Deformations isomonodromiques et varietes de frobenius

Déformat ions isomonodromiques et variétés de Frobenius

Claude Sabbah

Déformations isomonodromiques et variétés de Frobenius

S A V O I R S

A C T U E L S

EDP Sciences/CNRS EDITIONS

@ 2 0 0 2 , EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, B P 112, Parc d’activités de Courtabawf, 91944 Les Ulis Cedex A et CNRS ÉDITIONS, 15, rue Malebranche, 75005 Paris. Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans Ir présent ouvrage, faite saris l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont, autorisées, d’une part, les reproduct,ions strictement réservées à l’usage privé dii copiste et non destinées A une utilisation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractère scientifique ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont, incorporées (art. L. 122-4, I,. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : <:entre français d’exploitation du droit de copie, 3, rue Ilautefeuille, 75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35.

ISBN EDP Sciences 2-86883-534- 1 ISBN CNRS E?DITIONS 2-271-05969-0

TABLE DES MATIÈRES

Préface

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Terminologie et notations

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O. Le langage des fibrés 1. Fonctions holomorphes sur un ouvert de C ’I 2. Variétés analytiques complexes 3. Fibrations vectorielles holomorphes -modules 4. Faisceaux localement libres de 8~ 5. Cohomologie non abélienne 6. Cohomologie de Cech 7. Fibrés en droites 7.a. L’exponentielle comme morphisme de faisceau 7.b. Suite exacte de l’exponentielle et classe de Chern 8. Fibrés méromorphes, réseaux 9. Exemples de fibrés holornorphes et rnérornorphes 9.a. Le fibré cotangent et les faisceaux de formes holomorphes 9.b. Formes différentielles méromorphes et logarithmiques 10. Variétés affines, analytisation, formes différentielles algébriques 10.a. Variétés affines 10.b. Analytisation 1O.c. Variétés affines non singulières 11. Connexions holomorphes sur un fibré vectoriel 11.a. Expression locale de la connexion 11.b. Opérations sur les fibrés à connexions 11.c. Image inverse d’un fibré à connexion 12. Connexions holomorphes intégrables et champs de Higgs 12.a. Connexions holomorphes intégrables 12.b. Champs de Higgs 13. Géométrie du fibré tangent 13.a. Quelques points de géométrie différentielle holomorphe 13.b. Feuilletages holomorphes 13.c. Connexions sans torsion 13.d. Champs de Higgs symétriques

1 1 3 6 8

11 15 16 17 17 18 19

19

22 25 26 26 27 28 29 30 31 33 33

37 38 38 39 41 43

vi

TABLE DES MATIÈRES

14. Connexions méromorphes 14.a. Restriction d’une connexion méromorphe 14.b. Restriction et résidu des connexions à pôles logarithmiques 14.c. Connexions d’ordre 1 15. Faisceaux localement constants 15.a. Faisceaux d’ensembles localement constants 15.b. Faisceaux localement constants de C -espaces vectoriels de rang fini 15.c. Rappels sur les représentations linéaires de groupes 15.d. Une équivalence de catégories 16. Déformations intégrables et déformations isomonodromiques 17. Appendice : le langage des catégories I. Fibrés vectoriels holomorphes sur la sphère de Riemann 1. Cohomologie de C , C* et P1 2. Fibrés en droites sur P1 2.a. Le fibré tautologique &$I (-1) 2.b. Les fibrés &$I ( k ) pour k E Z 2.c. Fibre en droites associé à un diviseur 2.d. Le fibré quotient universel 2.e. Extensions de fibrés en droites 2.f. Champs de vecteurs et formes différentielles sur P1 3. Un théorème de finitude et quelques conséquences 4. Structure des fibrés vectoriels sur P 1 4.a. Le théorème de Birkhoff-Grothendieck 4.b. Application aux fibrés méromorphes 4.c. Modification du type d’un fibré 4.d. Fibrés vectoriels algébriques et rationnels 5. Familles de fibrés vectoriels sur P 5.a. Premières propriétés 5.b. Théorèmes de rigidité

47 48 49 50 51 51 52 53 54 56 61 63 63 65 65 66 67 68 68 70 70 72 72 76 76

78 79 79 80

II. Correspondance de Riemann-Hilbertsur une surface de Riemann 87 1. Énoncé des problèmes 87 2. Étude locale des singularités régulières 89 2.a. Quelques définitions 89 2.b. Rang 1 90 91 2.c. Modèles en rang quelconque 2.d. Classification des (k,V) -espaces vectoriels à singularité régulière en O 93 2.e. Réseaux logarithmiques canoniques 98 1O0 2.f. Adjonction de paramètres

TABLE DES M A T I ~ R E S

vii

3. Applications 3.a. Correspondance de Riemann-Hilbert 3.b. Correspondance de Riemann partielle 3.c. Algébrisation d’un germe de connexion méromorphe 4. Compléments 4.a. Reconnaître une singularité régulière 4.b. Calculer la monodromie des sections horizontales 5. Singularités irrégulières : étude locale 5.a. Classification en rang 1 5.b. Modèles en rang quelconque 5.c. Le faisceau JJ 5.d. Classification sectorielle 6. Correspondance de Riemann-Hilbert dans le cas irrégulier 6.a. Le faisceau de Stokes 6.b. Classification (énoncé) 6.c. Constance locale du faisceau de Stokes 6.d. Classification (démonstration) 6.12. Compléments sur l’espace de Stokes

102 102 104 104 105 105 107 107 108 109 113 115 115 116 117 119 121 123

III. Réseaux Introduction 1. Réseaux des ( k , V) -espaces vectoriels à singularité régulière 1.a. Classification des réseaux logarithmiques 1.b. Comportement vis-à-vis de la dualité 1.c. Polynôme caractéristique d’un réseau à l’origine 1.d. Rigidité des réseaux logarithmiques 2. Réseaux des ( k ,V)-espaces vectoriels à singularité irrégulière 2.a. Classification des réseaux 2.b. Polynôme caractéristique d’un réseau à l’infini 2.c. Déforniations 2.d. Fibrés de rang 1 à connexion d’ordre 1 2.e. Structure formelle 2.f. Démonstration du théorème 2.10

127

IV.Le problème de Riemann-Hilbert et le problème de Birkhoff Introduction 1. Le problènie de Riemann-Hilbert 2. Fibrés méromorphes à connexion irréductibles 3. Application au problème de Riemann-Hilbert 4. Compléments sur l’irréductibilité 5. Le problème de Birkhoff 5.a. Problèmes de Birkhoff analytique local et algébrique 5.b. Le critère de M. Saito

127 128 128 132 135 138 141 141 142 146 146 148 150 153 153 154 160 164 167 168 168

171

...

vlll

‘ T B L E DES MATIÈRES

V. La dualité de Fourier-Laplace Introduction 1. Modules sur l’algèbre de Weyl 1.a. L’algèbre de Weyl d’une variable 1.b. Modules holonomes sur l’algèbre de Weyl 1.c. Dualité 1.d. Régularité 2. Transformation de Fourier 2.a. Transformé de Fourier d’un module sur l’algèbre de Weyl 2.b. Transformation de Fourier et dualité 2.c. Transformé de Fourier d’un réseau 3. Transformation de Fourier et microlocalisation 3.a. Microlocalisation formelle 3.b. Décomposition formelle du transformé de Fourier 3.c. Un critère microdifférentiel pour la symétrie du polynôme caractéristique

.

VI. Déformations intégrables de fibrés à connexion Riemann

SUT

177 179 182 183 183 186 186 190 190 193

195

la sphère de

Introduction 1. Le problème de Riemann-Hilbert en famille 1.a. Déformations intégrables de solutions au problème de Riemann-Hilbert 1.b. Un exemple : la sixième équation de Painlevé comme équation d’isomonodromie 1.c. Universalité 2. Le problème de Birkhoff en famille 2.a. Déformations intégrables de solutions au problème de Birkhoff 2.b. Constructions en présence d’une métrique >> 2.c. Résumé des Sfi 2.a et 2.b 3. Déformation intégrable universelle pour le problème de Birkhoff 3.a. Existence d’une déformation universelle locale 3.b. Existence et construction d’une déformation universelle globale 3.c. Déformation universelle avec métrique 3.d. La base E 3.e. La base e 3.f. Comparaison des bases E et e 3.9. Cas où R, est antisymétrique 3.h. Relation avec les équations de Schlesinger par transformation de Fourier <(

175 175 176 176

197 197 198 1O 8 203 205 207 207 210 213 215 216 218 220 221 22 1 221 223 227

TAK1.E DES MAIIÈRES

VII. Structures de Saito et structures de Frobenius sur une variété analytique complexe Introduction 1. Structure de Saito sur une variété 1.a. Structure de Saito sans métrique 1.b. Structure de Saito avec métrique 2. Structure de Frobenius sur une variété 2.a. Structure de Frobenius 2.b. Le potentiel de la structure de Frobenius et les équations d’associativité 3. Application de périodes infinitésimale 3.a. Application de périodes infinitésimale associée à une section primitive 3.b. Connexion plate et produit sur le fibré TM 3.c. Le champ d’Euler 3.d. Adjonction d’une variable dans l’application de périodes infinitésimale 3.e. Justification de la terminologie 4. Exemples 4.a. Structures de Frobenius-Saito semi-simples universelles 4.b. Structures de Frobenius-Saito de type A d 4.c. Structures de Frobenius définies par leur potentiel 5. Structure de Frobenius-Saito associée 2 une singularité de fonction 5.a. Esquisse générale 5.b. Le complexe de de Rham << tordu >> par e--‘[ 5.c. Structure de Frobenius-Saito de type A d , deuxième version

ix

229 229 230 230 236 240 240 242 244 244 245 246 247 248 249 249 250 260 262 262 265 266

Bibliographie

271

Index des notations

283

Index terminologique

285

PRÉFACE

Malgré un titre un peu ésotérique, ce livre traite d’un sujet classique, à savoir la théorie des équations différentielles linéaires dans le domaine complexe. Les prototypes en sont les équations (portant sur la variable complexe t et la fonction inconnue u ( t ) ) : c1 du 1 = - u ( t ) (. E C), dt = dt t La première a pour solution la fonction << multiforme >> t H t“ et la seconde a pour solution la fonction 1 H exp(-l/t). La fonction multiforme >> log est, quant à elle, solution d’une équation avec second membre :

du

p w

-

<(

1 dt 1’ ou, si l’on préfère rester dans le cadre des équations homogènes comme il est fait dans ce livre, de l’équation d’ordre 2 : du

-~ -

du dt2 dt Ainsi, Line équation différentielle à coefficients polynomiaux ou fractions rationnelles en la variable 1 admet en génerai pour solutions des fonctions transcendantes. D’autres familles sont célèbres elles aussi, les équations hypergéométriques ou les équations de Bessel, pour ne citer qu’elles. Ceci constaté, la question se pose de savoir s’il est nécessaire de résoudre explicitement l’équation pour connaître les propriétés de ses solutions. Autrement dit, on se pose la question de savoir quelles sont les propriétés des solutions qui ne dépendent que de manière algébrique (donc en principe calculable) des coefficients de l’équation, et quelles sont celles qui nécessitent un recours à des manipulations transcendantes. Pousser ce raisonnement jusqu’au bout conduit à développer la théorie des équations différentielles dans le champ complexe à l’aide des outils de la géométrie algébrique ou analytique complexe ( i . ~la. théorie des d2u

l-+-=O.

xii

PRÉFACF,

équations algébriques complexes). On est ainsi amené à traiter les systèmes d’équations linéaires, dépendant de plusieurs variables. La géométrie algébrique nous pousse aussi à considérer les propriétés globales de ces systèmes, c’est-à-direà considérer des systèmes définis sur des variétés algébriques ou analytiques complexes. Les équations différentielles que nous considérerons dans ce livre prendront le nom de connexions intégrables sur u n j b r é vectoriel. Notre << Drosophila melanogaster >> (mouche du vinaigre) sera la droite projective complexe, qui communément appelée << sphère de Riemann >> et notée P1 (C)ou P’, sera l’objet d’un certain nombre d’expériences portant sur les connexions : analyse des singularités et déformations.

La théorie des déformations isomonodromiques est une machine à produire des systèmes non linéaires d’équations différentielles ou aux dérivées partielles dans le domaine complexe et ce, à partir d’une équation ou d’un système d’équations linéaires d’une variable complexe. Elle donne en même temps un procédé (peu explicite en général) pour les résoudre, ainsi que des propriétés remarquables des solutions de ces systèmes (la propriété dite << de Painlevé >> notamment). Si, au début, seule était considérée la déformation d’équations différentielles linéaires d’une variable complexe à coefficients polynomiaux, il est apparu plus tard que la déformation des systèmes linéaires de plusieurs équations pouvait jeter une lumière nouvelle sur la question, par l’usage d’outils de la géométrie algébrique ou différentielle : fibrés vectoriels, connexions, etc. Pendant longtemps (et c’est toujours essentiellement le cas), cette méthode a servi aux théoriciens des systèmes dynamiques et aux physiciens qui analysent les équations non linéaires produites par des systèmes dynamiques intégrables : faire apparaître ces équations comme équations d’isomonodromie est en quelque sorte une linéarisation du problème initial. De ce point de vue, les équations de Painlevé ont joué le rôle de prototype, depuis l’article de R. Fuchs [FucO~],suivi par ceux de R. Garnier, qui a montré comment la sixième pouvait s’écrire comme équation d’isomonodromie, sortant ainsi du strict cadre de la recherche de nouvelles fonctions transcendantes. Une belle application de cette théorie est l’introduction de la notion de structure de Frobenius sur une variété. Si cette notion était clairement apparue dans les articles de Kyoji Saito sur les déploiements de singularités de fonctions holomorphes, ce n’est qu’avec Boris Diibrovin, à la suite de motivations issues de la physique, qu’elle s’est réellement développée, ouvrant des perspectives sur des sujets apparemment très éloignés (singularités, cohomologie quantique, symétrie miroir). Mon ambition de garder à ce texte un niveau et une taille modérés, tout autant que mon incompétence sur les développements les plus récents, m’ont conduit à limiter les sujets abordés, renvoyant notamment à l’article de B. Dubrovin [Dub961 ou au livre de Y. Manin [Man99a].

PRÉFACE

...

XLll

Le chapitre O, bien qu’un peu long, peut être sauté par tout lecteur ayant des connaissances de base en géométrie algébrique complexe ; il servira alors de référence pour les notations employées. I1 regroupe les énoncés utilisés dans la suite en théorie des faisceaux, fibrés vectoriels, connexions holomorphes et méromorphes, faisceaux localement constants. Les résultats en sont classiques et existent, dispersés, dans la littérature. On poiirrait dire la même chose du chapitre I, bien qu’il soit plus difficile de trouver une référence pour le théorème de rigidité des fibrés triviaux dans les livres de géométrie algébrique élémentaire. On se restreint ici aux fibrés sur la sphère de Riemann, ce qui ne nécessite qu’un petit investissement de géométrie algébrique. On admet essentiellement dans ce chapitre le théorème de finitude de la cohomologie d’un fibré vectoriel sur une surface de Riemann compacte (et même seulement la sphère de Riemann), pour lequel il existe de bonnes références. Avec les chapitres II et III commence l’étude des systèmes linéaires d’équations différentielles d’une variable complexe et de leurs déformations. Le type des points singuliers y est analysé. Ici encore, on ne démontre pas deux théorèmes d’analyse, dans la mesure où les techniques utilisées, bien qu’abordables, sortent trop du cadre de l’ouvrage. Un des objets fondamentaux attachés à une équation différentielle ou, plus généralement, à une connexion intégrable sur un fibré vectoriel, est le groupe d e . ~transjbrmntions de monodromie dans sa représentation naturelle, reflétant la multiformité >> des solutions de cette équation ou connexion. La correspondance de Riemann-HilbPrt - au moins lorsque les singularités de l’équation sont régulières - exprime que ce groupe contient toute l’information de l’équation différentiellc. Ainsi, u n des problèmes classiques de la théorie consiste, étant donnée une équation différentielle, à calculer son groupe de monodromie. Signalons aussi un autre objet, le groupe dr Gulois d f j k x t i e l - non utilisé dans ce livre - qui a l’avantage d’être défini algébriquement à partir de l’équation. Ce n’est pas ce problème que nous développons dans ce livre, et on ne trouvera pas de calcul explicite de tels groupes. Comme indiqué ci-dessus, nous cherchons plutôt à exprimer les propriétés des solutions de I’éqiiation en terme d’objets algébriques, ici le fibré vectoriel (méromorphe) à connexion. Dans ce fibré méromorphe existent des réseaux ( i . e . des fibrés holomorphes), qui correspondent aux diffkrentes manières équivalentes d’écrire le système différentiel. Trouver la manière la plus simple d’écrire un système différentiel à équivalence inéromorphe près fait l’objet du problime de Riemann-HilbPrt (cas des singularités régulières) ou du problème de Birkhoff. I1 s’agit dans tous les cas d’écrire le système comme une connexion sur le fibré trivial. Le chapitre Tv expose quelques techniques de résolution du problème de Riemann-Hilbert ou de Rirkhoff. On trouvera dans les livres de A. Bolibroiikh [AB941 et [Bo1951 beaucoup d’autres résultats. (<

XiV

PREFACE

Le chapitre V introduit la transformation de Fourier (qu’il serait peut-être plus juste d’appeler transformation de Laplace) pour les systèmes d’équations différentielles d’une variable. I1 peut permettre de comprendre le lien entre les équations de Schlesinger et les équations de déformation du problème de Birkhoff, analysées au chapitre VI. Dans ce dernier est expliquée en détail la notion de déformation isomonodromique. Le chapitre VI1 présente axiomatiquement la notion de structure de Saito (sous la forme introduite par K. Saito) ainsi que la notion de structure de Frobenius (sous la forme introduite par B. Dubrovin, reprenant ainsi sa terminologie). On y montre l’équivalence de ces notions, réunies dès lors sous le nom de << structure de Frobenius-Saito >>. De nombreux exemples sont donnés, afin de mettre en évidence différents aspects. II peut servir d’introduction à la théorie de K. Saito sur la structure de Frobenius-Saito associée aux déploiements de fonctions à singularités isolées. La démonstration de beaucoup de résultats de cette théorie fait appel à des techniques de géométrie algébrique en dimension 3 1, techniques qui sortent du cadre de cet ouvrage et dont l’exposition demanderait un autre livre (la théorie de Hodge du système de Gauss-Manin). Ce texte, version très développée de l’article [Sab98], est issu de plusieurs cours (parfois accélérés) faits dans le cadre de la formation doctorale des universités de Paris Vi, Bordeaux I et Strasbourg ainsi que lors d’une école sur les variétés de Frobenius au CIRM (Luminy). Michèle Audin, Alexandru Dimca, Claudine Mitschi et Pierre Schapira m’ont ainsi donné l’occasion d’en exposer certaines parties. Beaucoup d’idées, de même que leur présentation, viennent en droite ligne des articles de Bernard Malgrange, ainsi que de nombreuses conversations que nous avons eues. De nombreux aspects des variétés de Frobenius me seraient restés obscurs sans de multiples discussions avec Michèle Audin. J’ai aussi eu le plaisir de longs entretiens avec Andrei Bolibroukh, qui m’a expliqué ses recherches, notamment sur le problème de Riemann-Hilbert. Joseph Le Potier a répondu de bonne grâce à mes questions électroniques sur les fibrés. Plusieurs personnes m’ont aidé à améliorer le texte, ou m’ont indiqué quelques erreurs, notamment Gilles Bailly-Maitre, Alexandru Dimca, Claus Herding, Adelino Paiva, ainsi que les rapporteiirs anonymes. Je les en remercie.

Ce livre a été écrit notamnieiit dans le cadre du programme INTAS 971644.

TERMINOLOGIE ET NOTATIONS

Certains mots utilisés dans ce livre ont traditionnellement plusieurs sens, suivant le contexte dans lequel on les emploie. Ainsi : - la platitude (en géométrie) signifie l’absence de courbure (pour une métrique, une connexion...), elle est alors synonyme d’intégrabilité ; en algèbre commutative, elle traduit un bon comportement par rapport au produit tensoriel ; - la torsion est une notion géométrique (pour une connexion sur le fibré tangent), mais aussi une notion algébrique (pour un module) ; on s’intéresse à la torsion d’une connexion plate, alors qu’un module plat sur un anneau n’a pas de torsion ... De manière analogue, l’appellation de Frobenius >> peut renvoyer à diverses propriétés bien distinctes : I’intégrabilité au sens de Frobenius concerne les systèmes de Pfaff, qui deviennent ainsi des feuilletages, tandis que la notion de variété de Frobenius (ou structure de Frobenius sur une variété) fait référence à la structure d’algèbre de Frobenius sur le fibré tangent de cette variété ; il n’empêche que la notion d’intégrabilité intervient dans la construction de telles structures. On distinguera aussi les mathématiciens L. Fuchs (condition de Fuchs, équation fiichsienne, etc.) et R. Fuchs (isomonodromie et équations de Painlevé), de mênie que K. Saito et M. Saito. (<

J’ai adopté un principe assez simple pour les notations, auquel j’ai essayé de me tenir. Les lettres M,N, X sont (en principe) réservées aux variétés, la lettre X désignant souvent l’espace des paramètres d’une déformation, tandis que la lettre M désigne plutôt l’espace sur lequel vit l’objet déformé. Les lettres tF,F,Fsont réservées aux faisceaux sur une variété, les lettres l < , f i Gaux fibrés qui leur correspondent, quand il y a lieu, et les lettres E , 3 , 3 à leur germe en un point. Les << fibrés méromorphes >> sont noleur germe en un point par tés en général par la lettre A&’ (et parfois H),

xvi

TERMINOLOGIE ET NOTATIONS

34 ou N. Enfin, dans un cadre algébrique, le module des sections globales d ’ u n f a i s c e a u Z , Y , F ’ , k ‘ e s t n o t éIE,IF,G,M. Dans une famille paramétrée par un espace, la restriction d’un objet A pour la valeur xo du paramètre est notée A’. Enfin, le carré blanc sur fond blanc O signifie la fin d’une démonstration. ou son absence.

CHAPITRE O LE LANGAGE DES F’IBRÉS

Ce chapitre regroupe les principaux résultats généraux utilisés dans ce livre. I1 a aussi pour but de préciser les notations employées plus loin. Les lecteurs pourront s’y reporter si nécessaire. Nous supposons une certaine familiarité avec le langage de la théorie de faisceaux. La notion de fibré vectoriel et de connexion permet d’aborder les problèmes globaux de la théorie des systèmes différentiels linéaires et de leurs singularités. Nous considérons ici uniquement le cadre holomorphe ou méromorphe. Nous nous sommes efforcé de donner des énoncés intrinsèques, indépendants des choix de coordonnées ou de base. Aussi les lecteurs ne s’étonneront-t-ils pas de ne pas trouver la notion de matrice fondamentale de solutions, de wronskien, etc. Par contre, nous insistons sur la différence entre la notion de système différentiel méromorphe (où les changements de base méromorphes sont permis) et celle de rbseaii d’un tel système (oil seuls les changements de base holomorphes le sont).

1. Fonctions holomorphes sur un ouvert de

C”

On pourra se reporter par exemple à [ GR65, chap. I], [ GH78, chap. O], [Kod86, chap. 11 (ainsi qu’à [Hor73, chap. 11 011 [LT97, chap. 11) pour les propriétés élémentaires des fonctions holomorphes. Soient n un entier 2 1 et ( J un ouvert de @”. Les coordonnées sont notées zl,. . . , z,,,OU z, = x1 + iyl est la décomposition en parties réelle et imaginaire. Soit f : u + une fonction de classe C’ . 011 pose

c

2

CHAPITRF O. LE LANGAGE DES FIKRLS

Une fonction f de classe C' sur U est dite holomorphe si, pour tout z E U et tout j = 1,. . . ,n , les équations de Cauchy-Riemann

sont satisfaites. On désigne par B ( U ) l'anneau des fonctions holomorphes sur U et par &I le faisceau des fonctions holomorphes sur U . 1.1. ïhéorème (les fonctions holomorphes sont les fonctions analytiques) Une fonction f : U + C est holomorphe si et spukwient si plle est analytiqup, autrpment dit dheloppable en sévie convevgentr de (zl - z: , . . . ,zn - z i ) a u voisinage d~ tout point z" E U .

Démonstration. - Analogue à celle pour les fonctions d'une variable. Soit n

A(zo,r) =

I1 D(z3,rj) j=1

un polydisque ouvert de polyrayon r = ( r i , .. . ,rn) E (Et;)" centré en z" E U et contenu dans U . Le résultat découle de la << polyformule de Cauchy >> qu'on montre par récurrence sur n : pour tout z E A(z", r ) on a

Soit z" E U . Le germe du faisceau 61 en z",noté @U,O, s'identifie donc à l'anneau des sévie.s convergentes à n variables, noté @{zl - zy,. . . ,zn - zn}. 1.2. Quelques propriétés - Toute application holomorphe d'un ouvert de C n à valeurs dans C? est une application P . - Toute application holomorphe bijective entre deux ouverts de @ " est biholomorphe. - Toute fonction holomorphe non constante sur un ouvert connexe de @" est une application ouuerie. - On dispose du théorème des fonctions implicites et du théorème d'inversion locale pour les applications holomorphes. - Soient U un ouvert de @", cp : U t @ une fonction holomorphe O et 2 c U l'ensemble défini par l'équation y(z1,. . . ,z,) = O dans U . Si f est une fonction holomorphe sur U \ Z qui est bornée au voisinage de tout point de 2 , alors f se prolonge en une fonction holomorphe sur 1 J .

+

2.VARIÉTÉS ANALYIIQULS COMPIXXES

3

2. Variétés analytiques complexes On pourra se reporter à [GH78, chap. O] ou [Kod86, chap. 21 pour plus de détails ou d'exemples. Soit M un espace topologique. Un recouvrement ouvert U de M est une famille ( ü , ) l d'ouverts E~ de M indexée par un ensemble I dont la réunion est égale à M . Un espace topologique M est dit paracompact s'il est séparé et si, pour tout recouvrement ouvert II de M , il existe un recouvrement ouvert de M qui est localementJini et plusJin que 11, c'est-à-dire que tout compact ne coupe qu'un nombre fini d'ouverts de 23 et tout ouvert VI de T? est contenu dans au moins un ouvert U, de LI. Une v a d é analytique complexe M de dimension n est un espace topoet des logique paracompact qui possède un recouvrement ouvert (üz)zt~ cartes 'pz : U, 4@ I n , chaque (p2 induisant un homéomorphisme de U, sur un ouvert O, de @ I n , telles que, pour tous z,j E I , le changement de carte

soit un biholomorphisme. Une fonction holomorphe sur une variété analytique complexe est une fonction de classe C' telle que chaque f O (pi'soit une fonction holomorphe ) Cn. snr l'ouvert ~ i ( ü ide Tout ouvert de carte Ui admet alors des systèmes de coordonnées (zi,. . . , z,) provenant de ceux de O,. Une application entre deux variétés analytiques complexes est dite holomorphe si, pour un (ou tout) choix de coordonnées locales holomorphes de la source et du but, les composantes de l'application sont des fonctions holomorphes des coordonnées. Une sou.r-urcm'été analytique complexr N de M est un sous-ensemble localement fermé dans M pour lequel, au voisinage de tout point de N dans M , il existe des coordonnées locales z1,. . . ,zn telles que N y soit définie par les équations z1 = . . . = zp = O ; on dit alors que 1> est la codimension (complexe) de N dans M . Une hypersurface lisse est une sous-variété Jermée de codimension 1. Un sous-ensemble analytique complexe fermé de M est iin sous-ensemble fermé, qui est localement défini comme ensemble des zéros d'une famille de fonctions analytiques. Nous serons amenés à utiliser le résultat suivant (les lecteurs pourront consulter [GR65, chap. II et III] pour plus de détails sur les sous-ensembles analytiques) :

4

CHAPIïRE O. 1.E LANGAGE DES FIBR6S

2.1. Lemme (connexité, voir [GR65, th.2, p.861). Soit M une uaridé analytique complexe connexe. Alors le complémentaire dans M d u n sous-ensemble O analytiqw fermé distinct de M Pst connew. 2.2. Exemples (1) Tout ouvert de @" est une variété analytique complexe. (2) Tout revêtement (r$ par exemple [God7l]) d'une variété analytique complexe est muni d'une unique structure de variété analytique complexe rendant l'application de revêtement holomorphe. Pour cette striicture, toute section locale du revêtement est une application holomorphe. (3) L'espace projectif complexe P n est l'espace des droites de @"+' : c'est le quotient de Cn+' {O} par la relation d'équivalence v Au (A E Cc * ) . On note [u]E P" la droite engendrée par le vecteur v E Cc "+I \ {O}. Si (Zo,. . . , Z n ) sont les coordonnées sur C n + l ,on recouvre P n par les n + 1 ouvertsU3={[u] l u l # O } ( j = O , ..., % ) . O n n o t e N

y , : u,

N

C"

On obtient ainsi une structure de variété analytique complexe sur IP" : pour 1 # k , notons ( r o , . . . ,%,. . . , r n ) les coordonnées sur y , ( U 3 ) (la 1-ème coordonnée n'apparaît pas) et de même ( w g , . . . , . . . , w.) les coordonnées sur Pk(Uk) ; alors yl(ül n Uk) est l'ouvert Zk # O dans @" et qk(Ul n ük) l'ouvert w1 # O ; le changement de carte est l'isomorphisme

z,

(4) Une variété analytique complexe de dimension 1 est appelee surfnce de Riemann. Citons par exemple : - la droite projective P' , recouverte par deux cartes UO et U, ; le changement de carte @*

- 'Po

u, nu,

'POO

@*

est défini par z H l / z ; - le quotient de @ par un réseau L = Z @ Z T , avec T E C \ IR, naturellement muni d'une structure de surface de Riemann (courbe elliptique).

2.3. Exercice (la gassmannienne, I.$ [GH78, p. 193-1941). - Montrer que l'ensemble des soils-espaces vectoriels de dimension r + 1 de Cn+' admet une structure de variété analytique complexe (appelée grussmannienne des

P. VMIÉTÉS ANALYTIQUES COMPLLXES

5

r+ 1-plans de Cn+' ). Remarquer que c'est aussi l'ensemble des sous-espaces projectifs de dimension r de P".

2.4. Remarques (1) La notion de variété C" peut être définie de la même manière que ci-dessus, en remplaçant << holomorphe >> par << Coo ». Puisque toute application holomorphe est C", une variété analytique peut être munie d'une structure naturelle de variété C" et la notion de fonction Cm a un sens sur une variété analytique complexe. On note ghy le faisceau des germes de fonctions Cm sur M . (2) I1 sera commode de généraliser la notion de carte d'une variété analytique. Une carle étale 'p : U + @ " est une application holomorphe d'un ouvert de M sur un ouvert de e', qui est partout de rang maximum. Les composantes ( p i , . . . , y l l ) de 'p forment alors un système de coordonnées au voisinage de chaque point de U. Lorsqu'aucune confusion n'est à craindre, nous dirons encore que ( p i , . . . , 'pn) est un système de coordonnées sur U .

2.5. Le faisceau structural. - Soit U un ouvert d'une variété analytique complexe et notons &tf (ü) l'anneau des fonctions holoniorphes sur U . Pour V c U on dispose d'une application de restriction @M ( U ) + @hf ( V ) , qui fait de @bf un préfclircetm. Ce préfaisceau est en fait un faisceau d'algèbre$ commutatives ù unité : c'est le faisceau structural de M . Soit 'p : M + N une application holomorphe. Par composition, toute fonction holomorphe g sur un ouvert V de N induit une fonction holomorphe g O y sur l'ouvert 'p-l ( V ) . D'où un morphisme de faisceaux d'algèbres

qui fait de @fi1 un faisceau de modukr sur 'pP1@v.

-

2.6. Le faisceau - constant. - Soient G un groupe et G le préfaisceau sur M défini par G ( U ) = G pour tout ouvert U de M , les applications de restriction étant toutes égales à l'identité Id(; : G + G. Ce préfaisceau nkst pas un Faisceau : si U a deux composantes connexes Ul et U2,on a C ( U ) # ?x; ?;(U2). (/I,) Le faisceau associé est lefaisceau constant de,fibre G , qu'on note GM.

2.7. Exercice (les sections du faisceau constant). - Vérifier que, si U est connexe, on a ï(aGA{) = C; et qu'en général on a l'égalité ï ( U , C , ~ J )= G' si I est l'ensemble des composantes connexes de U . Montrer que les applications de restriction sont l'identité sur chaque Facteur du produit.

3. Fibrations vectorielles holomorphes Soit T: : E + M une application holomorphe entre deux variétés analytiques complexes. On dira que T: est une Jlbration vPctoriPlle de rang d , ou encore que T: fait de E: un jibré vectoriel de rung d sur M s’il existe un recoiivrement ouvert LI de M (dit recouvrement tri.rlialisantpour E ) et pour tout ouvert U de 11 une cartt linéaire ‘pu qui est biholomorphe, qui fait commuter le diagramme

($1 désigne la première projection) et qui satisfait la propriété de linénrité : pour tout couple V ) d’ouverts du recouvrement, le changement de cartes

(u

c p u o ~ ~ l : ( ~ n v ) ~ @ ~ - ( ~ n v ) ~ c ~ est linéaire dans lesjibres lu première projection, autrement dit est défini par une application holomorphe : U n V + GLd(C), c’est-à-dire encore par une section holomorphe du faisceau GLd(&tf) des germes de matrices inversibles à élkments holomorphes. 4 J ~ , \ 7

Exercice (la condition de cocycle). - Vérifier que les applications +L;J ainsi construites satisfont la propriété suivante (dite condition de cocycle) : pour tout triplet U, Y W d’ouverts dans et tout m E U n V n W , on a l’identité

(3.1)

4J~ ( :mi.) +\:IV

( m ) . (JLICLI (m) =

.

Un morphisme cp entre deux fibrés vectoriels E, E’ sur M est une application holomorphe de E dans E’ faisant commuter le diagramme

E

‘p

E‘

et induisant pour tout m E M une application linéaire : n-’(m) + n’-’( m ). Par exemple, sur un ouvert trivinlisant u pour E , la carte linéaire ‘ p ~ rconsidérée ci-dessus est un isomorphisme de la restriction E p sur lejibré trivial de rang d . On note L(E, E’) l’espace des morphismes de E dans E’. C’est un module sur l’anneau T(M, &\J) des fonctions holomorphes sur M .

3.2. Remarque. - Le noyau et le conoyau d’un morphisme de fibrés ‘p : E -+ E’ sont eux-mêmes des fibrés vectoriels si et seulement si ‘p est d~ rang constant. Ainsi, la catégorie des fibrés vectoriels sur une variété de dimension 1 n’est pas abélienne(’). Interpréter un fibré vectoriel comme un faisceau localement libre de @M-modules, ainsi que nous le ferons au paragraphe 4, permet de considérer cette catégorie comme une sous-catégorie de celle des faisceaux de &-modules qui, elle, est abélienne : le noyau et le conoyau de ‘p existent comme faisceaux de Nhf-modules, mais ceux-ci ne sont pas toujours localement libres.

3.3. Opérations sur lesjbrés vectoriels - Soit f : M + N une application analytique entre deux variétés analytiques complexes et soit TC : E + N un fibré vectoriel holomorphe de rang d . Le produzt$bré

ExM

= {(e,m)E

E xM

I n(e) = f ( m ) } c E

x M

1%

muni de la restriction de la projection sur M est un fibré vectoriel de rang d sur M , noté TE, et appelé image invuse dP E par f (considérer l’image inverse d’un recouvrement de N trivialisant pour E et les cartes linéaires correspondantes). Lorsque f est l’inclusion d’un point n dans N , la restriction f * E est u n C -espace vectoriel, appelé j b r e dP E en n E N . Lorsque f est l’inclusion d’un ouvert U de .V, la restriction de L à U est notée E,(,, comme plus haut. - Soit E (resp. E’) un fibré vectoriel sur un ouvert ci (rpsp. U’) de N I . La donnée d’un isomorphisme de fibrés ‘p : E l c ~ + ~ ~E[[,”(,, ~ , permet de définir E E‘ : l’ensemble F est celui un fibré F sur U ü U’ tel que qc~E E et sur la réunion disjointe E LI E’ des classes de la relation d’équivalence avec e d si e’ = y(e) (on vérifiera (exercice) que la projection sur M fait de F un fibré vectoriel holomorphe). - Les opérations usuelles sur les espaces vectoriels s’étendent aux fibrés vectoriels : somme directe, produit tensoriel, homomorphismes. Étant donnés deux fibrés vectoriels E , E’ de rang d, d’ sur M , on définira (exercice) les fibrés vectoriels E @ E’ (de rang d + d ’ ) , E 8 E’ (de rang dd’), L ( E ,I?) (dc rang d d ’ ) , satisfaisant, pour tout rn E M , les égalités N

N

( E E’)nL= E,n @ E:, (li @ E‘)m = @ E:, L(E, = L ( E , ~E;) ,

(applications linéaires).

(‘)Voir le .t; 17 pour les noiioris élkmeritaires sur les catégories.

8

CHNITU

o. I E IANGAGE DES FIBRÉS

4. Faisceaux localement libres de

&bf

-modules

Soit E un fibré sur M et U un ouvert de M . Une section holomorphe de E sur U est line application holomorphe O : U + E qui est une section de la projection n,i.e. qui satisfait x O O = Idu. L’ensemble g ( U ) des sections holomorphes est un module sur @M ( U ). Les applications naturelles de restriction aux ouverts permettent de définir un préfaisceau sur M , qui est en fait un faisceau (le vérifier). C’est un faisceau de @bf -modules. De plus, puisque E est localement isomorphe à un fibré trivial, ce faisceau est localement isomorphe au faisceau des sections holomorphes du fibré trivial, qui ; : on dit que ?k est localement libre de rang d sur @hf. n’est autre que @ On définit ainsi un foncteur de la catégorie des fibrés vectoriels (les morphismes sont les morphismes de fibrés vectoriels) dans la catégorie des faisceaux localement libres de @M-modules (un morphisme de fibrés donne lieu, par composition, à un morphisme entre les faisceaux de leurs sections locales holomorphes).

4.2. Proposition (équivalence fibrés-faisceauxlocalement libres). - Le foncteur ainsi d@ni est une équivalence(‘) entre la catégorie des jibrés holomorphes de s de & -modules localement libres de rang d . rang d et celle c l ~faisceaux Dimonstration. - Rappelons qu’un morphisme ‘p : 9 + F de faisceaux de &u-niodules est la donnéc, pour tout ouvert U de M , d’une application (U)-linéaire r ( q F ) + de sorte que, pour tout couple d’ouverts emboîtés V c U , le diagramme de restriction commute :

ï(nF)

On note Hom&,, ( YF) , l’espace des morphismes &’Af-linéairesde F dans 25’. C’est un module sur l’anneau ï ( M ,&A{) des fonctions holomorphes sur M (multiplication par une fonction holomorphe).

4.2. Remarque. - Si F est un faisceau de &-modules, une section O E T ( I ! F ) de Y sur un ouvert U n’est pas autre chose qu’un homomorphisme ‘p : + ~ L Tpuisqii’iin , tel homomorphisme est déterminé par la valeur O = ‘p(1) E r(U,Y)de la section 1 E T(U,@Af). On a donc un isomorphisme canonique Hom@;,(@r,~ L T ) ï(nF) . (‘)Voir le

17 pour les notion5 Plénientaires sur les catégories.

4. FAISCEAUX LOCALEMENT LIBRES DE MAI -MODITI.ES

9

Revenons à la proposition. Soient donc E et E' deux fibrés vectoriels holomorphes sur M et E",E"' les faisceaux associés. Montrons d'abord que l'application naturelle

(4.3)

L(E, E')

+ Hometl (E", Z ' )

est un isomorphisme de ï ( M ,@~)-modules.

-

Injpctivité. - Soit f : E + E' un morphisme de fibrés dont l'image dans Hom&hI(E",E"') est nulle. Soient rn E M et U un voisinage ouvert de M trivialisant pour E et E'. On a donc E I L ~ u x c det filll = u x Pour

c".

, composée f o 0 : u + u x cd'est nulle. On toute section o : u + u x c d la en déduit que l'image par f ( m ) de chaque vecteur de la base canonique de c dest nulle, donc f ( r n ) : E, + E:,~est l'application linéaire niille.

-

Suqectiuité. - Supposons d'abord que E et E' soient trivialisables, donc que E" et Z' soient libres ( Z 2 @ ; et E"' 8;'Un ). morphisme 'p : --f 8 ;' s'exprime, dans les bases canoniques, par une matrice ( ' p i i ) de taille d' x d , où q i j : &tf + @M est un morphisme. Le faisceau &bf admet une section canonique, à savoir la section unité 1 , et 'pLl( 1 ) est une fonction holomorphe sur M . Réciproquement, il est clair par linéarité que la donnée de y i j ( 1 ) détermine entièrement ' p i f . Ainsi, la donnée de la matrice ('pil ( 1 ) ) est équivalente à celle de y . Cette matrice définit un morphisme entre les fibrés triviaux

qi

-

M x C d+ M x Cd' (m,v)

(rn,'p(l)(rn) . u ) .

Dans le cas général, E" et Z' sont localement libres. Si 'p : CY + Z' est un morphisme, on construit un morphisme de fibrés EIU 4 E[cJen restriction à tout ouvert trivialisant. L'injectivité montrée plus haut implique que ces morphismes se recollent en un morphisme E + E'. ntielk suqectivilé dufoncteur. - I1 s'agit de vérifier que tout module localement libre E" est isomorphe à l'image d'un fibré E: par le foncteur. On reconstruit d'abord le fibré E fibre à fibre à partir di1 faisceau 2?, puis on met une structure de variété analytique sur la réunion disjointe des fibres. Soit donc m E M et @M,, l'anneau des germes en m de fonctions holomorphes sur M . Si (q, . . . , z,) sont des coordonnées locales holomorphes pour lesquelles rn est l'origine des coordonnées, cet anneau n'est autre que l'anneau des séries convergentes C { 21, . . . , z r i } . Soit nt l'idéal des germes qui s'anniilent en rn. Si ZvL désigne le germe de E" en rn, on pose E, = g n / r i t & . C'est un espace vectoriel de dimension d . On prend pour E

10

<:HAPITRE O. LE IAh’CAGL DES FIKRÉS

la réunion disjointe des E,, munie de sa projection naturelle sur M . On munit E d’une structure de variété analytique complexe en considérant un O recouvrement trivialisant pour k? (exercice : donner les détails). 4.4. Opérations sur les &$f -modules localement libres. - Nous décrivons ci-dessous les opérations correspondant à celles sur les fibrés, vues au § 3.3. Ces opérations sont en fait définies pour les faisceaux de Hkl-modules, pas nécessairement localement libres. Lorsque les données sont localement libres, le résultat l’est aussi. Les lecteurs vérifieront (exercice) la correspondance avec le 5 3.3. - Soient f : M + N une application holomorphe et F un faisceau de &v-modules. Soit f-’Fle faisceau image inverse (au sens topologique de la théorie des faisceaux, voir par exemple [God64, p. 1211, où cette opération est notée y ) .On voit en particulier que ,f-l&r est un faisceau d’anneau sur M et que & est aussi un faisceau de f-’@v-modules. L’image invuse comme faisceau de &-modules est

de sorte que, par définition, on a y&\r = 8 ~ L’opération . transforme un faisceau de eV-modules en un faisceau de &-modules. - Soit k? (resp. k?’) un faisceau sur un ouvert U (resp. U’) de M . La permet de donnée d’un isomorphisme de faisceaux cp : q l ~ ~ l ~ / définir un faisceau F sur U U U‘ tel que E k? et E k?’. Donc si k? (resp. k?’) est localement libre sur @CJ (resp. @ut ) , le faisceau F est aussi @uuu,-localement libre. - Les opérations naturelles sur les modules s’étendent aux faisceaux de &M -modules : somme directe, produit tensoriel, homomorphismes. - Rappelons la construction du faisceau (F, F) : on pose, pour tout ouvert U de M ,

-qu/qbnul N

où Hom a été défini dans la démonstration de la proposition 4.1. On vérifie que l’on dispose bien d’applications de restriction et que le préfaisceau obtenu est un faisceau. Lorsque F et F sont localement libres de rangs d et d’ respectivement, le faisceau 2%mBL, (f,F) est localement libre de rang dd‘. On prendra garde aussi (voir par exemple [GM93, p. 1041) qu’en général, la construction Z m ne commute pas aux germes en théorie des

11

5 . C;OHOMOLOGIE NON ABÉLIENNE

faisceaux, mais que, si F,F sont des faisceaux localement libres de modules, on a, pour tout m E M ,

8~-

a m 4 L f(Y,F ) m = Zm&hm,,,m ( F m ,F m )

(c’est une propriété locale, de sorte que, pour la montrer, on peut supposer

F = HL et F

= H;‘).

4.5. Exercice (sous-faisceaux et sous-fibrés). - Montrer qu’un homomorphisme

y : F + F de faisceaux localement libres provient d’un homomorphisme injpctif des fibrés correspondants si et seulement s’il est injectif et le faisceau quotient F / y ( F ) est aussi localement libre. On dira alors que F est un sousVérifier que I’homomorphisme de fibré du faisceau localement libre F. multiplication par z de Hc dans lui-même ne provient pas d’un morphisme injectif des sous-fibrés associés.

5. Cohomologie non abélienne On renvoie à [Fre57] pour les propriétés élémentaires de la cohomologie non abélienne (voir aussi par exemple [BV89a, chap. 11.1, 110-1231). Soit 2 7 iin faisceau en groupes (non nécessairement commutatifs). Nous considérerons notamnient le faisceau GLd (&) dont les sections sur un ouvert de M sont les matrices inversibles de fonctions holomorphes sur cet ouver t . Soit II un recouvrement ouvert de M . Un 1-cocycle de 11 ti valeur5 dam F consiste en la donnée, pour tout couple ( Q V ) d’ouverts de LI, d’un élément +l;v de F ( ün V ) (par exemple, dans le cas de GLd(@hf),d’une application holomorphe +[;il : U n V + GLd(Q1)) satisfaisant la condition de cocycle (3.1). L’ensemble des 1-cocycles est noté %’ (11,F). Exercice. - Vérifier que, si

+ est un 1-cocycle, on a

= (+~y-’

Un cobord est un 1-cocycle 0 pour lequel il existe, pour tout U E 11, un élément yrr E F(u)satisfaisant = y11 . y ï ’ pour tous U,V e II (on vérifie de manière immédiate que 4 ainsi défini satisfait la condition de cocycle). On dit que y est une O-corhaLnp de 11. On remarque que, si 9 est un cobord, il en est de même di1 I-cocycle défini par $6;. (m) = (+r!v ( m ) ) - ’ pour tout m E M . +n,rr

+-’

<:HAPITRE O . LE IhN<;AGE DES FIKK6.S

12

+

Deux cocycles et 0’de à valeurs dans F sont dits équivalents(3)s’il existe un cobord YJ tel que l’on ait &I, = . +[J,JT . y;’ pour tout couple (aV ) d’ouverts de 11. Le premier ensemble de cohomologic! non abélienne H’ F)est le quotient de l’ensemble des cocycles par cette relation d’équivalence. C’est iin ensemble muni d’un élément particulier, classe du cocycle << identité ». Néanmoins, il n’a pas d’autre structure en général, du fait de la non-commutativité du faisceau F.

(u,

5.1. Exercice (quelques propriétés de H’ (11, Y ) ) (1) Lorsque d = 1, montrer que GLI (@) = @* (faisceau des fonctions @*) est un groupe abéholomorphes qui ne s’annulent pas) et que H’ lien (noté multiplicativement). (2) Un rufinement 2’ de LI est un recouvrement ouvert (T)jc,/plus fin que U,i.e. tel que tout Vf soit contenu dans un Ui. I1 existe alors au moins c U.(j). une application K : J + I telle que, pour tout j E J , on ait Montrer que, si = ( + L J ) , L J > , ) ,encore noté ( + i , i r ) , est un I-cocycle de à valeurs dans F, alors défini par = +x(j),x(lr)ll~,nl;, est un 1-cocycle de %. ( 3 ) Montrer que, si K , p : J + I sont deux telles applications, les cocycles 4‘ et sont équivalents via la O-cochaîne q définie par q j = $ ~ ( j ) , ~ ( j ) . (4) En déduire l’existence d’une application de raffinement indkpendante du choix de (x

(u,

+

+‘

: H ~ ( L I , F+ ) H~(%?,F).

+‘

+’

(5) Soient +, E L 1 (L1,F) deux 1-cocycles dont les raffinements et sont équivalents vin une O-cochaîne de %. Montrer que et sont équivalents via une O-cochaîne de U. (6) En déduire que l’application de raffinement p est injective. (7) On note H’(A4,F) la limite du système inductif H’(L1,F) ainsi construit, indexé par tous les recouvrements ouverts de M . Montrer que les applications naturelles

+”

+ +’

Hl(11,F)

-

H’(M,F)

sont injectives et en déduire que, si l’on identifie l’ensemble H’ (LI, F) à son image dans H1( M ,Y), ce dernier ensemble apparaît comme la réunion des H’ (II, F).

(“)Vérifierque l’on définit bien une relation d’équiivalcnce.

13

5.2. Exercice (image inverse et cohomologie) (1) Soient S et X deux espaces topologiques, X étant connexe, et soit $11 : S x X -+ S la première projection. Soit 57 un faisceau sur S. Montrer qu’on a une bijection

r ( s , q: r(s x x , p y l ~ ) (on pourra utiliser le fait que l’espace étalé q : ~IT’F -+ s x

p

-

x Id : 9 x

x

est le produit

X + S x X ; voir le 15.a poix la notion d’espace étalé).

(2) On suppose que X est un ouvert de

@ i n . Montrer qu’on a une bijec-

tion naturelle

Hl(S,F): H’(S x

x,py’F)

(on pourra utiliser un recouvrement par des ouverts du type T x B , oii B est une boule ; généraliser l’argument à une variété X quelconque en utilisant [BT82,chap. I, th. 5.11). ( 3 ) En déduire que le préfaisceaii sur X défini par U H H’ (Sx U, FT’F) est le préfaisceau constant.

5.3. Proposition (le cocycle d’un fibré vectoriel) (1) Soit E un fihr6 vectoriel sur M . Si 11 est un recouvrement de M trivialisant pour E et est le cocyle corrqbondant, 1Z’mage de ln classe [+I E H’ (II,G L ~ ( & M ) )dans H’ ( M ,GL~ (&M) ) ne dépend que de E (et pas d u choix de 11 P t de 9 ) et deux jïhrh sont isomorphes .si et seulement s’ils d6jnissmt le mime dément. ( 2 ) Riciproquement, tout éliment de H1( M ,GLd (@M ) ) provient de cette rnanikrp d’un,fihri holomorphe de rang d sur M , unique h isomorphisme près.

+

+’

Dérnonstration. - Montrons dans iin premier temps que deux cocycles +, définis par deux fibrés E,E’ pour le même recouvrement trivialisant 11 sont équivalents si et seulement si les fibrés sont isomorphes. Supposons d’abord qu’il existe une O-cochaîne 7 telle que, pour tous U, V E II, on ÿ l .particulier q définit pour tout U E LI iin isomorait L&, = q c , + ~ { ~ ~ qEn phisme U x C d + U x C d .En restriction à U , on définit un isomorphisme 011 en imposant que le diagramme ci-dessous commute :

SurUnV ona

CHAPITRE o. LE IANGAGE DES FIBRÉS

14

et donc 011 et OLT coïncident. Ces isomorphismes se recollent par suite en un isomorphisme E E'. Inversement, si on dispose d'un isomorphisme E + E', on construit par les mêmes formules une O-cochaîne y] rendant équivalents et 4'. Les lecteurs vérifieront en exercice l'indépendance relative au recouvrement. Montrons maintenant le second point. Toute classe de cohomologie dans l'ensemble de cohomologie H' ( M , GLd(@hf)) est aussi dans H ' ( U , GLd(&)) pour un recouvrement U convenablement choisi (. injectivité >> dans l'exercice 5.1). Choisissons un cocycle la représentant. On construit alors un fibré E comme quotient de la réunion disjointe N

+

+

LI (U x

Ucll

par la relation d'équivalence qui identifie (m,u ) E U x C det ( n ,w ) E V x C d si m = n E U n V et 7u = $ 1 1 , ~( v ) . On vérifiera que l'ensemble ainsi construit est muni d'une projection sur M (induite par la première projection sur chaque terme U x C d )qui en fait un fibré holomorphe dont est un cocycle associé. O 5.4. Remarque. - La classe d'isomorphisme de fibrés correspondant à l'élément Id de l'ensemble H' ( M , GLd(&)) est celle du fibré trivial x : M xCc"-M.

5.5. Exercice (opérations SUT les cocycles) - Montrer qu'une application holomorphe f : M nir des applications

+

N permet de défi-

f * : H'(II,GL~(@~)) +H'(~-'u,GL~(&))

(ici, 11 est un recouvrement de N et f-'11 est le recouvrement de M formé des f-' (U) , pour U E It), puis

-

f * : H ~ ( N , G L ~ ( @ ~ + )H ' ( M , G L ~ ( @ ~ ) ) par passage à la limite. - Définir les opérations analogues à celles de << somme directe D, produit tensoriel et applications linéaires >> sur la I-cohomologie non abélienne. ((

)>

(<

5.6. Remarque. - Les lecteurs Vérifieront (exercice) que les énoncés des §§ 3, 4 et 5 se transposent mot pour mot au cas des fibrés vectoriels CO3.

6. COHOMOLOGIE DE CFCH

15

6. Cohomologie de Cech Soit Y un faisceau de groupes abéliens (notés additivement), par exemple un faisceau de &M-modules. La construction des 1-cocycles se généralise, de même que celle des cobords, et permet de construire les espaces de cohomologte de tech à valeur dans le faisceau F. Soit donc 11 = ( U l ) un l Erecouvrement ~ ouvert de M . L’espace C k (LI,F) des k-cochaînes est le produit des T(U,,, ri . . . n üz,,, F) pris sur toutes les familles d’éléments de 11 indexées par un sous-ensemble ordonné de I de cardinal k + 1. Une k-cochaîne s’écrit donc O = ( O J ) J + I , # J = ~ + I (ici, J < I signifie que J est un sous-ensemble ordonné) avec OJ E ï( U,, F) .

nLEJ

L’opérateur de cobord 8 k : c”(11,F)+ C ” + ’ ( L l , F ) est défini par la U, formule ci-dessous : pour K < I de cardinal k 2 , on pose UK = et

+

On vérifie que On pose

ak+l o s k :

c k ( U ,+ ~ )c~+‘(LI,F)

Hk(Ll,Y)

nIEK

est I’application nulle.

KerBk/ImBk-l

Lorsque ’u est un raffinement de 11, on a une application naturelle H k ( % , Y )-+ H k ( l l , Y ) . L’espace H k ( M , Y ) est défini comme la limite du système inductif cidessus, indexé par tous les recouvrements ouverts de M . I1 est immédiat de vérifier que H’(11, F) = l-(A4, F) pour tout recouvrement ouvert U : c’est une autre façon d’exprimer la propriété d’unique recollement des sections pour un faisceau. On prendra garde que, pour k 3 2, les applications de raffinement ne sont pas nécessairement injectives. Néanmoins on a : 6.1. Théorème de Leray. - Si 11 esi un recouvrement acyclique pour lejbisceau Y ,ckst-à-dire si H k (UJ,9) = O pour tout k 2 1 el tout J c I de carrlinaljni, alon l’application naturdk H k (11,Y )+ H” ( M ,Y )est un isomorphisme pour

tout k

2 O.

Dkmonstration. - Voir par exemple [GR65, p. 1891, [GH78, p. 401 ou [KS90, p. 1251. O

11 est beaucoup plus commode d’utiliser le formalisme de l’algèbre homologique, notamment l’existence d’une résolution flasque canonique, pour définir la coliomologie d’un faisceau (voir [God64, p. 1641 ou [KS90, chap. 21). Le théorème d’isomorphisme entre les groupes de cohomologie

16

CHAPITRE O. 1.E IANGAAGE DES FIBRES

et les groupes de cohomologie de kech correspondants (voir par exemple [God64, p. 2281) permet d’identifier les deux types de cohomologie. Très utile pour les calculs est alors le

6.2. Théorème (la suite exacte longue). - Une suite exacte courte de faisceaux

donne lieu à une suite exacte longue de cohomologie

Dimonstration. - Voir par exemple [GH78, p. 401 ou [God64, p. 2241.

O

L’existence de partitions Coo de l’unité adaptées à un recouvrement ouvert localement fini permet d’obtenir, d’une manière générale pour le faisceau des fonctions Cm sur une variété,

6.3. Théorème (le faisceau i?’co n’a pas de cohomologie). -Pour tout k les espaces de cohomologie H k( M , gp)sont nuls.

> 1,

Dimonstration. - Voir par exemple [GH78, p. 421.

7. Fibrés en droites D’après le fis, les classes d’isomorphisme de fibrés holomorphes de rang 1 sur une variété analytique M sont en correspondance bijective avec les éléments de H’(M, G L l ( & ) ) . Comme le groupe GL1(&) = &?$ (les sections sur un ouvert sont les fonctions holomorphes partout non nulles sur cet ouvert) est abélien, cet ensemble est un groupe (abélien). Le produit correspond au produit tensoriel des fibrés en droites (ou de faisceaux localement libres de rang 1). Tout tcl faisceau 2 admet donc un inverse pour IC produit tensoriel : si est un I-cocycle associé à ce fibré en droites, est une fonction holomorphe partout non nulle sur U n V , et la fonction l / + ~ / , v donne le I-cocycle du fibré inverse.

+

7.1. Exercice. - Montrer que l’inverse du faisceau &I). faisceau dual, à savoir 2?8m&bf (3,

2 est isomorphe à son

7. F I B R ~ ~EN S I)KOIIES

17

7.a. L’exponentielle comme morphisme de faisceau. - L’application z H exp(2ixz) permet de définir, par composition, un homomorphisme su@ctij de faisceaux

(7.2)

@if

-1;

f Hexp ( 2 i n f )

4;)

En effet, rappelons que r(U, est l’ensemble des fonctions holomorphes sur U qui ne s’annulent en aucun point de U et le germe &$,m est l’ensemble des germes en m de fonctions holomorphes qui ne s’annulent pas en m. Dire que le morphisme ci-dessus est surjectif, c’est dire que, pour + l’est. Soient donc m” E A4 et g E tout m , le morphisme I1 existe un voisinage U de m” sur lequel g est définie et dont l’image est contenue dans C \ A , où A est la demi-droite réelle issue de O et passant par zg(mo).I1 existe sur ce domaine une fonction << logarithme >> et on définit

q&,L

qG,r,Lo.

f : U + C par f(m) = logg(m) . Le germe de 2in de g. ~

/

en mo est un antécédent

o

7.b. Suite exacte de l’exponentielle et classe de Chern. - Si U est uii ouvert de M , une fonction holomorphe / : U -+ C satisfait exp 2inf = 1 si et seulement si / est localement constante 2 valeurs entières sur U , autrement dit si et seulement si f est une section du faisceau constant Zhf sur U . On en déduit que l’on a une suite exacte de faisceaux de groupes abéliens (où Z h j et sont notés additivement et ?{ multiplicativemerit) :

Le théori-me 6.2 montre l’existence d’un homomorphisme de groupes abdieris

H’(M,q;)

-

H‘(MZh1).

Si I, est iin fibré e n droites holomorphe sur M et si [(JI E H ’ ( M , j { ) désigne la classe d’un cocyclc associé 2 I,, on note c1 (L)l’image de [+I dans H‘ ( A l , Z ,\I ) : c’est la clnss~dr C h r n dii ,fibw! I,. Deux fibres cn droites isomorphes ont même classe de Chern, la réciproque pouvant être fausse (mais nous verroris ail $1.2 qu’elle est vraie lorsque 12.1 est la sphere de Riemaiiii P (C) ) .

’

7.3. Exercice (la classe de Chern est fonctorielle) (1) Soierit I , et I,’ deux fibres en droites sur M .Montrer que cl (L@L’) = Cl ( L ) + (‘I ( L ’ ) . (2) Montrer que, si / : M + N est une application holomorphe et L est iin fibré en droites sur N, on a q = f*cl ( L ) .

(rl.)

CHAPII’RE O. LE LANGAGE DES FIRRkS

18

7.4. Exercice (classe de Chern d’un fibré C”) (1) Montrer qu’on a une suite exacte exp 2in. 0 z h f + ghy A

-

gF*+o.

(2) Montrer qu’un fibré C” en droites sur M est déterminé (à isomorphisme près) par sa classe de Chern. ( 3 ) Montrer que la classe de Chern d’un fibré en droites holomorphe est la même que celle du fibré C” sous-jacent. 8. Fibrés méromorphes, réseaux Soit Z une hypersurface lisse d’une variété analytique complexe M (voir le § 2). Si U est un ouvert de M , l’intersection Z n U est encore une hypersurface lisse de U . Une fonction holomorphe sur U \ Z n U est dite méromorphe le long de Z n U si, pour toute carte V de M contenue dans U dans laquelle Z n V est définie par l’annulation d’une coordonnée, z1 par exemple, il existe un entier m tel que z f f ( z 1 , . . . ,z,) soit localement bornée au voisinage de tout point de Z n V , c’est-à-dire encore se prolonge en une fonction holomorphe sur V . On définit de cette manière un préfaisceau sur M , qui est en fait un faisceau, noté @M ( * Z ) . I1 contient @M comme sous-faisceau. I1 contient aussi le sous-faisceau &bf ( k Z ) ( k E Z ) , décrit localement dans une carte comme cidessus comme le sous-faisceau des fonctions méromorphes f telles que z f f soit holomorphe ( i e . f a un pôle d’ordre au plus k si k > O et f s’annule à l’ordre au moins - k , si k O, le long de 2 ) .

<

8.1. Lemme. - Les sousfaisceaux @hf

8~ (kZ)

sont localement labres de rang 1 sur

O

’

8.2. Remarque. - Si Z a plusieurs composantes connexes 21,. . . , Z p , on peut de manière analogue définir les sous-faisceaux @M ( k l Z 1 + . . . + k p Z f l ) , qui sont aussi localement libres de rang 1. Si k? est un fibré, on note k ? ( k % ) = B 8~~~ @hf ( k Z ) et on définit de même k ? ( k l Z i + . . . + k p Z p ) .

8.3. DéJinition (fibrésméromorphes, réseaux). - Un fibré mbomorphe sur M Ù p6lps le long de Z est un faisceau localement libre de rang fini de @M (*Z)modules. Un rPJeau de ce fibré méromorphe est un sous-&\f-module localement libre de même rang de ce fibré méromorphe. O n voit en particulier qu’un reseau k? d’un fibré méromorphe A&’ coïncide avec A&’ en restriction à M \ 2 . De plus, on a A&‘ = @hf(*Z) ci3 &I

z.

9. EXEMPLES DE FIRRÉS I IOLOMORPHES ET MÉROMORPHES

19

Un fibré méromorphe J&’ peut contenir des réseaux non isomorphes. I1 peut aussi ne contenir aucun réseau (voir par exemple [Mal94, Mal961 où est aussi donné un critère d’existence de réseaux dans un fibré méromorphe) . Néanmoins on a :

8.4. Proposition (les réseaux existent). - Soient M une surface de Riemann et Z c M un ensemble discret de points. Alors tout $bré mérornorphe sur M & pôles aux points de Z contient a u moins un réseau. Démonstration. - On construit un tel réseau par recollement. On choisit un recouvrement de M par des ouverts U = M \ Z et U, ( m E L ) de sorte que U, n U,, = 0 si m # n et que, pour tout m E Z , on ait une trivialisation à U,. On choisit pour tout m E Z un réseau de la restriction de (il suffit de choisir un réseau de &T~, et de le transporter par l’isomorphisme de trivialisation) et on prend pour réseau sur U le fibré coïncident sur U n U, = U, \ {m},on peut lui-même. Comme ~ L etJ g(im> O définir tin réseau de en recollant les réseaux locaux ainsi définis.

qrn>

Par ailleurs, tout fibré vectoriel E donne lieu à un fibré méromorphe i7. dont il est Lin réseau, à savoir J&’ = @M (rZ) On voit comme à la proposition 5.3 qu’il y a bijection entre l’ensemble des classes d’isomorphisme de fibrés méromorphes de rang d et l’ensemble H ‘ ( M , GL~(&M ( * Z ) ) ) .Ainsi, un fihré méromorphc peut être défini par un cocycle formé de matrices à éléments méromorphes à pôles le long de Z. L’application naturelle

n’est en général ni injective ni surjective. La proposition 8.4 ci-dessus montre que, lorsque M est une surface de Riemann, elle est surjective.

9. Exemples de fibrés holomorphes et méromorphes 9.a. Le fibré cotangent et les faisceaux de formes holomorphes. - Soit U un ouvert de M . Un champ de vecteurs holomorphe sur U est par définition un endomorphisme C-linéaire du faisceau &J qui est une dhi’vation, c’està-dire qui satisfait la << règle de Leibniz : >)

“;k) = &(S) + f i k ) pour tout ouvert V c U et toutes f , g E & ( V ) . On définit de cette manière un préfaisceau sur M , qui est en fait un faisceau (le vérifier), que l’on : c’est le faisceau des champs de vecteurs holomorphes sur M . Le note faisceau dual Zorn&,, (On[,@M) est noté CLk : c’est le faisceau des lformes dffîrentielkr holomorphes.

CHAPITRE O. LE LANGAGE DES FIBRÉS

20

7.1. Proposition (les fibrés O,){ et ah).- Lec fazstvaux Olv1 et O:, sont dec fazsreaux localement lzbres de rang n de -modules.

Démonstralzon. - Puisque l'énoncé est de nature locale, il suffit de le vérifier pour les ouverts de C n . De plus, s'il est vrai pour Ob{, il est aussi On vérifie alors que sur un ouvert de C7'de coordonnées vrai pour zl,. . . , z,, le faisceau O est isomorphe à &TL avec pour base les dérivations û / d z l , . . . ,û/ûz,,. La base diiale de 1-formes est notée h i , . . . , dz,. O

ail.

Toute fonction holomorphe sur un ouvert U de M donne lieu à une section df de CLM sur U , définie par le fait que, pour tout ouvert(4) V c U et tout champ holomorphe sur V , on a

Le fibré correspondant au faisceau O J , ~est le jibré tangent ï'M + M et celui correspondant à est lefibrk cotangent T * M + M . Dans une carte de M munie de coordonnées q , . . . ,z n , une 1-forme holomorphe s'écrit donc de manière unique

où les

'p1

sont des fonctions holomorphes et, en particulier, on a

Soit V une sous-variété analytique de M et 217 : V L) M l'inclusion. La restriction à V du faisceau On1 (au sens du s4.4) est localement libre de rang dim M sur V . Ce faisceau contient le sous-faisceau 01.' des champs tangents à V , z.e. il existe une inclusion canonique

(9.2)

Ov

L)

z;/Oh.I =

4

zl.'On/r.

@

1

@'z;+,

-

De manière duale, il existe une surjection canonique

(9.3)

1 z;,aM = &,

8

q'@M

ivlnkI

1 fiL7.

Si la variété V est définie localement par les équations zf+l = . . . = z, = O, de sorte que (21, . . . , zp) est un système de coordonnées locales sur V , le faisceau CLb admet pour sections locales les combinaisons (p2 (z1,. . . , zp)dz, OU les 'pz sont holomorphes, tandis que le faisceau zt,Of, admet pour 'p1 (z1, . . . , z p ) d z l , où les (pl sont sections locales les combinaisons (4) pourquoi

ne peut-on pas utiliser seulement l'ouvert u ?

9. EXEMPLES DE FIBRÉS HOLOMORPHES ET MÉROMORPHES

21

holomorphes. La surjection (9.3) n’est autre que l’oubli des n - fi derniers termes d z j . Plus généralement, si f : M’ + M est une application holomorphe entre deux variétés, le morphisme tangent associé T f est un morphisme de @MImodules

et le morphisme cotangent un morphisme

(9.5) Nous laissons aux lecteurs le soin de les définir en coordonnées. On peut appliquer les opérations naturelles sur les fibrés vectoriels à ces fibrés. En particulier, le produit exttvieur Clh A R k est le faisceau des ; c’est aussi celui des formes bilinéaires 2-formes holomorphes, noté alternées sur O M .On dispose d’un homomorphisme @i -linéaire

Dans une carte locale comme ci-dessus, une 2-forme q s’écrit de manière unique =

C

$11 ( z i > .

. zn)dz, A . I

dz1.

1<2<1
où les

sont des fonctions holomorphes et, en particulier, on a

9.6. Exercice (propriétés de la différentielle) (1) Vérifier que, pour tout germe f de fonction holomorphe, on a d ( d f ) = O et que ($ [GHL87, p. 45]), pour toute 1-forme w et tout couple ( E , q) de champs de vecteurs, on a d u ( [ , q) = S ( w ( y ) ) - y ( w ( S ) ) - w ( [[, y ] ) . (2) Montrer que, si f : M’ + M est une application holomorphe, I’application cotangente T*f est compatible 5 la différentielle, i.e. d ( y O f ) = T*f(drp) pour tout germe de fonction holomorphe y sur M .

9.7. Lemme (de Poincaré holomorphe). - L a suite

est exacte, c’est-à-dire que, pour tout rn E M , ( I ) si f est un germe de fonction holomorphe en m tel que df = O , alors f est le germe d u n e fonction constante; ( 2 ) si w est un germe en m de 1forme holomorphe tel que dw = O , alors il existe un germe en m de fonction holomorphe f tel que w = d f .

22

<:HAPITRE O. 1.E LWGAGE DES FIBRÉS

Démonstration. - Facile en considérant le développement de Taylor de f ou des 'pz. O

9.8.Exercice (un cas où les 1-formes fermées sont exactes). - Soit M une variété analytique complexe qui satisfait H ' ( M , @ M ) = O, où @ M désigne le faisceau constant. Montrer que toute 1-forme holomorphe w fermée, i.e. telle que d a = O , est exacte, i.e. de la forme w = df avec f holomorphe sur M (on pourra montrer que la suite courte de faisceaux d O d Ch[ d 4f O,

-Zif-

flh

où XiI désigne le sous-faisceau de des 1-formes fermées, est exacte, puis on considérera la suite longue de cohomologie associée).

9.9.Exercice (le complexe de de Rham est exact). - En définissant, pour tout k 3 1 , le faisceau des k-formes holomorphes Cl;, comme AklRh,, étendre la définition de la différentielle d : + et montrer que la suite

Clif 02'

O d @ - t @ & I

d -.ax1

d ... A ' . d'd o kM+

est exacte.

9.b. Formes différentielles méromorphes et logarithmiques. - Nous supposons comme au § 8 que Z est une hypersurface lisse de M . Soit

le faisceau des k-formes différentielles méromorphes. C'est un fibré méromorphe. La différentielle d définie au 9.a s'étend en un homomorphisme + CLk,+' (d) , c'est-à-dire que la propriété de méro@-linéaired : flh (d) morphie le long de Z est préservée par differentiation (c'est évident par un calcul local dans les cartes). comme réseau. I1 contient Le fibré méromorphe fli, (*Z) contient aussi un autre réseau souvent plus utile, à savoir le réseau des lformes dif férentielles logarithmiques le long de Z . On le note fli,(log Z) . Soient zo E Z et U une carte de M munie d'un système de coordonnées locales z1, . . . , zn tel que zo soit l'origine des coordonnées et Z soit défini par z1 = O. On dit qu'une forme méromorphe w = cpldz1 . . yndzlZest logarithmique le long de Z si ~ 2 , ... , 'p. sont holomorphes et pl a un pôle d'ordre au plus 1 le long de Z ; autrement dit, la forme s'écrit

flif

+. +

(9.10)

où 01, . . . , +TL sont holomorphes sur U .

9. EXEMPLES DE FIB&

ti0I.OhIORPHES ET MÉKC)MOKPHFS

23

9.11. Exemple (formes logarithmiques et non logarithmiques). - La forme d z p / z 1 n’est pas logarithmique le long de { z i = O} tandis que dzp et d z i / z i le sont. Cependant, sur une surface de Riemann, il n’y a pas de différence CL;~(I.z ) . entre nh(iogZ) et o ~ < z=>

9.12. Proposition (le résidu) (1) La notzon de forme logamthmzque ne drpend Par du choax localer adaptées à Z . ( 2 ) Il marte u n homomorflhzsmp résadu rés : C L (log ~ Z) dzl

qui associe à la forme w = $1 Zl

coordonnées

&z

+ C +!dzl ln,fonction /=2

(O,

22..

. ,z,)

-

Démonstration. - Soient ( z l , . . . , z n ) et ( Y i , . . . , z l l ) deux systèmes de coordonnées locales adaptés à %. Le changement de coordonnées s’écrit

-

z, = f i ( z 1 , . . .,z,),

i = 1,.. . , n

et l’ensemble des zéros de f i est égal ii {z~ = O}, donc f i = z1gl ( Z I , . . . , z T L ) avec g1 holomorphe. De plus, la matrice jacobienne ( ( û h / û ~ ~ est ) ~ inver,~) sible à l’origine, ce qui iniplique que g.1 ( O , . . . , O) # O et que la sous-matrice ((ûJ/ûz,),,l#l) est aussi inversible. Si w est logarithmique dans le système (71, . . . , z,) , on peut écrire

I

où les

(Yi, . . . , z,) sont holomorphes. On a ainsi I

On voit sur cette expression que la forme w est aussi logarithmique dans le système de coordonnées (21, . . . , z,) au voisinage de l’origine puisque la fonction l/gi y est holomorphe. De plus, le résidu s’écrit, dans ces coordonnées, sous la fornie

-

I

$1

/iZi=o

=

$1

z2>.. . $ z J L )., . .

2

f,i(o,

autrenient dit, c’est le résidu de w dans le système coordonnées z2,. . . , zll de Z .

z2,.. . > z J i ) ) 3

(Xi,.. . , z,) I

écrit danî les

O

On peut alors définir de manièie évidente le faisceau f l ~(log l Z) dont les sections locales sont les formes logarithmiques le long de Z et on nioritiera (exercice) :

CHAPITRE O. LE LANGAGE DES FIBKES

24

9.13. Proposition (liberté des formes logarithmiques). - Le faisceau des 1formes logarithmiques le long de Z est un faisceau localement libre de rang n de O &M -modules. C’est un réseau de i2h ( d.) On peut aussi définir une nouvelle notion d’ordred u pôle le long de Z : une 1-forme méromorphe w à pôles le long de Z est d’ordre r 3 O si, dans toute carte locale où Z est défini par z1 = O, la forme z;w est logarithmique. On définit ainsi un réseau i2k ( ( r + 1) log 2 ) de i2Lf (d) . Si Z a plusieurs composantes connexes 21, . . . , Z, , on peut aussi définir les faisceaux de formes différentielles

i2L((q

+ 1) logzi + . . . + (rp + 1) logzp).

Lorsque M est une surface de Riemann, ces faisceaux sont identiques aux faisceaux

introduits à la remarque 8.2.

9.14. Exercice (ordre d’une forme méromorphe) ( I ) Calculer, pour r 3 O, l’ordre des formes d z l / z ; et d z g / z ; . (2) Soit f une fonction méromorphe sur un ouvert U de M , à pôles le long de Z n U . Montrer que la différentielle logarithmique w = dj/ f est une section de C$,(log Z) .

9.15. Remarque (le résidu et le << résidu .). - Si w est une forme méromorphe à pôlc d’ordre r le long de Z, on peut écrire, s i 17. est line équation locale de Z w =

i:

Z i L k

k=O

où les

wk

sont logarithmiques. Posons, en coordonnées locales,

La décomposition de w ci-dessus n’est pas unique, mais elle le devient si on impose de plus que, pour tout k 3 1, les fonctions + ! k ) ( z = 1, . . . ,n ) ne dépendent que de z2,. . . ,zy,. La dépendance des coefficients en z1 n’apparaît alors que dans le terme logarithmique w~ . Supposons maintenant que M soit le produit d’un disque par Z. Alors - d’une part, on peut définir un homomorphisme

rés:R;l((? + l ) l o g Z )

-@7

par intégration de w sur un cercle centré à l’origine dans D : c’est aussi le résidu de 00 ;

1 O. VARIÉTÉS AFFINES, ANALYIISATION, FORMES DIFFÉRENTIELLES ALGÉBRIQL~ES

25

- d’autre part, le résidu de z;w, c’est-à-dire celui de w r , dépend du choix des coordonnées à la multiplication par une fonction holomorphe inversible près. En particulier, si on fixe une coordonnée locale z1 sur D , on peut définir de cette manière un homomorphisme << résidu >>

9.26.Remarques (c$ [De170, 31) (1) Comme il se doit, on pose, pour tout k 2 1, nM(1ogZ) = Ak nkf(logZ).

I1 peut être utile d’avoir une définition intrinsèque ( i . ~sans . coordonnées) de ces faisceaux. Une section locale w de f l L ( * Z ) est une section de ~h,(iog~ si )et seulement si w et dw sont au plus à pôles simples le long de Z (voir [De170, prop. 3.21). (2) La notion de forme logarithmique s’étend de manière naturelle au cas où Z est réunion (non nécessairement disjointe) d’hypersurfaces lisses ZI, . . . , Z,! qui se coupent transversalement. Au voisinage d’un point d’intersection d’exactement m hypersurfaces, disons Z1, . . . ,2, , il existe des coordonnées locales z1, . . . , z, telles que Z, soit définie par z, = O ( z = 1, . . . ,m ) et une forme logarithmique s’écrit

5

+ 1=m+I w, où les sont holomorphes. Toutes les propriétés du faisceau ClL (log Z) vues ci-dessus s’étendent à cette situation. ( 3 ) La définition donnée au (1) ci-dessus garde un sens même si l’hypersurface Z a des sin
10. Variétés affines, analytisation, formes différentielies algébriques Nous allons reprendre dans un cadre algébrique certaines des notions introduites plus haut, ce qui nous permettra de travailler avec des objets à coefficients polynomiaux et pas seulement analytiques. La situation affine nous suffira. Pour plus de détails (notamment sur la situation projective), les lecteurs pourront consulter [Hart301 ou [Per951.

1O.a. Variétés affines. - Un ensemble algébrique @ne est par définition le lieu des zéros, dans l'espace affine A" de coordonnées u1, . . . , un,d'une famille de polynômes en les u i . On peut supposer cette famille finie, puisque l'anneau des polynômes est noethérien. La topologie de Zariski sur A" est celle pour laquelle les ouverts sont les complémentaires de sous-ensembles algébriques affines. Un tel ensemble est irréductible s'il n'est pas réunion de deux sous-ensembles algébriques affines distincts de lui-même. On le munit de la topologie de Zariski, induite par celle de An.

10.1, Exemple (les ouverts affines élémentaires). - Soit f E @. [ul, ...,u n ] . L'ouvert élémentaire >> U = { f # O} c A" est un ensemble algébrique affine : U = ( l - u " f ( u l , . . . ; u ") =O}cA"+? <(

En particulier, le tore complexe (@.*)" = { u i . . . un # O} est un ensemble algébrique affine. Par contre, l'ouvert A" \ {O} n'est pas affine dès que

n22. Soit U un ouvert de Zariski d'un ensemble algébrique affine Z c A". Une fonction f : U + @. est dite régulière si, pour tout point z0 E U , il existe deux polynômes g, h E @. [ u l , .. . , u,] tels que l'on ait h ( z " ) # O et f g/h sur l'ouvert V = U \ { h = O}. On définit ainsi un faisceau U H &z ( U ) sur Z inuni de sa topologie de Zariski : c'est le faisceau des fonctions régulières sur l'ensemble %, qu'on baptise alors du nom de variélé a f i d ' ) . Soit IZ c @. [.I,. . . , u J I ]l'idéal des polynômes s'annulant sur 2 . On a en particulier ( 4 [HarSO, chap. 1, th.3.21)

r(z,&z)= c

.., u n ~ / z z . Les faisceaux localement libres de type fini (rap. cohérents) de &-modules correspondent aux modules libres de type fini (resp. de type fini) sur l'anneau @. [ u l , .. . , u , ] / l ~par les foncteurs [Ser55]).

(qt

y++r(z,y)=E

F-&~

r(

B F=F. 2 , ~ ~ )

10.b. Analytisation. - Soit Z c An une variété affine et soit 2' le même sous-ensemble, muni de la topologie induite par la topologie usuelle de C ' I . Alors l'application identité Id : Z' + 2 est continue (puisqu'un ouvcrt de Zariski est aussi un ouvert pour la topologie usuelle). Unc fonction f définie sur un ouvert IJ' de Z' est dite holomorfihp si, pour tout zo E U t , il ('1 (:ontrairerrierit i la teririirioiogie arialytique complexe, uiie variété affine peut avoii- cies siiigularitts. LA notion de varittt affine non singulière sera dtliiiie aprïs avoir introduit le faisceau des formes différentielles algébriques.

10. VARIÉTÉS AFFINES, hN;U.YïIS.-\TION, FOKMES I>IFFÉRENTIEI.I.ES AI.(;ÉBRIQ~~ES

27

existe un voisinage ouvert IT’ de z” dans C” et une fonction holomorphe g : V’ 4 Cc telle que glv/nc./= Jic,. L’espace Z’, muni du faisceau des fonctions holomorphes, est noté 2’”’. Si F est tin faisceau localement libre (ou cohérent) de @z-modules et = Id-’ F désigne le faisceau qu’il induit sur Z’, on pose Fari = si F’ @ZUI aId-1 F’ : c’est 1’anaZytisé du faisceau Y .C’est un faisceau localement libre (ou cohérent) de @Zaii-modules. La propriété essentielle de ce foncteur F H Fan vient di1 résultat suivant (CJ: par exemple [AM691 pour la notion de platitude) :

10.2. Théorème (fidèle platitude, [Ser56]). - Pour tout z u E Z, l’anneau de,s germes de fonctions holomorphes sur Pi en z u est fidèlement plat .sur O l’unneau @z,,o des germes de fonctions régulières sur Z en zo .

@ ~ . u B , ~ ~ I

La fidèle platitude (voir par exemple [Mat801 pour cette notion) a notamment pour conséquence l’énoncé suivant, peut-être plus << parlant : >)

10.3. Corollaire. - Soil y : F 4 F’ un homomorphisme de faisceaux de @z modules. Si yan : Fafi 4F I a ‘ ’ est un isomorphisme, il en est de même de y . Lorsque Z est irréductible, on définit la dimension de 2 comme la dimension de Krull de l’anneau intègre T(Z,@z), c’est-à-dire la plus grande longueur des suites d’idéaux premiers emboîtés. 1O.c. Variétés affines non singulières. - Le faisceau Der@z des dérivations du faisceau @z se définit de la même manière qu’au 9.a et le faisceau

s

des 1-formes différentielles algébriques CLL est par définition le faisceau A%rn& (DerHz, Hz). Le résultat suivant regroupe les définitions que nolis utiliserons.

