Lecture Notes in Computer Science Edited by G. Goos, Karlsruhe and .I. Hartmanis, Ithaca
11 IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII
II
Computing Methods in Applied Sciences and Engineering Part 2 International Symposium, Versailles, December 17-21, 1973 IRIA LABORIA Institut de Recherche d'lnformatique et d'Automatique
Edited by R. Glowinski and J. L Lions
Springer-Verlag Berlin. Heidelberg. New York 1974
Editorial Board: P. Brinch Hansen. D. Gries C. Moler • G. Seegm(Jller • N. Wirth Dr. R. Glowinski Dr. J. L Lions IRIA LABORIA Domaine de Voluceau - Rocquencourt F - 7 8 1 5 0 Le Chesnay/France
AMS Subject Classifications (t970): 65-02, 65 K05, 65 Lxx, 65 M xx, 65Nxx, 6 5 P 0 5 , 76-04, 93E10, 93 E 25 CR Subject Classifications (1974): 3.1,3.2, 5.1 ISBN 3-540-06769-8 Springer-Verlag Berlin • Heidelberg • New York ISBN 0-387-06?69-8 Springer-Verlag New Y o r k - Heidelberg - Berlin This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means, and storage in data banks. Under § 54 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to the publisher, the amount of the fee to be determined by agreement with the publisher. © by Springer-Verlag Berlin • Heidelberg 1974. Library of Congress Catalog Card Number 74-5712 : Printed in Germany. Offsetdruck: Julius Beltz, Hemsbach/Bergstr.
textes des communications
Ce colloque est organis6 par I'IRIA sous le patronage de l'International Federation for Information Processing.
This symposium is organised by 1RIA under the sponsorship of the International Federation for Information Processing. Organisateurs
Organizers R. Glowinski J.L. Lions
PREFACE
L~e present v o l u m e r a s s e m b l e les travaux p,rEsent4s au Colloque "International sur les MEthodes de Calcul Scientifique et Technique", organis4 par I ' I R I A - L A B O R I A du 17 au Z1 D E c e m b r e 1973, sous le patronage de I'IFIP. C e Colloque a rEuni h Versailles pros de 400 chercheurs et ing4nieurs de tous les pays du monde. L'originalitE des travaux pr~sentEs, la qualit~ de l'auditoire et des questions posEes tout au long du Colloque, attestent de l'extr~me int4r~t scientifique et technique, qui s'attache ~ l'usage des ordinateurs pour le calcul scientifique. Les particuli~rement
organisateurs
tiennent ~ r e m e r c i e r
tout
: Monsieur Monsieur
Andre
DANZIN,
Directeur
Michel M O N P E T I T ,
de I'IRLA
Directeur Adjoint de I'IRIA
L e Service des Relations ExtErieures qui ont p e r m i s
de I'IRIA
l'organisation de ce Golloque.
les confErenciers
N o s r e m e r c i e m e n t s vont, 4galement, k tous et aux diffErents presidents de seance : MM.
J.H. A R G Y R I S A.V. B A L A K R I S H N A N P. BROUSSE J. DOUGLAS D. FEINGOLD B. FRAEIJS de VEUBEKE P. MOREL W. PRAGER E. ROUBINE O.C. ZIENKIEWICZ
qui o n t a n i m 4 d ' i n t E r e s s a n t e s
discussions.
R.
GLOWINSKI
et
Institut de R e c h e r c h e d'Informatique et d'Automatique Laboratoire de R e c h e r c h e de I'IRIA.
J.L.
LIONS
PREFACE
This book contains the lectures which have been presented during the " International Symposium on Computing Methods in Applied Sciences and Engineering " organised by IRIA - L A B O R I A • under the sponsorship of IFIP.(December 17,ZI,1973)
400 people, scientists and engineers coming f r o m m a n y countries attended this meeting in Versailles. The originality of the w o r k presented, the high quality of the audience and the pertinent questions raised during the s y m p o s i u m show h o w important is, at the present time, the scientific and technical interest for the use of computers in applied science and engineering. The organisers wish to express their gratitude to : Monsieur Andr4 D A N Z I N , Monsieur
Director of IRIA,
Michel MOI~PETIT, Deputy Director of IRIA
The IRIA Public Relations Office ~vho have contributed to the organisation of this Symposium.
and to the chairmen
They also address of s e s s i o n s :
MM.
J.H. A.V. P. J. D. B. P. W. E. O.C.
their
thanks
to all the speakers
ARGYRIS BALAKRISHNAN BROUSSE DOUGLAS FEINGOLD FRAEIJS de VEUBEKE MOREL PRAGER ROUB INE ZIENKIEWlCZ
w h o have directed interesting discussions.
R.
GLOWINSKI
J.L.
,~ Institut de Recherche d'Informatique et d'Automatique Laboratoire de Recherche de I'IRIA
LIONS
TABLE TABLE
DES MATIEHES OF CONTENTS
II II
TOME PART
MECANIQUES DES FLUIDS MECHANICS
FLUIDES
Recent advances in c o m p u t a t i o n a l fluid dynamics T. D, Butler .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mdthodes et techniques d'int4gration num4rique a d a p t d e s ~ 1" d t u d e d e s dcoulements plan~taires R. Sadourny ....................................
22
Flow
computations with accurate derivative methods Gazdag .........................................
37
Numerical simulation of the TaylorGreen vortex S.A. Orszag .....................................
50
Probl~mes et m4thodes num4riques en physique des plasmas N tr~s haute tempgrature C. Mercier, J.C. Adam, Soubbaramayer, J.L. Soule ......................................
65
space
J.
Problbmes de contr~le optimal en physique des plasmas J.P. Boujot, J,P. Morera, R. Temam
...................
Probl~mes de stabilit4 num~rique posgs par les systbmes hyperboliques avec conditions aux limites J.J. Smolderen ......................................
R6solution num~rique des 4quations de Navier-Stokes pour les fluides compressibles R. Peyret ........................................
107
135
160
PROBLEMES D' ONDES WAVES PROBLEMS Three dimensional flows around airfoils with shocks A. Jameson .....................................
185
Lage amplitude wave propagation in arteries and veins Y. K i v i t y , R . Collins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213
VIII
increase of accuracy of projectivedifference s c h e m e s G.I. Marchuk, V.V. Shaydourov . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M4thodes num4riques en 41ectromagndtisrne J. Ch. Bolomey ..................................
CONTROLE OPTIMAL
240
261
OPTIMAL CONTROL
T i m e - o p t i m a l control synthesis for non-linear s y s t e m s A flight d y n a m i c e x a m p l e A . V . Balakrishnan ...............................
289
Numerical analysis of problems arising in biochemistry J.P. Kernevez ...................................
312
Sur l'approximation n u m ~ r i q u e d'in4quations quasi-variationnelles stationnaires A. Bensoussan, J.L. Lions . . . . .
325
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gestion optimale des r~servoirs d' une vall4e hydraulique A o Breton~ F. Falgarone .........................
FILTRAGE FILTERING
339
ET IDENTIFICATION AI~D I D E N T I F I C A T I O N
Algorithmes markoviens P. Faurre
de calcul de modules pour fonctions al4atoires
-
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Estimation de p a r a m b t r e s distribu4s dans les equations aux d4riv4es partielles G. Chavent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Adaption de la m 4 t h o d e du gradient k un p r o b l h m e d ' identification de d o m a i n e J. Cea, A. Gioan, J. Michel . . . . . . . . . . Application de la m d t h o d e des 414ments finis h la r4solution d ' un p r o b l ~ m e de d o m a i n e optimal D. B4gis, R. Glowinski . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
352
36!
39t
403
TABLE TABLE
DES MATIERES OF CONTENTS
TOME PART
i I
GENERA GENERA
LITES LITIES
Methods of stuctural optimization W. Prager .................................... Optirnisation et propulsifs singularit~s L. Malavard
des s~yst~mes portants par la m4thode des ..................................
20
Some contributions to non-linear solid mechanics J.H. Argyris, P.C. Dunne .......................... ELEMENTS FINITE
42
FINIS ELEMENTS
One-sided approximation and plate bending G. Strang .................................. Quelques m~thodes d" ~l~ments finis pour le probl%me d ' une plaque encastr~e P.G. Ciarlet ...............................
140
t56
Un nouvel ~l~ment de coques g~n~rales B.M. Irons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
177
Numerical solution of the stationary Navier-Stokes equations by finite element methods P. Jamet, P.A. Raviart ..........................
193
Finite elements method engineering problems B. Fraeijs de Veubeke
224
in aerospace ...........................
Viseo-plasticity and plasticity A n alternative for finite element solution of material nonlinearities O.C. Zienkiewicz ..............................
259
X
Som a superconvergence results for an H-- Galerkin procedure for the heat equation j. Douglas, T. Dupont, M.F. Wheeler
.................
Application de la m~thode des 414ments finis - Un proc4d4 de sous-assemblage J.M. Boisserie .................................. PROBLEMES NON-LINEAR
288
312
NON-LINEAIRES PROBLEMS
Formulation and application of certain primal and mixed finite element models of finite deformations of elastic bodies J.T. Oden ..................................
334
M@thodes num4riques pour le projet d'appareillages industriels avanc4s S. Albertoni ..................................
366
Etude num~rique du champ magn~tique dans un alternateur t4trapolaire par !a m4thode des ~14ments finis R. Glowinski, A. Marrocco ..........................
392
Une nouvelle m4thode d' analyse num~rique des probl~mes de filtration dans les mat~riaux poreux C. Baiocchi .....................................
410
CIRCUITS NETWORKS
ET
TRANSISTORS AND SEMI-CONDUCTORS
Numerical methods for stiff systems of differential equations related with transistors, tunnel diodes, etc.W. Miranker, F. Hoppensteadt .......................
416
Conception, simulation, optimisation d" un filtre ~ I" aide d" un ordinateur A. Guerard .....................................
433
Computing methods in semiconductor problems M, Reiser ....................................
441
Simulation num~rique et du comportement semiconducteurs
D. Vandorpe
de la fabrication des' dispositifs
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
467
MECANIQUE DES FLUIDES FLUIDS MECHANICS
...... ~
RECENT ADVANCES IN COMPUTATIONAL FLUID DYNAMICS*
T. D. Butler University of California Los Alamos Scientific Laboratory Los Alamos, New Mexico 87544 U.S.A.
I.
INTRODUCTION
The use of high speed computers has opened new frontiers for the analysis and understanding of the complex processes in multi-dimensional transient fluid dynamics. Phenomena, heretofore intractable by analytical approaches or either difficult or impossible to study by experimental means, can be investigated in detail by numerical approaches.
One of the most common of the numerical approaches is to approximate
the non-linear partial differential equations that govern the dynamics by finite difference equations and solve them algebraically using the computer. A number of different techniques have been devised to solve these difference equations [see, for example Harlow (1970)].
The purpose of this paper is to briefly
describe two of the more successful and widely used methods:
(i) the Marker and Cell
(MAC) Method for incompressible flows with free surfaces, and (2) the Implicit Continuous-fluid Eulerian (ICE) Method that applies to flows that range from supersonic to the far subsonic regimes.
In addition, some recent refinements and ex-
tensions to the basic methods are reviewed.
However, no attempt is made in this
paper to present detailed descriptions of the methods or their extensions; this is left to the references cited in the text. Because of their general applicability, these two methods have been used to study numerous complex flow problems.
For example, the MAC method, discussed in
Sec. II, has been applied to such diverse problems as free surface flows under sluice gates and behind broken dams, the two-fluid non-linear Rayleigh-Taylor instability problem, the von Karman vortex street, and the run up of waves upon a beach.
More
recently the technique has been applied to problems in three space dimensions for investigations such as the transport of pollutants around structures, the dynamics of intense atmospheric vortices, and free-surface flows around submerged and exposed obstacles. In Sec. III, we discuss the ICE method.
Because of its ability to calculate
flows of arbitrary Mach number, it has been used to analyze the dynamics resulting from intense atmospheric explosions from the early time highly compressible flow
*This work was performed under the auspices of the United States Atomic Energy Commission.
phase to the late time buoyant rise of the fireball.
In addition, it is being used
to study (1) the dynamics of continuous wave chemical lasers including the mixing and chemical reactions between species and the accompanying heat release, and (2) the flow patterns that result when a tritium ion beam impinges on a jet target of deuterium producing neutrons and releasing heat energy in the deuterium jet. II.
THE MARKER AND CELL METHOD
The MAC computing method [Harlow and Welch (1965)] and its simplified version referred to as SMAC [Harlow and Amsden (1970)] are well established schemes that calculate incompressible flows with or without free surfaces.
The methods derive
their names from the Lagrangian marker particles that move through the fixed mesh of cells and represent the flow of fluid.
These techniques are quite general in
their applicability to incompressible flow problems and have been widely used to analyze a variety of flow problems° Briefly~ the MAC technique solves the Navier-Stokes equations subject to the constraint that the divergence of the velocity field must vanish in any local region of the fluid.
This is accomplished in MAC for each computational cell in the mesh.
The pressure field is determined as a consequence of this condition by solving a Poisson-like equation.
S~C
is an improvement over the original MAC because of the
ease of applying the fluid boundary conditions.
Of particular concern in the MAC
scheme is the method of handling the pressures in fictitious cells exterior to the computing region of interest.
SMAC simplifies this handling by assuring a homo-
geneous boundary condition for the pressure at rigid walls. in this section, a new iteration algorithm is described that offers further ease in applying the boundary conditions and eliminates the computation of pressures in fictitious cells altogether.
Hirt and Cook (1972) used this algorithm in their
application of the MAC method to problems in three space dimensions.
In addition,
an improved treatment of the free surface boundary condition is presented. A.
Solution Procedure The governing equations of fluid motion for incompressible flows in two-
dimensional Cartesian coordinates are
~_~u + ~v ax ~Ty = 0
(i)
au + au2 ~uv ~t ~ x + ~y
a!~ + xx ~x ~ +
xy ~y
(2)
~v ~uv ~v2 ~-~+ ~ x + Dy
~ + xy 9y -~--x +
yy_ 8y
(3)
in which u and v are the velocity components
in the x and y directions, respectively~
and ~ is the pressure divided by the constant density.
The stress tensor terms are
given by o XX Oxy
yy
= 2v 3---Eu Ox v
+
(4)
= 2v 3-Zv 3Y
where v is the kinematic viscosity.
Equations
(i) - (3) are written in conservative
form for approximation by finite differences. The grid layout,
shown in Fig. i, indicates
ties within a computational
cell.
the location of the various quanti-
It is noted that the velocities
the cell boundaries with the pressure a cell centered quantity.
are centered on
The diagonal com-
ponents of the stress tensor are likewise cell centered values while the offdiagonal elements are computed at cell vertices.
The i,j indices in this figure
denote spatial position in the computing mesh.
Vi,j*l/2 dlh
l
t q)i,j
~Y Uld/2,j (O"xx)i,j •
t
I I~
(~yy)i,j
Vi,j_ll2 v
~x Figure i
Uid/2,j
As a first step in the solution procedure, intermediate values of velocity, denoted by tildes~ are computed for each cell.
For the x-component of velocity, the
tilde value on the righthand side of cell (i,j) is given by n
~ i
=
1
2 n
2 n
n
i
n
-
,j
i n n 1 n -(Oxx) ~+i, j 1 + ~xx I@i+l,j- ~i,j I + ~x I(°xx )i,j
+ ~yy
(Oxy)~+½,j-½ - (Oxy)i+½,j_~
in which at is the time step and the time levels are indicated by the superscripts. Straightforward averages and centered differences may be used in each term. An analogous formula is derived for the ~i,j+½"
It should be noted, however,
that no intermediate values are computed for velocities located on inflow boundaries, rigid boundaries, or velocities exterior to the computing region of interest.
Thus,
a normal velocity component on a rigid wall remains zero, and the velocity at an inflow boundary is unchanged from its prescribed value. After computing the appropriate tilde components of velocity, the finite difference analogy to Eqn. (I) is not satisfied in general for every cell in the mesh. This necessitates computing modifications to the pressures and velocities using an iteration algorithm. The desire is to find a velocity field consistent with the boundary conditions such that n+l D. • = 0 l,j
(6)
where l t ~ Di, j = ~--~~ui+½, j - ui_~, j) +
(vi,j~~ - vi,j_ ½) ,
(7)
and the superscript in Eqn. (6) refers to the new time level n+l for the velocity values~
In practice, an iteration procedure is used, which changes the cell
pressures and velocities until Eqn. (6) is satisfied within acceptable limits. To initiate the iteration, the tilde velocities for cell (i,j) are inserted into Eqn. (7).
If D. > 0 as a result, there has been a mass loss in the cell; l,j
if D. . < 0, a mass gain. I,] amount ~ i , j
To correct the values, the pressure is changed by an
obtained from the expansion
Dn+l - D. I~D~ i,j l,j = i~Ji,j
6*i'j
and the requirement of Eqn. (6). L0m.
Thus, we have
.
~,J
(8)
where e is an over-relaxation factor that has the range 1 < m < 2.
The denominator
in Eqn. (8) is constant for every cell and is given by
(9)
Once
6~i,j is determined, the quantities are updated:
h+l~
h~
i,j =
h+l
i,j + 6~i,j
h
h+l
h
~t ui_½, j - 6-~ 6~i, j
h
6t vi,jd/ + ~ y ~ i , j
h
6__~t vi,j-½ - 6y 6~i,j
ui_½, j =
h+l v i , j ~~ =
h+l vi,j-½ =
6t
Here, the superscripts denote the iteration level° the mesh.
(10)
This is done for each cell in
These updated velocities are inserted into Eqn. (7) and the process is
repeated until
IDi,n+lj
< e
for all cells.
(ii) Here ~ is the criterion for iteration convergence.
however, in this process the
It is noted,
iteration error is not cumulative from time step to
time step because the residual error from the previous time level is used as a source in the new time level. During the iteration, just as with the tilde values, no modifications are made to velocities exterior to the computing region or to those values that are located on inflow or rigid boundaries.
Hence, this algorithm does not require knowledge of
the pressures in fictitious cells outside the computing region.
B- B o u n d a r y
Conditions
Fictitious ditions
computing ceils are convenient
in applying velocity boundary con-
for use in the convection and viscous stress terms in the momentum equations.
At planes of symmetry and rigid walls,
the tangential velocity is either continuous
with a vanishing gradient in the case of a free-slip boundary zero value at the boundary for the no-slip A further complication cross the cells diagonally.
or reflective with a
condition.
for the calculations
is the case of rigid walls that
In Fig. 2 are summarized
the four sets of conditions
that are required, depending on the spatial location within a cell of the terms in the difference
expression and the type of boundary being studied.
ponents within the rigid wall are specified as indicated ment has proven successful [Amsden (1973)]o
arbitrarily
outflow boundaries.
The tangential
continuous with no special treatment located on the outflow boundary, the calculation.
required for it.
of velocity is assumed
For the normal component
a change is made prior to the iteration phase of
The normal velocity gradient is made to vanish using the tilde
calculation
is needed on the boundary.
proceeds
in the usual manner and modifies all the velocity components to the outflow boundary,
assuring
conditions.
In this approach,
particles, which follow the free surface~ more accurately sition than had previously been done.
These particles
place of the usual Lagrangian marker particles The schematic
and tangential
in the treatment of the
the use of special marker defines the surface po-
are used in addition or in its
diagram in Fig. 3 shows the surface markers within the computing
are used in this algorithm and the subscripts~ respectively.
in the cell
from which the method derives
region; the shaded region below the surface represents
cells~
then
that the continuity equation is satisfied.
Nichols and Hirt (1971) recently reported on refinements MAC free surface boundary
Thus, no
The iteration procedure
adjacent
name.
that
(1971).
for the boundary condition at
component
value of the normal component velocity one cell upstream of the boundary. tilde velocity
This treat-
for boundaries
is found in a recent paper by Viecelli
A special algorithm has proven quite successful continuative
in the figure.
com-
in recent studies of waves running upon sloping beaches
A further discussion of velocity conditions
cross cell boundaries
The velocity
The use of the markers
stress conditions
surface cell is specified
the fluid.
Fictitious
cells
S and F, refer to surface and full
permits the application
at the actual fluid surface.
of the normal
The pressure in the
as a linear interpolation between the full cell pressure
and the pressure that obtains at the free surface as a result of the surface stresses. The distance d in the figure is used in the interpolation
procedure and measures
length from the free surface to the center of the full cell.
the
PARTIAL CELL VELOCrFY CONFIGURATIONS DIFFERENCE EXPRESSIONS
DIFFERENCE EXPRESSIONS 8V,,,,
, aU i
~x
8y
~v
)
auv, au._~v ~x ay
a_~u, a.v , au__2 2 , av__.z 8x o~y o~x 8y
-~ I
V
(0) FREE-SLIP
(b) FREE-SLIP
r
I
~
i.: ~u
(c) NO- SLIP
I-v
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(d) NO- SLIP
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IIII IIIII
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Figure 3
,
Figure 4 illustrates the effectiveness of this procedure by showing the fluid configuration with and without the surface markers for the problem of a fluid sloshing in a rectangular tank. fluid into oscillation.
A cosine-wave pressure pulse at initial time sets the
After repeated oscillations the upper frame shows ripples
appearing on the free surface; these are not present in the lower frame which uses the surface markers.
The ripples result from cell to cell variations in the pressure
that cause fictitious accelerations to particles near the surface.
10
i•iiii•i•!ii•i•••iiiiii•ii••ii,•ii•iii•i!••i•i•ii•i!iiiii
i ii i i!i ::::::::::::::::::::::::::::}::::".:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
i ii!i (;ii;!iiiiiiiiii!iiiiiiiiii!!iiii!i!ilili!ii::i!i!!illi::::i!::::!::!::ii::ii::
Figure 4
11
III. The ICE method
THE IMPLICIT CONTINUOUS-FLUID EULERIAN METHOD [Harlow and Amsden (1971)] has been developed to numerically
solve multi-dimensional,
transient fluid flows of arbitrary Mach number.
The im-
plicit formulation of the solution procedure broadens its applicability to flows ranging from supersonic or compressible to far subsonic or incompressible flows.
In
the incompressible limit, the technique reduces to the MAC method described previously. The ICE solution procedure implicitly solves the mass and momentum equations and uses an explicit calculation for the energy equation.
Harlow and Amsden (1971)
determined the pressure field for the momentum equations by the solution of a Poisson equation.
Here, however, we present a different method, which is a generalization of
the iteration procedure described in the previous section.
The advantage
of such
an approach is the ease of incorporating boundary conditions into the calculations, just as in the case of MAC. Included in this discussion of the ICE method are two other recent developments. Space does not permit detailed discussion of these and only brief outlines of the developments are presented here.
The first is the extension by Butler, et ai.,(1973)
to permit the application of ICE to multi-component, chemically reacting flows with mixing.
The second is a recent investigation by Rivard, et al., (1973) to apply a
truncation error canceling scheme to the difference equations used by Butler, et al. This latter technique improves the stability and accuracy of the computing method by locally sensing the diffusional truncation errors inherent in the difference approximation and minimizing their effect on the calculations.
Numerical examples showing
the effectiveness of this technique are presented. A.
Equations of Motion The mass and momentum equations for transient flows in two space dimensions for
rectangular coordinates are ~_~p + ~pu 3Ov ~t ~ + 7~y = 0
(12)
3o 3o 3pu + 30u 2 3puv = 3pp + xx xy 3t ~ + 3y - 3x ~ + ~y
(13)
Spy ~puv ~t +--~-x +
3pv2 3y
3o 3o ~P + ~--~Y-+ >7 = - 3y ~x 3y
(14) '
where p is the mass density, p is the pressure and the stress tensor components are given by
12
Oxx = 2P ~x + I
*
o
°xy
~
(is)
+
o = 2D Sv /$u Dv) yy ~y + l~-~X + ~-y In these latter expressions ~ and X are the first and second coefficients of viscosity, respectively. Equations (12) - (14) are coupled to an equation for the internal energy, pl:
apI
3plu 3plv 3u 3v (3u 3v) 3t + ~ + --~y = (OXX - p) ~X + (Oyy - P) ~Y + Oxy ~Y + ~X
3 +~x
( k ~x31) + j~ 3
Ikall , ay/ \+ qc + qD
(16)
where k is the heat conduction coefficient, and qc and qD are source terms to the internal energy representing chemical reactions and enthalpy diffusion resulting from multicomponent species diffusion, respectively. These are solved together with an equation of state, in which pressure is expressed as a function of p and I.
For a polytropic gas,
p = (y-l) pl
(17)
where y is the ratio of specific heats. To enable the calculation of multi-component species in the flow field, transport equations for the species are written which include convection, diffusion, and creation or decay by chemical reactions:
3p~ 3t + -~--x +
~y
~x
Prla
3x
+ ~y
Pna
~y
+ (~)c
(18)
In this equation, the subscript ~ refers to the species, ~e is an effective binary diffusion coefficient for species ~ into the multicomponent mixture, and (0~)c represents the source term from chemical reactions. discussed by Butler, et al., (1973).
The exact expression for this is
This equation is solved subject to the con-
straints that N
(19) =
~=i
o
13
and
~x
Pq~
~x
+ ~y
Pn
~y
= 0 ,
(20)
~=i where N is the total number of species. B.
Solution Procedure The finite difference approximations to these equations are similar to those in
the previous section.
The momentum components pu and pv are located on cell bounda-
ries~ just as in the MAC case for u and v.
Cell centered quantities are p, p, and
I, together with the variable coefficients B, X, and k.
The stress tensor components
are located at the positions indicated in Fig. i. For the total mass density equation, we write Pi,j n+l = P~,j + O ~t I ~ r -|[Pu).n+l i ~ L
-2,3-
+ ~
[~~PV),n+l i,~ ~-
" ~n+l tPu)i ~
+=,J1
, ,n+l~ " ]I [pv)1 ,j ~]
(21)
in which ~i,j is determined from quantities at time level n: n
Pi,j
Pi,j + ~t
(1-0) ~x
I
n
(pu) i-~,] ~ . - (pu)~~ , j
_ (22)
+ 6y2 l
IT i , J ~ (n n ) (n n )]} P i , j + l - Pi,j - T i , j - ½ P i , j - Pi,j-i
In these equations, 0 is a parameter used to vary the relative time centering of the convection terms.
It ranges in value from zero for a purely explicit calculation to
unity for a completely time advanced treatment of the convection terms.
The value,
G=.5, is usually chosen for most compressible flow calculations because this choice eliminates first order time errors that arise in the difference approximation. The diffusion terms in Eqn. (22) are added to assure stability of the numerical calculations and yet minimize the effects of the lowest order truncation errors inherent in the finite difference equations.
These errors may result in either ex-
cessive numerical diffusion or insufficient diffusion to stabilize the calculations. The form of the necessary diffusion terms was suggested by Hirt (1968) after examining the stability properties of the non-linear equations.
14
With 0=.5, the expressions for these diffusion coefficients are
ri+½, j = (i + ~) ~
Au
if Au ~ 0
(23)
or
Au
= (i - ~) ~
if Au < 0
9
n n where Au = ui+3/2, j - ui_½, j. The value of { ranges 0 < 6 < i with many problems requiring { < .2.
Analogous ex-
pressions to those in Eqn. (23) are used for the other coefficients in Eqn. (22). This procedure of variable coefficients of diffusion has proven very successful in a wide variety of problems tested.
It has obvious advantages over the scheme
originally proposed for ICE because it automatically supplies the necessary diffusion for stability and applies it only in regions where needed.
The value of { is usually
held fixed and is greater than zero to allow sufficient smoothing to overcome truncation errors of higher order that were neglected in the error analysis. Similar expressions to Eqns. (22) and (23) have been derived for each of the ICE difference equations.
The report by Rivard, et al., (1973) presents them in de-
tail, and we shall not repeat them here.
However, the ealculational examples at the
end show their effect over using usual artificial viscosity stabilizing methods. The finite difference approximation to Eqn. (13) is • .n+l iPu)i+½,j
=
~,3-
÷
~t ~x
l;i,j-
;i÷l, l
where the tilde value is computed from quantities at time level n and the p values are found by iteration in satisfying the mass equation.
The intermediate momentum
component is written (p~)iqj~, j = (@u)ni+~,j + 6t I n1 ~ [P i,j - Pi+l,jn+ (@u2)i,j - (Ou2)i+l,j
+ (Oxx)i+l, j - (dxx)i, j
+ (~) xy
i+~, 3+~
11[
(puv)i+~,j- ½ - (puv) i+1~,j~
- (~xY)i+½, j-½ II
neglecting the truncation error cancellation terms. are computed
+ ~y
(25)
The terms on the right hand side
using straightforward averages and centered differences of the quanti-
ties at time level n.
Difference equations similar to Eqns. (24) and (25) are found
~n+l for kPv)i "q4 in solving Eqn. (14).
15 New values of total mass density and momenta for the time step are found in the same way as described in Eqns. (6) - (ii).
Di,j = Pi,j - Pi,j + @ St ~X
In this case, however, we define
(Pu)i+½,j - (Ou)i-½,j
(26) and ~0D.
~i, ~ j = -
.
1,3 (~pD__)i,j
(27)
The denominator is evaluated as
+
in which(e2)i,j is the square of the sound speed determined from the equation of state using the definition ~~p
=e
Once d P i , j
is determined the quantities
a r e u p d a t e d as i n Eqn. ( 1 0 ) :
h+l -h_ Pi,j = Pi,j + 6Pi,j h+i
h Pi,j
Pi,j +
~PA,j 2 (e)i,j
h+l(pu)i+½, j = h(pu)i~, j
~t + ~x g-Pi,j
h+i(Ou)i_½,j = h(pu)i_½, j
6t -- ~-~ ~Pi,j
6t -h+i(ov)i,j+½ = h(pv)i,j+ ½ + ~y ~Pi,j -h+l(pv) i,j_½ = h(pv) i,j_ ½ - ~t ~--y ~Pi,j
(28)
16 The superscripts denote the iteration levels.
These updated quantities are substi-
tuted into Eqn. (26) and the process is repeated in all computing cells until
With the completion of the iteration procedure, new velocities are determined from the momenta and densities: n+l = ui-~,j
. . n+l ~pu) i+;~~$ . / n+l n+l ? ~ P i , j + Pi+l,j] (29)
n+l Vi,j+½ =
. .n+l LPV2 i~ j+½ ~ /--~i n+l
°~Pi,j + ~i,j+iJ
?
These updated values of velocity and pressure are used in the explicit calculation for the internal energy:
( ~,n+l n I 1 I pl) i,j = (Pl) i,j + 6t ~x (pTu)i-½,j - (plu)i+½,j + (~XX - P~i,j
+ ~y
i (pIv) i,j.$1~ -
/n+l n+l ~] ~ui-~i,j - Ui-½,jJ~
/ n+l n+l \] (plv>i,j+½ + (Oyy - p-)i,j IVi,j+½ - vi,j_½)]
+ (Oxy) i,j I~y / n+l
n+l ~ n+l n+l \] ~ui,j+½ ui,j½J +~x1 /~vi+~j vi½j) i
--i ki+½,j (in i+l,j i n i,j )
- ki-½,j
~y2
- ki,j-½
+ ~x21
+(qc)i,j
n,j+l
+ (qD)i,j 1
(in i,j
n
- li-l,j
)I
~',j - in,j -
(30)
in which the convection terms are formed by straightforward averages o£ the internal energy at time level n and the new velocities.
17
Explicit calculations are also made to determine the new species densities. The difference approximation to Eqn. (18) is given by
= (p~)
pe ) i,j
+ 6t ~x
(p u)
i,j
- (p u) i-½,j
] +~y
(p v)
i~i,j]
i,j-~
- (PeV) i,j+½ ]
+ -!'-z l (pn~) i+~,j [(pc/p) i+l,j -(Pc/P)]i,j J 6x 2 -(prl )[(po./p) i-½,j ~y2
i,j
i,j-~i
i,j-½
- (p~/p) i-l,j 11 i,j+l
i,j
1,3 J
i,j-l]
(31)
The convection terms again are formed using species densities at time level n and the new velocities.
In order to ensure strict mass conservation, N-I species trans-
port equations are solved with the N th species determined using Eqn. (19): n+l (p N '~n+l . . = Pi,j 1,3
N-I E ~=i
. .n+l ~P~) i,j
"
(32)
A special algorithm has been developed to impose the constraint of Eqn. (20). The essence of the algorithm is to simultaneously consider the diffusion terms for each species in Eqn. (31) and ensure that no net mass transport is accomplished during the time step by the diffusional process.
This is achieved by monitoring
the diffusional fluxes across each boundary of the computing cell and limiting the amount of diffusion such that Eqn. (20) is satisfied. C.
Example Calculations An often used treatment to assure numerical stability of the calculations is to
use fictitiously large values of the viscosity coefficients,
B and I, to overcome
the effects of truncation errors resulting from the difference approximations. Harlow and Amsden (1971) state the choices for p and I in such an approach are given by: 2 ~t + pmax p, % >~ 3/2 p u max
(3U~x2 7x ax
(33)
18
where the subscripts velocity gradients stability,
refer to the maximum values
in the computing mesh.
may produce large inaccuracies
excessive numerical diffusion.
for the velocity,
in the calculational
This is especially
primarily in one coordinate direction,
density and
This choice, while ensuring numerical results because of
true when the flow is directed
such as in the case of flow down a uniform
channel. Consider
the flow configuration
shown schematically
in Fig. 5.
A perfect gas,
with specific heat ratio 7 = 1,4, enters on the left with a velocity profile symmetric about the centerline from a magnitude centerline. channel,
of the channel.
u = 1.0 at the adiabatic~
The flow is everywhere
The horizontal velocity grades linearly free-slip
channel walls to u = 0.2 at the
supersonic with a uniform temperature
across the
and the flow Mach number based on the velocity at the walls is M = i0.0.
The right boundary of the computing region is a continuative this configuration
for an inviscid fluid~
problem has no x-dependence
outflow boundary.
With
the exact solution of this idealized
at steady state with the inflow velocity profile repro-
duced at any axial location downstream of the inflow boundary. ~\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
~
w
i
A diabait ic / Free-Sl pwalls ~
Outflow
~///////////////////////////~//// Figure 5
The results of two different
calculations
of this problem are summarized
Fig. 6.
6(a)
-
-
-
6(b)
Figure 6
in
19
Both calculations started with identical initial conditions of a uniform velocity u = 1.0 in all cells except those at the left boundary.
These are plots of the
velocity vectors in each cell after the flow has achieved steady state.
Fig. 6(a)
shows the velocities computed using the criteria for ~ and % given in Eqn. (33), which are essentially the minimum values for stability.
In this case, the centerline
velocity is accelerated down the length of the channel and the wall velocities drop in magnitude until an almost uniform velocity profile is produced at the outflow boundary~ a consequence of the fictitious
viscosity acting in the transverse
direction. The calculation shown in Fig. 6(b) is that using the truncation error cancellation method of Rivard, et al., (1973) to achieve stability.
Excellent agreement
is noted in this case with the velocity field at each axial location corresponding to the inflow profile to within less than 0.2% error. As a more comprehensive example problem, we consider the flow in a continuous wave chemical laser.
The flow configuration is that shown schematically in Fig. 7.
Computing Region
Figure 7 A series of two-dimensional slit nozzles flowing a mixture of F, He, and DF are alternately interspersed with split nozzles admitting H 2 and He.
Downstream of each
pair of nozzles, the H 2 and F mix and react exothermically to produce vibrationally excited HF molecules, which serve as the lasing medium.
The computing mesh extends
from the nozzle exit plane downstream to a ¢ontinuative outflow boundary with symmetry boundaries at the top and bottom.
The vertical span for the mesh extends from
the centerline of the hydrogen stream to the centerline of the fluorine stream.
The
Mach number of the flow exiting the lower nozzle is M = 3.5 and for the upper nozzle, M=3.7.
20
Figure 8(a) shows the steady state velocity vectors from the calculations using ~ and % obtained from Eqn. (33), and Fig. 8(b) shows the results using the truncation error cancellation method. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8(a)
8(b)
~ _ . _ i _ . ~ ~ -
,.
_..-....--.,_..---....,..--
Figure 8 In (a), the inflow velocity profiles are rapidly smoothed downstream because of the excessive kinetic energy dissipation brought about by the artificially high values of viscosity necessary for stability.
Such is not the case in (b).
In addition,
the reeirculation region in the upper left corner of the mesh is much more pronounced in (b) and a shock caused by the collision of the H 2 stream with the upper symmetry boundary is seen in (b) but is not present in (a) because of the large kinetic energy dissipation.
21 IV.
REFERENCES
Amsden, Ao A., "Numerical Calculation of Surface Waves: A Modified ZUNI Code with Surface Particles and Partial Cells," Los Alamos Scientific Laboratory Report LA-5!46 (1973). Butler, T. D., Farmer, O. A., and Rivard, W. C., '~ Numerical Technique for Transient, Chemically Reactive Flows of Arbitrary Mach Number," Los Alamos Scientific Laboratory Report to be published (1973), Harlow, F. H. and Welch, J. E., Phys. Fluids 8, 2182 (1965). Harlow, F. N., "Numerical Methods for Fluid Dynamics - An Annotated Bibliography," Los Alamos Scientific Laboratory Report LA-4281 (1969). Harlow, F. H., and Amsden, A. A., J. Comp. Phys. ~, 322 (1970). Harlow, F. H., and Amsden, A. A.,J~ Comp. P~S" ~, 197 (1971). Hirt, C. W., J~ Comp. Phys. 2, 339 (1968). Hirt, C. W. and Cook, J. n., J~ Comp. Phxs. i0, 324 (1972). Nichols, Bo D. and Hirt, C. W.,J~ Compo Phy_ss. 8, 434 (1971). Rivard, W. C., Butler, T. D., Farmer, 0. A., and O'Rourke, P. J., "A Method for Increased Accuracy in Eulerian Fluid Dynamics Calculations," Los Alamos Scientific Laboratory Report LA-5426-MS (1973). Viecelli, J. A., J. Comp. Phys. ~, i19 (1971).
METHODES
ET T E C H N I Q U E S
ADAPTEES
A L'ETUDE
DES E C O U L E M E N T S
Robert Laboratoire Centre
national
D'INTEGRATION
NUMERIQUE
PLANETAIRES
Sad0urny
de M @ t @ o r o l o g i e
dynamique
de la R e c h e r c h e
scientifique
Paris
I. I N T R O D U C T I O N
L~6cou!ement
atmosph@rique
quasi-stationnaire° sures,
effectu6es
mettant
dans
de k -3.
(1967),
MOREL
consid~r~
r@partition
dans
(1973)).
d'@nergie
suit une
la t u r b u l e n c e
en k -3 c o r r e s p o n d
Elle depend
Etroitement intEgrale
simplement
qui
(1973)) r6gime
appara[t
~ tr6s
a permis en k -3,
les plus
a toutefois
des grandes
la forme
aujourd'hui de modules
grand n o m b r e de mettre
d~velopp6
les petites
amplement
de R e y n o l d s
en 6 v i d e n c e d'enstrophie que
spectral
l'enstrophie
analogue
R@cemment,l'int@-
(ANDRE,LESIEUR d'un
vers
l'application
bidimen-
et POUQUET @tat de
les
de cette
approch@e. dans
uni-
de
de la t u r b u l e n c e
constant
est
L'@tat
La th@orie
confirm@e.
inva-
du rota-
@chelles.
l'apparition
se faire que de fagon une th@orie
d'un
par un taux de t r a n s f e r t
du spectre.
La
de
du carr@
Dans un domaine
peut
par con-
connue
de l ' e x i s t e n c e spatiale
stochastiques
I1 est certain
ne peut
vers
6chelle
ob~issant
ni dissipation,
est c a r a c t E r i s @
~ transfert
courtes.
l'atmosph~re
sources
~ lui seul
temporelle
sionnelle
inviscides.
sans
statistique impose
KOLMOGOROV gration
~ dire
transfEr@e
d'Equilibre forme,
les E q u a t i o n s
c'est
en @vidence aux ondes
bidimensionnelle.
~ la loi bien
per-
loi voisine
de grande
et non divergent,
de
l'enstrophie,
pour
On a Du mettre
le spectre
riant quadratique:
inertiel,
r@elle,
plan@taires
horizontal
de me-
cin@tique
des ondes
l'6coulement
~ r@gime
nombre
l'atmosph@re de l'6nergie
KOLMOGOROV-OBUKHOV.
tionnel,
turbulent,
certain
allant
statistiques
spectrale
d'un
spectrale
approximation,
comme
aux lois
mani~res
etNECCO
spectral
200 km environ,
En p r e m i e r e
s@quent
est un @ c o u l e m e n t
aujourd'hui
la r 6 p a r t i t i o n
un domaine
d'@chelle
@tre
de diverses
d'6valuer
(WIIN-NIELSEN que,
On dispose
6chelles th@orie
CHARNEY
(1971)
le cas d'un @ c o u l e m e n t
23
tridimensionnel quasi-g~ostrophique,
analogue ~ l'~coulement atmosph~-
rique ~ grande ~chelle.
Le domaine spectral dont nous parlons est le domaine qui correspond justement aux modules num~riques actuels de circulation g~n~rale. En effet,
~tant donn~ le grand hombre de param~tres physiques
nant dans la d e s c r i p t i o n de l'~tat de l'atmosph~re, la longueur de certains calculs
(en particulier,
interve-
et, d'autre part,
l'inclusion des
~changes radiatifs dans les sources d'~nergie) , le degr~ de d ~ v e l o p p e ment actuel des calculateurs limite la r~solution ~ une centaine de kilom~tres environ.
Dans ces conditions,
faqon c o n v a i n c a n t e l'atmosph~re r~elle,
si l'on veut representer de il importe d ' a c c o r d e r une
attention p a r t i c u l i ~ r e aux m~canismes de transfert.
Des progr~s impor-
tants dans ce sens ont ~t~ accomplis dans les ann~es soixante. premier, A R A K A W A
(1966)
Le
a introduit l'enstrophie comme invariant
formel au niveau des ~quations tronqu~es, r~aliste des interactions non lin~aires.
o b t e n a n t ainsi un bilan plus Simultan~ment,
l'introduction
par S M A G O R I N S K Y d'une p s e u d o - v i s c o s i t ~ non lin~aire peut ~tre consid~r~e comme la premiere tentative de p a r a m ~ t r i s a t i o n des interactions entre les modes e f f e c t i v e m e n t repr~sent~s par le module,
et les modes
situ~s au-del~ de la troncature.
II est clair que les modules tronqu~s sans d i s s i p a t i o n d'enstrophie, m~me dans le cas de schemas d'ARAKAWA, faitement les m~canismes de transfert, bloqu~s ~ la troncature.
r e p r ~ s e n t e n t tr~s impar-
dans la mesure o~ ceux-ci sont
Leurs ~tats d ' ~ q u i l i b r e statistique propres
seront f o n d a m e n t a l e m e n t diff~rents de celui de l'atmosph~re, non r~gis par un transfert uniforme d'enstrophie. ~tant donn~ un n~od~le inviscide tronqu~, ~tats d ' ~ q u i l i b r e statistique
puisque
On peut d'ailleurs,
calcu!er t h ~ o r i q u e m e n t ses
(au moyen des m~thodes classiques de la
m ~ c a n i q u e statistique ~ hombre fini de degr~s de libertY) , v ~ r i f i e r num~riquement
la tendance vers ces ~tats d ' ~ q u i l i b r e
(ergodisme), et
constater qu'il ne s'agit pas de spectres en k -3. On peut consulter ce sujet:
ORSZAG et FOX
(1973), BASDEVANT
(1973). Pour r e t r o u v e r un
~tat de r~gime analogue ~ celui de l'atmosph~re r~elle,
il convient
par c o n s e q u e n t d'ajouter au module inviscide une d i s s i p a t i o n repr~sentant le transfert r~el d ' e n s t r o p h i e ~ la troncature.
La cl~ de ce
p r o b l ~ m e est une th~orie statistique des interactions entre les mouvements explicites du module et les mouvements d'~chelle plus petite. Cette th~orie doit faire appel ~ un certain hombre d ' h y p o t h ~ s e s simplificatrices.
Entre autres,
il est naturel d'admettre
l'isotropie
24
et l ~ h o m o g @ n @ i t @
statistique des m o u v e m e n t s d'@chelle
une centaine de kilom~tres. fond@e.
Toutefois,
Cette h y p o t h ~ s e est p h y s i q u e m e n t bien
les modes dont on repr@sente
sont d@finis dans le module com~e t o u s l e s la troncature. coh@rente,
inf6rieure
Ii importe donc,
ainsi
l'influence
modes externes par rapport
si l'on veut une p a r a m @ t r i s a t i o n
de d~finir celle-ci de la faqon la plus h o m o g ~ n e et la plus
isotrope p o s s i b l e sur la totalit@ de la sphere.
Les t r a n s f e r t s d'enstrophier actions non lin6airess
ou, plus g@n6ralement,
les inter-
ne sont pas les seuls processus n @ c e s s i t a n t une
@ v a l u a t i o n s t a t i s t i q u e des p h @ n o m 6 n e s de petite @chelle au n i v e a u des @quations tronqu6es~
En effet,
d'~nergie extr@mement Par exemple, cumulus,
i m p o r t a n t e s ~ des ~chelles
inf~rieures ~ i00 km.
les p h 6 n o m 6 n e s de convection associ6s ~ la p r 6 s e n c e de
et les @ c h a n g e s @ n e r g 6 t i q u e s
consid6rable
c o r r e s p o n d a n t s ont une influence
sur l ' @ c o u l e m e n t de plus grande 6chelle,
de chaleur latente, @chelle.
il existe dans l'atmosph@re des sources
par d 6 g a g e m e n t
effet r a d i a t i f et induction de subsidence ~ grande
II est bien s~r hors de q u e s t i o n de r e p r @ s e n t e r i n d i v i d u e l l e -
ment chaque cumulus, c i r c u l a t i o n g~n@rale.
et les effets qu'il provoque,
dans un module de
Les m ~ t ~ o r o l o g i s t e s ont ainsi ~t@ amen@s ~ se
poser le p r o b l ~ m e de la p a r a m @ t r i s a b i l i t 6 de ces ph@nom~nes. premi6re
th@orie statistique v 6 r i t a b l e m e n t
ARAKAWA(1973).
La
s a t i s f a i s a n t e est due
L ' o c c u r r e n c e et l ' i n f l u e n c e des cumulus sont p a r a m @ t r i -
s6s en fonction des variables p h y s i q u e s nant certaines hypotheses,
r @ p a r t i t i o n n u a g e u s e probable. tale des nuages,
~ plus grande @chelle, moyen-
dont des h y p o t h 6 s e s de structure sur la On se donne ainsi une r @ p a r t i t i o n spect-
d @ p e n d a n t d~un simple p a r a m @ t r e scalaire k, assimila-
ble ~ un facteur d'@chelle.
Ces h y p o t h e s e s d ' h o m o g 6 n 6 i t @
s t a t i s t i q u e s de la r @ p a r t i t i o n nuageuse
et d ' i s o t r o p i e
sont i n s @ p a r a b l e s d'une
r @ s o l u t i o n h o m o g 6 n e et isotrope de l ' @ c o u l e m e n t de grande 6chelle.
Si iron c o n s i d 6 r e
le p r o b l 6 m e sous cet angle,
(tr@s fr@quente jusqu'A ce jour) sph@riques
(longitude-latitude)
l'utilisation
de r 6 s e a u x r~guliers en coordonn6es n'est pas v r a i m e n t appropri@e.
La
r @ s o l u t i o n e s t - o u e s t devient de plus en plus fine ~ mesure que l'on se r a p p r o c h e des pSles,
l ' @ i o n g a t i o n des mailles dans le sens nord-sud,
plus en plus accentu@e,
et les modules de p a r a m @ t r i s a t i o n ,
en moins
On sait par ailleurs que,
satisfaisants.
pas temporel~ gravitY,
de moins
sur ces r@seaux,
le
li6 aux conditions de stabilit@ pour les ondes de
est tr~s faible eu @gard ~ la r 6 s o l u t i o n effective dans les
latitudes moyennes~
(Ce dernier i n c o n v @ n i e n t peut @tre @limin@
de
25
toutefois,
si l'on proc~de ~ un filtrage syst~matique des ondes cour-
tes au voisinage des p~les.)
Des modules spectraux, bas~s sur le
d ~ v e l o p p e m e n t des fonctions scalaires en s~ries tronqu~es d ' h a r m o n i q u e s sph~riques,
ont ~t~ d~velopp~s r~cemment,
et al. (1970). N~anmoins, adapt~s
~ la r e p r e s e n t a t i o n des sources physiques d'~nergie,
p h ~ n o m ~ n e s de petite ~chelle. coordonn~s
D'une faqon g~n~rale,
ni des
l ' u t i l i s a t i o n de
sph~riques est peu compatible avec une d i s c r ~ t i s a t i o n
quasi-uniforme me,
en p a r t i c u l i e r par E L I A S S E N
de tels modules ne sont pas p a r t i c u l i ~ r e m e n t
sur la sphere.
Par exemple,
sur un r~seau q u a s i - u n i f o r -
les a c c r o i s s e m e n t s en longitude ne tendent pas uniform~ment vers
z~ro quand le module g~om~trique du r~seau tend vers z~ro. Ceci conduit,
dans
le cas d'~quations aux differences,
c o n s i s t a n c e aux p~les.
~ des d~fauts de
Les consequences pratiques sont, entre autres,
une d i s t o r s i o n des ondes,
ind~pendante de la r~solution.
tons ici l'abandon des coordonn~es sph~riques,
Nous propose-
au profit d'une
r e p r e s e n t a t i o n plus adapt~e ~ une d i s c r ~ t i s a t i o n quasi-homog~ne, quasi-isotrope
, de l'~coulement.
II. R E P R E S E N T A T I O N POLYEDRALE
Nous p r e n d r o n s pour exemple une forme tr~s simplifi~e des ~quations du probl~me,
~ savoir les ~quations qui gouvernent
ment d'une eau peu profonde,
de densit~ uniforme,
l'~coule-
~ surface libre.
La
m~thode utilis~e se g~n~ralise n a t u r e l l e m e n t aux ~quations compl~tes d'une atmosphere en ~quilibre hydrostatique.
Si l'on d~signe par ~
le
vecteur vitesse h o r i z o n t a l , e t par ~ le g~opotentiel de la surface libre,
les ~quations sont les suivantes:
~-{ +~
(f+rot$) ~ × ~ + grad(~+~V--~ , 2) = 0
(I)
f repr~sente plan~te,
ici le rotationnel d ' e n t r a i n e m e n t dQ ~ la rotation de la
k le vecteur unitaire normal ~ la sphere.
les op6rateurs de d @ r i v a t i o n sph@riques.
Les op@rateurs
sont
L ' @ c o u l e m e n t 6tant bidimen-
26 sionnel,
les rotationnels
On consid@re
un poly@dre
que ~ la sphere S. Dans un icosa~dre. leur centre s'applique
~ des scalaireso
r@gulier P, que l'on suppose
la pratique,
On d@signera
commun.
par ~
P sera un cube,
la projection
de P sur S ~ partir de
sph@rique
la sph6re S. Dans chaque
S n. L'ensemble
)n" Ces coordonn@es
curvilignes
constituent
dans S n. La m6trique
des polygones
Sn
face Pn ~ on se donne un rep6re
--~ )n' et le syst~me de coordonn~es ( -~ else2
orthonorm6
concentri-
ou de pr@f@rence
Dans la p r o j e c t i o n T~, chacune des faces Pn de P
sur un polygone
reconstitue ( xl'x2
sont assimil@s
correspondant,
un syst~me de coordonn@es
locale est d6finie par le tenseur
sym6trique :
gij =
~M
~M
~x i"
~x j
o~ M est un point de S n. On d6finit @galement
le facteur d'aire:
1 g = ; d~t On d~signe par Pnm l'intersecti°n tion de S n e t
de
de Pn et de Pm r par Snm l'intersec-
Sm~ par N le nombre des faces du poly~dre
Dans ces conditions~
P.
un champ scalaire ~ de classe C 1 sur la
sphere S ~st d@fini par N champs moyennant,
(gij) I ~
comme conditions
~ ( x l , x 2) de classe C 1 sur Pn'
aux limites~
la continuit@
de ~ et de
g ~ a d ~ sur les fronti6res P . De fagon analogue, un champ de vecteurs __~ nm V de classe C. sur S est d6fini par 2N champs de composantes covarian,
,
ces Ui[X
1
moyennant
2, I
,X ), OU contravariantes la continuit6
ui(xl,x 2) , de classe C 1 sur Pn'
de V, rotV,
divV sur les fronti~res
Si l~on se place dans une face S n, les @quations
. ~ui + 813 uj at
~Ul (gf+~kl~xk)
(2)
~-[ + %x ~
~ --~ + -~X l
1 k (%+~uku)
=
P nm
(1) s'@crivent:
0
27
o~
£
13
est le tenseur antisym@trique:
621
Sur les ar~tes Snm' entra~nent dans S
m
622
1
0
les conditions aux limites indiqu@es plus haut
naturellement
que
tes
~quations
(2)
exprim@es
dans
S
n
et
coincident.
L ' 6 n e r g i e du syst@me est d@finie par: {
E = /(~2
÷ ~ v 2 ) dS
h
et sa masse, par:
M
=
Le fait que ~ soit une variable positive ne pose pas de probl~me dans les int@grations num@riques,
car elle varie relativement peu devant sa
valeur moyenne.
La variable d@pendante du probl~me est le vecteur fonction de l'espace-temps:
Ii est commode d'introduire,
d'une part,
(X,X') =
( V.V' +
le produit scalaire:
' ) dS
S
et, d'autre part,
l'op@rateur de d@rivation D, d@fini par:
div V / L ' o p @ r a t e u r D poss~de la propri@t@ d'etre a n t i h e r m i t i e n par rapport au produit scalaire.
La c o n s e r v a t i o n de la masse et celle de l'@nergie se
d@duisent directement de cette propri~t@.
28 Par
exemple~
la c o n s e r v a t i o n
(3)
(Y,DY)
de
y = +iv2 Dans
chaque
de
i
la r e p r @ s e n t a t i o n ~ p o l y @ d r a l e , dans
se d @ d u i t
= 0
avec
re p a r t i e l
l'@nergie
polygone
on d 6 f i n i t
un p r o d u i t
scalai-
sph@rique: f
(X,X')
=
/
( V.V'
Js
n
+
~9'
) dS
n
Une
fois
pondant,
la s o m m a t i o n
exprim@e
dans
le s y s t A m e
de c o o r d o n n @ e s
corres-
on o b t i e n t
= (4)
g~
(X'DX) n
~ u dc I dc 2
m nm
dc 6 t a n t
l~61@ment
polygone
Sn~
Sur
de c o u r b e
l'ar@te
sur
Pnm'
(n)
Snm,
les
orient6e
conditions
positivement
aux
limites
autour
d@j~
du
donn@es
entrainent: u1
TUl
u2
dc I dc 2
= -
Idcl
U
2
dc2
(m)
(n) de
sorte
que
les r e l a t i o n s
(4) @ q u i v a l e n t
~ dire
que
l'op@rateur
homog~ne
sur
la sphere
D est
antihermitien.
On d 6 f i n i t discr6tisant r@seau des
faqon
r@gulier
conditions
divers sur
de
r@seaux
les a r @ t e s
un r 6 s e a u
R ~ peu pr6s
identique
chaque
R n, et en p r o j e t a n t aux
limites,
R n, qui P
d@finit
nm une t r o n c a t u r e
voisins
ont
~ p e u pros de
r@seaux
l'icosa6dre, homog~ne
l'ordre
isotrope
Pn du p o l y @ d r e sur
~ consid6rer des
le cas de
une v a r i a t i o n
moyenne) , et ~ p e u pr6s
on aura
constituent
.Dans
face
l'ensemble
(la p r e s q u e
r@guliers le r 6 s e a u
autour
totalit6
un
A cause
intersections
(les d i s t a n c e s
du d i x i 6 m e
suivant
la sphere.
les
en
partiels
Rnm
r@sultant entre
de leur des
des
points valeur
points
29 poss6de six voisins imm@diats,
~ l'exception des sommets du poly@dre,
qui n'en poss@de que cinq; on conna[t les tr~s bonnes propri6t@s d ' i s o t r o p i e des r6seaux triangulaires r6guliers). (figure i)
NORTH POLE
SOUTH POLE
FIGURE
i.
On se propose de d@finir des formes discr@tis@es des @quations (i) p o s s 6 d a n t des propri@t@s de conservation analogues.La d@riv@e par rapport au temps ne sera pas discr@tis@e.
La masse et l'@nergie du
syst@me discret seront d@finies de la fagon suivante.
30
•E' = ,:s2
~
(@2 + ~V 2 ) gl R
\ M ~ =
S
/
gl R
s 6tant l~aire de la maille des r 6 s e a u x Rng divis@e par le nombre de sommets de la maillet
et 1 le n o m b r e de mailles par point sur le
r @ s e a u R. Ce d e r n i e r est uniforme, introduit 6 g a l e m e n t
sauf aux sommets du poly@dre.
On
le p r o d u i t scalaire:
< x,x'> =
s /
v.v' + 99' ) gl R
les fonctions X~ X ~ @tant d@sormais discr@tes.
Ii s'agit donc de
d@finir une d i s c r 6 t i s a t i o n D' de D, v ~ r i f i a n t la propri@t@:
< X, D ' X >
(5)
= 0
Si l'on se place ~ l~int@rieur d'une face Pn' on d@finit le produit scalaire partiel:
< X,X'>n =
(
s
V.V' + ~(~'
) gl n
R n
o13. 1
est le nombre de mailles par point dans !e r@seau R . Ii diff6re n n de sa valeur normale i sur les fronti@res P . On a dans ces c o n d i t i o n s nm
<x,x'>
: ~<x,x'> n
Pour assurer la propri@t@
(5) ~ il suffit de d6finir une d i s c r @ t i s a t i o n
Dn! d e D s u r
l~on
(6)
Rnr
telle
que
< X,DnX > n
=
ait
~
la
Bnm( m
relation
g~ '
(analogue
~
u12j cI
~2 (n)
(4))
31
Bnm @tant, pour les fonctions discr~tes d@finies sur Rnm, une forme bilin6aire,
telle que:
(7)
B
= B
nm
mn
et c I , c 2 les composantes d'une d i s c r 6 t i s a t i o n de dc. L ' o p 6 r a t e u r D' est ensuite d@fini de la faqon suivante: (a) en dehors des r@seaux Rnm, en prenant D'=D' n (b) aux points des r@seaux Rnm, en prenant D' @gal ~ la moyenne !
des op6rateurs Dn, affect@s des poids in, pour t o u s l e s
r@seaux R n
auxquels appartient le point. Dans ces conditions,
(6) et
(7) entraSnent bien la propri~t6
(5).
Dans la mesure o~ toutes les ar@tes jouent un r@le 6quivalent, il est naturel d ' i m p o s e r aux B
d'@tre toutes @gales ~ une forme nm b i l i n 6 a i r e unique B, condition qui entra~ne (7). Ii suffit pour cela !
que D n soit invariant dans les automorphismes propres)
(rotations et sym6tries
T n de R n.
(8)
T
Dans la pratique,
n
D'
n
T -I
n
=
D'
n
il suffit de partir d'un op~rateur de d~riva-
tion discr~tis~ homog~ne et isotrope sur le r~seau R ni, et de le fermer sur les fronti~res R uniquement
les points
fronti~re:
m a t i q u e m e n t v~rifi~es, masse et l'~nergie.
~tendu ~ l'infin en faisant intervenir
nm les conditions
(6) et
(8) seront auto-
les ~quations discr~tis~es c o n s e r v e r o n t
Le schema le plus simple dans l e c a s
bas~ sur l'op~rateur centr~ ~ trois points,
la
du cube est
et l'on prend dans chaque
face les vecteurs de base parall~les aux directions principales du r~seau R . D a n s le cas de l'icosa~dre, les d i r e c t i o n s p r i n c i p a l e s de n -~ -~ -4w R n sont dirig~es suivant trois vecteurs unitaires al, a2, a3, avec -~al+ ~2 + __~= 0. Le schema le plus simple est obtenu en consid~rant
les
op~rateurs centr~s ~ trois points dl, d2, d 3 dans les trois directions a I,
, a3, et en d~finissant
l'op~rateur de d ~ r i v a t i o n dans la
d i r e c t i o n e~ de la faqon suivante:
,>
3
~X i
3
/ j=l
~i ~"3
J
32
Les m @ t h o d e s
que nous
une p e r t e de p r 6 c i s i o n les sch@mas g6n6ral,
centr6s
deviennent
peut p r @ v o i r
avons
les plus
des
du p r e m i e r
solutions
fronti~res
simplest
que ces erreurs
perturbations
d@velopp@es
le long des
ordre
qui
ont pour d ~ f a u t internes.
sont du second ordre
aux points
de t r o n c a t u r e ~ une @chelle
principal
Par exemple,
des r 6 s e a u x
isol6es voisine
en
Rnm.
On
vont e n g e n d r e r
des
de celle de la
maille.
Ceci
ne se produit
pas dans
le cas d~un
rotationnelo
En effet,
quadratiques
(~nergie
et enstrophie)
artificielle
d'6nergie
au v o i s i n a g e
les solutions fronti@res. tel que
sont stables
Au contraire,
celui
l'~chelle
la c o n s e r v a t i o n
d~crit
par
de la grille,
aux sources
le cas d'un
Jour 0
2
purement
des deux invariants toute
apparition
Par consequent,
d'erreur
~coulement
peu ~ peu.
sur
les
avec divergence,
(i) , il apparait
s'accumulent
FIGURE
alors
de la troncature.
les ~quations qui
simultan@e
emp@che
par rapport dans
~coulement
des p e r t u r b a t i o n s
33
Par exempie, type des ondes cubique°
Le champ
2., en p r o j e c t i o n est d~duit
on c o n s i d ~ r e
de ROSSBY,
que
initial
un ~ c o u l e m e n t
~ divergence
l'on int~gre n u m ~ r i q u e m e n t
du g ~ o p o t e n t i e l
sur une face du cube.
est r e p r ~ s e n t ~
Le champ
initial
faible,
du
sur un r~seau sur la figure des vitesses
de ~ par les deux conditions:
div V = 0
-Ot Apr~s
une i n t e g r a t i o n
donn~
plus haut,
(figure
3). Elles
au bout d'un
div V = 0
de 4 jours,
utilisant
les p e r t u r b a t i o n s finiront
temps plus
de petite
par affecter
ou moins
long,
lin~aires.
Jour 4
FIGURE
3
tout
le schema ~chelle
le plus
se sont accumul~es.
le spectre
par le jeu des
simple
des m o u v e m e n t s
interactions
non
34
Un m o y e n
simple
d~61iminer
consi s t e
~ remarquer
m@diaire
de la c o m p o s a n t e
rotationnelle se ram~ne maille
6tant,
comme
irrotationnelle on l'a dit, des ondes
Par exemple,
on peut
sur la figure
cette
techniquet
disparu.
Jour
4
FIGURE
4
apparaissent
rajouter
d'une
par
l'inter-
stable.
Le p r o b l ~ m e
~ l'@cheile
de la
un terme d i s s i p a t i f
de l'@quation
~ petite
aux fronti~res
la c o m p o s a n t e
relativement
4 le r@sultat o~ le bruit
dues
du vent,
de gravit~
V grad div V au second m e m b r e
On peut voir uti!isant
les p e r t u r b a t i o n s
donc ~ un filtrage
du r@seau~
la forme
que
les p e r t u r b a t i o n s
du mouvement.
int@gration @chelle
num@rique
a totalement
de
35
III°
La r e p r e s e n t a t i o n representation ques.
sous
de divergence. grille
r~elle,
g~n~rale
signifie
~chelle
et isotrope
des
Physiquement,
filtrer
technique
de filtrage
donn~e
le domaine
spectral.
d'~nergie
ou autres,
dont
plus pr~cises
sph~ri-
lourd.
II y a, sur
creation
~ l'~chelle
de la la
s~lec-
des m ~ t h o d e s
sur les fronti~res.
la
locale
Par ailleurs,
suffisamment
~ d~velopper
de
filtrage
l'impact
d'une
la d i v e r g e n c e
plus haut n'est pas
d'un
assez
nette en r~solution.
Ii reste
tentative
des ~coulements
est un handicap
sources
donc une perte
la seule
la n~cessit~
se fait par l ' i n t e r m ~ d i a i r e
tive dans
aux d i f f e r e n c e s
est ~ ce jour
sa forme actuelle,
~ petite
l'atmosph~re
circulation
poly~drale
~ peu pros h o m o g ~ n e
Toutefois,
de la divergence dans
CONCLUSION
,
36 REFERENCES
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540-559,
1967.
FLOW COMPUTATIONS WITH ACCURATE SPACE DERIVATIVE METHODS
Jen~ Gazdag
International Business Machines Corporation Palo Alto Scientific Center 2670 Hanover Street Palo Alto, California, USA 94304
Abstract This paper is concerned with the numerical solution of partial differential equations describing fluid flow problems in real space and in phase space.
One im-
portant goal is to show conclusively that the Accurate Space Derivative methods can be used with success for solving such problems numerically.
We describe a method for
the numerical solution of the Korteweg-de Vries-Burgers equation.
We show numerical-
ly that the solution of this equation evolves asymptotically into a steady shock wave with monotonic and oscillatory profile.
We present numerical solutions of the
Vlasov-Poisson system of equations which describes the motion of an ideal incompressible fluid in phase space.
These problems are related to longitudinal oscillations
in two- and three-dimensional phase space.
I.
INTRODUCTION
Partial differential equations describing fluid flow problems have been solved successfully by:
(i) transform methods, in which the variables are expressed in
terms of orthogonal polynomials; and (2) finite difference methods.
The former ap-
proach proved to be very accurate in Fluid Mechanics 23 and in Plasma Physics I for problems with simple boundaries.
Although finite difference methods are well suited
to solving realistic problems with complex boundaries, 5,10, 26 they seldom achieve more than a rather modest accuracy in practice [26, p. 24].
The significantly larger
error terms in finite difference methods are due to the approximation of the space derivatives by some finite difference expressions.
Space differencing errors can be
reduced substantially by the accurate computation of the space derivative terms.
A
numerical method based on this principle can be expected to possess similar accuracy as the corresponding transform method if similar time differencing methods are em-
38
ployed.
Indeed,
it was found by Orszag 25 that the pseudospectral
proximation 24 and the spectral the pseudospectral
(Galerkin)
approximation
ods 24 and "leapfrog"
the space derivatives
(or midpoint rule)
(collocation)
ap-
approximation 23 give similar errors.
In
are computed by Fourier meth-
time differencing
is used to march forward in
time. Recently the author reported on higher order based on the Accurate Space Derivative
(in time) numerical schemes Iz'13
(ASD) method.
In this approach to time dif-
ferencing we start from a Taylor series in t~ following in principle Lax and Wendroff [26, p. 302].
The time derivatives
only space derivative terms.
are then substituted by expressions
The numerical evaluation of the space derivative
is based on the use of finite Fourier series. to the pseudospectral
containing terms
In this respect our method is similar
approximation. 24'25
The role of the finite Fourier transform techniques in the ASD methods is limited to the efficient rectangular
computation of the space derivative
coordinate
more convenient
than finite Fourier series.
methods over such a computational the space derivatives
terms.
In the case of non-
systems other types of orthogonal polynomials may prove to be Nevertheless,
the application of the ASD
grid appears to be entirely feasible,
so long as
are evaluated at the grid points by making use of all the in-
formation that can be supported by the computational
grid.
rect to regard the ASD method as a spectral method.
The fast Fourier transform algo-
It is, therefore~
incor-
rithm is merely a tool, i.e., a "black box," for the procedure of differentiation. The ASD methods have been applied successfully In this paper we study numerical
solutions
one~ two, and three space variables. the Korteweg-de
Vries-Burgers
some classes of nonlinear
to nonlinear
differential
equations with
This type of equation occurs in
systems with dissipation.
that the solution of the KdVB equation evolves asymptotically wave with monotonic or oscillatory profile. numerical simulation of the Vlasov-Poisson behavior of collisionless
problems. 12-15
In Section II we discuss a numerical method for
(KdVB) 18 equation.
dispersive
to one-dimensional
Sections
We show numerically into a steady shock
III and IV are devoted to the
system of equations,
fully ionized plasmas.
which describeSthe
The electron velocity distribution
function is commonly referred to as "phase space" fluid, since the Vlasov equation describes the flow of an ideal incompressible
fluid in phase space. 3,22
In Section
iII, we present results on linear and nonlinear Landau damping of electrostatic cillations
in urmlagnetized plasma.
a magneto-piasma~ variables v
These simulations
os-
In Section IV we consider electrostatic waves in require one space variable~
x, and two velocity
and v . Here we show results related to perpendicularly x y elotron harmonic waves.
propagating
ey-
39
II.
NUMERICAL SOLUTION OF THE KORTEWEG-DE VRIES-BURGERS EQUATION
In this section we consider the Korteweg-de Vries-Burgers equation 18 ~u + 2 u ~u
2-T
-
~2u + ~ ~3u -
YTx- ~ ~x2
~
=
0,
(i)
where ~ is the coefficient of diffusivity and ~ is the dispersive parameter.
This
type of equation occurs in some classes of nonlinear dispersive systems with dissipation.
The steady state version of Eq. (i) has been used by Grad and Hu 17 to describe
a weak shock profile in plasmas.
Propagation of waves on an elastic tube filled with
viscous fluid is also described by the KdVB equation in a particular limit. 18
In
more recent studies 19 it has been found that the surface profile above a fully developed Poiseuille channel flow is also described approximately by the KdVB equation. Our problem is defined by fixing the upstream and downstream boundary conditions that must be satisfied by Eq. (i) at all time, t $ 0. lim
u(x,t) = u~,
lim
u(x,t) = u+,
These are u~ > u~.
(2)
For simplicity, we choose u~ = i, and u~ = 0. The steady-state solutions of the KdVB equation have been studied in some detail by Johnson. 19,20
For nonzero dissipation, v # 0, the steady-state solution is of the
following two types:
(a) a monotonic shock wave if ~2 $ 4p; or (b) a shock wave os-
cillatory upstream and monotonic downstream when v2 < 4p.
One of the goals of this
study is to show numerically that for any initial data satisfying (2), e.g.,
u(x,0) =
f,
x < x0
0,
x > x0
I
(3)
the solution of Eq. (i) evolves asymptotically into the steady shock wave with the predicted monotonic or oscillatory profile. The initial value problem stated in Eqs. (i) and (3) is solved by the Accurate Space Derivative (ASD) method 12 of order three.
By this method, u(x,t+At) is compu-
ted from u(x,t) by means of the following expression
g(_t
u(t+At) = u(t) + ----~) ~It At +
~ A t
z
-T
~3u(t) At 3 3~
(4)
÷ a---~t
The time derivatives in Eq. (4) are computed from Eq. (i) by successive differentiation as follows; ~u
2-7 =
- 2u ~u
~2u
YTx + ~ ~
---f ~t =
8-~ ~-~ -
~t 3
~t 2 Sx
~3u
- p ~ ~x 4 ~
(5) + ~ ~
- ~ ~-~
~ x ($tJ - 2u ~ x [~-t-fJ + ~ ~
(6) I~t--~J - ~ ~
I~t-~J
(7)
40
The x derivative terms in Eqs. (5-7) are computed by Fourier methods.
Let
U(k,t) be the finite Fourier transform of u(x,t) defined over the computational domain D.
The %th order derivative of u(x,t) is given by
- -
a~u ax £
=
~ k
(ik) % U(k,t) exp(ikx)
(8)
where i = (-1) 1/2 and the summation in (8) is carried out for all wave numbers k which can be represented over the computational mesh without ambiguity.
This method
of computing the space derivatives gives results which are substantially more accurate than those obtained from finite difference expressions. In order to satisfy the conditions expressed in Eq. (2), the principle domain D = (x;
0 ~ x ! L}
(9)
is partitioned into two subdomains D = DO + D I as shown in Figure i. ues are computed.
Here D I is the true computational domain over which new u val-
The values of u over D O are fixed and are being kept constant
throughout the entire computation.
The unique purpose of D O is to provide a smooth
transition between the two end points of D I and to assure periodicity over D.
This
configuration permits the computation of the space derivatives of u by the Fourier method outlined above.
el-
__
D
~
: 01
~ ' - - DO - ~ , ~ ,
2.0
,,
~
I
I
I
I
I i
I
i
I
200
220
240
= 0. I
/~ -- 1.0
1.6
~x
=
0.5
I .2 "i"
0.8
0.4
0 2O
100
120
140
160
180
256
Distance
Figure i.
An oscillatory wave solution of the Korteweg-de Vries-Burgers equation at t = 65.
41
Our numerical results confirm that for any initial condition satisfying Eq. the solution of Eq.
(I) evolves asymptotically into a steady state shock wave with
the predicted monotonic or oscillatory profile. 18 = I in all cases with u~ = I and u + = 0.
The dispersion parameter was set
Under these conditions the theoretical
speed of propagation is unity, i.e., c = i.
Figure I shows an oscillatory profile,
= 0.i, as it evolved from a step function, Eq. (3), after 65 time units. putations were done with time step At = 0.005. at this point is c = 0.994.
The com-
The speed of propagation of this wave
In Figure 2 we show the profiles of a mildly oscillatory
case, v = 0.5, at different times. is c = 0.997.
(2)
The speed of propagation of this wave at t = 50
The evolution of a monotonic shock wave is shown in Figure 3.
Note
that the initial conditions are somewhat different from a step function in that u(x,0) = 1.2 for 160 ! x < 200. c = 0.998.
The speed of wave propagation in this case (~=6) was
The space and time increments were Ax = 2 and At = 0.02.
1.2
,,,=0.5 F = 1.0 A x = 0.5
0.8
0.4
0 I00
120
140
160
180
2__
200
220
240
256
Distuncs
Figure 2.
Evolution of a mildly oscillatory wave solution of the KdVB equation.
The time separation between plots is 25 time units;
the numbers on the curves are values of time.
These numerical results demonstrate the feasibility of the ASD method for the numerical solution of nonlinear partial differential equations with other than periodic boundary conditions. be constants.
It should be noted that the coefficients ~ and ~ need not
The numerical method outlined above can be applied to problems whose
coefficients are functions of x, i.e., ~ = ~(x) and ~ = ~(x) o
We found considerably
better agreement between exact and computed speeds of the wave propagation for the Burgers equation 12 than for the KdVB equation.
The most probable cause for this is
the presence of the third derivative term whose computation may result in more roundoff errors.
42
L2
-
t
y=6
ff=l t,O U
0.8
60 ii
O
0.6
180
0.4 L
0.2 0 h~- ,
0 160
I
200
240
280
520
560
440
400
Distance Figure 3.
Evolution of a monotonic wave solution of the KdVB equation. Time separation between plots is 20 time units;
the numbers
on the curves are values of time.
III.
ELECTROSTATIC
OSCILLATIONS
The system of equations under consideration the electron distribution ~f + ~f ~-~ v ~x-
IN UNMAGNETIZED
PLASMAS
consists of the Vlasov equation for
f(x,v,t),
Sf E ~7v = 0
(i0)
and the Poisson equation for the electric field E(x,t) DE f - - = I - I f dv ~x 7 These equations
(ii)
are written in dimensionless
units. I
velocity v are the reciprocal of the plasma frequency velocity v t.
The basic unit of time t and (mp)-I and the mean thermal
Length x is measured in units of the Debye length.
electron distribution
in all our computations
is Maxwellian,
The equilibrium
i.e.,
_i f0(v) = (2~) 2 exp(- ~1 v 2) and the initial condition for the electron distribution f(x,v,o) = f0(v) where k is the wavenumber
(12) is (13)
(i + ~ cos k x) and e is the initial perturbation
electric field amplitude is
amplitude.
The initial
43
E0 = ~ •
(14)
~f [ ~f 8f0] 1 2 7 One can linearize Eq. (i0) by holding ~ v constant i.e., replacing ~ v by ~v]" ' This procedure gives the well known result that the amplitude of the wave damps as exp(yt) where the Landau damping coefficient is determined by the wavenumber k. 9
On
the other hand, if we linearize Eq. (i0) by holding the amplitude of the wave constant (i.e., replacing E(t) cos(kx - ~t) by E 0 cos (kx - ~t)), we find that the distribution function is strongly modified in the resonant region.
The time scale for this modif-
ication is the oscillation period for the resonant electron in a trough of the wave ! -I
T = ~B
= ~-2
(15)
where ~B is the bounce frequency. 7,9,27
According to this analysis, which is valid
when Iy~[ << i and also when E 0 << i, the electric field damps according to the linear Landau theory for times less than T.
For times greater than the bounce time
there is an oscillatory modulation of E(t) with period of the order of ~. According to a recent numerical study 7 using the Fourier-Hermite method I the critical value y~ = 0.5 separates the oscillatory (y~ < 0.5) from the monotonically damped behavior (yT > 0.5) of the electric field.
However, the numerical simulation
of the oscillatory behavior for one complete cycle (or longer) of the modulating frequency proved to be computationally unfeasible with the Fourier-Hermite method.
We
shall present in this paper results obtained by the ASD method in which the above described oscillatory behavior is clearly observable. The numerical method used for the solution of the Vlasov-Poisson system of equations is a third order ASD method, which is similar to the one described for the KdVB equation.
The electron distribution function is advanced by approximating f(x,v,t+At)
from f(x,v,t) by means of the expression 3 ~£ £ f(x,v,t+At) = ~ f(x,v~t) (At) £=0 ~t £ £!
(16)
The time derivatives in Eq. (16) are obtained from Eq. (i0) by means of successive differentiation, i.e., ~f ~f Sf ~--~= - v ~xx + E ~-~
~t 2 = - V T x
~t'~.... v ~ x [~t2j
+ E
(17)
+-~
~ v [~t21 + 2 ~
(18)
~ v [~t) + ~t 2 ~v
(19)
The derivatives with respect to x and v are computed by using finite Fourier transform methods. 12
The electric field E(x,t) and its derivatives with respect to t are
obtained from f(x,v,t) and its time derivatives, Eqs. (17) and (18).
This we do by
44
using standard Poisson solver techniques. 1,5'22 In the first example considered here the amplitude of the perturbation is very small, ~ = 0.00i.
In this case yT = 4.85 and the electric field undergoes exponen-
tial damping until t ~ 55 as shown in Figure 4.
After a short transition region an
approximate recurrence of the initial state can be observed at t ~ 75.
This apparent
explosive growth of the electric field was sometimes mistaken for beaming instability, a physical phenomenono 21
It was shown recently that the reason behind this
phenomenon is entirely numerical, which is related to the velocity resolution of the numerical procedure. 8
The above computation was performed by using an 8 × 64 grid to
represent the (x,v) phase plane with time step At = 0.05.
When the same computer ex-
periment was repeated over an 8 x 256 grid, oscillation frequency and damping rate obtained from the numerical output averaged over the peaks from t = 4.7 to t = 26.9 were w = 1.417 and -y = 0.1537, respectively.
The exact values obtained from Lan-
dau's dispersion equation are ~ = 1.416 and -y = 0.1534.
i
I
I
I
14 k =0.5 a = 0.001
H2 C
Y
I0
0
8 v
6 0
4 2 0 0
I0
20
o
I
30
40
50
60
70
I
I
I
I
80
90
I00
I10
120
Time ( ~ 1 ) Figure 4.
The numerical solution of the Vlasov equation for Maxwellian distribution shows the classical linear Landau damping.
The
explosive growth at t = 70 is the recurrence of the initial state due to aliasing effects in velocity space.
In Figure 5 we show the results of a nonlinear problem characterized by the parameter values k = 0.5, ~ = 0.io
For this case yT = 0.485.
We compared these results
45
with those obtained from the Fourier-Hermite method.
We found a three significant
figure agreement in the peak values of the electric field obtained from these two methods up to t = 35.
There is a minimum value of the wave amplitude at t = 56 after
which a slight growth can be observed, to the critical value. three Fourier terms.
indicating that the value ~T = 0.485 is close
In the Fourier-Hermite code we used 1200 Hermite terms and In the ASD method we used a 16 x 128 grid which assures about
twice the resolution in both x as well as in v. 2.35 times faster.
The third order ASD method was found
Thus for comparable space and velocity resolution in this range
the third order ASD method appears to be an order of magnitude faster than the Fourier-Hermite method.
!
I
!
I
t
I
I
I
i
14
k=0.5 a=O.I
12
~10
8 g 6 o
4
0
Figure 5.
I
I
!
I
t0
20
30
40
I
I
,50 60 Time (~o~1)
I
I
I
70
80
90
I00
Electric field versus time for a nonlinear wave.
In Figure 6 we show the results of a strongly nonlinear problem. values are k = 0.5, ~ = 0.3, and yT = 0.343.
The parameter
The oscillatory behavior of the modu-
lating envelope over these oscillations is observable showing a good qualitative agreement with theoretical predictions.
46
7
I........
I
--}
~
b
6
k=0.5 e=O.5
5 c
~4 o_ J~
0
-
2
-
0
8
-
u
_
16
24
:52
40
IV.
OSCILLATIONS
In this section~ we shall consider
We assume an infinite colllsonless
an right angles to the magnetic
(CHW).
field.
electrostatic waves in a warm Maxwellian plasma with an ex-
There is no damping for waves propagating
These waves,
first predicted by Bernstein, 4
to passbands associated with the harmonics of the electron cyclotron
frequency ~c .2 Waves
72
IN A MAXWELLIAN MAGNETO-PLASY~
longitudinal
ternally applied uniform magnetic field B.
are restricted
64
Electric field for a strongly nonlinear wave.
ELECTROSTATIC
magneto-plasmao
56
(~1)
Time Figure 6,
48
For this reason they have been referred to as Cyclotron Harmonic Computer simulation~of
methods. II,16
these waves were carried out by using particle
Particle simulation models are subject to fluctuations
with externally
excited small amplitude perturbations.
models permitted
only the observation
the fluctuations
of the computer plasma. II'16
which interfere
For this reason the particle
of the undriven Bernstein modes obtained from Here we shall consider electrostatic
oscillations
excited by means of small amplitude perturbations
the previous
section.
similar to those in
If we assume that B is directed along the z axis and all quantities
to be func-
tions only of the spatial dimension x, and the velocity dimensions Vx, Vy, the VlasovPoisson system can be written in dimensionless ~f +
~-~ vx ~~f- E ~ + ~Sf c
variables $_ ] ~Vyj
as
(2o)
47
~xa-EE= 1 - I f dvx dVy
(21)
where ~c is the cyclotron frequency. The numerical method followed here is the same (3rd order ASD) as in the previous section generalized to include three phase space variables.
The equilibrium dis-
tribution function used is
=
f0(Vx,Vy)
1 (v~ + v~))
(2~) -I expl-
(22)
and the initial condition for the electron distribution is f(X,Vx,Vy,0) = f0(Vx,Vy) (i + ~ cos k x)
(23)
where k is the wavenumber of the longest wave and the perturbation amplitude was set = 0.001. The time behavior of the electric field amplitude is characterized by steady, undamped oscillations.
These oscillations are not monochromatic, and therefore, the
E vs. time plots are not very informative.
After accumulating the E values (i.e.,
its first spatial Fourier coefficient) over 4096 time steps, the Fourier transform of the time sequence was found and the spectrum was computed. sentative spatial mode is shown in Figure 7.
The spectrum of a repre-
The position of peaks indicate~frequen-
cies at which cyclotron harmonic waves can propagate.
We compared these values with
those predicted by small amplitude perturbation theory,2, II and found that they agreed within 1% expressed in units of ~c"
I
I
I
5
I
k=0.5 ooc = O,5oap
~4 c
• -
3
~2
o
\.____. 0
Figure 7.
I
__
2 3 4 Frequency in Units of oJc
5
6
Spectrum of longitudinal oscillations in a magneto-plasma.
48
V.
CONCLUSIONS
In this paper we demonstrated that ASD methods can be applied with success to fluid flow type problems, ioe., problems in which the convective term plays a dominant role.
Our results from the numerical study of the KdVB equation suggest that the
method is well suited to nonlinear partial differential equations with shock-like solutions.
From these results it is also clear that periodic boundary conditions are
not prerequisites for these methods.
The only purpose of the finite Fourier trans-
form algorithm is to compute the space derivatives efficiently.
