Commande H infini et mu-analyse

34

Commande Hel) et J..l-analyse : des outils pour la robustesse

G(s)

= Zen

240

(2.31 )

U(s)

La constante de temps ainsi négligée est peu différenle de L / R = 0,862.10-3 S . Le filtre w 1 (s) a été choisi afin que Je diagramme de Bode de 1/lwI (jw) 1 : - coupe l'axe 0 dB à 100 rd/s (bande passante demandée) - présente un gain en haute fréquence de 1,7 de façon à limiter la norme H S ct à garantir ainsi une marge de module de l'ordre de 0,6.

IX)

de

- présente un gain suffisamment faible en basse fréquence Dans un premier temps, les filtres w2 (s) et w3 (s) sont choisis constants, avec 2 H'.:; très faible ( w3 = 10- par exemple) : en d'autre terme, le calcul du correcteur tient compte de la référence r, mais ignore la perturbation b. La valeur de Wz est ajustée afin que la fonction de sensibilité S suive au plus près le gabarit 1/ Wt • La de la matrice (2.25) est valeur w} = 0,5 a été retenue, pour laquelle la norme y = 0,957 . On augmente ensuite progressivement la valeur de "'3' jusqu'à ce qu'un effet significatif apparaisse sur la valeur de y , en veillant toutefois à ce que celui-cl ne dépasse pas excessivement la valeur 1 : on oblient y 1,10 pour w3 0,15. Enfin on introduit une atténuation en haute fréquence sur le gabarit] /11VZ (jw) 1. L'objectif est d'obliger le gain du correcteur à chuter dans les haules fréquences. afin de limiter la sensibilité au bruît et de tenir compte du fait que le modèle utilisé devient Încertain dans celle zone. A nouveau on fait en sorte de ne pas augmenter de façon trop importante la valeur de y . Les filtres ainsi choisis sont:

s+128

1+s/l 000

1,7 (s+0,075)

1+ s /50000

lt'I(S) =-~----:-

Wj

0,15

(2.32)

On obtient y = 1,17 pour un correcteur d'ordre 4, de fonction de transfert: K(s)

=

9,675 s+0,075

(1 + s /26)(1 + s /64)(1 + s /50000) (1 +.\'/375)(1 +s/931)(I+s/22500)

(2.33)

La figure 2.7 donne les modules des transferts qui interviennent dans le problème H comparés aux gabarits initialement définis (la valeur de y étant légèrement supérieure à l, ceux-ci sont légèrement dépassés). Les figures 2.8 et 2.9 montrent les réponses de la boucle ouverte G(s) K(s) et du correcteur, qui respectenlle cahier des charges: la pulsation au gain unilé est égale il 100 rd/s, ct les marges de gain et de phase sont égales à 20 dB et 55° respectivement. Le correcteur présente un gain élevé en basse fréquence (ce qui assure une erreur statique vis-à-vis de b négligeable), une avance de phase au voisinage de la bande passante et un filtrage des hautes fréquences.
Synthèse Hoo. approche standard Set 1/w1

35

KS el1/w2 0

0

10

10

·2

·2

10

10

-4

10

10

0

10

4

SG el 1/w1/w3

2

10

5

0

10 10 KSG et 1/w2lw3

1d 10°

Il

10

.~

10

·4

10

0

10

5

0

10

10

Figure 2.7 - Réponsesfréqllelllielles des IrallsmÎUOllces S, KS, SG et KSG

Gain

r-~-------.-----------r--------~

10

0

10

2

10~

pulsation (rad/sec) Phase (degrés)

pulsation (rad/sec)

Figure 2.8 - Répollscjréquemiellc de III boucle oU\'erle corrigée

On peut noter que le correcteur a un pôle en -0,075, donc très proche de l'origine. Comme indiqué au paragraphe 2.3, le correcteur a également un pôle très loin dans le demi-plan gauche, en -22 500. Son influence est négligeable sur les réponses fréquentielles. L'implantation du correcteur a été réalisée en effectuant les modifications cidessous, qui découlent des 2 remarques précédentes el n'entraînent aucune modification des réponses fréquentielles dans une large zone de part el d'autre de la pulsation mc:

36

Commande Hoo et Il-analyse: des outils pour la robustesse Gain (dB)

::Eê~

·20 -2 10

10

a

10

2

10

4

pUlsation (rad/sec) Phase (degrés)

i

90

o

-

---l

---

-,o~ -1 BO

10

-2

10

0

10

2

10

4

pulsation (rad/sec)

Figure 2.9 - Répoflsefréquefltielle dll correctellr

- remplacement du pôle en -0,075 par un pôle en 0, afin de disposer d'une véritable action intégrale. - suppression des polynômes ] + s / 50 000 et 1 + s / 22500 du numérateur ct du dénominateur de K(s), ce qui diminue d'une unité l'ordre du correcteur sans changer en rien ses perfonnances. Notons que celle étape de réduction du correcteur est souvent nécessaire, la commande H <Xl produisant des correcteurs d'ordre relativement élevé puisqu'égal à la somme des ordres de C(s) et des différents Iï1tres (paragraphe 2.5.4). Elle peut être réalisée de façon plus systématique en utilisant des méthodes appropriées [MiSB, SaPG], ou de façon plus rigoureuse en résolvant le problème (2.19). On implante donc finalement le correcteur ci-dessous, lequel peut être écrit sous la forme du produit de 3 fonctions de transfert correspondant respectivement à un correcteur PI, un filtre à avance de phase et un filtre passe-bas intervenant au-delà de la bande passante: K'(s)= 9,675 (l+s/26) l+s/64

s

l+s/3751+s/931

(2.34)

Les réponses de l'asservissement il un échelon de consigne et de perturbation apparaissent sur la figure 2.10. Sur la première réponse, on obtient un dépassement d'environ 25%, avec un temps de 1cr maximum qui vérifie la relation empirique werm ~ 3, sans erreur statique, et avec une commande du même ordre de grandeur que la référencc. La seconde montre qu'une modification de b n'introduit pas d'erreur statique.

Synthèse HY.l' approche standard

37

-1V ("

!

-c-

o

----1--

o +-I-f--H

- 1 - --;..--

. _,= _.--

-

1--

échelon tic cOI/signe

échelon de perturha/ion

Figllre 2.JO - Répollses de /'asservisscmellt

2.7. Autres exemples de mise en Œuvre La mise en œuvre détaillée dans le paragraphe 2.5 COlTcspond à un problème de base. La souplesse du cadre H:1) permet en effet d'imaginer de nombreux prolongements, en adaptant le schéma précédent à la spécificité du problème. De façon générale, on peUl tenir compte d'entrées agissant en différents endroits de la chaîne d'asservissement, et contrôler différents signaux. Les paragraphes qui suivent donnent quelques exemples.

2.7.1. Rejet d'flue perturbatioll mesurable Supposons que la perturbation b du schéma précédent soit mesurable. On a évidemment intérêt à en tenir compte dans l'élaboration de la commande. On peul à cette fin construire le schéma de la figure 2.11. Le problème standard correspondant s'obtient en considérant:

- \\' (r - e = (el - Il -

y comme entrée el Y comme signal à réguler

cl

comme commande

)' =:

(g

Y comme mesure

b

38

Commande H(f.) cL ).l-anulyse : des olllils pour ILl robustesse

Figure

2.11 - Asserl'ÎSsemenl avec rejeJ d'ul/e penurbatiolllllcsllrabie

Dans le cas d'une résolution par équations de Riccati (paragraphe 2.2), il convient de vérifier l'hypothèse H2, avec en particulier rang ~D .l'Il' ) = Il),. Or celle-ci correspond fi la transmission directe entre w = (r d)T et y = (g

(A:;, 8 3 , C.1' D3 ) une réalisation de

W3(S) ,

bf.

En notant

cel1e-ci s'écrÎt:

D\'I\' =(10 D0 3

J

On voit donc que D3 doil être non nulle. De même D 2 (transmission directe de ll'2 (s) ) doit être non nulle comme dans le problème précédent. Les filtres ll'I (s) et w:; (s) seronL choisis comme expliqué au paragraphe 2.5.3. Le filtre \1'3 (s) permet: - de pondérer le rejet de perturbation par rapport au suivi de référence (cas = w) constant)

ll'3 (s)

de préciser le contenu spectral de la perturbatÎon (cas d'une perturbation agissant dans une certaine zone de fréquence).

2.7.2. Utilisatioll d'une meslIre supplémentaire Supposons qu'en plus de la grandeur à asservir z, on dispose d'une mesure supplémentaire zs' On peut alors construire le schéma de la ligure 2.12, où li peut être inlerprétée comme une perturbation de mesure. Le problème standard correspondant s'obtient en considérant: - \II

=( r

d

li )

- e = (el el - Il

f

T

comme entrée

comme signal à réguler

comme commande

- )' = (g

Zs

f

comme mesure

Synthèse H00' approche standard

39

b K( s)

1----'---..........1 II

-$

Figure 2. J2 - ASscll'issemenr ill'ec rejet d'une perlurbatioll mesurable

En général il suffit de prendre la pondération supplémentaire H'..\ constante. Mais celle-ci ne peut être choisie nulle si l'on fait la résolutÎon par équations de RiccatÎ. En effet la matrice D)'II" s'écrit : 1 0 (o 0

0'

H'4J

On ne peUL donc s'affranchir de la présence de la perturbation \.'. Par ailleurs on peUL noter que "'.. permet de réaliser un compromis entre les 2 mesures, donc

d'ajuster la dynamique relative de chacune des 1. boucles. Nous présentons au chapitre 7 un cas d'application illustrant celle démarche.

2.7.3. Correcteur à 2 degrés de liberté

Dans le cas où l'on souhaite dissocier la dynamique du suivi de référence de celle du rejet de perturbation, on peut par exemple construire le schéma de la figure 2.13, dans lequel la référence et la mesure de la grandeur asservie entrent séparément dans le correcteur. Le problème standard correspondant s'obtient en considérant: - li'

= (r d \'

Y

comme signal à réguler comme commande

- c = (el c2 - 11

r comme entrée

- y=

r comme mesure

(r ::

40

Commande Roo ct

~-j]nalyse

: des outils pour la robustesse

r

Figure 2. J3 - Correcteur à 2 degrés de libené

De la même façon que dans le problème précédent. la pondération supplémentaire 11'4 permet de régler la dynamique relative du suivi de consigne et du rejet de perturbation.

Chapitre 3

Approche Hoo par "loop-shaping"

L'approche proposée dans ce chapitre a été développée à partir de la notion de factorisation première d'une matrice de transfert, et de la stabiiisatÎon d'un système incertain exprimé sous celle forme [GIMc]. Il est toutefois possible de la présenter sans faire appel à ces notions, ce que nous avons choisi de faire ici. Sa mise en œuvre utilise un problème H de structure fixée, le réglage des performances étant obtenu par un modelage préalable de la boucle ouverte, suivant les principes de l'Automatique classique. Nous la présentons dans le cadre multivariable, et l'appliquons au problème d'asservissement déjà étudié au chapitre 2. 00

3.1. Un problème Hooparticulicr Considérons le schéma-bloc de la figure 3.1 : la matrice de transfert cntre les perturbations d et b d'une part, la sortie )' et la commande Il d'autre part, s'écrit:

Y(S)) ( U(s)

(

Ses)

S(s)G(s)

K(s)S(s)

K (s) Ses) GCs)

j\ (D(S)J B(s)

. S = (1 +GK )-1 ,

(3.1 )

On peut donc considérer le problème H o:J suivant: chercher un correcteur K(s) stabilisant le système bouclé, et assurant pour une valeur y > 0 donnée:

(3.2)

b

Figure 3.1 . Problème considéré

42

Commande H'f.] ct Il-analyse: des outils pour la robustesse

L'inconvénient de ce problème est qu'il ne donne aucun élément de réglage à l'utilisateur; par contre il représente un compromis naturel entre l'évolution de la sortie et celle de la commande, en réponse à des perturbations en entrée et en sortie. Ce problème présente en outre une propriélé remarquable; sa solution est en effet directement obtenue par le théorème suivant:

Théorème 3.1 [OIMe] - Soit transmittanee G(s)

1.

Si

(A, B)

(A,

B, C) une représentation d'étal du système de

est commandable et

(C, A)

observable, la valeur

minimale de y pour laquelle le système de la figure 3.1 peut être stabilisé par un correcteur K(s) assurant (3.2) est donnée par:

(3.3) où

Àsup

désigne la plus grande valeur propre, et X el Y sont les solutions définies

positives des 2 équations de Riccati suivantes:

(3.4.a) (3.4.b) Il Contrairement à l'approche standard (chapitre 2), on connaît donc à J'avance la valeur minimale de y que l'on peut atteindre. Le théorème suivant donne un correcteur solution du problème.

Théorème 3.2 [GIMel Pour toute valeur de y supérieure à la valeur y rnin fournie par le théorème 3.1, un correcteur K(s) stabilisant le système bouclé et assurant (3.2) est décrit par la représentation d'élat suivante:

:\:e (t) = Ac .t'cU) + Be y(t) { a(t) Cc xeU) Cc

Zr

(3.5.a)

BTX

=~ + y X -

y2/

t

(3.5.b) Il

Remarque: la version en temps discret de ces résultats est donnée dans [Wal]. Un exemple élémentaire est présenté dans le paragraphe suivant, landis que le paragraphe 3.3 propose un moyen d'introduire dans ce problème des éléments de réglage. 1 L'l

démarche peut ëtre étendue au cas de systèmes non strictement propres [McGII J.

Approche Hr:t;) par "Ioop-slmping"

43

3.2. Exemple élémentaire A titre d'exemple simple, considérons le schéma-bloc de la figure 3.1, avec le système: a

G (s) = s

a

>0

soi t

A=0

B=a

c= 1

(3.6)

Cc système est commandable et observable. Les équations de Riccati s'écrivent:

x (0) + (O)X - X (a 2 )X + 1= 0 y(o)+(o)y -Y(I)Y +a 2 =0 Elles ont chacune une solution positive, qui s'écrivent X = lia et Y

(l.

La valeur

minimale de y pour laquelle le problème admet une solution est donc y min Pour toute valeur de y supérieure à

.fi,

.fi.

l'app1icaLÎon du théorème 3.2 fournit la

représentation d'état suivante:

(3.7)

ou encore la fonction de transfert: K(s) = U(s) Y(s)

~2 _

2

J. + 2 a ~2 -1 )

(3.8)

Comme pour le correcteur calculé dans l'exemple du chapitre 2 (paragraphe 2.3), on constate que le pôle du correcteur tend vers -00 lorsque y tend vers sa valeur optimale .Ji ; lorsque y atteint sa valeur optimale, le terme en s du dénominateur disparaît, el l'ordre du correcteur passe de 1 à O. Comme dans l'approche standard, cette réduction de l'ordre du correcteur pour la valeur optimale est un phénomène général.

3.3. Mise en œuvre par modelage de la boucle ouverte Nous avons déjà signalé qu'aucune fonction de pondération ne peut être introduite dans le problème (3.2), qui impose une matrice de transfert partÎculière. Pour

44

Commande Hrf) ct

Il~anillysc

: des outils pour la robustesse

régler les performances, on peut effectuer un modelage de la boucle ollverte (en anglais "loop-shaping") du processus, avanT de calculer le correcteur. La démarche est la suivante [McGII, McGl21 : i) ajouter à la matrice C(s) du système il réguler un pré-compensateur Wei (s) et 1 ou un post-compensateur W c1 (s) (figure 3.2.a), de sorte que la réponse fréquentielle du sysLème augmenté Ci/(s) = W c2 (s) C(s) Wcl (s) présente une forme saLisfaÎsante:!. Typiquement:

- on assure des gains élevés en basse fréquence (par exemple au moyen d'une action inLégrale dans Wei (s) ou dans Wc::!. (s) sur la sortie à réguler). - on assure des gains faibles dans les hautes fréquences (par exemple par des filtres passe-bas dans Wei (s) ). - on choisit la fréquence de passage à 0 dB (qui correspond à peu près à la bande passante du système bouclé), en ajustant le gain général de l'un des compensateurs. - on donne à la réponse fréquentielle une pente de -20 dB/décade au vOÎsinage de la fréquence de passage à 0 dB (par exemple au moyens de réseaux à avance de phase). il) résoudre le problème H rf) précédent en considérant Co (s) au lieu de C(s) :

(3.9)

Iii) la structure de correction est obtenue en combinant les tïllres Wei (s) et Wc2 (s) déterminés en i) et le correcteur K(s) déterminé en il) (figure 3.2.b): dans

le cas où la sorlÎe doiL suivre un signal de référence, on pourra sail prendre pour correcteur en série le produit WeI (s) K(s) W c2 (s) notamment si des actions intégrales sont incorporées dans We2 (s) • soit dissocier les 3 éléments - ce qui convient nolammenL quand des actions intégrales sont incorporées dans Wei (s) . On notera que toute la connaissance issue de l'Automatique fréquentielle traditionnelle peut être utilisée lors de la phase 0, où de plus on se préoccupera principalement de régler Je gain sans trop s'occuper de la phase. Par aîlIeurs, il n'y a pas de contrainte de stabilité sur les compensateurs Wel (s) et Wc2 (s). qui peuvent en particulier comporter des actions intégrales.

