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micHe" (article L i 22-4). Cdlc rcpréscmütïon ou reproduction, pur quelque procêdê que cc soir, constituerai! donc une contrefaçon sanctionnée pm'les anldcs L 335·2 ct suivants du Code de la propriété intellectuelle.
Décision dans le plan tenlps-fréquence
sous la direction de
Nadine Martin Christian Doncarli
Il a été tiré de cet Olwrage 30 exemplaires ltors C0111merce résapés aux rm.:mbres du comUé scielltiflque, wlX {U/let/l's el () /'tfditenr lwmcrotés (le j il 30
..................
~
...
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Décision dans le plan temps-fTéquence sous la directioJ1 de Nadit/e Marlill el Christian DO!1carli
fait partie de la série TRAJTEMENT
DU
SIGNAL ET
DE
IJ.MAGE
dirigée par Francis Castanié et Henri lVlaÎtre
TRAITÉ SOUS
ICZ
INFORMATlON - COMMANDE
COMMUNICATION
la direction scientifique de Bernard Dubuisson
Le traité Information, Commande, Con1munÎCation répond au besoin de disposer d'un ensemble complet des connaissances et méthodes nécessaires à Ja 111aîtrise des systèmes technologiques.
Conçu volontairemem dans lill esplit d'échange disciplinaire, le traité IC2 est j 1état de ]lart dans les dornaines suivants retenus par le con1ité scientirique: Réseaux et télécoms Traitement du signal et de l'image Infmmatiquc et systèrnes d'information Systènles automatisés et productjque Management et gestion des snes CogniUon et traiten1cnt de l'information. Chaque ouvrage présente aussi bien les aspccts fondanlcniaux qu1expélimcntaux. Une dassillcation des différents articles contenus dans chacun, une bibliographie et un index détaîllé orientent le lecteur vers ses pojnts d'intérêt immédIats: celui-ci dispose ainsi d~un guide pour ses réflexions ou pour ses choix.
Les savoirs, théoTies et méthodes rassemblés dans chaque ouvTage ont été choisis pour leur pertinence dans Pavancéc des connaissances ou pour la qualité des résultats obtenus dans le cas d'expérimentations réelles.
Liste des auteurs Piene-Olivier AMBLARD LIS CNRS Grenoble Eric CHASSANDE-MOTTIN Laboratoire de Physique ENS Lyon, CNRS Lyon François COMBET LIS INPG Grenoble Manuel DAVY IRCCyN CNRS Nantes
Christian DONCARLI IRCCyN Ecole Centrale de Nantes Matthieu DURNERIN LIS CNRS Grenoble Patrick FLANDRIN Laboratoire de Physique ENS Lyon, CNRS Lyon Cyril I-IORY LIS INPG Grenoble Pierre JAUSSAUD LIS INPG Grenoble
Hélène LAURENT IRCCyN Eeole Cemrale de Nantes Nadine MARTIN LIS
CNRS Grenoble Philippe RAVIER LIS INPG Grenoble Cédric RICI-IARD LM2S Université de Technologie de Troyes LotH SENHADJI LTSI INSERM Université de Rennes 1 Mohammud Bagher SHAMSOLLAHI LTSI INSERM Université de Rennes 1
Table des matières
Avant-propos . . . . . . . . . Christian DONCARLI cl Nudinc MARTIN
J5
Chapitre 1. Tcmps-fl"équence ct décision - une introduction
19
Patrick FLANDRIN
19 22
L L Introduction ... L~. Réécrire. . . .. . ..... . 1.3. Adapter . . . . . . . . . . . . . J.3. L Hypothèses comp05ites 13.2. Chirps . . . . . . . . 1.3.3. Rohustesse ... , . , 1.4. Partir du plan . . . . . . . . lA.l. Filtrage adapté temps-fréquence .
26 26 28
29 31 31 32 33
1.4.2. Apprentlssage , . , .. 1.4.3. Reconnaissance de formes.
35
J.5. Bibliographie . . . . . , , . , . Chapitre 2. Détection de Iton~st:ltionnari~és .. , . . . . . . . Piene-Olivier AMBLARfl, Eric CHASSANDE-MOHIN, Christian DONCARLl, Matthieu DURNERIN, Patrick FLANDRIN, Hélène LAURENT, Nadine MARTIN, Philippe RA VIER
1,1. Détection de non-stationnarités à l'ordre 2 , . , , . . . . ..
41
. .....
2.1,1. Test d'hypothèse dans le plan temps-fréquence . . . . . . 2.1.2. Densité de probabilité du périodogramme sous Ho .. . 2.J.3. Seuil de délection du lesllemps-fréquence ...
41
42 45
48
10
Décision temps-fréquence
2.1 A. Test temps-fréquence récursif. . . . . . . . .
50
2.1.5.1nlluence de l'estimateur temps-fréquence.
53 54
2.1.6. RésultaI: sur UI1 signal açadé111ique ...... . 2.1.7. Ehlde de signaux réels. , ... , ...... . 2,1.8. Conclusion, . , . . . . . . . , . . . . . . 2.1.9. Bibliographie . . . . , , , . ' , , , ' 2.2, Détection de sauts Ih!quentiels ' . . . ...... . 2.2.1. Introduction , . . . . , . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Principe de la m':thodc . . . . . . . . 2.2,2,1. Surveillance, .. , , , . 2.2.2.2. Segmentation .. , . . . . .. . ..... , . , 2.2.2,3. Choix laissés à l'utilisateur, , , , . , . 2,2,3. Résultats .. 2.2,3. L Surveillance ... :1,,2.3.2. Segmentation, ......... . 2.2.4. Conclusion. . . . . . ...... . 2,2,5, Bibliographie . , ., ' , , ... ' , , , , 2.3. Detection de transitoires par ondelettes adaplées ... 2.3.1. Sur les signaux transitoires et Jeur détection. 2.3.1.1. Colltexte de détee(Îon , , , , . , 2,3,1.2. Quelques approches de détection , .. , ' . . . . , 2.3.2. Une approche fondée sur un partitionnement du plan temps-fréquence , , .. , .. , , .. , , , . ' , , , , , , , , , , , 2.3,2, l, Notion sur le découpage du plan temps-fréquence, 2,3.2.2. Paquets d'ondelettes .. , , , , , , , 2.32.3, Mélhodologie de détection, , , :U,2.4, J11ustrations 2.3,3. Pour conclure. . ..... 2,3.4, Bibliographie , , ' , , . , . ' , , , " ",,'" ,2A. Détection temps-fréquence ell'éallocation . . . . . . , . . . . . . , 2.4, J. Introduction ' , , ,. " " " " " " " ' " 2.4.2. Détection ... 2.4.1.1. DétectÎon oplimale, . , . . . . . . . , . 2.4.2.2, Délection temps-fréquence. 2.4.3, Détecter les chirps linéaires, , , " "",,' 2,4.4. Détecter Ics chirps en loi de puissance . . . . . , . 2.4.5. L'exemple des ondes gravitationnelles . . . . . 2.4.5.1, Un modèle pour la coalescence de binaires. . .... . 2.4.5.2. Un détecteur temps-fréquence simplifié . . . . . . . . . .
2.4.5.3. Une illust.ration , , 2.4,6, Conclusion, ' 2.4,7, Bibliographie
, ...... . , , , , , ' , ,
57 60 61 63
63 64
64 68
69 72 72
80 83 83
84 84 86
86 88
89 91
95 97 102 102 103 103
105 105 106 108 109 114 liS 117 121 123
125
Table des matières
Chapitre 3. Détection pnr représentations temps-frétillence discrètes. .
11
127
Cédric RICHARD 3.1. Position du problème . . . . . . . . .' . . . . . . . . , , , , 3.2. Délection à structure libre par distributions de Wigner-Ville. . . 3.3, Détection à struclure imposêe purdistribulions de Wigner-Ville. 3.3.1. Espuces linéaires. espaces induits cl bases . . . . . . . . . . . 3.3.2. Comparaison des approches. . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Innucnce de la malédiction de la dimensionnalité. . . . . . . 3.4. Distribution de Wigner-Ville discrète classique ct redondance . 3.4.1. Familles génératrices. . . . . . . . . . . 3.4.2. Cas de l'ulItodistribution. . . 3.4.2.1. AUlodislributton de slgnaux complexes. 3.4.2.2. Autodistribution de signaux réels 3.4.3. Conséquences en détection 3.5. Bibliographie. . . . . . . . . . . .
. . . . .
.. .. .. .. ..
Chapitre 4. Classification
127 129 131 132 133 135 J 37 138 140 141 141 143 145
147
Malluel DAVY
4.1. Introduction. 4.1. f. Classer des signaux. pour quoi fnÎl'c? , 4.1.2. Un exemple .. . . . . . . . . . . . . . 4.1.3. Eléments de classificalion supervisée. 4.1.3.1. Contras le de Fisher. , . , .... 4.1.3.2. Règle du plus proche représenlant. 4.1.3.3. Règle des k plus proches voisins .. . 4.2. Intérét des approches temps-tréquence . . . . . . 4.3. ClassifÏçatioll temps-fréquence: diffél'entes stratégies ... , .. 4.3.1. Les travaux fondateurs en temps-fréquence , , , .. . . . . . . . 4.3.2. Recherche de la représenta lion lemps-fréquence ct de la distance optimales. . . . . . . . . . ..... . 4.3.3. Classification utilisant le pian des ambiguïtés. , ... . 4.3.4. Utïlisation de techniqués dc traitement d'images pour la classification. ..,., .... ,., .... ,., . . . . . . . . ,. 4.4. Améliorer les résultats de classification dans le plan temps-fréquence, . . . . . . . . . . , . 4.4.1. Critères . . . . . . . . . 4.4.1.1. Critère du premier ordre. 4.4.1.2. Critère de lype Fisher. . . .... . 4.4.1.3. Critère de probabilité d'erreur. . . . . ...... . 4.4,2. Pertinence des crÎteres proposés application à l'exemple. 4.4.3. Méthode de conception . . .......... .
147 147 149 149 151 15~
153 154 156 156 156 157
159
159 159 160 160 161 162 163
12
Décision lemps-fréquence
4.5. Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Annexe: distances pour la décision . . . . . . . . . . 4.6.1. Distances Lq, distance quadratique, corrélation 4.6.2. Distances entre densités de probabilité . . . . . 4.6.3. Distances spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Annexe: noyaux paramétriques de rcprésentations temps-fréquence. 4.7.1. Noyau radialement gaussien . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2. Noyau de Choi-Williams à marginalcs généralisées . 4.7.3. Noyau exponentiel multiforme orientable. 4.8. Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapitre 5. Extraction de motifs temps-fréquence.
166 168 168 169 171 171 171
17'l 172 173
177
Cyril HORY et Nadine MARTIN 5.1. Scgmcntation par tiltragc non linéairc . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Segmentation morphologique: notions élémcntaires. . 5.1.1.1. Algorithme LPE seuil par seuil . . . . . . . . . . . 5.1.1.2. Prétraitemcnt : modélisation des connaissanccs Cl priori. 5.1.2.LPEetRTF . . . . . . . . . . . . . 5.1.3. Application sur des signaux réels. . . . . 5.1.3.1. Un signal de bioacoustique. 5.1.3.2. Un signal dc cavitation . . . . . 5.1.4. Limite de la fonction gradient. . . . . 5.1.5. Conclusions de l'approche par LPE . 5.1.6. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . 5.2. Cosegmentation RTF/cspace de mesures 5.2.1. Vers une interprétation statistique. 5.2.1.1. Modèle statistique . . . . . . . 5.2.1.2. Redéfinition du problème d'interprétation. 5.2.2. Interprétation dans l'espace des caractéristiques. 5.2.2.1. Modèle de mélange local. . . . . . . . . . . 5.2.2.2. Momcnts d'ordrc 1 ct 2 dcs caractéristiques locales 5.2.2.3. Estimation dcs paramètrcs d'unc loi du X2 centré. 5.2.2.4. Caractérisation.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2.5. Choix de la taille de cellule. . . . . . . . . . . . . . 5.2.3. Deux exemples d'application sur des signaux réels. . . 5.2.4. Conclusion sur l'approche par espace des caractéristiques. 5.2.5. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
180 181 182 184 185 188 188 191 192 195 196 198 199 199 200 201 202 203 204 206 207 208 210 211
Table des mntières
Chapitre 6. De la physique à la détection. . . . . . . . . . . . . . . . . . François COMBET, Pierre .IAUSSAUD, Nadine MARTIN, Lofti SENHADJ1, Mohammad SI-IAMSOLLAI-Il
13
213
6.1. En mécanique: détection de chocs. . 213 214 6.1.1. Pourquoi un tel modèle ? . . . . 6.1.1.1. Définition d'un choc. . . . 214 6.1.1.2. Exemples de situation de choc. 215 6.1 .1 .3. Réponse d'un système mécanique à un choc. 216 6.1.1.4. Modèle « multichoc » . . . . . . . . . . . . . . 120 6.1.2. Quel est l'intérêt de ce modèle? . . . . . . . . . . . 225 225 6.1.2.1. Analyse de Fourier d'une réponse à des chocs 6.1.2.2. Analyse de Fourier glissante d'une réponse à des chocs. 227 6.1.2.3. Alternatives. . . . . . . . . . . . . 228 6.1.3. Analyse de Prony en stationnaire. . . . 229 6.1.3.1. Historique de l'analyse de Prony 229 230 6.1.3.2. L'analyse de Prony. 6.1.3.3. Le modèle exact de Prony. . . 232 6.1.3.4. Le modèle approché de Prony 233 6.1.3.5. Prony corrélation. . . . . . . . 234 6.1.3.6. Systèmes linéaires en jeu. . . 235 6.1.3.7. Conditionnement des matrices C et V 236 6.1.3.8. Autres identifications . . . . . . . . . . 239 6.1.4. Non-stationnarité et modèle multichoc . . . 239 6.1.4.1. Rupture de modèle sur la fenêtre d'observation. 240 6.104.2. Détecti0t: des instants: courbe des amplitudes . 242 6.1.4.3. Prony temps-fréquence. . . . . . . . . . . . . . . 246 6.1.5. Application à un signal vibratoire de remontée méç.an~~. 248 6.1.5.1. Signal de pylône compression synthétisé. ~)~ 248 7 S' l' 1 /-r/ . - "\,\\\ 751 6 · 1C·5 '-'1 Igna ree . . . . . . . . . . . . . . . . . . \el\ ;53 6. 1.. 6 one USlon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -G.,. .. 'j"nj1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . '\-:':<\' . ...;:.<. ' .\.;' . .JO,.' 1754 6 •1•7• B 1'bl'IOgraplie 6.2. Détection de transitoires et analyse de signatures en épil. epSlè .. , ,/'".'.~)/ 256 ' \ : .. ' " J' / 6.2.1. Détection par ondelettes en EEG . . . . . . . . . . 260 ~:-:-:=-:~ 263 6.2.2. Analyse temps-fréquence de signaux SEEG . 6.2.3. Mise en correspondance. 269 6.204. Conclusion. . 272 6.2.5. Bibliographie . . . . . . . 273
J:; //:"".
r' .( "(>".(;;" .
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Tndex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..
177
Avant-propos
La connaissance d'un phénomène physique passe fréquemment par l'acquîsition d'un signal monodimensionnel et, ced, dans divers domaines d'application, Citons entre autres des signaux d'origine bîotogÎque~ mécanique. sismique ou acoustique, Ces mesures sont exploitées il des fins de descriplion, d'analyse ou de décision. Ce demicr point. la prise de décision, constitue l'objet de cet ouvrage,
Plus précisément, cet ouvrage s'intéresse aux signaux non stationnaires, La 11011stationnarité est une propriété très présente dans la nature mais difficile à maîtriser théoriquement. Que peut vouloir dire une fréquence évolutive au cours du temps alors que, par essence même, la définition du mot fréquence sous-entend une dÎmcnsÎon temporelle infinie et, de ce fait, une absence de localité? NéanmoÎns. même SI le problème suscite encore des questions captivantcs t nous ne revisiterons pas les concepts Ihéoriques nécessaires à l'élaboration de méthodes d1analyse de signaux non stationnaires tels que, par exemple, la fréquence instantanée. De nombreux ouvrages Qnt traité et traitent encore de ce sujet. Nous allons considérer que nous «( maîtrisons li ces concepts et ces méthodes et nous proposons au 1ecteur de s'interesser au dornaine temps-fréquence ou temps~échelIe. domaine d'observation pertinent dans un contexte non stationnaire. Le vocable « Décisîon )} du titre de cet ouvrage, couramment utilisé dans la communauté nationa1e depuis quelques années, doit être pris dans un sens large, il est d'ailleurs relativement imprécis. II s'agit ici de pot1er un jugement sur la mesure. de détenniner queUes en sont les différentes parties, structures ou composantes. 11 s'agit d'interpréter, de reconnaître. d'cxtmire, de détecter ou de classifier. Chaque chapitre de ccl ouvrage mettra en lumière rune ou l'autre de ces problématiques: l'objet des chapitres l, 2, 3 et 6 est de détecter, l'objet du chapitre 4 est de classifier, l'objet du chapitre 5 est d'extraire des 1lI01i!"
16
Décision temps~fi'équcnce
propose des Pour résoudr e ces problèm es, la théorie de tralleme nt du signal chapitre 1. le dans ues parcour es approch ces de algorH'hmes optimau x. Nous parlons dans les ent conduîs nOlis aire stationn non approch es dont lèS limites en régime et par , réc~nles es, novatric es chapitre s suivant s il des contribu tions théoriqu rer ce considé de lecteur au cnt conséqu ent sujettes à évolutio n. Les auteurs demand docume nt comme un état de l'arl au jour de j'édition . abordée sous Une préscl1tatîon succinc te du contenu de cCl ouvrage peut être atiol1 a Iïnform de nature la trois angles diftërcn ts : la philoso phie de rapproc he. priol'i ou les applica tions concem écs.
Philosophie des llppfoèhes toutes sur la Les approch es de décision proposé es dans ce truité ne s'appui ent pas r il optimis er les même philoso phie. Face à ce prob1ème, une 50Iutîon peut consiste prédéfin ie. Cetle paramè tres œune méthod e d'analy se dans une optique de décision 4. chapitre le et 1.3 section philoso phie est mise cn avant dans la défini comme Sous un autre point de vue, le problèm e de décision peut être vu et Cette donnée. se d'analy e méthod une pour un post-tra itement fi l'analys e et cc, (). et 5 s chapitre les et 2.4 ~.2. 2.1, deuxièm e piste est examin ée dans les sections inconto urnable Les varÎables temps et fréquence étant U valeurs discrètes, il est réquence temps-f tion distlibu 'une cl ation de donner une définition précise de la discrétis e. probJèm ce ment dans un context e décision nel. Le chapitre 3 aborde sérÎeuse
brfOl'll1utiOil il priori également par Quelle que soil la philosophie retenue, les approches se distinguent connnis sances leur façon d'appré hender les informa tions ou connais sances a priori: qui fi généré système le sur , observé slgnal du modele le comple tes ou partiell es sur un espace génère cas, notre dans qui, se d'analy e l'observ ation ou SUI' la méthod gérer ces il facultés tes différen ns d'obser vation temps-f réquenc e. NOliS observo informa tîons au cours des chapitres.
priori est partielle et se résume à certaine s pl'Oprîétés sur le: s. signal. les méthod es proposé es s'appui eront SHf les proprié tés suivante
Si Pinfûm mlion
il
A vam-propos
17
En défectÎOil Dans la section 2.l, la non-stationl1arité est quelconque et dèteclable par des variations des moments d'ordre ::, Dans ln section 2<2. la non~stationnarité est une rupture fréquentielle détectable par la variation d'un indice fonction de dist''lOces calculées Sur des représentations temps-fréquence (RTF) il dl!Térents instants ou par rapport à une référencc. Dans la section 2.3, la non-stalÎonnarité est sous fonne de transitoircs de f0n11e inconnuc et détectable par un écart il la gaussianité du bruit dans lequel il est plongé, écart mesuré par unc variation du moment d'ordre 4. Dans la section 6.2, les hypothèses émises sur les distributions statistiques des événements il détecter ont servi de base ù la COl1stnlction du détecteur. En extractio/1 Dans la seelion 5. i, les propriétés connues servent de base iî la const111ction de filtres non linéaires pour exlraire les motifs lemps fréquence.
Si j'infomlution a priori est plus une expérience acquîsc, le problème repose alors sur la capacité il représenter un signal par un nombre restreint de caraclères dits «( discriminants ,j, caractères détemlinés par un ensemble d'apprentissage constitué de mesures expertisées, Le chapitre 4 propose d'optimiser la dassificatïon en recherchant un couple RTF/distance qui minimise Je taux d'erreur. Une infommllon a priori forte peut êlre décrite sous la fi.l1111C d'un modèle de l'observation. La section 2.4 propose un détecteur sous tomlC d'un filtrage adapté par rapport à LlIlC fonne d'onde connue de paramètres inconnus, La section 6.1 propose un modèle temporel non stationnaire afin ùe construire ensuite une RTF discrète, Ce rnodèlc PCut être de plus haut niveau. peu rcstrictif: el s'adresser il un ensemble large de situation. La sectÏon 5.1 considère un modèle probabiliste des éléments du domaine d'observation, la RTF. Un calcul de la vruisembhmce est alors envisageable, mais la résolution nécessite la mise en place d'algorithmes adaptés,
AppUcatim18 cOJlcernées
Chaque auteur, après avoir dévoÎlé les secrets de son approche, la teste SUl' des signaux réels, but ultime de la démarche: signal vibnttoire dans la sccrÎon :;,1, bmîl hydraulique dans les sections 2.1 et 2.3. signal musical dans la section 2.2. ondes gravitatîonnelles dans la section 2.4, signal bioacoustique el signal de caviwtion dans Je chapitre 5. A l'inverse. le chapitre 6 part dc l'applicatîon pour construÎre lIne méthodologie adaptée: signal vibratoire de remonlécs mécaniques dans la section 6.1, signal biomédical dans la sectÎon 6,2,
1S
Décision temps-fréquence
contucts et Il est inctmtesttlhle que cet ouvrage a pu prendre fonne grâce aux de ces cours aU e collaborations fructueuses au sein de la communauté: français ent simplem tout dernières années. Au terme de cette expérience. nous souhait ons remcrcier les auteurs de leur contribution. l'espéro ns, L'évent ail des solutil1l1s proposées est plutôt large, cc qui nous certains de xité întéressera le lecleur et lui permettra de triomphcr de la comple la nafllre en lui signaux, non pas au sens de Gaston Btlchelard : «( NOlis compre nons ne triomph e de résislcmf h, mais plutôt au sens du philoso phe Francis Bacon: a On la Ilature qu'en Irli obéissaHi 1>, ••
Nadine MARTIN ci Christian DONCARLI
Chapitre 1
Temps-fréquence et décision - une introduction
1.1. Introduction
C' est ulle évidence ct une banalité de dîrc que le momIe qui nous entoure est
«
non
stationnaire );. Si s'offrent bien sûr à notre obscrvution des phénomènes cmprcinL"I d'une grande régularité (du moins rapportés à une échelJe temporelle humaine, comme par exemple le mouvement des astres), ce par quoi le monde naÎl à noire perception passe avant tout par le changement. Ja variation, la différence, D'une façon tou' ù rall fondamentale. 1'înfonnation (dans son sens aussî bien commun que technique. « il lu Shannon )~) est indi~;sociable de l'imprévu et donc de la ({ non-stationnarité », cn tant qu'idée générale de non-homogénéité spatin-temporelle. De plus, si l'on admet que la nature est en soi non stalionnajre. il apparaît aussi qu'ulle cnpacité de suivre ses n011stationnarités esl altachée à nos sens outils naturels permettant de r appréhender -, et de celle conjonction résullc ln possibifité même (étYinologique) d'une connaissance. Observateurs impassibles d'un univers immuable. nous serions confrontés, non seulement fl un indicible ennui, mais encore à l'incapacité même d'en dire quelque chose, voire d'en percevoir l'existence.
Au vu de ec pn5ambuie lrès général. il semblerail donc raisonnable que les i-'lignaux, supports physÎcjuCS de toute information. soient traités par des procédures reposanl à la basc sur des présupposés de nOIl-stationnarités. c'est-il-dire à raide d'outils offrant un langage naturel pour la descdption de ces dernières. Or. force est de constater que, si r expérience quotidienne va bien dans ce sen ... (quoique d'une façon csscntieHement perceptucllc). ce n'est que dèpuis UI1 pus.sé ussez récenl !:lIIC ùe tels outils onl élé Chapitre rédïgê par Patrick FLANDRIN.
20
Dtd5ion temps-fréquence
tés, dans le,o..:queHes forgés pour appréhe nder des dasses très larges de non-sta uonnari inant Nu1 beBoin prédom rôle UI1 joue es spectral tés J'évolut ion tempore lle de proprié musical e, notation la de ndé bien-fo du justifier pour pourtan t de longues explica tions r) il locuteu d'un (ou e mUFiqu de enl instrum d'un issance de l'éviden ce de la reconna J'oreille pur motcur d'un que acousti tic diagnos du os son tÎmnre, ou encore de )"à~prop voir émerge r (et experte d'un garagis tc. Il li en faît fallu attendre les années i 980 pour temps-f réquenc e pour accepte r) un paradig me nouveau , selon lequel c'est dans un plan Si un des élé* qu'il convien t de décrire cl de manipu ler des signaux non stationn aires, des ondelet tes )~1 ments décisifs de ce change ment a certaine ment été la ., révoluti on ue pnrLiculière 1 et le véritabl e bascule ment paradig matique va all-dcl~ d'une techniq de techniq ues les approch es qui ont pu être dévelop pées s'appui ent sur tout un arsenal nécessa ire souci de introdu ites précéde mment à des Hns essemie lles d'analy se. sans traitel11enl proprem ent dil. ssion. chanComme cela peut être le cas dans des lâches d'analy se ou de compre (détecti on, signal un à quant n déch·;io une ger ct' espace de représen tation pour prendre l'inform ade r dispos.e de souci aU estimation, clnssificatîon, reconna issance ) répond Lorsqu' Il on, eXtracti son à propice plus tion que le signal recèle, sous la forme ln f> al! signal. adaptée « wtiol1 rcprè;en une !;'ugit d'analy se, la questio n est de trouver énologi que, Dans en accord avec son interpré tation physiqu e el sa descript ion phénom l'inform alion sur er~! concenlr ,( de ge davanta le cas de la compre ssion, l'object if esl iiremenl à néCeS5< prêtent se ceux-ci que sam; un petit nombre de coeffici ents. mais souven l est l'idée visée, est qui décision une une înterpré tation particul ièrc. Si c'est donc (ct plan le dans h re signatu «( d'une nce double, rcposan t pour une parl sur l'exlsle e de évidenc en mettre de même à soit qui sur ln nécessité de choisir une représe ntation aison compar de re procédu une sur part une fnçon simple une telle signatur e), et pour avec une ou des référenc es. opérant dans le plan,
couvert dans la , La théorie de la décision étant un sujet classjqu c el largeme nt sur la nécessi té littératu re [POO 88, TRE 68, WHA 711, il faut bien sûr s'interr oger un tel context e. qu'il peut y avoir de recouri r à des approch es temps-f réquenc e dans es temps-f réquenc e D'une manière très général e, la mise en compar aison de stratégi peut sc symbol iser avec des approch es usueHc5 (opéran l en temps el/OU en fréquen ce) de la façon :mivante. (J près ~ cl Soit .r{t; 6) un signal connu - à un vecteur de paramè tres ation dispol'observ de base la Sur bruitée. tion 1'(t) := :rU) + b(t) une observa divers cri{)(i"). bruit au quant TI priori (/ ues nible r(f;) et de connais sances statistiq nnc. de bayésie e ~tralégi e, contrast de m maximu tères (maxim um de vraisem blance, sortie la dont optimal ur récepte un ire constru de Neym«-U1-Pearson ... ) permett ent alors e au possibl décision de prise re meilleu la ant Ao(rl:c! ':8) esl une statistique permett ce fréqucn tc:mps~ cndre un il he démarc la Elargir Mens du crllère d'optim alilé choisi.
TCfilj15 fréquencc ct décision N
une inlroductlon
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consIste il considérer le diagramme suivant:
(rU). J:{I; fi)}
Ao(rl:r.ll) ?
{p,(/., J). p,(I. j; fJ)} dans lequel Px(t~ f; O} et Pr(t,.n sont les images temps-fréquence respectives de ;1'(1; 0) et 1'(t), et où Ao(p,.lp" 1\) est la statistique de sorlie d'un récepleur opérant directement dans le plan.
Un tel diagramme pose évidemment plusieurs questions relatives aux nombreux degrés de liberté mis en jeu: quelle représentation temps-fréquence p choisir? Quel critère relenir pOlir la construction de la statistique A? Quel lien entre A et A ? li met aussi en évidence qu'au moins deux approches sont possibles pour aborder ces questjons: la première consiste ù prendre le chemin l' f-.:. A -+ c'est-à-dire à partir de stratégies usuelles et ù en donner des formulations temps~fréquence associées: la deuxîème, qui emprunte cette fOls la route r ~ {Jr est plus rndicale dans la mesure où ellc prend son poinldc départ dans le plan et cherche tt y ancrer sa stratégie. Dans le premier cas, il est clair que ]a recherche de la commutativité du dîagramme n'est pas une I1n en soi. C'est bîen davantage un point de départ, destiné avant tout à garantir l'existence de formulations aHematives de stratégies optimales ct il roumir une base pour des modifications éventuelles. Dans le deuxième cas, on peut espérer qu'une approche opérant dîrectement dans le plan permette, grâce il une adéquation enlre la nalure des données et l'espace choisi pour leur représentation, d'aborder des problèmes difficiles à formuler dans un espace monodimensionnel et d'aHeÎndre des propriétés d'optimalîté de façon simple, La situation est en fait ussez analogue il celle qui prévaut en analyse temps-fréquence, En effel, dans le cas de représentations « continues », 1'lrléc même de passer d'une description monodimensionnelte à une représentation bidimensionnelle peuL paraître créalrice d'une augmentation de redondance inutile. Il n'en esl cependant pas nécessairement uinsi. comme le montre l'exemple simple d'un « chîrp ») linéaire, dont lu paramétrisation temps-fréquence peut fi' avérer plus économique que la donnée des échantillons du signal de départ. La raison en est que le passage au plan permet une opérution en deux temps: ùans un premier temps. l'augmenlalion pOlcnticl1c de redondance offre en quelque sorte au sîgnalla possibilité de sc déployer de manière structurée; dans un dcuxièrnc temps, celtc structuration -lorsqu'eHe est correctement identifiée et mise il profit- se traclnït alor!'i par une diminution de la redondance ct'feclive.
Jt
)-.<
L'objectif de ce chapitre n'est pas de fournir un punormna exhaustif el délaillé de l'ensemble des solutions possibles au problème de la décision duns le plan temps-fréquence, mais davantage tic roumir quelques clés introductîves il quelques
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Décision temps-fréquence
essentielle familles d'appro ches détaillées plus avant dans ce volume. La question tion l'estima à échéant cas le (élargie n détectio la de celle qui est abordée ici est par pus corrom connue, moins ou plus [orme de signaux ou la classification) de tions des distribu un bruit d'observation additif. le cadre d'étude choisi étant celui les bases connaît lecteur le que ra suppose on dont }}, temps-fréquence « à la Cohen deux moins au silence sous ainsi passera On 98]. MEC 98, [BOU 96, COH 95, FLAN s. La première grandes catégories de problématiques complémentaires à celles retenue ruptures (tempoconcerne les o/~ject(fs visés, qui pourraient inclure la détection de réquence, relles et/ou spectrales), telle qu'elle peuL être revisitée dans le plan temps-f en parlicl 85] poinl abordé en délail ailleurs [LAU 98, MAL 97, MAL 98, MART ie catégor e culier dans la suite de cet ouvrage (voir sections 2.1 et 2.2), La deuxièm de bases des sur concerne les méthod es, qui pourraient inclure les techniques reposant particulier pour en les), 'ondelet d paquets les, ondelet (Gabor, s linéaire décompositions locale de nonla détection de transitoires, interprétés comme une rorme d'introd uction 98, RAY 981 MAL slalionnarilé: là encore, on pourra se reporler il [FR1 91, MAL 97, questions. ces de ou aux sections 2.3 et 6.1 de cet ouvrage pour un traitement explicite . Dans Ce que contient finalement ce chapitre est organisé de la façon suivante e réquenc temps-f es approch les nt comme et i un premier temps, on discute pourquo strade plan, le dans re, réécritu de naturel cadre (au sens large) peuvent offrir un e temps, raptégies optimales de décision connue s par aiUeurs, Dans un deuxièm au-delà de d'aller orfre qu'elle capacité la par proche temps-fréquence est justifiée mment à précéde déllnis s schéma les adapler d' ant cette simple réécriture, en pennetl à ceradéquat ntation représe de espace un d'offrir des situations non nominales, ou précise, plus manière De ce, fréquen en ou temps en tains problèmes difficiles à traiter ier dans le cas cette partie concerne la détectio1l à hypothè ses composites, en particul sse, Dans un robuste lype de s question des que ainsi important de la détection de chi'7Js, plan tempsle ent directem rant considé en tive perspec troisième temps, on renverse la précis à sens un donner de étant if l'object vation, fréquence comme l'espace d'obser e. On réquenc temps-f re signalll d'une issance ndée intuitive de détection par reconna raire nt comme de question la e, 'éqlleI1C te11l{Js,p discute ainsi l'idée de filtrage adapté fait) est en qui l'usage (et choix le piloter pour usage d'une base d'appre ntissage les par offertes ités possibil les sur rations considé s d'une distribution. avec quelque s. d'image se d'a1laly et/ou formes de techniques de reco1lnaissallce
1.2. Réécrire Soit le problème initial de détection binaire :
Ho { Ih
,.(1.)
= b(t)
rU) = ,1:(t) +
vtt)
Temps-fréquence et décision - une introùuction
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dans lequel il s'agilde détecter un signal d'énergie linie :1'(1) E L'(JP;), déterministe.· parfaitement connu, à partir d'une observation {rU); t E T} corrompue par un bruit additif b(t).
n
Dans le cas le plus simple olt le bruit b( est supposé centré et blanc, de densité spectrale de puissance No, le filtre lilléldre dont la sortie (au temps t = 0) maximise le contraste (ou rapport signallbruit de sortie):
n'est autre que le filtre adapté, de réponse impulsionnelle h(l) =:L (1) := cr( -1.) : A(r) := (:L,l')
C'est là le prototype de l'intuition selon laquel1e délecter un signal revient à trouver dans }' observation qui en est faite un degré de ressemblance jugé sufflsant avec la référence dont on dispose. Au sens du produit scalaire considéré (celui des fonctions de carré sommable), maximiser le degré de ressemblance sc rait en utilisant comme mesure la corrélation, ce qui est équivalent à minimiser la distance quadratique (donc la norme associée) entre l'observation et la référence. La situation qui vient d'être évoquée repose sur une structure linéaire imposée mais, sous l'hypothèse plus restrictive de gaussianité du bruit, le même résullat aurait pu être obtenu par un argument de maximum de vraisemblance. Dans les deux cas, le caractère linéaire du détecteur est inlimement lié à la nature déterministe du signal à détecter. Les deux approches mentionnées (maximum de vraisemblance et contraste) offrent plusieurs niveaux de généralisations si l'on suppose désormais que le signal à détecter .1'(1.) est lui-même aléatoire [POO 88]. Si l'on considère ainsi que :I:(t) est gaussien, centré et noyé dans un bruit b( coloré et centré, le détecteur à maximum de vraisemblance prend la forme générale:
n
où R,l; et R.II sont les opérateurs de covariance associés au signal et au bruit, respectivement: le détecteur obtenu est dans ce cas une fonction ql/adratiql/e de l'observation. Remarquons que l'on aurait là aussi pu imposer ce caractère quadratique sans recourir à l' hypothèse de gaussianilé, en utilisant le critère de contraste évoqué précédemment. On aurait alors obtenu comme solution la quantité:
Là encore, c'est dans les deux cas la nature aléatoire du signal ft détecter qui fixe le caractère quadratiqlle des détecteurs.
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Décision temps-fréquence
détectio n d'un De manière peur-être plus cxplicîi e. la solution du problèm e de en dévelop pant les hruit gaussie n coloré dans un bruit gaussie n blanc peut s'écrire du process us d'jnopérate urs de covaria nce mis en jeu sur la base de Kahnm cn-Loè ve élnnL gaussie n térêt[T RE 68]. Si l'on considè re ainsi lé signaJ ,r(t) à détecter comme blanc, la stact de moyenn e 'iliA 1) cf 0, tout cn supposa nt le hmi! additif II( 1) ccum; e alors s.'exprim tistique dé décîsion issue du principe de maximu m de vraisem blance comlne somme de deux. contrib utions:
les valeurs propres express ion dans laquelle les /\n cl les 'Pn (t) son l, respecti vement , fonction linéaire une est lions conldbu et fonctions propres de Rx_ La premièr e de ces de la moyenn e n détectio lu à relative de robserv ation: on peut l'interp réter comme tion, quucontribu e deuxièm La .t'(i). de ml' (/), con:;idéréc comme partie détermi niste lions (fluctua x(i) de e aléatoir partie la de draUque, s' auache quant i~ cHe il la détecüo n tinéairc ur récepte de e slructur une ainsi aulour de la valeur Illoyenne). On obtient e problèm le ement. général Plus nts. quadrat ique, en accord avec les exempl es précéde r on n'explic itera gaussie n-gauss ien comple l admet une solution de même nature, que pas par souci de simplicité. , ces premier s Quoiqu e 11 'épuistll1t bien sûr pa.r.; wus ie;;, cas intéress ants en pratique es de détectio n exempl es illustrenl néanmo ins le fait que de larges classes de problèm ue de décision puissent admettr e comme structur e de détectio n optimal e une stath-,tjq de la forme:
A[r)
IX
(hCT, :B), r)
+ (L(:r, :B)r, r)
ants du signal à oü Il est une fonction ct L un opérate ur linéaire. tous deux dépend addilif. détecte r J: et de la connais sance a priori 13 que J'on pem avoir du bruit à expriEn donner une formulation temps-f réquenc e revient donc essentie llement le plan. dans opémnt ente mer lès produit s scalaire s mis en jeu sous une forme équival tel d'un attendre à gain de On peut remarqu er qu'à cc niveau, il n'y a évidem ment plus ra reviend y On ation. pOÎnt de vue alternatif' que d'lutelll gibiJité . ell10n d'inform
loin.
Clos.\'CS géllérales 96, COH 95, Soil P,,,.y(t, Il une dislribution lemps-f réqucnc e (croisée) LBOU le de Maya/) la/amm vérifie elle qu' FLAN 98]. On dira qu' clic eslunitaire (ou encore é,galité: l' si eUe « conserv e >} le produit scalaire au ~el1s où
Temps-fréquence el décision - une intl'oduction
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est sutisfaite pour tous signaux {'''iU) E L'(lR); i = L ... , 4}. Une telle propriété est vérifiée en particulier par la distribution de Wlgner-Vme il';r,!lU, f), avec la conséquence que l'on li alors (avec lu notation simplifîée !Fx := Hf, ..,,):
(il, ri = ((H·,,,IV,,.r})/llhlll et:
IL!'.,.) = Î\'j.FL.ll'Yi \. , . t" pOllr tout opémteur linéaire L de symbole de Weyl [KOZ 92] ussoeié TVL(t, f). Quoique le choix de la distribution de Wigner-Ville ne soit pas unique (dans la classe de Cohen, pal' exemple, toute distl'îhution oc noyau unimodulail'C (duns sa repl'ésentatlon dans le plan des ambiguïtés) convient également IFLAN 98:1. tout comme la distribution unitaire de Bertrand dans la classe affine [BER 92, RIO 92]), on pouITa convenir de Je relenir pour des rai:.olls de simplicité. Cc !llÎsanL, il devient dès lors possible de reformuler les sUHistiques de déteetîon linéaires-quadratiques évoql1ée_~ plus haut sous la forme:
A ex «(W"i.r:B), n·,,(.,·,'B).,))/ilh(:r, 13)H~
+ (illier/l'j' IV,,))
mettanl en évidence le falt tlue détecler un signal (non slationnaire) peut sc raire en comparant la « signature temps-fréquence de :..on observation (teHe {Ju' clle est donnée par la distribution de Wigner-Ville) avec une signature de référence associée au signal à détecter cl au bruit qui le corrompt. )j.
EXEII:1PLBS.- Deux exemples simples permettent d'illuslrerce pointdc vue alternatif: celui du callal de Rayleigh el celui de In détection localemellf oprùllale [FLAN 881, Dans le premier C
d'où, par unitarité. A(IF,-} cc ((18W" TV,,)). car:L" ,\" IF",,, (1. f) = EIV, (1. IlDuns les deux cas, la statistique de détection est construite comme produit scalaire entrc la signature de l'observalion (donnée par sa distribution de Wigner-Ville ou pur tOlite distribution unitairc) et une signature de référence {distribution analogue pour un signal déterministe ou valeur moyenne ues distributions de ses réali!'atlons pour un signal aléatoire).
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Décision temps-fréquence
pur compaUne parenth èse historiq ue: l'idée de détecte r ou reconna ître un signal pour l'anacomme Tout e. ancienn sûr bien eSl e raison de signatur es lemp.s.-fréquenc de Fourier muliol1 transfor fIla é paternit une trouver il lyse temps-f réquenc e - qui peine intuifaçon de s utilisée être pu ont nature cette de à court terme - des approch es ' traprcmiel1 les Parmi . donnée soit en précîse tive bien avant
1,3, Adapte r juslifier qu'une Les sitmHions évoqué es dans la section précéde nte permett ent de toujours équimais . fférente di approch e temps-r réquenc e puisse offrir ulle formulation de cette intérêt premier Le . valente. il des structures optimal es connue s par ailleurs doute sans et simple e refol'll1ulntÎofl est de se prêter à une interpré tation physiqu nondes e réquenc lemps-f re plus naturelle, çar mettant explicit ement en jeu ]a signatu en oJTre vue de point nouveau ce staLionnarités à détecter. Le deuxièm e jntérét est que nomins simatio aux menl fait un point de départ adé4ua t pOUl' des variatio ns reiative e mathëm atîque ct nales connues , Là encore, c'! est de r assocÎation entre la structur ns, variatio teUes de lïntcrpréla110n physiqu e que peut naître la pnssibililé
1.3.1. Hypll/hèses composites préLa premièr e façon d'élargi r le cadre précéde nt - dont on pouna U'ouver une sentatio n complè te dans [SAY 95, SAY 96] compos ites:
COI";Slc il considérer le cas
d'hypothèses
dt) = 0(1.)
r(i)
=
:rIt; 0)
+ Ii(t)
8 E 9, inconnu ou dan!' lequel Je signal à délecte rdepend d'un vecteur de paramè tres aléatoir e de densÎlé de probabilité 1'(0), m de vrajsem Dans le premier cas. on peut recourir il unC' approch e de maximu blance généralisé:
Temps-fréquence et ùécîsion - une introduction
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et. dans 1e second, h une statistique de décision pondérée par la connaisl'unce fi prim"; relative au paramètre perturbateur:
Il en est ainsi si l'on considère par exemple que ,1'(1; Il) := ,1:01(1) [jxp{ fO}, avec {prO) 1/2,,; e = [-71', h)}, c'est-l,-dire que le signal recherché est détenlliniste, mais connu à une phasc uniforme près: on montre alors rWHA 7 J l que le détectcur devîent 1\(1') :x 1 (:r.1, l';?, ce qui rumènc à lu clas~e des déteclCurs quadratieJucs. Duns des cas plus généraux de paramètres inconnus, il est souvent dîfHdlc d'exprÎmer et d' interpréler le détecleur résultant d'un lissage par la densîté de probabllité, alors que l'approche temps-fréquence peut se révéler bien davantage informative, En effet, la « signature» temps-fréquence se transforme dans une LeHe situation ~elon:
soit essentiellement un (~ épaississement ,) de la signature nominale. De façon exacte [FLAN 881, si l'incertitude observée est induile pur une gÏf.iue CIl temps et en fréquence, c'est-à-dire si () := (T,.;), le détecteur devient ((CL(x,ce)(P), Ir,)), cxpression dans laquelle CLU) f;p) est, mutatis mtllmulis. J'analogue du symbole de Weyl, mais construit sur la distribution de la classe de Cohen de noyau de lissage pU, 1) (dans le plan temps-fréquence), en lieu et place de la distribution de Wigner-Ville de
noyau
priori très différents, En effet, si rOll suppose pour simplilier la présentation que CL(,,/1J )U./; Jl) 'x C"" (1, f; p), il est facile de se convaincre Ipur raison de eOlWOlution. cl évenluellement à une symétrie près) que "on peut permuter les rôles dcvolus
à la référence el à l'observation et que la structure générale de décision peut en fait s'écrire:
soil la stratégie initiale de comparaison avec la signature nominale, mais appliquée une version lissée de la dîstrlbUliofi de Wigner-Vi l1e de l'observation, le lissuge
~
s'identilÎant exactement au degré d'incertHude sur la localisation de la référence [FLAN 88, FLAN 981, Prendre ell considération celle incertitude permet donc d'obtenir un détecteur qui sc situe « entre j) les cas limites répertoriés dans le lableau suivnot
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Décision temps-rréquence
r(i,f)-r~ (pl
I
--_
l}(t! t'l(f) , H,1:~} 'l'll~l ; {!:;;rI!-,!I'I-\ (){t) 1 (lX"I',I RI') ,,(I)
L_l __
lyre de détecteu r Filtr~ adapté ~l.- déic~t:ur d' cllvc1!Jppc
COlTclaleurd mtCI1:'ilte Corrélatcur ùe densité speclmlc lIr"IIJJi'JI~L Dél~c",ur d~élle~g~ _ _.......~
:
J
flexibilité pour On voit ainsi que la fonnula tion lemps-f réquenc e offre une f::,ttnude d'un détecte ur suivi adapté (mtre hércnt scmi-co ur récepte passer contimÎmellt d'un d'énerg ie, corrélad'envelo p[le) à des récepte urs totalem ent incohér ents (détecte ur structur e unifiée. même el seule une cl' ur rintérie fi restant cn teurs d'intens ités), tout de Cohen trouve Que ces variatio ns sOlem constl1lÎles III fine autour de la classe nce par les covarÎti de principe son origÎne dans le fait que ceHe dernîèrc repose sur un été choisi avait 0 trcs lranstal ions en temps et en fréquen ce. Si le vecteur de parumè ant que moyenn , obtenus ins dîffércmlTIenl, des ré:mlaLs analogu es auraien t été néanmo transde groupe au rappol"l par l'on transpo se à des dusses de distribu tions covaria ntes du cas le ier particul en C'est formUlions induil par le nouvea u paramètre [SAY 961. des ft ce naissun donne qui le», couple « u'anslatiol1 en tcmps + change ment d'échel détecleu rs lemps-é chelle basés sur lu classe amne [SAY 95].
1.3.2, Chirps les-
Une calégor îe parlicul ièrcmen t importa nte de signaux non stationn aires pour ,;., c'est-ii- dire quels rapproc he temps-fréquence est pcrtjncn le esl ce11e des " chirps GAt) cxp{icp ,,{t)}, pour lesquels on admet que la des signaux de la forme ,"(1) e des oscillal ions variatio n de l'amplit ude n..,(1) ? () esl suffisam ment lente il l'échell
dernièr e puisse induites pur la phase l'.,.(t) pour que lu dérivée tempore lle de celte est que. dans ce sïntcrpr éh."fco mmc une fréquen ce instanta née I,,(t), L'idée de base dire se réduire èas, la signatu ré temps-f réquenc e du chirp doit être ( maire ". c'est-ftle plan s'identi fie esscmie Hement ù une contribu tion nOn nulle dont le support dans alors à recherc her fi I~l trajecto ire de fréquen ce instanta née. Détecle r un chirp n:vicll! une contribu tion cohéren te ct localisé e le 10ng de cctte trajecto ire, y aÎl adéquat ion Pour que ceUe intuitîon prenne tout son sens, il faut bien sûr qu'il ible d'cn suscept e réquenc temps-f tion enlre le type de chirp envisag é et la distribu unitaire tion distribu une existe s'il dire assurer la locaHsation. Si lel est le cas, c'est-àécrire: peut r,(I.)), on fl telle que 1',,(1, f) = A(I)
oU -.
({Pd), }) =
.1
A(I) {J,(U,(i)) dt
de la trajecto ire de d'ott un détecte ur qui sc réduit à une intégrat ion de chcmÎn Je long !réquen ce instanla née,
Tèmp,,~frfqucnce
et décision - une introduction
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Tl en est ainsi pour les chirps unimodulaires (1",,(I.)i = 1) de phase quudratique
1.3.3. Robustesse La détecIÎon de chirps offre un exemple simple de situation dans laquelle une approche temps~fféquencc offre un cadre conceptuel particulièrement bien adapté pour modWcr un I-écepteur optimal lorsque l'on s'écarte des conditions nominales pour lesquelles il il été cooçu.
Tolérance il
/"~fJet
Doppler
Considérons dans un premier Lemps un chirp de temps d'arrivée inconnu. 1.,,). et une distribution temps-fréquence (l, covariante par les transImions temporelles. La stratégie d'jntégration de chemin peut dans ce cas permettre cl' aborder le problème conjoint de la détection de cr( t) el de l'estimation de 10, selon:
,,'(i.) := l'o(f
io fU.gm;"cI A(l} (1. (1 + T,!,.,(t)) dl Dans ceUe perspective, la formulation lemps-fréquence de J'estimation optimale d'un retard permet une interprétation particulièrement simple lorsque l'ohscrvation est affectée d'effet Doppler (large bande). On !'uiL en effet que, dans le cas généraJ.lcs estimations de Laux Doppler cl ùe retard ne sonl pus découplées. ce qui conduit ù un biais slir l'estimation de ce demier si le Doppler est inconnu [TRE 68, WHA 71j. Par suite, la question se pose naturellement de concevoir des signaux qui soient tolérants. il l'effet Doppler, au sens où un taux quelconque de Doppler ne biaise pus l'estimation du retard, De tels signaux existent et sont caractérisés par tille fréquence instantanée (ou llll retard de groupe) hyperbolique [ALT 70. RIH 68]: l'approche temps-fréquence permel d'en donner une juslilîcmion géométrique très simple [FLAN 86, FLAN 94, FLAN 98]. En effet. un effel Doppler de taux 1) correspond" la lransfonnation du plan définie par i.I, f) ~ (1)1. fl11). Il s'ensuit qu'une estimation non biaisée du retard est tllors possible en utilisant la strategie mentionnée plu!'! haut (intégration de chemin) ü condition que hl distribution utilisée soil (i) covarÎan{c
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Décision temps-fréquence
par tnmslatlons, (ii) unit,tire (pour assurer l'optimalité) et {iiij IocaHsée sur la courbe laissée invariante par la transfonnution Doppler. Cette courbe étant une hyperbole. les trois conditions requises sont satisfaites univoquement par la distribution unitaire de Berlrand, grâce" laquelle le problème de lu tolérance" l'cffel Doppler reçoit une solution temps-fréquence purement géométrique.
Gabarit L'intégration de chemin est une fuçon intuitive de rneUre en œuvre un flltre adapté, le degré de ressemblance entre l'observalion et la référence ét<:lnt mesuré par le plus ou moins grand niveau de recouvrement des trajectoires associées. Duns le cas idéalisé d'une localisation parfaite, on voit que la réponse d'un tel détecteur est ., en tout ou rien ", le support d'intersection de deux courbes étant de mesure nulle dès que les courbes ne sont pas exactement superposées, el intinj lorsqu'clIcs le sont. Snns aller jusqu'à cette situation idéalisée, le point de vue tcmps-fréquence illustre de façon claire la chute de perfommnce du filtre aduplé lorsque la référence est mal connue ou )orsclue le modèle d'observation s'écarte des conditions nominales prévucs. Rendre rolmsle un détecteur à de tels écarts esl donc souhaitable, ce qui n'esl pas facilement fonnnlisablc au sens des stratégies usuelles (opér.mt en temps ou en fréquencè) mais s'envisage de façon très nuturcHe dans le plan. Considérons en erfet, pour Ilxcr les idées, le cas d'une phase quadratique T)2/2 + ((1 - T) + 'lM. avec ft = 0 111 ± ou, T Tp ) ± ()T, ou -encore E = Çm ± {jE., où 1)[1: E An', bT E Ar et â ç E â~ mesurent des écarts possibles au modèle nomÎnal (ct Il1 , rm , ÇHl)' Balayant J'ensemble des valeurs possibles de (\0. OT, o() E ilo X ilT X il;;. on Oblien[ en fait pour la fréquence instantanée v;(t)/21r un faisceau de droiles possibles pour la référence, en lieu ct place de la droite nomina1c unique f = {-If + ç. Assurer la détec[jon revÎcm donc il remplacer le chemin d'intégrLltÏon nominal par le dOITILline défini par l'ensemble des chemins possibles dans le plan. Ce faisant, on « élargit» en failla référence d'une quantité représentative du degré d'incertitude que l'on fi sur les paramètres mis en jeu, cc qui ramène, au moins conceplucllcmenL HU cas des hypothèses composites et LlUX détecteurs rcposunl sur des distrihutions lis~ées,
tpU) = 2îl(nU
llrUn /max
D'une manière plus générale. 11 est raisonnable de penser que rapproche tempsfréquence puisse offrir un cadre adéquat pour rendre des détecteurs véritahlement robustes, au sens pur exemple d'un critère minimnx IKAS 85], Quoique la théolie n'en soit encore qu'ébauchée, on peut. pour en soutenir l'lntuition. reprendre le cas simple éludié en [FLAN 89]. Le problème considéré eRt celui de la détcction (dans un bruit blanc, gaussien, centré, de densité spectrale de puîssancc No) d'llll lransitoire :dt) := n, cxp{-AI, + i27flot} 1 1°"'00;(1), d'amplitude
Temps~fréqucncc
cl décision - une introduction
31
([ E N(Or (T2) aléatoire, de fréquence centrale Jo connue mais de facteur <1' amortissement n > 0 inconnu, celui-ci étant distribué selon une loi de densité p(n) au voisinage d'une va1cur nominale an. Utilisant pOlir lu détection une smllstique simplifiée d'jnté~ h,'TIition sur la droite l = .IiI (slmtégie extensible aux chirps linéaires), on obtient: A(lY,.) =
r'" P(tîlF,(t,
Jo
,Ni) dl.;
P(i):=
r~ p(n) exp{ ··2ül} ,1"
Jo
Evaluant le contraste D(A) en sortie de ce détecteur, on peut alors muacher le problème posé à celui considéré dans lKUZ 76] et montrer que;
si le domujoc de variiJtion possible du facleur d'amortissement
(1"
est définI par:
Ce faisant, on voit que la prise en considération d'un uomaine maximal de variatÎon du pummètre fluctuant définit implicitement la runction de poids P",(i) ft utiliser de façon optimule dans le détecteur temps-fréquence, celui~ci héritant de fait des propriétés de robustesse de rapproche mînimax.
1,4. Partir du plan Comme cela a été dit dans r introduction. on peut imaginer, plUlÔt que de construire des détecteurs optimaux opérant sur le signal pour cn donner ensuite seulement une formulation lemps-fréquence équivalente, de prendre comme espace de représentation de départ le plan temps-fréquence lui~l1'lêmc, 1.4.1. Filtrage adapté temps-fréquence En se plaçant dans le cus où H s'agit de détecter un signal déterministe :r(t) dans un bruit lJ(l). formuler le problème dans le plan lemps-fréquence revient à écrire
[FLAN 89]:
Ho { H,
p,(iJ)
= (l/,(t, f)
f!,.(i, f) = !h .• {,(t. f)
Par analogie avec la théorie classique du filtrage adapté, l'idée est alors de construire une ~tafislique de décision basée sur un iiltre temps-fréquê'l1ce GU f). selon: t
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Décision
remps-ffL~uencc
de sorte qu'en SOil maximü;é Je contraste (ou rapport sigl1allbruÎl de sortie). Le problème ainsi posë se heurte il plusieur~ degrés de dillkullés et d'arbitraire. Il faul d'une part choisir, a priori, quelle: distribution ou classe de distribulions utiliser, dont il serail souhaitable d'autre part de maîtriser les propriétés statistiques, Bien que quelques résultats existent en ce qui concerne le deuxième point rDUV 99]. l'état de l'art acluel ne pennet pas de faire une lhéorie aussi aboulie que ùuns le domaine temporel (ou frêquentiel), On se contentera ici de signaler quclques résultats ct quelquc-s pistes, dans le CilS particulier de la classe de Cohen et d'un hruil d'observation blanc, Sur la hase de telles hypothèses, on peut en Fail montrer [FLAN Sg[ que:
argm'L"A(C,.;G) = C\ Lé
cc qui s'accorde avec l'intuition scIon laquenc le contraste est maxjmisé lorsque la réponse du filire temps-fréquence s'identifie à la distrîbution du ~ignal à détecter (concepl de .filtre adapté tCl1/fJ:i:/i'équcnce). Ayant trouvé la réponse optimale pour une distribution donnée à l'intérieur de lu classe de Cohen, il est possible d'envlsager un deuxième niveau d'optimisiltîon relativement au noyau ;p( ~l 7), Explicitant le conlrasle maximal (à y Hxé), on montre
alors que:
avec l'égalité pour toutes les distributlons (unitaires) caractérisées pHI' ulle fonction de paramétrisation tcHe que 19{~, T)) = }, Dans de tels ca};, le conlraste maximal est exactement égn1 à celui que l'on obtiendrait par un filtrage adapté (classjque) suivi d'une détection d'enveloppe, On peUL noter que ks speclmgrammes Sl: trouvenl de faH exc1u$ de cette situation d'optimalité, ce qui rejoint des remarques l'aites précédéminent et explique qu'une détection temps-fréquence il base de spectrogrammes néccK"Hc des procédures uuxiUaires de décol1volulion lALT SOJ,
1.4.2. Apprelllissage Lorsque le signai à détecter ne peul être considéré comme déterministe, on a dit précédemment que divers points de vue (contraste, maximum de vraisembiance) pouvaienl conduire II des statlsüques de décision de la forme Î\ {th·) ,x {(IEp.T' PI'J), e' està-din~ à ln comparaison d'une dislribution relative à J'obscrvatlon avec la moyenne d'ensemble de celles assoclécs au signaL Les difficultés soulevées par ce poiot de vue sont alors d'ordre lhéorique (dispose-I-on d'un modèle pour lu statistiquc ùes données, el de leurs distrîbutions 7) el pratique fco1l1mcntcslÎmcr la moyenne d'ensemble sur la base d'un nombre souvent réduit de sHuulÎons pouvant servir ft l'apprentissage?).
Tcmps-frêqucnce et décision - ulle inlroclucLÎon
]:)
Dans le cns de la distribution de Wigner-Ville, une solution il cc problème est de partir d'une structure linéaire imposée. sembl~lble à cene prévalant dnns le cas du 111tmge adnpté (emp~-fréquencc. On montre alors lruC 97\ que la rnaxirnisation de totlt critère (contraste. Fisher... ) ne faisant usage que de proprjétés de premîcr et second ordres de A conduil il une solution oplÎmale G(a), qui est paramétrée par un nombre D: E [0.1] ne dépendant que du critère choisi. L'approche retenue est alors de choisir la valeur Ct._ qui rninjmise la probabilité d'erreur du t.lélccteur. Cette optimisation n'est cependant pas satisfaisante â clic seule, caT on sail que les performances d'un détecleur construit pur appfel1ti~sage imposent d'adapter Si-l compJexHé il la laille des données disponibles (faihle capacité d'apprentissuge si la complcxîté n'est pas assez grande, faible capacité de généralisation si elle l'est tfOp). En d'autres termes, J'objectif vérilablc est d'optimiser conjoinlement le critère de détcclion clin complexl1é du détecteur, de telle sorte que la prohabilité d'erreur SOil minimisée. ft taille fixée de la basc d'apprentissage. Plu~icnrs stratégies sont possibles pour alleimlre cet objectif [RIC 98,,_ RIC 98bj, tlont Une consiste, conceptuellemcnt, i, tronquer un développement propre de G(O') de telle sorte que les composantes mises h zéro soient préféren-
tiellement celles qui induisent les plus faibles écarts par rapport il G(n,), L'idée de piloter une slatiSltque de décisîon dans le plan par apprentissage est récente et peut sc déclîner de différentes manières [ATL 97.1. On peut par exemple, plutôt que de fixer le choix de la rcprésematJün cl nplirniser la mesure Lie performances. prêTérer fixer cette dernière tout en faisanl porler l'optimisation sur le choix de la représenlation. 11 en es! ainsi dans le problème de classification (à deux classes) considéré en [DAV 981 J où choix est fah d'utiliser un critère de contraste de type Fisher ct des di~lributions de la clusse de Cohen, De manière plus précise, le critère choisi consiste à minimiser une distance întraclasse moyenne lmlt en maximisanlla distance interclasse correspondante. la distance ri étant de lype Kolmogorov et l'optimisation opérant sur la fonction de paramétrisation :y(Ç', i) des di;.;Ldbutions de Cohen (normalisées) CAf: f; v) d'un ensemble d'appreniissuge Xl ~< ~y~:
Une façon efficace d'assurer cette optimisation est de choisir pour :p(~. T) un modèle gaussien radialement symétrique.
1.4.3. RecOIwaÎssouce de formes Le dénominaleur commun de la plupufl des slratégies lemps-fréquence de détection étant de trouver dans lu représentation d'une observation un degré de ressem~ blancc avec une « signalure )) du signal il détecter, utilisée comme référence, il est tentant d'aborder le prohlemc en lermes de reconnaÎsHunce de formes..
:14
Dédsion temps-fréquence
réquencc D'une manière général e, il s'agit ùe réduire une représe ntation temps~f être compar és il ceux de référenc e à un certain nombre d'ultribul<:; qui puissen t ensuite un Hssez gr'lUd extraits de la représen tation d'une observa tion.ll y a nécessa irement meUre en relation, arbitrnire dans la séJec-lÏon de ces attribut;.; ct dans la fuçon de lef> large mesure les rendant difficile une méthod ologie uuHiée et eondîtio nnant dans une som dédiées. solution s proposé es aux applica tions particul ières auxque lles cnes
chirps, pour Le premier exempl e que l'on peut ciler est celuI (déjà rencont ré) des e, elles réquenc temps-f ire trajecto lesquels la « signatu re}) naturelle est celle d'une Illtrage de termes En loî. la décrire attributs associés les paramè tres permett ant d'en intéune à réduire se pouvait chirp un adapté, on a vu précéde mment que détecter issance reconna de termes En chirp. du e gration de chemin le long de la loi supposé considé rer chaque de formeR. on peUl adopler une perspec tive inversée, qui consiste à toutes les lois pour passage de l potentie poÎnl du plan lemps-f réquenc e comme lieu e la peme exempt (pur tres paramè dc.'; plan de chirp poss.îbles, puis à attribuer. danK le chirp d'un CUH le dans née, instanta ce fréquen et Pordon née il l'origjn e de la droite de c'est tion: dlstribu la de réè considé locale linéaire), un poids corresp ondant à la valeur tempsplan le dans Hough de mal:lnn transfor la transfor mation de Hough. ApplitJucr iu uvec un avanfrt"Cj1.lence fi été proposé pour différen ts types de distributions [BAR 95 J, sûr à leur bien lié 96J, [BAR s réalloué s "'ge tout particul ier pour les spectro gramme filaires. es structur grande capacité de locnlisntion sur des pararnétrîDans les cas où ]es struclllreK lilalfes ne sont pas adaptées, d'autres énergie s. des e sutions de surface s temps-f réquenc e sont po~sibles, via par exempl e réquenc temps-f des dates cl/ou des fréquen ces cenlnt1cs, évn]uées dans des fenêtres les lres paramè des locales. Etant donné une hasc ct' apprent issage. )a sélectio n du jeu a)or~ sur une optimis ation du repose ) pre5icrit critère d'un sens (au inants plus discrim un exempl e d'une choix de la rcnêtre (Cmrs~fréquenœ: on trouver a dans LGRA 98] d'Înform ation telle approche as:;:odanl la distribution de \Vigner-Ville ct le critère mutuelle. est élroiOn peuL enfin remarq uer que l'approche: pélr reconna issance de fonnes tempstîons distribu aux rclatir image)} « lemeol liéc 11 l'adopti on d'un point de vue e premièr La ues. fèt11Urq deux moins au fréquence IABE 91]. Cc point de vue appelle teur l'utilisa à Nouvent effet en e présenl se e est que. si une distribu tion lemps-f réquenc images du monde sous l'aspect d'une image. celle-ci compor te, par opposit ion à des maiion sous~ transfor la de trace porlant ation, physiqu e. un degré importa nt de slructur s et qui, itcment post-trn les duns rer d-intég difficile jacemc ulilisée. qu'il est souvent d du standar outil;;; des ité l'efficac irement nécessa ùans le cas oÎl 00 l'ignore . limite qualiesl ) image} « l'aspect si que. est e remarqu lnlitement d'image s. La deuxièm e par celle dernière tativem ent parlant pour une analy:>e hmnuine, la lisîhiHté demand ée point de vue D'un , décision d'tille lité l'optima avec ne va pus nécessa ircment de pair tions de la distribu des entiels interfér lennes aux élémen taire. il n'est que de songer sont h la qui ViHe), \Vigncrde tion dlstribu la e dasse de Cohen (comme par exempl
Temp ... ~fréquence ct décision - une introduction
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fois réputés altérer lu lisibilité et connus pour être néc-essalres à l'unitarité garantissant t'optimalité. Moyennant la prise en considération des spécificités du prohlèrnc, considérer une distribution temps-fréquence comme une image est néanmoins possible et ouvre ln voie il des procédures de décision basées sur des outils comme la détection de contours, Pcxtructton de lignes de crête, de pmtage des eaux. etc., qui peuvenl alors s'avérer très cflicaces d'un point de vue nigurithmlflue.
1.5. Bibliographie [ABE91J ABEYSEKERA R.. BOASI-IASH B" !vlctboJs of signal dassilkaLiol1 u!-.tng the images prodllced hy the Wjgl1er~ Ville dislribution j,. Paf(enJ Rec(lgllirio}l L('J{t'rs. vol. 12, p. 717-729,1991. H
[ALT 70J ALTES R.A" TITLEBAL!M E.L, " Bal siglmls as optîmaHy Doppler tolcrant wavcforms », lOI/mal oflhe Acous,'jco! Suciery 1!{Amcrica. vol. 48, n" 1, pHrtle:2, p. 101-i-1O:.!O. 1970.
fALT 801 ALTES R.A.. (, Detection. estimation and clussilkalion with spcclrog-nuns ,-~rlhc
». lOHrnaï
AcolIsJÎcal Society of America. vol, 67. nn 4, p, 123J~1]A6, 19RO.
[ATL 97J ATLAS L.. DROPPOJ .. MCLAUGHL1N J .• q Oplimizing tin1e-fn':i.lucncy dislributions for aUlOmalic classification 1', dan:; Pmcc('dings of.)'PIE, vol. 3162, 1997,
(BAR 95J BARBAROSSA S., « Analysis ur nonlîncar LrM signais by a combiued \Vigncrl-Inugh lransfomï j"~ IEEE Trtlll,H1ctioIlS 011 Signa! Processing. \'01. 43. n'-' 6, 1995, [BAR 961 BARBA ROSSA S., LËMOINE O., « Analysis of nonlinear FM signal:.. hy paHem recognition of the!r Lil1le~frcqllcncy represenl:l!ion >l, IEEE Signai Processiug Lelters, voL 3, n" 4, 112-115, J996.
r.
[BER 91J BERTRA~fJ J., BERTRAND PH f, A dass of affine Wigner fanction~ with extcndcJ eovmiance propcrtics " . .lormwf q{Marlwmaticai Physics. voL 33. il" 7, p. 2515-:2527. 1992.
!BOU 961 BOUDREAUX-BARTELS G.E. ,;; Mixcd time-frequency sîgnal trHnsformmiol1s ", dans Poularik:ls A.D. (dîr.), Ille Tramfnrws wul Appficmioll.;- [Jaudll(Jo!o:. CRe Press, Boea Raton. Floride, p. 8:29-8&5, 1996, ICAR 9Rj Ct\f(MONA R., HWANG H.L.. TorUfESANI ACl.ldemïc Press, San Diego. Californie, 1998. fCHA 99uJ CHASSANDE-MOTTIN E.. fLANDt\!N P.•
chil'ps )'./ipp'.
COllljJ. Hl/l'm. AlUl/..
B"
«(
Pract;ca17ïmc-Frcqucllcy Alla/ysis. On (hl' ljmc~freqllency dc!cctl0n of
vol. 6. n° 1, p, :!51-281, 1999.
lCHA 99111 CHASSANDE-l'v10TTlN E" FLAl"DRTN P., ., On the time-fre{IUem:y delcctllln of cl1irps anù Îts applil..'lIlion to graviwtional w~lves dans }'mcecdiugs of tIlt: Second HhrksflOp on Gnll'itaJiOlWl Hhve Data Aualysis, Editions' Frontières. Pari::;. p. 47-52. 1999, j'.
rCOH YII COHEN ES .. KADAMBE S" BOUDREAUX-BARTELS G.F.. ,'{ Tracking of unkown nonslationtlI)' chirp signais usîng ul1sUperViNeu dustcring in the Wigner di~ttibutiol1 sp<1ce )', IF:EE Tnmsactiolls 011 Signa! Pmcessing. vol. -+ J. p. 2085-3001. 1993, [COI-1951 COHEN L., Timc-FrcqucJJcy Aurtly:';i.ç. 1995.
Prcntkc~Hall.
Englcwoo-d Clirrs. New Jersey.
36
Décision temps-fréquence
[DAY 98[ DAVY M., DONCARLI C, «( Optimal kcrncls of LÎme-frequency representations for signal classillcation ll. dans Procccdings (?lrhe IEEE-SP IlIrcmatiO/wl SYlllposi/l1ll 01/ TilllcP'rcljllcllcy (//u/ Time-Scalc il/la!ysis (TFTS'98), Pittsburgh, Pennsylvanie, p. 585-588, 199H. [ORO 9R[ DROPPO 1., ATLAS L.. «( Application of classifler-optimal time-frequency Jistributions to speech signais », dans Prneeedillgs cd" the IEEE-SP I/Irematiolllll Symposilllll 0/1 Time-Freqllcllcy al/d 7ïlllc-Scalc Anolysis (TFTS'98). Pittsburgh, Pennsylvanie. p. 581-584, 1998. [OUY 99J DUVAUT P., DECLERCQ D .. «( Statistical properties of the pseudo-Wigner-Yille represe11lation ofnonnal nmJom processes ll, Signal Pmcessing, vol. 75, p. 93-98,1999. rESC 91[ ESCUDIÉ B., « Wavelet analysis of asymptotic signais-Part Il: A tentative 11lodcJ for bat sonar receivcr », Jans Meyer Y. (dir.) Wal'c!ets al/d Applicatio/ls, Masson, Paris, vol. RMA-10, p.18-37, 1992. [FLAN 86-1 FLANDRIN P., « Time-frequency intcrpretation of matched fllLering l', Jans Proceet/illgs (~rthc IEEE-Acadelllia Sil/ica Workslwp Oll Aco/lstic.l', Speech al/(l Sigllal Pmccssi/lg (WASSP'86), Pékin, République populaire de Chine. p. 287-290.1986. [FLAN 88] FLANDRIN P.. H A lÎme-frequency formulation of oplimum detcction ». IEEE Trallsacriolls 011 Acoustics, Speech and Signa! Processing. vol. 36. n" 9. p. 1377-1384. 1988. lFLAN 89] FLANDRIN P.. « Signal detection in the time-frequency plane )_', dans Proceedings (~r the lfi\C Workslwp 011 Ad"lIIlccd Inforll/arion Proces.I'ing il1 Alltoll/atic COllfrol (AIPAC'89). Nancy. France, p. 131-134, \989. [FLAN 94[ FLANDRIN P.. GONÇALVÈS P., « From waveJets to time-scale energy distributions H, dans Schumaker L.L., Webb G. (di!'.), Recel/t At/Fal/cCS in Wm'clet Allalysis, Academie Press, New York. p. 309-334. 1994. [FLAN 98] FLANDRIN P., Temps~rréqllcl/ce (deuxième édition). Hermès. Paris, 1998. Traduction anglaise: FLANDRIN P., Timc-FreqllcllcylTill/c-Scale Allalysis. Academic Press. San Diego, Californie, 1999. [FLAS 76] FLASKA M.D .. ({ Cross-correlation of short-lime spectral histories l). JOl/mal oftile Acol/srica! Society (~r;\lIIeriC{/, vol. 59. n" 2, p. 381-388. 1976. [FOW 91"1 FowLER M.L., SIBUL L.B., ( A unifled formulation for detection using limefrequency and lÎme-scale methods H, dans P/'Oceedings of thc Asilolllar Cml/erel/cc 011 Sigl/als, Systellls (/Jul ComjJlflers. Pacifie Grave. Californie. p. 637-642, 1991.
[FRT 911 FRIEDLANDER B.. PORAT 8., « Detection of transienl signais by the Gabor represenlation », IEEE Trall.sactÎcms 011 Acollsties, Spccch {Ind Signal Proccssillg, vol. 37. n" l, p. 169-180. 1991. rORA 98[ GRALL-MAi:s E., BEAUSEROY P., ({ Features extraction for signal classiflcation based on Wigner-Ville distribution and l11utual information critcrion ", dans Procccdillgs {~r the IEEE-SP llIleJ'//atiol1al SymposiulII 011 Time-Frequcl/cy and Till/e-Scate Analysis (TFTS'98). Pittsburgh, Pennsylvanie, p. 589-592,1998. [HLA 92[ }-}LAWATSCH F., BOUDREAUX-BARTELS G.E. « Linear and quadratic tÎmefrequency signal rcpresentalions ". Œr:E' Sigllal Proccssil/g Magazine. vol. 9. p. 11-27, 1992.
Temps-fréquence et décision - une introduction
37
[HLA 98a[ I·ILAWATSCI-I E, Time-FfequellCY Allalysis and SynthesÎ.\· (!(Lineaf Spaces: Till/cFfeq/lel/c)' Fil/crs, Signal Detection and ESlill1a/iolT alld Range-Doppler Estimation, Klu\Ver. Boston, Massachussets, 1998. [HLA 98bJ HLAWATSCH E, FLANDRIN P., ,( The inLcrference structure of the Wigner distribution and related time-freqllency signal representations l', dans MecklenbrülIker W.F.G., Hlawatsch E (die). The Wigl/cr Distribmion-TheO/y and App/ic(/tÙJ1l.l' in Sigllal Proccssing, Elsevier, Amsterdam, Pays-Bas, p. 59-133. 199H. flON 951 JONES D.L, SAYEED AM .• H Blind quadratic and time-frequency based deLectors l'rom training data H, dans Proceedillgs t?FIf/C IEEE Internatiollal COI!rcrellce on ACOllstics, Speech and Signal Processing (ICASSP'95), Detroit, Michigan. p. 1767-1770. 1995. [KAS 85J KASSAl'vl S.A .. POOf{ H.V., "Robust techniques for signal processing: A survey ), Procredil/gs IEEE, vol. 73. p. 433-481. 1985. [KAY 85] KAY S., BOUDREAUX-BARTELS G.F.,« On the opLimality of the Wigner distribution for delection )), dans Proceedillgs (~r Ihe IEEE llIfcnwtiO/wl CO/l/érellcc 0/1 Aco/fstics, Speech and Sigl/al Pmcessil/g (ICASSP'85), Tampa. Floride, p. 27.2.1-27.2.4, 1985. tKOZ 921 KOZEK W., (( Time-frequency signal processing bascd on lhe Wigner-Weyl work)), Signal Processing, vol. 29, n° l, p. 77-91,1992.
frall1c~
rKUM 841 KUl\.·IAR B. Y.K.V.. CARROLL C.W., « Performance of Wigner distribution funetÎon based de Lect ion I1lclhods )'. Op" Engineering, voL 23, n" 6, p. 732-737,1984. [KUZ 761 KUZNETSOV Y.P., « Stable detcction when the signal and spectrum ofnorrnal noise are inaccuraLely known lI, Telecoll1ll11lllications Radio Engineering. vol. 30:31, p. 58-64, 1976. [LAU 981 LAURENT H., DONCARLI C, i( Slalionarity index for abrupt changes deteclÎon in the Iime-frequency plane »,IEEE Signal ProcessÎng Leuers. voL 5. n" 1. p. 43-45. 1998. rLEM 95J LEM OlNE 0 .. Détection de signaux non stationnaires par représentation lempsfréquence. Thèse de doctoral. Université de Nice, 1995. [LI87] LI W.. « Wigner distribution Illethod equivalent ln dechirp Illelhod for detecting a chirp signal )j, IEEE Transactions 011 ACO/lSfÎCS, Speech (/lu! Sigl/al ProCCSSÎlIg, voL 35,1987. lMAL 971 MALLAT S., A Wm'e!et Tà/lr of Signal Pmcessillg, Academie Press, San Diego. Californie. 1997. lMAL 981 MALLAT S .. PAPANICOLAOU G., ZHANG Z., « Adaptive covariance estimation of loeally stationary proccsses »),AlI1w/s (~rSI(/tislic.\', vol. 26,1998. [MARI 91 J MARINOVICH N.M .. ROYTlvlAN L.M., « Signal/noise subspace decomposition for random transient deteetion ». dans Vaccaro RJ. (di!'.). SVD wul Sigl/al Processillg-Il: AlgoralllllS, Analysis alld Applications, Elsevier. Amsterùam. Pays-Bas, p. 391-401. 1991. lMART RSI MARTIN W., FLANDRIN P., « Detection of changes or signal structure by using the Wigner-Ville speelrul11 »), Signal Processil/g, vol. 8. n"1, p.115-233, 1985. [MAT 96J MATZ G., HLAWATSCH E, H Time-frequency formulation and design of optimal deteetors », dans Proceedings t?f'rl!e IEEE-SP Ime/1/{/tÎol/a/ SymposiulII 01/ TilJ/e-Frequew:y li/ill Time-Scale Al1l1lys;s (TFTS'96), Paris, p. 113-216. 1996.
38
Décl~ion lcmps~fréqtlent:e
[MAT 99] MATZ G., HLAWATSCH F"
<<:
Minimax robust time-frequcncy proccssing ". doms
oI
Pmcecdings llie IEEE lrt1e/1/afionaf Cm!{crencc Oll ACOlfStiCS, Specch amI Signal Pm~ ccssÎlIg {lCASSP'99). Phoc!lIx. Arizona. 1999.
