Chtoucas de Drinfeld et Conjecture de Ramanujan-Petersson

CHTOUCAS DE DRINFELD ET CONJECTURE DE RAMANUJAN-PETERSSON Laurent LAFFORGUE

SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUEDE FRANCE Publié avec le concours du CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

Laurent Lafforgue (Equipe de recherche associée DO752 du CNRS).

Mots-clés : géométrie algébrique arithmétique, corps de fonctions, variétés modulaires de Drinfeld, représentations automorphes, opérateurs de Hecke, formule des points fixes, formule des traces de Selberg. Code matière AMS 1980 (version 1985) : 11 G, 14 G 25, 11 G 09, 11 F 70, 11 F 60, 14 F 20, 11 F 72.

Table des matières Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Chapitre 1 . D-chtoucas : généralités 1. - Définitions, structures de niveau. opérations . . . . . . . . . . . . . . . 15 a) Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 b) D-chtoucas à droite et à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 c) Structures de niveau en dehors du zéro et du pôle . . . . . 18 d) Les opérations Frobo, Frob, et * . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 e) Les opérateurs de Hecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 f ) Le morphisme det : Chtb., + ~ h t & , . . . . . . . . . . . . . 26

2 . - Représentabilité. Lissité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 . - Chtoucas triviaux . Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4 . - Correspondances de Hecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 a) Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 b) Algèbres de Hecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 c) Correspondances de Hecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 d) Sous-champs des points fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Chapitre II Narasimhan

.

Chtoucas réductibles Filtrations de Harder-

.

1. - V-Chtoucas réductibles . Sous-champs d'iceux . . . . . . . . . . . . . 59 a) Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 b) Les morphismes chtqtr& -+ Chtb,, et

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 x Spec IF,/ Aut E c) Les morphismes chtqtrD? + ~ht;;; et chtsotr;: Spec P,/ Aut E x ~ h t g . , . . . . . . . . . . . 70 d) Les champs Extn., (E. y ) et ExtD>,( y . E) . . . . . . . . . . . 76 ~ h t s o t r z "+ Cht;.,

-

2 . - Filtrations canoniques de Harder.Narasimhan . Applications . . 85 a) Pentes . Filtrations canoniques de Harder-Narasimhan . 85 b) Les sous-champs ouverts ~ h t " ' ~ ' ~ . . . . . . . . . . . . . . 94 c) Les horocycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

.

Chapitre III . Description adélique des chtoucas Nombres de Lefschetz 1. - Rappels : 9-espaces et F,. modules de Dieudonné. d'après Drinfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 2 . - Description à isogénie près des 2)-chtoucas de rang r sur 3.

4.

-

-

Description d'une classe d'isogénies de V-chtoucas

F,

. 110

. . . . . . . . 123

Description des groupoïdes de points fixes . . . . . . . . . . . . . . . 129

5 . - Nombres de Lefschetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 a) Polygones de Harder-Narasimhan . . . . . . . . . . . . . . . . 139 b) DSfinition des nombres de Lefschetz . . . . . . . . . . . . . . 144

6.

-

Expression intégrale des nombres de Lefschetz . . . . . . . . . . . . a) Fonctions de troncature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b) Expression intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c) Transfert pour les termes elliptiques . . . . . . . . . . . . . .

Chapitre IV 1.

-

. Le

Projectivité

cas des V-chtoucas de rang r = 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

2 . - Cohomologie t-adique des schémas ~ h t & I/a" ?

3.

-

147 143 152 158

. . . . . . . . . . . . 166

Généralités sur les représentations admissibles . . . . . . . . . . . . 177 a) Représentations admissibles. Homomorphismes de traces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 b) Corps de rationalité. Corps de définition . . . . . . . . . . . 182 c) Représentations admissibles des produits tensoriels d'algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

4 . - Calcul des traces . Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 a) Formules des traces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 b) Représentations automorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 c) Représentations e-adiques de rF x rF attachées aux représentations automorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 d) Représentations e-adiques de rFattachées aux représentations automorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Chapitre V

. Calcul

des nombres de Lefschetz en rang r 2 2

Polygones canoniques de Harder-Narasimhan et troncatures d'Arthur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 a) Petit dictionnaire des adèles et des fibrés . . . . . . . . . . 217 b) Polygones et filtrations canoniques de Harder-Narasimhan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 c) Troncatures par le polygone canonique . Un peu de combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 d) Conséquences de l'invariance locale . . . . . . . . . . . . . . . 223 e) Conséquences de la compacité du support . . . . . . . . . . 225

. .

.

.

