Conicas

Lectura de Apoyo 9 Unidad III: Geometría Analítica Tomado de: Boyer, Carl B., A History of Mathematics. Segunda Edición. Cap. 9 . John Wiley & Sons. USA. 1991. Traducido por: Martha C. Villalba G. y Víctor M. Hernández L.

LAS CÓNICAS A pesar de su erudita productividad, solo dos de los muchos tratados de Apolonio han sobrevivido en gran parte. Todas las versiones Griegas de su obra Cortes de una Razón se perdieron hace mucho tiempo pero no antes de que una traducción Árabe hubiera sido hecha. En 1706, Halley, amigo de Newton, publicó una traducción al Latín del trabajo y desde entonces apareció en lenguas vernáculas. Aparte de este tratado, solamente un trabajo Apoloniano ha sobrevivido substancialmente, el cual, como quiera fue sin lugar a dudas su chef-d´oeuvre – las Cónicas. De éste famoso trabajo solo la mitad –los primeros cuatro de los originalmente ocho libros- existe aún en Griego; afortunadamente, un matemático Árabe Thabit ibn Qurra había traducido los siguientes tres libros, y su versión ha sobrevivido. En 1710, Edmund Halley proporcionó una traducción Latina de los siete libros y desde entonces han aparecido versiones en varias lenguas. Las secciones cónicas habían sido conocidas por más de un siglo y medio cuando Apolonio compuso su célebre tratado sobre estas curvas. Al mismo tiempo, al menos dos veces fueron escritos tratados panorámicos –por Aristeo y por Euclides- pero justo como los Elementos de Euclides habían desplazado los libros de texto elementales anteriores, así en un nivel más avanzado de las secciones cónicas, las Cónicas de Apolonio suprimieron a todos los rivales en su campo, incluyendo las Cónicas de Euclides, y ningún intento mejor parece haber sido hecho en la antigüedad. Si la supervivencia es una medida de la calidad, los Elementos de Euclides y las Cónicas de Apolonio fueron claramente los mejores trabajos en sus campos. El Libro I de las Cónicas empieza con un recuento de las motivaciones para escribir el trabajo. Mientras Apolonio estuvo en Alejandría, fue visitado por un geómetra llamado Naucrates, y fue a requerimiento de este último que posteriormente Apolonio escribiera un apresurado bosquejo de las Cónicas en ocho libros. Más tarde en Pergamum el autor tuvo tiempo para pulir los libros uno a uno, de aquí que los Libros del IV al VII empiecen con saludos a Attalus, Rey de Pergamum. En los primeros cuatro Libros, el autor describe a manera de una introducción elemental, y se asume que mucho de este material había aparecido en tratados anteriores sobre cónicas. De cualquier modo, Apolonio expresamente dice que algunos de los teoremas en el Libro III le pertenecen, porque Euclides no había completado el lugar geométrico ahí considerado. En los últimos cuatro Libros, él describe como extensiones de la materia, más allá de lo esencial, y podemos ver que en ellos la teoría es más avanzada y en direcciones más 1 especializadas . Antes del tiempo de Apolonio la elipse, parábola e hipérbola se obtenían como secciones de tres tipos distintivos de conos circulares rectos, según si el ángulo del vértice era agudo, recto u obtuso. Apolonio, aparentemente por primera vez, mostró sistemáticamente que no es necesario tomar secciones perpendiculares a un elemento del cono, y que de un único cono se pueden obtener los tres tipos de secciones cónicas al variar simplemente la inclinación del plano cortante. Este fue un paso importante para vincular los tres tipos de curvas. Otra generalización importante fue hecha cuando Apolonio demostró que el cono no necesita ser un cono recto –esto es, aquel cuyo eje es perpendicular a la base circular- sino que puede ser igualmente bueno un cono circular oblicuo o escaleno. Si Eutocio, en sus comentarios sobre las Cónicas, estaba bien informado, podemos inferir que Apolonio fue el primer geómetra en mostrar que las propiedades de las curvas no son diferentes debido a si son cortes de 1

Ver T.L. Heat, ed., 1961, pp. xxvi-xxvii. Aquí y a través de este capítulo nos apoyamos en el valioso volumen de Heat, de donde han sido tomados los párrafos traducidos. 1 Material preparado por los Profesores Titulares del Curso de Geometría M.C. Martha C. Villalba, M.C. Jorge Ruperto Vargas Castro y M.C. Víctor M. Hernández L. Miembros de la Planta Docence del Programa de Maestría en Ciencias con Especialidad en Matemática Educativa de la Universidad de Sonora para la Maestría en Enseñanza de las Ciencias del Sistema Nacional de Institutos Tecnológicos bajo convenio UNISON-COSNET DAAE/01/2000. Octubre de 2000

conos oblicuos o conos rectos. Finalmente Apolonio acercó más las curvas antiguas a un punto de vista moderno al reemplazar el cono de un manto (algo así como un cono de un helado), por un cono de doble manto ( al ensamblar los dos conos con una orientación opuesta para que se alarguen indefinidamente, de tal modo que los vértices de ambos coincidan y sus ejes estén en una línea recta.) De hecho, Apolonio dio la misma definición de un cono circular a la que usamos actualmente: Si una línea recta, de longitud indefinida y pasando siempre por un punto fijo la movemos sobre una circunferencia de un círculo que no está en el mismo plano del punto, y de tal modo que pase sucesivamente por cada uno de los puntos de tal circunferencia, el movimiento de la línea recta trazará la superficie de un cono doble.