[MEC 981 MECKLENBIÛivRER WYG., [-ILAW/o.TSCH E (ùir.). The Wigner Di.I'T/'Ï/mtionTI/cury antl Applications in Signal Pmccs,YÎng, Elsevier, Amsterdam, Pays-Ba:-. 1998.
fPAP 94J PAI'ANDnEOV A.. KAY S.M .. BOVIJREAVX-BAHTELSG.E." llIe u;;c ofhypcrbolic limc~ffCqucnçy rcprescnLiltlon;; for optimum dctcction and panunclCr estimation ofhypcrbùlie chirps 'f, i.lans P/'occedings a/fiu: IEEE-SP {wC/'IJ(f{ifJIw} Symposium on Time-Fn'C}lIeJfc)' {/Ild Tiuw-Scale tlualysis (TFTS'9..f.), Philadelpbie. P(~nnsylvnnîc. p. 369-372. 1994.
rPAP98J P'\PANDREO!J-SUPPAPPOl.A A.. I1LAWATSCI-I F" BOL"DREAUX-BARTELS G.E. "QlIudratîc time-frequency reprcsenhltions wilh sCille covariance and genenllized timc-shif! covarÎance: A ullil1cd fmmewürk for Ihe ilfîlnc. byperbolic, and power classes ", Digital Sigllai Proccssing. vol. 8. p. 3-48. 199ft LPOO 881 POOR J-J.V.• An bumducfioll {o Sigmd [)c/ecr/rm l1Iul Estima/hm, Springer~ VerIag.
Ne\\' York, 1988. fRAV 981 RAVlEI{ Ph .. AMBLARD P.-O., {( Denoising using wavclcl pnckets und the kUrlo_"is:
Applicmîon to trnnsicnt detection ", dnns Pmccedil1Jj,Y (~f'thc /EEE-SP fJJten!atioua/ 5»'111[1OS!UI/I (ln Tif1T,,-Fn-'fIUell(V aud Time-5J'cale AlltJ/ysis fTFTS'98). Piushmgh, P\.~nnsylvanic. p, 625-628, 1998,
c..
[RTC 91'1 RICH ARD LENGELLE R.. " Une nouvelle approche pour la détection linéaire optimale dans le plan Lemps-fréquen"e ji, dUlls ACf(!s dH sd:iclIU! colloque GRETS'I. Grenohle, p, 659-662, 1997,
[RTC 98<1] RICHARD C., lENGELLÊ R.," Structural ri:;:k minimilation for redui..'ed-biüs IlllJe~ fn::quency bascù detcctors design ~', ùans Proccctlings q{l!W IEEE lntcnlaûmw! COllference on ACOllstics, Speech and Sigl/al ProcessÎl1lJ (ICASSP'98). Phoenix.. Arizonn, p. 2397~2400, 1~98,
[RIC 98b! RICHARD
c., LENGELLE R.• (, Two algorithms for dcsignÎng optimal rcduccd~bias
data-drivcn tilllc-frequcncy dctectors )', dans Pmcecdiugs (~r the IEEE-Sr lntcmarùmal Symposium on Tilllc-Frcql/CI/cy al/d Time-Scalc Amiiysis (TFTS'9l·n. Pittsburgh. Pennsyl~ Vill1ic. p. 601·60-+, 1998. lR1H 681 RIHACZEK kW.. Princip/es q{' High-Reso!wioll Radar. ML'Grmv·HiIl, New York. 1968, tRIO 921 RIOüL O., FI.ANDRIN p., {( Time-:;:cale energy distrihutions: A gcneral çlass c:xlending wavclel1ransforms h, IEEE Transactions {)II Sigllal Proccssing. vol. 40. Jl" 7. p. 1746~ 1757.1991. (SAY 95J SA YEE)) A.M .• JONES D.L.• "Optîmal dctcction using hilincar Limc~rrequcm:y and lime-,>cale rcprescntaLions if, IEEE Transactions 0/1 Signal P/'oct'ssing, voL 43. n" 12:, p. 2871-2883. 1995. EITalUI11: IEeE 7/Ymsacriolls 011 Sigllal Proccssj,!};, val. 45, n" 3, p, 761-762, 1997. rSAY 96J SAYEED A,M., JONES D.L.. " Optimal quudrmic de!ection amI estimation u;;Jng gcncrulizcùjoint signal rcprcsentations ".IEEE n'(lIIsactirms 011 SigmA PlVcf!ssing. vol. 4·4, p,2:959-2970, 1996.
Temps-fréquence et dCclsion -
tille
introduction
39
tSEN 031 SENHADJ! L. SHAMSOLLAHr M"
" Une upplkalion en biontédical: signaux SEEG )), dans OOHeurii C, :Vlartin N. {die'l, Dicision daIM 1(' fllolltcmfJs-frêqllcliCt', Hermès. Pari'i. 2003 (ce volume).
[TRE 68.1 VAN TREES HL .. Detectioll, EstimOIio!l (lfIll Modllimioll T!œm)'-PfII1 1. John Wile)' und Sorts. New York. 19h15. rWAN 981 WANG!'v1" CHAN A,K,. CHU! C,K., " Lincar frcqucncy-modulmcd signal deh:t:!lon using Radon-amhiguity lmTisform )'.IEEE hausacthms ou S(l(llal Proas:dllg, voL 46.n ü 3.
p.571-586.1998, rWHA 71 J WHALF.N A.D., Signal DeJecfiU!r in Noùe, AC
. New 'York. 197!,
ChapitTe 2
Détection de non-stationnarités
2.1. Déteetion de non-stationnarités il l'ordre 2 1 Détecter Wl phénom~nc 110n stationnaire dans un signal est un problème courant dans de nombreux domaines, la nature étant plus fréquemment 110n stationnaire que stationnaire. Le problème posé par le traitement ùe ce type de signuux Il 'est pas simple
et chaque méthode proposée tiendra compte d'une propriété plutôt que d'une autre, Un processus est stationnaire au sens strict si la loi de ce processus est invariante quelles que soient les translations temporelles. CeHe définition est cependant très sévère et nons nous limiterons à une stationnarité d'ordre Il fini, condüion plus faible
qui nécessite la stabîlitè des moments d'ordre 1 il ri ÙU processus par rapport au temps. Nous sous-entendons par ces détïnîlÎons l'ergodisme du processus, soit l'égalité des moyennes temporelles et des moyennes d'ensemble. propriété que nous admettrons a priori [ROU 70J, La propriété de stationnarité est, par définition, adaptée aux signaux aléatoires. Une application slricte de cette dé(jnitl011 sur un signal détenninistc conduit li des ronctions constantes, ce qui n'a pas beaucoup d'întérêt. Brillinger [BRi 81] propose une détïnitÎon de <( stationnarlt6» plus souple. JI ne s'agit plus d'une invariance temporelle mais de l'existence d'une relation simple. analytique et non divergente entre les différentes dates du signal. Cette d6rinition traduÎl le fait qu'un signal déterministe sera considéré comme «( s{ationnaire ») si les paramètres quî définissent celte rclntîon sont invariants, Les vurÎatîons de la fonction d'uutocorrélnlion sont représentatives de certaines de ces variations. !. Section rédigée par Nadine
f\/lAlfnN
et Muuhicu Dt;RNER1N.
42
Décision telTlps-fréquence
contrôl e de Dans ce context e. une mesure de la stationnarité se résume ,[lU Cependunt. temps. au rapport par L'; proCCSSt rinvaria nce des propriétés statistiques du moyen de un définir de et îl cst nécessaire de Jïxel' une échelle d'obser vation é consiste souhait if contrôle de l'invari ance des momen ts. Dans ce chapitre, l'object le signal dans es à connaître la localisation tempore lle des non-stationnarités présent basé sur est ainsi que leur locaHsation fréquentielle. A cette tin, le détecteu r proposé réquence. Se une vuriation du momen t d'ordre :: du signal dans le domain e temps-f complé tée par lîmüer au seul ordre .2 est restrict if et la méthod e proposé e doit être Nous en dirons des détecteurs construits sur des momen ts d'ordre supérîeur à 2. quelque s mots en fin de chapitre. phénom ène Lu melhod e proposé e ne s'appui e pas sur un modèle du signal ou du J'avantage a dIe précisé. non stationnaire recherché, Dans le contexte qui vîent d~ètre le type soit que d'être sensible aux évolutions du signal au cours du temps quel la résolution de d'évolu tion et quelle que soit sa durée, Ù punir du momen t où modulé s en l'estima teur temps-f réquenc e choisï est suffisante. Tral1sitoires~ sîgnaux niste détermi ante compos d'une on dispariti ou lréqucncc. ruptun."S fréquentielles, an1véc tions modula Les e. approch cette par ou aléatoire sont des événem ents détectables e s'appliq ue d'ampli tude seronl par contre mal détectées. La lT'Iéthode proposé t insuffisunl. révèlen se lorsqu'u n simple lest du Cusum ou un détecteu r d'énerg ie optimale, être pas ne Robuste et automatique. cette méthod e a pour inconvé nient de aucune înfonna tion fi priori n'étant disponible. réquenc e Le détecte ur proposé est défini à partir d'une représentation temps-f . Tl est glissant ramme corrélog d'un estimée à partir d'un spectro gramme ou ons résoluti Les connue. est adaptable il tout estimat eur dont la loi d'estim ation en nt intervie r l.:!1TIporeHes et fréquentielles sont celles choisies li priori. Le détecteu teur l'estima de post-tra itement après l'étape d'analy se et exploite les propriétés proposé dans le lemps-f réquenc e choisi sans interagi r sur celuÎ-ci. Ce délecteu r a été arité d'un sigl1al il context e de l'opérat ion Aspect dans le but de cenll'ôler la stationn analyseurs. de des chOIX le justifie qui ce . une échelle d'obser vation non critique Fourier glissants [DUR 99, MAR 02].
2.1.1. Test d'!typotilèse tians le phm temps-:fréq/lcllce l'hypoth èse La théol'le de la détection binaire consiste li accepte r ou rejeter basc repose sur d'appar tenance d'une observation â un espace donné. La théorie de risque ou coût le laquelle pour e optimal e la stratégie de Bayes [TRE 68], stratégi du sigml.l, les nt traileme au ées Appliqu é. moyen des situations possible s est minimis [ARQ 82]. lles tempore s donnée hypothèses ont d'abord été fonmtlées â partir de ant de intéress être peut il , Lorsque l'hypoth èse de statimmurilé n'esl pas vérifiée
Détectlon de nDn-stationnarités
43
construire un modèle de décision dans un espace plus adapté à la décision de phénomènes non stationnaires. Une formulation du détecteur binaire~ équivalente en fuît au principe du I1ltrage adapté. a eté élnboréc à partir du spectrogramme par Allès en 1980 [ALT 80] cl à partir de la distribution de Wigncr-Ville par KUl11ur el Carroll en 1984 [KUM 84]. Les conclusions de ces derniers sont déjà très explicHes quant ô l'égalité des perfoffi1unces entre un dék'Cteur temps-fréquence et un détecteur temporel. Kay et Boodreaux-Burtels [KA Y ES] el Flandrin [FLA 861 ont repris ces trnvuox en 1985 et 1986. Marinovich [MAR 91] il proposé one formulation qui repose sur une décomposition en valeurs singulières d'une représentation temps-frèquence dans le but d'ex1raire~ dans le plan temps-fréquence, les composantes associées au bruit. Lcmoinc a montré les limites du détecteur temps-fréquence optimal [LEM 95]. Matz et Hlawatsch [MAT 99] proposent un détecteur" hypothèses composites formulé dans une région du plan temps-fréquence. Les connaissances CI priori nécessaires sont obtenues C:l partir d'un ensemble d'apprentissage, Richard et LengcHé [RIC 98J proposent un détecteur linéaire performant qui élimine la redondancc présente dans une représentation de W igner~ ViB;;;. Friedlander et Poral [l'RI 89, POR 93] ont proposé lin détecteur de transitoires basé sur un test du maximum de vraisemblrmcc. Ce lest csl « localisé }) dans le sens où il examine une partie des coeflicîents de la représentation tcrnps-fréquence (RTF), Ces stmctures non optimales ont l'avantage d"être adaptées à la nature des transitoires et d'exploiter le plan temps-fréquencl! contrJirement aux détecteurs temporels.
Dans cette section, basée sur k même principe, nous proposons un détecteur qui tente d+exploiter la localité du plan temps-fréquence. Par contre, le contexte est différent étant donné que nous souhaitons définir C~ détecteur il partir d'un minimum d'informations ({ priori que cc soit sur le signal stationnaire ou sur le signal non stationnaire ù détecter. Ce lypc de situations est fh!quent dans les applications et il nous a semhlé importunt de proposer un détecteur nécessairement moins performant qu'un détecteur ad hoc mais qui a, par contre, l'avantage d'être plus général avec néanmoins des performances intéressantes. Le signal observé vérifie rune des deux hypothèses suivantes: - hypothèse Ho : le signal est uléatoïre et stationnaÎre à puissance moyenne finie~ éventuellement additionné d'un signal déterministe «stationnaire H. sa densité de probabilité es! notée Po; ~ hypothèse Hl: rejet de l'hypothèse Ho. le signal est non stationnaire par morceaux. sa densité de probabililé cs! nOlée Pt.
L'absence d~inrormation sur la nature des composantes non slationnaires ne penm::t pas de calculer ln structure optimale d'un détecteur au sens de Bayes
44
Décision
temps~frèqucnce
[PRO 89, SAP 90, SPA 73, TRE 68, WHA 71], la densité de probabilité Iddp) de l'observation sous l'hypolhèse HJ, PI, est inconnue. SOliS l'hypothèse Ho où le signal est stationnain:, la forme de la ddp du signal. Po- est connue mais ses paramètres sont inconnus. Nous proposons un détecteur récursif basé sur une estimation itémtive des paramètres de Pu et constntit dans un espace des observations défini dans le plan temps-lréqueoce. Afin de préserver la localité temps-fréquence. la statIstIque du détecteur est définie à partir d'un seul coefficient de la RTF. Le détecteur proposé sera donc non optimal cl double titre~ il a par contre J'avantage d'extraire en temps et en fréquence des composantes quelconques non stationnaires par morceaux en fournissant la localisation temporelle et fréquentielle de ccs non-stationnarités. Les loîs a priorÎ des observations et les fonciÎons de coüt de chacune des décisions étanl inconnues, il est néanmoins possible de calculer le seuil de détection à parlir d'une probabilité de fausse alannc fixée. Seule la 101 sous Ho cst alors nécessaire. Cc seuil est adapté à chaque itération. Pour éviter une sensibilité au choix de celle probabilité, le détecteur est appliqué pour plusieurs valeors de la probabilité, ce qui fournit en fin de compte une classification des points détectés. ConsidéroDs un sigoal temporel discret réel r[k], de N points, de RTF Pr[k.vJ, élément de 1(2. \' étant la fréquence nonnaiisée par la fréquence d'échantîHonnage fc> L'espace d'observation, noté Liv) est un ensemble de poiuts de coordonnées (k,v) tcl que Pr[k,vJ exisle et v est égale a une constante. C(v) est donc détini dans l'espace lemps~fréquence par une coupe de la RTF d la fréquence v. Sous l'hypothèse Ho. l'espace des observations nolé CHo (v) est défini par:
avec PPriHo la ddp de l'observation Pr [k, v] sous I~hypothèse Ho· L'espace d'observation sous l'hypothèse HI, noté C1I,(v), est le complémentaire de 1:11,,(V) dans 1:(v). Nous pouvons remarquer 'lue les coefficients de CHo(V) Ile conespondent pas forcément ù des segments du signal consécutifs temporellement. A la fréquence v, la slfitistique de décision entre les hypothèses Ho ct H, est définie par: HI
> Pr[k,v] < 11pli'[V]
Ho
[2.2]
Détection de
non~sl
45
Si l'hypothèse Ho est rclenue. le coeflicienl Pe[k.v] "ppartient fi Lrr,,(V) et décrit une punie stationnaire du signal. Si l'hypothèse Hl esî retenue, le coefficient Prfk,v] appartient à CUi(\') et décrit une partie non slationnuire du signal. Le seuil de détection l1Pül[V], fonction de la probabilité de fausse alarme Pfa choisie. est calculé par inversion de lléquation : +;;c
J Pu(,) ds
pfa =
111'1;,f
[1.31
vJ
Le seuil Il!lfafv] et respace LHo{v} dcpendent de Po. Nous verrons dans le paragraphe suivanl que celte loi dépend de la quantité E(Prfk,\'JJ qui est inconnue. A partir d'une estimation initiale de E(Pr[k,v», nous proposons une application itérative du détecteur défini en [2.IJ. A chaque itération, respace d'observation LH,,(V) ct le seuil 11Pn,[V] sont mis à jour en fonction du résultaI du tesl. Le test converge lorsque l'espace Lllo(v) se stahilise. Pour expliquer le test, nous définissons les hypothèses restreintes suivantes:
- hypothèse H~l : signal aléatoire stationnaire gaussien il puissance moyenne tlnie : - hypothèse
H; : rejet de l'hypothèse H~.
Le paragraphe 2.1.2 explicire la ddp du signal sous l'hypothèse Hô puis sous l'hypothèse Ho. Dans le paragraphe 2.1.3, il esl proposé un calcul du scuill1rll,[V] qui justifie le détecteur itératif détaillé dans le paragraphe 1.L4. L'algorithme est ensuite i11ustré sur un signal académique dans le paragraphe 2.1.5, Dans le paragraphe 2.1.6 son1 présentées des appHcations sur des signaux réels,
2.1.2~
Densité (le pro!JabWté tlu périodograml1lt! SOli,,)' Hf!
Sous l 'Ilypothèsc Ho- le signa 1 r[k] est un processus stationnaire, gaussien. blanc. noté b[k], de moyenne nulle ei de variance cr1, éventuellement additionné d'un signal clôterm;nisle discret d[k] : k:I,N
[2.4]
La RTF Pr[k,vJ. calculêe à parlir d'un spectrogramme ou périodogrummc gHssant, s'éc-rÏt:
Decision temps-fréquence
46
Pr[k,vl~
1
[2.5]
Nr
avec fIm] I"nêtre temporelle de Nréchantillons. N r < N. S011S l'hJlmthèse Hô, le signal est égal ù b[k] et suit une loi norma\e /Il (0, al). Si la tènêtre h,:mporellc d'analyse tIm] du spectrogramme cst une renêtre rectrmgulaire. le coctlicielll lemps-lréqucnce de b[k] à la fréquence v, noté Pb[k,\'l ct défini comme dans [2.5], est une vari.ablè aléatoire proportionnelle à une variable aléatoire, X7" qui suit une 10i du X'2 à ( degrés de liberté, avec un coefflcÎent de proportionnalité égal à a. (32/L La loi de pb[k,v] est ainsi une loi gamma: r( e/2, cr 2/e, Ol [JOH 95].
Nous pouvons écrire: pour v if; 0 et \' 7:--1/2
[2.6J
Celle équation détermine la ddp Po' du signal sous rhypothèse Ho:
.
Po' ( p)= avec
gxi
1
[2,7J
a
la ddp de la Ini du
Û.
Connalssunt la loi, nous pouvons déduîre l'expression de tous les moments du processus Pb[k,v] et, en particulier, la moyenne E(Pr[k,v]), la variance Var(Pb[k,v]) et la variance normalisée Vam(Pr[k;v]) qui s'écrivent:
[2.81 [2.9]
1 (
[1.10]
Détection de non-slationnurites
L'équation [2.8] pennel d'exprimer le coefficient de proportionnalité a fonction de la moyenne de l'estimateur:
47
cn
[2.1 1]
Ho;
Sous la variance n0011ullsée de Pblk,v] est une camctéristi{)ue de Pestünaleur indépendante de la variance du bruit b[k]. Pour le spectrogramme non moyenné, Vam(Ph[k.v]l vaut toujonrs 1 quelle que soit la lenêtre d'analyse [DUR 99]. D'après [2,J 0], le degré de liberté { de la loi du coefficient du spectrogramrne vaut2 quelle que soit la fenêtre d'nnalyse fIk], d'ou a = (j212. Nous relrouvons ainsi des résultats bien connus: Ph [k,vJ =
C; :d. E(Pb[k.v])=,,'
Var(Pb [k,v]) =
,,4
Si Po[k,v] est un corrélogramme pondéré par une fenêtre temporelle g[m] de durée Ng, l'équatÎon [2.6J est une approximation. La variance nonnalîsée, calculée
dans [DUR 99], n'est plus unitaire et le degré de liberté l'eN est un réel déterminé à partir de [1.10] :
2
[2.12]
Sous l '/(lpothese Ho. au bruit gaussien blk] peuL s'ajouter une composante dêtcrministe d[k]. Dans ce cas. le processus x[k] suit une loi gaussienne J\I1dlk], ,,2) de moyenne non nuUe égale à x[k] et de variance 0'1. Alors, le coefficient Pr[k,v] est proporlionnel à une variable aléatoire X?(6) qui suit une loi du X1 décentrée il {" dCbrrés de liberté avec un paramctrc de décentrage ô fone!ion du rapport signai il bmi! [DUR 99. HOR 02, lOH 95, WHA 71]. Soit:
[2.13]
li
avee li = [ Pd [k, V Pb [k, v] et pd[k, v] le coefficient du spectrogramme du signal délem,iniste d[k]. Le coefficient de propOltionnalité ", identique au eas bruit seul, est défini par [2.11].
48
Décision lemps-fréquence
Cette équation définit Po dans le cas où un signal détermlnis1e « stationnaire » s'ajüllte au signal aléatoire. L'hypothèse Hf; en est un cas particulier avec ù = 0, A partir de la fonction caractéristique d'une loi du 7~2 décentrée, il est possible de calculer les moments de celte loi [JOB 95] qui s'écrivent: [2.14]
Var(Pr [l, v]) ~ (1" (]( +43) Var(Pr[l"v]l ~ (2f+45)
(E(Pr[k,v]))" ~ (I+I))"
[2.15]
[2.16]
POllr le spectrogramme [2.5] calculè avec une fenêtre d'analysc [[m] rectangulaire. le degré de liberré r vrll1l.:?, et nous avons:
[2.17]
Pour les a1l1res estimateurs, l'équation [2.13] est une approximation qui n'est correcte que pour de très faibles rappolis signal à bruit fDUR 99]. Pur rarport au détecteur présenté dans ce chapitre. il est importunt de remarquer que la variance normalisée sous Bo définie par [2,16] est toujours inférieure à la variance normalisée sous Hô définie par [2.10].
2.1.3~
Seuil lie (létectÎOI1IIIl test temps-fréquence
Le seuil du délecteur cst défini par [2.3]. Sous Hô, il dépend de la densité de probabilité
Pu~
définie par [2.7] qui, intégrée dans [2.3], perl11et d'écrire:
Détection de non-stationnarités +70
+~
J
Pfa
4tJ
'l!'", ["1
J. gz; ( u) du
dp =
a
)·l'f
[2.18]
r\' ]""T11'1:1 [\' lin
uvec ÀPliJ[V] un seuil calculé uniquement à partir de la loi du X7- Celle équation nous montre l'intérêt d'avoir écrit la loi gamma des coefficients de la RTF proporlionnellement à une loi du 7..2 En effel, le seuil )'Pll,[V] ne depend que de la probabilité de fausse alarme choisie Pfa cl que du dcgrê de liberté t de ,'cstÎmnleur. Le seuil ilPf
uvec o. défini par [2.1 J]. Le lerrne a. dépend de E( pb[k, v]) que ce soit sous les hypothèses Hu ou
Ho. Nous
proposons d'cstîmer celte ql1antite Ù panir de la moyenne des coefficients appurlenant à LHO(V). moyenne notée Il[Y] et qui s'écrit: 1 fl[V]~
P
l
p,[k,v]
[2.20]
k! Pr[k,\, JGLtl a (v)
avec P le nombre d'élémenls de LH o (v). Finalement, le lest [2.1] s'écrit en intégrant [2.1 Il, [2.19] el [2.20): Hl . . st retcnw.: p,lk, "1 E Cft: (v)
p,[k.v]
:>
<
[2.21]
Ho est retenue
p,[k.vIEL",,(v)
filvJ
avec délin; par [2.20] et le seuil ÀPfn[V] défini par inversion dc l'équation [2.l8J et dépendant uniquement de lu Plà choisie a prIOri et de la loi du de
degré ( :
SU
Décision tcmps-rréquencc +:1)
pfa :
l
i·!'ti! [
[2.22]
g, (u) du
• Xl
VJ
utions perm et de détecter tout es )cs estÎm A chaq ue fTéquence v, l'alg orit hme ale initi èse Hf). Ce test peut ètre ètendu à l'hy poth Pr[k,v] qui diffèrent de l'hy poth èse he grap pam le déte nnin istc du slgnaL En efret, Hn sans con nais sanc e de la partie est Ho èse la variance nom1allsée sous l'hypoth :2.1.2 fi mis en évidence le fuit que té de fausse sous Hô, Ainsi, sous Ho, la pl'obabiH toujours inférieure à cetle obtenue Cette èse que celle calc ulée sous l'hy poth ulamle effective serait plus faible posantes signal déterminÎste dont les com observation reste vUlable pOU f tout cours du temps. spectrales ne sont pas modifiées au
Ho.
2.1.4. Test tel1lp,\'~fréqlleIlCe récu rsif l'en sem ble la con nais sanc e de l'lv] donc de Le test défini par [2.1 1]l'e pose sur ation itérative de cel ensemble. .cHo(v), Nou s proposons une estim ons .ci"IQ(V) une itération i de t'alg orith me. Not Sup poso ns connue cette quantité à moy enn e des pi pi le cardinal cie qi/V ), I,i[v] la l'en sem ble EHo(v) à l'ité ratio n i, 41"(V) dan s 0] el ClI, (v) le complémentaire de éléments de [[I,( V) définie par [2.2 [(v) .
[2.21] pou r ] l'cu nel d'ap pliq uer le détecteur Ln con nais sanc e de la moyenne ,,![v l'ité ratio n r les ensembles C~o(v) ct Cii}v} pou une pra don née ct de mettre à jour suivante, soit ;
c;;;(v)={p,(k,vll
p,[k,v]:;; .zÀpf.<[V]
~li[vJ}
[2.231
~7,1 (v) ~ l:(v )-~~,: (v) et;
L:
Pr[k,v]
[2,24]
k i p,rk.vl E L1;~ (v)
ble l:tlo(V), est défini par la stabilité de l'en sem Le critère d'an 'ét il une itémtion 1 és: ce qui dén nill cs ense mbl es rech erch
Détection de non-slationnarités
[11 11
(v)
Li 1" (v)
/ l'itération
vérilie
L'il
ll
(v) = 4~: (v)
51
[2.25]
Cette relatîon implique nécessairement la stabilité de l'ensemble complémentaire. d'où: [1.16] avec l'indice l délini par [1.15]. 11 ne reste pius qu'à initialiser la procédure, Nous propn~mns dïnitialiser l'ensemble dl-,o(v) par les p % coefficients Pr[k,v] de plus faible valeur confonuément à l'équation [2.1], la valeur p étant fixée (f prÎori, La moyenne IlO[V] de celte itération initiale risqne d'être biaisée par rapporl à E(Pr[k,v]). En effet, $1 à la fréquence v le signal n'est constitué que d'un bruil blanc stationnaire.1Jo[v] va sous-estimer E(Prlk..,v]). qui n'cst calculée qu'à partir des coefnc:ients de plus faible valeur. La probahJHté de fausse alarme va être supérieure à celle désirée. Dans le cas opposé où plus de p % des eslimations son1 non stationnaires, la moyenne initiale fLO[ v] risque de surestimer E(Pr[k, vl). Ln probabilité de délecliou va être infédeure à celle altendue, Dans les deux cas, aux itérations suivantes, la moyenne est ajustée, Je nombre de fausses alarmes diminue tandis que la probabilité de détection augmente. L'algorithme de détection est illustré sur le dingramme de la figure 2, L t
Le résultat du critère est ulle carte temps- fréquence, DetLx cartes sont possibles suivant le typé de classification souhaitée. Pour la première carte, les éléments de LH!!V) sont codés en couleur suivant la valeur normalisée Pr [k, v]/U-<)i\.Pf;! [v]p 1[v] maximale en L Les éléments de
C~IH(V) sont codés par
la couleur blnnehe, Pour la deuxième carte possible, les éléments de l'enscrnble C(v) sunt classés selon la probiJbilité de fausse alamle nécessaÎre à les détecter pour la moyenne ~{Ifv] obtenne lors de la dernière itération. Notons P, cette probabililé et flpc lé senil obtenu pur inversion de [1,22] pour la probabililé Pc. Cette probabilité est à distinguer de la pra utilisée pour l'algorithme récursif dans le calcul du seuil )~pra' La classe notée CI (Pc ~ P < Pc+ I) contient les éléments des ensembles [,(v) qui sont détectés pour une probabilité P compdse entre les deux valeurs Pc et PL,+[, ce tlui s'écrit:
Déci5ion
5.2
CI (p, 0;;
lemps~jréqucnce
r < Pc+1 )
~
[2,27]
[PC [k, v] EUL( v) 1(y,:)Br,,/ [v] 0;; Pc [k, v] < (y,:)PrJ, 1[V]l
,
J
\'
~,I
1 Signnl;-.J pOlllts 1-
Temps
.
t Analyse temps-fréquence Spcclrogramme
oU
com:logmmmc
L:(v) ~ ((!;,v) 1 k ~ LOi!
1
lnïtiali~lltion à p '~ô
1
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: C7! (v) "'" lik,v)! Prrk.vl min ci Po
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çnr:ù(LP (v) = N plI 00 l
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Délcctinn
M ~ {(Ie,v)! p,lk,v! < l
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...._~--~--,
Temps
figure 2.1. Diagramme du critûre cledélection de 1wn-S/ofiOIl110rités dmls le plan feJlt!,.\'-;li'équcl1cc
DèleClÎon de non-stationnarités
53
Ce classement tlnal penne1 de discriminer les non-stationnarités détectées en Fonction de lem probabilité de détection. Les pl'ObabiHtés Pc ne doivent pas être trop grandes au risque de sotls-estimer E(p,[k,v]) et d'obtenir "li finul des probabilités de fausse alarme très supérieures il celles désirées. Dans les exemples décrîts dans les paragraphes Ruivants, nous avons choisi une telle représentation avec une classification en cinq classes définies par:
-ciasseO: CI(P=IO-l): classe 1 : CI( 10-3 cS P < 10- 2 ):
-c1assel: CI(IO-4 ';P
clusse4: Cl(P=IO- S).
2.1.5. Influellce lte l'estimateuI" temps-fréqueJ1ce Si l'estimateur temps-fréquence est un spectrogramme. il est recommandé d'utiliser une fenêtre d~apodisatjon pour limilcr l'influence des lobes secondaÎres. Une fenêtre de Blackl11un pemlet d'atteindre au mieux cet objeclif [DUR 99]. L'influence des non-stationnnrités est ainsi limitée cn fréquence. Un décalage entre segments de 50 O,,{I peut être utilisé toUl en considéranl que les différenls segments sont encore indépendants. Bien que pour le critère, l'hYPOlhèse d'indépendance ne soit pas nécessaire, elle est prèfèruble pOlll" l'initialisation de l'algorithme (]un que le choix des p ~"o estimations de plus faible densité se fasse sur des segments indépendants. Le choix de la taille des segments est l'lus délicat, puisqu'il fixe non seulement le compromis résolution temporelle/résolution fréquentielle, mais aussi le nombre de segmcnls. POUf ce critère, il est nécessaire que le nombre dc segnlents soit suffisamment important (> 20 Cl priorÎ), Le degré de liberté t de la toi associée
au pérîodogrammc est égal il 2. Si restimuteur temps-fréquence est un corrélugramme glissant, Pr [k,v] est alors estimé par le corrélogramme A-biaisé au H(!u du périodogramme [DUR 99]. L~intérêt est d'obtenir, pour cerlaines fenêtl'Cs ù'apodisiltion linéaire. une variance normalisée intërieure à celle du périodogramme. Le meilleur compromis est obknu pour la fenêtre de B1ackman avec une variance nonnaHsée égale à 0.49 nions '-lue. quelle que soit la fenêtre d'apodisation du périodogramme, sn variance normalisée est égale il 1. La détection esl améliorée puisque les estimations. dans le cas stationnaire, s'écartent moins de ln moyenne par rapport au périodogmmme. Le seuil de détectÎon
54
Décision lemps-fréquence
est inférieur ct des non-stationnarités de plus faible puissance peuvent être détectées sans pour autant augmenter le nombre de fausses alarmes. En contrepartie, les lobes secondaires de la fenêtre spectrale seront moins bien atténués, cc qui risque de masquer des non-stationnarités éventuelles ct augmenter la probabilité de perle. Pour une fenêtre de Blackman, le degré de liberté l'cor vaut 4,08 au lieu de 2 dans le cas du périodogral11me.
2,1.6. Résultat sur 1111 siglllllllcmlémiqul! Le signal académique étudié dans ce paragraphe, non réaliste sur le plan physique. a pour objectif de regrouper un ensemble typique de non-stationnarités afin d'illustrer les possibilités du détecteur proposé. Soit un signal discret r[k], de N ~ 25000 points, échantillonné à une fréquence f~ ~ 100 Hz ~ liT,. r[le] contient un signal aléatoire stationnaire b[k] additionné de trois composantes dŒk] non stationnaires: [2.28] avec: - b[k] un bruit blanc stationnaire de puissance
ci =
3 sur N points,
d 1 [i<] une sinusoïde de fréquence f 1 ~ 15 Hz sur N 1 ~ 10000 points:
d} [k] deux modulations linéaires de fréquence, dont la fréquence va ne linéairement respectivement de 10 à 30 Hz et de 30 à 10Hz sur N points: d, [k] -
~
1.25 sin (2rrkTc (la + 20~ )) + 1.25 sin (2rrleTc (30 N-I'
'
20~
C
N-I
))
- d 3 [k] une sinusoïde à fréquence aléatoire dont la fréquence est centrée sur 35 Hz additionnée d'un bruit blanc
8[k]
d~écart-type 8 Hz sur NI points:
Cette dernière composante du signal crée un motif fréquentiel à bande étroite de l'ordre de 20 Hz. En dehors de cette bande, on peut considérer que le reste des motifs est peu perturbé.
Détection de non-stationnarités
55
Les résultats sur ce signal académique sont probants. Les dirfërents types de nonstationnarités ont été détectés, qu'il s'agisse de non-stationnarités par morceaux (fréquence pure, motif bande étroite) ou non (modulations linéaires de fréquence). Que ce soit avec le spectrograml11e (figure 2.2) ou le corrélograIlll11c glissant (figure 2.3), le nombre de fausses alannes est proche de zéro, surtout pour une probabilité de fausse alamle inférieure à 10--4. Entre 50 et 150 secondes. les éléments détectés éloignés du motif à bande étroite ne sont pas des fausses alarmes. La sinusoïde à fréquence aléatoire ajoute du bmit sur toute la bande, même si celui-ci est iàible en dehors de la bande [25 Hz, 45 Hz].
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Fréquence (Hz)
Figure 2.2. Signal académique. Détection à partir dit spectrogramllle. (a) Signal tell/porel (25 OOU points), (b) RTF: .\pectrog/'alllll1e Cil dB ({mètre de Blackmall. ./7 .l'egll1Cflts de 1 02./ poilltS), (e) détection {Jour {J % = 50 ~% ef Pfà = JO".J. (d) moyenne temporelle de /a RTF, (e) moyenne temporelJe p[ lj des éléments SOIIS Ho.
56
Décision temps-fréquence
a"ces el Cet exemple a également pour objectir, de faire apparaître les perionn te constan densité une pas n'a les limitations de la méthode. Le motîfà bande étroite de permel qui cc e», «cloch sur la bande [25 Hz, 45 Hz]. il a une rorme de le motir est déterminer (suivant les paramèlres ciu critère) il partir de quel niveau e du méthod la détecte. Nous observons, en eITel, une 111eilleure performnl1ce de au nant points détectés apparte com~]ogrnmme glîssant pour laquelle le nombre de motif à bande étroite est pius imporlant qu"avec le spectrogramme.
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50
Fréquence (Hz}
g!i.rsant, (a) RTF ," Figul'e 2.3. SigNai academiq/lç. DétectioJf if partir dll col'f'tHogramlt/c de l02.J (Joims). ~ (:orrèlogramllle glissam en dB (/imérn.: de Biaekmol1, ../7 segment \1 de la RTF, (d) J4 lle tempore moyenne ie) ur!, (h) dûtcciiojl pOlir fJ ;J'tÎ "" 50 % et fla 1-1,1' SOI/S 1I1OJ'C1111e temporelle f..1[ljdes é/ements
figure 2.2e et Ceci est egalem ent mis en évidence sur j'estima tion Il[k} (voir toutes les presque sur figure 2.3d) quî tùnd vers l'estimatiDn d'lm bruit blanc figure (voir RTF fréquences, conti'airemcnt, bien sûr, à la moyenne lemporeHe ùe la qui bande la 2.2d ct figure 2.3c). L'esHmutioll est biaisée aux extrémilès de l'hypoth èse Hl sont affeclées 11 l'hypoth èse H{1' Par contre, au milieu de la bande, figure l.3d est retenue et hl moyenn e ~l[V] correspond bien il celle du bruit (voÎr eutre 32 el 38 Hz).
Détection de non-s1nllonn
57
Par ailleurs, l'influence des modulations linéaires de fréquence entre 10 et30 Hz et l'influence de la fréquence pure fi 15 Hz a disparu entre la moyenne temporelle de la RTF et l'estimation p[v}. 11 ne reste qu'un faible résidu de ln frèquence pure ù
15 Hz, dù au découpage du signal. Si la probabilité de fausse- alarme augmen1e. le motif ft bande étroite va être détecté sur une bande fréquentielle de plus en plus large. moÎs des f:lusses alarmes vont également nppamîtrc. En particulier. avec une probabilité de Jàu5se alarme de 10.-2, ce motif est très bien détecté entre 50 et 150 secoodes~ mais également de nombreuses f.:'lUsses n1urmcs nppuraîssent là où il n'y fi que du bruit blanc statÎonnaire. Pal' contre, l'estimntion M[V] est proche de la densité du bruit blanc SUl' lu quasi totalité des fréquences.
2.1.7. Etude fte
Sig11l1lLY
réels
Nous: avons testé Pnlgùrithme sur des sîgnaux réels de la banque ASpect. deux mesures vlbmtoires. Le premier
signal~
fourni pnr EDF, est un sîgnal d'enregistrement d'un corps CITant dans un circuit hydraulique (102 400 points, fréquence d'èchanti Iionnage de 50000 Hz), Le circuit hydrnulique se compone comme un guide d'ondes et les fluctuations therrnohydrnuliqucs de la pompe primaire d'un réacteur nucléaire sont enregistrées. Ce signal comprend ùonc, SUI' toute lu durée d'observatïon, un bmit hydraujj(lUe qui se munifeste sur une bande fréquentielle élroite de 200 Hz, autour de la fréquence 2 830 Hz, avec une amplitude qui évolue par houm~es nu cours du temps. Il existe d'autTes bandes étroites autour de 10,1 kHz el 10.9 kHz, mais peu énergétiques. Les chocs du corps errant (un boulon) sur les parois du circuit hydraulique se traduisent par des bruits transitoires qlll se manifestent :'lur une bande
de 600 Hz, autour de la Iréqucuce 6500 Hz, bande plus large que celle du bruit hydraulique. Le critere permet de détecter quatre motifs prmcipaux non stationnaÎres (voir figure 1.4). Ces non-stationnarités correspondent aux transitoîres. Les trois premiers sont nettement visibles sur Je signal temporel (entre 0.9 et 1,1 seconde). Des techniques plus évoluées. comme ln méthode de détection de tn:msitoires par ondelettes adaptées (voir section 2.4), permettent de détecter deux transitoires supplémentaires (vers 0,35 et 0,6 5). mais uniquement en temps. Notre critère échoue dans la détection de ces transitoires. lllème en diminuant la taille des segments.
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rammc giissam. Figure 2.4. Sig/JO/ l'ilmltoiJ'e l'éd (EDF). Détectio n li pm1ù- du cOl"l'èlog gn~5W!! en dB ramme currélog RTf': (h) 1-!=J. (a) signa! tempore l (f 0] -lOf) pOints,.f., 50000 ~(; "'" 50 ~\; el P pOlW détection (e) points), 1024 de s segment (fcnêtre de BJnckman. 199 SOifS eIJuu}/lts de,\' /te /1[lj Pfù == Ur~,(d) moyenne f(~mpore!le (k la RTF. (e) m~re/ll1e tel1ljJore l. tempore l'axe Slir (c) / de !-I(,", (i) pmji!ctii m de (cl slft' l'U':.e,{!'L:quentiei. (g) prqjec!Îm J
DèteciÎon de nOI1-statiollHilfités
59
Cependant, ces transitoires de faible puissance n':dTectent qu'une bande restreinte en fréquence et ne sont pas gênants pour une analyse stationnaire du reste du signal, Ce signal contient dHlërents types de non-stationnarHés~ les transitoires précédemment cilés ct des bruÎts hydrauliques 11011 stationnaires visibles sur le signal temporel (par exemple entre 0,1 cl 0,2 seconde). 11 s'agit de «bouffées Î> d'énergie. Hs ne sont alors pas détectés par notre critère, révolution de l'énergie dans la bande du motif étant insuffisante. Un critère de détection cn temps [DUR 99] est adapté il cc type de non-stationnarité et permet d'en délecter temporeUement les principaux motîfs. Le critère permet de bien cerner l'influence en fréquence des transitoires et d'envisager une analyse stationnaire pour les fréquences qUÎ ne sont pas louchées pnr les 1100stmionnarités. lt apparaît égalemem que les élémcnts délcctés nvec une probabilité de- fausse nlamH! comprise entre 1O~2 et 1O~3 sont diffici1ement exploitables. Les non-stationnarités délectées à cette échelle ne sont pas suffisamment significatives. Une projection des résultats sur les axes temps ou trétluence fournil des indicateurs plus compacts que dans le plall lemps-fréquence (voir ligures 2Are! 2.4g).
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Figurl! 2.5. Signal (lCO/Istiqllc rée! (DGA). Détection li par/Îr du corrélogrammc gUy.mm.
(a) signal fempmvl (50 OO{j poiHls, .fc = 3 (}{JO 11::., (h) Rrp: corrélogranu1}(' glissant dB (AmiJwe de B/ackman, 96 segments de / 01./ poilltS), (c) dewcthm pour p f~'iÎ = 50 ;!·i) ct Ffi; = JO-l. t'Il
60
Décision temps-fréquence
Nous présentons figure 1.5 les résultats du critère sur un deuxième signal vibratoire fourni par la DGA, Il s'agit de l'enregistrement par un capteur accélérométrique des vibrutîons d'une station d'huile. Le signal est considéré comme stationnain:.\ que ce soil pour les vibrations dues à la circulation du fluide ou pour les harmoniques liées au moteur et il la pompe de la station d'huile. Les coefficients détectés sous HI sonl en nombre très faible et sont dispersés dans le plan tempstréquence, Le signal IJCUl donc être considéré comme stationnaire, ce qui corrobore l'expertise du spécialiste du domaine d'applicatîon. D'autres types de non-stationnarités peuvent être mis en évidence. Nous présentons dans [DUR 99] le cas d'lm signal qui correspond à l'enregistrement de lu passe d'un navire au-dessus d'un hydrophone. 11 présente de légères n()n~sta1ionnarilès sous la fonm~ de motifs bande étroite dont la fréquence centrale change au cours du temps ou dont l'énergie varie.
2.1.8. C,mcll/sioll L'équation de la probabilité de fausse alaml0 dépend de la loi sous Ho définie pur [2.13]. Pour înverscr cette équation, il est nécessaire de connaître ln moyenne E(Ph[k,v]) sous l'hypothèse Ho, quantité dont nous proposons une estimation ci l'aide d'un algorithme rècursif adapté appliqué au plan temps-fréqueocc, Pour Iltlllier l'absence d'infOlmation a priotf, le test proposé utilise le fail que la
varîal1ce nommlisee de l'estimateur spectral d'un signal uléatoire stationnaire éventuellement additionné de composantes déterministes est toujours inférieure â l, la varÎance obtenue pour un signal aléatoire seul. Ainsi, lorsqu'un signaJ déterministe est prêscHt la probabilité de fillL.;;sC alarme, calculée avec le seuil obtenu sous l
J'hypothèse signal aléatoire seul. esl plus faible que celle prévue initialel11cul.
L'hypothèse gaussienne n'est pas stricte car) si la durée de la fenêtre temporelle est supérieure nll support de corrélation du signal) la transformée de Fourier, par application du théorème ecntrallimite a telldnnce à rendre gaussiennes lcs variables iréqucntÎclles [PRI 81], Ainsi. le test proposé pem1et d'uccepter ou de rejeter l'hypothcse tlssez géném[e signal ulèntoirc stationnaire à puissance lnoyenne fini, éventuellement additionné d'un signnl détennÏllÎste stationnaire. Ii a pour tlvanlage d'être adapté fi tout type de non-stationnarités sous l'hypothèse que pour chaque fréquence. H existe au cours du temps une partie stationnaire, par exemple un signal stationnaire par morceaux, une modulation de fréquence ou des chocs ill1pulsifs dans llll bruit statÎonnairc. Il sera moins adapté à des non-stationnarités nOI1 liées il la fréquence, d~un
Détection de 11On~slationnaritès
61
par exemple une modulation d'amplitude. Le résulwt est une dêtection non seulemenl en temps, mais également en fréquence ce tWi permet dc cerner les bandes fréquentielles concemécs par les non-stationnarÎtés. Cet algorithme est rapide, ne nécessite pas de modèle el les hypothêsC5 sont peu contraignantes, Les paramètres sont peu nombreux et simples à choisir, Le choix du paramètre p 'YO. pourcentage des estimations de plus faible densité utilisé pour initialiser l'algorithme, n'a pas une inlluence prépondérante sur les résultats. L'algorithme s'adapte de lui-même lors des premières itérations. Cc paramètre ne doit être ni trop grand au risque de détériorer lu détection si des non~stalionnarilés importantes du poinl de vite tel11porelle existent, ni trop petit pour ne pas augmenter le nombre de fausses alarmes. Pour ks signaux testés. les résultats sont quasiment identiques pour des pourcentages de 30 %jusqu'a 60 (Yli. Le::> p-crtonnunccs som limitées pur celles du spectrogramme et du cOI1'élograrmnc glissant. notamment la variance et la résolution, Néanmoins, ce test est eJTIcacc pour une premîèrc détection de non-stationnmités gênantes pour une analyse stationnaire. Dans ce mème contexte d'algorithmes mdimenlaires el salls information a priori, un simple lest du Cusum applÎqué en temporel sur les moments du sîgnal estimés à l'ordre 1, 3 et 4 sur des fenêtres glissantes. apporte des résultats complémentaires [MAR 02].
2.1.9. Bibliographie [ALT 30J ALTES R.A" ,( Detection. esLÎmutÎon and c1ussification with speclrogrums ACUllSI. Soc. Am., \'01. 6, nO 4, p. !232~ 1246, 19~O, [ARQ
~2J AROUl~S
rI,
JOl/mal
P.Y,. Décisions cnlmilement du sigllal. ivlu$&ùn, Paris, 1981.
IBRI Sl:l BRILUNGER, rime Series Data Ana(l'sÎS and T/wol"y. MeOmw-Bill. New York. 198 J. [DUR 99] DURNEI{JN M" Uni;' &tmtégie pour Iïmerprètation en analyse spectrale. Détection et eamclérîsatÎon des composantes tl'un spectre. Thèse de doetomt. INPG, 21 se!>tembre 1999.
lFLA 86] FLANDRIN p" ( On detection-Estimation Procedures in the Tlme-Frequcncy Plane )), dans ICASSP. Tokyo, p. 2331-2334. 19X6. [FRI B9] FRIEDLANDER 8.. PORAT B.o ({ Detection of transient Signais by the Gabor representation H, JEEE Tmns. on ASSP, vol. 37, n 2, Jëvrier 1989. C
pnmÎtreJ HORY C. Mt\RT1N N.. CHEmK1A:-l .1\ •• {, Spectrogmm Segmentation by Menus of Stntisticul Feaiures Cor Non-Stutionury Signal Itllcl1)retutiol1 )). Soumis ù JEEE 7hmsacliuns UI1 SÎgl1a/ PI'O('('SSÎIIg, il paraître.
[HOR à
[JOB 95] JOHNSON N.L, KOTl S., BALAKRISI-INAN, COli/lili/otiS UIIÎl'oriatc Disfribmiolls, Wiky Scrîcs în Probabilüy ~ll1d Maihc:maücal StatistÎcs. New York.:2 volumes, !995.
62
Décision temps-Iréqueflcc
[JOB 99] JOIINSOl\' P.E., LOl\Cî D.G., (' 111e probabilily DetHiÎly of Spectral Estimalcs Bascù on Modilled periodogram AverHg:cs H, IEEE Transtlctions 011 Signal Proœs,~ing, vol. 47; nO 5. mni 1999. S5~ KA y S.M" HOUDREAL'X-BARTELS G,r.," On the optimaiily of the Wigner distribution for detection Ht {CrlSSP 85, Tampa. Flmide. p, J017~1010, 1985,
[KAY
[KUM 84,1 KCMAR V.• CAR1WLL C.W .. {( Performance of Wigner distribution function based detection methods )J, Opl. Eng., vol. 23, nU 6, p. 731-737,1984-.
[LEM 95,1 LEMO!)1[ O., Délection de signaux non slatiollnaircs pal' rcprésemmiol1
tCl11pS~
fréquence. Thèse de dOClorut, Université de Nice-Sophia Antipolis. 1995.
[),1AR 9l] MAR!NOVICII N.M ..
Rt)\'T~'iAN
L.M., Signallnoise
SUb5-1JitCiJ
dccomposilion làr
mHr/UI1I lransfenf defecfjOI1, SVD and Signal Processfl1g, Il. Afgorithms, AIla6'sis and
Applica1ions, Elsevier. Amsterdam, 1991. [MAR 02] MARTIN N., DU!~NEHN M., S[LVE0iT A, (DIR.). ASPECT: Une sll'mégie pOlir 1ïmcrprélariofl eH (l/w!y,;"-L' xpecrra/e. EYl'ollcs, coll. EDF, Parts, 1001.
[1\1!\T 99] MATZ G .•
1·ILAWi~.T:;Cll P.,« 'Iïmc-fi'cqucIH:y
InlenwlioJ1al ./rmma! vol. 53, na 6. p. 379-S5. 199fJ. lù Kliock DClCCliol1)J, AEU
Subspacc Dctccturs and Application Electronics and Communications,
(~r
[POR 92] PnR!\T B.. FlUEDLANDER 8., ,( Performance Anl1lysis of a Class or TmnSlcnt Detection AJgol'ith111s-A Unifïcd Fml11ework li. IEEE Trans. Oll Signal pl'Oc(!ssing. vol. 40, n;) W. octobre 1991.
[pRI 81] PRIESTLEY M.8., Spectral Ana/J'sis ami Time Series, voL 1, Academie Press, New York. 19RI. [PRO 891
PROAKIS
J.O., Digitui communications. McGruw-HîlI, New Yod.;" 1989,
[Rie 9R]
R!CHABn C. LENGELLE R., «( On the dimension orthe discrete Wigncr.Yille trnnsfOffil range spuçç; application to tÎme-Frequency bnscd deteçtms clesign );, dans Proceediltgs (!f' the IEEE-St> Imernatj()/wl Symposium on Tfmc-FrcljuCIUT alld Tilllc-Seo!e Ana/ys!s, New York. p. 5-M. 199R.
[ROU 70] ROCBINE E., Il/trodUCtiOIl Ù la théorie de /a COflffllllllimfion, Masson. Puris. 1970.
1,
SigJ!twx aléatoires,
[SAP 90J SAPORTA G., Prohahilifès, analyse de dOllnées et sralislique, Technip, Paris, 1990, [SPA 73) SI'i\TARU A., ThéorÎe de la transmission de /ï/?làrlï1atiolt. {'odes el décÎ,I'ùms, vol. 2, Masson, Paris, 1973. [TllE 68] VAN TREES H.L. Detee/ioll, EstùnotioH amI ModulatioJl Them:!'. John Wilcy and Sons:, New Yorle, 1968. [\VHA 7! l WHALEN A.D., Detection r~lSigllals in Noi.':,'e. Academie Press, New York, 1971.
Détection de n()n~stalionnaritês
63
2.2. Détection de sauts fréquentiels 2 2.2. LIll/mdl/clion L'unalysc de l'évolution du contenu spectml des signullx fi'avère primordiale lorsque l'on s'inléresse aux problèmes de scgrnentation et de surveillance de processus industriels lcls que les machines tournantes (moteurs. engrenages ... ). En effet. 1orsqu'ul1c défaillance d'un composant apparaît dans de teIs systèmes. cela se traduit souvent au niveau du spectre par r apparition, la dérive ou encore la di~parition de composantes fréquentielles. Cc~ modifications pouvant prendre une infinité de formes. nous axerons notre champ dÏnvestIgatjon RUf une famille de signaux particuiiers que sont les sîgnullx (juusi .stationnuires par morceaux.
Les principaux outils développés jusqu'ô ce jour pour la détection de changements brusques reposenl sur une approche paramétrique ct sont basés sur la notion de ruptures de modèles. Ces méthodes rcpol-ient génémlemcnt sur l'hypothèse {1ue les signaux analysés sont descriplJbles au moyen d'une modélisation dynamique paramétrique de type au!orégressivc ou aUlorégrcssive il moyenne mobile lAPP 83. BAS 83 J, Elles s'intéressent alors a la détection de changemcnts brusques d'un ou ùe plusiems panlmètres du modèle. Toules ccs méthodes voient leurs performances étroitement liées la bonne concordancc entre le signal el le modèle estimé, Or. une modélisation pertinente des ~îgnaux n'cst pa.s toujours accessible. Afin d'îlIustl'cr notre propos. prenons un exemple d'application réelJe qui sera repris thms la suile de celle section: i'analyse d'un signal musical. Lorsque l'on travaiHe sur des signaux musicaux, on ne maîtrise souvent pas tous les phénomènes mis en jcu. En premier Heu. on ne: connaît pas le nombre de composantes pl'éSeI1H:.s dans le signal (combkn d'instruments itltervÎennent-ils dans la plage étudiée, combien d'harmoniques doit-oil rechercher pour rendre compte du timbre de chaque instrument 7). On ne connaît pus non plus le modèle à considérer. Si tf priori, les signaux musÎcuux sont des signaux pUl'cment stationnaires par morceaux (chaque chungeme:nl de note cotTespondant à Uil changement de composante fréquentielle), la réalité s'éloigne souvent de cc cas idéal. En effet. même lors de rémission d'une successron d{,~ notes tenues, on n'a généralement pas alTaire à des fré{!ucllccS pures mais fi des évolutions fréqucllUel1cs oscillanl mHour de fréquences nominales. Ces varÏ
a
2. Section rédigée par Bêlene LAURENT cl Chris!ïan DO:..lCARLI.
64
Décision temps-fréquence
précisément dan!' les partitions musicales ces successions très rapides de petites notes (les appoggiatures) uppumissunt en complément dc la mélodie et induisant des plages de stationnarîté très courtes pouvant être insuflîsan!es pour lïdcntHication de modèles paramétriques.
POUf toules ces raisons, il nous a paru intéressmlt d'essayer d'exporter ce pronième de détection de ruptures spectrales dans un contexte non paramétrique ne nécessitant uucune connaissance {/ priori sur le signaL Cette démurche nous il conduits à nous intéresser aux représentations lemps-fré<]uenee (RTF) ne sc basant sur i-lUCUne lI1odélÎsatÎon du signal Cà J'opposé de méthodes temps-fréquence utilisant des informations (1 priori quant à la structure possible des signaux analysés: AR glissant, ARCAP... ) et pills particulièrement aux représentations de la classe de Cohen ICOH 95, COS 95, FLA 931. Dans cc groupe sonl rassemblées les distributions bilinéaires covariantes par translation temporelle et fréquenliellc. CeUe proprjété est importante lorsque Pon s'intéresse à l'interprCltllÎon physique de répons~.s mé{'a~ niques, puisque toute lranslmlon en temps -ou en fréquence se traduit par une lranslatÎon équivalente dans te plan temps-fréquence.
Après avoir introduit les différents indices de stationnarité que nOlis proposons, nous présenterons quelques-uns des résultats obtenus IJour les deux conlextes d'application (le lecteur souhaitant avojr accès à la tOlalilé de l'étude pourra se référer ü [LAU 981). Nous monlrerons loul d'ahord lïnlérèt de nos indices dans les problèmes de surveiHance en nous 3ppuyalll sur dîfférents signaux synlhétiques et en comparnnllcurs performances avec d'autres méthodes paramétrique (erreur d'estimation) el non paramétrique (corrélation). Nous illustrerons enfin Je fonctionnement des indices jntroduits dans un contexte de segmenlalÎon grflce il une application réelle: la segmenUlll0n d'un signal musical.
2,2,2. Principe tic la méthode
2.2,:2, l , SIII1'cil!al1ce 2.2.2.1.1. COlllexle de l'étude La détection de rupture de comportement dans un signal est un problème souvent rencontré dans des applications aussi diverses que le diagnostic médkaJ et la surveillance de systèmes mécaniques ou électriques. L'ohjectif est ici d'étudier toute évolution du contenu spectral d'un signal il partir d'une ~ituation de référence. Dans le dnmaÎnc biOlnédicul, on peul utiliser la détecuon de ruplure comme une nide il la
caractérisation de pathologies. Dans le domaine mécanique, les changementl'i brusques dans le contenu spectral des signaux correspondent généralement tlla défaîllance d'un composant du système étl..ldjé et tTaduisent alors J'apparition d'un défaut de fonctionnement. De nombreuses approches paramétriques récursives ont été développées afin d'éludier ce Iype de problème !pOl 95, VOZ 94J. Cependant, lorsque le modèle n'est
Détection ùe
non~stationnarités
fi:;
connu qu·npproximalive-ment.l'approche nnn pnmmétrique fondée sur les représentations temps-fréquenee parait présenter une alternative intéressante.
2.2.2. t.2. Définition des indices La méthode présentée ici nécessite le calcul d'une RTF fJ:r(L J) du signal ,1' sur toute .sa durée ct rait donc partie des méthodes dites hors ligne, Elle est basée sur la comparaison, 11 chaque instant f. d'étude, d'une sous-image (ou imugcHe) Il curac~ térisant cel instant d'analy:-;e et d'une image de référence calculée au cours d'une phase d'apprentissage dUl"Unt laquelle le signal est supposé stationnaire. On peut en effet consldérer qu'à purlir d'une situation saine. J'évolution vers unc dégradation du processus se fera au bout d'lin certain Jups de lcmp.s nous p('rm~tlulll dïtlll1a!Lllcr nos méthodes, Cene première phase scra utilisée pour la conslruclion de J'imagelle moyenne de référem.:c Ir. La figure :2.6 illustre la méthode mise en place. calcul ùe Jr
~"'l<;--
il l p
[mage courante It
,,
..::::;>
1"1 .. 1
J
RTF scbén;'dtique d'un signal pl't!sclllanl
:
,, , ,,,
P:
"1
tlne ruplurc a r insLimî.l r
: 1
,
: , 1
!
Zone d'apprentissage M im.lgeltes li
l,
i 1
Temps
Figure 2.6. Prim:!,,/-' de calcul de "indiee de
starimllwrité cII.Hlrl'cilhmcL'
On calcule tout d'abord Ir:
l2,291 oh lI! correspond HU nombre lotaJ cl'imageHes extrailes de la phase initiale. Cjmugette Ir_ de longueur p, est ensuite comparée à une sous-image J, de même taille \.:uracterisant l'instant t. d'étude;
1,U; T, n = (l,Ii .... p + T, f).
TE
:D:pl
12.3flJ
66
Décision
tcmps~fréquence
con serv e des le sign al est BwUonnaîre, }'in dkc Ainsi sur l"intervalle dura nt lequ el -im~lge Il sous la tral, spec ence d'un chan gem ent vale urs faibles. En reva nche . en prés pren dra nl défl arité onn renc e Ir ct l'ind ice de stati dHTèrcra de la sous -ima gê de réré ort il. rapp par art l'éc uire indi ce perl llet don c de trad des valeurs plus imp0l1ulllCs, Cet la siwa tion de réfé renc e. deux ima sées pout' mes urcr l'éc ftn entr e les Les distanc\!s L'l peuv ent êlfe lllili mise s en jeu, alor s aucu ne hyp othè se sur les RTF gcttcs. Leu r emp loi ne néce:-;sllc les RTF cOnime nt être utili sées si l'on inle rprè te D'au tres dist ance s peu ven t égal eme ent vérUicr ilé conj oint es, Pou r cela . le .. RTF doiv des fonc tion s de dens ité de probtlbil les relntions suivante.". :
( 1, ,(1. f) ;;;e 0
VU. n
tJ~:~ {~" (1,(1, 1) dl. dl =
[2.3 \ J
1
bre ùe disd'él argi r Lxmsiùérubicment le nom Ado pter ce poin t de vue pcrm et effet, la En . RTF x deu e entr rl r quan tifie r réca tanc es pouvant être app liqu ées pou icie (BAS 891 ose de nomhreu.ses déHnîtions. L'an liué ratu re élab lie sur ce suje t prnp déci sion lCJnouti ls utilisés tians un con text e de. prés enle une revu e d'ef fect if de ces dist ance s liécs à plus particuHèrc11lcnt au grou pe des pureHe. Nou s nou s intérc~scrons unce s liées à la dive rgen ce de Jensen, Pan ni les ùist la I-di verg cnc e de CSlszar cl il la ce de ance s de Kol mog orov el la dive rgen J-divergence, on trouve nota mnl ent les dist Enfin, la divergence de Jens en est une cett e ~eclion. Kül lbac k qui sero nt utili sées dan s RTF l11lCllJré-
-;idéréc- pour le ca1cul dtécnrt entre autre altc-rnmi\'(,: {lue nous avûns con: dt: proh abil îté conj oînt es LBAS 89, técs comme des fonctions de dens ité
TE
NId l;T. .!) =
[O,1'J
~lC 94-\,
12.321
cl:
j.,It;U - )J -+- T. ni fli clfdT . Ffi . _= Ilh(1- - P +
J'I,(I; T . .f) = /."
TE
[D, pl
\2.3 3 J
T,
le~
indi ces uüli sés sont les sUivants.
Distal1ces Lq
\2.34\
Dêtcction dt! non-stationnarités
67
Les lestR présentés ci-après ont été réalisés pour ri E [1. 2J. Distance de Kolmogorov
[2.35J
Divergence de Kü!lback
l
i'
Ind ",,(1) = . 'T"",ll.
1'+= ~OO
(PJ.(I.{::'-'7) - n df'\;-
' (pI,(!; TJ) - PI,.(T, f)).Logp 11","./)
[2.361
Divergence de Jensen
PI,(I;T,fl+pI,(T.f)
.
'l)'
ln!.,,,, ! (l 1 =J l ( --·--2----.p1d.llT,j
12.37J
avec:
.1, (PI,(t; 7, f). PI,( T. f)) =
li" (';1'1,(1
T. f)P! ,.(T. il)
Il,, (PI,(t; T. fI)
où H CI représente les entropies de Rényi, de paramètre
+ lio (Pl ,.(T, f)) 2
0:
> 0,
Nous avons choisi la valeur ft = :3 pour les lests présentes dans celte sectioll. Remarquons cnnn que la dis lance LI et la distance de Kolmogorov sonl égales si l'on considère une RTF positive comme le spectrogramme. Toutes les sous-images inlervenant ùans ]cs distances son!. des représentalÎons normalîsées. Si cette condition s'impo:;,c d'elle-même lors de l'utilisation de distances issues d'une interprétation prohabiliste des RTF (distance de Kolmogorov. divergence de Küllback, divergence de Jensen). en revanche cHe n'cst pas indispensable lorsque 1'011 s'intéresse à des distanccl'i entrc spectres Înstantanés. Cependant. l'expérience nous il montré que ce prêtraitement des imagettes rendait lès indices beaucoup plus résistants. au bruit ainsi qu'aux variations d'amplilude. Les dis.tances issues d'une imerprétation probahîlislC des RTF onl de plus élé caleulées à partir de RTF positivécs. Lors ùe rutiIîsation de RTF de la classe de Cohen aulrcs que le speclrogramme, nous avons npplj(IUé a ces représentations une transformation non lînéairc en considéranlleur valeur absulue,
68
Décision tClnps-fréquencc
2.2,2.2, Segmentatioll 2,2.2.2.1. Contexte de l'étude Le but poursuivi dans un conlexlC de segmentntion est le découpage du signal en pli.lges homogènes possédant des caractéris1iques îdenliques ou lout du moins proches, on pourra en effel désirer tolérer une évolutîon HmHée de celles-ci. Ce problème sc rencontre fréquemment dans l'analyse de signaux présentant une succession de changement!; brusques que ce soit dans un objeclir de diagnostic ou de codage. La plupart des algorilhmes développés jusqu'ü ce jour ronl appel à des méthodes paramélriques lBAS 931- Leur prîndpal întérêt est d'auloriser une détection en ligne des instants de rupture du modèle considéré, avec bien évidemment Ull cerlain retard. Cependant pour les misons citées précédemment, l'approche non paramétrique l'ondée sur les repl'ésel1lations temps-fréquence paraît offrir une alternative intéreRStmtc. 2,2.2.2.2. DéfinHlon des îndices La méthode (lue nous proposons nécessite une fois encore ie calcul d'une seule RTF (J;:.(t; f) sur toUle lu longueur du signal ,T considéré. POUl' chaque inslant t d'élude, deux sous-images l, el 12 sonl extrailes de la RTF globale de pari cl d' aulre de cet Inslanl. Ces deux imageHes, de même longueur Pt sont normalisée;,; puis confTontées rune il l'autre. La figure 2.7 illustre ln méthode. RTF
Temps
.
Figure 2.7. Traitemen! !ttca! de ta RTF globale du .l'iMual
En définissant celte fois:
l, (1; T, f) = fJ,(l
I,(l; T, il
= 1'.,(1
l' +
+ T,
T.
n
n
T
E [0, Pl
[2.391
l2A01
llAl]
Détection de llon-smlÎonnmités
69
les indices se déduisclll ùe ceux donnés dans le contexte de surveillance en remplaçanl respectivement PI, par Ph ct l'l,_ par PI o_
2,2,2.3, Choix laissés à /'urilisalcur Le premier choix laissé il J'utilisalcllI' concerne la distance à utiliscr. Nous nous efforcerons. dans les exemples quî suivenL, de montrer les avanlages ei inconvénIents liés à chaque distance et ainsi de meUre en lumière les distances les plus perfonmmles. Concernant le choix des imagettes locales. ne désirant pas faire d'hypothèse a l'riori sur la localisation des composantes, nous avons. gardé toute rinformatîon fréquentielle il disposition, Comme nous le verrons dans lcs pumgraphes suivants, l'jn~ troduction d'une fenêtre de largeur JI paraît offrir l'avantage d'un lissage des indices rendant ceux-ci moins nerveux dans les plages stationnaires et autorisant donc une détection plus flable. Ce paramètre p, délimitant la plage considérée il ch:lque instant, peut être cOllsidéré comme un paramètre de sensibilîté. Plus il sem petîl. plus l'indîce sera nerveux. Enfin. le choix de la représenWIÎon tcmps-fréquencc est ég~l1cment laissé il l'utÎlisateur. Afin de meHre en relief Jeh avantages cl les inconvénients liés ù chaque méLhode. întéressons-nous aux comportements de diverses RTF de la classe de Cohen IeOH 95, COS 95, FLA 93J ainsi que de la mélhode de Capon [MAR 03J face il lin $Îgna1 synthétique.
2,2,2.3.l. Sîgnal synthétique servant fI la comparaison LIes différentes RTF L'objectif de cc travail étant l'étude de changements brusques dnns le conlenu fréquentiel de signaux aléalOircs comme aide à la détection de défauts ou (révolution de comportement d'un processus, nous serons donc amenés il élaborer des techniques permeHanllout t'lia fois de prendre en considération des évolutions lentes de fréquence liées au comportement traditionnel du processus et de mettre en lumîère des sauts fréquentiels plus rapides traduisant J'apparilion d'un événemellt sïgnilkatif. Le signal synthétique (Jue nous allons considérer présente ces ùeux aspects de façon schématique, JI est cnnstÎtué d'une composante il modu1ation sinusoïdale de fréquence ainsi que de modulations numériques par déplacement de fréquence avec prcserv;Jlîon de la continuité de phase. La ligure 2.8 présente ]a RTF idéalisée du signal déterministe truite. Le ;<;ignal synlhdique comporte donc N = 256 points Cl correspond au signal précédent auquel esl ajoulé un bruit blunc guussien de variance cr::, choisî de Illçon à
70
Décision lemps-fréquence
avoir un rapport signal sur bruit (RSB) de 5 dB, avec: i\'
2:)r[l1 W [2.43]
n=î
Ct --;-,= 101og l " - -j\,...cr~ R.JB -
elle il été utiCeUe définÎtion a élé préférée il d'autres formula tions possibl es car e (elle- a de plus été lisée par de nombre ux auteurs dans le domain e du temps-f réquenc lAUG 971). adoptée dans la boîte ~\ outils lemps-f réquenc e pro[JUsée récemm ent Il.5 r-~"'---------~ 1 ;;: 0,15
"n 1.\
96
f::! ::::0,25 l', = 0.30
t, = 160
= 0,35
t4 :; 224
f4 il
f
lt :::: 31 t2 :::;;
(J,m5
!
N ;;:;256 '
,
N
Temps (nmnbrc de points"!
Figure 2.8. RTF idéalisJe du si;:uol rlé/erluini'sfC LV1TSidèré
2,2.2.3, 2. Interpré tation des résultat s -Ville 011 constat e sur lu Ilgure 2,9 que l"utilil-mlion ôe la distribu tion de Wigner tion modula et ante compos la Si . délicate rélation conduit il unc représe ntation d'inlerp
tion d'interf ésinusoïd ale de fréquen ce est bien mise en évidenc e (malgré l'appari ables. de discern ment difficile sont tiels fréquen rences inlernes ). en revanch e les sauts . propres: termes aux ser superpo se venanl nomhre ux lermes d'interf érences r L f} par L'introd uction cl' un li<;sage fréquen tiel (fenêtre de lissage de longueu érences , d'interf termes des ln pseudo-\Vigncr-Villc permet de supprim er ulle partie frémême la il ssant apparai princip alemen t ceux résultnnt de l'interac tion de termes pseudoLa tieL fréquen l'axe à quence ct dont la directîo n de:; oscHtutions est parallèl e en tenlps {fenêtre \Vigner-Ville lissée introdui sant. elle, deux lissages indépen dants de supprîpossible esl il LI)' r de longucu r LI) cl en rréqllence (fenêtre de longueu on lempsrésoluti la r pénalise mer presque complè lement les interfér ences sans trop l'augavec t sivemen progres fréquen ce, On constate ccpcnù antque celle-cl sc dégrade
mentati on des lissages.
Déh.:'Clion de non-stationnarités
71
Le spectrogramme enfin permet d'obtenir une représentation s.ans termes d'interférences et aUlorisunlun suivi correct cles évultllions rréquentîcHes. On notera cependanl qu'il possède, du fait de son unique fenêtre de lîssage de longueur L;une résnlu~ tion fréquentielle inférieure à celle de la p::eudo-Wigner-Vîlle li5Séc pOUf une résolution temporeHe du même ordre.
al
cl
b)
Temps
o
50
101l 150 Temps
200
250
Temps
(1
50
100 Temps
200
liO
Figure 2.9. RTF du signol tex! al'ec; li) W(t,'llt'r- Fille, hi pseudn- Wigllcr- Fille cknérn.' dl' l)lJC HmnmilJg, L J = 1(1). e) pSf!ildo- iVl,liHL'r- Ville lis.\ét' ({eJ/i'flt' dl' l."J}e Halllwillg, L, = .) J ef d) Spf!cungJ'(/II1I/1i.' (jem7!rl' df' '.\11t' f-JOllllllillg, L = ï 1)
= 101 j,
La forme choisie pOUf Je noyau influe ùin:clement sur la capacité de la RTF correspondante ù rejeter plus ou moins bien certaines imerf'érenccs. AinsL pour les représentations de Choï-Williams ct Born-Jordan consÎùérées (voÎr figure 2, JO). le noyau eSt assez sélectif maîs j] laisse passer lou~ les termes situés au centre ou sur les axes du plan des ambiguïtés, ParmÎ ccux-d on retrouve notamment lc~ termes d'interférences résultant de l'interaction de termes apparaissant au même instant ou possédant la même fréquence. Les lernles d'interférences présenls dans les RTF correspondantes auronl ùes directions d'oscillations parullèlcs aux axes temporel ct fréquentiel. On
T2
Décision tcmps-ïréqucncc
constale d'aulre parI que le noyau de Bom-Jordan élanl pins sélectif q"c le noyau de Choj'- WiHimns cIlOisi, la RTF associée présente moins dc termes cl' inlerfércnces. En ce qui concerne le noyau exponentiel orientable, les sept paramètres (0', ,\, TU, Înlervenantdolls la définition du noyau lCOS 951 permettent d'obtenirul1t:: grande diversité de formes. Le choix effectué pour l'exemple de lu Hgure 2.10 eonduît à un noyau posséduill de multiples branches qui laisseront principalement passer des termes interférentiels ct ahoutit donc il une RTF beaucoup moins lisible que dans les cas précédenls. u{), l', /j, ~f)
Ln méthode de Capon quant à clIc rüurnit, pour pen que l'on choisisse un onJrc () du filtre de Capon ussez élevé, une représentation possédanl une honne résolution fréquentielle permettant de bien sUÎvre tes modulations de fréquence rapides (pour une fenêtre d'anulyse de longUl::ur L plus courte. ceUe résolution est nettement supérieure fi ceHe obtenue ou moyen du spectrogramme). Cette fcprésenlaLÎon laisse par conséquent apparaître de nombreux termes dus au bmit ainsi (lue les Ouctuations liées au suivi des composantes propres, ce qui vient entacher 1a vîsibilité de la représentation pour notre
application. L*objectîl' de ce travail élanllu détection de ruptures spectrales ct la locaJisatjon tempOl'elle de ces changemenls brusques, il paruÎl important de disposer de RTF permettant tout il la fois de traduire la stationnarité entre les instanls critiques (réduction des interférences et de l'influence du bruit) cl de bien localiser les sauts fréquentiels brusques (bonne résolution [emporclle). Ces conditions paraissent donc être prépondérantes pour nOtre étude et ce, peUl-être au délriment d'une- résolution fréquentielle très pointue. C'est pourquoi tes venüons lissées de la distribution de Wjgner-Ville et le spectrogramme semblent être. de prime ubürd, ùes choix de représentutions adaptés.
2.2.3. Rém/lals 2,2.3, L Sllrl'eillulICe 2.2.3.1.1, Présentation des signaux
tefiL~
Les résullats que nous présentons dans cette section som relatifs il différentes classes de signaux de 1024 points échantillonnés tl une fréquence de 'kHz. La figure 2. t 1 présente les représentations temps-fréquence idéalisées de ces signaux. La première classe eSt conslituée de sigmmx pouvant présenter un saut abrupt de fréquence. La deuxiernc classe, clle, rait apparaître une dérive de fréquence lors de la rupture. Enfin. la troisième concerne des signaux présentunt une gigue en fréquence. On s'éloigne ainsi progressivement de ln situalion idéale de sÎgnaux strictement stationnaires par morceaux présentant une rupture abrupte. situation qui convient parfaitement à J'analyse paramétrique. Cent signaux ont élé générés et le RSB a été fixt2
Délection de noti-stutiOll11mit!5s
a)
lo)
Temps
o
50
100
c)
ISO
200
250
o
100
150
200
2'0
200
250
Temp...
(l
il)
Temps
50
73
so
100 ISO Temps
Figure 2.JO, HTF' rio sigllol [esr al'L'C : (I! CJl(If- Hliil/mm, b} lJo/"lhlord!l/1, -li = [Il. 0,5, 200, 0,;::, --1,5,2, O]5}J, d) CapoN glissaJtt (L ="10 ct (.1 = 18;
c) f?TF cl noyau CXlm1i{:nriel oriel/laMe ([1 t, .\, TIJ, 1-'0, r. ri,
il 5 dB. Tous les l'1igmmx com:idêrés Jors dl2. l'étude sont analytîques el les paramètres Dnt été choisis de la façon suivante (voir figure]" II):
.fJ .rel
= 100Hz
Ir
= GuU
h :100 Hz l,
Jo =;) Hz
L1
= 200 Hz =
:JG(J Hz
= 50
J"
Afin de pousser plus loin notre érude, nous avons voulu cOl11parer les pCl'foll1ml1ces des méthoùes issues ùn calcul de distances entre RTF avec d'autres approches largement développées dans la lIuémlUrc, Pour cela, nous nous: sommes intéressés il deux autres f0l111Ublions d'indices de défection. L'une fait encore appel aux RTF el est
74
Décision lemps-fréquence
basée sm un calcul de corrélations temps-f réquenc e:
r
GodO = -r==~~~==~=====~=====~=== INIIU: T, ni' d,l'dT ~
T=O
12.-141
he puraméL'autre. en revanche. adopte une stratégie bien différen te: rapproc on. prédicti de trique, en sc basunt sur la surveillance de l'eneur Classe l Signal
Signal sans rupture Q
u
§ f,. ~-- ----~----i
v
;---- ----·__·......·-..·1
~
ft 1--....·--·_ -_......_··.... -1 Temps
Temps Slgnal sans rupture
f,
~~ Tcnips . . . .-;;7~--
Clusse 3
Signal sans rupture
""t~ __
f, p-=,c::,-="c"":7"::::::; f, p",,.L ""-,,= ,,,"7''' ''''I
r;"-'"",L-''''-r'-'''~r'--''I
lr
Temps
Figure 2.11. RTF idéalisées des si:;l1aux considérés
.\ lui permelQuelle que soit la méthode chOIsie, l'utilisa teur doit définir un scuil dépasse l'indice que Dès rupture. de e J'absenc tant de conclure (JUUllt ~lla présence ou t ièremen particul donc est À seuil ce de choix ce ,,>cull, une alarme est déclenchée. Le du iable préjudic tation augmen une à a conduir importal1t. En effet choisir A trop faib1e façon sen.sible le nombre de fausses alarmes. A l'invers e, augmen ter.\ fcra chuter de n: plus .\ est détectio de mpidité la de nt détrime nu HIux de rausses alarmes majs, ccla.
Détection de non-slatiol1mlrités
75
grand~
plus le retard à ia détection sera important. L'analy_.;;c de ces deux paramètres antagonistes. taux de fausses alarmes (FA) el retard à la détection (E). en foncHon du seuH .\ choisÎ. paraît donc être particulièrement révélatrice des performances des différcnts indices étudiés. Les résultats obknu." lors de nos éludes seronl présentés .'ious ce formalisme anulogue il celui des courbes de caraeléristiqucs opérationnelles du récepteur.