It is quite conceiv-
able to think of situations in which other (than Fourier) techniques are preferable. According to our experience, the ASD method in plasma computations proved to be superior to the Fourier-Nermite method I or to finite difference methods. 5
The compu-
tation of strongly nonlinear problems (e.g., the one shown in Figure 6> with the third order ASD method requires about one tenth of the CPU time required by the other numerical methods in order to attain similar overall accuracy.
ACKNOWLEDGMENT
The author wishes to express his thanks to Jos~ Canosa for many valuable suggestions.
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NUMERICAL
SIMULATION
OF T H E
TAYLOR-GREEN
VORTEX
S t e v e n A. O r s z a q Department of Mathematics Massachusetts Institute of Technology Cambridge, Massachusetts, 02139 U.S.A. INTRODUCTION In a c l a s s i c dynamical order
evolution
to c l a r i f y
illustrates mechanisms
of a model
in a r e l a t i v e l y
exceedingly
useful
as d i s c u s s e d
the
later
In t h e
and Green
(1937)
three-dimensional of t u r b u l e n c e .
simple
of the p r o d u c t i o n by
flow
of s m a l l
stretching
eddies
the
field
in
The Taylor-Green
and
lines.
numerical
considered vortex
the basic
of vortex
for t e s t i n g
turbulence
vortex
decay
the e n h a n c e m e n t It h a s
of
also proved
and perturbation
methods,
in t h i s p a p e r .
Taylor-Green
vortex,
the
initial
physical-space
velocity
is Vl(Xl~X2,X3)
where
(la)
x3
v 3 ( x l , x 2 r x 3) = 0 ,
(ic)
a numerical x v
shifted
chosen method
the o r i g i n
by Taylor
of
x3
and Green
(see b e l o w ) .
The
by
1 ~ ~
from the
for c o n v e n i e n c e initial
initial
in d e v e l o p i n g
vorticity
field
is
~l(Xl~X2,X3)
= - sin x I cos
~2(Xl:X2rX3)
= - cos
~3(Xl~X2,X3)
= - 2cos
Although planar
x I sin x 2 cos
(ib)
we have
~ =
= cos
v 2 ( x l , x 2 ~ x 3) = - s i n x I cos x 2 cos x 3
conditions
flow
Taylor
the d y n a m i c s
dissipation
field
paper~
the s t r e a m l i n e s
curves
cos
that develops
of
x 2 sin x 3
(2a)
x I sin x 2 sin x 3
(2b)
x I cos the
x 2 cos
initial
x I cos x 2 = c o n s t from
x3
velocity
(2c) field
in the p l a n e s
(i) is t h r e e - d i m e n s i o n a l .
(1) a r e
the
x 3 = const, The
initial
the
vortex
5~
lines are the curves
sin Xl/sin x 2 = const,
sin2xl cos x 3 = const
so they are twisted and may induce a velocity themselves.
In fact,
since
stretching does take place. (~ × ~)3 initial
is nonzero,
field to stretch
~.~v
is initially nonzero such
Also,
since the initial value of
a nonzero component
instant and the field becomes
T a y l o r - G r e e n v o r t e x is perhaps
v3
develops
after the
truly three dimensional.
the simplest example of s e l f - i n d u c e d
vortex stretching by a three-dimensional
velocity
field.
The dynamical p r o b l e m is to solve the Navier-Stokes for incompressible ~t
(x, t)
where
=
p(x,t)
the Reynolds conditions
flow
0
(4)
number,
The boundary
because
The pressure
that ensures
=
field in
on
v(x,t)
(x,t)
these are m a i n t a i n e d
where
(3) is effectively
from
and
R
are implicitly ~
has integral (3),
a 'Lagrange multiplier' constraint
(4);
(3) by taking its divergence
(4).
vortex by developing of the time
t.
~(t) = e ,
where
periodicity
cube,
(1937)
investigated
a perturbation
They found that the
the evolution of their
solution to mean-square
the overbar indicates
(3),
(4) in powers
vorticity
an average over a
is given by
= ~ [i - 6t 5 18)t2 5 36) t 3 ~-- + (~-~ + R2 - (~ + R 2 R-(5) 50 +
(99-gUV~+
1835 54)t4 + 9.16R 2 + j
is
initial
in time evolution by
compliance with the incompressibility
Taylor and Green
~(t)
(incompressible)
conditions
v(x+2~n,t)
the pressure may be e l i m i n a t e d and applying
(normalized by the density)
subject to the
taken to be periodic,
(4).
(3)
,
is the pressure
(i).
components,
equations
÷ + v ( x , t ) . ~ ( ~ ,t) = - ~p (x,t) ÷ + ~1 v _2+.+ v~x,t)
~ . ~(x,t)
The
...]
52
The d y n a m i c a l conditions~ (t)
by
~(t)
~ (t) =
truncations + 0
significance
as
is r e l a t e d -
t ÷ ~).
number
~(t)
[e -6t/R
= ~ 4
R.
of
that
of
remain
t
R2 384
(e -6t/R
inclusive
(6) is a r e s u m m a t i o n
(5); on the other hand,
a finite
number
of terms
of
of
(6) do not have
truncations
of
(5) as
powers
R
describe
we study
of the N a v i e r - S t o k e s dynamical
for
perturbation
the e v o l u t i o n
this paper,
interest
codes. accurate
each
(since
R + ~,
the
t > 3. of the Taylorin powers
of the
- 16e -16t/R)
...]
(6)
(5) in the sense number
of p a r t i a l
(5) derives
notice
that
finite
behavior
examination
that
from only order
exhibited
by
of the d i s p l a y e a
perturbation
series
in
R > 20. series
in powers
flow field
the T a y l o r - G r e e n equations.
of
nor t
R or
v o r t e x by n u m e r i c a l
In a d d i t i o n
variety
R.
In
solution
hydrodynamics
tests
simulation
by a very e f f i c i e n t to the T a y l o r - G r e e n of flows.
fluid
vortex,
to debug anu p e r f o r m
numerical
specialized
can
to the f u n d a m e n t a l
of the T a y l o r - G r e e n
one on w h i c h
to a w i d e
t
for large
were obtained
is h i g h l y
so not g e n e r a l i z a b l e
term of
t/R ~ i,
three-dimensional
that
+
than
the s e c u l a r
for
of the
results
+ ...)
Also,
in the d e v e l o p m e n t
The p r e s e n t method
as
+ 35e - 1 4 t / R
series
However,
flow is a m o s t c o n v e n i e n t
of s o p h i s t i c a t e d
and
that
diverges
Neither
the
t +~.
(6) suggests
of
series
of an infinite
(6).
truncations
of
for
decay
finite-order
t ~ ~
that,
the e v o l u t i o n
- 20e - 1 2 t / R
terms of
terms
that
v a l i d as
diverges
a perturbation
energy
boundary
He found
(6) is a m o r e
each t e r m of
periodic
It is clear
_4. 4105 -6t/R + i ~63583-6-272 e Notice
with
(5) suggests
investigated
G r e e n v o r t e x by d e v e l o p i n g Reyn o l d s
(t).
(5) c a n n o t
in powers
(1940)
is that,
to the rate of kinetic
Examination
series
Goldstein
~(t)
d 21 v 2 = ~i ~ d-~
of the series
perturbation
of
and vortex
Nevertheless,
53 the present a variety
results
have proved most useful
of more general
simulation
NUMERICAL The Navier-Stokes differences
in
the advective
t
equations
Because
of spatial periodicity,
where
~
initial
and a spectral
and Patterson
(3),
has integral conditions
These symmetries
Adams-Bashforth
implicit
differencing
(Fourier expansion) the velocity
scheme
method
components.
(i) has several
The flow that develops symmetries
the number of independent
and invariances
components
latin indices
r 3 = t 2 = -I,
and
(7).
(8b) v3(xl,x2,x 3) = v3(x2,-Xl,X 3)
(8c) (8d)
are not summed,
r I = r 2 = t I = t 3 = i,
(8e)
(mod 2).
For example, 90 ° rotations
These relations
(8c), which
about the
v3(-Xl,-X2,X 3) = v3(xl,x2,x 3)
vortex
in
are
0
kI £ k2 ~ k 3
The properties
that
(8a)
where repeated
flow under
from the
and invariances
vi(xl,x2,x 3) = tivi(x I + 7, ~ - x2, x 3 + 7)
independent.
as
(7)
v2(xl,x2,x 3) = Vl(X2,-Xl,X3),
unless
on the
field is expansible
vi(xl,x2,x 3) = rivi(xl,x2,-x 3)
=
on
in space.
= -~(-~)
~(~)
1972).
(4) are solved by finite
= ~ ~(~,t)e i~'~
may be used to reduce
~(~)
tests of
METHOD
terms and Crank-Nicolson
terms)
~(~,t)
codes(Orszag
(using a second-order
viscous
in validation
states
x3-axis,
as
invariance applied
which also follows
(8) imply that the velocity
is representable
are not all of the
twice gives
from
(8a) and
(8b).
field of the Taylor-Green
54
V I (Xl ~X2 ~X3) 1 v 2 (Xl~X 2,x3) [ V 3 (xI ,x 2 ,X 3 )J
~anu%p (I) cos[ (2m+l)Xl]sin[ (2n+l)x2)cos[ (2p+l)x3]
Z m=0
f n=0
(2)
p=0
a mnp sin [ (2re+l)x I] cos [ {2n+l) x2] cos [ (2p+l) x3] a(3) mnp sin[ (2m+l)Xl]sin[ (2n+l)x 2]sin[ (2p+l)x 3]
b (I) sin [2rexI] cos [2nx2]cos [2px 3] mnp + b (2) cos [2rexI] sin [2nx2] cos [2px 3] mnp b (3) cos [2rexI] cos [2nx 2] sin [2px 3] mnp
(9)
In order to obtain a finite approximation the
series
I I~II < K,
(7)
to
the
region
-K < k
to
v,
< K, ~ = 1 , 2 , 3
and apply the Galerkin procedure
we truncate denoted
by
to get the equations
(Orszag 1971) [~
k2 + ~-]u
(~,t) = -ik8(6 y
k k 7) k~
(÷
Z
U B p, t) Uy
(~,t) (IO)
lJ il,11 i L
(Orszag 1971) o
constraint.
the right-hand
It involves
conjugate sy~Imetric discrete Fourier transforms on
side of
12 real or K × K × K
points;
the Fourier transforms are performed by the fast Fourier transform algorithm in order
K31og2 K arithmetic operations.
This transform
method for the Taylor-Green vortex makes essential use of all the symmetries
(8); without
(8), the most efficient transform method
for evaluation of the right-hand
side of (I0), which is the
55
pseudospectral method
(Orszag 1971), w o u l d require 9 real or
c o n j u g a t e - s y m m e t r i c d i s c r e t e F o u r i e r transforms on
2K x 2K x 2K
points or roughly a factor 6 more work than involved in the TaylorGreen vortex.
A n o t h e r advantage of the spectral m e t h o d just
d e s c r i b e d for the T a y l o r - G r e e n v o r t e x is that it allows great reductions in the amount of computer storage necessary w i t h a given spectral cutoff or spatial r e s o l u t i o n property
Ax = ~/K.
In fact, the
(8e) alone gives a factor four r e d u c t i o n in the n e c e s s a r y
storage space.
Details on all the t r a n s f o r m methods m e n t i o n e d above
are given e l s e w h e r e
(Orszag 1971).
The spectral m e t h o d d i s c u s s e d here has several i m p o r t a n t advantages over more c o n v e n t i o n a l finite d i f f e r e n c e techniques (Orszag and Israeli 1974).
For the T a y l o r - G r e e n vortex,
results are i n f i n i t e - o r d e r accurate, than any finite p o w e r of
I/K
as
the spectral
i.e. errors go to zero faster
K ÷ ~, in c o n t r a s t to the finite
order a c c u r a c y of d i f f e r e n c e schemes.
The rapid c o n v e r g e n c e of the
spectral results translates into more accurate simulations at finite resolution.
In the 5-10% error range, s p e c t r a l simulations require
roughly a factor two less r e s o l u t i o n in each space d i r e c t i o n than f i n i t e - d i f f e r e n c e a p p r o x i m a t i o n s or a factor eight fewer degrees of freedom
[even w i t h o u t the symmetries
h i g h e r accuracy, pronounced.
~ith
At
the advantages of spectral schemes are more K = 16
or
32,768 Fourier modes to represent each
c o m p o n e n t of the v e l o c i t y field, 0.6s
(8)] in three dimensions.
the present spectral m e t h o d requires
per time step on a CDC 7600 computer.
RESULTS In Fig.
i, we plot the e v o l u t i o n of
d e t e r m i n e d by p e r t u r b a t i o n series in p e r t u r b a t i o n series in
R
t
truncated at
~(t)
at
t r u n c a t e d at
R = 200 t 5 (curve i),
R 4 (curve 2), and numerical
56
simulation
with
spectral
of the n o n l i n e a r so that
terms
of the
the e n h a n c e m e n t of the
similar
plot
is m a d e
between
runs
of v a r y i n g
simulation
R ~ 300.
number R1
results
R
strength for
by
is the R e y n o l d s
square
spatial
of
based
at
R = 200,
R 1 = 74
t = 6,
while
at
R = 300,
R 1 = 112
t = 6.
These
values
performed
in the
these
of
t
Reynolds
R 1 should
range
f r o m Figs.
is at
least
numbers,
to d e s c r i b e
either
the m a x i m u m
of
~(t)
The variation
flow to
since R
(for
large
t
If
initial
the r e s u l t s
shown
of
R = 100-400,
being
independent.
for
only moderately It a p p e a r s
function
¢,(t)
that,
t = 0,
and
and
and with
where
(Datchelor
R 1 = 26
at
R 1 = 37
at
laboratory
which
are
or e v e n
number
scale
wind-
generally
expansion
of
nature
R
at
of the
R
inadequate
the v a r i a t i o n
relates
of
support
indirectly
structures
is a s y m p t o t i c a l l y
relaxation
Some in Fig.
in p o w e r s
are w o e f u l l y
Reynolds
~(t)
given
t
R = 200
at
inclusive
on l a r g e
number
function
numerical
number.
with
number
some
as t h a t
behavior
Reynolds by
2, a
the
2 that perturbation
expansions
Reynolds
1 : ~ ~(t).
beyond
1
comparisons
that
2% at
t = 0
the m o r e
t
~(t)
of R e y n o l d s
~(t)
and
microscale
turbulence
as g o o d
both
with of
In Fig.
.372 R
be c o m p a r e d
1 and
despite
Nevertheless, the
in Fig.
of the R e y n o l d s
t = 0
at
< ~(0),
R 1 = 25-50.
expansion.
to the e f f e c t
at
on g r i d - g e n e r a t e d
It is a p p a r e n t in p o w e r s
to w i t h i n
on the T a y l o r
Thus,
experiments
observed
indicate
R1 =
~(t)
tests
the m a g n i t u d e
1953).
tunnel
vorticity
resolution
the r e l a t i o n
of
in the a b s e n c e
equations
Additional
be accurate
number
3).
of the n o n l i n e a r i t y .
indication
is g i v e n
(curve
Navier-Stokes
R = 300.
should
An
K = 16
of m e a n
is a m e a s u r e
5% at
cutoff
period)
in the
proportional then
e(t)
for t h i s b e h a v i o r
3.
Here
e(t)
the
simulation
is p l o t t e d with
is
is as a
R = 400
accurate. as R + ~
[probably
with
s(t)
approaches
the p r o p e r t y
that
a finite s,(t)
limiting
= 0
for
I
I
I
I
I
I
I
I
I
]
R = 200 I Series in t 2 Series in R 3 Simulotion (K= 16)
.
---3. 0 v
,.41.,v
~2.
I.
0 1 0
I 2
i .... 4 Fig.
1
I 6
I I 8
I I0 t
E n h a n c e m e n t of m e a n - s q u a r e versus t at R = 200.
I 12 vorticity
I 14
I 16
R(t)/~(0)
I 18
20
] ,
8.
[
[-
t
t~ T ~ T - -
_
t /
\
/ [
-
\
t
I
R - 3 o o
_
, Series in t 2 Series in R
_
7.
5. ~4. :5. 2. [.
0 0
.L 2
I 4
I 6
I 8
i I0
I ...... I 12 14
I 16
t Fig.
2
Enhancement versus t
of at
mean-square R = 300.
vorticity
~(t)/D(0)
I 18
20
I
i
1.4 1.2 R=IO0 1.0 eJ
0
× 0.8 R=200
o~
0.6
:)0
0.4 R=300 0.2 OI
0
1 2 Fig.
I 4 3
1 6
I 8
1 I0 t
Rate o f e n e r g y d i s s i p a t i o n R = 100, 200, 300, 400.
I 12 e(t)
t 14 versus
I 16 t
for
18
I 20
60
t < t,, R = ~] ~
[where
t,
is the time at w h i c h
~(t)
becomes
infinite at
This result is e x t r e m e l y i m p o r t a n t as it d e m o n s t r a t e s a
large scale feature of the flow that is a s y m p t o t i c a l l y R e y n o l d s number independent.
If all large scale features of t u r b u l e n t flows
are R e y n o l d s number i n d e p e n d e n t then it is p o s s i b l e to simulate large scale flow features of very high R e y n o l d s number t u r b u l e n c e w h e n the Reynolds n u m b e r of the s i m u l a t i o n is quite m o d e s t In Figs. respectively~
(and, hence,
(cf. O r s z a g and Israeli 1974). 4 and 5, we show c o n t o u r plots of
at
t = 3.5r
R = I00.
c h a r a c t e r of the flow that develops In Fig.
the r e q u i r e d resolution)
vI
and
v3,
These plots illustrate the from the initial conditions
6, we show the e v o l u t i o n at
R = 200
(1),
of
D3/Di =
[k21u3(~) [2/ [k21Ul(~)12
(lla)
E3/EI =
~iu3(k) 12/~lUl(k)I 2 ,
(lib)
w h i c h are~ respectively,
m e a s u r e s of the a n i s o t r o p y of energy
d i s s i p a t i o n and energy.
It is a p p a r e n t that energy d i s s i p a t i o n
a p p r o a c h e s a state of near isotropy for e n e r g y itself is always
t = 4-16,
far from isotropy.
w h i l e the kinetic
This r e s u l t is c o n s i s t e n t
with ideas of t u r b u l e n c e theory on local e q u i l i b r i u m of small-scale eddies. eddies (lla)]
As first p r o p o s e d by K o l m o g o r o v
(Batchelor 1953),
[which d o m i n a t e d i s s i p a t i o n b e c a u s e of the factors
k2
in
should a p p r o a c h isotropy and e q u i l i b r i u m in a time m u c h
shorter than the overall decay time of the turbulence. hand,
small
large eddies
[which d o m i n a t e the k i n e t i c energy]
On the other evolve in %he
same time scale as the overall decay proceeds and no strong tendency to isotropy should be observed. Finally, we remark that,
as
t + ~,
p r o p o r t i o n a l to the initial c o n d i t i o n s At late times,
R1
the flow decays to a form
(i) w h i c h is very anisotropic.
is very small and viscous d i s s i p a t i o n dominates
the n o n l i n e a r terms in
(3) so that the modes in
(9) w i t h the
61
Vl ~
;
I 4....L~,
Fig.
I
4
i
Contour
I
~
I'
plot
x 3 = ~/4.
of
The
i"' " "l
v I at contour
!
t =
I " I
3.5,
labels
'1
R = are
II
"1%, .....
100
in
1 0 0 v I.
/ ,
the
,
plane
I
'
62
V3
4
Fig.
5
Contour x3 =
plot
7/4.
of
The
v 3 at contour
t =
3.5,
labels
R = are
~
i00
in
1 0 0 v 3.
the
plane
I
I
I
I
I
I
I
.... I. . . . .
I
R = 200
1.4
-
I
E3/EI
2_ D 3 / D i
1.2 1.0
-
2
0.8 0.6 0.4
-
I
0.2 0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
t Fig.
6.
Anisotropy versus t
r a t i o s of k i n e t i c e n e r g y and d i s s i p a t i o n at R = 200.
18
20
84
smallest wavenumberj dominate
and hence smallest rate of viscous
the flow.
The smallest w a v e v e c t o r s
amplitude by the selection symmetry
condition
expansions (I) as
equations
allowed to have nonzero
(8) are ~ =
(±I, ±l,
that
~
is p r o p o r t i o n a l
is to speed the decay of
~
in the
in the N a v i e r - S t o k e s
(I); in the absence of nonlinearity;
to
[giving the R 0 term in the Reynolds
(i) with amplitude expansion
e -3t/R
(6)].
This work was s u p p o r t e d by the A t m o s p h e r i c Science F o u n d a t i o n
The
to its initial value
The net effect of n o n l i n e a r i t y
w o u l d be forever p r o p o r t i o n a l
National
±i).
(8c) applied to the terms due to these
(9) implies
t + ~.
rules
dissipation,
under Grant GA-38797.
Sciences
Section,
The computations
were p e r f o r m e d on the CDC 7600 computer at the National Center Atmospheric thank Mr.
Research,
T. W r i g h t
Boulder,
Colorado.
The author would
for
like to
for his expert assistance with these computations.
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ET METHODES
NUMERIQUES
A TRES HAUTE
EN PHYSIQUE
DES PLASMAS
TEMPERATURE
par
C. M E R C I E R ~, J.C.
Association Centre
SOUBBARAMAYER ±
EURATOM-CEA,
d'Etude
~± Physique (Paris
ADAM ±~,
Nucl~aires
th~orique
V~me).
Section BP.
J.L.
de la Th~orie
N°6.
des plasmas,
et
92-Fontenay
Ecole
SOULE ~
des
gaz
ionisgs,
aux Roses
Polytechnique,
(France).
17 rue Descartes,
66
INTRODUCTION
Les nent
des
~tudes
sur
domaines
Contr~l~e,
tr~s
probl~mes
chimie
des p l a s m a s
routes
ici,
de
l'ordre
nous
m~me
de
thermonucl~aire d~crire ques)
les
pour
gquations obtenir
masse
et
fusion
eertains
!es
entre
4, un n e u t r o n
de
ce
ces
d~gagement
et
+
Aussi
avons
li~
l~on
obtenir
en f u s i o n
d~sire
th~me
nous
allons
(de plus
n~eessaires
aux
essayer en plus
de num~ri-
~ la c o m p r g h e n s i o n ,
plasmas.
sur
de
de
n
+
CONTROLEE
la r ~ a e t i o n !aquelle
tritium
d'~nergie
D + T----> 2H 4
(temperature
: Celui
convertie
le
chauds
du p r o b l ~ m e
cours
est
les p r e s e n t e r
degr~s).
utilis~es
repose au
eoncer-
thermonucl~aire
de
trgs
de
THERMONUCLEAIRE
collision
!e d e u t e r i u m
et un
de
renseignements
l~hydroggne
en
que
mgthodes
DE LA F U S I O N
de
aspect
Autour
l'entretien
~igments
la r ~ a c t i o n
certain
les
question
de m i l l i o n s
et
magn~tohydrodynamiques,
aux p l a s m a s
temperatures
et
~tre
nombreuses
Fusion
g~n~rateurs
limite
nhermonuclgaire
isotopes
des
se
dizaines un
hautes
ELEMENTS
La
l'on
extr~mement
: Astrophysique,
II ne peut
Contr$1~e.
la f a b r i c a t i o n QUELOUES
si
sont
!'espace,
etco~o
d=exposer trgs
plasmas
divers
de
de q u e l q u e s
ehoisi
plasmas
les
/~/
bien une
en ~ n e r g i e . donne
connue
entre
fraction
de
Par
naissance
17,6 M e V
suivant
exemple, ~ l'hglium la f o r m u l e
17,6 M e V
e
Ce
type
de r ~ a c t i o n
et p l u s i e u r s r~action.
haut
Coulombienne,
pour
se p r o d u i r e ~
pour
utilis~
pour
la p r o d u c t i o n
le m o n d e
travaillent
consiste
~ glever
!a t e m p g r a t u r e
vaincre
temperature que
~tre
dans
c~est-g-dire
telle haute
longtemps
done
laboratoires
Le p r o b l ~ m e
suffisamment
Une
peut
la b a r r i ~ e
quelques doit
la r ~ a c t i o n
de
de r ~ p u l s i o n
centaines
ensuite fusion
pour
~tre
maitriser
de
ait une
forte
cette
l~hydrog~ne
~lectrostatique
de m i l l i o n s maintenue
d'~nergie
de d e g r g s ~
suffisamment probabilit~
de
67
Une m ~ t h o d e drog~ne
~ l'~tat
ce p l a s m a
par
est
isol~
de
Les
particules
rencontrent chauff~
obtenir Le
route
10 KeV,
que
de d e n s i t ~
appareils
que cuit
est
est
induit
secondaire
creation m a par
du p l a s m a
effet
magn~tique le p l a s m a
JOULE
polo~dal est
aussi
par
ne
D'UN
rempli
doit
induit
par
soumis
~ un
prometteur simple
ne
~tre
suffisamment
~lev~e
u n temps " ~ E
tr~s
doit
chaud
pour
unit~
est un p l a s m a
est
d'hydrog~ne. l'anneau
Ce c o u r a n t
du p l a s m a
Un
de
de
temps.
temperatu-
tel que
semble (Fig.
joue
magn~tique
comme
trois
~tre I)
l'action
raison
~lectrile cir-
r~les
le c h a u f f a g e
par
Pour
courant
de gaz
initial,
le couranto champ
confin~
par
il
magn~tique.
trajectoires
assez
de f u s i o n
quand
TOKOMAK
du gaz
le c o n f i n e m e n t
ainsi
~tre
le plus
en u t i l i s a n t
ionisation
leurs
l'hy-
"confiner"
champ
et m a i n t e n u
pendant
le p r i n c i p e
d'un
que
Le p l a s m a
transformateur.
et
tel
~ atteindre
confin~
dont
le gaz,
par
l'action
de r ~ a c t i o n s
initialement
d'un
"confine"
du p l a s m a
I : SECTION
dans
est dit
de c o n f i n e m e n t
le T O K O M A K
tore
Un p l a s m a
d'ignition
l'objeetif
de
et de
mat~rielle.
appreciable
avec
ionis~)
matgrielle
la d e n s i t ~
est d ' o p ~ r e r
totalement
ont un m o u v e m e n t
paroi
Fig.
Un
(gaz
la t e m p e r a t u r e
montre
ce p r o b l ~ m e
magn~tique.
charg~es
De plus
actuellement
"plasma"
parol
aucune
Un des
r~soudre
champ
un nombre
calcul
re de
de
un
jusqu'~
longtemps.
pour
: la
du p l a s -
du champ
de s t a b i l i t Y ,
longitudinal
trgs
68
fort ble
(quelques de b o b i n e s
POSITION
hombre
autour
DE q U E L Q U E S
L'~tude
d~un
de
types
Le
conduit
tels
les
de
cas
en p a r t i c u l i e r
jeu
le degr~
Malgr~
les
faire,
approehes
des
pattie, ment ~t~
expos~
sera
dans
des
champs
d~velopp~
num~riques Les plasmas
d'une
qui
de
instabilit~s
fusion, et de
les
coefficients
des
plasmas
~ haute
des
fluide
~tude sous
plus
son
ces ~tude
des
certain de dif-
forme
~tant
particuli~re
de r e c o u r i r
hors
et
diff.-
ph~nomgnes
que
don-
du p l a s m a
probl~mes
la d e s c r i p t i o n
mis
en
du plasma. lyon
est
amen~
aux m ~ t h o d e s
analytiques.
en 2 p a r t i e s plasma
un
math~matiquement
m~thodes
: dans
du plasma,
traitant
utilisant Dans
particules
et m a g n ~ t i q u e s ,
de deux
la p r e m i e r e
microscopique.
Nous
une
temporelle
importantes
aspect
analytiquement.
mais
une
temps
dans
subdivisg
~lectriques
qui
de
en plus
du m i l i e u
plus
pr~senterons
aspect ici
ou
la d e u x i ~ m e
charg~es
Cet
nous
en m o u v e a d~j~
les m ~ t h o d e s
actuellement.
sont
ainsi
abord~s
contribueront
turbulence de
convena-
vis-a-vis
r~aliser
tous
modgles
de plus
se d ~ v e l o p p e n t
probl~mes
de
tr~s
le relai
pour
spatio
souvent
ainsi
est vu
des
soul~ve
la s t a b i l i t ~
exige
l'~chelle
representation
r~sultats
exact
n~cessaire
diff~rentes
le p l a s m a
tr~s
finesse
n~cessaire
une
l'~volution
selon
prendre
utiliserons
enroulement
pr~c~demment
la m ~ t h o d e
~ utiliser
pour
tr~s
par un
l'~quilibre,
ces p r o b l ~ m e s
simplifications
num~riques
moins
de
il est
Cet
que
comme
math~matique
rents, et
confin~
du plasma,
chacun
selon
cr~
tore°
plasma
traitement
de q u e s t i o n ,
du
de p e r t u r b a t i o n s ,
la s e c t i o n
etc.,,
de k i l o g a u s s )
p ROBLEMES
de p r o b l g m e s
f~rents n~e
dizaines
dans
transport
qui
temperature,
les
ne
sont
~ ~claircir plasmas
jouent
et
pas
les q u e s t i o n s
ainsi
un grand
sp~cifiques
r~le
g mie~ dans
aux
de micro-
conna~tre la q u a l i t ~
69 I - ETUDES LIEES A L'ASPECT MACRO SCOPIQUE DES PLASMAS.
/~/
A) Equilibre et stabilit~ Le syst~me d'~quations utilis~ dans ce eas est appel~ systgme magn~tohydrodynamique
g I fluide g pressioD
scalaire
fier ici, notons qu'il est adapt~ aux mouvements (~tude de la stabilitY) s'~crit
. Sans le justi-
rapides du plasma
que l'on suppose adiabatiques.
Ce systgme
:
x'IS
(])
#-tant
l'~quation
du m o u v e m e n t
quation de continuit~ los ~quations
loi
d'Ohm g~n~ralls~e(3)
l'~-
(6) et (7)
de Maxwell.
et E los champ magn~tiques
V
la vitesse du fluide,
et ~lectriques,
rapport des =haleurs sp~cifiques
Dans
la
C ~ ) la condition d'adiabatieita
est la densit~ massique, B
(2)
le eas de l'~quilibre,
et ~
p la pression,
J la densit~ de courant,
la r~sistivit~.
le syst~me ~ ~tudier s'~crit simple-
ment
I
Une p r e m i e r e quement
~
~
difficult~
s'~l~ve
: on n ' a
pu d ~ m o n t = e r
math~mati-
l'existence d'une solution de type torique de ee syst~me,
t~ en sym~trie de r~volution, des appareils TOKOMAK.
excep-
qui est justement une des caract~ristiques
70
Les solutions
cherch~es
en forme de tore emboit~e
car~
; ces surfaces
comme ii est visible
(et les lignes de courant) ces lignes remplissent tent des surfaces
tours et de petits
-~
%t
,.bt
tours
En g@n@ral,
ces surfaces
se referment
apr~s un nom-
autour du tore
: ces surfa-
la stabilit@ de ces @quilibres. la solution g6n~rale de div B = 0
arbitraires
de
t et z, l'~quation
(I')
~ P = p(F)
OIj
~
l
~
~
f = f (F)
e~~1~ etuat l~!a~ eqiOfonct n([~~~": io--nF~F~est~dfite~"rmi~Fnge_alorspar ~quation de type elliptique d~finie
FI#-~ sont
~
jusqu~g
ensuite)o
Cependant
l~tat
par exempie p ~ a F ~ (14) lin~aire.
aprgs
les expressions
chercher
(~) sont connues.
(probl~me que nous envisageons g dgfinir
les earact~res
pour des classes g~n~rales bF + c
!ors-
l'gtude de l'@volution du plasma dans
d'gquilibre
on peut
des ~quilibres possibles
rendent
que
eu fait connues
le temps
f(F),
impli-
f soit des fonction de F :
~
Elles
exis-
d
I
I
sur ces surfaces.
-~
f et F sont des fonctions que p e t
constante
les lignes magn@tiques
toute la surface mais entre
En sym@trie de revolution, :
sur ce syst~me
sont situ@es
jouent un grand r$1e dans
s~gcrit
~ pression
sont appel@es surfaces magn@-
o~ les lignes magn~tiques
bre fini de grands ees
sont des surfaces
; ~2
= ~F 2 + ~F
g~n~raux
de fonction ~(F)
et
+ ~ expressions qui
Ces ~tudes ont ~t~ d~velopp~es
rant analytiquement
71
que num~riquement. des quantit~s courant
Dans
physiques
longitudinal
Les
autres
des
I qui
montrent
surfaces
est ~ l e v ~ . (Fig.
circule
de
que~
par
magn~tiques
dans
est
diverses
la section
d'autant
un
quand
du plasma,
mais
que
le
du plasma.
de plasma plus
r~parti-
fix~e,
d~form~e
la
que
la recherche des
de
appareils
l'int~r~t
de r e c h e r c h e r p a r m i
tent
~
les plus
II existe
trop
soit par
fort
intenses confiner
finissent
~
de fusion
soit
pratiquement
de la surface et l'on est
de la rgpar tition des
la section
d'un
: Axe central
acceptables
qui d~pendra
aussi
sont
restreinte
ne sont pas
maximum,
la r~ussite
elles
darts une r~gion
extremes ~
Comme
C.A.
la topologie
de la pression
les
telles
(~)).
d~formations
d~formations
pour
(ab...)
3
du plasma
d~finir
de l'~quilibre
pour une fronti~re
: Axe m a g n ~ t i q u e
changer
semble
constantes
C . A ~
Figure
Ces
les
de representer
courant
C.A. M.A
on relie
et la q u a n t i t ~
permettent
ou de densit~
ces ~tudes
r~partition
lin~aire,
c a r a c t ~ r i s t i q n es
param~tres
tion de p r e s s i o n Toutes
le cas
totale
l'en; ces
conduit courants,
du plasma.
est d'une
importance
thermonucl~aire,
les gquilibres
possibles
extreme
on comprendra ceux qui permet-
forts.
plusieurs
codes
num~riques,
rgsolvant
l'~quation d'~qui-
72
libre
(12) en se fixant
la forme
recherche
syst~matique
des
Ces
dgformations
peuvent
bien
ou en mal~
~tudier
DES
Les
(en T -3/2)
poser ~ =
0,
tabilitSs~
(M.H.D. moins
proximation7 du p r i n c i p e un ~tat
trgs
id~ale),
dangereux,
l~tude
dans
mation
du plasma°
que
et apr~s
le temps
de
importan~s,
ce qui nous
est
en
amgne
des petites
des petits
la r~sistiviconsiste
~ d'autres par
en g~ngral
lin~aris~
donc
approximation
l'on n ' e n v i s a g e r a
avoir
une
~es plasmas.
~ # 0 conduit
ces perturbations,
L'~quation
e&fets
temperature,
Une premiere
On e n v i s a g e
d'~quilibre
des
gquilibres,
g haute
LeC~
et per~ettant
NULLE
de la stabilit~
d'~ne~.
lution
avoir
de la physique
sont
faible°
du plasma
souhait, ables.
de ces
A RESISTIVITE
de fusion
est
aussi
fondamental
PLASMAS
plasmas
~quilibres
la stabilit~
cet aspect
STABILITE
t~
sur
ext~rieure
ici.
types
d'ins-
Acette
ap-
abord~e
~ l'aide
perturbations
le syst~me,
Soit ~(r)
mouvements
autour
on ~tudie
le champ
peut
~tre
d' l'~vo-
de d~for~cri~
:
N +U :o Net
U
sont
des
opgrateurs
sym~triques,(N
d~fini
suivante,
qui repr~sente
l'~nergie
la f o n c t i o n n e l l e syst~me
lit~
est que
pour
toutes
nest rieure
Introduisons
potentielle
du
:
on d~montre
limites
positif).
(4)(~
que
les p e r t u r b a t i o n s
du plasma.
le vecteur du plasma
perturbation
la condition
On obtient
unit~
normal
est une
~
n~cessaire
compatibles
et suffisante
avec
les
l'expression
suivante
aux surfaces
magn~tique
surface
du champ m a g n g t i q u e .
magn~tique), Cette
expression
conditions
pour
Q = rot
de stabi-
~W.
(la surface (~
suppose
aux
B)
est
que
ext~la
la fron-
?3 fibre
du p l a s m a
mas,
loin de
reste
immobile.
paroi
mat~rielle,
probl~me
~ 2 milieux
- plasma
tent
d~formation
de
une
champ
gie
d'~quilibre
s'~tend
calculant
On d o i t
la p e r t u r b a t i o n
certaines
Nous
traitS. ajouter
du champ
~ envisager
traiter
du p l a s m a
le vide.
~tre
aurons
il faut
et v i d e -
dans
peut
~ ce cas.
nous
la f r o n t i ~ r e
~lectromagn~tique
probl~me
Comme
fa~on
verrons
magn~tique
compor-
le p r i n c i p e
~Wvide dans
un
une v a r i a t i o n du comment par la s u i t e /le
ici que
terme
g~n~rale
perturbations
et
Notons un
de
des p l a s -
qui
d ' ~ n e r -~
s'obtient
le v i d e
: posons
en :
Q = rot A Q est d o n n ~
par
la s o l u t i o n
du p r o b l ~ m e
~O~(rot
(~))=
n ~
A
~
Pr~eisons rieure mais
sont
peut
ne pas
avec
dans celle
0
telles
l'interface
= 0
sur
la f r o n t i ~ r e
~lectriques
qu'elle dans
ce cas u n e
fronti~re
pour
le vide
sur
intervenir
d~finie
dans
:
. . . .
les p r o p r i ~ t ~ s
suppos~es
On d ~ f i n i r a cider
que
suivant
est
de
impermeable
le p r o b l ~ m e
de
ext~rieure
le p r o b l g m e
de
LOCALISEES
Minimiser On est
conduit
calis~es. limit~es dients mais
Les
~W
est un p r o b l ~ m e
qui peut
localis~es
sont
importants.
Ces
perturbations
surfaces
avec
lignes
dit
localis~
tr~s
s~v~re.
ne pas
co'n-
Ce
magn~tiques,
les p e r t u r b a t i o n s
magn~tiques critgre
ferm~es exige
entigrement et
les
des p e r t u r b a t i o n s
surfaces
plasmas,
non
localis~es
des
des
plasma-vide.
o
difficile,
imm~diat
le cas des
aux p e r t u r b a t i o n s
stabilitY.
les p e r t u r b a t i o n s
perturbations
tr~s
ext~-
ET NON L O C A L I S E S .
~ distinguer
au v o i s i n a g e
locaux
dans
ce
fronti~re
l'~quilibre
>
PERTURBATIONS
cette
ext~rieure.
sont
souvent
localisges
conduisent
pour
non
qui
ayant
r~solu. lo-
sont
des
gra-
stables,
au v o i s i n a g e
~ un
la s t a b i l i t ~
critgre de
ces
74
modes
que lJ~
~
~ ~ ~
~
O
sur
toutes
lignes
magn~tiques
fermEes . f Etant
une
ra done
~ calculer
sagE. que
Ce
crit~re
forme
t~ de
fonction
de
impose
de
depend
valeur
connaitre
et ainsi
grande
dans
Au v o i s i n a g e
ne
instable
le plus
le caleul
du
Pour d'~tablir
les un
ngcessaire est dans
recourir
aux g r a n d e u r s
tr~s
Prgcisons
bations toutes
problgme on peut
comme
numErique dans
ce
de
type
telles
en par-
d'instabilit~
interessantes.
de ces
le caleul
des
envi-
la densi-
permet
crit~res
des
tient
surfaces
la c o n f i g u r a t i o n j e n
localis~es,
cas
ma-
general
dEveloppements
il n'est
faisant
Ceci
n'est
pas
appel
l'~quilibre~
de d ~ t e r m i n e r
si
domai-
facilitent
possible
explicitement II d e v i e n t
la forme
possible
et il est
quadratique ~W
analytiquement
g~n~ralement
done
que
n~eessaire
de
en fait
"rEgu-
num~rique. ~'non l o c a l i s E e s "
~ variation
et les
lente.
perturbations
nous
entendons
II en r E s u l t e non
que
localisEes
les p e r t u r -
n'~puisent
pas
possibles.
applications
au TOKOMAK,
suit,
compte
d~composer
que
nous
configurations
de s t a b i l i t ~
particuliers,
les p e r t u r b a t i o n s les
non
positive.
c~est-g-dire
Pour
~
caraet~risant
chaque
que par
loca!isEes
de
~quilibre
de l ' E q u i l i b r e
travail
perturbations,
g~ngral
au calcul
ligres ~,
ces
perturbations
dgfinie
cas
centre
Ce
On c h e r c h e -
/~/
dans
ou non des
pour
crit~re
et u n i q u e m e n t
ngcessaire
chaque
et r E p a r t i t i o n
en
les
l'~valuation
du
erit~re~
vers
l'Equilibre.
pour
intensit~
limitations
prgcision
de
propriEtEs
la q u a n t i t ~ ~.
oriente
gn~tiques~
des
torique,
de
locales
numEriquement
fortement
les
nous
La d i f f i c u l t g la trgs
propriEtEs
ce c r i t ~ r e
la s e c t i o n
eourant,
ticulier
des
Tenant
la p e r t u r b a t i o n
de
nous
avons
la s y m ~ t r i e
selon
partieularis~ axiale
ses h a r m o n i q u e s
de
le
l'~quilibre,
azimutales,
75
qui
se t r o u v e n t
turbation suppos~
axisym~trique)
petits
la s e c t i o n dal;
enti~rement
BT:
du
les
jouera
R:
grand
toro~dal).
En
la limite,
il f a u t
faire
Nous
suppos~
d'autre
Nous
traitons
avons
pression). tions~
on peut
cylindre s~es
posante
montrer
de Q dans
Soient coordonn~e
et ~ T du
fait,
pour
que
x et y des
que
; B
que
z~ro Nous
part
qu'on
part
vers
z~ro
celles
direction
II est
Dans
remplacer
le
les p e r t u r b a t i o n s
dont
la c o m p o s a n t e
div ~ = 0.
(II
est
nulle).
aussi
commode
ces
non
Dans
le
il en r g s u l t e
-) Q d~rive
vide
~
(
un
l'axe
que
du
la com-
et z la
un p o t e n t i e l
u
:
o)
que Q d ~ r i v e
du p o t e n t i e l
condi-
locali-
m~ridiennes
d'introduire
~ faible
tore par
selon
s'ensuit
transversales
polo~-
rapports.
(~quilibres
basses.
de
air un sens
.-) le p l a s m a ,
avons
m~ridien
ces d e u x
constant
peut
que
: champ
.
Dans
(per-
caract~ristique
le p r o b l ~ m e
i~ harmoniques
coordonn~es
longitudinale.
tore
B Test
et qui v ~ r i f i e n t la m ~ m e
un p e u p a r t i c u l i e r .
ensemble
part
sont
L'harmonique
(a:dimension
rayon
d'autre
instables
est n u l l e
un r$1e
tendre
d'une
(p~riodique),
les plus
cylindre
ne
dans ~ W .
B~
a ~
rapports
tore,
champ
d~couplges
du p o t e n t i e l ~L:
_U#Vd g f i n i
r
par
:
) ~v -~
avec ~ V -~"
~W
se r ~ d u i t
~
~
~
sur
l'interface
~I/ ="
0
sur
la f r o n t i ~ r e
extgrieure
:
Dans
le cas
ou Jz
ties
permet
de
s'annule
r~crire
au bord
le s e c o n d
du p l a s m a , terme
sous
une
integration
la f o r m e
:
par p a r -
76
oO F est
le p o n e n t i e l
En d @ f i n i t i v e deux
formes
d'@quilibre
nous
quadratiques
: ~%=
~0~
Fe% )
obtenons ~W
sous
la forme
sym@triques
et d @ f i n i e s
d'une
diff@rence
positives
de
:
s
gwt Enfin,
yjf4
=
l~@limination
d&jg
indiqu@,
drons
u sous
~
et ~
par
de
d@composition
la forme
auront
des
L~int@gration obtenues verse,
z s'effectue,
harmonique~
eomme
Autrement
nous
dit,
l'avons
nous
pren-
:
formes en
ne d @ p e n d e n t
plus
la v a r i a b l e
analogues.
z pourra que
un p a r a m & t r e
de
alors
Stre
effectu@e.
la d i s t r i b u t i o n
unique
kB
du
. II est
Les
champ
expressions
d'~quilibre
int@ressant
trans-
de n o r m a l i s e r
z
eelui-ci
oO
en p o s a n t
l'int@grale
"facteur lignes
de
est
peut
minimum.
par
Dans
revient rappport
positives, A-|B.
effectu~e
magngtiques
g~/~
~
s@curit@"
La m @ t h o d e
cela
:
q repr@sente
et qui
ou non
autour
autrement
La m @ t h o d e
de
dit
la s u r r e l a x a t i o n
par bloc
qui
est
par
Des des
irr~gularit@s
surfaces
magn@tiques
~ un.
Pour
valeur
la plus
a @tg mise
pour
entre
g chereher
tenir
cela
obtenue
B @tant
g calculer
la p u i s s a n c e
le r a p p o r t
consiste
petite
B, A e t
du plasma.
Le
le pas
des
tore°
alg~brique
la plus
par
tridiagonale
la f r o n t i ~ r e
inf@rieur
l'approximation
N une m a t r i e e
de
du
a @t@ u t i l i s @ e
g calculer
~
alors
la l o n g u e u r
devenir
~
par
propre
son
discr@tisation, d'une
matriee
A
et d ~ f i n i e s
valeur
en oeuvre,
compte
le r a p p o r t
on d @ t e r m i n e
sym@triques grande
si
propre
de
en p r o c @ d a n t
de la s t = u c t u r e
de A~
bloc. num@riques r~sonantes
tendent o~ les
~ se p r o d u i r e lignes
au v o i s i n a g e
magn~tiques
se refer-
77 ment
sur une
joutant v~e
p~riode.
g ~ W I un
normale
de u.
pr~voir
ce que
section
du p l a s m a
cas dans
nes
profil nous
de
les
cesse
dans
sens
d'instabilit~
B]
en q.
limitation
elliptique z~ro
la n ~ c e s s i t ~ axe de
SPATIO
Pour
cette
par
de
la d ~ r i pour
lorsque
comme
la
c'est
le
l'hypoth~se
circulaire
une
d~composition
seconde
assez
~tudi~s
aisgment
(section
enveloppe
les
on
domai-
sensiblement
du c o u r a n t
de s t a b i l i s e r et
confocale)
l'enveloppe,
les m ~ m e s
lorsqu'on
int~ressant, moins
circulaire.
cependant
une
en p l a ~ a n t
car
s~v~re
nouvelle,
du plasma une
il
La c o n s i d & r a -
difficult~
les d ~ p l a c e m e n t s ceci
de
~lectrique
un p l a s m a
elliptique,
elliptique
relative
est p r a t i q u e m e n t
dans
la s e c t i o n ,
localis~es
cireulaire,
distance
introduit
dans
enveloppe
le
conduc-
proche.
TEMPORELLE
Equation
-
que
non
dans
avons
restaient
Ce r ~ s u l t a t
une
suffisamment
]
nous
le c a r r ~
en ra-
"modes".
une m ~ m e
l'harmonique
EVOLUTION
que
parasites
a ~tg e n t r e p r i s e
d~terminer
que p o u r
du g r a n d
trice
peut
trouv~
un p l a s m a
savoir
on
diff~rents
exemples
de p r ~ v o i r
tion de
En effet,
unidimensionnel
et
des
g peu p r o s
parabolique,
exprimait
permet
d'etre
usuels.
contenant
instabilit~s
d'allure
ces d o m a i n e s les
les
courant
avons
solutions
~tude bidimensionnelle
angulaire,
Dans
les
Cette
deviennent
d'instabilit~
~limin~
de r ~ g u l a r i s a t i o n
~ un p r o b l ~ m e
harmonique
avons
terme
les T O K O M A K
se r a m g n e
Nous
D'UN
PLASMA
CONFINE
DANS
UN T O K O M A K
de base
~ t u d e nous
consid~rons
le p l a s m a
comme
un m ~ l a n g e
de
deux
f l u i d e s ( ~ l e c t r o n s et ions) et nous nous p r o p o s o n s de d ~ c r i r e son spatio ~volution/temporelle avec un m o d u l e m a c r o s c o p i q u e . Ii s ' a g i t d ' u n p r o -
blgme
de
transport
1°~)Les duit
chauffe
partie un
flux
de
de m a s s e
sources par
cette
de gaz
r~gi
d'-~nergie et de m a s s e .
effet
JOULE
~nergie
aux
neutre
et d ' ~ n e r g i e
venant
les ions de
Electrons. par
par
Le c o u r a n t Ceux-ci
collision
la p a r o i
trois
causes
~lectrique
transmettent
COULOMBIENNE.
p~n~tre
:
plus
Par
ou m o i n s
in-
une ailleurs,
profon-
78
dgment
dans
!e p l a s m a
cr~ant
ainsi
une
2 ° ) Les surface soit
(convections
voiumiques
diffusion et des
ions
plupart
et
ces
travaux
et se r a m ~ n e n t
riv~es
partieiies
temporelle
des
ions
t~me
des
fuite
les
est d o n n g
e
ce s u j e t
(nv)
des
S 3 ainsi de
est
flux que
transfert
faits que.
pour Une
et Qi des
ferm~ de
!es
d'un
tempgrature courant
chaleur
approche
ces trgs
expressions
les
gaz
soit
par
diffusion)
neutres
thermiques
des
de
froids). la
~lectrons
indiqu~e en
approximation
syst~me des
dans ~ 0 , ~
de
radiale
caract~risant des
l'~tat
glectrons,
~lectrique.
Un
La
cylindri-
4 ~quations
variables
J.
aux d~r et
du p l a s m a
T. t e m p g r a t u r e I
type d ' u n
tel
sys-
S~
Qe'
expressions
~valuer
sont
ci-dessous.
en d o n n a n t
d'gnergie
pertes
sont p r i n c i p a l e m e n t
le p r o b l ~ m e
~
Ce syst~me
Ce
est
en f o n c t i o n
du
~lectrons~
~lectrique.
de 4 q u a n t i t g s
~lectrons,T
les
particules
avec
conductivitgs
sur
d~crivant
avec
Ces
des
transport.
g la r ~ s o ! u t i o n
et J la d e n s i t g
de b a s e
de m a s s e .
et
traitent
t !'gvolution
n densit~
de
travaux
collision
interaction
la r g s i s t i v i t ~ de
et
thermiques
particules,
par
de m a s s e .
d'gnergie
(radiations,
revue
de
locale
coefficients
des
Une
que
source
pertes
3 ° ) Les
et s ~ i o n i s e
des
les
Qi' de
des
expresssions
du
type
termes
du f l u x
sources
la r ~ s i s t i v i t ~ ~
~lectrons
simple
expressions
est
de
aux
ions.
g partir
consid~rer
FOURRIER
particules
ou p u i t s
et du
Divers
d'une
des
c o e f f i c i e n t O~ calculs
th~orie
pour
S I, S 2,
les
ont
~t4
microscopi-
flux
nV~
Qe
7g
o~
les
coefficients
D~ K e et K i p e u v e n t
rie m i c r o s c o p i q u e ~ m~nologiquement. par
exemple
ou m e s u r ~ s Quant
calcul~s
aux
par
froids
(ou g n e r g ~ t i q u e s )
termes
sont
~galement
des
~ventuels
chauffages
par
la d o n n g e
des
appropri~es.
Un
et des
de
impuret~s
de
telles
ou e n c o r e
ou p u i t s
avec
par
compl~mentaires. initiales
d'apr~s
SI,
l~int~raction
les p e r t e s
conditions
exemple
sources
analyse
inclus
calcul~s
exp~rimentalement
termes
une
~tre
$2, des
et des
S 3 il
th~oph~nosont
gaz n e u t r e s Dans
ces
et
les
effets
(~')
est
compl~t~
radiations
conditions
donn~s
le p l a s m a •
Le s y s t ~ m e
une
conditions est d o n n g
aux
limites
ci-dessous
:
b
--
Des
conditions
MAN
peuvent
Remar~ue g~n~ral bre
~galement
dont
et
gl~ments
limites
un
la s t a b i l i t Y . le s y s t ~ m e suivants
• Les . Ii
BOUJOT tats.
g~n~rales
du
%-~--
type m i x t e
DIRICHLET-NEU-
que
le s y s t ~ m e
se d ~ d u i t
a ~t~ u t i l i s ~
La d i f f e r e n c e
pour
essentielle
aux p a r a g r a p h e s
d'un
syst~me
l'~tude entre
ci-dessus
de
M.H.D
l'~quili-
ce s y s t ~ m e
g~-
r~side
dans
les
beaucoup
plus
lent,
:
s'agit
systgme
:~
considgr~es.
utilis~
consid~r~e
ph~nom~nes d'un (~
et a l ~ ; ] e n Le d ~ t a i l
plus
cas p a r t i c u l i e r
. L'~volution
Le
~tre
: On p e u t m o n t r e r
et de
n~ral
aux
.: O
de
ici
est un p h ~ n o m ~ n e
dissipatifs schema
a ~t~
en c o m p t e
~ 2 fluides.
trait~
utilisant
sont p r i s
les
ce p r o g r a m m e
num~riquement techniques
est
indiqu~
sur une
IBM 360/91
de v i s u a l i s a t i o n au p a r a g r a p h e
des
par
rgsul-
suivant.
80
2 - Mgthode Nous de
pas
le
sysC~me
n um~riNue
u~iiisons
la
fractionnaires° peut
et
programme
m~thode En
de
notant
A est
rentiels
d~eomposition
l i ~ e 'aux
le v e c t e u r
composantes
de
techniques n,J,T
e
,T i
s~crire
a_!+AG o3
G
eonversationnel
une
matrice
dont
non
lin~aires,
les
Un
F
:
coefficients
organigramme
sont
est
des
donn~
op~rateurs
sur
la
figure
diff~N°~
Ol-
...-~
R E S o L u ' r lo@
~ FONC'rIO~~IK¢ S 3"1
•Z
Kc, ~ .
CALCUL
l~
ER~
. ~
SOURCe'.~
FICA'TIO N
CCuc .~ tRUXILIAtOF$
eTou~
~.
NO~
~ ARR~e~e I
~B~eoLe ~ ICO~V£RS~TIONN~*-I.-_.
cAs s u , v ^ ~ r l V ..I)RTA A/
J
~"
F¢ll Ce
programme
ticulier~
conversationnel
!~innroduction
de
est
r~alis~
nouvelles
sous
sources
forme
modulaire.
ou
formes
de
En
par-
fonctionnelles
81
pour
les
coefficients
PROGRAMME
les
transport
est
une
operation
simple.
MAIN
Effectue pour
de
la g e s t i o n
retours
du p r o g r a m m e
et
les
rangements
n~cessaires
et la v i s u a l i s a t i o n .
LECTURE Toutes lues
: les
les
dimensions
le
les
de
la d ~ c h a r g e
les
constantes
conditions
g~om~triques,
aux
l(t)
coefficients
physiques
limites
sont
d~finissant le champ
etc...
~galement
de t r a n s p o r t
le p r o b l ~ m e
toro~dal,
Les p r o f i l s
lus.
D, Ke,
Les
K i, ~
sont
la m a s s e
initiaux
formes
sont
et
initia-
le profil
fonctionnelles
pour
choisies.
RESOLUTION Le Chaque
equation
analyse met
systgme
des
non
est
I'IBM
trait~e
pas
la s t a b i l i t ~ de
de 500
360-91
temps
nous
rgalis~
plus
solution du
obtenue
systgme
par
DES
secondes.
l'introduction 1000
dans
lin~arisation.
le
Ce
de
temps
des
pour
Ceci
un
Apr~s
de d ~ c o m p o s i t i o n temps
assur~e.
prend
explicite.
chaque
apporte
un gain
l'~volution
temps est
neutres
d'une
machine, plus
per-
sur
~lev~
froids.
(2
Ace
jour
simulations.
QUANTITES
de r ~ s u l t a t s , l'intggration
SUBSIDIAIRES il est
utile
num~rique
de s ' a s s u r e r
v~rifie
certains
que
la
invariants
:
A cette magn~tique
fin nous
induit
Quand quantit~s
sortie
de
apr~s
simulation
de duroc,
30 ~ 50
simule
ET C A L C U L
~tant La
globalement
la m ~ t h o d e
d'int~gration
machine.
si l'on
A chaque
implicitement
millisecondes
d'environ
VERIFICATION
une m ~ t h o d e
du syst~me
3 minutes) avons
par
adimentionnelles
diff~rents
n~gligeable
d~charge
int~grg
grandeurs
d'avoir
~quation,
est
ces
calculons
l'~nergie
totale
du syst~me,
le champ
etc...
conditions
subsidaires
sont
: densit~
satisfaites, moyenne,
on calcule
temperatures
~galement
moyennes,
des
temps
82
de c o n f i n e m e n t
~ inductance,
etc...
SORTIES Apr~s impression alisation lisateur suivre
impression
sur m i c r o f i l m (IBM
2250),
: il p e u t
l'int~gration sont
avec
listing
des
alors
changer
donn~es
sch~matis~es
sur
r~sultats
et g v e n t u e l l e m e n t
apparaissant
du p r o g r a m m e
g l'instant
modifi~es.
sur
est
~ventuellement
ou r e v e n i r
des
des
courbes
le c o n t r $ 1 e
l'int~gration~
sibles
sur
transfgr~
les
donnges
pr~cgdent
Les
--<--------~-~'~t
L'aspect flexibilitY.
L~'S ~)D~E~',~F
rgsultats chines pour
le p r e m i e r
tion
des Un
utilisons
expgrimentaux
futures,
Ii faut but.
r~sultats des
buts
pos-
|
p uN ca~
~
.~ U I v A Iv T
du p r o s r a m m e
conversationnel
Nous
refaire
ss
Fc~ 5" Application
pour-
options
tA,-I
[,our co,v-r,~vu~',1
-
g l'utipour
pour
diff~rentes
de v i s u -
la Fig
R vouo
3
l'gcran
donne
ce p r o g r a m m e
ou pour noter
Nous
N notre
faire
qu'il
donnons
pour
des
est
programme
grande
l'interpr@t~tion
calculs
un
des
d'extrapolation
particuli~rement
ci-dessous
une
exemple
bien
des
adapt@
d'interpr@ta-
exp~rimentauxo importants
des
expgriences
sur
le T O K O M A K
est
d'gtu-
ma-
83
dier
les p r o p r i ~ t ~ s
des
plasmas
une
d~charge,
les p r o f i l s
trgs
physiques
chauds
diverses
radiaux
la t e m p e r a t u r e
numgrique
et nous
r~sultats
des
sures.
exemple
compare sur
la plus aux
de
des
conclusions
Ces
- La r ~ s i s t i v i t ~ pr~vue
calculs
des
jusqu'g
: le c h a m p
la d e n s i t ~
accord est
aux Roses
qui de
de
d'appareils.
de
transport)
Au
etc...
transports
r~sultats
donn~
sur
la F i g ~
nous
que
les
des m e . o~ l'on
exp~rimentaux
actuellement
in-
le m o d u l e
pour
les
de
Pour
en u t i l i s a n t
simulation
d'
~lectrique,
avec
est
cours
~lectronique,
ionique
aux r ~ s u l t a t s
obtenus
la m a c h i n e
ont
conduit
:
~lectrique par
est
5 g I0 fois
SPITZER.
Ceci
plus
peut
forte
~tre
que
celle
expliqu~
par
impuret~s.
- La c o n d u c t i v i t g pas
en b o n
th~oriquement
la p r e s e n c e
de
coefficients
expgriences
suivantes
ce type
la d ~ e h a r g e
simulation
de F o n t e n a y
coefficients
la t e m p g r a t u r e
simulons les
cette
performante.
de
les
sont m e s u r ~ e s
instants
soient
les r ~ s u l t a t s
le T O K O M A K
nous
ajustons
caleuls
dans
quantit~s
glectronique,
ces m e s u r e s ,
Un
confines
~ divers
terpreter
(notamment
thermiqne
prgsent
des
ions
prgvue
en contradiction avec
par les
la t h g o r i e r~sultats
n'est
exp~-
rimentaux. - En r e v a n c h e , thermique
la d i f f u s i o n
des
th~oriques
~lectrons
usuelles.
exp~rimentaux TON,
obtenus
OAK-- RIDGE,
piriques
pour
r~sultats Signalons les p e r f o r m a n c e s
s'~cartent comparant
nous
et
la c o n d u c t i v i t ~
notablement ~galement
des
avec
laboratoires
avons
propos~
coefficients
expressions
les
rgsultats
(MOSCOU,
des
PRINCE-
expressions
qui
v~rifient
est
utilisg
bien
em-
les
~ ce jour.
terminer
d'une
particules
en d ' a u t r e s
JAPON)
ces d e u x
connus
pour
En
des
machine
que
le m o d u l e
future
qui
r~aliserait
pour
pr~voir
l'ignition.
84
I
/z z// 3
q
I
I
"o ~2
J 1
j 0~
J0
4
Zeff
0
0.2
0.4
0.6
0.8
P/a
I0 2 1
t00
0
200 time (ms)
EQUILIBRE Les
d~un
d'une
Cette parois par
et
plasma
limit~
configuration
configuration
~quations
la d o n n ~ e
magn~tique
du
Le
champ
dans
d~sir~e
singularitY,
avee
rgalise
d'~quilibre, par
une
TOR.I.QU.E.. de
surface
poss~dant
les
stabilit~
et d ' ~ v o l u t i o n
magn~tique
caract~res
conduisent
tem-
aux
d~sirgSo
doit
maintenant
~tre
obtenue
loin
champ
magn~tique
dans
le v i d e
est b i e n
poss~de
le
l'~quilibre
l'on
ENCEINTE
magn~tique
difficileo
existent
UNE
de
toutes d~fini
de M a x w e l l
int~rieur
un probl~me
que
DANS
pr~c~dentes
mat~rielles.
les
(qui
PLASMA
~tudes
porelle ehoix
D'UN
sur
des
Si l ' o n cas de
la s u r f a c e ~ d u
singularit~s
connaissait
symgtrie
en en m a t g r i a l i s a n t
une
paroi
de
actuellement
les
une,
surfaces
situ~e infinie.
les c o q u e s
Ce
champ
sa d ~ t e r m i n a t i o n
est
magngtiques
de r g v o l u t i o n ) ,on
conductivit~ avec
et
plasma.
avant
r~aliserait la p r e m i e r e
En fait
en m ~ t a l o
c'est
Comme
ce
leur
85 eonductivit~ son e f f e t
n'est
disparaitra
la c o n f i g u r a t i o n Nous
nous
de m a n i g r e tour
joue
pas
plasma
le temps
alors
champ
p6n6trera
conduisant
est
une
~tant
coque
d'abord
de rSle
cette
paroi
important
des
dans
la c o q u e
~ la d i s p a r i t i o n
cette
configuration
courants
entour6
et de
d'une
d'intensit~
enceinte
au m o i n s I. aul
~loign~e
conduetrice.
trait~
dispositions
dans
de r 6 a l i s e r
en p l a ~ a n t
l'ensemble
des
courants
le
d6sir6e.
ou non ~ t r e
cherchera
les
avec
approximative
Le p r o b l ~ m e on
infinie,
proposons
du p l a s m a
pouvant
pas
de
avee
une
courant
conductrice,
diminuant
conductrice
et n ' i n f l u e
coque
de
pas
telle
sur
ou m ~ m e sorte
mais
annulant
qu'elle
la c o n f i g u r a t i o n
ne de
cherch6.
On p l a c e te
les
courants
l.z aux p o i n t s
(0izi)
.4)
Utilisant
entre
plasma
et e n c e i n -
_~
la s o l u t i o n
(~)
de div B = 0,
l'fiquation ~ rfisoudre
devient
La p r e m i e r e dinal,
6quation
ais6ment
Pour
(301
I i des
satisfaite
r~alisable
r6soudre
et on e s s a y e r a
est
de
courants
avec
la s e c o n d e ,
par
un
champ
un b o b i n a g e
magn~tique
sol~noldal
longitu-
ext6rieur.
on p o s e r a
0
satisfaire
le m i e u x
ext6rieurs
et de
&
possible,
leurs
~ l'aide
positions,
des v a l e u r s
~ l'6quation
86
B
@tant
m
mao
le champ
Cette
ration
fonction
du p l a s m a
le p r o b l g m e
!
les
courants
conductrice
Elle
est
des
ee q u e
!~on
suppose
normale de
~ connaitre
la c o n f i g u -
pour
en f o n c t i o n
du p ! a s -
de
r@soudre
l'abscisse
section, peut-~tre
circulent
courants
section
pr@cgdente
quantitg
suppl@mentaire qui
l'~tude
exprimge
cette
courants
sont
par
la s e u l e
de
condition
tiellement) Ces
et est
& la
tangent
est d o n n @ e
ext@rieur~
curviligne Une
m@ridien~
de
dans
surface
ici).
d'annuler
(au m o i n s
la coque
(si
lls
sont
la
coque
par-
conductrice~).
!a p a r o i donn@s
est
par
infiniment
:
0 Le
courant
algfibrique teurs
total
des
eireute
courants
dans
circulants
est
@gal
darts le p l a s m a
g d@finir
une
du p l a s m a
la s e c t i o n
et dans
la m @ t h o d e suite sur
utilis~e
complete laquelle
pour
r~soudre
somme
les
conduc-
de f o n e t i o n
on d @ v e l o p p e
le
W~
ce p r o b l ~ m e
(~)p@riodiques
champ~
soit
avecla
~ la
I., i
Sch~matiquement siste
qui
norme
D@finissons
En utilisant
maintenant
~(~£
la r e l a t i o n
Jfl A v e c U = F et W = W n # On obtient :
de
-
par
type
Green
pour
£°
l'op&rateur
consur
(~) d o n n ~ .
87
On c h e r c h e
alors
avec
inconnus
comme
leur p o s i t i o n si p o s s i b l e , Un la C.I~.I m~me
rgsultats non
et est
courants
~tant
obtenus
le h o m b r e
dans
) , je me cas
typique
La fig.
(~)
montre
la p o s i t i o n
des
diff~rents
pos~.
dans
par
3 cas
et et,
faibles. MM.
d'appareil
BOUJOT
Une
ici
du p r o b l g m e
des
de ~ ce
de
de p r e s e n t e r
obtenir
correspondent
et M O R E R A
communication
g plasma
intensit~ pour
limit~
somme ~IIi ~ minimum
contenterai
les
d'~quations
~tant
math~matique
conducteurs
Les
la c o q u e
une
en f o n c t i o n n e m e n t . ~ l'expos~
infini
courant
tr~s
au p o i n t
sur un
du p r o b l ~ m e
de
avoir
la c o q u e
a gtg mis
(
ce s y s t ~ m e
g Is fois
r~serv~e
correspondant
selon
ximation
pour
actuellement
circulaires.
saires
tr~s
choisie les
au m i e u x
~ et Ii,
tel p r o g r a m m e
colloque
controle
~ r~soudre
les
~ sections
courants
n~ces-
une b o n n e
appro-
~ des
courants
ext~rieure.
l ~ L AS PIJ~
I
a:js
,
_.
J
<
I
o, ]
- 5 , I':/-
Y t~
j I
C oGIu~
..... - - ~ ,
~t'
V~,'.
Q +,t.5t
J C o n cL~.LcI' e,.,- e .
~.
88
B - SIMULATIONS
L~objet cables
NUMERIQUES
du pr@sent
aux p r o b l ~ m e s
DES
PLASMAS
chapitre
qui
est
n~cessitent
DECRITS
PAR L ' E Q U A T I O N
la d e s c r i p t i o n une
DE V L A S O V .
des m ~ t h o d e s
description
appli-
microscopique
du
plasma. Dans l'~tude
de
f(x,v,t) de
toute
l'~volution
des
ions
l'immensit~
d~crit
la s u i t e
dans
du s u j e t
I) Le p l a s m a 16 n u m ~ r i q u e m e n t 2) Les est
tribu~s
Les
des
Les
des
description
de d i s t r i b u t i o n
constituant limiterons et
infini
conditions
positifs
qu'on
~ une
le p l a s m a .
au p l a s m a
approximations ce qui
microscopique particule
Compte
tr~s
tenu
id~alis~
suivantes
:
sera habituellement
simu-
de p ~ r i o d i c i t ~ .
(prgsents
sont
dans
neutre)
supposgs
se p l a c e
dans
Le r a p p o r t
hypotheses
4)
tout v ~ r i t a b l e
sont
supposes
plasma
immobiles
qui et d i s -
le c a d r e
charge
r~el.
infiniment
sur m a s s e
On n g g l i g e
pr~c~dentes
d'une est
finement
approximation constant
en outre
constituent
divisgs,
tout
et
de
type
est
~gal
effet
l'approximation
ce
collision-
habituelle
"de V l a s o v "
Le p l a s m a
rendre
De m ~ m e
nous
suppos~
e / m du p l a s m a
plasmas
pour
nous
sera
~lectrons
continue~
au r a p p o r t nel.
glectrons
macroscopiquement
signifie
milieu
la f o n c t i o n
par
uniform~ment.
3) qui
entendrons
des h y p o t h g s e s
par
ions
toujours
de
et des
le c a d r e
nous
est
soumis
le m o u v e m e n t
~outes
des
gun
champ
particules
les p e r t u r b a t i o n s
de
maEn~tique
suffisamment
sensiblement
l'~quilibre
sont
fort
unidimensionnel. supposges
unidi-
mensionnelles. 5) On se Dans ma
ce
se r ~ d u i t
variables
limite cadre
gun
sans
aux
trgs
intgractions restrictif
ensemble
dimension)
de deux
~lectrostatiques.
la d e s c r i p t i o n ~quations
math~matique
couplges
(~crites
du p l a s en
89
L'~quation
l'~quation
de P o i s s o n
Dans actions
d'un plasma
~lectromagn~tiques
~quations
de Maxwell
travaux
th~oriques
thgoriciens
de Poisson
(])(2)
Aucune
s'attaquer
~ l'~tude
succ~s
de la turbulence
Le syst~me d~licat nombre pouvons les
precedent
diff~rentes de d~crire
des deux premieres
d~crire
plus
plus
en dgtails
analytique
grande
partie micros-
Pratiquement
de tN~ories
n'a encore
de la turbulence
av~r~
qu'analytiquement. pour
tenter
en d~tails.
trois
L'~tude
de Vlasov.
chauds.
au cadre
g~n~rale
des
de l'approche
s'est m a l h e u r e u s e m e n t
d'approches
des
d'une
par
les
lin~ai-
permis
de
faible
et
forte.
num~riquement
earact~ristiques
des plasmas
m~thode
~ traiter
envisager
le cadre
de se limiter
complet
l'~quation
dans
et d ' i n t e r -
les scalaires
le systgme
l'objet
des propri~t~s
res ou quasilin~aires.
fortiori
par
a fait
effectu~s
ont gt~ obliges
avec
de remplacer
et E par E + v~B dans
du syst~me
de l'~tude
:
pluri-dimensionnel
il "suffit"
et l'~quation
L'~tude
copique
~ une d i m e n s i o n
~ une dimension
le cas g~n~ral
des vecteurs
des
de Vlasov
classes
Nous
essaierons
de techniques
qui nous
que nous
ne
de d~gager
existantes.
suceinte
semble
aussi
Ii s'en suit un grand
de le r~soudre
sera v o l o n t a i r e m e n t
la dernigre
presque
afin de pouvoir
potentiellement
riche. Nous
g~nante
commencerons
du systgme
l'gquation fine dans
est
(])(2).
leur
l'espaee
par
souligner Une des
tendance des phases
raTt
clairement
m~me
dans
l'~quation
(~).
une propri~t~
caract~ristiques
g acqugrir (x,v)
si on supprime
une
quand
des
structure
t croit.
le terme
importante
et
solutions
de plus
en plus
Ce ph~nomgne
d'int~raction
E ~ ~
de
appa-
90
La
solution
peut
en
ce qui
de
effet
re
s'ficrire
montre
d6finiment
i~6quation
que
avec
le p h % n o m ~ n e
particules
dans
(I)(2)
l'6quation Cette
d6riv6es
L'introduction
en
introduisant
le p o t e n t i e l pour est
reversible d'un
propri6t6
rapport du
des
de
terminer
d'gvolution
derni6re
par
t.
Soulignons syst~me
les
:
terme
vitesses
croissent
d~interaction
structures
dies
au
in-
complique piggeage
enco-
des
l'onde0 que
l'6volution
et q u ' i l fluide
vient
aux
du
peut
de
~tre
f
interpr6t6
incompressible fait
que
d6crite
o
dans
f obgit
par
le
comme
l'espace
(x,v).
g l'~quation
de
Liouvilleo Trois are
le
types
syst~me
II
d'approches
~Ioi
m~thodes vrai
des
structure
si
devienne
des
grandeurs
tion
compl~te
en m o y e n n a n t Bien mani~re
la
tendance
structures
on
tr~s
d'int6gration simplifie
devient
que
pour
tenter
de
r6sou-
eul6rienne
de
directes
mSme
utilisges
~ i ~ i ~
raison
g acqu6rir
6t6
(I)(2)~
- Approche
En
ont
plus
solutions
fines ont
dans eu
le p r o b l g m e
suffisamment
beaucoup
des
fine
petite
en
peu
que
les
son
on p e u t
et
~ une
de
des
de
phases,
succgs. que
Vlasov les
Ceci
lorsque
6chelle
gchelles
int6ressantes, fonction
de
admettant
physiques passer
l~6quation
l'espace
assez
pour
que
de
reste
la
caract6risti-
caract6ristiques
abandonner
distribution
sa d e s c r i p -
lissge
d6finie
f(x,v,t) . quail
soit
~ conserver
en p r i n c i p e
les
n premiers
possible moments
de des
choisir
la m o y e n n e
fonctions
de
de
distribu-
91
tion
avec
vation
n quelconque
de
le temps Ce
l'impulsion et
le fait et de
de
l'~nergie
la c o n s e r v a t i o n
de
de
lissage
peut
de r g s o l u t i o n
du
systgme
(I)(2)
l'gcriture un
de
syst~me
lant
~ une
possible Deux
de
darts ce
les
d~riv~es
transformation
I) D o u b l e gtant
de V l a s o v
perdre dans
la r ~ v e r s i b i l i t g
l'espace
ngcessaire
"transformge est une
~ la c o n s e r -
dans
de
phases.
les
techniques
f".
tentative
darts le s y s t g m e
des
dans
de
pour
passer
coordonn~es
de (x,v)
tel q u ' i l n ' a p p a r a i s s e pas de termes o s c i l t c r o i s s a n t a v e c / u n e d e u x i ~ m e " c o n t r a i n t e " ~ t a n t si
fr~quence
de
par
habituellement
coerdonn~es
de r a m e n e r
types
aussi ~ t r e
de ces m ~ t h o d e s
l'~quation
fait
la d e n s i t ~
type
La p h i l o s o p h i c
se l i m i t e r
transform~e
cas
ont
partielles
operations
alg~briques.
gt~ u t i l i s g e s .
de F o u r r i e r ,
d~composge
g des
~ la fois
la f o n c t i o n
en sgrie
de d i s t r i b u t i o n
de F o u r i e r
en p o s i t i o n
darts l e s q u e l l e s
la f o n c t i o n
et en v i t e s s e . 2)
Transformation
de F o u r i e r
de d i s t r i b u t i o n
est d g c o m p o s ~ e
et
d'Hermites
en p o l y n o m e s
11.2
en s~rie
de F o u r i e r
d'harmoniques
les
le n u m ~ r o
de v.
Le
champ
de d i s t r i b u t i o n
sous
des
x
forme
d'une
somme
par
du m o d e
dans
~lectrique
l'espace
s'exprime
de c o n f i g u r a t i o n ,
de m ~ m e
sous
L
m°nique/En
systgme
l'espace
en v.
fonctions
d~finis
nest
Le
dans
- ~ ~ ! ~ ! ~ - ~ _ ~ ! ~ - ~ K ~ 2 ~ _ ~ ! _ ~
On ~ c r i t
s
Hermite
Vlasov-Poisson
se r a m ~ n e
alors
~ :
forme
q la t r a n s f o r m ~ e d'une
somme
d'har-
92
(3) -
(4) (5)
l~quation droites
(3)
s~intggre
de p e n t e
On ~ c r i t
2 ~n
les
un
!es
d'Hermite
systgme
suivant
dans
fonctions
En u t i l i s a n t polynomes
en
le p l a n
caractgristiques
on est non
sous
d'orthogonalit~
alors
an m e s u r e
lingaire
qui
sont
des
(q,t),
de d i s t r i b u t i o n
relations
alg~brique
les
du
la f o r m e
et de r ~ c u r r e n c e
de r a m e n e r
le s y s t ~ m e
des (])(2)
type
§6) f
G peut
mn
op~rateur
~tre
r~solu
standards de
eette
du
sans
type
mgthode
trop
Runge il
Kunta de
permet
la r ~ s o l u t i o n
de p r o b l ~ m e
pl6t6e
par
membre
souligner
dgveloppement
que b i e n
par
les
Le
syst~me
(6)
d'algorithmes
Correcteur,
en p o l y n o m e
d~crit
d~crivant
lin~aire.
g l'aide
on P r e d i c t e u r
~levg
second
du
non
de d i f f i c u l t g s
eonvient
termes
~Ig~brique
nombre
un
de
matriciel
que
A l'actif
n6cessitant
d'Hermite
l'gquation
collisions.
un
elle
de V l a s o v
com-
93
III - L e
Nous che
~tait
d'un
du W a t e r
III.]
-
avons
d~j~ mentionn~ que
trajectoires
que
des
que
l'~quation
incompressible
en o u t r e
Ba$"
~g~[!~i~
le fait
fluide
exprime
mod~le
dans
de V l a s o v un e s p a c e
la f o n c t i o n
particules
d~finies
les
d~crivait
de
eette
est
appro-
le m o u v e m e n t
constante
Elle
le long
des
par
d~
le cas
fonctions
l'espace
de d ~ p a r t
~ 2N d i m e n s i o n s .
f(x,v,t)
d~ Dans
le p o i n t
des
o~ N=I
il est
de d i s t r i b u t i o n phases
facile par
de r e p r e s e n t e r
des
contours
f(x~v)=Cte
darts
bidimensionnel "/7
~_.,... C 1
--Cz
-------
~
graphiquement
C2
C3
;~C C4
Les
contours
topologie
(ils
prise
entre
point
du
En miner
alors
ne p e u v e n t
deux
contour
suivant
de
de
de d ~ t e r m i n e r est
est
de
finie
couper).
les
une n o u v e l l e
particuli~rement
La
qu'on
sait
~quations
com-
chaque
particule.
capable
de d ~ t e r -
calculer
E
du m o u v e m e n t
configuration int~ressante
d~finie
et
d'une
on est
leur
surface
du m o u v e m e n t
contour
de s o r t e alors
en c o n s e r v a n t
du m o u v e m e n t
chaque
rigoureusement
C'est
ou se
aux ~ q u a t i o n s
de c h a r g e / f d v
mgthode
le f l u i d e
est un i n v a r i a n t
l'gvolution
courbes.
suite
avec
se c r o i s e r
En u t i l i s a n t
de d i s t r i b u t i o n
d'une
ob~it
(2)
capable Cette
fini
contours
la d e n s i t ~
partir
C. ~ v o l u e n t i
~ l'aide
on est
~ t+dt.
si d'un
la f o n c t i o n nombre
le cas des f o n c t i o n s de d i s t r i b u t i o n c o n s t i t u g e s s de m a r c h e / d ' e s c a l i e r c ' e s t - ~ - d i r e de r ~ g i o n s oh f
94
est
constante
montre
qu'il
r~elles
par
sgparges est
de
par
possible
telles
des
fronti~res
d'approximer
ou f est d i s c o n t i n u e .
les
fonctions
On
de d i s t r i b u t i o n
fonctions.
,P
,f
fl\Approximation d'une Maxwellienne par une m a r c h e u n i q u e ,
III.2 Les
- La m ~ t h o d e
contours
ligs
entre
ment
rapproch~s
eux par
sur
les
est
intgressant
voir
ajouter ou
~lectrique
des
pour
trapgzes
s'~tirent
sont
dgfinis
pouvoir
se c o n t r a c t e n t
~ une points
de
par
Poisson.
chaine
de d r o i t e ,
invariante
des
d~terming
une
approximer
appel
ou s u p p r i m e r
est
par
segments
faire
d'une maxwellienne de m a r c h e .
numgriNue
la s u r f a c e de
Approximation par une s u i t e
trop
de p o i n t s
lls
eorreetement comprise
structure si au
la f o r m e
doivent
entre de
cours
des
~tre
par
de
somme
contours~
afin
sur un
calculs.
intggrale
suffisam-
une
les
liste
les s e g m e n t s
lagrangiens
de p o u contour
Le
champ
l'gquation
de
~
# fj
est
S( ~ * /
la d i s c o n t i n u i t g ] ~
les p o i n t s une
grille
d'~gales
)
est
~paisseur
~
(Xm+ I >
fixe x.
~ la t r a v e r s ~ e
la s u r f a c e
Xm+ ! et x m eulgrienne
due
(avec Xm).
et d i v i s e n t
son Les
du ~ m e signe)
points
l'espace
contour comprise
entre
xm d~terminent
en b a n d e s
verticales
Ii
95
Quand ~t~
le
champ
obtenu
e~l~rien
~lectrique
en
il
n~airement
chaque
est pour
a
point
interpol~
li-
ehaque
situg
P. I
entre
2 points
eul~riens.
/ On
!
J
C~
fait
tours
alors
g partir
centrge
l'acc~Igration faire
~voluer
(n-~)
t et
point
de
schema
charge
sitions
Le
des
principal
contour
que
directe
de
tures
explicite
ngcessaire
et n o n
l'on
IV
qui
L'approche celles
dont
calculer
inconvgnient peut
traiter de
nous
E au
con-
mgthode
2 utilisant ~ t = n~t
pour
la v i t e s s e (n+)
entre
t suivant
: (pour
le
i~me
lagrangien).
que temps
Lasran
la m ~ t h o d e
d'autant on
que
parce t ne
est
comme
se h e u r t e
~ simplifier
que
la d e n s i t g
d~pend
que
des
po-
le h o m b r e pour
fini
l'int~gration
au d ~ v e l o p p e m e n t
pgriodiquement
de
les
de
struc-
contours.
ienne
!~l~!~i~n
que
nous
avons
abordons
parl~
rattache
aux
classes
fait
les
caract~ristiques
que
de
Vlasov
obligent
-
utilisable
les
vitesses.
- Approche iv.1
n'est
pour
l'~quation
fines
d'une
d'ordre
l'algorithme
Ce
~voluer
ici
jusqu'ici.
pr~c~dentes de
et
est
notablement
Le
point
en p a r t i c u l i e r
l'~quation
de
diff~rente d~part
qui
au w a t e r b a g
de V l a s o v
sont
de
nous est
le
96
c'est-~-dire alors
les
~quations
compl~tement
l'aspect
purement
dynamique.
fonction
de d i s t r i b u t i o n
fait
~voluer
de M a x w e l l ° instant
et
L~gtat
la f o n c t i o n Ce m o d g l e lit~
aux
~quations
dynamique
relative
de p r o g r a m m a t i o n
et
Les
de
te de r ~ s o l u t i o n
~tant
jeu.
actuellement
Enfin
c~est
plusieurs
~v.2
machine
nous
l'avons
!agrangienne
quand
diatement
on
g des
qui
tente
par
les
gtant
aucun
qui
air
ou
on le d g s i r e . sa f a c i -
conditions ind~pendants
probl~me,
le n o m b r e
module
~ chaque
la d e n s i t ~
quand
de m o d i f i e r
ne p o s e
fix~
connu
la s o u p l e s s e ,
lagrangiens
le seul
de
d~crit
semble
de
probl~mes
limitent
envisager
l'introduction
particuli~rement
la l i m i -
de p a r t i c u l e s ~tg
en
ggn~ralisg
pratiques
d'encombrement
considgrablement
suivre.
Afin
par p r ~ c i s e r
de
type
la f o r m e
le h o m b r e
de b i e n
le c y c l e
la plus
situer normal
de
ce p a r a g r a p h e
s~duisante.
pratiquement
commencer sous
dans
IVappliquer
le de ce
fines
uniquement
est
les
~ ! ~ ; ~ n _ ~ _ ~ ! ~
Tel que
sement
structures
une
dimensions.