Este cambio hizo de la hipérbola la curva de ramas dobles que nos es familiar en la actualidad. Con frecuencia los Geómetras se refirieron a “dos hipérbolas” más que a “dos ramas” de una única hipérbola, pero en cualquier caso la dualidad de la curva fue reconocida.

NOMBRES DE LAS SECCIONES CÓNICAS

Los conceptos son más importantes en la historia de las matemáticas que su terminología, si embargo hay algo más que una significación ordinaria en el cambio de nombre para las secciones cónicas debido a Apolonio. Por cerca de un siglo y medio las curvas no habían tenido más apelaciones distintivas que descripciones banales de la forma en la que habían sido descubiertas –secciones de un cono de ángulo agudo (oxytome), secciones de un ángulo recto (orthotome), y secciones de un cono de ángulo obtuso (amblytome.) Arquímedes había mantenido estos nombres (aunque se ha reportado que había usado también la palabra parábola como un sinónimo para la sección de un cono de ángulo recto.) Fue Apolonio (posiblemente siguiendo una sugerencia de Arquímedes) quien introdujo los nombres de elipse e hipérbola en conexión con estas curvas. Las palabras “elipse”, “parábola” e “hipérbola” no fueron recién acuñadas para la ocasión; se adaptaron de un uso anterior, tal vez dado por los Pitagóricos en la solución de ecuaciones cuadráticas a través de la aplicación de áreas. Ellipsis (que significa una deficiencia) se había usado cuando un rectángulo de área dada se aplicaba a un segmento de línea dado y quedaba corto por un cuadrado (o alguna otra figura especificada), y la palabra hipérbola (un salto más lejano) se adoptaba cuando el área excedía el segmento de línea. La palabra parábola (un sitio al lado, o comparación) indicaba que no había exceso ni deficiencia. Apolonio aplicó estas palabras en un nuevo contexto como nombres para secciones cónicas. La ecuación moderna familiar de la parábola con vértice en el origen es y = lx (donde la l es el “latus rectum”, o parámetro, que ahora se representa por 2p, u ocasionalmente por 4p.) Así, la parábola tiene la propiedad de que no importa qué punto de la curva uno escoja, el cuadrado sobre la ordenada es precisamente igual al rectángulo sobre la abscisa x y el parámetro l . Las ecuaciones de la elipse y la hipérbola, similarmente 2

(donde ( x ! a) 2 / a 2 ± y 2 / b 2 = 1 , ó y 2 = lx ! b 2 x 2 / a 2 2 2 l es de nuevo el lado recto o parámetro 2b / a .) Así es para la elipse y < lx y para la hipérbola y 2 > lx , y son las propiedades de las curvas que están representadas por estas desigualdades a las

referidas al vértice como el origen, son

que señalan los nombres dados por Apolonio hace más de dos milenios y que todavía permanecen firmemente ligadas a ellas. El comentador Eutocio fue el responsable de una impresión errónea que aún se mantiene ampliamente difundida, que las palabras elipse, parábola e hipérbola fueron adoptadas por Apolonio para indicar que el plano de corte no alcanza, o bien se va de paso, o bien cae en la base del segundo cono. Esto no es, de ninguna manera, lo que Apolonio reportó en las Cónicas. 2 Material preparado por los Profesores Titulares del Curso de Geometría M.C. Martha C. Villalba, M.C. Jorge Ruperto Vargas Castro y M.C. Víctor M. Hernández L. Miembros de la Planta Docence del Programa de Maestría en Ciencias con Especialidad en Matemática Educativa de la Universidad de Sonora para la Maestría en Enseñanza de las Ciencias del Sistema Nacional de Institutos Tecnológicos bajo convenio UNISON-COSNET DAAE/01/2000. Octubre de 2000