22.3.) .2,lntcrprétatiDn des résullats La première classc s'intéresse il des sauts fréquenlieIs abrupts. NOliS présentons ici les résuÎtats obtenus à panir d'un spectrogramme ayant une fenétn: de lissuge de longueur L 121 points et d"une imngeue de longueur 1> = 5. La valeur de ce facteur p înOuë directement sur la nervosité de l'indice, son augmentation entraînant un lîssage def' courbes de détection. La séparation des courbes uvee cl sans rupture s'cn trouve uugmcntéc lorsque ]J uugmente, cc qui facilite le choîx du seuil de délection t\. Cependant, il cst à noter qu'augmenter p de façon trop importante occnsionnc unc réaction plu:.. lente de l'indice lors de l'apparition de !a rupture et donc un retard à la détection beaucoup plus grand. Un compmmîl-l est donc à trouver, la réduction du taux de ratisses alarmcs sc faisant au détrimcnt ùe la précision de déleclÎon. On petll constater sur la J1gure 2.12 présentant les ditTérents indit:es que ceux-ci réagissent assez différemment L'indice IS5U de ln divergence de Jensen semble en effet être plus senslhle au bruit que les trois autres proposés. Ses variations d'amplitude sont heaucoup plu;.~ marquées: la plage de valeurs prise pur les indices com:spondanlù l'absence de ruplure est bien moindre pour Inti KI>' Jnr/ KI! ou fnd v :: {facleur:} pour ceux-cl ct racleur S pour fur/Je}. Cette sensibilité pourra occasionner un fort retard à la détection si l'on veut se préserver d'un taux de fausses alarmes élevé. Ind Kt! el lnt! L2 présentent d'nutre part des évolutions similain:s tandis que IndJ(1I autorise, ÙU [ail Je la présence du terme logarithmique, une meilleure séparation des courbes correspondant aux cas avec et sans rupture. Le seuil de délcctÎon sera d'autalll plus l'acite à choisir que les indices avec ct sans rupture seronl éloignés les uns des autres. Pour huI Kil, la valeur moyenne de J'indice en l'absence (respectivement en la prél-lcnce) de mptme est proche de 0,1 (respeclÎvement 0,7). Ce fadeur 7 est, de loin, le plus important. Ces observations sont confirmées par la ligure 2.13 qui expose révolution du relard moyen il la détection cn [onction du taux de rausses alarmes. On constate en effet que léS meilleurs résultats. obtenus pour hu! {(Il' Induîscnl un retnrû de 8 points pOUf un taux de fausses alarmes nuL La con·élation. quant à elle, s'avère moins discrimÎnamt: que le calcul de hu! Hu- Enfin. concernant l'approche puramétrique, la présence d'un .saul fréquemiel abrupt induit une forte coloration ùe r erreur de prédictÎon autorisant une déteelion rclatÎvc-ment rapide. Les performances se révèlent cependant inférieures il celles obtenues pour Jnd fù;. La deuxième classe de signaux s'intéresse à la dérive d'une composante fréquentielle. Nous présentons ici les résultats obtenus à partir d'un spectrogramme uyanlune fenêtre de lissage de longueur L 121 points et d'une imugetle de longueur]J = G.
76
Décision temps-fréquence
I.J [t75,
(1,+'
4-50
650 Temps
Tcn1p~
0, 09
1
ri
0,035
0,02
0.1)3
1
0
0,[)05~1~,_ _ _~-+---~~-
4jO
650
450
~50
Tcmp",
TemjJs
~
Signa! liVC',: nlplurc Signal sans ruplLlf':
Figure 1.12. Cfllsse 1: é\lo/Itliolllles dijfénmts indices corrcspmuJallls poltr p 5 (sfJèClmgrtmmrc: L = UU
=
:Iml".)
.: lmlKt!
O_JmIJ"
ê
t;u
. CnrrdHlÎoo
4-0
0: MétlwJe pilnllllêlrill!J'~
:ü
."
.1
'"-e:': 10
1
,0
~
15
Figure 2.13.
C/(JSSi/
1: él'olwioll de l'éc(Jr! à /(/ déft'ction J... = li1)
pO/lrp = 5 (sjJecTrogramme:
DétCl'tiflii de non-stationnarités
77
Si les cnmrortemelltfi rc1atil's des différents indices restent globalement analogues, on cons laie sur la figure 2.14 que la rupture se l'ail sentir plus lard, comparativemenl au cas de figure de]a classe 1. La rupture n'étant ras franche. son influence se traduit pelit il petit sur j' évolulion temporelle des indices, Le plus petit relard à la détection, ohtenu pour 11/{!I(II' esl cie 17 pour un taux de J'ausses alarmes nul (voir figure 2,15). La corrélatÎon s'avère dans ce cas également moins discrimÎnante que le calcul de Ind Ku, Enfin, concernant l'approche paramétriquc. une dérive lente de fréquence induit une coloration plus faible ùe l'cm:::ur de prédîclÎon tl partir de l'instant de rupture, introduisant de ce fait un relard plus important il la déicciion, DiSjnnCl~
Divergence ue Küllb:u.:k
d,; KolT11ogmov
1.15
:2
O,R
"E
UA5
[1.1 ' 450
650
R50
450
Tcmp~
Divergence de Jensen
650 Temps
R50
Dislanl'è L:.; O,()Ü5
0.1175 0,05
,0,05
c, -5
'" E
E
0,025·
O.iJ25-
0' 450
~
650 Temps
xso
Dm ,,'"
450
65()
K50
Temr~
Signa! a'!t"l: rupllln.: Signa! :SUjb ruplUre
Figure 2.14. ClaSSé .2 " é\'olwioll des d~tlàelll.\· indices CO/T'_'3pondollls pour fJ = 1} (Sju:ctlVgrawn1i:o' L = 121}
L'éluùe menée SUI' la troisième classe montre unc fois encore la supériorité de lïndice issu de ln divergence de Kiillback (IudKt!) pour notre application (voir figure 2, 17), Cependant. les performances obtenues, quoique toujours m:l:cptables. sc ; dégradenl comparativement aux cas ue J1gures présentÉS aupuravunt. De hons résuhals sont en faÎ! atteints, pour celle classe, lorsque J'on peUl s'uffnmchîr des contrainles
78
Décision
tcmps~rréqueIlcc
Spcctrogramme : L"" 12l ;
r:= 5
__, 60r-----~--~----"----~~-: !mIL~
; IndKo : ImlKII 1 0: Intll e ~ ~ ~ Correlation o ; 1vIClhmk paramétriquc 1
1_.,
!
:
1
'". - =:-: - - - - -- ------ ------ - -"""'''".""" "".....
.",
::...-~:..-
Figure 2.15. Clas.\·u 2: él'ofUTio/J de l'énlrt ci la délCCTioll 1'0111' P = 5 (spectro gramme : L = 121)
qu'à panir de structure du signal. De fail, une détection fiable ne pourra être acquise du contenu du moment où la RTF de référence II' sera représentative de la totalité tative du représen soit Ir' tte l'image soit]J. que quel que, Pour fréquentiel du signal. tiel de façon signal à tout instant, il faut qu'e11e présente un lissage du contenu fréquen que de bons résulà atténuer l'inOuence de la gigue. Nous constatons sur cet exemple élevé, jJ = 20. tats sont obtenus pour de forts lissages (voir figure 2.16) et pourp assez l'utilisation du Si, dans le cas où le signal est proche de la stationnarité par morceaux, bons résullats spectrogramme s' avère particulièrement intéressante fournissant de très le cas présent, pour une grande facilité d'utilisation (un seul paramètre à régler); dans adaptée. Du fait l"utilisation de la pseudo-Wigner-Ville lissée se révèle beaucoup plus ls et fréquende la liberté autorisée par cette RTF dans le choix des lissages tempore En conclusion, tiels, son utilisation permet de mieux s'adapte r à la situation traitée. les deux presi l'utilisation de la pseudo-Wigner-Ville lissée ne se justifiait pas pour orer nettemcnt mières classes, en revanche, pour cette troisième. elle permet d'améli lissages impoles performances des indices en regard d'un spectrogramme. Les forL" stationnaire, non sés tendent en fait à « transformer)) le signal, initialement nettement également à des en un signal stationnaire par morceaux. Cependant, ils conduisent (voir figure indices moins nerveux cl répercutant la rupture avant son apparition réelle détectio n: de 2.16). Cela entraîne donc en parallèle une dégradation des performances encore /"ois une un compromis est encore une fois à trouver. La corrélation s'avère permet qu'elle er moins performante que l'indice Tnd KH' On peut cependant remarqu s entre RTF d'about ir à de meilleurs résultats que ceux obtenus par certaines distance s obterésultat les cas telle que Kolmogorov. Enfln. nous ne présentons pas dans cc e des contcxt du effet en nus par la méthode paramétrique. Celle dernière classe sort Pour e. proposé e signaux stationnaires par morceaux, cadre d'applic ation de la méthod
Détection de non-stati01111arilés
79
tenir compte des légères variations de fréquence dans les zones réputées stationnaires cl ainsi obtenir une quasi-blancheur de l'innovation avant rupture, cela sans poser de modèle {/ priori d'évolution des paramètres, nous avons imposé dans l'algorithme un coefficient traduisant l'inadéquation du modèle et du signal. L'algorithme d'estimation s'adapte alors également aux changements de fréquence induits par la rupture rendant la détection difficile. Le test de blancheur de l'eneur de prédiction est donc inadapté dans ce cas. Divergence de Küllback
Distanee de Kolmogorov 0,6
0,7
c
0,-1
n,5 ~
-5 .=
~
c - 0,2
0,3
0,1 450
650 Temps
0
H50
450
650
850
Temps
Divergence de Jensen
10<\
0,055
Distance L:!
175
0,04
12
, .0
" -5
.=
.=
0,015 0
450
650 Temps
H50
6,5
450
650
850
Temps
- - Signal avec rUjlture -es=e-- Signal sans rupture
Figure 2.16. Classe 3: él'OllItioll des dWërcnrs illdices corrcspolldallfs pour p = 20 (psclldo- Wigller- Ville lissée: LI = 201 ct Lr = :31)
2.2.3.1.3. Conclusion Cette étude, menée sur des signaux synthétiques, nous a permis, d'ulle part. de meUre en évidence l'influence du choix de la distance entre RTF sur les résultats obtenus. Il ressort de cette analyse que l'utilisation de la divergence de Küllback aboutit à la définition de l'indice de stationnarité le plus performant. D'autre parl, cette étude souligne les avantages, mais également les limites, cie la méthode proposée. En effet, tant que les signaux étudiés ne sont pas à trop large bande, J'indice de stationnarité issu
80
Décision lemps-fréquence
60
ê
·as -10
-.
"
lm'!", 11\.!KU
.v '"' ':··,·1 lJlt1t~
~ ~ -
(OITd,llhHl
,~
v
-" ,~
Fit.,llirc 2.17. Classe 3: emlmùm dt: l'ccal'! il Ja détecfÎOI! pour p = 20 (p5end(l~Wi.t:!lcr-Villc!i,vsic: 1.,/ 201 ('/ L f al)
Je la divergence Je KiHlbilCk s'avère particulièrement approprié pour la caractérisation de ruptures, 1es diverses comparaisons avec d'autres rnéthode:; (nol1 paramétrique cl paramctriquc) présentécf) dans rclte section concluant toujours il son avantage.
2.2.3.2. SegillclIllItioll Nous présentons. Jans ce paragraphe les performances de lïndke issu de la divergence de KU1Jback dans le \.:as de la segmemation d'un signai musical. Le problème général de l'écriture automutjque d'une partition il partir d"un cnrcgÎstrcmcnt audÎo n'est pas résolu il l'heure acluC'l]c. Le signal étudié ici correspond h quelques mesures de Summerrime de Gershwin ~ la cl<.lr1nette avec accompagnement de piano. Le signal traité possède. après décimation. 20626 points échantillonnés fi la fréqucnce .ft: 2 7[iûHz. Le spectrogramme calculé lors de cette étude possède une renêtre de lissage L =- 1 iJl. La figure 2.18 préseolç le signal étudié ainsi que l'indice correspondant CI le seuil de détection utilisé.
joué
=
Afin de tester lil validité de nos résultals, nous avons cherché il <, reconstruire)) la partition il partir de J'indice Je :segmcntation. Pour cela, nous avons silTlplement inspecté le comenu spectral de chaque segment et nous avons conservé les composantes fréquentielles les plus énergétiques. Le resultat obtenu il punir de Ind Kil est présenté sur la figure 2J9. La partHion recoll.'ÎiruÎte y est présentée sous la formc grille utilisée dans les logiciels audio/M1DI (musical ÎJ1strull1elll digital imeI.1àcc). Les plages colorées corrcsponocnt aux nO[es présentes duns chaque $egmenL Pour chacun d'eux nous avons attrîbué la couleut' la plus foncée à la fréquence la plus énergélique, Ce
D~lccjiun
de non-slalioDlmrilês
RI
Signal musical
o
JUt,jl o
0.2
~
. r'i
IL\AtJi~j
1
- - -J-t
DA
1.8
2 10"
Ji'igure 2.18. E)'o!mioll tcmpore/le du signol Cl indict' f'ornwpondom {lm/ 1\'" j '-mi
ré si
·~Jo
·--snl mi
fa ré si
__ do sol ----mi
fa ré
dl'
si
sol mi
fa ré
_~ tIo
sj
snI
fa ré
mi do
Figure 2.19. Partitiou
n'cuflsrnJÏlc
à partir de Indiù, (sollsItlfll/i.' de' grille)
Dtcision temps-rréquence
82
~
':::"'::= si è:':":'='"
I-~
..
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..
'. ~t.::::=-=c, do
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Fjgu re 2.20. Partit jOlI nrigirrah:
-___ r
__
•
~ ...I_h~
(smfsjtJl1I1C tle
__ . .
-_.
- - - ..
M~MM
___
•
do
grille)
ment exploitable reconstruire une partition parfaite procédé n'a pas la prétention de eme nt essayé seul s avon s de l~ouricr rapide. Nou à partir d'un e !>imple transformée de segment!:\e hod mét telle vait accorder â une de quantifier la fiabllilé que l'oll pou re 2.19 que le icaux. On peut con state r sur la figu lion pou r l'an alys e oc sig!1tlUX mus ), Les écarlS la partition de départ (voir figure 2.20 résu ltat obtenu est très proc he de ion du mor ceau . e des notes, sont dus il ~ïnterprétal observés, nota mm ent dans la duré il été joué . on ceau mor le t en effe lla manière don Le processus mis en œuv re traduit note la plus ta de c aqll Patt à mise en plilce (retard peUL constaler ici déS déraut:;. de cnlation egm 5urs de ènes nom présenlent pas de phé grave par exemple). Les indîces né oniq ues harm les n enfi Uve relro choisi faible. On bien que le seuil de détection ait été seraient ssés pou plus p cou beau al. Des tral1cments efrectivement présents dans le sign utées ct exéc nt cmc récH s note les séparation entre nécessaires afin de permettre une de stationnnrilé e effectuée ici ft partir ùe l'll1dice leurs harmoniques. Enfin. l'an alys signal et donl la à banc de filtres indé pen dan ts du utilise ùes estimateurs spectraux tton d'es tima \a fréquence considérée. L'uti1isa forme est identique quelle que !\oit rrait s'av érer de ia struclure du signal étudié pou teurs tenant spécifiquement com pte de de fréquence nt alors au signal ainsi qu'à la ban intéressante. Ces IHtres s'ad apte raie i-too. con sidé rée et corrL~pondalll il un dem s de l'ind ice trent bien les bon nes pc:rfonnnnce En conclusion. ces résultals illus ère adaptée s'av n satio utili Son lŒl1back entre RTF. issu du calcul de la divergence de
Détection de non-slatÎnmmrilés
lB
à la segmentation de signaux stationnaires par morceaux vDire de signaux à bande étroite.
2.2.4. COlle/usiou Nous nous sommes ïntéresst.3s tians ce travail à lu détection de changements brusques dans le contenu spectral de signaux. Deux contextes de {ravail bien différents peuvent êlre rencontré;.; lorsque r on aborde cc type de pmhlèmc; Ja surveillance et la -segmentation. Pour chaque domajne (l'application. nous nous :mmmes uHuché-s fi mener il bien une démarche allant de la propositîon d'indices innovant;; à leun; applications sur des signaux symhéliques ou réels. Le déploiement de r information contenue dans Je signal sur un espace ù deux dimcnsÎons (temps et fréquence) permet de mieux traduire les phénomènes non stationnaires mis enjeu et s'uvère parlicuHèremcnt inléressanl dans une optique de détection. Pur rapport aux approches paramétriques. les RTF ofrrent plusieurs degrés de libertés permettnnt de s'affranchir quelque peu des contraintes de structll1'e. n ressort de ces essais que l'utilisation de la divergence de Killlback aboutit aux lI1eilleurs résultats.
2.2.5. Bibliographie rAPP 831 ApPEL U .• BRANDT A.V., ,{ AtlapuüÎve scqucntlat segmentation of picccwlsc stalio~ nat)' lime series ", hfformatioll Sciences, vol. 29, p. 27-56.1983.
971 Ar..;GER E. FLANDlHN n:fcn!llCt! guide, juillet 1997,
[AUG
P.. GONÇALVES P., LEM OlNE O., Tim('~!h:'lftellcy toollJOx
[BAS 83J BASSEVILLE .YI., BE!\VENISTE A., ({ Scqucllll:ll dc{cctfon of abrupt changcs in !fpec!ral clmractcristics or digital sigmtls ", IEEE Trtlll.WCJÙJfI/;' on 11!(urmotioll Theol)". voL 29, Il'" 5, p. 709~724, septembre j9~3.
[BAS 89J BASSEVILLE M., (' Distunt:C measures J~)r signai prm:cssing and pattern tion H. Signal PmcessÎl1g, vol, 18. n" 4, p. J49~369, d!5cembrc 1989.
rccogni~
[BAS 93J BASSEVILLE !'"t, FLANDRIr"; P.. MARTIN N., et al, " Signaux mm sllllionn..ïres, analyse temps-fréquence el segmentation H, TraÎJemCI!( dll Sig1WI, supplément. vol. 9. n" 1. Jan.... ier 1993.
[COH 95/
COHEN
L. Tillw"Frequcln:rA.naly:âs. Prcntkc Hull. 1995.
ICOS 95] COSTA A,H" BOUDREAUX-BARTELS G.F., " Design of tîme-rrequency f('prcscn~ tutions using a multlfonn. tiiWble L'xponential kernd j'. tEE/:.: Tml1Stlt'fiuns Ol! Signal Pro('c:;sing. vol, 43.n" 10, p, 2283-2301, octohre 1995.
[FLA 931 FLA>':DRIN P..
nmtp.\'~!iï.YIUL'IICe,
Hermès. Paris. 1993.
[LAU 9H! LAURENT H.. Détection de rUplures spectrnles dan;\; le plan temps-fréquence. Thèse
de dOèlnmt. Université oc Nantes
Eço\c centrale de Nantes, novemhre 1998.
84
Déeisilm !.emps-fréquence
Allalyse spectrale. [MAR 03] MARTIN N" v Minîmum de variance ';', danlô Castanié F, (dk), chapitre 7, Tmité le:!, HenH(::>. Paris. janvier 20o::t bascd distunce and lMIC 941 MlCHEL O .. BARANtCr\. R.G,. FLANDR I:'-I P,," Timc-frequcncy wlJ 011 Timc5:rmposl imwl lllœn/(/f IEEE II/(! {Jf illgs divt!l"gence mcasurcs )". Jno') Procecd is. i994, EHli~-Un phie. Philadel 64--67, p. . 11nnlys{s /e cy and TÙl1c-Sm FreqllL'J/
l,. {( Detection ofhurnan reflex [POl 951 POIGNE T Ph" GUGLIEL:YlI M .• VOZEL B.. RICHARD (~r lCk~'SP '95, voL 3, j'cspl1lïse 10 a . . tretch musculuf perturhùlhm ". dans Proccedillgs
p.
1931-19~5.
DClroil. Etals~Ullis, mai 1995.
de rupturcs specl VOZ 941 VOZEL B.. Elude comparative d'algorithmes récursifs de détectjon 1994, E:vrîcr Nantes. Nantes. de té trale};. Thèse de doctorat, Universi
2.3. Détecti on de transito ires par ondelet tes a
donner que La définition d'un signal transitoire n'exisle pas et nous ne pouvons transitoire lertnc Le . sjgnaux tels dé les élêmenls qualitallfs pour préciser la nature ent dit, Autrem ation. l'observ de e l'échell évoque la brièveté du signal par raprort à 3. Section rétligêc par Pierre-Olivier AM!3LARD el Philippe
RAVIER .
Déteclion de non-stationnarilés
85
lorsque l'on ohserve un signal noyé dans une observation de durée T, le signal est bref si son support esi très inférieur;) T. De plus. les transitoires sont souvent issus de chocs divers et préscntentùcs résonances marquéc~. Ainsi, dans la suitc,un transitoire est un signal o!'.ciHanl. bref à l'échelle de l'observation. A titre d'exemple, la figure 2.21 présente un signai transitoire et son spectrogramme (module cnrré de la transformée de FourÎer à court terme), SUl' celte figure, la bonne lncaiisation tcmporel1c el fréquentielle du transitoire apparaît. L'énergie du transiwtre esl assez bien concenll'.?c temporellement ct son caractère osdlhmt est rêvélé ü travers quelques résonanceR bien localil'lées en fréquence,
Figure 2.21. Un transitoirc el SOli spectrogramme rie lemps est ni obscis.w!, fesfréqucllces (w ordoJlnée). On remarque ln Très bon/lc localismiofl tcmps~fi'éqlfe1fcc du traJlsitoire. Le découpage rignlÎcr du pla/} (cmpsjhftjw!l1c{' por h' spectrogrammc cst~n bicn (Jda!,lé :-'
Les signaux tnmsltoircs appm-ajsscnt dans des environnemcnts bruités cl peuvent être très diff1cilement décelables. Le bruît csl en général additif. mais Ra nature peul être mal connue. Il est clair qu'clic dépend des applications traitées. Par excmple. le bruit de mer est consjdéré gaussien (Où presque) et est coloré.
86
Décîsion lemps-fréquence
2.3.1,1. ContexTe de détection Les problèmes de détection se posent souvent statistiquement en tenncs de tests d"hypothèses ITRE 68]. Lu détection de transitoire peuL sc rormuler comme une décision à prendre pHfmi les deux hypothèses fIo cl III délïnies par: H"
!I(I.) = b(t)
H,
yU)
,,,(1) -1- b(t)
Ol! l'observation !lU) e'l disponible dumnlllne période T, Le signal b(t) représente le bruit et ,rU) est le transitoire ü détecter. Son support CHi bien sûr [rès inférieur il T. Que l'approche pour le lest soit bayésicnne ou de Neyman-Pearson.la statistique essentielle il évaluer est Je rapport des vrniscmblances de y( t) sous les hypothèses lin cl Ih. Le calcul de cc rapport requiert la connaissance des loîs de probabilité de l'observation conditionnellement aux diverses hypothèses. Dans un cadre plus généra] de détection, le signal à détèctcr est paramétré. dû sorte flue les probabililés conditionnellement <.lUX hypothèses soient Calculables. Si les paramèlres. du sjgnal sont inconnus, la procédure de détection s'adjoint une étape d'estimatjon. Ce genre d'approche est ulilisable dans les systèmes de détcctjon actifs pur exemple, pour lesqueÎs un signal est émis, interagit avec un milieu el est il détecter ensuite. Le problème de la délcc1Ïon de transitoire considéré jei n'entre pas dans ce endre, muis relève de lu détectlon passive. Autrement dît, nous cherchons. un signal de forme inconnue (et donc li priori non paramétré) dans du bruît. Le problème est donc djf'icilemelll ({ théorisable ;> el des approches plutôt empiriques sont adoptées. De plus. dans de nombreuses applicatîons, lu détection doit se fnire au cours du temps. Celle contrajnte impose au détecteur d'être séqucmicl et il doit être récursif ou au moins s'~valucr par bloc, Enfin. IIOUS nous plaçons dans un contexte de très raible rappon s1gnal ft bruit. Cc rapport est évalué ùans le support essentiel du transitoire el est leI Clue le signul transitoire est diflkiJemenl décelable à l'œil. A tïtre d'éxcmplc.la figure 2,22 montre un transitoîre à détecter dans un contexte difficile. Le signal non bruité upparaît dans le panneau mihcu. nJol'S que les hypOlhèséS 110 et If l sont représentées sur les panncaux haut et has. Le pmagraphe suivant présenle quelques approches Je détection, '2.3.1,2. Qlfelqlfes allprOt."hes de détection
L'idée la plus sltnple pour détecter un transitoire dans du bruit reposc sur J'hypothèse de stationnarité du bruiL Cette hypothèse est généralement admise, el dans de l1ombrcusc:i ùppHcations elle semble assez bien vérifiée. Dans celte oplÎquc, le transilojre est une non-stmionnarüé qu' il rUUl meUre àjour. Pour ce raire. un enJeul cl' énergie au cours du temps peut ètre intéressant Cette approche simple ronctionne assez bîcn lorsque le rapport signal à bruit est assez fort, mais donne de piètres résultats dès que
Détection dc non-stationnarité;;
87
Figure 2.22.1::xemplt' dl~ Si,~lIilf trallsitoire fpmwcau milic/I) et obserl'arirms d(! deux hypothèses: lmlif seul ef brui! (uidirimlllé du tnmsiwin'. Le l'apport sigual à bruit est m\sfaiblc' Quel l'molf'ml pOlir quelle hYjJO{hèxè?
le rapport signal à bruit esl faible. Des rnf11nemenLs peuvent être appurlés en considénmt par exemple deux temps- ct' intégration ditTérenls. en prenant en considénllion la coloration du bruil, etc, L'hypothèse 11 prendre en considération également est la gaussianHé du bruit. En effet. le bruit provenant de J'addition de multiples phénomènes. îI est en général considéré gaussien. Sî l'on replace Je signal trum~itoil'e dans Un contexte slatîstique, îl est éVIdemment non stationnaire, mais également non grI.UR:üen, Délecter le tm!lsltoirc revient alors à chercher un écart à hl gaussîanil~ dans l'obscrvullon. Cette
SS
Déch;ioll temps-fréquence
Une approch e roncrccberc hc repose sur l'Ulilis~üion de statistiq ues d'ordre supérieur, [DUB 97. H1N 90J. tionna" , très biclluli lise I"allalys" bispcctr ale ct le test
de ceHe technique clltemps rée] [DUB 97J. Jes signaux Une dernière classe d'appro ches tui!ise les outils spédlîq ues d'étude e du sign<.tl réquenc temps-f lLation rcprésel une uer non stationn aires. L'idée est d'effect e est d'efproblèm Le tution. représen la de partir ct de calcule r UlllCS.t dîrcctem ent il adapté. t11tmge du m maximu ai! her rapproc se pour fectuer la transformatl0 n adéquàl e ondeou rme courlle Fourier type du les iltomiql Par exempl e, si des décomp ositions au possible plus le ler resscmh devront ) base de «( s lelles sont atloptêes, les fonc!ion inté~ est 921 lFRl MeSSer cl Fris.ch de e approch Il transito ire à détecter. Dans cct esprit. tcs. Un détecrcssantc ct repose sur rutilisa tÎon d'un catalog ue d'ondel ettes dilTéren le domajn e dans pé dévelop est isé général blance teur fondé sur le rapport de vraisem e jouant à approch ceUe ù te inhéren lion sa maximi la des coefficients en ondelet tes, évident est H ue, catalog du les onddet les stl!' cl eslimer 1a rois sur les puramè tres LI ue catalog du s fonction les où cas le dans s résultat que celle techniq ue donne de bons s'appro chent du transito ire. qU{. ~ les Ce petit panoram a n'esl évidem ment pas exhaukür. Toutefois, H montre
non-sta tionnuri té )-, prindpe s de déteclio n de lnmsÎl.olrcs reposen t sur les mOl,,-clés ( e utilisan t les ou (<, nnn-gau ssianité 'J. Nüu~ allons mainten ant présent er une méthod s pour révéler au deux mots-cl és. Des représen tations tcmps~rréqucnce seront utilisée supérie ur seront mieux la non-sta lionnari té du transito ire Cl les statistiq ues d'ordre introdui tes pour tirer parti de la non-gau.ssianité des transito ires.
...rréquellce 2.3.2. lllle approc ltefolld ée SUI' llJl pal'IitÎmH1emelll du plall temp"i' nt montre qu'un Le panomr na de détecteu rs de transito ires du paragra phe précéde gallssianit~) et détecte ur de transitoÎre utilise les. proprié tés du bruil (stationnnrîtê, ). De plus, kt les non-rl'opriété~ du transHDÎre (non-sta tÏonnarî té, non-gal lssianité el !\,1csser soulign e remarqu e raile sur le nllrage adapté dans la méthod e de Frisch le dévelop pement rîmpor tancc du choix d'une représen tation lemps-f requenc e dans réquenc e semble d"tm dét('ctcur, AUlrcmcnl dit. le partitio nnemen t du plan temps-f L'idée présent ée ici être une notîon très importa nle pour la déteclio n de transitoire.
Détection de
non~~;\ationnarilés
utilise intensivement cette notion. Le paragraphe qui suit ùonne quelques rappct"
89 ~llr
ce découpage. 2.3,2.1, No/ion
,Hf/'
le découpage du plaJllCiIlps~tliq{h'llcC
Dans les années 19:20. HeIsenberg arrive ~l la conclusion tlue la posilion e! l'impu)sion d'une particule ne peuvent être simultanément mesur':cs avec une infinie précb;ion. Pîre, 11 t:onclut que 1tt connaissance de la vitesse d'une particuic interdit la connaissance de sa posilion (cl réciproquement). ~1athémaLiqll(,ll1enL cda vient du fail que la vitesse ct rimpul"ion sont de& vnriables conjuguéc& par lransfonnée de Fourier. Gabor réinterprète cc résultat en termes de signal. pour conclure qu'un signal ne peUl pas être b la fois infinimenl bien localîsé en temps et en fréquence, Pour cles signaux d'énergie IlnÎe. ce résultat est traduit par des relalions (fincerlitude. appt> lée:. relations cie Heisenberg-Gabor clans 1.1 communamé des traiteurs du signaL Ces relations s'écrivent:
D'li D.tt représente l'écarl type du module curré du signal (normalisé en énergie) dans )a représentation u. PrnliqucmenL Ll,u est une mCl'iure de lm:alisation du signal dans la
représentation
1/.
Les rclmions d'incertitude sont très importanles dans la notion de phm tcmpsfréquence 1FLA 93J. Toute méthode lemps-fréquence (ou temps-échelle en rêférencc aux ondelettes ou à la dasse affine, induit un découpage du plan qui n'échappe pas aux relations dïncertÎtude, POUl' ehuque méthode. on pourraït (au moins en pensée) associer un signal qUÎ optimise le produit l::.( L'lu. Un tel signal est souvent dénommé logon. Pur exempte. dans l'analyse de Fourier II courllcrme. le lagon (dit de Gabor) est un sign<.ll de forme gaussienne. L'encombrement temps-fréquence vaut alors 1/477. Lorsque le lagon de Gabor ne se situe pas autour de la date 1 = () ni autour de la fréquence JI = O. l'image lemps-fréquence est lH même ft une translation prè;.; et l'el1combremenllcmps-fréql1cnce reste idenlique. On a alors pOUf habitude de- représenter }c pl un lemps-fréquence sous forme découpée par des rectangles ideniiquct\ qui fradl1isent l'encombrement du logolJ (voir Hgure 2.:23, panneau supérieur gauche), Mais d'autres types de découpages ex.istent. Par exemple, la Lransfonnéc en ondeleue induit le découpage dyadique (figure 2.13. panneau supérieur droit). Dans ce cas. les rC'ctnngles ne sont pas identique5, mais leur hauteur croît uvee la fréquence. Les relations de Heisenberg-Gabor ne pOllvanl être violées. leur largeur décroît avec la fréquence. de sorte que l'aire des rectangles reste constante. Ce découpage est assez intuitif. La transformée en ondelette révCle la bonne localisatÎof] fréquenlielle de phénomènes lents (et donc délocaHsé.s en lemps) cl ln mauvaise localisation fréquentielle des phénomènes rapides (mais hien localL"és en temps),
90
DédsÎon temps-fréquencc
r
f
,
r
1 1
_.
l,
1 :i
..
_---
1
Ondeleues
Founer court térme
f,
f
•
,-
---
Ll
;;; Actif
Ondelettes de Mulvar
Passif Paquets d' ondelcHes
FibTtlrc 2.23. Illlls/rafi on du dL'coupage du plun felllps:fh'qHeJJty' huillif par
l(llr(m,~'r()rmé<: de
supérieu r ,î!t/ftcilc}. par la tnnt.~/{),mée CIl ()Iule/eue dyadique FO(lrÎcr il ((Jl/r! ferme exemples de décOJljJagL' jlrOl'()(f1wIIJCa!l supérieu r draiIJ. Lcs pwmeuu x ill/ëriew' s dOlmcm des , (Claudœ) Mail'a, de 'Illés /)(/r des bases de paquets tf'rmdt'/etœs (dmit) cl (jJWlJ1CaJi
întéressés t\ Au début des années 1990. Coifma n. Meyer el Wickerhauser sc sont ages découp Ces 941, WIC 92, IMEY ee ù'aulres découp ages du plan lemps-Ih:!qucn s analyse ~Çs dans que Alorll 2,23. figure ln apparaissent sur les panneaux inférieurs de ridée liées, sont ce fréquen el temps Fourier court terme et ondelette: les variables une scgn1cnlaest ici d'avoir une variable aclive, l'autre élant passive. Pratiqu ement. tation de la segmen lu induit qui tion est cffcCllléc sur la variable active. segmen lation en ondemées transfor les sont travail yôrîable passive-. Les transformées réalisant ce ettes Oa d'ondel paquets en ct active) lettes de iVlalvar (la variable temporelle t. est le est ensemb leur lor:.que . forment cs variuble fréquentielle 11 est active). Ces ondc1eU théorie La finie. ie d'énerg signaux des ble bien défini. une base orthogo nale de l'ensem rWJC 94]. ct Ics problèm es d'impla ntation de ces tnmsJol1nées sont décrits dans flgcs possibles L'intérê t de ces ondelettes est de propoNcr un ensemb le de décoUp age partidécoup un du plan (une segmen tation particulière de la variable acüve induil choix de un ière. culier). Ainsi. face il un signal à analyse r ou à UIlC application particul est a101i'; crîtère Un . découp age du plan temps.-fréquence peut ct/ou doit ~tre effectué e, à exempl Pur tion. détîni pour obtenir le découp age du plan adéquat pour r i1pplica r4:1pidc me algorith un des fins de compre ssion, un critère enlropiq ue peul être adopté et au découp age permet la décomposition en ondc]ettcs qui optimis e le critère et conduit
Dêt~ctlon
de non-stationnarités
91
cherché. Dans le paragraphe suivant, nous cxpliquon;.: le principe des paquets d'onde-
lettes.
2.3.2.2. Paquéts li 'ondclclfcs La théorie def> paquets d'ondelettes peuL se voir comme une extension Je lu théorie des ondelettes, De nombreux ouvrages existent aujourd'hui dans lesquels je lectellr trouvera les détails de la théorie des ondelcues [DAU 92, FLA 93. MAL 98J. Les paquets d'ondelettes sont décrits dans rMAL 98, WIC 941. La présentation que notls en faisons mcl rU\.:cent sur le découpage du plan temps-fréquence qu'induh une base de paquets d'ondelettes, Commençons pur un rappel sur la décomposition en ondelettes.
Décomposition en ondelettes Dans la vision ({ analyse rnuHiré;,olution », une décomposition en ondelette consiste li représenter un signal par unc approximulion il une certaine échelle et par les détails qui permettenl de reconstruire le signai orîginai en complétam l'approximation. Pratiquement, la déemnposition en ondelette est un processus récursif décrit par la figure 2.24. Partant d'lm signaJ discrct :r(n), on obticnt les coefficients (l'approxinmtîon en uppliquanlun fiItre passe-has numérique de réponse impulsionnelle h(n) et en sous-éclmntHlonmml ù'un racteur 2. Lcs détaîls sont obtenus par un filtrage passchaut dc réponse impulsionnclie !J( n) suivi d'un sous-échantillonnage par 2. Les fi Ilres h et 9 sont des filtres miroirs en quadrall1rc IDAU 92, MAL 9R1. Les détails obtenus sont gardés en mémoirc ci l'approximation est il. nouveau séparée en approximation ct délail. Dans unc perspective temps-fréquence, l"approximation correspond aux hasses rréquenceset les détails aux hautes fréqucnccs. A la dcuxîèrnc étape, les détails corl'espondent donc aux hautes des basses frétluences. Ainsi, 11 une échelle donnée, les détnils corrcspondent à une handc rréquentielle bien déterminée. De plus, d'une échelle à une autre, la largeur de bande: cst divisée par deux, cl par SuÎtc rînccrtÎlude temporelle est doublée. Le pnvagc temps-fréquence associé il la décOl'nposition en ondelette apparaît cn bas de lu figure 2.24, Cette figure esl Îllllettre en regard de l'arbre dt; décOinposilion en ondeleHe. Les b':l!1des fréquentîelles contiennent les coefficienis de dét;üls. Sur le découpage. on s'aperçoit de lu correspondance échelle -------" fréquence: les détails des petites éçhcllcs çOlTespondcnt aux hallles fI'CqUC:llCC~ et les détails des échelles plus grJndcs correspondent à des fréquences plus basses, Enfin, lu bande fréquentielle de plus basse fréqucnce contiCnl les coc:mcients ùe la demière approximation obtenue. Notons de plus que conformément aux incertitudes d'Heisenberg-Gabor. la locnlisaHon temporelle est en raison inverse de la IocaHsation fréqucntîellc, La transformée en ondelette provoque donc: un découpage dyadique de J'uxe fréquentiel. Ce découpage est issu du Jîltrugc pal' Ir ct fi de l'upproximalion et le sous-édmntilIonnage d'un facleur 2. L'idée s.ous-tendant Jes puc!uet:-. d'ondelettes est de iHircr égalcmclllles détails. afin de couper en deux ln bande fréquentielle qui leur eKl as.sociée.
91
Déi.:ïsion
tcmps~[régucnce
Signal
® dl
d2
d3
Echelle 1
d4
Echelle 1:
&:hclle 3
Pnvag.e associé
,~, Figure 2.24. :-\l'lm! de ddwwpo sÎtiun cn ondelettes cl pal'ogc du l'hm rempsJréqHcnce ax,l;Qcié
Dérom po ... ilion en paquets d' ol1(le!cttes On considè re un Le prindpe des paquets d'ondel ettes est illustré 5ur la fi,bT1lfe 2.25. N ~. 1 où lV est un entier positif. L'applic ation 0, .... 2 signal à temps discret ,r(I!). n te aux approxi mations . mais est cgalcm enl effectué e œ'strein plus. n'cst cr!J h des filtres de l'arbre corsur les détails. L'arbre est ainsi complè temenl dérouléS . Chaque nœud s s'interp rète trc pummè Le respond ~ un paquel d' ondeleHes qui s'écrit 21
Détection tie non-stationnarités
f
93
0, " ' 1 2'" - 1 ct correspond à une nolion de fréquence (bande fréquentielle asso-
dée au paquet d'ondelctte). Notons que f correspond bi;:n ù une fréquence grâce il l'application adéquale des filtres Il. et fi: lorsqu'un nœud indicé par f esl pair.l'application de " pUIs. la décimation (Ioonc la purlie basse rréqueocc de la bande fl'équentiel1c ussociée au nœud, alors que pour un nœud impair l'application de h puis: la décimation donne la panh:! haute fréqucnce, Dé même, lorsqu 'lin nœud est pair, J'application de il puis la décimation donne la parlie haute fréquence de la bande rréqucnLiclle associée au nœud. alors que pour un nœud impair, r applkatïon de g puis 1a ùêcimallOri donne la panic basse fn:qucnce. CecÎ est dû à la périodicité des réponses fréquen~ ticHes des filtres numériques Il el .Il et à la déchnaliol1 qui provoque la contraction de ces: réponses (voir fMAL 98. W1C 941). Ainsi. contraircmclll il rlntuition, le n1tre il (respectivement g) se comporte lantôt comme passe-blis l,respectivement passe-haut), tantôt comme plisse-haut (respectivement passe-bas), Les coefficients contenus dans un llceud correspondent au proùuit scalaire entre le paquet d'ondelette retardé elle signal anaJysé :
Sur l'exemple de la figure 2.25, nous avons représenté l'urbre des p d'ondelettes fz.'!j:l (If J{2"n ~ k)} ,".fj: ne peut être une base orthogonale, Pour obtenir une base orlhogonalc. il faut extraire de cette ramÎlJe des paquets de sorte que les indices 8, J associés génèrent une partilion {[2'"f, 2'U + Ill} dc J'axe fréquenliel. A litre d'exemple, nGU, avons choisi une balle orthogonale particulière, illuslrée par les nœuds en trait gras, Cc choix provoque le découpage du plan temps-fréquence présenté ml bas cie la figure 2,25. Cc choix est tom 11 raÎl arbitraire, ct d'autres hus.es orthogonales. done d'autres découpages, auraient pu êlre présentées. Cet arbÎtraire rail toul l'intérêt des paquets d'ondelettes, puisqu'un arbre de décomposition correspond en l"ail il un catalogue tic bu:';es orthogonales ou à un catalogue de pavages du phm tctups-fréqucl1cc. Ainsi. confronté II ulle npplication parl1cuHère, le traiteur du signal peut choisir dans le catalogue lu base adéquate. Evidemment. rnutomatisation du choix de la hase pass.e par un critère de choix de base.
94
Déci:-;ion lemps-fréquent'C ._ ...
~
_~
()j!)
~)~.
1
Sî,;!flal
x15) ,(6) ,(7) x(S) :
@il d3
Echelle t
d4
il "
© ddl
dd2:
Echclle 2
\ il
dad
[:J
EchcUe 3
ddt
Pavage associé
aux paquets !'cte-nu:> (cases grasscs)
u'mpsCH lXltfHCIS d'muidc th:S i,!t IIIJ pOl'Oge dll plan des opératcu rs Il associé li mu: base ofrlwgor wlc !T'tenue. Il falll noter l'ù!\'l'fslrl/l êciutnlW eS/llécessaire fiOUl' ('/ 9 lorsque le IIIL'/I(! CS! impair (ii II//(! pn~rm1tlellf' donnée). CeF bieu ù l'l1.l:'c dc,\)hfquci1ces llld corre.\'fJc dmmée lll' p}'t~ro/lde aS,mret que 1'(L\"c }wri:(mr af li WlC (IIIX pmblèw f's dc rcplielllCl 1J dnlfc Cf lon déci/mU fa li dft esi Cc'ci 9-Jj. \VIC {MAL 98, MErV2, ucs. -les.filTr es Iwwériql lêS Il t:/ [1 ofll des l'épouses fi'écJllcllliellcs périodiq
Figure 2.25. Ar/nT! de décomfJo'sitioll frCfJlICIHY'
Critère de choix ùe basc
d'un criChoisir une hase dans l'arbre de décomposllion repo~c sur I"utilisaüon lièrcmcnt ct les lèrc. Lorsque le crîtèn.: est associé fi un coût C. 1" arbre est dérou lé en nce .alors au plus coûts de tous les mcuds sont calculés. L'algoriLhmc de choix comme fils il celui de leur père, profond de j'arbre, en compar unlla somme des COÛLiÇ de deux
Détection ùe non-stationnarilés
95
La règle de sélection esl alors : si e(père)
>
e(lils 1)
si e(père) ,;; e(!ils 1)
e(fil, 2), conserver les fils: fission
+ e(îils 2),
conserver le père; fnsion
CeHe façon de procéder assure que les nœuds retenus correspondent il une hal'é orthogonale. Un eotn clussique est une S011e d'entropie dl.! Shannon des coeflTcienls, coM en générai choisi pour des ohjectifs de cOll1pn~ssîon [MAL 98. \VIC 941, Mais des critère:; de sélection ne reposanl pas l'ur l'évalumion de COÜl peuvent être imuginés, Dans cet esprit. nous exposons dan~ le paragraphe suivant le critère de segmentation retenu en vue de délecter des signaux lransitoires.
2.3.2.3, Jrlérlmdologie de défection L'idée sous-tendant lu méthode de délec[ion Je trunsitoire présentée ici est 1" oblention d'un découpage du plan lCl1lpK-rréquence udapté au transitoire. Autrement dit. nous souhaitons que le découpage du plan soit fin d.ms leI' zones d' existcm:c du transitoire et sOÎl plus Wehe dans les zones du plan nc contenant que de l'information relative nu bruit Nous nOlis concentrons dans la suite sur le découpage du plan tempsfréquence issu d'une décomposition en paquets d'ondelettes. l'utilisation des onùelettes de Malvar étant décrile dans [RAY 98a, RAY 98bl,
Nom; supposons le bruH gaussien (ou p1'l.:sque). Unc ùécompositlon cn paquets d'ondelettes élant une transrormation linéaire. les cDcmdcnls en paquets d'ondc1ctlci" associés au bruit sont gaussiens. Par contre. les transitoires étant fortement oseiHanls et bien localisés èn temps. leurs cocllïcients en paquels d'ondclcues sont Ires impulsjfs et donc fortement non gaussiens (cette remarque implique que l'on replace le transitoirt! dans une modélisatiolll'lochnsüque), Le critère de choix de la hase repose alors sur un crÉtère de gaussianité. an souhaite que les bandes fréquentielles adjacentes gaussienne.\ fusionnent cl que Jes bnodcs adjacentes non gaussiennes ne fusionnent pas, Le critère est alors 1RAY 0 II : Fils gaussiens alors fusion Fils non gaussiens ou un ms non gaussien alors fission Cette stratégie permet d'obtenir une segmcntalïon adaptée au signal transiloire, Le critère de sé1ection de base est donc fondé sur un test de gaussianilé. Tester que des échantillons sont distribués suivant L1ne loi gaussienne n'est pas triviuL De plus. les bandes fréquentielles analysées duns le problème traité ici pCUvênt eompolicr un nombre faible de cocnkients, ccci inlerdisant l'utilisation de résulLals asymplotiqucs. Ln mesure de gaus<;îanité retenue est le ];:Urfasi!!' ùêllnî par:
96
Décision
lemrs~rrêqucncc
01' Cl!1Jl,[:rj eS! le cU111ulan( tl'ordre i de la varin hic aléatoire;r [KEN 77. MCC 871. Le kllrtosis CSt nul d~lIls le cas gaussien. Toutefois. il doit être estimé pour être llLiHsê ct ô'inévitabJcs erreurs d'estimation interviennent Pour estimer le JwrlOsis, nous utilisons le:-; h-statistiques, estimateurs non biaisés des cumuiants lKEN 77. MeC 87J, Si k~ eSlln k-stalisliquc estimant le cUlllulant Cum; [:rJ. un estimateur du kurlnsis est alors: [2.45]
L'éHlde de cet estimateur est difficile ft dfcclUcr ct aUcun résultat n'existe à noIre connaissance lorsque les échantillons servant à estimer sont corrélés. Toutefois, lorsque ces échantillons sont blancs -et gaussiens, l'esrimateur est sans biais ct de variance :
0Y -
24N(N -1)" :J)(N - 2)(N +
:I)Tiv + 5j
lV étantlc nombre des échantillons f KEN 77, MeC 871. Nous pouvons nous appuyer sur ce résullat si r on considère les propriétés de décorrélation qu' appolte la transformée en paquets d'ondelettes. Pour utiliser l'estimation du kurto,l'is d.ms la décision de gaussianité. nous délinissons un intervalJc de confiance à ü % de la forme r-fJ.I}!, où ri dépend de \(~'-:.x Cl de o. Cet intervaHc est donné par l'inégalité de BienayméTchebychev. Lorsque ta meilleure base au sens du critère de sélection expliqué précédemment est obtenue, il rcslc à décider de la présence ou non J'un signallransitoire, De ph.1s, nous souhaitom; obtenIr une courbe de détection temporelle. pmu pouvoir localîscr le rrallsiioire éventuel dans le temps. A ceUe fin, nous avons adopté une procédure de débruitagc fi pHnir du plan lcmps-fréquem:c obtenu pur la décomposition en paquets d'ondelcHes, Le!' zones jugées g.mssienncs sont par conslruclÎon dl"s zones supposées Jiées au bruü. alors que les zones du plan jugées non gaussiennes sont représenta,· tivcs du transitoire. La procédure de débruHagc consiste donc il forcer ft 0 les coef~ i1cients gauH"îcns cl à conserver les coefficients 110n gUlls'\tcn!'i, La reconstruction du signal est alors elTcclUée par transronnal.Îon cn paqucts d'ondelette!'i inverse. ~ signal reconstruit présente alors un rapporl Higna1 il bruit bien meilleur Ci une siTatêglc de détcciÎon de transitoire classique peut être uppliquéc. La méthodologie dc détection est illustrée sur la Ilgure 2,2.6 et nous la résumons maintenant: 1) décomposer en paquets d'onùclelles le sigmll .du), 'Il = OJ ,." 2 P - 1. Les coefficients obtenus sont notés (I.,~J.k, s = L .... P cl il .5 fixé: f == 0, ... ,2$ - l. ct k = (J •...•
Déleclloll de non-stationnarités
97
Figure 2.26. Princ;pc dé la segmentation du plan temps-}tùjIlC!1CC par paf/uets d'ow/e/cue.\' (/dupté (1ft pmb/i'tu è dl' dàct'tiofT de IrtlltsilUf! 'f,\'
2) choisir la basc orthogonale, Pour deux Jlls représentés pur les coeffici ents {fsJ./r et CLpJ+l, it: - estimer le kurlosis des cocrtlcicnts
~::',"J
[2.45j,
ct
!
en utilisant
r~quaüon
- définir Ilnu:rv allc de confiance il rr %:
- si X 8 • f ri ln ou rJ. In conserv er ces ms (lis,sion J, - sinon, conserv er le père (fusion ); 3) mettre à zéro les eoefficiems jugés gaussiens, reconstruire Je signal par transformée en paquets d' ondelcttes inverse ; 4) appliqu er une méthode classique de détection ùe transÎtoire (parexe mpJe calcul udaptatif d'énerg ie). Celte méthod ologie est applîqu êe dans le pardgraphe suivanl à deux problèm es réels de détection. 2.3.2.4.1I11IsfratiolJs
L'ühjel de ce paragraphe est d'illust rer la méthod ologîc cie détectio n hybride paquets d'ondekHe.s-stHtÎstiquc d'ordre supél'ic!lr sur deux exempl es concrets. Le premier concern e l'acoust ique sous-m arine et le dCllxi(-mc la détcctio n de corps erranls dans les luyauteries de ccnlralc s nucléuires.
98
Décision tcmpsw[réqucllcc
Détection de tmnsitoire en acoustique sous-marine Le délecteur de transi tnires hybride a été initialement développé pOUf détecler des transitoires en acoustique sous-marine, Une banque de différents types de transitoires et Je bruits de mer réels permet d'elTectuer de nombreuses expérimentations ct de calculer numériquemenl.les perronnances du détecteur, La figure 2,27 montre l'application du détecteur hybride sur un signal transitoire réel noyé dans un bruit de mer rêel, le rapport signal il. bmil étant de -tidB ipunneau supérieur gauche), Le mpporll'.iguaJ ft bruît esl tel qu'il est difHdlc de distinguer le transitoire. TOlllefois, un examen attenlif ùu spectrogramme (panneau supérieur droit) révèle une hourrée d'énergie aul.our de 500 Hz et 0,2 s. La rcpl'ésentution temps-fréquence associée ft la busc d'ondelette retenue par notre critère apparaît sur 1es panneaux milieux, avant le seuillage de~ handes frêtiUentielle.s fi coefficients gaus~ siens (gauche) et aprêt' (droite). Enfin. après transformée inverse, l'observation débruitêe (panneau inrérieur gauche) possède un mppon signal/hruit oien meilleur. Cette amélioration aUtorise l'application d'une procédure simple de déteclion. ki. nous calculons rénergie au cours du temps à raide d'un algorithme adaptatif. Cette énergie est montrée sur le panneau inFérieur droit, en traÎt pldn avant le traitement el en poinlîllé après. Le résultat CHt spectaculaire puisque: d'une non-détection on arrive il unc détection, Ja courbe de détection présentant de plus un fort contraste. Pour évaluer les performances, nous avons calculé numériquement les courbes COR, en utilisant 1 000 realisutions de hruit de mer cl en y plongeant (pour les prohabilités de détection) ou pas (pour les probabilités de fausse- alarme) un transltoire. La courbe de déteclion obtenue permet cl' évaluer les probabilîtés de délection ct de fuusse alarme en fonction d'un ~cllil qui vurÎc, puis de traCC:f les courbes COR, probabililé de détection en fonction de la probabilité de fausse alarme. Celte procédure a été effectuée pour deux transitoÎrcs différents ct. à chaque rOÎs.le détecteur hybride est ~omparé ù lIll bon détecteur bispeclrul. Le résultat ùe cette analyse esl présenlé figure 2.28. Le délecleur hybride présente un comportement très bon, PUiS{jlle la probabilité de détection croîl extrêmement vile pour des petits taux de fausses alarmes. Oc plus, k: détecteur hyhride est meilleur {Ille le détectcur bil"pectraI pOUf les [aible~ taux de fuusses alarmes. puisque des gains d'environ 0,1 à 0,2 sont obtenus pour la probabililé de déteclion tt luux de fausse alarme nxé. Enfin, nous avons testé deux lypes de seuilJngc dans l'algofîthme, Jes seuillages e doux )) et #. durs }). Il s'avère que le type de seuillage n' a que peu cl' influence sur la qualité de détection. Notons que nous obtenons sensiblement 1es mêmes perfonuanccs pour les deux transitoires. à la dîffén.::nce de !aille près que le n.lpporl signal à bruit e;'il plus élevé pour le transÎloire :2. que pour le 1" Le deuxième est errectivement heaucoup plus brer que le premier et est moins riche spectralement Sa délCctiül1 n'en est que plus diflieilo.
Détcctîon de
nl1n~slU{ionl1arilés
99
li}
2500
ç2000 u
c
~J5Ull
""
ù: 1001) 500
0.2
d)
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• ~ ~ Sipli1l f;>nm.,JfUlt
6
15
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Oh~en';\\i(!fj
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()
e)
O.:!
0..1 Tcmrs isl
,J
(J
0.6
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DA
0.2
Temps
0.6
(;.i)
Figure 2.27. Détection d'uf! Inlllsiloirt! CIt a(,offJ'rÙju!' sous·warÎIl/!. PIlllI1l' {/If.\: supérie/frs " l 'obgal/cite el son Sp{'Clfogrolllmc if droite, PWJ!/î}(/JfX miliellx: ri'!wô'cflfatiOlf !('lI/jiS-
Sl'J1YUjO!l il
frrJquëll((, a,\'Sodcrc à /0 base de poqllî}!S d'mulclelles U/J(('IfI/(', al'(UU seuil/fige il g(llu:he (-'/ après
li droite, Panl/eoux iI~t(jriC/{/',v: n'guaI reCfmsmrÎt aprês sClli/la~lt,e il t/luche, énrrgic au ((J!II'.I' dlf temp-" il droite (en Irait plein omm If' frai/clI/CIIl i!l en poimi/!{ après),
Dédsion lemp:<>-ih5qucncc
100
Tran"itojrc 2
Transitoire 1
'-~"-'--,
0.5
0,5
o -0.5
-0,:1
al
0:2
0,(1
0.4
0.2
b)
Temps (s)
Transiloire 2, -2 dB
Tra!lf,üoire 1. -6 dB
=~=~~."-~~=-:-~l liJ
0.8.
r
0,0
004
Temps (s)
.. ...
_0.61 (/
... Il.S 0.6
~
O.4~
1
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°,2
1
o
o ~.. . . . . .---..__~._~. __I o
cl
0.05
0.1 Pfu
0.15
(J,2
dl
o
0.05
0.1
lUS
0,2
pra
. -: délecteur Figure 2.28. Courbes CO!? c.l,llérimcnw!cs pour del/X InmSùo[ tcS dijfënmH !Jùpenm l. Les r détcciCH .: dOl/x; hy/Jride cf seuillage dur ,. - - : détecteur hybride t't swi11age dcs courbt's ll1Jériqllc COIClIllll Jt' pour Ufîlistfs rf's trtlnSilni dClL\'jigflff'S slI/Jùicll res mOi/in.'11! les COR.
Détedio n cie corps errants dans une tuyauterie n ûe tranLe détecteu r hybride peut inlervcnir dans toute appncaLion ùe détectio pour la action en mise sa unt sitoire. A tilrc dïHusîr,aûon. nous préSenloH!'i mainten e est problèm Cc es, nucléair s détection de corps C1TunL.;; dans la tuyauterie de centrale provoy t peuven rie tuyaute tla d'impol'tunee. puisque les COIVS C1Tunts qui frappcH r des coûts quer des dégâts dont la réparation nL~essile r arrêt de ta centraic, et entraîne
importanls,
Detection de 1l0l1-slatiol1nurités
6
25
4
20
2
~15
101
0
Il
ù
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5
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._--,,--_.. 0.5
05 Temps (si
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..
TeJllp~ ($)
Figure 2.29. Ditccfioll de corps errailfs. PmITlClWX .nrpéricm:y: l 'ob.l'ell'atioll
tÎ gauche et sun spectrogramme il dmite. Pal/I/ctiux ft/ilin/x: l'epréscllwtion temps-j}'éfJ/lCllCC associée à la base dt.: paquers d'oudelettes obtClIllf.:, olYlnf sCI/Îlfa1?e à gaul'hc et aprè.'f il dmile. F'mEneaux Înfi.trieurs: signal rccon\[mi f après smillage il gal/che, énergie (Ill cours du (t'1UpS li dm/Je 1ell traÎl pleil1l11'Gili ie traitement el ell pointillé après},
101
Décision tcmps-fréquence
Un ;;;ignal de corps cnants est présenté figure 2.29 (panneau supéricur gauche) et sa structure temps-fréquence est dévoilée par le spectrogramme du panneau supérieur droit. Sur le signal, on discerne assez nettement trois événements violents autour de 1 s. De plus, sur toute la durée de robservation.le signal est très fluctU bandes fréquentielles il coefficients gaussiens (gauche) et après (droite). Il est intéressant de noter que les bandes fréquentielles autour de 3 kHz et Il kHz sont jugées gau1-;siennes par l'algorithme et éliminées par le seuillage. Ainsi, le bruit créé par les fréquences pures de puissances l1uctuantes est éliminé par la procédure. Cc résullat curieux s'explique bien: les coefficients en paquets d'ondelelles liés aux fréquences pures sont gaussiens en raison de la l1uctuation d'amplitude des fréquences. Le signal débruité apparaît sur le panneau inférieur gauche et l'énergie au cours du temps est montrée sur le panneau inférieur droit. en trait plein avant le traitement et en pointillé après. Plus spectaculaire que le gain en contraste, l'élimination de fausses alarmes (autour par exemple de D,S s) montre l'intérêt du traitement appliqué. Les fausses alarmes étaient dues initialement aux fluctuations violentes des trois fréquences pures.
2.3.3. Pour cOllclure Nous avons tenté de montrer ici l'importance de la segmentation du plan tempsfréquence dans le problème de détection de transitoire. Cette segmentation lire parti des propriétés des paqueL,-; d'ondeleltes. mais surtout est fondée sur l'analyse du problème de détection. Celle analyse permet en effet de dél1nir un critère de choix de base, base qui réalise le découpage adapté du plan temps-fréquence. Ainsi. des connaissances qualitatives sur les signaux transitoires, associées à la souplesse des paquets d'ondelettes, permettent de mettre au point une méthode puissante de détection.
2.3.4. Bibliographie fDAU 921 OAUBECI-I!ES I.. Tell LecfII/'csoll Hlm'elcrs. SIAM,1992. fOUB 971 DUBOISSET-CHAREYREL.. Analyse bispeclrale de signaux réels: applications il la détection de transitoires. Thèse
dl~
docloraLlNPO, novembre 1997.
[FLA 931 FLANDRIN P., TelllfJs:/i"équcllcc, Hermès. Paris, 1993.
IFRI92J FRISCH M., MESSER 1-1.. «( The use of the waveleL transform in the Jetection or an unknowil transicnL signal l'.IE·EE Tra/lslIctiollS ol/IT. vol. 3H. n° 2, p. 892-897. mars 1991. lHTN 90J HINIC!-! l'vI.. '( Detecting il transienl signal by bispeclral analysis )', tio/lS 0/1 ASSP, vol. 38. n" 7, p. 1277-1283. juillet 1990.
IEI;..~E
Trallsac-
Détection de non-stationnarités
lm
[KEN 77] KENDALL M .. STUART A., The Admllced Them)' (?!·Stati.\·tics, DÎstrilJlltio/J Theo/'.\', volume 1. C. GriHin. 1977. lMAL 98J MALLAT S.,A Wm'cler Thil/' (?/,SiRllal ProccssillR. Academic Press, 199H. [MCC 87] MCCULLAGI-I P., TCllsor Methods i/l Statistics, Monographs on StatisLics and Applied Probability. Chapman and Hall, 19H7. [MEY 92] MEYER Y., Les ondelettes. Algorithmcs ct applicatio/ls, Anmmd Colin, Paris, 1992. [RAY 98a1 RAVIER P., Détection de transitoires par ondelettes adaptées. Critères d'adaptation rondés sur les statistiques d'ordre supérieur, Thèse de doctoral, INPG, juillet 1998. lRAY 98b[ RAVIER P., AMI3LARD P.O., mdcr statistics for transiCnl dctection
« j',
Comhining an auapted wavelet analysis with I"ollrth Signal Processil/g, vol. 70, p. J 15-128. 1998.
[RAY 01] RAVIER P., Arv18LARD P.O., (( Wavelct rackets l'or detccting transicnt signaIs )', Signa/ Proces.I'Îng, vol. 81. p. 1909-1926. septembre 2001. lTRE 68] YAN TREE H.L., Detcctio/l, Es/ill/atio/l (/IJ(I Modulalio/l Th(,(J/:\', volume J, John WiJey and Sons, 1968. [WIC 94] WICKERI-lAUSER M.Y.. Adapted \l'al'e/Cl Allalysis: From Theor)' A.K. Pcters, 1994.
10
S(d;\\,are,
2.4. Détection temps-fréquence et réallocation '--1
2A.l.Illtroductioll Généralement, on rait correspondre au terme chirp sigllal (ou simplement chirp) un signal dont l'expression peut s'écrire en fonction du temps comme:
12.461 l'amplitude a(t) étant une fonction positive dontl"évolution est lente comparée aux oscillations de la phase i.p(/). Nous traduirons ceci simplement (sans entrer dans les subtilités mathématiques que présente une définition précise l.JAF 96, MEY 97]) par les deux conditions suivantes: à(l)
1o(l) ~i(l) où
« •
»
1« 1
cp(t)
et
1
cp"(i) «1
12.471
1
et«"» sont les dérivées première et seconde, respectivement.
La première condition garantit que. sur une pseudo-période (locale) T( t) = 27r / cp(l). I"amplitude a(l) ne subisse aucune variatiun relative appréciable. tandis que la seconde condition impose que T( t.) soit ellc-mêmc une fonction 4. Section rédigée pur Eric CHASSANDE-MoTTINCl Palrick FLANDRIN.
104
Décision lemps-fréquence
Jcnlement varhlble. donnant ainsi un sens il in notion de pseudo-période. Définis ainsi) les chirps sont destinés il servir de modèle pour Ics signaux monocolllposantes modulés à la fois en amplitude et en fréquence. Leur fréquence ( instantanée» est
alors supposée être reliée aux oscillations" locnles
»)
de la phase.
Tntuitivement. un chîrp 'L'(i) est associé à une description temps-fréquence qui. sÎ cHe est faite il J'aide d'une représentation conjointe (Ja:(tl J) corrcctctnenl définie. devrait exister essentiellement - dans le plan temps-fréquence - dans un voisinage
étroit autour d'uoe ligne caract~ristique,G. Celle ligne peut alors être aussi bien inicrprêtée cormnc une « fréquence instantanée ), (fréquence en fonctÎon du temps; ou dans une perspedive duale - comme un « retarù ùe groupe ,; (temps en fonction de la frétlUcnce). En supposant que ccci soit vériflé, i1 devient natul'c( de proposer un schéma heuristique pour ln détection cl' un chirp, lmsé sur la recherche d'une telle ligne dans la dislribution temps-fréquence de l'observaLÎon r(t), par exemple cn utilisant lu stratégie- de détection suivante: A(r) =
!
.
{J"
(1,
(
n dl
[2,481
et en la comparant fi un seuH choisi ft parUr d"hypothèses failes sur Je bruît.
.c
Qui plus e.sL dans le cns où la courbe dépenù d'un vecteur de parnmètres incollnus en introduisant la quantité paramétrée suivante:
e.
A(r; e) =
l'
p,.(i.
n dl
[2,491
.lL(O)
e.
ct en regardant son maximum selon on peut imaginer d'effectuer non seulement la détection de ;1:( 1), mais également l'estimlltion de B, Une telle stïdtégie évoque clairement cene des ll'ansfonnutinns de Radon 011 de Hough généralisées. Au-delà de ces considératÎons heuristiques, le raisonnement qui aboutît à l' wili-
saiion de la stratégie proposée ci-dessus doit néanmoins être discuté el justîfié. Pius précisément le chirp à délecter étant fixé. il s'agït de répondre aux questjons sui\'antes : - Quelle représentation I.cfnps-fréquence utiliser pour donner un sem; à lidée de
localisation '! Comment une démarche heuristique basée sur l'intégration le long d'un chemin dans le plan temps-fré!IUenCC peut-clic ètre rendue optimale selon des critères statistiques précis? Après avoir rnppcié quelques résullnts importants concernant la détcdion optimale (2.4.2), nOllS cummencerons la discussion uvee le cas plus shnple des chirps lÙH;"ires, pour lesquels les résulluts sont connus ct établis depuîs longtemps (2.4.3).
Détection dé non-slationnarités
105
Ceci nous offrira les lignes directrices pour effectuer la généralisation à des situations non linéaires (2.4.4). Une attention spéciale sera portée au cas sp6ciIique des chirps en (, loi de puissance ». Ü cause de leur importance dans le contexte de lu détectiun des ondes gravitationnelles. donl nous nOLIs servirons comme exemple HlUSlrulÎf (1.4.5). On y verra en particulier commenl les distributions réalJouées sont amenées il jouer un rôle naturel duns Je problème de décision considéré.
2.4.2. Détectiol1 2.4.2.1. Détection opliwale Ln détection d'lm signal est généralement formulée en un problème de les! hinuire d'hypothèses (voir par exemple [FLA U3, WHA 711):
Hu: 1'(1)
~~
[{: : 1'(1)
= 11(1.) + sU)
n(fj
l2.5°1 [2.51 J
avec -T/2 ~ t :s: Tl'!. el où 8(t) est le signal de référence à détecter (supposé t:onnu er d'énergie finie sur [-T/:1, Tf2j), n(l) est un bruil additif et rU) eSll'oh!'.ervnlion disponible avec laquelle la décisjotl doit être priRe. Duns ce cadre, l'obtention d'un détectèur (~ optimal » dépend non seulement de connaissances (l priori que r on pourrait avoir sur le signal Cl le- bruit, mals aussi du choix d·un crÎtère d'optimalité. Un concept pertinent pour un tel crilère est celui de ( lest du rapport de vraisemblance)} (TRV), Par ailleurs, nous serons intéressés ici au COlS où le signa] suit f'exprc.ssion ;r(t; 8) t'xpi)'. où esl un \'ccteurdc paramètres jnconnus que l'on aimerait e;;timer ct··y une phase aléatoire, uniformément distribuée fiur fD, 2ÎfJ, donl on aimerait se débarrasser. Dans cette situation, hl nolÎoll de TRV doit être étendue ft celle de TRV généralisé (TRVG).
e
B(l)
Sous l'hypolhè<;e oÎl le bruit nU) e:-;t gaussîcn el stationnaire au second ordre (de densité spectrale r n(f)), le TRVO conduit à lu :Slratégic de déteclion suivante [WHA 711: A(/": 0)
où l'on
[l
[2.52]
noté ~t le conjugué du nombrc complexe X,
La détection est alors effective lorsque le TRVG dépasse un seuif Hxé, On peut remarquer que le détecteur TRVG admet une interprétation en termes de <:, nitre ad
I06
Décision temps-rréquencc
le con rupport signal sur b11lil (c' cst-fl-dire
pétitrasle entre les deux hypothèses en com
lrTRVG opliterme de phase aléatoire, le d~tcciel tion) en 'sortie du mlre. En raison dt! elop pe: une env son de adap té suivi pur le calcul mal se trOllve coïn cide r avec un filtre LWHA 71). " ppe vc]o ction d'cn
lemps~
fréquence équivalente,
ta cotn, la détection R"Sl c encore busée sur A partir de cette stratégie modifiée bhmce) des (au sens du maximum de vfuÎsem paraîson avec un seuil. L'estimation sîm ulta ném enl selo n: pm:amètrcs peu t alors être conduite
ô=
argtl11L'< o A(r ;
0)
[2,531
iùen tiqtl e pour du signal de référence :r( ti 9) soil ù condition toutefois que l'én ergi e toute valeur de (J, 2.4.2,2. Défectiol1 tl!m(ls-jh;quencc e repose cture du TRVG, la détection optimnl Ainsi que le met en évid ence la stru carré d'un produit scari~e com me un module sur une mesure de corrélation - eomp peu t être cxprirnée de ion élat réFérence. Cell e corr laire - entre r observation et une nt qu'u ne fréquence. Ceci sugg ère nnturcHeme manière équivalente en temps ou en uit scalaire pm;sible: celle selon laquelle le prod lroisîème app roch e équivalente soit ion ct 'une distemps et en fréquence par l'uti lisat pourrait être écri t con join tem ent en ~< sign atur e )) le. que l'on peu t penser com me une tribution lemps-fréquence convenub onnaires. bien adaptée aux signaux non stati
,f) (qui doit distribution tem ps-f réqu ence fJf (1) L'id ée est don c d'in trod uire une signaux :1'1(0 et telle que nous ayons. pour tous être ::IU moins quadratique en :r;) .1.'2 (t), une relation du lype : [2.54] lemenl chois.is nt des produits scalaires cOtwcnub oû (" ,}!. (., .)f el (\.~ '})lf désigne respectivement il ln fois en temps el en fréquem:e, opé rant c-n temps, cn fréquence Cl la suite pour uits scalaires seront détaillées dans (les définitions expUciles de çes pmd précédentes). don ner un sens prét'is aux égalités q les aucune 1'1l1SOn d'ê-lre vérifiée par toute Une teHe équivalence n'a, bien sfu, pour cas le pas p\e. ratiques. Ceci n'es t. par excm distributions tcmp.s-rrèqucnce quad c{n}· s!](! le ent mém auxquelles on peut pCDl"er, nom ' les plus: simples des dÎslrÎbullons wlU. ogrm sca/ le et e) sformée de Fourier à cou rl term gram me (mo dule carré de la tran ent, ctem dire fié véri en ondelettes). Ceci peu t être (module carré de la trnnsforméc convenable je moyen de trouver une disxribw:ion mais. ceUe al1i.rmatlon (et, avec elle. juslifiée être t peu cs) lrogrammes ct scalogrmnl11 qui dép asse 1c:s limitations des spec
Détection de non-stntionnmilés
107
d'une façon plus intéressante en considérant des c1a;;;;;;es générales de distributiDns auxquelles les spectrogrammes et scalogrammes 3J1purticnnellL La classe de toUles les dü,trîbullons quadratiques temps-fréquence qui sont covariantes aux translations en lemps ct en fréquence est appciée c!asw: de CO/len [COH 95. FLA 98J ct se définit par:
12.551 avec:
A,Kr) et olt
=
II ('+D
[2.561
1
T) esl une fonction de- paramétrisation arbitraire telle que
tp(O~
Cl} = L
A lïntérictll' de ceHe classe. le sous-ensemble des distributions temps-fréquence lU/imi1'es est particulièrement întéressant pour notre problème de Jéll,:etion. Il s'agi! ùes membres de la clas5e de Cohen qui satisfont la relation sUivante:
1257j relalion 'Iut? l'on doit rapprocher de l'équation 1.::.541. En parlant de la Jéllnition [2.551, jl est l'acile d'établir la propriété suivante [JAN 82]: lIne dislriblllion tempsfréquence appartenant il la classe de Cohen est unitaire si Cl seulcIl1cnt si la fom.:tion de paramétrisulion .:p( ç. T) est de module unité.
La conséquence de ce résultat est que le spectrogrammc de J'enêtre Il ne pem pas être unitaire puisqu'il eSt bien connu [COH 95. FLA 981 qu'il appartienL li lu class<: de Cohen avec tp(':;~ T} = Ah(ç, r). \lne quantité qui ne peut pas être de module unité sur le plan {f, r) en enlier. Un rêsuHut similuire peul êlre établi pour le scalogramme. que l'on sait être un membre de la c!as.;.'c qflim.! [FLA 981. Il apparaît donc quc ces distributions (spectrogrammes el scalognnmnes) ne peuvent II priori servir (h~ hase ft un détecleur temps-fréquence optimal. bien qu'ils puissent être mis en tlvanl Ü ce sujet et que leur utilité ail été prouvée pour l'obtention de détecteurs Hous-optlmaux lALT 80. INN 96. INN 97. MOR 03]. Des distrihutions optimales au scns de la détection peuvent être néanmoins irouvées. Nous nous focaliserons sur le cas spécilîque de la détection ùe chlrp. Nous renvoyons le kctcur intéressé par une discussion plus génémle sur la détection temps-fréquence optimale ù [FLA 031 eL aux références auxquelles il rcnyoie,
lOS
Décision
temrs~fréqllencc
2.4.3. DéteL'/cr les cltirps linéaires Un chirp est un chil1J lilléaire s'il admet une représentation du type de l'équation
l2.46] duns laquelle cp(t) eslun polynôme quadratique en l: 12.58J ail n, /3 ct '";1 sont réeLs ct n
#
O.
Un tel signal voit sa fréquence vader linéairement avec le lemps comme on peut le vériJîer en examinant sa '( .fh!quence imitaI/fOliée }, délinie par Il' (l) = 21rr;j:(; J, Notons que cclte interprétation n"est pas toujours valide puisque la dél-inition de la fréquence instantanée présuppose {1uc-Ie signal soit lfno(\'fiql/e {c'est-Il-dire tel (1lle Be{.l'(-é)} et lm{ ",(t)} forment une paire de Hilnertou, de munière équivalente, tel que le spectre de :r{ I} soit non nui aux fréquences positives seulement). ce qui n'eSt pas nécessaîremcm le cas pour un chirp linéaîre aillsÎ défini (unc ÙÎscussion plus précise sur les possibilités d'interprétation de la dérivée dc la phase du signal analytique en termes de fréquence instantanée est donnée duns IPIC 97]). Les conditions scion lesquelles tm chirp linéajre est presque analytique peuvent être précisées dans quc1ques cas quand une forme explicite est donnée il l'amplitude a(t). En particulier, dans le cas importanl d'une amplitude gaussienne. il devient simple de prouver qu'un chirp Jinéairc d' amplîlude gaussienne ((--:rM:! devient presque analytique (c"esl-u-dire s'annule presque pOUf les fréquences négatives) dans la Hmite à bande étroite où (0 2 + â'2)/S/J'J --" O. Ceci provienul~un cakuJ direct selon lequel:
12.59J où )((f) est la tmnsformé-c de Fourier de :r(t}. Nous obtenons ainsi le résultat que la fréquence centrale d'un chirp linéaire- d'amplitude gausl-;ienne est (3. lundis que sa largeur de bande e~t proportionnelle à ..jâ + fl:': / J', sous la condition de bande étroite.
La détection temps-fréquence optimale des chirps linéaires il été considérée, la première fois, dans lKAY 85J. Il apparaît que les chirps lînéaires sont intimement lîés 1; au membre de la classe de Cohen associé il la fonction de paramétrisation y(ç, T) la di,tribUlion de Wigner-Ville [COH 95, FLA 98J: 12,60] En efret, quand clle eSl appliquée au chirp linéaire [2,58J avec ,,(1) bution de Wïgncr-Ville [2.60] est parfaitement localisée, ce qui s'écrit:
= 1. la distri12.61]
Détection de llOn-statlonnarîté"
109
Puisque la ronction de rmrmnétl'isation de la distribution de \Vigncr- Ville est
y( ~, T) 1. eHe ('Si bien évidemment de module unité, ce qui garantit son unitarité. Dans le cas où :l'l (t) = 1'(1-) 1 I--p T /2,T/:!} (t) (avec 11 (f) la fOl1ction îndicatrÎcc de l'lno( f.) exp i{;p( 1) - 2r;'"'j), nous obtenons Icrvalle /) et :t2( t) est un chirp linéaÎre ,r::! (t) en appHqunnt J2,57] (et grâce à la propriété de conservation de support de la distribution de Wigncr-Ville el à ,a compatibilité avec les modulations IeOH 95, FLA 931): 1 (T/2
iLTI' r(t) nU)
01
= {1'!2 {W"" (l, JI ./--'1'1"2 J
1"
Ii(r - ~,;(f))' dt dl
12,621
2"
12.631 On en déùuit qne la détection opLÏmnlc Ult sens du TRVG (clans un bruit blanc ~ ([J': fl) peut être ganssien centré) d'un chirp linéaire de paramètres inconnus accomplie en utilisant comme stratégÎe la qunnüté suivante. hasée SUl' une écriture temps-fréquence:
e
TI,;
JI(J':n,p)
~ f ,- p"(I.,,d+/j)r11 .J~ T/'2
j1MJ
/ !V"U, j'- :;) H',.(I,I;) di;
J1,65J
avec: [J,
(t, f)
Etant donné le modèle du chirp Hnéairc [2.58J, l'énergie du sîgnal à délecter ne dépend pas des paramètres inconnus (l' ci {1, ce qui autorise leur cstimalÎon au sen;:; ùu maximum de vraiscmblunce par (à, /3) = argmaxo . i1 A(r; Ct. ,8).
2.4.4. Détecter les dlirps ell loi de puissance La situation de qum.i-analylicité des chjrps linénires contraste avec celle des chirps en loi de puissance, qui, eux, sont analytiques par construction. Un chirp est un chirp CIl loi de pllÎsswlce (d'indices -r E lR cl k :;:;; 0) s'jJ admet comme représentation IréLjucntiellc:
12,66J avec 'T!,,(f) = -27f("!" -'. tof (C, c,tn, l') E IR.'1,
+ -il
si l,:
<
[J,
*,,(/)
-2rrklugf
+ toI + 'y).