-

Transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 a) Traces tronquées d'Arthur et nombres de Lefschetz . . . 229 b) Une fonction de troncature auxiliaire . . . . . . . . . . . . . 231 c) Première transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 d) Suite et fin du calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Le cas où x a plusieurs facteurs premiers distincts . . . . . . . . . 247 a) Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 b) Démonstration du théorème 10 (i) du paragraphe V.2d 253 Le cas où x est une puissance d'un polynôme irréductible . . . 256 a) Préliminaires sur les sous-groupes de commutateurs et les intégrales orbitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 b) Encore une nouvelle fonction de pente maximale . . . . . 260 c) Introduction d'un facteur de convergence . . . . . . . . . . 264 d) Décomposition par classes de conjugaison et par places 268

Chapitre VI . Formule des traces d'Arthur-Selberg et conjecture de Ramanujan-Petersson 1. - Rappels sur la décomposition spectrale de Langlands . . . . . . . 279 a) Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 b) Degrés . Polygones. Groupes de caractères . . . . . . . . . . 280 c) Paires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 d) Séries d'Eisenstein . Opérateurs d'entrelacement . . . . . 284 e) La décomposition spectrale de Langlands . . . . . . . . . . 287 f ) Expression spectrale des noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

2 . - La formule des traces d'Arthur-Selberg : le côté spectral . . . . 290 a) Une assertion d'intégrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 b) Démonstration de ladite intégrabilité . . . . . . . . . . . . . 292

c) Première transformation des coefficients de Fourier par échange de deux sommations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 8 d) Transformées de Fourier des fonctions de troncature. Condition de recollement d'Arthur . . . . . . . . . . . . . . . 300 e) Calcul des coefficients de Fourier au moyen de l'isométrie de Langlands . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 4 f ) Enoncé des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0 7 3. - Application à la conjecture de Ramanujan-Petersson . . . . . . . . 310 a) Composantes locales. Valeurs propres des opérateurs de Hecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 0 b) Rappels sur les zéros et pôles des opérateurs d'entrelacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 c) Rappels sur les spectres discrets, d'après Mœglin et Waldspurger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 3 d) Enoncé du théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 4 e) Commencement de la démonstration : Application de la formule des traces d'Arthur-Selberg, du théorème des points fixes de Grothendieck-Lefschetz et du théorème de pureté de Deligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 6 f) Fin de la démonstration : Identification de la forme des différents termes dans la formule des traces . . . . . . . . . 319

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

Introduction L'objet principal de ce livre est la conjecture de Ramanujan-Petersson sur les corps de fonctions. Rappelons de quoi il s'agit. On considère F un corps de fonctions dont le corps des constantes IFq est fini à q éléments, F, les complétés de F en les différentes places x, deg, les valuations associées et A l'anneau des adèles de F . Toute représentation admissible irréductible n de GL,(A), r 2 1, est un produit @ n, de représentations admissibles irréductibles des GL,(F,). 2

Pour presque toute x, n, est non ramifiée et il existe dans C X r nombres zl (n,), . . . , z, (T,), bien définis à permutation près, tels que n, soit un sousquotient de l'induite normalisée du caractère ( q F deg(x)zl(nx))degx(')x . . . x (q'"-Tdeg(x)z,(nx))degx(i) de GL1(F,) x x GL1(F,). Quand n, l û : est symétrique par est unitaire, la famille {Izl (n,)l, . . . , Iz,(~,)l} dans i rapport à q Y deg("). D'autre part, à toutes représentations automorphes cuspidales irréductibles unitaires n, n' de GL,(A), GL,,(A), r, r' > 1, est associée la fonction s H L(s, n 8 8 ) de Rankin-Selberg. C'est une fonction rationnelle en qS dont les pôles sont sur les droites Re s = O, Re s = 1. Les deux conjectures suivantes sont bien connues : CONJECTURE 1 (Ramanujan-Petersson). - Soit n une représentation automorphe cuspidale irréductible unitaire de GL,(A). Alors, en toute place r-1 x où n est non ramifiée, on a lzi(nx)1 = q z deg(x),1 5 i 5 r . CONJECTURE 2. - Soient n, n' deux représentations automorphes cuspidales irréductibles unitaires de GL,(A), GL,, (A). Alors tous les zéros de la fonction s H L(s, n 8 7i') sont sur la droite Re s =

S.