10.4. Théorème (les points réguiiers, .f. par exemple [Per95, chap. 51) Soit Z c A” une varidé afjinr irréductible. Les propridis suivanies sont équiva1ente.s : (1) Si f i , . . . , hl E C [ui, . . . , u n ] engendrent l’idéal I z , alors la matrice jacobienne ( (ô,fi/ôuj)ll)est de rang constant sur Z, égal ci n - dim Z . ( 2 ) L’ensemble Zatr est une sous-variété analytique complexe de Cc ” . ( 3 ) 12e,faisceuu e.st localemeni libre de rang dim Z . (4) Il PxistP un recourirement jini de Z par des ouveris de Zariski Ui et, sur chaque Ui, des fonctiom réguli&es x1(4, , xdiiri (4 qui forment une carte PtnlP. O Si ces propriétés sont satisfaites, on dit que Z est une variété affine non singulitre. Sur une variété affine non singulière, les faisceaux de formes k Cli E A ” R % sont donc aussi localement libres et on a = Cl,,,, (utiliser des cartes étales).

28

CHAPITRE O. LE LANGAGE DES FIBRÉS

10.5.Exercice (la courbe hypereiiiptique).- Soient a l , . . . ,ad des nombres complexes. Montrer que le sous-ensemble de C 2 d'équation d

Y2 =

rI(.-.,> j=l

est une variété affine de dimension 1, et que celle-ci est non singulière si et seulement si les aj sont deux'à deux distincts.

1 1. Connexions holomorphes sur un fibré vectoriel I1 n'est en général pas possible de définir une action par dérivation des champs de vecteurs sur un fibré vectoriel quelconque, contrairement au fibré trivial @v ou ses puissances. De plus, il existe différentes manières de faire agir par dérivation les champs de vecteurs sur les fibré triviaux. La notion de connexion holomorphe (encore appelée dérivation covariante) permet de prendre en compte ces phénomènes. 11.1. Définition (d'une connexion). - Une connexion holomorphe V sus un fibré vectoriel holomorphe x : E -+ M est un homomorphisme @-linéaire de faisceaux V : E" + 0,1 @lqV,CF satisfaisant la règle de Leibniz : pour tout ouvert U de M , toute section s E ï ( U , c?') et toute fonction holomorphe 1E @(ü), on a l'égalité (<
v(/.s) = /v(s)

+ q -E r&,, ~

E").

Tout champ de vecteurs holomorphe 5 sur un ouvert U de M induit (par définition de CLL ) un homomorphisme HU-linéaire de contraction (aussi [email protected] en déduit un homomorphisme appelé produit intérieur) 15 : de contraction t g : CLb @ k?p + k7p pour tout HU-module ZLT. La connexion V permet alors de définir une démvation le long de 5 sur le faisceau @ : pour tout ouvert V c U et toute section s E ï(xZ), on définit Vg (s) comme le résultat de la contraction de Vs E ï ( V j n k I @CF) par le champ E . On a

V , ( j . s) = J'Vg(s) + E ( / )

. s.

11.2. Proposition (l'espace affine des connexions). - Deux connexions holomorphes V et V' sur un jib@ C? different par un homomorphisme H, -linéaire

a : E"

-

1

@@$,

C F

Réciproquement, 1addition d u n tel homomorphisme 0 à une connexion une nouvelle connexion VI.

V ,fournit

11. <:ONNEXIONS HOLOMORPHES SUR LJN FIB& \TCTORiEL

29

Démonstration. - Si l’on applique la règle de Leibniz à V - V‘, les termes indépendants de la connexion s’éliminent, d’ou la &M-linéarité. O

22.3. Exemple (connexions sur le fibré trivial). - Le fibré trivial de rang 1 est muni de la connexion d : 8~ + Cl;!. De manière analogue, le fibré trivial de rang S est muni de la connexion somme directe d :

qi + (Rif) 8 .

Toute autre connexion V sur le fibré trivial de rang 8 s’écrit V = d + 0 ou R est une section globale dii faisceau Ma (RiI) des matrices 8 x S à éléments dans Ril.

1l.a. Expression locale de la connexion. - Soient ( J un ouvert trivialisant pour E et e = ( e l , . . . , e d ) iine base de r(ü,Z ), de sorte que toute section holomorphe r de E sur U s’écrit de manière unique C, s]e, avec Y] E & ( U ) . I1 existe alors iine matrice R = (a,]), de taille d x d, de 1-formes holomorphes telle que l’on ait l’égalité

(11.4) NOUS

pouvons écrire ceci sous forme matricielle((’) :

On dit que 0 est la matrirp d~ la ronnexion B dans la base e . Si s = E, s,e, est une section holomorphe de E sur U , on peut écrire matriciellement(’)

(‘1 Le choix fait de mettre la forme différentielle << à gauche ,, ne simplifie pas l’écriture niatricielle et oblige ii écrire la base en colonne, d’où l’apparition de la transposition : néannioins ce choix est plus naturel, car les champs d e vecteurs optrent ii gauche sur le fibré ii coniicxion. (’1 Ici encore, nous transposons l’écriture liabitiielle.

CHAPITRE

30

o. I.F. LANGAGE DES FIBRÉS

Soient E = ( & I , . . . , E d ) une autre base de sections de E sur T ( u GLd(&)) la matrice de passage de e à E : ( ~ 1 , .. . , Q ) = ( c i , . . . , e d )

Alors la matrice 0’ de V dans la base formule 0’= P-’RP

(11.5)

E

u

et P E

.P

s’obtient à partir de R par la

+ P-’dP

11.6. Exercice. - Écrire explicitement la formule de changement de base dans une carte locale de M munie de coordonnées z l , . . . , z, sur laquelle q s2 = ( a L l ) l G t , l G d le faisceau 29 a une base e : on posera P = ( P L 1 ) l G L , let avec a,]= Cl=ly t ’ d z c .

11.7. Exemple. - La matrice de la connexion d sur le fibré trivial nulle dans la base canonique.

@A est

1l.b. Opérations sur les fibrés à connexions. - Soient ( E ,V) et (E’, V’) deux fibrés holomorphes munis de connexions holomorphes. On peut munir de manière naturelle les fibrés E @ E’, L(E, E’) et E @ E’ de connexions holomorphes que l’on note V”. Si s et s’ sont deux sections holomorphes locales de E et E’ respectivement, on pose pour tout champ de vecteur E , - VF(s@s’) -“Vg(s) @V[(s’),autrementditV’’= V @ V ’ ;

,

+

g s’) + (s @ V i (Y’)), autrement dit V” = (V @ Id) (Id @V‘) ; - si ‘2 : E -i E’ est un homomorphisme, V!(’p) est la section locale de L ( E , E’) définie par - Vy (s

clef

s ) = (Vg ( J )

22.8. Exercice (la connexion sur le fibré des endomorphismes) (1) Définir la connexion naturelle sur le fibré dual E* du fibré E . Montrer que les deux connexions naturelles sur E* @ E’ et L(E, E’) coïncident. (2) Calculer dans une base locale de k?‘ et 29’ les matrices des connexions V” à partir de R et 0’. ( 3 ) Vérifier en particulier que, si R est la matrice de V dans la base e , celle de V” sur End(E) = L(E, E ) dans la base associée à e est ado:AH

[R,A].

I I , CONNEXIONS HOIX>MOKPHESSLJR IJN FIBKÉ W.CTORIEL

31

1l.c. Image inverse d’un fibré à connexion. - Soit ( E , V) un fibré holomorphe à connexion sur une variété analytique M et soit J : M’ -+ M une application holomorphe d’une variété analytique M’ vers M . Nous savons définir l’image inverse E’ = Y E du fibré E sur la variété M’ (CJ: 3.3 et 4.4). Le faisceau g’des sections holomorphes de E’ est donné par la formule

ss

(11.9)

63

g.’=&Mt

/-‘a.

f -1&1

a’

Nous notons E’ = f * E et = f’a. Lorsque E est égal au fibré cotangent T * M , l’cqbplzratzon cotangente T*J est tin morphisme de fibré

ï‘*f : J * T * M

-

T*M’

définissant un morphisme de faisceaux de @bp-modules ( CJ: .j 9.a)

T*f :f * n h

---f

1 fibft.

Soit ( E ,V) un fibré holomorphe à connexion. Définissons l’zmage znimw

de la connexion V . La difficulté provient du fait que V n’est pas & linéaire, et son image inverse ne peut donc se définir uniquement à l’aide du foncteur d’image inverse sur les fibrés, donné par la formule (11.9).

11.10. Exemple (image inverse par une projection). - Supposons que M‘ est le produit M x M” et que f est la première projection. L”image inverse V’ de la connexion V a dans ce cas une définition simple : en effet, dans ce cas, tout champ de vecteurs 5’ sur un ouvert de M’ s’écrit de manière unique comme somme d’un champ 5 c< horizontal >> ( i . ~section . de f*o, ) et d’un champ E’’ <> ( Z.P. section de p*Ohfttsi $I désigne la deuxième projection) ; par définition, l’action de Vitt sur les sections de g’de la forme 1 g r , r section de g (i.e. les sections c< sans coefficient sur @ \ I ~ J ) , est nulle; d’autre part, si 5 est somme de champs de la forme y 8 y , où y est ilri champ sur un ouvert de M et ‘p une fonction sur un ouvert de MI,alors Vk (1 @ e) est déterminé par la formule V’,,, (1 e) = ‘p @I V, (e) . Nous allons commencer par une définition non intrinsèque a prion, en coordonnées locales, lorsque M’ est une sous-variété analytique complexe de M et J désigne l’application d’inclusion (on parle alors de la reskirtion du fibré à connexion). Supposons donc que M soit un ouvert de @ ” de coordonnées 2 1 , . . . , z, et que M’ soit la trace sur cet ouvert du sous-espace d’équations z1 = . . . = zi, = O. Supposons aussi que Li soit trivialisé et muni d’une base e de sections

CHAPITRE O . LE LANGAGE DES FIBRÉS

32

holomorphes sur M . On peut alors écrire la matrice de la connexion dans cette base sous la forme Cl(') ( 2 1 , . . . , z,) dz,.

0= /=1

La matrice de V' sur le fibré E', dans la base e' restriction de e à M ' , sera donnée par la formule n

0' =

C

( O , . . . ,O, ~ f i + i.,. . , z,) dz,.

z=p+1

D'une manière intrinsèque et pour f générale, on compose la restriction << faisceautique >>

f - ' V : f-'E"

-

f-k&

@

f-lE"

J-'@ii

(2.e. on ne considère que les points de M ' ) avec l'opération (2.e. c< on fait z1 = . . . = zp = O .) pour aboutir dans

-

@~,@~-i@,,,

puis on compose avec le morphisme induit par l'application cotangente T*f @ Id .f*nkl@ E' Oh/ @ E'

4,~

w.

on oublie d z l , . . . , d z f 1 ) . On a maintenant obtenu un homomorphisme C -linkaire (ie.

qui satisfait la règle de Leibniz relativement à la multiplication par toute fonction sur un ouvert de M' de la forme '2 O f , oii cp est holomorphe sur un ouvert de A4. On dkfinit alors la connexion image inverse PO comme une connexion

I !-'A?, par extension de l'honioniorphisrne pi-écédcnt à 8' = ~ L I@f-~6,, obtenue en imposant qiic la règle de Leibniz soit satisfaite. Nous laissons aux lecteurs le soin de vérifier qu'une telle ex~ensioiicst bien di-fiiiie et est unique.

Nous noterons f+(& V) le fibré image inverse connexion V' ainsi construite.

YS

muni de la

11.11. Exercice (la matrice de la connexion image inverse). Soit U un ouvert de M trivialisant pour E", e = ( P I , . . . , ~ d ) une base de et R = ( w L 3 ) la matrice de la connexion V dans cette base.

q,-~

12. (:ONNEXIONS IiOLOMORPHES INTÉGR4BLES E‘T CHAMPS DE HI<;<;S

Soit ( e ; , . . . , P:) = (1 8 e l , . . . , 1 @ e d ) la base image inverse de

33

qi-,( I , ) que

l’on en déduit. Montrer que la matrice de la connexion V’ dans cette base est la matrice dont les éléments sont le3 I-formes T * f ( w L l ) . 22.22. Exercice. - Utiliser la décomposition J : M’ + M en j~ O i, OU z : M ~f M xA4’ est l’inclusion du graphe de J définie par m H ( m , f ( m ) ) et , fi est la seconde projection, pour calculer l’image inverse d’une connexion, en ramenant ainsi le problème aii cas de l’inclusion d’une sous-variété et à celui d’une projection.

12. Connexions holomorphes intégrables et champs de Higgs 12.a. Connexions holomorphes intégrables. - On peut, de manière naturelle, étendre l’action de V sur les sections de Z = &if 8 8 en une action (à valeurs dans Ri, @ E): on pose sur les sections de @

V ( W 8 S)

= d o @ .Y

-

w A V(S).

22.1. Exercice (la courbure est @-linéaire) (1) Montrer ($ exercice 9.6-(1)) que, si O est une section de Cl;, 8 8, on a l’égalité Va(k, 7 ) = V i ( o ( y ) ) - V.q(a([)) - O ( [ E , y ] ) . (2) Montrer que I’homomorphisme C -linéaire

Kv 2

v o v : 8 +n ,2 @/y,[29

est en fait &\{-linéaire. Calculer RV (s) (5,y ) . L’horrioiiiorphisme KV est la courburr de la connexion V.

-

22.2. Déjnition (de l’intégrabilité d’une connexion). - La connexion

v : 2? cst dite i n t & z / d p ,

ou

1 n,\f @&

C

F

aussi plate, si sa coiirbiire RV est nulle.

22.3. Remarque. - L’exercice 9.6 montre que le fibre trivial piiissaiiccs), niuni de la corinexion (1, est plat.

&”\f

(OU

ses

Uri calcul facile doiirie : 22.4. Proposition (les équations de structure). - L a conncxzori V ~ $ plate 1 ri rt Jeulrmrrit 5 2 , dans touir bnw locale e dr E,In rtiniricp R de In tonnPxion raîzsfazt dfL + f l A

n = o.

O

On définit R A R comme le produit matriciel usuel, dans lequel le produit dcs déments est le produit extérieur des 1-foimcs (donc n’est pa\ commutatif).

34

CIWITRE

o. LE IANGAGE

DES FIBRÉS

12.5. Remarque (en dimension 1, toute connexion est intégrable) Lorsque dim M = 1, le faisceau RL est nul et par suite la condition d’intégrabilité est satisfaite pour toute connexion. Mieux, la matrice R dans une base locale satisfait simultanément les deux équations dR = O et R A R = O . 12.6. Exercice (forme explicite des équations de structure) (1) Si on écrit dans des coordonnées locales R = ~ ~ = l R dzc ( ‘ )où Cl(‘) = ( O “ ) ) est une matrice de fonctions holomorphes, montrer que la ‘I condition d’intégrabilité s’écrit

(2) Vérifier que, si la condition d’intégrabilité est satisfaite pour la matrice R , elle l’est aussi pour la matrice R’ obtenue par la formule (11.5). Une section holomorphe V-horizontale de E sur un ouvert U de M est une section s E ï(ü,E“)satisfaisant V ( s ) = O , autrement dit une section sur ü du faisceau(8) Ker[V : Z -+ R h 84, 81. Si les composantes de tion V ( s ) = O s’écrit

J

dans une base locale e de E” sont

SI,

. . . ,s d , l’équa-

(12.7) ou encore, en utilisant les notations de l’exercice 12.6,

Autrement dit s est solution d’un systime diJffPrPntie1 liniaire homoghe à copfficients holomorphes. 12.8. Théorème (de Cauchy-Kowaievski). - Soit V :?!i + Cl;, @@,, 8 une connexion holomorphe int6grable sur un $bré E de rang d . (1) Le faiscmu E’ Ker V est un jaisceau localement constant de C -espaces vectoriels de rang d , i.e. est localemeni isomorphe au faisceau constant Ci,. (8)Attentiori : coi~inieV n’est pas ebj-lin&iI-e, ce faisceau n’est pas un faisceau de 611modules, autrenient dit n’est pas stable par multiplication par les sections d e ; c’est seiilenient uii faisceau de C - e s p ~ vectoriels. e~

e~f

12. <:ONNEXIONS HOI.OMORPIIES INTÉGILZBLES ET CHr\\MPS DE iiiGGS

35

( 2 ) Le faisceau @hf @c,\~E" est un faisceau localement libre de @M modules, la connexion sur ce faisceau déjïnie par V ( f 8 s) = df @ s est plate et (&\f @iQ., E")" = E". ( 3 ) L'homomorphisme naturel & ~ @@,I., f E" --f 8 est un isomorphisme dejbrés à connexion. 12.9. Remarques

(1) Cet énoncé équivaut à l'existence locale d'une base de E formée de sections V-horizontales. (2) En général il n'y a pas d'isomorphisme global entre les faisceaux KerV et C i f . C'est cependant le cas si M est simplement connexe (voir le C; 15). Démonstration (1) Comme l'énoncé est de nature locale, on peut se placer dans une carte locale de M sur laquelle le fibré E est trivialisé. I1 s'agit alors de montrer que sur un polydisque A de @" centré en O , les solutions du système différentiel (12.7) forment un espace vectoriel de dimension d sur C . On commence par fixer les variables 2 2 , . . . ,z, et on résout le système d'une variable dépendant de paramètres z2,. . . ,zd :

(12.10) Pour tout vecteur holomorphe o(z2,. . . , z,) sur le polydisque considéré, il existe une unique solution s(z1,. . . ,z,) , holomorphe en z1, du système (12.10) satisfaisant s(0, z2,.. . J , ~ ) = o(z2,. . . ,z,) (voir [CarGI, chap.VII] ou [BG91, chap.5, 5 151). Cette solution est holomorphe en toutes les variables. Par récurrence sur n , on peut appliquer le théorème au système (12.7) dans lequel on fait z1 = O et on oublie la dérivation relativement à 21. Ainsi, pour tout vecteur u de C d ,il existe une unique solution holomorphe ov(z2,. . . ,z,) de ce dernier système telle que o7,(O1.. . , O ) = u . Soit la solution de (12.10) avec ou comme condition initiale. Alors la condition d'intégrabilité sur la connexion permet de montrer que su est l'unique solution holomorphe du système (12.7) telle que s r , ( O , . . . ,O) = u . Nous avons ainsi montré que l'application qui associe à toute section s E ï ( A , E") sa valeur en O (ou de manière analogue en un point donné Cd. rn E A ) est un isomorphisme de @-espacesvectoriels ï ( A , E")

(2) Précisons simplement la construction de V (le reste est assez évident). On identifie le faisceau Cl2kI (@hf @ebf E") à fiif @cE" en ((

mettant les fonctions holomorphes comme coefficients des 1-formes ».La

36

C€f.kPITRE O . LE IANGAGE »ES FIBRES

connexion V est alors définie par le fait que, pour tout m E M , tout germe s de section de E" en m et tout germe de fonction holomorphe f E @ M , ~ , on a la relation V ( f @ s ) = df @ Y .

( 3 ) Le fait que l'homomorphisme naturel @M l.I E" + CY, défini au niveau des germes par f @ s H f s , soit un isomorphisme signifie qu'en tout m E M les germes des sections horizontales engendrent le germe CYrn. Dans la situation locale du ( i ) ,il s'agit de voir que les valeurs en un point m E A des sections horizontales engendrent l'espace vectoriel C d sur C (car alors elles engendrent la fibre gl = sur @M, d'après le lemme de Nakayama). Mais c'est exactement ce que donne la démonstration, puisque O tout vecteur v E C d est la valeur en m d'une section de E" sur A.

q&t

12.11. Exercice (opérations SUT les sections horizontales) (1) Si les fibrés à connexion ( E ,V) et ( E ' , V') sont intégrables, montrer qu'il en est de même des fibrés E @ E ' , E * , L(E, E ' ) et E @ E' munis de leur connexion naturelle. De plus, montrer qu'on a les égalités

( E @ E')"'/

= E"

@

E'"!

=Zmc.,,

(E">@M)

L(E, E')"'

= a m @ d l( E V , E'"')

( E @ E')"'

= E" @c,Lf E 'V' .

(2) Montrer que L(E, E')"" s'identifie au sous-faisceau du faisceau Xomet, ( Z ,a') formé des homomorphismes qui commutent avec l'action de V et V' (on dit aussi que ce sont des morphismes de fibrés à connexion), ou encore qui envoient E" dans E'"'. 12.12. Exercice. - Avec les notations du 5 1l.c montrer que, si V est intégrable, il en est de même de son image inverse par f sur la variété M ' . 12.13. Corollaire (prolongement analytique). - Les homomorphismes de jibrh ù connexion satisfont b principP d u prolongement analytique : si V c U est une inclusion d'ouverts connexe.s de M qui induil un isomorphisme des groupes fondamentnux de V et U el, si y : 5 1 7 + est un homomorphisme dejibré~s Ù connexion, alors y .s'étend de manihe unique en un homomorphisme de fibre? ù connexion +

ql,

q" qLJ.

Démonstration. - C'est une conséquence directe des résultats sur les faisO ceaux localement constants rappelés au § 15.

12. CONNEXIONS HOLOMOKPHES INTÉGRAKIXS ET CIIAMPS DE HIGGS

37

12.b. Champs de Higgs 12.14. DéJinition. - Un champ de H i g , ~ (sur ~ ) un fibré holomorphe E est un homomorphisme @M -linéaire

qui satisfait la condition d’« intégrabilité ( E ,a>) est un jibr; de Higgs.

>>

Qi A @ = O. On dit aussi que

Explicitons cette condition : l’homomorphisme Q permet de définir un homomorphisme

en posant (‘)@(a@ e ) = u A Q ( e ) (les lecteurs préciseront ia signification de A ) . Alors -Qi A Qi est par définition le composé (‘b O Q. Soit e une base locale de k? et notons encore Qi la matrice de @ dans cette base, définie avec la même convention (11.4) que pour les connexions. La condition d’intégrabilité s’écrit alors Q A Qi = O , maintenant au sens matriciel déjà utilisé pour les connexions (dans la proposition 12.4). Si 5 est un champ de vecteurs holomorphe sur un ouvert U de M , on + Ei,, l’endomorphisme &,-linéaire obtenu par contraction note @t : de Qi avec [. On peut aussi voir Qi comme un homomorphisme &-linéaire OM@ k? + k?. Dans cette approche, on a Qit = @([, Dans une carte de M niunie dc coordonnées locales q ,. . . ,z,, on peut écrire

qu

( 0 )

@=

0 ) .

5

Q i ( k ) dzk

2=

1

oii les Q i ( k ) = Qia/az, sont des endomorphismes du fibré E (sur la carte intégrabilité >> équivaut à considérée). La condition d’<<

v‘,[

E

{I,. . .,n>,

[Q(~),Q>(‘)] = O.

On ne dispose pas d’analogue du théoreme de Cauchy-Kowalevski pour les champs de Higgs. Si par exemple E est le fibré trivial de rang 1 sur M , la donnée d’un champ de Higgs sur E équivaut à celle d’une 1-forme Le rapport avec le physicien Higgs et le boson qui porte son nom est u n peu éloigné. On a ici u n exemple d’appropriation par les rnathématicieiis de concepts issus de la physique. Initialenient, un champ de Higgs est en relation avec une connexion sur un fihré principal, et sert i perturber les équations de Yang-Mills (voir par exemple [AH881 ou UT801). La terminologie utilisée ici a 6té introduite par C;. Simpson [Sim92], à la suite de N. Hitcliiii ; cette teriniiio~ logie est raisonnahlr lorsqii’existe aussi une << niétrique liai-monique ». Ici, noils gardons la terminologie, malgré l’absence de niétrique harinoniqiie.

holomorphe sur M . Lorsque celle-ci ne s’annule pas, le noyau de Q est réduit à {O}. 12.15. Remarque (opérations sur les champs de Higgs). - Les formules décrivant les opérations ($, @ , L) sur les fibrés munis d’un champs de Higgs sont analogues à celles sur les connexions (l’exercice 14.9 justifiera ce choix). - Si f : M’ + M est une application holomorphe et (E,@) un fibré de Higgs sur M , alors le fibré de Higgs image inverse f+ (8, Q) est défini comme au § 1l.c. Dans une base locale de 8 exercice 11.11) , la matrice de f+Q est obtenue en appliquant T*f aux éléments de la matrice de Q. - Pour 8”= 8 $ 8’on pose, pour tout champ 5, @’; = @: $ @;. - Pour 8”= CY@ 8’on pose, pour tout champ 5, @[ = (@: @ Id) + (Id @@;). - Pour 8”= Zorn@,, (8,8’) et p une section locale de 8”on pose, pour tout champ 5, Q l ( ’ p ) ( e ) = cPi(y(e)) - c p ( Q t ( e ) ) . Les lecteurs vérifieront l’intégrabilité des champs ainsi construits.

(CJ:

13. Géométrie du fibré tangent Lorsque le fibré E considéré est le fibré tangent T M , les objets que nous avons introduits plus haut (connexions et champs de Higgs) peuvent posséder des propriétés supplémentaires de symétrie. La condition d’intégrabilité est alors liée à l’existence de coordonnées d’un type particulier sur tout ouvert simplement connexe de M ou sur le revêtenient universel de M .

13.a. Quelques points de géométrie différentielle holomorphe. - Les lecteurs pourront se reporter par exemple à [GHL87, chap. 11 pour plus de précisions sur ce qui suit. Rappelons qu’un champ de vecteurs holomorphe sur un ouvert U de M est une dérivation de @LT. Tout champ de vecteur holomorphe admet localement un flot holomorphe paramétré par un temps complexe : ceci est une conséquence immédiate du théorème de Cauchy pour les équations différentielles holomorphes (voir par exemple [CarGI, chap.Vi1, th. 1 et 21). Le crochet de Lie de deux champs de vecteurs 5,7 sur U est le champ de vecteurs noté [E, 71 défini par

pour toute fonction holomorphe ‘p sur un ouvert V c U . Pour 5 fixé, l’opé71 est seulement C-linéaire en q et satisfait la propriété de rateur 7 H

[r,

1,eibniz quand on considère @,vi comme un &bl-module. C’est la dbiuntion de Lie associée à E. Nous noterons 3 ( y i ) =

[Lrl.

Nous laissons aux lecteurs le soin de vérifier que, si f : M’ + M est une application holomorphe entre variétés et si t’, yi’ sont des champs de vecteurs sur un ouvert U’ de M’, alors on a, dans f * @ , (CJ: (9.4)),

L’action de la dérivation de Lie s’étend de manière naturelle aux formes différentielles. C’est une dérivation de l’algèbre graduée OM = de degré O vis-à-vis de cette graduation ( Z.P. le degré de la forme Tta est égal à celui de a). La dérivation d est de degré 1. Le produit intérieur i t par le champ de vecteurs [, défini par le fait que, pour une l>-forme w et - 1 champs de vecteurs tz,.. . , t p , on a (Lia) (5%. . .,

t p ) = a([, E P , . . . > [ p l >

est de degre -1. Ces trois opérateurs sont reliés par la formule

3;= S E O d + d O L Z et on a aussi

13.b. Feuilletages holomorphes. - Un feuilletage holomorfihe de dimension M est la donnée d’un sous-fibré F (au sens donné dans l’exercice 4.5) de rang fi du faisceau tangent O,u, qui est stable par le crochet de Lie, c’est-à-dire tel que, pour tout m E M et tous t , E K , on ait [E;, y] E 5%. Une .~ous--rinri&tr‘ intéffrnb du feuilletage F est une sous-variété analytique connexe V de M (non nécessairement fermée) de dimension l> telle que l’application tangente Til, à l’inclusion il, (cf: 9.a) induise un isoniorph’isme

fi sur une variété analytique complexe

011

-=+i ? . F c i;,on/r.

Une ,/i.uilb du fèiiilletage K est une sous-variété intégrale maximale. Deux feuilles distinctes sont disjointes. La variante holomorphe du théorème d’iiitégrabilité de Frobenius montre en particulier l’existence d’une partition de la variCté M en feuilles :

40

CHAPITRE O. LE 1ANC;AGE DES FIBRÉS

13.1. Théorème (forme normale locale d'un feuilletage). - Soit 9unfpuilletage holomorphe de dimension fi de M . Il existe alors a u voisinage de tout point de M un système de coordonnées ( 2 1 , . . . ,z T L )centrées en ce point telles que, sur ce voisiizage, le faisceau iC soit engendré par les champs ô, , . . . ,,ô, .

Dans le voisinage considéré dans le théorème, les feuilles sont les sousvariétés de niveau des fonctions zp+1, . . . , z n . Démonstration. - On pourra se reporter par exemple à [HHSl, chap.11, § 2.31 pour la démonstration du théorème de Frobenius dans le cadre réel Ca. L'adaptation de cette démonstration au cadre holomorphe se fait sans O difficulté. Considérons la siiite exacte de faisceaux de

&hl

-modules

Par hypothèse, le faisceau ks est localement libre. Dualement, on obtient donc une suite exacte de &hf -modules localement libres

O

-f

Y

a,t,+9"

4

---f

O

où Y "= 2%rn@,, (F, &bf) et Y = Xorn4.,,(ks, & M ) . I1 est équivalent de se donner le sous-fibré F de OM 011 le sous-fibré Y de CL;[. 13.2. Lemme (la condition de Frobenius). - Le sousjîbré F est stable par l~ crochet de Lie .si et seulement si Y satisfait l'une des conditions iquivalentes : (1) d Y c Y A f l i I . ( 2 ) Pour tout rn E M et tous germes E;, E Fm, le germe E; A 7 est annulé p a r h déments de d Y .

Démonstration. - Voir par exemple [HHSl, chap. II, 5 2.41.

O

13.3. Remarque. - Soit f : M' -t M une application holomorphe et Y un sous-faisceau localement libre de satisfaisant la condition d'intégrabilité d Y c Y A CL:, . Alors le soils-faisceau T * j ( Y ) c , R i f , n'est pas nécessairement localement libre, mais satisfait néanmoins la condition d'intkgrabilité : en effet, si cù est un germe de 1-forme sur M , on a T * f ( d o )= d ( T * f ( w ) ); par suite on a

flh

d ( T * f ( Y ) )= T * f ( d Y ) c T * f ( Y A = T * f ( Y )A T*f(flkf) c T * f ( Y )A

a,;,,.

I7 GEOMk.1 RIE DU FIBRE TAN(;EN

r

41

13.c. Connexions sans torsion. - La torsion d’une connexion V sur le fibré tangent d’une variété M est l’opérateur &M -bilinéaire

L’assertion de @M &linéarité n’est pas gratuite, aussi nous allons vérifier par exemple la &-linéarité en y : par définition, le terme VT[ est &linéaire en y ; d’autre part, y H V t y et y H [E, y] sont deux dérivations le long de <,donc leur différence est &M -linéaire. e coordonnées platpy sur un ouvert U de M est une famille Un ~ y ~ t è mde t l , . . . , t, de fonctions sur U à valeurs complexes, telles qu’en tout point de U les différentielles soient indépendantes (donc pour tout m E M , il existe des constantes c, ( m ) telles que les fonctions t , + c, ( m ) forment un système de coordonnées locales en m ) et que les champs de vecteurs a/&, définis par

a

-(dt,) at,

=

O siifj 1 sii=j

soient V-horizontaux. L’application ( t i , . . . , t,) : U + C ” est donc une cartr étale au sens de la remarque 2 . 4 ( 2 ) . L’existence d’un tel système implique que la connexion V est plate (puisqu’il existe localement une base de champs de vecteurs V-horizontaux) et qu’elle est 5 x 1 5 torsion, z.e. de torsion idcntiquement nulle, (puisque, dans la base ( at&), on a V‘ltZ&, = O par horimntalité et [a,, ,at, ] = O pour tous z , )~. Si ( t i , . . . , t,) est un système de coordonnées plates sur U , alors pour tout ( c l , . . . , c), E C nla famille ( t i + c l , . . . , t, + c,) en est un autre. On dit qu’il est obtenu par trandataon à partir du premier.

13.4. Théorème (les coordonnées plates). - Soat M une vamétb analytaqur complexe 1-connexe ei V une connmaon plate Tans torszon sur k f ; h é langent TM Soat ma E M et (E:, . . . ,Eft) une basp dr IPTpace T,,pM. (1) Il pxaytr alory un systèmr d p coordonnbepr plates ( t i , . . . , i n ) Tur M tel qur l’on azt ô,, (m’) = 6; pour tout z = 1, . . , n . ( 2 ) Lec syrtPme5 quz satzsfont CPS condataonî Font (eux qua SP déùuacent d u premzer par translataon. ( 3 ) Deux hystemes dp coordonnée5 plates sur M FP déduzwnt 1?und~ 1’auirepar un ihangement aflinr de coordonnéPr 13.5.Remarque. - Dans ces conditions, on dit que la variété M est munie d’une structure cifine.

42

CHXPITRE O. 1.F I.hNC;AGE DES FIBRES

13.6. Exemple. - Soit U un ouvert connexe de C’l et soit p : 6 + U un revêtement. Le fibré tangent de- U est canoniquement trivialisé. I1 en est dc même du fibré tangent de U , qui possède donc une connexion plate sans torsion. Alors les composantes p i , . . . , pn de p dans les coordonnées canoniques de C n forment un système de coordonnées plates sur U . Démonstration du thiorème 13.4. - Choisissons n vecteurs indépendants ( y , . . . ,[yL dans la fibre Tntc1M. Puisque la connexion V est plate, nous pouvons appliquer le théorème de Cauchy-Kowalevski 12.8 et le lemme 15.9 : puisque M est 1-connexe, il existe une unique famille de champs de vecteurs V-horizontaux ( [ I , . . . , 4,) dont la restriction 5 T,,pM soit la famille donnée. Puisque la connexion est sans torsion et que ces champs sont horizontaux, leurs crochets de Lie sont nuls. Considérons la base duale w1, . . . , wn . Les 1-formes w, sont fermées : on a en effet, pour tous i , j , k = 1,. . . ,n

Puisque M est I-connexe, on a H’(M,c) = O , donc les formes w, sont exactes (voir l’exercice 9.8). Les fonctions t , telles que w, = dt, induisent une application partout de rang maximum, puisque les a, sont partout indépendantes. Elles forment donc une carte étale plate. O Le reste de la démonstration est laissé aux lecteurs. Connrxion sans torsion associie à une << mitrique >>. - Le résultat qui suit est classique en géométrie riemannienne (voir par exemple [GHL87, th. 2.511). I1 s’adapte sans difficulté au cadre holomorphe.

13.7. Théorème (la connexion métrique). - Soit g une forme -bilinkuire .syméirique non déginkir g sur le faisceau Oltf d ~ champs s de vecteurs sur M . Il existr alors une uniqur connmion sans torsion, V telle qup, pour tout triplet (E, 7 , <) de germes dr champs d e vecteurs, on ait la relation

On dit que la connexion V donnée par le théorème est la connexion de Zmi-Civita associée à la << métrique ». On peut reformuler la relation cidessus en étendant l’action de la conncxion V aux sections des fibrés de tenscurs (produits tensoriels, éventuellement symétriques OLI alternés, de

La relation exprime que le tenseur métrique est copies de Obf et V-horizontal. Si la connexion V est plate, on dit que la << mCtrique >> est plate. 13.8. Remarque. - La notion de fonction plate a alors un sens : une fonction holomorphe 1 : U + C sur iin ouvert U de M est dite plat^ si le champ [ I , déduit de la I-forme df par l'isomorphisme flL @,VI induit par la métrique, est V-horizontal.

13.d. Champs de Higgs symétriques. - Soit 0 un champ de Higgs sur le fibré tangent TA4 de la variété M . C'est, rappelons-le, un homomorphisme @M -linéaire Q : 0bf

---)

1

'8 O M

qui satisfait la condition d'« intégrabilité >> Q A Q = O. En utilisant l'accoiiplenient naturel des 1-formes contre les champs de vecteurs, on peut le voir comme un honiomorphisme bilinéaire 0x1

'8 O M

[,ri

-

H

OM

@:(y).

Ainsi, le champ de Higgs Q permet de définir un produit('") fibre >> sur le fibré tangent par la formule

5* 7

=

*

<<

fibre a

+(q)

(le signe - est introduit par commodité pour un usage ultérieur). L'analogue, pour les champs de Higgs, de l'absence de torsion pour les connexions est la propriété de Tymétme : on dit que le champ de Higgs @ est symétrique si le produit * associé est mrnmututq. 13.9. Proposition (champ de Higgs et produit). - L e champ @ Pst u n thnmf) de Hzgg Jymétrtque sz et seulment $ 2 G produzt * est aJJouatzf Pt commuiatzf:

Démonstration. - Le problème est local sur A4 de sorte que nous pouvons travailler dans un système de coordonnées locales ( q, . . . , zTz). Nous poiivons écrire Q = Cy_,dz,@Q('), où les Q(') = Q?/?a1 définissent, pour chaque m dans la carte considérée, un endomorphisme de 0 ~ 1 , La ~ . condition @A@ = O équivaut alors au fait que, pour tous 2, k , on a Q ( r ) Q ( k=) @(')@(').

('0) II rie faut pas conroiidrc. cette structure supp16iiieiitairesiil- ('>,ifavec la S L ~ U C ~ L riatiirelle II-~ d'algèbre de 1,ie définie par le ciocliet des cliairips de vectciii-s.

CHAPITRE O. LE LANGAGE DES FIKKÉS

44

Puisque, par définition, dZl * &, = -Q(z)(&,), on a, pour tous z , j , k , lorsque Q> est un champs de Higgs symétrique,

aZL* (a,, * &,)

* * û, ) = dz) (@il) (a,,)) = d l ) d b(az,), )

(symétrie)

= û2$ (dzk

O

et de même

(a,?

3,)

* azk = a,, * (azs* 3 , ) = d kO)d l (a,,), )

O

d'où I'associativité. La réciproque se montre de même.

Lorsqu'existe de plus sur M un champ unité, c'est-à-dire une section e E ï ( M , O M )telle que [*e=e*[=t

pour tout germe 5 de champ de vecteurs holomorphe("), chaque espace tangent T,M est niuni d'une structure d'algèbre associative, commutative 2 unité, structure qui varie de manière holomorphe avec m. Soit ( z 1 , . . . , z,) un système de coordonnées locales sur un ouvert U de M . Tout polynôme aCL(z1,. ' ' > zn)q;,

' '

.q;"

lai@

en les variables q1, . . . , u], à coefficients holomorphes en un champ de vecteurs holomorphe sur U , à savoir

c a,(q,. ..

,z7t)P

IW

z1,

. . . ,zn définit

--

* a,, *

?I

' ' '

*a,, * . ' . *a,, * . ' * a,

fois

'

CL,[

fois

(le champ e est utile pour le terme de degré O ) . L'ensemble des polynômes tels que le champ de vecteurs associé soit nul est un idéal de l'anneau @M (ü)[ql, . . . , y n ] ; le lieu des zéros de cette famille de polynômes est un sous-ensemble de U x C n . On peut vérifier que, si 0 est symétrique et admet un champ unité sur M , cet ensemble est bien défini comme un sousensemble I,@ de l'espace total dujibré cotangenl T * M (dont l'ouvert U x @" considéré ci-dessus est une carte).

(")Un tel champ

c est

alors unique.

13. GÉOMÉTRIE DU FIB& TANGENT

45

13.10. DéJinition (coordonnées canoniques). - Un système (xi,.. . , x,) de coordonnées sur un ouvert de M est dit canonique si les champs de vecteurs ûxt satisfont

Sur tin tel ouvert, le champ P = Cr=la,! est le champ unité. Dans un tel système, nous aurons aussi à considérer le champ E = Cy=lx , d X l , appelé champ d’Euler. Dans la base (ax, , . . . , ax,), la matrice de l’endomorphisme Ro(*) = E * de multiplication par c” est la matrice diagonale diag(x1,. . . , x,?). 13.11. Remarque (sur l’existence de coordonnées canoniques)

Contrairement aii cas des connexions plates sans torsion, on ne dispose pas, sans hypothèse supplémentaire, d’un analogue du théorème 13.4 qui affirmerait l’existence locale de coordonnées canoniques pour iin champ de Higgs symétrique quelconque sur @,if. Notons que, si un tel système existe, alors, pour tout champ de vecteur E , l’opérateur e: de multiplication par 5 sur les fibres du fibré tangent de M est semi-simple. De plus, les coordonnées canoniques sont les fonctions propres de l’opérateur e, pour un certain champ E. Inversement, supposons que, pour tout 5,l’opérateur e, soit semi-simple. I1 existe alors localement(’*) une base de champs (qL)i=l,...,,satisfaisant yi y j = S,,q,, où 6 i j désigne le symbole de Kronecker : en effet, il existe ~ champs de vecteurs diagonalisant simiillocalement Line base ( E i ) j = ~ , , , , , , de tanément les opérateurs (puisque ceux-ci coinmutent) ; on en déduit qu’il existe des fonctions A,( z ) telles que F,i * [ I = B i i h i E i ; il s’agit de montrer que les Ai ne s’annulent pas (on posera alors qi = E;i/A,) ; ceci est dû à l’existence d’un champ unité r! puisque, si l’on pose P = Ciu t [ , , on a

*

On prendra garde(’3) que cet argument ne donne cependant pas I’existence locale de coordonnées canoniques car il ne montre pas que les crochets [qz,q I ] sont nuls. (‘2) si l’on suppose l’existence d’lin ciiainp unité. (‘“)Poiri-obtenir I’exiatence de coordnniiées canoniques, il est nécessaire et suffisant d’imposer une condition supplémentaire de compatibilité entre le produit * et les dérivées d e l i e 2 5 . Ceci condirit à la notion d e 7inn’Pti dPFrobPniuT faible, introduite dans [HM99]. Cette coiidition est équivalente à la condition gboniétrique << ,Lq! est une variété lagrarigienne dans T’hf >> ( r f : [Her99]). Cette condition est réalisée pour les variétés de Frobcniiis que nous rencontrcrons aii chapitre VI1 ( $ [Aud98b] et #VIL I A).

CHAPITRE O. LE IANGAGE DES FIBRÉS

46

13.12. Exercice (la variété LQ est lagrangienne). - Montrer que, dans des coordonnées canoniques, l’idéal des polynômes considéré ci-dessus est engendré par les polynômes %Y3

(i # A ,

%(TL

-

1)2

1 - Crz. z

En déduire que l’ensemble LQ est le sous-ensemble formé des points ( X I , . . . , xn,71,. . . , y“) de U x @”où tous les -q2 sauf un sont nuls, ce dernier valant 1. Compatibilité auec une c< métrique ». - Donnons-nous comme au Cj 13.c une forme bilinéaire symétrique non dégénérée g sur T M , que nous appelons ou le produit encore << métrique ». Nous dirons que le champ de Higgs Q>, *, est compatible à la métrique g si l’on a, pour tout triplet ( 5 1 , 5 2 , 5 3 ) de champs de vecteurs sur M , l’égalité

g(E1 * 52,t 3 ) = g(51, 52 * 53). Contrairement au cas des connexions, une métrique ne permet pas à elle seule de définir naturellement iin champ de Higgs symétrique compatible avec elle. Si un champ unité existe, on peut considérer la 1-forme différentielle e* définie par adjonction. En tant que forme linéaire sur le fibré tangent, elle s’exprime par <(

)>

e * ( [ ) = g(e,5).

On a alors g ( 4 1 , 4 2 ) = e * ( h *&I. I1 peut être utile de mettre en évidence la forme trilinéaire c(t1,52,53) = g(51 * t 2 , 5 3 ) = e * ( ( t i * E 2 )

*ES).

13.13. Exercice (algèbres de Frobenius commutatives). - Soit V un @ espace vectoriel de dimension finie muni d’une forme linéaire e, d’une forme bilinéaire non dégénérée b et d’une forme trilinéaire t . En considéV ” défini par h , la forme trilinéaire t permet rant l’isomorphisme B : V de définir un produit sur V : on impose que, pour tous V I , u2 E V , les deux formes linéaires B(u1 * u2) et c(v1, u2, coïncident. Donner les conditions sur e, b, t exprimant que B-’ (e) est l’unité et que le produit est commutatif et associatif. On dit alors que (y*, e, 6) ou, de manière équivalente (ye, b, 1 ) , est une algèbre de F r ~ b e n i u d ’ ~ ) . 0 )

( 14) L’exemple originellement considéré par Frobenius lors d e ses travaux sur les caractères des groupes finis est l’algèbre (non cornrnutative en général) d’un tel groupe sur un corps (voir par exemple [Lit40, chap.IV]). Le fait qu’une telle algèbre soit << d e Fi-oberiiiis>, au

47

14. CONNEXIONS MÉROMORPHES

14. Connexions méromorphes un fibré méromorphe à pôles le long d’une sous-variété analytique Z , i.e. un @~(*Z)-modulelocalement libre de rang d . Une connexion sur A&” est définie comme dans le cas holomorphe, à savoir comme un homomorphisme @-linéaire V : A&” + CLkf A&” satisfaisant la règle de Leibniz. On notera que, dans une base locale de sur &ff(*Z), la matrice R de la connexion est à éléments dans @M (*Z) CL:, = Rkf (*Z). Les considérations du § 11 s’étendent au cas méromorphe de manière immédiate. On notera que la matrice P du l l . a est maintenant dans ï ( U , C;L~(@M (*Z))). Le faisceau des sections horizontales ..”;;,, est alors un faisceau localement constant d’espaces vectoriels de rang fini qui correspond, d’après le théorème 15.8, à une représentation linéaire du groupe ( M \ Z, O) : c’est la refirksentalion dr monodromze attachée au fondamental fibré méromorphe à connexion ( M ,V) .

14.1. Exercice (torsion d’une connexion par une forme différentielle une fonction méromorphe logarithmique). - Soit f E ï(M,@hf(*Z)) sur M , à pôles le long de Z , et soit w = df/ f sa différentielle logarithmique. (1) Montrer que le fibré méromorphe à connexion (@M ( * Z ) , d O ) est à monodromie triviale, i.e. que le faisceau de ses sections horizontales sur M \ Z est isomorphe au faisceau constant @ ~ \ z(on pourra écrire

+

d+w=f-’

odof).

(2) En déduire que, si (A&”,V) est un fibré méromorphe à connexion sur M à pôles le long de Z, les faisceaux de sections horizontales de (A, V) pf,z et (d, V + w Id) p l \ ~sont isomorphes (on pourra utiliser l’exercice 12.11). On dira qu’une connexion sur un fibré méromorphe est intégruble (ou platp) si sa restriction à M L est une connexion intkgrable sur le fibré Si g est un réseau d’un fibré méroniorphe à connexion ( peut que V ( g ) nc soit pas contenu dans g.On a cependant

V(8) c V ( A ) c CL:f

@ &I

A&”

= R,\f(*Z)@

CY.

@A I

Ainsi, V définit une connpxzon méromorfhP qui n’est pas nécessairement holomorphe sur le fibré E“. sens donné plus haut est inontré pai- exemple danî [CR62,tli.62.11, oii (th. 61 3 ) d’autres caractérisations dcs algèbres de Frobcriiiis.

1’011

trouvera aussi

48

CHAPITRE O LE IANGAGE DES FIRRFS

On dira que 8 est un réseau logarithmique du fibré méromorphe à

et plus généralement que c’est un r h e a d’ordre

< r si

~(g c ahr((r+ ) 1) 1ogZ) 8 g 4

<

et d’ordre r si de plus il n’est pas d’ordre r - 1 (logarithmique = ordre O ) . Ainsi, 8 est un réseau logarithmique si, dans toute base locale de 8,la matrice de la connexion V a pour éléments des formes à pôles logarithmiques le long de 2 .

14.2. Exercice (comportement de l’ordre par les opérations SLW les réseaux) Montrer que l’ordre de 8@ 8’(resp. de g @ 8’, resp. de L ( g ,g’) ) est égal au maximum des ordres de ?k et 8’. On dira qu’un fibré méromorphe à connexion plate (A, V) est ù singularité réplière le long de Z si, au voisinage U de tout point zo E 2 , il existe un riseau logarithmique 8”de i . Plus généralemen t, on appellera rang de Poincaré de ( A , V ) le long de Z en zo l’ordre minimal le long de 2 d’un réseau au voisinage de zo. La condition de singularité régulière est locale sur % et on n’impose pas l’existence d’un réseau logarithmique 8 globalement sur M . Néanmoins, on peut montrer l’existence d’un tel réseau (voir [De170]). Nous analyserons plus en détail la structiire des connexions à singularité régulière ou irrégulière cn dimension 1 au chapitre II.

14.3. Remarque (singularité régulière et pôle logarithmique). - I1 faut bien faire la distinction entre la notion de singularité régulière, qui s’applique aiix fibrés rnéromor$hf?sà connexion plate, et celle de pôle logarithmique, qui à connexion méroniorphe plate. De fait, s’applique aux fibrés holo~rnorji/z~,s u n fibré niéromorphe de rang 2 à connexion à singularité régulière peut contenir des réseaux d’ordre arbitrairement grand (voir l’exercice 11.4.4). 14.a. Restriction d’une connexion méromorphe. - Soit iVf IC produit 1) x M’, oii M’ est une variété analytiqiie complexe, Z) est iin disqiic centré à l’origine dans @ . Nous identifions M’ à la sow-variété {O} x M’ de M et nous notons i : M’ L) ikî l’inclusion. Nous supposons ici que l’hypersurface 2 est égale à D x Z’, où %’ est une hypersurface lisse de M ’ . Soit ( L , V ) tin fibré niéromorphe à connexion sur M à pôles le long de %. Le fibré méromorphe A se restreint en un fibre méromorphe A’ sur M’ par la forniuie L’ = @,[, @,-ILii iplA,analogue à la formule

14. CONNFXIONS MEROMORPHES

49

(11.9). I1 est important, pour que ceci ait un sens, que l’ensemble polaire Z coupe proprement, i.e. le long d’une hypersurface, la sous-variété M I . On peut alors, exactement comme au ll.c, définir la restriction

v’ : A‘

-

nig/@

A‘

4\11

de la connexion méromorphe V. Nous dirons que le fibré méromorphe à connexion (A’, VI) est la restriction (ou image inverse par l’inclusion) à M’ du fibré méromorphe à connexion (A, V) . On notera que, si l’on restreint (d, V) à M \ Z pour obtenir un fibré holomorphe à connexion, le fibré restriction qu’on obtient à partir de ce dernier à l’aide de la définition du § 11.c n’est autre que (d’, V’) I M / , p . Si V est intégrable, il en est donc de même de VI (CJ: exercice 12.12). On notera aussi que, si 8 est un réseau de d , sa restriction i ” 8 est un réseau de A’.

14.b. Restriction et résidu des connexions à pôles logarithmiques. - Gardons les notations du § 14.a mais supposons maintenant que l’hypersurface Z soit égale à {O} x M I ; on pourrait, pour le cas logarithmique qui suit, considérer une situation plus générale (où le << fibré normal >> de Z dans M est trivial), mais nous n’aurons pas à utiliser cette situation. Donnons-nous alors un fibré holomorphe à connexion méromorphe (8, V) (et pas seulement un fibré méromorphe à connexion). Supposons que (8, V) soit logarithmique le long de 2 . On peut définir une << restriction >> de (8, V ) à Z ; c’est un fihré holomorphe de rang d à connexion holomorphe v sur Z : en tant que fibré, c’est la restriction Elz de E à Z ( Z . P . l’image inverse par l’application d’inclusion 2 % : Z M ) . Explicitons la matrice de la connexion << re5triction v dans Line base locale de E et dans des coordonnées locales z 1 , . . . , zll avec Z = { z l = O} : si L)

)>

est la matrice de la coririexioii, oii les Cl(’) sont des matrices à éléments holomorphes, la connexion v cherchée a pour matrice

a(’) (O, z 2 , . . . ,z l , ) nz, 122

dans la base correspondante de Ei7. On vérifie que ceci est indépendant des choix faits et définit bien une connexion holomorphe sur E I ~ . La connexion logarithmique V permet aiissi de munir le fibré L I Zd’un endomorphisme : c’est le réxdu Rés7 V de la connexion le long de Z . Avec les choix locaux ci-dessus, il a pour matrice CL(’) (O, z 2 , . . . ,z , ) . Pour vérifier

50

CHAPITRE: O. I,E IANGAGE DES FIBRES

que cette définition est bien intrinsèque, on considère l'homomorphisme composé

Alors, si O est une section locale de E" qui s'annule sur 2 , son image par (14.4) est nulle et par suite (14.4) passe au quotient pour définir Rész V : i;g -+ i;Z. 14.5. Exercice (restriction, résidu et opérations) (1) Montrer que la construction de v à partir de V est compatible aux opérations sur les fibrés à connexion. (2) Déterminer le comportement du résidu par les opérations $, @ et L sur les fibrés à connexion logarithmique. Vérifier en particulier que, si ( @ ~ , d )désigne le fibré trivial de rang 1 muni de la connexion triviale, le dual A%m4f (E", @ j ) a pour résidu - 'Rész V. 14.6. Exercice (restriction, résidu et intégrabiiité). - On suppose que la connexion V est intégrable. (1) Montrer qu'il en est de même de sa restriction >> v. (2) Montrer que le résidu Rész V , vu comme endomorphisme du fibré Elz , est compatible à la connexion v, c'est-à-dire que, vu comme section du fibré Hom(Ejz, E p ) , c'est une section horizontale vis-à-vis de la connexion plate naturelle construite à partir de v. (<

14.c. Connexions d'ordre 1. - Lorsque la connexion est d'ordre 1 le long de 2 ,on peut écrire localement sa matrice sous la forme

où les CL(') sont holomorphes. On ne peut pas définir de connexion plate restriction à Z par le procédé ci-dessus, car &2 R(')(O, z2,. . . , z), dz, est une forme qui ne satisfait pas nécessairement la condition d'intégrabilité. Cependant, si onJlxe une coordonnée z1 sur D et si l'on considère un système de coordonnées locales z2,.. . ,zt2 sur Z,on peut munir le fibré Ele d'un endomorphisme << résidu >> Ru ( c j . remarque 9.15) et d'une 1-forme Q à valeurs dans les endomorphismes de Elz : dans une base locale, Ro a pour matrice fi(') (O, z2,. . . ,z), et Q est donnée par CL2* fi(') (O, 7.2,. . . , z n ) dz,. 14.7. Exercice (. résidu >> et intégrabilité). - Montrer que l'intégrabilité de V implique que les relations suivantes sont satisfaites par Ro et Q (elles

15. FMSCEAL’X 1.OCAI.EMENT CONSI AN I S

51

sont les analogues de l’intégrabilité de la connexion v et de l’horizontalité relativement à v de l’endomorphisme résidu, dans le cas logarithmique) Q A Q = O,

Qt

O

Ro

= Ro

O

QE pour tout champ de vecteur

sur M

En particulier, Q est un champ de Higgs sur Ejz et (Ejz, @) est un $ h é de Hag$. Ces objets dépendent du choix de coordonnée sur D par line constante miiltiplicative.

14.8. Remarque. - I1 n’est par contre pas possible, en général, de définir pour les connexions à pôle d’ordre 3 1 le long de Z un endomorphisme résidu, dont la matrice dans une base locale soit formée des résidus des coefficients de CL. En effet, si le rang dii fibré est 2 2 , une telle matrice n’a pas un comportement convenable par changement de base holomorphe.

14.9. Exercice (champ de Higgs, << résidu >> et opérations) (1) Montrer que la construction de @ à partir de V est compatible aux opérations sur les fibrés de Higgs. ( 2 ) Déterminer le comportement du << résidu Ro par les opérations @, 8 , L. )>

15. Faisceaux localement constants 15.a. Faisceaux d’ensembles localement constants. - Soit F un faisceau t <st d’ensembles sur iin espace topologique X . La réunion disjointe J des germes de F aux points de X est munie d’une topologie naturelle, pour laquelle une base d’ouvert est donnée par les U, , lorsque U est un ouvert de X et s E F), avec

nxExz

r(a

u, = LI { S r } c LI z. x E 1,:

X€X Y

Pour cette topologie, la projection naturelle p : F + X est continue et l’ensemble ï(U,F)s’identifie à celui des sections continues O : U t F de la projection fi, i.e. les applications continues qui satisfont $ 0 0 = IdIr. De plus, la projection fi est un homéomorphisme local et la topologie induite sur chaque fibre p-’(x) = est la topologie discrète ($ [God64]). On dit que Y ,muni de la projection p , est l’espace étnk associé au faisceau F.

15.1. Exercice (faisceaux localement constants et revêtements). - On suppose que X est connexe. Vérifier quele faisceau F est constant ( $ 5 2.6) si et seulement si l’espace étalé p : F --t X est homéomorphe a la projection fi2 : x X + X , pour tout x E X . En déduire que les proprittts suivantes sont équivalentes : (1) le faisceau F est localement isomorphe à un faisceau constant; (2) la projection p : F --f X est une application de revêtement.

-

CHAPITRE O. LE LANGAGE UES FIBRÉS

52

Lorsque l’une des deux propriétés équivalentes ci-dessus est satisfaite, on dit que le faisceau F est localement constant. On voit ainsi que la catégorie des faisceaux d’ensembles localement constants est isomorphe à celle des revêtements (vérifier le comportement des morphismes). De la théorie des revêtements (voir par exemple [God71]), on déduit : 15.2. Corollaire. - Tout faisceau localrmrnt constant sur un espace 1-connexe est O constant. 15.3. Exercice (faisceaux localement constants et revêtements, suite) (1) Montrer que, si f : X’ -+X est une application continue et si F est un faisceau localement constant sur X , le faisceau image inverse f - ’ est ~ localement constant. (2) Soit TC : X --+ X’un revêtement fini et soit F un faisceau localement constant sur X . Montrer que le faisceau T,F est localement constant.

15.b. Faisceaux localement constants de @ -espacesvectoriels de rang fini Nous allons maintenant préciser la correspondance faisceaux localement constants tf rmêtemrnts pour les faisceaux de @-espacesvectoriels de rang fini. Un tel faisceau est localement constant s’il existe iin recouvrement ouvert 11 de X et pour avec le faisceau constant chaque ouvert U de LI un isomorphisme de Ch. Dans la suite, tous les faisceaux seront des faisceaux de @-espacesvectoriels de rang fini et nous écrirons seulement c< localement constant ». On dit aussi parfois système local (15) au lieu de faisceau localement constant.

q ~ r

15.4. Exercice. - Dans l’exercice 15.3, calculer le rang des faisceaux f - ’ Y et T,F en fonction de celui de F.

Nous avons ainsi défini une sous-catégorie de la catégorie (6§ 17) des faisceaux sur X , à savoir celle des faisceaux localement constant de rang fini. On dit que cette sous-catégorie est pleine, car l’ensemble des homomorphismes de faisceaux localement constants est égal à celui de tous les homomorphismes de faisceaux. Si O est un point fixé de X (appelé point base), on dispose d’un foncteur << restriction >> de cette catégorie dans celle des espaces vectoriels de rang fini : on associe à F son germe et à p : F + 27 son germe yo : 53

2%. (‘5)C’est en fait une abréviation pour << système local de coefficients >, lorsqii’on considère la cohomologie à coefficients dans un faisceau localement coustant.

15. FAiS<>EAUXISXALEMENT <:
53

Si x : 2 t X est iin revêtement universel fixé de X , on dispose d'un foncteur c< sections globales multiformes de cette catégorie dans celle des espaces vectoriels de dimension finie : on associe à F l'espace ï(%, n-'F) et à 'p : F -+ F le morphisme induit r(2,x - ' F ) t ï(2,n - ' F ) . >)

15.5. Lemme (les revêtements du carré sont triviaux). - Supposons que X soit égal à l'intmalle [O, I ] ou a u carré [O, I ] x [O, I ] et notons O lorigme de X . Soient F, F des faisceaux localement constants sur X . (1) Si SO E il existe une unique section s de F sur X telle que s(0) = so. ( 2 ) Soit 'po : F o t 9"un homomorphisme. Il existe un unique homomorphisme : F t 9 dont la restriction fi F o .soit yo.

s,

Démonstration. - Pour le premier point, adapter la démonstration de [Godvl, lemmes 1.1 et 1.2, p.1291. Le second point résulte du premier en remarquant que Z o m ~ , ( F , F ) est aussi un faisceau localement O constant.

15.6. Exercice (1) Montrer que, dans le lemme ci-dessus, si 'po est un isomorphisme, il en est de même de Y (on pourra considérer le déterminant de y ) . (2) Montrer que, pour X comme dans le lemme, tout faisceau localement constant F est isomorphe au faisceau constant z-'%, si x : X t {O} est l'application constante, et qu'un tel isomorphisme est unique si on impose de plus que son germe en O soit égal à l'identité. ( 3 ) Montrer que le lemme ci-dessus peut s'interpréter en disant que, sur l'espace X = [ O , 11 ou X = [ O , il2 (avec O pour point base), le foncteur de restriction est une équivalence (cf: C; 17) entre la catégorie des faisceaux localement constants sur X et celle des @-espacesvectoriels de dimension finie. 15.c. Rappels SUT les représentationslinéaires de groupes. - Soient n un groupe et F un C-espace vectoriel (ici, C pourrait désigner un corps quelconque). Une représentation linéaire de rI dans F ($ par exemple [Kir74, 71) est un homomorphisme de groupes p : n 4 Aut(F), autrement dit une opération linéaire à gauche de n sur F . Si Fi opère sur Fi et F 2 , alors ri opère sur Hom@( F i , F 2 ) par

YE

-

P(Y) :

[Y

P2(Y) O

YO Pi

w].

Un homomorphisme de la représentation p l dans la représentation p2 est un homomorphisme 'p E Hom@( F i , F 2 ) tel que

VY

E

K

P ( Y ) ( ' p ) = 'p.

CHAPITRE O. 1.E L N G A G E DES F I B k S

54

On note cet ensemble

Autrement dit, 'p : Fi + Fz, est un homomorphisme de représentations (on dit aussi opbuteur d'mtrplucement) si et seulement si, pour tout y E ri, le diagramme suivant commute :

Pi(i)ll

Fi

+(Y)

'p A

Fz

Reprenant le langage des catégories (CJ: § 17), nous avons défini la catégorie des représentations linéaires du groupe ri, dont les objets sont les représentations linéaires et les morphismes sont les homomorphismes de représentations. Elle contient la sous-catégorie des représentations de dimension finie, qui est pLinP. Elle est munie d'un foncteur oubli dans la catégorie des espaces vectoriels. <(

)>

Dans ce qui suit, nous prendrons pour II le group^ fondamental T C I (X, O) de l'espace X au point base O (CJ: par exemple [God71]). NOUSnoterons [ y ] E X I (X, O) la classe d'homotopie d'un lacet continu y : [O, 11 t X basé en O, $.e. tel que y(O) = y ( 1 ) = o. 11 sera commode d'utiliser la convention opposée à celle de [God711 pour le produit. Autrement dit, nous noterons [y] . [y'] la classe du lacet obtenu en parcourant d'abord y', puis y (conformément à la composition des applications, suivant en cela [De170]).

15.d. Une équivalence de catégories. - Soit F iin faisceau localement constant sur X . Si y est iin lacet continu basé en O , le faisceau y - ' F est localement constant sur [O, i ] (exercice 15.3). La première partie du lemme 15.5 montre l'existence d'une application

"; :

x

=

(y-LF)()

+

(y-lF),

= 9o.

de l'unique Celle-ci associe 2 tout '0 E la valeur ~ ( 1 E) ( y - ' F ) l = section s de y - ' F telle que r(O) = so. La propriété d'unicité permet de voir que cette application T%(est lznéaire. La deuxième partie de ce même lemme montre aussi que cette application ne dépend que de la classe d'homotopie de y et on la note T L ~ ou I, aussi T y pour rappeler la dépendance vis-à-vis de F.

[YJ

15.7. Exercice (la représentation de monodromie est fonctorielie) (1) Montrer que [y] H TrU]est tine représentation linéaire de dans

z.

i~ (X,lO)

(2) Montrer que F H ï" est un foncteiir de la catégorie des faisceaux localement constants de rang fini dans celle des représentations linéaires de dimension finie du groupe X I(X, O ) . 15.8. Théorème (la représentation de monodromie est une équivalence) Le foncteur F H ï'" est u n e équivalence entre la catégorie der fairceaux localement constants d~ rangjna sur X et celle dey repréyentatzons dr dimension finie dr x1 ( X , 0 ) . Démonstration. - Appliquons le critère donné au 17. Pour la pleine fidélité, il s'agit de voir que tout élément yo E Hom@(5, g,)nselrelève de manière unique en un homomorphisme p : Y + 9 . Ceci résulte du , . lemme suivant, appliqué au faisceau localement constant BrncA( YF)

15.9. Lemme (un critère d'existence d'une section globale). - Soirnt F un faisceau localement constant sur X et so E Il existe une section s E ï ( X , F ) telle que s ( O) = so si et seulement si T L (so) ~ I= s o pour tout [y] E nl (X, O) . Si une telle .section s existe, elle est unique.

s.

Dimonslration. - Soit x E X et y : [O, 11 + X un chemin continu de O à x (rappelons que X est supposé connexe par arcs). Le lemme 15.5 appliqué au faisceau y - ' F permet de définir s, E 8 k partir de s o . De plus, la condition T I (so) ~ I= s, pour tout [y] E 'cl ( X , O) permet de voir que Y , ne s, est une dépend pas du chemin y choisi. On voit alors que x H s(x) section de F. L'ensemble des points oii les germes de deux sections coïncident est ouvert dans X . Comme Y est localement constant, il est aussi fermé, d'où l'assertion d'unicité. O

Indiquons maintenant la démonstration de l'essentielle surjectivité. Soit

( i , O ) un revêtement universel de ( X , o ) . Rappelons (cf: [God71, p. 1841) que XI(X, O) opère sur X : si y est le relèvement d'un -lacet y issu de O, il existe tin unique automorphisme h[ïl du revêtenient X tel que hlvl (O)= y ( i ) . On note alors le quotient de x x 5 par la relation (2,s , ) N ( h [ - / , -(Y), ~ p[?] ( , y o ) ) ( [y] E "1 (X, O)). On vérifie que la projection naturelle sur X fait de I?. un revêtement : c'est l'espace étalé du faisceau 9cherché.

F

Pour vérifier que la- représentation associée à F est égale à p, on prend l'image inverse de X x 5par : la section qui vaut .so en O vaut aussi s,] en O h~.,,,(O); on identifie ensuite les points (hr.,,~ (3, s o ) et (O, p [ ? l (s,,)).

y

15.10. Corollaire (prolongement analytique). - Soieni V c U drux ourmts corinexes de X contenant le point buse tels que 1'homomorphisme canonique

CIIAPITRF O. LE L4NGAGE DES FIBRES

56

(u

( v o ) + T:I O) soit u n isomorphisme, et soit 9 u n fuisceuu localement constant sur V . (1) Il existe un faisceau localement constant Y sur U et u n isomorphisme

XI

q”Z F . ( 2 ) L’application de restriction ï(uY )+ ï (Y F) est u n isomorphisme. (3) Si on a deux faisceaux localement constants F et F‘ sur U , tout homose prolonge de manière unique en un homomorphisme morphisme : q v +

+

F+F.

O

15.22. Exercice (une autre équivalence de catégories). - Soit T: : 2 + X un revêtement universel fixé de X . (1) Soit F un faisceau localement constant de rang d sur X . Montrer que r(2,n - l F ) est un espace vectoriel de rang fini, muni d’une action du groupe G des automorphismes du revêtement x . On note ps la représentation correspondante de G. (2) Montrer que le foncteur Y H pF est une équivalence de catégories. (3) Comparer ce foncteur à celui défini à l’exercice 15.7. 25.12. Exercice (exemples de faisceaux localement constants) (1) Décrire les faisceaux localement constants de rang d sur X = @ * . ( 2 ) Décrire les faisceaux localement constants de rang 1 sur l’espace x = P’\ {O, l , M } = @ * \ {l}. (3) Montrer que deux représentations linéaires p,p’ : n l ( X , o ) + GLd (C) définissent des faisceaux localement constants isomorfihes si et seulement si elles sont conjuguées, i.e. il existe une matrice inversible C telle que, pour tout [y] E X I on ait p’([yl) = ~ - ‘ p ( [ y l ) c .

16. Déformations intégrables et déformations isomonodromiques Partons d’une famille analytique de variétés analytiques complexes dont la topologie (afortiori le groupe fondamental) ne change pas. Toutes ces variétés sont donc homéomorphes entre elles. Donnons-nous une famille de systèmes différentiels linéaires sur cette famille de variétés, c’est-à-dire une famille de fibrés vectoriels munis chacun d’une connexion holomorphe plate dépendant analytiquement des paramètres. On dispose ainsi du faisceau localement constant des sections horizontales de cette connexion sur chaque variété de la famille. Puisque la notion de faisceau localement constant est topologique, on peut voir tous ces faisceaux comme des faisceaux sur une mCme variété topologique. Lorsque ces faisceaux sont tous isomorphes à un même faisceau localement constant, on dit que la famille est isomonodromique.

Ici. DÉFOWYI IONS INTÉGRABLES ET DÉFORMAI’IONS ISOMONODROMIQUES

57

Mettons ceci en forme. On dispose donc d’une application analytique n : M --+ X partout de rang maximum entre deux variétés analytiques complexes connexes. On fait l’hypothèse que n est une fibration topologique localement triviale, c’est-à-dire que, pour tout x0 E X , il existe un voisinage V de xo dans X et un homéomorphisme h faisant commuter le diagramme

et dont la restriction à n-’(x’) est l’identité. Notons que, puisque n est partout de rang maximum, les fibres de TC sont des sous-variétés analytiques de M . 16.1.Exemples. - I1 est souvent nécessaire de considérer des situations plus générales que la projection n d’un produit M x X sur X . (1) Lorsque x est une application propre, un théorème d’Ehramann ($ [Ehr47, EhrEil], ainsi que [Wo164] pour une démonstration) affirme que n est Line fibration Cm localement triviale (i.e. on peut choisir pour h un difféomorphisme Coo au voisinage de tout x o ) . I1 est en général impossible de choisir h holomorphe. (2) Lorsque n n’est pas propre, le premier lemme d’isotopie de R. Thom (cf: par exemple [Dim92, chap. 11 et les références qui y sont données) permet souvent de montrer que n est une fibration topologique localement triviale au-dessus d’un ouvert dense de X . C’est le cas par exemple lorsqu’il existe une variété analytique contenant M comme ouvert dense, munie d’une application holomorphe propre 7t : + X étendant n. Un polynôme de n variables définit ainsi une fibration n : C n \ n-l (C) + C \ C, où C est un ensemble fini de points, appelés << valeurs critiques généralisees >> du polynôme TC. (3) Soit X = Xd c C d l’ouvert formé des points à coordonnées deux à deux distinctes et soit M = Xd+l.Alors la projection n : Xd+l + Xd qui oublie la dernière coordonnée est une fibration Coo localement triviale.

Le faisceau Oi\.l/x des champs de vecteurs tangents aux fibres de n est par définition le noyau de l’application tangente Tn : 0111 + n*Ox. C’est un faisceau localement libre puisque n est de rang maximum. On construit par dualité le faisceau ah,, des 1-formes différentielles relatives. Dans tout système de coordonnées locales ( ~ 1 , .. . , z p , x l , . . . , x q ) où n s’écrit T C ( Z , X ) = x, une 1-forme relative s’écrit P ‘pZ(z,x)dz,.

CIIAPITRE O . 1.E IANGACX! DES FIRRkS

58

Le faisceau Cl&,,

est naturellement un quotient du faisceau

muni d'une différentielle relative dM/x : OM,, + dispose d'une différentielle relative d,M/x : &f -+ CL:!, données locales ( z ,x) comme ci-dessus, on a

ah.I1 est

De même, on : dans des coor-

Enfin on a encore l'identité d ~ / Ox ~ , V I / X = O. Soit E un fibré sur M . Une connexion relative VM/X sur E est un homomorphisme 29 + ah,, 8 ~B ) qui~ est linéaire sur le faisceau d'anneaux x-'@x et qui satisfait la règle de Leibniz VM/X (

f

'

s) =

f V M / X S + d M / X / 8 y.

La connexion relative est dite intégrable (ou plate) si la courbure relative Vhf/x O VM/X est nulle. Les lecteurs expliciteront sans peine ces notions sur la matrice de la connexion dans une base locale de E et dans des coordonnées locales adaptées à ~i comme ci-dessus. Ils vérifieront aussi que, lorsque X est réduite à un point, on retrouve les notions introduites aux #$11 et 12.

16.2. Exemple (la connexion relative associée à une connexion) Si V : ?2 + Onf @E est une connexion sur le fibré E , la composée de V avec la prqjection aM 829 ah,,,, est une connexion relative v,M/X. Si V est intégrable, il en est de même de V,zr/x. Dans une base locale de E et des coordonnées locales adaptées à TC, la matrice de Vhf/x s'obtient en oubliant les termes en dzi ( j = 1,.. . , q ) dans celle de V. --f

16.3. Exercice (théorème de Cauchy-Kowalevski avec paramètres) Soit V,Z~/Xune connexion intigrable relative sur Lin fibré E sur M . Montrer l'analogue du théorème 12.8 en y remplaçant le faisceau C 1 ~ par f T-'@x et la notion de faisceau localement constant de @-espacesvectoriels par celle de faisceau localement constant de ~i-'@x -niodiiles localement libres (indication : voir [De170, th. 2.231).

16.4. Déjnition (d'une famille isomonodromique). - Une connexion relative intégrable V,$J/X sur iin fibré E est une famille isomonodrornique si la classe d'isomorphisme du faisceau localement constant (de C -espaces vectoriels) KerV,ll,xl,-i(,y)ne dCpentl pas du point x E X . Précisons ici que la restriction est prise au sens analytique, c'est-à-dire que, en se souvenant ((1:exercice précédent) que KerV,lf/x est un x-'&xmodule,

ici. »ÉFORM,ATIONS INTÉGRABLES ET

DEFORMATIONS

ISOMOKOI>ROMIQ~~ES

59

Donnons maintenant un sens à l’expression << rie dépend pas de x E X >>. Pour tout x” E X , soit V un voisinage de x0 et h un homéomorphisme V x xP1( x u ) x-’(V) comme plus haut. On en déduit, poiir tout x E V , un homéomorphisme h, : x-’ (x”) + x-’ ( x ) . I1 permet de ramener par image inverse le faisceau Ker VAf,x,n-l (,) sur x-’ (xO). On obtient ainsi un faisceau localement constant sur n-l (xO). L’isomonodromie signifie que, pour x dans un voisinage assez petit de xo, les faisceaux sont tous isomorphes.

16.5. Exercice. - Montrer que la condition d’isomonodromie locale cidessus ne dépend pas du choix de l’homéomorphisme h (il s’agit de vérifier que, si F est un faisceau localement constant de C-espaces vectoriels sur line variété N et si g : N --+ N est un homéomorphisme homotope à l’identité, alors les faisceaux F et g - ’ F sont isomorphes). Cet exercice permet de donner iin sens non ambigu à la notion locale d’isomonodroniie et, par là, de la définir globalement.

16.6. Proposition (l’intégrabilitéimplique l’isomonodromie) Soit V : CF --+ @2 ? une connexion plate sur un jib& E sur M . Alors la connexion relative V ~ . r / xassocike d k j n i t une famille isomonodromique.

CLfi

Dbmonstration. - Nous avons déjà indiqné qiie cette connexion relative est elle-même plate. On vérifie alors que

Ker V,,!~/X = x-’@x

-

I&

Ker V.

Enfin, si V est im voisinage 1-connexe assez petit de x” E X , le groupe foriV x n-’(x”) est égal a celui de x-’ ( x ” ) . On déduit damental de x-’ ( V ) de l’équivalence 15.8 que F = KerV est isomorphe à l’image inverse par h-’ op, de sa restriction à x-l (x’) . On obtient ainsi l’isomonodromie. O I1 est remarquable qiie, moyennant une hypothèse assez faible snr les fibres de n, la réciproque de cet énoncé soit vraie, au moins localement sur X :

16.7. Théorème (l’isomonodromie implique l’intégrabilité). - On S U ~ ~ O S Q que 1~
60

CHAPITRE O. LE LANGAGE I>LS F'IBRÉS

Esquisse de démonstration. - Soit x" E X . En utilisant le théorème de Cauchy-Kowalevski relatif, tout revient à montrer que, si F est un faisceau localement constant de, n-'l'-modules localement libres sur M , satisfaisant la condition d'isomonodromie, il existe, quitte à remplacer X par un voisinage assez petit de x", un faisceau localement constant de @-espacesvectoriels sur M tel que F = n - l l x ~c F. On suppose que le groupe fondamental TC^ (n-' (x"),*) est engendré par un nombre fini de classes YI,.. . , yp de lacets basés en *. Une représentation linéaire de rang d de ce groupe consiste en la donnée de matrices T i , . . . ,Tp E GLd(@)satisfaisant les mêmes relations que les yi. L'ensemble Rep de ces représentations est donc le sous-ensemble fermé de (GLd(C))p défini par les équations algébriques induites par les relations. Ce sont des équations du type

Le groupe GLd (C) opère sur le produit par

P . (TI,. . . ,Tp) = ( f q P - 1 , . . . , a p P - ' ) . L'orbite d'une représentation p" consiste en l'ensemble des représentations équivalentes à p" . L'hypothèse du théorème montre que, sur un voisinage V de x", existe une application analytique V + Rep dont l'image est contenue dans l'orbite GLd(@).p' (isomonodromie), si p" est la représentation correspondant au faisceau localement constant S , - I (et~envoyant ~ ) , x" sur p". I1 s'agit alors de montrer que cette application peut se relever, quitte à restreindre V , en une application analytique V -+ GLd(@)envoyant x" sur Id, c'est-àdire telle que le diagramme suivant soit commutatif:

/

I

Ceci est possible car l'application GLd(C) + GLd(@). p" est partout de rang maximum, par transitivité de l'action du groupe. o

16.9. Remarque. - I1 est possible d'étendre le domaine d'existence de la connexion intégrable V en utilisant un théorème d'annulation, cf: [Bo198].

17. APPENDICE : 1.E IAN<;A<;E DES CATÉGORIES

61

17. Appendice :le langage des catégories Nous renvoyons a [ML711 pour plus de détails sur ce qui suit. Une catégorie @ consiste en la donnée (1) d’une famille d’objets O b ( @ ) , (2) pour tout couple (X, Y ) d’objets de @, d’un ensemble Homg(X,Y) dont les éléments sont appelés morphismes de X vers Y , ( 3 ) pour tout triplet (X, I:Z ) d’objets de @, d’une application (appelée composition) Homg(X,Y) x Homg(I:Z)

Mg)

-

5Homg(X,Z) g o f

satisfaisant les propriétés suivantes : (1) la composition est associative, (2) pour tout objet X de @, il existe un élément Idx E Homg (X, X ) satisfaisant les égalités f o Idx = f et Idr o f = f pour tout f E H o m g (X, Y ) . Cet élément est nécessairement unique. Un élément f E Homg(X,Y) est un zsomorphisme s’il existe g E Homg(I:X) avec f O g = Idr et g O f = Idx. Du fait de I’associativité, un tel inverse est unique. Un fonrteur F d’une catégorie @ dans une catégorie @‘ consiste en la donnée d’une application F : Ob(@) + Ob(@) et pour tout couple (X, Y ) d’objets de @ d’une application F : Hom(X,Y) + Hom(F(X),F(Y)) cornpatiblc avec la composition et préservant les morphismes Id. On laisse aux lecteurs le soin de définir la notion de morphisme entre deux foncteurs, encore appelé transformataon naturelle de foncteurs, puis la notion d’isomorphisme de foncteurs. Si, pour un foncteur donné E’, il existe un foncteur inverse F’, c’est-àdire tel que F O F’ et F’ O F soient égaux aux foncteurs identité de chaque catégorie, on dit que le foncteur F est un isomorphisme de catégories. 17.1. Exercice. - Vérifier que le foncteur qui, a tout faisceau localement constant d’ensembles associe son espace étalé est un isomorphisme de la catégorie de ces faisceaux dans celle des revêtements.

Plus souvent, il existe un quasi-inverse F’, tel que F O F’ et F‘ O F soient des foncteurs isomorphes (et pas nécessairement égaux) aux foncteurs << identité >> des catégories correspondantes. Un tel quasi-inverse n’est pas nécessairement unique. Si un tel quasi-inverse existe, on dit que les catégories sont équivalentes. I1 peut être difficile de construire explicitement un quasi-inverse. Pour vérifier qu’un foncteur admet un tel quasi-inverse (et

62

CHAPITRE O. LE LANGAGE DES FIBRÉS

donc qu’il induit une équivalence de catégories), on utilise généralement le critère ci-dessous. est pleinementjdèle si, pour tout couple ( X , Y ) Un foncteur F : 6?? -+ d’objets de ?h l’application F : H o m ( X , Y ) + H o m ( F ( X ) , F ( Y ) ) est une bijection. C’est une équivalence de catégories si, de plus, il est essentiellemeni ,suqectf, c’est-à-dire que, pour tout objet X’ de g’, il existe un objet X de $9’tel que F ( X ) soit isomorphe à X’. On peut montrer qu’il existe alors un foncteur quasi-inverse F’ (voir par exemple [ML71, p. 911).

e’

Remarque. - Nous faisons dans ce livre un usage répété de la notion d’équivalence de catégories. C’est tin moyen commode, bien qu’un peu formel, pour exprimer suivant les cas plusieurs propriétés : - L’équivalence permet de manipuler de différentes manières les objets d’une catégorie, en travaillant directement sur la catégorie équivalente. C’est ce que nous avons fait avec les fibrés vectoriels. Dans ce cas, aucune des deux catégories (fibrés et faisceaux localement libres) n’est plus simple que l’autre, mais selon les questions, on << voit mieux >> dans l’une ou dans l’autre. - L’une des categories est plus simple à manipuler que l’autre. On peut alors considérer que l’équivalence joue le rôle d’une classiJication, à isomorphisme près, des objets de la catégorie la plus compliquée. L’équivalence fibrés tf 1-cohomologie non abélienne du § 5 rentre dans ce cadre, mais de manière assez illusoire en fait. Par contre, la correspondance de RiemannHilbert du chapitre II rentre tout à fait dans ce cadre par exemple. - I1 arrive parfois que l’équivalence mette en évidence des propriétés cachées d’une catégorie, qui sont apparentes dans l’autre. L’équivalence permet alors de montrer simplement ces propriétés cachées. Un exemple connu est l’équivalence entre la catégorie des -modules holonomes réguliers et celle des faisceaux pmws, qui montre que cette dernière est abélienne. Enfin, lorsque les deux catégories possèdent des opérations supplémentaires (somme directe ou produit tensoriel par exemple), il est en général important de vérifier que le foncteiir qui établit l’équivalence préserve ces opérations.

CHAPITRE I FIBRÉS VECTORIELS HOLOMORPHES SUR LA SPHÈRE DE RIEMANN

Dans toute la suite, la sphère de Riemann est notée IP’ : c’est la droite projective complexe munie de sa topologie usuelle et de la structure de variété analytique complexe décrite au § 0.2.2-4.

1. Cohomologie de

C ,C ”et P1

ec”

On note t la coordonnée sur C .Soit le faisceau des fonctions Coo sur C . C’est un faisceau d’anneaux, qui contient le faisceau @c des fonctions holomorphes comme sous-faisceau d’anneaux. C’est donc en particulier un faisceau de @c-modules. -


L’opérateur ût =

8 y

at

définit un homomorphisme de faisceaux

-

(1.1)

fgcm

at

fgca

qui est &-linéaire (mais pas gcm-linéaire). Par définition, son noyau est &c . Les résultats ci-dessous sont fondamentaux.

at.