Les chîrps en loi de puissance él
110
Décision lemps-fréquence
-q,dfl/(27f) = {II + Ck/"-l (quantité duale de la fréquence instantanée). Bien que la défînilion [2,66J puisse s'étendre pour des valeurs positives du paramètre k. nous nous restreindrons dans la suite au cas k ~ 0, pour lequel le retard de groupe correspond à des hyperboles généralisées dans le plan temps-fréquence.
txU) =
Dans le cas des chill)S en loi de puissance, la distribution de Wigner-Ville n'est plus un bon candidat puisque. bien qu'unitaire, il lui manque la propriété de localisalion qui permet ù'obtenir une solution sous la forme d'intégrale de chemin. Dans le cas particulier des chirps hyperboliques (c'est-à-dire, k = m, une solution possible a été proposée dans lPAP 94] sur la base d'une variante de la distribution de Wigner-Ville (que l'on appelle la distribution de Alles-Marinovic), obtenue par une anamorphose (warping operation). Nous ne suivrons pas celte approche ici à cause de deux limitations: d'abord le fait que la stratégie qui en résulte n'est pas invariante par les translations en temps (ce qui est un problème si l'origine temporelle du chirp est inconnue et doit être estimée) et ensuite parce que cette technique développée pour le cas k = () ne peut pas être directement étendue à des valeurs de k quelconques. Le cadre que nous proposons plutôt d'utiliser est celui des distriblltions tempsfréqllence ((tfines, comme l'ont développé J. ct p, Bertrand [BER 92"[. Ces distributions forment une classe entière de distributions temps-fréquence. Mais, en comparaison avec la précédente classe de Cohen, son introduction exige la covariance des distributions qu'elle contient, par rapport à chacune des extensions li trois paramètres du groupe affine. Ceci résulte en la construction d'une famille de distributions paramétrées pour laquelle nous adopterons la définition suivante [BER 92], DÉFINITION
2., 1,- La distribution de Bertrand (d'indice k E ITf.) d'lIll signol analy-
cn est dOlInée par: p~.. ) (1. n =
thjue X
/2(' +1)-'1 . /
/1,.. ( 11) X
(f~\du)) X
cr "d - li)) Ci2~'f(d,,) du [2.67[
GI'ec: [2.GB[
Dalls cette définitioll, r et q sont des paramètres réels q/felconques et f-/I,'(U) est IInefânethm arbitraire, tal1dis que laforllle e.\pliâle de !a/o11ction de paralllétrisatioll
,\du) est.fixée fllIr: e-" - l )
Adu) = ( /.: C /.,11_1. si k
f-
F',
l2.69J
0.1. les deux cas spéâ(/Ilx lIssociés li k = 0 el k = 1 étant défiJ/is pllr cOJ/linuilé
]Jar:
",,(u)
H
= c---
1- e
Il
[2.71l[
Détection de non-stationnarités
III
et,'
12.71] On peut remarquer qu'une distribution de Bertrand est à valeurs réelles sous la condition de symétrie hermitienne P,J,;(u) = 1'''( -/1). une condition que nous supposerons satisfaite dans la suite. Pour ohtenir la formulation temps-fréquence pour le détecteur de chirp en loi dc puissance, nous aurons besoin de quelques résultats sur les distributions de Bertrand. Nous les résumerons dans les propositions 2.1 à 2.3 suivantes, dont les preuves peuvent être trouvées dans [BER 91 J et [BER 92]. Localisation Etant entendu que la distribution de Wigncr- Ville est naturellement adaptée aux chirps linéaires parce que parfaitement localiséc, la même adéquation entre les distributions de Bertrand et les chirps en loi de puissance peut être prouvée par la proposition suivante IBER 92]. PROPOSITION 2.1.- QI/ul/d elle est appliql/ée à
111/ c!IÏl1) l'Il/ai de pllissalIce /2.66/, /a distribwioll de Berfrwu! d';,u!ice k /2.67} est p(I1iàifelllent localisée slIr la courbe de retard de groupe ix(f) = tn + ckfJ,'-l ef s'écrit:
12.721 si el seulement si Infollction de pOlldération arbitmire 1-11,.('/1) est dOl/liée par:
12.731 Unitarité Lc deuxième ingrédient dont nous aurons bcsoin est l'unitarité, pour lequel cn introduisant des produÎts scalaircs convcnables sur la dcmi-droite des fréquences positives el sur le dcmi-plan temps-fréqucncc associé - nous avons le résultat suivant [BER 92]. PROPOSITION 2.2.- Vile distribulioll de Bertrand est ullitaire, c'est-ii-dire
1.(=
X(f) YU) J"'11
clfl" J./,-+= p~") ,
(1,
n p,
(!') (I .
.n f2
q
sati,~/'àif:
dl df
,()
12.741 pour tOIfS signaux .Xcn et Y(f), si et seulement si ln fonction de traire PJ,'('lI) est donnée par: ;.1/2
lidu) = (",
,
(u) (Adu) A", ( -u))
1'+1
POll(/(i ratioll urbi~
[2.75J
111
Décistol1lemps-rrcqucnce
Unitarité étendue En corollaîrc aux propnsi!ions 2, l cl 2.2. les propriétés requises de localisation et d'uniwrité peuvent être simultanément remplies si et seulement si (d u) = L équation dont la seule solution en l,' est Il 0 (ceci peul être clairement ~labJj en notant que nous avons la relation ,\".(11) = e'/ ÀI.:(-o), quel que soit k rBER 92j), A moîns que nous ne voulions considérer seulement le cas des chirps hyperboliques. li semble que les deux prnprié:!és de localisation et d'unitarité ne pui.'scnt être combinées directement. de manière ù imiter ce qui li été préalablement fait dans le eas des chirps ljnéaires. l1ne échappatoire esl cependant possible, qui repose sur la proposition suivanle [BER 92J, PROPOSITION 2,3,- EWn! donné ulle disrribwioll de Bcrlrtllullocalisée
(fl'ec k < O. fi existe li/le tlislributioll auxiliaire P,~:>') (-r-,
p'~!')(f, f)
,n caractérisée par:
12,76J ct (elle que:
f /,
,
pnllr /OIiS signallx .'CUl el
'+'" jS(Ic)(I.!)P(I;)(I,j'Î rS'idid(
,0
S
'
}"
1 -
,
[2,77]
l'Cf).
Ceci nous offre un degré de liberté supplémentaîre dans la mani pu lut ion des distributions de Bertrand, cn assouplissant la contrainie stricte d'unitarité associée ù une distribution donnée l'ia rintroduction J'une paire de distributions et tlne relation de dualité qui les lie. Dans le cus spécifique k = - L cette duulîlé est îdentiquc à celle évoquée par A. Unterbergcr(voir [U"NT 84 D, qui a inventé les termes d' (( aClive et de ," passive » pour distinguer les distributions correspondames. termes que nous reprendrons: pourdcci valeur~ arbitraires de /,: en appelanllu distribution auxiJjairc p"~:'} ((, Ij, j}
la distribution passÎF!? associée ft p.~.) (/. /), celte dernière étant qualifiée d'actil'!!. Filtrage Finalernent. il nous est nécessaire de caraclérÎscr la disuibution de Bertrand lDrsque l'on sort de la classe des signaux pour lesquels clic est parfaitcment localisée, Par exemple. quand un signal CSL lllu'é, la proposition suivante {dont la démnnstratÎon ulilise des résultats similaires obtl~mlS sut la distribution uctive lB ER 91 j et une écriture explicite du lien ûe dualité quî unit les distributions active ct passive [CHA 99J) montre que sa djstributinn dl' Bertrand passive est filtrée en conséquence.
Détection de tlOlHllatiommrités
PROPOSITION 2.4,- Qualld elle esl appliquée au produit X
1 J3
(fl = ,IICn J'In,
la
,!istribiltion tic Bertrand pos.',;I'I'C i~_~d U, l) s'écrit:
p,,\:k i (l" f)
,f'l+l
J
p
ij,,fi pU;' \'il, ,. fl ,)
[2,78J
avec: [2,79J Tous les résuhms obtcnusjUS{]ll'ici peuvent mainlenant être combinés. ce qui mène au résultat central. PROPOSIT10N 2.5.~ EWl1f dmwé le pm/Jlbnc de détection où le signal :1'(1; On) délecter eSl 1111 chirp ell loi de puissonce (2.66] de loi de retard dt: grollpe = l'il + c()I\~f"-l (l1'(,C les paramètres iucomws On (tu, co), et où le brUÎt
à
"txcn
atM/tif n(t)
C,'it
gaussien. ce1l1rê, stationnaire et de delJsilé ,'1'J,ectmle de puissunce
rn(J'L la strmégie op/filiale (u/mel la/ommlollon remps-j)-éq/u!lice slf;I'(JlIle ," A"'(/': {, c) =
r"~ {111(1 + c/,f,-J, j''icl!
12,80J
./n
lH'et: {JH(t,
f) =
,1'2'l,j'p-"IJJd('1
S"
l') pi/;) 'H ( 8,.1')1 (8
[2,811
d:
12,821
AU)
DémollstntlÎOlI. Supposons d'abord que {}n = (10' co) est connu, Dans ce cas, il partir
des résultats de lu proposition 2.1 (localisation) el 2,3 (unitarité étendue). nous obte-
Zen: dfl" = .j' .Illr~= pl}') (l, n p~'2,{I, f) Fe, dl rlI
llOllS IBER 921 clairement, pour loul signal 1
r+
f,
;. 0
x
Zff) X,.,;~( f!
!2,831
= CO
/'~= 1"(1')(1 /: , 'ij"). . ,('J,1."1-' dl' ,[1
[2.841 II s'ensuil que le membre de gauche de l'équation ci-dessuf; s'identifie exacte-
mellt il la stratégie i2S, 1si ZU) = RUI/-P,+lj ;f"Cn cl X
\1': 11 11 1 =
Xr,I,(}').
En conséquence. Je membre de droite de la même équation nous donne une formulation temps-fréquence ulternailvc pour le problème de détection de ehirps en loi de
114
Décision lemps-fréquence
), ceei nous puissance el, en utilisant les résultats établis en proposition 2.4 (Hltmge et c = Coto ;:::' t dire c'est-tt00' (J avec énoncé, conùuit Îlnalemcnt au résuhat stralégic même ln , jnconnu cst 8 tres paramè de vecteur 0 le Dans le CU5 plus réaliste où (} = (f. c). Ln doit être utilisée en remplaçant 9 u par lm ensemble de valeurs tests quand: détection est alors effective l1WX
(, ,cj
A(I';Lc )
[2.85)
>1/
e avec: ob 11 est un seuil prescrit, tandis que l'estimation de (Jo peut être conduit
il"
=
U",;·,,) =
ilrgllw xA(r: /., cl
[1.861
(I,e)
gaussien Selon ce résuhal, les chirps en loi de puissance noyés ùans un bruit chemin de alïon peuvent être délectés de mùnière optimale l'ia une stratégie d'intégr pal' une transdans le plan temps-fréquence. LCUL'i paramètrc5i peuvent être estimés tion bien déHnie. formée de Radon ou de Hough généralisée. appliquée à une distrihu , Une application potentielle de ce résultat va maintenant être discutée
2.4.5. L'exem ple lies olldes gral'itatiofllwlles la théorie de Alors que l'existence des ondc-s gravitationnelles a été prédHe par n'u été oblenue la relativité générale depuis longtempsj nucunc preuve cxpérimenta1e de déLL"'Cteun; ction constru la que récent très passé un depuis que jusqu'ic i. Ce n'est GE0600 pour (tels le francn~i1alien Virgo, l'amédc aill Ligo eile germano-britannique directe. ne citer que les pillS importants) a été lilncéc uvec l'object ir d'une mesure s centaines Dans son principe, le détecteur est un interféromètre géant (de plusieur on locale diStorsi la de de mètres, voire quelque~ kilomètres) permct tanlla convenüon mouveun en ionnelle 'de- l'espace-Lemps causée par le passage d'une onde gravitat on distorsi lclh:: d'une ment déteC-lable de franges d'interférences, Purce que les cffet
Déteclion dl? 1l0lH,latlnnnal'ltcs
115
ce qui concerne la détection (du point de vue du traitement du signan. la qnestion~clé
est d'obtenir des informations (/ priori sur les strucWres pos. . ibles des l'ormes d'ondes aHenducs.
2.4.5.1. LIu modèle flour!a cmdescellce de flinaires Une ,( binaire coulescente e:st un système de deux objets astrophysiques 1TI3Ssirs (par exemple LIes étoiles il neutrons ou des trous noirs), Cil rotation l'un autour de l'autre. Au cours de leur mouvement orbital. de r énergie est myonnée sous forme gravüulionnelle. Le système perdant de r énergie; les deux objets se rapprochent en faisam augmenter in fréquence Ùé rotation jusqu' il la coalescence. On comprelld inllli1Îyement que les binaires coulescenlcs dcvraienl donner nuissunœ à des ondes graviEaHonnelles au comportement pscuuo-périoùiqucaccéléré cl donc [tune structure proche }j
de celle d'un chirp, En première approximation (n\!wtonienne), une forme explicite peul être donnée il la forme d'onde espérée. A un te1111C de phase près; elle peut être exprimée comme la partie réelle du signal il valeurs complexes 1SA:T 91, THO 871 :
Il.871 où n = 1(1 et /3 = 5/8. Dans ceHe expression. 10 l'Sile temps de coalescence et ri et il sont des constantes qui dépendent principalement dcx musses individuelles des objets ct. bien sûr. d'autn.'s quantités géométriques comme la distance de lu binaire ft la terre ou hien l'orientation relative des front':' d'ondes et du délecteur, Etanl donné deux objets de masses individlleHc~"ln l Cl !!/2, cl pour une orientation relative optimale entre le détecteur ct la binaire, la forme d' onde ~e trouve en fait complètement caractérisée par deux paramètres: ln distance terre-binaire r (que j'on exprîmcra en Mpc) clla ({ cllh1J IIU1SS}) lTHO 87j définie par Jv[ = /I:lj:) où III = Hll +nl:; est la (( masse tota1e}) et Il la « masse réduite);. telle que 1!~1 ml! + m::; l, Les constantes cl Cl A
se déduisent de ces deux paramètres par les relations suivantes [MOH 96. SAT 911: 12,881
A
=
(:,:11 ' 3'-',"
Î1 1.93 x
10- 21
'"
T
3,:jï
,.
12.89J
La forme d'onde 12.87J peul être interprétée comme un chirp ft condition que l'amct ln phase :pU) = 2ïTd(fo f),'1 rcspectcnllcs conclilîDlls [2,47]:
plitude a(i) = (in - t) ..·o
à(l) 1
0.(1)9(1.)
1
= _o_lf., - tj-fi «1 2"d;J' ,
el
(i"
1)-"«
l [2,9U]
I16
Décision lemps-fréquence
Ce, deux conditions sont redondantes [FIN 93] et n'en font en réalité qu'une il partir de laquelle on peut définir l'intervalle de temps dans lequel le modèle [2.87] peut être vu comme un chirp. Cet intervalle est délimité pal':
II}
î
:jd
[l.91[
,
olll'instant critjquc
f,~
s'écrit avec les valeurs des constantcs dont nous di.sposons: [2.92]
Duns cet ÎnlervuHc de temps, la forme d'onde [2.871 est un chirp dont 1u fréquence suH (approximativement) révolution suÎvanlc:
,
Sel ( .,(I) = -8I1.I [1 - 1,) .. :;j8
12.931
w"
restreinte par la condition r2.911 it l' înterva11c de fréquence caractérisé par:
12.941 En conséquence, les conditions 12.901 sont vérifiées à condition que [2.941 définisse un intervalle d'exlension plus grande que la fenêlrc fréquentielle d'observation {c'est-fl-dire que la fréquence crHîquè fr: A.oÏl plus grande fjUe la fréquence de coupure haute du détecteur). Ayanl fixé la fréquence de coupure haute du détecteur il 5UO Hz environ, on vérifie dans la figure 2.30 la validité de celle condition pour une grande plage de scénarios observ,-lbtes (c'est-à-dire quand Hl1 vmie entre 1i'[i~) et 20111('" el quand TH::: = k U/1, avec l :::;;; h' :::;;; 10). De plus, on peut obtenir ln tran,sformée de Fourier du signal gravitationnel danA.la hande fréquentielle utile. Le calcul du spectre de Fourier de [2.871 revienl à évalncr "l'întégrale oscillante:
[2.95 J avec (lU) = A ,-~l.\ el Ii{t) = -'2;r(dt JJ fl), ce qui peUL être réalisé par une approximatioo de phase stationnaire [CHA 98, CHA 991.
Il suit que r2,95! coïncide exactemenl avec un chirp en loi de puissance [2.66]. L'approximation précif>e Ics indices de l'enveloppe et de la phase ,. = (0 .... iJ!2)i(.r3 _. 1) ct /.: = {JIU3 - 11, le décalage dc pha,e", = 7r le taux de modulatIon:
rI..
[2.96]
Détection de nnn-~tmionnarîlé'i
117
el l' amplilude:
Il.971 Outre la forme proprement dite de l'approximation. on trouvera dans [CHA 981 1es conditions pour quc celle-ci soit vaUde. L'~valuation de phase sW.tionnaire s'apparenle. pour chaque fréquence, à un développemenl de Taylor dont le résultat de J'approximation seraÎlIc premier lerme. On peul obtenir tCHA 981 une bonne évaluation du rcS{c intégral de ce développement. Le donUline de validité est alors ohtenu pm" une majoration du reste ainsi évalué. ce qui revient alors il fixer une erreur relative maximale dc l'approximation. Deux remarques peuvent être faîtcs il ce point Premièrement, alors que les ,. conditions de chirp >; 1::2:.47] sont couramment présentées de manière heuristique eomme validant J'approximation de phase stationnaire (voir par exemple [FIN 931, [SAT 91] ou IDEL 92]), la validité de l'approximation de phase stationnaire s' avère en fait contrôlée par un critère lînalemelll plus compli,]ué (voir [CHA 981 pour la forme génémle que prend ce critère).
DeuxièmemenL si l'on applique cc critère au cas des ondes gravitationnelles, on
obtient que. pour une erreur rchllÎve d'approximation au plus égale fi:r (Yc" la fréquence doit être bornée par: [2.98] cc qui csl en accord avec les conditions (de chirp) qualitatives en [2.94], Les critères exact et heurislique :mnt donc (l jJosleriori de même nature. mais le résultat de [CHA 98J apporle la possibilité supplémenlaire d'un contrôle quantitatif de J'approxi, mation. Lu figure 2.30, qui prés.ente un exemple typique d'une forme d'onde, illustre l'ef-
ficacité de l'approximation de phase :-;hJtionnaire, 2,4,5,2. Un détecteur lempsJréquellce silllp/~/ié A slrktement parler, le détecleur lemps-fréquence optimal r2,80J nécessite le calcul d\lI1c version filtrée (cn temps) de la distribution de Bertrand de l'observation, ce qui est en pratique djflîcilc il mettre en œuvre il cause d'un coût de calcul imporlnnL Pour aboulïr à une solulion pratiquement cxp)oimble. il est oblîgatoirc de considérer une description lemps-rréquence plus simple (malS toujours précise) à lu place de ln fonclion exacte f'u(f,.il donnée en 12.81]. Alors qu'une simplijicnlion ne semble pas possible duns le cas généraL il apparaît qu'clle peut être efrectuée dans le cas spécîfique des ondes gravitationnelles, grâce aux valeurs des paramètres physiques qui sont impliqués.
118
Décision temps-fréquence
Temps (s)
o -10
f5
-20 -30
b)
..j -40-l---~~~~=:;::;;:~_·~··~-~~"~_rr_~~~ _":~.,... HP l !O I()U Fréquence
() "t"" ---"y-~-.~ .. ,.
()
cl
4 6 Masse 1 (en masses: solaires)
gradwlÎmmellcs. Le Figure 2.30. \-'afidiuJ rIe f'appmxi llutfùJ;! de phase SIatÎOf1l1aire des IHUh'S par il/le bt'!wire imi,w' Oili/ellc gral'itati l'omit' dt' !1 SiglUll (a) rcpré:wHrt: le II/odèle I/ClI'(OIlÎC de 200 !Hp,. Le dis/wICL' uni! iÎ sirl/fJe itH j() cr _ l1h 1 de objets deux de coa!escentc compos{c df' p!Jase staoIÎolI SOli appmxim speclre de cc rigll/d (bJ {ligJtf' plcint!) ~'S( bim approché par 01/ \'l'rtjie (cj YS/. {2. crifèrc le jJar e) t!O/l.ç fa fllage dc ji'éqlœnc c û(~JiJ1ie
tiolllwirc (ligne pOÎnrille lclk lfobsCI1'!uirm {fixée par lesJhf~ que ('elfe tJ!Jl'roxi ma/ioll Ji1/lcrùmlle dOJls la bwulc fi'iJquem variété Je couples de l/UtSSCS (tri), 111/(' !JOlIr r) déteCfclf dli ha,I'sL' CI Iwltfc fjucllces de ('()l1jJftre 1,1111, l j)L, et iOJ.\I,::, d Ill;; mû f10sslhlcs pOlir les ahjefs de la binaire (ml l'lIrie Cmf;]
(ll'ee 1
~ ~: ~
10t lAI ligne poiwil!L;c (placée arbitrnirclI1CIII
Ù
500 l-I;:;) désiglle 10 fréquence
approchée pOlir fa mUt/irc de de cm'lml't! lUf/ffIJ dll déll'CfCW: ce (Jlli perme! d'ai'olr mU! bome
l' lIpjlJ,-xfiJUtuioJ!,
Détection de IlOfH,trti.ionnarités
119
De Bertrand filtré" Bertrand, Approximation bande étroite
En effet, sÎ nous revenons à [2.81 J. nOlis pouvons éCr1re d'une façon équivalente:
r2r+I-',! (,
,
\ l'pIV)" R t-, J')
1- li!
dl
[2,991
avec: 12,1001 et: Il.101 J
A cause de~ limitations aux basses fréqucncês (bruit sismique; et aux hautes fréquences {bruit de photons). la largeur effecl!vc d'observation est nécessairement res~ f :( f+ (avee comme valeurs treinte ft un imerval1c en fréquence pa~sc-bande typiques, que l'on pourrait raisonnablement choisIr, J- ~ 50Hz el f+ ~ 500Hz). Cccl a pour conséquence que le speclre de Fourier:
/ P}t\(f, Jj,,-i2rr çl dl, }'"'+l'I (,\,.(u)Ar.-(-u») ,0-1 R(JA,Ju)) R(JÀ;,(-u))
12.102]
est non nul seulemenl dans la bande:
1011' 'h
12.1031
f-
A l'intérieur de la bande de fréquence délinie ci-dessus. on peut considérer (voir par exemple IINN 96, INN 971) que la densité spectrale de puissance [,,(l) du bruit d'observation n(t) varie. cn moyenne, conlÎnûmcnl el sc comporh:: 5 en r" (I) = cr" f-c, uvee, '" 1. En supp<",ml donc que: 12,104]
JlU) =
pour f-,
"f" h.
nous obtenons de 12,100] gue: (,\" ('11 )/\{" ( -11)) ,-MI:!/'+- 'J)
Ii(a) =
[1.105] (d'II)
5, Notons que ceci n'est qu'une première approximation et que, uans le cas de;" détecteurs réels. des raffinements doivent être faÜ~ sur la bi.!sC de modèles plus réalisœs..
120
Décision
Icmp;.;~fréqllCnce
pour IlIj ~ 1Li-' Dans le cas des binaires coalesccnlcs (It = -5/3. hruH en ,; I/I ' j (i = l}' ccci sC réduit alors ù:
l'
l/G) el d'un
[2.106J quanlîté approximativement égale ù 1 dans la hande consîdérée. La tnmsforlllallon résultant de rapplicullon du pré facteur en h(H) dans [:::.99] laîsse donc inchangée la dis.tribution de Bcrlmnd r~'} (l, f), ce que r on illustre Ilgure 2.3] en comparant celte transformation à j'élément neutre de la convolmion dans l'espace des fondions délinics sur un intervalle limité en Il.
Quand r approximation ci-dessus es! valide, ceci conduit alors il un détecteur semblable il f2.80], mais avec la simplification:
[2.1071
Figure 2.31. QI/mul /a b,jJjde IHlssimle du .!élecTeur CSl limirée, ln j,metion Je//1pS fréquel1ce if wili.w;r pi'1fl {jire bien approchéc par Hile (1I~'\lributinll de Ber/ralld tl L'(lIldilfrm ql/e la fOJlc/ioll (T') b( /1), d~{i!lic Cil Il.106/, agisse comme 1Wémcn! fU.'Hfrc de la conrol1ffioll dans respace tif .fiN/crion il slipport borné C!I lf. La mlidiré de cene approximati(lf! est iIluxrréc ici eil mO/Hm/if dmH le diagnJII/J/w tlu !tall1 (1.ih(u) (lif!.l1C p!cine) ct /a jimcfùm indicatrice de {'inu'l'I'ulle Cil Il associée à la bande de FéqIICIU.'f" 50/1:: - :150/1: (ligne poil/tillée), ci eil ('ollljwym/t da/l,<, lé diflgramm(! dl/ bas lcnrs rraff.'lomu!(;x de f'()j{rii'l:
Délection de non-stationnarités
121
De Bertrand au spcctrognnnme réaHoué, Approxhmllîon il fort rapport signal sur hruil En partant de cette strtH.:lure simplifiée, le problème fluul est de trouvcr une approximation précise el fadle à meUre cn œuvre de la dislribution de Bertrand
pK\L
f). Puisque la caractérîstiquc-('h~ de cetle distribulion est sa localisation parfaite [2.721 sur les chjrps ( adaptés i), la solution que nOlis proposonscsl de la remplaccrpul' un specfmgl'Umme rc!alloHé IAUG 95. AUG. à paraître, BAR 96J S~:(L f) qui. lorsllu'il est appliqué au même chirp cn loi ùe puissancc. se comporte approximaiivement en:
tdf))
[2.108J
L"c:llicadté de ccHe approximation est illustrée en figure 2.32.
En comparant [2.72] et 12.1 08!, nous sommes condults ri choisir q = 2,. qui donne la forme iinale du détccteur optimal npproché :
+
L ce
Dans le cus spécifique des binaires coalt::sl'cntcs. nous préférerons paramétrer le signal il délecter à r aide de son temps de coalescence f cl de sa ,( chirp maS$ ;) réduite )y[s- Avec les constantes correctes. nous obtcilons nnniement <à un l'acteur d"amplitude près}: [2.110] avec: [2.111]
2.4.5.3. Une illustratiol1 Pour illustrer 1"cfficacité de J'approche proposée. nous présemom: en figure 2.33 deux exemples différellts basés sur une des situations typiques discutées dans [INN 96. INN 97]. Dans ces ÙelJX exemples. on suppose gue la binairL' est constituée de dcux objets de 1 ;,11(.) el Hll1[,~j (lemps: de coalescence fixé à f 0). La binaire est loca]Îsée il une distance de 200ivlpc de la terre dans le premier exemple et ri 1 Gpe- dans le deuxième exemple, La simulaiion a été l'aile en altéranlles données parun bruit additif gaussien. avec f = 1 el 0- 2 = 0,7 j( 10~·1!2 sur une plage de fréquence de 50 Hz - 500 Hz. La stratégie proposée, ba:-.ée sur le spcclrognunme réalloué, n'atteint pas la performance idéale prédite par la théorie du liltre adapté. il cause de la précision limitée des différentcs approxîmations impHquées P{)Uf son obtention (en particulier, la nature à bande limitée du signal impliquc que la distribution de BClirand ne peul
122
Décision temps-fréquence 500
500
g
340 0
400
~
:;;300
v
,8'ô:: 100 Temps {SI 500
500
2l 400
~ 400
300 g v
g 300·
[20n
95 f20 0
100
\0\)-1
'-=< '== ::::: ;:=- --..- ' ·{lA
c)
<J)
Tem ps (s)
1 dOffné Hile les O!ulex gn1l'iuf!imwcllc.'i: [;;U1/1 li ln = Oi, Fw! llee 'SCe cou/L de /Ille binaiœ coatesCCi1le (tempo; onde gmv ilt/tio llncl lc (;/II;;;e par qllt' fJOS' lisée loca i ollss .wh 'dIe qlJ J,y-fréqtttmct! If ililajJlr!e h cal1di(m ff11el1d d'lIll f' dislr ilm!i rll/ !L'mf inns in.:.s dislri{Jul ll/Ulliee. Cctw.ligltrc comp(jn' certa ('/1 sibft> sur la li;':I!f.' de JhFt/IIt'IICC insu Hlle obte csl re que 1'011 d/i,'Ji :. il es! com w que 10 {/{striJJ/f/ioll ot'alg doles. DII poin f de l'lie 11/éoriqw. oli (aJ, ('fi lré iUlJS ccd est lmlld ((cla pltic (l,: ;=:: -·5( J): It', (l'1lI' WfliS Wlf la distnÏmtimt de BCr en re meU à le simp I, nt/()I é. Une bOl/lie appfïJsim rithme
élfl/f!!lCe Figu re .2.32. Disf ribw iofls lC1!l(Js-uh
f}{l!1 f
figure met en retard de grou pe). Cep end ant. celte être localisée le long de la hgn e de lle présenle qu'c cl p chir du n lairc lnen t la déte ctio éviù ente que cette strniégic pcn llclc f:.tite sur te in chem de ion gral ïnté es d'un c sim ple des pct'fornnances qui dépassent cell spcc trog ram me slnndnrd. ement supla (, chir p muss )) Jv{;~ a été Implicit Dans l'exemp1e de la lIgure 2.33. que Jv(c;; ose supp l'on Si . n cas vrai en pratique posée con nue , cc qui n'es t cn aucu édente préc la er liqu app ü s îstiquée cons iste alor est inco nnu e. une stra tégi e pins ~oph êchanr pou re ssai néce que tégr aies de chernin en para Hèle en évaluant autm1t d'in urs, vale de able onn rais le urs de JvC:1 sur un interval tillonner con ven able mcn lles vale loué réal me ram trog spec le r n de celt e sira légi c pou La figure 2.34 montre l'np plic atio n-cstlmaliou ectivement. Ce proh lèm e de d~teclio resp . dard ct le spec trog ram me stan
Détection de non··st'lltOnnarÎL,ss
123
conjointe permet donc égalemcnt unc cstimnlÎon de J\{";,. Il doit êlrc noté que. lorsque l'on parcourt le:; valeurs lests de J\[(:~. l'énergie du signai de rélcrencc cst modiiiéc. La sorlk de chaque: détecteur dOÎl done être divîséc pnr LIn facleur proportionnel au module carré de l'mnplilude du signai de référence (qui varie en J\'r:~::l) pOlir pouvoir comparer les résultats de façon cohérente.
-0.2 a}
-lUS
-0,1
-o,OS
ReLard Îsl
o
0,05
hl
Retard IS)
Figure 2.33. Di'fCctùm d'ooc mule gml'ilafiolllwlh'. Ceflcjiglfl'(, iJllIsfre 1\1ficacité d'Illie dài'c~ lion tefllps-fràjl/ClIce optimale d'uue onde grm'italionl/clle issue d'wU! hinaÎrc (kll/!'S de ('Oii ll!scencc 1 = 01 composée de del/x ol?;Cfs de j ;l,h. el JO :ÎL; à /fliC disumcc dc ]00 M,IlC d(l/IS le ms (li) c{ J Cpc dans le ms (h). Puisquc la diswnce i!l1lrc fa binaire el ft.! ICFft' c!umgf' sim" M
plement romplifUrle du xignal, le mppon signal sur !m!it es! Il' SC1I1 fUIfI1lJli'flt' qili esr lJIodUit: l'II/re ces deu.y exemples, ClUlt{lIC graphique mill/HIlL' le mudule earri df! l'cuvdoflllC dit signa! Cil srm/e du filin' adap!é (mût mLHe) O\'('e WU! srm,ugic rempsJréqlfcilce basée sur IIl1e fml!p,rtlfioll de chemin sur 1(' spectrogramme clossiqllc (tmit pointillé} ct sa n:rsimr réallouée ({mir fllein). Pour.Ftire aJ'paraim: claireU!t:!lf Cc qui cS! gagné Cil {('l'mUJ d" {(l/lf,,;SfC, le maxiillum de ciWCWlC de cey COI/J'ha (1 <'te orhitmire!llellf lIormalisé à l'unité.
2.4.6. COllclusion L'ohjeclir de celle section était de combiner dcs éléments empruntés ~l la théorie de la détecüon optimale et à l'analyse temps-fréquence pour iraïter le problème ùe la déteclion temps-fréquence optimale de chirps, Nous cn avons extrail un cadre général dans Jcquel nou>; montrons que les stratégies intuitivçs de délectÎon de chirps par deR intégrations le long de chemins dans le phm temps-fréquence revêtcotla propriété d'optimalité sous plusieurs conditîons. la plus importante d'entre elles étant l'ulilisa~ lion d'une distribution telnps~fr{:4Hent:e unitaire, il la lucalisation pw:tàite sur la loi de fréquence instanlanée (ou de retard de groupe) ùu :.ignal il détecter, Cette dîstribution est généralement dinîcile à calculer numériquemenL Nous suggérons de la remplacer par une approximatioll il raide d'une distribution réallouée simple ù mettre en œuvre
tl..J-
Décbion lemp;;-frêqucnce
1.5 1
0,5
II
Chirp ma~s
Temps (5)
al
2
1.:; 1 0.5
o
hl
-0.8
Temps ts)
Dm/.\ le nu où le Figure 2.34. DéICclio/l-eslimation coujullu c d'lfllL' ondu !{nH'fWrimmclle. (similair es li chemin de u!IS if/fégrati N eV! ir/CO/IfIII, dWënm!e p(Jrail!('II~' de " cl;irp /lUiSS )) ) dOI\'cnt élJucJlcc fcmFs~/i" cOllrbes de riOmhrc n:rWÎn w! SHr celles ,fi:1iics cn .figure 2.33, lIIais
réal/oué e (/1}. Ccci réslIltl.! en être ,'mlut'es , ici :iftr le ,\lJt!crrogramme x/wulard I{IJ ct sa l'crshm
Jll1e!!c (quand il dépasse llne ....miace dom le maximul II permet 1(1 dJrcctiorl de l'onde gral'itario ci de lu (,_ cldr!, Ir/as,\' ,) nce coo/esce de U!mps du fois JIll smât prescrit j el !'estimO fiol/ ù la m de lu rt'allo(.'( ltioll 'wifismü L :s). poùlfillét lignes tics par s indiqwic (les ni/cars réel/t'fi son! illlll1U élIe nil'cUlI SOIlfJUn wuéfion : l/olablcmcJtl f 'acuité dll pic ,le détection {}r le contraste' entre
du bruir.
d'un moyen systé(comme le spectro gramme ou le scalûgrammc-). On dispose alors chirp, A cc titre, cie e 0lnilllo; quasi malique pour obtenir des slralégi es de détectio n entes) est un coalcsc binaires les l'exemp le des ondes gravÎtationnelles (émises par
Détcction de non-s!aliollnarîtés
125
caS d'importance particuli\'!fe cl la pos5ibHité de leur détection temps-fréquence H été discutée avec une certaine attention. Les condilionl'i d'une filralégic quasî optimale de déteclion ont été t:(ablies, Ccci met par ailleurs ulle nouvelle fois cn évidencc, dans un .::xemplc précis, que la méthode de réal1ocmion peut prendre part il une chaîne de lraitement du signal dans un but différent de celui de l'analyse, La question est main~ tenanl de discuter plus avant ce qUl peul être réellement gagné par une telle approche en termes de l1cxibiHté et de robuslesse.
2.4.7. Bibliographie lALT 801 ALTES R,A., « DetL!Cllol1, estimation and dl.lssiilcntion wil!) spcclrograms (:f lhe Acotl.wicol Sociery ofAmr:rica. vol. 67. n" 4, p. 1:;;3J-1146, 19S0.
>;,
.fourllol
[AUG 95j AUGER E, FLA>JDRL\i P.• (, Improvlng the rCl)ùahility or limc-fn:qucnçy und lImeSCi.lk fcprescntmiotl~ by the rcassignntenl I1lcthod >t_ IEEE TratlSilcIÎrJfjS on Signal Processing. vol. SP-43. ne, 5. p. 1068-1089. 1995.
IAUG, il pumürc!
AUGER
E.
FLA>4DRIN P., CI·IASSANDl~-Mornr-;
dans HhlWMsch E, Auger F.. Ovarlez l.P, (dîr,}, mè~. Paris, ü parüîtrc,
E., " La réallocatioo
TeJllps~/h1'fllellc(,: cOllcclns ('f OUlUS,
p.
Her-
[BAR 96] BARBAHOSSA S.• LE~WINE 0" « Analysi!'. of nunlillcal' F~vl "ignals hy pattern recognition of t!icir !imc-frequcncy reprcFcntlltion H, IEEE .'Îlgnat P/'ncessing LCflCI:\'. vol, SPL-3, 11° 4, p. J J2-115, 1996.
[BER 91) BElnRAND J., BERTRAND P.. '-< Somc pl'ac!kl.\1 aspects or lhe affine limc-fre~lucncy diSTributions. >', dans Actes dtl fr{'izù~lI1c colloque GRETSI, p. :25-28, Jl1an-Ics~Pins. France. 1991.
rUER 921 BEIHjL\ND .1., BERTRAND Po. <, A duss of affine \\ligner distribmions with extemled covariance propcrtie" 1>, Juurnal oIMarIwlI1otiml Physic.\', vnl. 33, net 7, p. 2515-1517. J 992. p" ,< On the siatÎonary phase approxil1la~ dans PmcL'cdillgs (d· fit!' IEEE ll1tL'mmi()}/(/j 5)'lIIposiwJ/ 011 TimcFrequel/C)' aJld Tillle-Smir: Allolysi::. p. 117-120. Pittsburgh. ! 998.
[CHA 98]
CHASSA~DE-MoTTlN E., FLA~DR1:-i
lion of chirp spcclra
h.
[CHA 991 CHASSANIJE-MoTTIN E., FLANDR!l\ p" « 00 the timc-frcqucncy dcteclion of chirps ~', Aplll. Comp. Harm. Auo/., vol. 6, nü 9, p.152~28!, 1999. rCOH 951 COI'IEN Loo
Time~Frcqllellcy
Aua/ysis. Prelllicc Hall. Eng!cwood:-. Cliffs iNcw ,fer-
scy), t995.
[DEL 921
DELPRAT
N..
B., GUILLEMATI' Po.
ESCUD!E
KRONLAND-MART1:-lET
IL
TCHArvllTCHlt\N P., TORRÉSANI il .. « Asynip[otic wuvdel and Gabor :ttwlysis: Extrac-
lion of il1stanlrmcous frcqucl1cks n" 2. p, 6+1-673, 1992,
fFIN 93J
r:ll'ir~
»,
L.S .. CllERNOFF D.E,
IEEE Trell/,mc/io!i.\· «
011
btf'rmuoticm
l1u:m~\.',
vnl. lT-3l-l.
Oh,,,crving binary inspiî.11 in gravilaliûnal raùiatiun:
One În!crferolllcler ;), Phy:dcal Rel'ù:1l' 0, vol. 47, n" 6. p, 2198-1219. 1993. [FLA 931 FLANDRiN E, 7bJjps~fréifucnce, H>!mlès., Paris, deuxième êdilcUIl. !998.
1::6
Décision temps-fréquence
[FLA 031 FLANDRIN P., (( 1èmps-frêquencc ct décision·- une inlroduction ". dam; Doncarli C.. Martin N. (dir.~, Décision fcmps:li'tfql/L'Uci.', Hermès. Paris. 2003 (te volume). p" BARANTUK R.G., ,; A psclldo~Berlr;,mu distribution l'or time-scale amllysis ", IEEE Signol PmceHing V'flers, vol, SPL~3, [{' 3, p. 82~84. 1996.
[001'\ 96J GONÇALVÈS
[(Nf',; 96J INNOCENT 1.M .. TORRI~SANI B., A muhiresolu!ion slrategy fordclccting gravHulio~ IIul waves gellcrated hy hinary coalescence, Rapport technique CPT·96JPJ379, CPT-CNRS, rvlar:.eillc. 1996. IINN 971 INNOCENT J.J\I .. TOHRÉSANI IL « Wavdets ,md binary cualcsccncc" dcteclion ". Appl. Cmlfp. flaff", ;l1U/L vol..f, n" 2. p. 113-116. 1997. PAF 961 ,lAFFARD 5., MEYER y" iltn"f'let II/l'lhodsjf)r poilltl1'isc }"cgIJ/aJ'ùy und local oxci/larÏOfI5: I~OimctioIlJ" Memoirs f?/flw 11111('}"ic(I// MflflrcmariU/{ Socfcry. vol. 1:23, n" 587. 1996.
llAN 821 JANSSEN A.1E.fvL ., On the locus and spread of pseudo-dcn:-.iIY limc-I'rcqucm:y plane », PIIi!ips J Res., voL 37. n'-' 3, p. 7\t-l10. 1982.
runçtion~
Iii Ihe
P(AY:-;5J KA)' S,M,. BOl:DJŒAUX-BARTELS G.F" " Ou the opLimnlity of lhc Wigner dis[ri~ hLHion for de(CCLïon ". dans Pmn'cdill:;s ,4'thc IEEE !mc/ïlilfiuTW! Ctil~/à(,llce OH ACO!lSlics, Spec{'h. (//u! S(iplfIl Pmcessing. p. HH 7 ~ \010. Tampa, ! 9S5. fMEY 971 MEYER Y.. Xu 1-1.. ,( Wuvekt
H.
Appl. Camp. HUlïu. AI/rd.,
1!'v10H 9(;! MOI-!/\NT)'
S.D .• DH URANDHt\R S.Y.. ,( Hierarchieal scarch Slnllcgy for the dctcction or gravitatlonal wavc'I frum coalcscing binarle:-; ;', Physical Rel'Îell' D. vol. 54. nf} l:!, p. 7 !OX~712S, 19t}ô, Time~scalc approach l'nI' chirp dè!cction >l, In/enliaioua! .Journal of mJ\'e!ers. MlIltin:.\o{ulioft and h~ronJJ(I,i()1J Pmc('!Js!;IK. voL 1. J{' 1. p. J9-'+9. ::m03,
[MOR 03] MORDIVONE M., TOHRESANl B .. "
[PAP 941 P,\P'\~DIŒ()U A., KAY S.M" BOUDREAtlX-I3ARTEL.s (l,F.. u The use ofhyperbolic time-frcquellcy n.!pn:.'scntatÎons for optimum detel'lion and parametcr estimation or hypcr~ hollc chirps uan" Pmt'e{'dings (!f/he IEEl:.'lnœmarùmll! ,S)"mposilfm 011 Time~FrcqfJt:lliy and nU/l'-Scofc Ana/ysis. p. 369-.171. Philadelphie, \994. j"
[PTC 971
PIC!:-1BONO
B.. " On in:;tanlaneülIs amplitude and pllasi? of signal'l ", IEEE 1Î'imsac·
lions 01/ Siglwl Pracl'.\·sirrg. \'01. SP-45. n" 3.}1. 552~560, 1997.
1Sl\T 911 SATHYAP!(A KASlI B.S., DHU RA~l)lI AR D.V., .{ Chnice nI' Illtcn; for ÙlC detcetion of
gravilational waves [mm coalescing hinnrics
\>.
Ph.vsicall?el'iel\' D, voL 44, n'" 11, p. 3819
w
383-4:, 1991. [SCH 891 SCIII.;TZ B.F.." GmvÎlntionnl w,lve ~oun:es and tllcîr dcteçUlbîlity 1', Clt,ssÎca! and QU(I}/fum Grat'if.\". voL 6. p. 1761~1780, [989.
ITHO 81'1
TI-IOI~NE
1<.S., " Gravil
30ft l'ho:\' t!fGral'itaIÎOll. jJ.
[UNT 841
tJ~TER13ERGER
A .. « The calcuills ofpx-cudn·diffcremial opcrmors of Fuchs type ;". voL 9, p. I! 79- 1136. 1984.
CmmJJlIIIÎcmjolls on Partial DUfcrcm/a! Equations,
[WHA 7 Il
WHALEN
AD .. f)etcctiml of SignaIs
ÎI!
Noise, AL'adclliic Press. San Diego. 1971.
Chapitre 3
Déte ction par représentations temps-fréquence di scrètes
3.1. Positio n du problèm e Parce qu'elles foumitisenl une caractérisation spedral e locale ncccssu irclt J'analyse des sjgnuux non stationnuires. les représentation:s lemps-fréquenc e (RTF) jouent un rôJe Condamcnwl en traitement du signal. Parmi les nombreuse!' solutions proposées il ce jour, ja distribution de Wrgner-Ville est souvenl privilég iée cn raison des nombreuses propriétés qu'ellé vérHh.', parmi lesquelles on compte [lUf exempl e celIes relative:; à ses distributioll!' marginales d il son support [FLA 98]. Cette dii>lribution constitue ég.alement Ulle sofutIon intéressante pour la résoluli on de problèmes de détedlo n par RTF. principalement en raison de sa covarinncc par rapport aux tmnslutions dam; le phm temps-fréquence el de éiOll unîtarité 'fiLA 88. SAY 95J. Afm d'implé menter la dislrihution de Wigner-Ville sur un calculat eur, il est nécessaire ù'en donner une délinition pour laquelle je:; valiables /('fIIllS ctfréqlli 'I1Ce prennent des valeurs discrètes. De nombrcus.es approches ont été proposé es ann de résoudre cc problème non trlvÎuL Généralement, la djstrihution de Wigner -VHle dis~ crète eHt cOflsîdérée sous la [orme suivante, dite classique dans lu suite Je ce chapilr e: .N -1
IFj'IUl! .rH 1 • I/J'il.'~ ._. L ,1_'[1'T r=Î)
Chnpitrc rédigé piU' Ci!ùrÎc RICHAR D.
T J' fi '[1
- ,~l1
13.11
[28
Decision
lemps~rréqucnœ
avec t cl If Je temps el la frétlUCI1CC normalisée, il valeurs discrètes dans l'ensemble {O, "" N ] }. Cette définition présente toulefois certains inconvénients, l'un des principaux étant de ne foumîr qu'une représentation spectrale locale de la bande normaHsée [- +~ J, Par rappon flla distribution de \Vigncr- Vilie à variables continues. la perle de certaines proprié-lés fondmncnlules telles que l"unÎtariLé est également à déplorer. Récemment des effons importunLIJ. décrits dans [COS 01.1 ont été portés ufln de développer une distribution de Wigner-Ville discrète aulorisuni une analyse de la lowHté de la bande de fréquence normalisée ~. ~]. Dans fRICH 981 Richman el al. onl fait appel ù la théorie des groupes, La distribution de Wjgner~ Ville ùiscrète résuhant de leur étude vérifie des proprîél6; analogues ft cenes satisfajtes par l'on homologue ù variables continues, En notant JV le nombre d'échantillons des signaux analysés el en ulilisant la notation (0 Lv pour a modulo N, die est définîe ainsi:
t
N~l.v-lS-·1
L L L'I's['/,7J :,,[(1' + TÎNJy'[1'J
[3.2]
oit t et f/ sont des éléments de {O. ,. ,N 1}. Il est ù no1er que la fonclÎon 4iJ\' mentionnée ci-dessus, don! l'expression figure ùans lRICH 98]. dépend de ln pari lé dé N. Dans lONE 99a, ONE 99b j, les auleurs onl privilégié une approche axiomati{1ue. Leur démarche m(!ne ù la conclusion que Ja ùistribul10n de Wigner- Ville ùiscr~te n' exisle que pour les signaux dont le nombre ù'échamillons lV est impair et que, dans ce cas, clIc est déi10ie par /3.21. Enfin. pmmÎ les nombreux travaux sur Je sujet. on petit encore citer ceux de Pcyrin et Pro~t, qui ont étudié le phénomène de replicmcnl inhérent ù leur procédé de discrétisation [PEY 861. ainsj que ceux de Stankovié, qui présentent une di'tribution reposunt sur la transformée de Fourier l' court terme 1STA 94, STA 011.
Les méthodes lemps-fréquence, cl en particulîcr la distribution de Wigner~ Ville, onl souvenl été associées il des structures décisionnelles en vertu du point de vue intércssant qu'clles offrent sur les signaux non stationnaires, Ce [ype d'approche couvre des domaines nus si variés que l'acoustique IDAV 001. l'astrophysique ICHA 981 le bioml5dical tR1C 981 ou cncore les radars lLEM 951. Durant la dernière décennie, une lhéorie l'illr la ùéiecLÎon optimale par représentation temps-fréquence a élé dé\'elop~ pée. En particulier. Flandrin a caractérisé des scénarios de déteclion pOUf lesquels des structures de détection opénmt dans Je plan temps-fréquence revêtent un caractère oplimal [FLA 88 j. Pius récemment, Sayeed el Jones ont prè;cnlé des détecteurs temps-fréquence optimaux pour la détcclion de sïgniJux aléatoires du second ordre en présence de bruit gaussÎen. avec pour parmnètres de nuisam:e j"instant d"arrivée et la fréquence initiale ùe l'événement à délecter [SAY 95]. Enlln. Matz. et Hlnwatsch onl proposé une simplification dl' ces SlruClUJ'CS afin d'en racilih::r lïmplémentation [MAT 98]. Dans le cadre de tous ccs travaux. il convient de noter que Je temps et la rl'équence sont t:onsidérés comme des vmiabJes continues:, Il en resulle que les détecteurs
Détèction pM rcpréscnt:ltlons temps-fréquence discrète;;.
129
proposé s nécessH ent d'être préalab lemcntd iscrétis és avant de pouvoir être implém entés sur un calculal eur. Cette opémtio n peut toutefoi s être lourde de conséqu ences, les procédu res de di.o;crêtisation de~ RTF étant mulliple s et pouvan t s'accom pagner de la perle de proprié tés ünporwl1tes. comme cela vient d'être évoqué Jans le cas de la distrihu tion de Wigner - ViIIe. Le présent chapitre est consacr é ù J'étude des déteclC'urs opérant sur la dislribu tÎon de Wjgncr - Vme discrète" rI li pour objectif de donner quelque s repères (Juant au choix d'une déHnition pour ceUe dislribu lion dans un context e décision neL Ne pouvan t être consacr ée ù l'élude de r en~ell1bIe des solmÎon s qui ont été proposé es. la disclIs;:;iùn qui sui( u été voiontaïrL:iHCIH limitée Il lu définition classique [3. j j et ù la disiribu tion f3.2J récemm ent propose e par Rîchma n et al.. ces dernière s offrant une vision représentative des problèm es qui peuven t être rencont rés. Aussi, nous ahordon s dans lin premh::r temps le sujet du poinl de Vue de la déreClioTl ri slmCfUr e lihre, par Je biais du problèm e de détectio n académ ique cOlll\ldéré clUllS fFLA 88]. Nous éludion s alors l'existen ce de solution s temps-f réquenc e reposan t sur rune ou l'uutre des di&tributions de \Vigner- Ville discrète s considé rées. Puis, nous nous consacr ons au thème de la détectiol1 il sfructnre imposée pur RTF A ceHe occasÎo n. nous discuton s du choix de la déllnitio n i 3.1] ou [3.2 J qui pourrai t garantir les meilleu res perform ances en délectian, en ayan! ü l'esprit les effets néfastes induits par le phénom ène de malédictioll fit' la tlimensiOl17Jalité, Ceci nous conduit tlnalem cnt il complé ter cc chapilrc par une étude de fa redonda nce informu tionnell e de la distribu tion clas~iqu e 13.1 J. Pour davantage de déU1it~ sur les thèmes dévelop pés ici, le lecteur intéress é eSl invilé il consult er [RIC 01, RIe ma, RIC 02b].
3.2. Détecti on il structu re lihre pm' distribu tions de Wigner -Ville Dans celte section. nous montro ns que Ja définitio n adoptée pour la distribu tion de Wigner- Ville discrète Ci un impact importa nt sur Jcs perform ances de ln structur e de détectio n il Iut]ueHe elle est 'associée. Le problèm e de détectio n sélectio nné pour cela
s'exprim e ainsi:
:l'It!
1/
[1.]
'l'[t] = n[1) + s[t]
[3.31
nvec t, E {O, ''', jV - J}, où J' désigne une ob$erva tion discrète ct , le signaJ à déteclcL cOI1;;',idéré comme gaussie n, de moyenn e m el de covariu nce RI;' Le b1'1lH Il duos lequel est noyé cc demie!" esl supposé blanc, gaussie n. cenlré et de variance (T:2 , Le problèm e r3.3] possède une solution dans le plan tcmps-rréque-n cc. dont on trouvera une de;\criptînn complè re ùans 1PLA 881. Cette dernîèr c a été proposé e en CDllsidénuH le temps et la fréquen ce comme deR vmiabic s comillues. Nou~ nous proposons de le trailer ici d.ms le cas discret. Soit 1) une base orthono rmée de vecteur s
j 30
Décision lcmps-frét{uence
propres de JI". On désigne par Ok le k-ième élément de 13 el paf Al.- la valeur propre de I{i qui luj est associée, Le problème 13.3 j .admel une KolUlion classique dans la base '.B quj s'cxprime ainsi: [3.4] nil
j'rI
désîgne un seuil donnê cl: 1 .v -! ;:;:2 c--"--cc 1,1: [kW Îo=o i\'~l 1
I:
3
[3.5J
I: -;---~" Re(,"!kJ Ji,' [k]}
[3,61
1,:"",0
avec: :\'-1
N·--1
I:c[ij
,è[I,]
1=0
[(.nl:I,J =
I: m[ljyÎ..[t.J
[3.7]
i=O
On peut constater quc cc résultat est équîva1cnl à celui obtenu dans le cas continu 1FLA 88J. hormis le rait que 13,7J y esl remplacé par une décomposition de K"rhul1el1' Loèvc de J' ct 111 sur une base de fonctîons propres de R.:;, Cette <;Îmilitude pellt êtrc prolongée en r\.!chel'chani une formulation temps-fréquence de 1a règle de décision 13.41. En "doplallllllle démarche analogue à celle qui est préscnlée d"ns IFLA 88], on esl ainsi amené à constater que les expressîons:
An
=
AD =
13.81 2
l39J
faîsnnt intervenir lu dislribution de ·Wigner-Ville discrète, notée fFl~f!/ pour désigner les définitions [3.11 el/Oll [3,2J. sonl é~llivalcnlcs il 13.51 Cl [3.6J" condition que la loi de conservation du produit scalaire qui suit soi! satisfaite:
Détection par représentations Icmps-frcqucnce discrètes
131
Si une relation équivalente à 13.10j exi;;te bel el bien dans le cas continu, la validité de cette propliété dépend en re\'anche, dans Je cas discreL de la définition aurihuée il la distribution de Wigner-Ville. On démontre aÎsément que la distribution de Rid1l11a!1 et al. assure la conservation du produit scalajre IRiCH 981 cl garantit en conséquence l'optimalité de ln régIe de décision combinant 13.81 el f3,9]. A eela s'ajoute sa propriété de covariance par rapport aux lranslations dans le plan lemps·frcquencè, qui facilite ln plisc en considération de l'inStant d'arrivée et de la fl'équcnce initia1e de l'événernent il détecter en termes de par:.unètrcs de nUÎ<';::!nce ISAY 95J. En revanche. III dîstribution classique ne vérille pas la loi de conservation 13. Un l..:oplimalHé du détccteur temps-fréquence considéré jusqu'ici 11 'est donc plus assurée dans ces condîlÎons.l1 apparaît ain."j clairement que l'optimalité d'une règle de décision élahlîc sur la base de la distribution de Wigner-Ville continue n"cst pas ganmlie lorsqu'on la lmnspo~C' au cas des signaux discrets san~ précautions préalables, ce quïl1ustre ]a figure 3.1. Il s'avère donc indispensable ù' étuùÎC-r préalablement les propriétés de la distribution de Wigner-Ville discrète adoptée, la défillition classique élant souvent mOJllS intéressante de ce point de vue que edit: de Richrnan Cf al., si l'on s'en tient à ces deux distributions. Le lecteur intéressé- par le cas ùe la distribution discrète pmposêe par Stankovié [STA 94. STA 01] e,t invité il consulter [RIC 01a[, JOIl,----::::J~""'-.-;.-.-;.,
""
0./------:::----:---:-----,-----1
o
Taux de rausses :llarmcs
I()O
Figure 3.1. Déf('clion d"IIN sigllal aJàllOire j.?fllIssiell 110)'(..' dO/ls IIIJ hrlli( MOl/c, J,'tJHS.\Ù'1I Cf ccn/n;, Som ici cmilfltm!es les cOl1rhes COR [les dr'œc/eufs du typu 13.8!~[3.Ql o/Jémm silr les tlisrribmions c/w;siquc {'I de Ric/mll/II Ct al. EI/ mll/pléllum!' les pel1tJrlmmn:s de ('PUe même SfmClUre de déu:ctùm ojJhymt ('l'rtL' foü sur /0 ûistribut;o/l de \Vigner- Fille discn"le pmposcc fJa/'Sfilll/.;()l'h~
{STA Y-l, STA 01/.1'0/11 ég{llclllcnf illdùJlIles. A tifre dc reflère, les
indiqmmr les
pCIj(mll(f!!CCS du détcclelll' de Bayes.
3.3. Détection ù structure imposée flar distributions de Wigner-Ville L'élaborulÎon d'un détecteur oplimal nécessite I~t connnÎssancc des propriétés stalistiques de l'échantillon, condîüonnellement à chacune des hypOlhèscs en
132
Décision temps-fréquence
sorl d'un cadre compétition. Celles-ci étant général ement inaccessibles lorsque 1"on à leur subamené lllent couram théorique tel que celui qui vient cl' être dressé, on est ènes phénom des e expertis 'une stituer un autre type d'inform ation (/ prion', Lorsqu ou un es lesquell pour s donnée des lIir observé s est disponi ble, il peut être aÎ.r.;é de recuci appelé es, étiqueté données de le ensemb plusieurs eXpcrL'i ont fourni un étiquetage. Cel règle de décih(/.\'c d'apprel1tissage, peut être utilisé à des fins d'élabo ration d'une consiste à timale, sous-op ins néanmo eable, sion. Pour cc faire, une démarc he envisag e de structur la e dans her recherc 2) puis e. 1) sélectio nner une classe de détecteurs la de ion estimat qu'une tel donné ance détection qui minimise un critère de perform détecla fI propre vue de point ce adopter probabililé d'erreur . Nous allons à prè;ent ntes raisons tio/1 li stmell/H ! illlpnsée dans le contexte temps-f réquenc e. Pour d'évide s opérant linéaire rs détecteu des e classe la à pratiques, la discussion qui suit est limitée forme: la de re est-fI-di c' , sur une distribution de Wigner- Ville discrète [3.11]
être déterDans cette expression, les Alt, Il] et Î'(l désigne nt les paramètres devant le d'apensemb un cas notre dans ble, disponi prim-; (/ minés à partir de l'inform alion nt pris largeme été a n détectio de e structur de prentissage. Il est à noter que ce type r détecteu au confère qu'il parce t alemen princip , en considé ration dans la li ltérature accrue_ tabilité quadratique classique une interpré
à la structure Afin de discuter du choix de l'Fl'~L~,5';) ou 1FF!~)~1') qui pourrai t garantir classes de les er compar allons nous ances. perform de détection 13.11] les meilleures que l'on R), e( et C) e( vement respecti notées s, détecteurs tcmps-f réquenc e 1inéaire temps, premier un dans allons, nous cela, Pour cas. peut générer dans chacun de ces tions distribu deux ces que ation l'inform de linéaire nous intéresser ü la rcdonda nce un dans tement compor leur riser caracté pour véhiculent. Ce résultat sera alors utilisé de ène phénom au té confron trouve se l'on lorsque contexte décisionne 1, en particul ier malédiction de la dimcllsionnalité. 3.3.1. ES/Jaces linéaires, espaces illdllit~' et bases
H"VI\~) peut La redonda nce linéaire présente dans les représentations l,yVI~;:) et l'espace qu'elles être mise en évidenc e, si clic existe. en montra nt que la dimension de étude, il s'avère cette Pour antes. compos leurs de nombre au re engend rent est inlërieu nous allons préanécessaire de définir un cadre algébrique approprié. En conséqu ence, ent la notion lableme nt présent er quelque s rappels d'algèb re linéaire et définir brièvem d'espac e linéaire induit. s'il vérifie ln Un espace signal S est dit linéaire sur le corps des complexes C un couple de (Cl:;3) ct S de propriété suivant e: quels quc soient. r et 11 des élémenls
Détection par représentations temps-fréquence discrètes
133
scalaires complexes, l'élément déflni par (0':[' -1- ,C1y) appartient également à S. Soit {,<;(J un sous-ensemble non vide de S. On dît qu'il constitue une base de S si les Hq sont linéairement indépendants et s'ils engendrent S. La dimension de cet espace est alors donnée par le cardinal de la base {8 q }. Il est à 110ter que celte demière est dite orthonormée si <8(/ 18(1' > = {l(N!' oi:! désigne le produit scalaire de Hq el 8q' donné par El sq[i] H~! ri_l, et 6qql le symbole de Kronecker. Tout élément .r de S peut alors être représenté par:r = E q n(/ H(/, avec 0'(/ = <.r 1 H(/>. Dans le cadre de cc chapitre, sauf s'il est rait mention du contraire. nous supposerons que S désigne l'espace linéaire sur IC des signaux complexes de longueur JV, c'est-ii-dire eN. Soil w(·) l'application associant l-I--VS) ii tout couple (.r~,IJ) de signaux complexes. On désigne par WC) lïmage de w l '), soit:
13.121 On remarque que i--\7(') n'est pas un espace linéaire puisque taule combinaison linéaire de distributions de Wigner-Ville discrètes n'est pas nécessairement Ulle distribution de Wigner-Ville discrète valide. N'étant donc pas autorisé à parler de bases et de dimension pour i!\?{'), on lui associe l'espace linéaire regroupant toutes les combinaisons linéaires de distributions de Wigner- Ville discrètes sur e, que l'on note c). Ce dernier est appelé espace linéaire induit [HLA 92J. La dimension de 1A,7(") est évidemment donnée par le cardinal de toute base de cet espace linéaire el le produit scalaire y est déHni ainsi:
iv
N-1
=
I: WV,l;)lt, 1/] [n'V,l;;"lt.,'I]'
l3.131
1.1'=0
L'objectif de la section suivante est d'exhiber des bases pour 1A.7( C) et 11\)( R) ann d'évaluer la dimension de ces espaces, el éventuellement de meUre en évidence la redondance informationnelle des éléments qui les constituent. 3.3.2. Comparaisoll de.,.. approches
Après ces brefs rappels J'algèbre linéaire, nous disposons à présent de tous les éléments de théorie nécessaires il la comparaison des classes de détecteurs tempsfréquence linéaires définies précédemment, à savoir e(C) ct e(R). Pour ce raire. nOLIs allons exhiber une base pour chacun des espaces linéaires induits 1!\7(C) et il\){R) correspondants afin d'en déterminer la dimension. On note Lllo l'impulsion unité dénnie par Ll/o[t:] = 1 si 1 = t.(), ri sinon. Par construction, la distribution de Richman et nI. peut être réécrite ainsi: ,"-1 IR ) - ' . [ ( Wv 'J. '[t]HTlT!) ;vy ~ L ·1 .f -1- -) 1 j\" lJ -..3.U!'l,\,D.1
13.141
134
Décision lemps-fréquence
t qu' il s'agit ce qui nous fournit une famille générat rice p()lJrW(H), On montre aisémen en fnÎt d'une base orthono rmée puis<]ue:
\3.151 oit du' désigne le symbol e ùe Krol1ecker.l1 o;'ensuÜ que:
[3.16] t indépen dantes. ce qui signiJk que Jes N'2 compos antes H'V,~!~n li, li] sonlliné aircmcn l'on pose lorsque c modilié rien Après avoir constaté qlle celte démons tration n'est en -ViIlc \Vignèr de on istributi l'auLod à :L' = .'J, on note que ce résulLat pem être étendu classe la désigne eUi} OLI Q, ~ eU!') discrète [R1C 01b]. Ceci entraîne directem ent que de Richmfin et nI., des détecteu rs tcmps-rr~quence linéaire s op~ral1l sur la distribu tion aInsi: et Q la classe des détecteu rs quadrat iques définî.~ fi,
13.17]
'" (0 :ritl QI!. T].1"'I7] lio
a pour 11 est à noter qlle la matrice q mention née ci-dessu s est hermiti enne. ce qui
n, conséqu ence d'assur er Je caractèr e réel de la sln:listiquc dc détectio
le but d'exIntéress ons-nou s il prés~tlt il la distribu tîon classiqu e iFVI~1;"'), Dans procédo ns nous e, associé est lui qui induit hiber une famille générat rice de l'espace : suivant pement dévelop le comme précéùe mment en considé rant
13.18J
Tl appartiennent où désigne l'ensem ble des paires (l, T) Iclles que (! + T) cl (1que: alors montre conjoin tement 11 {n .... ,!.V ""- I}. Un calcul élémen taire
a
j3.19J nnée de ~{(Cj. A cc qui signllic que la famille pm posée consülu e llnc base nrthono hl~. En combin ant présent, évaluon s-en le cardimll alin d'obten ir la ùimcnsÎol1 rcchL."fc .- r :::; ! ~ t si () ~ t + 7' ~ ]\T - ] ct 0 ~ 1 - T :t;: iV ~ 1, nous obtenon s représen te la ct - (LV - 1 - 1) ~ r ~ (lV - f) - 1) sinoH. où li ~ , ~ escomp té: partie entière de N;- 1 • Ces ÎnégnJités fourniss ent directem ent le résu}["ü
,'\;'1 dilll(IV iCi ) =
I.:
:\'-1
I.:
+ 1] .;i=!
[2(N j-l- !
····1) +Ii
[3.201
Détection par reprêscntatîons temps-fréquence discrètes
135
soit encore que la dimension de iR(C) est égale à l N~;!-1 Parce cJuc cctte valeur est strictement inférieure- au nombre de comp(lsmt~s constllUanl la représentation considérée, nous en déduisons que l'înformalion qu'elle vêhicuie est linéairement redondante IRlC 011, Il en résulte linalcment que la classe fC') est incluse dans la classe e(H;, En d'autres termes, ceUe dernière propose un plus large éventail de solutions et est théoriquement toujours à même de fournir un détecteur au mOins aussi performant que toute structure de détectîon issue Je la famille etC),
J,
e
3.3.3.1I~flltellCe
de la maléclictioll tle la tlimcllsimlllulité
Comme nous r avons évoqué pn?cédemmenL diverses sUlllégies peuvent être adoptées pour la résolution d'un problème de délectÎon, scJün la nature de lïnrormatiol1 li priori à laquelle on a accès. Dans le cadre de ceHe section, on suppose disposer d'une base d'apprentissage pour pouvoir ajuS:lcr les paramètres caractêristiques d'une structure de détection préalablement sélectionnée. Lorsque l'on adopte tlne [CHe démarche, il est hien connu que les performance;>; des détecleurs obtenus sont conditionnées par l'adéqualion existant entre la compJexité de ceux-ci et lu laille de la base d'apprentissage. comme lïHnstre la IlgufC 3,2, Ainsi. les récepteurs dotés d'un nombre de degrés de liberté trop imporlant auront un ruîbk pouvoir de généralisation. Dans le cas contraire. ces demÎerl'i seront incupahles d'intégrer la tOlUlité ùc l'information discriminante présente dans l'ensemble d'upprentil'sage. Entre CC& extrêmes, il existe une complexité optimale pOUf laquelle la probabilité d'erreur du détecteur est minimale. CE' comportement de la probabilité d'erreur, que l'on qualifie souv~nt de !l1n!érliclion de la diw(!flSÎOllfwlité, a été formellement identillé pur Vapnik et Chervonenkis rVAP ï Il. Pour ce faire, ces aulcurs ont été amenés à définir la complc:xité d'une structure de détection au moyen d 'une quamité appelée dimension de V((flflik~Chen'011el1kis, ou encore \le-dimensioll, Ce paramètre, ici noté lI, peul êlre utilisé ponr estimer la prohahîlüé d'erreur d"une structure de déleC!jon d pm intervalle dc conHance. Ainsi. J'inégalité suivante cst sutisJltite uvec une prnbabîlîté égale ft {1 - E) :
!Pe{ri) - P""",(d.Jl,uÎ! 0;; l'{J1l. V()
[3.211
où e(111 1 V., (:) désigne la largeur de l'intervalle de conÎluncc:
,
,.
U.111 • \ , E) .. =
1V
\1-
(
l ,j\[.
......
2J1J \
1
f
+ Irl"'oV ........_) - -10"J\J h~
[3.221
Dans les expressions figurant ci-dessus, j'lM désigne un ensemble d'apprentissage constitué de 111 individus, P",(d) repré!-iCIlLe la probabilité d'erreur de ri et PCPlp(d,A1U) correspond il une estimation de celle-ci reposant sur AM. Le cardinal il! de l'ensemble d"apprentissage étant génémlementlhé. il s"avère souvent nécessaire de contrôler sojgneusemcnlla VC-dimcnsion des structures de détection sélectionnées ailn de contenir tes effets néfastes de la malédiction de la dimcnsÎonn<Jlité sur les performances.
136
Décision temps-fréquence
ComplexÎtt.! du détecteur
Figure 3.2.
IIlllsrratÎo/J d/l cOlI/porlelllent de f(J pro})ahiliré d'ent!ur
Pc ef rie la prohahilité
d '1/11 déleocur Cil jbm:lù)l1 de i3I! COIII!,!t:Tile, Il est li lwwr (litC P"m'l') ql/ï CO/ISI/Ilft' 1/1)(' estimatÎoll de PL hasée slfr les t!owu!cs d'appremissoge. est IJgalt!1i!('l1f appelée
d'errel/r empirique e/Tel/!'
P"lIIjl
d'(Jl'prcflIissagr:,
Généralement i'cl'ltlmatÎon de la VC-dimension associée il. une famille de détecleurs constitue une tâche difficile. On retiendra toutefois que F = L + 1 dans le cas de~ structures de détection linéaires. où L représente la dimension de l'espace engendré par les dnnnée,~ d'apprentissage r DEV 96] ou par leU!' RTF si les détecteurs considérés opèrenl dans le domaine lemps-fréquence. A partir des équalions [3.16] el [3.20]. on obtlent alors directement quc- F( fi') = N 2 + l dans le cas des détecteurs linéajre;; operant sur la distribulion de Richmlln et al.. tundis que FiC) = l(N"+ 1 )/2J + 1 lorsque cc même type de struclure est associé li ln distribution dite classique. On conslale donc que V{H) V(c:, ce qui signifie que les détecteur;.; de la classe fi) sont davantage sujets au phénomène de malédiction de la dimensionnalîté. Les éléments de théorie proposés jusqu"à présent ont toujours plaidé en ravcur de la distrîbution de Richmun et al. En pratique, rorce est de constater que lu confrontation des dasses etH) et etC) peut cependant tourner a l'avantage de lu dernière, ct -cela malgré la perte d'information statistique résultant de l'usage de la distribution classique.
el
Au moyen de simulations, nOUs allons à présent mettre en évidence cc phél1o~ mène. qui csl d'mitant plus manifeste quc l'ensemble d'apprentissage Csl de faible cardïnalité. Le problème considéré est celui de la détection du signal B[l] C'::-;.p(,jQ(J), 1 E lO, ... , 15}. noyé dans nll bruit blanc additifn[t]. le mpporl signal/bruil étant fixé à -0 dB. Plus précisément, le signai sl!] cst supposé déterministe el ("JO désigne une variable aléatoire uniformément distrihuée sur J'intervalle I~ÎÏ, ii{. Le bruit blanc nit] est caractérisé par la loi fil ~ (1 - iJ) N(O. cr:!) + 'f! N(Q, ]{2a 2 ) avec TI = 0,5 el !\- = {), oü N{O, rr 2 ) dèligne la loi normale de moyenne nulle ct de variance a:.!. Dans un prernicr temps. des détccteur~ tcmps-fréquence liné.aires opéran! sur les deu;.;; distributions de Wigncr~Vi11e discrètes considérées ont été élaborés suivant l'algürithme présenlé dalJs [RTC 99]. il partir d'un ensemble d' apprentissage constitué de 11000 individus. La comparaison des performances des solutions ohtenues. illustrée par la figurl' est conforme aux éléments de théorie présentés au paragntphc 33.2: e{m
DélCl'tîon par représentation!' temps-fréquence discrètes est toujours en mesure de fournir une solution
moins aussi performante que
137 e(C).
il condilion gue les effets de lu malédietion de la dimensionnalité demeurent négligeables, Dans un second temps, l'expérience a été fcnouvèléè avec une base d'apprentissage coni<'tÎtuée de 100 indivîdus. La i1gurc 3.4 montre que le détecteur linéaire associé il ta distribution de Richman Cl al. présente de moins bonnes performances gue celui opérant sur ln dislribution dnssiqtlc, bien que e(C! c e rFi ), Comme cela a été longuement décrit précédemmcnt.1e phénomène de 11l
,
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Taux de fau!->scs alannc-!'
1no
Figure 3.3. COl/rhes COR mrmrmm que le détecteur de IlfFuJ/ii/c plus rwrlor!lumt (IIIC celui issu de e«('), Ces sfruc!JIres de détection mil éu: symhétisées à Jllfnir d"UlI(, [HW! d'npl'l"emis,mge r(JfV;fi!lft'e d[' 11000 iudil'idwl' CS!
3.4. Distribution de Wigner- Ville discrète classique et redondnncc Au cours de~ dévcloppements précédents, nous avons élé amenés à démonlrer que la dimension de l'espace induit par la distribution classique est egaIe fi l (.N'2 + 1)/2Jl ùù N désigne le nombre d'éch:mtillons des signaux nnnly.sés. La t:omparuison de ceHe valeur au nombre i\T'2 de composantes ùc la représentalion considérée nous enseigne que l'inrormalÎon véhiculée pm· celle-ci es1 linéairement redondante, L'objet de ccUe scction est d'étudier cette caractéristique. puis de (' illustrer dans un conlexte décisionneL Afin d'alléger le texte, IF\ SCt'a dorénavanl noté \-FVI'Y lorsqu'il s'agit de désigner la distribution uc \Vigncr-Ville discrète classique. II en csl de même pOUf tOlites ]es notations se rapportant fi cclle-ci. qui St' voicnt appliquer une modification équivalente, Lu dimension de l'espace induit pur la distribution de Rkhman Cl 0(, étant égale Il ,cette d('rnièrc n'est pas conccm\.!e par la propriété etudiée ici. TOUl risque Je conrtl:~inn des notations L'st donc écarté.
138
Décision lemps-fréquence
100'--::::::::::::=~==~---1 -
-
Classique
RiChlllilll11i'{a/,
0+----------------1
a
Taux de fausses alarmes
100
Figure 3.4.lllustratioll dll phéllomène de malédictioll de I(J dimclIsimlllaliré. Le dé/cctcur l'ml'e/WIII de la dusse C(H) préselllC de /IIoillS hO/III es pc/formal/ec.I' qlle cellli issu de etC) bien q/le etC) c etH). Ccs sfruCTllrcs de détecTion o/lf été symhélisée.Y Ù !wrtÎr d'ulle !Jase d'apprentissage C{J/Istillléc de 200 i/lllil'idlls.
3.4.1. Familles génératrices Nous avons établi que des relations linéaires connectent les composanles /1] de la distribution classique. Ceci signillc qu'il existe des fumilles L de lieux temps-fréquence telles que, quels que soient ;z: ct li E Cl\', la simple connaissance des composanles regroupées dans gr.. ~ {HTVt'y [t, 1/] : (t,1/) E [,} permet de reconstruire la totalité de la représentation lrVry. L'objectif de cette section est de caractériser ces familles .c ainsi que les fonctions de reconstruction associées, dont on rappelle qu'elles sont linéaires. Il convient de noter que les résultats obtenus dépendent entièrement de l'espace signal S considéré, ici eN. lFVc!l[f~
On désigne par Rn' [t. , Tl = :r[t + Tl !l'[I. - Tl la fonction de corrélation locale. Le support des signaux analysés étant {O, "', N - 1}, nous avons R;ryU: Tl = 0 pour ITI > iVI, , avec NI = (, si ~ t :( l N;-l J et .NI- = IV - f: - 1. sinon. Dans ces conditions, la définition r3.1J de la disttibutiol1 considérée peut se réécrire sous la forme suivante:
°
[3.23J On peut aisément vérifier qu'il n'existe pas de relations linéaires liant les échantillons R".y[t. Tl quels que soient "'.!I E eN. Avec la délinition 13.23]. ceei implique que la redondance informationnelle recherchée se traduit nécessairement par des relations linéaires entre les composantes l'FVI:!J[t, 1/) associées à un même instant t, pour chaque t = CI, .... N - 1.
Détection par représentations temps-fréquence discrètes
l39
Soit 1- E {O, ... , IV - 1} un instant donné, et P, la matrice définie par les composantes suivantes: 6 (2)",,(T-N,)) P,!/.T=exp ( . ) N
13.241
r
avec T E {Cl. "', '2Nt } et Il E {Cl, .... 1V - 1}. En utilisant ces notations, la distribution de Wigner-Ville discrète classique peut s'écrire sous la forme matricielle lFFry [i, :] = PI R:ry [1: :]. l'instant f. décrivant l'ensemble {O, ... , N - 1}, avec:
Il,,,[!..:[ '" (1i',,,[I, -N,] 11,,,[1. -Nf
+ 1]
... 1I,,,[t. Nf - 1]11,,,[1, N,Il T
n'v,,,,[!.,:] '" (IV V,,, [1 , O]IFV",,[!., 1] ... lYV,,,[I, N - 2]ln;,,,[I, N - 1])1' En adoptant la même approche que celle décrite au paragraphe 3.3.2, on peuL aisément démontrer que la famille suivante:
constitue une basc de l'espace linéaire induit par les vecteurs R:!"!f[t, :]. :r et y étant des éléments de eN. L'évaluation de son cardinal nous mène il la conclusion que la dimension de l'espace induit considéré est 2JV, -1- 1. De [ait. il s'agit également de la dimension de l'espace induit par les lFli~"!I[t,:], ces derniers étant obtenus par transformée de Fourier des R:l"!lU, :]. En conséquence. les familles'c' de lieux lempsfréquence remarquables qu'i! nous faut caractériser doivent nécessairement comporter 2Nf + 1 couples (t, fi) pour chaque instant 1 de {(J, .... N - l). Soit.c , ~ {(t, /10), ... : (t. /l'2J.V t )] un ensemble constitué cIe '2jV t + 1 lieux temps-fréquence distincts, supposés candidats pour une appartenance il .c. Le vecteur fFl/~r!l[I.::] peut être partitionné selon deux vecteurs H'Vl"!I,.c.[I,:] ct lYli~/"!I,.c. [t. :], de sorle que H~Vr!l.t. [t-,:] regroupe les composantes désignées par Li. En réordonnant si nécessaire les lignes de lFVry[l, :]. R./"!I[l,:] et P,. la relation lFVl"y[f, :] = P iR./"y [l, :] peut être réécrite sous la forme:
d :1) (Pl.iC·) 1l.",II,:]
1l.C 1.C .,." . l . ( 1\ l ,,,.tli ,:1 c
c
=
13.251
Pu:
Dans l'expression ci-dessus, Pt,.c. désigne la sous-matrice de P { vériJlant WV'·'J.dl. :] = PucR.", [I.l c' estc"cdirc:
('2 ir.,~,~lNI ) (-:xp ('2ii7;;/ NI)
exp
P1 ..c. = exp ( 2;"",.' . N'
N,)
140
Décision temps-fréquence
On rappelle que les vecteurs R.L"HiL:] induisent un espace linéaire de dimension + 1.11 nc peut en être de même pour l'espace induit par les vecteurs l'l"-Vry,!.. ft t:] que sÎ ct seulement si la matrice Pu: est non singulière. Afin d'exhiber les possibles contraintes que cette non-singularité Impose sur L'f_ éVàluons donc le détennÎnarH de Pt» CeluI-ci peUl s;écrjre sous la forme suivante: 2J\'(
!.!N,
1'(I/(J, '''' ",,,,,)
g
exp (
avec: l
On constate que \/(1/0' ... , ]»2:\1) est un dtSterminan( de Vandermonde dont lu valeur est donnée par:
Puisque
1/i
~ 1//,'
pour i
fo
k. il en résulte que V (r,rf) , ."', V2'vi)
i:
0 el donc que
IP t,.e ,: ~ O. En conséquence. les veclcurs \-VVT,y.L [i,:J jnduiscill un espace de dimension 2J'l, -~ l, quelle que soit la constitution de la famille Lt. En d'autres tennes, toute représentation li FFry peut être retrouvée en totalité ft partir de la simple connaissance, pour ehmille instant {, E {D,.,,, N ~ l}, de 2N, + 1 de ses composuntes, Il est il présent possible de caractériser la relation lînénîre Ti,L permettant de retrouver l'ensemble clu vecteur TFl~.y[t):] grâce à 2Pit + 1 de ses composantes. En effet. à partir de la relmion [3.251, on a immédinremerll:
[3,261 puisque la matrice PI,e est non singulière. L'expre!'!sion de T f •.G découle dÎrectement dc ce résuhat, tout comme celle de TL qui associe les composantes de H Vqt à toute famille de générateurs 9" ~ {WV"y[t,. Ii] : (1" l') E LI, t
3.4.2. Cas de l'ulilotlislriblltÎoII Dans la section précédente, nous avons étudié la redondallce informationnelle de la distribution de 'Wigner-Vi11c croîsée de signaux complexes. Nous allons à présent restreindre le cadre de celte étude ft quelques. cas particuliers.
