonische Mittel der Teiler von N (das ist der Kehrwert des arithmetischen Mittels der Kehrwerte der Teiler), genauer τ (N ) N τ (N ) H(N ) = ∑ = , (1/d) σ(N ) d|N

wobei τ (N ) die Anzahl der Teiler von N und σ(N ) die Summe aller Teiler von N bezeichnet. Man nennt N eine harmonische Zahl, wenn H(N ) ganzzahlig ist. Aus Eulers Resultaten folgt, dass jede vollkommene Zahl eine harmonische Zahl ist. Ore vermutete, dass alle harmonischen Zahlen gerade sind. Wenn diese Vermutung wahr ist, dann folgt daraus, dass es keine ungerade vollkommene Zahl gibt. Zur n¨aheren Untersuchung seiner Vermutung bestimmte Ore 1954 alle harmonischen Zahlen N < 104 . Die Liste der harmonischen Zahlen wurde sp¨ater wie folgt erweitert: 1954 durch Garcia bis 107 , 1997 durch Cohen bis 2 × 109 und 2003 durch Sorli bis 1012 . Im Jahre 2007 erstellten Goto & Okeya die Liste aller 937 harmonischen Zahlen unterhalb 1014 ; sie sind alle gerade. Im Jahre 2010 zeigten Cohen & Sorli, dass eine ungerade harmonische Zahl, falls es sie gibt, gr¨ oßer als 1024 sein muss. Wie mir Pomerance freundlicherweise mitteilte, veriﬁzierte er Ores Vermutung f¨ ur ω(N ) ≤ 2. Er zeigte, dass in diesem Fall aus der Ganzzahligkeit von H(N ) folgt, dass N eine gerade vollkommene Zahl ist. Bei den folgenden Ergebnissen wird nicht zwischen geraden und ungeraden Zahlen unterschieden. Es geht um die Verteilung der vollkommenen Zahlen. Dazu wird f¨ ur x ≥ 1 eine Funktion V (x) deﬁniert, die die Anzahl der vollkommenen Zahlen kleiner oder gleich x z¨ahlt: V (x) = #{N vollkommen | N ≤ x}. Der Grenzwert limx→∞ V (x)/x stellt eine nat¨ urliche Dichte f¨ ur die Menge der vollkommenen Zahlen dar. Kanold zeigte im Jahre 1954, dass limx→∞ V (x)/x = 0, d.h. V (x) w¨ achst langsamer gegen Unendlich als x.

VII. Mersenne-Zahlen

89

Das folgende Resultat von Wirsing (1959) gibt genauere Auskunft u ur ¨ber das Wachstum von V (x): Es gibt x0 und C > 0 derart, dass f¨ x ≥ x0 , V (x) ≤ e(C log x)/(log log x) . Fr¨ uhere Arbeiten stammen von Hornfeck (1955, 1956), Kanold (1957) und Hornfeck & Wirsing (1957), die herausgefunden hatten, dass es f¨ ur ε jedes ε > 0 eine positive Konstante C derart gibt, dass V (x) < Cx . S¨amtliche hier vorgestellten Aussagen u ¨ ber die Existenz ungerader vollkommener Zahlen waren das Ergebnis teilweise schwieriger und ¨ heikler Uberlegungen. Trotzdem stellt sich das Problem nach wie vor wie eine uneinnehmbare Festung dar. Nach Allem, was bekannt ist, w¨are es reines Gl¨ uck, eine ungerade vollkommene Zahl zu ﬁnden. Andererseits ist bisher nichts bewiesen worden, das einen von der Nichtexistenz ungerader vollkommener Zahlen u ¨berzeugen k¨onnte. Es sind neue Ideen gefragt. ¨ Ich m¨ochte diesen Uberblick u ¨ber vollkommene Zahlen mit den folgenden Resultaten von Sinha (1974) abschließen. Der elementar zu f¨ uhrende Beweis ist recht am¨ usant (man halte seinen Bleistift bereit!): 28 ist die einzige vollkommene Zahl der Form an + bn mit n ≥ 2 und ggT(a, b) = 1. Es ist auch die einzige gerade vollkommene Zahl der Form an + 1 mit n ≥ 2. Und schließlich: Es existiert keine gerade vollkommene Zahl der Form .n ..

nn

a

+1

mit n ≥ 2 und mindestens zwei Exponenten n. Zur¨ uckblickend stellt man fest, dass vollkommene Zahlen dadurch deﬁniert sind, dass man N mit der Summe der echten Teiler von N vergleicht. Wenn man nur fordert, dass N diese Summe teilt, landet man bei den mehrfach vollkommenen Zahlen. Zahlen N mit 2N < σ(N ) heißen abundant, solche mit 2N > σ(N ) defizient. Es bezeichne s(N ) = σ(N ) − N die Summe der echten Teiler von N . Da einige Zahlen abundant und andere deﬁzient sind, liegt es nahe, den Prozess zur Erlangung von s(N ) durch Bildung( dieser Folge zu ) 2 3 k k−1 iterieren: s(N ), s (N ), s (N ), . . . , wobei s (N ) = s s (N ) . Diese Vorgehensweise f¨ uhrt zu vielen faszinierenden Fragen, die im Buch von Guy beschrieben sind. Mangels Platz kann ich mich diesen Dingen hier nicht zuwenden.

90

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

VIII Pseudoprimzahlen In diesem Abschnitt werde ich zerlegbare Zahlen betrachten, die Eigenschaften haben, von denen man annehmen w¨ urde, dass sie nur auf Primzahlen zutr¨ afen.

A

Pseudoprimzahlen zur Basis 2 (psp)

Ein Problem, das zumeist den Chinesen des Altertums zugeschrieben wird, ist die Frage, ob eine nat¨ urliche Zahl n eine Primzahl sein muss, wenn sie diese Kongruenz erf¨ ullt: 2n ≡ 2 (mod n). Um dieses Thema ranken sich Legenden und Spekulationen und man sollte sich vor voreiligen Schl¨ ussen in Acht nehmen. Angesichts dessen, was man im alten China u ber Zahlen zu wissen schien, ist es schwer ¨ vorstellbar, dass eine solche Frage u ¨berhaupt formuliert werden konnte. Siu Man-Keung, ein Mathematiker aus Hong Kong, der sich f¨ ur die Geschichte der Mathematik interessiert, schrieb mir Folgendes: Diese Sage geht auf einen Artikel von J.H. Jeans im Messenger of Mathematics, 27, 1897/8 zur¨ uck. Dieser schrieb dort, dass ein Artikel, der unter denen des verstorbenen ” Sir Thomas Wade gefunden wurde und auf die Zeit von Konfuzius datiert ist“ den Satz enthielte, dass 2n ≡ 2 (mod n) genau dann gilt, wenn n eine Primzahl ist. Allerdings weist J. Needham in einer Fußnote in seinem monumentalen Werk Science and Civilisation in China, Bd. 3, Kap. 19 (Mathematics) die Behauptung von Jeans zur¨ uck. ¨ Diese sei die Folge einer falschen Ubersetzung einer Passage des ber¨ uhmten Buches The Nine Chapters of Mathematical Art. Der Fehler wurde von verschiedenen westlichen Gelehrten aufrechterhalten. In Dicksons History of the Theory of Numbers, Bd. I, S. 91 ist angegeben, dass Leibniz glaubte bewiesen zu haben, dass die oben erw¨ahnte, sogenannte chinesische Kongruenz die Primalit¨at von n impliziert. Die Geschichte wird beispielsweise auch in Honsbergers sehr nett geschriebenen Kapitel An Old Chinese Theorem and Pierre de ” Fermat“ seines Buches Mathematical Gems, Bd. I, (1973) wiederholt. Es gibt inzwischen eine besser fundierte Version der Abl¨aufe. In einem Brief vom Februar 1992 schrieb Siu:

VIII. Pseudoprimzahlen

91

Ich sah gerade die in Chinesisch verfasste Doktorarbeit von Han Qi u ¨ber die Mathematik der Qing-Zeit mit dem Titel Transmission of Western Mathematics during the Kangxi Kingdom and its Influence Over Chinese Mathematics (Peking, 1991). Der Autor weist auf neue Belege bez¨ uglich des alten chinesischen Satzes“ hin. Han zufolge geht dieser ” Satz“ auf Li Shan-Lan (1811–1882) zur¨ uck, einen bekann” ten Mathematiker der Qing-Zeit (die Aussage ist daher nicht besonders alt). Li erw¨ ahnte sein Kriterium gegen¨ uber ¨ Alexander Wylie, der sein Mitarbeiter bei der Ubersetzung von westlichen Texten war. Wylie, der die Mathematik wahrscheinlich nicht verstand, pr¨ asentierte Li’s Kriterium in einer Mitteilung A Chinese theorem“ der Zeitschrift ” Notes and Queries on China, Hong Kong, 1869 (1873). In den folgenden Monaten gaben mindestens vier Leser Kommentare u ¨ber die Arbeit von Li ab; einer wies darauf hin, dass Li’s Aussage falsch sei. Unter diesen Lesern war ein gewisser J. von Gumpach, ein Deutscher, der sp¨ater Kollege von Li in Peking wurde. Oﬀenbar informierte von Gumpach Li u ¨ber seinen Fehler. Daraufhin strich Li in einer sp¨ateren Ver¨ oﬀentlichung u ¨ber Zahlentheorie (1872) jeden Hinweis auf sein Kriterium. Allerdings ver¨oﬀentlichte 1882 ein weiterer bekannter Mathematiker der Qing-Zeit namens Hua Heng-Fang eine Abhandlung u ¨ber Zahlen, in der er Li’s Kriterium anf¨ uhrt, als sei es korrekt. Dies k¨onnte dabei helfen, zu verstehen, warum westliche Historiker chinesischer Mathematik dazu verleitet waren, das Kriterium als altes, chinesisches Theorem anzusehen. Han Qi hat angek¨ undigt, dass er beabsichtigt, einen Artikel mit weiteren Details u oﬀentlichen. ¨ber dieses Thema zu ver¨ Ich m¨ochte bei dieser Gelegenheit Siu Man-Keung f¨ ur seine wohlbegr¨ undeten und interessanten Informationen danken. ¨ Uber die Arbeiten von Li Shan-Lan kann man sich in der englischen ¨ Ubersetzung (1987) des Buchs von Li Yan & Du Shiran informieren. Nach diesen historischen Anmerkungen m¨ochte ich nun zum Problem der Kongruenz 2n ≡ 2 (mod n) zur¨ uckkehren, die man vielleicht passenderweise oder eher scherzhaft die pseudo-chinesische Kongru” enz u onnte. ¨ber Pseudoprimzahlen“ nennen k¨ Das erste Gegenbeispiel wurde 1819 angegeben, viel fr¨ uher als die 341 Ereignisse in China stattfanden. Sarrus zeigte 2 ≡ 2 (mod 341),

92

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

jedoch ist 341 = 11 × 31 zerlegbar. Insbesondere ist die direkte Umkehrung von Fermats kleinem Satz falsch. Weitere zerlegbare Zahlen mit dieser Eigenschaft sind beispielsweise 561, 645, 1105, 1387, 1729, 1905. Eine zerlegbare Zahl, die der Kongruenz 2n−1 ≡ 1 (mod n) gen¨ ugt, heißt Pseudoprimzahl oder auch eine Poulet-Zahl. Poulet untersuchte solche Zahlen und berechnete schon 1926 eine Tabelle aller Pseudoprimzahlen bis 5 × 107 , die er 1938 bis 108 erweitert hatte; siehe die Referenzen in Kapitel 4. Jede Pseudoprimzahl n ist ungerade und erf¨ ullt ebenso die Kongrun enz 2 ≡ 2 (mod n); umgekehrt ist jede ungerade zerlegbare Zahl, die dieser Kongruenz gen¨ ugt, eine Pseudoprimzahl. Nat¨ urlich gilt obige Kongruenz f¨ ur jede ungerade Primzahl, also muss n im Falle 2n−1 ̸≡ 1 (mod n) zerlegbar sein. Dies ist ein sinnvoller erster Schritt beim Test auf Primalit¨ at. Um mehr u ¨ber Primzahlen zu erfahren, liegt es nahe, diejenigen Zahlen n zu untersuchen, die 2n−1 ≡ 1 (mod n) erf¨ ullen. Angenommen, ich wollte ein Kapitel u ber Pseudoprimzahlen f¨ ur das ¨ Guinness Buch der Rekorde schreiben. Wie w¨ urde ich dieses aufbauen? Die nahe liegenden Fragen w¨ urden dieselben sein wie bei den Primzahlen. Zum Beispiel: Wie viele Pseudoprimzahlen gibt es? Wie kann man erkennen, ob eine Zahl pseudoprim ist? Gibt es Methoden, um Pseudoprimzahlen zu erzeugen? Wie sind sie verteilt? Wie sich nicht ganz u ¨berraschenderweise herausstellt, gibt es unendlich viele Pseudoprimzahlen, und es gibt viele Methoden, unendliche Folgen pseudoprimer Zahlen zu erzeugen. Der einfachste Beweis stammt von Malo aus dem Jahre 1903. Er zeigte, dass wenn n pseudoprim ist, dies auch f¨ ur die Zahl n′ = 2n − 1 zutriﬀt. In der Tat ist n′ oﬀensichtlich zerlegbar, denn wenn n = ab mit 1 < a, b < n, dann ist ( ) 2n − 1 = (2a − 1) 2a(b−1) + 2a(b−2) + · · · + 2a + 1 . Dar¨ uber hinaus ist n Teiler von 2n−1 −1, daher teilt n die Zahl 2n −2 = ′ n′ − 1; also ist n′ = 2n − 1 Teiler von 2n −1 − 1. Unter Verwendung der Fermat-Zahlen gab Cipolla 1904 einen weiteren Beweis an: Es seien m > n > · · · > s > 1 ganze Zahlen und N das Produkt der Fermat-Zahlen N = Fm Fn · · · Fs . Dann ist N genau dann pseudoprim, wenn 2s > m. Tats¨ achlich ist 2m+1 die Ordnung von 2 modulo N , und dies ist gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Ordnungen

VIII. Pseudoprimzahlen

93

2m+1 , 2n+1 , . . . , 2s+1 von 2 modulo jedem Faktor Fm , Fn , . . . , Fs von N . Daher gilt 2N −1 ≡ 1 (mod N ) genau dann, wenn N − 1 durch 2m+1 s teilbar ist. Aber N − 1 = Fm Fn · · · Fs − 1 = 22 Q mit ungeradem Q. Somit ist 2s > m die erforderliche Bedingung. Wie bereits in Kapitel 1 angedeutet, sind die Fermat-Zahlen paarweise teilerfremd, so dass obige Methode zu paarweise teilerfremden Pseudoprimzahlen f¨ uhrt. Man kann auch Pseudoprimzahlen mit einer beliebigen Anzahl von Primfaktoren erzeugen. Cipolla gab noch ein anderes Verfahren an, das weiter unten beschrieben wird. Lehmer fand 1936 eine sehr einfache Methode, um unendlich viele Pseudoprimzahlen zu generieren, die jeweils das Produkt zweier Primzahlen p und q sind. Und zwar sei k ≥ 5 eine beliebige ungerade Zahl, p ein primitiver Primfaktor von 2k − 1 und q ein primitiver Primfaktor von 2k + 1. Dann ist pq eine Pseudoprimzahl. Das heißt, f¨ ur jedes m ≥ 1 gibt es mindestens m pseudoprime n = pq derart, dass (

n≤ 2

2m+3

( ) ) 22m+3 + 1 42m+3 − 1 −1 = . 3 3

Es gibt auch gerade zerlegbare Zahlen, die die Kongruenz 2n ≡ 2 (mod n) erf¨ ullen. Man k¨ onnte sie gerade Pseudoprimzahlen nennen. Die Kleinste ist m = 2 × 73 × 1103 = 161038, sie wurde im Jahre 1950 von Lehmer entdeckt. Beeger zeigte 1951, dass es unendlich viele gerade Pseudoprimzahlen gibt, wobei jede mindestens zwei ungerade Primfaktoren besitzen muss. Wie weit entfernt“ sind Pseudoprimzahlen davon, prim zu sein? ” Das Resultat von Cipolla besagt, dass es Pseudoprimzahlen mit beliebig vielen Primfaktoren gibt. Dies ist nicht etwa die Ausnahme. Erd¨os bewies 1949, dass es f¨ ur jedes k ≥ 2 unendlich viele Pseudoprimzahlen gibt, die das Produkt von genau k verschiedenen Primfaktoren sind. Lehmer gab 1936 Kriterien daf¨ ur an, wann ein Produkt von zwei bzw. drei verschiedenen Primzahlen pseudoprim ist: p1 p2 ist pseudoprim genau dann, wenn die Ordnung von 2 modulo p2 Teiler von p1 − 1 und die Ordnung von 2 modulo p1 Teiler von p2 − 1 ist. F¨ ur Pseudoprimzahlen p1 p2 p3 gilt: Das kleinste gemeinsame Vielfache von ord(2 mod p1 ) und ord(2 mod p2 ) teilt p3 (p1 + p2 − 1) − 1. Hier eine oﬀene Frage: Gibt es unendlich viele ganze Zahlen n > 1 derart, dass 2n−1 ≡ 1 (mod n2 )? Diese Frage ist jeweils a¨quivalent zu den folgenden Problemen (siehe Rotkiewicz, 1965):

94

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Gibt es unendlich viele Pseudoprimzahlen, die Quadrate sind? Gibt es unendlich viele Primzahlen p mit 2p−1 ≡ 1 (mod p2 )? Diese Kongruenz tauchte bereits im Zusammenhang mit quadratischen Faktoren von Fermat- und Mersenne-Zahlen auf. Im Abschnitt III von Kapitel 5 komme ich nochmal auf solche Primzahlen p zur¨ uck. Andererseits muss eine Pseudoprimzahl nicht quadratfrei sein. Die kleinsten solcher Beispiele sind 1 194 649 = 10932 , 12 327 121 = 35112 , 3 914 864 773 = 29 × 113 × 10932 .

B

Pseudoprimzahlen zur Basis a (psp(a))

Es ist sinnvoll, die Kongruenz an−1 ≡ 1 (mod n) auch f¨ ur a > 2 zu betrachten. F¨ ur eine Primzahl n und 1 < a < n ist diese Kongruenz notwendigerweise erf¨ ullt. Das heißt, wenn beispielsweise 2n−1 ≡ 1 n−1 (mod n), aber 3 ̸≡ 1 (mod n), dann ist n keine Primzahl. Dies f¨ uhrt zur allgemeineren Untersuchung von Pseudoprimzahlen zur Basis a (oder a-Pseudoprimzahlen), also zerlegbaren Zahlen n > a, die an−1 ≡ 1 (mod n) gen¨ ugen. Cipolla zeigte 1904 auch, wie man a-Pseudoprimzahlen gewinnt. Es sei a ≥ 2 und p eine beliebige ungerade Primzahl, die a(a2 − 1) nicht teilt. Sei n1 =

ap − 1 , a−1

n2 =

ap + 1 , a+1

n = n1 n2 ;

dann sind n1 und n2 ungerade und n zerlegbar. Mit n1 ≡ 1 (mod 2p) und n2 ≡ 1 (mod 2p) gilt auch n ≡ 1 (mod 2p). Aus a2p ≡ 1 (mod n) folgt schließlich an−1 ≡ 1 (mod n), also ist n eine a-Pseudoprimzahl. Aufgrund der Tatsache, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, existieren auch unendlich viele a-Pseudoprimzahlen (auch f¨ ur a > 2). In der Literatur sind noch weitere Methoden zu ﬁnden, mit denen man wachsende Folgen von a-Pseudoprimzahlen schnell erzeugen kann. Beispielsweise ging Crocker 1962 wie folgt vor: Es sei a gerade, habe r aber nicht die Form 22 mit r ≥ 0. Dann ist f¨ ur jedes n ≥ 1 die Zahl n aa + 1 eine a-Pseudoprimzahl. Steuerwald bildete im Jahre 1948 eine unendliche Folge a-pseudoprimer Zahlen auf diese Weise: Es sei n eine zu a − 1 teilerfremde aPseudoprimzahl. Beispielsweise setze man a = q + 1 f¨ ur eine Primzahl 2 q. Es sei weiter p eine Primzahl mit p > a − 1; setze analog zur

VIII. Pseudoprimzahlen

95

Konstruktion von Cipolla, ap − 1 ≡ ap−1 + ap−2 + · · · + a + 1 ≡ p (mod q), a−1 ap + 1 n2 = ≡ ap−1 − ap−2 + · · · + a2 − a + 1 ≡ 1 (mod q), a+1 n1 =

so dass n = n1 n2 ≡ p (mod q). Sei nun f (n) = (an − 1)/(a − 1) > n. Dann ist auch f (n) eine a-Pseudoprimzahl. Denn zun¨achst ist f (n) =

an1 n2 − 1 an2 − 1 × an2 − 1 a−1

zerlegbar. Und da n und a − 1 teilerfremd sind und an−1 ≡ 1 (mod n) gilt, ist (an −a)/(a −1) = f (n)− 1 ein Vielfaches von n. Daher ist f (n) Teiler von an − 1, das wiederum af (n)−1 − 1 teilt, und somit ist f (n) eine a-Pseudoprimzahl. Unter Beachtung der Tatsache, dass f (n) und a − 1 teilerfremd sind, kann man diesen Prozess iterieren: [ ]n ( ) (a − 1) + 1 − 1 n n−1 f (n) = = (a − 1) + (a − 1)n−2 a−1 1 ( ) n + ··· + (a − 1) + n ≡ n (mod a − 1), n−2 also ist f (n) eine zu a − 1 teilerfremde a-Pseudoprimzahl. Dieser Prozess f¨ uhrt zu einer unendlichen Folge von a-Pseudoprimzahlen n < f (n) < f (f (n)) < f (f (f (n))) < · · · , n

an

die wie n, an , aa aa , . . . w¨ achst. Die oben erw¨ahnte Methode von k Lehmer auf Binome a − 1 und ak + 1 angewandt, erzeugt a-Pseudoprimzahlen, die aus zwei verschiedenen Primfaktoren bestehen. ¨ Aufgrund dieser Uberlegungen ist es zwecklos, die gr¨oßte a-Pseudoprimzahl entdecken zu wollen. Schinzel zeigte 1958, dass es f¨ ur jedes a ≥ 2 unendlich viele Pseudoprimzahlen zur Basis a gibt, die das Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen sind. In seiner Dissertation von 1971 erweiterte Lieuwens sowohl dieses Resultat von Schinzel, als auch das von Erd¨os u ¨ber Pseudoprimzahlen zur Basis 2: F¨ ur jedes k ≥ 2 und a > 1 gibt es unendlich viele Pseudoprimzahlen zur Basis a, die das Produkt von genau k verschiedenen Primzahlen sind. Rotkiewicz zeigte 1972, dass wenn p ≥ 2 eine Primzahl ist, die a ≥ 2 nicht teilt, es unendlich viele Pseudoprimzahlen zur Basis a gibt, die

96

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Vielfache von p sind. Der Spezialfall p = 2 geht auf das Jahr 1959 und ebenfalls Rotkiewicz zur¨ uck. Es kann vorkommen, dass eine Zahl zu mehreren verschiedenen Basen pseudoprim ist, so wie 561 zu den Basen 2, 5 und 7. Baillie & Wagstaﬀ sowie Monier bewiesen 1980 unabh¨angig voneinander den folgenden Satz: Es sei n zerlegbar und Bpsp (n) die Anzahl der Basen a mit 1 < a < n und ggT(a, n) = 1, f¨ ur die n eine a-Pseudoprimzahl ist. Dann gilt {∏ } Bpsp (n) = ggT(n − 1, p − 1) − 1. p|n

Es folgt, dass eine zerlegbare ungerade Zahl n, die keine Kubikzahl ist, zu mindestens zwei Basen a mit 1 < a ≤ n − 1 pseudoprim ist. In Abschnitt IX wird gezeigt, dass es zerlegbare Zahlen n gibt, die zu allen Basen a mit 1 < a < n und ggT(a, n) = 1 Pseudoprimzahlen sind. Es folgt eine Tabelle aus dem Artikel von Pomerance, Selfridge & Wagstaﬀ (1980), die die kleinsten Pseudoprimzahlen zu verschiedenen bzw. simultanen Basen angibt. Tabelle 10.

Kleinste Pseudoprimzahlen zu verschiedenen Basen Basen 2 3 5 7 2, 3 2, 5 2, 7 3, 5 3, 7 5, 7 2, 3, 5 2, 3, 7 2, 5, 7 3, 5, 7 2, 3, 5, 7

Kleinste psp 341 = 11 × 31 91 = 7 × 13 217 = 7 × 31 25 = 5 × 5 1105 = 5 × 13 × 17 561 = 3 × 11 × 17 561 = 3 × 11 × 17 1541 = 23 × 67 703 = 19 × 37 561 = 3 × 11 × 17 1729 = 7 × 13 × 19 1105 = 5 × 13 × 17 561 = 3 × 11 × 17 29341 = 13 × 37 × 61 29341 = 13 × 37 × 61

VIII. Pseudoprimzahlen

97

Wie ich gesagt habe, ist n zerlegbar, wenn es ein a derart gibt, dass 1 < a < n und an−1 ̸≡ 1 (mod n), die Umkehrung gilt jedoch nicht. Damit steht eine praktische Methode zum Nachweis der Zerlegbarkeit vieler Zahlen zur Verf¨ ugung. Es gibt weitere, ¨ahnliche Kongruenzeigenschaften, um festzustellen, dass bestimmte Zahlen zerlegbar sind. Ich werde einige dieser Eigenschaften beschreiben, um zu weiteren Ergebnissen im Zusammenhang mit Primzahltests zu gelangen. Ohne es explizit zu sagen, habe ich diese in den Abschnitten III und V bereits behandelt. Zun¨ achst wird es um Eigenschaften der Kongruenz am ≡ 1 (mod n) gehen, die zu Euler-a-Pseudoprimzahlen und starken a-Pseudoprimzahlen f¨ uhren. In einem weiteren Abschnitt werde ich die Lucas-Pseudoprimzahlen betrachten. Diese beziehen sich auf Kongruenzeigenschaften, die von Termen der Lucas-Folgen erf¨ ullt sind.

C

Euler-Pseudoprimzahlen zur Basis a (epsp(a))

Gem¨aß Eulers Kongruenz f¨ ur das Legendre-Symbol gilt ( ) a ≡ a(p−1)/2 (mod p), p wenn a ≥ 2 und p eine Primzahl ist, die a nicht teilt. Dies f¨ uhrt zum Begriﬀ der Euler-Pseudoprimzahl zur Basis a (epsp(a)), vorgeschlagen von Shanks im Jahre 1962. epsp(a) sind ungerade zerlegbare Zahlen n derart, dass ggT(a, n) = 1 und das Jacobi-Symbol die Kongruenz (a) ≡ a(n−1)/2 (mod n) n erf¨ ullt. Oﬀensichtlich ist jede epsp(a) auch a-pseudoprim. Es gibt viele naheliegende Fragen im Zusammenhang mit epsp(a), die ich nun aufz¨ ahlen m¨ ochte: (e1) Gibt es f¨ ur jedes a unendlich viele epsp(a)? (e2) Gibt es f¨ ur jedes a eine epsp(a) mit einer beliebig großen Anzahl verschiedener Primfaktoren? (e3) Gibt es f¨ ur jedes k ≥ 2 und jede Basis a unendlich viele epsp(a), die ein Produkt von genau k verschiedenen Primfaktoren sind? (e4) Kann eine ungerade zerlegbare Zahl n eine epsp(a) f¨ ur jedes m¨ogliche a mit 1 < a < n und ggT(a, n) = 1 sein?

98

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

(e5) F¨ ur wie viele Basen a mit 1 < a < n und ggT(a, n) = 1 kann die Zahl n eine epsp(a) sein? Kiss, Phong & Lieuwens zeigten 1986, dass es zu gegebenen a ≥ 2, k ≥ 2 und d ≥ 2 unendlich viele epsp(a) gibt, die ein Produkt von k verschiedenen Primzahlen und kongruent zu 1 modulo d sind. Diese klare Antwort auf (e3) beantwortet zugleich (e2) und (e1). Lehmer zeigte 1976, dass eine ungerade zerlegbare Zahl n nicht f¨ ur alle a mit 1 < a < n und ggT(a, n) = 1 eine epsp(a) sein kann, was Frage (e4) negativ beantwortet. Es gilt sogar mehr, wie von Solovay & Strassen 1977 gezeigt wurde: Eine zerlegbare Zahl n kann zu h¨ ochstens 12 φ(n) Basen a mit 1 < a < n und ggT(a, n) = 1 eine Euler-Pseudoprimzahl sein, was Frage (e5) beantwortet. Der Beweis folgt unmittelbar, wenn man beachtet, dass die Restklassen a mod n, f¨ ur die (a | n) ≡ a(n−1)/2 (mod n) gilt, eine Un( )× tergruppe von Z/n bilden (Gruppe der invertierbaren Restklassen modulo n), diese ist nach Lehmer eine echte Untergruppe und hat daher nach dem guten alten Satz von Lagrange h¨ochstens 12 φ(n) Elemente. Es sei n eine ungerade zerlegbare Zahl und es bezeichne Bepsp (n) die Anzahl der Basen a mit 1 < a < n und ggT(a, n) = 1, so dass n eine epsp(a) ist. Monier zeigte 1980, dass ( ) ∏ n−1 Bepsp (n) = δ(n) ggT , p − 1 − 1. 2 p|n

Dabei ist

δ(n) =

  2     1 2

     1

falls v2 (n) − 1 = min{v2 (p − 1)}, p|n

falls es einen Primteiler p von n derart gibt, dass vp (n) ungerade ist und v2 (p − 1) < v2 (n − 1) gilt, sonst,

und f¨ ur jede Zahl m und primes p bezeichnet vp (m) den Exponenten von p in der Primfaktorenzerlegung von m, das heißt, den p-adischen Wert von m.

D

Starke Pseudoprimzahlen zur Basis a (spsp(a))

Eine verwandte Eigenschaft ist die Folgende: Es sei n eine ungerade zerlegbare Zahl, n − 1 = 2s d mit ungeradem d und s ≥ 1, sowie a dergestalt, dass 1 < a < n und ggT(a, n) = 1.

VIII. Pseudoprimzahlen

99

Dann heißt n starke Pseudoprimzahl zur Basis a (spsp(a)), wenn r gilt ad ≡ 1 (mod n) oder a2 d ≡ −1 (mod n) f¨ ur ein r, 0 ≤ r < s. Primzahlen n erf¨ ullen diese Bedingung f¨ ur alle a mit 1 < a < n und ggT(a, n) = 1. Selfridge zeigte (siehe den Beweis in Williams’ Artikel, 1978), dass jede spsp(a) auch eine epsp(a) ist. Es gibt partielle Umkehrungen. Nach Malm (1977): Eine epsp(a) n, die n ≡ 3 (mod 4) erf¨ ullt, ist auch eine spsp(a). Nach Pomerance, Selfridge & Wagstaﬀ (1980): Eine ungerade epsp(a) n mit (a | n) = −1 ist zugleich eine spsp(a). Insbesondere ist eine epsp(2) n eine spsp(2), wenn n ≡ 5 (mod 8) gilt. Hinsichtlich der starken Pseudoprimzahlen k¨onnte man sich Fragen (s1)–(s5) stellen, analog derer zu den Euler-Pseudoprimzahlen aus Abschnitt VIII, C. Pomerance, Selfridge & Wagstaﬀ bewiesen 1980, dass es f¨ ur jede Basis a > 1 unendlich viele spsp(a) gibt, was zugleich (s1) und (e1) positiv beantwortet. Ich werde darauf bei der Untersuchung der Verteilung der Pseudoprimzahlen (Kapitel 4, Abschnitt VI) noch genauer eingehen. Zur Basis 2 kann man unendlich viele spsp(2) explizit angeben: Wenn n eine psp(2) ist, dann ist 2n − 1 eine spsp(2). Da es unendlich viele psp(2) gibt, erh¨ alt man damit unendlich viele spsp(2), unter denen sich s¨ amtliche zerlegbaren Mersenne-Zahlen beﬁnden. Man kann sich auch leicht u ¨berlegen, dass jede zerlegbare Fermat-Zahl eine spsp(2) ist. Auch (s2) und (e2) lassen sich auf ¨ ahnliche Weise bejahend beantworten, denn es gibt Pseudoprimzahlen mit beliebig vielen verschiedenen Primfaktoren; man beachte dazu nur, dass wenn p1 , p2 , . . . , pk die Pseudoprimzahl n teilen, 2pi − 1 (i = 1, . . . , k) Teiler der spsp(2) 2n − 1 sind. Aufgrund von Lehmers negativer Antwort auf (e4) und des Resultats von Selfridge ist (s4) oﬀensichtlich auch zu verneinen. Wie sp¨ater im Zusammenhang mit dem Monte-Carlo-Primzahltest oﬀensichtlich wird, ist der folgende Satz von Rabin u ¨beraus wichtig. Er stellt ein Analogon zu Solovay & Strassens Ergebnis f¨ ur Euler-Pseudoprimzahlen dar und ist nicht ganz einfach zu beweisen: Falls n > 4 zerlegbar ist, dann gibt es mindestens 3(n − 1)/4 Zahlen a, 1 < a < n, f¨ ur die n keine spsp(a) ist. Anders ausgedr¨ uckt ist die Anzahl der Basen a mit 1 < a < n und ggT(a, n) = 1, f¨ ur die eine

100

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

zerlegbare Zahl eine spsp(a) sein kann, h¨ ochstens gleich (n−1)/4. Dies beantwortet Frage (s5). Monier (1980) ermittelte auch eine Formel f¨ ur die Anzahl Bspsp (n) der Basen a mit 1 < a < n und ggT(a, n) = 1, f¨ ur die die ungerade zerlegbare Zahl n eine spsp(a) ist. N¨ amlich: ( )( ∏ ) 2ω(n)ν(n) − 1 ∗ ∗ Bspsp (n) = 1 + ggT(n , p ) − 1, 2ω(n) − 1 p|n

wobei ω(n) = Anzahl der verschiedenen Primfaktoren von n, { } ν(n) = min v2 (p − 1) , p|n

vp (m) = Exponent von p in der Primfaktorenzerlegung von m (eine beliebige nat¨ urliche Zahl), ∗

m = gr¨ oßter ungerader Teiler von m − 1. Nur um den Rekord nicht unerw¨ ahnt zu lassen: Die kleinste spsp(2) ist 2047 = 23 × 89. Es ist nicht nur interessant, sondern auch n¨ utzlich, die kleinste Zahl zu kennen, die gleichzeitig zu mehreren Basen eine starke Pseudoprimzahl ist, denn dieses Wissen kann einen strikten Primzahltest erm¨ oglichen. F¨ ur gegebenes k ≥ 1 bezeichne tk die kleinste Zahl, die gleichzeitig zu den Basen p1 = 2, p2 = 3, . . . , pk stark pseudoprim ist. Dann liefern die Berechnungen von Pomerance, Selfridge & Wagstaﬀ (1980), erweitert von Jaeschke (1993), die folgenden Werte: t2 = 1 373 653 = 829 × 1657, t3 = 25 326 001 = 2251 × 11251, t4 = 3 215 031 751 = 151 × 751 × 28351, t5 = 2 152 302 898 747 = 6763 × 10627 × 29947, t6 = 3 474 749 660 383 = 1303 × 16927 × 157543, t7 = t8 = 341 550 071 728 321 = 10670053 × 32010157. Dar¨ uber hinaus gab Jaeschke obere Schranken f¨ ur t9 , t10 und t11 an, die von Zhang (2001) und von Zhang & Tang (2003) wie folgt verbessert wurden: t9 ≤ t10 ≤ t11 ≤ 3 825 123 056 546 413 051 = 149491 × 747451 × 34233211.

Die letzteren Autoren sprechen zudem die begr¨ undete Vermutung aus, dass in allen drei F¨ allen die Gleichheit gilt.

VIII. Pseudoprimzahlen

101

Jaeschkes Arbeit zeigte auch, dass es nur 101 Zahlen unterhalb von 1012 gibt, die gleichzeitig zu den Basen 2, 3 und 5 stark pseudoprim sind. Die vollst¨ andige Liste ist recht groß, daher sei hier nur der Teil angegeben, der von den drei Rittern der Numerologie ver¨oﬀentlicht wurde. Dieser beschr¨ ankt sich auf Zahlen kleiner als 25 × 109 . Tabelle 11. Zahlen kleiner als 25 × 109 , die spsp zu den Basen 2, 3, 5 sind

Zahl 25 326 001 161 304 001 960 946 321 1 157 839 381 3 215 031 751 3 697 278 427 5 764 643 587 6 770 862 367 14 386 156 093 15 579 919 981 18 459 366 157 19 887 974 881 21 276 028 621

psp 7 – – – – spsp – – – psp psp – psp –

zur Basis 11 13 – – spsp – – – – – psp psp – – – spsp – – psp psp spsp – – – – – psp psp

Faktorisierung 2251 × 11251 7333 × 21997 11717 × 82013 24061 × 48121 151 × 751 × 28351 30403 × 121609 37963 × 151849 41143 × 164569 397 × 4357 × 8317 88261 × 176521 67933 × 271729 81421 × 244261 103141 × 206281

Dieser Tabelle f¨ uge ich die Liste der nicht quadratfreien Pseudoprimzahlen bis 25 × 109 sowie deren Faktorisierung hinzu: 1 194 649 = 10932 , 12 327 121 = 35112 , 3 914 864 773 = 29 × 113 × 10932 , 5 654 273 717 = 10932 × 4733, 6 523 978 189 = 43 × 127 × 10932 , 22 178 658 685 = 5 × 47 × 79 × 10932 . Mit Ausnahme der letzten beiden sind alle Zahlen der Liste starke Pseudoprimzahlen. Man beachte, dass die einzigen Primfaktoren, die im Quadrat vorkommen, 1093 und 3511 sind. Das Auftreten dieser Zahlen wird in Kapitel 5, Abschnitt III erkl¨ art werden.

102

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

IX Carmichael-Zahlen In einem kurzen Artikel, der weitgehend unbeachtet blieb, betrachtete Korselt 1899 eine eher seltene Art von Zahlen; unabh¨angig wurden diese von Carmichael 1912 eingef¨ uhrt, der ihre Eigenschaften als Erster studierte. Seit Bekanntwerden seines Artikels werden diese Zahlen Carmichael-Zahlen genannt. Nach Deﬁnition sind dies zerlegbare Zahlen n mit der Eigenschaft, dass an−1 ≡ 1 (mod n) f¨ ur jede Zahl a mit 1 < a < n und ggT(a, n) = 1 erf¨ ullt ist. Die kleinste Carmichael-Zahl ist 561 = 3 × 11 × 17. Ich werde nun eine Charakterisierung der Carmichael-Zahlen angeben. Man erinnere sich, dass ich in Abschnitt II die CarmichaelFunktion λ(n) eingef¨ uhrt habe, die das Maximum der Ordnungen von a mod n f¨ ur 1 ≤ a < n und ggT(a, n) = 1 angibt; insbesondere ist λ(n) Teiler von φ(n). Carmichael zeigte, dass n genau dann eine Carmichael-Zahl ist, wenn n zerlegbar und λ(n) Teiler von n − 1 ist (was der Aussage entspricht, dass wenn p ein beliebiger Primteiler von n ist, dann p − 1 auch n − 1 teilt). Es folgt, dass jede Carmichael-Zahl ungerade und das Produkt von mindestens drei verschiedenen Primzahlen ist. Genauer: Wenn n = p1 p2 · · · pr (Produkt verschiedener Primzahlen), dann ist n genau dann eine Carmichael-Zahl, wenn pi − 1 Teiler von (n/pi ) − 1 ist (f¨ ur alle i = 1, 2, . . . , r). Daher gilt an ≡ a (mod n) f¨ ur jede Carmichael-Zahl n und jedes a ≥ 1. Schinzel bemerkte 1959, dass f¨ ur jedes a ≥ 2 die kleinste pseudoprime Zahl ma zur Basis a notwendigerweise ma ≤ 561 erf¨ ullt. Ferner gibt es ein a, so dass ma = 561. Ausf¨ uhrlich ausgedr¨ uckt seien pi (i = 1, . . . , s) die Primzahlen 2 < pi < 561; f¨ ur jedes pi sei ei der ei ei +1 Exponent, f¨ ur den pi < 561 < pi gilt. Sei gi eine Primitivwurzel modulo pei i , und nach dem chinesischen Restsatz sei a diejenige Zahl, f¨ ur die a ≡ 3 (mod 4) und a ≡ gi (mod pei i ) f¨ ur i = 1, . . . , s. Dann gilt ma = 561.

IX. Carmichael-Zahlen

103

Carmichael und Lehmer bestimmten die kleinsten Carmichael-Zahlen: 561 = 3 × 11 × 17 1105 = 5 × 13 × 17 1729 = 7 × 13 × 19 2465 = 5 × 17 × 29 2821 = 7 × 13 × 31 6601 = 7 × 23 × 41 8911 = 7 × 19 × 67 10585 = 5 × 29 × 73

15841 = 7 × 31 × 73 29341 = 13 × 37 × 61 41041 = 7 × 11 × 13 × 41 46657 = 13 × 37 × 97 52633 = 7 × 73 × 103 62745 = 3 × 5 × 47 × 89 63973 = 7 × 13 × 19 × 37 75361 = 11 × 13 × 17 × 31

101101 = 7 × 11 × 13 × 101 115921 = 13 × 37 × 241 126217 = 7 × 13 × 19 × 73 162401 = 17 × 41 × 233 172081 = 7 × 13 × 31 × 61 188461 = 7 × 13 × 19 × 109 252601 = 41 × 61 × 101

Ich werde nun die folgenden, nat¨ urlich nahe miteinander verwandten Fragen betrachten: (1) Gibt es unendlich viele Carmichael-Zahlen? (2) Gibt es f¨ ur gegebenes k ≥ 3 unendlich viele Carmichael-Zahlen mit genau k Primfaktoren? Das erste Problem wurde 1992 in einem brillanten Artikel von Alford, Granville & Pomerance mit einer positiven Antwort gel¨ost; der ¨ Artikel erschien 1994, siehe auch den Ubersichtsartikel von Pomerance (1993). Man glaubt, dass auch die zweite Frage zu bejahen ist, dies muss allerdings noch bewiesen werden. Es ist beispielsweise noch nicht einmal bekannt, ob es unendlich viele Carmichael-Zahlen gibt, die Produkte von genau drei Primfaktoren sind. In diesem Zusammenhang gibt es ein Ergebnis von Duparc (1952) (siehe auch Beeger, 1950): F¨ ur jedes r ≥ 3 gibt es nur endlich viele Carmichael-Zahlen mit r Primfaktoren, von denen r − 2 vorgegeben sind. Auf diese Fragen werde ich noch einmal in Kapitel 4 zur¨ uckkommen. Chernick gab 1939 die folgende Methode an, um Carmichael-Zahlen zu erzeugen. Es sei m ≥ 1 und M3 (m) = (6m + 1)(12m + 1)(18m + 1). Falls m die Eigenschaft hat, dass alle drei Faktoren Primzahlen sind, dann ist M3 (m) eine Carmichael-Zahl. Dies ergibt zwar CarmichaelZahlen mit drei Primfaktoren, allerdings weiß man nat¨ urlich nicht, ob es unendlich viele Zahlen m mit der geforderten Eigenschaft gibt. In der gleichen Weise sei f¨ ur k ≥ 4 und m ≥ 1 Mk (m) = (6m + 1)(12m + 1)

k−2 ∏

(9 × 2i m + 1).

i=1

104

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Falls m die Eigenschaft hat, dass alle k Faktoren prim sind und außerdem m von 2k−4 geteilt wird, dann ist Mk (m) eine Carmichael-Zahl mit k Primfaktoren. Diese Methode und Varianten davon wurden dazu verwendet, große Carmichael-Zahlen sowie Carmichael-Zahlen mit großen Primfaktoren zu erzeugen. Es seien erw¨ahnt: Wagstaﬀ 1980 (321 Stellen), Atkin 1980 (370 Stellen), Woods & Huenemann 1982 (432 Stellen), Dubner 1985 (1057 Stellen) und Dubner 1989 (3710 Stellen). Alle diese Beispiele bestehen nur aus wenigen Primfaktoren. Yorinaga (1978) fand Carmichael-Zahlen mit bis zu 15 Primfaktoren. Die Suche nach großen Carmichael-Zahlen mit vielen Primfaktoren ging weiter. L¨oh & Niebuhr konstruierten 1994 (ver¨oﬀentlicht 1996) eine Carmichael-Zahl mit 16142049 Stellen und 1101518 Primfaktoren.

Rekord Die gr¨oßte bekannte Carmichael-Zahl wurde 1998 von W.R. Alford und J. Grantham entdeckt; sie hat 20163700 Stellen und 1371497 Primfaktoren. Diese Zahl hat außerdem die folgende Eigenschaft: F¨ ur jedes k mit 62 ≤ k ≤ 1371435 wird sie von einer Carmichael-Zahl mit genau k Primfaktoren geteilt. Dieser unver¨ oﬀentlichte Rekord wurde mir freundlicherweise von den Autoren mitgeteilt. Durch ein tieferes Verst¨ andnis dieser Art von Berechnungen gelang es Alford, Granville & Pomerance (1994), die alte Vermutung u ¨ber die Existenz unendlich vieler Carmichael-Zahlen zu best¨atigen. Was die Berechnung von Carmichael-Zahlen betriﬀt, so erstellte Pinch 2007 eine vollst¨ andige Liste dieser Zahlen bis 1021 . Ich werde die Ergebnisse seiner Berechnungen in Kapitel 4, Abschnitt VI, B besprechen. Die Verteilung von Carmichael-Zahlen wird in Kapitel 4, Abschnitt VIII untersucht.

Anhang zu Kn¨ odel-Zahlen F¨ ur jedes k ≥ 1 bezeichne Ck die Menge aller zerlegbaren Zahlen n > k derart, dass f¨ ur 1 < a < n und ggT(a, n) = 1 die Kongruenz an−k ≡ 1 (mod n) erf¨ ullt ist.

X. Lucas-Pseudoprimzahlen

105

Folglich ist C1 die Menge der Carmichael-Zahlen. Kn¨odel untersuchte 1953 die Mengen Ck f¨ ur k ≥ 2. Schon vor dem Beweis der Existenz unendlich vieler Carmichael-Zahlen zeigte M¸akowski im Jahre 1962: F¨ ur jedes k ≥ 2 ist Ck eine unendliche Menge. Beweis. F¨ ur jedes a mit 1 < a <∏k und ggT(a, k) = 1 sei ra die Ordnung von a modulo k. Sei r = ra (Produkt u ¨ber alle wie oben r deﬁnierten a). Also gilt a ≡ 1 (mod k). Es gibt unendlich viele Primzahlen p mit der Eigenschaft, dass p ≡ 1 (mod r); in Kapitel 4, Abschnitt IV beﬁndet sich ein Beweis dieses sehr n¨ utzlichen Satzes. F¨ ur jedes solche p > k setze man p − 1 = hr und n = kp. Dann gilt n ∈ Ck . Denn sei 1 ≤ a < n und ggT(a, n) = 1, also ggT(a, k) = 1, und daher an−k = ak(p−1) = akhr ≡ 1 (mod k), an−k = ak(p−1) ≡ 1 (mod p). Wegen p - k gilt an−k ≡ 1 (mod n), und somit liegt n = kp in Ck . Aus obigem Beweis folgt f¨ ur k = 2, dass 2p ∈ C2 f¨ ur jede Primzahl p > 2. Falls k = 3, dann 3p ∈ C3 f¨ ur jedes prime p > 3; letztere Aussage wurde von Morrow 1951 bewiesen.

X Lucas-Pseudoprimzahlen In Hinblick auf die Analogie zwischen Folgen von Binomen an − 1 (n ≥ 1) und Lucas-Folgen ist es nicht u ur Pseudo¨berraschend, dass es f¨ primzahlen ein Pendant gibt, das mit Lucas-Folgen in Zusammenhang steht. F¨ ur jeden Parameter a ≥ 2 gab es die a-Pseudoprimzahlen sowie ihre Kollegen, die Euler- und starken Pseudoprimzahlen zur Basis a. In diesem Abschnitt werden allen Paaren (P, Q) von ganzen Zahlen ungleich Null die korrespondierenden Lucas-, Euler-Lucas- und starken Lucas-Pseudoprimzahlen zugeordnet. Ihre Verwendung wird derjenigen der Pseudoprimzahlen entsprechen. Es seien P und Q ganze Zahlen ungleich Null, D = P 2 − 4Q, und seien (Un )n≥0 und (Vn )n≥0 die zugeh¨ origen Lucas-Folgen.

106

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Man rufe sich nochmals die folgenden Aussagen (aus Abschnitt IV) u ¨ber eine ungerade Primzahl n in Erinnerung: (X.1)

Wenn ggT(n, D) = 1, dann Un−(D | n) ≡ 0 (mod n).

(X.2)

Un ≡ (D | n) (mod n).

(X.3)

Vn ≡ P (mod n).

(X.4)

Wenn ggT(n, D) = 1, dann Vn−(D | n) ≡ 2Q(1−(D|n))/2 (mod n).

Eine ungerade, zerlegbare Zahl n, die Kongruenz (X.1) erf¨ ullt, heißt Lucas-Pseudoprimzahl (mit Parametern (P, Q)), abgek¨ urzt lpsp(P, Q). Eine solche Deﬁnition ist legitim, aber existieren solche Zahlen u ¨berhaupt? Und falls ja, lohnt es sich, sie zu studieren?

A

Fibonacci-Pseudoprimzahlen

Zun¨achst einmal ist es interessant, den Spezialfall der Fibonacci-Zahlen zu betrachten, wenn P = 1, Q = −1 und D = 5. In dieser Situation ist es eher angebracht, die lpsp(1, −1) Fibonacci-Pseudoprimzahlen zu nennen. Die kleinsten Fibonacci-Pseudoprimzahlen sind 323 = 17 × 19 und 377 = 13×29; tats¨ achlich gilt (5 | 323) = (5 | 377) = −1, und man kann ausrechnen, dass U324 ≡ 0 (mod 323) und U378 ≡ 0 (mod 377). E. Lehmer zeigte 1964, dass es unendlich viele Fibonacci-Pseudoprimzahlen gibt. Genauer, falls p eine beliebige Primzahl gr¨oßer als 5 ist, dann ist U2p eine Fibonacci-Pseudoprimzahl. Eigenschaft (X.2) wurde 1970 von Parberry und sp¨ater von Yorinaga (1976) untersucht. Unter anderem zeigte Parberry: Wenn ggT(h, 30) = 1 und wenn h die Bedingung (X.2) erf¨ ullt, dann ist sie auch f¨ ur k = Uh erf¨ ullt; dar¨ uber hinaus ist ggT(k, 30) = 1 und wenn h zerlegbar ist, gilt dies oﬀenbar auch f¨ ur Uh . Dies zeigt, dass die Existenz nur einer einzigen zerlegbaren Fibonacci-Zahl Un mit Un ≡ (5 | n) (mod n) gleich die Existenz unendlich vieler solcher Zahlen zur Folge hat. Wie ich (in K¨ urze) erl¨autern werde, gibt es solche Fibonacci-Zahlen tats¨achlich. Eigentlich folgt dies auch aus einem anderen Resultat von Parberry: Wenn p prim ist und p ≡ 1 oder 4 (mod 15) gilt, dann ist n = U2p ungerade und zerlegbar und erf¨ ullt sowohl Bedingung (X.1) als auch (X.2). Insbesondere gibt es unendlich viele Fibonacci-Pseudoprimzahlen, die auch (X.2) erf¨ ullen. (Hierbei verwende ich die in Kapitel 4, Abschnitt IV beschriebene Tatsache, dass es unendlich viele Primzahlen p derart gibt, dass p ≡ 1 (mod 15), bzw. p ≡ 4 (mod 15).)

X. Lucas-Pseudoprimzahlen

107

Falls p ̸≡ 1 oder 4 (mod 15), dann ist (X.2) nicht erf¨ ullt, was aus verschiedenen, in Abschnitt IV angegebenen Teilbarkeitseigenschaften und Kongruenzen folgt. Yorinaga betrachtete den primitiven Teil der Fibonacci-Zahl Un . Falls Sie sich erinnern, hatte ich in Abschnitt IV darauf hingewiesen, dass jede Fibonacci-Zahl Un (mit n ̸= 1, 2, 6, 12) einen primitiven Primfaktor p besitzt; dies sind diejenigen Primzahlen, die Un , aber f¨ ur keinen nichttrivialen Teiler d von n die Zahl Ud teilen. Daher Un = Un∗ × Un′ , wobei ggT(Un∗ , Un′ ) = 1 und p Teiler von Un∗ genau dann ist, wenn p ein primitiver Primfaktor von Un ist. Yorinaga zeigte: Wenn m Teiler von Un∗ (mit n > 5) ist, dann gilt Um ≡ (5 | m) (mod m). Gem¨aß dem in Abschnitt IV besprochenen Resultat von Schinzel (1963) gibt es unendlich viele ganze Zahlen n derart, dass Un∗ keine Primzahl ist. Daher hat das Ergebnis von Yorinaga zur Folge, dass es unendlich viele ungerade zerlegbare Zahlen n gibt, die der Kongruenz (X.2) gen¨ ugen. Yorinaga ver¨ oﬀentlichte eine Tabelle aller 109 zerlegbaren Zahlen n bis 707000, die Un ≡ (5 | n) (mod n) erf¨ ullen. Unter diesen beﬁnden sich einige Fibonacci-Pseudoprimzahlen, wie etwa n = 4181 = 37×113, n = 5777 = 53 × 109 und viele mehr. Vier der Zahlen aus der Tabelle sind zur Basis 2 pseudoprim: 219781 = 271 × 811, 252601 = 41 × 61 × 101, 399001 = 31 × 61 × 211, 512461 = 31 × 61 × 271. Ein weiteres Resultat von Parberry, das sp¨ater von Baillie & Wagstaﬀ verallgemeinert wurde, ist das Folgende: Falls n eine ungerade zerlegbare Zahl ist, die nicht durch 5 teilbar ist, aber den Kongruenzen (X.1) und (X.2) gen¨ ugt, dann gilt { U(n−(5|n))/2 ≡ 0 (mod n) falls n ≡ 1 (mod 4), V(n−(5|n))/2 ≡ 0 (mod n) falls n ≡ 3 (mod 4). Insbesondere existieren unendlich viele ungerade zerlegbare Zahlen n, welche die Kongruenz U(n−(5 | n))/2 ≡ 0 (mod n) erf¨ ullen, denn es gibt unendlich viele zerlegbare Zahlen n mit n ≡ 1 (mod 4). Auch die zerlegbaren Zahlen n mit Vn ≡ 1 (mod n) (wobei (Vk )k≥0 die Folge der Lucas-Zahlen ist) wurden untersucht. Sie wurden Lucas-

108

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Pseudoprimzahlen genannt, doch hier wird dieser Bezeichnung eine andere Bedeutung gegeben. Singmaster fand 1983 die folgenden 25 zerlegbaren Zahlen n < 105 mit obiger Eigenschaft: 705, 2465, 2737, 3745, 4181, 5777, 6721, 10877, 13201, 15251, 24465, 29281, 34561, 35785, 51841, 54705, 64079, 64681, 67861, 68251, 75077, 80189, 90061, 96049, 97921.

B

Lucas-Pseudoprimzahlen (lpsp(P, Q))

Ich werde nun lpsp(P, Q) behandeln, die zu beliebigen Paaren (P, Q) geh¨oren. Um der Analogie zu den Pseudoprimzahlen zur Basis a Ausdruck zu verleihen, sollte die Diskussion denselben Weg gehen. Allerdings wird sich zeigen, dass u ¨ber die nun betrachteten Zahlen viel weniger bekannt ist. Beispielsweise ist f¨ ur gegebenes P und Q kein Algorithmus zur Generierung unendlich vieler lpsp(P, Q) bekannt, abgesehen von den im Zusammenhang mit den Fibonacci-Pseudoprimzahlen erw¨ahnten Ergebnissen. Allerdings legt Lieuwens in seiner Dissertation 1971 dar, dass es f¨ ur jedes k ≥ 2 und gegebenen Parametern (P, Q) unendlich viele LucasPseudoprimzahlen gibt, die das Produkt von genau k verschiedenen Primzahlen sind. Es ist f¨ ur eine ungerade Zahl n durchaus normal, eine Lucas-Pseudoprimzahl zu vielen verschiedenen Parameterkombinationen zu sein. Es sei D ≡ 0 oder 1 (mod 4) und Blpsp (n, D) bezeichne die Anzahl der Zahlen P , 1 ≤ P ≤ n, so dass es ein Q mit P 2 − 4Q ≡ D (mod n) gibt und n eine lpsp(P, Q) ist. Baillie & Wagstaﬀ zeigten 1980, dass ( ( ) ( )) } ∏{ D D Blpsp (n, D) = ggT n − , p− −1 . n p p|n

Insbesondere gibt es f¨ ur ungerades, zerlegbares n ein D und dementsprechend mindestens drei Paare (P, Q) mit P 2 − 4Q = D und verschiedenen Werten von P modulo n derart, dass n eine lpsp(P, Q) ist. Eine weitere Frage stellt sich wie folgt: Falls n ungerade ist, f¨ ur 2 wie viele verschiedene D modulo n gibt es (P, Q) mit P − 4Q ≡ D (mod n), P ̸≡ 0 (mod n) derart, dass n eine lpsp(P, Q) ist? Baillie & Wagstaﬀ behandelten diesen Punkt auch f¨ ur den Fall n = p1 p2 , wobei p1 , p2 verschiedene Primzahlen sind.

X. Lucas-Pseudoprimzahlen

C

109

Euler-Lucas-Pseudoprimzahlen (elpsp(P, Q)) und starke Lucas-Pseudoprimzahlen (slpsp(P, Q))

Es seien P , Q gegeben, D = P 2 − 4Q wie zuvor und n eine ungerade Primzahl. In Abschnitt V wurde gezeigt, dass mit ggT(n, QD) = 1 gilt: { U(n−(D|n))/2 ≡ 0 (mod n), falls (Q | n) = 1, (el) V(n−(D|n))/2 ≡ D (mod n), falls (Q | n) = −1. Dies f¨ uhrt zur folgenden Deﬁnition. Eine ungerade zerlegbare Zahl n mit ggT(n, QD) = 1, die die obige Bedingung erf¨ ullt, heißt Euler– Lucas-Primzahl mit Parametern (P, Q), abgek¨ urzt elpsp(P, Q). Es sei n eine ungerade zerlegbare Zahl mit ggT(n, D) = 1 und n − (D | n) = 2s d, d ungerade, s ≥ 0. Falls { Ud ≡ 0 (mod n), oder (sl) r V2 d ≡ 0 (mod n) f¨ ur ein r, 0 ≤ r < s gilt, dann heißt n eine starke Lucas-Pseudoprimzahl mit Parametern (P, Q), kurz slpsp(P, Q). In diesem Fall gilt ggT(n, Q) = 1 notwendigerweise. Eine ungerade Primzahl n mit ggT(n, QD) = 1 erf¨ ullt die Kongruenzen (el) und (sl). Oﬀensichtlich ist eine elpsp(P, Q) mit ggT(n, Q) = 1 auch eine lpsp(P, Q). In welchem Zusammenhang stehen elpsp(P, Q) und slpsp(P, Q)? Genau wie im Falle der Euler- und starken Pseudoprimzahlen zur Basis a zeigten Baillie & Wagstaﬀ, dass eine slpsp(P, Q) – analog zum Resultat von Selfridge – auch eine elpsp(P, Q) ist. Umgekehrt gilt: Ist n eine elpsp(P, Q), die zus¨atzlich (Q | n) = −1 oder n − (D | n) ≡ 2 (mod 4) erf¨ ullt, dann ist n auch eine slpsp(P, Q); dies ist das Gegenst¨ uck zu Malms Ergebnis. Eine Zahl n, die sowohl lpsp(P, Q), als auch elpsp(P, Q) ist, und f¨ ur die dar¨ uber hinaus ggT(n, Q) = 1 und Un ≡ (D | n) (mod n) gilt, ist auch eine slpsp(P, Q). Der Spezialfall f¨ ur Fibonacci-Zahlen war, wie bereits angedeutet, von Parberry bewiesen worden. Ich hatte schon an fr¨ uherer Stelle ein Resultat von Lehmer erw¨ahnt, das besagte, dass eine ungerade Zahl f¨ ur keine Basis a eine epsp(a) sein kann. Hier das analoge Resultat von Williams (1977): Gegeben sei D ≡ 0 oder 1 (mod 4). F¨ ur eine ungerade, zerlegbare Zahl n mit ggT(n, D) = 1 existieren P , Q ungleich Null mit P 2 − 4Q = D, ggT(P, Q) = 1, ggT(n, Q) = 1 derart, dass n keine elpsp(P, Q) ist.

110

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Wie bereits erw¨ ahnt, hatte Parberry f¨ ur die Fibonacci-Folge gezeigt, dass es unendlich viele elpsp(1, −1) gibt (unter der hier verwendeten Terminologie). Dieses Resultat wurde von Kiss, Phong & Lieuwens (1986) verbessert: Gegeben sei (P, Q) derart, dass die Folge (Un )n≥0 nicht entartet ist (das heißt, Un ̸= 0 f¨ ur jedes n ≥ 0). Dann gibt es f¨ ur jedes k ≥ 2 unendlich viele elpsp(P, Q), die das Produkt von genau k verschiedenen Primzahlen sind. Ferner kann man diese Primfaktoren, falls D = P 2 − 4Q > 0 gilt, f¨ ur d ≥ 2 so w¨ ahlen, dass sie die Form dm + 1 (m ≥ 1) haben. Was die Fibonacci-Zahlen betriﬀt, betrachte ich nun die Kongruenzen (X.2) sowie (X.3) und (X.4). Man kann zeigen, dass wenn ggT(n, 2P QD) = 1 und wenn n zwei der Kongruenzen (X.1) bis (X.4) erf¨ ullt, auch die anderen beiden gelten. Kiss, Phong & Lieuwens erweiterten 1986 ein Resultat von Rotkiewicz (1973) und bewiesen: Gegeben seien P, Q = ±1 (mit (P, Q) ̸= (1, 1)) sowie k ≥ 2, d ≥ 2. Dann existieren unendlich viele Zahlen n, die Euler-Pseudoprimzahlen zur Basis 2 sind und die Kongruenzen (X.1) bis (X.4) erf¨ ullen; ferner ist jede solche Zahl n das Produkt von genau k verschiedenen Primzahlen, die alle die Form dm + 1 (mit m ≥ 1) haben.

D

Carmichael-Lucas-Zahlen

Wenn man denselben Gedankengang vollzieht, der von den Pseudoprimzahlen zu den Carmichael-Zahlen gef¨ uhrt hat, st¨oßt man auf nat¨ urliche Weise auf die folgenden Zahlen: Gegeben sei D ≡ 0 oder 1 (mod 4). Dann heißt die Zahl n eine Carmichael-Lucas-Zahl (zugeh¨ orig zu D), wenn ggT(n, D) = 1 und f¨ ur alle teilerfremden Zahlen P , Q ungleich Null mit P 2 − 4Q = D und ggT(n, Q) = 1 gilt, dass n eine lpsp(P, Q) ist. Existieren solche Zahlen? Dies ist nicht von vornherein klar. Nat¨ urlich ist n eine Carmichael-Zahl, wenn n eine zu D = 1 zugeh¨orige Carmichael-Lucas-Zahl ist. Williams, der als Erster Carmichael-Lucas-Zahlen untersuchte, zeigte 1977: Wenn n eine zu D zugeh¨ orige Carmichael-Lucas-Zahl ist, dann ist n das Produkt von k ≥ 2 verschiedenen Primzahlen pi , wobei pi − (D | pi ) Teiler von n − (D | n) ist.

XI. Primzahltests und Faktorisierung

111

Man beachte, dass 323 = 17 × 19 eine Carmichael-Lucas-Zahl ist (mit D = 5); aber es kann sich nicht um eine Carmichael-Zahl handeln, denn das Produkt besteht nur aus zwei verschiedenen Primzahlen. Unter Verwendung einer geeignet modiﬁzierten Variante von Chernicks Verfahren ist es m¨ oglich, viele Carmichael-Lucas-Zahlen zu generieren. Zum Beispiel ist 1649339 = 67 × 103 × 239 eine solche Zahl (mit D = 8).

XI Primzahltests und Faktorisierung Der letzte Abschnitt ist einem Thema von brennendem Interesse gewidmet, das in Anbetracht unmittelbarer Anwendungen Gegenstand intensiver Forschung ist und spannende Ideen hervorbrachte. Unmittelbare, direkte Anwendungen der Zahlentheorie! Wer h¨atte selbst vor etwa 50 Jahren davon getr¨ aumt? Von Neumann ja, ich nicht, viele Leute nicht. Arme Zahlentheorie, die K¨onigin tritt ab (oder steigt auf?), um zum Objekt einer Begierde zu werden, die nicht durch Ehrfurcht, sondern durch Notwendigkeit inspiriert ist. In den letzten Jahren gab es rasche Fortschritte auf dem Gebiet der Primzahltests und der Faktorisierung. Immer h¨auﬁger kamen tieﬂiegende Resultate der Zahlentheorie zum Einsatz. Brillante K¨opfe ersannten intelligente Prozeduren, nicht weniger brillante Techniker erfanden Tricks und Optimierungen, um die Methoden in vern¨ unftiger Zeit ausf¨ uhren zu k¨ onnen. Auf diese Weise entstand ein v¨ollig neuer Zweig der Zahlentheorie. In den vorangegangenen Abschnitten dieses Kapitels habe ich versucht, die Grundlagen f¨ ur eine u ¨bersichtliche Darstellung der wichtigsten Verfahrensweisen bei Primzahltests zu schaﬀen. Allerdings war dieser Versuch eigentlich zum Scheitern verurteilt. In Wirklichkeit ben¨otigt man f¨ ur die neuesten Entwicklungen Ergebnisse beispielsweise zur Theorie der Jacobi-Summen, algebraischen Zahlentheorie, elliptischen Kurven, abelschen Variet¨ aten usw. Dies geht weit u ¨ber das hinaus, was ich hier behandeln wollte. Es ist vern¨ unftiger, diejenigen, die sich besonders f¨ ur das Problem interessieren, auf erg¨anzende Literatur zu verweisen. Gl¨ ucklicherweise gibt es inzwischen viele exzellente ¨ Ubersichtsartikel und B¨ ucher, die ich an gegebener Stelle empfehlen werde. Ungeachtet der soeben erw¨ ahnten Unzul¨ anglichkeiten halte ich einen ¨ – wenn auch nicht l¨ uckenlosen – Uberblick u ¨ber die Problemstellung

112

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

immer noch f¨ ur sinnvoll. Nach dieser Entschuldigung m¨ochte ich nun mit der unvollst¨ andigen Bearbeitung fortfahren. Zun¨achst zu den Kosten: Wie teuer ist es, den Zauber zu enth¨ ullen? Danach werde ich umfangreichere Primzahltests behandeln und auf einige beachtenswerte Faktorisierungen der letzten Zeit hinweisen, um schließlich eine kurze Beschreibung von Anwendungen in der Kryptograﬁe mit ¨oﬀentlichem Schl¨ ussel zu geben. Es w¨ urde mich freuen, wenn die folgende Darstellung die Leser durstig machte. Durstig danach, mehr u ¨ber das zu erfahren, was hier zu lesen war. Zu diesem Zwecke m¨ ochte ich die B¨ ucher von Williams (1998) und von Crandall & Pomerance (2001, 2. Auﬂage 2005) empfehlen.

A

Aufwand f¨ ur einen Primzahltest

Der Aufwand, einen Algorithmus auf eine Zahl N anzuwenden, ist proportional zur ben¨ otigten Zeit und h¨ angt daher von der Maschine, vom Programm und der Gr¨ oße der Zahl ab. Die Anzahl der Operationen sollte in einer angemessenen Weise gez¨ahlt werden, denn eine Addition oder Multiplikation von sehr großen Zahlen ist aufw¨ andiger, als wenn kleine Zahlen verkn¨ upft werden. So l¨auft die Analyse darauf hinaus, dass der Aufwand proportional zur Anzahl der auf Ziﬀern angewandten Operationen ist. Solche unteilbaren Operationen nennt man Bitoperationen. Daher wird zur Berechnung des Aufwandes nicht die Zahl N , sondern die Anzahl ihrer Ziﬀern zu einer beliebigen Basis verwendet. Diese ist proportional zu log N . Ein Algorithmus l¨ auft in polynomialer Zeit, wenn es ein Polynom f (X) derart gibt, dass f¨ ur jedes N die Zeit zur Abarbeitung des Algorithmus f¨ ur N durch f (log N ) beschr¨ ankt ist. Ein nicht-polynomialer Algorithmus heißt exponentiell, wenn seine Laufzeit f¨ ur jede Eingabe N durch den Wert f (N ) des Polynoms f (X) beschr¨ankt ist (exponientiell, da N = elog N ). Ein Algorithmus kann im Allgemeinen nur dann als praktisch durchf¨ uhrbar bezeichnet werden, wenn er eine polynomiale Laufzeit hat. In der Komplexit¨ atstheorie besch¨ aftigt man sich speziell mit der Bestimmung von Schranken f¨ ur die Laufzeit von Algorithmen. Derartige Bestimmungen sind im Grunde eine komplizierte Art der Buchf¨ uhrung, die eine sorgf¨altige Analyse der verwendeten Methoden erfordert. Durch die Entdeckung schlauer Tricks k¨onnen komplexe Algorithmen manchmal durch einfachere ersetzt werden, die vielleicht nur eine polynomiale Laufzeit ben¨ otigen.

XI. Primzahltests und Faktorisierung

113

Man kann sagen, dass das Hauptproblem im Zusammenhang mit Primzahltests (und mit vielen anderen Fragestellungen) das folgende ist: Existiert ein Algorithmus, der in polynomialer Zeit l¨auft? Erst vor kurzer Zeit gelang es, diese Frage mit Ja“ zu beantworten. ” Dies werde ich schon bald an passender Stelle besprechen. Zun¨achst aber m¨ ochte ich andere Primzahltests behandeln, die zwar keine polynomiale Laufzeit haben, aber trotzdem sehr praktisch sind. ¨ Die vorangegangenen Uberlegungen sollten keineswegs mit dem Folgenden verwechselt werden. Wenn man von einer Zahl N weiß, dass sie zerlegbar ist, gen¨ ugt eine einzige Operation, um dies zu beweisen. Denn es reicht, zwei Zahlen a und b zu ﬁnden, so dass N = ab gilt, d.h. die Anzahl der Bitoperationen ist h¨ochstens (log N )2 . Lenstra dr¨ uckte es einmal so aus: Es ist unerheblich, ob man a und b nach der Konsultation eines Hellsehers fand oder nach drei Jahren sonnt¨ aglicher Rechenarbeit, wie sie Cole f¨ ur die Faktorisierung der Mersenne-Zahl M67 ben¨otigte: 267 − 1 = 193707721 × 761838257287. Wie viele Bitoperationen sind aber notwendig, um den Beweis der Primalit¨at einer als Primzahl bekannten Zahl p zu f¨ uhren? Diese Frage ist nicht so leicht zu beantworten. Pratt zeigte 1975, dass C(log p)4 Bitoperationen gen¨ ugen (dabei ist C eine positive Konstante). Pomerance brachte 1987 den Satz von Hasse-Weil u ¨ber die Anzahl der Punkte auf elliptischen Kurven modulo einer ganzen Zahl n zur Anwendung. Es gelang ihm zu zeigen, dass wenn p als prim bekannt ist, der Beweis dieser Tatsache h¨ ochstens C log p Multiplikationen modulo p erfordert. Dieses Ergebnis war besser als alle vorangegangenen Zertiﬁzierungsbeweise.

B

Weitere Primzahltests

Ich m¨ochte mich nun ein weiteres Mal mit den Primzahltests befassen. Es gibt viele Arten von Tests, die man je nach Standpunkt folgendermaßen klassiﬁzieren kann: { Tests f¨ ur Zahlen spezieller Form Tests f¨ ur beliebige Zahlen

114

oder

oder

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

{

{

Strikte Tests Tests, die auf Vermutungen basieren Deterministische Tests Probabilistische oder Monte-Carlo-Tests.

Im Folgenden werde ich Tests jeder dieser Klassen begegnen. Wenn hinreichend viele Primfaktoren von N − 1 oder N + 1 bekannt sind, laufen die Tests aus den Abschnitten III und V in polynomialer Zeit mit der Ziﬀernzahl der Eingabegr¨ oße. Dies sind spezielle Primzahltests. Jeder von ihnen ist sehr eﬃzient, vorausgesetzt, die Eingabe hat die jeweils passende Form. Im Gegensatz dazu sind universelle Primzahltest nicht darauf zugeschnitten, irgendeine Art von Zahlen eﬃzienter zu behandeln als andere, sondern sind auf alle Zahlen gleichermaßen anwendbar. Primzahltests sollten sich auf S¨ atze aus der Zahlentheorie gr¨ unden. Aber es gibt F¨ alle, in denen keine ausreichenden Hilfsmittel zur Verf¨ ugung stehen, ohne auf unbewiesene Annahmen wie etwa einer Form der Riemannschen Vermutung zur¨ uckzugreifen. Viele der Tests sind deterministisch und die Schritte sind von Beginn an fest vorgeschrieben. In anderen Tests gibt es Stellen, an denen man zuf¨allige Entscheidungen triﬀt. Wenn man eine Zahl N einem Primzahltest unterwirft, ist es erw¨ unscht, eine der folgenden beiden Antworten als Ausgabe zu erhalten: N ist eine Primzahl“ oder N ist zerlegbar“. Jedoch gibt es ” ” Tests, die etwas ausgeben wie N ist zerlegbar“ oder N hat eine Ei” ” genschaft, die auch Primzahlen haben“. Aufgrund der Tatsache, dass diesen Tests eine Wahrscheinlichkeit beigemessen wird, nennt man sie auch probabilistische oder Monte-Carlo-Tests. Falls sich herausgestellt hat, dass eine Zahl N mit hoher Wahrscheinlichkeit eine Primzahl ist, soll sie als Quasiprimzahl 4 bezeichnet werden. Nat¨ urlich sollte man nicht vergessen, dass eine Zahl N > 1 entweder prim oder zerlegbar ist. Die Bezeichnung Quasiprimzahl“ ” spiegelt eine momentane Wissensl¨ ucke u ¨ber den eigentlichen Status von N wider. Sobald eine Zahl getestet ist und nach zumeist umfangreichen Berechnungen (die allen m¨ oglichen menschlichen und maschinellen Fehlern ausgesetzt sind) als Primzahl deklariert wird, ist es von ¨außerster 4 Engl.

probable prime

XI. Primzahltests und Faktorisierung

115

Wichtigkeit, das Resultat zu u ufen. Eine zweite oder dritte Wie¨berpr¨ derholung des Tests, vorzugsweise mit einem anderen Programm und auf anderen Maschinen durchgef¨ uhrt, gibt bei gleichem Ergebnis zwar eine gewisse Sicherheit, stellt aber keinen Beweis daf¨ ur dar, dass das Ergebnis richtig war. Es w¨are daher erstrebenswert, f¨ ur eine als Primzahl festgestellte Zahl eine Art Zertiﬁkat der Primalit¨ at zu erlangen, das dann als Beweis dienen k¨onnte. Ich m¨ochte nun einige wenige – sehr wenige – Testmethoden besprechen. Probedivision F¨ ur Zahlen N , die keine spezielle Form haben, liegt es zun¨achst nahe, durch √ die – wenn auch sehr naive – Probedivision aller Primzahlen p ≤ N auf Primalit¨ at zu testen. In Kapitel 4 wird man sehen, dass √ die Anzahl √ der Primzahlen kleiner als N f¨ ur eine große Zahl N etwa gleich 2 N / log N ist (diese Aussage wird sp¨ater sehr √ viel weiter pr¨azisiert). Die Anzahl der Operationen ist also h¨ochstens C N / log N (dabei ist C > 0 eine Konstante), was bedeutet, dass diese Prozedur nicht in polynomialer Zeit l¨ auft. Millers Test Miller stellte 1976 einen Primzahltest vor, der auf einer verallgemeinerten Form der Riemannschen Vermutung beruht. Ich werde die genaue Bedeutung dieser Hypothese hier nicht erl¨ autern, aber in Kapitel 4 auf die klassische Riemannsche Vermutung eingehen. Millers Test beinhaltet jene Kongruenzen, die in der Deﬁnition der starken Pseudoprimzahlen verwendet wurden. Zur bequemen Formulierung dient die von Rabin eingef¨ uhrte Terminologie. Es sei N eine ganze Zahl, N − 1 = 2s d mit s ≥ 0 und ungeradem d. Sei 1 < a < N mit ggT(a, N ) = 1. Dann heißt a ein Beleg f¨ ur N , r wenn ad ̸≡ 1 (mod N ) und a2 d ̸≡ −1 (mod N ) f¨ ur jedes r, 0 ≤ r < s. Falls N einen Beleg hat, ist es zerlegbar. Falls N zerlegbar und die Zahl a mit 1 < a < N und ggT(a, N ) = 1 kein Beleg ist, dann ist N eine spsp(a). Umgekehrt ist a kein Beleg f¨ ur N , wenn N ungerade und eine spsp(a) ist. In dieser Terminologie reicht es f¨ ur den Nachweis der Primalit¨at von N zu zeigen, dass keine Zahl a, 1 < a < N , ggT(a, N ) = 1 ein Beleg ist. Da N als sehr groß angenommen wird, ist diese Aufgabe u are wunderbar, wenn man die Sache mit nur we¨berw¨altigend! Es w¨ nigen kleinen Zahlen a erledigen k¨ onnte, indem man zeigt, dass diese

116

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

s¨amtlich keine Belege f¨ ur N sind. An dieser Stelle kommt die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung ins Spiel. Mit ihrer Hilfe wurde gezeigt: Millers Test. Es sei N eine ungerade Zahl. Falls es eine Zahl a mit ggT(a, N ) = 1 und 1 < a < 2(log N )2 gibt, die ein Beleg f¨ ur N ist, dann ist N zerlegbar. Andernfalls ist N eine Primzahl. Man sollte hinzuf¨ ugen, dass aufgrund der Berechnungen, die in Abschnitt VIII vorgestellt wurden, die Zahl 3 215 031 751 die einzige zerlegbare Zahl ist, die bis 25 × 109 gleichzeitig zu den Basen 2, 3, 5, 7 stark pseudoprim ist. Wenn also N < 25 × 109 nicht diese Zahl ist und 2, 3, 5, 7 keine Belege sind, dann ist N eine Primzahl. Wie von Jaeschke (1993) gezeigt, gilt dies sogar f¨ ur N < 118 670 087 467. Dieser Test k¨ onnte einfach auf einem Taschenrechner implementiert werden. Die Anzahl der Bitoperationen, die notwendig sind, um den Nachweis f¨ ur einen Beleg f¨ ur N zu erbringen, ist h¨ochstens C(log N )5 (mit einer positiven Konstante C). Dementsprechend l¨auft dieser Test in polynomialer Zeit, wenn man die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung als bewiesen voraussetzt. Lenstra ver¨oﬀentlichte 1979 eine kompaktere Version von Millers Test, die er sp¨ater noch einmal in seinem Artikel von 1982 bespricht. ¨ Siehe auch den guten Ubersichtsartikel von Wagon (1986). Der APR-Test Der von Adleman, Pomerance & Rumely (1983) erdachte Test (normalerweise als der APR-Test bezeichnet) bedeutete einen Durchbruch. Und zwar: (i) Es ist ein deterministischer, universeller Primzahltest, also auf beliebige nat¨ urliche Zahlen N anwendbar, ohne die Kenntnis von Faktoren von N − 1 oder N + 1 vorauszusetzen. (ii) Die Laufzeit t(N ) ist fast polynomial; genauer, es gibt explizit berechenbare Konstanten 0 < C ′ < C derart, dass (log N )C

′

log log log N

≤ t(N ) ≤ (log N )C log log log N .

(iii) Der Test st¨ utzt sich nicht auf unbewiesene Vermutungen, und zum allerersten Mal auf diesem Gebiet musste man tieﬂiegende

XI. Primzahltests und Faktorisierung

117

Ergebnisse der Theorie der algebraischen Zahlen heranziehen. Der Test beinhaltet Berechnungen mit Einheitswurzeln und dem verallgemeinerten Reziprozit¨ atsgesetz f¨ ur Potenzreste. (Ist Ihnen aufgefallen, dass ich diese Begriﬀe nicht besprochen habe? Es geht weit u ¨ber das hinaus, was ich hier behandeln wollte.) Bis zum Jahre 2002 hatte der APR-Test die beste Laufzeit unter allen deterministischen, universellen Primzahltests. Kurz nach seiner Ver¨ oﬀentlichung verbesserten Cohen & Lenstra (1984) den APR-Test unter Verwendung von Jacobi-Summen im Beweis (anstelle des Reziprozit¨ atsgesetzes) und ließen ihn f¨ ur praktische Anwendungen programmieren. Es war der erste Test, der routinem¨aßig Zahlen bis zu 200 Dezimalstellen in etwa zehn Minuten handhaben konnte. F¨ ur Zahlen bis zu 100 Stellen wurden etwa 45 Sekunden ben¨otigt. Cohen & Lenstra, Br. (Bruder, nicht Junior) testeten 1987 eine 247stellige Zahl (einen Primfaktor von 2892 + 1) in etwa 15 Minuten. Lenstra stellte den APR-Test im S´eminaire Bourbaki, Expos´e 576 (1981) vor. Dar¨ uber hinaus wurde er in Artikeln von Lenstra (1982) und Nicolas (1984) sowie in dem wichtigen Buch von Cohen (1993) besprochen. Tests mit elliptischen Kurven Im Jahre 1986 stellte Atkin seinen eigenen neuen Primzahltest vor, in dem erstmalig elliptische Kurven u ¨ber endlichen K¨orpern verwendet wurden. Der Test l¨ auft in zufallsbedingter polynomialer Zeit und st¨ utzt sich nicht auf unbewiesene Vermutungen. Falls das Programm die Meldung prim“ ausgibt, liefert es zudem eine Liste von Zahlen, ” mit deren Hilfe man das Ergebnis leicht nachvollziehen kann, ohne die gesamte Berechnung erneut durchf¨ uhren zu m¨ ussen. Eine solche Liste von Zwischenresultaten nennt man ein Zertifikat f¨ ur die Primzahl. Atkin & Morain (1993) ver¨ oﬀentlichten einen umfangreichen Artikel u urzel ECPP ( elliptic curve prima¨ber ihr Verfahren, das mit dem K¨ ” lity proving“) bezeichnet wird. Darin werden die verschiedenen Aspekte des Verfahrens detailliert beschrieben. Der Algorithmus ist von Morain weiter verfeinert worden. Ihm gelang es auch, die Primalit¨at verschiedener interessanter Zahlen mit mehr als 1000 Dezimalstellen zu beweisen und die zugeh¨ origen Zertiﬁkate zu erstellen. Aufgrund der Komplexit¨ at des ECPP-Algorithmus werde ich hier gar nicht erst den Versuch unternehmen, dessen grundlegende Schritte zu erl¨autern.

118

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Derzeit sind verschiedene, h¨ ochst eﬃziente Implementierungen des Tests im Gebrauch. Man sollte unterscheiden zwischen Versionen, die auf einem einzelnen Arbeitsplatzrechner (mit einem Prozessor) ablaufen, und solchen, die ein verteiltes Rechnen auf mehreren vernetzten PCs erlauben. Der aktuelle Rekord wurde naturgem¨aß mit der letzteren Variante erzielt.

Rekord Die gr¨oßte durch einen universellen (nicht auf Vermutungen beruhenden und auf beliebige Zahlen anwendbaren) Primzahltest nachgewiesene Primzahl ist die 20562-stellige Zahl ((((((2521008887 3 + 80)3 + 12)3 + 450)3 + 894)3 + 3636)3 + 70756)3 + 97220.