EL CONO DE DOBLE MANTO Al derivar todas las secciones cónicas de un único cono circular oblicuo de dos mantos, y al darles eminentemente nombres apropiados, Apolonio hizo una importante contribución a la geometría; pero falló al no poder ir tan lejos en generalidad como pudo haberlo hecho. Pudo, de la misma manera, haber empezado con un cono elíptico –o con cualquier cono cuadrático- y como quiera haber derivado las mismas curvas. Eso es que cualquier sección plana del cono “circular” de Apolonio pudo haber servido como curva generadora o base en su definición, y la designación “cono circular” es innecesaria. De hecho, como Apolonio mismo mostró (Libro I, Proposición 5), todo cono oblicuo circular no tiene solamente un número infinito de secciones circulares paralelas a la base, sino también un juego infinito de secciones circulares que se dan por lo que él llamó secciones subcontrarias. Sea BFC la base del cono oblicuo circular y sea ABC la sección triangular del cono (Fig.9.2). Sea P cualquier punto en una sección circular DPE paralela a BFC y sea HPK una sección del plano tal que los triángulos AHK y ABC son iguales pero orientados de manera opuesta. Apolonio entonces llamó a la sección HPK una sección subcontraria y demostró que es un círculo. La prueba se establece fácilmente en términos de la 2 semejanza de los triángulos HMD y EMK, de lo que se infiere que HM ⋅ MK = DM ⋅ ME = PM , la propiedad característica de un círculo. (En el lenguaje de la geometría analítica si hacemos

HM = x,

HK = a, y PM = y, entonces y 2 = x(a − x) ó x 2 + y 2 = ax, que es la ecuación de un

círculo.)

PROPIEDADES FUNDAMENTALES

Los geómetras griegos dividieron las curvas en tres categorías. La primera, conocida como “lugar plano”, consistía de todas las líneas rectas y círculos; la segunda, conocida como “lugar sólido” estaba constituida por todas las secciones cónicas; la tercera categoría, conocida como “lugar lineal” englobaba todas las otras curvas. El nombre aplicado a la segunda categoría indudablemente fue sugerido por el hecho de que las cónicas no estaban definidas como un lugar geométrico en un plano que cumpliera con una cierta condición, como ahora se hace; estaban descritas estereométricamente como secciones de una figura tridimensional. Apolonio, como sus predecesores, obtuvo sus curvas de un cono en el espacio 3 Material preparado por los Profesores Titulares del Curso de Geometría M.C. Martha C. Villalba, M.C. Jorge Ruperto Vargas Castro y M.C. Víctor M. Hernández L. Miembros de la Planta Docence del Programa de Maestría en Ciencias con Especialidad en Matemática Educativa de la Universidad de Sonora para la Maestría en Enseñanza de las Ciencias del Sistema Nacional de Institutos Tecnológicos bajo convenio UNISON-COSNET DAAE/01/2000. Octubre de 2000

tridimensional, pero prescindió del cono tan pronto como le fue posible. A partir del cono él obtuvo una propiedad fundamental del plano o “síntoma” para la sección, y de ahí en adelante procedió mediante un estudio puramente planimétrico basado en esta propiedad. Este paso, que aquí ilustramos para la elipse (Libro I, Proposición 13), seguramente fue en gran parte el mismo usado por sus predecesores, incluyendo a Menaecmo. Sea ABC una sección triangular de un cono circular oblicuo (Fig.9.3) y sea P cualquier punto en una sección HPK que corta todos los elementos del cono. La extensión HK que coincide con BC en G a través de P pasa un plano horizontal que corta al cono en el círculo DPE y el plano HPK en la línea PM . Trace DME , un diámetro del círculo perpendicular a PM . Entonces, de la semejanza de los triángulos HDM y HBG tenemos que DM / HM = BG / HG , y de la semejanza de los triángulos MEK y KCG tenemos que ME / MK = CG / KG. Ahora, de la propiedad del círculo obtenemos

PM 2 = DM ⋅ ME;

y de aquí,

PM 2 = ( HM ⋅ BG / HG )( MK ⋅ CG ) / KG. Si PM = y , HM = x , y HK = 2a, la propiedad en la 2 frase anterior es equivalente a la ecuación y = kx( 2a − x ) , que reconocemos ahora como la ecuación de una elipse con H como vértice y HK como eje mayor. De manera similar Apolonio derivó para la 2 hipérbola el equivalente de la ecuación y = kx( x + 2a ) . Estas formas algebraicas son fácilmente 2 2 2 reconciliables con las formas “nominales” anteriores, tomando k = b / a y l = 2b / a. DIÁMETROS CONJUGADOS Después de que Apolonio había derivado, desde consideraciones estereométricas del cono, las relaciones básicas entre lo que ahora podríamos llamar las coordenadas en el plano de un punto sobre la curva –dadas por las tres ecuaciones y = lx − b x / a , y = lx, y y = lx + b x / a - él derivó otras propiedades de ecuaciones en el plano, sin referencia al cono. El autor de las Cónicas reportó que en su Libro I había trabajado en las propiedades fundamentales de las curvas ” más completamente y con mayor generalidad que en los escritos de otros autores”. El alcance para el que esta declaración se mantiene cierta, es sugerido por el hecho de que aquí, precisamente en el primer Libro, la teoría de diámetros conjugados de una cónica es desarrollada. Esto es, Apolonio mostró que los puntos medios de un conjunto de cuerdas paralelas a uno de los diámetros de una elipse o una hipérbola, constituirán un segundo diámetro, llamados los dos “diámetros conjugados”. De hecho, mientras que actualmente nosotros referimos invariablemente una cónica a un par de líneas mutuamente perpendiculares como ejes, Apolonio generalmente usaba un par de diámetros conjugados como equivalentes de ejes coordenados oblicuos. El sistema de diámetros conjugados proporcionó un marco de referencia para las cónicas excepcionalmente útil, para Apolonio mostró que si una línea es trazada a través de un extremo de uno de los diámetros de una elipse o hipérbola, paralela al diámetro conjugado, la línea “tocará a la cónica, y ninguna otra línea recta puede caer entre ella y la cónica” – esto es, la línea será tangente a la cónica. Vemos aquí claramente el concepto estático Griego de una tangente a una curva, en contraste al 2