Délection par représcniatÎons. temps-fréquence discrètes
3.4.2.1. AutodistributiOll de
s;gl/OllX
14]
complexes
Le prcl11Îcr exemplc considéré concerne rautodistribution lr1'~" de signaux complexes. Le lecteur pourra vérifier que la discussion présentée au paragraphe 3A. 1. lout comme les résultats qUI en dét:oulcnt, demeure valide dans le cas présent La figure 3.5 vîent ilJustrer ces propos.
v
\'
•
Figure 3.5. IIIftl'lnuiofl de la redrJJ1dallcc il~rOrJHati()lI1wllt! de f'atttodi.\'Irilmtioll lFVr de comp{e.rcs. Dans clracw! des de/lx exemples proposés, f'i11/ormatiml localisée daItx les rigiotis claires peur â/n' H'froUl'él' à punir de ceUe qui Ilsl située dmlS les régiolls somhres, vÎa wu: {lf1plîctJ!lorr linéaire.
siglUlUx
3.4.2.2. AllIudislribwirJ!l de signaux réels Contrairemenl au cas précédent, l'étude de l'autodistributiün fFVr applîquéc aux signaux 1'~c1s nécessite quelques aménagements des éléments de théorie exposés jusqu'à préscnt. Il en est par exemple ainsi pour la cnraclérisalioll des fnmilles!. de lieux (l.ll) remarquables au sens Oil elles concentrent la tOtalité de l'information présente dans toute représentation IFVe. Dorénavnnt. il convient en dfel de tcnîr compte de la parité de lu fonction de COlTélation locale. soit R,,, [l, T] = RAt. -T]. ce qui" pour conséquence de modifier Je développement f3,) 8] ayanl servi de support il l'étude de la distribution croisée, Celui-ci devient: .\'-1
WV = J
I.: RT[t, li] H'l'A, + I.:
R~[t. T] (IFF"" , ""',~n + Il'V"" """ .• ,)
(l, T);:::1-1
7>0
On peuL aisément montrer que les éléments de fu famille génératrice exhibée ici sont 1inéairenicnt indépendants, conférant ainsi il celle-ci le rôle de hase. Comme auparavant. nous pouvons donc en évaluer le cardinal nfln d'obtenir le nombre de composanles lY'Vr[t, li] nécessaire cl sumsant il la rcconstrucLÎon de loutc représentation H/1,~.. En combinan( les trois conditions (} ::; ! + T .:;; iV - 1. 0 ::;;; f - T ::; p.,r -- 1
142
Décision
!cmps~fréqllcn('e
el T ~ 0, 110US obtenons 'lU" 0 ,:;: T ,:;: 1 si li ,:;: 1 ,:;: sinon. Ces inégalités conduisent au résultat suivant:
[(N
cl Il " T ,:;: (N - 1 - 1)
. l(N +lf!
,\'.- î
L
l" ,,' ~
t-I)+IJ= -~.l-J
qui constitue le cardînnl de lOut ensemble 1: de lieux (L 1-") remarquables.. A la lumière dC's résultats évoqués dans: la sec!Îon précédente el îllustrés par la figure 3.5, nous pouvons eonslUler la nette décroissance de cette valeur, 11 s' agit J'une conséqm:nce dirccle de la relation H,,[t,T] = JI,[I,"T], qui implique que WV,,[t.ul = lF1·~[I.N ,,] dans le cas des signaux réels, Pour ce qui est de la camctérisalion des familles de lieux .c, l'approche proposée au paragmphe 3.4.1 peul être adoptée id sans remaniements majeurs., comme ccla est montré dans {RIC 0 Il, Ainsi, après une modîllcalion mineure de la définition 13.14J de la matrice P, on peut montrer que toute représentation lr\'~. peut être retrouvée en totalité ft partir de la simple connaissance. pour chaque instant I: (= {O~ .,,:lV - I}. de lV, + l de ses composante:;;. 11 t'st à noter que ces dernières dOÎvent être loutcs distÎnctes. ce qui sous-entend que les composantes du lype H'1 ~I:[f: Il} CL lFVr[f. JV --.. Il] nc peuvent être conjointement sélectionn~es pour constituer une fami1Je 9( #:: {lrV!'yfLlIl ; (1,.1/) E ,C} de générateurs valide. EnJln. on montre que lu relation de reconstruction [3,261. reposant sur des expressions quelque peu modifiées des sous-matrices p t •L ct P t,.L de P que le lecteur pourra trouver dans 1 Rie 011. demeure exactc. La ilgul'C 3.6 vient illustrer ces propos en présentant un exemple de reconstruction d'une représentation de Wigner-Ville discrète, ceHe (l'un signal réel caractérisé par une modulation de fréquence linéaire, ~l raltir d'une famille de générateurs S.c,
v
v
+
64
Figure 3.6.l!lustnllioH de f(J redol1dmu:e ;,~romlllfiOJmclle dc l'ml/odhrriblltioll lVi,,/, de sigut//Lr réels, L'ùdt.mmuioJ/ flO!llllilSf{lU.It! dans fa) pel1JJc! de r('cons[ruirc
['11
totflliré /0 f('pré,\'ellltlfioJl (b),
via mU! applicotiolllilléaire
Détection pnrreprésentaüom, lemps-fréquence discrètes
143
3,4.3. Conséquences CJl défection Nous venons cl' établir qu'il existe des ramilles 1:,., de lieux lemps-fréquence telles que, quel que soit .1; un élément d'un espace signal S donné. lu simple connaissance des composantes regroupées dans ~1.c ~ {irl'~, If ,1-11 : (l~ u) E ,(} permet de reconslruire la totaHté de la représentation H-~l~,. Cene caractéristique a des conséquences en matière de détection, que nous aHons à prècnl cxposer. Pour cela, on s'inlércss.c aux S(nlctures linéaires opérant sur f-VVr, dont on rappelle qu"elles sonl définies par:
13.27J où .ri et "''YO désignent des paramètl'es devant être déterminés il partir dé ,'jnfOl'lnaLion (! prinri disponible, Etant donné /1, nous allons modUler l'expression 13.271 afin que ne SOil exploitée que l'infon'l1ation véhiculée par un ensemble quelconque de générateurs 91:,. En adoptanl les mêmes notations que ceHes employées dans les sections précédenles, la stallslÏque de détection A(.?:) peut être décomposée selon A(.T) = A/(:1') avec A,(;r) = <Wj!,,[i, ,,!fi. soit encore A/{:r) = + <WV,·.dl, c; i ft,:Jl, :1>. On noie IVl/d: V, cl = T"l:, IVV"G[t, Dans ccs conditions. nous avons:
E,
l
:J.
[3.281 Ceci indique que toute structure de JétcctÎon linéaire opérant sur reformulée selon:
rFVr
peut être
[3.29J avec Ih[l,:j = Adt,:] + (T,.dTA,dI,:: pour chaque instant 1 E {O,. ... N .I}. Réciproquement. chaque composilnte du vecteur Aff;:] peut être cùlculée il partir de 13[)l~:] en résolvant le système linéaire:
[3.30J avec
Ade:]
= Tu:
Adt, :J, pour chaque 1 E {O ...• N _. .I}. En cffel c
=
<1F1;,[t, cl 1 Ail, cl>
+ (T"c)TAj; [1.
:J> + <1Vl'~,t [1. cl 1A"
[l, cl>
144
Décision lemps-fréquence
v
v
32 ~----------------------~
;~ o()
h)
a)
63
Figure 3.7. RepréselluUioJls (aj de Wiglfer~ Hile ilu siglllIÎ il détecler ef (b) de fa famille de géllérateur SI':' UlUiséc pOlir la synlhèse d'ulle strtfClIm: de détccriofllilléaire
v
v
• ]i'igure 3.S. Cm!/lguratÎr!/l,y des sfrt/l'flfres dt, détection iilléain's o{JcrwJf laItlmi!le de gdw1mteurs S;::, et (h) SIIi' f'ellSi!IIIj;/c du plau iemp.\':(réqUt!!lcc. La ,\'('f'OIuk' (1 été o!JtCfltle fi pflrtù" de la !-,remii!re, au moye/1 rrwrc appHca!ÎrJll !fflcaire (u)
SM
Au moyen de simulations, nous nIIons il présent iHusrrer cette discussion relative r3,~71 ct 13,19J. Le problème de détection considéré CQllCCI1lC la détection. dans un bruit hlanc gaussien 11[(. du signal srt~ expUôo). 1 E. {Go .,., 15}, olt eJq désigne Ulle phase aléatoÎre uniformément distribuée sur I<Înlervalle . Til. La rcpréscntation de \Vigner-Villc du sîgnaI8{t) est prècntéc cn figure 3.7a. Dans un prernier Lemps, le détecteur [3.29] opérant sur la famille de générateurs rt'présentée cO Hgurc 3.7b n été éluboré suivant ("algorithme préscnlé dans IRIe 991, à partir d\lIl ensemble d'apprentissage composé de 10200 individus. La
il l'équivalence des configurations
Dét-ecllon par j'cpr~scn!alions tèmps-fréquence discrètes
145
r,gurc 3,Ru montre la référence Bi:., résultante {jui. en l'étaL ne sc prêle ü nucune interprétation aisée, En conséquence. le système [3.301 a été résolu afin de déterminer la configuration [3.271 associée, qui opère sur l'ensemble ùe la représen1ation, Il convient de constuter que le résultat obtcnu, proposé ;:11 11gure 3.Sb. présente des similitudes marquées avec la rcpréscnlDi.ion de \Vlgocr-Ville du signal à détecter. Ce fail confère au détecteur correspondant les caractéristiques d"un IîItre adapté lemps-fréquence. ce qUÎ est conforme il. In théorie compte tenu du problème de délectinn considéré. Evidemmenl, les structure:;, de détection [3,27j Cl f3.29J présentcm les mérncs performances.
3.5. Bihliographie [CHA 98J Ct,[.\SSANDE-MoTT1N E., Méthodes ùe réallocation dans le phm lemps-fréquence pour ranaly'1c et le !raîtement de sÎgntlux non stationnaires, Thèse de dnt:torn1. Ecn]c nor~ mule supérieure ùc Lyon, ! 998,
leos OjJ
COSTA A.H .. BOUlJREAUX~BARl'EL G.r.. " An ovcrvicw of
rDAV 001 DAVY M .. Noyaux optimisé.:. pour ln dassifktltiOIl dans le plun lemps-fréquence. Thèse de doclonn, Univcrsité de Nantes. 1000.
rDEV 961 DEVROYE L.. GVORFI L., LUGfJSJ G., A Pro/whilislÎc Theo;:\' t!( Patti'fll RCf'O,!!.fli· lion. Applicatinas of Mathelllf1tlcS, Spriogcr-Vcrlag, New York, 1996. IFLA SSI FLt\NDRIt-.; P., , _ A time-frequcllcy formuJntlon nI' ojJlimum ÙClccllOl! vz.IEEE'Tmn,>~ acfious 01/ AcuNsric.-,>" Speech alld Signal Processing. voL 36. p, 1377-JJB-J.. 198K IFLA 98J FLANDRIN P.,
TClllpS~!h!iJllc}/œ.
deuxième êdition. Hermes. Paris. 1998.
fHLA 92) HLAWAlSCH E, KRATTE';4Tl-1ALER \V.," Bilinéur signlll synth~sis ".
acrions mt Aeol/slies, Speech
!llll!
IEEE Tmns, Signal PmccssÎnR. ,'oL 40. p, 352-363, 1991,
[LEM 951 LE\tWINE O., Détccll01l des signaux n{ln stationnaires par rcpré-scflilltino t.:rnpsrrélluencc. Thèse dé ùoctoraL Univcrsité ùe Nice-Sophia Antipolis. 1995. (1vlAT 9~1 MATZ G., I--ILAWi\TSCH F., ., Time-frcquency methods 1'01' signal dc{ectioJ1 \Vith application lo the dctection or knm:k in enr l~ngil1cs ". dans Procecdings .!r fhe IEEE-Sr' Worksiwll on Stalistical Signal !llld Army Proccssing, p, 196~199. Ptmland. 199(-;. fONE99'îl O'NEILL J,c.. FLANDRIN P., WILLL\lV1S W.J.,·' On Ihe existence or discretc Wigner Jj~tribulioll5 », IEEE Signal Pmccss'ÎtlfJ Letlers. vol. 6. p. 304~306, 1999, [ONE 99bJ O'NEILL lC .. WILLIAMS \V.L <, Shift cnvari;ml timc~rrL'quençy distriou!ion:- or ùiscrcte signais )" IEEE Transactio/ls ml Sigurt! ProCi'MÎllg. ml. 47. p. 7S9-799, 1999. IPEY 86) PEYR!N F.. PROST p" ,{ A unified Jefillition for the disçretc~timc dj~çre{e-frcqllency, and dlscreic timc-fretjuency \Vigncr distrihutions j'. IEEE TmHsactÎons on Sip!lo! Procr:ss-
ing, voL 3-+. p. 858-867, 1986, l1l~thoJolngÎe pour la détection il structure imposee. Applic:.liions au plan temps-fréquence. Thèse ùC', dodomL Université de [C'chl101ogie dc CQmpii:gnc. J 1)98.
[RIC 901 RICHARD C .. Une
146
Déci sion
lcmps~fréqucl1cc
n and com plcx it)' control of limcLl::NGELLÊ R" ,( Datn-driven desig ssiJ1g, vol. 77. p. 37-4fl. 1999. frcqucncy ùctector;; ", Sign al Pwcê
tRIC 991 RICHARD
c.,
clirried by thc dbcrcLc Wïg ner Linc ar l'cclundancy oî Înformation tRiC Ot] RICHARD p. 2:536~2544, 2001. cm Sign al Pmc essi llg. vol. 49. distr ibuti on )', IEEe TraJl.WJf'linns disi..TCie-time discrelequcn cy based dcle clion lIsing tRIC Ulal RICH ARD c.. (' TIm c·frc g, vol. 50. p. 2170t?ssin ProC al IEEE 7hlllsarlions on Sign frequcncy Wig ner distr ibuti ons il,
c..
(I
2176.1001.
ture a~ie pour la déte ction il struc Méth odes ii noyau et crhère;.; ùe contr nc, pièg [R1C 02hl RICH ARD Com ùe gie recherche;.;, Université de tcchnolo ÎmllOSéc. Hab ilitat ion l\ dirig er des
c..
2002.
y,
cliscrctc~îreql1C'nc T.W., SHENOY KG " 'J Disc rchH imc, IRICH 981 RICBMAN 1\'1.5., PAIU.;:s 46, f-l. \517-15'27. voL g. essin Proc si!' ,\ fEEE Trall .mct ÎollS 011 Sig/ lal
time-frcqllcncy analy 1998,
-frcq ucnc y and Optimal cl~[cçtjon using bilincar timc 951 SAY EED A,M" JONES D.L., {( 43, p. 2872 · vot lg. Procesyll v, IEEE Tran SiJC liollS 011 Sigll al ümc~scalc representullons 2883, 1995, j', IEEE TfllIIsoctioJls od fortime-frequem::y "ign al analysis [STA 941 STA NKO Vlé L, .-' A mClh voL 43. p. 225-229. 1994. 01/ Signa; ProcrSSFJlg, vic\\' of aliasillg: errors in ROv!C L, " A note on "An üvcr rSTA 01 1 STt\KKOV1C L.. DJl! ", IEEE TrallSaclio1ls 011 e~frcquency rcprc scnl atlon s" disc rclc- timc fomrulntlon", of till1 2001. Signal Processing. \'01. 49, p, 257- 259.
~SAY
nce of relative rrequenKIS A.• (, On thé unil bmi conv erge [VAP 71 J VAPN!K V., CllERVONEN App flmf ialls . vol. \6. ifs and ries Prob abili Theor)' de:;; evcl1ts \'0 thcir prob ahili lics )1. p, 264- 28It 197 L
or
Chapitre 4
Classification
4.1. Introduction Cc que nous appelons signal est le plus souvent issu d'un système physique réel ou sÎmulé. Le rmÏlemcnt de ce signal lente de nous informer sur le processus qUl généré. En présence d'une collection de signaux. l'ingénieur ou le physicien peul s'interroger sur lem origine: sont-ils issus d'lm même phénomène physique. correspondcnl-ils à différcnls éluts tl'un syslèmc? Ces qucstîons relèvenl en fait d'une même formulation: la répartition en classes séparées (c!assUicmion). une dasse regroupant des signaux issus du même phénomène ou du même étal,
ra
4.1.1. Clm.ser (les signon.\", {Jour quoilaire ? La vic quoliùicnne nous apporte nombre {.l'exemples alI ridée dc classilkation apparaît explicitement ou non, Ainsi. un constructeur de matériel ùe diffusjon acoustique tente tic délt!C/('r un individu défectueux par l'éCOUle de chaque enceinte soumise il un signal test connu, Celle déman.:hc s'apparenle Ù une dassfjicatiofll'J1 deux classes de signaux sonores: une classe homogène constituée crcnrcgI:..tremellls d'enceintes correctes - c'est-Îl-dire fournissant une réponse jugée satisfaisante - et une classe hétérogène rassemblant les enceintes défectueuses. le défaut pouvallt ètre fortement variable. Chapitre rédigé par Jvlanucl DAVY.
148
Décision lemps-fréquence
Le cardiologue cherche à diag1lostiquer une pathologie gràce à r éleclrocardiogrummc d'un patienL Son expérience hJi permet de retrouver sur l'enregistrement les anomalîes les plus courantes: îl est capable d'assoder un électrocardiogramme inconnu à une classe connue par apprentissage, effectuant à son insu une cl(fssUic{/~ thm supcn'jsée 1 ('11 C classes, Lorsqu'il est confronlé à un cas inclassable, il raffecte il une classe de 1"t~iet, Un dcrnîcr exemple nous
C<;l
fourni par lu dictée vocale, qui permet de saisir un
tex le sans ulHiserde clnvierd' ordinateur. Le processus de rcconstrucllon mis en œuvre rcquierlla recOilIlaisstl/lci' des phonèmes: le logiciel efrectue une segmenlation, puis la dassillcation des morceaux sonores. Eniin, l'analyseur syntaxique peut reconstruifC un texfe grammalicaJemcnl correct Ces exemples montrent non seulcmenlla variété des applicalions de la classificalion de signuux, mals aussi la diversité des cas: existence ou non d'un ensemble d'apprentissage: ..- cas d'école à e classes homogènes bien dirférenciées, ou cas dégénéré d'une classe homogène connue et d'une dasse fDUlTe-lOut; - classes bien séparée!" ou dasses entremêlées. La qualîté d'une technique de classifkution se mesure en fonction du nombre de ses échecs, ou plus exactement au coOt qu'attribue futilisnteur il chaque eus de mauvaÎs classement. Quand ces coûts sont tous égaux. le critère indiquant la performance d'une procédure de dnssifkution s'exprime en !I::rmes de sépuration des dasses, Lu procédure idéak détermine un espace tle représentarion où les clLlsscs sont Illaxima~ lemcnt séparées et une règle de décision ulilisant au mieux cette séparation. Dans la pratique, si une tetlc procédure peut se concevoir, sa mise en œuvre n'est pas toujours stHisfaisante (lcn1ps de calcul, dîfficultés numériques, eic.). 11 apparait qu'il n'existe pas uoe technique parfaite, depuis le principejusqu'fll'implantation, mais une paÎette de possibilités réaJisanl fi des degré;,; dîvers un c-nmpromis entre la facilHé de mise en œuvre et les erreurs. Dans ce chapitre. nous proposons un aperçu rapide des méthodes de classitication de signaux usuelles dans les dml1uÎnes !emps ou fréquence, puis r exposé dcs méthodes de classification temps-fréquence. Le même exemple sera systématiquement utilisé pour comparer les méthodes. LOn appcHc dtlssf/ÎcarÎol/ sU{JcJTiscc une tcdmîquc de da~siîîcation s"appuyant sur hl OÜ chugue élémelH esl préalablement classé pur un expert
connuissalîcc d'une base d'apprcmissage
Chl!>silicatÎon
149
4.1.2. Ull exemple Nous proposons d'étudier un problème ùe classification en deux classes ik'l ct 4-'2, concernant des signaux il modulations linéaires de fréquence (MLF). Etant donné fa difficulté d'acquérir ta dizaine ùe rniHiers de signaux nécessaifès à la vulidation statislique d'une méthode. nous consÎdérerons des signaux généres par l'ordinnteur. Mathématiquement. ces signaux .T[l.:1, de T points. s'expriment (en temps discret Id: \fic E [1; TI. ,dl:1 = AHin [27T(Vo(k - 1)
+ ,/-,,)] + B sin [2" ( '.'" 1'''' (/,: - 1)" + "1 (le - 1) + li',) ] [4. Il + ,[ici bruit blunc gaussien de varÎance af. Les autres paru mètres sont donnés
OÙ f esl un dans le tableal! 4.1.
T 128
128
2
Tableau 4.1. Pammèllt'S IIfi!i!l'é,l,' pour la géllémrioll de.\' .'lignaI/x dans /(/ classe Wl el la dasse u..";!. La n010lÙJJl U [a, hl indique que la variable csr aléatoire, un(jàrmdmcm distribuée sur 6I1ft'rI'alle [a, b]
La figure 4,1 montre les représentations temps-fréquence idéalisées de ces signaux. Ils comportent une composante li fréquence constante et une composante à fréquence décToissante, de pente alt:atoÎre uniformément distribuée. Par ailleurs, un brui! blanc gaussien cfl.:] est ajouté. te! que le rapport sîgnal ft bruit soit de OdB. Les carJcléristiqucs des signaux de cel exemple sont proches de celles de signaux réels: J'information est masquée par du bruit. les paramètres caracléristiques !rune dasse sont dillérents d'un signal il l'aUire el seule lu diSfI'ibUlion de ces paramètres est discrimin,mte. En mure. les MLF ï)e rencontrent souvent dans la nature (stridulations d'insectes, musique, radar, vibnuions de bOÎles de vi/esse .. ,), Lu figure 4.2 montrc Un exemple de signal de chaque classe cl son spectrogramme. On remarque l'importance du bruit additif. qui ne permet pas de dîstinguer clairement les composantes.
4.1.3. Elément.\' de class{ticaliofl superJ'i,wJe Pour une rcvue détaillée des méthoucs de classificatioll. le lecteur sc reportera par exemple " IDUD 731, ou encore il [S1\10 021 l'our des avancées récenles {elles
150
Décision temps-fréquence
0,20
{j,IO
Temps Figure ..1.1. RcprésCllla(hm.\" lemps-friqrteIJe!' idéali,nfes des si,qmwx MLF e/l deux classex, Les Z,OJ/{!S grisées n:pré,W'/IIL'1ll le domaiHc ml xc SÎIIICH! k<.; MLF tÎ pClI(e T/(Jgmil't? aldatui/'('
1
CI,,",c Oh
!~Ifr~v/.l~~/rA~~\
o
Temps ipnin!s)
12H
o
Tcmr~
0
Temps !pojlJls)
!point:;)
128
n.50
.~
-il 'E: 0 0
~
'J
~
~
'8
"" 0
u
12}\
Figure 4.2. RepJ"ésellltUÙm fClJ1/)orcffc {,{ ,\lJtxtmgmllll/lc Ui'llhrc tic {1ollllllillg. 31 points) d'uJl signal de chaquc classc
que les mét/lOdes li l'f'C/('ItI'S supports, Dans la suite, c désigne le nDmbre de dasses, 1\"':)." E [1;c] le nombre de signaux dans l'ensemble d'apprentissage pour lu dasse • Id" . • .,' , J . N } lorsqu ' e Il cs ~'i. Les d oonees" cs!gnecs pm :t:) seront notees ~\'i ;;::; p',: ! ""'V i 1
Clas~ifi.cati(l11
appartiennent à Papprentissuge de la classe sous les hypothèse suivantes:
Wi,
On note X =
UX
j •
151
On se place ici
- absence de modèle du signal (quDique son existence ne soit pas un obstacle).
- r apprentissage comporte des données provenant de toutes les classes existantes. -les cas d'erreurs de classification sont de coûts égaux. Compte tenu des hypothèses retenues. les perfonnanccs seront données en termes de taux d'erreur. obtenu pur la moyenne sur r cm,emble des classes des Wux de mal classés de chaque classe (cas 011 un êlémcm de la classe :.ùi est arfecté ft la classe Wj,j
cF
ij,
Typiquement. une procédure de classîfic~ltÎon est constituée d'un certain -espace de rcpr~senllHion :R des données et d'une règle de décision qui affecte un individu à une classe:.vi il l'aide d'une fonction discriminante (généralement une distance:! ri). Jci, l'espace:n peut être le domainc temporel, fréquentiel. temps.-fréqucnce, dopplerretard, lemps-échelle (ou r espace des paramètres issus d'une modélisation autol'égressive (AR) par exemple. lorsque cc Lype de modèle convient). Lorsquc les lois de prohabiHté des données dans :J;;' sont connues, il c!\l possible de détcnnÎner la règle de décision optimale: :1: étant une donnée il c1usser, on calcule pour chaque classe '--di- la probabilité li posteriori Pr(wi I:/') en foncljon des données de l'apprentissage. La classe de.r (par exemple Wi) est cene pour laquelle la probabilité Pr(wi I;l~) est maximale. 11 ne peut pas y avoirde meilleure procédure de classification, compte tenu des hyputhèses formulées a "riori' [DUD 731, Dans le cas des signaux physiques. on ne connaît généralement pas a.<;sez les données (absence de modèle, densités de probabilité inconnues ... ). On peut alors soit trouver la meilleure règie de classificnûon dans l'espace initial:R des données, soit tenler de déterminer l'espace ~I le micux adapté à uuc règle de décb;ion simple (apprentissage lion paramcfiriqul!).
4, l ,3, l, COJ1[mste de Fisher La première sU'alégic revient généralement à estimer les Jislributions intrac1usses
p(,Tlw;) par p(",'X;) dans le but d'écrire la procédure bayésicnnc (apprentissage pam" métrique), Malheureusement, ce que l'on gagne en optimalîté est souvent perdu par une mauvaise estimation de p(:t:;wiJ en raison notamment du nombre fini de données d'apprentissage ct de la dimensionalité irnpOrlante. Ce dernier point peut cependanl être amélioré en sc restreignant allx dimt!1Jsions de 1( les plus diwTimil1untes, c'està-dire aux caractéristiques des données qui maximisent le COl1lmste de Fis/u'r déllni 2. Les distances utilisées dans cc chapitre sont détaillées Cil annexe 4.6. 3, C'est cc que ['on appelle la tiJt}orù: lmyésic111/{1 dt.' J'apprclJ1issage,
152
Décision lemps-fréquence
par:
14,2J
Olt 'IT!:i'.i e~t ta moyenne des données de l'em;cmble d'apprentîssage de la dasse W; ct var(;rL la varÎunce. A~Fi.;hcr permet de dresser une carle du cnHtrasle de~. où les positions dÎscrimimmtes apparuissent clairement. Par ex.emple, lorsque les données sont des spectres de signaux, l\"Fisll'.:rCn cst maximal dans les plages fréquentielles les plus discriminantes. ce quî permet de réduÎrc :n 11 ces zones, Celle opération se fait cependant avec perte cl' information. La figure 4.3 représente Je contraste entre les specLrcs des signaux de 1" exemple pour deux ensembles de test: lV j = IV';;; = 50 et lV1 = J'V',! 1. 000. On notera qu'un ensemble très important de signaux est nécessaire pour obtenir une estimation correcte de l!..'Fbhc,( f). Duns Je cus de signaux réels. dont on possède souvent un apprentissage réduit. il est plus intércssnnt de suivre fa seconde slrnlégie: étant donné une règle simple. par exemple celle du pius proche rcprésemam ou celle dcs k l'las proches voisins (k-ppv), il s'agil de déterminer un espace:JI bh:m adapté aux données d'apprentissag.e.
4,1.3.2. Règle (lu plus proche rcprésellfant Une distance ri étant choisie, ii esl nécessaire de délerminer un élément représenta-
tif :ri de chacune des classes dans ~ à partir de l'ensemble d'apprentissagc, .r'; pourra être: - 1e barycenlre fUll sens de la distance li choisie) des éléments d'apprentissage de la classe (;Ji_ 11 vérifie:
- ia moyenne des éléments d'apprentjssage de la classe U./i (identique au Pl'él-édent qmmd ri cslIu distance euc1îdienne); _. rélêmcnlle plus proche du bUl'yccntrç au sens de d. C'é:slla Jonnée, indicée jp, de l'appremissagc de la classe U)i qui minimise:
:l'r
.Tr
,v,
où
Jo = nrg111ill JE!I::Y,j
L ~d(.d, ,1~): 2 ];=;o
Cla~~ificntion
153
Clll:iScl
°o~==~~~~~==~
0.35
,, ::
Fré
"" ""
150
", ,""
,,
""
"
"
"
:" ~
of~J-'-~:'->-""-F-'-2'-I'-'C-',-',c'-c-'' ' -'d'U,c-jtc---":....~(~J,-5---oo~·:::::::::::=::::p:::re:''=I,=rc:::":'lc.':e==':::é=d-u;-t-c""': aJ Spcdrcs moyens
L. .... __ .,
.~~..._~
1
i
Zones frctjucnticllcs dîscriminll!l!cs
h) Contraste dé Fisher
Figure 4.3. SpCCITCS moyms des signtllcr (l'apprentissage de la da.I'se 1 ct lie la classe 2 el contraste de FiJhcI' CII!ré CL':; dasses dans les cas NI IV:; = 50 (poimiflé) Cl ;Vj = N'2 = 1000 IfruÎt plein!
Etant donné l'un de ces éléments représenuHifs. la règle du plus proche représcn-
tnnl affecte une donnée inconnue J>! duns:R ;1 la classe :"'ij) tC'llc que: [4.3J La figure 4.4u illustre graphiquement ce principe. L'élément inconnu (représentë pnr une croix) est affecté il lu classe des ronds. car le cercle blanc est plus proche que le carré évidé,
4.1.3.3. Règle des k plus pfnches l'nisil/s Le principe de celte règle L'st le suivant; une donnée inconnue .1''..' est entourée dans ~R d'élémenls dc l'apprenlissage appar(cnunt;) différentes classes. La distance d d~ll1s jt étant choIsie. on détermine les k données {;t:)l' :rTJ , •• >: ? d'apprentît'îsage les plus proches de:r",' au sens de ri,
:rt
154
Décision iClops-fréqucnçe (h)
(a)
III ... .. •• ..o. •
T
Il
c_
I
Il --II-.... x ..... '>
Il
GI
Il
llll
0
III
Il
01
Ill] x <
GlJ
GI Il
Figure 4.4. R(!,r;!es de tlccisioJl pout la da,vsmcatiofJ de ré/émm: {nemmu X t'lems 1a closse e. (a) Règle du plus proche TCl'rCSeJllaw, fM l?i'gle dcs trois phes pme/tes \'OiSÎllS,' les IlUHI"'j"OS rMsigm:m les éJémclIf.Hlc l'afJPH'mi, ..,ogc dan.I,roH/re CmiSSfJlfI des dÎsWl/ccs
à 111 classe la pIns représentée panni {:rL . qtlcmcnt ce principE'.
''''7
;L'~.~_}, La (igure 4Ab résume graphj-
Dans l'esprit, celte règle.
4.2.1ntél'êt des approches temps-fréquence En présence cie signaux réels, trouver un mOllèle perlinent eSl souvent une gageure. Par ailleurs, la mise en œuvre de la procédure de classification optimale se heurte à des problèmes de caleul numériqilc d'inlégrales"!, Faute de modèle. on peut faire appel il des descriptew:'i, censés disclirnîncf les classes. Parmi les înnombrables méthodes e:Xls{antes dans les domaines temps nu fréquence, ccrHtines comptent les pas~mges li. zéro du signal (:::cm-cmss). d'autres étudient le spectre du signal ou sa pUÎssance înslaninnée. Le tahleau 4.2 donne les résullats obtenus avec ces méthodes pour les signaux de l'exemple, On constate des taux d'erreur inacceptables pour une utilh,ution systématique. Pour notre exemple. on dîspose d'un modèle niathématique du slgnuL ce qui permet d'éludier les performances de la procédure bayésienne de dnssiHcatiûn mise en 4, Ces dernîèrcs années, les mêthodcs MeMe mcthùdcs, mai~ â un coût calculatoire êlcvc.
Ont
beaucoup amélioré les rél'ultats de
L'CS
Clas)\ilkntion
155
Taux d'crreur
1'vléthodt' de
Comptage des passages pllr zél'O
,~50
Distance quadratîquc: entre le spcclnl cl le spectre moycn
37.85 rii,
Distance de Mahalanohis entre le spc('tre ~t le spectre (avee 1Y, = N, = 100)
35,54 (k
%
40,1 fi r,;-.
Distance quadratique entre la puissance Îllstantanéc : et kl puissancc instantanée moyenne
Tableau 4.2. RéslI!rtl!s de cfm;s{fica!Î{U/ des siJ;IUJftx MLF de l'exemple pM dive;:)'e:; mctlwdex fion paramétriques cfassiquf's (apprentissage N! N 2 50, lest = {2 >, 1üOllO} siglltHtrJ
œUvre avec les méthodes MCMC lDAY OIl. DAY 01a]. On obtient ainsi une référence
(tableau 4.;\) ft laquelle comparer les autres méthodes. Les résultats sont très bons,
mais l'inl'ormation miliséc est très précise (le modèle utilisé pOUf la clnssi!kntion est celui qui n servi il générer les données). Une rois encore, souHgnons que les signaux physiques ne sont que rarement accompagnés de connaÎssances li priori aussi précises 5,
dc classificiiHon
T.mx d'crreur
bayésicnnc optimale
5,2'+ r;-~
Tableau 4.3. Résulta!s de rlas,r,:fficmiol1 des signaux AfLF dc l'exemple P(/t III/L' mûr/IOde paramétrique OIJI/mate (tlJlfJH'l/li.\',\"llg(! NI = N:: = GO. Test = {2;.: WOOD} sip,fliwx)
Les résultats obtenus sans moùèle dans le domaine temporel ou même fréqucn!iel sont peu satisfajsants. Il convient donc de trouver un espace ùe représentntion plus discriminant (voir tableau 4.1), L'approche tenlps-fréqucllce s'cm imposée au cours des dernières Hnuées C01l1lne l'une ùes plus souples pour l'analyse des signaux non staljonnaîre~, en n,ison notamment de la grande variété des représentations poss.ibles. Elle présente des propriétés particulièremenl adapl(ics à la classilicmiol1 comme la covariance dans le plan lempsfréqucnce ou lïnvariunce dans le plan ù~s ambiguïtés. Si les signaux d'unc rnéme classe sont bien positioilnés en temps ct cn fréquence, le pian h?mps~rréqu('ncc sera 5. r\jOUlOHS qu'en temps de calcul, la procédure MeMe utilisée est plu:; conleuse d'au moins un onJrc Je grandeur que ln pluslnurùc Jes métllOdt:s lemps-frêqllcm:c ..
156
Décision
tem}is~[l'équence
adapté du fait de la pl'Opriété de covariance. En revanche, si Uill110tif temps-rréquence est caractéristique d'ulle dasse mais positionné aléatoirement, le plan des ambiguné~ sera plus pertinent. Enfin, 011 peut toujours calculer une représentation temps-fréquence. même lorsque qu'aucun modèle ùe signuln'es( disponible. cC qui confère une grande généralité ü ces méthodes de classificatÎon.
4.3. Classification Icm\ls-fré'juenee : diffé.·cntcs st.-atégics L'idée d'lltlHser le plan lemps-fréquence pour la décision n'est pas nouvelle cl nous Cil rappelons les principes rondateurs. L'exploriltion systématique de!'> po;,sibi1ité~ de cct espace de représentation est plus récente, cerlnÎnes méthodes IHE195. VTN 951 utili.'iant les rcpréscntatiOlls temps-fTéqucncecomme des dlstributions mathématiques, d'autres [GRA 98. PIE 95] comme des images, P1us récemment encor.::. l'ulilisation du phm des ambiguïtés a été abordée lATL 97], Enfin. nous proposons une approche globale penneHant de trouver r espace de représentation le mîeux adapté à un pro~ blême donné. grâce il l'optimisation d'une représcl1lalion temps-fréquence.
4.3.1. Les trawllIx fondateurs Cil tC1Il]ls-ji'équence Les propriétés du plan lemps-fréquence ont permis une première Hnmululion de règles de classitîcalion, par une transposhion des techniques temporelle,;,;, via la fOl111llic de Moyal. On aboutit alors au Jillrage adapté te/llps-ji'éqllellce lBOA 90. FLA 91]. Ces lravaux ont mis en évidence l'intérêt d'utiliser des distances ticî la c(}r~ rél{/(irm, voîr section 4.6), pour comparer objectivement des représentatiollfi tempsfréquence. Les résultats de classifkatiOl1 du tableau 4.4 i11ustrenl l'importance du Ch~lix de la distance: !Jour 1a représentation de Wigner-Ville, les taUx d'errcllf l->ont nettement différents selon que l'on utilise ta corrélation ou la dislance de Kolmogorov, Le deuxième résultat important est également iHustré par les résultats du tableau 4.4: Je taux d'erreur varie signific'llivement cn fonction de la représentation lcmps~ fréquence choisie.
4.3.2, Reclwrche lie la l'eprésclltatlOIl temps ..jhJquelIce et de la dis/auee optimalt!s Les travaux précédents montrent qu'il es! nUlUrel de rechercher le couple repréxentalion temps-fréquence/distance qui minimise le taux <.l'erreur. CeUe idée, plus générale. est explorée dans la scellon 4.4.
Classifkation
Rcprésenhltion temps-fréquence
i
Distance
Taux d'erreur
Héfércnce
Wigncr-Vmc
COITélmioll
22.30 %
IBOA 90]
Wigncr"Villc
Kolmogorov
20.94 c·,c.
rVI:-.I 951
~~~i~,~~~;vigner-Vi11c lissé
COl'l'élalion
3,87%
IHEl951
......
157
_--
T;lhle.m 4.4. l?ésulta!s de dass{ticmio1l des signaux l'exemple par dil'crscs métlmt/L's dilllS !e pian tewps:!j'équCI1Ci' (ilpprellfissage IV1 = .N? 50, IJ'S, = {2 :< 10 nO!)} sigllour)
lfc
4.3.3. Classificatioll utilisant le plan des amblgurtù En purallèle des lravaux visant il clusser des signaux dans 1e p1an temps-fréquence, l!idée d'utiliser le plan ues ambiguïtés a également été explorée. L'atout principal du plan doppler-retard est son invariance (en module) aux tmnslalions temporelles el fréquenlielles des signaux. tOlH en contenant la même jnformation que le plan tcmpsfréquence. Dans la pratique. il arrive que les signaux soienl enregistrés avec un calage temporel variable. ou que la fréquence soit décalée O'acquisÎlion à partir d'un véhicule en mouvement est soumise ft l'effet Doppler), cc qui Il 'apparaîtra pas dans le plan des ambiguïlés (en module). On pourra utiliser les roncHons d'ambiguïté des signaux de la façon suîvante
[ATL 97J: 1) calculer le contras.te de Fisher 1\·Fi;;!wr(~. T) (déflni page 151) des classes d'apprentissage duns le plan des ambigunés : 2) fixer un nombre /1 de pOllliS ~l considérer: 3) délermincr les coordonnées des li points {( ~, Th ' .. " (( T) l'} de plus f Oft
con truste: 4) classer un signal inconnu Cil comparant sa fonction d'ambiguïté en {(ç) 7)1: "., (~, I)/I} avec les fonctions (l'ambiguïté de.s .signaux ù'apprenti.ssagc en ces mêmes points à raide de la distance de !\.1ahalanobis. Le tableau 4.5 donne les résulats de classificatîoll de cette méthode pour dilTérentes va1eurs de /1. On constate qu'il eXiste une valeur optimale (If = 18), conduisant au taUx d'erreur le plus bas, On peut inlerpréter la sélectÎoIl Lie poinls dans le plan doppler-relard comme le masquage de la fonctÎon d'ambiguHé d'un signal par une fonction binaire adaptée, laquelle peut être vue comme un noyau Ij) optirnal. La Îigure 4.5 montre le noyau optimal et le contraste ue Fisher. Cette mélhode est peu coûteuse en termes de temps de calcul. pUÎsqu' elle réduit r espace de représentation 9( il 1-1/2
158
Décision lemps~rréqucnce
pic central fcprédimensi ons 6, soil 9 kL Dans certains cas de signtmx lrès bruités, un quclque~ points sent(' le bruit ùans le phm des ambigu ùés ct le fuit de sélectio nner écartés du centre en limile I·erret.
TaJ)h:au -1.5. Résultilts di! f'/a.\',<';Jicarion ries SiglWlty df J'exemple amb(lfuïfô' l'al' extraction des poilll,\'lc s plw: discriminants dm!.\' le piall des si,Q/J(/f/.\;) 10(00) {2:", = {cs! ;)0, = IV;! = NI (oplm:1Iii.r,\I!,ew
Contrü;>le de Fisher
Noyau hinaire optimal
figure 4.5. CommsfC lie Fisher de l'afJfJreUlis.Wlgc U\h = j\j:z = 50) dans plusfilr! COllfrt1SfC) le plan des amhigl/ï/ és (lrs ::.rHles '"'S plus cluires L'onY!:'lJ Ollde/ll (/If CI1!OyOIl
binaire optimal p01l1' la classific ation (JI
18)
doppler-retard Cepend ant. ne gmeler que certains points et négliger ]eur position ances de la pcrforrn ÎCs grève qui nte importa conduit à une pene dïnfonm ltion permet pas ne e nli,'isag d'apprC s donnée de nomhrc l~îiblc méthode. Par nilleurs. un trop nécesiance e-covar varianc de matrice la de ni T) t;. une bonne e~limation de b..~Fî"hef( nobis. MahaJa de saire au cnlcul de la distance point lE = il j = 0), elle 6, Lu fonctioll d'ambiguïté d'uli signai èS! symélriquc pllr mpporl au tc, est ùonL' redondan
Clnssillcalinn
159
4.3.4. Utilisatioll tic techniques tle trailcme!1/ (l'images pour la classificatio1l Si les représentalion:-i lemps-fréquence som des fonctions mathématlques. eUes sont également des images sur lesquelles un expert saura reconnaître la signature d'un phénomène physique: le spectrogramme d'un cri de dauphin ne rcs::;cmble pas il celui d'un enrcgistremenl musical. Dans celte optique, pourquoi ne pas utiIiscr des outils issus du traitement des images pour segmenter lu représcntution lemps-fréquence. en extïJire des zones d'intérêt et les comparer il un dictionnaire de formes connue!')'! Les outils de reconnaissance de forme sur des images étant particulièrement nombreux, nous invitons te lecteur il se reporter fi des ouvrage~ spécialisés,
4.4. Amélinrer les résultaIs de classification dans le (Il an tem(ls-frétluence Dans la section précédente; notl!' aVOns établi que les ~!Teurs de classifica!ion pouvaient être diminuées en recherchant une 1" honne représentation tcnlps-rréquencc et une ( bonne jj distance. Une procédure d'optimisation dc-vraît nous permettre d'aborder ceUc recherche de façon systématique, moyennant la définition d'un critère calculé sur les données disponibles (l'ensemble ct'apprentissage). Compte tenu de fa dimensionalité. il n'cs! pas envisageable d'optimiser au sens général une représentation lemps-fréquence. On pourra se restreindre à la classe de Cohen, Oll une représentation lemps-fréquence est déterminée par un noyau, dom on pem trouver des formes paramétriques 7. Celle idée n'cslloutt:roÎs pas limitativc. ct rien n'empêchc, cn Ihéorie, d'élendre la recherche il d'autres distributions temps-fréqucnce. sous réserve qu'eHefl. acceptent une ïntcrprétation cn (t'nllCs de disfrilmlhm de pro!Jabilirf. légitimant J'usage des tp-divcrgenccs. Par ailleurs. on détermillera la distance donnant les meilleurs résultats pour une forme de noyau donnée; ce qui conduit au meilleur couple (noyau. distance). On notera dans la suÎ1e la représentarîün temps-fréquence de ;1', de noyau (ù. par e;;~. ).j
4.4.1. Critères Dans différents travaux. J'idée de noyau optimal a été abordéc" CependanL le tennc optimal reste :-ioumis il la défini lion d·un critère per'linent. Nous en présentons trois souvent utilisés, On suppose: rnaÎntcnant que les l'Cprésclllniions temps-fréquence des Fîgnaux d'apprentissage ont élé calculées, Dans la imite. on ne manipule plus que des éléments du type e;;':.;.
7. Voir en
liI1l1CXC
-L7.
160
Décision temps-fréquence
4.4.1.1. Critère dit premier ordre Le critère suivant a souvent été proposé (voir par exemple [ATL 971). Il consiste à éloigner l'élément représentatif e~'J de la classe Wi des éléments représentatifs des autres classe.", Une distance cl étant donnée. cela revient à maximiser: c
i-1
IV.
'}< ( i) - '\' '\' <, ·"-cro (/) - L L
+ 11
i\,T. < J
_,
_,
I(C'"i' C"') j
[4.4j
(.
i=2 j=!
all n = L~~=l Ni est le nombre de signaux d'apprentissage, toutes classes confondues. Cc critère ne prend toutefois pas cn considération la dispersion interne à chaque classe, ce qui sc révèle un handicap. Tl alTivc en efret que la représentation optimale pour Je critère de premier ordre mélange !cs difTércntes classes malgré l'éloignement des éléments représentatifs. d'où de mauvais résultats de classification.
4.4.1.2. Critère de type Fisher La dispersion des représentations temps-fréquence il l'intérieur d'une classe Wi correspond il la distance moyenne des éléments e(:~,,, j E [1; JVd par rapport ii l'élément représentatif
et de la classe
";
Wi.
Soit
d;i;,.
la variable aléatoire d(e.~.!
l
et) dont
une réalisation correspond il une valeur de j, c' est-ii-dire un signal de l'apprentissage. Son espérance mathématique e,.. t notée E( di;;). Si la règle de décision retenue est la distance il l'élément représentatif, la probabilité d'erreur de classification P e est:
P,. =
t
tPr[d~;, < d;;]
[4.51
i=1 k=l
k'fi
Bien entendu, améliorer les résultats de classilication passe par la minimisation de Pc. Pour cela. on peut tenler de maximiser E( d'/;,,), k #- i tout en minimisant E( d'i~). Ce principe est mis en œuvre par le cIitère de type Fisher, li maximiser s :
~N; [~E(d;;)] J(CIl'( (i;) =
,..=;L'i
---c,~.-'-'-----
[4.61
2:=N; E(d1;) i=l
La pertinence de ce critère sc vérifie dans le cas où la distance utilisée vérifie l'inégalité triangulaire. On peut alors montrer la relation suivante (cas il deux classes, 8. Voir deux exemples L1'application dans [HEl95J et [DAV 9R].
Classification
161
[4.7[
Ainsi, maXll111Ser :](CTr( q'1) revient à éloigner 1es éléments repréSenli.Ilifs des classes (d(e'{', e~J) augmente) lout en réduisant la dispersion intrac1asse (mesurée par E( d1~)). 11 faut cependant noter que ce critère est basé sur des distances moyennes: il ne tient pas compte de la dispersion de ces distances. La figure 4.6 illustre son action sur la densité de probabilité conjointe de (d;;, dil.. )','). Si le point moyen est effectivement déplacé dans une direction tendant ft réduire le taux d'erreurs. il peut y avoir une modification de la forme de la distribution ayant un effet inverse.
Zone d'en'cùrs
Figure 4.6. Action du crirère de Fisher slIr la densité de pmhahilité de (d;';, iI,/;,) : le poilulIluyen est déplacé, mais lafurme géllérale de la distribution pCllt être modUiée
4.4.1.3. Critère de IJrobabi/ité d'errellr Compte tenu des défauts des critères présentés jusqu'ici, il semble qu'il faudrait tenir compte de moments statistiques d'ordre plus important pour les variables d~';,. POlif obtenir le critère le plus général, étudions la probabilité d' erreur de classifkation Pc, Si ron considère la variable aléatoire dUfërence des distances ~ k ::f. i. Pc est la probabilité qu'elle soit négative - correspondant aux signaux mal classés. Dans de nombreux cas, il apparaît que celte variable aléatoire est ft distribution gaussienne. Utilisant une relation classique [DUD 73], on peut alors écrire pour chaque paire Ci, k);fel" :
di;, d;:;,
PcCi,"')
=
pr[d;;" - cli; < 0] -d';", ):.! "".-(d;';,,-
~! E(d~"~, :2
[4.8[
162
Décision temps-fréquence
Duns le cas de distributions gaussiennes. on peut alors pl'ObabiWé d'erreur;
con~idérer
le critère de
)
[4.9]
qui vérifle: [4.101 Aimd. maximiser XCPE(tfJ) permet d'améliorer les résultat, de classification. queUe que soit la dislance choisie (paroPPosÎlion aux autres crjrères). Dans la pratique. II faut verifier que ln dîstriblllion de d;:~; -d~";, k f i est bien gnussienne, Dmts le cas contraire -- peu courant pour des signaux réels - on peut essayer d'écrire une relation analogue tl celle de 14,8], tenant compte de moments statistiques d'ordre plus importanL
," , ,: '
Zone d'erreurs
Figure -4.7. Actioll du crÎtère de probabilité d'erreur sur la disfrilmtio/l de d~~. ~ d~';, k :;i i dtlllS le etH gaussien Ami/hm:r cc cri/ère « rCS,H3ffC f' la distn'lJ/llio/l et In décale d droiœ
4.4.2. Pertiuence tles critères proposé,,; ~ application à l'exemple Nous avons étubll que classer dans Uil espace de représentatioil 'J? de type tcmpsfréquence à raide d'une distance dans:J\: e;;;l pertinent. Nous avons également montré que le meillcurchoix (au sellS des résultats de classification) du couple (représentation temps-fréquence: distance) est dépendant des signaux, L'idée d'optjmi:;cr ce couple requiert un critère cHiCHee, c'est-tl-dîre qui permette de préjuger des perfonnanccs sur un ensemble de signaux quelconques ,1 parlir de la Ecule information donnée par l'apprentissage.
Classi(kmîon
163
Nous avons lesté comparativement les troîs critères, en remplaçant les espérances et variances par leurs estimations crnpiriques dans les expressions [4.41. 14.61 et [4.9j, Cependant, le critère de probabilité d'erreur suppose des distrihutions gaussiennes. La ligure 4.8 montre que c'est bicn le cas pour notre exemple, Pour divCfSCl-i représentations lemps-rréquence. et plusieurs distances, on retrouve des distributions proches de gaussiennes. Sur Jes quatre exemples. seule l'utilisation de la distance de Jensen conduit à une dlstribution légèrement nOI1 gaussienne. La compamison des crÎlères est présentée figure 4.9, Pour le crîtèrc dc premier ordre, le critère de type Fisher el le critère de prohahilité d'erreuf, un point est détcnniné par la valeur du crilère estimée sur l'apprenlissuge et par le taux d"erreur obtenu sur un ensemble de test. une représentation lemps-fréquence étant donnée (ici un jeu de paramètres du noyau de Choi~ \Vimams généralisé). On remarque que seul le critère de probnbilité tl'crreur permel d'estimer et de relier de façon univoque le taux d'erreur à la valeur du critère, cc qui signifie qu'en pratique, il est efficace Jans une procédure d'optimisulion, L'étude de nombreux autres exemples nous conduit à recommander son utilisation à r exclusion des critèrcs de premier mûre ef critère de type Fisher. Notons enfin qu'un aulre Iype de crÎtère, basé sur une technique de classification de type liwchim:s il l'ecfCflrs supports [SMO 02i a été récemment proposé ct qu'il conduit à des perronnances encore améliorées/DAY 02bj.
4.4.3. Méthode de cOllceplim! Ayant ft noIre disposition un critère Hable. nous proposons une mcthode générale de conccptÎon de procédures temps-fréquence de classification. Son principe est exposé Ilgure 4.10. L'idée est de tester systématiquement toUles les conflgufations (règle de décision. représenlation temps-fréquence,. distancc), If faut toutefois l-iOUlîgner que l'expérience du concepteur l'orientera prioritairement vers la rechercht:; des solutions les moins coûleuses cn temps de eu1cul et réputées les plus i1nbtcs. Par exemple, on peut commencer par rechercher la mcîHcure fenêtre du spectrogramme, pour la règle de décision l'lus proche represelHalH et la distance de Kolmogorov à l'aîdc du critère de prohahilîté d'elieuL Si les résultats sont satisfaisants, il n'est pas néccssaire de- tester d'autres conllguraliolls, qui seraient plus longues a calculer. Dans ccrlains cas tûtHefois. le temps dc calcul n'est pas un obstac!c ct la procédure esl menée jusqu'nn bout. comme nous le préscntons dans le cas ùe notre exemple, La méthode de conception a été upplicJuée pour des représenlntions tempsfréquence ùe la classe de Cohen avec les trois types de noyaux présenlés en annexe 4,7, Le noyau radialement gaussien csl employé avec les ordres Pm',x = ]. lfmnx = 2 :3 ct Pilla:.:. = 3. celui de Chol-WHliams généralisé avec n = 1, '1 = 2 el 'I} branches, et le noyau exponentiel orientable multiforme sous sa forme symétriquc (/3 = 2; f' = 0,5) ou non ([] 'Y = 1), Ces huil noyaux ont été optimisés étant donné les distances: corrélation. quadratique. LI. Kolmogorov, Küllback, BhnHuc1mryya. 3), Muwsiw, N L'l, déviation spectra1e logarithmique (q = 2) Cl Jensen (!II
164
Décision temps-fréquence
0.1,------··········---_
0.1
0.08
O.OS
IlJJ6·
0.06·
0.04
0.04
0.01
0. 02 1
(l-l:-:~"'-".---.,.~-~=--::l
-0.1
0
0.1
0.:2
0.3
0'
-(J.1lI
IWI
al
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0,06 1
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0.01,
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{)J.i_~:..
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OJi4 ~
0,03
0.1
0 . 1 1 1 \.. n.OR
om
hl
()
0.05 c)
0.1
-5
1 (loa
-",.""
10 OIJ()
0
1000n
dl
Fi~'Ure 4.8. Di.wrilmfÎnl1 de /a )'(Iriable uléaroire dT'2 ~ d~\ JJOUf 10 ()()() réo!ï,wtÎolls des signaux dt! l'cxcmplc ((mir plein) pour darérems couples (rcprésemarioH w1Hps-fréqtU!lIcè, di:N,mec). En puùuillé :wmr tracées les distributiol/s gaussienlles ubtenuc,',,· arec les mêmes moycllnc ef êcon fype que Ics dixtrilmrhllfs Cil trair pleill. Les repn!scl/!ofiolls U'l1ljJs:lj"érjHcllce cr diSTances
cmployées soJlt: (a' IfO}YfU Y(ulialemcllf ga/us/en (PFJUT = 1) et disulIlcc de Kolmogorrw,(b) Wigller~Vi!le el corrélll1iOfI; (c) noyau C!wi-1Yilliams généralisd il WIL' branche cl dÎsfance tic Jenscn ; (d) noyau radia{emem gfmss/cn {pm"" = 1) et dist(JJlcc LI.
Les. 8 x 10 = SU nptimisalinns des noyaux ont été menées. Lu figure 4.1 i donne graphiquement les. résultats de classification de chaque noyau optimal. en fonction ùe la valeur du critère. On remarque de nouveau une bonne adé{jutHion enlre le clitère de probabilité d'erreur elle taux d'erreur. Lc~ distances les plus appropriées sont les if-divergence, NL 2 • cl lu distance quadratique. Parexpérîencc, nous recommandons d'employerpriorituiremcntlcs distances avec normalisation préalable de la représentation tcmps~fréqtlence, Parmi celles-ci. les y-divergences sont très performuntes (la distance de Kolmogorov nécessite le moins de calcul).
Clussilication
1 .t; o.~ 'r ~
1,15
.'. ..;}I
0.6
lfi;~ ,..
] 0.4
\>
2
-.
J. ,u 'Ë
".'
.g 5
'1
"*>
~ 1':_~_~. _,._. _.i~_~_-Jli .. ".:,.'.
0.2
0
o
,)CPO
i
10
165
1.1
J ,(}5 -,,;.,
',."
,
j
20
30
4()
40
50
50
Taux cf"erreur (%)
Taux d'erreur (q,)
> 10 c) CPE
20 T~mx d'CITCur 1%)
Figure 4.9. Comparaison des trois ailèl'es {/l'pfiqués aux siglloux fie l'exemple. Chaque poinl curresjJoml à iIIl lIoyau dUfére11f de la cfass/! dl' Cohen pOlir lcque' un a érotllé les lrois crifères (sur lm appnmrissage de N 1 """ N'J = 50siR/WlI,,", (/l'ec la disrancc de Ko!mognrOl') elle wux d'erreur (sur 2 >< t 000 sigllaux de test). Les /Joyaux lI1ilisés corre,lï)rllldcl11 à dWerews }ell.T de pommèlres /)(JlW /(' J!(!)'Cw de ChoÎ-lVilliams générillist.i ri fille bralldl(!,
Le meilleul' choix de noyau est plus intimemenllié au type de signaux. Le lableau 4,6 donne Ics méi11eurs résultals (tuux tI'erreur d distance optimale) obtenus pour chaque !ype de noyau (J). D'une munière gênéraJc. il apparuÎt que tes noyaux radialement gaussiens sont très malléabîcs el donc d'optimisuüon aisée. Le noyau ChoiWilliams généralisé est également performant. En revanche, Je noyau exponentie1 orîcntllble Illultiforme conduit à des résultats décevants, ce qui illustre la nécessité de considérer des paramètres nafurels pour
aUX
166
Décision temps-fréquence
j ChoÎx Je règle de Jécision ;........ L -_ Plus procbe représentant _ __ .. _ _ .~~ ~~--
-- --t----- -------~~ ~~-
-~.
Choi1l. de ln distance
. r--
~
~_
~
.. ~L~~
~
ra--n-I 1.'1 1{P-ù~:cfgem;cJ DÜa.anee ;,peciralc
L-________~----------" n
:.~
-
-~
n'~~'
n_.n
~d'l1ne forme
~~n
i..... - - .
,
n . ______ n
Autre RTF
1
Noyau unalytique (ambigui'lés. '..... _1 {classe de ü_11_,c_n_I--'.__C_-'..:IP_o_n_._c_tc_.._I..Ji •
! a~.~j;,~ique de la RTF
, 1
C'lkul ùe paramètres optimaux ùe la RTF
"-""i
Valeur optimale du crilère pour la
RTF retenue
Valeur opllmtlle du éritcrc pour la
--fit>.
RTFrclenuc r~~,
'---~'1'
rvldlleure règle 'ùe décision)
Meilleur choix dc la RTF. de la ùistancc, et de III règle ùe décisioll
Figure 4.1U. Algoritll/1/c tf'optimisa!tOlI Celle mélllOdalogie es! sOI/mise
(/1/
d'Ilii
cfnssijieur tenJ[ïsji"élj/lem:e.
choix d'un crfrère pcrlÙU.'11f
Dans le cas des signaux de notre exemple, 1e classifieur temps-fréquence optÎmal esU.lnnc constitué de la règle de décision plus proche n!préSCJ1!t1fIl. distance ND:!.noyau radialement gaussien }J:uax. = 2. On notera que les résullals du tableau 4.6 sont Lous meilleurs que ceux dcs autTes méthodes non paramétriques présenlées ici,
4.5. Conclusiull Dans ce chapitre. nous avons montré que la classHication de signaux non stationnaires réels (c'est-à-dire, rncsurè; dans la nature) pouvait être réalisée efficacement dans le phm temps-fréquence. En outre. un critère efficace permet d'optimiser le noyau de la représenlalion lemps-fréquence qui sem utilisée pour classer, Lu distance comparant les représentations temps-fréquence devra être. elle aussi. adaptée au problème particulier rcncontré, Nous préconisons toUlcfols les y:-divcrgel1ce:-;, dont l'emcacité semble montrée dans plusieurs conlextes.
ChlScsllkation
2,R,,-----
Jo7
!);~::?lo.Yc~
• L,
OQll'I!!;-;,ti~1l<:
: !
'1
*COIT':llllilm
:"
: \1 Klllmngnm<: , cA KhUb;wl:
"
~
<:1
~
K
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Bhmm:.ha
: > r,l.lt!l~iln
~ -
!
Jew,~J\
i .. t>:Ll 1 1) DeL SI'. J "iL
....
~
il ~
o o 0
0
AAr
~
0
0
0
'0
o,61~_~__~, JO
{J
,
10
30
50
40
Tnux d'erreur (Çi'!
Figure 4.11. Pour obtenir des risl/llats slmistiquclJ/cnt.liab!cs. la \'(flcur du ;:rilèrc de prohabiHté d'erreur {/l'cr c!Wf/IU' !loyau (optimise! (/l'C(' NI ;;:;: N',2 = iiO .\'h:}lwrx d'oflJ1relllilisagej t'st l'sfùtrée .l'fI/' lm cnw:mhle d'apprentissage étendu (N l N:: = JO OOU). Le ![//,.\' d'erreur es( atlotlé sur:2 x 10(JOO OlJlJ'eS S(ttIUIIlX.
Type de noyau Raùialement g..mssien
JÎ",a"
= 1
gaussien Plll"", =
R,-\diaJ~ment
Taux d' erreur
Distanee optimale
: Matusitu
1.(w'>0
~
NL,
1,45%
R'ldüllement guussicn fJl!l
ND;:
1.55':;)
I3huttadwryya
1.86t;-f!
,n,
rh
gênéralisé fI
~mlinms
généralîsé 1J généralisé Tl
(d~= 2, 1
".
=
1
~
2
1. 71 (Ït,'
:l
,
1.73 ri;
i
2,88 'ié
orientable multifornlc 0,5)
LI
3,62 ~r
oriem'lble multifonnc
(1;= , = 1)
1
Tableau 4.6. RèsultalS de class{ficalÎrjfJ des signoux MLF de l'exi:llljJ!(' ]wr f{/ méthode d'upfimisatioll du flO)'tflt, On dOlllle les meilleurs risl/ltals pour W! de noyait dOJlné (appri'/IIis.wJgl'
Il
Nj =
N,J
= 50,
le,W
= {2 -=<
Hl OOU}
signanr)
(\ïJC
168
Décision temps-fréquence
4.6. Annexe: distances pOUl' la décision
Dans le paragraphe 4, 1.3, nous avons vu que la classification fail nppc1 il des distances. ou plutôt des illdices!le divergences car toutes ne vérifient pas l'inégalité triangulaire. Nous présenlons ki une liste non exhaustive de distanccs utilisées cn tempsfré4uencc~ mais val ab IcI'> dan;., 1es domaines temps, fréquence ... Elles ont comme point commun de regrouper en une seule valeur des comparaisons effectuées point par point du domaine concemé.
Tl'Ois fammes de dislancés sonl utilisées classiquement: J'une considère les représentutions temps-fréquence comme des images {distances types Lq). une autre les voit comme des densités de probabiliLé. une dernière les assimile à des spectres bidimensIonnel:.,
4.6.1. Distances L(l' distallce ql1adratique, corrélation
De nombreux travuux font référence ft la diStance euclidienne (volr par exemple [ATL 97]l. Cette distance es! en l'ai! lin cas particulier des distanccs dites L". dont r expression est:
),
(l,
rw dl d!]
[4.11]
On remarque quelques t'as particuliers:
- q = 1: distance de Manhatten, - q = 2 : dhitance euclidienne. - fi ........ oc' : déviation maximale. La dis/llnce quadratique sc déduit de la diKlul1ce L'2 par dl:). La (1iSTance de Afa/wlwwbis e!;t l'équivalent d'une dis.tance euclidienne dans un repère non orthonormé. Utilisée en statistiques, clIc nécessite la connaissance de la mafricc de variuncc-covarinnee {BQlée~) des donnécs dJ'une classe dans ::R et lndique la distance de l'élément à classer à l'élément moyen.1: de ta classe: d1\1ahai
[4.12]
= V(;;:-J·)TE>-:î.(:r-:r}
La corrélation. quant il elle, est par définition un degré de ressemblance. Pour ohtenir un indice compatlble avec une distance (c'esl-il-dire qUl augrncl1te avec [cs dîfférences), on uLiiise la distance par r'orrélalion définie ainsi:
"")
·,é~ (curt t:;ri~L:r::
1 (
(i.
ni" d! (If
[4.13J
Clm;sHicntion
169
4.6.2. Distances elllre tiensités tie pro{mMlilé le~
Une densité de probabilité p( Il), définie sur un domaine TI, respecte par définilion contraintes suivantes: - positivité:
- :somme unitaire:
Dans la classe de Cohen, le spectrogramme est la seule représentation temps:~ fréquence {lui soit positive pour tollt signal. Par ailleurs, il n'est de somme unilairc que si Ît.: signal et la fenêtre sont eux-mêmes unittlires, AppUquer des distances pOUi' densités de probabiHté à des représentatjons temps-fréquence nécessite donc de les nonnuliscr. Plusieurs possihîlités existent: la suppres~ion des termes négatifs conduit à une pene d'inronnation et sera évitée. A l·usnge. il npparail que la viJleur ab!\oJue de la repréSeniU(ion temps-fréquence permet une bonne comparaison. La normalisation retenue est: Nep(t. 1) =
.,.
_Jl:~(t ni
.. J{le:;(s.lIJI cls d'J
[4.14]
Les i.p~lli\'cJ;f:el1CeS fOl'ment une famille de dislanees paramétrées pur deux lions, Soit tp : ~: IE une fonction continue strictemenl conVexe et lb : lfl: une fonction croissante, Alors, toute cp-divergence .s·écriljBAS 89J;
. \= .{"El r ( P2C-'-'-1I')')11J
d ç .div.(PI,P2!
Ip
y..1
l..
-, ]JI !,.f'
j
ronc~ 1P~
14.151
_
à ia densité de probabîlité 1)1- Comme comme fonctions discriminantes, flcuf le choix de rp est
OÙ El est l'espérance mathématique relative
teS distances sont utilisées
crucial et conduit aux mêmes résultat.s quel que soÏ{ 1:> iDUD 731, Le tableau 4.7 donne quelques exemples de ces distances.
En dehors des 'y-divergences. on nolera la disfallce de Jensen LMIC 94 J, de paramètre mEN. Elle est basée sur la mesure d'information de Rcnyi qui s'exprime: [4.16]
Hm donne une mesure de la (]uantité d'infonnation prés\!nle dans une représentation lemps-fréquence. Le calcul de dN k!\l:n nécessite la définition d'une quantité inlermédîuire :
23
o
e>. n
~.
ô'
"
Q
.g
ru_œ
~
li
Ku 11 back
1 1 - . " (i l
i
-1 )1' O~('il)
!Matusit" 1 (m:;, 1)
--
f)1-'''d/
-- .....--------
. .....
..
---.----
Cus particulier de ln disumce de Chcmofr pour nt = 1/2 1/1/'"
l Kolmog~;~-v--- -
(il.l' ) -- N°'· e~:! (l. f) . ) 1og N"~.il.fJ Ne.~'~\Ln
_U'·m
n.. _---_......
Bhnttacharyyu
r-M~t~~~~~
-----I----~--
-log(-u)
f (0 ~ TrI ~ ----
::.:..-....... --1
Il .... u!
Kolmogorov
11···
[JI INe~:(t:f)'/m
.. Ne,ut. n'---fll
Matustt~ générali~ée pour ln = l parliculie~_~~_la di:~~ncc de M~~~~_sita généralisée po~~~_~~~=..2------
Cas part.îculier de la distance de
Tableau 4.1. Quelques ;p-dil'CI:r;C/lces
COIHymWWm lItilhùs ]JOUf 10 décision c111mitcUlelJ{ dit sif?/wl
~
~
g "nn
Classificalion
171
On peut alors écrire la divergence de Jensen:
14.171 Le paramètre
4.6.3~
Hl
sera choisi cn général égal il
a.
Distallces spectrales
Une exten:;ion des deux l'amilles de distances précédentes pEut être obtenue facÎlel11cnt en ulHlsant les distances Lq entre les images normalisées:
[4.181 On remarque que Je cas particulier q = 1 ~sl la distance de Kolmogorov. Dans Je même esprit, on peut tlêflnir la dch'iariol1 speCTrale logarithmique '-VIN 94j:
[4.191 4.7. Annexe: noyaux paramétl"iques de représentations temps-fré!IUence Le problème de l'optimisation du noyau d'une représentation temps-fréquence sc heurte à plusieurs problèmes, dont la dimension Î1I1por!ante du n-oyau, Itl nét:essité quïl respecte certnÎnes contraintes, etc, Nous présentons dans. C'cUe l:lnnexe des formes parumélriques de noyaux adaptées à l'optimisation dans le cadre de la classiIkatÎon. Parmi les propriétés souhaitables pour les représentations lemps-fréquence UlÎHsëcs, on retient en particuljer la nécessitê d'obtenir des représentations lcmpsfréquence il valeurs réelles. ce qui correspond il une contrainte de symétrie ccn[w1c pour r,D. Nous présentons dans un premier temps le noyau radialement gaussien tNRG).
4.7~L
Noyau radialement gallss"en
Proposé il l'origine dans [BAR 93! avec pour ohjectif l'amélioration de la lisibillté des représentations lemps-fréqucnce. il s'écrit sous la !"orme :
14.20] où {p. tJ) représenten! les coordonnées polaires dans le pîan des ambiguïtés (p:J = ( + r'2 ~ lnn(O) = (/T) ct 11(&) est la fonction dt: contour du noyau, Lc Jong
172
DédsÎon temps-fréquence
d'une ligne passant par le point (~ = 0, T = 0) et d'angle fi, le noyau est de profil gaussien centré CI d'écarllype û{O). Comme le noyml doit être fI symétrk centrale. la fonction de contour a(O) est périodique. de période ïT. ce qui permet de l'écrire sous la forme d'une série de Fourier:
=
[1(8)
li" + 2:](/"
cos(21'8)
+ Il,, sin(2pIlJ]
[421j
1,;;;;.,1
Si l'on reslreint celle somme aux ])rWL,< premiers cocffidenls. on a besoin de 2pnw,,; + 1 paramètres pour décrire le noyau. En outre, pour éviter que la fonction Œ(O} Oe prenne des valeurs négatives, le cocflident Ull esl remplacé par uo coefficient calculé de telle sorte que la valeur minimale de a(O) soit une ccrwine valeur c, La ligure 4.12 représente plusieurs formes de ce noyau pour les ordres PIllHX = 1 ct PIlll\X = 2.
4~7.2.
Noyan (le Chai.. n'ifliams à marginales généralisées
Proposé dans lXIA 96'1, le noyau de Choi-Williams tl marginales généralisées (CWMG) s'écrit: [4.22] où '1] est le nomhre de branches, Ok les angles des branches et ;; règle la largeur des branches. La figure .4,12 représente des noyaux avec différents nombres de hmnchcs.
4.7.3. Noyau exponemiel multijorme orientable Lui aussi proposé dans un objectif de réduction des interférences. le noyau exponentiel multiforme orientable (NEMO) peut être employé pour la classification. Son expression est [COS 951 :
[4.23]
où A vaui ([TI;/Tnç,,]"p. Le choix Li = 2 et i = 0.5 conduit à A ~. 1TI;Î'I1)ÇO 1 : le noyau es! syrnêLriquc par rapport aux axes ( 0 et T = O. Pour li "}' = 1, on a fi = T(/ TOÇO: le noyau n' est pas symétrique par rapport aux axes. Pour CI :f O. le noyau vaut 1 sur les axes E, = 0 cl T = 0 (conservation des murginales). Le cas particulier't' = 0, 0; = 1 et ,\ = 1 correspond au noyau de Choi-\~liHiums, La t1gure 4.12 représente quelques exemples de cc noyau.
Cias:>ifkalÎOll
0,5
ç
173
1.
0,5 •
(l
()
·(1,5 ·64
o
o
NRG, onln.: 1
~ç 0,0
t\RG, ordre t
n.5
64 -;
·(}.5 -6.+
(l
NRG.
ordr~:2
é,
()
-11.5
~64
o
f)
CWMG, ::
~EMO.
symétrique
brallt:he~
NEil/IO. s;{lIIélriqut:
CWMG. 3 branche~
NEMO,
n~ylllélfiqlle
Figure .... 12. Exemples de 1I0)YllfT paraméfrÎqlfc.\' dans /(' plan dcs flm!JiJillf"lés. pour ddfën:nf s jt?Ux de pammèml.l' où AlRG cSlle noyau radialciJ/cJlI gmtxsiell, NEMO cst le }Joyall cxpo/ll?lllie! /IIulflforme nriemab lc cl Cn'MG l'SI li' Iloyau de OlOi-Wi lliams ft IIU/rgina/c.Y géllùaliJ Ù's
4.8. Bibliographie IATL 97J ATLAS L .. DROPPO] .. MCLAU GHLIN L <, Optill1lzing tirnc~frcqucncy distrlbm iom lor automali c das~ification ". dans SPIE-Th e Imemm iullfll Society for Opllcal Enginee r-
ing.1997.
[BAR 931 B!\RANI UK RO .. JONE") D.L.,.{ A signal~dcpendcJ1t limc~rrcq llcncy rcprescntalÎoll: Optima! kernel desig.n }'.IEEE Tmnxactiol1s Off Signa! Proces.'tiug. vol. 41. Il'' 4. p. 15891601. avril 1993.
174
Déch;ion temps-fréquence
IBAS 891 BASSEVILLE M.,
« Dislance measurcs for signtll proccssing and pattern recogniLion )', Sigual Proce.rsÎllg. vol. 18. nt) 4, p. 349-369. déc:cmbre 1989.
IBOA 901 BOt\SHASH B" O'Sl1EA P., H A mcthoùology for dClcclÏon lli1d c1assillcation or some undcrwatcr acollstÎc signais USillg timc-frequcncy anaiysls techniques H, IEEE Transactjolls 011 Acons/ÎC ..". 5/h'cch al/d Sigual Pf'Occssing, vol. )M, nt> 11. p, 2872-2HS3. novembre 1990. [COS 95j COSTA H.. BOFDREAUX-BARTELS G.F.. « Del'Îgl1 Dl' timc-rrequency reprcsenlarions usiug li ll1uitiform, tiltable exponcntial kernel )1. IEEE 1hmsdCfÎOlt.r Off Signal Process/ng. vol. 43. n" lO. p. :!183-230l, tJCtobre 1995. lDAV 981 DAV"f ~L DONC:\RL! C. ,{ OptÎlmll k,!mcls oflime-frequency representations for signal d!ls~ificlltion }'_ dans ProceedillgJ of t!Je Imenwtimwl Symposium Of! TFTS, p. 5~ 1584, 1998,
c.. TOURNERET J.Y., Supcrviscd classHication using NICMC mcthods ", dans Pmc(!cdings ft/" IEEE ICASSP '](){)(), 2000,
roAV OOj DAVY M" DONCARLI
t(
fDAV 01aJ DAVY M" DnNCARU c., TOCRNERET IY., ,( ClassÎllcltlion of chirp sîgnals t1s1ng hicrarchkal hayesüm Icarning anti tvlCMC mcthuds ", IEEE 7ïtms(1ctiolls 011 Signal Pmcessif,!;. vol. 50, If' 2, p. 377-388. février :WO:!. [DAV O:::hl DAVY M., GRETTO:-l A., DOt!CET A., RAYNER PJ.W,,·' Optîmiscd support vector machines for nonswtionary signal dassiflcation '>,IEEE Signa! Pmccssillg Leuc!'s, vol. 9. n" 12. p. 442-445. déœmhrc :::002.
rOUD 73J DUDA R.O" HART P,E., PallclïI Classijici1fùm ami Scr}//c Analysis, Inl'ersdencc, 1973. [FLA 911 FLANDRIN P., .( A tim<>1î'cquem:y formulation of optîmal dctcctiOI1 Gcrions VII ACOIIW'C." SpecclJ (llId Signol Pmcessing.
vol. 36. n" 9, p.
Wilcy~
l'. IEEE Trun\"·
13}7~ 1384.
l-icptembre
1992.
{GRA 9HI GRALL-MAils E., BEAUSEROY p" ( FcaLure extnlctiün for signal classification b'lsccl olî Wigner~Vi1lc distrihution :md mUlual informatIon crilcrinn ", tlllflS Pro('[!('dinMs ofrl/(' Imcrllalimlll! .~:\'1frposiJJm an TFTS. p. 589 59:!, 19!f8. M
c..
[HEI95] HEJTZ -i, Optjmum timc,·frequency rcprescntatjol1s for the classîJlcatioll anù rlctcction of signais ;j. llpplied Si,r;fI(/! Pmcessing, vol. 3. p. ! 1,J·143. J 995,
lMIC 94)
MICHEL O .• BARAN1UK R,G" FLANDRIN P.. Timc·frcqucncy baseù dÎswncc ,IUt! liivergl'tlcc mensure ". ùans Pmc('cdiugs oIfln' IJ1lL'f'Ilil1ional Sympnsil//11 Olt l'FTS. p. 64,67, 1994. (i
[PTE 95J PlEHSO:-.l v.. MARTiN N" " WaLcrshed segmentation of time-Ircqucncy images ". dans ProcecflÎlIgs 0.( tile IEEE Worb"hop un NOl1fincal' Signol and Imaf.tc Pmcessillg, 191)5,
[SMO 021 SMOLA A .. SCHOELKOPr: B .. Leamillg \rirh Kenwl'\", sachussclS. Etilts-Unis, 1002.
[VIN 941
VINCENT L, DONCARLI
C .•
LE CARPENTIER E .• "
~tllT
Press, Cambridge, !'vlas-
Non-statlonary :>ignals cJassifi~
c"lÏoo lIsing timc-frcqucncy ùistribulioll5 ;;. dHn~ f>mcci'dingx (~f'["C IlIlcmmiOlwl Symposil/m ou T'fTS, p. 233-236. 1994,
Classification [VIN 951 VINCENT 1. Clas5ilkation de signaux non centrale de Nunles, Frunce, 1995.
stntionnaire~,
175
Thèse de ùm:tofl.u. Ecole
rXfA 96j XIA X.G .. OWECHKO Y.. SUFFER B,H., MATIe R.M .. « On gencralizcù-marg:inals time-frequency distributions n, IEEE Trtlfl.mClioJL\' ml Sigual Proce.\·SÙt)j. voL 44. n" ! 1.
p. 2HX2·1H86. 1996.