Hierbei handelt es sich um die elfte Mills-Primzahl (vgl. Kapitel 3, Abschnitt II). Der Nachweis wurde von F. Morain gef¨ uhrt und im Juni 2006 zum Abschluss gebracht. Das verwendete Programm war in Zusammenarbeit mit J. Franke, T. Kleinjung und T. Wirth von der Universit¨at Bonn entwickelt worden. Die akkumulierte Gesamtrechenzeit betrug 2219 Tage der Leistung eines der schnellsten verf¨ ugbaren PCs. Die Best¨atigung des Ergebnisses mit Hilfe des erzeugten Zertiﬁkats ben¨otigt etwa 10 Tage. Um den rasanten Fortschritt in der Leistungsf¨ahigkeit des ECPPVerfahrens zu dokumentieren, ist es sinnvoll, nur solche Tests miteinander zu vergleichen, die mit der Einprozessor-Version durchgef¨ uhrt wurden. In dieser Kategorie ist 238090 +47269 mit 11467 Stellen die Rekordzahl. Der Nachweis der Primalit¨ at wurde im Mai 2010 von N. Luhn abgeschlossen, der das Programm von M. Martin verwendete, mit dessen Hilfe auch die meisten der vorausgegangenen Rekorde aufgestellt wurden. Das zugeh¨ orige Zertiﬁkat ist eine Textdatei mit 13 000 000 Schriftzeichen (¨ uberschlagen Sie doch einmal, wie viele B¨ ucher, die langweiliger sind als dieses, ben¨ otigt w¨ urden, um eine solche Anzahl von Zeichen aufzunehmen). Einen vorherigen Rekord hatte Luhn im Juli 2009 mit der 8949-stelligen Primzahl 229727 + 20273 aufgestellt. Nur drei Wochen zuvor gab A. Steward den Primbeweis f¨ ur eine 8125-stellige Zahl bekannt, dem 3774 gr¨oßten Primteiler von 3429 + 1. Hier nun die fr¨ uheren Rekorde:

XI. Primzahltests und Faktorisierung Primzahl

Stellen

Datum

E2762 /(101 × 137 × 193) (32 × 106959 − 23)/9 16282536 . . . 36478311 105019 + (32 × 75 × 1111 ) 103999 + 4771 (3481223 − 1)/347 (301789 − 1)/29 (27331 − 1)/458072843161

7760 6959 5878 5020 4000 3106 2642 2196

Juli 2004 Juli 2003 Februar 2003 September 2001 Mai 2001 Januar 2001 Oktober 2000 Oktober 1997

119

Einige dieser Primzahlen verdienen es, besonders hervorgehoben zu werden. Die fr¨ uheste unter ihnen ist der zweite und gr¨oßte Faktor der Mersenne-Zahl M7331 = 458072843161 × P 2196. Der Beweis der Primalit¨ at wurde von E. Mayer mit einem ECPPProgramm von F. Morain erbracht. Die 5878-stellige Primzahl, deren Dezimaldarstellung nur angedeutet wurde, ist deshalb beachtenswert, weil sie der Schlusspunkt einer Reihe von 233821 aufeinander folgenden zerlegbaren Zahlen ist. Diese Primzahll¨ ucke wurde von J.L. G´omez Pardo ausﬁndig gemacht, der auch das Zertiﬁkat erstellte. In dem Ausdruck E2762 /(101 × 137 × 193) f¨ ur die 7760-stellige Primzahl bedeutet En die n-te Euler-Zahl, so dass die Primzahl E-irregul¨ar ist (siehe mein Buch 13 Lectures on Fermat’s Last Theorem, S. 203). Der Nachweis der Primalit¨ at wurde von M. Oakes erbracht, w¨ahrend die Zahl selber unabh¨ angig auch von D. Broadhurst bestimmt wurde. Eine bew¨ahrte Methode, um ein Gef¨ uhl daf¨ ur zu bekommen, wie gut universelle Primzahltests funktionieren, besteht darin, sie auf Zufallszahlen anzuwenden, genauer auf solche Zahlen, deren Ziﬀern dadurch erzeugt werden, dass man ein Rad mit zehn m¨oglichen Positionen wiederholt dreht. Einige in der Natur vorkommende Zahlen wie die allgegenw¨artige Konstante π scheinen die Eigenschaft zu haben, dass die Ziﬀern ihrer Dezimaldarstellung zuf¨ allig verteilt sind. Tats¨achlich berechneten Y. Kanada und seine Mitarbeiter im September 1999 mehr als 206 Milliarden Dezimalstellen von π. Eine statistische Analyse zeigte, dass jede Ziﬀernfolge ebenso h¨auﬁg auftritt, wie man es bei einer zufallsbedingten Erzeugung erwarten w¨ urde. Insbesondere untersuchten Caldwell & Dubner (1998) das Auftreten von

120

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Primzahlen, die sich aus aufeinander folgenden Ziﬀern innerhalb der Dezimalbruchentwicklung von π zusammensetzen, wobei sie eine be¨ merkenswerte Ubereinstimmung feststellten. Im Dezember 2002 gab Kanada die Berechnung von 1,2411 Billionen Stellen von π bekannt; Einzelheiten ﬁnden sich bei Bailey (2003). Dies erinnert an eine Geschichte, die nicht in Vergessenheit geraten sollte. Ludolph van Ceulen wurde daf¨ ur ber¨ uhmt, dass er 35 Stellen von π korrekt berechnet hatte (posthum im Jahre 1615 ver¨oﬀentlicht). Diese Ziﬀern sind auf seinem Grabstein eingraviert. Ich w¨ unsche Kanada ein langes Leben – sein Grabstein wird Probleme bereiten. Monte-Carlo-Methoden Zu Beginn des letzten Jahrhunderts lockte das Casino in Monte Carlo spiels¨ uchtige Aristokraten und Abenteurer an. Tragik und Reichtum wurden vom Gl¨ ucksrad bestimmt. Mit besonderem Vergn¨ ugen habe ich den Roman von Luigi Pirandello gelesen, in dem davon berichtet wird, wie sich das Leben des Mattia Pascal ¨anderte, als ihm das Gl¨ uck sowohl in Monte Carlo als auch in seinem sizilianischen Heimatdorf zuteil wurde. Aber Monte Carlo meint es nicht immer so gut. Meistens ist ein hoher Preis zu zahlen, in Form des totalen Ruins, bis hin zum Selbstmord! Ich hoﬀe aufrichtig, dass niemand, der das Spiel der Monte-CarloPrimalit¨at beginnt und dem ein Monte-Carlo-Test misslingt, dadurch in den Selbstmord getrieben wird. Ich m¨ochte an dieser Stelle drei Monte-Carlo-Tests erw¨ahnen, n¨amlich die von Baillie & Wagstaﬀ (1980), von Solovay & Strassen (1977) und von Rabin (1976, 1980). In jedem dieser Tests wird eine Anzahl von Belegen a verwendet, in Verbindung mit Kongruenzen, die denen ur psp(a)-, epsp(a)-, spsp(a)-Zahlen gelten. ¨ahnlich sind, welche f¨ In wenigen Worten sei der Test von Rabin vorgestellt, der dem von Miller sehr ¨ahnlich ist. Auf derselben Idee von Solovay & Strassen basierend, schlug Rabin folgenden Test vor: Schritt 1. W¨ahle zuf¨ allig k > 1 kleine Zahlen a mit 1 < a < N und ggT(a, N ) = 1. Schritt 2. Pr¨ ufe nacheinander f¨ ur jede gew¨ahlte Basis a, ob N die Bedingung in der Deﬁnition der starken Pseudoprimzahl zur Basis a erf¨ ullt. Schreibe N − 1 = 2s d mit ungeradem d und s ≥ 0. Dann ist r entweder ad ≡ 1 (mod N ) oder a2 d ≡ −1 (mod N ) f¨ ur ein r mit 0 ≤ r < s.

XI. Primzahltests und Faktorisierung

121

Wenn ein a gefunden wird, das die obige Bedingung nicht erf¨ ullt, erkl¨are N als zerlegbar. Im gegenteiligen Fall betr¨agt die Wahrscheinlichkeit, dass eine f¨ ur prim erkl¨ arte Zahl N tats¨achlich eine Primzahl ist, mindestens 1 − 1/4k . Also geschieht f¨ ur k = 30 der Wahrscheinlichkeit nach h¨ ochstens in einem von 1018 Tests eine Fehlentscheidung. Vielleicht m¨ ochten Sie ja Primzahlen f¨ ur kryptographische Zwecke verkaufen (seien Sie geduldig, ich werde bald zu dieser Anwendung von Primalit¨at und Faktorisierung kommen). Ja, ich meine wirklich ver” kaufen“. Und Sie m¨ ochten ja sicher sein, oder zumindest mit einer vernachl¨assigbaren Fehlerquote davon u ¨berzeugt sein, dass Sie tats¨achlich Primzahlen verkaufen, so dass Sie werben k¨onnten: Garantierte Zu” friedenheit oder Geld zur¨ uck.“ Auf der Grundlage von Rabins Test k¨ onnen Sie ein solides Unternehmen aufbauen und das Produkt guten Gewissens verkaufen. Der AKS-Test Im August 2002 ver¨ oﬀentlichten Agrawal, Kayal & Saxena auf ihrer Webseite einen Artikel (2004 im Druck erschienen), der einen universellen, deterministischen und nicht auf unbewiesenen Vermutungen basierenden Algorithmus enth¨ alt, der zudem in polynomialer Zeit abl¨auft. Dies bedeutet die L¨ osung des in diesem Abschnitt weiter oben erw¨ahnten alten Problems. Die theoretische Grundlage dieses Tests ist ein Satz, der bis auf eine Stelle nur Aussagen beinhaltet, die sich auf einfache Polynome mit ganzzahligen Koeﬃzienten modulo N und ein Binom beziehen. Der entscheidende, derzeit noch ben¨ otigte Schritt ist ein tieﬂiegender Satz von Fouvry (1985) aus der Siebtheorie. Ich m¨ochte den Satz hier angeben (jedoch nicht in seiner st¨ arkeren, urspr¨ unglichen Form): Es sei θ = 0, 6687 . . . > 2/3. F¨ ur jedes x > 2 gibt es eine Primzahl θ p derart, dass x < p < x, sowie ein nicht durch 3 teilbares k, f¨ ur welches 2kp + 1 ≤ x und 2kp + 1 prim ist. Es besteht die begr¨ undete Hoﬀnung, dass der Test in einer Weise modiﬁziert werden kann, dass er nicht mehr von einem so tiefsch¨ urfenden Resultat wie dem von Fouvry abh¨ angig ist. Was die Laufzeit betriﬀt (unter Verwendung der schnellen Multiplikation), so wurde sie zun¨ achst im Wesentlichen mit (log N )12 abgesch¨atzt und dann auf (log N )7,5 verbessert. Eine n¨ahere Untersuchung der Laufzeit ﬁndet sich in dem Manuskript von Morain (2002). Indem ich von meinen eigenen Regeln abweiche, welche die Genauigkeit der in diesem Buch gemachten Aussagen gew¨ahrleisten, m¨ochte ich

122

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

eine Arbeit der bedeutenden Autoren H.W. Lenstra, Jr. und C. Pomerance erw¨ahnen, die sich noch in der Entwicklung beﬁndet. In dem Manuskript Primality testing with Gaussian periods werden Verfeinerungen des AKS-Verfahrens dargestellt, die eine Reduzierung der Ausf¨ uhrungszeit auf (log N )6 erm¨ oglichen. Ich habe Agrawal darum gebeten, eine kurze Beschreibung des AKSAlgorithmus zur Verf¨ ugung zu stellen, die ich hier wiedergeben m¨ochte. Ich bin ihm dankbar f¨ ur seine Mitwirkung. Die zentrale Idee in diesem neuen Primzahltest ist die folgende Charakterisierung der Primzahlen: N ist genau dann prim, wenn (1 − X)N ≡ 1 − X N (mod N ). Die einfachste Weise, diese Identit¨ at eﬃzient zu pr¨ ufen, besteht darin, ein zuf¨alliges Polynom Q(X) niedrigen Grades zu w¨ahlen und die Pr¨ ufung modulo Q(X) vorzunehmen. Mit einer hohen Wahrscheinlichkeit wird das Ergebnis korrekt sein. Dies liefert einen sehr einfachen Algorithmus, der zufallsbedingt in polynomialer Zeit abl¨auft. Um zu einem deterministischen Algorithmus zu gelangen, kann man ¨ nun zeigen, dass dann, wenn die Identit¨ at falsch ist, die Uberpr¨ ufung modulo nur weniger“ Polynome niedrigen Grades fehlschl¨agt. Und ” eine der einfachsten Mengen solcher Polynome ist Q(X) = X r − 1 f¨ ur niedrige Grade r. Im Folgenden bezeichne P1 (X) ≡ P2 (X) (mod X r − 1, n) die Identit¨at der Reste von P1 (X) und P2 (X) nach Division durch X r − 1 und nach Division der Koeﬃzienten durch n. Dann ist die folgende schw¨achere Version der obigen Aussage bewiesen: N = pk (wobei p eine Primzahl ist) genau dann, wenn (a − X)N ≡ a − X N (mod X r − 1, p) f¨ ur einige wenige“ Werte von a und r. ” Tats¨achlich kann man f¨ ur r einen festen Wert w¨ahlen. Die Charakterisierung ergibt sofort einen deterministischen und eﬃzienten Primzahltest, da die Identit¨ at modulo N (aber nat¨ urlich nicht modulo p) veriﬁziert werden kann, und f¨ ur den Fall, dass N eine nichttriviale Potenz von p ist, das Standardverfahren zur Anwendung kommt. ¨ Die eine Richtung der Aquivalenz ist einfach zu zeigen. Um die andere Richtung zu beweisen, macht man von den folgenden Aussagen Gebrauch: (i) Falls (a − X)N ≡ a − X N (mod X r − 1, p) f¨ ur mehrere Werte von a gilt, dann ist die folgende Eigenschaft f¨ ur jedes Polynom der multiplikativen Gruppe, die durch die entsprechenden linearen

XI. Primzahltests und Faktorisierung

123

Polynome (X − a) erzeugt wird, erf¨ ullt: g(X)N ≡ g(X N ) (mod X r − 1, p). Vorausgesetzt, dass die Ordnung von p modulo r groß ist, erh¨alt man exponentiell viele Polynome g(X), welche der Identit¨at gen¨ ugen. Dies ist durch vorhandene Resultate der Siebtheorie sichergestellt. (ii) Falls, wie oben, g(X)N ≡ g(X N ) (mod X r − 1, p), sowie (trivialerweise) g(X)p ≡ g(X p ) (mod X r − 1, p), dann gilt f¨ ur jedes s = n i pj : g(X)s ≡ g(X s ) (mod X r − 1, p). (iii) Da die Potenzen von X modulo X r − 1 reduziert werden, gibt es s und t, s ̸= t derart, dass g(X)s ≡ g(X t ) (mod X r − 1, p). Dies ist nicht m¨ oglich, wenn sowohl s als auch t kleiner als die Gr¨oße der Gruppe in (i) ist, aber dies ist, wie oben bemerkt, durch bekannte Ergebnisse aus der Siebtheorie gesichert.

C

Titanische und sonderbare Primzahlen

In einem Artikel von 1983/84 pr¨ agte Yates den Begriﬀ der titanischen ” Primzahl“, womit jede Primzahl mit mindestens 1000 Dezimalstellen gemeint ist. In dem Artikel mit dem zweideutigen Titel Sinkers of the Titanics (1984/85) stellte Yates eine Liste der gr¨oßten bekannten titanischen Primzahlen zusammen. Am 1. Januar 1985 waren ihm 581 titanische Primzahlen bekannt, von denen 170 mehr als 2000 Stellen hatten. Diese sind im Artikel aufgelistet. Im September 1988 umfasste die von Yates gef¨ uhrte Liste bereits 876 titanische Primzahlen. Die Sechs von Amdahl (J. Brown, L.C. Noll, B. Parady, G. Smith, J. Smith & S. Zarantonello) gaben Anfang 1990 die Entdeckung von 550 neuen titanischen Primzahlen bekannt. Es ist nicht u ¨berraschend, dass diese Primzahlen eine besondere Form haben: einige sind Mersenne-Primzahlen, andere von der Form k × 2n ± 1 oder k × bn + 1 (b > 2). Der Grund ist einfach der, dass es f¨ ur Zahlen dieser Formen viel eﬃzientere Primzahltests gibt. Im Jahre 1992 bezeichnete Yates alle Primzahlen mit mehr als 10000 Stellen als gigantisch. F¨ ur Primzahlen mit 1 000 000 oder mehr Stellen

124

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

verwenden wir den Begriﬀ Megaprimzahlen. Wie schon erw¨ahnt sind die gr¨oßten Mersenne-Primzahlen Megaprimzahlen, von denen drei sogar mehr als 10 Millionen Stellen haben. Nach dem Tode von Yates u uhrung u ¨bernahm C. Caldwell die Buchf¨ ¨ber die titanischen Primzahlen, die gigantischen Primzahlen und andere Schmuckst¨ ucke. Aber er ist auch Autor und Verwalter einer sehr informativen und stets aktuellen Website u ¨ ber Primzahlangelegenheiten“. Ich habe vom Besuch ” dieser Website proﬁtiert – sie ist nicht minder interessant als der Zoo von San Diego. Der st¨ urmische Fortschritt beim Testen von Primzahlen f¨ uhrte zu einer fast t¨aglichen Erweiterung dieser Listen. Im August 2010 hatten die 5000 gr¨oßten bekannten Primzahlen (nur diese sind in Caldwells Liste aufgef¨ uhrt) jeweils mehr als 160000 Stellen. Es w¨are ein sinnloses Unterfangen, alle diese Zahlen angeben zu wollen. Da es inzwischen mehr titanische, gigantische und Megaprimzahlen gibt als dieses Buch Zeilen hat, habe ich kein schlechtes Gewissen bei dieser Unterlassung. Allerdings w¨are es unverzeihlich, Ihnen die folgenden Kuriosit¨aten vorzuenthalten. Eine palindromische Zahl (zur Basis 10) ist eine Zahl N = a1 a2 . . . an−1 an mit Dezimalziﬀern ai (0 ≤ ai ≤ 9), f¨ ur die gilt a1 = an , ¨ a2 = an−1 , . . . . Aufgrund des Uberlebens eines alten Mystizismus, der oft mit Zahlen verbunden war (vollkommenen Zahlen, befreundeten Zahlen, abundanten Zahlen, usw.), beherrschen die palindromischen Zahlen noch immer die Aufmerksamkeit der Numerologen. Bereits 1984 fand H. Dubner zahlreiche titanische Primzahlen, die palindromisch sind, darunter die Zahl 102976 + 3 × 101488 + 1, die sich in der Liste von Yates ﬁndet. Seitdem entdeckte Dubner immer gr¨oßere palindromische Primzahlen. Bis auf gelegentliche Unterbrechungen konnte er seinen Titel als Rekordhalter bis heute bewahren.

Rekord Die gr¨oßte bekannte palindromische Primzahl ist 10190004 + 214757412 × 1094998 + 1. Sie hat 190005 Dezimalstellen und wurde von Dubner im Mai 2010 entdeckt. Ein anderer Rekord, den Dubner innehat, beruht auf einem Gedanken, den er 1994 erstmals publiziert hat. Es handelt sich um eine Zahl,

XI. Primzahltests und Faktorisierung

125

die man eine dreifach palindromische Primzahl nennen k¨onnte: 1098689 − 429151924 × 1049340 − 1. Die Primzahl hat 98689 Ziﬀern und wurde in Zusammenarbeit mit J.K. Andersen gefunden. Die Stellenanzahl ist selber eine Primzahl mit 5 Stellen – wiederum eine palindromische Primzahl! Man k¨onnte nun das folgende, vielleicht etwas albern erscheinende Problem betrachten: F¨ ur gegebenes k ≥ 4 bestimme man eine Zahlenfolge N1 , N2 , . . . , Nk , wobei jedes Ni eine palindromische Primzahl und Ni+1 die Anzahl der Stellen von Ni ist (f¨ ur i = 1, . . . , k − 1). F¨ ur die Beschreibung der nachfolgenden Perlen ist diese Bezeichnungsweise n¨ utzlich: (d)n bedeutet, dass n Ziﬀern d aufeinander folgen.

Rekorde A. Die gr¨oßte bekannte Primzahl, deren Ziﬀern s¨amtlich Primzahlen sind (2, 3, 5, 7), ist die 82000-stellige Zahl (1040950 + 1) × (1020055 + 1) × (1010374 + 1)× (104955 + 1) × (102507 + 1) × (101261 + 1) × M + 1, wobei M die Zahl (3)940 222222222777753223(2)940 , ist, deren Ziﬀern ebenfalls nur Primzahlen sind. Die bemerkenswerte Konstruktion der Rekordzahl und der Primalit¨atsbeweis stammen von D. Broadhurst, der in seiner Bekanntgabe vom Oktober 2003 die Mitwirkung von P. Carmody, G. Childers und anderen w¨ urdigt. B. Die gr¨oßte bekannte Primzahl, deren Dezimaldarstellung sich lediglich aus den Ziﬀern 0 oder 1 zusammensetzt, ist die 78943-stellige palindromische Zahl 1078942 + 10111100100111101 × 1039463 + 1, die 2004 von R. Chaglassian und P. Carmody gefunden wurde. C. Die gr¨oßten bekannten Primzahlen, deren Dezimaldarstellung bis auf eine Ziﬀer d am Anfang nur noch aus n Ziﬀern 9 besteht (wobei d nat¨ urlich nicht durch 3 teilbar ist), sind:

126

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

d

n

Jahr

1 2 4 5 7 8

55347 119292 85142 34936 74318 107663

2002 2006 2005 2001 2004 2004

Die gr¨oßte unter diesen Primzahlen, mit d = 2, wurde von D. Heuer entdeckt, und die mit d = 8 von J. Sun. Alle u ¨brigen wurden von E.J. Sorensen ermittelt. D. Die gr¨oßte bekannte Primzahl, die aus lauter ungeraden Ziﬀern besteht, ist die oben angef¨ uhrte Zahl 7(9)74318 , die man auch als 8 × 74318 10 − 1 schreiben kann. E. Die derzeit bekannte Primzahl mit den meisten Ziﬀern gleich 0 ist die Primzahl 207777 × 10207777 + 1, die im Februar 2010 von G. L¨oh und Y. Gallot entdeckt wurde. F. Die exotischste unter den sonderbaren Primzahlen ist (1)2000 (2)2000 (3)2000 (4)2000 (5)2000 (6)2000 (7)2000 (8)2000 (9)2000 (0)20902 1. Diese Primzahl hat 38903 Stellen und wurde 2006 gefunden. Sie ersetzt eine fr¨ uhere von 2002, die nach dem gleichen Muster konstruiert war, aber nur“ 15646 Stellen hatte. Der Entdecker ist in beiden F¨allen – ” wer wohl: H. Dubner. G. Und schließlich (aber gewiss auch endg¨ ultig): Die kleinste Primzahl mit 1000 Stellen ist 10999 + 7. Ihre Primalit¨at wurde 1998 von P. Mih˘ailescu veriﬁziert.

D

Faktorisierung

Große Zahlen in ihre Faktoren zu zerlegen stellt eine schwierige Aufgabe dar: Es gibt keinen Algorithmus, der in polynomialer Zeit abl¨auft. Aufgrund der sattsam bekannten Anwendung in der Kryptographie mit ¨oﬀentlichem Schl¨ ussel hat die Faktorisierung auch große praktische Bedeutung erlangt. Ungeachtet dessen werde ich die Methoden zur Faktorisierung hier nicht besprechen – dies w¨ urde mich erneut zu weit vom eigentlichen Thema der Primzahlrekorde abbringen. Das Beste, was ich an dieser

XI. Primzahltests und Faktorisierung

127

Stelle tun kann, ist einige B¨ ucher und Forschungsartikel zu erw¨ahnen, die einem Ariadnefaden gleich durch das Labyrinth f¨ uhren k¨onnen. Dies sind empfehlenswerte B¨ ucher, in chronologischer Reihenfolge: Der Band von Brillhart, Lehmer, Selfridge, Tuckerman & Wagstaﬀ (1983) enth¨alt Tabellen der bekannten Faktoren von bn ± 1 (b = 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12) f¨ ur verschiedene Bereiche von n. Beispielsweise erstreckt sich die Tabelle der Faktoren von 2n −1 und 2n +1 auf alle n < 1200; f¨ ur gr¨oßere Basen b ist der Bereich kleiner. Die zweite Auﬂage von 1988 enth¨alt 2045 neue Faktorisierungen und spiegelt die bedeutsamen Fortschritte wider, die in diesen wenigen Jahren erzielt wurden, sowohl hinsichtlich der Methoden als auch der Technologie. Die dritte Auﬂage des Buches (2002) umfasst weitere 2332 neue Faktorisierungen. Diese Gemeinschaftsarbeit, die auch als das Cunningham-Projekt“ ” bekannt ist, war urspr¨ unglich als Erweiterung der Tabellen von Cunningham & Woodall von 1925 gedacht. Die Aktivit¨aten in dieser Richtung werden wahrscheinlich unvermindert weitergehen. Nur der Himmel ist die Grenze! Das Buch von Riesel (1985) behandelt die Faktorisierung (und Primalit¨at) in aller Ausf¨ uhrlichkeit. Es enth¨ alt zudem Tabellen mit Faktoren von Fermat-Zahlen, Mersenne-Zahlen, Zahlen der Formen 2n +1, 10n + 1, Repunit-Zahlen (10n − 1)/9 und vielen mehr. Das Buch bietet eine gute Grundlage zum Studium der Techniken zur Faktorisierung; sie sind in einer schl¨ ussigen und vereinheitlichten Form beschrieben. Aufgrund seines wohlverdienten Erfolges ist 1994 eine zweite Auﬂage dieses Buches erschienen, die auch eine Beschreibung der Faktorisierungsmethode mit elliptischen Kurven enth¨alt. Bressoud ver¨ oﬀentlichte 1989 ein einf¨ uhrendes Lehrbuch u ¨ber Faktorisierung und Primzahltests, das nicht nur die wesentlichen Hintergr¨ unde behandelt, sondern auch die Methoden des quadratischen Siebs und der elliptischen Kurven. Die Verwendung der elliptischen Kurven in der Faktorisierung kann man aus erster Hand dem Artikel von Lenstra (1987) entnehmen. Dar¨ uber hinaus ist die Arbeit der Br¨ uder Lenstra von 1990 u ¨ber Faktorisierungsverfahren von grundlegender Bedeutung. Besonders erfolgreich wurden Verfahren eingesetzt, die auf Siebtechniken beruhen. Hervorheben m¨ochte ich das quadratische Sieb (QS) von Pomerance und das Zahlk¨orpersieb (NFS), das auf J.M. Pollard zur¨ uckgeht. F¨ ur eine Beschreibung dieser Verfahren empfehle ich den Artikel von Pomerance (1996). An den Verfeinerungen des Zahlk¨orpersiebs und deren Implementationen, insbesondere dem speziellen Zahlk¨orpersieb (SNFS) und

128

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

dem allgemeinen Zahlk¨ orpersieb (GNFS), haben unter vielen anderen die Br¨ uder Lenstra, Manasse & Pollard (1993) mitgewirkt. Die hier erw¨ahnten Verfahren stellen einen betr¨achtlichen Fortschritt ¨ dar gegen¨ uber dem, was in den Ubersichtsartikeln von Guy (1975), Williams (1984), Dixon (1984) und dem Vorlesungsskript eines kleinen Kurses von Pomerance (1984) beschrieben ist. Zu ihrer Zeit waren diese Artikel richtungweisend und wurden viel gelesen. Sie enthalten auch umfangreiche Literaturverzeichnisse. Zur Illustration und zur Freude der Liebhaber großer Zahlen werde ich nun die Primfaktorzerlegung einiger Mersenne-, Fermat- und anderer Zahlen explizit angeben. Die ¨ alteren Erw¨ahnungen stammen aus Dicksons History of the Theory of Numbers, Bd. I, S. 22, 29, 377 und von Archibald (1935): M59 = 259 − 1 = 179951 × 3203431780337, durch Landry 1869; M67 = 267 − 1 = 193707721 × 761838257287, durch Cole 1903, bereits erw¨ ahnt; M73 = 273 − 1 = 439 × 2298041 × 9361973132609, der Faktor 439 von Euler, die anderen von Poulet 1923; 6

F6 = 22 + 1 = (1071 × 28 + 1) × (262814145745 × 28 + 1) = 274177 × 67280421310721, durch Clausen 1856. Obige Faktorisierungen wurden vor dem Aufkommen von Computern erzielt! Folgende Faktorisierungen stammen aus j¨ ungerer Zeit: M113 = 2113 − 1 = 3391 × 23279 × 65993 × 1868569 × 1066818132868207, der kleinste Faktor von Reuschle 1856, die u ¨brigen Faktoren von Lehmer 1947; M193 = 2193 − 1 = 13821503 × 61654440233248340616559 × 14732265321145317331353282383,

XI. Primzahltests und Faktorisierung

129

durch Naur (1983) und unabh¨ angig davon durch Pomerance & Wagstaﬀ (1983). Die n¨ achste Faktorisierung steht in historischem Zusammenhang mit Mersenne selbst (siehe Abschnitt VII): M257 = 2257 − 1 = 535006138814359 × 1155685395246619182673033 × 374550598501810936581776630096313181393, durch Penk, der 1979 den ersten Faktor, und Baillie, der 1980 die beiden letzten Faktoren fand. Man beachte, dass Lehmer bereits 1927 die Zerlegbarkeit von M257 nachgewiesen hatte, ohne jedoch einen Faktor bestimmen zu k¨ onnen. Zu den Fermat-Zahlen: 7

F7 = 22 + 1 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721, durch Morrison & Brillhart 1970 (ver¨ oﬀentlicht 1971); 8

F8 = 22 + 1 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321, durch Brent & Pollard 1980 (ver¨ oﬀentlicht 1981). Die Fermat-Zahl F11 wurde 1988 vollst¨andig faktorisiert. Zwei kleinere Primfaktoren waren schon l¨ anger bekannt; zwei weitere wurden von Brent gefunden (mit der Methode der elliptischen Kurven). Er wies darauf hin, dass der 564-stellige Restfaktor wahrscheinlich prim sei. Dass dies tats¨ achlich der Fall ist, wurde von F. Morain gezeigt. Die Zahl F9 wurde 1990 von A.K. Lenstra und M.S. Manasse faktorisiert. Sie konnte dem Zahlk¨ orpersieb nicht standhalten. Die zuletzt vollst¨andig faktorisierte Fermat-Zahl ist F10 , deren Primfaktorzerlegung 1995 von Brent abgeschlossen wurde. All dies und vieles mehr wurde bereits in den Abschnitten erw¨ahnt, die sich mit den Fermat- und Mersenne-Zahlen befassen. In einem Artikel von 1988, der Dov Jarden gewidmet ist, gaben Brillhart, Montgomery & Silverman alle damals bekannten Faktoren der Fibonacci-Zahlen Un (f¨ ur ungerades n ≤ 999) und der Lucas-Zahlen Vn (f¨ ur n ≤ 500) an. Die Faktorisierungen waren f¨ ur n ≤ 387 bzw. n ≤ 397 vollst¨andig. Im April 2003 berichtete Montgomery, dass die Faktorisierungen von Un und Vn f¨ ur alle n ≤ 1000 abgeschlossen sind. Dies bedeutet eine erhebliche Erweiterung der Arbeiten vieler anderer Numerologen, unter ihnen Jarden selbst (siehe die dritte Auﬂage seines urspr¨ unglich 1958 ver¨ oﬀentlichten Buches).

130

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Hier noch einige erw¨ ahnenswerte Faktorisierungen, die zum Zeitpunkt ihrer Entdeckung jeweils einen großen Fortschritt darstellten: 10103 + 1 = 1237 × 44092859 × 102860539 × 984385009 11 × 612053256358933 × 182725114866521155647161 × 1471865453993855302660887614137521979, durch Atkin und Rickert 1984 vollendet. A.K. Lenstra und M.S. Manasse waren erfreut, die erste Faktori” sierung einer 100-stelligen Zahl unter Verwendung eines universellen Faktorisierungsalgorithmus’ bekannt zu geben“ (12. Oktober 1988); ein solcher Algorithmus faktorisiert eine Zahl N in deterministischer Weise, allein abh¨ angig von der Gr¨ oße von N , und nicht von irgendeiner besonderen Gestalt der Faktoren. Selbst im ung¨ unstigsten Fall weicht die Laufzeit kaum von der durchschnittlichen Laufzeit ab. Die gl¨ uckliche Zahl war 11104 + 1 = 86759222313428390812218077095850708048977 118 + 1 × 108488104853637470612961399842972948409834611525790577216753. Das spezielle Zahlk¨ orpersieb SNFS (Special Number Field Sieve) wurde verwendet, um die 138-stellige Zahl 2457 + 1 vollst¨andig zu faktorisieren. Sie ist gleich 3 × P 49 × P 89, wobei P n eine Primzahl mit n Stellen bezeichnet. Dies war einer der großen Erfolge des SNFSVerfahrens, erzielt von A.K. Lenstra und M.S. Manasse im November 1989. Zeitungen berichteten von dieser Meisterleistung, teilweise sogar auf der Titelseite! Im Jahre 1992 zerlegten A.K. Lenstra und D. Bernstein die 158stellige Mersenne-Zahl M523 in zwei Primfaktoren mit 69 bzw. 90 Stellen, indem sie das SNFS-Verfahren auf zwei massiv-parallelen Supercomputern laufen ließen. Eine weitere herausragende Faktorisierung wurde im April 1999 von einer Gruppe bekannt gegeben, die sich selbst The Cabal 5 nennt. Wiederum mit Hilfe des SNFS-Verfahrens zerlegte sie die Repunit-Zahl (10211 − 1)/9 in ein Produkt P 93 × P 118 und stellte damit einen vorl¨auﬁgen Rekord f¨ ur den gr¨ oßten gefundenen vorletzten Primfaktor einer Zahl auf. Dies war die gemeinsame Leistung von S. Cavallar, 5 Die

Clique

XI. Primzahltests und Faktorisierung

131

B. Dodson, A.K. Lenstra, P. Leyland, W. Lioen, P. Montgomery, H. te Riele und P. Zimmermann. Hier sei angemerkt, dass das Adjektiv speziell“ darauf verweist, ” dass das SNFS-Verfahren bei einer speziellen Form der zu zerlegenden ¨ Zahl besonders wirksam ist. Uber die Gestalt der Faktoren wird allerdings nichts vorausgesetzt. Zu dieser Kategorie geh¨oren alle Zahlen aus dem Cunningham-Projekt, dem auch die obigen Beispiele entnommen sind. Ein wirklich universelles Verfahren, wie oben deﬁniert, ist demgegen¨ uber das allgemeine Zahlk¨ orpersieb GNFS (General Number Field Sieve).

Rekord Die gr¨oßte bisher mit dem SNFS-Verfahren zerlegte Zahl ist die 307stellige Zahl (21039 −1)/5080711, die in ein Produkt P 80×P 227 zerlegt wurde. Der Rekord wurde von K. Aoki, J. Franke, T. Kleinjung, A.K. Lenstra und D.A. Osvik aufgestellt und im Mai 2007 bekannt gegeben. Der vorherige Rekord vom Januar 2006 bleibt dennoch bemerkenswert wegen der Rekordgr¨ oße des kleineren Faktors. Er betraf die 274353 stellige Zahl (6 − 1)/5, die in ein Produkt P 120 × P 155 zerﬁel. Diese Faktorisierung wurde von den japanischen Forschern K. Aoki, Y. Kida, T. Shimoyama und H. Ueda erzielt. Die gr¨oßte bislang mit dem GNFS-Verfahren zerlegte Zahl stammt aus einem fr¨ uheren RSA-Wettbewerb (siehe den n¨achsten Unterabschnitt), sie hat 232 Dezimalstellen und zerf¨allt in zwei gleich lange Primfaktoren. Diese schwierige und bedeutsame Faktorisierung wurde im Dezember 2009 von T. Kleinjung, K. Aoki, J. Franke, A.K. Lenstra, E. Thom´e und anderen bewerkstelligt. Im folgenden Unterabschnitt werde ich die Kryptographie mit ¨oﬀentlichem Schl¨ ussel behandeln. Dabei werden Zahlen verwendet, die extrem schwer zu faktorisieren sein sollten. Um zu einem tieferen Verst¨ andnis von Primalit¨at und Faktorisierung zu gelangen, m¨ ochte ich dem Leser das neuere Buch von Crandall & Pomerance (2001, Neuauﬂage 2005) ans Herz legen. Es beschreibt die wichtigsten Methoden und Beweise und stammt von zwei renommierten Experten des Fachs. Jeder, der sich f¨ ur Primzahltests, Faktorisierung oder ¨ahnliche Berechnungen mit sehr großen Zahlen interessiert, ben¨otigte in der Vergangenheit den Zugriﬀ auf zentrale Hochleistungsrechner der jeweils neuesten Generation. Mittlerweile verf¨ ugt man u ¨ber derart leistungs-

132

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

f¨ahige Arbeitsplatzrechner und PCs sowie u ¨ber die M¨oglichkeit, diese zu vernetzen, dass man mit frei zug¨ anglichen Spezialprogrammen auch in der Behaglichkeit des eigenen Heims nennenswerte Ergebnisse erzielen kann. Wenn es draussen schneit – wie es in Kanada h¨auﬁg der Fall ist – dann kann man einfach seine Primzahl testen und sich dabei die F¨ uße w¨armen.

E

¨ ffentlichem Schl¨ Kryptographie mit o ussel

Die ausufernde Pr¨ asenz der Kommunikationsmedien und das Erfordernis, Nachrichten aller Art zu versenden – etwa Bank¨ uberweisungen, Liebesbriefe, Anweisungen zum Kauf von Wertpapieren, geheime diplomatische Nachrichten, wie zum Beispiel Berichte u ¨ber Spionaget¨atigkeit – hat den Wunsch nach einer sicheren Methode der Verschl¨ usselung zunehmend verst¨ arkt. In der Vergangenheit wurden die Codes von den Kommunikationspartnern geheim gehalten, es war jedoch oft m¨oglich, mit Hilfe abgefangener Nachrichten die Codierung zu knacken. In einfacheren F¨ allen reichte es aus, die H¨auﬁgkeit der gesendeten Zeichen zu untersuchen, was in Kriegszeiten verheerende Folgen haben konnte. Mit Einzug der Verschl¨ usselungssysteme mit ¨oﬀentlichem Schl¨ ussel erlebte die Kryptographie einen entscheidenden Fortschritt. Die wesentlichen Merkmale des Verfahrens sind seine Einfachheit, die Verwendung eines ¨ oﬀentlichen Schl¨ ussels und die extreme Schwierigkeit, diesen zu durchbrechen. Die Grundidee stammt von Diﬃe & Hellman aus dem Jahre 1976, und eine erste praktische Implementierung wurde von Rivest, Shamir & Adleman im Jahre 1978 vorgeschlagen. Das resultierende Verschl¨ usselungsverfahren wurde nach seinen Erﬁndern RSA-Verfahren genannt. Ich m¨ ochte es nun beschreiben. Jedem Buchstaben oder sonstigem Schriftzeichen, einschließlich des Leerzeichens, wird eine dreistellige Zahl zugeordnet. Im American Standard Code for Information Interchange (ASCII) sieht diese Zuordnung wie folgt aus: — 032

A 065

B 066

C 067

D 068

E 069

F 070

G 071

H 072

I 073

J 074

K 075

L 076

M 077

N 078

O 079

P 080

Q 081

R 082

S 083

T 084

U 085

V 086

W 087

X 088

Y 089

Z 090

XI. Primzahltests und Faktorisierung

133

Jeder Buchstabe und jedes Zeichen einer Nachricht wird durch ihren Zahlenwert ersetzt, wobei sich durch Aufreihung eine Zahl M ergibt, die nun die Nachricht darstellt. Jeder Benutzer A des Systems gibt in einem ¨oﬀentlich einsehbaren Verzeichnis seinen Schl¨ ussel bekannt, der aus einem Paar (nA , sA ) positiver ganzer Zahlen besteht. Die erste Zahl nA = pA qA ist das Produkt von zwei großen, geheim gehaltenen Primzahlen. Außerdem wird sA so gew¨ahlt, dass es zu pA − 1 und qA − 1 teilerfremd ist. Um einem anderen Benutzer B eine Nachricht M zu u ¨bermitteln, wird M von A verschl¨ usselt – in einer Weise, die davon abh¨angt, wer die Nachricht empfangen soll. Nach Erhalt der verschl¨ usselten Nachricht von A entschl¨ usselt B diese mit Hilfe seines eigenen, geheimen Schl¨ ussels. Im Einzelnen sieht das folgendermaßen aus. Im Falle M ≥ nB gen¨ ugt es, M in kleinere Bl¨ ocke aufzuteilen. Deshalb kann angenommen werden, dass M < nB ist. Falls ggT(M, nB ) ̸= 1, wird ein zus¨atzlicher, redundanter Buchstabe angef¨ ugt, so dass ggT(M, nB ) = 1 erf¨ ullt ist. A sendet B die verschl¨ usselte Nachricht EB (M ) = M ′ , 1 ≤ M ′ < nB , wobei M ′ der Rest von M sB modulo nB ist: M ′ ≡ M sB (mod nB ). Um nun M ′ zu entschl¨ usseln, berechnet der Benutzer B den Wert tB , 1 ≤ tB < (pB −1)(qB −1) = φ(nB ), so dass tB sB ≡ 1 (mod φ(nB )). Dies muss nur ein einziges Mal geschehen. Dann ist DB (M ′ ) = M ′tB ≡ M sB tB ≡ M

(mod nB ),

also kann B nun die Nachricht M lesen. Wie einfach! In Wahrheit sind die Dinge, wie so oft, etwas komplizierter. Die technischen Einzelheiten werden in einschl¨ agigen Fachb¨ uchern und in zahlreichen Artikeln behandelt. Ich m¨ ochte hier eine vereinfachte Sichtweise einnehmen, die durch folgendes Beispiel illustriert wird. Die Nachricht soll in Gruppen von je zwei Buchstaben codiert werden, was in der Praxis so nicht geschieht. Nehmen Sie nun ihren kleinen Taschenrechner zur Hand. Unten beﬁndet sich eine codierte Nachricht, die eine bestimmte Person an jemanden schickt, dessen ¨ oﬀentlicher Schl¨ ussel sich aus dem Paar (n, s) zusammensetzt, wobei n = 156287, s = 181: 151474036925076974117964029299026654036925101743109701 095179152070068045055176008329001574149966031533117864 154599013907031533013986012353068045133750126510137349 117864113338128986117864110052047607001574010738003772

134

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

096642117864070838109145011098117864028600117864056547 117864083567041271109145056006 Sie kennen die geheimen Primfaktoren von n nicht. K¨onnen Sie die Nachricht entschl¨ usseln? Der Text ﬁndet sich irgendwo in diesem Buch. Ich sollte nun auch noch etwas dar¨ uber sagen, wie das Kryptosystem zu knacken ist. Dazu ist es notwendig, f¨ ur jeden Benutzer A den Wert φ(nA ) zu ermitteln. Dies ist gleichbedeutend damit, die Faktorisierung von nA zu kennen. Denn man erh¨ alt φ(nA ) = (pA − 1)(qA − 1), sobald pA , qA bekannt sind. Umgekehrt, setzt man p = pA , q = qA , n = nA , dann ist φ(n) = (p − 1)(q − 1) = n + 1 − (p + q), (p + q)2 − 4n = (p − q)2 (falls p > q), daher p + q = n + 1 − φ(n), √ p − q = [n + 1 − φ(n)]2 − 4n, womit p und q durch n und φ(n) ausgedr¨ uckt sind. ¨ Uber das RSA-Kryptosystem w¨ are noch viel mehr zu sagen: (a) Wie kann man signierte“ Nachrichten versenden, so dass der ” Empf¨anger den Absender fehlerfrei identiﬁzieren kann? (b) Wie sind die Primfaktoren der Zahlen nA des Schl¨ ussels vern¨ unftig zu w¨ahlen, damit das System mit den heute verf¨ ugbaren Mitteln nicht zu unterlaufen ist? Wenn jemand etwas liest, was ich mit der Hand geschrieben habe, wird kein Zweifel aufkommen: Niemand hat eine so h¨assliche Handschrift wie ich! Es ist jedoch etwas anderes, wenn man eine elektronische Nachricht erh¨ alt. Selbst wenn sie verschl¨ usselt ist, k¨onnte der geheime Code ja gef¨ alscht sein. Es gibt ein Verfahren, das ich beschreiben werde, mit dem man signierte“ Nachrichten versenden kann, die ” sich nicht vort¨auschen lassen. Das Verfahren ist einfach und pﬁﬃg. A m¨ochte an B eine Nachricht senden, welche die Signatur von A enthalten soll. Fall 1: nA < nB . A teilt seine Ausgangsnachricht in Bl¨ocke M < nA auf, die er einzeln versenden muss. Hierf¨ ur benutzt A seinen eigenen Schl¨ ussel wie bereits beschrieben: tA erf¨ ullt 1 ≤ tA < φ(nA ) und tA sA ≡ 1 (mod nA ); DA (M ) ist der Rest von M tA modulo nA . A sendet nun die Nachricht DA (M ) unter Verwendung des o¨ﬀentlichen Schl¨ ussels von B. Der Empf¨ anger B erh¨alt L = EB ((DA (M )) ≡

XI. Primzahltests und Faktorisierung

135

M tA sB (mod nB ). Die Nachricht L wird durch B entschl¨ usselt, wobei sich DB (L) = LtB ≡ M tA sB tB ≡ M tA (mod nB ) ergibt. Mit Hilfe des ¨oﬀentlichen Schl¨ ussels von A kann B schließlich die Nachricht EA (M tA ) ≡ M sA tA ≡ M (mod nA ) lesen. Fall 2: nB ≤ nA . A zerlegt seine Nachricht in Bl¨ocke M < nB . Es wird ganz ¨ ahnlich verfahren: Man erh¨alt L = EA ((DB (M )) ≡ M tA sB (mod nB ) und anschließend EA ((DB (L)) ≡ M sA tB (tA sB ) ≡ M (mod nB ). Die Verwendung von EA bei diesem Vorgang garantiert dem Empf¨anger B, dass die Nachricht von A verschl¨ usselt wurde. Hinsichtlich (b) ist es zur Sicherung der Nachricht am Wichtigsten, dass der ¨oﬀentliche Schl¨ ussel nicht faktorisiert werden kann. Eine gute Voraussetzung daf¨ ur ist es, dass die beiden Faktoren gleich lang sind. Wie viele Stellen sollte der Schl¨ ussel also haben, um eine m¨ogliche Faktorisierung zeitlich unerschwinglich zu machen? Um diesen Gesichtspunkt zu pr¨ ufen, wurden den Mathematikern verschiedene Schl¨ ussel vorgelegt, die als Herausforderung zur Faktorisierung gedacht waren. Unter diesen befand sich die folgende 232stellige Zahl, deren Bezeichnung RSA-768 auf ihre L¨ange in Bits verweist: RSA-768 = 12301866845301177551304949583849627207728535695953 34792197322452151726400507263657518745202199786469 38995647494277406384592519255732630345373154826850 79170261221429134616704292143116022212404792747377 94080665351419597459856902143413 Diese Zahl war als m¨ oglicher Schl¨ ussel f¨ ur das Rivest-Shamir-Adleman-Verfahren sorgf¨ altig generiert worden. Die Aufgabe wurde von einem internationalen Wissenschaftlerteam gel¨ost, dem es im Dezember 2009 gelang, diese beiden 116-stelligen Primfaktoren zu enth¨ ullen: 33478071698956898786044169848212690817704794983713 76856891243138898288379387800228761471165253174308 7737814467999489, 36746043666799590428244633799627952632279158164343 08764267603228381573966651127923337341714339681027 0092798736308917

136

2. Wie kann man Primzahlen erkennen?

Das verwendete Verfahren war das allgemeine Zahlk¨orpersieb GNFS (vergleiche den Rekord im vorigen Unterabschnitt), wobei die Software großenteils an der Universit¨ at Bonn entwickelt wurde. Die ben¨otigte Rechenzeit, die im Laufe von 20 Monaten auf viele Hundert PCs verteilt wurde, entspricht der Leistung eines 2,2-GHz-Prozessors von etwa 1500 Jahren. Angesichts dieses Aufwandes und der tiefgr¨ undigen Sachkenntnis der Forscher, ohne die das Verfahren nicht praktikabel ist, muss man im Grunde nicht bef¨ urchten, dass ein Schl¨ ussel von 1024 Bits L¨ange, wie er derzeit zum Einsatz kommt, eine reale Gefahr darstellt. Dennoch sch¨atzen die Wissenschaftler, dass diese Schl¨ ussell¨ange im kommenden Jahrzehnt geknackt werden kann, und empfehlen, in sp¨atestens drei bis vier Jahren keine 1024-Bit-Schl¨ ussel mehr zu verwenden. Bez¨ uglich all dieser Fragen kann man die Originalarbeiten von Rivest, Shamir & Adleman (1978) und von Rivest (1978) zu Rate ziehen. ¨ Es gibt nat¨ urlich auch viele Ubersichtsartikel und B¨ ucher zum Thema. Siehe den Artikel von Couvreur & Quisquater (1982) sowie – die ¨ anderen Autoren sch¨ oner Ubersichtsartikel m¨ogen mir verzeihen – die B¨ ucher von Riesel (1985), Koblitz (1987), Bressoud (1989), Coutinho (1999) und Wagstaﬀ (2003). Oder vielleicht auch das Vorlesungsskript von Lemos (1989), das in Portugiesisch geschrieben ist – es ist, als w¨ urde man die Kryptographie in einer verschl¨ usselten Sprache studieren. Der Strand von Copacabana w¨ are ein sch¨oner Ort daf¨ ur.

3 Gibt es primzahldefinierende Funktionen?

Die Untersuchung von Primzahlen wirft die Frage auf, ob es nicht einfach berechenbare Funktionen f (n) gibt, die f¨ ur alle nat¨ urlichen Zahlen n deﬁniert sind und einige oder alle Primzahlen produzieren. Beispielsweise sollte eine der folgenden Bedingungen erf¨ ullt sein: (a) f (n) = pn (die n-te Primzahl) f¨ ur alle n ≥ 1; (b) f (n) ist immer prim und wenn n ̸= m, dann f (n) ̸= f (m); (c) der positive Wertebereich der Funktion ist identisch mit der Menge der Primzahlen. Oﬀensichtlich ist Bedingung (a) sch¨ arfer als (b) und als (c). Die bisher erzielten Resultate sind eher entt¨auschend, außer einigen, die in Bezug auf (c) von theoretischem Interesse sind.

I Funktionen mit der Eigenschaft (a) In ihrem ber¨ uhmten Buch fragten Hardy & Wright: (1) Gibt es eine Formel f¨ ur die n-te Primzahl? (2) Gibt es f¨ ur eine Primzahl eine Formel, die sich aus den vorangegangenen Primzahlen aufbaut?

P. Ribenboim, Die Welt der Primzahlen, 2. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-18079-8_3, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

138

3. Gibt es primzahldeﬁnierende Funktionen?

Hinter Frage (1) verbirgt sich die Absicht, anhand von berechenbaren und m¨oglichst herk¨ ommlichen Funktionen einen geschlossenen Ausdruck f¨ ur die n-te Primzahl pn zu ﬁnden. Dieses Problem ist eng damit verbunden, die Primzahlfunktion auf vern¨ unftige Weise auszudr¨ ucken. F¨ ur jede reelle Zahl x > 0 bezeichne π(x) die Anzahl der Primzahlen p mit p ≤ x. Dies ist die traditionell u ur eine der wichtigsten ¨bliche Bezeichnung f¨ Funktionen der Primzahltheorie. Auf sie wird in Kapitel 4 n¨aher eingegangen. Obwohl die Zahl π = 3,14159265 . . . und die Funktion π(x) in der Formel unten gleichzeitig vorkommen, besteht keine Verwechslungsgefahr. Ich werde zun¨ achst eine Formel f¨ ur π(m) angeben, die auf Willans (1964) zur¨ uckgeht. Sie beruht auf dem klassischen Satz von Wilson, der in Kapitel 2 bewiesen wurde. F¨ ur jede ganze Zahl j ≥ 1 sei [ ] 2 (j − 1)! + 1 F (j) = cos π , j wobei [x] die eindeutig bestimmte ganze Zahl n darstellt, so dass die reelle Zahl x die Ungleichung n ≤ x < n + 1 erf¨ ullt. F¨ ur jede ganze Zahl j > 1 wird F (j) = 1, wenn j eine Primzahl ist, ansonsten F (j) = 0. Zudem gilt F (1) = 1. Somit ist m ∑ π(m) = −1 + F (j). j=1

Willans dr¨ uckte π(m) auch so aus: π(m) =

m ∑

H(j)

f¨ ur m = 2, 3, . . . ,

j=2

wobei

(

)2 (j − 1)! sin π j H(j) = . 2 π sin j Min´aˇc gab alternativ den folgenden, unver¨oﬀentlichten Ausdruck an, der weder Sinus noch Kosinus enth¨ alt: [ m ∑ (j − 1)! + 1 [ (j − 1)! ]] π(m) = − . j j 2

j=2

I. Funktionen mit der Eigenschaft (a)

139

Beweis. Der Beweis von Min´aˇcs Formel ist recht einfach. Da er nirgendwo sonst ver¨ oﬀentlicht ist, wird er hier gezeigt. Zun¨achst eine Bemerkung: Wenn n ̸= 4 keine Primzahl ist, dann wird (n − 1)! von n geteilt. Denn n ist entweder gleich einem Produkt n = ab mit 2 ≤ a, b ≤ n − 1 und a ̸= b, oder n = p2 ̸= 4. Im ersten Fall teilt n die Fakult¨ at (n−1)!; im zweiten Fall gilt 2 < p ≤ n−1 = p2 − 1, 2 also 2p ≤ p − 1, und n teilt 2p2 = p × 2p, das wiederum Teiler von (n − 1)! ist. F¨ ur jedes prime j gilt nach dem Satz von Wilson, dass (j − 1)! + 1 = kj (wobei k eine ganze Zahl ist), also [ [ ]] [ [ ]] (j − 1)! + 1 (j − 1)! 1 − = k− k− = 1. j j j Falls j keine Primzahl ist und j ≥ 6, dann folgt aus obiger Bemerkung, dass (j − 1)! = kj (mit einer ganzen Zahl k). Daher [ [ ]] [ ] (j − 1)! + 1 (j − 1)! 1 − = k + − k = 0. j j j Schließlich, wenn j = 4, dann [ [ ]] 3! + 1 3! − = 0. 4 4 Dies gen¨ ugt f¨ ur den Beweis der Formel f¨ ur π(m). Unter Verwendung der obigen Bezeichnung gab Willans die folgende Formel f¨ ur die n-te Primzahl an: [[ ]1/n ] 2n ∑ n ∑m pn = 1 + j=1 F (j) m=1

oder durch die Primzahlfunktion ausgedr¨ uckt, [ [ ]1/n ] 2n ∑ n pn = 1 + . 1 + π(m) m=1

Das verwandte Problem, eine Primzahl q durch die unmittelbar vorangegangene Primzahl p auszudr¨ ucken, l¨ oste Willans so: q = 1 + p + F ′ (p + 1) + F ′ (p + 1)F ′ (p + 2) + · · · +

p ∏ j=1

wobei F ′ (j) = 1 − F (j) und F (j) wie oben deﬁniert ist.

F ′ (p + j),

140

3. Gibt es primzahldeﬁnierende Funktionen?

Eine andere Formel f¨ ur die kleinste Primzahl, die direkt auf ein m ≥ 2 folgt, fand Ernvall unter Verwendung von Bertrands Postulat (noch als Student, 1975 ver¨ oﬀentlicht): Es sei d = ggT((m!)m! − 1, (2m)!), sowie t=

dd , ggT(dd , d!)

und a sei die eindeutig bestimmte ganze Zahl, f¨ ur die da Teiler von a+1 t ist, aber t nicht von d geteilt wird. Dann ist die kleinste auf m folgende Primzahl d p= . ggT(t/da , d) Wenn man m = pn−1 w¨ ahlt, ergibt dies eine Formel f¨ ur pn . Ungeachtet der Tatsache, dass diese Formeln keinen praktischen Wert besitzen, neige ich dazu zu denken, dass sie f¨ ur Logiker durchaus relevant sind, um sich klarzumachen, wie verschiedene Bereiche der Arithmetik aus unterschiedlichen Axiomatisierungen oder Teilen von Peanos Arithmetik ableitbar sind. Gandhi fand 1971 eine Formel f¨ ur die n-te Primzahl pn . Um sie zu erl¨autern, ben¨otige ich eine der wichtigsten arithmetischen Funktionen, die M¨obius-Funktion. Sie ist wie folgt deﬁniert:   µ(1) = 1, µ(n) = (−1)r , falls n das Produkt r verschiedener Primzahlen ist,   µ(n) = 0, falls n vom Quadrat einer Primzahl geteilt wird. Es sei Pn−1 = p1 p2 · · · pn−1 . Gandhi zeigte: [ ( ∑ µ(d) )] 1 1 pn = 1 − log − + , log 2 2 2d − 1 d|Pn−1

oder ¨aquivalent dazu: pn ist die einzige ganze Zahl mit ( ∑ µ(d) ) 1 pn 1<2 − + < 2. 2 2d − 1 d|Pn−1

Der folgende einfache Beweis stammt von Vanden Eynden aus dem Jahre 1972.

I. Funktionen mit der Eigenschaft (a)

141

Beweis. Der Einfachheit halber sei Q = Pn−1 , pn = p und S=

∑ µ(d) . 2d − 1 d|Q

Somit ist (2Q − 1)S =

∑ d|Q

µ(d)

( ) 2Q − 1 ∑ = µ(d) 1 + 2d + 22d + · · · + 2Q−d . d 2 −1 d|Q

F¨ ur 0 ≤ t < Q taucht der Term µ(d)2t genau dann auf, wenn t ggT(t, Q) von d geteilt ∑ wird. Also ist der Koeﬃzient ∑ von 2 in der letzten Summe gleich d|ggT(t,Q) µ(d), insbesondere d|Q µ(d) f¨ ur t = 0. Es ist jedoch einfach zu zeigen (und wohl bekannt), dass f¨ ur jedes m ≥ 1 gilt: { ∑ 1 wenn m = 1, µ(d) = 0 wenn m > 1. d|m

∑ Es bezeichne nun ′0
0
Wenn 2 ≤ j < pn = p, dann gibt es eine Primzahl q derart, dass q < pn = p (also q | Q) und q | Q − j. Daher erf¨ ullt jeder Index t in obiger Summe 0 < t ≤ Q − p. Somit ist ∑ ′ t+1 1+ 2 Q−p+1 2 1 2Q−p+2 0
142

3. Gibt es primzahldeﬁnierende Funktionen?

Jeder positiven Zahl n sei eine Wahrscheinlichkeit oder ein Gewicht ∑ W (n) = 2−n zugewiesen. Oﬀensichtlich gilt ∞ W (n) = 1. n=1 Mit dieser Zuordnung ergibt sich f¨ ur die Wahrscheinlichkeit, dass eine zuf¨allig gew¨ ahlte Zahl ein Vielfaches einer gegebenen Zahl d ≥ 1 ist, der Wert M (d) =

∞ ∑

W (nd) =

n=1

∞ ∑

2−nd =

n=1

1 . 2d − 1

Wie man leicht nachpr¨ ufen kann, betr¨agt die Wahrscheinlichkeit, dass eine zuf¨allig gew¨ ahlte Zahl zu einer vorgegebenen Zahl m ≥ 1 teilerfremd ist, ∑ ∑ ∑ R(m) = 1 − M (p) + M (pp′ ) − M (pp′ p′′ ) + · · · pp′ |m

p|m

=

∑ d|m

∑ µ(d) µ(d)M (d) = . 2d − 1

pp′ p′′ |m

d|m

Wie zuvor sei Q = p1 p2 · · · pn−1 , somit ist R(Q) =

∑ µ(d) . 2d − 1 d|Q

Andererseits kann man mit obiger Zuordnung R(Q) direkt durch ∑

R(Q) =

W (m) =

ggT(m,Q)=1

1 1 1 + + p + α, 2 2pn 2 n+1

angeben, wobei α die Summe der Kehrwerte einiger h¨oherer Potenzen von 2 ist. Somit ist R(Q) −

1 ∑ µ(d) 1 1 1 = − = pn + pn+1 + α, 2 2d − 1 2 2 2 d|Q

und daher 2

pn

(∑ d|Q

µ(d) 1 − d 2 −1 2

) = 1 + θn ,

wobei 0 < θn < 1. Also ist pn die einzige ganze Zahl m, die (∑ ) µ(d) 1 m 1<2 − <2 2d − 1 2 d|Q

II. Funktionen mit der Eigenschaft (b)

143

erf¨ ullt, und dies ist einfach eine andere Darstellung von Gandhis Formel. Man beachte, dass 0 < θn < 12 , da pn+1 ≥ pn + 2. In Bin¨arschreibweise wird all dies leichter erkennbar. Sei ∑ nun W (n) = 0,000 . . . 1 (mit der Ziﬀer 1 an der n-ten Stelle), also ∞ n=1 W (n) = 0,1111 . . . = 1. F¨ ur die geraden Zahlen ergibt sich ∞ ∑

W (2n) = 0,010101 . . . =

n=1

22

1 1 = . −1 3

Durch Bildung der Diﬀerenz erh¨ alt man mit P1 = p1 = 2: R(P1 ) =

∑ 2|n

1 W (n) = 0,101010 . . . = 1 − . 3

Subtraktion der Vielfachen von 3 und die korrigierende Addition der zweifach abgezogenen Vielfachen von 6 f¨ uhrt zu 1 1 = , −1 7 1 1 Q(6) = 0,000001000001 . . . = 6 = , 2 −1 63 Q(3) = 0,001001001 . . . =

23

und mit P2 = p1 p2 = 6, R(P2 ) = R(P1 ) − Q(3) + Q(6) = 0,1000101000101000 . . . 1 1 1 =1− − + . 3 7 63 In derselben Weise fortfahrend, R(Pn−1 ) = 0,100 . . . 0100 . . . 0100 . . . = und

R(Pn−1 ) −

1 1 1 + + pn+1 + α 2 2pn 2

1 = 0,000 . . . 010 . . ., 2

wobei die Ziﬀer 1 an Position pn auftritt.

II Funktionen mit der Eigenschaft (b) Im Jahre 1947 bewies Mills, dass es eine reelle Zahl θ > 0 mit der n Eigenschaft gibt, dass [θ c ] f¨ ur jede nat¨ urliche Zahl n eine Primzahl

144

3. Gibt es primzahldeﬁnierende Funktionen?

ist. Weitere Untersuchungen ergaben, dass es f¨ ur jedes c > 2,106 n u ur ¨berabz¨ahlbar unendlich viele reelle Zahlen θ derart gibt, dass [θ c ] f¨ jedes nat¨ urliche n prim ist. Den kleinsten Wert von θ f¨ ur den von Mills gew¨ahlten Fall c = 3 nennt man Mills’ Konstante, die dazugeh¨origen n Primzahlen [θ3 ] die Mills-Primzahlen. Unter Annahme der Riemannschen Vermutung (siehe Kapitel 4, Abschnitt I) ist es m¨ oglich, Mills’ Konstante explizit zu bestimmen. Caldwell & Cheng (2005) berechneten die Konstante θ = 1,3063778838. . . n auf 6850 Stellen und ermittelten die Mills-Primzahlen [θ3 ] f¨ ur n = 10 1, 2, . . . , 10. Die Zahl [θ3 ] selber hat 6854 Ziﬀern. Die voraussichtlich n¨ achsten Zahlen der Folge wurden von P. Carmody als Quasiprimzahlen mit 20562 und 61684 Ziﬀern ermittelt. Mitt11 lerweile konnte [θ3 ] als Primzahl best¨ atigt werden; siehe den Rekord f¨ ur das vernetzte ECPP-Verfahren in Kapitel 2, Abschnitt XI, B, wo auch eine formelm¨ aßige Darstellung dieser Zahl zu ﬁnden ist. In ¨ahnlicher Weise ergibt [

..

.2ω

]

22

g(n) = 2

(eine Kette aus n Exponenten) f¨ ur jedes n ≥ 1 eine Primzahl; hier bezeichnet ω eine Zahl, die etwa 1,9287800. . . betr¨agt (siehe Wright, 1951). Aufgrund der Tatsache, dass sowohl θ als auch ω nur ann¨aherungsweise bekannt sind und die resultierenden Zahlen sehr schnell anwachsen, sind diese Formeln nur Kuriosit¨ aten. So ist g(1) = 3, g(2) = 13, g(3) = 16381, und hier hat bereits g(4) mehr als 5000 Stellen. In der Literatur ﬁnden sich viele weitere, ¨ ahnliche Formeln, die aber genauso nutzlos sind; siehe Dudley (1969). An dieser Stelle mag man sich fragen: Warum versucht man es anstelle dieser seltsamen Funktionen, welche Exponenten und die GaußKlammer enthalten, nicht mit irgendeinem Polynom mit ganzzahligen Koeﬃzienten? Der n¨ achste Abschnitt wird diesem Thema gewidmet sein.

III Primzahlerzeugende Polynome Es folgt die Antwort auf die Frage am Ende des vorangegangenen Abschnitts:

III. Primzahlerzeugende Polynome

145

F¨ ur jedes nicht-konstante Polynom f (X) mit ganzzahligen Koeffizienten in einer Unbekannten gibt es unendlich viele ganze Zahlen n, f¨ ur die |f (n)| keine Primzahl ist. Beweis. Man kann annehmen, dass es eine ganze Zahl n0 ≥ 0 gibt, so dass |f (n0 )| = p eine Primzahl ist. Da das Polynom nicht konstant ist, folgt limx→∞ |f (x)| = ∞. Also gibt es n1 > n0 , so dass f¨ ur n ≥ n1 , |f (n)| > p. F¨ ur jedes h mit n0 + ph ≥ n1 wird f (n0 + ph) = f (n0 ) + (Vielfaches von p) = (Vielfaches von p). Da |f (n0 + ph)| > p, muss |f (n0 + ph)| zerlegbar sein. Der obige Satz stammt aus einem Brief von Goldbach an Euler vom 28. September 1743. Da es kein ganzzahliges Polynom in einer Unbekannten gibt, das f¨ ur unseren Zweck tauglich ist, stellt sich die Frage, ob vielleicht ein Polynom in mehreren Unbekannten geeignet sein k¨onnte. Wie der folgende Satz deutlich macht, ist dies erneut ausgeschlossen: Wenn f (X1 , X2 , . . . , Xm ) ein Polynom mit komplexwertigen Koeffizienten in m Unbekannten ist, so dass die Werte |f (n1 , n2 , . . . , nm )| f¨ ur frei w¨ ahlbare nat¨ urliche Zahlen n1 , n2 , . . . , nm Primzahlen sind, dann muss f konstant sein. Obwohl der Funktionswert nichtkonstanter Polynome f (X) mit ganzzahligen Koeﬃzienten f¨ ur unendlich viele nat¨ urliche Zahlen (dem Betrage nach) zerlegbar ist, entdeckte Euler im Jahre 1772 ein Polynom f (X), das eine lange Reihe von Primzahlen erzeugt. Hier ist Eulers ber¨ uhmtes Beispiel, welches er Bernoulli in einem Brief mitteilte: f (X) = X 2 + X + 41. F¨ ur k = 0, 1, 2, 3, . . . , 39 sind s¨amtliche Werte Primzahlen, und zwar 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601. Der Wert f¨ ur k = 40 ist 1681 = 412 . Dieses Beispiel begr¨ undete neue Entwicklungen: (1) Auf einigermaßen systematische Weise lineare, quadratische oder h¨ohergradige Polynome f (X) zu ﬁnden, so dass f¨ ur m¨oglichst großes k > 0 alle |f (0)|, |f (1)|, . . . , |f (k)| Primzahlen sind. (2) Polynome zu bestimmen, die betragsm¨aßig so viele Primzahlwerte wie m¨ oglich annehmen (nicht notwendigerweise f¨ ur aufeinander folgende Argumente).

146

3. Gibt es primzahldeﬁnierende Funktionen?

Ich werde zuerst lineare Polynome betrachten. Der Fall der quadratischen Polynome ist eng mit der Arithmetik quadratischer Zahlk¨orper verbunden. Es bietet sich daher an, diesem Thema einen eigenen Un¨ terabschnitt zu widmen. Uber Polynome h¨oheren Grades ist sehr wenig bekannt; siehe Kapitel 6, Abschnitt II.

A

Primzahlwerte linearer Polynome

Es sei f (X) = dX + q mit d > 1, q > 1, ggT(d, q) = 1. Mit f (0) ist auch q eine Primzahl. Ferner ist f (q) nicht prim. Daher kann es f¨ ur lineare Polynome h¨ ochstens q aufeinander folgende Argumente geben, die Primzahlwerte liefern. Dies f¨ uhrt zu folgendem oﬀenen Problem: Ist die Aussage richtig, dass es f¨ ur jede Primzahl q eine ganze Zahl d ≥ 1 gibt, so dass q, d + q, 2d + q, . . . , (q − 1)d + q Primzahlen sind? Zum Beispiel ergibt q = 3, d = 2 die Primzahlen 3, 5, 7; q = 5, d = 6 die Primzahlen 5, 11, 17, 23, 29; q = 7, d = 150 die Primzahlen 7, 157, 307, 457, 607, 757, 907. Diese Frage ist so schwierig, dass ich nicht an einen Beweis in n¨aherer Zukunft glaube. Lagrange ∏ hat gezeigt, dass falls ein solches d existiert, es ein Vielfaches von p
Rekord Das kleinste d f¨ ur q = 17 wurde im November 2001 von P. Carmody gefunden und betr¨ agt d = 341976204789992332560. Ein weiteres, beeindruckendes Rechenkunstst¨ uck! Ich werde mich diesen und anderen Fragen u ¨ber Primzahlen in arithmetischen Folgen in Kapitel 4, Abschnitt V zuwenden.

B

¨ Uber quadratische Zahlk¨ orper

Um die Probleme im Fall der quadratischen Polynome zu verstehen, ist es sinnvoll, zun¨ achst die notwendigen Grundlagen u ¨ber quadratische Zahlk¨orper zusammenzustellen. Da dieses Thema in einer Vielzahl von B¨ uchern u ¨ber Zahlentheorie behandelt wird, ist es nicht notwendig, einen speziellen Literaturhinweis zu geben. Die klassische Theorie der

III. Primzahlerzeugende Polynome

147

bin¨aren quadratischen Formen, die Gauß in seinem ber¨ uhmten Meisterwerk Disquisitiones Arithmeticae (1801) entwickelte, ist ebenso in vielen modernen B¨ uchern zu ﬁnden, so etwa in Flath (1989) und in einem langen Kapitel meines eigenen Buches My Numbers, My Friends ¨ (2000, deutsche Ubersetzung 2009). An dieser Stelle soll nur erw¨ahnt werden, was sp¨ ater ben¨ otigt wird. Es sei d ̸= 0, 1 eine positive oder negative quadratfreie Zahl. Die zugeh¨orige (fundamentale) Diskriminante ist { d falls d ≡ 1 (mod 4), ∆= 4d falls d ≡ 2 oder 3 (mod 4). √ √ Dann ist Q( d) = Q( ∆) der zugeh¨ √ orige quadratische Zahlk¨orper. Er besteht aus allen √ Zahlen r + s d, wobei r, s ∈ Q. Im Falle d > 0 sind die Zahlen r + s d reell und man spricht √ von einem reell-quadratischen Zahlk¨ orper . Wenn d < 0, heißt Q( d) imagin¨ ar-quadratischer Zahlk¨ orper. √ Jedes Element α von Q( d) ist eine Wurzel eines Polynoms f (X) ∈ Q[X]. f (X) hat den Grad 2, wenn α nicht in Q liegt, und nat¨ urlich den Grad 1 f¨ ur α ∈ Q, wobei der Leitkoeﬃzient gleich 1 ist. Wenn jeder Koeﬃzient von √ f (X) in Z liegt, nennt man α eine ganze algebraische Zahl von Q( d). Die Menge √ A der ganzen algebraischen Zahlen bildet einen Unterring von Q( d). Die Elemente von A lassen sich einfach charakterisieren: Wenn d ≡ 1 (mod 4), dann haben die Elemente von A die √ Form (m + n d)/2, wobei m, n in Z liegen und die gleiche Parit¨at haben. Wenn d ≡ 2 oder 3√(mod 4), dann haben die Elemente von A die Form m + n d, wobei m, n in Z liegen. √ F¨ ur jedes n ≥ 1 und ∑nα1 , α2 , . . . , αn aus Q( d) heißt die Menge aller Elemente der Form i=1 γi αi , wobei γ1 , γ2 , . . . , γn in A liegen, das von α1 , α2 , . . . , αn erzeugte gebrochene Ideal . Wenn I ein gebrochenes Ideal ist, dann gilt I + I ⊆ I und AI ⊆ √ I. Unter den gebrochenen Idealen beﬁndet sich f¨ ur jedes α aus Q( d) das gebrochene Hauptideal Aα. Das Produkt IJ zweier gebrochener Ideale ist nach Deﬁnition ∑ das gebrochene Ideal, das aus der Menge aller endlichen Summen ni=1 αi βi besteht, wobei αi aus I und βi aus J f¨ ur alle i = 1, 2, . . . , n und alle n ≥ 0. Unter dieser Multiplikation bilden die gebrochenen Ideale ungleich dem Nullideal eine abelsche Gruppe, und die vom Nullideal verschiedenen, gebrochenen Hauptideale sind eine Untergruppe davon.

148

3. Gibt es primzahldeﬁnierende Funktionen?

Gauß bewies (in anderen Worten gleicher Bedeutung), dass der Quotient aus der Gruppe der nicht-verschwindenden gebrochenen Ideale und der Untergruppe der vom Nullideal verschiedenen gebrochenen Hauptideale eine endliche abelsche Gruppe ist. Diese Gruppe wird mit√Cld (oder auch mit Cl∆ ) bezeichnet und heißt Klassengruppe von Q( d) (oder auch von ∆). Die Anzahl der Elemente dieser Gruppe ist √ hd (oder auch h∆ ), und man nennt sie Klassenzahl von Q( d) (oder auch von ∆). Eine Klassenzahl gleich 1 ist gleichbedeutend damit, dass jedes gebrochene Ideal √ ein Hauptideal ist. Wenn α, β in Q( d) liegen, dann teilt α nach Deﬁnition β, falls es ein γ in A gibt, so dass αγ = β. Elemente von A, welche die 1 teilen, heißen Einheiten von A. Ein von Null verschiedenes Element π ∈ A, das keine Einheit ist, wird algebraische Primzahl genannt, falls die folgende Bedingung erf¨ ullt ist: Wenn α, β in A liegen und αβ = π, dann ist α oder β eine Einheit. Es stellt sich heraus,√dass hd = 1 genau dann erf¨ ullt ist, wenn der Fundamentalsatz in Q( d) gilt: Jede ganze algebraische Zahl ungleich Null l¨asst sich in eindeutiger Weise (bis auf Einheiten und Reihenfolge der Faktoren) als Produkt von algebraischen Primzahlen darstellen. Der Exponent ed der Klassengruppe Cld ist deﬁniert als das Maximum der Ordnungen der Klassen in der Gruppe Cld . Dann wird ed von allen Ordnungen der Klassen geteilt. Oﬀensichtlich gilt ed = 1 genau dann, wenn hd = 1. Des Weiteren ist ed eine Zweierpotenz genau dann, wenn dies auch auf hd zutriﬀt. Die von Gauß entwickelte Geschlechtertheorie bin¨arer quadratischer Formen f¨ uhrt zu einem pr¨ aziseren Ergebnis: Es sei { hd falls d < 0, h∗d = 2hd falls d > 0. Sei N + 1 die Anzahl der verschiedenen Primfaktoren von ∆. Gauß zeigte, dass 2N die Zahl h∗d teilt. Ferner ist hd = 2N , falls d < 0 und ed = 1 oder 2. Es folgt N = 0, wenn hd = 1, so dass d = −1, −2 oder d = −p, wobei p eine Primzahl ist, die p ≡ 3 (mod 4) erf¨ ullt. Wenn hd = 2, dann N = 1. F¨ ur d gibt es nun drei m¨ ogliche Typen: (I) d = −2p, wobei p eine beliebige ungerade Primzahl ist; (II) d = −p, wobei p prim ist und p ≡ 1 (mod 4) gilt; (III) d = −pq, wobei p < q Primzahlen sind, die pq ≡ 3 (mod 4) erf¨ ullen.

III. Primzahlerzeugende Polynome

149

Die bin¨aren quadratischen Formen mit gegebener Diskriminante bilden zudem eine endliche abelsche Gruppe (unter der Komposition von Formen); diese Gruppe steht in eindeutiger Weise in Zusammenhang mit der Gruppe Cl∆ , was hier nicht weiter erkl¨art wird. Die Formen lassen sich in Geschlechter einteilen, wobei jedes Geschlecht eine bestimmte Anzahl von Klassen enth¨ alt. Aus der Geschlechtertheorie folgt, dass die folgenden beiden Aussagen f¨ ur d < 0 ¨aquivalent sind: (1) Die Klassengruppe bin¨ arer quadratischer Formen mit Diskriminante d hat den Exponenten 1 oder 2. (2) Jedes Geschlecht der Klassengruppe bin¨arer quadratischer Formen mit Gruppendiskriminante d besteht nur aus einer Klasse. Diese letzte Eigenschaft erlaubt eine Interpretation hinsichtlich Eulers numeri idonei“, die nun beschrieben werden soll. ” Es sei n ≥ 1 und E(n) die Menge der ungeraden nat¨ urlichen Zahlen q, so dass es mindestens ein Paar ganzer Zahlen (x, y) mit x ≥ 0, y ≥ 0, q = x2 +ny 2 und ggT(x, ny) = 1 gibt. Die Zahl n heißt numerus idoneus (oder auch geeignete Zahl ), wenn E(n) keine zerlegbare Zahl enth¨alt. Beispielsweise folgt aus Fermats Studien u ¨ber Zahlen der Form x2 + y 2 , dass n = 1 ein numerus idoneus ist. Gauß bewies, dass mit d < 0 der Exponent ed genau dann die Werte 1 oder 2 annimmt, wenn es sich bei −d um ein numerus idoneus handelt. Euler gab die folgenden 65 numeri idonei an: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520,760, 840, 1320, 1365, 1848. Die vollst¨andige Bestimmung aller numeri idonei ist nach wie vor ein oﬀenes Problem. Es konnte gezeigt werden, dass neben den oben aufgef¨ uhrten Zahlen h¨ ochstens noch eine weitere existieren kann. Man glaubt jedoch, dass es keine weitere mehr gibt und die Liste somit komplett ist. Ich werde mich nun dem Problem der Bestimmung von imagin¨ar√ quadratischen Zahlk¨ orpern Q( d) mit vorgegebenem hd zuwenden. (1) Gauß zeigte, dass hd = 1 f¨ ur d = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163; er vermutete zudem in Artikel 303,√dass dies die einzig m¨oglichen ganzen Zahlen d < 0 sind, f¨ ur die Q( d) den Wert

150

3. Gibt es primzahldeﬁnierende Funktionen?

hd = 1 hat. (Um die Wahrheit zu sagen, bezog sich Gauß nicht auf imagin¨ar-quadratische Zahlk¨ orper, sondern vielmehr auf negative Diskriminanten, die nur eine Klasse bin¨ arer quadratischer Formen haben.) In einem klassischen Artikel bewiesen Heilbronn & Linfoot 1934, dass ur die √ es h¨ochstens eine weitere ganze Zahl d < 0 geben kann, f¨ Q( d) die Klassenzahl 1 hat. Lehmer (1933) zeigte, dass wenn es ein solches d gibt, sein Absolutwert sehr groß sein muss: |d| > 5 × 109 . Im Jahre 1952 bewies Heegner, dass kein solches d existiert, allerdings waren einige Schritte im Beweis unklar, wenn nicht gar falsch. Baker erzielte 1966 mit seiner Methode expliziter unterer Schranken f¨ ur Linearformen von drei Logarithmen dasselbe Ergebnis; dies ist auch in seinem Artikel von 1971 erw¨ahnt. Ohne Kenntnis von Heegners Ergebnissen bewies Stark (1967) etwa zur gleichen Zeit mit Hilfe ¨ahnlicher Ideen, jedoch elliptische modulare Funktionen betreffend, dass es keine weitere Zahl d mit der geforderten Eigenschaft gibt. Damit waren alle imagin¨ ar-quadratischen Zahlk¨orper mit hd = 1 bestimmt. Man k¨onnte es als Ern¨ uchterung ansehen, als es Deuring 1968 gelang, Heegners Beweis zu entwirren, und Stark (1969) zudem bewies, dass Gelfond & Linnik 1949 den zu dieser Zeit bereits bekannten Satz u angigkeit von nur zwei Logarithmen h¨atten ver¨ber die lineare Unabh¨ wenden k¨onnen, um zum selben Resultat zu gelangen. Die in diesen Beweisen enthaltenen technischen Details liegen außerhalb des Rahmens dieses Buchs. (2) Mit Hilfe seiner Methode unterer Schranken f¨ ur Linearformen in Logarithmen bewies Baker (1971), dass sich alle imagin¨ar-quadratischen Zahlk¨orper mit Klassenzahl hd = 2 eﬀektiv bestimmen lassen, er gab allerdings keine explizite Schranke f¨ ur die Diskriminante an. Im selben Band derselben Zeitschrift berechnete Stark, dass wenn hd = 2, dann |d| < 101100 . Montgomery & Weinberger zeigten 1974, dass hd f¨ ur 1012 ≤ |d| ≤ 101200 nicht gleich 2 sein kann. Zuvor hatte Lehmer veriﬁziert, dass hd = 2 im Bereich von 106 ≤ |d| ≤ 1012 nicht auftritt. Zusammenfassend l¨ asst sich sagen: Wenn d < 0 und hd = 2, dann ist d = −5, −6, −10, −13, −15, −22, −35, −37, −51, −58, −91, −115, −123, −187, −235, −267, −403, −427. Alles in allem 18 Diskriminanten. Die Bestimmung aller d < 0 mit ed = 2 ist noch unvollst¨andig. Weinberger ermittelte 1973 eine explizite obere Schranke f¨ ur alle |d| mit ed = 2.

III. Primzahlerzeugende Polynome

151

(3) Hinsichtlich beliebiger Werte von hd vermutete Gauß, dass es f¨ ur √ jedes n ≥ 1 h¨ochstens endlich viele K¨ orper Q( d) mit d < 0 gibt, f¨ ur die hd = n ist. Diese Vermutung u ¨ber die Klassenzahl von imagin¨arquadratischen Zahlk¨ orpern wurde von Gross & Zagier (1983, 1986) bewiesen. Der Beweis setzte die vorherige bahnbrechende Arbeit von Goldfeld (1977) voraus und folgt aus diesem genaueren Ergebnis: F¨ ur jedes ε > 0 gibt es ein effektiv berechenbares C = C(ε) > 0, so dass f¨ ur alle d < 0, hd > C(log |d|)1−ε . Das Studium der Klassenzahl reell-quadratischer Zahlk¨orper ist komplizierter. Es sei an dieser Stelle nur die Vermutung von Gauß erw¨ahnt, dass es unendlich viele reell-quadratische Zahlk¨orper mit Klassenzahl hd = 1 gibt. Es w¨ are eine Glanzleistung, diese Vermutung zu beweisen.

C

Primzahlerzeugende quadratische Polynome

Ein quadratisches Polynom f (X) = aX 2 +bX+c (mit a ≥ 1, c ≥ 1), f¨ ur das es ein l > 2 derart gibt, dass f (0), f (1), . . . , f (l − 1) s¨amtlich Primzahlen sind, nennt man primzahlerzeugendes Polynom. Wie zu Beginn dieses Abschnitts erw¨ ahnt, ist l beschr¨ ankt; den maximal m¨oglichen Wert von l nennt man primzahlerzeugende L¨ange von f (X). In diesem Unterabschnitt werden wir sehen, dass es einen u ¨berraschenden Zusammenhang zwischen primzahlerzeugenden Polynomen und Klassenzahlen quadratischer K¨ orper gibt. Es gibt jedoch noch eine weitere Verbindung v¨ ollig anderer Art, die sich auf die Primzahlmehrlingsvermutung bezieht. Dies wird in Kapitel 4, Abschnitt IV gezeigt. Wir betrachten die Polynome fq (X) = X 2 + X + q, wobei q eine Primzahl ist. Man beachte, dass fq (q − 1) = q 2 . Rabinowitsch bewies ¨ 1912 die Aquivalenz folgender Aussagen: (1) fq (X) besitzt eine primzahlerzeugende L¨ange von q − 1. √ (2) Der imagin¨ ar-quadratische Zahlk¨ orper Q( 1 − 4q) hat Klassenzahl 1. Im selben Jahr zeigte Frobenius, dass (1) aus (2) folgt. Lehmer bewies 1936 ein weiteres Mal, dass (2) Folge von (1) ist. In j¨ ungerer Zeit gelangten Szekeres (1974) und Ayoub & Chowla (1981) wiederum zur Implikation (2) ⇒ (1). Eine detaillierte Diskussion dieses Ergebnisses ﬁndet sich in Cohns Buch (1962) oder auch in meinem eigenen Artikel (1988), wo s¨amtliche Rechnungen und Beweise ausf¨ uhrlich und fast von Grund auf dargestellt sind.