2

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4 Material preparado por los Profesores Titulares del Curso de Geometría M.C. Martha C. Villalba, M.C. Jorge Ruperto Vargas Castro y M.C. Víctor M. Hernández L. Miembros de la Planta Docence del Programa de Maestría en Ciencias con Especialidad en Matemática Educativa de la Universidad de Sonora para la Maestría en Enseñanza de las Ciencias del Sistema Nacional de Institutos Tecnológicos bajo convenio UNISON-COSNET DAAE/01/2000. Octubre de 2000

punto de vista cinemático de Arquímedes. De hecho, frecuentemente en las Cónicas, encontramos un diámetro y una tangente a sus extremos usados como un marco coordenado de referencia. Entre los teoremas del Libro I están algunos (Proposiciones de la 41 a la 49) que son equivalentes a una transformación de coordenadas desde un sistema basado en la tangente y el diámetro hasta un punto P en la cónica, hasta un nuevo sistema determinado por una tangente y diámetro en un segundo punto Q sobre la misma curva, junto con la demostración de que una cónica puede ser referida a cualquiera de tales sistemas como ejes. En particular, Apolonio estaba familiarizado con las propiedades de la hipérbola referida a sus asíntotas como ejes, dadas, para la hipérbola equilátera, por la ecuación

xy = c 2 . El no tuvo manera de saber, por supuesto, que algún día esta relación, equivalente a la ley de Boyle, sería fundamental en el estudio de los gases, o que su estudio de la elipse sería esencial a la astronomía moderna.

TANGENTES Y DIVISIÓN ARMÓNICA

El Libro II continúa el estudio de diámetros conjugados y tangentes. Por ejemplo, si P es cualquier punto de cualquier hipérbola, con centro C , la tangente en P cortará las asíntotas en puntos L y L' (Fig.9.4) que son equidistantes a

P (Proposiciones 8 y 10.) Más aún (Proposiciones 11 y 16), cualquier cuerda QQ ' paralela a CP encontrará las asíntotas en puntos K y K ' tales que QQ ' = Q ' K ' y QK ⋅ QK ' = CP . (Estas propiedades fueron verificadas sintéticamente, pero el lector puede checar doblemente su validez mediante métodos analíticos modernos.) Proposiciones posteriores en el Libro II muestran cómo trazar tangentes a una cónica utilizando la teoría de la división armónica. En el caso de la elipse (Proposición 49), por ejemplo, si Q es un punto sobre la curva (Fig.9.5), Apolonio bajó una 2

QN desde Q al eje AA' y encontró la conjugada armónica T de N con respecto a A y A' (Esto es, él encontró el punto T sobre la extensión de la línea AA' tal que AT / A'T = AN / NA' ; en otras palabras, él determinó el punto T que divide externamente al segmento AA' en la misma razón como N divide internamente a AA' .) La línea a través de T y Q , será entonces tangente a la elipse. El caso en el cual Q no está sobre la curva, puede reducirse a ésta a perpendicular

través de las propiedades familiares de la división armónica. (Puede probarse que no hay curvas planas más que las de secciones cónicas tales que, dada la curva y el punto pueda trazarse una tangente con regla y compás, desde el punto a la curva; pero esto fue, claro, desconocido para Apolonio.)

5 Material preparado por los Profesores Titulares del Curso de Geometría M.C. Martha C. Villalba, M.C. Jorge Ruperto Vargas Castro y M.C. Víctor M. Hernández L. Miembros de la Planta Docence del Programa de Maestría en Ciencias con Especialidad en Matemática Educativa de la Universidad de Sonora para la Maestría en Enseñanza de las Ciencias del Sistema Nacional de Institutos Tecnológicos bajo convenio UNISON-COSNET DAAE/01/2000. Octubre de 2000

LOS LUGARES GEOMÉTRICOS DE TRES Y CUATRO LÍNEAS

Aparentemente Apolonio estaba muy orgulloso del Libro III; para el Prefacio General a las Cónicas escribió:

El libro III contiene muchos teoremas importantes útiles para la síntesis de lugares de sólidos y determinaciones de límites; la mayoría y los más bellos de estos teoremas son nuevos, y cuando los descubrí, observé que Euclides no había solucionado la síntesis de los lugares geométricos con respecto a tres y cuatro líneas, sino probablemente sólo una porción de ellos y sin éxito: no fue posible que la síntesis se completara sin mis descubrimientos adicionales.