1.2. Lemme de Poincaré pour - Soaent A un daque ouvert d u plan complexe ei ron adhkrente. Soat f une fonctzon Cm dqnae n u voasznuge de Il exaste alors ag unpfonctaon C” g : A 4C telle que y = A A . at

n

Dimonstrution. - Voir par exemple [ GH78, p. 51.

n.

O

1.3. Théorème (la résolution de Dolbeault sur un ouvert). - Pour tout ouuurt : gm (a)4 grn( a )est Jurjeclive (et Le

CI du plun cornjilexe, l’nfifilication at noyau est @(LI) ).

Dkmonstruiion. - Voir par exemple [BG91, th. 3.2.1, p. 2211.

O

64

CHAPITRE I. FIBRÉSVECTORIELS HOLOMORPHES SUR LA SPHÈRE DE RIEMANN

1.4. Corollaire (la résolution de Dolbeault locale). - Le morphisme (1.1) est surjectiJ Démonstration. - C’est bien sûr une conséquence du théorème 1.3. C’est aussi une conséquence du lemme de Poincaré 1.2 : il s’agit de montrer la surjectivité du germe en to de ( l . l ) ,pour tout to E @ ; si [ f ] t o est un germe Coo en t o , il existe un disque ouvert de centre to de rayon r > O et une fonction f , Cm sur ce disque, de germe [ f l t O en to ; on prend pour A le disque de centre to et de rayon r/2 ; le lemnie de Poincaré donne une solution Cm g : A -+ @ de atg = f et le germe [glt0 de g en to satisfait O donc [g] = [ f ]

at

1.5. Corollaire (la cohomologie holomorphe d’un ouvert de @ est nulle) Pour tout ouuert R c @ on a H k (R,&>) = O pour tout k > 1. Démonstration,. - Le corollaire 1.4 montre que l’on a une suite exacte courte de faisceaux de @ -espaces vectoriels 0

- - - @a

g O o o

0.

Le théorème 0.6.2 permet d’obtenir une suite exacte longue

. . . -t Hk(R,@n) H k ( O ,g;) -f

e;) + H k + f ’ ( R , @+~ )

+ Hk(R,

de laquelle on déduit, à l’aide du théorème 0.6.3, que H k (a,&) = O pour k > 2. Le théorème 1.3 exprime alors l’annulation de N’(CL, &a).

1.6. Corollaire (la cohomologie holomorphe de P1 est nulle). - Les espaces H k ( P 1 , @ ps~o)n n u Z s p o u r t o u t k > 1 e t o n a H o ( l F 1 , & $ i ) = @ . Démonstration. - La seconde égalité résulte du théorème de Liouville, puisqu’une fonction holomorphe sur P’ se restreint en une fonction holomorphe sur @ = Uo, qui est bornée par compacité de P’. Le recouvrement de P’ par les deux cartes üo et U , ($ exemple 0.2.24) est acyclique pour le faisceau Hpl, d’après le corollaire précédent; le théorème de Leray 0.6.1 permet de calculer la cohomologie de P’àvaleurs dans @ à l’aide de ce recouvrement. Comme il n’est composé que de deux ouverts, on a trivialement Hk(P’,@p~) = 0 pour k 2 . Pour montrer que H’ (IF’’, @pl) ’= O, il suffit de voir que toute fonction holomorphe f sur @ * est la différence des restrictions à @ * d’une fonction holomorphe sur Uo et d’une fonction holomorphe sur U , : c’est exactement ce que donne le O développement de Laurent de f sur la couronne @ * .

>

1.7. Corollaire (les fibrés de rang 1 sur IP’). - Unjibré holomorphe de rung 1 sur P est déterminé (à isomorphisme près) pur sa classe de Chern.

2.FIRRÉS EN DROITES SUR Pl

Démonstration. - La suite exacte de l’exponentielle suite exacte de cohomologie

. . . 4 H’(P1,@pl)4H’(P1,@;l)

2 H2(P1,ZPl)

65

(cf: § 0.7.b) induit une HyPl,@pl) 4. . .

4

et les deux termes extrêmes sont nuls d’après le corollaire précédent. Ceci montre que c1 est un isomorphisme.

2. Fibrés en droites sur Pl 2.a. Le fibré tautologique @pl (-1). - Soit L c P1 x C 2 le sous-ensemble formé des couples ( m , v ) , où m est une droite vectorielle de C 2 et v un vecteur de C2, tels que l’on ait v E m. On note n : I, -+ P1 la restriction à L de la première projection. Si c I, désigne l’ouvert des (m,v ) tels que v # O, s’identifie par la seconde projection à C2\ {O} et n : lJ4 Pl à la $brution de Hopf C \ {O} -+ P .

t

FIGURE1 . La fibration de Hopf restreinte 2 la sphère S 3 = R 3 ü cc

2.1. Proposition. - L a projection n fait de I, un j’ïbrk holomorphe en droits sur P I . On note

@$,I

(-1) le faisceau associé au fibré L,qu’on dit tuutologlque.

Zlémonstrution. - Nous allons d’abord calculer la restriction de L à chacun ., Remarquons déjà que L est un sous-ensemble fermé des ouverts Uo et ü de Pl x @‘ ; on munira cet ensemble de la topologie induite.

66

CIiiWi’ïRE 1. FIBKÉS \’EC‘ïORiELS IIOLOMORPIIES SUR LA SPHÈRE DE RIEMANN

Soient t la coordonnée sur Uo, ma E U() le point de coordonnées homogènes (1;t o ) et v = (vo,v,) E @‘. Alors on a v E mo si et seulement . en déduit un homéomorphisme si v, = ~ “ U O On

(t>U)

-

(t,vo)

et de la même manière, si t‘ désigne la coordonnée sur U, et si mo E U, a pour coordonnées homogènes ( t ’ O ; 1 ) , on a v E rno si et seulement si vg = t”~,, d’où un homéomorphisme

Sur UOn U, le changement de carte est donné par

( 4 vo)

-

( 4 tug).

Le cocycle ainsi obtenu est donc dans H o ( @ *H , * ).

O

2.2. CuroZZuire (&$I (-1) n’a pas de section globale). - Le j b r é L n’a pas dP section globale holomorphe non nulle; autrement dit, il n’existe pas d’homomor(-1) n’est pas phisme non identiquement nul Hpl 4Hpl ( - 1) (en particulier isomorphe a u jîbré trivial). Démonstration. - Montrons l’absence de section holomorphe : la composée d’une telle section IP1 4 L avec chacune deux projections de P1 x C 2 + C se restreint en une fonction holomorphe bornée sur üo, donc est constante. I1 reste à voir que le fibré I , n’admet pas de section holomorphe qui soit constante non nulle ; autrement dit, puisque I, est un fibré en droites, que L n’est pas isomorphe au fibré trivial ; dans le cas contraire, il existerait un vecteur non nul contenu dans toutes les droites vectorielles de C‘, ce qui est absurde. On a vu (CJ: la remarque faite au cours de la démonstration de la proposition 0.4.1) qu’un homomorphisme Hp1+ Hp1(-1) n’est autre qu’une section globalc du fibré @hl (-1) , section qui doit donc être nulle d’après O ce qui précède.

2.b. Les fibrés Hpl ( k ) pour k E Z . - On définit le fibré (1) comme le dual du fibré Hpl( - l ) , c’est-à-dire (&pl(-l),@pl). C’est encore l’inverse du fibré Hpl (-1) pour le produit tensoriel. C’est lejbr6 canonique

2. FiKRlh L N DROITES SUR P1

sur

P'. Puis, pour tout k @pi

E

67

z , on pose

(II)=

LPI

(il@ si k 2 1 (-i)@lklsi K 6 -1 si k = O.

2.3. Exercice (premières propriétés des fibrés @pl ( k ) ) . Montrer les assertions : (1) Le fibré lp@ ( k ) est trivial en restriction à chacun des ouverts U" et U, et le cocycie correspondant est y, o y;' : ( t , v g ) H ( t , t- k v g ) . (2) Pour tout k E Z on a @pl ( - k ) = d%OmMpl (Hp(1 k),NPl). (3) (@$ (k),@& ( e ) ) = (@p~,@pl (e - k ) ) . (4) Hfi(P1,@pl(k)) # O u k 3 O. (5) HomHp, (@,I (k),HP1( e ) ) # O +=+ - k 2 O. ( k ) est isomorphe à @pl (e), c'est qiie k = Y . (6) Si (7) C l (@pl ( k ) ) = k rl (@pl (1)). '

2.c. Fibré en droites associé à un diviseur. - Explicitons les notions in-

<

troduites au sO.8 lorsque M = P'. Soit m" E P'. Pour k O , on définit (km") comme le sous-faisceau de @pl formé des germes de fonctions (ho) qui s'annulent à l'ordre au moins -k = lkl en m" : le germe de en m # m" est égal à Hp I , m , tandis qiie le germe en mu est égal à tlk1C { t } si t est une coordonnée locale s'annulant en m". On peut étendre cette définition pour k > O : on commence par consi(*ma) des germes de fonctions rnérornorphps & p 6 l p Pn mfJ dérer le faisceau et le germe en mo est l'anneau sur P' dont le germe en m # mo est C { t } [ l / t ]; on définit alors (km") c @I, ( * m " ) ,pour k > O , conime le sous-faisceau des germes qui o n t u n pôle d'ordre au plus k en m". On a de manière évidente une suite exacte de faisceaux

lp@

(2.4) OU

O

-

@pl

c,,~. est le faisceau

(km") + @pl ( ( k <<

gratte-ciel sur )>

+ 1)m")

- CTno

O

P' tel que

2.5. Exercice (les fibrés @ ( k ) et leurs diviseurs) (1) Montrer que, pour tout k E Z , le faisceau @pl (am") est localement libre de rang 1. (2) Montrer que lP@ (km') 2 @pl ( k m ) pour tout m E Pl. (km") et en dé(3) En prenant ma = 0 0 , calculer Lin cocycle pour (km") = @pl ( k ) . duire que l'on a lp@

68

C H M I ï R E 1. FIBRÉS \T<:TORIELS HOLOMORPHES SUR

LA SPHÈRE DE IUEMANN

2.d. Le fibré quotient universel. - La construction même du fibré tautologique montre que celui-ci est contenu dans le fibré trivial de rang 2, i.e. @pl @ Hpl. '

2.6. Proposition. - Lefaisceau quotient 69 (&$I @ Npl) (-1) eSt un faisceau localement libre de rang 1 sur P1, isomorphe aufibrk canonique Hp1 (1). Démonstration. - Reprenons les notations du début de cette section. Soit mo = ( 1 ; t ' ) E Uo.Le quotient @*/L,o s'identifie à par l'application u H Y, - Puo. On a ainsi une suite exacte de fibrés

O

-+"-

u,x c2-%u,x c

-

O

avec (p( ( t , u ) ) = ( t ,u , - t u g ) , ce qui donne une trivialisation de 69' sur Uo.On a de même une trivialisation sur ü , par l'application (p'(t', v ) = ( tI , tl urn - v g ) . Le cocycie associé à @ est ( t , w ) H ( t , t-'w) : on reconnaît celui de (1). O

2.e. Extensions de fibrés en droites. - Nous venons de construire une suite exacte

(2.7)

o-@pl(-l)

-@pl@@pl

- P+ ( I )

--,O.

On peut se demander si cette suite exacte se scinde, autrement dit s'il existe &$I qui donne l'identité après comun homomorphisme @pl (1) -+ @pl position avec P. Un tel homomorphisme n'existe pas, puisque tout homomorphisme @pl (1) + Hplest nul ($ corollaire 2.2). Plus généralement on a :

2.8. Théorème (scission des extensions) ( 1) Si 8 est un jibré de rang 2 sur P une suite exacte

O

-<

',

( - k ) -+

- @p,

(e)

O

se scinde dès que k + e 1. ( 2 ) Si k+e 2 2 , il existe une extension 8 non .scindée de @p 1 ( e ) par

( -k ) .

Démonstration. - NOLISdirons que deux extensions 8,8' de lP@ ( e ) par ( - k ) sont isomorphes s'il existe des isomorphismes faisant commuter le diagramme

2. FIHRÉS EN DROITES SUR Pl

69

(les isomorphismes extrêmes sont alors des multiples constants non nuls de l'identité). La démonstration du théorème se réduit ainsi aux deux énoncés ci-dessous. O

2.9. Lemme. - L'ensemble des classes d'isomorphisme d't~xtensionsdu j b r é lp@ p a r l e j b r é @ p ~ ( - k )esten bijection avec H1(P1,@pl(-e-k ) ) .

(e)

2.10. Théorème (d'annulation). - On a H1(P',@p~ ( - k ) ) = 0 .si et seulement 1. .si k

<

DPmonstratzon du lemme 2.9. - On peut tensoriser tous les termes par @pl (-e), de sorte qu'on peut supposer que e = O. Soit d'abord 8 une extension O

- -- (4) 8

0.

On choisit un recouvrement U de P' plus fin que (UO,U,) et suffisamment fin pour que, sur chaque ouvert U, , la suite exacte se scinde (il suffit de faire en sorte que, sur chaque U 3 , on puisse compléter une base de @pl ( - k ) en sur U3. Sur U3 n U3i, on une base de E"). Soit o3 une section de k?' -+ a o1 - oIi E ï ( U l n U3i,Hpl ( - k ) ) . La condition de cocycle est satisfaite de (-a)). manière évidente, de sorte que (O]) définit un élément de H' (U,@p~ On a des inclusions

H'((Uo,U,),@pl(-k)) c H1(U,@pl(-k)) c H1(P1,@pi( 4 ) ) et, par ailleurs, le recouvrement (Uo,U,) est acyclique pour ( - k ) car il l'est pour @pl et les restrictions de ces deux fibrés à Uo et U, sont isomorphes. Ainsi, d'après le théorème de Leray 0.6.1, ces inclusions sont des égalités. ( - k ) ) associé à un recouRéciproquement, tout cocycle O E L 1 (11, vrement 11 de P' définit une extension 8 de lp@ par ( - k ) : sur tout ouvert U, de U on pose = ip@( ( - k ) @ @ p ~ ) i u;, sur U, n U ] , on recolle

5

Z1utnu, et qlL:"u, par la matrice

( I :

où la composante

du cocycle

O

r (u2n u3,a

M)

est vue comme un élément de

m (@p

,@p ( - k ) ) 1.

Une extension 8 définie par un cocycle O se scinde si et seulement si ce cocycle est un cobord (le vérifier). Par suite, tout élément de H' (Pl, ( - k ) ) O définit une classe d'isomorphisme d'extension.

Démonstration d u théorème d’annulation 2.10. - On sait que

H1(lP1,@p~ (-K))

= H1((Uo,Um),@pi(-k)).

En utilisant la base naturelle de Hpl( - k ) sur üo, on voit qu’un cocycle est une fonction holomorphe h sur Uo n U, et qu’un cobord est une fonction dc la forme f ( t ) - t-”g(t) avec f holomorphe sur Uo ct g holomorphe sur U,. L’existence d’un développement de Laurent montre que toute fonction h peut s’écrire

h(t) =

c ant”

-

c a-,t-”),

t-y

7220

n2O

où les deux séries ont iin rayon de convergence infini, si et seulement si -k 3 -1. O 2.f. Champs de vecteurs et formes différentielles sur Pl.- Notons comme plus haut t la coordonnée dans la carte Uo et t’ la coordonnée dans la carte U,. Le faisceau 0,i des champs de vecteurs sur IP’ admet une section partout non riidle sur Uo, à savoir a / & et une section partout non nulle sur U,, 2 savoir a/&’. On en déduit des isomorphismes

et le cocycle yc0 O y;’ facilement :

: @c*4@c*envoie 1 sur - l / t 2 .

On en déduit alors

2.11. Proposition (calcul des fibrés tangent et cotangent de IF”’ ). - On a des isomorphismes op1

= Hp,(2),

1

O,,

= @pl

(-2)

(r, + l ) m l ) le faiscruu des 1firmer mhomirphe~ù pôles en le5 en riotant O;, ( points mi,. . . , vnp et d’irdre r, p n m, (cf. 5 0.9.b). O

3. Un théorème de finitude et quelques conséquences Le resultat suivant, que nous admettrons, permet d’analyser les fibrés stir lP1. C’est un des points clés dans la théorie des surfaces de Riemann, ainsi qu’en géométrie analytique et algébrique ; il est en effet vrai dans un cadre beaucoup plus général (celui des faisceaux cohérents sur une variété analytique complexe compacte) .

3.1. Théorème (de finitude). - Soient E un Jibré uectoviel holomorphe sur Pl Z LeJalscenu associé. Alors on a dim H k(P',8) < +m pour tout k 2 O .

Pt

Démonstration. - Voir par exemple [Rey89, chap.IX] poiir la finitude de H o et H' . En utilisant la résolution de Dolbeault

où g;;'' désigne ) le faisceau des 1-formes différentielles à coefficients C" de type (O, 1) sur P' (voir par exemple [GH78]), ainsi que les théorèmes O 0.6.3 et 0.6.2, on vérifie la nullité de H k ( P 1 , 8 )pour k 2 2. Si E est un fibré vectoriel holomorphe sur P' et E le faisceau associé, nous noterons 8 ( k ) le produit tensoriel de Z @ H ~lp@ , ( k ) : c'est un faisceau localement libre sur @pl de même rang que 8. 3.2. Exercice. - Décrire iin cocycle de

2? ( k ) à partir d'un cocycle de 8.

3.3. Corollaire. - Pour toutjibré holomorphe E sur Pl,il existe un entiu k ( E ) tel que l'on nit H 0 ( l P ' , 8 ( k ) ) = O pour tout k < k ( E ) e1 H 0 ( P ' , 8 ( k ) ) # O pour to'ut k k ( E ) .

>

Ilkmonsirntion. - Soit m" E P'. Choisissons un isomorphisme @pl (1) e ( m " ) .Notons ETrL(~ le faisceaii tel que r(U,E,,o) = Emn si rn" E U et = O sinon. Pour tout j E Z , on a une suite exacte analogiie à (2.4) : O

(3.4)

- CF(,jm0)

Z ( ( j + 1)mO)

- Em0

O.

Tout recouvrement ouvert 11 de P' tel que mn soit contenu dans un seul ) O poiir ouvert est acyclique pour E,rLo; on en déduit que H j ( P ' , E m c ~ = tout J 2 1. Ainsi, la suite exacte longue associée à (3.4) devient (3.5) O

i

H O ( P ' , E ( j r n o )+ ) H ( ' ( P ' , Z ( ( , j+ 1)m")) i E,,o

-

4 H ' ( P ' , 8 ( j m o ) )i H'(P',k?((j+ 1)m')) -0.

+

On en déduit que, si H"(P', 2?(/wi0)) O poiir un certain k E Z , il en est de même de l'espace H ( ' ( P ' , 2 ? ( , j m n ) )pour tout j k ; de même, si H0(P',2?(kmf')) = O poiir un certain k E Z , il en est de même de H o (PI, 8(jm")) poiir tout j k . Ainsi, tout revient à nioritrer qu'il existe k tel qiie H"(P',Z(km")) # O et qu'il existe e tel qiie H " ( P ' , ~ ( P ~=~O.) ) Montrons la prcmièrc assertion : si cellr-ci est fausse, c'est que l'on a pour tout j E Z

>

<

d i n i H ' ( P ' , E ( j ) ) =dimEmcj + d i m H ' ( P ' , Z ( , j + l ) )

72

CIIAPITRE I. FIBRÉS VECTORIELS HOLOMORPHES SUR I A S P H ~ R EDE NEMANN

d'après la suite exacte (3.5). On en déduit que, pour tout j dim H1(P1,2?) = j dim E,o

> O , on a

+ dim H1(Pl,2 ? ( j ) ) > j dim E,o

j,

ce qui est contradictoire avec le théorème de finitude 3.1. Si la seconde assertion est fausse, c'est qu'il existe ko E Z tel que, pour tout k ko, on ait

<

O

# HO(P',E"(km"))= H " ( P l , E " ( k ( ) m " ) ) .

<

On peut choisir ko O. On pourrait alors trouver une suite strictement croissante d'entiers e, ( n E W ) et une suite de sections sn E Ho(P',E"(--e,mo)) telles que, pour tout n E W , la section s, ait un zéro d'ordre exactement e, en mo. I1 est clair qu'une telle famille est libre, ce qui est contradictoire avec la finitude affirmée au théorème 3.1. O

4. Structure des fibrés vectoriels sur

IP'

4.a. Le théorème de Birkhoff-Grothendieck. - Commençons par la classification des fibrés en droites sur Pl,première étape de la récurrence du théorème 4.4. 4.1. Théorème (classification des fibrés en droites sur P'). - Tout Jibré en droites sur IP' est isomor$hp ii un et un seul des &I, ( k ) . Démonstration. - Soit L? un faisceau localement libre de rang 1 sur P'. I1 résulte du corollaire 3.3 qu'il existe un unique ko E Z tel que Ho(P',-5?'(ko)) # O et H o ( P ' , - P ( k o - 1)) = O. I1 existe donc une section non identiquement nulle de - P ( k o ) et une telle section ne s'annule en aucun point de Pl,sinon ce serait une section de -5?'(ko - 1). L'homomorphisme &$I + Y ( k 0 ) défini par cette section est donc un O isomorphisme. On en déduit, à l'aide du corollaire 1.7 :

O 4.3. DéJinition (fibrés quasi triviaux). - On dira qu'un fibré E de rang d sur P1 est quasi trivial (de poids k ) s'il est isomorphe à &$,I ( k ) d pour un certain k E Z . Ainsi, tout fibré en droites sur

'

P est quasi trivial.

4. STRUCTURE DLS FIBRÉS YECTORIEIS SIJR P’

73

4.4. Théorème (de Birkhoff-Grothendieck). - Soit E unjibré vectoriel de rang d sur P’. II existe alors une unique suite d’entiers a1 2 . . . 3 ad telle que I o n ait u n isomorphisme

2T

@p1

(al) @

‘ ’ ’

@ @p1 ( a d )

On dit que la suite al 2 . . . 2 ad est le type du fibré E . On en déduit une variante matricielle multiplicative du développement de Laurent :

4.5. Corollaire (développement de Laurent matriciel). - Soit A une matrice inversible d x d ù éléments holomorphes sur une couronne

6?‘

=

{t E

C I O < r < It1 < R 6 +CO}.

Il existe alors deux matrices P et Q holomorphes inversibles respectivement sur t I < R et It1 > r telles que sur 2? la matrice PAQ soit égale à une matrice diagonale d’éléments diagonaux t a l , . . . , t a c l , où la suite déntiers ai 2 . 2 ad ne d@end que de A . ~

‘

‘

Démonstration. - On considère le recouvrement de P’par les deux ouverts ltl < R et ltl > r . La matrice A définit un 1-cocycle de ce recouvrement à valeurs dans G L d ( H p ~ )donc , un fibré vectoriel. Le corollaire est une simple O traduction du théorème 4.4.

4.6. Remarques (1) Le corollaire 4.5 a été démontré originellement par G.D. Birkhoff (voir [BirlSa]) comme un outil dans l’étude des points singuliers des équations différentielles. C’est à ce moment aussi (6[BirlSb]) que celui-ci a démontré des résultats sur la forme normale des systèmes à singularité irrégulière, forme normale qui porte son nom et que nous considérerons au SIV.5. I1 s’est ensuite rendu compte que la méthode employée avait aussi servi à Hilbert et Plemelj pour résoudre le problème de Riemann-Hilbert. Le théorème IV.2.2 que nous verrons plus loin, traduit cette unité. La démonstration de Birkhoff est reprise dans [SibSO, § 3.41. En 1957, ce théorème, sous une forme plus générale puisque le groupe structural du fibré n’est pas nécessairement GLd, a été démontré par A. Grothendieck dans [ Gro571. La démonstration donnée ci-dessous suit essentiellement celle de Grothendieck. (2) Une conséquence de ce théorème est que tout fibré holomorphe sur P’ se restreint en un fibré trivialisable sur Uo et sur U, et qu’il est isomorphe à un fibré algébriqu~,c’est-à-dire dont un cocycle est donné par une matrice de fractions rationnelles. Ce résultat se généralise : tout fibré holomorphe sur une sous-variété analytique complexe fermée de

l'espace projectif Pn (voir exemple 5 0.2.2) peut être défini par un cocycle algébrique (voir [Ser56]). ( 3 ) Les lecteurs intéressés par des variantes et des généralisations de ce corollaire pourront consulter [PS86, chap. 81. Démonstration d u théorème 4.4, existence - Elle se fait par récurrence sur le rang d de E , le cas d = 1 étant donné par le théorème 4.1. Soit ko l'entier tel que

+

H ( ) ( P ' , z ( ~ ~ ) )O et ~ ' ( ~ ' , g ( k o1)) = O. Il existe donc une section de E(ko) qui ne s'annule en aucun point de P'. On en déduit un homomorphisme injectif c-f Z ( k o ) et le faisceau quotient F est localement libre de rang d - 1 (ce ne serait pas le cas si la section s'annulait). Par récurrence il existe une suite b2 >, . . . b , ~telle que F = @fl!@pl ( b , ) . Nous allons montrer que l'on a g ( k o ) P @pl @ F. Pour cela, il suffit, comme dans le théorème 2.8, de vérifier que les b, sont < 1. NOLISallons montrer mieux : les 0, sont O. En posant alors a, = b; - ko pour i = 2 , . . . , d et al = - k o , on obtient l'existence cherchée. Considérons la suite exacte de faisceaux localement libres que nous (-l), avons obtenue, tensorisée avec lp& O

-f

(-1)

&$I

i

2?(k()

-

1)

-

F(-1)

-

o.

Elk donne lieu à une suitc exacte longue, dont la partie qui nous intéresse est

oz HO(P',E"(ko

-

1))

-

HyP',F(-l))

-

Hl(P1,@p,(-1))

= O,

(d'après le théorème 2.10). Ainsi H " ( P ' , F ( - l ) ) = O . Mais on a I

et par suite on a b, - 1

C ,A (-1)) =

<

-

d

@

/=2

HO(P1,@p, (6,

-

1))

1 pour tout i = 2, . . . , d ( $ exercice 2 . 3 ) .

Dimonstration d u thior?mf 4.4, unicité. - Supposons que l'on ait deux dé. . . a d et a', compositions correspondant à deux suites distinctcs ni . . . > ad. Soit j E { i , .. . , d } tel que ai = a: pour i < j et ai # u 1' , par Alors a: - (1; = ai - a, 3 O pour i < j et u: - al < O pour exemple u j > a'.. 1 i >, j . Si l'on a un isomorphisme

>

on en déduit, en tensorisant par

&$I

( - a l ) , iin isomorphisme

>

>

4. STRIKT~JRE »Es FIBRÉS

\ r ~ ( : lSUR ~ ~ ~ ~ ~ s

75

Cependant la dimension de l'espace des sections globales pour le terme de qauche est strictement inférieure à celle pour le terme de droite, d'où une O contradiction.

4.7. Exercice (degré d'un fibré). - On appelle degr6 d'un fibré E de type 3 . . . 3 ad sur P' la somme Ce=,ai.Montrer qu'un fibré E est trivial si et seulement s'il est de degré O et satisfait H'(P',&?(-1)) = O.

al

4.8. Exercice (la filtration de Harder-Narasimhan, cas de P'). - Pour tout Z , on définit le sous-fibré Fa&? c E" comme la somme directe des composantes isomorphes à &$I ( a i ) avec at a . (1) Montrer que F'+'E" c F"E, que le quotient F a / F a + ' est nul si a n'est pas égal & l'un des ni et qu'il est quasi trivial de poids a . On a donc

a E

{O}

Fa'&? c . . . c F " d 8

= Fm&?

= E.

(2) Montrer qu'une filtration de &? par des sous-fibrés vectoriels satisfaisant les propriétés ci-dessus est unique. ( 3 ) On appelle p m t e d'un fibré non niil E" le quotient p(E") = deg(&?)/r g ( E ) , avec deg(&?)= C2=la ; . Montrer que l'on a p(I;"+'&?)

3 p(F"&?)

et examiner le cas d'égalité. (4) On dit que &? est .wmi-stnhk~si tout sous-fibi-é non niil F de &? satisfait p ( F ) p(&?).En déduire que E" est semi-stable si et seulement s'il est quasi trivial.

<

t

2

5

7

FIGURE2. IR polygone de d'(2)' W Y ' ( @@(-y)' ~)~

I1 est suggestif de visualiser la décomposition donnbe par le théorème 4.4 sous la forme d'un polygone (voir la figure 2 ) . Ce polygone est le graphe

76

CHAPITRE 1. FIBRÉS VECTORIELS HOLOMORPHES SUR LA SPHÈRE DE RIEMANN

de la fonction k

k E {O,. . . , d }

a,.

H

i=l

Les sommets de ce polygone ont pour abscisse les entiers k tels que F a k + l / F a k # O et pour ordonnée le degré de Fak.

4.b. Application aux fibrés méromorphes 4.9. Corollaire (les fibrés méromorphes sont triviaux). - ToutJibré méromorphe A de rang d sur P' Ù pôles sur un ensembleJini C = {mo, . . . ,m f } non vide est isomorphe a u j b r é méromorphe tviuial Hpl (*C) d . Démonstration. - D'après la proposition 0.8.4, il existe un réseau E" c On a alors A?' = E"(*C). En appliquant le théorème de BirkhoffGrothendieck 4.4 à E", on se ramène à montrer que, pour tout k E Z , le fibré méromorphe @pl ( k ) (*E) est trivial ; identifions &$I ( k ) avec &pl (kmo) ; alors on a de manière évidente @$,I ( h o ) (*C) = &$I (*C), d'où le résultat.

o

4.c. Modification du type d'un fibré. - I1 est clair que, si un fibré 2? est de type a1 3 . . . 3 ad, alors le fibré Z ( k ) est de type al + k 3 . . . 3 a d + k . Nous allons maintenant décrire l'effet sur le type de certaines modifications sur le fihré. Soit m" E P1 et soit Lo une droite dans la fibre f i r n o . Définissons le sousfaisceau 8(1,"m") de CF ( M O ) %! CF @ R ~Hpl , (1 . mo) !Y CF (1) : ce sous-faisceau est égal au faisceau 8 ( m n ) sur l'ouvert P1 \ {m'} ; soit t une coordonnée locale s'annulant en mo ; le germe en mo de 2? (Lorno)est formé des sections méromorphes O de E"& qui ont au plus un pôle simple en mn (i.e. des sections de Z(m")rnm«) et dont le résidu en ma est dans L o , c'est-à-dire telles que (tO(t))(i=OE LO. 4.10. Exercice (1) Vérifier que cette condition sur le résidu ne dépend pas de la coordonnée locale choisie. (2) Montrer que, si e l , . . . ,ed est une base locale de E" et si Lo est la droite portant ed(m"), alors e l , . . . , e d - 1 , e J t est une base locale de E"(Lo . m n ), qui est donc un @pl -module localement libre de rang d . 4.11. Proposition (type du fibré modifié). - Soient a l 3 . . . 3 ad le type de I.: et F a g {a E Z ) lajltration naturelle associée (cf. exercice 4.8). Soit a ( L n ) lénticr a tel que Lo c (FaE),o et L" @ (Fa+lE),,l~. Soit j = j ( L o )le plus petit entier i tel que a; = a ( L o ). Alors le type de E ( Lornn) est a1 3

. . . 3 U l - 1 3 a]

+ 1 = .(LO) + 1 > al+l

3 ' . 3 ad. '

78

CIiMIi'KE 1. FIKRÉS i'ECTORIE1.S HOLOMORPIiES SUR LA SPHÈKE D E RIEMANN

4.13. Déjinition (du défaut). - Soit 8 un fibré de rang d sur a1 2 . . . 3 ad. Le défaut de E est l'entier S ( E ) = Ct=,(ui - ni).

P' de type

Le défaut est un entier 2 O et le fibré E est zéro défaut si et seulement s'il est qiiasi trivial. <(

>)

4.14. Corollaire (un critère de diminution du défaut). - Si L" c pas contenue dans ( F a l ) m o , on n 6 ( E ) > O et S(E(L"rn"))= S ( E ) - 1 .

&cl

n'est

Démonstration. - L'énoncé résulte immédiatement du fait que l'on a al > aj ( L " ) O '

4.d. Fibrés vectoriels algébriques et rationnels. - En utilisant la topologie de Zariski à la place de la topologie usuelle sur P',on obtient la catégorie des fibrés vectoriels algébriques (au lieu de << holomorphes )>)et rationnels (au lieu de méromorphes .). Le foncteiir qui associe à tout tel fibré son c< analytisé est une équivalence entre ces catégories algébriques et les catégories holomorphes correspondantes (CJ: [Ser56]) . Dans le cadre algébrique, les fibrés admettent line description assez simple en termes de cocycles. Notons comme plus haut Uo la carte de IP' de coordonnée t centrée en O et U, la carte de coordonnée t' centrée en <(

))

00.

Rappelons la correspondance (cf: [Ser55] et fj0.10.a) sur un ouvert affine U : Fibrés sur U u Modules libres de rang fini sur C [ U ]

où C [ü] désigne l'anneau des fonctions régulières sur U , c'est-à-dire, si par exemple U est contenu dans Uo, l'anneau des fractions rationnelles en t qui ont des pôles dans Uo \ U . Tout fibré vectoriel algébrique sur IP' peut alors être représenté par ri,) , c'est-à-dire un élément de un cocycle relatif au recouvrenient (Uo, GLd(C [ t , t - ' I ) . Les fibrés rationnels qui n'ont de pôles qu'en O et 00 sont aussi les fibrés algébriques sur l'ouvert affine Il0 f' Urn, c'est-à-dire les modules libres de rang fini sur l'anneau C [ t ,t-'1 des polynômes de Laurent. 4.15. Proposition. - Soit M unfihré rationnel de rang d .sur P' ù fiôle.~en O et cc (ik. un C [ t , t-'1 -mortule libre de rang d ) . ( 1) Les rheaux de M corresFondent a u x coup1e.s (E0 , E rn) , où IE0 (resp. IG oo ) est un C [ t ] (resp. C [ t' ] )-module libre de rang d contenu duns M , tels que

avec t' = t - I .

4. STRUCTURE DES FIBRÉS X'ECTORIELS SUR PI

77

Démonstration. - Explicitons(') d'abord la définition de l'entier 1 ( L o ) à partir de a ( L o ) : c'est l'unique entier 1 E { 1,. . . , d} tel qu'il existe e 3 O avec a ( L 0 ) = al = . . = a,+[> 4 L " ) < UJ-1, 4 L 0 )> a,+Y+i. f

<

On a donc a ( L o )+ 1 a,-l (en convenant que a0 = +CO). Si d = 1, le résultat annoncé est clair puisque, dans ce cas, la droite Lo est égale à la fibre Emo et 8( Lorno)P 2? (1). Pour d > 1, choisissons, à l'aide du théorème 4.4, une décomposition 2Y = c$=,Zou 3 E @ ( a Z ) .Si Lo = Z,3,,no pour un certain 1 , on a de (1) et le résultat est clair. même 2?((Lomo)= e,+,Z@ Dans le cas général, on a, avec les notations ci-dessus,

4

LOc

F

~

(

~

"

)

E

~

=O ~ 1 , ~. .". CB I,î+e,mo

~

et

Lo

g Fa(Lo)-lE

7no

= L1,mO

e.

' '

c€? L3-l,mo.

On peut alors modifier la décomposition

P ( ~ " ) E ,=~ LI,^^

. . . e~

e

e . . . CB 121+e,mo

e

CB . ' . @ L i + @ O

~ - 1 , ~ L,,~" o

en F"(LO)EmO =

. . @ LJ-',rn0

de sorte que = Lo. I1 suffit par suite de montrer qu'il existe une décomposition correspondante

(4.12) pour se retrouver dans la situation précédente et terminer la démonstration. Choisissons pour cela un isomorphisme 3 E ( a t m o ) ,d'où une base de chaque Z,z,m~ ( 1 E {l,.. . ,d } ) ; choisissons une base de chaque Li+k,mo ( k E { 1, . . . ,e}) ; la projection pzk : Li+k,mO4 LZ,,0 est alors la multiplication par un nombre complexe c(,k, nul si z > 1 + e. On considère l'homomor(airno) obtenu à partir de I'homomorphisme phisme Hpl ( a ( L o ) m o )+ naturel en multipliant celui-ci par c ( , k . On obtient ainsi par somme directe un homomorphisme injectif Hpl(a(L')rno) L) @fZlHpi (a,rno), qui définit de 8 un sous-fibré de cette somme directe et donc un sous-fibré ( k E {1,. . . , e } ) . On vérifie alors (exercice) que ces sous-fibres satisfont

3kk

(4.12).

O

( I ) Cette construction apparaît dans la dbinonstration que O. Gabber donne dit théorème

N.2.2.

5. FAMII.I.ES DE FIB&

VECTORIELS SUR P*

79

( 2 ) Les PropriUtés suivantes sont équivalentes : (a) l~ réseau correspondant ù (EO, E,) e,~ltrivial; (b) on a dans M la décom@sition E, = (EOn E , ) @ t’lE, ; (c) on a dans M In décomposition Eo = (EOn E , ) @ tEo ; (d) on a M = Eo @ t’E, ou encore M = E, @ tEo. Démonstration. - Indiquons seulement pourquoi l’une des décompositions (b) ou (c) implique la trivialité du réseau E associé à (Eo,E,). Le reste est laissé en exercice. On identifie d’abord ï ( P ’ , E ) à Eo n E,. L’existence de la décomposition (b) signifie que l’application naturelle de restriction ï ( P ’ , E ) --+ i k E est un isomorphisme. Le théorème de Birkhoff-Grothendieck (dans sa version algébrique),joint à l’exercice 2.3-(4), permet de conclure que le fibré E est nécessairement trivial. 0

5. Familles de fibrés vectoriels sur P1 5.a. Premières propriétés. - Soit X une variété analytique complexe, que nous supposerons toujours connexe dans la suite. Une famille de fibrés holomorphes sur P’paramétrée par X est, par définition, un fihré holomorphe E sur la variété A4 = P’x X . Pour tout x E X , on peut alors considérer la restriction E, du fibré E à la sous-variété P’x {x} = P’ (c& 0.3.3).Chaque fibré E, admet un type al (x) 2 . . . 2 ~ ( x ) .Puisque ce type est formé d’entiers, on peut imaginer qu’il reste constant lorsque x varie dans un ouvert dense de X . Tel est bien le cas. Plus précisément, on peut montrer (voir par exemple [Bru85]), qu’il existe une stratification de X à type de E, constant : il existe une partition de X en sous-variétés analytiques complexes (pas nécessairement fermées) au-dessus desquelles la restriction de E est de type constant; l’adhérence de chacune de ces sous-variétés est un sous-ensemble analytique fermé de X (éventuellement singulier) ; la frontière topologique d’une sous-variété de la famille est une réunion d’autres soils-variétés de la famille. Notons que toutes les << dégénérescences >> ne sont pas possibles. Le corollaire 5.4 ci-dessous montre par exemple que, si en un point de X le type est celui du fibré trivial, c’est encore le cas pour tout autre point assez proche du premier. De plus, il y a une contrainte simple sur le type des fibrés E, pour x E X (CJ: par exemple [BS77, chap. 3, th. 4.121 pour le cas analytique complexe et [HarSO] pour le cas algébrique) :

80

CHAPITRk 1. FIBRÉS VECTORIELS HOLOMORPHES SUR LA SPHÈRE DE RIEMANN

5.1. Proposition (par déformation, le degré est constant). - Si la variété X est connexe, la jinction degré deg : x H Cl=, ai (x) est constante. Lorsqu'on remplace la sphère de Riemann P1 par une surface de Riemann compact.e, c'est le polygone de Harder-Narasimhan du fibré qui indique les dégénérescences possibles (voir par exemple [Bru851 pour une étude précise sur toutes les surfaces de Riemann compactes). Pour la sphère de Riemann, on retrouve le polygone de la figure 2.

5.2. Exemple (d'une déformation non triviale). - L'extension non scindée (2.7) va nous permettre de construire une famille E de fibrés de rang 2 sur P', paramétrée par la droite X = C de coordonnée z , telle que Eo = HpI (- 1) GI ( 1) et E, r~ @pl CB&$I pour tout z E C \ {O}. Soit E' le fibré trivial de rang 2 sur P' x @ . Le fibré trivial Eh sur P1 contient un sous-fibré Fo de rang 1 isomorphe à &$I (-1). Soit alors E" le sous-faisceau de E"' dont les sections locales sont portées par F" en restriction à z = O. On vérifie comme à l'exercice 4.10 que E" est localement libre de rang 2. Puisque E et E' coïncident hors de z = O, les fibrés E, sont triviaux pour tout z E @ \ {O}. On peut écrire E" = F + zE"' c 8', si F est le fibré image inverse de 9 0 sur x e . Posons 9 0 = gi/Fo = (1) et S' = g'/F.NOUS allons expliciter un homomorphisme JZO + E"o,dont l'image ne rencontre 9$ que sur la section nulle, ce qui montre que E o = 8 9 0 . Pour cela, remarquons que l'on a un homomorphisine

9 =E"'/F

z

k?/zE"

induit par la multiplication par z,puisque zk?' c E" et z F c zE". De plus, le soils-faisceau z 9 a pour image O puisque z 2 E ' c zE". On en déduit l'homomorphisme cherché

JZo

=2 7 / 2 9

z

E/zE = E"".

5.b. Théorèmes de rigidité. - NOUSaurons essentiellement à considérer le cas où la restriction E, de E à P1 x {x}, pour x assez général, est isoaiirons à utiliser certains résultats fondamenmorphe aii fibré trivial. NOLIS taux de la théorie des faisceaux cohérents, pour lesquels nous renvoyons à [BS77, chap. 31 ou [Fis761 : semi-continuité de la dimension des fibres d'un faisceau cohérent et critère de liberté locale, cohérence des images directes par un morphisme propre (analogue en famille du théorème de finitude 3.1) et théorème de changement de base pour un morphisme propre. Nous

5. FAMII.I.ES DE FIB&

VECTORIELS SCK

PI

81

supposons donc dans ce numéro une certaine familiarité avec la théorie des faisceaux cohérents(2). En particulier, nous utiliserons le fait que le support d'un faisceau cohérent 2 sur X est un sous-ensemble analytique fermé de X et qu'en tout point x de ce support la fibre 2 / 1 1 1 ~ 2 de ce faisceau(')), ensemble des n'est pas nulle (Nakayama). valeurs en x des germes de sections de 2, Si E est un fihré de rang d sur P' x X , le degré de la restriction à la fibre P1 x {x} ne dépend pas de x, si X est connexe, comme il résulte de la proposition 5.1. Si on note encore & $ 1 ~ ~ l'image (1) inverse par la première projection du fibré Hpl (1) et Z ( k )= @ j + i X x ( k ) 827, on voit que le degré des restrictions de Z (- degi?') est nul. Par ailleurs, si T: désigne la projection P' x -+ x et si 9 est un faisceau localement libre sur IP' x X , le faisceau R k n , F ( k E IV) est (voir [God64, 5 4.171) le faisceau associé au préfaisceau

x

v

H k ( P x 1:F).

H

C'est un faisceau cohérent sur X (théorème de Grauert, voir par exemple [BS77, chap.3, § 2 ] ) . I1 est niil pour k 2 2 : en effet, si est un fibré sur P1 x {x}, on a H k ( I P 1 , z )= O, comme indiqué au théorème 3.1 ; on peut alors appliquer [BS77, cor. 3.111. I1 résulte de cette annulation que la formation de R ' x , F est compatible aii changement de base (voir [BS77, cor. 3.51). En particulier, la fibre en x de R ' n , F est égale à H ' ( P ' , z ) .

5.3. Théorème (le diviseur de non-trivialité). - Soien,i X une vam'ité analyiiqup complexe connexe et E unJifiréholoniorphe dr mrig d sur P 1 x X dont le dqyé des ratrictions aux,fibres P x { x} pst nul. (1) IY .su$$ort O du ,fuiscmu RIT,&? ( - 1) est 1CnsPmblp des x E X pour lrsyuels la 'resiriction de E h IP x { x > n,'rst p a s triviale. (2) Si O # M ri O # X,nlors O e.st unr hjj),pr:surj?zcedr X . Dhnonstmtion. - Au \TU des considérations ci-dessus, le premier point est une conséqiiencc directe de l'exercice 4.7. il reste donc à montrer que le support O, que nous supposerons non vide et # X ,est une liypersiirfàce('). Commençons par quelques reiiiarqiies sur les fibrés déterminants. ( 2 ) ~ iecteui-s ~ s ti-oiivei-orit iirie rléirioristi-;ttioiiciirecte (i.?. iie kiisaiir pas appel

i ~;i tliboiir cles

Iaihceaiix cohbrents) du tlibor2irie 5.3 et dii corollaire 5.6 d a i s [Mai83c] ; A. Rolihi-oiikh eii a réceiririieiit doiiiii. iiiie dbirioiistraiion plils Clbiiieritaire [BolSS]. ( " ) ~ i dbaigric i par 111, le kiisceaii ci'icii.aiix +I i @Y s i i r \ {x) et Cie gerrnc cri x egai i

x

I'idbal iriaxirrial d e @y,x, ( 4 ) i ~déiiioristratioii a qiii suit est directeriiciit iiispirbe d e celle faitc dans [OSSSO, p. 214-2171. Elle m ' a (.ti- fourriie parj. 1.e Potier.

82

CHAPITRE I. FIBRES \‘ECTORIEI.S HOI.OMORPHES SLIR LA SPHÈRE DE RIEMANN

Soient F et F deux faisceaux localement libres de &x-modules de même rung d et soit cp : F + F un homomorphisme non identiquement nul. Dans des bases locales de F et 9,le déterminant de sa matrice est une fonction holomorphe, dont le lieu des zéros est l’ensemble des points où ‘3 n’est pas un isomorphisme. De manière plus intrinsèque, on appelleJibré déterminant de le fibré en droites dét F = A d F et dét cp l’homomorphisme d é t Y -+ d é t F dont la matrice dans une base locale de d é t F et d é t F est le déterminant de celle de 9.C’est aussi une section du fibré d é t F @ ( d é t F ) * ,où ( d é t F ) * est le dual du fibré en droites d é t F (c’est aussi son inverse au sens du produit tensoriel, r$ 5 0.7). Si cp : F + F est injectif, le conoyaii de ‘p est un faisceau cohérent sur X et son support est l’ensemble des zéros de la section détcp : si cet ensemble n’est pas égal à X , c’est une hypersurface analytique fermée de X , vide si et seulement si ‘p est partout un isomorphisme. Nous allons donc montrer que le faisceau R1n*2?‘(-1) admet, au voisinage de tout point xu de O , une présentation du type précédent, c’est-à-dire qu’il existe une suite exacte de faisceaux sur un voisinage de xu dans X

O

--Y

27

Rln*Z(-l)

-

O,

avec Y et 2 7 localement libres et de même rang Sur P1 x {x”} existe un isomorphisme d

@ @pl 1=1

N

(a,)

&+(-I),

d’après le théorème de Birkhoff-Grothendieck 4.4. On en déduit, quitte à remplacer X par un voisinage assez petit de xu, un homomorphisme vurjectif

Soit 37 son noyau. Nous allons appliquer la suite exacte longue de cohoobtenue par passage à la limite inductive sur mologie pour le foncteur TC,, les voisinages de xu E X à partir de la suite exacte 0.6.2. Remarquons d’abord que le faisceau ~ * 8 ( - 1 )est nul : pour x O, sa restriction aux fibres P‘ x {x} est nulle puisquc Hk(IP1,&$l ( - l ) ‘ f ) = O pour tout k 2 O (voir [BS77, cor. 3.111) ; par ailleurs, il n’a pas de section locale à support dans O, puisqu’une telle section définit une section du fibré Z ( - l ) sur un ouvert P’ x V à support dans n-’O, donc est nulle. De plus, pour tout faisceau cohérent ?i sur Pl,les groupes de cohomologie H k (Pl, 27) sont nuls pour k 2 : nous l’avons indiqué plus haut pour les faisceaux localement libres après le théorème 3.1. Le cas général des faisceaux cohérents en résulte, en utilisant le fàit que tout faisceau

>

5.FAMILLES DE FIBRÉS VECïORIE1.S SUR P'

83

cohérent sur P1 admet une résolution finie par des faisceaux localement libres (voir par exemple [BS77, chap. 4, cor. 2.61). Par suite on a R k z * Z= O pour k 2 2 , lorsque Z est l'un des faisceaux A?,8'ou 8 ( - 1 ) ([BS77, cor.3.111). On obtient finalement

x*A?

-

Ln * 8 '

et iine suite exacte

O

R'x,A?

+R ' z * 8 ' +R 1 n * 8 ( - l )

-

O.

Notons que 9 %! R1n,Z' est localement libre, puisqn'il est cohérent (image directe propre d'un faisceau cohérent) et les fibres ont même rang 8 = dimH'(P', ( a , ) ) (voir [BS77, chap. 3, lemme 1.61). De même, F E R ' x , Z est cohérent et localement libre de rang égal \ O. De plus, étant un sous-faisceau du faisceau localement libre 9 ,il n'a pas de torsion. Si X est de dimension 1, on en déduit que F est @ X localement libre puisque, pour tout x" E X , l'anneau @x,~,,est principal. Si X est de dimension n 2 et si F n'est pas localement libre, la dimension de la fibre de F en x" est > 8 (voir par exemple [Fis76, p.541). Alors il existe, quitte à restreindre X , un système de coordonnées locales ( x i , . . . , x,) centrées en xo tel que la restriction de F à l'axe xi ait iine fibre générique de dimension 8 et une fibre en xo de dimension strictement supérieure à 8, c'est-à-dire que cette restriction n'est pas localement libre. Comme la formation de 9 et F < ommute au changement de base(5) (propreté de TC),ceci est impossible d'après le résiiltat vu lorsque dimX = 1. Ainsi, F est localement libre, de même rang que 9 , et le support de R' n&7 (- 1) est une hypersurface analytique fermée de X . O à 8 sur X

L'énoncé de rigidité ci-après sera essentiel. Comme l'a remarqué B. Malgrange, il est à l'origine de la propriété de PainlevC de certains systèmes d'équations différentielles considérés plus loin.

5.4. Corollaire (rigidité des fibrés triviaux sur Pl). - Soit E u n j b r i de rung d sur le produit P1 x X. O n suppose qu'al existe x" E X te1 que Eo

Elpix{x,,l soit trivial. Il existp dors un voisinage ouuut V de x" duns X tel que la rpstriction de E ti P' x V soit triviale.

Démonstration. - D'après le théorème 5.3-( 1), il existe iin voisinage ouvert W de x" tel que E l p ~ x { xsoit l trivial pour tout x E W . On a donc ('1 C;oriiirie F n'est pas iocaierrieiit libre, il faut iitiiisci- une resolution par cies 4 1 xl, iriodules localement libres pour obtcnir l'assertion pour 9I? partir de [BS77, chap. 3, th. 3.41.

84

(

H M I T R L I FIBRES \W I ORIEL5 HO1 OMORPHES SL K LA 5PHERE. Dk R I F W W N

H k ( P 1 , q p ~ x i x= l ) O pour tout k 3 1 ; par suite, comme indiqué avant l'énoncé du théorème 5.3, on a R k n , g = O sur W pour tout k 3 1. I1 en résulte que la formation de n,~? commute au changement de base. Ainsi, notant 1lt,o l'idéal maximal de @x,,o, on a ï ( P 1 , g o )= n&?/nix0n*g et ce dernier espace est de dimension d. Choisissons-en une base e ; , . . . ,e: et soient e l , . . . , Pd des relèvements dans ( x , ~ ) , o .On obtient ainsi, pour V assez petit, iin homomorphisme e:

qP1

-qpl

Dans une base locale de sa matrice A ( t , x) satisfait détA(t, x') # O pour tout t puisque, E" étant trivial, P';, . . . ,e: en forment une base locale. On en déduit que, quitte à diminuer V , on a aussi détA(t, x) # O pour tout O t et tout x E V . Ainsi, e est un isomorphisme.

5.5. Remarques (1) On voit aussi que n*i? est localement libre de rang d sur X

\ O. (2) L'analogie suivante peut permettre de mieux faire comprendre la démonstration de ce corollaire. Soit H un (C-espace vectoriel de dimension finie et soit d un entier 6 d i m H . La grassmannieniie Gr(d,H) des sous-espaces de dimension d de H est munie d'un fibré << tautologique >> CY dont la fibre au point [ E ] représentant le sous-espace E c H est ce sous-espace lui-même (pour d = 1 et H = C', on a Gr( 1, (C') = IF" et g = HPI (- 1)) . Fixons un sous-espace E" c H de dimension d et une projection p : H -+ E " , c'est-à-dire une décomposition H = E" @ F " . On en déduit, pour chaque E E Gr(d, H ) , un morphisme 'p : E + E " , qu'on interprète comme un morphisme 'p de 8 vers le fibré trivial @ i , . ( d , ~ ) @JC E" de fibre E'. Ce morphisme est un isomorphisme hors du lieu Op où dét 'p = O. On voit dét 'p comme un morphisme du fibré en droites d é t g vers le fibré trivial de rang 1, c'est-à-dire une section du fibré d é t g " dual de d é t g . Ainsi, Op est une hypersurface de Gr(d, H ) (qui dépend du choix de fi). La condition (2d) de la proposition 4.15 suggère d'étendre le raisoiinement ci-dessus au cas d'un espace de dimension infinie ( i . e . prendre H = M ) . On peut le faire lorsque H est un espace de Hilbert séparable ($ [PS86, chap. 7]), par exemple l'espace des fonctions L' sur le cercle unité. La démonstration de [Md83c] utilise ce type de méthodes.

Nous pouvons préciser le corollaire 5.4 au voisinage d'un point de O :

5.6. Corollaire (trivialisation méromorphe). - Soit E u n j b r é de rang d sur P1 x X de degré O . On suppose que le support O de R ' x * g (- 1) est une hypersuvuce (éventuellement vide). Alors, pour tout x E X , il existe u n voisinage ouvert

5 . FAMILLES DE FIKRÉS i'F.CTORIELS SUR P'

85

V de x et une trivialisation méromorphe qpXi,(*n-1O) ? @;lxL,(*n-lO). Démonstration. - Elle est conséquence du lemme qui suit :

5.7. Lemme. - Soit F un faisceau @x -cohérent, localement libre de rang d sur X \ O . Alors @x (*O) 8~~F est localement libre de rang d comme @x (*O)module. En effet, la remarque 5.5 permet d'appliquer ce lemme à n * g . Soit x" E O et ( e l , . . . , e d ) une base de n*k?(*O)xo.Cette base définit donc un homomorphisme

-

e :~ ~ l x L , < * n - l ~ g (>* n - l ~ ) l P l x V si V est un voisinage assez petit de xo. Puisque e induit une hase de chaque pour x E V \ O, on en déduit comme plus haut que e est un fihré O isomorphisme.

qP1

Démonstration du lemme 5.7. - Soit xo E O. Puisque

F est cohérent, on a

3 d.

dimSC,o/in.&o

Choisissons d vecteurs indépendants y:, . . . ,'pi dans cet espace. Ils se relèvent en d sections locales indépendantes ' p i , . . . , y ~ dde 9sur un voisinage assez petit V de xo. Celles-ci définissent un homomorphisme 'p : @$ 4 Celui-ci est un isomorphisme sur V \O puisque F y est localement libre de rang d et que le déterminant de ces sections, vu comme homomorphisme de @y- dans A d F , ne s'annule pas sur V . Le noyau X et le conoyau de 'p sont des faisceaux cohérents à support dans O. Si O = O est une équation de O ai1 voisinage de xo, 22' et $5' sont annulés par une puissance de 8. En particulier on a X = O et @"(*O) @ $ ? = O .

TIT.

Puisque @"(*O) est plat sur @" (voir par exemple [Bou64]),on en déduit Y(*@ 1". ) O que 'p induit un isomorphisme @{(*O) Soient io et ,i les sections nulle et infini de X dans JP' x X . Considérons les deux morphismes naturels de restriction po :

+ ioE"

et . .p

-

: n*k?

--

ikg.

L'application pu est donnée, pour tout ouvert V de X par

rp'

x

i;q s ( t , x)

et ,p

est définie de même.

r({o}x vg)

H s(O,

x)

86

(XIAPITRE 1. FIBRÉS \TECTORiEIS HOLOMORPIIES SUR LA SPHÈRF DE KIEMANN

Soit E un fibré de rang d sur P*x X . On suppose qu'il existe xo E X tel Et que E" '= E,,i xixo) soit trivial. I1 existe alors, d'après le théorème 5.3, une hypersurface O de X (éventuellement vide) ne contenant pas x" tel que E , soit trivial pour tout x E X \ O.

5.8. Corollaire (identification canonique entre les restrictions O et 00 ) Sous cettp hypothèse, les morphismes de re.ririction po et ..p induisent des isomorphismes après tensorisation par & (*O) ;en particulier, sur X \ O , les jib& vectoriels n,qx\(->, iOqx\o et i&qx\e sont isomorphes via po et ..p. On a aussi, après application d u jbncteur n*,des isomorphismes de,fiDrbs méromorphes

8'( * x - ' o ) , n * i o(*n-' ~ O) et n * i( *~T c -~l ~ ) . Démonstration. - Notons d'abord que iGE" et iL8' sont deux fibrés vectoriels sui- X (restrictions du fibré 8').D'après le corollaire 5.6, le fibré 8( *n-lO) est un fibré méromorphe trivialisé sur des ouverts P x V . Nous voulons vérifier que les morphismes pu et ..p sont des isomorphismes. I1 suffit de le vérifier localement sur X . Nous pouvons donc supposer que B(*n-'O) = @pixlr(*O)d et dans ce cas le résultat est évident. O La deuxième partie du corollaire se montre de la même manière.

CHAPITRE II CORRESPONDANCE DE RIEMANN-HILBERT SUR UNE SURFACE DE RIEMANN

Dans ce chapitre, M désigne une surface de Riemann, i.e. une variété analytique complexe de dimension 1 (CJ: § 0.2) qui sera toujours supposée connpxp. Une présentation générale des propriétés des surfaces de Riemann est donnée dans [Rey89]. Leurs propriétés topologiques, (groupe fondamental notamment) sont analysées en détail dans [Gra7l, Mas671.

1. Énoncé des problèmes Soient C un ensemble discret de points de M et o un point base dans A4 \ C. Si par exemple M = P’,l’ensemble C = {rno, ml,.. . , m p } est fini car P’ est compact et on a \ = c \ { m i , . . . ,m!,} (en prenant CO = mo) ; ainsi, le groupe fondamental “1 ( M \ c, O ) est le groupe libre avec pour gkiiérateurs les classes des laccts y l , . . . , yp dessinés sur la figure 1 (où le point mo est à l’infini), ou, de manière plus intrinsèque, le quotient du groupe libre à p + 1 générateurs yo,.. . , yp par la relation d’équivalencc engendrée par la relation yp . . . yo = 1.

x

FIGUREI

88

CHAPITRE II. <:ORRESPONDAN<:E DE RIb.MANN-IIILBER'I

Donnons-nous une représentation n l ( M \ C,o) + GLd(Q1). Par exemple, lorsque M = P1 et C = {mo,. . . , mp}, la donnée d'une telle représentation est équivalente à la donnée de p matrices inversibles T I , .. . ,Tp sans autre condition ou, de manière équivalente, de p + 1 matrices inversibles To, . . . , Tp satisfaisant Tp . . . To = Id. Le théorème 0.15.8 permet de construire un faisceau localement constant SÏI sur A4 \ C correspondant à cette représentation. De plus, le théorème 0.12.8 permet de construire un fibré holomorphe à connexion (k?, V) sur M \ C tel que E" = F, à savoir = @M @ c ~F. , ~ Rappelons que, puisque M est de dimension 1, une telle connexion est plate; en dimension plus grande, il ne faudrait pas oublier cet adjectif pour le problème analogue.

1.1. Problème de Riemann trèsfaible. - Existe-t-il unJibri méromorphe (A, V) à connexion (plate) sur M dont la re,striction Ù M C .soit isomorphe ii (8, V) ?

1.2. Problème de Riemann faible. - Existe-t-il u n j ï b r i mhomorphe (A&', V) à connexion (plate) sur M qui soit à singularité régulière (cf. 9 O. 14) en tout point de C et dont la restriction à M \ C soit isomorphe à (8, V) ? 1.3. Problème de Riemann partiel. - Donnon.s-nous u n j i b r i méromorphe Ù connexion (plate) (% ' ?,' 'V) sur un ouvm-t connexe U de M \ C, ayant des pôles en un ensernble discrai X' c U et .supposons que l%nclusionU 1C' v M 1 (C u E') induise un isomorphisme dps groupe.^ fondamentaux (par exemple IJ = M \ Z). - Existe-t-il un fibri mkromorphe à connexion (plate) (A, V) sur M dont la restriction ci I/ soit isomorphe à ('%?,''V) ? - Peut-on de plus choisir ( , V) Ù singularité réguli&e a u x points de C ? Nous allons montrer que la réponse à ces questions est positive. Mieux, la solution est unique lorsque l'on impose la condition de singularité régulière en tout point de C : on obtient ainsi la bijectivité de la comespondnnce de Riemann-Hilbert entre représentations du groupe fondamental nl (h2 \ C, O) et fibrés méromorphes à connexion (plate) à singularité régulière en chaque point de C. Lorsque M est compacte (par exemple M = P'), on peut en déduire, en utilisant un théorème de type GAGA(') (voir remarque 1.4.6) que le fibré à connexion peut être choisi algébrique. C'est unc des principales motivations de ce type de théorèmes. Une solution au problème de Riemann partiel, dans le cas où M = P', C = { C O } , C' = {O} et U est un disque centré à l'origine, jointe à ('1 Ce sigle signilic << géométrie analytique et géoni(.tr-iealgébrique

»,

2. ÉTUDE LO<:ALE DES SINGUIARITÉS RÏ~GULIÈRES

89

la remarque ci-dessus, permet d’algébriser les germes de connexions méromorphes (voir le 3 3.c). Lorsque M = P’,tout fibré méromorphe dont l’ensemble des pôles n’est pas vide est isomorphe au faisceau &$, ( * C ) d ($ corollaire I.4.9), de sorte qu’en prenant une base de ce faisceau on peut traduire les énoncés sur la connexion en énoncés sur les systèmes différentiels méromorphes. La solution de ces problèmes nécessitera une étude locale précise des singularités régulières. La question des déformations du problème de Birkhoff, que nous allons considérer en détail au chapitre VI, va nécessiter, elle, une étude locale précise des singularités irrégulières, que nous effectuons aux et 6. Pour ce faire, nous adoptons tin point de vue classique en algèbre linéaire : avant de résoudre un système linéaire d’équations différentielles, nous le mettons sous forme << normale », de sorte que la résolution en soit aisée. I1 faut d’abord introduire les formes normales possibles, que nous appelons << modèles élémentaires >>.La mise sous forme normale nécessite la résolution d’un système linéaire du même type pour trouver la matrice de passage.

ss.5

2. Étude locale des singuiarités réguiières Dans ce paragraphe, la surface de Riemann M est le disque D formé des C tels que It1 < r , où r est arbitrairement petit, de sorte que seul O est un pôle des fonctions méromorphes que l’on considère. Pour être plus O) de surface de Riemann qui est utilisé. précis, c’est le germe (C, 1 E

2.a. Quelques définitions. - Nous reprenons dans une situation locale les notions introduites au §0.14. On considère le (germe de) fibré trivial de rang d sur le germe (C, O ) , muni de la connexion de matrice Cl = A ( t ) d t , oii A a pour éléments des germes de fonctions méromorphes à pôle en O. L’anneau des germes de fonctions méromorphes à pôles en O est l’anneau C { t } [ l / t ] des séries de Laurent convergentes et bornées à gauche. C’est en fait un corps, qui sera noté k . L’action usuelle de la dérivation en fait un cor@ dfprmtiel, de corps des constantes (éléments annulés par la dérivation) égal au corps C : une série de Laurent méromorphe de dérivée nulle est constante. Ainsi, un germe de fibré méromorphe à connexion n’est pas autre chose qu’un k-espace vectoriel de rang d muni d’une dérivation compatible à la dérivation de k. I1 revient au même de se donner une matrice carrée A ( t ) de taille d à éléments dans k ou encore la matrice Cl = A ( t ) d t .

90

(

HAPITRE 11

(

<>RRFSPONDAN<E I)F RIFMANN-HI1 KbKl

Deux (k,V)-espaces vectoriels sont isomorphes si et seulement si les matrices Cl, et C l 2 correspondantes sont reliées par un changement de base méromorphe P E G L d ( k ) ,via la relation

et les matrices A l et A2 par la relation

Un (k,V)-espace vectoriel M de rang d défini par une matrice A l ( t ) est en O s’il existe une matrice P E GLd(k) telle que la matrice A2 obtenue par le changement de base (2.1) ait en t = O un pôle simple au plus. Un réseau de ce (k,V) espace vectoriel est un C{t}-module libre 1 c M tel que

à singularité r@dière

k@

~ { t >2 = M.

2.b. R a n g 1 . - La classification de tels systèmes est simple : si a ( t ) dt est la matrice di1 système, alors un système de matrice b ( t ) d t Iiii est équivalent au sens méromorphe si et seulement si b i t ) = n i t ) + f i ’ ( t ) / f i ( t ) pour un certain germe méromorphe p E k. (<

>)

2.2. Proposition (singularitésrégulières en rang 1) ( 1 ) Un ( k ,V )-r~pacevectomel de rang 1 est a sangulaml6 régulaere sa et seulement sz, dans toute baee, la matrzce n ( t ) dt dr la conrirxzon Prt & pôlr rzmple Il rxastr alors unr haw danr laqurllr la malmcr est d~ la forme M d t / t avec c( E C Il admet une reitaon homzontule mhomorphe sa et wulement sz x E Z ( 2 ) Deux ( k ,V) -espaces uectomels de rang 1 u sangulamté réçulzère de maimces a1 ( t ) dt et a2 ( t ) dt sont asomorphes sa et srulemrnt sa a1 - a2 a un pôle sample a w r résadu entzer en O Indication de la démonstration ( 1 ) On montrera qu’iine fonction méromorphe q ( t ) est de la forme $’/fi avcc 11 méromorphe si et seulement si q a ai1 plils iin pôle simple en O et son résidu est entier. (2) Un homomorphisme de ( M I ,V) i ( 3 4 2 , V) est iin isomorphisme si et seulement s’il est non nul, puisque Ml et M2 sont de rang 1. C’est une section horiLon tale dii (k,V) -cspacc vectoriel (de rang 1) Homa (Mi,My) . La matrice dc V sur cet espace est (a2 - 01) d t . 17 Soit c( E C et e une base d’un (k,V)-espace vectoriel de rang 1 pour laquelle la matrice de V est c( d l / t . Une section horizontalc sur un ouvert U

de D \ {O} est de la forme s ( t ) = u ( t ) r où u est une fonction holomorphe sur U satisfaisant l’kquation (0.12.7),qui s’kcrit ici u’(t)

+ ctu(t) = o.

Si U est simplement connexe, une telle équation a une solution, à savoir u ( t ) = e - ” ’ o ~ t si log est une détermination du logarithme sur U . On note encore t-” cette fonction.

2.3. Exercice (réseauxdes ( k , V)-espaces vectoriels de rang 1). - Soient nlc u n ( k , V)-espace vectoriel de rang 1 et E un réseau. Soient e et p’ deux bases de E et n ( t ) dt et h ( t ) dt les << matrices >> correspondantes de la connexion. (1) Montrer qu’il existe un germe p de fonction holomorphe inversible tel que h ( t ) = a ( t ) j j ’ / j j . ( 2 ) Montrer qu’une fonction méromorphe q s’écrit p’/p avec fi holomorphe inversible si et seulement si q a au plus iin pôle simple (en t = O ) et son résidu y est m t i u 2 O. ( 3 ) En déduire iine classification des réseaux d’un ( R , V) -espace vectoriel de rang 1 à singularité réguliere. (4) En déduire plus généralement une classification des réseaux d’un ( k ,V) -espace vectoriel de rang 1.

+

2.c. Modèles en rang quelconque. - On considère maintenant un ( k , V) espace vectoriel (M, V) de rang rl 2 1 muni d’une base e = ( e l , . . . , p n ) dans laquelle la matrice de la connexion a la forme dt

O ( t ) = A-

1

OU A E M d ( @ J ) .I1 existe iine matrice constante P E GLd(C) telle que J = F ’ A P soit sous forme de Jordan. La matrice de la connexion dans la base E = e . P s’écrit dt O’(t) = J -

t

puisque le terme P-’P’ est nui, la matrice P étant constante. 011 peut remarquer que l’objet considéré est la restriction à un voisinage de l’origine d’un fibré méromorphe à connexion sur C à pôle à l’origine uniquement (car le coefficient de dt dans la inatrice R est une fraction rationnelle avec pôle en O uniquement).

2.5. Déjînition (modèles élémentaires réguliers). - On appelle mod& ékmpntairp régulzer un ( k , V)-espace vectoriel muni d’une base dans laquelle la matrice de la connexion V s’écrit dt .n(t)= (ccIdSLV)-

t

92

CHAPITRE II. CORKLSPONDANCE DE RIEMANN-HILBERT

où (x E C et N est une matrice nilpotente. Si N n’a qu’un seul bloc de Jordan, on le note N‘,d. On peut interpréter le changement de base P de la manière suivante : la connexion donnée en (2.4) est isomorphe à une somme directe de modèles élémentaires réguliers : on traduit ainsi le fait que la matrice R’est diagonale par blocs, chaque bloc ayant la forme << élémentaire de la définition 2.5. >)

2.6. Exercice (sections horizontales des modèles élémentaires réguiiers) On suppose que la matrice N n’a qu’un seul bloc de Jordan de taille d > 1. (1) Montrer que, sur un ouvert simplement connexe U de D \ {O}, les sections horizontales s du modèle élémentaire régulier de matrice ((xId+N) d t / t sont les combinaisons linéaires à coefficients dans C des colonnes de la matrice

c’est-à-dire de la forme s ( t ) = t-(‘ Id . O , avec O E C d . (2) Montrer que la représentation de monodromie ($ s0.14) des sections horizontales d’un modèle élémentaire régulier associé à la matrice c( Id +N est donnée par

T = exp (-2ix((xId+N)). (3) Montrer que les sections horizontales sont ci croissance modbéeprès de l’origine, c’est-à-dire que, pour toute section horizontale s sur le voisinage d’un secteur angulaire ,furné d’angle < 2x, il existe un entier n O et une constante C > O tels que l’on ait sur ce secteur fermé l’inégalité

>

En déduire des propriétés analogues pour tout modèle (2.4).

2.7. Exercice (extensions de modèles élémentaires réguiiers). - Montrer que, si c( - CI’n’est pas entier, (1) tout homomorphisme de (k,V)-espaces vectoriels y : Na,d + Nz/,dt est nul ; (2) toute (k,V)-extension de NR,dpar NEt,d,est scindée.

2. ÉTLKE. IDCALE DES SINGIURITÉS

RÉGULIÈRES

93

2.d. Classification des ( k ,V ) -espaces vectoriels à singuiarité régulière en O Soit (M, V) un ( k , V)-espace vectoriel de rang d à singularité régulière. I1 existe, par définition, une base e de M dans laquelle la matrice de V est dt O ( t )= A ( t ) t oii A ( t ) est une matrice de taille d à coefficients holomorphes(2).

2.8. Théorème (forme normale des singularités régulières). - Il ex&, dans ces conditions, une matrice P E GLd ( k ) telle que, après le changement de base dP matrice P , la matrice 1R' de la connexion ait la forme dt O ( t ) = Bot

où Bo E Md (C) est constante. On déduit alors des résultats du 2.c : 2.9. Corollaire (suffisance des modèles élémentaires réguiiers). - Tout ( k , V) -espace vectoriel ù singularité régulière est isomorphe ù une somme directe de modèles élémentaires réguliers. O 2.10. Remarque importante. - La matrice Bo que l'on obtient n'est pas nécessairement égale (ou conjuguée) à la matrice A ( 0 ) (voir cependant l'exercice 4.5 en ce qui concerne le polynôme caractéristique). De plus, la matrice exp( -2inBo) ne dépend, à conjugaison près, que de (M, V) , puisque c'est la matrice de monodromie des sections horizontales (cj: exercice 2.6-(2)). La démonstration du théorème 2.8 se fait en plusieurs temps (voir par exemple [WasSS], [Mal74]). On construit d'abord la matrice P ( t ) comme Line série formelle, puis on démontre que cette série a un rayon de convergence non nul. On note k le corps des séries de Laurent méromorphes formelles, i.e. des séries de la forme Cn2-no antn, la série CnaO antn pouvant avoir un rayon de convergence nul (on note aussi C It] l'anneau formé de ces dernières). A

A

A

A

2.11. Proposition. - Soit R = A ( t ) d t / t , où A ( t ) est une matrice ù coej"cients duns C It] . O n suppose de plus que les valeurs propres de la matrice A ( 0 ) ne d@rent pas d'un entipr non nul. Il existe alors une matrice P E GLd (CIt] ) telle h

que

(2)Si A(O) = O la singularité n'est qu'apparente (au sens donné dans l'exercice IV.2.3).

CHAF’ITRE II CORRkSPONDANCE DE’ KIk~iANN-IiII.RbKl

94

Cette proposition est utilement complétée par : A

-

h

2.12. Proposition. - Soit f2 = A ( t ) d t / t , où A ( t ) e,st une nzalrice ù cofjcients dans @ [ t ] . Il existe une matrice Q E GLd(C [ t , t-’1) telle que le,s valeurs propres de la matrice ^B ( O ) , où ( t ) est d q n i e par

E

B ( t ) E Q-lÂQ+

tQ-Q’,

ne diffPrent pas d’un entier non nul. On déduit de ces deux propositions l’énoncé di1 théorème 2.8, si l’on accepte des matrices P à éléments non nécessairement convergents. La matrice A ( t ) de départ est à éléments convergents, la matrice (constante) Bo d’arrivée aussi, mais la matrice de passage peut-être pas. I1 sera donc nécessaire, pour achever la démonstration dii théorème 2.8, de montrer aussi : A

A

2.13. Proposition. - La nzatrice de passage P construite h la proposilion 2.1 1 est ù éliments convugents. Dimonstralion de la proposition 2.11. - Elle suit celle donnée dans [Mai741 par B. Malgrange (voir aussi [Gan661 ou [Sab93, $1.5.21).On cherche donc une matrice P satisfaisant, si l’on pose A ( t ) = A0 + tA1 + . . . , l’égalité h

P-‘ÂP

+ 6-’? = A().

On peut considérer cette relation comme line équation différcntielle satisfaite par P , à savoir h

A h

t?

(2.14)

= S A 0 - AP.

On pose a priori P = Id+tPI + t 2 4 + . . . où les Pp sont des matrices constantes à déterminer. On les détermine de manière inductive : en degré l l’équation (2.14) s’écrit h

(2.15)

tPt = PtAo - AoPp + % ( P i , . . . , P t - i ; A o , . . . , A I )

où O[est line matrice dépendant de manière polynomiale de ses variables. 2.16. Lemme. - Soient U E Mp(@) et V E M u ( @ ) deux matrices. Alors les deux propriités suiuanta .sont équivalentes : (1) pour toute matrice Y de taille q x p ù éléments dans C , il existe une unique matrice X d u même type sati.faisant XU - T/x = Y ; ( 2 ) les matrices carrky U et V n’ont pas de unleur propre commune.

<

Soit & 3 1. Supposons déterminées les matrices Pk ( k e- 1) . La relation (2.15) s’écrit sous la forme dii lemme avec X = Pr, Y = Op, U = l Id -A0 et V = -Ao. La condition du lemme signifie alors qu’il n’existe pas de couple (A,A’) de valeurs propres de Ao avec A - A’ = &. Piiisqiie P 2 1, la condition mise dans la proposition 2.11 permet, pour tout l 2 1, de

2. ÉTIJDE IX><:AI,E DES SINMURITÉS

RÉGLTLIÈRES

95

déterminer une matrice Pt solution de (2.15).si l'on connaît les matrices Pl< pour k < & - 1. O DPmonstration d u lemme. - Soit 'p : Cyxf' + C'/"f' l'application linéaire définie par 'p(X) = XU - W . On montre (par exemple en supposant d'abord U et V diagonalisables, puis en utilisant un argument de densité) que les valeurs propres de 'p sont exactement les A, - p1, où h, parcourt l'ensemble des valeurs propres de U et p i celiii de V . Donc 'p est bijective si et seulement si aucune des différences Ai - p i n'est nulle. O

2.27. Remarque. - Sous l'hypothèse de la proposition 2.11, toute solution ^P E GLd(k) est en fait dans GLd(C [ t ] ) . D'une manière générale, si 71 E kd est solution d'un système du type t u ' ( t ) + A ( t ) u ( t ) = O avec A E Md(C [ I t ] ) telle que les seules valeurs propres entières de A ( 0 ) soient 2 O, alors u ( t ) E C[It]".En effet, si u~ désigne le coefficient de tr dans u , le terme (eId-A(O))ul s'exprinie alors en fonction des uj pour j < e ; par récurrence, on en déduit que ut = O pour B < O puisque, dans ce cas, &Id-A(O) est inversible. Démon,stration de la proposition 2.13. - 11 s'agit donc de vérifier que, si A ( t ) est à éléments dans l'anneau C { t } des séries convergentes, il en est de même de la matrice P . Nous n'allons pas calculer le rayon de convergence de la série définissant ce qui donnerait des calculs fastidieux. Remarquons plutôt que l'équation (2.14) définit P comme section horizontale d'un système différentiel linéaire de rang d' et que la matrice de ce système cst à pôlc au plus simple en O (dont le résidu est l'endomorphisme ad A0 de M'l(C), défini par adAo(X) = [Ao,X] = AoX - XAo). La proposition est donc un cas particulier de la proposition 2.18 ci-dessous. O h

P,

h

2.28. Proposition (toute solution formelle est convergente). - Soil A ( t ) une matrice dans Md (C{ t } ) . ïout 7~rcteu.ru ( t ) à élhnents dans C It] gui est solution d u .sj.ct@mpt u ' ( t ) + A ( t ) u ( t ) = O est Pn ,fait à @lhnen,tscon~~ugent.s (i.e. d a m { l } i.

Démonstration. - Nous utiliserons une méthode de séries majorantes(').

6crivon s u(t)=

+O0

u,,lk et

A ( / ) = Ao

+/Al

+f..

/<=O

de sorte que l'équation satisfiaite par Aouo = O,

21

s'écrit c

(BId-Ao)u[ = -

Ajurp1 j=l

(e

1).

C;H;WI'ïKE II. CORRESPONIIANCE DE RIEMANN-HILBERT

96

Soit t o tel que [Id -A" soit inversible pour tout e 3 eo. I1 existe une constante c > O telle que l'on ait pour tout e 3 eo l'inégalité II(eId-Ao)-'II c, en posant, pour une matrice B = ( b L l ) , 11B1) = max, Cl Ib,, On en déduit que, pour t 3 Po, on a

1.

<

Y

llut

II < c 1=1 c 114(1 llUY-1 II .

Posons

<

On vérifie par récurrence sur C que, pour tout e, on a IJu~ll ut. Montrons alors que.la série Cuvete est convergente, ce qui donnera le résultat llA3 t 3 . C'est une série convergente. cherché. Posons cp(t) =

I/

2.19. Lemme.

- On u

Dérnonstruiion. - Exercice.

O

Puisque 'p (O) = 1, la fonction (1 - cy ( t ) ) est inversible au voisinage de l'origine ; de plus, le terme entre crochets est un polynôme. On en déduit la convergence de la série E,"=,vetY au voisinage de t = O. Dérnonstrution d~ lu proposition 2.12. - Par un changement de base de matrice constante, on se ramène d'abord au cas où la matrice Ao est diagonale par blocs, chaque bloc correspondant à une valeur propre h, ( i = 1, . . . ,p ) de Ao. Écrivons donc

oii A:)') est le bloc correspondant a la valeur propre propres hl # 1.1. Posons

=

llBll)-'~

anx valeurs

tId O O Id)

(

(4)Indicatioti: irtilisei-le fait que, pour une matrice H telle que liBll

-C111 Bl/j

et A:)')

< I , la série log(1d -H) %*

converge c t en déduire que, dans ces conditions, on a ~ ~ ( I d - B ) - l6~ ~(1

-

2.k'I'U1)E ILXALE DES SINGUIARITÉS RÉGULIÈRES

97

Alors les valeurs propres de la partie constante Bo de la matrice B = Q-lAQ + tQ-'Q' sont Al + 1, AB,. . . , hp. Par une suite finie de transformations de ce type, on peut donc obtenir une matrice Bo satisfaisant la conclusion de la proposition 2.12. O

2.20. Exercice (la forme normale de Levelt [Gan66, Levfill). - I1 s'agit de donner une forme normale de la matrice de la connexion par un changcment de base holomorphe, même lorsque la matrice de la connexion ne satisfait pas les conditions de << non-résonance >> sur les valeurs propres imposées dans la proposition 2.1 1. Soit R = A ( t ) d t / t la matrice de la connexion, avec A ( t ) holomorphe. On peut supposer Ao diagonale par blocs, les blocs correspondants aux différentes valeurs propres. On note D = diag(81,.. . , S d ) la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les parties entières des parties réelles des valeurs propres de Ao. On suppose que 81 82 . . . 8 d , ce qui est possible quitte à permuter l'ordre des blocs. On pose 8 = 81 - 8 d . On a ainsi les propriétés suivantes : - L'endomorphisme ad D = [ D , e ] : Md(C) + Md(C) est semi-simple. - La matrice Ao commute à D et les valeurs propres A de A() - D satisfont Ré()() E [O, 1[ (donc la seule valeur propre entière de ad(Ao - D ) est O ) . (1) Montrer qu'il existe une matrice Bo = Ao B I + . . . + Bs E M d ( @ ) avec adD(Bi) = -iB, pour i 1 et une matrice P ( t ) E GLd(C[t]) telles

> >

+

A

que

+

+

+

(a) P ( t ) = 4) tP1 t2P2 . . . , (b) t f " ( t ) = P ( t ) B ( t )- A ( t ) P ( 1 ) avec B ( t ) = A" + tBl t-/)B 1) 01

+ t'B2 + . . . + taBa =

'

[On utilisera le fait que ad(Ao - D ) + k Id commute à ad D , donc préserve les sous-espaces propres de a d D , et y induit un isomorphisme si k # O ; on dkcomposera l'équation de (h) sur les espaces propres de adB.] ( 2 ) Montrer, en utilisant la proposition 2.18, que la matrice P est convergente. En déduire qu'il existe un changement de base P E GL,l(C { t } ) après lequel la matrice de la connexion a la forme dt K ( 1 ) -. t

(3) En appliquant le changement de base méromorphe de matrice P(t)t-" a la matrice R = A ( t ) d t / t , montrer que la nouvelle matrice est (Bo - U ) d t / t et retrouver ainsi le théorème 2.8. En déduire que la inatrice de rnonodromie est exp(-2in(Bo - D ) ) .