-
l'approche
points
ayant
aux ~ q u a t i o n s
comme
par
de vue
coupl~es
calculges
int~ressant celle
un p o i n t
et on
du s y s t ~ m e
~tre
abandonne
f(x,v,o)
intgressantes
peuvent
le d ~ v e l o p p e m e n t
peut
du mouvement
particuli~rement
ou e x t @ r i e u r e s .
adopter
On
N de p a r t i c u l e s
est
initiales
particule.
repr~sentant
complet
moyennes
de d i s t r i b u t i o n
pour
un n o m b r e
initiale
quantitgs
d'une
statistique
On se d o n n e
grace
les
du m o u v e m e n t
Malheureu-
on se h e u r t e m6moire
et de
de p a r t i c u l e s
les d'une
problgmes
imm~-
que
il est
simulation
simple.
" ~ " ~ ~
..........
'"",,' calcul des"'
nouvel[es vitesses
l'on uti-
num~rique
position des particules caLcu[ des ~ nouve[les positions
temps
CO~C U~
t'~interdaection
97
Le
schema
position l'on
des
d~duit
tesses
ci-dessus
particules une
puis
acc~l~ration
des n o u v e l l e s utilis~- est
lagrangienne
du w a t e r
co,reuse
Le
qui
calcul rend
le m ~ m e
bag
seul
direct
par
n~cessite cules
en jeu).
sensiblement une
Une
simulation
qu'on par
ne p e u t
calcul
trouver
envisager
de
pour
guration
(x) est
chaque
le p o t e n t i e l
le champ Dans
par
~tape
particules est
excessivement
Le
en e f f e t
~s,
que
] le
(o3 N e s t
champ
donn~
cr~e
sur
par
calcul
sur N p a r t i c u l e s
le eas d ' u n le c a l c u l
precedent
le n o m b r e
direct
de p a r t i -
il faut
ordinateur
N = I00
0.I
seconde
N =
10
secondes
I000
N = 104
15 m i n u t e s
N =
I jour
n~cessitant
eul~rien
dans
grand
10 N o p e r a t i o n s
105
environ
Ce n o m b r e
d'un plasma
divis~
maille.
des
en m a i l l e s
de
de
temps, plus
trop p e t i t
rgel,
donc
effectuant
l'interaction
il faut donc
il est
de
clair
1000 p a r t i c u l e s
pour donc
un p o i n t
simuler
cor-
abandonner
le
de rue
d'interaction
: l'espace
de
confi-
et on
la d e n s i t ~
de
charge
calcule
de P o i s s o n
chaque
de
suivre
On r e p r e n d
champs
L'~quation
au c e n t r e
de
est b e a u c o u p
l'interaction.
le c a l e n l
I000 pas
s~rieusement
le c o m p o r t e m e n t
direct
les
d'int~raction
en p r a t i q u e . est
positions.
:
cette m~thode.
rectement
est une
autres
est plus
arithmgtique
pour
~voluer
les v i -
~, I ~ I z
10N 2 o p e r a t i o n s .
operation
n~cessite
Pour
ce champ
d'o~
~voluer
de n o u v e l l e s
champ
la
mutuelle
faire
faire du
: ayant
--~
de d i m e n s i o n s
sensiblement
que pour
les
pour
on d ~ d u i t
impossible
routes
~=~ le n o m b r e
interaction
le c a l c u l
de
~r
Si
leur
fondamental
qu'on utilise
vitesses
ce e a l c u l
la i ~me p a r t i c u l e
le c y c l e
on e a l c u l e
L'algorithme
different.
r~sume
maille
permet
et par
alors
de
calculer
interpolation
le
champ
98
au p o i n t
o~ se
temps
calcul
de
de p o i n t s
de
trouve
chiffre
dans phe
suit
du n o m b r e
tion
tr~s
qui
consacrg
~ l'Etude
la d e n s i t ~
considerable
du " g r a i n "
fondamentales
d'gchelle
~quations
et
de
il faut
la m a s s e
du m o u v e m e n t .
des
l'espace. en e f f e t
par
hombre
de p a r t i c u i e s
~l~mentaires.
l'~pproximation
Les
fluctuations
par
rapport
Comment
du
portant longue
champ
tourner
|06).
en jeu
cette
des
plasma
fluides,
intgressent dans
une
distance,
importantes
car
ce qui
pour
r~duction
sont
les
sorte
qu'on
par
augmentagrandeurs par
ne pas
reprEsentent
supposEe
risque
une
la c h a r g e
en q u e l q u e s qui
d'int~raction
r~el
facteur
II en r ~ s u l t e
continu
la d i f f i c u l t E
coulombiennes
nous
de
est
changer
des
un
agglo-
grand trgs
l'gquation
loin
de V l a s o v .
consid~rablement
de m a s q u e r
un
amplifi~es
les p h E n o m g n e s
fins
d'~tudier,
spgcifiquement
en m ~ c a n i q u e
qui
du m i l i e u
au p l a s m a
se p r o p o s e
forces
de
conserver
multiplier
On c o n s t i t u e
ou s u p e r p a r t i c u l e s
plus
quelques
I0 ~5. Le p a r a g r a -
entraine
Pour
le m ~ m e
de p a r t i c u l e s
qu'on
]0 ~0 ~
consequences
particules
m~rats
de
le n o m b r e
Etant
de p a r t i c u l e s
le
de p a r t i c u l e s ~
de
faeteur
des
de
que
de s u i v r e
actuellement
le h o m b r e l'ordre
montrer
N o~ N G est
permet
concevable
de
alors
N G x NLog
prEcEdent
devant est
On p e u t
comme
absolue
faible
plasma
sera
que
L~artifice
La r ~ d u c t i o n
physiques
les
reste
particuleo
plus
(le m a x i m u m
un v e r i t a b l e qui
croit
la grille~
~05 p a r t i c u l e s Ce
ne
chaque
de Le
simulation !es elles
port~e
donc
interactions son~
qui
un m i l i e u est
ici que
simulations
comportement
~ longue en font
ces
? c'est
d'un dans
qui
s~introduit sont
plasma
de r e s p e c t e r
naturellement
est
le d o m a i n e
essentiellement
~ eourte
aussi
ces
distance
lissges
par
utilisEes
r~gi des
l~aspect
par
des
param~tres
collectif.
LTim -
interactions
sont
beaucoup
le m i l i e u
moins Comme
99
ce
sont
des
pr~cis~ment
d~viations)
suffit
de
qui
trouver
La s o l u t i o n par
Vlasov
les
d~s
sont
adopt~e pour
II i n t r o d u i s i t
alors
II s'agit
~tre
ticules
contenu
obtenu d'une
sont
l'approximation
fictif
un v o l u m e mais
La f a ~ o n
la l o n g u e u r
est
tances tent
susceptible plus
~ l'agitation ces
sphere
effets
de r e s t a u r e r
d'~cran
La
ainsi
de l a q u e l l e
de de
un plas-
A des
dis-
qui
permet-
d'~cran
le r$1e
lors
longueur
la n e u t r a l i t Y .
qui m i n i m i s e n t
de par--
ee type
neutre.
effets
finies.
librement
de "Debye".
des
continn.
solides
de c o n c e v o i r
~ l'~chelle
reels
un e n s e m b l e
Les
rigoureusement
il s ' i n t r o d u i t
thermique
milieu
se t r a v e r s e r
simple
caract~ristique
importantes
pr~cis~ment
peuvent
de ne pas ~tre
granil
les p l a s m a
de d i m e n s i o n s
caract~ristique°
une
de
num~riques,
pour
en " s o l i d i f i a n t "
la plus
Debye
fournie
de p a r t i c u l e s
obtenu
avec
lisser.
justifier
est de " s o l i d i f i e r "
ma
les
les p l a s m a s
~t~
particule est
dans
(c'est-~-dire
~ en fait
ind~formables
interaction.
pour
le concept
dans
proches
amplifiges
un m o y e n
1950
d'un
collisions
Ce
des
sont
collision
proches.
IV.4
Les propri~t~s
- Physique
consequences lingaires
d~ particules
de
les
termes
qS(x)
est
un
o3 S(x)
la d i m e n s i o n
du p l a s m a
en r e m p l a § a n t
de d i m e n s i o n
de
peuvent
charge
facteur
finie ~tre
de
lissage
est
atteint.
La
montre
d'ailleurs
que
la force
d'int~raction
alors
vers
z~ro
qu'elle
quand diverge
la d i s t a n c e pour
des
th~orie
qui
les
particules
particules
~tudi~es q
II est
le but
tend
des
ponctuelle
de forme.
finie.
de
par
s~pare
2 spheres tend vers
ponctuelles.
des
termes
constater
glectrostatique de
les
analytiquement
~(x) ais~
sur
que
~l~mentaire charg~es z~ro
100
L'effet
de
lissage
est
particules
est
plus
resolution
des
phEnom~nes.
int~ressant
de
conserver
fagon
constitue
cules
de r a y o n
Les siens
prEcis~ment guration
effectif
de
forme
les m E t h o d e s
lorsqu'on
dans
de
de
l'espaee
de
S (~c) focteur
de
Chaque
fois
que
de
physique l'ordre
eela
la s p h e r e et de de
utilisEs
r~ciproque
forme
Les facteurs petits
zero
carrEs
bien
(particule
d'intEraction trophiques relation
car
apparaissent
(dgfini
par
pour
que
trop les
~tendue) nombres
les m o d e s
de d i s p e r s i o n )
gEnants
on u t i l i s e
)
ils
d'ondes
correspondants infiniment
de il est toute parti-
T.F.
ou g a u s -
ailleurs.
tandis
des
dun forme
de
Plus confi-
que
lorsqu'on
facteurs
facteur carre
de gaussiens.
de
h
bS) T.F.
d un facteur forme gauss ien
h
la t r a n s f o r m E e
s'ils car
des
la t r a n s f o r m ~ e
/ dans
de
carrEs
l'espace
carr~s,
S
qui
par
dans
S(~)
/
qui
avec
sont
utilisEes
configuration)
faeteur de forme gaussien
de D e b y e
des
perte
est p o s s i b l e ,
en p r a t i q u e
~
d'une
travailler
directement de
le r a y o n
D"
numEriques
forme corre
L
que
Evidemment
facteurs
l'espace
marque
bien
travaille
des
plus
au p r i x
l'image
limite
on u t i l i s e
travaille Fourier
une
facteurs
suivant
grand
d~autant
de F o u r i e r
se p r o d u i s e n t
pour
correspondent en cause, sont
amortis.
ne
(d'apr~s
des k trop
~ une
sont
de
absence
pas
l'Etude
catasde
la
101
Quand de forme
on utilise
gaussien
ponen t i e l l e courte
des
se fait
grands
longueur
un
~ deux
lissage longueurs
due
g la grille
maille
du centre
ment
plus
cule
ee qui
finies
on r~partit
lement
les plus
peut
utilisent
pleinement
: ayant d~termin~ la charge
de chaque
~ la charge
le concept
de
Dans
charge
Les
dans
de la p o s i t i o n NGP
(Nearest infini-
de 2 mailles
dif-
simulations
de partieules
du centre
~ cette particule
fraction
image.
du champ
Deux particules
la p o s it i o n
affeet~e
cette
"bruyante".
proche
tr~s bruyant.
fluctuations
automatiquement
la densit~
la plus
des
ex-
La d i s c r ~ t i s a t i o n
l'approximation
contribuer
coupure
il correspond
supprime
ou moins
anglosaxonne.
le proeessus
dans
Tout d'abord
on calcule
C'est
une
le calcul
la grille.
la maille
particules.
~ la "surface"
pour
~tre plus
simples
ainsi
que
des facteurs
de tissage
clairement
enl~rien
petites
enl~rienne
rend
done
du au fait qu'on
en d ~ t e r m i n a n t
"~volu~es"
mensions
plus
peuvent
Le r$le
de consequences.
de la litt~rature
voisines
f~rentes~
types
de chaque
Grid Point)
apparalt
l'introduction
en introduisant
d'onde.
du m a i l l a g e
d'onde
les simulations chaque
nombre
suppl~mentaire
les
r6ciproque
simplement
d'onde
L'introduction ~lectrique
l'espace
d'une
de diparti-
proportionnel-
de particule
dans
PIC
ClC
les
cellules
voisines.
NG P
ou
X ,q
La totalit~ de la charge est affect~e ~ la cellule indiqu6e d'une croix.
La charge est repartie proportionnellement aux aires hachur~es dans les 4 cellules.
102
Cette tionso
technique
Elle
ou C l o u d
est
r~duit
connue
In Cell)
notablement
sous
etest
le b r u i t
le n o m de PIC
due
de
ou CIC
initialement
fond
des
(Particule
~ Harlow
simulaIn Cell
en m ~ c a n i q u e
des
fluides.
Le
fair
la c h a r g e type
que
d'une
d'effet
il d e v i e n t
deux
cellule
introduit
La
force
s~pare
deux
rapport
La
des
dans
il
table
sup~rieure
le. mais
de
Ceci
peuvent
contribuer
soit
2 nous
amine
au d e u x i ~ m e
L'espaee
oesse
dT~tre
uniforms,
raffinements
de
d'onde
plus sont
p~riodique
semblable
qui
de
!e
couplage
de D e b y e r~el
ne
h o m o g ~ -~
la d i s t a n c e
particules (~x
~ celle
d'un
qui
par
largeur
pour
doric e n c o r e
l'effet
de
de m u l t i p l e
cas des p r o b l g m e s supplgmentaire
(qui
l'est
de qui
correspondent
le p l a s m a
de
la
gaz
pas.
num~rique
II y a done
la g r i l l e entrgs simulation est que
~ des
mailles
devient une
ins-
limite
utilisables~
vraisemblablement de D e b y e
r~alisable
que
different
complication
des m a i l l e s
d~licat
systgme
de
des
en~x
du s o l i d e
Dans
la l o n g u e u r
facilement
seulement
la p o s i t i o n
tr~s
d~un
cristallin.
une
le p l a s m a
translation plus
de
en p h y s i q u e
la d i s t a n c e
consiste
par
est
de la g r i l l e ~
l~ordre
beaucoup
devient
hombres
g la t a i l l e
est
aussi
physique
conditions
que
L'optimum cules
Elle
apparalt
devant
alors
mais
comme
les
certaines
grandes
de
ne d g p e n d
un r ~ s e a u
d~onde
plasmas
dans
l~invariance
situation
coupler
de h o m b r e
~ cello
la g r i l l e .
d~interaction
On d g m o n ~ r e de
par
particules
de F e r m i o n s
est
de
& !~ g r i l l e ~
mai!le).
soit
voisines
p~riodique~
I! y a p e r t e no.
particules
avec
& travailler et une m a i l l e les m o d u l e s
les m o d u l e s
n~cessaire
avec de
des
parti-
la m S m e
unidimensionnels
& 2 ou 3 d i m e n s i o n s .
pour
tail-
r~duire
le b r u i t
Des
sans
103
introduire
IV.6
Les
de p h ~ n o m g n e s
- Raffinements
positions
al~atoirement tiales
Dans
sont
une
de f a ~ o n
d'un plasma
de m a n i ~ r e
choisies
au h a s a r d
par
spectre g~nant
suite
si par
Quand sont
toutes
plus
les
la d e n s i t g
les
choisies
conditions
probabilit~s
Ce p r o c e s s u s
des
et
soit
ini-
correspondant
physiques
de p a r t i c u l e s
~ la f o n c -
repr~sentant
est
r~elles.
on e x c i t e
~lev~
sont
les v i t e s s e s
d'initialisation
conditions
relativement
initiales
initiale
particules
il faut
faibles.
beaucoup
La n a t u r e
la " d e n s i t ~
de la f o n c t i o n utiliser
ge sur m a s s e
un
ce qui
simple Cepen-
large
peut-~tre
le c o m p o r t e m e n t
discrete
~vidente en p h a s e "
des p a r t i c u l e s mais
ayant
des
une
de p a r t i c u l e s
de d i s t r i b u t i o n ) .
d'am~liorer
d'une
onde
Pour
charges
la r e p r e s e n t a t i o n
les
numgrique
(par
~ cet
conservant
et m a s s e s du p l a s m a
donnge
representer
r~gions
faible
palier
pond~r~es
pour
du p l a s m a
dans est
esp~ce
de
les
est par
l'espace
exemple
la q u e u e
inconvenient le m S m e
diff~rentes dans
les
rapport
on char-
ce qui
zones
~ faible
en p h a s e .
Pour est
~tre
les p o s i t i o n s
~ ~tudier
o~
densit~
simuler
on c h e r c h e
des
permet
des
~ niveau
particuli~rement
peut
al~atoire
r~duit
consgquent phases
pour
peuvent
amplitude.
identiques
valeurs
proche
exemple
g l'initialisation
experimental.
initiale.
de f r ~ q u e n c e
de f a i b l e
ordonn~e
avec
du n o m b r e
li~s
les v i t e s s e s
g representer
concept~ellement
dant
et
initialisation
tion de d i s t r i b u t i o n et
et p r 0 b l ~ m e s
initiales
soit
r~elles
choisies
parasites.
initialiser
recouvert
d'un
les
calculs
maillage
x,
dans v.
Une
ce cas
l'espace
particule
est
des alors
phases disposge
104
en c h a q u e
point
la v a l e u r
de
la g r i l l e
locale
d'initialisation
de
avec
la d e n s i t ~
n'introduit
parfaitement
maltre
nganmoins
de
que
multifaisceau~ est
qu~on
suffisant
grand
devant
sait
le t e m p s le
temps
en p h a s e
aucune
de r e s t e r
souligner
une m a s s e
des
initiale.
fluctuations
perturbations
les p a r t i c u l e s ~tre
et c h a r g e
instable
de d ~ v e l o p p e m e n t caract~ristique
des
des
Cette
technique
al~atoires initiales.
forment
mais
proportionnelle
si
alors
II
convient
un e n s e m b l e
le n o m b r e
instabilit~s
ph~nom~nes
et p e r m e t
de f a i s e e a u est
qu'on
tr~s
se p r o p o s e
d'~tudier°
V.
Conclusions
Malgr~ tentg
de m e t t r e
proches manque
fait ver
le c a r a c t ~ r e
en ~ v i d e n c e
de r g s o l u t i o n iei
pour
des m o d g l e s
l'objet
de n o m b r e u s e s
r~su!tats
mentalement
ont pu
Dans
pement
l'instabilit~
th~orie
de
a ~t~
malheureusement
En particulier modules
bi
commencent
par
ou tri
connaissent laser
qui
de
de
des
d~taill~e.
rest~ictifs
dans
constituent
par
~tre
avec une
th~orie.
apnous
forte
de
autre
des
nu-
du d ~ v e l o p -
plasmas
n~cessite
~ la
des
confings. des
encourageants
modules
voie
exp~ri-
unidimensionnels
r~sultats
l'~tude
retrou-
inaccessible
transport
Les
de
simulations
l'~tude
l'~tude
faible
Beaucoup
observ~es
au cours
la l i t t ~ r a t u r e o
peut
la
et p e r m i s
Les m o d u l e s
de
avons
La p l a c e
la t u r b u l e n c e
jamais
les p r e m i e r s
d'int~r~t
Poisson.
totalement
pour
coefficients
dimensionnels
un regain
faisceau
nous
des p r i n c i p a l e s
num~riques
la t u r b u l e n c e
l'expos~
ces m ~ t h o d e s .
de
en ~ v i d e n c e
double
trop
~ appara~tre
Vlasov
th~oriquement,
de f a G o n
l'~tude
coupl~
experiences
mises
de
dominants
qualitativement
le d o m a i n e
faite
traits
applications
pr~vus ~tre
succint
unidimensionnels
pr~vus
m~riques.
nels
les
L~tude
les
les
du s y s t ~ m e
d~crire
de m i c r o i n s t a b i l i t ~ s
sont
ngcessairement
unidimension-
plasmas
vers
cr~es
la f u s i o n
105
thermonucl~aire.
Dans
num~riques
jouent
ces
quelques
durent
ee d o m a i n e
un r $ 1 e
fortement
d'autant
microsecondes
plus
lin~aire
les
fondamental
ce qui
rend
simulations
que
route
les
mesure
experien-
fine
impos-
sible.
Nous
n'avons
exhaustive article.
indiqu~
aucune
n~cessiterait L'unique
r~f~rence
un n o m h r e
r~f~rence
E~]
de p a g e s
contient
- REFERENCES
R~f~rences /I/
Congr~s
du
1970
- Colloque
in c l o s e d
~quivalent
la date
~ celui
de
cet
bibliographique.
-
la
de
Soci~t~
Physique
Fran~aise des
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approach
magnetic
to
the
Physique-
- Journal
problem
configurations
School
of
Plasma
of
de
plasma
- C.Mercier
Physics
in C o m p u t a t i o n n a l
Physics
- Vol.9,
and
- Varenna,
confiH.Luc
-
Como,
Academic
Press
R.M.Kruskal
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(1970).
particuli~res.-
I.B.Bernstein
, E.A.Frieman,
M.D.Kruskal,
P r o c . R o y . Soc.
- A.244
17.
/5/
G.Laval,
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C.Mercier,
C.Mercier Plasma
de
(~ p a r a ~ t r e ) .
Methods
R~f~rences
/7/
bibliographic
(~ p a r a l t r e ) .
- International
Italy
/4/
de
magnetohydrodynamic
nement
/3/
Centenaire
1973
Physique
The
une
g~n~rales.-
Vittel
/2/
car
C.Mercier,
Nuclear
- Sixth
Physics
(1958)
R.Pellat
Fusion
European
- Moscou
- Nuclear
Suppl.,
part
Conference
1973
- Vol. I,
Fusion
2.
5
(1962)
(1965)
801.
on C o n t r o l l e d p.75.
156.
Fusion
and
106
8/
F.Grelot, Fusion
9/
IO/
and
G.Laval,
Moscou
1973.
C.Mercier
et
Physics
European - Moscou
- Tokomaks
Conference
Soubbaramayer
devices-
Fith
Grenoble
of
International
Garching
1973
J.P.Boujot,
Symposium
Rapport
CEA.N.1546
P.Rebut
et
Controlled
V o l . II,
simulations on
toroidal
and
for
Conference
1972
p.79.
cross-section
Fusion
model
Controlled
on
Plasma
plasma
-
Physics
evolution
Controlled
Fusion
p.157/169.
of
discharges
plasma
-
confinement,
- B.IO.
G.Meurant,
al~
non-circular
European
computer
on
- Vol.l,
Controlled
- Numerical
Physics,
- Review
Conference 1973
with
on
Plasma
D.F.D~chs
on
- Sixth
Tokomak
Third
13/
R.Pellat
European
in
12/
Plasma
Sixth
and
11/
J.Weisse
J.P.Saussais
probl~me
TOKOMAK.
(1972).
- First Fusion
- Le
results
and
Plasma
on
TFR
- Sixth
Physics,
European
Moscou
1973.
Conference
COLLOQUE INTERNATIONAL SUR LES METHODES DE CALCUL SCIENTIFIQUE ET TECHNIQUE
PROBLEMES DE CONTROLE OPTIMAL EN PHYSIQUE DES PLASMAS
D6termination d'un 6quilibre dans un Tokomak
pc~r
J.P. BOUJOT, J.P. MORERA, R. T E M A M ~
17 - 21 d6cembre 1973 IRIA
Compagnie I nternafionate de Services en I nformatique (C. I. S. I.) CommlssarTat ~ l'Energie Atomique - SACLAY -)(-Aussl l nstltut de Recherche en I nformatlque et Automatique (I. R. I. A.)
108 INTRODUCTION
Le Tokomak est une des machines les plus prometfeuses actuelJement envisag@e pour r@aliser Ja fusion contrSI6e. II se compose sch~matiquement d~une coque toroi"dale contenant un plasma que I'on cherche a chauffer ~ntens~ment sans introduire d'instabilit~s. II semble que la forme de ta section droite du plasma ait pr~cls6ment une tr~s grande importance en ce qui concerne la stabillt@ de ]'anneau de plasma et son chauffage. It semble acquis qu'une forme etliptlque est plus avanfageuse qu'une section clrculaire. Un probl~me important se trouve doric @tre l'@tude de dispositifs permettant de donner au plasma une configurafion pr6alabtement choisle. Claude Mercier el. Saubbaramayer du Commissariat a I'Energie Atomique (1) proposenl, pour cel~ d'introduire dans la cavlt@ entre le plasma e f l a toque (2)," des conducl.eurs @lectrlques : il faut choislr les couranfs de d~charge tel que le plasma soit en 6quilibre darts la configuration souhait6e. Notre abler est d'expHmer ce probJ~me, comme un probl~me de commande optimale que nous formulerons ef @tudierons dans la suite. L'6tude que nous pr@sentons a @t(~men~e en @troite collabaration avec Je S . T . G . I . , e n particutier Claude Mercier el" Soubbaramayer qui ant jou@ un r61e d~terminant dons la formulation du probl~me. Dans te premier paragraphe naus d@crlvons bri~vement : . Le Tokomak . Les ~quations r6gissant le dispositif (on a choisi un module lin@aire stationnaire) . Le probl~me physique lui-m@me. Les deuxi~me et l.rolsi~me paragraphes contiennent ta formulation et f'6tude de
[email protected] probt~mes de confr61e optimal. La derni@re partie contient une description succinte des m@thodes num@riques de r@solufiono L'@tude num~rique syst@matique des probl~mes de contr61e fera I'objet d'une publication ult@rieure. On nol.era que ce travail @l.ant destin@ a @tre lu (autant que possible) par des physlciens et des math6maticiens, on a cru bon de d@velopper certains d6fails, cJqs~ques pour le sp6cialiste.
(1) Section Th~orique des Gaz ionis~s - D~partement de Fusion Contr616e C. E. A - EURATOM - FontenQy-aux-Roses 92 (2) 1[ y a i e vide entre le plasma e f l a coque
109 1 - DESCRIPTION DU PROBLEME
I - LE DISPOSITIF Un plasma confin6 est en @quillbre clans une machine de type TOKOMAK [ I ]
.
COUPE DU TOKOMAK de FONTENAY-AUX-ROSES.
Dans cette configuration, Iorsque le plasma est confin6~ les lignes magn6tiques s'enroulent sur sa surface. En effeb le champ magn6tlque c r ~ par le courant induit clrculant le long du plasma en suivant un grand cercle, a une composante normale a la surface, nulle. Les premiers r~sultats exp~rimentaux [ 2] , [ 3] , laissent supposer que la forme de la section droite du plasma est un facteur important du chauffage ohmlque. En particulier, pour la m@me surface de la section droite, on remarque, num@riquement, que I'on peut fake passer un courant deux lois plus intense dans une forme elliptique que darts une forme circutalre.
1]0
Le but est donc de rechercher !es conditions sous Jesquelles B l~qulJlbre le plasma a une section droite de forme donn~e. FORMULATION PRATIQUE PROPOSEE pour r6soudre ce probJ~me • On se fixe Ja forme du pRasma a I'~quilibre
c o q-~
__
• On suppose que pour cet 6quitibre, on conna~t la r6partitlon du champ magn~tique B meridienl c r ~ par la d6charge ~Jectrique 5 l'int~rieur du plasma. B m~rldien est tangent 5 la surface du plasma (qul est donc une surface magn4tique). • Pour confiner Je plasma ~ l~int~rieur de ta coque sous videt on cherche ~ disposer tes conducteurs ie long de grands cercies du tore et ~ caJculer I'intenslt6 du courant passant : ces courants dolvent crier dans la cavit6 coque-plasma un champ magn6tique induit dent la r6sultante avec le champ magn6tique~ est Ja plus petite posslblet en module• m Pour cela, nous avons ~ notre disposition trois param~tres : 1°) - Le nombre de conducteurs N
C
2 °) - L'intensJt~ du courant darts chacun des conducteurs, I
c
3 °) - La position des conducteurs dans la coque Nous serons amen6s @introduire une contralnte suppJ~mentalre d'ordre technaloglque. Nc
l ci t
dolt ~tre nettement inf~rieure ~ I'intensit6 totaJe Itota j du courant de
~=1 d~charge ~ travers le plasma.
111 Remarque On ne falt aucune hypoth~se sur la surface de la section drolte des conducteurs.
II - LES EQUATIONS DE MAXWELL ka r~partition d'un champ magn~tlque cr~(~ par un courant est donn~e par les ~quatlons de Maxwe II :
(I.1)
(I.2)
= .t o7
~-i. lr
"F~
:
0
Etant donn~e la sym~trie du syst~me, nous utiliserons des coordonn~es cyllndriques ( ~ , ~0, z oO z e s t port~ par I'axe de r~volution du tore. On note (
, e~o, -~
le tri~dre orthonorm~
usuel en un point donn~ de I'espace.
"-%. Les conducteurs ~tant places le long de grands cercles,-~est ind~pendant de la variable ~0. L'~quation (I-2) s'~crit alors :
112 Si nous posons :
~f
=
~1
~ F
f
~f
-i
;)r
l'6quaHon div B = o est idenfiquemenf v6r~fi6e. Supposons comme en [ 4 ] que B~ = ~(£J~)- et ecrivons "-~ sous la forme :
(1.3)
f ~e~,+)e -~ e._.~f,A ~oL F
~=
La quantit~
e_~_~~ grad F esf le champ m~r~dlen.
f Remarqees . Si I'on prend le rofafionnel de'~', comme r o t . g r a d ~ _- O sulvant
~'~,
, seule resfe la composante
, donc :
. Nous avons indiqu6 que ies conducfeurs se trouvaienf le long de grands cercles du tore, d'oO :
j = e? .J (f,~) Alors l'~quat;on (1.I) s~cr{t :
~ . Si nous remplagons ] ~
O.s)
.~
F
ef
]~
~
Jr par teurs valeurs foncfion de F, nous obtenons l'6quatlon :
.__
=
J "L°'
,
113
• grad F repr6sente le vecteur gradient de F dans l'espace R3 ; ses coordonn6es dans le triedre
(~'[,~,g-~)
local
s'~criventclasslquement:
( ~_f ~F ~
0
. ~~F
La signification de l'op6rateur divergence est slmilalre, et on rappelle que :
i" af~ Ainsl,
=
4
TI
.4 b F
4
et 1'6quatlon (I.5) s'~crit :
( 4 ~rcLoLr )
(I. 6)
Sachant que :
~f
=
f
~r
.4
~bF
II1 - LES CONDITIONS AUX LIM1TES Notations : .0- est I'ouvert constitu8 par la couronne entre le plasma et la coque ~4 le bard du plasma la coque le plasma .
r
j
ar
)
114
Le but du constructeur est d'avoir sur [11 et B
"
"7"=
0
~
'? ~tantlanormaie~lafronti~re Sachantque
r~0 t Bconducteur
~.
e~
C~f.
---
r1 .
O, nousobtenons:
=
25.12 =
roOU
{--
~
f
q
.~__. h
~'c~cL F
B '
. 9
)--"
f
donc B
. ~
La condition
= 0 si la d6rlv6e tangentielle
"~F
--C.~raclF est nuJle.
a u x {im~tes se f r a d u l t p a r :
F est constant sur chacune des fronti~res # 0 et /~1 " La foncfion F ~tant d~finie ~ une constante additive pr@s, nous la prenons nulle sur FIO e t
nous
notons~sa valour sur F1-
Soit :
f
(t.z)
F= 0
Su~"
4
~'est une inconnue du probi@me. iV
- E N RESUME
. En chaque point s de i 1 associons le tri~dre d6fln; cJassiquement par (~) , "/5, b ). Dans ce rep@re, grad F a pour composantes :
( ~-F- ~
~ . ~F -~
, _~~) F }
De la d6finJtion de ~ donnf~e en (I.3) nous d6duTsons te champ magn@tJque s u r r ' 1 cr66 par le courant dans les I conducteurs salt : C
---4
bF
115 • L'objecfif est de construlre un champ magn~fique BcCnducteur port~ par la tangente
E"
en
chaque point de la fronti~re 1 1' et ~gal b --Bm~ddle n donn~. Le probl~me que l'on a b r(~soudre se pose doric alnsi : Darts I'ouvert connexe .C'Z cl-contre calculer la fonction d'(~tat F solution de :
) (I.S).
F"
=
..I
tel que
o
..~,,,-
~ V
j
=
~
r~e',-,'c/,'~n. -
Nous allons exprimer ............. ce probl~me.sous la forme d'un probl~me de contr61e : Un ensemble de conducteurs 6rant fix6s dans.Ck, rechercher le contrSle J (J : intensit~ du courant) tel que F, solution (I.9), mlnimlse la fonction coGt, c'est ~ dire v~rifie les contralntes sulvantes :
0.10)
J l
jj
i 3
nulouiepluspefitpossible cLu~
,
courant total
~=~ I
max
d~fini pr~c~demment ,
Remarque 1 On peut presenter le probl~me cl-dessus sous une forme ~qulvalente, parfois num~Hquement plus commode.
116
Nous pouvons permuter la condition aux Iimltes s u r r 1 et la premiere contrainte. Alors le p r o bJ&'me s'exprime comme suit : Chercher j , tel que F, solution de :
r
=
o
.s~
Fo
Vgrifie les conditions suivantes :
(I. 12)
J
F
~s~
IL Remarque II De la fagon dont est d~finl le courant J dans les probl~mes ci-dessus, on constate que !es conducteurs occupent tout I'espace compris entre le plasma et la coque. SI I'on est amen(~ h 6Jlminer des conducteurs dans une zone, cela ne change den math6matlquement au probl~me. 1t suffit dqmposer que le courant est nut dans cette zone.
117 II - FORMULATION DE PROBLEMES DE CONTROLE
1 - ETUDE DES EQUATIONS DU SYSTEME Les @quations r~glssant I'@tat du syst~me sont essentTellement les @quatTons (I. 9) dont nous nous proposons de pr@ciser le sens et la formulation. Une sectTon drolte du tore estrapport@eauxaxes Of , 0"5 O
, og 0 5 d@signe I'axe du tore. G/
0
Le plasma occupe le domaine (connexe) 40- 1 de frontl~re f l ' le domaine ~comprTs entre
F0 et
la coque a pour fronti~re
) 0 ' et
I- 1 est vide a I'exception des conducteurs @lectriques dont
I'implantation nous int@resse particuli~rement. On observera donc que :
(11. I)
~
~-
~
--
--
Les @quations d'~tat (1.9) sont en fait a compl@ter par la condition suivante qui exprime que la circulation de ~
connu
le long de ["1 est @gale a I'intensit@ totale I du courant dans le plasma (I est
: f I-~,~1 elf- ) q
J
: (1)
118
solt en terme de F :
(11.2)
Pour donner une formulation var~aflonneJle de (I. 9) (ll. 2) on introduit I'espace de Sobotev :
qul est de HiJberf pour le prodult scalaire :
oO
On consid~re Je sous espace V de H 1 ( ~ L )
form6 des fonctlons nulles sur [¢0 et qui sont
constantes sur r~l (au sens des th@or~mes de trace, cf. Lions-Magenes [ I ]
) ; V est ferma darts
H 1 (~'L), c'est un sous espace hlJbertien de H 1 (ir~). On d~finit aussi sur V l e prodult scalaire :
oO
On v@r]fle que ~ 1 ~ est un product scalalre conHnu sur V. Par ailleurs en vertu de (1I. 1) et de l'in~galit@ de Po]ncara,
119 Ainsi (11.4) est un produit scalaire hilbertien sur V e t la norme associ6e [[ , ] e s t ~quivalente
lo oorme I1"
11-
Soit G~V ; multlpl;ant (I. 10) par G e t int~grant s u r . ~ on trouve :
Utitlsant (11.2) on volt alors que F est solution de(I •10) (11.2) si et seulement si FEVet vOrifie :
J; Utilisant le lemme de Lax Milgram, on voit alors que pour tout J donne dans L2 (-Q-) il exlste u nn F unique dans V, F = F (J) qui soit solution de (II.5) (ou (I. 10) (11.4)). Nous rappelons la terminologie usuetle en contr61e optimal, • Jest le contrOle • F = F (J) solution de (11.5) est la foncfion dOcrivant 1'6tat du systeme.
II - FORMULATION DES DIFFERENTS PROBLEMES DE CONTROLE Rappelons que le but poursulvi est la recherche de courants J reparfis d a n s . ~ , tels que la dOpense de courant ne sod pas excessive et que, autant que possible :
<,,.7)
.J. ~_5_r = 39
~ m
( oLo~'
) ~
On peut mesurerr_ le coOt~du courant solt par son intensit~ totale, ~nergle
j~t.~
F~ / / t J , . J 3 i CL[.LI~. soit par son
cir, . Nous optons ~videmment pour la seconde expression mathOmatiquement
preferable. Nous posons alors les probl~mes sulvants : Problame de ContrOle (~Pr~)
Methode de penalisafion.
So~t ~ > O f i x & On cherche J~L 2 (.(.1.) qul rf-~alise le minimum de :
t20 o~, F =F (J).
Probt+me de Contr61e ( ~:~o ) On cherche jeL 2 (.O.), qui r+atise te minimum de :
+ a+ oLr o[~
<,,.+>
parmi routes les foncflons J relies que :
(11.10)
b F(J)
~i
J~m
=
su~- F'~ .
On a Jes r~sultafs suivants : Th6oreme II. I (i) Pour tout ~ ~ 0 fix6,
!e probl~me P2~ poss~de unesolution.unique d~finie par le
contrSle %
F--~
et l'~tat
(il) Le problem e ( ~ao ) possede une solution unique ( contr61e
(+n) ~
~-o , 6tat ~
)
~,+.,,.o ,
,.,+~._..+-+ d.+.+ L'c~) ; r~--.-E
+z~
H"/~).
D6monstration (1) Par application des th6or~mes de r~gularit~ pour les probl~mes eltlptlques (cf. Agmon-DouglisNirernberg [ 1 ] , kions-Magenes [ 1 ] ), on volt que I'appllcaffon afflne.
(ll.ll)
2
....
F
=
F(J)
est continue de L2 (.~'~) dans H2 (.{')..). Par application des th6or~mes de traces, t'applicatlon
~tr~ est continue de H2 (-~) dans H~( [~1 ) et donc L2 ( rrl ). L'applicafion (11.12)
~T ~
4
bF
p "a# i F~
121
est donc continue de L2 (.CI.) dons L2 ( r l ) . II en r~sulte als6ment que la fonctlon coot en (II.8) est convexe continue en J ; elle est aussl strlctement convexe, et tend vers ÷ ~ O Iorsque I J I /~(~'~ql~ : Elte attelnt donc son minimum sur
L'~'(~)enunpointunique,
G.
( c f . J . L . Lions [ 3 ] ). On note
~
lasolution
correspondante de (11.5). (ii) L'ensemble des contrSles admissibles pour (line) est I'ensemble des jCL2 (~O-) tels que (11.10) salt v6rifi6 :cet ensemble n'est pas vide. En effet il exlste des fonctions F dons H2 (.O.) relies que :
f
IF, = d
.
'
;~F
~
I r~
=
f z~,,
Cette fonctlon F v~rlfie la condltlon
f ~p d'apras Io d~finltlon de I (cf. note (1) p.'IO). Soit 0 pr6sent g une fonctlon
~'°asur .~.
, 6gale
a l dansunvoisinoge de r ¿ e t a 0 donsun voislnage de ~ 0" On v6rifie ais6ment que gF est un @tat admissible et que :
J
:
~
cL~ 4__
~4 ( O F )
est un contr61e admissible pour ( "~o )(1) L'ensemble des contrSles admissibles est convexe term@ d'apres (11.12). On d~montre comme en (i) l'exlstence et l'uniclt6 d'un contrSle optimal icl not@ ~ o
(cf. Lions [3] ) ;
F"o est la solution
de (11.5) pour ,.3" = ~-o •
(iii) Par d6finitlon de ~ ,
)L-L Cela montre que la suite ,]"--~ est born@e dons L2 (-Q.) lorsque ~.--,-0, et que :
J( r,
f~9
/
(1) k 'ex i ste nce de contrSles admissibles pour (]::~o) r~sulte aussi de (iii)
122
II exlste donc une sulte r~{ _~. 0 , telle que J"A~-~- ~
dans L2 (./'Z) falble ; d'apr~s (11.11),
(11.12)
dans H2 (-~) falbie, et
F
)Q
f
b?
dans L2 ( ~1 ) faible. D'apr~s (1t. 14),
F ce qui montre que J ,
J.cz
Ainsi ~ .
~P
esT un contr/le admissible pour ( ~F:~o). Par ailleurs, d'apris (11.13) :
'
~ ~ -,,- o
esf contr61e optimale pour ( ~o ) et par !'uniclt6,
que la suite
~-~ = J 0
• On v@rifle encore
J~ tout enti~re converge vers ~o dons L2 (..~.) falble (ralsonner par l'absurde).
Utllisanf encore (It. 15) (avec ~ = 3"o ), on voit que :
i='
°Lr I
i (7o) oLr
ce qul montre que :
7=
_
_ Yo
Ensuite (11.11) donne :
La d~monstrafion du fh@or~me est achev@e. I
~t~s
L~ ( ~ )
F°,~.
123 Remarque II ~,,I Le contr61e optimal peut-~tre caract~ris~ par les relations usuelles d~extr~matTt~ falsant intervenl I'~tat et I'~tat adiolnt ; cf. Bouiot-Morera-Temam [4] ob I'on trouvera I'~tude num~r~que des probl~mes de contr~le precedents.
124
Ill
-
AUTRE PROBLEMES DE CONTROLE
LA METHODE DES MOINDRES CARRES
Nous voulons d6veiopper ic] une approche dlff~rente du probkme qui est moins cJassique du point de vue de la th~orle du contrBle, mais qul permet de mettre I'accent sur certaines quantit6s utiles en physique. L"~tude qui suit est Jimit(~e au cas o0 les courants clrculent dans des conducteurs ponctuels dont Je nombre J~¢. et la position l ~ ; , ~" )~ ~': 4 ..... .~I"c , sont fixes @priori.
I - UN AUTRE CHOIX DES EQUATIONS D'ETAT Comme il a ~t~ indiqu~ a la fin de la section 1, on peut supposer que :
~
~)F _
r ~P
- ~ t'rL .
est exactement v~rifi~e sur ~'1 et chercher ~ r~aliser au mieux ou exactement la condition F = constante sur ~ 1 " Pour pr~ciser (I. 11), on introdult l'espace :
qul est un sous espace hiiberfien de H 1 ( .O. ), et qui est aussi de Hitbert pour le prodult scalaire
Rempla~anf F par $ ,
(111.I) Trouver ~ : $
on volt que le probkme (I. 1 I) est 6quivalent au probl~me varlationel.
{J]
da,n,sW tel que
L'existence ef tkn~cit6 de c~ d~couie donc du lemme de Lax-Milgram. Dons cette nouvelle approche J e t
~
(,J) constituent le contr61e et t'~taf associ6 ; (I. 11) et (Iil .2)
constituent les ~quafions d'~tat.
II - UTILISATION D'UN DEVELOPPEMENT EN SERIE DE FOURIER On consid~re une suite de fonctions W n d6finies sur la fronti~re F ] ' qui sont lin6airement ind62 pendontes et dont les comblnaisons 1in,aires finies sont denses dans L ( ~1 ). On prendra par exemple dans ks applications les fonctlons :
125
(111.3)
'b~t'~ =
"ug'tt (.~)
=
Co.s
4~'1¢ E
t5
,
~n. = o, 4.,
....
L o0/s d~slgne I'abscisse curvillgne sur P I ' et L la Iongueur totale de ~1" Pour tout n, on appelle v la solution du probl~me mlxte. rl
= O
~a.,~s
Z)-j
(lil. 4)
Le probt~me (111.4) est ~iuivalent au probl~me variationnel (111.2) clans lequel j = 0 et
(111.5) Trouver ~I,I ~ T ~
tel que
[Jexktence et I'unicit~ de v d~coule encore du lemme de Lax Milgram. n
Onappelle
~ n ta trace sur F1 d e v n . O n a le :
Lemme III. t (1) L'espace ferm~..engendr~ par les fonctions. Vn, est Iiorthogonal de 1-t o~ ('~) dans W munl du produit sca!.aire [[~ ]]. (ii) kes fonctlons ~:~n = Vn I F4 sont lln~ai.reme.nt i.nd~pendantes et forment urge partle totale dek 2 ( F1 ). D~monstration (i) Consid~rons une fonction v de W telle que :
126 Alors, d'apr~s (iV.3),
[ w,,,~s Jq
~
~
C~ = 0
1't. : 'l.
V~'~.
est nul sur r l et comme ~ = O sur )'10, on a bien
d'apr~s la d@finltlon des ~ n , • (ii) Supposons que
ol_£, = o
tll'
Alors la fonctlon ¢*_- ~ '
]-1~(~)
~..br~ v@rifie d'apr~s
v1=-1
(111.2).
i
"~ ~oL~ "~ )
-o
(111.6)
! ce qui entraine que
"i- ~ 0
=
0
~L~
Co ~L
F.~
et
I'1¢
~I
~
~
~
Comme les V~r~. sonf ind~pendan~s, "~4= ....
~
~%
= ~I,,~= O, et les r ~
=o
sont donc aussl
ind6pendants. II r~sulte enfin du point (i) que les combinaisons lin6aires des C~)~sont denses dans H1/2 ( ~ ) (= espace des traces sur ~1 des fonctions de W), et elles sont donc denses dans k2 ( ~ 1 ) . I Faisans a pr6sent~ = V~. dans (111.2), et ~ = ~
dans (111.5). II vient
Oil.7) : -
+
(ill.8)
Jr,
127 Si la ~oncfion ~
est constante sur F ] (comme on le souhaite), ~ _= ~' sur
~1" alors la
derni~re relation s'~crit :
Par comparalson de (111.7) et (111.9) on tire :
(Hi. lo)
Supposons r~clproquement qu'il existe un nombre r~el "~/ tel que les condltions (111.10) soient v~rifi6es pour tout lq.. Alors utilTsant (111.7) et (111.8) on volt que :
,
En ralson des propri~t~s des 3N-M.cela implTque :
Ainsl les relations (111.10) sont, au sens prac~dent ~qu[valentes 6 (111.11).
11t -CAS D'UN NOMBRE FINI DE CONDUCTEURS On suppose comme ind~qu~ au d~but de cette section que le courant J est r~parfi entre J ~ conducteurs ponctuels places en des polnts ( ~ , ' ~L" ) fixes. L'inconnue (le contrSle) est I'Tntensit~ "1"~ parcourant le ~ i~me conducteur, o~ = ,'J . . . . . J~c..; La foncfion ~ peut encore ~tre d~finTe mais plus sous la forme var~afionnelle (111.2). On ufi Iise 6 nouveau (I. 11) qui devient :
(11t.]2) ~, ~
/
"~
=
Z~
.
..4LL~"
f'~
128 L'existence et l'un~cit~ de c~ r~sulte par exemple de L]ons-Mogenes
[1]
; c~ estanalyfi-
que d a n s ~ en dehors des points ( f ~ , ~ ( ) . Si nous supposons ies fonctions "W'I¢. continues sur r ] '
Jes fonctions
V~I~ seront continues sur
.CJ- , et ies relations (111.I0) seront valables. ka condition ¢ = ~
surr
1 sera r~olis~e si et seulement sl
~F: ~ _ ~'J~r,¢~P" : i~° ~:~ ~ ]
0U.~3) ,rr, ~ -
Ainsi les relations (lfl, 13) se pr~sentent comme un syst~me tln6alre infinl pour les J~'c "~ "1 inconnues que sont 4 ,
~-,~ . . . . . .
]] ,~I'~ "
On peut se llmiter aux N premieres relations (111.13), ce qui signifie que l'on remplace fill,11) par :
j
.... . C4
Les ~quations (lii. 1,3) pour ~=-~ . . . .
ji N, constituent un syst~me lin6aire surabondant pour tes
inconnues ~', I 4 , .... , I br~, ( br> ~ c , 4 ) et on propose de r(~soudre le syst~me par une m6thode de molndre carr~s. Cela revlent a mlnimlser la fonctionnelle :
.N" (Ill.15)
11 s'agit doric d'un probJ@me de contr6le optimal beaucoup plus rudimentaire que Jes probl@mes envlsag6s dans la section tl. Toutefois le probl~me consld~r~ icl fournit des informatlons tr~s utiles sur les harmonlques de ]a solution optlmale. I
129
IV - RESOLUTION NUMER1QUE
ORIENTATION Nous slgnalons ici la r6solution num6rique du probl~me de contr61e d0crit dans III. Pour r(~soudre la suite des N probl~mes.
I
F
IFo
-'_L ~F..
-
o
= -W',,
IF~
, -w'~ = Cos ~rCrL [
, : o , ...~--'~
Nous avons utilis~ un programme d'~l~ments finis dO ~ Terrlne et Meurant Nous donnons quelques exemples pour une configuratlon droite donn@e et une d6charge fix(~e dans le plasma. Sur chaque page nous avons : • Le schema indiquant la position des conducteurs, . La courbe de B m@ridien, • kes diff(~rentes approxlmations de B m~ridien, . La valeur des intenslt(~s dans chacun des conducteurs. L'~tude num6rique des probl~mes de contrSle d6crits en II fera I'obiet d'un travail ult~rieur. Toutefois, de nombreuses techniques num~riques d@velopp~es ci-apr~s (impl@mentation de la m@thode des ~l~ments finis, calcul num(~rique de certaines int(~grales de surface . . . . d~j~ une partie significative des travaux num6riques ult~rieurs.
) constituent
130
QUELQUES RESULTATS NUMERIQUES On donne Jes caract~ristiques de I~exp6rience num6rique simul6e : Le Tokomak est un tore de grand rayon
R = 130 cm
Le plasrna a une section droite elllptlque Cette ellipse a pour caract~ristiques
a=18cm b=lO,
La d6charge (}Jectrique dans
le
cm
plasma - 100 kiloAmp(bres
est de
La r~partifion du champ m6ridien (donn6) a 6t~ calcuJ~e dans cette ellipse suivant une forrnule ~tablle par MASCHKE. -
Le B rn~ridien est repr6sent~ sur les courbes s u l v a n t e s , k'orlglne sur la fronti~re
; 1 a 6t~ choisie
comme indiqu~ dans le sch6ma ci-dessous :
.
.
.
.
.
.
.
.
.450
_
Sur chaque feuiJJe nous donnons la triangulation choisie, la place des conducteurs, avec leurs nurn6ros. ~
est caJcuJ6 avec quatre fonctlons de bases.
Pour chaque conducfeur, la valeur de J'intensiti est en kitoArnl~re.
131 4~
:/'5
,~0oo
~m~,'idl'er~ (cr~Lew~')
....
",~,/
( co~et ue-teu~-).
\
,f
\ \
/
~500
/
!
\ \
/ '~,°
\ \
/
"x
\. \,
!
i
,fo~
\
i
,/ ./
\ \
/ / ....
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~.tO0 0
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FRo~tT t'e~ 6
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~i~]~Z ~I ~ ~ , ~
133
-
~ ~
~
,~,,,,,~
I
l~i~=
~.~
11o~ = ~.45
I~
~5.~
I~
=
=~5.~.
(~uss
~ooo
.1.500
J .,1000
I ~b.L
pL.~SMA
.
134 BtBLIOGRAPHIE L.A. ARTStMOVICH TOKOMAK Devices Nuclear Fusion, 12 (1972), p. 215-252
[2]
G. LAVAL~ H. LUC, E.K. MASCHKE, C. MERCIER, R. PELLAT Equilibre stabiJis6 et diffusion d'un plasma torique 6 section transversale non circulaire. Fourth Conference on plasma physics and control led nuclear fusion research (MADISON 1971), tAEA Vienne 1971, Vol. t. 2 p. 507
E3]
A.V. BORTNIKOV et ai The first experimental results ;n finger ring TOKOMAK Sixth European Conference on controlled fusion and plasma Physics, MOSCOU 1973
It.
[1]
J.Lo LIONS~ E. MAGENES ProbJ~mes aux !im~fes non homag~nes, DUNOD
r2]
A~MON/ DOUGLIS, NIRENBERG Estimate near the boundary for solution of elliptic partial differential equations Comm. pure applied Math. (t2) 1959
[3]
J.L. LIONS Contr61e optimal de syst~mes gouvern6s par des ~quations aux d6riv6es partielJes, DUNOD
4]
Article 6 paraitre avec C. MERCIER et SOUBBARAMAYER
PROBLEMES DE STABILITE NUMERIQUE POSES PAR LES SYSTEMES H Y P E R B O L I Q U E S AVEC CONDITIONS AUX LIMITES J.J. SMOLDEREN Directeur de l'Institut
yon Karman
Professeur ~ l'Universit~
de Liege
i° introduct ion
Un certain nombre
de questions
importantes de m ~ c a n i q u e
des
fluides font intervenir des ~quations et syst~mes
aux d~riv~es partiel-
les de type hyperbolique.
les ~coulements
stationnaires ments
stationnaires.
de probl~mes
I1 faut signaler aussi que le trai-
stationnaires
une approche ~volutive, naturelle
l'~tat
~ partir de conditions
bitrairement.
En l'absence
conduit ~galement
~ des
La plupart nique
complexes n~cessite
ou artificielle,
initiales
choisies plus
d'effets dissipatifs,
syst~mes
insta-
ou moins
une telle
ar-
approche
diff~rentiels hyperboliques.
des probl~mes h y p e r b o l i q u e s
rencontres en m~ca-
des fluides font intervenir des conditions
aux fronti~res du champ d'~coulement. nullation
sou-
darts laquelle
stationnaire est obtenu comme limite d'une ~volution
tionnaire
in-
de fluides compressibles non visqueux, et les ~coule-
supersoniques
tement num~rique vent
Citons, en particulier,
de la composante normale
aux limites
Par exemple,
de la vitesse,
impos~es
la condition
d'an-
impos~e en chaque
point d'une paroi solide. Dans le cas des ~coulements est g~n~ralement d'amont, blames
possible
qui jouent
le m~me
stationnaires,
r$1e que les conditions
aux limites
souvent impos~es
assimil~es
aux conditions
de syst~mes hyperboliclues par la m~thode des
finies peut ~tre effectu~e e x p l i c i t e m e n t ,
de proche en proche instationnaires, sie dans
de pro-
de ces probl~mes.
La solution differences
qui peuvent ~tre
il
d'entr~e ou
initiales
i n s t a t i o n n a i r e s , et des conditions lat~rales,
sur des lignes de courant,
lement
supersoniques
d'identifier des conditions
suivant la variable t e m p o r e l l e
en progressant
dans les probl~mes
ou suivant une variable spatiale convenablement
le probl~me
ou totalement
supersonique implicites,
stationnaire. qui n~cessitent
solution d'un grand syst~me alg~brique
Les m~thodes
partiel-
~ chaque ~tape,
d'~quations
choi-
la
coupl~es, ne seront
pas abord~es darts le present travail. I1 est connu que la methode souvent tique,
~ des
instabilit~s num~riques.
de progression explicite
conduit
I1 est doric tr~s utile, en pra-
de disposer d'un crit~re permettant
de v~rifier si un schema
136
aux
diff@rences
tions
ou de
constants, ditions saire
finies
syst~mes traitEes
aux
(Ref.
Un
de
linEaires
tites
Neumann
certain
nombre
a Etendu
~ coefficients
sont
ne peut
&videmment
@tre
abord@e
g@n@ralj
les m o d e s avec
instabilit~s m~me
crit~re
ces
rEsolue 1),
par
la s t a b i l i t E
(Ref,
plus une
3),
ardus
et
Les
linEarisation
aux
de
nu-
@tablies
syst~mes
probl~mes
par
des
de F o u r i e r ont ErE
l'Etude
con-
n&ces-
le m o d u l e
de m o d e s
suffisantes
variables
de
la c o n d i t i o n
concernant
de
~ coefficients
l'absence
la t h e o r i e
de yon
qui
font
intervenir
ne
des
consid&res
exemples
aux
Neumann,
(Ref.
rencontr@es
ont
non
leur
rapport
ling
-
stabilite a de pe-
s'applique
conditions
sont
d'ailleurs
se m a n i f e s t e r
schema
4)
de von N e u m a n n
de F o u r i e r
peuvent
si le
bilit@s
dans
diff@rences
confirmant
au c o u r s dana
pas,
aux
en
limites~
le plus
souvent
incom-
illustr@
le fait
que
d'une
le t r a i t e m e n t utilisE
ainsi
longue
le p o i n t
adopt&
au su~et
des & q u a t i o n s
probl~-
largement
de rue
controverse
le t r a i t e m e n t
de t e l s
satisfait
des
de
le
par
d'insta-
la m E c a n i q u e
f l u i d e s. La pr@sente
la s t a b i l i z e
et
une
d'un
en
note
num~rique.
la p r @ s e n c e
matique. ment
et en
d'@qua-
conditions,
Moretti
n@e
est
(Ref.
classique
De n o m b r e u x
ples
linEaires
uniforme
de c o n d i t i o n s
qu'apr~s
aux p r o b l ~ m e s
que
patibles
par
partielles
s'agit
perturbations,
parce
des
Lorsqu~il
d'amplification
beaucoup
Le c r i t ~ r e
mes,
d@rivEes
ou non.
un m a i l l a g e
la m a t r i c e
2) et K r e i s s
aires
stable
la q u e s t i o n
de von
propres
meriques.
aux par
limites,
classique
valeurs
sera
de
Ces
de vue
appel
aux
des t y p e s
sans
@tre
£ la t h E o r i e
aspect
de la t h & o r i e
d'instabilit@
sera
n@cessaire
@l@mentaire, peuvent
~ cet
limites
condition
rEsultats
faisant
consacr&e
La v a r i 4 t ~
conditions
importante
point
est
illustrEe
de
de G o d u n o v
induites
par des
stabilitE
pr&tendre
d'ailleurs
et
exem-
sera exami-
£ la r i g u e u r
~ustifi@s
de
math@-
rigoureuse-
Eyabenkii
(Refs.
5 et
6). ll eat
important
che en p r o c h e I n e c e s s i t e breuses
que
le p r o b l ~ m e
rivEes
partielles
mas
discrEtisation
de
le t r a i t e m e n t duction lement une
qui
num&rique.
large mesure,
le
aux
consid@rE
ces
calcul
conditions
tou~ours
sch@pour
l'introessentiel-
arbitraire
aux e x i g e n c e s
apparemment
de
au p r e m i e r
de n a t u r e
nom-
aux d E -
l'utilisation
reste
de pro-
plus
le s y s t ~ m e
nEcessitera
satisfait
limites
sup&rieur
additionnelles
un c h o i x
explicite~
aux
ou que
En e f f e t ,
spatiales,
de
qu'un
conditions
de p r e c i s i o n
limites
si l'on
Malheureusement,
des
repr@sente.
d'ordre
Le c h o i x re@me
r@aliser
physique
des d E r i v E e s
de c o n d i t i o n s
de
souvent
dans
de la p r & c i s i o n .
raisonnable
peut
con-
137
duire
£ des
instabilit~s
D'autre tels
que
part,
impr~vues,
les ~ c o u l e m e n t s
requi~rent
l'introduction
ou de
conditions
repr~sentant
tions des
plus
bitraire, rition par
ou m o i n s
dans
une
certaine
de p r o b l ~ m e s
les
conditions
de
des
sortie
et
choix
est
d'un t e l
de c o n d i t i o n s
cr&ent
ordre
et
crit~re
au l a r g e ,
relles
des
2.
done
aux
t~mes
aspects des
hyperboliques
mis
en ~ v i d e n c e
une
seule
domaine
t > to
par
qui
sont
ar-
~ l'appaintroduits
permettant
des c o n d i t i o n s
d'orienter
K l'entr~e,
le
& la
ne
se l i m i t e
o~ des
ou m a l
d'ailleurs
pas
d~finies,
comme
conditions utilis~
aux
&tant
limites
au le
natu-
du p r e m i e r
en p r e s e n c e
aux l i m i t e s
essentiels probl~mes
lin~aires
fonction
et
le s c h e m a
num~rique
en t r a i t a n t
consid~r~
d&finies
~galement
de von N e u m a n n .
St a b i l i t ~
Les
approxima-
s'attendre
~ ceux
num~riques 4,
instabilit~s,
au sens
numerique
done
donc
de s t a b i l i t ~
crit~re
limites
de c o n d i t i o n s
tement
De t e l l e s
des
~vidente.
du p a r a g r a p h e
stable
in-
distance.
de eas,
faut
champ
de s o r t i e
reste
analogues
additionnelles
L'int4r~t
l'exemple
I1
en
fluides
et
pas e n t i ~ r e m e n t
choix
mesure,
stabilit~
d'un
conditions
montre
~ grande
sont
leur
d'entr4e
num~rique. des
additionnelles.
L'utilit~ choix
ne
et
analyse
les ~ c o u l e m e n t s
dens b e a u c o u p
grossi~res, physiques
et
en
de m ~ c a n i q u e
de c o n d i t i o n s
le c h a m p
qui r e p r ~ s e n t e n t ,
considerations
probl~mes
en c o n d u i t e s
fini,
conditions,
si c o u r a n t e s
de n o m b r e u x
inconnue sere
du p r o b l ~ m e aux
limites
£ coefficients
le cas le plus de deux
d~fini
de
la s t a b i l i t ~
pour
constants,
simple
variables
du t r a i -
les ~ q u a t i o n s
d'une
et
peuvent
sys-
~tre
~quation
ind~pendantes
t, x.
Le
par
x0 < x < X
et un m a i l l a g e
t k = t o + kAt k uj d ~ s i g n e r a
uniforme
sere
utilis~,
(k -- 0 , i , 2 , . . . )
la v a l e u r
approch~e
ies
et
de
points
mailles
x. = x 0 + j A x J
la f o n c t i o n
~tant
(j = O , 1 , 2 , . o ° , N )
inconnue
au p o i n t
(tk,x j ) dtt m a i l l a g e ° Des traduira,
conditions
g~n~ralement,
initiales
seront
darts la v e r s i o n
donnees
discrete,
en t = to, par
ce
un c e r t a i n
qui
se
nom-
138
bre
de r e l a t i o n s Des
soit
pour
liant
les
conditions
k
valeurs
de u. pour k = 0 , - 1 , - 2 , etc. J limites seront i m p o s @ e s soit pour x = x0~
aux
x = X et m ~ m e , d a n s
le
cas
g~n~ral,en
ces
deux
points
fron-
ti~res , L~analyse solutions cretes k
U°
3
classique
particuli~res
s~par~es,
de yon N e u m a n n
de l ' @ q u a t i o n
Les modes
de F o u r i e r
fonction
plagant
~ par
les e x p o n e n t i e l l e s
=
( i~n )
""T"
exp
Iien
r&sulte
lage
syst~me
solution
qu'une
F(p,x)
une
relation
(apr~s
leurs
de
relation
crit~re dans
pour
A variables
s@par@es,
du type
aux
diff@rences
hyperbolique
le m a i l -
finies,
propos4e,
(2,1)
obtenue
P et
k doivent
:
~ {1 +
presence
de
(2,2)
sont
du s c h e m a
(2.1)
d'un
dans
facteur
de yon N e u m a n n
cette de
relation
de d i s c r @ t i s a t i o n
l'4quation
commun
aux
diff4rences
fi-
PkkJ),
s'obtient
en
rempla$ant
et en e x p r i m a n t
l'amplification
s'obtient
que t o u t e s
temporelle
0 ont
k par les
les va-
un m o d u l e
O(At)}.
Ce c r i t ~ r e
n'est
conditions
aux
compatibles
cependant limites, qu~avec
pas car
des
g@neralement les modes
conditions
applicable,
de F o u r i e r aux
limites
en
(2.1)~ homog~nes
part i c u l i ~ r e s , Nous
aux
discr~tes
alg@brique
caract@ristique
correspondantes
ne
de
rem-
(2.2)
lin6aire
l'@quation
l~expression
(2~2)
inf~rieur
ou
en
de f o n c t i o n s
expression,
@limination
Le valeurs
tes
composantes
(2.3)
substituant
tr~s
des
s'obtiennent
= o
Cette
hies
analogues
continue,
complexes
complet
de l ' g q u a t i o n
discr@tisation
satisfaire
discrets
variable
eonsid@r@.
Pour soit
d'une
(n = O , I , 2 , . . . , N )
un
spatial
de
dis-
(2.1)
d'une
en
l'@tude
const ) 0kk j
=
par
sur
& variables
du type
Fourier
kn
est b a s ~ e
discr@tis~e
que
limites
de
homog~nes
divergent,
lution
devons
possible,
en
du calcul.
doric r e c h e r c h e r solutions
simples
du p r o b l ~ m e
fonction
d' autres
families,
compatibles
et @ t u d i e r
de la v a r i a b l e
leur
discrete
avec
aussi les
compl~-
conditions
comportement,
born@
k qui
l'evo-
d~finit
139
Nous vent
n'envisageons
s'exprimer
cients lage
constants~
voisins
seront
z
par
liant
de la forme
les
Les
coefficients
dre
Les analogue
52
~2
Z
Z
5=0
~=0
a5£
de
bjk
pour
par
donn@s
points
x = x0~
ces
du m a i l -
relations
(2.4)
et ~I,
impos~es
@videmment
£i r e p r @ s e n t e n t
diff@rentielle
£ la f r o n t i ~ r e
rapport
comme
& ~.
de type
£ satisfaire
toutes
(Nous
touSours
s@parees,
de raeines
O°
de u en q u e l q u e s
A la f r o n t i ~ r e
qui peu-
£ coeffi-
des e n t i e r s
@tudi~e.et
de
x = X seront
(k = Z,2 .... )
valeurs
effet,
p fix@,
m~tre
limites
l'or-
la d i s c r @ t i s a t i o n .
k-~ UN_ 5 -- 0
En
hombre
sont
de p, de faqon
(2,5)m
pour
aux
et h o m o g ~ n e s ,
de type
:
£ variables
valeur
valeurs
de l ' @ q u a t i o n
relations
Ii est tions
conditions
lin@aires
(k = 1,2,..,)
de l'ordre
de p r @ c i s i o n
les
g~n~rale
z a5~ uk-~a" -- 0 ~=0
d@pendant
que
relations
de la f r o n t i ~ r e .
5=0
ou
des
une
Ces
@quation --.,
Dans
le cas
hyperbolique
simple
certaines
alg@brique r @tant
seront, pas
examin@ par
de
combiner
eorrespondant relations
earact@ristique
It#
racines
n'examinerons
tion
possible (2.1),
des
solu-
~ la m~me du type
(2.4)
de k°
la r e l a t i o n
II, ~21
(2.5)
ici,
l'ordre
en
consid@r@e,
en l, p o s s ~ d e r a le degr~
g~n~ral,
le cas des r sera
(2.3)
des
raeines
le produit
de p r @ c i s i o n
de
un
certain
l'~quation fonctions
(2.3)
du p a r a -
multiples).
de
l'ordre
de
de la d i s c r ~ t i s a t i o n
]'@quauti-
lis@e, Une
u
combinaison
de la forme
k k j j = p (AIAI + "'" + A r A r ) J
sera s o l u t i o n de
cette
nira
une
de
l'@quation
expression relation
si le h o m b r e
En p a r t i c u l i e r , tion~
si
aux
darts des
entre
Le p r o e e s s u s que
(2.6)
les
differences
conditions constantes
num@rique
de c o n d i t i o n s ce n o m b r e
la d i s c r @ t i s a t i o n
devra
ne aux
done
limites
la s u b s t i t u t i o n
(2.4),
(2.4),
une
(2.5)
four-
A.
possible
sup@rieur poss~de
et
la forme
arbitraires
sera
~tre
utilis~e
finies,
de
et d @ t e r m i n @
(2.5)
est
~ l'ordre pr@cision
de
@gal
~ r.
l'@qua-
d'ordre
su-
140
p4rieur
£ l~unit4. Admettant
tes
ad~quates,
mog~ne~
& condition
g4brique
done
qui f o u r n i t kr'
peut
complexe, d~r4es leurs
une
~.
Les
& une
solutions
primant
k~r
condition Neumann
n@cessaire
g@n4ral,
crit~re
de
les
~ des
En effet~ et en minant
En
hombre
N tendant
vers
difficultes
mentale~ bles
en
de c o m p a t i b i -
peuvent
consi-
~tre
homog~ne. alors
avec
les
tout
~ fait
Les va-
de con-
r conditions
il est
souvent
les
exemples
du
crit~re
des
pr@sent@
@icy&.
A.
Une
que
~q le n o u -
&quivalent
au
restrictif
comae
suivent. para~t
cependant
insurmontables.
aux
termes
croissant
donc
qui
pratiquement
constantes
tr~s
semble
plus
de c o n d i t i o n s
un degr@
de sorte
enti~rement
des
en ex-
Pv des mo-
correspondantes
et
alg@briques
principe,
temporelles
valeurs
@tre
analogue
d@duite,
~ {1 + @(At)}.
de l ' u n i t ~ ,
necessairement
l'infini~
d&veloppements
n'est en
pas
vertu
@ventuels
mailles,
concrete
done
les kl,
limites en x = x 0 ~N ~q dans le d @ t e r L ' ~ q u a t i o n aux v a l e u r s en
tr~s
rapidement
@tude
avec
asymptotique~
en p a r t i c u l i e r ,
pr@senter
N~ pour
des
transeendantes. Les
situation
fair,
alg@brique
poss~dera
qui est,
pourra
simultan@e
introduit
du s y s t ~ m e
propres D
ne
difficult4s
l'existence
x = X
Or
alg&briques,
tr~s
imm@diatement
inf@rieur
des
consid@rations
L'application conduire
~r"
g&n~ralement
permettront
stabilit@
diff@rentes
stabilite
"''"
probl~me
amplifications
les m o d u l e s
de yon N e u m a n n .
le m o n t r e r o n t
les
de
en ~tre
un m o d u l e
de A seront
crit~re
donc
que
poss~dent
condition
nul,
triviale
additionnelles).
peut
tou1~ s i m p l e m e n t
al-
est
fonctions
compatibles
ho-
non
~quation
"''~
Une
En
cette
limi-
un s y s t ~ m e
la c o n d i t i o n
de k: k~l'
de yon
(q = l ~ r )
que
aux
probl~me
solution
alg&brique,
notre
et
kl,
des
pour
(naturelles
compatibles
sorte
(2.6)
Une
p,
sont
propres
de type
de notre
A satisfassent
liant
(2.3)
P~ de
r conditions
du s y s t ~ m e
~quation
racines
correspondantes des
d&terminant alg~brique
valeurs
choisi
solution
homog~nes.
de p, de
ramen~e
des
limites
veau
si le
ainsi sera
r constantes
de l ' & q u a t i o n
en
celle
des
les
implicites
~tre
ayons (2.6)
lin4aires
relation
comae
struire aux
que
racines
g4n~ralement lit&
que
de r 4 q u a t i o n s
n'existera
"'''
que nous
l~expression
de
est
aussi
qui
vont
suivre
inextricable,
laquelle toujours
le n o m b r e limit&,
grace
tendent
des m o d e s
quel
que
K montrer
£ une p r o p r i @ t @
soit
compatibles le n o m b r e
que
la
fondainstaN des
141
3, M o d e s
instables
Les m o d e s ment
une
famille
te
le m@me
ni
avec
mille
sont
Fourier tation
de m a i l l e s
cependant
lorsque
compatibles, N tend
vers
repr@sentation finies
Dans limiter
peu
allons
quel
que
von N e u m a n n
aux
feste,
soit
pour
que
fait
peut
~tre
cercle
sans
Fourier
interpr6t6
le d i s q u e
(IPl
> l) ne
Les
les
classer
sup6rieur
llil
est
varier
dans
les
d'abord, £ chaque
du plan
des
des m o d e s
de
lin@aire
anormaux en rue
de
la
aux d i f f e r e n c e s
nous
> 1 + 8(At))
est t o u j o u r s que
le
qui
en p r 6 s e n c e
et
born6,
crit~re
de
simpli-
de c o n d i -
remarquable
qui
se m a n i -
conditions
aux
limites
une j u s t i f i c a t i o n
que
complexe
de
du plan
p.
points
les
groupes
~tre
que
images
contenu
A, un
cer-
yon N e u m a n n
des p o i n t s
du
des m o d e s
(A la l i m i t e
de
At ÷ O),
p.
de m o d u l e
suivant
de
repr6sentatifs
I correspondant ~tre
caract~ristique
complexe
Le c r i t ~ r e
suivante:
plausible
alg6briqueso
la r e l a t i o n
IPl < 1 du plan
donc
cependant
(IPl
fondamentale,
d~tails
point
n6cessairement
A un m o d e
unitaire, leur m o d u l e
instable
ce qui est
permet
de
inf~rieur
ou
:
i = 1 .....
de voir
ind@pendant
que
de d o n n e r
r valeurs
en deux
II est f a c i l e nit~
fa-
de la r e p r @ s e n -
ces m o d e s
pouvons
la s t a b i l i t 6
entrer
dolt
nous
influences
de la fagon
peuvent
pour
l'infi-
combinaison
N £ condition
tenter
unitaire
A l'unit6
< 1
vers
nouvelle
celles
6ventuels
d6couplage
IxI = l, l i e u des
spatiaux,
dans
compor-
comportements de
for-
qui
fronti~res.
tout
de p o i n t s
unitaire
des
propri6t6
de
d'un
les
correspondanre
tain nombre
que
de t e l s m o d e s
Cette
l'analyse
Remarquons, (2.3)
de c e t t e
des @ q u a t i o n s
instables
le h o m b r e
d6eoule
allons
conclusions,
d'ailleurs
comme
L'utilisation
la s t a b i l i t @ ,
diff6rentes
Nous ces
pr@senter
limites et
coefficients
quelconques
des m a i l l e s
N + -, entre aux
complexes
solutions
satisfait.
limites,
appliqu6es
de
le h o m b r e
fie c o n s i d 6 r a b l e m e n t tions
des
des m o d e s
6tablir
soit
qui t e n d
les
aux
de F o u r i e r
commode.
l'~tude
~ l'examen
nous
peuvent
l'infini.
g@n@rale
est d o n c
plus
initiales
conditions
Les p r o p r i @ t ~ s
En p a r t i c u l i e r ,
de c o n d i t i o n s
de m o d e s
les
des m o d e s
nombre N,
beaueoup
ortho-norm@s,
avec
~ celle
d'@14ments,
le n o m b r e
fronti~re
compatibles
analogue
nombre
de
que de p,
si un point
s;
IXi[
le n o m b r e s pour
Ipl
repr@sentatif
> 1
des
pour
i = s+l,
I de m o d u l e
> i. En e f f e t , de p t r a v e r s e
....
inf@rieur
ce n o m b r e l'image
r.
~ l'u-
ne peut
du cercle
142
unitaire
17.1 =
sup@rieur
i,
ce
qui
£ l~unit@, Cette
particulier,
en
est
remarque
et
le
impossible
vertu
du
nous
passage
rant
crit~re
permet
& la
de
que yon
d'@valuer
limite
101
le m o d u l e
le n o m b r e
+ ~
de 0 r e s t e
Neumann.
conduit
s dans
le
plus
un
cas
rapide-
merit
au r @ s u l t a t .
m~me
denominateur)
et
s @ r i e de t e r m e s f a i s a n t i n t e r v e n i r des p u i s s a n c e s p o s i t i v e s de 1 de ~. L o r s q u e p t e n d r a vers l ' i n f i n i , c e r t a i n e s r a c i n e s k t e n -
En
effet,
la r e l a t i o n comporte
caract@ristique
des
termes
en
(2.3)
pet
en
(non
les
r@duite
au 1 de ~ ,
puissances
une
k et dront nous t@.
vers
l'infini
int&ressent
et
car
d'autres
leur
f
vers
module
zero.
sera
Ce
sont
La m u l t i p l i c i t @
la plus
de ces r a c i n e s est @ v i d e m m e n t 1 de ~- qui a p p a r a ~ t d a n s la r e l a t i o n
@levee
ces
n&cessairement
derni~res
inf~rieur
@gale
qui
& l'uni-
& la p u i s s a n c e
caract@ristique
non
reduite. Or
cette
& j apparaissant a la m a i l l e Uj_s,
(k,~).
Uj_s+l, ii
fronti~re Nous
a
@gal
donc
conditions
s de
du
syst~me
stobtient ditions sch@ma
suivant
de
de
que Ce
le
donc
intervenir
pour
de
chaque
inf@rieurs
correspondant les
valeurs
requises
num@rique
valeur
a imposer
inf@rieur en
~
la
@gal
~
r-s
~ s. sup@-
un m o d e
instable~
l'unit@
en
x = x 0 et
le n o m b r e
sera
de 0 de m o d u l e
@ventuellement
~ de m o d u l e
dont
conditions
processus
fournir
l'unit@
lin@aire
:
que
en
d'indices finies
etc.
pourrait
maintenant
limites.
fait
determiner
a
le h o m b r e
diff@rences
le n o m b r e
conditions
en e c r i v a n t aux
que
~ imposer
Essayons nant
uj+l~
valeurs
sup@rieur
aux
@quation
conclure qui
des
au h o m b r e
de m o d u l e des
pour
l'unit@,
correspondent
u~,
clair
x = Xo
repr@sente
l'4quation
Cette
..., est
pouvons
rieur
puissance
dans
des
est
nombre
valeurs
~gal
de
~ celui
x = X. d'imaginer r @quations
le m o d e
d@terminant
la
~ r inconnues
consid@r@ peut
configuration
(2.
@tre
du d @ t e r m i -
AI,
) satisfait
d~compos@
o.., les
suivant
A r qui r conle
143
(r-s)
s colonnes
A1
...
colonnes pour
pour A
As+ 1
s
,,,
II
I s conditions en
X
=
X
te rme
Ar
s
en
t e r m e s en
0
I I ..,
1S Is+if
..,~
IV
III (r-s)
condi-
tions
en
Ir
t e r m e s en IN
...
o
=
t e r m e s en
kN
(3.1)
S
xN s + l ~ **,
x = xN = X etc,
N Ir
etc.
Lorsque bloc
le n o m b r e
(iV)
%s+l'
...,
terminant minants
I r sont par
la
(sxs)
(r-s)×(r-s)
terme
principal
{d~terminant
Tous
les
pour
N + ~,
se
{det(i)}
Les
racines
quat i on s
car
i N. r A la
de
p
des
seront
feront r-s
Si n o u s
associ~s~ premieres des
en
les
des
termes
modules
du
des
d~veloppons utilisant
colonnes
r-s
autres
et
le
les des
d~-
d~ter-
d~termi-
colonnes~
le
I01
(IV)}
n~gligeables
intervenir
lignes
N + ®,
pour
seront
les
~videmment
limite
{det(IV)}
l'infini~
£ l'unit~.
mineurs
x {determinant
ils
vers
autres b puisque
~ partir
produits
r~duir&,
x
des
form's
(I)}
moins
lNs+l , .o-,
tendra
les
sup~rieurs
r~gle
sera
autres
comportera
tous
form, s ~ partir
nants
ti~re
de m a i l l e s
domineront
un
l'4quation £
la
rapport
d~terminant
comprenant
> l,
par
des
qui
termes
d~finit
&
ce t e r m e ~
(r-s)x(r-s) dominants
les
modes
qui en
de
forme
= 0
donc
obtenues
en
consid~rant
s~par~ment
les
fron-
144
det
(I)
=
det
(IV)
0 =
(3.2) 0
La p r e m i @ r e x = x 0 et
poss~dent prim@s
d4couplage plus,
les
de
des
modes
des
instables
uj
de
= ~
clair
que
de m o d u l e que
equation~
l'equation
limites
les
colonnes
aux
en
limites
x = X.
de
done
de
sup@rieur
sorte
~ est
en
C'est
la
que
le h o m b r e
de
de
la
done
(IV) sup
.-
cliff@rents plus
solutions
N pour
I DI
du m o i n s
fronti~re
fronti~re
~tre
N n'appara~tra
d@finir,
pour la
d@terminant
peuvent
l'unit@,
ind@pendant
fronti~re pour
~
de m a i l l e s
maintenant
fronti~re
du
l Nr qui
...~
le n o m b r e
en
pouvons
de
conditions
aux
Nel~ Xs
eommuns
i sent
instables
les
annoncee.
r@sulte
seconde
que
conditions
il e s t
facteurs
Nous
seront
les
de
Ii en
possibles
intervenir
De
(car
la
fait
seconde
des
z@ro).
dans
ne la
propri@t@
de
(3.3)
> l.
pour
x = x 0 et
x = X.
Les
N + ~ des
mo-
premiers
la f o r m e
(AIx
+
..o
+ As
s)
(3.h)
ou
(3 5) Un
syst~me
A1 j ...,
lin@aire
A
homog~ne
s'obtiendra
en
de
s @quations
exprimant
que
pour
les
!es
s inconnues
s conditions
homog~nes
s
impos@es non
£
la
triviale
fronti~re ne
~quation
Cette
peut
fournira
L'existence puisque
les
sairement
valeurs
les En
lyse
est
instable qu@es,
les
p et
la
simplement
~
fronti~re
C'est
la
i fait
modes
n'est
Une
telle
solution
(3.2)
est
satisfaite.
de p e t
pourtant
obtenues
ne
)..
pas
garantie,
satisfont
pas
n@ces-
(3.5).
la
condition
analogue,
satisfaits. l'~quation possibles
I ainsi
de des
les
n@eessaire
suivante:
compte
d@finition
si
valeurs
condition
tout la
que
de t e l s de
in@galit@s fait,
La tout
x = x 0 sent
exister
tenu
II ne des
qui
r@sulte
peut
pas
conditions
de
cette
exister
aux
ana-
de m o d e
limites
appli-
Godunov-Ryabenkii. modes
modules
instables des
K
la
fronti~re
I @tant,cette
fois,
x = X est sup~rieurs
i' u n i t 4 , Avan~ sis
pour
leur
d~ullustrer
simplicite,
ces il ne
developpements semble
pas
par
inutile
des
exemples
d'insister
choisur
les
145
difficult~s fronti~re
alg~briques
dans Le
avec N,
limit,s
N~anmoins, de s o l u t i o n s
bas,
en p r e s e n c e
souvent oeuvre
des
r-s)
rapport
certains
au t e m p s
cas,
de
deux
fonctions
syst~me
est
de-
simplification
de
par
de
que
pr~sente la raise en
n~cessite
craindre
calcul
non
comple-
relativement
(3.5),
discussion
£ des t e m p s
syst~mes
souvent
qu'elle
ne
n~gligeables
la s o l u t i o n
de l ' ~ q u a t i o n
in d u i t e
par
des
naturelles
hyperbolique
u,v des
variables
du s e c o n d t,x
ordre
pour
:
8u
T/x = o
~quivalent
conditions
donn~
(~.i)
& l'~quation
discr~tisation
par
l'artifice
des ~ q u a t i o n s
aux
limites
aux f r o n t i ~ r e s
Une
a,
de type
consid~rables
Cette
requis
darts le p l a n
de degr~
normalis4e
des
ondes
dans
un
dimension,
Les
(ou v)
le
~t
~ une
m~me
il y a l i e u
aux l i m i t e s
8v +
"~x = o
espace
et
calcul
inconnues
~u + ~v
3-%-
plus
d'instabilit~
Consid~rons
du p r e m i e r
suivant (h.l)
: deux
sont
seront
x = x0
ordre
du t y p e
et
x = X
de p r e c i s i o n
combinaisons
fortunes ~ l ' a i d e
classique
peut
lin~aires de d e u x
:
(h.2)
~tre
obtenue
ind~pendantes
constantes
distinc-
B:
S(u+ ~ v ) 3t
~(v+~u) +
Bx
d&riv~es
ferences
par
avant,
sera discr~tis~e des
cro~t
de
partielles,
conditions
Les
de
le d e g r ~
~quations
une
param~trique,
auxiliaires
nettement
ordinateur
h. E x e m ~ l e
tes
instables
dont
& deux
certes,
alg~briques,
de von N e u m a n n .
d'un
dans
aux d ~ r i v ~ e s
u
repr~sente,
de c o n d i t i o n s
du c r i t ~ r e
conduise,
Ce
en p,
instables
la d i s c u s s i o n
d'~quations
difficult~s
l'utilisation
les
alg6brique
les m o d e s
(s et
des m o d e s
pratiques.
l'~quation
pour
l'~tude
spe ct a e u l a i r e .
xe,
par
par
applications que
se r ~ d u i s e
gr~s t r ~ s tr~s
les
fait
pos~es
differences
B(u+6v) = 0
rapport
& t sont
La d~riv~e
par
en u t i l i s a n t arri~res
+ B(v+6u)
Bt
~x
dlscr~tis&es
rapport ~galement
seront
r
~ x dans des
utilis~es
= 0
en
utilisant
la p r e m i e r e
diff4rences
pour
des
dif-
~quation
avant,
mais
la d i s c r ~ t i s a t i o n ,
146
se!on
x,
de
la s e c o n d e
obtenu
s'~crit
k+1 u.j
-
u k. (vk+~ J + ~ j,
~ - v.j) +
u,k + l J
- u.k + ~ (vk+ . ~] J J
k v.) J
o~
C
c d6signe
=
donc
@quation.