Los lugares de tres y cuatro líneas a los que se hace referencia jugaron un papel importante en las matemáticas desde Euclides hasta Newton. Dadas tres líneas (o cuatro líneas) en un plano, encontrar el lugar geométrico del punto P que se mueve de tal modo que el cuadrado de la distancia desde P hasta una de éstas, es proporcional al producto de las distancias a las otras dos (ó, en el caso de cuatro líneas, el producto de las distancias a dos de ellas es proporcional al producto de las distancias a las otras dos), las distancias medidas a ángulos dados con respecto a las líneas. A través de métodos analíticos modernos, incluyendo la forma normal de la línea recta, es fácil mostrar que el lugar geométrico es una sección cónica –real o imaginaria, reducible o irreducible. Si para el lugar de tres líneas, las ecuaciones de las líneas dadas son A1 x + B1 y + C1 = 0, A2 x + B2 y + C 2 = 0, y A3 x + B3 y + C3 = 0 , y si los ángulos a los cuales las distancias son medidas son

θ 1 ,θ 2 y θ 3 , entonces el lugar de P( x, y ) está dado

por

( A1 x + B1 y + C1 ) 2 K ( A2 x + B2 y + C 2 ) ( A3 x + B3 y + C3 ) = ⋅ . ( A12 + B12 ) sen 2θ 1 A22 + B22 senθ 2 A32 B32 senθ 3 Esta ecuación es, en general, de segundo grado en x y y ; de aquí que el lugar sea una sección cónica. Nuestra solución no le hace justicia al tratamiento que le dio Apolonio en Libro III en el cual más de 50 proposiciones cuidadosamente enunciadas, todas probadas por métodos sintéticos, conducen eventualmente al lugar geométrico requerido. Medio milenio después Pappus sugirió una generalización de este teorema para n líneas, donde n > 4 , y fue contra este problema generalizado que Descartes en 1637 experimentó su geometría analítica. Es así que algunos problemas han jugado un papel importante en la historia de las matemáticas, de la misma manera que lo hicieron los “lugares geométricos de tres y cuatro líneas.”

INTERSECCIÓN DE CÓNICAS El Libro IV de las Cónicas es descrito por su autor para mostrar “en cuántas múltiples formas las secciones de conos se intersecan una a otra,” y está especialmente orgulloso de los teoremas, “ninguno de los cuales ha sido discutido por escritores anteriores,” concernientes al número de puntos en los cuales una sección de un cono interseca “las ramas opuestas de una hipérbola.” La idea de hipérbola como una curva de doble rama fue una novedad con Apolonio y él disfrutó su descubrimiento y las pruebas de los teoremas concernientes a ella. Por ejemplo, él mostró (IV. 42) que si una rama de una hipérbola interseca ambas ramas de otra hipérbola, la rama opuesta de la primera hipérbola no 6 Material preparado por los Profesores Titulares del Curso de Geometría M.C. Martha C. Villalba, M.C. Jorge Ruperto Vargas Castro y M.C. Víctor M. Hernández L. Miembros de la Planta Docence del Programa de Maestría en Ciencias con Especialidad en Matemática Educativa de la Universidad de Sonora para la Maestría en Enseñanza de las Ciencias del Sistema Nacional de Institutos Tecnológicos bajo convenio UNISON-COSNET DAAE/01/2000. Octubre de 2000