3.4. Réponses fréquentielles après optimisation H co On peut néanmoins se demander si la réponse fréquentielle de la boucle ouverte finalement obtenue à l'étape iii) correspond au modelage effectué en O. Le raisonnement suivant permet de répondre à cette question.

2

Bien sûr, dans le

CilS

d'un système monovariable. un seul compensateur suffit.

Approche HCfJ par "Ioop-shaping"

45

bmule !Jll.ulIIJle

gral/LI gain

a) modelage du système

b) stmclures de correclion possibles

Figure 3.2 - SYllthèse

H

r1"J

pal' "/oop-slwpÎug"

Supposons calculé un correcteur assurant l'inégalité (3.9). D'après les propriétés de la norme H Cù , chaque fonction de transfert qui compose la matrÎce qui intervient dans (3.9) aura une norme H Cù inférieure à y :

(3. JO) Notons que dans Je cas monovariable. la première de ces inégalités assure ainsi que la marge de module du système esL au moins égale à l'inverse de y . Par ailleurs, dans les zones où cr (Gu (jm) K (jeo»)« l (ce qui se produit en généraI en hautes fréquences), S{1(jeo);::::: 1 el K(jw)SIl(jw);::::: K(jeo). D'après la deuxième des inégalités (3.10), on a donc cr (K (jw») < y , et :

cr (K (jw) Ga (jw»). les zones où cr(Gt/(jw) K(jw») »

la même inégal ité étant vérifiée par Réciproquement. dans

général en basses fréquences),

1 (cc qui sc produit cn

46

Commande Ha';) et

~Hmulyse

: des outils pour la robustesse

(si 1'on suppose que Ca et K sont currées), d'où l'on déduit:

cr (K

-

.(0 ») =

(j

1 > 1 a(K(jw») y

et:

Q(G I1 (jw) K(jW»)2 Q(G lI (jw») Q(K(jw)) >

2.y Q(G'J (jw»)

(3.11.b)

la même inégalité étant là aussi vérifiée par QlK(jffi)G(/(jffi»). Les inégalités (3.11) montrent que dans les zones où la boucle ouverte présente soit un gain élevé, soiL un gain faible, le rapport entre les valeurs singulières obtenues à l'issue du "Joop-shaping" et celles de la boucle ouverte tinale n'excède pas la valeur y de la norme H co • Notons de plus qu'il est montré dans [McGII, McGI21 que ce rapport tend asymptotiquement vers la valeur (/

1)1/2 si

cr (Ga (jw») -7 a

ou si Q(G lI (jffi))-7 00 (figure 3.3). On a donc une garantie que le "loop-shape" obtenu après le choix des compensateurs WeI Cs) et Wc2 (s) sera globalement respecté pour de faibles valeurs de y, dont, rappelons-le, la valeur minimale y min peut être calculée explicitement avant calcul du correcteur K(s). Cette valeur renseigne donc sur la pertinence des choix effectués lors de l'étape de "Ioop-shapîng". On considère généralement qu'une valeur de y de l'ordre de 2 à 3 est satisfaisante.

Figure 3.3 - Comparaison des répoll.'ies fréqllelllielles des bOllcles ouvertes.

Approche Hcr.J par "loop-shaping"

47

3.5. Exemple : asservissement de position Nous reprenons avec celle approche l'exemple présenté au paragraphe 2.6. Le système étant monovariable, le modelage de la boucle ouverte peuL être accompli par un seul compensateur Wei (s) . Afin d'assurer le rejet de la perturbation b ct de filtrer les hautes fréquences, un régulateur PI associé à un filtre passe-bas esl retenu. Son gain est ajusté pour que la boucle ouverte passe à 0 dB pour 110 rdls, soil une valeur légèrement supérieure à la bande passante demandée (figure 3.4) : Wd (S )

= 17,68 s

1+s/20 1+ s 11000

(3.12)

On obtient y min = 2,35. Le calcul du correcteur pour le système compensé G(s) Wei (s), et pour y = 1,01 Ymin donne: K(s) = 0 467

,

(1 + s Il 6,7)(1 + s /83,5)(1 + s /999,98)

(1 + s /19,98)(1 + s /342)(1 + s/934 )(1 + s /5585)

(3.13)

La figure 3.4 montre les réponses fréquentielles du système compensé G(s) Wd (s) et de la boucle ouverte G(s) Wei Cs) K(s), landis que la figure 3.5

montre la réponse fréquentielle ùu correcteur total WcI(s) K(s). On voit que la boucle ouverte finale reste proche de la réponse obtenue après le choix de Wei (s) , tandis que l'adjonction de K(s) permet d'assurer des marges de stabilité correctes. Les réponses de la boucle ouverte el du correcteur sonl par aîlleurs très proches de celles obtenues au paragraphe 2.6 (figures 2.8 et 2.9). On peul remarquer que comme avec l'approche standard, la transmiuance K(s) possède un pôle très éloigné de l'origine (en -5585), dont l'influence sur les réponses fréquentielles est négligeable. Par conlre le correcteur obtenu Wei (s) K(s) a un pôle exactement à l'origine, résultant du choix de Wei Cs) . On peut aussi noter que les transmiUances Wei (s) el K(s) font apparaître des termes très proches, donl J'influence devienl négligeable dans le produit WcI (s) K(s) :

- 1+ s /20 au numérateur de Wei (s) el 1+ s /19,98 au dénominateur de K (s) - l+sl1000audénominatcurde Wd(s), l+s/999,98 au numérateur de K(s) Ces différentes remarques conduisent à impJanter le correcteur suivant, obtenu en éliminant le pôle en -5585 de K(s) et les termes cités ci-dessus: WcI (s) K(s)

~ K'(s) = 8,26 [1 +-~-' J1+ s /83,5 s

16,7

1 1+s/342 l+s/934

(3.14)

48

Commande Hw et Ji-analyse: des outils pour la robustesse Gain (dB)

o

10

10~

10'

10~

4

10

pulsation (rd/sec) Phase (degrés) -100

-200

-300L-~----~------~~----~--~--~~~

10°

10'

2

10 pulsatîon (rd/sec)

10

J

10

4

Figure 3.4 - Réporlsesjréqllclliielles du processus pré-compensé (fin), et de la boucle VIII 'crie finale (gras)

Gain (dB) correcteur

20

o

~

-

-

~

·20

10'

2

10

3

10

pulsation (rd/sec) Phase (deqrés)

Cl

10

10'

10' pulsation (rd/sec)

3

10

4

10

Figure 3.5 Répollsejréqllentielle du correcteur

expression très proche de celle obtenue avec l'approche standard (paragraphe 2.6), et dans laquelle on reconnaît un régulateur PI complété par un réseau à avance de phase et un filtre passe-bas.

Chapitre 4 ~-analyse

La mise en équation d'un processus physique nécessite des approximations, d'où résultent par conséquent des incertitudes de modèle. Il convÎent donc d'étudier la robustesse de la loi de commande, c'est-à-dire de chercher à garantir la stabilité et un certain degré de performances en dépit de différentes inccrtitudes, quantifiées de façon appropriée. Un formalisme général pcnneUant de représenter les incertitudes de modèle est présenté dans le premier paragraphe. Puis une première condition de robustesse de la stabilité est énoncée, en utilisant la norme H Celle analyse s'avérant en général trop pessimiste, il convient d'utiliser un outil plus approprié, la valeur singulière structurée, dont la définition et les propriétés importantes sont données au paragraphe 4.3. Son milisation sur différents problèmes dc robustesse est exposée dans les paragraphes 4.4 à 4.8, ce chapitre se terminant par leur application à l'asservissement de position étudié aux chapitres 2 et 3. (1) •

4.1. Description des incertitudes de modèle 4.1.1. Rcpréscntation géllérale par LFT

Dans le cadre linéaire, celles-ci sont généralement regroupées en deux classes: les incertitudes paramétriques, qui affectent la valeur d'un ou plusieurs paramètres réels; les dynamiques mal connues ou volontairement négligées dans l'écriture du modèle (intervenant en général en hautes fréquences), représentées par une ou plusieurs fonctions de transfert inconnues. Pour y incorporer le concept classique de marges de stabilité, on peut y ajouter des incerlitudes plus globales sur le gain et sur la phase, qui seront représentées par un ou plusieurs paramètres complexes. Une représentation générale d'un système soumis à des incertitudes de modèle est donnée sur la figure 4.1 : toutes les incerLitudes de modèle sont rassemblées dans la matrice 8(s); la matrice de transfert H(s) qui dans le cas d'un syslème asservi dépend évidemment du correcteur - modélise les interconnexions entre les entrées li' • les sorties y, et les signaux v et z qui permettent de faÎre intervenir les incertitudes. En écrivant les relations entre les différents signaux:

50

Commande HC1J et Il-analyse: des outils pour la robustesse

li

)'

Figure 4.1 - Représentation par LFT des incertitudes de modélisation

+ H <:11'(5) W(s) Y(s) = Hy,,(s) V(s) + Hyll'(s) W(s)

Z(s)

H <:l'(s) V(s)

(4.1)

V(s) = 8(S) Z(s)

on calcule le transfert entre w et e :

Cette expression est appelée une Transformation Fra ctioll Il a ire Liuéaire, ou LFT (pour l'anglais Linear Fractional Transformation). Elle sera notée l'indice

Il

Fil (H (s), 8(S))

-

indiquant que 8 est connectée sur la partie supérieure de H .

Pour écrire J'expression (4.2), il faut que la matrice 1 - H Zl'(S) 8(S) soit inversible pour presque tout s : on dit alors que la LFT Fit (H (S),8(S)) est bien posée. Sans perle de généralité, on peul toujours effectuer des mises à l'échelJe permettanl de "normaliser" 8(5)! c'esl-à-dire de se ramener à la condition:

!18(S)IICIJ =

sup E R

a(8(jm)) <

J

(4.3)

(Il

Les exemples donnés dans le paragraphe suivant permettent de se familiariser avec ce concept.

4.1.2. Exemples de mise SOIIS forme LFT Considérons un système de fonction de transfert G(s) . Si Go(s) désigne le modèle nominal, el que ce modèle néglige une dynamique qu'on suppose être du premier ordre, avec une constante de temps t < 1" max' on peul écrire:

1

C(s) = Co(s)--

1+1"S

La connaissance de la valeur

1" max

;

t

< 1" max

(4.4)

permet d'établir une borne sur l'erreur relative

~-analysc

51

sur la réponse fréquentielle. On a en effet (figure 4.2) :

G(jw) l i t jw 1 1 Lmax jw 1 1 Go (jw) - 1 = 1+ t jw :::; 1+ t max. jw

On peut donc modéliser la dynamique négligée en écrivant:

G(s) _ 1 = lI'l Go(s)

avec: wi (s) =

t

(s)~1 (s)

max

et

S

1+ tmax

soit

G(s) = Go(s)

V

(0

(1 + \1'1 (s)~1 (s»)

I~I (jro)1 < 1

<::::>

(4.5)

11~1 (s)/Ioo < 1

S

La figure 4.2 représente l'allure du diagramme de Bode de \1'1 (s) ct le schéma-bloc correspondant. En identifiant celui-ci avec le schéma général de la LFT de la figure 4.1, on obtient:

Z(S)]_H(S)[V(S)]_[ 0 [Y(s) W(s) Go(s)\I'](s)

1

][V(S)] ; ~(s)=~](s)

Go(s)

(4.6)

W(s)

(V

1

lin

-I----.J"-----Y

Il'

Figure 4.2 - Modélisa/ioll d'l/Ile dynamique lIawcsfréqllcllccs 1Iégligée

Supposons à présent que Go (s) s'écrive:

Go(s)

= (s+a )2

avec

an - b < a < ao + b

En posant a = an + ob, -) < 6 < +), ct en remarquant que: -I

l I b

--=--

s+a

s+ao

(

1+0-s+ao

J

(4.7)

52

Commande Ha) ct M-ana]yse : des outils pour la robustesse

on obtient le schéma-bloc de la figure 4.3 qui s'identifie avec la LFT de la figure 4.1 de la façon suivante:

-b

[ZI(S)J

1Ni-

[VI(S) ]

H(s) ~~~.\2 W(s)

0

S+ClO

=

-b

1 1

1 1 1 1

s+ l1 o

:

(s+aof

-17 1 ---1

(s+aof

S+{I()

1

(s+(Jof

= (~

W(s)

--~b-----:b--T---ï---

---1

deS)

[VIV~(s) (s) J

S

+ {lo : (s + (Jo

(4.8)

f

~J

w

y

Figure 4.3 - II/certitude paramétrique

De façon générale. on peut établir [ZhDG] gue toute fonction matricielle dépendant rationnellement de variables 8 1 , •••• peut être écrite sous la forme d'une LFT. avec une matrice H (s) indépendante des Oj' el:

or

Si enfin on souhaitc prendre en comptc une incertitude conjointe sur le gain et sur la phase l , on peut introduire une incertitude complexe, par exemple sous la forme suivante: (4.10)

gui correspond à un disgue de centre {1. 0) et de rayon 1

sc'

Ce modèle peut lui aussi

Celle incer1itude. plus difficile fl appréhender physiquement. peut par exemple être utilisée pour modéliser une petile incertitude sur le gain !itatiquc, tout en tenant compte de rctards purs parasites. Une autrc ulilisalÎon permettant de garantir des marges de stabilité est donnée au paragraphe 4.7.

Il-analyse

53

être facilement identifié avec le schéma général: il correspond à un modèle du type (4.5), en remplaçant Go (s) par l, \VI (s) par Sc et L\I (s) par El' • Une propriété imporlante des LFf est que toute association de LFf est encore une LFT [ZhDG]. Ai nsi si nous considérons une boucle d'asservissement, avec un correcteur K(s) appliqué au modèle (4.5) avec la description (4.7) ct l'incertitude complexe (4.10) (figure 4.4), nous oblenons à nouveau une LFT par identification avec le schéma général de la figure 4.1, uvec :

y

Figure 4.4 - Boucle d'a.'iscl'l'issemellf avec 3 types d'incertitude

4.1.3. Structure géllérale de la matrice d'incertitude En rassemblant les différenles sources d'incerLitudes de modèle, on obtient une matrice L\(s) , de dimension k 'X k , ayant la structure générale suivante:

des)

diag {dieS), ,.. ,L\q(s), di (S) E

RH co

;

BI111' ... ,Br/rr' EI/C1'· .. • Eele c } {) i

ER;

Ei E

(4.12)

C

et vérifiant les conditions de normalisation:

La matrice des) comprend donc q matrices de transfert stables de structure quelconque, r blocs réels dits "scalaires répétés" (Je scalaire Bj étant répété ri fois pour tenÎr comple de "incertilude correspondante), et c scalaires complexes répétés. L'étude de robustesse consiste à chercher à garantir une propriélé particulière

54

Commande Hel) et )1-analyse : des outils pour la robustesse

(par exemple la stabilité) pour un ensemble d'incertitudes L\(s) décrit par (4.12). On peut imaginer 2 degrés de complexité différents pour aborder cc problème: - sail on ignore la structure de A(s) , en cherchant simplement quel1e est la plus grande valeur admissible de sa nonne. L'outil adéquat pour traiter le problème de cette façon est la norme H On obtient dans ce cas (paragraphe 4.2) une condition de robustesse de la stabilité assez simple, mais qui peut s'avérer très pessimiste. cr.) •

sail on prend en compte la structure de A(s) • ce qui conduit à des résultats plus précis. Il faut pour cela définir un nouvel outil: la valeur singulière structurée (paragraphe 4.3). Les analyses correspondantes sont menées dans les paragraphes 4.4 à 4.8. Remarque: si la propriété qu'on cherche à garantir est la stabilité, et si par hypothèse H (s) et A(s) sont stables, la seule source d'instabilité provient du bouclage par A(s) , et il est donc équivalent d'étudier la stabilité du système de la figure 4.5, avec M (s) ::: H 2:1' (s) .

z

\'

Figure 4.5 - Schéma d'analyse de la robustesse de III stabilité

4.2. Robustesse de la stabilité: analyse non structurée Si on ne lient aucun compte d'une éventuelle structure de la matrice d'incerlitude A(s) , le résultat suivant, connu sous le nom de "théorème du petit gain", conduit à

déterminer une valeur maximale pour sa norme H:>:l' Théorème 4.1 (théorème du petit gain) [ZhDG]. Si M(s) et A(s) sont stables, le système de la figure 4.1 esl stable pour tout A(s) tcl que Il A(s) 11r1l < ri si et seulement si IIM(s)lloo ~a-I ,où Atf(s) Démonstration. "M (s) 11<»

On

montre

= Hz1'(s),

d'abord

que

•

la

condition

::; a -1 , alors Il A(s) Nf (s) IL ::; Il A(s) liro Il M (s) IL \i ro

' (1 .. 5 1. ') d,apres

cr (A(jro) Nf (jro») < 1 :::;>

\i ro det (!