Le
sch6ma
de d i s c r 6 t i s a t i o n
ainsi
:
!e n o m b r e
~ c{vJ +l
_ vk k J + ~(u.j+l
+ c{v k - v.k j J-i
de
- u.j)} -- 0
(h.])
+ S(u.k - u.k )} = O j j-I
(4.4)
Courant
At Ax
m
La g @ n 6 r a l i s a t i o n des
syst~mes
lutions
kJ
de
UkkJ
de la m @ t h o d e
discr@tis~s
est
de
s@paration
immediate
et
des
variables
consiste
au
& 6tudier
cas
des
so-
la forme
vjk
,
VkkJ
:
I n t r o d ~ l i s a n t ces e x p r e s s i o n s dans l e s @quations d i s c r @ t i s 6 e s e t en les
r @ s o l v a n t p a r r a p p o r t ~ Uk+ I e t Vk+l~ nous o b t i e n d r o n s
=
Uk+ I
~c
{l + ~
1
(~ + T
Vk+ 1 = c
B~+
- 2)}
Uk + { i +
La m a t r i c e
d'amplification
Uk +
c
est
donc
(~+~)
~_S
(2 -
~_-T#
"[ -
~
~-
Vk
~)}
donn6e
vk
par
~X+ ~ -
F
~Bc
I
i+--=-g (x + T -
2)
(a+~)~
c ------~----~
B
c
Les
C~-B
valeurs
ristique
propres
du s c h 6 m a a~c
p de
cette (4.~)
(4.3), i
I - ~ + ~_-T~ (x ÷ y -
21
matrice
satisfont
l'@quation
caract@-
: B~+ T c
- (~+B) a-S =
i
Ic
a-g
e
(2-~-
I
O
147
Apr~s
quelques
F(~,~)
r~ductions,
eette
@quation
:
- c2(~+ Y1 - 2) -- o
e~(~+ TI - 2 ) ( l - p )
-- ( 1 - ~ ) z +
s'@crit
(4.5)
en p o s a n t
a-8
Remarquons poss~de
liXZ
que
eette
pour toute
equation
valeur
est
r~ciproque
de D d e u x
racines
en
k de
Ii~
sorte
42 t e l l e s
qu'elle que
1
=
Si n o u s (2.2),
(4°6)
prenons,
pour
la r e l a t i o n
I~
des v a l e u r s
earact~ristique
(1-0) 2 - 2 c ~ ( 1 - e o s e ) ( l - p )
exponentielles
complexes
du t y p e
s'~crira
+ 2e2(l-cose)
= 0
(h.7)
en p o s a n t
e = i ~ n
( n = O,
Le c r i t ~ r e
de
eines
l'@quation
soit
p de
stabilit~
Ii faut
de yon N e u m a n n
(4,7)
soient
exige
que
inf~rieures
le m o d u l e s
~ l'unit~
des
quel
ra-
que
condition
8 D ce qui
!2 w> c(~-c) faut
done
le p r o d u i t
+ 2c2(1-cos8)I
de
ces m o d u l e s
soit
inf@rieur
dolt $tre
<
i
satisfaite
pour
toutes
valeurs
r~elles
impiique
> o
(h.8)
~galement
que
p o u r ~ = +i et ~ -- -I~
4 -- 4 C ~ ( i - c o s 8 )
pour toute
que
:
Ii - 2 c ~ ( l - e o s S )
Ii
... N)
8.
£ l'unit~
Cette
i,
le p r e m i e r d'o~
+ 2c2(I-cos8)
valeur
r@elle
de
membre
la n o u v e l l e
de
(4.7)
soit n o n
condition
• 0
e. N o u s
devons
done
avoir
n~gatif
de
148
2c(~-c)
Cette
< i-c 2
(4.9)
in@gaiit@
est
plus
restrictive
que
l'in@ga!it6
gauche
dans
(4.8). Le aux
deux
crit~re
C(2~-C)
Ces route
nombre
Neumann
conduit
donc,
dans
le
cas
i
suivant
(4o10)
montrent
positive
courant
(%)
<
in@quations
valeur
de
c < c
yon
in6qu~tions
>__ C,
pour
de
que
le
du p a r a m @ t r e
inferieur
£ une
crit@re
~,
certaine
pour
0 < ~ < !
pour
{ > I
peut
~tre
g condition borne
de
satisfait
choisir
un
:
w
=
(4,11)
m
%-/~2-!
Consid@rons qui
pourraient
type
(4.2),
u(x,t
Les
resultats
route
telles
la
pour
vertu
Seul
pour
x = x0
x = X.
d'une
instables
6ventuels
condition
naturelle
du
(4.i2)
@videmment,
serait
L~
fronti~res
l'application
:
oh V
de
impose
condition
en
moyennant
x = x 0,
homog~ne
et
modifications aux
discretisee
conditions
g
correspondant
s'@erit
k u0 = 0
en
de
exemple
cas
fronti~re
Pour
modes
s~appliqueron~,
au
(4.12)
les
r@sulter
par
= f(t)
6videntes la
maintenant
k = i,
valeur de
(4.6),
de
2,
...
p de
deux
(h.13)
module
sup@rieur
racines
XI,
12
de
a
!'uniLe,
il
la
relation
caract@ristique
existera,
que
le m o d e
fronti~re
Ce m o d e
correspondant x = x0,
en
a I 1 pourra
accord
avec
s'@crira
u .K = U 1 pk J
~i"
v ~ = V1 DK h l' J
les
Stre
consider@
conclusions
comme de
la
mode section
de 3.
149
et
la c o n d i t i o n
U1
=
L'amplitude
fait
V I peut aux
que
avons~
par
{a(0-1)
+
Un
non
mode
est
limite
(4.13)
imposera
0
~quations du
& la
~tre
obtenue
diff@rences
finies
p,
+
c(~1-1)}
vI =
trivial
par
de
l'une
(4.4)
ou
(qui
l'autre
sont
des
@quivalentes,
la r e l a t i o n
caract~ristique).
exister
si
Nous
ne
0
peut
dons
que
la
condition
suivante
:
s(~1-1)
Combinant
li6es
(4.3),
exemple~
satisfaite
~(o-l)
I 1 sont
& partir
=
cette
o
relation
avec
la r e l a t i o n
caract4ristique
(4.5),
nous
obt i e n d r o n s 1
Ces
valeurs
d6finiront
condition
A)
donc
1 Une
discussion
plan
a,8.
stable
i a = ~
est
,
La c o n d i t i o n At c -- ~
mais k
nous
m~me
satisfait.
B =
ces
si
En
le
d'o~
yon
=
conditions
effet,
1
de
<_ Cm(1)
de
contenterons
exister;
il e x i s t e r a
u. = 0 J
instable
pour
la
fronti@re
x = x0
'I
compl~te
Nous
peut
(h.ll),
un m o d e
que
de
peut
d@montrer
crit~re
de
~tre ici
yon
consid6rons
effectu@e
qu'un
Neumann,
le
cas
satisfai~
si
tel
dans mode
exprime
le
inpar
oh
~ = i
Neumann
sera
alors
mode
fronti~re
i
un
v k. J
=
de
const.
instable
(l+c) k 2 -j
avec
~ = },
O =
1 +
c :
150
Cet qu'il tion
peut
aux
tions et
ne
exemple pas
limites
du t y p e
~tre
attribu@
sont
tou3ours
5. I n s t a b i l i t @ s
treux
des
conditions
discr@tisations nombreux
et
il
dangereuse, sans
n@cessiter
nables" £ des
tout
probl~mes
c a u s @ e s ' ~ar
limites
donc
de l o n g s
ici
hyperboliques
sup@rieur
d'un
vari@t@
pos@s,
par
des
situation
qui
choix
"raisonconduire
instabilites. effet~
nous
examinerons
l'@quation
hyperbolique
nous
(5.1)
discr@tiserons
u k+l
c . k k ~ - u.k J = ~
c d~signe
par
~ l'aide
propos@
salt
c < l~ ce
la r e l a t i o n
o - i
qui
de
que
+ ~--
du
sch@ma
(ref.
du s e c o n d
2 et 7)
ordre
de p r @ c i -
:
k k k (Uj+l+Uj.l-2U j )
(5.2)
At C o u r a n t ~'~x" ce s c h @ m a
se v @ r i f i e
est
stable
d'ailleurs
au sens
ais@ment
de von N e u m a n n ~ en
se r e f ~ r a n t
£
caract@ristique
--~o (~
1 -T)
Les probl~me
L a x et W e n d r o f f
le h o m b r e On
pour
+ - o2 ~ (~
conditions
hyperbolique
l +Y-
c ~-l ((l+o)x+l-c) 2) : 7 ~ > , ~
initiales
et
aux l i m i t e s
darts l ' i n t e r v a l l e
(5.3)
naturelles
pour
le
spatial
< x < X
consistent t6ristiques les
la
simple:
soin
x0
indique
peuvent
~_~u-- A2u ~t ~x que
les
sont t r @ s
cette
simple
qui
condi-
en p h y s i q u e
choix malencon-
sur
additionnelles
condi-
additionnelles
requises
tr~s
puis-
Les
au p r e m i e r ,
l'attention
la g r a n d e
limites
bien
conditions
un e x e m p l e
d'une
naturelles
additionnelles,
calculs
aux
~ fait
des
d'attirer
donner
surprenant
arbitraire.
r@sultant
de p r @ c i s i o n
allons
de c o n d i t i o n s
A cet plus
aux
importe
Nous
ou m o i n s
d'instabilit@s
d'ordre
@videmment
choix malencontreux
plus
en e f f e t
£ des
Les e x e m p l e s
est
au
additionnelles
(4.!2)
conduisent
d'instabilit~
~ imposer
u p o u r t = to
(x + t = const)
x d@croissant
pour t
et
p o u r x = X, p u i s q u e
de l ' ~ q u a t i o n
croissant.
(5.1)
sont
les
orient6es
caracvers
151
Cependant, tervenir sion une
des
ne
differences
sera
d@fini,
condition
qui
tervenir
k+l U0
et
se
et
exprimer
u2 ~
valeurs
servant
de la
l'~tape
des
de
aux
le p r o c e s s u s
l'intervalle
(x0,
numerique
considerer
en
des
ensemble
assez
de
u
quatre
la
forme
aux
differences
(5.2)
num~rique
X),
que
si
de
deux
la
fait
de
in-
progras-
l'on
impose
x = x 0.
conditions g@n&ral.
Le
points
types
premier
(k,O),
type
(k,1),
diff4fait
in-
(k+l,O),
k k + mu 0 +nu I = O
(5.4)
relation
(5.2) on p e u t d ' a i l l e u r s @liminer u k+l k+l 1 inconnue u0 en f o n c t i o n des v a l e u r s u0, u I et
valeur
k.
Le que
un
seront
k+l + ~U I
En
centrees,
dans
allons
forment les
(k+l,1)
l'~quation
additionnelle
Nous rents
comme
second
valeurs
i
type
de
l'instant
conditions
consid4r~
k + i, et
ces
ne
fait
conditions
intervenir
seront
de
la
forme
k+l u0
f k+l uI
+
+
De duire mais les
des
k+l gu 2
telles
erreurs
elles
des
1 + £ + m
+ n =
peut
y
Soit
llll
< 1
Nous
allons
tisfaire vrai du
pour
second
maintenant au p l u s valeur
que
les
conditions
ordre
mode
valeurs
(5.5) (5,4)
O(Ax,At)
pas du
&
sont
condition
si
g4n~rale pour
de
la
section
la
fronti~re
3.
de
pet
r@elles la
que
(5,6)
instable
de
intro-
calcul,
:
g = 0
correspondante
conditions
peuvent
precision
nulles
la t h ~ o r i e
qu'un
ne
la
& l'ordre u soient
1 + f +
avoir
les
d~truirait
des
k,
la
additionnelles
qui
compatibles
0
montrer
les
ce
coefficients
Appliquons II ne
(5.5)
conditions 0(i),
deviennent
sommes
x = x 0.
0 =
kl et
pr@cision
qui que
permettent cela
qu'elle
est
de
sa-
~galement
fournit
est
im
1
Ii pour
faut
noter
obtenir
un
que
cette
r~sultat
precision pr@cis
du
n'est second
pas
strictement
ordre.
n~cessaire
152
En duisant
k uj
Nous
p
pk
const
=
effet~
£A.p
+
m
!es
du m o d e
conditions
instable
(5.4)
et
(5,5)
en
y intro-
6ventuel
~ i
obtiendrons~
+
@crivons
l'expression
+
respectivement,
n?~
:
(5.7)
0
et i + f~
si
+
nous
sant
(5.8)
0
exprimons
la
une
gk 2 =
relation
@quation
3 a3), I +
maintenant
caract@ristique
du
3me
al~, 1 +
conditions
En
vertu
des
et
(5°8)
poss~deront au m o d e
g e o n s m de cond
dont
q =
la
dans
seh@ma~
(5.7),
nous
en
compatibilit@ l,
p =
(5.7') ordre
(5.6),
@gale
1 que
en
les
l'unit@, peut
obtiendrons
dans
qui
une
une
(5.7 ~ )
correspond Si
nous
pr@cision
racine
l'@quations
obtiendrons~
~)
@quations
@carter.
pr@sente
poss~der
(If-l) nous
&
l'on
(5.4)
devra
facteurs
utili-
double (5.8)
darts
les
exi-
du ~i
se=
i.
et
deux
cas~
II :
O
racine Ii
rationnelle
~ /i est t o u j o u r s r@elle. P f a c i l e de v @ r i f i e r que
est non
constante
des
les
conditions
additionnellees
des
valeurs
ces
de
<
k I @tant
r@el, (5.3).
in@qualltes
param~tres
param~tres
le
rapport
£D m ,
consid@r@es. pour
lesquelles
m~me
pour
n,
~ s e r a une f o n c t i o n P f, g qui d ~ f i n i s s e n t
Ii e x i s t e r a
donc
tou~ours
1
tir~e
de
du
~,
:
condition
premier
du
de
(5°7
(5.7')
des
(5.3)
k
racine
trivial la
fonction
0
de
!'@quation
@quation
P)~I +
a0 =
l'@quation
bans
en
une
que
@limination
(ll-l) 2 une
plus~
ordre~
Apr~s
degr@
2 a2X 1 +
d~ailleurs
P en
il en Nous
suivantes
sera
de
aurons est
donc
un m o d e
v&rifiSe&
la v a l e u r instable
correspondante si
l'une
des
de deux
p
153
~i-i
c
P = i + 2
((1+o)~i
Ii
+ I-
c]
>
i
ou
< -i Ii est
facile
(compte -i <
tenu I-C
de v @ r i f i e r de
Ikll
(les
Nous car
toujours
extr@mes
valeurs
pas
de
dans
(5.9)
conditions
sera
satisfaite
l'in@galit@
instabilit@s,
(5.9)
(5.9)
la c o n d i t i o n
les
d@tails
suffisent
"raisonnables"
lesquelles
est
ces
< 1
r@sultent
n'entrerons
donc
£ des
de
si
~Ic+f)
les i n @ g a l i t @ s des
l'une
< c2-2+/4-3c 2
~
in@galitis
plete
< 1),
< Ii = - p
- i+c
que
pourra
malgr@
de
d'une
~ montrer
~tre
et
qui
le c r i t ~ r e
com-
existera
£, m, n,
satisfaite que
0 < c < i).
discussion
qu'il
des p a r a m ~ t r e s
le fait
Courant
f,
g pour
conduiront
de yon N e u m a n n
respect@,
6. M o d e s
Kreiss fronti~re assurer
fronti~re
a signal~
du t y p e
crit~re
de
restrictif
l'existence
appara~tre
certaines
et n o u s
nous
que
l'absence 3 n'est donner
non
exponentielle
que
celui
de t e l l e s
Un t r a i t e m e n t
santes
6)
& la s e c t i o n
I1 a pu, en e f f e t ,
avec t, m a i s
plus
n on,,exponentiels
(r@f.
introduit
la s t a b i l i t Y .
croissante
compte
de
instable
suffisante
un e x e m p l e
a @gelement
de G o d u n o v - R y a b e n k i i ,
de
de
pour
solution
@tabli
un
qui t i e n t
solutions,
num~rique
propri~t&s proposons
et
de m o d e pas
de l ' e x e m p l e
remarquables
de
clarifier
propose
de
ces
par Kreiss
solutions
leur n a t u r e
en
fait
crois-
utilisant
ces p r o p r i ~ t & s , L'~quation (5.1)
trait~e
dans
L'exemple sym6trique
("Leap
hyperbolique
le d o m a i n e
k
au sens
est
l'6%uation
simple
de K r e i s s
fait
appel
au s c h 4 m a
aux d i f f e r e n c e s
frog") k
At
ujk+l _ u~-l~ -- c(u~+l-u.j_l);
stable
consider~e
t >_ O, x0 <_ x <__ X.
° = A-~
de yon N e u m a n n
(6.1)
si la c o n d i t i o n
de C o u r a n t
(0 < i) est
v@rifi@e. Ii est trois
niveaux
Wendroff tiel
important
temporels
utilis@
dans n o t r e
de r e m a r q u e r
k+l,
k et k-l;
A la s e c t i o n interpretation
5. Cette des
que
ce s c h @ m a
contrairement propri@t@
solutions
joue
fait
intervenir
au s c h @ m a un
de K r e i s s .
r$1e
de L a x essen-
154
Le port
£ x,
relle
schema
(6,1)
@tant
il f a u d r a
comme
pr@c@demment,
en x = X~ une Nous
ont
@t@
examinerons
propos@es
l~ordre
condition
(At~Ax)
au m o i n s
ordre
con
en
ditions
(r@g.
lin&aire
: uko = 2ulk - U k
(II
Extrapolation
modifi@e
proposee
calcul@
(!II
Extrapolation
(IV
Interpolation
fronti@re sch6ma
_ ~1 =
c(~
de
s'6crit
comme
le p r o d u i t
limites
(I ~ IV)
2 :
O;
Ces
relations
est
@gal
par Kreiss
, k-i k+l, k ~u I +u] )-u 2
= uk =
de u k et u k i p a r t i r ~ k ~ k+ k uk = ~ U l - J U 2 u S
z6ro
de
(6,1))
: Uko : U k.
d'abord
qu'il n'existe
pas
la s e c t i o n
de m o d e
instable
3. L a r e l a t i o n
caract@ristique
de
du
:
pr@vu, des
qu'un
racines
mode de
instable
(6.2)
vaut
fournissent.respectivement
ces
! + ~
Xl
conduisent
~ l'unit@,
conditions Kreiss
solutions
disparaYt
fait
imm@diatement
Le
de f r o n t i @ r e -i.
Les
possible
conditions
les @ q u a t i o n s
aux
suivantes
altern@
u.k + l J
-- -u.k J
toutes
~ des
sugg~re
= O;
valeurs
(Xl-Z)
= 0
de % et p dont
une
stabilit@
que
la c o n d i t i o n
cependant
au del£
lorsque
de t o u t e
l'on
utilise
num@rique appara~tre
transitoires
par
(kl-1)3
marginale
le m o d u l e
en
pr&sence
additionnelles.
num@riques
ment
1 = p + T;
qui
signale
calcul
contributions initiales
ce
croissant
m~ne
et
a
kI :
(X1-l)
de
certaines
(6.2)
puisque
pour
natu-
compatibles
1 7.)
-
II n ' e x i s t e ~
dont
dont t o u t e s
fonction
d'ordre tout
au sens
(6.1)
en
parabolique
Montrons
~ la c o n d i t i o n
rap-
:
Extrapolation
est
par
x = x0.
suivantes~
6) et qui
(I
(u k + l
de p r e c i s i o n
ajouter
additionnelle
les
par K r e i s s
du s e c o n d
d'un les
limite
avec
la forme exemple
faits
(I) i n t r o d u i t
k, et
que
16g~rement
has6
sur
suivants:
amorties
introduites
par
particuli~res~
la s o l u t i o n
pr@sente
rapport
au t e m p s
ce p h 6 n o -
modifi@e
la c o n d i t i o n
Apr~s les
des
(II), (I)
disparition
de
conditions un
comporte-
:
(6.3)
la d @ p e n d a n c e
de u k par
rapport.
~ x est
tr~s
voisine
d'une
loi
li-
J
n@aire, t,
des
Ii en est valeurs
d'ailleurs
absolues
k
lu~I .
de m @ m e
pour
la d @ p e n d a n c e
en
fonction
de
155
Les f o n c t i o n s essentiellement sid~r~es vable, 2£
comme
£
=
fonctions
de t.
discrete
Cependant,
si n o u s
d'une
fonction
W.~
consid~rer
distinctes sch@ma
peut
~tre
vet
w
w,
comme
repr@sentation
continues
et m ~ m e
aux d i f f @ r e n c e s
finies
consid@r~
formant
aux d i f f @ r e n c e s £
vet
comme
coupl@es
pour
vet
discrete
d@rivables,
(6.1) @ c r i t
w
de d e u x
p o u r k = 2£ et
un s y s t ~ m e
de
deux
~qua-
:
£
w~. J -1 = c(vj+z-vj_ z)
(6.4)
vj
-
(6.21
Nous
consid~rerons
wj
-
du s y s t ~ m e @w
@v
Sv
v = F(x-t)
clair
des
discr~tisations
(6.6)
de
ce s y s t ~ m e
que
la c o n t r i b u t i o n
si F = 0, n o u s
Si
donn~e
par
par
G repr6sente
tandis
(6.7)
+ G(x+t)
la s o l u t i o n
que F r e p r ~ s e n t e
la d i s c r ~ t i s a t i o n
une
d'ordre
g@n6rale contribu-
sup~rieur.
En
avons
= u
La c o n t r i b u t i o n
l'instabilit~
(5.1),
introduite
x - t = const,
est
w = -F(x-t)
de d ~ p a r t
v = W = G(x+t)
seule
comme
~x
+ G(x+t);
parasite
effet,
ces @ q u a t i o n s
@_.~w
g4n4rale
l'~quation
tion
=
~-T
La s o l u t i o n
Ii est
maintenant
hyperbolique
~'T "~ ~-X ,
de
d~ri-
posons
~
Le k = 2£+1,
=
et ne
2k 2k+l u. et u. a p p a r a i s s e n t done comme J p e u v e n t , en v e r t u de (6.3), ~ t r e con-
la r e p r e s e n t a t i o n
continue
U.
pourrons
tions
formant
2£+1
V. O j
nous
distlnctes
ni m ~ m e
u 0.
discr~tes
parasite
F correspond
introduites signal~e
lement
en t e n a n t
relles
(x+t
initiale
parasite
compte
= const)
£ des
le s y s t ~ m e
caract~ristiques
(6,6)et
est
parasites
la cause
de
par Kreiss.
la c o n d i t i o n
la c o n t r i b u t i o n
par
homog~ne
de l ' o r i e n t a t i o n
et p a r a s i t e s
Les c o n d i t i o n s
est
sera pr~sente,
(u = 0 p o u r
comme
t = to) ,
on le volt
des c a r a c t 4 r i s t i q u e s
facinatu-
(x-t = c o n s t ) ,
aux l i m i t e s
(i) ~
(IV)
seront,
elles
aussi
156
interpr6t@es aurons
comma
ainsi~ ~2v --=
(I'
des
av •g l
suffit
avoir
~2w
~ =
Ca -= O, ce
donc
= 0
lineaire
est
(III) m o n t r e enti~re
= 0
clairement
turbation
qua
des
et ne
certaines
tique
des
(r~f.
6)
lignes
positive, l'unit@. de m o d e
de
F = cons%
pour
apr~s
la f o n c -
+ const
que
qua
soit
fronti~re
des
testa
+ const
de x et t a p p a -
alors
qua
(If).
La c o n d i t i o n
n'importe
utilise
quelle
cette
per-
puissance
extrapolations
stationnaire
d'or-
dans
le cas
z@ro. qui p r @ c ~ d e n t que qui
le
ne
sont
@videmment
s'il
existe
semble
~tre
un
pas
ri-
d@couplage
une
caract~ris-
fog".
i'existenee une
premier
le h o m b r e exprime,
marginalement
de
cette
condition
~ la s e c t i o n
condition
fonction
modifi@e
suivant
si l'on
"leap
de
en
condition,
condition
a pu ~ t a b l i r
requiert
quel
d~o~
s'appliquer
de t y p e
introduite
Cette
F = B(x-t) 2 + C(x-t)
de m a i l l a g e ,
compte
Kreiss
qui
d~o~
la p e r t u r b a t i o n
dtordre
sch@mas
09,
F = A(x-t)
croissances
semblent
Tenant
propres
(6.7)
:
d'o~
la
condid@rations
entre
stabilitY,
suivantes
parasite
la p r e m i e r e
par
possibles
l'extr~polation
goureuses
pour
Par c o n t r e ,
Les
les e x p r e s s i o n s
les @ q u a t i o n s
de la p e r t u r b a t i o n
~touff~e
de t sont
@lev~,
donne
relations
= 0
F'(x0-t)
La c r o i s s a n c e
ces
la c o n t r i b u t i o n
= 0
F~''(Xo=t)
(IV")
dans
qui
rapt@santa
F(x0-t)
(III")
0
substituer
F"(x0-t)
(Iz)
de
et nous
0
a-...lw = ax
0
de
pos~
(I")
dre
d@riv@es
0
83w ~ = 8x 3
0
=
F qui
ra~t
leurs
ax 2
a3v ~ = Zx 3
(IV'
tion
v, w e t
v = w
(Ill'
II
entre
respectivement 0
{)x 2
(II ~
relations
membre 3,
de
taste
nouvelle
suffisante
l'@quation
sup~rieur
complexe
p de m o d u l e
en
qu'il
fait,
stable.
classe de
ne
d'in-
stabilit~ aux v a l e u r s
~ une
constante
sup~rieur
doit
pas e x i s t e r
157
Les
solutions
& croissance
alg~briques,
en
n
kn =
qUi
(~1
viennent
d'etre
instabilit~s les
cas
exponentielles,
o~ le m a i l l a g e
7.
Notre
de
par
par
qui les
conditions que
des
qua
acceptables
les
clans
grossier.
couramment
utilis~es,
est t r o p
(r~f.
h) a p r ~ c o n i s ~
les
des
probl~-
des
conditions
~ une
aux
limi-
restriction
de
la
de yon N e u m a n n . provoqu~es
additionnelles
sont
construites conduire
darts le cas
physiques
par
tr~s
~ des
Signalons
d'extrapolations,
instabilit~s
si leur
hyperboliques.
de c o n d i t i o n s inspir~es
l'introduction
nombreux,
~ partir
de s y s t ~ m e s
l'utilisation
considerations
la v a r i ~ t ~
dans
limiteso que
conduire
d'instabilit~s
peuvent
~lev~,
de m o n t r e r
introduites
aux
pouvaient
conditions
ordre
des
~tre
g~nantes
relativement
~tait
a montr~
au crit~re
num~riques
d'ailleurs
sur
moins
m~me
est
~tre
conditions
naturelles
rapport
~tude
peuvent
exemple
Les e x e m p l e s de
utilis~
la p r ~ s e n t e
premier
& fait
stabilit~
en p r i n c i p e
et p o u r r a i e n t
temporel
num~riques
hyperboliques
tes rant
sont
Conclusions
Le but instabilit~s mes
discut~es~
Moretti
additionnelles
bas~es
de la t h ~ o r i e
des
caract~-
des
favorables
rist ique s. Une t e l l e dans
la p l u p a r t
connaissance,
de p r e u v e
leurs
pas p e r d r e
tions
additionnelles
considerations
demment
le choix
de la grande
oeuvre
des
bl~mes
hyperboliques
crit~res
Nous
ble.
afin
nous
la n a t u r e
des
spatiales
exemple~
si une
la ligne
x = x0,
soient
mais
de
son e f f i c a c i t & ,
pas
d'informations des
limit,s
aux
le t r a i t e m e n t
r~sultats ne
il f a u d r a
est
pas
donn~e,
introduire
que
des
d'orienter
r~sulte par
~vi-
la raise en
pour
les
pro-
en p r a t i q u e .
probl~mes
~ une
seule
suffisamment
aux p r o b l ~ m e s
de d i f f i c u l t ~ s dans
d'ailcondi-
s~lection.
permettant
de K r e i s s ,
alg~brique
et m ~ t h o d e s
pr~sente
condition
et
faut des
a priori,
leur
pr&sent~e
rencontres
~ notre
Ii ne
additionnelles,
alg&brique
non t r i v i a u x
pour
g4n~rales
conditions
pas,
num~rique
d'esp~rer,
guide
de Godunov-l~yabenkii
sommes
r~sultats
il n ' e x i s t e
essentiel!ement
un bon
complexit~
de rendre
L'extension
dimensions
donner
ce qui ne permet
manque
sure,
spatiale
semble
trait~s,
rigoureuse
de rue
physiques
Notre de fa$on
approche
des e x e m p l e s
dimension accessi-
& plusieurs
fondamentaies.
un cas b i d i m e n s i o n n e l ,
des m o d e s
du type
Par sur
t58
k k j U.JZ = C on st D l W ou l'indice toujours
Z repr@sente
repr@senter
du m a i l l a g e
!a d e p e n d a n c e
une
en y, e~
telle
poserons
L~introduetion la s t a b ' l i t @
est
rapport par
i y. Nous
des m o d e s
pouvons
de F o u r i e r
done
du n o u v e a u
&videmment
par
d@pendance
param~tre
de n a t u r e
8 dans
& cr&er
des
la d i s c u s s i o n
complications
de
addi-
t ionnelles. Enfin~ pour
l'~tude
domaines
des
des m ~ t h o d e s
analogues
instabilit4s
qui
multidimensionnels.
comportement
d~une
dimensionnel
dans
entre Nous
une
paroi
aurions,
x = x0,
et
y > Y0,
x > x 0. Ii
solution une
par
une
et
des
ligne
une
les
probl~me
"coins"
les
conditions
une
condition
diff@rente
de
le bi-
rencontre
amont
ou aval.
(A) ~ la f r o n t i ~ r e
(B) £ la f r o n t i ~ r e
des " m o d e s
de
d'~tudier
d'~coulement
du point
portant
introduire
dans
d'un
£ traiter
de
coin",
y = Y0,
fonctions
de x et y.
de K r e i s s ,
que
dans
par e x e m p l e ,
au v o i s i n a g e
condition
alors
Les m o d e s
que p o u r
num@rique
d@eroissantes
vraisemblablement
s'agirait,
conduite,
exemplej
faudrait
exponentielles
Ii
pourraient ~tre e x p l o i t ~ e s
apparaissent
4tudi@s
des
discr@tisations
& la
section
cas m a r g i n a u x
qui ne
6, n ' a p p a r a i s s e n t se m a n i f e s t e r o n t
particuli~res.
R4 f @ r e n c e s
1.0'BRIEN,
G.G,
HYMAN~
solution
M.A.
et K A P L A N ,
of p a r t i a l
S.:
differential
A study
of the
equations.
numerical
Mathematics
J.
and Physics, Vol. 29, 1950, pp 2 2 3 - 2 5 1 . 2. R I C H T M Y E R ,
R.D.
value 3. K R E I S S ,
H.0.:
et M O R T O N ,
problems. On
difference
for h y p e r b o l i c
Math., Vol. 4. M O R E T T I ,
G.:
The
treatment
K.W.:
Difference
Interscience~
approximations
differential
17,
1964,
importance
1967,
p.
for
initial
York.
of the
equations.
dissipative
type
Comm. Pure Appl.
335.
of b o u n d a r y
of h y p e r b o l i c
methods
New
conditions
in the n u m e r i c a l
equations.
Brooklyn Polytechnic Institute, PIBAL Report 68-34. 5o G O D U N O V ,
S.K.
des
et
RYABENKII,
probl~mes
V.S.:
& conditions
Crit~res aux
speciaux
limites
pour
de
stabilit~
les
@quations
159
aux differences
finies non auto-ad~ointes.
Uspekhi Mat.
Nauk., Volo 18, 1963~ p°3 6. KREISS,
H.O.: Boundary hyperbolic
conditions
differential
for difference
equations,
fluid dynamics, AGARD Lecture Series No 6 ~ sur-Seine~
approximation
of
in Advances in numerical AGARD, Neuilly-
France.
7, LAX, P.D. et WENDROFF,
B.: Difference
schemes for hyperbolic
tions with high order of accuracy. Vol. 17, 196h, p. 381.
equa-
Comm. Pure Appl. Math.
I~SOLUTION NOI~R_I~UE DES EQUATIONS DE NAVIER-STO~F~S POUR LES FLUIDS CO~RESSIBLES ~_ar Ro~er P__~t*
et Henri Viviand**
I - GEIfERALITES Nous nous proposons d'exposer et de discuter les divers problbmes que pose le calcul d,dcoul~ments visqueux compressibles par r~solution num~rique des $quations de NavierStokes, dams le cadre des applications ~ l'aSrodynamique. Auparavant, nous ferons un bref rappel sur les @quations de Navier-Stokes et sur les probl&mes d'a~rodynamique dont l'@tude th@orique requiert la r~solution de ces ~quations. Notre expos@ sera limit~ ~ l'@~ude des dcoulements compressibles ; c'est effectivement une restriction dens la mesure oh des diff@rences notables existent darts les m~thodes num~riques entre le cas incompressible et le cas compressible, le premier cas ne pouvaut pas @tre syst@matiquement trait@ comms un eas particulier du second. La I~cauique des milieux continus ainsi que la th@orie cindtique des gaz conduisent aux @quations g~ndrales de conservation pour la masse, la quantit@ de mouvement et l'6nemgle, que nous ~crivons d a ~ un repbre absolu, en formulation Eul@rienne :
(I) =
0
" "
~
(2)
~P
Dans ces @quations, ~ est le temps, ~ la masse volumique, ~ la vitesse du fluids dans a ~ , oh e est l'dnergie le rep&re consid@rs~, E l'4nergie totals volumique ( ~ = e ÷ ~-interne), =q" le tenseur des contrai~utes, densit@ volumiaue de force ext~rieure.
~ la densit@ de flux de cha~eur, et
Fe la
La formulation Lagrangienne est aussi utilis4e daus certaines m4thodes num4riques, mais en ~n6ral pour des probl~mes diff~rents des problbmes d'a~rodynamique envisages ici ; cette formulation et les m~thodes num@riques qui l'utilisent ne seront pas discut~es darts cet expos@. Les forces_ext4rieures, comme !a pesanteur, sont habituellement n4gligeables en a4rodynamique, st ~ sera pris nul par la suite.
* CNRS, Institut de ~canique th4orique e% appliqu4e, Universit4 PARIS VI ; collaborateur ext4rieur de I'ONEP~. ** Office National d'Etudes et de Recherches A~rospatiales (ONERA) 92320 Chatillon.
161
Lee 6quations (I) ~ (3) doivent 8tre compldt4es par des lois de comportement pour le tenseur des contraintes ~- et pour la densitd de flux de chaleur ~ , ainsi que par des lois d'dtat pour les variables thermodynamiques. Un grand nombre de fluides usuels, dont l'air et l'eau, v4rifient avec une pr4cision suffisaute st clans un domaine assez large de conditions (sur lesquelles nous reviendrons), d'une part la loi de Fourier pour la conduction de la chaleur :
q
- I ~ T
=
(4)
o~ T e s t la temp4rature absolue, et d'autre part la loi de Newton (ou loi de NavierStokes) pour le tenseur des contraintes :
~=
-~Z
+
(5) oh ~" est la pression, I le tenseur unit4 et ~
le tenseur des vitesses de ddformation
Le systbme des 4quations (I) ~ (5) constitue les dquations de Navier-Stokes pour un fluide compressible ; celles-ci se caractdrisent doric par les lois de comportement (4) et (5), lois d4finissant les fluides dits New,ionians. Les coefficients de conductivit4 thermique ~ , et les deux coefficients de viscosit4 A , ~ , d4pendent de l'dtat thermodynamique local. Dans les conditions habituelles, ils ne d4pendent que de la temp4rature (si celle-ci n'est pas trop dlev4e) :
.~ -_- -~. ( T )
,
,~ -_ )~(T)
,
~. =. ~. ('I',)
(6)
On montre que la deuxibme loi de !a thermodynamique impose les conditions suivantes sv~ A et ~ . :
.~a-.,-=ff.
>. o
/~ >. o
,
(7)
En l'absence de ph4nombnes de relaxation interne, on admet la relation de Stokes :
(s) I1 faut adjoindre ~ ces 4qua~ions les lois d'4tat ; nous nous pla9ons daus le cas simple, ms.is suffisant pour la suite de cet expos4, dtun gaz dont l'4tat thermodynamique local ne d4pend que de deux variables comme f et e ; on peut donc exprimer la pression et la tempdrature en fonction de ces deux variables :
-I. f,(e j f )
,
T
-- T
(e,
~ )
(9)
162 Un cas particulier important est celui du gaz parfait ~ chaleurs sp4cifiques constantes, pour lequel on a :
oh
~ -~ C~ / C ~
et
C# et f~r sont les ohaleurs sp4cifiques.
Le syst~me des 4quations (I) h (6) et (9) est alors ferm4, en ce sens qu'il y a autant d'4quations que d'inconnues. Pour faire appara~tre la nature de ces ~quations, explicitons les d4riv4es d'espace d'ordre le plus 41ev4 (2&me ordre), en ~crivant en outre l'4quation de l'4nergie en fonction de la variable T ; on obtient, pour l'4quation de quantit~ de mouvement :
et pour l'4quation de lt4nergie : +
~AT
Dh
o~-
D_= ~ :DE, ~ dissipation :
-~ ~. #~x~
est la d~riv4e particulaire, et oh ~
=
Les conditions (7) assurent que ~ de (12) s'4crit encore DS
fT
(12)
est la fonction de
+
n'est jamais n4gatif. Notons que le premier membre , oh S est l'entropie sp4cifique.
La nature parabolique par rapport au temps des ~quations de quantit4 de mouvement (pour l'inconnue ~ ) et de l'4quation de l'4nergie (pour l'inconnue T ) appara~t clairement sur les formes (11) et (12) de ces 4quations. On peut v4rifier, pour l'4quation (11), que l'op~rateur ~ = (~+~)@~a(~/~) + ~ A~ est elliptique saul si A + ~ = 0 mais ce eas est exclu par les conditions (7). Lt4quation de continuit4 (I), qui s'4crit encore :
est du premier ordre ~ consid4r4e comme une 4quation pour ~ de base sont les trajectoires des particules fluides.
, ses courbes caract4ristiques
Les dorm4es des variables ( f, ~ i T ) ~ un instant initial (donn4es initiales du prohl~me de Cauo~f) permettent de d4terminer l'4volution ult6rieure du fluide, ~ des ir~tants voisins, p~sque le systems (11) ~ (13) fou/~_it explicitement les dlriv4es de oes variables par rapport au temps, l~is il ne semble pas qu'il existe de r4sultats math~matiques rigoureux concernant les conditions aux limites ~ imposer pour assurer l'existence et l'unicit4 de la solution aux instants uit4rieurs.
163
La nature parabolique des 4quations de quantit4 de mouvement et de l'4nergie_~(consid4r4es s4par4ment), conduit ~ s'imposer, sur route fronti&re, une condition sur a. (on fair une condition scalalre pour chaque composaute) et une condition sur T • L'dquation de continuit~ (15), oh l'on consid~re ~ comme oonnu, indique qu'on ne dolt s'imposer une condition sur 9 que si le fluide entre dans le domaine de calcul par cette frenti&re. Pour une paroi mat6rielle imperm&able, et un 4coulement non rar4fi4, l'exp4rience montre que la vltesse relative du fluide par rapport h la paroi est nulle, et que le fluide et la paroi ont la mSme tempdrature ; en g4n4ral on consid~re l'une des deux conditions suivantes pour T ! ou bien la tempdrature de la paroi est connue, ou bien le flux de chaleur ~ travers la paroi est nul (paroi adiabatique). Cos conditions tombent en d~faut lorsque le degr4 de rarefaction de l'4coulement d4passe une certaine valeur et provoque alors tun glissement et un saut de temp4rature du gaz h la paroi ; ce cas du r4gime dit de glissement est rappel4 au paragraphe 2. Les conditions ~ imposer sur une frentibre non mat6rielle (situ4e h distance finie ou non) font appel h l'interpr4tation physique du problbmeo Un cas fr4quemment consid4r4 en a4rodynamique est celui d'un obstacle fini plac4 clans un 4coulement illimit4 ; les conditions d'un 4coulement uniforme do~u4 sent alors impos4es ~ l'infini.
2 - VALIDITE ET INTERET DES EQUATI01~ DE NAVIER-STOKES EN AERODYN~2,11Qb]~ 2.1 - Validit6 La th6orie cin4tique des gas Spar ex. [I], [2]) permet de r4tablir les expressions (4) et (5) de ~ et de o- dans l'hypoth~se oh le degr4 local de rar4fantion est faible ; ce de#we de rarefaction n e s t pas li4 h la valeur re@me de la densitY, mais il se mesure par le rapport du libre parcours moyen des mol4cules ~ h une longueur ~ caract6risant los gradients locaux des grandeurs macroscopiques, au point consid4r6. Ce rapport est le nombre de Kuudsen local, Km£ :
k'4to
Oompte
_-
~
(14)
g..
tenu de la relation qui existe entre ~ j ~ ~ ~ et la vitesse du son a :
le hombre de Enudsen s'exprime aussi comme !e rapport du nombre de ~Nch local ( }4 = ~ / ~ u ) au nombre de Reynolds local bas4 sur ~ ( R ~ = f ~ ~ / ~ ) :
"
Re.&
On pout caract4riser approximativement le domaine de validit4 des 4quations de NavierStokes par la condition (par-ex.---T~) : --
k,~.
<:
IO- I
Pour ~ > I0-I~ los lois de comportement (g) et (5) ne sont en pr~uoipe plus va!ables~ et il faut faire appel h la th4orie cin4tique des gas fond4e sur l'4quationlde B o l t ~ n n . On distingue le r4gime de transition ~approximativement, pour 10- & ~ m £ • 10) oh l'4quation compl&te de Boltzmann dolt @tre utilis4e, et le r4gime moldculaire libre ( K~¢ ~ 10) oh les collisions des moldcules entre elles peuvent @tre n4glig4es. Les comparaisons calcul-exp4rience ont montr4 que les 4quations de Navier-~tokes donnent des r4sultats valables daus tun domaine de valeurs de ~-A& plus 4tendu que la th4orie ne le laisse pr~voir, c'est-h-dire d4bordaut sur le r4gime de transition ; les deux exemples
164 classiques sont la structure de l'onde de choo et l'Ecoulement pr&s du bord d'attaque d'une plaque plane ( v e ~ par exo [1], [4], [5]). Des effets de rar4faction inter~iennent on outre dans le oomportement d'un gaz au contact avec une paroi solids. I1 existe en effet, au voisiuage d'une paroi, une zone dite couche de Enudsen, dont l'4palsseur est de l'ordre de ~ , et oh l'Ecoulement deit ~tre calcul4 h partir de l'4q~ation de Boltzmann. L'in~luence de ces effets de rar4faction h la paroi sur l~Ecoulement h l'ext~rieur, suppose d4crit par les 4quations de Navier-Stokes, pout ~tre repr4sent4e simplement par une modification des conditions ~ la paroi consistant on une vitesse tangentielle relative du gaz h la paroi non nulle (vitesse de glissement) st en une difference de temp4rattu~e entre le gazet la paroi (saut de temp4rattu~e)~ Le regime, dit de glissement, oh ces conditions intervierment, peut ~tre ap_proximativement caractEris4 par les conditions :
oh ~ 6 est caract4ris%ique de l~Ecoulem~nt justs h l'ext~rieur de la couche de Kuudsen. Les conditions de glissement s*4crivent :
t
-- T9
=
d9
~
~T
(~%*_ ~ - ~
nombre de Pr~udtl)
(17)
oh ~/~ est la d6rivEe normale h la paroi, et~/~la dEriv4e taug~ntielle ; 4~ est la composaute t ~ n t i e l l e relative de la vitesse qui prend la valeur @ ~ k la paroi, T~ est la temperature du gazet "Y~ celle de la paroi ; d4 , ~ et ~S sont des constantes sans dimension qui d~pendent des lois d'interaction des molecules avec la paroi. En faita~et "V~ ne sont ps~ la vitesse et la temperature exactes du gaz h la paroi car l'Ecart entre !a-solution des 4quations de Navier-Stokes et cslle de l'4quaticn de Boltzmann n'est pas nEgligeable dams la couche de ~uudsen (par definition du r4gime de glissement), et les conditions (16) et (17) traduisent seulement le raccord entre la solution "Navier-Stokes" pour l'ext4rieur de cette touche st la solution "Boltzmann" pour l'int4rieur. Cependant il est important de noter que le flux de chaleur et le frottement h la paroi fournis par la solution "Navier-Stokes" sont exacts au mSme ordre que l'est cette solution h l'ext4rieur de la couche de ~2uudsen. Dans le la paroi, le-ci ; si de Reynolds
cas d~un Ecoulement h grand nombre de Reynolds, oh il existe une couche limite la longueur caraot~ristique ~ dens la couche limite est l'Epaisseur ~ de celL est une dimension caract4ristique globale de l'Ecoulement, et Re L l e nombre bas4 sur cette longueur, on a :
R~ 8
~
V'-~e L
(du moins tant que le nombre de ~ c h I~I o h la frontiers de !a couche limite n'est pas trop grand), et le r4gime de glissement correspond approximativement (sans tenir compte d'effets de temperature) h :
!°~2 4
Mo
(
1o-1
-2 Notons finalement que si_~m£ .~10 , c'est-h-dire soit H o / ~ . < 10-2 si ~ L n'est pas grand , soit H~/V~a<10" si ~ U e s t grand, les effets de glissement et de saut
165
de temp4rature deviennent n4gligeables ; on a affalre alors au r4gime d'4coulement improprement qualifi4 de "continu". 2 . 2 - Int4r@t La br~ve discussion qui pr4cbde montre que les 4quations de Navier-Stokes sont valables dans un trbs large d o m ~ e de nombre de ~ c h et de nombre de Reynolds, comportaut le r@gime dit continuet le r4gime de glissement, et d4bordant re@me en pratique sur le r4gime de transition. Ce domsine reeouvre donc routes les applications de l'a4rody~m~que & l'a4ronautique avions, engins) et tune grande partie des applications de l'a4rodynamique ~ l'astrenautique probl&me de la rentr4e darts l'atmosphbre d'un satellite, d'une navette spatiale). Le r4gime de transition et le r4gime mol4culaire libre n'interviennent qu'& des altitudes tr~s 41ev4es int~ressant des engins satellis4s ou co--men,ant leur rentr4e dans l'atmosph~re ; dans le cas d'objets trbs petits (m4t4orites) ces r4gimes d'4coulement peuvent persister des altitudes plus faibles.
l
En ce qui concerne l'utilisation des 4quations de Navier-Stokes pour l'4tude th4orique de problbmes dla4rodynamique, il convient de distinguer deux cas selon que le hombre de Reynolds F~zL caract4ristique de l'4coulement est grand ou non. Dans le premier cas, qui recouvre une grande partie des applications, les mgthodes de calcul d'usage courant sont bs~4es sur les approximations de fluide parfait ou de couehe limite, et les 6quations de Navier-Stokes ne sont r@ellement n4cessaires que pour d4crire l'4coulement dans certaiues zones oh ces deux approximations tombent en d4faut ; mais il faut noter que l'existence de telles zones est la r~gle plutSt que l'exception, et que ees zones jouent un rSle souvent important dams la d4termination de l'ensemble de l'4coulement. Qaelques exemples d'4coulements ~ grand n~nbre de Reynolds comportant de telles zones "Navier-Stokes" sont repr4sent4s sch4matiquement sur la fib~ure I. On pourrait donc penser que la r4solution des 6quations de Navier-Stokes, pour les 6coulements ~ grand nombre de Reynolds, ne pr4sente d'int4rGt que dans ces zones tr&s limit4es et non pour l'ensemble de l'4coulement. Ce point de rue est sans deute justifi4 actuellement eompte tenu des coGts des calculs et des possibilit4s des ordinateurs, mais il ne le restera problablement pas dans une perspective ~ long terme. En effet, l'utilisation des 4quations de Navier-Stokes pour l'ensemble de l'4coulement pr4sente l'avautage essentiel d'41£miner les probl~mes pos4s par le coupla~e, qu'il faut assurer au cours du calcul, entre une zone "Navier-Stokes" et l'ext4rieur (zone "fluide parfait" ou zone "couche limite") ; ces probl~mes qui mettent en cause la convergence du calcul, peuvent @tre difficiles ~ r4soudre pour les raisons suivantes : d'une part l'existence, la position et l'4tendue d'une zone Navier-Stokes ne sont pas n4cessairement connues en avance (cas d'un d4ceilement sur une paroi lisse), alors qu'elles sont r4v414es par le calcul complet h partir des 4quations de Navier-Stokes ; d'autre part, l'4coulement & l'ext4rieur de cette zone peut @tre trbs sensible au couplage avec cette zone, et la convergence du calcul peut ~tre difficile obtenir. Nous n'avons pas encore fair !a distinction, pourtant essentiel!e en pratique, entre 4coulements laminaires et 4coulements turbulents. La structure de la turbulence fair intervenir des 4chelles de temps et d'espace trbs petites, mais qui ne mettent pas en cause la validit6 des @quations de Navier-Stokes. Cependant la d4termination de cette structure dans un 4coulement, par r4solution num4rique des ~quations de Navier-Stokes instationnaires, est hors de port@e des ord/~ateurs actuels les plus ptuissants. Des tentatives ont 4t4 faites pour l'@tude num@rique locale de la turbulence, mais le calcul effectif d'@coulements turbulents (c'est-h-dire de leur structure moyezme dans le temps) dolt faire appel & des mod&les de turbulence ~ caract&re empirlque et dent la validit4 ne peut ~tre appr4ci4e que par comparaison avec l'exp4rience. On trouvera ~uue revue r4cente des modules de turbulence dens le livre de Launder et Spalding [6]° La discussion de ce probl~e tr~s vaste et complexe sort du cadre de cet expos4 ; signalons seulement que des mod&les de turbulence associ@s aux 4quations de Navier-Stokes ont
166
4t4 mis en oeuvre stu~tout pour les 4coulements incompressibles, et qu'il y a encore peu d'4tudes analogues publi4es darts le cas compressible [7]. Les m4thodes num6riques que nous discutons plus loin ont toutes 4t4 utilis4es pour le calcul d'4coulements laminaires ; la transposition de ces m4thodes pour le traitement des 4quabions de Navier-Stokes avec un mod&le de turbulence ne devrait ps~ soulever de difficult4s de principe, bien qu'en pratique la structure des couches visqueuses turbulentes puisse exiger des modifications assez importantes (en particulier pour le maillage). Le deuxi~me cas & consid4rer est celui oh le nombre de Reynolds n % s t plus assez grand pour que la th4orie classique de la couche limite s'applique, m~me si l'on peut encore distinguer dans l'4coulement des zones visqueuses et des zones de fluide parfait, car ces zones son% alors fortement coupl4es. Si le hombre de Reynolds est assez faible, les effets dissipatifs interviennent dans tout l'4coulement. Ce deuxi&me cas, oh l~4coulement est toujours l a m ~ e , se rencontre dams les problbmes de rentr4e dans l'atmosph~re (il faut alors tenir compte des effets dits de gaz r~el : r4actions chimiques, ionisation ..°) ; les exemples classiques sont ceux du corps 4mouss4 ou du bord dlattaque d'ttue plaque plane en 4coulement hypersonique. Ce deuxibme cas se rencontre aussi dans les 4coulements ~ des vitesses mod4r4es autour d'objets de faibles dimensions tels que des sondes de mesure (tube Pitot, fil chaud...) utilis4~ en sottfflerie. Notons, pour conclure ce paragraphe, que c'est essentiellement le cas des nsmbres de Reynolds faibles ou mod4r4s qui a jusqu'ici fair l'objet d'4tudes num6riques ~ partir des 4quations de Naviez~Stokes ; le cas des grands hombres de Reynolds est 4videmment beaucoup plus difficile, mais les 4tudes qui lui sont consacr4es pourraient se d6velopper rapidsment dans un proche avenir.
t
a) bord de fuite dtun profil
Ib) bulbe de d4collement I pr&s du bord d'attaque I d'un profil
c) interaction choc couche limit e
1
I
5) couche limite en un point anguleux d'~one paroi
U
le) ~coulement de culot 1 (supersonique)
L
f) d4collement sur une rampe (en supersonique)
. . . . . . . .
~ig. I - Ecoulements & grand hombre de Reynolds avec zones "l~avier-Stokes"
167
3 - PROBLEm, S TRAITES En exceptant les calculs relatifs aux @quations instationnaires h une dimension d'espace [8] -[13], on trouve, depuis 1965, un hombre relativement important de calculs d'@coulements bidimensiennels. En g@n@ral, ces travaux consid~rent des g@om@tries eimples ou, lorsque la g@om@trie de l'obstacle est caupliqu@e, seulement une partie limit@e de l'@coulement (bord d'attaque, culot ...). Tr~s rares sonb encore les calculs complets d'@coulement autour d'un obstacle fini ; toutes les difficult@s li@es h la r@solution num@rique des @quations de Naviem-Stokes se trouv~nt, en effet, rassembl~es dans le cas d'un @coulement autour d'un obstacle fini. On trouvera ~lans les r@f@rences [14], [15] st [16] une discussion de certains probl~mes li@s ~ la r@solution n~m@rique des @quations de Navier-Stokes. Le tableau qui suit pr@sente un certain nombre d'@tudes, class@es selon la configuration g@om@trique trait@e. Dans la premiere colonne sont indi~u@s les types de probl~mes et les auteurs -(les num@ros se r@f~rent ~ la bibliographie), les sch@mas utilis@s sont bri~vement mentior~u@s dans la seconde colonne avec indication d'un num@ro de f o r e si ce sch@ma est d@crit dans le paragraphe suivant. Enfin, on a repr@sent@ sch~matiqusment dans la derni~re colonne la g@om@trie du probl&me. TABLEAU I
PROBLF~S ET AUTEURS
~ETHODES
CAVI~E
GEO~T~S ~HII//I/I////~
[ 17] BRATT,0WSKAYA(1965 )
2 p ~ (15)
[19] POLEZHA~ (1967)
directions altern@es
PLAQUE PLANE
[19] T~0~,~,~N (1966) [2O] nmz~oc~:- 1 , ~ s [21] ~
(1967)
[22] ~zo
- ~,
2 p ~ (27)
(19~6)
d@centr@ / explicite "PIC" - "FLIC"
~
- ~ s
(1970)
[23] c ~ N ~ - c ~ (1973) [5] ~ ~ T , ~ , i~om~n~-
"AFTOI~'
2 pa~ (35) 2 p ~ (3o)
PL&QUE PLA~ : I ~ R A C T I O N
choc
0 1 ~ DE CHOC - COUCHE LI}~iITE
[24] SKOGLUt~ - COT~, - STAL~I0 (1968) [25] I~C COP&tACK(1971)
I Lax-Wendroff et Viscosit~ artificielle
2 p ~ (3o)
168
PROBI~S ET AUTEDqlS
I~ETHODES
GE0~,ETR!E
~GLE DE D E ~ } ~
~
[26] BRAiLOVSY~ A (I967)
(25)
/;I//,~/;/,'/,~//~M~
ANGLE DE COI~PZSSi0N 2 p ~ (25)
[273 CARTER (1973)
}L~RCF~ "A~01~2"
(a)
[19] THONI~EN (1966) (a)
[22] ~ o - ~[28] G O O D ~ ~,~ (~972) (a)
~s
2 pa~ (27)
(m7o) (b)
- ~R~
"AFT01~' Viscosit4 art~ficielle
(~nov)
)
(b)
)(((/I(11111//~
~M2DBE "AVAL" [29] ~,EC~NEOV 1969) (a)
2 p ~ (-27) 2 p~
[31] ROAOHE-
~LI~ (1970) (a,b)
[32] ~o.~o~E-
~7o) (~,b)
(35)
])4centr4/Duf ort-Fr ankel D4 centr4/Dufor t-Frankel
[33] ROSS - OI~NG (1971) (a)
2 pas (35)
[34] ~ o v ~ Y A (1971) (a) [35] ROSS- CI~NG (1972) (a) [28] G00DP/[C~[- LA}[B- BERTIN (1972) (a, b)
2 p ~ (25)
-~
2 pas (35)
viscosit4 artifioielle (~usa~ov-)
CAVI~ 0UVERTE [32] ROAC~ (1970)
D4 centr4/Dufort-Frank~l
MARCHE "~I01~- AL" [36] PALI~IBO- UBIN (1972)
2 p~
[28] G O O D ~ C ~ - ~
Viscosit4 artificielle
- BEP~i~ (1972)
(32)
(~,~ovo)
CERCiE "AMO}~"
Type Lax~ Wendroff I pas
Z
(b)
169
PROBLF~ES ET AUTEURS
]~THODES
GE0~ETRIES ..,.,.,
PARABOLE "AMONT"
[~] m ~ -
vm~
(~9~)
Se~i-i~plioi~e (3~) ' .......
i
CERCLE "AMONT-AVAL"
[39] SCALA- C-OL~DON(1968)
Explicite - Implicite (22)
ioi o-
[40] S O m A - ~oP~o~ 097o) [ 56] TRULIO - WALITT - LIT (I 970)
Explicite "AFTO~' , L
(22) Implici%e (22)
-.~--~/~////-/J///~--..
0~STACLE PARABOLIQUE FINI
[42] PEI"HET- VIVIAND (1973) r.
.
.
.
.
.
Semi-implicite (33)
.
SPHERE "AMONT" [43] ~IOLOD~ZOV (1969)
Relations int~grales
[~] m m D ~ z o v - ~om~nm (1969)
Relations int6grales
[%5] PAVLOV (1969)
2 p ~ (25) Leap~ frog./Dufort-Frankel
ii ii
I
i i
i ill
i
SPHERE - CONE "AZ~IONT"
[¢7] ~
- ~
(1967)
ELLIPSOIDE "~$[01'~" [45] PAVLOV (1969)
2 p~ (25)
- ~ ~
....
SPHE~ "AMONT-AVAL" [48] PAW-DV (I968)
2 p ~ (25)
[40] SCALA- GORDON (1970) ,
.,..,
Emplicite - Implicite (22)
.,,
I1 n'est pas possible, dmus le cadre de cet expos@, de d~crire, en d6tails, les conditions d'6eoulement. Disons simplement que les hombres de F~ach sent, en g6ngral, superseniques ou ~srsoniques, que les nombres de Reynolds varient entre 10 et 10", que leo pareis sent ou bien ~ temperature donn@e, ou bien adiabatiques. Signalons aussi que pour certalus calculs d'6coulements hypersoniques des conditions de glissement (17), (18) ont ~t@ utilis~es °
170
4 - SCk~Ih~S AD-X D~'~RENCES FINIES Les 4quations de Naviez~Stokes (I) - (5) adimensionnSes s'4crivent sous forms conservative, dans ie cas ~idimensio~nel :
O~i ~ e s t l ~ i ~ v o r s e d~ ~o~bro de R~1~old~ s t o [ (m¢ , ~ ) pet~ve~t ~ t r s des ooordoDAlees c~li~es queloonq~es, Bans l e oas ou ( ~ ~ ) so~it des o o o r d o n ~ e s cartesierfl~ss~ l e "vecteur" W a pour 414merits ( 9 ~ 9 ~ , ~ r , ~ E )~ oh 4~ et ~r sont les cOmposantes de la vitesse ~ . ies "vectetu~s" F et G sont fonotions de W , alors que FI et G I sont fonotions &s g et de ses d4ri%~es premieres. Toutes les m4thodes de caloul, & l'exception de celle utilis4e en [45], [44] qui est une m4thode de relations int4grales, sont des m4thodes aux diff4rences finies. Les 4coulements 4tudi~s sont, pour la plupart, stationnaires et, pour obtenir ~ette solution stationnaire deux types de proc4d4s sont employ4s : (I) la r&solution des 4quations de Navier-Stokes instationnaires au moyen d'un sch4ma consistant (avec ou sans condition) avec ces 4quations instationnaires ; la solution stationnaire recherch4e est obtenue h la limite ~--. ~ , (2) la r4solution des 4quations de Navier-Stokes ~nstationnaires au moyen d'un sch4ma non consistant~ le sch4ma devenant consistant aux 4quations stationnaires i la limits t - , ~ seulement. Dams ce cas on peut interpr4ter la m4thode comme un proc~d4 it4ratif de r~solution des 4quations at~x diff4rences discr~tisant les 4quations de Navier-Stokes stationnalres +
=
&
+
Le processus it4ratif est alors directement inspir~ de la forms instation~ire
(19~.
En poursuivant dams cette direction on peut alors chercher ~ remplacer le vecteur W par un autre vecteur W* qui conduira & une convergence plus rapide vers l'~tat stationnaire~ du fair soit de la structure math4matique du syst~me pseudo-instationnaire ainsi form4 :
soit des propri4t4s de stabilit& du schema correspondant. Nous pr4sentons ci-apr~s quelques-uns des schemas utilis4s pour la r4solution des 4quations de Navier-Stokes, repr$sentatifs des deux proc4d4s mentionn4s plus l~ut, ea consid4rant pour cela l~4quation module scalaire :
(21) On introduit les notations
~ (4~ =
~F =
E
At/,L.~.
Les crit&res de stabilit~ se r4f4reront au cas lin4aire pour lequel
~
.
= =
OOnSt.
~
171
4.1 - S e h @ m a s consistants avec les @~uations iustationnaires 4.I .I - Schemas & I ~as_
(a) - SC~A -~0~0~ [~91 Les points (~÷~ ~ L ) sont divis@s en points "explicites" ( ~ - a ~ et points ~implicites" (~ ~ ) ; le rSle des points (~ ~ - ~ ) , ~ ~ est ~ c h a n ~ au pas de temps suivant. Le sch@ma s'@crit :
"" -
iI "
[, ~ _,,: r_,.
_o-
I ~"
l)( ic"
_o."
) (22~)
_4t.
m+4
- Consistance :
4~¢~
]
"÷4
O- = o(~ ~ ,
- Precision ~tat stationnaire : - Stabilit@ :
[
,~
+y
~=
O(A~)
,
o~I).
- Nora : Ce schema n@cessite de proc6der & un cslcul it~ratif pour les points implicites ~& .
( b ) . - v m c m o ~ - w~zoPF [461
~i
=
~ i --,-
- C~ns±stauce : g o ' =
¢
( 0i + ~ - Fv-,
+~'
, 1 ÷ v-, ~ - ( ~ . - . ,+ -~'Z
(~3)
o(~),
- Precision 6tat stationnaire : O ( A ~ )
.
- Stabilit~ :
I~I¢ .
- Sch6m~ ~ 2
(24)
pas
(25~)
172
~,
4
- Consistance : sans condition ; pr6cision O ( ~ b ~ - ~ m l )
•
- Pr4cision 4tat stationnaire : 0 ( A ~ z) • - Stabilit4 :
(~6)
(b) - m H o ~ r , . ~
=
+ ~';.
-7- ~-
(27a)
+_~
I( .-_
42.,
_o"
~,
-
i-q~.
+V
- Consistance smns condition, pr4cision O ( £ d t + ~
~z,6÷ ~ - , Z a . ~
÷ ~._~
(27b)
m)
-~h~4cision 4tat stationnaire : O { A ~ z ) . - Stabilit~ :
(28) (o) - ~,m~ ~oP~,mc~, # ~ .~,
-~ ~
,4w
'~
+
~
~.~
)
(29~)
(29b) + + 2. [
£~"~
,-
£-.'
- co=i~t=o~ ~
oo=~io=
; p~oi~ion 0 ( ~ .
- -~ei~io~ ~ t
s~tion~.i~e
:
O(4=z),
*+I
~@)
,
"~4%+4) i
~t.L. 4
173
(~o)
Nora : On obtient une variante de ce sch4ma en approch~nt @ Y / @ ~ . par - ~ Iit-I 11÷t a u p r e m i e r pas et par [ ~::-- f . m + ~*4 - f% ] /(,?.a;lr.)
au second
paso
(3~~)
(3~) )/
(
-
~ 4. ~ &
~ ) 4.- 4&4;. ~
- eonsistance sans condition ; pr4cision O ( £ A t + ~ ) , - Pr4cision 4tat stationnaire :
0 ( A~ z )
- Stabilit4 : "crit&re num4rique" seulezent (voir fig. 4).
4.2 - Sch4mas non consis%auts avec les 4&uations instationnaires ¢.2.~ - S c ~ m ~ & I _ ~ _ ( ~
.~
-6
--
.eL. ,t.
- V~m_[_~l)
-~(F~+~
.
~.,41
)
n'l.
t~l.-I- 4 )
(32)
- Pr4cision 4tat stationnaire : O(~2~z), - Stabilit4 :
(33) 4.2.2 - Sch4ma & 2 pas (ALLEN - CHENG L30])
~,
"
"~-
4,
~
÷~
~,-~
~
~ :~'+
i"
+ Y
~I-~ 4 - .~
:~
"
.
"~'
(34~)
+
-'"
)
(34~)
174
-Pr@cision @~at statior~mtre ; ~tabilit4
0 ( A ~ ~')
:
!A! ~- 4
~
<35)
4.2.5 - ~e_ma~_que s_ur_le_s_sch4m_as_non_cons_is~n~s_(_c_as_line_'a~re_) Pour ies sch4mas non oonsistants~ il est int4ressant de voir quelle ~quation on r4sout effectivement. On obtient cette 4quation ~ partir du sch6ma en effectuant des d6veloppements de Taylor limit4s aux premiers termes significatifs. Plagons-nous dams le cas lin6aire oh ~ ) -- ~ = const., l'6quation discr6tis4e par les schemas (32) et (34) est de la forme .~
~
.,.
~
C,q
~(~
_
#. ~ z
)
=
o
(36)
avec
~-~
(]v)
pour (34)
Si la condition de stabilize C33) est satisfaite, la formule (37) montre que
(38)
~ >
[si ~ ~ o , il faudrait changer le rSle de $ + ~ et £ - { en ce qui concerne les indices 4t ; 4~÷4 ~ pour obtenir K > ~ sans autre condition que (33)]. Lorsque > ~ , la convergence vers l'4tat statlorm~aire est plus rapide que celle qu'on aurait avec uue discr6tisation consistante. En fair, toujours dans ce cas ~ = const., le sch6ma (32) n'est autre que l~application h l'4quation,
de la m6thode des relaxations successives ("SOR") avec o~ = 2~ { ~ / A Z ~- comme param~tre de relaxation. On peut alors d4montrer que le processus converge lorsque o < oo ~ ~ 2-
o'u
~* = ~ (~ ÷I~I
z,~,,
)
La formule (58) montre qu'ici K est toujours imzt4rieur h I. Le crit~rs (35) implique A~ 9~ ~ avec ~ < ~ { I ; on obtiant alors :
[~tAz
~- 4g~?
(4o)
sl E = O(~) ~ ~(-- O { ~ m ) ~ i~oh une convergence tr6s lente vers !~6tat s~ationnaire ; cependant si ~--~0 ~ alors K - - ~ ~ . Ainsi, avec ce sch6ma (34), la convergence est moins rapide qu'avec une discr6tisation consistante ; mais cette lenteur relative est contrebalsmc6e par le fair que, gr[ce aux bonnes propri4t4s de stabi!it6, le calcul peut @tre effectu@ avec des A ~ assez grands - du moins taut que g n'est pas tr~s peti%.
175
On mentionnera, en antic&pant un peu (§ 4.3) que le crit&re (35) est trop restrictif de sorte que le calcul peut @tre conduit ~vec de tr~s grandes valeurs de A~ , mais la valour de K s'en trouve r@duite d'autant. Pour illustrer cette discussion consacr@e aux propri@t@s de convergenm vers l'@tat stationnaire nous avons port@ sur los figures 2 et 3 les r@sultats d'une application num@rique relative h (21) avec A = I , ~ = 0,1 men@e ~ partir des seh&~as (29), (32) et (34) dans lecas oh A ~ = 0,02 . L'@tat initial est repr@sent@ par la courbe (I). La figure 2 illustre les r@sultats obtenus au bot~d'un re@me temps ~ = 0,364. La figure 3 c o , are les r@sultats ~ un hombre de pas de temps N fix@. On notera que (32) donne l'@tat stationnaire avec une erreur de l'ordre de 10-3 d&s la 50~me it@ration. Les courbes ( 5 ), ( 6 ) correspondent ~ des calculs effeetu@s avec (34) dans les cas A t = 0,02 et Z~e ~ 0,4 (pour A e >z 0,4 on obtient les re@rues r@sultats au terme d'un hombre fix@ de cycles de temps quel que soit A~). I
I u
U
all, O.l
1
I
I
0.6
GI.
I
I I
n4
0.4
l'
0.I 0
QI
&4
el
U
I - @tat initial
Ill
7 - @tat statiozmaire
courbe
2
3
4
sch@ma
(34)
(29)
(29)
t00
200
50
N
....
#
4'
5
('291 (34)
"
250
50
(34)
6' (3¢')
(32)
250
250
50
6
5'
(34) 50
7
Jl
5,64.15~! t~2.163 2.10-3
...... A t
2.10 3 0,02
Fig. 2 - Comparaison de sch@mas sur l'@quation module - R%sultats ~
= 0,564.
>~ 0,4
0,02
~ 0,4 3,s¢.~'i
Fig. 3 - Co~araison de sch@mas sur l'@quation mod&le - R@sultats k N = 50 et k N = 250.
4.3 - Stabilit@ I1 faut noter que, mSme dans le cas simple de l'@quation lin@aire consid@r@e ici, la d@termination rigcureuse du crit~re de stabilit@ n'est pas chose ais@e. Ainsi certains crit~res EEq. (26), (35)] sont trop restrlctifs, d'autres [Eq. (30)] pas assez. On a proc@d@ h une @rude n~m@rique du facteur d'amplification pour d6terminer le crit~re exact. La fi~A~e 4 repr@sente les domaines de stabilit@ dans le plan (~ Z ~ I~|~_ } •
7'
176
At Ax~
s-,d~@,.= ~s)
Fig. % - Courbes de stabi!it4 de diff4rents sch4mas pour l'4quation mod&le.
Si le crit~re de stabilit4 d~pend de £ , alors il lui correspond, dans le cas des 4quations de N~ier-Stokes, un crit~re du type ~ b = f Ra A x z oh ~ - est le nombre de Reynolds. Dans les zone oh ~ est tr&s faible, en particulier dams la r4gion du culot (fig. I - e ) ceci conduit h un A£ sl petit que le temps de calctul peut devenir prohibitif L49]. On voit lh l~int@r~t soit de travailler avec uu schema stable s~us crit~re de ce genre soit de substituer au veoteur W de l'~quation (19a) tun vecteur W * , de sorte que, pour le syst~me obtenu (20) le erit~re de stabilit4 ne d4pende plus de f . En [%2~ on a ehoisl
W~dela~orme
(~,~
4.4 - ~ q u e _ ~ u r
~v,T~
le c~Cul des ~oin~ voisins d'une Zimite
Consid@rons le calcu! de ~t~÷~ en un point voisin d'une limite • = 0 ~ 4~ = ~ o est donn4. Dar~ le cas des sc~%mas ~ 2 pas calculant les valeurs interm4diaires aux re@rues points que les valeurs d4fir~itives, le calcul de ~ - ~ implique celui d'une valeur interm4diaire ~~ ~÷~ au point fronti~re ~ partir du sch4ma lui-m~me (d4eentz4 correctement). Si !'on utilise la condition limite, c'est-h-dire si l'on pose ~ + ~ -- ~ @ , on fair une erreur qui~ selon les soh4mas~ tend ou non vers z4ro quand
A t --~ ~
.
5 - C01~-DIT!ONS ±DX L~dl~l~S On peut distinguer deux types de fronti6re : des patois mat6rielles et des frontiSres sans r4alit4 physique introduites pour limiter le domaine de oale'~l. Dans la plupart des eas l'obstaele eonsid6r4 est plac6 darts un fluide d'4tendue infinie et les oonditions doivent @ire impos6es ~ l'i~_fini. Ceci est 4vide~me~t impossible, ~ moins de faire des transformations de coordonn4es ramenant l'infini ~ distance finie. En ~n4ral, o n limits
177 arbitrairement le dome~ue de calcul et l'on cherche ~ imposer des conditions compatibles avec le probl&me considlr4. 5.1 - Conditions sur une paroi (cas d'une paroi r4gulibre) L'4criture des conditions pour la vitesse et la temp4rature (§ I e t 2) ne conduit aucune difficult4, mais il reste une grandeur thermodynamique inconnue h la paroi (la pression ou la masse volt~nique). La pression intervient effectivement, par l'interm4diaire de sa d4riv4e transversale h la paroi, lors du calcul de la quantit6 de mcuvement sur la premiere ligne voisine de la paroi~ I1 faut donc, ou bien calculer cette grandeur thermody~m~que eu bien trouver un proc6d4 qui 4vite d'en avoir r4ellement besoin. Les techniques seront diff4rentes selon sue l'obstacle est uue ligne du maillage ou que l'obstacle n'appartient pas au msillage (nous suppesons ici que toutes les inconnues sont d~finies aux m~mes points). 5. I . I - La paroi_est_uue_li~_e_du ~_s~_]l a g e
(a) 1~ d4term~ation de l a masse voi~mique 9~ ~ l a paroi ~ ~a~ d~scz4tisation de l'4quation de continuit4 4crite sur cette paroi (dams le cas oh ~ : o sur ~ )
~_i
+
~__(tV
)
o
-
(~)
( V
vitesse normale h ~ , ,% coordonn4e transversale ~ ~ ) n4cessite d'approcher par un~ diff4rence d4centr4e. L'utilisation d'un tel proc4d4 est fort d41icate et il semble que, si ells peut se concevoir moyennant certaines pr4cautions pour une paroi de compression ou de faible d4tente, elle ne convienne pas pour l'~coulement de culot dens leqnel eas on obtient rapidement des densit4s n~gatives [30], [42]. Cependant , dens le cas de l'4coulement au nez d'un obstacle 6mouss4, une discr~tisation de (41) a 4t4 utilis4e avec succbs en [46]. Cette 4quation est discr4tis4e h partir du sch4ma (25), soit :
~(~V) / @-~
),,
et la quantit~ Cry
(of. fi~. 5)
est d4termin4e par une extrapolation dens l'espace et le temps : 4%
,n-~
(.~V)o =
a (~,v)p
_
(~. v),
-a-z
(43)
""q" llll//R,,.~ ) 'tO
= - (~V)4 ~,~
5
Cette m4thode revient ~ approoher :
]
4
(b) En [36], la technique suivante est propos4e pour le calcul de la pression Tp sur 8~ : un d6veloppement de Taylor donne :
~r
=
f~
_
A~
( ~
r
÷
(44)
178
puis ( ~
/ 6 ~ )~*~
est calc'~6 h p a r t i r de l'6quation de quantit6 de mouvement norms_le
@crite en P o Ceci n4cessite d'approcher les d~riv6es de la vitesse en F , qu~ interviennent clans cette @quation, par des diff@rences d@centr@es. (o) Certains auteurs d@terminent #p par extrapolation parabolique (par exemple [5],
[~7]). (d) D~s l e cas de l'6coulement s~r un obstacle parabolique [38], [42], les de~x m@rhodes suivantes ont 6t@ appliqu@es. Comme on l'a dit, la connaissance de ~ sur l'obstacle n'estt en fair, n@cessaire que lors du calcul de la vitesse transversale V au point
(fi~. 5). Le premier proc6d6 consists h ne pas calculer V~~+~ ~ partir de l'6quation de quantit@ de mo~ement correspondante, mais & partir de la condition stationnaire ( ~ V / ~ ) p = ~ d@duite de l'6quation de continuit@ stationnaire en P , d'oh par discr@tisation d6centr@e :
v~*~= ±(~V~
. V~
)
=
V' V,
(45)
Le second proc@d6 consists simplement h approcher le gradient ( ~ ' / ~ ) par une diff6rence d@centr@e avanc6e.
au point I
5.1.2 - La paroi n~est pas une ligne du mail!age Dans les travaux [30], [31], [3219 la paroi n'est pas une ligne du maillag~ mais est plae6e & mi-dists~uce entre deux lignes (fig. 6). On obtient pp par extrapolation lin@aire
f~ Cependant, avec tun tel maillage il faut d6centrer correctement les diff6rences qui interviennent lore du calcul du point I. En particulier si ce point Iest voisin du culot, il est important [30] dtapprecher les d@riv@es du type ( ~ / ~ )4 avec
~=
~V , yv ~, ~vu,
2
U
I
SvE
par une diff6rence pr@cise au second ordre : Fi~
6
Une disor6tisation au premier ordre, par exemple :
(~-h ~ ~ = ~ [ ~ ~ (~+~)- ~ ]
(4.8)
conduit & une sous-estimation de ~i et (~V) I d'oh l'apparition de valeurs n6gatives de la masse volumiqueo
179 5.2 - Voisinage d'un coin La pr4sence d'angles convexes crge toujeurs des diffieult4s dans les calculs ntm%riques. Dans le eas de l'4coulement compressible au voisirmge d'un angle droit par exemple, la d4tente est si forte que les variations des quantit4s sont comparables en ordre de grandeur h celles qu' on aurait dans un choc. On congoit que les r4sultats au voisinage d'un angle convene solent difficile & obtenir eorrectement. Dans une tells situation il serait souhaitable de considgrer une solution asymptotique valable au voisinage de l'angle qu'on raccorderait & une solution ext~rietu~e num4rique selon la technique utilis4e en [50] clans le cas incompressible~ 5.2.1 - Le coin C est un point du maillage Les techniques expos4es pr~c6demment qui n4cessitaient l'utilisation des d4riv4es de la vitesse & la paroi ne sent plus justifi4es car ces d4riv4es ne sont pas d~finies en ~ . On peut, & la rigueur, considgrer les points 1 et 2 (fig. 7) comme des limites de points I' et 2, lorsque la distance ~ qui les s4pare respectivement de ces points tend vers z6ro, J 2' J2 ,,,,[~/ et appliquer en I e t 2 les proe~d6s utilis~s
IN I lc 1" ~,
plus ~ u t [3~]. En [42], on a pr~fgr~ calculer les vitesses ~ en I e t ~r en 2 non ~ partir des ~quations de Navier-Stokes mais h partir d'interpolations faisant Intervenir les quatre points voisins.
"""~"'1--t~I8__ IL
5.2.2 - ~_po~LC.~'est_p~_ ~ po~t ~ u m ~ i l ~ e Si !e point C n'appartient pas au maillage 30], [32], le traitement des points I, ~ 2, ~ figuz~ 8) s'effectue comme pr4c4demment (~ 5.1.2). II suffit, lots du calcul au point 0, de modifier les diff4rences approchant les d4riv4es crois4es de la vitesse.
figure 8 5.3 - Fronti&res du domains de calcul Lorsque l'on consid&re un obstacle plac~ dans un volume infini de fluids, ce dernier est dans un 4tat uniforme ~ l'infini. Pour 6crire correctement ces conditions on peut introduire une transformation de coordonn4es ramenant l'infini ~ distance finis [29], 41 ]. Plus g~n4ralement on limite arbitrairement le dom~iue de ealcul (fig. 9). Sur la frontibre amont HG on impose les conditions de l'4coulement uniforme h l'infini° A l'aval, il faut prendre soin ~ placer la limite EF suffisamment loin du culot DC pour que les conditions artificielles qu'on y ~crira, aient une influence n6glig~able sur le calcul° Les inconnues en EF sont d4termin6es en g4n~ral par extrapolation dans l'espace ou dans l'espace et le temps [46]. L'effet de la position de EF a 6t~ ~tudi6 en r33], ~4-1]o
G ~-
mr
F
I I
I I
8
C
H
A
D
figure 9
g
!80
Sur la limite lat4rale GF, on peut aussi, dans certains ca~, utiliser des extrapolations. Une technique d~inspiration analog~ae, consistaut k 4crire des conditions d'onde simple, s,est r~-~14e tr~s efficace [27], [30], [32], [34], du moins rant que le choc ne coupe pas GF. On consld~re les caract4ristiques C ÷ Inclin4es ~ositivement issues des points du maillage situEs sur la ligne G'F' adjacente & GF (fig. I0). En supposant ces caract4ristiques rectilignes (r4gime d'onde simple) on obtient leur intersectic~n avec GF. ~-es grandeurs de l'4coulement restent constantes sur ces caractEristiques : on en dEduit, par interpolation, les incomnues aux noeuds du maillage sur GF. L'application de cette technique suppose que GF est assez loin de l'obstacle pour que les effets dissipatifs y soient n4gligeables.
///
C÷
C+
~
F'
Enfin, la frontihre comporte Eventuel!ement des axes de sym~trie tels que HA, DE sur lesquels l'4criture de conditions de sym4trie ne pose pas de problbmes.
6 - TRAI~I,ENT DF~ CHOCS Tant que le hombre de Reynolds est assez faible pour que le ohoc ait une structure representable h l'Ec~helle du maillage, tousles schemas propos4s permettront d'obtenir la structure de cette couche de choc. En fait, lorsque le nombre de Reynolds czg~t, l'Epaisseur du choc devient tr~s petite par rapport aux Echelles des gradients de l'4coulement et l'on ne s'int4resse pas, en g4n4ral ~ la structure r4elle de l'onde de choc. Sur le plan num4rique, les problbmes pos6s alors par la prisence de chocs sont les m~mes qu'en fluide parfait. Dans le cas de la ~dynamique des gaz non dissipatifs on dispose de deux types de m4thodes qui ont chacun leurs avantages et leurs inconv4nients : le "shock-caDturin~" et le "shock-fitting" Lea mEthodes de "shock-capturing" sont basEes sur une discr4tisation des Equations raises sous forme conservative [50~ et le chocse calcule comne tun point couraut, l'immense avantage de cette mEthode est de ne pas obliger ~ faire de traitement particulier pour le choc ; par oontre, ce dernier n'est plus une discontinuit4 (toujours dans le cas d'un fluide non dissipatif), il est 4tal6 sur 2 h 3 points de discr4tisation et ii appara~t souvent des oscillations parasites derribre le choc [52], [53]. Les schemas (27), (30) et (52) sent des extensions direetes au cas des fluides visqueux de schemas 6prouv4s en d ~ q u e des gaz non dissipatifs. Toujours dans cette catEgorie d'algorithmes qui traitent les points chocs comme des points cour~uts il faut citer lee m~thodes de viscosit4 artificielle du type Von Neumann -
Richtmyer, par exemple l a re@rhode de Rusanov [52] @tendue au cas visqueux en [24] et [28]. Le proc4d4 de ~'shock-fitt~" est bas4 sur un traitement particulier du choc, considErE comme une ligne de discontinuitE. I1 faut alors introduire une inconnue suppl~mentaire qui est l'4q~tion du choc. La vitesse du choc ainsi que les sauts ~ travers ce!ui-ci sont d~termin4s grace aux relations de Rankine - Hngoniot et k une Equation supplEmentaire obtenue ~ partir des Equations du mouvement, par exemple une relation de compatibilitE le long d'tk~e caract~ristiqt~ con~nablement choisie [37], [53], [5@]° L'avantage d~une telle m6thode est Evidemment de donner des chocs qui sont rEeliement des discontinuit4s et dtEviter l'apparition d'oscillations parasites. Finis le proc4d4 est difficile h appliquer en toute g4n4ralit4. Ce proc~dE pour~ait ~tre utilis~ m6me darts le cas oh la dissipation n'est paS assez
181
faible pour qu'on puisse assembler i~ couche de choc & uns discontinuitY. I1 faudrait alors consid~rer des relations de R s ~ e Hugoniot modifi~es pour tenir compte de la struoture ~u ohoc
[55].