intersecará tampoco la rama de la segunda hipérbola en dos puntos; o de nuevo (IV. 54), si una hipérbola es tangente a una de las ramas de una segunda hipérbola con sus concavidades en direcciones opuestas, la rama opuesta de la primera no intersecará la rama opuesta de la segunda. Es en conexión con los teoremas en este libro que Apolonio hace una declaración implicando que en su tiempo, como en el nuestro, había oponentes de las matemáticas puras con muy poco criterio quienes peyorativamente inquirieron acerca de la inutilidad de tales resultados. El autor orgullosamente aseveró: “Ellas merecen ser aceptadas por el beneficio de las demostraciones en sí mismas, del mismo modo como aceptamos muchas otras cosas en matemáticas por esto y no por otra razón.” (Heath 1961, p. lxxiv.) MÁXIMOS Y MÍNIMOS, TANGENTES Y NORMALES. El prefacio al Libro V, con relación a las líneas rectas máximas y mínimas trazadas a las cónicas, de nuevo argumenta que “la materia es una de aquellas que parece merecer su estudio por su beneficio propio.” Mientras que uno debe admirar al autor por esta actitud intelectual elevada, parece ser pertinente señalar que lo que en su tiempo era una hermosa teoría sin ningún prospecto de aplicabilidad a la ciencia o ingeniería en esa época, ha venido a ser fundamental en campos como la dinámica terrestre y la mecánica celestial. Los teoremas de Apolonio sobre máximos y mínimos son en realidad teoremas sobre tangentes y normales a secciones cónicas. Sin un conocimiento de las propiedades de las tangentes a una parábola, un análisis de trayectorias locales sería imposible; y un estudio de las trayectorias de los planetas es impensable sin la referencia a las tangentes de una elipse. En otras palabras, es claro, que fueron las matemáticas puras de Apolonio lo que hicieron posible, unos 1800 años después la obra Principia de Newton; este último, a su vez, proporcionó a los científicos de los 1960´s la esperanza de que algún día un viaje de visita alrededor de la luna pudiera ser posible. Aún en la Grecia antigua los teoremas Apolonianos de que cada cono oblicuo tiene dos familias de secciones circulares era aplicable a la cartografía en las transformaciones estereográficas, usadas por Ptolomeo y posiblemente por Hiparco, de una región esférica a una porción de un plano. Con frecuencia ha sido cierto que en el desarrollo de las matemáticas aquellos tópicos que originalmente pudieron ser justificados sólo por “el mérito de un estudio en su propio beneficio” más tarde resultaron de valor inestimable para el “hombre práctico.” Los matemáticas Griegos no tenían una definición satisfactoria de tangente a una curva C en un punto P , pensaban en ella como una línea L tal que ninguna otra línea pudiera trazarse a través de P entre C y L . Tal vez fue esta falta de satisfacción con su definición lo que condujo a Apolonio a evitar definir una normal a una curva C desde un punto Q como una línea a través de Q que corta la curva C en un punto P y es perpendicular a la tangente a C en P . En su lugar, él usó el hecho de que la normal desde Q a C es una línea tal que la distancia desde Q a C es un máximo o un mínimo relativo. En Cónicas V.8 por ejemplo, Apolonio proporcionó un teorema concerniente a la normal a una parábola el cual ahora, es generalmente parte de un curso de cálculo. En terminología moderna, el teorema establece que la subnormal de la parábola y = 2 px para cualquier punto P sobre la curva es constante e igual a p ; en el lenguaje de Apolonio esta propiedad era expresada en algo como lo que sigue: 2

A es el vértice de una parábola y 2 = px , y si G es un punto sobre el eje tal que AG > p , y, si N es un punto entre A y G tal que NG = p , y si NP es trazada perpendicular al eje intersecando la parábola en P [Fig. 9.6], entonces PG es la línea recta mínima desde G a la curva y, por lo tanto, es normal a la parábola en P . Si

7 Material preparado por los Profesores Titulares del Curso de Geometría M.C. Martha C. Villalba, M.C. Jorge Ruperto Vargas Castro y M.C. Víctor M. Hernández L. Miembros de la Planta Docence del Programa de Maestría en Ciencias con Especialidad en Matemática Educativa de la Universidad de Sonora para la Maestría en Enseñanza de las Ciencias del Sistema Nacional de Institutos Tecnológicos bajo convenio UNISON-COSNET DAAE/01/2000. Octubre de 2000

La prueba dada por Apolonio es típica de la forma indirecta – se muestra que si P´ es cualquier otro punto sobre la parábola, P´G se incrementa conforme P´ se mueve más allá de P en cualquier dirección. También se da una prueba del teorema correspondiente, pero más complicado, concerniente a la normal de una elipse o hipérbola desde un punto sobre el eje; y se muestra que si P es un punto sobre una cónica, solamente una normal puede ser trazada a través de P , tanto si la normal es considerada como un máximo o un mínimo, y su normal es perpendicular a la tangente en P. Note que la perpendicularidad que nosotros tomamos como una definición aquí se prueba como un teorema, mientras que la propiedad de máximos o mínimos que nosotros tomamos como un teorema sirve, para Apolonio, como una definición. Proposiciones posteriores en el Libro V tratan el tópico de las normales a una cónica en tal punto de tal manera que el autor da un criterio que nos permite decir cuántas normales pueden ser trazadas desde un punto dado a una sección cónica.

Estos criterios son equivalentes a lo que podemos describir como las ecuaciones de las evolutas a las

y 2 = px Apolonio mostró en esencia que los puntos cuyas coordenadas 2 3 satisfacen la ecuación cúbica 27 py = 8( x − p ) son posiciones límite del punto de intersección de las normales a la parábola en los puntos P y P´ cuando P´ tiende a P . Esto es, los puntos sobre esta cónicas. Para la parábola

cúbica son los centros de curvatura para puntos sobre la cónica (o sea, el centro de círculos osculadores para la parábola.) En el caso de la elipse y la hipérbola cuyas respectivas ecuaciones son

(

)

x 2 / a 2 ± y 2 / b 2 = 1 , y las ecuaciones correspondientes de las evolutas son (ax )3 ± (by )3 = a 2 ! b 2 3 . 2

2

2

Después de dar las condiciones para las evolutas de una cónica, Apolonio mostró cómo construir una