Chapitre 5
Extraction de motifs temps-fréquence
\( J[ entre dans toutes les actions humaines plus de hasard que de décision J), dit André Gide. Cette citation. un tant soit peu lapidaire, pourrait moUver le souci de concevoir des algorithmes numériques de décision en esquive flulle décision humaine qui, au demeurant, reste inégalée lorsque prise par un expert
Les préoccupations de cc chapitre se tournent vers l'interprétation d'une représentation tCl11jJs-fréqucnce (RTF) d'un signal non stationnaire. intcl1m!lation souvent complexe et délicate. Pourquoi cl comment décider si un point d\l1lc RTF
provient du bruît seulement ou porte aussÎ l'énergie d'unc information signal? Nous proposons deux alternatives qui tentent de répondre il celte question. Dans notre eus, l'espace d'obscl'Vation associé au signal discret r[k] éludié est llll sous-ensemble de ,)(2 tel que pour toul élément (k,v) de cet ensemble. nOlé C. il existe un coefficient de la représcmatîon temps-Jh~qllcnce Pr[k,v], v représentant la variable fréquence normalisée par la fhSquencc- cl' échuntîllonnage :
C ~ \(k. v) 1 (k, v)
E
iTI" el p,
[l<, v] existe pour un signal r[k] donné)
[S.l]
Les éléments de C vérifient rune des deux hypothcses suivanles :
- hypothèse /J(I : le signal est un processus stationnaire, guussien. blanc, noté b[k], de moyenne nulle et de vmiance al :
[S.1]
1ïB
Décisiun temps-H'équellce
A Celle hypothèse correspond un sous-espace de C, noté Lllu et défiui par:
41" =(k,v)/{k,v)EL:
et r[k]
b[k])
[5.3]
- hypothèse Hl: le signal est la somme d'un processus- stationnaire, gaussien, blanc et d'un signal délemliniste noté d[k] :
r["] = b[k]+d[k]
[5A]
Aucune hypothèse n\:st lixée SUr te signal d[k] qui est considéré; pour êlre général, comme non statÎonnaire el représenté dans le plan lemps-fréquence par plusieurs composantes non connexes. Sous I~hypothèse Hh l'espace des observations. noté CHj' est le complémentaire de CH" dans C ;
où
[.]~ est le complémentaire de • dans C.
Dans ce chapitre. l'objectif consiste. à partir de la connaissance de C, de dètel111iner les sous-ensembles L.I-Io ct LH l' Deux approches sont proposées avec le souci de mÎnimiser la connaissance d'information il priori, Les deux méthodes nc font en particulier aucune hypothèse sur les composantes détel1ninÎstes quî peuvent être des fréquences pures, des fréquences modulées ou des transitoires. La première approche développée dans la section 5.1 exploite la possibilîté d'un liItruge non linéaire. Les liulÎ1es de cette approche nouS ont conduit il en proposer une autre, totalement dîfférente dans son principe et développée dans la section 5.2. En prélîminaire, il nous semble Împorlant de cemer la signitic.ation d'une RTF par rapport à une image. Signal, image il est fréquent d'entendre dire qu'un signal n~est qu'un cas particulier d'une image sur le plan stricte de la dimensionnalité. Peut-on pour ainsi dire que ces deux entités sont équivalentes ? Qu~en est-il de la representtllÎon lemps-fréquence d'un signal? Est-ce que tout élément de )If::! est une image? Quelle est, en faiL la sémuntique du mot image? j
Au sens le plus hubituel, une îmage est. à un instant donné, une dis1rîbutiol1 spuliale d'intensités lumineuses dans le plan de projection du capteur qui observe une scène [CHA 91]. Cette distribution est une fonclion réelle, non négative et bomée en amplitude [PRA 78], A partir de celle image peuvent être calculées les
Extraction de motifs temps-fréquence
179
vàlenrs de luminance et les valeurs spectrales tri stimulus qui caractérisent III réponse en couleur cl' un système de vision. Les variables d'une imagé som. de mème nature, !"image est isotrope dans loutes ses coordonnées. Chaque point ou pixel est rortement corrélé nvec 50n voisinage, sauf sur un contour. Un sOtLs~enscmbfe pertinent d'ulle image définit une région, l'holnogénéité de l'hHensité lumineuse est un critère pertinent pOUf une région. Il n'existe Cf priori pas de connaissances sur le nlOdèle de générntÎon d'une image, Une représentation temps-fréquence est aussi une fonction réelle de deux variables, rvlais~ l'analogie s'arrête là. Les variables d'une RTF ne sont pas de même nature: le temps ct la fréquence ont une nature physique dillërenle. Une RTF est anisotrope. Chaque élément de la représentation est concilé ml non avec son voisin. S'il y a conélation. cette com:lation suit une direction privilégiée. Un sous-ensemble pertinent d'une RTF définit une région qui est caractérisée par une structure, une continuîté temps-fréquence et une non-homogénéité de l'amplitude. Une RTF est une fonction dont les propriéles sont fixées par la méthode qui j'a générée. Ainsi. un spectrogramme est positif alors qu'une distribution de Wigner-Ville ne rest pas. Les connaissunces sur le mode de génération d'une RTF sont connues. Le coefficient d'un spectrogramme est le résultat d'un filtrnge-quadration-intégrntion du signal, le liltrage étant connu (notion de fenêtre spectrale de l'estimateur spectral), Dcmief pOÎnt et non Je moindre. ln représentation matérielle d'une RTF est réalisée au moyen d'une image dont l'amplitude est codée par des niVCflUX de couleur ou des niveaux de gris. Cette image n'est qu'un moyen de visualisation, pas toujours adapté au contenu de la RTF. Il peut être judicieux de sen uffranchir. Cc rapide comparatir montre qu'une image et une RTF sont des Jonctions de JP qui ont des spécîficÜés qui leurs sont propres. Par contre, le traiteur d'image ct le traiteur de signal ont des objectifs communs: ils cherchent il mettre en évidence des structures. dans la représentation, ils cherchent il détecter. interpréter, compresser. C'est pour cette raison qu'il peut être pertincnt d'interchanger la philosophie d'une méthode de traitement entre une image et une RTF. Cette interconnexion est lme source d'idées nouvelles, Par contre. le développement de la méthode doit absolument tenir compte des prorriétés des éléments manipulés. Il ne s'agit pas de l'application 8veugle d'une méthode mais d 1 une nouvelle gestation. Prenons l'exemple simple de ln caractérisation d'une région dans l'espace tempsfréquence, Une mesure métrique td que le pérÎmètre d'une région projetée dans l'espace temps-fréquence n'a aucun sens. Pur contre, la projection temporelle du mo1ifreprésente la durée d'observation T du sÎgnal ct!)a projection sur l'autre axe la
l HO
Décision temps-fréquence
bande fréquentielle B. Le produit ùe ses deux projections constituent le produit BT d'un grand intérêt pour le traiteur de signal. c'est aussi la surfucc d'une région dans laquelle s)jnscrit le motif étudié, Dans le domaine de la stéréologie qui permet de relier des paramètres topologiques ù des paramètres métriques, la projection linéaire iotnle (ou variation diamétrale) d'un sous~ensemblc [COS 89] est une mesure métrique dans ~Jè2 qui est fonction du nombre de connexités du sous-ensemble étudié duns une direction donnée. Dans un contexte temps-fréquence. une variation diamétrale ne senl pas évaluée pour toutes les valeurs angulaires comprises entre 0 et 1t mais pour deux directions seulement, j'une parallèle à l'axe temporel et l'outre parallèle à l'axe fh~quentîeJ. Cette mesure apporte plus d'înfonnations sur l'évolution {le la modulation tcmps-li'équcnce qu'un simple produit BT (voir figure 5.1). D,tŒ=Oi=t5+ II +5idD, v
u.
1)
Figure 5.1. CalclIl de la pr(~ject;oH linéaire lotale D] dans la dirccliou a {} l'mir del/x cOlllposames lemps-.fhJ(JucIJCC de méwe durée T ef de mémé' hande B" Celte
I1IC.I'lIl'C
rejlète la complexité de la modulatiof(
5,1. Segmentation pa,. filtrage non linéaire 1
L"idée développée duos ce paragraphe consiste à appliquer ft une RTF, fonction définie sur ~)(1" une transformation telle que l'espace image soit égale à CHl' La Lransrormatlon ln plus simple qui vÎcnt à rcsprît est la fonction seuil dont les inconvénients sont bien connus. Mis à part le làit que le choix du seuil ne soit pas toujours aisé. cette transfurmation non linéaire réalise une coupe horizontale de l'espace inÎtial L, qui peut aboutîr à la division d'unc composante, in partie de faible amplitude étant considérée comme du bruit malgré une conLÎnuité temps-rréquence. Les modulutions d'amplitude conduisent souvent il de telles situations. Afin d'éviter cet inconvénient, il serait intéressant de proposer une tnmsfonnation, toujours non linéaire. mois qui sladaptel'ait Li l'espace initial C. A ceUe fin, il est
1. SectÎon réJigée par Nadine MARTIN,
E:nrm:tion de motifs temps-fréquence
1R1
nécessaire de pouvoir analyser quantit:.ltiveme111 la stl11cturc de C La théorie qui sous-tend ceue définÎlion existe et s'intit.ule l:.l morphofogie mathématique. Lu morphologie mathématique [COS 85, MAT 75, SER 82) a pour objectif d'extrulre des informations quantitatives d"une fonction en comparant cette fonction à une fonction élémentaire connue appelée élément structurant. La comparaison ou tmnsfonnation de r ensemble initial est réalisée par des relations booléennes (suprellwm. h?fimum, union. in1ersection. etc.). Les fonctions ct éléments structurants sont vus comme des ensembles. Cette démarche ensembliste, purement 11011 linéaire, es1 de type structurel car clle cherche il caractériser la géométrie d'tm ensemble par rapport à la géométrie de l'élément structurant Les concepts sous-jacents sont des concepts de geométric mathématique. li nous a semblé Interessant d'envisager une telle approche sur une RTF dans le but d'intégrer dans la méthode de décision une description de la structure particulière de lu RTF. Le berceau de la morphologie mathématique est le traÎtement d'image. Néanmoins. cette théorie a été applîquée il d'aulres domaines, lels (lue la théorie des jeux ou la recherche des trajectoires d'un robot [SCH 94). Dans le plan temps-fréquence. elle a été utilisée pour réduÎre les interférences de la transformée de Wigner-Vîlle [AST 95]. pour détecter des motifs particuliers tels que des arcs électriques [LEP 01] ou des échos ultrasoniques [CUD 01], pour extraire les arê1es d'une transformée en nndelettes [GOR 02]. Dans ce chapitre, nous montrons une application de ln morphologie muthémfltique lel11ps~fréquence, (lueJ que soit Jeur nombre ou leur struCLUl'C. L'espace .cHI recherché est une partition du phm temps-frétlllCncc. La morphologie mathématique propose une technique de segmentation dans le but cl' extraire Je contour des différentes parties de ccl espace (voir les pamgraphes 5.1,1 el 5.1.2), Des applications sur signaux réels (voir paragraphe 5.1.3) illustrent les bonnes performances de celte approche qui présente nénn!lloins des limites explicitées dans le paragraphe 5. lA.
aux RTF pour l'extraction de motifs
5.1.1. S(,,!gmentatiol1 morphologique: notions élémcntaires Une segmentation consiste il pnrtilionner une représentation en un ensemble ou en régîons ou sous-ensembles homogènes selon un critère prédéfini. Intuitivement. une façon simple de procéder est de déterminer les lignes de crête du gradient de l'image. Traduire en termes mathématiques ce concept est plus complexe, ce qui explique différentes approches. La morphologie mathématique utilise la notion d'attracteurs des minima de ia représentation. Le complémentaire de ces attracteurs
182
Décision temps-fréquence
est la ligne de crête recherchée. appelée ligne de partage des caux (LFE) par analogie avec l~hydro!ogie, Appliqué directement sur une représentation brute, l'algorithme de LPE ne fournit pus toujours le resuhal escompté, Le morphologue va plus loin en prétraitant la représentation. Il va chercher il isoler un sous-ensemble par rapport .\ lin « tond» en modélisant des connaissances a priori. L'introduction de ces connaissances se fera autant au niveau de j'ensemble à extraire. le motif ten1ps-fréquenee en ce qui nous concerne, que le fond il élÎminer, le bruit. Cette connaissance se matérialise en termes géométrîques par le choh d'une suite d'opérateurs cl le réglage des paramètres associés, cn parlÎculier la fbnne cl la laïHe des éléments structurants. C'est cette phase délicate qui assure unc bonne segmentation. Une RTF est une fonction discrète. Nous nous sommes donc appuyés Sur le paradigme de segmentation d'une image nun1érique développée par S. Beucher ct C. Lantuéjo,,1 [BEU 79]. Ce paradigmc présellte Ilne méthodologie générale en deux étapes. La première ét~pe de prétraitemenl est souvent qualifiée d' « intelligente)} alors que Ja deuxième étape, aUlmnalique, calcule la LPE (vll-ir figure Dans cet ouvrage, il n'y a pas lieu de décrire ni les opérateurs de morphologie, ni l'algorithme de segmentation. Le lecteur intéressé se référera il la publication originale [BEU 79J ainsi qu'aux publications ultérieures, IfUît d'améliorations de i"algorithmc [BEU 90, MEY 90u. MEY 90b, VIN 91J. li est intéressant de pouvoir consulter un tutorial récent sur le sujet [MEY 0 J J Nous ne donnons ici que les grandes tignes qui permel1ront au lecteur non familier d'appréhender le principe de l'approche. Le paragraphe 5.1.1.1 énonce le principe de l'algorithme de la LPE qui ne nécessite pas d"adaptation pOllf les RTF, cette phase étant automatique. Le paragraphe 5.1.1.1 fournit les objectifs de l'étape de prétraitement qui doit étre conçu pour chaque application à partir des înformations CI priori sur la structure de la représentntion, 5. LI, 1. Algorithme LPE seI/il par seuil
Soit F[s] une f'onction à segmenter, fonction positive définie dans :r;:2. il valeurs dans ~)( et bornée telle que rensembie des points s fonne un compact L dans ~:l(2. Cet enst.'mblc C est composé de 1 sOlls~ensembles ou composantes connexes, compactes et disjointes, notées Ci :
c=
UCicC
[5.6]
)::z!,l
J. PrewH1 [SER :ilJ définit en 1966 la zone d'influence géodésique ou LPattl'action de chaque composante Ci dans L Ilotée ZI(Ci/C), comme le lieu des poiots s de C qui sont géodésiquement plus proches de Ci que de Cj- j :;f:. L ce qui s'écrit·
Extraction de motifs temps~r!"équcl1cc
183
où dds,c) cst la dislance géodésique entre les poinls S el c dans définie par la bome inrérÎcure des longueurs des chemins allant de s vers c ct totalement inclus dans L :
L'adjectif géodésique est donc lié nu choix de la distance, d'autres choix sont possibles [SCH 93 J. En 1978. Ch. Lantuéjoul [LAN 78] définil le squeleue par zone d'influence ou SKIZ (géodésique) de l'ensemble C, uninn des composanles Ch dans L comme le complémentaire de l'union des zones d'influence (géodésique) dans.c :
-c SKIZ(C)=[UZI(C; ;~!
IL:)
[5.9]
Je
Ce squelette est en nüt le contour des composantes Ci au sens de la distance considérée (voir figure 5.2}. Dans Je cas Ol! les Ci sont réduîts à des poÎnls, le SKIZ est appelé diagramme de Voronoï [BER 90]. ZI(C,ID
Figure 5.2. !!lus/m/ion dcs d4/initiol1S de:~' ::.oncs d'influellc,:s ef du SK1Z d'uu éltsemble C. union (/c qualre composallles dal/s 1111 ensclllhle C
Une segmentation morphologique par construclion de la LPE par inondation ou immersion. la première historirjuement consiste à calculer Hé:ruiivement les SKIZ géodésiques en initiant la procédure par le calcul de la zone d'influence des minima
184
Decision lemps-fréquence
dans l'ensemble des points iL un niveau juste supérieur el ainsi de suite jusqu'au m'Lximum de la Jonction. L'algnrilhme de Bcucher ct Lantuéjûul [BEU 79] adaplé aux fonctions discrètes se construit de la façon suivante. Soit LI les sous-ensembles de L. dél1nis par: [5.10] avec L rF, , min
infF[s],
Fm"X =SlIpF[S]J.
L'ensemble 'co contîenlles minima de ln tèmction F[s]. L'ensemble LI contient les points de la fonction F[s] qui sont au niveau 1 + Fmin ainsî que tous les points de F[s] qui sont il un niveau inférieur il l -+ Fmin. A chaque niveau i . In réunion dt la zone d'influence et des éventuels minima ml qui apparaissent il ce niveau forme un ensemble appelé bassin versant. par analogie avec rhydrologic, que nous noterons W l, A chaque niveau ou itération 1. et ce pour 1-,; 0, Fm:!>.. - Fmin et avec un pas lié il la quantification en amplitude, est calculée la zone d'influence du bassin VerSi1l1t de l'itération précédente dans l'ensemble LI. soit ZI (WI_II Li J. A l'initialisalion : [5.11] Le bassin versant au niveau 1 correspond à cette zone d'jnnuence augmentée de l'ensemble des minima ml apparus au nivcnu 1, soit : [5.12] Le complénlentaire du bnssin versant obtenu au niveau maxima! de la fonction, soit pour 1 r max ~ Fmin. cnrrespond au SKIZ ou LPE recherché:
LPE = [W'-F .- ".,,,, -l'min
-c
J1:.
5.1, l .2. Pl'élrailemelll : modélisalio11 des cOImn;SSQnce,,'
[5.13]
{f
priori
Un algorithme de LPE appliqué direclement sur une l'eprésenkltÎoll brute conduit
à une sUfsegmcnwtÎon. Une première étape consiste il filtrer la représentation afin d'améliorer le contraste entre les composantes et le fond dans L. Cette étape de filtrage améliore ln seglllentation mais n'est, en général, pas su ffisanle. Une solution
EXlraction de motif" temps-fréquencc
185
intéressante consiste il initialiser l'algoriH1fllc. non pas par j'ensemble fo des minima de la fonction à segmenter comme présenté au paragraphè 5,1. J, 1. mais par un ensemble réduit M appelé ensemble des marqueurs:
MCLn
[5,14]
Cette opération est appelée inondation (ou Sll'mnpÎJ/g) [BEU 90]. Dans cc cas. les équations [5.1 IJ el [5,[ 2] sont remplacées par: W~I=M
W1=ZI(W1,_I/LluM)
[5.15]
L'objeclifùu prêtraitemcnl est double. Cette phase doit construire la fonction qui sera segmentée ct définir les marqueurs. Cette phase est. en fhit, la plus importante et surtout la plus délicate. Elle dcmande une excellente connaissance a priori des propriétés des composanles à segmenter. Celte phase est souvent qualil1ée d'« intelligente H. Une segmentation morphologique par LPE est dOllc précédée d·une successÎon de transformations morphologiques, lransfbnnations non linéaires déiinjes pOUf chaque application en fonction des connaissances Cf priori et des objectifs à atteindre
(voir ligure 53). Nous n'allons pas détailler dans cel ouvrage toules les possibilités de filtrage ou choix de marqueurs. Des choix envisageables en cc qui concerne lu représentation particulière qu'cstla RTF sont développés dal1s [PIE 97] et [LEP 02], le puragraphe 5,1.2 en résume la philosophie,
5,1.2, LPE et RTF
L'algorithme de Beucher ct Lantoéjolll, tel que défini par [5.12] et [5.13]. est initialisé par l'ensemble Co des m;l1ima de la fonction F[s] à segmenter (voir [S,JO]) ou par des marqueurs. sous-ensemble de Lo- La LPE ainsi obtenue, voir [5.13], correspond alors à une ligne quî délimite les minima de F[s] et Qui rejoinl les maxima de Ffs]. Pour obtenir la ligne de contour des composantes d'une fonction, cc qui est le cas d'une représenlation temps-fréquence Pr[k,vl ~ Pr[s), la LPE doit être calculée non pas directement sur celte fonction mais sur le gradient de cètte Ibnctiol1. notée grad Pr[sl Ce gradient est obtenu par uo operateur morphologique, résidu entre une
186
Décision tempsMfréqucncC'
dilalation el une érosion [SER 82]. Ainsi. l'algorithme de Beucher el LanlUéjoul es! appliqué sur une ronction F[s] définie par: [5.16] où
Pt [5]
eSlla filtrée de ptls] ~ Pt["'v] qui défini! l'espace d'observation t:..
La LPE de cette fonction délimitera les differentes composantes connexes de LH!. sous-ensemble de L défini dans [5.5]. Phase de prélmitcrncllL
~selltu~ion initiale
.
...
C!2!§i~s morphologiques -_-LI'."-_--~
~ueursM,
Fonctiun lïhn;';
;1 ~ rUTlt:tion flyllLhéllque Font:tion
riliTét~
\{ sW
Phase iJuwl1la!iquc :
c:l.lcul de LPB
Ensemble de contours fermés
Figure 5.3. Paradigme de segmentatiolt morpllOJogique
Constrnire un filtre nécessite in dérînition d'un critère. Dans un contexte tempsfrélluence. un critère intére5sant est le critère de contraste mÎs en œuvre par des seuiHages~ les seuils étant déterminés à partir d'une étude des histogrammes de la dynamique ct/ou de l'amplilude des 11!Œriuh1 de ln RTF. Il peut être intéressant de considérer lIll critère de largeur de bande mis cn œuvre par lm liItmge par " chapeau haut-do-forme" (oulop-hal) [MEY 77. SER 82J. Les « marqueurs» introduits en [5,15] sont définis par une fonction binaire qui identifie des points pertinents de ia RTF, affectation du marqueur il la valeur J, par rapport ft des points inintéressants. am.'Ctation du marqueur à la valeur 0, Ces marqueurs sont obtenus par des truns['om1ations morphologiques de la RTF, transformations
Exlractîoll de motifs
temps~fréqucnce
lH?
choÎsies fi nouveau par rapport aux infonmltions a priori. Ces marqueurs indiquent la présence d'ullc région à segmenter sans délimiter exactement cette région, Ils !1CrJ11CUcnt de limiter la surscgmenlntion ou l'oubli de régions à segmenter, Dans le contexte temps-fréquence, nous proposons de calculer des marqueurs du signal ct des marqueurs du bruit. C'est un des intérèts de l'approche par morphologie. Par exemple. si le critère est à nouveau un critère de contraste basé sur la dynamique et/ou l'amplitude des maxima de la RTF, les marqueurs du slgnal sont les points de la RTF dépassant un seuil thé à J'aide d'un histogramme de lu dynamique el/OU de l'mnplitude. Le calcul de la fonction à segmentef OH des marqueurs consiste ainsi il mettre en œuvre des filtrages morphologiques sur une représentation discrète, cc qui nécessite la définition d'un voisinage [CHA 91] d'une part, et d'un élément structurant d'autre part ISER 82]. Par construction. la trame de la RTF est n~cessairement calTée. Le voisinage d'un point peut être 4ffconnexe ou 8ff connexe [CHA 91] La définition de la connexité-4 est cohén.::nle avec ['anisotropie de la RTF mais elle a tendance à sursegmenter des motifs, telles que les modulations de fréquence, qui ont une continuité dans [e pian temps-fréquence qu'un filtrage doit préserver. Pour celte raison. nous avons choisi une conncxité-8 pour les motifs temps-IÎ'lJqucnce et une connexité-4 pour J'analyse de la RTF du hruil [PIE 97]. L'anisotropie d'une RTF nous a conduil il adapter la structure des éléments structurants. Afin de lnettre en œuvre des obj~ctifs définîs pal' rappmt à la structure de lu RTF, soit par rapport il la variable temps ou la variable j'réquence. les éléments structurants sont choisis linéaires verticaux. linéaires horizonlaux ou rectangulaires. Un nltrage avt:!c un élémenl structurant linéaire vertical (rcsp. hOrlzomnj) n'opérera que dans la direction fréquentielle (rcsp. temporelle). II est ainsi facile de ne filtrer que dans une direction privilégiée. L'algorithme de LPE est ensuÎtc applique non pas sur la RTF mais sur une tnmsfonnée de la RTF et nOI1 pas à partir des minima mais des marqueurs, Le type de filtrage el les marqueurs sont définis par rapport il la structure de la RTF cl P;lf rapport aux propriétés spectrales du signal étudié. Le résultat de la segmentation est lin ensemble de points appartenant à des contours lènnés, ces contours délimitanl les motifs temps-Il:"équence pertinents par rappon aux critères choisis,
IS8
Décision temps-fréquence
5.1.3. Applicatioll SIII' des SigllllllX l'éel'i 5.1.3,1. Un signal de bioacollstique Le premier signal réel présenté est l'enregistrement il 32 kHz d'un signal de communica1ion d'un dauphïn. Les dauphins communiquent entre eux par l'intermédiaire de fréquences sonores élevées. Leurs conversations sont rapides. environ dix fois plus rapides que les nôtres. Il existe deux grandes fumil1cs de sons chez les dauphins, les siFnel11el1ts ct les clics d'echolocalion [AU 93, AU 97, DZI 77. LER 79J, Les sitllements. dont la fréquence s'étend de 4 il 10 KHz, servenl il la communication et sont souvent associés il des comportements émotionnels. Chaque dauphin émet un sifflemcnt qui lui cst propre ct peut imiter la signature acoustique d'lin autre membre de son groupe pour l'interpeller. Le dauphin est l'un des rares mammirèrcs à appeler l'un de ses congénères en imitant sa signuture. Les clics d'écholocation occupenl une large bande de fréquence (de 20 à 200 k}lz). Les dauphins sont capables d'émettre des CHéS de très haute fréquence en }1roduîsant des sons d'umpHlude très élevèc (supérieure n 210 dB) qui servent à l'orientation, la navigation ell'anaJy~c de leur environnement (obstacles, objeL<;, proies),
Le signal étudié dans ce chapitre est représenté dans le domaine temporel au bas de la figure 5An, Les signatures caractéristiques étant non sliilionnaires, elles sont plus lisjbJes dans le domaine temps~n·équence. Une représentation en est faîte par un estimateur de Capon glissant [MAR 03] en haul de la figure 5.2a, Chaque motif temps~fréquence est de courte durée, 0,2 il 0,6 s ~ur le signal étudié. modulée en fréquence el en amplitude et noyée dans le bruît marin. Le bruit marin est un bruit coloré, fortement énergétique en basse fréquence. La détection et Pestimulion sont délicates pour les basses fréquences auxquelles, cn plus, les dauphins ne peuvent produire des sons que de raible amplitude, L'exemple présenté est une communicaüon il fh!quence làible (autour de 10 kHz) ct d'amplitude moyenne, En ce qui conceme le signal étudié. l'énergie du sîgnal mesuré est rortement diminué au-delà de 13 kHz il couse de la présence d'un filtre untî-repliement Une segmentation de ce signal a d'abord été réalisée par ulle LPE (voir 5J.2,1) appliquée sur un gradient régularisé non paramétrique de la RTF transformée par un filtre (\ ch
Exll'ilction de motifs
temps~!h:qucncc
~50,5
lfi
~ 14 ;::;
C
189
~
12 8
"=o
,;:,: ~
6
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4 H8l
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1
Temps {SI
, ,
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,1
2.-+
,
b'
1 e)
Figure 5A. Sifflement d'ull dauphin I~ 31 kH:::, (a} RTF Capon g/is.wm (Iaille des scgmcm.... L 156. ordre de Capou M "" 10. déco/age des scgmeilf.\· 3D %. rmmhJ"c de !l0ims Cil ji'èqucnce J56 et signal œWj1otel, (M marquem:\· du signai, (c) lI1(lrqllelJl:~' du bruit, (dJ nh"i/ft/I de la ségmemalion par LPE, (el l'exultai d'une segmemmion ismlil'tft/II il 3/,5 dB de la plIissance minimalc.
190
Décision
tCl11ps~f'réqucncc
L'étude de l'histogramme des amplitudes de la RFT montre, que poor cc signal, l'amplitude est un critere discrïminant. CCL histogramme (voir ligure 5.5) est réparti sur trois régions distinctes. La région d'intérêt, de 31 il 40 dB, contient les points tcmjls-iréqllcnee de la bande [0, 4 kHz] associés ao bruit de mer en basse fréqoence cl les signatures acoustiques des dauphins de plus de 8 kHz. La région de 0 il :20 dB correspond aux fréquences de la bande de coupure du filtre anti-repliement (Il'équeuees comprises entre 13 kHz ct 16 kHz), Celle de 10 li 31 dB conespond aux points temps-fréquence de la bande [5 kHz, 12 kHz] do bruit de mer. Ce critère est simplement exploité par l'application d'un seuil. Un histogramme calculé sur la dynamique ne permet pas de sépurcl' aussi distinctement les trois régions prêcédemme!1l décrites [PIE 97]. l'ic;;ù/likll"l
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SiEHilIUIC!ic!hmîl
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~ 40
50
GO
Puissance (dB)
Plj.!,urc- 5.5. H/:\'fogmmme dèS amplilmlr!., des pic,) de la RTF du .1'lgHill de bioacoustique de /a,ligure 5 ..Ja
Pour cette apl}Jicalinn, un deuxième critère est discrÎmimmL Il s'agi1 de la largeur de hande moyenne des pks estimée empÎriqucmenl à 1 5ïO Hz. Ce critère C5l cxploîté par un filtrage (~ chapeau haut-de-tonne ); avec un élément struclUnml linéaire vertical de taille 15 égale à la largeur de bnndc moyenne. Ces ùeux critères permeHent la construclioll des marqueurs du signal (voÎr J-ïgure 5.4b) et des marqueurs du bruit (voir figure 5Ac). Le détail de la procédure est dans tPIE 97]. La LPE est ensuite appliquée sur ln fonction à segmenter, soil un grudicnt regularlsé de IH RTF transiormée pHr tin filtre ({ chapeau hatH-de-forme )r, à panîr des marqueurs ainsi ca1culés, La figure 5.4d présente le résultat de cette segmentation qU] est à comparer avec une simple segmentation par seuillage il un niveau de 31,5 dB (voir figure SAe} La segmentation par LPE a pel111is d'isoler les contours des sifilernenls en s'afTranehiss3nl du bruit de mer en hasse fréquence, cc qui n'est pas le cas d~une scgmenttition par seuillage.
Extraction ùe motifs temps-fréquence
191
5.1.3.2. VII signal de cal'itation La cavitation est un phénomène fort complexe qui peut se définir, de manière général, comme la mpture du milieu continu de liquide SOltS l'effet de contraintes excessives [FRA 95J. Il se larme des poches ou bulles de vapeur au sein du liquide inilî~llement homogène. Les formes de la cavitation sont très diverses selon lu configuration de l'écouÎement, les proprIétés physîques du liquide. les contraintes appliquées, Le signal étudié dans cc paragraphe nous a été fourni par lu DCA. JI correspond il une cavitation de signature irés complexe mettant ;:'\ rude épreuve tout système d'interprétation numérique. La figure 5,6 présente t'analyse d'un tel signol réel. 16 ~
N
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14
Il 8 6 ~ 0' 'e 4 "- 1 ~
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Il !fl618 a)
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Temps ts)
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0.7
iI,S
0.9
Figure 5.6. Signa! de c(I\'jfafitm j~. 32 kIl;, (a) RTF Capon glisscull (faille il!!.\' scgmt.-'lIfs L J:!7, o/'dre de Capon tH = 30, decil/age de" u:glllcllf.r 50 ii~{., nomhre de poin/,'\ Cil FrJqllcncc 'V.I ~ ::5fil el signal tewporel, (h) résultaf de la segliU'marioll par LPE, (e) rcsulTar d'/lne .\"egmenlafion isonh'c!lu à·- lO dB de la pUis,wmce 111O.yilllt./!e.
192
Décision tcmps-fï'équcncc
Les performances de lu scgrnenlation obtenue pur une LPE est intéressante mais nccessité une pré étude pmiiculièrement minutieuse et une mise en œuvre plus complexe. En effet, j'élude des critères a mis en évidence une grande similarite entre les curactérîstiques du bruit et les signatures à extruire. La construction des marqueurs est, pour cct exemple. un facteur déterminant pour la qualité de la segmentalion, Une élude empiriqne de la RTF [PIE 97] a conclu sur un ensemble de propriétés que doit vérlner un point Pr[k,v] pour être un marqueur du signal: tl
- Pr[k.•\I] est uu maximum local dans lu direction temporelle ou fréqucnlieHe; Pr[k,v] a un contraste au sens de la dynamique supérieur il JO dB; - si Pr[k,v] est un muximum dans ln direction temporelle (fréquentielle). nlors il doit être il plus de 68 dB (72 dB) du m;II;IIIIIIII de pllissance : - Pr[k.v] appartient au voisinage des maxima régionaux d'amplitude supérieure il 70.5 dB par rapport aux autres points temps-Jréquence. de largeur de bande inférieure à 690 Hz ou de durée înférÎeurc- à 6 ms, Les marqueurs du bruit sont détcnninés à parlir des marqueurs du signal, par dilatütion et calcul du complérncntaire. Les résultats obtenus sur cet exemple complexe sont proches de l'interprétation humaine, les « oreilles d'or). Il est il noter que la coloration du bmii n'est pas un handicap dans ce type de trnitement.
5.1.4. Limite de la follt:fioll gradient De nombreuses technîqucs de segmentation sont basées sur la ronction gradient dès ['instant uù llnlérêt sc pOlie sur ln détection des contours. C'est le cas de la LPE appliquée dans ce chapitre pour la détection de mOlifs temps-fréquence, La dég.radulion importanle des performances observées. sur le gradient de la RTf de signaux ù large bunde. même peu bruHés, nous a conduit à étudier le comportement de fa fonctîon grndient sur un spectre à large bande. compte tenu de ses propriétés statistiques [LEP 02]. Dans ce paragraphe, nous uvons considéré un spectre plutôt qu'une RTF el une variable fréquentielle continue f cc qui simplifie le raisonnement sans limiter la portée des conclusions. Considérons continu r ( t)
Srr(f)=lr(f)!2
le périodogramme d'lin signal aléatoire à temps
d (t ) + b( 1). 1 E ;11, de lrunslonnée de Fourier
délellninislc, de truns!om,ée de Fourier
d(1')
et b( t) un bmit blanc gnussîen de vnrîunce
r (r) , dit) est un signal
Id (f {
el de péliodogramme Sdd ( r) =
Extraction de motifs temps-fréquence
193
Sous ces hypothèses, S,il) est une variable aléatoire du '12 décentrée de moyenne: [5.17]
et de variancc (vorr section 2.1):
'.
.'
()
Lu fonctIon gradlent du spectre defînœ par G f =
oSrr(f) "'f' est aussi Hile variable ('
nléatoire dollt la moyenne eslla dérivée de la moyenne [LEV 73] :
19]
ct dont le moment
cP ordre 2 s'écrit : [5.:;0]
De ces relalions. nous pouvons déduire la variance de G( fl
Var(G(f)) (Sdd(f)+
[5.:;1]
Afin d'étudier le comportement de ceUe varhll1ce, prenons le cas d'ull signai détem1iniste simple. SOlt d(t) ulle enveloppe gaussienne définie pur: [5.22]
avee A l'amplitude, Ll.f la bande spectrale de l'enveloppe gaussienne et de période d'échantillonnage 1 s,
194
Décision
tcmps~fféquence
Posons A = 2,r;:.llf de lelle sorte gue J'amplitude du speclre soit indépendante de Ar. nous avons:
e- r
Sùd (r)
1!
,
/2M-
[5.23]
En intégrant [5.23] dans [5.19J el dans [5.2IJ, nous ohtenons: [5.24] et: Var(G(f))=
1
[5.25]
La moyenne est maximale pour f = ±L\f . A cette fréquence, la moyenne et la variance du gradient du spectre s'écrivent:
E(O{f))= 1 .
M
[526]
el: [5.27] L'équatîon [5.26J montre que le maximum de la moyenne du gradient varie en AÎnsl, lorsque iJ.f augmente, la moyenne décroît rapidement De pius, l'équation [5.27]l11ontre que l'écart-type est plus grand que la moyenne même pour un forl rapport signal sur bmit. 1/~[
Les figures 5.7 ct 5,8 illustrent ce résultat pour diftërentes valeurs de L1f. Dans la figure 5.7. le signal est non bruité alors que dans la figure 5.8, un rapport signal il bruit pourtant important~ supérieur 30 dB. montre déjà une augmenwtion significative ùe la variance, ce {lui empêche une utiiisation adéquate de la fonction gradient pour déterminer le contour du motif spectral. L 'jnfluence du bruit sur ln fonctlon gradient est un phénomène largement connu. Nous avons montré dans ce parngraphe que pour des spectres il large bande, même avec un bruit faible sur le signal temporel. la variance sur le gradien1 du spectre est telle que cette fonction n'esl plus exploitable. La fonction gradient
~ 95
ExtruclÎnn de monfs temps-fréquence
échoue pour la mise en évidence de structures ft large bande. Cette propriété IimÎl>! considérablement rapplîcnlion de techniques de segmentatioll teHes que celles développées dans ce paragraphe. 0.06 0.8
S1gnal éj~crgi:;; l "",gAG;:}::o2:ï.7
0.6,·
OA
,
Signal ~nerglç J "'-8.4~_:~::o25.7
0.04
0.02 •.
0,2
00
50
0
100
0
50
100
Figure 5.7. Périodogl'c1l11l/Jc d'f1llC I!m'e1oppi! gO/lssiewu: (à gauche) L'I dériw5e (à droÎte) pOlli' deux largeurs de bcmdc dWërclJte
Srrl[) V,JfÎati{)n de hf1JH : 0,005
Il.06
Vitdiirinn de hnill ; 0,005 SigOiJ! énci14ic
Ih·· ...... . ,;; 8.46 ';- '1";- ~:'-~(7 . 0,04
SNR (dJ~l
o.~
r Figure 5.8. Memes l'nt/thes 'fUt' laJigure 7111a;.\' al'(X un rapport signal à hruit dt! j.f dB [Jour le 5igna! (1) et de 39 dB pour le signa! (])
5,1 ,5. Conclus;olls de l'approche l'w' LPE
La morphologie ne conduit pas ft des algorithmes de type boite noirc, le conlexte est pris en compte, En h::mps-fl'éqllenec. cc con(Cxle rassemble à la fois les fH'Opricfés de la RTF par rapport il l'estimateur choisi (spcctrogramme, corrcilogramme, Capon glissant, etc,) m,lis aussi les propriétés du signal analysé (amplitude. contraste. dynamique, largeur de bande. ctc.). La nature spécifique d'une RTF est intégrée. En particulier, les filtrages du prétraitement sont directionnels. Les propriétés di! signal peuvent èlr-e et sont en générJI de nature qualitative, Ce sont ces points forts qui nOlis avait attirés a priori,
196
Décision lemps~rréquence
A posteriori, le deuxième point. contexte du signül analysé, s'est révélé être un fon handicap. En effet, même pour des signaux adaptés il ce type de tmHement tels que les signaux à bande spectrale étroite. les perfonmmces obtenues sont exceHentes mais le design de la transformation nécessite une préétllde qu'il est nécessaire de l'éaUser pour chaque cas d'application. L'analyse de signaux réels a montré que cette pré6tude empirique est pal'ticulîèremelll délicale et a une inlluence déicmlinante sur le résultat I-innl. Il nous a semblé important de pouvoir proposer une autre approche, qui ne négligera pas la structure de la RTF, mais qui sera élaborée il pal1ir d'hypothèses SUf le signal plus générales, que celui-cî soit il bande spectrale étroite ou large. Cette approche fait l'objet de la section 5.2, 5.1.6. Bibllagrt/l'ltie [AST 95] AHRAt1E F., Ci·noLLA;':: M., JOURLA.L\I M., MARTJ:-JEZ S" {( Time-frcqucncy Proccssîng with Malhematical Morpholùgy il, UK Symposium 0/1 AppficCllio!ls of Ti1l1e-Fl'cqueI1LJ' und Time-Seule Methmh, Université Je Warwick-t Coventry, p. 202-208, uoùl 1995.
[AU 931 Au W,W.L, The Sunor ofDo{plIins, SprÎnger-Vcrlng, New York, 1993. [AU 971 Ail W.W.L, {{ Echolm;ùt1ùn in dolphîns .vith a dolphîn-bat cümpa!'Îson
"'0 S. p. J37.16~. 1997.
i},
Bioacou,wics,
JI1ER 901 BERGER M., Géométrie, lomt; 1, rnds, Nathan. [BEU 79] BEvCHER S., LANTUÉJOUL C, ({ Use of Wntersheds in Contour Detection '>, IlIlel'11atiO/wl Worksho[J on Image Processing. CCETT, Rennes, France, 1979. [BEU 9()] BEUCI1EH S., Segmentntion d'images ct morphologie mathématique, Thèse de dm:tûnH de \'ENSMP. FontainebJeiJu.juin 1990. [CHA 91) CHASSERY .LM., 1\AoNTANVERT A., Géométrie .tiscrèle en ana{rse d'imoges, Hermès, Paris, 1991.
leos Sq] COSTEI< l'lI., CHERMANT .LL., Précls il'analyse d'image'\", Editions CNRS. Paris. \989. rCUD Dl] CUIJEL c.. GREVILLOTM .• MEYERJ,J.} JAC{,llJEY S., {( Comhining pha5c und energy dctcction w!lh mathematica! morpholug:y in dual timc-rrcqucncy n::prcsentation \eads to improved SSP noise robuslneSS}), Ultrasonicj', vo!' 39. n° 4. p. 291-196,juin 200l.
fDZl 77] DlJEDZIC A.t Cll1ULI.AZ M .. ESClJDIE RAND HELUON A., <Î On some properties. or low frequency sonar signais orthe dolphin Phocoena phocoerm ,), AClIstim, vol. 37, n 4. D
p. 25S-266, m~1i 1977. lFRA 95] FRANC J.P., AVElJ.Al\ F., BELAHAOll R, BILLARD J.Y., BRlAl.... ÇON~f\,1AlUOLLET, FHÉCHOU D., FRU:\IAJ\" D.I-I" K.ARII\!l
A., KUENY .LL.. MICHEL l!\4 .. La cavitation. pua, Grenoble, 1995.
mécanismes ph)'siq/fes ct llspects industriels,
J:GOR 02] Gormi\N C., REll R., ( Using wavclel trullsform Hw the rîdges extruction of .1 parabolic frequency modul<1ted signaL Part l )i, J.ph lnlcnwtiOlwl COl?ference 011 Digital Signal Processil1g Proceedings, Salltorini. Grèce, vot L p. 337~340, 1-3 juiUel2002.
Extraction de motîfs temps-fréquencc
197
[LAN 78] LANTU1:JOCL c., La squelettisation ct son application aLlX mesures topologiques des mosaïques polycrislu!lincs, Thèse de dodorai, Ecole des Mines de Paris. 1978.
[LEP 01] LEPRETTRE B., REBIÈRE Y., {( Detection of clcctrÎl::al series arcs. uslng tllllc-fil!qucncy rmalysis and mathematical mmv11010gy }). Proccedings of the Sixth International Symposium OIi .S'igllal Pmces.I'ing mul if.'; Appllci1lio!ls, IEEE, PÎscattnvay, Etats-Unis, vol. 2. p. 446-449,2001. [LEP 01] L!~I'IŒTnŒ B., MARTIN N., ({ Extraction of pertinent subsels [rom limc-Jrequcncy rcprcsentations l'or deleclion and recognition purpose5 r!, Signal-Proccssing, vot 82, n" 2. p. 229-238. février 2001.
[LER 791 LEROY y" L 'mûrel;), sonore animal, éco!ogiefàndumenfale ef appliquêc. GmnhicrVillar.;. Paris. 1979.
[LEV ï3]
LEVI~E
B., Fondements théoriqucs dc la radiotechnique slalÎsffquc, MIR. Moscou.
19ï3.
[MAR 03] Mt\l\T1N N., (i Minimum de variance )). dans f, Caslanié (di!'.), Alla/ysc speclmlc, Hermès. Paris. p. 171-206. l(lO).
[}viAT 75] MAHiERON G .. Rcmdo/ll Sets cwd inlegn.d York. 1975,
Ge01Ju!I1:I',
John Wilcy and Sons, New
[MEY 90a] MEYFr( y" (, Morphologkal segmentation ), .loI/mai f~( Visl!t1/ Communication ilud Image Repn!.sentation. \'01. !, nO l, p. 21-46, septembre 1990. {MEY 9Gb] MEYER y,. i\ Skelctons and watcrshcd lines in digital spaces H, Procef!d/Jrgs ofthe SPIE. Inœrnalioi/a! Society for Oplica[ Engù1cering, vol. 135il p. 85-102.1990. [JvtEy 01] r"IEVER Y., « An o\'crview of morphologieal segmentation )}. imenlariol1al.lrmmal of Pa!fem Recognition and Artfj/ciai intelligence, vol. 15, nO 7. p. l OS9~ 1] 18, novembre 2001. [PIE 951 PIER-SON V., MARTI}; N" « \Votershed segmentation of time-frcqucncy images ), /E/:.:E WorksllOfJ un Nonlinear Signa! and Image PrOf.'cS,\'Îng, p, WOO-WH3. Hallddikî, Grèce,juin t995. [pIE 97] PJERSor', V., ExtmctÎon de sous~ensclllblc5 tcmps-frèquencc en vue d'une prise de décîsion en non-stotionnaire ~ application en ilcollslique sous-marine, Thèflc de dOCl(ll'at de L'INPG, Grenohle. ,30 avril 1997. [PRA ï8] PR/\TI W K., Digila/image Pmces.\'ing, John Wilcy & Sons, New York, 1978,
[SCH 94]
SC!!~1I1TM.,
l'viA1TIOLI J" j\!orphologic mathèmaIÙ!UC, Masson, Paris, 1994,
[SER S21 SERNA J.• Image Ami/J'sis (/luI :l1allwmatical MOi])/tolog.1', Academie Press, Londres, 1981. VI~CEI\T L.. SOlLLE p" ({ Wotcrshcds in digital s.paces: an efficient algoritlun bascd on Immersion simulatkms )t, JEEE Transactions 011 Pa/Fern Al1o{,'sls and :Hachbw lntcltigence, vol. 13, nù 6, p. 5~3~598, 1991.
[v1N (1)
198
Décision
tcnlp!>~fréquem:e
52. Coscgmenlation RTF/espace de mesures:2 Dans l,;ettc seconde section, nous décrivons une méthode de segmentation de la RTF s'appuyant sur 1111 modèle slatis!ique du contenu tcmps-I"réqucnee lHOR 02nJ, Le:-; hypothèses faltes sur la nature du signal temporel analysé Ront les mêmes que
précédemmcnUl5.lj et 15.41):
f H" l H,
.rlkl = b[!.:] .rl!;J = b[l;] + rllh,)
15.28J
où b[k] es.t un processus aléatoire Slalionnajre blanc de moyenne nulle el de variance et d[l,:} est une séquence détermînÎstc. Ccs hypothèses peu restrictives permettent de traiter par la méthode mise en ptucc dcs signaux aux propdétés très générales et indépendantes de la nature des composantes (large bande. bande étroite).
u:.!
Les outils morphologiques lllilîsés dans la section précédente conduisent il une approche conloUf du problème de segmentation, Nous avons vu que la méthode développée trouve ses limîtes dans le traitcment de signaux ü composantes large bande du rait de l'mHisation de la fonction gradient Nous adoptons ici une approche région c"esl-~t-dirc que le processus de segmentation est basé sur un critère d'homogénéité inlramolif. L' approche statistique suppose, tout comme r approche morphologique, 'I"e la composante déterministe du signal soit représentée ùans le- plan temps-fréquence par un ensemble de motifs compacts, Or le théorème de Paley-Wiener nous rappelle qu'il n'existe pus de composantes à support compact à la fois en temps et en fréquence.
Nous nUons voir dans le paragraphe 5.2, i que le modèle statistique permet de redéfinir la notion de composante temps-fréquence lout en gardanll'idée intuilive de motifs à support fini. Dans le paragraphe 5,2.2 nOLIs donnons les gmndcs lignes de r algorîthme mis en place, Cet algorithme fournil, en a~sociallt une étape d'estimation des paramètres staLÎstÎque:s ft la segmentation, une caractérisation du contenu énergélÎ(IUe des motifs extraits. L'approche statistique pcrmcl donc d'étendre les objectifs de lïnterprétalion temps-fréquence par rapport ft l'approche morphologique qui ne réa1ise qu'une partition du plan temps-fréquence. L'algorithme, de type croissance de régjon. eSl basé sur la projection du plan temps-fréquence sur un espace de mesures slatistiques locales appelé espace des caractéristiques dans lequel un cdtère de similari(e> est déJ1ni pour réalîser la scglnentatiûn et la caracléri.'lalion, NOliS présenlons ensuÎte deux exemples d'interprétation ternps-frequence dans le paragraphe 5.2.3 avant de conclure cette see-
lIon, 2, Section rédigée par Cyril HURY et Nudlnc
MARTIN.
ExtraclÏon de motifs
telnps~fréqllcnce
199
5.2.1. lilrs flIle interprétation statistique On s'intéresse à toute rcprésentaljon temps-fréquence pouvant s'écrîre comme le module carré de la projeclinn du signal sur une base de fonctions analysantes {fIl/..-,! } k,f centrées ;sur J'instant k ct la fréquence f : [5.29J CeUe dél1nition s'applique par exemple au spectrogramme. module carré de la transformée de Fourier à court terme (FLA 93 J. Dans ce cas, les fonclions .analysantes sont des exponentielles comp1cxes donl renveloppe es! hl fenêtre d'annlyse. L'expression 15,29) définît aussi le scalogrumme qui est le moduJe carré de la lmnsformée en ondeleUes continue du signal, On parle alors de représentatio!1lemps-écheUe puisque dans ce cas la fréquence esll'inverse de l'échelle fixant la laille de la fenêtre d' nnn lyse [TOR 95 j.
5.2.1.1.lvlodèle slalisli,!ue Avant de décrire plus aVant le modèle statistique des coefficients temps-fréquence ,~ignal temporel [5.281. Dans ce modèle temporel peu restriclif. ta non-stationnarité est portée par la composante déterministe, C'est ceHe cornposante qui porte IÏnformation recherchéc. Le comportement aJé-atoire en revanche est dû au bruit, c'est-à-djre il]a partie non informative du signal analysé. C'es.lla présence de cc bruit additir qui permet une description statistique,
P.r[k,.n exploité. il est intéressant de revenir un Iman! sur le
A chacunè des hypothèses Hu et III correspond un sous-ensernble ,(n ct ,( l de coefficients lemps,fréquencc délînis dans la première seclion pnr [5.3J cl [5.5 J. On peut montrer que les coeŒcîents. temps-fréquence appartenant tl .co suivent une loi du ",2 centré il r5 degrés de lihené cl de coefÏkienl de proportionn:alilé a 2 / 8 (voir IKOO 74J ou eneore la seclion 2.1 du prése!1l ouvrage). L'ensemble L" peUl donc être défini en termes slatisliqtlcs par: LI!
{(l''.f)/(k,n
EG.,. cl
p.,lk.n = ~)\~}
[5.301
De' même. renscmble de."> coefficients lemps-fréquence appartenant à,cl suivent des lois du \ 2 décentré à S degrés de lîberté, de coemcicnt de proportÎonnalilé (J'2 i â et dont je paramètre de décentrage est le coefficient de la RTF de 1a composante délerminisle seule p,,[k, fI:
L, =
{(k. f)/(k, J)
E
15.311
La loi du \:."! centré eslun cas particuHerde ia loi du X:: décentré pour un p<Jramètre de décentrage pd',;) fl nul. Le lhéorème de Palcy-\Vicncr montre qu'il n' existe pas de
200
Décision lemps-fréquence
composante:;; temps-rréquence à support compact En effet, si la RTF est conslTllÎte sur une fenêtre temporelle rectangle ou de Hanning par exemple, le support fréquentiel n'est pas bomé. L' œil restreint ce ,'.;uppOfl nu lobe principal de ln TE Cette opération instÎnctive peut être fcproduÎlc dans le modèlè: statistique en considérant tout paramètre de décentrage inférieur il la puissance du bruit comme négligeable. Le: coefficient associé est alors considéré t'omIne suivant une loi du :\.:.; centré (pararnètrc de décentrage nul). i\1oclèlc de mélange
Notons N = mnJ(/:.".) le nombre de ,iles (1;, f) de la RTE La formule des prohabilités tolulcs permet de considérer chaque coefficient tcrnps-fré{juencc comme suivant une loi du \:1 centré uvee lIne probabilité 1 - JI = N,--::/' où P cord(,GI) et p el suivant chacune des P lois du .\:2 décentré uvec 'une probabilité La loi de distribution fp,.'J.',n(,r) de pA!.:,}'j esl doooéc par: l
[5.32]
C'est ce modèle de mélange de lois: du \'J centré cl décentré qui est le poînt de départ de la méthode d'interprétulion décrite dans cette sectîon. Notons que la littéralure abonde d'cxcmp]es de description du contenu d'une RTF par des OlHils stalhaiqucs. Cependant, ù notre connaissance, dans ces méthodes la RTF est nssimîléc ù une densité ùe probabilité jointe de deux variables, temps et fréquence. C'est celle approche, par exemple. qui conduit à l'inégalité fondamentale d'Hejsenberg-Gabor portant .'lUr les moments d'ordre 2 des murginales. La notion de produit BT largement exploitée en sismique découle de lu même modélisation. Plus récemment sont appumes des méthodes de classification ou de détection exploitant ceUe analogie. Bara.niuk el al. proposent l'enrropie de Rényi d'une transformée de Wigner comme mesure de complexité d'un signal [BAR 01]. Coales cl Filzgerald décrivent l'enveloppe d'une RTF par une somme pondérée de gaul'Îcnnes. rnmenant le problème d'inlerprétalion à celuî de l'estimation n011 para.métrique d'une densité de probabilite ICOA 99J. Pur le modèle [5.32], nous choisissons de considérer la RTF comme un ensemble de variables aléatoires dont la loi ue distribulion est déduite ùu processus de construcûon. 5.2.1.2. Red4tinitioll du problème d' inferprétation
Une fOlS formulé cn termes de mélange de dÎstributions. le problème de Iïnterprélalion d'une RTF trouve un c~ldrc théorique pour sa résolution, Nous pouvons résumer l'objectif de J'interprétation cn deux étapes tanl du point de vue de l'étude d'un mélange de distributions (point de vue statistique) que du point de vue de l'étude du
Extraction ùe motir5i tcmps-frêqucnc('
201
contenu lemps-fréquence (painl de vue signal):
5 t~~~:ti q11 e
Signal
eslÎmatlon
caractè'isillion
classificatioll
0-~
scgmentullon
L'élape de caractérisation consiste à identifier les paramètres du mélange. L'étape de segmelHalion consiste il associer une Je ces lois à chacun des coe!ïicicnls lempsfréquence, NOlons tjtJe la caractérhmlion ne précède pas systérnatiqucmcnt la segmentation et que ces deux tfiches peuvent êlrc menées de from 1GOV 99]. Un des algorithmes les plus populajres pour l'analyse de données issues de mé1angcs est l'algorithme d'expectation-Illaximisation 1DEM 77]. Dempstcr et nI, ont mOnlré comment cel algOlilhme pouvait résoudre Je problème ùe l'eslÎrnallon par maximum de vraisemblance en présence de données manquantes.. C estimation des parmnètr~s d'un mélange CSlUll cas particulier cie ce problème pour lequel les données manquanîes: sont les indices d'uppartenance ùes variables aléatoires aUx lois du mélange, Nous renvoyons le lecteur à [HOR 02ul pour un exemple J'application de l'algorithme E1\'1 ü l'interprétation temps-fréquence, Nous concentrons noire-
5.2.2.IlllcI11/'(ÜatÎO/l dans l'espace des caractéristiques L'algorilhmc que nous proposons consiste li applïquer un ensemble de mesures statistiques locaJes il la RTF. aptes il iJcntHler des propriétés communes llUX coefficients temps-fréquence appartenant à JIn même motif spectraL Cet algorithme est de type croissance de régions IZL'C 76J. Dcs sites privilégiés appclcs germes sont identifiés: il partjr de leur posüîon dans rcspace des caraclérii'iliques extraÎtes. Uile procédure de propagatîon est alors appliquée par laquelle les voisÏns dnnfl lu RTF de ."jles reconnus comrne appartenant il un motif spcdml sont coniaminés il leur tour. Le critère de contamination est définÎ pour assura l'homogénéité de l'ensemble des sites formanlullc ctassè, au .sens des caractérîstiques extraHes. Il s'agit dOllC de réaliser ln ~egmentutïon de J'espace des caractéristiques. A l'îssuc de la scgmcntatlon, chaque motif spectral est représenté dans l'espace des caractéristiqucs par un nuage de points dont ln trajectoire dépend de ses- propriélés énergétit_juc-S, Une modélisation pararnétlique de ces trajectoires permet, rar l'estimation des paramètres du modèle, de réaliser la caractérisation. Pour plus de détaîls sur la mise cn place de l'algorithme, nOlis renvoyons le lecleur à IHOR 02al. Nous nous contentons de préciser ici les points qui semblent nécessairesh Ulle honne cmnpréhension du fonctionnement générnl de l'algorithme. Nous présentons dans un premier temps le modèle utiJî:'>l2 pour décrire le contenu statistique local
202
Décîsiun
temps~fféqucncc
d'une RTF. Nous dOllnons ensuite les expressions des moments d'ordre 1 et 2 des caractérisliques extraites, permettant l'idenlifkation de la signature d'un motif spectral dans l'espace dc~ caractéristiques, Nous en déduisons une procédure d'extraction des gcnnes de la segmentation, cœurs de la composante déterministe. La puissance du bruit est quant ~Î cHe estimée au cours ô'une procédure d"estimatïon de contours comme lirllites (le pmpagatlon des germes, Nous présentons bIièvement une méthode d'cstimatjon des paramètres d'une loi du centré par approximation du maximum de vraisemblance de ceUt:: loi expDnentielle, La dernière étape de la caractérisation consiste il e},limcr l'évolmiol1 des paramètres descriptifs de la composante déterministe dan:-; le plan temps-fréquence. CC:tte étape eSlréulisée par résolution du système d'équatîons des momcnts. Nous concluons cc paragraphe par une discussion i1ur le choix de la taille de cellulc, abordam 1a nodon de noyuu reproduisant d'une tn:msformée temps-fréquence. 5.2.2. J, A/odèle de mélauge local Le méhmgc l5.321 est déHni par P -:- 2 paramètres. Le nombre de dcgrés de liberté ô et le coefficient de proportionnalité dépendanl ùe â et de la puissance du bruit (]'2 sont des parHmèlrcs communs au hruit ct à chacune des composantes détcnninistc5'. Les P alllrcs paramètres sanlles P coefficients temps-fréquence non nu]s de la compOsHnte déterministe seule, Le nombre de parmnèlres de décentrage peut être réduit en usant d'approximations locales. L'ensemble des coefficients temps-fréquence est décomposé sur une région de l~liblc ~urface appelée cenule en 1 sous-ensembles sur lesquels chaque paramèu-c de décentrage est égal à la moyenne Pi des pnnunètres de décentrage. Ainsi. localement. chaque coefficienllcmps-fréquence peut être considéré comme étant issu du mélange d'une loi du \ 2 centré et de I lois du \:2 décentré:
[5.33 [
avec 2:;=1 Pi p. L'interprétation de la RTF passe alors par r estimatîon de 21 + 2 paramèlres sur chaque cellule lemps-fréquence: aux deux paramètres communs â el (f:.:! s'ajoutent les J paramètres de décentrage p; et les l proporlions ]Ji. Les deux parmnèlres communs peuvent êtrE' estîmés à partir du seul ensemble .G n des coefficients nc porlanl que l'énergie du bruit. Nom. choisissons d'estimer les '.!I ptlramètres restants par résolution des systèmes de l équations de,,,, moments. Les caractéristiques locales extraites sont alors les 2 r moments empiriques de clmque ceilule. Dans la suite de lu scclÎon nous illustrons nos propos pour le cas 1 = 1, sans perte de généralité.
Extraction Je motifs
tCll1r!'<~rrêquel1çe
203
5.2.2.2. A10mellis d'orrlre 1 cf :: tles ca}"actérislùJues locales
Notons Ck ..f la cellule centrée sur le site (k,)') ct définie par:
Ck.f =
{
lmnX(k-
(k',f')
,1)
~
1
/
1) ,,;
ImaxCf -
k l ~ mln(k+
f' ,,;
lllil1(f -1j5.3'+J
oi:! et 1\~J.: sonl impaires et Nil (respectivement Nd èsl le nombre d'indices temporels (rc,"'pe!:tivcment fréquentiels) de lu RTF. Nous reviendrons cn détail dans le paragraphe 5,:2,2,5 sur la procédure de dèHnilion de la taille de cellule, Lc~ J + 1 estimateurs cmpîriques des moments du mélange rS.33J décrivant Ck,J sont calculés en chaque point (l", f). L'ensembJe des cocflkienls temps-fréquence est alors projeté dans "espace des caractérjsliqucs locales dont les axes sonllcs momenL" eSllmés. Dans cet espace, donl un exemple est présenté en figure 5,9. chaque motif spectral est représenté par un nuage de poînts dont l'allure dépend Jc.:;; paramètres du méJangc ct de leur évolution d'une cenule ft ]' autre. C' c:sl dans cel espace qu'est réalisée la segmentation de la RTE Des premiers travaux [HOR 00, BOR 02hl portaien! sur l'application des moments centrés, Bîcn que rournÎssnnlune bonne segmemmion de la RTP. l'applicalion tic ces moments conduit h la résolution d'un syslème d'équations non inversibles pour l'cstÎmalÎon des paramètres, 11 s~ensuil une caractérisaûon purement qualitative des moti fs spectraux, par comparaison des pentes h J' origînc des nuages de points dans l'espace des curaclérisliqlles [HOR O2aJ, Nous présemons ici le cas de r eslimatÎon des ITIülTIClllS non centrés lll} ;;;;;; E(pAk, j]if) sur la cenule, Les caraCtéristiques extraites Fi rI,:, Il sur chaque cenule sont [es l + 1 premières moyennes d'ensemble:
l;;[k,f] =
,~
I:
p,,(//,tr pour i = L.1 +]
1535J
(kt J')eC,,- r
où JV IV/"jV/ est li: nombre de points de la cellule. La dcscrîption des nuages dans l'espace des caractérîstiques passe par la connaissance des deux premîers moments de Fdk, j}, fonctions des "Ji premiers moments non centrés Ilq=L..::u du mélange [5,33J lKE.N 63, chapüfe 101, Ce sont le:> comhinaisons linéaires des moments d'ordre q des lois du ,\:2 centré el décentré impliquées, dom J'expression est donnée dans [HOR 02bj. Pour un mélange ù' ordre f 1, ccs moments s'écrivent:
2-1)1(2)'1 "1 -)' (a)
(Q'''â i (il" -1'/ ,C! _ J.
1
'1
X
[
1.
+lJLCl;. j=!
U
/'])1
(â /2F'II' -j')' " J l)."ô,_
'!()
Ôjk
204
Décision temps-fréquence
où r[k, fi = Pd [II, J'lIa" ext appelé rapport ,ignallbruillocnl, La figure 5.9 présente les espaces des curacléristl(juCS d'un bruit blanc gaussien de moyenne nulle et de variance (]"2 = HI ct (rune composante déterministe noyée dans cc bruit. Un réseau théorique est superposé pour différentes valeurs régulièremcnl espncées des paramètres fJ et 1". Ce réseau est utilisé duranlla procédure de segmentalion pour localiser les germes de la croissance de régions ainsi que pour délimiter de manière itéralive ln limite de segmentation. Une description détaïlléc de celte procédure de croissance itérallve de régions est fournie dans (HOR 02011. La connaissance- de la matrice de variance-covnriance théorique donnée par les moments t5.36J pour p = 0 et r = 0 permet par exemple de prédire l'uxe principaJ du nuage des poinls ne portant que r énergie du bruit Celte prédiclÏon nécessite r estimation des deux paramètres communs aux lois du :y2 centré cl décentré, 0 2 el 6. Cette procédure est réalisée pur une upproximution de l'estimation pur nmximum de vraisemblance des paramètres d'une loi du X:! centré, décrite duns le paragraphe 5.2.2.3.
5.2.2.3, Estimation des paramètres d'uue loi dl! ,\:; celllré La moyenne Fl est la somme pondérée des N coefficients temps-fréquence de .la cellule. Lorsqu'ils ne portenl que l'énergie du bruh, c'est une somme de variables du x 2 centré donc, par définition, une variable du :\2 centré, A chaque itération de r algorithme de croissance de régions~ les poinls temps-fréquence non segmentés sont considérés comme appartenant il J'ensemble .co. Les paramètres sont estîrnés à partir de cet ensemble de données supposées suivre une loi du À::: <.:cntré. La loi du X" centré appartient il lu famille des lois exponentielles [BARl\! 78], Les stati~liques exhaustives f,J et t'l, respectivement moyennes arithrnéiique et géometrique dans le cas du À 2 centré. sumscnt à décrire complètement les données issue"" de cette loi. Les êquations de maximisatlon de)a vraisemblance impliquent naturellement ces deux statistiques et prennent la forme:
t2 =
\jf
(D -J
+ IlJ(2ô)
[5.37a] [5.37b]
où '11(:[') = ::1r~~/lt est la roncHon Psi ou Digamma fABR 70. AYA 7l1. Les ronclions logarithme et Psi interdisent la résolution analytique du système rS.371. Une solution approchée peut cependant être oblenue en rcmpluçant ln fonction \]j ( ~) par son développement de Taylor ù l'ordre 4 LLAW 82J, L'erreur d'approximation E(J) a pour cxpressÎon :
E(S) =
f: 2;,(~/2~)2n
l1':::::2
[5.38J
'
oil les B'2n sonlles coefficients de Bernoulli. Le~ solutions approchées des éqUtllions de la vraisemhlance fournissent alors les estimations ci et l5 des paramètres de la loi
Extraction de motifs temps-fréquence
90 80 70 60 50 4fJ
,30
~:û
~1O
o
-:28 !;111 rl11Jh$,.~~~.!9'
(1
o
(l,sn
o
Temps (pts)
10 000
·~JOO
800 700
1""! ~ 0,3
5
-600
') ,
",,-
j'j;
(hl>
I"'nj 0
50 C
<')ou 400 300 200 100 '0
0 0: ,1;
'----"'--",
o.,!-,,-:::::::::::::::::::::=
2()
a)
205
,50~~
D)
0
Tcrnps(ptsJ
10000
1200,··
r-) OOO~ ~
~
" E u
E o
:<
200i- - ,
c)
Moment cl' ordre J
Figure 5.9. E\7){ICC des caractéristirpfCs localcs. Le bmi! eSl simulé l'al' //11 processl/s gausûclI cellfl'é :\1"(0. 10) de 10 000 poims, (a), II est additionué à /111 signal détc/'J/lfnisfC de 8 000 POilll,>;, somme dc cÎI/q siuus dejréquL'nccs normalisées réfilJliiiremcllI CSPClCf.[l!S mlfrc O,:W et 0,27 H~ el rf'o1!lplitude égale li;1. (bJ. SI/r l'espuce des Cllrtlcréristiqucs du bruit SCI/l, {e}, som tracés cu lrail coll1inu l'axe prindpal du lJuage de po/ms é.l'iimJ el Cil poinfilhI l'axe principal tIJt!ut'Îqllc
dom fa {lcnte eSJ .hf/iuie couwu! /a premièn: l'a!curpropre de la matrice de l'(frimlt.:e-com/'üwcc. Lfi poil!( (10, HJD) correspond aux l'lllclJrs théoriqucs (E(Pl), E(J~'::.)) d'JIll méhmgè d'ordre
1= f) (brui! seul,]) = 0 el]' = 0). SlIr Jes espaces des camcu!ristiques du signal ,wy~ dans /(' bmit {If), sont supcqJOsés {cs résca!f.t tltéoriq/(t!s (E(Fll p, t'), E( F::/p, r)) m'cc p cl!' prcl/oJJt des mf!m/'s rigulièrcmclII eSjJacées dons les imcJ1'aflcs
[0, J} (" [Dt llHL'X( Fl )/o"l
du ,\ 2 centré: 15,390J
[5,3%J
206
Décision temps-fréquence
La Ilgurc 5.10 montre l'évolution de J"espérance mathématique de l'erreur d'approximation 1:(8) en fonction de j'estimation par maximum de vraisemblance J. Nous observons que cette erreur décroît quand (~ crail. Dc plus, pour (~ supérieur à 2, ceUe erreur est inférieure ii 10- 2 . Elle peut être considérée comme négligeable si () > 2, ce qui est le cas pour la loi des caractéristiques FI des cellules ne portant que l'énergie du bruit. 0,07 Il,06 0,05 0,040,03 0,02 0,01 0
1
2
0
3
4
Figure 5.10. EI'olurioll de l'espéraI/CC /lUi/hématiqlfc de "errcur d'approximatio/l E cllfol/crioll du I/Ombre de degrés de lihcrté /5 de la loi dll X:2 cClltré
5.2.2.4. Caractérisation Nous avons déjà mentionné que j'algorithme de segmentation réalise une croissance de région de manière itérative. A chaque itération, les coefficients non segmentés sont considérés comme appartenant à la classe ,Cf), c'est-à-dire comme suivant une loi du \:1 centré. Les paramètres C":2 et () peuvent alors être estimés par les expressions 15.39]. Celte procédure permet de plus de déflnir dans l'espace des caractéristiques un espace de confinement du bruit il partir du quantilc d'une probabilité de fausse alarme préalablement Ilxée sur la loi de FI. Cette région marque la limite de propagation des germes extraits pour l'itération courante. Notons que cette probabilité de fausse alarme est le seul paramètre de contrôle de l'algorithme. Son infuence est discutée dans lHOR 02a]. Une fois la segmentation terminée, les seuls paramètres restant il estimer sont les proportions p[n, k] ainsi que les paramètres de décentrages apparaissant sous la [orme des rapports signal/bruit 1'['11, kl. Nous proposons de conclure cette étape cIe caractérisation en résolvant le système d'équations paramétriques:
E(!",/p,r) = h(p.r) E(Fo/p,r) = h(p, r)
ISAOal [SAOb]
Pour ce faire, il est nécessaire de disposer d'un ensemble d'estimations des espérances mathématiques des caractéristiques locales Fi. Nous faisons l"hypothèse que le moment d'ordre 2 du mélange peut s'écrire comille un polynôme d'ordre 2 du moment
Extraction de molÎfs lemps-fréquence
207
d'ordre 1:
E(1'2/p, 1')
=
(III
+ (I, E(F, /p, l') + (I,E(F, /p, Tr
r5.41]
Une régression sur le nuage de points propre à chacun des 1110tifs spectraux extraits rournit alors une estimation de la courbe paramétrée (fl (p, r), .h.(p, r)) par l'estimation des coefficients ai. Il s'agit alors d'inverser le système 15.4{l] pour obtenir l'évolution des rapports signal/bruit '/' en fonction des proportions p. Dans le paragraphe 5.2.3 nous présentons un exemple de caractérisation. La régression est réalisée par moindres carrés totaux alln d'introduire une incertitude suivant chacune des caractéristiques locales.
5.2.2.5. Chnix de la faille de cellule Le choix de la taille de cellule d'analyse es1 un élément crucial pour l'interprétation. En effet, le nombre de points [orman11a cellule doit être suffisamment grand pour permettre une caractérisation fiable. Cependant, le choix d'une taille de cellule trop grande rend caduque l'hypothèse de faible variation des paramètres de décentrage. Il produit de plus un lissage de la RTF qui a pour conséquence une surestimation de l'étalement des motifs. Nous avons recours à la notion de noyau reproduisant d'une transformée temps-fréquence pour réaliser un compromis entre ces phénomènes. Le noyau reproduisant R'l'I1.- .I'1 [k: fl d'une transformée temps-fréquence est la transformée temps-fréquence de la fonction d'analyse centrée à j'instant 1/ el à la fréquence f' ]TOR 95]. C'est une mesure de l'échange d'énergie entre coeJ'Jkients temps-fréquence. D'un point de vue statistique, il peut être vu comme une mesure de corrélation entre coefficients. Nous déllnissons le noyau de la RTF comme le module carré du noyau temps-fréquence: I
[5.421 Le support de celle fonction évolue cOlllme la boîte de Heisenberg mesurant la résolution lemps-fréquence de la représentation. Dans le cas du spectrogramllle, ceUe fonction est invariante par translation temporelle et fréquentielle:
r5.431 En revanche, dans le cas d'une représentation temps-échelle telle que le scalogramme, la largeur temporelle de la boîte de Heisenberg décroît quand la fréquence d'analyse augmente et la largeur fréquentielle évolue inversement. C'est la propriété de covariance par translation-dilatation du noyau lTOR 95.1, qui s' écrit:
15.441
208
Dédsion temps.-rré-quencc
Nous définissons finalement la laine de ln celIule d'analyse cmnmc le support du noyau de 1" RTF:
[5.45j En pratique. le noyau est seuillé à 1 % de sa valeur ma.ximale. Pour les raisons avancées précédemmenL lu cellule est de taille constante dans le cas du spectrogramme. Les largeurs lemporcHcs ct fréquentielles évoluent inversement dans le cas du scaJogramme. Le choix de la taille de cellule est faît nU10llltHiqucmenl en tenant C0111r'He des paramèlres de construction de la RTF (type de l'onction (l'analyse, longueur, taUX dc recouvrement, nombre de voies fréquentic:lles cl' analyse). Une étude menée: dans IHOR 02a1 monire que ce clitère permet de rênliscr un bOll compromis pour la segmentation.
5~2.3.
Deux exemples Il'llpplicatioJl sur des signaux réels
Nous pré.scIHllllS maimenant les j'(~5uhat~ du traitement de deux signaux dUlltlcs
l110lîfs spectraux dans le plan temps-rréquence possèdent des proprlétés différentes. Dans ces deux cas, la RTF est un spectrogramme du signai non stationnaire analysë. Comme men1ionné dans le paragraphe précédent, le traüement d'un spectrogramme nécessite l'utîli:-;ation d'une ccllulc glissante de taille cons{anle i>ur tom le plan tempsfréquence, Un traitement similaire auruÎt pu être r~aIisé- sur un scalogramme si lu nalUre du signal analysé J'avaît exigé, Le traitement aurait été en lout point identÎclue, hurmls la taiJle de cellule qui aurait alors varié suivant "axe des fréquences (des échelles)" Du faît de leur grande dynamique. les RTF sont tracéeS L'Il écheHe logarithmique pour une meiHeure visualisation des 111011rS, Les axes fréquenliels sont représentés en fréquence normalisée. Les paramètres de construction des RTF ct de contrôle de la 'segmenlalion sont donnés dans les légendes des figures correspondantes. Le premier signal. présenté en I1gurc 5.1 Lest renregîslrcl11cm acoustique de la réponse impulsiollllellc de l'auditorium de l'Opéra Bastîl)e. Cct enregistrement est réalisé pour caractériser les propriétés ncoustjques de la salle en termes de réverbération, Le spectre est à large hande à l'instant de rémission de l'impulsion, puis les fréquences élevées disparaissem progressivement du fall d'Ull temps de réverbération plus court. La forme du motif spectral est bien donnée par la segmentation superposée il la RTF en ilgurc 5.lla. L'instant d'émission de l'impulsion est particulièrell1ent bien détecté du rail de In croissance brutule de r êncrgic. La segmentation fou11lÎt aussi une estimnlion du temps de réverhération des fréquences dc propagation du son.
Extrnction de motifs temps-fréquence
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Temps (ptS)
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Figure 5.11. Réponse iWj1l1!simmeUe de l'opch'iI Bosfilk Lo RTF frairéc (0) esr /e spectrogramme du signaI calcllM sur lfllelénê!n' <-/1/ Kaiser de 63 poùus (!l'el' (/11 n:UJU1'I'C}l/CIJ! de 50 'X, ,~w 156 l'oLrfnSqrw!lliclles. La cellule ;:!issaf1!c utilisée pour la segllu-'lItatÎtm (h) comicII! 3 A:.) poiws el la pmhabilirr-> de fausse aiorme esf de [1 x présellte del/X tmccs L'orres/wlldam tlU mutlf exlrtlit.
, L 'cspace du camcférisfiqUl's (C}
L'espuce des caracléristiques (figure 5.1 lb} de cet unique motif spectral présente deux nuages dL' points prenant leur origine HU même point. mais de pentes djfrêrente~. Ceci rem~tc la présence de deux pics d" énc-rgie atlx alentot1f:. dl' r instant:'; 000. le principal aux alentours de la frtquencc [J,l, le second aux alentours de la fréquence 0,3, L'étape de caractérisation dcvruit ètrc prêcédt.?c d'une partition de ces deux nuages à raide d'un algorithme de type k-l)lus~proclf(!s~i'njsiJ1s par exempk'. pour j'estimation de révolution de hl proportion p en fonetinn du rapport signal/bruit 1', Ce n'esl p<Js Je propos de celte seetion. Le signal analysé sur la figure 5.12 est l'enregislrement acoustique du ~îfncfl1cnî de dauphin déj:l présenté dans la sectÎon 5,1. La bande de fréquenee a été réduite tl une région sur laquelle le bruît sous-marin est d'amplitllde quasi constante pour approcher la eondîlioll de blancheur. Les motifs speclraux cnmposalll cette RTF sont il bande étroite par opposition
]10
Dèci}iion lemps-fréquence
L'étalement des 1110tif, extraits est légèrement surestimé du fait de l'application de la ceHule gtissantc qui produît unlîssngc dl!: la RTF dans l'espace des caractéristiques. Ce phénomène n'eSt pas visible sur la segmentation d'un signal large bande te! que celui présenté en figure 5.11, 11 devient conséquent dans le cas d'un signal bande élroite et plu, particulièremem sll'amplitude augmente brutalemenL Les trois motifs sont représcntes dans l'espace des caractéristiques de la i-igure 5.12b par lrois nuages de points. La caractérisation de ces nuages permet de tirer quelqucs conclusions: SUT le contenu énergétique de ces motifs, Les trois courbes de régression sont superposées sur la figure S.12c HU réseau théorique estimé lors de la dernière itération de ralgorühme de croissance de régions. Ln résoluLÎon des équations des moments sur ces trois courbes de régression conduit aux courbes de la I1gure :), 12d. Eile montrc que le motif 1 possède une éncrgie largement supérieure à celle des deux autres motifs. De plus. Je rapport signul/lifuÎl augmente ri us vile avec la proporlion de signuL Les mol ifs 2 el 7 présentent un profil lrès sÎmilaire. Ces informations ne peuvent être eXtraites à la seule lecture de la RTE
5.2.4. Conclusioll sur {'a[Jproche par espace de.'" curactéristiques
Ln mise en piace tfune méthode d'interprélation basée SUl' un modèle de distribution pour les coefficienls de la RTF (spectrognUlln1':: ou scalogrammej présente plusieurs avantages par rapport il lu méthode utilisant des outils de morphologie mathématique. D'une part, le modèle de distribution déduit direclement de la méthode Je conslmclion de la RTF petmet de limiter les connaissancc:-; (f priori nécessaires au traih?lnent. Le nombre de paramètres de contrôle est ainsi largement réduit puisqu'jJ se limite au choix d'une probabilité de fausse alarme contrôlant ia segmentation il chaque ilération dc l'algorithme. Tl permet de pius de donner une définition, au sens de rinterpré-wtion, d\m motir spectral. Suivant cc modèle, un rnOlif spectral est un ensemble dc coefficîents lCmps-rl'équencc suivant des lois du :\ 2 décentré dont les paramètres de décentrage sonl supérieurs à la puissance du omit environnant. Entln, le moùèle cn mélange de lois permet de définir le processus d'inlerprétation dans le cadre dcla dassifkation de données. L'étape de segmentation des motifSt conespondunt il la classilkation des données, est prolongée par une étape d'estimation des paramètres des lois impliquées. qui permellu caractérisatîon des rnotjfs extraits. Une méthode de caractérisation simple dans son principe permet déjà de tirer qucJques conclusions quanl au contenu énergétique des motifs extraits. Ln non-spécifkitê de la méthode au signal traHé il pour conséquence évidente une réduction de la qualité de li.! Hcgmentatîon proposée, Elle penllct cependant un traitement aveugle de la RTF el surtout la déHnitiol1 d'une élape de caractérisation. Ces atouts peuvent s'uvérer très utUes dans un contexte de surveillance ou de diagnostîc.