98

CHMITRE I I . CORRESPONDAN<X I>b RIEMANN-HILBERT

(4) Donner un exemple d’une matrice A ( t ) dans M?(C{t)) telle que la monodromie du système de matrice A ( t ) d t / t ne soit pas conjuguée à exp(-2inA(O)). 2.e. Réseaux logarithmiques canoniques. - Soient (M,V) un ( k , V ) espace vectoriel et E un réseau logarithmique. Soient e une base de E sur @ { t > et O ( t )= A(t) d t / t la matrice de V dans cette base. Alors l’endomorphisme de Eo de matrice A ( 0 ) dans la base e ne dépend pas du choix de la base : c’est le résidu de la connexion à l’origine (voir le 0.14.b), que nous notons Rés V , ou encore Résg V pour rappeler le réseau qui le définit. Nous pouvons maintenant préciser le résultat de l’exercice 2.6 et construire des réseaux logarithmiques canoniques (encore appelés réseaux de Ildigne) dans tout fibré méromorphe à singularités régulières. Ils sont obtenus par recollement des réseaux logarithmiques canoniques locaux construits ci-dessous. Les réseaux de Deligne locaux permettent de reformuler le théorème de classification 2.8 en terme d’équivalence de catégories. 2.21. Corollaire (les réseaux de Deligne). - Soit (34,V) un (k,V) -espace vectoriel c i sinplurité répli&-e. (1) Soit E un réseau logarithmique de M ; si les valeurs propres d u ré.sidu Rész V de lu connexion V sur E ne dffirent pas d’un entier nori nul, il existe une base de E sur C.{ t> dans laquelle la matrice de la connexion a la forme Ao d t / t auec A0 constante. ( 2 ) Soit o une seciion de la projection naturelle C. + @ / Z (de sorte que deux nombres complexxps dans l’image Ini o de o ne d@rent pas d’un entiPr # O ) . Il existe un unique réseau logarithmique “V de (M, V ) tel que les valeurs propres de R é s v V soient contenues dans Im o . De plus, pour tout homomorphisme y : (M, V) + (M‘, VI), on a

~(“17)= “V(Ini cp, V)

= “17(n/z’, V’)

n 1111Q.

( 3 ) Réciproquement, soil T un automorfihismxp de C d (déjnissant un sytè?ne local de rang d sur un disque Il’ priué de son oripne). Il existe alors un unique (ù isomorphisme près) $ h é Ù connexion mbromorf)hxp.mr D ii @e logwithmique en O pour lequel (a) le système local qu’il d$riit sur LI* est celui associé Ù T , (b) le r&du en O de la connexion a se.$ valeurs propres dans h i o . (4) Le foncteur qui associe Ù tout (k,V) -es$ace vectoriel (M, V) ii sin,plurité r&ulit?re lkspace uectoriel OH = “ V / t “V muni de l’uutomorphisme T = exp (-2in Résw V) e,st une équivalence de catégories.

2. ETUDE I.OCAI.E DES

SINGIJIARITES

RF.GIII.IÈRES

99

Ilhnonstration (1) C’est exactement ce que donnent les propositions 2.11 et 2.13.

(2) L’existence d’un réseau “17 résulte de la proposition 2.12. Si E et E’ sont deux tels réseaux, il existe, d’après ( l ) ,une base e de E (resp. e’ de E’) dans laquelle la matrice A&/t (resp. A$t/t) de V a ses valeurs propres dans Ini o . En raisonnant comme pour la proposition 2.11, on voit que la niatrice de passage P E GLd(k) de e à e’ est constante et conjugue A() et A;,. D’où l’unicité. Comme l’image par ‘p d’un réseau est un réseau de l’image de q , la deuxième assertion résulte de l’unicité. ( 3 ) On pcut écrire de manière unique (décomposition de Jordan de T ) C d = @iLFjs oii F>,est somme directe d’espaces C I T , T - l ] / ( T et on a une décomposition correspondante du système local attaché à T sur U * . Le fibré cherché sera décomposé de même et, à chaque terme Q: [T, T p 1 3 / ( Ton associe la connexion V sur le fibré trivial de rang k de matrice (ctId+N) d t / t , avec T = exp-2zrt(xId+‘V), où - 2 i x x est l’unique logarithme de A qui se trouve dans 2inIm0, 1V est un bloc de Jordan de taille k et t est une coordonnée sur LI. Si l’on a deux tels fibrés E et E’, le fibré à connexion méromorphe B m 8 ) (E“,E“’) est aussi à pôle logarithmique en O et les valeurs propres du résidu de sa connexion s’obtiennent en faisant les différences des valeurs propres de RésV’ et de RésV. Aussi la seule différence entière est O , par hypothèse. Puisque les fibrés ont même monodromie sur D * ,il existe un isomorphisme des faisceaux localement constants sur L)* qu’on leur associe et donc on dispose d’une section inversible horizontale de Zornm, (E“,CY’)sur Il*. Puisque la singularité de ( S o m a ( M ,M ) , V) est régulière, cette section est à croissance modérCe (d’après l’exercice 2.6 et le théorème 2.8), donc est méromorphe en O. Puisque l’unique valeur propre entière du residu E“’) est 2 O, cette section est holomorphe en O (voir de V sur Zm4)(8, remarque 2.17). Son inverse satisfait la même propriété, d’où l’existence d’un isomorphisme entre les deux fibrés à connexion méromorphe.

(4) Le point ( 3 ) montre en particulier que ce foncteur est essentiellement surjectif. Pour la pleine fidélité, remarquons d’abord que, si ‘p : (M, V) + (M’,V’) satisfait cp(“V(M)) c t . “V(M’), alors d’après (2) on a “V(p(M))= t . “V(‘p(M))et par suite ‘p = O. Enfin, montrons que l’application induite sur les Hom est surjective. En choisissant des bases convenables, nous sommes ramenés à montrer que, si A() et A() sont deux matrices carrées de taille d et d’ respectivement ayant leur valeurs propres dans Iiii O, toute matrice P ( t ) de taille d’ x d satisfaisant

100

CHAPITRE II. CORRESPOND.LW<:E DE RIEMANN-HILBERT

PA0 - ALP = tP’ est constante. Ceci résulte du lemme 2.16 puisqu’alors la seule valeur propre entière de l’opérateur linéaire ainsi défini est O. I7

2.22. Remarque (algébrisationdes réseaux de Deligne). - On peut exprimer le corollaire ci-dessus de manière un peu différente. Pour tout x E C , notons

Mù.IIx = { e E M I g n , (tVa//dt

-

ctId)’’p = O}.

Alors le corollaire implique (en considérant d’abord un modèle élémentaire) que MI[“est un sous-espace vectoriel de dimension finie sur C et la De plus, multiplication par t induit un isomorphisme de M x sur M’ = O sauf si exp(-2ircx) est une valeur propre de T . Ainsi, Mi B U M [ ”est un C [ l , t-’1 -module libre contenu dans M , stable sous l’action de V et qui engendre M sur k . Plus précisément, l’application naturelle

k

@

c [t,tr’]

M-M

est un isomorphisme de ( k , V) -espaces vectoriels. Alors ‘V est le réseau de Deligne de Posons ‘V = $ x E ~ mO $kcW h%[a+k. M correspondant à O et l’on a

Notons enfin que l’application naturelle

(2.23)

$ UEIiIi O

M U -=v/t‘v

est un isomorphisme compatible avec l’action de T , si on définit celle-ci

sur le terme de gauche par exp(-2irctVs/zt). On peut ainsi identifier M au (C[t , t-’1 , V) -module gradué

2.f. Adjonction de paramètres. - Les résultats précédents s’étendent sans difficulté dans une situation avec paramètres ». Bien que cela soit en fait inutile pour la suite, nous allons indiquer comment on les obtient, ce qui nous permettra, ce faisant, d’introduire quelques notions utiles pour les singularités irrégulières. Dans la suite de ce paragraphe, l’espace des paramètres X est une variété analytique complexe. Rappelons la notion de singularité régulière (<[ O. 14) : <(

2. ÉTUDE L0CAL.E D E 3 ÇINGG'LARITÉS K~~GLII.IÈRES

101

2.24. DéJinition (singularités régulières avec paramètre holomorphe) Un fibré méromorphe sur B x X , à pôles le long de {O} x X , muni d'une connexion plate V, est à singularité régulière si, au voisinage de tout point (O, xO) de {O} x X,il existe un réseau logarithmique de ( M ,V) . h

Notons @[lXx le complkté jormel du faisceau @ D ~ X le long de {O} x X . C'est un faisceau sur X = {O} x X . Si U est un ouvert de X , l'espace des sections ï(U,%D,x) est l'anneau & ( U ) [ t ] des séries formelles en t à coefficients dans l'anneau @ x ( U ). Les lecteurs vérifieront que le préfaisceau U H & ( U ) [ t ] est un faisceau sur X . Le germe @ D ~ ~ est , ~ le o sousanneau de @x,,o [ t ] formé des séries C, at ( x ) t Loù les germes de fonctions a,(x) E peuvent être définis sur un mPme voisinage de xo, a.e. qui, en tant que série de x - xO,ont un rayon de convergence minoré par un même réel > O. Soient x" E X et ( x i , . . . , x,) un système de coordonnées locales centrées en xo. Soit h

&,O

R

dt

= A(t, x) t

+

71

C(') ( t , x) dx,

i=l

la matrice de la connexion V dans une base e de M au voisinage de (O, xu). Si les matrices A et C ( i ) ( i = 1, . . . ,n ) sont à éléments holomorphes, ( est à singularité régulière au voisinage de (O, x") . 2.25. T h é o r h e (forme normale des singularités régulières avec paramètre) Il existe une base d u gmme dans laguplle la matm'cp de V c ' h i t B d t / t où B Pst ron5tante. &(O,~O)

Dkmonstration. - Supposons d'abord que les valeurs propres de la matrice A ( O , x " ) ne diffèrent pas d'un entier non nul. I1 en est de même pour les valeurs propres de la matrice A(0, x) pour tout x dans un voisinage U de xO. L'endomorphisme adA(0,x) + eId est donc inversible sur U , d'inverse holomorphe en x, pour tout e E Z \ {O}. La formule (2.15) fournit ainsi ~) que une matrice E G L ~ ( @ D ~ ~ , , , teiie

P

h

?-'A(t, x ) P + tP-lûP/ût = A(0, X ) pour x E U . Posons 6' =

P-'@ + P - ' d P .

dt R ' = A(0,x)Y + h

Alors

n

C C'(')(t,x)dx,.

,=I

h

Puisque R satisfait la condition d'intégrabilité, il en est de même de R' exercice 0.12.6). On en déduit que ? ' ( ' ) ( t , x ) = C'(')(O,x) krC'(')(x) :

(CJ:

h

<>H,APITKEII. <:ORRESPONl>i\N(:E DE RIEMANN-HILBERT

102

en effet, la condition d’intégrabilité implique que

A

et, en posant CI(’) = CkC;,[ I ( / ) ( x ) t k , on obtient, pour k (ad A (O, x)

# O,

+ k Id) (CL“) (x) ) = O;

le choix de l’ouvert U montre que Ci(’) (x) O sur U pour tout k # O. Comme la connexion v de matrice E, C’(’) (x) dx, est intégrable et que le résidu A(O,x) est horizontal relativement à v (cJ exercice 0.14.6), il existe une base dans laquelle la matrice de fi’ est A(O, x) d t / t . L’argument de la proposition 2.13 s’étend à la situation ci-dessus, sur l’ouvert U . On en déduit que E G L ~ ( & I ~ ~ , ( ~ , ~ O ) ) . Enfin, il suffit d’obtenir l’analogue de la proposition 2.12 en demandant ,-. que les valeurs propres de la matrice H(0, x”) ne diffèrent pas d’un entier non nul. La démonstration est similaire. O

2.26. Réseaux de Deligne. - Nous laissons aux lecteurs le soin d’étendre à la situation << avec paraniètres >> les résultats du fi 2.e. Indiquons seulement que, pour toutc section O de la projection C + @ / Z , il existe Lin unique réseau logarithmique ‘Y du fibré méromorphe (A, V) . L’unicité locale permet d’obtenir, par recollement, l’existence globale à partir dc l’existence locale.

3. Applications 3.a. Correspondance de Riemann-Hilbert. - Nous suivons ici [De170]. Soient 11.1 une surface dc Riemann et C un ensemble discret de points.

3.1. Théorème (la correspondancelogarithmique). - Étant donné unPLisceau localement constanl 9 sur M \ C , il existe unjibrt? holomorphe E sur M et une connexion V : ?i + On, ( C ) 2? 6 pôles logumthmiques, lrls que, sur M \ C, Ir faiscrau localement constant E” .soit isomorphe iI Y . Dkmonstration. - Sur l’ouvert M \ C 011 pose 2? = @bf,c @cY .I1 s’agit donc, pour chaque point rn E C, de trouver un voisinage ouvert assez petit U de m (en particulier U n C = { m } ) et une base e de T(U \ { m } , Z ) dans laquelle la matrice de la connexion V soit à pôle logarithmique : cette base permet de définir un fibré à connexion sui- U qui coïncide avec sur C7 \ C . On construit alors le fibré cherché par recollement. Ainsi, le problème est local et on peut supposer que U est un disque D centré à l’origine de @ . En restriction à D \ {O}, la donnée du faisceau localement constant LF = E” équivaut à ceiie d’une representation de

nl ( D \ {O}, O) = Z dans GLd(C), c’est-à-dire d’une matrice inversible ï . On applique alors le corollaire 2.21-(3). O

3.2. Corollaire (la correspondance méromorphe). - ktant donné un faisceau localement constant F sur M \ 2, il existe un jibré mirornorphe (z connexion , V ) sur M (z p d e s aux points de C et à si lurité rigulière en ces points, tel que, sur M \ C, le faisceau localement constnn soit isomorphe à Y .

’

Démonstration. - I1 suffit de prendre A = g ( * C ) , OU par le théorème 3.1.

(g, V) est fourni O

La correspondance qui associe à un fibré méromorphe 2 connexion ( M ,V) le faisceau localement constant des sections horizontales &t?$f,c est fonctorielle : à un homomorphisme : & + A’ compatible avec les connexions, c’est-à-dire satisfàisant (Vs) = a’( (s) ) pour toute section locale s de A ,on associe l’homomorphisme restreint

+

+

Cette correspondance au niveau des morphismes patible à la composition des morphismes.

+

est bien

évidemment com-

3.3. Corollaire (la correspondance de Riemann-Hilbertest une équivalence) Cette rorreJpondance anduat unp bquzuulence entrp la cntégome des fiOréJ mhomorpheq & connexion, & pôles aux poznts de C et ù \angulamti réplzme pn tout poant dr C, et la catbgome dey faasceaux localement comtantr d~ C -espaces vectom~lssur M\C. llb~nonstration.- Le corollaire ci-dessus montre que le foncteur est rs.sentiellement su+?ctif: Montrons qu’il est pleinement fidèle. Soit ‘p : + I A?$~,x un homomorphisme. I1 s’agit de montrer qu’il existe un unique hoV) + (&’, V) qui l’induise. Interprétons ‘p coinnie momorphisme : (A, Line section horizontale du fibré (A5meb,(A, ’) p f \ c , V ) . I1 s’agit de vérifier que cette section horizontale est la restriction à M \ C d’iine section iiiéroniorplie horizon tale de ( A ? û m ~ (A&”, , ~ A’), V) . Ceci rCsiilte du lemme ci-dessous, puisque ( X o ~ i f l ;(, A ~ A’), , V) est à singularité régulière en toiit O point de C si (A&‘, V) et (A’, V ) le sont.

Ai,z

+

3.4. Lemme. - Sozt (A””,V) u n j h r b mérornorphe & ronnexaon, & @es aux poantr d~ C rt iG szngulnntY rYgulz&p pn tout point d~ C . Sozt J urw rcrtzon honzontnlr de (A””,V) \ur M \ C. Alorr 5 rr prolonge d~ manaPre unique rn u n e rertzon mtromorphr d p JY. rur M .

104

CHAPITRE II. CORRESPONDANCE DE RIEMANN-ilII BERT

Démonstration. - L’unicité du prolongement est claire. Montrons-en l’existence. Le problème est local, de sorte qu’on peut supposer que A4 est un disque D centré en O dans C et C = {O}. D’après le corollaire 2.9, on peut supposer que = pour un choix de c( E C et d E 11 existe une section horizontale sur D \ {O} si et seulement si a E Z (les sections horizontales ont pour coordonnées des combinaisons de fonctions du type t-“ (log t ) P ) et, si c( E Z , il existe une unique section horizontale (à une 17 constante près), celle-ci étant méromorphe.

w.

3.b. Correspondance de Riemann partielle. - Reprenons la situation du problème de Riemann partiel 1.3. Considérons le foncteur qui, à tout fibré méromorphe à connexion (A&“, V) sur M , à pôles aux points de C ü C’ et à singularité régulière aux points de C, associe sa restriction (‘&,‘O) à l’ouvert U et de même pour les morphismes de fibrés à connexion. 3.5. Théorème. - Cefoncteur est une kquivalence d~ catégories. Démonstration. - Pour l’essentielle surjectivité, on commence par étendre (‘&,‘’V) en un fibré méromorphe à connexion sur A4 \ C : le fibré ho‘IV) l p , ~ / s’étend en un fibré holomorphe à lomorphe à connexion (‘2, connexion sur M \ (Lü C’) puisqu’il en est de même, d’après l’hypothèse faite dans le problème 1.3, di1 faisceau localement constant de ses sections horizontales (corollaire O.15.10), ce qui permet de construire le fibré méromorphe cherché sur M \ C . L’extension de celui-ci à M se fait comme ai1 théorème 3.1. Ceci donne l’essentielle surjectivité du foncteur. Reste à vérifier sa pleine fidélité. Si U = A4 \ C, on raisonne comme au corollaire 3.3. Sinon, on utilise la pleine fidélité du foncteur de restriction de M \ C à U , obtenue à l’aide du corollaire 0.15.10-(3). o 3.6. Remarque. - Le corollaire 3.3 est bien entendu un cas particulier du

théorème 3.5.

3.c. Aigébrisation d’un germe de connexion méromorphe. - Ce procédé a été introduit par G. Birkhoff [BirOS]. En appliquant le théorème 3.5 en prenant pour U un petit disque centré à l’origine E’, on obtient :

3.7. CoroZZuire (l’algébrisation est une équivalence). - Soit (M, V) un kespace uectoriel à connexion. Il exi.Tte alors unjïhrb méromorphe ( sur IP’, n ’ajant de sin~plrcritéqu’en O et CO, cette donière étant régulière, et de germe en O isomorphe c i (34,V ) . Un teljibré est unique à isomorphisme près (uniquesi on 0 impose que ce dernivr induise I’identitP‘sur M ). Notons que le théorème 3.5 donne un procédé canonique pour effectuer cette globalisation. Ce corollaire a une traduction plus concrète :

4. COMPLÉMENTS

105

3.8. Corollaire (algébrisationdes systèmes différentiels holomorphes) Étant donnée une matrice A ( t ) de taille d à éléments dans le corps k des s h i e s de Laurent méromorphes, il existe unp matrice P E G L d ( C { t } ) telle que B ( t ) P - l A P + P-IP‘ soit à éléments dans l’anneau C [ t ,t-’1 des polynômes de Laurent et que la connexion de matrice B ( t ) dt soit à sinLplaritérégulièrp à l’injni. Démonstration. - Soit (M, V) = ( k d ,d + A ( t ) d t ) . Notons E le réseau C { t } d . Nous pouvons alors construire un sous-fibré méromorphe 8(*00) du fibré méromorphe .A&” fourni par le corollaire 3.7 : le réseau I définit un réseau de sur un disque assez petit centré à l’origine ; nous recollons celiiici avec le fibré méromorphe à l’aide de l’identification E sur D* = D \ {O}. Ce fibré méromorphe n’a de pôle qu’en 00. D’après le corollaire 1.4.9, il est isomorphe à (*00)~. Prenons une base de 8 ( * m ) à l’aide d’un tel isomorphisme. Dans cette base, la matrice de la connexion V est à éléments dans l’anneau T(ÏF’,@p~(*{O,oo})) = C [ t , t - ’ I . I1 en est de même si l’on considère les germes de ces objets en O. O

q~ 4.

qp

4~).

3.9. Remarque (un autre procédé d’algébrisation). - Le changement de base pour passer d’une base donnée de M à la base fournie par ce corollaire n’est pas explicite par la méthode ci-dessus. On peut aussi montrer que l’analogue formel de ce corollaire, i.e. le passage de k 2 C [ t ,t-’1 , est vrai ( c f : [Mal91, prop. 1.12, p.491). Celui-ci est même plus explicite, puisqu’il suffit de tronquer à un ordre assez grand le développement de A ( t ) . Néanmoins, ce procédé ne permet pas d’affirmer que la singularité que l’on obtient à l’infini est régulière. Le procédé du corollaire 3.8, lui, ne conserve a priori de A que la partie la plus polaire, puisque la matrice P n’a pas de pôle. A

3.10. Exercice. - Soit A ( t ) à éléments dans C [ t ,t-’1 telle que le système de matrice R = A ( t ) dt soit à singularité régulière à l’infini. Montrer que tout germe u E @{t}‘ solution du système du + R . u = O est en fait polynomial, i . ~dans . C [tId. 3.11. Exercice. - Lorsque (M, V) est à singularité régulière, comparer le procédé de Birkhoff du corollaire 3.7 et celui de la remarque 2.22.

4. Compléments 4.a. Reconnaître une singularité régulière. - Étant donné un germe (M, V) de système différentiel méromorphe, de matrice A ( t ) dt dans une base e , où A est à éléments dans k, il n’est pas immédiat en général de

106

(:HAPITRE 11. COKWSPONDANCE DE RIEhLWN-EiII.RERT

vérifier que (M, V) est à singularité régulière en O. En effet, il se peut par exemple que A ait un pôle double et que (M, V) soit pourtant à singularité régulière. NOUSallons donner quelques critères qui sont parfois efficaces. Celui qui suit est plutôt un critère d’irrégularité ; une démonstration en est proposée en exercice (cf: exercice 5.9).

4.1. Théorème (un critère d’irrégularité). - Posons A ( t ) = B(t)/t‘+’ avec B ( t ) holomorphe, B (O) # O et supposons que r 2 I . Alors, s i la matrice B ( O ) n’est pas nilpotente, le système de matrice A ( i) d t e.st ii singularité irré
+ . +ao(t) ’ ’

un opérateur différentiel de degré d , avec ao, . . .,ad E k et ad # O, et considérons le système différentiel linéaire de rang d associé, de matrice O O ... O 1 O ... O

(4.2)

[;

-al/ad

;

; ;

0 0

... 1

1

-aO/ad

-ad-l/ad

Notons 71(ni) la valualion de a i , c’est-à-dire l’entier u;tel que a i ( t ) = t ” ~ b i ( t ) avec ui E @ { t } et b ; ( O ) # o. 4.3. Théorème (la condition de Fuchs, I$ par exemple [Mal74]). - L e système lininirr associé ci 1i>lî&nteurfi est singularité réLpli&e s i et .seulement si la condition suivante e.st riulisée :

vi E (1,. . . , d

-

l},


i - 7J(.i)

-

O

v(a(1).

On peut nswcier à l’opérateur p un polygone dans le plan, enveloppe convexe des quadrants (2, z - ~ ( a , )-) N 2 . La condition signifie alors que ce polygone est lui-même un quadrant, de Fonimet le point ( d , d - 71(a,l)). Soit (M,V) uii (k,V)-espace vectoriel et vrrteur rylaqur de 3\/c si P, v s , p , .

I

E

M. On dit que

-

P

est iin

. . , v,, (. . . (vile)) d-1 loi\

est une base de 34 sur k. Tout (k,V)-espace vectoriel admet un vecteur cyclique ( r / [De170]), de sorte que la construction d’un vecteur

cyclique combinée au critère de Fuchs donne une méthode pour déceler la propriété de singularité rkgiilière d'un systeme (M, V) . Une autre méthode est donnée dans [VarSI], utilisant une variante d'une méthode de Turrittin. 4.4. Exercice (réseaux d'ordre arbitrairement grand). - Soient

Calculer l'ordre de

$2' = P-'$2f'

+f'-'dP.

Généraliser en rang plus gralid.

4.b. Calculer la monodromie des sections horizontales. - Donnons-nous un réseau logarithmique d'iin système différentiel régulier (M, V) , donc, après le choix d'une base de celui-ci, une matrice n ( t )= A ( t ) d t / t avec A holomorphe. Si A ( t ) = A(O) est constante, la monodromie des sections horizontales est donnée par T = exp(-2inA(O)) (cf exercice 2.6). Si A ( t ) n'est pas constante, la monodromie T est alors conjuguée à exp(-2ixBo), où Bo est construite au théorème 2.8. Si les valeurs propres de A(O) ne diffèrent pas d'un entier # O , on peut choisir Bo = A ( 0 ) (qf propositions 2.11 et 2.13). Sinon, il se peut que ï ne soit pas coiijugiiée à cxp(-%nA(O)) (voir l'exercice 2.20-(4)).

4.5. Exercice (le polynôme caractéristique de la monodromie). - Montrer que le polynôme caractéristiquc de T est é g d à celui de exp( -2ixA(O)).

5. Singularités irrégulières : étude locale Nous allons maintenant aborder l'analyse des systènies à singularités irrégulières. NOLIStraiterons directement la situation << avec paramètres >>, laissant aux lecteurs le soin d'<
fli,,,

@ i { L x 1 , . . . , x?,}[tp'].

108

CIIAPITRE II. CORRESPONDANCE DL RIEMANN-HII.Bb.KT

5.a. Classification en rang 1. - Soit cp E @ { t , X I , . le germe

. . ,x,} [ t - I ] . Notons E?

( N O ) = ( @ ( t , X i , . . . , x n } [ t - l ] , d - dcp) (c’est le système satisfait par la fonction e? ). Pour

M

C , soit Nx,ole germe

E

(M,V) = ( C { t , q > . . . >x , } [ t - l ] , d + a d t / t ) (cj.

définition 2.5).

5.1. Proposition (classificationdes singularités irrégulières en rang 1) Tout germe (M, V) de rang 1 est isomorphe Ù un germe E T @ NK,o.Deux tels germes correspondant Ù (‘pi, x i ) et ( ( ~ 2 c, r p ) sont isomorphes s i et seulement si ‘ p l -‘pz n’a p a s de pôle et al - c i p E Z . Ainsi, la classe de ‘p dans C { t , XI, . . . ,x n } [ t-’1 /C{ t , X I , . . . ,x,} détermine le germe €P. Dans la suite, nous fixerons cette classe en ne considérant ‘pktPk,où que des germes ‘p sans partie holomorphe, i.e. de la forme ‘ p k E C { x i , . . . , xn} pour tout k .

xkyi

Démonstration. - Un germe (M,V) de rang 1 est déterminé, à isomorphisme près, par la donnée d’une 1-forme w à coefficients dans C { t , X I , . . . ,x,} [t-’1 , satisfaisant dw = O (condition d’intégrabilité en rang l ) , et deux formes 01 et wp déterminent le même germe s’il existe - l ] , p ( t , O ) E k \ {O), une fonction f i ( t , x l , . . . ,x,) E C { t , x l , . . . , ~ ~ ~ } [ t avec telle que w2 = w1 d l o g p . Si O est une telle forme, on peut écrire de manière unique w = w’ + w”, où w’ est la partie << non logarithmique >> de w et w” sa partie logarithmique : il existe r E W’ minimuni tel que l’on puisse écrire

+

(

dt

w = trr a(t,X)t

+

71

1

b i ( t , X ) dx; i=l

avec a et les b, holomorphes. La forme w’ est obtenue en remplaçant a et les b, par leur développement de Taylor en t à l’ordre r - 1. La condition dw = O se décompose alors en do’ = O et do” = O. On vérifie, comme à la proposition 2.2, qu’il existe fi comme ci-dessus et c( E C tels que 0’’ = a d t / t + dlogfi. Par ailleurs, l’adjonction d’un terme de type d l o g p ne modifie que la partie logarithmique 0)’’ de w . Pour terminer la démonstration, il suffit de vérifier qu’il existe une unique ‘p sans partie holomorphe telle que dcp = w’. Pour le voir, posons

5. SINC;LTIARITÉS IRRÉC:UI.IÈKLS : ÉTIJDE LOCIUE

109

où les o h ne font intervenir que les dx,. En notant dx la differentiation par rapport aux coordonnées x, uniquement, on obtient

E @ { x i , . . . ,x n } avec d X $ k = On en déduit que, pour tout k 2 1, il existe (eJ le lemme de Poincaré 0.9.7) et il existe ck E @ avec hk = - k ( $ k + c k ) . Si l’on pose ‘ p k = +k + et ‘p = Ck=it P k y k ,on a or = d’p. L’unicité se voit o de même.

5.b. Modèles en rang quelconque. - Comme dans le cas régulier, nous allons d’abord introduire un certain nombre de modèles élémentaires, auxquels nous comparerons le germe M. 5.2. DéJinition (modèles élémentaires irréguliers). - Nous dirons qu’un germe de fibré méromorphe à connexion (M, V) est élémentaire s’il est isomorphe à un germe du type ( € T , V ) 8 ( X , V ) , où ( 2 , V ) est à singularité régulière le long de {O} x X (eJ § 2.0. 5.3. Exercice (comparaison des modèles élémentaires). - Soit r r

tpk’pk avec

‘p =

‘pr

1 et

+ O.

k=l

(1) Calculer le rang de Poincaré du fibré méromorphe à connexion @ X , V ) (CJ: s0.14). (2) Montrer qu’il n’existe pas de section horizontale non nulle du fibre méromorphe à connexion ( € ? @ X,V) . ( 3 ) Montrer qu’il n’existe pas d’homomorphisme €P @X t X’,où 2 , X ’ sont à singularité régulière. (ET

Un modèle est un fibré méromorphe à connexion (M,V) isomorphe à une somme directe de modèles élémentaires. On écrit cette somme directe sous la forme

où l’on suppose que les fibrés méromorphes à connexion XP sont à singularité régulière et les ‘p E @ { t ,XI,. . . , ~ , ~ } [ t n’ont - ~ ] pas departif holomorphe et sont deux 6 deux distinctes.

5.5. Exercice (comparaisondes modèles élémentaires, suite) (1) En décomposant chaque XTen modèles élémentaires réguliers, donner une forme simple pour la matrice de la connexion d’un modèle.

CHAPITRE Il C OFXESi'ONl>Ah'CE DE RIk MANN-HI1 KkRT

110

(2) Vérifier qu'un homomorphisme entre deux modèles est diagonal relativement à la décomposition suivant les 'p et que deux modèles sont isomorphes si et seulement si les facteurs X? correspondants sont isomorphes. En déduire que la décompositioii (5.4) est unique. 5.6. Déjinition (de la bonté). - Nous dirons qu'un modèle (5.4) est bon si, pour tous p # q!~ tels que 2v,X+ soient non nuls, l'ordre du pôle en t = O de ( y - +) ( t , x ) ne dépend pas de x assez voisin de x O .

+

tPk(p- + ) k ( x ) avec (y - + ) r ( ~ $ ) O, la condition signifie Si p - = donc que l'on a ( ~ - + ) ~ ( x ' )# O. I1 se peut cependant que l'ordre de 'p ou soit strictement plus grand que r. On remarquera que, si un modèle (M,V ) est bon, alors, pour tout q E t-'C{xl,. . . , x.}[t-l], le germe E? @ (M,V) = (M, V + kq) est encore u n modèle et qu'il est bon.

+

5.7. Théorème (de décomposition formelie). - Soit (M, V) un germe defibré mhomor-heà connexion, munz d u n e base dans laquelle la matrice R a la forme dt

A ( t , x) - +

1

n

C C(') ( t , x ) dx,

2=1

>

avpc r 1, A et les C(') ù élémpnts holomorphes, P t A0 E A ( 0 ,)'x semi-simple régulière (Le. ii valeurs propres distinctes). Il existe alors un bon modèle (Mh'i'',8) et un isomorphisme .formel jj

A

@DXX,X"

N

@ (M, V)

-

@DXX,XO

@

V).

Lorsque la conclusion du théorème est satisfaite, nous disons que le germe (M,V) admet une bonne dkomposition formelle le long de {O} x X . Un résultat plus général dû à Tiirrittin et dont il existe plusieurs approches (voir [Tur55], [Lev75], [RobSol, [Mai79], [BV83], [Var911 pour le cas << sans paramètre >> et [BV85] pour celui c< avec paramètres >>),affirme qu'une teiic décomposition existe(5),peut-être pas pour (M, V) , mais pour son image inverse par une ramification convenable t = zq d'ordre q 2 1. Dans la situation présente, la raniification est inutile. De plus, nous allons voir que toutes les composantes 2? qui interviennent dans le modèle sont de rang 1, ce qui n'est pa5 le cas général, même lorsqu'aiicime ramification n'est nbcessaire.

(5)(;éntriquemeiii sur l'espace cies paramètres ;
Dhaonstrution. - Soit R = t-'

V dans une base de M. Posons

dt

A ( t , x) - + [ t

1

E,C ( ' )( t , x) dx,

la matrice de

03

A(t,x) =

C Ap(x)tj'. p=o

Puisque A(0,x') est semi-simple régulière, il en est de même de Ao(x) (%! A(0, x) pour tout x asseL voisin de xo et il existe une matrice Q E G L ~ ( @ x , ~ ~ ) telle que (9-lAQ) (O, x) soit diagonale à valeurs propres distinctes(6).Nous pouvons ainsi supposer aii départ que A o ( x ) est sous forme diagonale diag(h1 (x), . . .,Ad(%)). Le faisceau M,j(@x) des matrices de taille d à éléments holomorphes admet la

Md(@x) = Ker ad A0

@

Irn ad Ao,

et chaque terme est un faisceau localement libre de @X-modules; de plus, ad A0 : Im ad A0 + Irn ad A0 induit un isomorphisme : en effet, Kerad A() est formé des matrices diagonales et Im ad A0 des matrices ayant seulement des zéros sur la diagonale. Pour m E W , soit P,, = (Id +PT,,,) où T,, est une matrice de taille d à éléments dans & X , ~ O . Considérons l'effet dii changement de base - de matrice P, sur le coefficient de d t / t dans la matrice R. Si l'on écrit Cl = P,;'ClP, + PL'dP, de la même manière que Cl, on a

-

t-'A = P-'(t-'A)P,, rn

+

. tP7k,

ce qui s'écrit

2-A =

C (-l)ktP+(k+l)nl[T,,,Ap]T~ + m C (-1) k t ( k + l ) m + r Tnlk k3O

PEN k a 0

Les coefficients Au ne diffèrent de Ap que pour

'i,,,= Al,,

+ [T,,, A01

p

m et on a

f

Supposons que, pour tout fi < m , on ait trouvé ï p telle que, après le chanI ; , la matrice Ap soit diagonale gement de base dc matrice P<,,, = poiir qu'il en soit de même pour la poiir tout p < m. On choisit alors -
nO
(")Indication : véi-ilicr qiic la projcction de X x C sur X induit s u r le sous-ensemble d'éqiiation dét(c id -A(O,x)) ilne application de rrii@irmrni,aii voisiiiage dr l'iinage inverse de xo ( i r . l'ensemble des valeurs pi-opres de A(0,x") ) et conclure i l'aide de l'exemple 0.2.2-(2).

(')Rappeloils que adAO(R)[E' [ A O , B ]

CHAPITRE II. C0RRESPONDANC:E DE RIEMANN-HILBERT

112

Finalement, après le changement de base formel de matrice &>OP,, A

h

on obtient une décomposition de M en @[t-']-modules libres stables par tr+lVal,où la matrice de tVat est diagonale, de terme principal t P A " ( x ) .

I1 reste à voir que cette décomposition est stable par V?,( pour

e

=

A

1 , .. . ,n. On utilise pour ceci la condition d'intégrabilité. Notons C(') = C(v' (x)P la matrice de t'Vaxr dans la base construite ci-dessus. I1 s'agit de voir que chaque C(a) est diagonale et il suffit de vérifier que [Ao, C,(43 est nulle ou, ce qui revient au même, que [Au, C,(@)] est aussi diagonale. Nous allons le montrer par récurrence sur m. Ecrivons la relation d'intégrabilité

c'est-à-dire, pour tout m ,

Alors [A", Ci"] = O, donc Ci') est diagonale. Pour m 2 1, [A", C, (4] s'exprime linéairement en fonction des $') et des ôAp/ûxp (fi < m),donc est diagonale (par récurrence). Puisque Kerad A0 n Im ad A" = {O}, on doit avoir [Ao, (=("'I = O, donc C i ) est diagonale. h

-

.

Nous avons donc montré que (M, V) est isomorphe i uti modèle, dont toutes les composantes sont de rang 1, et les exposants 'pz sont de la forme t - ' h z ( x ) (1 + u 2 , k ( x ) t k )où , hl est une valeur propre de A"(.). Par hypothèse, les différences A, ( x ) - A, (x) ne s'annulent pas au voisinage de x" O si i # 1 , ce qui implique que le modèle est bon.

P

h

5.8. Remarque. - Le changement de base utilisé est dans G L d ( & ~ ~ x , ~ o ) , donc n'a pas dc pôle, non plus que son inverse, le long de {O} x X . 5.9. Exercice (décompositionsuivant les valeurs propres). - On considère une matrice s1 comme dans le théorème 5.7. On suppose seulement qu'il existe k fonctions holomorphes i,l (x), . . . , À R ( X ) au voisinage de x" et des entiers V I , . . . , v k tcls que, pour tout x voisin de xo, le polynôme caractéris( s - i,, (x))"' ; on impose de plus que les tique de A(0, x ) soit égal à différences h, - h j ne s'annulent pas. (1) Adapter la dkmonstration du théorème 5.7 pour montrer que le système (M,V) est isomorphe à une somme directe de systèmes de rang v L munis d'une connexion à pôle d'ordre r , pour,lesquels la matrice A(i) (O, x) correspondante admet hi (x) pour seule valeur propre.

n!=,

-

A

(2) Montrer que, si l'une des valeurs propres A, n'est pas identiquement nulle, le système formel (M, V) n'est pas à singularité régulière le long de {O} x X au voisinage de x". ( 3 ) En déduire une démonstration du théorème 4.1 (où l'espace de paramètres est réduit à iin point). A

h

5.c. Le faisceau d. - Contrairement au cas des singularités régulières, les solutions formelles d'un système à singularité irrégulière peuvent être divergentes(*) et on ne peut pas utiliser l'argument de la proposition 2.13 pour compléter le théorème 5.7 et trouver un isomorphisme analytique avec Mho".De fait, nous verrons plus loin qu'il n'en existe pas nécessairement. Cependant, il en existe dans des secteurs autour de l'origine. L'analyse sectorielle nous pousse à travailler en coordonnées polaires. Si Zl est un disque ouvert de coordonnée t centré à l'origine et de rayon ro > O , nous notons fi ie produit [ ( ) , r u [x et Tc : 4 D l'application (Y, e i o ) H t = rei0. Au voisinage d'un point (O, 0') nous poiirrons utiliser (r,O ) E [O,ro[x ]O' - y, 0' + y [ comme système de coordonnées. Soit g O 'O le faisceau des fonctions Cco sur la variété ] - E , r" [ x ]-E,r"[ xs' x x

E

S' x

X,pour E > O. Si i :

Exx

L)

]

-&,YfJ[

x

s' x x

désigne i'inciiision, ie faisceau E'OO image inverse DXX

ZC'~'OO ]-€,TO[

xs' x X

est par

E

x X . Aiitredéfinition le faisceau des fonctions Coo sur la variété à bord ment dit, une fonction C" sur 6 x X au voisinage de (O, O", x") est une fonction qui peut s'étendre e11 iinc fonction Cm stir iin voisinage de C C point dans 1 - E , ro [ x S' x X . Les formules de << passage en coordonnées polaires >> permettent de définir des dérivations t a / & , ta/&, i?/(/x, et a/Z, ( i = 1 , .. . , T Z ) stir : I)xS on a

5.10. Déjnition (le faisceau d). - Le faisceau d'anneaux sous-faisceau de 6Zco des germes annulés par ta/& et il/&, ( i 1)x Y '

E*

E

=

est le 1, . . . , n ) .

5.11. Remarque. -- L'ouvert 'E \ ({O} x S') coïncide avec il* = 1) \ {O} et, sur LI' x X,le faisceau di*xX coïncide avec le faisceau @lpxx. des fonctions holomorplies. Une section de @'fixx stir tin ouvert du type

114

CHAPITRE II. CORRESPONDANCE DE RIEMANN-HIIBER?

5 x V n’est autre qu’une fonction holomorphe sur D x V , puisqu’elle est holomorphe sur D* x V et localement bornée. est définie l’action de la dérivation a/& (et pas Sur le faisceau d~~~ seulement celle de t a / & ) : en utilisant l’annulation de celle de tû/at, on peut poser

L’action des

a/&

sur LErn laisse stable

BxX X-’@D~X :

d’jxX. Le faisceau d~~~ contient

si f est holomorphe sur D x X , f O TC est une le sous-faisceau section de & f i x X . Le développement de Taylor d’un germe Crn en (O”, x ” ) le long de r = O s’écrit

où les fk sont des fonctions coosur un voisinage fixé de (eo,xo) . Le déveprend alors la forme loppement de Taylor d’un germe de d’xX fk

( x1, . . . > xn ) t

k

k>O

où les fk sont holomorphes sur un voisinage fixé de x ” . Autrement dit, si on note d 5 1 x x la restriction à {O} x S1 x X du faisceau & f i x x , l’application << développement de Taylor >> définit un homomorphisme T -

-

~ ~ x x , ( o ~ , x ~@DxX,xo )

dont le noyau(g)est noté < ~ ~ $ , ~ ~ , x o ou , , encore ~ : : X , ( o , , , x , , ) en identifiant X au diviseur {O} x X de D x X.Par construction, T est compatible à l’action des dérivations a/&, d / û x ~ ,. . . , û/dxn. On remarquera qu’on peut << diviser par t )> autant de fois qu’on veut les sections de Le lemme dP Borel-Ritt (voir par exemple [Maigl]) affirme que T est surjective(”). En terme de faisceaux, on peut exprimer ce résultat en disant que la suite de faisceaux sur S’ x x T O Lf;;, J+\lxX x-l*lxX O

<;XI:.

- -

---j

-

h

A

est exacte (rappelons que &lxx est un faisceau sur {O) x X , donc est un faisceau sur s1 x x).

-

TC-’ND,I:

ici ia principaic différence de comportement avec @Dxx, puisqiie i’appiication << développeinent de Taylor T : @/i)x,y + @ ~ i ) ~ est x . injective. l’irijectivité de 1‘ a été reinplacée par (“’)C’est I’aiiti-edifférence avec 4 j x x ; entre @ et d , la surjectivité. ,2

6. CORKESP0NDANC:E DE RIEMANN-HILBERT Dm'S 1.E <:AS IKRÉGUI.IER

115

5.d. Classification sectorielle. - L'analogue sectoriel de la proposition 2.13 est connu sous le nom de << théorème de Hiikiihara-Turrittin », bien que d'autres mathématiciens aient aussi contribué, dans des cas particiiliers, à sa démonstration (Malmquist [Mal401 notamment). La version avec paramètres que nous indiquons ci-dessous sans démonstration a été obtenue par Sibuya (voir [Sib62, Sib741, voir aussi [BVûgb]). Si M est un germe en ( 0 , ~ ' )de fibré méromorphe à pôles le long de {O} x X , nous notons A

sic et, pour tout e''" E S' ,

A

= &y ,',.

@ sic anxx,(0,~0 j

-

MOO

= c ~ ~ x x , y , ( o ~ ,c 3 x~)

M.

@nUxx,(o,ro j

L'exactitude à droite du produit tensoriel et le lemme de Borel-Ritt montrent que l'application naturelle Moo + M est surjective. A

5.12. Théorème (de décomposition sectorielle). - Soit M un germe en ( O , xo) dejïbré méromorphe à pôles le long de { O } x X , Supposons qu'il existe un bon modèle M h o t i et u n isomorphisme 6 : % 4 II existe alors, pour tout eieo E s', - un isomorphisme ho" : MOO--f Mi:" relevant h , c'est-à-dire t d que le diagramme suivant %'Oii.

N

A

commute.

o

Nous pouvons appliquer ce théorème dans la situation décrite au théorème 5.7. C'est ce que nous ferons au 111.2.

6. Correspondance de Riemann-Hilbertdans le cas irrégdier Nous cherchons maintenant à donner une description de nature << topologique de la catégorie des germes de fibrés méromorphes à connexion. Pour les singularités régulières, nous avons vu que cette catégorie est équivalente 2 celle des représentations du groupe fondamental. Dans le cas irrégulier, une donnée non topologique est fournie par le fibré méromorphe formel 2 connexion qu'on associe au fibré de départ. En effet, les exposants y qui interviennent dans un bon modèle sont des >)

116

CHAPITRE II. CORRESPOND,\NCE DE RIEMANN-HILBERï

données de nature analytique. La donnée qui permet de retrouver le fibré méromorphe à connexion à partir du fibré méromorphe formel à connexion est appelée structure de Stokes. C'est en fait un faisceau sur l'espace des paramètres. Nous allons voir que ce faisceau est localement constant. À ce stade, plusieurs développements sont possibles, que nous n'aborderons pas : on peut définir un groupe fondamental << sauvage >> et identifier la catégorie des connexions méromorphes à celle de ses représentations linéaires de dimension finie ; on peut aussi définir un << groupe de Galois différentiel et considérer ses représentations (voir par exemple [Ber92, LR95, Var96, vdP98, SvdPOl] pour une introduction à cette approche, ainsi que les références qui y sont données) ; on peut identifier la catégorie des connexions méromorphes à celle des systèmes locaux filtrés, au sens de Deligne et rendre ainsi plus géométrique la notion de structure de Stokes (voir [Mal91, BV89aI) ; enfin, la théorie des fonctions multisommables permet d'analyser de manière plus fine le phénomène de Stokes (voir par exemple [BBRSl, MR92, LR94, LRP971). ))

6.a. Le faisceau de Stokes. - Soit X une variété analytique et un fibré méromorphe sur D x X à pôles le long de {O} x X , muni d'une connexion plate Vho". Nous supposons que (&?"lO'',V'~O'')est un bon mod è h ai1 voisinage de tout point x" de X , c'est-à-dire qu'il existe des germes ' p i , . . . , ' p p E t-l@x,xo [t-'1 et des germes de systèmes à singularité régulière ng de {O} x X , tels que l'on ait, au voisinage de xo, un Y @k(gVk @ Du fait de la bonté, la fonction
svk).

<'I'

h

@DXX

(2t"'n),

N

On le note Aut<{o)XX ou, pour aller plus vite, Aut<' (A?""") (dans cette notation, nous pensons à X comme au diviseur {O} x X dans D x X ) . C'est un faisceau en groupes (non commutatifs en général) sur S' x X , que nous allons analyser plus loin. Ses sections locales sont appelées matrices de Stokes.

6. CORRESPONDANCE DE RIEMANN-HILBERT DANS LE CAS IRRÉGULIER

117

Ce faisceau permet de définir un faisceau S t x ( t)i'") sur X , appelé faisceau de Stokes. Celui-ci est, par définition, le faisceau sur X associé au préfaisceaii

U

H'(S' x U,Aut<X(~'""')).

H

Nous allons montrer au S6.c :

6.1. Théorème (le faisceau de Stokes est localement constant). - Le faisceau 'lori) est un fuisceau localement constant d'ensembles pointés. On en déduit que le faisceau de Stokes est constant sur tout ouvert simplement connexe.

6.b. Classification (énoncé). - Soit D x X , à connexion plate à pôles le (Jhnii, Vhoii) est un bon modèle formel de de faisceaux de @II y, -modules

V) un fibré méromorphe sur de {O} x X . Nous dirons que V) s'il existe tin isomorphisme

h

compatible aux connexions. Nous dirons que deux germes ( ,V,f.) et (M',V',?) le long de x X sont isomorphes s'il existe un isomorphisme g : ( L , V ) + ',V') tel qiie l'on ait de plus f = f' O 8. I1 est important de remarquer qu'un tel isoniorphisme est alors unique : en effet, dans des bases locales de L et A',le développement de la matrice de g est égal à celui de ? - I f . dans ces bases ; la matrice de g est donc uniquement déterminée. Vt""') étant fixé, considérons le préfaisceau Z x Le bon modèle (Ahni', sur X qui, à tout ouvert 1J , associe l'ensemble Z j ( ü ) des classes d'isomorphisme de germes définis sur U , muni d'un élément distingué, classe de (A?""",Vbo",I^d) 111. N

A

h

,T)

6.2. Lemme. - Le préfaisceau Z x est un faisceau. une famille d'ouverts de X et ( s , ) i E l une Démonstration. - Soient (U,)2E~ famille de sections si E ZX(üi) , compatibles sur les intersections. Choisissons pour tout i un représentant ( , Vi, J i ) de s i . Nous voulons construire un germe ( M ,V, f ) sur V = üiUi dont la restriction sur U, soit isomorphe à , V,, f i ) . L'unicité des isomorphismes permet de les recoller, donc si un tel objet existe, il est unique (à isomorphisme unique près). On procède de même pour l'existence : pour tous i, j E I , on a un unique isomorphisme A

h

A

118

<:HAi'ITRF II <:ORRb SPONDANCL DE RIEMANN-HILBERT

et, par unicité, on a

&j&k

sur U, n Uj n uk, ce qui permet de recoller

= &k

O Le théorème 5.12 permet alors de construire un homomorphisme de faisceaux d'ensembles pointés

-

z x

S t x (A""").

En effet, si (A, V, f ) est défini sur U , il existe un recouvrement ouvert 2% de S' x U et, pour chaque ouvert Wi de 2%, un isomorphisme

-_

f i : (A, v)

N

1rc7t

V I ) InTt

---)

tel que f; = f . Alors ( f i S , - ' ) i , j est un cocycle du faisceau Aut<'( relatif au recouvrement '222. Si est un autre relèvement de f sur

fl

h

Wi,

( J ; ' J T ' ) i est une O-cochaîne de A u t < X ( ~ t ' " relativement ") à 23 et les cocycles associés à (f2) et à (Jl)sont équivalents via le cobord correspondant. On vérifie de même que, si (A, V, f ) et (A??'',VI, sont isomorphes, les cocycles correspondants définissent la même classe de cohomologie. Nous avons ainsi défini une application d'ensembles pointés

7)

T(U,b%"x) de laquelle on déduit u qui envoie la classe de

-

H'(S' x lJAut<x(~t"lt'))

momorphisme de faisceaux X X+ Stx (A?"""'), ,G)p sur celle de Id.

6.3. Théorème (le faisceau de Stokes classifie les connexions méromorphes à type formel fixé, [Mal83b]). - L'homomorj~hisme ainsi d é j n i Z x + Stx (A?"''''') e,st un isomorphisme de faisceaux d'ensembles p o i n t k On déduit des théorèmes 6.1 et 6.3 que le faisceau constant. On obtient aussi :

est localement

6.4. Corollaire (prolongement analytique avec structure formelie fixée) Si X est 1-connexe e1 si ( L o V u,, f o ) est un germe dejibri miromorph? sur 1) à pôle en O, muni d'un isomorphisme formel : (A", Vu) i+(.,&""", V"""), nclusion D x {x"} ~f D x X , alors il existe u , V, f ) muni d'un isomorphismeformd f avec i+ (A&', V, f ) soit isomorphe à (Ao, Vu, . U n tel objet est unique à isomorphisme unique près.

<

^fo

h

h

fo)

DYmonstrrition. - D'après le corollaire 6.9 ci-dessous, le germe du faisceau S t ~ ( A f " ' " " )en xu est l'ensemble de Stokes S t ( i + ~ l ) i ' i i Ainsi, ). la donnée Vu, définit un élément de Stx Puisque X est initiale (A', I-connexe et que le faisceau S t x (A&'hoii) est localement constant, il existe dont la valeur en xu est cet élément une unique section de StX(&"'"')

fo)

( A ~ ' ~ ' " ~ ' ) ~ ~ J .

lemme 0.15.9). La section de 2~ correspondante définit un objet ( M ,V, , dont la restriction à x" est isomorphe à (A", V", 7 ) . ,VI,?) deux tels objets, de restriction isoO). D'après l'unicité de la section construite morphe à l'objet ci-dessus, leurs classes d'isomorphisme coïncident ; autrement dit, ces deux objets sont isomorphes et, comme nous l'avons vu, cet isomorphisme est unique. O (cf:

7)

h

6.c. Constance locale du faisceau de Stokes. - Montrons maintenant le théorème 6.1 en commençant par analyser plus en détail le Faisceau des matrices de Stokes Aut<X(d""") , Les germes (Pk sont des polynômes en t-' sans terme constant, à coefficients dans @x,,o. Un automorphisme a de Jhoii sur un produit I x U d'un intervalle par un voisinage assez petit de x" se décompose en blocs

-

akp :

gvF@

(?%c

-

g V@ kz

k .

I,e terme ak& a doncla forme - e q k - q f b / g , où b/
z/<,

avec nk/ > O , + k p ( x ) E @<, ( z . P . ne s'annule pas), u ( t ,x) holomorphe au ) u(0,O) = 1. On choisit aussi une détermination voisinagc de ( 0 , ~ " et q k ( (x) de classe cQ-'de l'argument de : +kP

Remarquons qiie

(x) = 1 +/<( (x) 1 eL?/eP

= -$k/.

6.5. Lemme. - Sozt P'" E SI. (1) Pour k # I , la inatmcp ~ v k - q l b k t est ri. dkments dans d;:,au , vozrznage de (e''", x") TZ et sPulPmPnt sz b/,î = O ou c o i ( n / ~ Y - qkp) < O. ( 2 ) L n rnntmte bl,), - Id pst h élYmPntJ dans d5:xX nu uozstnagp d~ ( P"", xo) PL cPulPrnent ~z b/,n - Id = O .

JL

On i-eniarqiie que les propriétks considérées pour la matrice de hk( ne dépendent pas des bases de g k ct 9 t choisies : si 4 Q sont deux niatrices inversibles à éléments dans & ) x ~ , ( ~ , , ï ~ J[)t - ' ] , alors une niatrice A est à

120

<:HAITI K E II. CORRESPONL>ANCE DE RIEMANN-IIILBERT

éléments dans

..il,::,

au voisinage de (e'"''', x") si et seulement s'il en est de

même de la matrice F ' A Q . La démonstration du lemme est facile et laissée aux lecteurs : pour le premier point, il suffit de vérifier que eqk-vr est dans < $:, au voisinage de (e'0o, x u ) si et seulement si Ré(pk - y() < O sur un voisinage asseL petit de (e'", x") , puis de traduire cette condition sur le terme principal de yk - y e . On en déduit :

6.6. Corollaire (les matrices de Stokes sont constantes). - Sozent I un zntervalle ouvert de S' et a une sectzon de Aut<, ( sur un vozsznage de I x { xo} duns s' x X . Alors on a akk = Id pour tout k et, pour toup k , e tels que k # t!, on o. SZ ake # O, C k S t que coS(nkpt - l k [ ( X o ) ) < 0 pour t E I akQ = 0 OU atk S de Delagne de 9 2 h et et dans ce LUS la matmce de bltl eyt constante dany ~ P bases ''O")

s e . 6.7. Corollaire (changementde base pour les sections horizontales) Si i : S' x {x"} ~f S' x X désigne l'inclusion, on a

-

) = Aut<"(i+

hoii

1.

O

On voit aussi que toute matrice de Stokes est unipotentp : si on ordonne convenablement l'ensemble des indices (ordre qui dépend du point O " ) , on peut supposer que ak[ = 0 pour k < e et la matrice de a - Id est triangulaire strictement supérieure. La vanété des directions de Stokes dans S' x U , où U est Lin voisinage de x" sur lequel les yk sont définis et satisfont les propriétés de bonté("), est la réunion des ensembles d'équation cos(wO - Y k T ( X ) ) = 0 La restriction de cet ensemble à 5'' x {x"} est un ensemblc fini de points, appelés directions de Stokes en x". Un couple ( k , P ) contribue aux directions (yap n/2 k ~ ) / n , , îpour , k = 1,.. . , 2 r - 1.

+

+

6.8. Exercice (redressement de la variété de Stokes) (1) Vérifier que la variété des directions de Stokes est une sous-variété de S' x U et que, par une direction de Stokes en x",passe une seule composante connexe de la varieté des directions de Stokes. ~~

du type de singularités que peut présenter, dans iine situation plus génbi-ale, la variété de Stokes, les lecteurs poiii-ront consulter [KOSSO]. ( 1 ' ) ~ o i i riine étude

fi.<X)RRESPONDANCE DE RIEhZANN-HII.REK1 »ANS LE (:AS IRRÉGUI.IEK

121

(2) Montrer qu'il existe une application analytique réelle Y de S' x U dans lui-même, de la forme Y(8,x) = ( + ( O , x ) , x ) admettant une application réciproque du même type et envoyant la composante de la variété des directions de Stokes qui passe par 8' en x" sur (0') x ci.

,

, ,

.

.'

. :

,

.... ..

. .-,

.

,

_'

'.., .-f

+

__

FIGUREP . L'application Y ,avec des directions de Stokes correspondant à un couple ( k , e ) .

-

(3) Montrer que le faisceau Aut<'( ho") est isomorphe à l'image inverse par la projection $1 : S' x U + S' de sa restriction L 7 à S' x {x"}. Au vu de cet exercice, le théorème 6.1 est maintenant conséquence immédiate de l'exercice 0.5.2. On déduit aussi de l'exercice 6.8 :

6.9. Corollaire (changement de base pour le faisceau de Stokes). - L e ceau dP Stokes S t X ( A h 0 " ) riTt Pgal à l'espace(12) de Stokes h'i'i) ) de la connexion i + d h " ". O 6.d. Classification (démonstration). - Montrons le théorème 6.3. Puisque l'honiomorphisme SX Stx ( "I1) est défini globalement, montrer que c'est un isomorphisme est un lème local sur X . I1 s'agit donc, d'après ce qui prbcède, de montrer que l'appli ion qui, au germe (M, V, en x" associe l'élément de H 1(S', i-' Aut<" ( """) ) obtenu à l'aide du théorème 5.12, est bijective. Soient (M, V , f ) et (M',V',f) définissant le même élément --f

7)

A

E

H' (Sl,i-l Aut<'

(~t'c)ii

On peut supposer qu'il existe un recouvrement fini (Zi) de S1 et un voisinage ouvert V de xo tel que A soit la classe des cocycles (fifz-') et (fj$'), où les h, sont définis sur I, x V . I1 existe donc une O-cochaîne (gj) du

fl

faisceau A u t < X ( z h " " )relative au recouvrement (Ii x V ) de S' x V telle que l'on ait, sur ( I , n I j ) x V l'égalité I

'-1

f,fz

-1

-1

= iYjf3.h Ri

.

(")I,e mot << espace est utilis6 ici cai- l'ensemble en question est niiirii d'iiiie structul-e natiirclle d'espace afline, rf: exemple 6.r. >2

En posant

O

= h-l,g-lf’ sur I, x V , on obtient une section horizontale sur Y

Y

un ouvert assez petit [O, ro [ x S ’ x V du faisceau A % m ( A ’ , citant la matrice d’une telle section dans des bases locales on voit, comme à la remarque 5.11, que O est une section horizontale de A%m(A”, A ) .Elle est de plus inversible sur D* x V , où D est le disque de rayon ru, donc aussi sur D x V . Enfin, comme les gî sont asymptotes à l’identité, on a O O f ’ = f et par suite (M, V, f ) et (M’, V’, f ’ ) sont isomorphes. Ceci donne l’injectivité de l’homomorphisme du théorème 6.3. A

h

h

h

Montrons maintenant la surjectivité. Donnons d’abord, comme dans [Mal83b], une condition nécessaire et suffisante pour qu’une classe A dans H’ (SI, i-’ Aut<X( 1)0’’))provienne d’un objet ( , V , f ) : c’est le cas si et seulement si son image dans l’ensemble H’(S’, i-’ A u t d ( A h ” ” ) )est l’identité (on prend ici tous les automorphismes d’-linéaires). En effet, si A provient d’un fibré à connexion (A,V, f ) , c’est qu’il existe - un recouAE?”‘’‘’ vrement (Zi)de S’ et des isomorphismes de connexions f i : A&” 1 induisant f tels que A provienne du cocycle ( h 2 j ) avec h;j = f j f i ’ sur Z, n Zj. Si on fixe une base de A&” et une base de At””’, l’égalité des matrices correspondantes montre que ( A z I ) est un cobord de h

h

Y

h

, Y

GL.~(JY’’~~[*X])= A L ï t ~ ( A t ” l ” ) . Inversement, si pour un recouvrement (fi) convenable le cocycle ( h i I )

-

est iin cobord à valeurs dans Aut-&(Aho”), Z.P. i i i j = ,fj,L-’, on définit une

-

nouvelle connexion V sui- .A&‘~’~”‘eii conjuguant Vir'"' par fi sur I , , et la compatibilité de i\;i avec V’””‘ montre que, sur un voisinage B x V assez petit de (O, x”) , celle-ci est globalement définie, donc induit une nouvelle structure de @ D ~ [*{O} ~ T x VI-module à connexion sur le @ ~ ~ [*{O} i r x VImodule Aboi’. De plus J = f , sur Ti n I , de sorte que les isomorphismes formels A

h

& h

(,I, , ,

V)

A

-

(I,”

,II>

,I,”,)

>

A

se recollent en un isomorphisme ,f : (Ah0’’, V) (A”””, VI””’). Le thborème 6.3 est ainsi une conséquence du théorème de MalgrangeSibuya ci-dessous, pour lequel nous renvoyons à [Mal83b, Appendice], [Sibgo, th. 6.4.11, [BV89a, chap. 41. O

6.1O. Théorème (Malgrange-Sibuya). - I,’irnap d~ l’a@lication

pst

l’ad~ntitd.

o

fi. CORRFSPONDANCE r)E RIEMANN-HII.RERT DANS I.E (:AS IRRFXLU.IF.R

123

6.e. Compléments sur l’espace de Stokes. - Ce qui précède montre que la connaissance locale du faisceau de Stokes passe avant tout par celle d’une fibre de ce faisceau. De plus, la propriété de changement de hase vue au corollaire 6.9 permet, pour cela, d’oublier l’espace des paramètres. Aussi, nous supposons maintenant que (M’””’, V’””’) est un bon modèle au voisinage de 0 dans û2 et nous allons décrire plus en détail l’espace H (S ,Aut<”(Mho”) ). (1) Le premier outil, en complément à l’exercice 0.5.1, est un analogue du théorème de Leray 0.6.1 pour le H1 non abélien : soit F un faisceau de groupes sur un espace topologique S ; si 11 est un recouvrement de S qui i.e. tel que H ’ ( u 9 ) = {Id} pour tout ouvert U est 1-acyclique pour F, de II, alors H’ (11,F) = H’ ( S , F ) ; mieux, il suffit, pour avoir cette égalité, que les applications de restriction H’ (S, 9 )4H’ F)aient pour iniage l’identité (6par exemple [BV89a, part II, cor. 1.2.41 ) . (2) Soit r l’ordre maximal du pôle des différences ‘ g k - c p p , où les ‘pI sont les facteurs exponentiels intervenant dans le modèle MI””’ (cf: 8 6.a). Alors (cf: [BV89a, part II, prop.3.2.31) tout intervalle ouvert I’ de S’ de longueur x / r et dont les extrémités ne sont pas des directions de Stokes pour M’””’satisfait H1( I / ,Aut“ (M’””’) ) = {Id}.

’ ’

(u

<

(3) Soient I’ c I deux intervalles ouverts emboîtés de S ’ tels que I - I’ ne contienne aucune direction de Stokes de Mt1‘)’’. Alors l’application de restriction N’(I,Aut
-

est localement est bijective (ceci résulte du fait que le faisceau Aut<”(MtiO”) constant sur I - 1’). On déduit de ces résultats que tout élément de H’ (S’,AU~<~(M”‘’”)) peut être représenté par un cocycle associé à un recouvrernent de S’ par des intervalles ouverts de longueur E + x / r avec E > O assez petit (si I’ est comme au ( 2 ) , on peut agrandir I’ en poussant les extrémités de I’ jusqu’aux directions de Stokes les plus proches sans changer l’annulation du H’ , d’après le ( 3 ) ) .Voici une façon de construire un tel recouvrement ((J: [BJL79]) : - appelons firincijm1e.Y les directions de Stokes correspondant aux couples ( k , e) tek que la différence ‘gk - ‘ p ~ait un pôle d’ordre maximal Y , et second n i r ~ sles autres; fixons un tel couple ( k ” , P ” ) et une direction principale 00 correspondante ; les autres directions correspondant à ( k ” ,P ) sont les 0; = 01, + E n / r ( E = O , . . . , 2 r - 1) ; - notons IL l’intervalle ouvert de longueur x / r centré en la direction principale 0; (si les deux extrémités des 1; sont des directions de Stokes (<

>)

CHAPIrRE II. CORRESPONDANCL DE RIEMANN-HILBERT

124

(principales ou secondaires), nous décentrons légèrement d'un même côté tous les ZL) ; - poussons >* les extrémités de IL jusqu'aux directions (principales ou secondaires) les plus proches pour obtenir ainsi un intervalle ouvert In de longueur > n/r ; - considérons enfin le recouvrement 2 de S' par les intervalles I,. (<

FIGURE3. Un exemple de recouvrement.

Dans le recouvrement par 2r intervalles ainsi construit, il n'y a pas d'intersection trois à trois, puisque chaque intervalle ne contient qu'une seule direction de Stokes principale 0;. I1 y a aussi 2r intersections deux à deux, qui sont chacune de longueur < n / r , puisque ne contenant aucune direction principale 8;. Noter aussi que chaque intervalle Z, contient, pour chaque k , e, une et une seule direction principale de type B ' L'ensemble des 1-cocycles Z' (3,Aut<" est donc le produit direct des groupes G, = H"(1, n I,+] ,Aut<"(Mbn"))(en convenant que y. + 1 = O si CI = 2r - 1 ) . Un tel groupe G, est formé de matrices unipotentes. Pour i , j = 1,. . . , p et i # j , le bloc ij apparaît avec des termes non nuls dans les matrices de G, si et seulement si Ré(cpt - y3) < O sur tout petit secteur de direction contenue dans I , n Z,+1. Pour chaque CI = O , . . . ,2r - 1, le groupe H"(Z,,Aut<"(M""")) est formé de matrices unipotentes. Pour k , e donnant lieu à des directions principales, le bloc k , e de ces matrices est nul, puisque ln contient une direction de Stokes de type k , e. Pour i # j , le bloc i , j est nul si I, contient la direction de Stokes correspondante ou si Ré(cpl - q l ) > O sur Z.,

6. CORIESPONDANCE

DE RIEMANN-HII.BEKI- DANS LE <;ASIRRÉGUI.IER

125

6.22. Exemple (l'espace de Stokes dans le cas d'une seule pente) Supposons que toutes les directions de Stokes soient principales, i.e. que, pour tous i, j tels que i # j , la différence yi - y, ait un pôle d'ordre r exactement. Alors les O-cochaînes du recouvrement 3 sont réduites à l'identité et l'on a H ' (3, Aut'" (M''"'l)) = %' ( 3 ,Aut" (%I?"') ) .

L'espace de Stokes est donc ici un produit de 2r sous-groupes algébriques du groupe des matrices unipotentes. C'est en particulier un espace affine, puisqii'un groupe de matrices unipotentes s'identifie algébriquement à son algcbre de Lie par l'application logarithme. En particulier, si 1' = 1, on peut représenter de manière unique un 616ment de l'espace de Stokes par un couple de matrices unipotentes, l'une triangulaire supérieure, l'autre triangulaire inférieure, avec une décomposition en blocs correspondant à la décomposition de M""". Plus généralement, on peut montrer que H' (S1,Aut
CHAPITRE III RÉSEAUX

Introduction

Au chapitre II nous avons donné une Classification des germes de systèmes linéaires d’équations différentielles d’une variable, à équivalence miromorphe près. Lorsque les singularités sont irrégulières, nous n’avons considéré que le cas le plus simple où la partie dominante de la matrice de la connexion est semi-simple à valeurs propres deux à deux distinctes. Nous abordons dans ce chapitre l’équivalence holomorphe, c’est-à-dire la classification des réseaux d’un (k,V) -espace vectoriel (34,V) . Lorsque M est à singularité régulière, nous pouvons étendre la correspondance du II.2.e

(34,V) en une correspondance

<<

-

avec réseau

(M,V,E)

(H,ï’)

>>

(H,T,H’)

oii H’ est une filtration décroissante de H . Cette correspondance a un comportement particulièrement agréable lorsqii’on la restreint aux réseaux logarithmiques (et aux filtrations stables par T de l’autre côté) : elle se réduit alors à la mise sous forme normale de Levelt ( $ exercice 11.2.20) et traduit de manière simple la dualité des réseaux, ou leur produit tensorici(’). Plus généralement, cette correspondance permet d’associer à tout réseau qui n’est autre que celui de son résidu lorsque le un polynô.me cnrnr~Pris~iquP,

( ‘ ) O n trouvera daris [SimSO] une variante de ces rGsultats et daris l’appendice C de [EV86] généralisatioii de ces résultats pour les réseaux logarithmiques i plusieiii-s variahlcï.

uiiï

128

CHAPITRE III. RÉSEAUX

réseau est logarithmique. Ce polynôme caractéristique détermine celui de la monodromie. Un des résultats-clés qui nous servira plus loin est celui concernant la rigidité des réseaux logarithmiques par déformation intégrable. Le cas des singularités irrégulières est beaucoup moins clair en général. Nous étendons cependant la notion de polynôme caractéristique à tout réseau. De plus, une classification peut être faite lorsque la partie la plus polaire de la matrice de monodromie est semi-simple régulière, ainsi que la suivons ici classification des déformations intégrables de tels systèmes. NOLIS [Mal83c] de près. Dans la suite, les k ou @-espacesvectoriels sont de dimension finie.

1. Réseaux des (k,V) -espacesvectoriels à singuiarité réguiière Dans cette section, nous supposons, implicitement ou explicitement, que les (k,V) -espaces vectoriels considérés sont à singularité régulière. Rappelons (voir § 11.22) qu’un réseau d’un k-espace vectoriel M de rang fini est un sous-@{t}-modulelibre E tel que k @ c { t E} = M. Un réseau est logarithmique (relativement à la connexion V ) s’il est stable par tV;i/st. Pour un réseau logarithmique, lorsque les valeurs propres du résidu diffèrent d’un entier, le résidu ne permet pas, en général, de reconstruire la monodromie ( 4 exercice 11.2.20-(4)). Autrement dit, la correspondance qui associe à tout réseau logarithmique E de (M,V) le couple formé de E / t E et de Rés V n’est pas une équivalence de catégories. La classification de ces réseaux fait usage de réseaux auxiliaires, auxquels on compare le réseau donné.

1.a. Classification des réseaux logarithmiques. - Pour formuler le résiiltat de classification, fixons un réseau canonique ( c - fi II.2.e) en choisissant pour O la section de C + @ / Z à valeurs dans

Nous noterons V le réseau canonique correspondant. Nous avons vu que le foncteiir qui associe à un (k, V)-espace vectoriel (M, V) le couple

( H , T ) = (V/tV,exp(-2inRésWV)), formé d’un espace vectoriel et d’un automorphisme, est une équivalence. Comment retrouver les réseaux dans cette description ? Si E est un réseau de (M, V), nous noterons E k = t k E pour tout k E Z .

1. RÉSLAUX DES (k,V ) -ESP,4CES VECTORIELS À SINGUIARITÉ RÉGUI.lhW

129

2.2. Théorème (le foncteur de Deligne-Malgange est une équivalence) Le foncteur E qua, & tout réwau E de (M, V) , assocze léspacp vectomel H = V / t V , muna de léndomorphzsme ï‘ = exp( -2an Résv V) et de lajiltrataon d6crozsTante PxhauJtzvQH’ znckxée p a r z , d@nae p a r H k = E k n V / E k n tV est essentiellement suvectq. l> O et H k = H pour k < O ) : en effet, puisque E et V sont deux réseaux de M, ils sont comparables, c’est-à-dire qu’il existe ko tel que E’(] 2 V et k l tel que E k l c tV. Démonstration. - Notons R l’endomorphisme de H tel que exp(-2inR) = T et dont les valeurs propres sont dans l’image de la section o . Notons IM = C [ t , t-’1 8~ H , rriurii de la coiinexion V telle que tV, ( I I @ p ) = p @ R ( h ) + tp’(t)@ h ,pour h E H et p ( t ) E C [ t , t-’1 . Soit H’ une filtration décroissante exhaustive de H , notons IE le sous-espace vectoriel de M défini par

E = $ t - H k. /i

ktZ

Puisque H’ est décroissante, IE est un sous-C[t]-module de M . De plus, puisque H’ est exhaustive, E est un réseau C [ t ]-libre de M , dont une base sur C [ t ] peut être obtenue en choisissant pour tout P E Z mie famille el dans H‘ induisant line base du qiiotient H‘/Hr+’ et en considCrant la famille (t-‘ep)pE%. On définit ainsi un foricteiir C: : ( H ,ï: H’) + (M, V, E ) en posant

Par définition, la filtration ‘V,M est donnée par ‘VkM = tkC [ t ] @cH , et “V/,M = C { t } 8 ~ “V/,M. ~ ~Oii 1 cn déduit que I; O G = I d . Ceci montre quc le foncteiir F est essentiellement surjectif. Si H k est stable par R (ou 7’) pour tout k , alors E est logarithmique. De même, si E est logarithmique, alors la filtration H’ associée par F est stable par R (ou T ) .

130

CHAPITRE Ill. RÉSEAUX

1.2. Lemme. - Soit E un réseau logarithmique de (M, V) = (k@cH , V) . I1 existe une unique filtration décroissante H’ de H , stable par T , telle que (M, V, E ) = G ( H , T , H ’ ) . O n a (H,T,H’) = F(M,V,E). Démonstration. - Le second point et l’unicité de la filtration H’ sont clairs, puisque l’on a F O G = Id. L‘existence de H‘ n’est qu’une reformulation de l’existence de la forme normale de Levelt de l’exercice 11.2.20. En effet, à partir d’une base quelconque de E , on peut construire (11.2.20-(3)) une base E de M dans laquelle la matrice de la connexion s’écrit

où D est diagonale à valeurs propres entières, [il,Ai] = -iAi pour tout i, et A0 - D a ses valeurs propres dans l’image de O (le choix de O est ici différent de celui fait à l’exercice 11.2.20, mais l’argument est le même). Si El est le sous-espace propre de D de valeur propre j , on a Aj(E,) c Ej-i pour tout i , donc Ai est nilpotente pour i 2 1. I1 en résulte que les valeurs propres de A sont celles de Ao - D . Puisque (A0 - U )I E , a ses valeurs propres dans l’image de O , la base E est contenue dans H ; c’est donc une C-base de H et A est la matrice de R dans cette base. Définissons la filtration décroissante H o par H k = @ El. I<-k

Celle-ci est stable par A , et la base E est adaptée à la décomposition en somme directe H = @jEl. Toujours par l’exercice 11.2.20, nous savons que la base e = E . t D de C [ t , t-’1 @c H est une base de E . Ceci exprime E sous O la forme voulue. La pleine fidélité du foncteur F est maintenant claire : soient (H,T,H’) = F ( M , V , € ) et ( H ’ , T ’ , H ’ * ) = F ( M ’ , V ’ , E ’ ) ; si f : (H,T,N’) + (H’,T’,H’*) est un morphisme, il existe, par la correspondance de Riemann-Hilbert, un unique morphisme ‘p : (M,V) -f (M’,V’) qui l’induise ; il s’agit de voir que ‘p envoie E dans E’ ; ceci est immédiat, puisque ‘p = G ( f ) . Plus précisément, le foncteiir G est inverse de F.

1.3.Remarques (1) Il ne faut pas confondre

filtration >> et drapeau >> : une filtration consiste en la donnée d’un drapeau de sous-espaces vectoriels et, poiir chaque espace du drapeau, d’un entier, ces entiers définissant une suite décroissante. (2) Si l’on ne se restreint pas aux réseaux logarithmiques, lc foncteur P n’est pas une équivalcnce. Supposons par exemple que H soit de dimension 2, de base E I , E ~ , et soit E le réseau de M = It @ H engendré par ( q , e p ) = ( E I , E ~ ) .l‘(t), où P ( t ) = (i Si le réseau E.était de la forme <<

((

i).

I . RÉSEAUX DES (k,V)-ESPACES V’ECT0RiEI.S À SINMJLARITÉ &.GUI.IÈRE

131

G(N’), il admettrait une base de la forme ( t d l & i&E;), , où (E;, E;) est une base de H . I1 existerait donc une matrice holomorphe inversible Q ( t ) , une matrice constante inversible C et une matrice diagonale il = diag(d1, d z ) , telles que P ( t ) = C . t D . Q ( t ) . On vérifie que ceci n’est pas possible, donc il n’existe pas de filtration H’ tel que (34,V, E ) soit isomorphe à G ( H ,T, HO).

1.4. Remarque (dépendance vis-à-visde la section O). - Le choix de la section rs d’image {s E C I -1 < Ré(s) O} n’a été fait que par commodité. Quel est le rapport entre les foncteurs “F pour des sections O distinctes? Notons déjà que l’on a un isoniorphisme

<

(1.5)

“H

=

“V/taV

N

+ ‘j7/ta’V

= “H

compatible à l’action de T . En effet, la remarque 11.2.22 montre que les termes sont canoniquement identifiés à $xE~i,,aMaet @x’E~lna’Ma’. Pour tout SI’ E Im 0’, il existe un unique IX E Im a et un unique k E 2 tels que cd = IX + k . L’isomorphisme M X min” est celui induit par la miiltiplication par t k . Si E est un réseau de M, notons O H * et “holes filtrations qu’il définit sur “H et “h.A pm’om’, l’isomorphisme (1.5) ne préserve pas les filtrations. Cependant, lorsque le réseau E est logaiilhinique, on peut décrire précisément le comportement des filtrations. En effet, puisque OH’ et ‘hosont stables par T , on a =

e

e ‘hi,.

OH; et

rcEIl11 a

!X’€lili 0’

On voit alors que, si IX’ = IX + k ( k E Z ), l’image de “Hl par (1.5) est “Hi:‘. Considérons par exemple le cas des sections O’ et O d’images respectives {s I -1 < RGi(s) < O} et {s I O Ré(s) < l}, qui interviendra plus loin. On peut écrire ‘H = “HZI ‘Hl et de même pour O H , où l’indice désigne la valeur propre de T (et non son logarithme). Alors l’isomorphisme (1.5) est induit par la multiplication par t - l sur “H+i et est égal à l’identité sur ‘Hl = “hl.Ainsi, l’image par (1.5) de est et celle de ‘H; ‘ H O

est

oh;.

#

’

fi

Précisons un peu le dictionnaire entre réseaux et filtrations pour un ( R , V)-espace vectoriel (M, 8)à singularité régulière. Soit E un réseau de M obtenu par le foncteur G : (M, V, E) = G ( H ,T, Soit R le logarithme de ï : H + H dont les valeurs propres sont dans l’image de a, R,ysa partie semi-simple et R,, sa partie nilpotente. HO).

(2)Ici, on suppose fix& line coordonnée I . Uri changement de coordonnée f0iiriiirait iin rniiltiple non nul de cei isoinoi-pliisnie.

CHMITKE 111. RÉSEAUX

132

1.6. Proposition (1) Le réseau tout k . ( 2 ) Le ré.wuu R (ou T I . Dans & ( H I ' ) c Hk+'

E e.st d'ordre

< r .si et seulement si on u R ( H k ) c Hk-'

pour

E est logarithmique si et seulement si lu filtration est stable par re cas, le résidu RésE V est semi-simple si et seulement si on a pour tou,t k .

Démonstration. - La connexion sur

E s'écrit sous la forme

On en déduit les deux premières assertions. Pour la dernière, on identifie IE/tIE à la somme directe @ k ( H " / H k + ' ) . Par cette identification, l'opérateur Rés€ V agit par R - k Id sur H " / H k + ' . I1 est donc semi-simple si et seulement si Rn induit l'endomorphisme nul sur H k / H k " pour tout k . O

1.b. Comportement vis-à-vis de la dualité. - Notons M* = Homk(M, k) le dual du k-espace vectoriel M, muni de sa connexion naturelle V* ( r f : 80.11.b). Si E est un réseau de M , notons I * = H o m @ { , } ( E , @ { t }le ) module dual. On peut identifier de manière évidente E* à l'ensemble des 'p E M* qui envoient E dans C { t } . Ceci montre que E* est naturellement un réseau de M*. Appliquons ceci au réseau de Deligne V. Le résidu de V* sur V* est égal à - 'Résv V ( r f : exercice O.14.5), de sorte que ses valeurs propres ont une partie réelle dans [O, 1[. L'application naturelle

e@P

induit une application

-

-

cp(e)

C -bilinéaire non dégénérée

( V / t V ) @ (V*/tV*)

c

c = @i{t}/tC{t},

d'où un isomorphisme

(1.7)

( V * / t V * , T * )E ( H o m c ( V / t V , @ ) , t T - ' ) .

Par ailleurs, l'isomorphisme (1.5) identifie le couple ( V * / t V * ,T * ) au . a ainsi une identification canonique (en couple ( V ( M * ) / t V ( M * ) , T )On notant encore I; le foncteur (M, V ) H ( H , T ) ,et H * le dual de H )

F(M*,V*)= ( H * , ' T - ' ) . Nous pouvons maintenant étendre cette identification en introduisant un réseau E . Cependant, la nbcessité d'utiliser l'isomorphisme (1.5) nous

1. RÉsE,\irx DES (k,C)-F.SPACES VECTORIELS À SINGUIMITF.

RÉGULIÈRE

133

oblige à supposer que E est logarithmique. Ici, le choix de la section O simplifie la présentation du résultat. Comme à la remarque 1.4, notons HA le sous-espace propre généralisé de ï' pour la valeur propre et H#1 = @A#]

HA.

1.8. Proposition (le foncteur de Deligne-Maigrange et la dualité). - Sozt E un rkseau logamthmzque de (M, V) . Alors l'zdentzficutzon canonique F (M*,V*) = (H*, r'étend en unp zdentzficatzon canonique

F(M*,v*,E*) = (H*, ?I, avec H$ =

( ~ 2 ; )et~~i~

H'*)

=(N;~+')~.

IXrnon%tratzon. - Montrons d'abord, sans supposer que le réseau E est logarithmique, que l'on a pour tout k E Z l'égalité

(1.9)

{'p E

M* 1

' p ( P

n V) c t ~ { t 1} = ( t k + l € * ) + tv*.