152

3. Gibt es primzahldeﬁnierende Funktionen?

Die vollst¨andige Bestimmung aller imagin¨ar-quadratischer Zahlk¨orper mit Klassenzahl 1 liefert die m¨ oglichen Werte von q. Tats¨achlich sind unter den neun unter (1) aufgelisteten Werten von d alle außer −1 und −2 kongruent zu 1 modulo 4, f¨ ur die verbleibenden ergibt (1 − d)/4 mit Ausnahme von d = −3 eine Primzahl q. Die so gewonnenen Primzahlen sind q = 2, 3, 5, 11, 17, 41. Nur f¨ ur genau diese hat das Polynom fq (X) eine primzahlerzeugende L¨ange von q − 1. Daraus ergibt sich folgender Rekord, der niemals u ¨bertroﬀen werden wird.

Rekord Das bestm¨ogliche Resultat f¨ ur Polynome des Typs X 2 + X + q ist bereits das von Euler: q = 41 ist die gr¨ oßte Primzahl derart, dass das Polynom f¨ ur k = 0, 1, . . . , q − 2 Primzahlwerte annimmt. Es gibt eine Vielzahl quadratischer Polynome mit einer großen primzahlerzeugenden L¨ ange. Legendre erw¨ ahnte, dass die Polynome 2X 2 +q f¨ ur q = 3, 5, 11, 29 die maximal m¨ ogliche primzahlerzeugende L¨ange q besitzen. A. L´evy stellte 1914 fest, dass 3X 2 + 3X + 23 eine primzahlerzeugende L¨ange von 22 hat. Van der Pol & Speziali bemerkten 1951, dass die primzahlerzeugende L¨ ange von 6X 2 + 6X + 31 gleich 29 ist. Diese Beispiele veranschaulichen bereits das nun folgende Ergebnis. Gem¨aß der drei m¨ oglichen Typen imagin¨ar-quadratischer Zahlk¨orper mit Klassenzahl 2 sei fI (X) = 2X 2 + p, falls p eine ungerade Primzahl ist; fII (X) = 2X 2 + 2X + (p + 1)/2, falls p eine Primzahl ist und p ≡ 1 (mod 4); fIII (X) = pX 2 + pX + (p + q)/4, falls p < q Primzahlen sind und pq ≡ 3 (mod 4). Man beachte, dass fI (p), fII ((p − 1)/2) und fIII ((p + q)/4 − 1) zerlegbar sind. Das folgende Resultat geht in dieser Form auf Louboutin (1991) zur¨ uck; siehe auch Frobenius (1912) und Hendy (1974). (I) h−2p = 2 genau dann, wenn fI (X) eine primzahlerzeugende L¨ange gleich p hat; (II) h−p = 2 genau dann, wenn fII (X) eine primzahlerzeugende L¨ange von (p − 1)/2 hat;

III. Primzahlerzeugende Polynome

153

(III) h−pq = 2 genau dann, wenn fIII (X) eine primzahlerzeugende L¨ange von (p + q)/4 − 1 hat. Durch Vergleich mit der Liste derjenigen d < 0, f¨ ur die hd = 2 ist, ergibt sich in den drei F¨ allen: (I) p = 3, 5, 11, 29; (II) p = 5, 13, 37; (III) (p, q) = (3, 5), (3, 17), (3, 41), (3, 89), (5, 7), (5, 23), (5, 47), (7, 13), (7, 61), (11, 17), (13, 31). Im selben Artikel von 1991 gelangt Louboutin zu den folgenden Charakterisierungen von K¨ orpern mit negativer Diskriminante und Klassenzahl 4. Es sei 2 < q < p, wobei p, q Primzahlen sind. Dann ist (1) h−2pq = 4 genau dann, wenn 2qk 2 + p f¨ ur alle k = 0, 1, . . . , p − 1 prim ist. (2) Sei pq ≡ 1 (mod 4). Dann h−pq = 4 genau dann, wenn (pq + 1)/2 eine Primzahl ist und f¨ ur k = 0, 1, . . . , (p+q)/2−2, k ̸= (p−1)/2, 2 2qk + 2qk + (p + q)/2 prim wird. Mollin entwickelte eine umfassendere Theorie zur Verbindung von imagin¨ar-quadratischen Zahlk¨ orpern mit Exponent 2 und speziellen primzahlerzeugenden Polynomen. Es sei d ̸= 0, 1 eine quadratfreie negative ganze Zahl und ∆ die zugeh¨ orige fundamentale Diskriminante. Seien 2 ≤ q1 < q2∏< · · · < qN +1 = p die verschiedenen Primfaktoren von ∆ und q = N ur jedes m ≥ 1 mit m | q das i=1 qi . Deﬁniere f¨ folgende Polynom:  ∆  mX 2 − wenn 4m | ∆, 4m f∆,m (X) = 2  mX 2 + mX + m − ∆ wenn 4m - ∆ 4m (man beachte im letzteren Fall, dass 4m Teiler von m2 − ∆ ist). Sei B∆,m = [|∆|/4m]. Es wird nun die folgende Bezeichnung verwendet: ∏ wenn n = ki=1 pei i (wobei pi die unterschiedlichen Primfaktoren sind), ∑ dann ν(n) = ki=1 ei . Sei { } Ω(f∆,m (X)) = max ν(f∆,m (k)) | k = 0, 1, . . . , B∆,m − 1 . ¨ Mollin bewies (siehe sein Buch von 1996 oder seinen Ubersichtsartikel von 1997): Mit obigen Bezeichnungsweisen und unter der Annahme, dass ∆ < −4, sind die folgenden Bedingungen ¨aquivalent:

154

3. Gibt es primzahldeﬁnierende Funktionen?

(1) ed ≤ 2. (2) hd = 2N und f¨ ur jeden Teiler m von q, 1 ≤ m, Ω(f∆,m (X)) + ν(m) − 1 = N . (3) hd = 2N und es existiert ein Teiler m von q, 1 ≤ m, so dass Ω(f∆,m (X)) + ν(m) − 1 = N . Nach Wahl von m = q folgt, dass f∆,q (k) f¨ ur k = 0, 1, . . . , B∆,q − 1 eine Primzahl ist. Es ist leicht zu veriﬁzieren, dass die an fr¨ uherer Stelle erw¨ahnten Resultate von Rabinowitsch und Louboutin Spezialf¨alle hiervon sind. Sasaki bewies 1986: hd = 2 gilt genau dann, wenn Ω(f∆,1 (X)) = 2. Dieses Resultat l¨ asst sich aus Mollins Satz (1996) ableiten. Es ist abermals leicht nachzuvollziehen, dass sich das primzahlerzeugende Verhalten der fr¨ uher erw¨ ahnten Polynome anhand von Mollins Satz erkl¨aren l¨ asst: d = −2 × 29, ∆ = −8 × 29, N = 1; −d ist ein numerus idoneus, also ed ≤ 2, m = 2, ν(m) = 1, B∆,m = 29, f∆,m (X) = 2X 2 + 29, also Ω(2X 2 + 29) = 1 und daher ist f∆,m (k) f¨ ur k = 0, 1, . . . , 28 eine Primzahl. Hoﬀentlich gelingt es Ihnen, in gleicher Weise das Verhalten der Polynome 3X 2 + 3X + 23 und 6X 2 + 6X + 31 zu erkl¨aren. Bis hierher wurde nur der Fall negativer Diskriminanten betrachtet, es gibt jedoch eine ¨ ahnliche Theorie f¨ ur Polynome mit positiver Diskriminante. Siehe zum Beispiel Louboutin (1990), Mollin (1996, 1996a), sowie Sasaki (1986a). Durch den Einsatz von Computern fand man weitere primzahlerzeugende quadratische Polynome, die nicht durch irgendeine Theorie begr¨ undet sind.

Rekord Das von R. Ruby 1990 entdeckte quadratische Polynom f (X) = 36X 2 − 810X +2753 erzeugt die zur Zeit l¨ angste Reihe von Primzahlen f¨ ur aufeinander folgende Argumente, in diesem Fall f¨ ur X = 0, 1, . . . , 44. Die Polynome 103X 2 − 3945X + 34381 (von R. Ruby) und 47X 2 − 1701X +10181 (von G. Fung) ergeben im Absolutwert jeweils 43 Primzahlen. Dress & Landreau (2003) fanden Polynome h¨oheren Grades: f (X) = 66x3 + 83x2 − 13735x + 30139, welches 46 aufeinander folgende Primzahlwerte |f (k)| f¨ ur k = −26 bis k = 19 ergibt, sowie das Polynom

III. Primzahlerzeugende Polynome

155

f (X) = 16x4 +28x3 −1685x2 −23807x+110647, das Primzahlen |f (k)| f¨ ur k = −23 bis k = 22 erzeugt. Wenn man f¨ ur Polynome f (X) auch rationale Koeﬃzienten zul¨asst, so dass aber immer ganzzahlige Funktionswerte f (k) entstehen, dann ist der Rekordhalter f (X) =

1 6 5 5 1493 4 1027 3 100471 2 11971 X − X − X + X + X − X − 57347. 72 24 72 8 18 6

F¨ ur alle ganzen Zahlen k von k = −42 bis k = 15 ist |f (k)| eine Primzahl. Also ergeben 58 aufeinander folgende ganzzahlige Argumente 58 Primzahlen als Werte des Polynoms. Dieser Rekord wurde von Dress und Landreau in einer Pressemitteilung vom April 2010 bekannt gegeben. Er wird wohl nicht leicht zu u ¨bertreﬀen sein.

D

Der Wettlauf um Primzahlwerte und Primteiler

Der Wettlauf um Primzahlwerte Die folgende Untersuchung hat viele Amateurmathematiker angezogen. Es sei f (X) ein nicht-konstantes Polynom mit ganzzahligen Koeﬃzienten sowie N ≥ 1 und πf∗ (X) (N ) = #{n | 0 ≤ n ≤ N, |f (n)| ist eine Primzahl}. Man beachte, dass es sich dabei nicht notwendigerweise um verschiedene Primzahlen handeln muss. Das Problem besteht darin, f¨ ur gegebenes N (normalerweise groß) und d ≥ 1 ein Polynom f (X) vom Grade d zu ﬁnden, so dass πf∗(X) (N ) maximal wird. Wenn man m¨ ochte, kann man die Suche auch auf normierte Polynome (das heißt mit Leitkoeﬃzient 1) oder auch normierte Polynome speziellen Typs einschr¨ anken. Es gibt viele heiß umk¨ ampfte Rekorde.

Rekorde A. F¨ ur N = 1000 ergibt das quadratische Polynom f (X) = 2X 2 − 1584X + 98621, gefunden vom Amateurmathematiker S.M. Williams (Brief vom Oktober 1993), die maximale Anzahl von Primzahlwerten, n¨amlich πf∗(X) (1000) = 706. Fr¨ uhere Rekorde, ebenfalls von Williams, waren f1 (X) = 2X 2 − 1904X + 42403, f2 (X) = 2X 2 − 1800X − 5749,

156

3. Gibt es primzahldeﬁnierende Funktionen?

mit πf∗1 (X) (1000) = 693 beziehungsweise πf∗2 (X) (1000) = 686. B. F¨ ur N = 1000 und ausschließlich quadratische normierte Polynome ist der derzeitige Champion g(X) = (X − 499)2 + (X − 499) + 27941, ∗ mit πg(X) (1000) = 669, von N. Boston pers¨onlich u ¨bermittelt.

Man beachte, dass die Menge {h(k) | 0 ≤ k ≤ 1000} f¨ ur h(X) = X 2 + X + 27941 genau 600 verschiedene Primzahlen enth¨alt. Dies k¨onnte ein Rekord des abgewandelten Wettkampfs (bis N = 1000) von quadratischen Polynomen mit verschiedenen Primzahlwerten bedeuten. Karst fand 1973 das Polynom f (X) = 2X 2 − 199, das 597 Primzahlwerte ergibt. Demgegen¨ uber erzeugt Eulers Polynom X 2 + X + 41 582 Primzahlwerte. Das Rennen zwischen diesen beiden ber¨ uhmten Polynomen wurde auf viel h¨ohere Schranken f¨ ur N ausgeweitet. In einer Nachricht vom Dezember 1998 teilte S.S. Gupta (der das Rechnen liebt) die folgenden Ergebnisse mit: ∗ 7 π2X 2 −199 (10 ) = 2381779,

∗ 7 πX 2 +X+41 (10 ) = 2208197.

Angesichts einer Vermutung von Hardy und Littlewood werde ich dieser Frage f¨ ur Polynome f (X) = X 2 + X + A in Kapitel 6, Abschnitt IV erneut nachgehen. Im Alter von 78 Jahren fand M.L. Greenwood – ohne Verwendung eines Computers – die Polynome h1 (X) = −4X 2 + 381X − 8524, h2 (X) = −2X 2 + 185X − 31819, die 50 gerade Werte und 48 verschiedene ungerade Primzahlwerte annehmen, wenn k die Zahlen 0, 1, . . . , 99 durchl¨auft. Der Proﬁ Boston schloss sich dem Amateur Greenwood an, zusammen fanden beide 1995 mit Hilfe von Computern das Polynom f (X) = 41X 2 −4641X +88007. F¨ ur k = 0, 1, . . . , 99 nimmt es 90 verschiedene Primzahlwerte f (k) an. Das Rennen um kubische Polynome mit N = 500 (vergleichbar mit dem 500-Meilen-Rennen von Indianapolis) wurde von Goetgheluck (1989) initiiert. Der Sieger ist f (X) = 2X 3 − 489X 2 + 39847X − 1084553.

III. Primzahlerzeugende Polynome

157

Dieses Polynom erzeugt f¨ ur k ≤ 500 genau 267 Primzahlen. Der Leitkoeﬃzient musste bei diesem Wettkampf gleich 1 oder 2 sein, daneben gab es weitere Einschr¨ ankungen bez¨ uglich der Gr¨oße der Koeﬃzienten. Ich werde in Kapitel 6, Abschnitt III das umgekehrte Ph¨anomen betrachten, bei dem Polynome f¨ ur alle n = 0, 1, 2, . . . bis zu einem hohen N zerlegbare Werte annehmen. Der Wettlauf um kleinste Primfaktoren F¨ ur eine ganze Zahl m ungleich 0 bezeichne P0 [m] den kleinsten Primfaktor von m. Wenn f (X) = aX 2 + bX + c ein Polynom mit ganzzahligen Koeﬃzienten ist und ferner a ≥ 1, c ̸= 0, sei P0 [f (X)] = min{P0 [f (k)] | k = 0, 1, 2, . . . }. Dar¨ uber hinaus sei f¨ ur N ≥ 1 qN = min{P0 [f (k)] | k = 0, 1, 2, . . . , N }. Wegen q1 ≥ q2 ≥ . . . , gibt es ein N , so dass qN < N . Dann gilt P0 [f (X)] = qN , was die Berechnung von P0 [f (X)] erm¨oglicht: Denn wenn p eine Primzahl mit p < qN ist und p | f (M ) f¨ ur ein M > N , schreibe M = dp + r mit 0 ≤ r < p < qN < N . Aus f (M ) ≡ f (r) (mod p) folgt p | f (r), so dass p ≥ qN , was der Annahme widerspricht. Nun sei fA (X) = X 2 + X + A f¨ ur A ≥ 1. Man hat gezeigt, dass es f¨ ur jede Primzahl q ein A < q# gibt, so dass P0 [fA (X)] = q. Das Ziel ist nun, den gr¨ oßten Wert f¨ ur P0 [fA (X)] zu ﬁnden. Nebenbei bemerkt ist P0 [f41 (X)] = 41.

Rekord Wenn man A als prim voraussetzt und zudem fordert, dass A der kleinste Wert ist, der P0 [fA (X)] = q erf¨ ullt, dann ist P0 [X 2 + X + 33239521957671707] = 257. Dies wurde von P. Carmody 2001 entdeckt. Vorangegangene Rekorde von L. Rodr´ıguez Torres stammten aus den Jahren 1996 beziehungsweise 1995: P0 [X 2 + X + 67374467] = 107, P0 [X 2 + X + 32188691] = 71.

158

3. Gibt es primzahldeﬁnierende Funktionen?

Der gr¨oßte bekannte Wert von P0 [fA (X)] f¨ ur den Fall, dass A prim, aber nicht notwendigerweise minimal ist, wurde von M.J. Jacobson und H.C. Williams 2002 unter Verwendung eines speziellen elektronischen Zahlensiebes gefunden, das in ihrem Artikel (2003) beschrieben ist. F¨ ur die 57-stellige Primzahl A = 605069291083802407422281785816166476624287786946587507887 ermittelten sie P0 [fA (X)] = 373. Wenn die Bedingung, dass A prim sein soll, auch noch fallen gelassen wird, erreichten sie P0 [fA (X)] = 401 f¨ ur die 68-stellige Zahl A = 47392132545934368303439248393872932657758235983472584357825592740917 (ein Produkt aus sechs Primzahlen). Der vorherige Rekord stammte von Lukes, Patterson & Williams (1995), die nach intensiven Berechnungen fanden, dass P0 [X 2 + X + 2457080965043150051] = 281.

IV Funktionen mit der Eigenschaft (c) Wir erinnern uns daran, dass Bedingung (c) erfordert, dass die Menge der Primzahlen mit der Menge der positiven Werte einer Funktion zu¨ sammenf¨allt. Uberraschenderweise ist dies m¨oglich, und es wurde als Nebenprodukt bei der Untersuchung von Hilberts zehntem Problem entdeckt. Die Ideen kommen aus der Logik und die Ergebnisse sind recht außergew¨ ohnlich, auch wenn es f¨ ur sie bis heute keine unmittelbare praktische Anwendung gibt. Bei der nun folgenden Beschreibung verzichte ich auf technische Details, um mich nicht allzu sehr von den Primzahlen zu entfernen. An dieser Stelle muss ich mathematische Strenge und Intuition gegeneinander abw¨agen. Dabei hoﬀe ich auf den guten Willen des Lesers, meine Ausf¨ uhrungen in keiner Weise falsch zu verstehen. Denen, die auf die nun folgenden Ergebnisse neugierig geworden sind, empfehle ich den h¨ ubschen Artikel von Davis (1973). Hilberts zehntes Problem fragt nach ganzzahligen L¨osungen (x1 , . . . , xn ) von diophantischen Gleichungen P (X1 , . . . , Xn ) = 0, wobei P irgendein Polynom mit ganzzahligen Koeﬃzienten und einer beliebigen Anzahl von Unbestimmten ist. Genauer gesagt geht es darum, einen Algorithmus zu ﬁnden, der u ¨ber eine beliebige diophantische Gleichung aussagen kann, ob sie eine ganzzahlige L¨osung besitzt. Ein Algorithmus sollte als ein Entscheidungsverfahren verstanden werden, welches als Computerprogramm implementiert werden kann und in endlich vielen aufeinander folgenden Schritten eine Antwort ja“ ”

IV. Funktionen mit der Eigenschaft (c)

159

oder nein“ liefert – in einer Vorgehensweise, die von Mathematikern ” als zul¨assig erachtet wird. Beim Studium der Mengen S von n-Tupeln (x1 , . . . , xn ) ganzer Zahlen ist der zentrale Begriﬀ der folgende: S heißt diophantische Menge, wenn es ein Polynom mit ganzzahligen Koeﬃzienten in Unbestimmten X1 , . . . , Xn , Y1 , . . . , Ym (m ≥ 0) gibt, so dass (x1 , . . . , xn ) ∈ S genau dann gilt, wenn es positive ganze Zahlen y1 , . . . , ym gibt, die P (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) = 0 erf¨ ullen. Zun¨achst die trivialen Beispiele. Jede endliche Menge S von n-Tupeln positiver ganzer Zahlen ist diophantisch. Denn wenn S aus den n( (i) (i) ) Tupeln a1 , . . . , an besteht (wobei i = 1, . . . , k und k ≥ 1), dann (i)

seien Yj (i = 1, . . . , k, j = 1, . . . , n) verschiedene Unbestimmte und P =

k ∏ [ ] (i) (X1 − Y1 )2 + · · · + (Xn − Yn(i) )2 . i=1 (i)

(i)

gleich aj setzt (f¨ ur alle i, j), ist (x1 , . . . , xn ) ∈ S ( (1) (1) (k) (k) ) genau dann, wenn P x1 , . . . , xn , a1 , . . . , an , . . . , a1 , . . . , an = 0. Noch ein Beispiel: die Menge S aller positiver zerlegbarer Zahlen. In diesem Fall ist x genau dann zerlegbar, wenn es positive ganze Zahlen y, z gibt, f¨ ur die (x, y, z) eine L¨ osung von X − (Y + 1)(Z + 1) = 0 ist. Die folgende Aussage von Putnam aus dem Jahre 1960 ist nicht schwer zu beweisen: Eine Menge S positiver ganzer Zahlen ist genau dann diophantisch, wenn ein Polynom Q mit ganzzahligen Koeﬃzienten (in m ≥ 1 Unbekannten) existiert, so dass Wenn man nun Yj

S = {Q(x1 , . . . , xm ) ≥ 1 | x1 ≥ 1, . . . , xm ≥ 1}. Der n¨achste Schritt innerhalb dieser Theorie besteht darin nachzuweisen, dass die Menge der Primzahlen diophantisch ist. Dazu ist es notwendig, die Deﬁnition der Primzahlen aus der Sicht der Theorie der diophantischen Mengen zu untersuchen. Eine positive ganze Zahl x ist genau dann eine Primzahl, wenn x > 1 und f¨ ur beliebige ganze Zahlen y, z mit y ≤ x und z ≤ x entweder yz < x oder yz > x oder y = 1 oder z = 1. Diese Deﬁnition der Primzahlen beinhaltet das beschr¨ ankt universell quantiﬁzierte Vorkommen von y, z, n¨amlich y ≤ x, z ≤ x.

160

3. Gibt es primzahldeﬁnierende Funktionen?

Eine andere M¨ oglichkeit der Deﬁnition von Primzahlen ist die folgende. Die positive ganze Zahl x ist genau dann eine Primzahl, wenn x > 1 und ggT((x − 1)!, x) = 1. Letztere Bedingung l¨asst sich folgendermaßen auf andere Weise ausdr¨ ucken: Es gibt positive ganze Zahlen a, b, so dass a(x − 1)! − bx = 1. Wenn a oder b negativ sind, nehme man eine hinreichend große ganze Zahl k, so dass a′ = a + kx > 0, b′ = b + k(x − 1)! > 0 und a′ (x − 1)! − b′ x = 1. Mit Hilfe der von Putnam, Davis, J. Robinson und Matijaseviˇc entwickelten Theorie l¨ asst sich unter Verwendung einer der obigen Charakterisierungen von Primzahlen der folgende, wichtige Satz beweisen: Die Menge der Primzahlen ist diophantisch. Eine Kombination dieser Resultate f¨ uhrt zum folgenden, erstaunlichen Satz: Es gibt ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, so dass die Menge der Primzahlen mit dem positiven Wertebereich des Polynoms zusammenf¨ allt, wobei die Variablen die nichtnegativen ganzen Zahlen durchlaufen. Es sei bemerkt, dass dieses Polynom auch negative Werte annimmt und dass einige Primzahlen mehrfach als Wert des Polynoms auftreten k¨onnen. Matijaseviˇc gab 1971 ein System algebraischer Relationen an, das zu einem solchen Polynom f¨ uhrt, ohne dass es dabei explizit erzeugt wird. Dieses Polynom in 24 Unbestimmten hatte den Grad 37. In der ¨ englischen Ubersetzung seines Artikels konnte dies auf den Grad 21 und 21 Unbestimmte verbessert werden. Jones, Sato, Wada & Wiens gaben 1976 ein Polynom mit dieser Eigenschaft explizit an (vom Grad 25, in 26 Unbestimmten a, b, c, . . . , z): { (k + 2) 1−[wz + h + j − q]2 −[(gk + 2g + k + 1)(h + j)+h−z]2 − [2n + p + q + z − e]2 −[16(k + 1)3 (k + 2)(n + 1)2 +1−f 2 ]2 − [e3 (e + 2)(a + 1)2 + 1 − o2 ]2 − [(a2 − 1)y 2 + 1 − x2 ]2 − [16r2 y 4 (a2 − 1)+1−u2 ]2 −[((a + u2 (u2 − a))2 −1)(n+4dy)2 + 1 − (x + cu)2 ]2 − [n + l + v − y]2 − [(a2 − 1)l2 + 1 − m2 ]2 − [ai + k + 1 − l − i]2 − [p + l(a − n − 1) + b(2an + 2a − n2 − 2n − 2) − m]2 − [q + y(a − p − 1) + s(2ap + 2a − p2 − 2p − 2) − x]2 } − [z + pl(a − p) + t(2ap − p2 − 1) − pm]2 .

IV. Funktionen mit der Eigenschaft (c)

161

Man ist nat¨ urlich dazu verleitet, die Anzahl der Unbestimmten, den Grad oder beides zu reduzieren. Allerdings bezahlt man daf¨ ur einen Preis. Wenn die Zahl n der Unbestimmten reduziert wird, erh¨oht sich der Grad d, umgekehrt w¨ achst n, wenn d heruntergedr¨ uckt wird. Dies wird in Tabelle 12 veranschaulicht, in der primzahldarstellende Polynome angegeben sind. Tabelle 12. Polynome, die Primzahlen darstellen n = Anzahl der Unbestimmten 24

d = Grad

Autor

Jahr

Bemerkungen

37

Matijaseviˇ c

1971

Nicht explizit angegeben

21 26

21 25

1971 1976

42

5

Gleicher Autor Jones, Sato, Wada & Wiens Gleiche Autoren

12 10

13697 etwa 1,6 × 1045

Matijaseviˇ c Gleicher Autor

1976 1977

1976

Erstes explizites Polynom Niedrigster Grad, nicht explizit angegeben Kleinste Anzahl von Unbestimmten, nicht explizit angegeben

Die Anzahl der Variablen, die man mindestens ben¨otigt, ist unbekannt (sie kann nicht gleich 2 sein). Allerdings konnte Jones zeigen, dass es ein primzahldarstellendes Polynom mit einem Grad von h¨ochstens 5 gibt. Die gleichen Methoden, die im Falle der Primzahlen zur Anwendung kamen, k¨onnen auch f¨ ur andere diophantische Mengen verwendet werden, sobald man die sie deﬁnierenden arithmetischen Eigenschaften vom gleichen Blickwinkel aus betrachtet. Dies wurde von Jones ausgef¨ uhrt. In einem Artikel von 1975 zeigte Jones, dass die Menge der Fibonacci-Zahlen identisch mit der Menge der positiven Werte eines Polynoms in 2 Unbestimmten vom Grad 5 mit nichtnegativen Argumenten ist: 2xy 4 + x2 y 3 − 2x3 y 2 − y 5 − x4 y + 2y. Jones zeigte 1979, dass es f¨ ur die Mengen der Mersenne-Primzahlen, der geraden vollkommenen Zahlen und der Fermat-Primzahlen in gleicher Weise ein entsprechendes Polynom in sieben Unbestimmten, allerdings h¨oheren Grades gibt. Er gab f¨ ur diese Mengen auch andere Polynome niedrigeren Grades an, die aber mehr Unbestimmte hatten.

162

3. Gibt es primzahldeﬁnierende Funktionen?

Tabelle 13. Polynome, die verschiedene Mengen von Zahlen erzeugen Menge Fibonacci-Zahlen Mersenne-Primzahlen Gerade vollkommene Zahlen Fermat-Primzahlen

Anzahl der Unbestimmten 2 13 7 13 7 14 7

Grad 5 26 914 27 915 25 905

Durch eine Methode von Skolem (siehe sein Buch von 1938) l¨asst sich der Grad f¨ ur die drei letzten Mengen auf 5 reduzieren, wobei sich dann die Anzahl der Variablen auf etwa 20 erh¨oht. F¨ ur die Menge der Mersenne-Primzahlen sieht das Polynom vom Grad 26 in 13 Unbekannten so aus: { n 1 − [4b + 3 − n]2 − b([2 + hn2 − a]2 + [n3 d3 (nd + 2)(h + 1)2 + 1 − m2 ]2 + [db + d + chn2 + g(4a − 5) − kn]2 + [(a2 − 1)c2 + 1 − k2 n2 ]2 + [4(a2 − 1)i2 c4 + 1 − f 2 ]2

} + [(kn + lf )2 − ((a + f 2 (f 2 − a))2 − 1)(b + 1 + 2jc)2 − 1]2 ) . Das Polynom vom Grad 27 in 13 Unbestimmten, das die geraden vollkommenen Zahlen liefert, ist das folgende: { (2b + 2)n 1 − [4b + 3 − n]2 − b([2 + hn2 − a]2 + [n3 d3 (nd + 2)(h + 1)2 + 1 − m2 ]2 + [db + d + chn2 + g(4a − 5) − kn]2 + [(a2 − 1)c2 + 1 − k2 n2 ]2 + [4(a2 − 1)i2 c4 + 1 − f 2 ]2

} + [(kn + lf )2 − ((a + f 2 (f 2 − a))2 − 1)(b + 1 + 2jc)2 − 1]2 ) . Die primen Fermat-Zahlen werden durch dieses Polynom vom Grad 25 in 14 Variablen erzeugt: { (6g + 5) 1 − [bh + (a − 12)c + n(24a − 145) − d]2 − [16b3 h3 (bh + 1)(a + 1)2 + 1 − m2 ]2 − [3g + 2 − b]2 − [2be + e − bh − 1]2 − [k + b − c]2 − [(a2 − 1)c2 + 1 − d2 ]2 − [4(a2 − 1)i2 c4 + 1 − f 2 ]2

} − [(d + lf )2 − ((a + f 2 (f 2 − a))2 − 1)(b + 2jc)2 − 1]2 .

4 Wie sind die Primzahlen verteilt?

Wie ich bereits betont hatte, sind die verschiedenen Beweise der Unendlichkeit der Anzahl der Primzahlen nicht konstruktiv. Man erh¨alt daher keine Aussage dar¨ uber, wie man die n-te Primzahl bestimmen kann. Zudem geben die Beweise auch keinen Hinweis darauf, wie viele Primzahlen es bis zu einer vorgegebenen Zahl N gibt. Und umgekehrt ist keine vern¨ unftige Formel oder Funktion bekannt, die die Primzahlen repr¨asentiert. Es ist jedoch m¨ oglich, die Anzahl der Primzahlen kleiner als N mit einer recht hohen Genauigkeit vorauszusagen (vor allem f¨ ur großes N ). Jedoch weist die Verteilung der Primzahlen in kleinen Intervallen eine Art eingebaute Zuf¨ alligkeit auf. Diese Kombination von gleichzeitiger Voraussagbarkeit“ und Zuf¨ alligkeit“ bedeutet einerseits ei” ” ¨ ne systematische Ordnung, andererseits ein Uberraschungselement bei der Verteilung der Primzahlen. Laut Schroeders faszinierendem Buch Number Theory in Science and Communication sind dies grundlegende Bestandteile von Kunst. Und viele Mathematiker w¨ urden sofort zustimmen, dass dieses Thema von großem ¨asthetischen Reiz ist. Man erinnere sich aus Kapitel 3, dass f¨ ur jede reelle Zahl x > 0 durch π(x) die Anzahl der Primzahlen p mit p ≤ x ausgedr¨ uckt ist; man nennt π(x) auch die Primzahlfunktion.

P. Ribenboim, Die Welt der Primzahlen, 2. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-18079-8_4, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

164

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

Die folgenden Themen werden behandelt: (I) Eigenschaften von π(x): das Wachstum von π(x), die Gr¨oßenordnung sowie Vergleiche mit anderen bekannten Funktionen. (II) Ergebnisse u ¨ber die n-te Primzahl sowie zur Diﬀerenz zwischen aufeinander folgenden Primzahlen, wie klein, wie groß und wie unregelm¨ aßig sie sein kann. Dies beinhaltet die Diskussion von großen Primzahll¨ ucken und f¨ uhrt zudem auf einige oﬀene Probleme, die weiter unten angesprochen werden. (III) Primzahlzwillinge, ihre Charakterisierung und Verteilung. (IV) Primzahlmehrlinge. (V) Primzahlen in arithmetischen Folgen. (VI) Goldbachs ber¨ uhmte Vermutung. (VII) Die Verteilung der Pseudoprimzahlen und Carmichael-Zahlen. Nun zu den einzelnen Punkten.

I Die Funktion π(x) Die grundlegende Idee beim Studium von π(x) oder verwandter Funktionen in Bezug auf die Primzahlverteilung ist der Vergleich mit klassischen, einfach berechenbaren Funktionen, deren Werte so nah wie m¨oglich bei π(x) liegen sollten. Dies ist nat¨ urlich nicht einfach und wie man vielleicht erwarten k¨ onnte, wird auch immer ein Fehler auftreten. Man sollte demnach versuchen, f¨ ur jede approximierende Funktion die Gr¨oßenordnung der Diﬀerenz, also des Fehlers zu bestimmen. Die folgenden Begriﬀe sind dazu sehr n¨ utzlich. Es seien f (x), h(x) positive, reellwertige, stetige und f¨ ur alle x ≥ x0 > 0 deﬁnierte Funktionen. Die Schreibweise f (x) ∼ h(x) bedeutet, dass limx→∞ (f (x)/h(x)) = 1; f (x) und h(x) nennt man in diesem Fall asymptotisch gleich, wenn x gegen Unendlich geht. Man beachte, dass die Diﬀerenz der Funktionen durchaus ins Unendliche wachsen kann. Wenn unter Annahme obiger Eigenschaften Konstanten C, C ′ , 0 < C < C ′ , und x0 , x1 mit x1 ≥ x0 derart existieren, dass C ≤ f (x)/h(x) ≤ C ′ f¨ ur alle x ≥ x1 gilt, dann sagt man, f (x) und haben h(x) die gleiche Gr¨ oßenordnung.

I. Die Funktion π(x)

165

Es seien f (x), g(x), h(x) reellwertige, stetige und f¨ ur alle x ≥ x0 > 0 deﬁnierte Funktionen. Zudem gelte h(x) > 0 f¨ ur alle x ≥ x0 . Dann bedeutet die Schreibweise f (x) = g(x) + O(h(x)), dass die Diﬀerenz der Funktionen f (x) und g(x) letztendlich durch ein konstantes Vielfaches der Funktion h(x) beschr¨ankt ist (f¨ ur x gegen Unendlich); das heißt, es existieren C > 0 und x1 ≥ x0 derart, dass f¨ ur jedes x ≥ x1 die Ungleichung |f (x) − g(x)| ≤ Ch(x) erf¨ ullt ist. Diese n¨ utzliche Bezeichnungsweise wird dazu verwendet, den Fehler auszudr¨ ucken, den man begeht, wenn man f (x) durch g(x) ersetzt. In ¨ahnlicher Weise bezeichnet f (x) = g(x) + o(h(x)), dass limx→∞ [f (x) − g(x)]/h(x) = 0. Dies bedeutet intuitiv, dass der Fehler im Vergleich zu h(x) vernachl¨ assigbar ist.

A

Historische Entwicklung

Es ist zweckm¨aßig, die verschiedenen Entdeckungen zur Verteilung der Primzahlen in ihrer geschichtlichen Reihenfolge bis hin zum Primzahlsatz vorzustellen. Diesen Weg beschritt Landau in seiner ber¨ uhmten Abhandlung Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, der klassischen Arbeit zum Thema. Eine andere Darstellung von historischem Interesse und vor Landau ist in einem sehr langen Artikel von Torelli (1901) zu ﬁnden (in Italienisch verfasst). Euler Zun¨achst werde ich ein Resultat von Euler vorstellen, das nicht nur die Unendlichkeit der Anzahl der Primzahlen enth¨alt, sondern zudem aussagt, dass die Primzahlen nicht so d¨ unn ges¨at sind wie die Qua” dratzahlen.“ (Diese Aussage wird azisiert.) ∑ gleich pr¨ σ ) f¨ Euler zeigte, dass die Reihe ∞ (1/n ur jede reelle Zahl σ > 1 n=1 konvergent ist und sogar f¨ ur jedes σ0 > 1 auf der Halbgeraden σ0 ≤ x < ∞ gleichm¨ aßig konvergiert. Daher deﬁniert die Reihe eine stetige und diﬀerenzierbare Funktion ζ(σ) (f¨ ur 1 < σ < ∞). Dar¨ uber hinaus ist limσ→∞ ζ(σ) = 1 und limσ→1+0 (σ − 1)ζ(σ) = 1. Die Funktion ζ(σ) nennt man die Zetafunktion.

166

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

Das Verbindungsglied zwischen der Zetafunktion und den Primzahlen ist das folgende Eulersche Produkt, das die Eindeutigkeit der Zerlegung der ganzen Zahlen als Produkt von Primzahlen ausdr¨ uckt: ∞ ∑ ∏ 1 = nσ p

n=1

1 1−

(f¨ ur σ > 1).

1 pσ

Es folgt insbesondere, dass ζ(σ) ̸= 0 f¨ ur σ > 1. Mit derselben Idee, die er auch in seinem Beweis der Existenz unendlich vieler Primzahlen verwendet hatte (siehe Kapitel 1), bewies Euler im Jahre 1737: Die Reihe der Inversen der Primzahlen ist divergent:

∑

p (1/p)

= ∞.

Beweis. Es sei N eine beliebige nat¨ urliche Zahl. Jede ganze Zahl n ≤ N ist in eindeutiger Weise ein Produkt von Potenzen von Primzahlen p, p ≤ n ≤ N . Zudem gilt f¨ ur jede Primzahl p, ∞ ∑ 1 = pk k=0

1 1−

1 p

.

Daraus folgt ) N ∞ ∑ ∏ (∑ ∏ 1 1 ≤ = n pk n=1 p≤N

Da aber log

∏

1

p≤N

1−

k=0

1 p

=−

p≤N

∑ p≤N

1 1−

1 p

·

( ) 1 log 1 − , p

und f¨ ur jede Primzahl p, ( ) ∑ ( ∞ ) ∞ 1 1 1 1 ∑ 1 − log 1 − = ≤ + 2 p mpm p p ph m=1

1 1 = + 2× p p <

h=0

1

1 1 = + 1 p p(p − 1) 1− p

1 1 + · p (p − 1)2

I. Die Funktion π(x)

167

Somit ist N ∑ ∏ 1 log ≤ log n n=1

p≤N

≤

∑1 p

p

+

1 1−

1 p

≤

∑1 ∑ 1 + p (p − 1)2

p≤N

p≤N

∞ ∑ 1 · n2 n=1

∑ 2 Aber die Reihe ∞ n=1 (1/n ) ist konvergent. ∑∞ Da N beliebig war und die harmonische∑ Reihe divergiert, ist log n=1 (1/n) = ∞ und deshalb divergiert auch p (1/p). ∑ 2 Wie im Beweis erw¨ ahnt, ist die Reihe ∞ n=1 (1/n ) konvergent. Daher k¨onnte man etwas vage ausgedr¨ uckt sagen, dass die Primzahlen nicht so d¨ unn ges¨ at sind wie die Quadratzahlen. Eine der wunderbaren Entdeckungen von Euler ist die Summe dieser Reihe: ∞ ∑ 1 π2 = . n2 6 n=1 ∑ 2k Euler wertete auch die Summen ∞ ur jedes k ≥ 1 aus, n=1 (1/n ) f¨ womit ein recht schwer greifbares Problem gel¨ost war. Dazu bediente er sich der Bernoulli-Zahlen, die wie folgt deﬁniert sind: B0 = 1,

1 B1 = − , 2

B2 =

1 , ... , 6

Bk ist nun rekursiv durch die Relation ( ) ( ) ( ) k+1 k+1 k+1 Bk + Bk−1 + · · · + B1 + B0 = 0 1 2 k gegeben. Diese Zahlen sind oﬀensichtlich rational und man kann einfach zeigen, dass B2k+1 = 0 f¨ ur jedes k ≥ 1. Die Bernoulli-Zahlen tauchen auch als Koeﬃzienten in dieser Taylorreihenentwicklung auf: ∞

∑ Bk x = xk . ex − 1 k! k=0

Unter Verwendung der Formel von Stirling, √ 1 2πnn+ 2 n! ∼ (f¨ ur n → ∞), en

168

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

l¨asst sich zudem zeigen, dass √ ( n )2n |B2n | ∼ 4 πn ; πe daher konvergiert obige Reihe im Intervall |x| < 2π. Euler hatte die Bernoulli-Zahlen bereits fr¨ uher verwendet, um Summen gleicher Potenzen aufeinander folgender Zahlen auszudr¨ ucken: n ∑

j k = Sk (n)

(k ≥ 1),

j=1

wobei

[ ( ) ( ) 1 k+1 k+1 k+1 k Sk (X) = X − B1 X + B2 X k−1 k+1 1 2 ( ) ] k+1 + ··· + Bk X . k

Zu einem ¨ahnlichen Ausdruck gelangte etwa zur gleichen Zeit auch Seki in Japan. Eulers Formel f¨ ur den Wert von ζ(2k) ist: ∞ 2k ∑ 1 k+1 (2π) B2k ζ(2k) = = (−1) . n2k 2(2k)! n=1

Insbesondere ist ζ(2) =

∞ ∑ 1 π2 = n2 6 n=1

ζ(4) =

∞ ∑ 1 π4 = , n4 90 n=1

(bereits erw¨ahnt), usw.

Euler betrachtete auch die durch k ( ) ∑ k Bk (X) = Bi X k−i i

(k ≥ 0)

i=0

deﬁnierten Bernoulli-Polynome, die man dazu verwenden k¨onnte, den Ausdruck f¨ ur Sk (X) umzuschreiben. Wichtiger aber ist ihre Anwendung auf eine weitreichende Verallgemeinerung der Abelschen Summationsformel, n¨amlich der wohlbekannten Euler-MacLaurin-Summenformel:

I. Die Funktion π(x)

169

Wenn f (x) eine stetige, beliebig oft stetig diﬀerenzierbare Funktion ist und a < b ganze Zahlen sind, dann gilt f¨ ur jedes k ≥ 1, ∫ b b k ∑ ∑ } Br { (r−1) f (n) = f (t)dt + (−1)r f (b) − f (r−1) (a) r! a n=a+1 r=1 ∫ (−1)k−1 b + Bk (t − [t])f (k) (t)dt k! a (das Symbol [t] bezeichnet wie zuvor den ganzzahligen Anteil von t). Dem Leser sei dringend angeraten, den Artikel von Ayoub, Euler and the zeta function (1974), zu konsultieren. Darin beﬁndet sich eine Beschreibung vieler einfallsreicher Entdeckungen von Euler bez¨ uglich ζ(s) – einige vollst¨ andig begr¨ undet, einige nur unter Vorausahnung sp¨aterer Arbeiten von Riemann plausibel gemacht. Legendre Den ersten ernst zu nehmenden Versuch, die Funktion π(x) zu studieren, unternahm Legendre (1808), der das Sieb des Eratosthenes verwendete, um zu zeigen, dass [ ] ∑ √ N π(N ) = π( N ) − 1 + µ(d) . d Die Summation erstreckt sich u ¨ber alle Teiler d des Produkts aller √ Primzahlen p ≤ N , µ(n) bezeichnet die bereits in Kapitel 3, Abschnitt I deﬁnierte M¨ obius-Funktion. Als Konsequenz daraus schloss Legendre, dass limx→∞ (π(x)/x) = 0, was jedoch ein eher schwaches Resultat ist. Aufgrund von Experimenten hatte Legendre bereits 1798 vermutet und 1808 erneut ge¨ außert, dass x π(x) = , log x − A(x) wobei limx→∞ A(x) = 1,08366 . . . . Vierzig Jahre sp¨ater zeigte Tschebyscheﬀ (siehe unten), dass wenn der Grenzwert limx→∞ A(x) existiert, dieser gleich 1 sein muss. Einen einfacheren Beweis f¨ ur diese Tatsache gab Pintz (1980) an. Gauß Im Alter von 15 Jahren vermutete Gauß 1792, dass π(x) und der durch ∫ x dt Li(x) = , 2 log t

170

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

deﬁnierte Integrallogarithmus asymptotisch gleich sind. Aus Li(x) ∼ x/ log x folgt daher x π(x) ∼ , log x was implizit auch von Legendre vermutet worden war. Diese Vermutung wurde schließlich best¨ atigt und ist heute als Primzahlsatz bekannt; ich werde in K¨ urze darauf zur¨ uckkommen. Die Approximation von π(x) durch x/ log x ist zwar einigermaßen gut, es ist jedoch besser, den Integrallogarithmus zu verwenden, was auch in Tabelle 14 ersichtlich wird. Tschebyscheff Ein entscheidender Fortschritt bei der Bestimmung der Gr¨oßenordnung von π(x) gelang Tschebyscheﬀ um 1850. Er bewies mit elementaren Methoden, dass es f¨ ur jedes ε > 0 ein x0 > 0 derart gibt, dass f¨ ur x > x0 , (C ′ − ε)

x x < π(x) < (C + ε) , log x log x

wobei C ′ = log

21/2 31/3 51/5 = 0,92129 . . . , 301/30

C=

6 ′ C = 1,10555 . . . . 5

Dar¨ uber hinaus zeigte Tschebyscheﬀ, dass wenn der Grenzwert von π(x) x/ log x existiert (f¨ ur x → ∞), dieser gleich 1 sein muss. Er folgerte auch, dass Legendres Approximation von π(x) nicht wahr sein kann, es sei denn, man ersetzt 1,08366 durch 1 (siehe Landaus Buch, Seite 17). Tschebyscheﬀ bewies zudem Bertrands Postulat u ¨ber die Existenz mindestens einer Primzahl zwischen einer beliebigen nat¨ urlichen Zahl n ≥ 2 und 2n. Ich werde Bertrands Postulat w¨ahrend der Vorstellung der wesentlichen Eigenschaften von π(x) noch detaillierter ∑ besprechen. Tschebyscheﬀ arbeitete mit der Funktion θ(x) = p≤x log p, die man heute Tschebyscheff-Funktion nennt. Diese tr¨agt im Prinzip dieselbe Information wie π(x), ist aber in gewisser Weise einfacher zu handhaben. Obwohl Tschebyscheﬀ dem von Gauß vermuteten fundamentalen Primzahlsatz schon recht nahe kam, dauerte es noch etwa 50 Jahre,

I. Die Funktion π(x)

171

bis der Beweis am Ende des Jahrhunderts schließlich gefunden war. W¨ahrend dieser Zeit steuerte Riemann wichtige neue Ideen bei. Riemann Riemann kam auf die Idee, die Zetafunktion auf komplexe Zahlen s mit Realteil gr¨ oßer als 1 auszudehnen, n¨ amlich ζ(s) =

∞ ∑ 1 . ns

n=1

Das Euler-Produkt beh¨ alt dabei f¨ ur komplexes s mit Re(s) > 1 nach wie vor seine G¨ ultigkeit. Unter Verwendung der Euler-MacLaurin-Summenformel l¨asst sich ζ(s) wie folgt ausdr¨ ucken: 1 1 ∑ Br + + s(s + 1) · · · (s + r − 2) s−1 2 r! r=2 ∫ ∞ 1 dx − s(s + 1) · · · (s + k − 1) Bk (x − [x]) s+k . k! x 1 k

ζ(s) =

Dabei ist k ≥ 1 eine beliebige nat¨ urliche Zahl, die Zahlen Br sind die Bernoulli-Zahlen, die man nicht mit Bk (x − [x]), dem Wert des k-ten Bernoulli-Polynoms Bk (X) an der Stelle x − [x] verwechseln sollte. Das Integral konvergiert f¨ ur Re(s) > 1 − k, und da k eine beliebige nat¨ urliche Zahl ist, bedeutet die Formel die holomorphe Fortsetzung von ζ(s) auf die ganze Ebene. ζ(s) ist u ¨berall holomorph, mit Ausnahme des einfachen Pols s = 1 mit Residuum 1, das heißt, lim (s − 1)ζ(s) = 1.

s→1

Riemann f¨ uhrte 1859 die Funktionalgleichung f¨ ur die Zetafunktion ein. Da die Funktionalgleichung die Gamma-Funktion Γ(s) enth¨alt, soll diese nun zun¨ achst deﬁniert werden, was f¨ ur Re(s) > 0 bequem anhand des Eulerschen Integrals erfolgen kann: ∫ ∞ Γ(s) = e−u us−1 du. 0

F¨ ur beliebige komplexe Zahlen s kann man die Deﬁnition durch ∞ 1 ∏ es/n Γ(s) = γs s , se n=1 1 + n

172

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

ersetzen, wobei γ die Eulersche Konstante ist: ( ) 1 1 γ = lim 1 + + · · · + − log n = 0,577215665 . . . . n→∞ 2 n Eulers Konstante, von den Italienern mit gutem Grund auch Mascheronis Konstante genannt, ist durch die folgende Formel von Mertens mit dem Euler-Produkt verbunden: n 1 ∏ n→∞ log pn

eγ = lim

1

1 i=1 1 − pi

.

Γ(s) nimmt niemals den Wert 0 an; die Funktion ist mit Ausnahme der einfachen Pole an den Stellen 0, −1, −2, −3, . . . u ¨berall holomorph. F¨ ur jede positive ganze Zahl n ist Γ(n) = (n − 1)!, das heisst, die Gamma-Funktion stellt eine Erweiterung der Fakult¨atsfunktion dar. Sie erf¨ ullt viele interessante Relationen, darunter zum Beispiel die Funktionalgleichungen Γ(s)Γ(1 − s) = und

π , sin πs

Γ(s + 1) = sΓ(s),

( ) √ 1 π Γ(s)Γ s + = 2s−1 Γ(2s). 2 2

Hier nun die Funktionalgleichung f¨ ur die Riemannsche Zetafunktion: ( ) (s) 1−s −s/2 −(1−s)/2 π Γ ζ(s) = π Γ ζ(1 − s). 2 2 Aus der Funktionalgleichung folgt zum Beispiel, dass ζ(0) = − 12 . Die Nullstellen der Zetafunktion sind: (a) Einfache Nullstellen an den Punkten −2, −4, −6, . . ., die man triviale Nullstellen nennt. (b) Nullstellen auf dem kritischen Streifen der nichtreellen komplexen Zahlen s mit 0 ≤ Re(s) ≤ 1. In der Tat gilt nach Eulers Produkt ζ(s) ̸= 0, wenn Re(s) > 1. Falls Re(s) < 0, dann Re(1 − s) > 1 und die rechte Seite der Funktionalgleichung ist ungleich Null, so dass die Nullstellen genau s = −2,−4, −6, . . . sein m¨ ussen, und dies sind die Pole von Γ(s/2).

I. Die Funktion π(x)

173

Die Kenntnis der Nullstellen der Zetafunktion hat einen tiefgreifenden Einﬂuss auf das Verst¨ andnis der Verteilung der Primzahlen. Man kann zun¨achst feststellen, dass die Nullstellen im kritischen Streifen nicht reell sind und zudem symmetrisch zur reellen Achse und der vertikalen Geraden Re(x) = 12 liegen. Riemann vermutete, dass alle nichttrivialen Nullstellen ρ von ζ(s) auf der kritischen Geraden Re(s) = 12 liegen, das heißt, ρ = 12 + iγ. Dies ist die ber¨ uhmte, bis heute unbewiesene Riemannsche Vermutung. Es handelt sich hierbei zweifelsfrei um eines der schwierigsten und wichtigsten Probleme der Zahlentheorie und sicher auch der gesamten Mathematik. Ich werde in K¨ urze darauf zur¨ uckkommen und von einigen modernen Entwicklungen berichten. An dieser Stelle soll kurz umrissen werden, wie Riemann zu einer genaueren Absch¨ atzung f¨ ur π(x) gelangte. Er z¨ahlte auch Primzahlpotenzen pn und gab ihnen ein Gewicht 1/n. Das heißt, er deﬁnierte f¨ ur jede reelle Zahl x > 0 den Ausdruck J(x) = π(x) +

1 1 1 π(x1/2 ) + π(x1/3 ) + π(x1/4 ) + · · · . 2 3 4

Man beachte, dass die Summanden gleich 0 sind, sobald 2n > x, so dass obiger Ausdruck f¨ ur jedes x eine endliche Summe ist. Unter Zuhilfenahme der M¨ obius-Funktion sowie der M¨obiusschen Umkehrformel erh¨alt man ∞ ∑ µ(n) π(x) = J(x1/n ) n n=1

(wiederum eine endliche Summe). Der wesentliche Teil der Arbeit war, eine analytische Formel f¨ ur J(x) in Form von Termen des Integrallogarithmus mit komplexen Argumenten zu ﬁnden. Es sei w = u + iv und z deﬁniert als πi, −πi oder 0, je nachdem, ob v > 0, v < 0 oder v = 0. Nach Deﬁnition, ∫ w

Li(e ) = C

et dt, t

wobei C die horizontale Linie C = {s + iv | −∞ < s ≤ u} ist. Riemann gelang es, die folgende fundamentale analytische Formel f¨ ur die Funktion J(x) zu beweisen: F¨ ur alle x > 0, ∫ ∞ ∑ dt J(x) = Li(x) − Li(xρ ) − log 2 + ; 2 − 1) log t t(t x ρ

174

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

wobei die Summe u ¨ber alle nichttrivialen Nullstellen ρ der Zetafunktion in der oberen Halbebene l¨ auft. Einsetzen von J(x1/n ) in die Formel f¨ ur π(x) f¨ uhrt zum folgenden Ausdruck f¨ ur π(x), aufgebaut aus Termen des Integrallogarithmus: π(x) =

∞ ∑ µ(n) n=1

n

Li(x1/n ) + Terme, die die Nullstellen beinhalten.

Sicher stellte die Rechtfertigung der heiklen analytischen Schritte hin zu dieser Darstellung selbst f¨ ur Riemann eine Herausforderung dar; zudem ist die Absch¨ atzung der Terme, die von den Nullstellen ρ abh¨angen, sehr schwierig. Ungeachtet dessen liefert die RiemannFunktion ∞ ∑ µ(n) R(x) = Li(x1/n ) n n=1 eine exzellente Absch¨ atzung f¨ ur π(x), wie durch Berechnungen best¨atigt wurde (siehe auch Tabelle 14). Die Riemann-Funktion l¨ asst sich mit Hilfe der schnell konvergierenden Potenzreihe von Gram (1893) berechnen: R(x) = 1 +

∞ ∑ n=1

1 (log x)n × . nζ(n + 1) n!

Die Arbeit von Riemann zur Primzahlverteilung wird in dem uneingeschr¨ankt zu empfehlenden Buch von Edwards (1974) gr¨ undlich behandelt. Weitere B¨ ucher u ¨ber die Riemannsche Zetafunktion sind die klassische Abhandlung von Titchmarsh (1951), sowie die neueren B¨ande von Ivi´c (1985) und Patterson (1988). de la Vall´ ee Poussin und Hadamard Riemann stellte viele der Werkzeuge f¨ ur den Beweis des fundamentalen Primzahlsatzes x π(x) ∼ log x zur Verf¨ ugung. Andere Werkzeuge kamen aus der komplexen Funktionentheorie, die sich damals in einer Bl¨ utezeit befand. Der Beweis des Primzahlsatzes wurde zum meistgesuchten“ Beweis ” erkoren und man behauptete, dass der, der ihn ﬁndet, unsterblich werden w¨ urde. Der Satz wurde schließlich nicht von einem, sondern von zwei hervorragenden Analytikern bewiesen, und zwar unabh¨angig voneinander

I. Die Funktion π(x)

175

im selben Jahr (1896). Nein, sie wurden zwar nicht unsterblich, wie dies in einigen griechischen Legenden der Fall ist. Aber fast! Hadamard wurde 98 Jahre alt, de la Vall´ee Poussin lebte fast so lang, er wurde 96. De la Vall´ee Poussin kam zu folgendem Ergebnis: Es gibt c > 0 und t0 = t0 (c) > e2c derart, dass ζ(s) ̸= 0 f¨ ur jedes s = σ + it im Bereich:  c  ≤ σ ≤ 1, wenn |t| ≤ t0 , 1 − log t0 c  1 − ≤ σ ≤ 1, wenn t0 ≤ |t|. log |t| Insbesondere ist ζ(1 + it) ̸= 0 f¨ ur jedes t, wie von Hadamard gezeigt. Die Bestimmung eines großen, nullstellenfreien Bereichs f¨ ur ζ(s) war von entscheidender Bedeutung beim Beweis des Primzahlsatzes. Hadamard und de la Vall´ee Poussin bewiesen jedoch nicht nur den Primzahlsatz, sondern gaben auch eine Absch¨atzung f¨ ur den Fehlerterm an: √ ( ) π(x) = Li(x) + O xe−A log x , mit einer positiven Konstanten A. Ich werde bald berichten, wie man durch Erweiterung des nullstellenfreien Bereichs der Zetafunktion zu einer besseren Absch¨ atzung des Fehlerterms gelangen kann. Es gibt inzwischen viele Varianten des Beweises, die auf analytischen Methoden beruhen. Sie sind in verschiedenen Artikeln und B¨ uchern beschrieben; siehe zum Beispiel Grosswald (1964). Ein besonders einfacher Beweis stammt von Newman (1980). Man kann den Primzahlsatz in anderer Form ¨aquivalent ausdr¨ ucken. Unter Verwendung der Tschebyscheﬀ-Funktion lautet der Satz so: θ(x) ∼ x. Eine weitere Formulierung beinhaltet die summatorische Funktion der von Mangoldt-Funktion. Es sei { log p wenn n = pν (ν ≥ 1) und p eine Primzahl ist, Λ(n) = 0 sonst. Diese durch von Mangoldt eingef¨ uhrte Funktion hat die folgende interessante Eigenschaft im Zusammenhang mit der logarithmischen Ableitung der Zetafunktion: ∞

ζ ′ (s) ∑ Λ(n) − = , ζ(s) ns n=1

f¨ ur Re(s) > 1.

176

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

Sie steht auch in Verbindung mit der Funktion J(x), die schon einmal in Erscheinung getreten war: J(x) =

∑ Λ(n) . log n

n≤x

Die summatorische Funktion von Λ(n) ist deﬁniert als ∑ ψ(x) = Λ(n). n≤x

Diese l¨asst sich leicht in Form von Termen der Tschebyscheﬀ-Funktion ausdr¨ ucken: ψ(x) = θ(x) + θ(x1/2 ) + θ(x1/3 ) + · · · . Der Primzahlsatz l¨ asst sich auch so formulieren: ψ(x) ∼ x. Erd¨ os und Selberg Man glaubte eine lange Zeit, dass sich die Verwendung analytischer Methoden beim Beweis des Primzahlsatzes nicht vermeiden ließe. Umso erstaunter war die mathematische Welt, als sowohl Erd¨os als auch Selberg 1949 zeigten, wie man den Primzahlsatz mit ausschließlich elementaren Absch¨ atzungen von arithmetischen Funktionen beweisen kann. Viele solcher Absch¨ atzungen waren bereits bekannt gewesen, so zum Beispiel ( ) ∑1 1 = log x + γ + O , wobei γ die Euler-Konstante ist, n x n≤x ( ) ∑ 1 x1−σ 1 = + ζ(σ) + O , wobei σ > 1, nσ 1−σ xσ n≤x ∑ log n = x log x − x + O(log x), n≤x

( ) ∑ log n 1 log x 2 = (log x) + C + O . n 2 x

n≤x

Obige Absch¨ atzungen kann man mit Hilfe der Summationsformeln von Abel oder Euler-MacLaurin gewinnen, sie haben an sich keine

I. Die Funktion π(x)

177

arithmetische Bedeutung. Die folgenden Summen, die Primzahlen enthalten, sind schon interessanter: ∑ log p p

p≤x

∑1 p≤x

p

= log x + O(1), (

= log log x + C + O

1 log x

) ,

mit C = 0,2615 . . . ,

∑ Λ(n) = log x + O(1), n

n≤x

∑ Λ(n) log n 1 = (log x)2 + O(log x). n 2

n≤x

Selberg gelangte 1949 zu folgender Absch¨atzung: ∑ p≤x

(log p)2 +

∑

(log p)(log q) = 2x log x + O(x),

pq≤x

wobei p, q Primzahlen sind. Diese Absch¨ atzung ist jeweils ¨ aquivalent zu den folgenden: ∑ (x) θ(x) log x + θ log p = 2x log x + O(x), p p≤x ∑ ∑ Λ(n) log n + Λ(m)Λ(n) = 2x log x + O(x). n≤x

mn≤x

Aufgrund seiner Absch¨ atzung war Selberg in der Lage, einen elementaren Beweis des Primzahlsatzes anzugeben. Zur gleichen Zeit fand Erd¨os, ebenfalls unter Verwendung einer Variante von Selbergs Absch¨atzung ( ) ψ(x) 1 ∑ ψ(x/n) Λ(n) 1 + =2+O , x log x x/n n log x n≤x

mit Hilfe einer anderen elementaren Methode seinen Beweis des Primzahlsatzes. Diamond & Steinig fanden 1970 einen elementaren Beweis, der zudem einen expliziten Fehlerterm enth¨ alt. Diamond (1982) ver¨oﬀentlichte einen maßgeblichen, detaillierten Artikel u ¨ber elementare Methoden bei der Verteilung von Primzahlen.

178

B

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

Summen unter Einschluss der M¨ obius-Funktion

Schon bevor M¨ obius die Funktion µ(n) formal deﬁniert hatte, war sie von Euler untersucht worden. Er 1748 auf Grundlage expe∑vermutete ∞ rimenteller Berechnungen, dass n=1 µ(n)/n gegen 0 konvergiert. Von Mangoldt bewies diese Vermutung als Anwendung des Primzahlsatzes. Tats¨achlich gilt sogar die Umkehrung: Die Konvergenz der Reihe gegen 0 impliziert den Primzahlsatz. Des Weiteren gilt f¨ ur jedes s mit Re(s) > 1, ∞ ∑ µ(n) n=1

ns

=

1 . ζ(s)

Insbesondere folgt mit s = 2 f¨ ur jedes x > 1, ( ) ∑ µ(n) 6 1 = 2 +O . 2 n π x n≤x

Die summatorische Funktion der M¨ obius-Funktion ist die MertensFunktion ∑ M (x) = µ(n). n≤x

Man kann zeigen, dass der Primzahlsatz auch gleichbedeutend damit ist, dass limx→∞ M (x)/x = 0. Details zu den vorangegangenen Aussagen ﬁnden sich in den B¨ uchern von Landau (1909), Ayoub (1963) oder Apostol (1976). Daboussi fand 1984 einen elementaren Beweis f¨ ur limx→∞ M (x)/x = 0 und damit auch einen weiteren elementaren Beweis des Primzahlsatzes, ohne auf Selbergs Ungleichung zur¨ uckgreifen zu m¨ ussen. Was die Gr¨oßenordnung von M (x) angeht, so vermutete Mertens √ selbst, dass |M (x)| < x. Klassische Zahlentheoretiker wie Stieltjes und Hadamard waren an der Untersuchung dieses wichtigen und schwierigen Problems beteiligt. Schließlich gelang es Odlyzko & te Riele 1985, die Vermutung zu widerlegen. Sie zeigten, dass M (x) lim sup √ > 1,06, x x→∞

M (x) lim inf √ < −1,009 . x→∞ x

In einem 1987 erschienenen Artikel von Pintz beﬁndet sich ein Beweis, in dem ein eﬀektives x0 mit log x0 < 3,21 × 104 angegeben ist, f¨ ur das die Mertenssche Vermutung falsch wird. Details dazu ﬁnden sich im Artikel von te Riele (1985).

I. Die Funktion π(x)

C

179

Primzahltabellen

Ich werde mein Augenmerk nun auf Primzahltabellen sowie Tabellen von Faktoren von Zahlen richten, die nicht durch 2, 3 oder 5 teilbar sind. Die ersten umfangreicheren Tabellen stammen von Brancker 1668 (Tabelle der kleinsten Faktoren der Zahlen bis 100 000), Kr¨ uger 1746 (Primzahlen bis 100 000), Lambert 1770 (Tabelle der kleinsten Faktoren der Zahlen bis 102 000), Felkel 1776 (Tabelle der kleinsten Faktoren der Zahlen bis 408 000), Vega 1797 (Primzahlen bis 400 031), Chernac 1811 (Primfaktoren von Zahlen bis 1 020 000) und Burckhardt 1816/7 (kleinste Faktoren der Zahlen bis 3 036 000). Sowohl Legendre als auch Gauß begr¨ undeten ihre empirischen Beobachtungen auf den jeweils vorhandenen Tabellen. Nach und nach wurden die Tabellen erweitert. Im Jahre 1856 legte Crelle der Berliner Akademie eine Tabelle aller Primzahlen bis 6 000 000 vor. Diese Arbeit wurde vor 1861 von Dase auf alle Primzahlen bis 9 000 000 ausgedehnt. Die erstaunlichste Leistung in diesem Zusammenhang erbrachte Kulik, der eine Tabelle der Faktoren aller Zahlen bis 100 330 220 anfertigte (außer den Vielfachen von 2, 3, 5), erschienen unter dem Titel Magnus Canon Divisorum pro omnibus numeris per 2, 3 et 5 non divisibilibus, et numerorum primorum interfacentium ad millies centena millia accuratius ad 100 300 201 usque. Kulik verbrachte etwa 20 Jahre mit der Erstellung dieser Tabelle. Nach seinem Tod im Jahre 1863 wurde das 8-b¨andige Werk mit insgesamt 4212 Seiten bei der Akademie der Wissenschaften in Wien hinterlegt (im Februar 1867). Im Jahre 1909 ver¨ oﬀentlichte D. N. Lehmer eine Tabelle der Faktoren aller Zahlen bis etwa 10 000 000, eine Liste aller Primzahlen bis zu dieser Grenze folgte 1914. In diesem Fall fanden die B¨ande weite Verbreitung und waren den Mathematikern somit leicht zug¨anglich. Mit dem Aufkommen von Computern wurden viele Tabellen auf Magnetband verf¨ ugbar. Sie lassen sich zudem mit Hilfe des Siebs des Eratosthenes in jedem Intervall vern¨ unftiger Gr¨oße einfach erstellen. Den treuen Lesern, die bis zu dieser Stelle gekommen sind, habe ich diesem Buch als Zeichen der Anerkennung und zu ihrer gr¨oßten Annehmlichkeit eine Tabelle aller Primzahlen bis 10000 angef¨ ugt, sie folgt direkt auf das Literaturverzeichnis. Am¨ usieren Sie sich gut!

180

D

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

Exakte Werte von π(x) und Vergleiche mit x/ log x, Li(x) und R(x)

Berechnung des genauen Wertes von π(x) Genaue Werte von π(x) lassen sich durch direktes Z¨ahlen in Tabellen gewinnen. Oder aber durch eine geniale Methode, die sich Meissel 1871 ausdachte und die es ihm erlaubte, weit u ugbarer ¨ber den Umfang verf¨ Tabellen hinaus zu gehen. Um π(x) zu berechnen, setzt die Methode die Kenntnis der Primzahlen p ≤ x1/2 sowie von Werten π(y) f¨ ur y ≤ x2/3 voraus. Sie beruht auf der Formel ∑ s(s − 1) π(x) = φ(x, m) + m(s + 1) + −1− π 2 s

i=1

(

x pm+i

) ,

wobei m = π(x1/3 ), n = π(x1/2 ), s = n − m und φ(x, m) die Anzahl derjenigen Zahlen a ≤ x angibt, die nicht durch 2, 3, . . . , pm teilbar sind. Auch wenn die Berechnung von φ(x, m) f¨ ur großes m lange dauert, ist sie doch nicht besonders schwierig. Die Berechnung basiert auf den folgenden einfachen Tatsachen: Rekursionsrelation. ([ φ(x, m) = φ(x, m − 1) − φ

] ) x ,m − 1 . pm

Divisionseigenschaft. Wenn Pm = p1 p2 · · · pm sowie 0 ≤ r < Pm und a ≥ 0, dann φ(aPm + r, m) = aφ(Pm ) + φ(r, m). Symmetrieeigenschaft. Wenn 12 Pm < r < Pm , dann φ(r, m) = φ(Pm ) − φ(Pm − r − 1, m). Meissel bestimmte 1885 die Zahl π(109 ) (fand jedoch einen Wert, der um 56 zu klein war). Einen einfachen Beweis von Meissels Formel gab Brauer 1946 an. Lehmer verbesserte und erweiterte 1959 die Methode von Meissel. Lagarias, Miller & Odlyzko gelang im Jahre 1985 durch den Einbau neuer Siebmethoden eine weitere Verbesserung. Zunehmend große Werte von π(x) wurden in den nachfolgend genannten Jahren bekannt gegeben:

I. Die Funktion π(x)

181

1985: π(4 × 1016 ) von Lagarias, Miller & Odlyzko, 1994: π(1018 ) von Del´eglise und Rivat (ver¨oﬀentlicht 1996), 1996: π(1020 ) von Del´eglise, 2000: π(1021 ) von Gourdon, 2001: π(4 × 1022 ) von Gourdon und Demichel. Die folgende Tabelle zeigt neben den Werten von π(x) auch die Vergleichswerte x/ log x, Li(x) und R(x). Tabelle 14. Werte von π(x) und ein Vergleich mit x/ log x, Li(x) und R(x) x 108 109 1010 1011 1012 1013 1014 1015 1016 1017 1018 1019 1020 1021 1022

π(x)

(x/ log x) − π(x)

Li(x) − π(x)

R(x) − π(x)

5 761 455 −332 774 754 97 50 847 534 −2 592 592 1 701 −79 455 052 511 −20 758 030 3 104 −1 828 4 118 054 813 −169 923 160 11 588 −2 318 37 607 912 018 −1 416 705 193 38 263 −1 476 346 065 536 839 −11 992 858 452 108 971 −5 773 3 204 941 750 802 −102 838 308 636 314 890 −19 200 29 844 570 422 669 −891 604 962 453 1 052 619 73 218 279 238 341 033 925 −7 804 289 844 393 3 214 632 327 052 2 623 557 157 654 233 −68 883 734 693 929 7 956 589 −598 255 24 739 954 287 740 860 −612 483 070 893 537 21 949 555 −3 501 366 234 057 667 276 344 607 −5 481 624 169 369 961 99 877 775 23 884 333 2 220 819 602 560 918 840 −49 347 193 044 659 702 222 744 643 −4 891 825 21 127 269 486 018 731 928 −446 579 871 578 168 707 597 394 254 −86 432 204 201 467 286 689 315 906 290 −4 060 704 006 019 620 994 1 932 355 208 −127 132 665

Rekord Der gr¨oßte bisher berechnete Wert von π(x) wurde von T. Oliveira e Silva im Dezember 2008 bestimmt und betr¨agt π(1023 ) = 1 925 320 391 606 803 968 923. Dabei wurden auch die Zwischenwerte π(h × 1022 ) f¨ ur h = 1, 2, . . . , 9 ¨ festgehalten, die f¨ ur h = 1, 2, 4 eine genaue Ubereinstimmung mit fr¨ uher ermittelten Werten zeigten. Man hat u ur welche Argumente x die Funk¨brigens auch errechnet, f¨ tion π(x) den runden Wert einer Zehnerpotenz annimmt. Der zur Zeit h¨ochste Wert dieser Art ist π(465 675 465 116 607 065 549) = 1019 .

182

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

Vergleich von π(x) mit x/ log x Bereits an fr¨ uherer Stelle hatte ich Tschebyscheﬀs Ungleichungen f¨ ur π(x) erw¨ahnt, die er vor der Zeit des Primzahlsatzes mit elementaren Methoden gewonnen hatte. Sylvester entwickelte 1892 Tschebyscheﬀs Methode weiter und gelangte zu den Absch¨atzungen x x 0,95695 < π(x) < 1,04423 log x log x f¨ ur jedes hinreichend große x (siehe auch Langevin, 1977). Erd¨os gab einen eleganten, f¨ ur Unterrichtszwecke geeigneten Beweis der schw¨acheren Ungleichungen (log 2 − ε)

x x < π(x) < (log 4 + ε) , log x log x

die f¨ ur jedes ε > 0 und alle hinreichend großen x gelten. Mit Hilfe einer sehr genauen Analyse fanden Rosser & Schoenfeld 1962 die Absch¨ atzungen ( ) x 1 1+ < π(x) f¨ ur x ≥ 59 log x 2 log x und

x π(x) < log x

(

3 1+ 2 log x

) f¨ ur x > 1.

In seiner Dissertation verfeinerte Dusart (1998) diese und weitere Ergebnisse aus der Literatur und zeigte ( ) x 1 1+ ≤ π(x) log x log x f¨ ur x ≥ 599, sowie x π(x) ≤ log x

( ) 1,2762 1+ log x

f¨ ur x > 1. Bemerkenswert auch die von Dusart ermittelten Ungleichungen x π(x) < f¨ ur x > 60184, log x − 1,1 x π(x) > f¨ ur x > 5393. log x − 1 Aus den Resultaten von Rosser & Schoenfeld (1962) folgt, dass π(x) ≥ x/ log x, sobald x ≥ 11.

I. Die Funktion π(x)

183

Vergleich von π(x) mit Li(x) Wie Gauß 1849 an J.F. Encke schrieb, hatte er bereits seit vielen Jah” ren“ alle Primzahlen bis 3×106 abgez¨ ahlt und mit dem Integralwerth ” verglichen“ und dabei festgestellt, dass π(x) f¨ ur alle x unterhalb dieser Grenze kleiner als Li(x) bleibt. Seitdem wurde vermutet, dass dies f¨ ur alle x gilt – bis Littlewood 1914 bewies, dass die Diﬀerenz Li(x) − π(x) unendlich oft das Vorzeichen wechselt! Unter der Annahme der Riemannschen Vermutung (siehe den folgenden Teil E) zeigte Skewes 1933, dass der erste Vorzeichenwechsel 1034

f¨ ur ein x < 1010 auftreten muss. Diese Zahl war lange Zeit daf¨ ur ber¨ uhmt, die gr¨ oßte zu sein, die in der Mathematik auf eine einigermaßen nat¨ urliche Weise auftaucht. Mit Hilfe einer anderen Methode, die bestimmte Kenntnisse u ¨ber die nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion voraussetzt, konnte Lehman (1966) zeigen, dass es zwischen 1,53 × 101165 und 1,65 × 101165 mindestens 10500 Zahlen x gibt, f¨ ur die π(x) > Li(x) gilt. Man kennt heute, sogar ohne die Riemannsche Vermutung vorauszusetzen, wesentlich kleinere Schranken f¨ ur den ersten Vorzeichenwechsel der Diﬀerenz Li(x) − π(x). In einer erstmals 1986 erw¨ ahnten Berechnung (ver¨oﬀentlicht 1987) zeigte te Riele, dass es schon zwischen 6,62 × 10370 und 6,69 × 10370 mehr als 10180 aufeinander folgende Zahlen x mit π(x) > Li(x) gibt.

Rekord Im Jahre 2000 zeigten Bays & Hudson, dass es in der N¨ahe von 1,39822 × 10316 mindestens 10153 Zahlen x gibt, f¨ ur die π(x) gr¨oßer als Li(x) ist. Der Beweis erforderte die Kenntnis, mit einer gewissen Genauigkeit, der ersten 106 nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion sowie die Gewissheit, dass s¨amtliche Nullstellen σ + it mit t < 107 auf der kritischen Geraden liegen. Dies war durch Berechnungen von A. Odlyzko und anderen sichergestellt.

E

Die nichttrivialen Nullstellen von ζ(s)

Zur Erinnerung: Die Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion sind die trivialen Nullstellen −2, −4, −6, . . ., sowie die nichttrivialen Nullstellen σ + it, mit 0 ≤ σ ≤ 1, das heißt, Nullstellen auf dem kritischen Streifen. Zun¨achst werde ich die Nullstellen im ganzen kritischen Streifen betrachten, danach die auf der kritischen Geraden Re(s) = 12 .

184

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

Da ζ(s) = ζ(s) (wobei der Balken die komplex konjugierte Zahl bedeutet), liegen die Nullstellen symmetrisch zur reellen Achse; es reicht also, die Nullstellen in der oberen H¨ alfte des kritischen Streifens zu betrachten. F¨ ur jedes t > 0 kann die Zetafunktion nur endlich viele Nullstellen (oder gar keine) der Form σ + it annehmen (f¨ ur eine reelle Zahl σ). Daher ist es m¨ oglich, die nichttrivialen Nullstellen der Zetafunktion aufzuz¨ahlen: ρn = σn + itn , mit 0 < t1 ≤ t2 ≤ t3 ≤ . . . . F¨ ur jedes T > 0 bezeichne N (T ) die Anzahl der Nullstellen ρn = σn + itn auf dem kritischen Streifen, mit 0 < tn ≤ T . Ebenso sei N0 (T ) die Anzahl der Nullstellen 12 + it der Riemannschen Zetafunktion, die auf der kritischen Geraden liegen, wobei 0 < t ≤ T . Nat¨ urlich ist N0 (T ) ≤ N (T ) und Riemanns Vermutung ist gleichbedeutend damit, dass N0 (T ) = N (T ) f¨ ur jedes T > 0. Hier die wichtigsten Resultate u ¨ber N (T ). Zun¨achst vermutete Riemann, sp¨ater durch von Mangoldt bewiesen: { ( ) } T T N (T ) = log − 1 + O(log T ). 2π 2π Es folgt, dass es unendlich viele Nullstellen auf dem kritischen Streifen gibt. Alle bekannten nichttrivialen Nullstellen von ζ(s) sind einfach und liegen auf der kritischen Geraden. Montgomery zeigte 1973 unter Annahme der Riemannschen Vermutung, dass mindestens zwei Drittel der nichttrivialen Nullstellen einfach sind. Levinson bewies 1974, dass mindestens ein Drittel der nichttrivialen Nullstellen von Riemanns Zetafunktion auf der kritischen Geraden liegen. Genauer gilt f¨ ur gen¨ ugend großes T , L = log(T /2π) und 10 U = T /L , dass N0 (T + U ) − N0 (T ) >

) 1( N (T + U ) − N (T ) . 3

Conrey verbesserte dieses Resultat 1989 und konnte 13 durch 25 ersetzen. Inzwischen wurden umfangreiche Berechnungen der Nullstellen von ζ(s) durchgef¨ uhrt. Zun¨ achst berechnete Gram 1903 die ersten 15 Nullstellen (das heißt, ρn f¨ ur 1 ≤ n ≤ 15). Titchmarsh fand 1935 die Nullstellen ρn f¨ ur n ≤ 1041. Zu Beginn des Computerzeitalters erreichte Lehmer n = 35 337. Bis 1969 hatten Rosser, Yohe & Schoenfeld die ersten 3 500 000 Nullstellen berechnet.

I. Die Funktion π(x)

185

Nur damit sie diesem Buch nicht in sch¨andlicher Weise fern bleibt, hier eine Tabelle der kleinsten Nullstellen ρn = 12 + itn , tn > 0: Tabelle 15. Nichttriviale Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion n

tn

n

tn

n

tn

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

14,134725 21,022040 25,010858 30,424876 32,935062 37,586178 40,918719 43,327073 48,005151 49,773832

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

52,970321 56,446248 59,347044 60,831779 65,112544 67,079811 69,546402 72,067158 75,704691 77,144840

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

79,337375 82,910381 84,735493 87,425275 88,809111 92,491899 94,651344 95,870634 98,831194 101,317851

In Edwards’ Buch (1974) ﬁndet sich eine detaillierte Erkl¨arung der Methode von Gram, Backlund, Hutchinson und Haselgrove zu deren Berechnung der kleinsten 300 Nullstellen von ζ(s). Wagon fasste 1986 die wesentlichen Informationen in einem kurzen Bericht zusammen. Mit der Arbeit von Brent begann 1977 eine erhebliche Ausdehnung der Berechnungen, siehe Brent (1979). Das zuletzt ver¨oﬀentlichte Resultat stammt von van de Lune, te Riele & Winter (1986), die feststellten, dass die ersten 1 500 000 001 nichttrivialen Nullstellen von ζ(s) s¨amtlich einfach sind, auf der kritischen Geraden liegen und einen Imagin¨arteil 0 < t < 545 439 823,215 haben. Dieses Resultat erforderte u ¨ber 1000 Stunden Rechenzeit auf einem der schnellsten Computer, die zu dieser Zeit existierten.

Rekord X. Gourdon und P. Demichel berechneten 2004 die ersten 10 Billionen nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion, ohne dabei ein Gegenbeispiel zur Riemannschen Vermutung zu entdecken. Der betreﬀende Imagin¨ arteil t erstreckte sich dabei bis etwa 2,446 × 1012 . Zuvor hatte S. Wedeniwski zusammen mit einem großen Team von Helfern die ersten 100 Milliarden nichttrivialen Nullstellen von ζ(s) berechnet und dabei Riemanns Vermutung f¨ ur alle t mit 0 < t < 29 538 618 432,236 veriﬁziert. Im Jahre 1988 fanden Odlyzko & Sch¨ onhage eine schnelle Methode zur simultanen Berechnung einer großen Anzahl von Nullstellen der

186

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

Zetafunktion. Diese Methode wurde dazu verwendet, 10 Milliarden Nullstellen nahe der 1022 -sten Nullstelle zu bestimmen. Nach Angaben Odlyzkos (2001) liegen alle auf der kritischen Geraden und geben außerdem Anlass zu weiteren Vermutungen bez¨ uglich einer Verbindung mit Eigenwerten von Zufallsmatrizen. Odlyzko zufolge gibt es heuristische Gr¨ unde daf¨ ur, dass jedes Gegenbeispiel zur Riemannschen Vermutung (falls u ¨ berhaupt existent) sehr weit von den Bereichen entfernt ist, die mit heutigen Algorithmen erreichbar sind. Man mag sich fragen, warum es so wichtig w¨are zu wissen, dass sich alle Nullstellen von ζ(s) auf der kritischen Geraden beﬁnden. Tatsache ist, dass bisher alle Versuche von Mathematikern fehlschlugen, die Riemannsche Vermutung direkt zu beweisen. Der nat¨ urliche Weg ist daher, ihre Richtigkeit anzunehmen und Konsequenzen daraus abzuleiten. Falls sich eine solche Konsequenz als falsch herausstellen sollte, so w¨ urde folgen, dass die Vermutung Riemanns falsch ist (vorausgesetzt, das Korollar wurde korrekt abgeleitet). Aber es ist genau das Gegenteil, was die Sache so spannend macht. Lang ersehnte, fantastische Resultate w¨ urden aus der Richtigkeit der Riemannschen Vermutung folgen. Nat¨ urlich ist nicht auszuschließen, dass diese Aussagen auch ohne R¨ uckgriﬀ auf Riemanns Vermutung bewiesen werden. Es soll nicht unerw¨ ahnt bleiben, dass viele der Spezialisten auf diesem Gebiet fest an die Riemannsche Vermutung glauben. Das Ableiten von Konsequenzen aus Riemanns Vermutung (nachdem wir nun so damit vertraut sind, k¨ onnen wir wie alle schreiben: die RH1 ) wurde auf weitere wichtige Bereiche der Arithmetik und auch der Geometrie ausgedehnt. Es wurden verschiedene Arten einer erweiterten Riemannschen Vermutung (ERH2 ) eingef¨ uhrt, die sich auf Verallgemeinerungen der Zetafunktion beziehen, zumeist auf die sogenannten Dirichletschen L-Funktionen. Ein Beweisansatz f¨ ur die RH geht auf Hilbert zur¨ uck, n¨amlich in einem geeigneten Hilbert-Raum einen Operator zu ﬁnden, dessen Eigenwerte mit den nichttrivialen Nullstellen der Zetafunktion zusammenfallen, und dann aufgrund von noch zu ﬁndenden Symmetrien abzuleiten, dass die Eigenwerte auf der kritischen Geraden liegen. Die große Schwierigkeit liegt darin, den richtigen Raum, Operator und die Symmetrie zu ﬁnden und schließlich die analytischen Fakten in das Bild einzuf¨ ugen. In diesem Zusammenhang sei auf die Arbeit von Connes (1996) hingewiesen. 1 Riemann’s 2 Extended

Hypothesis Riemann Hypothesis

I. Die Funktion π(x)

187

Auf der anderen Seite ergibt sich keine stichhaltige Begr¨ undung f¨ ur die Richtigkeit der RH, wenn man nur (oder sogar) weiß, dass sich alle bisher berechneten Hunderte von Milliarden Nullstellen der Zetafunktion auf der kritischen Geraden beﬁnden. Abweichungen k¨onnten sich f¨ ur viel gr¨oßere Nullstellen ergeben; ein von einer log log log-Funktion beherrschtes Verhalten oder Ph¨ anomen w¨ urde von heute m¨oglichen Berechnungen unentdeckt bleiben.