Q . En el caso de la parábola, y 2 = 2 px , y para Q fuera de la parábola y no sobre el eje, se deja caer una perpendicular QM al eje AK , con medida MH = p , y levantando HR perpendicular a HA (Fig. 9.7). A través de Q se trata una hipérbola rectangular con asíntotas HA y HR que intersecan la parábola en un punto P . La línea QP es la normal requerida como se puede probar mostrando que NK = HM = p . Si el punto Q descansa dentro de la parábola, la construcción es similar excepto que P descansa entre Q y R . Apolonio también dio construcciones, normal a una sección cónica desde un punto

muy probablemente haciendo uso de una hipérbola auxiliar, para la normal desde un punto a una elipse o hipérbola dadas. Debe hacerse notar que la construcción de normales a la elipse y a la hipérbola, a diferencia de la construcción de tangentes, requiere más que una regla y compás. Como los antiguos describieron los dos problemas, el trazo de una tangente a una cónica es un “problema plano”, porque la intersección de círculos y líneas rectas le basta. En contraste, el trazado de una normal desde un punto arbitrario en el plano a una cónica central dada, es un “problema sólido,” porque no puede ser completado por el sólo uso de líneas y círculos, sino que puede ser hecho mediante el uso de lugares sólidos (en nuestro caso, la hipérbola.) Más tarde Pappus criticó severamente a Apolonio por su construcción de una normal a la parábola en lo que él trató como un problema sólido en lugar de un 8 Material preparado por los Profesores Titulares del Curso de Geometría M.C. Martha C. Villalba, M.C. Jorge Ruperto Vargas Castro y M.C. Víctor M. Hernández L. Miembros de la Planta Docence del Programa de Maestría en Ciencias con Especialidad en Matemática Educativa de la Universidad de Sonora para la Maestría en Enseñanza de las Ciencias del Sistema Nacional de Institutos Tecnológicos bajo convenio UNISON-COSNET DAAE/01/2000. Octubre de 2000

problema plano. Esto es, la hipérbola que Apolonio usó pudo haber sido reemplazada por un círculo. Posiblemente Apolonio sintió que el fetiche de la línea y el círculo daría lugar, en su construcción de las normales, al deseo de uniformidad de la aproximación con respecto a los tres tipos de cónicas.

CÓNICAS SEMEJANTES Cuando Apolonio envió al Rey Attalus el sexto libro de las Cónicas, lo describió como proposiciones abarcantes sobre “segmentos de cónicas iguales y desiguales, semejantes y no-semejantes, además de algunas otras cosas que dejaron pendientes aquellos que me precedieron. En particular, usted encontrará en este libro cómo, en un cono recto dado, una sección va a ser cortada igual a una sección dada.” Se dice que dos cónicas son semejantes si cuando son trazadas las ordenadas al eje a distancias proporcionales del vértice, son respectivamente proporcionales a las correspondientes abscisas. Entre las proposiciones más sencillas en el Libro VI, están aquellas que demuestran que todas las parábolas son semejantes (VI.11) y que una parábola no puede ser semejante a una elipse o hipérbola ni una elipse a una hipérbola (VI. 14,15). Otras proposiciones (VI.26,27) prueban que si cualquier cono es cortado por dos planos paralelos definiendo secciones hiperbólicas o elípticas, las secciones serán semejantes pero no iguales. El Libro VII retoma el asunto de los diámetros conjugados y el de “muchas proposiciones nuevas concernientes a los diámetros de las secciones y de las figuras descritas por ellas.” Entre éstas están algunas que pueden ser encontradas en los libros de texto modernos, tales como la prueba (VII.12,13,29,30) de que:

En cada elipse la suma, y en cada hipérbola la diferencia, de los cuadrados de cualesquiera dos diámetros conjugados es igual a la suma o diferencia respectivamente de los cuadrados sobre los ejes.

Existe también la prueba de un teorema familiar que enuncia que si las tangentes son trazadas en los extremos de un par de ejes conjugados de una elipse o una hipérbola, el paralelogramo formado por estas cuatro tangentes será igual al rectángulo sobre los ejes. Se ha conjeturado que el extraviado Libro VIII de las Cónicas continuaba con problemas semejantes, pues en prefacio al Libro VII el autor escribió que los teoremas de este Libro fueron usados en el Libro VIII para resolver determinados problemas cónicos, de esta manera el último libro “es a manera de apéndice”.

FOCOS DE CÓNICAS Las Cónicas de Apolonio, es un tratado de tal extraordinario aliento y profundidad que nos quedamos perplejos al notar la omisión de algunas de las propiedades que nos parecen tan obviamente fundamentales. Así como las curvas se introducen ahora en los libros de texto, el foco juega un rol prominente; aunque Apolonio no le dio un nombre a estos puntos y se refirió a ellos sólo indirectamente. Se presume que él, y posiblemente también Aristeo y Euclides, estaban realmente familiarizados con la 9 Material preparado por los Profesores Titulares del Curso de Geometría M.C. Martha C. Villalba, M.C. Jorge Ruperto Vargas Castro y M.C. Víctor M. Hernández L. Miembros de la Planta Docence del Programa de Maestría en Ciencias con Especialidad en Matemática Educativa de la Universidad de Sonora para la Maestría en Enseñanza de las Ciencias del Sistema Nacional de Institutos Tecnológicos bajo convenio UNISON-COSNET DAAE/01/2000. Octubre de 2000