Rappelons que Drinfeld a successivement prouvé la conjecture 1 (et même en fait la correspondance de Langlands) dans les cas suivants : quand une des composantes n, de n est la représentation de Steinberg et r = 2, en étudiant la cohomologie à coefficients constants des variétés modulaires classifiant les faisceaux elliptiques de rang 2 (et ce travail a été généralisé par Laumon en rang quelconque) ; quand une des composantes n, de n est supercuspidale et r = 2, en étudiant la cohomologie à coefficients dans certains systèmes locaux des variétés modulaires classifiant les faisceaux elliptiques de rang 2 (et ce travail a été généralisé par Flicker et Kazhdan en rang quelconque) ; quand r = 2, en étudiant la cohomologie des variétés modulaires

classifiant les chtoucas de rang 2. Rappelons d'autre part que dans la situation de la conjecture 1, Jacquet 1-r et Shalika ont obtenu l'encadrement q-4 deg(x) < q z deg(x) lzi (T,) 1 < deg(x), 1 < - i 5 r , et que dans la situation de la conjecture 2, Jacquet, Piatetski-Shapiro, Shahidi et Shalika ont montré que les zéros de la fonction L envisagée sont dans la bande O < Re s < 1. Notre résultat principal est le suivant : THÉORÈME PRINCIPAL. (i) Soit n une représentation automorphe cuspidale irréductible unitaire de GL, ( A ) . Alors : Si r est impair, T vérifie la conjecture 1 et on pose E, = 0 . S i r est pair, ou bien n vérifie la conjecture 1 et on pose E, = 0 , ou bien pour toute place x où IT est non ramifiée, la moitié parmi les zi(T,), 1 5 i 5 r , sont de module q ( ? + a ) d e g ( x ) et l'autre moitié de module q(q deg(z) et on pose E, = +.

a)

(ii) Pour deux telles représentations T, n' de GL,(A), GL,t(A), tous les zéros de L(s, T 8 7r') sont sur la droite Re s = si E, = E,I et sur les droites Res = 31 , Res = $ si E, # E,I . La démonstration de ce théorème est calquée sur celle de Drinfeld en rang 2. On s'intéresse aux modules d'éléments {zi(T,)) et (qS,L(s, n@7r1)= O). L'idée est de relier ces derniers aux valeurs propres de l'opérateur de Frobenius agissant sur la cohomologie à supports compacts d'une certaine variété de type fini sur IF, (en combinant le théorème des points fixes de Grothendieck-Lefschetz et une formule des traces d'Arthur-Selberg convenable) et d'invoquer le théorème de pureté de Deligne. Drinfeld a introduit des objets permettant de réaliser ce projet. Ce sont les variétés (ou plutôt les champs) classifiant les chtoucas de rang r . Ce livre rassemble la thèse de l'auteur (Orsay, 1994) et une prépublication ultérieure (Orsay, 1995). Un résumé en a été présenté dans deux notes parues aux Comptes Rendus de l'Académie des ~ciéncesde Paris (tome 322, série 1, 1996). En voici le contenu détaillé : On commence dans le chapitre 1 par rappeler la définition des chtoucas ainsi que les principales propriétés géométriques de leurs champs classifiant~. Soit X la courbe projective lisse sur IF, dont le corps des fonctions est F. Par souci de généralité et suivant une idée de Stuhler, on introduit également D une algèbre à division centrale de dimension d2 sur F et 27

une Ox-Algèbre finie de fibre générique D qui soit maximale pour cette propriété. Un V-chtouca de rang r sur un schéma S (sur IF,) est un diagramme

où E , &' sont des V [XI Os-Modules à droite localement libres de rang r sur X x S, '& désigne le D [XI Os-Module (Idx x Robs)*&, et j et t sont des homomorphismes D IXI Os-linéaires, injectifs et dont les conoyaux sont supportés respectivement par les graphes de morphismes pôle ,i : S -+ X et zéro io : S -+ X et sont localement libres de rang d comme Os-Modules. X un sous-schéma fermé fini évitant le zéro et le Etant donné I pôle, une structure de niveau I sur un tel V-chtouca consiste en la donnée d'isomorphismes EI -L VIT [XI OS, Ei VT IXI OS compatibles avec j et t. On généralise les résultats de [Drinfeld, 19871 en s'inspirant des arguments de [Laumon, Rapoport, Stuhler]. On prouve que les champs Cht&,I classificant les D-chtoucas de rang r avec structure de niveau I sont algébriques au sens de Deligne-Mumford. L'application qui à un V-chtouca associe son zéro et son pôle définit des morphismes ChtLYI-t X \ I x X \ I qui sont localement de type fini et même lisses de dimension relative 2(rd - 1) au-dessus de X 1 \ I x X1\I, où l'on note XI le plus grand ouvert de X en tous les points fermés duquel l'algèbre D est déployée. Et X , le foncteur pour tous sous-schémas fermés finis emboîtés I c-t J d'oubli Chtl-,,j Cht'-,,, au-dessus de X \ J x X \ J est représentable fini étale galoisien. En notant A le schéma complémentaire dans X x X de la diagonale et de ses transformées par les puissances de (Frobx x Idx) et de (Idx x Frobx), on dispose dans les Cht;,I de deux morphismes de Frobenius partiels Robo et Frob, au-dessus des endomorphismes (Robx x Idx) et (Idx x R o b x ) de A. Leur composé dans un sens ou dans l'autre est le morphisme de Frobenius. Soient a E AX un idèle de degré 1, DA l'ordre maximal dans DA = D g F A qui correspond à V, G le schéma en groupes sur F des automorphismes de E = DT, K le sous-groupe ouvert compact maximal GLT(VA)de GL,(DA) = G(A), 7-f l'algèbre de Hecke de G(A) c'est-à-dire l'algèbre de convolution des fonctions localement constantes à support compact de G(A) dans Q et, pour tout I -+ X , Z r la sous-algèbre des fonctions invariantes à gauche et à droite par KI = Ker[K -t GLT(VI)]. Alors on dispose sur le champ représentable @Chtl-,,I/ a z d'une action