-

est

si

< 1. On a donc:

A(jro) M (jro»)

a n en d'd' ' l'" e Ult que le systeme lOemre {,,«()

suffisante:

z(t) =

*0

A(jro) z(t) n1a dl autre M (jro) v(t)

jl-analyse solution que (z(t) , \1(1))=(0,0), et ce pour tout

00 :

55

en d'uutres termes, il n'exÎste

pas de Li(s) pour lequel le système de la figure 4.5 soit oscillateur. Comme ce système est stable pour Li(s)

0, cela prouve, par continuité, sa stabilité.

Pour montrer que la condition est nécessaire, montrons que si existe Li(s) de norme H co inférieure à ce cas en effet, soient

(00

Cl.

Il M (s) IL >

Cl. -1

il

pour lequel le système est instable. Dans

une pulsation pour laquelle cr (M (jwo») = P> Cl. -1

,

et

M(jwo)=VIW"', avec :E=diag{p,a2, ... crk} une décomposition en valeurs singulières de M (jro o ). Alors tout Li(s) tel que Li(jw o) = W diag

{P-I ,0, ... 0 }V"

et

cr(Li(jû}»)~cr(Li(jroo») vérifie Il Li(s) Il,,, =p-I


et det{!-Li(jroo)M(jûJo»)=O:

pour ce Li(s) , le système oscille à la pulsation

000'