propiedad de los focos y la directriz de las curvas, pero esto ni siquiera es mencionado en las Cónicas. No existe conceptuación numérica en el tratamiento antiguo de las cónicas correspondiente a aquel que nosotros llamamos la excentricidad; y a pesar de que el foco de la parábola aparece por implicación en muchos de los teoremas Apolonianos, no está claro que el autor hubiera advertido el rol ahora familiar de la directriz. Él parece haber sabido cómo determinar una cónica a través de cinco puntos, pero este tópico, que más tarde sería de mucha importancia en los Principia de Newton, es omitido en las Cónicas de Apolonio. Es muy posible, por supuesto, que algunas o todas de tales atemorizantes omisiones resultaran del hecho de haber sido tratadas en alguna otra parte, en trabajos que ya no existen, por Apolonio u otros autores. Es tal la cantidad de matemática antigua que se ha perdido, que cualquier argumento e silencio es en verdad precario. Más aún, las palabras de Leibniz debieran servir como una advertencia para no subestimar los antiguos logros: “Quien entienda a Arquímedes y Apolonio admirará menos los logros de los hombres que les siguieron en épocas posteriores”.

USO DE COORDENADAS Los métodos de Apolonio en las Cónicas en muchos aspectos son tan similares a los acercamientos modernos que su trabajo en algunas ocasiones es juzgado como una geometría analítica anticipándose a aquella de Descartes por 1800 años. La aplicación de líneas de referencia en general, y de un diámetro y una tangente en sus extremos en particular, es, por supuesto no esencialmente diferente de la usada en un marco coordenado, sea rectángulo o, más generalmente, oblicuo. Las distancias medidas a lo largo del diámetro desde el punto de tangencia son las abscisas, y los segmentos paralelos a la tangente e intersecados entre el eje y la curva son las ordenadas. Las relaciones de Apolonio entre estas abscisas y las ordenadas correspondientes son nada más y nada menos que formas retóricas de las ecuaciones de las curvas. De cualquier modo, el álgebra geométrica Griega no proporcionó magnitudes negativas; más aún, el sistema coordenado estaba en cada caso sobreimpuesto a posteriori sobre una curva dada con el fin de estudiar sus propiedades. Parece no haber casos en la geometría antigua en los que un marco coordenado de referencia fuera propuesto a priori para propósitos de representación gráfica de una ecuación o relaciones tanto retórica como simbólicamente expresado. De la geometría Griega podríamos decir que las ecuaciones eran determinadas por curvas, pero no que las curvas estuvieran definidas por ecuaciones. Coordenadas, variables, y ecuaciones fueron nociones subsidiarias derivadas de una situación geométrica específica; y uno se da cuenta que la visión Griega no era suficiente para definir curvas abstractamente como un lugar geométrico que cumpliera condiciones dadas sobre dos coordenadas. Para garantizar que un lugar geométrico fuera realmente una curva, los antiguos las sintieron de su incumbencia al exhibirlas estereométricamente como una sección de un sólido o describirlas como un modo cinemático de construcción. La definición Griega y el estudio de curvas se comparan desfavorablemente con la flexibilidad y la extensión del tratamiento moderno. De hecho, los antiguos avizoraron casi por completo la parte que de los variados tipos de curvas jugaron en su mundo. Estéticamente una de las personas más dotadas de todos los tiempos, las únicas curvas que encontró en el cielo y en la tierra fueron combinaciones de círculos y líneas rectas. Ellos tampoco explotaron de manera efectiva los dos significados de la definición para curvas que reconocieron. El acercamiento cinemático y el uso de secciones planas o superficies son capaces de una generalización de más alcance, aunque para los antiguos eran familiares escasamente una docena de curvas. Aún la cicloide, generada por un punto sobre un círculo que rueda sobre una línea recta parece haber escapado de su observación. Que Apolonio, el más grande geómetra de la Antigüedad fallara en desarrollar la geometría analítica, fue probablemente el resultado de una pobreza de curvas más que de pensamiento. Los métodos generales no son necesarios cuando los problemas conciernen siempre a un número limitado de casos particulares. Más aún, los primeros inventores modernos de la Geometría Analítica tuvieron toda el álgebra Renacentista a su disposición, mientras que Apolonio necesariamente trabajó no solo con más rigor sino con la más inconveniente herramienta del álgebra geométrica.

10 Material preparado por los Profesores Titulares del Curso de Geometría M.C. Martha C. Villalba, M.C. Jorge Ruperto Vargas Castro y M.C. Víctor M. Hernández L. Miembros de la Planta Docence del Programa de Maestría en Ciencias con Especialidad en Matemática Educativa de la Universidad de Sonora para la Maestría en Enseñanza de las Ciencias del Sistema Nacional de Institutos Tecnológicos bajo convenio UNISON-COSNET DAAE/01/2000. Octubre de 2000