-

-

-

I

à droite de G(A). Elle est équivalente à la donnée, pour tout I

~t

X, d'un

homomorphisme de 'FII dans l'anneau des correspondances finies étales de Chtb,I/a". Les champs Cht&,I/a" sont localement de type fini et n'ont qu'un nombre fini de composantes connexes mais, pour r _> 2, ils ne sont pas de type fini. On cherche donc dans le chapitre II à les écrire de façon aussi naturelle que possible comme des réunions filtrantes d'ouverts de type fini, en généralisant le dernier paragraphe de [Drinfeld, 19871 qui traite le cas D= F,r=2. Dans ce but, on choisit de recourir aux notions de filtrations et polygones canoniques de Harder-Narasimhan. Pour cela il nous faut, étant donné S = Spec K le spectre d'un corps algébriquement clos, disposer d'une fonction rang et d'une fonction degré sur les objets de la catégorie abélienne des diagrammes

E=

(E LE' + T -E)t

où E , &' sont des D €3 K-Modules cohérents et j , t induisent des isomorphismes au-dessus d'un ouvert non vide. Comme fonction rang on prendra évidemment rg 2 = rg £ = rg£'. En revanche, les deux fonctions deg(det E) et deg(det E') sont distinctes et aucune ne paraît préférable à l'autre. On est donc amené à introduire un paramètre réel a et à définir la famille de fonctions deg, E = a deg(det £) (1 - a)deg(det &') . Pour tout réel a et tout polygone p : [O,r] -t R+, on construit maintenant des ouverts ~ h t 2 : ~ ' ~dans les Chtb,I en demandant que a-canonique de Harder-Narasimhan soit majoré par p. Les le polygone cht"Prn

+

1-

V J

'D,I

Pour tous polygones p, q avec O 5 p 5 q, on décrit aussi les différences entre les Cht;;jSq et les ~ht2:;" comme des réunions finies disjointes de strates, les horocycles. Chaque horocycle est plongé par une immersion localement fermé et il est muni par ailleurs d'un morphisme lisse dans un ~ht;;?.~'O avec r' < r, morphisme dont les fibres sont des groupes commutatifs unipotents. Dans le chapitre III, on considère O, oo deux places distinctes de F correspondant à des points fermés de X', u',s' 2 1 deux entiers et u = u' deg(O), s = sldeg(oo), et f' E 'FI une fonction sur G(A) de la forme

f' = f, @ @ fo où f, et fo sont les fonctions caractéristiques de GLT(D,) S GLTd(O,) et GLT(Do)S GLTd(Oo)sur GLT(D,) = G(F,) et GLT(Do)= G(Fo). Etant donnés 0, deux points de X au-dessus de O, oo à valeurs dans une clôture algébrique IF, de F, et I ~t X un sousschéma fermé fini tel que f ' E 'FII, on s'intéresse à l'ensemble (ou plutôt au groupoïde, car il y a des groupes finis d'automorphismes) des points fixes du composé de la correspondance associée à f ' et des morphismes Rob: et Rob; dans la fibre Chtp,Iqo3m/a" de Cht&,I/a" au-dessus de (O,=). . . On commence par décrire le groupoïde ChtD21,G,_(Fq)/a",classant pour cela les objets par classes d'isogénies c'est-à-dire regroupant entre eux les chtoucas ayant même fibre générique. Puis on obtient une description en termes adéliques du groupoïde de points fixes considéré. Tout ceci est dû à Drinfeld. Ce groupoïde est infini en général mais pour tout polygone p : [O, r] + R+ et tout paramètre réel a il n'y a qu'un nombre fini de points fixes dont le polygone a-canonique de Harder-Narasimhan soit majoré par p. On appelle nombre de Lefschetz leur cardinal compté avec multiplicités, noté fm10

,

LefT,Py,a
v

(f">O,u, 4 .