F

Nullstellenfreie Bereiche von ζ(s) und das Fehlerglied im Primzahlsatz

Die Kenntnis gr¨ oßerer nullstellenfreier Bereiche von ζ(s) f¨ uhrt zu besseren Absch¨atzungen der verschiedenen Funktionen zur Primzahlverteilung. Wie bereits angedeutet, bestimmte de la Vall´ee Poussin einen nullstellenfreien Bereich, der an einem wesentlichen Punkt seines Beweises des Primzahlsatzes zur Anwendung kam. Inzwischen gibt es viele Erweiterungen seines Resultats. Ein sehr großer nullstellenfreier Bereich, der hier nicht explizit beschrieben werden soll, wurde von Richert gefunden (und in Walﬁszs Buch ver¨ oﬀentlicht, 1963). In einem Vorabdruck von 2001 fand Kadiri (ver¨ oﬀentlicht 2005), dass die folgende Region keine Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion enth¨alt: σ ≥1−

1 5,70233 log |t|

f¨ ur |t| ≥ 3 .

Es sei angemerkt, dass es bis heute niemandem gelungen ist, die Existenz eines nullstellenfreien Bereichs von ζ(s) zu ﬁnden, der die Form {σ + it | σ ≥ σ0 } mit 12 < σ0 < 1 hat. Was auch immer u ur ζ(s) bekannt ist, ¨ber nullstellenfreie Bereiche f¨ es l¨asst sich verwenden, um eine Absch¨ atzung f¨ ur den Fehler im Primzahlsatz abzuleiten. So ermittelte Tschudakoﬀ (1936) ( α) π(x) = Li(x) + O xe−C(log x) ; mit α < 4/7 und C > 0. Von Koch zeigte 1901, dass Riemanns Vermutung ¨aquivalent zu folgender Form des Fehlerterms ist: π(x) = Li(x) + O(x1/2 log x). Auch das Wissen, dass sich viele Nullstellen von ζ(s) auf der kritischen Geraden beﬁnden, f¨ uhrt zu besseren Absch¨atzungen. So konnten

188

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

Rosser & Schoenfeld 1975 beweisen, dass 0,998684x < θ(x) < 1,001102x (die Absch¨atzung nach unten ist g¨ ultig f¨ ur x ≥ 1319007, die nach oben f¨ ur alle x). Dusart verwendete 1999 die Kenntnis von 1,5 Milliarden Nullstellen von ζ(s), um sch¨ arfere Absch¨ atzungen zu gewinnen, so zum Beispiel: F¨ ur x > 10544111, |θ(x) − x| < 0,0066788

x . log x

¨ Ahnliche Absch¨ atzungen f¨ ur die Funktion ψ(x) stammen von Rosser & Schoenfeld, sowie von Dusart. Derartige Absch¨ atzungen sind oft Verfeinerungen der Arbeit fr¨ uherer Autoren, die – wie die Rekordhalter – zeitweilig das beste Ergebnis besaßen. Es w¨are daher ungerecht, die Arbeiten von Robin (1983) und von Massias & Robin (1996) unerw¨ ahnt zu lassen.

G

Einige Eigenschaften von π(x)

Die erste diesbez¨ ugliche Aussage ist, historisch gesehen, Bertrands experimentelle Beobachtung von 1845: Zwischen n ≥ 2 und 2n gibt es immer eine Primzahl. Dies l¨asst sich ¨ aquivalent so ausdr¨ ucken: π(2n) − π(n) ≥ 1

(f¨ ur n ≥ 1),

oder auch durch pn+1 < 2pn

(f¨ ur n ≥ 1).

Diese Aussage ist unter der Bezeichnung Bertrands Postulat“ bekannt ” und wurde von Tschebyscheﬀ im Jahre 1852 als Nebenprodukt seiner Absch¨atzungen f¨ ur π(x) bewiesen. Die k¨ urzesten und vielleicht einfachsten Beweise von Bertrands Postulat stammen von Ramanujan (1919), Erd¨os (1932) und insbesondere Moser (1949). Die folgenden Ungleichungen geben genauere Auskunft: 1<

1 n 7 n < π(2n) − π(n) < 3 log n 5 log n

(f¨ ur n ≥ 5),

es gilt zudem π(4) − π(2) = 1, π(6) − π(3) = 1, π(8) − π(4) = 2.

I. Die Funktion π(x)

189

Allgemeiner bewies Erd¨ os 1949 als Korollar aus dem Primzahlsatz, dass es f¨ ur jedes λ > 1 ein C = C(λ) > 0 und x0 = x0 (λ) > 1 derart gibt, dass x π(λx) − π(x) > C , f¨ ur x ≥ x0 . log x Ich werde mich nun Absch¨ atzungen f¨ ur π(xy) und π(x+y) in Abh¨angigkeit von π(x), π(y) zuwenden. Das folgende Resultat von Ishikawa (1934) ist eine weitere Konsequenz aus Tschebyscheﬀs Satz: Falls x ≥ y ≥ 2, x ≥ 6, dann π(xy) > π(x) + π(y). Der Vergleich von π(x + y) mit π(x), π(y) ist sehr interessant. Im Jahre 1923 begr¨ undeten Hardy & Littlewood aufgrund heuristischer ¨ Uberlegungen die Vermutung. π(x + y) ≤ π(x) + π(y) f¨ ur alle x ≥ 2, y ≥ 2. Genauer ausgedr¨ uckt besagt dies: F¨ ur jedes x > 0 ist die Anzahl der Primzahlen in jedem Intervall (y, y+x] (ausgenommen y, einschließlich y + x) mit beliebigem y h¨ ochstens gleich der Anzahl der Primzahlen im Intervall (0, x]: π(y + x) − π(y) ≤ π(x). Diese Vermutung erscheint tats¨ achlich sehr vern¨ unftig, zumindest best¨atigt sie die Intuition, dass sich die Primzahlen in h¨oheren Zahlbereichen ausd¨ unnen. Es sei bemerkt, dass Rosser & Schoenfeld 1975 als Konsequenz aus ihrer scharfen Absch¨ atzung f¨ ur die Funktion θ(x) zeigten, dass π(2x) < 2π(x) f¨ ur x ≥ 5. Landau wies die Ungleichung in seiner Abhandlung von 1913 f¨ ur alle hinreichend großen x nach. Unter Verwendung tieﬂiegender Methoden konnten Montgomery & Vaughan (1973) beweisen, dass 2y π(x + y) ≤ π(x) + . log y Wie in Teil E erw¨ ahnt, hatten Rosser & Schoenfeld (1975) gezeigt, dass y/(log y) < π(y), daher π(x + y) ≤ π(x) + 2π(y). Der Nachweis der Vermutung von Hardy & Littlewood hat sich als schwieriges Problem herausgestellt. Neben den bereits aufgef¨ uhrten Ergebnissen bewies Udrescu 1975 in positiver Hinsicht: F¨ ur jedes ε > 0 gilt: Falls x, y ≥ 17 und x + y ≥ 1 + e4(1+1/ε) , dann π(x + y) < (1 + ε)(π(x) + π(y)).

190

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

Im Jahre 2002 studierte Dusart die Menge von Paaren (x, y), f¨ ur die der Ungleichungsfall der Vermutung erf¨ ullt ist. Er bewies: F¨ ur 2 ≤ x ≤ y ≤ (7/5) x log x log log x gilt π(x + y) ≤ π(x) + π(y). Es folgt, dass das Verh¨ altnis A/t2 kleiner als 5/(7 log t log log t) ist (f¨ ur 10 jedes t > e ), wobei A die Fl¨ ache der Menge aller (x, y) repr¨asentiert, f¨ ur die π(x + y) > π(x) + π(y). In negativer Hinsicht werde ich in Abschnitt IV die Verbindung zwischen der Vermutung von Hardy & Littlewood und der Prim” zahlmehrlings-Vermutung“ diskutieren und dabei ihre gegenseitige Unvertr¨aglichkeit erl¨ autern. Zwei weitere Aussagen, die noch auf ihren Beweis warten oder auch widerlegt werden m¨ ussen, sind die folgenden: Opperman behauptete 1882, dass π(n2 + n) > π(n2 ) > π(n2 − n) f¨ ur n > 1. Im Jahre 1904 a ur n ≥ ¨ußerte Brocard, dass π(p2n+1 ) − π(p2n ) ≥ 4 f¨ 2; das heißt, zwischen den Quadraten zweier aufeinander folgender Primzahlen gr¨oßer als 2 liegen mindestens vier Primzahlen. Es ist leicht zu sehen, dass sich aus der Vermutung von Opperman die Aussage ableiten l¨ asst, dass es zwischen den Quadraten zweier aufeinander folgender Zahlen mindestens zwei Primzahlen gibt. Dies wiederum w¨ urde Brocards Vermutung best¨atigen.

H

Die Verteilung der Werte von Eulers Funktion

Ich werde an dieser Stelle einige Ergebnisse zur Verteilung der Werte von Eulers Funktion zusammenstellen. Sie erg¨anzen das, was schon in Kapitel 2, Abschnitt II angegeben wurde. Zun¨achst einige Anmerkungen zum Wachstum von Eulers Funktion. Es ist einfach zu zeigen, dass n φ(n) ≥ log 2 , log(2n) insbesondere w¨ achst φ(n) f¨ ur jedes δ > 0 auf jeden Fall schneller als n1−δ . Genauer gibt es sogar f¨ ur jedes ε > 0 ein n0 = n0 (ε) derart, dass wenn n ≥ n0 , dann n φ(n) ≥ (1 − ε)e−γ . log log n Andererseits folgt aus dem Primzahlsatz, dass es unendlich viele n gibt, so dass n φ(n) < (1 + ε)e−γ . log log n

II. Die n-te Primzahl und L¨ ucken zwischen Primzahlen

191

Also

φ(n) log log n = e−γ . n Ein Beweis obiger Resultate ﬁndet sich zum Beispiel in den B¨ uchern von Landau (1909) oder Apostol (1976). Welchen Wert nimmt φ(n) ∑ im Durchschnitt an? Aus der Beziehung n = d|n φ(d) l¨ asst sich unschwer ableiten, dass lim inf

1∑ 3x φ(n) = 2 + O(log x). x π n≤x

Also ist der durchschnittliche Wert von φ(n) gleich 3n/π 2 . Als Konsequenz ergibt sich, dass die Wahrscheinlichkeit, dass zwei zuf¨allig gew¨ahlte Zahlen m, n ≥ 1 teilerfremd sind, 6/π 2 betr¨agt. Diese Punkte sind in den B¨ uchern von Hardy & Wright und Apostol (1976) sehr gut erkl¨ art.

II Die n-te Primzahl und L¨ ucken zwischen Primzahlen Die Ergebnisse des vorigen Abschnitts betrafen die Funktion π(x), ihr asymptotisches Verhalten, Vergleiche mit bekannten Funktionen und eine Auswahl weiterer Eigenschaften. Es wurden jedoch keine Aussagen u ¨ber das Verhalten von π(x) im Kleinen, u ¨ber die n-te Primzahl oder auch die Diﬀerenz zwischen aufeinander folgenden Primzahlen getroﬀen. All diese Fragen befassen sich mit den Feinheiten der Verteilung der Primzahlen und lassen viel gr¨ oßere Unregelm¨aßigkeiten erwarten.

A

Die n-te Primzahl

Ich werde nun speziell die n-te Primzahl betrachten. Aus dem Primzahlsatz folgt unmittelbar: pn ∼ n log n,

das heißt,

pn = 1. n→∞ n log n lim

Mit anderen Worten hat die n-te Primzahl f¨ ur große Indizes n ungef¨ahr die Gr¨oßenordnung von n log n. Genauer, ( ) n log log n pn = n log n + n(log log n − 1) + O . log n

192

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

F¨ ur großes n gilt also pn > n log n. Allerdings bewies Rosser 1938, dass f¨ ur jedes n > 1 gilt: n log n + n(log log n − 10) < pn < n log n + n(log log n + 8), sowie f¨ ur jedes n ≥ 1: pn > n log n. Dusart zeigte 1999, dass pn < n(log n + log log n − 0,9484) f¨ ur n > 39017 sowie pn > n(log n − log log n − 1) f¨ ur alle n > 1. Die folgenden Resultate von Ishikawa (1934) ergeben sich als Konsequenzen aus Tschebycheﬀs Satz (siehe Trosts Buch, Allgemeine Grundlagen): Falls n ≥ 2, dann ist pn + pn+1 > pn+2 ; im Falle m, n ≥ 1 gilt pm pn > pm+n . Dusart gelang es 1998, die Korrektheit der Vermutung von R. Mandl (siehe Rosser & Schoenfeld, 1975) nachzuweisen: p1 + p2 · · · + pn 1 ≤ pn f¨ ur n ≥ 9. n 2 Pomerance betrachtete in einem sehr interessanten Artikel von 1979 den Primzahlgraph, der sich aus allen Punkten (n, pn ) der Ebene (mit n ≥ 1) zusammensetzt. Er bewies Selfridges Vermutung: Es gibt unendlich viele n mit p2n > pn−i pn+i f¨ ur alle positiven i < n. Zudem existieren unendlich viele n derart, dass 2pn < pn−i + pn+i f¨ ur alle positiven i < n gilt. Eine neue, meines Wissens unver¨ oﬀentlichte Vermutung, die etwa auf das Jahr 1992 zur¨ uckgeht, wurde mir von der Autorin F. Fi1/n roozbakht mitgeteilt. Sie vermutete, dass die Folge (pn )n≥2 streng monoton f¨allt. Eine Vermutung mehr aus der anscheinend unbegrenzten Sammlung plausibler Behauptungen u ¨ber Primzahlen, s¨amtlich bis zu hohen Grenzen numerisch veriﬁziert (ansonsten w¨aren sie wohl im M¨ ulleimer der Mathematik“ gelandet). Und trotzdem k¨onnen wir ach ” so schlauen Mathematiker in so vielen F¨ allen nicht entscheiden, ob die Aussagen richtig oder falsch sind.

B

L¨ ucken zwischen Primzahlen

Der Primzahlsatz gibt Auskunft u ¨ber das Verhalten der Funktion π(x), wenn x ins Unendliche w¨ achst. Um zu einem detaillierteren Verst¨andnis der Verteilung der Primzahlen zu gelangen, ist es notwendig, die Differenzen dn = pn+1 − pn zwischen aufeinander folgenden Primzahlen zu studieren.

II. Die n-te Primzahl und L¨ ucken zwischen Primzahlen

193

Die L¨ ucke nach der Primzahl p ist die Anzahl g(p) zerlegbarer Zahlen, die direkt auf p folgen. Daher pn+1 = pn + g(pn ) + 1. Man beachte, dass g(p) f¨ ur alle p > 2 ungerade ist. Die Zahl g(pn ) ist eine maximale L¨ ucke, wenn g(pn ) > g(pk ) f¨ ur alle pk < pn . Es sei G = {m | m = g(p) f¨ ur ein p > 2} die Menge der m¨oglichen Werte von g(p). F¨ ur jedes m ∈ G sei p[m] die kleinste Primzahl p, so dass g(p) = m. In der Literatur nennt man p[m] das erstmalige Auftreten der L¨ ucke m. Beim Studium der L¨ ucken, oder gleichbedeutend der Diﬀerenz zwischen aufeinander folgenden Primzahlen, sollen die folgenden Themen behandelt werden: Das Verhalten von dn f¨ ur n gegen Unendlich, die Menge G m¨oglicher L¨ ucken, das erstmalige Auftreten einer L¨ ucke, die Wachstumsrate von dn sowie die iterierten L¨ ucken. Das Verhalten von dn fu ¨ r n gegen Unendlich Es ist einfach zu zeigen, dass lim sup dn = ∞. Das heißt, f¨ ur jedes N > 1 gibt es eine Reihe von mindestens N aufeinander folgenden zerlegbaren ganzen Zahlen; zum Beispiel (N + 1)! + 2, (N + 1)! + 3, (N + 1)! + 4, . . . , (N + 1)! + (N + 1). Tats¨achlich ﬁnden sich Reihen von N zerlegbaren Zahlen experimentell zwischen Zahlen, die viel kleiner sind als (N + 1)!. Es w¨are daher viel beachtlicher, wenn man große Diﬀerenzen dn f¨ ur kleine n f¨ande – es w¨are damit ein gr¨ oßerer Wert“ im Sinne einer noch zu ” formulierenden, pr¨ aziseren Deﬁnition verbunden. Im Gegensatz zu lim sup dn ist jede Behauptung u ¨ber lim inf dn – abgesehen von seiner Existenz – immer noch nicht entschieden. Die denkbaren M¨oglichkeiten sind: • lim inf dn = ∞. Dies bedeutet, dass es f¨ ur jedes k nur endlich viele pn gibt, f¨ ur die dn = 2k ist. Anders ausgedr¨ uckt, f¨ ur jedes k gibt es ein n0 mit der Eigenschaft: falls n > n0 , dann dn > 2k. Richtig oder falsch? • Es existiert l ≥ 1 derart, dass lim inf dn = l. Dies bedeutet, dass es unendlich viele Primzahlen pn gibt, f¨ ur die dn = l und l die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft ist. Die Korrektheit dieser Aussage ist f¨ ur kein l nachgewiesen oder widerlegt. Diese Fragen sind eng verbunden mit der Vermutung von Polignac (1849). F¨ ur jede gerade nat¨ urliche Zahl 2k, k ≥ 1, gibt es unendlich viele aufeinander folgende Primzahlen pn , pn+1 , f¨ ur die dn = pn+1 − pn = 2k.

194

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

F¨ ur den Spezialfall k = 1 beinhaltet Polignacs Vermutung die Aussage: Es gibt unendlich viele Primzahlen p derart, dass p + 2 auch eine Primzahl ist. Dies ist die ber¨ uhmte Primzahlzwillingsvermutung, die in Abschnitt III betrachtet wird. Man sollte sofort betonen, dass noch nicht einmal die folgende Aussage bewiesen ist: F¨ ur jedes k ≥ 1 gibt es ein Paar von Primzahlen p, q, so dass q − p = 2k (ohne zu fordern, dass sie aufeinander folgend sind). Die Menge G der m¨ oglichen L¨ ucken Das folgende Resultat ist eine einfache Anwendung des Primzahlsatzes und wurde von Powell als Aufgabe im American Mathematical Monthly gestellt (1983; L¨ osung von Davies 1984): F¨ ur jede nat¨ urliche Zahl M existiert eine gerade Zahl 2k derart, dass es mehr als M Paare aufeinander folgender Primzahlen mit Differenz 2k gibt. Beweis. F¨ ur hinreichend großes n betrachte die Folge von Primzahlen 3 = p2 < p3 < · · · < pn und die n − 2 Diﬀerenzen pi+1 − pi (i = 2, . . . , n − 1). Falls die Anzahl der verschiedenen Diﬀerenzen kleiner ist als [ ] n−2 , M so taucht eine der Diﬀerenzen, etwa 2k, mehr als M mal auf. Im anderen Fall ist [ ] n−2 pn − p2 ≥ 2 + 4 + · · · + 2 . M Aber die rechte Seite ist asymptotisch gleich n2 /M 2 , w¨ahrend die linke Seite nach dem Primzahlsatz asymptotisch gleich n log n ist, was nicht sein kann. Obiges Ergebnis kann man auch so ausdr¨ ucken: F¨ ur jede nat¨ urliche Zahl M existiert eine ungerade Zahl m ∈ G derart, dass g(p) = m f¨ ur mehr als M Primzahlen p gilt. Es ist unbekannt, ob jede gerade, positive Zahl als Diﬀerenz zwischen zwei aufeinander folgenden Primzahlen auftritt – dies wurde bereits in

II. Die n-te Primzahl und L¨ ucken zwischen Primzahlen

195

Verbindung mit Polignacs Vermutung erw¨ahnt. Man weiß also nicht, ob G identisch mit der Menge aller ungeraden positiven Zahlen ist. Es hat große Bem¨ uhungen gegeben, bis zu einer bestimmten Obergrenze L¨ ucken (zwischen angemessen kleinen“ Primzahlen) f¨ ur jede ” vorgegebene L¨ ange zu ﬁnden. Andererseits richten sich die Anstrengungen darauf, außergew¨ ohnlich große L¨ ucken zwischen Primzahlen ausﬁndig zu machen. Dubner entwickelte einen Algorithmus, der es ihm 2002 erm¨oglichte, f¨ ur jedes ungerade m < 10180 eine Primzahl p zu bestimmen, auf die genau m zerlegbare Zahlen folgen. In diesem Bereich ergaben sich Primzahlen p als obere Schranken f¨ ur p[m], die bis zu 398 Stellen hatten. In neuerer Zeit sind diese Ergebnisse deutlich u ¨bertroﬀen worden. T. Alm und J.K. Andersen fanden L¨ ucken f¨ ur jede L¨ange m < 18000, wobei in dem von Dubner abgedeckten Bereich die jeweiligen Primzahlen p erheblich kleiner waren. Dar¨ uber hinaus bestimmten sie f¨ ur alle weiteren m mit m < 32000 L¨ ucken, die oft nur noch der Best¨atigung bed¨ urfen, dass die Quasiprimzahl, welche die L¨ ucke nach oben begrenzt, wirklich prim ist.

Rekord Die gr¨oßte explizit bestimmte L¨ ucke zwischen zwei unmittelbar aufeinander folgenden Primzahlen besteht aus einer Reihe von 383795 zerlegbaren Zahlen, die auf die 7183-stellige Primzahl 9527×(16673#)/2310− 175622 folgen. Diese L¨ ucke wurde im M¨ arz 2010 von P. Cami identiﬁziert, der bald darauf mit Hilfe des ECPP-Programms von M. Martin auch die Primalit¨ at der beiden Endzahlen nachwies. Bereits 2004 hatten H. Rosenthal und J.K. Andersen eine L¨ ucke zwischen zwei 86853-stelligen Quasiprimzahlen entdeckt, die durch 2254929 zerlegbare Zahlen voneinander getrennt sind. Wenn es einmal gelingen sollte, die beiden begrenzenden Zahlen als Primzahlen zu best¨atigen, h¨atte man hiermit eine Megal¨ ucke bestimmt (eine L¨ ucke mit einer L¨ange von mehr als einer Million). Das erstmalige Auftreten und der Wert einer L¨ ucke In der Vergangenheit wurden immer umfangreichere Tabellen mit Werten von p[m] erstellt, aus denen sich ablesen l¨asst, welches die Primzahlen sind, auf die maximale L¨ ucken folgen. In der Reihenfolge ihres Erscheinens: Lander & Parkin (1967), Brent (1973, 1980), Young & Potler (1989) und Nicely (1999). Die Berechnungen wurden von Nicely und

196

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

T. Oliveira e Silva fortgef¨ uhrt, in Zusammenarbeit mit B. Nyman und S. Herzog. Im August 2010 waren alle Primzahlen bis N = 1,6 × 1018 untersucht.

Rekord F¨ ur p < N betr¨ agt die gr¨ oßte bekannte maximale L¨ ucke m = 1475, wobei p[1475] = 1425172824437699411. Sie wurde von Oliveira e Silva im April 2009 entdeckt. Zuvor war sein fr¨ uherer Rekord aus dem Jahre 2002, mit m = 1197, weitere sieben Male u ¨bertroﬀen worden, zumeist von ihm selbst und zweimal durch D.E. Knuth. Davor hatte Nyman die Werte m = 1183 (2002) und m = 1131 (1999) bestimmt. Fr¨ uhere maximale L¨ ucken hatten m = 803, gefunden von Young & Potler (1989), sowie m = 651, von Brent (1973). Wenn im Rahmen bestehender Tabellen m nicht als Funktionswert g(p) erscheint, dann l¨ asst sich ohne weitere Untersuchungen nicht viel sagen. Die kleinste L¨ ucke mit ungewissem erstmaligen Auftreten ist m = 1263. Die bislang beste obere Schranke 1798556720194308703 ≥ p[1263] wurde von C. Kern und Oliveira e Silva angegeben. Bez¨ uglich des asymptotischen Verhaltens von p[m] stellte Shanks √ 1964 die Vermutung auf, dass log p[m] ∼ m (wenn m gegen Unendlich l¨auft). Auf eigenen, umfangreichen Berechnungen basierend vermutete Weintraub 1991, dass √ log p[m] ∼ 1,165746 m. Wenn man die auf eine Primzahl p folgende L¨ ucke g(p) bestimmt hat (die nicht notwendigerweise erstmalig auftreten muss), liegt es nahe sich zu fragen, inwieweit diese L¨ ucke im Vergleich zu Primzahlen gleicher Gr¨oßenordnung ungew¨ ohnlich groß“ ist. Aus dem Primzahl” satz folgt, dass die durchschnittliche L¨ ucke zwischen Primzahlen in der N¨ahe von p etwa gleich log p ist. Der Wert einer L¨ ucke g(p) ist deﬁniert als g(p)/ log p: Je gr¨ oßer ihr Wert, desto ungew¨ohnlicher die L¨ ucke. Die L¨ ucke mit dem gr¨ oßten bekannten Wert, der 35,29 betr¨agt, ist die oben genannte maximale L¨ ucke mit g(p) = 1475. Als n¨achstes folgt die Primzahl p = 804212830686677669 mit g(p) = 1441 und dem Wert 34,95. Diese L¨ ucke wurde von Herzog und Oliveira e Silva entdeckt. Zum Vergleich: Die gr¨ oßte bekannte L¨ ucke mit der L¨ange 383795 hat einen Wert von 23,20 und die vermeintliche Megal¨ ucke, die oben genannt wurde, w¨ urde den Wert 11,27 haben.

II. Die n-te Primzahl und L¨ ucken zwischen Primzahlen

197

Die Wachstumsrate von dn Die Grundidee dieser Untersuchung ist einfach: Funktionen f (pn ) mit reellen, positiven Werten zu ﬁnden, die einfach, leicht zu berechnen und mit dn vergleichbar sind. Gew¨ ohnlich enth¨alt f (pn ) Potenzen oder Logarithmen und der Vergleich dreht sich um Fragen wie: Ist dn = O(f (pn )) ?

Ist dn = o(f (pn )) ?

Ist dn ∼ f (pn ) ?

Zun¨achst besagt das alte Resultat von Tschebyscheﬀ u ¨ber Bertrands Postulat, dass dn < pn f¨ ur jedes n ≥ 1. Nach dem Primzahlsatz gilt lim

n→∞

dn = 0. pn

Oﬀensichtlich ist dn = O(pn ), da dn < pn f¨ ur jedes n ≥ 1. Es stellt sich die Frage nach der besten Funktion f (pn ), die dn = O(f (pn )) erf¨ ullt. Die Mathematiker hoﬀen, ohne die Voraussetzung der Riemannschen (1/2)+ε Vermutung beweisen zu k¨ onnen, dass dn = O(pn ) f¨ ur jedes ε > 0. Beim Wettlauf, diese Schranke zu erreichen, sind die Fortschritte nur geringf¨ ugig, beginnend mit Hoheisel (1930), der dn = O(pθn ) mit einem θ knapp unterhalb 1 zeigte, u ¨ber Artikel von Ingham (1937), Montgomery (1969), Huxley (1972), Iwaniec & Jutila (1979), HeathBrown & Iwaniec (1979), Iwaniec & Pintz (1984), bis zu den Rekorden aus j¨ ungerer Zeit.

Rekord Den gegenw¨artigen Rekord von θ = 0,525 teilen sich Baker, Harman & Pintz (2001). Mozzochi erreichte im Jahre 1986 θ = 1051/1920 ≈ 0,5474, w¨ahrend Lou & Yao 1993 mit θ = 6/11 ≈ 0,5454 knapp darunter bleiben konnten. Die vorangegangenen Ergebnisse liefern Aussagen u ¨ber das Verhalten von dn f¨ ur wachsendes n. Im Gegensatz dazu geben Berechnungen von Ramar´e & Saouter (2003) die beruhigende Gewissheit, dass sich in bestimmten, kurzen Intervallen mindestens eine Primzahl beﬁndet. Es sei x0 = 10 726 905 041 und ∆ = 28 314 000. F¨ ur n mit pn > x0 gilt dn < pn−1 /∆. Unter Annahme der Richtigkeit der Riemannschen Vermutung zeig1/2 te Cram´er 1937, dass dn = O(pn log pn ). Auf probabilistischen Betrachtungen basierend vermutete Cram´er, dass dn = O((log pn )2 ).

198

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

Im Zusammenhang mit ungew¨ ohnlich kleinen L¨ ucken erzielte man die folgenden Ergebnisse. Zun¨ achst bewies Erd¨os 1940 die Existenz einer Konstanten C mit 0 < C < 1, so dass gilt lim inf

dn < C. log pn

Der Wert von C wurde verschiedentlich abgesch¨atzt. Bombieri & Davenport zeigten 1966, dass man C gleich 0,467 w¨ahlen kann. Dies wurde zun¨achst von Huxley (1977), dann von Maier (1985) verbessert, der f¨ ur die Konstante 0,248 setzen konnte. Den Durchbruch schaﬀten erst k¨ urzlich Goldston, Pintz & Yıldırım (2005, ver¨oﬀentlicht 2009), denen es gelang zu beweisen, dass der Grenzwert tats¨achlich gleich 0 ist. In Bezug auf ungew¨ ohnlich große L¨ ucken bewies Westzynthius 1931, dass lim sup(dn / log pn ) = ∞, das heißt, es gibt f¨ ur jedes t > 0 unendlich viele n > 0 mit pn+1 > pn + t log pn . Im Jahre 1938 begann Rankin damit, die vorausgegangene Arbeit von Erd¨os (1935) fortzuf¨ uhren und bewies 1963 das sch¨arfere Resultat: Es gibt unendlich viele n derart, dass dn ≥ ln eγ = ln × 1,78107 . . . , log pn wobei γ die Eulersche Konstante ist und ln =

(log2 pn )(log4 pn ) > 1. (log3 pn )2

Erd¨os hatte einen Preis von 10000 US-Dollar f¨ ur den Beweis ausgesetzt, dass man in der Erd¨ os-Rankin-Ungleichung eγ durch ∞ ersetzen kann. Leider ist es seit 1996 sehr viel schwieriger geworden, den Gewinn einzul¨osen. Ein weiteres oﬀenes Problem ist der Nachweis von (√ √ ) lim pn+1 − pn = 0. n→∞

Es ist leicht zu zeigen, dass die Richtigkeit dieser Vermutung die folgende Aussage zur Folge h¨ atte: F¨ ur jede nat¨ urliche Zahl M und gen¨ ugend großes N gibt es mindestens M Primzahlen zwischen N 2 und (N + 1)2 . √ D. Andrica stellte 1986 die verwandte Vermutung auf: pn+1 − √ pn < 1 f¨ ur alle n ≥ 1. Falls sich Oppermans Vermutung als richtig

II. Die n-te Primzahl und L¨ ucken zwischen Primzahlen

199

herausstellt, dann gilt auch die von Andrica: Denn sei N f¨ ur gegebenes pn die gr¨oßte Zahl mit N 2 < pn , also pn < (N + 1)2 . Aus Oppermans √ √ Vermutung folgt pn+1 < (N + 1)2 und insgesamt pn+1 − pn < (N + 1) − N = 1. Es ist nicht allzu schwierig, die Vermutung von Andrica bis in h¨ohere Bereiche direkt zu u ufen. Dies ist in der Tat bis 242 ≈ 4,39 × 1012 ¨berpr¨ geschehen. Es ist aber auch darauf hingewiesen worden, dass die obige √ Ungleichung gleichbedeutend mit g(pn ) < 2 pn ist, wobei g(pn ) die L¨ ucke zwischen pn und pn+1 bezeichnet. Daher ist auch leicht einzusehen, dass es ausreicht, die letztere Ungleichung nur f¨ ur die maximalen L¨ ucken unterhalb einer gegebenen Grenze N zu veriﬁzieren, um Andricas Ungleichung f¨ ur alle pn < N nachzuweisen. Unter Verwendung der vorhandenen Liste des ersten Auftretens von L¨ ucken, die von Nicely, Oliveira e Silva, Nyman und Herzog erstellt wurde, ist dies f¨ ur N = 1,6 × 1018 schnell getan. Die Implikationen (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) zwischen den folgenden Aussagen sind leicht zu beweisen: (i) Es existieren mindestens zwei Primzahlen zwischen den Quadraten aufeinander folgender Zahlen (wie schon erw¨ahnt, folgt (i) aus Oppermans Vermutung). (ii) Andricas Vermutung. (iii) Es existiert mindestens eine Primzahl zwischen den Quadraten zweier aufeinander folgender Zahlen. Aussage (iii) scheint tats¨ achlich wahr zu sein, muss aber noch bewiesen werden. Die iterierten Lu ¨cken Proth befasste sich 1878 mit iterierten L¨ ucken zwischen Primzahlen. Es sei p1 = 2, p2 = 3, . . . , pn , pn+1 , . . . die Folge der Primzahlen und δ1 (n) = |pn+1 − pn | = dn f¨ ur n ≥ 1. Allgemeiner sei f¨ ur k ≥ 1 δk+1 (n) = |δk (n + 1) − δk (n)|. Man erh¨ alt so die folgende Sequenz:

200

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

2 1 1 1 1 1 1 1

3 2 0 2 2 2 2 2

5 2 2 0 0 0 0 0

7 4 2 0 0 0 0

11 2 2 0 0 0

13 4 2 0 0

17 2 2 0

19 4 2

23 6

29

...

etc.

F¨ ur jedes k in dieser Tabelle, 1 ≤ k ≤ 7, ist δk (1) = 1. Proth behauptete, nachgewiesen zu haben, dass δk (1) = 1 f¨ ur jedes k ≥ 1 gilt, sein Beweis war allerdings falsch. N.L. Gilbreath formulierte in den 1950er Jahren in Unkenntnis von Proths Arbeit dieselbe Aussage als Vermutung (unver¨ oﬀentlicht). Killgrove & Ralston pr¨ uften diese 1959 f¨ ur k ≤ 63419. Odlyzko veriﬁzierte 1993, dass δk (1) = 1 f¨ ur alle k ≤ 3,46 × 1011 gilt, mit anderen Worten, dass die Vermutung f¨ ur alle Primzahlen bis 1013 richtig ist.

III Primzahlzwillinge Wenn sowohl p als auch p + 2 Primzahlen sind, nennt man sie Primzahlzwillinge. Die kleinsten Paare von Primzahlzwillingen sind (3, 5), (5, 7), (11, 13) und (17, 19). Primzahlzwillinge wurden von Clement im Jahre 1949 wie folgt charakterisiert. Es sei n ≥ 2. Die Zahlen n, n + 2 bilden genau dann ein Paar von Primzahlzwillingen, wenn [ ] 4 (n − 1)! + 1 + n ≡ 0 (mod n(n + 2)). Beweis. Wenn die Kongruenz erf¨ ullt ist, dann ist n ̸= 2, 4 und (n − 1)! + 1 ≡ 0

(mod n),

so dass nach Wilsons Satz n eine Primzahl ist. Zudem gilt 4(n − 1)! + 2 ≡ 0 (mod n + 2) ; multipliziert mit n(n + 1), [ ] 4 (n + 1)! + 1 + 2n2 + 2n − 4 ≡ 0 (mod n + 2) ;

III. Primzahlzwillinge

201

daraus folgt [ ] 4 (n + 1)! + 1 + (n + 2)(2n − 2) ≡ 0 (mod n + 2) ; und nach Wilsons Satz ist auch n + 2 prim. Umgekehrt, falls n, n + 2 Primzahlen sind, ist n ̸= 2 und (n − 1)! + 1 ≡ 0

(mod n),

(n + 1)! + 1 ≡ 0

(mod n + 2).

Aber n(n + 1) = (n + 2)(n − 1) + 2, also 2(n − 1)! + 1 = k(n + 2), wobei k eine ganze Zahl ist. Aus (n−1)! ≡ −1 (mod n) folgt 2k +1 ≡ 0 (mod n), dies eingesetzt liefert 4(n − 1)! + 2 ≡ −(n + 2) (mod n(n + 2)) und daher schließlich 4[(n − 1)! + 1] + n ≡ 0 (mod n(n + 2)). Allerdings hat diese Charakterisierung keinen praktischen Wert bei der Bestimmung von Primzahlzwillingen. Das Hauptproblem besteht darin festzustellen, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Brun bewies 1919 das ber¨ uhmte Resultat, dass die Summe (

1 1 + 3 5

)

( +

1 1 + 5 7

)

( +

1 1 + 11 13

)

( + ··· +

1 1 + p p+2

) + ··· ,

u ur die auch p + 2 prim ist, gegen eine Zahl B ¨ber alle Primzahlen p, f¨ konvergiert, die man heute als Brunsche Konstante bezeichnet. Dieses Ergebnis beinhaltet nicht die Existenz unendlich vieler Paare von Primzahlzwillingen, sagt aber aus, dass sie sich immer weiter voneinander entfernen und so die Summe ihrer Reziproken endlich bleibt. ¨ Auf der Grundlage heuristischer Uberlegungen zur Verteilung von Primzahlzwillingen wurde B n¨ aherungsweise berechnet, zum Beispiel von Shanks & Wrench (1974), Brent (1976), und in neuerer Zeit von Nicely (2001) und von P. Sebah (2002), der den folgenden Wert ermittelte: B = 1,902160583104 . . . . Brun bewies außerdem, dass es f¨ ur jedes m ≥ 1 eine Reihe von m aufeinander folgenden Primzahlen gibt, die keine Primzahlzwillinge sind. F¨ ur jedes x > 1 bezeichne π2 (x) die Anzahl der Primzahlen p, f¨ ur die auch p + 2 eine Primzahl ist und f¨ ur die p ≤ x gilt.

202

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

Brun verk¨ undete 1919 die Existenz einer eﬀektiv berechenbaren Zahl x0 mit der Eigenschaft, dass f¨ ur x ≥ x0 , π2 (x) <

100x . (log x)2

Der Beweis erschien 1920. Die obere Schranke f¨ ur π2 (x) wurde durch die Bestimmung der Konstanten und der Gr¨ oße des Fehlers reduziert, unter anderem durch Bombieri & Davenport (1966). Es handelt sich bei dieser Arbeit um eine Anwendung von Siebmethoden, der Beweis ﬁndet sich zum Beispiel im Buch von Halberstam & Richert. Hier das Ergebnis: ) ∏( 1 x π2 (x) ≤ 2C 1− . 2 (p − 1) (log x)2 p>2 Die bislang besten Werte, die man f¨ ur C erreichte, waren C = 3,5 von Bombieri, Friedlander & Iwaniec (1986) und C = 3,13 von S. Lou (pers¨onliche Mitteilung). Bereits fr¨ uher hatten Hardy & Littlewood (1923) aufgrund heuris¨ tischer Uberlegungen vermutet, dass π2 (x) ∼ 2C2 wobei man das unendliche Produkt ∏( C2 = 1− p>2

x , (log x)2

1 (p − 1)2

)

(siehe Kapitel 6, Abschnitt IV) die Primzahlzwillingskonstante nennt. Ihr Wert ist 0,66016. . . und wurde von Wrench 1961 berechnet. Um die Konstante C2 auszurechnen, wurde die heuristische Argumentation von Hardy und Littlewood im Verlauf der Zeit von anderen Autoren erl¨ autert, eine einfache Erkl¨arung stammt von Golomb (1960). Es ist nicht uninteressant, den Gedankengang hin zur Konstanten C2 zu beschreiben, auch wenn die Argumentation noch nicht in aller Strenge gef¨ uhrt werden kann. Der Primzahlsatz besagt, dass π(x)/x ∼ 1/(log x), daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass die positive ganze Zahl n eine Primzahl ist, gleich 1/(log n), und im Wesentlichen gilt dies auch f¨ ur n + 2. Wenn also die beiden Ereignisse unabh¨ angig voneinander w¨aren, erg¨abe sich

III. Primzahlzwillinge

203

f¨ ur die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl n als auch n + 2 Primzahlen sind, der Wert 1/(log n)2 . Aber die Ereignisse sind nicht unabh¨angig. Wenn n eine Primzahl ist und n > 2, dann ist n ungerade. Dies gilt dann auch f¨ ur n + 2 und daher muss die Wahrscheinlichkeit f¨ ur n + 2 verdoppelt werden, um der Tatsache gerecht zu werden, dass n + 2 Element der Teilmenge der ungeraden Zahlen ist. F¨ ur jede ungerade Primzahl p ̸= n geh¨ort die Zahl n einer der (p − 1)/p Restklassen an; wenn n + 2 auch eine Primzahl ist und nicht von p geteilt wird, dann geh¨ ort sie zu einer der (p − 2)/(p − 1) vorangegangenen Klassen. Auf diese Weise muss man f¨ ur jede Primzahl p > 2 einen Faktor / p−2 p−1 p(p − 2) 1 = =1− 2 p−1 p (p − 1) (p − 1)2 in die Berechnung der Wahrscheinlichkeit einbeziehen, die aufgrund ¨ dieser heuristischen Uberlegungen gleich C2 /(log n)2 ist. Um ein Gef¨ uhl f¨ ur das Wachstum von π2 (x) zu vermitteln, gebe ich in Tabelle 16 die wichtigsten Stufen der Berechnungen von Brent (1975, 1976), Nicely (1995, 2001), P. Sebah und P. Demichel (2002) sowie T. Oliveira e Silva (2004, 2008) wieder. Letzterer erstellte zudem die umfangreichsten Tabellen mit Werten von π2 (x), die bisher bekannt sind. Die Werte bis x = 1016 wurden sp¨ ater von Nicely veriﬁziert. Tabelle 16. Anzahl der Primzahlzwillinge x 3

10 104 105 106 107 108 109 1010 1011 1012 1013 1014 1015 1016 1017 1018

π2 (x) 35 205 1 224 8 169 58 980 440 312 3 424 506 27 412 679 224 376 048 1 870 585 220 15 834 664 872 135 780 321 665 1 177 209 242 304 10 304 195 697 298 90 948 839 353 159 808 675 888 577 436

204

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

Rekord Der gr¨oßte genaue Wert der Anzahl von Primzahlzwillingen unterhalb einer gegebenen Grenze wurde von Oliveira e Silva bestimmt, der bis Anfang 2010 folgenden Wert erreicht hatte: π2 (1,6 × 1018 ) = 1 264 267 586 627 937.

Rekorde In der folgenden Tabelle sind die gr¨ oßten bekannten Primzahlzwillingspaare aufgef¨ uhrt. Tabelle 17. Die gr¨ oßten bekannten Primzahlzwillingspaare Primzahlpaar 65516468355 × 2

333333

Stellen Entdecker ± 1 100355

2003663613 × 2195000 ± 1

58711

194772106074315 × 2171960 ± 1

51780

100314512544015 × 2171960 ± 1

51780

16869987339975 × 2171960 ± 1

51779

33218925 × 2169690 ± 1

51090

8151728061 × 2125987 ± 1

37936

598899 × 2118987 ± 1 307259241 × 2115599 ± 1

35825 34808

60194061 × 2114689 ± 1

34533

P. Kaiser, K. Klahn, P. Jobling, J. Penn´e und PrimeGrid E. Vautier, P.W. McKibbon, D. Gribenko, M. Kwok, P. Jobling, J. Penn´e u. a. Z. und A. J´arai, G. Farkas, T. Csajbok und J. Kasza Z. und A. J´arai, G. Farkas, T. Csajbok und J. Kasza Z. und A. J´arai, G. Farkas, T. Csajbok und J. Kasza D. Papp, P. Jobling, G. Woltman und Y. Gallot D. Augustin, P. Jobling und J. Penn´e T. Wu und J. Penn´e B. Tornberg, P. Jobling, G. Woltman und Y. Gallot D. Underbakke, G. Woltman und Y. Gallot

Jahr 2009

2007

2007 2006 2005 2002 2010 2010 2009 2002

Eine Menge von 2k aufeinander folgenden Primzahlen, die aus k Paaren von Primzahlzwillingen besteht, nennt man eine H¨ aufung von Primzahlzwillingen der Ordnung k. Die Existenz solcher H¨aufungen von Primzahlzwillingen beliebiger Ordnung ist niemals bewiesen worden, sie folgt jedoch aus der unbewiesenen Vermutung von Dickson;

III. Primzahlzwillinge

205

siehe Kapitel 6, Abschnitt I, (D3 ). N.B. Backhouse teilte mir 1996 die ersten H¨aufungen von Primzahlzwillingen (d. h. jene mit kleinster Anfangsprimzahl) der Ordnungen 1 bis 7 mit. Sie beginnen mit den Primzahlen 3, 5, 5, 9419, 909 287, 325 267 931 beziehungsweise 678 771 479.

Rekorde F¨ ur die n¨achsten Ordnungen beginnt die erste H¨aufung von Primzahlzwillingen jeweils mit der folgenden der Primzahl: Ordnung 8: 1 107 819 732 821, P. Carmody 2001, Ordnung 9: 170 669 145 704 411, D. DeVries und P. Sebah 2002, Ordnung 10: 3 324 648 277 099 157, G. L´evai 2004. Viele Autoren haben versucht, mit Hilfe von Siebmethoden zu beweisen, dass es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Zun¨achst zeigte Brun in seinem ber¨ uhmten Artikel von 1920, dass sich die Zahl 2 auf unendlich viele Weisen in der Form 2 = m − n schreiben l¨asst, wobei m, n Produkte von h¨ochstens 9, nicht notwendigerweise verschiedenen Primzahlen sind. Das bis heute beste mit Siebmethoden gewonnene Resultat stammt von Chen (angek¨ undigt 1966, ver¨ oﬀentlicht 1973, 1978); er zeigte, dass sich die 2 auf unendlich viele Weisen in der Form 2 = m − p darstellen l¨asst, wobei p eine Primzahl und m ein Produkt von h¨ochstens zwei nicht notwendigerweise verschiedenen Primzahlen ist. Die beim Studium der Primzahlzwillinge verwendeten Siebmethoden eignen sich auch zur Untersuchung der Goldbachschen Vermutung (siehe Abschnitt VI). Die allgemeine Polignac-Vermutung (siehe letzter Abschnitt) kann teilweise wie die Primzahlzwillingsvermutung behandelt werden. F¨ ur jedes k ≥ 1 und x > 1 bezeichne π2k (x) die Anzahl der Zahlen n > 1, f¨ ur die pn+1 ≤ x und pn+1 − pn = 2k. Mit Hilfe der Methode von Brun l¨ asst sich die Existenz einer Konstanten Ck > 0 nachweisen, so dass π2k (x) < Ck

x . (log x)2

Ein wichtiger Fortschritt hin zu einem Beweis der Primzahlzwillingsvermutung ist die bereits zuvor erw¨ ahnte neue Arbeit von Goldston, Pintz & Yıldırım (2009); siehe auch Goldston, Motohashi, Pintz & Yıldırım (2006).

206

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

Unter der Voraussetzung einer Vermutung von Elliott und Halberstam wird gezeigt, dass es unendlich viele Paare aufeinander folgender Primzahlen mit einer Diﬀerenz von h¨ ochstens 16 gibt.

IV Primzahlmehrlinge Oben habe ich Paare von Zwillingsprimzahlen (p, p + 2) betrachtet. Sie bestehen aus zwei aufeinander folgenden Primzahlen mit der kleinstm¨oglichen Diﬀerenz 2. In ¨ahnlicher Weise werden nun Primzahldrillinge (p0 , p1 , p2 ) deﬁniert, wobei p0 < p1 < p2 aufeinander folgende Primzahlen mit der kleinstm¨oglichen Diﬀerenz p2 − p0 sind. Es gibt zwei Arten von Primzahldrillingen: (p, p+2, p+6), wie zum Beispiel (11, 13, 17), und (p, p+ 4, p + 6), wie (7, 11, 13). Es ist klar, dass wenn p, p + 2, p + 4 prim sind, p = 3 ist, denn eine der drei Zahlen muss durch 3 teilbar sein. Das Quadrupel (p0 , p1 , p2 , p3 ) nennt man Primzahlvierling, wenn p0 < p1 < p2 < p3 aufeinander folgende Primzahlen sind und p3 − p0 kleinstm¨oglich ist. Da p, p + 2, p + 4, p + 6 nicht s¨amtlich Primzahlen sein k¨onnen, ist die kleinstm¨ ogliche Diﬀerenz nicht 6. Aber 11, 13, 17, 19 sind alle prim, so dass die Mindestdiﬀerenz 8 betr¨agt und (11, 13, 17, 19) ein Primzahlvierling ist. Wie jeder andere Primzahlvierling hat er die Form (p, p + 2, p + 6, p + 8) mit einer Primzahl p. Allgemeiner sei k ≥ 2 und (i) b1 < b2 < · · · < bk−1 , (ii) p, p + b1 , . . . , p + bk−1 seien k aufeinander folgende Primzahlen, (iii) es sei angenommen, dass es keine Folge von Primzahlen q0 < q1 < · · · < qk−1 mit qk−1 − q0 < bk−1 gibt. Dann nennt man (p, p + b1 , . . . , p + bk−1 ) einen Primzahlmehrling der Ordnung k und (b1 , b2 , . . . , bk−1 ) den Typ des Primzahlmehrlings. Ich f¨ uhre nun folgende Bezeichnungen ein: F¨ ur jedes reelle x > 0 sei π2,6 (x) = # {(p, p + 2, p + 6) | (p, p + 2, p + 6) ist ein Primzahldrilling und p ≤ x}, π4,6 (x) = # {(p, p + 4, p + 6) | (p, p + 4, p + 6) ist ein Primzahldrilling und p ≤ x}.

IV. Primzahlmehrlinge

207

In ¨ahnlicher Weise sei π2,6,8 (x) = # {(p, p + 2, p + 6, p + 8) | (p, p + 2, p + 6, p + 8) ist ein Primzahlvierling und p ≤ x}. Zudem seien B2,6 B4,6 B2,6,8

∑ (1

) 1 1 = + + , p p+2 p+6 ) ∑ (1 1 1 = + + , p p+4 p+6 ) ∑ (1 1 1 1 = + + + , p p+2 p+6 p+8

wobei sich die Summation u ¨ber alle Drillinge (bzw. Vierlinge) des jeweils angezeigten Typs erstreckt. Genau wie im Falle von Bruns Resultat u ¨ber die Reziproken der Zwillingsprimzahlen (p, p + 2) sind auch alle oben angegebenen Summen konvergent, was nat¨ urlich nicht im Widerspruch zur M¨ oglichkeit steht, dass es von den jeweiligen Primzahlmehrlingen unendlich viele gibt.

Rekorde Die folgenden Werte wurden von T.R. Nicely im September 2009 mitgeteilt. F¨ ur N = 2 × 1016 ist π2,6 (N ) = 1 178 112 426 442, π4,6 (N ) = 1 178 110 447 049, π2,6,8 (N ) = 46 998 268 431.

Rekorde Die nachfolgend angegebenen Beispiele gr¨oßter bekannter Primzahlmehrlinge der Ordnung k (mit k ≥ 3) sind einer Liste entnommen, die von T. Forbes gef¨ uhrt wird. (1) Drilling (p, p + 2, p + 6) mit p = 2072644824759 × 233333 − 1 (10047 Stellen, N. Luhn und F. Morain, 2008). (2) Drilling (p, p + 4, p + 6) mit p = (99241437759 × d(d + 1) + 210)(d − 1)/35 + 1, wobei d = 205881 × 4001# (5132 Stellen, K. Davis u. a., 2006).

208

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

(3) Vierling (p, p + 2, p + 6, p + 8) mit p = 4104082046 × 4799# + 5651 (2058 Stellen, N. Luhn und M. Martin, 2005). (4) F¨ unﬂing (p, p + 4, p + 6, p + 10, p + 12) mit p = 424232794973 × 2593# + 43777 (1107 Stellen, N. Luhn und M. Martin, 2009). Zur Veranschaulichung dessen, wie weit solche Berechnungen getrieben worden sind, sei hier der gr¨ oßte bekannte Primzahlmehrling der Ordnung 17 vorgestellt: (p, p + 6, p + 8, p + 12, p + 18, p + 20, p + 26, p + 32, p + 36, p + 38, p + 42, p + 48, p + 50, p + 56, p + 60, p + 62, p + 66), mit p = 224989581869473883242253471 (27 Stellen, J. Wr´ oblewski im Juni 2010). Wie angedeutet, sind f¨ ur kleines k viele Primzahlmehrlinge der Ordnung k bekannt. Im Falle sehr großer k stellt sich jedoch die Frage, wie man u ¨berhaupt einen Primzahlmehrling dieser Ordnung ﬁnden soll. 10 Was kann man tun, wenn k = 1010 ? Wie ist es m¨oglich festzustellen, ob es dann einen Primzahlmehrling gibt? Dieser sehr interessanten Frage werde ich mich jetzt etwas detaillierter zuwenden. Es sei k ≥ 2. Ein (k − 1)-Tupel (b1 , b2 , . . . , bk−1 ) von ganzen Zahlen heißt zul¨ assig, wenn (i) b1 < b2 < · · · < bk−1 , (ii) f¨ ur jede Primzahl q ≤ k ist die Menge der Restklassen {0 mod q, b1 mod q, b2 mod q, . . . , bk−1 mod q} echt in der Menge aller Restklassen modulo q enthalten. Falls (b1 , b2 , . . . , bk−1 ) zul¨ assig ist, f¨ uhrt die Wahl von q = 2 dazu, dass alle bi gerade sind. Unter den zul¨ assigen (k −1)-Tupeln heißen solche mit minimalem bk−1 dicht. F¨ ur k ≤ 4 sind die folgenden zul¨assigen (k − 1)-Tupel dicht: (2), (2, 6), (4, 6) und (2, 6, 8). Nach Hensley & Richards (1974) und der von ihnen verwendeten Bezeichnungsweise sei ρ∗ (x) = k, falls es ein zul¨assiges (k − 1)-Tupel (b1 , b2 , . . . , bk−1 ) mit bk−1 < x gibt, aber kein solches mit mehr als k−1 Komponenten. Die Berechnung von ρ∗ (x) kann f¨ ur jedes x in endlich vielen Schritten durchgef¨ uhrt werden, f¨ ur großes x ist dies jedoch ein kompliziertes kombinatorisches Problem.

IV. Primzahlmehrlinge

209

¨ Ahnliche Funktionen tauchen in der Literatur unter anderem bei Hardy & Littlewood (1923), Schinzel & Sierpi´ nski (1958) sowie bei weiteren Autoren auf. Insbesondere ( ) ρ(x) = lim sup π(x + y) − π(y) . y→∞

Es gilt ρ(x) ≤ ρ∗ (x). Beweis. Es sei ρ(x) = k. Also existiert y ≥ k und es gibt k Primzahlen p + bi (mit b0 = 0) derart, dass y < p < p + b1 < · · · < p + bk−1 ≤ y + x. Dann ist bk−1 < x. Wenn es eine Primzahl q ≤ k g¨abe, so dass {bi mod q | i = 0, 1, . . . , k − 1} die Menge aller Kongruenzklassen modulo q w¨are, dann gibt es i mit −p ≡ bi (mod q), daher wird p + bi von q geteilt und somit q ≤ k ≤ y ≤ p + bi = q, was unm¨oglich ist. Daher ist (b1 , b2 , . . . , bk−1 ) zul¨ assig und k ≤ ρ∗ (x). Es ist interessant, ρ∗ (x) mit π(x) zu vergleichen. Numerische Berechnungen wurden erstmals von Schinzel (1961) durchgef¨ uhrt; Selfridge ∗ (unver¨oﬀentlicht) wies nach, dass ρ (x) ≤ π(x) f¨ ur alle x ≤ 500 gilt. Der folgende Satz von Hensley & Richards (1974) zeigt, dass sich diese Situation letztendlich umkehrt: F¨ ur jedes ε mit 0 < ε < log 2 gibt es ein x0 > 1 derart, dass wenn x ≥ x0 , dann ρ∗ (x) − π(x) > (log 2 − ε)

x . (log x)2

( ) Insbesondere lim ρ∗ (x) − π(x) = ∞. x→∞

Mit Hilfe eines gut durchdachten Computerprogramms von W. Stenberg wurde 1974 gezeigt, dass ρ∗ (20000) > π(20000). Es ist ein schwieriges Problem, die Gr¨ oßenordnung von ρ∗ (x) zu bestimmen. Stimmt es, dass ρ∗ (x) ∼ π(x) ? Aus der folgenden Vermutung geht insbesondere die Existenz von Primzahlmehrlingen hervor: Primzahlmehrlingsvermutung.3 Wenn k ≥ 2 und (b1 , b2 , . . . , bk−1 ) ein zul¨ assiges (k −1)-Tupel positiver Zahlen ist, dann gibt es unendlich 3 Anm. d. Ubers.: ¨ Diese Vermutung ist im Englischen als Prime k-Tuples Conjecture bekannt.

210

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

viele Primzahlen p derart, dass p, p + b1 , . . . , p + bk−1 s¨amtlich prim sind. Insbesondere gibt es, falls (b1 , b2 , . . . , bk−1 ) zul¨assig und dicht ist, unendlich viele Primzahlmehrlinge vom Typ (b1 , b2 , . . . , bk−1 ). In Kapitel 6, Abschnitt I werde ich eine Vermutung von Dickson betrachten, die von Schinzel & Sierpi´ nski (1958) eingehend studiert wurde und aussagt, dass lineare Polynome unter bestimmten Bedingungen simultan Primzahlwerte annehmen. Die Primzahlmehrlingsvermutung besagt, dass wenn (b1 , b2 , . . . , bk−1 ) zul¨assig ist, die Polynome X, X + b1 , . . . , X + bk−1 unendlich oft simultan Primzahlwerte annehmen. Der Beweis der Primzahlmehrlingsvermutung kann nicht vor dem Beweis der Primzahlzwillingsvermutung gef¨ uhrt werden. Trotzdem gibt es viele, die fest an ihre Richtigkeit glauben, unter ihnen vor allem Erd¨os. Auf dieser Stufe der Unwissenheit ist die Entscheidung, ob man an die Vermutung glaubt oder nicht, rein gef¨ uhlsm¨aßig. Argumente der Bef¨ urworter. Man ist sich weitgehend einig, dass die Primzahlzwillingsvermutung richtig ist. Warum sollte dann die Primzahlmehrlingsvermutung f¨ ur k > 2 nicht richtig sein? Man hat das Gef¨ uhl, dass diese Probleme f¨ ur jedes k ≥ 2 den gleichen Schwierigkeitsgrad haben und die Methoden zum Beweis der Primzahlzwillingsvermutung auch zum Beweis der umfassenderen Primzahlmehrlingsvermutung dienen werden. Das Haus der Primzahlen“ ist sehr ” einladend – in seiner unermesslichen Ausdehnung kann es Zwillinge, Drillinge, Vierlinge, . . . und alle Arten legitimer Primzahlfamilien aufnehmen. Argumente der Gegner. Was man nicht sehen oder anfassen kann, existiert nicht. Tats¨ achlich wird wohl niemand jemals einem zul¨assigen 10 Primzahlmehrling der Ordnung 1010 begegnen. So etwas ist unglaublich und es gibt absolut keine die Primzahlmehrlingsvermutung unterst¨ utzenden Belege. Auf wissenschaftlichere Weise ausgedr¨ uckt, hier das sch¨one Resultat von Hensley & Richards: Die Vermutung von Hardy & Littlewood (Abschnitt I, H) und die Primzahlmehrlingsvermutung k¨ onnen nicht gleichzeitig wahr sein. Beweis. Ich unterstelle die Richtigkeit der Primzahlmehrlingsvermutung und zeige, dass ρ∗ (x) ≤ ρ(x) und somit ρ∗ (x) = ρ(x) f¨ ur alle x > 1.

IV. Primzahlmehrlinge

211

Es sei ρ∗ (x) = k, also existiert ein zul¨ assiges (k−1)-Tupel (b1 , b2 , . . . , bk−1 ) mit bk−1 < x. Nach der Primzahlmehrlingsvermutung gibt es unendlich viele Primzahlen p derart, dass p, p + b1 , . . . , p + bk−1 Primzahlen sind; man beachte, dass sie die Ungleichung p − 1 < p < p + b1 < · · · < p + bk−1 ≤ (p − 1) + x erf¨ ullen. Daher gilt nach ∗ Deﬁnition von ρ(x), ρ(x) ≥ k = ρ (x). Nach oben erw¨ahntem Satz gibt es x0 mit ρ∗ (x) > π(x) f¨ ur alle x ≥ x0 . Also hat die Unglei∗ chung ρ (x) ≤ ρ(x) f¨ ur jedes x zur Folge: Es gibt unendlich viele y derart, dass π(x) < ρ(x) = π(x + y) − π(y). Und dies zeigt, dass die Vermutung von Hardy & Littlewood nicht wahr sein kann, wenn die Primzahlmehrlingsvermutung richtig ist. Eine Vermutung aus der Familie der Primzahlmehrlingsvermutung, die sich auf die Translation von Folgen bezieht, wurde von Golomb (1992) als oﬀenes Problem formuliert: Golombs Vermutung. Es gibt eine wachsende Folge positiver Zahlen 1 ≤ a1 < a2 < . . . und eine ganze Zahl B ≥ 1 derart, dass f¨ ur jedes n ∈ Z die Anzahl der Primzahlen in der Folge a1 + n < a2 + n < . . . h¨ ochstens gleich B ist. F¨ ur den Fall, dass eine Schranke B nicht explizit gefordert ist, gibt es ein interessantes Beispiel: F¨ ur jedes n ∈ Z gibt es nur endlich viele 3 Primzahlen der Form ((2k)!) + n. ur n = 0 oder |n|] ≥ 2 [ Dies ist][f¨ 3 2 trivial. Ansonsten: ((2k)!) − 1 = (2k)! − 1 (2k)!) + (2k)! + 1 und [ ][ ] 3 2 ((2k)!) + 1 = (2k)! + 1 (2k)!) − (2k)! + 1 . Aber nat¨ urlich gibt es f¨ ur diese Folge keine Schranke B wie in der Vermutung. Ford fand 1995 einen eleganten Beweis des folgenden Satzes: Die Primzahlmehrlingsvermutung und Golombs Vermutung k¨ onnen nicht gleichzeitig wahr sein. Beweis. Angenommen, mit der Folge A = (ai )i≥1 und B ≥ 1 ist die Bedingung in Golombs Vermutung erf¨ ullt. Bekanntlich gibt es eine Konstante c > 0, so dass f¨ ur jedes l ≥ 2, ) ∏( 1 c 1− > . p log l p≤l

Es sei l derart, dass cl/(log l) > B. Nun sei Al = {a1 , a2 , . . . , al } und E2 = Al r (Al ∩ C), wobei C eine Kongruenzklasse von Z modulo 2 mit minimalem #(Al ∩ C) ist. Dann gilt #(Al ∩ C) ≤ l/2, somit

212

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

#(E2 ) ≥ l(1 − 1/2). Nach Deﬁnition geh¨ ort kein Element von E2 zur Kongruenzklasse C modulo 2. Es sei E3 = E2 r (E2 ∩ C ′ ), wobei C ′ eine Kongruenzklasse von Z modulo 3 mit minimalem #(E2 ∩ C ′ ) ist; dann ist #(E2 ∩ C ′ ) ≤ #(E2 )/3 und ( ) ( )( ) 1 1 1 #(E3 ) ≥ #(E2 ) 1 − ≥l 1− 1− . 3 2 3 Man beachte, dass kein Element von E3 zur Kongruenzklasse C ′ modulo 3 geh¨ort. Dieses Argument wiederholt man f¨ ur alle Primzahlen p ≤ l und landet schließlich bei einer Menge E ∗ , wobei ) ∏( 1 cl ∗ #(E ) ≥ l 1− > > B. p log l p≤l

Nach Deﬁnition gilt #(E ∗ ) < l und f¨ ur jede Primzahl q ≤ #(E ∗ ) < l ist die Menge der Kongruenzklassen {b mod q | b ∈ E ∗ } echt in der Menge aller Kongruenzklassen modulo q enthalten. Dieses E ∗ ist eine zul¨assige Menge. Nach der Primzahlmehrlingsvermutung gibt es unendlich viele Primzahlen p derart, dass p und alle p + b (mit b ∈ E ∗ ) Primzahlen sind. F¨ ur jede solche Primzahl p enth¨alt die Menge {ai + p | i ≥ 1} mehr als B Primzahlen – was ein Widerspruch ist. Die folgende Konsequenz aus der Primzahlmehrlingsvermutung f¨ ur Polynome X 2 + X + c teilte A. Granville in einem Brief von 1989 mit (siehe Mollin, 1997). Es sei f (X) = aX 2 + bX + c mit a ≥ b. Angenommen, a + b ist gerade. Wenn q eine ungerade Primzahl ist, die a teilt, dann teilt q auch b. Unter der Annahme der Richtigkeit der Primzahlmehrlingsvermutung gibt es f¨ ur jedes M > 1 unendlich viele n ≥ 1, so dass f (0)+n, f (1)+n, . . . , f (M )+n Primzahlen sind. In der Terminologie von Kapitel 3, Abschnitt III, C, haben die verschobenen Polynome gn (X) = f (X) + n eine primzahlerzeugende L¨ange gr¨oßer als M . Beweis. Es sei S = {f (0), f (1), . . . , f (M )}. Ich werde zeigen, dass S eine zul¨assige Menge ist. In der Tat gilt f (0) ≡ f (1) ≡ · · · ≡ f (M ) ≡ c (mod 2). Wenn q eine ungerade Primzahl ist und q | a, dann auch q | b und wieder f (0) ≡ f (1) ≡ · · · ≡ f (M ) ≡ c (mod q). Nun sei q ̸= 2 und q kein Faktor von a sowie u, a′ dergestalt, dass 2u ≡ 1 (mod q) und aa′ ≡ 1 (mod q) gilt. F¨ ur jedes s, as2 + bs + c ≡ a(s2 + a′ bs) + c ≡ a(s + ua′ b)2 + (c − a′ u2 b2 ).

V. Primzahlen in arithmetischer Folge

213

Die Menge der Restklassen at2 (mod q) enth¨alt (q + 1)/2 Elemente. Also existiert y derart, dass y ̸≡ at2 (mod q) f¨ ur alle t. Es sei z = ′ 2 2 y + (c − a u b ). Wenn es ein s mit 0 ≤ s ≤ M gibt, das z ≡ f (s) (mod q) erf¨ ullt, dann gilt y + (c − a′ u2 b2 ) ≡ a(s + ua′ b)2 + (c − a′ u2 b2 ). Daraus folgt, dass y ≡ a(s + ua′ b)2 (mod q), was ein Widerspruch ist. Also ist die Menge S zul¨ assig und nach der Primzahlmehrlingsvermutung gibt es unendlich viele n, so dass gn (X) = f (X) + n an den Stellen s = 0, 1, . . . , M Primzahlwerte annimmt.

V Primzahlen in arithmetischer Folge A

Es gibt unendlich viele!

Einen klassischen Satz von großer Bedeutung bewies Dirichlet im Jahre 1837. Er besagt: Wenn d ≥ 2 und a ̸= 0 ganze, teilerfremde Zahlen sind, dann enth¨alt die arithmetische Folge a, a + d, a + 2d, a + 3d, . . . unendlich viele Primzahlen. Viele Spezialf¨ alle dieses Satzes waren bereits bekannt gewesen, unter ihnen nat¨ urlich auch der Satz von Euklid (wenn a = 1, d = 2). Tats¨achlich verl¨ auft der Beweis der F¨ alle d = 4 oder d = 6 und a = −1 analog zu Euklids Beweis. Unter Ausnutzung elementarer Eigenschaften quadratischer Reste l¨asst sich auch einfach zeigen, dass jede der folgenden arithmetischen Folgen unendlich viele Primzahlen enth¨ alt: d = 4, a = 1; d = 6, a = 1; d = 3, a = 1; d = 8, a = 3 oder a = 5 oder a = 7 (dies beinhaltet die Folgen mit d = 4); d = 12, a = 5 oder a = 7 oder a = 11 (dies beinhaltet die Folgen mit d = 6).

214

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

Als Zutaten f¨ ur einen einfachen Beweis der F¨alle d = 8, 16, . . . oder allgemeiner d = 2r und a = 1 verwende man f (N ), wobei f (X) = X 2

r−1

+ 1,

N = 2p1 p2 · · · pn ,

und die pi s¨amtlich Primzahlen mit pi ≡ 1 (mod 2r ) sind, und benutze dann den kleinen Satz von Fermat. Diese Hinweise sind f¨ ur diejenigen Leser gedacht, die den Beweis selbst ﬁnden wollen. Der Beweis f¨ ur beliebiges d und a = 1 oder a = −1 ist ebenso elementar, wenn auch nicht einfach, und erfordert Kreisteilungspolynome und einige ihrer elementaren Eigenschaften. Eine detaillierte Diskussion des Dirichletschen Satzes und verschiedener Beweisvarianten beﬁndet sich in Hasses Buch Vorlesungen ¨ uber Zahlentheorie. Im Jahre 1949 fand Selberg analog zu seinem Beweis des Primzahlsatzes auch einen elementaren Beweis des Satzes von Dirichlet. In Bezug auf Dirichlets Satz bewies de la Vall´ee Poussin das folgende Resultat zur Dichte von Primzahlen in Folgen. F¨ ur a, d wie zuvor und x ≥ 1 sei πd,a (x) = #{p prim | p ≤ x, p ≡ a (mod d)}. Dann gilt πd,a (x) ∼

1 x · . φ(d) log x

Man beachte, dass die rechte Seite f¨ ur alle a mit ggT(a, d) = 1 gleich ist. Es folgt, dass πd,a (x) 1 lim = , x→∞ π(x) φ(d) was sich auch so ausdr¨ ucken l¨ asst, dass die Menge der Primzahlen in der arithmetischen Folge {a+kd | k ≥ 1} eine nat¨ urliche Dichte 1/φ(d) hat (in Bezug auf die Menge aller Primzahlen). Ungeachtet der Tatsache, dass das asymptotische Verhalten von πd,a (x) f¨ ur jedes a mit 1 ≤ a < d und ggT(a, d) = 1 dasselbe ist, hatte Tschebyscheﬀ bereits 1853 bemerkt, dass π3,1 (x) < π3,2 (x) und π4,1 (x) < π4,3 (x) f¨ ur kleine x-Werte gilt; mit anderen Worten, es gibt bis x mehr Primzahlen der Form 3k + 2 als solche der Form 3k + 1 und mehr Primzahlen 4k + 3 als 4k + 1 (f¨ ur nicht zu großes x). Gelten diese Ungleichungen f¨ ur alle x? Die Situation ist in gewissem Sinne a¨hnlich der f¨ ur die Ungleichung π(x) < Li(x). Wieder l¨asst sich analog zu Littlewoods Satz zeigen, dass die Ungleichungen unendlich oft

V. Primzahlen in arithmetischer Folge

215

die Richtung wechseln. So berechnete Leech 1957, dass x1 = 26861 die kleinste Primzahl ist, f¨ ur die π4,1 (x) > π4,3 (x); siehe auch Bays & Hudson (1978), die herausfanden, dass x1 = 608 981 813 029 die kleinste Primzahl ist, f¨ ur die π3,1 (x) > π3,2 (x) gilt. Hudson leitete 1977 eine Formel a ur π(x) ¨hnlich der von Meissel f¨ her, um πd,a (x) zu berechnen, was die genaue Anzahl der Primzahlen p < x in der arithmetischen Folge {a + kd | k ≥ 0} angibt. Im selben Jahr wandten sich Hudson & Brauer einem detaillierten Studium der speziellen arithmetischen Folgen 4k ± 1, 6k ± 1 zu. Ein erst in j¨ ungerer Zeit bewiesener Satz besch¨aftigt sich mit aufeinander folgenden Primzahlen in arithmetischen Folgen. Es bezeichne (pn )n≥1 die ansteigende Folge aller Primzahlen. In seiner Dissertation bewies Shiu (1996) unter Verwendung ausgekl¨ ugelter analytischer Methoden (siehe auch seinen Artikel aus dem Jahr 2000): Es seien a und d teilerfremde nat¨ urliche Zahlen mit 1 ≤ a < d. Dann gibt es positive reelle Zahlen x0 und C (die von a und d abh¨ angen ) mit der folgenden Eigenschaft: F¨ ur jede reelle Zahl x > x0 gibt es n ≥ 1 und [ ] log2 x log4 x 1/φ(d) k≥C (log3 x)2 so dass pn+k ≤ x und pn+1 ≡ pn+2 ≡ · · · ≡ pn+k ≡ a (mod d). Jede erlaubte arithmetische Folge enth¨ alt also beliebig lange Reihen aufeinander folgender Primzahlen. Der Grund ist der, dass mit wachsendem x auch k gegen Unendlich l¨ auft. Es ist jedoch nicht sichergestellt, dass diese aufeinander folgenden Primzahlen selbst in arithmetischer Folge liegen.

B

Die kleinste Primzahl in einer arithmetischen Folge

Mit d ≥ 2 und dazu teilerfremdem a ≥ 1 sei p(d, a) die kleinste Primzahl in der arithmetischen Folge {a + kd | k ≥ 0}. Ist es m¨oglich, eine obere Schranke f¨ ur p(d, a) zu ﬁnden, die nur von a, d abh¨angt? Es sei p(d) = max{p(d, a) | 1 ≤ a < d, ggT(a, d) = 1}. Wiederum die Frage: Kann man eine obere, nur von d abh¨angige Schranke f¨ ur p(d) angeben? Was l¨ asst sich u ¨ber untere Schranken sagen? Der Satz von Linnik von 1944, der eines der tiefsten Resultate der analytischen Zahlentheorie darstellt, sagt aus: Es gibt d0 ≥ 2 und L > 1 derart, dass p(d) < dL f¨ ur jedes d ≥ d0 .

216

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

Man beachte, dass die absolute Konstante L, bezeichnet als Linniks Konstante, eﬀektiv berechenbar ist. Und es ist nat¨ urlich wichtig, den Wert von L zu berechnen. Pan (Cheng-Dong) war der Erste, der Linniks Konstante 1957 durch L ≤ 5448 absch¨atzte. In der Folgezeit erschienen zahlreiche Artikel, in denen die Absch¨atzung f¨ ur die Konstante verbessert wurde.

Rekord Heath-Brown (1992) gelang es, die Absch¨atzung L ≤ 13,5 von Chen & Liu (1989) durch L ≤ 5,5 zu ersetzen. Fr¨ uhere Rekorde stammten von Chen (1965), Jutila (1977) und Graham (1981). Schinzel & Sierpi´ nski (1958) und Kanold (1963) vermuteten, dass L = 2, das heißt, p(d) < d2 f¨ ur jedes gen¨ ugend große d ≥ 2. Pr¨azise ausgedr¨ uckt bedeutet dies, dass sich f¨ ur 1 ≤ a < d, ggT(a, d) = 1 unter den Zahlen a, a + d, a + 2d, . . . , a + (d − 1)d immer eine Primzahl beﬁndet. Heath-Brown unterbreitete 1978 die Vermutung p(d) ≤ Cd(log d)2 , und 1979 st¨ utzte Wagstaﬀ seinen Ansatz p(d) ∼ φ(d)(log d)2 auf heuristische Betrachtungen. In Bezug auf untere Schranken f¨ ur p(d) sei zun¨achst das folgende Resultat von Schatunowsky (1893) erw¨ ahnt, das unabh¨angig auch von Wolfskehl4 1901 erzielt wurde. d = 30 ist die gr¨oßte Zahl mit der folgenden Eigenschaft: Falls 1 ≤ a < d und ggT(a, d) = 1, dann ist a = 1 oder a ist eine Primzahl. Der Beweis ist elementar und ﬁndet sich zum Beispiel in Landaus Buch Primzahlen (1909) auf Seite 229. Es folgt unmittelbar, dass p(d) > d + 1, wenn d > 30. Schon der Primzahlsatz hat zur Folge, dass f¨ ur jedes ε > 0 und gen¨ ugend großes d gilt: p(d) > (1 − ε)φ(d) log d. 4 Paul Wolfskehl kennt man gew¨ ohnlich als den reichen Mathematiker, der einen betr¨ achtlichen Preis f¨ ur die Entdeckung eines Beweises von Fermats letztem Satz ausgesetzt hatte. Ich erz¨ ahle die Geschichte in meinem Buch 13 Lectures on Fermats Last Theorem. An dieser Stelle m¨ ochte ich an ihn erinnern, stellvertretend f¨ ur all die jungen Assistenten, die sich in den 90 Jahren nach der Preisauslobung daran erfreuen durften, in einem schier unendlichen Fluss von Beweisen“ von Fermats letztem Satz Fehler zu ﬁnden. ” Der Satz wurde schließlich 1997 von Andrew Wiles bewiesen und er war es, dem der Preis zuerkannt wurde.

V. Primzahlen in arithmetischer Folge

217

Daraus ergibt sich, dass lim inf

p(d) ≥ 1. φ(d) log d

Im Jahre 1980 bewies Pomerance das sch¨arfere Resultat lim inf

p(d) ≥ eγ = 1,78107 . . . φ(d) log d

(wobei γ Eulers Konstante ist). Sei andererseits Q die Menge aller Zahlen d ≥ 2 mit mehr als exp(log2 d/ log3 d) verschiedenen Primfaktoren. Dann gilt f¨ ur jedes d außerhalb der Menge Q, lim inf

p(d) × td ≥ eγ , φ(d) log d

wobei td =

(log3 d)2 ; (log2 d)(log4 d)

man beachte,( dass lim)d→∞ td = 0. Insbesondere ist die Menge der Zahlen p(d)/ φ(d) log d unbeschr¨ ankt. In diesem Zusammenhang sei angemerkt, dass Prachar und Schinzel 1961 und 1962 einige Ergebnisse bez¨ uglich dieser Frage erzielt hatten. Es sollte nicht unerw¨ ahnt bleiben, dass die Menge Q die Dichte Null hat, da die Anzahl verschiedener Primfaktoren von d durchschnittlich gleich log2 d ist. Granville & Pomerance vermuteten 1990, dass p(d) ≥ Cφ(d)(log d)2 f¨ ur d ≥ 2 und eine Konstante C > 0.

C

Primzahlreihen in arithmetischer Folge

Ich betrachte nun die Frage nach der Existenz von Reihen von k Primzahlen p1 < p2 < p3 < · · · < pk mit Diﬀerenz p2 − p1 = p3 − p2 = · · · = pk − pk−1 , das heißt, diese Primzahlen beﬁnden sich in arithmetischer Folge. Im Jahre 1939 bewies van der Corput, dass es unendlich viele Reihen mit drei Primzahlen in arithmetischer Folge gibt (siehe Abschnitt VI); dies wurde 1944 erneut von Chowla gezeigt und nochmal von HeathBrown 1985 als Korollar eines allgemeineren Satzes.

218

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

Obwohl es einfach ist, Beispiele mit vier (oder gar mehr) Primzahlen in arithmetischer Folge zu ﬁnden, bleibt die Frage: Gibt es f¨ ur jedes k ≥ 4 unendlich viele arithmetische Folgen, die k Primzahlen enthalten? F¨ ur k = 4 zeigte Heath-Brown 1981, dass es unendlich viele arithmetische Folgen gibt, die vier Zahlen enthalten, von denen drei Primzahlen sind und die vierte ein Produkt von zwei nicht notwendigerweise verschiedenen Primfaktoren. Bis vor kurzem war nicht einmal die schw¨achere Vermutung bewiesen, dass es f¨ ur jedes k ≥ 4 wenigstens eine arithmetische Folge aus k Primzahlen gibt. Dies ist nun B. Green & T. Tao (2004, ver¨oﬀentlicht 2008) mit Hilfe einer sehr originellen und schwierigen Methode gelungen. Sie bewiesen den Satz: F¨ ur jedes k ≥ 4 existiert mindestens eine arithmetische Folge aus k nat¨ urlichen Zahlen, die alle Primzahlen sind. Diese Arbeit hat Tao auf dem Internationalen Mathematikerkongress 2006 in Madrid die Fields-Medaille eingebracht. Ein wichtiger Bestandteil des Beweises ist neben einigen sehr innovativen Argumenten ein inzwischen klassischer Satz von Szemer´edi, den ich nun formulieren m¨ochte. Es sei A eine Menge nat¨ urlicher Zahlen. F¨ ur jedes n ≥ 1 bezeichne A(n) die Menge aller Elemente a von A mit a ≤ n. Man sagt, die Menge A hat die Dichte δ, wenn limn→∞ #A(n)/n existiert und gleich δ ist. Der Satz von Szemer´edi besagt, dass wenn die Menge A eine positive Dichte hat, dann enth¨ alt A f¨ ur jedes k ≥ 3 unendlich viele arithmetische Folgen der L¨ ange k. Der Beweis von Green und Tao ist nicht konstruktiv, liefert also keine Beispiele. Es wurden jedoch intensive Computersuchen nach langen Primzahlreihen in arithmetischer Folge durchgef¨ uhrt.

Rekord Im April 2010 entdeckten P. Perichon, J. Wr´oblewski und G. Reynolds im Rahmen von PrimeGrid die erste Reihe mit 26 Primzahlen in arithmetischer Folge. Sie beginnt mit p = 43 142 746 595 714 191, und die Diﬀerenz betr¨ agt d = 5 283 234 035 979 900. Die vorherigen Rekorde mit der entsprechenden Anzahl von Folgengliedern wurden wie folgt aufgestellt: 1977: 17 Glieder durch S. Weintraub, 1982: 18 Glieder durch P. Pritchard, 1985: 19 Glieder durch P. Pritchard,

V. Primzahlen in arithmetischer Folge

219

1987: 20 Glieder durch J. Young und J. Fry, 1993: 22 Glieder durch das Gemeinschaftsprojekt Pritchard, 2004: 23 Glieder durch M. Frind, P. Jobling und P. Underwood, 2006: 24 Glieder durch J. Wr´ oblewski, 2008: 25 Glieder durch R. Chermoni und J. Wr´oblewski. In die von P. Pritchard (Griﬃth University in Queensland, Australien) koordinierte Suche waren mehr als 60 Computer einbezogen. Es handelte sich um ein wahrlich internationales Projekt: Die 22-teilige Reihe wurde in Bergen, Norwegen gefunden. Im Zusammenhang mit dieser Fragestellung ist die folgende Aussage von M. Cantor (1861), zitiert in Dicksons History of the Theory of Numbers, Bd. I, S. 425, leicht zu beweisen: Es sei d ≥ 2 und a, a + d, . . . , a + (n − 1)d seien n Primzahlen in arithmetischer Folge. Zudem sei q die ∏ gr¨ oßte Primzahl mit q ≤ n. ∏ Dann gilt: p≤q p teilt d oder a = q und p
220

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

Rekord Die l¨angste bekannte Reihe aufeinander folgender Primzahlen in arithmetischer Folge umfasst 10 Glieder. Die erste Primzahl ist p =100996972469714247637786655587969840329509324689190041803603417758904341703348882159067229719, die Diﬀerenz der Folge ist 210. Diese Folge von Primzahlen wurde am 2. M¨arz 1998 von M. Toplic entdeckt, einer von u ¨ber 100 internationalen Teilnehmern eines von H. Dubner, T. Forbes, N. Lygeros, M. Mizony und P. Zimmermann geleiteten Projekts. Schon zuvor war es am 24. Januar 1998 M. Toplic gewesen, der das Gl¨ uckslos“ gezogen hatte und 9 aufeinander folgende ” Primzahlen in arithmetischer Folge fand: Die Diﬀerenz war wiederum 210 und die kleinste Primzahl p =99679432066701086484490653695853561638982364080991618395774048585529071475461114799677694651.

VI Goldbachs beru ¨hmte Vermutung Im Jahre 1742 ¨ außerte Goldbach in einem Brief gegen¨ uber Euler, dass er glaube: (G) Jede ganze Zahl n > 5 ist die Summe von drei Primzahlen. Euler erwiderte, dass sich daraus leicht die folgende, ¨aquivalente Aussage ableiten l¨ asst: (G′ ) Jede gerade Zahl 2n ≥ 4 ist die Summe zweier Primzahlen. Denn wenn man (G′ ) als wahr voraussetzt und wenn gilt 2n ≥ 6, dann ist 2n − 2 = p + p′ und daher 2n = 2 + p + p′ , wobei p, p′ Primzahlen sind. Außerdem folgt 2n + 1 = 3 + p + p′ , was (G) beweist. Wenn man umgekehrt (G) als wahr annimmt und 2n ≥ 4 gilt, dann folgt 2n + 2 = p + p′ + p′′ mit Primzahlen p, p′ , p′′ ; und es ist notwendigerweise p′′ = 2 (zum Beispiel) und 2n = p + p′ . Man beachte, dass (G′ ) trivialerweise f¨ ur unendlich viele gerade Zahlen wahr ist: 2p = p + p (f¨ ur jede Primzahl).