7 - PRECISION ET T E ~ S h~ CALCUL Pour terminer cet expose, il convient de ~ r e quelques mots des probl&mes techniques de precision et de temps de ealcul, prsbl~mes lids ~ la puissance et ~ la rapiditg des ordinateurs. Les calculs d'~coulements de fluide visqueux compressible sent coGteux en temps mac~hine pour plusieurs raisons :nombre et eomplaxitg alg~brique des ~quations, convergence vers l'~tat stationnaire d'autant plus lento que le nombre de Reynolds est grand, existence de zones ~ forts gradients dent la representation n6cessite un maillage trbs fine.. Darts le cas des grands nombres de Reynolds, s'il n'est pas n~cessaire de ehercher oalculer la structure exacte du choc, par centre il est indispensable que l'gcoulement dans la couche limite auvoisinage d'une paroi soit oorrectement reprgsentg. I1 faut alors raffiner fortement le maillage dans cette zone, ce qui peut entra~uer des difficult~s compte tenu de l'gpaisseur (de l'ordre de Re -~I~ ) de cette couche limite. En fait, il est ngcessaire de d~m~nuer le pas d'espace seulement dans la direction transversale ~ la couche limite. Paur pallier aux inconv~nients li6s ~ la disparitg des pas d'espace (le pas de temps A e est d6termin6 par le plus petit des pas d'espace), une m~thode & pas fractionnaires a ~tg propos~e en [25]. Parmi les mgthodes couramment employees pour tenter de r~soudre ces difficult~s on peut citer : (a) Transformations de coordonn~es choisies de fagon qu'& des points ~quidistants darts le plan de calcul correspondent, dans le plan physique, des points tr&s rapprochgs dans les zones ~ forts gradients etrel~tivement espacgs ailleurso (b) Calculs par grapes successives (dans le temps) avec des maillages de plus en plus fins. (c) Division du domaine de calcul enr~gions de maillages diff~rents ; il convient dans ce cas d'effectuer des raccordements aux fronti&res. Ces difficult~s font que les applications traitges jusqu'ici sent, comme on l'a vu, limitges h des ~coulements bidimensionnels et ~ des g~om6tries relativement simples. Les progr&s auxquels on pout s'attendre en ce qui concerne les ordinateurs permettront d'une part de rendre de telles applications beaucoup plns courantes et dtautre part de mettre en oeuvre lesm6thodes de r~solution num~rique des ~quations de Navier-Stokes pour des 6coulements tridimensionnels et dsns des configurations g~om~triques plus complexes.
Remerciements : les auteurs tiennent h remercier J.F. Sageau dent l'aide pour les applications num6r±ques pr~sent~es sur les figures 2 ~ 4 leur a ~t~ tr~s pr6cieuse.
182
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PROBLEMES D'ONDES WAVES PROBLEMS
THREE D I M E N S I O N A L FLOWS AROUND AIRFOILS WITH SHOCKS A n t o n ~ Jameson Courant Institute of M a t h e m a t i c a l Sciences, i~ew York University i.
Introduction. The d e t e r m i n a t i o n of flows containing e m b e d d e d shock waves over
a wing in a s t r e a m m o v i n g at near sonic speed is an important engineering problem.
The economy of operation of a transport aircraft is
generally i m p r o v e d by increasing its speed to the point at which the drag p e n a l t y due to the appearance of shock waves begins balance the savings o b t a i n a b l e by flying faster.
to over-
Thus the transonic
regime is p r e c i s e l y the regime of greatest i n t e r e s t in the design of commercial aircraft.
The calculation of transonic flows also poses a
p r o b l e m which is m a t h e m a t i c a l l y
i n t e r e s t i n g , b e c a u s e the g o v e r n i n g
partial differential equation is n o n l i n e a r and of m i x e d type, is n e c e s s a r y to admit discontinuities
in order to obtain a solution.
The recent d e v e l o p m e n t of successful numerical methods c u l a t i n g two dimensional Cole,
and it
transonic flows around airfoils
for cal-
(Murman and
1971, Steger and Lomax 1972; Garabedian and Korn 1972; Jameson
1971) e n c o u r a g e s
the belief that it should be possible
to p e r f o r m
useful calculations of three dimensional flows w i t h the e x i s t i n g generation of computers such as the CDC 6600 and 7600.
The flow over
an i s o l a t e d y a w e d w i n g appears to be p a r t i c u l a r l y suitable for a first attack.
W h i l e the b o u n d a r y shape is r e l a t i v e l y simple,
this
c o n f i g u r a t i o n includes the full complexities of a three dimensional flow w i t h oblique shock waves and a trailing v o r t e x sheet.
At the
same time the use of a yawed wing has been seriously p r o p o s e d transonic t r a n s p o r t with
(Jones, 1972) because it can generate
less wave drag than an arrow wing,
for a
lift
and detailed design studies
and tests are p r e s e n t l y being conducted. In setting up a m a t h e m a t i c a l model we are guided by the need to obtain equations which are simple enough for their solution to be feasible, while at the same time retaining the i m p o r t a n t characteristics of the real flow.
In the case of flows around airfoils viscous
effects take place in a much smaller length scale than the m a i n flow. A c c o r d i n g l y they will be ignored except for their role in p r e v e n t i n g flow around the sharp trailing edge, lift.
thus inducing circulation and
W i t h this s i m p l i f i c a t i o n the m a t h e m a t i c a l difficulties are
p r i n c i p a l l y caused by the m i x e d e l l i p t i c and equations,
and by the presence of shock waves.
h y p e r b o l i c type of the A satisfactory m e t h o d
should be capable of p r e d i c t i n g the onset of wave drag if not its
186
e x a c t magnitude.
Since strong shock waves w o u l d lead to high drag, we
may r e a s o n a b l y suppose that an e f f i c i e n t a e r o d y n a m i c design w o u l d permit only the p r e s e n c e of quite w e a k shock waves, ignoring variations be small.
so that the error in
in e n t r o p y and a s s u m i n g an i r r o t a t i o n a l
flow should
The p r o p e r t r e a t m e n t of strong shock waves w o u l d require
a much more c o m p l i c a t e d model,
allowing for the presence of regions
of s e p a r a t e d flow b e h i n d the shock waves. potential equation (a2-u2)~xx +
for i r r o t a t i o n a l flow:
(a2-v2)~yy +
(a2-w2)¢zz
- 2UV%xy - 2VW~y z in w h i c h
Thus we are led to use the
2VWCxy
9 is the v e l o c i t y potential,
=
0
(i)
u, v and w are the v e l o c i t y
components u
and
=
~x
'
v
=
Cy
a is the local speed of sound.
s t a g n a t i o n speed of sound 2 a where
,
w
=
Cz
(2)
This is d e t e r m i n e d from the
a 0 by the e n e r g y relation
2 ~ = a0 - 2
(u2+v2+w 2)
y is d~e ratio of the s p e c i f i c heats.
(3) This e q u a t i o n is e l l i p t i c
at s u b s o n i c points w h e r e a2 >u 2 + v 2 +w 2 and h y p e r b o l i c
at s u p e r s o n i c points where a2 < u 2 + v 2 + w 2
It is to be solved subject to the N e u m a n n b o u n d a r y condition = 0 at the w i n g surface, where transonic solutions shapes 1954).
(Morawetz,
(4)
v is the normal direction°
Since smooth
are known not to exist except for special b o u n d a r y
1956),
The a p p r o p r i a t e
normal c o m p o n e n t of mass
it is n e c e s s a r y to admit weak solutions jump conditions
require c o n s e r v a t i o n of the
flow and the t a n g e n t i a l c o m p o n e n t of velocity.
Since the p o t e n t i a l e q u a t i o n represents
i s e n t r o p i c flow, the normal
c o m p o n e n t of m o m e n t u m is then not conserved,
so that the jump carries
a force w h i c h is b a l a n c e d by an o p p o s i n g force on the body~ drag force appears, drag.
(Lax,
providing
Thus a
an approximate r e p r s e n t a t i o n of wave
The m e t h o d can therefore be used to p r e d i c t drag rise due to
the appearance of shock waves. The use of one d e p e n d e n t variable
instead of the five r e q u i r e d by
187
the full Euler equations tant advantage generally
(u, v, w, density
for three dimensional
restricted by limitations
simplification
and energy)
calculations,
of machine memory.
(l-~-(Y+i)~x)~xx
Neumann boundary
condition
blunt leading edges.
flow
appearing
(Bauer, Garabedian
points
on
the effects
of
of the potential equation
in the f l o w or even to
and Korn,
1972),
flow equation
it is
(i).
are invariant under a
of flow direction
'
v =-~y
and in the absence of a directional condition
that entropy
sonic regime possible.
w =-~z
condition
can only increase,
is not unique.
To exclude
,
equations
Solutions with expansion
these,
must be restored in the numerical
backward
sonic points
difference
shocks
scheme.
of
are
the direction-
from the This indicates
in the supersonic
to the upwind region of dependence equation
entropy
to the
in the tran-
and to ensure uniqueness,
the need to use biased differencing the small disturbance
corresponding
its solution
al property which was removed by eliminating
using
Such an expansion
Since it is desired to resolve
u =-$x
ponding
is a
in the shape of the wing section, which may be required
shock-free
Solutions
condition
failing near stagnation
preferred here to use the full potential reversal
(s)
the need to satisfy
at a curved surface.
to limit the strength of shock waves obtain
(i) is replaced by
The boundary
z = 0, eliminating
is not uniformly valid, however,
parameter
+ ~yy + ~zz = 0
where M is the Mach number at infinity. now applied at the plane
theory,
in a thickness
(Bailey and Ballhouse, 1972). Equation
small changes
A further
can be obtained by using small disturbance
in which only the first term of an expansion is retained
is an impor-
which are
zone,
the flow.
corresFor
(5) this can be achieved simply by
formulas
in the x direction
(Murman and Cole 197 ).
At the point
at all super-
iAx,
jAy, kAy,
@xx is represented by $i,j,k - 2$i-l,~,k + $i-2,j,k Ax 2 The dominant truncation error -AXSxxx arising from this expression then acts as an artificial
viscosity,
negative
zone.
in the supersonic
jumps can occur. equation
since the coefficient of @xx is
This ensures
In fact, when the truncation
(3) resembles
the viscous
that only the proper error is
included,
transonic e q u a t i o ~ which has been
188
used to simulate tions
exhibit
in the
shock
structure
form of c o m p r e s s i o n
The b u t use
calculations a coordinate
difference
formulas
direction.
The
bands
invariant
in the choice
matically
scheme
transonic have
has p r o v e d
may
including
been p e r f o r m e d
60 ° , c o v e r i n g
the m o s t
to fly at s l i g h t l y
progressively
likely
less
accurate,
the d i f f e r e n c e
supersonic
Also
zone.
correct
jump
improve
the
2.
treatment
Formulation The
the p r e s e n t
An i s o l a t e d
wing
is p l a c e d
condition
the viscous
effects
varying trails the
spanwise
each
tip and decays
ignored.
Then
paral l e l
to the
nent
the
of v e l o c i t y
jump
free
s h o u l d be
trans-
calculations
the u p p e r end of accurate
so that
enforced.
in the that
the
The best w a y to
remains
yaw angle
an open question.
tip.
In p r a c t i c e
in p o t e n t i a l
continuous
through
in the T r e f f t z
there will be a two d i m e n s i o n a l
trailing
a vortex
edge.
the v o r t e x
and b e h i n d sheet rolls
A simplified
of the sheet
Also
plane
flow induced
are
along
the normal
the sheet.
The
sheet w h i c h
edge,
should be c o n s t a n t
the wing.
free
to the K u t t a
at each span station
effects.
and decay
1.
in a u n i f o r m
the t r a i l i n g
viscous
in Figure
According
generates
behind
convection
except
up to
the d i s a d v a n t a g e
off the sharp
through
stream behind
flow is u n d i s t u r b e d
where
F
The
1954),
the c i r c u l a t i o n
of lift
direction
model will be used in w h i c h
the
cause
side edge of the d o w n s t r e a m
up b e h i n d
Calculations
angles
of a y a w e d wing
at infinity.
smoothly
distribution
in the s t r e a m w i s e
i.
is i l l u s t r a t e d
at an a r b i t r a r y
Mach n u m b e r
to be such that the flow passes
at M a c h
the
Coordinates.
to be c o n s i d e r e d
stream with prescribed
has
(Lax,
jump conditions
in C u r v i l i n e a r
configuration
scheme form
of auto-
advantage
throughout
towards
of
of waves.
is first o r d e r
are not p r e c i s e l y
of the
is a g r e a t
pattern
speeds.
however,
scheme
in c o n s e r v a t i v e
conditions
range
curvilinear the accuracy
can be concen-
up to 1.2 and yaw
supersonic
flow complete
The p r o p e r t y
and c o n v e r g e n t
operating
the range, because
it is n o t w r i t t e n
This
the case of flight
port d e s i g n e d become
and mesh points
a complex
for M a c h numbers
allows
Thus
of the flow.
principle,
the r e t a r d e d
the local
scheme
to improve
is retained.
contain
to be stable
in w h i c h
system.
restriction
conditions,
shock waves
flows w h i c h
range~
difference
of rapid v a r i a t i o n
locating
in t r e a t i n g The
of b o u n d a r y
on a similar
scheme
of a coordinate
equa-
shock waves
a few mesh widths.
to confol-m w i t h
'rotated'
may be used w i t h o u t
in regions
over
The d i f f e r e n c e locating
are b a s e d
difference
flexibility
the t r e a t m e n t
spread
are c o n s t r u c t e d
resulting
1958).
automatically
to be d e s c r i b e d
coordinates
trated
(Hayes,
similar behaviour,
lines
compo-
At i n f i n i t y
far downstream, by the v o r t e x
sheet.
189
Near In order
the
leading
to p r e v e n t
the b o u n d a r y
edge
the b o u n d a r y
a loss of accuracy
condition
it is c o n v e n i e n t
Then by m a k i n g
the body
avoid the need
for c o m p l i c a t e d
small
truncation
tive way regular
shape,
(Sells,
1968;
dimensional
such
which
varies
an effeconto
is available.
For
this
a mapping
For three The
from coordinate
to avoid an e x c e s s i v e
for a calculation.
transformation
1974).
arising
can
and m a i n t a i n
by a c o n f o r m a l
Jameson
of
coordinates.
calculations
of the profile
in the equations
should be limited
time r e q u i r e d
1972;
curvature.
treatment
surface,we
formulas,
no such simple m e t h o d
terms
a high
curvilinear
or half plane,
and Korn,
calculations
a conformal
to use
interpolation
as a circle
has
a coordinate
For two d i m e n s i o n a l
Garabedian
transformations
with
is to map the e x t e r i o r
n u m b e r of a d d i t i o n a l
comp u t e r
coincide
errors.
to do this
surface
in the n u m e r i c a l
growth
reason
in the spanwise
in the
the use
direction
of is
not attractive. A convenient leading
edges
Cartesian
coordinate
coordinates
with
and the z axis p a r a l l e l wing
is first
planes,
system
can be c o n s t r u c t e d
the x-y planes
by a square
Figure
about 2.
open
a singular
line
half planes
i.
sections, Then the
of the x-y
2 (Xl+iY I)
,
parabolic
z = Z1 the
the surface
(6)
leading edge,
coordinates
in X 1 and YI' while
to form a bump on the b o u n d a r y
ed c o o r d i n a t e s
the wing
as in Figure
root t r a n s f o r m a t i o n
just b e h i n d
X 1 and Y1 r e p r e s e n t
whic h become
straight
of z, 1 x + iy = ~
applied
with
Let x, y and z be
containing
to the leading edge,
'unwrapped'
independent
for treating wings
in two stages.
Y1 = 0.
as in
in the x-y planes,
the wing
surface
In terms
of the transform-
can be r e p r e s e n t e d
is split
as
Y1 = S(XI'ZI) In the second shearing until
stage
of the c o n s t r u c t i o n
transformation
they become
in w h i c h
parallel
the bump
the coordinate
to the w i n g
The
final
coordinates
to continue
the mean corner
camber
coordinate
line off the trailing
in the coordinate
The v o r t e x ~iso
lines
sheet is a s s u m e d
surfaces
are d i s p l a c e d
edge,
nonorthogonal.
so that there a cusped
A complication
the wing
(8) It is
surfaces in the d i r e c t i o n
to lie in the surface
of the cut b e y o n d
by a
Z = Z1
if the w i n g has
split by the transformation.
continuation
,
X, Y and Z are s l i g h t l y
the s h e a r e d
is removed
surface:
X = X 1 , . Y = Y-S(XI,ZI)
best
(7)
tips.
of
is no
trailing
edge.
Z = 0 so that it is is caused by the
Points
on the two sides
190
of the cut m a p
to the same p o i n t
identified when writing is r e s t r i c t e d
edge
The y a w a n g l e
infinity.
difference
to b e s t r a i g h t ,
ed and the t r a i l i n g manner.
Since necessary
to w o r k w i t h
approaches
a reduced
a n g l e of a t t a c k
in the c r o s s p l a n e
in any d e s i r e d the flow at
the e d g e of the v o r t e x
velocity
Gx-SxGy+
V = h
+
sheet
G, from w h i c h
8 is the y a w
normal
[X cos ~ +
[x sin a -
modulus
in the far field, it is
(Y+S)
(Y+S)
the s i n g u l a x -
angle,
and ~ the
to the l e a d i n g edge, we set ~}cos
in the X 1 'YI and
G Z- S z G Y + sin
h is the m a p p i n g
If
~ + X(Y+S)sin
components
U = .~
infinity
potential
removed.
~ = G + {I[X2-(y+s)2]cos
where
the l e a d i n g e d g e
can b e v a r i e d o r t w i s t -
s i m p l y by r o t a t i n g
to t r a c k
has b e e n
=
While
section
and m u s t be
direction.
the p o t e n t i a l
W
system,
can b e t a p e r e d or c u r v e d
is i n t r o d u c e d
ity at i n f i n i t y
Orthogonal
formulas.
the w i n g
It is then n e c e s s a r y
in the s t r e a m w i s e
in the C a r t e s i a n
0 + Z sin a
Z1 directions
(9) are then
sin a] cos
cos a] cos
9
8
(I0)
of the p a r a b o l i c
transformation
given
by h 2 = X2 + The
local
speed
(Y+S) 2
of s o u n d n o w s a t i s f i e s a 2 = a02 - y-i 2
The p o t e n t i a l
equation
(ll)
the r e l a t i o n
(U2+V2+W2)
(12)
becomes
A G x x + B G y y + C G z z + DGx~/ + E G y z + F G x z = H
(13a)
where A = a2 - U2 B = a2(l + S X2 + h2S2z )
(V - US X
h 2 W S z )2
C = h 2 (a2-W 2) (13b) D : - 2 a 2 S x - 2 U(V - US X- h 2 W S z ) E = - h2a2Sz
- 2 h ( V - US X- h 2 W S z ) W
F = - 2hUW and H
=
{(a2-U2)Sxx
+
h2(a2-W2)Szz
-
2hL~Sxz}G Y
191
The b o u n d a r y
condition
on the body
takes
the form
(S cos ~-X sin e) cos 0+ UISx+ h2WISz Gy = 2 1 + SX
+h2S~
(14a)
where U 1 = Gx +
(X cos
~ + S sin e) cos
8 (14b)
W 1 = G Z + sin An a d v a n t a g e height
of the p a r a b o l i c
of the d i s t u r b a n c e
transformed approaches
0
coordinate infinity.
transformation
due to the v o r t e x
system Thus
at points
is that it collapses sheet
far downstream,
the far field b o u n d a r y
where
condition
X
is simply
G = 0 In order nates
to obtain
X, Y and Z
For example
a finite
the
to zero in the
(15)
region
for c o m p u t a t i o n
m a y finally be replaced
by s t r e t c h e d
the coordicoordinates.
one can set X (i-~2) ~
where
e is a p o s i t i v e
varies
3.
between
Numerical
equation
retarded correct which
acts
switch
were
like viscosity.
'rotated'
is d e s i g n e d
trary.
formulas
locally
Considering
-i and 1 as X
scheme
The
artificial
scheme
to introduce smooth
expressed
stream direction.
distur-
zone leads
to the
a truncation
viscosity
error
is added smoothly line, w h e r e
the
takes place.
scheme
employed
correctly
manner when
this end in view,
first
for the small
to the fact that the use of
in the s u p e r s o n i c
difference
in a similar With
difference
of ~xx is zero at the sonic
in the d i f f e r e n c e
formulas
between
of dependence, and also introduces
the c o e f f i c i e n t
The tions
of the M u r m a n
(5) is a t t r i b u t a b l e
difference region
because
so that X varies
Scheme.
The success bance
index,
-~ and ~.
in a coordinate
Then equation
oriented
upwind
system
is r e a r r a n g e d aligned with
coordinates,
(i) can be w r i t t e n
calcula-
difference
the flow d i r e c t i o n
the e q u a t i o n
the case of C a r t e s i a n
for the p r e s e n t
is arbias if it the flow.
let s denote
the
in the canonical
form (a2-q2) ~ss + a 2 ( ~ - ~ s s ) = 0 where
q is the stream
speed d e t e r m i n e d
from the formula
(16)
192
q 2 = u2 + v 2 + w 2 and £9 denotes
(17)
the Laplacian £~ : %xx + }yy + }zz
Since
the direction
w/q,
the streamwise %ss = ~ q
cosines of the stream direction second derivative
are u/q, v/qr
can be e x p r e s s e d
the expressions
form
(i).
are first evaluated
for @ss and
A@, equation
To carry out this rearrangement
using central
difference
and
as
(u2 ~xx + v 2 ~yy + w 2 @zz + 2UV@xy + 2VW~yz + 2UW~xz)
On s u b s t i t u t i n g to the usual
(18)
(29)
(16) reduces
9x ' %y and @z
formulas.
With the
velocity
components known, the local type of the flow is determined 2 2 from the sign of a -q . If the flow is locally subsonic all terms are
r e p r e s e n t e d by central difference is locally supersonic,
formulas.
If, on the other hand,
all second derivatives
the first term are represented by retarded
contributing
difference
it
to ¢ss in
formulas of the
form 9i,j,
k -
2@i-l,~,k Sx 2
~xx =
*i,j,k_- *i-l,j,k -
@xy biased ing
the
upstream
terms
are
represented
a form
coincides it
is
accurate, which
one
just
the
rearranged
in
Also
this
all
the
terms
since
determined
At
points
in
The
scheme
velocity points
is
first
proportional
to
order 2 2 q -a
second
deriva-
equation the
by
coordinates,
containing (13a),
characteristic
the
of
for
the
second
the
mesh width
H on the
right
is
the
of
and
region deriva-
dominate
(13a)
the
Accordingly
are
and
calculated
subsonic
points. It tions.
remains
to
The presence
devise of
a scheme downstream
for
solving
points
in
the the
difference
central
the
and
second
small.
supersonic
only
split
derivatives
side
a.t b o t h
be
directions
coefficients
when formulas
the
need
equations to
remain-
subsonic
it
curvilinear
terms
expressions
difference
the
the
line,
the
of
formulas.
viscosity
written of
while
whenever
directions.
supersonic
sonic
side
contributing
central
difference
artificial
is
coordinate,
Murman scheme
At
the
way,
are
each
coordinate
consisting
difference
using
at
left-hand
dependence
tives.
an
equation
part,
on
finite
the
in
central
the
accurate.
vanishes
When t h e
of
of
order
by to
introducing
principal tives
direction
similar
with
second
i,j-l,k t *i-l,j-l,k
ax Ay-
:
in
assumes
+ @i-2,j,k
equa-
difference
193
formulas prevents
the use of a simple m a r c h i n g procedure
supersonic or the subsonic method.
zone.
Thus we are led to use an iterative
At each cycle the difference
values of the potential,
in either the
formulas are e v a l u a t e d using old
g e n e r a t e d during the previous cycle,
at
points which have not yet been updated.
While iterative methods are
well e s t a b l i s h e d for e l l i p t i c equations,
the use of such a m e t h o d in
the s u p e r s o n i c analysis.
zone, where the equation is hyperbolic,
requires
For this purpose it is c o n v e n i e n t to regard the iterations
as steps in an artificial
time coordinate,
so that the solution proce-
dure can be considered as a finite difference scheme for a time dependent equation.
P r o v i d e d that the iterative process is stable and
c o n s i s t e n t w i t h a p r o p e r l y posed initial value problem,
the time
d e p e n d e n t equation will represent its b e h a v i o u r in the limit as the mesh is refined. process
Thus we can infer the b e h a v i o u r of the iterative
from the b e h a v i o u r of the e q u i v a l e n t time d e p e n d e n t equation.
If the process is to converge,
the solution of the steady state equa-
tion ought to be a stable e q u i l i b r i u m point of the time d e p e n d e n t equation,
and the regions of dependence of the two equations
should be
compatible. D e n o t i n g u p d a t e d values by a superscript +, r e p r e s e n t a t i v e central difference
formulas
for the second derivatives
G+ i-l,j ,k - (I+rAX) G + i,j ,k GXX = AX 2
are
(l-rAx) Gi,j ,k + Gi+l, j ,k
(20) _
G+
Gi+l ,j+l,k i-l, j+l,k-Gi+l, j-l,k + GXy .................. 4~XflY where old values of the potential
G+
i-l, j-l,k
are used on one side because the
new values
are not yet available,
and a linear combination of old and
new values
is used at the center point.
If At is the time step these
formulas may be i n t e r p r e t e d as r e p r e s e n t i n g GXX - At S--{ (Gxt + rGt) and 1 At GXy - 2 A-~ Gyt Thus the p r e s e n c e of m i x e d space time derivatives the e q u i v a l e n t time dependent equation.
cannot be avoided in
This equation can therefore
be w r i t t e n in the form (M2-1) Gss - Gmm - Gnn + 2~iGst + 2~2Gmt + 2~3Gnt = Q where M is the local Mach n~mber,
(21)
194
q M m and n are suitably
scaled coordinates
stream direction
s, and Q contains
The coefficients
~i' e2
old values
(22)
a
~ and ~3
in the difference
in the plane normal to the
all terms except
part.
depend on the split between new and
equations.
dinate
the principal
Introducing
a new time coor-
~i s T = t
equation
M2-1
+ ~2 m + e3 n
(23)
(21) becomes 2 (M2_I)Gss
To avoid p r o d u c i n g data cannot 1962),
[ ~i Gmm - Gnn - M~_I
an u i t r a h y p e r b o l i c
equation
in general be arbitrarily
the difference
formulas
2 2] ~2 - aS GTT = Q "
for which the initial
prescribed
at supersonic
(24)
(Courant and Hilbert,
points
should be organiz-
ed so that 2 > (M2 i) 2 2 ~i (~2+~3) Then the hyperbolic tion,
character
is retained by the time dependent equa-
and s is the time like direction If condition
(25)
as in the steady state equation.
(25) is satisfied, the characteristic
time d e p e n d e n t equation
(21) is given by
(~2s-~im) 2+
(M2-1) (~3m-~2n) 2
(~3s-~in) 2-
+(M2-1) (t2+2a2mt+2~3nt) This is illustrated
in Figure
region of dependence
The difference
lies entirely behind
provided
equations
that the points
~2 m=--s
in the supersonic
e n t i r e l y on the u p s t r e a m cease
to intersect
a surface hence
so that the backward half of The m e c h a n i s m of convergence from the orientation
side, with advancing time plane.
retarded
by m i n i m i z i n g
characteristic
the rearward
of
lies
time it will eventually
Instead
it will intersect
the Cauchy data of the steady state problem,
the solution will reach a steady state.
is m a x i m i z e d
The
region of dependence
Since the region of dependence
the initial
containing
case.
~3 n =--s
,
zone can also be inferred cone.
0
the current time level
will have the correct are ordered
=
direction
this line lies in the updated region.
the c h a r a c t e r i s t i c
- 2~ist
3 for the two dimensional
except for the single c h a r a c t e r i s t i c t = 0 t
cone of the
and
The rate of convergence
inclination
of the most
195
2el t ....... s , M2_I
e2 ~i s ,
m .
.
.
~3 ~i s .
n
.
Thus it is best to use the minimum value of al which
allows condition
(25) to be satisfied. Condition formulas
contributing test
(25) generally
requires
for Gss in the supersonic to the term in Gst.
(Jameson,
1974)
indicates
the retarded difference
zone to be augmented by expressions At the same time a local yon Neumann
that at supersonic points
the new and
old values ought to be split so that the coefficient of %t in the equivalent
time dependent equation
also to ensure values
is zero.
For these reasons,
the diagonal dominance of the equations
on each line, Gss is calculated
at supersonic
and
for the new
points using
formulas of the form
2G ,j, k - Gi,j, k - 2G _l,j, k + Gi_2,j, k GXX =
AX 2 (26) G~
. + l,~,k - Si-l,j,k
+ - Si,j-l,k + G +i-l,j-l,k AX AY
GXy = where
the superscript + has again been used to denote new values.
first formula can be interpreted
The
as representing
At GXX + 2 ~x GXt Its use together with the corresponding
"
formulas
for Gyy and GZZ thus
results
in the introduction of a term in Gst proportional to the 2 2 q -a of G To meet condition (25) near the sonic 2 2 ss line, where q -a approaches zero, the coefficient of ¢st can be
coefficient
further augmented by adding a term At 8 ~ with
B an appropriately
chosen positive parameter.
mixed space time derivatives £t A-~ GXt =
G~ - G+ 1,j,k Gi, j,k iq!,j ,k + Gi-l,j ,k £X 2
using central difference
(28)
part at supersonic points is c ~ l e t e d
formulas
of the form
zone formulas of the form Convergence
now depends
by
(20) to represent A~-~ss,
with r set equal to zero to give a zero coefficient second derivatives.
The required
are represented by formulas of the form
The treatment of the principal
In the subsonic
(27)
(UGxt + VGyt + h2WGzt )
of ~t"
(20) are used for all
on the damping provided
196
by %t
(Garabedian,
1956).
If ~ is the o v e r r e l a x a t i o n 2 r Ax = - w
where
~ has
a value
the s u p e r s o n i c
slightly
zones
first d e r i v a t i v e s
less
are e v a l u a t e d
one takes
1
(29)
than 2.
the velocities
factor
In both
and all terms
by formulas
the subsonic containing
and
the
of the form
GX = Gi+I'j'k2Ax- G i - l ' j ' k using values
frozen
The b o u n d a r y appropriate The
which
at the b o d y
equations
treated with
To treat
lifting between
representing
two sides
along
the cut are e v a l u a t e d
previous
cycle.
The
of the
relaxation ously
in the s t r e a m l i n e
formulas
represent
of c o n v e r g e n c e in w h i c h
If points
required
using
sonic
zones.
direction. which
line e q u a t i o n s
and d i a g o n a l l y
The
is not
coefficient into three central strips.
The
lines
only
opposed for
Gst.
strips.
strip,
relaxation to use
on a line
are b e i n g
the central
are easily
solved,
in both
to be u p d a t e d
edge.
algorithm. a line
are simultane-
updated, the only difference
formula
is the need
with
to m a r c h
to obtain
found best
one marches
since
they
the s u b s o n i c
are tri-
and the super-
can be in any coordinate
flow, in order
It has been
and outwards
to the
on the t r a i l i n g
all new values
dominant
to the
formulas
from the
- 2G~ ,,j,k ......+ G+i + l , j , k AX 2
constraint
Then
a point
on an X line
is to replace
GXX = resulting
Difference
of F frozen
it is b e t t e r
all the points
F
jump should be
F is then a d j u s t e d
G +i - l , j , k
diago n a l
The
direction.
at the a p p r o p r i a t e
(20) for GXX by a formula
The
for a jump
in the plane Y = 0,
sheet.
a value
points,
to the i n t e r i o r
to allow
point
algorithm
updated.
errors
jump
the speed
modification
using
the boundary.
At the end of the cycle
foregoing
To increase
points
of the v o r t e x
constant
value
lines
truncation
by g i v i n g
behind
at the surface
it is n e c e s s a r y
corresponding
bridging
new
is s a t i s f i e d
are then used
similar
flows
in the p o t e n t i a l the
cycle.
to G at a row of dummy points
difference
are thus
points.
the p r e v i o u s
condition
values
standard
from
towards
in a d i r e c t i o n a positive
to divide
each X-Y plane
the surface
the flow in the left
in the
and r i g h t - h a n d
197
4.
Results. FORTRAN
been
used
dimensional performed a coarse point
coordinate
This
followed
the wing
check
surface, more
the c o n v e r g e n c e
192×32×64 requires
cycle
takes
cells
A useful
about
tions
for simple
sweepback
the v e l o c i t y
is increased, component
theory
normal
of the velocity.
section
differently
the h y p e r b o l i c
The
region
so that r e t a r d e d
of points.
Figure
tions,
Mach
The w i n g
4 shows
.65 w i t h
section was
zero yaw, designed
calculation
yawed wing.
is v a r i e d
to
however,
because
as the Mach n u m b e r is used
spanwise
containing
of the yaw angle.
and Mach
difference The condi-
fixed as the Mach n u m b e r
flow in the planes
the size of
and yaw angle
are
pressure
at two c o r r e s p o n d i n g 1.02 w i t h
the
It is treated
at a larger n u m b e r
of the computed
by G a r a b e d i a n
65,536
satisfied, and the
If the yaw angle
yawed wing
fine
accuracy.
are then e x a c t l y
a comparison
over an infinite
a
with
Each
the meshes w i t h
sufficient
differencing
on
a calculation
of the t h r e e - d i m e n s i o n a l
scheme,
increases
increased,
distribution
Such
a complete
edge
the about
to
is reduced,
should be in the u n i f o r m
should be i n d e p e n d e n t by the d i f f e r e n c e
size
In order
of three meshes,
purposes
to the leading
change
takes
and is expensive.
so that
two-dimensional.
the only
to reduce
of the shocks
cells.
as the mesh
seem to give
The refined
used in the X coordinate,
by the case of an infinite
flow is e f f e c t i v e l y
wing
90 seconds,
in the chordand 16
cells.
the r e s o l u t i o n
for storage,
the
on the coarse mesh
are s u f f i c i e n t
= 98,304
For e n g i n e e r i n g
generally
Typically
Such a c a l c u l a t i o n
on a sequence
test of the accuracy
is p r o v i d e d
8,192
200 cycles
cells on the third mesh.
3 or 4 hours.
scheme
of the m e t h o d
have been made
= 393,216
in each
64 divisions
are sometimes
192×16×32
the use of the disc
or 98,304
keep
divisions
a refined m e s h w i t h
few c a l c u l a t i o n s
takes
To improve
on
the starting
low cost.
giving
fine mesh
are
the lift can be approxi-
contains
Generally
on the
6600.
calculations
is first o b t a i n e d
in the normal Y direction,
Z direction,
have
two and three
size is h a l v e d
at very
to the o r d e r of 10 -5 .
on a CDC
time,
to provide
the mesh
calculation
cells.
by 100 cycles
computer
this procedure
8 divisions
65,536
residual
30 minutes
giving
Using
these principles
of both
The solution
interpolated
in w h i c h
in the spanwise
then has
largest
mesh
is then
for the initial
studies
To save
of meshes.
on the coarse mesh
X direction,
divisions
incorporating
numerical
flows.
direction.
determined
lattice
mesh
transonic
on a sequence mesh.
programs
extensive
for a c a l c u l a t i o n
mately
wise
computer
to make
a yaw angle
to produce
condiof 50.4 ° .
very high
lift
198
with the
shockfree
flow
flow is very
sensitive
angle of attack. integrating
(Bauer,
The
are
It can be seen
pressure
that
tions w e r e
performed with
coordinate
and
leading
the change
The p r e s s u r e
above
positive
yaw
has been
ignored
tips.
angles
Figures
5 and
with
The w i n g
results
cells.
Figure
section
sional
that
interesting
show
coalesce
that the
twist was
angle
the d i f f e r e n c e a calculation
and a yaw
s h o u l d be shock
indicate, some
however,
relief due
just b e g i n n i n g also
12 p e r c e n t
s~bsonic
.3, w i t h
as the load
98,304
free
the very
in tests of Two-dimen-
is shown
at Mach
surfaces.
to the three d i m e n s i o n a l
thick, such
amount
is
Some
the load completely. captured
by
an e x a m p l e
of
section was flow this
.80 and a lift upper
and lower
The
of 15 ° .
calculations
of sweep,
and
effects,
drag
rise is only
Since
this
airfoil
point.
it is an a t t r a c t i v e as an e x e c u t i v e
off near
of attack
.87 and a yaw angle
this m o d e r a t e
at this
angle
The wing
on b o t h
It is from
the same
7 shows
n u m b e r of
seen on both
that w i t h
falls
lift.
In two d i m e n s i o n a l
zones
.75
two shock waves
quite well
Figure
cells.
at a Mach
supersonic
The
to e q u a l i z e
are still
by Garabedian.
clearly
to o c c u r
airplane
Jones
to the leading edge.
as can be seen.
designed
can be
normal
but not enough
on a mesh w i t h
The w i n g
at the
at Mach
1973).
for a w i n g w i t h
At
component
using
an e x a m p l e
generates
angle of 30 ° •
the shock waves
airfoil
surfaces.
an example
in the plane
airfoil
Shock waves
shock p a t t e r n
6 shows
scheme,
of
force
resolution
a transition
another
coefficient
section
.010.
flow shows
introduced,
At this yaw
of
of c a l c u l a t i o n s
and Boltz,
the
lift drag ratio
three d i m e n s i o n a l
to the double
.866
from poor
with
at high
Figure
at Mach
computed
coefficient
5 shows
Jones
this
span stations
intervals,
shock wave
the single
the angle m e a s u r e d
the
for
to a single
the tips. section
of c a l c u l a t i o n s
is one used by R.T.
(Graham,
calculations
in the X
of the spanwise
arising
a model w i t h y a w e d w i n g
at low lift w h i c h
240 d i v i s i o n s
at s u c c e s s i v e
friction
contribution
6 display
393,216
the e x p e c t e d calcula-
vertical
In all cases
to avoid errors
fine m e s h w i t h zero yaw.
at equal
for a skin
the
all
edge.
These
results
distributions
tip at the bottom. an a l l o w a n c e
by
For c o n v e n i e n c e to the leading
do have
containing
and
obtained
in the Y coordinate.
each o t h e r
includes
normal
results
1974) v and
in the Mach n u m b e r coefficients
in the differencing.
a mesh
32 d i v i s i o n s
and Korn,
are also shown.
5, 6 and 7 show typical
finite wings° are p l o t t e d
drag
to the v e l o c i t y
the n u m e r i c a l
despite
Jameson
changes
and
referred
invariance
Figures
to small
lift
the surface
coefficients
Garabediant
jet.
candidate
for a fast
is
199 W i t h a s u p e r s o n i c free stream and a large yaw angle,
the flow is
g e n e r a l l y s u p e r s o n i c b e h i n d the oblique shock waves w h i c h appear on the w i n g surface.
In this situation the computed shock waves are
less w e l l defined. The calculations
Usually they are spread over 4 or 5 mesh widths.
still appear, however,
of the lift drag ratio.
to provide a useful estimate
Figure 8 shows some curves of the lift drag
ratio for a p a r t i a l l y tapered wing w i t h Jones' ratio of ii.I.
section and an aspect
These were computed using a mesh w i t h 65,536 cells.
The amount of twist was generally not correctly chosen to equalize the load across the span.
The curves are, however,
with the results of Jones'
tests of a yawed w i n g with the same section
quite consistent
and an elliptic p l a n f o r m of aspect ratio 12.7.
5.
Conclusion The results support the belief that w i t h the speed and capacity
of the computers now in p r o s p e c t it will be possible to use the computer as a 'numerical w i n d tunnel'.
The use of an artificial time
d e p e n d e n t equation results in rapid convergence,
in contrast to
methods in which the physical time d e p e n d e n t equation is integrated until it reaches a steady state
(Magnus and Yoshihara,
c o n s i s t e n c y of the results also provides
1970).
The
a n u m e r i c a l confirmation of
the uniqueness of w e a k solutions of the p o t e n t i a l equation, p r o v i d e d that the correct e n t r o p y inequality is enforced. Much remains to be done to improve the accuracy and range of the calculations.
In order to
improve the t r e a t m e n t of the shock waves
it w o u l d be b e t t e r to write the equations in conservative
form. This
requires only a small m o d i f i c a t i o n of the small d i s t u r b a n c e e q u a t i o n Dr (5). The first term is e x p r e s s e d in the form ~-~ where r =
(l-Mi)~+ ~
2 ~x
A r t i f i c i a l v i s c o s i t y should then be i n t r o d u c e d in a conservative form. This
can be done by s u b t r a c t i n g the term Pi,j,k - Pi-l,j,k
where
Pi,j ,k
0
at subsonic points
ri+l,j,k-ri_z-l,j,k 2AX
at supersonic points
2OO
This results in an a r t i f i c i a l v i s c o s i t y p r o p o r t i o n a l the s u p e r s o n i c zone.
At the sonic line it is e q u i v a l e n t to the use
of M u r m a n ' s new shock point o p e r a t o r The appropriate expresses
to ~2r/~x2 in
conservation
(Murman, 1973).
law for the full p o t e n t i a l e q u a t i o n
conservation of mass
~-~ {pu) + ~ w h e r e the
density
p
(pv) + ~-{ (pw) = 0
is given by the formula
p = {i + ~
M 2 ( l - u 2 - v 2 - w 2 ) } 1/(Y-I)
The analogue of the M u r m a n scheme introduces proportional
to
differencing.
(~2/~x2) (pu)
a truncation error
in the s u p e r s o n i c zone by r e t a r d e d
N ~ m e r i c a l tests of such a scheme have shown it to be
~ess accurate than the simple r e t a r d e d scheme for the p o t e n t i a l equation, b e c a u s e of the additional errors arising from this term. Shock waves
standing above the surface in a two dimenaional
be normal because the flow turns smoothly. at points of t r a n s i t i o n to subsonic flow.
flow must
Thus they can be located An a p p r o x i m a t i o n
jump c o n d i t i o n s could then be d i r e c t l y imposed.
to the
This approach is
less p r o m i s i n g for three d i m e n s i o n a l calculations, b e c a u s e it is not so simple to locate the shock waves. A n o t h e r s h o r t c o m i n g of the p r e s e n t scheme is its use of first order accurate d i f f e r e n c e equations quently,
at s u p e r s o n i c points.
if the s u p e r s o n i c zone is large,
to o b t a i n an accurate answer.
Conse-
a very fine mesh is n e e d e d
One line of i n v e s t i g a t i o n is the addi-
tion of an e x p l i c i t t e r m in ~tt to the artificial time d e p e n d e n t equation.
This w o u l d rotate the c h a r a c t e r i s t i c cone back from the
current time level,
allowing more latitude for the c o n s t r u c t i o n of
a h i g h e r o r d e r scheme.
The r e s u l t i n g second order equation can also
be reduced to a first o r d e r system of equations
in a form amenable
to s t a n d a r d d i f f e r e n c i n g procedures. The t r e a t m e n t of more c o m p l i c a t e d c o n f i g u r a t i o n s
such as w i n g -
body c o m b i n a t i o n s will require e x t e n s i v e i n v e s t i g a t i o n s of the best way to set up a coordinate
system.
It may prove m o s t e c o n o m i c a l to
patch together separate regions, each using its own coordinate suited to the local flow pattern.
system
201
Acknowledgement This work has been supported by the U. S. Atomic Energy Commission under Contract No. AT(II-I)-3077 with New York University and by NASA under Grant No.
33-016-167.
It has greatly benefited
advice and suggestions of Paul Garabedian.
from the
The author is also indebt-
ed to Frances Bauer for important help in carrying out some of the computer runs. Bibliography i.
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203
l
~9
%sx~s
/ Figure 1 CONFIGURATION
204
t~
t~ J
Co.")
Figure 2 CONSTRUCTION OF COORDINATE SYSTEM
5 ~9~--D
205
..........
FIGURE
-x-~ ? L S ~ E
3
C H A R A C T E R I S T I C CONE OF E Q U I V A L E N T TIME D E P E N D E N T E Q U A T I O N FOR TWO DIMENSIONAL FLOW
206
C3 E:3
C3 (.13
Y
6
+ +
4-
+ + +
4+ +
,4-
E3 -.d"
+ + + +
0.~J
+
f ~ x x ~
x~xxx~
x~ ~ ~ ~ x ~ ~ x X x
xK
E3 :3"
x~x
÷
x
f
0 65-!5 RIRFOIL N
=
,850
CL = I ° 4 6 6 1
YRN
=
0,000
CO
=
,0001
Figure
4 (a)
RLF = -0,000
207 O
%
CD
4-
od
"7
+ ,+
,,I44-
!
t" 4. -f t+
,rol-
.). + 4.
L...)
4-
~" f
xX~xxxxx~)~xxx ~ x x I(x X
CD ::3"
x~ x
x~x
}t x X
X X X 4X
C3
X
Od
G 65-I5 M =
X xx
RIRFO[L
1,020
CL = 1 . q s ? 5
YRN = 5 0 0 q l O
CO =
.0032
Figure
4 (b)
ALF = - 0 . 0 0 0
208
Figure 5(a),
View of Wing
JSNE8 SECT [@N M =
L/l]
,?SO
=
L8,@2
Figure 5(b). Upper Surface Pressure
P,R t L , 8 TN[ST 0 BEG Y~N = 0 , 0 0 ~LF = 3 , 0 0 CL.-= l.,OqtLl CO = ~0528
a=nss~=a
LhhO' 00'~
= 03 = JqU
~oe~=nS x~ddo
hLhL' 00'0~
= 73 = HUA
"(q) 9 ~anSTa
1 L ' 5'1 999" NO ] .i.O~'
•6UTM
- 0/7 = N ~'J NO I-"
I o ,~BTA
•
(e)
9
B-InBT~
60~
210
>>-=
<_
Figure 7(a)
VIEN OF NING G 80-30 SECTION RR 8 , 6 H = ,820 YRN = 15,00 L/D = tq.£O CL = ,2S66
TNIST 3 DE8 RLF = ,90 CD = ,0[72
211
Figure 7(b).
Upper Surface Pressure.
Figure
8 8 0 - 3 0 SECTION RR 6 . 6 N = ,870 YRN = 1 5 . 0 0 L/D = 1 q , 9 0 CL = ,2566
7(c) .
Lower Surface Pressure.
TNIST 3 BEG RLF = .90 CD = ,0172
212
L/D 36
M
.70,
M
° 808,
YAW
0°,
TWIST
0°
32
28
20
M
1o0,
YAW
45.4 ° ,
TWIST
6°
M
1o2,
YAW
54.3
TWIST
8°
16--
° ,
12----
8
/
.........
0 -2 °
-I o
LiFT
DRAT
0o
RATIO
1o Figure FOR A YAWED WITH JONES'
2° 8 WING OF SECTION.
3° ANGLE ASPECT
OF RATIO
4° ATTACK ii.I
LARGE AMPLITUDE WAVE PROPAGATION IN ARTERIES AND VEINS Y. KIVlTY+and R. COLLINS #
I. INTRODUCTION
The problem of finite amplitude wave propagation in fluid-filled distensible tubes, although of potentially wide general interest in industrial piping systems, finds particularly important application in biomedical circulatory phenomena. Mathematical and laboratory studies of such coupled fluid-shell interactions have led to novel contributions in the field of Biomechanics, an area of continuing activity in the United States and England, and one which is rapidly attracting the attention of scientists and medical researchers in France.
The pulsatile flow of blood from the heart into the aorta, and subsequently the connecting great vessels, engenders wave propagation in the vessel walls, the motion of which in turn modifies the blood flow. This interaction between fluid and vessel wall motions will depend strongly upon the material properties of the system, such as fluid density and viscosity and the dynamic viscoelastic properties of the wall, in addition to the mechanical contraints imposed on the vessel by the surrounding connective tissue and intercostal arteries. Pathologically-induced changes in these properties will be evidenced in modified pressure and flow variations in the distal
portions
of the arterial system. Alternatively, such variations
may serve as a basis for estimating such changes in the material properties.
Although radial excursions of 8-10 % of the aortic lumen have been generally observed in in situ measurements under normal physiological conditions, little if any longitudinal displacements of the vessel wall have been detected. A recent study by Kivity and Collins (1973) describes a numerical method for determining instantaneous variations ~n vessel cross-section, pressure and fluid velocity under conditions of complete longitudinal tethering. However, in laboratory testing of excised biological specimens, large longitudinal motions of the wall are known to occur.
On leave from the Scientific Department, Ministry of Defense Israel. On sabbatical leave from University of California, School of Engineering and Applied Science, Los Angeles, U.S.A.
214 The present work provides a generalized treatment of viscous fluid motion in a nonlinear orthotropic viscoelastic thin walled tube. A numerical solution is described based upon a two-step Lax-Wendroff finite difference scheme which is shown to be very stable and rapid.
2. MATHEMATICAL FORMULATION 2.1 Physical Relations In this present generalized treatment of the axisymmetric motion of an incompressible fluid in a nonlinear viscoelastic tube, the fluid viscosity is accounted for and hence the action of wall friction on longitudinal displacements of the vessel wall. The actual wall-thickness to diameter ratio of the human aorta is about one-tenth. Under the thin wall approximation, this ratio is considered insignificantly small, leading mathematically to neglect of the shear stresses and bending moments. Patel and Fry (1969) showed that the aorta and carotid arteries developed shearing strains that were very much smaller than the corresponding longitudinal and circumferential strains, when the vessel was inflated to physiological pressures. Thus the vessel is orthotropic, and shear strains can be neglected. In this case, the three orthogonal strains : circumferential, longitudinal and radial are the onl~ important ones. For an incompressible wall (Poisson ratio equals one-half), they are interrelated.
A large deflection theory for thin shells of revolution has been given by Reissner (1949) and a more generalized treatment is described in the book by Krauss (1967). Under the foregoing assumptions, the equilibrium of an element of the shell is expressed by Reissner's Eq. (28) as
where ~
is a Lagrangian coordinate along the generator of the middle surface
of thet'tube~ ~
is the polar angle of a point on the middle surface (see
figs, | and 2) and M
,~
~~
---- (~2 ~ ~ 2 ) I/~is~ the
are the corresponding Eulerian coordinates, Eulerian coordinate of a point
of the surface and must be regarded as functions of ( ~ problem is time dependent,
,~
on the generator ) since the
215
O~
~
and ~
is defined by
are the stress resultants in the ~ and ~
directions,
is the load intensity vector (external load per unit area). In the context of the theory of shells, the load ~
is usually
I
specified. In the present problem, however, the load ~
results from the
interaction between the fluid and the tube. The wall motion is hence coupled to that of the fluid through the load vector ~
per unit area. A number of
!
external forces contribute to the load intensity vector ~. The normal component p ~ arises from the fluid hydrodynamic pressure acting normal to the inner layer of the wall, in addition to possible normal forces imposed on the outer layer by visceral resistance to radial motions. The tangential component b
derives from the shear stress "I:: due to viscous drag at the
inner wall, as well as from longitudinal restraints on the outer wall associated with the "tethering" effects of connective tissue and intercostal arteries (Patel and Fry 1966). The quasi one-dimensional viscous flow equations for an incompressible fluid in a distensible axi-symmetric duct may be expressed as :
( momentum )
: ~r"
+
~_~ ~ C ~ill - z~
~-~/~
+
~---F
(4)
where AF is the fluid velocity (averaged over the cross-section)~ ~ is the constant density of the fluid,
~hyd. is the hydrostatic pressure which is
equal but of opposite sign to the normal component of the external load ~ and~
the gravitational force potential defined by
(acceleration)
216
F
represents the friction per unit mass of fluid due to viscous
fluid drag at the wall. For circular tubes
where ~
is the shear stress at the wall.
For steady flow in a pipe, from the corresponding formulae of Poiseuille and Blasius (Sehlichting 1968, p. 79 and 561) for laminar and turbulent flow~ one obtains the shear stress
where the Reynolds number
~
~_~
---- ~J~_fd'FI / / ~
j
is the dimensionless skin friction coefficient, and ~
is the fluid
viscosity.
For laminar flow ~ = =If~
and ~
~
~
and ~ = ~
, while for turbulent flow
,O 7
In the present calculations,
the laminar form of the shear stress has been
used, corresponding to the generally accepted principle that turbulent regions are
rare
in most normal physiological blood flows. For example, it was
pointed out by Ling et al (1968) that according to hot-film anemometric measurements carried out in the arteries of living animals, the flow is normally nonsteady and laminar.
That is, flow profiles are developed locally
and transiently during the passage of each pulsatile wave. The rise time of the pressure-gradient wave front is of the order of 0.02 seconds (under normal physiological conditions) and the apparent propagating velocity of the wave front is approximately 600 cm/sec., implying a physical width of the travelling wave of about 12 cm. In general, flow profiles were found to be blunt and axially symmetric. Both turbulence and secondary flows were found to be inhibited and localized by the nature of the pulsatile flow, and although weak turbulence was observed in the aortic arch of small dogs, it was quickly dissipated within each heart cycle.
217 Nonetheless, in the regions near the shock front where conditions are clearly not physiological, such may no longer be the case. Although these expressions are strictly valid only for steady flow, they will be applied here for the unsteady flow conditions to be described subsequently.
To complete the system of equations
~
CJ~t3)~L~J one must add a
constitutive relation linking wall stresses to strains and rates of strain within the vessel wall. For this purpose, a mathematical expression relating the stress resultants ~
and ~ >
to the material coordinates~
,Z
and
their time derivatives would be desirable. However, even for small deformations, such a highly developed constitutive relation is not presently available without mentioning the still greater lack of knowledge for the large deformatio~ high strain-rate range corresponding to shock experiments.
A simplified material model is proposed in which the stress is related to strain and strain-rate in the circumferential and longitudinal directions separately. This effectively decoupled representation is not inconsistent with the assumption of orthotropy implicit in the thin-walled approximation described above.
Physically, this representation of the state of stress corresponds to a model of the tube wall composed of two distinct layers : a layer of "fibers", which carries the stress in the tangential direction and a layer of "rings", which carries the hoop stress. Similar ideas have been put forth by Apter et al. (|966).
The stress strain-rate relation in each direction is written in the form
with
8
o) = o
so that ~(~) represents the static loading relation. As a measure of strain, the extension ratio is employed here, with
L/Lo
CgJ
218
where L
is the Length of a strained element and ~.~ is its length at some
reference state, For the measurements of Collins and Hu (1972), the explicit expression(7 #
with ~ = / ~
becomes
, ~=0,~
sec. and ~--= O ' ~ x I O
~ dynes/cm 2 along the
axial direction°
Relation(~O) may be converted to an expression for the stress resultants in terms of the coordinates ~. , ~
, The circumferential extension
is simply
30
-
4.C#, L)
_ ,'L
The axial extension may be expressed in terms of the quantity C~
(i I~ of Eq.(~)
by
the stress resultants are then related to the stresses by
where h is the wall thickness, The variations of the wall thickness ~,~ with the tube displacements may be found in a simple manner if one uses the Poisson ratio 3 =
I/,~ typical of biological tissue, In this case, the
material is incompressible, so that
29 t or
where
PoC, ) = f>
= o
219
Equations (~),
(~),
(¢)
and (~O) and their associated relations,
constitute a complete system governing the coupled fluid-wall motions. In the next section, these will be reduced to a simpler set, whose numerical solution, with illustrative values of the physical parameters, will be described in the remainder of the work.
2.2
Reduction @f Governing Equations
It is convenient to decompose the vector equation ~ ) components in the
~
into its
and 14. directions. These directions refer to the
generator of the middle surface ( see fig. 1). The hydrostatic pressure in the fluid contributes to the normal component f~ of p
and the wall friction
(due to fluid viscosity) to the tangential component ~
of f
.Carrying out
the differentiations in ( I ) gives
Let ~ , j , ~, be unit vectors in the~ ,~and ~ directions respectively (see fig. I). The radial and circumferential unit vectors J ~ are t h e n r e l a t e d
to t h e f o r m e r by ( R e i s s n e r
1949)
and the tangential and normal unit vectors by
Then from Eq. (~$), one finds
and from Eq. (I~)
:
and d ~
220
where J ~
denotes a unit vector in t h e ~
direction, and ~
is the angle
between'the tangent to the meridian curve and the ~-axis, with
The s c a l a r found
components
to be
of
Eq~//) in
the
~
and ~
- directions
are
now r e a d i l y
:
For convenience, one replaces the variables #f and ~
by
& The scalar wall equations (~o) and (~I) then become
One can elimlnate Eqs. (~) and ( ~ ,
C=--p
-)between
yielding
.fs(;¢=) The governing system then reduces essentially to the three simultaneous equations (~), (~4) and (~) in conjunction with the auxiliary relations (~), (5), (6), (iO)--(~), (~q), ( ~
and (~3). f ~
is the sum of all
tangential loads acting on the wall; in the absence of tethering, p ~ _ -~ 'r
the shear stress due to fluid viscosity.
22I
2.3 Initial Boundary Value Problem
The system of Eqs. (~), (~4), and
(~)
is solved numerically
with the following illustrative boundary and initial conditions corresponding to an arterial segment open at one end ( ~ = 0 pressure at the other end At
~ =0
:
( ~= L
) with an applied stagnation
); that is :
~=0
(open end) (tube unrestrained longitudinally)
and
where f H
~- =
Oo~st. =
~(~) )
F_,,( L)
is constant and equal to the stagnation pressure in the reservoir
o)
efT, o)
?
=o
-_
)
Zo( )
2.4 Stability Considerations
The numerical stability of the set of governing equations may be assessed in approximate form, in a manner similar to that of Kivity and Collins (1973). That is,the system may be cast in both hyperbolic and parabolic forms, and the appropriate stability criteria developed for each. However, it has been confirmed in subsequent calculations that it is invariably the stability criterion associated with the parabolic form which is more restrictive, and hence only the derivation of that form is outlined here.
One considers the system of equations ('5), (~4) and (~) the assumption, for simplicity, that ~ becomes
=O
and ~ =
with
O ' Then Eq (~)
222
Multiplying Eq(~) by &Fand Eq(~) by A - ~ ~- and adding, one obtains, in terms of a new variable
defined by
For s m a l l d i s p l a c e m e n t s ,
~4b y ~ so that
J
f~
~
=. ~ d7" J
is very close
, so t h a t
, Also, from (SO), the change in T ~ is small compared to T I ~ is approximately a constant. The quantity ~ - ~
in Eq(~|), equals the curvature ( I / ~
,
, appearing
), and is also very small, under
the above assumption, so that the t e r m ~ to T I ~
to ~/.~.
may be neglected with respect
• Eq~($|) then becomes
"r8 may be expressed in terms of A
and A
=---&~., using the stress-strain
relationship (IO) employed in this study. The resulting differential equation takes on the form
5& where ~
is a function of lower order ~-derivatives which do not enter
into this first order estimate of a numerical stability criterion, and
The stability criterion for the parabolic equation (~J is
which implies a time step
2--
223
3. NUMERICAL SOLUTION
For the solution of the system (~),
(~4) and (~G), one employs a
numerical algorithm based on the two-step Lax-Wendroff difference scheme. In each step, the radius }~ and the particle velocity /O~are explicitly advanced in time, using the continuity equation (3) and the momentum equation (~), respectively. The new value from the relation (;3). T ~
of Y~ serves to determine a new value=~ -[-~
is then determined by integration of (~). Finally,
is computed implicitly, using a simple Newton method.
This procedure has proved to be reliable, provided that one observes the stability criterion (3~). in the actual calculation ~ times the
was taken as 0.8
right hand side of (35). The initial estimate for ~ in the
Newton
method was obtained from the value of ~
The Langrandian coordinate ~ coordinate of a point; that is ~ ( ~ ) 0 )
at the previous step.
was chosen to be the initial =~
. To simplify the presentation
of the difference scheme, the following abbreviations are used : DEFINITIONS
& (unless a different definition is |Iz
-,i- f
~"
f
}'~v. L
explicitly specified)
224
7~j +'6_
~j'~, Iz
"""-j. (T~:)],,
=
C<x/j" .
-z
+'tz
)
J+'¢z
=
~
.
* ~/ z
: xj c*o.)j
+
"- n z
: (3~)j
~,,j
~C__L "'~ [~°)]+,,~_
The difference scheme consists then of the following steps
STEP I
~)j +
"~"z "¢" ~J '-,
-*"
(~o;j
c~'j'+u~
~',-a~ ~'; + (-Fo).'' J*"~- S't n ~Pj'+ '1~.
C @•'
~ '
+
--
:
225
To)D., ~
a~.'~,~- ]~:~, "I ~-7I / ' 3/
~
~Jj'+l={,.Zcz )j
(T= " "+'/z
"~'/z_
.~,,~.
VH.I i~-
-F ~
T%.,,,,. ~-~ ~',,,, -
~+IIz_ , solve the following implicit
To determine ~-j+~& equation for
(~
~"~
)j,
-~,',-I."where tho fuoctioo~
-
/
~,)gives the .ire.. in te~s of the
and its time rate of change. Knowing (~)jl
extension ~
is found from the relation :
C. o~,,~ ~-,,~yr,~,,~ ~.s-,~ -~J~,~ 1
P~-~°Ij.
~'"~)~r~
k~],,,~-'~]-,,~
"~tlz'):~j'+Jt,~.
~"~
k ~J'
~o),,,I "~
STEP II ,.j~ ~.-I
~;
/4.
-- ~ . ~
tT]~,I
I
/"
z
/4 "~ / / Z
-
~Tj'_,I~
"
~ */v z"
-
226 ~---.+~
Xo~ ~+I
12j~, a :
T~.j_,,, ~'1~t"tz 2-
To determine
~j"
, one first, solves for
~l,,¢,.h}
.)
( r 2*' ~f
+~/~-
from the equation:
%
,14~'1
~)j'~iz/4°~°)j'+l/z '~+l "
then,
~zj,_l
~.; l
is determined from :
~.i j ., - "U
=
The difference analogue of the boundary conditions
(4 7 ) and
(~)
is as follows :
Open end
I144'*t
~
p
1¢,.--- ~,~)
~ ~" -
is computed by the general procedure.
~ r ~ "''~.,.,.,j ~--'--r,,~.
.f'~4 v,_
k. 4, r= )/'41/=,
227 Fixed end (with appl..ied stagnation pressure)
gi~
-----
L
(vessellength)
f where ~ T ~
/
is computed from the given applied stagnation
pressure as a function of time = ~ ~ ~ t
is calculated by first solving the implicit equation
Then, ~.~ ~
/,~. for
vI
"fl
(~o) ;~
~+l
F
H
X/~
~-I
. 14~ '/7'"
~4+1
NOTE In calculating the variables .~ to ~ = L
( D= I
to L= ~
one starts at the fixed end
and ~
, one progresses from ~ = ~
); whereas in the calculation of ~ ~=
~- i
since ~
~
is prescribed these,
228
4. RESULTS AND DISCUSSION
Illustrative computations have been carried out for an aorta~ considered as a nonlinear viscoelastic material with a dynamic constitutive stress-strain-strain-rate relation of the functional form Eq°(10). The physical parameters selected are noted in Table I below :
TABLE
I
~_.~ -- E_ e =
o,16 s~_., CL~ = FOO
CO =
500
=
j,&
G~/~
<sound speed i n the a o r t a a t z e r o t r a n s m u r a l ' pressure)
Fig. 3 shows the evolution of shape changes at lO~$intervals, with the shock wave progressing along the tube from right to left, as a function of the Lagrangian axial coordinate ~
. The end
~ =[eO~-is
held fixed, while the
remainder of the tube is free to move longitudinally, as depicted in fig. 4. Such longitudinal motion, although inhibited by tethering for vessels in situ, must be considered in in vitro laboratory experiments using excised tissue. The radial and longitudinal displacements vary smoothly but the demarcation between "shocked" and undisturbed regions of the vessel wall is quite evident, The axial distributions of fluid velocity in fig.5 resemble the shape changes of fig. 3. The pressure distribution in the tube, although not shown here, may be calculated directly from the variation of the extension ratio O~
in
fig. 6 and from the distributions of longitudinal and circumferential wall stresses in figs. 7 and 8, respectively.
The computational method possesses wide generality, well beyond that implicit in the above calculational example. The present analysis, in addition to admitting large longitudinal motions of a tapered tube, also included the effects of fluid viscosity and orthotropieity of the vessel wall.
229 The influence of variations of these latter parameters is surrm~arized in Table II below for the steady-state solution of flow in a tube of uniform cross-section obtained numerically from the unsteady solution as the asymptotic limi~ for long times. The v e l o c i t y ~ # ~ o f
the distal end of the tube ~ = o
lated from a simple finite difference at times of ~ O
The steady~state shock speed U
a n d ~
is calcu-
.
may also be estimated from the
velocity of the distal end of the tube, in terms of the extension ratio In a small time i n t e r v a l ~
, the tube elongates in the region over which
the shock has passed, by an amount equal to the strain by the speed ~
(=~-i)
multiplied
of the wave front, that is
or
This estimate of U
which zs indicated in Table II, agrees favorably with
that computed from the full solution.
TABLE
- ~e~/dt case n °
4
II
-U
cm/sec
enl / s e c
No tes
250
1.242
1040
parameters as in Table I
185
1.175
1055
parameters as in Table I except F..~= ~ E O
316
1.317
I000
parameters as in Table I except ~ _ ~ J / ~ ~--O
250
1.245
1020
parameters as in Table I except /~ = . O 5 ~ t ~ j laminar friction law
183
1.154
1190
parameters as in Table I except ~ =~O ~
230
Upon comparing the exnension r a t l o ~ f o r cases 0 and 3, it would & appear that the fluid viscosity, and consequent drag on the tube wall, are not significant, although this conclusion remains tentative until further examples are examined. This would indicate that the wall forces are much more important than viscous drag in determining longitudinal displacements. However, Table II brings out the considerable influence of the orthotropicity on the extension ratios, In fact, both changes in the axial wall elasticity ~
(cases O, I and 2) and in the axial viscoelastic modulus ~ ( c a s e s
effect important changes in the extension ratio ~ .
0 and 4)
The steady state shock
velocity appears nonetheless relatively insensitive to such changes, with the exception of nhe viscoelastic parameter ~
. It may well be possible to
&
exploit the sensitivity of the wall elongation as an indirect measure of the circumferential or axial wall moduli of biological vessels subjected to rapidly changing loads.
5. CONCLUSIONS
A numerical method has been described for the calculation of the unsteady flow of an incompressible viscous fluid in a distensible tapered tube possessing orthotropic viscoelastic properties. The formulation is quite general, including the fluid-wall interaction, the tube wall being characterized as a ~hin shell with negligible bending moments.
lllustrative solutions have been presented for the biomedical phenomena of a pulsed flow of blood in an excised segment of human aorta, subjected to both radial and longitudinal deformations. The complete solution includes the time variations of wall shape, stresses, strains and fluid velocity, computed in conjunction with a realistic dynamic constitutive model for the aortic wall.
The example presented possesses an impulsive inlet flow sufficient to produce ~'shock-like" signals along the vessel wall. These sharp wave fronts do not endanger the inherent stability of the numerical two-step Lax-Wendroff scheme, provided that the stability criteria are properly observed.
231
REFERENCES
Apter, J.T., Rabinowitz, Cummings, D.H. (1966): Correlation of Viscoelastic Properties of Large Arteries with Microscopic Structure, Circulation Res. 19 : I04 - 21 Collins, R., Hu, W.C.L. (1972) : Dynamic Deformation Experiments on Aortic Tissue, J. Biomechanics ~, 333-337 Kivity, Y., Collins, R.(1973) : Nonlinear Wave Propagation in Viscoelastic Tubes, J. Biomeehanics (in press) - Vol 6, n o 6, Dec. 1973 Krauss, H. (1967) : Thin Elastic Shells, John Wiley, Chap. II Ling, S.C., Atabek, H.B., Carmody, J.J. (1968) : Pulsatile flows in Arteries in Applied Mechanics, Proceedings of the 12th Int'l Congress of Applied Mechanics, Stanford University Aug. 26-31, 1968, pp. 227-291, SpringerVerlag (1969) Patel, D.J., Fry, D.L. (1966) : Longitudinal tethering of Arteries in Dogs Circulation Res. 19 : 1011-21 Patel, D.J,, Fry D.L. (1969) : The Elastic Symmetry of Arterial Segments in Dogs, Circulation Res. 24 : I-8 Reissner, E. (]949) On the theory of Thin Elastic Shells, in Reissner Anniversary Volume edited by Polytechnic Inst. of Brooklyn, J.W. Edwards Publisher, Ann Arbor, Michigan Schlichting, H. (1968) : Boundary-Layer Theory, 6 th edition (transl. by J. Kestin) Mc Graw-Hill, New York
232
FIG.! MIDDLE SURFACE OF S H E L L ~ COORDINATES AND
UNIT
WITH
~2 8
ON M I D D L E
VECTORS
MIDDLE
SHOWING SURFACE
ASSOCIATED
SURFACE
233
,
II "
~11
FIG. 2 E L E M E N T OF S H E L L SHOWING STRESS
R E S U L T A N TS
234
o
~m
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]> m
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DISPLACEMENT
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FIG.6 EXTENSION
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LONGITUDINAL AT S E L E C T E D
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Q 4"
hi 5"
ILl
w
~
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;
;
:
:
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~
Q
!
i:
E
o~
i
D-
J i--
z w
0 w -J
w
w
h _ . o~~ [ ~ p ( 0
,----
~ O V ~ v.L
..... I
!
i
!
I
t
6~
G.I.Marchuk, V.V.Shaydourov
Increase of Accuracy of Projective-Difference Schemes 1. Abstract. In this paper with simple examples there is examined one of the improvement methods of approximate solution, which is derived with integral equalities for elliptic differential problems. The improvement method is to use some approximate systems having low order of accuracy and depending on the mesh size as the parameter. A linear combination of solutions of these problems is made, which has a given order of accuracy limited by only a degree of smoothness and the data of the differential problem. An idea of this method is due to L.F.Richardson, but E.A.Volkov and some other mathematicians obtained a constructive proof for some problems in the 1950's. We research the realization of this method for an ordinary differential equation (in detail, as as illustration), an elliptic differential equation in a rectangle and in the domain with a smooth boundary, and an evolutional equation with a bounded operator. 2. An ordinary differential equation. For a function = [0,1]
~<~)
, the notation
tinuous derivatives of Let the function
, which is defined in the segment ~ ~ Ck(~
q<~3 aaC~(~]
L u = - - (au')~* ~
:~
on
G
means existence of the conup to order
k
be found from the equation
in
G : (O,~)
(1)
241 boundary conditions
with
(2)
~(0) = O,
($) The coefficients of the equation (~) a(~) ~
>0,
~ ~ ~
~(~
are nonnegative:
(~)
~0
Let:
6
~e s c a l a r p r o d u c t s . For t o c o n s t r u c t (3) we fix integer
algebraic
~ >0
and denote
Let us introduce a set of
([. COh(cc~)=
a
fttuctions,~e~Ln~
t f <:,. c ~ + -L ") ot~ ) /.[ t / a Ctj -++_') ot ~ , i~
~/~e(~,
x - "t e ( - "k , o ) ,
t-[ (:r<.-~ t~. "ti a ( t~ ÷ i- ) d'l: )l !-,h.sti oc ( $ +Jc) d'E , ;i'~ ~-~a[O~h) 0
and for
system a p p r o x i m a t i n g problem ( 1 ) -
(6)
or el~;~
~ =
m-~ ~ (-~,o).
COk( ~ ,4') =
-1,,.
0
-h
or
(7)
else
The equation (I) is multiplyed b y every function (6) and is integrated
ove~
x :
The methodic value of the test
functions (6) - (7) is in
242
fact that the
term
is approximated exactly. We
of a W o o ~ d ~
approximate the other
term
so
aS
to obtain Ritz's method
system:
(8. a) It is notprincipal, but proof is simpler. The boundary condition (2)
~ield
tt ~(o) = 0
(8. b)
and the condition (3) with the equation (1) permitsus to obtain approximate
equation
(8.c) .,~ e_ & h
If we unite the equations (8. a) - (8.0) and denote oo~ ~ t j )
, we
have
@~,~
system
i
i ~e.%& h @~,~Uh(Z')=(f.,~h(x:,~)),
V~.e Gh,
(9)
which is equivalent to Ritz's method system, when one takes linear space of functions (6) - (7) as the system (9) has a us
approximate
subspace. Therefore
unique solution. For further account
let
estimate solution of system
,7_.. e~,~ -o-(~) --d (tdb
V t j e e, h
F=a__.~. h
~__ h@%4 ~(~) . y a (~) ~(I) = ~ (I)
(lo)
243
Lemma 1. For the solution of system (10) estimation (11) ~,E G,h
~eGh
is valid. Proof. Let us denot~ ~(~)--~_ e ( ~
ooh (~,~)
~(N)
every equation of system (10) b y
, multiply
and sum up ove~
~F~ ~G h
With the condition
t~(0) = 0
with help of Sobolev's theorem
the left part may be decreased
[ 3 ]
:
There is the inequality
is valid for the right part. If we devide these inequalities by ~naxl~
i , we obtain the lemma statement.
Let us consider a connection between solution of system (9) and problem (1) - (3). Lemma 2. Let us suppose that and integer ons
~
~
k>~ 0
a a C~k~(G), ~ ,
in equation (1). Then there are
C~(~_p..O(~)
which do not depend on
41
~ ~ ¢ak (6) k
functi-
and V~(o,~)
k {:~
(12)
where descrete function is bounded:
~o,~. I~,~(~I "--c
~#i~ (od).
244 [1 ]
Proof. In analogy with
let us suppose decomposition (q2)
being. We shall find necessary conditions and make them sufficient. So, let us substitute phrase (q2) in system (9) and change its right part:
~: ~ ( 0 )
(l~.a)
+ ~z~+~(O) = 0
k
(lZ~. b) V~eO~
~e~ h
~=~±~I,~
Let function
V~e~
• Let
0 ~ , ~ :#- 0 ~ c (0,~)
t~e C~(~)
A(~) = 7_ ~ with functions
(14. c)
~=~
T,et us note t h a t values
,
and
only for three and examine quantity
h ~ mLn { ~ , ~ - ~ ~
, then
~-j(~ *~3 ~*~ ~'(~)
d~ e C~(~_~)(G~
and with a discrete function
, which do ~k
(~5) not depend on
,
, which is bounded by costant,
consisting of moduli of derivatives of the functions It follows from derivation:
( ÷ o) = o
~
dj =
(.o)
m
,
~
,~
•
245
q/h =
~ ~n~ * ~
The estimation of ~(~)
~h
(similar (13)) is obLaiued by change
o{
£or Taylor's line
,JU-e ( ' ~ , N )
L:~
Further,
similar
(2- P-)t
"
way g i v e s us E-4
(16)
]=i
where functions
~
flk
,
have such properties as
accordingly. Using now statement (16) for ons from (15) we have
dj
, u/~
(E-4)o{ different fuucti-
by the induction E-¢
~6 h
The functions
(17)
qj
,
~
have such properties as
dj
,
u/h
.
Similar way gives us formula E-4
~ _ 0~j ~(~) = [ e(~),
~hC~J~] + 2_ ~2~(~ ( ~ ( ~ j ) )
+
j ='1
and which
~j
are
the
same f u n c t i o n s
do not depend on
~
Now we use these formulae
as
in
(17),
~
changing
u
are constants
. b~
,
k
for
e
,
and substracting (17), (18) from (14.b), (14. c) k
~eh
=
Z~
k ~=~
.
"
(19)
246 ,
~C~
h
k
= k
=2_ Here
~ ~_ Cz(k_i) (~)
bounded:
t ~h ~,~)i ~ C
and do not depend on V ~ ~ Gk
Vk~
~
(o,~
;
~k
~
;
is
are
constants which clo not depend on Then we take
~
as
solution of
problem
(21)
1
a~ e Czk (~)
It necessarJl~ follows from this that not depend on
~
. Let us substitute
(18), multiply them by
~2
~
a~a ~oes
in identities (17)
-
and substract from (19) - (20)
k
k
(22)
W
It is obvious from (22), that it is necessaz~# to take
{A z
as a solution of a p r o b l e m
a~(O)= 0 %uch choice g~aarantees that the reguirem~¢
£o ~a
is valid and
that we have possibility to take away elements in (22) with multipliers
h~
~
h~
•
Continui~gi~th~s ~&~uer, over
k
steps we come to system
247
(2~)
A
A
with bounded discrete function solution~
i.e.
~h
~
. This system has a unique
is found by a unique way so that (12) is
valid when the functions
a~
are chosen. The estimation (13)
follows from lemma 1 and from a fact that the function
~
is
bounded. Lemma is proved. The decomposition permits us to Theorem I.
Git~e~
basis
the conditions of lemma 2,one may find so-
lution of problem (I) - (~) which has where
improvement method.
accuracy
of order
~ = rua~c h e Proof. When a point
~
(where we find
is a common one for all regular meshes, a higher accurac~j iS
made
up
a~
)
(x)
value of
solution
£ollows k+~
Here
he
is a solution of
is equal to
~
coefficient~ of all
problem (9), when the
, and {he ~
u~
achieved by a choice of~e
are chosen so
mesh ~ize that the
vanish in the linear combination. from
That is
system
C=t
(24)
~=~
In this case on basis (13) it follows k.4
e=4
{Nat 2k+4
248
For to estimate
one may solve the system (24) by Kramer's
~k
method using result~
of
[2]
on Vandermond's determinants:
From these formulae with a condition
h~/he+~ ~Ic~>~ , V ~=~...,k
it follows that c~
(
When point
x
v
is not common o~e for all meshes it is neces-
sary to use an interpolation. ~ point C~k¢
The smoothness of functions
permits us to conclude that using Lagrange ~
from
we may
( k * ~)
interpolation to
obtain, the decomposition (12) with the same functions
~k~
c
in the estimation of
where derivation estimations of
interpolation weights tionS(q2)
and
neighbouring points of the discrete mesh
i~a . There is changed only the constant functions
~
appear in addition.
is made in the point
~
If
~
,
~
and
(k * ~ )of decomposi-
by interpolation,
the higher
accuracy method is like above. Remark. The proof may be used without any changes in a case of when the coefficientsVthe right part (and the solution) are piecewise smooth and there are conditions in every point of discontinuities of function
where
~a
is a certain constant. T o
this end the discrete
meshes must be regular in each piece of smoothness and the points of discontinuities must be points of meshes.
249
~. The Laplace
equation in a recta~le.
Considering the Laplace
equation in a rectangle we try to
show one of way of work with a n g ~ p o i n t s .
The main difficulty is
bad solution smoothness near angul~rpoints notwithstanding
good
smoothness of all problem data except boundary. In this section
O< m~,~ <~
is an open square:
in
for two points
R a with boundary
~, ~
R~
G=~:~
F
, ~
=(~4,x~) is
G U F
; and
the distance is: loc-~i~l=((~c~-~'~) ~-
For to simplify our considerations let us examine an equation with constant coefficients, Laplace's equation
Our problem is to find
function
~
which satisfi~
equation
(I) and condition u
=
0
on
Z.
(2)
For to describe differential properties of the solution let us introduce norms k
M~. [~] =Y__.m a ~ od~-k(~)1~(~c) I
(3)
and
(m~ ~ , ~ ' ~
where
k
,
m
I ~ -~'1 ~
are integer nonnegative numbers,
is distance from
~
(4)
o( ~ [ 0 , ~ ]
to nearest square angle,
We use usual classes of smoothness (s.f. is a class of functions which have in
~
continuous deriva-
250 rives and the quantity o
(5)
is limited. ~,~
(G)
is the set of functions from
closed set
~
C
~
Q~
(~)
for any
,
It follows from monograph
[ 5 ]
that notwithstanding
good
smoothness of the right part:
f E C2e.~,~. (CV) the solution
but not
o{ ( 0 - ( 2 ~
is v a l i d
(6) for
for
i.e. quantities in the right part of (5) may be infinite. But investigation of discontinuities
[5 ]
shows that
asymptotic behaviour of
is less than some orders of
~/~
, namely, quanti-
ties • --
~.~,~
[~3
(8)
are limited. Moreover it is sufficient that one has more weak assumptions for it ~ Cz~.~,~(~)
Mo[ ] ~ M ~ [ ~ ]
and quantities
V~ = ~,...,2E+~, M~,~[~]
(9)
are limited. Some difficulti~with infinite derivatives are avoided with the help of a special choice of a discrete mesh which is condensed near the discontinuities points. Let
251
4
o
A positive parameter > 0
and let
o
will be chosen later. Let us fix integer
~ = ~/~q
and
(~)
q: nF. The basic functions are introduced as follow~ ~(I
k ~-
:
!
qo (~ - ~
(~:,~:' ) :
0 or else We multiply every £~rm
on, integrate
i~
over
of the equation (1) by a basic functi~
. Then we change some integrals
(after integration by parts)for simplest quadrature f o r m u l a e : V ~ e G ~
~h(~,,~(~r~)
Thus let us note that discrete operators defined. An approximate
(13.b)
~(~4"m~ ÷~) ~ u~(~,~O
A
and
system may be written i~ a form
B
are
252
A (~) u)'(:c) + B C~, u~(~:)--.fS(o~) ~ h ( ~ , x t ) d x ~
V~c e
6~,
6
(lZ~)
The special form of an approximating error permits us to 0bta~ (ewn
to
in case
h ~*~
where
ff ¢ Lz (~)
( ~ ~ (O,C})
P(~)
c O h C ~ , x ~) even for
) t~
speed of convergence is equal
i n the norm
is the area of the support of the function with respect to
~ (+-) =
~ct
. Namely for any
and
~70
(i.e. the mesh is regular) the solution of the
system (1#) converges
to the solution of the problem (1) - (2)
and there is an estimation
where constant
¢
depends on
~
only.
To prove this statement and the more general one w~ sha~ heed some results about a steady characteristic and approximation. Lemma 1. If functions satisfy
~
and
~
a~e defined on
systems
V ~¢C~k qo ( ~
and
=0
V~eF~
Gh
and
253
T ( . ) ---o then the
estimations
V:z~. l-i~
are
11o c, il llo where
c~
,
c~
do
Lemma 2. Let
a.d
not depend on
t~(oc)
and the condition ( 8 ) .
va1~d
liq.'ito ~
%_tt tlo, and
~
b~ the solution of the problem (1) - (2)
Th~}R [ G.
where the functions
~t
mula (10)
ie~
~
>., 2 E
do
not depend on
~t
satisfie~(9), where
and
~
depend on
h
h
,
6
. And if in for-
,
(16)
[ -i is instead of
~
;
~
but they are regular bounded with respect
:
This result
is sufficient for using the proof which is similar
to the second section proof (see also the proof scheme in This
[1]
).
gives us Lemma ~. In conditions
converge~ ( ~ + ~) on
l+
condition
.*- .5 + ~
h
2.L
L=i
then
to
.
h
(9) the solution of the system ( I # )
to the solution of the problem (1) - (2) and there are functions and for any
t~ e C 2 E _ ~ k ~ ~ ~ >~ (0 ~ h 4~)
(G~
which do
not depend
254
(18) If ~>~ 2e ÷5 + M valid (
~- k
then for each
is instead of
bounded for all
h
~
i~k
the condition (8) is
) and the function
&h
is
in the sense:
Remark. The estimate (19) involves estimate modulo
(20)
where
ck(~)
is defined by ( # ) .
That is why the final resultYformulated as £onow~. Theorem i .
Give~
(with the help of
(~-2]
the conditions of lemma 3 o n e
solutions of the system (14) with diffe-
rent mesh Size~ hk) the approximate
solution of the problem (I) -
(2) which has a precision of order
where
c7
do
may find
not depend on
~
~z~*~*~
, h
and
:
~ = nqa~
hk
i~k~E~2
Remark, The p r o o f and the above t e c h n i q u e are s u i t a b l e f o r the problem (i) - (2) in the
cases:
a)o when the right part of (I) has first sort discontinuity lines which a~e parallel to coordinate axes; b). when the solution has first sort discontinuity on such lines and there are conditions for the solution
a (,x- o) = a(oc÷
and for it~normal d e r i v a t i w
o)
255
an
( ~
(m-O)
=
8~
(~+0)÷
is a unit normal direction). An argument
~ ÷ 0
means that
we take a limit on the right side of the discontinuity lines. It is similar for
~-0
.
Both in the first case and in the second case it is necessary that the discontinuity lines are the mash lines. But in the second case we m u ~ t condense the mesh lines near in~e~c~io~ of boundary and the discontinuity lines.