L'inclusion 2 est immédiate. Pour montrer l'autre inclusion, choisissons pour chaque e E Z une base du @-espacevectoriel

E~ n V (Er+' n 17) + ( E [ n tV) et relevons-la en une famille et c I r n V. La réunion (finie) des e@forme une C{t}-base de Y' ,' d'après le lemme de Nakayama. Soit y tel que 'p (E? n 17) c t C { t } . Puisque, pour P 3 - k , on a Eo n V f'17, il en résulte que 'p(er) c t @ { t } . Pour e < - k , on a gyn v

c

( t Y + k l - k) n v = t f + k ( ~ - n k t - ( 6 + k ) ~c ) t p + k ( ~ - kn V)

et par suite 'p(ep) c te+k+'C{t}. On écrit alors 'p = + 7 , où

On a +(V) c t C { t } , donc q5 E tV* . On voit par ailleurs, encore à l'aide du lemme de Nakayama, que la réunion des trne-kPrn( m E Z ) forme une @{t}-base de 1- k . On a y(tme-k-rn) = O pour m O et, pour rn > O, on a q(tme-k-rn) = 'p(tme-h-rn) = tm cp(e-k-rn) c t7n . t - m + ' ~ { t ) ,

<

ce qui montre (1.9). L'égalité (1.9) signifie exactement que ( E * ) ~ + ' n V * / ( E * ) ~ + ' n tV* est l'orthogonal de l'espace n V / € - k n tV dans la dualité (1.7). Lorsque E est logarithmique, ces espaces sont stables sous l'action de la monodromie et se décomposent suivant les valeurs propres de celle-ci. Ida remarque 1.4 permet de conclure. O

<:Ii.APlTU 111. RÉSE.NrX

134

1.10. DéJinition (d’une forme bilinéaire). - Une formr hilinéaire sur est une application k-linéaire

(M, V)

( , ) : M @ M +k k

compatible avec la connexion, c’est-à-dire telle que, pour tous e, e’ E ait

V(e, e’) = (Ve, e’)

M

on

+ ( e , Ve’).

La donnée d’une telle forme est équivalente à la donnée d’un morphisme de (k,V) -espaces vectoriels

M

--f

M*,

e +-+

(e‘

H (p,e’)).

La forme bilinéaire est non dégénérée si et seulement si ce morphisme est un isomorphisme.

1.11. Exercice. - La catégorie dont les objets sont les (k,V)-espaces vectoriels (Tyc, V) à singularité régulière miinis d’une forme bilinéaire ( , ) (rrsp. non dégénérée, resp. symétrique, etc.) et dont les morphismes sont ceux qui respectent les formes bilinéaires, est équivalente à la catégorie dont les objets sont les C-cspaces vectoriels H niunis d’une forme bilinéaire ( , ) (re,@ non dégénérée, re,$. symétrique, rtc.) et d’un aiitoinorphisme T auto-adjoint, et dont les niorphismes ... Soit niaintenarit E un réseau de M.NOLISdirons qii’iirie forme bilinéaire non dégénérée ( , ) sur (M, V) est depoidy 7u E Z reintivrinent au rérenu E si M* qui lui correspond envoie E sur (E*)*’ = t“’E*. l’isomorphisme M On en déduit une forme bilinéaire non dégénérée sur E / t E , obtenue en composant les isomorphismes

<

E/tE

tY?+/tW+I

E 1€*/LE*

= Hoin@( E / t E , C ) .

Si E est logarithmique, le résidu de V sur E satisfait alors l’identité RésV+‘RésV = wid. On déduit de la proposition 1.8 et de l’exercice 1.11 ci-dessiis :

1.12. Corollaire (en présence d’une forme bilinéaire, le foncteur de DeligneMaigrange est une équivalence). - Le foncteur I: anduzt une équavalenre entre (1) In catégomr des (M, V, E , ( , ) ) formPr d’un (k,V) -espare vertompl Ù sznp-ularat6 réplzîve, d’un rPreau logumthmzque et d ’uneforme bzlanéazre non d&&ahée d~ poads 7u rdatz-iiewwnt nu rP’rPau;

( 2 ) la catkgome de5 ( H ,T, H o , ( , ) ) forrnh d'un -rybacr 7irctomeI inunz d'unr formr hilinénzre non dkgknérke, d'un automorphzsmr auto-adjoznt T rt d'une filtratzon déeroirrnnte N o 5tablr;bnr T t& que, ;tiour tout k E Z , on azt (rn notant H L l'orthogonal de H par rapport ic ( , ) )

O 1.13. Exercice (en présence d'une forme sesquilinéaire, le foncteur de Deligne-Malgrangeest une équivalence). - On fixe une coordonnée 1 et on considère I'automorphisme du corps k défini par / ( t ) H f ( - t ) . Si M est un k-espace vectoriel, on définit le It-espace vectoriel % en modifiant l'action de k sur M : si f ( t ) E k et m E M on pose j ( t ) . wz = / ( - t ) m . Ainsi, @ et M coïncident en tant que @'-espaces vectoriels. On notera rn l'élément m << vu dans n/c >>.Autrement dit, on a S ( t ) E = , f ( - t ) m . On définit de même si E est un réseau de M. Si V est une connexion sui- M , on pose V ( E ) = - V ( m ) . - - Montrer que ?? est le réscau canonique de ;"ic, que H = V/tV = V/tV et que R é s ~ = v Rése V . - Montrer que les filtratioris associées ii E et coïncident. Une forme .sr.rquiLinkaire(') sur (M, V) est line application k-linéaire

r

( , ) : hZ @ % k

-

It

compatible a7ec les conriexioiis. - Moiitrcr que le corollaire 1.12 reste vrai si on remplace daris (1) << forme bilinéaire >> par << forme sesquilinbaire ».

1.c. Polynôme caractéristique d'un réseau à l'origine Polynuîme caructhisfique d'un rksrsrau logarithmzqur. - Soit E u n réseau logarithmique de (M, V) . Le polynôme caractéristiqiic dii résidu RésE V peut se calculer 2 l'aide de la filtration N' associée au réseaii : celle-ci est stable par A = Résv V ; de manière analogue, la filtration induite par V' = t'V sur E / t C est stable par Rés,: V . La rnultiplication par tk identifie les espaccs v-'!

nE

(V-"+' ri E) + (V-k n I C )

et (~k+1

E" n v n V ) + n tv) (E/!

et est compatible avec RCse V (à gauche) et Késv V (2 droite) ; enfin, le terme de gauche ci-dessiis est le sous-espace de E / / C correspondant aux valciirs propres de Rése V de partie réelle contcririe chiis ] - k - 1, - k ] .

<:HAPIIRE III. &SEAUX

136

1.14. DéJinition (du polynôme caractéristique d’un réseau logarithmique) Le polynôme caractéristique x , s ( s ) du réseau logarithmique E est le polynôme caractéristique dét (s Id - Rés€ V) du résidu de V sur E . On peut ainsi écrire

avec (1.15)

vp = dimH;/Hjk+l

en désignant par [-pl est comme au 1.b.

où h = exp(-2ZnP) et

[-pl

= k,

la partie entière de la partie réelle de

Cas général. - Lorsque le réseau

-p

et OU H f

E n’est pas logarithmique, le résidu n’est

plus défini en général (voir la remarque 0.14.8). Nous pouvons cependant prendre exemple de la formule (1.15) pour définir un polynôme caractéristique XE. I1 faut néanmoins donner un sens aux espaces H! dans une situation où H k n’est pas stable par T . Pour ce faire, commençons, lorsque les valeurs propres de T ne sont pas de module 1, par choisir un ordre total siir C soumis à deux conditions : - il étend l’ordre iisiiel sur R et - il satisfait la propriété K f3 H V k E Z , cz + k < p + k . Nous pouvons par exemple utiliser l’ordre lexicographique

<

x

+ iy < x’ + iy’

x

< x’ ou x = x’

et y

< y’.

Fixons un tel ordre. Nous noterons ] a ,/>I le sous-ensemble des s E que n < s b .

<

FIGURE1 . L’ensemble ]

-

1,O]

C tels

G!

Nous pouvons alors filtrer H de manière décroissante en posant, pour E ] - 1,0],

De manière analogue, nous pouvons interpoler la filtration 17' en prenant, pour tout p E C ,le réseau 178 correspondant à la section O d'image

IP

-

LP1.

Pour tout CI E ] - 1,0], on identifie l'espace Hexp-2Lrrrau quotient v'/v>", en notant = u~>,v?. Le réseau E permet ainsi de définir une filtration décroissante exhaustive de chaque sous-espace Hi, en posant, pour tout k E Z ,

v>"

H{ ! !(rkn v " ) / ( E n v~> ~=) ( H n~ H " ) / ( H ~n H>") (en choisissant CI E ] - 1,O] tel que h = exp(-2Zncc) et en prenant garde a l'ambiguïté de notation dans le terme de droite). Le polynôme caractéristique X E (s) est alors d k j n i par la formule ( 1.15).

1.16. Définition (du polynôme caractéristique d'un réseau). - Le polynôme caractéristique X E (s) du réseau E est égal ii

1.1 7. Remarque. - Le polynôme X E (s) détermine le polynôme caracteristique de la monodromie T : celui-ci est égal a n , ( S - exp(-2ixP))"r3.

I . I & Exercice (comportement du polynôme caractéristique par dualité) Soit (M*,V*) le (k,V)-espace vectoriel dual de (M, V ) . (1) Montrer que, pour tout p E C ,on a

vp (M*) = a m @ ( , >(v>-(l'+'),C { t } ) .

-

(2) En déduire que la forme bilinéaire composée des deux applications

V"M*)

v-(p+i)(M) + t - ' @ { t } @11) @

induit une forme bilinéaire non dégénérée

[vp(M*)/v'"(M*)]

Résidu

@ [v-(-+l)(M)/V>++')

c

(M)]

@

@.

( 3 ) Montrer que l'orthogonal de t-'E n V-(p+')(M) est égal à

[ E * n v > ~ ( M * )+] [ t ~ n* v ~ ( M * ) ]

138

(XIAPITRL 111. RÉSEALrX

et en déduire une forme bilinéaire non dégénérée

E* n Vcniz*) [ E * n W(M*)] + [tE* n V ( M * ) ]

n~-(i.+i) E? [ E n v - ( P +(M)] ~ ) + [t-lE n v>-(P+~) (M)] t-'E

-

@.

(4) En déduire que x ~ * ( . Y=) ( - i ) d ~ c ( - s ) ,où d = diinkM. (5) En déduire que, s'il existe une forme bilinéaire non dégénérée sur (XI, V) de poids w relativement à E , on a X E (s) = ( - I ) ~ x(7u~ - s ) . Montrer les énoncés analogues pour

a*.

Remarque (différentes notions d'exposants). - I1 existe d'autres façons d'associer des << exposants >> à un réseau E . Indiquons notamment celle due à Levelt [LevGl]. E. Core1 [Cor99a] a montré que ces exposants correspondent au polynôme caractéristique du résidu de V agissant sur le plus grand sous-réseau logarithmique de E . On pourrait aussi considérer le plus petit réseau logarithmique contenant E , ou aussi, avec Gérard et Levelt [GL76], le satiiré par tVd/pf de E . Ces exposants ne satisfont pas nécessairement la propriété de dualité de l'exercice 1.18, mais dans loc. rit. E. C h e l a montré à leiir propos une inégalité qiii permet, lorsqii'on l'applique 5 iin réseau sur P',d'obtenir ties inkgalités analogues à celles montrées par R. Fuchs pour les équations diffkrentielles.

1.d. Rigidité des réseaux logarithmiques. - La proposition qui suit montre que, localenient, les réseaux logarithmiques ne donnent pas lieu à une théorie de déformations intégrables intéressante. Cet énoncé se révélera cependant très utile poiir transformer des problèmes locaux en des problèmes globaux, donc algébriques.

1.19. Proposition (rigidité, [Mai83c, th. 2.11, [Mai86]). - Soit (E', V u ) un ,fibré sur un disque LI muni dUne connexion à pôle logurithmique h l'orig'ne. Soient X une variYtY analytique 1-connexe et xo E X . Il existe alors un unique (à isomorphisine iiniqueprès),fibrY E sur D x X ri con'nexiwn logurithmique le long de { O } x X telque ( E , V ) ~ U ~= { ~(E",V"). ,,) 1.20. Remarques (1) Ce résultat est à rapprochcr du corollaire 11.2.21 ct du ij 11.2.26, à ceci près que la condition sur les valeurs propres du résidu est ici remplacée par la condition initiale ( E ,V ) ~ ~ x {=x (~El"}, V ' ) , ce qiii dorine la/iort~unicité. (2) Une façon plus précise de formuler la proposition 1.19 est de dire que le foiicteiir de restriction, de la catégorie des fibrés holomorphes sur

D x X à connexion logarithmique à pôle le long de {O} x X vers la catégorie des fibrés sur D x {x"} à connexion logarithmique à pôle en O , est ilne équivalence. En effet, si cette équivalence est montrée, tout ( E , V) logarithmique de restriction égale à (E",V") est isomorphe à p+(E",V'), si p : Zl x X + X désigne la projection. La pleine fidélité montre qu'il existe un uriiqiie isomorphisme induisant l'identité en restriction à D x {x"}. (3) Si, dans la proposition 1.19, on part d'un triplet ( E o , V " ,( , ) O ) où ( , ) O est une forme bilinéaire ou sesquilinéaire non dégénérée de poids 7u E Z , un raisonnement analogue à celui fait pour cette proposition montre l'existence et l'unicité d'une extension ( E ,V, ( , ) ) : on interprète en effet -* -* ( , ) comme un homomorphisme ( E , V ) + ( E * , V * ) ou ( E , V ) et 011 applique la pleine fidélité du foncteur de restriction ii Z) x { x " } . DPnionstrntion de la profiosition 1.19. - Nous allons montrer que le foncteur de restriction est une équivalence. L'essentielle surjectivité est claire, comme nous l'avons vu dans la remarque 1.20-(2) : il siiffit de prendre pour ( E ,V) l'image inverse de (So,0") par la projection fi : D x X + I I . Montrons la pleine fidélité. Une section horizontale du faisceau A%m~l(P,h?'") se relève de manière unique en une section horizontale de 2 ? % m ~ l x(R, , y E"') I ~ ~puisque, * ~ s par hypothèse de simple connexité de X , l'inclusion il* x { x " } D* x X induit un isomorphisme des groupes fondamentaux. I1 s'agit de vérifier qiie cette section s'étend en une section de h 3 m 4 i > xy (E,E"'). Ceci résulte de l'existence de la forme normale donnée par le théorème 11.2.25 : celui-ci implique en effet que toute section horizontale sur 1)" x X est méromorphe le long de {O} x X et qiie, si la restriction d'une telle section à 11 x {x"} est holomorphe, la section est eilc-même liolornorpiie le long de {O)x x ( 4 ) . O

-

1.21. Remarque. - On montre de la mênie manière que, si E" est un fibré sur P 1 muni d'une connexion V" à pôles logarithmiques aiix points d'un sous-ensemble Co de cardinal fi + 1 de P', il existe un uniquc (à isomorphisme unique près) fibré E muni d'une connexion intégrable V à pôles logarithmiques le long de Co x X qui étende (E', V") . 1.22. Remarque. - Supposons maintenant que l'ensemble Ç" varie analytiquement dans IP1. Autrement dit, donnons-nous une hypersurface lisse C de Pl x X , telle que la projection C --f X soit un revêtement de degré fini p + 1. Pour tout x E X , l'ensemble C, c Pl est donc une configuration de ('1 OII prcncira garde qiic cette cieriiièrc propi-itté peut être fausse pour line scctioii iiiéroiiioi-phi n o 1 1 linriiontalc.

CHAPITRE 111. &SEAUX

140

p+

1 points distincts et l'on a C,O = Co. Si X est 1-connexe, l'énoncé donné dans la remarque 1.21 précédente est encore vrai dans cette situation, sous l'hypothèse supplémentaire que l'inclusion

(P'\

CO) x {x"}

L)

(P'x X ) \ c

induise un isomorphisme des groupes fondamentaux. Cette hypothèse est satisfaite par exemple si le groupe d'homologie Hz (X, Z ) est nul(5).Puisque X est 1-connexe, le revêtement C + X est trivialisable et il existe + 1 applications holomorphes +i : X + IP' ( i = O , . . . ,p ) telles que C soit la réunion des graphes des +i. On applique la proposition 1.19 à un voisinage

X

X"

FIGURE2

ouvert V, de chaque composante C, isomorphe à D x X pour obtenir un fibré ( E z ,V,). On obtient ( E , V) sur IP' x X en recollant les (Ez,O,) avec le fibré holomorphe à connexion plate sur P1 x X \ C correspondant à la représentation de nl (P'x \ C) = nl (P'\ CO)définie par ( E " ,v").

x

(')EU effet, puisque x est I-corinexc, ce groupe est égal au groupe . r r 2 ( ~ ;) ia suite exacte d'lioriiotopie de la fihrdtiori ( p l x \ C + X donne le résultat voulu.

x)

2.RÉSEAUX DES (k,V)-ESPACES VE<:TORiEI.S

S I N < ; i ~ W I ÉIRRÉ<;IJI.IÈKE

141

2. Réseaux des ( k ,V) -espaces vectoriels à singularité irrégulière 2.a. Classification des réseaux. - La classification des ( k , V)-espaces vectoriels à singularité irréguliere n’est pas aussi simple que pour les singularités régulières (e$ § 11.5). Néanmoins, une fois celle-ci connue, la classification des réseaux se réduit à celle des réseaux formels. Certains de ces réseaux peuvent être classifiés. Nous allons donner quelques indications ci-dessous. h

2.1. Lemme (Malgrange). - Soit M un k-espace v~ctom’elde rangjïni. Si 3 est un réseau de E @k M, alors 3 E ? n M est un ré,seau de M c M P t I o n a C [ t ] @ C { t } 3- =

5k Z

h

F.

On trouvera une généralisation de ce lemme dans [Mai96, prop. 1.21. h

Démonstration. - Posons 3 = 3 f’ M. L’injection 3 L) 3- induit un homo, . morphisme C [ t ] @ @ { t ) 3 + 3 ;nous allons montrer que c’est un isomorphisme. , . Fixons un réseau 9 de M et considérons le réseau 9 = @It]@ c { ~9}

5

5k

de qu’il définit. En prenant une base de 9 on voit que S = n M . Par ailleurs on peut, quitte à changer 9 en t P k S pour tin k convenable, supposer que c F. Considérons les suites exactes

5

T Nous savons que la flèche verticale gauche est un isomorphisme. I1 suffit donc de montrer la même propriété pour celle de droite. Pour cela, remarquons que M = M + 9.On en déduit que h

h

A

F=Fn(3vC+Ç)=3+9

5 F.

puisque c On en déduit que l’injection naturelle 3/9 ~f ?/? est bijective et, en particulier, la multiplication par t est nilpotente sur 3/9. O d’où le résultat. Par suite on a C [ t ] @cjt)3/9 = 3 / 9 =

$/5,

Réseau de Ikligne. - Nous supposerons dans la suite(6)que le ( k ,V) -espace V) . Celui-ci s’écrit vectoriel (M, V) admet un bon modèle formel (MhrJn, donc BV( € V @ TB). Soit V(Me) le réseau de Deligne de M”””,c’est-à-dire, par définition, le réseau av(€T @ 1 7 ( X v ) ) , où V(Xv) est le réseau de (’)

Cettc hypothèse est faite par souci de simplification ; voii- [Mal83b] pour le

cas

général

CHAPITRE III. RÉSEXUX

142

Deligne du (k,V)-espace vectoriel à singularité régulière Tv. On en déduit un réseau Y’(%).Le réseau de Deligne de (M,V) est par définition le réseau (cJ lemme 2.1)

V(M) = v(%)n M. h

A

h

Rhseaux formels. - Soit E un réseau de (M, V) . Ce réseau n’est pas nécessairement décomposé suivant les composantes E T @ Rv de (M, V) . Aussi, h

A

A

A

en toute généralité, la classification des réseaux (formels) ne se réduit pas à celle des réseaux des (K,V)-espaces vectoriels à singularité régulière Tv. Cependant, si le réseau est d’ordre égal au rang de Poincaré de (M,V), c’est-à-dire s’il est d’ordre minimum parmi les réseaux de (M, V) , la décomposition suivant les valeurs propres de la partie la plus polaire faite à l’exercice 11.5.9 préserve le réseau (les changements de base n’ont pas de pôle, non plus que leurs inverses). En particulier, s’il y a rg M valeurs propres distinctes (comme dans le théorème 11.5.7), le réseau se décompose en somme directe de réseaux de rang 1 : nous reviendrons là-dessus au 5 2.e.

2.b. Polynôme caractéristique d’un réseau à l’infini. - Faute d’une classification générale des réseaux de (M, V) lorsque la connexion est à singularité irrégulière, nous allons associer 2 tout réseau un polynôme caractéristique. Deux types de polynômes caractéristiques peuvent être définis : (a) En utilisant la notion de réseau de Deligne pour les singularités irrégulières introduite ci-dessus, nous pouvons procéder comme au § 1.c. Le polynôme ainsi obtenu détermine le polynôme caractéristique de la monodromie form& de (M, V) . (b) En algébrisant le germe (M, V) comme au 5 II.3.c et en utilisant le réseau de Deligne (régulier) au voisinage de l’infini, nous pouvons suivre une démarche analogue à celle du § 1.c. Le polynôme caractéristique ainsi obtenu détermine celui de la monodromie de (M, V) . C’est cette deuxième approche que nous suivrons. Soit (M,V) le C [ t , t-’]-module libre à connexion, à singularité régulière à l’infini et dont le germe en O coïncide avec (M,V) ($ ssI.4.d et II.3.c). I1 existe un unique Ql[i]-module IF, qui est un réseau de M et dont le germe en O est égal à E . Soit V’ un réseau de Deligne du germe analytique M’ de M en CO, par exemple celui déjà utilisé plus haut, tel que les valeurs propres du résidu de V aient une partie réelle dans ] - 1, O]. Soit V’ le C [t’l-sous-module de M dont le germe analytique en CO est égal à 17’.On a de manière évidente T’’/t‘Y’’ = V’/t‘V’, espace que nous notons H’, muni de sa monodromie T’.

2. RÉSEA2rJX DES (k,V)-ESPACES VECT0RiEI.S

)<

SIN(~UIAR17'É1RRÉGUI.IkRE

143

Considérons la filtration croissante de M par les t-% = tIkE, pour k E Z . Elle induit une filtration croissante sur H' par la formule

G; = V'n t ' k E / ( t ' v ' ) il

t l k ~ .

2.2. Lemme. - Lajîltration G: est exhaustive, i.e.

<< O, H' si k > O. O

Gk =

Démonstrutzon. - La donnée de (cJ proposition 1.4.15) et on a

Fk

si k

V' et tlkE définit un fibré % sur Pl

=

@@pi (

k)

en posant F = F".On en déduit que V ' n t % = H " ( P ' , ~ =) O

pourk«O

et par suite GL = O pour k << O. D'autre part, on a un isomorphisme t' : V' n l'k-lIE A (t'VI) n dkIE de sorte que Gk s'identifie au quotient de H o ( P ' , % ) par HO(P1,&-l).Si mo est un point de Pl,la suite exacte

O --+ H " ( P ' , F

@

@( ( k - 1 ) m o ) ) --+ Ho(IP1,F@ @ ( k m o ) ) +

ZL,,H' +

(P1,F @ @( ( k

-

1 ) ~ ) )

et le fait que le H' soit niil pour k >> O (voir la démonstration du corollaire 1.3.3) montrent que dimGk = d pour k >> O. O

De manière analogue, si l'on fixe un ordre total sur C comme au 3 l.c, on obtient une filtration croissante exhaustive sur chaque H: en posant

G',(H:) = i - " ~n v ' " / t - " ~ ,VI>?. 2.3. DéJinition ( d u polynôme caractéristique à l'infini). Le polynôme caractéristique ii l'infini ( Y) est défini par la formule (1.15) en y remplaçant H:k par Gk (Nj) . On a donc

xF

vp = dim

IE nv's (Envl>p)+ ( t E nv'b)'

2.4. Remarque. - Ce polynôme réapparaîtra en relation avec le problème de Birkhoff ( $ remarque IV.5.13-( 1 ) ) . 2.5. Exercice. - Retrouver le polynôme caractéristique de la nionodromie T' sur l'espace H' = V ' / t ' V ' à partir de $'(s) (voir la remarque 1.17).

CHAPITRE III. RÉSEAUX

144

2.6. Exemple (le zéro et l'infini). - Si (M, V) est à singularité régulière et (s) = X E (s) . En effet, on peut si E en est un réseau logarithmique, on a écrire M = @pt@Mpet IE = @pE@IEp. La multiplicité vp de (s - p) dans X E (s) est égale à dim Es. On remarque alors que le résidu en O de V sur Mp a pour valeur propre p, tandis que le résidu en CO a pour valeur propre -p.

x?

Le comportement par dualité est analogue à celui de l'exercice 1.18 :

2.7. Proposition (comportement par dualité). - Si E* est le réseau dual de E -* o o et E en est son dual (< hermitien »,on a f$ ( s ) = (s) = (-1) d xr (-s) .

x-". E

np

x?

xg

Démonstration. - Posons (s) = (s - p) "p et (s) = (s - p) I1 s'agit de montrer que v i = v-9, Pour tout y E C ,soit F y le fibré sur P' construit en recollant les réseaux E (au voisinage de l'origine) et V f ' f(au voisinage de l'infini). Notons de même Y * y le fibré construit à l'aide des réseaux E* et VfY(M*).Puisque l'on a (6exercice 1.18)

VfY(M*) =

Y'

fj.

[.p-(Y+')]*

on a aussi F*'f = [F>-('{+')]*. D'autre part, pour k E Z , on a F'f+k = Hp1( - k ) @ 7. La dualité de Serre (CJ: [Har80]) et le fait que a;, e Hpl(-2) (rJ: proposition 1.2.11) impliquent alors les égalités dim H' ( p1, F>(Y+1) )

=

dim H" ( p l ,F * ( Y + T

1

& m H 1(P',F-(Y+')) = d i m H 0 ( p ' , F * > ( Y + 21.) On a par ailleurs dirnN"(P',Yy) = dimIE nVfY cSy, de sortc que = (Sp

-

Sp+1)

-

(Sp,

-

S,p+1).

On en déduit donc

v i = (dim N' (P',F > - p + ' )

-

dim H'

(P',F > - p

- (dirriH'(P',F-p+') Pour tout y on a une suite exacte de faisceaux

-

)>

-

dimH'(P',F-p ) > ,

où

F r i GY 4O G-f est le faisceau gratte-ciel, nul sur Pl \ {CO} et de fibre Vf'(/Vf>*( cn

CO.

Cette suite exacte induit donc une suite longue de cohornologie

Oi 3 - Y

O

4

-

-

H"(IP',F>Y) -f H " ( P 1 , F - f )-f Goo Y

H'(P',F>Y)

H ' ( P ' , F ) -0.

P . RÉSEALIX DES (k,V) -ESPACES VEE<:TORIELS ‘4S1NC;LJLARITÉ IRRÉGULIÈRE

145

En considérant les suites ci-dessus pour y = -p et y = - p + i , et en utilisant O le fait que dirnG; = d i m G Z ’ , on en déduit l’égalité v i = v-p.

2.8. Corollaire (symétrie du polynôme caractéristique à l’infini). - S’ilexiste une forme bilinéaire ou serquilinéniw non dégénhb? sur (M, V) de poids 7u relatiueO m m t ù E , on n )$(s) = (-i)”xT(7u - s ) .

2.9. Exercice (comportementpar produit tensoriel, cJ [Var83]). - Soient (M’, V’, E’) et (M”,V”, €”) deux it-espaces vectoriels à connexion, munis de réseaux, et soit (M, V, E ) leur produit tensoriel : on a

(1) Montrer que M = M’ @ c , l , t - ~ l M” est à singularité régulière à l’infini. (2) Montrer que, si V désigne le réseau de Deligne à l’infini, on a

V(M) = V(M’)@ql’] V(M”). ( 3 ) Montrer que, p o w tout p E @ , on a, en désignant par (Vb)pEc la flgZ , filtration interpolant la filtration (PV)

vp (M ) /v>p(M )

(on pourra calculer Mirg %‘ @~~E~(t’kV/t’’‘tlV) en fonction de M’r‘g et M”“g en considérant les germes analytiques de M , MI’,”’ en 0 0 ) . (4) Montrer que

CHAPITRE III. RESEAUX

146

(6) On suppose de plus que (MI, V’) et (M”, V”) sont munis de formes bilinéaires (ou sesquilinéaires) non dégénérées de poids respectifs w’et w” relativement à E’ et E”. Montrer que (M, V) est aussi muni naturellement d’une forme bilinéaire (ou sesquilinéaire) non dégénérée de poids 7u = 7u’ + w” relativement à E . En déduire que l’on a, pour tout p E C , vp = vw-p

et

( v ’ * v”)p = ( v I

*v

II

)u-p.

(7) Sous l’hypothèse précédente, montrer que l’on a Np = (N’ it N”)p pour tout p et en déduire que v~ = (v’ it v ” ) ~ pour tout p. 2.c. Déformations. - Le résultat principal de cette section est le théorème 2.10 ci-dessous, analogue de la proposition 1.19 pour les connexions à pôle d’ordre 1, et dont la démonstration occupera le reste de ce chapitre. Nous nous restreignons ici au cas des pôles d’ordre 1 par souci de simplicité et parce que seul ce cas sera considéré dans la suite. Les lecteurs intéressés par une situation plus générale pourront consulter [Mai83c]. Dans la suite, X désigne une variété analytique connexe de dimension n munie d’un point base x’ et de fonctions holomorphes Ai,. . . , hd : X + Nous supposerons que, pour tout x E X et tous i # j , les valeurs h 2 ( x ) et A j ( x ) sont distinctes. Nous noterons hl = A,(x’).

e.

2.10. Théorème ($ [Mai83c]). - Soit ( E ” ,V”) u n j b r é s u r un disque D muni d’une connexion à pôle d’ordre 1 à l’ori@ne, doni le << résidu >, R:, admet AT, . . . , :A pour valeurs propres. Sa l éspace des paramètres X esi 1-connexe, il existe un unique (à isomorphisme près) j b r é holomorphe E.: sur D x X , muni d ’une connexion à pôle d’ordre 1 le long de { O } x X , tel que - pour tout x E XIle spectre de Ro ( x ) soit { A 1 ( x ), . . . ,hd ( x )} ; - la restriction ( E , V) p}soit isomorphe ù (E’, Vu) .

2.d. Fibrés de rang 1 à connexion d’ordre 1. - Soit ( E ,V) un fibré holomorphe sur D x X muni d’une connexion plate V. Nous supposons dans ce paragraphe que le fibré E est de rang 1 et, comme dans le théorème 2.10, que la connexion est à pôle d’ordre 1. Commençons par la classification locale de tels objets.

2.11. Proposition. - Soit ( E ,V ) un germe en ( O , x”) deJibré de rang 1 sur Il x X, à connexion ù pôle d’ordre 1 le long de {O} x X . (1) O n peut associer ci ( E ,V ) un unique couple ( A , p), où p E C et A E @ ( X ) , carartprisé p a r le fail que, dans toute buse locnle de E , la partie polaire de la forme de connexion s’écrit W,,~I =

-d

(T)+

dt p-.t

2. RÉSEAUX DES ( k ,V)-ESPACES \.‘ECTORIEI.S À SINGULARITL? IRRÉGLKIÈW

147

( 2 ) Ide gmme de jibré ( E , V )admet une section horizontale holomorphe non identiquement nulle si et seulement s i A O et p E - W . ( 3 ) Deux tels jibrés de cou+$ associés ( A , p) et (A‘, p‘) sont Localement isomorphes si et seulement si h = A’ et p = p’. Démonstration (1) Soit w la forme de connexion dans une base locale de E . La condition d’intégrabilité se réduit à la condition dw = O puisque E est de rang 1. De plus, la partie polaire de la forme w n’est pas modifiée par un changement de base holomorphe, qui a pour effet d’ajouter une forme holomorphe exacte à o. La condition d’intégrabilité appliquée à la partie polaire de w donne la forme cherchée.

(2) Ceci est analogue à la proposition 11.5.1. Commençons par remarquer qu’il existe une base de E dans laquelle la forme de connexion est réduite à sa partie polaire : en effet, la forme w de la connexion dans une base donnée s’écrit 03 = wpol + d y avec ‘p holomorphe. Le changement de base de matrice e-v donne l’existence. Dans cette base, le coefficient s ( t , x) = sk (x)t” d’une section holomorphe horizontale satisfait notamment l’équation différentielle

t -at+

(?++O,

ce qu’on écrit

c,( k +

k

O

E.l).Fk(X)lk

+ A(x)

c

sk(x)tk-l =

o.

ka0

Si A(x) f O, on en déduit successivement que tous Ics coefficients Sk sont identiqucment nuls. Si A E O , on voit de même que la non-nullité d’au moins un coefficient s k équivaut à p E -W.

( 3 ) Un homomorphisme ( E ,O) + (E’, 0’)est une section horizontale holomorphe du fihré Zom(k?,Z’). Celui-ci est encore de rang 1 et sa connexion est encore d’ordre 1, de forme w’ - W . L’existence d’un isomorphisme entre ces deux fibrés à connexion implique donc, d’après le point ( Z ) , que h A’ et p = p’. Réciproquement, si cette égalité est satisfaite, les deux fibrés sont isomorphes, puisqu’il existe pour chacun une base dans laquelle la forme de connexion est réduite à sa partie polaire. O Considérons maintenant la situation globale : le point ( 3 ) de la proposition précédente montre l’existence d’une fonction holomorphe ), sur X et d’un nombre complexe p tels que, dans toute hase locale, la partie polaire wpol de la forme de connexion soit égale à -d(A(x)/t) + p d t / t .

<:HAPI 1 KF III. RÉSEAUX

148

2.12. Proposition. - Il existp un faisceau locakment constant E de rang 1 sur X Pt u n isomorphisme 8 @1lxx @c E tpls que la connexion V puisse s’écrire

v = v + up01

si

0 est la connexion holornorjjhe plate nnturellf sur &r

& E.

Démonstration. - I1 suffit de remarquer que la base locale de ( & V ) dans laquelle la forme de connexion est réduite à sa partie polaire est unique à une constante multiplicative près : en effet, deux bases dans lesquelles la matrice est égale à upOlsont reliées par la multiplication par une fonction holomorphe inversible q5 telle que dlogi;, = O, donc 4 est localement O constante. 2.13. Remarques (1) Avec les notations du § O.14.q l’endomorphisme Ro est la multiplication par h , l’endomorphisme R , est la multiplication par - p et @ = -dh. (2) Si X est 1-connexe, il résulte de la proposition 2.12 que le fibré E est trivialisable. (3) Le faisceau des automorphismes de ( E ,V) est localement constant de rang 1 sur X : en effet, un tel automorphisme doit préserver la partie polaire wpol de la matrice de la connexion V , donc aussi la connexion V (si l’on préfère, la connexion naturelle définie par V sur A%m@ E“) , n’a pas - (27 de pôle et c’est aussi la connexion naturelle définie par V ) ; par conséquent, c’est un automorphisme du fibré plat ( E , O ) . Ce faisceau est donc constant si X est 1-connexe.

2.14. Exercice. - Étendre ces résultats au cas d’une connexion d’ordre r > 1. 2.e. Structure formelle. - Lorsque le rang de E est > 1, la structure du fibré ( E , V ) n’est plus aussi simple (c’est déjà le cas pour le fibré méromorphe associé, voir 11.5). Néanmoins, si l’on ne considère que le fibré formel associé, tout se passe comme en rang 1. Soit 8 le complété formel du faisceau @uxx le long de {O} x X : c’est un faisceau sur {O} x X dont le germe en un point (O, x”) est l’ensemble des séries formelles C z oa, ( x ) t z où les al sont des fonctions holomorphes définies sur un même voisinage de xo ($ 11.2.0. Soient E un fibré holomorphe sur L) x X et 8 le faisceau associé. Nous noterons 8 le complété formel de E“ le long de {O} x X : c’est le faisceau 3 @@ 8; c’est donc un faisceau sur {O} x X . Nous dirons que E“ est le fibré formel le long de {O} x X associé à B . La notion de fibré formel à A

A

A

2. RÉSEAUX DES (k,V)-ESPACES \‘FCTORIEI.S ,k SIN<;IJIARITÉ IRRÉGULIÈRE

149

connexion méromorphe garde un sens et, si E est muni d’une connexion à pôle le long de {O} x X , alors g aussi. En général, le passage de ( E ,V) à (k?, V) fait perdre beaucoup d’information, si ( E , V) n’est pas à singularité régulière le long de {O} x X . Néanmoins, on peut remarquer que, lorsque E est de rang 1 et V à pôle d’ordre 1, la donnée du fibré formel à connexion (27,V) est équivalente à celle d’un couple ( h ,p) et, dans ce cas, la complétion formelle est une équivalence de catégories. Reprenons les hypothèses du début du 5 2.c. -

A

A

h

2.15. Théorème (décomposition formelle d’un réseau d’ordre 1). - Si ( E ,V) est un j b r é holomorphe sur B x X à connexion d’ordre 1 le long de { O } x X et dont le J

qui sont non localement isomorphes deux à d m x . Démonstration. - Le fibré restreint iGS se décompose suivant les sous-fibrés A

propres de Ro. I1 s’agit de relever cette décomposition à C? de manière compatible à ô. L’existence locale de la décomposition résulte du théorème 11.5.7, puisque, comme nous l’avons indiqué à la remarque 11.5.8, le changement de base utilisé n’a pas de pôle, de même que son inverse. Cette décomposition fournit aussi des nombres complexes pi. De plus, cette décomposition locale est unique : considérons iine autre ; la projection q’ + induite par la dédécomposition par des composition locale est nulle si i # j puisque h, # hi (proposition 2.1 1-(2))

(e’,?)

A

A

q’ = 8. A

et, en raisonnant dans l’autre sens, omen déduit que A

A

h

Enfin, le facteur (&,V) est l’unique sous-fibré de rang 1 de lequel la partie polaire de soit égale à - d ( h ; / t ) + pi d t / t : si

(@,ô)sur

(q’,V) A

h

en

q’ n’ont aucune composante sur les facteurs 5 ( j # i) de la décomposition, donc q’ c & ; le fait d’avoir fixé le résidu pi montre que q’ = &. h

est iin autre, on voit comme ci-dessus que les sections de

A

A

h

h

h

A , .

Ceci permet de montrer l’existence globale du sous-fibré (&,V) . Enfin, V) est localement, donc global’homomorphisme naturel Bi(&, V) -+ (g, lement, un isomorphisme. O A

h

-

A

150

2.16. Remarques (1) Le faisceau des aiitomorphismes de (E,V) est localement constant : en effet, un automorphisme de (E,V) préserve la décomposition du théorème 2.15 puisque les ( g ,V ) sont deux à deux non isomorphes. (2) Lorsque X est 1-connexe, on déduit de ce qui précède que le fibré est trivialisable et admet une base dans laquelle la matrice fi de s'écrit où les w, sont de la forme -d(h,(x)/t) + pl d t / t . Une telle diag(w1,. . .,ad), base est unique à conjugaison près par une matrice diagonale constante. -

-

-

A

A

A

e

2.f. Démonstration du théorème 2.10

(E,

Étape 1 : construction de la connexion formelle. - Si le fibré formel 8) existe, il doit être trivialisable, puisque X est supposé 1-connexe et d'après la remarque 2.16-(2). I1 admet donc une base dans laquelle la matrice de connexion est diag(w1,. . . ,w d ) , avec

où p, = p i est déterminé par ( E " ,0 ' ) . On munit le fibré trivial formel de cette connexion, qui convient, et on fixe un isomorphisme formel f" de ( E " ,O") avec ce dernier. A

A

h

Étal>? 2 :construction d u jcbré mhomorphe. - Le fibré méromorphe ( J f , V ) = (Z(*({O} x X)),V)

--

peut être obtenu à l'aide de la correspondance de Riemann-Hilbert à paramètre du aII.6.b. En effet, le fibré formel ( J f , V ) = (@(*{O} x X ) , 8 ) est détermine par ce qui précède. De plus, le théorème 11.6.1 montre que le faisceau de Stokes est localement constant, donc constant puisque X est 1-connexe. I1 existe par suite une unique section CJ de ce faisceau de Stokes dont la valeur en x" est l'élément détermine par (E', V", J " ) . La donnée de (Jf, et de la section O permet de construire un fibré méromorphe à , V, La restriction de celui-ci à D x {x'} est isomorphe à A

A

e)

7).

30).

(Z(*{O})> V",

l?'lal>e3 :conrtructaon d u j b r é ( Z ,V) . - On peut procéder de deux façons. La plus simple consiste à reniarquer que, une fois la décomposition formelle du théorème 2.15 obtenue, les arguments du sII.6 ne nécessitent pas l'inversion de la variable t et peuvent donc s'appliquer à (ti?, V, aussi On peut ainsi regrouper les étapes 2 et 3 . bien qu'à (A?,V,

7).

7)

Une autre méthode consiste à construire Z comme un réseau du fibré méromorphe A? obtenu ci-dessus et à vérifier que la connexion V y est à

pôle d’ordre 1. De plus, il suffit de construire le germe de le long de {O} x X puisque, en dehors de cet ensemble, 2 Y doit être égal 2 suffit alors de montrer que %‘ 8n A est un réseau Cie A qui satisfait @ 88 ?2 = 8 ‘ : en effet, si cette égalité est montrée, la connexion V s t i r 8 ‘ a un pôle d’ordre 1 le long de {O} x X piiisqu’il en est de même de sa formalisée. On trouvera dans [Mal96, prop. 1.21 une démonstration de ce résultat, qui est l’analogue, avec paramètres, du lemme 2.1. A

A

A

Unicité. - Employons les arguments de la première méthode ci-dessus, en utilisant bien stir la simple connexité de X . Soient ( E ,V) et (E’, V’) deux tels fibrés à connexion, isomorphes en restriction à 11 x {x”} et soit g” un tel isomorphisme. Soient d’autre part f et f’ des isomorphismes formels de ces fibrés avec un modèle (E”””,V’””’) comme au théorème 2.15. La remarque 2.16 montre que l’autoniorphisme ho = f ’ O O O (y)-’ de la restriction i+ (EhIi, VI,o,,) se prolonge de manière unique en un automorphisme h de (Êt’ol1, +l1). 12esrestrictions à D x {xo> de (g, V, h o f ) et (g’, v’, sont alors isomorphes vin g o . Ida constance du faisceau de Stokes montre que (E, V, h O f ) et (g’, V’, sont isoniorphes. O A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

7)

-

?>

CHAPITRE IV LE PROBLÈME DE RIEMANN-HILBERT ET LE PROBLÈME DE BIRKHOFT

Introduction

La question de l’existence de réseaux logarithmiques, triuiaux en tant que fibrés vectoriels, dans un fibré méromorphe à connexion sur P1 est connue sous le nom de problème de Riemann-Hilbert(’).Cette question présuppose que le fibré méromorphe n’a que des singularités régulières. I1 y a différentes généralisations et variantes de cette question. Le problhp de Sirkhoff est celle où le fibré méromorphe n’a que deux singularités, l’une étant régulière, et où l’on fixe le réseau au voisinage de l’autre singularité, qui peut être régulière ou irrégulière. On peut aussi se poser le problème de l’existence d’un réseau trivial dont l’ordre en chaque singularité soit minimum parmi les ordres des réseaux locaux du fibré rnéromorphe en cette singularité : c’est la généralisation directe du problème de Riemann-Hilbert au cas des singularités irrégulières. Le cas des fibrés sur les surfaces de Riemann compactes a aussi été considéré. On cherche alors à majorer le nombre de sin~p1am’ti.sapparenta qu’il est nécessaire d’ajouter pour obtenir un fibré trivial. On pourrait aussi, au vu de l’exercice 1.4.8, se poser la question de l’existence de réseaux logarithmiques qui sont semi-stables en tant que fibrés vectoriels (CJ: [EV99]). On trouvera dans [AB941 et [Bo1951 un historique détaillé de cette question (cfi aussi [Bea93]). Indiquons seulement que, si l’on connaît depuis longtemps des exemples donnant une réponse négative au problème de Birkhoff [Gan66, Mas59]), ce n’est que récemment que A. Bolibroukh a donnC des exemples de réponse négative au problème de Riemann-Hilbert.

(CJ:

(‘1 De h i t , le problème original 1.; fait intervenir la représentation de rnonodroriiie, inais cela revient au même en vertu de la correspondance d e Riemann-Hilbert 11.3.3.

154

<;H,\l’lTRE IV. LES PRORI.EMES »E RiEM,\NN-HIIBERT ET DE R i K k t I O F F

Nous donnons ici une démonstration de l’existence d’une réponse positive au problème de Riemann-Hilbert et au problème de Birkhoff sous une hypothèse d’irréductibilité, résultat dû à Bnlibroukh et Kostov. Nous ne montrerons cependant pas l’existence d’exemples pour lesquels la réponse est négative, renvoyant pour cela à [AB94, Bo1951 et aux références qui y sont indiquées. Nous donnons aussi un critère, dû à M. Saito, d’existence d’une réponse positive au problème de Birkhoff. Comme nous l’indiquerons au EjViI.5, c’est grâce à ce critère que certains systèmes différentiels associés à des objets de la géométrie algébrique donnent une réponse positive au problème de Birkhoff, saris qu’on sache cependant si on peut leur appliquer le corollaire 5.7 ci-dessous.

1. Le problème de Riemann-Hilbert On se donne un ensemble fini { m l , . . . ,ma} de points distincts du plan complexe et on fixe un point base O E C \ { n i l , . . . , mp}. Le groupe fondamental x1 (C \ { m i , . . . , mp}, O) est le groupe libre à fi générateurs. La donnée d’une représentation linéaire

p : xI(C

\

{mi ,..., rnp},o) + G L ( f ( C )

est donc eqiiivalente 2 la donnée de p matrices inversibles T i , . . . , ï;i E GI,d(C). Considérons par ailleiirs un système différentiel du

= - A ( t ) .U dt où A ( t ) est une matrice d x d à éléments holomorphes sur C \ {mi,.. . ,mp} et u est un vecteur ( ~ 1 , .. . , ud) de fonctions sur un ouvert de C \ -

{ m i , . . ., q}. Le théorème 0.12.8 montre que cette équation définit une représentation linéaire comme ci-dessus.

1.1. Problème de Riemann-Hilbert. - Étant donnkes fi mntrzcrs T I ,. . . ,Tp E GL,l (C) , exzrtp-1-21 de5 m a t m m A l , . . . , Ap E Md (C) trllrr qur In reprkwntatzon dé$inîe par lri matmcrs ï.1 , . . . , ïj, soit zromorfilzr h crlle asso& au sjstrme

1.2. Remarque. - 11 ne faudrait pas croire que les niatrices ïi soient néces. effet, sairement reliées aux matrices A, par la relation TI = exp - 2 i ~ A ~En

155

1. 1.E: PKOBLEMF, UE RIEMANN-IIII.BER1

au voisinage de ml , l’équation s’écrit

Ai

holomorphe au voisinage de mi et f O en général. On t - m, peut donc se trouver dans la sitiiation de l’exercice 11.2.20-(4)

avec A ( i )( t ) -

~

Nous allons d’abord considérer un problème analogue, qui ne Fait pas intervenir les représentations. Soit ( , V ) un fibré méromorphe à connexion sur la sphère de Riemann P’, à pôles en fi 1 points distincts mo,m1,...,mp.

+

1.3. Problème de Riemann-Hilbert algébrique. - On suppose que ( ri singularité régulière en mO, . . . ,m p (i.e. il exist^ nu uoisinuge de chaque mi un réseau logurithmiqup). (a) Existe-t-il un réseau logurithmiqup global de (A, V) ? (b) Existe-t-il un tel réseau qui soit de plus quasi trivial ? (c) Existe-t-il un tel réseau qui soit de filus trivial ? Interprétons dans un premier temps les conditions demandées en termes de systèmes différentiels. Rappelons (corollaire 1.4.9) que lorsque C # 0, le fibré méromorphe A est isomorphe à &$I (*X)d.Soit R la matrice de la connexion dans une base P I , . . . , ed de sections globales de A, donnée par ce lemme. Cette matrice est à pôles dans 2. La question (c) équivaut alors à (c’) Existe-t-il une matrice inversible P dont les éléments sont des fonctions rationnelles à pôles contenus dans Z,tclle que la matrice p-lfip

+p-Jdp

soit à pôles logarithmiques en tout m, E C et n’ait pas d’autre pôle dans

P’? En effet, le réseau ?2 engendré par la base ( ~ 1 ,... , ~ d = ) ( e l , . . .,e d ) . P satisfait alors la propriété (c) et, réciproquement, une base d’un réseau CF satisfaisant (c) fournit une matrice de passage du type voulu. Choisissons une coordonnée t sur IF” \ {mo} de sorte que mo = { t = ca}. La question (c’) est alors équivalente à la question (c”) Existe-t-il une matrice inversiblc P dont les éléments sont des fonctions rationnelles à pôles contenus dans C, tclle que la matrice a’ F’RP + P - ’ ~ P puisse s’kcrire sous la forme (1.4)

156

CHAPITRE IV. LES PROBLEMES DE RIEMANN-HII.BERT ET DE BIRKHOFF

On dit alors que le système différentiel défini par CL’ est fuchsien. Cette équivalence résulte du lemme ci-dessous appliqué aux éléments de R :

1.5. Lemme. - Soit f une fonction holomorphe sur @. \ {m,, . . . ,mp} ayant a u plus un pôle simple en chaque m,,de résidu f i E C en m, . L a forme difféntielle f ( t ) dt admet a u plus un pôle simple en mo = 00 s i et seulement si on n

P f(t)

et le résidu à 1 ’inJiniest -

dt =

_fi_ dt

t - m1

E,f i .

Démonstration. - Considérons la forme

P

g ( t ) dt = f ( t ) dt

-

C -dt. fi

t - m,

Par définition de f i , cette forme n’a pas de pôle sur u, ri en y posant t‘ = i / t ,

C .De plus, on

a sur

u,,

fi & = -Af i . - dt‘ t - mi 1 - mit’ t’ de sorte que cette forme a un pôle simple à l’infini, de résidu - f i . Ainsi, la forme f ( t ) dt a au plus un pôle simple à l’infini si et seulement s’il en est de même de la forme g ( t ) dt . Mais dire que g ( 1 ) dt a au plus un pôle simple à l’infini équivaut à dire que g ( t ) dt est une section holomorphe globale du (-1) ( ~ fproposition : 1.2.111,ce qui équivaut à faisceau ai,(1 .ca)Y g ( t ) dt = O , d’après l’exercice 1.2.3. O On a un résultat facile donnant une contrainte sur les matrices résidus des solutions au problème 1.3-(c). 1.6. Proposition. - Soit Z un réseau logarithmique trivial dunJibré méromorphe à connexion ( M ,V) sur P1 . O n a alors Cpotr RésmLV = O.

Démonstration. - On choisit une coordonnée t sur C telle que le point { t = ca} ne soit pas dans C. Soit e une base de CFdans laquelle la matrice de V est

On a alors

C, A,

=O

et par suite

C, tr(A,) = O.

1.7. Remarque (la trivialisation canonique d’un fibré trivialisable). - Soient M une variété analytique complexe connexe et 2 7 un faisceau localement libre de rang d de &M-modules. L’application de restriction fournit, pour tout m E M , une application ï ( M , Z ) + Zmqui associe à toute

1. l.E P R O B L È M ~ DE RIEMANN-HILBERT

157

section holomorphe de 27 sur M son germe au point m. On en déduit un homomorphisme de faisceaux

-

H~ g r ( M , q z. c On dit que Z est engendré pur ses seclions globales si cet homomorphisme est surjectif. On voit aussi que, si M est compacte (par exemple M = P'), le fibré E est trivialisable (ie. isomorphe au fibré trivial de rang d ) si et seulement si cet homomorphisme est un isomorphisme (le démontrer : on utilisera le fait que, pour M compacte connexe, on a r ( M ,@${) = C ), Cet homomorphisme fournit alors un isomorphisme particulier - dit canonique - avec le fibré trivial de rang d. I1 identifie ainsi toutes les fibres E, de E: au même espace vectoriel ï ( M ,8). Lorsque 27 est un réseau logarithmique d'un fibré méromorphe à connexion sur P', à pôles en C, les endomorphismes Rés,) V : E, -+ E,, qui opèrent sur des fibres distinctes de E peuvent, lorsque E est trivialisable, être vus comme des endomorphismes sur le même espace vectoriel r(P',Z). Les matrices correspondantes dans une base de cet espace ne sont autres que les matrices A; considérées ci-dessus (en posant A0 = At).

r;=,

1.8. Exercice (1) En utilisant un argument analogue à celui du lemme 1.5, montrer que, si w est une 1-forme logarithmique sur P', à pôles en mo, . . . ,rn!) et de résidu entier en chaque mi, il existe line fonction méromorphe f sur Pl,à pôles en mo,. . . , ml,, telle que w = df/,f. (2) Soient T I , .. . , 'i, des matrices de déterminant 1. Montrer que s'il existe une solution A l , . . . , Ap au problème 1.1, il en existe une autre A i , . . . , Ah formée de matrices de truce nulle ( i . ~dans . l'algèbre de Lie G l d ( @ ) du groupe de Lie SLd(C)) . On vérifiera d'abord que les Ai ont une trace entière, puis on posera

1.9. Exercice (la formule des résidus pour une forme méromorphe) Soit w une 1-forme méromorphe sur P' à pôles sur un ensemble C = {rno, . . . , m ~ } Montrer, . en s'inspirant de la démonstration du lemme 1.5, la formule des résidus :

P rés,! w = O. 2=0

CIIAPITRE IV I.ES PROBLEMES DE RIEMANN-lIII.RERT ET DE R I M I O F F

158

1.10. Exercice (la formule des résidus pour une connexion méromorphe) Soit 8 un fibré de rang d sur P1 de degré deg k?. Celui-ci ne dépend que du fibré (de rang 1) d é t 8 . Soit V : + (*E) 88 une connexion méromorphe sur 8,à pôles aux points d’un ensemble fini C = {mo, . . . ,mp}. I1 s’agit de calculer le degré de 8 par une formule de résidus à partir de la connexion méromorphe V, à savoir P deg 8 = - C tr Rés,, (V)

(*)

/=O

Ce calcul se généralise à toute surface de Riemann compacte. (1) Soit e une base locale de 8 au voisinage d’un point m, et soit Rt la matrice de V dans cette base. Soit rés,! R, le résidu de Cl, en m,, i.e. le coefficient de d z / z dans fl,, si z est une coordonnée locale centrée en m, ( CJ remarque § 0.9.15). Montrer qu’il ne dépend pas de la coordonnée locale choisie et que sa trace ne dépend pas de la base locale choisie. (2) Montrer que le fibré déterminant A d 8 est muni naturellement d’une connexion méromorphe, dont la matrice dans la base locale el A A e,l en m z est t r f l , . En déduire que les deux termes de (*) ne dépendent que de ( d é t g ” , ) , de sorte que l’on peut supposer dès le début que 8 est de rang 1. (3) Si le fibré 8 est trivial, écrire V = d + y , où r~est une 1-forme méromorphe et appliquer le théorème des résidus classique (CJ: exercice 1.9). (4) Si 8 n’est pas trivial, c’est le fibré associé à un diviseur, que nous poiivons supposer égal à Brno, si 8 = d e g 8 est le degré de 8.Soit s une section méromorphe de E définissant ce diviseur. Montrer qu’il existe une connexion méromorphe V” sur E pour laquelle s est une section horizontale, i.e. telle que Vttfs = df @ Y pour toute fonction holomorphe ou méromorphe f sur un ouvert de P1. Montrer que cette connexion admet -6 pour résidu en mo (si e est une base holomorphe locale de Z au voisinage de rno et si z y est line coordonnée locale, on posera s(z) = z 8 u ( z ) e avec u ( 0 ) # 0 ; on montrera que, dans la base e, on a t . .

avec u (O) # O et on conclura). Considérer alors la connexion V 8 Id - Id @VI’ stir le fibré trivial pour montrer (*) dans ce cas.

8@E*

Revenons au problème 1.3 et montrons d’abord un résultat facile.

I . LE PRORLÈME DE KIEMANN-HII,BEKT

159

1.11. Proposition ( 1) L a rkpon,se ù la question (a) est positive. ( 2 ) Il existe un réseau trivial de ( , V ) qui est logarithmique rn tout mi ( i = 1, . . . ,p ), muas peut-être pas rn mo , (3) Les questions (b) et (c) sont équivalentes.

Dkrnonstration (1) Adapter la démonstration du corollaire 1.4.9 en partant de réseaux locaux qui sont logarithmiques, ce qui est possible puisque (A?',V) est à singularité régulière.

(2) Partons dii réseau logarithmique 8 obtenu en (a). I1 n'est peut-être pas trivial, mais le fibré méromorphe 8(*mo) est trivialisable (corollaire 1.4.9). Choisissons alors une base e l , . . . , Pd du fibré méromorphe E"(*mo) et considérons le réseau E"' ~ ; 4 = ~ de ( ,V). Par hypothèse, il coïncide avec E" sur IP1 \ { m o } , donc est logarithmique en m1,. . . , mF. Par construction aussi, c'est un fibré trivial. Néanmoins, la matrice de la connexion dans la base e l , . . . , f?d n'est peut-être pas logarithmique en mg. (3) Supposons que l'on ait répondu affirmativement à (b). Soit donc 8 un réseau logarithmique quasi trivial de ( ailleurs (&$I (*mo),d) le fibré méromorphe trivial de rang 1 à pôle en r n g uniquement, muni de sa connexion naturelle d (différentiation usuelle des fonctions méromorphes). Les réseaux HPl ( k . m , ~ sont ) logarithmiques (le vérifier). On a de manière évidente (CJ: O.lI.b) (@pi(*W),d) 8 ( L , V ) = ( J > V ) .

Ainsi, lorsque 8 est un réseau logarithmique de ( M ,V) , les réseaux (k. mo) @ E" sont aussi logarithmiques ( $ 0.14.b). si E" est quasi trivial, isomorphe à Hpl (U)" pour un certain P 6 Z , le réseau &$I (-C . m g ) 8 est trivial. O

1.12. Remarque (le problème de Riemann-Hilbert en présence d'une forme biiinéaire). - Soient 7 U 1 , . . . , wt, des entiers. Posons w=

7u, dt c--. m1

1=1 t

-

C'est une I-forme sur P' à pôles logarithmiques aux points de C, de résidu mL et - CUI, en mg = CO. Le fibré trivial est alors un réseau logarithmique du fibré méromorphe à connexion (&$I (*C), d + O).Ce dernier est isomorphe au fibré (&$,I ( * C ) , d ) via la multiplication par la fraction rationnelle t - m,) . 7u, en

n(

CHAPITRE

160

n’.LES PROBLEMES DE RIEMANN-HILBLRT E?’

. . ,Ap

DE B I R H I O F F

P

C

Ai dt. On note ( B , V ) le fibré t - mi trivial L : @ muni de la connexion V qui a pour matrice 52 dans la base canonique. C’est un réseau logarithmique du fibré méromorphe à connexion Soient A l , .

E Md(@) et

R=

~

i=l

(@il

( A V) , (*C), d + O ) . La matrice de V dans une autre base de 2 7a la forme C-’RC avec C E GLd(@). La proprié té (*)

~ C E G L ~ ( @ V) ,i = 1, ...,fi,

C-lA,C+t(C-’A,C)

=w,Id

-

équivaut à l’existence d’un accouplement non dégénéré

(g, V) @3 (g, V) (@PI, d + 0) > c’est-à-dire d’un isomorphisme (g*, V*) (g, V + w I d ) . Pour

qu’une telle propriété soit remplie, il est nécessaire que l’on ait un isomorphisme

(A&’*, V*) A

(d, V + w Id)

et donc ( M * V*) , 2 (A&’, V ) . Au ni de la correspondance de RiemannHilbert, ceci est équivalent à l’existence d’un isomorphisme des systèmes locaux correspondants. Autrement dit, étant données des matrices T I , .. . , Tp E GLd(C), pour résoudre le problème 1.1 avec la condition supplémentaire A, + %, = 7u2Id, il est nécessaire que les matrices T i , . . . , Tp soient conjuguées, par une même matrice, à des matrices orthogonales ( Z.P. satisfaisant tT = T-’ )

2. Fibrés méromorphes à connexion irréductibles 2.1. Déjïnition (de l’irréductibilité). - NOLISdirons qu’un fibré méromorphe à connexion ( d , V ) est irréductible s’il n’existe pas de sous-fibré méromorphe M distinct de A&’ et O et sur lequel V induit Line connexion, i.P. tel que V ( H ) c cl;, @HP, M. La première partie de l’énoncé qui suit est due à Plemelj [PleOS] (voir aussi [Tre83]) et la seconde à A. Bolibroukh et V. Kostov (voir par exemple [AB94, chap. 41). La demonstration que nous présentons est due à O. Gabber. C’est ce théorème qui servira à donner des réponses positives aux problèmes de Riemann-Hilbert et de Birkhoff.

2.2. Théorème (existence d’un réseau quasi trivial). - Soit (A, V) unjLbré mhomor-he Ù connexaon sur P à pôle3 en les poants mo,. . . ,mp . Sozi 8 un réseau , V) d’ordre r, O eri chaque m2 ( a = 1,. . . ,fi) et admettant une baTe localp nu voasanap de mg (coordonnée t ) dans laquelle la matnce ~ Z PV (IC la forme A d t / t avec A E Md (C) . Suppoîons que I une des deux condztzons cz-dmout sott tatasfatte :

’

(1) (Plemelj)la matrice A est semi-simple; (2) (Bolibroukh-Kostov) leJibré Ù connexion ( ,V) e.yt irréductible. qui coincide avec E" en re.striction Ù P1 \ { m o } , Alors il existe un réseau E"' c qui pst logarithmique en m() et qui est quasi trivial.

Premiirepartie :Plemelj. - I1 s'agit de fabriquer un sous-réseau de g de défaut n u l ($ définition 1.4.13). Nous allons effectuer une suite de modifications du type de celles de la proposition 1.4.11 et appliquer le corollaire 1.4.14. Puisque le résidu Rés,,, V est semi-simple, il existe une droite propre Lo c E,(, pour ce résidu qui n'est pas contenue dans (t;n~+lE),o. Le fibré g ( L " r n 0 ) satisfait les mêmes propriétés que 2 7 : si Lo porte par exemple le vecteur e d ( m g ) , une base locale de 2?((Lom(j)est el,. . . ,q - 1 , e d / l et la matrice de la connexion dans cette base et cette coordonnée est A ' d t / t où A' est la matrice diagonale (al,. . . ,q - 1 , ~ ,+i 1) si A est la matrice diagonale ( X i , . ..> E d ) . Si l'on a S ( E ) > O, le corollaire 1.4.14 montre que le défaut de g ( L " m o ) est < 6 ( E ) . Par une récurrence simple, on obtient de cette manière un réseau E'' contenu dans E"(S(E)) qui est logarithmique en m()et qui est de défaut nul, i.e. quasi trivial. Le réseau 8' = g"(-S(E)) est alors solution du problème.

O 2.?. Exercice (adjonction d'une singularité apparente). - Soit (A, V) un fibré méromorphe à connexion à pôle en C = {mo, . . . , mp}. Soit ml,+l E P' \ C. Montrer que la concluîion du théorème 2.2 est satisfaite pour le (kf'(*mp+1),V) et tout réseau E" de M (on fibré à connexion ( M , V ) poiiira appliquer le théorème de Plcmelj ni1 point mp+l).On dit que rnp+1 eut une sznLplamté apparmtc du fibré X connexion ( M ,V) . Lkuxième partir :Rolibroukh-Kostoi). - Le point essentiel est que la condition d'irréductibilité permet de donner une majoration a pm'om' du dijizul de tout reseau E" qui coïncide avec E en restriction 2 P' \ { w z o ) et qui est iogaritlimiqiie cn " 0 . Posons r = -2 + ~ ~ , , ) + < 1) r ~ avec ro = O et K = d ( d - l ) r / 2 . Corniiieiiçons par iin résultat geiiéral, sans supposer r(j : O.

2.4. Proposition (majoration a priori du défaut). - SupPoJon5 (A, V) art& ductablc. On a, pour tout réseau 2? d'ordrp t L 2 O en vi, (z = O, . . . ,fi), lin6gcllzté 8 ( h ) K.

<

Bhnonstrataon. - Nous pouvons supposer d 2 2 , sinon les deux termes de l'inégalité sont nuls. Si a1 3 . . . 3 ad est le type de E , on a un isomorphisme E Y &,Hpl( a k .mu). Ori dispose d'une connexion méromorphe d (à pôle

162

CHAPITRE nr.LES PRORI

EMES

DE RIEM.\NN-HILBERT ET DE KIKKHOFF

en mo uniquement, celui-ci étant logarithmique) sur chaque facteur. Posons O = V - d. Ses composantes 8 k p sont des morphismes &$I -linéaires

Le terme de droite est isomorphe à Hpl ( a l 1.2.11. Donc, d’après l’exercice 1.2.8, on a

+ r ) , d’après la proposition

# 0 * a/<< at + r. - ak+l > r , on a H3( = 0 pour tout 1 6 k OkB

S’il existe k tel que ak

et t!

>k +1

et par suite le sous-fibré F’AE “f @3Gk&pl ( a 3 ) ($ exercice 1.4.8) est stable par 9 et donc par la connexion V , ce qui est impossible du fait de I’hypothèse d’irréductibilité. On a donc - ah+l r pour tout k = 1,.. . ,d - 1 et on en déduit immédiatement l’inégalité sur le défaut B ( E ) = Cf=,(a1 - a h ) . Notons pour terminer que l’hypothèse de la proposition implique en particulier d = l OU r > O . O

<

2.5. Remarque (la condition de semi-stabiiité, I# [GS95]). - Soit (4, V) un fibré méromorphe à connexion, à pôles aux points de C,pas nécessairement irréductible. Un réseau 8‘de & est dit semz-rtnhle (en tant que tnlzsfnzsnnt fibré à connexion méromorphe) si tout sous-fibre F de V ( T ) c Cl;, (*C) @Fest de pente p ( F ) p ( 8 ) ( 4 exercice 1.4.8).La proposition précédente montre en fait que l’inégalité sur le défaut est satisfaite pour les réseaux semi-stables d’ordre r , O en m, . Lorsque (&, V) est irréductible, tous les réseaux sont semi-stables.

<

>

A n de ln dimonstration du théorème 2.2. - Par hypothèse, il existe une base locale de 8 au voisinage de mo et une coordonnée locale t telle que la matrice de la connexion ait la forme A d t / t avec A constante. Quitte à faire un changement de base de matrice constante, on peut de plus supposer que A = RCS,~,, V est sous forme de Jordan. Notons ( e , , ( ) cette base, oii K parcourt un ensemble fini indexant les blocs de Jordan et, pour chaque K , l’entier I parcourt un ensemble fini I, = {l,.. . , v ~ } .Si A ( K ) désigne la valeur propre associée au bloc de Jordan K , on a

+ 1))/2. On choisit Notons coiiinie plus haut R = d ( d - 1) ( - 2 + Cf=o(rL O ( B E Z,) pour chaque K une suite strictement croissante d’entiers na,^ telle que, pour tout E et tout E { 1,. . . , v a } , on ait N,,L > N,,p-l R (en posant N,,o = O ) .

>

+

2 . FIBRÉS MÉROMORP~ IEÇ

On pose alors

= t'V Z'ecn,ç.

A CONNEXION

IRRÉD~ICTIBLES

163

Les ea,p engendrent un réseau local de

(d, V) , qui est contenu dans E" au voisinage de rno. On obtient un réseau global E"' qui l'étend en recollant ce réseau local avec ~ p i , ( , , L o l . Notons que, quel que soit le choix des suites le défaut du réseau gf est majoré par le nombre R , d'après la proposition 2.4. I1 est clair que le réseau 8'est d'ordre r, en tout m, # mg puisqu'il coïncide avec 8 au voisinage de ces points. On a de plus

la matrice de la connexion au voisinage de de sorte que, pour le réseau 8', mu a la forme

.n'(t) = ( n + tK+Ic0 t) ; où il est diagonale constante et C ( t ) est à éléments holomorphes. La situation est maintenant analogue à de celle du théorème de Plemelj, à une perturbation d'ordre R près. La modification du réseau E"' faite au théorème de Plemelj a ici pour effet de remplacer la matrice de la connexion par une matrice (111 + t K C i ( t ) )d t / t , avec D l diagonale, de sorte qu'on peut itérer R fois une modification de ce type si nécessaire, en gardant ii chaque étape la formc (Ilk + t " - h + ' C k ( t ) ) t dt à la matrice de la connexion ( I l /
obtenir, par au plus S(E"')

modifications, un réseau de défaut nul.

O

2.6. Corollaire (existence d'un réseau trivial). - Soit ( , V) un jibré mhomorphe admettant C pour ensemble depôle,s et ayant en mo une singularit4 rkgulière. Si l''une des conditions suivante es1 réali.ske : ( I ) (Plemelj)la monodromie en mo es1 semi-simple, ( 2 ) (Bolibroukh-Kostov) lu repré.sentation X I (P'\ C, O) 4 GLd((C) associée k (d, V) est irréductible, ( 3 ) lejïbré mhomorphe ( il existe, pour tout rkseau 8

qP\{rn"}>

(a) q;l\{mo, = (b) E"f est logarithmique en mo, (c) g'est triuial. Démonstration. - Soit Z un réseau de d . Puisque ( régulière en mo, il existe un réseau logarithmique de mo. En restriction à A \ {mo}, il coïncide avec

, V) est à singularité sur un voisinage A

qA,fTn,l} = 4~\{,,~,,}. On

164

CHAPITRE IV. LES PROB1.EME.S DE RIEMANN-HII.BERT ET DE RIRKHOFF

peut ainsi construire un réseau 8’’ qui satisfait les propriétés (a) et ( b ) , en recollant àg o sur A \ {mo} à l’aide de l’identification ci-dessus. On peut de plus, d’après l’exercice 11.2.6 ou le corollaire 11.2.21, siipposer que, dans une base locale convenable de Eo,la matrice de V est de la forme A d t / t avec A constante. Si la monodromie T est semi-simple, on peut choisir pour A la matrice semi-simple logT (pour un choix quelconque de logarithmes des valeurs propres de T ) et on conclut à l’aide du théorème de Plemeij et de la proposition 1 . 11-(3). Si la représentation associée au fibré holomorphe à connexion (A, V) l p\c~ est irréductible, il en est de même di1 fibré méromorphe (A, V) (le vérifier, mais attention, le contraire n’est pas toujours vrai) ; ainsi, la condition (2) est plus forte que la condition ( 3 ) . On conclut dans les cas (2) et (3) à l’aide du théorème de Bolibroukh-Kostov 2.2-(2) et de O la proposition 1.11-(3).

qpl,r,nol

3. Application au problème de Riemann-Hilbert Soit (A, V) un fibré méromorphe sur P1 à pôles aux points de C. Supsoit à singularité régulière en tout point de C. posons de plus que 3.1. Corollaire. - Si l u n e dP.5 deux conditions suivante est réalisée : - la monodromie de ( , V) rn mo est semi-simple, - la représentation de monodromie attachée ù ( A V , ) l p ~ , x rst irréductible,

il existe une solution a u problème 1.3-(c). Dimonstration. - En effet, on construit un réseau logarithmique C? de A par recollement de réseaux locaux. On applique à ce réseau le corollaire 2.6. O

3.2. Remarque. - Du fait de l’équivalence de catégories donnée par le corollaire 11.3.3, les deux conditions suivantes sont équivalentes lorsque ,V) n’a que des singularités régulières : - la représentation de monodromie attachée à (A, V ) l p ~ \ c est irréductible, - le fibré méromorphe à connexion ( A V) , est irréductible. Le problème de Riemann-Hilbert 1.1 se traduit maintenant comme suit. Étant donné un faisceau localement constant Y de rang d sur P’ C, existe-t-il sur le fibré trivial E de rang d une connexion V à pôles au plus logarithmiques aux points de C, telle que sur P1 \ C on ait E” E Y ?

3. APPI.ICATION

PRORLEME

DE RIEMANN-HILBERT

165

On dit que Y est irréductible s'il n'existe pas de sous-faisceau localement constant Y'c F de rang d' E ] O , d [ . I1 revient au même de deniander que la représentation attachée à Y soit irréductible. 3.3. Théorème. - Lorsque 1 u n e des conditions suivantes est satisfaite : - 1une des matrices de monodromie To, . . . , Tp est semi-simple, - la représentation T C I ( C \ { m l , . . . , mp}, O) + GLd ( C ) est irrkductible,

le problkme de Riemann-Hilbert 1.1 a une solution. Démonstration. - Partons d'un faisceau localement constant irréductible la correspondance de Riemann-Hilbert 11.3.3, un fibré méromorphe à connexion ( , V ) à singularité régulière aux points la deuxième hypothèse, celle-ci est irréductible au sens du 52.1 de C. SOLIS puisque la correspondance de Riemann-Hilbert est une équivalence de catégories. On lui applique alors le corollaire 3.1 pour conclure. O

Y. Associons-lui, par

3.4. Remarque (la position des singularités influe sur l'existence). - Saris hypothèse d'irréductibilité ou de semi-simplicité, on peut aussi montrer (CJ: [Dek79]) que la réponse au problème 1.3-(c) est positive lorsque le rang di1 fibré est égal à 2 (la réponse dans le cas de rang 1 est trivialement positive). Nous donnons ci-dessous (en exercice) la solution proposée par A. Bolibroukh, plus élégante que la solution originale de Dekkers. Néanmoins, dès le rang d = 3 , il existe des exemples non irréductibles pour lesquels la réponse est négative. On consultera [AB941 pour une description de certains d'entre eux. I1 faut noter que l'existence ou non d'une réponse positive au problème 1.1 peut dépendre de la position des points mo, . . . ,mp dans Pl.Rappelons que l'on peut, par un automorphisme de P', placer mo, mi,m2 en CO, O, 1 respectivement. La position des autres points est alors l'invariant analytique de la configuration des points ; par exemple, le birapport est l'invariant analytique de la position de quatre points dans IP . Cependant, s'il y a une solution au problème 1.1 pour une position des points mg,. . . ,m p , il y en a aussi une pour toute position assez voisine. En effet, soit p" : XI(IP' \ E", O) -+ GLd(@.)une représentation. Soit Ci" une réunion de disques centrés aux points de Y ' , deux à deux disjoints et ne contenant pas le point o. Si E" est une configuration de points de P' ayant exactement un point dans chaque composante de U o ,il existe un isoniorphisme naturel nl (Pl\ C", O) E nl (P'\ Co, O) obtenu en composant les isomorphismes induits par les morphismes d'inclusion

On en déduit une représentation p : x i (P'\

E",O)

--f

GLd(@.)

166

(:HAPITRE

IV.I.ES PKOBLÈMES DE RIEMl\NN-IIILBERT ET DE B I M I O F F

FIGURE1 . L'ouvert U " .

Alors, s'il existe une solution au problème de Riemann 1.1 pour la représentation p", il en existe aussi une pour la représentation p, pourvu que U" soit assez petit. En effet, soit X le produit de p + 1 copies de P' privé des diagonales m, = ml . Dans P1 x X , considérons les hypersurfaces C, = { ( m ,mg, . . . ,mp) 1 m = m,).

Elles sont lisses et deux à deux disjointes. Soit C leur réunion. Les points de C" définissent un point xo = (m;, . . . , m;) de X . I1 existe par hypothèse un fibré trivial ( E o ,Vo) sur P' x {x"} niuni d'une connexion logarithmique a pôles aux points de Co, dont la représentation associée est pu. On peut alois appliquer les remarques 111.1.22 et 111.1.21 pour construire un fibré ( E ,V) sur U x IP' à connexion logarithmique le long de C qui se restreint à (E", Vo) si U = JJUl est un voisinage ouvert contractile de xo dans X . Le théorème de rigidité des fibrés triviaux 1.5.4 montre que, quitte à supprimer de U une hypersurface O ne contenant pas x", le fibré E , est trivial pour tout x E U \ o.

3.5. Exercice (autres exemples de solution au problème de Riemann-Hilbert 1.1, [Bo195, Dek791) (1) Montrer que, si la représentation de monodromie p est abélienne, i.e. si les matrices T, = p(yz) comrnutent deux à deux, il existe une solution au problème 1.1 (on montrera d'abord que les logarithmes des matrices T, cornmutent deux ii deux). ( 2 ) On suppose maintenant que la représentation p est de rang 2 ( i . e . à valeurs dans GL2 (C) ) . (a) Montrer que, si la représentation p est rbdurtzble, les matrices 7; ont une droite propre commune. En déduire qu'il existe Line base dans laquelle chaque matrice est triangulaire supérieure.

(b) Montrer que, si de phis aucune des T, n’est wmi-simple, les T, commutent deux à deux. (c) En conclure qu’il exkte une solution aii problème 1.1.

4. Compléments sur l’irréductibilité

Nous allons donner line interprétation matricielle de la condition d’irréductibilité. Nous dirons qu’un p-uplet de matrices M I ,. . . , il$ E Md ( C ) est irrbductzbk s’il n’existe pas de sous-espace vectoriel de C d ,distinct de O et C“,qui soit stable par les M , . Le classique lrininr dp Schur montre que cette condition est équivalente au Fait que les seules matrices qui commutent à M I , . . . , M!) sont les matrices scalaires. 4.1. Théorème. - Sozt ( , V) un Jbrk mhmorphe dP rang d n connpxzon sur & PÔIPFr n C et & szngulnmtk rkgulzpre rn tout m,E C . Consadéronc ler l.>ropnétPy suzrinnte;\ ‘ (1) (A?’,V) est arrkductzble; 1 C, O ) , ir -1> 1-upLrt formé $CF ( 2 ) pour tout cfiozx gbnhntrurî ù~ (IF’ matmcec de monodroinw Yb, . . . ,Tj, pst zrrkductzblp ; unr coordonnbr t cur 1 { m o } , 2 1 pxzstr unp bare e l , . . . , pd ) dan$ lnquellr In mntncp de In (onnexton Cl n In forme (1.4) où ( A l , . . . , A!,) e5t un p-uplrt zrréductzble, (4) 21 exzctr un résmu lognnthînique E dr (A?‘,V), tmvzal CommP

P

+

module, trl que les endomorphzsmpc Rés,,, V (i = 1,.. . ,f?) ophant rur T(P1,E) (cf. rprnarque 1.7)Jorment un f)-u@~tzrrkdur tzble. A l o r c o n n (1) e ( 2 ) , (3) e (4) etenfin (1) o u ( 2 ) =+ (3) o u ( 4 ) .

Démonstration. - L’équivalence de ( 1 ) et (2) a été indiquée à la remarque 3.2. Par ailleurs, la remarque 1.7 montre que (3) et (4) sont équivalents.

(1) 3 (4) : si (&?‘,O) est irréductible, le corollaire 5.1 fournit un réseau logarithmique trivial. Si les résidus de la connexion sur ce réseau en m l , . . . , mL ne forment pas tin fi-iiplet irréductiblc, tin soiis-espace de r p l ,E“) invariant par ces résidus cst aussi invariant par le rCsidii en ?no, piisqiic l’on a Rés,,, V = - /=1 Rés,, V , et on peut alors construire iin sous-fibré propi-e de li stable par la connexion. Elle est nécessaircrrient 5 pôles logarithmiqiics en tout rni sur le fibre ainsi construit, piiisqii’elle l’est sur K . En tensorisant ce sous-fibré par @(*X), on obtient lin sous-fibi-é mCromorphc à connexion de (A, V) de rang < d , ce qui est conti”nc1’ictoire avec l’hypothèse d’irrédiictibilité.

E”

168

CHAPITRE IV. LES PROBLÈMES DE RILMANN-HII.BEKI‘

LT DE BIMIOFF

4.2. Remarque. - L’implication réciproque (4) + (1) est fausse. La raison en est que la condition (4) signifie que E n’a pas de sous-fibré logarithmique trivial stable par la connexion, alors que la condition (1) signifie pour E qu’il n’existe pas de sous-fibré logarithmique n o n nécmairement trivial stable (au sens méromorphe) par la connexion (utiliser un réseau de Deligne). L’exercice ci-dessous donne un contre-exemple ; il m’a été fourni par A. Bolibroukh. On peut aussi regarder [Bo195, prop. 5.1.11. 4.3. Exercice (dû à A. Boiibroukh). - On considère les trois matrices

et sur le fibré trivial de rang 2 sur C la forme Cl =

A2 - + __

+ -)A3

dt.

t-1 t+l (1) Montrer que le fibré méromorphe à connexion (A, V) qu’il définit n’a de pôles qu’en mg = O, ml = 1, m2 = -1 (et pas à l’infini) et qu’il est réductible (i.e. non irréductible).

(2) Soit P ( t )

= (3;4t

y)

E GL2(@[t-’1)

(1l

. Calculer la matrice de la

connexion après le changement de base de matrice P . ( 3 ) Montrer que la nouvelle base de A engendre un réseau logarithmique trivial et calculer les matrices résidus aux pôles m,. (4) Montrer, en calculant les espaces propres de ces matrices, que ces dernières forment un triplet irréductible et conclure.

5. Le problème de Birkhoff 5.a. Problèmes de Birkhoff analytique local et algébrique. - Commençons par le problème local et considérons un disque centré à l’origine de C , muni de la coordonnée(‘) T . Donnons-nous donc sur ce disque une connexion méromorphe d’ordre r O sur le fibré trivial. Dans une base de ce fibré, la matrice de la connexion est de la forme A ( T ) ~ Toù A(T) est une niatrice carrée de taille d telle que T‘+’ A(T) soit à coefficients holomorphes dont au moins un ne s’annule pas en T = O. 5.1. Problème de Birkhoff analytique local. - Existe-t-il une matrice P ( 7 ) dans GLd(@), où B e.yt l’anneau des séries convergentes en O (i.e. P est iI copfJicients holomorphes et son déterminant ne s’annule pas en O ) telle que la matrice R ( T ) = (‘)Le changement de noin pour la coordonnée permettra dans ia suitc d e mieux distiiiguerles objets et lcirr. transforrri6s de Foui-ier.

5. LE PROBLEME DE RIRKHOFF

P-’AP

+ P-‘P‘

où B-1,.

s’écrive sous la forme B(T) = r-(r+l)B-(r+l)

(5.2)

169

+

‘

’ . + T-lB-,

. . , B-(r+l) sont des matrices constantes ?

On dit alors que la matrice B est sous forme normale de Birkhoff : elle n’a pas de coefficient d’indice > O dans son développement de Laurent en O. Remarques ( 1 ) Si l’on demande seulement que la matrice B ( r ) soit une fraction rationnelle sans pôle autre que O, c’est-à-dire si l’on autorise aussi des coefficients Rk avec k 2 O en nombre fini, le problème a une solution (voir le corollaire 11.3.8).C’est ce résultat qu’a montré Birkhoff dans [BirOS] (voir la démonstration de Birkhoff dans [SibSO, § 3.31). (2) Dans l’énoncé du problème de Birkhoff, on ne fait pas d’hypothèse sur le germe de fibré méromorphe sous-jacent : celui-ci peut avoir une singularité régulière ou irrégulière (dans le premier cas, la matrice B-(r+l) est nilpotente). I1 est très simple ($ [Gan66, vol. 2, p. 1431, voir aussi [Mas59]) de donner des exemples où le problème n’a pas de solution (contrairement 2 ce qu’avait cru démontrer Birkhoff) : lorsque T = O, le problème revient à savoir si tout germe de réseau logarithmique admet une base dans laquelle la matrice de la connexion est de la forme B-I/T; si la monodromie n’est pas semi-simple, il existe des formes normales de Levelt qui ne sont pas de ce type (choisir une filtration décroissante non triviale de H qui soit stable par la monodroniie, cf: § III. 1.a). ( 3 ) Par ailleurs, Tiirrittin ([TuI-631,voir aussi [SibSO, s3.101) a montré que, lorsque les valeurs propres de A-(r+ll sont deux à deux distinctes, il existe une matrice P E GL~(&[T-’]) telle que B ait la forme (5.2) (avec le même indice r , ce qui n’est plils évident puisqiie P peut avoir un pôle en O ) . Nous allons aussi considérer le problème sous sa forme algébrique. Dans ce cas, nous supposons que A(T) est à éléments dans l’anneau C [T,7-’1 des polynômes de Laurent.