VI. Goldbachs ber¨ uhmte Vermutung

221

Ein verwandtes, jedoch schw¨ acheres Problem ist das folgende: Ist es richtig, dass jede ungerade Zahl gr¨ oßer als 5 die Summe dreier Primzahlen ist? Dies nennt man die ungerade Goldbachsche Vermutung. Sie w¨ urde zur Folge haben, dass jede Zahl gr¨oßer als 6 die Summe von h¨ochstens vier Primzahlen ist. In der Zeit vor der Entwicklung der Siebtheorie und verfeinerter analytischer Methoden kam man in Bezug auf diese Vermutungen praktisch nicht weiter. Und trotz aller Versuche sind die Probleme immer noch ungel¨ost. In der Vergangenheit verfolgte man im Wesentlichen drei Ans¨atze, die man, wenn auch m¨ oglicherweise etwas unzureichend, mit den Schl¨ usselw¨ortern asymptotisch“, Fastprimzahl“ und Basis“ umschreiben ” ” ” k¨onnte. (A) Eine asymptotische Aussage ist eine, die f¨ ur alle gen¨ ugend großen Zahlen gilt. Das erste wichtige Resultat geht auf Hardy & Littlewood und das Jahr 1923 zur¨ uck – es handelt sich um einen asymptotischen Satz. Mit Hilfe der Kreismethode und einer modiﬁzierten Form der Riemannschen Vermutung konnten sie zeigen, dass es ein n0 derart gibt, dass jede ungerade Zahl n ≥ n0 die Summe dreier Primzahlen ist. Im Jahre 1937 fand Winogradoﬀ einen Beweis des Satzes von Hardy & Littlewood, der nicht auf die Riemannsche Vermutung zur¨ uckgreift. Heath-Brown gab 1985 einen anderen Beweis dieses Satzes an, ohne explizite Angabe eines Wertes f¨ ur n0 . Bei genauerer Pr¨ ufung des Beweises von Winogradoﬀ gelang es Bo15 rodzkin 1956 zu zeigen, dass man n0 = 33 ≈ 107000000 verwenden kann. Weitere Verbesserungen stammen von Chen & Wang, die 1989 die Schranke n0 = 1043000 ermittelten und dies 1996 auf n0 = 107194 senken konnten. Dieser Wert ist allerdings immer noch zu groß, um den fehlenden Bereich kleiner ungerader Zahlen durch Computerveriﬁkation abzudecken. Im Jahre 1997 l¨ osten Deshouillers, Eﬃnger, te Riele & Zinoviev das Problem der drei Primzahlen f¨ ur jede ungerade Zahl gr¨oßer als 5, allerdings unter Voraussetzung einer Vermutung a¨hnlich der Riemannschen. (B) Es sei k ≥ 1 und r ≤ k. Eine nat¨ urliche Zahl der Form p1 p2 · · · pr , wobei p1 , p2 , . . . , pr Primzahlen sind (nicht notwendigerweise verschieden), heißt eine k-Fastprimzahl. Die Menge aller k-Fastprimzahlen wird mit Pk bezeichnet.

222

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

Der Ansatz u ¨ ber die Fastprimzahlen besteht darin zu zeigen, dass es h, k ≥ 1 derart gibt, dass jede gen¨ ugend große gerade Zahl die Summe einer k-Fastprimzahl und einer h-Fastprimzahl ist. Dabei ist nat¨ urlich beabsichtigt zu zeigen, dass man sowohl f¨ ur h als auch k die Zahl 1 w¨ahlen kann. Das erste Resultat in dieser Richtung gelang Brun (1919, C.R. Acad. Sci. Paris): Jede gen¨ ugend große gerade Zahl ist die Summe zweier 9Fastprimzahlen. Durch Einsatz komplizierterer Siebtypen wurden viele Fortschritte erzielt. Selberg zeigte 1950, dass jede gen¨ ugend große gerade Zahl in der Menge P2 + P3 der Summen von Zahlen aus P2 und P3 enthalten ist. Im Gegensatz zu diesen Resultaten, die zwei zerlegbare Summanden beinhalten, konnte R´enyi 1947 beweisen, dass es eine Zahl k ≥ 1 derart gibt, dass jede gen¨ ugend große gerade Zahl in P1 +Pk liegt. In weiteren Arbeiten wurden explizite Werte f¨ ur k angegeben. Das bis heute beste Resultat – und eines, das dem Beweis der Goldbachschen Vermutung am N¨ achsten kommt – stammt von Chen (Ank¨ undigung der Resultate 1966; detaillierte Beweise 1973, 1978). In seinem ber¨ uhmten Artikel bewies Chen: Jede gen¨ ugend große gerade Zahl l¨ asst sich in der Form 2n = p + m darstellen, wobei p eine Primzahl ist und m ∈ P2 . Zur selben Zeit bewies Chen das konjugierte“ Resultat: Es gibt ” unendlich viele Primzahlen p derart, dass p + 2 ∈ P2 ; dies kommt dem Beweis der Unendlichkeit der Anzahl der Primzahlzwillinge sehr nahe. Dieselbe Methode eignet sich auch f¨ ur den Nachweis, dass es f¨ ur jede gerade Zahl 2k ≥ 2 unendlich viele Primzahlen p mit der Eigenschaft gibt, dass p + 2k ∈ P2 ; also ist 2k in unendlich vielen F¨allen gleich der Diﬀerenz m − p (m ∈ P2 , p prim). Ein Beweis von Chens Satz ﬁndet sich im Buch von Halberstam & Richert. Siehe auch den einfacheren Beweis von Ross (1975). (C) Der Basis“-Ansatz begann mit dem ber¨ uhmten Satz von Schni” relmann (1930), dessen Beweis zum Beispiel in den B¨ uchern von Landau (1937) und Gelfond & Linnik (1965 ins Englische u ¨bersetzt) zu ﬁnden ist: Es gibt eine positive ganze Zahl S derart, dass jede gen¨ ugend große Zahl Summe von h¨ ochstens S Primzahlen ist.

VI. Goldbachs ber¨ uhmte Vermutung

223

Es folgt, dass es eine positive Zahl S0 ≥ S mit der Eigenschaft gibt, dass jede Zahl (gr¨ oßer als 1) Summe von h¨ochstens S0 Primzahlen ist. S0 nennt man die Schnirelmann-Konstante. Goldbachs Vermutung kann man dadurch ausdr¨ ucken, dass S0 = 3. In seinem netten, kleinen Buch von 1947 schrieb Khinchin ein interessantes und leicht zug¨ angliches Kapitel u ¨ber Schnirelmanns Ideen zu den Basen und zur Dichte von Zahlenfolgen. Schnirelmanns Konstante S0 wurde in zahlreichen Berechnungen effektiv abgesch¨atzt.

Rekord Die bis heute beste Absch¨ atzung f¨ ur Schnirelmanns Konstante fand Ramar´e 1995: S0 ≤ 6. Die bis dahin beste Absch¨atzung S0 ≤ 19 stammte von Riesel & Vaughan (1983). Richert bewies 1949 das folgende Analogon zu Schnirelmanns Satz: Jede Zahl n > 6 ist die Summe verschiedener Primzahlen. An dieser Stelle sei bemerkt, dass Schinzel 1959 zeigte, dass Goldbachs Vermutung die folgende Aussage impliziert (und damit ¨aquivalent zu ihr ist): Jede Zahl n > 17 ist die Summe von genau drei verschiedenen Primzahlen. Also wird Richerts Resultat als Korollar aus der Vermutung von Goldbach folgen (falls und wenn diese als richtig nachgewiesen wird). (D) Die Anzahl der Darstellungen Ich m¨ochte mich nun der Anzahl r2 (2n) der Darstellungen von 2n ≥ 4 als Summe zweier Primzahlen zuwenden. A priori kann r2 (2n) sogar null sein (solange Goldbachs Vermutung nicht bewiesen ist). Hardy & Littlewood fanden 1923 die folgende asymptotische Formel, die zun¨achst auf einer modiﬁzierten Form der Riemannschen Vermutung beruhte; sp¨ atere Arbeiten von Winogradoﬀ beseitigten diese Abh¨angigkeit: 2n r2 (2n) ≤ C log log 2n. (log 2n)2 F¨ ur n > 2 sei π ∗ (n) die Anzahl der Primzahlen p mit n/2 ≤ p ≤ n − 2. Sicher ist r2 (n) ≤ π ∗ (n). Deshouillers, Granville, Narkiewicz & Pomerance bewiesen 1993, dass n = 210 die gr¨oßte Zahl ist, f¨ ur die r2 (n) = π ∗ (n) gilt. Powell fragte 1985 nach einem elementaren Beweis der folgenden Tatsache (als Aufgabe im Mathematics Magazine): F¨ ur jedes k > 0

224

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

gibt es unendlich viele gerade Zahlen 2n derart, dass r2 (2n) > k. Eine L¨osung von Finn & Frohliger wurde 1986 ver¨oﬀentlicht. Hier mein eigener Beweis, der nur die Kenntnis voraussetzt, dass es mindestens x/(2 log x) Primzahlen p ≤ x gibt, also eine abgeschw¨achte Version von Tschebyscheﬀs Ungleichung. √ Beweis. Es sei x derart, dass x/(2 log x) > 2kx+1 und P eine Menge ungerader Primzahlen p ≤ x mit mindestens x/(2 log x) Elementen. Dar¨ uber hinaus sei P2 die Menge von Paaren (p, q) mit p < q und p, q ∈ P . Die Menge P2 hat mindestens ( ) 1 x x · −1 2 2 log x 2 log x Elemente. Nun sei f (p, q) = p + q, so dass das Bild von f in der Menge gerader Zahlen kleiner gleich 2x − 2 enthalten ist; das Bild hat also h¨ochstens x − 4 Elemente. Das heißt, es gibt n ≤ 2x − 2 derart, dass die Menge von Paaren (p, q) ∈ P2 mit p + q = n mindestens P2 1 > x−4 2x

(

)2 x −1 >k 2 log x

Elemente hat. (E) Die Menge der Ausnahmen. F¨ ur jedes x ≥ 4 sei G′ (x) = #{2n | 2n ≤ x, 2n ist nicht Summe zweier Primzahlen}. Van der Corput (1937), Estermann (1938) und Tschudakoﬀ (1938) bewiesen unabh¨ angig voneinander, dass lim G′ (x)/x = 0 und sogar ′ G (x) = O(x/(log x)α ) f¨ ur jedes α > 0. Ein weiterer Beweis stammt von Heath-Brown aus dem Jahre 1985. Das in dieser Richtung beste Resultat ist Gegenstand einer tiefsch¨ urfenden Arbeit von Montgomery & Vaughan (1975) und besagt: Es gibt eine eﬀektiv berechenbare Konstante α mit 0 < α < 1 derart, dass f¨ ur jedes gen¨ ugend große x gilt, dass G′ (x) < x1−α . Chen & Pan zeigten 1980, dass α = 1/100 eine m¨ ogliche Wahl ist. In einem zweiten Artikel (1983) erreichte Chen den Wert α = 1/25 (unabh¨angig fand dies auch Pan). Hier die Rekorde numerischer Berechnungen zur Goldbachschen Vermutung.

VI. Goldbachs ber¨ uhmte Vermutung

225

Rekorde A. Zun¨achst das Problem der drei Primzahlen. Saouter veriﬁzierte 1998, dass jede ungerade Zahl unterhalb von 1020 die Summe von h¨ochstens drei Primzahlen ist. B. Nun zum Problem von Goldbach. T. Oliveira e Silva best¨atigte Goldbachs Vermutung f¨ ur alle p < 1,6 × 1018 . Diese Grenze erreichte er 2009, und er setzt seine Berechnungen weiter fort. Die Grenzen der fr¨ uheren Rekorde lauten wie folgt: 8 1965: 10 von Stein & Stein, 1989: 2 × 1010 von Granville, van de Lune & te Riele, 1993: 4 × 1011 von Sinisalo, 1998: 1014 von Deshouillers, te Riele & Saouter, 1998: 4 × 1014 von Richstein (ver¨ oﬀentlicht 2001), 16 2003: 2 × 10 von Oliveira e Silva. Eine Art Goldbach-Problem Die Frage, der nun nachgegangen werden soll, ist, ob sich jede ungerade Zahl als Summe einer Primzahl und (nat¨ urlich keiner weiteren Primzahl, sondern) einer Zweierpotenz darstellen l¨asst. Das Problem a¨hnelt also sowohl der Goldbachschen Vermutung als auch der Primzahlzwillingsvermutung. Aufgebracht wurde es von Prinz A. de Polignac, der 1849 behauptete, dass jede ungerade nat¨ urliche Zahl Summe einer Primzahl und einer Zweierpotenz sei. Er stellte seinen Irrtum rasch fest, denn 959 abz¨ uglich irgendeiner Zweierpotenz ergibt nie eine Primzahl. Siehe Dicksons History of the Theory of Numbers, Band I, Seite 424. Es verbleibt das Studium der Menge A = {p+2k | p ist eine ungerade ¨ Primzahl und k ≥ 1}. Ich gebe hier nur eine Ubersicht der erzielten Resultate. Romanoﬀ bewies 1934, dass A eine positive Dichte hat, das heißt, es gibt C > 0 mit #{m ∈ A | m ≤ x}/x > C (f¨ ur alle x ≥ 1). Erd¨os untersuchte das Problem im Jahre 1950. Aus dem Primzahlsatz folgt zun¨achst #{m ∈ A | m ≤ x} = O(x). Er zeigte ferner, dass es eine arithmetische Folge aus ungeraden Zahlen gibt, die keine Zahl der Form p + 2k ∈ A enth¨ alt. Die Zahlen n = 7, 15, 21, 45, 75, 105 haben die Eigenschaft, dass n − 2k f¨ ur alle k mit 2k < n prim ist. Erd¨os vermutete, dass dies die einzigen solchen Beispiele sind. Es sei R(n) = #{(p, k) | p ist eine ungerade Primzahl, k ≥ 1 und p + 2k = n}. Erd¨os bewies die Existenz eines C > 0 derart, dass R(n) > C log log n f¨ ur unendlich viele n gilt.

226

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

VII Die Verteilung von Pseudoprimzahlen und Carmichael-Zahlen Ich werde nun Ergebnisse u ¨ber die Verteilung von Pseudoprimzahlen und von Carmichael-Zahlen vorstellen.

A

Verteilung von Pseudoprimzahlen

Es sei P π(x) die Anzahl der Pseudoprimzahlen (zur Basis 2) kleiner oder gleich x und (psp)1 < (psp)2 < · · · < (psp)n < · · · die wachsende Folge der Pseudoprimzahlen. Erd¨os gab 1949 und 1950 die folgenden Absch¨atzungen an: x

C log x < P π(x) < e

1 (log x)1/4 3

(f¨ ur gen¨ ugend großes x und C > 0). Unter Verwendung der in Kapitel 2, Abschnitt VIII vorgestellten Methode von Lehmer zur Generierung unendlich vieler Pseudoprimzahlen zur Basis 2 l¨asst sich dar¨ uber hinaus auf einfache Weise zeigen, dass f¨ ur x ≥ 341 gilt: 0,171 log x ≤ P π(x). Diese Absch¨ atzungen wurden sp¨ ater deutlich verbessert, wie in K¨ urze zu sehen sein wird. Es l¨asst sich nun leicht ableiten, dass ∞ ∑

1 (psp)n n=1 konvergent ist (erstmals von Szymiczek 1967 bewiesen), w¨ahrend ∞ ∑ n=1

1 log (psp)n

divergiert (zuerst von M¸akowski 1974 gezeigt). Es wird sich als praktisch herausstellen, die folgenden Bezeichnungen f¨ ur die Z¨ahlfunktionen der Pseudoprimzahlen sowie der Euler- und starken Pseudoprimzahlen zu beliebigen Basen a ≥ 2 einzuf¨ uhren: P πa (x) = #{n | 1 ≤ n ≤ x, n ist psp(a)},

P π(x) = P π2 (x),

EP πa (x) = #{n | 1 ≤ n ≤ x, n ist epsp(a)},

EP π(x) = EP π2 (x),

SP πa (x) = #{n | 1 ≤ n ≤ x, n ist spsp(a)},

SP π(x) = SP π2 (x).

Oﬀensichtlich gilt SP πa (x) ≤ EP πa (x) ≤ P πa (x).

VII. Die Verteilung von Pseudoprimzahlen und Carmichael-Zahlen

227

Ich betrachte nun Absch¨ atzungen f¨ ur obere und untere Schranken dieser Funktionen. Pomerance verbesserte 1981 ein fr¨ uheres Resultat von Erd¨os (1956) u ur alle großen x, ¨ber die obere Schranke von P π(x) und zeigte, dass f¨ P π(x) ≤

x , l(x)1/2

mit l(x) = elog x log log log x/ log log x . Dieselbe Schranke gilt auch f¨ ur P πa (x) mit beliebiger Basis a ≥ 2. Bez¨ uglich unterer Schranken stammt das beste Resultat bis heute ebenfalls von Pomerance 1982 (siehe Anmerkung 3 seines Artikels): α

e(log x) ≤ SP πa (x), wobei α = 5/14. Tabellen mit Pseudoprimzahlen legen den Verdacht nahe, dass es f¨ ur jedes x ≥ 170 eine Pseudoprimzahl zwischen x und 2x gibt. Allerdings wurde dies noch nicht bewiesen. Dazu sei das folgende Resultat von Rotkiewicz (1965) erw¨ ahnt: Wenn n eine ganze Zahl gr¨ oßer als 19 ist, dann gibt es eine Pseudo2 primzahl zwischen n und n . Dar¨ uber hinaus existiert f¨ ur jedes ε > 0 ein x0 = x0 (ε) > 0 derart, dass f¨ ur x > x0 immer eine Pseudoprimzahl zwischen x und x1+ε liegt. Im Zusammenhang mit Pseudoprimzahlen in arithmetischen Folgen bewies Rotkiewicz 1963 und 1967: Wenn a ≥ 1, d ≥ 1 und ggT(a, d) = 1, dann gibt es unendlich viele Pseudoprimzahlen in der arithmetischen Folge {a + kd | k ≥ 1}. Es bezeichne psp(d, a) die kleinste Pseudoprimzahl in dieser arithmetischen Folge. Rotkiewicz zeigte 1972: F¨ ur jedes ε > 0 und jedes gen¨ ugend große d gilt log psp(d, a) < 2 d4L +L+ε , wobei L Linniks Konstante bezeichnet (siehe Abschnitt IV). Obige Ergebnisse wurden von van der Poorten & Rotkiewicz 1980 erweitert: Falls a, d ≥ 1, ggT(a, d) = 1, dann enth¨alt die arithmetische Folge {a + kd | k ≥ 1} unendlich viele ungerade starke Pseudoprimzahlen zu jeder Basis b ≥ 2.

228

B

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

Verteilung von Carmichael-Zahlen

Ich werde mich nun der Verteilung der Carmichael-Zahlen zuwenden. Es bezeichne CN (x) die Anzahl der Carmichael-Zahlen n mit n ≤ x. Zun¨achst die oberen Schranken f¨ ur CN (x). Erd¨os zeigte 1956, dass eine Konstante α > 12 existiert, so dass f¨ ur jedes gen¨ ugend große x CN (x) ≤

x , l(x)α

wobei l(x) wie oben deﬁniert ist. Pomerance, Selfridge & Wagstaﬀ verbesserten diese Absch¨atzung 1980 wie folgt. F¨ ur jedes ε > 0 gibt es x0 (ε) > 0 derart, dass f¨ ur x ≥ x0 (ε) gilt: x CN (x) ≤ . l(x)1−ε Das Problem, eine untere Schranke f¨ ur CN (x) zu ﬁnden, ist schwierig. Im Beweis von Alford, Granville & Pomerance (1994) wurde neben der Unendlichkeit der Anzahl der Carmichael-Zahlen auch gezeigt, dass CN (x) ≥ x2/7 f¨ ur alle hinreichend großen x. Es gibt gute Gr¨ unde daf¨ ur anzunehmen, dass CN (x) ≥ x/l(x)1−ε (f¨ ur gen¨ ugend großes x), wie es von Pomerance, Selfridge & Wagstaﬀ vermutet wurde. Eine gut verst¨ andliche Darstellung dieser Ergebnisse gab Granville 1992. Ich berichte nun von Tabellen mit Pseudoprimzahlen und CarmichaelZahlen. Poulet bestimmte 1938 alle (ungeraden) Pseudoprimzahlen (zur Basis 2) bis 108 . Carmichael-Zahlen waren in Poulets Tabelle mit Sternchen versehen. Swift stellte 1975 eine Tabelle aller CarmichaelZahlen bis 109 zusammen, und Yorinaga ging 1979 bis 1010 . Die Tabelle von Pomerance, Selfridge & Wagstaﬀ (1980) umfasst Pseudoprimzahlen, Euler-Pseudoprimzahlen, starke Pseudoprimzahlen (zur Basis 2) und Carmichael-Zahlen und reicht bis 25 × 109 . Sie wurde von Pinch 1992 bis 1012 und 2000 bis 1013 ausgedehnt. In neuerer Zeit hat W.F. Galway alle Pseudoprimzahlen bis 1015 aufgelistet. In seiner Tabelle sind die spsp(2) und die Carmichael-Zahlen entsprechend markiert. Die epsp(2) wurden eigens f¨ ur die folgende Tabelle ausgesondert und gez¨ ahlt.

VII. Die Verteilung von Pseudoprimzahlen und Carmichael-Zahlen

Tabelle 18. x 3

10 104 105 106 107 108 109 1010 25 × 109 1011 1012 1013 1014 1015

229

P π(x), EP π(x), SP π(x) und CN (x) P π(x)

EP π(x)

SP π(x)

CN (x)

3 22 78 245 750 2057 5597 14884 21853 38975 101629 264239 687007 1801533

1 12 36 114 375 1071 2939 7706 11347 20417 53332 139597 364217 957111

0 5 16 46 162 488 1282 3291 4842 8607 22407 58892 156251 419489

1 7 16 43 105 255 646 1547 2163 3605 8241 19279 44706 105212

Im August 2009 haben J. Feitsma von der Rijksuniversiteit Groningen und J. Gilchrist von der Carleton University in Ottawa unabh¨angig voneinander die folgenden Werte ermittelt: P π(1016 ) = 4 744 920,

P π(1017 ) = 12 604 009.

Die Tabelle der Carmichael-Zahlen wurde 1990 von Jaeschke bis 1012 erweitert. Sie wurde von Pinch 1993 zun¨achst auf 1015 ausgedehnt (wobei geringf¨ ugige Ungenauigkeiten in Jaeschkes Tabelle korrigiert wurden). Pinch setzte seine Tabellierungsarbeit sp¨ater fort und erreichte 1016 in 1998, 1017 in 2005, 1018 in 2006 und schließlich 1021 im Mai 2007. Tabelle 19 fasst seine Ergebnisse zusammen und zeigt die Anzahl der Carmichael-Zahlen bis 10M , 3 ≤ M ≤ 21, die jeweils k verschiedene Primfaktoren haben. In diesem Zusammenhang erstellte Pinch weitere Tabellen, insbesondere folgenden Inhalts: (1) Kleinste Carmichael-Zahl mit k Primfaktoren, f¨ ur 3 ≤ k ≤ 35. (2) Anzahl der Carmichael-Zahlen in den Restklassen modulo 5, 7, 11, 12, bis 25 × 109 , sowie bis 10M f¨ ur 11 ≤ M ≤ 18.

230

4. Wie sind die Primzahlen verteilt?

(3) H¨auﬁgkeit, mit der jede Primzahl p ≤ 97 u ¨berhaupt als Primfaktor (bzw. als kleinster Primfaktor) einer Carmichael-Zahl auftritt, jeweils bis zu den soeben genannten Grenzen. Tabelle 19. Anzahl der Primfaktoren von Carmichael-Zahlen k M

3

4

3 1 0 4 7 0 5 12 4 6 23 19 7 47 55 8 84 144 9 172 314 10 335 619 11 590 1179 12 1000 2102 13 1858 3639 14 3284 6042 15 6083 9938 16 10816 16202 17 19539 25758 18 35586 40685 19 65309 63343 20 120625 98253 21 224763 151566

C

5

6

7

8

9

10

11

12

Gesamt

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 0 0 16 1 0 0 0 0 0 0 0 43 3 0 0 0 0 0 0 0 105 27 0 0 0 0 0 0 0 255 146 14 0 0 0 0 0 0 646 492 99 2 0 0 0 0 0 1547 1336 459 41 0 0 0 0 0 3605 3156 1714 262 7 0 0 0 0 8241 7082 5270 1340 89 1 0 0 0 19279 14938 14401 5359 655 27 0 0 0 44706 29282 36907 19210 3622 170 0 0 0 105212 55012 86696 60150 16348 1436 23 0 0 246683 100707 194306 172234 63635 8835 340 1 0 585355 178063 414660 460553 223997 44993 3058 49 0 1401644 306310 849564 1159167 720406 196391 20738 576 2 3381806 514381 1681744 2774702 2148017 762963 114232 5804 56 8220777 846627 3230120 6363475 6015901 2714473 547528 42764 983 20138200

Verteilung von Lucas-Pseudoprimzahlen

Die Lucas-Pseudoprimzahlen wurden in Kapitel 2, Abschnitt X untersucht. Man erinnere sich daran, dass mit ganzen Zahlen P , Q ungleich Null und D = P 2 − 4Q die Lucas-Folge deﬁniert ist durch U0 = 0, U1 = 1, Un = P Un−1 − QUn−2

(f¨ ur n ≥ 2),

und die zu D teilerfremde, zerlegbare Zahl n genau dann eine LucasPseudoprimzahl (mit Parametern (P, Q)) ist, wenn gilt, dass Un−(D|n) von n geteilt wird. Da der Begriﬀ der Lucas-Pseudoprimzahl noch relativ neu ist, weiß man viel weniger u ¨ber die Verteilung solcher Zahlen. Die hier verwendete Quelle ist der Artikel von Baillie & Wagstaﬀ (1980), der schon in Kapitel 2 zitiert wurde. Hier die wesentlichen Resultate: Die Anzahl Lπ(x) von Lucas-Pseudoprimzahlen (mit Parametern (P, Q)) kleiner oder gleich x ist f¨ ur gen¨ ugend großes x beschr¨ankt

VII. Die Verteilung von Pseudoprimzahlen und Carmichael-Zahlen

durch Lπ(x) <

x eCs(x)

231

,

wobei C > 0 eine Konstante ist und s(x) = (log x log log x)1/2 . Es folgt (wie in Szymiczeks Resultat f¨ ur Pseudoprimzahlen) f¨ ur be∑ liebige Parameter (P, Q), dass (1/Un ) konvergent ist (Summation u ¨ber alle Lucas-Pseudoprimzahlen mit diesen Parametern). Andererseits zeigten Erd¨ os, Kiss & S´ark¨ozy (1988), dass es eine Konstante C > 0 derart gibt, dass f¨ ur jede nicht-entartete Lucas-Folge und gen¨ ugend großes x gilt: Lπ(x) > exp{(log x)C }. Eine ¨ahnliche untere Schranke existiert f¨ ur die Anzahl SLπ(x) der starken Lucas-Pseudoprimzahlen (mit Parametern (P, Q)) kleiner oder gleich x (siehe die Deﬁnition in Kapitel 2, Abschnitt X): SLπ(x) > C ′ log x (g¨ ultig f¨ ur alle gen¨ ugend großen x), wobei C ′ > 0 eine Konstante ist.

5 Welche besonderen Arten von Primzahlen wurden untersucht?

Wir waren bereits verschiedenen Arten besonderer Primzahlen begegnet. Zum Beispiel solchen, die Fermat- oder Mersenne-Zahlen sind (siehe Kapitel 2). Ich werde nun weitere Primzahl-Familien besprechen, darunter die regul¨ aren Primzahlen, Sophie-Germain-Primzahlen, Wieferich-Primzahlen, Wilson-Primzahlen, Repunit-Primzahlen sowie Primzahlen in linear rekurrenten Folgen zweiter Ordnung. Regul¨are Primzahlen, Sophie-Germain- und Wieferich-Primzahlen entstammen direkt aus Beweisversuchen von Fermats letztem Satz. Der interessierte Leser m¨ ochte dazu vielleicht mein Buch 13 Lectures on Fermat’s Last Theorem konsultieren, in dem diese Angelegenheiten genauer besprochen werden. Insbesondere beﬁndet sich darin ein umfassendes Literaturverzeichnis mit zahlreichen klassischen Arbeiten, die im vorliegenden Buch nicht aufgelistet sind.

I Regul¨are Primzahlen Regul¨are Primzahlen traten erstmals in der Arbeit von Kummer in Verbindung mit Fermats letztem Satz in Erscheinung. In einem Brief an Liouville von 1847 erkl¨ art Kummer, er habe Fermats letzten Satz f¨ ur alle Primzahlen p bewiesen, die zwei Bedingungen gen¨ ugen. Tats¨achlich hatte er gezeigt, dass wenn p diese Bedingungen erf¨ ullt, es keine ganzen Zahlen x, y, z ̸= 0 mit xp + y p = z p gibt. Er bemerkte weiter, dass

P. Ribenboim, Die Welt der Primzahlen, 2. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-18079-8_5, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

234

5. Welche besonderen Arten von Primzahlen wurden untersucht?

nur noch verbliebe zu untersuchen, ob dies gemeinsame Eigenschaften ” aller Primzahlen sind.“ Um diese Eigenschaften beschreiben zu k¨onnen, muss ich einige der von Kummer eingef¨ uhrten Begriﬀe erl¨ autern. Es sei p eine ungerade Primzahl und ζ = ζp = cos

2π 2π + i sin p p

eine primitive p-te Einheitswurzel. Man beachte, dass ζ p−1 + ζ p−2 + · · · + ζ + 1 = 0, da X p − 1 = (X − 1)(X p−1 + X p−2 + · · · + X + 1) und ζ p = 1, ζ ̸= 1. Folglich l¨ asst sich ζ p−1 durch kleinere Potenzen von ζ ausdr¨ ucken. Es sei K die Menge aller Zahlen a0 + a1 ζ + · · · + ap−2 ζ p−2 mit rationalen Zahlen a0 , a1 , . . . , ap−2 und A die kleinste Teilmenge von K, die aus denjenigen Zahlen besteht, f¨ ur die a0 , a1 , . . . , ap−2 ganz sind. Dann ist K ein K¨ orper, den man den p-ten Kreisteilungsk¨orper (oder auch K¨orper der p-zyklotomischen Zahlen) nennt. A ist ein Ring, der Ganzheitsring der p-zyklotomischen (ganzen) Zahlen. Die Einheiten von A sind diejenigen Zahlen α ∈ A, die die 1 teilen, das heißt, f¨ ur die αβ = 1 f¨ ur irgendein β ∈ A erf¨ ullt ist. Ein Element α ∈ A nennt man ein Primelement, wenn α sich nur dann in der Form α = βγ mit β, γ ∈ A schreiben l¨ asst, wenn β oder γ eine Einheit ist. Ich werde die Arithmetik der p-zyklotomischen ganzen Zahlen als normal bezeichnen, wenn jede zyklotomische ganze Zahl ein bis auf Einheiten eindeutiges Produkt von Primelementen ist. Kummer entdeckte bereits 1847, dass die Arithmetik der p-zyklotomischen Zahlen f¨ ur p ≤ 19 normal ist. Dies ist jedoch f¨ ur p = 23 nicht der Fall. Um einen Weg zu ﬁnden, mit nichteindeutigen Primfaktorzerlegungen umzugehen, f¨ uhrte Kummer ideale Zahlen ein. Sp¨ater untersuchte Dedekind bestimmte Mengen zyklotomischer ganzer Zahlen, die er Ideale nannte. Ich werde von einer Deﬁnition des Begriﬀs Ideal absehen und sie als dem Leser bekannt voraussetzen. Dedekind-Ideale erm¨oglichten eine konkrete Beschreibung von Kummers idealen Zahlen. Es bietet sich daher an, Kummers Ergebnisse durch Dedekinds Ideale zu erkl¨aren. Ein Primideal P ist ein Ideal, das weder gleich 0 ist, noch mit dem Ring A u ¨bereinstimmt, und das nur dann ein Produkt P = IJ zweier Ideale sein kann, wenn entweder I oder J gleich P ist. Kummer zeigte, dass f¨ ur alle Primzahlen p > 2 jedes von 0 und A verschiedene Ideal des Ganzheitsrings der p-zyklotomischen Zahlen in eindeutiger Weise ein Produkt von Primidealen ist.

I. Regul¨are Primzahlen

235

In diesem Zusammenhang erscheint es nat¨ urlich, zwei Ideale I und J ungleich dem Nullideal als ¨ aquivalent zu betrachten, wenn es zwei von 0 verschiedene zyklotomische ganze Zahlen α, β ∈ A mit der Ei¨ genschaft gibt, dass Aα.I = Aβ.J. Die Menge der Aquivalenzklassen von Idealen bildet eine kommutative, regul¨are Halbgruppe. Kummer zeigte, dass diese Menge endlich ist und damit eine Gruppe bildet, die man nun Idealklassengruppe nennt. Die Anzahl ihrer Elemente heißt Klassenzahl und wird mit h = h(p) bezeichnet. Sie ist eine sehr wichtige arithmetische Invariante. Die Begriﬀe gebrochener Ideale, Klassen von Idealen und der Endlichkeit der Anzahl der Klassen spielen eine zentrale Rolle in der Theorie algebraischer Zahlk¨ orper. Außer den hier betrachteten Kreisteilungsk¨orpern hatte ich bereits zuvor (Kapitel 3, Abschnitt III, B) den Fall der quadratischen Zahlk¨ orper betrachtet. Die Klassenzahl h(p) ist genau dann gleich 1, wenn jedes Ideal von A ein Hauptideal ist, das heißt, wenn es die Form Aα f¨ ur ein α ∈ A hat. Somit gilt h(p) = 1 genau dann, wenn die Arithmetik der pzyklotomischen ganzen Zahlen normal ist. Die Gr¨oße von h(p) ist also ein Maß f¨ ur die Abweichung von der normalen Arithmetik. Es sei an dieser Stelle gesagt, dass Kummer eine sehr tiefsch¨ urfende Theorie entwickelt hat, dabei eine explizite Formel f¨ ur h(p) fand und in der Lage war, h(p) f¨ ur kleine p zu berechnen. Eine der beiden Eigenschaften von p, die Kummer in Verbindung mit Fermats letztem Satz ben¨ otigte, war die folgende: p ist kein Teiler der Klassenzahl h(p). Heute nennt man eine Primzahl mit dieser Eigenschaft eine regul¨ are Primzahl. Die zweite Eigenschaft, die Kummer nannte, bezog sich auf Einheiten. Er zeigte sp¨ ater, dass diese von allen regul¨aren Primzahlen erf¨ ullt ist. Dies ist ein weiteres, sch¨ ones Resultat von Kummer, man nennt es heute Kummers Lemma. In seinem Regularit¨ atskriterium bewies Kummer, dass die Primzahl p genau dann regul¨ ar ist, wenn p die Z¨ ahler der Bernoulli-Zahlen B2 , B4 , B6 , . . . , Bp−3 nicht teilt (die Bernoulli-Zahlen wurden in Kapitel 4, Abschnitt I, A deﬁniert). Kummer gelang es kurz darauf, alle irregul¨aren Primzahlen unterhalb von 163 zu bestimmen, und zwar 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157. Er gab die Hoﬀnung nicht auf, dass unendlich viele regul¨are Primzahlen existieren. Die Kl¨ arung dieser Frage stellt ein sehr schwieriges Problem dar, obwohl die Antwort positiv ausfallen sollte, worauf numerische Belege klar hindeuten.

236

5. Welche besonderen Arten von Primzahlen wurden untersucht?

Siegel bewies 1964 unter der Voraussetzung heuristischer Aussagen u dass ¨ber die Reste von Bernoulli-Zahlen modulo Primzahlen, √ ∼ die Dichte regul¨ arer Primzahlen unter allen Primzahlen 1/ e = 61% betr¨agt. Auf der anderen Seite war es ein wenig u ¨berraschend, als Jensen 1915 bewies, dass es unendlich viele irregul¨are Primzahlen gibt. Der Beweis war eigentlich ziemlich einfach, er erforderte einige arithmetische Eigenschaften der Bernoulli-Zahlen. Es sei πreg (x) die Anzahl der regul¨ aren Primzahlen p mit 2 ≤ p ≤ x und πir (x) = π(x) − πreg (x). F¨ ur jede irregul¨ are Primzahl p nennt man das Paar (p, 2k) ein irregul¨ ares Paar, wenn 2 ≤ 2k ≤ p − 3 und p den Z¨ahler von B2k teilt. Die Anzahl der irregul¨ aren Paare (p, 2k) heißt Irregularit¨ atsindex von p und wird mit ii(p) bezeichnet. F¨ ur s ≥ 1 sei πiis (x) die Anzahl der Primzahlen p ≤ x mit ii(p) = s.

Rekord Die wichtigsten Berechnungen u are Primzahlen stammen der ¨ber regul¨ Reihenfolge nach von Johnson (1975), Wagstaﬀ (1978), Tanner & Wagstaﬀ (1989), Buhler, Crandall & Sompolski (1992), Buhler, Crandall, Ernvall & Mets¨ ankyl¨ a (1993) und Buhler, Crandall, Ernvall, Mets¨ankyl¨a & Shokrollahi (2001). Alle irregul¨ aren Primzahlen bis N = 12 × 106 wurden zusammen mit ihrem Irregularit¨ atsindex bestimmt. Hier die Ergebnisse (die Primzahl 2 z¨ ahlt man weder zu den regul¨aren, noch zu den irregul¨aren Primzahlen): π(N ) = 788060 πreg (N ) = 477616 πir (N ) = 310443 πii1 (N ) = 239483 πii2 (N ) = 59710

(die Kleinste ist 37) (die Kleinste ist 157)

πii3 (N ) = 9824 πii4 (N ) = 1282

(die Kleinste ist 491) (die Kleinste ist 12613)

πii5 (N ) = 127 πii6 (N ) = 13 πii7 (N ) = 4

(die Kleinste ist 78233) (die Kleinste ist 527377) (die Kleinste ist 3238481)

πiis (N ) = 0, f¨ ur s ≥ 8.

II. Sophie-Germain-Primzahlen

237

Der gegenw¨artige Stand des Wissens ist: Die gr¨oßte bekannte regul¨are Primzahl ist p = 11999989. Die l¨ angste bekannte Sequenz aufeinander folgender regul¨ arer Primzahlen besteht aus 27 Primzahlen und beginnt mit 17881. Die l¨ angste bekannte Sequenz aufeinander folgender irregul¨arer Primzahlen besteht aus 14 Primzahlen und beginnt mit 670619. Die einzigen aufeinander folgenden“ irregul¨aren Paare (p, 2k), (p, 2k ” + 2) sind p = 491, 2k = 336 bzw. p = 587, 2k = 90. Es sind keine Drillinge (p, 2k), (p, 2k + 2), (p, 2k + 4) irregul¨arer Paare bekannt. F¨ ur alle Primzahlen p ≥ 11 gilt, dass p genau dann eine Wolstenholme-Primzahl ist (siehe Kapitel 2, Abschnitt II, C), wenn p den Z¨ahler der Bernoulli-Zahl Bp−3 teilt, oder anders ausgedr¨ uckt, wenn (p, p − 3) ein irregul¨ares Paar ist. Man vermutet, ohne es jedoch bisher beweisen zu k¨onnen, dass es Primzahlen mit beliebig hohem Irregularit¨atsindex gibt. Aus der Kombination des Satzes von Kummer, einem Kriterium von Vandiver sowie den oben erw¨ ahnten Berechnungen ergibt sich, dass Fermats letzter Satz f¨ ur jeden primen Exponenten p < 12 × 106 richtig ist. Die Regularit¨ at einer Primzahl ist f¨ ur viele Fragen der Zahlentheorie relevant, wobei seit dem Beweis der allgemeinen G¨ ultigkeit des Fermatschen Satzes die Rolle der regul¨ aren Primzahlen in diesem Zusammenhang haupts¨ achlich von historischem Interesse ist. Die außergew¨ohnliche mathematische Leistung des kompletten Beweises war das Resultat der Verkn¨ upfung von Arbeiten von G. Frey, K.A. Ribet, J.P. Serre, A. Wiles und R. Taylor.

II Sophie-Germain-Primzahlen Ich war auf die Sophie-Germain-Primzahlen bereits in Kapitel 2 im Zusammenhang mit einem Kriterium von Euler u ¨ber Teiler von MersenneZahlen gestoßen. Zur Erinnerung: p ist dann eine Sophie-Germain-Primzahl, wenn auch 2p + 1 prim ist. Es war Sophie Germain, die solche Zahlen zuerst untersuchte und dabei diesen wunderbaren Satz bewies: Wenn p eine Sophie-Germain-Primzahl ist, dann gibt es keine von 0 verschiedenen ganzen Zahlen x, y, z, die nicht von p geteilt werden und die xp + y p = z p erf¨ ullen.

238

5. Welche besonderen Arten von Primzahlen wurden untersucht?

Mit anderen Worten, der erste Fall von Fermats letztem Satz“ ist ” f¨ ur Sophie Germains Primzahlen g¨ ultig. Eine detaillierte Diskussion ﬁndet sich in meinen B¨ uchern (1979) oder (1999). Man vermutet, dass es unendlich viele Sophie-Germain-Primzahlen gibt. Der Beweis d¨ urfte jedoch den gleichen Schwierigkeitsgrad haben wie der Beweis der Existenz unendlich vieler Primzahlzwillinge. Ich m¨ochte nun etwas ausf¨ uhrlicher auf die Zusammenh¨ange zwischen dem ersten Fall von Fermats letztem Satz und Primzahlen wie denen von Sophie Germain eingehen. Erweiterungen von Sophie Germains Satz stammen von Legendre, D´enes (1951) sowie aus j¨ ungerer Zeit von Fee & Granville (1991). Es folgen Absch¨ atzungen f¨ ur die Anzahl der Sophie-Germain-Primzahlen unterhalb einer Zahl x ≥ 1. Allgemeiner sei a, d ≥ 1 mit geradem ad und ggT(a, d) = 1. F¨ ur jedes x ≥ 1 sei Sd,a (x) = #{p prim | p ≤ x, a + pd ist eine Primzahl}. Wenn a = 1, d = 2, dann z¨ ahlt S2,1 (x) die Sophie-Germain-Primzahlen p ≤ x. Die gleichen Siebmethoden, die Brun zur Absch¨atzung der Anzahl π2 (x) der Primzahlzwillinge kleiner als x verwendete, f¨ uhren hier zu einer ¨ahnlichen Schranke

Sd,a (x) <

Cx . (log x)2

Aus dem Primzahlsatz folgt

lim

x→∞

Sd,a (x) = 0. π(x)

Es ist daher vern¨ unftig zu sagen, dass die Menge der Primzahlen p, f¨ ur die auch a + pd prim ist, die Dichte 0 hat. Insbesondere hat die Menge der Sophie-Germain-Primzahlen und ebenso auch die Menge der Primzahlzwillinge die Dichte 0. Powell fand 1980 einen Beweis f¨ ur diese Tatsachen, ohne auf Siebmethoden zur¨ uckgreifen zu m¨ ussen.

II. Sophie-Germain-Primzahlen

239

Tabelle 20. Anzahl S2,1 (x) von Sophie-Germain-Primzahlen bis x x 103 104 105 106 107 108 109 1010 1011

S2,1 (x) 37 190 1 171 7 746 56 032 423 140 3 308 859 26 569 515 218 116 524

Die drei letzten Werte der Tabelle berechnete C.F. Kerchner 1999. Mittlerweile fand man sehr große Sophie-Germain-Primzahlen.

Rekorde Tabelle 21. Die gr¨ oßten bekannten Sophie-Germain- Primzahlen Sophie-Germain-Primzahl

Stellen Entdecker

Jahr

183027 × 2 −1 648621027630345 × 2253824 − 1

79911 76424

2010 2009

620366307356565 × 2253824 − 1

76424

607095 × 2176311 − 1 48047305725 × 2172403 − 1 137211941292195 × 2171960 − 1

53081 51910 51780

33759183 × 2123458 − 1

37173

7068555 × 2121301 − 1

36523

2540041185 × 2114729 − 1

34547

1124044292325 × 2107999 − 1

32523

265440

T. Wu und J. Penn´e Z. und A. J´arai, G. Farkas, T. Csajbok und J. Kasza Z. und A. J´arai, G. Farkas, T. Csajbok und J. Kasza T. Wu und J. Penn´e D. Underbakke und J. Penn´e Z. und A. J´arai, G. Farkas, T. Csajbok und J. Kasza B. Tornberg, D. Underbakke, und J. Penn´e P. Minovic, D. Underbakke und J. Penn´e D. Underbakke, G. Woltman und Y. Gallot D. Underbakke und J. Penn´e

2009 2009 2007 2006 2009 2005 2003 2006

240

5. Welche besonderen Arten von Primzahlen wurden untersucht?

Das folgende Thema ist eng mit den Sophie-Germain-Primzahlen verbunden: Eine aufsteigende Folge von Primzahlen q1 < q2 < · · · < qk heißt Cunningham-Kette erster Art (bzw. zweiter Art) der L¨ ange k, wenn qi+1 = 2qi + 1 (bzw. qi+1 = 2qi − 1) f¨ ur i = 1, 2, . . . , k − 1. Somit sind die ersten k − 1 Zahlen einer Cunningham-Kette erster Art alles Sophie-Germain-Primzahlen. Es ist nicht bekannt, ob es f¨ ur jedes k > 2 eine Cunningham-Kette (unabh¨angig welcher Art) mit der Mindestl¨ange k gibt.

Rekord Die l¨angsten bekannten Cunningham-Ketten haben die L¨ange 17 und wurden von J. Wr´ oblewski im Juni 2008 entdeckt. Diejenige der ersten Art beginnt mit der Primzahl 2759832934171386593519 und diejenige der zweiten Art beginnt mit der Primzahl 40244844789379926979141. Fr¨ uhere Rekorde hatten u ¨berdies die Eigenschaft, dass sie jeweils die kleinstm¨ogliche Anfangsprimzahl aufwiesen. Sie stammten von P. Carmody und P. Jobling (erste Art, L¨ ange 16, gefunden 2002) und von T. Forbes (zweite Art, ebenfalls L¨ ange 16, gefunden 1997) sowie von G. L¨oh: L¨ange 12 f¨ ur die erste Art, L¨ ange 13 f¨ ur die zweite Art, beide aus dem Jahre 1989.

III Wieferich-Primzahlen Eine Primzahl p, die der Kongruenz 2p−1 ≡ 1

(mod p2 )

gen¨ ugt, heißt Wieferich-Primzahl. Es war Wieferich, der 1909 den schwierigen Satz bewies: Wenn der erste Fall von Fermats letztem Satz f¨ ur den Exponenten p falsch ist, dann erf¨ ullt p obige Kongruenz. Im Gegensatz zur Kongruenz 2p−1 ≡ 1 (mod p), die von jeder ungeraden Primzahl erf¨ ullt wird, gilt die Wieferich-Kongruenz nur sehr selten. Vor dem Computerzeitalter entdeckten Meissner 1913 und Beeger 1922, dass die Primzahlen p = 1093 und p = 3511 Wieferichs Kongruenz gen¨ ugen. Wenn Sie kein passiver Leser sind, haben Sie bereits in Kapitel 2, Abschnitt III berechnet, dass 21092 ≡ 1 (mod 10932 ). Genauso leicht l¨ asst sich dies f¨ ur 3511 nachweisen.

III. Wieferich-Primzahlen

241

Rekord Lehmer hat 1981 gezeigt, dass es mit Ausnahme von 1093 und 3511 keine Primzahlen p < 6 × 109 gibt, die Wieferichs Kongruenz erf¨ ullen. Seine Berechnungen wurden zun¨ achst von Crandall, Dilcher & Pomerance (1997) bis 4 × 1012 erweitert, danach rechnete R. McIntosh bis 8 × 1012 , R. Brown bis 4,9 × 1013 und J.K. Crump (mit Helfern) bis 2 × 1014 . Knauer & Richstein (2005) erreichten 2002 die Grenze von 1,25 × 1015 . Schließlich berichten Dorais und Klyve (2008) davon, diese Grenze auf 6,7 × 1015 erh¨ oht zu haben. Eine dritte Wieferich-Primzahl ist nicht aufgetaucht. Zusammen mit fr¨ uheren Resultaten aus Kapitel 2, Abschnitte III und IV, besagen diese Berechnungen, dass die einzig m¨oglichen Faktoren p2 (wobei p eine Primzahl kleiner als 6,7 × 1015 ist) einer beliebigen Pseudoprimzahl Quadrate von p = 1093 oder p = 3511 sind. Dies wurde durch Berechnungen von Pinch (2000) best¨atigt. Unterhalb der Grenze 1013 fand er 54 Pseudoprimzahlen mit einem mehrfach auftretenden Faktor. Mirimanoﬀ bewies 1910 den folgenden Satz, der dem von Wieferich ¨ahnelt: Wenn der erste Fall von Fermats letztem Satz f¨ ur den Primzahlexp−1 2 ponenten p falsch ist, dann gilt 3 ≡ 1 (mod p ). Man kann veriﬁzieren, dass 1093 und 3511 Mirimanoﬀs Kongruenz nicht erf¨ ullen. Diese beiden Resultate bildeten die Basis eines neuen Angriﬀspunktes f¨ ur den ersten Fall von Fermats Satz. Dank der Arbeiten von Vandiver, Frobenius, Pollaczek, Morishima, Rosser und aus j¨ ungerer Zeit Granville & Monagan (1988) sowie Suzuki (1994) war es m¨oglich, den G¨ ultigkeitsbereich des ersten Falls von Fermats letztem Satz erheblich zu erweitern. In diesem Zusammenhang war die Verkn¨ upfung verschiedener Kriterien durch eine kombinatorische Methode von Gunderson von entscheidender Bedeutung. Dies ist in meinem bereits erw¨ahnten Buch beschrieben, darin beﬁnden sich auch Literaturangaben zu allen wesentlichen Artikeln. Nachdem Fermats letzter Satz vollst¨ andig bewiesen ist, sind diese Entwicklungen nun Teil der Geschichte von Fermats Satz geworden. Obige Kongruenzen haben ihre Bedeutung in anderen Bereichen der Zahlentheorie jedoch behalten.

242

5. Welche besonderen Arten von Primzahlen wurden untersucht?

Allgemeiner k¨ onnte man f¨ ur eine beliebige Basis a ≥ 2 (wobei a prim oder zerlegbar sein kann) diejenigen Primzahlen p betrachten, die a nicht teilen und f¨ ur die ap−1 ≡ 1 (mod p2 ) erf¨ ullt ist. Tats¨achlich fragte Abel erstmals 1828 nach solchen Beispielen. Jacobi gab daraufhin die folgenden Kongruenzen mit p ≤ 37 an: 310 ≡ 1

(mod 112 )

910 ≡ 1

(mod 112 )

1428 ≡ 1

(mod 292 )

1836 ≡ 1

(mod 372 )

Den Quotienten qp (a) =

ap−1 − 1 p

nennt man Fermat-Quotient von p zur Basis a. Der Rest modulo p des Fermat-Quotienten verh¨ alt sich ¨ ahnlich wie ein Logarithmus (was bereits von Eisenstein 1850 bemerkt wurde): Wenn p kein Teiler von ab ist, dann gilt qp (ab) ≡ qp (a) + qp (b) (mod p). Außerdem folgt qp (p − 1) ≡ 1

(mod p),

qp (p + 1) ≡ −1 (mod p).

In meinem Artikel 1093 (1983) sind zahlreiche interessante Eigenschaften des Fermat-Quotienten enthalten. Als Beispiel sei die folgende Kongruenz von Eisenstein (1850) erw¨ ahnt: ( ) 1 1 1 1 1 qp (2) ≡ 1 − + − + ··· − (mod p). p 2 3 4 p−1 Die folgenden Probleme sind ungel¨ ost: (1) Existieren zu gegebenem a ≥ 2 unendlich viele Primzahlen p derart, dass ap−1 ≡ 1 (mod p2 )? (2) Existieren zu gegebenem a ≥ 2 unendlich viele Primzahlen p derart, dass ap−1 ̸≡ 1 (mod p2 )? Die Antwort auf (1) sollte positiv ausfallen, warum auch nicht? Meine Aussage ist jedoch nicht gerade fundiert, denn das Problem ist ohne Zweifel sehr schwierig.

III. Wieferich-Primzahlen

243

Die n¨achste Frage bezieht sich auf eine feste Primzahl bei variabler Basis: (3) Gibt es zu einer ungeraden Primzahl p eine oder mehrere Basen a mit 2 ≤ a < p derart, dass ap−1 ≡ 1 (mod p2 )? Hierzu sind wenige Ergebnisse bekannt. Kruyswijk zeigte 1966, dass eine Konstante C existiert, so dass f¨ ur jede ungerade Primzahl p gilt: 1

C

#{a | 2 ≤ a < p, ap−1 ≡ 1 (mod p2 )} < p 2 + log log p . Es gibt also nicht besonders viele Basen, die f¨ ur ein primes p geeignet sind. Granville bewies 1987, dass #{q prim | 2 ≤ q < p, q p−1 ≡ 1 (mod p2 )} < p1/2 und allgemeiner, wenn u ≥ 1 und p eine Primzahl mit p ≥ u2u ist, dann ist #{q prim | 2 ≤ q ≤ u1/u , q p−1 ≡ 1 (mod p2 )} ≥ upu/2 . Außerdem gilt #{q prim | 2 ≤ q < p, q p−1 ̸≡ 1 (mod p2 )} ≥ π(p) − p1/2 .

Rekord Keller & Richstein ermittelten 2001, dass es f¨ ur p = 6692367337 genau 16 Basen a mit 2 ≤ a < p gibt, f¨ ur die ap−1 ≡ 1 (mod p2 ) erf¨ ullt k ist. Dies sind a = 5 f¨ ur k = 1, 2, . . . , 14 sowie a = 4961139411 und a = 6462265338. F¨ ur p = 188748146801 existiert die gleiche Anzahl L¨osungen f¨ ur a < p, in diesem Fall sind dies a = 5k f¨ ur k = 1, 2, . . . , 16. Der fr¨ uhere Rekord stammte von Ernvall & Mets¨ankyl¨a (1997) mit p = 1645333507 und 14 Basen a < p. Man beachte, dass alle drei Werte von p der Kongruenz 5p−1 ≡ 1 (mod p2 ) gen¨ ugen, siehe auch die folgende Tabelle.

244

5. Welche besonderen Arten von Primzahlen wurden untersucht?

Tabelle 22. Fermat-Quotienten, die durch p teilbar sind Basis 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

Primzahlen p, die ap−1 ≡ 1 (mod p2 ) erf¨ ullen 1093 3511 11 1006003 20771 40487 5 71 863 3 3 13

53471161 1645333507M 6692367337K 188748146801K

491531

1747591 46021 48947 478225523351F 7 13 43 137 63061489 2481757 13703077 15546404183R 2549536629329F Keine 7 79 6451 2806861K 3 77867 76407520781R 29 1025273 138200401K 5 103 13368932516573F Keine 3 47 59 97 2777 18088417183289F Keine 7 47 268573 3 47 331 3 7 263 3037 1012573K 60312841K 8206949094581F C 4871 13691 315746063 3 13 7 2914393K 76704103313R

Powell formulierte die Aussage, dass es unter der Voraussetzung p ̸≡ √ 7 (mod 8) mindestens eine Primzahl q < p derart gibt, dass q p−1 ̸≡ 1 (mod p2 ) (1982 als Problem im American Mathematical Monthly gestellt, 1986 Ver¨ oﬀentlichung einer L¨ osung von Tzanakis). Unter Verwendung st¨ arkerer Methoden l¨asst sich zeigen, dass es f¨ ur jede Primzahl p ≥ 11 eine Primzahl q mit 2 ≤ q < (log p)2 derart gibt, dass q p−1 ̸≡ 1 (mod p2 ). Angeregt durch die Berechnungen von Lehmer f¨ ur den Fermat-Quotienten zur Basis 2 ver¨ oﬀentlichten Riesel (1964), Kloss (1965) und Brillhart, Tonascia & Weinberger (1971) Tabellen f¨ ur Basen bis 100 und immer gr¨oßere Exponentenbereiche.

IV. Wilson-Primzahlen

245

Erweiterungen dieser Resultate stammen von Aaltonen & Inkeri (1991), Montgomery (1993), Keller & Richstein (2001, ver¨oﬀentlicht 2005), sowie von R. Fischer (unver¨ oﬀentlicht). Die aktuelle Tabelle umfasst alle Basen a ≤ 1000 und folgende prime Exponenten: p < 2,1 × 1013 f¨ ur 3 ≤ a ≤ 61, 13 p < 1,3 × 10 f¨ ur 61 < a ≤ 149, p < 4,1 × 1012 f¨ ur 149 < a ≤ 1000. F¨ ur a = 3, 5 und 17 wurden von Mossinghoﬀ (2009) sogar alle p < 1014 untersucht. Tabelle 22 beschr¨ ankt sich auf die primen Basen a ≤ 100. Die L¨osung, die mit einem C markiert ist, wurde von D. Clark gefunden, die mit einem M von P.L. Montgomery, solche mit einem K wurden von W. Keller und die mit einem R von J. Richstein entdeckt, w¨ahrend die mit einem F markierten von R. Fischer stammen.

IV Wilson-Primzahlen Dieser Abschnitt ist sehr kurz – man weiß fast nichts. Wilsons Satz besagt, dass die Kongruenz (p − 1)! ≡ −1 (mod p) f¨ ur alle Primzahlen p erf¨ ullt ist und daher der sogenannte Wilson-Quotient W (p) =

(p − 1)! + 1 p

immer eine ganze Zahl darstellt. Die Zahl p heißt eine Wilson-Primzahl , wenn W (p) ≡ 0 (mod p) oder gleichbedeutend, wenn (p − 1)! ≡ −1 (mod p2 ). Zum Beispiel sind p = 5, 13 Wilson-Primzahlen. Es ist unbekannt, ob es unendlich viele Wilson-Primzahlen gibt. Vandiver ¨ außerte sich dazu folgendermaßen: Diese Frage scheint mir von solch besonderer Beschaﬀenheit zu sein, dass wenn ich irgendwann nach meinem Tod wiederauferstehen sollte und mir irgendein Mathematiker erz¨ahlte, dass sie endg¨ ultig gel¨ ost ist, ich sofort wieder tot umfallen w¨ urde.

Rekord Außer 5 und 13 ist nur eine weitere Wilson-Primzahl bekannt. Es ist 563, entdeckt von Goldberg im Jahre 1953 (eine der ersten erfolgreichen Suchen mit einem Computer).

246

5. Welche besonderen Arten von Primzahlen wurden untersucht?

Die Suche nach Wilson-Primzahlen wurde fortgesetzt durch E.H. Pearson, K.E. Kloss, W. Keller, H. Dubner sowie Gonter & Kundert (1988) bis 107 . Im Jahre 1997 dehnten Crandall, Dilcher & Pomerance die Suche auf 5 × 108 aus. Ende Mai 2006 erreichten Carlisle, Crandall und Rodenkirch (pers¨ onliche Mitteilung) die Marke von 109 . Es wurde keine weitere Wilson-Primzahl gefunden.

V Repunit-Primzahlen In der Vergangenheit entstand ein großes Interesse f¨ ur Zahlen, deren Ziﬀern (zur Basis 10) s¨ amtlich gleich 1 sind: 1, 11, 111, 1111, . . . . Man nennt solche Zahlen Repunit-Zahlen. Wann sind Repunit-Zahlen prim? F¨ ur Zahlen der Form 111 . . . 1 =

10n − 1 , 9

deren n Ziﬀern alle gleich 1 sind, ist die Bezeichnung Rn gebr¨auchlich. Wenn Rn prim ist, dann muss dies schon f¨ ur n gelten, denn wenn a, b > 1, dann gilt 10ab − 1 10ab − 1 10a − 1 = × 9 10a − 1 9 und beide Faktoren sind gr¨ oßer als 1.

Rekord Lange Zeit waren die einzigen bekannten Repunit-Primzahlen R2, R19 und R23, nach Anbruch des Computerzeitalters kamen R317 (Williams 1978) und R1031 (Williams & Dubner 1986) hinzu. Dubner hatte bis 1992 berechnet, dass die Repunit-Zahlen Rp f¨ ur alle anderen Primzahlen p < 20000 zerlegbar sind. Diese Berechnungen wurden von J. Young, T. Granlund und H. Dubner bis p < 60000 erweitert. Im September 1999 (ver¨ oﬀentlicht 2002) entdeckte Dubner, dass R49081 eine Quasiprimzahl ist. Ein Jahr sp¨ater (im Oktober 2000) fanden L. Baxter u. a., dass dies auch f¨ ur R86453 gilt. Bis April 2007 hatte Dubner alle p < 200000 untersucht und dabei als n¨achsten Fall R109297 entdeckt. Unabh¨ angig und fast gleichzeitig wurde diese Zahl auch von P. Bourdelais gefunden. Bald darauf zeigte M. Voznyy, dass R270343 ebenfalls eine Quasiprimzahl ist. In der heutigen Zeit besteht praktisch keine Hoﬀnung, Zahlen dieser Gr¨oße als echte Primzahlen nachzuweisen. Im Rahmen eines von

V. Repunit-Primzahlen

247

Voznyy initiierten Gemeinschaftsprojekts wurden mittlerweile alle Rp mit p < 1440000 gepr¨ uft, ohne einen weiteren Treﬀer“ zu erzielen. ” Die vollst¨andige Faktorisierung von Repunit-Zahlen Rp ist derzeit f¨ ur alle p ≤ 271 bekannt. Oﬀenes Problem: Gibt es unendlich viele Repunit-Primzahlen? Mehr Informationen zu Repunit-Zahlen ﬁnden sich zum Beispiel im Buch von Yates (1982). Man kann leicht einsehen, dass eine Repunit-Zahl (verschieden von 1) keine Quadratzahl sein kann. Kniﬄiger ist es zu zeigen, dass RepunitZahlen auch keine Kuben sein k¨ onnen (siehe Rotkiewicz, 1987). Auch eine f¨ unfte Potenz ist ausgeschlossen (wie mir freundlicherweise R. Bond sowie K. Inkeri 1989 mitteilten). Es ist nicht bekannt, ob eine Repunit-Zahl f¨ ur den Fall, dass k kein Vielfaches von 2, 3 oder 5 ist, eine k-te Potenz sein kann (siehe Obl´ath, 1956). Williams & Seah betrachteten im Jahre 1979 auch Zahlen, die die Form (an − 1)/(a − 1) haben, wobei a ̸= 2, 10 (f¨ ur a = 2 erh¨alt man die Zahlen 2n − 1 und f¨ ur a = 10 die Repunit-Zahlen). Diese Zahlen nennt man heute verallgemeinerte Repunit-Zahlen zur Basis a. Wie auch die gew¨ohnlichen“ Repunit-Zahlen k¨ onnen auch sie h¨ochstens dann prim ” sein, wenn dies schon f¨ ur den Exponenten n gilt. Es ist im Allgemeinen sehr schwierig, die Primalit¨ at großer Zahlen dieses Typs nachzuweisen. Tabelle 23. Primzahlen der Form (an − 1)/(a − 1) a 3

5

6

7 11 12

n 3

7

13 71 103 541 1091 1367 1627 4177DB 9011∗ 9551∗ 36913∗ [42700] 43063∗ 49681∗ 57917∗ 483611∗ 877843∗ 3 7 11 13 47 127 149 181 619 929 3407W 10949∗ 13241∗ 13873∗ 16519∗ [31400] 201359∗ 396413∗ 2 3 7 29 71 127 271 509 1049 6389∗ 6883S1 10613∗ 19889∗ [29800] 79987∗ 608099∗ 5 13 131 149 1699DB 14221∗ [28200] 35201∗ 126037∗ 371669∗ 17 19 73 139 907 1907S2 2029S2 4801B 5153∗ 10867∗ 20161∗ [24000] 293831∗ 2 3 5 19 97 109 317 353 701 9739∗ 14951∗ [26300] 37573∗ 46889∗

248

5. Welche besonderen Arten von Primzahlen wurden untersucht?

In seinem 1993 ver¨ oﬀentlichten Artikel hatte Dubner die betrachteten Basen a bis mindestens n ≤ 10400 abgedeckt. Seine viel umfangreichere Tabelle enthielt alle Basen a ≤ 99. Die obige Tabelle wurde im Jahre 2002 durch A. Steward bis zu den Grenzen erweitert, die in eckige Klammern gesetzt sind. Sp¨ ater wurden die Berechnungen durch P. Bourdelais wieder aufgenommen. Mit einem Stern sind Quasiprimzahlen gekennzeichnet, deren Primalit¨at noch nicht nachgewiesen werden konnte. Die Quasiprimzahlen, die jenseits der Grenzen von Steward gefunden wurden, sind folgenden Entdeckern zuzuordnen: a = 3, n = 43063: R. Ballinger 2000, a = 3, n = 49681 und 57917: H. Lifchitz 2003, a = 12, n = 37573: H. Lifchitz 2007. Alle u ¨brigen wurden in den Jahren 2007 bis 2010 von Bourdelais entdeckt, der auch zeigte, dass bis zur h¨ ochsten der jeweils aufgelisteten Quasiprimzahlen keine weiteren existieren. Diejenigen Eintr¨ age in der Liste, bei denen die verallgemeinerte Repunit-Zahl im strengen Sinne als prim nachgewiesen wurde, sind durch die Initialen der Beweisf¨ uhrer bezeichnet: DB: S1: B: W: S2:

H. Dubner und R.P. Brent 1996, A. Steward 2000, D. Broadhurst 2001, T. Wu 2005, A. Steward 2006.

VI Zahlen der Form k × bn ± 1 Wie ich in Kapitel 2 erw¨ ahnte, haben die Teiler von Fermat-Zahlen die Form k ×2n +1. Diese Eigenschaft brachte die Zahlen ins Rampenlicht, und so war es naheliegend, sie auf ihre Primalit¨at hin zu untersuchen. Außer den Mersenne-Zahlen (mit k = 1) wurden auch andere Zahlen der Form k × 2n − 1 auf Primalit¨ at getestet. Aufgrund des Satzes von Dirichlet u ¨ber Primzahlen in arithmetischen Folgen gibt es f¨ ur jedes n ≥ 1 unendlich viele Zahlen k ≥ 1 und k ′ ≥ 1 derart, dass k × 2n + 1 bzw. k′ × 2n − 1 Primzahlen sind. Eine sehr interessante Frage ergibt sich, wenn man den Faktor k fest w¨ahlt: Es sei k ≥ 1 gegeben. Gibt es eine Zahl n ≥ 1 derart, dass k × 2n + 1 (bzw. k × 2n − 1) prim ist? Diese Frage geht auf Bateman zur¨ uck, Erd¨os & Odlyzko (1979) fanden eine Antwort:

VI. Zahlen der Form k × bn ± 1

249

F¨ ur eine beliebige reelle Zahl x ≥ 1 bezeichne N (x) die Anzahl der ungeraden Zahlen k mit 1 ≤ k ≤ x derart, dass es ein n ≥ 1 gibt, f¨ ur n n das k × 2 + 1 (bzw. k × 2 − 1) eine Primzahl ist. Dann existiert ein eﬀektiv berechenbares C1 > 0, so dass N (x) ≥ C1 x (f¨ ur jedes x ≥ 1). Die entwickelte Methode eignet sich auch zur Untersuchung anderer Folgen. Obwohl es einen positiven Anteil von Zahlen k ≥ 1 mit der Eigenschaft gibt, dass k × 2n + 1 (oder k × 2n − 1) f¨ ur irgendein n Primzahl ist, fand Riesel 1956, dass f¨ ur k = 509203 die Zahl k × 2n − 1 f¨ ur alle n ≥ 1 zerlegbar ist. Sein in Schwedisch verfasster Artikel war Sierpi´ nski sicher nicht zug¨ anglich, als er 1960 den folgenden interessanten Satz bewies: Es gibt unendlich viele ungerade Zahlen k derart, dass k × 2n + 1 f¨ ur jedes n ≥ 1 zerlegbar ist. Die Zahlen k mit obiger Eigenschaft nennt man Sierpi´ nski-Zahlen. Es ist nur konsequent, die ungerade Zahl k eine Riesel-Zahl zu nennen, wenn k × 2n − 1 f¨ ur jedes n ≥ 1 zerlegbar ist. Aus dem Satz von Dirichlet u ¨ber Primzahlen in arithmetischen Folgen und Sierpi´ nskis Resultat ergibt sich, dass es unendlich viele Sierpi´ nski-Zahlen gibt, die prim sind. Auf die gleiche Weise kann man schließen, dass es unendlich viele Riesel-Zahlen gibt, die prim sind.

Rekord Die kleinste bekannte Sierpi´ nski-Zahl ist k = 78557 = 17 × 4621 und wurde im Jahre 1963 von Selfridge entdeckt. Die kleinste bekannte prime Sierpi´ nski-Zahl ist k = 271129. Die kleinste bekannte RieselZahl ist die von Riesel selbst gefundene Primzahl k = 509203. ¨ Uber viele Jahre hinweg hat Keller große Anstrengungen unternommen, einem Beweis der Vermutung nahe zu kommen, dass keine kleinere Sierpi´ nski-Zahl k existiert. Er zeigte (1991), dass k ≥ 4847 und dass es nur 35 ungerade Zahlen k im Intervall 4847 ≤ k < 78557 gibt, die als m¨ogliche Sierpi´ nski-Zahlen in Frage kommen. Von diesen 35 Kandidaten wurden 14 von J. Young im Jahre 1997 ausgeschlossen. Vier weitere der Liste konnten mit Hilfe von Gallots Testprogramm gestrichen werden: Zwei durch M. Thibeault (im Jahre 1999), eine durch L. Baxter und eine durch J. Szmidt, beide in 2001.

250

5. Welche besonderen Arten von Primzahlen wurden untersucht?

Ein groß angelegter Angriﬀ auf die verbleibenden 17 Kandidaten wurde von L. Helm und D. Norris gestartet, die ein verteiltes Rechenprojekt organisierten, welches gegen Ende 2002 innerhalb weniger Wochen f¨ unf Kandidaten zu Fall brachte. In der Zeit vom Dezember 2003 bis Oktober 2007 gelang es ihnen, noch weitere sechs der Vorfaktoren zu eliminieren. Demnach verbleiben jetzt nur noch die folgenden sechs Werte zur weiteren Untersuchung: k = 10223, 21181, 22699, 24737, 55459, 67607. Neuerdings hat man sich auch der Frage zugewandt, ob sich die Vermutung, dass k = 271129 tats¨ achlich die kleinste prime Sierpi´ nskiZahl sei, auf rechnerischem Wege best¨ atigen l¨asst. Außer den obigen Kandidaten k = 10223, 22699, 67607 w¨ aren dazu nur noch k = 79309, 79817, 152267, 156511, 168451, 222113, 225931, 237019 auszuschließen. In Bezug auf m¨ ogliche Riesel-Zahlen k mit k < 509203 zeigte Keller, dass k ≥ 659. Auch f¨ ur dieses Problem hat sich ein koordiniertes Rechenprojekt etabliert, welches unter der Leitung von L. Stephens daf¨ ur sorgte, dass derzeit noch 64 Werte zu untersuchen sind. Die ersten dieser Werte lauten k = 2293, 9221, 23669, 31859, 38473, 40597, 46663, 65531, . . . . Die umfangreichen Berechnungen, die eigentlich dazu dienten, diverse Kandidaten zu eliminieren, f¨ uhrten zugleich zur Entdeckung sehr großer Primzahlen. So wurden k = 19249, 27653, 28433, 33661, 90527 und k = 258317 als Sierpi´ nski-Zahlen ausgeschlossen, indem Primzahlen entdeckt wurden, die in Tabelle 24 sechs Positionen einnehmen, darunter die obersten f¨ unf. Die gr¨oßte Primzahl, die im Zusammenhang mit dem Riesel-Problem gefunden wurde, ist die 1086531-stellige Zahl 485767 × 23609357 − 1. Im Rahmen des betreﬀenden Rechenvorhabens war C. Cardall ihr gl¨ ucklicher Entdecker, der sie im Juni 2008 fand. Es ist u ¨brigens sichergestellt (was f¨ ur die Eliminierung nicht erforderlich ist), dass 485767 × 2n − 1 f¨ ur alle n < 3609357 zerlegbar ist.

Rekorde Die gr¨oßte bekannte Primzahl der Form k × 2n + 1 ist 19249 × 213018586 +1 (3918990 Stellen), gefunden im Mai 2007. Sie ist zugleich die gr¨oßte, die nicht vom Mersenne-Typ ist, siehe die nachfolgende Tabelle. Die gr¨oßte bekannte Primzahl der Form k × 2n − 1 ist 3 × 26090515 − 1

VI. Zahlen der Form k × bn ± 1

251

(1833429 Stellen). Sie wurde im April 2010 im Rahmen eines Projekts namens PrimeGrid von D. Mumper, G. Reynolds und J. Penn´e entdeckt. PrimeGrid beherbergt seit 2006 diverse Primzahlprojekte, die bei der systematischen Suche nach Rekordprimzahlen bereits große Erfolge verzeichnen konnten, von denen an verschiedenen Stellen dieses Buches zu berichten ist. Das Gesamtprojekt steht unter der Federf¨ uhrung von R. Slatkeviˇcius und J. Blazek. W¨ahrend die neun gr¨ oßten derzeit bekannten Primzahlen MersenneZahlen sind, zeigt Tabelle 24 die zehn gr¨ oßten bekannten Primzahlen, die keine Mersenne-Zahlen sind. Auf sieben dieser Zahlen wurde bereits gesondert hingewiesen. Den beiden Primzahlen der Form n × 2n + 1 werden wir bald noch einmal begegnen.

Rekorde Tabelle 24. Die gr¨ oßten bekannten Nicht-Mersenne-Primzahlen Primzahl 19249 × 2

13018586

Stellen

+1

3918990

27653 × 29167433 + 1

2759677

90527 × 29162167 + 1

2758093

28433 × 27830457 + 1

2357207

33661 × 27031232 + 1

2116617

6679881 × 26679881 + 1

2010852

6328548 × 26328548 + 1

1905090

3 × 26090515 − 1

1833429

258317 × 25450519 + 1

1640776

3 × 25082306 + 1

1529928

Entdecker

Jahr

K. Agafonov, G. Woltman, L. Helm, D. Norris u. a. D. Gordon, G. Woltman, L. Helm, D. Norris u. a. P. Salah, G. Reynolds, J. Penn´e und PrimeGrid N.N., G. Woltman, L. Helm, D. Norris u. a. S. Sunde, G. Woltman, L. Helm, D. Norris u. a. N.N., G. Reynolds, J. Penn´e und PrimeGrid D.R. Gesker, G. Reynolds, J. Penn´e und PrimeGrid D. Mumper, G. Reynolds, J. Penn´e und PrimeGrid S. Gilvey, G. Reynolds, J. Penn´e und PrimeGrid A. Brady, G. Reynolds, J. Penn´e und PrimeGrid

2007 2005 2010 2004 2007 2009 2009 2010 2008 2009

252

5. Welche besonderen Arten von Primzahlen wurden untersucht?

Verallgemeinerte Fermat-Zahlen m

Es handelt sich um Primzahlen der Form b2 + 1. Dies ist ein Spezialfall von k × bn + 1 mit k = 1, n = 2m und geradem b. Zahlen m b2 + 1 mit b ≥ 2 und m ≥ 1 heißen verallgemeinerte Fermat-Zahlen. Es war Dubner, der 1985 erstmals gr¨ oßere Primzahlen dieser Gestalt (auch kurz verallgemeinerte Fermat-Primzahlen genannt) ermittelte. 11 Die gr¨oßte darunter war die Zahl 1502 + 1 mit 4457 Stellen. Etwa 1998 bemerkte Y. Gallot, dass verallgemeinerte Fermat-Zahlen mit einer vergleichbaren Geschwindigkeit getestet werden k¨onnen wie Mersenne-Zahlen der gleichen Gr¨ oße. Dass dies in der Praxis funktioniert, zeigte er durch die Entwicklung eines Computerprogramms, das er nach und nach weiter optimierte. Tats¨achlich ist der Test deutlich schneller als f¨ ur Zahlen der Formen k × 2n ± 1 mit k > 1. Die verwendete Arithmetik benutzt die Methode der diskreten gewichteten Transformation (Discrete Weighted Transform, abgek¨ urzt DWT) von Crandall & Fagin (1994), die auch beim Nachweis der 13 gr¨oßten bekannten Mersenne-Primzahlen zum Einsatz kam (Projekt GIMPS). Historisch gesehen war die gr¨ oßte bekannte Primzahl fast immer eine Mersenne-Primzahl. Mit einer Ausnahme im August 1989, als die Primzahl 391581 × 2216193 − 1, entdeckt von den sechs ergebenen Numerologen J. Brown, L.C. Noll, B. Parady, G. Smith, J. Smith und S. Zarantonello, die Mersenne-Primzahl M216091 entthront hatte. Armer Mersenne, der sich eine Zeit lang vor lauter Sorgen und Trauer im Grabe herumdrehen musste, bis ihn schließlich der Erfolg seiner Mersenne-Primzahlen wieder in Frieden ruhen ließ. Aber wie lange wird dieser Frieden andauern? Wie Dubner & Gallot (2002) in ihrem Artikel erl¨autern, gibt es erwartungsgem¨ aß sehr viel mehr verallgemeinerte Fermat-Primzahlen vergleichbarer Gr¨ oßenordnung, und daher k¨onnte nach ihren Aussagen eine gut organisierte Suche die Rangordnung unter den gr¨oßten bekannten Primzahlen schon bald ver¨ andern. Etwa 40 Primzahlen der genannten Form mit mehr als 400000 Stellen konnten bereits bestimmt werden, darunter auch eine Megaprimzahl. Der erwartete Durchbruch l¨asst allerdings noch auf sich warten. Weitere interessante Rekorde, die sich auf Zahlen der Form k ×bn +1 mit b > 2 beziehen, sind die folgenden:

VI. Zahlen der Form k × bn ± 1

253

Rekorde 18

A. Die 1150678-stellige verallgemeinerte Fermat-Zahl 245182 +1 ist die gr¨oßte bekannte Primzahl der Form N 2 + 1. Sie wurde im M¨arz 2008 von S. Scott, D. Underbakke und Y. Gallot entdeckt. Man erinnere sich, dass bis heute nicht bekannt ist, ob es unendlich viele Primzahlen dieser Form gibt. B. Die gr¨oßten bekannten Primzahlen der Formen k × bn ± 1 mit k > 1 und ungeradem b > 2 sind 2 × 31175232 + 1 (560729 Stellen), im Februar 2010 von D. Broadhurst, P. Jobling und J. Fougeron entdeckt, und 563528 × 13563528 − 1 (627745 Stellen), im Dezember 2009 von L. Vogel, G. Reynolds, M. Rodenkirch, J. Fougeron und PrimeGrid entdeckt. Cullen-Zahlen Zahlen der Form Cn = n × 2n + 1 sind unter der Bezeichnung CullenZahlen bekannt. Robinson zeigte 1958, dass C141 eine Primzahl ist und wies die Zerlegbarkeit aller Cn mit 1 < n ≤ 1000 nach. Gut 25 Jahre lang war dies die einzige bekannte Cullen-Primzahl, außer nat¨ urlich C1 = 3. Keller bestimmte 1987 (ver¨ oﬀentlicht 1995) alle Cullen-Primzahlen Cn mit n ≤ 30000. Diese Berechnungen wurden von J. Young (1997) bis n ≤ 100000 ausgedehnt. Danach konnten dank Y. Gallots Programm weitere drei Primzahlen gefunden werden. Wie man heute weiß, war damit die Liste bis n ≤ 1000000 komplett. Jenseits dieser Grenze fanden zun¨achst M. Rodenkirch und J. Penn´e im August 2005 eine weitere Cullen-Primzahl mit n = 1354828. Seitdem wurden im Rahmen des PrimeGrid-Projekts alle Exponenten n ≤ 7870000 untersucht und dabei zwei Cullen-Megaprimzahlen entdeckt. Die gr¨oßte wurde im August 2009 von einem japanischen Teilnehmer gefunden, dessen Identit¨at nicht ermittelt werden konnte. Die bekannten Cullen-Primzahlen ﬁnden sich in Tabelle 25. In seinem Buch (1976) weist Hooley darauf hin, dass fast alle CullenZahlen Cn zerlegbar sind. Genauer gilt Cπ(x) = 0, x→∞ x wobei Cπ(x) die Anzahl der Cullen-Zahlen Cn ≤ x bezeichnet, die prim sind. Bislang ist jedoch unbekannt, ob es unendlich viele CullenPrimzahlen Cn gibt. lim

254

5. Welche besonderen Arten von Primzahlen wurden untersucht?

Tabelle 25. Cullen-Primzahlen Cn n 6679881 6328548 1354828 481899 361275 262419 90825 59656 32469 32292 18496 6611 5795 4713 141 1

Entdecker

Jahr

N.N. u. a. und PrimeGrid D.R. Gesker u. a. und PrimeGrid M. Rodenkirch und J. Penn´e M. Morii und Y. Gallot D. Smith und Y. Gallot D. Smith und Y. Gallot J. Young J. Young M. Morii M. Morii W. Keller W. Keller W. Keller W. Keller R.M. Robinson –

2009 2009 2005 1998 1998 1998 1997 1997 1997 1997 1984 1984 1984 1984 1958 –

Die Zahlen W n = n × 2n − 1 nennt man Woodall-Zahlen oder auch Cullen-Zahlen der zweiten Art. Im Bereich n ≤ 20000 ist W n genau dann prim, wenn n = 2, 3, 6, 30, 75, 81 (Riesel, 1969), 115, 123, 249, 362, 384, 462, 512, 751, 822, 5312, 7755, 9531, 12379, 15822 und 18885 (Keller, 1987). Die Berechnungen wurden von J. Young bis n ≤ 100000 fortgesetzt. Mit Hilfe von Y. Gallots Programm wurden weitere drei Primzahlen entdeckt, mit denen die Liste hier ebenfalls bis n ≤ 1000000 vollst¨andig ist. Wiederum fanden M. Rodenkirch und J. Penn´e (Juli 2005) eine Primzahl jenseits dieser Grenze, diesmal mit n = 1195203. Im Rahmen des PrimeGrid-Projekts wurden seitem alle n ≤ 8090000 untersucht – mit dem in Tabelle 26 gezeigten Erfolg. In der Tabelle sind nur die bekannten Woodall-Primzahlen mit n > 20000 aufgelistet. ¨ Im Ubrigen haben W. Keller & W. Niebuhr (1995) die vollst¨andigen Faktorisierungen der Zahlen Cn und W n f¨ ur alle n ≤ 300 bestimmt. Diese Berechnungen hat P. Leyland bis November 1998 auf alle n ≤ 400 und bis August 2000 auf alle n ≤ 450 ausgedehnt. Unter Mitwirkung verschiedener Helfer wurden die Faktortabellen inzwischen bis n ≤ 650 komplettiert (August 2009).