~

~~~:

nous avons vu au paragraphe 4.1.2 qu'une dynamique négligée du premier ordre peut être représentée par:

Supposons que ce système soit placé dans une boucle de contre-réaction, avec un correcteur K(s) (figure 4.6). On identifie facilement la transmittance M (s) du schéma général de la figure 4.5 à: Nf (s)

-w] (s) K(s)G(s)

1+ K(s)G(s)

Figure 4.6 - BOllcle d'aSSC'1'Îssement a\'CC dynamique 1légligée

D'après le théorème du petit gain, une condition de robustesse de la stabilité

s'écrit donc :

56

Commande H::t:J et Il-analyse: des outils pour la robustesse

-W1(S)K(S)G(S) Il <1 ::t:J II 1 + K(s) G(s)

<=- \jm I-W,(jù))K(jm)G(jm) . <1 1

1 + K(jm) G(jm)

soit encore: \j m

1

K(jro)G(jm) 1 + K(jm)G(jm)

1

< -:---1--:w]

(4.14)

(jw)

On obtient donc une condition qui peut s'interpréter sous la forme d'un gabarit sur l'un des transferts de la boucle fermée (à noter que cette conditÎon peut être explicitement prise en compte lors d'une synthèse H Remarque: il est possible que Jes résultats précédents soient à la base d'un fantasme assez répandu dans la communauté, qui veut que toute synthèse H aJ conduise nécessairement à une loi de commande robuste. En fait le théorème du petit gain est difficilement utilisable à des fins de synthèse car pour des problèmes réalistes, il conduit généralement à des conditions beaucoup trop sévères. Même utilisé comme outil d'analyse. il est en général trop pessÎmÎste, mais sa présentation est une première . approche. dont J'analyse par la valeur singulière structurée, beaucoup plus pertinente, peut être vue comme une généralisation. CI) ) .

4.3. Valeur singulière structurée 4.3.1. Définition Reprenons la matrice ~(s) définie par (4.] 2). Soit P E C b -'<: une matrice de mêmes dimensions que ~(s). Définissons l'ensemble !1 des matrices complexes présentant la même structure que ~(s) :

La valeur singulière structurée de P relatÎve à l'ensemble !1 est définie par:

(cr(~): det (J - ~ p)= o)î\j ~ E à det (J ~ p) * 0

Ill'. (p):= (Înf àE~ Il à (p ):= 0 si

I

)

(4.16)

L'inverse de ~l ~(p) peut donc être interprétée comme la plus petite norme d'une matrice ~ appartenant à J'ensemble ~ pour laquelle le système linéaire en représenté sur la figure 4.7 devÎent singulier.

II

, ... .,.

Il-analyse

{

V=

Ll Z

z = Pli<=>

57

(1- P -1LlJ(l'!z) =(OJ°

Figure 4.7- Illlelprélatioll de la valcllr singlllière structurée

4.3.2. Propriétés de la valeur singulière structurée! Les propriétés suivantes peuvent être démontrées très facilement. Elles permeltent de se familiariser avec cet outiL

Cette propriété découle directement de la définition. A noler toutefois que ~l ê (p) peut être nulle sans que P soit nulle (exemple: p:::;: j el

là = {(5 ER}) : dans

le

cas général, J.Lê (p) n'est donc pas une norme.

Démonstration. Elle est semblable à celle du théorème du petit gain. Pour tout ~ tel que cr(Ll) < lIcr(P) , cr(LlP)
= ~v dillg {cr(p)-I,O, ... O }V*.

Alors det(J -,1

p)

°

et

a(,Cl) = lIcr(P).

J.LlI_1 (p)~ a(p). P3) Si

où

PR(P)

Donc

J

f!2 est appelé "rayon spectral réel"; en posant P

nale ou sous forme de Jordan, on a en effet det

(I

LlP)

T AT- 1 • où A est diago-

IT(l-(5À;),

d'où le ré-

sultat. P4) Si

:!

f!J

Suivant le temps dont on dispose. on peut accon1cr plus ou moins d'importance à celle partie. el retenÎr simplement que le calcul de J.L csl un problème dîfricilc, qu'on remplace pur la recherche d'une borne supérieure cl d'une borne inférieure.

58

Commande l/:f.l e1ll-analysc : des outils pour la robustesse

P (même démonstratÎon). Considérons à présent 2 ensembles de matrices ~tI c ~b • Dès lors que ces 2 en-

où plP) est le rayon spectral de sembles vérifient ~2 ç; ~tI

C ~!J ~

Ll] . et que la recherche d'un minimum d'une

fonction sur un ensemble plus large ne peut conduire qu'à réduire sa valeur, on dédUÎt de la définition la propriété suivante:

P5) '\1 P E

C hk , si Ll/l c ~/J' Pn(p)::; ~~Jp)::; ~b\,,(p)::; cr(p)

En pratique, sauf dans des cas simples tels que ceux ci-dessus, le calcul de

flê (p) est un problème à complexité non polynomiale [BYDM]. On peut par contre chercher à obtenir un majorant el un mÎnorant de J.lb\ (p), en affinant Pencadrement qui vient d'être obtenu. Définissons pour cela les ensembles suivants:

D

= diag {dtlkl ...., dqIkq' Dl ....' Dp Dl ...., ., D·1

di ER; di> 0 .• D!1 E CCi XCi

= D·1* > 0

} •

•

G = r 0= ding (Okl ,'" 0k q ' 0,,. .. Op 0CI"" OC, G i E CrîXfi : G i = G j *

l

U={UELl;U·U=UU+=I k

Q = {L1E Ll; L1/A; = Ai A/ = 1k)

;

!(4.J7,(l)

D~'" >0 1

D!1

l

}

0; E[-l; + 1]; Ej

(4.17.b)

(4.17.c) (4.17.d)

L'ensemble D est constitué de matrices D hermitiennes définies positives, qui commutent avec toute matrice L1 de Ll : D L1 = Ll D . L'ensemble G contient des matrices hermitiennes (non définies (l priori) dont les seuls éléments non nuls correspondent aux blocs réels de Ll . L'ensemble U est constitué des matrices unitaires de Ll . Il est contenu dans l'ensemble

(D, L1)E DXLl :

On a alors, pour tout det de sorte que

Q . qui est lui aussÎ sous-ensemble de Ll .

(! - L1 p)= det V- D- 1L1 D p)= del V- Ll D P D- 1 )

~l~ (p) Pà (D P D- 1 }:; cr {D P D- 1 ). On a donc:

P6) '\1 P E

Ck}(k,

PA (p)::; min -

DED

cr (0 P D- 1 )

La recherche de la borne supérieure donnée par la proprîété P6 peUl se faire en remarquant l'équivalence des propositions suivantes:

~-ilnillysc

59

D: cr (D PD- 1 ):::-; a :3 D E D: 1(D-1 p* D D P D-I)~ a 2 :3 D

E

:3DED: D- 1P·D 2 PD- 1 _a 2 / ~O 2

(4.18)

2

3DED: P*D p _a D2:::-;0 :3D'ED: P·D'P _a 2 D':s;O On peut donc rechercher une borne supérieure de J.IQ. (p) en résolvant le problème d'optimisation suivant: Il_A (p)

$ CL •

avec a"

= min

a sous les contraintes:

(4.19.11)

DeD

a

~O

(4.19.b)

2

(4.19.c)

p"DP-a D:S;0

On peut noter que pour a fixé, l'inégalité (4.19.c) est une inégalité matricielle linéaire (LMI) en D, tandis que pour D fixé, a est obtenu en calculant la valeur propre qui intervient dans la deuxième des propositions (4.18) : le problème d'optimisation (4.19) est ainsi un problème dit "quasi-convexe", de sorle que tout minimum local est aussi global [YoND].J Toutefois cette borne supérieure ne fait pas la distinction entre les incertitudes réelles ou complexes. Dans le cas où /}. incorpore des blocs réels, elle est donc en général de mauvaise qualité puisqu'elle les assimile à des blocs complexes. L'utilisation conjointe des ensembles D et G permet de l'améliorer. On peut en effet rechercher une borne supérieure de Il Il (p) en utilisant la propriété suivante [FaTD, YoND], dont la démonstration est reportée en annexe de ce chapitre:

Il Il (p) :s; ~ .. avec

p.

=

min

~ sous les contraintes:

(4.20.a)

DeD,Gc:G ~~O

(4.20.b) 1

p" D P + j (C P - p" G ) - (j D :s; 0

(4.20.c)

Là encore, pour (j fixé, l'inégalité (4.20.c) est une LMI en D et G, tandis que pour D et G fixés la recherche de P se résout par un simple calcul de valeur 3

La restriction à des matriœs D > 0 ne modifie pas la borne supérieure obtenue. En dfet, toute matrice complexe D Înversible peul s'écrire sous la forme

D =U R avec R =R- > 0, et U unitaÎre

(U· U= UU· =1k ), On a alors. d'après la défini lion IllCIllC des valeurs singulières: cr(DM D-l)=a(u RAI R-1U-)=a(u Ri\! R-l)=cr(RM R-l)

60

Commande H~ ct Il-analyse: des outils pour la robustesse

propre: le problème d'optimisation (4.20) est lui aussi un problème quasi-convexe. Pour déterminer une borne inférieure, notons que, pour tout (U,~) EUX!1 det (/ -

~ p) = det (/ - ~ U,. U p) = det (/ - ~' U p)

(puisque les matrices U sont unitaires), avec:

Il est donc équivalent de chercher ~ annulant det det (l-~'U

p). On a donc

~.~Jp) = ~à(U

(I - ~ p)

ou ~' annulant

p);?: PR(U P), et par conséquent:

Malheureusement, le calcul de celle borne inférieure correspond à un problème d'optimisation qui comprend de nombreux maxima locaux. En utilisant à présent l'ensemble Q , on note que:

celle dernière inégalité provenant de ce que la multiplication par Q n'affecte pas la norme des blocs complexes (pleins ou scalaires répétés), mais peut diminuer celle des blocs réels. Dès lors :

avec cr(~') ~ cr(~) . On a donc 1/ ~là (p) ~ 11 ~à (Q p). et donc ~à (Q

p) ~ ~à (p) .

Par conséquent:

On peut noter que les ensembles U et

Q

conduisent à des propriétés similaires,

~~ (P) étant invariant par multiplication par toule matrice de

U

mais non par toute matrice de Q. L'intérêt de l'ensemble Q est qu'il est prouvé [YoDo] que l'inégalité dans P8) est en fait une égalité, ce qui n'est pas toujours le cas avec U . Un algorithme permettant de déterminer un maximum local du 1cr membre de l'inégalité P8) est décrît dans [YoDo]. Il est intéressant de noter que de la matrice

Q

conespondant à ce maximum, on déduit immédiatement une matrice ~ assurant la singularité de 1 - ~ P en posant ~ = k Q, avec k ~

= ± (p R (Q p»)-1 , le

signe de k

A

étant celui de la valeur propre de Q P qui correspond à P R (Q P) . On a en effet:

Il-analyse

6\

Remarque: la matrice ~ a tous ses blocs complexes de norme égale à k , et lous ses blocs réels de norme infériellre ou égale à k . Cela signifie que dans les analyses de robustesse menées dans les paragraphes suivants, les lermes réels d'une matrice d'incertitude déstabilisante ne sont pas forcément tous situés sur les bornes de leur intervalles d'incertitude respectifs.

4.4. Robustesse de la stabilité: analyse structurée 4.4.1. Généralisatioll du théorème du petit gaiJl De la définition de ~Q (p) on déduit le théorème suivant [Day, ZhDG], qui fonde le principe de la JI-analyse:

Théorème 4.2 - Si H(s) n'a que des pôles à partie réelle négative, le système de la figure 4.1 est stable pour toute incertitude

~(s)

du type (4.12) telle que

Il ~(s) lico < a si et seulement si : (4.21) Il Démonstration. D'après la définition de ~ Q (M (jw)) , la condition (4.21) est équivalente à :

'vi ~(s) tel que Il ~(s) I C() < a, V 00, det (1

-

~(joo) iV! (joo)) ;: 0

de sorte que si elle est vérifiée, le système linéaire

VU) = ~(joo) \'(1) n'a d'autre { z(t) = A1 (joo) v(t)

solution que (::(1) , v(t)) == (0,0). Réciproquement, s'il existe (ûo telle que ~l~(Atf (jooo)) = qu'il exÎste ~o tel que cr(~o)

~(jooo)=~()

et

= p-l

et det (J

a(~(joo))~a(~(jooo))

det(J - ~(jOOo)M (jOO O ))

:

-

P> a-l,

= o. Tout ~(s) 11~(s)ll<1J =p-I
[\0 A-f (jOO O ))

vérifïe

cela signifie

le système oscille à la pulsation

tel que annule

00 0 •

Basée sur le théorème 4.2, la ~l-analyse consiste à évaluer un réel positif

il ' le

plus faible possible, qui soit un majorant de ~l~(iVl(s)) sur "axe imaginaire. La procédure usuelle consiste à choisir un ensemble suffisamment dense de valeurs de

00,

et à calculer une borne supérieure de ~Q(!l1(joo)) pour chaque valeur choisie, en utilisant (4.19) ou (4.20) : on prend alors pour ~ la valeur la plus élevée obtenue.

62

Commande Hw et f.l-analyse : des outils pour la robustesse

De la sorte, la robustesse de la stabilité est assurée pour toul L\(s) de norme H <Xl inférieure ou égale il jI-1 . Lorsque la matrice L\(s) incorpore des incerlÎludes réelles (5 i • on en déduit notamment que le système reste stable pour toUl (5 i de valeur absolue inférieure ou égale à jI-l : on affecte ainsi un intervalle admissible il chaque paramètre.

4.4.2. Exemple élémentaire Considérons un système de fonction de transfert K / p , placée dans une boucle de contre-réaclion de gain 1. Nous supposerons que la valeur nominale de K est égale il 1, mais qu'elle esl entachée d'incertitude, soit: K=l+ab,

a>O,

(4.22)

SER

Le schéma d'analyse correspondant est donné sur la figure 4.8. On effectue facilement les calculs suivants: -Cl

M (s) = - s+l Sachant que SE

avec

L\(s)

8

d'où

det{I-M(jm)S)

1 +_{l_5 jm+ 1

R , on a 2 cas possibles suivant la valeur de m :

-si m=O, det(1-A1(jw)0)=0 pour 0=

l/a,onadonc /lê(M(jO»)=a

- si m:;t: 0 , det (1 - M (jm)S)-# 0 quel que sail (5. on a donc /l6 (Jllf (jm») = O. La courbe correspondante esl donnée sur la figure 4.8 : /lê (M (jm») étanl majoré par

a, on en déduÎt qu'il y a stabilité pour tout 0 dans l'intervalle ] -1/ a ; 1: a [.

a

1

Iln (M{j{tl»)

1

(u

o --r~-----;;>Figure 4.8 - Boucle d'assel1'issCIIWlIlll1'eC incertitude paramétriql/e

Remarque. Deux commentaires peuvent être faÎts il partir de cet exemple: - on note toul d'abord que la

~L

-analyse ne donne pas accès au domaine de

Il-analyse

63

stabilité complet (un calcul de la fonction de transfert de l'asservissement montre qu'il y a stabi1ité pour tout K > 0, donc pour tout El dans l'intervalle ] -II CI ; + 00 [). Les intervalles déterminés par )l-anaIyse sont en effet les plus grands intervalles centrés sur la valeur 0 et contenus dans le domaine de stabilité. Généralisons cette observation: dans le cas général d'un système à plusieurs paramètres, le résultat de la ~l-analyse sera le plus grand hyper-reclangle centré sur l'origine et contenu dans le domaine de stabilité. - la courbe donnant ~l A (M (j(ù») en fonctÎon de (ù est ici discontinue. Une discussion a ce sujet est reprise le paragraphe suivant. 4.5. Quelques réflexions sur la mise en œuvre

Comme le montrent les exemples du paragraphe 4.1.2, l'extraction dcs incertitudes pour obtenir la représentation de la Figure 4.1 n'est pas toujours immédiate. Dans le cas où le modèle du système est affine en les paramètres incertains, une méthode systématique d'extraction a été proposée par Morton [Mor, ZhDG)). Pour un modèle non affine, il n'existe pas à notre connaissance de solution définitive, dans la mesure où les algorithmes proposés notamment par [BeCh], [LTBSJ, [ChDe], rBec], [Fon] ne garantissent pas que la matrice d'incertitudes Ll(s) soÎt de dimension minimale. Par ailleurs, la question de la réduclion d'une LFT, c'est-à-dire de l'obtention d'un modèle dans lequel les paramètres seraient répétés un nombre de fois moins important, a été notamment abordée dans [WDBG, WoGG, BeDG, HVDE]. Il faul rappeler néanmoins que toule association de LFT est aussi une LFf [ZhDG). Lorsqu'il esl possibJe de décomposer le modèle du système en plusieurs blocs, soit affines en les paramètres incertains, soit d'ordre en s faible, il est assez simple de procéder à l'extraction en truvai11ant sur chaque bloc séparément. puis en rassemblant l'ensemble (on trouvera dans [Fon] l'extraction des incertitudes pour tous les modèles usuels du premier ou du second ordre). Lorsque la matrice .6.(s) incorpore des incertitudes réelles, )l!! (M (jm») peUL être une fonction discontinue de la fréquence, voire des données [PaPa, LeTi] - la première situation se présente, par exemple. lorsque les variations paramétriques sont telles qu'un pôle traverse l'axe imaginaire à une fréquence fhe. On constate également que lorsque l'analyse de robustesse incorpore des incertitudes sur des modes de résonance très pOÎntus, la courbe ~!! (M (jm») présente des pics très fins. Dans ces 2 cas, la recherche du majorant il, si elle est ef/'cctuée au moyen d'un simple échantillonnage en fréquence, peut conduire à sous-estimer gravement Ic maximum de /lA (M (jw)) donc à tirer des conclusions erronées quant à la stabilité. - En présence d'incertitudes réelles, on peut appJîquer une procédure de régularisation. Ainsi. Packard el Pandey [PaPaJ proposent de remplacer chaque paramètre réel 0i par un paramètre complexe 0i + a E;, Oj ER, Ei E e,les variations de Bi' 1

et

Ei

étant indépendantes. On évalue ensuÎte la valeur singulière structurée pour le

64

Commande Ht:t:l el Jl-analysc : des outils pour la robustesse

problème modifié par l'adjonction des Ei' Celle-ci est nécessairement une fonction continue des données et de la fréquence, et son maximum tend vers le maximum de ~ Q (M (jrn)) quand a tend vers O. Le paramètre de régularisation a est choisi faible (a ::::: 0,01 par exemple) pour limiter les incertitudes complexes artificiellement introduÎles à une valeur "raisonnabic". Il faut néanmoins remarquer que l'incorporation des Ej double la dimension de la matrice des incertitudes paramétriques. D'un point de vue pratique, on peut retenir qu'il est peu recommandé de travailler avec uniquement des incertitudes réeJJes. Souvent la présence d'une incertitude complexe suffit à donner à Il!l (M (jro)) une allure suffisamment régulière. Enfin différents travaux, qui sortent du cadre de ce cours, ont été proposés pour éliminer l'échantillonnage en fréquence: dans certains d'entre eux [Hel, FrDB] la fréquence est traitée comme un paramètre incertain, et intégrée à l'analyse de robustesse. D'autres approches [MaDo, VaDu, FeBi] consistent à rechercher un intervalle de fréquences sur lequel les facteurs d'échelle D el G calculés pour une pulsation ct une valeur ïI données restent valables.

4.6. Robustesse de la position des pôles