Comme fonction de a, ce nombre est périodique et il est localement constant en-dehors d'un réseau affine de IR dont la période est rationnelle. Dans le cas particulier où u = s et le support de la fonction f' est contenu dans K A X ,ce nombre n'est autre que le cardinal de l'ensemble des points fixes du composé de la correspondance associée à f' et du morphisme T,P, IP Frobg Rob; = FrobY agissant sur l'ouvert de type fini Cht,,I,o,_/a" (qui est un schéma si deg I est assez grand en fonction de p). D'après le théorème des points fixes de Grothendieck-Lefschetz, il s'interprète comme la trace de ce composé agissant sur la cohomologie à supports compacts de cet ouvert. On donne dans le cas général une première expression pour ces nombres de Lefschetz. C'est une somme sur certaines des classes de conjugaison dans G ( F ) , celles dites (u, s)-admissibles, d'expressions intégrales adéliques qui font intervenir la fonction f W $ O ainsi que des fonctions de troncature associées à p et a. Pour celles de ces classes de conjugaison qui sont elliptiques, il n'y a pas de troncature et on obtient en définitive des intégrales orbitales de la fonction f&S @ f 8 f$ où f&S et f$ sont certaines fonctions sphériques introduites par Drinfeld. "1'

Le cas particulier du rang r

= 1, étudié

dans le chapitre IV, fournit un

modèle simple de tout ce qu'on voudrait faire grâce aux chtoucas. Comme dans [Laumon, Rapoport, Stuhler], on prouve d'abord que chaque c h t h I/a" est représentable, projectif et lisse de dimension relative 2(d - 1) au-dessus de Xt\I x X t \ I . Ceci correspond du côté géométrique à la compacité du quotient D X\ D i /az du côté adélique. Ainsi dispose-t-on des espaces de cohomologie t-adique HZ,,I,O 5 n 5 4(d - l), de la fibre générique. Ils sont munis d'une action du groupe de Galois du corps des fonctions de X x X, et aussi de Frobo et Frob,. D'après un théorème de [Drinfeld, 19781, elles équivalent à la donnée d'une action du carré rF x rF du groupe de Galois rF de F. Et commutant avec celle-ci, chaque HZ,,I est encore muni d'une action de 7-11. Ainsi, chaque Hg = @HgsI est muni d'une action de 'FI = Q'FII et pour I

I

tout 1,Hg C HZ, est l'image de l'opérateur induit par l'élément neutre de l'algèbre 'HI. On cherche à décrire la représentation virtuelle

de 'FI x rFx TF. Pour cela, il suffit de calculer les traces TrHg (f' x x ~2') avec O, m , f' = f, @ f w0@ fo, ut, s' comme plus haut et 70, T, deux éléments de Frobenius de en les places O, oo. Pour u = u' deg(O), s = sldeg(m) et f ' E 3-11, une telle trace est égale par définition de l'action de 7-1 x rFx rF à celle sur la cohomologie de ~ h t h , , / a " du composé de la correspondance associée à f' et des morphismes Frob: et Frobk. D'après le théorème des points fixes de Grothendieck-Lefschetz et le calcul du chapitre III, elle est égale à

rcY'

rF

qui n'est autre que la trace dans l'espace Aut des formes automorphes sur G(F)\G(A)/~" de l'opérateur de convolution associé à f;" @ f @ f,". On obtient en définitive que sur une clôture algébrique C de Qe, la représentation HG peut se mettre sous la forme

ot

"1'

où II décrit l'ensemble des facteurs irréductibles de Aut, chaque m'(II) est un entier divisant la multiplicité m(lT) de II et chaque ?*(II) est une

(TA)" J-s,

représentation semisimple de rFde dimension d désignant la représentation duale. De plus est non ramifiée partout où II est non ramifiée et il existe un ouvert non vide de X où la fonction L de TG est

TA

égale à celle de Ii élevée à la puissance

,/B.

Le chapitre V a pour objet d'exprimer les nombres de Lefschetz définis au chapitre III comme les traces tronquées d'Arthur de certaines fonctions sur G(A)/aZ. On commence, ayant rappelé la correspondance entre fibrés et adèles, par relier les troncatures par le polygone canonique de Harder-Narasimhan et celles d'Arthur. Les manipulations nécessaires sont basées sur trois principes simples. Le premier, de nature combinatoire, consiste, quand on considère une somme alternée indexée par toutes les filtrations d'un certain fibré, à regrouper entre elles les filtrations qui ont le même raffinement canonique de Harder-Narasimhan. Le second consiste à exploiter l'invariance locale des fonctions considérées pour remplacer des sommes discrètes par des intégrales continues. Le troisième enfin permet de limiter certaines sommations sur G(F)à des sous-groupes paraboliques en usant de la compacité du support des fonctions considérées. La définition de la trace tronquée TrSp(h) d'une fonction h localement constante à support compact sur G(A)/aZpar un polygone p : [O, r] + IR est calquée sur celle d'Arthur dans le cas des corps de nombres. Quand h est d'un certain type, on introduit également des variantes Trdp(h)qui sont des fonctions en escalier et périodiques de la variable réelle a et qui valent TrSp(h) en a = 0. On montre - que, sous certaines conditions, les deux fonctions périodiques a L e f ~ w (fm>', < ~u , s) et a t-t T'rdp( fgs@I f m,O @I f;) ont la même