Exlntction de motifs
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Figure 5.12. SU/lcme!!1s de
t!au/J!JiIlS. Lu RTF ,wgmctlu!c (a) est lm 'V.ltfCll'Ogrmnme calcifIé sur uile fCl/âIrc de HO!Jnirlg tir' 5J j poil!fs arec 1/11 reCOUl'femeflf tic 50 'ih Le !lwJlbre de l'orx jréqut:lJ{icl/cs csi de 102-1 poims. La cellule gliss(mœ cOf/liem ;1 x 7 !loin!.l' cl fa probabiliré tif! f(lIIsJe alarme CSl de 1 O·~:!. L ·c.\]Jaci' de,,' {'(/tac!ùistiqucs (h) jJi'I'III(( dc d{llérencief Jes {/'Ois 1/uages de [Joims correspoNdant mn !mis mot({iî d'amplifudes p{IIS illljlorlfll1fcs. Sur }O.!Îgllfc (l'J. les courbes de régressioll de ccs {mis /1/ot(f::; sonr SIIJfcf]H!sées ((1/ réseau fjf(forilfUc (!sfimt' lors dc ln demière irération de /'oll1ul'illllll(', Le ré.<;n/rat de la résollltiou des éttIW/io!!.I' des IIWUlcnts es! prisenlé Cil .figu/'e (d).
5.2.5. Bibliographie [ABR 70) ABRAMOVITZ M .• STEGUN LA" Handhook 1970.
(l AlalhcwOlÙ'a!
[A'{A 711 AYANT y, BORG M., Nmctùl1Is s/it'efflles, DlIllnd. Puris. 1971.
F/ludion.'!, Dovcr.
212
Décision temps-frciqucncc
[BAR 01.1 BARANIUK R-G., FLANDRIN l'., JANSSEN A..LE.M., MICHEL O.J.L" Mea,ming
time-frcqucncy content using the Rényi entropies Theor)', voL 47, n" 4, p, 1391-1409. nuü 2001.
li,
IEEE Transactions
DIl
lnformaiioJl
[BARN 781 BARNDORl+--N!ELSE~ 0" h{frJl'JH!lfioll and /;\pOIu!fIlial Failli/y in Statixti011 Tlœory, John Wilcy .md Sons, 1978. [COA 991 COATES M..I.,
FITZGERALD
WJ" « Rcgionally optimlscd limc-fl'equency
JislrihLl~
tions uslng nnite mïxture mouds ", Signal ProcessÎng, voL ï7, nD 3, p. 247-260, 1999, rDEM 771 DEMPSTER A.P" LAIRD N,M,. RUBIN D.B.,« Maximum likdihood fmm Încom· plele data via the EM algnrilhm j'. ,}ounwl of the Royal Sllllistical Socief)" voL B-39, p. J-37, J977. rFLA 93j FLANDRIN P.. 'flHups:fréqlwflce, Bemlès, PariS', 1993. rGOV 991 GOVAERT G.. <' Classification automatique el modèle dc mélange ,,., ùmis Actes de
ASU'99, 31·ièmcs Journée.\' de statistiques, p. 99-[ 02, Grenoble, Fmlli.:c, mal 1999.
IHOR OOj BORY C" ?vlARTlN N., CHEHIKIAN A., SOLBERG L.E., <, Timewfrequcllcy space chllracterÎzation bascd on S[Hlistical enteriorts". dans Proccedings afthe EU.SïPCO'2000. p.114-2J7. Tampere. Finlande. septembre 2000. !HOR02uj HORY c.. Mélanges de distributions du y:::: pour !'intcrpr~tatiol1 d'ulle représentation temps-fréquence. 'l'lib,lie de doctoraL institut 11.1.tionut pûlytcchnique de Grenoble, décembre 2001.
lHOR 02b1 HaRY c., MARTIN N" CHEHIKIAN A., <1 Spcclrogmm segmentation by mC'iIls of stmistlcaJ reatures fClr non-slulionary signai Interpretation j"~ lEEH Tmnwctio!Js on SigJmt f'mccssillg, vol. 50. nI) 12. p, 2915·2925, ùécembre 2002. IKEN 63] KENDALL M.O., STUART A., Tht! Ad\'{lIJœd Theory of Surfis/ies. vol. 1. Charles Griffin and Company Limitèd, 1963.
[KOO 741
KOOPMANS
LH.. Tlle Spectral AualysÎs f?fTime Serics, Academie
Press.. 1974.
[LAW 82j LAWLESS J.F., Statisl;cal Mod,",'ls oud Met/wdsfor Lf/crime Dota, John 'YViley and
Sons, 1982. {TOR 951 TORRÊSANI B .. Auo/yse cimlimlC par ondr:lelfes. fntcrEtlitiüns/CNRS Editions,
J995.
[zue 76J
ZUCKER S.W.• <~ Region growing: Chîldhood amI adolescence ". COll/p. Gmph. image ProccssÎng, voL 5. p. 382~399, 1976.
Chapitre 6
De la physique à la détection
6.1. En mécanique: détection de chocs} Cette sectîon s'adresse au problème particulier de la caracwnsmîon d'une succession de chocs dans un signal. Il il pour but de meUre en évidence 1; apport de techniques de traitement du signal dans la résolution de problèmes a priori mécaniques. L'approche décrite s'applique li tous les signaux modélisables par des exponentielles amorties et, de làçon plus généîàle~ à tous les signaux, dits « tmnsitoîres)j au sens de courte durée. dont la rorme d'onde peut être upproximée
par une exponentieHe amortie. Après avoir défini et illustré la notion de choc au sens mécanique du terme, le modèle esl décrit autant dans le domaine temporel que Fréquentiel. Un modèle multichoc, succession de chocs décaJés dans je temps, est introduit. Son intérêt est justifié par l'examen d'exemples tirés de la mécanique. Basée sur ce modèle. une méthode de détection/estimation est présentée. Cette méthode a la particularité d'être adaptée ft des réponses brèves et rapprochées dans le temps. Sur le plan traitement du signal, il s'agit de proposer une nouvelle méthode de déteclÎon et d'estimation en non-stationnaire, la méthode s'appuyant sur le classique modèle de Prony. Sur le plan mécanique, il s'agit de modéliser des réponses. non pas à des excitations sinusoïdales, mais à des chocs. La réponse est alors de durée courte.
1. Section rédigée par Pierre JAUSSAUD, Nadine MAR Tl~, Fran"ois
COMBET.
114
Décision temps-fréquence
Cette ~lpprochc est illustree sur des signaux réels, mesures vibratoires enregistrées en tête de suspcnle d'UI1 siège de télésiège, L'approche proposée rem1e! le calcul d'un modèle tempDrei de la mesure. modèle qui n son uiilité dans le domaine de la sécurité et du diagnostic. 6,1.1, Pourqltoi UII te/modèle? 6.1. i ,1. D4finition d 'un duJf.:
En mécanique la notion de choc est génêralemenl bien comprise: une voiture en heurte une autre, c'est un choc. Une assiette tombe au sol. elle se brise « sous l'elTel du choc ». Ces deux {{ situations de choc if ont en commun le fait qu'un objet animé d'une vitesse est arrêté brutalement. La notion de choc est généralement associée â une variation brutale de vitesse. Le choc est considéré comme d"autant plus violenl que la vurÎation de vitesse li été plus importante et plus brève. Ces remarqucs sont compatibles avec la définition plus scientifique suivante. Un
choc est un événement pendant lequel la quanti1é de mouvement varie pendant
tille
durée dl très courte. Si une force
il = MV
d'un objet
F cst appliquée à llll
objet. la
relutÎon fondamentalc de la dynamique s' écrit F:=: d1fl • L! assocJmion choc/variation
"
de quantité de mouvement conduit il associer la notion de choc il celle d'application d'une forcc variable dans le Lemps, Les expressions ci-dessus sonl veclOriel1es. A illSL la variation de quantité de mouvement peul se comprendre aussi bien cn terme de variation d"amplitude qu"en tenne:; de variation de dircctton de la quantité de mouvement. Il Jbut bien garder cn mémoire la limitation de temps imposée il la variatÎon de quantité de mouvement: pour un objet tournant sur une orbite circulaire, la direction du vecteur P change en permanence puisque V reste tangentiel li rorbite, JI n'y a pas pour auüml choc permanent! Une variation de quantité de mouvement ne peut être associée il un choc que si elle est limitée dans Je temps.
La différence enire une application lente d'une force à une structure mécanique et une application brutale de la même JiJrce est que ceUe dernière conduit à communiquer de l'énergie cinétique à la structure. JI en résulte, dans ce cas, une contribution dynamique il la déformalion de la structure, La déformation au m du temps peut être multipliée par un facteur au moins égal à deux et quî dépend de l'énergie cinétique qui a été transmise. Comme toute structure mécanique élastique présente des modcl' propres cie vibrations. la déformation initiale. appelée choc. entraine gênémlcmcnt ulle réponse de la structure sous forme d'une mise en
De la physh[ue il la détection
215
oscillations de la stl11cture sur sn ou ses fréquences propres, Pour pouvoir être considéré comme un choc, la déformation ne doit pas dépasser Ulle il deux lois la période la plus courle du syslème sollicité. Les chocs sont générulement des actions nuisibles il la durée de vie des stmclures. Isoles et importants, ils risquent d'nmencr à un dépassement de la limite de rupture de la structure, S'ils se reproduisent de manière cyclique, Ils conduisent ft des manifestations de fatigue qlli~ elles~mémes, peuvent entraîner la ruine de la structure même si les déformations cycliques sont fhiblcs. Il suffit pour ce!a que l'amplitude des déformalions dépasse la valeur caractéristique du matériau utilisé, connu sous le nom de 11mite de fatigue. et que les déformations soient assez nombreuses. Les cOllrbes de Wiihler [CEC 87] caraclérisen! le rapport du l10mbre de cycles sur la déformation.
6.1,1.2. Exemples de situarkm de choc Notre slècle lcclmologiquc sc caractérise par la VÎtC55C, Oc cc fait. les situations de chocs SOIll fréquentes. Citons 'Iuelgues exemples. Lorsqu'une roue de voiture passe dans un nîd de poule, II y a variation brutale de ln réaction du sol sur ln roue, C'est un choc. Lorsqu'un marcheur pose le pied sur le sol, son poids s'applique rapidement sur son genou, qui subit tin choc,
Drlns lin jeu d'engrenages. les dents des pignons entrent en contact très rapidement les unes avec les autres. Un couple est transmis. par la force d'une dent sur l'autre. Cette force est appliquée rapidement puis relâchée tout aussi rapîdcmenL Dans les siuJatiol1s les plus sil11p!cs~ chaque denl est ainsi soumÎse ft deux chocs qui se
succèdent très rapÎdel11ent. Un autre exemple est celui plus inhabituel du passage d'un véhicule de remontées mécaniques sous un pylône de compression. La pince quî relie le véhîcule au c5ble doit s'insérer entre le c5ble ct les galets du balancier (voir figure 6.1). Toul se passe comme sÎ les galets devaient rouler sur ln pince. La direction de la vitesse du centre du galet suit la ronm'! de la pince cl, à chaque angle de la pince, lin choc est produiL Cejuî-ci est préjudiciable pour le confort des passagers ainsi que pour [a durée de vie du véhicule et du pylône. La nolion de choc n'est pas limitée à ln mécanique. En électricité. elle fi aussi beaucollp d'imporwnce, Une variation rapide et Înicllsc dlull champ électrique (par exemple lors d'un éclair ou d'un courant de rupture) se traduira du fait des lois de
216
Dédsion tcmps-rrèqucnce
l'électromagnétisme par une impulsion dans les circuHs électriques qui y seront SOUil1is, Les conséquences de ce genre de sÎtuatton sont souvent imprévisibles et vonl du déclenchement d'lm disjoncteur il la perte de mémoire d'un automate en paSs3nt par un circuit électrique griHê ou des pannes aléatoires,
Figure 6.1. Exemple d 'llne pince d'un rélJsiege débrqrablc qUtffrC places
Les chocs les plus gênants sont cependant Jes chocs pérîodiqucs, Répétés, ils
sont psychologi(Juemcllt et physiologiquement insupportables, matériellement el médicalement dangereux. lis sont d'autant plus pénibles qu)on a souvent le
sentiment que l'on poun'ail en diminuer les conséquences sIon en connaÎssait l'origine exacte el si on savait les modéliser proprement. 6, 1, t "3, Réponse tf'UJl .\Tslème mèclIniquc à lm choc Dans le cas d'une excÎtalion réduite il tlll choc isolé, rnppoli' cI"énergie fi lin système mécanique est Jimité dans le temps. De ce üliL le système est excité: par un signal transiloire de durée très courte. dont le contcnu rréqucIlticl COLlvre une large bande. Si Je systèmc qui cn cs! victime présente une fréquence de résonance dans cette bande, il pourra se meUre en vibration sur cette rréquence. Dès la I1n de l'excitation. l'ampHtude des vibrations décroît Dans ce chapitre, nous cOHsid-èrcrons uniquement les syslcmes mécaniques linéaîrcs pOUl" lesquels le mouvement CSl J'cgi par un système d'équations dîffêrcntiel1cs lînéaires à coefficients constal1ts avec un nomhre d'équations égal au numbre de degré de Jiberté du système.
21 ï
De la physique ft la détection
Lorsque Je système subit une excitation e(t), la perturbati(\ll du système se traduit par un mouvement réponse y(t). Si le système est supposé simple et à llll seul degré de liber!é, ['équation différen!ielle du mouvemen! s'écrit [BRU 55] : [6.1 ] avec: - al l'amortissement réduit du système égal au coeffîcient de viscosité nonnulisé pUf 2 fois la masse du système (en çl) . .- ml la pulsation propre du systeme (en rad,çl), ~
c(t) l'excitation ou entrée du système; homogl:Jlc ri unc accélération (en m.ç2),
- y(t} le déplacement du système relntivement à la position d'équilihre (en m~,
- y(t)ct y(t) la vitesse. dèrivée première de y(t). et l'accélération, dérivée seconde de y(!). La solution de cette équalion cst la somme d'une solution pûrticulière YF (t) du système avec second membre et d'une solution génêrnle YL t t} du système sans second membre ou système homogène [BAS 68]. La solution Yr: l caraclérise les oscillations forcées conditioJinées pnr l'excitntion cO) tandis que YL (q caractérise les oscillations libres du régime transitoire. Pour un amOl1isscmelll sous-critique défini par.
t,
[6.2]
une solution particulière YF (t) est donnéc par la solution intégrale [LAL 991 :
(1
u)1du [6.3] /
avec Url) fonctiou de Heaviside. fOl1c!ion l1ulle pour! < 0 e! égale il 1 pour t > O. Duns le cas pmiiculicr où l'excitation eH} est ln fonction de Dirac. modèle de cnoc le plus élémentaire. cette solution est la réponse impulsionnelle du système que nous noterons hl (t) ct qui s' écrit:
1_,,1'( 11 t = - e ! 5111 QI !) u(!) Ir) DI
[6.4]
Dédsion 1emps-rréquenc~;
218
avec 01
= JWf CLf
la pscudo-pulsntion du système,
Cette réponse ou mode d'un 'YS!è"le à 1 degré de liberté est de type oscillatoire amOlii avec une pseudo-pulsation Q} infërieure à lu pulsation propre Û)j du système, Nous remarquons que la solution YF (t) il une excitation quelconque e( t) donnée pur l'équation [6,3] s'écril comme la convolutio" de celle entrée e(l) et de la réponse impulsionnelle hl (t J donnée pur l'équation [6.4],
La solution YL ( t). solution du système suns second membre, forme gènèrule ;
S' écrÎt
sous 1<1
Les puromètres u 1 et 'PI sont délerminés de telle sorte que lu solution y ( t) vérifient les conditioos initiales du systéme, y ([]) = Yo et Y( 0) = 1'0 ' En résumé, lorsque rentrée d'un systèrnc est une excitation quelconque, la réponse y ( l} il ce système est la somme de deux tenues:
yd
- le premier, t) = ci 1)* h[ (t), est la réponse dite Ibreée d'un système linéaire homogène qui s'exprime par la convoJution de l'entrée avec: ln réponse impulsionnelle du système; - le deuxième, YL (t). est la réponse libre. solu(ion particulière de l'équation du mouvement sans second mernhre. Ainsi, pOUl' le système ll1onomodal dècrit dans ee ehapi(re, la réponse une excitation quelconque et t) s'écrît:
avec:
- h[ (t) réponse impulsiOlUlelle donoée pal' l'équation [6.4],
- ydt) réponse libre du système donnée pal' l'équation [6,5].
y( t)
fi
De la physique à la détectÎon
Système Illéç(lniqul~ e(t)
un choc é1~nH~ntltirc
-II
h,(l) "" H ,(1) conditions initiHI~:s
-
...
219
yll) = o(t)"' h,(t) i' y,(t) la réponse ù cc choc
YI), fil
0,8
0.5
0. 6
o
UA
0.1
~O,5
°0
U,I
0.1
U,3
U.4
Figure 6.2. l?éprHlxe d'lm ,\TSll:mf! mècal/iqUt_' fHOIwllwdai à Wi choc élémenrairf!
L'allure de cette réponse est représentée figure 6,2. Il est ïmportant de noter que, dans le cus monol11odaL les termes oscillatoires ajoutés ont la même pulsatiün el le même facteur d'amoriÎssC'lUcnt. Si les conditions initîales ne sont pas nulles, le telï11e libre peut être prépondérant par rapport au terme 111rce, La fonction de tmnsfcrt Hl (0) du système est la transibrmèe de FOll1'ier de la réponse impulsionnellc hl (l) cl s'écrit : [6,7]
avec un module égal à : [6,8]
Ce module présente un maximum à la pulsatîol1 Ulm' différente de la pulsation propre du système. cl définie par:
r6.9] L'écart entre QI et ft}m diminue avec l'amortissement al. Un exemple de
réponse d'un système monomodal SOlls-crîtîque el du module de sa fonclion de transfert est représenté sur la figure 6.3 pour deux valeurs de j'amortÎssemenL Les
220
Décision tcmpsAi'équenC'e
fréquences fi des tTmdes propres sont obtenues ft partir des pulsations mi par la relation:
[6.1 0]
Réponse A
Réponse B
1
11 o
0.5-1
-1 •
-2 (l
Temps (s)
Temps (s) ,
'
""ifF(A) O.OI5-·~.-
0. 01
ITF(B)
0.3
"
0,2
1
0.1
oTi---~,
o
0.6J 0.5 , OA c ,
50 100 Fréq uencc (Hz)
150
O~O==~~5~O~~=I*OO====~150 Frequence (HL.)
figure (,.3, Fu!1er/on de l!'Wl,yfèrt d'IIII A]Wlème simulé cl 1Jhiqtœnce dc njsolltlllce (fi = 5n JJ:::) pour': l'llfeurs dl:' l'amortisscment sous-critiquc (al 3 J.i J Mi) : Ct, = 100 ;/", pour /0 rèpons!! A cl aj = 5 SM! pOlir [a réponse B -- J = 3()(} [-[;;;
6.1, lA. i\lodèle (f mu/fichae
}l
Dans le cas de chocs périodiques. j'npp0l1 régulh::l' d'énergie maintient le système en vibrations: les vibrations sont dites entretenues. Si les perles par frottement entre deux chocs sont égnles â l'énergie apportée par un choc, le niveuu de ces vibrations peut se maintenir à une vnleur quasi constante. Une telle excitation peut être modélisée par une serie périodique de chocs. Considél'Ons le cas simple olt un choc élémentaire eslmodélisé par une fonction de Dirac COlnlne dans le paragraphe précédent Dans le cas de chocs multiples espacés de manière irrégulière el évenluellement d'amplitudes différenles. rentrée cM (l) du système- mécanique s" écrit:
De la physique: il la détection
22 i
M
e~d 1) =
L::0111 iî( t - t 111 )
[6.11J
ln""!
avec: Cm
l'ampliludc du m-ième choc,
li (1) la [onction de Dirac, - tm j'instant du m-iè111c choc, ~
M le nombre de chocs. Pince
1
-1>-
Chocs
1
12
i,1
,
1
41
3
"" Temps
•
Choc'i 1 e! 4 : sauls des 3ic.uilles
Clmes:2 ct 3 : cxtrémit6s du pitti dc-In pince a) .,
'\x~!> J~
ml;,linll
Liui)ii.m~ rigjJ~,; ~-C[ô;e
hl
[)'~1
11Il Il Il Il Il Il Il Il Il Il Il ,0:; 111 III Il Il Il J Il 1111 o
tJmL.i
1I.è
0.-1
0.6
0.8
1
l ,:!
1,4
1.6
l,~
figure liA. kloclèlc d'excita/ion de la pinee dc l'cn1muées mécaniques de li/figure 6,1 pOHr ulle vitesse de .J, 16 mis, a; répartiliou des chocs MW la pince fors dli passage d'ull galet, h) n!pal'litiolJ des 12 galets ml' le l'yMoe, c} sflcccs.\'ùm des../8 Înstants de
CfIOC,'
Dans les remontées mécaniques, application citée dUl1s le paragraphe 6.1,1. 13 force d'excitation liée â la pince peut être modélisée p3r une tcHe équation. Au
112
Décision temps-fréquence
passage d"un pylônc compression de remontée mécanique, la partie supérieure de la pince du télésiège doit s'insérer entre le câble et les galets. A chaque angle de la pince se produit un choc (voir ligure 6.4a}. En projection sur l'axe vertical. la direction et I"amplitudc de ces chocs dépendent de la variation de ia quantité de mouvement de la pince suivant cet rIXC. Les deux chocs en bout d'aiguiHc cmrespündenl à une bl'Llsque variation de la quantité de mouvement dirigée vers le bas. tandis que les deux chocs dus au plat de la pince correspondent il une brusque varlation dc quuntîté de lTlOUVCI1îetll dirigée vers le haut et d'amplitude plus fnible, Le pylône étudié ri 12 gnlets (voir figure 6.4b). Ainsi, ln pince subit cette série de 4 chocs pour chacun des 12 galets. Connaissant la vitesse du câble. il est alors pos.sible de modélise!' la succession des ÎU:itants des 4 x 12 = 48 chocs subis au passage de ce pylône, Ce modèle est représenté sur la figure 6.4c pour une vitesse de 4,16 mis. Le calcul des instants tm lient comple du fait que le choc ne se produit pas sous le centre du galet mais un peu avant ou après suivant que la pince entre ou sorle de dessous le galet dans Je sens de la marche. Ce modèle d'excitation est très simple, D'autres modèles peuvent être élaborés en remplaçant chaque fonction de Dîme par une fonction plus complexe telle qu'une impulsion de durée finie ou lIne nJllclion en dent de scie. Des exemples sont donnés dans [LAL 99]. Pour un système à 1 mode propre. d'amül1Îssement sous-critique défini par la relation f6.2]. la réponse Ym(t) à l'excitation cm ôl t~t111_) est il chaque instant lm_ la somme de deux 1ennes (voir 6, t .3). L'un est la convoJutïoll de cette excitation avec la réponse impulsionnelle hl \ l) définie dans l'équation [6.4], l'aulre est le lemle transitoire d'oscillation libre défini par l'équation [6.5]. Ainsi, la réponse l'm(l) s'écrit:
Ym (t):;;:;; CmÛ( t - Lm)it hl (l)+ amIe ~iil(l~t!l1) sin{ Dl (t - tm) + 41rnd U( t
lm)
[6.12] avec amI et {Pm] amplitude et phase du tenne d'osciHation tibre à l'instant lm. Ces paramètres sont définis de telle sorte que la réponse Ym(t} \iérifie les conditions inltiales du système. Ces conditions initiales sont délInies, à chaque instant t m, par l'état du système créé par l'excitntion précédente. La posHlon initiale YO!m du système il l'instant t lll est défini par Yot :;: ;: Ym-! (tm) et la vÎtestlc initiale vOtm par VOl",
=Ym~l(lm)'
'"
De la physique ii la dèlcctîon
223
Ln répollse y ( t) il la série des M excitations définie par l'équation [6.11] est la somme des M répnnses YM tl) de ['équation [6,12], En intégrant l'équation [6.4]. Y\ tj s'écrit:
[6,13]
Cc modêle de réponse peut s'écrire sous lu forme générale suivante: M
y(t)
L:
Amle-UII'-I",lsin(QI(t"'tm)+II'lTltl U(t--!m)
[6.14]
m",1
avec:
AmI
l
[a ml
+ e~~~ 7.em am! sl'n (ml p "'1'
Qi
-
QI
\7m=I,1\1
arclg
Si les chocs successifs sont très rappmchés de telle sorte qu'un choc excite le système avm1t que la réponse au choc précédent soit totalement amortie. J'interprétation des observations, que ce soit dans le domaine temporel ou fréquentiel, devient délicate, Sur le plan expérimental, rnmplitude observée résulte de la projection de la réponse sur 10 direction dans laquelle le capteur cITecme la mesure. Dans ce chapitre, nous ne considérerons que la mesure dans la direction verticale. De plus, la réponse est le plus souvent observée il raide d"un accélèromètrc qui mesure une accélération et non lin déplacement.. Dans ce cas, le signal observé suit un rnodèle un peu différent, iJ s'obtient en calculant Ja dérivée seconde de ln réponse y (t) définie dans
[6,14] cl s'écrit:
224
Décision temps-fréquence M
y(t)=~ LAIl11
. e -uill-lm) 5111
(~ ( 1-1 ) +!lml -1 )U( t-t m ) !;,![ m
[6.15]
111""'[
avec:
La comparaison entre les équations [6.14J et [6.15] montre que, dans les deux types de mesure, le modèle s'écrit sous ln forme d'une somme de sinusoïdes amorties. Une mesure en déplacement a des termes d'amplitude ct de phase fonction des paramètres amI ,
y( t) =
p
L
'VA mp 1.....
In:l
p=l
-upll-l m ) · C 5111
(~ 1 ~.!p t-t
) 1 )
m +Omr
[6.16]
avec Ar = -ur + Jil r , pour P = L P les P valeurs propres du système et Amr le tcrmc d'amplitude, variable suivant la coordonnée choisie, et fonction des matrices d'inertie et de raideur du système, des conditions initiales ainsi que des amplitudes des chocs d'excitntion. La formulation complète est donnée dans [MAR 03]. L'équation [6.16] est donc la généralisation de l'équation [6.14] pour un système à P degrés dc libertés. t
De la physique ù la détection
225
En résumé. Je système considéré est un système linéaire non homogène multîmodal à amortissement sous-critique. Ce système est excité par une excitation multichoc, déiinie par l'équation [6.11] pour un système monomodal ou une équation identique mais vectoriel pour un système multimodal. La réponse du système ù cette excitation suit le modèle de l'équation [6.16], modèle compact des réponses libres ct forcées. L'estimation des paramètres Amp , (I)mp, pour chaque coordonnée du vecteur d'observation et pour chaque choc ct des paramètres r1. p ' .ur et tm caractérisent complètement le système et l'excitation de ce système. Cette réponse sera dénommée modèle mll/tic/IOC Ù comprendre comme la réponse à une excitation multichoc. Notre objectif est de pouvoir caractériser chacune des réponses aux chocs élémentaires surtout si ceux-ci sont très rapprochés. Le paragraphe suivant montre l'intérêt de ce modèle pour le traiteur de signal.
6.1.2. Quel est l'intérêt de ce 1JIollèle ?
Si les modèles considérés sont exacts, la connaissnnce de tous les coefficients de la réponse de l'équation [6.16], caractérise totalement le système étudié et son excitation. Ce type de problème est typiquement du ressort du traitement du signal. Diverses méthodes sont envisageables. 6.1.2.1. AnaZl'se de FOl/rier d'une réponse à des chocs
L'analyse de Fourier, approche la plus classiquement abordée par les physiciens, permet d'obtenir une information globale sur le spectre du signal. La transformée de Fourier de la réponse de l'équation [6.14], notée y(w), s'écrit:
[6.17]
Une excitation multichoc introduit un terme de phase supplémentnire sur chaque tenne de la somme. Si les instants de chocs sont régulièrement espacés et si le nombre de modes est très faible, il est possible d'exploiter cette expression. Un exemple académique est représenté sur la figure 6.5. Il s'agit de la réponse d'un système monomodal à une excitation périodique de période Atm' Son spectre est le produit du spectre de la réponse à un choc par un peigne de Dirac de période égale à l/Atm' Couplée ù des techniques d'interprétation de spectre et à des détecteurs d'harmoniques [DUR 99. MAR 02], cette approche peut permettre une bonne caractérisation du système avec une excellente résolution fréquentielle. les signaux étant génémlement de durée longue.
226
Décision temps-fréquence
-2 ~·--i~~·~···
()
(1.1
0,2
03
ü,8
OA Temps (s)
0,6
Moduk de: la TF ----'-----------,;"
0,4
0,21""'" .....
_~
120
!!IO
40
••
-!~-
140
Figure- 6.5. Réflom:e d'lUl Jystèmc l/Ioi1omodal (Jj 50 H:.:, a, = 30 s-t, .1:- = 3{j{) Il:.:) ri UHe excita/ion mliltichoc à espacement reglllü;r (.Jt", = 0,06 S
Cf C!JII
,;s;
1 r;l/) ct module de sa trawformée de Fourh!r
0.5
-0.5 -1
o
0.5
1.5
1.5
3
Temps {s)
FnkJuencc (Hz)
Figure 6.6. Signol tlccJlemmétriquc me:mre Cil têle de smqJeme d'ul! télésiège dt.Ywayoh/c !fIJotr/! places (durée 3,./ s 1 02.f puùus ~.t,: = 3{)() 11:.:). Sur lajigurc dll has cst représenté le mot/ule de /0 rr.m.~fnrmée de Fouricr calcuhJc sur la durée totale du signal, résolution fhiqucmielle (hande à ~ 3 dB) 0, /7 1-/:.:.
Dt: la physique Li la détection
21ï
Dans un cas plus général. l'exploHation du spectre est beaucoup plus délicate, Reprenons l'exemple des remontées mécaniques, en particulier le télésiège débrayable quutre places que nous avons cité il plusieurs repri!:ies. Pour cel exemple, les instants de chocs sont déiinis par la geométrie de la pince et du balancier, ils Ile sont pas il espacement rêgulier. La pince de la figure 6.1 conduit il une excitation qui peut è1re modélisée par le modèle multichoc de la figure 6.4. La réponse rèelle d'un tel système, matcrialisèe pur la mesure accêiérométrîque en tête de suspente du télésiège. est représentèc en haut de la figure 6.6. La figure du bas représente le module de la tnmslonnée de Fourier. Bien que le nombre ùe modes ne soit pas très élevé. il est difficile d'exploiter ces combes pOUf extraire l'ensemble des paramètres du syslèlTte ct~ en particulier~ les instants des 48 chocs,
6,1.2.2. AnaZvse de Fourier glissante d'une réponse à des clmcs
Une analyse de Fourier à court terme, analyse de Fourier sur une fenêtre étroite et glissrmte au cours du temps, pouna être plus utHe. En effet. ulle approche nonstationnaire caractérise le contenu spectral d"un signul au cours du temps, Cette approche, par son principe, devrnit pouvoir estimer les instants de réponses aux chocs. Pour que la séparatîon soil possible, la fenêtre d'analyse doit être ïnférieure ou égale à l'intervalle minimal entrc deux chocs. Cette durée minimale lixe la résolution fréquentielle maximale de èctte analyse. Considérons il nouveau J'application aux remontées mécaniques el la mesure accélérométriquc en tête de suspente d"un télésiège débrayablc quatre places. Etant donné la géométrie de la pince ct du balancier (voir figure 6Aa ct 6.4b). les chocs sonl très rapprochés. A une vitesse de 4,16 mis, le cas lirnite est alllour de l'instant 1 s (voir nh,'1lre 6.4c): le choc de sortie de la pince sous le sixième galet est immédiatemcnt suivi, ft 7 ms près (1 points il 300 Hz), du choc d"entrée de ln pince sous le huiliètHe galet Les écarts moyens entre chocs sont de l'ordre de 15 ms, soit 5 points, Vu ces ordres de grandeurs. un spectrogrornme sur une fenêtre de 64 pOÎnts, soit 0,213 s, ne peut pas estimer le contenu spectral de GC signa! (voir flgun: 6.7). Une Icnêtre de taille inférieure {t6 poims, 0.053 s) n'a pas une résolution àeeeplable (bande à ~ 3 dB de 17 Hz pour ulle fenêtre reclol1gulaire). Ainsi, les limites d'une approche 11011 stationnaire basée sur ln translbrmée de Fourier sont vite atteintes et cette approche ne pcrrncltra pas de sépul'\:!r des réponses à des chocs rapprochés, en particulier les 48 réponses aux chocs du signal réel tSludîè ùans ce chapitre.
228
Dêt:ision tcmps-Iréquencc
J40 J::lI
~ 100
JOIl
HO 60
50
40 20
Temps (s)
-50
-30
-20
-JO
a
o
0,5
1.5
::;
3 3,5
4
figure 6.7. SpeClmgramme (lIgure de gauche) du signa! accéléromefl'iqul! de lnJigllrc 6,6.' Fel1("fI'c de Blackmm! SUI' 0,2J S (6-1 !JoiIllS), 61 segments, hUl1de à ~3 dB de 7,8 fI:: et rçsn!tat du délectent" de lIU!h;,'{otiowwrités (Irgl!l'e de droite) pour lfilC probahifité deJhussc alarme de J(ri ()'oir seclin}) 1.1 {Jour le dhcCli?Ur).
6.1 ,2.3, Alternatives Afin d"accéder ft l'excitation~ au moins deux approches sont envisageables. La première consiste à déconvolucr le signnl de sortie connu afin d'estimer l'excitation il rentrée.l! exÎste des techniques. dîtes de déconvolution aveugle, qui permettent de résoudre ce problème sans la connaissance a priori de la fonction de lransfe!'t du filtre. Cette fonction, dont tes pôles déterminent les f!'équences et les amo!'lissements du système, cst estimée en faisant l'hypothèse d'une entrée blanche. Le mtrage inverse ou blanchiment du signal connu par l'inverse de cette fonction fournÎl un signal qui contient 1es impulsIons de l'excitation non prîses en compte par le modèle du filtre. Par un simple seuillage sont détermines les instants des chocs et leurs amplitudes avec un signe, Les coefficients du filtre sont détem1inés par une minimisation de j'erreur de prédiction soit à l'ordre 2, soit à des ordres supérieurs ft:2 [LAC 97J, Il cst aussi possible d'appliquer une technique adaplée des méthodes de séparation de sources, qui minimisent l'information mutuelle entre les échantillons du signal de SOrlie [TAL 01]. Ces approches Ile sont pas traitées dans cet ouvrage. Le lecteur pourrn consulter [COM 03] pour une application de ces techniques à des signaux d'engrenages et aux signaux de remontées mécaniques décrits dans ce chapit!'e, Cette Jàçùn de procèder impose des hYPolhèses de stationnarîté SUl' les paramètres du système (n'équencc et
Dc la physique ù la détection
229
amortissement) aÎnsî que des conditions initiales nulles. ce qui peut être vériilé pour certaIns systèmes mécaniques. Par contre, certaÎns systèmes complexes sont non stationnaires avec, en plus. des conditions initiales non nulles eUou varîables d'un choc Li l'autre. Dans ce cas. il peut être intéresSilnt de considérer une autre approche qui consiste à exploiter le modèle de l'équation du mouvement
6.L3. Analyse (le Prony en S/lltÎ0111ltlire Le modèle ùe l'équation du mouvemcnl. équation [6.16], est une somme de sinusoïdes amorties et retardées. Pour 1111 instant lm, ce modèle ft des points communs avec le modèle de Prony. L 'identitication des pan.lJllètrc8 de ce modèle est une approche fréquemment utilisée pour l'analyse de signaux oscHlants que ce soit en traitement du signa! ou en traitement d'antenne. Dans ce chapitre, il est toutefois nécessaire de l'adaptcr au modèle multichoc considére qui est non stationnaire du fa il de la successjon des réponses aux chocs. Rappelons lout d'abord les principes de l'analY::lc de Prony pour des signaux sfalÎonnaires,
6.1,3,1. His/odque de l'ww~Fse de Prony Au xvm c siècle, Je baron de Prony s'cst intéressé à l'étude des lois de la dilatabilité des fluides élastiques et à celles de la force expansive de la vapcnr d'cau et de la vapeur d'alcool il différentes températures. Dans ce contexte, il s'est auachè li rechercher une équation à deux ou troÎs variables alin de représenter des mesures expérimcntales, Il appelait celte méthode une méthode d'interpolation.
Citons les points clefs de sa démarche extraits d'une publication de l'époque dans laquelle nous noterons la saveur des expressions [PRO J 795] : {( J'eus j'occasion. en 1790, de suivre de;; expérienccs très dètail1ées et très bien faites sur la force cxprmslve de la vapeur de l'C!IU, ct je me chargcfli Je chercher la formule qui les représentait. La régularité de la série des valeurs données. m'avait fnit croire la tâche plus aisée qu'elle ne l'était réellement; cependant. uprès quelque travail, je trouvai une espèce de fonction qui, non seulement exprimait parfaitement les n::lntiulls entre la lemperalure et le ressort du gaz aqueux, mais qui me pamt pouvoir convenir en general aux phénomènes dépendant des J1uides élastiques. ,le les appliquai il des expériences
230
Décision temps-fréquence
Le premier aperçu qui me dîrîgea vcrs la véritable fonne de la fonction, fut la considération de quelques progressions géométriqucs qu 'orfrcnt certains phénomènes relatifs aux nuidcs élastiques. dont un des exemples les plus remarquahlcs est la n:lntion entre la densité des couches de l'atmosphère ct leurs élévatiol1s respectives: cette loi étant cxprimée par une exponentielle. je soupçonnai que dtlns d'autres circDnsl,mces, où une quantité dc cette espèce serait insuŒsante. on pourrait introduire deux ou un plus grand nombre. ct en généralisant ces idée:;. je fus conduit il une équation de ln Corme;
z el x étanl les deux variables, ~lh ~tll, ~1lI, etc., el p~, r~" f)~I' elC., des constuntes données par l'espèce particulière de phénomène donl 011 veut 11'Uuvl:r la toL
On sait que l'équation précédente résulte de J'intégration d'une équation aux tiifiërences finies linéaires. ou donne le tenne général d'une suite récurrenle de l'ordre n ; or, les suites dl: ce genre, dflJ1S lesquelles un tennc quelconque se déduil d'un certain nombre de ceux quî Ic précèdent, puraissent en effet convenir aux effets natnrcls où l'élasHcitê joue un grand rôle; car la conservation de forces vives que comporte celte propriété des corps, rait toujours dépendre I\.hat actuel
Le problème que nous nous posons pour la réponse à UH choc est entièrement similaire, La variable x de Prony est le temps t, la variable z tonction de x correspond au signal yU, à modéliser. Les autres paramètres ~li et Pî sont les pmamètres du modèle, Nous n'irons pas plus loin dans le parallélisme historique, le buron de Prony résolvant le problème sans l'aide du calcul matriciel qui simplifie notablement les écritures. Dans cc paragraphe, nous présentons une méthode d'analyse qui consiste il réal1ser la synthèse d'un mtre avec une [onnulatIon qui 1l1il intervenir un modèle complet de la fonctinn de [rausfer[ du filtre tel que dans [SHA 01 J pnr exemple,
6.1.3,2, L 'mw(vse du Prony
La préscntntion de la méthode de Prony avec les outils du xx c siècle (lmnsfomlée en z, modèle ARMA) consiste ô modéliser un signal discret complexe y[k], de période d'échantillonnage Tc. par une combinaison linéaire de P composantes oscillantes amorties, Un lelmodèle dit d'ordre P, noté y[k], s'écrit:
De lu physique à la détection
2.3 l
p
Y[k]= 2>pZ~-1 'ik;l.N
[6.18J
r~1
avec:
- hp I"amplitude complexe du mode P : "r = Ar ·eH'e - zr le pôle complexe dUlllode p : zr = e-",;r, .ciD"T, - N
je
nombre de points du signal.
La lransformée en z du modèle [6.18], notée
Y[z] • s'écrit:
[6.19]
avec br' ur coefficients complexes ct ,10 = l, Cetle écriture montre que le modèle peut être considéré comme unc fonction de transfert d'un filtre ARMA, amorègressil' ct à moyenne ajustée., dont les P pôles
AR sout les pôles eomple.ses zr des modes P du modèle et les (P - Il zéros MA s'expriment en fonction des pôles zr et des amplitudes complexes hp du modèle. L'écriture sous forme polynomiale des parties- tvlA ct AR permet) pur [lUX dif1ërences suivante:
transformée inverse. d'obtenir l'équation P-l
Yrk-p] <~>i 0 [k
i]
\1k = 1. N
[6.20J
j""U
Lorsque l'indice temporel k est strictement supérieur à P, (k ~ i) est strictement positif et le deuxième terme de ceUe équation est nul. Ainsi. pour k> p, nous obtenons ce que Prony avnit judicieusement rem<1rqué : une équation aux dil'('èrcncc$ qui ne s'exprime qu'en foncHon des coemdcnls AR up : p
2:>r p'''{)
Yrk-p);(j 'tk
P+I,N
231
Décision temps-ü"équence
Cette équation est fondamentule. Modéliser un signal revient à un problème d'estimation des paramètres d'un modèle. Le modèle de Prony. équation [6.18], nécessite la détermination de 2P paramètres complexes, les P pôles zr et les P amplitudes hp. Estimer simultanément ces paramètres par une méthode des moindres carres revient à résoudre lIn système non linéaire [BRE 86]. L'intérêt de l'équation aux différences [6.21] est de separer la résolution en deux étapes. Dans une première étape, la résolution de cette équation, qui ne dépend que des paramètres ap • fournit une estimation des pôles zr' Dans une deuxième étape, les amplitudes hr sont estimées par moindres carrés, l'équation obtenue étant cette fois-ci linéaire.
Deux cas de figure vont alors se présenter. Si le nombre de points du signal est égal au nombre de paramètres, il existe une solution exacte. Par contre, si le nombre de points du signal est supérieur au nombre de paramètres, le système a plus d'équations que d'inconnues. Un tel système est dit surdéterminé et il existe une solution unique qui est à norme minimale.
6.1.3.3. Le modèle exact de Prol/y Si le nombre N de points du signal YlkJ à modéliser est égal au nombre 2P de paramètres à estimer, il existe 2P équations suivant le modèle de l'équation [6.18] pour estimer 2P paramètres. Ce système admet lIne solution unique et exacte. Ainsi: [6.22] Etl'éguation [6.21] s'écrit: p
La;
Y[k-p]=O Vk=P.N et N=2P
[6.23]
poo
Cette équation permet d'estimer, pour la première étape, les paramètres a p à partir desquels sont déduits les pôles zp par factorisation polynomiale du dénominateur de la fonction de transfert [6.19] : p
p
p""!
p=()
I1(I-zpz- I )= Lapz~l
[6.24J
Pour la deuxième étape, une fois les pôles zp estimés, les amplitudes hp se déduisent par inversion matricielle en insérant [6.22] drms [6.18].
De la physique à la déjection
233
Cette solution exacte peut être intéressante lorsque le signal est analysé sur une durée très courtc, ce que nous retrouverons dans le paragraphe 6.1.4 pour J"analyse de signaux non stationnaires.
6.1.3.4. Le 17/odèle approché de Pron)' Si le nombre N de points du signal Yl k J ù modéliser est supérieur au nombre 2P de paramètres, il existe plus d'équations suivant le modèle de l'équation [6.18J que de paramètres il estimer. Le système n'admet pas de solution rigoureuse, ce qui signi lie que, contrairement au cas précédent. la décomposition du signal suivant une somme d'exponentielles amorties n'est pas possible. Dans ce cas surdéterminé. le signal peut être seulement approché par une somme d'exponentielles amorties. Il s'ensuit une erreur, notée El kJ, entre le signal et le modèle ylkJ, ce qui s'écrit: Y[k] =
ylk]+c[k]
\;Ik = l, N ct N > 1P
[6.15]
En procédant comme dans le paragraphe 6.3.1, l'équation aux différences pour k> p est modifiée de la façon suivante: p
p
:Z::Upy[k-p]= 2>p s[k-p]\;Ik=P+I.N et N>2P p",o
[6.26]
p",o
Celle écriture est celle d'un modèle ARMA (P,P) dont les P coefficients MA sont identiques aux P coefficients AR. La première étape consiste alors à estimer les coefficients ap' solution de [6.26]. en minimisant la puissance d'erreur: N
al' 1
,
L 1!:[kW minimum
[6.17]
k=P+\
Comme pour le modèle exact. les pôles zr se déduisent de l'équation [6.24] et, dans la deuxième étape, les amplitudes h r se calculent ù partir des équations [6.25] et [6.18] par une approche aux moindres carrés. L'erreur E[k] représente l'erreur de modélisation qui contient aussi le bruit présent dans le signal si ce bruit existe. La méthode de Prony n'introduit pas de modèle spécifique pour le bruit, ce qui rend cette approche particulièrement sensible à des nivcaux de bruit importants. Le plus souvent, la méthode dite de Prony moindres carrés ou Prony étendu, introduit une approximation supplémentaire en calculant les coefjjcients a p' non pas il partir d'un modèle ARMA. mais d'un modèle AR:
234
Dèdsion I.cmps-fréquence p
L::Ur
y[k-p]
w[k] Vk=P+I,N et N>2P
[6.28]
pc()
Les coefficients up sant obtenus en In1111111lSant la puissance de l'errEur de prédiction w[k1 au lieu de c[k]. Uue telle approche cherche ù blanchir l'erreur w[k], alors qu'en théorie ce bruit est un processus MA qui n'est pas blanc, comme le montre réqualion [6.26] comparativement il [6.28]. En présence d'un bruit additif impmiant. cette approximation dégrade encore les perfurmances [VAN 95. DON 68].
6.1.3.5. Prony corrélation Le paragraphe précédent a montré que la méthode de Prony demandait. en premiere étape. l'approximation du signal par un modèle AR ou un modèle ARMA, Nous ne reviendrons pas sur les différentes méthodes d1estimation, la littérature étant abondontc sur cc sujet [CAS (lI, DON 68, KUM 86, MAR 87, VAN 95]. Néanmoins, nous insisterons sur une particularité de ces modèles par rapport à la fonction d"autoconélation.
La fonction u'nutocOlTélation d'un moùèle AR ou ARMA est une fonction qui conserve les pôles du modèle, En effet, un estimateur Yyy [kJ de la fonclÏon d'ulllocorrélation du signol Yl kj de N points est défini pal':
1
N-k
L y[n]
M
y[n+k]
Vk=(l, N-l
[6.29]
Il,,,,,1
Pour M = N, l'estimutcur est biaisé et pour M N-k, l'estimalem est non biaisé, En reportant, à l'indice (n + k), l'équation [6.28] du modèle AR ou l'équation [6.26] du modèle ARMA dans [6.29] cl sachant que w[l'] ct L[kj sont des bruits blancs. il vient:
r Yyy[k]="Lu p Yyy[k-p] Vk=P+I,N-1
[6.30]
p:::::!
Cette équation conduit à une conclusion importante. EUe montre que la fonction d'autocorrélation d'un sIgnaI AR suit le même modèle AR, les coefficients étant les mêmes. Sachant qu'en plus. pour un retard supérieur à l'ordre P du modele. la fonction d'amocorrêlation est indépendante du bruit sî celui-ci esl blanc ou â très large bande spectrale, il est alors intéressant d~appliquer in méthode de Prony sur la fonction d'aulOcorrélation plutôt que sur le signal.
Oc la physique il la détection
235
6.1.3,6. Systèmes Unéaires eH jeu La résolution de la méthode de Pron)' moindres carrés développée dans le paragraphe 6, 1,3.4 pelit s'écrire sous une forme matricielle, Appliquée sur ia fonction d'nutocorrélation du signal et non sur le signal lui-rnême. la première étape qui consiste il estimer les pôles du système. revient fi résoudre un système qui se déduit de l'équation [6.30] :
c=-C
li
[6,31]
La matrice de corrélation C, de dimension (N -1- p) x P a lIne structllre de matrice de Toeplitz, ses éléments étanf constants sur chaque diagonale. La solution ou sens des moindres carrés, notée ~î " s"écrit : [6.32] avec Ct! ;:;;: {CH C)-l CH 10 mairice pseudo-inverse de C , Les pôles z" racines du polynôme caractéristique [6,24], donne l'expression des pulsutÎons (ou des fréquences) et des amorlisSCl1îCnts du mode p d'après les définitions du modèle [6.18]:
[633]
Le signal étudié étant une fonction réelle. les coefficients AR sont réels, ce qui implique que les pôles sont, soient réels, ils correspondent \llors à des composantes non oscillantes. soient complexes conjugués, Deux pôles complexes ronjuguès décrivem une composante oscillnnte. Ces composanles sont cxponcntiellemcl'H décroissantes si les pôles sont fi l'intérieur du cercIe unité. Pour ln deuxième étape qui consiste à estimer les amplitudes, le système linéaire à résoudre s'obtient directement avec l'équation du modèle [6,18] apres avoir insêré les pôles zr :
236
Décision temps-fréquence
y
V Il
1
avec y
[6.341
Y[I J \
=l;[NL
V
r ZI : zN-1
\. 1
La matrice V est une matrice de Vandermonde de dimension N x P. La solution au sens ùes moindres carrés~ notée ft \ s'écrit: [6.35] avec V#
(V H V)-I Vii
la matrice pseudo-jnverse deV.
CeUe solution pelmet d'exprimer les amplitudes et les phases du mode p d'après les délinitions du modèle [6.18] : JAp=lhpl
[6.36]
l
00
complexes conjuguées, si bien que la
combinaison 1inéail'e des di ffèrenls modes donne un signal estîmê à valeurs rêcHes.
6.1.3.7. Conditionnement des matrices C et V
La résolution de la méthode de Pl'Ony consiste il résoudre deux systèmes linéaires. Pour que la solulion ne soit pas trop sensible aux perturbations~ il est important que -les matrices impliquées soient bien conditionnées. Ce point étm1t particulièrement sensible, nous présenlons dans ce paragraphe un test simple sans rentrer duns les problèmes complexes liés il l'analyse numérique, ce qui n'cst pas Je but de cet ouvrage, Le lecteur pourra coosulter [OOL 83] sur ce sujet. Résoudre un système linéaire consiste
n inverser
une matrice. explicitement ou
implicitement suivant la méthode choisie. Une matrice inverse peut s'exprimer en
fonction de l'inverse des valeurs singulîèrcs de cette matrice. Si la plus pctîte valeur singulière est fhible, la solution est sensible à une faible perturbation sur les données. Cette influence de lu plus petite valeur singuJière n'est pas surprenante puisqu'clle représente la distance de la matrice à l'ensemble des matrices singulières, ensemble vers lequel la solution s'approche [GOL 83].
Pc lU physique ft tu detccHon
237
Le degré de sensibilité d'une matrice M est mesuré par le conditionnement KM défini par: [6.37J avec
IIM Il
ln nonne de la matliee M.
En choisissant
ta norme 2, le conditionnement s'écrit comme le rapport de la
plus grande valeur singulière l,,,,,,, (M) sur la plus petite l'min (M ) [6.381
Quel que soit le choix de la norme, KM est supérîellre ou égale ù 1. 11 peut être judicieux d'étudier K.i~! valeur bornée entre 0 et 1. Une matrice est bien conditionnée si K:\'1 est faib1e ou Kj\,j proche de l,
Pour la matrice de corrélation Toeplitz C définie dans [6.32J. "ë l est décroissant sutvnnt la fréquence d'échantillonnage fc du signal. Ce comportement s·explique par le fait quc, dans une matrice de Toeplitz, si fe augrncnte, les vectcurs colonnes de la matrice deviennent de plus en plus dépendants. son rang diminue et celle-ci devient de moins en 1110ins inversible [HUN nJ. Par contre. pOlir de très faibles valell1's de f c ' KC J est croissant suivant fc' Ainsi, une valeur optimale de ft: est donnée par la position du maximum de la fonction
fc optimal ~ arg max ( f,
Ken
KC1
en fonction de fe :
[6.39J
.
Contrairement aux méthodes de Fourier, analyser un sîgnul suréchantH1onH~ par une méthode paramétrique diminue la précision de l'estînmtion. Sur la figure 6.8. la f'Onction TCCl, calculée à partir de signaux simulés, permet de retrouver un résultat hien connu, L'analyse d'lill signal contenant une seule fréquence est optîmale si cette fréquence vaut 1/4 de la fréquence d'échantillonnage, le maximum de la courbe étant obtenu pour t~ /t"ma..>;. = 4. Pour un signal conlenunt deux fréquences. la fréquence maximale du signal doit être plutôt proche de 1/3 de la fréquence d'échantillonnage.
238
Décision temps-fréquence
Sur le plan expérimental, il est bien évident qu'il est impossible de jouer de cette façon avec la fréquence d'échantillonnage. Par contre, il peut être intéressnnt d'insérer une étape préliminaire d'interpolation afin de se rapprocher de la valeur optimale, ce qui permet de gagner sur la précision de l'estimation surtout si le rapport signal sur bruit est faible. Cette étape s'est révélée très importante dans la détection d'instants proposée dnns le paragraphe 6. 1.4.
OJ';
Q 0,6 "
liA 0,2
lfigul'c 6.S.ili/luenec de l 'éclwllli!lol1lwge slIr le conditionnement de C: le cas P = 1 correspond à 11/1 signal simulé contenallf IIne/i'équcnce amortie, le cas P = 4, deux fréquences all/orties. Le rapport signal .l'TIr bl'llit est de II dB
Le conditionnement de la matrice V définie dans [6.34] est moins sensible à la fi:équence d'échantillonnage que le conditionnement de C (voir figure 6.9). Toutefois, il est important de surveiller sa valeur car elle détermine la précision sur le calcul des amplitudes Ai' sur lesquelles s'appuient la détection des instants présentée dans le paragraphe 6.1.4.
0,8 ~ Il,6 ~
OA 0,2
6
10
12
14
16
18
20
Figure 6.9. h?fluence de l 'écfIl1llti//olllwge .l'III' le conditiollnement de l~': le cas P = 1 corre"polII! à /fn signaisillll//(; col1fellallf IlIIejiùluellce amortie, le cas P =./, den". Féqllenccs amorties. Le rapport signal sur hruil est de II dB
De la physique à la détection
239
6.1.3,8. Al/tres identfficaliol1s
En présence d'un bruit blanc additif, le modèle de Prony n'est plus adapté (voir paragraphe 6.1.3.4), les performances se dégradent dès que le rapport signal sur bruit diminue. La méthode de Prony corrélation est déjà bien moins sensible (voir paragraphe 6.1.3.4). De nombreuses autres extensions permettent d'améliorer aussi les performances, citons par exemple, le calcul des coefficients à partir de l'espace signal seulement, espace séparé de l'espace bruit à partir d'une décomposition en valeurs singulières de la matrice C [I-IEN 81, KUM 82, KUM 83]; l'introduction de statistiques d'ordre supérieur si le bruit additif est gaussien, qu'il soit blanc ou coloré [PAP 90], des modèles spécifiques dc bruit coloré [NEH 82, SAK 86, SAT 78], un débruitage des données par seuillage des coellïcients d'ondelettes [YOU 01]. Vu sous l'angle plus général d'identification de la réponse d'un système dont la fonction de transfert est définie par des pôles et des zéros et sans poser de liens a priori entre ces racines, Steiglitz et Mc Bride proposent un algorithme d'identification basé sur un calcul itératif de filtres de Kalman [STE 65], algorithme dont la convergence est étudiée dans [STO 81]. Dans le but de modéliser des oscillations électromécaniques, Sanchez et Chow comparent empiriquement les performances de cette approche avec la méthode de Prony et celle basée sur une décomposition en valeurs singulières [SAN 99]. Toutes ces approclles font l'hypothèse que l'entrée du système est aléatoire et égale à un bruit blanc. Shaw propose une approche basée sur un modèle ARMA déterministe, l'entrée du système est alors une impulsion, modèle particulièrement adapté dans le domaine de la mécanique. Le critère d'elTeur obtenu est non linéaire et résolu par un algorithme itératiqSHA 94, SHA 01]. 6.1.4. NOIl-statioll1wrÎté et lIlodèle 1II11!tic!IOC
Pour approximer un signal par le modèle multichoc défini par l'équation [6.16], l'approche proposée doit être adaptée à des sigl1aux 11011 stationnaires. Quand les oscillations ne sont pas amorties, une identification du modèle de Prony sur une fenêtre glissante est perfOm1allte telle que l'application en biomédical présentée dans [GAR 00]. Par contre, la présence d'amOItÎssement nécessite une algorithmique adaptée. Alal en 1982 [ATA 82] a proposé une solution récursive qui estime d'abord la première impulsion, puis après déflation, soustraction du modèle au signal, estime les impulsions suivantes. Il initie une modélisation dite « multi-impulsion », 1111111iplilse en langue anglaise, dans le domaine du codage des signaux de parole. Celle approche se limite à la recherche des impulsions d'entrée, estimation de l'amplitude et de l'instant d'excitation à partir d'une réponse Împulsionnelle prédéterminée ou estimée par une modélisation autorégrcssive, En 1996, pour l'analyse de signaux transitoires électromagnétiques, S. Yvetot [VVE 96] présente une étude complète, qui introduit un modèle de la fonction de transfert par la méthode de Prony, modèle
240
Décision tcmps-fi·équcncc
mulli-impulsion monomodèle ou multimodèle, et qui évalue l'apport de la transformée en ondelelles pour la détection d'instants d'excitations. L'approche présentée est dans la même ligne que celle de S. Yvetot. Le modèle de base est celui de Prony, parfaitement adapté à chacune des réponses prises individuellement. L'approche est multimodèle dans le sens où nous faisons l'hypothèse que la fonction de transfert du système peut évoluer au cours du temps. Elle doit alors être estimée pour chaque choc. Cette hypothèse de non-stationnarité n'est pas vérifiée dans toutes les applications. Néanmoins, elle permet de s'affranchir des évolutions de la configuration mécanique du système. Pour y faire face, nous avons choisi d'appliquer la méthode de Prony sur une fenêtre glissante avec une configuration adaptée au fait que les sinusoïdes soient amorties. Cette option, contrairement aux modélisations purement non stationnaires, évite d'avoir il choisir un modèle de non-stationnarité. La seule contrainte est ulle contrainte de stationnarité locale qu'il n'est pas déraisonnable de supposer lors de la réponse à un choc. La taille de celle fenêtre, optimale lorsqu'elle est choisie égale à la durée de la réponse d'un choc, est un paramètre fondamental. L'algorithme proposé estime cette taille en exploitant les propriétés de l'estimateur sur des fenêtres « très courtes}) ou « longues ». Appliquer un modèle de Prony à chaque choc nécessite impérativemcnt L1ne étape préliminaire de détection des instants d'arrivée de ces chocs. Nous proposons une approche originale qui s'inspire il nouveau de la modélisation dc Prony. Cette étape de détection est liée il la sensibilité de la méthode de Prony aux non-stationnarités du signal, en particulier au retard ou il l'avance de phase, cette demière constituant une rupture du modèle sur la fenêtre d'observation. Tous les points particuliers de cet algorithme que nous avons appelé Pron)' lemps:fi'éqllence sont étudiées dans ce paragraphe.
6.1.4.1. Rupture de modèle su!" lafcnëtre d'ohservation Une somme de sinusoïdes amorties est un signal qui peut être considéré comme stationnaire si la stationnarité pour des signaux déterministes est détïnie comme l'existence d'une relation simple, analytique et non divergente entre les amplitudes du signal il diftërcntes dates [BRI 81J. Dès que le signal mesuré présente une avance de phase, le signal n'est plus stationnaire. Une aval/ce de phase de l'observation sur la réponse du système signifie que les sinusoïdes sont précédées de points vérifiant un autre modèle (réponse précédente ou bruit ambiant). Dans ce cas, le modèle de Prony n'est plus compatiblc avec lcs données observées. L'application de la méthode sur une telle fenêtre conduit il des erreurs d'estimation non négligeables. Lors de la résolution du premier système. équation [6.32], une rupture additive de modèlc dans la fcnètrc d'observation provoquc une erreur d'estimation des paramètres AR propOitionnelle au rapport de
De la physique il la détection
24\
la puissance du modèle précédent l'instomt de ehoc sur la puissance de la réponse au choc [ROB 96]. Lors de ln résolution du second système, équation [6.35], Yvetot [YVE 93. YYE 96] a montré que l'estimation des amplitudes est perturbée par un biais multiplicatif lié aux pôles du modèle et un binis additif qui dépend des échantîllons du signal avant la rupture. Suivant que ces échantillons représentent du bruit ou la tin de ln réponse au choc précédent, ce binis sera plus o1l1110ins important. Dans le cas d'un retard de phase de l'observation sur la réponse du système, les premiers échantillons des sinusoïdes ne sont pas pris en compte. Dans ce cas moins défavorable, le modèle de Prony est toujours applicable mais les paramètres estimés sont, bien évidemment. ceux con·espondant ft l'observation. Le décalage temporel influe donc sur l'estimation de l'amplitude et de la phase, soit dans la résolution du deuxième système. équation [6.35]. Pour un retard de phase (Pr' l'amplitude complexe de chaque mode p sera égale à :
[6.40] L'amplitude est perturbée par un terme nmltiplicatiC fonction exponentielle du retard de phase, tandis que la phase est perturbée par un terme additif égal au retard de phase.
60
60
tO
20
JO
40
50
60
Figure 6.10. Scnsibilité de J'analyse de Prol/y al/ jJositioJ/llemellt de lajèllJlre cl 'ObSe/'l'lIlioll : aWlI7ce de phase, jèllêtrc calJe cl l'installt du choc ct retard de phasc. Courhe el1 blcu : signa! simlllé (cxp(~(),';(t-·J{))).siil(1;r (j,U (1 JO)) (/l'CC T,. = J s ; rapjJort signal cl hr/lit (bruit h/anc addit{/) = 18 dB. Courbe elll'Ouge: /1/odèle estime de PrO/{F Ù /III ordre P = 2 m'eL' flile taille defel1are N = JO p()illts (délimitée IJOr deux harres l'cI'ricC/hw).
141
Décisîmi
iemps-fh~quence
Cette sensibilité an positionnement de la fenêtre d'observation pal' rapport il la réponse d'un ehoe est illustrée sur la figure 6.10 pour le retard ct l'avance de phase.
6.l A.2. Détectiou des
il/STallls :
courbe des amplitude,)'
Un moyen de pallier la sensibilité de la métbode à une rupture de modèle SUI' la fenêtre d'observation consiste fi estimer préalablement les instants de mplure. Nous proposons une approche basée sur les propriétés du modèle de Prony dans le but
d'estimer les înstants de chocs dans llll signal vérifiant le modèle muHîchoc de l'équation [6.16] discrétisé ù une période Tc- Les instants de chocs sont notés tm "'" km~I~. Supposons dans un premier temps que les réponses aux chocs sont disjointes. Considérons ulle fenêtre glissunte en temps de Nf points. Nf de l'ordre du nombre de points entre chocs et repérée par l'indice de 50n premier point noté k f .
Lorsque km :Ç k f $. k m+ 1 Nf, Je signai observé dans la fenêtre est cn rcL:'lrd de phase (Pr kr1lp par rapport il l\instant de choc km (voir paragraphe 6.1.4. J) et suit un modèle qui, avec une origine fixée nu début de la fenêtre. s'écrit, pour O,;k,;Nr-1
YdleJ
P
1 L: Amr
YI' [1< =
[6.4 J]
r~1
D'après cette équation, l'amplitude du mode p, notée Ap LKr J, s'écrit:
[6.42] Cette équation montre- que l'amplitude de chaque mode estimée sur la fenêtre est une exponentielle fonction de l'indice Kr et maximale pour k r :;:;; km.
Lorsque km+ 1 - Nf + 1.:::;; 1e r 5; km -1, le signal est en avance de phase, 1u H:nêtre contienl tlné rupture de modèle, L'estÎmatlon des amplitudes sera perturbée sur ulle durée correspondant ù la largeur de fenêtre Nf. Cependant, les parametres du modèle de Prony sont estimés en deux phases distinctes: estimation des pôles complexes, équation [6.33], puis des amplitudes complexes, équation [6.36]. Il est donc envisageable de choÎsir des taBles de fènêtre différentes pour chaque phase. Cette possibîlité est intéressante dans ce contexte de dètectÎùl1 afin d'être sensible il une variation plutôt qu'à une estimation précise.
En choisissant pour la deuxième phase une taille de fenêtre Nfbis très inférieure il NI', J'estimation des amplitudes sera perturbée sur une durée beaucoup plus faible ( f" [bis), La figure 6.11 représente deux analyses de Prony, rune avec la même
De la physique- ilIa détection
243
wille de renêtre pour les deux phases, l'autre avec deL1x tailles de lénêtre diflërentes. Le choix N fbis = 2P semble être un bon compromis afin de ne pas tl'Op dégrader ln qualité de l'estimation des amplitudes, Lu courbe du bas de la lîgurc 6,11 montre une réduction notable de la durée de perturbation, de 20 points il 4- points. I--···-~
-
.
..-----
o.~~~ ·05
-1.[...........
o
10
•
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SO
60
70
(IJ:~[~~~ ()
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10
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4()
50
60
60
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30
l'~r
50
1
90
20
0.5.
40
80
70
SO
80
90
90
Figure 6.1 1. C01/rhes dt?\' (l}Jlplillldes c,I'limées, àj!!t1lioll /6.42), sllr le signa! simule représewé sur la Ji....!!;rtf'C du haul. Courbe c~-t!c;lI!èc (lI'ec wU! taille de ji.mèlre gllssa!lU! idelllique pour les
N/= N,this = lO pU' slir [a fIgure du milieu, [JflL~ ({l'lX wu' faille heC//fcou? plusjlrib!e pOf/}' hl denrièmc phase, Nlbis = 2P """-./ pts, .\'1/1' fafigurt' du htlx.
df:NI.V phases de Pmny,
Ainsi, lorsque ln fenêtre glisse point pHI' point SUI' tm sÎgnal 11lultichoc, chaque courbe Ap[KrJ représenle une succession d'exponentielles nmorties maximales aux instants de chocs recherchés. Cette propriété est vmie quel que soit le mode p variant de l il p, EtHnt donnè qu'il n'y a aucune raison pour privilégier un mode. Je détecteur que nous proposons esl construit sur If! somme des ampHtudes estimées pour chaque mode. A insÎ, les instants km 50111 estîmés par les mguments des maxima de la somrne des amplitudes des modèles locaux sur chaque fenêtre: p
km
~argl11axLAn[krl kr
poooJ
lM3]
•
La robustesse du détecteur est mnéliorée en ne retenant que les maxima quj sont suivis d'une décroïssance exponentielle. Les paramètres Àk r et à kr d'un modèle de fonction exponentielle sont estimés par moindres carrés sur la courbe d
244
Décision temps-fréquence
d'erreur normalîsée entre la courbe d'amplitude el Cc modèle exponentiel es! inférieure à un seuil fi fixé a priori :
[6.'14]
Cette méthode suppose des mTIorlÎsserncnts similaires pour chaque mode. Une nutre contrainte peut être ajouté [MAR 03], De plus. si les réponses aux chocs ne sont pHS disjointes, une détectioll correcte est possible si l'amortissement et la fréquence ne varient pas d'un choc à l'autrc, S'il en est ainsi, on peuL montrer que chaque portion de la c-ourbe des amplitudes esl une exponentieUe. ceci quel que soit l'écart entre les chocs. llIustrons cette propriété sur un exemple slmple~ un système à un mode. de pseudo-pulsation il1 ct d'amortissement al. et excÎtés par deux chocs aux instants k1Tç et k:; Tc' Pour Tc = 1s, la réponse s'écrit, d'après [6.4] : Y[k
1
Alle -u,(k-k,) COSln l (k - k l ) + q,11l U[k - k l J
+ A 21 e-fi,(k-k,) cos(n) (k - k 2 ) +~'21) U [k - k 2 J
[6.45]
La portion critîque est celle [Jour k> k1 correspondant il J'inter1ërencc des deux réponses:
[6.46]
qui peut se réécrire sous la lonnc : [6.47] Suivant les valeurs de ces paramètres, l'amplitude A varie entre deux valeurs extrêmes correspondant tlun type d'interférence entre les réponses aux chocs: - Ailla:. ::::;
Alle ~rLIO;'2~kl i
+ A 21 : l"'interférence est consiructive ;
De ta physique;) la détection
-
A == lA min
Ile-'Hko-k,) ,~ -
245
Ail"" C" " 21 : 'lll1crference est dcstruCllVl:.
La figure 6.12 présente un modèle de signal formé de trois chocs de même amplitude el de même réponse, ccllcs-cÎ ÎntertCrani de façon constructive pour les deux premiers et de façon destructive pOU!' les deux demiers. Les in::;:tants des trois chocs ont été détectés sans erreU!' sur la courbe des amplitudes extraites.
Il":,Ltd~'t:s:l o
10 20 30 40 50 60 70 80 911 100 110 110
Figure 6.12. Courbe des amplitude.I', équation {6A2j. et détection des chocs, équation [6,.J3} avec /1/,1 = 20 jJoints, J\~!bis = 2P =.f poims, e= 10 %
Limites de détection/séparation des chocs:
- chocs très procJres : dans ce cas, la taille de fenêtre Nf pour l'estimation des pôles peut être supérieure à l'intervalle séparant deux chocs car les pôles sont estimés sur la fonction d'ulitocorrélation. En pmliquc, pour une bonne cSllmation des pôles (fréquences cl amortÎssemcnts). cette fenêtre doit contenir au 1110ins trois oscillatîüns. Les umplitudes, elles, sont estimées sur le signalluÎ#mème : la taille de fenêtre Nrbis fixe donc le pouvoir séparateur de deux chocs proches, avec un minÎmum de 3 points supplémentaires pour pouvoir estimer une exponentielle;
1 1
1 1
- rapport signal/bruit: il pmiir d'un certain niveau de bruil, des chocs détectés supplémentaîl'es ou fausses alarmes peuvent apparaître. Le critère de détection basé sur les décroissances exponentielles il la sUlle des maxima n'cst plus adapté, fe modèle étant bruité. Une altemative serait de rajouter un test de discontinuité des portions de la courbe précédunt les maxima dans le but de diminuer le taux de rausses alarmes. La ligure 6,13 presente la détection obtenue pour un bruit d'écaI1 type 0,1. Les 3 chocs principaux sont toujours détectés aux mêmes instants. mais il apparaît 5 autres chocs supplémentaires. Ces Juusses ahmllcs sont situées dans les
246
Décision temps-fréquence
parties du signal où le rapport signal sur bruit local est faible, 6,5 dB troisième choc.
pOUf
le
-:;;E~ o
10
20
30 40
50
60
70
80
90 100 110 120
0,:1:tS\J~iHt o
10 20
30 40
50
60
70
80
Hr·HIHH liT HI r
,
1
90 100 110 120
HHHul
oL-__- L____L-~_L-L__LL__~__~ 20 40 5358 68 7982 96
Figure 6.13. Chocs détectés pOlir /fil rapport sigllal ci bruit local de /2 dB pOli/' le premier choc, J-I dB pOlir le denrième et 6,5 dB pour le troisième, 5fàll.l'ses a/arilles par rapport à lafigllre 6.12. Seuil de détectioll sflr les puissances d'erreur 10 %
6.1.4.3. Prony lelllps-:/j'équence Pour le détecteur d'instants du paragraphe 6.4.1, nous avons fait j'hypothèse, soit que les réponses aux chocs sont disjointes. soit, dans le cas contraire, que les amortisscl11cnL., et les fréquences varient peu d'un choc au suivant (hypothèse de stationnarité locale). Ceci nous autorise à choisir une taille de fenêtre NI' large pour la première phase de Prony, pour une bonne estimation des fréquenccs et amortissements, et une taille N l'bis = 2P courte pour la deuxième phase, permettant de réduire la perturbation des amplitudes estimées en avance de phase pour une meilleure détection. Ce découplage des longueurs de fenêtre entre les deux phases de Prony permet de respecter les deux contraintes d'estimation et de détection. L'algorithme complet (estimation/détection/modélisation) a été baptisé méthode de Prony-tcmps-fréquencc, il est constitué des trois étapes suivantes. 6.1.4.3.1. Estimation initiale des paramètres du modèle Es/ill/a/ion des pôles cOII/ple.Tes (fréquences et amortissements), première phase de Prony: résolution du systèmc [6.32] sur une fenêtre glissante de taille Nf fixée a priori, si possible de J'ordre de grandeur de J'intervalle entre chocs, et contenant un minimum de trois oscillations du signal. L'ordre P est aussi f-ixé a priori. On préférera généralement le choix P = 2 (1 fréqucnce estiméc) car, au-dclù, l'estimation
De la physique à la détection
247
au sens des moindres canés est souvent mal conditionnée (variance importante), entraînant de fortes perturbations de la courbe des amplitudes ct donc de la détection.
Es/ill/uNon des ampli/udes complexes (deuxième phase de Prony) sur une fenêtre glissante ultracourte: résolution du système [6.35] avec Nrbis = 2P. 6.1.4.3.2. Détection des instants de choc 1~111 Equation [6.43] à partir de la courbe des amplitudes [6.44] pour E fixé a priori. 6.1.4.3.3. Modélisation du signal complet En juxtaposant les modèles de Prony de chaque portion du signal segmenté par les instants de chocs détectés: résolution des systèmes [6.31] et [6.34] avec k 111 = 1~111 et Nf (km) = max(k m+1 - km' Nf min), Nf min étant une taille de fenêtre minimum pour l'estimation des pôles complexes (taille fixée a priori dans l'étape 1).
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Figure 6.14. Calcul dUlIlodèle complet, du résidu, des puissances d'erreur de modèle pour chaque d/Oc el de l'erreur totale de recol1slmclion pou/' le signal simlllé de lajigl/re 6. /1
La figure 6.14 représente le modèle complet obtenu pour le signal de la figure 6.12 contenant trois chocs. L'erreur de modélisation pour chaque choc est obtenue par le calcul de la puissance du résidu de chaque portion (écart entre le modèle et le signal) normalisée ct exprimée en (%. L'erreur totale de reconstruction est obtenue par le calcul de la puissance totale du résidu normalisée (rapport de la puissance du résidu par la puissance du signal).
24H
Décîsion temps-fréquence
6.1.5. Applicatiol1 à 1lI1 sigl1al vibratoi/'e ,le /'e}lUmtée mécanique Afin d'illustrer la méthode de Prony temps-fréquence vue au paragraphe 6,1,4,3, ct notamment son comportement dans le cas de chocs tres proches, nous allons présenter les résultats obtenus sur un signa! de pylône compression synthétisé à partïr du modèle d'excita lion du paragrnphc 6.1.4, puis sur le signall'.!cl enregistré sur un télésiège débrayable 4 places.
6.1 ,5.1, Signal de pp/ôm: compression symhéJisé Pour un pylône compression de 12 galets, la pince du télésiège subit 48 chocs, Nous avons vu dans le paragraphe 6.1A que le signal d'excilntion peut être ITIodelisé il partir des connaissances mécaniques du système {dimensions de la pincè, espaces entre galets ... ) ct de la vitesse réelle de la ligne, Le balancier du pylône est modélisé localement par un système l11onomodal de Ih!quence de résonance 30 Hz el de t:1cleur de qualité égale n2. cc qui donne un alllOiiissemcnt égal à 50 çl. La réponse impulsionllelle d'un tel système est calculée à l'aide de r équation [6.4], Il est alors possible de calculer la réponse d'un tel système au modèle d'excitation duc au passage de la rînce. Calculée en accélération. cette réponse est donnée par l'équmîon [6.151 en considérant, pour une première approche, des conditions initiales nulles. Les figures 6.15. 6.l(i cl 6.17 visualisent les réponses obtenues aÎnsi que les résultats temps-fréquence pour des viLCsses du câble de 1, 1 el 4,16 mis, respectivement. Sur ces figures sont représentées de haut en bas la réponse calculée, la réponse reconstruite pur le Prony temps-fréquence, l'évolution de la fréquence, dc l'amortissement, de l'amplitude et de la phase au courB du temps. Sur ln réponse reconstruite sont superposés les instants de chocs détectés alors que sur la dernière courbe sont superposés les instants de chocs ealculés, soit le modelc d'excitation. A !a vitesse 1 mIs. la largeur a priotl de la fenêtre est fixée il la durée minimale entre deux chocs) soit NI' = JO. Sur la figure 6.15 est observée une correspondance entre les instants calculés (demièrc courbe) et les instnnts délectés (dcuxiènlc \.:ourbe). Chuque instant de choc est correctement détecté. Tous les parami;trcs (fréquence, amortissement. ampliulde ct phase) correspondent aux valeurs du modèle. En paliîculier. la méthode dislinguc bien les chocs d'entrée et de sortie de la pince, d'aml1lÎtude 0.75 et de phase ·';oR/l. des chocs du milieu de la pince, d'amplitude 0,5 et de phase
Oc ln physique â lu détection
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Figure 6.15. ProlZl' lempx,:/il:qucflce appliquée il la repof/se !/ub.miquc aux cbocs sllhi:,' par Jo pinee d'lm téJésiège débrqlY.lbh: quatre places au passage d'un /J,I'Mne compression de 12 galets ]JOJfr (li/(! l'ifesse de ligne de J ml..\'. De hau! en hax.' répousc calclllee a\'{-'c une FéqucnC€ propl'e dl! }f) fi::, 1111 amorti.l'scm(!!/f de 50
cY -1 ci !lI1 rappOrl signa! slIr bruit de 20 dB ; signal reconstruit par la méthude St/]lC1ï}(),\'és (lUX instants dc chocs détectés (barres rer/ir'ales) (P = 2. Nf = f()) : puis, en/oJ!cfÎon dll telllp,\"ji'équl!I1Ce, wl1ortissenu:n/, mllp!iludc et phase esrimés. SIII"/O dernière cotlrbr: svnt SUpel7Josés Jes fnsumls de chucs calcules,
A la vitesse 2 mis. Nf est aussÎ lixée fi 10 et ne peul pas être fixce il une valeur plus faible puisque que cette durée représente une période de la fréquence de vibration du système. Dans ce cas, ln largeur li priori de la fenêtre est supérieure il la durée minimale entre deux chocs. Quand les chocs sont proches, ln figure 6.16 monlre que la détection n'cs1 pas bonne. En cnnséqucnce, l"estimntion des paramètres de ces chocs proches est dcgradée. Les autres chocs sont correCtement détectés et estimés,
250
Décision
temps-fréqu~nce
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Figure 6.16. Prouy Iemps:/h!:qucllce appliquée il 10 réponse mécanique (IIIX chocs iwhis pal' la pù/C.'c d'u/1 télésiège debrayable -! place,\' au passage d'un pylône L'ol1lj1re.\'SiOIl de 1:: galets PO/f!' llJJC ritesse de ligne de :2 ml.';. De hmll en bas.' réponse cCllclllée avec Hile .f/'éq/lcnce propœ de 30 H::, lm oUiorfissemcnt de 50 s~J et un roppm1 signal slIr bruit de 20 dB : signal reconsfm!t pOl' la méthode SlIpelï)(ués aux mstan,s de chucs détectés (harres verticales) (P 2, j\~f ~'::' J{)) : puis, ell fimcrion du temps. Féqllem;e, o}}1ortissemeI11, amplitade et phase estimés. Sur la demière courlJi! sont MfpefÏJOsès hw if1S1ant,~ du chocs calculés.