4. The elliptic equation in a domain with a smooth boundary. When we solve the elliptic equation in a domain with a smooth boundary we have some difficulties of an approximation because mesh is not regular
~h~
near boundary.
A way to avoid this difficulty is to adjust domain. We explain it by example with a domain with
mesh and the one boundary
component. Let there be transformation which is smooth enough and which transforms the initial domain to the circle. Then we need introduce polar coordinates. Now the domain
is a rectangle, where
the equation is defined. If the domain has two boundary components we reduce it to ring and so on. When the transformation may be found easi]~ such a
way has an
algorithmical profit. If the Dirichlet method, described in
problem is examined then one may use a [4 ] . This method contains a multipoint
interpolation formula which has a high precision. By choice of free parameters in formula one may take a diagonal dominance in the obtai~
algebraic equations. It permits us to put up stable system
of algebraic equations.
256 Using the indicated methods one may solve Dirichlet's problem in a different domain. In this section we examine the question about an improvement of a solution of the penalty method. It follows from the use
of a boundary penalty in the Ritz
come from the Dirichlet
[ 6 ]
that
method permits us to
problem to the third boundary p r o b l e ~
And if the solution is smooth enough then
adding
the penalty
to the variational functional is equivalent to coming from a problem
(1)
to the problem
(2) u~
+~
= Q
r.
on
Here
L -= - 2.. cLtj ~ : ~ L B ~
+ Z. ~L'~-:~-~ + C is a domain in
is the elliptic differential operator,
RP
space
with a boundary
F
(3) p
-
is an unit external co-nor-
,
mal° Similar as above let us suppose the existence of the decomposition &
~ - = ~ ÷ ~ ~ - ~ ÷ ~.~"~' ~ , where the functions ~a
tr~
do
~.,o, p~_ r.o,~] (4)
not depend on
~
and the function
is bounded. Then we substitute (4) ~u the problem (2) and
compare coefficients for every power
&
. Thu%
we put up
257
sequence of problems:
1)
/~u=÷ u:$
2)
;~
F
=o
& =--F'~
i)
F
o~
tu
Le t :0
r
on
~÷~)
L~ ~
VL = 'I, . . . ,Z
o
:
~ +
If this problem has a unique solution then the functions are found
recurrent1~
bounded by a power of
. The quantity of the members in (4) is smoothness of the problem data.
If one has the decomposition (4) one may
obtain
of (I) by linear combination with accuracy of order usi~
for it
~*~
solutions with different
Ek
the solution E~
,
•
5. The numerical solution of an evolutional problem with a bounded operator. to show that this method is universal
We need this section for any type of equations. In Hilbert's space
X
with a norm
consider functions of one real variable section we write k
~ E Ck
if
continuous derivations (s.f. Let us examine a problem
ll~ II= ( ~ £ ~ [O~T]
has a value in
[8]).
~c) V~
we
. In this ~
and has
258
at~ B+A : X -* X
where
[ O,T ]
on
+ Au
~a)~
~
[O~T]
A(~) = ~
sum
,
u(o)
-- u o
('1)
,
is a linear operator, which is regular bounded
and positive h~
--- ~
A[(h)
semi-definite in
. Let the operator , where
i=~
which are regular
a
A
be
AL:)[ -* X
bounded and positive
sense:
(A~,~)=
0
decomposed in the
are linear operators,
semi-definite
on
[O,T]
.
For numerical solving we use a splitting-up scheme
u
(t-~ (2)
and t~ ~ (0'} = t ~
Here
o~
is a regular net with the slze
unit operator.
Let
It follows from
us note
stableness.
that
the
[I ]
T = T/M
,
I
is a
that the scheme is stable:
sem-definiteness
is
taken
for
the
We may lay aside this supposition if we choose the from the condition of the limitation of the operators
s~ze AL •
Theorem I. Let is enough right part
~ ~ C~
and
to have a unique solution ~a Ck
has a smoothness which
A Qh)
u ~ C k~
and any initial value
aoaX
for m~y (O~k
~ S).
259
Then there are depend on
(s-~)
C
functions
e~ a £s ~
not
and decomposition
is valid. Here discrete function
II
: ~
where constant
~ s
II
is bounded:
,
C~.T
c
does not depend on Proof
which do
depend on norms of derivatives of T
and
.
may be constructed zuch a way. At first let us suppose
the decomposition (3) ~xist , Let us fix any froE
(~)
~ ~0~
t~(~)
and
t~Ct-~)
(using decomposition (3)) and substitute Taylor's
formula for any functions the point
, expel
£
that we have functions only in
So
. Comparing coefficient of all powers of
E
we
put up discrete systems
Besides,expressions
taking part in
If we change the domain list of problems and smoothness of
e~
Ct
~
~L
include only a, ~, ..,~t_~ .
on the interval may be found
(0~T)
we obtai~
recurrently
The
follows from supposition of the t h e o r e m a n d
the independence of
follows from a kind of the equations and
their right part. Assuming
¢i to be given we define
valid. Then from the way which we find
From the stability
~ ~t
so that (3) is it follows that
of this system and from a kind of
~q
260
(which is a combination of derivatives of plications
by
A~
) estimates follow
u~ ~ for
~
and any multi.
On the basis of this result the usual considerations give us TheoremS2. Give~ ~be conditions of theorem 1 and solving problem with different ~ b
~ize T~ one may find approximat~
tion of the problem (1) which has precis~o,of order the norm of space
X
in each point of
[0,T]
$ solu-
O(T~) (here ~ = m a ~
in ~)
LITERATURE 1. G.I.~archuk. ~ethods of computing mathematics. Novosibirsk, ~'Nauka'~, 1973. 2. R.Bellman° Introduction in matrix theory. New York, Toronto, London, 1960. 3. S°L.Sobolev. Some applications of functional analysis in mathematical physics. Printed by Siberian Brunch of AS of the USSR, Novosibirsk, "1962. 4. E.A.Volkov. Solving Dirichlet's problem by: method of improvement by higher order difference~ "Differential equations", v. 1, No 7, 8, 1965. 5. 0.A. Ladizenskaja, N°N.Uraltzeva. Linear amd quasi-linear equations of elliptic type. ~oscow, "Nauka"~ 1964. 6. J.L.Lions~ Quelques m~thodes de r@solution des probl@mes aux limites non lin@aires. Paris, 1969. 7. A.A.Samarski. Introduction in theory of difference schemes. ~oscow, "Nauka", 1971. 8. HoCartan. Calcul diff@rentiel. Formes diff@rentielles. Paris, 1967.
METHODES NUMERIQUES EN ELECTROMAGNETISME J. Ch. BOLOMEY Laboratoire d'Electronique
G~n~rale
E c o l e SupErleure d'Eleetricit~
Universlt~ de Paris Vl
INTRODUCTION
Vans l a t e c h n i q u e , aspects tr~s varies.
l e s probl~mes d ' ~ l e c t r o m a g n ~ t l s m e p e u v e n t r e v ~ t i r
Aussl convlent-il
de p r ~ c i s e r ,
m i t e i c l aux prob1~mes de r a y o n n e m e n t , de d i f f r a c t i o n , qu'ils
se p o s e n t e s s e n t i e l l e m e n t
e'est-~-dire
des
d~s m a i n t e n a n t , que 1 ' o n se l l de p r o p a g a t i o n g u i d ~ e , t e l s
dans l e domaine des ondes c o u r t e s e t u l t r a c o u r t e s ,
pour d e s l o n g u e u r s d ' o n d e s c o m p r i s e s e n v i r o n e n t r e un m ~ t r e a t u n m i l -
li~tre. Pour l e s h e s o i n s p r a t i q u e s , ~ q u a t l o n s aux d ~ r l v ~ e s p a r t i e l l e s
la descriptionmacroscopique
avec c o n d i t i o n s aux l l m i t e s
c o n d u i t ~ r ~ s o u d r e des probl~mes i n t ~ r i e u r s nement, d i f f r a c t i o n ) . une r ~ s o l u t i o n al.]
( g u i d e s , c a v i t ~ s ) ou e x t ~ r l e u r s
et
(rayon-
11 e s t b i e n connu que s e u l s q u e l q u e s c a s s i m p l e s se p r ~ t e n t
c o m p l e t e p a r l e s m~thodes de 1 ' a n a l y s e c l a s s l q u e [JONES - BOWMANe t
. Toutefols,
des m~thodes a p p r o c h ~ e s p e r m e t t e n t d ' a b o r d e r
l o n g u e u r s d ' o n d e t r ~ s g r a n d e s ou t r ~ s p e t i t e s cles,
de MAXWELL -
- est sufflsante
ou de t r a i t e ~
par perturbatlonpdes
l e s c a s e x t r e m e s des
p a r r a p p o r t aux d i m e n s i o n s des o b s t a -
c a s v o i s i n s de ceux q u l s o n t a n a l y t i q u e m e n t
solubles. Vans l e domaine d i t de r ~ s o n a n c e off l a l o n g u e u r d ' o n d e e s t du ,~me o r d r e que l e s d i m e n s i o n s des c o r p s r a y o n n a n t s ou d l f f r i n g e n t s ,
s e u l e s des a p p r o c h e s n u -
m~riques peuvent ~tre envisag~es. La p r o g r e s s i o n
e o n s t a n t e d e s p e r f o r m a n c e s des o r d l n a t e u r s
r l s ~ ce g e n r e de r ~ s o l u t l o n .
Le t r a l t e m e n t
num~rique p e u t ~ t r e a p p l l q u E a d l f f ~ r e n t s
s t a d e s de l a mlse e n E q u a t i o n . 11 p e u t l ' ~ t r e p a r l e s m~thodes u s u e l l e s nateur a rendu possible sous forme d ' ~ q u a t l o n s
: differences l'exploltatlon
intEgrales.
a largement fsvo-
flnies, directe
d i r e c t e m e n t aux ~ q u a t i o n s de MAXWELL ~l~ments finis.
Cependant, l'ordi-
de l a t r a n s p o s i t i o n
d e s probl~mes
262
En gros~ le point de vue des ~quations aux d~riv~es partielles a surtout ~t~ utilis~ pour les probl~mes int~rieurs, eelui des ~quations int~grales pour les probl~mes ext~rieurs. Cet expos~ eat divis~ en trois parties. La premiere est consacr~e ~ la formulation in=~grale et aux d~veloppements successifs dont elle a fair l'objet au cours des derni~res armies. On s'est propos~ de presenter une synth~se de m~thodes qui ont ~t~ r~eemment d~velopp~es par diff~rents auteurs et d'en d~gager les principes les plus significatifs sans entrer dans le d~tail des algorithmes qui sont connus par ailleurs. La bibliographle permettra au lecteur d'obtenir des renseignements plus complets sur une m~thode plus particuli~re et sur son champ d'application. Dans la seconde partie, au contraire, un exemple complet est traitS. Ii consiste en l~adaptation d'une m~thode r~currente originale ~ un probl~me de diffraction multiple. II s'agit plus pr~cis~ment du calcul d'un r~seau limit~. Dans ce cas, on est conduit ~ r~soudre des systgmes lin~aires de rang ~lev~. Enfin, il ne nous a pas sembl~ n~cessaire d'insister sur le traitement direct des ~quations de MAXWELL. En d~plt des applications pratiques de plus en plus nombreuses de cette m~thode de r~solution, le principe en reste toujours plus ou moins le m~me. Toutefois, des proc~d~s efficaces permettent d'acc~l~rer la convergence de ces m~thodes num~riques~ Ce point sera illustr~ dans la troisi~me partie & propos de la microligne & ruban (microstrips).
263
PREMIERE ==
PARTIE
m = = = = = ~ = = = =
l.l. - REPRESENTATION INTEGRALE EN REGIME HARMONIQUE -
Un exemple simple permet de rappeler bri~vement le genre d'Equations auxquelles conduisent les representations int~grales du champ Electromagn~tique. C'est ~galement l'occasion de prEciser les notations qui seront utilis~es dans la suite. La diffraction d'une onde E1ectromagn~tique par un obstacle parfaitement conducteur eonstitue un cas simple. II permet, n~anmoins, d'illustrer la plupart des propri~t~s caract@ristiques de la formulation intEgrale. Soit done un obstacle S parfaitement conducteur place dans une onde incidente connue
~g°(~) J ~ )
cr~Ee par les courants
-~LT~)(Fig. I). Comme dans
tousles paragraphes consacr~s au regime harmonique, la dependance temporelle en ~f~(~)
est implicite. Le problgme consiste ~ d~terminer, par exemple, le champ
~lectrique total
~(7) au moyen des Equations :
(])
(2)
4~A
•/
oc E- E
(3) Cf't. e
(5)
o2 ~ = ~ 0
3
f"t
(4)
=__o
~--~
./
-I
"X.E ...9.,g
est la constante de propagation dans l'ouvert ~-~eext~rieur ~ $
suppos~ lin~aire, homog~ne et isotrope ; ~ et ~
,
d~signent respectivement la per-
mittivlt~ et la perm~abilit~ du milieu correspondant (Unit~s du syst~me M.K.S.A.).
264
~c
Figure | . La condition (3), dite de MEIXNER, limite les singularit~s possibles du champ, la condition (4), dite de SILVER-MULLER, en fixe le comportement ~ l'infini. Par ailleurs, le corps ~tant parfaitement conducteur, le champ ~lectrique est normal R ~
et identiquement nul dans l'ouvert ~ £ 1 n t ~ r i e u r
~ ~.
Le probl~me ainsi pos~ admet une solution unique qui peut ~tre @crite sous la forme
(6)
~JESSEL] :
EC~) =
~
¢~')
+
(7)
ave c
4~ I~-~'1 ~-0~
:
fonction caract~ristique de .~-~
L'int~r~t de cette repr~sentatlon est d'inclure les conditions (2) et (~). Par passage g la limite ~ L - ~
et en utilisant ~ nouveau la condition (2), on
obtient deux ~quations int~grales en ~
:
265
(8)
(9)
2
En raison des singularit~s des noyaux, les int~grales doivent ~tre prises au sens des parties finies. Connaissant ~ ' ~" 2 miner~
et ~°(¢)
pour~
, on peut d~ter-
au moyen de l'une d'entre elles, puis calculer le champ en un point quel-
eonque de ~
par report dans (6) et (7).
Ces ~quations vectorielles se ram~nent ~ deux ~quations scalaires coupl~es pour les deux composantes de ~
dans un syst~me de coordonn~es convenable. A d~faut
de pouvoir utiliser un m~me syst~me pour d~crire route la surface, on adopte plusieurs syst~mes adapt~s aux diff~rentes parties de ~
.Dans certains cas tr~s par-
ticuliers, on obtient une seule ~quation (conducteurs filiformes [THIELE] , probl~mes cylindriques ou de r~volution). Comme en th~orie du potentiel, la formulation int~grale est ~ la base des premieres ~tudes th~oriques sur la diffraction. L'~quation (9) par exemple est due MAUE. Tr~s longtemps, ces ~quations ont fourni le point de d~part ~ de nombreuses m~thodes approch~es dans les cas extremes oO les dimensions de l'obstacle ~taient tr~s grandes ou tr~s petites devant la longueur d'onde. Pour le reste, elles ne pr~sentaient qu'un int~r~t tr~s formel. Ii fallut attendre les possibilit~s offertes par les ordinateurs pour aborder num~riquement le domaine de r~sonance. Parmi les pionniers de ce genre de r~solution, il convient de citer ROW, MEI et VAN BLADEL, ANDREASEN, RICHMOND. D'autres r~f~rences peuvent ~tre consult~es dans l'excellent ouvrage ~dit~ r~cemment par MITTRA.
1.2. - RESOLUTION NUMERIQUE EN REGIME HA~MONIQUE -
1.2.1. - La m~thode des moments La th~orie des ~quations int~grales permet, du moins pour l'~quation (9),
266
la discussion des conditions d~existence et d'unicit~ d'une solution. Ii en r~sul~e que cette solution existe e t e s t unique pour route fr~quence distincte du spectre discret du probl&me compl~mentaire de la cavit~ ~
£HONL et al ~.En dehors de ce
spectre, de nombreux proc~d~s peuvent ~tre utilis~s pour rechercher une solution approch~e. Dans la technique, on les regroupe sous l'appellation de m~thode des moments [HARRINGTON a] . Rappelons-en tr~s rapidement le principe. L~une ou l'autre des ~quations (8) ou (9) peut ~tre ~crite sous la forme :
(I0) o3~
L est un vecteur connu~ ~
= est ~ d~terminer. Tous deux appartiennent ~r~O, es-
pace de HILBERT des vecteurs dont les composants sont de carr~ sommable surS. On d~finit en particulier la norme :
Lest
un op~rateur linfiaire borng d e ~
~( ) sur~4 ~l~ments d'une base totale
dans~ { ~
.~ est approchfi par sa projection :
de telle sorte que l~on a la convergence normale :
tl
-o
Lorsque la surface ~ est r~guligre, m~ment vers L'fauation
"~ (10) devient
et ~
sont eontinus et
p,
converge unifor-
:
~_ ~ L i & , ) -
% -,-_o
Par projection sur une base de fonctions d'essai { ~ . ~ t&me lln~aire de rang flni N
, on est conduit & un sys-
:
AX=~ o3
A,..
=
<%,.,
Le choix des bases
,
~,.,,,9 > , et
~
x,,, = ~ ' , ~ .
est en principe arbitraire. En pratique,
il conditionne la simplicit~ du ealeul des coefficients A ~ n
ainsi que la rapidit~
de convergence de la solution, done le temps de calcul et la capacit~ de m~moire re~uise.
267
Chaque fonction adapt~ ~ ~
~_
ou ~
est d~compos~e dans un syst~me de coordonn~es
ou ~ des parties de ~ :
Les composantes ~
s o n t l e p l u s souvent r e c h e r c h ~ e s sous forme s ~ p a r a b l e :
Les f o n c t i o n s ~ t ~ e t A N p e u v e n t ~ t r e des polynSmes, des f o n c t i o n s t r i g o n o m ~ t r i q u e s , ou b i e n encor~ des f o n c t i o n s ~ s u p p o r t born~ de type r e c t a n g l e ou t r i a n g l e . l a commoditg de l a p r e s e n t a t i o n ,
Pour
l a m~thode des moments pr~c~demment d ~ c r i t e pour
i ' a p p r o x i m a t i o n normale dans un e s p a c e de NILBERT peut S t r e Etendue f o r m e l l e m e n t l ' a p p r o x i m a t i o n l o c a l e en u t i l i s a n t
des mesures de DIRAC dont l e r$1e s ' a p p a r e n t e
c e l u i des f o n c t i o n s de t y p e r e c t a n g l e . Ce proc~dE peut ~ t r e j u s t i f i ~
de fa~on p l u s
r i g o u r e u s e . Les n o t i o n s d ' a p p r o x i m a t i o n e t de c o n v e r g e n c e s o n t a l o r s ~ c o n s i d ~ r e r au sens des d i s t r i b u t i o n s .
Le t a b l e a u I i n d i q u e }es f o n c t i o n s qui s o n t le p l u s cou-
ramment u t i l i s g e s .
M~thode d' approximation
~
I Approx. Point-Point {eP~
l -~)
~i¢~. ~%-~k~
Collocation
........... Approx. Point- Segment( ~,
GALERKIN
I
l
~/~-~)
~
TABLEAU I -> La rapidit~ des variations de ~ d~pend de la longueur d'onde et de la rEgularit~ de ~
. Au voisinage d'ar~tes, par exemple, la densit~ de courant peut pre-
senter des singu!arit~s int~grables IVAN BLADEL, BOLOMFY et WIRGIN a] . En r~gle g~n~rale, la densit~ d'~chantillonnage pour les m~thodes de collocation varie entre 5 et 10 points par longueur d'onde.
Le rang de la matrice A devient ~lev~ dgs que l'obstacle est grand devant la longueur d'onde, ou lorsque plusieurs obstacles se trouvent couples. A titre
268
d'exemple, le rang N atteint environ 500 pour un cube dont le c$t~ est ~gal ~ une longueur d'onde. Aussi de nombreuses Etudes ont elles ~t~ consacrEes tent ~ la r~duction de ce rang qu'~ celle du temps de calcul. Le conditionnement de ~ est bon ~ condition de choisir l'~quation int~grale la mieux adapt~e ~ la surface S
. L'~quation d~duite du champ ~lectrique con-
vient pour !es obstacles minces. Au contraire, celle d~duite du champ magn~tique est mieux adapt~e aux obstacles ~pais. Les ~l~ments diagonaux sont alors pr~pondErants vis ~ vis des autres ~l~ments, ce qui est un faeteur de bon eonditionnement. Lorsque la fr~uence coincide avec l'une des fr~quences propres de la cavit~ ~
, les ~quations int~grales admettent une infinit~ de solutions et les matrices
correspondantes sont singuli~res. Ce ph~nom~ne est d'autant plus gSnant que l'on ignore, en g~n~ral, les fr~quences propres de la cavit~ et que les matrices ne sont jamais r~ellement singuli~res, du fair des erreurs d'arrondi et de la limitation du nombre de chiffres significatifso Les r~sultats calcul~s different localement tr~s sensiblement des rEsultats exacts sans qu'il soit possible de s'en apercevoir in~n~diatement ear les ordres de grandeur moyens sont comparables. Ii est alors n~cessaire de modifier quelque peu la formulation int~grale ou de eontr$1er ~ post~riori la validit~ de la solution calcul~e par des tests d'inspiration physique (conservation d'~nergie), ou bien encore d'utiliser des techniques de r~gularisation[ OSHIRO et al., BOLOMEY et TABBARA, KLEIN et MITTRA]. Les syst~mes sont g~n~ralement r~solus par des algorithmes directs, celui de GAUSS JORDAN par exemple. Plus r~cemment, l'algorithme it~ratif de LE FOLL a permis de r~soudre ces systgmes dans des conditions de temps comparables ~ celles des algorithmes directs. Des syst~mes de rang 300 ou plus sont ainsi solubles sans probl~me particulier.
1.2.2. - R~duetion du temps de calcul et de la m~moire requise La formulation int~grale, telle qu~elle a ~t~ d~crite, est extr~mement g~n~rale et permet de rEsoudre des probl~mes tr~s varies (forme de l'obstacle, structure de l'onde incidente) dans les limites de rapidit~ et de capacit~ disponibles des ordinateurs actuels. Ces contraintes peuvent varier de fa~on sensible dtun ordinateur ~ l~autre, mais en moyenne, d~s que N
d~passe 300, le temps de
calcul, et donc le co~t du calcul deviennent non n~gligeables. Ce temps inclut le calcul des coefficients
A~
(variation en ~ z ) et la r~solution du syst~me (va-
riation en N ~ ). Lorsque la m~moire centrale est insuffisante il est n~cessaire de recourir aux m~moires p~riph~riques dont les temps d'acc~s doivent ~tre pris en
269
consideration. Aussi de nombreux proc~d~s ont-ils ~t~ proposes pour r~duire le temps de calcul et/ou la capacit~ de m~moire requise. Ces proc~d~s peuvent rev~tir des aspects tr~s diff~rents, mais ils ont ceci en commun que tons exploitent un caract&re sp~cifique du probl~me abord~. Ainsi tout gain sur le temps ou la m~moire se traduit par une perte de g~n~ralit~. a) - Proc~d~s ntilisables au stade de la formulation Le nombre des coefficients
~n
~ calculer ainsi que celui des inconnues
pent ~tre r~duit tr~s sensiblement en tenant compte des ~ventuelles sym~tries du corps diffringent ou celles de l'onde incidente. Pour les corps de r~volution, l'utilisation de bases orthogonales ad~quates permet de snbstituer & un syst~me de rang ~lev~ plusieurs syst~mes de rangs inf~rieurs[ANDREASEN
b].
On pent ~galement tirer patti de toute connaissance ~ priori de la solution. L'exemple classique du ruban conductenr (Fig. 2) se prate bien ~ la description de diff~rentes m~thodes qui peuvent ~tre ~tendues, pour la plupart, & des problgmes plus complexes. Le champ de l'onde incidente plane est suppos~ polaris~ parall&lement au ruban. Le probl~me vectoriel se famine ~ un probl~me scalaire ~ une dimension. La densit~ ~
est ~galement parall&le aux bords du ruban et v~rifie ~ l'~quation :
--
,,~
seconde esp~ce et d'ordre z~ro ; ~{oC) = !
fonction de HANKEL de
~ ( ~ O ( ~ )
/ ~
~tant i'
angle d'incidence. e'~tude locale d e ~ singularit~ int~grale en
au voisinage d e ~ l = ~ ~ O( ± ~/~)'~/~
montre qu'il pent exister une
. Pour des rubans dont la longueur
est de l'ordre de la longueur d'onde, l'effet de ces singularit~s est important. La convergence du processus d'approximation pent ~tre acc~l~rd en tenant compte de ces
E° ~C z
N ° Figure 2 H 2-
+~_ P_
270
-> singularit~s dans le d~veloppement de O-
. Leur contribution peut ~tre compl~t~e
par un polynSme [ABDELMESSIH et SINCLAIR, NEUREUTHER et ZAKI] de degr~ peu ~lev~ : =
Les constantes
+
~j~
.....
etC. constituent les inconnues du probl@me et sont
d~termin~es en r~solvant le syst~me issu du report de cette expression Sans l'~quation int~grale. Pour des rubans larges devant la longueur d'onde, l'effet des singularit~s est relativement localis~ aux extr~mit~s du ruban, mais le rang de la matrice ~ devient ~lev~. Ii est alors possible de tirer parti des approximations de type optique. Le champ magn~tique total peut ~tre d~compos~ (Fig. 3) de la fa~on suivante :
o6 les deux derniers termes repr~sentent les contributions des rayons r~fl~chis et diffract~s (th~orie g~om~trique de la diffraction, KELLER, KOUYOUMJIAN).
Sur le ru-
ban, cette d~composltion se transpose aux courants. L'onde rgfl~chie s'obtient direetement ~ partir du champ incident : ~-e(~) = ~ - o ( ~ . dO sum rayons diffract~s,
~ ' ( ~ ) -= ~ 7 ° ( ~ :
En n~gligeant le courant
c'est l'approximation dite de l'opti-
que physique
| - Rayon direct 3 - Rayon r~fl~chi 2 - 4 - Rayons diffract~s
+~_
Figure 3
A une certaine distance des extrgmitgs, l'onde diffract~e peut ~tre simplement reli~e au champ incident par l'interm~diaire d'un coefficient de diffraction, connu analytiquement lorsque l'identifieation ~ un probl~me canonique est possible. Dans le cas du ruban :
271
=
b+
+
D-
e
En fait, il est apparu one des d~veloppements de ce genre ~taient tr~s vite utilisables, d~s que la distance & la discontinuit~ d~passait une fraction de longueur d'onde ~TSAI et a l ~
.
Ces approximations de type optique peuvent @tre utilis~es de diff~rentes mani~res. Elles donnent, bien souvent, des r~sultats convenables en dehors des zones d'ombre ou de discontinuit~ [voir par exemple BODY et ESSAYAG] . Aussi, Hans le cas du ruban~ pent-on se contenter de d~terminer plus soigneusement la densit~ de courant au voisinage des bords. II en r~sulte alors une r~duction sensible du nombre des inconnues. L'approximation de l'optique physique a ~t~ largement utilis~e dans ce sens pour le calcul des antennes ~ r~flecteur et celui des sections radar d'engins [OSHIRO et al.] . L'utilisation conjointe de la formulation int~graleet
de la th~orie g~om~trique de la diffraction a fait l'objet d'~tudes r~centes
[BURNSIDE et al., THIELE et NEWHOUSE] . Ce proc~d~ semble promis ~ des d~veloppements int~ressants°
Ii permettrait, en particulier, de d~terminer num~riquement des
coefficients de diffraction qui, actuellement, ne sont pas connus analytiquement. Une autre mani~re d'utiliser ces approximations consiste ~ retrancher le courant approeh~ du courant vrai et & r~soudre l'~quation int~grale pour le terme correctif.[TEW et T S A I ] .
De fagon plus g~n~rale, on pent d~terminer la perturba-
tion ~ apporter ~ la solution d'un probl~me connu pour r~soudre un probl&me voisin [CHOW et SETH] . II semble aussi que dans cette vole le gain en m~moire et en temps de calcul soit appr~clable. En compl~ment de ces m~thodes qui tendent ~ utillser tout ce que l'on pent conna~tre de la solution, d'autres, ~galement applicables au stade de la r~solution, consistent ~ transformer l'~quation int~grale initiale. MITTRA et LI ont propos~ d'utiliser la transformation de FOURIER. L'~quation int~grale pent ~tre r ~ c r i t e sons la forme :
o~ < ~ R est la fonction c~ract@ristique du ruban, k~(~)est une fonction inconnue° La transform~e He FOURIER de ~'[~) base~{~)}dont
, notre ~ )
les ~l~ments originaux N
~/~(~)
pent ~tre a~velopp~e Hans une sont nuls en dehors au ruban :
272
On peut choisir par exemple :
Par report darts l'Equation intEgrale, et apr~s projection de deux membres de I'Equation sur la base { ~
avec
~
0 ~
, on obtient le syst~me matriciel :
~
Lorsque le ruban est large devant la longueur d'onde, le rang de ~ ment infErieur ~ celui de la matrice originale ~ croissent rapidement l o r s q u e l ' ~ ' ~ I
est sensible-
. De plus, les E I E m e n t s ~ d E -
augmente. Ii est alors possible d'envisager
de rEsoudre le nouveau syst~me par des m~thodes itEratives utilis~es pour les matrices creuses. Pour une largeur de ruban ~gale ~ 10 longueurs d'onde, le temps de calcul est rEduit par un facteur I0, la capacit~ de mEmoire par un facteur 4. De plus, le diagramme de diffraction s'exprime directement en fonction d e ~
sans
avoir ~ intEgrer des courants. Cette mEthode est toutefois limitEe g des surfaces planes ou constitu6es de plusieurs surfaces planes.
Le temps de calcul peut ~tre r~duit en utilisant les propri6t6s des matrices
~
et ~
et OO
; ~
: ~
ne depend, pour une technique d'approximation donnEe, que de
ne d6pend que de la r6partition spatiale du champ incident et de
t~] . Pour eonna~tre les solutions
~4 /~
plusieurs ondes de m~me fr6quence
~
~'' X M
j ~...
~M
d'un m~me obstacle soumis , le moyen le plus rapide
consiste & rEsoudre simultanEment tousles syst&mes avec des seconds membres diff6rents. Dans ce cas, le gain de temps est compensE par une augmentation de la capacitE de mEmoire n6cessaire. Mais ce gain est tr~s appreciable comparativement aux deux autres solutions qui consisteraient ~ r6soudre les ~ ou encore g ealculer conds membres.
~-~
syst~mes sEpar6ment
puis les diffErents produits avec les diffErents se-
273
L'inconvEnient de la resolution d'un syst~me par une m~thode directe provient de ce qu'il est nEcessaire de r~server en m~moire la totalitE des ~l~ments de la matrice A
.
Les mEthodes it~ratives peuvent ~tre utilis~es avec profit pour de grands obstacles ou pour plusieurs obstacles en couplage l~che. Ces algorithmes permettent de tirer parti de la d~croissance des termes non diagonaux et procurent une r~duction du temps de calcul et de la capacit~ requise. Dans le cas g~n~ral, une r~duction de mEmoire peut ~tre obtenue par des techniques de minimisation~au d~triment du temps de calcul. Au lieu de rEsoudre le syst~me :
Z on minimise la quantit~ ; N
N
=
au moyen d'algorithmes varies [ P E R I N I ] q u i n~ des ~ z ~l~ments de ~
I
.X
ne n~cessitent plus le stockage simulta-
. La perte de temps provient de ce qu'il est alors n~ces-
saire de recalculer plusieurs fois les m~mes ElEments. Toutefois, le dEveloppement d'algorithmes rapides permet d'esp~rer une extension de cette m~thode. 1.2.3. - D~termlnation des mode.s...Garact~ristiques d e l'obstacle Comme on l'a soulign~ dans le paragraphe precedent, la matrice A ne d~pend, une pulsation donn@e, que de l'obstacle. PlutSt que de caract~riser cut obstacle par un tableau de NZcoefficients
complexes, il est parfois preferable de la carac-
t~riser par des grandeurs physiques. C'est i~ l'objectif des m~thodes d~velopp~es par GARBACZ, HARRINGTON et MAUTZ. Si la matrice A
est obtenue ~ partir de l'~qua-
tion int~grale du champ ~lectrique, c'est une matrice complexe sym~trique. dEsignant, respectivement, la partie r~elle et la pattie imaginaire de A pelle courants caract~ristiques de l'obstacle ~ les vecteurs X ~
VX~ Les valeurs propres ~
U
et ~/
, on ap-
tels que :
= %~UX~
sont r~elles, les vecteurs X ~ s o n t
~galement r~els
et constituent une base orthogonale. La definition des courants caract~ristiques au moyen de l'~quation prEc~dente implique l'orthogonalitE des champs rayonn~s par chacun d'entre eux sur une sphere de grand rayon entourant l'obstacle. Ces champs constituent une base utile dans les probl~mes de synth~se de rayonnement et dans les prohl~mes de diffraction inverse. La solution recherch~e
X
s'~crit alors simplement :
274
o~
~
d~signe
la matriee
transpos~e
de
~
Pour des obstacles
°
sions ne sont pax trop grandes devant la 1ongueur d'onde, les courants
caraet~ristiques
De faGon pratique, fectuer directement l'exp~rience leurs propres fonction de
correspondant
aux valeurs propres les plus faibles.
la d~termination
num~rique de
au moyen d'un algorithme ~
a montr~ qu'il ~tait pr~fgrable classique dont les solutions ~ l ~
et oO ~
~
et de
p~. et ~/~
~
. De fait,
~quation aux va-
s'expriment
simplement en
une matrice ~ e l l e d~finie positive.
Cette 6~uat{on ~eut alors @tre r~solue par !~algorithme
peut ensuite ~tre calcui~,
~r~. peut s'ef-
appliqu@ ~ ~V -I U )
de se ramener R u n e
est maintenant
de test, le quotient de RAYLEIGE
dont les dimen-
il suffit de d~terminer
de JACOBI. A titre
:
ce qui procure,
en raison de la nature stationnaire
du m~me coup, une precision
de cette expression
accrue sur
pour des erreurs com-
mixes sur ~ . Lorsque
!~onde incidente
teur des coefficients
~
est modifige,
. Jusqu'~ pr@sent,
des corps de r~volution de dimensions
1.3.
-
RESOLUTION
NUMERIOUE
POUR
UNF
il suffit de recalculer
le num~ra-
cette m~thode n'a ~t~ appliqu~e
comparables
DEPENDANCE
qu'~
g la longueur d'onde.
TEMPORELLE
QUELCONQUE
-
==============================================================
!.3,!° - Utilisation La ma~trise naturellement derniers
de la transform~e
des techniques
num@riques
de FOURIER en r@gime harmonique
~ tenter de les @tendre aux r@gimes quelconques,
sont i~objet de nombreuses
de FOURIER peut @tre appliqu~e
applications,
aux r@sultats
calcul@e dans le spectre de l'onde incidente.
a conduit tout
d'autant plus que ces
en radar notamment.
num~riques
La transform~e
: la r@ponse harmonique
La r@ponse tempore]le
s'en d~duit
est
275
alors par un algorithme de transform~e de FOURIER rapide. L'inconv@nient de ce proc@d~ r@side dans le fait que pour des signaux incidents de spectres ~tendus, l'analyse harmonique dolt ~tre r~p~t~e un grand nombre de fois. La transformation de FOURIER peut @galement Stre appliqu~e aux @quations int@grales. Pour celle d~duite du champ magn~tique, on obtient une @quation int~grodiff~rentielle :
~'=t
I~-~'I
o3 ~ d~signe la vitesse de la lumi~re dans le vide. Le ph~nom~ne de retard ~ la propagation peut ~tre mis ~ profit pour ~viter l'inversion d'une matrice pleine de rang @lev@ con~ne cela est n@cessaire en r~gime harmonique. Aprgs une double discr@tisation, dans l'espace et dans le temps, et compte tenu de ce que l'int~grale est prendre au sens des parties finies, la densit@ de c o u r a n t [ ~ i % ~ ) s e
d@duit des
densit@s pr~e~demment calcu]~es (volt diagramme de la figure 4). Le point de d@part de cette d~terminat[on r~currente est :
La
d6riv6e
de la
densit6
de courant
par
rapport
au temps
s'obtient
par
d6-
rivation analyti~ue d'une approximation polynSmiale de la densit@. Les coefficients du polynSme sont d~termin@s ~ partir des valeurs prises par la densit~ ~ des instants ant~rieurs. Ce proc@d~ est d'autant meilleur que les pas de discr~tisation sont faibles. I
t~p5
I
:/ I
I
:
Figure 4
•
tz~'~
~
h4
•
2
;
~4
~.
J
"
i
t ,
~-3 ~
-..
'~"¢-~,
QC~~'ce~
276
Ces pas d@pendent du signal incident, par sa forme et sa durSe, de l'obstacle par ses dimensions. En r~gle gSn~rale, le pas spatial ~ .
ne doit ~tre qu'une
fraction de la longueur d'onde la plus petite contenue dans le spectre incident. Pour que le proc6d~ rScursif soit possible, il faut que ~
~L/~.
De nombreux exemples d~appllcation pourront ~tre consult~s dans la r~f~rence[POGGIO et M I L L E R ] .
II s'agit le plus souvent d'obstacles de forme simple et
de r~volution. L'inconv~nient de cette approche est qu'il est n~cessaire de reprendre le calcul ~ son d~but d~s que l'on modifie la structure du signal incident. 1.3.2. - Utilisation de !a transformation de LAPLACE La transformation de LAPLACE peut ~tre utilis~e dans les probl~mes d~ rayonnement et de diffraction comme elle l'est en th~orie des circuits. Bien que cette extension puisse para~tre ~vidente, cette approche est r ~ c e n t e [ B A U M ] e t
son
application ~ des probl~mes concrets n'en est qu'& ses d~buts [par exemple MARIN, TESCHE].
L'aspect num~rique est sensiblement plus complexe comparativement aux m~-
rhodes reposant sur la transformation de FOURIER, Mais le gain en temps de calcul est sensible lots de l'~tude syst~matique d'un m~me obstacle soumis g des signaux incidents varies. Par extension de l'analyse harmonique au plan des pulsations complexes ~=~F+£O~
, la m~thode des moments conduit au syst~me matriciel :
La thSorie spectrale des &quations de FREDHOLM permet d'~crire la solution recherch~e sous la forme
R('..) g ( p ) o~ R(~) e~t une ~atrlce ind~pe~dante de # j les
ea ~at~ice fiant :
R(~)
du
F(~)
+ FCp) ~st une fonction enti~re de
ter ioont de A :
s'e.prime en fonction des ~eeteurs P ~
et~
v~ri-
277
Ii appara~t ainsi que les singularit~s proviennent en partie des p S l e s ~ , , et en partie des singularit~s de l'excitation de l'obstacle ~
~(~)
. Les p$1es ~,~ sont caract~ristiques
. Pour des obstacles de dimensions finies, il n'intervient que des
9$1es simples. Comme en thgorie des circuits, ceux-ci se r~partissent dans le demiplan 0 " < 0
soit sur l'axe r~el, soit par
paire de
conjugu~s.
Par transformation de LAPLACE inverse, on obtient la rgponse temporelle
eo+ 6~
~our des excitations ~uelconques, l'int~grale peut ~tre ~valu~e num~riquement. Toutefois, dans la maiorlt~ des cas usuels, le d~veloppement de ~C~) est suffisamment simple pour pouvoir ut~liser la technique des r&sidus. Ainsi, pour une excitation de type ~chelon :
~%[~)
fonction enti~re de
il vient
o~ ~[o
est ind~pendant du temps et doit donc ~tre nul puisque ~ he prob1~me consiste pratiquement ~ d~terminer
diagonalisation de la matrice ~(~)
"~[-) ----~
~,~ p P~4.t ~ .
. Par
au moyen de l'algorithme de HOUSEHOLDER, il
est possible de construire une matrice unitaire D(~) telle que •
oO "~{~} est une matrice diagonale sup~rieure.
I i e n r~sulte que :
4.
~i ,~,~
es~ un p~le d~ premier o~d~e, A~4'.,)est ~ne mat~ioe~XN
de rang P~-4
II suffit alors de rechercher les z~ros du dernier ~l~ment diagonal de ~ ( ~ )
•
278
Les vecteurs ~
et ~
peuvent se d~duire des ~quations :
II appara~t ainsi que compar~e aux m~thodes pr~c@dentes, celle-ci qui utilise la transformation de LAPLACE requiert un effort num~rique sensiblement plus important (recherche des z~ros dans le plan complexe). Fort heureusement) dans la pratique, l'~valuation de la r~ponse temporelle ne ngcessite la d~termination que de quelques pSles simples. Une fois ces pSles d~termin~s, ainsi que les vecteurs P ~
et ~
correspondants, cette r~ponse temporelle s'obtient tr~s rapidement pour routes les excitations possibles sous la forme d'une superposition de sinuso~des amorties.
L'objet de cette premiere partie ~tait de presenter les diff~rentes m~thodes num~ri~ues utilisables ~ partir de la formulation int~grale des probl~mes ext~rieurs~ Le tableau I I e n r~sume ies traits caract~ristiques et fait appara~tre les liens qui existent entre elles.
~methode des /
I
Eq. integrale pure
I
r@gime harmonique
X= ~" l+i~'n
V X~= ~,~U Xn
b)OaLu[ des modes carast.
(ou r@solution it@rative, ou minimisation ... )
X= A-1B
a) Rdsotutton J~recte
I-A(i~) X(i~)=B(i~)J<
I
p,.
TABLEAU I [
x,tp~=2_ , ~- R(P~ F - ~,Q,) . B(p/+Rp
det A(pn )= 0 A(Pn)=O ~'(Qn)=0
Recherche des poles
t
A(p)X(p)=B(p)
quetconque
dependance tempore[te
c) Transf. de Fourier (a[gorithme rapide)
b) Transf, de Laplace inverse (r@sidus)
a) Rosolution it@rative
+
tx(t)=x(t) +T(x,dx/d t )]
~met bode des/
I
I q integrodlff@rentlelle
280
DEUXIEME
PARTIE
= = = = = = = = = = = = = = = =
ETUDE D'UN RESEAU LIMITE = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Le r~seau ~tudi~ est constitu~ d'un nombre limlt~ L de lames m~talliques, cvlindriques, de longueur infinie et de section rectangulaire.
Ces lames sont pla~
c~es dans une onde incide~te plane dont le champ magn~tique est polaris~ parall~lement aux bords des lames (Fig. 5 ). Le probl~me vectoriel se ram~ne ~ un probl~me scalaire dans un plan de section droite. Ce genre de structure peut Stre utilis~ pour concentrer toute l'~nergie incidente dans un seul ordre diffractS. La direction du rayonnement correspondant d~pend de la fr~auence ; en modifiant la fr~quence, on r~alise ainsi simplement des r~seaux dits ~ balayage. Pour un r~seau infini, la pgriodicit6 de la r~partition du champ permet de raisonner sur un seul motif du r~seau. Cette p~riodicit~ n'existe plus pour un r~seau fini et il faut consid~rer globalement les L
lames. On est alors conduit
des syst~mes lin~aires de rang ~lev~. Parmi les approches possibles, deux sont ~ retenir : la premiere consiste r~soudre globalement le probl~me au moyen d'un syst~me d'~quations int~grales coupl~es (Voir 1@re Partie). La seconde consiste ~ utiliser un processus recurrent permettant de r~soudre le probl~me ~ ~
lames ~ partir du probl~me ~ - @
lames
[BOLOMEY et WIRGIN ~.] . La seconde m~thode procure un certain gain de temps quand il est utile de conna~tre la solution des probl~mes interm~diaires. Sur le plan num~rique,
les deux approches posent des probl~mes compara-
bles [BODY ]. La technique d'approximation la plus simple (collocation de type P.P.) a ~t~ abandonn~e. Les lames ~tant minces, la convergence des r~sultats ~tait trop lente. Aussi n'a-t-on conserv~ cette approximation que pour ~valuer l'interaction de segments ~loign~s. Par contre, on a utilis~ une approximation de type P.S. pour des segments proches. La fig. 6 permet de comparer ces m~thodes dans le cas de deux lames.
281
~2
Figure 5
La quantit~ repr~sent~e H{~) est le diagramme de diffraction partition
qui caract~rise
la r~-
angulaire du champ diffract~ ~ grande distance, La figure
7
repr~sente
cette m~me quantit~ pour un r~seau de 13 lames.
Les densit~s de 40 et 56 points par lame conduisent g r~soudre des systgmes complexes de rangs 520 et 728. Les temps de calcul respectifs sur un ordinateur UNIVAC
1110, Les r~sultats
par lame. II est en effet n~cessaire
se stabilisent
autres lames.
La precision globale au stade de la r~solution
10 -5 .
E-=~AX-[~[
et 44 minutes
~ partir de 56 points
de prendre davantage de points par lame lorsque
celle-ci est en couplage avec de nombreuses
tion en calculant
sont de 16
. Tousles
~l~ments de ~
a ~t~ ~valu~e par
substitu-
ont ~t~ trouv6s inf~rieurs
282
0
0 C..O -I-
IF
L~
0
4-
I
E
C~
b,-
C~
O~
C~ I
~__
-J
E E
CO I
!
O-COCO
o...
!
o_
!A.-"
'-
c~I
i
o
!
!
~o
~-~
f
!
0
•s S
i
~
0
0
6
P,O
0
r CO
-GI ~ 0-1
-G
cP c~ -o -0
!
' -G
I
L
V
t:D
CO
284
TROISIEME PARTIE
ETUDE D~UNE MICROLIGNE A RUBAN = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
La microligne ~ ruban, plus souvent appel~e "microstrip" est une structure tr~s utilis~e dans la micro~lectronique des ondes courtes et ultraeourtes. La Fig.8 en donne une coupe transversale. En dEpit de sa simplicitE apparente, le probl~me est relativement complexe en raison de la presence de la couche di~lectrique. La propagation par ondes transversales est impossible. II faut rechercher la solution sous forme d'une onde hybride, c'est-~-dire, d'une combinaison d'ondes semitransversales T.E. et T.M.
I I
~'~-
ir jjjij _
0
~
I
c.
d
I
" ~
\
dt'eLecthi~ue
ide.~[
Figure 8
Ce probl~me a falt l'objet de tr@s nombreuses Etudes [pour les r~f~rences corresp0ndantes, consulter SAUVE et ESSAYAG a e t
b ] au moyen de mEthodes vari~es :
perturbation de la solution Electrostatique, differences finies, raccordement modal, Equation int~grale singuli~re. Les deux derni~res m~thodes ont ~t~ plus sp~cialement ~tudiEes dans le cadre d'une ~tude gEn~rale num~rique et exp~rimentale. La technique du raccordement modal tire parti du caractEre s~parable de la structure : les surfaces de diseontinuit~ co[ncldent avec des lignes de coordonn~es rectangulaires. Ii est alors possible de representer le champ ~leetromagn~tique dans le vide ( ~ - z > O )
et dans le di~lectrique ( ~ 0 )
comme combinaison lin~aire de
285
solutions de l'~quation des ondes, v~rifiant d~j~ les conditions boitier externe.
aux limites sur le
(condition de DIRICHLET pour les ondes TM, de NEUMANN pour les
ondes TE). Les coefficients conditions de raccordement
de ces d~veloppements dans le plan
La m~thode de l'~quation
int~grale
pour les probl~mes de discontinuit~s appliqu~e au cas du microstrip. ment de la m~thode pr~c~dente
"~z = O
sont d~termin~s
en ~crivant
les
.
singuli~re
a ~t~ d~velopp~e
par LEWIN
dans les guides d'onde. MITTRA et ITOH l'ont
Elle consiste ~ ramener les conditions de raccorde-
~ une ~quation int~grale dont la solution s'exprime
sous forme d'une s~rie tr~s rapidement convergente. Dans les deux cas, il faut r~soudre un problgme ~ valeurs propres. 9
donne les diagrammes
pairs d'ordre sup~rieur.
de phase du mode fondamental La concordance
la m~thode de raccordement
modal,
que pour la m~thode de l'~quation lenteur de convergence extr~mit~s
techniques
m~thode,
int~grale
par les singularit~s
La
du champ aux
d~crites par les d~veloppements
de convergence de la seconde s'obtient
modaux.
au prix de ca~culs
et d'un effort de prograrmmation accru. Ce genre de
se justifie pleinement
au contraire,
Mais pour
singuli~re un rang 8 est suffisant.
de la premiere s'explique
non n~gligeables
mais leur d~veloppement
et des trois premiers modes est satisfaisante.
il faut eonsid~rer une matrice de rang 40, alors
du ruban qui sont difficilement
L'acc~l~ration analytiques
des r~sultats
La Fig.
en cas d'exploitation
intensive des programmes,
ne peut rester que 1'affaire des sp~cialistes. ne repose que sur des notions ~l~mentaires
La premiere
et peut @tre mise
en oeuvre facilement. Cet exemple illustre bien la dlfficult~ de trouver un juste compromis entre l'efficacit~
au niveau de l'exploitation
et la rapidit~ de mise en oeuvre.
REMERCIEME~NTS
Je tiens ~ remercier Monsieur
le Professeur
Roubine pour ses conseils
de la r~daction de cet article ainsi que les chercheurs que G@n~rale pour leur collaboration
du Laboratoire
dans les deux derni~res
parties.
lors
d'Electroni-
286
DIAGRAMMES DE PHASE D'UNE MICROLIGNE A RUBAN b = t,27 mm
a = 12,7 mm (% :a:a )
to=b)
so i F ( G H z ) |
iViETHODE DE JE'QUATiON iNTI~GRALE SiNGULIERE
(Fr~quence)
?
2O
N;>6 N=
,,,il
]
2
,,? :"I
10
0
Er = 6, f575
{
o _¢~__,
1"
J
7.O
S.O
2.5
(Consuante de propagation normalis&e)
,o1
METHODE DE RACCORDEMENT MODAL
20
, ~ x
N=40
10
0
i
0.5
- -
I
1.O
i
1,5 ~ rd/mm (Consuante de propagation) Figure 9
287
B
I
B
L
I
0
G
R
A
P
H
I
E
=====================================
ABDELMESSIH S., SINCLAIR C., Can. Journ. Phys., 45, 1305 (1967) ANDREASEN M.G. a, I.E.E.E. Trans. AP - 12, 746 (1964) ANDREASEN M.G. b, I.E.E.E. Trans. AP - 13, 303 (1965) BAUM C.E.
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COm
OLE OeTI
L
OPTIMAL CONTROL TIME-OPTIMAL
CONTROL
SYNTHESIS
A FLIGHT
DYNAMIC
FOR
NON-LINEAR
SYSTEMS:
EXAMPLE
A. V. Balakrishnan~ Abstract The determination of optimal closed-loop control (or 'on line' control> laws is often referred to in the mathematics literature as the 'synthesis' problem.
Except
for the well-known case of 'linear dynamics, quadratic criteria', this p r o b l e m is still largely unsolved.
This paper presents a local approximation technique for
time-optimal control synthesis of a class of non-linear systems: specifically, point-to-point a e r o d y n a m i c flight in a resisting m e d i u m .
Preliminary computational
results are presented, indicating that the approximation technique is feasible.
i.
INTRODUCTION
B y control 'synthesis' w e m e a n the determination of the optimal control 'on line' or 'closed loop'; that is to say, as a function of the state (as well as time> along the optimal trajectory.
Excepting the case of 'linear dynamics, quadratic cost', this
still continues to be the m a j o r unsolved p r o b l e m in optimal control - for ordinary differential equations, at any rate.
The complexity of the p r o b l e m is acknowledged
already in the early Pontryagin w o r k [i]. Indeed w e do not yet possess any general existence theory, let alone whether constructive or not.
Computational techniques
for optimal control (see [2]) yield only open-loop controls; the control is determined as a function of time for given initial and/or final conditions, and not as a function of the state.
The lone exception is time-optimal bang-bang control of linear
systems, w h e r e switching surfaces have been calculated for second-order and third-order systems; the general case being given up as hopelessly complicated
(see
[3]>.
~ R e s e a r c h supported in part under , A F O S R Grant No. 73-Z492, Applied Mathematics Division, United States Air Force.
290
Previous attempts at approximation have been confined mostly to linearizing the equations to c o n f o r m to the linear quadratic theory [4]. In this paper w e present a local approximation technique for a particular class of nonlinear dynamics: namely~ rocket flight in a resisting m e d i u m ,
using techniques based on the B e l l m a n equation,
k n o w n to be invalid for time-optimal control of linear systems,
see [i]. B r y s o n and
H o [4], Jacobsen [5] have also used the B e l l m a n equation but for the purpose of obtaining an iterative technique for the optimal trajectory. in concept and execution f r o m theirs.
O u r technique is different
Vie do not in particular seek to calculate the
trajectory but rather the control, directly.
Z.
We
THE
PROBLEM
begin with a m o r e precise statement of the problem.
The state vector x(t) for
the p r o b l e m splits into two parts: x(t) = I xl(t)} [xz(t) and the dyna~r~ic equations have the form: il(t) = fl(t;xz(t))
1 (z.i)
xz(t ) = fz(t;xz(t);u(t)) I where
u(t) is the control to be synthesized, and is subject to the constraint of the
form: u(t) ~ C
where
C
is closed and convex.
Let
(Z.Z)
t. be an initial time, and x(ti) the initial I
state at time
t.. l
A s s u m i n g that it is possible to find an admissible control such
that x(tiJ given
x2(T )
= O,
T>t.,~
the ~time-optimal ~ control, p r o b l e m is that of finding
(2.3) u(.) that minimizes
T.
Let
us a s s u m e n o w that an optimal control exists for every initial state in s o m e open set
~.
The synthesis p r o b l e m is that of finding a function h(tlx) such that the
(an) optimal control can be expressed:
291
Uo(t ) = h(t;Xo(t)) where
t_> ti. . . .
(Z.4)
Xo(t ) is the corresponding optimal trajectory, so that
tf /./t
~°(t) = f(t~x°(tl;u°(t));f(') = Ifz('>I and satisfies the given conditions at t. and I
T,
and yields the m i n i m u m
such
T.
A s w e have r e m a r k e d earlier, no sufficient conditions of any generalit~f are available at the present time for the existence of such a function h(t;x), and of course no general algorithm for computation is k n o w n either.
Indeed it does not s e e m
likely that there will be any forthcoming in the near future.
It would appear that
the best w e can hope for is an approximation s c h e m e that is good in special cases, and how good being demonstrable only by computation.
At any rate, the present
w o r k offers not m o r e .
Since the B e l l m a n equation plays a fundamental role, w e shall state and prove it first in the f o r m w e shall need to use.
Theorem Let
Z.l
(Bellman)
T(t;x) denote the (incremental) m i n i m a l time taken to reach the origin begin-
ning with the state x (2.3). A s s u m e
in
~
at time t, for the s y s t e m described by (Z.1), (2.2),
that T(t;x) is continuously differentiable in t and x,
x e ~.
Assu~rle further that fl (.),fZ(.) are also continuous in all the variables.
Fix
t. i
and x, and let Uo(t ) denote an optimal control, and x°(t), t > t i, the corresponding optimal trajectory,
x°(ti) = x.
T h e n if t. is such that Uo(ti) is continuous f r o m 1
the right, or is in the Lebesgue set of the function f2(t;x°(t);Uo(t)), w e have
Min u¢C
[5~2,
fz(ti;x;u)] =
5[~2' fz(ti;x;u°(ti))]
(2.5)
Proof Define a n e w control to be equal to arbitrary given u in C Let x(t) denote the corresponding trajectory.
for t. < t < t. + ~.
T h e n for all ~
i--
--
1
sufficiently small,
292
x(ti + A) will belong to the open set
~.
Moreover (2.6)
T ( t i + &; x ( t i + &)) + ~ >_ T ( t i ; x )
But
lira
± (T(t i +
A-->O _
~-'[- +
i + a)) - T
)
& ,
fl(tf, x
+
~T
and is ~T
by virtue of (2.6) where
denotes gradient, and [,] inner product.
O n the
other hand, of course
lira -~i (T(ti +A; xO(ti +~)) - T(ti;x)) A-->0
= - 1 (since equality holds in (Z. 5) in this case), provided
ti is a point of continuity of Uo(t ), or m o r e generally belongs to the
Lebesgue set of the function fz(t;x°(t);Uo(t)). Hence it follows that
Min u¢C
L~x2 'fz(ti;x;u)1
at all points t. where I
= [~'
Uo(ti) is continuous from the right.
If the conditions of the T h e o r e m trol synthesis, namely the
fz(t;x;u)]
which yields
a function
already
noted by Pontryagin[t];
requisite bang-bang of linear
of
are met, then we can use (Z.5) to determine con-
u that minimizes:
[ ~T
been
differentiability control. systems.
this connection
fz(t;X;Uo(ti))]
Hence Here
is a result
t
and
x.
Of course
the basic
the function
properties,
indeed
it would be fooiish we shall
{2.7)
T(t;x) need not possess
does not even for linear to i n v o k e
only consider
d u e to R a d e m a c h e r ,
fault in this method
this technique
nonlinear pointed
systems.
has
the
systems
and
for the case Of interest
out by Friedrr~an
[6] t h a t
in
293
u n i f o r m Lipschitz continuity implies a l m o s t e v e r y w h e r e clear h o w e v e r
differentiability.
that this is any great help; it is not for our p r o b l e m
It is not
at any rate.
An Example It m a y
be helpful to consider first an illustrative e x a m p l e w h i c h although quite
simple,
still retains s o m e
shall consider. good it is.
We
of the salient features of the flight d y n a m i c
system we
In particular w e can see w h a t the local a p p r o x i m a t i o n is, and h o w consider m o t i o n in a plane with fixed speed:
~(t) = cos ~(t)
,>(t)-- sin ~ (t) y(t) = ol where
~ is the control variable (one-dimensional),
and subject to the constraint:
i~V < 1 We
consider the p r o b l e m
minimal
of returning to the origin in the plane:
x = 0, y = 0, in
time, beginning with any given x, y, ~/. It c a n be readily verified that the
optimal controls are of the f o r m : + I, - i, or zero (The control is not bang-bang),
and that the optimal trajectories are arcs of unit
radius circles and straightline tangents to t h e m .
r =~x2 Let
+ y2
T(t;x;y;y) denote the m i n i m a l
; T a n c~ = y/x;
Let
cos c = -y/r
time starting f r o m
x,y,~( at time t.
T h e n an
actual calculation s h o w s that T(...) is differentiable so long as r - Zlsine(~( - C;)I ~= 0 O n the other h a n d at points w h e r e r - 2 sine(~(- c~) = 0 the function n e e d not even be continuous.
F o r e x a m p l e at ~ = 0, y = TI/Z, x = -Z,
y = 0, the function is not continuous in ~( . O n the other hand, it is differentiable at
294
all points along an optimal trajectory w h e r e
y does not switch f r o m
+i to -i
or
vice versa.
F o r a local a p p r o x i m a t i o n
to synthesis,
w e p r o c e e d as follows.
If ~ = a ,
then
c~=0
is optimal.
We
now
use
[2.6].
We
note that the optimal
ce is obtained by minin~iz-
ing
~T
we do not attempt
c~
to c a l c u l a t e
(2.8)
~T 5V
5TJ
Tg-
exactly.
Instead,
we
note first that
=0 V=Cr
since the time is a .q~ini~rlum along a straight line path, to arc length.
Hence
also
~z2
5 7 2 V=c~
We now use a Taylor
the time being proportional
expansion
>
o
and write
, ~ZT 5STy - 8"¢STrv=o + (~ - ~-Z-Sv
Stopping at the s e c o n d t e r m
+ "'"
and substituting in (Z.8) w e
obtain that the optimal
c~
is given by -
sign (V-o)
and we define sign 0 = 0 to take care of the c a s e w h e r e
o~ = 0, or equivalently,
This is then the local approxhr, ation to the control law. trajectory in this e x a m p l e
so long as
V = cr.
This law yields the optimal
295
r - Zlsine(y-c;)l > 0 It fails w h e r e r
For
example,
-
Z
Isine(y -
0
<
it d o e s not hold w h e n y - ~ = 17/Z ;
at w h i c h
Cr)l
point the o p t i m a l c h o i c e of
~
x = -i; y = 0
is
+i,
rather than - i as given b y the local
approximation.
3. T H E We now
consider
FLIGHT
rocket motion
being described
DYNAMIC
PROBLEM
in a resistive m e d i u m
at fixed altitude,
the d y n a m i c s
as follows:
x
=
v
y=v
V
cos
siny
~z : f3(t;v;~) = f4(t;v;c~)
where
v
is t h e s p e e d ( m a g n i t u d e of v e l o c i t y v e c t o r ) ,
control variable f 3 ( . ), f 4 ( . ) ,
- t h e ' a n g l e of a t t a c k ' ,
and
~ is t h e ( o n e - d i m e n s i o n a l )
V being the flight-path angle.
b e i n g n o t a b l e f i r s t i n t h a t t h e y do n o t d e p e n d on
The functions
V , are specified as
follow s : f3 (t;v;cl) -
f4 (t;v;z) where
T,
T-C m
N c o s ~ - -m-
T-C
N sin a + m.v
- m
the thrust p r o g r a m
.v
sin c~
cos
is a function of t i m e a s s u m e d
given,
C = C[~;v]v z N = N(~;v]v 2 with
N(~;v) = 0 we
assume
~= 0
that the functions a r e c o n t i n u o u s l y
these a r e only tabulated a n d m u s t
differentiable [although in practice
b e interpolated for i n t e r m e d i a t e
points].
In
296
particular B--7 f3(t;v;0z)_ = 0
and
f3(t;v;oe} is a m a x i m u m
at
c~= 0
at o/= 0 for all t and v, and
~Zf3(t;v;cY) < 0 8c~2
We
shall consider only the unconstrained time-optimal control problerrl of starting
with arbitrary initial variables denoted by the subscript
i:
x(t i) Y(ti) v(ti) Y{ti) at the initial time
t. and returning to i
x=O y=O in m i n i m a l time, the control variable
We assume origin
in t h e
that there x - y
observe
is a bounded open set from
plane (hereinafter
shall only be concerned
~ being unconstained.
simply
which we can always
the origin) using some
with these points in the state
now that the form
of t h e e q u a t i o n s
conforms
space from to ( 2 . 1 ) ,
reach
the
control.
now on.
We
We
and we assume
that
the necessary differentiability conditions are satisfied in the state space region of interest.
In slightly different (but m o r e
convenient) notation, let T(ti;xi;Yi;vi;Yi) denote the
actual time at which the origin reached on the m i n i m a l trajectory. local approximation proceeds as follows. r=
x
Z
+y
tan ~ = y/x
Z
Let
O u r m e t h o d of
297
Let
c~(t,x,y,v,Y)
denote the optimal control synthesis function w e are after.
f r o m the given properties of the functions
f3 (.), f4(.) w e can m a k e
Then
the following
crucial observations : (i)
T h e optimal control corresponding
to Yi = c;i is given by
c~(ti'xi' Yi' vi' ~i ) = 0
(ii)
5T BY. = I
0
(3.8)
at Yi = ~i
Although strictly speaking (3.8) will be an assumption, explanation.
At
Yi = ~i ' if w e set the control
w e c a n offer the following
c~ to be identically zero, w e obtain
a straightline trajectory w h i c h satisfies the initial and final conditions,
since for
Cy= O, y = f4(t,v,O)
= 0
From
f3(t;v;c~) s f3(t;v;O) it follows that for the s a m e line.
speed,
H e n c e w e should expect
also s h o w that c~ = 0
the acceleration is a m a x i m u m
~ = 0
is the optimal control for
satisfies the H a m i l t o n - J a c o b i
along the straight Yi = ai" W e
s y s t e m of equations.
can T h u s let
us use the notation x I = x;x 2 = y;x 3 = v; x 4 = y and let ~i' i = i, 2, ..4
denote the adjoint variables.
equation yields the solution: Y1 = ]Y 72=
1Y
73=
[Y
COS 0-.
I
sin o'. I
ft_~ ~f3/~v do ~4=0 (where
T
is the final time), and w3 f3 + v4 f4 = ~'3 f3
ds
T h e n for
0~ = 0, the adjoint
298
and Y3
being positive, this is clearly m a x i m i z e d by ff = 0.
verifying only a necessary condition, strictly speaking.
But of course, w e are
Observation (ii) is a conse-
quence of the fact that for fixed initial velocity, the straight line trajectory is minim a l time.
Actually w e can offer a formal proof based on (3.8) by calculating the
necessary partial derivatives [see below]. ~Ve next invoke the B e l l m a n equation for our case, and thus w e m u s t m i n i m i z e with respect to c~, the expression: 55--7 T f3(ti;vi;~) + -5~T
(3 9)
f4(ti;vi ;°~)
°
W e approximate the derivatives using Taylor expansion about
~T
BY
- (~)c~
B2T
(~¢i- ai)
+
+
~5v
y = cvI o
W e have:
"'"
1
~T
l 2Tl
_ ~T
+ (%li-<~i)~y2j
:~i
+ "'"
~i
~ZT]
+
The first t e r m in 13.9) being non-zero, w e m a y neglect the second t e r m in c o m p a r ison.
Hence we minimize
C+Io
f3(ti;vi;°l) + (7i - a i ) \"~V2 /
1
~4(ti;vi;ff) C.
A s a further approxin~.ation, the m i n i m u m
(3.10)
1
m a y be approximated by a N e w t o n -
P~aphson step about 0z= 0, yielding /fT~
¢~opt
(~i-ci)
~f4
(~TI ~2f__! ~vf~il 5 2 (ti,v i,0)
(3.1t)
299
where
w e have exploited (3.6), (3.8).
The approximate
synthesis p r o b l e m
"reduced" to calculating the indicated derivatives of the function
T(...).
is thus F o r this
let h l,h Z be fixed and let
T(k) = T(ti;xi;Yi;V i + ~ hl;Cri + kh Z) All derivatives with respect to at k = 0.
Let
k that are written will be understood to be the value
x(k, t); y(k;t) v()Gt),y(k;t) denote the optimal state trajectory.
Then
w e have
x(~;T(X)) : 0 (3.1z) y(~;T()~)) : 0 Differentiation with respect £o % yields:
55--'t - i ' -+5 x5T
v(T) c o s ~i = 0
5y
v(T) sin cr. : 0
(3.14)
where
+
5T
for simplicity of notation, w e indicate
control corresponding
to
T(k).
T(0)
Using the d y n a m i c s
by
T.
Let
c~(%;t) denote the
(3.1) and using
x(%, t), y(7~, t),
v(%,t), Y(k,t) with obvious m e a n i n g , we have
d
~x
dt
5l
_
5v 5k
d --
AX
~v --
cos
~. - v sin
l
i ~)~
(3.15) =
d
~v _
dt
~y
d
~Y
-
sin o. + v cos Cri By
5f3(t;v;0) ~v
5v ~--f,
since
5f4(t;v;0)
5--Xv + -~f4 (t;v;0)
Equations (3.14-3.17) together yield for
~~Tv(t) i ~By dt = 0;
~~v -= O; v(T)
5f3(t;v;0) = 0
~
(3.16)
~'
h 1 =0, =0
(3.17)
hz=l
(3.18)
300
(where for simplicity of notation w e use v(t) for v(0;t)),
and f o r
h I : 1, h 2 : O, we obtain: ~T
_
i
?T
~v
dt
ti
Gt
or,
~T
?f3 ds
~T e t i -gV
i
%L-i :-V(~,
dt
(3, t9)
t. 1
The first equation in (3.18) yields
.
{,t 5f4
~c¢ ds]dt = 0 ~X
[Tv(t)[l + Jt. ?oe
t.t
(3.20)
1
~O~ This is a condition then that ~-~ m u s t satisfy.
This relation can be simplified by
noting that
r = pTv(t)dt;
~f4
~=
v(t)/v(t)
t.
1
or,
r + 7tTv(t) '%.~t v-(s)V(S) 5X5c¢ds dt = 0 1
Remembering
(3.21)
1
that all derivatives written are to be taken at c~ = 0, w e can now
indicate the second derivative equations, dropping derivatives that are zero at c~ = 0.
We
shall only calculate t h e m for the case
~t
~2 (x(k;t) ~X2
= 8Zv cos V " v c o s ~X2
=
~t
512
~t
~X2
V
- -
~X2
h 2 = i.
V ( ~ ) 2 - v sin ~ . % ~X
5Xg
~v
h I = 0,
COS
- -
(3.22)
(3.23)
5X Z
~2f3 I~_X~ 2 ~ 2
(3.24)
301
8
~27 2
~t
_
~f4
BZv 2
~v
~u 2
~Zf 4
+ ---z-
-g~
+
5f4
82~
(3.25)
Bt
Substituting into : ~x
v(T) cos y(T) -~-Z T ~k 2
+
2 ~k
8ZY
+ v(T) sin y(T) ~ Z T
~xz
-- 0
=
~?X
0
w e obtain:
z
=
- ~
~ ~x 2
81
(3.z6)
dt =
- v
't, l v(t) 8z~
fT
(3.z7)
dt = 0
5k z 1
8f 3
~k
z
~ti
e
---r
be
\~x I
(3.z8)
ds
substituting (3.28) into (3. Z6) and noting that
51 =
i + [,t 5f4
~c~ ds
$
8C~
w e have thus evaluated all the quantities required in (3.11) except for - ~ . W e note that - ~
m u s t satisfy (3,Z0).
~--~kt=t,
Further w e m u s t also have
= Factor of (Yi " °i) in (3,11),
i
yielding us a second condition it m u s t satisfy.
We
do not k n o w whether these two
8~ conditions can uniquely specify ~-~ . To obtain an approximation w e let ~Of
_
a
~I
t. < t < b i -
=
0
-
b
[or = a(t-b)/(ti-b)]
302
where must
a
and
b
satisfy.
on c o m p a r i s o n
are u n k n o w n ,
and d e t e r m i n e t h e m f r o m the conditions that 8k ~--q
Of cot~rse other choices are possible.
T h e best choice will d e p e n d
with the optimal o p e n loop solutions.
This c o m p l e t e s our approxi-
mation procedure.
4. Calculations w e r e m a d e in figure i.
NUMERICAL
RESULTS
for a specific e x a m p l e with the functions
T h e functions
m(t), T(t) s h o w n
C(c~,v), N((~,v) w e r e taken in the f o r m :
G(ce, v) : (32400) (f(~)h(v) - H(v)) N(c~, v) : (32400) (N(~)M(v))
and
f(~),N(c~),h(v),H(v), and M(v) are s h o w n in figures 2, 3, 4, 5, 6, respectively.
T h e time optimal p r o b l e m
w a s c o n s i d e r e d for
t.=0 I
v. = 800 ft/sec 1
~(i:O ~. : a3.7 ° l v_ = - 9133 I i
T h e optimal o p e n loop control for this case is indicated in figure 7, c u r v e Curve
Z
is for the case
<~i =
60°"
I
B o t h w e r e obtained by the epsilon technique.
F o r the synthesis, w e note first of all that w h e n
w h i c h w e expect to hold as
ti--~T, w e can calculate the coefficient of (Yi - CYi) in
(3. ii) as ~T v(t)dt
'ti
~(ti)
~T Jt ~f3/~v ds i
t e 1
i
1
v(ti) dt
\7/
303
~2f 3
(since
Thus
-'---2-
a = -i is a first approximation.
-V)
The corresponding control is shown in
figure 8, w h e r e w e also show the open loop control for comparison.
It is seen that
the approximation is already reasonable, (although it systematically underestimates the actual value) demonstrating the feasibility of the technique. studies are in progress.
Further c o m p u t e r
304
ACKNOWLEDGEMENT I wish to thank M r . E. Ruspini and M r . L. W . Taylor for their helpful discussions and assistance in computer p r o g r a m m i n g .
REFERENCES i.
L . S . Pontryagin, et al., : The Mathematical Theory of Processes, John Wiley and Sons, 1962.
Z.
E. Polak:Gornputational Methods in Optimization, A c a d e m i c Press, 1971.
3.
V.G.
Boltyanskii: Mathematical Methods of Optimal Control, Holt, Rinehart
and Winston, 1970. 4.
A.E.
Bryson and Y. Ho: Applied Optimal Control, Ginn and C o m p a n y ,
1969.
5.
D.H.
Jacobson: N e w Second Order and First Order Algorithms for Determin-
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A. Friedman: Differential G a m e s , John ~,¥ileyand Sons, 1971.
305
300
-
200 o~ m _J t
E I00
t
0 0 4000
4
1
1
6
I 8
TIME - SECONDS
i,i
I
i
i i,i
rn
"5000
-
I-
l
0 0
4
t
I
,l
6
8
TIME - SECONDS
]3alakrishnan Figure 1
306
I.~ [I ~.0
/
o5
---
0
-.5
-i.O
, ,,,,,
0
Balakrishnan Figure 4
I 20
J
I
I
40 a- DEG
I 60
I
I 80
I
307
25--
20
m
15
Z
I0
0
0
20
40 a-DEGREES
Balakrishnan Figure 2
60
80
Balakrishnan Figure 3
v
A
.6
0
1.0-
J.8
2 V/1077
I 5
4
[
J 5
O 00
Balakrishnan Figure 5
A
0
-.5
,- 0
.5
1.0
0
I
I
2
I
V/1077
5
I
4
1
I
5
I
~O
Balakrishnan Figure 6
I
v
>
-.5
0
.5
0
2 V/1077
3
.L
4
I
5
o
Co
311
6° F 40 a
20
0 0
I
2
3
4
T - SECONDS Balakrishnan Figure 7
60 40
faOPEN-LOOP
-- /
/
/ "aCLOsED-LOOP
~~
cl 20
/
(FIRSTAPPROX)
0
I 0
I
2 T I M E - SECONDS
Balakrishnan Figure 8
3
4
5
NUMERICAL ANALYSIS OF PROBLEMS ARISING IN BIOCHEMISTRY
J.P. KERNEVEZ ~IVERSITE
DE TECHNOLOGIE
DE COMPIEGNE,
FRANCE
INTRODUCTION:
The purpose of this paper is to show the applications methods
to new problems
The source of these problems toire d'Enzymologie Dr D. THOMAS
Mgdicale,
is a team of biochemists
Universit~ de Technologie
(ERA 338 CNRS, Labora-
de Compi~gne)
lead by
(I).
They study artificial membranes, Typically
of standard numerical
arising in biochemistry.
such a membrane
substrate diffuses
separates
made of enzyme linked to inactive protein.
2 compartments
inside the membrane
containing
some substrate.
and reacts because of enzyme
The
(which is a
catalyst). We are interested
in 2 kinds of problems:-First,
system, what are the profiles transient
of concentration
what is the state of the
of substrate and product,
either in
state, or in steady state, or in quasi steady state ? -Secondly optimization problems
either in identification
of kinetic parameters
arise,
or in optimal control of some quan-
tities such as fluxes of substrate.
In § I we describe rical approximation: tain this numerical
the 3 kinds of states for which we are asked to give a nume-
transient,
steady,
and quasi steady states, and the way to ob-
approximation.
In § 2 we give an example of optimization parameters.
problems:
identification
of kinetic
This case, as many others, have been studied by JOLY G. (2).
Notations s(x,t) = concentration
of substrate at point
x
and at time
s(x)
of substrate at point
x
(in steady state).
= concentration
~(resp~)
= concentration
= (positive)
t, (O < x < ])°
of substrate at the boundary x = 0 (resp x = I).
parameter.
313
h
and
n s. J
k
=
are the space and time steps:
approximation
¢~(x)
=
(B
~. J
= ¢(jh)
F(s)
J-I
¢~
, ]+l
¢ = (¢0,¢i . . . . . :<~s
= T.
s (jh,nk).
of
2
= h
where
= | , Nk
cO x + c~
-
J~l I¢[
Jh
I
(i
= h
¢j+!
j
:EO
with ¢0 = CJ = O.(We
Cj)
i/2
shall use
I¢l
~
[¢])
Isl)
+
I - STATE OF THE SYSTEM
l.l.
- TRANSIENT
STATE
For instance interested of time
at time
t = o
the membrane
by the filling up of the membrane ]O,T [
; equations
is empty of substrate
by substrate
are:
2 ___~ _ ~ s + s ~t ---2 ° l T s ax
0
O<
I
x<
(1.i) s(0,t)
=
s(x,O)
=
It is therefore
n+l
n
sj
- sj
~
s(1,t)
=
0
possible
-
n
to use the explicit
n
-
Sj+l + sj-I
scheme:
n
27-s n
J +o
s.j n
k
(1.2)
h2
n so
=
~
s°
=
o
n sj
3 wi th 0~<
(i ,3) if
s n+l 3
1 + sj
.< max(a,~)
=
B
during
and we are
a short
interval
314
(I,4)
k
<
2 h2
We can also use the implicit scheme S~ +I - s~ ~ -
n+l + n + I _ 2 s n + t sJ+l s------J-I $
k
h2
= e
0 s. J
=
=
0
1 + s~ +I J
(1.5) n+] so
s .n+1 3
+o
n+] sj = B 0
for which we have the
Theorem 1 . 1 .
(1.6)
yj
=
-
Let us call
sj - ~j
Then (I.7)
lyn+li
(1,8)
k
C
~ C
N-I Z n=O
0 ~ n ~ N-1
r n+lq 2 LY J <
C
being a constant independant of
h
and
k.
Proof:
n
n+ l
Y
(1.9)
j
n+1
n+l
Yj+I + Yj-I - 2yj
k
Cj + y~,+1 =
-O
h2 n+1
[ y o +I = multiplying by
n+1
- Y[_
yj
hkyn+1
~1 Y n+1 i2
=
I +~j + y3 +I 0
0
yj
and summing from
- ~j
j = I
to
j = 3-I, one gets:
I yn[2 + 7I Y n+l - yn[2 + k[yn+II2-< ~k iyn+l I~< ~klyn+l ~I
t ~ n+l ,.< -~ o2k + ~- kiY
2
315
and at last, summing over
lym+lI2
(1.10)
+ k
n ,
]ym+li2 <
mX n=O
o
2T
+10]
2 < o 2 T + (max(cz,~)
2
which gives the result.
To solve iterative
(1.5) we can use,
to get the
n+1 s. O
J
h2
(i.ll)
n + l ,%+1
n+l ,~+I sj
so
n+l,O
s. J
3
J
(usually
J
sn+l,~+l
j
=
0
I + sn. +1 '~ J =
fl
j
e
if
< e
I
= 10-4).
We can also use Newton's method
and, in (I.II), replace the "reaction
by ~ F(s ) + (sj~+I _ s~) F'( sj)
1.2. - STEADY STATE
Steady state equation is: _ d2___~s+ ~
I
s. J
J
E
(1.14)
n+l ,£+1
+o
n
=s.
and we stop the iterations
(I.13)
s. , the following J
scheme:
n+l ,~+1 n n+l ,~.+1 n + l ,£+1 ~ n+] ,~+I + s._lj - AS. sj - Sj - s j + 1
(I.12)
n
from the
dx 2
s(O)
s
-
O
I + s = ~
s(1)
=
B
term"
316
The f o l l o w i n g
algorithm
k+!
-
k+i
~ s ,j+ 1 + sj-I
(1.1s)
k+!
so
-
2s
k+l
= ~
sj
~+ 11
/
h2
+
osk+l j
/
(1
+ sk.) j
= B
with O s. J
(1.16)
=
and a stop J-I Z
0
, k+1 -
sk+i i
sj i -
an a p p r o x i m a t i o n
<
of its s o l u t i o n
(5 i t e r a t i o n s
for o = iO, ~ = ~ = I
1.3. - STEADY
STATE
The s y s t e m
-
(I.18)
j h+~
k~
~s
j=ol j gives
= ~. = (~-~) 3
test of the form
j=!. I J
(i.~7)
O s. 3
or
in a few iterations.
and E = 10-4).
IN THE CASE OF I N H I B I T I O N
is g o v e r n e d
--d2s + G(s) dx 2
=
OF SUBSTRATE
by the e q u a t i o n s
0
=
BY EXCESS
O < x < i
s(O)
=
s(1)
v
v
G(s)
=
os / (i + s + a s 2 )
>
O
where (I.19) This enough:
system
is i n t e r e s t i n g
because
a > O it p r e s e n t s
some h y s t e r e s i s
for o
large
317
v5= 0 v4=v 6 i
H6 e
v3=v 7
H7
D g
Q
v2=v 8
H8 •
• • •
•
6 °
Vl=V 9
•
.
•,
*
e~
•
I e
~
•
L2 ' D IJ Q
L4
•
e
::!
!""
e
ee •
•
4 t
. . .
S
,
:..
-
' , •
•
•
4' 6
,
I •
.
•
O ~ .
....
40
t~
•
• •
Let the system be defined by (1.18) with f I t 20-t k being large enough. v
(1,20)
0
=
v(t)
In a first phase
=
v
increases
For
v = v l , v 2 , v 3 and v 4
For
v = v4
profile
Now after
from
0
to
v5
we have the dotted profiles.
there is a jump from the
to increase in a
"low" profile
L4
to the "high"
v
until
t =0
v decreases at least for
It is at this moment, when the profiles
v 5 , the profile of concentration
rises to
"high" position.
the ascending phase,
appears:
O< t < @ 0 < t < 28
H6 .
Continuing H 5 , remaining
if if
and the profiles
superimpose
on those found in
v 6 < v < v 5. v
decreases
of concentration
from
remain in
v6
to
v8, that hysteresis
"high' positions
H6,H7,H 8.
3t8
For the line For
there is another jump,
v = v8
this time from the high level
H8
to
L2. we find again the same profiles
v ~ v8
s[~]
If we plot
against
v
than in the ascending phase.
w e otain:
J
f f
J v2
For
v
between
v2
and
v6
v6
v
the system can have 2 stable states, according
to its past history. This is a s y s t e m w i t h memory. According
to this p r o p e r t y we m u s t be prudent w h e n solving
(1.18) by a scheme
like in § 1.2. O s. = 0 J '~igh" one.
We begin with if we d e s i r e the
if we w i s h to get the "low ~
1.4. - QUASI STEADY STATE.
In this case
s = s(x,t)
- --d2s + F(s)
=
is governed by
0
dx 2 (1.21) ~s 3t ~s 3t
~s 3x
for ~s ~x
for
x = 0
,
s(O,O) = eO
x = I~
s(l,O) = BO
profile,
and by
0 s. J
=
319
If we call
(1.22)
s(O,t)
a(t) ~(t)
= =
s(l,t)
and if we call
f
and
If
the functions
defined by:
are 2 (positive) numbers and if
and -
g
d---Z ÷ F ( y )
=
y
is the solution of
0
dx 2 (1.23)
~y(O) Then
= g
,
y(l)
=
n
{
f($,n) = ~ x (0)
(1.24)
g(g,n~ = - ~ x (0)
The system (1.21) is equivalent
I da
7~
(1.25)
=
f(e,~
=
g(~,8)
to the ordinary differential
a(O)
= sO
~(0)
= Bo
equations
d8
~-f
,
to which we apply Runge Kutta method.
1.5. - OTHER SYSTEMS
We conclude are described
this first paragraph by referring
and numerical
and experimental
to (3) where many other systems
results are compared.
320
II - OPTIMIZATION
Examples by KERNEVEZ
of optimal
control
(4), QUADRAT
of such biochemical
and VIOT
(5) and YVON
In this paper we give an example dependant
on the same technique,
use for that a gradient
2.1. - DESCRIPTION
The
(steady)
i
v
v(x)
M being
of parameters,
and to get the gradient
which is
to minimize,
we use an adjoint
we
state.
s
0
by
O<x<
1
1 + s =
c~
s(I)
=
is proportional
~d
of identification
state of the system is defined
is an unknown
(2.2)
have already been given
OF THE PROBLEM
dx 2
is(O)
where
systems
(6).
i.e. we have some cost function
method,
- d2s + v(x)
(2.~)
PROBLEMS
function
= { V [ v
~. and i of substrate.
B. i
We shall call
of
x
L2(O,l)
some positive
Let
to the concentration
of enzyme
x.
at point
in 0~
and
constant.