-

valeur moyenne. La raison pour laquelle il faut considérer des moyennes est que les fonctions degrés qui servent à définir les troncatures sont à valeurs discrètes : elles font intervenir des intersections de réseaux et de domaines bornés ; or le cardinal d'une telle intersection n'a pas d'expression simple mais sa moyenne sur tous les translatés du domaine considéré est le quotient du volume de ce domaine par celui du réseau. La démonstration de cette formule passe par celle d'un résultat général portant sur les sommes

indexées par les y E G(F)de polynôme caractéristique X , = x fixé. On montre que si h vérifie certaines propriétés d'annulation en au moins deux

places alors l'intégrale de cette expression (qui est à support compact sur G(F)\G(A)/u") est nulle si x a au moins deux facteurs premiers distincts et sinon est égale à l'intégrale de la même somme restreinte aux y qui sont elliptiques. La démonstration de la seconde assertion, qui est la plus difficile, généralise un argument qui se trouve dans [Gelbart, Jacquet] pour ie cas r = 2, D = F ; elle fait intervenir certains produits eulériens sur toutes les places. Dans le chapitre VI enfin, on transpose sur les corps de fonctions la formule des traces d'Arthur-Selberg (qui consiste à exprimer en termes spectraux les traces tronquées d'Arthur) puis on applique celle-ci aux fonctions f,' @ @ ce qui, par combinaison avec la formule du chapitre V, permet de démontrer notre théorème principal. On commence par rappeler l'énoncé de la décomposition spectrale de Langlands, à partir des notions de séries d'Eisenstein et d'opérateurs d'entrelacement de Langlands. Les objets sont ici plus faciles à manipuler que sur les corps de nombres du fait que les fonctions degrés sont à valeurs dans Z (au lieu de R) dont le dual R/Z est compact (contrairement à IR). En particulier la partie discrète dans la représentation L2(G(F)\G(A)/aZ) de G(A) est une représentation admissible. L'énoncé de la formule des traces d'Arthur-Selberg est évidemment semblable à celui dans le cas des corps de nombres. En revanche, nous en donnons ici une démonstration différente de celle d'Arthur, basée sur le seul énoncé de la décomposition spectrale de Langlands. Nous faisons un calcul direct, sans passer par des comparaisons asymptotiques et qui consiste essentiellement à appliquer la formule d'inversion de Fourier à certaines fonctions périodiques que l'on introduit. La démonstration proprement dite de notre théorème principal se fait simultanément pour les assertions (i) et (ii), par récurrence forte sur la somme des rangs. On combine la formule de comptage du chapitre V, la formule des traces d'Arthur-Selberg, le théorème des points fixes de Grothendieck-Lefschetz et le théorème de pureté de Deligne. On se sert également des encadrements de Jacquet, Shalika et Jacquet, PiatetskiShapiro, Shahidi, Shalika déjà cités ainsi que de la description par Mœglin et Waldspurger du spectre discret des GL,(A). fm10

fz

Je tiens à exprimer ma très profonde gratitude envers Gérard Laumon qui m'a introduit à la géométrie des chtoucas puis à la formule des traces d'Arthur-Selberg et a dirigé ma thèse. Il m'a consacré un temps considérable, aussi bien pour me communiquer au jour le jour ses connaissances que pour relire avec un soin scrupuleux le texte que je lui soumettais, et

il n'a cessé de me prodiguer ses encouragements lesquels ont été pour moi un soutien très fort. Je remercie également Jean-Loup Waldspurger d'avoir eu la patience de lire la partie spectrale de la démonstration et de m'avoir fait corriger plusieurs erreurs. Je remercie Laurent Clozel et Guy Henniart pour d'utiles discussions. Enfin, j'exprime ma très vive reconnaissance envers Mme Bonnardel et Mme Le Bronnec qui ont assuré avec une compétence et une patience remarquables la saisie entière du manuscrit.