A la vitesse 4.J 6 mis, qui est [a vitesse d'expérimentation réelle réalisée dans le paragruphe 6.1.5,2~ Nf est toujours fixée il 10. Sur la figure 6.17, ]'clTeur de reconstruction augmente pour la même fl]i~on. Le modèle d'excitatioll calculée est celui de la figure GAc. A cette vitesse et étant donné la fonne de la pince, ln situation devient très: critique poor certains chocs. Cette conespondance est néanmoins satisl:'lÎsante pour une estimation aussi crîtique: les instants de chocs sont si rapprochés qu'il n'est pas possible de les discerner sur le signal temporel.
De la physique à hl déteclion
251
Figure 6.17. PI'OIl.1' lemps-jl'éqflcl/ce appliquée à la réponse mécanique aux chocs subis Imr pylône COl/ljJtf.;\'iSiUfl de 11 galets pOlir ulle l'liesse de ligne de -/, /6 mis. De !rom Cil bas: réponse ca/culJe tlly'C rmejhJqucllce propre de]O H::., /fi! amonù;semeJtl de 50 .\'~! Cf ml rapport signal SUi' bmit dc ]0 dB ," signtll recol1s(l'lIit por la méthode sU/Je1l){"jst;!,\' tflL, Î!lS{rlllls de chocs détectâ.\' (barres l'NlicalçsJ fP -.;. , J, :\:t"'" 10) ,. pllls, e/1 .limelion du temps, ./hJqllf'!1Ce, Ulf}ol'fÎ.\'SeIl/Cllt, amplitude ct phase estimés, Sur la del'ltiêre cmfrbe som .\"1Ipcr!)(),\"{},\·le.~ instants de chocs caleuMs. 10 pillcc d'ul1 télésiège débra)'[Jb!e .f places [JU pas.W1gc d'un
6.1.5.2. Signal rée! Passons à une étape supplémeniaÎl'e ct analysons un sîgnal réel, mesure accélérométritlue en fête de suspente d'un télésiège déhraynble 4 pInces avec lIll cable ft vitesse de 4,16 mis. Le cdblage du câble induit une vibnllÎon qu'il est préférable de filtrer pur un filtre passe-bas de fréquence de coupure 50 Hz (fonction du pas de c,îblage el de la vitesse).
252
D~cîsiol1
tCll1ps-[réquence
Les résultats de la méthode de Prony temps-fréquence appliquée sur le signal filtré sont présentés sur la figure 6.18. La confrontation entre le signal reconstmit par la méthode sur le signal réel et le modèle a priori fait apparaître (lueIques dissemblances. La valeur moyenne des fréquences estimées est de 26 Hz éll'éc3rttype est de 7 Hz. Néanmoins, ce résultat est extrêmement positif étant donné le nombre de chocs et le rapprochement des chocs. Ii est important de signaler Que nous n'avons pas réussi, jusqu'à présent, il. obtenir de résultats il l'aide des méthodes de déconvolution citées dans le paragraphe 6.1.2.3.
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Figure 6.18. PrOl~i' temps-jhJquencc appliquée à fa réponse mécanique mesurée (téhJ,Yii:ge dél)!"(Jyohle .; places au passage d'un pylône compression de 12 galets) pOli/' //lU! l'liesse de ligHf! de -/, / (; mis. De haut ell has: repon:·je lIIeS1irée : ,)'ignot recoJ/sIl'lliI par la méthode supC/])O,W!S aux instants de chocs déteclCs (!Jarre,)' l'eriicales) (P = 2. NI"'" /(J) " PIlÎS, en jime/iou du temps. fi-c:que!lce. amortfssemellf, ampfiwde et phase estimés. Sur la dernière> L'ottrbe sout supelposés les instants de chues
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à poJ'lir d'lIll modae du :,ystème.
De la physique ù la détection
253
Celle compréhension du phénomène ouvre la l'orle à sa modélisation prédictive, ce qui en terme de construction mécanique est un facleur très important de sècuritè. Par exemple, pour le sÎgnal de remontées mécflllïqucs, le modèle a permis une avancée signif1cative au niveau de la conceplion des remontées nlécanlqucs: en effet, dans ce domaine. la loi impose. avant mise en service de l'installation, des essais de fatiguc dcs La possîbilitè de modéliser le signal avant conception pennet par exemple de traiter les problèmes de confort de: l'usager ou de fatigue des matériatlx au moment de la conception, ce qui cst plusjudîcîcux que ùe le faire après fabrication!
6.1.6. Couclusiou Sur le plan du traitement du signal, le problème soulevé par l'analyse d'un signal
vibrutoÎl'e a aboutÎ à ln conception d'une nouvelle méthoùe de détection et de modélisation de transitoires, L'approche proposée a pennis la détection de chocs très rapprochés, de l'ordre de la période du transitoire, et ee, malgré la superposition des réponses aux chocs. que les Înterférences soient constructives ou destructives. La méthode de détection est originale dans le sens où elle eSt basée sur l'estimation des paramètres d'un modèle, Une élude non présentée dans cc document ri montré la supériorité de cette détection pur mppol't il un détecteur conslntit sur une transformée en ondelettes, Cet avantage est lié à J'adaptation du modèle de Prony aux signaux vibrutoircs considérés. Le modèle final de l'observallon est un modèle de signal non slalionnaire~ ce qui permet ulle grande souplesse lors de l'analyse de signaux réels. Une amélioration probablemem îniéressante serait d'întégrer dans la dcrnÎerc étupc
de CLlllst11lctinn du modèle. une étape de déllatioll, Les mécaniciens doivent souvent étudier des systèmes excités peU des forces ou accélérations sinusoïdales, celles-ci provoquent un moùe forcé entretenu sur une durée bien plus longue que celle du régime transitoîrc. Ce chapitre a étudié le problème particulier d'excitations formées de chocs ou de sÎgnaux impulsifs, Dans ce cas, la réponse du système à cene excitation a une durée du même ordre de grandeur que la réponse transitoirc. En comparant le modèle mécanique et le modèle obtenu par la méthode de traitement du sîgnal proposé, nous avons franchi UIle étape significative dans Ja compréhension de la modélîsation du système et de son excitation. Intégration de condilions initiales nün nulles, modèle d'excitation plus fin en intégrant d'autres lnfol111Utlons sur la géométrie de la pînce. ce qui aura des conséquences sur l'amplitude des chocs. les pistes sonl nombreuses pour poursuivre cette interaction entre le signal et la mécanique. Ces travaux s'appliquent ù d'autres types de signaux. nous les avons appliqués snI' des signaux mesurés sur des engrenages. L'intérêt d'une telle approche est une unalyse locale el fine. applicable
154
Décision
tcmps~ri'éqtlCnce
sur une durée très courte du signal. ce qui est peu classique dans les l11èthodes de dïagnostic. 6.1. 7. Bibliogl'aphie rATA ri2] ATAL
s.s ..
REMO[ lM., ., A Oe\v model
s.pccch ullo\v bite raies
li,
Pmceedings
LPC excitation for productng tlatural /981. Il. 614~6IS, 19~CL
[If
(~/1CilSSP
fBAS 68 J BASS L Cours de mathématiques. tume Il. M
[BRI &1 j BIULUt\(J[R D.R., Till/cs Series Data Auolyüs and Thi!ory,
HoJd~n-Day.
S''1H
FmnçÎsco. Etuts-Unis, 1981.
[BRE: HG] BRESLEH Y.. MACOWSKI A" {( Exact maximum lil\elihood superimposc:d exponenlial signals in noîse },. JEEE Trans. 011 Ilmcessing. vol. ASSP-34, p. iOS1-1089. octobre 1986. J BRU
of Speech Signal
pnrametel' estimation ACOHSI"
55] BRGlIAT G., COl/l','" de pl{i'siquc générale, mècwlùJue, 5t édition. Musson, Pads, 1955,
[CAS 01] L\ST ANIÊ F.. :lna(l'se spectrale, Traité lC2. Hermès. Paris, 2001. rC'EC S7] CECM
(CONVENTIOr\
tl;l~OPI:EN1";E
DE
LA
CONSTrWCT10N
METALLIQUE),
Recommandations pour la \'criiïcatlon il la lùtlgue del' structures en acicr »), COJ!struction mélalliqll(;'. n'" 1, 14": année. p. 3-33. ml1rs 19R7, H
[COM 03J Cm. mET L, Traitement du signal avancé et dîagnostic des iosHlJlatÎons de remontées mécaniques, Thèse de docloral de J 'INPG, 2003.
(DUR 99] DURNERIN M., Une stratégie pour l'interprétntinn en analyse spectrale. détection et doctorat de lïNPG, 1999. caractérisation des composantes d'un spectrc, Thèse
ue
[EYM 981 EVMERY S., Modélisatioll de sÎgnllux d\'>·ngn.,>tu!gc - Prony temps-fréquence. DEA swr, Rapport interne LIS, 1998, [OAR n01 GAIWOSJ V .• JANSEN B.K, Devclopmenl Md cvalurttion of the pieecwisc prony mcthod for cvoked potentiel iln111ysis ), IEEE Tralls, 011 Biomedical ElIgincel'ing, vol. ,17. nO 12, p. 1549-1554. décemhrc 200fJ. {j
[GOL 83] GOl.CB a.H., VAN LO,\N C.F .. Marrix rn:S;:L Baltimore. 1983.
cOfJ/pII/(uiol1,\",
The Johns Hopkins University
lHËN 81] HENDEltSON T.L. {i Geometrie mclhods lor dctcmlining syslem polcR from tmnsÎcnt response JI, IEEE Trans. On .:kow"., Speech. Signal PracessÎllg, vol. ASSP-29 p. 982-988, octobre 198L 7
[HUN 72] HUf'..T B.R .. « A theorcm on thc difl1eulty of numcrical de('onvolulion }), IEEE Tl'filis. on Audio and ElectroacO!fSllcs. vol. 10, p. 94-9:5, mars 1971. [KUiVl KUMr\IŒSAN R., TunD. W., « Estill1nting the prtramctcrs of exponenlially damped sinusoids and pole-zero l110dchng in ftOi5e »), IEEE Tml1s, 0/1 .'ICa/HI., Speech, Signal PJ'Ocessing, voL ASSP~30, p. B31-840. décembre 1982.
De la physique il la détection
255
[KUM 83] KUMARESAN R., ({ On the zeros of lhe lincnr prcdktion-crror !iher for dcterminîstîc signais )1, IEEE Trans. 0/1 .'lc01ls1., Speech, Signal Prucess;ug, vol. ASSP-3L p, 637-640. février 19H3. [KLJM 86) KUlvlARESA.'J R., SCllARF L.t., SHAW A.K .• {( An algorîthm for polc-zero modeHng [me! spectral unalysis »), IEEE Trans. Ou Aconst., Speech, Signal P,occssiflg, vol. ASSP-34, p. 2lï-220. juin 1986. [LAC 97J LACOUME l.L. AMBLARD P,O" COMO:"l P., Statistiqlles d'ordre supérh:ur pour le fraifcmeHl du signal, Masson, Paris, 1997, [LAL 99] LALAN\JE C. Vibrations cf chocs méC'f.miques, vibratÎons sùwso['(ltl!e.'·, Ir>mc l, Hermès. Pnl"Îs. J 999. [MAR S7] MARPLE S.L. .IR., Digital Spec(!'a[ :lna/)'sis \l'ith Applications, Prcnlicc-Hall, Englewond Clife", Etats-Unis, 1987. [MAR 01J !\tlART!N N., DURt-;EIU:-.I ':\'1., SILVENT t\. (DIIL). ASPECT: Une stratégie p011r / 'interpréfatiun e!1 ml(l~i'se spectrale, Eyrûl1ch. P.aris" 2002.
[MAR 03] M}\RTIN N., JAUSSAUD P., COMBET F., Close shnck deleCLilJl1 u5ing time-fÎ'cqucncy Prony nmdclling );, MSSP, Mec/wnical System (JlJd Sig/'hI/ Proces:.;ing, à paraÎtl'c, <(
[MeD 6g] McDoNOUGIl R.N., HUi(il;-.JS W.I·I., (( BesL least squares rl!prcscntntion of signais by e,\ponemials», IEEE Tran.\·, AutmJ1atic, COllfl'., vol. AC-J3. p, 408-412, ,mûl 19ôH.
jNEH 82] >':EI-IORA! t\" MORF M., ii Enhnnccmcnt of sinusoids i11 colorcd noise and Ihe \\'hilcnlng perfurmance of exact Jeast squnres predictors )', IEEE TralU'. On ACONs!" Speech, Sigl/ol PrucessilTg, vol. ASSP~30. p. 353-362,juÎn 1981. [PAP 90J Pi\PADOPOULOS C.K., NrK1As C. L.,
Porametcl' estimativll
(:le.YpOlJellfiaJ~1'
dampcd
SillIIsoid'i US/IIR higher ortk.r /iltltiSlic,\', lEEE Tmns. On Acoust, Speech. Signal
Processing. vo1. ASSP-38. p. 1414-1435, août 1990. [PEL 97] PELUSSiER V., Analyse ct modélisation ucs vibrations induijes par Je passage d'un véhicule sur un pylône compression de remontée mécaniquc. Rapport de DEA, LlSINPU, 1997. [PRO 1795J PRONY R., (.( Essai I:xpcrlllll.:ntai ct ullalytÎquc, Sur les lois de lu diln!abilité des Iluides éh.l:s1iqucs ct sm celles de ln force expansive ue la vapeur de l'cau el ùe ln vapeur de l'alcool, ù diflërcntes températures Il, J{)JlJ'!IoJ de 1';Jco/c pO/\fecfmiqllf.!, p, 2-1-76, 1795, rROB 96] ROBERT T., Modélisation continue de signnu:\ non stationnaires li rupture brutale, Thèsc de doctorat de j'INP Toulou:;:;:, 15 janvier lSi96.
[SAK 861 SAKAï IL «( Estimation of frequencics of sinusoids in colored noise '" Pmceedings ù(!CASSP 86. Tokyo. p. 177-ISn, 1986. [SA~
99] SANcHEz-GMieA JJ .. C!-!ow lH" ({ Perfonmlllcc comparison ol'three idcnlilication mClhods ror the anu!ysis of electromecbnnical ost:il1nlions i>, IEEE 7hms. 011 Power SI'Sh!iJîS, vol. 14. n° 3, aoùt 1i)i)lJ.
256
Décision temps-fréquence
[SAT 78] SAToRrus E.J-L, ZErDLER .J.R., ({ Maximum entropy spectral analysis of multiple sinusoids in noise H, Geophysics. vol. 43, p. 1111-1118, octobre 1978. [SHA 94J Sr-rA\\' A.K., «A decoupled approach lor optimal estimation or transler runction parmlleters l'rom input-outpul data », IEEE Trans. 011 Sigllal Processing, vol. 42, p. 12751278, mai 1994. [SI-lA 01] SI-lA\\' A.K., NAlSl-lADl-lAl\'1 K., ({ ARMA-based lime-signature estimator lor analysing resonanl structures by the FDTD method », JEEE Trans. O/l Antel1lws alld Propagation, vol. 49, n° 3, p. 327-329, mars 2001. [STE 65] STEIGUTZ K., McBRrDE L.E., « A technique for the identilication of linear systems », IEEE Tralls. ,·ll/tolllatie Control, vol. AC-IO, p. 461-464, octobre 1965. [STO 81] SToïcA P .. SÜDERSTROM T., « The Steiglitz-McBridc identificalÎon algorithm revisited - Convergence analysis and accuracy aspects », IEEE Trans. AIllOlllatÎC Control, vol. AC-2n, nO 3, p. 7l2-717,juin 1981. [TAL 011 TALEB A., SOLE .1., JUTfEN C., {( Quasi-Nonparnmetric Blind lnversion of Wiener Systems )}, IEEE Tral/s. 011 Signal Processing, vol. 49, nOS, mai 200l, p. 917- 924. rVAN 75] VAN BLAfUCUlvl M.L., M1TrRA R., ({ A technique for extracting the poles and residus or a system directly 11·0111 its transient reSpOtl5e», IEEE Trans. Antellnas Propagell., vol. AP-23, p. 777-781, novembre 1975.
[VOU 01] YOUNAN N.H .. LEE 1-I.S., MAZZOLA S., « Eslimating the model parameters of deeplevcl transient spectroscopy data using a combined waveletlsingular value decomposition Prony method », Rel'icH' (?fSciel7f!lic Instrulllellfs, vol. 72, n° 3, p. 1800-1805, mars 2001. [YVE 93] YVETOT S., MAlLHES c., BlcrrrEAu J. c., ( L'analyse de Prony multimodèle et multidale de signaux transitoires ». GRETSI, .Juan-Les-Pins, France, 13-16 septembre 1993. lYVE 961 YVETOT S., Analyse de Prony multimodèle de signaux transitoires, Thèse de doctorat de 1'INP Toulouse, 15 novembre 19962 .
6.2. Détection de transitoires et analyse de signatures en épilepsie 3 L'épilepsie est une maladie du système nerveux central dont souffre, à des degrés divers, environ 1 % de la population [THO 94] (chiffre contirmé dans plusieurs pays d'Europe et aux Etats-Unis). Elle se manifeste par la répétition de crises, dénommées épisodes critiques, les périodes hors crises étant appelées infercritiqlles. La fréquence des crises est variable (de quelques-unes par an à plusieurs par jour) tout comme leur 2. Remerciements il Michelle Vieira ct François Vial du LIS pour leur participation aClive aux nombreuses relectures. 3. Section rédigée par Lorti SENl-lADJl et Mohammad SI-IA!\-'lS0LLAHI. La recherche menée sur cc thème s'cflèctue en coll
De la physique il la détection
257
durée (de quelques secondes à plusieurs minutes). ce qui peut rendre cette pathologie très invalidante. Environ 20 0;;) des cas résistent ù tout traitement médicamenteux. On parle alors d'épilepsies phamlacorésistantes. Certaines d'entre elles sont dites partielles, car prenant leur origine dans une région circonscrite du cerveau (temporale, frontale, pariétale ou autre). Pour ces dernières. une intervention chirurgicale peut être envisagée (résection ou excision). Le problème qui se pose alors est de déterminer, pour un patient donné. quelle(s) région(s) du cerveau pourrai(en)t être excisée(s) de telle sorte que les crises soient sllpprimées ou du moins fortement atténuées. sous la contrainte que les déficits postchirurgicaux (sensitifs, moteurs ou cognitifs) induits par j'intervention soient négligeables. Les méthodes d'investigation en épilepsie sont nombreuses et chacune d'elles possède sa spécificité et renseigne sur un aspect bien précis de la maladie. Les données qu'elles fournissent sont de trois types. Les données cliniques sont issues de l'analyse détaillée des signes cliniques apparaissant au début, pendant et après les crises. Les données anatomiques sont recueillies gràce aux explorations radiologiques et ù l'imagerie par résonance magnétique. Les données physiologiques sont fournies sous la forme de signaux qui varient en fonction du temps, et qui constituent les marqueurs temps réel de l"activité électrique cérébrale. Ces signaux sont des grandeurs liées à l'activité neuroélectrique des structures cérébrales et sont recueillis par des réseaux de capteurs de potentiel. Il s'agit du potentiel ù la surface du scalp mesuré par l'électroencéphalographie (EEG), du potentiel à la surface du cortex mesuré par l'électrocorticographie (ECoG), du potentiel de profondeur mesuré par la stéréoélectroencéphalographie (SEEG) et du champ magnétique mesuré par la magnétoencéphalographie (MEG). La résolution temporelle des signaux (de l'ordre de la milliseconde) est très supérieure à celle apportée par l'imagerie fonctionnelle. La résolution spatiale de cette dernière est néanmoins supérieure sur l'ensemble des structures, les capteurs n'étant disposés ù la surface du crâne (EEG, MEG) ou en interne (SEEG) que sur un nombre limité de sites (16 ou 32 en EEG de surtàce et 64 à 128 en SEEG). Les données d'imagerie interviennent en amont dans les décisions d'implantation des électrodes SEEG el la réalisation du geste chirurgical correspondant et en aval dans l'interprétation clinique des résultats obtenus ù l'issue des traitements proposés pour les signaux EEG et SEEG. L'observation méticuleuse et datée des signes cliniques a montré que d'une part les mêmes signes peuvent apparaÎtre dans des crises dc patients distincts, menant ainsi ù l'idée d'un catalogue pour une sémiologie interpatient et que d'autre parl, pour un patient donné, les enchaînements de signes cliniques associés ù des crises distinctes pouvaient présenter des similitudes [WIE 83]. Ces faits cxpérimentaux ont mené ù faire évoluer l'interprétation des désordr~s neuroélectriqucs observés dans les signaux electroencéphalographiques enregistrés sur des sujets épileptiques durant
258
Décision temps-fréquence
des crises partielles. Ii istoriquemenl la terminologie joyer épileptique fut introduite pour désigner une région du cerveau plus ou moins étendue et développant. au dcbut des crises, une activité électrique anormale interprétée comme un déséquilibre entre activités excitatrices et inhibitrices en défi:weur de ces dernières (l'inhibition et l'excitation sont les deux modes « relationnels)) de base entre neurones). TOLIle întervention chirurgicale posant la question de la locnlisntion de ce foyer avant son excision éventuelle, partie He ou complète et pmiant de l'idée que j'on ne peut localiser que ce que l'on a bien décrît a priori l le concept de foyer épileptique a été considêmblemen[ affiné par P. Chauvel [CHA 89] pour aboutir au paradigme de réseau épHeptogéne dans lu continuité des travaux de Bancaud el Talaimch [TAL ï41. A trnvers ce pamdigme sont prises en compte: - une topographie correspondant à un ensemble de groupes neuronaux dispersés sur autant de sites dans différentes régions anatol11ofonctionncHes el à des liaisons synaptiques intersHes ct intragroupes anormalement facilitées (on parle de potentialion à long terme cl d'apprentissage des crises); l'apparition en dehors des crisés d'EPle (événements paroxystiques intercrîtîques) qui consistent, chacun, en une hypersynchronisalion transitoire (l50 li 300 ms) des neurones d'un groupe du réseau pouvant se propager ft d'autres groupes (selon des dynamiques spatiotemporeHes partiellement reproductibles) ct, durant les crises, sur les siles du réseau, d'activités paroxystiques critiques pouvt'mt durer quelques secondes avec des ruptures de d}'11Umiquc, des mécanismes de synchronisation/désynchronisation entre groupes; - des régions cérébrales n'appartenant pas uu réseau proprement dit mais qui y sont connectées et qui, bien que non impliquées dans les mécanisllies initiateurs des crises, voïent leur activité perturbée par cel1e du réseau (propagation de pointes en intercritiquc et extensIon des activités erHiques avec apparition possible de signes
cliniques). Dans ce contexte, il punir des signaux observés (Îmercritiques et critiques) ct en s'appuyant sur le concept de réseau épileptogène, le but de notre travail est d\::laborer une méthodologie permeuant dïdentiiicr (en un sens large) le réseau épileptogènc de chaque patient susceptihlc d'être opéré ct d'cxploiter les données prc- et postopératoires d~un nombre sulTisnnl de patients (quelques dizaines) pour en dégager unc description affinée des grandes classes d'épilepsies partielles déjà distinguées en épilcptologie {temporales, frontales.,") sous- la fomle de réseaux épileptogènes génériques.
La rccherche en épilepsie apparaît dans la littérature sous des aspects Iondamcntnux et des aspects cliniques. Les premiers sont couvelts pur les travaux en neurobiologie (niveau moléculaire) et en neurologïe expérimentale et théorique
Oc la physique il la détcclÏon
259
(modèles animaux [BUS 86], étude de comportemcnts nellronaux individ\lels [TRA 91] ou colleeril;; [TRA 92]), Les seconds, liés au traitement de patients Cil unité d'épileptologic. le sont par les rechcrches cliniques sur l'étude des dif1ërentes formes d'épilepsie qui passe par le traitement des Înfol111ations rcctlciilîcs lors des différenls examens (étud.: des corrélations anatomoé-Iectrocliniques). La nature complexe, aléatoire. des enregistrements EEG el SEEO a depuis longtemps donné une place prépondémnte à des méthodes, élémentaires ou avancées. de Intitemcnt du sîgnal [LOP 87]. Cependant~ ces résultats. bicn qu'apportant beaucoup d'inîbnnations il 1111 niveau descriptif en répondant fi des problèmes génériques de bas niveau (détection, segmentation, classification [OOT 98], statistiques événementielles) permettent difiicilement, ii eux seuls. de progresser significativement dans Ja compréhension pl'Ofonde de la généralion et du déroulement des crises et dans leur descriptîon systématique (typologie des crises). Notre travail, quanl aH but. se place claIrement sur le terrain de la recherche clinique et quant aux moyens, propose d'emblée une approche intégrée du traÎtement des informatÎons disponibles. Pen semble des algorithmes introduits ne réümt que dans la perspective de l'analyse et la validation de réseaux épileptogènes et cn concertation étroite avec les médecins, Il relève donc d'une part du trailement du signal et de la statistique (analyse des données EEG et SEEG el des signes cliniques) ct d'nutre part de la modélisation biomathématiquc : modélisation de fa topologie du réseau épileptogènc. de l'activité développée et modélisation de lu relation entre cette activité ct les signaux induits sur les caplCUI'S. Les travaux reportés ici concernent ln compréhension des dynamiques spa1io~ temporelles des phénomènes observés. En intercritique, cela passe par la détection préalable des EPIC sur les signaux de surÏace ellou de profondeur, En période critique, cHe s"appuie sur l'analyse des signaux issus des capteurs, esscntiel1Cll1el11 de profondeur, pour identifier les événements reproduclîbles. Elle nécesstte leur extraction el leur catégorisation d'une part, el d'nutn:: part la comparaison de leur déroulement chronologique d\me crise il une nutre. Plusieurs méthodes de détection des EPIC ont été développées, Ellcs sont souvent heUrlsliqucs ct inspirées par la démarche des spéciaHstes cliniciens pour l'analyse des tracés EEG (comparaison de carnctéristiques morphologiques: à des seuils). Des méthodes paramétri{lUeS (AR ARMA) ont aussi été envisagées. Les inconvénients. de ces méthodes sont liés au nombre souvent important de paramètres il ajuster (les seuils) et à leur sensÎbilité aux artefacts.. Le but a élé de mettre Cil pInce une struclure de détcctÎon, requérant peu ou pas de réglage, en s' appuyant sur une annlyse en ondelettes.
260
Décision tcmps-frèquence
Classiquement, l'analyse de l'évolution dans le temps du contenu fréquentiel des: signaux cérébraux utilîse la représentation de Fourier SUl' des portions d'enregistrements. Ceci s'apparente à une analyse de Fouricr « ft court tenne}; et montre que les méthodes de représentation aHiant le temps à Ja fréquence sont nécessaires. Ne disposant pas de modèle a priori pOUl' les signaux étudiés~ l'approche temps-fi'équence non paramétrique a été prîvilégiée il des fins de caractérisation el d'éhlde de similarité entre signaux SEEG.
6.2.1. Détectiall ]Jill' mule/elfes eu EEG
Le signal BEG enregistré ehez un patient épileptique fait apparaître, dons les phases inlercritiqucs, des processus transitoires anOllTHlUX caractéristiques (les EPIC) appelés pointes. pointes-ondes ct ondes aiguës, qu'il est important de détecter pour acquérir une vision partielle ou globule de J'étendue- de la zone paroxystique. Il s'agit alors de détecter des signaux de courtes durées et de fomlcs mal connues mélangés il un bruit composite (artefacts de nature transitoire essentiellemcnt dus ft ["activité musculaire et aux mouvements oculaires. activité de iond localement stationnaire et bruit de mesl1l'e). Les èvénements signiJicatifs apparaissant dans le signal comllle des « détai 15 )} bien localisés dans le temps, I~approche temps-échelle om·c alors un cadre d'analyse priviiégié. La démarche adoptée fi été descdptive et a cherché il faire le lien entre les événements observés (les EPIC, les artefacts, les activités de fond) et leur reprèsematîon sur les niveaux de décomposition. Une expérimentation approfondie a alors été entreprise sur un grand nombre de tracées EEG et meUant en œuvre trois familles de décomposition en ondelettes [SEN 93]. Pour l'objectif fixé, l'utilisation d'une décomposition continue en ondelettes complexes s'est révélée être la plus adaptée, Outre la possibilité de choisir les niveaux de décomposition sans la contrainte de dichotomie inhérente aux approches dyadiques, la redondance des niveaux et leurs relations. mutuelles, telles que révolutton du module carré ct des f1Iel."çfma de la déeompositÎon en fonction du contenu du signal sont d'uulres atouis de l'approche continue. Les niveaux de décomposition ont été retenus de manière il couvrir approximativement le domaÎllc spectral utile en favorisant toutefois les hautes Jh?qucnces, donc le-s échelles fines d'flnaiyse, ccei dans l'esprit d~expl(}itcr les résultats théoriques, présentés dons [MALL 92] ct étendus partiellement à l'ondelette utilisée dans [SEN 96], concernaut l'analyse par ondelelles de ln régularité locale du signal. Etant donné le caractère composite de l'observation, une structure de détection hiérarchisée à deux niveaux (figure 6.19) Il élé proposée [SEN 95].
Dc la physique il 1<1 détection ~
__-I Tran5formatjon non linéaire
r:~,-~
261
ArwftlCl
'-~-'~ Onde
mite
Présence {l'un transitoire
Tf)
:
r--..~
1
1:
AClivité dclond Figure 6.19. Structure de driICcfiolllCl11ps-Jclre//e proposee
Le premier niveau, dont le rôle est de séparer au mieux les transitoires: de J'activité de rond. est une strucUlre quadratique de lype filtrage cané sommation (les 1iltres représentent les niveaux de décomposition retenus) suivie d'un seuil de décision. A ce niveau de )a chaine de détection. les signaux trans:üoires de nature impulsionnelle sont mis en évidence srl11S distinclion entre les événements épileptiques el les urtelhot,. Ces transitoires correspondent li des modiiïcutions locales de l'observation et leur régularité varie selon que la modification est duc il un
transitoire utile
(UI1
EPIC) ot! un artefact Ce demier. étunt moins régulier que le
premier. induit aux petites échelles d'analyse une décroissance lente du module carré de la décomposition. Ceci n été corroboré par l'expérience olt ['on constate que k module carré de la décomposition croît duns le même sens que la résolution (respeclivement decroit) si le fnmchissement du seuil est dû à un artefact
(respectivement EPIC). Ces remarques nous ont amcné à construire une quantité décisionnclle qui traduit la localisation des événements délectés par le premier étage le long de Paxè des échelles, Ce second niveau est active à chaque détection de transitoires. il teste l'hypothèse onde utile contre l'hypothese artefact en comparant le paramèlre de localisation il un deuxième seuil. 11 permet donc de décider si la détection du premier étage con'espond il un transitoire utile ou â un nrtefact. Le culcul des lois théoriques des statistiques avant les seuils Il'est pas aisé. L~é\'alliatiLln directe de ces lois ii partir des observations a alors été privilégiée. Les seuils de décision ont dunc été déterminés adaptativcmcnt en se basant directement sur les statistiques de décision, Le premier est calculé de manière à contrôler la probabîlité de fausse abmne, sous l'hypothèse que les transitoires sont absents, le deuxième est déterminé de sorte il garantir un taux mÎl1imai de délectioll correcte,
262
Décision temps-rréquence
La stmclure quadratique du premier étage est un cas pariiculier. El1e est déterminée par la donnée de tïllres de décomposition ou de manîère équivalante par Je choix des niveaux de décomposition ct de l'ondelette analysante, Les niveaux ont été choisis heuristiquement en se bas~iilt sur l'expérience acquise en décomposant des signaux EEG, Plusieurs variantes de ce prcmïcr étage ont été alors envisagées et testées sur données sÎmulées par modélisation autorégrcssivc de portions d'EEG représentatives de l'activité de lond [SEN 98,1. Les hypothèses émises sur la distributîon statistique des événements ft détecter et sur celle de l'activité de tond ont pcrm.is de dériver les expressions de statistiques quadratiques üù ln matrice de covariance de l'activité de rond, déterminée à partir des modèles, et une estimée de la matrice de covariance des événements utiles, apprise à pattir d'un catalogue de transÎtoires sélectionnées mal1lu:llcment, interviennent conjointement ou non. Les performances de ces détecteurs ont été évaluées par le binis de courbes COR. Les résultats obtenus ont montré que l'utilisation des informations statistiques améliore significativement les perfonnances du premier étage par rapport à sa version ~(ondelettes »). (figure 6.20).
Figure 6.20. Erempic de courbes de perjÎmnaJ/ces. La rersjoll (mddeflCs corre.spond à (g)
Cependant, les informations requises pour la mise en œuvre de ces structures ne sont pus facilement accessibles de plus, leur fiabîlité 11 'est que relalive du I1lÎt de la nOI1 stationnarité des activités de tond et de la vmiabilîlé des événements à détecter d'un sujet il un autre.
De ln physique à la détection
263
Les tests préliminaires qui ont été menc sur signaux réels fSEN 98] onl montn! que l'écart des pedl1!'mances est moins important (figure 6.21 ) et que le détecteur quadratique conduisant aux meilleures performances est pamli ceux qui requïèrel1t les matrices de covariances de l'activité de fond cl celle des transitoircs utiles. La version ondelettes donne des résultats satisfaisants. Compte tenu du l'CU d'infonnmÎon que sa mise œuvre nécessite ct de ln possibilité qu'offre le deuxième élagc de la slructure (figure 6,l9) pour rejeter lcs artefucts. ce schéma de détection est attractif
Figure 6.21. Courbes de pcformaJl{'es MW signal/X réds. La l'ers/of! OIlddeltes correspond à (c)
Ces résultats doivent être validés sur une grande quanlÎlé de données; cette tache n'est pas des plus simples ~ mettre en place. Plusieurs problèmes sont en effets rencontrés: la détïnition d'une base de données représentative: des situntions clinîqucs rencontrées et son aTITIotatînn par plusieurs experts. Cette dcmière procédure est subjective; son issue est donc variable d'un groupe d'expert il un nutre,
6.2.2. Alla/J'se temps-fréquellce Ile sigllaux SEEG Le but de l'exploration SEEG cst de recueillir des données éleetrophysiologil]lIcs durant les périodes intercfitiqucs et surtout durant les crises (périodes crïtiques). Les tracés SEEG obtenus au cours des périodes intcrcritiques monlrcnt souvent des anomalies de type pointes ou pointes ondes (les EPIC). L'étude des enregistrements
264
Décision tcmps-frequencc
SEEO critiques consiste à repérer puis à analyser certaines formes particulières de signaux (décharges de fréquence élevée, séries de pointes, phénomènes pscudor}1hmiques, .. ) qui se substituent à l'activité nonnale de fond pour les dilTèrentes structures cérébrales considérées. Ces unalyses conduisent, dans un premier temps, ft l'identification des structures responsables du départ des crÎses puis de leur propagation dans respace cérébral. Dans un deuxième temps, c'est la caracl'érisatlon de la dyoami'lue spatio-temporelle de l'activité épilcptique qui est recherchée, Elle s'appuie Sllf la comparaison de plusieurs enregistrements de crise, en liaisons avec les signes cliniques observés, afin de dL~ager des ~, invarinnL,,}} c'est-il-dire des formes ct des chronologies qui semblent se répéter d'une voie à J'autre et/ou d'une crise à l'autre. On parle alors de corrélations llnatomoélcctrodinîques, Les méthodes temps-fréquence peuyent contribuer à cette analyse compte tcnu de la nature non stationnaire de ces enregîstrements,
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Temps (s)
[=,,1155
Figure 6.22. a) Signuf temporel cl1I'cgistnJ slIr fa l'oi" Aim lors
,rulte crise, b) Sil DPfVVL
Comme nous ne disposons pas d'infonnation a prÎori quî privilégierait certaines représentations par rapport à d'autres, les transformations temps-fréquence à noyaux fixe, décrites dans le premier chapitre, ont été testées sur les signaux SEEG afin d'apprécier notnmment la concentration de la distribution d'énergie du signal autour des courbes de fréquence Înstantanée de différentes composantes ct l'atténuation des termes dïnterrérence, Sur l'ensemble des enregistrements analysés et C01npte tenu de la diversité des formes observées. c'cst la distribulion pseudo-\Vigner-Ville lissée
Oc la phys.ique à la détection
265
(DPWVL) qui s'est avérée la mieux adaptée pour les représenter [SHA 95]. Ceci laisse la POfté ouve ne, dans un dcuxîème- Lemps. au choîx cl 'une reprèsentation temps-fréquence qui serait plus adaptée à une tranche de signal donnée. A titre d'exemple, la figure 6.22 reproduit un signal SEEG crîtique enregistré. sur le plot intcl11e de l'électrode A, chez llIl patient souffrant d'une épilepsie temporale et la DP\VVL associée (les lissuges sont assurés par deux fenêtres de- HaIl1I11Îng). Ce signal indut la période intercritique et la période critique. Le dèbut électrique de la crise survienL Ù t 53 s, d'aprés les experts cliniques. et les signes diniques sont visibles il partir de t = liS s. Contrairement nux enregistrements de SUrlnCe, l'acquisition des signaux SEEG n'est pas â la portée de toutes les équipes hospitalo-universitaires qui travaillent dans le domaîne de l'épilepsie. La rareté de ce type d'enregistrement en France Cl dans le monde explique en partie le peu de travail qui a été mené pour lenter de déCl'hc la mOlIihologie des événements caractéristiques de;,; trucés SEEG. Nous avons donc cherché il décrire les signaux observés en fonction de leur caractéristique tcmpsfréquence.
L'analyse des images temps-fréquence obtenues sur des périodes inLercritiques et critiques a souligné l'eXistence de motifs ou signatures particulières; transÎloires isolés ou sous fonne de décharges stables ou évolutives, mélanges combinant une décharge de transitoires et une activité quasi mono fréquentielle de puissance varîable. modes simples s'assimilant tl des fréquences pures soutenues ou intem1ittenles et des modes mixtes associant plusieurs composantes simples. synchrones ou non [SHA 96a].
6 9 Temps (5)
Tl'I1lPS (s) Figure 6.23. Modes mit/es rc{('w','1- S1I1 AI/l( (a)
el
12
15
sur Bil1( (h) pendant la période critiqw.:
266
Décision
te11lps~rréqnencc
Dans un premîer temps. on a cherché à construire un dictionnaire regroupanl des classes de signatures référencées par rapport aux structures cérébrnles explorées. Trois classes générales de signature ont été identifiées: les transitoires l les modes élémentaires ct les composantes mélangées. Elles penncUent de décrire qualitativement le déroulement de crises d'épilepslcs [SHA 99]. La construction de ces classes repose sur l'expérience acquise cn observanl un grand nombre de signaux SEEG par l'outil temps-fréquence. Une constmction basée snr une approche quantitative peut être envisagée mais elle se henrte udes problèmes fondamentaux, encore ouverts. dans Je domaine de la prise de décision dans le plan 1emp5fréqucnce. En effet, l'élaboration de classes passe par: - premièrement, la déHnition ct l'extraction de caractéristiques dominantes des représentations, - deuxièmement, la détinition d'unc métrique adaptée pour déLecter et cJassiiicr les signatures.
Actuellement, clic est hors de portée. L'étude de lu reproductibilité des signatures. d"une voie à une autre et d'tme crise il une autre chez un même patienl. a été abordée
sous la forme- d'un problcrne de détcclÎon de signature temps-fréquence ressemblant
il une signature de rérérence. Ceci n 'cst pas un problèmè classiquc de détection d'un sig nul connu noyé dans un bruît additif. puisque nous ne dïsposons ni de modèle décrivant les formes reproductibles ni de connaissance cr priori sur les relations entre les voies, La mise en œuvre d'approches bayésiennes: pour la détection étant dans ce contexte dHIicilemcnl envisageable, des méthodes faisant appel à des mesures {j'écart ou encore de ressemblance dans le domaÎne temps-fréquence ont été considérées. Le choix d'une représentation et d'un outil de mesure n'étant pas aisé, une comparaison systématique a été menée. Elle a porlé SUl' les twnsfomlutions à noyau fixe (\Vfgllcr-Ville en version lissée et non lissée) et ceUes dont le noyau est construit de manière ù s'adapter au signal analysé. Les mesures d'écart proposées sont effectuées pal' corrélation normalisée {i D en effectuant uniquernent des translations temporelles ou 2D en autorîsatll des déplacements en temps et en fréquence) entre couples de représentations temps-fréquence, Ces couples de RTF sont les suivants: - D\VV (distribution de Wigner-Ville) de la référence et DWV du signal sur une fenêtre glissante;
RTF de la rétërence et RTF croisée entre la référence et la fenêtre glissante avec noyau de lissage fixe ou adapté il la référence;
Dc la physiquc ù ln détection
267
RTF de la référence et RTF de ln fenêtre glissante ulilisaulle noyau dépendanl de la n:-férence ou un noyau fixe. Les tests menés ont concernç la dêtection d'une sigmliure pnrticulïere apparaissant au début des manifestations cliniques des crises (rUn patient EHc correspond ô une actîvité rythmique sous forme d'un signal harmonique (figure 6.22). Les résultats obtenus pour la détectîol1 de celle-ci en se basant sur une référence issue d'une voie d~llne crise (figure 6.24) ont montré que l'utilisation du I:ouple 3 avec le noynu adapté au sÏgnal de réJërcnce conduit aux meiIleurs résultats, Il pemlet de dctedcr une signature slrniinire à la référence sur d'autres voies de la même crise (figure 6.25) ou d'autres crises du même patient (ligure 6.26) ct d'estimer son décalage fréquentiel [SHA 96b, SHA 97.].
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Temps
(5)
5
Figure 6.24. S(q,nalUre de ré.lël'cnce e.wmite de fa ,'oie Bùlt lors d'une a/sc
L'image complète est utilisée pour la corrélntion ID. Pour la corrélntion 2D, seul
le pavé délimité par le petit can'é [5,9 Hz, 23A Hz] x [0 s, 5 51 estulilisé, Une légère variation des harmoniques (en support. position fréquentielle et/ou énergie) entraîne Ulle dégmdatîon de la corrélntion !e111ps-fiéquence quand lu D\VV est utHisée en raison de ses bonnes résolutions rcmporelle ci fréquentielle (tigure 6.25a-bl. En revanche, un lissage de la DWV n pour effcl d'élargir les composailles du signal dans le plan tcmps~fréquencC', et par conséquent un recouvrel1ient plus fort entre les composantes de ln référence et de l'observation est attendu, Ceci explique les bons résultats obtenus par les méthodes s'uppnynnt sur un lissage et laisse entrevoÎr la possibilite de rechercher automatiquement une slgnature donnée observée sur lin sous-ensemble de capteurs lors d'une crîse sur les autres capteurs de la même crise ou sur une autre crise.
268
Décision lemps-Frequence
Toutefois, ces mèthodes ne pennettent de délecter que des signatures ayant de fnibles varîntions par rapport à la référence. POUf des variations importantes comme de rories défonmltions, présence marquée d'autres composantes ou un décalage important~ le lissage utilîsé n'est pas suffisant.
a)
0,+
h) 0 ' 1
51)~.----------~
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0
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5
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30
411
Temps (s)
Figure 6.25. Courbes dc corrélation 1D calculées entre la réji:."'Tcncc el le signal issu d'un autre plo1 de l'électrode B. 0) et b) corrcsponde!l1 respeclll icment au couple J cl 2 arec comme RTF la Wigner-Ville. f..) ci d) le couple 3 est uli/Lw1 (II'CC !'especiil'ement la DPWVL et le noyau adapfe el e) DPH-'VL du signal
traif~.
L'étude détaillée de l'" image)} de la signalure sur les dirférents capteurs a montré que cette dernière peut être présente en partie (présence de quelques composantes seulemé!1l) etlou mélangée à d'autres composantes [SHA 97b], Il semblemit qu'un sousFensemble des composantes de la signature soit commun à plusieurs plots traduis"unt ainsi un rnècanisme global au niveau des structures explorées, ks autres composantes devant être plus liées à des comportements locaux, Le travail mené îci contribue à la construction d'un dîctionnaire de signatures qui serait une des briques de base pour tout travail qui cherche à construire un modèle explicatif des mécanismes d'jnstullulion des crises. L'élaboration d'un dictionnaire exhaustif de la sémiologie des tracés SEEG est un travail de longue haleine. 11 nécessite l'étude mjml1icuse d'Lm grand nombre de situations cliniques bien définies l'om identifier les classes de signatures et leurs liaisons avec le type d'èpilepsie considérée et les régions explorées. L'étude des relations entre les signes cliniques et les signatures temps-fréquence n'est pas immédiate; elle nécessite au préalable la caructérÎsation des signatures issues des différentes struclUrcs cérébrales dont la
De tu physique il la délection
269
mise en jeu est signée par les manifes tations cliniques observéc!:i. Une etude duns ce sens a été récemm ent initiée sur des patients souffrant d'épilep sie tempora le et présent ant des signes cliniques particuliers (chanto nnemen t ctiou voculîsu lion).
n.8 0.7 0.6 IL;
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JO 15 :'10 15 Temps (si
Figure 6.16. a) CornYarion 2D entre la réjèrcl/ce ef Je siglfClI enregistré sni" la l'oie Billl Ion,' d'une autre crise, b) courbe correspolldant à 1 ïm:tant du pic (1 "" 19,5 s), c) courbe de cornHallon correspondant (lU déca/age 111". d) courhe de corrélatiun corre.\jJoJJdollt à un décalage de O,.J Hz.
Cc type de représentation peut compléter des tracés temporels SEEG lors de
l'exame n de crises d'un patîenl pnr des clinîcie ns pour mieux cerner les reiations cotte le signal électrique el les signes cliniques d\me part et d'autre part pour compar er pim;ieurs crises afin de détermi ner les portions du signal quî se répètent d'une voie ù Pautre cliot! d'une crise à rautre.
6.2.3. lUise en corre,\ï'OJulilllt:e
Même si la reproductibilité sur différentes crises de signatures, prises separém ent, permet une compar aison cntre crises, celle-ci nïntègr e pas de chronol ogie ùes
270
Décision lemps-fréquence
événemcnts et n'est donc pas complètc. C'est une confrontation de l'ensemble des enregistrements de deux crises. ayant une même durée temporelle ou non, qui permet non seulemcnt de construire des hypothèscs sur l'origine et les voies de propagation des décharges intercritiques et critiques mais égalcment à mettre en évidence des processus épileptiques spatio-temporels reproductibles. Ainsi. des suites reproductibles de signes cliniques ont été observées chez certains patients durant les crises [MAN 96]. Cependant, la reconnaissance automatique de suites d'événements reproductibles dans les enregistrements EEG et SEEG, où une centaine de capteurs échantillonnant partiellement l'espace cérébral sont mis en jeu, n'a pas fait l'objet d'études approfondies. Le travail mené au laboratoire par F. Wendling il conduit à une méthodologie de la mise en correspondance d'enregistrements SEEG dans le but de quantifier le degré de ressemblance entre deux criscs et d'extraire des séquences communes d'événements spatio-temporels [WEN 96]. Cette méthoùc de mise en correspondance est basée sur l'algorithme présenté par Wagner et Fischer [WAG 74] pour la comparaison de deux suites monodimensioIlnclies de symboles. La démarche adoptée consiste en : - une segmentation voie par voie des signaux SEEO des crises; - la classification et le codage de la dynamique cie chaque segment (les signaux correspondant à chaque crise sont ainsi représentés par L1ne suite de vccteurs de symboles ~ chaque vecteur contenant M symboles, M étant le nombre de voies, correspond à un intervalle temporel sur lequel le signal est supposé stationnaire) ; - la mise en correspondance des deux suites de vecteurs par une extension vectorielle de l'algorithme de Wagner ct Fischer. Malgré des résultats satisfaisants obtenus. la méthode devait être améliorée pour différentes raisons. La première est que les signaux SEEG sont fortement non stationnaires et l'hypothèse de stationnarité locale peut être jugée non réaliste. Une autre raison concerne la deuxième étape qui fait intervenir la connaissance a priori des experts cliniques pour la classification des segments. Celle procédure est non automatique et très coûteuse en temps. Il est intéressant de pouvoir remplacer les deux prcrnières étapes par une procédure automatique, rapide et qui tient compte de la nature non stationnaire des signaux SEEG. Dans la démarche présentée dans [WEN 96] la segmentation est basée sur le changement du rythme du signal - une quantité rellétant la fréquence moyenne du signal - au cours du temps. Ce sont donc les infonllations liées au temps ct à la fréquence qui sont utilisées. Une méthode altemative peut se baser sur le contenu temps-fréquence des enregistrements. Fort de l'expérience présente au laboratoire sur les aspects de mise en correspondance et du temps-fréquence. une nouvelle voie dans la mise en correspondance des enregistrements critiques a été explorée et a
De la physique t'JIu détection
'171
débouché sur le développement d'une méthode globale de comparaison des signaux SEEG représentés dans le plantemps-fréquencc [SHA 97b, WEN 99J. Une observation (crise) composée des signaux enregistrés sur M voies est caractérisée par un ensemble de M RTF de ces signaux. Une version discrète et quantifiée (en temps, en fréquence et en amplitude) d'une RTF est considérée comme une suite de vecteurs de symboles. la comparaison entre deux crises se fait donc à travers une mise en cOiTespondance de deux ensembles de M RTF. Trouver la correspondance maximale entre deux observations revient alors à chercher une suite commune à ces observations sur laquell e la représentation temps-fréquence exhibe des types similaires d'activité sur un nombre maximal de voies. L'extension proposée [SHA 97b J procède par déformation (en temps) de la premiere suite de vecteurs de symboles (première observation) pour la rendre égale à la deuxième sous la contrainte d'un coût minimal de transformation. La distance entre deux vecteurs (spectres instantanés) est choisie comme la distance d'édition entre ces deux vecteurs (c'est-à-dire coüt de la défommtion du premier vecteur pour anlver au deuxieme) calculée par l'algorithme de Wagner et Fischer [WAG 74]. L'algorithme étendu est capable de mettre en correspondance deux crises de manière globale, chacune représentée par M plans temps-fréquence, en autorisant des déf01111ations à la fois sur l'axe des temps et sur l'axe des fréquences. Cette procédure pemlet donc de comparer deux crises de durées différentes ct d'extraire des informations invariantes sous la làrme de signatures spatio-tempo-fréquentielles. Dans cette première version, Je plan temps-fréquence associé à chaque signal n'a pas fait l'objet d'une squelettisation (construction de lignes caractéristiques) mais d'une quantification (plus simple à mcttre en œuvre) du temps, des fréquences, et des niveaux d'amplitude dans les bandes de fréquence. Les avantages d'une telle méthodc sont liés à l'absence de segmentation préalable des signaux et de classification des segments obtenus. Sur la figure 6.27, deux ensembles de plans temps-fréquence Tl. Tl, sont mis en correspondance. Les vecteurs exhibant des niveaux d'énergie « voisins» dans des bandes de fréquence « voisines ». et ce, sur un nombre maximum de plans tempsfréquence sont isolés. Les plages temporelles extraites par l'algorithme correspondent à des signaux qui retlètent bien des activités similaires. La signature 3 extraite par l'algorithme (celle utilisée dans le paragraphe précédent comme référence) est particulièrement intéressante: elle suggère l'apparition d'une activité Iythmique (caractérisée par la présence d'harmoniques) dans les trois structures explorées. Cette signature correspond aussi à l'apparition des premiers signes cliniques,
271
Décision temps-fréquence
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89
93 97 lOI Temps [sI
105
li'igure 6.27. Jfise Cil correspondance eJllrc des enselllh/es
de RTF de sigl1al/x SEEG re/el'és lors de del/X crises
6.2.4. Conclusion Le travail présenté ici a cherché ft exploiter les représentations temps-échelle et temps-fréquence ù des fins de détection-caractérisation ct de descriptions d'événements isolés ou sous forme de séquences.
Oc \<1 physiquc il 1<1 détcction
273
Le traitement de l'EEG en intercritique a été principalement orienté vers la détection de transitoires paroxystiques comme les pointes et pointe-ondes. La dimension vectorielle de l'observation dans ce contexte est difficilement exploitable dans la mesure où ces événements ne survicnnent pas obligatoirement de manière synchrone sur un sous-ensemble de capteurs. L'algorithme de détection, basé sur décomposition en ondelettes continue, qui a été proposé est actuellement utilisé au laboratoire pour la détection des EPIC, sur les signaux de profondeur, atin d'étudier leurs dynamiques spatio-temporelles. Ici. la situation est différente de celle observée en surface. Elle peut sembler il première vue plus làcile du Jàit de l'absence d'artefact d'origine musculaire, de déplacemcnt d'électrode ... Ces points favorables ne sauraient nous faire oublier l'aspect éparse de l'information disponible sur les événements recherchés: la typologie des EPIC n'est pas décrite dans la littérature, l'occupation spectrale des événements recherchés est différente de celle des signaux de surface. L'analyse d'un grand nombre de données avant la mise en œuvre de la détection est il ce titre incontournable. Le signal SEEG a été considéré essentiellement sous le versant critique. Le but étant de contribuer il la compréhension des phénomènes sous-jacents ct des mécanismes mis en jeu il l'installation d'une crise. Plusieurs pistes peuvent être envisagées pour la continuation du travail entrepris ici. Outre l'extension de l'analyse à d'autres patients et il d'autres types d'épilepsies, les signatures recensées exhibent des lois de modulation qui peuvent contribuer à une modélisation structure dépendante des signaux SEEG, l'utilisation des méthodes de réallocations [AUG 95] peut aider à la description des plans temps-fréquence par Ulle grammaire simple constituée par des droites et des paraboles. Une nouvelle voie dans la mise en correspondance de crises peut alors être envisagée en s'appuyant sur cette représentation des signaux. Les questions de retards entre voies et de cohérences n'ont pas été abordées. Cependant. elles peuvent bénéficier de l'apport de certaines méthodes. similaires à l'analyse en ondelettes de Malvar [MAL 89], basées sur des modèles de signaux localement stationnaires [RAZ 99] ou encore de méthodes l11ultifenêtres d'analyse spectmle [BA Y 96, XU 99],
6.2.5. Bibliogl'llplzie [AUG 95] AUGER F., fLANDH1N P., «Improving the rC
[BAY 96] BAYRA;'v] M., BARAN1UK R.G., « Multiplc window time-li'cqucncy analysis », Pme. IEEE. SP ,~rlll, TF&TS mW/J'sis, p. 173-17ô, 1996.
174
Décision temps-fréquence G,~ ( Generation of hippocumpal EEG pntterns}), dans R.L Isaacson. K. Pribrmn (ùÎr.}, HipjJocilmpus, Plcnum, New York, vol. 3, p. 137-167.1986.
[BUS 86] BU;;;ZAK!
[CHA H9] CI-IArvEL P., (; Indications et méthodes ùu lraitement chirurgical des épilepSies Epilep:iÎ(!,'i, vol. l, p, 258-175, 1989,
j"~
[GOT 98] GOT:"IAN .1., Wu L. ~{Segmentation und classification of EEG during cpi1cptic SClzureS}), Electroenceph Clin. Nt.:III'opl{E~'iol.t voL 106, p. 344~356. 1998.
[lOI' 871 LOPES DA SlLVt\ p., Elcctrocnccpha{ography. Basic prïncip!es. CUI/leu/ Applications tmd n;;{aledJJ.?!d\', Urban & Scharzenberg, Baltimore-Munich, 2c édition, 191:\7.
[l,AAL 89] MALVAl{ B's .. ST:\CI.!N B.D., (, The LOT: transform coding without blocldng effech. ;). IEEE Tmllsacrfui! Olt ;/SSP. vol. 37, p. 553~559, 1989. [ivlALL 92] MALLAT S., HWANG WL., {( Singùlurity detection and processing \Vith wavelets )1, lEEE Transtlction mrlT. vol. 3g. nO 1. p. Ii 17-643, 1992. t:MA~
96] MA'NFORD M" F1SH D,R.• SHORVON 8,D" (i An analysis of clinlen! scizure pallerns and their locaJjzing value in fronial und tempurallobe epilepsies }), BraÎI1, vol. 119, p. 1740. 1996.
[RAZ 99J RAZ J., On:'IAO H., « Wavelcts in Stnlistlcs: DiscU!,sion
)j.
Procecdillgs oflSI. 1999.
,"SEN 93] SEl\l-IAllfJ L" Appruche multirésolution pour l'analyse des sigmmx non stationnaires, Thèse de l'université de Rennes l. février 199.l
L.. BELLAt\GER IL CARRAULT G., {( Détection tèmps-èchclk d'événemenl.. paroxysLiques intercritiqucs en êlectmcncéphulngraphie;l, Traitcmcilf du signal, vol. 12. p. 357-371,1995.
[SEN 95] SEXHADJI
[SEN 96] SENHADll L.. THORA VAL L .. C:\IH~/\ULT G..., Continuons wl1velet tmnslonn: ECG recognition based 011 phase and tTIodnlus rcprcsentulÎons ànd hidden Markov models jl, dans A. Aldroubï. M. Ullser (dlL)j /fave/ers in JUcdidnc and Bi%g)', p. 439-460, 1996.
98] SENHADJl L, BELLANGUR IL Cr\!UtAULT G., ({ EEG spikc detectors based un different deçol11positions: A comparative stlldy 1), Time FrclJuency and H/("ll'elcts in Biomcdical Engineering, IEEE Press, p. 407-421, 1998,
ISEN
[SHA 95J
S!lAMSOLLAHI M.B., SENHAOJJ L, LE l3ouQUn';-.IEANNES R.• ({ Time-frcquency (H1alysÎs; A compnl'ison or Approachcs for complcx EEG puttcms in epilcillic Selzures ,), P/'occedfngs ({IEEE EMBS, p. 1069~ J 070, novembre 1995,
[SHA 96<1] Sl!;\MSOLLA!!l M.B., COATRlEUX J.L., SEI"HADJI
L.
WE?-InLl~G
f.,
BADfE[{ J}v1.,
( On some time-frequency signatures in stcreo-electroencephnlography (SEEG) )}, Proceedïl1g.s of 1EJ::.1:.~ EMBS. p, 919-920, 1996.
[SHA 96b]
SlI,\'\-lSOLLAHl
loc~llîzatjon
f'VtB .. SENflAOJ! L., LE
BOUQUIN-JEANNES
R.,
(~Detec[Îon
and
of çomplex SEEG pattcl1ls in cpiJcptîc sClzun:s u5ing lime-irequency
analysis )}, ProcœJings (~r l!Je International Symposiu/1/ Seule Ana/J'sis, p, 1ü5-1 08. Paris. juin 199
011 Time~Frequency
ond
Tïllle-
SHA~-lSOLL:\H! M.B.. SE;.iIlADJJ L, LE BOLJQUfN-JEANNts R., H Détection de signatU'ies temps-fréquence sur des crises d'épîlep!>ie »), dans Actes du CRETS!, Grenoble, Fronce, p. 1367-1.170, 1997,
[SHA 97a]
De la physique à la détection
275
[SHA 97b] SHAMSOLLAHI M.B., Cotltributïon ù l'analyse lemps~fi·équel1ce ,ks signaux SEEG et 1)('(;' Thèse {Il: 4.lm.:lorat de l'universifé de Rennes 1, ! 997.
[SHA 97c] SIIA/l.JSOLLA!l1 M.B .. CIIEN D" PIIV\mYI" p" SEi'
lTAL 741
TALAIRACH J.. BANl':\UD L ù: StereotaxÎC exploration alld lherapy in cpi!epsy n. dans P.J. Vinkel1, S. Brown (di!'.). Handhook f?rc/inÎca! /1ClIro/Ogl', The Epilepsies, North Bolland, Amsterdam, p. 75}.;-7Hl. vnL 15, 1974.
[THO 94J l'Hm/lAs P .• GENTON p,t Epilepsie,", Masson, Paris. 1994,
[TRA 911 THAun R.D" WONG R.K.S" tvllLES R., :Vl!ClIELSON 11" {( 1\ model or " CA3 hippocmnpul pymmidul neUJ'ûll incorpol'3ling voltage-clamp data on Întrinsic conductances li, ./. NClIl'OjJhysÎn!., voL (i(). n:; 1. p. 635-650, 1991. rTRA 92] TllAtJB R.D., MllES R" MULLER R.U .. GULYAS A.t. {, Functiollill organization of lhe hippocumpal CA3 region: implications far epilcpsy. BraÎn waves und spatial behaviour 1), NCl1mrk, vol. 3. p, 465-488, 19lj2. [WAG 74J WM,NER R.A"
FISCHER M..1" "The strîng-to-string correction problem J. Assoclalfonjiw Compllting Machin!!/:\'. vol. 21. al:> L p, 16S~173. 1974.
li.
[\VEN 96] WE>IDLlNG F" BELLANGER JJ., BADIE!t J.fvL, C'OATR1EUX J.L.. H Extraction of spatio-lcmporal signatures rrom d~pth EEG sClzurcs siganls hascd on objcClÎVC mah:hing in warpcd vccturial observations i}. )EEE ansacliom: OH BME. vol. 43. n" Hl. p, 99{}1000,1996.
r. .
[\VEN 94.)] W!::NIKING F., SHAvlSOLLM!! l'v1.. BM>IER J.M" BELLANGER J..I.,
46. p. (iOI-605. 1999.
[\VIE H3j WrESER H.G .. E!cclro-cliflic(d/('!(1fI1l'I.',\' Stuitg
(~rpS)'cl}()lJI()f()r
,w:i::un:, Fischer-BuUcrworth.
[XU 99J XU y" H/\YI\IN S., RAC!NE RJ" {/ rv1uliip!e windmv time-frequency dislribution and cobcn,'m:c uf EEG using Slcpiun sequence und HerJl1itc functîons ,). lEEE transaction ()fI BME. vol. 46. p. 861-865.1999.
Index
A acoustique 59 aléatoire 192-193 amortissement 117. 219-220, 222.
224-225.229,240,245,249-253 application au signal musical 63-64, 80, 82 apprentissage 148, 150-155. 157-160. 162-163,165,167 ARMA 230-231, 233-234, 239, 260 artefact 261. 273 avance de phase 241-243, 247
B bande étroite 54-57, 60 base d'apprentissage 132, 135, 137-138 Bertrand (distribution de) 110
c canal de Rayleigh 25 caviLalion 191, 196 chirp 147 en loi de puissance 109 linéaire 108 signal FM 103 classe de Cohen 25, 27-28, 32-34, 64, 67, 69 classilication 44, 51, 53. 61, 147-149. 151, 154-164,166-168,171-172 bayésiennc 151, 154- J55 de données 201 supervisée 148-149
contraste de Fisher 151-153, 157-158 corrélation 64, 74-75. 77-78,156-157. 163-164.168 conélograml11e glissant 42,53.55-56. 58-59,61 courbe COR 75,98, 100 critère 148, 159-166 de premier orùre 160, 163 de probabilité d'erreur 161-164, 167 de lype Fisher 160-161, 163 minimi1x 30 croissance de région 204-206
D décomposition de Karhunen-Loève 130 degré de liberté 216-218 dérive de fréquence 63, 72, 75, 77 délection 63-64, 68-69. 72-80, 82-83 à hypothèses composites 22, 26, 30 il structure imposée 129. 131-132 il structure libre 129 d'instants 238, 240 de chirp (signal FM) 11)3 de chocs 213. 253 de transitoires 258, 260-261, 273 localement optimale 25 déterministe 178. 192-193 diagnostic 2 J 4, 255 dimension de Vapnik-Chervoncnkis (VC-dimcnsion) 135-136 distance 151-154, 156-157. 159-166, 168-169,171
278
Déci..,Înn
tcmps~fréqlienœ
de ChcfIlorr 110 ùe Ko!mogonw 66-67. 78. 156. 163-165,167,170-11l de IŒllhllck 163, 110 de Mahalanobis 155, 157-158,168 L, 163-164 L" 66, 16S, 171 distribution d'Altes-Marinovk 29 de Wig.ner~ Ville 25-27, 19, 33-34. 70,
n
Îmllge 178-181 indice de stationnarité 64~66, 68, 79. 82 interférence 70~72 jnl~rrrélmionl77, 191-191
K l,~
l'lm.; proches vojslns f52-153 Kolmogorov 33
kurtosis 9:5-96
lk \Vigner. Ville discrètc 127-134. 136-137,139,141 unitaire de Bertrand 25, 29-30 divergence ue Jensen 66-67. 75 de KOllback 66-67, 77, 79-80, 81-S3 DOj1plcr 29-30
L loi du chirp 34 loi du -i6-47. 49,199,203 déœnlrée 48 maximum de vraisemblance 204-205
mélange de loi;; 200·202
E
1\1
êdmntillonnagc 230. 137-239 élccuodc 265, 268, 273 ensemble d'apprenLiMiagc 132. 135-136,
malédiction de la dimensionnaHtc 129.
144 entropie de Rênyi fi7 EPIC 258~161, 163. 273 erreur d'cstimalion64 de préùictinn 74~75, 77, 79 e"pacc linéaire induÎl 131~ j :33. 139
événel11Cnl paroxyslique imercritique 25R. 174
132,135-138 maximum de vl'msemhhmce 43 méthude
de Capon 69. 7'2-73 MeMC 15-1-155 mise en correspondance 269.272 modèle
,j'excitation 221 de Prony 213, 229, 232, 239-242, 253 multk:hoe 213.115.1'27. 229, 239, :':42 HlOdlllalion de fréquence vair chirp morphulogie m'lthèmatique UH. 196
F
f -diwrgence ue
C~bzar
66
N
filtre a(bpté 156 fonclion d'autocom.'lation 234-235, 246
non-stntiol1narité 227. 229, 233, 240. 254, 256. 265. 271. 275
rormule de MoyaJ 156
noyau
fréquence pme 55. 57 G Gahor 22 gigue en fréquence_ Tl, 78 gmù;enllSI. 185, 188, 190, 192-19.1
de Ch01-Willimm; généralisé l63-165. 167,172 exponentiel multiforme orientable 163. 165,167,172 optimal 157-159, 164 radiulemenl gaussien Î63~ 167, 171 reproduistlnl 207
lndex.
o
s
onde gravitationnelle 114-
Sllllt fréquentiel 63, 69-70, 72. 75 scalogrammc 199 segmentation 63-6;1. 68, 80. 81AB.
ondclcuc 12 adi.lpléc H4 osdllation lîbrc 217
279
181-191.195,197-198,201 Shannon 19 signnl
p
(lccél~romélrique
226. 248
paquet d'ondelettes ::2, 90-97, 99, 101-10:: pav'lge temps~fréqucncc 91-94 'P·divergence 159, 164, 166, 169-170
EEG 257, 260, 262 quasi statiOlllliüre pilr mun':C,HlX 63, TL
plus proche rcpl'é~éli1ant 151-154, 163, 166 pôle ~31
SEEG 257, 260, 263-266, 270,
probabilité d'em;uf 160-164.167
trdllsîtoÎrc 239, 256, 261
Prony Icmps-I'réqucncc 240. 246. 248-152, 254 pscuùo-Wigncr- Ville 70-7i
78.8:1
172-273,275
vibmtoîre 249, :::;;;4signature
de référence 266
R
tcmps- rr~qucnce 266, 268. 17;\-275 spectrogramme 42-43, 45-48.53,55-56. 61, 67. 71-72, 75~78, 8U, 199
rapport
surveillance 63-65. 69. 72, 74. 83
Ii.<sée 70-71. 78-80
réailouê 121 Je vraisemblance lO5
signal sur bruît iH.Sm 70, Tl réallociiliùn (mélhodc de) 103. III reconnaissance [48. 159 rcdondancL': 129. 132-133. 137-138,
140-142 règle de décision [4:;;,1:51,154,160,163, loli réponse Împulsionnelle 217':219, 222, 140. 249 représentation 177-182. 184·185, 187-188 à l10yau exponentiel orientahle 71-73 de Born-Jordan 71, 73 de Chol'-Williams 71. ï3 réseau épilcplogène 258-259 retard de phase 241 ~241 révolution des ondcleHes 20 ruplure spectrale 64, Tl
T lhéorie de la décisioll 20 transformation de I-Iough 34 transitoire 84-88, 95-100. 102.216-117.
222,254,259.261-:::62
unitarité (propnclê d') lOG
v variance 45-48. 5n, 5.3. 60-61 \'ihratoirc 58. 60
w Wigner-ViUe 179, 1S l
LISTE DES OUVRAGES DU TRAITÉ Ie2 (all 31 décembre 2003)
Série INFORMATIQUE ET SYSTÈMES D'INFORMATIONS sous la direction de .Ieall·CIUlrles POIJwro! Analyse et conception de j"JHM : interaction homme-machine pour les SIl. KOLSKI Christophe Annlyse. synthèse ct codage dc la parole: traitement automatique du langage parlé l, MARIANI Joseph
Bases de donnêè~ ct Internet: Modèles. langages et système, DOUCET Alllle et .lOMIER Gelleviève Environnements évolués el évaluation ùe l'(HM : illlcraClion homme-machine pour les SI 2, KOLSKI Christophe
Gestion des donllées multimédia. MOSTEFAOLII Ah01ed, PRÉTELIX Françoise, LEClIlRE Vincent etlvlOliREAUX Jean-Marie Tngénierie ùcs langues. PIERREL Jenn-Marie Ingénierie des systèmes d'infonni.1lÎnn, CALIVET Corine et ROSENTHAL-SABROLIX Camille
Ingéniérie ell'apÎtalisàlion des connaissances. ZACKLAD Manuel et GRUNDSTEIN Michel
La parole; des modèles cognitifs aux machines coml1lll11icantcs. ESCUDIER Picrre et SCHWARTZ Jean-Luc Les réseaux de Petri: modèles fomJmnCl1laux, DIAZ Michel Logique 110ue. principes, aide tl la décision. BOUCHON-MEUl\IER Bernadette et MARSALA Christophe Management tics connaissances: ITIOlJèles d'entreprise et applications, ZAC'KLAD Manuel et GRUNDSTE1N Michel Optimisation approchée en recherche opérationnelle, TEGHEM Jacques et PIRLOT Mme
Ordonnancement pour l'infonnaliquè parallèle. MOllKRIM Aziz et P1COULEA U Christophe Principes ci architecture des systèmes nwlti-agcnts, BRIOT Jean-PklTe et DEMAZEAU Yves
II
Liste des ouvrages du TRAITÉ Jel
tl1H
3/ décembre 2003)
Reconnaissance de la parole: lraitement automatique ùu langage parlé 2, MARIANI Joseph Résolution de problèmes de RO par les métahe-uristiqucs. PIRLOT Marc el TEGHEM Jacques Traitement de données complexes et commande en logique Houe. BOUCHON-MEüNIER Bernadette et MARSALA Christophe
Vérification et mise cn oeuvre des réseaux de Pelri, DIAZ Michel
Série MANAGEMENT ET GESTION DES S'fICS sous la directioll tic .lealt~AlarÎc Doublet Piloter Je changement avec les cybcrtcchnnlogic,q. SAADOUN IvléIissa
Série RÉSEAUX ET TÉLÉCOMS
/a d,ret'tion de Guy Pl~iolle __ .. . __ _ .. _ - - _ ..- - _ .. _ - - -
SOU,\'
...- _ .
_~-
..
Ingénierie des protocoles et qualité de service, CAVALLt Ana Les reseaux radiomobîleH, LAGRANGE Xavier Réseau.' ATM. ROUN Pierre Sécurité des réseaux el systèmes répartis. DESWARTE Yves cl MÉ Ludovic Stanùards pour la gestion des réseaux FESTOR Oli"ier et SCHAFF André
Ct
des services,
Systèmes multimédias communicants. DABBOUS Wulid
Série SYSTI,MES AUTOMATISÉS SOIiS [a airectiml tic Claude Foufard
Algèbre el analyse pOUf l'aufomatique. RiCHARD Jean-Pierre
Analyse des syslèmes linéaires. de LARMINAT Philippe Analyse et modélisation des robOls manipulateurs. DOMBRE Etienne Applications non manufacturières de la robotï<]ue. DAUCHEZ Pierre Assjstaucc technique au handicap. PRUSKI Alain
AutOlllUliquc ùes binprm:édés. DOCHAIN Denis
Lisle des ouvrages du TRAITÉ leZ (a" 3/ décembre 20(3)
JI[
Automatique et procédés chimiques: modélisation. eSlimmiün, cristallisoirs, CORRIOtJ Jean-Pime Au{omuti(lUe pour la gestion des ressources en eau. GEORGES Didier et UTRICO Xavier Commande adaptative el applications. LOZANO Rogelio ct TAOUTAOU Damia CommumJe de procédés chimi{llics, réaclCurs et colonnes de distillalion, COR RIOU Jean-PietTe Commande des robots manjpuluteurs, KHAl.lL Wisama Commande des systèmes linéaires, de LARMINAT Philippe Commande el supervision: les procédés agroaJîmentaires j & 1, BOlLLEREAUX Lionel el FLAUS Jean-Marie Commande floue 1 : de la stabilisation fila supervision, FOULLOY Lauren!. GAUCHET Sylvie et TITU André Commande noue 2: Je l'approximatÎon fi J'apprentissage. FOULLOY Laurent. GAUCHET Sylvie et TITU André Commandes non linéaires. LAMNABHI-I..AGARRIGUE Françoise el ROUCHON Pierre Conception des commaodes robustes. BERNUSSOU .Jacques cl OUSTALOUP Alaiu Contrôle-commande de la voilure. GlSSINGER Gérard et LE FORT-PIAT Nadine De la physique du capteur au signa! élc:ctrique : mesure cl instrumentation 1. PLACKO Dominique
Du comp0sant élémentaire au système: mesure et instrumental ion 2. PLACKO Dominique lùentification des systèmes. LANDAU Joan Doré et BESANÇON-VODA Alina Identilïealion ct commande adaptative, LOZANO Rogielo eI1:'\OUTt\OU DUl11ia La mierorobotique. BOURJAUI..TAlain et CHAILLET Nicolas La robotiqn" mobile. LAUMOND Jean-Puni La voiture intelligenle. GlSSINGER Gérard et LE FORT·PIAT Nadine Les bond graphs, DAUPHIN-TANGUY Gcneviève Mathématiques pour Jes systèmes dynamiques, RICHARD kan-Pierre Modèles cl raisonnemenls qualîtatifs, TRAVÉ-MASSUYÈS Louise et DAGUE Philippe MocJélisation contrôle veclorid èt DTe : commande des moteurs asynchrones l, CANUDAS DE WIT Carlos Optimisation disèr~lisutî()n et observateurs: commande des mo{curs m;ynchrones 2. CANUDAS DE WIT Carlos Outils d'analyse pour l'automatique, BARRAUD Alain
IV
Liste des ouvrages du TRAITÉ Tel (ail 3/ décembre 2003)
Systèmes dynamiques hybrides, ZAYTOON Janan Systèmes non linéaires, LAMNABHI-LAGARRIGUE Françoise et ROUCHON Pierre
Téléopération et réalité virtuelle, KHEDDAR Abderrahmane ct COIFFET Philippe Téléopération el lélérobotique, COfFFET Philippe et KHEDDAR Abderrahmane
Série PRODUCTIQUE sous la direction de Claude j;"'ou{ard Automatique el statistiques pour le diagnostic, DUBUISSON Bernard Diagnostic, intelligence artificielle et reconnaissance des formes, DUBUISSON Bernard Evaluation des performances des systèmes dc production, TAHON Christian Fabrication assistée par ordinateur, BERNARD Alain Fondemcnts du pilotage des systèmes de production. PUJO Patrick et KIEFFER Jean-Paul Gestion de production: fonctions, techniques ct outils, ERSCHLER Jacques et GRABOT Bernard
Indicateurs de performance, BONNEFOUS Chantal et COURTOIS Alain La qualité: démarche, méthodes et outils, CHERFI Zohra Maîtrise des risques et sùreté de fonctionnement des systèmes de proùuction, NIEL Eric et CRAYE Etienne Maîtrise et organisation des flux industriels, CAMPAGNE Jean-Pierre et BURLAT Patrick Méthodes du pilotage des systèmes de production, PUJO Patrick et KIEFFER Jean-Paul
Ordonnanccment de la production, LOPEZ Pierre cl ROU BELLAT François Organisation et gestion de la production, ERSCHLER Jacques el GRABOT Bernard Performance industrielle et gestion ùes nux, BURLAT Patrick el CAMPAGNE Jean-Pierre
Liste des ouvrages du TRAITÉ IC2 (ail 31 décell1bre 2003)
V
Série TRAITEMENT DU SIGNAL ET DE L'IMAGE SOllS la direction de Prllllf'is Castallié et Hellri AlaÎtre Analyse de signaux bidimensionnels. GARELLO René Analyse des données, GOVAERT Gérard Analyse spectrale, CASTANIÉ Francis Approche bayésienne pour les problèmes inverses, IDIER Jérôme Compression et codage des images et des vidéos. BARLAUD Michel et LABlT Claude Décision dans le plan temps fréquence, DONCARLl Chrislian et MARTIN Nadine Décision et reconnaissance des formes en signal. LENGELLÉ Régis Fusion d'informations en traitement du signal et des images. BLOCH Isabelle Images de profondeur, GALLICE Jean La tomographie: fondements mathématiques, imagerie microscopique et imagerie industrielle, GRANGEAT Pierre La tomographie médicale: imagerie morphologique et imagerie fonctionnelle, GRANGEAT PielTe Le traitement des images, MAÎTRE Henri Les ondelelles et leurs applications, MISITI Michel, MISITI Yves, OPPENHEIM Georges el POGGI lean-Michel Les systèmes de vision, .I0LION .lean-1Vlichel Lois d'échelle, fractales et ondelettes 1 & 1., ABRY Patrice, GONÇALVÈS Paulo et LÉVY VÉHEL Jacques Méthodes et architectures pour le TSI en temps réel, DEMIGNY Didier Perception visuelle par imagerie viùéo, DHOME wlichel Tatouage de documents audiovisuels numériques, DAVOINE Franck cl PATEUX Sléphane Traitement des images de RSO, MAÎTRE Henri
Sommaire détaillé de chaque ouvrage du traité IC2 sur les sites: www.1avoisier.fr www.hermes-science.com