5.3. Problème de Birkhoff algébrique. - Supposons de plus que la connrxion de matrice R = A(.r)dr nit u n e sin
[TI)

Notons toiit de suite que le problème algébrique n’est qu’un cas particulier du problème analytique local : en effet, dans la situation algébrique, supposons avoir trouvé une matrice P E GL(~(C{T})mettant la matrice

170

(:I IAPITKE I\#. I.ES PROBLÈMES DE RIEMANN-HILBEKT ET r)E BIKKHOFF'

sous la forme ( 5 . 2 ) . Alors P est un germe en O de solution du système P' = Pi3 - A P , qui est algébrique et à singularité régulière à l'infini. Ceci implique que P est à coefficients polynomiaux (CJ: exercice 11.3.10). On montre de même que P-' est à coefficients polynomiaux. Notons aussi que, dans le problème analytique local 5.1, nous pouvons supposer que la matrice A ( T ) ~ Test comme dans le corollaire 5.3 : il suffit en effet d'appliquer le changement de hase fourni par le corollaire 11.3.8. Reformulons le problème algébrique de manière équivalente :

5.4. Problème de Birkhoff algébrique (bis). - Soit (&, V) unfibrk méromorphe de rang d sur P', & pôle en O et 00 uniquement, muni d U n e connexion ayant une singulnritk réLguli&e en 00 et admettunt au voisinuge de O un réseau d'ordre r >, 1. Existe-t-il un rksenu de ( , V) qui coincide avrc le réseau donné au iJoisinuge de O , qui soit logarithmique à l'injni et qui soit isomorphe aujibré trivial de rang d ? En utilisant la topologie de Zariski et la proposition 1.4.15, nous obtenons la formulation suivante :

5.5. Problème de Birkhoffalgébrique (ter). - Soit ( M , V) un C [T, T-'1 -module libre d~ rang d muni dune connexion & pôle en O et 00 uniqwmrnt, ayant une singulam'tk r(quliPre en 00. Soit E 0 c M un C [ T] -module libre qui est un rGsenu d'ordrp r 3 1. Existp-t-il sur Urn un rksmu Ea c M logarithmique en CO tel q u p l'on nit lEi".~= (EOn TEoo) CE TE()? Enfin, nous pouvons reforniuler l'équivalence entre le problème de Birkhoff local 5.1 ct le problème de Birkhoff algébrique 5.3 ou 5.5 dans la proposition ci-dessous, dont la démonstration (facile) est laissée aux lecteurs. Soient (M, V) un ( k ,V)-espace vectoriel de rang d et (A, V) un fibré méromorphe sur P', à pôle en O et 00,avec une singularité régulière en 00, dont le germc (A, V)o est isomorphe à (34,V) ; nous savons (cf: corollaire 11.3.7) qu'un tel fibré est unique à isomorphisme près. Soit E un réseau de M.

5.6. Proposition (les différents problèmes de Birkhoff sont équivalents) (1) Sa e pet une bace d~ E dune laquelle la mutmre de V (I la J o r m (5.2) e c M Pst eiablr par ln - Le C [~,r-l]-modulr M %' C[T,T C ' ] ronnrxion V rt crlle-ra n'u de czngulamté qulrn O el 00, tette dw-natre élarit régulatre ; - le C [ T] -module IG '2' f 2[T] . e cinnlylaquP I h 1 'orzpnr ;

cE

pn

est un rkwnu sur ri,), de gw-me

- le C [T-’] -module E , ‘fi C [T-’1 . e en est un réseau loçamthmzque a linfina donnant une solutzon a u probleme 5.5 pour Eo. (2) ficaproquement, sa Eo est un réseau de M îur Uo de gyrme analytzque E en O et sa E, est une solutzon a u problème 5.5 pour Eo,une buse d u jîbré tmvaal d$nz p a r (EO,E,) znduzt une baw de E dans laquelle lu matmre de la ronnexzon a la forme (5.2). O

Si d = 1, il existe une solution au problème 5.1 ( 4remarque III.2.13(2)). Le corollaire 2.6, quant à lui, implique immédiatement :

5.7. Corollaire (solution au problème de Birkhoff dans le cas irréductible) Si (A, V ) est irréductible, ou s i la monodromie de (A, 0 )I @ * est semi-simple, O

la réponse a u problème 5 . 3 est positive.

5.8. Remarque (problème de Birkhoff en présence d’une forme sesquilinéaire). - Soit ( E , O ) un réseau solution du problème 5.4. I1 existe une forme bilinéaire (res$. sesquilinéaire) non dégénérée de poids w E Z sur (kY,V) si et seulement si, après conjugaison par une même matrice constante C E GLd(C), les matrices B-k sont antisymétriqiies (res$. ( - l ) k symétriques) pour k 2 et R-1 + ‘B-1 = wid. Pour qu’une telle forme -_ existe, il est nécessaire que l’on ait (A?’”,V*) P (A?’,V ) (re,sf~.e (A, V) ). 5.b. Le critère de M. Saito. - Nous allons maintenant donner un critère d’existence au problème de Birkhoff sous la forme du problème 5.5, critère dû 2 M. Saito (de manich-e un peu différente cependant, c - [SaisSI et aussi [Sab99]).Reprenons la situation et les notations du pC II1.2.b. Soit VI un réseau de Deligne d u germe M’ de A?’ en CO, par exemple celui utilise au chapitre III, tel que les valeurs propres du rCsidii dc V aient une partie réelle dans ] - 1, O ] . Soit VI le C [TI]-soils-modulede M dont le = germe analytique en 00 est égal à VI.On a de manière évidente VI/T~V’ V 1 / ? V 1 espace , que nous notons H I , iniini de sa monodrornie TI. Considérons la filtration croissante de M par les r-”E,) = r”T30, pour k E Z . Elle induit une filtration croissante sur H’ par la formule

G;, = VI

n P E ~ / ( ?nV PE ~ )~ .

Cette filtration est aussi exhaustive

(cf:

lemme 111.2.2).

5.9. Théorème. - Soit C: la ,filtration de Hl ussorile Ù E O . Alors toute décomposition Hl = ePEz H l relativemmt ci laquelle TI est fm’angulaire irprieure (i.e. T ’ ( H j ) c H i Hi+l @? . . . pour tout fi) et compatible ii IaJillrafion G: (i.e. Gk = BPGkHi pour lout k ) d(;J;nitune solution canonique a u firoblYme de Birkh?[f 5.5.

CHAPIïRE IV.LES P R O B I ~ M E SDE RIEMANN-HILBERT ET DE BIRKHOFF

172

I1 sera utile d'interpréter la condition du théorème en terme d'un couple de filtrations :

5.10. h m e . - Il existe une décomposition comme dans le théorème 5.9 si et seulement s fl existe une Jiltration décroissante exhaustiue H'' de H' qui est stable par la monodromie T' et qui est opposée à 1aJiltrution croissante G:, c 'est-à-dirQlelle que

Démonstration. - I1 est clair que la condition du théorème implique celle du lemme, en posant H" = @p,eHj. Réciproquement, si la condition du lemme est réalisée, on montre d'abord par récurrence descendante sur e - k que H" n Gk = O si e > k : c'est clairement vrai pour P - k >> O et on utilise ensuite le fait que, pour e > k , on a HI' n G i = (H@' n Gk) + (Hie n Gk-l). On déduit de ce fait que, si l'on pose H i = H'p n GL, on a H i n H; = O pour p # q . Enfin, on montre par récurrence ascendante sur I 3 O que l'intersection HIk-] "G; se décompose en somme (qui est directe d'après ce qui précède) O H; + . . + H;-, . '

5.11. Exemple. - Supposons que dim H' = 2 et que T' ne soit pas semisimple. I1 existe ainsi une seule droite propre I , pour T ' . Si une décomposition non triviale H' = H i @ H i existe, avec p < q , on doit avoir H; = L et

par conséquent Gb # L . Autrement dit, la filtration G: définie par

GY, = O ,

Go = L ,

Ci = H'

ne satisfait pas la condition du théorème. Par contre, si Go # L , la condition du théorème est satisfaite, de même que dans le cas où T' est semi-simple.

5.12. Exercice. - Expliciter de même la condition du théorème pour dim H' = 3 . Démonstratzon d u thkorème 5.9. - Nous allons construire un C E, solution du problème 5.5 pour EO.Considérons le C [T',

module

module

I1 est muni d'une connexion naturelle induite par celle de M et, si e est une base de H i , donc une C [ T i , T I - ' ] -base de Mreg, la matrice de la connexion dans cette base n'est autre que Résv, V dT'/T'. Notons que M'.'g est à singularité régulière en 00 ainsi qu'en O. Ce module s'identifie, comme indiqué plus haut, au C [ T , à connexion g r , M déjà considéré à la remarqne 11.2.22. Lorsque M n'est pas à singularité régulière en O, on

module

5 . LE PROBLEME DE B I W I O F F

173

ne peut pas identifier M et M I e g , puisque ce dernier module est régulier en O. Par contre, si M est à singularité régulière, ces deux modules sont isomorphes. La filtration H” permet de construire un réseau logaritliiiiique EEg de MIeg : on pose

Par ailleurs, le réseau Mr“g : on pose

EO de M permet de construire un réseau E o g de =

e (E() n Pv)/(IE() n @+IV).

kcZ

La condition du théorème (ou, plus précisément, celle du lemme) signifie exactement que EEg est une solution au problème 5.5 pour le réseau E o g de Mrrrg. Puisque M est à singularité régulière à l’infini, on peut voir Mreg comme un @ [T,T-’1 sous-module de M’ ( CJ remarque 11.2.22).Le réseau E z g définit un réseau E, c M’ en posant E, = @{.’> g ~ @ [IE:~~. / ] 11 existe alors un unique réseau E, de M sur la carte U,, dont le germe en m soit égal à E,. Par construction on a reg . grv,IE, = grv,E, = E,, Puisque Eog = (Eog n E z g )

.Erg, on a, pour tout k

E

Z,

v ’ n~E()= ( v ’n~E()n E,) + (vrk n a0) + ( P + l n IE~). En itérant cette égalité et en utilisant le fait que VIk+‘n E o = O pour on en déduit l’existence d’une décomposition

v ’ n~I

G = ~

O,

( v ’n~I E n~ E,) + ( v ’n~ TE^^).

Montrons que la somme est directe : par hypothèse on a, pour tout k ,

vtkn a0n E, c V + l , donc

v ’ n~TIEO n IE, c vrk+l n TIE^ n E, et, en itérant cette inclusion, on obtient l’assertion.

O

5.13.Remarques (1) On peut montrer (voir par exemple [Sai89, Sab991) que, si on fixe un ordre comme au $ III. 1.c et si pour chaque h on peut trouver une décomposition de H: comme dans le théorème 5.9 compatible 2 la filtration induite naturellement par G. sur H i , alors le polynôme caractéristique de B-1 pour la solution canonique au problème de Birkhoff donnée par le

174

(XIAPI’I RE

n‘.LES PROBLÈME-S DE RIEMANN-IiILREKï

ET DE KIKKIiOFF

x&

théorème 5.9 n’est autre que le polynôme caractéristique (s) associé au comme au 3 III.2.b. réseau 8” (2) La proposition 111.1.6 appliquée au réseau Ez!montre que, pour la solution canonique au problème de Birkhoff donnée par le théorème 5.9, la matrice B-1 est semi-simple si et seulement si la partie unipotente 1; de T’ est triangulaire inférieure relativement à la décomposition @ H i , c’est-à-dire .. . (Tu - Id) (Hi)c H;+] (3) Supposons donnée une forme bilinéaire ou sesquilinéaire non dégénérée de poids w sur EO.I1 revient au même de donner une base de Eo dans laquelle la matrice de V a la forme

où, pour k # -1, Ak est antisymétrique (resp. (-l)‘-symétrique) et A-1 satisfait A-1 + tA-l = w Id. Nous voulons donner une condition pour trouver une forme de Birkhoff avec la même propriété. I1 s’agit d’étendre à IE la forme non dégénérée définie sur Eo.Notons que cette forme s’étend de manière évidente en une forme du même type sur le fibré méromorphe (M, V) et définit donc, par la correspondance de Riemann-Hilbert (cj. corollaire 111.1.12 et exercice III.l.13), une forme bilinéaire non dégénérée sur H’. I1 rCsulte de manière immédiate de ce corollaire que la forme s’étend en une forme de poids w sur E si et seulement si, vis-à-vis de la forme bilinéaire ( , ) sur H’, la filtration H” du lemme 5.10 satisfait /k I = ~ / - k - W + l

et ( H I ) 1 En effet, ces conditions sont équivalentes au fait que la forme sur (M, V) induit sur E, une forme non dégénérée de poids zu, d’où l’existence, par recollement, de la forme cherchée sur E . (H$)L

= H’$-UI

CHAPITRE V

LA DUALITÉ DE FOURIER-LAPLACE

Introduction La transformation de Fourier échange les fonctions de deux variables réelles x,y à décroissance rapide à l’infini ainsi que toutes leurs dérivées et les fonctions du même type en les variables y, 5. Si l’on pose t = x + zy et 8 = 5 + iq (variable notée T’ dès le 8 2 ) , elle s’exprime par la formule

La transformation inverse s’exprime par une formule analogue utilisant le noyau e t f i P L o .On étend ces transformations, par le procédé usuel de diialité, aux distributions tempérées. Si la distribution tempérée rp est solution d’une équation différentielle linéaire holomorphe à coefficients polynomiaux

alors la distribution ad(-a/aO)

q est elle-même solution de l’équation différentielle +‘.‘+a1(-a/ao)(si;) + a o ( - a / a o ) q = o.

(Oq

Dans ce chapitre, nous allons étendre l’aspect algébrique de cette transforniation, tcl qu’il apparaît sur les équations différentielles ci-dessus, aux réseaux des (C( t ) ,V) -espaces vectoriels. Nous mettrons ainsi en correspondance, sous certaines conditions, les solutions dii problCme de Birkhoff et les solutions d’un problème de Riemann-Hilbert partiel. La transformation de Fourier présente aussi une variante locale, la microlocalisation. Cette dernière nous sera utile pour analyser la dualité sur les réseaux et son comportement par transformation de Fourier. La transformation de Fourier n’induit pas une correspondance entre (C ( t ) ,V)-espaces vectoriels et (C ( O ) , V)-espaces vectoriels : en effet, des

176

CHAPITRE V. LA DCTALITÉ DE FOURIER-I.APIhCE

phénomènes de torsion peuvent intervenir, puisque, dans le cas des distributions tempérées par exemple, la transformée de Fourier d’une fonction constante est une distribution à support ponctuel. La transformation de Fourier opère naturellement sur les modules sur l’algèbre de Weyl d’une variable. On trouvera une étude détaillée de cette transformation dans [Mal911. Nous présenterons seulement les propriétés utiles pour la transformation de Fourier sur les réseaux.

1. Modules sur l’algèbre de Weyl Nous ne donnerons pas de démonstration complète pour les résultats qui suivent. Les lecteurs pourront se reporter par exemple à [Bj079, BdM83, Cou95, Ehi87, Kas95, Sab93, GM93, Mal91, Sch941.

1.a. L’algèbre de Weyl d’une variable. - I1 s’agit de l’algèbre quotient de l’algèbre libre engendrée par les algèbres de polynômes
où les ai sont des polynômes en t et ad # O. On appelle d le drgré de l’opérateur. Le produit de deux tels opérateurs se ramène à cette forme en utilisant la relation de commutation (1.1)

d,a(t) = a(t)d, +a’@).

Son degré est égal à la somme des degrés de ses facteurs. Le symbole d’un opérateur est la classe de I’opkrateur modulo les opérateurs de degré strictement inférieur. L‘ensemble des symboles d’opérateurs différentiels, muni des opérations induites, s’identifie à l’algèbre des polynômes de deux variables à coefficients dans @: qui, rappelons-le, est un anneau noethérien. Ceci permet de montrer que l’algèbre de Weyl est elle-même noethérienne à gauche et à droite. L’algèbre de Weyl contient cornme sous-algèbres les algèbres C [ t ] (opérateurs de degré O ) et @:[a,] (opérateurs ii coefficients constants). La transposition est l’involution P H ‘P de C [LI (8,)définie par Ics propriétés suivantes : ( 1) ‘( P . 9)= Q.‘P pour tous i: 9 E C [ t ] (a,), (2) ‘I = P pour tout P E @: [ t ] , (3) “,=-a,.

1. M0DUI.E.S ÇUK L ’ A I G F R R E DE CL’EM.

177

1.b. Modules holonomes sw l’algèbre de Weyl. - I1 y a équivalence entre C [ t ](&)-modules et C [ t ]-modules munis d’une connexion : la règle de Leibniz pour les connexions se traduit par le fait que l’algèbre de Weyl, dans laquelle la relation (1.1) est satisfaite, op&e ù guuche sur le C [t]-module M , prolongeant ainsi l’action naturelle de C [ t ]. Par module >> sur l’algèbre de Weyl nous entendrons dans la suite (sauf mention explicite) module ù gauche de typeJini sur C [ t ] ( a t ) . <(

À gauche et puis ù droite, ù droite et puis ù gauchc - Si M d est un module à droite sur C [ t ](a,), on le munit canoniquement d’une structure de module à gauche Mg en posant, pour tout rn E M I d , p . m E‘ m‘ri Réciproquement, à tout module à gauche est associé canoniquement un module à droite. Tout module admet donc une présentation .A C [ t ](3,)” C [ t ](at)q M ---f O (1.2)

-

-

1 x q à déments dans C [ t ](&). Les vecteurs sont ici écrits en ligne, la multiplication par A se fait à droite et commute ainsi à l’action à gauche de C [ t ](a,). Nous dirons qu’un module M sur C [ t ](3,) est holonome si tout élément de M est annulé par un opérateur de C [ t ](a,), i.e. satisfait une équation différentielle non triviale. Cette équation peut être de degré O : nous dirons alors que l’élément est de lorsion. Un module holonome ne contient par définition aucun sous-module isomorphe à C [ t ](a,). Dans une suite exacte de C [ t ] (a,) -modules où A est une matrice

O+M’”M’’-O le ternie du milieu est holonome si et seulement si les extrêmes le sont. 1.3. Exercice (produits d’opérateurs et suites exactes de modules) (1) Montrer que, dans l’algèbre de Weyl C [ t ](a,), on a

PQ = O =+ P

=O

O11

Q=O

(considérer les termes de plus haut degré en dl ) . (2) Montrer que, si Q # O , la multiplication à droite par Q induit un isomorphisme

.€!

@ [ t 1 ( 4 ) / ( P )2 ( Q ) / ( P Q ) ? si ( R ) désigne l’idéal à gauche C [ t ](8,). R . ( 3 ) Montrer que la suite de C [ t ](&)-modulesà gauche est exacte : O

.Q

+

C[t](&)/(P)

-

C[t](4)/(pQ)

C [ t I ( J t ) / ( Q )4 0.

178

CHAPITRE V. LA DUALITl? DE FOURIER-I.Ai’IACP

Étant donné 8 = (81,.. . ,aq) E 2 4 , appelons 8-degré d’un élément ( P i , .. . , Pq) de C [ t ](&)9 l’entier maxk,l,,,,,9(degPk - 8k). Appelons bonne filtration toute filtration de M obtenue comme image, dans une présentation du type (1.2), de la filtration de C [ t ] ( û t ) 9par le °ré, pour un certain 8 E Zq. Le gradué de M relativement à une bonne filtration est un module de type fini sur l’anneau des polynômes de deux variables. 1.4. Proposition (1) U n module est holonome si et seulement si son gradué par rapport à une (ou toute) bonnt jiltration a un annulateur non trivial. O ( 2 ) Tout module holonome peut être engendré par un élément. On en déduit qu’un module holonome admet une présentation (1.2) avec q = 1.

1.5. Exemples ( I ) Si P # C est un opérateur dans C [ t ](&), le quotient M de C [ t ] (3,) par l’idéal à gauche C [ t ](8,).P est un module holonome : il est de type fini puisqu’il admet la présentation O c [ t ](a,) .P C [ t ](8,) M o.

- - --

Le gradué relativement à la filtration induite par le degré est égal au quotient de l’anneau des polynômes par l’idéal engendré par symbole de P ; son annulateur est non trivial, donc le module est holonome. (2) Si 80 désigne la distribution de Dirac en O sur C , le sous-module des distributions tempérées engendré par 80 est holonome : il est de type fini par définition ; de plus on a t8o = O, d’où l’on déduit un isomorphisme de C -espaces vectoriels

C [ a t ] 4C [ t ](4) 80; ’

enfin, il est facile de vérifier que t‘$80 = 0 dès que e > k . Ce module est donc de torsion. I1 est de la forme donnée dans l’exemple (1) en prenant pour P l’opérateur de degré O égal à t . (3) Plus généralement, tout module de torsion est somme directe de modules du type C [ t ] ( û t ) / ( t - t o ) (le vérifier). (4) Tout module holonome M peut être inséré dans une suite exacte courte O K c[t](a,)/(P) M O

--

--

où K est de torsion : on choisit pour cela un générateur e de M (proposition 1 . 4 ( 2 ) ) et on prend pour P un opérateur de degré rninimal (disons d ) qui annule e ; il s’agit de voir que le noyau du morphisme

1. M0DUI.F.S SIJR L‘AIGÈRRE DL WEYL

179

surjectif C [t](&)/(P)+ M qui envoie la classe de 1 sur e est de torsion; si l’on travaille dans l’anneau des fractions C [ t , ad’],dans lequel on peut inverser le coefficient dominant a d de P , on peut effectuer la division euclidienne(’) de tout opérateur par P et la minimalité du degré de P montre que C [ t , a i ’ ] ( d l ) / ( P ) -7’ M [ad’]est bijectif; on en déduit que K est à support dans l’ensemble fini des zéros de ad. O

1.6. Proposition (la localisation préserve l’holonomie). - Soit M un module holonome. Il existe un ensemblejni minimal C = { p ( t ) = O} tel que le localisé

M(*C) 2E C [ t , l / P ( t ) ] c3 M (c [,I soit un module libre sur lanneuu des fractions rationnelles en t ù pôles contenus dans C, i.e. M (*E) déJinit u n j b r é méromorphe sur P1, à pôles en C ü CO, muni d’une connexion. Be plus, pour tout ensembleJini C‘, le localisé M (*X‘)a t encore holonome. Réciproquement, tout Jibré mbomorphe sur Pl,muni d’une connexion, O est un module holonome. L’ensemble C est l’ensemble des points .singuliers de M . On appellera rang de M celui du fibré méromorphe associé. On a donc rgM = dimc(ll C ( t ) 8 M .

c?[ t l Réseaux. - Un ré.seuu du module M est un gendre sur C [ t ](&), c’est-à-dire tel que 00

M

=

C [ t ]sous-module qui l’en-

a$.

k=O

1.7. Proposition (la localisation préserve les réseaux). - S i E est un réseseau d u C [ t ] (ô,) -module M , son image duns le j b r é méromorphe associé est un résenu de ceJlbré méromorphe, i.e. engendre lefîbri méromorphe sur l’anneau des fractions O rationnelles en t ù pôles duns C .

1.c. Dualité. - Si M est un C[t](at)-module à gauche, le C-espace (M, C [ t ](ô,)) est muni d’une structure de C [ t ] (&)vectoriel module à droite (par ( y ~. P ) ( m ) = q(’rri)P).PIUSgénéralement, les espaces Extk,,l(,t)(M, C [ t ] (a,)) sont des C [ t ](&)-modulesà droite(‘).

(‘1 rnalgi-é la non-coniinutativité de l’algèbre de Weyl ! Ce qui compte, pour l’algorithme d’Euclide, est que le degré du cornrniitateur [ Q I , Q ] de deux opérateurs soit strictrrnmt pliis petit que la somme des degrés de Q, et Q. Le lecteur pourra consulter [God641 pour les proprietés élémentaires d’algèbre Iiornologiqiie utilisées ci-dessoiis.

CHAPITRE V. LA DUA1,ITE DE FOLIRIER-IAPIACE

180

1.8. Proposition (la dualité préserve l'holonomie).

- Si M est holonome,

(1) les modules Ù droites Ext' [ t l ( a t ) (M, C [ t ](8,)) sont nuls pour i # 1 ; ( 2 ) le module Ù guuche DM associé au module Ù droitt Ext; (i (MI, C [t ] (at)) {)

est holonome; (3) on a D ( D M ) Y M .

Démonstration. - En utilisant la suite exacte longue des Ext associée à la suite exacte courte 1.5-(4),on est ramené à montrer la proposition pour M = C [ t ]( û t ) / ( P ) .Ce module admet la résolution .P O C[t](d,) -t C [ t ] ( & ) M O

-

--

et, en appliquant le foncteur obtient la suite exacte 0

-

( 0 ,

--

Hornc[t](q)(M,@[t](at))

C [ t ] (at)) à cette résolution, on

C[tl(&)

5@[t](dt)

-

Ext~[,](~,)(M,@[tl(i'l!) 0

sur lequel on voit que Ext'qtl(8,)(M3C[t](4))= C [ t ] ( & ) / ( P (ici, ) ( P ) désigne l'idéal ù droite engendré par P ) et que tous les autres Ext sont nuls. On a donc ici DM = C [ t ] ( d , ) / ( " ) . O Soit M un fibré méromorphc à pôles en C, muni d'une connexion. Si p ( t ) est un polynôme dont les racines sont les O E C, le fibré M est un C [ t ,l/p] -module libre de rang fini. C'est aussi un C [ t ](&)-module holonome ($ proposition 1.6). Son dual DM en tant que C [ t ](&)-module est holonome, mais n'est pas nécessairement un fibré méromorphe. Nous al(*C) est un fibré méromorphe à connexion, lons voir que le module (DM) i.e. C contient l'ensemble singulier de DM . Par ailleurs, le dual M * = H o m ~ [ [ , , l / P 1 ( M , @ [ t , l / $du ] ) fibré méromorphe M est naturellement muni d'une connexion (e$ O. 11.b). Nous allons comparer les fihrés méromorphes à connexion M * et

(DM) (*C). 1.9. Proposition (la localisation est compatible à la dualité). isomorphisme canonique M * P (DM) (*E) .

On a un

Démonstration. - Introduisons l'algèbre C [ t , i/$] (a,) des opérateurs différentiels à coefficients dans C [ t , i/$].Alors M est aussi un C [ t , i/p] (&)module. En considérant une résolution de M par des C [ t ](dt)-modules libres, on voit que

DM(*C)

= C [ t , I/$]

@ [tl

= Ext~[i,l,u](a,)(M,@[t, 1/p](4))g.

1 . MOUUI.ES SCR L'ALGÈBRE DE WEE?.

181

Nous allons maintenant construire une résolution libre de M comme C [ t , i/p] (a,)-module. Pour cela, oublions un instant la connexion sur le module M et considérons-le uniquement comme un C [ t , 1/ p ] -module libre. Alors C [ t , l/p] (3,) @ q [ t , l / P 1M est un C [ t , l/p] (d,)-inodule libre. I1 s'identifie à C [a,] @cM . Tout élément a une écriture unique Ck,Oa," @ mk et, avec cette écriture, l'action (à gauche) de C [ t , I/$] (a,) est décrite par les formules

où nous avons posé

[f(t),

$1

=

x!ii $gP(t)

dans l'algèbre de Weyl

C [tl ( a t ) .

(1.12)

a!

@ mk

' c a!

1

@ (rnk-1

-

(atmk)),

ka0

k,O

où l'on utilise maintenant l'action de at sur M . Montrons que le morphisme (1.12) est C [ t , i/p] (&)-linéaire: nous allons vérifier par exemple que f ( t ) . ( a , @ l - I @ & ) ( l @ m= ) ( & @ I- l @ d t ) ( l @ f ( t ) r n ) , laissant les autres vérifications en exercice ; on a

f(t)

'

(4@ 1 - 1 @ a,) ( I (8m ) = a, @ f ( t ) m- 1 @ f ' ( t ) m - 1 E3 f ( t ) d t m =

3, @ f ( t ) m

-

1@ & ( f ( t ) m ) .

d,"@mk tel que mk-1- (dtmk) = Montrons I'injectivité de (1.12) : soit 0 (en posant m-1 = O ) ; puisque mk = 0 pour k > O , on 0 pour tout k en déduit que mk = 0 pour tout k . On identifie alors le conoyaii de (1.12) à M (en tant que C [ t , l/p] (&)module) par l'application

Revenons maintenant au calcul du Ext' à l'aide de cette résolution. Un morphisme C [ t , 1/61 (&)-linéaire à gauche C [ t , l/p] (8,) @ M + C [ t ,1/$](ût) est déterminé par sa restriction à 1 @ M , qui doit être C [ t , l/p]-linéaire. On en déduit une identification

182

C:II.U’ITRE \’ 1A IWALITÉ DE FOLTRIER-IAPIACE

où la structure de C [ t , l / p ] (&)-moduleà droite sur le terme de droite se décrit par des formules analogues à (1.10) et ( 1 . 1 1 ) . Ainsi, en appliquant le foncteur Hom@[t,l/p](a,) ( * > It, i / P l ( a t ) ) g au complexe ( 1 . 1 2 ) , on obtient un complexe du même type, où l’on a remplacé M par M * . En reprenant l’argument utilisé pour ( 1 . 1 2 ) , on en déduit une identification

Ce faisant, nous avons aussi montré que Ext’@ [ , , l / p ] ( ô i ) ( ~ m 1’ / f i l ( 3 d ) Rest O un fibré méromorphe.

1.d. Régularité. - Un opérateur différentiel à coefficients dans C [ t ] P ( t , 3,) = a d ( t ) $

+ . . . + al ( t ) i i + a o ( t )

est dit Ci singularité régxliire en l’une de ses singularités t n (i.e. une racine de a d ) s’il satisfait la condition de Fuchs en t n (CJ: théorème 11.4.3) (1.13)

V Z E (1,..., d - l } ,

i - v p ( ~ i )<

d - ü p ( ~ ) .

vtt8 désigne la valuation en t” ( L e . l’ordre d’annulation en t ” ) . Posons t = i/t’ et 8, = -Pa,, et soit P,(t’,+) = P ( t , d , ) l’opérateur à coefficients dans C [ t , t - ’ ] = C [ t ’ , t ’ - I l obtenu à partir de P par ce changement de variables. Nous dirons que P est & singulariti régulière à l’infini si P, l’est en t’ = O.

où

1.14.Exercice (singularité régulière à l’infini) ( 1 ) Montrer que l’opérateur P est à singularité régulière à l’infini si et

<

degad - d seulement si ses coefficients satisfont les inégalités degai - i pour tout i 6 d (on convient que degai = -asi aL 0 ) . (2) Montrer que la condition de régularité en t u (pour t n E C ou t n = 00) est stable par transposition.

1.25. Proposition. - Soient t” E C ü {a}, k = C { t - t n } [ ( t- t o ) ) - ’ ] si t o E C et k = C{t’} [ t ’ - ’ ] si to = a. Soient M un module h,olonome et M = k @c[,I M le ( k , V) -espace uectoriel à connexion associé. Les propriétés suivantes sont Jquivalentes : (1) tout élémrnt de M est annulé par un ojkrateur P E C [ t ](ô,) à .singularité ré
2 T M N S F O R M A T I O N DE. FOURILK

183

Lorsque les conditions de la proposition sont satisfaites, on dit que M est ù sincplaritP‘ rég-uliprP en t o . L’exercice 1.14(2) montre que cette propriété

est stable par dualité.

2. Transformation de Fourier 2.a. Transformé de Fourier d’un module sur l’algèbre de Weyl.

- La rela-

tion [a,, t ] = 1 définissant l’algèbre de Weyl peut aussi s’écrire sous la forme [ ( - t ) , at] = 1, de sorte que l’on a un isomorphisme d’algèbres

C [tI(dt) t

---)

C [.’I (+)

H

-a,/

a, A

noté P H P . Toiit module M sur C [ t ](3,) devient $so,facto un module sur @. [ T ’ ] (a,/) ; on le note alors(3) M : c’est le trunsjormé dr Foum’er de M . I1 est immédiat de voir que M est holonome si et seulement si sori transformé de Fourier l’est. De même, la transformation de Fourier montre que, si M est liolononie, le module

M [a;’] ‘El C [a,, a;’]

M

@I(-[&]

A

est aussi holonome : on a en effet M[û;’] = MI[.’-’], module qui est holonome d’après la proposition 1.6. De plus, le noyau et le conoyau du morphisme naturel M -f M [a,’] sont isomorphes à des modiiles dii type C [t]” (avec l’action usuelle de 8,): en effet, le noyaii et le conoyau du morsont des niodiiles holonomes 21 SLIPphisme de localisation M + M [.’-‘I port ? = O , donc de la forme ( C [ T ’ ] ( ~ + ) / ( T ’ > ) ’ ; on en deduit l’assertion par transformation de Fourier inverse. En particulier, les points singuliers de M sont aussi ceiix de M [a;’].

- -

2.1. Exemple. - Le transformé de Fourier de M = C [ t ] ( & ) / ( P ) est ~ [ T ’ l ( û ~ t ) / < i ; >si . P = t - to (on identifie aiors M à c [ ~ ., gIp ) , on a P = -(aT/ + t o ) et M s’identifie à l’espace des fonctions entières h

A

C [.‘I

,

p-t“r’

2.2. Proposition (relations entre M et %, c$ [Mal91, chap.V, 11) Suppowns que b C [ t ] (a,) -rnodulr holonorne M m t Ù szn
CIIAPPITRE 1’.LA DIJALITÉ DE FOURIEK-IAPI.~\CE

184

h

(1) son transformP de Fourier M n’a de singularité qu’en 7’ = O et T’ = 03. La première est régulière et In seconde est de rang de Poincaré (cf. $0.14) injiérieur ou Pgal à 1 ; ( 2 ) le noyau et le conoyau de 1action Ù gauche de 8,: M + M sont de dimension $nie et on a

En particuliq si de plus M

dim Ker at = rgM

h

dim Coker a,

-

=M

-

rg M.

h

[a;’],

on a rg M = rg M .

Démonstration (1) On se ramène, à l’aide de la proposition 1.15, au cas où M = û2 [ t ] ( & ) / ( P ) où , P est à singularité régulière à l’infini. I1 sera commode d’écrire P = C, û i a z ( t )avec ai E C [ t ] et ad f O. La condition de singularité degad - ( d - i) (exercice 1.14). Notons régulière nous dit que degai ai ( t ) = Cl a i j t j et d = deg a d , Nous avons donc

<

h

P = Ud,d a,d t d +

c

azj

a; tl

j
avec ai,j

#

h

A

O seulement si j

-

2,

i ,< d

-

d . Le degré de P en

a,!

= -t

est

égal à d et le coefficient de est ( - ~ ) ‘ u ~ , z T ’ ~ , ce qui montre l’absence de singularité hors de {O, CO}. De plus, la condition de Fuchs (1.13) en T’ = O est clairement satisfaite. Enfin, dans la coordonnée T = l / ~ ’on , peut écrire ‘T d^Y

-

U

f

ai,lTd-z(’T2d~)’.

d,d

î
Ceci montre que M [T’-’] = C [T,T - ~ ] est un C [T, module libre avec pour base les classes de ( ~ ‘ % ) j ( O j < d ) . Dans cette base, la matrice de est à coefficients polynomiaux en T, ce qui montre que le rang de Poincaré est 1.

(&)/(F) <

h

h

<

(2) Remarquons d’abord que, si M’ est un sous-module de M et M ” est le quotient M/M’, alors M’ et M” sont aussi à singularité régulière 2 l’infini. De plus, si l’assertion est vraie pour M’ et MI’, elle est aussi vraie pour M (utiliser le lemme du serpent). I1 suffit donc de la montrer pour les modules du type C [ t ] ( & ) / ( P ) .D’après le calcul fait ci-dessus, on a dans ce cas rgM = d et rgM = d . On peut écrire A

4 - d AP

T

A

,

-

= b(r’û+)

.

+ T’Q(T’,

-

P = TIdpd .

[~(T’û,l)

h

.i’û,l)

+ T’Q(T’,

si d 2 d, A

T’+)]

si d 2 d,

2. TRANSFORMATION D F FOlIRIER

185

h

où b est un polynôme non identiquement nul de degré min ( d , d) et Q un opérateur de degré < d en T’ et de degré < d en a,!. Lorsque P = r f k ou P = 8, ( k E N ), l’assertion de la proposition est facile à vérifier directement. D’après l’exercice 1.3, il suffit de montrer cette assertion lorsque P = b ( ~ ’ û ~+ , ) T’Q(T’,T’+) OU deg,, P = degay,P = degb. I1 s’agit ici de montrer que les C -espaces vectoriels Ker T’ et Coker T’ ont même dimension finie. Pour éviter tout calcul, nous utiliserons une notion proche de celle de
h

h

h

h

On a T’V~c vk-1 avec égalité si k C [s’a,,] . Posons aussi

< O, et d,iVk

h

c

Vk+i.

De plus, Vo/V-i

=

h

On a, étant donnée la forme de P , l’égalité Uk$%/uk-liiiÏ

CY

pour tout k E z . En particulier, tous les espaces sion finie. Enfin, l’application (2.3)

uk/uk-l

+k))

@(T’d,!)/(b(T’d,,

uk/uk-l

ont même dimen-

T’ Uk-l/uk-:!

est bijective dès que O n’est pas racine di1 polynôme h ( + ~ k + 1), puisque la composée (à droite et à gauche) avec ô, : uk-i/uk-Z --f uk/uk-i est alors bijective. I1 existe donc ko 3 O tel que (2.3) soit un isomorphisme pour tout k 3 ko et k -ko. On montre ($ par exemple [Sab93, Ej4.2.41) que T’ : M//Uk,, +

<

h

A

M/Uk,)-l et T’ : U-k,,

+ ü-ko-l sont bijectives (le seul point délicat est I’injectivité de la seconde application). On en déduit que le noyau (resp. le conoyau) de T’ : M -+ M est aussi celui de T’ : [ J k o / U - k o --f Uko-l/U-ko-l. Puisque la source et le but de cette derniere application linéaire sont des espaces de même dimension finie, il O en est de meme du noyau et du conoyau. A

h

2.4. Remarque. - La transformation de Fourier est liée au choix d’une origine sur la droite affine de coordonnée t . Une translation de la coordonnée se traduit par la tensorisatiori du transformé de Fourier par une exponentielle, comme dans l’exemple 2.1.

2.b. Transformationde Fourier et dualité. - La coordonnée t étant fixée, considérons l’involution

(c[ t l ( d t ) P(t,d,)

H

C [tl(dt) -

P ( t , d , ) ““P(-t,-d,).

La transformation de Fourier et la transposition sont reliées par la formule A

“(s) = tp En lisant

(2.5)

<<

avec un chapeau

>>

le

fi l.c, on obtient un isomorphisme

O(%)

2

DR.

2.6. Corollaire. - Soit M un module holonome Ù singularité ré
h

A

DM - M dont le noyau et le conoyaii sont supportés par le morphisme devient un isomorphisme U ( % ) [-/-‘I

T’

=

O. Après localisation,

M [+‘I.

N

-

-f

-

La proposition 1.9 permet d’en déduire un isomorphisme

(G[T/-’])*

N

-

o

M[7’-1].

2.c. Transforme de Fourier d’un réseau. - La transformation de Fourier n’induit pas une correspondance entre réseaux de M et réseaux de M pour la simple raison que 7’ = 3, n’agit pas sur un réseau de M .Nous allons voir cependant que, sous certaines conditions, elle fait passer d’un réseau de M à un réseau de M [T’-’] dans la variable T = T’~’.Autrement dit, au niveau des réseaux, le noyau naturel à considérer n’est pas e-”’ mais d ” . Soient min un C[t](3,)-modiile holonome et M son transformé de Fourier (CJ: 2.a), qui cst un @i [TI] (û,,)-module holonome. Nous siipposeroils dans la suite que M est ?L sinLplari/krkguliPre Ù l’injxi. Nous savons alors que M n’a de singularité qu’en TI = O (singularité régulière) et en T’ = 00 (singularité éventiie~~cinent irrégulière). Le localis6 M [+’ 1 est encorc holonome et c’est un C [T’,T’-’ ]-mothile libre de rang fini. Nous pouvons le considérer commie iin fibré niérornorplie sur la sphère de Riemann Pl, h

h

A

A

2. TRANSFORhlAïION DE FOCTRIER

187

recouverte par les cartes de coordonnées respectives T I et T reliées par T = TI-’ sur leur intersection. C’est donc aussi un C [T., r-’]-module libre.

2.7. Théorème. - Dans ces conditions, soit IE un C [ t ]-sous-module de typefini de M . Soit E l’image de IE p a r le morphisme naturel de localisation M + M [ô;’]. Soit

E

le C [ T] -module engendré p a r h

IE =

IC dans M-ô[’; -] =-M- -] , autrement dit, [TI-’

2 a;%

= C [TI ‘

E.

/{>O

Alors (1)

E est un C [TI -module libre de typeJini; ( 2 ) s i E engendre M SUT C [ t ]( d t ) , lÊ est un réseau d u C [T,T-’] -module

E[T’4]

; h

h

(SI) la connexion mtkomorphe V sur IE est h pôle d ordre a u plus 1 en

T = O.

Démonstration (1) Si on sait que IE est de type fini, on en déduit qu’il est libre puis-torsion (voir par exemple [Lan65, chap. XV, ri 2]),étant qu’il est sans C contenu dans M [TI-’]. La finitude est le point essentiel. Commençons par la montrer dans un cas simple : nous supposons que M = C [ t ](&)/ ( P ), où P est un opérateur que nous écrivons comme dans la démonstration de la proposition 2.2 h

[TI

A

c alai(t) d

P =

i=l

avec “1; E C [ t ] et ad $ O et nous considérons d’abord le réseau par la classe P de 1, qui satisfait l’égalité

a$!>.

IE engendré

e = O,

kgalité qui montre que P , . . . , t d P 1 eforment un système de générateurs du C -module IE , d’où la finitude dans ce cas. Remarquons maintenant que, pour tolit k 3 1, on a

[TI

h

C [;I

(2.8) h

.

(E + . . . +$E) ,-.

= E + . . . + T%

h

h

= T/kE,

<

puisque T’% c 7% pour P k . Ainsi la finitude est satisfaite pour les ~ IE + . . . + ô#. réseaux I E = Enfin, tout réseau de M est contenu dans un réseau I E k pour un entier k assez grand. On en déduit que son transformé de Fourier est aussi de type fini sur [ T ] (car C [ T ] est noethérien). D’après la proposition 1.4, tout module holonome M est quotient d’un module di1 type M’ = C [t] ( & ) / ( P ) par lin module de torsion. I1 en résulte en particulier que P est à singularité régulière à l’infini si M l’est. Tout

CHAPITRE V. LA DUAIXTÉ DE FOURiER-LZPLA(X

188

réseau

de M’. Par suite

E de M est contenu dans l’image d’un réseau h

h

IE est quotient de ‘E;, donc est aussi de type fini. (2) On applique (2.8), valable pour tout réseau E. h

(3) I1 s’agit de montrer que IE est stable sous l’action de de .r2& Ceci résulte du fait que IE est lui-même stable par t .

alias t .

0

Nous aurons à utiliser le théorème 2.7 sous la forme suivante :

2.9. Corollaire. - Soit IE un C [ t ]module libre de rang d , muni d u n p connexion méromorphe V à pôles dans un ensembleJini E. Supposons que (1) la connexion V est ù singularité régulière à 1’inJini; ( 2 ) tout élément de IE a une unique primitive, Le. 8;’ opère de manière naturelle surE . Alors, si 1 ’on note E le C -espace vectoriel E muni de sa structure de C [3;’ 3 -module et si L’on pose T = ,ô’; (1) le C [T]-module IE est libre de rang d = d , (Va, ) 2t est une connexion méromorphe sur IE à pôle en ( 2 ) l’opérateur V2T T = O uniquement, celui-ci étant de type 1, et à singularité régulière à 1 ’inJini. h

h

h

h

Démonstration. - On considère le C [ t ](&)-moduleM’ = E (*E). Puisque E est libre sur C [ t ] ,le morphisme naturel IE + M’ est injectif. Nous savons par ailleurs ($ proposition 1.6) que la connexion V sur E fait de M‘ un C [ t ] (&)-moduleholonome, à singularité régulière à l’infini. Posons M = M’[a;’]. C’est aussi un C [ t ] (3,)-module holonome, à singularité régulière à l’infini. Alors la deuxième hypothèse du corollaire montre que l’application naturelle IE --+ M induite par l’application de localisation est injective et donc E = = E . On déduit maintenant du théorème 2.7 les propriétés (1) et (2) du corollaire. ’ L’égalité d = d est conséquence de la proposition 2.2. o

E

h

h

Nous nous intéressons maintenant à une réciproque de ce corollaire. Autrement dit, soit IÊ un Q: [ T]-module libre de rang d muni d’une connexion méromorphe V. Supposons que la connexion V n’ait de pôle qu’en T = O, celui-ci étant de type 1, et supposons qu’elle ait une singularité régulière à l’infini. Définissons l’action de t sur E comme celle de T ‘ V ~ ~Ainsi, . devient un C [ t ]-module, que nous notons alors E. Posons M = E[.r-’] et 7’ = 7 - l . Alors est un C[.r’](a,,)-moduie holonome, à singularité régulière en T’ = O et éventuellement irrégulier en T’ = 00. Puisque est libre sur C le morphisme naturel M est injectif. Notons M le transformé de Fourier inverse de M . On a alors M = M [a;’] et IE en est un Q: [t]-sous-module, stable par d;’, qui l’engendre h

A

E

h

A

h

E

6f

[TI,

h

-f

A

2. T W ’ S F O R M A T I O N DE. FOURIER

189

sur C [ t ] (3,). I1 n’est pas clair, en général, qu’il soit de type fini sur Nous allons donner un critère pour que tel soit bien le cas.

C [ t ].

A

2.10. Proposition. - Supposons que E admette une base E dans laquelle la matrice de ? ait la forme A

A

(7+ 1: -

B,

-

où R,

+ k Id est invenible pour tout k E N

(en

particulier (E, V) est de type l en T = O , les seules singularités sont T = O et T = 00 et la connexion s’étend aver un pôle logarithmique de résidu -B, sur le ,fibré trivial de rang d sur P ). Alors (1) le transformé de Fouri~rinverse E est un C [ t ] -module libre de rung d = d , l’action de T-’ définit une connexion méromorphe V sur c e j b r é dont touies les singularités (y compris en t = CO) sont réffulières; (2) le.7 pôles de la connexion sont situés a u x valeurs propres de Bo et la connexion s’étend avec un pôle logarithmique en t = 00 sur lejibré trivial sur P ; (3) le,fibri k connexion méromorphe (E, V) est logurithmique si et seulement si Bo est semi-simple ii ualeurs propres distinctes. A

-

’

h

’

La transformation de Fourier inverse donne donc une correspondance bijective entre fibrés (triviaux) de rang d sur l’espace affine muni d’une h

(7+ 1:

B, - avec B, + k Id inversible pour tout k E N , et ceux dont la matrice peut se mettre sous la forme ( B , - Id) (tId-Bo)-’ dt. Remarquons cependant que tous les fibrés triviaux à connexion logarithmique sur IP’ ne sont pas obtenus de cette manière. Par ailleurs, si nécessaire, on peut décaler la connexion par connexion dont la matrice peut se mettre sous la forme

dT

m-

, pour un rn convenable, pour que B ,

T

-

+ k Id soit inversible pour tout

kEW. Ainsi, une solution au problème de Birkhoff IV.5.1 pour r = 1 donne une solution à un problème de Riemann partiel analogue au problème IV.1.3 et, lorsque les valeurs propres de Bo sont simples, au problème de Riemann-Hilbert IV.1.3.

Dkmonstration. - Écrivons la base t

d’où l’on tire pour tout k

E

en colonne. Par définition on a

. E = (9” + TtB,)

’

E,

1, en utilisant l’hypothèse sur Bo,

Ceci montre que IE est engendré par E sur C [ t ] .C’est en particulier un réseau de M . Puisque le rang de M est égal à d (proposition 2.2), le rang t ~) est égal à d . II en résulte que E est libre de de IE ( i f . dime((,) C ( t ) @ c [ E h

A

-

rang d : on dispose en effet d’un morphisme surjectif C [ t I d + E,qui induit

190

CliAPlTRE V. LA DUALITÉ DE FOURIER-IAPI.ACE

un isomorphisme après tensorisation par C ( t ) puisque les C ( t )-espaces vectoriels sont de même rang - ; son noyau est alors de torsion ; ce dernier doit être nul puisque C [ t I d n’a pas de sous-module de torsion. Ceci donne le premier point. La matrice de V dans la base E est ( B , - Id) ( t Id -Bo)-’ dt : en effet, on peut écrire la relation définissant t sous la forme

(-

T ‘@)+%,).E

T-’t.E=

(si la base E est écrite en colonne) ; de la relation de commutation ~ - ‘ t = t ~ - ’ + 1, on déduit (tId-fBo)r-’.

E

=

(9,- I d ) .

E,

d’où l’assertion. Les pôles de cette matrice sont situés aux valeurs propres de Bo. Si ces dernières sont simples, les pôles sont simples. Enfin, si on étend IE en un fibré trivial sur Pl,la matrice de la connexion

V dans la coordonnée

t’ = l / t

est égale à - ( B , - Id) (Id -t’Bo)-’-.

dt’

Elle

t’

O

est donc à pôle simple en t’ = O.

3. Transformation de Fourier et microlocalisation Dans cette section, nous supposons que M est un C [ t ](&)-moduleholonome à singularités régulières y compris à l’infini et que IF en est un réseau(4).Soit G le transformé de Foiirier localisé de M et F celui de F , comme dans le théorème 2.7. La connexion V sur G a un pôle d’ordre au plus 1 en T = O. NOLIS allons analyser la structure formelle de (G,IF) en T = O. 11 est déjà facile (en considérant l’exemple C [ t ] ( & ) / ( P )de ) constater que les valeurs propres de la partie la plus polaire de la matrice de la connexion sont exactement les points singuliers de M . Nous allons préciser ce fait en reliant la décomposition formelle de (6 - décomposition que l’on pourrait obtenir par la méthode de Tiirrittin (exercice 11.5.9) aux germes de M en chacune de ses singularités. Ceci n’est qu’une version algtbrisée de la classique rnéthodp d~ la phasp slationnaiw. h

3.a. Microlocalisation formelle. - Soit 9 le faisceau des opérateurs difsur un férentiels holomorphes sur C (coordonnée t ) : une section de ouvert U de C est un polynôme &,,a,(t)û;, où les a, sont holomorphes sur U . C’est un faisceau d’anneaux non commutatifs, la relation de commutation (1.1) déterminant le produit. (4) La

nécessite d’un changcmerit de notation sera bientôt claire

Introduisons aussi le faisceau des opYruipurs microdifZrentidy formels 8': c'est par définition le faisceau sur C (coordonnée t ) dont les sections sur a i ( t ) r 2 où , les un ouvert U c C sont les séries formelles de Laurent C,,,,, , coefficients ai sont holomorphes sur U . C'est un faisceau d'anneaux non cornmutat@. Si on écrit les facteurs T' à droite, le produit est déterminé par la 00

7 ./

(3.1)

(t) =

(-l)"f'k)(t)Tk+'. k=O

On en déduit en particulier que [T,f ( t ) ] = -T . / ' ( t ) . T,c'est-à-dire encore

(3.2)

[T-',

S ( t ) ]= f ' ( t ) .

Le faisceau ?2 est un faisceau de LB'-modules à gauche et à droite : L'action à droite de a, est la niiiltiplication à droite par T-' et l'action à gauche de f ( t ) est la multiplication dans &? ; l'action à gauche de a, est la multiplication à gauche par T-' , que l'on calcule à l'aide de la relation ( 3 . 2 ); enfin, l'action à droite de f ( t ) est la multiplication à droite par f ( t ) dans 8 , que l'on calcule à l'aide de (3.1). Tout élément de g ( U ) a aussi une écriture unique T z a 2 ( t )avec a2 E @ ( U ) . Le sous-faisceau d'anneaux des opérateurs sans pôle en T = O est noté 8 ( 0 ) .C'est un faisceau de @-modules à gauche et à droite, si d désigne le faisceau des fonctions holomorphes sur C .

&,,

M le -@-module à gauche Soit M comme ci-dessus et A = @ associé. Le microlocalisR de A est le 8-module à gauche &,F

c g g gg

3.3. Lemme. - Le microlocalisé &?p'

/&y

est à support dans l'ensemble drs points

singuliers de A . Démonstration. - I1 suffit de vérifier que le microlocalisé de d est nul puisqii'aii voisinage d'un point non singulier, A est isomorphe à @ d . On O a @ = g/g. a, et, par suite, @y = 8/8. T-' = O . Soit Fu= image [ 8 ( O ) g~ F J P ] F= d IF de A . C'est un réseau de -f

le microlocalisé du réseau I* (g(O)-module cohérent h

comme 8'-modiile à gauche). Nous noterons k le corps Cc [TC'] et V la connexion induite par sur k (ici, le << chapeau >> a un double sens : il indique que l'on travaille dans la coordonnée 7 du plan << Fourier >> et avec des séries formelles en T). Pour tout r E C ,

qui engendre

A u A

h

(,')On coriipreiici niirux cettc relation en interprétmt T coninie i'opérateirr de tioii

>, 2',

.

<<

pi-irriitiva-

CHAPITRE 1’.LA DUALITÉ DE FOURIER-LAPIACE

192

h

l’anneau 8 est un module à gauche sur k ( & ) si on fait opérer ?dT par la est un (A,8)-espace vectoriel multiplication à gauche par t . De même, noterons symboliquement (suivant ainsi la notation du le k-espace vectoriel A‘ muni de la connexion pour laquelle T*& opère par la multiplication à gauche par t - c (on a ainsi << ramené c à l’origine .).

’

, - A

h

3.4. Proposition. - En tout point singulier c de ( k , V )-espace vectoriel à singulam‘té r i p l i k e et €‘/’ par ?va,. A

, le germe z r I T 8 Arp est un

h

@9 :en

est un réseau Jtable

Avant de commencer la démonstration, établissons un résultat qui nous sera aussi utile par la suite :

3.5. Lemme. - Pour tout c E Q: , (resp. sur @ ); (resp. ( O ) est plat, à gauche et à droite, sur gc (1) ( 2 ) 8 est plat, & gauche et à droite, sur k(ûT). h

La première assertion de cet énoncé, par exemple, signifie que, pour toute suite exacte courte

-

-

-

de L&-modules de type fini, la suite correspondante O

fg@AT‘ s

c g 63 A??

s

8@ A??‘!

-f

O

g c

est aussi exacte. Dimonstration. - Notons d’abord que, pour tout ouvert U , le @ ( U ) module &?(O)(U) est plat, puisqu’il est plat sur @ ( U ) [il et que ce dernier anneau est plat (car libre) sur 6’(U). Montrons que g . ( O ) est plat sur &. : il s’agit de voir ($ [AM69]) que, satisfont une relation ~ , , b= O avec si f i , . . . , f L E E &(O), alors IC vecteur ( P l , . . . , Q) est combinaison à coefficients dans g ( 0 ) de vecteurs de relations dans & entre f i , . . . , f p ; mais les ,fi et les Pj sont définis sur un voisinage ouvert U de c, sur lequel l’assertion voulue est vraie, puisque &?(O) (ü) est plat sur @ ( U ) ; en reprenant les germes en c, on obtient l’assertion désirée pour (O) . Une fois ce résultat acquis, la platitude de 8 SUI- grprovient d’énoncés génkraux (et faciles) de platitude sur les anneaux filtrés (voir par exemple [Sch85, prop. 11.1.2.41) : on considère la filtration 7-adiqiic sur 8 ; c’est une filtration zum’skienne, c’est-à-dire que, si P-1 E T ~ T ( O ) ,alors 1 - E 1 est inversible dans g ( 0 ) (la vérification est ici facile, puisqii’on n’impose aucune condition de convergence des séries en puissances de 7 ) ; de même,

cf=l

3. TRANSFORMATION DE FOURIER ET MICROI.C><:.4I~ISATION

193

on munit grde la filtration par le degré en 8,; travaillons comme ci-dessus sur un ouvert U , de sorte que les anneaux gradués sont respectivement les anneaux commutatifs &(u)1.1 [r-l] et @(u) [i-’] ; le premier est plat sur le second (CJ: par exemple [AM691) ; on peut alors appliquer l’énoncé de [Sch85] puis revenir aux germes en e. h

L’anneau k(&) s’identifie au sous-anneau de g formé des séries C22zo a l ( t ) . r 2où les a2 sont des polynômes de degré borné. Pour montrer la platitude, on applique la même technique que ci-dessus : on munit l’anneau g de la filtration ( t - c)-adique; on voit de même que c’est une filtration zariskienne, dont le gradué associé s’identifie à k(û,) ; on conclut O en utilisant encore une fois [Sch85].

Démonstration de la proposition, 3.4. - C’est l’analogue microlocal du théorème 2.7. La question est locale au point singulier e , que nous supposerons égal à O pour simplifier les notations. Commençons par la régula: Le noyau et le conoyau de l’homomorphisme de localisation rité de .& + M[t-’] sont des 90-modules holonomes à support l’origine et est une (k,V)-connexion à singularité régulière. Par un argument d’extension et grâce au lemme de platitude ci-dessus, on peut ne considérer que le cas où le germe M est à support l’origine ou bien le cas où M est une (k,V) -connexion à singularité régulière. Dans le premier cas, il suffit de considérer M = 9 o / g o . t (CJ: exemple 1.5-(3))et le réseau 3 engendré par la classe de 1. Alors W = go/E~ t = c 1.1 [.-‘I = k et Y = @)(o)/&(o) . t = c 1.1, la connexion étant la connexion V sur k . Dans le second cas, on peut supposer, à l’aide du théorème 11.2.25 et par l’argument d’extension déjà utilisé, que M est de rang 1, donc isomorphe à %>/Bo. ( & t - K ) avec RéK E [O, i [ . On a &p = &)/&I . ( t - ET) et on conclut comme dans le premier cas. En ce qui concerile q r , le seul point à verifier est la finitude comme C I[T]-niodule, car la stahilite sous l’action de ?Va, est vraie par définition de la connexion. De plus, si la finitude est vraie pour un réseau elle l’est aussi pour tout autre réseau de . On pcut donc réutiliser l’argument d’extension et se ramener à vérifier l’assertion pour le réseau engendré par la classe de 1 dans chacun des exemples précédents, vérification facile laissée aux lecteurs. O h

A

3.b. Décomposition formelle du transformé de Fourier 3.6. Proposition. - 1,’application C 8.1 -1inéuire composk

A,.

est un isomorphisme compatible Ù l'uction de t , qui identifie leformalisé F d u ré.seau @ deG ùr(C,Y'u). On obtient ainsi la décomposition formelle(6) du fibré méromorphe à connexion ( G ,V) en O : en effet, puisque i* est à support aux points singuliers c de A ,on peut écrire ï ( C , A F ) = @,Ac'". Sur chaque facteur, la multiplication à gauche par t est identifiée à l'action de r2Var ; de plus, I". est une (k,V) -connexion ii singularité régulière (proposition 3.4). h

A

Démonstration de la proposition 3.6. - Remarquons d'abord que l'on a

-

G - rl6f = k

A

@ C[:-']

h

M=k

@

@[?,;-'I

de sorte que G Aest bien le formalisé de G en T = O.

,.

Assertion. - Les k-espaces vectoriels G - et @,Aci* ont même dimension.

Admettons cet énoncé et terminons la démonstration. I1 est d'abord clair que l'application est compatible à l'action de t et qu'elle envoie F dans h

a&'". A

composée avec la Montrons maintenant que l'application IF -f fi", projection sur le facteur d'indice c , est surjective. D'après le lemme de Nakayama, il suffit de montrer que l'application composée IF + Fru/.rFcP l'est. Puisque [ t l IF, il existe ml,. . . ,mp E IF tels que tout germe =@ m E ait une décomposition m = (pimi avec 'pi E @. Par ailleurs, il existe un opérateur P E @I [ t ] (3,) annulant tous les m,; autrement dit, il existe d E W et a d ( t ) E C [ t ] tel que

-

E,

d

i$nd(t) . m,E

c ûf-9~

( i = 1,.. .,fi).

k=l

Si n désigne l'ordre d'annulation de n,l en c , on en déduit que l'élément ( t - c ) ~ 1( @ mi) est dans ~9~'" pour tout i. En prenant un développenient de Taylor des yz à l'ordre n , on peut écrire m = m' + ( t - c ) Ci ~ +pz avec m' E F et +i E @. On en déduit que 1 @ m F 1 8 m' niod 7z.ldans d'où la surjectivité cherchée.

z'",

(")Un knoncé pius précis reliant la structure de Stokes de G en

= O aux propi-iéiés d e

A? existe aussi. On peut ainsi décrire les deux matrices de Stokes introduites dans l'exemple 11.6.11 en ternies d'opérateurs d e riarinliori agissant sui. les solutions d e A?'. Nous n'utiliserons pas ce i-ésiiltat et reiivoyoiis les lecteurs intéressés i [Mai91, chap.XII] et aux référeiiccs qui y

sont données.

On en déduit aussi que G - 44’ est surjective pour tout r . I1 en est donc de même de E r l T @ G e + E r I T 8 Aru, ce qui montre (en utilisant l’exercice 11.5.9) que, pour chaque r , Er/‘ 8 (6- se décompose en somme directe d’un (k,V) -espace vectoriel à singularité purement irrégulière et d’un (k,V)-espace vectoriel à singularité régulière, ce dernier se siirjectant : en effet, tout homomorphisme d’un (k,V)-espace vectoriel à singularité purement irrégulière dans un (k,V) -espace vectoriel à singularité régulière est nul ((f: exercice 11.5.5).Revenant à GA,on voit ainsi que l’application de la proposition se décompose en somme directe de ses projections sur chacun des facteurs Ar‘“. Elle est donc surjective et, d’après l’assertion, elle est bijective. On en déduit aussi qu’elle induit un isomorphisme @- + @,%‘“. A

A

h

h

’

A

h

h

A

Démonstration de l’ussmtion. - Par un argument deja utilisé, il suffit de la montrer pour les modules M de la forme C [t ] (8,)/ ( P ) où P = ad ( t )3: +. . . est a singularités régulières y compris a I’infiiii. Dans ce cas, nous avons vu que le rang de G est égal au degré de nrl tandis que celui de MC’‘est égal à la valuation de ad en c, c’est-à-dire la multiplicité de c comme racine de ad. Ainsi, l’assertion est claire. O 3.c. Un critère microdifférentielpour la symétrie du polynôme caractéristique. - Lc réseau IF de G admet un polynôme caractéristique à l’infini, construit au #III.P.b et noté ~ “ ( s ) . C’est un polynôme de degré 2 = r g F . IF Nous allons donner urie condition sur le microlocalisé F k pour obtenir urie relation de symétrie A

x,”(.\)= (-I)’X’(?U - S) IF pour un 7u E Z convenable. Notons déjà que, d’après le corollaire 111.2.8, il suffit que G soit muni d’une forme sesquilinéaire non dégénérée de poids 7u relativement à F . h

Pour obtenir une forme sesquilinéaire sur (6, il suffit de se donner un homomorphisme OM 4 M dont le noyau et le corioyau sont des C [ t ] modules libres de i-ang fini : en effet, un tel homomorphisme induit, par h

A

transformation Fourier et à l’aide de (2.5), un homomorphisme DM + M dont le noyau et le conoyaii sont 5 support 7’ = O de sorte qu’en localisant par rapport à T’ on obtient un isoniorphisme (OM) G ;enfin, la proposition 1.9 nous permet d’identifier le terme de gauche à G*. A

[.’-‘I

<

A

Le contrôle du poids relativement à IF peut se faire de manière microdifférentielle. Remarquons d’abord que, du fait de la platitude de 8 sur 9,

CHAPITRE V.

196

LA DLAIJTE DE FOL~RIER-IAPLiZ(X

on a lu,

Z ) = 8@ Z x t g (

(version analytique et faisceautique de la dualité du l.c), autrement dit, D ( A i * ) = ( D A ) P . De manière analogue à la proposition 1.9, on a :

3.7. Proposition.

- Pour tout c E C , on a un isomorphisme ~

')

2

Horn~(Ac",S) %(

Zndication de la démonstration. - On procède de manière analogue 5 celle de la proposition 1.9. On montre d'abord que la suite t@l-l@t O +it(8,) @./&F a @ ) @4i* +

-

k

k

est exacte, et on en déduit, par l'énoncé de platitude 3 . 5 - ( 2 ) ,que la suite i* t @ l - l @ t O-&@ k

O

l'est aussi, puis on termine comme à la proposition 1.9.

3.8.Proposition. - Soit DM + M un homomorphisme de C [ t ](8,) -modules de noyau P t conoyau C [ t ] -libres de rangfini. S'il existe w E Z tel que, pour tout point , l'isomorphisme microlocal induit D ( A r ' ) 2 (Arp)* 4 4'" envoie (FCP)* sur T-~F~', alors l'homomorphisme induit G* G d+nit unr forme sesquilinéaire non dégénbée sur (6 de poids 7u rdativement ii F . ~

--f

A

Démonstration. - Nous avons déjà indiqué que la forme sesquilinéaire est non dégénérée. La proposition 3.6 permet de montrer que le formalisé x*

en

T =

A

O de F est envoyé bijectivement sur le formalisé en O de T P ' I F .

*;;

A

Ceci montre que le noyau et le conoyau de IF --f T-~'IF sont à support dans T # O. Mais puisque par ailleurs le morphisme qu'on en déduit après localisation en T est un isomorphisme (ce n'est autre que (6* + G ) , ce O noyau et ce conoyau sont nuls.

CHAPITRE VI DÉFORMATIONS INTÉGRABLES DE FIBRÉS À CONNEXION SUR LA SPHÈRE DE RIEMANN

Introduction La considération des déformations de systèmes différentiels méromorphes d’une variable conduit à plusieurs questions que nous abordons dans ce chapitre : (1) Donnons-nous un système différentiel méromorphe dépendant de paramètres. Supposons résolu, pour une valeur particulière du paramètre, le problème de Riemann-Hilbert IV.1.1 ou une de ses variantes. Peut-on trouver une solution à ce problème pour les valeurs voisines du paramètre, solution qui dépende analytiquement du paramètre ? Nous pouvons de plus nous demander si, la solution initiale étant fixée, il y a unicité de la famille de solutions ainsi trouvées, à la manière du théorème de Cauchy. Pour obtenir des résultats d’existence et d’unicité, il est essentiel d’imposer la condition d’intbgrnbilité : il doit être possible de compléter le système différentiel en un système intégrable d’équations aux dérivées partielles linéaires. (2) Lorsque le problème de Riemann-Hilbert ou de Birkhoff est résolu en famille, la condition d’intégrabilité s’exprime sous la forme d’un système différentiel matriciel non linéaire qui est souvent remarquable. La résolution de ce système équivaut donc à celle du problème de Riemann-Hilbert ou de Birkhoff, d’oii une méthode << géométrique de résolution d’un tel système. ( 3 ) Enfin, certaines déformations intégrables d’un système différentiel méromorphe d’une variable sont universelles. Les propriétés du système se retrouvent de manière cachée dans l’espace des paramètres de la déformation, qui sous-tend alors une structure asseL riche. C’est cette ))

CHAPITKL VI DEFORMAIIONS INTFC:WLES

198

structure que nous exploiterons dans l’étude des variétés de Frobenius au chapitre VII. Nous allons illustrer ces questions sur le problème de Riemann-Hilbert, ainsi que sur le problème de Birkhoff pour un système différentiel méromorphe à pôle d’ordre 1. I1 est impossible de ne pas mentionner ici les équations de Painlevé, qui sont une des principales sources d’exemples de déformations isomonodromiques, depuis la découverte de R. Fuchs reliant la sixième équation de Painlevé à la déformation isomonodromique universelle d’un système de rang 2 avec quatre points singuliers réguliers sur la sphère de Riemann ( $ 1.b). Nous renvoyons pour ceci les lecteurs aux livres [IKSYSl], [IN861 et [Con99], ainsi qu’à l’article UMUSl]. Ce chapitre s’inspire notamment des articles UMU81, JM81, Mal83c, Mai83a, Mai861.

s

Nous reprenons les notations du § 1.5. En particulier, si X est une variété et xo un point de X , nous notons A’ la restriction à P’ x {xo} de l’objet A défini sur Pl x X .

1. Le problème de Riemann-Hilbert en famille 1 .a. Déformations intégrables de solutions au problème de RiemannHilbert. - Nous reprenons dans cette section la situation décrite à la remarque III. 1.22. Autrement dit, soit X une variété analytique complexe Pl connexe de dimension n et soit, pour tout i E {O,. . . , f i } , +L : X une application holomorphe. Nous supposons que, pour tout x E X , les valeurs +z (x) ( i = O , . . . , p ) sont deux à deux distinctes. Ainsi les graphes C, c P1 x X des applications +z ne se coupent pas. I1 existe une famille d’automorphismes de P’ paramétrée par X envoyant { m} x X sur CO.On dispose même d’un peu mieux : --f

1.1. Lemme. - Il existe un autoniorphisme diagramme

Y

Pl x XP-I

l d q u e cp({m} x

X) = Co, ?({O}

x

’p

de

P’ x X faisant commuter le

x

x

X) = Cl et ~ ( ( 1 x) X )

=

&.

1. LE PRORl.ÈME DE RIFhlANN-IIIl.KPKï EN Ftîhîll.l,E

Dkmonstration. - Soit t une coordonnée sur par

P

Nous supposerons donc dans la suite que coordonnée t sur rio = P \ {CO}.

+O

’

\

199

{ CO} . Alors y est donné

= CO et nous fixerons une

.

1.2. Théorème ( [Miw8 1, Md83cI ) - Supposons que la vamkté X sozt 2 -connexe (1.e. I -connexe et ayant un deuxzpme groupe d’homotopze n u l ) e t j x o n s un poznt xo de X Soaolpnt A i , . . . ,A; E M d ( C ) . fl exzsie alors des matmcer A l , . . . , Ap, holomorphes a u vozrznage d~ xo et méromor-hes sur X,teller que la 1$orme matmczelle

snii.fasse la condition d’intégvabilitY d i 2 + fi A 1R = O . Be plzls, 1e.r matrices A, .sont détmminées dr mmi&e unique par la condition iniiiale Ai ( xo) = A; (i = 1, . . . ,fi). Explicitons d’abord la condition d’intégrabilité. 1.3. Proposition (équations de Schlesinger [Schl2]). - Soient A l , . . . , AI, dolps mairices de fonctions holomorphes sur un ouvert c m r m e X’de X . Alms la 1@mu

mat ricielle

e.st intéqruble si et seulement si les A, sntisfoni sur

X‘ le système dijférentiel

1.5. Remarques (1) Nous verrons ci-dessous que l’existence locale dans le théorème 1.2 est tin résultat facile, conséquence directe de I’intégrabilité au sens de Frobenius des équations de Schlesinger (proposition 1.8).La méthode géom4 trique que nous utiliserons dans la démonstration permet d’obtenir l’existence globule (ai1 sens rnkromorphe) des solutions de ces éqiiatioris. On dit que le système des éqiiations de Schlesinger satisfait la firofiriktk dr Painleul. (2) Si les ‘41 sont solutions des équations de Schlesinger s u r I’oiivert connexe X’, leurs parties diagonales A, satisfont da, = O , donc les A; sont des matrices constantes. La propositioiî permet aussi de montrer que la somme C{=lA, des matrices A, est indépendante de x E XI.

200

CHAPITRE VI. D~FORMATIONSINTEGRABLES

( 3 ) De plus, le polynôme caractéristique des A, ne dépend pas de x : il s’agit en effet de voir qu’il est localement constant sur l’ouvert connexe X’; il suffit pour cela, puisque les déterminations du logarithme sont indexées par l’ensemble discret Z et grâce à l’exercice 11.4.5, de montrer que le polynôme caractéristique des matrices de monodromie T i , . . . , Tp ne dépend pas de x ; c’est une conséquence de l’isomonodromie de la famille de connexions sur le fibré trivial

@il de matrice E, (’) d t , isomot - (x) Al

$1

nodromie assurée par le fait que R satisfait la condition d’intégrabilité (CJ: proposition 0.16.6). (4) Si on a pour tout z l’égalité A: +‘A: = TU, Id, alors on a aussi A, +tA, = w,Id. En effet, on vérifie que A, - w,Id et - ‘Al sont solutions des équations de Schlesinger avec les mêmes conditions initiales. D’après l’assertion d’unicité dans le théorème 1.2, ces solutions sont égales partout. Démonstration dc la proposition 1.3. - On a

et

et (1.7) En prenant le résidu de (1.6) le long des hypersurfaces Cl, = { t - +k (x) = O> on trouve les équations de Schlesinger (1.4). Réciproquement, les éqiialions (1.4) impliquent (1.6). Elles impliquent aussi

($1

d’où (1.7).

-

$1)

’

1. I,E PROK1.EME DE RIEMANN-HILBERT E N FAMILLE

201

Démonstration du théorème 1.2 :pxistence. - Soit ( E " ,Va) le fibré trivial muni de la connexion Vo de matrice

C!=,

&$,

dans la base canot

- 4JZ(X0)

nique E". Elle est aussi à pôle logarithmique à l'infini. Puisque X est 2connexe, la remarque 111.1.22 permet de construire sur IP' x X un fibré ( E , V) à connexion à pôles logarithmiques le long des C, ( i = O, . . . ,p ) tel que ( E ,V ) I p x~{ x o } = (E",0'). Soit v la connexion induite par V sur Co = {m} x X , au sens du x . suite, aO.14.b. C'est une connexion plute sur E, = i k E = E I { ~ ) ~Par puisque X est I-connexe, le fibré E, est trivialisable ; plus précisément, il existe une unique base E' de E , qui étend la base canonique de EO, = C d et qui est v-horizontale. Puisque Eo est trivial, il existe, d'après le corollaire 1.5.8, une hypersurface O de X ne contenant pas x" telle que le morphisme de restriction Z ( * x - ' O ) -+ n*i&g(*n-'O) soit un isomorphisme. I1 en résulte que le fibré méromorphe E"(*n-'O) est trivialisable et qu'il est muni d'une base E , relevée de la base E', qui se restreint à la base canonique EO en x". Soit Cl la matrice de V dans la base E. C'est une matrice de 1-formes différentielles méromorphes sur P' x X , à pôles logarithmiques le long des C, ( i = O,. . .,fi) et aussi à pôles le long de P' x O. Soit A, le résidu de SZ le long de C,. C'est une matrice de fonctions méromorphes sur C, E X à pôles le long de O. Considérons alors la matrice

Pour x fixé dans X \ O, ses éléments sont des formes différentielles méromorphes sur Pl,à pôles au plus logarithmiques 5 l'infini. Puisque ( - I ) ) , on conclut que le coefH'(P',Q;, (m)) = O (car abl(co)E ficient de dt 'dans 0' est nul. On peut donc écrire, dans des coordonnées locales, a' = Bk ( t , x) d x k , où les Bh sont holomorphes sur x (X\ O ) . Puisque la matrice de v dans la base E' est nulle, on a lim Rk ( t , x) = O ltl+a

et donc Bk

O. On en déduit l'égalité R =

C{=,AZ(x)d ( t -

suite les matrices A l , . . . , Ai, répondent au problème.

t

4Jl(X)).

- 4Jt

Par

(x)

Démonstration d u thPorYmp 1.2 :unacité. - La question de l'unicité dans le théorème 1.2 est un problème local, puisque l'ouvert où deux systèmes A l , . . . ,A, et A i , . . . , A n de solutions sont holomorphes est connexe, étant le complémentaire d'une hypersurface analytique dans X (cj. lemme

202

CIIAPITRE VI. DÉFORMATIONS INT'ÉGRWLES

0.2.1). On peut considérer le système (1.4) des équations de Schlesinger comme un système de Pfaff sur la variété X x Md(QI)j' au voisinage du point (x", A!, . . .,A;). Au vu du sO.13.b,il suffit, pour obtenir l'unicité locale, de montrer : 1.8. Proposition (les équations de Schlesinger sont intégrables). - Le syslime de PfaJ des Pquations de Schbinger est ink@raDle et déJinit un feuilletage de dimension n = dim X a u voisinage de (2,A:, . . . ,A;) . L'espace tangent à la feuille passant par ( xo, A:, . . . ,A;) pst transverse au sous-

espf-ce { O ) x M d ( W de q x O , A ; ,...,A;) (X x

Md(@)fi)'

En effet, une fois ce résultat obtenu, le théorème d'inversion locale permet de paramétrer localement la feuille passant par (x", A:, . . . , Ai) par un cl voisinage de x0 dans X ,d'où l'unicité. Démonstration de la proposition 1.8. - Commençons par la montrer lorsque n = p , X = X p est l'ouvert de @p formé des (xi, . . . ,x p ) tels que x, # x i si i # j et +,(x) = x,. Soit Y le soiis-faisceau de R:l>xM,,(cjP engendré par les éléments des matrices

Il s'agit de vérifier ($ lemme 0.13.2) que Y est un sous-fibré de rang !I de a;,,XM<,(C)" et que les éléments de da, sont nuls nioduio Y A aXpxMd(C)p. Mais on peut écrire, modulo Y A 0'Y.!

Pour j , k égal à

x Md (C)fi

'

# i et j < k , le coefficient de dxI A dse~~dans le terme de droite est

[ [ A l ,A,], Al,] - [ [ A / >Ak] A,] 3

(h"r - X I )

(x,

- Ql)

-

+

et l'identité de Jacobi permet de montrer qu'il est nul. Les termes en dx, A ilx, se traitent de même. Notons i l , .. . , [ I j les coordonnées sur Ty:,Xj, et bk() celles sur le ièinc fac. un élément dii fibrt T*(X!,x MC,(@)") teur M d ( @ ) , k,B = 1 , . . . , L IAinsi,

1. 1.E PROBLEME DE RIEMANN-HI1,BERI’ EN F.ZMI1.I.E

203

cotangent à X p x M d ( @ ) p a pour coordonnées (x1,. . . >

(2)

Xp,

(nku ) k , M

<<<<,

d >5 1 , .

(1)

. .>ti, (bkt

1

1 = ,...,/I

)k,P=l,,.,,d z = l , ...,p

1.

Les équations (1.4) définissent un sous-fibré F de T*(Xpx Md(C)fJ) isomorphe au fibré T*( X p ) x M d ( @ ) p par

avec

où les coefficients c (k’i i ) sont calculés à l’aide des éléments de Ai et A , . Pour tout ( x , A l , ..., Ap) E X p x Md(C)fJla fibre Fx c
. . , # j , Id) : X x Md(@)F

Xp x Md(@)f’

du système de Pfaff étudié ci-dessus. I1 cst alors intégrable ( $ remarque 0.13.3). On voit de la même manière que ci-dessus qu’il définit bien un sous-fibré de rang n de T * ( X x Md(C)p) isoniorphe ii T * ( X )x Md(C)f’ et O dont les fibres sont transverses à X x ï‘” (Md(Q1)”).