Chapitre 1 D-chtoucas : généralités

1. - Définitions, s t r u c t u r e s de niveau, opérations

Ce paragraphe est constitué de généralisations de notions introduites par Drinfeld et Stuhler. a ) Notations Fixons une fois pour toutes une courbe projective lisse géométriquement connexe X sur un corps fini IF,. On note F son corps des fonctions. Ainsi, leur les places de F s'identifient aux points fermés de X. On note ensemble. Pour toute place x de F, on note : F, le complété x-adique de F, 0, l'anneau des entiers de F,, a, un élément uniformisant, n(x) le corps résiduel de O,, deg(x) la dimension de n(x) sur IF,, 0 x : F,X -t Z la valuation de F,, telle que x(w,) = 1. On notera A l'anneau des adèles de F et Oa son sous-anneau des entiers. On dispose de l'homomorphisme de groupes

1x1

deg: A X -t Z

Fixons aussi une fois pour toutes D une algèbre à division centrale sur F, de dimension finie d2. Soit D une Ox-Algèbre, c'est-à-dire un faisceau d'algèbres sur X , localement libre de rang d2 comme Ox-Module, et dont la fibre générique est D. On notera X' le plus grand ouvert de X où pour tout point fermé x D, est isomorphe à GLd(O,). A remarquer qu'on dispose de la Ox-Algèbre opposée DOpdont la fibre générique est la F-algèbre opposée DOp. Si f : Y -+ X est un schéma sur X , on notera (.)V le foncteur qui à tout f *D-Module à droite £ sur Y associe le f *DOp-Moduleà droite sur Y

Tous les schémas (ou les champs) considérés seront sur IF,. Et si, Y, Z sont deux tels objets, Y x Z désignera leur produit sur IF,. Si S est un schéma sur IF,, on notera R o b : S -+ S le morphisme qui est l'identité sur l'ensemble sous-jacent et qui sur le faisceau de structure O s est l'élévation à la puissance q. Et si X est un champ sur IF,, on notera Frob : X -t X le morphisme qui pour tout schéma S sur IF, induit le foncteur

Cette définition est compatible avec la précédente lorsque X est en fait un schéma. Ces morphismes Frob seront appelés morphismes de Frobenius.

b) 23-chtoucas à d r o i t e et à g a u c h e DÉFINITION1. - Pour r > 1 u n entier et S u n schéma, on appelle V-chtouca à droite [resp. à gauche] de rang r sur S tout diagramme

'£

[resp.

où :

'5 et '5' sont des V IXI Os-Modules à droite localement libres de rang r (et a fortiori des OxXs-Modules localement libres de rang r d 2 ) ; '& désigne le V IXI Os-Module (Idx x Frob)*&; j et t sont des homomorphismes V [XI Os-linéaires, injectifs et dont les conoyaux sont supportés respectivement par les graphes de morphismes i,:S-+X etio:S-+X; j et t ont leurs conoyaux localement libres de rang d comme O s Modules ; les homomorphismes duaux jV et tV ont leurs conoyaux localement libres de rang d comme Os-Modules. R e m a r q u e : Lorsque i , : S -t X [resp. io : S + X ] est à valeurs dans l'ouvert X', les conditions sur les conoyaux de j et jV [resp. de t et t V ] dans la définition sont équivalentes. [1

A partir du paragraphe 1.2, on n'étudiera plus que les D-chtoucas à droite, et on dira alors plus simplement D-chtoucas. Toujours pour r 1 un entier et S un schéma, et étant donnés deux D-chtoucas (à droite) de rang r sur S (£1, E{,jl, t l ) et (£2, £4, j2,t2), il est naturel d'appeler morphisme de l'un dans l'autre la donnée de deux morphismes D [XI Os-linéaires f : El -+ £2 et f' : El -+ El, tels que soit commutatif le diagramme :

>

Et de même s'agissant des D-chtoucas à gauche. On notera Cht&(S) [resp. bCht(S)] la catégorie dont les objets sont les D-chtoucas à droite [resp. à gauche] de rang r sur S et dont les flèches sont les isomorphismes de D-chtoucas. Maintenant, si S' + S est un morphisme de schémas, le foncteur d'image réciproque . 80, Os) de la catégorie des Modules sur D [XI Os dans celle des Modules sur D [XI Os/ induit un foncteur

[resp.

&Cht(S)

-

LCht(Sf)].

Ainsi, la collection des Cht&(S) [resp. &Cht(S)] quand S décrit la catégorie des schémas sur IF, définit une catégorie fibrée. Il est immédiat que c'est un champ pour la topologie f.p.q.c., cf. [Laumon, Moret-Bailly]. On notera ce champ Chtb [resp. &Cht]. Les applications ( £ , E t , j , t ) ++ (io, 2,) définissent un morphisme de champs

[resp.

&Cht

-

X x XI

dont les deux composantes sont appelées respectivement le zéro et le pôle, et sont notées O et oo.