Un objectif plus ambitieux que la stabilité est de chercher à garder les pôles du système bouclé dans une région n du plan complexe (n -stabilité), correspondant par exemple à une valeur maximale -a < de la panie réelle et un amortissement minimal ç des pôles complexes (figure 4.9). L'analyse est une simple extension de celle du paragraphe 4.4 [FFDM] : le domaine autorisé pour les pôles est limité non plus par "axe imaginaire mais par la frontière an de n, et c'est donc sur an qu'on teste la valeur singulière structurée. On obtient ainsi le résultat suivant: Théorème 4.3 - Si H(s) et Ô(s) ont tous leurs pôles dans n, le système de la figure 4.1 a tous ses pôles dans n pour tout Ô(s) du type (4.12) telle que

°

IIÔ(s)llcn < ~ si et seulement si :

(4.23) Il 4.7. Robustesse des marges de stabilité

L'incorporation d'incertitudes complexes dans une boucle d'asservissement permel de garantir des marges de stabilité pour la boucle où elle est introduite: considérons par exemple le schéma de la figure 4.10, où A(s) est du type du type (4.12) et représente les incertitudes physiques, E est complexe, et Sc ER. En rassemblant les 2 incertitudes, on conçoit que la valeur singulière structurée doive à présent être calculée relativement à l'ensemble:

1l1:=

{Ô'

= diag {A,

E} ; Ô E

Il : E E C }

(4.24)

~L-analyse

65

Im(.~) " ..----~~-------, :3

()

Q

-1 -2

-3 -"1

-3

-2.5

-1.5

-2

"1

·0.5

0

Re(s)

Figure 4.9 - Domaine requis pOlir le placemefll des pôles

Supposons que soit vérifiée la condition suivante: (4.25) où M (s) est définie sur la figure 4.10. Alors le système de la figure 4.10 est stable pourlout i.l(s) de type (4.12) tel que

Ilil(s)lIco


M(s)

L---------l

K( s)

,....-------....1

Figure 4. JO - lnco1JJOrat;all d';ncertÎmdes complexes en entrée du sJ'stème

Or le transfert entre la sortie et l'entrée de l'incertitude complexe s'écrit: (4.26) où Ses) est la fonclion de sensibilité du système. D'après le théorème du petit gain (paragraphe 4.2), on peut déduire du résultat précédent que pour tout il(s) du type (4.12) tel que lIà(s)lIro < y, donc que:

Sc

Ses) a une norme fI ~ inférieure ou égale à y-l,

66

Commande Ha::; ct 1. H.mnlyse : des outils pour la robustesse

La quantité l' K(jro) GUoo) 1 représente la distance entre un point du lieu de Nyquist et le point critique (-1. 0), dont le minimum est la marge de module (figure 4.11). On peut donc conclure que la marge de module est au moins égale à Sc Y , et ce pour toutes les incertitudes physiques vérifiant IIA(s)lla'"J < y :1

lm

-1

0

----~--~rA~r-------~---~Re

II-KGI - K( jet)) G (jrt»

Figll1ë! 4.1 J Marge de module gaf(mlie

Dans le cas d'un systèmc présentant plusicurs boucles de contre~réaction. on peut généraliser la démarche en incorporant une incertitude complexe de ce type dans chaque boucle. L'analyse permel alors de garantir une marge de module dans chacune d'elles simultanément.

4.8. Robustesse d'une réponse fréquentielle On peut enfin étudier par ~L-analyse si l'une des réponses fréquentielles de l'asservissement respecte un gabarit spécifié (tel que ceux qu'on spécifie en synthèse H a'"J standard). Supposons par exemple qu'on impose au transfert T y, el (s), entre une entrée (ou un vecteur d'entrées) el et une sortie (ou un vecteur de sorties) )'] de l'asservissement, de respecter la contrainte: (4.28)

OÙ HI] (s) est une fonction de transfert scalaire dont l'inverse du module joue ]e rôle de gabarit. Nous supposerons dans la suite que el et YI sont de même dimension

. \ Bien que nc constituanl pas une régularisation au sens mathêmaliquc de ce terme, l'incorporation de celle incertitude complexe a en généml pour effet d'adoucir la courbe de Il A(M (jm)) .

Il-analyse

67

On construit alors le schéma-bloc de la figure 4.12.a, en isolant les incertitudes physiques d(s) , que nous supposerons normalisées CIId(s)llçr;> < 1 ), en incorporanl le filtre wi (s) , et en définissant E(s) \1'] (s) YI (s). Il faut à présent assurer que le transfert de H' vers e présente une norme fI cr:: inférÎeure ou égale l, et ce pour tout A(s) tel que IIA(s)IICil < 1 . D'après le théorème du petit gain (paragraphe 4.2), cette condition est obtenue si el seulement sÎ le système de la figure 4.12.b est stable pour toul A l (s) tel que f (s )II~ < 1 . où A f (s) est une incertitude fictive non structurée bouclanl e sur w. Si on définît alors la matrice de transfert M (s) comme indiqué sur la figure 4.12.b, et qu'on calcule ta valeur singulière structurée relativement à l'ensemble: 11) •

Il.1

(4.29) on peut donc énoncer que (4.28) est vérifiée pour tout A(s) tel que et seulement si :

IId(s)llo')

< 1 si

(4.30)

a) Scltéllw pour la robllstesse du tramferl

de el l'ers YI

b) Schéma équimlem de robustesse de la stabilité

Figure 4.12 - Robustesse d'une répol/sc fréqu(!lIIielle

Comme dans le paragraphe 4.7, la valeur singulière structurée permet de transformer la condition de robustesse de la performance (4.28) en condition de robustesse de la stabilité, et de tester ceLLe condition.

Commande H'XJ et Il-analyse: des outils pour la robustesse

68

4.9. Exemple: asservissement de position Nous reprenons dans ce paragraphe l'exemple traité au paragraphe 2.6 du chapitre 2. Nous allons étudier les propriétés de robustesse du système muni du corrccteur calculé par l'approche Hm standard.

4.9.1. l1lcertitudes et forme LFT du moteur Nous allons supposer que le moteur est soumis il 2 typcs d'incertitude: - des incertitudes paramétriques sur le gain et la constante de temps principale - une dynamique négligée, correspondant il la constante de temps électrique. La fonction de transfert du processus est donc la suivante: K

G(s)=-----

l'

s(1+1:s)(l+r's)

(4.31 )

< 1:;n[\x

La dynamique négligée est lout d'abord modélisée, comme expliqué au paragraphe 4.1.2, en écrivant:

G(s)

Compte tenu de la valeur de la constante de temps négligée, on choisit

, tmax=

10-'-s.

Supposons de plus que les paramètres K et

Ko+KI OK'

K t

1'0

soit: K

E

+ 110, .

Ko rD

= 240rd/sN 15-10-3

]180; 300 [rd/sN;

tE

S ,

,

1

présentent ± 25% d'incertitude:

KI =60rd/sN, 1']

=3,75.10-3 s,

OK E]-1:+1[

0,

E

]-1; +1 [

]11,25.10-3 ; 18.75.10-3 [s.

Le processus avec les seules incertitudes paramétriques a pour équations d'état:

(4.32)

Posons:

Il-analyse

- ZK (1)

W(t)

-z

d dt

(1) =

l'

La

2Î!n1C

69

équation s'écrit :

(4.33) de sorte que la fonction de transfert peuL être mise sous la forme LFf de ln figure 4. J, la partie inférieure, que nous noterons Hp (.'1), étant décrite par les équations d'état suivantes:

. de s 'ccn ~. vant: L\A( s) = L\A J1 = (80K . d" IOcertltu el 1a matnce En ajoutant la dynamique négligée, et en bouclant le système avec le correcteur déterminé au chapitre 2, on obtient une nouvelle LFT (figure 4.13), avec une matrice d'incertitude qui siécrit : (4.35)

,.

y

Figure 4.13 - Forme LFT du système bOl/clé

70

Commande Hm ct Il-analyse: des outils pour la robustesse

4.9.2. Robustesse de la stabilité Le calcul d'une borne supérieure et d'une borne inférieure de ~l ~ (AI! (Jill)) conduit aux courbes de la figure 4.14. La borne supérieure présentant un maximum de l'ordre de 0,401, on en déduit que la stabilité est garantie pour tout

11~(s)ll11';) < 1/ 0,401 , donc pour le domaine d'incertitudes suivant:

qui contient les incertitudes paramétriques initiales et la dynamique négligée.

bornes 5upérillurc 01 inférieure tle mu

0.5

0.'1

0.3

0.2

0.1

o •

10

10

1

.

10' pulsation (rtlls)10

borne supérieure de mil en w ;; 0 : 0.25

Figure 4.14 - Robustesse de la stabilité

4.9.3. Robustesse de la positioll des pûles A l'aide du même schéma, on peut chercher à garantir que les pôles du système bouclé reste dans un domaine Q tel que celui définÎ sur la figure 4.9 ( .Q -stabilité), en calculant Jl~ (M (s)). pour s parcourant la frontière de ce domaine (paragraphe 4.6). Il faul bien sûr que le modèle moyen (correspondant à K 0'

10'

et sans dyna-

mique négligée) ail tous ses pôles dans .Q . Ceux-ci sont les suivants: Partie réeJle 48,14 - 146,9 - 982,7 -1000

Partie imaginaire ± 9,16 ±39,9

a o

Pulsation propre 49,0 152,2

Amortissemen l 0,98 0,96

l-1-ana1yse

71

En choisissant -a =- 30 et ç =0,3 , on obtienl la courbe de la figure 4.15. La borne supérieure présentanl un maximum de l'ordre de 0,938 on en déduil que 1'.0 stabilité est garantie pour tout IILl(S)llm < 1/0,938, donc pour le domaine d'incertitudes suivant: 1

K

E

]176,0; 304,0 [rd/sN

't E

]11,00.10-3 ; 19,00.10-3 [5 et

IILl, (s)IIaJ < 1,06

bOlnes 5upérieuro el inférieure de mu

ta'

2 10 bOlIIo supariCUlt! dl.) mu en w

10' pulsillîan (rtl/s) 10'

=0 : 0.57

Figure 4.15 - Robl/stesse de /a position des pôles

4.9.4. Robustesse de la marge de module Le modèle moyen présentant une marge de module de 0.74, nous allons chercher à garantir une marge de module supérieure ou égale à 0,5 pour le système incertain. Comme expliqué au paragraphe 4.7. on modifie pour cela le schéma de la figure 4.13, en ajoutant une incertitude complexe (figure 4.16). La matrice d'incertitude est maintenant: (4.36) On obtient les courbes de la figure 4.l7. La borne superIeure présentant un maximum de l'ordre de 0,908, on peuL garantir une marge de module au moins égale à 0,5/0,908 = 0,55 , pour tout IILl(S)IL~ < 1/0,908, donc pour le domaine d'incertitudes suivant: K

E

]173)9; 306,1 [rd/sfV

1:

E

JI0,87.10-3 ; 19.13.10-3

[5

et

liAI (s)IL < 1,10

72

Commande HcfJ ct Il-analyse: des outils pour la robustesse

Figure 4.16 - Schéma d'analyse de la robustesse de la marge de module

uorneS stJPëriCUIEl 01 infëriaurl! da mu

O"~o'

10'

10' pulsation (rd/5)

10'

uorne supÎ!riouro da mu en w .. 0 : 0.25

Figure 4.17 - Ralms/esse de la marge de modllle

4.9.5. Robustesse du suivi de consiglle La ligure 4.18 montre la réponse fréquentielle du transfert entre l'entrée de référence r et l'erreur d'asservissement E pour le modèle moyen. On peut chercher à garantir pour le système incertain un gabarit tel que celui représenté sur celte même figure, qui correspond à la fonction de transfert :

2,5.'1 + 1 "'2(s)

S

+ 100

(4.37)

Comme expliqué au paragraphe 4.8, on modifie pour cela Je schéma de la figure

~~analysc

4.13, en ajoutant une dynamique négligée fictive (figure 4.19), avec pondération. La matrice d'incertitude est maÎntenant :

1I'2

73

(s) comme

(4.38)

reponSIl nCminill!l Dt gilbmlt choisi 10' , . - - - - - - . - - - - - , - - - - . . . , . . . . - - - - ,

10°

~~--~---~---~--~ 1010" 1 10' 10' 10' 10 PUl5ilticn ('dis)

Figllre 4.18 - SI/li'; de cons;glle f/ominal. et gabarit cho;si

Figure 4.19 - Schéma d'analyse de la robmlesse dl/ sllivi de consigne

On obtient les courbes de la figure 4.20. La borne supérieure présentant un maximum de l'ordre de 0,994, donc inférieur à 1, on en conclut que le gabarit Înitialement choisi sera effectivement respecté, ct cc pour tout pour le domuine d'incertitudes suivant:

116.(s)ll<7) < 11 0,994

donc

74

Commande Hrr; eljl-analyse : des outils pour la robustesse

K

E ] 179,6;

300,4 [rd/sN ;

1" E

]11,23.10-3 ; 18,77.10-3

[s

et

liAI (s)ll", < 1,01

bernes supèlicur() cl inlârieura de mu

0.7

10' pulsalion (rd/5) 10· borna supârieuTo de mu cn w '" 0 : 0"25

Figure 4.20 - Robustesse du suivi de consigne

Remarque 1 : si dans ce problème la valeur maximale 11 de la borne supérieure de ~l ~ lM (jro) est supérieure il l, on ne peut garantir le gabarit proposé mais on peut garantÎr le gabarit plus large ft IIw2 (jro)1 ' pour un domaine d'incertitudes réduit dans un rapport il . Remarque 2 : par ailleurs, on prendra soin, dans les Il-analyses, de toujours calculer la valeur de 1l~(M(jro)) en 00=0. En effet 1l~(M(jw)) peut présenter une discontinuité en ce point lorsque les variations paramétriques amènent un pôle réel il franchir l'axe imaginaire (voir l'exemple du paragraphe 4.4.2).

Annexe: borne supérieure de Il ~ (p) Nous allons démontrer la borne supérieure (4.20). Rappelons que pour l'établir on considère les deux ensembles de matrices définis par (4.17 .a) et (4.17 .b) reportés ci-dessous:

~HlI1alyse

75

On a alors, pour tout (C,Ô)EG x 8: CÔ=Ô*C.

On en déduit que pour tout

(Il, z)

\l=

solution du système

z• (C Ô

Ô" G ) z

{

Ô -

"-

z= PI'

=0

<=> z.*Gv l',oGz =0 <=> v,o p,o G l' - v" G P l' = 0 et donc:

cette expression ayant pour but d'obtenir une expression où intervienne une matrice G , la présence de j permettant de conserver une matrice hermitienne. Par a iIJe urs , soit v).:::), ~I les vecteurs et la matrice de plus petite norme pour laquelle le système cÎ-dessus est singulier. Comme l') = Ll) P 1'\ • on peut écrire;

1"" Il, 4'~, P", Il, ,; 0'("" III P", Il,: 1l~I(Pl Il p\',II, rinégalilé provenant de la propriété (1.5j) de ln valeur singulière supérieure, et la dernière égalité de la définition de J.l~ (p). On il donc:

On sait enfin que sÎ H est une matrice hermitienne, ses valeurs propres sont réelles. et la plus grande d'entre clles I(H) vérifie: x" H x -A(ll) max---= . x,,",o

x"x

En rassemblant ces 3 résultats, on obtient:

Si on remplace à présent P par D P D- 1 ,où D est une matrice quelconque de

D, on obtient:

76

Commande lltfJ cl Il-analyse: des outils pour la robustesse

celte inégalité étant vérifîée pour tout

(D, G) E D x G

En reprenant le raisonnement ayanl conduit à la borne supérieure (4.19), soit le minimum sur (D,G)E

DxG

p*

du second membre de J'inégalité précédente. Alors:

cette dernière inégalité étant obtenue en posant D' = D 2 On obtient ainsi la borne supérieure (4.20).

E

D

el G':= DG DE G

.

Chapitre 5

POLIr aller plllS loin ...

Dans ce cours, nous avons présenté des méthodes de synthèse et d'analyse qui, utilisées conjointement, fournissent des outils permettant d'obtenir des commandes performantes et robustes dans un grand nombre de cas pratiques. L'objet de ce chapitre est de donner au lecteur une ouverture sur des techniques voisines ou qui constituent un prolongement naturel, et en particulier sur la ~1 -synthèse, qui tente de réaliser de façon "automatique" l'association de la synthèse Ha;) et de la ~l-analyse.

5.1. Le problème de la "synthèse robuste" 5.1.1. De la synthèse Ha;) à la

jJ

-synthèse

Au vu des développements des chapitres 2 à 4, on peut être tenté de chercher une réponse au problème suivant: peut-on déterminer un correcteur qui garantÎsse que la norme H ctJ d'un système bouclé reste inférieure à un niveau y donné, ce système étallf soumis à différentes illcertitudes de modèle? Pour aborder ce problème, on considère le schéma-bloc de la figure 5.1.a, qui combine le schéma de la synthèse H co standard (figure 2.1) et celui de la ~l-analyse (figure 4.1). Comme au chapitre 4, les incertitudes Ll(s) ont la structure générale: Ll(s)

::=

diag

{Lll (s), ... ,Ll q (s), 0]1 rJ ' ••• ,0 ri rr ' El/Ci"" Ll i ( S) E RH 0 i E R ; Ei E C U]

, E (.' 1c,_

}

(5.1 )

;

ct nous supposerons qu'ellcs vérifient les conditions de normalisation:

En supposant de plus que le niveau y à satisfaire est égal à 1 (on peut toujours se ramener à ce cas en intégrant la valeur de y dans la matrice P(s)), le problème est Je suivant: déterminer un correcteur K(s) tel que la norme H vers e soil Înférîeure à l, pour tout Ll(S) du lype (5.1) telle que

Cf)

du transfert de

\1'

IILl(.'I)IL < 1 .

Comme dans J'analyse de la robustesse d'une réponse fréquentielle (paragmphe 4.8), le théorème du petit gain permet d'établir que cette condition est obtenue si et

Commande Hoo et j.1-analyse : des outils pour la robustesse

78

seulement sÎ le système de la figure 5.I.b est stable pour tout b. f (s) lei que

Il.6 l \l' .

(s)lICf.) < 1 , où b. f (s) esl une incertitude fictive non structurée bouclant c sur Celle condition est cHe-même équivalente à : (5.3)

où l'ensemble L1," (défini comme en (4.29)) tient comple simultanément de la présence de b. l (s) et de la structure de il(s) . Déterminer un correcteur vérifiant (5.3) est appelé un problème de Il-synthèse [Doy]. Malheureusement, en dehors de cas simples, il n'a pas de solution connue à l'heure actuelle.

Z

\'

\1

.....

e

w e

y

w

Il Il

a - Problème de synthèse robuste

b Mi,\"(! en/orme pour la ll-sy11lltèse

Figure 5.1 - Approche de III synthèse robl/ste par la p-symhèse

5.1.2. Approche de la Il*syllthèse par la D-K itération Or, pour chaque valeur de ffi, l'inégalité suivante est vérÎtïée :

~LQ,,(F/(P(jffi), K(jffi))) ~

cr{olll FI (PUffi), K(jW))DI!)-I)

(5.4)

où DI!} est n'importe queIle matrice inversible qui commute avec toute matrice de la forme diag tb.(jro), il f (jro)

J. Remarquons, au vu de la nOle 3 du chapitre 4, que

l'on n'esl pas obligé d'imposer à DIJJ d'être hermitienne. Un problème plus réalisle est donc le suivant: Problème 5.1 : Déterminer un correcteur K(s), et une matrice D(s) E RH Cf.) telle que D(S)-lERHCf.) commutant avec toute matrice dîag {il(s),ilr(s)} que:

,tels

Pour aller plus loin".

79

En effet, la condition (5.5) assurera que:

Notons que la contrainte d'avoir D(s) et D(s)-I appartenant à RHm est nécessaire pour qu'il existe un correCLeur stabilisant la matrice de transfert qui apparaît dans (5.5). Là encore, ce problème n'a pas de solution connue en général, mais on peut tenter de le résoudre en cherchant alternativement les matrices K(s) el D(s) : en effet, calculer K(s) li. D(s) fixé n'est autre qu'un problème H ~ -standard, correspondant au schéma-bloc de la figure 5.2 ; à K(s) tixé, la recherche de D(s) peut être conduite en calculant la borne supérieure (5.4) pour un ensemble de valeurs de (ù choisi a priori, puis en interpolant les matrices Dm obtenues par une matrice de transfert stable et à inverse stable.

Figure 5.2 - Problème H

Ct)

-standard résolu lors des D-K iléra/iOJlS

On obtient ainsi la procédure suivante, appelée D - K itération [Doy, ZhDG] : i) choisir un ensemble inilial de matrices DIlJ (par exemple égales à la maLrice identité) ii) interpoler les matrices DIU par une matrice de transfert D(s) stable et à in· verse stable

iii) résoudre le problème HOC) -standard (5.5) à D(s) fixé

Iv) pour un ensemble de valeurs de

Ol

choisi a priori, calculer Dw telle que la

borne supérÎeure a(DhIF/(P(jOl),K(jOl»)Dw blème quasi~convexe du type (4.19»

l

)

soit minimale (il s'agit d'un pro-

v) comparer les matrÎces Dw avec celles obtenues à J'itération précédente: si elles sont proches (au sens d'un critère donné), arrêter; sinon retourner à l'éLape ii). Pour examiner la convergence de celle procédure, on peut remarquer que:

80

Commande Hm ct ll-ana1yse : des outHs pour la robustesse

- le maximum sur ro de lu borne supérieure calculée à ment plus peLit que la norme obtenue à l'étape iii)

ré tape il') est nécessaire-

- s; Oll était capable d'intelpoler pmfaitemen! les matrices Dm' la norme H obtenue à l'étape iii) serait nécessairement plus petite que le maximum sur ffi de la borne supérieure obtenue à l'étape il') de l'itération précédente. On aurait donc l'assurance que la procédure converge vers un minÎmum local. Par ailleurs, le problème H co -standard résolu à l'étape iii) utilise une matrice tr)

d'interconnexion PD (s) qui comprend les matrices D(s) ct D(s)-l (figure 5.2) : l'ordre du correcteur obtenu par l'algorithme de Glover-Doyle (paragraphe 2.2) ou la résolution par LMl (paragraphe 2.4) sera donc égal à l'ordre de PD (s) , qui croît de façon polynomiale avec J'ordre de D(s). Le point qui pose problème est donc l'étape d'interpolation ii). En pratique, on se limite souvent à une interpolation grossière. de sorte qu'on perd toute garantie de convergence de la D - K itération. même vers un minimum local. 1 Il faut aussi noter que la procédure présentée ne prend pas en compte la présence éventuelle de paramètres réels dans ô(s) , puisque la borne supérieure (5.4) est aussi valable pour des matrices complexes. Une procédure utilisant des matrÎces D et G telles que celles définies par (4.17) a été proposée sous le nom de (D-G)- K itération [Vou]. Mais elle est plus lourde à meUre en œuvre. Une alternative plus simple a été proposée dans lT ASN]. Enfin ces procédures sont évidemment d'autant plus lourdes que le nombre d'incertitudes prises en compte dans .6.(s) est important. Une utilisation intelligente de ces techniques consiste donc à les employer avec un nombre d'incertitudes limité, en ayant pris soin de choisir celles qui sont les plus pénalisantes pour la synthèse. Après quoi on fera une analyse de robustesse beaucoup plus fine, la procédure de )1analyse développée au chapitre 4 ne présentant pas les mêmes inconvénients. On retrouve donc encore une fois que la mise en pratique nécessite de séparer les phases de synthèse et d'analyse.

5.2. Ouverture sur d1autres techniques Sur le plan méthodologique, ces dernières années ont vu un développement considérable des approches utilisant les Inégalités Mutricielles Amnes (LM!). Lorsqu'il est possible de formuler un problème d'analyse ou de synthèse avec des LM!, on obtienl en effet un problème d'optimisation convex.e (ou quasi-convexe), pour lequel des algorithmes efficaces (avec un volume de calcul qui est une fonction polynomiale du nombre d'inconnues) sont aujourd'hui disponibles fBoEI, NeNe]. Nous avons mentionné dans ce document que des problèmes tels que la synthèse H 00 ou le calcul de certaines bornes supérieures de )1 entrent dans ce cadre. Mais 1

Notons il cc sujet que, dans le clldrc d'une synthèse H cr: -standard, la procédure peut être utilisée Qvec des matrices Dé) diagonales constuntes [ACGB] : elle permet de trouver une pondémtion "optimale" cntre Jes différents couples entrée-sortie du critère H ~ .

Pour aller plus loin...

81

ces problèmes offrent un point de départ à bien d'autres: nous allons présenter brièvement certains d'entre eux dans ces derniers paragraphes.

5.2.1. Analyse et synthèse de systèmes LPV On appelle "système LPV" un système qui dépend Linéairement de Paramètres Variant dans le temps, et qui peut donc êlre représenté sous la forme:

(5.6)

où S(t)

(9 1(t), 9 2 (t), ...• 9 11 (t)

Y est un vecteur de panimètres dépendant du temps.

Lorsque les différentes matrices de la représentation d'état (5.6) dépendent de 9(t) de façon rationnelle, ce système peul être écrit comme la LFT d'un système linéaire stationnaire (décrit par la matrice P(s) sur la figure 5.3) et d'une matrice G(I) isolant les paramètres:

(5.7) On peUL chercher pour ce système un correcteur sous la même forme, c'est-ti-dire se présentant comme la LFr d'un système de matrice de transfert K(s) et d'une réplique dc la matrice e(t) (figure 5.3): ce COlTccteur s'adapte de lui-même à l'évolution des paramètrcs (Pac, ApOa, ApBG • ScEI]. L'analyse et la synthèse de ces systèmes peut s'exprimer HU moyen de LM! : ainsi la synthèse de la matrice K(s) peut s'exprimer au moyen de 4 LMI [ApOa] qui se présentent comme une généralisation des LMI (2.14) de la synthèse lI!f2 standard.

e

---1 )'

1+---

tV

li

Figure 5.3 Syslèull.' el corrcClcl/r LPV

Commande H:r" et Il-analyse; des outils pour la robustesse

82

5.2.2. Analyse et synthèse 111l1lti-critère

Plus généralement, "évaluation des performances d'un système ou la synthèse d'un correcteur peut se faire suivant différents critères mathématiques. Si nous considérons par exemple le système bouclé de la figure 5.4, on peut imaginer de chercher à satisfaire des contraintes prises parmi les spécifications suivantes: - le transfert entre

lt':r"

- le transfert entre

1t'2

et e:r" présente une norme H eL

el

lT.l

inférieure à un niveau 1 ctJ

présente une norme H 2 inférieure à un niveau 12

- le régime transÎtoire du système bouclé est au moins aussi rapide que la fonction e -at (avec ct> 0 ) - le système bouclé a tous ses pôles dans une région convexe du plan complexe (qui peut être une bande, un cône, un disque, un ellipsoïde, ou tOUle intersection de ces régions) - à tout instant la norme d'un signal intermédiaire (le vecteur des commandes par exemple) reste inférieure à une certaine valeur. pour toute condition initiale dans un ensemble convexe donné. Ces différents critères (dont la liste n'est pas limitative) s'expriment en effet par des LMI et peuvent dans certains cas s'étendre au cadre LPV. On trouvera un nombre important de critères avec leur mise en forme pour l'analyse eL la synthèse dans les références [Fol, ScGC].

Figure 5.4 - Schéma général de synthèse

Signalons pour finir que les LMI permettent également J'extension de la synthèse H par "Ioop-shaping au cadre multi-modèle: les résultats donnés dans [MiVi] permettent en effet de rechercher un correcteur unique, d'ordre fixé, assurant une norme H:r" inférieure à un niveau y pour un nombre fini de modèles. lt

CJJ

Chapitre 6

Exercices

C011 igés 4

Nous présentons dans cc chapitre J 2 exercices porlant sur la synthèse H <1J et la Il-analyse, qui peuvent être résolus à la main et servir de base à des séances de Travaux Dirigés. Les corrigés figurent à la lin du chapitre. , Exercice 1

Calculer les valeurs singulières de la matrice de transfert G(s)

s 11 .'1). -2/ s 2/s J/

(

Exercice 2

On considère un système de fonction de transfert G(s):::::

1 . On veut détermÎs+1

ner un correcteur assurant les performances suivantes: - suivi de consigne avec erreur statique inférieure à 1% Lemps de réponse de l'ordre de 3 s - marge de module au moins égale à 0,5 - gain entre la référence eL la commande inférieur à 2 pour tout ID. Concevoir un problème fI standard permettant d'assurer ces objectifs. Donner une représentation d'état du système en boucle ouverte sous forme standard. Vérifier que les 2 premières hypothèses requises par l'algorithme de GloverDoyle sont remplies. ct;)

Exercice 3 (suite de l'exercice précédent)

Un correcteur solution du problème précédent,l assurant y ::= 0,87 , est: K(s)

1,4 s + 1 .1+0,01

1 L'algorithme de Glovcr-Doyle fournil en fait un correcteur d'ordre 2 (ordre de ln représentatÎon d'étal du système sous fonne standard). Mais le deux.ième pôle est en -BD, el peut donc êlre négligé sans que cela affecte les perrormonces du système.

84

Commande Hr:.o cll. Hmalyse : des outils pour la robustesse.

Calculer les fonctions de transfert S(s), K(s) SCs) et K (s) Ses) G(s) . Analyser leur réponse fréquentielle. Comment modifier les pondérations pour atténuer le gain du correcteur dans les hautes fréquences?

Exercice 4 (suite et fin des 2 exercices précédents) Un correcteur solution du problème précédent,:! avec y = 1,11, est: ' 4 K( s) =

s+1 (s+0,01)(s+4)

Calculer les fonctÎons de transfert S(s); K(s) Ses) et K(s) Ses) G(s) . Analyser leur réponse fréquentielle. Le modèle nominal du système néglige une constante de temps secondaire, dont la valeur maximale est estimée à 0,25 s. La présence de celte constante de temps remet-elle en cause la stabilité de j'asservissement?

Exercice 5 On considère un système de fonction de transfert G(s) = - - - - - . On veut +0,1 s + 1 déterminer un correcteur K(s) dont la sortie s'ajoute à une perturbation b (voir figure 6.1). Le correcteur doit assurer les performances suÎvantes : - limiter la résonance du transfert entre b ct )' à 1,4. ~ ramener la pulsatÎon propre du système aux alentour de 0,5. - assurer des marges de stabilité correctes. Concevoir un problème H 00 standard permettant d'assurer ces objectifs.

Exercice 6 On reprend l'exemple élémentaire du paragraphe 2.3. Ecrire les LMI permcllant la résolution du problème. En déduire la valeur optimale de y et l'ensemble des matrices R et S admissibles. Discuter l'ordre du correcteur. Calculer la matrice X dans le cas d'un correcteur d'ordre 1\ puis d'un correcteur d'ordre O. Dans ce dernier cas, écrire la LMI permettant de le déterminer.

2

L'algorithme de Glover-Doylc fournit ici un correcleur d'ordre 3 (ordre de la représentation d'état du système sous forme standard) dom le pôle le plus élevé, comme précédemment, peUl être négligé.

Exercices corrigés

85

y + 0,1 s+ l Il

Figure 6. J

Slmet/lre de correctio/l (cxacÏce 5)

Exercice 7 SOÎt

1 P= (0

2 -2j

J. Calculer ~là (p) dans les cas suivants, et comparer les va-

leurs obtenues:

=C 2 - ~ = {dillg {8 1 ;8:J, 8),8 2 E C} - ~ {dÎag {8 J ;b 2 }, 81,8 1 ER} - f! := {diag {15 ; 81, 15 ER} A

>,.}

Exercice 8 Soit P =

- f!

(~ - :J. Calculer Il ~ (p) dans les cas suivants:

{diag

{o;8}, 15 ER}

- A:=. {diag {8;8}, 8 E C} Exercice 9 Soit le système linéaire d'équations d'étal:

{

'~1 = (1 +.8 1 )X1 + 02'~2 + /1 '\1

)' =

- .\( XI

+ (1 + 81 )'\:2

+ X2

)'

ExtraÎre les incertitudes, conformément au schéma ci-dessus, cn donnanl la présentation d'étal du système H, el l'expression de f! .

re~

86

Commande H~ el Jl-analyse : des outi1s pour la robustesse

Exercice 10

otl = (1 +O( )X I + 5)x 2 + Il Même exercice que précédemment, avec

{

+ (1 + 82 )X2

·\:2

XI

)'

x, + x2

Exercice Il Y(s) Meme exercIce que prece'cl emment, avec A

•

,

a=1+8.

U(s)

Exercice 12 On considère le système décrit par le schéma-bloc de la figure 6.2, avec

a=2+0 1l

,

g =l+o.~, 8 a ,OgER.

y

Figure 63

Figure 6.2 - Système lll'CC 2 incertitudes paramétriques

Forme LFT recherchée

Extraire les incertitudes 8(1,8 g , conformément au schéma de la figure 6.3, en donnant l'expression de la matrice de transfert fi Cs) et de la matrice A. On note A1 (s)

= fi zr (s) . Calculer

Déterminer par

~l-analysc

bilité est garantie. Tracer dans la plan

(a, g)

~l(M (jw)) correspondant à cette incertitude.

un ensemble de valeurs de a, g pour lesquelles la stale domaine de stabilité réel du système de la figure

6.2, et comparer au domaine déterminé par

~

-analyse.

Déterminer par ~ -analyse puis par calcul direct un ensemble de valeurs de pour lesquelles le pôle du système bouclé reste inférieur à -1 .

{l,

g

Exercices corrigés

87

Corrigé de rexercice 1 On calcule:

G(jre)G(-jro/

=~( 1re

1

-2

IÎ

2)

(1

1 -2J jre 1 2

=_1 (2 0J ro ° 8 2

Corrigé de "exercice 2 Les 3 premières spécifications concernent la fonction de sensibilité S(s). Elles permettent de fixer respectivement son gain statique (0,01), sa pulsation à dB (== 3/3), et son gain maximal (1/0,5), d'où on déduit le gabarit de la figure 6.4 :

°

')

-

-

D,DI

y Il

s +1

0,01

Figure 6.4 - Gabarit Sllr S

Fig/lre 6.5 - Schéma de synthèse H co

La dernière revient à imposer au transfert K(s) Ses) un gabarit constant, égal à 2. On en déduit le schéma de synthèse de la figure 6.5, avec:

\VI

()-('J s -

-

S+0,01]-'_05 s+2 - , s+2 s+O,OI

En écrivant: w\(s)

=

0,995 ,5 + - - -

°

s+O,Ol

Commande HC1'J ct J.l-analysc : des outils pour ln robustesse

88

on déduit une représentation d'état de

Hl)

(s) :

0,0) = 0,995 + 0,5

dX)

--= {

XI +E

dt el

XI

E

Une représentation d'élat du système sous forme standard est donc:

d[Y] = (-1 ° J[YJ + [o:lJ[rJ -1 -0,01 1 i° ~

dt

XI

J [-0,5 0,995J [ J [0,5: °J( J

=: -~I---+- ~: el

[

XI

=

+

-H9t ;.

On vérifie les 2 premières hypothèses de l'algorithme de Glover-Doyle, sOÎt avec les notations du chapi tre 2 : M

(°1 -lJ (-1 °0J

(Bu A Bu)

=

esl de rang 2, donc le système est commandablc.

-1

-

[

CI'CrA

J

cst de rang 1 : le système est non observable par E, mais la

1

partie non observable correspond au filtre

\1'1

(s) (évident d'après le schéma) qui est

stable, donc le système est délectable. A notcr d'ailleurs que lout système stable est de fait stabilisable el délectable.

- Dm

[00,5 J ct D\w- =

J

sont de rang plein (égal à

1).

Corrigé de l'exercice 3 On obtient:

Ses)

s+O,OI, K(s)S(s) = .\"+1,41

s +1 S 1,4 - - et K(s) (s)G(s) = - s+I,41 s+I,41

Ses) a un gain inférieur à 1 : en lraçanl son diagramme de Bode, on peul constater qu'il est en dessous du gabarit 1/ \\'1 (s). Le diagramme de Bode de K(s) Ses) est effectivement Înfërieur à 2. K(s) S(s)G(s) est le transfert entre r et y (figure 6.5) : la sortie répond à la consigne comme un premier ordre de constante de temps ) 11 AI, d'où un temps de réponse de l'ordre de 3/ l ,14 ;::, 2,2 s.

Exercices corrigés

89

Pour atténuer le gain du correcteur en haute fréquence, il faut imposer un gabarit il K(s) Ses) (car en haute fréquence, K(s) Ses) ~ K(s)), lei que celui représenté sur la figure 6.6, avec par exemple Cl = 2 (supérieur à la bande passante obtenue précédemment) el b = 100 (sufJisamment grand), soit :

W.,(s)=

-

1+-sIl OOJ-I 0.5 1+ s /2 -( 2l+s/2 1+s 1100

Figure 6.6 - Gabarit sur K S

Corrigé de l'exercice 4

On obtient: Ses)

(s+0,01)(s+4)

=.,

s-+4s+4

; K(s)S(s)

s+1 = 4 ., ; K(s) Ses) G(s) s-+4s+4

= -.,-4- 5-+4.'1'+4

Ses) a un gain înferieur à 1 ; Ses) el K(s)S(s) ont leur diagramme de Bode en

dessous de leurs gabarits respectifs 1,1 l/lWI (jro)1 et 1,1 J IIw2 (jill)l. K(s) Ses) G(s) est à présent un transfert du second ordre (avec un pôle double en -2). D'après l'exemple du paragraphe 4.2, la slabilité est assurée si Je diagramme de Bode de K(s) Ses) G(s) est en dessous de celui de (-1: max s/{i+tmax .'1 )t II '[max 4. La fonction K(s) Ses) G(s) obtenue vérifie celle condition.

l

,

avec ici

Corrigé de l'exercice 5

On utilise le schéma de la figure 6.7, obtenu comme expliqué ci-dessous: - les 2 premières spécilications indiquent qu'on veut garder entre b et y un comportement du second ordre, mais avec une pulsation propre plus faible el un amortissement plus grand. On applique donc à y une pondéraLÎon 11'1 (.'1) d'ordre 2, donl la forme générale est donnée sur la figure 6.8, et qui s'écrit:

90

Commande l-/cn el Jl-analysc : des outils pour la robustesse

avec les ordres de grandeur suivants: k 1,2. (01 = l, {Oo = 100 (suffisamment grand) ct ç{) = l;,J :::: 0,7 (pour éviter les résonances, tout en restant au plus près du tracé asymptotique).

y S2

+0,1 s+ 1

Figure 6.7 - Schéma de synthèse li:o

'*'

k -+----.. 1~----~~--~~

Figure 6.8 - Gabarit .ml' le transfert de b vers y

Figure 6.9

Gabarit SHr le lransfert de b l'crs Il

- des marges de stabilité correctes peuvent être obtenues soit en disposant une pondération il J'entrée l' du système (le transfert entre b ct \1 représente la fonction de sensibilité S(s)). soit en disposant une pondération sur la commande (le transfert entre b el li représente la fonction K(s) Ses) G(s) ); nous avons choisi cette dernière possibilité car elle permet également de limiter le gain du correcteur en haute fréquence. Le gabarit imposé à ce transfert (voir ligure 6.9) a un gain inférieur à 2 (ce qui, d'après l'abaque de Nichols, assure des marges de gaÎn et de phase au moins égales il 6 dB el 30°), et décroît dans les hautes fréquences, soiL : 1