1.b. Un exemple : la sixième équation de Painlevé comme équation d’isomonodromie. - Nous allons ici détailler le cas particulier du système de Schlesinger (1.4) avec quatre points singuliers dans Pl (nous fixons les trois premiers en 0, 1,oo d’apres le lemme 1.1, et seul le dernier est variable, mais distinct de O, 1, C O ) , et oii la taille d des matrices est égale à 2. Nous supposons donc que X = P1 \ {O, 1,CO}, et que les trois premières fonctions $I (x) sont constantes, égales respectivement 2 O, 1,m. Enfin, la quatrième est l’identité x H x. Avec un petit changement de notation, la forme différentielle R s’écrit dt dt d ( t - x) R = A ~ ( x ) -+ A l ( x ) + A ~ ( x ) p t t-1 ( 1 - x) ’

204

C H ~ I T R Em.D~FORMATIONSINTÉGRABL~S

et les équations de Schlesinger prennent la forme

+

Si on définit A, par la relation A0 + A l + A, A, = O, on en conclut que A, est constante, et le système se ramène au système

en notant A ’ ( x ) la dérivée de A par rapport à x . Remarque. - L‘équation différentielle pour A0 (resp. A l ) ainsi présentée est dite sousforme de Lax. On se souvient (cf: remarque 1.5) que la trace et le déterminant de ces matrices sont constants. En ajoutant à chaque Ai la matrice - tr A, Id, on se ramène à supposer que les A, sont de trace nulle. Supposons par exemple que les deux valeurs propres (opposées) de A,, notées fh,/2, sont non nulles. On peut choisir une base dans laquelle A, est diagonale. Les parties diagonales et le déterminant de A0 et A1 étant constants, il reste un élément à déterminer dans chaque matrice. On peut montrer (voir par exemple [IN861 ou [Con99, p. 481 ) qu’ils s’obtiennent à partir d’une solution y(x) de la sixième équation de Painlevé

(PVI) y” =

1 1 -(+ ~ +1 - - ) ( 1y ) z 2 y y-1 y-x - 1)(Y - x) + Y (Yx2(x 1)2 (

-

(;1 + x -11 + y+’-1x ~

x-1

X

B-y2

y (y-

)-8 ( y - x ) ‘ où les paramètres a, p, y, 8 sont déterminés par les valeurs propres (indépendantes de x ) des matrices Ai : -

+

+

1)2

+

1.9. Remarque. - Nous avons parcouru ici un chemin inverse de celui qui a conduit à la découverte des équations de Painlevé. Le problème que cherchait à résoudre Painlevé concernait des équations différentielles du type y”(x) = R(x,y,y’)

où R est une fraction rationnelle. Les solutions y(x) d’une telle équation non linéaire peuvent avoir comme singularités des pôles (comportement en l / ( x - c)’), des points de ramification (comportement en (x - c)“ ou en log(x - c ) , etc.) et des singularités essentielles (par exemple y ( x ) = exp(l/(x - 6 ) ) ) . Le paramètre c peut dépendre des conditions initiales (cette possible dépendance par rapport aux constantes d’intégration est

1. LE PROBI ÈME DE RIEMANN-HILBERT LN FAMILLE

205

due à la non-linéarité de l'équation). Les solutions sont dites sans .singularité mobile si les points de ramification ou les singularités essentielles des solutions ne dépendent pas de ces constantes d'intégration. Ainsi, Painlevé avait pour but la détermination d'une classe minimale de telles équations différentielles, telle que la résolution de toute équation différentielle de ce type dont toutes les solutions sont << sans singularité mobile », puisse se ramener à la résolution d'une équation de la classe. I1 s'agissait notamment de trouver de << nouvelles fonctions transcendantes >). Cette absence de singularité mobile est appelée propriété de Painlevé ». I1 est facile de fabriquer des équations différentielles à singularités mobiles : prendre par exemple l'équation satisfaite par y(x) = exp( l / (x - c ) ) . Les solutions des équations de Schlesinger satisfont cette propriété puisqu'elles n'ont que des pôles (le long d'un diviseur O qui dépend n priori des conditions initiales). (<

1.c. Universalité

1.10. DéJinition (d'une déformation intégrable universelle). - Une déformation intigable ( E ,V) de ( E " ,0') est un fibré à connexion méromorphe plate sur P1 x X , à pôles logarithmiques le long d'une hypersurface lisse C U ({m} x X ) de P' x X qui est un revêtement de degré fi + 1 de X , induisant (E",0') en restriction à x0 E X. On dit que ( E , V ) est une déformation intégrable de (E",vo) complète en x" si, pour toute autre déformation intégrable (E',V',x'') de ( E n , V O ) paramétrée par ( X ' , x'") , il existe des voisinages V V ' tie x", x" dans X , X ' et une application analytique ,f : ( V I ,x'")

-

(VX0)

tels que ( E ' , VI) soit isomorphe (par un isomorphisme induisant l'identité en restriction à ( E " ,O")) à l'image inverse de ( E ,V) par l'application Id x f : P1 x V'

+ P'

x V

On dit que la déformation est universelle en xo si, de plus, le germe de f en x'" est unique. Soit X d le complémentaire des diagonales xi = x i dans c d muni des coordonnées X I , . . . , x d , avec pour point base xo = ( x i , . . . , xd). Cet espace n'est pas simplement connexe : son groupe fondamental est le groupe dps trpsses colorées k n brins (voir [Bri73] 011 aussi [AVG86, vol.2, p.721). On peut montrer(') que ses groupes d'homotopie supérieurs sont nuls. Puisque ~~

(')en utilisant la suite exacte d'horriotopie [SteSl, p.901 de la fibration nd : Xd + Xd-1 (oubli de la dernière composante) et en raisonnant par recurrence sur d 3 3 ; t'annulation

(,IIhPII Kb \’I DEFORMATIONS INTEGRU3LES

206

Xd est un ouvert de C d ,son fibré tangent est trivial et muni de la base ô, , . . . , dxXdassociée au système de coordonnées XI,. . . ,X d . Nous notons a : (Xd,?’)+ ( X d , x ” ) le revêtement universel de point base T” de l’espace Xd muni de son point base x O . Son deuxième groupe d’homotopie est nul,- puisqu’il en est de même pour Xd,et Xd est donc

TX,

est 2-connexe. Puisque ~d est un revêtement de X d , son fibré tangent le fibré image inverse de celui de Xd par l’application de revêtement m. I1 est donc aussi trivialisé et muni de la base a,, , . . . ,ôxd.Nous dirons que cette trivialisation est canonique. Remarquons enfin que le groupe symétrique Gd opère librement et transitivement sur Xd.L’espace quotient Y d est l’espace des polynômes unitaires sans racine multiple et l’application quotient associe à ( x i , . . . , x d ) E Xd le (s - x , ) . Identifions l’espace Xi = Xd n { x i . . . x d = O} polynôme à (C*)d-l à l’aide des coordonnées x, - x,+i ( i = 1,. . . , d - 1 ) . Cet espace d et le quotient est le sous-espace Y i de Yd des polynômes eut stable par s dont la somme des racines est nulle.

ntZl

+

+

FIGUREI . L’espace Y i est le complémentaire de la queue d’arronde

Nous pouvons niaintenant appliquer le théorème 1.2 en prenant d = p , X = 2,. Soient ( E ,V) le fibré construit sur P i x X p dans la démonstration de celui-ci et O l’hypersiirface associée. I

1.11. Corollaire. - L e $brP Ù connexion mhomorphe ( E ,V) induit pour tout 2, \ O une déformation uniunselle de sa restriction ( E , V ) .

-

x E

Dhnonstration. - Notons X = 2”. Soit (E’,V’) une déformation intégrable de ( E ” ,VO) paramétrée par un germe de variété (X’, do).La variété C c C x X’ est égale, au voisinage de x” , à la réunion des graphes de fonctions $ 1 , . . . , $p. Les applications $1,. . . , dkfiriissent une unique application f : X’ -+ Xf.D’après la propriété d’unicité dans le théorème 1.2, le fibré (E’, V’) est isomorphe à l’image inverse de ( E ,V) par cette application. des groupes d’homotopie supérieurs résulte alors dir fait que le revi.teriieiit universel de la di-oite complexe pr-ivéede d - 1 points est contractile.

2. LE P R O B L ~ M EDE BIKKHOFF LIN F.ZMII.I.E

207

2. Le problème de Birkhoff en famille 2.a. Déformations intégrables de solutions au problème de Birkhoff Soit D un disque du plan complexe UO centré à l'origine et soit X une variété analytique complexe connexe de dimension n , que nous supposons aussi simplement connew (quitte à remplacer X par un ouvert simplement connexe ou, mieux, par son revêtement universel). Notons maintenant r la coordonnke sur IP' dans la carte UO centrée en O. Soit (E, O) un fibré holomorphe sur U E Zl x X , muni d'une connexion méromorphe intégrable à pôle d'ordre - 1- le long de {O} x X (CJ: §0.14.c)('). Soit x" E X . Nous interprétons ( E , V ) comme une déformation intéLgrable - du fibré à connexion ( E o , V " ) ,restriction de (E, O) à U" = D x {x"}, au sens du a0.14.a. Puisque nous avons fixé une coordonnée T sur I), nous pouvons associer à un endomorphisme << résidu Ro du fibré E,jo)xs ainsi qu'un champ de Higgs CP sur ce même fibré (CJ: 0 . 1 4 . ~ ) .

(E,?)

>)

que l'on puisse résoudre le problème de Birkhoff IV.5.1 pour - Supposons V") , pour la valeur xo du paramètre. Soit donc E~ une base de E'" dans

(SO,

I

laquelle la matrice de la connexion V" s'écrit 0"=

dr ( BO + Bm) T , où

et B, sont deux matrices dans Md(C).

2.1. Théorème. - Dans ces conditions,- il existe une hypersurface O de X ne contenant pas xo et une unique base E de 8(* ( D x O )) qui coïncide avec E" en, xo et dans laquelle ln matm'ce de la connexion V s'écrit sous lu forme

avec Bo (x") = B i , où Bo (x) (resp. C (x) ) est une matrice de fonctions (resp. de 1f o r m s ) holomorphes sur X \ O pt mPromorph,es le long de O . Ainsi, il existe une solution canonique au problème de Birkhoff pour presque toutes les valeurs du paramètre, si l'on s'est donné une solution pour une valeur particdière. Notons que le théorème implique en particulier que le fibré g(*(Dx O ) ) est trivialisahle. Démonstration de l éxistence (1) Soit Il' un disque ouvert de P1 centré en cc tel que la couronne A = D n D ' soit non vide. Notons 7' la coordonnée sur D' telle que r' = l / r (2) I'iiisqiie la coiiiiexiori est siippmCc i i i t + i l > i e , la taille dir disque iriiporte peii et 011 poui-rait aussi bien partir. d'un gerriie, IC long de {O} x X , de libré holomorphe à coiiiicxion méromorphe.

208

CHAPITRE I?. DÉFORMATIONS

IN ïÉGFL4BI.ES

dans A. Sur A x X , le fibré ( E , ? ) I A ~ est x déterminé par sa monodromie. Puisque X est 1-connexe, on a T C I (A x X) = -x1 (A) - = Z de sorte que (E, o)ijixx est isomorphe à l'image inverse $+(E", V 0 ) / par ~ la projection fi: A x X 4 A. En restriction à A x X , le fibré trivial muni de la connexion de -' , donc isomorphe à ( E , V) ~ A ~Notons x . que matrice -(~'Ell+ B m ) d ~ ' / ~ est cette connexion est à pôles logarithmiques le long de {CO} x X . On peut ainsi recoller ces deux fibrés en un fibré ( & V ) sur P1 x X , muni d'une connexion méromorphe plate à pôles le long de {O, m} x X , logarithmique en CO et d'ordre 1 en O. Par hypothèse, la restriction Eo de E à P1 x {x'} est trivialisable.

@Sx,,

v

(2) Le fibré ikJl est muni d'une connexion holomorphe plate ($ sO.14.b). La donnée d'une telle connexion est équivalente à la donnée du faisceau localement constant de ses sections horizontales. Puisque X est 1-connexe, ce faisceau localement constant est trivialisable; il en est donc de même du fibré ikk? et, plus précisément, toute base de la fibre en xo de ce fibré s'étend de manière unique en une base horizontale du fibré ($ théorème 0.12.8). (3) Le corollaire 1.5.8 donne un isomorphisme C Y ( * d O ) cx ï T * i & q * ï T - l @ ) ,

où O est l'hypersiirface associée, par le théorème 1.5.3,au fibré E construit en (1). (4) Appliquons ceci à la base E" pour obtenir une base E. Elle définit donc, d'après ( 3 ) , une base du fibré Z ( * n - ' O ) en tant que Hp1x x (*;i-'O)-module ; autrement dit, les éléments de la base s'étendcnt en des sections globales de Z , au moins sur le complémentaire de x-'O.

2.3. Lemme. - Dans une telle base E rt dans la carte de P cmtrie en O, la matrice dr la r.on,nrxion V s k r i t SOILS la form? (2.2). Dimonstrulion. - La matrice Cl dans la base donc

(?+B&))!5

+C"(x,q+:,

E

est d'ordre 1. Elle s'écrit

c(X)

oii B, et Co sont holomorphes en leiirs arguments. Le comportement logarithmique à l'infini montre que B, et Co sont indépendants de T . La platitudc de la base vis-à-vis de la restriction à l'infini de la connexion montre que Co = O. L'horizontalité du résidu relativement à la connexion ($ exercice 0.14.6-(2)) montre que la matrice B, est constante. O

v

5. 1.E PROBLÈME DE KIKKHOFF EN FAMILLE

209

Démonstration dP l’unzcité. - Soient E‘ et E“ deux telles bases, méromorphes le long de O’ et O” respectivement. Posons O = O’ ü O”. 11 existe donc un isomorphisme

P (@$&y(*(D x O ) ) , V / ) Ni ( @ t X X ( * p x O)),V”) où V’ et V” ont la forme (2.2), dont la restriction à D x {x”} est l’identité. Considérons alors sa restriction à D x X”,avec X o = X \ O. Nous allons montrer qu’elle est égale à l’identité, ce qui donnera le résultat cherché. Notons que les connexions V’ et V”, par leur formule même, sont définies sur le fibré ,@ : x X o et sont à pôle logarithmique le long de {CO} x X”. Puisque P préserve les connexions, il s’étend en un isomorphisme des fibrés à connexion sur C x x” (car I’incliision D x x”cf C x X o induit un isomorphisme des groupes fondamentaux). Ainsi, P est une solution d’un système différentiel à singularité régulière à savoir celui associé à le long de l’hypersurface {CO}x X”,

Le théorème 11.2.25 et un argument analogue à celui de l’exercice 11.2.6 montrent que les éléments de la matrice P sont méromorphes le long de {CO}

x

X”.

Notons aussi que le système satisfait par P est encore sous forme de Birkhoff. Si on écrit P comme un vecteur, le système s’écrit donc, dans la coordonnée T’ à l’infini, sous la forme

tl Si on pose P =

,0 d‘f’t (x) , on en di.duit en particulier

(*)

dP( = D(X)f’(&I.

On a i‘p O pour Y < Y o . Si Y o < O on a niissi P(,, (x”) = O. D’apiès (*) on a df’,,, = O, donc, puisque \ O eyt connexe (q.0.2.1), on d P(,) p~,(x”) = O . On en déduit que les éléments de P sont holomorphes sur P1 x X”: ce sont donc des fonctions indépendantes de 7 ’ . Ainsi P(T’,x) = P o ( x ) . On a encore, d’après (*), l’idciititi. = O , donc P(T’, x) p O ( x o ) = Id. O

x

2.4. Exercice. - Utiliser la reniarquc 111.1.20 pour montrer que P , définie sur D x X ” , s’étend de nianière holomorphe à IP’ x Xo. Remarque. - Ida matrice -B, est la niatrice du résidu à l’infini de la connexion dans la base horizontale E . La condition d’intégrabilité de V

(:IIAPITRE VI. DÉFORMATIONS INTÉGRABLES

210

s’écrit alors dans cette base dC = O CAC=O

(2.5)

[Bo,C] = O d B o + C = [&,CI.

Dans des coordonnées locales XI,.. . ,xn sur X , on peut écrire C = C(’)(x)dx,,où les C(’) sont des matrices de fonctions inéromorphes sur X à pôles le long de O. Le système (2.5) se récrit sous la forme . .

.

i = 1, . . . Si par exemple la matrice Bo(.) est réplière(‘) pour tout x, c’est-à-dire si son polynôme minimal est égal à son polynôme caractéristique, toute est un polynôme cn Bo(x).Si les équations matrice qui commute à &(x) de la troisième ligne sont satisfaites, les C(’) (x) sont des polynômes en Bo(x) et, dans ce cas, les équations de la deuxième ligne sont aussi satisfaites.

2.b. Constructions en présence d’une c< métrique ».- Nous restons dans la situation précédente et nous analysons les conséquences de la présence O ) . Nous considérons le cas d’une dualité sesd’une dualité sur le fibré quilinéaire, la coordonnée r étant fixée sur le disque D . Les lecteurs pourront vérifier (exercice) que des arguments analogues s’appliquent dans le cas de la dualité linéaire. -Supposons donc qu’il existe une forme sesquilinéaire G sur ( E ,V ) , de _ _

(E,

(E,

poids 7u E Z : si, comme au fiIII.1.13, on note (E, 0)le conjugué - de 0) par l’application antipodale r H -r, on interprète la forme G comme un isomorphisme

--

( E ,V)

N

_ _ - dr ( E * ,V* + w-). c

I

Nous dirons que G est hermiticlane de poids w si de plus sa transposée conju-

-

guée

tc;

-

est égaie à ( - l ) W G .

(‘)Rappelons qu’une matrice rrffulièrp B est une matrice qui n’a qu’un bloc de .Jordan par valeur propre. Les matrices qui commutent à B sont alors les polynhmes en B et forment un espace vectoriel d e dimension d. L‘ensemble des matrices régulières est un ouvert de M d ( @ ) .

2. 1.E PROBLÈME DE BIKKHOFF EN FAMILLE

21 1

-

Si on voit G comme un accouplement sesquilinéaire

(&O)

6%

(53)

--f

(.“@DxX,d),

-

on a, pour deux sections locales e et e’ de Z , l’identité -

,

-

E ( e , e’) = G(e’, e ) .

- -

De plus, le coefficient - de T” dans c ( e , e’) ne dépend que des classes de e et e’ dans C Y / . ~= igZ. Ainsi, permet de définir une forme hilinéaire go sur le fibré restriction de à {O} x X . On a

5

E

-

G ( e , e ’ ) = r”go([e], [ e ’ ] ) + r 7 ° + 1 g r ) ( [ e 1 ,

[ e ’ ] )+ .. .

Par suite, si C:-est hermitienne de poids w , la forme go est hilinéaire SJmétrique sur i;E. On voit de même que le > Ro de 0 le long de {O} x X , qui est un endomorphisme du fibré io”, est auto-adjoint pour go. Le champ de Higgs Q satisfait aussi Q* = Q , c’est-à-dire que, pour -tout germe de champ de vecteurs 5 sur X , l’endomorphisme Q>E du fibré iGE est auto-adjoint pour go. Nous pouvons maintenant compléter l’énoncé du théorème 2.1 en prbsence de G.

2.7. Proposition. - Sous les condiiions du théorème 2.1, supposons - de plus que (1) il existe une forme sesquilintaire (resp. hermitienne) G de poids 7u sur

(E(2) 0); en restnition à P

-

x {xo), la forme G” s’itend en une forme .sesquiLiniaire

(resp. hurmitienne) Co de poids w .sur (So,V”) . Il existe alors un? unique forme sesquilinéaire (resp. hurmitienne) G de poids lejïbré méromorphe ( E( t x - ’ O ) ,V) qui étend G et G O .

TU

sur

Démonstration. - I1 s’agit de voir que la construction utilisée dans le théorème 2.1, qui fait passer de [(E,?), ( E o ,V ) ] à ( E ,V) est fonctorielle. Si (@,TO)

:

[@,O), ( S ” , V O ) ]

- -

--f

[(E’J’), ( S ’ y ’ o ) ]

est un homomorphisme, on montre, comme dans la partie unicité de la démonstration du théorttme 2.1, que (p s’étend à C x (X \ O ) , puis que l’homomorphisme ainsi défini est méromorphe le long de {m} x (X \ O ) , et enfin que sa matrice dans les bases E et E’ est constante. Ceci implique l’existence et l’unicité d’une extension ‘p : ( E ,V) 4 (E’, V’) de (@,T~’).La fonctorialité s’en déduit aussitôt. O <(

-

))

2.8. Remarque. - Si G et G” sont non dégénérées, il en est de même de C : dans la démonstration ci-dessus, il s’agit de voir que, si (Y, 9’) est un isomorphisme, alors son extension y l’est aussi ; ceci résulte dc l’unicité.

212

CHAPITRE VI. DÉFORMATIONS INTÉGRkBLES

Interprétons maintenant la présence d’une forme sesquilinéaire ou hermitienne sur le fibré ( Z ,V) sur P*x X , muni de la base méromorphe E donnée par le théorème 2.1. Notons Eo le @ x [.i]-modiiie libre des sections (polynomiales en T) de E sur l’ouvert Uo x X centré en {O} x X . Alors Eo est le @x-module EO sur lequel @[TI agit par h ( ~. )e = h ( - r ) e et, si A(T, x ) est la matrice de V,_ dans une @ x [TI -base, celle de dans cette même base est -A( - 7 , x) .

op,

Sur Uo x X , la forme CJ définit une application sesquilinéaire

Go : E()@ E”+ ‘r*’@x

[TI

qui est compatible avec les connexions, c’est-à-dire telle que

h(r)Go(e, e‘)

= G;lo(h(‘r)e, e’) = Go(e,h(-.r)e’) -

S
+ Tw+’gi1) ( [ e ] , [e’] ) t

on voit que, si e, e’ E Eo sont des sections qui s’étendent en des sections de E sur P’x X , on a G o ( r , e ’ ) = ~~‘ggo([e], [e’]).

2.9. Exercice. - En travaillant dans la carte U,, définir la forme g, sur & E . Montrer de même que g, est symétrique lorsque G est hermitienne de poids 7u.

2.10. Proposition. - La forme g, est v-horizontale. Si de plus G est hermitienne non dégénérée de poids ru, lesformes go et g , sont symétriques non dégknérées. Dans ce cas, si E est une base horizontale pour v (en supposant X simplement connexe), de sorte que, dans cette hasp, la matrice de V a la forme (2.2), on a, sur X \ O, les égalités

BO

= Bo,

B&

+ B,

=w

Id,

C* = C,

si B* désagne l%idjointede B relativemeni b g . Démonstration. - La forme G est une section horizontale du fibré à connexion XomH ( E @ Ë,& [ w ] ) ; la connexion naturelle sur ce fibré est à pôle logarithmique à l’infini. L’équation VG = O a pour composante sur il;, en restriction à T = CO, l’équation v G ( m , x ) = O. Ceci donne le premier point.

2 . LE PRORI.ÈME DE BIRKHOFF EN FAMILLE

213 \

On a par ailleurs un isomorphisme de @x-modules localement libres & ( E * ) P ( & E ) * de sorte que, si G est non dégénérée, on en déduit que goo aussi. Le cas de go est identique et la symétrie a été vue ci-dessus. La matrice de V* dans la base duale de E est l’opposée de la transposée de celle de V. Celle de 0” [zu] s’écrit donc

ce qui donne le dernier point.

O

2.11. Remarques (1) Soit E le @-espace vectoriel de dimension d des sections horizontales multiformes de V sur @ *. I1 est muni d’un endomorphisme de monodromie T . La forme C, induit une forme bilinéaire ( m p . non dégénérée et symétrique) 9 sur cet espace et la monodromie est un automorphisme de cette forme bilinéaire. (2) Dans la suite, nous commettrons l’abus (simplement parce que c’est l’usage) d’appeler << métrique la forme hermitienne G, ou bien les formes go et g,. Ces dernières sont seulement bilinéaires symétriques complexes non dégénérées et ne présentent aucune propriété de positivité. >)

2.c. Résumé des @2.a et 2.b. - Soit E tin fibré de rang d sur P’ x X muni d’une connexion méromorphe plate V , à pôles le long de {O, co> x X , logarithmique le long de {m} x X et d’ordre 1 le long de {O} x X . Supposons que la restriction E o de E à P’x {x’) soit triviale. 2.12. L‘hypermrface O. - L’ensemble fermé O des points x E X en lesquels la restriction E, à P‘ x {.> n’est pas le fibré trivial est vide ou une hypersurface de X (donc s’il est de codimension 2 2 dans X,c’est qu’il est vide).

2.13. Zdentijkation méromorphe. - Les deux fibrés Eo ! !igE et E, !!i&,E de rang d sur X sont identifiés de manière méromorphe le long de O grâce aux isomorphismes de @x (*O)-modules induits par les restrictions

le fibré méromorphe n , g ( * O ) sur X . Il contient donc deux réseaux localement libres, à savoir et un > interméet goo, diaire gl, à savoir x * g (noter que x * g est un faisceau @x-cohérent sans , mais n’est pas nécessaitorsion, donc est naturellement contenu dans rement localement libre).

214

CIIMITRE VI. l)@FORMATIONSIN7ÉGR,ZBI.ES

2.14. Données à l'infini. - Le réseau E"m est muni d'une connexion plate v et d'un endomorphisme v-horizontal K , (résidu de la connexion 0 , de matrice -B, dans une base horizontale). On en déduit unc connexion méromorphe plate et un endomorphisme méromorphe horizontal sur ainsi que sur les autres réseaux. 2.15. Données en O. - Le réseau &) est muni d'un endomorphisme Ru (. résidu >> de V ) dépendant du choix de coordonnée sur la carte UO de P' par une constante multiplicative. I1 induit un endomorphisme méromorphe sur A et sur les autres réseaux. Le réseau &) est de plus muni d'une 1-forme @ à valeurs dans les endomorphismes de go, qui satisfait @ A @ = O, autrement dit (Eo, @) est un jibré de Higgs. 2.1 6. Comportement relatiuement aux paramètres. - La formation de O, A , Z,, @, Ru, v et K , est compatible au changement de base : si f : X' + X est une application analytique et si E' désigne le fibré sur P' x X' image inverse de E par Id x f , muni de la connexion image inverse V', les objets sus-mentionnés relatifs à E' sont obtenus à partir de ceux relatifs à fi par image inverse f * .

E"0,

2.17.Relations. - Dans ilne base O-liorizoiitale, la matrice de V a la forme (2.2) et la matrice de Ru est K O , celle de K , est -&,, celle de @ est C . Les conditions d'intégrabilité (2.5) se traduisent donc par les relations

7'= O,

v(R,)

=

O,

@ A
[I?",@]

=O

h@ )= [@,Reo]. v(@) = 0, ~ ( + Précisons la signification de ces relations : - La connexion v sur E" induit de manière naturelle une connexion sur a m @ , (g, E") (cJ 5 O. 11.b). Ceci définit des sections v (K,) , (Ro) de 0; @@$. am., (E",g). - Nous avons vu au 50.12.a la définition de la courbure v2 et, au 50.12.b, la définition de l'expression @ A @ comme sections du faisceau 0; @HX (E", E"). - On note [Ru,@]: C? + 0; @fly E" l'homomorphisme défini, pour tont champ dc vecteurs E , par

[ K O ,@]E

=

[ K O ,@[I : g

-

Z

La définition de [@, R,] est identique. - En utilisant les 53 0.12.a-ll.b nous avons un opérateur

v : 0;

@flya m f l y ( ~ " , +-g )

@e$. am.; ( 8 , ~ )

OX

IJ’expression O(Q) E @Eya m , (Z’,E“) a donc un sens, puisque Q peut être vu comme une section de CLA\ am@,, (E“,8).

2.18. Comportement vis-à-vis d’une << métrique ».- On se donne de plus une forme hermitienne non dégénérée G sur E compatible à la connexion. V et qui est de poids w E Z . On en déduit des formes bilinéaires symétriques non dégénérées go et g, sur E o et E“m, qui coïncident sur A. Elles satisfont, sur X \ O ,

v(g)=O, R O , + R , = - w I d Q* = Q,

La première ligne

Ri

= Ro.

(wrp. la seconde) se prolonge à X

en utilisant Zmet g,

(Tesp. & et go).

Indiquons que l’égalité Q* = Q signifie que, pour tout champ de vecteurs E , on a (Qz)* = Qc. Enfin, V ( g ) = O signifie que, pour tout champ de vecteurs et toutes sections locales P , Y’ de E,on a Z:g(e,e’) = g(V:(e),P‘) + g ( e , V ~ ( e ‘ ) ) .

2.19. Réciproque. - Donnons-nous un @x (*O)module localement libre A ,mimi d’une connexion plate v , d’un endomorphisme Q à valeiirs dans Cl; (*O),d’endomorphismes Ro et Roo,tous méromorphes le long de O et satisfaisant les relations 2.17. Alors on peut munir le fibré r * A ,qui est u n fibré sur P’x ( X \ O ) , méromorphe le long de O, d’une connexion plat<. V à pôles logarithmiques le long {cm}x X et d’ordre 1 le long de {O} x X :

on pose

On pourrait aussi prendre

On ne précise pas ici la possibilité d’une extension holomorphe le long de P’x O. Si les relations 2.18 sont aussi satisfaites, on peut relever la forme bilinéaire g en une forme hermitienne non dégénérée sur n * A .

3. Déformation intégrable universelle pour le problème de Birkhoff Noirs adaptons au problème de Birkhoff la notion de déformation iiriiverselle introduite au $ 1 . ~ .

216

CHAPITRE VI. DÉFOh%4TIONS INTÉGRABI.ES

3.1. DéJinition (d'une déformation intégrable universelle). - Une déformation intégrable ( E ,V) de (E', O") est un fibré à connexion méromorphe plate sur P' x X , à pôles d'ordre 1 le long de {O} x X et logarithmiques le long de {CO}x X , induisant (E', 0') en restriction à x u E X. On dit que ( E ,V) est une déformation intégrable de (E', V') compCte en x u si, pour toute autre déformation intégrable (E', V', x") de (E', 0') paramétrée par (X', x") , il existe des voisinages R V ' de x u , x'' dans X, X' et une application analytique

f : ( V I , x")

-

(YX')

tels que ( E ' , V') soit isomorphe (par un isomorphisme induisant l'identité en restriction à ( E ' , V u )) à l'image inverse de ( E ,V) par l'application Id x f : P' x 1' -+ P1 x L! On dit que la déformation est universelle en xu si, de plus, le germe de f en x'' est unique.

3.a. Existence d'une déformation universelle locale. - Donnons-nous deux matrices BO et B, dans M d ( ( C ) . Soit (E', Vu) le fihré trivial de rang d sur P' muni de la connexion de matrice R' = ( B O / . + B ~ ) ~ T / T .

3.2. Théorème ([Mal83a, Mal861). - Si la matrice BO est réguli&e, il existe. un g m e de déjormation universelle de (E', Vo) . Celui-ci esi de dimension d . 11 est remarquable, ici et aii 3.b, que, contrairement au cas générai du théorème 2.1, nous n'ayons pas besoin de connaître (E, 0) pour construire la matrice B o ( x ) et la matrice de I-formes C(x). Démonstration d u théorème3.2. - Considérons le système (2.5) sur une variété X au voisinage d'un point x u . Localement, la première équation peut se résoudre de manière unique sous la forme C ( x ) = ( x ) où r est une matrice de fonctions holomorphes satisfaisant la condition initiale ï ( x ' ) = O. De plus, puisque BO est régulière, il en est de même de Bo ( x ) , pour x voisin de x', pour toute matrice holomorphe B o ( x ) satisfaisant Bo(x') = BP,. Le système est par suite équivalent au système portant sur les couples

(Bo(x),T(x)) [ ~ ~ , d=r O]

d(Bo

+ r) = [B,,drl

et donc équivalent à un système portant sur r uniquement, puisque la deuxième ligne équivaut à Bo = Bo - r + [B,, r], car r' = O. Finalement, résoudre (2.5) revient à résoudre le système

(3.3)

-

r+[~,,r]),dq =O

3. DÉFORMATION

INTÉGRABLE L~NI\iERSEILE POUR 1.E PROHI.hlE: I)E BIRKHOFF

217

avec la condition initiale ï' = O. On peut considérer le système (3.3) comme un système de Pfaff sur l'espace M d ( C ) des matrices ï.

3.4. Lemme. - Si B i psi régulière, le système (3.3) est intépuble sur Md(@) et déJinit un fPuilletagP dont les feuilles sont de dimension d au voisznage de l'origine. Démonstration. - Calculons d'abord la 2-forme d [ ( B i - ï valeur matricielle. Nous utiliserons le fait que

d [ A ,dr] = [dA,E ] +

+ [B,, r]),a]à

dA A dï + d ï A d A

Alors on a d [ (BO- r

+ [B,, ri ), d r ] = -2dr

A

d r + 2 pm, dr A

a].

Soient (yzI) les coordonnées canoniques sur M d ( C ) . On a donc dr = (dyt3).Soient

deux champs de vecteurs sur M d ( C ) au voisinage de l'origine. Pour montrer l'intégrabilité, il s'agit de vérifier ($ lemme 0.13.2) que, si [(') et ((') sont annulés par toutes les 1-formes éléments de [ ( B i - r + [B,, r]),d r ] , alors ( ( I ) A )'(E est annulé par toutes les 2-formes éléments de la matrice d [ (BO- r [B,, ri ), d q . Par hypothèse, la matrice Bo = B i - ï + [B,,r] = ( b Z 7 )est régulière pour tout ï proche de O. On a

+

[ ~ o , d ~ ] ,= n C(hmkdykn

-

bkndymk),

k

le champ ( est dans le noyau de de sorte que, si on note E la matrice toutes les 1-formes [Bo,dr]mri si et seulement si

[Bo,=] = o.

(3.5)

On vérifie de la même manière que ((') A les 2-formes ( d [ B o , si et seulement si (3.6)

-2[E('),$2)]

+ 2[B,,

est dans le noyau de toutes

[E(i),E(')]] = 0.

Puisque BO est régulière, (3.5) pour z(')et E (') implique que E(') et z ( ~ sont des polynômes en Bo, donc commutent et, par conséquent, (3.6) est aussi satisfaite. Calculons maintenant la dimension des feuilles du feuilletage ainsi obtenu, au voisinage de l'origine. Pour tout r" E Md(C) assez proche de O, la est régulière. Les vecteurs (' = Cz7 [I;ûy,, matrice A' = B i - r' + [B,,ï'] tangents à cette feuille en A' sont les vecteurs tels que [A",E"] = O. Puisque O A' est régulière, cet espace est de dimension d.

)

C~HAt'IIW 1'1. DÉFORMATIONS I'ùTF,GR~\ZRI.ES

218

Revenons maintenant au théorème 3.2. Soit Y c Md(C) la variété intégrale du système (3.3) passant par O, au voisinage de l'origine (on en considère le germe en O uniquement). Soit = $! le fibré trivial de rang d muni de la connexion V dont la matrice dans la base canonique est

($+B");+T>

dï

où l'on a posé Bo = BO - r + [B,, r] et où on restreint les fonctions et les 1-formes à la sous-variété Y de M d ( @ ) . Nous allons vérifier que (6V) est un germe de déformation universelle de (E', V') . Soit ( E ,V) une déformation intégrable de (E', 0') paramétrée par une variété (X, xo) de dimension n. Comme le problème est local, nous pouvons supposer que X est une petite boule ouverte dans @ " et, en particulier, que X est 1-connexe et, d'après le corollaire 1.5.4, que le fibré E est trivial. D'après l'argument utilisé au théorème 2.1, il existe une unique base E de E dans laquelle la matrice de V a la forme

(F+

R,)

d.r

+ -,C(x) T

avec Bo(xo) = BO. Le système (2.5) montre que dC(x) = O. I1 existe donc une application holomorphe r : X + Md(C) telle que d I ' ( x ) = C(x) et r(xo)= O. Puisque le système (2.5) est satisfait par ( R ( x ) , C ( x ) ) ,on en déduit que ï est à valeurs dans Y et, par construction, on a ( E ,V) = ï + ( E V) . Ceci prouve que ( F , V) est Line déformation intégrable complète de ( E o , r o ) . Soit f une application holomorphe (X,x") + ( K O ) et soit ( E , V ) = f +( F , V) . L'unique base E de ( E ,V) considérée ci-dessus est alors l'image inverse de la base canonique de F et l'application f n'est autre que l'application ï considérée ci-dessus. Si jif' : ( X , x ' ) + ( M r i ( @ ) , O )sont telles que les fibres méromorphes f +( F , V) et J'+ ( F , V) soient isomorphes par un isomorphisme induisant l'identité sur ( E ' , V') , la partie << unicité >> de la démonstration du théorème 2.1 montre que cet isomorphisme est l'identité. Le calcul ci-dessus montre alors que f = f ' , puisque cette application n'est autre que r. On en déduit l'universalité de la déformation. O

3.b. Existence et construction d'une déformation universelle globale Donnons-nous encore deux niatrices B i , B , E Md((C) et wpposons maintenant que B i est dangonale r@ulzkre ( i . ~à. valeurs propres distinctes) ; nous notons B i = diag(x1,. . .,xd). Dans cette situation, nous allons construire une déformation intégrable du système différentiel de matrice ( B ~ / T B,)~T/T. Notis verrons que cette déformation est uniuprselle.

+

Cette déformation se présente sous deux formes différentes (qssociées à deux bases particulières du fibré déformé). Nons analysons en détail ces deux formes et leurs relations. La semi-simplicité de B i va nous permettre d'utiliser le théorème 111.2.10 et donner ainsi une version plus globale du théorème 3.2. Nous interprétons ici l'espace Xd du 5 1.c comme celui des matrices diagonales

i"

)

... Xd

ayant des valeurs propres deux à deux distinctes.

3.7. Théorème (UMUSl, Mal83cI). - Il e&e une hypersurface O de x d et un un,ique coul,le (Bo, C ) mb-omor-he sur 2, ù pôles le long de O, solution des bquations (2.5), tel que Bo(Xo) = BO = diag(x;, . . . ,xd) et yue, pour tout 2 E X \ O , la matrice Ho (2) soit conju~p&ii diag(x1, . . . , xd) . Commençons par un énoncé en termes de fibrés. 3.8. Proposition. - Il existe sur IP' x 2, un Jibré ( E ,V) tel que (1 ) lu connexion V est plate, d'ordre 1 1r long de { O } x Xd et logarithmique le long dP { C o } x X d , (2) la restriction ( E " ,0 " ) dujibrk ( E ,V) h 2" admet une base dans laquelle la matrice de V" est ( B [ / T B m ) dr/.i, I

+

(3) pour tout 2 E X d , le d-uplet d a valeurs propres du (cf. 9 O. i4.c) rst &al ù a(2) ù prrmutation près. Be plus, un tel ( E , V) e.Tt unique ù isomorjlhisme p r k


résidu

Ro

Démmstration. - Soit LI un disque centré à- l'origine de Pl.Le théorème 0)a connexion 111.2.10 permet de construire sur = 1) x X d un fibré plate d'ordre 1 le long de {O} x 2, dont le << résidu >> Ro(2) admet a(?)= x = (xi,. . . , xd) comme ensemble de valeurs propres en tout X E X d , unique à isomorphisme près. On obtient ( E ,V) comme an point (1) de la démonstration dii théorème 2.1. L'unicité s'obtient comme pour le théorème 2.1. O

(E,

I

Comme dans le théorème 2.1, nous obtenons ainsi une hypersurface O(:") de 2, et une connexion plate sur i&Z, donc une connexion plate aussi notée v sur n * Z (*O) , à pôles le long de O. Dbmonstmtion d u thkori.mP ?. 7. - L'existence s'obtient par les mêmes arguments que dans le théorème 2.1, en utilisant le corollaire 1.5.8 et le lemme 2.3. Voyons la partie
220

CHAPITRE \il. DÉFORMATIONS INTÉGRARLFS

Soit (Bo(:), C ( X ) ) une solution méromorphe du système (2.5) (pour B, fixée) qui satisfait la condition initiale Bo(X') = B i et telle que, pour tout 2 E 5,hors d'une hypersurface O, la matrice Bo(.) soit conjuguée à diag(x1,. . . ,x d ) . Soit V un voisinage ouvert assez petit de 2" sur lequel existe une solution de C ( X ) = dï(X) avec ï ( 2 )= O. Alors ï définit une application f : ( XX") + (Md (C) , O) d'image contenue dans la déformation universelle locale (I:O) de (E", V") donnée par le théorème 3.2. Soit ( E V) le fibré universel sur Y . Alors le spectre de Bo = B i - ï + [B,, r] définit une application holomorphe g : (I:O) + (Xd, x') qu'on peut relever de manière O) + (X,,X"). unique (au voisinage de O dans Y ) en une application Par hypothèse, on a gof = Id.-On en déduit que qlgoT;,j f = Id. Puisque les espaces tangents TOY et TyoXd ont même dimension, les applications f et g sont réciproques l'une de l'autre au voisinage de 2'. Ceci montre que r(Z),donc C ( X ) et Bo(X), sont déterminées de manière unique par l'application spectrale g au voisinage de 2". O

(e

3.9. Fb-oposition. - Lejib& a-connexion miromorphe ( E ,V) donné par la proposition 3.8 induit, pour tout X E Xd \ O , une déformation universelle de sa restriction ( E ; , V ) lufibreP' x { X } .

5,

Démonstration. - Soit 2 E O. Alors le fibré ( E , V ) construit avec la condition initiale ( E " ,V') en X" est égal au fibré construit de la meme manière avec la condition initiale ( E , V ) l p ~ x { xen ) X, du fait de l'unicité. Il suffit donc de montrer l'universalité en 2". Soit (E', V', do)une déformation intégrable de ( E " ,V") . Le << résidu >> RL reste semi-simple régulier dans un voisinage de x'" et ses valeurs propres permettent de définir de manière unique une application f : (V',x'') 4 (gd,-xo) . Le fait que le fibré ( E ' , V') soit isomorphe à f + ( E , V) provient de l'unicité, à isomorphisme près, de ( E ' , V') avec condition initiale (E", 0'), qui se démontre comme dans la proposition 3.8.

3.c. Déformation universelle avec métrique. - On suppose que la matrice B, satisfait l'égalité 9, + B, = w Id pour un w E Z , i.e. la matrice B, w / 2 Id est antisymétrique. Autrement dit, la forme G" sur E" pour laquelle -O* -O* Alors cet GO(€:, E " ) = 6, définit un isomorphisme ( E " ,V") 1 ( E , V ) [w]. 3 isomorphisme se prolonge de manièrp unique en u n isomorphisme miromorphe le long de l'hypprsurjace O(?') :

(k? ( * x - I O),V) 1(F* ( t i , - ]O), v*) [ w ]

3 DÉFORMATION INTÉGRARI E ITNn'ERSE1.I.E POUR LE PROBLÈME DE BIRKHOFF

221

En effet, si Go se prolonge, alors la forme g, associée est horizontale ) S L J . Inversement, si on définit G de cette mapour ' ~ 7et donc G ( E ~ , E ] = nière, il suffit de vérifier que la matrice Bo et les matrices C(') sont symétriques. L'hypothèse d'antisymétrie sur B, montre que le système (2.5) (ou son expression locale (2.6)) est stable par transposition, c'est-à-dire que, si (BO, . . . , ~ ( " 1 ) est une solution, alors ( 9 0 , . . . ,t ~ ; ( n ) aussi. ) Puisque R<:est diagonale, l'unicité dans le théorème 3.7 montre que Bo et les C(') sont symétriques. O

e('),

3.d. La base E. - D'après le théorème 2.1, il existe une unique base E de
où Bo et les C ( i ) sont holomorphes sur 2, \ O et méromorphes le long de O. La condition d'intégrabilité de V est équivalente aux conditions (2.5). De plus, Bo (2) est conjuguée à diag(x1, . . . , xd) pour tout 2. 3.e. La base e . - Puisque le << résidu >> Ro de V est semi-simple régulier et que 2, est 1-connexe, la restriction Eo du fibré E à {O} x 2, se décompose en somme directe de fibrés propres de rang 1. D'après le théorème 111.2.15 et la proposition 111.2.12, - chacun de ces fibrés peut être muni d'une connexion plate et, puisque Xd est I-connexe, la donnée d'un vecteur de base en X" donne une trivialisation de ce fibré. Puisque par hypothèse B i est diagonale dans la base E", cette base est adaptée à la décomposition en restriction à 2 . On dispose ainsi d'une trivialisation de Eo et plus précisément d'une unique base e qui coïncide avec E" en Xo et qui est compatible avec la décomposition. Dans la suite, nous allons analyser la matrice de la connexion V exprimée dans la base e . 3.f. Comparaison des bases E et e . - Le théorème 111.2.15 implique qu'il existe - un changement de base formel en r à coefficients holomorphes sur X d \ @ et méromorphes le long de 0, qui transforme la matrice fl de V dans la base E en une matrice fl' qui a la forme A

où A" (X) = diag(x1, . . . , xd) et Am est une matrice diagonale constante (qui donne la << monodromie formelle .).

222

CHiVI’IKE VI. DÉFORMATIONS INTÉGRARLES

3.10. Exercice. - Montrer, en reprenapt la démonstration du théorème 11.5.7, que A , n’est autre que la partie diagonale de la matrice B,.

Soit alors

P ( X , T) = c;Po Pk(X)sk la matrice de ce changement de base. On a R = P--’--I RP

--

-dPP-‘

et donc d P = Pfi‘ - R’P. On en déduit, en considérant le coefficient de T~ avec k = -2, -1, O , que l’on doit avoir les relations PoAo = BoPo P1Ao - Bop1 = B,Po

-

PoAW

(3.11)

où il, = dAo/dx, est la matrice diagonale dont l’unique terme non nul est égal à 1 et se trouve en (z,i). Ainsi on a A ( ) = E,x,D,. Une fois ce changement de base formel connu, la base e introduite au § 3.e s’obtient en ne considérant que la partie d’ordre O du changement de base, c’est-à-dire la matrice Po : en effet, on restreint à T = O le fibré formel associé à E pour trouver la base e . Par conséquent, la matrice R’ de V dans la base e satisfait

a’ = P,-lRpO + PFldP, avec la normalisation Po(X”) = Id puisque eo et to coïncident. En utilisant les relations ci-dessus et, en posant T ( X ) = -P,(X)-’Pl (X),on obtient (3.12) A

A

I1 faut remarquer que la perturbation R’ - R’ de la matrice diagonale R’ n’a pas de termes diagonaux. Enfin la matrice de v dans la base e est la restriction à T = 03 de la partie indépendante de d r dans CL’, c’est-à-dire ici [T,dA,] qu’on peut A, (x)dx, avec A, = - [ D , , T I . On a écrire aussi

cl=,

[T, dAo]tj = TLj ( d x l

-

dxi).

Remarquons que la dernière relation (3.11) peut être remplacée par la relation

Posons M ( X ) = [A,, ï ] , de sorte que M , = (x, - x j ) K j . La donnée de M équivaut à la donnée de T puisque les fonctions x , - xJ ( a # j )

-

sont inversibles sur Xd. On a M”

‘E M ( X ” ) = B,

-

A m . Alors la condition

9 D E F O W T I O N I N l t G W I F U N I \ ER5FI I b POUR LF PRORL LME DF RIRKiIOFF

223

d’intégrabilité sur V exprimée dans la base e montre que M satisfait le système différentiel (3.13)

3.14.Remarques ( I ) On a C, A,

dM =

= -

[[da,,T I , M + A,]

[C,D,, TI

= -[Id, 7‘1 = O. Par conséquent, la ma-

trice de v21c,lj dans la base e est nulle. Par ailleurs, la matrice de @ dans la base e est donnée par Qdx,

=

-Dz.

(2) La matrice T n’intervient dans l’équation (3.13) que par ses éléments non diagonaux. Nous pouvons donc remplacer, dans l’expression de M et dans (3.13), la matrice T par la matrice obtenue en annulant tous les coefficients diagonaux de T . Notons aussi que T est connue dès que l’on connaît M .

T

I

3.g. Cas où B, est antisymétrique. - Les résultats précédents s’explicitent plus simplement si l’on suppose que B, est antisymétrique ou plus généralement lorsque B, - ( w / 2 ) Id l’est, avec 7u E Z (dans ce cas Am = ( w / 2 ) Id). On a alors 3.15. Proposition. - Si B, - ( w / 2 ) Id pst nntisymétrique, la. matrice Bo et les matrice.$ ~ ( 1 )sont sjlmétriques. Démonstration. - I1 suffit d’utiliser le fait que le système ( 2 . 5 ) est invariant O par transposition (rJ: aussi 3.c). Cette propriété se lit aussi dans la base e :

3.16. Proposition. - La matrice B, - (7u/2) Id est antisymétrique si et seulement si la matrice M = [A,), TI l’est. Si cette propriété est sati$aite, la hase e est g orthonormie P t In matricr €O‘ de passage entre les bases E et e satisfait Po‘& = Id. i k o n s t r a t i o n . - Par construction on a M o = B, - ( ? u / 2 ) Id, donc un des sens est -clair. Si B, - ( z u / 2 ) Id est antisymétrique, on en déduit que la matrice T o = (adA,)-’ (B,) est symétrique. En considérant le système in-tégrable satisfait par ? qui se déduit du système (3.13), on en conclut que T est symétrique et donc M est antisymétrique. Pour le deuxième point, corisidérons la restriction à P1 x (& \ O) de la forme hermitierine non dégénérée G sur ( E , V) construite au 3.c. L’isomorphisme

a

(3.17)

CHAPITRE VI. DÉFORMATIONS INTÉGRABLES

224

que l'on en déduit induit un isomorphisme des complétés formels le long de {O} x (2,\ O ) . Comme les facteurs de rang 1 dans la décomposition formelle sont deux à deux inéquivalents, cet isomorphisme respecte la décomposition formelle. En restreignant l'isomorphisme (3.17) à {O} x ( X d \ O ) , on obtient donc une forme bilinéaire non dégénérée go pour laquelle la base e est orthogonale. , ~ D'autre part, la forme G induit une forme bilinéaire g sur T L + ~ , T ~(en prenant les sections globales). Dans la base E , elle coïncide avec goo et dans la base e avec go. On en déduit que pO"p0 est égale à la matrice diagonale de termes diagonaux les go (e;, e i ) . Montrons pour terminer que POP" = Id. Il suffit de montrer que, pour tout i = 1, ..., d , on a

d(POpo)

~

ax;

=

O, puisque l'égalité est satisfaite en

P.

Notons d'abord que, puisque T = P t ' P l est symétrique, on a l'identité

Po "Pl = Pl 9 0 . Par ailleurs, en utilisant les deux dernières relations (3.11),on obtient

a l

- ' 9"= -(C(i)P1 +Pl&) ' "0

ax;

PO'

a ax;

~

=

-Po. (P@

=

[Pi%, C ( Q ]

+ D i P l ) = [C(i),P"P,]. O

L'identité ci-dessus permet donc de conclure.

3.18. EXernce. - On se place sous l'hypothèse d'antisymétrie de B, ( w / 2 ) Id. En particulier la matrice T est symétrique. Soit u = ui(X)ei une

E,

section de 8 sur 2, \ O. Montrer les propriétés suivantes : ( I ) La section u est horizontale pour v si et seulement si les u;satisfont les équations ( i ,j = 1, . . . , d )

( 2 ) Si c'est le cas, la forme C,$(x) dx, est fermée. (3) Soit E?,= E, x,v, ( 2 ) ~ Si~de. plus v est vecteur propre de M de valeur propre x E C ,on a d

v(Fo= C ( a + 1)p1711 dxî + C M , I ~ I rdx, f, 1=1

1.1

et pour tout z la fonction v: est homogène de degré 2~

2 4 ).

(2.e.

1 x1

a, i ri2z

=

‘1 DEFORMATION INïkGFLWI F I’NIVLRSEI I F POUR LE PRORI LME. Dk BIRKHOFF

225

3.19. Exercice (d’aprèsA. Giventai [Giv!38]) (1) Montrer que la condition d’intégrabilité sur la matrice [T,dao] de la connexion v peut s’exprimer par les relations suivantes, pour tout couple ( i , j ) avec i # j :

(2) On pose Q = P(;’P = (1 - r T + .r2S + . . . ) , de sorte que Q-’Ck’Q + Q-’dQ = R’. En considérant le terme en 7 dans cette égalité, montrer que les coefficients diagonaux de T satisfont aussi A

c’est-à-dire dTzz= CeIlleTez(dx,- dxp) . (3) En déduire que, si E , - ( w / 2 ) Id est antisymétrique (donc si T est symétrique), la 1-forme T,, dx, est fermbe.

E,

3.20. Exemples (1) Si d = 2, on vérifie que M et [dAo, TI sont proportionnelles, donc dM = O et M est constante. Posons u = XI-x2 et v = h-”1 +x2. Soit b = Eoo,12. On a donc Tl2 = b/u.L’exercice 3.19-(2) montre alors que Ti1 et T22 sont indépendants de 71 et satisfont

donc T~ = T11 Oe-2h2/u et F~~

y;,ezb2/~d,

+

( 2 ) Si d = 3, on pose u = x1 - xz, 71 = x2 - x g et 7u = X I x2 + xg. On pose aussi TI^ = a,T23 = b et T,g = c , de sorte que Ml2 = au,M2g = b 7 ) et Mi3 = C ( U 7 1 ) . Le système (3.13) s’écrit maintenant

+

d ( a u ) = -br(vdu d(b71)

d(r(u

= -nc(vdu

+u)) =

-U ~ V ) - Ud71)

ail(71du - UdV).

<

I1 est commode de considérer les coordonnées = U / V E @ \ {O, I} et t = u v E @ * . On voit ainsi que les éléments c( = 11112, p = M ~ Jet y = M l 3 de M ne dépcriderit que de et satisfont le système

+

<

CHAPITRE VI. DÉFORMATIONS INTÉGRARI.ES

226

Ces équations mettent en évidence l’invariance de la quantité -R‘ p‘ + y2.De plus, le vecteur propre de M

= ct2

+

pour la valeur propre O est horizontal pour v. Les théorèmes 3.7 et 111.2.15 montrent qu’il existe une solution ( a , p, y) au système précédent, qui est une fonction méromorphe sur le revêtement universel de C \ {O, 1). Cette solution est unique une fois la condition initiale M o = B, - Am fixée. Le diviseur O des pôles dépend n priori de cette condition initiale.

3.21. Remarque (un système hamiitonien). - La notion d’intégrabilité pour les systèmes différentiels non linéaires, tels ceux provenant de la physique, n’est pas aisée à définid4). Une façon de l’aborder consiste à mettre ces systèmes sous forme hamiltonienne et à chercher le maximum d’intégrales premières. Par exemple, K. Okamoto a trouvé une forme hamiltonienne pour les équations de Painlevé (cf: [IKSYSl]). Voyons ce qu’il en est du système (2.5), écrit sous la forme (3.13). Nous supposons toujours que B , - ?#/2Id est antisymétrique. Dans la hase E , la matrice de l’endomorphisme Ro reste conjuguée à la matrice diag(x1,. . . , x d ) tandis que celle de R , reste constante. Dans la base e par contre, la matrice de Li0 est égale à diag(x1,. . . , xd), mais celle de R , + w / 2 Id, c’est-à-dire - M , varie dans l’espace des matrices antisyrnétriques suivant le système différentiel (3.13). Dans UMSSO] (5)est mise en évidence la structure hamiltonienne du système satisfait par M . Ce système s’interprète comme un système hamiltonien sur l’espace X,L x (31210,où ( ~ M Cest J l’orbite adjointe de la matrice antisymétrique M o = B, - ( w/ 2) Id munie de sa structure symplectique usuelle. On pose en effet, pour (2,M ) E (2, \ O) x s o ( d , C )

(4)I:introduction de [GR971 cornnience ainsi : << It would seem fit for a paper entitled “Integrability” to start with the definition of this notion. Alas, this is not possible. There exis& a pi-ofiision ol‘ integrability definitions and whei-e you have two acientists you have (at least) three definitions of integrability. ,, N. Hitcliin [Hit991 reprend, quant à lui, la repartie de Lonis Arinstrong : Il‘you gotta ask, you’ii nïver know ! aussi [Har94], [Dub96, prop. 3.71, [Hit97, tli. 4.11 et les généralisations dans [Boa99].
2)

S. DÉFORMATION INTÉ(;RABI.E LJNIVERSELIE POUR LE PKORl.ÈViE DE RIRKI 1 0 F F

227

et on note X,(x, M ) ( i = I , . . . , d ) le champ hamiltonien tangent a (3b41J qui lui correspond. On peut alors écrire l’équation (3.13) sous la forme ($ [Hit97, th.4.11)

dM

O

-= Xi(2,M).

axi

3.h. Relation avec les équations de Schlesinger par transformation de Fourier. - La déformation universelle que nous avons construite au § 3.b en utilisant notamment le théorème 111.2.10 peut aussi s’obtenir à partir de la déformation universelle construite au 1.c pour des conditions initiales convenables. On passe de l’une à l’autre par une transformation de Fourier partielle, comme nous l’avons fait (en l’absence de paramètres) au sV.2.c. NOLIS allons expliciter cette correspondance. Soient donc BO = diag(x;, . . . , x i ) avec xo E Xd et B, E M d ( @ ) . Nous supposerons dans la suite (cJ proposition V.2.10) que B, + kId est inversible pour tout k E N , ou, si l’on préfère, que B, n’a pas de valeur propre entière strictement négative. Le C [ T] -module libre Eo de rang d muni de la connexion 8.de matrice

s

et le @ [t]-module libre E o de rang d muni de la connexion Vo de matrice

sont transformés de Fourier l’un de l’autre. Noter que la matrice A, = (H, - 1d)Q est de rang 1 : son unique colonne non nulle est la i-ènie colonne de B , - Id. 0)la déformation universelle de (E’,O”) construite au § 3.b Soit
(E,

A

h

A

A

(F&) !E T

T

Comme au SV.2.q notons t l’action de ~‘173: et 3, celle de T-’, l’action de x, et a,! étant inchangée. Alors E devient, pour la même raison que dans x [t]-module engendré par E , que l’on note E , la proposition V.2.10, un @ niuni d’une connexion V . h

3.22. Lemme. - I x @x [t] -module E Pst libre d~ rang d , aver E pour bnw.

CHAP11 RE Vi 1)ÉFORMATIONS 1NTÉGRABI.E.S

228

Admettons ce lemme un instant et continuons d'examiner le transformé de Fourier partiel inverse. Si on écrit la base E en colonne, on a

autrement dit, la matrice de la connexion V dans la base

E

s'écrit

I1 n'est pas a pm.om. évident que cette matrice ait la forme donnée dans le théorème 1.2 (avec IliZ(x) = xi). Nous allons le voir en utilisant la base e , obtenue par le changement de base de matrice PO ($ Ss3.e et 3.f). On vérifie de la même manière que ci-dessus que la matrice SL' de V dans cette base s'écrit

c'est-à-dire aussi d

fl' =

((A,

-

i= 1

avec

La matrice SL a donc bien la forme donnée dans le théorème 1.2. De cette manière, pour B , fixée, la solution ( B o ( % ) ,C(X)) des équations (2.5) avec condition initiale BO = xo en 2' donnée par le théorème 3.7 permet de donner une solution ( A l (X),. . .,Ad(:)) des équations de Schlesinger (1.4) avec condition initiale ( B , - Id)Bl,. . . , ( B , - 1d)Dd en Z". Démonstration du lemme 3.22. - Puisque E engendre E sur & [ t ] , on dispose d'un morphisme surjectif & [ t I d + E . Soit K son noyau. Puisque le module est libre sur &X [TI, il est aussi libre sur &, donc IE est libre sur & . Soit 1112 l'idéal maximal de @X en 2. On en déduit que R/rir$K est le noyau du morphisme induit C [ t I d + E/iit$E. Nous avons ni à la proposition V.2.10 que celui-ci est un isomorphisme. On en déduit que lK/~it$K = O pour tout 2 E X , donc K = O (en effet, une section de K est formée de d polynômes en t , dont les coefficients sont des fonctions holomorphes sur X qui s'annulent en tout point de X ) .

E

CHAPITRE VI1 STRUCTURES DE SAIT0 ET STRUCTURES DE FROBENIUS SUR UNE VARIÉTÉ ANALYTIQUE COMPLEXE

Introduction

À la fin des années 1970, K. Saito (CJ: [Sai83a, Sai83bl) a mis en évidence de manière conjecturale une structure mixte sur l’espace de paramètres du déploiement universel de toute fonction holomorphe à point critique isolé. Cette conjecture affirmait qu’il existe une << métrique )> plate sur le fibré tangent (donc une structure afJîne, voir remarque 0.13.5) et un produit compatible à la métrique »,ces deux structures étant reliées par des relations du type de celles considérées aux §§VI.2.17-2.18. Ainsi, la présence d’une of.r= mation intégrable est centrale dans une telle structure, que nous appellerons par la suite structure de Saito.L’outil essentiel pour faire apparaître une telle structure est l’application de pémodes injnitésimnle. Cette conjecture a finalement été démontrée en toute généralité par M. Saito ([Sai89]). I1 est à noter que l’existence d’une structure affine était déjà apparue dans des articles, publiés un siècle plus tôt, sur les périodes de familles de courbes elliptiques ($ [FS82] ) . Plus récemment, B. Dubrovin ($ [Dub96]) a montré comment cette structure permet de décrire certaines solutions d’équations différentielles non linéaires introduites par des physiciens, dites << équations W D W ( I ) . De plus, il a montré que cette structure apparaît dans d’autres domaines (la cohomologie quaniique notamment, voir aussi [MM97]), mettant ainsi en évidence des relations entre des domaines apparemment très éloignés les uns des autres. Un fait essentiel dans cette approchc est l’existence locale d’un potentiel satisfaisant les équations WDW, aussi appelées iquations d ’ussocintivité. Cette structure est aussi appelée par B. Dubrovin structure de Frobenius si on la présente à partir du potentiel, dénommé alors polentiel de la structure de Frobenius. <(

>)

(’)Ce sont les initiales de Witten, Dijkgraft, Verlitide et Verlitide.

230

CHAPITRL! 1'11. STRUC:I'LIRES

[)E SAIT0 ET STRUCTI'KES DE FROLIENIITS

Depuis, une autre façon de produire de telles structures a été proposée par S. Barannikov et M. Kontsevitch [BK981 (voir aussi [Man99b, CZ99]), faisant ainsi ([Bar99]) jouer un rôle aux structures de Frobenius dans la symPtrip miroir (voir par exemple [Voi96, BP961) .

Nous présentons dans ce chapitre le premier aspect de la question. Après avoir introduit la notion d'application de périodes infinitésimale dans le cadre général des structures de Saito, nous montrerons l'existence d'exemples universels de telles structures, sous une hypothèse de semisimplicité. Nous traitons quelques exemples et indiquons le cadre général de construction de la structure de Frobenius associée aux singularités de fonctions holomorphes par K. Saito. Nous ne donnerons aussi que quelques indications sur les autres approches, qui sortent du cadre du présent ouvrage. Ce chapitre s'inspire notamment des articles [Aud98b, Aud98a, Dub96, Hit97, Sab981 et du livre [Man99a].

1. Structure de Saito sur une variété Soient M une variété analytique complexe de dimension d et TM son fibré tangent. Nous allons utiliser maintenant les notions introduites au 50.13. Pour bien mettre en évidence les rôles respectifs de la métrique et de la connexion associée, nous allons commencer par des définitions qui ne font pas intervenir la métrique.

1.a. Structure de Saito sans métrique

1.1. Déjnition. - Une structure de Sailo sur M (sans métrique) est la donnée (1) d'une connpxion plate sans torsion v sur le fibré tangent T M , (2) d'un champ de Higgs symétrique Q sur le fibré tangent T M , (3) de deux sections globales (champs de vecteurs) e et CF de Obi, appelées respectivement champ unité et champ dEuler de la structure. Ces données sont soumises aux conditions suivantes : (a) la connexion niéromorphe(2)V sur le fibré r*TM sur Pl x M définie par la formule

(')On se soiivierit que @(E)et VE sont des endomorphismes du fibré tangent T M ,Z.P. drs endornorpliisincs @tr -linéaires dii Faisceau @,!f . On lcs voit ici de inanii.re riatui-elle comme des eiidoinorptiisnics du faisccau n * 8 , ~Far ~ . aillciirs, rr'v est u n c coiiiiexiori s u r cr niêrne faisceau ($ exeniplc 0.1 1.10) et, de niênie, x*
v,

est int;grc.lble (autrement dit, les relations VI.2.17 sont satisfaites par Q, Ro = -Q(E) et R L = v@) ; (b) le champ Y est v-horizontal ( i . ~O . ( P )= 0 ) et satisfait Q p = - I d (i.e. le produit * associé à Q admet P pour champ unit;). Nous allons indiquer maintenant quelques conséquences assez immédiates de cette définition, qui permettront de mieux comprendre les exemples les plus simples. Nous laissons au lecteur le soin de les détailler.

1.2. Modi;fcation du champ d’Euler. - On peut obtenir des structures de peut être remplacé par E + Saito paramétrées par h E C : le champ Ae. L’endomorphisme Ro Pst l’endomorphisme de multiplication(‘) par E. I1 est remplacé par Ro + A Id. L’endomorphisme v@est inchangé. 1.3. Relation entre le champ d’Euler et le champ unité. - Une des relations VI.2.17 est que l’endomorphisme R k = v@est v-horizontal. De plus, le chamit, uniti e satisfLit vp@ = P , ce qui est équivalent, puisque v est sans torsion, au fait que T @ ( e ) = - e , si 2 e désigne la dérivée de Lie relative à 6 : en - Q, appliquée au couple de vecteurs effet, la relation v ( K o ) = [Q, v@] ( e , P ) , donne d’une part

et, d’autre part,

1.4. Écriture du champ d’Euler dans des coordonnées plates. - Tout revêtement (en particulier le revêtement universel) d’une variété possédant Line structure de Saito est mimi naturellement d’une telle structure. Supposons donc que M soit I-connexe. Toujours parce que v est sans torsion, il existe (voir le théorème 0.13.4) sur M un système de coordonnées t l , . . . , t d , i.e. telles quç ~ ( a , , ) = O pour tout i. On peut les choisir de sorte que dt, = e . La matrice de l’endomorphisme v(@) dans la base (a,,, . . . ,û t d ) est constante. Supposons qu’elle soit smi-simple. I1 est alors possible (et souvent coniniode pour les calculs) de choisir ces coordonnées de sorte que les champs 8,)soient des vecteurs propres de v(@). On peut donc écrire dans cette base ~6 = diag(l,Sp,.. . , h ’ d ) avec 6 i E C et 81 = 1 puisque ve@= P . Si on pose 6 = C ia j ( t 1 , . . . ,t d ) J t , , les éçalitCs 0;; , E = 8;dl, (“)Bien que cela ii’air aiiciirir iriipormicc. iious pi-eridroiis la riiiiltiplicatioii i droite, pour. siiivre air plus pres l’aiialogir avec la coiiricxiori. (“1 au seils taie, ci. rciriarqiic 0.2.1.

CHAPITRE \?I. STRUCTURES ü E SAIT0 ET STRLJCTURM DE FRORENILIS

232

impliquent que aJ = 8]t3 + r1 avec r1 E 6 .Translatons les coordonnées plates pour que rl = O si 8, # O. Le champ d'Euler s'écrit alors

1.5. Dérivation covariante et dérivation de Lie du produit. - Étant donnée la symétrie de CP (définition 1.1-(2)),la relation = O dans CL; @ebI EndRt, ( O M )se traduit par la relation suivante, pour tout triplet de champs de vecteurs :

v(CP)

vt(y* O ) vq(S* O) + F * v,,e -

-

7 * VtO - P t y * O

=

o.

En effet, on remarque d'abord que le terme de gauche est linéaire en E , 7 ,O, de sorte qu'il suffit de vérifier cette équation sur une base locale. Puisque v est sans torsion, nous pouvons considérer un système de coordonnées locales plates t l , . . . , t d . La relation signifie alors que l'expression

est symétriqut en i , j , k . Pour vérifier que ceci est équivalent à l'équation

v(@)= O, on pose @ = C z d t , 8 C ( ' ) .La relation v(Q)= O équivaut aux relations ûC(')//at, = û C ( J ) / d t , pour tous i , j (voir le système VI.2.17). Par définition on a

de sorte que la symétrie de @ équivaut au fait que, pour tout

e,

C?? est

symétrique en j , k . Ceci implique que ûC$)/ati l'est aussi. Par platitude des coordonnées, on a

vatz

Ainsi, étant donnée la symétrie de Q, la symétrie en z,j, k de ( a t l * at,) équivaut à la symétrie en z, j de X,,, (3) /at, pour tous k , e, autrement dit, à la relation

v74>= O.

La relation v ( R o ) - [Q, v E ] = se traduit par

-4,

appliquée à un couple de vecteurs

(5,y )

vg(y*E)-vgy*Q+E*vU;Q-C7S*qE=F*y. Ceci se vérifie par le même argument que ci-dessus. = O, celle-ci est équivalente à la relation Modulo la relation

v(@)

P&*y)

-P@F*y-E*-Z@y=t*y.

1. STRII(:TIJKE DE SA1 I O SI'R UNE VARIÉTL

233

Si l'on considère le produit * comme une section du fibré des homomorI agit par dérivée phismes symétriques de OM @ OM dans O M ,sur lequel C de Lie, la relation précédente signifie que(5)

*.

9E(*) =

1.6. Exemple (structuresde Saito en dimension 2). - Nous allons exhiber les structures de Saito sur le plan complexe @' muni de la connexion plate usuelle pour laquelle les coordonnées canoniques ( t i , t 2 ) sont plates. Nous supposons que est le champ unité. Nous supposons aussi que V@ est semi-simple de valeurs propres 1 et 82 et, d'après le 1.4, que les coordonnées sont translatées de sorte que le champ d'Euler ait la forme

at,

tiat, tid,,

E={ Le produit

+ w2atP

+ rqû,,

(y2

si 8' E

* sera déterminé par la valeur de a,, * a,,. ate

*

at,

= E l ( t i , t2)3t1

# O,

C ) si 82 = O. Posons donc

+ K 2 ( t l , ts)dt,.

Les relations que nous n'avons pas encore utilisées sont

va,,(at2 * a t 2 ) = Va,, (4,* 4,)= vat,4,

=O

et

9@(d,,

* a t n ) - 2 9 @ ( d t , ) *a,,

=

a,,

*at,.

La première montre que c(1 et cc2 ne dépendent que de t'. La seconde montre que 2 et a2 = c g t y - si 82 # O et si on pose Sg = 1/(1 + m ) , on a ccl = clt2r" ( c l , e2 E ) ; ainsi, une telle structure existe sur ~2 si et seulement si m E w lorsque c2 # O et 2m E W si c2 = O ; on a alors

c

a,, * atn = t;(cltya,, + c&); - si 82 = O, on a cc1 = cle2t2'rz

at, * a,,

et

ccg

= cyet"'?

= et?/', (clet""a

tl

(cl,

e:! E ~ 1 ;)on a aiors

+ Qat2).

1.7. Plongement de la variété LQ comme hypersurface. - Le champ d'Euler @ définit une forme linéaire sur chaque fibre du fibré cotangent, c'est-à-dire un homomorphisme linéaire de 7 M dans le fibré trivial M x @. Notons h la coordonnée sur le facteur C . Soit LQ la sous-variété du fibré cotangent T * M associée à Q comme au gO.13.d. Si pour tout x E M l'endomorfihisrne (5)La premiere relation du

9 1.5 inipliqiie aussi la relation TC*?(*)

=t

(cf:

[HerSS, $51)

* 2 7 (*) + -8(*) * 3.

Ro9x de T,M est régulier (i.e. son polynôme minimal est égal à son polynôme caractéristique), 1iLpplicntion LQ + n/r x C ,induite par le champ d’Euler (5, est une immersion f m é P et son image a pour équution dét( Id -Ro) = O. En effet, il s’agit de voir que le morphisme @ b f [ h ] + Ofif qu’on en déduit est surjectif. L’endomorphisme de multiplication par est égal à Ro . I1 est donc régulier ; pour toute section 5 de Ofil la multiplication par commute à la multiplication par (5, donc s’exprime comme un polynôme en Ro à coefficients dans & . Par suite, = 5 * e est un polynôme en E. Enfin, le noyau de @){[hl -+ Ob1 est engendré par le polynôme minimal de Ro, qui est son polynôme caractéristique.

<

o

1.8. La variété Id@ est lagrangz’enne [AudgSb]. - Supposons que M soit simplement connexe et Ro semi-simple régulier en tout point. Dans cette situation, la structure d’algèbre sur TxM est semi-simple pour tout x E M . Les valeurs propres de Ro définissent d fonctions X I , . . . ,x d sur M . Ces fonctions forment un système de canoniques (cf. d@nition 0.13.10) sur M et la variété LQ n’est autre que lu réunion disjoinle des grciphes de.s dxi . En effet, il suffit de le vérifier localement. Comme au aV1.3.e, on construit (en fixant un point base x” E M ) une base e de 0,)fen utilisant le théorème 111.2.10 et, dans cette base, la matrice de Ro est diagonale en tout point de M . L’expression VL(3.12) montre que la matrice de iD dans cette base est alors égale à - d X o ; autrement dit, on a, pour tout i = 1,.. . , d , l’égalité cD(ej) =

c’est-à-dire encore, pour tous i , j ei

=

-dx; @ e , ,

1 , . . . ,d ,

* ej = Y?, (xi)

ei.

Puisque le produit est commutatif, on en déduit que Ye,(xt) = O pour i # j . L’existence d’un champ unité permet alors de voir, comme à la re(xi) ne s’annulent pas. Le détermarque 0.13.11, que les fonctions h i = Tp8 minantjacobien dét (2+, (x;)) ne s’annulant donc pas sur M , l’application (xi,.. . ,xd) : M + @ ” est partout de rang maximum. Posons P: = ej/h; ; on a donc e: * e’ = sije: et (xt)= 8,j. On en déduit que e: = a/&, et que 1 I (xi,.. . , xd) définit au voisinage de chaque point de M un système de coordonnées canoniques. L’assertion sur LQ résiilte de l’exercice 0.13.12. O

On en déduit une application holomorphe partout de rang maximum de M sur un ouvert dc la variété 2, du $Vi.l.c. Réciproquement, toute application holomorphe partout de rang maximum de M sur un ouvert de X,i pour laquelle *, P et (5 sont comme (“)au srlis ttale,

4. rcniarqiir 0.2.4.

ci-dessus est obtenue par les coordonnées canoniques, donc est unique 2 permutation près de celles-ci. Le théorème 4.2 précisera encore ces résultats. Ainsi, dans cette situation, la variété M possède deux types de systèmes de coordonnées, l’un adapté à la connexion, l’autre au produit.

1.9. Exmple 1.6, suite. - Dans l’exemple 1.6, lorsque 8 2 # O et c2 = O, = 1, on doit avoir 2m E W et la matrice de Ro est égale à

de sorte que Ro est semi-simple régulière hors de { t q = O}. Les coordonnées canoniques sont les valeurs propres de Ro, c’est-à-dire

dans tout ouvert simplement connexe de { t 2

# O}.

1.10. Le discriminant. - Supposons que l’endomorphisme Ro de niultiplication par @ soit inversible pour presque tout point de M . Puisque Oh{ est sans @AI -torsion, étant localement libre, l’endomorphisme Ro est partout injectif et induit un isomorphisme sur son image. Le discriminant A de la variété de Saito M est I’hypersurface de M définie par l’équation dét Ko = O . Cette hypersurface, lorsqu’ellc n’est pas vide, joue un rôle important dans la géométrie de la variété. Elle possède elle-même une géométrie très riche(7) Une propriété de cette hypersurface que l’on peut déduire facilement de la structure de Saito est que c’est un di-i/zsc.urlibre. Rappelons la définition introduite par K. Saito [SaiSO] : soit B une hypersurface de M ; le sousfaisceau Onf (log D) c Onf des champs logarithmiques le long de 1) est fornié des champs qui sont tangents à la partie lisse de D ; soit U un ouvert de M sur lequel D est définie par l’annulation d’une fonction holomorphe sans facteur multiple h et soit 5 un champ de vecteurs sur U ; alors 5 est logarithmique IC long de D n U si et seiilemcnt si la fonction 9 : ( h ) s’annule sur U ou encore, d’après le Nullstellensatz, si cette fonction est multiple de h. Cette définition implique clairement que 0,vf (log D) est un faisceau de @\[-modules qui coïncide avec 0n/l hors de 11. On peut montrer que ce sous-faisceau d e Olt{ est cohhent. On voit de plus que le faisceau O,Z~ (logi)) satisfait la propriété suivante : si C est un sous-ensemble analytique fermé (7)I,cs lecteurs poiirroiit consulter [Tei77] ii ce sujet, dans Ir cas oir A4 est la hise d i r d6ploirineiit iiriiversel d’une singiilarité.

236

CHAPITRE[TI. STRUCTURES DE SAITO

de M partout de codimension alors on a l’égalité

> 2 et si j

STRUCTURES DE FROBENIUS

:M

Olzl(1ogD) = j*@M(logD)ilzl\z

\

C ~f M désigne l’inclusion,

@M

C j*Olzl,z.

En effet, pour tout champ de vecteurs 5 sur un ouvert U de M sur lequel h = O est une équation de D, si s , ( h ) s’annule sur D \ C , alors 2 8 ( h ) s’annule aussi sur D. L’hypersurface est un diuiseur libre (au sens de K. Saito) si le faisceau OM(log D) est localement libre comme &M -module (donc de rang dim hl ) . On peut montrer (par dualité) que cette propriété est équivalente à celle de la liberté locale du faisceau des 1-formes logarithmiques (CJ: remarque O.9.16-(3) ) Revenons à la variété de Saito hl et à l’hypersurface A . Si Ro est de plus semi-simple régulier sur un ouvert dense de M qui contient un ouvert dense de A , le diviseur A est libre. En effet, il suffit de vérifier que le faisceau O ~(log J D ) est égal au faisceau image de Ro : OM + 0‘21 puisque, par hypothèse sur Ro, ce dernier est localement libre. Le fermé analytique des points de A où Ro n’est pas semi-simple régulier est de codimension 1 dans A , donc 2 dans M . Puisque image Ro est localement libre, on a aussi

>

image Ro = j , (image Ro) , M \ ç

nOM,

ce qu’on voit en exprimant une section locale du terme de droite dans une base de image Ro avec des coefficients holomorphes sur le complémentaire de C , donc à singularité illusoire le long de C. I1 suffit ainsi de vérifier l’égalité des deux sous-faisceaux au voisinage de tout point du complémentaire de ce fermé. I1 existe alors, au voisinage d’un est défini comme tel point, des coordonnées canoniques XI,. . . , xd et réunion disjointe des hypersurfaces xi = O. Dans la base canonique, la matrice de &) est diag(x1,. . . , x d ) et, au voisinage de x1 = 0 par exemple, on a x2,.. . , xd # O, donc l’image de Ro est engendrée par les champs de vecteurs XI&, ,ûx2,.. . , ûxd, ie. les champs logarithmiques.

1.b. Structure de Saito avec métrique. - Comme au 5 0.13, nous appelons mélrigue sur le fibré tangent OM une forme &M-bilinéairc symétrique non dégénérée. 1.11. DéJinition. - Une structure de Saito métrique sur la variété M est la donnée d’une structure de Saito (v,‘D, e, E) et d’une métrique g sur le fibré tangent, satisfaisant les propriétés suivantes : (1) ~ ( g=) O (donc v est la connexion de Levi-Civita de g) ;

1. STRIJ<XUW, DE ÇMTO SIJR UNE VARIÉTÉ

237

( 2 ) @* = Q, i.e. pour toute section locale [ de O M ,Q: =
O(@)* + v(@) = BId. On peut remarquer que la connexion sans torsion v se déduit de la métrique et que cette dernière est donc une métrique plate. Par ailleurs, l’existence d’un champ d’Euler donne une homogénéité sui- la variété M . Dans les exemples traités originellement par K. Saito, l’endomorphisme ‘JE est semi-simple. Nous allons maintenant considérer quelques propriétés supplémentaires que l’on peut déduire de l’existence d’une telle métrique. = Ro. 1.12. Homogénéité de la métrique. - Puisque Ro = -Q(@), on a Par ailleurs, la condition d’antisymétrie sur gQ se traduit aussi par

c’est-à-dire encore, puisque ‘~(g)= O et

v est sans torsion, par

-%(g)(Ly) =%(g(t,yi))

-&%=%y)

-g(-%”;y)

= J!).g(S,y)

YLy.

On peut écrire cette égalité sous la forme 9 ~ ( g =) D . g : le champ @ préserve la métrique, à une constante multiplicative près, par dérivation de Lie; on dit qu’il est conforme (rappelons aussi, pour faire bonne mesure, l’égalité (*) = A , vue au § 1.5). Si on applique la première formule à ( = y = P , on obtient l’égalité ( D - 2 ) g ( e , e ) = O, puisque ‘J?@ = e ( $ $1.3). 1.13. La co-unité. - Soit e* la 1-forme sur A4 définie par e* ( y ) = g(e, y ) pour tout champ de vecteurs y . On dit que e* est la co-unité de la structure de Saito. I1 résulte de 1.11-(2) que l’on a, pour tous 5,q, l’égalité g ( 5 , yi) = e* ([ * y ) . De plus la forme e* est f i m i e : en effet

&,e*(&,)

= JZLg(e,&,)= d

e , 02~,&,)

= g(e,

v2,,&,)

(car v(g)= 0 et

ve = O)

(car v est sans torsion)

= aZ,e*(a2~).

Si M est simplement connexe (ou si on remplace M par son revêtement universel), il existe une fonction holomorphe y telle que e* = dq et cette fonction (notée originellement T par K. Saito) est unique a l’addition d’une constante près ($ exercice 0.9.8). Cette fonction y est plute (CJ: remarque 0.13.8).

CHAPITRE: VII. STRUCI‘URES DE SAIT0 El’ STRUCTUKES DE FROBENIUS

238

1.14. Coordonnées plates adaptées à la métrique et au champ d’Euler 11 existe sur tout ouvert simplement connexe U de M (ou, mieux, sur le revêtement universel de hl ) un système de coordonnées plates t l , . . . , id telles que les champs de vecteurs associés û, , . . . ,a,, forment une base gorthonormée de T,M pour tout x E U . En général, on ne peut obtenir simultanément des coordonnées plates g-orthonormées et telles que les a,, soient des vecteurs propres de vE (comme au 1.4), car par exemple g ( e , e ) = O si L) # 2. Suivant les cas, on choisira l’une ou l’autre propriété.

s

va,

Si va,,E = et E = SI&,, o n a ( S 2 + 8 3 ) g ( a t , , & , )= D . g ( & , , J t , ) , et 8, sont g-orthogonaux dès que 6, + # D . donc Lorsque g ( e , c ) = O (si D # 2 par exemple) et que v@est semi-simple, il existe un système de coordonnées plates t l , . . . , t d tel que e = a,, , que a,,, . . . , soient des vecteurs propres de vc-‘et que l’on ait

En effet, dans un système de coordonnées plates g-orthonormées, la matrice de v@- D/2Id est constante et antisymétrique ; donc, pour tout A, la multiplicité de la valeur propre A est égale à celle de -A. Soit t i , . . . , td un système de coordonnées plates tel que les d,t soient des vecteurs propres de v E . Par le procédé de Gram-Schmidt, on peut trouver un changement de base constant (et donc tin autre système de coordonnées plates t l , . . . , t d ) tel que les propriétés voulues soient satisfaites, avec peut-être seulement g ( & , ,dtd+i-,) # O. Puisque at, # a,, , on peut, sans toucher à a,, = e , rame(z 2 ) par des constantes, et ner cette valeur à 1 en multipliant Ics modifier les coordonnées en conséquence.

>

&?

1.15. Exemple 1.6, suite. - Considérons la métrique g telle que

g(4,,a,,) =g(af,,4,) = O

et

g(&,,&,)= 1.

Pour que cette métrique soit compatible au produit *, il est nécessaire et suffisant que l’on ait g(&, * &,,a,,) = O , c’est-à-dire c2 = O. On a alors v E (@)* = (2 282) Id:

+

+

1.16. Un potentiel pour la métrique. - Si on a un système de coordonnées canoniques (xz) (6définition 0.13.10) sur un ouvert de M (dans la situation du 1.8 par exemple), alors on a g( &.!, &,) = O si i # j : en effet,

s

g(&!, & / )

= g(&,

* a,,, a,),

= g ( ax!, &, = g(&,

a,

(canonicité)

)

, O) = O

(compatibilité de g et *) (canonicité).

1. STRLICTURk DE SlUTO SIJR UNE VARII~TÉ

239

Si l’on pose
1.17. Exercice. - Exprimer la condition de platitude de la métrique g en terme de 6 . 1.18. Un tenseur à quatre pattes. - Soit ~ ( [ 1 , [ 2 , [ 3 ) = g([i * [ 2 , [ 3 ) , vue comme section du fibré (slM)@’ et VC.définie comme section du fibré (voir par exemple [GHL87, prop. 2.581). I1 est clair que c est symétrique en ses arguments. Nous allons voir que

vc est symétriqup pn ses quatre arffuments. Rappelons que vc se calcule, dans tout système de coordonnées locales (zl,. . . , zd) , par la formule

f c(3q

>

va,,&,>azk ) +

(

9

&,,vdzF ark ) .

Considérons alors des coordonnées plates telles que les champs . . . ,dtd soient g-orthonormés. La matrice de Q> s’écrit C, C(’) d t , où 1 est ) la matrice cl,?. ( Mors

at,, ~ (

Q symétrique

:C :

Enfin on a, dans les coordonnées plates

=

~,liL’

v z, 1, k

( t l ,...,t d ) ,

qui est donc bien symétrique.

1.20. Exercice. - Écrire le tenseur c dans des coordonnées canoniques si la structure de Saito est semi-simple. 1.21. La constante d’homogénéité. - Dans certaines situations (voir par exemple le § 3 ) , le nombre D s’exprime naturellement sous la forme D = 2g + 2 - w où w est un entier et q E C .I1 est alors naturel de poser

CHAPITRE VII. STRUCTURES DE SN

240

R,

=

ro FT STRUCTURES

DE FRORENIIJS

v(e)- (1 + q ) Id. La connexion V = v + T

encore intégrable et les conditions de compatibilité 1.11 sont équivalentes à la donnée d’une forme G , hermitienne non dégénérée sur x*TM,qui est compatible à la connexion V et de poids 7u (cJ aVI.2.b). Par ailleurs, l’unit6 e est un vecteur propre de R m , de valeur propre -q, ce qui précise la signification de ce nombre q.