(i = l,.~.,N)
si(x;v)
be
N choices
the solution
of
of the boundary
(2.]) for the function
concentrations
v
and for
= ~i ' B = Bi* We observe
the fluxes
for the different (2.3)
values
observation
of substrate of
= Zoi
entering
i (i = l,...,N) and
Zli
the membrane
at
(i = 1,2,...,N)
and we define
The problem (2.5)
dsi 'V)(o)zoil2 + dsi(.,v) ()z,il2] dx
J(v) = ~ i =] is to find
J(u) ~< J(v)
Vv
u
such that
e ~ad
and
:
function (2.4)
x = 0
the cost
x = !
321
2.2. - LAGRANGIAN, ADJOINT STATE AND GRADIENT.
JOLY G. (2) shows that this problem has at least one solution and gives justification for the following formal indications to find a solution.
First step: (2.6)
define the lagrangian: I N _ ds i ]2 1 N ~(v,s,p) = ~ i=l ~ (O)-zoi I + ~ i~l l i=l
where
Pi
- -+ v(x) i dx 2 I + s. I
v,s = (s I ..... sN)
and
(2.7)
v ~ q~ad
(2.8)
si - ~ H ~ ( ~ ) O H 2 ( ~ )
(2.9)
pi e L2(~).
Second step:
(2.10)
w
3s
(2.11)
=
for every
ds i 2 -~-x(1)-Zli
dx
p = (pi,...,pN) are independant and such that
(a
s
define
p
= ]o,1E)
such that
O
i -~x d,,
dx (I)
+
V~
dx 2
HOI(~)N H2 (~?)
(l+si)~ J
which is equivalent to
I d2pi
v(x)
I =
- dx---2 -+
0
(l+si)2 Pi
(2.12) Pi(O)
=
(i = 1 , 2 , . . . , N )
dsi dx (O)-Zoi
,
Pi (I)
=
ds.1 dx (1)-Zli
322
Third ste~j_ we know that (2. I3)
J(v)
= ~(v,s(v),p)
(2.14)
(J'(v),#)
[a~ o~s
= I~-~,#]
i f we c h o o s e
p
as i n d i c a t e d
( ¢ i s an a r b i t r a r y
(2. ID)
V p
in (2.12).
function
=
(J' (v),~)
~ i=l
Fv,,l
]
in
L2(a)
an
'11
(f,g)
denotes
f~
f(x) g(x) dx).
si
~0 Pi(X) ~(x) I + s.
dx
1
2.3. - NUMERICAL METHOD We work with the discrete lagrangian /%1 (2.16)
~
2 1
2 = I
+ h
N
~
ISi,o - si, I
E i=|
N Z i=I
h
J-1 E j=!
--
-
zi O'
N
+ 2
si'j - si'J-I
i~l
zig
h
.s..1 [ Si,~+ 1 + si,j_ l - 2s. . l~j + v. ~--b3- I . h2 3 l+si, j) Pij (
which corresponds to the discrete state ( i si,~+l + Si,$_l '- 2si.,j --
+
__~_ 3 l+s. ]
V.
h2
(2.17)
si,
=
c~
si, J
=
=
0
B
to the discrete adjoint state _ Pi,~+l + Pi,j-I - 2Pi,j + vl 1 h2 (1+sj) 2
(2.38)
I
[Pi,o
si, 0 - si, I .........h .......Zio
and to the gradient
(2.19)
a-!-J =
av. 3
h
~
i=l
Pij
~'J
l+s. l,j
Pi,j =
0
si, J - si,j_ I Pi,J
=
-
Zil
323
The algorithm is the steepest descent method:
i/
Start with an initial distribution of enzyme v = (v!,v2,,..,vj_ I) J-! that h Z v. = total (given) amount of enzyme inside the membrane.
j=l
ii/
J
Compute the state by (2.17)
iii/ Compute the adjoint state by (2.18) iv/
Compute the gradient
v/
find
~opt
g
by (2.19)
such that V£
~(v - ~opt g) ~< J~v -(~g) vi/
if
iJ(v, optg)-
I< E
>0
, stop.
J(v) else replace
v
by
v - ~optg
and go to
ii/
We have tested the method with v(x) = a sin Ex and
N = 7 observations,
starting with a uniform distribution
such
324
BIBLIOGRAPHY
(l)
THOMAS, D., and CAPLAN, S.R.
Artificial Enzyme Membranes, in Membrane
Separation Processes, Edited by P. Mears, Elsevier Cy, Amsterdam, in press. (2)
JOLY, G., Identification of kinetic parameters in biochemical systems, thesis, Paris, 1973.
(3)
THOMAS, D., and KERNEVEZ J.P., IRIA report on numerical analysis of biochemical systems (1973).
(4)
KERNEVEZ J.P., Control of the flux of Substrate Entering an Enzymatic Membrane by an Inhibitor Concentration at the Boundary, Journal of Optimization Theory and Applications: Vol. 12, N ° I, 1973.
(5)
KERNEVEZ J~P., QUADRAT J.P., VIOT M. , Control of a non linear stochastic
boundary value problem. IFIP 5th Conference on Optimization Techniques, Rome 1973, Springer Verlag. (6)
YVON JoP., Optimal Control of Systems governed by variational inequalities. IFIP 5th Conference on Optimization Techniques, Rome 1973, Springer Verlag.
SUR L ' A P P R O X I M A T I O N NUMI~RIQUE D ' I N E Q U A T I O N S QUASI-VARIATIONNELLES STATIONNAIRES
A. Bensoussan * - J,L. Lions * *
INTRODUCTION. Les In~quations Quasi Variationnelles (en abr~g~ I.Q.V.) apparaissent corfm~eun un outil (ayant, semble-t-il, un int~r~t intrins~que) dans la r~solution de probl~mes de contrSle impulsionnel et dans divers probl~mes de M~canique. II s'agit d'une extension des In~quations Variationnelles (en abr~g~ I.V.), introduites dans le cas elliptique coercif dans G. STAMPACCHIA [I] , puis dans STAMPACCHIA et LIONS
[lJ dans le cas elliptique non coercif et dans les cas d'6volution. Nous ren-
voyons ~ H. BREZIS [I] , G. DUVAUT et J.L. LIONS [I ] , J.L. LIONS [I ] et ~ la bibliographie de ces travaux, pour un expos~ de divers r~sultats et applications. Les I.V. ont @t~ utilis~es pour la r~solution de probl~mes ~ fronti~re fibre classiques, apr~s une transformation convenable introduite par C. BAIOCCHI [I] ; cf. aussi la conference dans ce Colloque de cet Auteur et la bibliographie correspondante. Un expos~ syst~matique des m~thodes num~riques d'approximation de la solution des I.V. est fait dans le livre de GLOWINSKI, LIONS et T R ~ L I E R E S
[I ] ; cf. en particu-
lier CEA et GLOWINSKI [l] , GLOWINSKI [I] et, pour des estimations d'erreur, U.MOSC0
et G
STRANC Eli , G. STRANC
BRISTEAU F I].
Etant donn~ le rSle jou~ par les I.Q.V. dans la solution de probl~mes de contrSle impulsionnel, une ~tude syst~matique ~tendant (dans la mesure du possible !) les (~)
Universit~ PARIS-IX et LABORIA • Coll~ge de France et LABORIA.
326
r6sultats connus sur les I.V. aux I.Q.V. (o~ l'on rencontre d'ailleurs des ph6nom}nes nouveaux) est entreprise par les Auteurs et donne lieu R diverses publications (cf. la bibliographie). Apr}s avoir pos~ le probl}me de mani}re precise au N ° I, nous indiquons (tr~s bri~vement) la motivation au N ° 2, le N ° 3 dormant enfin des indications sur la r~solution, th~orique et nur~rique, des I.Q.V. Le raccordcomplet entre la th6orie pr~sent6e ici et un probl~me concret de gestion de stocks est donm~ dans tm rapport Laboria de BENSOUSS~N, GOURSAT et LEG]JAY [I] et une 6tude num6rique syst~matique sera pr6sent6e dans les rapports GOURSAT [I] et LEGUAY [I] , ainsi que dans l'ouvrage en preparation des Auteurs. Les calculs pr6sent6s au N ° 3 sont extraits des r6sultats num~riques obtenus par GOURSAT et LEGUAY, que nous remercions tr}s vivement. L'analyse num~rique des I.Q.V. d'6volution (non abord~e ici) est pr6sent6e dans
COURSAT [1] •
I.
POSITION DU PROBL~ME.
1.1. Notatigns. Soit 0 ,an ouvert born6 de
Rn
de fronti}re P r6guli~re. On d6sigme par H I ~)
l'espace de Sobolev usuel d'ordre I sur O , des fonctions R valeurs r6elles. Pour
u,v ~ H I(0) ~ on pose I1
(1 " 1)
a(u,v) = i,J~=1-
n
fO a ij(X) 6~J 5u ~ ev i dx + J=] ~ ~0 a.o ~~u v oo
off les fonctions
aij, aj, a°
sont dans
L ~).
O9. suppose que : a(v,v)>
(t .z) 08
~il,~l 2
= ~llvll z
!/~t
d6signe la norme darts HI (O) :
f
n
~O [j=l {8-~j On se donne
0.3)
~>o
"~Ht (0)
f
+ v2
]
avec
f6L°°(O) ~
f i>0. I
Pour v donn6e dans H' (O) A L°°(O) on pose
,
vvE Hl(o) ,
dx + ~0ao u v dx
,
327
Far(x)
(1.43 o~
= k + inf
v(x+~)
,
k>
0
~o
~ ~0
signifie
~:{ ~i}
, ~l ~ 0
, i:J,...,n et
x+~
6 (}.
R~__n~rg.u~_1.1 Les r6sultats expos6s ci-apr~s sont valables pour de larges classes de fonctions v _. M(v) ; cf. BENSOUSSAN-LIONS
[I ] . Nous nous bornons ici pour l'instant au choix
(1.4) pour simplifier l'expos6. Dans les exemples num~riques, quelques cas plus g6n~raux sont indiqu~s.
1.2.
Le probl~me. On cherche
u
v6rifiant
(1.51
u E H1 (O) A L°°(D)
(1.6)
a(u,v-u) I> ( f , v-u)
,
u~<M(u) , v vE
HI((~I ,
v~<M(u).
(I)
L'ensemble des conditions (1.5)(1.6) constitue une I.Q.V. Insistons sur le fait que dans (I .6) les"fonctions test" v6rifient et non
v ~<M(v). Si l'on d~signe par
(1.7)
v ~ MCu)
K(~) l'ensemble :
K(~) = { v I vEH 1((}3
,
v~<M(~) } ,
on v o i t que K(¢) e s t un ensemble convexe £erm6 de HI~}) et I ' I . Q . V . (1.5)(1.61 s' 6nonce, de mani~re 6quivalente :
(1.81
u ~ K(u),
(1.9)
a(u,v-u)
>I (f,v-u)
Vv
E K(u).
On volt ainsi la diff6rence fondamentale entre une I.Q.V. et une I.V. ; dans une I.V., on travaille avec un ensemble ferm6 cherche
U
convexe non vide de
solution de :
(1.10)
U E L,
(1.11)
a(U,v-~)
(I)
L
On pose :
~ (f,v-u)
(f,v) = [ fv dx. JO
VvEL
HI 9) et on
328
Dans une I.Q.V., on a une famille de convexes, et I'I°Q.V. se r@duit ~ une I.V. mais pour un convexe
L = K(u) d@pendant de la solution, donc incolmu !
1.3. Interpr@t_ation du probl@me.
On pose de fagon g@n@rale :
(1.12)
av = -
~
(aij(x) ~ )
i,j
+ ~
J
aj(x)
j
+ aoV.
J
Alors t~I.Q.V. ( 1 . 5 ) ( t . 6 ) 8quivaut (formeltement) ~ t r o u v e r (I.13)
Au - f (
(I .14)
LvA ~< O,
O,
On voit donc que dmus O
u
solution de
u - M(u) ~< O
,
(Au-f)(u-M(u)) = O
u - M(u) ~< O
,
(u-M(u)) = O
il y a deux r@gions ; une r@gion
(l'ensemble de "saturation des contrainte~') et off Au ~ f
S
sur
o~
dans O ,
r
°
u = M(u)
et une r@gion off Au = f.
Une repr@sentation sch6maticlu~ est donn@e Figure 1. F
Figure I.
On voit qu'il s'agit i~ d'un probl~me de fronti~re libre , la fronti~re fibre ~tant la partie
6s du bord de
S
non incluse darts F.
La nouveaut@ essentielle de ce probl~m 9 ~ fronti@re libre est que les conditions su__ Z
6s
ne sont pas locales 7 puisque l'op@rateur
M
d@fini par (1.4) n'est pas
local. Avant de passer ~ la r@so!ution de (1.5)(1.6), cf. N ° 3), dormons quelques br~ves indications sur la motivation de I'I.Q.V. (1.5)(1.6).
329 2.
MOTIVATION.
2.1.
Contr~l e impulsiR~el. Soit, pour fixer les id%es (I), un stock de
demande gaussienne (2). Si
D(s,t)
(%16ment de
n
biens ~ g6rer, en pr6sence d'm~e
~n) d6signe la demande cumul~e sur
l'intervalle (s,t), on suppose donc que :
(2.1) o8
t
D(t,t +At) = #(t)At + o(t)£b(t) --
b(t)
est une fonction continue de
riable al6atoire) gaussienne, ~ valeurs dans covariance
, oQ
Ab(t) est une v.a (va-
R m , de moyenne nulle et de matrice de
&t (Identit6), et oil o(t) est une matrice (n,m) ; pour
(t,t+At) sans points communs, les v.a Soit
[ ~[n
T
l'horizon duprobl~me,
Supposons que le stock soit
&b(t) et
suppos6 fini
x
~ l'instant
(s,s+£s) et
&b(s) sont suppos6es ind6pendantes. pour fixer les id6es. t
et soit
Vxt
une '~olitique de
con~ande" d6finie cor~le suit :
(2.2)
Vxt o~ et o~
' ~1xt
=IO1xt
I 2 ~< .... ~< T t<~Oxt<~d}xt xt (E~n)
=
.' 02xt
i = i~me instant de co~ande ' @xt
quantit6 con~nand6e ~ l'instant
Cela d6finit l'6tat du stock Yxt(S)
=
' <2xt .' ......... 1
x - D(t,s)
Oxt.
Yxt(S) par ,
s = [ t , O Ixt [ '
(2.3) Yxt(O1xt) = x _
D(t,O1xt) + ~Ixt
'
et ainsi de suite (on suppose que la livraison est instantan~e, cas peu r6aliste ; pour les cas oQ il y a des d~lais de livraison, cf. BENSOUSSAN-LIONS, loc. cit.). Structure des coats. On suppose qu'il y a un co~t fixe ~ la commande,soit k.[on peut traiter par les m@mes m~thodes des cas beaucoup plus g6n6raux] , ainsi qu'un colt de stock age et un co~t de ru~pturede stock.
(I)
(2)
Pour le cas de demandes d~terministes, ou poissonniennes, nous r6f~rons BENSOUSSAN-I/)ONS, loc. cit. Pour les probl~mes num~riques correspondants, cf. LEGUAY [I] . Des probl~mes de m@n~ type se rencontrent dans de nombreuses autres situations, ~tudi~es dans BENSOUSSAN-LIONS, [I ] Chapitre 4.
330
Le fair que l'on air un colt fixe
k
de corm~ande implique 6vide~ment qu'on se
borne R des politiques (2.2) R u n nombre fini
Nxt
de co~mandes.
Le cogt s'exprimm alors par :
(2.4)
Jxt(Vxt) = E
o3 ~ > O
t e-~(s-t)f(Yxt(S ),s)ds
k Nxt
,
d6signe 'an coefficient d'actualisation et o~ la fonction positive h~f(k,t)
repr6sente les co~ts de stockage ou de rupture de stock. Le p robl}me d___econtrSle impulsionnel est de calculer :
(2.5)
u(x,t) =
inf
Jxt(Vxt)
~t et de d~finir une ~o!i~i g_q_~ u opt imale de co~maande. 2.2
In6galit6s satisfaites p_~
u.
On d6montre (BENSOUSS~N- LIONS, loc. cit., Chap. 4 et Chap. 6) que
u(x,t)
satisfait _ 8_u _ I Tr. 82Uqo~ + ~ ( t ) ~ 8t 2 ~ u - M(u) K O ,
(2.6) (-
1 - ~ Tr
pour
o3
62u
K
0
M(u) est donn6 par (1.4),
6u
2-co*+ 6x
x < gn ,
+ czu - f
t ~
~(t)~+~u~O,T]
f)(u-M(u))
= O,
,
avec la condition de Cauchy (2.7)
u(x,T) = O ,
quoi on ajoute, pour des ra~ons techniques, des conditions de croissance R l'infini que nous n'explicitons pas, renvoyant R l'ouvrage cit~ des Auteurs. 2.3.
Le cas statiormaire° Si l'on pose :
(2.8)
1 62u 6.l + Au = - ~ Tr - - o o * + ~0-7 Cu 6x 2
o p 6 r a t e n r du t y p e ( 1 . 1 2 ) ,
t e probi~me s t a t i g ~ m a i r e c o r r e s p o n d a n t R (2.6) e s t
331
(2.9)
(Au-f)(u-M(u))--
Au-f <~ O , u-M(u) .< O,
0 darts
Rn
(et des conditions de croissance ~ l'infini). Si l'on impose des contraintes sur le stock impliquant l'appartenance ~ un ouvert O
born@ de R n, alors, on peut-montrer~es d@tails techniques @tant assez
compliqu@s) que l'on dolt ajouter ~ (2.9) (sur O )
des conditions aux limites c[ui
peuvent ~tre par exemple (1.14). On aboutit donc aux I.Q.V. Remarcjue 2.1 La m@thode pr@c@dente est celle de la programmation dynamique (cf. R. BELLMANN El]), le fait nouveau @tant que l'on arrive ~ des in@~uations au lieu d'@~uations comme il est habituel. _R~_margu_e2.2 Des probl~mes de jeux conduisent ~ des I.Q.V. de structure plus compliqu@e, du type : ~ u ) ~
et oO dans (I .6) M I (u) (v(M2(u) ,
o~ M I e t M 2 sont deux fonctions du type de (I .4). 3.
RESOLUTION ET APPROXIMATION DE LA SOLUTION DES I.q.V. STATIONNAIRES.
3.1. M~thode it@rative. On part de
u°
solution du probl~me de Neumann (I)
(3.1) Comme
a(u°,v) = (f,v)
V v E H I(~).
f satisfait ~ (I.3), on a :
(3.z)
u°E~(~)
On d@finit ensuite (3.3) ce qui d@finit
,
u ° >~
o.
u I comme solution de i' I.V :
a(u],v-u I) >i (f,v-u I)
VvEHI(o)
, v<~M(u°),
u1~<M(u °)
u I de mani~re unique.
On peut v@rifier que : (3.4)
O ~ u I~< u o .
(li If y'a d'autres possibilit~s et des sch@mas it@ratifs plus g~n@raux que (3.5) cidessous. Nous nous bornons ici au cas le plus simple possible.
332 On d6finit ensuite
u2,
(3.5)
u
3 , ..., u n, ... ; u n est la solution de !'I.V.
a(un,v-u n) >/ ( f , v - u n)
V vE H1 ~ )
,
v%M(un-1), u n ~*I(un-l).
On montre que : uo
(3.6)
°..>#-1
>_. u
On en d6duit qu'il est loisible de prendre
(3.7)
....
t>
o...
v = O dans (3.5), d'o~ r6sulte que
il unll ~ constante.
A partir de ig, on montre le r6sultat suivant : un ~ u
(3.s)
, u n -. u
dans Lp (0) v p
faible et dans L~(O)
fini,
faible 6toile, oO
u n -~ u dans H1 (0) u
est solution de
I'I.Q.V. (15)(16) ; en outre, u
est solution maximale au sens suivant : si
O de (1.5)(1.6), alors
~[£~
w ~u
w
est solution quelconque
.
3.1 On conjecture que la solution de I'I.Q.V. est unique (ce qui rendrait alors sans
objet la remarque sur les solutions maximales). II faut toutefois noter que la consid6ration de la solution maximale
est indispensable si
k = 0 dans (1.4) ; il n'y a
plus alors unicit6.
3.2. Approximation num6ri£ue. Du point de ,me num@rique, on a utilis6 (cf. GOURSAT, LEGUAY, travamx cit6s dans la bibliographie) (3.5) ; on discr6tise (3.5) par la m6thode des diff6rences finies (I) I'I.V. (3.5) ; I'I.V. discr6tis6e est elle m~me r6solue par une m6thode it6rative avec projection sur le convexe des eontraintes
v<~(un-1).
Les difficult65 principales sent :
(i)
le caract~re non local de
M
;
(ii) la dimension qui peut 8tre tr~s grande. Un p r o g r ~ e
syst4matique de calculs est en eours° Nous ne donnons ici que les
premiers r6sultats num6riques obtenus.
(1)
Etant dorms I°) le fair que l'ouvertO est ici, tr~s g6n~ralemen~, un cube ; 2 °) que la solution n'est pas r~guli~re au del~ de H (O), o - ~ 2 , P 6) comme darts les I.V), nous n'avons pas utilis$, ~u~qu'ici, la m~thode des 616ments finis.
333
3.3.
EXEMPLE I.
On donne d'abord un exemple unidimensionnel :
(~ = ] - 2 ,d~ A = -a ~-~ f(x)
[+ Z + I
,
dx
= 21xf,
My(x) = 1 + i n f . v ( x + ~ )
,
)O , x+~ ~ O •
On fait le calcul avec
I a
: 1 ,
I
1"0
'
10 3
les courbes du graphique I @tant respectivement not6es @ , Q , Q . La partie de la courbe correspondant ~ la zone de saturation est indiqu6e sur chaque courbe en trait fort. Chaque solution admet un minimum unique, not6
Pour
a = O ,
~i "
la th@orie est encore valable, la courbe correspondante 6tant tr~s
voisine de celle pour a = 10 -3 ; on a not6
g le^point fronti~re de la zone de satura-
tion relative ~ la solution pour a = O et par
3.4.
~ le point minimum.
EXEMPLE 2. On p r e n d
0 =]-3,s
, 2,s[×]-
3,s
, 2,s[
, A =
+ i
M(v) = inf(Mo(v), M 1(v), M2(v) ) , Mo(V)= C + inf v(x I + ~ ,
x 2 +~2) , ~i N
O
M 1(v) = Ci+ inf v(x I +~I' x2) '
~I >O
M2(V)= C2+ i n f v ( x l ,
~2 ~> o
x 2 +$2)
,
,
,
(1)
On a pris : C = 0,6
,
On indique sur le
C I = O,35 , C 2 = 0,40
Fr~ohique 2 la zone de saturation
C = C° U C] U C 2
oa
ci=
la solution (1)
(maximale)
{ xl
utx) =M i u ( x )
e s t minimum au p o i n t
La n ~ t h o d e i n d i q u 6 e
a u N° 3.1 e s t
}
, i = 1,z ;
a .
valable
d a n s ce c a s .
,
0
0
0
II
$
t
t.a c~
® 8)
D
Oa 4~
335
2
CI
o(Y CI
C
C2
C2
0
-3
lhl
1 -3
-2
l !
I -I
0 Graphique 2.
xl
I 2
336
~2
CI
-I
il
i
C
o I
-2 -2
C2
i !
-I
!
--
lhl ................. I
0 Graphique 3.
I
2
337 Naturellement, le caract~re discontinu de la fronti~re libre tient ~ la discr@tisation (pas de discr@tisation
3.5.
h = ~-~). iu
EXEMPLE3. On prend
O =]-2,2
, A = - & + I,
[×]-2,2 [
-41
41
f(x) = 10[sln ( ~ x 1) + sin ( ~ x 2 ) ] , M(v) = i n f (Mo(V), Ml(V), M2(v)) , Mo(v)= 0,5 + 0,15 ~1 + 0,25 ~2 + i n f v(x+%),
~i>~0
Ml(V)= 0,3 + 0,25 (1 + i n f V(Xl+ ~1' x2) '
~0
M2(v)=
~>~0
0,35+ 0,3
~2 + inf v(x I, x 2 + ~2 ) ,
Le graphique 3 indique la zone de saturation
S = CoLICIUC 2
avec des notations
analogues ~ celles du N ° 3.4. pr#c@dent. La solution(maximale)admet Lm minimum unique au point
~ .
B~g~_~. On retrouve par les m6thodes pr~c~dentes - extr@mement diff@rentes des mSthodes habituelles- des rSsultats connus dans la litt6rature sur la gestion des stocks, (par exemple) sous le nom de '~olitique
s - S ". Cf. A.F. VEINOTT Jr. [I] et la biblio-
graphie de ce travail, ainsi que le rapport BENSOUSSAN-GOURSAT-LEGUAY
[l ]
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Is]
Notes C.R. Ac. Sc.Paris, t. 276, pp. 1189-1192, t. 276, pp. 1333-1338, t. 276 1411- 1415, S~rie A.
338
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Contr61e impulsionnel et In~quations quasi-variationnelles. Int. J. of Applied Math. and Optimization 9 ~ para~tre.
A. Bensoussan, M. Goursat et J.L. Lions [I] Note C.R.Ac. Sc. Paris, t. 276, pp.12791284, (mai 1973) S6rie A. [I] Rapport LABORIA, ~ para~tre. A. Bensoussan, M. Goursat et C. Leguay [I] Probl~mes unilat~raux. J. Math. Pures et Appl. 51 H. Br@zis (1972), 1-168. M.O. Bristeau
[I]
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J. C6a et R. Glowinski
[I]
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G. Duvaut et J.L. Lions
[I]
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(1972). R. glowinski
[I]
LaM~thode de Relaxation. Rendi Conti di Matematica,14. Universit~ di Roma (1971).
R. Glowinski, J.L. Lions et R. Tr6moli~res ~I] R@solution num6ri~ue des In6quations Variationnelles. Paris, Dunod (1974). [I] Rapport LABORIA, ~ para~tre. M. Goursat [I] Rapport LABORIA, ~ para~tre. C. Leguay r I] quel~ues m~thodes de r6solution des probl~mes aux J.L. Lions ' llmites non lin6aires. Dunod-Gauthier Villa rs, Paris 71969). J.L. Lions et G. Stampacchia (1]Variational Inequalities. Co~n. Pure Applied Math. (1967), pp. 493-519. U. Mosco et G. Strang G. Stampacchia G. Strang A.F.Veinott Jr.
[ I] One-sided approximation and variational inequalities Bull. A.M.S. [I] C.R. Acad. Sc. Paris t. 258 (1964) pp. 4413-4416. [I] One sided approximation and plate bending. Ce Colloque. [ I] The status of Mathematical inventory theory. Management Science 12(11), (1966), pp. 745-777.
GESTION OPTIMALE DES RESERVOIRS D'UNE VALLEE HYDRAULI~UE BRETON - F. FALGARONE ELECTRICITE de FRANCE
A.
I - POSITION DU PROBLEME Pour satisfaire la demamle d'~nergie ~leetrique, Electricit~ de France dispose de moyens de production hydraulique et de centrales thermiques et nucl~aires. Le syst~me fran~ais de production-consommation pr~sente les caract~ristiques suivantes : - Une demande d'~nergie ~lectrique nettement plus importante l'hiver que l'~t~. Cette demande est al~atoire et est caract~ris~e par une dispersion relativement faible. - Un pare de centrales thermiques tr~s diversifi~ qui se traduit ~conomiquement par un co~t marginal du kWh produit fortement croissant avec la puissance appel~e. - Un pare d'usines hydrauliques compos~ en partie d'un certain nombre de grands r~servoirs recevant leurs apports au moment de la fonte des neiges c'est-~-dire en dehors de la p~riode de forte consommation. Ces apports hydrauliques sont al~atoires et pr~sentent en ggn~ral des dispersions assez importantes. La gestion annuelle des moyens de production consiste done ~ utiliser, dans la mesure o~ les algas le permettent, les r~servoirs saisonniers de fa~on stocker l'eau en p~riode de forte hydraulicit~ pour l'utiliser au moment o~ la consommmtion est plus ~lev~e. De fa~on plus precise le gestionnaire doit, ~ chaque instant, arbitrer entre l'utilit~ immediate attach~e ~ un destockage des r~serves (valoris~ par rapport ~ l'~conomie de combustible qu'il procure) et une esp~rance future de gain qu'il pourra retirer de l'eau en rgserve. Bien entendu, pour ~valuer g chaque instant l'intgr~t ~eonomique d'un kWh en rgserve, il est ngeessaire d'optimiser globalement sur l'ann~e l'ensemble des grands r~servoirs (une trentaine) et l'ensemble des autres moyens de production. On voit done apparaltre ici les principales diffieult~s du probl~me de la gestion optJmale du pare des ~quipements de production ~lectrique, difficult~s li~es : - ~ la grande dimension du probl~me, - au caract~re dynamique de la r~gularisation saisonni~re, - au caract~re al~atoire de la demande ~lectrique et des apports hydrauliques.
340
Bien que l'objet de cette &rude soit seulement celui de la gestion des r&servoirs d'une mSme vallge hydraulique, on s'int~ressera cependant tout d'abord aux grandes lignes du probl~me de l'optimisation sur l'annEe de l'ensemble des moyens de production. En effet c'est ~ partir de ce dernier~ consid~r~ comme problgme global, que l'on obtiendra, par d~composition pour chaque vall~e hydraulique, le problgme local de la gestion optimale des diffErents r~servoirs Equipant celle-ci.
1.1 - Formulation du probl~me global On d&signera par (0,T) la pgriode totale de gestion, la p~riode ~l~mentaire (t, t+l) repr&sentant la semaine t. La demande &lectrique sur la semaine est structurge en m postes (heures de pointe, heures pleines, h~ures creuses, etc.,.). La demande globale D est par m£ consequent un vecteur de ~ . L'finergie produite par le pare thermique et nucl~aire sera repr~sent~e par un seul vecteur p ~ ? m T Enfin on supposera que le parc hydraulique est compos~ de N vallges hydrauliques ind~pendantes (j = I g N) c'est-~-dire sans aval commun. Pour chaque vallEe j on cherche ~ determiner l'Evolution (Z~_. . . . . Z~)=Zj_ du ou des rgservoirs de cette vall6e. La dimension du vecteur Z, 6tant ggale au nombre de reservoirs en sErie et/ou en parall~le. J On se donne enfin pour tout j la fonetion Zj -->
Hj(Zj)
~
~mT
qui ~ une fivolution de la r6serve j donne la production en ~nergie de la vallge sur les m postes des T semaines. On reviendra, lors de la formulation dgtaill6e du problgme local, sur les questions soulev~es par la construction d'une telle fonction. Le problgme de la minimisation du co~t de l'gnergie thermique et nuclgaire produite peut maintenant s'Ecrire : MIN (Z,P)
C( P )
sous la contrainte globale N
(PG)
j=E I
Hj(Zj) +
P ~
D
et sous les contraintes locales P
~
0
zj 6 ~ o3 Z j
repr~sente
~ensemble des Evolutions admissibles de la r~serve j
341
1.2 - D~composition du probl~me global En remarquant que : la croissance du co~t marginal thermique entralne la eonvexit~ de la fonction C(P),
-
l'optimisation, dgcrite plus loin, des quantit~s d'eau turbin~es ~ l'int~rieur de la semaine se traduit par un effet de rendement d~croissant de ces derni~res et permet d'assurer la eoncavit~ des fonctions Hj(Zj) pour (j = ! ~ N),
-
-
-
si deux 6volutions d'une rgserve sont admissibles, alors toute combinaison convexe de ces deux trajectoires est encore une trajectoire admissible : autrement dit ~ j est eonvexe pour tout j si on introduit un co~t de d~faillance, e'est-~-dire si on ne borne pas P supgrieurement, alors le domaine admissible du problgme global ~ un int~rieur non vide o on peut alors assurer (1) qu'il existe un vecteur p > ~ 0 tel que la solution optimale (Z],...,Zm, p) du probl~me (PG) soit solution du problgme
~ (P, z, P)
~IN Zj6Zj P ~O on p 6 ~ m T
et
Z = (E l . . . . . Z N)
avec ~(p, Z, P) = C(P) - <'p,
N E
j=!
H~(Z~) + O
P - D~ >
J
On constate immgdiatement que la minimisation du lagrangien s'obtient en rgsolvant les N+I probl~mes locaux suivants : PL
MIN
C(P)
--
O
P>j0 PL. J
MAX < p ,
Hj(Zj)
(j=1 ~ N) Zj 6 ~ j
Ainsi la connaissance de la variable duale p permet de d~centraliser la recherche de l'optimum global. Pour ~tre efficace, cette procedure, mettant en oeuvre un algorithme de coordination pour la recherche de la variable duale p, suppose une convergence rapide de la m6thode de r~solution num~rique des probl~mes locaux.
342
II - LE PROBLEME DE LA GESTION DES RESERVOIRS D'L~E VALLEE II.] - Position du probl~me La forme du problgme local prgc~dent nous indique donc que l'on doit optimiser la valeur de la production EnergEtique en tenant compte de l'ensemble des contraintes relatives g la vall~e hydraulique consid~rge. Le problgme est pos~ en boucle ouverte adaptEe (2). On dgsire en effet construire une procedure d'optimisation qui utilise au mieux toutes les informations disponibles au moment de la prise de decision. Autrement dit, on exploitera chaque semaine le modgle et on ne retiendra que la premiere d~cision. Ceci permet de profiter au mieux des derni~res r~alisations connues de la consommation, des niveaux d'eau dans les diff~rents r~servoirs, de la disponibilit~ des tranches thermiques et nucl~aires. On sera conduit ~ utiliser une trajectoire dEfinie par les Equations d '~volution t+ | t t X
=
X
--
U
x ° = Sinit t que l'on appellera par ia suite "trajectoire ~ viser" (o~ le vecteur x contient autant de composantes qu'il y a de r~servoirs saisonniers dans la vallEe hydraulique consid~r~e)
xt
i
II///M/////,
,7,
:""
'
' ""
' .,I"1
~final
Sinit
,or .
~ J ~ d 'exploit at ion (]er sept)
//7///,'~
~ ,'
/
es
icit~s
/
IT ]er sept)
y~
343
Ii est n~cessaire d'imposer certaines contraintes sur le niveau de cette trajectoire g viser. En plus des contraintes de niveau minimum et maximum, on fixer a u n certain gtat final (r~servoirs pleins au ler septembre, avant la p~riode de forte consommation). On imposera une contrainte en probabillt~ sur le niveau minimum de fa~on ~ atteindre au moins l'gtat final avec une certaine probabilit~ fix~e a priori. De m~me on fixera une eontrainte en probabilit~ sur le niveau maximum de fa~on g ne pas subir trop de d~versements. Pour arbitrer entre les diff~rentes trajectoires ~ viser, on calculera l'esp~rance de la valeur de la production ~nerggtique pour toutes les armies d'observation de l'~chantillon hydraulique dont on dispose. Cette procedure ~vite l'estimation des lois de probabilitg des apports hydrauliques. La difficult~ essentielle du probl~me provient du caract~re al~atoire des apports qui ne permettent pas de suivre dans t o u s l e s cas cette trajectoire viser. En effet si le destockage est u t, la quantit~ turbin~e sera u t + a~ (off a~ repr~sente les apports de la semaine t de l'ann~e ~ de l'~chantillon des observations hydrauliques). Or la quantit~ turbin~e u t + a~ peut ne pas ~tre comprise entre les bornes V t et V t entre lesquelles la turbine doit travailler. Dans ax ces conditions on mln sera eon~u~t, pour respecter ees derni~res contraintes, ~ quitter la trajectoire ~ viser vers le haut dans le cas des fortes hydraulicit~s et vers le has dans le cas des faibles hydraulieit~s. Pour d~terminer la valeur du crit~re ~conomique il sera ngcessaire de disposer de la production ~nerg~tique E ~ ( h , q ) associ~e ~ une hauteur d'eau h et une quantit~ turbinge q pour l'ann~e hydraulique ~, le poste horaire k et la semaine t. Cette fonction E(h,q) est le r~sultat d'une optimisation complexe au sein de la vall~e. Ii s'agit en effet, pour les d~cisions de destockage envisag~es sur les lacs de la vall~e, de g~rer au mieux l'ensemble des usines hydrauliques ~quipant cette vall~e, de fagon ~ produire pendant les heures les plus charg~es de la journ~e. Cette optimisation est effectu~e heure par heure en tenant compte notammerit des temps d'~coulement de l'eau entre les diff~rentes usines.
II.2 - Formulation du probl~me de la sestion des r~servoirs d'une y all~e On est conduit g traiter un probl~me de commande optimale stochastique. On utilisera, dans ee but, une d~marche analogue ~ celle ~tudi~e par M. QUADRAT (3). On cherche ~ optimiser le crit~re ~conomique :
MAx
avec
~
~=I ht
g
~t=O
z Ek~ ( ~ ,
k=l
" Pk~- (Sfinal-Y~)
X
t t+l Y£ + y~ 2
t (o~ L e s t le nombre d'ann~es d'observation hydraulique, Pk£ sont les prix permettant la d~composition du problgme global et % la valeur finale de l'eau, ce qui permet de valoriser les ~carts ~ l'~tat final imposg). l'~tat al~atoire y~ gvoluant selon les ~quations t+1 t t t y~ = y~ + a~ - q~ o
yz = Sinit
344
Pour simplifier ia recherche de la strat~gi.e optimale en boucle ferm~e, on impose une loi de feedback de la forme : t t t (V~ It xt t t q% (y%, az) = MIN ax' MAX (yz + u + az)
vt ]I min
t t o~ l'optimisation s'effectue par rapport aux paramgtres x , u de la loi de feedback, ces paramgtres ~tant figs par l'~quation d'~volution x t+1 = x t - u t. On impose de plus les contraintes S~in-~:xt~-~st
max
x ° = S. . Inlt xT = Sfina 1 t
(o0 x t et u sont des vecteurs ~ n eomposantes s'il y a n rfiservoirs saisonniers interdfipendants dans la valtfie consid~rge),
param~tres MAX
Ii est possible de reformuler le problgme prgc~dent ~ partir des seuls x t , u t de l a l o i de f e e d b a c k :
~ ~? E t ~=I ~t=O k=! Ekg
h (x0
,xt,u°,.
,ut) ,
_
°
~+~ X
t =
x° = S
X
t o ,x ,u ,.
q~ (x°
'ut).
t Pk~
o .,x
. . . . .
t --
n
inlt
x t = Sfina I St . ~ i m~n
xt ~
St max
Pour simplifier les notations on posera V(x ° '°
o.,X T-! ,uo ,o.°,u T-I) = z=IL E -1 iT~Imk=l t ~ ] ' q £t E L ~t=0 Ek~
t (. [Sfina I- y~T] • X I ' Pk~ -
La fonction V apparalt donc comme !a valeur de l'gnergie produite par la vallge consid~rge. On dolt donc r~soudre le probl~me de commande optimale : V(x o
MAX
T-I
o
ixt+ I = x t _ u t x
= Sinit
xT = Sfina l Stin ~
xt ~
Stax
T-l)
345
L'int6r~t de la m6thode de d6composition du probl~me global repose sur la grande simplicit6 de la structure des problgmes locaux, simplicit6 qui permettra de disposer d'une mgthode de r6solution particuli~rement rapide.
III-
RESOLUTION NUM~RIQI~
III.l - Recherche d'u n point-selle La seule difficult6 du probl~me precedent provient des contraintes
sur
les ~tats S t" ~ x mln ~
t
St max
~
On utilise une m6thode de recherche du point-selle (y,6,X,U)
= V(x ° .... xT-|,u
..... u
+
Z t=1
du lagrangien
yt(xt - S in ) - {t(xt - S ax >
ce qui permet de transformer la r6solution d'un probl~me de commande optimale avec contraintes sur les 6tats en une suite de problgmes de commande optimale sans contraintes sur les 6tats. On recherche donc y, 6, X, U tels que
pour y, ~
~(~,
0
~, x, u ) ~
pour
x
%(y,
t+1
X O
= x
=
t
~, x, u)
- u
t
S.
init xT = Sfina 1
Pour la recherche d'un point-selle (y, 6, X, U) du lagrangien (y, ~, X, U) on a utilis6 la m6thode classique d'UZAWA. La concavit6 du crit~re et la d~finition du domaine admissible permettent d'affirmer d'une part l'existence d'un point-selle et d'autre part la convergence de la m6thode d'UZAWA vers un tel point. On est donc conduit g r6soudre successivement un probl~me primal et un prob lgme dual. -
e_robl_~me_pr!ma ! -
A l'it6ration k, on maximise le lagrangien $(Yk' fix6s, par rapport ~ X et U dans ]e domaine d6fini par t+] X
t =
X
t -- U
x ° = Sinit x T = Sfina I Soit Xk
6k) et % < T k ,
~)
la solution optimale.
6k' X, U), ~ Yk et 6k
346
- Probl~me
dual -
On minimise le lagrangien 6 dans le domaine
yet
~ (y, 6, ~
Uk),
~ Y~ et U k fixes, par rapport
I ¥~0 ~ 0
A l'itgration
et on choisit mgthode.
k+1 on effectue
MAX
V
des variables
Yk+ ]
Io
~tk+] = MAX
(0, ~kt + ~(xtS t m- a x ) ] k
o > 0 suffisanmnent
111.2 - Rgsolution
li~rement
les dfiplacements
num~rique
petit de mani~re
d u problgme
~ assurer
..,x
,u ,.~.,u
+
t+ ! X
Z t=1
yt(xt
t =
la convergence
de la
primal
On est donc c o n d u i t ~. r@soudre, pour y e t simple de con~nande optimale
x°
duales
d fix~s,
un problgme p a r t i c u -
- S in ) - ~t(xt - S ax )
t
X
--
U
x° = S. . inlt T x En utilisant
l'~tat MAX
final, V
x°
= Sfina I
l'gquation
d'~volution
pour exprimer
l e probi~me p r e n d l a forme s u i v a n t e .o ~x
,u ,.o.,u
+
t+1 X
t =
T~I t=O
~ t=l
X
--
yt(xt - S in ) -
U
la contralnte
sur
: (x t - S ax )
t
t
U = Sinit - Sfina I
o
x
dans
= Sinit
Pour r~soudre ce probl~me, on utilise une m~thode de plus forte pente la mesure o~ celle-ci permet une interpretation ~conomique int~ressante.
347
Soit It et ~t pour t = 0 ~ T respectivement la commande et la trajectoire. • % On envisage un d~placement 6u t de la commande ~ partlr de u t pour t = 0 ~ T-I en i m p o s a n t de p l u s l a c o n t r a i n t e •
t=O i= 1 O~ les ~i pour i = ] ~ n sont des constantes positives que l'on dgterminera par la suite. 6u t On recherche les directions de d~placement ~ pour t = O ~ T-] qui optimisent
la variation du crit~re. D'o~ le probl~me
MAX
t=OZ (~x t ~S
:
+ --~u t 6--~ +
~xt+ l
~x t
~u t
~s
6s
~s
T~I
6u t
t=0
~s
~
E
= 0
2
c~.
t=o i°i
=
I
• i-7~-j
~x °
~-7- = 0
to %T-I to (en posant ~ = V Ix ..... x ,u ..... ~T-I)
)
C'est un probl~me de programmation d~cision sont 6x t ~u t 6s et ~s
math~matique
dont les variables de
pour t = O ~ T-]. Les conditions syst~me adjoint
d'optimalit~
6x t par rapport g ~-~-- pour t = 0 ~ T donnent
% ~t+l = ~t _ DV _ Y t + ~t ~x t
4=o o7
~t+l apparalt cormne le multiplicateur d'~volution
~x t+l 6s
de Kuhn et Tucker attach~ g l'~quation
~x t
~u t
6s
~s
le
348
t
6u Les conditions d'optimalit~ par rapport a 6-7 pour t = 0 ~ T-I permettent d~obtenir les directions de dgplacement relatives au°r~servoir i (i = I ~ n) Su t
6s
2s~ i
- ~i
- °i
ofi s est le multiplicateur attachg ~ la liaison T-I
n
z
s
16uti]2
~'~77-j
t=O i=l
=1
l
et o. !e multiplicateur attache ~ la liaison i T- 1 6u t r~ ~-~-- = 0
t=O Cette derni~re permet d'exprimer directement le multiplicateur o i ]
T~I~[~3__ut
__ t + l ]
~i = ~ t=O on posera ,~t = t + o. m i i pour t = 0 ~ T et i = i ~ n d'oO ITexpression de la direction de d~placement
~u~ l
8s
I 2~ i
~--~t- t + 1 i Laui pour t = 0 ~ T-I et i = i ~ n
on pose
o2s ei = - 2~-~
d'o~ la nouvelle commande ut(~) en fonction d~un scalaire @ > 0
i u t ( 8 ) = ]ti + 0
~
i 8 > 0
I t = 0 ~ T-I
pour
Ii
- ~it+]]
= ] ~n
On retient une valeur de e suffisamment petite de fagon ~ augmenter strictement la valeur du crit~re ~conomique.
349
IV - INTERPRETATION ECONOMIQUE On s'int~ressera ici ~ la signification gconomique du vecteur ~t pour t =O
~T
~
~
=
i
+
~
i
.
(i=
I ~n)
i
Par intggration du syst~me adjoint ~t+l = t
~ t -----f-y+
6t
~u
t
=
0
partir de l'instant T jusqu'g l'instant t+1, on obtient ~t+l. =
E
+ ¥s _ ~
+ ~.
(i=
1 An)
D'apr~s l'interpr~tation @conomique g~n~rale d'un multiplicateur de Kuhn et Tucker, o. reprgsente l'avantage gconomique d'une unit~ marginale d'eau l'horizon T.iC'est la valeur de l'eau ~ l'instant final pour le rgservoir i° D'autre part la quantit~
E mesure l'effet de "hauteur d'eau" du s=t+ 1 3x~ i i' int@r~t ~conomique qu'il y aurait r~servoir i. En effet cette quantit~ reprgsente turbiner l'eau sous une hauteur marginalement sup~rieure (meilleur rendement @nerg~tique des turbines). Enfln le multlpllcateur y. s interprete comme le co~t marginal associ~ . . . . l S 8 la contralnte de nlveau mlnlmum x ~ S • et le multiplieateur ~s s'interpr~te comme le co~t marginal associ~ ~ la contrainm~ n de nlveau" maxlmum" x xS~< Smax'S Par consequent ~t+1•• somme de l'ensemble des termes prgcgdents, repr~sente l'avantage @conomique qu'i~ y a g disposer g la date t d'une unite marginale d'eau suppl~mentaire tout en continuant ~ ggrer dans le futur cormme on avait prgvu de le faire (Is pour s = t+! g T-I). On reconna%t i~ la d~finition m~me de la valeur de l'eau ~ la p~riode t pour le r~servoir i. Ii est important de remarquer que cette valeur de l'eau est relative la commande quelconque u t pour t = 0 g T-! et pas n~cessairement ~ la commande optimale u t pour t = 0 ~ T-] ~t+l. = valeur de l'eau la semaine t pour le r~servoir i I x associ~e ~ la c o ~ a n d e ~t pour t = O ~ T-]
]
Connaissant la signification gconomique de ~t+!., on en d@duit ais@ment celle de la quantit~ i t Su i
1
350
En
~V effet ~u t
repr~sente
l~utilit~ marginale
immediate associ~e
au destockage d'une
unlte a eau alors que ~, represente la valeur future de cette eau. On compare done 1 utlllte marglnale zmmedlate de l'eau et sa valeur future. On reconnait Ig la d~finition d'une rente marginale
I ~ i _~u~ _
-
~t+~ i
Rente marginale la semaine t pour le r~servoir associ~e ~ la eommande It pour t = O ~ T-I
=
i
Or le d~plaeement de la commande effectu~ dans la mgthode de r~solution num~rique utilis~e est de la forme : i + e
i
~uti
i
e>O Par consequent on destocke plus d'eau quand la rente est positive et moins d'eau quand la rente est nggative. Autrement dit on d~forme la commande de fagon ~ accaparer les rentes positives et g se dgfaire des rentes n~gatives. Cette procgdure s'arr~te lorsque pour t = O ~ T-] et i = ] g n on obtient des rentes nulles :
~
~t+t ° o
t ~u i
1
t
La c o ~ a n d e obtenue est alors la solution optimale u k pour t = 1 ~ T-I du probl~me primal relatif aux variables duales y~ et ~ pour t = O ~ T-I, -t ~t ¥ et on obtiendra
Pour les mul~ip!icateurs du problgme initial :
MAX V (x ° , i
.,
t+l X
I
t =
-- U
X
st .
xT-1
o
t
xt
st
mln
max
i o I x = Sinit I xT = Sfina I Le vecteur ~ sera solution du systgme adjoint st+! = t
_ _ -
~x T avec les conditions
-t
SV -
t
= o d'exclusion
~t (x t _ S~in ) = O ~t (x t - S~ax ) = 0
T
~t +
uT-l)
la commande optimale
351
Le vecteur ?t+l s'inter~r~tera comme la valeur de l'eau & chaque instant associ6e la commande optimale u t pour t = 0 ~ T-; ; et l'on v~rifiera de plus les conditions ~ V - vt+l ~u t i = 0 l i= 1 ~n t =0
~T-I
Autrement dit, g l'optimum, l'utilit6 mar$inale inm16diate de l'eau est ~$ale ~ la valeur future de l'eau. On reconna~t ig les conditions d~j& 6nonc6es par P. M A S S E [4). L'int6r~t de la m6thode numgrique utilis6e est simplement de permettre l'utilisation des deux concepts gconomiques d'utilit6 marginale imm6diate et de valeur future de l'eau en dehors de l'optimum. Ceci permet, d~s lors, une compr6hension ~conomique de la proc6dure de r6solution utilis~e.
BIBLIOGRAPHIE LIONS - BENSOUSSAN - TEM-AN (I) : M~thode de d~composition
- cahier de I'IRIA n ° 11
BOUILLAGUET - DUMONT - GAL - MONTFORT [2) : Gestion des r~servoirs (note interne du Service des Mouvements d'Energie EDF) J.P. QUADRAT (3) : M~thodes de simulation en programmation (thgse de docteur-ing6nieur) P. MASSE
saisonniers
dynamique
(4) : Les r6serves et la r6gulation de l'avenir - Hermann
stochastique
FILTRAGE ET IDENTIFICATION1 FILTERING AND IDENTIFICATION
ALGORITHMES
DE CALCUL DE
J
MODELES MARKOVIENS
POUR FONCTIONS ALEATOIRES
P. FAURRE SAGEM et LABORIA
(France)
I - INTRODUCTION
l.l - Au cours des trentes dernigres
annges,
la n6cessit~ de rgaliser
de plus en plus performants
a conduit ~ consid6rer
et ~ mod61iser
toires ou les perturbations
al~atoires
dans ces systgmes.
De nouvelles diction,
disciplines
comme le filtrage statistique,
!a thgorie de la dgtection,
velopp6es.
Les contributions
Dans l'approche leurs covariances
intervenant
initiales de WIENER et KOLMOGOROV
ou leurs spectres,
les signaux al~a-
la thgorie de la pr6-
la commande optimale stochastique
la plus ancienne,
les fonctions
param~tres
des syst~mes
se sont d6-
furent consid6rables.
al~atoires
sont dgcrites par
qui sont le r6sultat brut d'une ana-
lyse statistique d'6chantillons. Le d6veloppement d~6tat en automatique
des calculateurs d~terministe
une approche diffgrente diff6rentielles ~quivalent,
ou r6currentes,
et des m6thodes
sur une representation
lingaires et stochastiques,
gaussiens-markoviens
Kalman et Bucy appliqu~rent
(KALMAN
travaux
entre les deux types de modgles.
gaussiennes-markoviennes
(ANDERSON,
Plus pr~cis~ment
variance d'un processus gaussien vectoriel, Un r~sultat math~matique l~ensemble ~Dde
Cet ensemble
De plus,
FAURRE, KALMAN)
(SAGE).
faisant le lien
comment obtenir ~ partir de la co-
une reprfisentation markovienne
markoviennes
s'av~re ~tre convexe,
extr6maux max et min, P~ et P~ . Des algorithmes ment ces rgalisations
s'av~rent aus-
de la d6tection
?
connu sous le nom de lemme positif r6el caract6rise
toutes les r~alisations
par sa covariance.
ce qui est
cette technique au probl~me du filtrage statisti-
Les repr6sentations
- Ce papier r6sume quelques
ou encore,
1960
par 6quations
(I) et (2)).
si trgs puissantes pour le probl~me de lissage(BRYSON)et
1.2
de variables
conduisit Kalman et Bucy ~ d6velopper vers
fondge essentiellement
par processus
que et de la pr6dietion.
numgriques
d'un processus
gaussien d6crit
ferm6, borng avec deux points
permettent
de caleuler effective-
extr6males.
l'une des r~alisations
extr~males,
P~ , s'av~re ~tre le filtre op-
timal° De nouveaux rgsultats pour le cas non stationnaire
ont 6t~ obtenus r6cemment
(voir ATTASI, CLERGET), mais on se limitera ici au cas stationnaire.
353
2 - ENSEMBLE DES REALISATIONS MARKOVIENNES D'UN PROCESSUS
STATIONNAIRE
2.! - R~alisations markoviennes Nous consid~rerons FAURRE
dans la suite une gchelle de temps continue et renvoyons
(4) pour l'analyse dans le cas d'une ~chelle de temps discrete.
processus
Tousles
seront supposes centr~s.
La donnge du problgme consid6r~ sera un processus gaussien vectoriel naire y(t) de dimension m de covariance
E {y(t+T)y'(t)}
et de spectre
(.)
= A(T)
station-
connue
(I)
(transformge de Laplace de la covariance)
S(s) = ~ { A ( T ) }
Ce processus
= fe-STA(T)dT
(2)
sera dit admettre une reprgsentation markovienne,
s'il existe
un processus markovien x(t) de dimension finie n tel que
y(t) = Hx(t) + w(t)
o~ le terme gventuellement
(3)
prgsent w(t) est un bruit blanc.
On peut montrer qu'un processus gaussien stationnaire markovien v~rifie ngcessairement une ~quation diff~rentielle
lin~aire excit~e par un bruit blanc(FAURRE(4)"
(on voit ainsi l'analogie entre des reprgsentations viens),
ce qui conduit ~ la d~finition
DEFINITION
suivante
d'gtat et les processus marko-
:
:
On appelle r~alisation markovienne naire un module de la forme
(si elle existe) d'un processus gaussien station-
:
= FX + v
(4)
y = HX + w
(5)
o__~0F v] est un bruit blanc de covariance
Lw] (~) La notation y' d~signe le transpos~ de la matrice y.
354
E
v (t)
Q S
(6)
'[w(t)] [v;(s)w'(s)]l= Is'R] ~(t-s) et. pour l e ~ l
les conditions
suivantes sont v~rifi~es
F
:
[email protected]
(F,L)
:
.c£m~Igtement corrcaandable avec Q = LL'
stable
(8)
(7)
(H,F)
:
com pl~tement
(9)
obs.ervable
On peut voir que la covariance du processus y(t) ainsi repr6sent6
:
(10)
A(T) = E{y(t+T)y'(t)}
= E{[H/o~eF~v(T-~)d~
+ w(T)] [~ro~eFBv(-B)dB+w(o)] ~}
est de la forme
A(T) = HeFTGg(T) + G'e-F'TH'g(-T)
(11)
+ Rd(T)
o~ l'on a pos6 G = PH' + 8
(12)
P = E{x(t)x'(t)}
(13)
aveg
solution de l'~quation FP + PF' = -Q
(14)
et I 0 E(T)
si T < 0
= I I/2 ! ~ I
(|5)
si T = 0 sir
> 0
et oO 6(T) est !~impulsion de Diraco Le spectre de y(t), transform~e de Laplace de (11) est donc
S(s) = R + H(sI-F)-IG + G'(-sI-FV)-IH '
On remarque immgdiatement (s(s)
que S(s) est rationnel en s e t
(16)
parahermitien
= s'(-s))
Ainsi, nous voyons d~jg apparaltre deux conditions ngcessaires ult~rieurement
suffisantes)
(qu'on verra
pour l~existence de r~alisations markoviennes
:
355
i) la covariance A(~) doit Stre de type positif (comme toute eovariance) ou de faton ~quivalente le spectre doit v~rifier (th~or~me de Bochner) S(j~)
~
0 pour tout ~ r~el
(*)
(17)
ii) le spectre doit ~tre une fonction rationnelle de la fr~quence s, ou encore la covariance A(T) doit ~tre de la forme (ll). Pour les applications, la covariance A(T) vient en g~n~ral d'une estimation statistique. II est donc important de pouvoir exprimer A(T) par une formule du type (11). Ii s'agit en fait de m~thodes d'approximation du type approximation de Pad~, et un algorithme utilisable pour cela est l'algorithme de HO (voir HO, IRVING, RISSANEN, FAURRE (4)). Nous supposerons donc pour la suite que les donn~es du probl~me, g savoir la covariance A(T), sont en fair les 4 matrices {H,F,G,R}. Les inconnues sont alors {P,Q,S}.
2.2 - E n s e m b l e ~ d e
toutes les rgalisations markoviennes
Une r~alisation markovienne particuligre sera parfaitement dgfinie par la matrice P correspondante : en effet les matrices Q et S s'en d~duisent par les relations (14) et (12). On appellera ~l'ensemble des matrices P correspondant g une r~alisation markovienne de A(T)d~finie par (II). On peut montrer que cet ensemble~Dest
caract~ris~ par les relations
FP + PF' : -Q
(18)
G
- PH' : S
(19)
[Q, 0 ~] S >_ 0, P >__
(20)
Les relations (t8) et (19) ont d~j~ ~t~ vues et (20) est ~vident car les matrices correspondantes sont des covariances ; la r~ciproque peut ~tre d~montr~e (voir FAURRE (4)). Ces relations (18), (19) et (20) interviennent dans un r~sultat math~matique important connu sous le nom de lermne positif r~el (POPOV) qui est le suivant THEOREME (Lemme positif r~el) La fonction A(T) d onn~e par l'expression (II) est de type positif si, et seulement s'il existe trois matrices P,Q,S (P e_~tQ sym~triques) vgrifiant (18), (19) et
(,~p). (~) La notation A ~ 0 signifie que la matrice A est non n~gative d~finie.
356
La structure de l'ensembleS~est que~Qest montrer
(voir FAURRE
A <
~admet
int6ressante,
convexe ferm~ dans l'espace des matrices
B <::>
(4)) que relativement
B -
II est assez sym~triques
& la relation d'ordre
A non n~gative d~finie,
(21)
un maximum P* et un minimum P~ , c'est-~-dire
P e ~ D ~--->
P
<
facile de voir
nxn. De plus on peut
P <
que
P*
(22)
3 - ALGORITHMES DE CALCUL DES REALISATIONS EXTREMALES
Un r6sultat
th~orique utile introduit
entre la r6alisation
x'P ~ x
inf
=
u(.)c
o~ l ~ e n s e m b l e
(x)
extrgmale P
~£o
fo
{u(.)tx
La m a t r i c e
u v( @
A(~-~)u(~)d~d~
:
(23)
par
= I°_~ e - F ' a H ' u ( a ) d a }
P~ a p p a r a i s s a n t
trainte lin~aire,
(2) est la liaison existant
~ (x)
~ (x) e s t d 6 f i n i
=
dans FAURRE
et la covariance A(T), qu'on peut exprimer ainsi
(24)
corrme infimum d ' u n c r i t ~ r e
quadratique
sous con-
on peut montrer que P~ est la valeur limite d'une 6quation de
Riccati. Dans le cas r6gulier
(R d6finie positive)
les algorithmes
sont les suivants
ALGORITHME Le maximum P~ s~obtient
I
~(o)
en intggrant
=
0
=
F'~ + ~F + (H'-~G)R-I(H-G'E)
(25)
jusqu'& convergence vers la valeur d'~quilibr 9 2 , _alors _
p~
=
Le minimum P~ s'obtient
~(o)
I
(26)
~2 I en int6grant
=
0
=
F~ + ~F ~ + (G-~H')R-J(G'-~)
(27)
:
357
jus u'~ conver$ence vers la valeur d'~quilibre
=
P~
~2oo
(26)
Ces algorithmes koviennes
~ ,alors
sont stables et efficaces pour calculer des r~alisations mar-
(voir GERMAIN).
r6alisation markovienne que pour un processus
Les m6thodes
initiales et plus anciennes pour trouver une
sont d6riv6es des id6es de factorisation
scalaire les deux approches
tivariable
les algorithmes que nous proposons
complexit6
des factorisations
spectrale.
sont comparables,
Alors
dans le cas mul-
semblent l'emporter nettement
sur la
de matrices rationnelles.
4 - APPLICATIONS
4.1 - Filtre statistique optimal Rappelons que le probl~me du filtrage st atistique eonsiste k calculer meilleure
estim&e R(t) de x(t) R partir des observations
~(t) = E{x(t)
ly(~), ~ < t}
Pour un modgle markovien de la forme
la
pass&es y(a), e < t :
(29)
(4) ~ (6), l'algorithme
de filtrage
porte le nom de filtre de Kalman (voir KAL~IAN (I) et (2)) et s'~erit
x avec
=
K =
F~ +
K [y-H~]
(30)
(ZH'+S)R -I
(31)
et E ~tant l'unique solution d~finie positive de l'gquation de Riccati stationnaire du filtre.
FE + ZF' - (EH' + S)R-](H~+ S') + Q = O.
Si l'on ~crit les ~quations
(32)
(30) et (5) sous la forme
= F~ + TW
(33)
y=H~+W
on voit que le filtre est une rgalisation markovienne par
(34)
particuligre
caract~ris&e
358
Ii est possible de montrer (voir FAURRE (4)) que cette rgalisation markovienne particuli~re est P~ . Ainsi donc la r~a!isation markovienne minimale P~ prEsente-t-elle la particularit~ d'etre le filtre de Kalmano
4.2 - Implications pratiques Lorsqu'on se trouve devant un probl~me concret de filtrage statistique pour lequel les modules sont mal eonnus, le premier probl~me est celui de les obtenir par des m~thodes statistiques. Lorsqu'on cherche ~ obtenir un module markovien, deux approches sont utilisables : i) une approche param~trique : des hypothgses de structure et de dimension ~tant faites sur le proeessus, on estime au mieux les param~tres ii) l'approche utilisant les algorithmes pr~sent~s dans ce papier, qui ne fait aucune autre hypoth~se a priori que la stationnarit~ et qui consiste : g estimer la covarianee du processus par des moyens d'analyse statistique
-
utiliser des algorithmes du type HO, RISSANEN qui g~n~rent les matrices {H,F,G,R} repr~sentant la covariance -
g utiliser les algorithmes prgsent~s ci-dessus pour calculer une ou deux
rgalisations extr~males P~ ou P~ , ou route combinaison convexe de ces deux Ig. Ayant ainsi obtenu une r~alisation markovienne,
il est possible de calculer
explicitement le filtre de Kalman° On pouvait faire reproche ~ cette procedure d'avoir ~ r~soudre successivement deux Equations de Riccati, une pour obtenir la rgalisation markovienne et une autre pour le filtre. Or il ressort du r~sultat nouveau cit~ plus haut que la r~alisation P~ n'est rien d'autre que le filtre, et done que la r~solution d'une seule gquation de Riccati suffit pour r~soudre le probl~me global rgalisation markovienne et filtre.
3~
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1973.
J. RISSANEN - Recursive Identification of Linear Systems, J. SlAM Control, Vol. 9, No 3, p. 420-430, August 1971~
A°P. SAGE, J.L. MELSA - Estimation Theory with Applications to Communications and Control, Me Gra~7 Hill, 1971.
N.
WIENER
-
Extrapolation,
The M.I.T. Press,
1949.
Interpolation and Smoothing of Stationary Time Series,
ESTIMATION DE PAP~METRES DISTRIBUES DANS DES EQUATIONS AUXDERIVEES PARTIELLES
G. CHA~NT (Institut de Recherche d'Informatique et d'Automatique et Universit~ Paris IX - Dauphine)
La m6thode pr~sent~e iciest con~ue sp~cialement pour l'estimation de param~tres distribu6s dans des syst~mes distribu~s.Elle utilise la th6orie moderne du contrSle dans des espaces de fonctions, et consiste ~ minimiser un crit~re d'erreur (non quadratique en les param~tres) par une m~thode de gradient ordinaire. Les avantages de cette fa~on de proc~der sont le~ suivants :
-
il n'est pas besoin de supposer que l'on connalt une forme alg~brique des fonctions param~tres pour calculer le gradient par rapport ~ cette fonction.
-
lorsqu'on d~sire tester diverses formes alg6briques (chacune ne contenant que quelques param~tres inconnus), il suffit de modifier quelques cartes dans le programme, dont l'architecture reste inchang~e.
- le calcul de ce gradient ne n~cessite que la r6solution de deux ~quations au~ d6riv~es partielles, m~me lorsque i'inconnue est une fonction. -
la m~thode est utilisable m~me si l'on ne poss~de que peu de points de mesures en temps ou en espace
Nous donnons des applications ~ l'estimation de fonctions des variables d'espace (darts des nappes d'eau et de p~trole) et ~ l'identification d'une fonction d~pendant de la solution du syst~me.
Co~mranication pr~sent~e au Colloque International sur les M~thodes de Calcul Scientifique et Technique I.R.I.A., le Chesnay, 17-2] d~cembre ]973.
362
I - INTRODUCTION Le problgme de l'estimation des param~tres peut @tre pose comme un problgme de contrSle optimal dams lequel le contrSle serait le param@tre g estimer, et oO la fonction co~t serait un crit~re quadratique d'erreur entre les mesures et les sorties calcul~es par le module. Ii gtait donc naturel de transposer ~ l'estimation de param~tres distribu~s dams des systgmes distribu~s les m~thodes d'analyse fomctionnelle d~veloppges par J.L. LIONS ([I] ,[ 2]) pour le contrSle des syst~mes distribu~s. La difference principale est que, dams notre cas, la fonctionnelle :~ minimiser n~est pas quadratique~ de sorte que hombre de r~sultats de la th~orie ne peuvent ~tre transposes. Mais cette approche nous donne un algorithme de calcul du gradient, qui est syst~matique et efficace. Au §II, nous rappelons quelques notations d'analyse fonctionnelle ; Au §III, nous esquissons la th~erie ; Enfin le §IV donne trois applications num~riques.
II - NOTATIONS
X et Y
~tant deux espaees de Banach, on notera :
X' et Y' !es espaces duaux topologiques de X et Y ~(X,Y)
l~espace des applications lingaires continues de X dams Y
IIIIX et IIIIy les normes dams les espaces X et Y si A E ~ (X,Y) on notera par A ~ E ~ (Y',X') le transposg de A ( , )X~ X sera utilis~e pour la dualit~ entre X' et X ( ' )X
sera utilis~e pour le produit scalaire dams X (lorsque X est un Hilbert naturellement).
Si
~
est un ouvert de R n, on introduit les espaces de fonctions sur
~ suivants :
(~) = espace des fonctions continues sur Q L~(~) = espace des fonctions p.p. born~es sur
Q
L2(Q) = espace des fonctions de carr~ Lebesgue intggrable H 1 (Q) = {uE L2(Q) I ~-~ E L2(Q) i=!,2...n } 0x i H~(~) = {u 6 H ] (~) I "u=° sur le berd
r de Q"I"
Dams tout le reste de l'article, on ~crira dgrivable pour Frgchet-D~rivable.
IIl-
THEORIE Supposons que les ~quations gouvernant notre systgme soient de forme connue.
Seuls sont inconnus,
(ou mal connus) un ensemble de param~tres, qui peuvent ~tre
363
des nombres ou des fonctions. L'gquation d'6tat sera :
(1)
(y,a) = f o~ (Y,~et F ~tant des Banach)
:
y E Y est l'~tat du syst~me a E CLest l'ensemble des param~tres
inconnus
f E F est le 2~me membre de l'~quation d'~tat est une application connue de Yx(]/
~F.
Nous supposerons qu'il existe une partie ouverte ( ~ C _ ( ~ t e l l e c Pour tout a E(]~c, l'~quation
que :
(1) a une solution et une seule y E Y. I (2)
Nous noterons cette solution y(a).
~£~[~_!
: Le temps n'appara~t pas explicitement dans l'gquation
(|). Cependant,
Y peut ~tre un ensemble de fonctions du temps (cf par exemple les applications et III) ; l'~quation
II
(]) contient donc aussi les syst~mes dynamiques,
m
Pour estimer le param~tre a, il nous faut quelques informations suppl~mentaires sur le syst~me (I). Introduisons pour cela un espace de Hilbert espace des observations,
~
, qui sera notre
et une application ~ de Y dans H. Bien que la th~orie puisse
~tre faite sans difficult~ pour
~
non lin~aire, mais eontinument
supposerons dans la suite pour des raisons de simplicitg
d~rivable, nous
:
Appelons aoE (~c la valeur exacte, mais inconnue des paramgtres. L'observation consiste alors en un certain ~l~ment
z E ~,
supposg ~tre une "~esure"
(4)
de ~ y ( a o)
On peut alors associer g tout param~tre a E ~
J(a) =
II~y(a)-z II~ V a
une fonction co~t J(a) par :
E ~c
(5)
364
Rema[~He_2 :
Si l~on consid~re l'observation comme la sortie du syst&me, cette
fonetion co~t n'est rien d'autre que l'@cart quadratique entre les sorties
I
calcul@es et mesur@eso Nous pouvons alors formuler ainsi notre problgme d~identification : trouver
~ E(~ad tel que :
I
(6) J(~) <
J(a)
VaE
~ad
o~
•
a
d
est l~ensemble de t o u s l e s param~tres admissibles,
que l'on suppose ~tre une pattie ferm@e,et g~n@ralement born@e de ~
I I
(7)
• c
On peut alors se poser au moins trois questions
:
i) Sous quel!es conditions le probl&me (6) a-t-il au moins une solution ? ii) Sous quelles conditicns le probl&me (6) a-t-il au plus une solution ? iii) Comment effectivement minimiser J ?
Ii n'y a pas de r~ponse g@n@rale g la question i), tout au moins lorsque l'es pace (~
des param~tres est de dimension infinie. Lorsque
~]j est de dimension
finie, on a !e r@sultat suivant (trivial).
Proposition I : si :
®
~ est de classe C
V(y,~) E Yx~, ~~*y
1
(8)
de YX~c------>F
(9)
(y,a) est inversible
,(~est de dimension finie
(i0)
alors il existe au moins un ~ E~aad qui minimise J.
~@__m=~$~$$~
: (2) (3) (8) et (9) et le th@orgme des fonctions
montrent que J e s t
implicites
continue sur ~ c, et (7) et (I0) entra~nent que ~ad est compact. I
La question ii) est importante du point de vue des applications. En effet, s=il n'y a qu'une solution ~ au probl~me (6), on peut esp@rer que, sous des hypotheses raisonnables, $ sera "voisin" de a O si z e s t Malheureusement,
"voisin de ~Y(ao).
il n'y a I~ encore aucun r@sultat g@n&ral d'unicit@. Le eas
g@n@ral serait plutSt le cas de non-unicit@. Pour avoir alors une idle de la confiance que l'on peut avoir en 3, on minimise J g partir de diverses valeurs
365
initiales. En ce qui concerne la question iii), nous avons heureusement des r~sultats qui nous permettront de calculer num~riquement 3, m~me en l'absence de r~sultats thgoriques d'existence et ou
d'unicit~,
La minimisation de J se fera par une mgthode de gradient. Nous avons utilis& la m~thode de steepest-descent
; En effet, la fonctionnelle J n'gtant absolument pas
quadratique, il n'est pas s~r que des mgthodes plus glabor~es (celles du gradient conjugug, ou de Fletcher Powell), utilisant le caract~re suppos~ quadratique de la fonctionnelle, donnent un gain important (un test fait dans [ ~
entre steepest-
descent et gradient conjugu~ les a mis N ggalitg. Mais si on le d~sire, n'importe quelle autre m~thode utilisant le gradient peut ~tre utilis~e. D'autre part, il faut choisir avec soin le mode de calcul du gradient de J. En effet, si a est une fonction, elle peut ~tre repr&sent~e num~riquement par sa valeur en de nombreux points, de telle sorte que le gradient de J peut avoir de nombreuses eomposantes (quelques centaines dans certaines applications)
: le calcul
de ce gradient par diffgrences finies par exemple prendrait un temps prohibitif. La rgponse thgorique est donn~e par la
Proposition 2 : C ! de
(~c
sous les hypotheses (8) et (9), la fonctionnelle J e s t
~6R. La d~rivge J ' ( a ) E ~ '
est donn~e par :
J'(a).6a = d~a(Y(a),a).P o3 :
de classe
Va E ~c'
V6a~CO
• y(a)EY est l'&tat du syst&me, solution de (I) avec la valeur a des paramgtres ineonnus • pEF' est l'gtat adjoint, solution de :
OY ~a
A
(y(a),a). p
2 ~ * A (~y(a)-z)
reprgsente l'isomorphisme canonique de ~ s u r
(12)
son dual ~ '
Dgmonstration. = = = = = = = = = = = = = D'apr&s le th~or&me des fonctions (]) est dgrivable de
implicites, l'application a--->y dgfinie par
~c--->Y, la dgrivge en a E CLc gtant l'applieation qui,
6a E (~ fait correspondre
8Y
6 y E y solution de :
(y,a) 6 y = - 0~ (y,a).Sa 0a
(12 Dis)
366
La diff~ren~ielle
6J
du crit~re J dgfini en (5) correspondant ~ une variatiol
6a du paramgtre s'gcrit done
6j = 2(~y(a)-z, ~ 6 y)
coaod.
6 J = 2(A(~y(a)-z),~6y)~. =
e.a.d.
2(~A(~y(a)-z), 6y) y,y
6J = -( dy(y,a )~@, 6Y)y~y =(p, - dy~y, )'6Y)F, F
ce qui donne bien (11) en utilisant (12 bis)~
Voyons maintenant comment ce r~sultat nous permet pratiquement de calculer le gradient de la fonction J par rapport aux param~tres inconnus a. La formule (11) se r ~ c r i t
:
J~(a)'6a
= (P' ~a (Y(a)'a)'6a)F'F
I
(13)
VaE~L et V6a E (]L c
Nous distinguerons deux cas
I_~i y a un nombre fini c.a,d.~L= Rm. Alors le dual ~ d e
m
de
paramgtres inconnus al a2...am,
~J~peut ~tre identifig ~ ~L=R TM ~ l~aide du produit scalaire
usuel. Et la formu!e
(13) devient : m E
J'(a).6a =
J=tY~m6aJ1
(14)
Vga = -m-(6a1""6a)E~" Au vu de la formule (14), on obtient les eomposantes du gradient de J par rappor~ au veeteur a : 8J
367
Le param~tre inconnu est une fonction a de la variable u, prenant ces valeurs dans un domaine born~ D c ~ p.
La variable u peut ~tre une des variables ind~pendantes du probl~me (l'espace ou le temps par exemple, cf. les applications 1 et 2), mais peut aussi Stre une des variables dgpendantes du probl~me (l'~tat du syst~me par exemple, cf. l'application 3). (~est alors un espace de dimension infinie et il n'y a alors plus, en g~n~ral d'application de dualitg de CLsurson dual (~'. Prenons par exemple le cas suivant :
6L=
~(D).
Alors le gradient de J par rapport ~ a est dan~ (i', qui est ici l'espace des mesures de Radon sur D, qui est bien plus "grand" que l'espace des fonctions continues sur D ! Heureusement, il se trouve que dans les applications pratiques, la mesure J'(a) est de la forme
y(u)du, o~
y
est une fonction Lebesgue int~grable
sur D. Dans ce cas, la formule (13) devient :
f, J'(a).6a =/DY(u)Sa(u)du
~6aE(~
(17)
(cette formule est g comparer avec la formule (14) : la somme discrgte a ~tg remplacge par une int~grale). Cette fonetion fonctionnelle
y(u), lorsqu'elle existe, s'appelle la dgriv~e partielle
de J par rapport ~ la fonction a :
~J O~ (u) = ~(u)
Vu E D
(18)
(g comparer avec (15)).
Dans les deux cas, la proposition 2 nous permet de calculer d'un seul coup le gradient J par rapport g a (que ce gradient soit un vecteur (¥]...ym) ou une fonction
~(u)) g l'aide de y,p
et de la formule (]3). Le calcul numgrique de
ce gradient ne n~cessite done que deux resolutions de syst~mes : l'~quation directe (I), l'~quation adjointe (12), cette dernigre ~tant toujours lingaire.
~!E~_~
: ~a (u) est en ggn~ral une fonction bien moins rgguligre que a(u) : on ne
peut donc appliquer rigoureusement une m~thode de gradient au cas continu t m
368
~£~!E~H~_! :
~a (u) est le gradient de J par rapport R la fonction a,sans aucune
hypoth~se sur la forme alg~brique de cette fonction a. ~ais si pour des raisons physiques ou pratiques, on d~sire chercher a(u) sous la forme :
a(u) = o~
a (u, ~ i . . ° ~
k)
(19)
a(u, ~ i . . o ~ k ) est une fonction connue de u et de k paramgtres inconnus
~I "°°f k' il est i m ~ d i a t
de calculer -~ , j=1,2, k ~ partir de ~ (u) : J 0_~J (~) = d~j
Rema[~u~_5 :
¥(u) 6-~ (u, fl...~k ) du J
j=l,2..k
(2l
Supposons qu'un programme ait gt~ ~crit en vue de l'identification
de a en tant que fonction de u, sans aucune spgcification de forme alg~brique. A chaque iteration de gradient, le programme modifie le param~tre a suivant (l'~qulvalent discret de) la formule : 6J (an)(u) a n+l(u) = an(u) -p ~a
(22)
Supposons que !~on dgsire modifier le programme pour chercher a sous la forme (;9), o~
~
est suppos~e ~tre lingaire par rapport aux paramgtres ~ , II faut que
soit modifig suivant le schgma : 6J
Mais grgce ~ la lin~aritg de ~
(23)
par rapport g ~ , !a forme (13) est strictement
gquivalente ~ : an+](u) = an(u) -
oO a
n
eta
n+ I
p~ (u, 6J ~-~ (fin))
(24)
sont de la forme (19).
En comparant (22) g (24), on voit que les seules modifications g faire dans dJ ~a (an) (u) ait ~t~
le programme consistent ~ insurer, juste apr~s que la fonction calculge :
o !e calcul de ~
(~n) par la formule (21) (quadratures) dJ • le stockage, dans la m~moire assignee a ~a (an) (u), de la fonction
~(u,~ (~n)).
369
Tout le reste du programme reste inehang6. Ceci facilite l'essai de diff6rentes formes alg6briques pour la fonetion a.
Donnons maintenant les applications num~riques, qui j'esp~re 6claireront les consid6rations pr6c6dentes.
IV - APPLICATIONS Dans tout ce paragraphe :
Q C ~ ou ~2
sera un domaine spatial borng, de fronti~re F, x E Q
sera la
variable d'espace, ]OT[=~
sera l'intervalle de temps sur lequel on observera les ph6nomgnes dynamiques, t E] OT [ 6tant la variable de temps,
y E
!~_~!~!~i£~
sera la variable d~pendante (c.a.d. la solution des 6quations).
: Identification de la perm6abilitg d'un aquif~re dans la r6gion de Bordeaux.
Nous voulons ajuster le module d'un aquifgre statique dans un domaine carrg deux dimensions d'espace. Les 6quations du systgme sont :
_O0Xl y = g
(a(x)~xZ10x
) - d---2(a(x) 0~y'X2 ) = f(x) dans Q
sur
1
(25)
F
o3
• y est la pression de l'eau au point x E a(x) est la perm6abilitg inconnue de l'aquif~re (suppos6 isotrope) au point
x = (XlX2) EQ
• f(x) est une fonction connue de x=(xl,x2) E~ , li6e au d~bit q j e t .i~me sition du 3 puits par : 43 )
f(x) = j~
qjxj(x)
o3 X.(x) est une fonction caract6risant la g6om6trie et la position du j J par :
~ la po-
(26) igme
puits
370
i 0 six Xj(x) =
n'appartient pas au ji~me puits
une constante s i x
,i~me
appartient au ]
puits
la constante ~tan~ choisie telle que :
Ja Xj(x)dx ° g est Nous s u p p o s o n s connalssons dans
ici
g est
une fonctlon
sur
connue sur
la frontigre
que nous avons une observation z(x),
le cas consid6rfi ici,
repr~sentfies tlon
la pression
= I.
la fig.
z(x)
qui est
.
distribufie,
1 ( m a i s on a u r a i t
/Q
c.a.d,
u n e m e s u r e de l a f o n c t i o n
a fit~ d f i d u i t e p a r i n t e r p o l a t l o n
o b t e n u e de l a m~me f a ~ o n .
J(a) =
£ de ~
pu g v i t e r
La f o n c t i o n
cette
que nous
y(x). des
gn pratique,
isopiezes
interpolation).
co?at a s s o c i 6 e
~ aest
La f o n c -
alors
(y(x,a) - z(x)) 2 dx! dx 2
:
(27)
Nous allons maintenant faire rentrer ce probl~me dans le cadre thgorique utilis~ au dans ~
§III. En remplaqant dans (25) y par y-y, o~ y est un rel~vement de g
, nous sormnes ramen6s N u n
syst~me de la m~me forme que (25), mais avec
g=o. Nous supposons : a £ L~(Q)
f E L2(Q)
(28)
et nous identifions L2(O) avec son dual, et H I (Q) ~ un sous espaee de L2(Q), Alors O
L2(fl) peut gtre identifi6 ~ un sous espace du dual [Hlo(Q) ] ' de Hlo(fl) : HI(~) o
= e 2 (~)
c [ H ol (Q) ] '
(29)
On peut alors associer & toute fonction a E L~(Q) un op6rateur lin6aire A(a) allant de HIo(Q) dans [H1o(O) ]' par : 9
~Q
i=10xi0x i dx Vu, v(
On sait alors qu~une formulation faible de l'~quation (25) (avec g=o) est donn6e par :
371
trouver
A(a)yY E Hol(~)= f tel que
1
(3;)
L'~quation (3]) est l'~quation d'~tat. Elle est de la forme (I) o~ Y = H|(~),
(~= L~(Q) et F = [HI(Q) ]', et o~ O
O
est l'application : (y,a) E Yx (i.~A(a).y E F La pattie
~c de ~ p o u r
132)
laquelle l'~quation (31) admet une solution unique est ici :
={ aE L~(~) I ~= >o, a(x) > = > o p.p. sur Q I
(33)
L'ensemble ~ad des param~tres admissibles introduits en (7) peut Stre d~fini ici par :
ad ={
aE L~(Q) I
~lax ~ a(x)
~ ami n
p.p. sur ~I (34)
o: aMa x et ami n sont des bornes sup6rieures et inf:rieures connues des perm:abilit:s. En ce qui concerne l'observation, nous prendrons ici : ~ = L2(O)
~= injection canonique de Hlo(O) dans L2(~)
(35)
de telle sorte que la fonctionnelle J d:finie en (27) coincide avec celle en (5). On v~rifie facilement que les hypoth:ses de la proposition 2 sont satisfaites, et on obtient la
Pr0position 3 :
Sous les hypoth:ses (28), la fonctionnelle J d~finie en (27) est d~-
rivable par rapport ~ a EL (Q), et J'(a) est donn:e par :
J'(a)6a = (A(Sa)y,p) o3
VaE(~, V6aE~ C
(37)
PE Hol(~) est l':tat adjoint, solution de A(a) p = - 2 (y-z)
Compte tenu de (30), (37) se r~crit J'(a)~a =
(38)
:
6a(x)
E ~ 8p dx i=! 8 x.Ox. l %
~ a E L~(~) .
(39)
372
ce qui ~rouve que la d~riv6e partielle fonctionnelle
~3J ~a (x) existe e t a
pour
expression : 2 ~ z ~ (x) !~ ba (x) = i=! d E i 6xi(X)
~L I
(Q)
OJ C e t t e f o r m u l e nous permet de c a l c u l e r numfiriquement a i s g m e n t ~ e o n n a i s s o n s y , s o l u t i o n de ( 3 1 ) , e . a ° d , (38), c . a . d ,
(40)
l o r s q u e nous
s o l u t i o n f a i b l e de (25), e t p, s o l u t i o n de
s o l u t i o n f a i b l e de :
_ Ox| ~_
dans (a(xlx2)0p ~x I)_ ~ 2(a(xlx2 )O~xx2 ) =-2 (Y (Xl x2)-z (XlX2)) (41)
p = o sur F
Resultats numgriques : Les donnfies (!) sont regroupfies sur la figure I. Le domaine Q
gtait discr~tisg en 20X20 points. La fontion inconnue a(xlx2)
gtait discrfitisge sur cette grille (il y avait donc 400 param~tres scalaires inconnus). A chaque itfiration de gradient, les fiquations (25) et (41) fitaient rfisolues 0J de fagon classique par diffgrences finies. Puis la fonction ~a(X)gtait gvaluge en chaque noeud de la grille par diffgrences finies ~ partir de l'gquation (40).