2 l + S/200J( 1+ s / 2

=:::

0.5 1 + .'1/2 1 + s / 200

Exercices corrigés

91

- si on utilise l'algorithme de Glover-Doyle, il faut enfin ajouter une perturbation sur la sortie : sans celte pondération en effet la matrice

du problème standard

DYII'

est nulle puisque le transfert entre l'entrée b et la commande Il tend vers 0 en haute fréquence. Physiquement, cette perturbation peut être interprétée comme un biais ou un bruit sur la mesure. Afin de limiter son effet, on lui affecte une pondération H'3 constante choisie faible mais non nune, soit par exemple

\\'3 .::::::

0,01 .

Remarque: avec les gabarits cÎ-dessus, l'algorithme de Glover-Doyle fournit un correcteur assurant y = ],00.

Corrigé de l'exercice 6 On calcule tout d'abord les "facteurs externes" des 2 premières LMI :

D;",)= (1

: 0 1) d'où par exemple N R

=

[~ ~J -1

De même :

(C \'

Dyll' )= (I

: 0 1)

d'où N s

= N R =[

0

~ ~J. -1

La matrice A

0

étanl scalaire, les matrices R et S le sont aussi. La LMI (2.14.a) s'écrit:

0 -1

o '- 1 0 11 ] 0:0 O\T 0: R 1 --~-------r------1 :0 0 R:1 -y 0 111 0 0 0 1 -1 0 11 0 -yl 0 0 0:0 0

o

0: 1

a

0

010

1

1

-----1----

y

soit : [

--r-------r------1 : 0 0: -y 0 0 a !' 0 -y

O!

0:0 0 1 1 :0 0 1

0:0 0 <0 -----1---o 0: 1 0 0 O!O 1

-R -1

-R

Y

0

-1

o

y

o

o

a

La LMI (2.14.b) s'écrit sous une forme identique, el fournit la condition supplémentaire:

Enfin la LMI (2.14.c) s'écrit :

Commande Hm el

92

~l-analysc

: des outils pour la robustesse

(R 1J II S

{R ~ 0 <:::>

RS-l~O<:::>

{S ~ 0

RS-l~O

Le domaine correspondant aux dernières inéquations esl représenté sur la figure

6.10.

S

5

1

\

1

4.5-f---~--+·_-,---

i -I----:---·--i-r-··!

4 3.5

\

J

\

225~L

-\

1.5"

1

! i 1

1

1.

1---+----_ 1

o:---~~---r_--1

R Figl/re 6. JO - Domaine de couples (R, S) admissibles

La valeur minimale de y vérifie:

y2 -1> min

(R 2 , S2)= 1 (minimum atteint pour R= S)

d'où y>.fi.

Le correcteur est d'ordre égal au rang de 1- R S , soÎl 1 cn général, sauf si l'on choisit S = Il R auquel cas 1- R S = 0 et on peut calculer un correcteur d'ordre O. Un correcteur d'ordre 1 est obtenu en formant la représentation d'état (2.17) :

puis en choisissant: M = -N

= ~ R S -1

dans (2.18.b), d'où d'après (2.18.c) :

Exercices corrigés

93

Les scalaires Ac, Be' C(:, De sont alors obtenus en résolvant la LMI (2.) S.a). Dans le cas d'un correcteur d10rdre 0 (qui se réduit donc au seul De), on a R S = l , X = S , et :

Le scalaire De sera obtenu par résolution de la LMI (2.18.a), qui s'écril ici: 1

De

0

0

DeS

0

-y

0

1

0

0

-y

0

De

0

De

0

-y

De <0

Corrigé de l'exercice 7 On obtient, dans l'ordre de J'énoncé:

-llê(P)=cr(P)~2,92 - llà(P) = 2 (pour 8 2 - ~à(P)= 1 (pour 8 1

j/2) )

)

- ~à(P)=PR(P)=1 Chaque ensemble étant contenu dans le précédent, les valeurs obtenues pour ~là (p) sont décroissantes (non strÎl:temenL).

Corrigé de r exercice 8 On obtient respectivement 0 (pas de solution) et 1 (pour tS = - ) / 2 ±

Corrigé de l'exercice 9

jfj /2 ).

94

Commande HtrJ elll·nnalysc : des outils pour la robustesse

el

A noter qu'il faut répéter 8 1 dans 6.., car 8, apparaît 2 fois dans les équations, par des termes différents.

Corrigé de l'exercice 10 On pose

v,

=0, (x, + x2)

8, z, ; v2 = 8 2 x2

8 2 Z2,' d'où:

A noter que, 01 n'intervenant que dans la première équalion. il est possible de ne pas le répéter dans il (rien n'empêche de le faire, bien sûr, mais pourquoi faire compliqué sÎ l'on peul faire simple ?).

Corrigé de l'exercice Il Cette fonction de transfert correspond à l'équation dinërentielle :

On pose

\'1

= 0)' = 0:1 ;

1'2

= 0 (5' + 2)' + vI) =

8 :2 d'où: 1

Exercices corrigés

95

et

A noter que la mise en facteur de 0 dans l'équation différentielle permet d'avoir une matrice ,1 de dimensîon 2 (on peuL aussi, plus brutalement, développer l'équation et poser successivement avec 2:3 = li4 ,et v4

"1

= 6 S, = 8 ZI

1

\12

= 0 y = 0 Z:4 ' ouf! Mais alors

= 28 Y = 262:2' ~

v]

2

=6 y

5 Z]

est de dimension 4, cl pourquoi

faire compliqué si ... ).

Corrigé de l'exercice 12 Le schéma-bloc peut être redcssiné sous la forme de la figure 6.11.

y

Fig/lre 6.11

Système bO/fclé avec 2 illcertÎwdes pommétriques

d'où l'on déduit facilemenl ; -)

1 1

--1

s+3 1

s+3: ..\'+3 -1IS+2

____ 1_-

.s±l __.t±J_L.:Ltl -1 s+3

1: 1 s+3! s+3

--1

On a alors, avec AI(s) = H ::\,(5) : det(I:! -/'d(jw),1) Comme 6 11 et 6 t-: sont réels, ce déterminant ne peul s'annuler que pour pour 0(1 et 51: vérifiant: 0a+og+3=O.Comme

a(,1)=suP~o(/I,18t-:1),

(0

= 0,

a(,1) eSl

Commande Ht1j el Jl~analyse : des outils pour la robustesse

96

maximalcpour

8'1

::::8~ ::::-3/2.0nadonc:

fl(M (jro)}

0 si

m;: 0

~L(M (j0)) = 2/3

i\

On en déduit que la stabilité est garantie pour Lous et \8 KI < 3/2 , soÎt pour tout (a, .. . d c translcrl • L a 10nctlOn

g) E ] 0,5 ; 3,5 [x ] R(s)

a + g > 0 . Le domaine déterminé par

~L -analyse

18 a l < 3/2

0,5; 2,5 [ (tïgure 6.12.a).

, Yest (s ) = systeme --

,1

uU

et 8 g tels que

s+a+g

• qUI. est stabl e pour

est le plus grand carré centré sur le

point nomÎnal et contenu dans ce domaine (figure 6.12). Si on cherche à présent à garantir par Il ~analyse que le pôle du système bouclé reste inférieur à -1 , on doit résoudre:

( 2 -!vl(s)A ) =1+ dct/

8" + =0 avec s=-I+jro s+3

soit -1 + jCi) + 8a + Ô,Ii + 3 = O. Là encore celle équation n'a de solution que pour m 0, auquel cas O:(A) est maximale pour 8(/ :::: 5.t:

~l(M (-1 + jro))

= -1 . On a donc:

0 si ro:;t 0

~l(Nl (-1 + jO)) = 1 L' n -stabilité est donc garantie pour tout

(5 1"

5 11

)e ]-1 ; + 1[2 , soit

pour tout

(a, g )E ]1 ; 3 [x ]0 ; 2 [. Le domaine réel est décrit par II + g > 1 (figure 6.12.b). i

g

g I~

)oinl :n0l linhl i

~ 1

'" ,,1

INS TARL ·2

~

! ùOll!.Ulle

, I~

"-

i

T

I~ ~omaîhc délc rllliné 1 1

I~l-

·1

·2

1

·3

tpaint nominlll

étJnniné 1

1

I~

·3

·1

1 1

1

~

1

1

!

!

1

·1

a

Cl

li) s/abilité

b)

n -stabilité

Figure 6.12 - Résultats de fl-al/alyse dans le plan (a,

g)

Chapitre 7

Etllde d'tIn cas d'application

L'objet de ce chapitre est de présenter les concepts de synlhèse H <X.l standard, de synthèse H par "loop-shaping" et de J.l-analyse sur un cas d'application réalîstc, il savoir la commande d'un bras relié à une plate-forme par une transmission élastique. Nous nous sommes basés sur la description fournie dans [Rotl. Les synthèses eL les analyses correspondantes ont été réalisées sous MATLAB/SIMULINK, en utilisant les modules COllfrol Tao/box el ~l AllalysÎs and SynthesÎs Tao/box. Cette étude a été traitée de façon à servir de matière à l'établissement de séances de Travaux Pratiques.) t:r)

7.1. Présentation du problème Le processus ~l asservir est représenté schématiquement sur la figure 7.1 : il est constitué d'une plate-forme ("body") aClionnée par un moteur électrique; un bras ("arm") est fixé sur cette plate-forme au moyen de 2 ressorts. Un bras plus petit (" extra foad") peut lui-même être attaché à l'extrémité du bras principal. Différents points d'attache sont possibles pour les ressorts ainsi que pour le bras supplémentaire, ce qui modifie l'élasticité de la lransmission et l'inertie totale: de la sorte, le dispositif est représentatif d'un système flexible dont les caractéristiques changent en cours d'utilisation (bras de robot saisissant une charge par exemple). L'objet du problème que nous envisageons ici est de calculer un correcteur unique permettant d'asservir l'extrémité du bras avec des performances satisfaisantes, quels que soient les points d'attache; la commande est la tension éleclrique envoyée sur le moteur; 2 mesures sont disponibles, à savoir l'angle de rotation de la plaleforme f) , et l'angle de déviation du bras par rapporl à la plate-fonne a (la grandeur à asservir est l'extrémité du bras, donc la somme 0 + a). Le dispositif peut être décrit par les équations suivanles :

J,IJilIJ (ë(t) + ëi(t)) + K stijf a(t) = 0 { (J l/lb +J/out! )ë(t) + J aU):::::: y(1) l

1 les

10lUI

fonctions mises en œuvre peuvent être demandées à. [email protected].

(7.1 )

98

Commande HrrJ eL }..t-unalysc : des outils pour la robustesse

Extr. I..o.d

Ann 0

a

o o o o

Body Anchor

Polo""

000

Figure 7.1

Processus cl llssel1 Jir

où y(t) est le couple appliqué à la plate-forme, J lowl est J'inertie du bras, J III/b est l'inertie du moteur et de la plate-forme,

Kstijj

représente l'élasticité des ressorts ct

dépend des dimensions R • d , r (figure 7.1). L'équation électrique du moteur complète la modélisation:

(7.2) où RIlI est la résistance du moteur, K c et KI! sont les constantes de couple et de f.c.e.m., N est le rapport du réducteur mécanique. On obtient à partir de ces équations la représentation d'état:

~al cl a

dt :

=

0

0

1

0

0

0

0

K.\1!l1 RI/IJ ,Jllh

l'l11b

0

_ K'\'liH _ K.\tilf

l/twd

.1 Jill/!

0

0 0

: [1](1)+

(NK('KtJ

v(t)

(7.3)

Rm.l Iwb

(NKcK~.Y-

(NKeKe)

Rm.llJ/lb

Rm.lllII/!

où les paramètres fixes ont les valeurs suÎvantes : (7.4.t:l)

et les 2 paramètres variables (en utilisant les ressorts nO 2 de la documentation constructeur) peuvent prendre les valeurs suivantes:

Etude d'un eus d'application

99

1

J/{)tIIl E

{O,002l; 0,0042; 0,0048; 0,0059} Kg m

K,\'/Ij/ E

{1,044; 1,159; 1,280; 1,318; 1,466; 1,609; 1,627; 1,779; I,973} N

III

(7A.b)

Pour le calcul de l'asservissement, on sc donne les objectifs suivants: - en réponse à un échelon de consÎgne, un Lemps d'établissement de J'ordre de 1 s et un dépassement inlërieur à 20% - en réponse à un échelon unité de perturbatÎon ajouté à la commande, la réponse devra être en dessous de 0,1 après 1 s - une marge de module de l'ordre de 0,4 - un gain entre la référence et la commande inférieur à 1 au delà de 100 rdls ces performances étant obtenues pour toutes les valeurs données par (7 A.b). Les schémas de synthèse suivants seront successivement considérés: - synthèse H standard en utilisant comme entrée du correcteur l'erreur = r - (8 + a) • où r est la consigne de position de l'extrémité du bras (correcteur 1 entrée - 1 sortie) ct:)

~

- synthèse H standard en utilisant comme entrées du correcteur recteur 2 entrées - 1 sortie) 00

- synthèse fi standard en utilisant comme entrées du correcteur (correcteur 3 entrées - 1 sortie) cr.J

g

et 8 (corg,

- synthèse H:û "Ioop-shaping" en utilisant comme entrées du correcteur

8 et g,

ct

8 et

a (correcteur 3 entrées - 1 sorLÏe) Dans chaque cas, le correcteur issu de la synthèse sera réduit de manière à conserver les dynamiques prépondérantes sans dégradation nOlable du comportement fréquentiel. Chaque synthèse sera suivie d'une ~l-analyse, pour des incertitudes couvrant la plage de variation de l'éhlSticîté et de l'inertie, et avec une marge de module garantie. Ce dernier point étant commun à toutes les synthèses et demandant quelques explications, nous allons le détailler de prime abord.

7.2. Etablissement du schéma de j.l-analyse Les 2 paramètres incertains sont

K,lIiff

ct J l/lad . Le schéma devant comporter un

bloc d'incertitudes de laille la plus faible possible, il convient de remanier les équalions en ce sens. On obtient tout d'abord, à partir des équations (7.3) el en posant

y=0+a: KXfifl

-----a J 'oad

(7.5)

Commande Ht1J et

100

J..1~analyse

j

: des oUlils pour la robustesse

= K.I"/îlTo + K s/îlT 1 Ô K

K'Wi1f

On pose alors:

1

1

J l{joLl

J !ootl

1

+ - - 8)

--=--

1

= KJ'iff 1 Ci

ZI

puis:

J /omJ

()

(7.6)

=_1_

{ Z2

J/l/{lIJ 1

(7.7)

(K s/UIo a+v l )

de sorte que les équations (7.3) s'écrivent:

y= -

[_1J load

=_[_1_ J IrJ/ld

J load

1_ (K

Ci

= -

1

J fond

0

J

/

UTo

{NK c K e)2 (" .) y-a

(7.8.a)

1

a+v\)-v 2

(_1_ + _1_ +_1_ BJ J II/Ih 1 food 0 l'oad 1

+

ÔJ](Ks/îJIO Ci+l'I)=

+_1_ 0

= __

J/ OIllJ

8) J

(KJ/ijlo + K,I"(f!1 8 K )a =

+_1_ 0

]

(K,ç'!lrO +

(NKcKe)

K,\'/~{fl OK)a

\1=

Rm1J/IIb

=-

[~+~ lllllh

1 {oad

0

+_1_ 01J 1 Joad

1

(K.flilf'o a

+

VI)

(7.8.b)

En ajoutant une incertitude complexe, pour garantir une marge de module minimale, cn sortie du correcteur : (7.9) on peut connecter le correcteur entre les mesures et la commande, pour obtenir un schéma du type de la figure 4.1, avec une matrice d'incertitude:

Etude d'un cas d'application

101

(7.10) Le schéma Simulink correspondant (en considérant le cas le plus général où le correcteur a 3 entrées) est représenté ci~dessous. Compte tenu des valeurs indiquées en (7A.b), on prendra: KSfijJ 0

1,5085

_1_ =322,85 1 [(Jad 0

K~ti1f 1

= 0,4645

_1_ =153,35

(7.11)

l'mu[1

COllecteur

Figure 7.2 Schéma de p-analyse

7.3. Synthèse H cD standard dlun correcteur 1 entrée - 1 sortie Le schéma de synthèse (schéma Simulink hinfl gui) est donné sur la figure 7.3 : le modèle de synthèse correspond à des valeurs moyennes des 2 paramètres variables compte tenu des valeurs données par (7 A.b), à savoir K SlifJ = 1,4665 N m eL

.l'om/ = 0,0042 Kgm

2

.

Les sorlies du problème standard correspondant sont l'erreur de consigne filtrée par W 1 et la commande filtrée par W2 ; ses entrées sont le signal de référence et une

102

Commande Hw

el

Il-analyse: des outils pour la robustesse

perturbation slajoutant à la commande après passage par un filtre W3. L'unique mesure (entrée du correcteur) est l'erreur d'asservissement.

FÎ1;ure 7.3 . Synthèse

H:>'.l

Jtalldard d'llII correcteur J entrée - J Jor/iI.!

Chaque pondéraLÎon Wi est un filtre du premier ordre, défini par 3 paramètres: son gain statique, son gain à l'infini, et sa pulsation à 0 dB (bien sûr les 2 premiers paramètres doivent être l'un supérieur. l'autre inférieur à l, sauf s'ils sont identiques, auquel cas la pondération devient constante). Les différents pavés permettent d'effcctuer les fonctions suivantes: - le calcul du correcteur central par l'algorithme de Glover-Doyle (Synthèse Hinfini)

- le tracé des réponses fréquentielles et de leurs gabarits, du correcteur, et de la boucle ouverte (Analyse fréquentielle) le lracé des réponses temporelles du modèle de synthèse bouclé par le correcteur (Simularion) - la réduction du correcteur par la mélhode de troncature des valeurs singulières de Hankel (Rédllction) - la sauvegarde des matrices d'état du C01Tccleur (Smt\'egarde)

la Il-analyse, comme indiqué au paragraphe 7.2 (Mil-analyse) - le tracé des valeurs propres et des réponses temporelles du système bouclé, el de la réponsc fréquentielle de la boucle ouverte, pour 28 modèles correspondant à différentes valeurs de l'élasticité el de l'inertie (Réponses)

Etude d'un cas d'application

103

les différents tracés pouvant être effectuées dans un ordre arbitraire, avant comme après la réduction du correcteur. Nous donnons ci-dessous les résultats correspondant à un jeu de paramètres particuliers. Il va de soi que nous ne prétendons nullement que ce réglage soit le meilleur! Les paramètres choisis apparaissent dans le tableau 7.1 (les paramètres dont le choix est le plus sensible sur les performances de l'asservissement apparaissent en gras). Wl

W2

W3

ordre

1

1

1

Gain slatique

100

0.1

0.7

Gain à l'infini

1/2

10

100

Pulsation de coupure

5

100

4

Tableau 7.1 - Paramètres des/ol/ctiol/s de pondéra/ion

La synthèse conduit à y 1,189. La Jïgure 7.4.a montre comment les gabarits choisis agÎssent sur les différents transferts: sur S el K SGen moyenne fréquence, sur SGen basse et moyenne fréquence, sur K S en haute fréquence. Le correcteur initial, d'ordre 7, a été réduit à l'ordre 4 avec conservation du gain statique, sans dégradation notable de la réponse fréquentielle (figure 7 .4.b). On peut vérifier qu'il présente un gain élevé en basse fréquence (de façon à rejeter la perturbalion de commande), et que son gain décroît fortement dans les hautes fréquences (effet de roll-off). Le diagramme de Black de la boucle ouverte (figure 7.4.c) permet de conlrôler les marges de stabilité: on voit notamment que la marge de gain est assez faible. La ~l-analysc a été effectuée en choisissant une marge de module minimale de 0,3 (la marge de module du système nominal étant de 0,629). On obtÎent les bornes supérieure ct inférieure représentées sur la figure 7.4.d. Le maximum de la borne supérieure étant égal à 0,824, on peut garantir une marge de module au mOÎns égale à 0,3/0,824:::.: 0,36 pour toute valeur des paramètres dans des intervalles dilatés d'un fa~teur 1/0,824:::.: 1.21, soit: K.\"Iij{

E [0,945 ; 2,072] N m, et

lIJ/ lJud E[136,8; 508,9] (Kgm 2 )-1

,

soÎt J/ olld E[0,00197; 0,00731] Kgm

2

Enfin les figures 7.4.e à 7.4.11 montrent respectivement le diagramme de Black de la boucle ouverte, la position des valeurs propres de la boucle fermée et les réponses temporelles à un échelon de référence el à un échelon de perturbation de

104

Commande Ha) et Il-analyse; des outils pour la robustesse