VI. Zahlen der Form k × bn ± 1

255

Tabelle 26. Die gr¨ oßten bekannten Woodall-Primzahlen W n n 3752948 2367906 2013992 1467763 1268979 1195203 667071 151023 143018 98726 23005 22971

Entdecker

Jahr

M.J. Thompson u. a. und PrimeGrid S. Kohlman u. a. und PrimeGrid L.M. Andersen u. a. PrimeGrid W. Siemelink u. a. PrimeGrid W. Siemelink u. a. PrimeGrid M. Rodenkirch und J. Penn´e M. Toplic und Y. Gallot K. O’Hare und Y. Gallot R. Ballinger und Y. Gallot J. Young J. Young J. Young

2007 2007 2007 2007 2007 2005 2000 1998 1998 1997 1997 1997

Cullen-Zahlen (beider Arten) lassen sich in der Form n × bn + 1 und n × bn − 1 mit b > 2 verallgemeinern. Verallgemeinerte Cullen-Zahlen n × bn + 1 wurden von Dubner in 1989 eingef¨ uhrt. Er untersuchte das m¨ogliche Auftreten von Primzahlen dieser Form und bemerkte dabei, dass es f¨ ur prime Basen b > 3 kaum Primzahlen gibt. Tats¨achlich fand er f¨ ur b = 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 53, 71, 73 keine einzige Primzahl. Es erschien jedoch unwahrscheinlich, dass man f¨ ur auch nur eine dieser Basen die Nichtexistenz von Primzahlen beweisen k¨onnte. Durch intensive Berechnungen konnte sp¨ater gezeigt werden, dass der erste Exponent n, f¨ ur den eine Primzahl auftaucht, recht groß sein kann. Mit Hilfe von Gallots Programm, das auch Zahlen dieser Form handhaben kann, wurden kleinste“ Primzahlen f¨ ur b = 19, 23 (Keller ” 1998) und f¨ ur b = 17, 71 (L¨ oh 2000) gefunden. Zuletzt entdeckte L¨oh (April 2002) f¨ ur b = 31 die Primzahl 82960 × 3182960 + 1 mit 123729 Stellen. Trotz weiterer Bem¨ uhungen sind die verbleibenden F¨alle b = 13, 29, 41, 47, 53, 73 bislang ungekl¨ art geblieben.

256

5. Welche besonderen Arten von Primzahlen wurden untersucht?

VII Primzahlen und linear rekurrente Folgen zweiter Ordnung In diesem Abschnitt werde ich Folgen T = (Tn )n≥0 betrachten, die durch lineare rekurrente Folgen zweiter Ordnung deﬁniert sind. Allgemeine lineare rekurrente Folgen zweiter Ordnung Es seien P , Q zwei von Null verschiedene ganze Zahlen derart gegeben, dass D = P 2 − 4Q ̸= 0. Diese Zahlen P , Q sind die Parameter der Folge T , die nun deﬁniert werden soll. Seien T0 , T1 ganze Zahlen (von 0 verschieden) und f¨ ur jedes n ≥ 2 sei Tn = P Tn−1 − QTn−2 . Das charakteristische Polynom der Folge T ist X 2 − P X + Q; seine Wurzeln sind √ √ P+ D P− D α= , β= . 2 2 √ Somit ist α + β = P , αβ = Q, α − β = D. Die Folgen (Un )n≥0 , (Vn )n≥0 mit Parametern (P, Q) und U0 = 0, U1 = 1 (bzw. V0 = 2, V1 = P ) sind exakt die Lucas-Folgen, die bereits in Kapitel 2, Abschnitt IV untersucht worden sind. Es sei γ = T1 − T0 β, δ = T1 − T0 α. Dann l¨asst sich leicht zeigen, dass γαn − δβ n αn − β n αn−1 − β n−1 Tn = = T1 − QT0 α−β α−β α−β f¨ ur jedes n ≥ 0 gilt. Wenn U = (Un )n≥0 die Lucas-Folge mit den gleichen Parametern ist, dann ist Tn = T1 Un − QT0 Un−1 (f¨ ur n ≥ 2). Man kann auch die Begleitfolge W = (Wn )n≥0 deﬁnieren. Sei W0 = 2T1 − P T0 ,

W1 = T1 P − 2QT0

und Wn = P Wn−1 − QWn−2 ,

f¨ ur n ≥ 2.

Wieder gilt Wn = γαn +δβ n = T1 Vn −QT0 Vn−1 , wobei V = (Vn )n≥0 die begleitende Lucas-Folge mit Parametern (P, Q) ist. Ich k¨onnte nun genau wie bei den Lucas-Folgen aus Kapitel 2, Abschnitt IV algebraische Zusammenh¨ ange und Teilbarkeitseigenschaften dieser Folgen herleiten. Meine Absicht ist jedoch, nur solche Eigenschaften zu untersuchen, die mit Primzahlen zu tun haben.

VII. Primzahlen und linear rekurrente Folgen zweiter Ordnung

257

Die Primteiler einer Folge T Man betrachte die Menge P(T ) = {p prim | es gibt n derart, dass Tn ̸= 0 und p | Tn }. Die Folge T heißt entartet, wenn α/β = η eine Einheitswurzel ist. Dann ist auch β/α = η −1 eine Einheitswurzel; daher |η + η −1 | ≤ 2. Aber α2 + β 2 P 2 − 2Q η + η −1 = = , αβ Q so dass f¨ ur entartetes T gilt: P 2 − 2Q = 0, ±Q, ±2Q. Es ist nicht schwer zu zeigen, dass die Menge P(T ) f¨ ur entartetes T endlich ist. Ward zeigte 1954, dass auch die Umkehrung richtig ist: F¨ ur eine nicht-entartete Folge T ist P(T ) unendlich. Ein nat¨ urliches Problem stellt sich in der Frage, ob P(T ) notwendigerweise eine positive Dichte hat (in der Menge aller Primzahlen), und falls m¨oglich, sie auszurechnen. Pionierarbeit leistete Hasse (1966), der die Menge der Primzahlen p untersuchen wollte, f¨ ur die die Ordnung von 2 modulo p gerade ist. Das bedeutet, dass es ein n ≥ 1 derart gibt, dass p Teiler von 22n − 1 ist, aber p die Zahl 2m − 1 f¨ ur alle 1 ≤ m < 2n nicht teilt. Somit 2n ≡ −1 (mod p), also ist p Teiler von 2n + 1 und umgekehrt. Die Folge H = (Hn )n≥0 mit Hn = 2n + 1 ist die begleitende LucasFolge mit Parametern P = 3, Q = 2. Sei πH (x) = #{p ∈ P(H) | p ≤ x}, f¨ ur jedes x ≥ 1. Hasse zeigte, dass lim

x→∞

πH (x) 17 = . π(x) 24

Die Zahl 17/24 stellt die Dichte der Primzahlen p dar, die die Folge H teilen, das heißt, f¨ ur die es ein n derart gibt, dass p | Hn . Lagarias u ¨berarbeitete 1985 Hasses Methode und zeigte unter Anderem, dass f¨ ur die Folge V = (Vn )n≥0 der Lucas-Zahlen die Menge P(V ) die Dichte 2/3 hat. Die vorherrschende Vermutung ist, dass die Menge P(T ) f¨ ur jede nicht-entartete Folge T eine positive Dichte hat.

258

5. Welche besonderen Arten von Primzahlen wurden untersucht?

Primzahlen in Folgen T Ich wende mich nun einem weiteren sehr interessanten und schwierigen Problem zu. Es sei T = (Tn )n≥0 eine linear rekurrente Folge zweiter Ordnung, zum Beispiel die Folge der Fibonacci-Zahlen oder der Lucas-Zahlen. Diese Folgen enthalten Primzahlen, aber es ist unbekannt, ob es unendlich viele sind, und der Nachweis w¨ are sicher sehr schwierig. Aus den Formeln (IV.15) und (IV.16) des Kapitels 2, Abschnitt IV folgt: Wenn Um prim ist, dann ist m = 4 oder m ist eine Primzahl. Wenn Vm prim ist, dann ist m eine Zweierpotenz oder m ist eine Primzahl. Nat¨ urlich muss die jeweilige Umkehrung nicht wahr sein. Man hat sehr viel Rechenzeit in die Suche nach Fibonacci- und Lucas-Primzahlen sowie in deren Faktorisierung investiert (siehe Kapitel 2, Abschnitt XI, D). Da die Zahlen dieser Folgen schnell anwachsen, ist man beim Test auf Primalit¨ at und bei der Faktorisierung mit schwierigen Problemen konfrontiert. Von den ver¨oﬀentlichten Arbeiten m¨ ochte ich Jardens Buch von 1958 in seiner dritten Auﬂage erw¨ ahnen, u ¨berarbeitet und erweitert von Brillhart (1973). Außerdem die Artikel von Brillhart, Montgomery & Silverman (1988) und von Dubner & Keller (1999). Der gegenw¨artige Wissensstand ist wie folgt. Die Fibonacci-Zahl Un ist prim f¨ ur n = 3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 43, 47, 83, 131, 137, 359, 431, 433, 449, 509, 569, 571, 2971W, 4723WM, 5387WM, 9311DK , 9677deW, 14431BdeW, 25561BdeW, 30757BdeW, 35999BdeW, 37511BdeW, 50833BdeW, 81839BdeW, und wurde bislang nur als quasiprim erkannt f¨ ur n = 104911, 130021, 148091, 201107, 397379, 433781, 590041, 593689, 604711, 931517, 1049897, 1285607, 1636007, 1803059, 1968721. Die letzte dieser Zahlen, U1968721 , hat 411439 Dezimalstellen. Die Quasiprimzahl U104911 wurde von B. de Water entdeckt, U130021 von

VII. Primzahlen und linear rekurrente Folgen zweiter Ordnung

259

D. Fox, U148091 von T.D. Noe, und alle weiteren von H. Lifchitz. Die Liste ist bis n = 2253000 vollst¨ andig. Die an einigen Zahlen angebrachten Buchstaben bedeuten, dass die Primalit¨at der betreﬀenden Fibonacci-Zahl nachgewiesen wurde von W: WM: DK: deW: BdeW:

H.C. Williams, H.C. Williams und F. Morain, H. Dubner und W. Keller, B. de Water, D. Broadhurst und B. de Water.

Der Primalit¨ atsbeweis f¨ ur die 17103-stellige Zahl U81839 stellt eine bemerkenswerte Leistung dar. Des Weiteren ist bekannt, dass die Lucas-Zahl Vn prim ist f¨ ur n = 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 503W, 613W, 617W, 863W, 1097DK, 1361DK, 4787DK, 4793DK, 5851DK, 7741DK, 8467deW, 10691DK, 12251BdeW, 13963Oak, 14449DK, 19469BdeW, 35449deW, 36779deW, 44507BdeW, 51169BdeW, 56003BI, und bislang nur als quasiprim erkannt wurde f¨ ur n = 81671, 89849, 94823, 140057, 148091, 159521, 183089, 193201, 202667, 344293, 387433, 443609, 532277, 574219, 616787, 631181, 637751, 651821, 692147, 901657, 1051849. Die Quasiprimzahlen V81671 und V89849 sind Dubner zu verdanken, V140057 und V148091 wurden von de Water entdeckt, und alle u ¨brigen von H. oder R. Lifchitz (Henri und Renaud, Vater und Sohn). Diese Liste ist bis n = 1200000 komplett. F¨ ur die Primbeweise gelten die gleichen Bezeichnungen wie oben, mit den zus¨atzlichen Abk¨ urzungen Oak: M. Oakes, BI: D. Broadhurst und S.A. Irvine. Wenn Sie sich die obigen Listen noch einmal anschauen, werden Sie feststellen, dass f¨ ur die Primzahlen n = 5, 7, 11, 13, 17, 47 sowohl Un als auch Vn prim sind. Dies passiert dann zun¨achst nicht wieder, bis man auf n = 148091 st¨ oßt, wo u ¨berraschenderweise Un und Vn beide quasiprim sind. Wenn (oder falls) gezeigt werden sollte, dass diese

260

5. Welche besonderen Arten von Primzahlen wurden untersucht?

Zahlen tats¨achlich Primzahlen sind, dann k¨onnte man den Eindruck gewinnen, dass es wom¨ oglich unendlich viele prime n gibt, f¨ ur die Un und Vn beide Primzahlen sind. Diese Nuss wird wohl schwer zu knacken sein. Lassen Sie sich nicht den Schlaf rauben, N¨ usse sind schwer verdaulich. Folgen T mit ausschließlich zerlegbaren Zahlen Man sollte beachten, dass eine Folge T , die weder eine Lucas-Folge noch eine begleitende Lucas-Folge ist, durchaus keine Primzahl enthalten kann. Graham entdeckte 1964 ein Beispiel mit P = 1, Q = −1; allerdings erwies sich die Berechnung von T0 und T1 als fehlerhaft. Im Jahre 1990 gab Knuth die richtigen Werte an, T0 = 331635635998274737472200656430763, T1 = 1510028911088401971189590305498785, sowie ein weiteres Beispiel mit kleineren Werten von T0 und T1 : T0 = 62638280004239857, T1 = 49463435743205655. Ebenfalls mit P = 1, Q = −1 fand Vsemirnov im Jahre 2004 ein Beispiel mit den bisher kleinsten Anfangswerten T0 = 106276436867, T1 = 35256392432. Es sei nun P = 3, Q = 2. Die Lucas-Folge und die begleitende LucasFolge mit diesen Parametern sind U , V mit Un = 2n − 1, Vn = 2n + 1, und diese Folgen enthalten Primzahlen. Mit T0 = k+1, T1 = 2k+1 und den Parametern P = 3, Q = 2 erh¨ alt man die Folge mit Tn = k×2n +1. F¨ ur T0′ = k − 1, T1′ = 2k − 1 ergibt sich Tn′ = k × 2n − 1. Diese Folgen wurden im vorigen Abschnitt behandelt, wo gesagt wurde, dass es unendlich viele ungerade Zahlen k gibt (die Sierpi´ nskiZahlen), f¨ ur die jedes Tn zerlegbar ist; analog gibt es unendlich viele Zahlen k (die Riesel-Zahlen), f¨ ur die Tn′ zerlegbar ist. Im Jahre 2002 beschrieb Izotov unendlich viele Paare teilerfremder Parameter (P, Q) und f¨ ur jedes dieser Paare unendlich viele Paare von Anfangswerten derart, dass die entsprechende Folge nur aus zerlegbaren Zahlen besteht.

VII. Primzahlen und linear rekurrente Folgen zweiter Ordnung

261

Die NSW-Zahlen NSW bedeutet nicht Nord-S¨ ud-West oder New South Wales, sondern steht f¨ ur Newman, Shanks & Williams (1980), und ich hatte die Ehre, deren Artikel bereits einsehen zu d¨ urfen, als er noch nicht zur Ver¨oﬀentlichung freigegeben war. Dies war kurz nach dem Besuch von Dan Shanks an der Queen’s University, der aus mehr als einem Grund denkw¨ urdig ist. Die NSW-Zahlen, wie sie in dem Artikel vorgestellt werden, sind f¨ ur ungerade Indizes deﬁniert: S1 = 1, S3 = 7, S5 = 41, S7 = 239, S9 = 1393, . . . . Diese Zahlen treten im Zusammenhang mit der Frage nach der Existenz einfacher endlicher Gruppen mit quadratischer Ordnung auf. Die Zahlen Wn = S2n+1 , n ≥ 0 sind die Werte der linear rekurrenten Folge zweiter Ordnung mit Parametern P = 6, Q = 1 und Anfangswerten W0 = 1, W1 = 7. F¨ ur jedes n ≥ 2 gilt also √ 2n+1 √ (1 + 2) + (1 − 2)2n+1 Wn = . 2 Es ist unbekannt, ob es unendliche viele prime NSW-Zahlen gibt. Auf der anderen Seite bewiesen Sellers & Williams (2002), dass die Folge (Wn )n≥0 (und viele andere, ¨ ahnliche Folgen) unendlich viele zerlegbare Zahlen enth¨ alt. In der urspr¨ unglichen Schreibweise gilt, dass wenn S2n+1 eine Primzahl ist, dies auch f¨ ur 2n + 1 der Fall sein muss. Die folgenden Werte von p < 2000 f¨ uhren zu primen NSW-Zahlen Sp : p = 3, 5, 7, 19, 29, 47, 59, 163, 257, 421, 937, 947, 1493, 1901. F. Morain hat 1989 gezeigt, dass die letzten zwei Werte tats¨achlich Primzahlen ergeben. Im Jahre 1999 ermittelte H. Dubner, dass Sp im Intervall 2000 < p < 80000 genau dann quasiprim ist, wenn p = 6689, 8087, 9679, 28953, 79043. Im selben Jahr gelang Dubner und Keller der Nachweis der Primalit¨at von S6689 . Die Primalit¨ at von S8087 und S9679 wurde 2001 von D. Broadhurst nachgewiesen, was im Falle von S8087 ¨ausserst schwierig war. In den Jahren 2006 und 2007 bestimmte E.W. Weisstein die n¨achsten Quasiprimzahlen Sp mit p = 129127, 145969, 165799, 168677, 170413, 172243.

6 Heuristische und probabilistische Betrachtungen

Das Wort heuristisch“ bedeutet: auf Erfahrungen beruhend oder mit ” Erfahrungen verbunden sein. Heuristische Ergebnisse entstehen aus der Beobachtung numerischer Daten, die in Tabellen vorliegen oder durch umfangreiche Berechnungen gewonnen wurden. Manchmal folgen die Ergebnisse aus einer statistischen Analyse der Daten. Es gibt auch probabilistische (wahrscheinlichkeitstheoretische) Methoden. Die Idee ist in dem Artikel von Cram´er (1937), der schon in Kapitel 4 erw¨ahnt wurde, recht gut erkl¨ art: Bei Untersuchungen u ¨ber die asymptotischen Eigenschaften von arithmetischen Funktionen ist es h¨auﬁg m¨oglich, probabilistische Methoden in interessanter Weise zu nutzen. Wenn wir uns zum Beispiel f¨ ur die Verteilung einer gegebenen Folge S ganzer Zahlen interessieren, betrachten wir S als Element einer unendlichen Klasse C von Folgen, was man sich konkret als Realisierung eines Gl¨ ucksspiels vorstellen k¨ onnte. Es ist dann in vielen F¨allen m¨oglich zu beweisen, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 eine bestimmte Relation R in C gilt, d.h., dass in einer festgelegten mathematischen Bedeutung fast alle“ Folgen von C ” die Relation R erf¨ ullen. Nat¨ urlich kann man im Allgemeinen nicht schließen, dass R auch f¨ ur die spezielle Folge S

P. Ribenboim, Die Welt der Primzahlen, 2. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-18079-8_6, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

264

6. Heuristische und probabilistische Betrachtungen

gilt. Aber Ergebnisse, die man auf diese Weise gewonnen hat, k¨onnen danach vielleicht mit Hilfe anderer Methoden streng bewiesen werden. Wenn man heuristische und probabilistische Methoden nicht mit Vorsicht und auf intelligente Weise benutzt, k¨onnen sie zu einer Art Traum-Mathematik“ ohne jeden Bezug zur Realit¨at f¨ uhren. Hastig ” formulierte Vermutungen und Fehlinterpretation numerischer Indizien m¨ ussen vermieden werden. Ich werde vorsichtig sein und mich nur auf wenige der zuverl¨assigen Beitr¨age beschr¨ anken. Ich denke an Hardy & Littlewood und ihre ber¨ uhmten Vermutungen aus Partitio Numerorum sowie an die faszinierenden Hypothesen von Dickson, Bunjakowski, Schinzel und Sierpi´ nski.

I Primzahlwerte linearer Polynome Der Ausgangspunkt ist wiederum Dirichlets Satz u ¨ber Primzahlen in arithmetischen Folgen. Er besagt, dass wenn f (X) = bX+a mit ganzen Zahlen a, b und a ̸= 0, b ≥ 1, ggT(a, b) = 1, dann existieren unendlich viele m ≥ 0 derart, dass f (m) eine Primzahl ist. Im Jahre 1904 ¨ außerte Dickson die folgende Vermutung u ¨ber gleichzeitig angenommene Werte mehrerer linearer Polynome: (D) Es sei s ≥ 1, fi (X) = bi X + ai mit ganzen Zahlen ai , bi und bi ≥ 1 (f¨ ur i = 1, . . . , s). Angenommen, die folgende Bedingung ist erf¨ ullt: (*) Es gibt keine Zahl n > 1, die das Produkt f1 (k)f2 (k) · · · fs (k) f¨ ur alle ganzen Zahlen k teilt. Dann existieren unendlich viele nat¨ urlichen Zahlen m derart, dass alle Zahlen f1 (m), f2 (m), . . . , fs (m) prim sind. Die folgende Aussage scheint schw¨ acher als (D) zu sein: (D0 ) Unter denselben Voraussetzungen f¨ ur f1 (X), . . . , fs (X) existiert eine nat¨ urliche Zahl m derart, dass die Zahlen f1 (m), . . . , fs (m) Primzahlen sind. W¨ahrend man zun¨ achst die G¨ ultigkeit von (D) anzweifeln k¨onnte, w¨ urde man Aussage (D0 ) eher akzeptieren, da sie anscheinend viel weniger verlangt. Tats¨ achlich aber sind (D) und (D0 ) ¨aquivalent.

I. Primzahlwerte linearer Polynome

265

Denn wenn (D0 ) wahr ist, gibt es m1 ≥ 0 derart, dass f1 (m1 ), . . ., fs (m1 ) Primzahlen sind. Sei gi (X) = fi (X + 1 + m1 ) f¨ ur i = 1, . . . , s. Dann ist (*) von g1 (X), . . . , gs (X) erf¨ ullt, daher gibt es nach (D0 ) ein k1 ≥ 0 derart, dass g1 (k1 ), . . . , gs (k1 ) prim sind; sei m2 = k1 +1+m1 > m1 , so dass f1 (m2 ), . . . , fs (m2 ) Primzahlen sind. Das Argument l¨asst sich fortf¨ uhren und zeigt schließlich, dass (D) aus (D0 ) folgt. Dickson erforschte die Konsequenzen seiner Vermutung nicht. Dies war Gegenstand eines Artikels von Schinzel & Sierpi´ nski (1958), den ich so interessant ﬁnde, dass ich ihm einen gr¨oßeren Teil von Kapitel 6 widmen werde. In der Tat hatte Schinzel eine viel umfassendere Vermutung vorgeschlagen (Hypothese (H)), die Polynome behandelt, die nicht notwendigerweise linear sein m¨ ussen. Bevor ich aber Hypothese (H) und Folgerungen daraus diskutiere, werde ich auf die vielen interessanten Ergebnisse eingehen, die Schinzel & Sierpi´ nski unter der Voraussetzung der G¨ ultigkeit von Vermutung (D) bewiesen. Die eindrucksvollen Konsequenzen aus Hypothese (D), die unten aufgelistet sind, sollten jeden davon u ¨berzeugen, dass der Beweis von (D) in weiter Ferne liegt, falls er u ¨berhaupt m¨oglich ist. (D1 ) Es seien s ≥ 1 und a1 < a2 < · · · < as ganze Zahlen ungleich 0. Angenommen, dass f1 (X) = X + a1 , . . . , fs (X) = X + as der Bedingung (*) in (D) gen¨ ugen. Dann gibt es unendlich viele Zahlen m ≥ 1 derart, dass m+a1 , m+a2 , . . . , m+as aufeinander folgende Primzahlen sind. Die Vermutung von Polignac (1849), die in Kapitel 4 in den Abschnitten II und III besprochen wurde, folgt aus (D1 ): (D2 ) F¨ ur jede gerade Zahl 2k ≥ 2 existieren unendlich viele Paare aufeinander folgender Primzahlen mit Differenz 2k. Insbesondere gibt es unendlich viele Paare von Primzahlzwillingen. Hier eine interessante Konsequenz, welche die H¨auﬁgkeit der Primzahlzwillinge betriﬀt: (D3 ) F¨ ur jede Zahl m ≥ 1 gibt es 2m aufeinander folgende Primzahlen, die m Paare von Primzahlzwillingen bilden. Eine weitere, ziemlich unerwartete Folgerung bezieht sich auf Primzahlen in arithmetischen Folgen. In Kapitel 4, Abschnitt IV habe ich

266

6. Heuristische und probabilistische Betrachtungen

gezeigt, dass wenn a, a + d, . . . , a∏+ (n − 1)d mit 1 < n < a Primzahlen sind, dann ist d Vielfaches von p≤n p. Aus (D1 ) folgt: ∏ (D4 ) Es sei n > 2 und d ein Vielfaches von p≤n p. Dann gibt es unendlich viele Primzahlen p derart, dass p, p + d, p + 2d, . . . , p + (n − 1)d aufeinander folgende Primzahlen sind. Der Leser sollte diese sehr starke Aussage mit dem vergleichen, was unabh¨angig von irgendeiner Vermutung in Kapitel 4, Abschnitt IV gesagt wurde. Was Sophie-Germain-Primzahlen angeht, so l¨asst sich aus (D) ableiten: (D5 ) F¨ ur jedes m ≥ 3 existieren unendlich viele arithmetische Folgen, die sich aus m Sophie-Germain-Primzahlen zusammensetzen. Insbesondere impliziert (D) die Existenz unendlich vieler SophieGermain-Primzahlen, was nie bewiesen werden konnte, ohne auf die G¨ ultigkeit einer Vermutung zur¨ uckzugreifen. Ich werde gleich auf eine quantitative Aussage u ¨ber die Verteilung von Sophie-Germain-Primzahlen zur¨ uckkommen. Vermutung (D) ist so gewaltig, dass sie sogar zur Folge hat: (D6 ) Es gibt unendlich viele zerlegbare Mersenne-Zahlen. Ich erinnere daran (siehe Kapitel 2, Abschnitt IV), dass es bisher niemand geschaﬀt hat zu beweisen (ohne Vermutung (D) vorauszusetzen), dass es unendlich viele zerlegbare Mersenne-Zahlen gibt. Es ist jedoch leicht, dies f¨ ur andere Folgen zu zeigen, die der Folge der MersenneZahlen ¨ahneln. Das folgende Resultat war 1982 von Powell als Problem gestellt worden (eine L¨ osung von Israel wurde 1983 ver¨oﬀentlicht): Wenn m, n Zahlen sind, f¨ ur die m > 1, mn > 2 gilt (wodurch der Fall m = 2, n = 1 ausgeschlossen ist), dann gibt es unendlich viele zerlegbare Zahlen der Form mp − n, wobei p eine Primzahl ist. Beweis. Es sei q ein Primteiler von mn − 1, also q - m. Falls p eine Primzahl ist, f¨ ur die p ≡ q − 2 (mod q − 1) gilt, dann ist m(mp − n) ≡ q−2 m(m −n) ≡ 1−mn ≡ 0 (mod q) und somit q Teiler von mp −n. Nach dem Satz von Dirichlet u ¨ber Primzahlen in arithmetischen Folgen gibt es unendlich viele Primzahlen p, die p ≡ q − 2 (mod q − 1) erf¨ ullen

II. Primzahlwerte von Polynomen beliebigen Grades

267

und somit auch unendlich viele zerlegbare Zahlen mp − n, wobei p eine Primzahl ist. Ein weiterer Beweis der St¨ arke von Vermutung (D) ist die folgende Vermutung: (D7 ) Es gibt unendlich viele Carmichael-Zahlen, die aus drei verschiedenen Primfaktoren zusammengesetzt sind. Ich m¨ochte daran erinnern, dass Alford, Granville & Pomerance (1994) die Unendlichkeit der Anzahl der Carmichael-Zahlen auch ohne den R¨ uckgriﬀ auf Vermutung (D) beweisen konnten. Es ist jedoch noch nie gezeigt worden, dass es auch unendlich viele Carmichael-Zahlen gibt, die das Produkt von genau drei verschiedenen Primzahlen sind. Eine andere, noch beachtlichere Konsequenz aus (D) ist die ber¨ uhmte Vermutung von Artin: (A) Es sei a eine von 0 und −1 verschiedene Zahl, die kein Quadrat ist. Dann gibt es unendlich viele Primzahlen p, f¨ ur die a eine Primitivwurzel modulo p ist. Obwohl noch kein Beweis f¨ ur Artins Vermutung gefunden werden konnte, gab es in dieser Richtung substantielle Fortschritte. Zun¨achst den bahnbrechenden Artikel von Gupta & Ram Murty (1984), dann das kr¨onende Resultat von Heath-Brown (1986), der bewies: Es gibt h¨ochstens zwei Primzahlen und h¨ ochstens drei positive quadratfreie Zahlen, die im Widerspruch zu Artins Vermutung stehen.

II Primzahlwerte von Polynomen beliebigen Grades Ich wende mich nun Polynomen zu, die auch nichtlinear sein k¨onnen. Die diesbez¨ uglich erste Vermutung stammt von Bunjakowski aus dem Jahre 1857 und bezieht sich auf ein Polynom, das mindestens den Grad 2 hat: (B) Es sei f (X) ein irreduzibles Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten, einem positiven Leitkoeffizienten und einem Grad von mindestens 2. Angenommen, die folgende Bedingung ist erf¨ ullt: (*) Es gibt kein n > 1, das f (k) f¨ ur alle ganzen Zahlen k teilt. Dann gibt es unendlich viele nat¨ urliche Zahlen m, f¨ ur die f (m) eine Primzahl ist.

268

6. Heuristische und probabilistische Betrachtungen

Der Leser sollte wissen, dass genau wie bei den Vermutungen (D) und (D0 ) an dieser Stelle (B) ¨ aquivalent zu einer Vermutung (B0 ) ist, die sich ¨ahnlich formulieren l¨ asst. Bevor ich n¨ aher auf Vermutung (B) eingehe, sei gesagt, dass es tats¨achlich sehr wenige Resultate u ¨ber prime Werte von Polynomen gibt. So ist beispielsweise noch kein Polynom f (X) eines Grades h¨oher als 1 bekannt, das im Betrag |f (n)| f¨ ur unendlich viele nat¨ urliche Zahlen n Primzahlwerte annimmt. Andererseits zeigte Sierpi´ nski 1964, dass es f¨ ur jedes k ≥ 1 eine ganze Zahl b derart gibt, dass n2 + b f¨ ur mindestens k nat¨ urliche Zahlen n prim ist. Mit f (X) vom Grad d ≥ 2 und ganzzahligen Koeﬃzienten bezeichne f¨ ur jedes x ≥ 1 πf (X) (x) = #{n ≥ 1 | |f (n)| ≤ x und |f (n)| ist eine Primzahl}. Nagell zeigte 1922, dass limx→∞ πf (X) (x)/x = 0, es gibt also sehr wenige Primzahlwerte. Heilbronn bewies 1931 die pr¨azisere Aussage: Es existiert eine positive Konstante C (abh¨angig von f (X)) derart, dass x1/d πf (X) (x) ≤ C , f¨ ur jedes x ≥ 1. log x Im Falle beliebiger Polynome scheint nicht viel mehr bekannt zu sein. Es gibt jedoch interessante Vermutungen u ¨ber spezielle Typen von Polynomen und umfangreiche Berechnungen hierzu. Ich werde darauf an sp¨aterer Stelle detaillierter eingehen. Die Frage nach der Existenz unendlich vieler Primzahlen p, die zu primen f (p) f¨ uhren, ist sogar noch schwieriger. Insbesondere ist es, wie bereits erw¨ahnt, unbekannt, ob es unendlich viele Primzahlen gibt, f¨ ur die die Polynome f (X) = X + 2 beziehungsweise f (X) = 2X + 1 prime Werte annehmen (Existenz unendlich vieler Primzahlzwillinge oder unendlich vieler Sophie-Germain-Primzahlen). Wenn man allerdings mit Fastprimzahlen zufrieden ist, dann werden einem die Siebmethoden und das unvermeidliche Buch von Halberstam & Richert wieder einmal gute Gr¨ unde liefern, um gl¨ ucklich zu werden. Zur Erinnerung die Deﬁnition von Fastprimzahl“. Zu gegebenem ” k ≥ 1 heißt eine nat¨ urliche Zahl n = p1 p2 · · · pr , geschrieben als Produkt seiner nicht notwendigerweise verschiedenen Primfaktoren, eine k-Fastprimzahl, falls r ≤ k. Die Menge aller k-Fastprimzahlen wird mit Pk bezeichnet. Richert (1969) bewies:

II. Primzahlwerte von Polynomen beliebigen Grades

269

Es sei f (X) ein von X verschiedenes Polynom mit ganzzahligen Koeﬃzienten, positivem Leitkoeﬃzienten und einem Grad d ≥ 1. Angenommen, dass f¨ ur jede Primzahl p die Anzahl ρ(p) der L¨osungen von f (X) ≡ 0 (mod p) kleiner als p ist und dar¨ uber hinaus ρ(p) < p−1 gilt, falls p ≤ d + 1 und p kein Teiler von f (0) ist. Dann gibt es unendlich viele Primzahlen p derart, dass f (p) eine (2d + 1)-Fastprimzahl ist. Den folgenden Spezialfall bewies Rieger (1969): Es gibt unendlich viele Primzahlen p, f¨ ur die p2 − 2 ∈ P5 . Nun zur¨ uck zu Bunjakowskis Hypothese! Bunjakowski zog keine Schlussfolgerungen aus seiner Vermutung. Es waren wieder einmal Schinzel und Sierpi´ nski, die ein Jahrhundert sp¨ater eine allgemeinere, unabh¨angig formulierte Hypothese untersuchten. Der folgende, unbewiesene Satz folgt unmittelbar aus der Richtigkeit von Vermutung (B): (B1 ) Es seien a, b, c teilerfremde Zahlen derart, dass a ≥ 1 und a + b und c nicht gleichzeitig gerade sind. Falls b2 − 4ac kein Quadrat ist, gibt es unendlich viele nat¨ urliche Zahlen m, f¨ ur die am2 + bm + c eine Primzahl ist. Aus Satz (B1 ) wiederum folgt: (B2 ) Wenn k eine ganze Zahl ist und −k kein Quadrat, dann gibt es unendlich viele nat¨ urliche Zahlen m derart, dass m2 + k eine Primzahl ist. Insbesondere impliziert (B), dass es unendlich viele Primzahlen der Form m2 + 1 gibt. Das Spiel der Primzahlen der Form m2 + 1“ ist nicht so harmlos, ” wie man vielleicht zun¨ achst versehentlich denken mag. Es h¨angt stark mit der Klassenzahl reell-quadratischer Zahlk¨orper zusammen. Das Polynom X 2 + 1 ist das einfachste quadratische Polynom mit negativer Diskriminante. Ein Beweis, dass dieses Polynom unendlich viele Primzahlwerte annimmt, w¨ urde einen gigantischen Fortschritt bedeuten. Aber das Problem scheint – oder ist bestimmt – zu schwierig. Man vergleiche nur mit dem wahrlich bemerkenswerten Satz, den Friedlander & Iwaniec erst vor k¨ urzerer Zeit (1998) bewiesen: Es gibt unendlich viele Primzahlen, die die Summe eines Quadrats und einer vierten Potenz sind. Der Beweis erforderte unter anderem tieﬂiegende Siebmethoden. Wie weit ist das Resultat von m2 + 1 unendlich oft prim“ entfernt? ”

270

6. Heuristische und probabilistische Betrachtungen

Letzteres w¨ urde nicht nur den Satz von Friedlander und Iwaniec umfassen, sondern auch, dass es f¨ ur jedes k ≥ 1 unendlich viele Primzahlen gibt, die die Summe eines Quadrats und einer 2k -ten Potenz sind. Die folgende Aussage ist eine weitere Vermutung von Hardy & Littlewood aus dem Jahr 1923; sie ist unter Annahme der Richtigkeit von Vermutung (B) beweisbar. (B3 ) Es sei d eine ungerade Zahl mit d > 1 und k eine Zahl, die f¨ ur keinen Faktor e > 1 von d eine e-te Potenz ist. Dann gibt es unendlich viele nat¨ urliche Zahlen m derart, dass md + k eine Primzahl ist. In seinem gemeinsamen Artikel mit Sierpi´ nski stellte Schinzel die folgenden Vermutungen auf: (H) Es seien s ≥ 1 und f1 (X), . . . , fs (X) irreduzible Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten und positivem Leitkoeffizienten. Angenommen, die folgende Bedingung sei erf¨ ullt: (*) Es gibt keine Zahl n > 1, die das Produkt f1 (k)f2 (k) · · · fs (k) f¨ ur alle ganzen Zahlen k teilt. Dann existieren unendlich viele nat¨ urliche Zahlen m derart, dass f1 (m), f2 (m), . . . , fs (m) alle prim sind. (H0 ) Unter denselben Voraussetzungen f¨ ur f1 (X), . . . , fs (X) existiert eine nat¨ urliche Zahl m derart, dass f1 (m), . . . , fs (m) s¨ amtlich Primzahlen sind. Wieder sind (H) und (H0 ) ¨ aquivalent. Im Falle, dass alle Polynome f1 (X), . . . , fs (X) den Grad 1 haben, fallen diese Vermutungen mit Dicksons (D) und (D0 ) zusammen. F¨ ur s = 1 sind sie mit Bunjakowskis Vermutungen (B) und (B0 ) identisch. Ich werde hier nicht alle Konsequenzen aus dieser Hypothese aufz¨ahlen, die die Autoren bewiesen haben. Allerdings m¨ochte ich ein Resultat von Schinzel erw¨ ahnen, das mit Carmichaels Vermutung u ¨ber die Valenz von Eulers Funktion in Verbindung steht. Man erinnere sich an die folgende Bezeichnung aus Kapitel 2, Abschnitt II, F: F¨ ur jedes m ≥ 1 sei Vφ (m) = #{n ≥ 1 | φ(n) = m}. Schinzel bewies 1961, dass aus Vermutung (H) folgt:

II. Primzahlwerte von Polynomen beliebigen Grades

271

(H1 ) F¨ ur jedes s > 1 gibt es unendlich viele ganze Zahlen m > 1 derart, dass Vφ (m) = s. Man beachte, dass s ̸= 1, so dass Aussage (H1 ) Carmichaels Vermutung nicht enth¨ alt. F¨ ur meine Leser, die pythagoreische Dreiecke m¨ogen: Sie haben vielleicht festgestellt, dass es viele pythagoreische Tripel (a, b, c) mit geradem b und Primzahlen a, c gibt, so zum Beispiel (3, 4, 5), (5, 12, 13) und viele mehr. Ich bin sicher, dass Sie sich gefragt haben, ob es unendlich viele davon gibt. Vielleicht haben Sie sogar versucht, dies zu beweisen und irgendwann frustriert aufgegeben. Doch es gibt keinen Grund daf¨ ur, denn tats¨ achlich weiß niemand, wie man es beweisen kann – es sei denn, man setzt Hypothese (H) voraus. Dieser Weg ist im Artikel von Schinzel & Sierpi´ nski beschrieben, und ich m¨ochte ihn hier der Einfachheit halber f¨ ur Sie wiedergeben. Es ist zun¨achst notwendig, das Folgende herzuleiten: (H2 ) Es seien a, b, c, d ganze Zahlen mit a > 0, d > 0 und nichtquadratischem b2 − 4ac. Zudem sei angenommen, dass es ganze Zahlen x0 , y0 derart gibt, dass ggT(x0 y0 , 6ad) = 1 und ax20 + bx0 + c = dy0 . Dann existieren unendlich viele Primzahlen p, q, die der Gleichung ap2 + bp + c = dq gen¨ ugen. Beweis, dass (H2 ) aus (H) folgt. Es seien f1 (X) = dX +x0 , f2 (X) = adX 2 +(2ax0 +b)X +y0 . Da (2ax0 +b)2 −4ady0 = (2ax0 +b)2 −4a(ax20 + bx0 + c) = b2 − 4ac kein Quadrat ist, folgt, dass das Polynom f2 (X) irreduzibel ist, dasselbe gilt f¨ ur f1 (X). Ich veriﬁziere Bedingung (*). Sei g(X) = f1 (X)f2 (X); dieses Polynom hat den Grad 3 mit Leitkoeﬃzient ad2 . Wenn es eine Primzahl p gibt, die g(m) f¨ ur jede ganze Zahl m teilt, dann ist p auch Teiler von g(m) − g(m − 1) = ∆g(m), g(m − 1) − g(m − 2) = ∆g(m − 1), g(m − 2) − g(m − 3) = ∆g(m − 2), der ersten Diﬀerenzen von g(X) an den Stellen m, m − 1, m − 2. Auf die gleiche Weise teilt p auch ∆2 g(m) = ∆g(m) − ∆g(m − 1), ∆2 g(m − 1) = ∆g(m − 1) − ∆g(m − 2) und p ist auch Teiler von ∆3 g(m) = ∆2 g(m) − ∆2 g(m − 1). Es ist aber ∆3 g(X) = 6ad2 . Wenn p auch g(0) = x0 y0 teilte, dann w¨ urde p auch ggT(6ad, x0 y0 ) = 1 teilen, was nicht sein kann. Dies zeigt, dass Bedingung (*) erf¨ ullt ist. Nach (H) gibt es nun unendlich viele nat¨ urliche Zahlen m derart, dass f1 (X) = p und f2 (X) = q Primzahlen sind. Und wegen af1 (X)2 + bf1 (X) + c = df2 (X) ist ap2 + bp + c = dq.

272

6. Heuristische und probabilistische Betrachtungen

Aus obiger Aussage (H2 ) folgt: (H3 ) Jede rationale Zahl r > 1 l¨ asst sich auf unendlich viele Weisen in der Form r = (p2 −1)/(q−1) schreiben, wobei p und q Primzahlen sind. Beweis, dass (H3 ) aus (H2 ) folgt. Es sei r = d/a mit d > a > 0. W¨ahle nun in (H2 ) b = 0 und c = d − a. Wegen b2 − 4ac = −4a(d − a) < 0 kann b2 − 4ac kein Quadrat sein. Seien x0 = y0 = 1, dann sind die Annahmen von (H2 ) erf¨ ullt; somit existieren unendlich viele Primzahlen p und q derart, dass ap2 + d − a = dq, daher d d = q − p2 + 1, a a

daher r =

p2 − 1 . q−1

Und nun zum angek¨ undigten Satz (H4 ) Es gibt unendlich viele Tripel (a, b, c) positiver ganzer Zahlen derart, dass a2 + b2 = c2 und a und c Primzahlen sind. Beweis, dass (H4 ) aus (H3 ) folgt. Sei r = 2. Nun gibt es unendlich viele Primzahlen p und q mit 2 = (p2 − 1)/(q − 1), daher p2 = 2q − 1 und somit p2 + (q − 1)2 = q 2 . Die Tripel (3, 4, 5) und (5, 12, 13) sind pythagoreische Tripel mit zwei Primzahlen, im obigen Sinne, die durch die Primzahl 5 verbunden sind. Die folgende Frage wurde von Dubner untersucht, der mir seine Ergebnisse 1999 mitteilte. Ich f¨ uhre den Begriﬀ einer Dubner-Kette pythagoreischer Tripel ein. Es handelt sich dabei um eine endliche (oder unendliche) Folge T1 , T2 , T3 , . . . von pythagoreischen Dreiecken mit zwei Primzahlen, die in folgender Weise miteinander verbunden sind: Die Hypotenuse jeden Dreiecks ist die Kathete der n¨ achsten. Soweit ich weiß, ist nicht bewiesen, dass Hypothese (H) die Existenz beliebig langer Dubner-Ketten zur Folge hat. Da a2 + b2 = c2 mit primem a, muss (a, b, c) ein primitives pythagoreisches Tripel sein, also a = u2 − v 2 , b = 2uv, c = u2 + v 2 . Damit a eine Primzahl sein kann, ist es notwendig, dass u − v = 1. Daraus folgt b = 2v2 + 2v, c = 2v 2 + 2v + 1 und somit c = b + 1, analog zum Beweis, der zu (H4 ) f¨ uhrte.

II. Primzahlwerte von Polynomen beliebigen Grades

273

Daher werden die Dreiecke in einer Dubner-Kette mit wachsendem a immer d¨ unner. Zudem ist a2 = (u + v)2 = c + b = 2c − 1, so dass es notwendig ist, Primzahlen a derart zu ﬁnden, dass c = (a2 + 1)/2 auch eine Primzahl ist. F¨ ur k = 2, 3, 4, 5 und 6 bestimmte Dubner die kleinste Primzahl a, die zu einer Kette mit k Dreiecken f¨ uhrt: k 2 3 4 5 6

Kleinstes a f¨ ur k Dreiecke 3 271 169219 356498179 2500282512131

Es ist alles andere als einfach, lange Ketten von Dreiecken zu erzeugen, von denen man nachweisen kann, dass zwei Seiten wirklich Primzahlen sind. Dubner & Forbes (2001) konstruierten eine DubnerKette, die aus 7 Dreiecken besteht, wobei a = 2185103796349763249 und die L¨ange der letzten Hypotenuse eine Primzahl mit 2310 Stellen ist. Die folgende Konsequenz aus (H3 ) wurde mir von P.T. Mielke mitgeteilt. Sie betriﬀt Dreiecke mit ganzzahligen Seiten, aber nicht notwendigerweise rechtem Winkel. (H5 ) Es gibt unendlich viele Dreiecke mit ganzzahligen Seiten a, p, q, wobei p, q Primzahlen sind und der Winkel zwischen den Seiten der L¨ angen a, p im Bogenmaß π/3 (beziehungsweise 2π/3) betr¨ agt. Beweis, dass (H5 ) aus (H3 ) folgt. Nach (H3 ) gibt es unendlich viele Primzahlpaare (p, q) derart, dass 4 = (p2 − 1)/(q − 1). F¨ ur jedes solche Paar ist p > 2 und q = (p2 + 3)/4. Es sei a = ((p − 1)(p + 3))/4, so dass a eine ganze Zahl ist. Dann ist a − p = ((p + 1)(p − 3))/4 und ( 2 ) (p2 − 1)(p2 − q) p +3 2 2 2 2 2 p + a − ap = p + a(a − p) = p + = = q2. 16 4 Aus dem Kosinussatz folgt, dass der Winkel zwischen den Seiten mit den L¨angen a und p gleich π/3 ist. Der Beweis f¨ ur den Winkel 2π/3 verl¨auft ¨ahnlich, hier nimmt man a = ((p + 1)(p − 3))/4.

274

6. Heuristische und probabilistische Betrachtungen

Immer noch im selben Artikel von 1958 stellte Sierpi´ nski die folgende Vermutung auf: (S) F¨ ur jede ganze Zahl n > 1 seien die n2 Zahlen 1, 2, . . . , n2 auf folgende Weise wie in einer n × n-Matrix aufgeschrieben: ··· ··· ··· .. .

n 2n 3n .. .

(n − 1)n + 1 (n − 1)n + 2 · · ·

n2 .

1 n+1 2n + 1 .. .

2 n+2 2n + 2 .. .

Dann gibt es in jeder Zeile eine Primzahl. In der ersten Zeile beﬁndet sich auf jeden Fall die 2. Nach dem Satz von Bertrand und Tschebyscheﬀ gibt es auch in der zweiten Zeile eine Primzahl. Mit Hilfe einer st¨ arkeren Form des Satzes von Bertrand und Tschebyscheﬀ l¨asst sich auch f¨ ur einige der folgenden Zeilen etwas aussagen. Beispielsweise zeigte Breusch 1932, dass f¨ ur n ≥ 48 zwischen n und (9/8)n eine Primzahl existiert. F¨ ur 0 < k ≤ 7 und n ≥ 9 gibt es daher eine Primzahl p mit kn + 1 ≤ p ≤ (9/8)(kn + 1) ≤ (k + 1)n, was die Existenz einer Primzahl in jeder der ersten 8 Zeilen sichert. Nach dem Primzahlsatz gibt es f¨ ur jedes h ≥ 1 ein n0 = n0 (h) > h mit der Eigenschaft, dass f¨ ur n ≥ n0 eine Primzahl p mit n < p < (1 + 1/h)n existiert. Und daraus folgt, dass es f¨ ur n ≥ n0 in jeder der ersten h Zeilen des Feldes eine Primzahl gibt. Wie bei den vorangegangenen Vermutungen zieht auch (S) einige interessante Konsequenzen nach sich. (S1 ) F¨ ur jedes n ≥ 1 gibt es mindestens zwei Primzahlen p und p′ mit 2 n < p < p′ < (n + 1)2 . (S2 ) F¨ ur jedes n ≥ 1 gibt es mindestens vier Primzahlen p, p′ , p′′ , p′′′ mit n3 < p < p′ < p′′ < p′′′ < (n + 1)3 . Beachtenswerterweise konnte bisher keine der Aussagen (S1 ) und (S2 ) ohne Zuhilfenahme von Vermutung (S) bewiesen werden. Es ist jedoch leicht zu zeigen, dass es f¨ ur jedes gen¨ ugend große n zwischen 3 3 n und (n + 1) eine Primzahl p gibt; dies l¨asst sich durch Inghams ( (5/8)+ε ) Satz bewerkstelligen, der aussagt, dass dn = pn+1 − pn = O pn f¨ ur jedes ε > 0 gilt.

III. Polynome mit großen Bereichen zerlegbarer Werte

275

Schinzel stellte die folgende, transponierte“ Form von Sierpi´ nskis ” Vermutung auf: (S′ ) F¨ ur jede Zahl n > 1 seien die n2 Zahlen 1, 2, . . . , n2 in einem Feld mit n Zeilen und n Spalten angeordnet (genau wie in (S)). Wenn 1 ≤ k ≤ n und ggT(k, n) = 1, dann enth¨alt die k-te Spalte mindestens eine Primzahl. Diesmal zogen Schinzel & Sierpi´ nski keine Schl¨ usse aus Vermutung (S ). Ich nehme an, es war Sonntagabend und sie waren m¨ ude. Wie auch immer, Kanold stellte 1963 die Vermutung ein zweites Mal auf. ¨ Ich schließe mit der Ubersetzung des folgenden Kommentars aus Schinzel & Sierpi´ nskis Artikel: ′

Wir kennen zwar das Schicksal unserer Vermutungen nicht, denken aber, dass selbst wenn sie widerlegt werden sollten, dies nicht ohne Nutzen f¨ ur die Zahlentheorie geschieht.

III Polynome mit großen Bereichen zerlegbarer Werte Ich m¨ochte nun u ¨ber einige Resultate von McCurley berichten, die ich sehr interessant fand. Gem¨ aß Bunjakowskis Vermutung gibt es f¨ ur ein irreduzibles Polynom f (X) mit ganzzahligen Koeﬃzienten, das Bedingung (*) gen¨ ugt, eine kleinste ganze Zahl m ≥ 1 derart, dass f (m) eine Primzahl ist. Diese sei mit p(f ) bezeichnet. Wenn f (X) = dX + a mit d ≥ 2, 1 ≤ a ≤ d − 1 und ggT(a, d) = 1, dann existiert nat¨ urlich p(f ). Mit der Bezeichnung aus Kapitel 4, Abschnitt IV: p(d, a) − a p(dX + a) = . d Man erinnere sich daran, dass Prachar und Schinzel untere Schranken f¨ ur p(d, a) angaben. Die Arbeit von McCurley stellt eine Erweiterung der obigen Resultate f¨ ur Polynome f (X) beliebigen Grades dar. Ein wesentliches Werkzeug f¨ ur McCurley war das folgende Ergebnis von Odlyzko (das in dem Artikel von Adleman, Pomerance & Rumely (1983), der in Kapitel 2 zitiert wurde, enthalten ist).

276

6. Heuristische und probabilistische Betrachtungen

Es gibt eine absolute Konstante C > 0 und unendlich viele ganze Zahlen d > 1, die mindestens eC log d/(log log d) Faktoren der Form p − 1 haben, wobei p eine ungerade Primzahl ist. F¨ ur jedes d wie oben seien p1 , p2 , . . . , pr diejenigen ungeraden Primzahlen, f¨ ur die pi − 1 die Zahl d teilt. Sei k = p1 p2 · · · pr − 1 oder k = 3p1 p2 · · · pr − 1, so dass k ≡ 1 (mod 4). Sei f (X) = X d + k, dann ist f (X) irreduzibel und erf¨ ullt Bedingung (*). McCurley bewies 1984: Es gibt eine Konstante C ′ > 0 derart, dass wenn m der Ungleichung ′ |m| < eC log d/(log log d) gen¨ ugt, f (m) zerlegbar ist. Im Beweis selbst wurde kein Polynom explizit angegeben. Allerdings entdeckte man durch Computersuche die folgenden Polynome (das erste Beispiel stammt von Shanks, 1971): Tabelle 27. Polynome mit vielen initialen zerlegbaren Werten f (X) X 6 + 1091 X 6 + 82991 X 12 + 4094 X 12 + 488669

f (m) ist zerlegbar f¨ ur alle m bis 3905 7979 170624 616979

Der kleinste prime Wert des letzten Polynoms hat nicht weniger als 70 Stellen. Mit Hilfe einer anderen Methode zeigte McCurley 1986: F¨ ur jedes d ≥ 1 gibt es ein irreduzibles Polynom f (X) vom Grad d derart, dass die Bedingung (*) erf¨ ullt ist und der Wert |f (m)| f¨ ur alle m mit √ |m| < eC L(f )/(log L(f )) , zerlegbar ist. ∑ In obiger Aussage bezeichnet L(f ) die L¨ ange von f (X) = dk=0 ak X k , ∑ die durch L(f ) = dk=0 ∥ak ∥ deﬁniert ist. Dabei ist ∥ak ∥ die Anzahl der Stellen von |ak | in Bin¨ ardarstellung, wobei ∥0∥ = 1. Man beachte, dass dieses letzte Resultat sich auf Polynome beliebigen Grades anwenden l¨asst, der Beweis lieferte zudem explizit Polynome mit der gew¨ unschten Eigenschaft.

IV. Partitio Numerorum

277

McCurley bestimmte p(X d + k) f¨ ur verschiedene Polynome. Aus seinen Tabellen notiere ich: Tabelle 28. Polynome X d + k mit vielen initialen zerlegbaren Werten d

m

max{p(X d + k) | k ≤ m}

2 3 4 5

106 106 150000 105

p(X 2 + 576239) = 402 p(X 3 + 382108) = 297 p(X 4 + 72254) = 2505 p(X 5 + 89750) = 339

S.M. Williams untersuchte quadratische Polynome mit einem Leitkoeﬃzienten verschieden von 1 und teilte mir die Ergebnisse seiner Berechnungen von 1992 mit: p(8X 2 + X + 564135) = 482 p(4X 2 + X + 530985) = 472 p(2X 2 + X + 931650) = 443 p(73X 2 + 7613) = 420.

IV Partitio Numerorum Es ist sehr lehrreich, einmal durch die Arbeit Partitio Numerorum, III: On the expression of a number as a sum of primes von Hardy & Littlewood (1923) zu bl¨ attern. Darin ﬁndet sich ein in einem solchen Umfang erstmaliger Versuch, auf systematische Weise heuristische Formeln f¨ ur die Verteilung von Primzahlen abzuleiten, die verschiedenen speziellen Bedingungen gen¨ ugen. Ich werde hier eine Auswahl der probabilistischen Vermutungen aus Hardy & Littlewoods Artikel unter Verwendung ihrer klassischen Bezeichnungen vorstellen. Die erste Vermutung bezieht sich auf Goldbachs Problem: Vermutung A. Jede gen¨ ugend große gerade Zahl 2n ist die Summe von zwei Primzahlen. Die asymptotische Formel f¨ ur die Anzahl der Darstellungen ist ∏ p−1 2n r2 (2n) ∼ 2C2 , (log 2n)2 p−2 p>2 p|n

278

6. Heuristische und probabilistische Betrachtungen

∏( C2 = 1−

mit

p>2

1 (p − 1)2

) = 0,66016 . . . .

Man beachte, dass C2 gleich der Primzahlzwillingskonstanten aus Kapitel 4, Abschnitt III ist. Die folgende Vermutung handelt von (nicht notwendigerweise aufeinander folgenden) Primzahlen mit einer gegebenen Diﬀerenz von 2k, insbesondere von Primzahlzwillingen: Vermutung B. F¨ ur jede gerade Zahl 2k ≥ 2 gibt es unendlich viele Primzahlen p derart, dass auch p + 2k prim ist. F¨ ur x ≥ 1 sei πX, X+2k (x) = #{p prim | p + 2k ist prim und p + 2k ≤ x}. Dann gilt πX, X+2k (x) ∼ 2C2

∏ p−1 x , (log x)2 p−2 p>2 p|k

wobei C2 die Primzahlzwillingskonstante ist. Insbesondere ergibt sich f¨ ur 2k = 2 eine asymptotische Absch¨atzung f¨ ur die Primzahlzwillingsfunktion aus Kapitel 4, Abschnitt III. Vermutung E betriﬀt Primzahlen der Form m2 + 1: Vermutung E. Es gibt unendlich viele Primzahlen der Form m2 + 1. F¨ ur x > 1 sei πX 2 +1 (x) = #{p prim | p ≤ x und p hat die Form p = m2 + 1}. Dann gilt

√

πX 2 +1 (x) ∼ C wobei C=

∏( p≥3

(−1 | p) 1− p−1

x , log x

) = 1, 3728134628 . . .

und (−1 | p) = (−1)(p−1)/2 das Legendre-Symbol bezeichnet. Die durch die Vermutung vorhergesagten Werte stimmen mit den tats¨achlichen Werten von πX 2 +1 (x) im Wesentlichen u ¨berein, wie aus Tabelle 29 ersichtlich ist:

IV. Partitio Numerorum

279

Tabelle 29. Primzahlen der Form m2 + 1 x 106 108 1010 1012 1014 1016 1018 1020 1022

πX 2 +1 (x) 112 841 6656 54110 456362 3954181 34900213 312357934 2826683630

√ C x/ log x

Verh¨altnis

99 745 5962 49684 425861 3726283 33122517 298102656 2710024144

0,8839 0,8858 0,8957 0,9182 0,9332 0,9424 0,9491 0,9544 0,9587

Die Tabellenwerte bis x = 1014 wurden von Wunderlich bereits 1973 bestimmt. Die letzten vier Eintr¨ age wurden 2006 von H. Dubner und W. Keller errechnet. Hier sei noch das folgende Resultat von Iwaniec (1978) erw¨ahnt: Es gibt unendlich viele Zahlen m2 + 1, die 2-Fastprimzahlen sind. Und noch eine weitere Vermutung: Vermutung F. Es seien a > 0, b, c ganze Zahlen mit der Eigenschaft, dass ggT(a, b, c) = 1, b2 − 4ac kein Quadrat ist und a + b, c nicht gleichzeitig gerade sind. Dann gibt es unendlich viele Primzahlen der Form am2 +bm+c (dies war Aussage (B1 ) ). Die Anzahl πaX 2 +bX+c (x) der Primzahlen am2 + bm + c kleiner als x ist asymptotisch gleich √ ∏ εC x p xaX 2 +bX+c (x) ∼ √ p−1 a log x p>2 p|ggT(a,b)

{

wobei

1 falls a + b ungerade, 2 falls a + b gerade,  ( 2 ) b − 4ac ∏   C= p 1 − p>2 p−1

ε=

p-a

und (b2 − 4ac | p) das Legendre-Symbol bezeichnet. Die Vermutung l¨ asst sich insbesondere auf Primzahlen der Form m + k mit nichtquadratischem −k anwenden. 2

280

6. Heuristische und probabilistische Betrachtungen

F¨ ur den Spezialfall von Polynomen fA (X) = X 2 + X + A (mit ganzem A ≥ 1) besagt Vermutung F, dass √ 2 x πX 2 +X+A (x) ∼ C(A) , log x wobei C(A) =

∏ p>2

  1−

( 1 − 4A )  p p−1

.

Man beachte, dass f¨ ur ein Polynom fA (X) die Anzahl πf∗A (X) (N ) = (wie in Kapitel 3 deﬁniert) von Werten n ≤ N , die zu primen fA (n) f¨ uhren, mit dem Wert von πfA (X) (x) f¨ ur x = N 2 nahe verwandt ist. In diesem Fall ergibt sich die asymptotische Formel ∗ πX 2 +X+A (N )

∗ 2 πX 2 +X+A (N ) ∼ πX 2 +X+A (N ) ∼ C(A)

N . log N

Ein h¨oherer Wert von C(A) liefert also wahrscheinlich eine h¨ohere ∗ Anzahl πX 2 +X+A (N ) von Primzahlen. Shanks (1975) hatte berechnet, dass sich f¨ ur A = 41 (was zu Eulers ber¨ uhmtem Polynom f¨ uhrt) der Wert C(41) = 3,3197732 ergibt. Im ∗ 6 ur Jahre 1990 ermittelten Fung & Williams C(A) und πX 2 +X+A (10 ) f¨ viele A-Werte. Jacobson (1995) erweiterte diese Berechnungen.

Rekord Das bisherige Maximum C(A) = 5,5338891 wurde bei einer 70-stelligen Zahl A festgestellt, ver¨ oﬀentlicht von Jacobson & Williams im Jahre 2003. In seiner Dissertation von 1995 ermittelte Jacobson C(517165153168577) = 5,0976398, dies ergibt

∗ 6 πX 2 +X+517165153168577 (10 ) = 300923.

Der vorherige Rekord von Fung & Williams war C(132874279528931) = 5,0870883, mit

∗ 6 πX 2 +X+132874279528931 (10 ) = 312975.

IV. Partitio Numerorum

281

∗ 6 Das bisher maximale πX 2 +X+A (10 ) ist ∗ 6 πX 2 +X+21425625701 (10 ) = 361841

mit C(21425625701) = 4,7073044. Zum Vergleich: ∗ 6 πX 2 +X+41 (10 ) = 261081

mit

C(41) = 3,3197732,

sowie f¨ ur ein Polynom, das N.G.W.H. Beeger 1939 untersucht hatte, ∗ 6 πX 2 +X+27941 (10 ) = 286129

mit

C(27941) = 3,6319998.

Partitio Numerorum enth¨ alt viele weitere Vermutungen, von denen ich nur noch erw¨ ahnen m¨ ochte: Vermutung N. Es gibt unendlich viele Primzahlen p der Form p = k 3 + l3 + m3 , wobei k, l, m positive, ganze Zahlen sind. Diese Vermutung beinhaltet auch eine asymptotische Aussage f¨ ur die Anzahl von Tripeln (k, l, m) mit p ≤ x. In einem vor wenigen Jahren (2001) erschienenen Artikel bewies Heath-Brown den Satz: Es gibt unendlich viele Primzahlen p der Form p = k3 + 2l3 , wobei k, l positive, ganze Zahlen sind. Insbesondere erweist sich die Existenzaussage von Vermutung N als richtig; allerdings f¨ uhrte die Methode des Beweises nicht zur asymptotischen Absch¨atzung aus der Vermutung. Die Handhabung von Kuben ist ungleich schwieriger als die von Quadraten, so dass man den Satz von Heath-Brown wohl als substantiellen Fortschritt beim Problem der Darstellung von Primzahlen durch Bin¨ arformen feiern kann. Die Vermutungen von Hardy und Littlewood gaben Anlass zu umfangreichen Berechnungen. Diese dienten einerseits der genauen Bestimmung der in den Formeln enthaltenen Konstanten, andererseits dem Vergleich der Voraussagen mit den tats¨achlich auftretenden Werten. Da die Konstanten h¨ auﬁg durch langsam konvergierende unendliche Produkte gegeben waren, war es dabei unbedingt erforderlich, diese zun¨achst so zu modiﬁzieren, dass die entstandenen Ausdr¨ ucke leichter zu berechnen waren.

Anhang

Einige Anregungen f¨ ur denkbare Preisverleihungen fu r Arbeiten u ber den Primzahlsatz ¨ ¨ Vorgeschlagen von Paul T. Bateman 1. An Pafnuti L. Tschebyscheﬀ f¨ ur seine beiden Arbeiten Sur la ” fonction qui d´etermine la totalit´e des nombres premiers inf´erieurs `a une limite donn´ee“, Journal de Math. 17 (1852), 341–365, und M´emoire sur les nombres premiers“, Journal de Math. 17 (1852), ” 366–390. ¨ 2. An Bernhard Riemann f¨ ur seine Arbeit Uber die Anzahl der ” Primzahlen unter einer gegebenen Gr¨osse“, Monatsberichte der K¨ oniglichen Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin aus dem Jahre 1859 (1860), 671–680. ´ 3. An Jacques Hadamard f¨ ur seine beiden Arbeiten Etude sur les ” propri´et´es des fonctions enti`eres et en particulier d’une fonction consid´er´ee par Riemann“, Journal de Math. 9 (1893), 171–215, und Sur la distribution des z´eros de la fonction ζ(s) et ses con” s´equences arithm´etiques“, Bulletin de la Soc. Math. de France 24 (1896), 199–220. 4. An Charles-Jean de la Vall´ee Poussin f¨ ur seine beiden Arbeiten Recherches analytiques sur la th´eorie des nombres premiers; ”

P. Ribenboim, Die Welt der Primzahlen, 2. Aufl., Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-642-18079-8, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

284

Anhang

Premi`ere partie: La fonction ζ(s) de Riemann et les nombres premiers en g´en´eral“, Annales de la Soc. Scientifique de Bruxelles 20 (1896), 183–256, und Sur la fonction ζ(s) de Rie” mann et le nombre des nombres premiers inf´erieurs `a une limite donn´ee“, M´emoires couronn´es et autres m´emoires publi´es par l’Acad. Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique 59, No. 1, 1899–1900, 74 Seiten. 5. An Edmund Landau f¨ ur seine Arbeit Neuer Beweis des Prim” zahlsatzes und Beweis des Primidealsatzes“, Math. Annalen 56 (1903), 645–670, sein Buch Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Leipzig 1909, und seine Ar¨ beit Uber die Wurzeln der Zetafunktion“, Math. Zeitschrift 20 ” (1924), 98–104. 6. An John E. Littlewood f¨ ur seine zahlreichen Beitr¨age zur Analysis und zur Theorie von der Verteilung der Primzahlen, insbesondere f¨ ur seine beiden Arbeiten Quelques cons´equences de ” l’hypoth`ese que la fonction ζ(s) de Riemann n’a pas de z´eros dans le demi-plan Re(s) > 12 “, Comptes Rendus de l’Acad. des Sciences, Paris, 154 (1912), 263–266, und Sur la distribution ” des nombres premiers“, Comptes Rendus de l’Acad. des Sciences, Paris, 158 (1914), 1869–1872, f¨ ur seine gemeinsam mit G.H. Hardy verfasste Arbeit Contributions to the theory of the Rie” mann zeta function and the theory of the distribuiton of primes“, Acta Math. 41 (1917), 119–196, sowie f¨ ur seine Arbeit u ¨ber den ¨ Gegenstand von E. Landaus Arbeit Uber die ζ-Funktion und ” die L-Funktionen“, Math. Zeitschrift 20 (1924), 105–125. 7. (Bˆocher-Preis 1933). An Norbert Wiener f¨ ur seine Abhandlung Tauberian theorems“, Annals of Math. (2) 33 (1932), 1–100. ” 8. An Iwan M. Winogradoﬀ f¨ ur sein Werk u ¨ber Exponentialsummen, insbesondere f¨ ur diese drei Arbeiten: On Weyl’s sums“, ” Mat. Sbornik 42 (1935), 521–529; A new method of resolving ” certain general questions of the theory of numbers“, Mat. Sbornik 43 (1936), 9–19; A new method of estimation of trigonometrical ” sums“, Mat. Sbornik 43 (1936), 175–188. 9. An Arne Beurling f¨ ur seine Arbeit Analyse de la loi asympto” tique de la distribution des nombres premiers g´en´eralis´es“, Acta Math. 68 (1937), 255–291.

Anhang

285

10. (Wolf-Preis 1986). An Atle Selberg f¨ ur seine zahlreichen Beitr¨age zur Theorie der Zeta-Funktion und der Verteilung der Primzahlen, insbesondere f¨ ur seine Arbeit An elementary proof of the ” prime number theorem“, Annals of Math. (2) 50 (1949), 305–313. 11. (Cole-Preis 1951). An Paul Erd¨ os f¨ ur seine zahlreichen Beitr¨age zur Zahlentheorie, insbesondere f¨ ur seine Arbeit On a new me” thod in elementary number theory which leads to an elementary proof of the prime number theorem“, Proceedings of the National Acad. of Sciences of the U.S.A. 35 (1949), 374–385. 12. An Donald J. Newman f¨ ur seine Beitr¨age zur Analysis und zur Zahlentheorie, insbesondere f¨ ur seine Arbeit Simple analytic ” proof of the prime number theorem“, The American Math. Monthly 87 (1980), 603–696.

Ausklang

Liebe Leserin, lieber Leser, oder besser, Liebe Freunde der Zahlen: Sie, die Sie treu bis zu dieser Stelle gekommen sind, denken jetzt vielleicht dar¨ uber nach, was Sie gelesen und gelernt haben. Und vielleicht versuchen Sie sich schon an den vielen Problemen und lassen sowohl Ihren Computer als auch Ihr eigenes Gehirn daran arbeiten. Ich hoﬀe, dass Ihnen diese Darstellung der verschiedenen Themen und Aspekte der Primzahltheorie gefallen hat und ein ungef¨ahres Bild dessen zutage f¨ ordern konnte, was bisher untersucht worden ist. Ich hoﬀe, es wurde ersichtlich, dass Rekorde oftmals Ausdruck der Bem¨ uhungen zur L¨osung oﬀener Probleme sind und dass die Berechnungen die Fragen h¨auﬁg in einem neuen Licht erscheinen lassen. Aber am meisten hoﬀe ich, dass Sie die aus so vielen brillanten K¨opfen entsprungenen Theoreme zu sch¨ atzen gelernt haben. Ich selbst betrachte diese monumentalen Errungenschaften mit Ehrfurcht und die vielen tieﬂiegenden, noch ungel¨ osten Fragen teilweise mit Fassungslosigkeit. Wie lange werden sie noch unbeantwortet sein? Mit dem Verfassen dieses Buches wollte ich eine Arbeit der Synthese schaﬀen, in der die Theorie der Primzahlen als Disziplin entwickelt wird, die den nat¨ urlichen Fragen systematisch nachgeht. Ich glaube, in der Einleitung die Gr¨ unde f¨ ur die Aufteilung des Buches in seine verschiedenen Teile dargelegt zu haben. Jeder dieser Teile dient der Beantwortung von Fragen, die meiner Auﬀassung nach un-

288

Ausklang

umg¨anglich sind. Mit dieser Einteilung ist beabsichtigt, jungen Studierenden den Eindruck zu ersparen, den ich in meinen fr¨ uhen Jahren hatte (was lange her ist . . .), n¨ amlich dass sich die Zahlentheorie mit vielen voneinander unabh¨ angigen Fragen besch¨aftigt. Dies rechtfertigt die allgemeine Vorgehensweise, nicht aber die Auswahl der Details. Vor allem nicht derer, die fehlen (und man weint immer dem nach, was nicht da ist . . .). Es ist klar, dass eine Wahl getroﬀen werden musste. Ich wollte, dass dieses Buch klein und leichtgewichtig ist, so dass man es in einer Hand halten kann – kein dicker Klotz, den man weder in einer Tasche tragen, noch im Bahnhof, am Gleis oder in einem Zug lesen kann (in Kanada fahren wir nicht nur in Z¨ ugen, sondern warten auch auf sie). Ich gebe bereitwillig zu, dass die Beweise der wichtigsten S¨atze fehlen. Sie sind f¨ ur gew¨ ohnlich lang und enthalten viele technische Details. H¨atte man sie eingebunden, w¨ are die Aufmerksamkeit weg von der allgemeinen Struktur der Theorie hin zu den jeweiligen Details verschoben worden. Der ungl¨ uckliche Leser kann vielleicht dadurch Genugtuung ﬁnden, dass er die ausgezeichneten Artikel und B¨ ucher zu Rate zieht, die im umfassenden Literaturverzeichnis angegeben sind.

Literatur

Allgemeine Grundlagen Die im Folgenden genannten B¨ ucher werden wegen der treﬄichen Auswahl der behandelten Themen und deren gelungener Darstellung besonders empfohlen. Die Liste ist nat¨ urlich nicht vollst¨andig.

1909 Landau, E. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. Teubner, Leipzig 1909. Nachdruck bei Chelsea, Bronx, NY 1974. 1927 Landau, E. Vorlesungen ¨ uber Zahlentheorie, 3 B¨ande. S. Hirzel, Leipzig 1927. Nachdruck bei Chelsea, Bronx, NY 1969. 1938 Hardy, G.H. & Wright, E.M. An Introduction to the Theory of Numbers. Clarendon Press, Oxford 1938 (6. Auﬂage 2008). Deut¨ sche Ubersetzung der 3. Auﬂage von 1954 bei R. Oldenbourg, M¨ unchen 1958. 1952 Davenport, H. The Higher Arithmetic. Hutchinson, London 1952 (7. Auﬂage bei Cambridge Univ. Press, Cambridge 1999). 1953 Trost, E. Primzahlen. Birkh¨ auser, Basel 1953 (2. Auﬂage 1968). 1957 Prachar, K. Primzahlverteilung. Springer-Verlag, Berlin 1957 (2. Auﬂage 1978). 1962 Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory. Spartan, Washington 1962 (4. Auﬂage bei Chelsea, Bronx, NY 1993).

290

Literatur

1963 Ayoub, R.G. An Introduction to the Analytic Theory of Numbers. Amer. Math. Soc., Providence, RI 1963. 1964 Sierpi´ nski, W. Elementary Theory of Numbers. Hafner, New York 1964 (2. Auﬂage bei North-Holland, Amsterdam 1988). 1974 Halberstam, H. & Richert, H.E. Sieve Methods. Academic Press, New York 1974. 1975 Ellison, W.J. & Mend` es-France, M. Les Nombres Premiers. Hermann, Paris 1975. 1976 Adams, W.W. & Goldstein, L.J. Introduction to Number Theory. Prentice-Hall, Englewood Cliﬀs, NJ 1976. 1981 Guy, R.K. Unsolved Problems in Number Theory. SpringerVerlag, New York 1981 (3. Auﬂage 2004). 1982 Hua, L.K. Introduction to Number Theory. Springer-Verlag, New York 1982. 1984 Schroeder, M.R. Number Theory in Science and Communication. Springer-Verlag, New York 1984 (5. Auﬂage 2009) 1994 Crandall, R.E. Projects in Scientific Computation. SpringerVerlag, New York 1994 (Nachdruck 2000). 1996 Bach, E. & Shallit, J. Algorithmic Number Theory, Bd. 1: Efficient Algorithms. MIT Press, Cambridge, MA 1996. 2000 Narkiewicz, W. The Development of Prime Number Theory. Springer-Verlag, Berlin 2000. 2001 Crandall, R. & Pomerance, C. Prime Numbers. A Computational Perspective. Springer-Verlag, New York 2001 (2. Auﬂage 2005).

Kapitel 1 1878 Kummer, E.E. Neuer elementarer Beweis des Satzes, dass die Anzahl aller Primzahlen eine unendliche ist. Monatsber. Akad. d. Wiss., Berlin 1878/79, 777–778. ´ 1890 Stieltjes, T.J. Sur la th´eorie des nombres. Etude bibliographique. Ann. Fac. Sci. Toulouse 4 (1890), 1–103. ¨ 1891 Hurwitz, A. Ubungen zur Zahlentheorie 1891–1918 (Hrsg. H. Funk und B. Glaus). E.T.H., Z¨ urich 1993. 1897 Thue, A. Mindre meddelelser II. Et bevis for at primtallenes antal er uendeligt. Arch. f. Math. og Naturv., Kristiania, 19, Nr. 4, 1897, 3–5. Nachdruck in Selected Mathematical Papers (Hrsg. T. Nagell, A. Selberg und S. Selberg), 31–32. Universitetsforlaget, Oslo 1977.

Kapitel 1

291

1924 P´ olya, G. & Szeg¨ o, G. Aufgaben und Lehrs¨ atze aus der Analysis, 2 B¨ande. Springer-Verlag, Berlin 1924 (4. Auﬂage 1970). 1947 Bellman, R. A note on relatively prime sequences. Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 778–779. 1955 Furstenberg, H. On the inﬁnitude of primes. Amer. Math. Monthly 62 (1955), S. 353. 1959 Golomb, S.W. A connected topology for the integers. Amer. Math. Monthly 66 (1959), 663–665. 1963 Mullin, A.A. Recursive function theory. Bull. Amer. Math. Soc. 69 (1963), S. 737. 1964 Edwards, A.W.F. Inﬁnite coprime sequences. Math. Gazette 48 (1964), 416–422. 1967 Samuel, P. Th´eorie Alg´ebrique des Nombres. Hermann, Paris ¨ 1967 (2. Auﬂage 1997). Englische Ubersetzung der 1. Auﬂage bei Houghton Miﬄin, Boston 1970; Nachdruck bei Dover, New York 2008. 1968 Cox, C.D. & van der Poorten, A.J. On a sequence of prime numbers. J. Austr. Math. Soc. 8 (1968), 571–574. 1972 Borning, A. Some results for k! ± 1 and 2 · 3 · 5 · · · p ± 1. Math. Comp. 26 (1972), 567–570. 1975 Guy, R.K. & Nowakowski, R. Discovering primes with Euclid. Delta 5 (1975), 49–63. 1980 Templer, M. On the primality of k! + 1 and 2 ∗ 3 ∗ 5 ∗ · · · ∗ p + 1. Math. Comp. 34 (1980), 303–304. 1980 Washington, L.C. The inﬁnitude of primes via commutative algebra. Unver¨ oﬀentlichtes Manuskript. 1982 Buhler, J.P., Crandall, R.E. & Penk, M.A. Primes of the form n! ± 1 and 2 · 3 · 5 · · · p ± 1. Math. Comp. 38 (1982), 639–643. 1984 Naur, T. Mullin’s sequence of primes is not monotonic. Proc. Amer. Math. Soc. 90 (1984), 43–44. 1985 Odoni, R.W.K. On the prime divisors of the sequence wn+1 = 1 + w1 w2 · · · wn . J. London Math. Soc. (2) 32 (1985), 1–11. 1987 Dubner, H. Factorial and primorial primes. J. Recr. Math. 19 (1987), 197–203. 1991 Shanks, D. Euclid’s primes. Bull. Inst. Comb. and Appl. 1 (1991), 33–36. 1993 Caldwell, C. & Dubner, H. Primorial, factorial, and multifactorial primes. Math. Spectrum 26 (1993/94), 1–7. 1993 Wagstaff Jr., S.S. Computing Euclid’s primes. Bull. Inst. Comb. and Appl. 8 (1993), 23–32.

292

Literatur

1995 Caldwell, C. On the primality of n! ± 1 and 2 · 3 · 5 · · · p ± 1. Math. Comp. 64 (1995), 889–890. 2000 Narkiewicz, W. The Development of Prime Number Theory. Springer-Verlag, Berlin 2000. 2002 Caldwell, C. & Gallot, Y. On the primality of n! ± 1 and 2 × 3 × 5 × · · · × p ± 1. Math. Comp. 71 (2002), 441–448.

Kapitel 2 1801 Gauß, C.F. Disquisitiones Arithmeticae. G. Fleischer, Leipzig 1801. Deutsche Ausgabe von H. Maser, Berlin 1889; Nachdruck bei ¨ Chelsea, Bronx, NY 1965. Englische Ubersetzung von A.A. Clarke ¨ bei Yale Univ. Press, New Haven 1966; Uberarbeitung von W.C. Waterhouse beim Springer-Verlag, New York 1986. 1844 Eisenstein, F.G. Aufgaben. J. Reine Angew. Math. 27 (1844), S. 87. Nachdruck in Mathematische Werke, Bd. I, S. 112. Chelsea, Bronx, NY 1975. ¨ 1852 Kummer, E.E. Uber die Erg¨ anzungss¨atze zu den allgemeinen Reciprocit¨ atsgesetzen. J. Reine Angew. Math. 44 (1852), 93– 146. Nachdruck in Collected Papers (Hrsg. A. Weil), Bd. I, 485–538. Springer-Verlag, New York 1975. 1876 Lucas, E. Sur la recherche des grands nombres premiers. Assoc. Fran¸caise p. l’Avanc. des Sciences 5 (1876), 61–68. n 1877 Pepin, T. Sur la formule 22 + 1. C.R. Acad. Sci. Paris 85 (1877), 329–331. 1878 Lucas, E. Th´eorie des fonctions num´eriques simplement p´eriodiques. Amer. J. Math. 1 (1878), 184–240 und 289–321. 1878 Proth, F. Th´eor`emes sur les nombres premiers. C.R. Acad. Sci. Paris 85 (1877), 329–331. 1886 Bang, A.S. Taltheoretiske Undersøgelser. Tidskrift f. Math. (5) 4 (1886), 70–80 und 130–137. 1891 Lucas, E. Th´eorie des Nombres. Gauthier-Villars, Paris 1891. Nachdruck bei A. Blanchard, Paris 1961. 1892 Zsigmondy, K. Zur Theorie der Potenzreste. Monatsh. f. Math. Phys. 3 (1892), 265–284. 1899 Korselt, A. Probl`eme chinois. L’Interm. des Math. 6 (1899), 142–143. 1903 Malo, E. Nombres qui, sans ˆetre premiers, v´eriﬁent exceptionnellement une congruence de Fermat. L’Interm. des Math. 10 (1903), S. 88.

Kapitel 2

293

1904 Birkhoff, G.D. & Vandiver, H.S. On the integral divisors of an − bn . Annals of Math. (2) 5 (1904), 173–180. 1904 Cipolla, M. Sui numeri composti P , che veriﬁcano la congruenza di Fermat aP −1 ≡ 1 (mod P ). Annali di Matematica (3) 9 (1904), 139–160. 1912 Carmichael, R.D. On composite numbers P which satisfy the Fermat congruence aP −1 ≡ 1 (mod P ). Amer. Math. Monthly 19 (1912), 22–27. 1913 Carmichael, R.D. On the numerical factors of the arithmetic forms αn ± β n . Annals of Math. (2) 15 (1913), 30–70. 1913 Dickson, L.E. Finiteness of odd perfect and primitive abundant numbers with n distinct prime factors. Amer. J. Math. 35 (1913), 413–422. Nachdruck in The Collected Mathematical Papers (Hrsg. A.A. Albert), Bd. I, 349–358. Chelsea, Bronx, NY 1975. 1914 Pocklington, H.C. The determination of the prime or composite nature of large numbers by Fermat’s theorem. Proc. Cambridge Phil. Soc. 18 (1914/16), 29–30. 1921 Pirandello, L. Il Fu Mattia Pascal. Bemporad & Figlio, Firenze ¨ 1921. Deutsche Ubersetzung bei Wagenbach, Berlin 2008. 1922 Carmichael, R.D. Note on Euler’s φ-function. Bull. Amer. Math. Soc. 28 (1922), 109–110. 1925 Cunningham, A.J.C. & Woodall, H.J. Factorization of y n ± 1, y = 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12 Up to High Powers (n). Hodgson, London 1925. 1929 Pillai, S.S. On some functions connected with φ(n). Bull. Amer. Math. Soc. 35 (1929), 832–836. 1930 Lehmer, D.H. An extended theory of Lucas’ functions. Annals of Math. 31 (1930), 419–448. Nachdruck in Selected Papers (Hrsg. D. McCarthy), Bd. I, 11–48. Ch. Babbage Res. Centre, St. Pierre, Manitoba 1981. 1932 Lehmer, D.H. On Euler’s totient function. Bull. Amer. Math. Soc. 38 (1932), 745–751. Nachdruck in Selected Papers (Hrsg. D. McCarthy), Bd. I, 319–325. Ch. Babbage Res. Centre, St. Pierre, Manitoba 1981. 1932 Western, A.E. On Lucas’ and Pepin’s tests for the primeness of Mersenne’s numbers. J. London Math. Soc. 7 (1932), 130–137. 1935 Archibald, R.C. Mersenne’s numbers. Scripta Math. 3 (1935), 112–119. 1935 Lehmer, D.H. On Lucas’ test for the primality of Mersenne numbers. J. London Math. Soc. 10 (1935), 162–165. Nachdruck in

294

Literatur

Selected Papers (Hrsg. D. McCarthy), Bd. I, 86–89. Ch. Babbage Res. Centre, St. Pierre, Manitoba 1981. 1936 Lehmer, D.H. On the converse of Fermat’s theorem. Amer. Math. Monthly 43 (1936), 347–354. Nachdruck in Selected Papers (Hrsg. D. McCarthy), Bd. I, 90–95. Ch. Babbage Res. Centre, St. Pierre, Manitoba 1981. 1939 Chernick, J. On Fermat’s simple theorem. Bull. Amer. Math. Soc. 45 (1939), 269–274. 1944 Pillai, S.S. On the smallest primitive root of a prime. J. Indian Math. Soc. (N.S.) 8 (1944), 14–17. 1944 Schuh, F. Can n − 1 be divisible by φ(n) when n is composite? (niederl¨andisch). Mathematica, Zutphen (B) 12 (1944), 102–107. 1945 Kaplansky, I. Lucas’ tests for Mersenne numbers. Amer. Math. Monthly 52 (1945), 188–190. 1946 Erd¨ os, P. Problem 4221 (To solve the equation φ(n) = k! for every k ≥ 1). Amer. Math. Monthly 53 (1946), S. 537. 1947 Klee, V.L. On a conjecture of Carmichael. Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 1183–1186. 1947 Lehmer, D.H. On the factors of 2n ± 1. Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 164–167. Nachdruck in Selected Papers (Hrsg. D. McCarthy), Bd. III, 1081–1084. Ch. Babbage Res. Centre, St. Pierre, Manitoba 1981. 1948 Lambek, J. Solution of problem 4221 (proposed by P. Erd¨os). Amer. Math. Monthly 55 (1948), S. 103. 1948 Ore, O. On the averages of the divisors of a number. Amer. Math. Monthly 55 (1948), 615–619. ¨ 1948 Steuerwald, R. Uber die Kongruenz an−1 ≡ 1 (mod n). Sitzungsber. math.-naturw. Kl. Bayer. Akad. Wiss. M¨ unchen, 1948, 69–70. 1949 Erd¨ os, P. On the converse of Fermat’s theorem. Amer. Math. Monthly 56 (1949), 623–624. 1949 Fridlender, V.R. On the least nth power non-residue (russisch). Doklady Akad. Nauk SSSR (N.S.) 66 (1949), 351–352. 1949 Shapiro, H.N. Note on a theorem of Dickson. Bull. Amer. Math. Soc. 55 (1949), 450–452. 1950 Beeger, N.G.W.H. On composite numbers n for which an−1 ≡ 1 (mod n), for every a, prime to n. Scripta Math. 16 (1950), 133–135. 1950 Giuga, G. Su una presumibile propriet`a caratteristica dei numeri primi. Ist. Lombardo Sci. Lett. Rend. Cl. Sci. Mat. Nat. (3) 14 (83), (1950), 511–528.