Fig. I : Les donn6es du problgme d'identifieation. (])Nous remercions le "Centre d'Informatique G6ologique et ~lini~re" de l'Ecole des ~{ines de Fontainebleau, qui nous a fourni ces donn6es et nous a autoris6 ~ les pn%lier.
373
Ensuite, un algorithme de plus grande descente ~tait utilis~ pour mettre ~ jour a avec une d~termination approchge du p
optimal g chaque pas.
Comme nous n'avions aucune idle de l'ordre de grandeur de la perm~abilit~ a, nous avons commencg par chercher a(x) sous forme d'une eonstante (ef. Remarque 5). En partant de a°=150, nous sommes ainsi arrives ~ a=]622 en 9 itgrations de gradient
et
25 s d'IBM 360-91. Puis, partant de la fonction a(x) constante et ~gale g 1622, nous avons obtenu la fonction a(x) reprgsentge sur la figure 2 en 5 iterations de gradient et 22S d ' l ~
360-91.
La pression y correspondant aux perm~abilit@s a(x~x 2) de la figure 2 est repr@sentge sur la figure 3 (~ comparer avec la figure I).
374
..
.N
f
.--
7
'
1
\t
F i g . 2 : C a r t e des T r a n s m i s s i v i t g s a(x) f o u r n i e s p a r l ' a t g o r i t h m e .
rn~
Fig,
3 : Carte des isopiezes
calcul~es~
375
2e£e_AE~!!~t!~n
: Identification de la perm~abilit~ d'un $isement de pgtrole en production monophasique.
Le gisement est le domaine
~
repr~sent~ sur la fig. 4. L'gquation d'~tat
pour la pression y(x,t) est : 2 ~t ~n
_
E ~ (a(x)0~x~ = f(x,t) i=l -"i
dans ~ x ] O T [
= 0 sur F (condition de Neumann)
(42)
y(x,o) = Yo(X) sur ~ (condition initiale) o~ a(x) reprgsente la permgabilitg inconnue du champs de pgtrole, supposg isotrope, f(x,t) est une fonction connue de la forme (26),o~
les d~bits qj
d~pendent maintenant du temps, Yo(X,t) est la pression initiale dans le gisement, connue.
Nous disposons
ici de moins de mesures de pression que dans l'exemple prgcg-
dent : seule la pression moyenne dans chacun des 11 puits est supposge mesurge chaque instant t (I)
d'o~ onze fonctions du temps z-(t)
j=1,2
II.
La fonction co~t naturelle est ici :
J(a) = j~l
xj(x)y(x,t;a)dx_zj(t
2 dt
(43)
De m~me que pour l'exemple precedent, ce probl~me peut rentrer dans le cadre th~orique du §III, en utilisant la th~orie variationnelle des gquations aux dgriv~es partielles, et on peut appliquer la proposition 2. Pour plus de d~tail concernant ces questions th~oriques, cf. [3][4]. Les formules (13) et (12) deviennent :
J'(a).6a
=fQ [~0 iE=l 2 8x.Ox. ~)y O~ dt] 6a(x)dx k{6a ~ L~(Q) l
(44)
1
(1)En fait, c'est I~ une hypoth~se irr~aliste (il faut fermer le puits pour mesurer la pression...). La m~thode s'adapte tr~s facilement ~ des mesures de pressions discr~tes en temps, of. [6 ].
376
i 1
.
.I
"I
l-i-.
Fig. 4 : Discr~tisation gisement.
adopt~e pour le
Les points noirs repr~sentent
les puits de pgtrole.
373
Ensuite,
un algorithme de plu~ grande descente gtait utilisg pour mettre g jour
a avec une dgtermination Comme nous n'avions
approch~e du
p
optimal ~ chaque pas.
aucune idge de l'ordre de grandeur de la permgabilitg
avons co~nencg par chercher a(x) sous forme d'une constante rant de a°=lSO, nous s o ~ e s
(cf. Remarque
a, nous
5). En par ~-
ainsi arrivgs ~ a=1622 en 9 iterations de gradient
et
25 s d'IBM 360-91. Puis, partant de !a fonetion a(x) constante et ~gale ~ 1622, nous avons obtenu la fonction a(x) reprgsentge
sur la figure 2 en 5 iterations de gradient et
22S d'IBM 360-91. La pression y eorrespondant repr~sent~e
aux perm~abilit~s
sur la figure 3 (g comparer
avecla
a(xlx 2) de la figure 2 est
figure
I).
377
o
0
0
~
~
0
0
0
0
~
0
0
0
0
0
0
0
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O 0 0 0 0 0 0 r ~ o
o 0
~ 0
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~
0 0 0 , 0 - a
0
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, 0 t ~ ~0
~
0
O0 fD N N 0 co O~
h~
FO p..
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o
0 0 0 0 o ~ o o 0 0 0 0 0 o o o
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0
~
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o
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~
~
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0
',0 m ,0 0 O . O , ,0~ 0
0
0
o
0
0
0
o
0
0
~
0
0
,C) 0
o
0
0
o
0
0
0
0
0
0
O,~ut . 0 0 ~'J, o
0
,t~
378
(~ eomparer avec (17) et (39)) off y est la solution de (42), et o~ p (l'gtat adjoint) est solution de
0t
i=l 0-x, (a(x)
0p = 0 sur 0n
) = - 2 j__~ Xj(x j(x) y(x,t)dx-zj(t ] i [4Q F (condition de Neumann) dans e x ] O Y [ (45)
p(x,T) = O sur Q (condition finale).
Ainsi la formule (44)montre que la d:rivge partielle fonctionnelle ~ ( x ) 0a eet exemple, et permet de la ealculer ais:ment : partir de y e t p.
Rgsultats num~riques ~BORIA
: Dans le cadre d'un eontrat de recherche
existe dans
entre I'IRIA-
et I'IFP, cette th~orie a gt~ appliqu~e ~ des donnges fournies par
I~IFP (Institut Frangais du P~trole). Nous remercions I'IFP de l'autorisation de publier ces rgsultats. Le gisement est inclus dans un rectangle de 8x16,8 km, et discr~tis~ en 127 mailles (le pas d'espace grant de 884 m). L'historique de production (c.a.d. les fonetions qi(t)) couvre 2070 jours (soit 5 ans) par pas de 23 j. Ii est connu (bien que non repr~sent~ ici). La pression initiale est eonnue~ constante et ggale g 482 kg/cm 2. Les mesures de pression z.(t)sont simul~es en int~grant l'~quation (42) avec les perm~a~J bilit~s "exactes" de la figure 5. En outre, les perm~abilitgs exactes sont connues dans routes les mai!les contenant des puits. Nous pouvons prendre en compte cette information tr~s facilement. La valeur initiale des perm~abilit~s a ~t~ choisie ggale g 200 mdm partout, sauf dans les mailles contenant un puits, oO la valeur exacte et connue fut impos~e. A ehaque itgration, les syst~mes (42) et (45) ~taient r~solus par un schgma aux differences finies elassique (une simulation durait 0,5 s de CDC 7600), puis 0~J ~tait gvalu~ en chaque noeud par (44), puis mis ~ z~ro pour t o u s l e s noeuds o~ ~a se trouvait un puits. Les perm~abilit~s obtenues apr~s 12 iterations de gradient et 50 s de CDC 7600 sont indiqu~es figure 6. L'erreur quadratique moyenne sur la pression sur t o u s l e s puits ~tait de 1,19 kg/cm 2. Les pressions calculges et observ~es sont repr~sent~es, pour les deux puits ayant le meilleur et le plus mauvais ~cart quadratique moyen, sur les figures 7 et 8.
379
WELL "I. °ITERATION 12 +
PRESSURE(KGtCM2)
OBSERVED
tE^N SQUARE ~
CALCULATED
--
OF 'IRE ~ L
= ,0,25 KG.,CI~
CLOBALI'EANSQUAREERROR
= 1.'19 KQ/Cn2
480
420
360
OATS 300
I
O°
'
L
L
6~o
I
i
IV
1380
2070
Fig. 7 : Pressions mesur~es et calcul~es numgro
au puits
].
WELL IO°ITERATION 12 .
PRESSURE(KG/CM2)
OBSERVED
--
CALCULA?ED
I'IEN~ SQUARE ERROR OF THE WELL = 2,23 KGICI'12
480
CL~AL MEA~ SQU^REERROR
= 1,19 K(;:zC~
1380
2030
420
360
DAYS
300 Oo
690
Fig. 8 : Pressions mesurges calcul~es
et
au puits numgro
10.
380 En comparant les figures 5 et 6, on constate que les perm6abilit6s obtenues sont assez diff6rentes des perm~abilit6s "exactes". Ceci provient de ce qu'il n'y a aucun r6sultat d'unicit6 de la solution du problgme inverse dans notre exemple. Darts certaines r6gions~ a(x) est rest6 pros de sa valeur initiale de 200 mdm (en particulier sur la fronti~re et dans les zones o5 il y a peu de puits actifs)
: ceci signifie simplement que les perm6a-
bilit~s, dans ces r6gions ont peu d'influence sur les mesures de pressions, et donc ne peuvent pas ~tre d6termin6es ~ partir de ces mesures. Dans d'autres r6gions (en particulier dans les zones o6 figurent des puits actifs) on constate que les perm6abilit6s se sont dgplac6es dans la bonne direction, et que leur ordre de grandeur correspond bien ~ celui des perm6abi~it6s exactes.
~[~_~!i£~!~:
identification de la non-lin6arit6 dans une ~quation parabolique quasi lin~aire.
Considgrons, sur le domaine spatial
~x
i
Q = ] O1 [ , l'6quation parabolique suivante :
~x
y = g sur P x ]01[
(conditions de Dirichlet)
(46)
y(x,o) = Yo(X) sur Q (conditions initiales).
Les fonctions f, g e t fonction
Yo sont suppos6es connues~ et nous voulons estimer la
y--~ a(y). Le syst~me (46) peut repr6senter un processus de diffusion de
chaleur mono dimensionnel avec une conductibilit6 thermique d6pendant de la temp6rature. La solution y(x,t) de (46) est mesur6e, ~ chaque instant tE lOT[ , en 5 points Xlo..X 5 de l'intervalle ]O1[ . On obtient ainsi cinq fonctions du temps
z lft).`.z5(t). La fonction co~t est naturellement
=
J(a)
(y(xj,t;a)
:
- z j : "~,t)~ 2 d t
(47)
j{1 0
D'un point de vue th~orique, ce problgme est plus difficile que les deux pr6cgdents, car l'6quatioli (46) n'est pas lin6aire. En particulier, nous ne savons pas faire rentrer ce probl6me dans le cadre g6n6ral du §llI. On peut cependant d6montrer directement
(cf. [ 7]) que la fonctionnelle J e s t
donnons ici que les r6sultats formels, sans pr6ciser param6tres
~L et de l'espace des solutions Y.
On peut donc montrer que :
Fr6chet-dgrivable.
Nous ne
la nature de l'espace des
381
V6a E Cljf~ T J'(a)6a =
(48)
0 6a(y(x,t)) d~x (x,t) O~x (x,t)dx dt
oO y(x,t) est la solution de (46), et p(x,t) est l'~tat adjoint, solution de 5 -0.~ _ a(y(x,t)) 62p 2 jE=16(x-xj) (y(xj,t) - zj (t)) Ot Ox 2 = p = 0 surr x ]OT[ p(x,T) = 0
(49)
(condition finale).
En posant : (x,t) = O X (x,t) ~p (x,t) 0x 0x
Vx,tE ~ x]OT[
(50)
l'gquation (49) devient :
I
J'(a).6a
=
(51)
6a(y(x,t))q~ (x,t) dx at
En comparant (51) avec (17) qui donne la forme canonique de J'(a).6a, nous constatons que (51) ne nous donne pas la dgrivge partielle fonctionnelle
y(z) de
J par rapport ~ a(z), d~finie par
'V6a E O ~ J'(a).6a =J~y~ ~{
8a(z) y (z)dz
(52)
/11
o~ Ym et YM sont des bornes inf~rieures et sup~rieures connues de la solution y de (46). Nous distinguerons ici deux cas :
: Si nous supposons que a(y) est une fonction de forme connue,
avec seulement un nombre fini de paramgtres inconnus
~l...~k
(cf. remarque 4, o~ x=y). II est alors facile de calculer le gradient de J par rapport g ~ ~ partir de (51) :
~-~j ( ~ ) =
f/oo~j
~3~ ( y ( x , t ) , ~31...~k) q~ (x,t)dx dt (53) j=l,2...k
382
Ainsi lorsque la fonction que les deux syst~mes
~ (x,t) a ~tg calculge numgriquement
(46) et (49) ont ~t~ rgsolus),
par rapport ~ ~ ne n~cessite que k quadratures.
(ce qui suppose
le calcul du gradient de J
En outre la remarque 5 s'applique
ici avec de l~g~res modifications.
: Nous ne supposons aucune forme alg~brique pour la fonction y--~a(y)
: il nous faut done trouver une fa~on de mettre
(51) sous la forme (52). D~finissons,
pour tout nombre r~el ~ :
Q
=
{ (x,t)
EQ x ]01[ I y(x,t) >~ ~ I
(54)
et q~(x,t)dx dt
La formule
(55)
(51) devient alors :
fyM
I ¥ 6 a E O~
J' (a)6a = # Y m
(56)
6a(~)dn(~)
Ce qui, en comparant ~ (52) donn~ :
~a(a)
(y) =
y(y) = N'(y)
(57)
Ces formules nous permettent done de calculer la d~riv~e partielle fonctionnelle de J par rapport g la fonction y--~a(y).
Rgsultats num~riqqe@ Le domaine ~ = ~ I [ IYintervalle
: ~tait discr~tisg en 20 intervalles de longueur 0,05, et
]OT[ en 40 paS de longueur 0,025. La fonetion f gtait une combinaison
lin~aire de masses
ie dirac discr~tes aux points
x5=0,9. La valeur initiale de y gtait constante,
x1=O,l
x2=0,3
x3=0,5
x4=0,7
et la fonction exacte ao(Y) utilisge
pour simuler les donn~es ~tait :
ao(Y) = O,21 - 0,28 y + 0,7 y2
Les bornes infgrieures et supgrieures de y choisies gtaient : Ym = O, 3
YM = 2
(58)
383
I
A(Y)
ITERATION 0....
2.0
1=5
Fig. 9 : Valeur initiale et valeur exacte de la fonction a(y).
"1_=0
0.5
0=0 0.30
0.81
1.32
o
Fig.
10 : Recherche
1=83
Y
FONCTION EIACTE FONCTION IDENTIFIEE
sous forme d'un
polynSme du 2~ degr~. Fonction obtenue apr~s 4 iterations.
ee~ERL~E ~ J ~ FO~E p~RP.PET~EQUE
FONCTU]~EI^C'~ o FONCTIO~Z~N?gFE£
384
T(T)" 2.0
F
PUITS
1 J
%5
0°5 ~
O~
0.20
0°40
0°60
0°80
T
PRESSION OBSERVEE o PRESSIONCALCULEE
Fig.
1] : Pressions mesur~es et calcul~es
au puits
i.
385
et l'intervalle ]Ym' YM [
~tait divis~ en 20 sous-intervalles
I
I
YI=Ym
I
Y2
A :
1 Y2l=y M
et la fonction a(y) gtait repr~sentge lin~aire par morceaux
1
de longueur
sur cet intervalle par une fonction continue
: 20 a(y) = j--~I
o~ :
! (aj+~(y-yj) (aj+l-aj))X j (y)
(60)
=~ I si y E [Yj, Yj+I [ (61) Xj(Y)
~0 sinon
aj = representation disergte de a(yj).
Le syst~me ~tait ensuite int~grg avec la valeur "exacte" a
de la fonction a, o par un schema aux differences finies du type prgdicteur-correcteur, ce qui fournissait les observations
z.(t) j=1,2...5. 3 Pour retrouver la fonction a(y), nous utilisons ensuite une m~thode classique
de gradient (steepest-descent) avec dgtermination approch~e du
p optimal et pro-
jection sur un polyedre convexe ~ad" Tout d'abord, nous avons cherch~ a(y) sous forme d'un p.olynSme de degr~ 2 (3 inconnues scalaires),
le gradient par rapport ~ 3 coefficients
gtait calculg
par (53). Comme la fonction a dolt ~tre positive (si l'on veut que l'~quation ait une solution !) l'ensemble convexe en chaque point de discrgtisation yj positif
(46)
CLad de R 3 fut dgterming en ~crivant que, E [Ym,yM]
, le polynSme a(yj)
devait
~tre
(2| contraintes lingaires).
La valeur initiale et les fonctions a(y) obtenues apr~s 14 itgrations de gradient sont montr~es sur les figures 9 et lO. Aprgs 32 iterations,
la fonction obtenue est
identique ~ la fonction exacte (58). Les sorties calcul~es et mesurges correspondantes sont montr~es pour le point x I sur la figure 11.
386
Nous avons ensuite cherch6 a(y[ sous la forme lin6aire par morceaux (21 paramgtres inconnus).
(60)
d'une fonction continue
La d6riv6e ~ est calcul6e g partir de (57) pour chaque j, ce qui n6eessite oa. une intfigration nu~6rique d'une fonction (liKe ~ la fonction ~ d6finie en (50)) sur le domaine % j + I -
QYj pour chaque j.
i) Nous avons d'abord supposfi que nous ne connaissions rien sur a, s i c e nTest que c'est une fonction positive
(a est une fonction positive "libre")
~ a d = { a I aj >/0
j=],2.,.21 }
:
(62)
Ii est facile de projeter sur ce convexe
La valeur initiale 6tait celle de la figure 9, et la fonction a(y) obtenue apr~s 20 iterations de gradient est montrge sur la figure 12.
ii) Nous avons ensuite supposg que nous avions quelques informations d~riv6e seconde de la fonetion
sur !a
y--~a(y) : ai+l-2aj+aj_ 1
O~ad ={ai aj>O,j=l,2.,.21,
- mj~< -
A2
j=2,3...20
~Mj
(63)
}
o3 les m. et M. sont des nombres positifs donngs. Des informations de ce genre sont 3 J souvent connues des physiciens (ils peuvent connaltre le sens de la concavit~ d'une non lin~arit~ par exemple), et nous pouvons ici les prendre en compte facilement. Les r6sultats correspondant m. et M. sont repr6sent~s J J
~ la valeur initiale de la figure 9 et ~ diff~rents
sur les figures
13 et 14.
387
^(IF)
ITERATION 20]
2.0
1,5
Fig. 12 : Recherche de a(y) sous forme fibre.
1,0
0.5
0°0 0.30
0.8f
41.32
o
1.83
Y
FONCTION EIACTE FONCTIONIDENTIFIEE
A(Y)
L ITER^TI°N
2.0
1=5
Figure 13 : Recherche de a(y)
%0
avec la contrainte 5. Ja"(Y)I~ "! 0.5
0o0
0.30
0.84!
1.32
o
%83
~F
FONCTION EIACTE FONCTIONIDENTIFIEE
388
A(Y)
~-~TERATrON~2j
2~0
Io5
io0
0°5
0o0 0.30
0~81
1.32
0
Fig.
14 : Recherche contrainte
1.83
FONCT[ON EXACTE FONCTION IDENTIFIEE
de a(y) avec la O~a"(y)=~5.
389
V - CONCLUSION
Nous avons essay@ de convaincre rencontre des fonctions toute hypothgse
le lecteur qu'il est possible,
inconnues dans la mod@lisation
sur la forme alg~brique de cette fonction,
traitement num~rique,
lorsqu'on
d'un systgme, d'gviter
en utilisant ia d@riv@e partielle
et ceci jusqu'au
fonctionnelle.
En outre, dans le cas oh l'on recherche une fonction d'une forme alggbrique donn@e,
la d@riv@e partielle
fonctionnelle
permettant de changer de forme alg@brique L'utilisation
est un interm@diaire
tr~s souple et
g moindre frais.
de l'op@rateur d'observation
~
, dont on demande seulement
la d@rivabilit~ 2 nous permet de prendre en compte les mesures effectu~es
sur le
systgme sans avoir ~ leur faire subir de traitement pr@alable important. Cette approche est systgmatique, domaines.
De nombreux exemples
et peut ~tre appliqu~e ~ de nombreux autres
sont @tudi~s dans [5].
VI - REFERENCES
[I]
LIONS J.L. ContrSle optimal de syst~mes gouvern@s par des @quations v@es partielles.
[2]
1968.
LIONS J.L. Quelques m~thodes de r@solution de probl~mes lin~aires,
[3]
Dunod
Dunod Gauthier Villars Paris
tions aux d@riv~es partielles
[4]
aux limites non
1969.
CHAVENT G. Sur une M@thode de r~solution du Probl~me
D~c.
inverse dans les Equa-
paraboliques.
Note CRAS Paris, T.260
1969.
CHAVENT G. Deux r~sultats
sur le probl~me
d@riv@es partielles
inverse dans les @quations aux
du 2 ~me ordre en t et sur l'unicitg de la
solution du problgme inverse de la diffusion. t. 270, Janvier
[5]
et Identification
de coefficients
dans les ~quations aux d~riv@es partielles. 1971.
Note CRAS. Paris
1970.
CHAVENT G. Analyse fonctionnelle
Paris
aux d@ri-
r~partis
Thgse d'Etat.
390
[6]
CHAVENT G., DUPUY ~., LEMONNIER P.
History Matching by use of optimal control
theory. Full Meeting of SPE, Las Vegas 1973. CHAVENT G., LEMONNIER P.
Identification de la non lingarit~ dans une
une ~quation parabolique quasi lin~aire. A paraltre dans "Applied Mathematics Journal".
and Optimization,
an international
ADAPTATION
DE LA METHODE
PROBLEME O'IDENTIFICATION DE DOMAINE
A UN
J. CEA, A. GIOANt Universit@
I.
POSITION
J. M I C H E L
de NICE
DU PROBLEME
On donne un ensemble liers dent les fonctions tion
OU GRADIENT
J : E ÷IR
,
u ~ J[u]
[1,1)
J[v]
[1,2)
TI[U" ~)
c~.3J
GCu~L~Co~
O
c o , act dens
caract@ristiques qui
IRn
, une famille d'ouverts
d@crivent
Yu,v £ E
un ensemble
E
rTgu-
, une applica-
admet le d@veloppement
limit@ suivant
:
J[u] + TI[U,V-U] + T2[u,v]
f
= JD G[u], ~ dx .
IIGCe~II~
S
g
< + ~
L[D}
(1.4)
IT2[u,v]
tous 1as ouverts
Z
utilis~s
le probl~me suivant
I
2
7 M llv-ullL~U ~
eppartiendront
: d@terminer
u
b le famille
eonsid~r@e
; on se pose alors
tel que
u E E
[1.5] J[u]
Oans de nombreux d'ouverts,
exemples,
~
~e probl@me
eompaote pour la topologie
il s'agit d'ouverts qui v@ri~lent
J[v]
VvE E
admet au moins u ne .solution ; une ~amille L2[O]
, a @t~ propos@e par O. CHENAIS
une propri@t@
uni~orme
rence, nous allons nous int@resser essentlellement d'une solution.
de cone.
au probl~me
[3]
Oans cette conf@-
de l'epproximation
:
392 Notons que ce type de probl~me s ' a p p a r a n t e 8 le p r o g r a m m a t i o n non lin6aire en nombres entiers
en dimension infinie ou finie salon qu'on s'occupe du probl~me
initial ou au p r o b l ~ m e discr@tis@ l'id~e d ' u t i l i s e r
les m~thodes
actuelles
tiers a @t# rajet~e par leurs auteurs devant dans les probl6mes qui nous int#ressent, r~soudre deux probl@mes
de p r o g r a m m a t i o q
en nombres an-
le coot excessif de ces m6thodes,
pour obtenir
J Iv]
d'~quations aux d@riv6es partielles
i l Taut c o m m e n c e r per !
I1 semble done n@cessaire d'essayer d'adapter les m@thodes clessiques descente 8 ca genre de probl6me
: c'est l'objet de carte eonf6rence
voir comment nous pouvons m o d i f i e r les dLf%@rents gradient afin de p o u v o i r l'utiliser dans
" choix
" dens la m@thode du type
le eontexte actual
P o u r bien m o n s t e r l'analogie ave c l e c a s les d6f±nitions e t l e s
•
Hilbertlen,
nous ~llons comparer
choix avee eeux %aits dens le eas du probl~me
" parall~le
su±vant :
est un espace de H i l b e r t dent le produit scalaire est not6
5 = ~÷,R
J
[[
,
v@rifie
~[v]
3[u~ + ~l[U,V-U)
+ T2(u,v]
[1.6) 1
Au pr~alable, A.
GIOAN, J ,
OEFINITION
[2]
MICHEL
12
rappelons quelques
d@finitions et r@sultats
Ccf J. CEA,
]
1,1 i]
J
attaint en
Jcu;
u
un m i n i m u m local, s i i l
~v
<Jc~
,
ii)
u
axiste
ll~-cll
--
r > 0
tel qua
zr LI[o]
est un p o i n t critique de
J
si il existe
r > 0
tel que
L (O)
iii] r(e) > 0
c~.8~
soit
tel qua
0 > 0
~ u est un point e ~rr~----f = 0 et qua
lie e÷O
T~,v-~
>
_
o
,
vv,
0
de
~ nous allons
- critique s i i l
II~-UIIL~cD ~ _< reel
exists
" ]]
393
~alogi,e
: ii]
si
u
v~ri~ie
~1 [u,~-u~ L o ~ore,
~n c h o i e i ~ . t
iii)
si
w
v - u
u
et si
0
v-u
sst
~Cu)
~
, il v i e n t
G[u]
= 0
v~rifie
= -r[O)
Notons ceci :
>_ J [ u )
T
~
il
s
E
r[o~
tli(~ll
:
vient
ll~u~lt
[I.8)
-
IIv-~ll-
Vv
" a s s e z petit %
J(v)
Itv-ull~
- r ' "' GI 1[ 1~ ./<. . .
=
T1[u,v-u) _> - 0
en c h o i s i s s a n t
,
i'eet ~uesi
et lee hypotheses
I e - ~ Mr2[8)
Vv
2
!
[1,2) ..... [1.4]
,
0
r[@]
llv-UllL1
entrafnent
<
:
r(O)
[O} On p e u t b i e n lit6
e n t e n d u s u p p o s e r que
pr@c@dente sous
le forme
J[v~
riO)
+ 0
evec
e
; on p e u t d e n t 6 c r i r e
l'in@ga-
:
>_ J[u~ - ~ o ~
~(o~
vv
,
llv-~ll
z
rCO~
It.g) lim 8÷o
Oonc
[1.8)
entrafne
(1.9)
ne une reletion du type l'aide de
PROPOSITION i) tique de
J
~(e]
=
o
¢[e]
; r~ciproquement,
[I.8)
>
o
une relation du type
; on aurait done pu d @ f i n i r un point
(1.9)
entrai-
8 -critique
(1.9)
I •1 une condition n@cessaire et suf~isante p o u r que
u soit un point cri-
est que
G(u)[x)
>
0
pour presque tout
x
tel que
u(x) = 0
G(u) (x)
<
0
p o u r presque tout
x
tel que
u[x) = I
[1.10)
ii] de
J
si
J
admet un m i n i m u m local en
u
• alors
u
est un point critique
394 Nous
pouvons
me ttre d_~e c o n s t ~ i r e
2 •
METHOD~
maintenant
@tudier
des p o i n t s
e
19 m @ t h o d e
du g r a d i e n t
--_critique, t, p o u r
e
aussi
qui
va nous
petit
qu'on
" en
u
per-
le v e u t
DU G R A D I E N T
OEPINITION
2,1
i]
soient
w
- u
est
r > 0
une
0
" direction
<
e
oppos@e
<
-2
au z r a d i e n t
si
:
r
WrY. E
Iiw r- UIiL1[O ) _< r
.
(2.1]
ii] U
{~.
Tl[U,W r- u]
~
u
une
w
r
[I]
~.~ CEA
I
~,
Vv E E
" direction
non
presque
<
r
orthogonale
au g r a d i e n t
" en
si
E
Wr£
[2.2]
est
Tl[U,V-U]
IIwr- ull
LI[D)
--
! cos
[
8 T~ ~ , % -
u]
z
T 1 C~,v-~)
w ~ E
liv-~II ~
,
Analogie
i)
si
w
v@ri£ie -
TI(U,W r ~iors
w
-
-
u]
o
< -
dane
<
~l[U,V-U]
F
r
Vv ~ [
,
l[v-ull
_< -~
,
r ii]
W
~IGcu) II ce cas
w
v~ri{ie F
-:llocu~!l A{in duisons,
pour
d'@tudier u
{ix@~
~
c~{~),,r-u~
~ -rcose
I@ cas DO il n ' e x i s t e !es n o m b r e s
Jr
:
pas
w
r
llg{u]ll v6rifiant
[2.2]
,
intro-
395 =
Jr clairement
Jo = 0
,
TI(U,V-U]
Inf
ll -ull Z. r at
Jr
est d @ c r o i s s a n t e
llG[u ll
g
<
+ ~
; de plus.
. on d @ m o n t r e
en u t i l i s a n t Taeilement
l'hypoth@se
le
L~(D] LEMME
2. I
(2.3)
IJr- Jsl
Solent
r > 0
,
0
<
8
<
Jr et p e r d @ f i n i t i o n
de
Sl
Jr = 0
z~-
<
;
Jr Cos 8
Jr
<
qu'il existe
w
u
LEMME
-
2.2
t~s e x c l u s i v e s
est
un p o i n t
soient suivantes
u
l'analogie
avec
DEFINITION
2.2
[I]
)
(2.4)
o~
M
w
tel q u e
r
v@ri£iant
<__ Jr Cos e (2.2]
~
d@signe
critique
,
;
8
<
-2
le
, Alors
w
v6rifiant
r
on a l e s
2 ~ventuali-
est ~ v i d e n t e ,
~I,e2,
8
[2.2)
|
v@rifiant
1 0 < ~I < ~ "
d i r o n s q u ' o n a felt un choix c o n v e r g e n t
existe
< --
<
r
critique
Soient
nous
: on a doric d @ m o n t r @
0
et ii e x i s t e
-
llv-ull !
:
le cas h i l b e r t i e n
lorsqu'il 2 _ r__ ci
¥v ~. E
r > 0
est un p o i n t
Jr < 0
<
alors
0
T 1 ( u , w r - u]
r
I
alors
et p a r s u i t e
e
_Jr < 0
<
, il e x i s t e
0
0 <
Vr,s >_o
~si
Jr
(2.2]'
c'est-&-dire
<- m Ir-sl
r > 0
T [u,w r u) I -
et
w
< _
r
v~ri#iant
la c o n s t a n t e qui s ' i n t r o d u i t
r
et
[2.4]
dens l ' h y p o t h @ s e
(1.4]
M 2(I_~2 ]
[2.2)
de
2 r
1 0 < g2 < ~ (cf. J, CEA :
396
Analogi,£ (2,2]]
Supposons, p o u r simplifier, (2,4]
et
que
: dams le cas Hilbertien,
[2,1]'
wr - u =
- r
w
v6ri{ie r on aurait :
[2,1]
(au lieu de
- p
~
et 2
M
- £-
<
~I
~(u,w
-
--
r
!imu- il
s
u)
2
2
r
2[1-~ 2 ]
OO e n c o r e
2
p tt {
M
<
tf
2
c'est-~-dSre 2 --< ~
s~.~ _< p
[2,4)'
[I-~ 2)
ce qui correspond bien & un choix convergent
de
Nous al!ons d@montrer le
LEMME
2.3
-
Pour
EI,c 2, @
fix@s de mani~re que l'in6galit@ s u i v a n t e ait
lieu (2.5]
Me I
on e les 2 possibilit@s i) ii]
D@monstration
u
~
suivantes
:
Mr2 2(I-s 2] Cos @
est un point
- critique p o u r tout
r > 0
il existe un choix convergent de
-
Avec
(2,2)'
tence d'un choix convergent de
r (2.8]
2(1-E 2] Cos @
r
et
[2.4]
on v@rifie i m m @ d i a t e m e n t que l'exis -
est
Induite par
l'existence de
r
r > 0
2 r --EI
< Jr --
<
Jr ' Cos e
< --
M 2[I-~2]
r
2
v@rifiant
:
397
Puisque
V-F > 0
Jr >-- gr
,
si
r > ~
=
~1
g
2
on
a
Vr
>
Sill
F Jr > - e l
>
r
et donc une des in@galit@s
de
(2,S]
est satis#eite
0 r > 0
existe
F Jr = - ~
tel que
que
r
alors en u t i l i s a n t
2
[2.5]
M
cI
-
2
Jr
Jr Cos e
<
2[I_~2 ] r
<
, on montre
2
et ce choix est Eonvergent. Sinon,
en utilisant
#ait que
la continuit@ ~2
j~
- Sq
>
on a exclusivement r
r
j j]
---
Vr
M
en fonction
Jr
<
r
2 <
~ir
<
Jr
premi@res
<
[cf Lemme 2.1)
<
Jr Cos @
r
<
Jr Cos 0
~ir Cos e
; si elle n'a pes lieu, alors
; dens les 2 cas, on a
~r
Vr
Mr 2
Soit
w
J[w r] J[W
r
]
,
r
i]
<
Jr
du lemme 2.3
|
s'il existe v6riflant
<
J(u]
+ T I [u,w r-
<
J(u]
-
--
~
M
et
M
u) + ~ l lWr- u I 2
r
[2.2]
M
÷7r
2
OU 8 R C O F e
M E2 [2.7]
J[w r) + 2(1_E2----~
r
M 2 2(1_e2 ] r
<
convergent
211-e 2] Cos 0 ce qui conduit au cas
et le
2
2~1-e2]
possibilit@s
<
Jr
--
r
r
et donc Eour cheque
suivantes
M
~I
de r2 - e~
>
2
211_s2--~
donne un choix de
l'une des 2
Jr
:
u,ne. des,,,3 possibilit@s
2 r - Sl
JJJ]
de
vient
2
- s7 ~ <
j]
la 3 i@me
, il
2 r
_<
J[u)
@
(2,4]
12
:
on
a
alors
on
~8
Nous
ALGORITHP~
sommes
maintenent
en mesure
de d@crire
l'algorithme
du gradient
:
2,1 a)
On donne
u
E E o
Supposons
b)
~)
u
calcul~,
o
il e x i s t s
un choix
Un+ 1
6] On ve d @ m o n t r e r
THEOREME -
~ <
il q ' e x i s t e
Sous
in# J(v) v£ E
. on a l e s
Mr2 2 [ 1 - ~ 2) Cos e
point
6
gent de
r
Supposons
avec
: on pose
~ l'algorithme
p r e n d #in. |
s'arr@te
pour tout
2.1
continue r
lim n ÷ +
r
=
n
Si ~ p a r t i r
. le point
i)
qu'il
(1.1)~...,(1.4],
pour
n = N
; alors
uN
est
un point
r >_ 0
ind6#iniment
Vn
et alors
,
u
n
est
J(Un+1)
les
un ohoix
+
u
on ne peut pes t r o u v e r nous
donne
un choix c o n v e r g e n t
M s2 2 1 1 - g 2]
le point de
2 rn
< --
r
un choix conver-
$) ¥n
du t h 6 o r @ m e : on a alors
J[u n )
J(u
) s o n t born@s i n # @ r i e u r e m e n t , il vient n convergent de r . on a en p e r t i c u l i e r r
(2.8]
; meis
2
s_ cosn e I
--<
un
0
n du lemme 2.3 existe
:
v@ri#ie
n
de
[2.5),
[2.7)
et p u i s q u e
(2.10]
2.1
cO
-
maintsnent
{2.8]
6tent
de choix c o n v e r g e n t
critique
(2.8}
O@monstration
convergent
R
n
2 cas suivants
critique
l'al@orithme
~ s I Cos
pas
wr
!es hypotheses
l'algorithme
ii]
=
r = r
le :
2.1
i)
alors
T1(Un,V-Un)
Yv e E
~
,..llV-Unl I. _<
rn
r
n
2.1
.
399
Cela finit d'@tablir le point
Remarque
2,1
ii]
du Th6or6me.
L'introduction de
oas
ii)
du th@or~me
3 .
UN CAS PARTICULIER . On donne une partition de
i ~ a
sert uniquement ~ conclure dens le
D
& l'aide de sous domaines ouverts
Ai
,
, tels q u e
z
Nous s upposerons que On d@signe par
Xi
i
•
a
J
~
j
z
i c J
E
eI
2,1
a un nombre fini
N
d'@l@ments
la fOnction ceract~ristique de
Ai
. '
i ~ J
at notre famille
est melntenant d~finie par ve.E
oO
I
est
<
un s o u s
>
v
ensemble
Dens ce contexte,
b i&I
=
Xi
quelconque
de
J
le nombre d'@l~msnts de
E
#tant fini,et de plus
l'in@galit6 suivante ayant lieu
rn
l'ap#lication de l'elgorithme tout
n
,donc
tlxiil
> In{ -- i ¢ J
2.1
dens le th6or~me
LI(o)
ne peut pas conduire & l a relation 2.1
ditions, compte tenu de la remarque
saul le point 2.1
i)
[2.B)
pour
aura lieu ; dens ces con-
, on pourra choisir
sl = 0
Nous allons limiter notre @tude & la mise en oeuvre pour la recherche d[un choix convergent de
r
, l'algorithme @tent incheng@ ; nous allons retrouver
elnsi un elgorithme propes@ per
J. CEA, A. GIOAN, J. MICHEL
[2]
Pour feciliter l'expos6, nous supposerons que
-~
llxillom
~
,
vi ~ J
400 Seient
u, v £ E U
xi iE
I
i¢
K
xi
En introduis ant
I
I
~
K
~
I
=
-
~
Ainsi, & p a r t i r de
u
donnant 2 ensemblss
[I/
,donc I
et
V-
U
de
I
I-
K
on a
I ]UI
, on peut d6finir un @16ment
tels que
=
I ~ +
~
I
Xi -
~
LI
~
I
C I
v £ E
en se
; de plus
Xi
+
iCl
i61
at donc
c3.1~ Soit
i!~-41L~CO ~ u ~, E T
Card C~+~ i-)
, on a :
I
[u,v-u]
~
=
I
i £ I+
G[u][x]
dx -
Ai
~.
I
i £ I_
G[u)(x]
dx
Ai
et en posant
(3.2)
ti
=
si [
G[u][x]
A. 1
dx
,
s. = + I l
si
i ( I
- I
si
i
£
,
[I
il vient
i£1+ul
-
On est en mesure de p r @ s e n t e r la recherche d'un choix convergent de commen~ons par d ~ f ± n ± r une ~' direct±on o_ppos@e au gradient Soit
r =
la relation
~ T
et repErons
[2.t)
deviant,
wr
~ l'aide de I~
compte tenu de
et
(3.3]
I;
:
"
avec
r
•
[cf. d@~inition 2,1), £
= card I;
U
I; :
401
I£ E_
+
tI
,
I
F-:
[3,4]
i(Z~Us~
;
C I
,
tl >
£
=
card I£ LJ I
+
E
;
t.
j E T+ UT.~ J +
¥ I +, I-
la relation t.l
tels que
nous m o n t r e
[3,4]
I+ C
ce q u ' i l
CI
faut
,
I-C
faire
I ,
£ = card I
U I
: commenqons p a r c l a s s e r
les
: til
Oans ces conditions
L
ti2
(3.4]
"'"
~
~
tiN
est 6quivalente +
I£ U I~
=
{il,i 2 . . . . .
i£}
(3,5) +
I£ oil. I cl D6finissons maint£nan,,t un choix convergent de _r de
£
: la relation
[3.6)
~ j=l
Naturellement,
(2.4)
. tlJ
> --
devient ici, compte tenu de ce qui a @t@ dit sur
M £2 z 2[1-e2]
2
plusieurs valeurs de
d'apr~s l'in@galit6
(2.B]
, cO ce qui revient au m@me
£
pourront @tre des choix convergents
de
qui s'@crit ici M g2 £2 T2
J[Un+ 1]
+
211-E2 )
2
3 ( u n)
il semble qu'on ait int@r@t & choisir la plus grande valeur de [3,6)
a lieu
,
£
pour 1aquelle
402
8 IBLI
[I]
CEA J,
CEA J.~
-
OPTIMISATION
GIO~N
A.,
MICHEL J.,
domaines
[3]
CHENAIS
:
Th@orie
- CALCOLO,
article
and Applications
[4]
KOENIG
Es]
RABOIN P,~
et Algorithmes
- Quelques
O,, - On the e x i s t e n c e problem,
O G R A P H I E
r@sultats
sur
of a s o l u t i o n propos@
France,
PARIS
1971
l'identification
de
in a domain
~ " Journal
identification
o~ M a t h e m a t i c a l
Analysls
"
d'optimisation
de la fronti@re LOLP~
OUNOO,
1973
M,~ Z O L E S I O J,P,, - L o o a l i s a t l o n d'un domaine " A p p l i e d Mathematics ~ O p t i m i z a t i o n - Prob1~me
-
dens
- Colloque
1973.
lequel
d'Analyse
de "
~n
~
le variable Num@rique
article
est
propos@
une pattie
- LA C O L L E - S U R ~
APPLICATION DE h& METHODE DES ELEMENTS FINIS A LARESOLUTIOND'UNPROBLEME
D.
DE DOMAINE OPTIMAL
B6gis
I.R.I.A. 78, Rocquencourt, France R, Glowinski Universit6 de PARIS VI, 75230 Cedex OS, France.
INTRODUCTION
Dans cet expos6, qui prolonge B6gis-Glowinski [1] , on consid~re l'Analyse Num6rique d'un probl~me de domaine optimal , assez @16mentaire, relatif ~ un ph~nom~ne de diffusion
bidimensionnel
leselliptique).
La fonction d'6tat est approch6e ~ l'aide d'616ments finis 9uadri-
(i.e. gouvern6 par une 6quation aux d6riv6es partiel-
lat6raux et le probl~me approch@ correspondant est r6solu, soit par une m6thode de gradient avec projection, soit par la m~thode de Franck et Wolfe ; ces deux m~thodes n6cessitent la r6solution, ~ chaque it6ration, de l'6~uationd'@tat
et de l'@guation
d'6tat adjointe, toutes deux approch6es par la mSme m6thode d'61~ments finis. Des r6sultats num~riques sont pr6sent~s et analys6s. Pour des d6monstrations compl~tes des r6sultats mentiorm6s dans cet expos6, on renvoie ~ B6gis-Glowinski [ 2] . Le plan est le suivant : I.
Formulation du probl~me d'optimisation.
2.
Formulation variationnelle de l'~quation d'~tat.
3.
L~ th~or~me d'existence.
4.
Remarques sur l'unicit~.
S.
Equivalence avecunprobl~me
6.
Une approximation par 61~ments finis quadrilatSraux.
d'identification sur un domaine fixe.
7.
Convergence des solutions approchSes.
8.
Conditions n~cessaires d'optimalit~ pour le probl~me continu.
9.
Conditions n~cessaires d'optimalit~ pour le probl~me approch~.
10.
Une m6thode de gradient avec projection.
11.
Une m~thode de type Franck et Wolfe.
12.
Applications. Conclusion.
404
I.
FORMULATION DU PROBLEM D'OPTIMISATION. Soit Qc~{ 2
un domaine avec
6~ = F =
4 ±-:UI F i , comme indiqu6 sur la figure I.
i%
24
%
F i g . 1.
°
)f 3
,,,ri On supposera dans ce qui suit que P 3
(1.1)
x I = v(x 2)
Etant donn@ deux constantes
C
et
,,
.... x 1
est repr6sent@ par :
,
O~<x 2~<1 .
Yd ' on consid~re le probl~me de minimisation
suivant :
[£jYCv)-Yd [2 dx , x =
Min
(1.2)
(Xl,X 2)
vEt~ad avec ~ad = IV[v lipschitzielme sur [0,1] ,
(1.3)
i dv i.
y(v)
0
- & Y = C sur O , ~n = O sur
Remargue 1.1 : La condition ~_~eIorsque
]'I
v(x2)dx2 =
C2 }
6£ + 62 solution (avec, A = 6x~ i--2)6x2de :
(1.4)
...........
,
O<~(v(
v
d6crit
t~ad.
o[1
v(x2)dx 2 = C 2
F I, F 2, F 4 , y = O sur F 3
implique que l'aire de Q est constan-
0
Re_ma_r@ue__!.2 : Pour d'autres probl~mes de domaine optimal, on pourra consulter, par exe,mple, Lions
[3] ,[4] , C~a [5] , Pironneau [6] , Morice [7] •
405 2.
FORMULATION VARIATIONNELLE DE L'EQUATION D'ETAT. Dans le but de simplifier l'~tude th¢ori£ue et pratique du probl~me ci-dessus, on
va donner une formulation variationnelle de l'@quation d'~tat (1.4). Un espace fonctionnel (I) bien adapt6 ~ la pr@sente @tude est l'espace V
d~fini de la mani~re suivante :
On introduit d'abord : ¥ = {$I$ E C°~(~), $= 0 au voisinage del~3 }
(2.1)
puis
(2.2)
V = adherence de
IIen r@sulte que V
Y
darts HI(o).
est un sous-espace hilbertien de HI(@).
On considSre ensuite l'@quation variationnelle : I~
(2.3)
grad y.grad z dx = C
~
La forme bilinSaire
~'~
zdx
Y z 6 V
yE V • (y,z) -.l~grad_ y.grad z dx est continue sur V x V
que (on dit aussi coercive) i.e. g v(~) > 0
(2.4)
Q
lgrad
et V-ellipti-
tel que :
=12a >t
2 It Z11.1( )
gzE
V
;
la premi6re propri@t6 est 6vidente, quant ~ la seconde, elle r@sulte du fair que est born~ et que
z I~ =
0 ~z 6 V (au sens de la d@finition de V
donn6e par
(2.1),(2.2)). f
La forme lin~aire z -~ jQ zdx 6tant continue sur V , il r6sulte du th@or~me de Lax-Milgram (2) que (2.3) a une solution et une seule et il est classique (3) que y soit l'unique solution dans
(I)
V
de l'6quation d'@tat (I .4).
De type Sobolev.
(2) Voir, par exemple, Yosida [8] . (3) Voir, par exemple, Lions
[9] , Necas [10] .
408
~O~rg~_~:!
:
Soit
Y E ~{,
Y >~
et :
(B.5)
~y
(2.6)
Vy = { z l z E
il existe (4) alors
~ (y)
=
] o , "r[×]o,1 [
HI(QJ , z(y,x 2) = 0 p.p.}
t e l que :
(2.7)
I QyIgrad
zl2dx>/ v(y) !lZ'lHl(Qy)
,z
V z E Vy
et, V vE ~ad ~ V peut ~tre consid6r~ co~ne un sous-espace ferm~ de Vy obtenu en proI longeant tout zEV par z6ro dans Qy- f2 . On d@duit facilement de la Remarque 2.1 la : Proposition 2.1 : On
a :
~D
(2.8)
3.
grad z]2dx >t V (7) I! z1/21 (Q)'
V zEV
, V vE~ad
.
UN THEOREME D'EXISTENCE. Introduisant une suite minimismlte , on d@montre (voir [2] pour la d@monstration)
le : Th@orBme 3.1.
L_~_eproblBme d'optimisation (1.2)-(1.4)
admet au moins une solution.
Ce th@or~me d~existence implique le : Corollaire 3.1. (urn)m
S__i (un)n e s t une suite minimisante pour le probl~me (I .2)-(1.4) et si
est une sou:s_-suite convergeant vers un @l@ment
fonction d'6tat correspondante : i)
ii)
u
est une solution du probl~me (1.2)-(1.4).
Y(Um) -~ y(u ~ ) __dansH 1 (Qy) fort. ~2
(4) Le"meil!eur"
~(y) est
~+4y
o
u
, on a , y(u~
@tant la
407
4. RF24ARQUES SUR L'UNICITE. Le probl~me (1.2)-(1.4) ~tant non convexe, il semble improbable que l'on ait unicit~ de la solution. Les consid6rations ~l~mentaires qui suivent montreront, qu'en fait, on a en g6n~ral, deux solutions :
a)
Si le domaine optimal est nonsym~trique par rapport ~ la droite x2= 0.5 (voir figure 2)et sip 3 est repr~sent~ par u(E~ad), alors le domaine relatif u d6finie par :
(4,1)
u(x2) = u(1-x2)
, o ~ x 2~
est ~galement optimal pour le probl~me (1.2)-(1.4).
/
F4
F1
I,
P2 Figure 2.
b)
x1
Si le domaine optimal est sym~trique par rapport ~ la droite x 2 = 0.5 (voir figure 3), il r~sulte des propri~t~s de sym~trie et r@gularit6 de y(u) (qui impliquent que la d~riv~e normale de y(u) est nulle sur la droite x 2 = O.5) , que u d~finie par : I I~(x2) = u(2 - x2)
(4.2)
u(x 2)
u(1
:%)
si
O<~x2~
si
{~x 2<~1
est ~galement optimale pour le probl~me (1.2)-(1.4) ; on a repr~sent~ sur la figure 4 le domaine correspondant P4
x2 ~
x 2 = 0.5
F1
x
\ ___~
F2
F3
F
F4
x 2 -- 0.5
F2
~
xI Figure 3
Figure 4.
xI
408
5.
EQUIVALENC ~ AVEC LW PROBLEME D' IDENTIFICATION SUR UN DOMAI~ ~ = ]0,I[×
Soit
]0,1 let
FIXE.
l'espace fonctionnel d6fini par :
~
On peut associer ~ !a bijection de
~--+Q
d6finie par :
xI X I = v(x2 )
A
(s.2) X2 =
X2
l'isomoi-phisme d6fini par : A
^
i y -~ y : V -- V
(s.3)
y(x) = ytx i v(x2), x2). Proposition 5.]. : Ona
VyEV
cz2
P '
i2
;~rad
~
y i2
dx
,
(5.4) v
vE~
ad
Darts ce qui suit, on utilisera sur
{~ la norme d6finie par : 1
~
qui est ~quivalente sur
(~/gradyI
2 d x ) ~ =t/Yll
V ~ la norme induite par lq1 (~).
Utilisant les r6suitats ci-dessus, on peut transformer le probl~ree (I .2)-(1.4) en un probl~me d'optimisation relatif au domaine
(s.s)
Min [^ vlr(v)
~ , soit :
YdT
409 avec Uad d@fini par (1.3) et y(v) solution de l'@quation d'@tat, d@finie sous forme variationnelle par : ^
~ 5 t grad ~. 5 t grad ~ vdx=
C f~
vzd~
v~ EV
(5.6)
yEV ; A
dans (5.6), la matrice j acobienne
^
J=
J
est dorm6e par :
1
-X:l v ' )
0
1
v
IIen r@sulte que l'on peut expliciter (5.6) par :
~2 ~1~1
(XlV
%- ~z ) (xlv ~1- 7~z ~d~ = c
^
(S.7)1 v ~E V ^
~v Dans la suite, on notera
(~,~) ~ a(v;~,~)
la forme bilin6aire, sym~trique d@finie
par le premier membre de (5.7); de la Proposition 5.I., on d@duit la Proposition 5.2 : On a :
(5.8)
a(v;z,z) >t ~
llzll 2 V~EV
(5.9)
^ ~ ~ (I+ BZ+c~ [a(v;y,z)]~< °~2 z) - 11y 11!~zH
,
V v E~ad
A
A
V y,zEV , V V q ~ a d
_13_e_ma_rs_te___5! : Le probl~me (5.5)(5.6) est un probl~me d'identification darts lequel la fonction inconnue (ici u ) intervient dans les coefficients d'un op@rateur elliptique ; de tels probl~mes sont @tudi~s dans CHAVENT [I~, mais ~ la difference de [11] une d@riv@e de la fonction inconnue appara~t darts les coefficients de l'op~rateur elliptique associ6
(5.6), (5.7).
410
R~_ma_~ueS=Z.
:
Le probl~me (5.5),{5.6) ~tant ~quivalent au probl~me (1.2)-(1.4) admet au moins une solution mais la d~monstration directe d'un tel r~sultat semble difficile.
La f o n c t i o n
v
~ t a n t donn~e, on p e u t e x p l i c i t e r
aux d~riv~es p a r t i e l l e s
elliptique
(5.7) sous l a forme d ' u n e ~ q u a t i o n
avec des c o n d i t i o n s aux l i m i t e s aseez compliqu~es ;
ce p o i n t de r u e l a f o r m u l a t i o n v a r i a t i o n n e l l e
(5.7) e s t t r ~ s con~node, ces c o n d i t i o n s
aux !imites n'y intervenant pas explicitement.
Soit
Yd
f E L2(Q) ; une g~n~ralisation tr~s naturelle du problSme (5.5),(5.6) est
et
v1 (v)-x/dx
(5.10)
"~ad avec
y(v)
sohtion
de :
(s.11)
6.
.
UNE APPROXI~I~TION PAR ELE~N~fS FINIS QUADRILATERAUX. D'un point de rue pratique, il est n@cessaire d'approcher le probl~me (I .2)-(1.4)
par un probl~me en dimension finie ; on utilisera dans ce but une approximation de l'@quation d'6tat par @l@ments finis quadrilat@yaux. 6. I • APPROXIMATION DE Soit
N
~ad o
un entier positif et
I
h = ~ ; on note par
ej, j= I,...,N, l'intervalle
[ (j-1)h, jh]et on approche Nad par :
h ={VhiVh E Uad, Vhle E P1 ' ~f j=1 ' " " ,N t U ad
(6.1)
J avec
PI = l'espace des polynSmes d'~ne variable de degr@ <~ 1.
Le domaine
Q (resp. !'espace
V) relatif ~
vh
sera not@ Qh (resp. Vh).
411 6.2. APPROXIMATION DE L'EQUATION D'ETAT. On d6finit :
(6.2)
K.. = [(i-1)h, i h ] x [ ( j - 1 ) h , 13
(6.3)
~
= {Kij } l~i,j ~< N
Fh
: ~ -~ #h' Fh = (F1h' F2h)
(6.4)
jh]
F1h (xI, x 2) = x I Vh(X 2) A
^
A
F2h (xI, x 2) = x 2
(6.5)
Kij = Fh (Kij)
(6.6)
~h = [Kij
,
l~
}
=
Fh~ h)
1 ~i,j ~ N
La fonction v h ~tant affine par morceaux, on remarque que chaque quadrilat~re, plus pr~cis~ment un trapeze, (voir figure 5) et que :
x2
vh(o) Figure 5
(6.7)
Fh ] ~.. q Q1 XQ1 1j
'~
x1
K.. est un 13
412 avec
QI = l'espace des polyn6mes de degr~ ! I par rapport ~ chaque variable (5) L'espace
hh
de dimension finie approchant
(6.8)
h~ = {ZhlZhEVh NC°(~h)
Vh
est d~fini par :
, zho Fh!~i j E QI
,
I ~i,j~N
} -
II r6sulte de (6.7)(6,8) que les ~l~ments finis que l'on utilise pour approcher Vh
sont de type .isoparam~trique
~3]
(voir, par exemple, CIARLET-RAVIART. [12] , CIARLET
pour une ~tude g~n~rale de ce type d'~l~ments finis).
_Rem~_rgy_e__6_.!. Chaque
zh E W h
est complStement d6termin~e par les valeurs qu'elle prend aux
sommets des
K.. ; ces valeurs sont des degr~s de libert~ nat~rels pour l'approxima~ lj tion consid6r~e. [] Cette approximation de
Vh
8tm~t dorm6e, une approximation tout ~ fair natu-
relle de l'6quation d'~tat semble ~tre :
yQ
grad yh.grad zh dx =
C~
h
(6.9)
YhE
zh dx
V
zh E Wh
h
~
°
L'dquation variationnelle (6.9) est 8quivalente ~ un systSme lin~aire, les variables inconnues 8tant les valeurs prises par
Yh
aux sommets des quadrilat~res
de ~h : en fair (6.9) n'est pas tr~s bien adaptSe ~ des calculs num~riques effectifs; pour surmonter cette difficult@, on va utiliser l'appljcation
Fh
pour obtenir une
formulation 6quivalente o@ les int~grales sont sur Q (~ doit 8tre consid~r~ comme un domaine de r~f~rence). On d~finit
(6.10) et, Yh
Wh : [Zh IZhE V~ C°(~),2hI~.
(5)
1j
EQ1 }
~tant la solution de (6.9),
(6.11) alors
:
Yh = Yh o Yh
Fh
est solution de :
pE ql "~:=='~ P(F~1' ~2) =aoo'+ alOFt1 + a01 F~2 + all E1 Y~2
413
^
~(%
I
(6.12)
; Yh' ~h)
c~h ~h d~
=
V ~hqWh
•
La premiere @quation (6.12) peut ~tre explicit@e par :
l
~..Lvh
Vh d~
'
1]
E I^ Vh ~hdX I
V Zh6W h
I)
^
Afin de simplifier les integrations ~ effectuer sur chaque ^Kij pour expliciter le syst~me lin@aire 6quivalent ~ (6.12), on approche, sur Wh×Wh , la forme bilin6aire a(vh ;.,.) par :
+(~i -2:u-'~-~
=
) (~i
(~j)
(6.14) -
~)JVh(~ J) d~ 2
avec :
(6.15)
~i
=
(i
- ~)h
,
Cj =(j- ~)h.
En ce qui concerne les propri6t@s de ah(Vh;. ,.), un calcul @l~mentaire de valeurs propres permet de d@montrer la : Proposition 6.1. On 8
: ^
^
~%;Zh,~h~ >~ ~
(Z
Tt;h/lz
(6.t6)
v~h~% , v ~EUhad , vh i.e. l'ellipticit6 unifor~ne, et
'
414
• I%(Vh,Yh,Zh) " " I
<
l+~Z+c~ II~hltli~h!i
(6.!7) ' i.e.
ad'
Vh
la continuit~ uni±brme.
On peut int4grer exactement, et sans difficult6, le terme _[Vh~hd~, mais, en fait, on a, la 6galement, utilis6 une approximation, soit :
l<'Ki' JKN
K.. 1J
Compte tenu de ce qui pr6c~de, on prendra pour 6quation d'6tat approch6e :
i %('%,gh,~h) =cE(Vh;~ h)
(6,19)
~hEWh
v % ~ Wh
•
II r6sulte de la Proposition 6.! que (6.19) admet une solution et une seule. 6.3.
APPROXIMATION DE LA FONCTION COUT. L'approximation la plus naturelle de la fonction coat est donn6e par :
<6.zo)
j~hl Yh - Ya 12 d~
ave c
(6.21)
J QhlYh - Yd !
2
dx =
~ JK~^ Vhl~h-Y4 12 ct~ ]<--i, j~N .. 1J
mais pour l e s r a i s o n s mentionn6es au N° 6 . 2 , au l i e u de (6.20) on u t i l i s e r a x i m a t i o n d ~ f i n i e par : (6.22) les
4
^
^k
h2 ~ v. (~.) ~ lyh(Pij) - Yd 4 t~<.i,j~N n J k= 1
~ k ~tant les sommets de I]
12 I
K.. comme indiqu~ sur la Figure 6 : 13
~4j! I^3 a
ij
Kij
Figure 6
l'appro-
415
6.4.
DEFINITION DU PROBLE~ APPROCHE. Compte tenu de ce qui pr6c~de, le probl~me approch6 sera d6fini par :
(6.23)
Min{h2 E
Vh(~J) ~
VhE uh d T~ 1<~i,j~
I'~h(pkj) - Yd12 }
k,1=
avec, dans (6.23), Yh solution de l'~quation d'6tat : ^
i ah(vh;~h,~h) = C Lh(Vh;~h) (6.24)
~
9h E Wh
V Zhff Wh
"
6.1.
Le probl~me approch6 peut s'obtenir en discr6tisant directement le probl~me d'identification ~quivalent (5.5), (5.6), mais,pour d6montrer la convergence des solutions approch6es vers une solution du probl~me continu, il semble qu'il soit essentiel de consid~rer (6.23),(6.24) comme une approximation du probl~me (1.2)-(1.4),par l'interm~diaire de l'approximation par 616ments finis quadrilat6raux d~finie au N ° 6.2. 6.5.
RESULTATS D'EXISTENCE POUR LE PROBLEME APPROCHE.
Des arguments 616mentaires de compacit~, en dimension finie, permettent de d~montrer le : Th6or~me 6. I. Le probl~me apprpch6 (6.23),(6.24) admet au moins une solution.
416
7.
CONVERGENCE DES SOLUTIONS APPROCHEES. Soit uh
une solution du probl~me approch6 (6.23),(6.24)
que les limites des sous-suites convergentes de (Uh)h (].2)-(].4).
; on d6montre darts [2]
sont solutions du probl~m~
Ici, on se contentera d'indiquer - toujours sans d6monstration - un
th6or~me de convergence et deux lemmes utiles ~ sa d6monstration. Lemme 7.1.
V v E~ad, il existe (rhv)h tel que :
oo
ii)
Indications
lira rhv = v h~o
dm~s
L (O,1) fort (unfiform~ment) .
:
On peut, par exemple, d6finir
,-g
(7.1)
c°[o,]]
rhv par :
, rhVle .EPI 3
V
j = I,..., N
,
j = I,...,
,
rhv(])
I I(J+~)h
rhv(jh)
l(j-)hv(~)
=
d~
N-]
(7.2)
r~v.o,, = (1
~2
I!
v('v)
-
1-)
v(~) dT
Dans le len~ae qui suit, on utilise le formalisme de CIARLET-RAVIART ~tant donn6
v hEghad
m
0%No.6];
on a d6fini au N°6.2 une partition N h ' de Q h ' relative
vh ; on a alors le : Lemme 7.2.
La famille
(~h)h
est 'une famille r6guli~re, uniform6ment e n
vh"
Cormmntaires : Cela implique qu'~ la limite aucun des quadrilat~res ne peut d@gSn~rer en triangle et qu'aucun angle ne peut tendre vers O ou ~ ; de fa~on plus precise, avec les notations de la Figure 7, on a
(6) :
(6) Darts (7.3) les indices sont ~ prendre modnlo 4.
417
/<,
Figure 7. h min(1 ,cO ~
(7.3)
~< h max(I+~/~C12 ~~ )
V k = I, 2, 3, 4. et
(7.4)
~
~ ] s i n ek] ~ 1
V k=1,2,3,4,
h VVhE Uad
, Vh.
•
LFM~ 7.3. Soit vh E~had tel que li~ vh = v fortement dans L (0,I), soit ~h la solution h~o correspondante de l ' 6 q u a t i o n d ' S t a t (6.19) e t relatif ~ v et
i)
y(v)
Yh = Yh°
Fhl
, soit
la solution correspondante de l'~qua.tion ' d ' ~ t a t (1.4) ; alors
lira Yh = y(v) fortement darts H 1(~Y) h-~o lira I h-2 ~ Vh(~j) k~=1 IYh(Pij) ^ ^k - Yd 12 1 h~o! 4 1~
f~ le domaine
] y(v)-Yd] 2 d x .
418 Cor~nentaires : Sans entrer dans les d6tails de la d@monstration de ce Lemme pour laquelle on renvoie ~ [2] ~ disons qu'une @tape essentielle est la suivante : g ~tant l'espace associ@ R Q(et v) par (2.]), on consid~re pour
h
V { V ; on a alors,
suffisamment petit :
(7.5)
support de ~ c
Soit ~h ie
Wh-interpol__~@de 9 sur
gh
Qh " i.e. l'unique fonction telle que :
V h E Wh
(7.6) VhCP = ~(P)
VP,
P so~net de Kij~ gh '
Compte tenu du Lemme 7.2 sur la r6gularit@ de d'oO l'existence de A, ind@pendant de
tit % - ~
(~h)
(~)h
1~
' on peut alors appliquer~2,N°6]
h , ~, vh, tel que :
= !I %- vii H~ ( 3 )
{
(7.7)
V h , v v h , v ~E v .
Des Lemmes 7.1 et 7.3, on d@duit le :
THEOREME7. ] : Soit
uh
une solution du pr0bl}me approch@ (6.23),(6.24), 9h
la solution correspon-
dante de l'{quation d'@ta__!t (6.19) e!t Yh = Yh °
; lorsque
de la suite
(Uh)h - telle que :
(7.8)
(Uh)h
une sous-suite - encore not6e
lim {Uh,Yh} = { u , y(u)}
darts
h,
0
on peut extraire
OoL(O,1)×Hl(gaT)
fort
h-~o
(7.9)
u
solution de (1.2)-(1.4)
et routes les sous-suites convergentes extraites de
(Uh)h
poss@dent ces propri@t@s.
Ce th@or@me justifie donc la m@thode utilis@e pour approcher le probl@me (1.2)-(1.4). I
419
8.
CONDITIONS NECESSAIRES D'OPTIMALITE POUR LE PROBLEME CONTINU. Les m@thodes d'optimisation duprobl~me approch@, d6critesaux Num@r6s 10 et 11,
sont des m@thodes it6ratives qui n@cessitent, ~ ehaque it@ration, le calcul du gradient de la fonction coat consid@r6e comme fonction de
vh. ie formalisme du probl~-
me continu @tant plus simple que celui du probl~me approch6, on va d'abord @tudier le gradient de la fonction coat attach6e au probl~me d'identification @quivalent du N°5, dans le cadre un peu plus g@n@ral d6fini par la Remarque 5.4. La connaissance du gradient permettra, entre autres, d'expliciter des conditions n~cessaires d'optimalit@ pour le probl~me consider6. 8 . 1 . UN LEH~E DE DIFFERENTIABILITE.
Soit U l'espace des fonctions lipschitziennes
(7) sur [0,1] et O
l'ouvert de U
d6fini par :
(8.1) soit
o ={vlv
,v(x z)>o
sur[O,1]} ,
la solution de l'6quation a(v; Y, z) =I
fv ~ di
V zE
(8.2) 9 ~ v on a alors le : LFMvlE 8 . 1 .
:
L'application
v-~(v) est Fr6chet-diff@rentiable de
O ~ V.
Coranentaires :
Pour d6montrer ce r6sultat, on peut, comme dans E 11,Ch. I] appliquer le th6or~me des fonctions implicites en utilisant la diff@rentiabilit6-Fr@chet O
i7)
--~ L~ (0,1) d@finies par
U. = WI'°°(0,I) • ....
v~
v' , v ~
~I
, etc...
des applications
420
8.2.
GRADIENT DE LA FONCTION CObOl ET CONDITIONS N]~CESSAIRES D'OPTIMALITE.
Soit
J :O~
la fonction cofit du probl~me (5.10),(5.11);
(8.3).
d'ofi :
J(v) = y~ vip(v)-ydl2 dR ;
Du Ler~e 8.1 on d6duit alors le :
T H E O ~ 8.1. La fonction cofit J est d6fini ~
est Fr~chet-diff~rentiable de O-,R e t s o n gradien t
J' e_~n u
(8).
(8.4) ~1
oO
~
1
^
c~ ^
u
^
u'
u
est la solution (m~ique) de l'@quation adjoint e : A
d~
v~E V
(8.5) .
Ce th@or@me ~Jnplique le :
THEOREME 8.2. S__~ uE 1~d
est solution du prgbl}me (8.10),(5.11),
I J'(u),(v-u)
(8.6)
~ O
{u ~t~ad
u doit v%rifier :
V vE ~ad m
Les r e l a t i o n s (8°6) ne sont rien d ' a u t r e que les conditions n~cessaires d'optimalit~ pour le probl~me (5.IO), (5.11),
(8)
J' (u) E ~ (~, ~.)°
l
421
9.
CONDITIONS NECESSAURES D'OPTIMALITE POUR LE PROBLEME APPROCHE.
On va reprendre, succintement, dans le cas du probl~me approch6, les consid6ra tions d6velopp6es au N ° 8 pour le probl~me (5.10),(5.II) ;dans le cas, le plus fr6-xquent, o~ Yd' f seraient continues sur Q une approximation "raisonnable" de ce dernier probl~me serait :
(9.1)
h2
Minh ~ Vh~ 1~ad
avec, dans (9.1), 9h
4
Ak
Vh(¢j)Elgh(Pi j) - yd(Pij) I{i,j~N k=l
t21
)
solution de l'~quation d'6tat :
ah(Vh;gh'Zh) =
l~
VZhEW h
' k=l
(9.2)
Remarque 9.1. Au (as oO Yd (resp. f) ne serait pas continue, on rernplacerait y d ( P (resp.f(P j)) Far la moyenne de Yd (resp.f) sur l'intersection de Q et du carr6 centr~ en Pikj, de cSt@s de longueur h et parall~les atux axes de coordonn6es, i Soit Iih =[ Vh!VhE 4, VhleE P] ' j=1 .... ,NI , on munit ~h dienne d~finie par le produit ~calaire (9.3)
(Uh,Vh) = ~10 u h
et !a norme associ@e ; soit O h = R h A O ,
vh
de la structure eucli-
dx 2
O hest alors un ouvert
de llh.^
^
On d~finit ensuite un Hamiltonien du probl~me (9.1),(9.2), soit Hh: U h × W h × W h -* [, par (9) :
Yd(Pij)
=
-
(9.4) -
Soit le :
Jh : Oh+l%
l~i,j~N
k=l
qh(Pij)
•
la fonction cofit du probl}me (9.1),(9.2), on d@montre alors
(9) Toujours en st[oposant yd,fE C°(~.
422
THEORFd~ 9.1 ° : La fonction cofit ~ point
~
(9.5)
est Fr6~et-diff6rentiable de O h ~
e~ son gradient ' J'h
a_uu
est d@fini~par :
J'h(%) .% = ~ 6-~h (Uh,~h,~h) ~ ~ 2 '
o~ d~s (9.5)
3~h(G,~,~h)~ Uh e t
V ~ff
d6si~e le gradient partiel de ~ , par rapport
~ , au point (uh,Yh~Ph) et o~ ~ ' P h
son G respective~nt~ sohtions de l'@qua-
tion d'6tat : h2 ah(uh;Yh'Zh)
(9.6)
E
= 4 l~L,,~ N
13
n
1~
'
~h~ wh
et de l'@quation adiointe : =
ah(Uh,[h,~ h)
h2 ~ E
Uh([d)
Yd(Pij)) ~h(~ij )
(9.7)
De ce thSor~me, on d@duit le : THEOREME 9.2 :
S__~ uh E ~ d
est solution du ~robl[me (9.1),(9.2),
l J[(Uh) "~rvh -,,~h;~ >~ 0
uh
doit v6rifier
V vhE t~had
(9.8)
ad Les relations (9.8) sont les conditions n@cessaires d'optimalit6 pour le probl~me
(9.1) ,(9.2). Remarque 9.2 : II convient de remarquer que dans le calcul du gradient
Jh(Uh)
' ~h et Ph
sont
solutions de syst~mes lin6aires ne d iff@rant clue.par les seconds membres, les matrices associ@es aux premiers membres 4rant identiques ; on verra co~nent tirer parti de cette Remarque aux Num@ros iO et 11.
m
423 10.
UNE METHODE DE GRADIENT AVEC PROJECTION.
On peut, pour r~soudre (ou du moins essayer de r6soudre) (9.1),(9.2), utiliser une m6thode de gradient avec projection.
10.1
DESCRIPTION DE L'ALGORITHME DU GRADIENT AVEC PROJECTION.
Le gradient en ment de
vh de la fonction co~t, soit
(10.1) n uh
~h(Vh), 6tant identifi6 ~ un ~l~-
Nh ' l'algorithme du gradient avec projection peut 6tre explicit6 par :
~
~tant connu, on calcule
donn~ dans
h Uad
^n+ I ~n+ I n+ I Yh ' ~h , uh
par :
h2
ah(~ ; ~+1, ~h) = T (10.2)
^n+1 2, Yh E %
E uh(~j)n 1~
^
^k
/1 ^n+l ^k ^k uh(~j)n~ (Yh (Pij)-Yd(Pij)) ~h(~ij)
(10.3)
(10,4)
u~+1 = P t~had(~ - pJ~(~))
Dans (10.4) '
P>O
..
P h est l'op~rateur de projection sur t~ad h pour la norme d~finie par Uad 6Hh
(9.3) ; par aineurs Remarque
,
J~(~) : ~v h- (~ 'Yh^n+l'~^ +1).
10.1.
La matrice associ~e aux syst~mes lin~aires (10.2),(10.3) est sym~trique et d~finie positive, aussi a-t-on utilis6 la m~thode de Cholesky pour r~soudre ces syst~mes, en prenant avantage du fait que la factorisation de Cholesky n'est ~ effectuer qu'une seule fois par iteration puisque les deux syst~mes lin@aires (10.2),(10.3) ont des matrices identiques,
m
424 Remarque 10.2 : Etant donn6 la non-convexit~ du probl~me (9.1),(9.2), il semble que la d@monstration de r@sultats de convergence pour l'algorithme 10.2. UNEMETHODE DE PROJECTION SUR
(10.1)-(10.4)
soit hors d'atteinte,
l
h gad
La raise en oeuvre de l~algorithme (tO.1)-(10.4) implique ~ chaque i t 6 r a t i o n la p r o j e c t i o n du vecteur ~ -pJh(Uh) , n sur ttad h ; plus g~n~ralement, si b E Nh ' h projeter b sur ~ad revient g r@soudre le probl~me :
(lO.S)
M~
h
[ (vw,%) - z(b,v h);
v h ~ I~ ad qui admet @videnment une solution et une seule. Compte tenu de la nature des contraintes d~finissant au probl~me (iO.5) sera ~ h : g h × N2N+I----~I~
h ~ad
un Lagrangien bien adapt~
d~fini par :
(~[1 ) N . = (Vh'Vh)-2(b'Vh)+2F° O ~h(~)a~-c z + h ~j=l j ~-h(Vh'Fh)
(J.-v. J h 3-I
- C
(10.6)
avec, darts (10.6), Notant
vj = vh(Jh).
h U@= {Vh!Vh~ Uh,~ ~Vh~ ~ } , on peat alors c a l c u l e r ia s o l u t i o n de (t0.5)
en u t i l i s a n t l ' a l g o r i t h m e suivant : O
(10.7)
km
Xh
c lcu e
h
donn6
< +1E
par :
h (lO.8)
u~
h u~ B
(10.9)
km+l o =kom +P , ( j%
~(~)d$_C2 )
1)
425 m
(I0.I0)
(10.11)
k m+1 J
k m+1 N+j
m
= max(O, km + p ' (uj-~i'1 - Ci) ) 3 h m m = max(O, k~+3 p,(Uj_]-uj _ CI))" h
Dans Glowinski-Lions-Tr6moli~res []4, ch. II] on d6montre que pour p'> O suffisamment m petit, la suite (Uh)m d~finie par l'algorithme (10.7)-(10.11) converge vers la solution duprobl~me (10.5). •
11.
UNE METHODE DE TYPE FRANCK ET WOLFE. Darts ce Num~ro, on va d6crire une autre m~thode de r%solution du probl~me appro-
ch6 (9.1),(9.2), inspir6e de la m~thode de Franck et Wolfe ,cf. COa [15, ch.4] et utilis6e par Morice darts [ 7] . De fawon prOcise, on utilise l'algorithme ci-dessous : h donn6 darts Uad
(11.1)
~
uhn
^n+1 ' ~+I Yh
6tant connu, on calcule
'
(11.2)
n
Jh( ) =
on d6termine ensuite
~+I
~Hh
par (I0.2) (I0.3), d'oO : n
^n+1
yh
^ ,
,
cor~ne solution du probl~me :
(jh(~) ' -n+1 uh - ~) ~
' n n (Jh(Uh), Vh-Uh)
h V v h E Zad r] ~hhd
(11.3) <+16
h Uad n < d
avec, dans (11.3), ~hd ={VhlVh 6Uh ' IVh-U~l solution de (11.4)
Jh(U~ +I) ~ Jh(Vh)
Vv h 6
~ d}
; on d6finit enfin
au segment [u~, --n+17 uh J.
u~ +I CO~/~e
•
426
~r~arque 11. t : Ona: h n ttad (q Khd ={Vh]VhE t~h ,
a ~
,
.<
n
-d.~Vh-Uh ~< d
(11.5) 1
-CI~
,[oVh(F~)d% = C2 ,
Le probl~me (11.3) est doric un,~robl~me de prograr~nation lin@aire que l'on r@soud -n+1 n uh , par uh . w
par la m@thode du simplexe initialis@e,dans le calcul de Remarque 1 I. 2 :
Dans les applications expos@es dans ce travail (cf. N ° 12), le probl~me ~ une variable (11.4) a @t@ r@solu par dichotomie. Remarque t l . 3
:
La Remarque 10.2, relative ~ l'algorithme (10.1)-(10.4)
vaut @galement pour l'algo-
rithme (11.1)-(11.4).
12. APPLICATIONS. Remarqu e pr@!iminaire ' : On a suppos@ aux Num@ros 9, 10, 11, que
t~h
@tait muni de
la structure euclidienne associ@e au produit scalaire (9.3) ; en fait, il est plus commode d'utiliser la structure euclidienne d~finie par le produit scalaire : N
(12.1)
(Uh,Vh) h
=
h
j~--'O uh (J h) Vh (Jh)
et c'est ce qui a @t@ fair pour les applications num~riqfles d@crites au N ° 12. On re:prendrait sans difficult@ les consid@rations d@velopp@es aux Num@ros 9, 10, 11, en supposant que
~h
est muni du produit scalaire (12.1).
m
On va se limiter aux deux exemples ci-apr~s, renvoyant ~ [ 2 ] pour d' autres applications num@riques.
427 EXEMPLE 1. Va!eurs ' nt~n~riques des param~tres : C = 10,
Yd = O , C I = I , C 2 = O.75 , h-
Pas de discr~tisation :
e = 0.5 ,
I 20
Initialisation des algorithmes des Num~ros 10 et 11 : on part de
~(~)
~ = I.
C2-,~
: 4~+
si
o~
~<
d~fini par :
1
(12.1) 1~1 avec ~ > O
; on peut donc consid~rer
~
, pour ~ petit, cormm une perturbation de
v h = C 2 (voir Figure 8).
C2+ s C2-s I
I
t O
0.5 Figure 8.
Test d' arr~t pour les algorithmes des Num~ros J0 et 11 : on cesse d'it~rer d~s que :
L°°(0,1) Calcul de
~+1
•h+I
: Par la m~thode de Cholesky (voir Remarque 10.1)
Application de l'algorithme dugradient avec projection d u N ~ utilis~ l'algorithme (10.1)-(10.4)
avec t m p
10 : on a, en fait,
variable ~ chaque it@ration, selon les
principes (heuristiques) de la m~thode dugradient ~ pas ajust~s (cf. par exemple, [14, Ch. II]).Quant au param~tre l'a
p'
de lam~thode de projection (10.7)-(10.11), on
choisi constant sans rechercher sa valeur optimale.
I!
It
It
i\
II
II
11
\\\
\\\
/I
/i
/
/
/
j ,
J
I
/
4
\
\
\
/
/
/
//
// / /
,/" /
s/
\ I/ j
-
/
/ -" / /
j/
J /." /
i /
/
/
/
/
J
I
I
i
J
I
Jl
J./
f/
/ /
J./ ./.-4
/// //
/// ×// /
i
/
/
JJ / J ~ 11./
/J
J
/
/// / /./I/ /
/
/
/ /
i-
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
J
J
J
/
J
J
Co
0
0
,_.x
I
II
•
U
U
II •
II
11
~
i
j
J
J
f
J
J
J
f
f
f
~D
j~
430
Si
~!0
-5
dans (12.1), l~a!gorithme reste bloqu~ sur
u~ ; s i e
convergence(au sens du test d'arrSt (12.2)). Par exemple, pour
> 10 -4 , il y a
s = 10 -4 et N = 5 × 1 0 -4,
il y a convergence en 10 iterations, soit 3 minutes de CII 10070, vers la solution repr~sent~e sur la Figure 9, avec la partition g h
correspondante
; sur la Figure 10
on a repr~sent~ les ~quipotentielles de la fonction d'6tat correspondante. Si D < S ~ O -4 , le non, re d'it6rations n~cessaires R la convergenceaugmente~A indicatif, signalons que la fonction cofit (approch~e)
qui vaut 3.164 pour
titre
u~ , est
~gale R 1.590 pour la solution optimale calcul~e. Application de la
meithode de
Franck et Wolfe du Num~ro 11.
On a l e m~ne probl~me de d~marrage que darts la m~thode pr~c~dente et ce, pour les mgmes valeurs de
~
; d}s que a est suffisamment grand (e ~ 10 -4 pour fixer
les idles), la convergence est extr~mement rapide puisque dans l'exemple trait6, on a
!lu~ - ~
!I
<
IO-I0
• la limite correspondante ~tant la n~me que celle
L°°(0,1 ) obtenue par l ' a l g o r i t h m e de g r a d i e n t avec p r o j e c t i o n ; le temps de c a l c u l e s t de l ' o r d r e de 1 minute 30 secondes sur CII 10070. Signalons que l a q u a n t i t ~
Remarque
de l ' a l g o r i t h m e ( 1 t . ] ) - ( 1 1 , 4 ) a ~t6 p r i s e 8gale
12.1 :
Si l'on part de grand
d
u~
comme repr6sent~ sur la Figure 11, pour ~ suffisanment
on obtient, par les deuxm{thodes
ci-dessus, le domaine de la
Figure 12
pour ce dernier domaine, la fonction co~t vaut 1.953 . x2
~(g)
1
C2+ ¢, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C 2- ~,
I
l I I
I I I |
d
d
O.S
1
Fi_~.re 11
D
0.5
Figure 12
xI
431 EXEMPLE 2.
Valeurs num~riques des param~tyes : comme dans l'Exemple I, sauf Pas de discr~tisation :
C I = 5.
h=22O
Initialisation :
on part de
c o ~ e indiqu~ sur la Figure
C2+g C 2-
0
I
I
I
0.2
0.4
0.6
I
0.8
Figure 13. Test d'arr~t :
con~ne dans l'Exemple I.
Application de la m~thode de Franck et Wolfe du N u ~ r o 11 : La m6thode de gradient avec projection, d'un emploi d~licat, n'a pas ~t6 utilis~e sur cet exemple o~ l'on s'est limit6 ~ celle de Franck et Wolfe. L~ encore, si l'on a
g ~< 10 -5 , l'algorithme se bloque sur
u~
; pour ~ >~ 10-4
et dans des temps comparables ~ ceux de l'Exemple I, on a convergence de l'algorithme (11 .I)-(11.5) en dev~x iterations ; on a indiqu~ sur la Figure
14 le domaine opti-
mal calcul~ et la partition ~ h correspondante, la valeur de la fonction coot est alors O. 32. Remar~ue 12.2 : Si le domaine initial est le mSme que celui de l'Exemple I, avec grand
on obtient le domaine de la Figure 15
g suffisamment
; la fonction cofit correspondante vaut
0.71.
Remarclue 12.3 : La convergence tr~s rapide de l'algorithme de Franck et Wolfe donne ~ penser que les limites obtenues correspondent ~ des minimums relatifs ou plus g~n6ralement ~ des points stationnaires de la fonctionnelle et qu'il y a peu de chances qu'un minimum absolu ait ~t~ atteint.
432
Figure
Discr@tisation
14.
du domaine.
C
=
10
YD
=
O
c~
=
,5
=
I
CI
=
5
C2
=
. 75
433
x2
L x! 0.5
I
Figure 15. CONCLUSION : La m~thode d'optimisation de domaine expos~e dans ce travail est sans doute moins g~n~rale que celles expos~es, par exemple dans
[5 ] , mais ce qui nous semele
essentiel est le fait que, par l'interm~diaire d'approximations par ~l~mentsfinis ad~quates, cette m~thode puisse s'~tendre ~ d'autres probl~mes de domaine optimal ainsi qu'~ certains
probl~mes de fronti~re libre (ramen~s ~ des probl~mes de domai-
ne optimal) comme, par exemple, ceux consid~r~s par Baiocchi dans
[16] et qui feront
l'objet d'un travail ult~rieur.
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