commande. Bien que ces tests ne fournÏssent pas les mêmes garanties qu'une ~l ~ analyse, ils rendent compte d'une relative invariance du comportement pour les différentes charges ct élasticités.

Gain(d3)

Hw.. {W, et dr

1fwdwJ. y/W'/WJ et db

50

-100

100

40

0

20

-100

0

-200

0

-,

0

10

10

10

Rase(~)

l/w, • y/w? et u/r

0

0

10'

0

10

10

Figure 7A.a - Principaux transferts. et gabarils correspondants

~-li

(~

r----- .', ---'

~

-50

-ISO

·200 ·450

-,

10

1

10" 10 Pulsalim (mcVsec)

10"

Figure 7.4.b Diagramme de Bode du correcteur, QI'mll el après rédllctioJl

V

1

-100

2

10

8amos supérieure ollnhlrlouro de mu

Gain (dB) 100

50

,

10

./

-

(1

- ~',

;--

/'" _.n __...__ ----

--,--,,-

..-

1

t

'\ -400

-350

·300

-250

·200

·150

-100

Phase (degrés)

Figure 7.4.c

Diagramme de Black de la

bOllcle Oll\'er/e corrigée, avant et après ré-

duc/ioll

l

10

~~

50

-50

10'

PulsaUm (r<:d'sec)

borna 5upôriouro de mu en w '" 0 -> 0.475

Figllre 7.4.d - Résultats de jl-tll/alyse

J

10

Etude d'un cas d'application

105

\I,llours propres en B.F.

GaÎn (dB) 40 JO

20 10

·10 ·20 -3D

·40 ,.50

-60 '----'-_-'-_-'--_L.......----'-_--'-_........&l'"--'--........J ·400 ·350 <100 ·250 ·200 -ISO -100 -50

Phase (degrés)

Figure 7.4..f - V(llnErs propres fermée

Figure 7.4.e - Diagrammes de Black dl.' la boude Ol/verte corrigée

':R 05~ 00

1

2

!hela

1.";(----------,

-1 '----~-----' o 2

OAEjarPhil

commande

0.4

-0.5

0.2

-1

00

1

2

bOlicle

Ob

Q.6~angleIOla!

commande

Cil

-1.50

1

2

thela

0.2

°

-0.2

2

-0.40

1

Figure 7.4.g - Réponses li la référence

2

2

Figure 7.-1.11

Réponses il /a perturbation

On remarque notamment que les réponses en boucle ouverte évitent correctement le point critique; les réponses indicielles présentent un dépassement modéré maÎs un retour assez lent vers la valeur de consigne. En raison de ce dernier point, les performances demandées ne sont pas obtenues.

7.4. Synthèse fI:o standard d'un correcteur 2 entrées - 1 sortie Le schéma de synthèse (schéma Simulink hinf2gui) est donné sur la figure 7.5. Par rapport au problème précédent, on introduit comme entrée supplémentaire du

106

Commande Hr:r.J ct J.l-annlysc : des outils pour la robustesse

correcteur l'angle et considéré après une perturbation filtrée par W4 2, Le problème standard a donc maintenant 3 entrées, ses 2 sorties étant les mêmes que dans le cas précédenl.

Figure 7.5 - Sylllhèse H Œl standard d',m correcteur 1 ellfrées • J sortie

Les pondérations et les fonctions représentées par les différents pavés sont les mêmes que pour le problème précédent. Nous avons repris pour les filtres Wl, W2, W3 les pondérations choisies au paragraphe 1.3. La synthèse s'effectue donc uniquement par itération sur W4, qui sera choisi constant. On observe que pour de fortes valeurs de W4, le correcteur ignore la mesure supplémentaire qui est fortemenl perturbée: on retrouve donc le comportemenl oblenu avec le correcteur précédent En diminuant W4, la mesure supplémentaire est progressivemenl prise en comple. On observe notamment une augmentation du gain en basse fréquence des fonctions de transfert vIe et V 1a du correcteur, une légère diminution des marges de stabilité, une diminution du dépassement sur la réponse à la consigne el une réponse moins forte et plus rapide à la perturbation. On choisit finalemenl W4 0,5, La synlhèse conduit à 'Y = 1,117 . Comme précédemment, le correcteur initial d'ordre 7 a été rédui l à l'ordre 4. La figure 7.6.(/ montre comment les gabarits choisis agissent sur les diflërents transferts, Le diagramme de Black de la boucle ouverte (figure 7.6.b) mel en évidence une politique de conection en haute fréquence différente du cas précédent.

e,

:!

La présence de cette perturbation est nécessaire pour satisfaire les hypothèses de Glover-Doyle.

Elude d'un cas d'application

107

La ~ -analyse a été effectuée dans les mêmes conditions que précédemment On obtient quasiment les mêmes résultats, avec un maxÎmum de la borne supérieure égal à 0,824 (ligure 7.6.c).

l/w, , y/w. el rJr

1/w1/w3 . ï/Wl/Wl el db 0

50r-----~------~

·50 ·100 ·150

o

10 1/W2 , y/W2 et u/r 50r-------------~

10" l/w-;,/wJ , y/w;,JwJ et u/b

100 0

o ·100

·50 '------~----------' 10°

·200

0

10

FigIlre 7.6.{/ . Principal/x /mw,fcrt.\', et gaharits correspolldaJlts

Gain (dB)

Bornes supérieure el inlérieure de mu

100r---~----r----r----r----r--~

50 .---.-•.. -.. -...----...

+----. i . --.........._".--.... -..---.--.... -(.-.. -

O.Br---f----t-++

1

o

_._1.___ ______.~~ :-2~~~' ~_ 1 1

-50

---..-----t-----.- ----.. -----.. 1

-100

·1~900

1

-600

·500

-400

-300

-200

·100

Phase (denrés)

Figl/re 7.6.b - Diagrammes de BI{/ck de III

0.2 " 10

10' borne supérieure de mu en w :0 0 --> 0.475

Figllre 7.6.c . Ré.\'III/{/ts de

~l

·analyse

boucle oUI'eJ'te corrigée, (/l'atll et après ré· dllC/ioll

Les réponses en boucle ouverte Uigure 7.6.d) évitent correctement le point critique, les valeurs propres de la boucle fermée (figure 7.6.e) occupent des positions assez voisines de celles obtenues par la synthèse précédente. On note l'amélioration des réponses indicielles (ligures 7.6/ et 7.6.g), qui présentent un dépassement et un

108

Commande H et )l.analyse : des outils pour la robustesse rfJ

temps de réponse plus faibles, de sorte que les performances demandées sont maintenant obtenues.

Gain (dB)

valeurs propres en B.F.

40 30 20 10

o -10 -20 -30

-40 -50

-~200

-350 -300 -250 -200 -150 -, 00

-50

o

-50 -50

Phase (denrés)

-40

-30

-20

1.s§an I,: total 23§com . . . _ . . . .T;. ._.. . . . . . 0.4~anÇ]ljtotal 0.3 . .. . .;,. . . . . . . .

o~comTande

Q

:

ande

:

t 0.5"

··········T··············

o'

o

1

1"

: .......... (.............

0.2'

0 .....;

-1' 1

20

o

Fig/lre 7.6.e . Valeurs propres en bOllcle fermée

Figure 7.6.tI· Diagral/lmes de Black de la boucle ouverte corrigée

, ....

-10

! ..........~...............

-0.5' ........... : ............... . : -, .......... ,!" ...

0.1' ......... ,. ;...............

0 ' 1

20

-1.5 20

. ,

2

theta

0.3lli~ t.. ·.. ···· .... . 0.1 ............ L

0.2"

2

Figure 7.6.f - Rêpomes cl la référe1lce

00

........

1

2

Figure 7.6.g . Réponses à la perturhatio1/

7.5. Synthèse HOC) standard d'un correcteur 3 entrées - 1 sortie Le schéma de synthèse (schéma Simulink hinf3gui) est donné sur la figure 7.7. Par rapport au problème précédent, on introduit comme entrée supplémentaire du

Etude d'un cas d'application

109

correcteur l'angle a. considéré après une perturbation filtrée par W5 3. Le problème standard a donc maintenant 4 entrées, ses 2 sorties étant les mêmes que dans les 2 cas précédents.

Figure 7.7 - Synllrèse H ctJ standard d'lfu correC1ClIr 3 entrées - J sortÎe

Nous avons repris pour les nitres W l, W2, W3 et la constante W 4 les pondéralions choisies au paragraphe 7.4. La synthèse s'effectue donc uniquement par itération sur W5, qui sera lui aussi choisi constant. On observe que pour de fortes valeurs de W5, le correcteur ignore la mesure supplémentaire a. qui est fortement perturbée: on retrouve donc le comportement obtenu avec le correcteur précédent. En diminuant W5, la mesure supplémentaire est progressivement prise en compte. On observe une modification légère des réponses fréquentielles du correcteur dans la zone de la résonance. Mais l'effet sur le lieu de Black est important puisqu'elle éloigne la réponse en sortie de bande passante de la zone critique. L'effet est assez négligeable sur les réponses du modèle de synthèse, mais très important sur l'allure des réponses des autres modèles, qui gagnent en amortissement. On choisit finalement W5 0,1. La synthèse conduit à y = 1,106. Le correcteur initial d'ordre 7 est réduit à l'ordre 4. La figure 7.8.a montre comment les gabarits choisis agissent sur les différents transferts. Le diagramme de Black de la boucle ouverte (figure 7.8.b) montre une amélioration notable de la marge de gain par rapport aux cas précédents. 3

Là encore, la prést:ncc de

ceHe

pt:rturbation permet de satisfaire Ics hypothèses de Glover-Doyle.

110

Commande HCfl et Il-analyse: des outils pour la robustesse

La Il-analyse a été effectuée dans les mêmes conditions que précédemment. On obtient des résultats un peu meilleurs, puisque Je maximum de la borne supérieure est égal à 0,760 (figure 7.S.c) : on peut ainsi garantir une marge de module au moins égale à 0,39 pour toute valeur des paramètres dans Jes intervalles suivants:

Ks1ill

E

[0,897 ; 2,119] N m et J lOdd

E

[0,00191 ; 0,00826] Kg m

2

Les réponses fréquentielles en boucle ouverte évitent toujours correctement le point critique mais surtout le déplacement de la résonance siefTectue loin de celui-ci (figure 7.8.d). Les valeurs propres de la boucle fermée présentent de meilleurs amortissements que lors des synthèses précédentes (figure 7.8.e). Les réponses indicielles (figures 7.8/ eL 7.8.g), présentent un dépassement CL un Lemps de réponse faibles, et sont surtout moins oscillantes et plus homogènes que dans les synthèses précédentes. Les performances demandées sont ainsi atteintes. On peut donc conclure que la prÎse en compte des 3 mesures r, a et El comme entrées indépendantes du correcteur apporte un gain significatif en termes de performance et de robustesse.

,·lw, et rJr

1/w,

50

1/W,/W3 1 y/w,/wJ

el rJb

0

-50 -100

0

-150

n

10 1/W2/WJ , ylW~/Wl el u/b

10

1jw~ , y/w;; et u/r 50

50

0

a -50 -50

0

10

-100

0

10

Figure 7.B.a - Principaux 1ral/sferts, el gabarits c01TeSpol1dallts

Etude d'un cas d'application

111

Gain (dB)

100 50

-----~--~----_+----~----~~__4

or..--'--,-I,-·---·-r-----~-----+

·500

·400

·200

-:300

-100

PhasD (degrés)

Figl/re 7.B.b DÙlgrammes de Black de la boucle oHl'erle conigée, avcml et après réduction

Gain (dB)

10'

l

10'

10

borne supérieure de mu en w '" 0 --> 0.475

Figure 7.B.c - Résullals de J-l-analyse

valeurs propres en B.F.

·350 ·300 ·250 -200 -150 -100

-50

0

Phase (deÇJrés)

Figure 7.B.t! Diagrammes de Black de la boucle ouverte corrigée

-30

-20

-10

o

Figure 7.B.e - Valcurs propres en boucle fermée

J 12

Commande Ha;, ct J.1-ilnalyse : des outils pour la robustesse

:glo",

~:m"" .~.~~_I~:~:~_-

1

0,1"'-1

1':8 00

1

2

Iheta

2

1

2

2

:':§a-~~- ooo;m·_·,·~IP~a ______----

alpha

1

0.5 ..

00

,

0.1

-

L __ _ 1

-0.0

1

00

1

2

2

Figllre 7.SJ - Réponses à la référence

7.6. Synthèse fI

cr]

00

1

2

-0.10

2

1

Figure 7.8.g - Réponscs il la per/lll'batioll

par "Ioop-shaping" d'un correcteur 3 entrées - 1 sortie

Rappelons que cette approche demande tout d'abord de choisir un précompensateur et un poslcompensateur, avant optimisation H Xl' Le schéma adopté (schéma Simulînk hlsgui) est donné sur la figure 7.9. Les différents fillres onL élé choisis à partir des considérations suivantes:

--'""'-~D erreur

alpha

Figure 7.9 - Synthèse H o:l par "'oop-shapÎl1g" d'ull correcteur 3 clltrées - 1 sor/ie

Etude d'un cas d'application

113

- le précompensateur W 1 est un mtre passe-bas destiné à liltrer les hautcs fréquences pour produire un effct de roll-off: on a donc choisi sa fi'équence dc coupure au-delà de la bande passante de l'asservissement. - le postcompensateur W2 cst composé d'un Pl sur l'cHctlf d'asservisscment, et de gains sur les mesures supplémentaires 0 et a. On constate que la constante d'action intégrale du premier joue son rôle habituel: si elle diminue. la réponse à la perturbation rcvient plus rapidement à 0, et l'erreur de traînage sur la réponse à une rampe diminue. - le deuxième terme de W2 permet d'ajuster le compromis entre dépassement sur la réponse à l'échelon et erreur de traînage sur la réponse à une rampe. - le troisième terme de W2, comme dans la synthèse H cr:J standard, permet d'éloigner la réponse en sortie de bande passante de la zone critique dans le plan de Black, et donc d'améliorer la robustessc. On a ainsi choisi:

10

Wd s ) = - s+IO

4s+8

W:!(s) = diag { -.s-'-; 1 ; 20

lf

(7.12)

La synthèse conduit à y min = 2,663, soit une valeur considérée comme asscz faibIc dans cette méthode. Le corrcctcur H cr.: initial d'ordre 5 est réduit à l'ordre 2 (l'ordre du correcteur total passe donc de 7 à 4). La figure 7.1 O.a montre le module de la boucle ouverte avant optimisation H en comparé au même tracé à l'issue de l'optimisation J-J C1l ' avant et après réduction du correcteur. Elle permet de vérifier que le calcul du correcteur (ainsi que la phase de réduction) ne modifie pas fondamentalc111cntl'allure du tracé obtenu par le choix des pré- et postcompensateurs. La figure 7.1 O.b montre les principaux transferts obtenus, qui ont des allures comparables à celles obtenues en synthèse standard. Le diagramme de Black de la boucle ouverte (ligure 7.1 O.c) met en évidence des marges de stabilité satisfaisantes pour le modèle de synthèse. La ~l-analyse a été effectuée dans les mêmes conditions que pour les synthèses précédentes. On obtient pour la robustesse les meilleurs résultats de toutes les synthèses, puisque le maximum de la borne supérieure est égal à 0,601 (figure 7.1 O.t!) : on peut ainsi garantir une marge de module au moins égale à 0,49 pour loute valeur des paramètres dans les intervalles suivants: 1

K.\.tij( E

[0,746 ; 2,270] Nm et l'oad

E

[0,00174 ; 0,01400] Kgm

2

Les réponses fréquentielles en boucle ouverte sont très homogènes avec des résonances qui restent loin du point critique (figure 7.10.e). Les valeurs propres de la boucle fermée (figure 7.1 Of) présentent d'excellents amortissements, les réponses indicielles (figures 7.1 O.g et 7.1 0.1t), présentent des dépassements ct des temps de

114

Commande HO') ct Il-analyse: des ouli1s pour la robustesse

réponses un peu plus importants que ceux demandés, el qui étaienl oblenus par la synthèse standard effectuée dans des consÎtions comparables; par contre elles sont moins oscillantes el plus homogènes.

rir

1/)

rlb

:~s:P\l

10'

!

'SO~"00~

,; S:0

1

10

l

-100

0

-150

Cl

10

10"

W

I

Hi'

'

16'

10

I~BU/b -100

10'" ~-W~~~Ull'~~~~~~~~~~ ·C 1()' la·' 10' 10

1d

-50

Figure 7. JO.b Principal/x transferts, et gabarits correspondanrs

Figllre 7./O.a - COlllrôle du "loop-shape"

Gain (dB)

Bornes supérîeure el inférieure de mu 0,7

100

0.6 0.5

04 -501-··---+---!0.3 0.2

-600

-500

-400

-200

-100

Phase (degrés)

Figure 7./D.c Diagrammes de Black de la boucle Olll'erte corrigée, am/If cr après réduc/ion

i !i f

~

50

-1~90o

·200" 10

0

10

il

1

_

.)

/

1

0.1 Il 10

!

1

~f,;

!t

l·

~, !

1

!I

1

1

1

.ill

i

1

i

!

li

!

~V1'~ 1

li

1

1

l,II

o

..!,~

Il 1

!

II

1

11

10' borne supérieure de mu en w '" 0 --> 0.475

Figure 7./0.d - RésullClts de J-l-clIlalyse

Elude d'un cas d'application

115

Gain (dB) 40

30

20 10

o ·10 -20

-3D -40

·50

'~2oo

·350 ·300 -250 ·200 ·150 -100

·50

o

b 1.5§: 'no"

i

0.5" ............ :................ O·

o

1 Ihela

1 ..............; ......

2

:m.COI"d~ : 1 ............ .,................

·1

a

::m-·"~t'~'~' 0

0.1

2

2

,..,. . .

~

............. .

!............ .

-1 ............. -1.5

1

.

20

0.3 ... 0.2"

Figure 7. JO.g - Répollses il I{/

...........

·····~·~~r.n~~ . . . ..

o.. · : w · : ·0.5'

1

2

OA~lhela ..····r·.... ·...... ·.. O'ffia'~hil

.

1

: ..,...............

.

20

05:" o o

.......

0.1' .............;.

.

1 alpha

o

-iD

jCl1llt!t.!

0.2'

0 ........... :

·20

Figl/re 7.10/ - V,J1curs prol'I'l'S CI! boucle

Figure 7.10.e • Diagrammes de Black de la boucle ouverte corrigée

1.5 1 .............; 10'" . .........

-30

·40

Phase (de\jres)

r~réreJ/ce

o o

0.05'

........ ··ô···· .... ·······

........ ,. ....:

...........

1

Figure 7./0.11 -

O'

-0.0

.........~.............. .. .

............................. .

41 201

RépOIl.H!S

2

cl la perturbatioll

7.7. Conclusion Les deux méthodes de synlhèse fi (synthèse H ~ -standard ou H":l par "loopshaping") ont été appliquées sur ce cas d'étude. Le choix de l'une ou l'autre mélhode peUL être guidé par les connaissances que l'on a li pr;cJri sur le processus. La possibilité d'ajout progressif d'entrée ou de sortie dans le crilère fail de la synthèse H':Fjstandard une très bonne approche pour un problème nécessitant des pondérations diverses, par exemple en présence de bruits ou même de non-linéarités, ou encore pour oplimiser une partie du cahier des charges (telle que le classique compromis entre robustesse el temps de réponse). CF,)

116

Commande Hen et )l-analyse : des outils pour la robustesse

La synthèse H en par "Ioop-shaping" est très cfficace lorsqu'on veut réutiliser les connaissances acquises tors de synlhèses de correcteurs classiques. Ellc pcrmet souvent d'cn améliorer les qualités ou de pouvoir simplement, à partÎr de correcteurs classiques disposés dans chaque boucle de commande, passer à un correcteur multivariable. Enfin ces deux méthodes peuvent en partie être utilisées de façon complémentaire, chacune offrant un point de départ à l'auLre si le besoin s'en rait senlir.

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