2. Structure de Frobenius sur une variété Nous présentons maintenant la définition d’une structure de Frobenius sur une variété analytique complexe M , telle qu’elle est donnée par B. Dubrovin [Dub96]. Elle ne fait pas référence a priori aux relations isomonodromiques ; elle met plutôt en évidence les propriétés de certains tenseurs sur la variété.

2.a. Structure de Frobenius. - Donnons-nous donc sur TM une forme bilinéaire symétrique non dégénérée g , u n produit * associatif et commutatif à unité e. Ceci permet de munir chaque espace tangent T,M d’une structure d’algèbre de Frobenius (au sens donné dans l’exercice 0.13.13). I1 revient au même de se donner trois tenseurs e E r(M,Oh)), g E r ( M , ( f l M ) B 2 ) et T(M, cl^)@'), les deux derniers étant symétriques, satisfaisant les propriétés de l’exercice 0.13.13. Cette famille d’algèbres de Frobenius sera une structure de Frobeniur sur M si elle satisfait deux conditions supplémentaires, à savoir une condition d’intégrubilzté et une condition d’homogbnéitt. Ces conditions s’expriment ainsi : (1) la métrique g est plate et, si v est la connexion plate sans torsion associée, on a v ( e ) = O ; (2) le 4-tenseur oc (voir 1.18) est symétrique en ses arguments; (3) il existe un champ de vecteurs (F (champ d’Euler) et un nombre complexe il soumis aux conditions suivantes : (a) l’endomorphisme v(F de OM est une section v-horizontale de Ends,, (OM) ; (b) on a -ZE(R(S>y ) ) - g ( % L y ) - g(S,-%.q) = ’ g ( L y ) pour (g) = L ) . g ; tous champs 5, y ; autrement dit, 2~ (c) o n a ~ ~ ( 5 * r i ) - ~ ~ 5 * y - 5 * y ~ y = Epoiirtouschamps .y 6,y1 ; autrenient dit, 2~ (*) = *. 2.1. Remarques (1) En présence de la condition ( i ) ,l’horizontalité (3.a) de l’endomorphisme v(F est conséquence de la condition (3.b). I1 est cependant

2. SIKU(:TIIRE DE FROBENILIS SUR IINE WRIÉTÉ

24 1

important de mettre en évidence cette propriété. Pour voir que (1) + (3.b) j ( X u ) , nous travaillerons dans un système de coordonnées plates , t d telles que les champs a,, , , dld soient ,y-orthonormés. Posons E = & p/,(t)a,,. Montrons exercice 0.12.11(2)) que, sous la condition (3.b), la section v21!@ est encore horizontale. Puisque v est sans torsion

(CJ:

(condition ( i ) ) ,il est équivalent de montrer que 2&(ûtt) = - CI, (yk)dt, est horizontale, c’est-à-dire que les a, (yk) sont constantes pour tous i, k . La condition (3.b) s’écrit, vu les hypothèses faites sur la base a t , , . . . , a t d , ati(yj)

+ & , ( y i ) = -»8z,

c’est-à-dire encore, en posant $z = ‘pi dt)(+j)+L$(+J

=O

v i , j = 1,...,d3

+ Dtj/2, v i , j = l >. . . >d.

On déduit de ces relations que les 8,)( + j ) sont constantes pour tous i , j : en effet, on a at,&,

( $ 1 ) = -&,at,

($2)

= atid,, ( $ j )

Donc

&,at,

($j) =O

-&/a,, ( 4 J i ) = a t i d t i (44)d’une part, d’autre part. = -ût,ûtl (+/O = -dti8,, ( + k ) =

pour tout 12.

( 2 ) On déduit de la condition (3.c), en prenant

O

5 = 7 = e , que l’unité P

est un vecteur propre de valeur propre 1 de v@, c’est-à-dire encore TEP = -e. (3) B. Dubrovin impose aussi une condition de semi-simplicité pour @.! Cette condition n’est pas essentielle pour la suite. (4) On peut affaiblir la notion de structure de Frobenius en imposant seulement les conditions (1) et (2), c’est-à-dire en n’introduisant pas l’homogénéité due à l’exi&nc< du champ d’Euler. L’associativité du produit (2.6. la symétrie de Q) et la condition (2) se traduisent alors par l’absence de courbure de la famille de connexions v + A@ paramétrée par A E C (voir [Dub961 ou [Man99al).

2.2. Proposition (les structures de Saito sont les structures de Frobenius) Il y n équiuu1m-P entw ytrurturp de Snito ~ V P métrique C et ytructure de Frobmius Jur une uumt;tP‘M. Démonytmtaon. - Lc fait qu’une structure de Çaito avec métrique donne une structure de Frobenius résulte des propriétés qui suivent les définitions 1.1 et 1.11. Inversement, donnons-nous une structure de Frobenius et posons @E(YJ)= -5 * y . La commutativité et l’associativité de * donnent la symétrie de Q dans une base v-hori~ontale de @ et Q A CD = O. Les déments

orthonormée sont tels que

X ( " / a t ( est une expression symétrique en 1.k

v(Q)= O et donc la propriété (3.c) de v(&)+ @ = [Q, v@], comme indiqué au fi 1.5.

z , j , k , t . Ceci implique que équivaut à la relation

O

2.b. Le potentiel de la structure de Frobenius et les équations d'associativité. - Donnons-nous une structure de Frobenius (éventuellement sans champ d'Euler, comme à la remarque 2.1-(4)) sur une variété M que nous supposerons 1-connexe. Fixons un système de coordonnées plates ( t i , . . . , t d ) sur M .Le fait que le tenseur ~ ( c soit ) symétrique en ses quatre arguments implique qu'il existe iine fonction holomorphe F : M + C telle que l'on ait, pour tous i, j , k , la relation (2.3) On remarque d'abord que, si une telle fonction existe, elle n'est bien déterminée qu'à l'addition près d'un polynôme de degr6 2 en t l , . . . , t d . Montrons l'existence de F. Nous travaillerons dans des coordonnées plates gorthonormées pour simplifier. On n, dans ces coordonnées, c(û,, a,,, a t k ) =

3,h. (1)

Une première conséquence de la symétrie de ~ ( c est ) que la 1-forme dt, est fermée. Pour tout couple (1, k ) il existe donc (4 exercice 0.9.8) une fonction FJ,k (définie à constante près) telle que dF,,k = F ( dt,. Toujours par symétrie, on a dF3,k = "';a,], de sorte qu'on

C,C;:;

E,

1.k

peut ajuster les constantes (la variété M étant connexe) pour avoir de plus Fl,k = Fk,3 pour tous 1,k . Encore par symétrie, on voit que la forme Fl,k d t k est fermée et il existe donc des fonctions F, telles que %,/&a = F3,k. La forme I;] d t , est encore fermée, d'où l'existence de F .

E,,

c,

Lorsque v@est semi-çimple et g(e, u ) = O , on a, dans les coordonnées plates du fi 1.14, I'egalité g(&, * a t , , û t k ) = 1 si I + k = d + 1 et O sinon, de sorte qu'on peut écrire

(2.4)

F(t1,.. . , t d ) =

1

2

( /c= 1 d

t,td+lPl

) + G ( t p , . ..,

td).

2.5. Exemple 1.6, suite. - Reprenons la situation de l'exemple 1.15. Les seules dérivées troisièmes de F qui sont éventuellement non nulles sont, en posant e = 2m E N, û3 F

-=I

allat,

et

a3 I;

~

at;

= c 1 t 20 p (O11 C l e e t " " ) .

P . STRUCTURE DE FKOBENIUS SUR UNF VARIETF.

243

On a donc, 2 un polynôme de degré 2 près,

pour une constante ci convenable.

2.6. Homogénéité du potentiel. - Supposons que VQ soit semi-simple. Nous pouvons alors choisir des coordonnée3 plates comme au 51.4. On a en particulier 2&(at,) = -filat, pour tout 1 . On déduit de la conformité de E par rapport à la métrique g ( 5 1.12) que, pour tous z , ~ ,k , la fonction f ( a t l , d t , , d t k ) est E-homogène de degré D + I - 6 , - 6 , - 8 k , c’est-à-dire satisfait l’éqiiation

-zK+t,,atl,at,)

= ( ~ + -1 s,-s,

-8k)c(at7,atl,at,).

<

On en déduit que TE ( F ) - ( D + 1) . F est un polynôme de degré 2. En particulier, si tous les 6, sont > O, ceci implique que F est un polynôme, puisque le coefficient de t;”’ . . . t p dans F est nul sauf si 1 81 n3 = D + 1 lorsque E, nl 2 3 .

2.7. Éguations d’associativité. - L’associativité du produit impose des contraintes sur (les dérivées troisièmes de) la fonction F . Ce sont des équations non linéaires aux dérivées partielles, connues sous le rioni d’«équations WûW ». Fixons un système de coordonnées plates ( t l , . . . , t d ) que nous supposerons g-orthonormées pour simplifier. On a donc = g ( t , ût,,!)ût, pour tout champ 5 et par suite

<

L’associativité (ûti * & ) ) * ût, = iltt* (ût, *

z,

se traduit par les relations@)

pour tous i, j , k , t E { 1, . . . , d } , ce qu’on peut exprimer par le fait que l’expression a? I; a3F al,at,at,, at,atkat, est symétrique eii z,,j, k , &. (‘1 Exercice : h i r e dcs i-elations analogues daris des coordonnees plates non iiécessaii-eiiicrit orth oiiorriiécs.

244

CHAPITRE VII. STRUCTURES DE S A I T 0 ET SI’RUCTURES DE FKOBENIIJS

2.9. Exercice (équations d’associativité dans des coordonnées plates adaptées). - On suppose que g ( e , e ) = O et que vE est semi-simple. Montrer que, dans un système de coordonnées plates t i , . . . , t d comme au cj 1.14, la propriété d’associativité s’exprime par le fait que la quantité

5

@F at, at] a t m

___.

ô3 F &d+i -pn d t k at[

est symétrique en i, j , k , e .

3. Application de périodes infinitésimale

NOLISdécrivons ici un procédé pour construire une variété de Frobenius à partir d’une famille de fibrés sur Pl,munie d’une connexion méromorphe plate. Pour obtenir la métrique de la variété de Frobenius, il sera nécessaire de supposer que cette famille possède une forme hermitienne non dégénérée. Pour que la construction proposée soit définie, il est nécessaire que la famille de fibrés admette une section fnimitiw. La structure de Frobenius est alors obtenue à l’aide de L’qbplicntion de p h o d e s inJinitésimale donnée par cette section primitive. Nous suivons ainsi mot pour mot la démarche de K. Saito [Sai83a]. 3.a. Application de périodes infinitésimale associée à une section primitive. - On se donne un fibré F de rang d = dim M sur une variété M . On en déduit un fibré E = x * F sur IP’ x M . On le suppose muni d’une connexion méromorphe plate V 5 pôle de type 1 le long de {O} x M et à pôle logarithmique à l’infini. I1 revient au même de se donner sur F les objets v, @, R,, Ro satisfaisant les relations du cjVI.2.c.On notera dans la suite i o = F = zGE. On a ici une identification fixée Eo = E,. Soit O une section v-horizontale de application de périodes infinitésimale

va : Ï’M

&I. À cette section est associée une

+ E()

qui est le morphisme de fibré sur M défini par

ya(F) = -%(a) pour tout champ de vecteur

sur M .

3.1. Définition (d’une section primitive ou homogène). v-horizontale w de E o est - homogène si c’est un vecteur propre de R, , - primitive si ‘pa est un isomorphisme de fibrés.

Une section

3 . APPLICATION DE PÉRIOUES INFINITÉSIMAI.E

245

3.b. Connexion plate et produit sur le fibré T M . - Si w est une section primitive, on peut transporter sur TM par y,,,les structures qui existent sur Eo. Elles seront notées avec un exposant (L) à gaiiclie pour rappeler la dépendance vis-à-vis de la section primitive. On dispose donc d’une connexion plate sur TM définie par

“v

v (%(E)). La forme (D définit aussi Lin produit(“) * sur les sections de TiVi par % ( t * T j ) 2! - ( q ( y m ( y ) ) = ur’;

‘”(E)

3.2. Proposition (1) La connexion plale “Q sur TM psi sans torxion ou, de manière Yquivalente, satisjait v(pW = O dans 0; & . la section y,,, dr fi;, 8

*

( 2 ) I x produit esi associatij; commutatif Pt admet e %‘ c’p; qui rst unw section horizontale pour la ronnrxion plate .

(O))

commP uniti,

“v

Dimonstration (1) Fixons localement une base v-horizontale E de Eo = E, et des coordonnées locales z1 , . . . , zd de M . Dans une telle base, la section w a des coefficients constants. On a aussi, en reprenant les notations de Vi. ( 2 . 2 ) , qcj(a,,) = -(;(’) (z) . W . Alors vi42,y(sJ(aZ,) = -&,(c(’)(Z))

‘

puisque w est v-horizontale. De plus, 3, ( C ( ~ ) ( Z ) )= a,, ( C ( i ) ( z ) )d’après VI.(2.6). Par suite on a “vil&, = (’QiZ, &,. On en déduit l’absence de torI

sion de

“

j

~

.

Enfin, on a par définition Line section de ai, &I,

(cf:

exercice 0.12.1), lorsqii’on voit yu, comme

vyUl(c?T) = v<(ÿOJ(T)) - v , ( ÿ O > ( t ) )- v C d ( [ 5 ? T ] ) et l’horizontalité de yo>Cqiiivaiit 2 l’absence dc torsion de

(‘Q.

O

(2) Le prodiiit est donné par (peu (&!

* dz, ) = -%:( (90,(2:,) ) - -c(/) y[,,(&,) -

(;(i)

. (;(il .

et la première assertion provient de la relation [C, (”’1 = O. (“)Ici encore, il faiidi-ait aflirhler la notation d’un exposant w ; dans les exemples du 3 4 noirs verrons cependant que ce prodiiit ne depend pas de la section primitive c-hoisir.

CIIAPITRE \'Il. STRUCTURES 1)K SAiTO ET STRUCTURES DE FROBFNILJS

246

On a par ailleurs

ce qui donne le deuxième point (l'horizontalité de e équivaut à celle de w ) .

O 3.3.Remarque. - Si est muni d'une forme bilinéaire non dégénérée g telle que les relations du sVI.2.18 soient satisfaites, cette forme se transporte par y u en une forme bilinéaire sur T M , que l'on note "g. Alors "g est "Q-horizontale, car g est 7-horizontale et, puisque "Jv est sans torsion, celle-ci est la connexion de Levi-Civita de la forme hilinéaire.

3.4. Exercice. - L'endomorphisme R, de @ G par

définit une section "5,

de

flk

"s',

( f ) = R, (y" (5)).

Montrer que l'on a v("S,) = O dans C L k @G.

3.c. Le champ d'Euler

3.5. Proposition (1) Il existe un unique champ dP vecteurs "E, appelé champ d'Euler de la sectiorz primitive w , tel que léndomorphisme 4 H 5 * "E soit léndomorphisme "Ro de TM . (2) Si w est homogènp de degré -q (Le. R, ( O )= -yu), on a

"v"Q= et en particulin

+ (1 + 4 ) Id

"v ("v "E) = O .

Démonstration (1) Si le champ

existe, il doit satisfaire, puisque e est l'unité de

E=

u>

= ' ' R ~ ( P=)y,'

(E6,).On a, par hypothèse,

Posons donc E(,,= &(a) et "@ = y;' yu (&!

* ,,E)

= -@a:, = -@E

(~o(o))

(Ec+) '

Ro ( O )

= -Ro .

(a) d'après VI.(2.6)

= Ro ( y b J (Z' ,

))'

A,

s. APPLICATION DE PÉRIODES

INFINITÉSIMALE

(2) On calcule dans une base v-horizontale

247

E

O Nous pouvons résumer les résultats ci-dessus :

3.6. Théorème (l’applicationde périodes infinitésimaleproduit une structure de Frobenius-Saito) (1) Soit M une variété munie d u n j b r é Eo et de donnies v, @, Ro, R, et g satisfnisant les relations des §$VI. 2.17 et 2.18. Si adnaei un<section primitive O hornogèlze, l’application de périodes inJinitésimule y,, munit M d’une structure de variété de Frobenius ayant pour unité le champ e = y;’ (a). ( 2 ) Réciproquement, touie varidé de Frobenius est obtmue de cette manike, en O prenant pour section primitive le champ unité. ?. 7. Remarque (construction d’une section primitive). - Dans la pratique, la section primitive est déterminée par sa valeur initiale en x”. En effet, soit w” E E; un vecteiir propre de R , (opérant sur E o ) . I1 existe alors, sur tout ouvert simplement connexe de M contenant x” (ou sur le revêtement universel de M ), une unique section V-horizontale w de Eo dont la restriction à xo est 0’.Si de plus (p,. induit Lin isomorphisme TpiW -f E;, il existe une hypersurface 0,)”dans M , hors de laquelle yo est u n isomorphisme (son équation est le déterminant de yo, dans des bases locales quelconques de TM et E o ) . Alors, en restriction à M \ w est une section primitive. @,,,O,

3.d. Adjonction d’une variable dans l’application de périodes infinitésimale. - On se donne maintenant u n fibré F’ sur une variété M ’ , avec rg F’ = dim M’ + 1, et on suppose F’ muni de v’, R & , @’, K:) (et éventuellement g’), satisfaisant les relations du sVI.2.c (et éventuellement du svI.2.18). On cherche à munir la variété M = A’ x M’, où A’ est la droite affine de coordonnée T,d’une structure de variété de Frobenius en identifiant F’ et T M ~ { o } ~=M@id7 / TM’. On dira, dans cette situation, qu’une section v-horizontale O’ de 7’ est primitive si l’application de périodes infinitésimale : TM,{(j}&’

-

F’

définie par +,!([) = Y(,!([) = -@[(a’) si 4 est une section de TM’ et +(,,!(dt) = w’,induit un isomorphisme de fibrés. On notera de la même

CHhPITRE VU.SI-RI'CTURES DE SAIT0

248

ET STRUCTURES I>E FRORENIUS

: TM + $*E', si fi : M + M' est la manière le morphisme relevé projection ; autrement dit, on étend +,I par &-linéarité. R, , Q, Ro et g définies par Considérons sur F E p* F' les données

v,

v = p*v',R,

= p*R&,

g = $*g',

Q = p*Q'

-

+

Iddr, Ro = p*R(, T Id

On voit que w' est primitive dans le sens ci-dessus si et seulement si w Er 1 8 w' est une section primitive de F au sens de la définition 3.1 et qu'alors = 'pa.

$Jal

La structure de Frobenius définie sur M = A' x M' par une section primitive homogène 1 8 w' de F , par la méthode du fi3.b, admet pour unité e le champ 3,.

3.8. Exercice (adjonction d'une variable à une variété de Frobenius) Soit M une variété de Frobenius. Utiliser le procédé ci-dessus pour munir A' x M d'une structure de variété de Frobenius pour laquelle le champ unité est &, si T est la coordonnée sur A'. 3.e. Justification de la terminologie. - Nous allons expliquer le choix de la terminologie << application de période infinitésimale >> pour le morphisme 'pa associé à une section primitive homogène (1). L'explication sera plus claire pour le morphisme +a! du § 3.d, ce qui n'est pas très restrictif, au vu de l'exercice 3.8. Nous nous plaçons donc dans la situation du § 3.d et nous supposerons que R, - k Id est inversible pour tout k E N . Notons IF = @MI [TI ~ q ,E' , (variante ~ algébrique du fibré p*F' du C; 3.d). Ce fibré est muni de la connexion V =p* v + +Ra) h

$1

:[ ($

h

Soit F le transformé de Fourier partiel inverse de P (cf: SV.2.c et sVI.3.h). [ t ] -module libre de On montre comme au lemme VI.3.22 que c'est un rang dimM' + 1 et que la connexion V est à singularités régulières (on constatera que le calcul de la matrice de connexion fait au sVI.3.h n'utilise pas l'hypothèse que Bo a toutes ses valeurs propres distinctes). Si 5 est un champ de vecteurs sur M' et si O est une section locale de F = IF, on a, par définition, l'égalité V ~ G=) V t w . Considérons aussi la section ~w . Pour un tel champ 5,on a alors l'égalité h

h

h

VE(TO) =

rV(w)

= -Q(w).

On a aussi par définition

V?, (TU) = T-'Tw

= w.

4. EXEMPLES

249

Ainsi, après transformation de Fourier, l'application plication Ofif

- F,

yI

+a

n'est autre que l'ap-

V?(TW).

La terminologie utilisée provient du fait que, pour les applications de périodes considérées en géométrie algébrique, l'application tangente associée s'exprime souvent de cette manière.

4. Exemples 4.a. Structures de Frobenius-Saito semi-simples universelles. - Soit ( x i , . . . , xd) un point de Xd (CJ: §Vi.i.c) et soit B, une matrice telle que B, - ( w / 2 ) Id soit antisymétm'que. Nous allons associer à ces données et à un choix de vccteur propre de B, une structure de Frobenius sur le complémentaire d'un diviseur dans le revêtement universel 2,. Soit donc GI' un vecteur propre de B , de valeur propre K E C .Nous ferons l'hypothèse que les coefJicienl.r de wu sont lous non nuls. Posons aussi 13: = diag(x; , . . . , x i ) . La proposition VI.3.8 et son complément du SVi.3.c nous fournissent un fibrt E sur Xd,une connexion plate holomorphe v et un endomorphisme v-horizontal R,. Sur le complémentaire d'un diviseur O c 2, nous disposons aussi des objets holomorphes @, Ru, g et nous nous trouvons dans la situation décrite - au 5 3.a. Puisque X d est I-connexe. il existe une unique section w de k? horizontale pour v et telle que w(X") = wu, si X o est un relèvement fixé de xu dans Xd.Nous restreindrons cette section à 2, \ O. Considérons la base e de 2?,;x,,\@ introduite au sVI.3.e. Puisque la base e est méromorphe, les composantes w1 de w sur la base e sont des fonctions méromorphes sur Xd à pôles le long de O. Soit 0;. la réunion des hypersurfaces {aI= O} c Xd et posons O,,,«= O:,, ü O. Nous allons plus précisément associer à la donnée ( B i , B,, wo) une structure de variété de Frobenius sur 2, \ O,,". La définition de montre que la famille u = (ui,. . , ,ud) définie au point Z par I

@,,,O

u,= o,(X)e, ( i = 1, ..., d ) cst une base de forme

q.\d,c-,,, . L'homomorphisme -

p '.

: T(Xd

N

\

+E

@,O)

&E

'pw

s'exprime alors sous la

-

IX,l\@,,O

-@&,

(a)= u,.

CHAPITRE 111.STRUCTURES DE SAIT0 E?‘ STRLI(:TURES DE FROBENIUS

250

C’est donc un isomorphisme. I1 satisfait ~ , ( e )= O

et

y,(@) = E w

en posant e = C, û, et E = C,x,û,, . Ainsi on peut appliquer les résultats du § 3 pour en déduire une structure de Frobenius sur Xd \ De plus, le produit * des champs de vecteurs est donné par @,O.

yw (axi

* ax, ) = -@zyz

(Ta (&,) ) >

formule que l’on prolonge par &-linéarité à tous les champs de vecteurs ; on voit que pa(&,

donc

ax{* ax, = 8II û

*a,)

= ‘pa(&,ax,)

Onendéduit:

4.1. Proposition. - L e produit *, lunaté e et le champ d Euler ne dépendent pas d u vecteur propre wo de B, choisa (sous l’hypothèse de non-annulataon de tous yes copfJicientr). U On déduit du § 1.8 et des résultats ci-dessus :

4.2. lWorème (Dubrovin [Dub96]). - Il y a correspondance bijective entre variétés de Frobenius simplement connexes semi-simples (Le. pour lesquelles Ro est semi-simple régulier en tout point) et les quadruplets ( B & B,, wo, U ), où B i est une matrice semi-simple réplière, B , satisfait BO, + B , = ru Id avec 7u E Z , O’ est un vecteur propre de B, dont aucune des composanies sur la base propre de B i n’est O nulle et U e,pt un ouuert (étale) simplement connexe de Xd \ @ , O . 4.b. Structuresde Frobenius-Saito de type Ad. - Ceci est l’exemple le plus simple de structure de Saito ou de Frobenius associée à une singularité. Ici, les calculs sont assez simples pour que nous n’ayons pas à utiliser explicitement l’application de périodes infinitésimale, mais nous reprendrons cet exemple avec l’application de périodes infinitésimale au 13 5.c. 11 est remarquable que les coordonnées plates s’expriment algébriquement en fonction des coordonnées naturelles dans lesquelles le produit * s’exprime simplement. Le d6ploiement universel de lu sincplam’té Ad. - Notons M l’espace affine C muni des coordonnées z = (ZO, . . . , Z d - 1 ) . Si u est une nouvelle variable, considérons le sous-ensemble (hypersurface) 3 de C x M d’équation f ( u , z ) = O, avec

f ( u , z ) = Ud+l

+ Z d - I U d - 1 + . . . + z1u + zo.

251

4. EXEMPIXS

Ce polynôme décrit le diploiemmt univmsel de la fonction u H ud+’, encore appelée singularité Ad ( l o ) . Un point singulim de l’hypersurface 2 est un point (u’, zo) de Z où le polynôme >)

<(

rli.l

as au

s’annule. L’ensemble singulier tions

c

d-1

f’(u,z) = -(u,z)

= (d+ 1)Ud+

izjU1-1

1=1

?(A?)

est donc décrit par les deux éqiia-

(4.3) Son image A c M (ensemble discriminant de f ) par la projection fi : C x M 4M qui oublie la coordonnée u est une hypersurface de M dont l’équation est obtenue en éliminant u des deux équations (4.3) : c’est le polynôme résultant de f et f ’ , encore appelé discriminant(”) de f . Cet ensemble A est l’ensemble des points zo E M tels que , f ( u , z o )ait au moins une racine multiple. On peut raisonner de même pour f ’ , qui est un polynôme de degré d en 11, de coefficient dominant égal à d 1. Remarquons que f ’ ne dépend que des coordonnées z’ = (21,. . . , & - 1 ) . Soit donc hl’ l’espace affine Cd-’muni de ces coordonnées et A‘ le discriminant de f’ : c’est I’msembb de bzjmution du polynôme ,f. Sur tout ouvert (étale) simplement connexe Ci’ c M’ \ A’ existent d fonctions holomorphes R I , . . . , SI^ telles que j” = ( d + 1) - a i ) . Notons qiie Cl SI; O et que, pour tous z, j tels q i i e i # j e t t o u t ~ S E ’ , o n a c r , ( 2 / #)c c l ( 2 / ) .

+

ni(.

Chnsidérons la projection ~i : M -+ M’ qui oublie la coordonnée zo. La formule de Sylvester calculant le discriminant montre que l’équation de A est de degré d en zo et que le coefficient de z(: est une constante. Par suite la restriction de TC à A est finie. De plus, il existe une hypersurface D’ de M’ telle qiie, pour z’ hors de cette hypersurface, l’ensemble nP1(z’) nA soit constitué de d points distincts(“). Considérons maintenant un ouvert (étale) simplement connexe U’ contenu dans le complémentaire de D’ ü A’ et considérons les racines R I , . . . ,Rd de f’ sur u’. Nous supposerons que z’ reste dans cet ouvert. [AVG86]. ( “ ) O n trouvera une expression explicite dii discriminant, pour d petit, dans [Tei77] 011 [GKZ94, chap. 121. Un calcul sur ordinateur, e n prenant d = 6 ou d = 7, poiiri-a laisser les lecteurs perplexes ... inais la lecture de [GKZ94, chap. 12, 21 ies rassurera peut-être. i l n ) L)’ est IC discrimiriant d e A par rapport à la variable z o , (‘O) Les lecteurs curieux pourront consulter

252

CHAPITRE VII. STRUCTURES DE SNTO E T STRUCTURES DE FROBENIITS

FIGURE1 . Le cas où d = 3 .

Alors un point ( a z ( z ’ ) , z ~ ) , dest ) un point (singulier) de si f ( a ; ( z ’ ) ,zo, z’) = O, c’est-à-dire si et seulement si

AY

si et seulement

Autrement dit, la fibre TC-^ ( d ) n A est formée des d points (supposés distincts)

O n calcule facilement que, pour j = 1,. . . ,d

-

1,

Alors la famille de fonctions x,( z ) = zo - z ~(4 , (z’) ( i = 1, . . . , d ) forme un système de coordonnées sur TC-^ (U’) puisque le jacobien (ûx,/ûz,) n’est autre que le déterminant de Vandermonde construit sur ai,.. . ,ad. Par définition, on a x i ( % ) = f ( a X 1 ( z ’ ) , Autrement z). dit, pour zo fixé dans U ,x; ( z ” ) est la ualeur criligue du polynôme f ( u , z”) associée au point critique x; ( % ‘ O ) . La variété M est munie d’un faisceau libre de rang d = dim M : c’est le faisceau d’algèbresjacobiennes @M [u] / f ’ 4[~ u], dont une base est formée des classes modulo f’ de 1, u , . . . , ud-* . Pour z0 E M fixé, la fibre de ce faisceau est le quotient C [ u ] / f ’ ( u , zo)C[ u ] . Puisque f’ ne dépend que de z’, ce fibré est l’image inverse par TC du fibré @ ~ , [ u ] / f ’ @ ~ , [ uDe ] . plus, pour z” E U’, l’algèbre jacobienne C [ u ] / f ’ ( u , z O ) @[ u ] est semi-simple :

253

4. EXEMPLES

considérons les polynômes e, ( u ), à coefficients holomorphes en z” E U’, définis par

ils vérifient de manière évidente les égalités e t ( “ ; ) = 8, et induisent une base du fibré @: [ u ]/ f ’ ( u ,z o )@: [u ] puisque tout polynôme r ( u ) s’écrit de manière unique r ( u ) = c r ( s ( ; ( z ’ O ) ) e ; ( u ) mod f ’ ; i

enfin, on a e, . ej = Bijej mod f ‘ . Produit

* sur O M et champ dEulm ‘p : OM

-

- L’appliration de Kodaira-Spencer

[ul / ( f ’ )

est le morphisme @M-linéaire qui associe au champ de vecteurs ûzl la classe de u’ = ôf/ûz, modulo f’ et, plus généralement, qui associe au champ 4 la classe de 2 : ( f ) = 5( f ) . Le produit * sur Ofil s’obtient en transportant par ‘p le produit naturel sur &bf [u] / ( f ’ ) : on a donc, par définition,

5 * y1 = ‘p-l (5(f)r(f) mod f’) et, par exemple, 8, &, = y-’ (ui+l niod f ’ ) . En particulier, ce produit est associatif, commutatif et à unité ( e = a,, ). On a ûzz*a,, = &.,+, si i + j d- 1. On voit aussi que a, ne dépend que de i + j et que son coefficient sur ôzk est un polynôme en z . Le champ d’Euler c“ est l’image inverse de la classe de f par 9.

*

<

4.4. Exercice (1) Calculer û,? * ôz, pour i + j = d . (2) Montrer que l’on a = EfA pizid,, avec p i = (d + 1 - i ) / ( d + 1 ) . Coordonnées canoniques. - Nous allons vérifier que (xi, . . . ,xd) forment un système de coordonnées canoniques sur l’ouvert U ‘gn-’(U’) considéré plus haut. Pour cela, notons le champ de vecteurs y-’ ( e j ) sur U ; on voit que 5,* E; = 82;. Pour vérifier que 5; = dXz il suffit de montrer que

ce qui résulte du fait que, d’une part,

et d’autre part af/ûz,

( M k ) = K.;

CHAPITRE \II. STRUCTURES DE S M ï O ET STRUCl LIRES DE FROBENIUS

254

La métrique. - Au point ru E M , définissons la forme bilinéaire g (4.5) oii ï, est un cercle, orienté positivement, bordant un disque contenant toutes les racines de f ' ( u , zO). Cette expression ne dépend que de t ( f ) et q ( f ) modulo f ' , autrement dit ne dépend que de y ( t ) et cp(y). Si l'on voit < ( f ) ( u ,z O ) . y ( f ) ( u , z o )d u / f ' ( u , z O ) comme une forme différentielle méromorphe sur P', le théorème des résidus montre que

(4.6) expression qui a l'avantage de ne faire intervenir la dépendance en zo que dans I'intégrand. Dans la coordonnée u à l'infini ( u = 1/ u ) , on a en particulier ud- 2 - 2 -3

g (a,, > 8 2 , ) = réslJ=o

((d+l)

+ (d-

du. l ) z d - 1 ~ ~ + . . . + ~ 1 ~ ~ )

On voit ainsi que, d'une part, g ( û Z l a, , ) = O si i + j < d - 1 et d'autre part, pour i + j 2 d - 1, g(&,,&,) est le coefficient de u ' + J + ' - ~ dans la série

4.7. Lemme (homogénéité). - Le champ d Euler satisfail

+

L)Ymon>tratzon.- Attribuons le poids pz = (d 1 - z ) / ( d + 1) à la variable z,.Nous dirons qu'un polynôme h(z0, . . . ,zd-1) est qunsz hornoghe de degré 8 si tous ses monômes ont un degré 8 quand on pondère le degré des = pzz2. variables z, par p, ; autrement dit, 9 ~ ( h=) Sh. On a donc -%(z,) Le polynôme f est homogène de degré 1 si on attribue à la variable u le poids l / ( d 1). L'expression de g(&,,&,) indiquée ci-dessus montre 1 - d ) / (d 1). que c'est un polynôme quasi homogène de degré (z J Puisque 9 @ ( û z t )= -p,d,,, on en déduit que, pour tous z , ~ , on a (en posant

+

D

= (d+

+ +

+

3 ) / ( d + 1))

- z @ ( g ( ~ z l > & -, )g) < ~ ? & & , ) - g ( & z > - 8 ? & i ) = Dg(aZ&,).

L'égalité -!& (&,*&,) = (l-pL-pJ)&,*û,, se montre de la même manière, par récurrence sur z + J , d'où l'on déduit la première assertion. O

4.8. Proposition (platitude de la métrique). - Ida forme bzlznéazre g est non dégknhée et plate.

255

4. EXEbfPLES

Démonstration. - Pour la montrer, nous allons exhiber un système de coordonnées plates, système introduit dans [SYSSO, th. 2.5.31. Elles vont apparaître comme coefficients d'un développement de Puiseux de f quand u + CO. Posons donc h ( u ) = l / f ( l / u ) , que l'on voit comme section du faisceau &bf[uJ[u-'] des séries formelles (polaires) de Laurent en u à coefficients holomorphes sur M :

II existe une série formelle w ( v , z ) = u ( i + n2(2)71* + . . . ) telle que w(v,z)~+' h ( u , z ) et ( w , z ) est un autre système de coordonnées sur C x M au voisinage de u = O. Écrivons

(

u = u(w,z) = w I $ b * ( % ) ? U 2 f . . '

).

La fonction u = l / u peut finalement s'écrire sous la forme

ce qui définit d fonctions t o ( z ) , . . . , td-1 ( z ) . Rappelons que l'on a, par construction, la relation = 1.

7Ud+'/(U(7U,Z),%)

En développant cette relation et en annulant les coefficients des puissances positives de 7u, on trouve(I3)

t&]

- Zd-1

td-9 - Zd-2

=O =

O

et plus généralement, pour z 6 d - 3, t , - Z, = q 7 ( 4 + 2 , .

. . > t d - l , 7 4 + 2 > . . ., Z d - 1 )

où q2 est un polynôme a coefficients constants. Ces formules définissent deux changements de coordonnées algébriques inverses l'un de l'autre : t H z et z H t . Nous allons vérifier que t est un Jystèmc d~ coordonnkeer platps sur M , relativement à la forme bilinéaire g sur Ob[.Notons déjà qu'étant donnée la forme triangulaire du changement de coordonnées, on a a

i

i

-- - = e. at() azo

Posons q ( u , t ) = / ( u , z ( t ) ) .On a donc aussi q ' ( ~ , t= ) f ' ( u , z ( t ) ) . Nous voulons dans un premier temps calculer dq/ûtl mod 9'. Nous allons faire

256

LH WITW VI1 STRUCTUWS DE SAIT0 ET SIKUCTURES DE EKOBENIC'S

un calcul dans la coordonnée w (et donc dans l'anneau @M [ w ] [wp'] ) . Du fait de la relation wd+l . q ( u ( w , t ) ,t ) s 1,

Par ailleurs, l'expression de la série u(7u, t ) montre que

On peut donc écrire, puisque d - i et d - j sont 2 1,

Calculons maintenant le résidu définissant g dans les variables ( v , t ) . Nous trouvons

Cette expression montre aussi que la forme bilinéaire g est partout non O dégénérée.

La structuw de FrobeniusSnito (Dubrouin, [Dub961). - Nous allons maintenant montrer que la métrique plate g,le produit * sur O1v et les champs = ûz,, = a,, et E induisent une structure de Frobenius sur l'espace M = C d .Au point où nous en sommes, nous avons montré les propriétés ( l ) , ( 3 )(b) et ( 3 )(c) de la définition du S2.a. P

Commençons par ( 3 )(a). Pour cela, on remarque que, dans le changement de coordonnées t , = zi + r>, (z,+p, . . . ,z d - l ) , le polynôme r>, est quasi homogène de degré p,, de sorte que l'on a pour tout i -%@(ti) = p i t , ,

donc on a E = Cip;t;ût,.Ainsi, dans la base donnée par les coordonnées plates, VE est la matrice diagonale constante de termes diagonaux les nombres p,, ce qui implique bien que ~ ( v E = ) O.

257

4. EXEMPI.ES

La vérification de 2.a-(2) procède de manière indirecte. En effet, un calcul analogue à celui fait pour la métrique niontrc que

+ rkvd-l-(l+r)

Lorsque i , j , k satisfont i C(&!>

”,

>

+j ,j + k , k + i 6 d

atk)

=

{

-

) . (1 + . . . ) d u .

1, ce calcul donne

o / ( i i + 1) si i + j + k = d - 1 sinon.

Par contre, quand cette condition n’est pas satisfaite, ce calcul est insuffisant pour conclure. L’idée de B. Diibrovin consiste à utiliscr les coordonnées canoniques X I , . . . , xd. I1 suffit en effet de montrer la symétrie de vc sur un ouvert dense de M , de sorte que l’on peut supposer I’existcnce d’un système de coordonnées canoniques, d’après ce que nous avons VII plus haut. 4.9. Lemme (condition de Darboux-Egorov, d’après Dubrovin). - Sozent 1rs donnbes (g,*, p , E) sur OIL[ S’d QxzstP un qyyrtème de coordonnh ranoniqups ( x i , . . . , xd) pour le produzt * et J I ( g , *, e, E) satzsjont LQS condztzons (1) rt ( 3 ) du $ 2 . ainrz ~ qur la condztaon (Y)zL Q X Z ~ ~1ornLpmPnt P unp jonction 4 L P L qicp ~ La métmqup g ratzsjarsQ

Ce lemme s’applique au déploienient de la singularité Ad.En effet, on a = P , ( u ) et l’expression (4.5) pour la métrique montre que

y(&!)

Nous allons vérifier que la fonction +(x) = zd-1 ( x ) / ( d + 1) satisfait la relation

(4.10)

CHAP1 TRE \TI. STRUCTURES DE SAIT0 F.T STRUCTURES DE FROBENIIJS

258

Rappelons d'une part que le changement de coordonnées z relations

Hx

donne les

(4.11) D'autre part, le changement de coordonnées z H t étant triangulaire et les champs a,1 étant g-orthogonaux, on en déduit que, pour tout j = 0 , . . . , d1, on a

Du fait de la g-orthogonalité des champs ûx8 et de (4.11), on en déduit (4.12)

O

ce qui montre (4.10).

4.13. Exercice. - En utilisant (4.11) montrer, pour tout i = 1,. . . , d , l'égalité de polynômes

et en déduire une démonstration de (4.10) n'utilisant pas les coordonnées plates. propriété de symétrie (1.19) de vc se montre en utilisant les coordonnées canoniques (xi,.. . ,xd) . Elle résulte facilement des deux relations Démonstration du lemme 4.9. - La

(4.14)

(4.15)

g(va,,&,,ax,)= 0 si i

# j , j # k et i # k .

La première relation résulte de l'horizontalité de g vis-à-vis de et de l'absence de torsion de cette dernière. Pour la seconde, on utilise de plus la g-orthogonalité des champs ilxientre eux ( 4 1.16) : on a ~ ( m , , * a w ~ x , )=g(m,$.,&,)

=

- g ( ~ x k > v c , , ~ x ,=) -g(o?,ia,,ax,)

et, en itérant trois fois la permutation cyclique z (4.15).

H

j

H

k

H

i, on obtient O

1. EXEMl’I.ES

259

I,P potrntid F . - La propriété d’homogénéité vue au 5 2.6 montre que, puisque les pl sont > O, la fonction F est un polynômr quasi homogène de degré 13 = ( d + 3 ) / ( d + 1 ) .

4.16. Exercice (potentiel des sinNarités A2 et A3). - Détailler les calculs qui précèdent pour les singiilarités A2 et A3 et montrer que le potentiel F est donné par

4.17. Remarque. - II est intéressant de comparer la structure de Frobenius ainsi construite à la structure de Frobenius universelle du 4.a. Donnonsnous un point zo dans l’ouvert U considéré plus haut et notons x” ses coordonnées canoniques (supposées deux à deux distinctes) et t” ses coordonnées plates. Le poids 7 u ( $ 1.21) est ici le nombre de variables u , c’est-à-dire 1, et le nombre Q correspondant (11 = 2q 2 - 7 1 ) ) est donc dans la base dtJ égal k l / ( d + 1 ) . La matrice de K, = ( q + 1 ) I d - v est égale à diag( ( i + l ) / ( d + 1),=0,,,,,(/-1) et l’explicitation dii changement de coordonnées t H x permettrait de l’expliciter dans la base des &?,,. La section priniitive w est le champ unite &,, = C, dx, . Dans cet exemple, la structure de Frobenius de A,1 restreinte 2 Cl coïncide donc avec la structure construite aii 4.a si l’on choisit comme données initiales en zo celles que l’on vient de définir. I1 est k noter que le théorème 4.2 n’aurait donné l’existence d’une telle structure que sur Uri ouvert du revêtement universel de U et c e , de manière implicite.

s

+

a

4.18. Exercice (structure de Frobenius pour le déploiement universel du polynôme de Laurent u + l / u ) . - On considère le déploienient f ( u ,zo, z1) = zo zlu + l / u du polynôme de Laiirerit u + l / u de la variable u E C *. La variété M est ici l’ouvert z1 # O du plan de coordonnées zo,21. Le faisceau d’algèbres jacobienncs est [ u ,.-‘I/( f ’ ) et l’application de Kodaira-Spencer q envoie a$, sur la classe de 1 et a,, sur celle de u modulo f ’ . La métrique g est définie par

+

CHAPITRE VI1 S T R C C T U U S UL. SAIT0 ET S T R I ' C T U U S DE. FROBENIUS

260

Montrer les résultats suivants et en déduire une structure de Frobenius sur la variété hl (plus précisément sur le revêtement double sur lequel fi est définie) : (1) Le champ d'Eider est égal à zoûz,, 2ziûz, et on a 11 = 2 (donc q = 1/2 si on choisit w = 1 ) .Calculer les produits û, * û, . (2) Les coordonnées canoniques sont données par

+

X I =

zo

+

+2

6 ,

x2 =

zo - 2

6

et le potentiel par + ( x l , x 2 ) = zo. ( 3 ) Les coordonnées plates sont données par

to et

= zo,

t1=2\/ZI

ûtL) est une base g-orthonormée de O M . (4) Le potentiel F de la structure de Frobenius est

(at,,

1 , + -tot1 1 2 -to 3 2 Identifier enfin cette structure à la structure universelle du 3 4.a avec B i diag(1, -1) et B , = I d / 2 . F(t0,ti) =

=

4.19. Exercice (structure de Frobenius pour le déploiement universel du po. Même exercice que le précédent avec lynôme de Laurent u* + i / ~ )J ( u ,zo, z ~z 2,) = zo z1u z2u2 l / u et M = C 3 \ ( z 2 = O } . L'application de Kodaira-Spencer est donnée par y(&,) = u' ( z = O, 1 , Z ) . La métrique est ici définie comme étant 2 6 résidus. (1) Montrer que E = zoû,, + 221û,, 3z2ûZ7 et D = 3/2 (donc q = 1/4 si on choisit w = 1 ) . Calculer les produits û, * û$. (2) Déterminer le domaine d'existence des coordonnées canoniques. ( 3 ) Montrer que les formules

+

+

+

+

définissent des coordonnées plates (étales) M . (4) Calculer le potentiel F de cette structure. (5) Identifier cette structure à la structure universelle di1 4.a avec B i = 3 . 2T2'" d i a g ( l , j , j 2 ) (j' = 1) et B, de valeurs propres 1/4, 1/2, 3/4.

4.c. Structures de Frobenius définies par leur potentiel. - I1 s'agit de chercher les fonctions F de d variables complexes t l , . . . , t d satisfaisant les équations W D W (2.8). Par construction, les coordonnées 1, sont les coordonnées plates sur la variété; autrement dit, on cherche à munir un ouvert de C d ,avec sa structure affine naturelle, d'une structure de variété de Frobenius. Urie façon de produire de tels potentiels consiste à exprimer les <(

>)

4. EXEMPLES

26 1

relations WDW comme des relations de récurrence sur les coefficients du développement de Taylor de F .

4.20. Exercice (structures de Frobenius polynomiales en dimension 3, d’après S. Natanzon). - On se donne 81 = 1, 8 2 , s ~ # O avec 282 = 83 1 ! ! B et on cherche, dans des coordonnées plates t i , t2, t g comme au al.14, les potentiels F polynomiaux homogènes de degré D + 1 (à un polynôme de degré 2 près) relativement au champ d’Euler @ = t,&, 82t2ût2 + S3t:3ût,, satisfaisant les équations WDW de l’exercice 2.9. On écrit, comme en (2.4),

+ +

(1) Montrer que la seule contrainte WDW non trivialement satisfaite est

) ~G333 fG222G233, si on pose Gz$ = d‘G/at,ôt,ôt,. qui s’écrit encore ( G 2 2 ~= (2) Exprimer la contrainte d’homogénéité et de polynomialité sur G. ( 3 ) En déduire trois types de solutions G , donc F (parmi lesquelles se trouve le potentiel FA? de la singularité As).

Les solutions polynomiales sont néanmoins assez rares. Une fois résolues ces récurrences, reste le problème, difficile en général, de la détermination d u domaine de convergence de la série de Taylor ainsi construite. Aussi introduit-on la notion de 71ariktk de Frobenius formelle, définie par un potentiel F qui peut n’être qu’une série formelle en t ~ ,. . , tli. Ce qui importe alors seulement sont les coefficients de la série, solutions des équations de réciirrerice déduites de WDW. Voici iin exemple :

4.21. Proposition (potentiel de la cohomologie quantique du plan projectif) (d 1, = 1) telle que la s h e jormellp Il exasie uny1p unzqup mite dentiers

soit solution de L’équation ( ~ 2 2 3 )=~ ~ 3 3 3+ ~ 2 2 2 ~ 2 3 3Le. potentiel ,formel F ( t l , t y , t g ) = G ( t y , t 3 ) t i ( t i t s + t i ) / 2 est homogène de degré il + 1 = 1 r~lativemen,tau champ dEuler Q = t i a,, - t’a,, + 3&,.

+

262

CHAPITRE \III. STRU<:TURES DE S A I T 0 ET STRUCTURES DE FROBENIUS

Indication de la démonstration. - On montre que G satisfait l’équation WDW ci-dessus si et seulement si la suite Nd satisfait l’équation de récurrence, pour d 2 2,

Nd= k+O=d

NkNyk2e

[e

3d 3d - 4 (3k - 2 ) - k ( 3 k

-

4

-

l)]

O ‘

Le fait remarquable, dû à M. Kontsevitch, est que les coefficients Nd ont une interprétation en géométrie énumérative : le nombre Nd est celui des courbes rationnelles dans P2passant par 3d- 1 points en position générale. C’est ainsi qu’interviennent les structures de Frobenius dans la cohomologie

5. Structure de Frobenius-Saitoassociée à une singularité de fonction Les déploiements universels sont la source d’une famille importante d’exemples de structures de Frobenius-Saito. Nous avons déjà analysé en détail la structure de Frobenius-Saito produite par la singularité A d ($ 4.b). Nous allons indiquer comment K. Saito a généralisé à toute une famille de fonctions ($ [Sai83b, Oda871). Nous reprendrons l’analyse du déploiement de la singularité Ad à l’aide de cette méthode au § 5.c. Le cas général ne peut pas être traité complètement dans le cadre de cet ouvrage, mais nous allons en indiquer les grandes lignes, qui serviront de guide au § 5.c.

5.a. Esquisse générale. - On peut distinguer une situation locale et une situation globale. - Dans la situation locale, on part d’un germe f n : (Cn+’,O) + (C, O) de fonction holomorphe qui est Ù point critique isolé en 0 , c’est-à-dire que, pour un représentant assez petit de ce germe, les dérivées partielles dfo/aU; ne s’annulent simultanément qu’à l’origine. - Dans la situation globale, on part d’une fonction régulière f n sur une variété affine non singulière U de dimension n+ 1 (cf- $0.10, par exemple, Inest un polynôme en les variables U O , . . . ,un ou bien un polynôme de Laurent en ces variables) qui est à points critiques isolés et qui cc n’a pas de point critique à i’infini(15)>). ( I 4 ) pour laquelle nous renvoyons aux articles et aii livre mentionnés dans l’introduction de ce chapitre. I1 est a noter aussi que S. Barannikov et M. Kontsevitch ont récemment introduit une nouvelle construction de structures de Frobenius formelles, permettant d’appréhender le phénomène d e syrmélrip miroir en ternies de telles structures ( $ [BWS, Bar99, ManSSb] j . (l‘)Il existe une définition précise d e cette notion, voir par exemple [SabSS].

5. STRUCTURE DE FROBENIUS-SAI r0 ASSOCIÉE. À UNF SIN(;LJLAKITÉ

263

La démarche pour construire la structure de Frobenius-Saito procède en plusieurs étapes. Nous allons en dégager les grandes lignes.

( I ) On associe à la fonction f o un fibré méromorphe à connexion ( G u V) , de rang d sur le plan complexe C (variable T du #V.2.c), appelé système de Guuss-Manin de f o . On montre que celui-ci n'a de singularité qu'en T = O et T = CO, cette dernière étant régulière. I1 est de plus muni d'un réseau naturel E", appelé réseau de Brieskorn(") et qui est transformé A

de Fourier du système des équations de Picard-Fuchs classiquement associé à f o (variable t du SV.2.c).Le réseau E"est muni d'une forme hermitienne non dégénérée de poids w = n + 1 (nombre de variables de la fonction f o ) , reliée a la dualité de Poincaré des fibres non singulières de la fonction f o . Cette construction trouve son origine dans la recherche de développement asymptotiques, quand T tend vers O, pour des intégrales du type

I(r) =

,-fo(4/T

a,

J l -

où w est une forme différentielle holomorphe de degré maximum et ï est un cycle de dimension dim U (par exemple, si U = Cn+', ï = IRTL+') . Cet aspect est amplement détaillé dans le livre [AVG86]. Nous ne le développerons pas ici.

(2) Lorsqu'existent des coordonnées (au sens étale)

UO,

. . . ,un sur la va-

riété U (c'est le cas dans la situation locale, bien sûr, et parfois dans la situation globale, par exemple si U = Cn+l ou U = (C*)"+'), on peut considérer le quotirnt jacobien de l'anneau des fonctions sur U par l'idéal des dérivées partielles de f o . Dans de nombreuses situations, on peut identifier naturellement ce quotientjacobien au quotient E"/TIE" et choisir des fonctions 1, À 1 ( u ) ,. . . , hd-1 ( u ) sur U qui induisent, par cette identification, une base de l'espace (par exemple, on peut choisir les vecteurs propres du résidu à l'infini considéré plus haut ; lorsque f o est le polynôme u H d+', on retrouve ia famille I , u, . . . , ,un-' 1. h

A

@"/TE'

( 3 ) On peut alors considérer, sur le produit U x l'origine, la fonction

C dou sur son germe à

d- 1

.f(u,z) = f o ( u )

+ z=o c &hi(u),

que nous appellerons <( déploiement universel de f o ». L'espace des paramètres A4 sera un voisinage de l'origine dans C d (coordonnées z ) . Par hypothèse, l'application de Kodaira-Spencer 'p : OM --f & , ~ / ( d f / d u ) est un isoniorpliisme de @bf-modules localement libres au voisinage de O E M . ('(I)

La construction originale de Brieskorn \e trouve dan? [Bri70]

CHAPITRE I T . STRIICTURES DE SAIT0 ET STRU<:TL'RESDE FROBENIL'S

264

Le produit naturcl sur le faisceau &u,nr/(ûf/duo,. . . ,af/ûu,) d'algèbres jacobiennes se transporte en un produit sur O M .On peut montrer que ce produit admet un système de coordonnées canoniques sur un ouvert dense de M . La classe de f dans le quotient jacobien définit, via y , le champ d'Euler E.

(4) Pour construire la connexion plate sans torsion et la métrique sur M , on utilise une application de période infinitésimale. On montre d'abord que la construction du système de GaussManin G et du réseau de Brieskorn E peut se faire en famille, de même que celle de la forme hermitienne non dégénérée. La théorie de Hodge produit une filtration de G" opposée à la filtration induite par E" et compatible à la forme hermitienne, de sorte que, par le critère de M. Saito du 5 IV.5.b, on obtient une solution aii problème de Birkhoff pour E", solution aussi munie d'une forme hermitienne non dégénérée. On montre de plus que le résidu à l'infini de la connexion sur le fibré (trivial) sur P1 ainsi construit est semi-szmple. Ses valeurs propres sont des rationnels négatifs ou nuls(") : elles forment le yfwctre de la singularité('8) (situation locale) ou le spectw ù l'infini de la fonction f o (situation globale). Le polynôme caractéristique correspondant est le polynôme caractéristique à l'infini du réseau de Brieskorn, au sens du III.2.b. Le théorème VI.2.1 et la proposition VI.2.7 permettent d'étendre la solution ainsi obtenue au problème de Birkhoff pour IÊ" en une solution au problème de Birkhoff pour E. Le fibré F = E/TE sur M se trouve ainsi muni de données (v,Q, Ro, R,) comme au sVII.3.a. I1 reste alors à exhiber une section primitive pour pouvoir obtenir une structure de Frobenius-Saito sur M à l'aide de application de période infinitésimale associée, à la manière du §VILS. Dans la situation locale, celleci a été obtenue en toute généralité par M. Saito [Saigl]. Dans la situation globale, l'existence d'une telle section primitive n'est pas connue en toute généralité, mais dans de nombreiues familles d'exemples ( CJ [Sab99, Sab981).

-

h

-

a

Comme les lecteurs le constateront, la construction d'une telle structure met en aeuvre la plupart des objets et des techniques introduits dans les chapitres précédents. Elle fait aussi appel à des techniques fines d'analyse/géométrie, la théorie de Hodge notamment.

(17)~;eux-ci sont même strictement négatifs dans la situation locaie ou si ü = c'~+'. ('*)Pour un çcrrrie de fonction Iiolorriorphe, le tpprctw d'un point critique a été introduit par A.N. Varcheiiko (Var821.

5. STRIJCTURE DE FROKENIIJSSAITO

.ASSOC:II?E

A

IJNE SINGLJLARITC

265

De plus, il n’est en général pas possible d’expliciter cette structure autant que pour la singularité A d . Indiquons cependant que certaines singularités autres que Ad donnent aussi lieu à des calculs explicita.

5.b. Le complexe de de Rham tordu >> par ë T ’ f . - Nous allons indiquer un procédé général pour construire le système de Gauss-Manin d’une fonction. Soit donc U une variété affine non singulière (cJ: cjO.10) et f une fonction régulière sur U , dépendant de paramètres holomorphes dans une variété analytique X . Autrement dit, f est une section du faisceau @x [U ] E @x @c@ ( U ). Notons de même R i [ U] = @y @cR”( U ) le faisceau des k-formes algébriques sur U à coefficients holomorphes par rapport à X. La dflZrentiplle relatzve d : 0; [ U ] + Cl:?‘ [U] est donc @x-linéaire. x [ U ] et Rk = Cli [ U ]. Pour simplifier, nous noterons ci-dessous @ = @ <(

IP complexp de de Rhum tordu, variable T’, - Soit T’ une nouvelle variable (la notation est choisie pour correspondre à celle du chapitre V). Sur l’espace Rk[T’] = C [.’] @c Rk des polynômes en T’ à coefficients dans R”, la différentielle relative d définie par

peut être

c<

tordue

>>

par

p-“f

: on constate en effet que l’opérateur df C= k f e T l f . (j . e-+f

conserve le caractère polynomial en autrement dit, df

puisque l’on a d f = d

T’,

= C(do, ( Ca,‘: , ”1

-

dj A

-

‘:’dffA,

w,-~)T”.

I

De plus, on a df O d j = O puisqu’il en est de même pour d . On a ainsi défini un nouveau complexe, le romplme de de Rham de U tordu par ëT’f :

(5.1)

0 +@[.’I

df

+ fll[T’]

df . . . + df a“+’[T’]

---f

+

o.

La différentielle df commute à l’action de @ x [T’] puisqu’elle ne différencie que par rapport aux variables de U , de sorte que chaque faisceau de est un @ x [T’]-module. cohomologie 6f(k) Par ailleurs, chaque faisceau Rk[T’] (qu’on peut considérer comme un fibré méromorphe de rang infini sur le plan de la variable T’) est muni d’une connexion V obtenue en tordant la connexion naturelle (différentiation par rapport à T’ uniquement) par ~ - ~ ’On f . a donc h

h

(5.2)

v+w

=

a. a’.

--

fa.

266

CHAPITRE VIL STRIJ<:TURES L>E SAIT0 ET STRUC‘I‘URES DE FROBENIUS

Cette connexion fait de ~L’[T‘] un module(”) sur l’algèbre de Weyl C [ ~ ’ ] ( û , r ) De . plus, elle commute avec la différentielle d j puisque la différentiation par rapport à T’ commute avec la différentiation d (par rapport aux variables de U ). Elle induit donc une structure du même type sur chaque faisceau de cohomologie M ( k ) du complexe (5.1). h

Enfin, chaque faisceau Cl’ de formes différentielles relatives est muni d’une connexion intégrable par rapport aux variables de X : c’est la différentiation dx : lRk -+ Rk @’r~j(R k .On l’étend trivialement sur f l k [ ~en ’] une connexion partielle intégrable, encore notée dx . On peut, de la même manière, << tordre *> cette dernière par e-”f pour obtenir une connexion partielle intégrable d x , = ~ e r ’ f d x ë T ‘ f = dx - T‘dx f A . Puisque d et dx commutent, il en est de même de d f et dx,f. Ainsi, chaque G(k) est muni d’une connexion partielle intégrable. Enfin, puisque dx,/est linéaire par rapport à T’, cette connexion partielle s’étend en une connexion intégrable V sur le @y [ 7’1 -module %(k) . Transformation de Fourier inverse. - Nous pouvons appliquer une transformation de Fourier partielle à chaque faisceau Rk[[.r’]ou aux faisceaux de cohomologie M (‘1 : lorsqu’on considère le faisceau M ( k ) comme un module (pas nécessairement de type fini) sur @x [ t ], où t est l’action de -V?-, , on le note 11 est alors muni d’une connexion intégrable V telle que, on ait pour toute section locale [a], A

h

h

V g [ a ] = .’[a] et

Va,, [a]= Vzx, [a].

En particulier, si w E lRk est de degré O en

d,la formule (5.2) montre que

5.3. DéJinition. - Les systèmes de Gauss-Manin associés à la fonction f sont les &x [ t ]-modules à connexion intégrable M (‘1 . Le réseau de Rrieskorn correspondant E ( k ) est l’image de Rk dans M ( k ) . C’est un l x [ t ]-module. 5.c. Structure de Frobenius-Saito de type Ad, deuxième version. - Nous revenons sur le cas d’une famille de polynômes d’une variable u E C dont les coefficients sont paramétrés par les points x d’une variété analytique complexe X . Posons donc d

f ( u , x ) = ud+l

+ 2 a,(x)u2, z=o

( I 9 ) qui n’est pas

de type fini en général !

où les a, sont des fonctions holomorphes de x . Nous reconnaissons un déploiement (que nous ne supposons pas encore universel) de la singularité Ad considérée au 4.b. La fonction J’ définit une application

f

cxx-CXX

( u ,x)

(6x ) = (f(% x ) , x)

I---+

qui est Propp à jbresjinies (de cardinal d

+ 1).

Trace des fonctions et des l-forrnes. - Toute fonction h ( u ,x) E ï ( r l c : I x [ u ] ) sur un ouvert W de X admet une trace relative à f , qui est un polynôme en t à coefficients dans @x (W) (le vérifier) : on pose I

où les racines sont prises avec leur multiplicité. Notons

-

I x [u]<,jle faisceau

<

d en u 2 coefficients dans @ X et @ X [uIcd cedes polynômes de degré lui des polynômes du même type qui, de plus, sont de trace nulle. La trace permet d’obtenir une décomposition Ix-linéaire

-

I

““@x[t]e@

@x[u] = @ x [ t ] @ @ X [ U ] < , [ t ]

-

7

en identifiant t et t O = f . Ainsi, @ est le sous-faisceau des fonctions de trace nulle. On en déduit une décomposition Ix-linéaire du faisceau des 1-formes différentielles relatives : CL’ &!‘

i x [ u ]du = @x = @y

[t]

dt

[ t ]dt CB

-

@x [u],,j[t] dt @ @x

& dt

[~]
du

@x [ u ]q d - 1 du

I x [ t ] dt @ fi’, en identifiant d l et df. La projection sur le facteur I x [ t ]dt est, par définition, l’opérateur de trace pour les 1-formes différentielles relatives. Ainsi, 6’ est le sous-faisceau des 1-formes de trace nulle.

5.4. Exercice du au faisceau d I x [ u ]< d , ainsi qu’au (1) Identifier le terme @x [ u ] quotient jncohien i l l / @ y [ u ]d j E I x [ u ] / ( f ) , en notant f’ la dérivée de f par rapport à u . (2) Montrer que l’opérateur de trace pour les 1-formes relatives satisfait, pour tout h E I x (W) [ u ], les propriétés suivantes, en désignant par d la différentielle relativement a u uniquement : tr(dh) = d(trh) tr(h. df) = tr(h) . dt.

CHIWITRE \‘II STRUCTURES DE. SNTO ET STKUCTURES I)E FROBENIUS

268

( 3 ) Montrer que, si g est de degré 6 (1 - 1, alors, pour tout k 2 O, le quotient de la division de f k g par f ’ est de trace nulle (on multipliera le tout par d u ) .

5.5. Exemple. - Lorsqu’il n’y a pas de paramètre, donc f ( u ) = ud+’, les 1-formes de trace nulle sont les formes g ( u ) du où g est un polynôme dont le coefficient de u ~ ( ~ + ’ ) est - ’ nul pour tout k E il. 5.6. Exercice. - Montrer que ( 1) 6’ est un & x [ t ]-module libre de rang d ; (2) la différentielle relative est diagonale par rapport aux décompositions

-

&X

[u]=

2 @ @X

[ t ] et

@X

[u]du = 6’ @ @y [ t ]dt

et d : @ + 6’ est bijective (c’est la raison de l’introduction des objets de trace nulle) ; ( 3 ) le quotient 6’/2.dt est un Hx-module localement libre de rang d. Le système de Gauss-Manin et le réseau de Brieskorn. - lntroduisons comme au <j 5.b une nouvelle variable T’. Le système de Gauss-Manin est le quotient

= & x [ t , ~ ’d]t / ( d - ~ ’ d t A ) & x [ t , ~ @ ’ ] fi’[~’]/(d- ~’dtA)~?[[r’] dd

=

/

& x [ t , r ’ ] d t ( d - ~ ’ d t A ) @ x [ t , ~ ’@] %

-

-

où l’on a noté @ [i’] = C [T’]@c@, et de même pour CL‘ et fi1.Le dénominateur est un &x module, mais pas (de manière naturelle) un [ t . T’] module puisque la différentielle relative d n’est pas linéaire par rapport à la multiplication par t . Ainsi, M est un @X [T’]-module.La connexion partielle V?L munit ce faisceau d’une structure de @ X [ t ] (&)-module.Enfin, ce module est muni d’une connexion intégrable V’ par rapport aux variables x,.Le fait que V’ commute 2 l’action de C [ t ] (at) signifie que la connexion V est intégrable. Nous en résumons les propriétés essentielles dans l’exercice suivant.

5.7. Exercice. - Montrer que (1) le terme @x [ t ,T’]d t / ( d - r’dtA)@x [ l , T’] s’identifie au fibré trivial (de rang 1 ) I x [ t ] muni de sa connexion naturelle ; (2) l’action de 8, sur M est bijective (utiliser la bijectivité de d montrée à l’exercice précédent) ;

5 . STRUCTURE DE FROBENIUSSAITO

ASSOCIÉE À UNE SINGUIARITÉ

ai

269

( 3 ) l’application naturelle + (classe des éléments de degré O dans 6’[ s ’ ] ) est & [t]-linéaire, injective et son image, notée IE, est stable ;’ ; c’est en particulier par 8 - un &X [t]-module libre de rang d ; (4) f ’ ( t ) d t préserve E ; pour laquelle T agit (5) pour la structure de &x [TI-module sur comme 8;’ (nous-posons T = s’-l comme au §V.2.c), on a une décomposition CL’ = s . 0’ @ &X [u] ,d-l d u ; on notera IE le &-module E avec cette structure de &x [TI-module; (6) est isomorphe au @ x [TI-module libre (de rang d ) @x [u] ,d-1 I

h

E

-

[TI

(on écrira une 1-forme du type htk dt avec h E @ x [u]d, sous la forme TU, où w est de degré k - 1 en t ) ; (7) le quotient E/TE est le &X-module libre (de rang d ) 6’/2 . d t .

<

A

Pour connaître l’action de la connexion V, il suffit de la donner sur les sections du @-module @,x [u]
s‘Va- h du = f h du

+

et on exprime ce dernier terme en fonction de T : on écrit f h = qf’ r avec q de degré d et r de degré d - 1 ; on a donc, dans E , l’égalité Jhdu = ~ q ’ d u+ rdu puisque q d f sq’du dans E . De la même manière, on a sVa, h du F sq: du + rz du, où r, est le reste de la division de h . ûf/dx, par f ’ . Considérons donc les opérateurs &x-linéaires sur @ x [u],d-i :

<

<

h

A

A

& ( x ) : h ( u ,x )

< P 2 ( x ) :h ( u , x )

-

H T(U,

x)

r,(u,x)

R , ( x ) : h ( u , x ) H -q‘(u,x)

T,(x): h ( u , x ) +-t

q:(u,x).

A

Alors la connexion V s’écrit sous la forme

On voit en particulier que, pour toute valeur x o du paramètre, la restriction de la connexion à E o = E/lltXOE est sous forme de Birkhoff. La connexion ? n’a cependant pas la forme VL(2.2) dans une base quelpuisque l’endomorphisme R, n’y a pas nécessaiconque de @X [u] rement une matrice constante. Le théorème Vi.2.1 nous dit néanmoins que, si X est 1-connexe, pour tout x0 E X et toute base de l’espace vectoriel C [ ~ I ~ d ~ lildexiste, u , sur le complémentaire d’une hypersiirface Oxo de X , une base de lE qui prolonge la base donnée et dans laquelle la matrice de V est sous forme de Birkhoff. rlrf 11 permet ainsi de construire une connexion plate v sur Eo = IE/rIE. Dans le cas présent, on peut obtenir directement le changement de base P : la A

A

A

- -

270

CIIAPITRE \II. STRUCTLIRES DE SAIT0 El' S'ïRLlCTURES DE FROBENIUS

h

propriété d'zniPgrabiZzté de V implique en effet que la 1-forme matricielle T = E, Y tdx, sur X satisfait la condition

dY + w A w = O ; il s'ensuit que le système de Pfaff d P ( x ) = - P ( x ) Y admet, au voisinage de xo,une unique solution P ( x ) E GLd(@J) telle que P ( x o ) = Id ; après le changement de base de matrice P ( x ) , la connexion est sous forme de Birkhoff. En particulier, les matrices Q1(x') ci-dessus sont aussi celles qui interviennent dans la forme de Birkhoff. 5.9. Exemple 5.5 (suite). - Dans la base ut du ( e = O,. . . ,d - 1 ), la matrice BO de Ko(x") est nulle et la matrice B , de - R W ( x o ) est la matrice diagonale de termes diagonaux les (e + l ) / ( d + l ) , avec e = O , . . . , d - 1. On retrouve la matrice B, = (1 q ) Id- v @ (avec q = l / ( d 1 ) ) de la remarque VII.4.17.

+

+

5.10. Exercice. - Montrer que, pour le déploiement f ( u , z ) = ud+' + z d - l u d - l + . . . + zo considéré au 4.b, la forme du satisfait la propriété suivante : pour tout z', la classe wu de du dans E o est un vecteur propre de R , et l'application H @yz ( a') induit un isomorphisme Trocd + Eo. En déduire, à l'aide de la remzirque 3.7 et de la construction de la forme de Birkhoff ci-dessus, qu'au voisinage de tout point z0 existe une section primitive homogène dont la restriction à zo est égale à la classe de du et donc, d'après le Ij 3 , une structure de Frobenius-Saito sur ce voisinage. h

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J.A. WOLF- Differentiable fibre spaces and mappings compatible with Riemannian metrics », Michigan Math. J. I l (1964), p. 65-70.

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On semicontinuity of the spectrum and an upper bound for the number of singular points of projective hypersurfaces », Souiet Math. Dokl. 27 (1983), p. 735-739.

INDEX DES NOTATIONS

(crochet de Lie), 38 -[ , ](Foui-ier-Laplace), 183

-

(involution), 135 (produit),43 Ad, 250, 266 ad, 30 d E x x ,113 A",26 '' (analytisé), 27 .<;I x x , 114

*

<:,

114

Aut<" , 116 Bo, 8, , 207 C h ( l l , . 8 ) , 15 C [ I ] ( S , ) .176 X E ( h ) , 136, 137 (s), 143 Der@Z%,27 6 ( E ) (défaut), 78 d (dinëreiitiellc), 21, 22 v, 28 V.!I/X., 58 v, 49 l'IV, 245 E", 34 g ( k ) 71 , exp2iiz., 17 E (ctiainp d'Eirier), 45 '''E , 246 P (ctiaiiip iiiiité), 44 E'' , 108

P E ,75 (D (ctiainp de Higgs), 37 F,51

284

INDEX »ES NOTATIONS

R,, 214 rés, 23

R v , 33 << rés » , 25 Rés V , 98

5

(section de

St,, 117 T M , 20 T * M , 20

C

-

@ / Z ) , 98

T f , 21 T * j , 21 y v , 41 O (diviseur), 8 i Ohf, 19

v , w,100

v,o v ,98 x,, X d , 205

INDEX TERMINOLOGIQUE

affine ensemble algébrique, 26 structure, 41, 229 variété, 26 algébrisation, 100, 104 algèbre de Frobenius, 46 d e Weyl, 176 jacobienne, 252 analytique fonction, 2 prolongement, 36 arialytisatioii, 26 application dc Kodaira-Spencer, 253, 2b3 de périodes infinitésiniale, 244, 247 Birklioff, voir forme rioririale de Birklioff, problème d e Birkhoff, théorème de Birkhoff-Grothendieck voir théoreme de Aolibroukli, Bolibroukh-Kostov bon inodèle, 110, 1 1 7 bonne filtration, 178 horite, 1 I O carte, 3 étale, 5, 41 linéaire, 6 catégorie, (il Cauchy, 7mzr équations Riemann, théorème Kowalevski cliainp de Higgs, 37, 207 syrriéti-iqiie,43, 230 chanip d e vecteurs holoniorphe, 19 logarithmique, 235 sur P’, 70

de dc

(huchy(:duchy-

champ d’Euler, 230, 246, 253 champ unité, 44, 230, 231 classe de Chern, 17, 64 cobord, 11, 15 cochaîne, 11 cocycle, 6, 11 codiniension, 3 cob om ol ogie de t e c h , 15 non abélienne, I l quantique, 229, 262 condition de cocycle, 6 de Darboux-Egorov, 257 d e Frobenitis, 40 de Fuchs, 106, 182 connexion de Levi-Civita, 42 holomorphe, 28 intégrable, 33, 47 rnéromorplie, 47 plate, 33, 47, 230, 245 relative, 58 sans torsion, 41, 230 coordoniikes canoniques, 45, 234, 253 plates, 41, 231, 238, 244, 255 corrcspondance de Riemann-Hilbert, 88, 102,115 courbe hyperelliptiqiic. 28 courbure, 33 critère d’irrkgiilarité, 106 de M. Saito, 171 riiicrodifférentiel, 195 crochet d e Iie, 38 croiscinent normal, 25 croissance niodérée, 92

286

I NDEX TERMINOLO<;IQtJF

décomposition formelle, 110, 149, 193 formelle et bonne, 110 sectorielle, 115 suivant les valeurs propres, 112 défaut d’un fibré, 78 d’un réseau, 161 déformation intégrable, 56, 198, 207, 229 intégrable complète, 205 intégrable imiverselle, 205, 215 isomonodromiqiie, 56 degré d’un fibré, 75 d’un opérateur, 176 Deligne, uoir foncteur de DeligneMalgrarige, réseau de Deligne déploiement universel, 250, 262 dérivation, 19, 28 covariante, 28, 232 de Lie, 39, 232 développement d e Laurent, 64, 70 matriciel, 73 dimension, 3 , 27 d e Krull, 27 direction de Stokes, 120 discriminant, 235, 251 diviseur, 67 de non-trivialité, 81 libre, 235 dualité, 132, 137, 144, 180, 186 Diihroviii, voir théorème de Dubi-ovin Ehresmanri, riozr théorème d’Ehresrnann ensemble algébrique affine, 26 ensernble de bifiircation, 251 Cquations d’associativité, 229, 242, 243 de Gaiichy-Riemann, 2 de Painlevé, 198, 204 de Picard-Fuchs, 263 de Schlesinger, 199, 202,227 dr sti-iicture,33 W D W , 229 équivalence de catégories, 61 espace &lé, 51 exposant, 138 faisceaii d, 113 constant, 5 de Stokes, 116 des cliaiiips d e vecteiirs, 19

des dérivations, 27 des fonctions régulières, 26 des formes différentielles holoniorplies, 19 des formes différentielles logaritfiniiques, 22 277ni, 10 localement constant, 34, 52, 116 localement libre, 8 structural, 5 famille de fibrés holomorphes, 79 isoinonotlrornique, 58 feuille, 39 feuilletage, 39, 202 fibre, 7 fihré algébrique, 73, 78 associé ii un diviseur, 67 canonique 4 1 (1),66 cotangent, 20 de Higgs, 37 déterniinant, 82 inérornorphe, 18, 76 rationnel, 78 senii-stable, 75, 162 tangent, 20, 38 tautologique &$,I ( - I ) , 65 vectoriel, 6 filtration, 129, 130, 143 bonne, 178 d e Harder-Narasimliari, 75 Tariskienrie, 192 foncteur, 61 de Deligne-Malgrange, 129, 133, 134 essentielleinent surjectif, 62 pleinement fidèle, 62 quasi inverse, 61 fonction analytique, 2 lioloinorphe, 2, 3 , 26 rnéromorphe, 18 plate, 43 régulière, 26 Iorrnr biliiiéaire, 134, 145 lierinitienrie, 210 sesquilinéaire, 135, 145, 171, 186, 210 fornie différentielle holomorphe, 19 logarithiniqiie, 22 sur P . 70

’

INDEX TERMINOLOGIQUE

287

forme normale de Birkhoff, 169 d e Levelt, 97 Frobenius, 7ioir algèbi-e d e Frobeiiius, condition de Frobenius, structure de Frobenius, théorème de Frobenius, variété de Frobenius Fuchs (I..), voir condition de Fuchs

leninie d’isotopie, 57 de Maigrange, 141 d e Poincaré, 63 de Poincaré Iiolornorphe, 21 Leray, vozr théorèine de Leray Levelt, voir forme normale d e Lcvelt localisé (d’un module), 179

Grothendieck, aoir théorème de BirkhoffGi-othendieck groupe fondamental, 54, 87

métrique, 210, 220, 236 plate, 254 Malgrange, voir foncteur de DeligneMalgrange, lemme de Malgrange, théorème de Malgrange-Sihuya matrice d’une connexion, 29 de Stokes, 116, 120 régulière, 210 inéi-omorplie c«iinexioii, 47 fibi-é, 18 fonction, 18 niétriquc, 42 inicrolocalisation, 190 modèle élémentaire it-i-égiilier,109 régulier, 91 ~~iodiile Iioloiiornc. 177 inonodrotn ie représentation de, 47

Hilbert, voir correspondance de RieniaiinHilbert, problème de RiemannHilbert holoniorphc champ de vecteiirs, 19 connexion, 28 feuilletage, :39 fonction, 2, 3 , 26 foi-inc différentielle, 19 opérateur differentiel, 176 section, 34 liornogénbitb d’une section, 244 d’une structure de Frobenius, 240 dii potentiel, 243 hot-izoiitale, voir section horiiontale Iiypcrsui-face,3 image iiivci-se d’un faisceau de @‘-modules,1 0 d’iiii fibre holoinorplie i connexion, 31 d’un fibré mbrornorplic ii coiriiexioii, 49 d’un fibré vectoriel, 7 iiitégrabilité d’lin cliainp de Higgs, 37 d ’ i i r i feuilletage, 40 d’iine connexion, 33, 47 d’iine connexion relative, 58 d’une déformation, 56 d’une structure de Frobenius, 240 ii-réductible ensemble algCbrique, 26 fihré i connexion, 160, 167 isornoriodroniiqiie déformation, 56 fainille, 56, 58 Koatov, voir théorème de BolibroukhKostov Kowalevski, voir tliéorèrnc d e (hucliyKowalevski

op6i-ateur d’entr<:lacenient,54 différentiel bolorrior-phc, 176 niicrodifférentiel fornicl, 191 oi-dre d ’ u n réseau, 48, 107 d’uiie fornie mÎi-omorplie, 24 oiivert élémentaire, 26 Painlevé, voir éqiiatioris de Painlevé, pi-opriété de Painlevé pente d’un fibré, 75 platitude d’un module sur un anneau, 27 d’une connexion, 33, 47 d’iiiie connexion relative, 58 d’une fonction, 43 fidèle, 27 Pleniclj. 7ioir théorème de I’lcmelj poids d’une forme bilinéaii-e, 134 Poiiicai-e, 71oir Icninie de PoincarE (liolornorphe), rang de Poincaré polygone de Harder-Narasinihan, 80

288

INDEX TERMINOI.OGIQIJE

polynôme caractéristique d’un réseau, 137, 143, 195 d’un réseau logarithmique, 136 de la monodrornie, 107 potentiel d’une structure de Frobenius, 229, 242, 259 de la métrique, 238 pi-oblème d e Birkhoff, 168, 169, 171, 189,207,215 de Riemann, 88 de Riemann partiel, 88, 189 de Riemann-Hilbert, 154, 155, 164, 189, I98 pi-odirit défini par ini champ de Higgs, 43 intérieur, 28, 39 sur le fibré tangent, 43, 245 terisoi-iel, 145 pi-olongernent analytique, 36, 55, 118 pi-opriété d e Painlevé, 83, 199, 205 raffinement, 12 rang de Poincaré, 48 recouvrement ouvert, 3 règle de Leibnid, 19, 28 régulière fonction, 26 rriatricc, 210 singularité, 48 représcn tation de monodroniie, 47, 54, 107 linéaire, 53 réSeail, 18, 90, 141, 179, 186 d’ordre T , 48 d’ordre arbitrairement grand, 107 de Brieskorn, 263, 266 de Deligne, 98, 102, 141 logarithiriiqiie, 48, 98, 131, 155 quasi ti-ivial, 160 résidu d’une coiinexiori logai-itlirnique, 49 d’une connexion méromoi-phe, 158 d’une forme logarithmique, 23 d’une fornie rnéromorphe, 24, 157 << résidu d’une coiinexiori niéroniorpiie, 5 0 , 146,207 d’une fornie niéi-oinorphe,25 résolution de Dolheault, 63 restriction d’un fibré holoinorplie i connexion, 31 d’un fibré rnéronioi-phe i connexion, 49

<

>2

restriction ,, d’une connexion logai-ithmique, 49 revêtcment, 4 Riemann, uoir correspondance d e Rieinann-Hilbert, équations de Cauchy-Riemann, problème de Riemann, problènie d e Riemann partiel, problème de Riemann-Hilbert, sphère de Riemann, surface d e Riemann rigidité, 83, 138 <<

Saito ( K . ) , uoir structure de Saito Saito (M.), 7ioir critère de M. Saito Schlesinger, voir équations de Schlesinger section holomorphe, 34 lioniogèiie, 244 horizontale, 34, 107, 120 primitive, 244, 264 Sibuya, voir théorème de MalgrarigeSibuya singularité apparente, 161 irrégulière, 106, 108, 141 régulière, 48, 90, 105, 182 sous-catégorie pleine, 52, 54 sous-ensemble analytique coniplexe, 3 sous-variété analytique cornplexe, 3 intégrale, 39 spectre d’un point critique, 264 sphère d e Riemann, 17,63 Stokes, m i r direction de Stokes, faisceau d e Stokes, matrice d e Stokes, structure de Stokes, variété de Stokes structure affine, 41, 229 d e Frobenius, 229, 240, 241, 247, 249, 250, 256, 266 de Frobenius fornielle, 262 de Sait«, 229, 230, 236, 241, 247, 249, 250, 256, 266 d e Stokes, 116 suite exacte longue, 16 surface de Riemann, 4, 80, 87 symbole, 176 symétrie d’un champ de Higgs, 43 du polynôme caractéristique, 137, 145, 195 miroir, 230, 262

INDEX TERMIN0LOC;IQCT

systènie de Gauss-Manin, 263, 266, 268 haniiltonien, 226 local, 52

théorème d’annulation, 69 d’Eliresrnaiin, 57 de Birkhoff-Grothendieck, 73 de Bolihroukh-Kostov, 160, 161 de Cauchy-Kowalevski, 34, 58 d e décomposition formelle, 110 de Dirhi-ovin, 250 de finitude, 71 de Frobenius, 40 de Hukuliara-Turrittin, 11.5 de Leray, 15 de Malgrange-Sihuya, 122 de Plernelj, 161 théorie de Hodge, 264 Tlioni, voir leiiime d’isotopie

289

topologie de Zariski, 26 torsion d’un niodule, 177 d’une connexion, 41 trace, 267 traiisforrnation de Fourier, 183, 227, 263 transformation naturelle, 61 transposition, I76 Tiirrittiri, uoir dbconiposition fi)rnielle et bonne type d’un fib&, 73, 76 valeui-critique, 252 variété affine, 26 affine n o n siiignlière, 27 analytique coniplcxe, 3 de Frobenius, 45 de Stokes, 120 lagrangicnne, 46, 234