Kapitel 2

295

1950 Gupta, H. On a problem of Erd¨ os. Amer. Math. Monthly 57 (1950), 326–329. 1950 Kanold, H.-J. S¨ atze u ¨ber Kreisteilungspolynome und ihre Anwendungen auf einige zahlentheoretische Probleme, II. J. Reine Angew. Math. 187 (1950), 355–366. ¨ 1950 Sali´ e, H. Uber den kleinsten positiven quadratischen Nichtrest einer Primzahl. Math. Nachr. 3 (1949), 7–8. 1950 Somayajulu, B.S.K.R. On Euler’s totient function φ(n). Math. Student 18 (1950), 31–32. 1951 Beeger, N.G.W.H. On even numbers m dividing 2m −2. Amer. Math. Monthly 58 (1951), 553–555. 1951 Morrow, D.C. Some properties of D numbers. Amer. Math. Monthly 58 (1951), 329–330. 1952 Duparc, H.J.A. On Carmichael numbers. Simon Stevin 29 (1952), 21–24. ¨ 1952 Gru ungerade vollkommene Zahlen. Math. Zeitschrift ¨ n, O. Uber 55 (1952), 353–354. 1953 Kno ¨del, W. Carmichaelsche Zahlen. Math. Nachr. 9 (1953), 343–350. 1953 Selfridge, J.L. Factors of Fermat numbers. Math. Comp. 7 (1953), 274–275. 1953 Touchard, J. On prime numbers and perfect numbers. Scripta Math. 19 (1953), 35–39. 1954 Garcia, M. On numbers with integral harmonic mean. Amer. Math. Monthly 61 (1954), 89–96. ¨ 1954 Kanold, H.-J. Uber die Dichten der Mengen der vollkommenen und der befreundeten Zahlen. Math. Zeitschrift 61 (1954), 180–185. 1954 Robinson, R.M. Mersenne and Fermat numbers. Proc. Amer. Math. Soc. 5 (1954), 842–846. 1954 Schinzel, A. Quelques th´eor`emes sur les fonctions φ(n) et σ(n). Bull. Acad. Polon. Sci., Cl. III, 2 (1954), 467–469. 1954 Schinzel, A. Generalization of a theorem of B.S.K.R. Somayajulu on the Euler’s function φ(n). Ganita 5 (1954), 123–128. 1954 Schinzel, A. & Sierpi´ nski, W. Sur quelques propri´et´es des fonctions φ(n) et σ(n). Bull. Acad. Polon. Sci., Cl. III, 2 (1954), 463–466. 1955 Artin, E. The orders of the linear groups. Comm. Pure and Appl. Math. 8 (1955), 355–365. Nachdruck in Collected Papers (Hrsg. S. Lang und J.T. Tate), 387–397. Addison-Wesley, Reading, MA 1965.

296

Literatur

1955 Hornfeck, B. Zur Dichte der Menge der vollkommenen Zahlen. Arch. Math. 6 (1955), 442–443. 1955 Laborde, P. A note on the even perfect numbers. Amer. Math. Monthly 62 (1955), 348–349. 1956 Hornfeck, B. Bemerkung zu meiner Note u ¨ber vollkommene Zahlen. Arch. Math. 7 (1956), S. 273. ¨ 1956 Kanold, H.-J. Uber einen Satz von L.E. Dickson, II. Math. Ann. 131 (1956), 246–255. 1956 Schinzel, A. Sur l’´equation φ(x) = m. Elem. Math. 11 (1956), 75–78. 1956 Schinzel, A. Sur un probl`eme concernant la fonction φ(n). Czechoslovak Math. J. 6 (81), (1956), 164–165. ¨ 1957 Hornfeck, B. & Wirsing, E. Uber die H¨auﬁgkeit vollkommener Zahlen. Math. Ann. 133 (1957), 431–438. ¨ 1957 Kanold, H.-J. Uber die Verteilung der vollkommenen Zahlen und allgemeinerer Zahlenmengen. Math. Ann. 132 (1957), 442–450. 1958 Erd¨ os, P. Some remarks on Euler’s φ-function. Acta Arith. 4 (1958), 10–19. 1958 Jarden, D. Recurring Sequences. Riveon Lematematika, Jerusalem 1958 (3. Auﬂage bei Fibonacci Assoc., San Jose, CA 1973). 1958 Perisastri, M. A note on odd perfect numbers. Math. Student 26 (1958), 179–181. 1958 Schinzel, A. Sur les nombres compos´es n qui divisent an − a. Rend. Circ. Mat. Palermo (2) 7 (1958), 37–41. 1958 Sierpi´ nski, W. Sur les nombres premiers de la forme nn + 1. L’Enseign. Math. (2) 4 (1958), 211–212. 1959 Rotkiewicz, A. Sur les nombres pairs n pour lesquels les nombres an b − abn , respectivement an−1 − bn−1 sont divisibles par n. Rend. Circ. Mat. Palermo (2) 8 (1959), 341–342. 1959 Satyanarayana, M. Odd perfect numbers. Math. Student 27 (1959), 17–18. 1959 Schinzel, A. Sur les nombres compos´es n qui divisent an − a. Rend. Circ. Mat. Palermo (2) 7 (1958), 1–5. 1959 Wirsing, E. Bemerkung zu der Arbeit u ¨ber vollkommene Zahlen. Math. Ann. 137 (1959), 316–318. 1960 Inkeri, K. Tests for primality. Annales Acad. Sci. Fennicae, Ser. A, I, 279, Helsinki 1960, 19 Seiten. Nachdruck in Collected Papers of Kustaa Inkeri (Hrsg. T. Mets¨ ankyl¨ a und P. Ribenboim). Queen’s Papers in Pure and Appl. Math. 91. Queen’s Univ., Kingston, Ontario 1992.

Kapitel 2

297

1961 Ward, M. The prime divisors of Fibonacci numbers. Pacific J. Math. 11 (1961), 379–389. 1962 Burgess, D.A. On character sums and L-series. Proc. London Math. Soc. (3) 12 (1962), 193–206. 1962 Crocker, R. A theorem on pseudo-primes. Amer. Math. Monthly 69 (1962), p. 540. 1962 M¸ akowski, A. Generalization of Morrow’s D numbers. Simon Stevin 36 (1962), S. 71. 1962 Schinzel, A. The intrinsic divisors of Lehmer numbers in the case of negative discriminant. Arkiv f¨ or Mat. 4 (1962), 413–416. 1962 Schinzel, A. On primitive prime factors of an − bn . Proc. Cambridge Phil. Soc. 58 (1962), 555–562. 1962 Shanks, D. Solved and Unsolved Problems in Number Theory. Spartan, Washington 1962 (3. Auﬂage bei Chelsea, Bronx, NY 1985). 1963 Schinzel, A. On primitive prime factors of Lehmer numbers, I. Acta Arith. 8 (1963), 211–223. 1963 Schinzel, A. On primitive prime factors of Lehmer numbers, II. Acta Arith. 8 (1963), 251–257. 1963 Suryanarayana, D. On odd perfect numbers, II. Proc. Amer. Math. Soc. 14 (1963), 896–904. 1964 Biermann, K.-R. Thomas Clausen, Mathematiker und Astronom. J. Reine Angew. Math. 216 (1964), 159–198. 1964 Gillies, D.B. Three new Mersenne primes and a statistical theory. Math. Comp. 18 (1964), 93–98. 1964 Lehmer, E. On the inﬁnitude of Fibonacci pseudo-primes. Fibonacci Quart. 2 (1964), 229–230. 1965 Erd¨ os, P. Some recent advances and current problems in number theory. In Lectures in Modern Mathematics, Bd. III (Hrsg. T.L. Saaty), 196–244. Wiley, New York 1965. 1965 Rotkiewicz, A. Sur les nombres de Mersenne d´epourvus de facteurs carr´es et sur les nombres naturels n tels que n2 | 2n − 2. Matem. Vesnik (Beograd) 2 (17), (1965), 78–80. 1966 Grosswald, E. Topics from the Theory of Numbers. Macmillan, New York 1966 (2. Auﬂage bei Birkh¨ auser, Boston 1984). 1966 Muskat, J.B. On divisors of odd perfect numbers. Math. Comp. 20 (1966), 141–144. 1967 Brillhart, J. & Selfridge, J.L. Some factorizations of 2n ± 1 and related results. Math. Comp. 21 (1967), 87–96 und S. 751. 1967 Mozzochi, C.J. A simple proof of the Chinese remainder theorem. Amer. Math. Monthly 74 (1967), S. 998.

298

Literatur

1970 Lieuwens, E. Do there exist composite numbers M for which kφ(M ) = M − 1 holds? Nieuw Arch. Wisk. (3) 18 (1970), 165–169. 1970 Parberry, E.A. On primes and pseudo-primes related to the Fibonacci sequence. Fibonacci Quart. 8 (1970), 49–60. 1970 Suryanarayana, D. & Hagis Jr., P. A theorem concerning odd perfect numbers. Fibonacci Quart. 8 (1970), 337–346. 1971 Lieuwens, E. Fermat Pseudo-Primes. Dissertation, Delft 1971. 1971 Morrison, M.A. & Brillhart, J. The factorization of F7 . Bull. Amer. Math. Soc. 77 (1971), S. 264. 1971 Scho ¨nhage, A. & Strassen, V. Schnelle Multiplikation grosser Zahlen. Computing 7 (1971), 281–292. 1972 Hagis Jr., P. & McDaniel, W.L. A new result concerning the structure of odd perfect numbers. Proc. Amer. Math. Soc. 32 (1972), 13–15. 1972 Mills, W.H. On a conjecture of Ore. Proc. 1972 Number Theory Conf. in Boulder, 142–146. 1972 Ribenboim, P. Algebraic Numbers. Wiley-Interscience, New York 1972 (erweiterte Neuauﬂage beim Springer-Verlag, New York 2001). 1972 Rotkiewicz, A. Pseudoprime Numbers and their Generalizations. Stud. Assoc. Fac. Sci. Univ. Novi Sad, 1972. 1973 Grosswald, E. Contributions to the theory of Euler’s function φ(x). Bull. Amer. Math. Soc. 79 (1973), 327–341. 1973 Hagis Jr., P. A lower bound for the set of odd perfect numbers. Math. Comp. 27 (1973), 951–953. 1973 Rotkiewicz, A. On pseudoprimes with respect to the Lucas sequences. Bull. Acad. Polon. Sci. 21 (1973), 793–797. 1974 Ligh, S. & Neal, L. A note on Mersenne numbers. Math. Mag. 47 (1974), 231–233. 1974 Pomerance, C. On Carmichael’s conjecture. Proc. Amer. Math. Soc. 43 (1974), 297–298. 1974 Schinzel, A. Primitive divisors of the expression An − B n in algebraic number ﬁelds. J. Reine Angew. Math. 268/269 (1974), 27– 33. 1974 Sinha, T.N. Note on perfect numbers. Math. Student 42 (1974), S. 336. 1975 Brillhart, J., Lehmer, D.H. & Selfridge, J.L. New primality criteria and factorizations of 2m ± 1. Math. Comp. 29 (1975), 620–647.

Kapitel 2

299

1975 Guy, R.K. How to factor a number. Proc. Fifth Manitoba Conf. Numerical Math., 1975, 49–89 (Congressus Numerantium, XVI, Winnipeg, Manitoba 1975). 1975 Hagis Jr., P. & McDaniel, W.L. On the largest prime divisor of an odd perfect number. Math. Comp. 29 (1975), 922–924. 1975 Morrison, M.A. A note on primality testing using Lucas sequences. Math. Comp. 29 (1975), 181–182. 1975 Pomerance, C. The second largest prime factor of an odd perfect number. Math. Comp. 29 (1975), 914–921. 1975 Pratt, V.R. Every prime has a succinct certiﬁcate. SIAM J. Comput. 4 (1975), 214–220. 1975 Stewart, C.L. The greatest prime factor of an −bn . Acta Arith. 26 (1975), 427–433. 1976 Buxton, M. & Elmore, S. An extension of lower bounds for odd perfect numbers. Notices Amer. Math. Soc. 23 (1976), S. A55. 1976 Diffie, W. & Hellman, M.E. New directions in cryptography. IEEE Trans. on Inf. Th. IT-22 (1976), 644–654. 1976 Erdo ¨s, P. & Shorey, T.N. On the greatest prime factor of p 2 − 1 for a prime p, and other expressions. Acta Arith. 30 (1976), 257–265. 1976 Lehmer, D.H. Strong Carmichael numbers. J. Austral. Math. Soc. (A) 21 (1976), 508–510. Nachdruck in Selected Papers (Hrsg. D. McCarthy), Bd. I, 140–142. Ch. Babbage Res. Centre, St. Pierre, Manitoba 1981. 1976 Mendelsohn, N.S. The equation φ(x) = k. Math. Mag. 49 (1976), 37–39. 1976 Miller, G.L. Riemann’s hypothesis and tests for primality. J. Comp. Syst. Sci. 13 (1976), 300–317. 1976 Rabin, M.O. Probabilistic algorithms. In Algorithms and Complexity (Hrsg. J.F. Traub), 21–39. Academic Press, New York 1976. 1976 Yorinaga, M. On a congruential property of Fibonacci numbers. Numerical experiments. Considerations and remarks. Math. J. Okayama Univ. 19 (1976), 5–10 und 11–17. 1977 Kishore, M. Odd perfect numbers not divisible by 3 are divisible by at least ten distinct primes. Math. Comp. 31 (1977), 274–279. 1977 Kishore, M. The number of distinct prime factors for which σ(N ) = 2N , σ(N ) = 2N ± 1 and φ(N ) | N − 1. Dissertation, University of Toledo, Ohio 1977, 39 Seiten. 1977 Malm, D.E.G. On Monte-Carlo primality tests. Notices Amer. Math. Soc. 24 (1977), A-529, abstract 77T-A22.

300

Literatur

1977 Pomerance, C. On composite n for which φ(n) | n − 1, II. Pacific J. Math. 69 (1977), 177–186. 1977 Pomerance, C. Multiply perfect numbers, Mersenne primes and eﬀective computability. Math. Ann. 226 (1977), 195–206. 1977 Solovay, R. & Strassen, V. A fast Monte-Carlo test for primality. SIAM J. Comput. 6 (1977), 84–85. 1977 Stewart, C.L. On divisors of Fermat, Fibonacci, Lucas, and Lehmer numbers. Proc. London Math. Soc. (3) 35 (1977), 425–447. 1977 Stewart, C.L. Primitive divisors of Lucas and Lehmer numbers. In Transcendence Theory: Advances and Applications (Hrsg. A. Baker und D.W. Masser), 79–92. Academic Press, London 1977. 1977 Williams, H.C. On numbers analogous to the Carmichael numbers. Can. Math. Bull. 20 (1977), 133–143. 1978 Cohen, G.L. On odd perfect numbers. Fibonacci Quart. 16 (1978), 523–527. 1978 Kiss, P. & Phong, B.M. On a function concerning second order recurrences. Ann. Univ. Sci. Budapest 21 (1978), 119–122. 1978 Rivest, R.L. Remarks on a proposed cryptanalytic attack on the M.I.T. public-key cryptosystem. Cryptologia 2 (1978), 62–65. 1978 Rivest, R.L., Shamir, A. & Adleman, L.M. A method for obtaining digital signatures and public-key cryptosystems. Comm. ACM 21 (1978), 120–126. 1978 Williams, H.C. Primality testing on a computer. Ars Comb. 5 (1978), 127–185. 1978 Yorinaga, M. Numerical computation of Carmichael numbers. Math. J. Okayama Univ. 20 (1978), 151–163. 1979 Chein, E.Z. Non-existence of odd perfect numbers of the form q1a1 q2a2 · · · q6a6 and 5a1 q2a2 · · · q9a9 . Dissertation, Pennsylvania State University, 1979. 1979 Lenstra Jr., H.W. Miller’s primality test. Inf. Process. Letters 8 (1979), 86–88. 1980 Baillie, R. & Wagstaff Jr., S.S. Lucas pseudoprimes. Math. Comp. 35 (1980), 1391–1417. 1980 Cohen, G.L. & Hagis Jr., P. On the number of prime factors of n if φ(n) | (n − 1). Nieuw Arch. Wisk. (3) 28 (1980), 177–185. 1980 Hagis Jr., P. Outline of a proof that every odd perfect number has at least eight prime factors. Math. Comp. 35 (1980), 1027–1032. 1980 Monier, L. Evaluation and comparison of two eﬃcient probabilistic primality testing algorithms. Theoret. Comput. Sci. 12 (1980), 97–108.

Kapitel 2

301

1980 Pomerance, C., Selfridge, J.L. & Wagstaff Jr., S.S. The pseudoprimes to 25 · 109 . Math. Comp. 35 (1980), 1003–1026. 1980 Rabin, M.O. Probabilistic algorithm for testing primality. J. Number Theory 12 (1980), 128–138. 1980 Wagstaff Jr., S.S. Large Carmichael numbers. Math. J. Okayama Univ. 22 (1980), 33–41. 1980 Wall, D.W. Conditions for φ(N ) to properly divide N −1. In A Collection of Manuscripts Related to the Fibonacci Sequence (Hrsg. V.E. Hoggatt und M. Bicknell-Johnson), 205–208. 18th Anniv. Vol., Fibonacci Assoc., San Jose 1980. 1980 Yorinaga, M. Carmichael numbers with many prime factors. Math. J. Okayama Univ. 22 (1980), 169–184. 1981 Brent, R.P. & Pollard, J.M. Factorization of the eighth Fermat number. Math. Comp. 36 (1981), 627–630. 1981 Grosswald, E. On Burgess’ bound for primitive roots modulo primes and an application to Γ(p). Amer. J. Math. 103 (1981), 1171– 1183. 1981 Hagis Jr., P. On the second largest prime divisor of an odd perfect number. In Analytic Number Theory (Hrsg. M.I. Knopp). Lecture Notes in Math. # 899, 254–263. Springer-Verlag, New York 1981. 1981 Lenstra Jr., H.W. Primality testing algorithms (after Adleman, Rumely and Williams). In S´eminaire Bourbaki, expos´e No. 576. Lecture Notes in Math. # 901, 243–257. Springer-Verlag, Berlin 1981. 1981 Lu ur den Satz von Zsigmondy ¨ neburg, H. Ein einfacher Beweis f¨ u ¨ber primitive Primteiler von AN − 1. In Geometries and Groups (Hrsg. M. Aigner und D. Jungnickel). Lecture Notes in Math. # 893, 219–222. Springer-Verlag, New York 1981. 1982 Brent, R.P. Succinct proofs of primality for the factors of some Fermat numbers. Math. Comp. 38 (1982), 253–255. 1982 Couvreur, C. & Quisquater, J.J. An introduction to fast generation of large prime numbers. Philips J. Res. 37 (1982), 231– 264; Errata, 38 (1983), S. 77. 1982 Hoogendoorn, P.J. On a secure public-key cryptosystem. In Computational Methods in Number Theory (Hrsg. H.W. Lenstra, Jr. und R. Tijdeman), Teil I, 159–168. Math. Centre Tracts # 154, Amsterdam 1982.

302

Literatur

1982 Lenstra Jr., H.W. Primality testing. In Computational Methods in Number Theory (Hrsg. H.W. Lenstra, Jr. und R. Tijdeman), Teil I, 55–77. Math. Centre Tracts # 154, Amsterdam 1982. 1982 Masai, P. & Valette, A. A lower bound for a counterexample in Carmichael’s conjecture. Boll. Un. Mat. Ital. (6) 1-A (1982), 313– 316. 1982 Naur, T. Integer Factorization. DAIMI PB-144, Aarhus University, 1982, 129 Seiten. 1982 Woods, D. & Huenemann, J. Larger Carmichael numbers. Comput. Math. and Appl. 8 (1982), 215–216. 1983 Adleman, L.M., Pomerance, C. & Rumely, R.S. On distinguishing prime numbers from composite numbers. Annals of Math. (2) 117 (1983), 173–206. 1983 Brillhart, J., Lehmer, D.H., Selfridge, J.L., Tuckerman, B. & Wagstaff Jr., S.S. Factorizations of bn ± 1, b = 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12 Up to High Powers. Contemporary Math., Bd. 22, Amer. Math. Soc., Providence, RI 1983 (2. Auﬂage 1988, 3. Auﬂage 2002 nur elektronisch). 1983 Hagis Jr., P. Sketch of a proof that an odd perfect number relatively prime to 3 has at least eleven prime factors. Math. Comp. 40 (1983), 399–404. 1983 Kishore, M. Odd perfect numbers not divisible by 3, II. Math. Comp. 40 (1983), 405–411. 1983 Naur, T. New integer factorizations. Math. Comp. 41 (1983), 687–695. 1983 Pomerance, C. & Wagstaff Jr., S.S. Implementation of the continued fraction integer factoring algorithm. Congressus Numerantium 37 (1983), 99–118. 1983 Powell, B. Problem 6420 (On primitive roots). Amer. Math. Monthly 90 (1983), S. 60. 1983 Singmaster, D. Some Lucas pseudoprimes. Abstracts Amer. Math. Soc. 4 (1983), abstract 83T-10-14, S. 197. 1983 Yates, S. Titantic primes. J. Recr. Math. 16 (1983/84), 250– 260. 1984 Cohen, H. & Lenstra Jr., H.W. Primality testing and Jacobi sums. Math. Comp. 42 (1984), 297–330. 1984 Dixon, J.D. Factorization and primality tests. Amer. Math. Monthly 91 (1984), 333–352. 1984 Kearnes, K. Solution of problem 6420. Amer. Math. Monthly 91 (1984), S. 521.

Kapitel 2

303

1984 Nicolas, J.L. Tests de primalit´e. Expo. Math. 2 (1984), 223– 234. 1984 Pomerance, C. Lecture Notes on Primality Testing and Factoring (Mitschrift von G.M. Gagola, Jr.). Math. Assoc. America, Notes No. 4, 1984, 34 Seiten. 1984 Williams, H.C. An overview of factoring. In Advances in Cryptology (Hrsg. D. Chaum), 71–80. Plenum, New York 1984. 1984 Yates, S. Sinkers of the Titanics. J. Recr. Math. 17 (1984/85), 268–274. 1985 Bedocchi, E. Note on a conjecture on prime numbers. Rev. Mat. Univ. Parma (4) 11 (1985), 229–236. 1985 Fouvry, E. Th´eor`eme de Brun-Titchmarsh; application au th´eor`eme de Fermat. Invent. Math. 79 (1985), 383–407. 1985 Riesel, H. Prime Numbers and Computer Methods for Factorization. Birkh¨ auser, Boston 1985 (2. Auﬂage 1994). 1985 Shan, Z. On composite n for which φ(n) | n − 1. J. China Univ. Sci. Technol. 15 (1985), 109–112. 1985 Subbarao, M.V. & Siva Rama Prasad, V. Some analogues of a Lehmer problem on the totient function. Rocky Mountain J. Math. 15 (1985), 609–620. 1985 Wagon, S. Perfect numbers. Math. Intelligencer 7, No. 2 (1985), 66–68. 1986 Kiss, P., Phong, B.M. & Lieuwens, E. On Lucas pseudoprimes which are products of s primes. In Fibonacci Numbers and their Applications (Hrsg. A.N. Philippou, G.E. Bergum und A.F. Horadam), 131–139. Reidel, Dordrecht 1986. 1986 Wagon, S. Carmichael’s “Empirical Theorem”. Math. Intelligencer 8, No. 2 (1986), 61–62. 1986 Wagon, S. Primality testing. Math. Intelligencer 8, No. 3 (1986), 58–61. 1987 Cohen, G.L. On the largest component of an odd perfect number. J. Austral. Math. Soc. (A) 42 (1987), 280–286. 1987 Cohen, H. & Lenstra, A.K. Implementation of a new primality test. Math. Comp. 48 (1987), 103–121 und S1–S4. 1987 Koblitz, N. A Course in Number Theory and Cryptography. Springer-Verlag, New York 1987 (2. Auﬂage 1994). 1987 Lenstra Jr., H.W. Factoring integers with elliptic curves. Annals of Math. 126 (1987), 649–673.

304

Literatur

1987 Li Yan & Du Shiran Chinese Mathematics. A Concise His¨ tory (Englische Ubersetzung von J.N. Crossley und A.W.C. Lun). Clarendon Press, Oxford 1987. 1987 Pomerance, C. Very short primality proofs. Math. Comp. 48 (1987), 315–322. 1988 Brillhart, J., Montgomery, P.L. & Silverman, R.D. Tables of Fibonacci and Lucas factorizations, and Supplement. Math. Comp. 50 (1988), 251–260 und S1–S15. 1988 Hagis Jr., P. On the equation M φ(n) = n − 1. Nieuw Arch. Wisk. (4) 6 (1988), 237–243. 1988 Young, J. & Buell, D.A. The twentieth Fermat number is composite. Math. Comp. 50 (1988), 261–263. 1989 Bateman, P.T., Selfridge, J.L. & Wagstaff Jr., S.S. The new Mersenne conjecture. Amer. Math. Monthly 96 (1989), 125–128. 1989 Brent, R.P. & Cohen, G.L. A new lower bound for odd perfect numbers. Math. Comp. 53 (1989), 431–437 und S7–S24. 1989 Bressoud, D.M. Factorization and Primality Testing. Springer-Verlag, New York 1989. 1989 Dubner, H. A new method for producing large Carmichael numbers. Math. Comp. 53 (1989), 411–414. 1989 Lemos, M. Criptografia, N´ umeros Primos e Algoritmos. 17◦ Col´oquio Brasileiro de Matem´atica, Inst. Mat. Pura e Aplic., Rio de Janeiro, 1989, 72 Seiten. 1990 Lenstra, A.K. & Lenstra Jr., H.W. Algorithms in number theory. In Handbook of Theoretical Computer Science (Hrsg. J. van Leeuwen, A. Meyer, M. Nivat, M. Paterson und D. Perrin). NorthHolland, Amsterdam 1990. 1991 Brent, R.P., Cohen, G.L. & te Riele, H.J.J. Improved techniques for lower bounds for odd perfect numbers. Math. Comp. 57 (1991), 857–868. 1991 Frasnay, C. Extension `a l’anneau Zp du th´eor`eme de Lucas, sur les coeﬃcients binomiaux. Singularit´e 2 (1991), 13–15. 1992 Yates, S. Collecting gigantic and titanic primes. J. Recr. Math. 24 (1992), 187–195. 1993 Atkin, A.O.L. & Morain, F. Elliptic curves and primality proving. Math. Comp. 61 (1993), 29–68. 1993 Cohen, H. A Course in Computational Algebraic Number Theory. Springer-Verlag, New York 1993. 1993 Jaeschke, G. On strong pseudoprimes to several bases. Math. Comp. 61 (1993), 915–926.

Kapitel 2

305

1993 Lenstra, A.K., Lenstra Jr., H.W., Manasse, M.S. & Pollard, J.M. The number ﬁeld sieve. In The Development of the Number Field Sieve (Hrsg. A.K. Lenstra und H.W. Lenstra, Jr.). Lecture Notes in Math. # 1554, 11–42. Springer-Verlag, New York 1993. 1993 Pomerance, C. Carmichael numbers. Nieuw Arch. Wisk. (4) 11 (1993), 199–209. 1993 Williams, H.C. How was F6 factored? Math. Comp. 61 (1993), 463–474. 1994 Alford, W.R., Granville, A. & Pomerance, C. There are inﬁnitely many Carmichael numbers. Annals of Math. (2) 140 (1994), 703–722. 1994 Dubner, H. Palindromic primes with a palindromic prime number of digits. J. Recr. Math. 26 (1994), 241–243. 1994 Heath-Brown, D.R. Odd perfect numbers. Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 115 (1994), 191–196. 1994 Schlafly, A. & Wagon, S. Carmichael’s conjecture on the Euler function is valid below 1010000000 . Math. Comp. 63 (1994), 415–419. 1994 Williams, H.C. & Shallit, J.O. Factoring integers before computers. In Mathematics of Computation, 1943-1993: A HalfCentury of Computational Mathematics (Hrsg. W. Gautschi). Proc. Symp. Appl. Math., Bd. 48, 481–531. Amer. Math. Soc., Providence, RI 1994. 1995 Crandall, R.E., Doenias, J., Norrie, C. & Young, J. The twenty-second Fermat number is composite. Math. Comp. 64 (1995), 863–868. 1995 Gostin, G.B. New factors of Fermat numbers. Math. Comp. 64 (1995), 393–395. 1995 McIntosh, R.J. On the converse of Wolstenholme’s theorem. Acta Arith. 71 (1995), 381–389. 1995 Trevisan, V. & Carvalho, J.B. The composite character of the twenty-second Fermat number. J. Supercomp. 9 (1995), 179–182. 1996 Borwein, D., Borwein, J.M., Borwein, P.B. & Girgensohn, R. Giuga’s conjecture on primality. Amer. Math. Monthly 103 (1996), 40–50. 1996 L¨ oh, G. & Niebuhr W. A new algorithm for constructing large Carmichael numbers. Math. Comp. 65 (1996), 823–836. 1996 Pomerance, C. A tale of two sieves. Notices Amer. Math. Soc. 43 (1996), 1473–1485.

306

Literatur

1997 Cohen, G.L. Numbers whose positive divisors have small integral harmonic mean. Math. Comp. 66 (1997), 883–891. 1998 Caldwell, C. & Dubner, H. Primes in π. J. Recr. Math. 29 (1998), 282–289. 1998 Ford, K. The distribution of totients. Hardy-Ramanujan J. 2 (1998), 67–151. 1998 Hagis Jr., P. & Cohen, G.L. Every odd perfect number has a prime factor which exceeds 106 . Math. Comp. 67 (1998), 1323–1330. ´ 1998 Williams, H.C. Edouard Lucas and Primality Testing. J. Wiley and Sons, New York 1998. 1998 Young, J. Large primes and Fermat factors. Math. Comp. 67 (1998), 1735–1738. 1999 Brent, R.P. Factorization of the tenth Fermat number. Math. Comp. 68 (1999), 429–451. 1999 Cook, R.J. Bounds for odd perfect numbers. In Number Theory (Hrsg. R. Gupta). CRM Proc. Lecture Notes # 19, 67–71. Amer. Math. Soc., Providence, RI 1999. 1999 Coutinho, S.C. The Mathematics of Ciphers: Number Theory and RSA Cryptography. A.K. Peters, Natick, MA 1999. 1999 Ford, K. The number of solutions of φ(x) = m. Annals of Math. (2) 150 (1999), 283–311. 1999 Grytczuk, A. & Wojtowicz, M. There are no small odd perfect numbers, and Erratum. C.R. Acad. Sci. Paris 328 (1999), 1101–1105, und 330 (2000), S. 533. 1999 Iannucci, D.E. The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand. Math. Comp. 68 (1999), 1749– 1760. 1999 Woltman, G.F. On the discovery of the 38th known Mersenne prime. Fibonacci Quart. 37 (1999), 367–370. 2000 Brent, R.P., Crandall, R.E., Dilcher, K. & van Halewyn, C. Three new factors of Fermat numbers. Math. Comp. 69 (2000), 1297–1304. 2000 Iannucci, D.E. The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred. Math. Comp. 69 (2000), 867–879. 2001 Crandall, R. & Pomerance, C. Prime Numbers. A Computational Perspective. Springer-Verlag, New York 2001 (2. Auﬂage 2005). 2001 Kˇ r´ıˇ zek, M., Luca, F. & Somer, L. 17 Lectures on Fermat Numbers. From Number Theory to Geometry. Springer-Verlag, New York 2001.

Kapitel 2

307

2001 Ribenboim, P. Classical Theory of Algebraic Numbers. Springer-Verlag, New York 2001. 2001 Zhang, Z. Finding strong pseudoprimes to several bases. Math. Comp. 70 (2001), 863–872. 2002 Agrawal, M., Kayal, N. & Saxena, N. PRIMES is in P. Unver¨oﬀentlichtes Manuskript. 2002 Morain, F. Primalit´e th´eorique et primalit´e pratique ou AKS vs. ECCP. Unver¨ oﬀentlichtes Manuskript. 2003 Bailey, D.H. Some background on Kanada’s recent pi calculation. Unver¨oﬀentlichtes Manuskript. 2003 Crandall, R.E., Mayer, E.W. & Papadopoulos, J.S. The twenty-fourth Fermat number is composite. Math. Comp. 72 (2003), 1555–1572. 2003 Jenkins, P.M. Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 107 . Math. Comp. 72 (2003), 1549–1554. 2003 Nielsen, P.P. An upper bound for odd perfect numbers. Integers 3 (2003), #A14, 1–9 (elektronisch). 2003 Sorli, R.M. Algorithms in the study of multiperfect and odd perfect numbers. Dissertation, University of Technology, Sydney 2003. 2003 Wagstaff Jr., S.S. Cryptanalysis of Number Theoretic Ciphers. Chapman & Hall /CRC, Boca Raton, FL 2003. 2003 Zhang, Z. & Tang, M. Finding strong pseudoprimes to several bases. II. Math. Comp. 72 (2003), 2085–2097. 2004 Agrawal, M., Kayal, N. & Saxena, N. PRIMES is in P. Annals of Math. 160 (2004), 781–793. 2005 Lenstra Jr., H.W. & Pomerance, C. Primality testing with Gaussian periods. Unver¨ oﬀentlichtes Manuskript. 2005 Morain, F. Implementing the asymptotically fast version of the Elliptic Curve Primality Proving algorithm. Preprint arXiv:math. NT/0502097, 2005. 2007 Goto, T. & Okeya, K. All harmonic numbers less than 1014 . Japan J. Indust. Appl. Math. 24 (2007), 275–288. 2007 McIntosh, R.J. & Roettger, E.L. A search for FibonacciWieferich and Wolstenholme primes. Math. Comp. 76 (2007), 2087– 2094. 2007 Nielsen, P.P. Odd perfect numbers have at least nine distinct prime factors. Math. Comp. 76 (2007), 2109–2126. 2007 Pinch, R.G.E. The Carmichael Numbers up to 1021 . In Proc. Conf. on Algorithmic Number Th. 2007 (Hrsg. A.-M. Ernvall-Hyt¨on-

308

Literatur

en, M. Jutila, J. Karhum¨ aki und A. Lepist¨o), 129–131. Turku Centre for Computer Science, Turku 2007. 2008 Goto, T. & Ohno, Y. Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 108 . Math. Comp. 77 (2008), 1859–1868. 2010 Cohen, G.L. & Sorli, R.M. Odd harmonic numbers exceed 1024 . Math. Comp. 79 (2010), 2451–2460.

Kapitel 3 ¨ 1912 Frobenius, F.G. Uber quadratische Formen, die viele Primzahlen darstellen. Sitzungsber. d. K¨ onigl. Akad. d. Wiss. zu Berlin, 1912, 966–980. Nachdruck in Gesammelte Abhandlungen, Bd. III, 573–587. Springer-Verlag, Berlin 1968. 1912 Rabinowitsch, G. Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlk¨ orpern. Proc. Fifth Intern. Congress Math., Cambridge, Bd. 1, 1912, 418–421. 1933 Lehmer, D.H. On imaginary quadratic ﬁelds whose class number is unity. Bull. Amer. Math. Soc. 39 (1933), S. 360. 1934 Heilbronn, H. & Linfoot, E.H. On the imaginary quadratic corpora of class-number one. Quart. J. Pure and Appl. Math., Oxford, (2) 5 (1934), 293–301. 1936 Lehmer, D.H. On the function x2 + x + A. Sphinx 6 (1936), 212–214. 1938 Skolem, T. Diophantische Gleichungen. Springer-Verlag, Berlin 1938. 1947 Mills, W.H. A prime-representing function. Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), S. 604. 1951 van der Pol, B. & Speziali, P. The primes in k(ζ). Indag. Math. 13 (1951), 9–15. 1951 Wright, E.M. A prime-representing function. Amer. Math. Monthly 58 (1951), 616–618. 1952 Heegner, K. Diophantische Analysis und Modulfunktionen. Math. Zeitschrift 56 (1952), 227–253. 1960 Putnam, H. An unsolvable problem in number theory. J. Symb. Logic 25 (1960), 220–232. 1962 Cohn, H. Advanced Number Theory. J. Wiley and Sons, New York 1962. Nachdruck bei Dover, New York 1980. 1964 Willans, C.P. On formulae for the nth prime. Math. Gazette 48 (1964), 413–415.

Kapitel 3

309

1966 Baker, A. Linear forms in the logarithms of algebraic numbers. Mathematika 13 (1966), 204–216. 1967 Stark, H.M. A complete determination of the complex quadratic ﬁelds of class-number one. Michigan Math. J. 14 (1967), 1–27. 1968 Deuring, M. Imagin¨ are quadratische Zahlk¨orper mit der Klassenzahl Eins. Invent. Math. 5 (1968), 169–179. 1969 Dudley, U. History of a formula for primes. Amer. Math. Monthly 76 (1969), 23–28. 1969 Stark, H.M. A historical note on complex quadratic ﬁelds with class-number one. Proc. Amer. Math. Soc. 21 (1969), 254–255. 1971 Baker, A. Imaginary quadratic ﬁelds with class number 2. Annals of Math. (2) 94 (1971), 139–152. 1971 Baker, A. On the class number of imaginary quadratic ﬁelds. Bull. Amer. Math. Soc. 77 (1971), 678–684. 1971 Gandhi, J.M. Formulae for the nth prime. Proc. Washington State Univ. Conf. on Number Theory, 96–106. Pullman, WA 1971. 1971 Matijaseviˇ c, Yu.V. Diophantine representation of the set of prime numbers (russisch). Dokl. Akad. Nauk SSSR 196 (1971), 770– ¨ 773. Englische Ubersetzung von R.N. Goss, Soviet Math. Dokl. 12 (1971), 354–358. 1971 Stark, H.M. A transcendence theorem for class-number problems. Annals of Math. (2) 94 (1971), 153–173. 1972 Vanden Eynden, C. A proof of Gandhi’s formula for the nth prime. Amer. Math. Monthly 79 (1972), S. 625. 1973 Davis, M. Hilbert’s tenth problem is unsolvable. Amer. Math. Monthly 80 (1973), 233–269. 1973 Karst, E. New quadratic forms with high density of primes. Elem. Math. 28 (1973), 116–118. 1973 Weinberger, P.J. Exponents of the class groups of complex quadratic ﬁelds. Acta Arith. 22 (1973), 117–124. 1974 Golomb, S.W. A direct interpretation of Gandhi’s formula. Amer. Math. Monthly 81 (1974), 752–754. 1974 Hendy, M.D. Prime quadratics associated with complex quadratic ﬁelds of class number two. Proc. Amer. Math. Soc. 43 (1974), 253–260. 1974 Montgomery, H.L. & Weinberger, P.J. Notes on small class numbers. Acta Arith. 24 (1974), 529–542. 1974 Szekeres, G. On the number of divisors of x2 +x+A. J. Number Theory 6 (1974), 434–442.

310

Literatur

1975 Ernvall, R. A formula for the least prime greater than a given integer. Elem. Math. 30 (1975), 13–14. 1975 Jones, J.P. Diophantine representation of the Fibonacci numbers. Fibonacci Quart. 13 (1975), 84–88. 1975 Matijaseviˇ c, Yu.V. & Robinson, J. Reduction of an arbitrary diophantine equation to one in 13 unknowns. Acta Arith. 27 (1975), 521–553. 1976 Jones, J.P., Sato, D., Wada, H. & Wiens, D. Diophantine representation of the set of prime numbers. Amer. Math. Monthly 83 (1976), 449–464. 1977 Goldfeld, D.M. The conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer and the class numbers of quadratic ﬁelds. Ast´erisque 41/42 (1977), 219–227. 1977 Matijaseviˇ c, Yu.V. Primes are nonnegative values of a polynomial in 10 variables (russisch). Zapiski Sem. Leningrad Mat. Inst. ¨ Steklov 68 (1977), 62–82. Englische Ubersetzung von L. Guy und J.P. Jones, J. Soviet Math. 15 (1981), 33–44. 1979 Jones, J.P. Diophantine representation of Mersenne and Fermat primes, Acta Arith. 35 (1979), 209–221. 1981 Ayoub, R.G. & Chowla, S. On Euler’s polynomial. J. Number Theory 13 (1981), 443–445. 1983 Gross, B.H. & Zagier, D. Points de Heegner et d´eriv´ees de fonctions L. C.R. Acad. Sci. Paris 297 (1983), 85–87. 1986 Gross, B.H. & Zagier, D.B. Heegner points and derivatives of L-series. Invent. Math. 84 (1986), 225–320. 1986 Sasaki, R. On a lower bound for the class number of an imaginary quadratic ﬁeld. Proc. Japan Acad. A (Math. Sci.) 62 (1986), 37–39. 1986 Sasaki, R. A characterization of certain real quadratic ﬁelds. Proc. Japan Acad. A (Math. Sci.) 62 (1986), 97–100. 1988 Ribenboim, P. Euler’s famous prime generating polynomial and the class number of imaginary quadratic ﬁelds. L’Enseign. Math. 34 (1988), 23–42. 1989 Flath, D.E. Introduction to Number Theory. Wiley-Interscience, New York 1989. 1989 Goetgheluck, P. On cubic polynomials giving many primes. Elem. Math. 44 (1989), 70–73. 1990 Louboutin, S. Prime producing quadratic polynomials and class-numbers of real quadratic ﬁelds, and Addendum. Can. J. Math. 42 (1990), 315–341 und S. 1131.

Kapitel 4

311

1991 Louboutin, S. Extensions du th´eor`eme de Frobenius-Rabinovitsch. C.R. Acad. Sci. Paris 312 (1991), 711–714. 1995 Boston, N. & Greenwood, M.L. Quadratics representing primes. Amer. Math. Monthly 102 (1995), 595–599. 1995 Lukes, R.F., Patterson, C.D. & Williams, H.C. Numerical sieving devices: Their history and applications. Nieuw Arch. Wisk. (4) 13 (1995), 113–139. 1996 Mollin, R.A. Quadratics. CRC Press, Boca Raton, FL 1996. 1996 Mollin, R.A. An elementary proof of the Rabinowitsch-MollinWilliams criterion for real quadratic ﬁelds. J. Math. Sci. 7 (1996), 17–27. 1997 Mollin, R.A. Prime-producing quadratics. Amer. Math. Monthly 104 (1997), 529–544. 2000 Ribenboim, P. My Numbers, My Friends. Springer-Verlag, ¨ New York 2000. Deutsche Ubersetzung bei Springer, Berlin und Heidelberg 2009. 2003 Dress, F. & Landreau, B. Polynˆomes prenant beaucoup de valeurs premi`eres. Unver¨ oﬀentlichtes Manuskript. 2003 Jacobson Jr., M.J. & Williams, H.C. New quadratic polynomials with high densities of prime values. Math. Comp. 72 (2003), 499–519. 2005 Caldwell, C. & Cheng, Y. Determining Mills’ constant and a note on Honaker’s Problem. J. Integer Seq. 8 (2005), Art. 05.4.1, 1–9 (elektronisch).

Kapitel 4 1849 de Polignac, A. Recherches nouvelles sur les nombres premiers. C.R. Acad. Sci. Paris 29 (1849), 397–401; Rectiﬁcation: 738–739. 1885 Meissel, E.D.F. Berechnung der Menge von Primzahlen, welche innerhalb der ersten Milliarde nat¨ urlicher Zahlen vorkommen. Math. Ann. 25 (1885), 251–257. 1892 Sylvester, J.J. On arithmetical series. Messenger of Math. 21 (1892), 1–19 und 87–120. Nachdruck in Gesammelte Abhandlungen, Bd. III, 573–587. Springer-Verlag, New York 1968. 1901 Torelli, G. Sulla totalit`a dei numeri primi ﬁno ad un limite assegnato. Atti Reale Accad. Sci. Fis. Mat. Napoli (2) 11 (1901), 1–222. 1901 von Koch, H. Sur la distribution des nombres premiers. Acta Math. 24 (1901), 159–182.

312

Literatur

¨ 1901 Wolfskehl, P. Uber eine Aufgabe der elementaren Arithmetik. Math. Ann. 54 (1901), 503–504. 1903 Gram, J.-P. Note sur les z´eros de la fonction ζ(s) de Riemann. Acta Math. 27 (1903), 289–304. 1909 Landau, E. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. Teubner, Leipzig 1909. Nachdruck bei Chelsea, Bronx, NY 1974. 1909 Lehmer, D.N. Factor Table for the First Ten Millions. Carnegie Inst., Publication # 105, Washington 1909. Nachdruck bei Hafner, New York 1956. 1914 Lehmer, D.N. List of Prime Numbers from 1 to 10,006,721. Carnegie Inst., Publication # 165, Washington 1914. Nachdruck bei Hafner, New York 1956. 1914 Littlewood, J.E. Sur la distribution des nombres premiers. C.R. Acad. Sci. Paris 158 (1914), 1869–1872. 1919 Brun, V. Le crible d’Eratosth`ene et le th´eor`eme de Goldbach. C.R. Acad. Sci. Paris 168 (1919), 544–546. 1 1 1 1 1 1 1 1 1919 Brun, V. La s´erie 15 + 17 + 11 + 13 + 17 + 19 + 29 + 31 + 41 + 43 + 1 1 u les d´enominateurs sont “nombres premiers jumeaux” 59 + 61 +· · · o` est convergente ou ﬁnie. Bull. Sci. Math. (2) 43 (1919), 100–104 und 124–128. 1919 Ramanujan, S. A proof of Bertrand’s postulate. J. Indian Math. Soc. 11 (1919), 181–182. Nachdruck in Collected Papers of Srinivasa Ramanujan (Hrsg. G.H. Hardy und P.V. Seshu Aiyar), 208–209. Cambridge Univ. Press, Cambridge 1927. Nachdruck hiervon bei Chelsea, Bronx, NY 1962. 1920 Brun, V. Le crible d’Eratosth`ene et le th´eor`eme de Goldbach. Videnskapsselskapets Skrifter Kristiania, Mat.-nat. Kl., 1920, No. 3, 36 Seiten. 1923 Hardy, G.H. & Littlewood, J.E. Some problems of “Partitio Numerorum”, III: On the expression of a number as a sum of primes. Acta Math. 44 (1923), 1–70. Nachdruck in Collected Papers of G.H. Hardy, Bd. I, 561–630. Clarendon Press, Oxford 1966. 1930 Hoheisel, G. Primzahlprobleme in der Analysis. Sitzungsberichte Berliner Akad. d. Wiss., 1930, 580–588. ¨ 1930 Schnirelmann, L. Uber additive Eigenschaften von Zahlen. Ann. Inst. Polytechn. Novoˇcerkask, 14 (1930), 3–28, und Math. Ann. 107 (1933), 646–690.

Kapitel 4

313

¨ 1931 Westzynthius, E. Uber die Verteilung der Zahlen, die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind. Comm. Phys. Math. Helsingfors (5) 25 (1931), 1–37. 1932 Erd¨ os, P. Beweis eines Satzes von Tschebyscheﬀ. Acta Sci. Math. Szeged 5 (1932), 194–198. 1933 Skewes, S. On the diﬀerence π(x)− li(x). J. London Math. Soc. 8 (1933), 277–283. ¨ 1934 Ishikawa, H. Uber die Verteilung der Primzahlen. Sci. Rep. Tokyo Bunrika Daigaku (A) 2 (1934), 27–40. ¨ 1934 Romanoff, N.P. Uber einige S¨ atze der additiven Zahlentheorie. Math. Ann. 109 (1934), 668–678. 1935 Erd¨ os, P. On the diﬀerence of consecutive primes. Quart. J. Pure and Appl. Math., Oxford, (2) 6 (1935), 124–128. 1936 Tschudakoff, N.G. On the zeros of Dirichlet’s L-functions (russisch). Mat. Sbornik 1 (1936), 591–602. 1937 Cram´ er, H. On the order of magnitude of the diﬀerence between consecutive prime numbers. Acta Arith. 2 (1937), 23–46. 1937 Ingham, A.E. On the diﬀerence between consecutive primes. Quart. J. Pure and Appl. Math., Oxford, (2) 8 (1937), 255–266. ¨ 1937 Landau, E. Uber einige neuere Fortschritte der additiven Zahlentheorie. Cambridge Univ. Press, Cambridge 1937. Nachdruck bei Stechert-Hafner, New York 1964. 1937 van der Corput, J.G. Sur l’hypoth`ese de Goldbach pour presque tous les nombres pairs. Acta Arith. 2 (1937), 266–290. 1937 Winogradoff, I.M. Representation of an odd number as the sum of three primes (russisch). Dokl. Akad. Nauk SSSR 15 (1937), 169–172. 1938 Estermann, T. Proof that almost all even positive integers are sums of two primes. Proc. London Math. Soc. 44 (1938), 307–314. 1938 Poulet, P. Table des nombres compos´es v´eriﬁant le th´eor`eme de Fermat pour le module 2, jusqu’ `a 100.000.000. Sphinx 8 (1938), 42– 52. Berichtigungen: Math. Comp. 25 (1971), 944–945, und 26 (1972), S. 814. 1938 Rankin, R.A. The diﬀerence between consecutive prime numbers. J. London Math. Soc. 13 (1938), 242–247. 1938 Rosser, J.B. The nth prime is greater than n log n. Proc. London Math. Soc. 45 (1938), 21–44. 1938 Tschudakoff, N.G. On the density of the set of even integers which are not representable as a sum of two odd primes (russisch). Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat., 1 (1938), 25–40.

314

Literatur

¨ 1939 van der Corput, J.G. Uber Summen von Primzahlen und Primzahlquadraten. Math. Ann. 116 (1939), 1–50. 1940 Erd¨ os, P. The diﬀerence of consecutive primes. Duke Math. J. 6 (1940), 438–441. 1944 Chowla, S. There exists an inﬁnity of 3-combinations of primes in A. P. Proc. Lahore Phil. Soc. 6 (1944), 15–16. 1944 Linnik, Yu.V. On the least prime in an arithmetic progression I. The basic theorem (russisch). Mat. Sbornik 15 (57), (1944), 139– 178. 1946 Brauer, A. On the exact number of primes below a given limit. Amer. Math. Monthly 9 (1946), 521–523. 1947 Khinchin, A.Ya. Three Pearls of Number Theory. Russische ¨ Originalausgabe in OGIZ, Moskau 1947. Englische Ubersetzung bei Graylock Press, Baltimore 1952. 1947 R´ enyi, A. On the representation of even numbers as the sum of a prime and an almost prime. Dokl. Akad. Nauk SSSR 56 (1947), 455–458. 1949 Clement, P.A. Congruences for sets of primes. Amer. Math. Monthly 56 (1949), 23–25. 1949 Erd¨ os, P. On a new method in elementary number theory which leads to an elementary proof of the prime number theorem. Proc. Nat. Acad. Sci. USA 35 (1949), 374–384. 1949 Erd¨ os, P. On the converse of Fermat’s theorem. Amer. Math. Monthly 56 (1949), 623–624. 1949 Moser, L. A theorem on the distribution of primes. Amer. Math. Monthly 56 (1949), 624–625. ¨ 1949 Richert, H.E. Uber Zerf¨ allungen in ungleiche Primzahlen. Math. Zeitschrift 52 (1949), 342–343. 1949 Selberg, A. An elementary proof of Dirichlet’s theorem about primes in an arithmetic progression. Annals of Math. 50 (1949), 297– 304. 1949 Selberg, A. An elementary proof of the prime number theorem. Annals of Math. 50 (1949), 305–313. 1950 Erd¨ os, P. On almost primes. Amer. Math. Monthly 57 (1950), 404–407. 1950 Erd¨ os, P. On integers of the form 2k + p and some related problems, Summa Bras. Math. 2 (1950), 113–123. 1950 Hasse, H. Vorlesungen u ¨ber Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1950 (2. Auﬂage 1964).

Kapitel 4

315

1950 Selberg, A. An elementary proof of the prime number theorem for arithmetic progressions. Can. J. Math. 2 (1950), 66–78. 1951 Titchmarsh, E.C. The Theory of the Riemann Zeta Function. Clarendon Press, Oxford 1951 (2. Auﬂage 1986, Nachdruck 1999). 1956 Borodzkin, K.G. On the problem of I.M. Vinogradov’s constant (russisch). Proc. Third Math. Congress, Moskau, 1 (1956), S. 3. 1956 Erd¨ os, P. On pseudo-primes and Carmichael numbers. Publ. Math. Debrecen 4 (1956), 201–206. 1957 Leech, J. Note on the distribution of prime numbers. J. London Math. Soc. 32 (1957), 56–58. 1957 Pan, C.D. On the least prime in an arithmetic progression. Sci. Record (N.S.) 1 (1957), 311–313. 1958 Pan, C.D. On the least prime in an arithmetic progression. Acta Sci. Natur. Univ. Pekinensis 4 (1958), 1–34. 1958 Schinzel, A. & Sierpi´ nski, W. Sur certaines hypoth`eses concernant les nombres premiers. Acta Arith. 4 (1958), 185–208; Erratum, 5 (1959), S. 259. 1959 Killgrove, R.B. & Ralston, K.E. On a conjecture concerning the primes. Math. Comp. 13 (1959), 121–122. 1959 Lehmer, D.H. On the exact number of primes less than a given limit. Illinois J. Math. 3 (1959), 381–388. Nachdruck in Selected Papers (Hrsg. D. McCarthy), Bd. III, 1104–1111. Ch. Babbage Res. Centre, St. Pierre, Manitoba 1981. 1959 Schinzel, A. D´emonstration d’une cons´equence de l’hypoth`ese de Goldbach. Compositio Math. 14 (1959), 74–76. 1960 Golomb, S.W. The twin prime constant. Amer. Math. Monthly 67 (1960), 767–769. ¨ 1961 Prachar, K. Uber die kleinste Primzahl einer arithmetischen Reihe. J. Reine Angew. Math. 206 (1961), 3–4. 1961 Schinzel, A. Remarks on the paper “Sur certaines hypoth`eses concernant les nombres premiers”. Acta Arith. 7 (1961), 1–8. 1961 Wrench Jr., J.W. Evaluation of Artin’s constant and the twinprime constant. Math. Comp. 15 (1961), 396–398. 1962 Rosser, J.B. & Schoenfeld, L. Approximate formulas for some functions of prime numbers. Illinois J. Math. 6 (1962), 64–94. ¨ 1962 Schinzel, A. Remark on a paper of K. Prachar Uber die kleins” te Primzahl einer arithmetischen Reihe“. J. Reine Angew. Math. 210 (1962), 121–122. 1963 Ayoub, R.G. An Introduction to the Analytic Theory of Numbers. Amer. Math. Soc., Providence, RI 1963.

316

Literatur

1963 Kanold, H.-J. Elementare Betrachtungen zur Primzahltheorie. Arch. Math. 14 (1963), 147–151. 1963 Rankin, R.A. The diﬀerence between consecutive prime numbers, V. Proc. Edinburgh Math. Soc. (2) 13 (1963), 331–332. 1963 Rotkiewicz, A. Sur les nombres pseudo-premiers de la forme ax + b. C.R. Acad. Sci. Paris 257 (1963), 2601–2604. 1963 Walfisz, A.Z. Weylsche Exponentialsummen in der neueren Zahlentheorie. VEB Deutscher Verlag d. Wiss., Berlin 1963. 1964 Grosswald, E. A proof of the prime number theorem. Amer. Math. Monthly 71 (1964), 736–743. 1964 Shanks, D. On maximal gaps between successive primes. Math. Comp. 18 (1964), 646–651. 1965 Chen, J.R. On the least prime in an arithmetical progression. Sci. Sinica 14 (1965), 1868–1871. 1965 Gelfond, A.O. & Linnik, Yu.V. Elementary Methods in Ana¨ lytic Number Theory. Ubersetzung von A. Feinstein, durchgesehen und herausgegeben von L.J. Mordell. Rand McNally, Chicago 1965. 1965 Rotkiewicz, A. Les intervalles contenant les nombres pseudopremiers. Rend. Circ. Mat. Palermo (2) 14 (1965), 278–280. 1965 Stein, M.L. & Stein, P.R. New experimental results on the Goldbach conjecture. Math. Mag. 38 (1965), 72–80. 1965 Stein, M.L. & Stein, P.R. Experimental results on additive 2-bases. Math. Comp. 19 (1965), 427–434. 1966 Bombieri, E. & Davenport, H. Small diﬀerences between prime numbers. Proc. Roy. Soc. (A) 293 (1966), 1–18. 1966 Lehman, R.S. On the diﬀerence π(x) − li(x). Acta Arith. 11 (1966), 397–410. 1967 Lander, L.J. & Parkin, T.R. On the ﬁrst appearance of prime diﬀerences. Math. Comp. 21 (1967), 483–488. 1967 Lander, L.J. & Parkin, T.R. Consecutive primes in arithmetic progression. Math. Comp. 21 (1967), S. 489. 1967 Rotkiewicz, A. On the pseudo-primes of the form ax+ b. Proc. Cambridge Phil. Soc. 63 (1967), 389–392. 1967 Szymiczek, K. On pseudoprimes which are products of distinct primes. Amer. Math. Monthly 74 (1967), 35–37. 1969 Montgomery, H.L. Zeros of L-functions. Invent. Math. 8 (1969), 346–354. 1969 Rosser, J.B., Yohe, J.M. & Schoenfeld, L. Rigorous computation of the zeros of the Riemann zeta-function (with discussion).

Kapitel 4

317

In Inform. Processing 68 (Proc. IFIP Congress, Edinburgh 1968), Bd. I, 70–76. North-Holland, Amsterdam 1969. 1970 Diamond, H.G. & Steinig, J. An elementary proof of the prime number theorem with a remainder term. Invent. Math. 11 (1970), 199–258. 1972 Huxley, M.N. On the diﬀerence between consecutive primes. Invent. Math. 15 (1972), 164–170. 1972 Huxley, M.N. The Distribution of Prime Numbers. Oxford Univ. Press, Oxford 1972. 1972 Rotkiewicz, A. On a problem of W. Sierpi´ nski. Elem. Math. 27 (1972), 83–85. 1973 Brent, R.P. The ﬁrst occurrence of large gaps between successive primes. Math. Comp. 27 (1973), 959–963. 1973/1978 Chen, J.R. On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes, I and II. Sci. Sinica 16 (1973), 157–176, und 21 (1978), 421–430. 1973 Montgomery, H.L. The pair correlation of zeros of the zeta function. In Analytic Number Theory (Proc. Symp. Pure Math., Bd. XXIV, St. Louis 1972), 181–193. Amer. Math. Soc., Providence, RI 1973. 1973 Montgomery, H.L. & Vaughan, R.C. The large sieve. Mathematika 20 (1973), 119–134. 1974 Ayoub, R.G. Euler and the zeta-function. Amer. Math. Monthly 81 (1974), 1067–1086. 1974 Edwards, H.M. Riemann’s Zeta Function. Academic Press, New York 1974. Nachdruck bei Dover, New York 2001. 1974 Halberstam, H. & Richert, H.E. Sieve Methods. Academic Press, New York 1974. 1974 Hensley, D. & Richards, I. Primes in intervals. Acta Arith. 25 (1974), 375–391. 1974 Levinson, N. More than one third of zeros of Riemann’s zeta function are on σ = 1/2. Adv. in Math. 13 (1984), 383–436. 1974 M¸ akowski, A. On a problem of Rotkiewicz on pseudoprimes. Elem. Math. 29 (1974), S. 13. 1974 Richards, I. On the incompatibility of two conjectures concerning primes; a discussion of the use of computers in attacking a theoretical problem. Bull. Amer. Math. Soc. 80 (1974), 419–438. 1974 Shanks, D. & Wrench, J.W. Brun’s constant. Math. Comp. 28 (1974), 293–299.

318

Literatur

1975 Brent, R.P. Irregularities in the distribution of primes and twin primes. Math. Comp. 29 (1975), 43–56. 1975 Montgomery, H.L. & Vaughan, R.C. The exceptional set in Goldbach’s problem. Acta Arith. 27 (1975), 353–370. 1975 Ross, P.M. On Chen’s theorem that each large even number has the form p1 +p2 or p1 +p2 p3 . J. London Math. Soc. (2) 10 (1975), 500–506. 1975 Rosser, J.B. & Schoenfeld, L. Sharper bounds for the Chebyshev functions θ(x) and ψ(x). Math. Comp. 29 (1975), 243–269. 1975 Swift, J.D. Table of Carmichael numbers to 109 . Math. Comp. 29 (1975), 338–339. 1975 Szemer´ edi, E. On sets of integers containing no k elements in arithmetic progression. Acta Arith. 27 (1975), 199–245. 1975 Udrescu, V.S. Some remarks concerning the conjecture π(x+y) ≤ π(x)+π(y). Rev. Roumaine Math. Pures Appl. 20 (1975), 1201–1209. 1976 Apostol, T.M. Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag, New York 1976. 1976 Brent, R.P. Tables concerning irregularities in the distribution of primes and twin primes to 1011 . Math. Comp. 30 (1976), S. 379. 1977 Hudson, R.H. A formula for the exact number of primes below a given bound in any arithmetic progression. Bull. Austral. Math. Soc. 16 (1977), 67–73. 1977 Hudson, R.H. & Brauer, A. On the exact number of primes in the arithmetic progressions 4n ± 1 and 6n ± 1. J. Reine Angew. Math. 291 (1977), 23–29. 1977 Huxley, M.N. Small diﬀerences between consecutive primes, II. Mathematika 24 (1977), 142–152. 1977 Jutila, M. On Linnik’s constant. Math. Scand. 41 (1977), 45– 62. 1977 Langevin, M. M´ethodes ´el´ementaires en vue du th´eor`eme de Sylvester. S´em. Delange-Pisot-Poitou, 17e ann´ee, 1975/76, fasc. 1, exp. No. G12, 9 Seiten, Paris 1977. 1977 Weintraub, S. Seventeen primes in arithmetic progression. Math. Comp. 31 (1977), S. 1030. 1978 Bays, C. & Hudson, R.H. On the ﬂuctuations of Littlewood for primes of the form 4n ± 1. Math. Comp. 32 (1978), 281–286. 1978 Heath-Brown, D.R. Almost-primes in arithmetic progressions and short intervals. Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. 83 (1978), 357–375.

Kapitel 4

319

1979 Brent, R.P. On the zeros of the Riemann zeta function in the critical strip. Math. Comp. 33 (1979), 1361–1372. 1979 Heath-Brown, D.R. & Iwaniec, H. On the diﬀerence between consecutive powers. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 1 (1979), 758–760. 1979 Iwaniec, H. & Jutila, M. Primes in short intervals. Arkiv f¨or Mat. 17 (1979), 167–176. 1979 Pomerance, C. The prime number graph. Math. Comp. 33 (1979), 399–408. 1979 Ribenboim, P. 13 Lectures on Fermat’s Last Theorem. Springer-Verlag, New York 1979. 1979 Wagstaff Jr., S.S. Greatest of the least primes in arithmetic progressions having a given modulus. Math. Comp. 33 (1979), 1073– 1080. 1979 Yorinaga, M. Numerical computation of Carmichael numbers, II. Math. J. Okayama Univ. 21 (1979), 183–205. 1980 Brent, R.P. The ﬁrst occurrence of certain large prime gaps. Math. Comp. 35 (1980), 1435–1436. 1980 Chen, J.R. & Pan, C.D. The exceptional set of Goldbach numbers, I. Sci. Sinica 23 (1980), 416–430. 1980 Light, W.A., Forrest, J., Hammond, N. & Roe, S. A note on Goldbach’s conjecture. BIT 20 (1980), S. 525. 1980 Newman, D.J. Simple analytic proof of the prime number theorem. Amer. Math. Monthly 87 (1980), 693–696. 1980 Pintz, J. On Legendre’s prime number formula. Amer. Math. Monthly 87 (1980), 733–735. 1980 Pomerance, C. A note on the least prime in an arithmetic progression. J. Number Theory 12 (1980), 218–223. 1980 Pomerance, C., Selfridge, J.L. & Wagstaff Jr., S.S. The pseudoprimes to 25 · 109 . Math. Comp. 35 (1980), 1003–1026. 1980 van der Poorten, A.J. & Rotkiewicz, A. On strong pseudoprimes in arithmetic progressions. J. Austral. Math. Soc. (A) 29 (1980), 316–321. 1981 Graham, S. On Linnik’s constant. Acta Arith. 39 (1981), 163– 179. 1981 Heath-Brown, D.R. Three primes and an almost prime in arithmetic progression. J. London Math. Soc. (2) 23 (1981), 396– 414. 1981 Pomerance, C. On the distribution of pseudoprimes. Math. Comp. 37 (1981), 587–593.

320

Literatur

1982 Diamond, H.G. Elementary methods in the study of the distribution of prime numbers. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 7 (1982), 553–589. 1982 Pomerance, C. A new lower bound for the pseudoprimes counting function. Illinois J. Math. 26 (1982), 4–9. 1982 Pritchard, P.A. 18 primes in arithmetic progression. J. Recr. Math. 15 (1982/83), S. 288. 1982 Weintraub, S. A prime gap of 682 and a prime arithmetic sequence. BIT 22 (1982), S. 538. 1983 Chen, J.R. The exceptional value of Goldbach numbers, II. Sci. Sinica (A) 26 (1983), 714–731. 1983 Powell, B. Problem 6429 (Diﬀerence between consecutive primes). Amer. Math. Monthly 90 (1983), S. 338. 1983 Riesel, H. & Vaughan, R.C. On sums of primes. Arkiv f¨ or Mat. 21 (1983), 45–74. 1983 Robin, G. Estimation de la fonction de Tschebychef θ sur le k i`eme nombre premier et grandes valeurs de la fonction ω(n), nombre de diviseurs premiers de n. Acta Arith. 42 (1983), 367–389. 1984 Daboussi, H. Sur le th´eor`eme des nombres premiers. C.R. Acad. Sci. Paris 298 (1984), 161–164. 1984 Davies, R.O. Solution of problem 6429. Amer. Math. Monthly 91 (1984), S. 64. 1984 Iwaniec, H. & Pintz, J. Primes in short intervals. Monatsh. Math. 98 (1984), 115–143. 1984 Schroeder, M.R. Number Theory in Science and Communication. Springer-Verlag, New York 1984 (4. Auﬂage 2005). 1984 Wang, Y. The Goldbach Conjecture. World Scientiﬁc Publ., Singapore 1984. 1985 Heath-Brown, D.R. The ternary Goldbach problem. Rev. Mat. Iberoamer. 1 (1985), 45–58. 1985 Ivi´ c, A. The Riemann Zeta-Function. J. Wiley and Sons, New York 1985. 1985 Lagarias, J.C., Miller, V.S. & Odlyzko, A.M. Computing π(x): The Meissel-Lehmer method. Math. Comp. 44 (1985), 537–560. 1985 Lou, S. & Yao, Q. The upper bound of the diﬀerence between consecutive primes. Kexue Tongbao 8 (1985), 128–129. 1985 Maier, H. Primes in short intervals. Michigan Math. J. 32 (1985), 221–225. 1985 Odlyzko, A.M. & te Riele, H.J.J. Disproof of the Mertens conjecture. J. Reine Angew. Math. 357 (1985), 138–160.

Kapitel 4

321

1985 Powell, B. Problem 1207 (A generalized weakened Goldbach theorem). Math. Mag. 58 (1985), S. 46. 1985 Pritchard, P.A. Long arithmetic progressions of primes: some old, some new. Math. Comp. 45 (1985), 263–267. 1985 te Riele, H.J.J. Some historical and other notes about the Mertens conjecture and its recent disproof. Nieuw Arch. Wisk. (4) 3 (1985), 237–243. 1986 Andrica, D. Note on a conjecture in prime number theory. Studia Univ. Babe¸s-Bolyai Math. 31, No. 4 (1986), 44–48. 1986 Bombieri, E., Friedlander, J.B. & Iwaniec, H. Primes in arithmetic progression to large moduli, I. Acta Math. 156 (1986), 203–251. 1986 Finn, M.V. & Frohliger, J.A. Solution of problem 1207. Math. Mag. 59 (1986), 48–49. 1986 Mozzochi, C.J. On the diﬀerence between consecutive primes. J. Number Theory 24 (1986), 181–187. 1986 van de Lune, J., te Riele, H.J.J. & Winter, D.T. On the zeros of the Riemann zeta function in the critical strip, IV. Math. Comp. 46 (1986), 667–681. 1986 Wagon, S. Where are the zeros of zeta of s? Math. Intelligencer 8, No. 4 (1986), 57–62. 1987 Pintz, J. An eﬀective disproof of the Mertens conjecture. Ast´erisque 147/148 (1987), 325–333. 1987 te Riele, H.J.J. On the sign of the diﬀerence π(x) − li(x). Math. Comp. 48 (1987), 323–328. 1988 Erd¨ os, P., Kiss, P. & S´ ark¨ ozy, A. A lower bound for the counting function of Lucas pseudoprimes. Math. Comp. 51 (1988), 315–323. 1988 Odlyzko, A.M. & Sch¨ onhage, A. Fast algorithms for multiple evaluations of the Riemann zeta function. Trans. Amer. Math. Soc. 309 (1988), 797–809. 1988 Patterson, S.J. Introduction to the Theory of the Riemann Zeta-Function. Cambridge Univ. Press, Cambridge 1988. 1989 Chen, J.R. & Liu, J.M. On the least prime in an arithmetical progression, III and IV. Sci. China (A) 32 (1989), 654–673 und 792– 807. 1989 Chen, J.R. & Wang, T.Z. On the odd Goldbach problem. Acta Math. Sinica 32 (1989), 702–718.

322

Literatur

1989 Conrey, J.B. At least two ﬁfths of the zeros of the Riemann zeta function are on the critical line. Bull. Amer. Math. Soc. 20 (1989), 79–81. 1989 Granville, A., van de Lune, J. & te Riele, H.J.J. Checking the Goldbach conjecture on a vector computer. In Number Theory and Applications (Hrsg. R.A. Mollin), 423–432. Kluwer, Dordrecht 1989. 1989 Young, J. & Potler, A. First occurrence of prime gaps. Math. Comp. 52 (1989), 221–224. 1990 Granville, A. & Pomerance, C. On the least prime in certain arithmetic progressions. J. London Math. Soc. (2) 41 (1990), 193– 200. 1990 Jaeschke, G. The Carmichael numbers to 1012 . Math. Comp. 55 (1990), 383–389. 1990 Parady, B.K., Smith, J.F. & Zarantonello, S. Largest known twin primes. Math. Comp. 55 (1990), 381–382. 1991 Weintraub, S. A prime gap of 784. J. Recr. Math. 23, No. 1 (1991), 6–7. 1992 Golomb, S.W. Problem 10208. Amer. Math. Monthly 99 (1992), S. 266. 1992 Granville, A. Primality testing and Carmichael numbers. Notices Amer. Math. Soc. 39 (1992), 696–700. 1992 Heath-Brown, D.R. Zero-free regions for Dirichlet L-functions and the least prime in an arithmetic progression. Proc. London Math. Soc. (3) 64 (1992), 265–338. 1992 Pinch, R.G.E. The pseudoprimes up to 1012 . Unver¨oﬀentlichtes Manuskript. 1993 Deshouillers, J.-M., Granville, A., Narkiewicz, W. & Pomerance, C. An upper bound in Goldbach’s problem. Math. Comp. 61 (1993), 209–213. 1993 Lou, S. & Yao, Q. The number of primes in a short interval. Hardy-Ramanujan J. 16 (1993), 21–43. 1993 Odlyzko, A.M. Iterated absolute values of diﬀerences of consecutive primes. Math. Comp. 61 (1993), 373–380. 1993 Pinch, R.G.E. The Carmichael numbers up to 1015 . Math. Comp. 61 (1993), 381–391. 1993 Pomerance, C. Carmichael numbers. Nieuw Arch. Wisk. (4) 11 (1993), 199–209. 1993 Sinisalo, M.K. Checking the Goldbach conjecture up to 4 × 1011 . Math. Comp. 61 (1993), 931–934.

Kapitel 4

323

1994 Alford, W.R., Granville, A. & Pomerance, C. There are inﬁnitely many Carmichael numbers. Annals of Math. 140 (1994), 703–722. 1994 Lou, S. & Yao, Q. Estimates of sums of Dirichlet series. HardyRamanujan J. 17 (1994), 1–31. 1995 Ford, K. Solution of problem 10208. Amer. Math. Monthly 102 (1995), 361–362. 1995 Nicely, T.R. Enumeration to 1014 of the twin primes and Brun’s constant. Virginia J. of Sci. 46 (1995), 195–204. 1995 Pritchard, P.A., Moran, A. & Thyssen, A. Twenty-two primes in arithmetic progression. Math. Comp. 64 (1995), 1337–1339. 1995 Ramar´ e, O. On Snirel’man’s constant. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, Cl. Sci. (4) 22 (1995), 645–706. 1996 Chen, J.R. & Wang, T.Z. The Goldbach problem for odd numbers. Acta Math. Sinica 39 (1996), 169–174. 1996 Connes, A. Formule de trace en g´eom´etrie non-commutative et hypoth`ese de Riemann. C.R. Acad. Sci. Paris 323 (1996), 1231– 1236. 1996 Del´ eglise, M. & Rivat, J. Computing π(x): The Meissel, Lehmer, Lagarias, Miller, Odlyzko method. Math. Comp. 65 (1996), 235–245. 1996 Indlekofer, K.-H. & J´ arai, A. Largest known twin primes. Math. Comp. 65 (1996), 427–428. 1996 Massias, J.-P. & Robin, G. Bornes eﬀectives pour certaines fonctions concernant les nombres premiers. J. Th´eor. Nombres Bordeaux 8 (1996), 215–242. 1996 Ramar´ e, O. & Rumely, R. Primes in arithmetic progressions. Math. Comp. 65 (1996), 397–425. 1996 Shiu, D.K.L. Prime Numbers in Arithmetical Progressions. Dissertation, University of Oxford, 1996. 1997 Deshouillers, J.-M., Effinger, G., te Riele, H. & Zinoviev, D. A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann Hypothesis. Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc. 3 (1997), 99–104. 1997 Dubner, H. & Nelson, H. Seven consecutive primes in arithmetic progression. Math. Comp. 66 (1997), 1743–1749. 1997 Forbes, T. A large pair of twin primes. Math. Comp. 66 (1997), 451–455. 1997 Mollin, R.A. Prime-producing quadratics. Amer. Math. Monthly 104 (1997), 529–544.

324

Literatur

1998 Del´ eglise, M. & Rivat, J. Computing ψ(x). Math. Comp. 67 (1998), 1691–1696. 1998 Deshouillers, J.-M. , te Riele, H.J.J. & Saouter, Y. New experimental results concerning the Goldbach conjecture. In Proc. Third Int. Symp. on Algorithmic Number Th. (Hrsg. J.P. Buhler). Lecture Notes in Computer Sci. # 1423, 204–215. Springer-Verlag, New York 1998. 1998 Dusart, P. Autour de la fonction qui compte le nombre de nombres premiers. Dissertation, Universit´e de Limoges, 1998, 171 Seiten. 1998 Pinch, R.G.E. The Carmichael numbers up to 1016 . Preprint arXiv:math.NT/9803082, 1998. 1998 Saouter, Y. Checking the odd Goldbach conjecture up to 1020 . Math. Comp. 67 (1998), 863–866. 1999 Dusart, P. The k th prime is greater than k(ln k + ln ln k − 1) for k ≥ 2. Math. Comp. 68 (1999), 411–415. 1999 Dusart, P. In´egalit´es explicites pour ψ(x), θ(x), π(x) et les nombres premiers. C.R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada 21 (1999), 53–59. 1999 Forbes, T. Prime clusters and Cunningham chains. Math. Comp. 68 (1999), 1739–1747. 1999 Indlekofer, K.-H. & J´ arai, A. Largest known twin primes and Sophie Germain primes. Math. Comp. 68 (1999), 1317–1324. 1999 Nicely, T.R. New maximal prime gaps and ﬁrst occurrences. Math. Comp. 68 (1999), 1311–1315. 1999 Nicely, T.R. Enumeration to 1.6 × 1015 of the prime quadruplets. Unver¨oﬀentlichtes Manuskript. 1999 Nicely, T.R. & Nyman, B. First occurrence of a prime gap of 1000 or greater. Unver¨ oﬀentlichtes Manuskript. 2000 Bays, C. & Hudson, R.H. A new bound for the smallest x with π(x) > li(x). Math. Comp. 69 (2000), 1285–1296. 2000 Pinch, R.G.E. The pseudoprimes up to 1013 . In Proc. Fourth Int. Symp. on Algorithmic Number Th. (Hrsg. W. Bosma). Lecture Notes in Computer Sci. # 1838, 459–474. Springer-Verlag, New York 2000. 2000 Shiu, D.K.L. Strings of congruent primes. J. London Math. Soc. (2) 61 (2000), 359–373. 2001 Baker, R.C., Harman, G. & Pintz, J. The diﬀerence between consecutive primes, II. Proc. London Math. Soc. (3) (83), 2001, 532–562.

Kapitel 5

325

2001 Gourdon, X. Computation of pi(x): improvements to the Meissel, Lehmer, Lagarias, Miller, Odlyzko, Del´eglise and Rivat method. Unver¨oﬀentlichtes Manuskript. 2001 Nicely, T.R. A new error analysis for Brun’s constant. Virginia J. of Sci. 52 (2001), 45–55. 2001 Odlyzko, A.M. The 1022 -nd zero of the Riemann zeta function. In Dynamical, Spectral, and Arithmetic Zeta Functions (Hrsg. M.L. Lapidus und M. van Frankenhuysen), 139–144. Contemporary Math., Bd. 290, Amer. Math. Soc., Providence, RI 2001 2001 Richstein, J. Verifying the Goldbach conjecture up to 4 · 1014 . Math. Comp. 70 (2001), 1745–1749. 2002 Dubner, H., Forbes, T., Lygeros, N., Mizony, M., Nelson, H. & Zimmermann, P. Ten consecutive primes in arithmetic progression. Math. Comp. 71 (2002), 1323–1328. 2002 Dusart, P. Sur la conjecture π(x+y) ≤ π(x)+π(y). Acta Arith. 102 (2002), 295–308. 2003 Nyman, B. & Nicely, T.R. New prime gaps between 1015 and 5 × 1016 . J. Integer Seq. 6 (2003), Art. 03.3.1, 1–6 (elektronisch). 2003 Ramar´ e, O. & Saouter, Y. Short eﬀective intervals containing primes. J. Number Theory 98 (2003), 10–33. 2004 Gourdon, X. The 1013 ﬁrst zeros of the Riemann zeta function, and zeros computation at very large height. Unver¨oﬀentlichtes Manuskript. 2005 Kadiri, H. Une r´egion explicite sans z´eros pour la fonction zeta de Riemann. Acta Arith. 117 (2005), 303–339. 2006 Goldston, D.A., Motohashi, Y., Pintz, J. & Yıldırım, C.Y. Small gaps between primes exist. Proc. Japan Acad. Sci. A (Math. Sci.), 82 (2006), 61–65. 2006 Pinch, R.G.E. The Carmichael numbers up to 1018 . Preprint arXiv:math.NT/0604376, 2006. 2007 Pinch, R.G.E. The Carmichael Numbers up to 1021 . In Proc. Conf. on Algorithmic Number Th. 2007 (Hrsg. A.-M. Ernvall-Hyt¨onen, M. Jutila, J. Karhum¨ aki und A. Lepist¨o), 129–131. Turku Centre for Computer Science, Turku 2007. 2008 Green, B. & Tao, T. The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions. Annals of Math. (2) 167 (2008), 481–547. 2009 Goldston, D.A., Pintz, J. & Yıldırım, C.Y. Primes in tuples I. Annals of Math. 170 (2009), 819–862.

326

Literatur

Kapitel 5 1948 Gunderson, N.G. Derivation of Criteria for the First Case of Fermat’s Last Theorem and the Combination of these Criteria to Produce a New Lower Bound for the Exponent. Dissertation, Cornell University, 1948, 111 Seiten. 1951 D´ enes, P. An extension of Legendre’s criterion in connection with the ﬁrst case of Fermat’s last theorem. Publ. Math. Debrecen 2 (1951), 115–120. 1953 Goldberg, K. A table of Wilson quotients and the third Wilson prime. J. London Math. Soc. 28 (1953), 252–256. 1954 Ward, M. Prime divisors of second order recurring sequences. Duke Math. J. 21 (1954), 607–614. 1956 Obl´ ath, R. Une propri´et´e des puissances parfaites. Mathesis 65 (1956), 356–364. 1956 Riesel, H. N˚ agra stora primtal. Elementa 39 (1956), 258–260. 1958 Jarden, D. Recurring Sequences. Riveon Lematematika, Jerusalem 1958 (3. Auﬂage bei Fibonacci Assoc., San Jose, CA 1973). 1958 Robinson, R.M. A report on primes of the form k · 2n + 1 and on factors of Fermat numbers. Proc. Amer. Math. Soc. 9 (1958), 673–681. 1960 Sierpi´ nski, W. Sur un probl`eme concernant les nombres k · 2n + 1. Elem. Math. 15 (1960), 73–74. 1964 Graham, R.L. A Fibonacci-like sequence of composite numbers. Math. Mag. 37 (1964), 322–324. 1964 Riesel, H. Note on the congruence ap−1 ≡ 1 (mod p2 ). Math. Comp. 18 (1964), 149–150. 1964 Siegel, C.L. Zu zwei Bemerkungen Kummers. Nachr. Akad. d. Wiss. G¨ ottingen, Math. Phys. Kl., II, 1964, 51–62. Nachdruck in Gesammelte Abhandlungen (Hrsg. K. Chandrasekharan und H. Maas), Bd. III, 436–442. Springer-Verlag, Berlin 1966. 1965 Kloss, K.E. Some number theoretic calculations. J. Res. Nat. Bureau of Stand. B, 69 (1965), 335–336. ¨ 1966 Hasse, H. Uber die Dichte der Primzahlen p, f¨ ur die eine vorgegebene ganzrationale Zahl a ̸= 0 von gerader bzw. ungerader Ordnung mod p ist. Math. Ann. 166 (1966), 19–23. 1966 Kruyswijk, D. On the congruence up−1 ≡ 1 (mod p2 ) (niederl¨andisch). Math. Centrum Amsterdam, 1966, 7 Seiten. 1969 Riesel, H. Lucasian criteria for the primality of N = h · 2n − 1. Math. Comp. 23 (1969), 869–875.

Kapitel 5

327

1971 Brillhart, J., Tonascia, J. & Weinberger, P.J. On the Fermat quotient. In Computers in Number Theory (Hrsg. A.L. Atkin und B.J. Birch), 213–222. Academic Press, New York 1971. 1975 Johnson, W. Irregular primes and cyclotomic invariants. Math. Comp. 29 (1975), 113–120. 1976 Hooley, C. Application of Sieve Methods to the Theory of Numbers. Cambridge Univ. Press, Cambridge 1976. 1978 Wagstaff Jr., S.S. The irregular primes to 125000. Math. Comp. 32 (1978), 583–591. 1978 Williams, H.C. Some primes with interesting digit patterns. Math. Comp. 32 (1978), 1306–1310. 1979 Erd¨ os, P. & Odlyzko, A.M. On the density of odd integers of the form (p − 1)2−n and related questions. J. Number Theory 11 (1979), 257–263. 1979 Ribenboim, P. 13 Lectures on Fermat’s Last Theorem. Springer-Verlag, New York 1979. 1979 Williams, H.C. & Seah, E. Some primes of the form (an − 1)/(a − 1). Math. Comp. 33 (1979), 1337–1342. 1980 Newman, M., Shanks, D. & Williams, H.C. Simple groups of square order and an interesting sequence of primes. Acta Arith. 38 (1980), 129–140. 1980 Powell, B. Primitive densities of certain sets of primes. J. Number Theory 12 (1980), 210–217. 1981 Lehmer, D.H. On Fermat’s quotient, base two. Math. Comp. 36 (1981), 289–290. 1982 Powell, B. Problem E 2956 (The existence of small prime solutions of xp−1 ̸≡ 1 (mod p2 )). Amer. Math. Monthly 89 (1982), S. 498. 1982 Yates, S. Repunits and Repetends. Star Publ. Co., Boynton Beach, FL 1982. 1983 Jaeschke, G. On the smallest k such that k · 2N + 1 are composite. Math. Comp. 40 (1983), 381–384; Corrigendum, 45 (1985), S. 637. 1983 Keller, W. Factors of Fermat numbers and large primes of the form k · 2n + 1. Math. Comp. 41 (1983), 661–673. 1983 Ribenboim, P. 1093. Math. Intelligencer 5, No. 2 (1983), 28– 34. 1985 Dubner, H. Generalized Fermat primes. J. Recr. Math. 18 (1985/86), 279–280.

328

Literatur

1985 Lagarias, J.C. The set of primes dividing the Lucas numbers has density 23 . Pacific J. Math. 118 (1985), 19–23. 1986 Tzanakis, N. Solution to problem E 2956. Amer. Math. Monthly 93 (1986), S. 569. 1986 Williams, H.C. & Dubner, H. The primality of R1031. Math. Comp. 47 (1986), 703–711. 1987 Granville, A. Diophantine Equations with Variable Exponents with Special Reference to Fermat’s Last Theorem. Dissertation, Queen’s University, Kingston, Ontario 1987, 207 Seiten. 1987 Rotkiewicz, A. Note on the diophantine equation 1 + x + x2 + · · · + xn = y m . Elem. Math. 42 (1987), S. 76. 1988 Brillhart, J., Montgomery, P.L. & Silverman, R.D. Tables of Fibonacci and Lucas factorizations, and Supplement. Math. Comp. 50 (1988), 251–260 und S1–S15. 1988 Gonter, R.H. & Kundert, E.G. Wilson’s theorem (n − 1)! ≡ −1 (mod p2 ) has been computed up to 10,000,000. Fourth SIAM Conference on Discrete Mathematics, San Francisco 1988. 1988 Granville, A. & Monagan, M.B. The ﬁrst case of Fermat’s last theorem is true for all prime exponents up to 714,591,416,091, 389. Trans. Amer. Math. Soc. 306 (1988), 329–359. 1989 Dubner, H. Generalized Cullen numbers. J. Recr. Math. 21 (1989), 190–194. 1989 L¨ oh, G. Long chains of nearly doubled primes. Math. Comp. 53 (1989), 751–759. 1989 Tanner, J.W. & Wagstaff Jr., S.S. New bound for the ﬁrst case of Fermat’s last theorem. Math. Comp. 53 (1989), 743–750. 1990 Brown, J., Noll, L.C., Parady, B.K., Smith, J.F., Smith, G.W. & Zarantonello, S. Letter to the editor. Amer. Math. Monthly 97 (1990), S. 214. 1990 Knuth, D.E. A Fibonacci-like sequence of composite numbers. Math. Mag. 63 (1990), 21–25. 1991 Aaltonen, M. & Inkeri, K. Catalan’s equation xp −y q = 1 and related congruences. Math. Comp. 56 (1991), 359–370. Nachdruck in Collected Papers of Kustaa Inkeri (Hrsg. T. Mets¨ankyl¨a und P. Ribenboim), Queen’s Papers in Pure and Appl. Math. 91. Queen’s Univ., Kingston, Ontario 1992. 1991 Fee, G. & Granville, A. The prime factors of Wendt’s binomial circulant determinant. Math. Comp. 57 (1991), 839–848. 1991 Keller, W. Woher kommen die gr¨ oßten derzeit bekannten Primzahlen? Mitt. Math. Ges. Hamburg 12 (1991), 211–229.

Kapitel 5

329

1992 Buhler, J.P., Crandall, R.E. & Sompolski, R.W. Irregular primes to one million. Math. Comp. 59 (1992), 717–722. 1993 Buhler, J.P., Crandall, R.E., Ernvall, R. & Mets¨ ankyl¨ a, T. Irregular primes and cyclotomic invariants to four million. Math. Comp. 61 (1993), 151–153. 1993 Dubner, H. Generalized repunit primes. Math. Comp. 61 (1993), 927–930. 1993 Montgomery, P.L. New solutions of ap−1 ≡ 1 (mod p2 ). Math. Comp. 61 (1993), 361–363. 1994 Crandall, R.E. & Fagin, B. Discrete weighted transforms and large-integer arithmetic. Math. Comp. 62 (1994), 305–324. 1994 Gonter, R.H. & Kundert, E.G. All prime numbers up to 18,876,041 have been tested without finding a new Wilson prime. Unver¨oﬀentlichtes Manuskript, Amherst, MA 1994, 10 Seiten. 1994 Suzuki, J. On the generalized Wieferich criteria. Proc. Japan Acad. Sci. A (Math. Sci.), 70 (1994), 230–234. 1995 Keller, W. New Cullen primes. Math. Comp. 64 (1995), 1733– 1741. 1995 Keller, W. & Niebuhr, W. Supplement to “New Cullen primes”. Math. Comp. 64 (1995), S39–S46. 1997 Crandall, R., Dilcher, K. & Pomerance, C. A search for Wieferich and Wilson primes. Math. Comp. 66 (1997), 433–449. 1997 Ernvall, R. & Mets¨ ankyl¨ a, T. On the p-divisibility of Fermat quotients. Math. Comp. 66 (1997), 1353–1365. 1999 Dubner, H. & Keller, W. New Fibonacci and Lucas primes. Math. Comp. 68 (1999), 417–427 and S1–S12. 1999 Forbes, T. Prime clusters and Cunningham chains. Math. Comp. 68 (1999), 1739–1747. 1999 Ribenboim, P. Fermat’s Last Theorem for Amateurs. Springer-Verlag, New York 1999. 2000 Pinch, R.G.E. The pseudoprimes up to 1013 . In Proc. Fourth Int. Symp. on Algorithmic Number Th. (Hrsg. W. Bosma). Lecture Notes in Computer Sci. # 1838, 459–474. Springer-Verlag, New York 2000. 2001 Buhler, J., Crandall, R., Ernvall, R., Mets¨ ankyl¨ a, T. & Shokrollahi, M.A. Irregular primes and cyclotomic invariants to 12 million. J. Symbolic Comp. 31 (2001), 89–96. 2002 Dubner, H. Repunit R49081 is a probable prime. Math. Comp. 71 (2002), 833–835.

330

Literatur

2002 Dubner, H. & Gallot, Y. Distribution of generalized Fermat prime numbers. Math. Comp. 71 (2002), 825–832. 2002 Izotov, A.S. Second-order linear recurrences of composite numbers. Fibonacci Quart. 40 (2002), 266–268. 2002 Sellers, J.A. & Williams, H.C. On the inﬁnitude of composite NSW numbers. Fibonacci Quart. 40 (2002), 253–254. 2004 Vsemirnov, M. A new Fibonacci-like sequence of composite numbers. J. Integer Seq. 7 (2004), Art. 04.3.7, 1–3 (elektronisch). 2005 Keller, W. & Richstein, J. Solutions of the congruence ap−1 ≡ 1 (mod pr ). Math. Comp. 74 (2005), 927–936. 2005 Knauer, J. & Richstein, J. The continuing search for Wieferich primes. Math. Comp. 74 (2005), 1559–1563. 2008 Dorais, F.G. & Klyve, D.W. Near Wieferich primes up to 6.7 × 1015 . Unver¨ oﬀentlichtes Manuskript. 2009 Mossinghoff, M.J. Wieferich pairs and Barker sequences. Designs Codes Cryptogr. 53 (2009), 149–163.

Kapitel 6 1857 Bunjakowski, W. Nouveaux th´eor`emes relatifs `a la distribution des nombres premiers et `a la d´ecomposition des entiers en facteurs. M´em. Acad. Sci. St. Petersbourg (6), Sci. Math. Phys., 6 (1857), 305–329. 1904 Dickson, L.E. A new extension of Dirichlet’s theorem on prime numbers. Messenger of Math. 33 (1904), 155–161. 1922 Nagell, T. Zur Arithmetik der Polynome. Abhandl. Math. Sem. Univ. Hamburg 1 (1922), 179–194. 1923 Hardy, G.H. & Littlewood, J.E. Some problems in “Partitio Numerorum”, III: On the expression of a number as a sum of primes. Acta Math. 44 (1923), 1–70. Nachdruck in Collected Papers of G.H. Hardy, Bd. I, 561–630. Clarendon Press, Oxford 1966. ¨ 1931 Heilbronn, H. Uber die Verteilung der Primzahlen in Polynomen. Math. Ann. 104 (1931), 794–799. 1932 Breusch, R. Zur Verallgemeinerung des Bertrandschen Postulates, dass zwischen x und 2x stets Primzahlen liegen. Math. Zeitschrift 34 (1932), 505–526. 1939 Beeger, N.G.W.H. Report on some calculations of prime numbers. Nieuw Arch. Wisk. 20 (1939), 48–50.

Kapitel 6

331

1958 Schinzel, A. & Sierpi´ nski, W. Sur certaines hypoth`eses concernant les nombres premiers. Remarque. Acta Arith. 4 (1958), 185– 208, und 5 (1959), S. 259. 1961 Schinzel, A. Remarks on the paper “Sur certaines hypoth`eses concernant les nombres premiers”. Acta Arith. 7 (1961), 1–8. 1964 Sierpi´ nski, W. Les binˆomes x2 + n et les nombres premiers. Bull. Soc. Roy. Sci. Li`ege 33 (1964), 259–260. 1969 Rieger, G.J. On polynomials and almost-primes. Bull. Amer. Math. Soc. 75 (1969), 100–103. 1971 Shanks, D. A low density of primes. J. Recr. Math. 4 (1971/ 72), 272–275. 1973 Wunderlich, M.C. On the Gaussian primes on the line Im(x) = 1. Math. Comp. 27 (1973), 399–400. 1974 Halberstam, H. & Richert, H.E. Sieve Methods. Academic Press, New York 1974. 1975 Shanks, D. Calculation and applications of Epstein zeta functions. Math. Comp. 29 (1975), 271–287. 1978 Iwaniec, H. Almost-primes represented by quadratic polynomials. Invent. Math. 47 (1978), 171–188. 1982 Powell, B. Problem 6384 (Numbers of the form mp − n). Amer. Math. Monthly 89 (1982), S. 278. 1983 Israel, R.B. Solution of problem 6384. Amer. Math. Monthly 90 (1983), S. 650. 1984 Gupta, R. & Ram Murty, P.M. A remark on Artin’s conjecture. Invent. Math. 78 (1984), 127–130. 1984 McCurley, K.S. Prime values of polynomials and irreducibility testing. Bull. Amer. Math. Soc. 11 (1984), 155–158. 1986 Heath-Brown, D.R. Artin’s conjecture for primitive roots. Quart. J. Math. Oxford (2) 37 (1986), 27–38. 1986 McCurley, K.S. The smallest prime value of xn + a. Can. J. Math. 38 (1986), 925–936. 1986 McCurley, K.S. Polynomials with no small prime values. Proc. Amer. Math. Soc. 97 (1986), 393–395. 1990 Fung, G.W. & Williams, H.C. Quadratic polynomials which have a high density of prime values. Math. Comp. 55 (1990), 345– 353. 1994 Alford, W.R., Granville, A. & Pomerance, C. There are inﬁnitely many Carmichael numbers. Annals of Math. (2) 140 (1994), 703–722.

332

Literatur

1995 Jacobson Jr., M.J. Computational Techniques in Quadratic Fields. Magisterarbeit, University of Manitoba, Winnipeg, Manitoba 1995. 1998 Friedlander, J.B. & Iwaniec, H. The polynomial x2 + y 4 captures its primes. Annals of Math. (2) 148 (1998), 945–1040. 2001 Dubner, H. & Forbes, T. Prime Pythagorean triangles. J. Integer Seq. 4 (2001), Art. 01.2.3, 1–11 (elektronisch). 2001 Heath-Brown, D.R. Primes represented by x3 + 2y 3 . Acta Math. 186 (2001), 1–84. 2003 Jacobson Jr., M.J. & Williams, H.C. New quadratic polynomials with high densities of prime values. Math. Comp. 72 (2003), 499–519.

Anhang 1981 Bateman, P.T. Major ﬁgures in the history of the prime number theorem. Abstracts Amer. Math. Soc. 2 (1981), 87th Annual Meeting, San Francisco, S. 2.

Webseiten

Allgemeines Caldwell, C. The Prime Pages. Primzahlforschung, Rekorde und Hilfsmittel. http://www.utm.edu/research/primes Weisstein, E.W. The World of Mathematics. Zahlentheorie. http://mathworld.wolfram.com/NumberTheory.html Lifchitz, H. & R. Die gr¨ oßten bekannten Quasiprimzahlen. http://www.primenumbers.net/prptop/prptop.php

Kapitel 1 Sloane, N.J.A. Online-Enzyklop¨ adie der ganzzahligen Folgen: Die Mullin-Folge. http://www.research.att.com/~njas/sequences/A000945

Kapitel 2 Keller, W. Primfaktoren k · 2n + 1 von Fermat-Zahlen Fm und vollst¨andiger Faktorisierungsstatus. http://www.prothsearch.net/fermat.html Caldwell, C. Die gr¨ oßten bekannten Mersenne-Primzahlen. http://primes.utm.edu/largest.html#Mersenne Woltman, G. Status der Great Internet Mersenne Prime Search. http://www.mersenne.org/report milestones/ Caldwell, C. Status der Mersenne-Vermutung von Bateman, Selfridge und Wagstaﬀ. http://primes.utm.edu/mersenne /NewMersenneConjecture.html

334

Webseiten

Wagstaff Jr., S.S. Das Cunningham-Projekt. http://homes.cerias.purdue.edu/~ssw/cun/ Martin, M. Gr¨ oßte mit dem ECPP-Verfahren veriﬁzierte Primzahlen. http://www.ellipsa.net/primo/top20.html Kelly, B. Faktorisierung von Fibonacci- und Lucas-Zahlen. http://mersennus.net/fibonacci/index.html Contini, S. Rekord-Faktorisierungen. http://www.crypto-world.com/FactorAnnouncements.html

Kapitel 4 Gourdon, X. & Sebah, P. Anzahl von Primzahlen. http://numbers.computation.free.fr/Constants/Primes /countingPrimes.html Oliveira e Silva, T. Anzahl von Primzahlen und Primzahlzwillingspaaren. http://www.ieeta.pt/~tos/primes.html Wedeniwski, S. Veriﬁkation der Riemannschen Vermutung. http://www.zetagrid.net/zeta/math /zeta.result.100billion.zeros.html Nicely, T.R. Erstmalig auftretende Primzahll¨ ucken. http://www.trnicely.net/gaps/gaplist.html Andersen, J.K. Bemerkenswerteste Primzahll¨ ucken. http://users.cybercity.dk/~dsl522332/math /primegaps/gaps20.htm Caldwell, C. Die gr¨ oßten bekannten Primzahlzwillinge. http://primes.utm.edu/largest.html#twin Nicely, T.R. Anzahl von Primzahldrillingen und Primzahlvierlingen. http://www.trnicely.net/counts.html Forbes, T. Primzahlmehrlinge. http://anthony.d.forbes.googlepages.com/ktuplets.htm Andersen, J.K. Primzahlreihen in arithmetischer Folge. http://users.cybercity.dk/~dsl522332/math/aprecords.htm Oliveira e Silva, T. Veriﬁkation der Goldbachschen Vermutung. http://www.ieeta.pt/~tos/goldbach.html Feitsma, J. Anzahl von Pseudoprimzahlen. http://www.janfeitsma.nl/math/psp2/statistics Pinch, R.G.E. Anzahl von Carmichael-Zahlen. http://www.chalcedon.demon.co.uk/rgep/carpsp.html

Webseiten

335

Kapitel 5 Slatkeviˇ cius, R. & Blazek, J. PrimeGrid. Umfassendes Projekt zur Primzahlsuche in verschiedenen Teilbereichen. http://www.primegrid.com/ Caldwell, C. Die gr¨ oßten bekannten Sophie-Germain-Primzahlen. http://primes.utm.edu/largest.html#Sophie Andersen, J.K. Cunningham-Ketten. http://users.cybercity.dk/~dsl522332/math /Cunningham Chain records.htm Keller, W. & Richstein, J. Fermat-Quotienten qp (a), die durch p teilbar sind. http://www1.uni-hamburg.de/RRZ/W.Keller /FermatQuotient.html Koide, Y. Faktorisierung von Repunit-Zahlen. http://www.h4.dion.ne.jp/~rep/ Di Maria, G. Suche nach Repunit-Quasiprimzahlen. http://www.gruppoeratostene.com/ric-repunit /repunit.htm Keller, W. Status des Sierpi´ nski-Problems. http://www.prothsearch.net/sierp.html Keller, W. Status des Riesel-Problems. http://www.prothsearch.net/rieselprob.html Caldwell, C. Die gr¨ oßten bekannten Nicht-Mersenne-Primzahlen. http://primes.utm.edu/primes/lists/short.pdf Leyland, P. Faktorisierung von Cullen- und Woodall-Zahlen. http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization /cullen woodall/cw.htm L¨ oh, G. Verallgemeinerte Cullen-Primzahlen. http://www1.uni-hamburg.de/RRZ/G.Loeh/gc/status.html

Primzahlen bis 10 000

2 31 73 127 179 233 283 353 419 467 547 607 661 739 811 877 947 1019 1087 1153 1229

3 37 79 131 181 239 293 359 421 479 557 613 673 743 821 881 953 1021 1091 1163 1231

5 41 83 137 191 241 307 367 431 487 563 617 677 751 823 883 967 1031 1093 1171 1237

7 43 89 139 193 251 311 373 433 491 569 619 683 757 827 887 971 1033 1097 1181 1249

11 47 97 149 197 257 313 379 439 499 571 631 691 761 829 907 977 1039 1103 1187 1259

13 53 101 151 199 263 317 383 443 503 577 641 701 769 839 911 983 1049 1109 1193 1277

17 59 103 157 211 269 331 389 449 509 587 643 709 773 853 919 991 1051 1117 1201 1279

19 61 107 163 223 271 337 397 457 521 593 647 719 787 857 929 997 1061 1123 1213 1283

23 67 109 167 227 277 347 401 461 523 599 653 727 797 859 937 1009 1063 1129 1217 1289

29 71 113 173 229 281 349 409 463 541 601 659 733 809 863 941 1013 1069 1151 1223 1291

338

1297 1381 1453 1523 1597 1663 1741 1823 1901 1993 2063 2131 2221 2293 2371 2437 2539 2621 2689 2749 2833 2909 3001 3083 3187 3259 3343 3433 3517 3581 3659 3733 3823 3911 4001 4073 4153 4241 4327

Primzahlen bis 10 000

1301 1399 1459 1531 1601 1667 1747 1831 1907 1997 2069 2137 2237 2297 2377 2441 2543 2633 2693 2753 2837 2917 3011 3089 3191 3271 3347 3449 3527 3583 3671 3739 3833 3917 4003 4079 4157 4243 4337

1303 1409 1471 1543 1607 1669 1753 1847 1913 1999 2081 2141 2239 2309 2381 2447 2549 2647 2699 2767 2843 2927 3019 3109 3203 3299 3359 3457 3529 3593 3673 3761 3847 3919 4007 4091 4159 4253 4339

1307 1423 1481 1549 1609 1693 1759 1861 1931 2003 2083 2143 2243 2311 2383 2459 2551 2657 2707 2777 2851 2939 3023 3119 3209 3301 3361 3461 3533 3607 3677 3767 3851 3923 4013 4093 4177 4259 4349

1319 1427 1483 1553 1613 1697 1777 1867 1933 2011 2087 2153 2251 2333 2389 2467 2557 2659 2711 2789 2857 2953 3037 3121 3217 3307 3371 3463 3539 3613 3691 3769 3853 3929 4019 4099 4201 4261 4357

1321 1429 1487 1559 1619 1699 1783 1871 1949 2017 2089 2161 2267 2339 2393 2473 2579 2663 2713 2791 2861 2957 3041 3137 3221 3313 3373 3467 3541 3617 3697 3779 3863 3931 4021 4111 4211 4271 4363

1327 1433 1489 1567 1621 1709 1787 1873 1951 2027 2099 2179 2269 2341 2399 2477 2591 2671 2719 2797 2879 2963 3049 3163 3229 3319 3389 3469 3547 3623 3701 3793 3877 3943 4027 4127 4217 4273 4373

1361 1439 1493 1571 1627 1721 1789 1877 1973 2029 2111 2203 2273 2347 2411 2503 2593 2677 2729 2801 2887 2969 3061 3167 3251 3323 3391 3491 3557 3631 3709 3797 3881 3947 4049 4129 4219 4283 4391

1367 1447 1499 1579 1637 1723 1801 1879 1979 2039 2113 2207 2281 2351 2417 2521 2609 2683 2731 2803 2897 2971 3067 3169 3253 3329 3407 3499 3559 3637 3719 3803 3889 3967 4051 4133 4229 4289 4397

1373 1451 1511 1583 1657 1733 1811 1889 1987 2053 2129 2213 2287 2357 2423 2531 2617 2687 2741 2819 2903 2999 3079 3181 3257 3331 3413 3511 3571 3643 3727 3821 3907 3989 4057 4139 4231 4297 4409

Primzahlen bis 10 000

4421 4507 4591 4663 4759 4861 4943 5009 5099 5189 5281 5393 5449 5527 5641 5701 5801 5861 5953 6067 6143 6229 6311 6373 6481 6577 6679 6763 6841 6947 7001 7109 7211 7307 7417 7507 7573 7649 7727

4423 4513 4597 4673 4783 4871 4951 5011 5101 5197 5297 5399 5471 5531 5647 5711 5807 5867 5981 6073 6151 6247 6317 6379 6491 6581 6689 6779 6857 6949 7013 7121 7213 7309 7433 7517 7577 7669 7741

4441 4517 4603 4679 4787 4877 4957 5021 5107 5209 5303 5407 5477 5557 5651 5717 5813 5869 5987 6079 6163 6257 6323 6389 6521 6599 6691 6781 6863 6959 7019 7127 7219 7321 7451 7523 7583 7673 7753

4447 4519 4621 4691 4789 4889 4967 5023 5113 5227 5309 5413 5479 5563 5653 5737 5821 5879 6007 6089 6173 6263 6329 6397 6529 6607 6701 6791 6869 6961 7027 7129 7229 7331 7457 7529 7589 7681 7757

4451 4523 4637 4703 4793 4903 4969 5039 5119 5231 5323 5417 5483 5569 5657 5741 5827 5881 6011 6091 6197 6269 6337 6421 6547 6619 6703 6793 6871 6967 7039 7151 7237 7333 7459 7537 7591 7687 7759

4457 4547 4639 4721 4799 4909 4973 5051 5147 5233 5333 5419 5501 5573 5659 5743 5839 5897 6029 6101 6199 6271 6343 6427 6551 6637 6709 6803 6883 6971 7043 7159 7243 7349 7477 7541 7603 7691 7789

4463 4549 4643 4723 4801 4919 4987 5059 5153 5237 5347 5431 5503 5581 5669 5749 5843 5903 6037 6113 6203 6277 6353 6449 6553 6653 6719 6823 6899 6977 7057 7177 7247 7351 7481 7547 7607 7699 7793

4481 4561 4649 4729 4813 4931 4993 5077 5167 5261 5351 5437 5507 5591 5683 5779 5849 5923 6043 6121 6211 6287 6359 6451 6563 6659 6733 6827 6907 6983 7069 7187 7253 7369 7487 7549 7621 7703 7817

4483 4567 4651 4733 4817 4933 4999 5081 5171 5273 5381 5441 5519 5623 5689 5783 5851 5927 6047 6131 6217 6299 6361 6469 6569 6661 6737 6829 6911 6991 7079 7193 7283 7393 7489 7559 7639 7717 7823

339

4493 4583 4657 4751 4831 4937 5003 5087 5179 5279 5387 5443 5521 5639 5693 5791 5857 5939 6053 6133 6221 6301 6367 6473 6571 6673 6761 6833 6917 6997 7103 7207 7297 7411 7499 7561 7643 7723 7829

340

7841 7927 8039 8117 8221 8293 8389 8513 8599 8681 8747 8837 8933 9013 9127 9203 9293 9391 9461 9539 9643 9739 9817 9901

Primzahlen bis 10 000

7853 7933 8053 8123 8231 8297 8419 8521 8609 8689 8753 8839 8941 9029 9133 9209 9311 9397 9463 9547 9649 9743 9829 9907

7867 7937 8059 8147 8233 8311 8423 8527 8623 8693 8761 8849 8951 9041 9137 9221 9319 9403 9467 9551 9661 9749 9833 9923

7873 7949 8069 8161 8237 8317 8429 8537 8627 8699 8779 8861 8963 9043 9151 9227 9323 9413 9473 9587 9677 9767 9839 9929

7877 7951 8081 8167 8243 8329 8431 8539 8629 8707 8783 8863 8969 9049 9157 9239 9337 9419 9479 9601 9679 9769 9851 9931

7879 7963 8087 8171 8263 8353 8443 8543 8641 8713 8803 8867 8971 9059 9161 9241 9341 9421 9491 9613 9689 9781 9857 9941

7883 7993 8089 8179 8269 8363 8447 8563 8647 8719 8807 8887 8999 9067 9173 9257 9343 9431 9497 9619 9697 9787 9859 9949

7901 8009 8093 8191 8273 8369 8461 8573 8663 8731 8819 8893 9001 9091 9181 9277 9349 9433 9511 9623 9719 9791 9871 9967

7907 8011 8101 8209 8287 8377 8467 8581 8669 8737 8821 8923 9007 9103 9187 9281 9371 9437 9521 9629 9721 9803 9883 9973

7919 8017 8111 8219 8291 8387 8501 8597 8677 8741 8831 8929 9011 9109 9199 9283 9377 9439 9533 9631 9733 9811 9887

Verzeichnis der Tabellen

1. Die kleinste Primitivwurzel modulo p . . . . . . . . . . . . 21 2. Fibonacci- und Lucas-Zahlen 3. Zahlen 2 − 1 und 2 + 1 n

n

. . . . . . . . . . . . . . . . 60

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4. Pell-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5. Zahlen U (4, 3) und V (4, 3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 6. Vollst¨andig faktorisierte Fermat-Zahlen . . . . . . . . . . . 73 7. Unvollst¨andig faktorisierte Fermat-Zahlen

. . . . . . . . . 74

8. Zerlegbare Fermat-Zahlen ohne bekannten Faktor . . . . . 74 9. Mersenne-Primzahlen Mq

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

10. Kleinste Pseudoprimzahlen zu verschiedenen Basen

. . . . 96

11. Zahlen kleiner als 25 × 109 , die spsp zu den Basen 2, 3, 5 sind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 12. Polynome, die Primzahlen darstellen

. . . . . . . . . . . . 161

13. Polynome, die verschiedene Mengen von Zahlen erzeugen . 162 14. Werte von π(x) und ein Vergleich mit x/ log x, Li(x) und R(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 15. Nichttriviale Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion

. 185

16. Anzahl der Primzahlzwillinge . . . . . . . . . . . . . . . . 203

342

Verzeichnis der Tabellen

17. Die gr¨oßten bekannten Primzahlzwillingspaare . . . . . . . 204 18. P π(x), EP π(x), SP π(x) und CN (x) . . . . . . . . . . . . 229 19. Anzahl der Primfaktoren von Carmichael-Zahlen

. . . . . 230

20. Sophie-Germain-Primzahlen bis x . . . . . . . . . . . . . . 239 21. Die gr¨oßten bekannten Sophie-Germain-Primzahlen . . . . 239 22. Fermat-Quotienten, die durch p teilbar sind 23. Primzahlen der Form (an − 1)/(a − 1)

. . . . . . . . 244

. . . . . . . . . . . 247

24. Die gr¨oßten bekannten Nicht-Mersenne-Primzahlen

. . . . 251

25. Cullen-Primzahlen Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 26. Die gr¨oßten bekannten Woodall-Primzahlen W n . . . . . . 255 27. Polynome mit vielen initialen zerlegbaren Werten . . . . . 276 28. Polynome X d + k mit vielen initialen zerlegbaren Werten . 277 29. Primzahlen der Form m2 + 1

. . . . . . . . . . . . . . . . 279

Verzeichnis der Rekorde

• Gr¨oßte Primzahlen der Form p# + 1

. . . . . . . . . . . . . 5

• Zerlegbare Zahl n, f¨ ur die n − 1 von φ(n) geteilt wird . . . 31 • Gr¨oßte prime oder zerlegbare Fermat-Zahl . . . . . . . . . 75 • Gr¨oßte Mersenne-Primzahl

. . . . . . . . . . . . . . . . . 82

• Gr¨oßte zerlegbare Mersenne-Zahl . . . . . . . . . . . . . . 83 • Gr¨oßte Carmichael-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 • Gr¨oßte durch einen universellen Primzahltest nachgewiesene Primzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 • Gr¨oßte palindromische Primzahl • Sonderbare Primzahlen

. . . . . . . . . . . . . . 124

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

• Gr¨oßte mit dem allgemeinen oder speziellen Zahlk¨orpersieb nachgewiesene Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 • Kleinster Anfangswert f¨ ur l¨ angste Reihen von Primzahlwerten linearer Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 • L¨angste Reihe von Primzahlwerten von Polynomen vom Typ X 2 + X + q bei aufeinander folgenden Argumenten

. 152

• L¨angste Reihe von Primzahlwerten quadratischer Polynome bei aufeinander folgenden Argumenten . . . . . . . . . . . 154 • Maximale Anzahl von Primzahlwerten quadratischer Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

344

Verzeichnis der Rekorde

• Maximum des kleinsten Primfaktors von X 2 + X + A . . . 157 • Gr¨oßte genaue Werte von π(x)

. . . . . . . . . . . . . . . 181

• Vorzeichenwechsel der Diﬀerenz Li(x) < π(x)

. . . . . . . 183

• Nichttriviale Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion

. 185

• Gr¨oßte L¨ ucke zwischen aufeinander folgenden Primzahlen . 195 • Gr¨oßter Wert von p[m] f¨ ur p < 1,6 × 1018

. . . . . . . . . 196

• Wachstumsrate der Diﬀerenz aufeinander folgender Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 • Gr¨oßter genauer Wert der Anzahl von Primzahlzwillingen

204

• Gr¨oßte bekannte Primzahlzwillinge . . . . . . . . . . . . . 204 • Erste H¨aufung von Primzahlzwillingen . . . . . . . . . . . 205 • Gr¨oßte genaue Werte von π2,6 (x), π4,6 (x) und π2,6,8 (x) • Gr¨oßte bekannte Primzahlmehrlinge • Linniks Konstante

. . 207

. . . . . . . . . . . . 207

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

• L¨angste Reihe von Primzahlen in arithmetischer Folge

. . 218

• L¨angste Reihe aufeinander folgender Primzahlen in arithmetischer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 • Schnirelmanns Konstante

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

• Veriﬁkation der Goldbachschen Vermutung . . . . . . . . . 225 • Regul¨are und irregul¨ are Primzahlen . . . . . . . . . . . . . 236 • Gr¨oßte Sophie-Germain-Primzahlen . . . . . . . . . . . . . 239 • L¨angste Cunningham-Kette . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 • Wieferich-Primzahlen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

• Gr¨oßte Anzahl von Basen, die ap−1 ≡ 1 (mod p2 ) erf¨ ullen . 243 • Wilson-Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 • Repunit-Primzahlen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

• Kleinste Sierpi´ nski-Zahl

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

• Gr¨oßte Primzahl der Form k × 2n + 1

. . . . . . . . . . . 250

• Gr¨oßte Nicht-Mersenne-Primzahlen . . . . . . . . . . . . . 251 • Gr¨oßte Primzahl der Form N 2 + 1 oder k × bn + 1 (b ungerade) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 • Konstante C(A) der relativen Dichte der Primzahlen von X 2 + X + A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

Namensverzeichnis

Aaltonen, M., 245, 328 Abel, N.H., 168, 176, 242 Adams, W.W., 290 Adleman, L.M., 132, 135, 136, 275, 300, 302 Agafonov, K., 251 Agrawal, M., 121, 122, 307 Aigner, M., 301 Albert, A.A., 293 Alford, W.R., 103, 104, 228, 267, 305, 323, 331 Alm, T., 195 Andersen, J.K., 125, 195, 334, 335 Andersen, L.M., 255 Anderson, A.E., 5 Andrica, D., 198, 199, 321 Aoki, K., 131 Apostol, T.M., 178, 191, 318 Archibald, R.C., 128, 293 Armengaud, J., 82 Artin, E., 35, 267, 295

Atkin, A.O.L., 104, 117, 130, 304, 327 Augustin, D., 204 Auric, A., 10, 11 Ayoub, R.G., 151, 169, 178, 290, 310, 315, 317 Bach, E., 290 Backhouse, N.B., 205 Backlund, R., 185 Bailey, D.H., 120, 307 Baillie, R., 96, 107–109, 120, 129, 230, 300 Baker, A., 36, 58, 86, 150, 300, 309 Baker, R.C., 197, 324 Ballinger, R., 248, 255 Bang, A.S., 35, 58, 292 Bateman, P.T., 84, 248, 283, 304, 332, 333 Baxter, L., 246, 249 Bays, C., 183, 215, 318, 324

346

Namensverzeichnis

Bedocchi, E., 23, 303 Beeger, N.G.W.H., 93, 103, 240, 281, 294, 295, 330 Bellman, R., 8, 291 Bergum, G.E., 303 Bernoulli, J., 145, 167, 168, 171, 235–237 Bernstein, D., 130 Bertrand, J., 140, 170, 188, 197, 274 Beurling, A., 284 Bicknell-Johnson, M., 301 Biermann, K.-R., 72, 73, 297 Binet, J.P.M., 45 Birch, B.J., 327 Birkhoﬀ, G.D., 35, 293 Blazek, J., 251, 335 Bombieri, E., 198, 202, 316, 321 Bond, R., 247 Boone, S.R., 82 Borning, A., 5, 291 Borodzkin, K.G., 221, 315 Borwein, D., 23, 305 Borwein, J.M., 23, 305 Borwein, P.B., 23, 305 Bosma, W., 324, 329 Boston, N., 156, 311 Bourdelais, P., 246, 248 Brady, A., 251 Brancker, T., 179 Brauer, A., 180, 215, 314, 318 Brent, R.P., 73, 74, 86, 129, 185, 195, 196, 201, 203, 248, 301, 304, 306, 317–319 Bressoud, D.M., 127, 136, 304 Breusch, R., 274, 330 Brillhart, J., 41, 42, 44, 70, 73, 83, 127, 129, 244, 258, 297, 298, 302, 304, 327, 328

Broadhurst, D., 119, 125, 248, 253, 259, 261 Brocard, H., 4, 190 Brown, J., 123, 252, 328 Brown, R., 241 Brun, V., 201, 205, 207, 222, 238, 312 Buell, D.A., 74, 304 Buhler, J.P., 5, 236, 291, 324, 329 Bunjakowski, W., 264, 267, 269, 270, 275, 330 Burckhardt, J.C., 179 Burgess, D.A., 20, 297 Buxton, M., 86, 299 Caldwell, C., 5, 119, 124, 144, 291, 292, 306, 311, 333–335 Cameron, M., 82 Cami, P., 195 Cantor, M., 219 Cardall, C., 250 Carlisle, P., 246 Carmichael, R.D., 22, 29, 32, 33, 35, 45, 53, 58, 102–105, 110, 111, 164, 226, 228–230, 267, 270, 271, 293 Carmody, P., 125, 144, 146, 157, 205, 240 Carvalho, J.B., 305 Catalan, E., 84 Cataldi, P.A., 78, 81 Cavallar, S., 130 Chaglassian, R., 125 Chandrasekharan, K., 326 Chaum, D., 303 Chein, E.Z., 86, 300 Chen, J.R., 205, 216, 221, 222, 224, 316, 317, 319–321, 323 Cheng, Y., 144, 311 Chermoni, R., 219

Namensverzeichnis

Chernac, L., 179 Chernick, J., 103, 111, 294 Childers, G., 125 Chowla, S., 151, 217, 310, 314 Cipolla, M., 92–95, 293 Clark, D., 245 Clarkson, R., 82 Clausen, T., 72, 73, 128 Clement, P.A., 200, 314 Cohen, G.L., 31, 86–88, 300, 303, 304, 306, 308 Cohen, H., 117, 302–304 Cohn, H., 151, 308 Cole, F.N., 113, 128 Colquitt, W.N., 81 Connes, A., 186, 323 Conrey, J.B., 184, 322 Contini, S., 334 Cook, R.J., 86, 306 Cooper, C., 82 Cosgrave, J.B., 75 Coutinho, S.C., 136, 306 Couvreur, C., 136, 301 Cox, C.D., 5, 291 Cram´er, H., 197, 263, 313 Crandall, R.E., 5, 24, 74, 80, 131, 236, 241, 246, 252, 290, 291, 305–307, 329 Crelle, A.L., 179 Crocker, R., 94, 297 Crossley, J.N., 304 Crump, J.K., 241 Csajbok, T., 204, 239 Cullen, J., xv, 253–255, 335 Cunningham, A.J.C., 73, 127, 240, 293 Daboussi, H., 178, 320 Dase, Z., 179 Davenport, H., 198, 202, 289, 316

347

Davies, R.O., 194, 320 Davis, K., 207 Davis, M., 158, 160, 309 de Fermat, P., siehe Fermat, P. de la Vall´ee Poussin, C.-J., 174, 175, 187, 214, 283 de Polignac, A., 193–195, 205, 225, 265, 311 de Water, B., 258, 259 Dedekind, R., 234 Del´eglise, M., 181, 323, 324 Demichel, P., 181, 185, 203 D´enes, P., 238, 326 Deshouillers, J.-M., 221, 223, 225, 322–324 Deuring, M., 150, 309 DeVries, D., 205 Di Maria, G., 335 Diamond, H.G., 177, 317, 320 Dickson, L.E., 10, 81, 84, 90, 128, 204, 210, 219, 225, 264, 265, 270, 293, 330 Diﬃe, W., 132, 299 Dilcher, K., 74, 241, 246, 306, 329 Dirichlet, G.L., 186, 213, 214, 248, 249, 264, 266 Dixon, J.D., 128, 302 Dodson, B., 131 Doenias, J., 305 Dorais, F.G., 241, 330 Dress, F., 154, 155, 311 Du Shiran, 91, 304 Dubner, H., 4, 5, 104, 119, 124, 126, 195, 220, 246, 248, 252, 255, 258, 259, 261, 272, 273, 279, 291, 304–306, 323, 325, 327–330, 332 Dudley, U., 144, 309 Duparc, H.J.A., 103, 295

348

Namensverzeichnis

Dusart, P., 182, 188, 190, 192, 324, 325 Edwards, A.W.F., 7, 291 Edwards, H.M., 174, 185, 317 Eﬃnger, G., 221, 323 Eisenstein, F.G., 75, 242, 292 Elliott, P.D.T.A, 206 Ellison, W.J., 290 Elmore, S., 87, 299 Elvenich, H.M., 82 Encke, J.F., 183 Eratosthenes, 16, 169, 179 Erd¨os, P., 31, 33, 36, 37, 93, 95, 176, 177, 182, 188, 189, 198, 210, 225–228, 231, 248, 285, 294, 296, 297, 299, 313–315, 321, 327 Ernvall, R., 24, 140, 236, 243, 310, 329 Ernvall-Hyt¨onen, A.-M., 307, 325 Estermann, T., 224, 313 Euklid, 4, 5, 85, 213 Euler, L., 7–9, 11, 17, 28, 30, 31, 34, 37–39, 47, 52, 53, 71–73, 77, 78, 81, 85, 87, 88, 97–99, 105, 109, 110, 119, 128, 145, 149, 152, 156, 165–169, 171, 172, 176, 178, 190, 198, 217, 220, 226, 228, 237, 270, 280 Fagin, B., 252, 329 Farkas, G., 204, 239 Fauquembergue, E., 81 Fee, G., 238, 328 Feinstein, A., 316 Feitsma, J., 229, 334 Felkel, A., 179 Fermat, P., 7, 17, 28, 29, 34, 37, 39, 40, 42, 45–47, 51, 52, 71, 73–78, 83, 90, 92–94,

99, 127–129, 149, 161, 162, 214, 216, 233, 235, 237, 238, 240–242, 244, 248, 252, 253, 335 Fibonacci, 45, 46, 55, 57, 58, 60, 106–110, 129, 162, 258, 259, 334 Findley, J., 82 Finn, M.V., 224, 321 Firoozbakht, F., 192 Fischer, R., 245 Flath, D.E., 147, 310 Forbes, T., 207, 220, 240, 273, 323–325, 329, 332, 334 Ford, K., 32, 33, 211, 306, 323 Forrest, J., 319 Fougeron, J., 253 Fouvry, E., 121, 303 Fox, D., 259 Franke, J., 118, 131 Frasnay, C., 26, 304 Frey, G., 237 Fridlender, V.R., 19, 294 Friedlander, J.B., 202, 269, 270, 321, 332 Frind, M., 219 Frobenius, F.G., 151, 152, 241, 308 Frohliger, J.A., 224, 321 Fry, J., 219 Fung, G.W., 154, 280, 331 Funk, H., 290 Furstenberg, H., 13, 291 Gage, P., 81 Gagola Jr., G.M., 303 Gallot, Y., 5, 75, 126, 204, 239, 249, 252–255, 292, 330 Galway, W.F., 228 Gandhi, J.M., 140, 143, 309 Garcia, M., 88, 295

Namensverzeichnis

Gautschi, W., 305 Gauß, C.F., 15, 18, 19, 37–39, 72, 75, 144, 147–151, 169, 170, 179, 183, 292 Gelfond, A.O., 150, 222, 316 Germain, S., 77, 83, 233, 237– 240, 266, 268, 335, 342 Gesker, D.R., 251, 254 Gilbreath, N.L., 200 Gilchrist, J., 229 Gillies, D.B., 81, 297 Gilvey, S., 251 Girgensohn, R., 23, 305 Giuga, G., 22, 294 Glaus, B., 290 Goetgheluck, P., 156, 310 Goldbach, C., 6, 7, 145, 164, 205, 220–225, 277, 334 Goldberg, K., 245, 326 Goldfeld, D.M., 151, 310 Goldstein, L.J., 290 Goldston, D.A., 198, 205, 325 Golomb, S.W., 13, 141, 202, 211, 291, 309, 315, 322 G´omez Pardo, J.L., 119 Gonter, R.H., 246, 328, 329 Gordon, D., 251 Goss, R.N., 309 Gostin, G.B., 305 Goto, T., 87, 88, 307, 308 Gourdon, X., 181, 185, 325, 334 Graham, R.L., 260, 326 Graham, S., 216, 319 Gram, J.-P., 174, 184, 185, 312 Granlund, T., 246 Grantham, J., 104 Granville, A., 103, 104, 212, 217, 223, 225, 228, 238, 241, 243, 267, 305, 322, 323, 328, 331 Green, B., 218, 325

349

Greenwood, M.L., 156, 311 Gribenko, D., 204 Gross, B.H., 151, 310 Grosswald, E., 20, 175, 297, 298, 301, 316 Gr¨ un, O., 87, 295 Grytczuk, A., 87, 306 Gunderson, N.G., 241, 326 Gupta, H., 31, 295 Gupta, R., 267, 306, 331 Gupta, S.S., 156 Guy, L., 310 Guy, R.K., 6, 89, 128, 290, 291, 299 Hadamard, J., 174, 175, 178, 283 Hagis Jr., P., 31, 86, 87, 298– 302, 304, 306 Hajratwala, N., 82 Halberstam, H., 202, 206, 222, 268, 290, 317, 331 Hammond, N., 319 Han Qi, 91 Hardy, G.H., 23, 78, 137, 156, 189–191, 202, 209–211, 221, 223, 264, 270, 277, 281, 284, 289, 312, 330 Harman, G., 197, 324 Haselgrove, C.B., 185 Hasse, H., 214, 257, 314, 326 Heath-Brown, D.R., 86, 197, 216– 218, 221, 224, 267, 281, 305, 318–320, 322, 331, 332 Heegner, K., 150, 308 Heilbronn, H., 150, 268, 308, 330 Hellman, M.E., 132, 299 Helm, L., 250, 251 Hendy, M.D., 152, 309 Hensley, D., 208–210, 317 Hermite, C., 4 Herzog, S., 196, 199

350

Namensverzeichnis

Heuer, D., 5, 126 Hilbert, D., 158, 186 Hoggatt, V.E., 301 Hoheisel, G., 197, 312 Honsberger, R., 90 Hoogendoorn, P.J., 301 Hooley, C., 253, 327 Horadam, A.F., 303 Hornfeck, B., 89, 296 Hua Heng-Fang, 91 Hua, L.K., 290 Hudson, R.H., 183, 215, 318, 324 Huenemann, J., 104, 302 Hurwitz, A., 7, 8, 290 Hurwitz, A., 81 Hutchinson, J.I., 185 Huxley, M.N., 197, 198, 317, 318 Iannucci, D.E., 87, 306 Ich, siehe Ribenboim, P. Indlekofer, K.-H., 323, 324 Ingham, A.E., 197, 274, 313 Inkeri, K., 70, 245, 247, 296, 328 Irvine, S.A., 259 Ishikawa, H., 189, 192, 313 Israel, R.B., 266, 331 Ivi´c, A., 174, 320 Iwaniec, H., 197, 202, 269, 270, 279, 319–321, 331, 332 Izotov, A.S., 260, 330 Jacobi, C.G., 38, 39, 59, 72, 78, 97, 111, 117, 242 Jacobson Jr., M.J., 158, 280, 311, 332 Jaeschke, G., 100, 116, 229, 304, 322, 327 J´arai, A., 239, 323, 324 J´arai, Z., 204, 239 Jarden, D., 55, 57, 129, 258, 296, 326

Jeans, J.H., 90 Jenkins, P.M., 87, 307 Jensen, K.L., 236 Jobling, P., 75, 204, 219, 240, 253 Johnson, W., 236, 327 Jones, J.P., 23, 160, 161, 310 Jungnickel, D., 301 Jutila, M., 197, 216, 308, 318, 319, 325 Kadiri, H., 187, 325 Kaiser, P., 204 Kanada, Y., 119, 120 Kanold, H.-J., 35, 86, 88, 89, 216, 275, 295, 296, 316 Kaplansky, I., 78, 294 Karhum¨aki, J., 308, 325 Karst, E., 156, 309 Kasza, J., 204, 239 Kayal, N., 121, 307 Kearnes, K., 20, 302 Keller, W., 74, 84, 243, 245, 246, 249, 250, 253–255, 258, 259, 261, 279, 327–330, 333, 335 Kelly, B., 334 Kerchner, C.F., 239 Kern, C., 196 Khinchin, A.Ya., 223, 314 Kida, Y., 131 Killgrove, R.B., 200, 315 Kishore, M., 86, 87, 299, 302 Kiss, P., 55, 98, 110, 231, 300, 303, 321 Klahn, K., 204 Klee, V.L., 32, 33, 294 Kleinjung, T., 118, 131 Kloss, K.E., 244, 246, 326 Klyve, D.W., 241, 330 Knauer, J., 241, 330 Kn¨odel, W., 104, 105, 295

Namensverzeichnis

Knopp, M.I., 301 Knuth, D.E., 196, 260, 328 Koblitz, N., 136, 303 Kohlman, S., 255 Koide, Y., 335 Korselt, A., 102, 292 Kˇr´ıˇzek, M., 306 Kr¨ uger, J.G., 179 Kruyswijk, D., 243, 326 Kulik, J.P., 179 Kummer, E.E., 4, 25, 26, 233– 235, 237, 290, 292 Kundert, E.G., 246, 328, 329 Kurowski, S., 82 Kwok, M., 204 Laborde, P., 296 Lagarias, J.C., 180, 181, 257, 320, 328 Lagrange, J.L., 77, 146, 219 Lambek, J., 31, 294 Lambert, J.H., 179 Landau, E., 20, 165, 170, 178, 189, 191, 216, 222, 284, 289, 312, 313 Lander, L.J., 195, 316 Landreau, B., 154, 155, 311 Landry, F., 72, 73, 128 Lang, S., 295 Langevin, M., 182, 318 Lapidus, M.L., 325 Le Lasseur, H., 73 Leech, J., 215, 315 Legendre, A.M., 24, 26, 34, 37– 39, 51, 71, 72, 78, 97, 152, 169, 170, 179, 238 Lehman, R.S., 183, 316 Lehmer, D.H., 30, 39, 41, 44, 59, 70, 76, 78–80, 93, 95, 98, 99, 103, 109, 127–129, 150, 151, 180, 184, 226, 241, 244,

351

293, 294, 298, 299, 302, 308, 315, 327 Lehmer, D.N., 179, 312 Lehmer, E., 80, 106, 297 Leibniz, G.W., 90 Lemos, M., 136, 304 Lenstra Jr., H.W., 113, 116, 127, 128, 300–305, 307 Lenstra, A.K., 73, 117, 127–131, 303–305 Lepist¨o, A., 308, 325 Levinson, N., 184, 317 L´evy, A., 152 Leyland, P., 131, 254, 335 Li Shan-Lan, 91 Li Yan, 91, 304 Lieuwens, E., 30, 31, 95, 98, 108, 110, 298, 303 Lifchitz, H., 85, 248, 259, 333 Lifchitz, R., 84, 259, 333 Ligh, S., 77, 298 Light, W.A., 319 Linfoot, E.H., 150, 308 Linnik, Yu.V., 19, 150, 215, 216, 222, 227, 314, 316 Lioen, W., 131 Liouville, J., 233 Littlewood, J.E., 156, 183, 189, 190, 202, 209–211, 214, 221, 223, 264, 270, 277, 281, 284, 312, 330 Liu, J.M., 216, 321 L¨ oh, G., 104, 126, 146, 240, 255, 305, 328, 335 Lou, S., 197, 202, 320, 322, 323 Louboutin, S., 152–154, 310, 311 Luca, F., 306 Lucas, E., xv, 8, 26, 39–41, 44– 47, 52, 54, 55, 57–60, 64–

352

Namensverzeichnis

72, 77–81, 97, 105–111, 129, 230, 231, 256–260, 292, 334 Ludolph van Ceulen, siehe van Ceulen, L. L¨ uneburg, H., 35, 301 Luhn, N., 118, 207, 208 Lukes, R.F., 158, 311 Lun, A.W.C., 304 Lygeros, N., 220, 325 L´evai, G., 205 M¸akowski, A., 226, 297, 317 Maas, H., 326 MacLaurin, C., 168, 171 Maier, H., 198, 320 Malm, D.E.G., 99, 299 Malo, E., 92, 292 Manasse, M.S., 73, 128–130, 305 Mandl, R., 192 Martin, M., 118, 195, 208, 334 Masai, P., 32, 302 Masser, D.W., 300 Massias, J.-P., 188, 323 Matijaseviˇc, Yu.V., 160, 161, 309, 310 Mayer, E.W., 74, 119, 307 McCarthy, D., 293, 294, 299, 315 McCurley, K.S., 275, 276, 331 McDaniel, W.L., 87, 298, 299 McIntosh, R.J., 24, 241, 305, 307 McKibbon, P.W., 204 Mein, siehe Ribenboim, P. Meissel, E.D.F., 180, 215, 311 Meissner, W., 240 Mendelsohn, N.S., 299 Mend`es-France, M., 290 Mersenne, M., 76–85, 94, 99, 113, 119, 123, 124, 127–130, 161, 162, 233, 237, 248, 250–252, 266, 333 Mertens, F., 172, 178

M´etrod, G., 10, 12 Mets¨ankyl¨a, T., 24, 236, 243, 296, 328, 329 Meyer, A., 304 Mielke, P.T., 273 Mih˘ailescu, P., 126 Miller, G.L., 115, 116, 120, 299 Miller, V.S., 180, 181, 320 Mills, W.H., 143, 144, 298, 308 Minovic, P., 239 Min´aˇc, J., 138 Mirimanoﬀ, D., 241 Mizony, M., 220, 325 M¨ obius, A., 140, 169, 173, 178 Mollin, R.A., 153, 154, 311, 322, 323 Monagan, M.B., 241, 328 Monier, L., 96, 98, 100, 300 Montgomery, H.L., 150, 184, 189, 197, 224, 309, 316–318 Montgomery, P.L., 129, 131, 245, 258, 304, 328, 329 Morain, F., 73, 117–119, 121, 129, 207, 261, 304, 307 Moran, A., 323 Mordell, L.J., 316 Morii, M., 254 Morishima, T., 241 Morrison, M.A., 67, 73, 129, 298, 299 Morrow, D.C., 105, 295 Moser, L., 188, 314 Mossinghoﬀ, M.J., 245, 330 Motohashi, Y., 205, 325 Mozzochi, C.J., 27, 197, 297, 321 Mullin, A.A., 5, 6, 291 Mumper,D., 251 Muskat, J.B., 87, 297 Nagell, T., 268, 290, 330

Namensverzeichnis

Narkiewicz, W., 4, 5, 7, 223, 290, 292, 322 Naur, T., 129, 291, 302 Neal, L., 77, 298 Needham, J., 90 Nelson, H., 81, 323, 325 Newman, D.J., 175, 285, 319 Newman, M., 261, 327 Nicely, T.R., 195, 199, 201, 203, 207, 323–325, 334 Nickel, L., 81 Nicolas, J.L., 303 Niebuhr, W., 104, 254, 305, 329 Nielsen, P.P., 86, 307 Nivat, M., 304 Noe, T.D., 259 Noll, L.C., 81, 123, 252, 328 Norrie, C., 305 Norris, D., 250, 251 Nowak, M., 82 Nowakowski, R., 6, 291 Nyman, B., 196, 199, 324, 325 O’Hare, K., 255 Oakes, M., 119, 259 Obl´ath, R., 247, 326 Odlyzko, A.M., 178, 180, 181, 183, 185, 186, 200, 248, 275, 320–322, 325, 327 Odoni, R.W.K., 6, 291 Ohno, Y., 87, 308 Okeya, K., 88, 307 Oliveira e Silva, T., 181, 196, 199, 203, 204, 225, 334 Opperman, L., 190, 198, 199 Ore, O., 88, 294 Osvik, D.A., 131 Pan, C.D., 216, 224, 315, 319 Papadopoulos, J.S., 74, 307 Papp, D., 204

353

Parady, B.K., 123, 252, 322, 328 Parberry, E.A., 106, 107, 109, 110, 298 Parkin, T.R., 195, 316 Pascal, M., 120 Paterson, M., 304 Patterson, C.D., 158, 311 Patterson, S.J., 174, 321 Peano, G., 140 Pearson, E.H., 246 Pell, J., 45, 46, 62 Penk, M.A., 5, 129, 291 Penn´e, J., 83, 204, 239, 251, 253– 255 Pepin, T., 42, 71, 292 Perichon, P., 218 Perisastri, M., 87, 296 Perott, J., 10, 11 Perrin, D., 304 Perwuschin, I.M., 81 Philippou, A.N., 303 Phong, B.M., 55, 98, 110, 300, 303 Pillai, S.S., 19, 32, 293, 294 Pinch, R.G.E., 104, 228, 229, 241, 307, 322, 324, 325, 329, 334 Pintz, J., 169, 178, 197, 198, 205, 319–321, 324, 325 Pirandello, L., 120, 293 Pocklington, H.C., 39, 42–44, 67, 293 Polignac, siehe de Polignac, A. Pollack, B.W., 24 Pollaczek, F., 241 Pollard, J.M., 73, 127–129, 301, 305 P´olya, G., 7, 291 Pomerance, C., 31, 86–88, 96, 99, 100, 103, 104, 112, 113, 116, 128, 129, 131, 192, 217,

354

Namensverzeichnis

223, 227, 228, 241, 246, 267, 275, 290, 298–307, 319, 320, 322, 323, 329, 331 Potler, A., 195, 196, 322 Poulet, P., 92, 128, 228, 313 Powell, B., 20, 194, 223, 238, 244, 266, 302, 320, 321, 327, 331 Powers, R.E., 81 Prachar, K., 217, 275, 289, 315 Pratt, V.R., 113, 299 Pritchard, P.A., 218, 219, 320, 321, 323 Proth, F., 39, 43, 199, 200, 292 Proth-Gallot-Gruppe, 75 Putnam, H., 159, 160, 308 Quisquater, J.J., 136, 301 Rabin, M.O., 99, 115, 120, 121, 299, 301 Rabinowitsch, G., 151, 154, 308 Ralston, K.E., 200, 315 Ram Murty, P.M., 267, 331 Ramanujan, S., 188, 312 Ramar´e, O., 197, 223, 323, 325 Rankin, R.A., 198, 313, 316 R´enyi, A., 222, 314 Reuschle, C.G., 128 Reynolds, G., 218, 251, 253 Ribenboim, P., 38, 147, 216, 224, 233, 238, 241, 242, 296, 298, 307, 310, 311, 319, 327–329 Ribet, K.A., 237 Richards, I., 208–210, 317 Richert, H.E., 187, 202, 222, 223, 268, 290, 314, 317, 331 Richstein, J., 225, 241, 243, 245, 325, 330, 335 Rickert, N.W., 130 Rieger, G.J., 269, 331

Riele, siehe te Riele, H.J.J. Riemann, B., 114, 116, 169, 171– 174, 183–187, 197, 221, 223, 283, 334 Riesel, H., 70, 81, 83, 127, 136, 223, 244, 249, 250, 254, 260, 303, 320, 326, 335 Rivat, J., 181, 323, 324 Rivest, R.L., 132, 135, 136, 300 Robin, G., 188, 320, 323 Robinson, D.E., 5 Robinson, J., 160, 310 Robinson, R.M., 80, 81, 83, 253, 254, 295, 326 Rodenkirch, M., 246, 253–255 Rodr´ıguez Torres, L., 157 Roe, S., 319 Roettger, E.L., 24, 307 Romanoﬀ, N.P., 225, 313 Rosenthal, H., 195 Ross, P.M., 222, 318 Rosser, J.B., 182, 184, 188, 189, 192, 241, 313, 315, 316, 318 Rotkiewicz, A., 83, 93, 95, 96, 110, 227, 247, 296–298, 316, 317, 319, 328 Ruby, R., 154 Rumely, R.S., 275, 302, 323 Saaty, T.L., 297 Saidak, F., 87 Salah, P., 251 Sali´e, H., 19, 295 Samuel, P., 12, 291 Saouter, Y., 197, 225, 324, 325 S´ark¨ozy, A., 231, 321 Sarrus, F., 91 Sasaki, R., 154, 310 Sato, D., 160, 161, 310 Satyanarayana, M., 88, 296 Saxena, N., 121, 307

Namensverzeichnis

Schatunowsky, J., 216 Schinzel, A., 31, 32, 35, 36, 58, 59, 76, 95, 102, 107, 209, 210, 216, 217, 223, 264, 265, 269–271, 274, 275, 295–298, 315, 331 Schlaﬂy, A., 33, 305 Schnirelmann, L., 222, 223, 312 Schoenfeld, L., 182, 184, 188, 189, 192, 315, 316, 318 Sch¨onhage, A., 80, 298, 321 Schorn, P., 8 Schroeder, M.R., 163, 290, 320 Schuh, F., 30, 294 Scott, S., 253 Seah, E., 247, 327 Sebah, P., 201, 203, 205, 334 Seki, T., 168 Selberg, A., 176–178, 214, 222, 285, 290, 314, 315 Selberg, S., 290 Selfridge, J.L., 24, 41, 42, 44, 70, 73, 75, 84, 96, 99, 100, 109, 127, 192, 209, 228, 249, 295, 297, 298, 301, 302, 304, 319, 333 Sellers, J.A., 261, 330 Serre, J.P., 237 Seshu Aiyar, P.V., 312 Shafer, M., 82 Shallit, J.O., 78, 290, 305 Shamir, A., 132, 135, 136, 300 Shan, Z., 303 Shanks, D., 6, 97, 196, 201, 261, 276, 280, 289, 291, 297, 316, 317, 327, 331 Shapiro, H.N., 86, 294 Shimoyama, T., 131 Shiu, D.K.L., 215, 323, 324 Shokrollahi, M.A., 236, 329

355

Shorey, T.N., 37, 299 Siegel, C.L., 235, 326 Siemelink, W., 255 Sierpi´ nski, W., 31–33, 76, 209, 210, 216, 249, 250, 260, 264, 265, 268–271, 274, 275, 290, 295, 296, 315, 326, 331, 335 Silverman, R.D., 129, 258, 304, 328 Singmaster, D., 108, 302 Sinha, T.N., 89, 298 Sinisalo, M.K., 225, 322 Siu Man-Keung, 90, 91 Siva Rama Prasad, V., 303 Skewes, S., 183, 313 Skolem, T., 162, 308 Slatkeviˇcius, R., 251, 335 Sloane, N.J.A., 333 Slowinski, D., 81 Smith, D., 254 Smith, E., 82 Smith, G.W., 123, 252, 328 Smith, J.F., 123, 252, 322, 328 Solovay, R., 98, 99, 120, 300 Somayajulu, B.S.K.R., 31, 295 Somer, L., 306 Sompolski, R.W., 236, 329 Sophie Germain, siehe Germain, S. Sorensen, E.J., 126 Sorli, R.M., 88, 307, 308 Specker, E., 7 Spence, G., 82 Speziali, P., 152, 308 Stark, H.M., 150, 309 Stein, M.L., 225, 316 Stein, P.R., 225, 316 Steinig, J., 177, 317 Stenberg, W., 209 Stephens, L., 250

356

Namensverzeichnis

Steuerwald, R., 94, 294 Steward, A., 118, 248 Stewart, C.L., 36, 37, 58, 299, 300 Stieltjes, T.J., 4, 178, 290 Stirling, J., 167 Strassen, V., 80, 98, 99, 120, 298, 300 Strindmo, O.M., 82 Subbarao, M.V., 303 Sun, J., 126 Sunde, S., 251 Suryanarayana, D., 87, 297, 298 Suzuki, J., 241, 329 Swift, J.D., 228, 318 Sylvester, J.J., 182, 311 Szeg¨o, G., 7, 291 Szekeres, G., 151, 309 Szemer´edi, E., 218, 318 Szmidt, J., 249 Szymiczek, K., 226, 231, 316 Tang, M., 100, 307 Tanner, J.W., 236, 328 Tao, T., 218, 325 Tate, J.T., 295 Taylor, R., 237 te Riele, H.J.J., 86, 131, 178, 183, 185, 221, 225, 304, 320– 324 Templer, M., 5, 291 Thibeault, M., 249 Thompson, M.J., 255 Thom´e, E., 131 Thue, A., 10, 290 Thyssen, A., 323 Tijdeman, R., 301, 302 Titchmarsh, E.C., 174, 184, 315 Tonascia, J., 244, 327 Toplic, M., 220, 255 Torelli, G., 165, 311

Tornberg, B., 204, 239 Touchard, J., 88, 295 Traub, J.F., 299 Trevisan, V., 305 Trost, E., 192, 289 Tschebyscheﬀ, P.L., 169, 170, 175, 176, 182, 188, 189, 197, 214, 224, 274, 283 Tschudakoﬀ, N.G., 187, 224, 313 Tuckerman, B., 81, 127, 302 Turing, A., 80 Tzanakis, N., 244, 328 Udrescu, V.S., 189, 318 Ueda, H., 131 Underbakke, D., 204, 239, 253 Underwood, P., 219 Valette, A., 32, 302 Vall´ee Poussin, siehe de la Vall´ee Poussin, C.-J. van Ceulen, L., 120 van de Lune, J., 185, 225, 321, 322 van der Corput, J.G., 217, 224, 313, 314 van der Pol, B., 152, 308 van der Poorten, A.J., 5, 227, 291, 319 van Frankenhuysen. M., 325 van Halewyn, C., 74, 306 van Leeuwen, J., 304 Vanden Eynden, C., 140, 309 Vandiver, H.S., 35, 237, 241, 245, 293 Vaughan, R.C., 189, 223, 224, 317, 318, 320 Vautier, E., 204 Vega, G., 179 Vogel, L., 253 von Gumpach, J., 91

Namensverzeichnis

von Koch, H., 187, 311 von Mangoldt, H., 175, 178, 184 von Neumann, J., 111 Voznyy, M., 246, 247 Vsemirnov, M., 260, 330 Wada, H., 160, 161, 310 Wade, T., 90 Wagon, S., 33, 116, 185, 303, 305, 321 Wagstaﬀ Jr., S.S., 6, 84, 96, 99, 100, 104, 107–109, 120, 127, 129, 136, 216, 228, 230, 236, 291, 300–302, 304, 307, 319, 327, 328, 333, 334 Walﬁsz, A.Z., 187, 316 Wall, D.W., 31, 301 Wang, T.Z., 221, 321, 323 Wang, Y., 320 Ward, M., 57, 257, 297, 326 Washington, L.C., 12, 291 Water, siehe de Water, B. Wedeniwski, S., 185, 334 Weil, A., 292 Weinberger, P.J., 150, 244, 309, 327 Weintraub, S., 218, 318, 320, 322 Weisstein, E.W., 261, 333 Welsh Jr., L., 81 Western, A.E., 73, 78, 293 Westzynthius, E., 198, 313 Wheeler, D.J., 83 Wieferich, A., 233, 240, 241 Wiener, N., 284 Wiens, D., 160, 161, 310 Wiles, A., 216, 237 Willans, C.P., 138, 139, 308 Williams, H.C., 70, 72, 78, 99, 109, 110, 112, 128, 158, 246, 247, 259, 261, 280, 300, 303,

357

305, 306, 311, 327, 328, 330– 332 Williams, S.M., 155, 277 Wilson, J., 17, 20, 39, 40, 138, 139, 200, 201, 233, 245, 246 Winogradoﬀ, I.M., 20, 221, 223, 284, 313 Winter, D.T., 185, 321 Wirsing, E., 89, 296 Wirth, T., 118 Wojtowicz, M., 87, 306 Wolfskehl, P., 216, 312 Wolstenholme, J., 22–24, 237 Woltman, G., 251 Woltman, G.F., 75, 80, 82, 204, 239, 306, 333 Woodall, H.J., 127, 254, 255, 293, 335 Woods, D., 104, 302 Wrench Jr., J.W., 201, 202, 315, 317 Wright, E.M., 23, 78, 137, 144, 191, 289, 308 Wr´oblewski, J., 208, 218, 219, 240 Wu, T., 83, 204, 239, 248 Wunderlich, M.C., 279, 331 Wylie, A., 91 Yao, Q., 320, 322, 323 Yates, S., 123, 124, 247, 302– 304, 327 Yıldırım, C.Y., 198, 205, 325 Yohe, J.M., 184, 316 Yorinaga, M., 104, 106, 107, 228, 299–301, 319 Young, J., 74, 195, 196, 219, 246, 249, 253–255, 304–306, 322 Zachariou, 27 Zagier, D.B., 151, 310

358

Namensverzeichnis

Zarantonello, S., 123, 252, 322, 328 Zhang, Z., 100, 307

Zimmermann, P., 131, 220, 325 Zinoviev, D., 221, 323 Zsigmondy, K., 34, 36, 58, 292

Sachverzeichnis

Abelsche Gruppe, 147–149 Summationsformel, 168, 176 Variet¨aten, 111 Abundante Zahlen, 89 Algebraische Primzahlen, 148 Zahlen, 12, 147, 148 Zahlentheorie, 111, 117 Algorithmus, 15, 117, 158 Anzahl der Goldbach-Darstellungen, 277 Arabische Zahlen, 46 Arithmetische Folge aufeinander folgende Primzahlen in ∼r ∼, 219 kleinste Primzahl in einer ∼n ∼, 215 Primzahlen in ∼r ∼, 213– 220 Primzahlreihen in ∼r ∼, 217– 220

ASCII, 132 Asymptotisch gleich, 164, 170 Asymptotische Aussage, 221 Bakers Methode, 86, 150 Basis-Ansatz, 222 Beleg, 115 Bernoulli-Polynome, 168, 171 Bernoulli-Zahlen, 167, 168, 171, 235–237 Bertrands Postulat, 140, 170, 188, 197, 274 Beweis der Existenz unendlicher vieler Primzahlen von Auric, 11 Euklid, 3 Euler, 8–9 Furstenberg, 13 Goldbach, 6 Kummer, 4 M´etrod, 12 Perott, 11

360

Sachverzeichnis

Schorn, 8 Thue, 10 Washington, 12–13 Bin¨are quadratische Formen, 147– 150 Bin¨arschreibweise, 41, 70, 143 Binomialzahlen Folgen von, 34–37 Brunsche Konstante, 201 Cabal, 130 Carmichael-Funktion, 29, 53, 102 Carmichael-Lucas-Zahlen, 110 Carmichael-Zahlen, 22, 102–104, 228–230 Chinesische Kongruenz, 90 Chinesischer Restsatz, 27–28 Copacabana Strand von, 136 Cullen-Zahlen, 253 Faktorisierungen von, 254 verallgemeinerte, 255 Cunningham-Kette, 240 Cunningham-Projekt, 127 Dedekindsche Ideale, 234 Deﬁziente Zahlen, 89 Dicksons History, 10, 81, 84, 90, 128, 219, 225 Diophantische Gleichungen, 37, 158 Diophantische Mengen, 159 Dirichletsche L-Funktionen, 186 Dirichletscher Primzahlsatz, siehe Satz von Dirichlet Diskriminante fundamentale, 147 Disquisitiones Arithmeticae, 15, 18, 75, 147 Dubner-Kette, 273

DWT, siehe Transformation, diskrete, gewichtete Eigenschaft von Giuga, 22–23 Wolstenholme, 23–24 Einfache endliche Gruppen, 261 Einheiten, 148, 234, 235 Electronic Frontier Foundation, 82 Elliptische Kurven, 113, 127, 129 faktorisieren mit ∼n ∼, 127, 129 Euklids Elemente, 85 Euler-MacLaurin-Summenformel, 168, 171, 176 Eulersche ∼s Integral, 171 ∼s Polynom, 145, 156 Konstante, 172, 176, 198, 217 Produktformel, 166, 171, 172 Eulersche φ-Funktion, 28, 34 durchschnittlicher Wert, 191 Valenz, 32–34, 270 Verallgemeinerung, 53 Wachstum, 34, 190–191 Faktorisierung, 126–132 eindeutige, 148 nichteindeutige, 234 Fakult¨atsfunktion, 172 Fastprimzahlen, 221, 268, 269 Fermat Kleiner Satz von, 17, 20, 22, 28, 29, 34, 40, 47, 51, 52, 71, 77, 78, 92, 214 Fermat-Primzahlen, 75, 161 Fermat-Quotient, 242–244 Fermat-Zahlen, 7–8, 42, 71–76, 92–93, 99, 127–129

Sachverzeichnis

Faktorisierung von, 73, 74, 128, 129 verallgemeinerte, 252 Fermats letzter Satz, 216, 233, 235, 237, 238, 240, 241 Fibonacci-Zahlen, 46, 55, 57, 58, 60, 106, 107, 109, 110, 129, 161, 162, 258, 259 Faktorisierung von, 129 Folgen teilerfremder Zahlen Generierung von, 7 Fundamentalsatz der Arithmetik, 2 Gamma-Funktion, 171, 172 Funktionalgleichungen, 172 Gebrochene Ideale, 147 Geeignete Zahlen, siehe Numeri idonei Geschlechtertheorie, 148, 149 Gesetz der Wiederholung, 55 Gesetz des Erscheinens von p, 55 Gigantische Primzahlen, siehe Primzahlen, gigantische GIMPS, 80, 82, 252 Gleiche Gr¨oßenordnung, 164 GNFS, siehe Zahlk¨ orpersieb, allgemeines Goldbach-Darstellungen Anzahl, 223 Goldbachsche Vermutung, siehe Vermutung von Goldbach Griﬃth University, 219 Gr¨ oßter Primfaktor, 36 Guinness Buch der Rekorde, 1, 92 Halloween, 55 Harmonische Reihe, 167 Harmonische Zahlen, 88

361

ungerade, 88 Hellseher, 113 Heuristische Ergebnisse, 263 Hilbert-Raum, 186 Hilberts zehntes Problem, 158 Ideale Zahlen, 234 Integrallogarithmus, 170, 173, 174 Irregularit¨atsindex, 236, 237 Irregul¨ares Paar, 236, 237 Jacobi-Summen, 111, 117 Jacobi-Symbol, 38–39 Kaninchen, 46 Klassengruppe, 148, 149 Exponent einer, 148 Klassenzahl einer Idealklassengruppe, 235 eines quadratischen Zahlk¨orpers, 148, 150–153, 269 Kleiner Satz von Fermat, siehe Fermat, Kleiner Satz von Kn¨odel-Zahlen, 104 Kommutative Algebra, 12 Komplexit¨atstheorie, 112 Kreisteilungsk¨orper p-ter, 234 Kreisteilungspolynom, 37, 214 Kryptographie mit ¨oﬀentlichem Schl¨ ussel, 132–136 Kummers Lemma, 235 Regularit¨atskriterium, 235 Lagranges Identit¨at, 49 Laufzeit exponentiell, 112 polynomial, 112 Legendre-Symbol, 37 Berechnung des ∼s, 37–38 Lehmers

362

Sachverzeichnis

Methode, 93 Problem, 30 Liber Abaci, 46 Linear rekurrente Folgen zweiter Ordnung, 45, 256, 258, 261 allgemeine, 256 begleitende, 256 charakteristisches Polynom ∼ ∼r ∼, 256 entartete, 257 Primteiler von ∼ ∼n ∼, 257 Primzahlen in ∼ ∼n ∼, 258 Lineare Polynome Primzahlwerte ∼r ∼, siehe Primzahlerzeugende Polynome simultane Primzahlwerte ∼r ∼, 210 Linniks Konstante, 216 Lucas’ Arbeit, 45 Historisches Studium von, 70 Lucas-Folgen, 44–59, 258 algebraische Eigenschaften, 47–49 Diskriminante, 44 Teilbarkeits-Eigenschaften, 49– 56 Verhalten modulo einer Primzahl, 55 Lucas-Zahlen, 46, 55, 57, 58, 60, 107, 257, 259 Faktorisierung von, 129 L¨ ucken zwischen Primzahlen, 192 erstmaliges Auftreten, 193, 195, 196, 199 iterierte, 199, 200 maximale, 193, 195, 196, 199 Menge der m¨ oglichen, 194

Wert, 193, 195, 196 Mascheronis Konstante, siehe Eulersche Konstante Megaprimzahlen, 82, 124 Meissels Formel, 180, 215 Mersenne-Primzahlen, 77–82, 161, 162, 252 Mersenne-Zahlen, 76–84 Faktorisierung von, 128, 130 zerlegbare, 83, 266 Mertens Funktion, 178 Vermutung u ¨ber, 178 Mills Konstante, 144 Primzahlen, 144 Mirimanoﬀs Kongruenz, 241 M¨ obius-Funktion, 140, 169, 173 Summen unter Einschluss der, 178 M¨ obiussche Umkehrformel, 173 M¨ ulleimer der Mathematik, 192 Mullins Folge, 5 n-te Primzahl, 137–143, 191–192 National Bureau of Standards, 80 NFS, siehe Zahlk¨orpersieb NSW-Zahlen, 261 Nullstellen, siehe Riemannsche Zeta-Funktion Numeri idonei, 149 Ordnung von a modulo n, 29 modulo p, 18 p-zyklotomische Zahlen, 234 Ganzheitsring der ∼n ∼, 234 K¨orper der ∼n ∼, 234 Palindromische Zahl, 124

Sachverzeichnis

Partitio Numerorum, 264, 277– 281 Peanos Arithmetik, 140 Pell-Zahlen, 46, 62 π, 119 Polynome, siehe auch Primzahlerzeugende Polynome mit großen Bereichen zerlegbarer Werte, 275–277 Primzahlwerte von ∼n, 268 Polynomiale Zeit, siehe Laufzeit Poulet-Zahlen, 92 PrimeGrid, 204, 218, 251, 253– 255 Primelement, 234 Primfakult¨at, 4 Primitive Primfaktoren der Lucas-Folgen, 58, 59 von Binomialzahlen, 34 Primitiver Teil, 36, 59 Primitivwurzel modulo p, 18 Bestimmung einer, 18–19 Kleinste, 19–20 Primorial, siehe Primfakult¨ at Primzahldarstellende Polynome, 160, 161 Primzahldrillinge, 206 Primzahlen Cullen, 253, 254 der Form m2 + 1, 253, 269, 278, 279 dreifach palindromische, 125 Fibonacci, 258 gigantische, 123 irregul¨are, 235–237 Lucas, 258 Nicht-Mersenne, 251 NSW, 261 palindromische, 124 regul¨are, 235–237

363

sonderbare, 125 Sophie-Germain, 77, 83, 266, 268 titanische, 123 verallgemeinerte Fermat, 252 verkaufen, 121 Wieferich, 240 Wilson, 245, 246 Wolstenholme, 24, 237 Woodall, 254, 255 Primzahlerzeugende L¨ange, 151 Primzahlerzeugende Polynome, 144–146, 151–158 h¨oheren Grades, 154 lineare, 146 quadratische, 151–154 Primzahlformeln, 137–144, 160, 161 Primzahlfunktion, 138, 139, 163 Berechnung genauer Werte, 180 Eigenschaften, 188 Primzahlgraph, 192 Primzahlmehrlinge, 206–210 der Ordnung k, 206 Typ, 206 Primzahlmehrlingsvermutung, 209– 213 Primzahlpotenzen als Teiler von Binomialkoeﬃzienten, 25–26 Fakult¨aten, 24–26 Primzahlsatz, 165, 170, 174–176, 178, 182, 187, 189–192, 194, 196, 197, 202, 214, 216, 225, 238, 274 elementarer Beweis, 176–178 Fehlerterm, 175, 177, 187 Primzahltabellen, 179 Primzahltest AKS, 121

364

Sachverzeichnis

APR, 116 ECPP, 117 f¨ ur Mersenne-Zahlen, 78–79 Lucas, 40 Miller, 115, 116 Morrison, 67 Pepin, 71 Pocklington, 42, 67 Probedivision, 115 Proth, 43 Rabin, 120 Primzahltests auf der Grundlage von Kongruenzen, 39–44 auf der Grundlage von LucasFolgen, 59–70 Aufwand eines, 112 kombinierte, 70 mit elliptischen Kurven, 117 probabilistische oder MonteCarlo, 114, 120 spezielle, 113 universelle, 113, 114, 116 Primzahlvierlinge, 206–207 Primzahlzwillinge, 200–206 H¨aufung der Ordnung k, 204 ¨ im Uberﬂuss, 265 Primzahlzwillingsfunktion, 201– 204 Primzahlzwillingskonstante, 202, 278 Primzahlzwillingsvermutung, 194, 205, 210, 225 Probabilistische Methoden, 263, 277 Pseudoprimzahlen, 90–101 Euler, 97–98 Euler-Lucas, 109 Fibonacci, 106 gerade, 93

Lucas, 105–108 starke, 98–101 starke Lucas, 109 zur Basis a, 94–97 zur Basis 2, 92–94 Pythagoreische Dreiecke, 271, 272 QS, siehe Quadratisches Sieb Quadratfrei Kern, 35 Zahl, 75, 147, 153 Quadratische Polynome mit vielen Primzahlwerten, 155, 156, 267 Quadratische Zahlk¨orper, 146– 151 imagin¨ar, 147, 149–153 reell, 147, 151, 269 Quadratischer Nichtrest, 37 Quadratischer Rest modulo p, 37 Quadratisches Sieb, 127 Quasiprimzahl, 114 Queen’s University, 261 Regul¨ares Polygon, 75 Rennen 500 Meilen von Indianapolis, 156 Repunit-Primzahlen, 246 Repunit-Zahlen, 246 Faktorisierung von, 246, 247 verallgemeinerte, 247 Reziprozit¨atsgesetz Gauß’sches, 38–39 Jacobisches, 39, 72 Riemann-Funktion, 174 Riemannsche Vermutung, 173, 183–187, 197, 221, 223 erweiterte, 186 verallgemeinerte, 115, 116

Sachverzeichnis

Riemannsche Zetafunktion, 174, 184 Berechnung von Nullstellen, 184, 185 Funktionalgleichung, 172 kritische Gerade, 173 kritischer Streifen, 183 nichttriviale Nullstellen, 183– 186 nullstellenfreier Bereich, 175, 187 triviale Nullstellen, 183 Riesel-Zahlen, 249, 250, 260 Ringe Dedekindsche, 12 Faktor-, 12 Ganzheits-, 234 Hauptideal-, 12 RSA Kryptosystem, 132–136 San Diego Zoo, 124 Satz von Bang, 35, 58 Chen, 222 Dirichlet, 213, 214, 248, 249, 264, 266 Euler, 28, 52 Fermat kleiner, siehe Fermat, Kleiner Satz von letzter, siehe Fermats letzter Satz Kummer, 26 Legendre, 24 Linnik, 215 Littlewood, 183, 214 Mirimanoﬀ, 241 Pocklington, 42 Rabin, 99 Schnirelmann, 222

365

Sierpi´ nski, 249 Sophie Germain, 237 Wieferich, 240 Wilson, 17, 20, 21, 39, 40, 138, 139, 200, 201, 245 Zsigmondy, 35, 58 Schinzels Vermutung (H), 265, 270–272 Schnelle Berechnung der Potenz an , 41 von Lucas-Folgengliedern, 69– 70 Schnirelmann-Konstante, 223 Sch¨opfung, 85 Sechs von Amdahl, 123 Sieb -methoden, 180, 202, 205, 238, 268, 269 -theorie, 17, 121, 123, 221 des Eratosthenes, 16–17, 169, 179 Sierpi´ nski-Zahlen, 249, 250, 260 der Form nn + 1, 76 Skewes Zahl, 183 SNFS, siehe Zahlk¨orpersieb, spezielles Stirlings Formel, 167 SWAC, 80 Taylorreihenentwicklung, 167 Titanische Primzahlen, siehe Primzahlen, titanische Transformation diskrete, gewichtete, 252 schnelle Fourier-, 80 Traum-Mathematik, 264 Tschebyscheﬀ-Funktion, 170, 175, 176 Universit¨at Bonn, 118, 136 Unsterblichkeit, 174

366

Sachverzeichnis

Vermutung u ¨ber Mersenne-Primzahlen, 84 Vermutung von Andrica, 198, 199 Artin, 267 Bunjakowski, 267, 269, 270, 275 Carmichael, 32–34, 270 Cram´er, 197 Dickson, 264 Gauß, 151 Goldbach, 205, 220–225, 277 ungerade, 221 Golomb, 211 Hardy und Littlewood, 189, 210 Opperman, 190, 198 Ore, 88 Polignac, 193–195, 205, 265 Verteilung von Carmichael-Zahlen, 228, 229 Lucas-Pseudoprimzahlen, 230 Primzahlen, 163–177, 187, 191, 192 Pseudoprimzahlen, 226–227 starken Lucas-Pseudoprimzahlen, 231 Vollkommene Zahlen, 85–89 gerade, 85, 161, 162 mehrfach, 89 ungerade, 85, 86, 88, 89 Verteilung, 88 von Mangoldt-Funktion, 175 summatorische Funktion der, 176

Wettlauf um kleinste Primfaktoren, 157, 158 um Primzahlwerte, 155–157 Wilson-Quotient, 245 Wolfskehl-Preis, 216 Woodall-Zahlen, 254 Faktorisierungen von, 254 Z¨ ahlfunktion f¨ ur Carmichael-Zahlen, 228 Cullen-Primzahlen, 253 Euler-Pseudoprimzahlen, 226 Lucas-Pseudoprimzahlen, 230 Primzahlen, siehe Primzahlfunktion Primzahlzwillinge, siehe Primzahlzwillingsfunktion Pseudoprimzahlen, 226 Sophie-Germain-Primzahlen, 238 starke Lucas-Pseudoprimzahlen, 231 starke Pseudoprimzahlen, 226 vollkommene Zahlen, 88 Zahlk¨orpersieb, 127, 129 allgemeines, 128, 131, 136 spezielles, 127, 130, 131 Zerlegbare Zahl, 2 Zertiﬁkat f¨ ur Primzahlen, 115, 117, 118 Zetafunktion, 165, 171 Zufallszahlen, 119 Zul¨assiges k-Tupel, 208 Zyklotomische Zahlen, siehe pzyklotomische Zahlen