On remarque que si (E, E', j , t ) est un V-chtouca à droite [resp. à gauche] de rang r sur un schéma S, dont le zéro et le pôle ne se rencontrent pas c'est-à-dire tel que le morphisme (io,,i ) : S -. X x X se factorise à travers l'ouvert complémentaire de la diagonale Ax de X x X , alors le diagramme

'E

1

[resp. E'

&'

4

'E

se complète en un diagramme à la fois cartésien et cocartésien de D IE3 OsModules

Eu

&

v'

[resp.

7t

8'

A'

Y'J

'&

E" ]

'&

et (E, Et', j', t') définit un V-chtouca à gauche [resp. à droite] de rang r sur S, qui a même zéro et même pôle que (8, &', j , t). De plus, cette construction est fonctorielle. Ceci prouve qu'au-dessus de l'ouvert X x X - Ax, les champs Chtb et LCht sont naturellement équivalents.

c) Structures de niveau en dehors du zéro et du pôle

>

DÉFINITION2. - Soient r 1 un entier et I L. X un sous-schéma fermé fini. Une structure de niveau I sur un V-chtouca à droite [resp. à gauche] (E, &', j , t ) de rang r sur un schéma S consiste en la donnée d'isomorphismes de Or,s -Modules

compatibles aux actions de DI et tels que le diagramme

~ I X S

EIXS

[resp.

soit commutatif. Remarque : Il résulte de cette définition que si io, i, : S + X sont le zéro et le pôle du ID-chtouca considéré, leur image doit rester dans l'ouvert X\I complémentaire de I dans X .

O

£4,

Si (El, E: ,ji ,tl) et (12, j2,t2) sont deux D-chtoucas à droite [resp. à gauche] de rang r sur un schéma S, munis de structures de niveau I (il, i i ) et (i2,i;), on appelle morphisme de l'un dans l'autre tout couple d'homomorphismes f : El + 12,f' : E{ -+ E; qui définisse un morphisme .I O i2 = z2. de V-chtoucas et qui de plus vérifie f s O il = i2,f On notera Cht&,I(S) [resp. &ChtI(S)] la catégorie dont les objets sont les 2)-chtoucas à droite [resp. à gauche] de rang r avec structure de niveau I sur le schéma S et dont les flèches sont les isomorphismes de tels objets. Si S' + S est un morphisme de schémas, on a un foncteur induit

I

) bCht~(S')] Cht&,I(S)-+ Cht&,,(Sr) [resp. b C h t ~ ( S + Ainsi, la collection des Cht&,I(S) [resp. bChtr(S1)] quand S décrit la catégorie des schémas sur F, définit une catégorie fibrée. Il est immédiat que c'est un champ pour la topologie f.p.q.c. On notera ce champ Chtb,, [resp. &ChtI]. Si I J -+ X sont des sous-schémas fermés finis emboîtés de X, tout D-chtouca (E, Et, j, t ) sur un schéma S qui est muni d'une structure de niveau J est a fortiori muni d'une structure de niveau I puisque

-

OI = DI et ( I J X s@O, ) OI DJ canonique de champs Chtb,

-t

Chtb,,

=

I I X s . On a donc un morphisme

.

[resp. bCht J

+bCht~]

Bien sûr, lorsque I = 0, on a Chtb,@= Chtb [resp. bChtO = bCht] donc pour tout sous-schéma fermé fini I de X , on a un morphisme canonique de champs Cht&,I -+ Chtb [resp. &ChtI --+ bCht] .

Et d'après la remarque qui suit la définition 2, le morphisme composé

[resp. &ChtI + bCht

-+ X

x X]

se factorise à travers l'ouvert (X\I) x (X\I) de X x X . Enfin, on note que les champs Chtb,I et bChtI s'identifient au-dessus de (X\I) x (X\I) - A,\,.

d) Les opérations Frobo, F'rob,

et

*

Soit r 2 1 un entier. On remarque que si le diagramme

définit un D-chtouca à droite [resp. à gauche] de rang r sur un schéma S, avec pour zéro io : S + X et pour pôle i, : S -. X , alors le diagramme

&'

&'

tr

'4 [resp.

\'J'

't/"

I

définit un D-chtouca à gauche [resp. à droite] de rang r sur S, dont le zéro est io [resp. io O Robs = Frobx oio] et dont le pôle est i, o Robs = Robx oz, [resp. i,]. De plus, ces constructions sont fonctorielles. On définit ainsi des morphismes de champs : Chtr, + LCht

Frob,

Frobo : bCht

-+

Chtr,

qui rendent commutatifs les diagrammes :

Chtr,

x x x

Frob,

Chtr,

5Cht

-

-

x x x

x x x

x x x

Frobx x I d x

I d x x Frobx

De plus, il est immédiat que les morphismes composés F'robo O Frob, et Rob, o Robo sont égaux aux morphismes de Frobenius dans Cht; et bCht respectivement. Enfin, les morphismes Frob, et Robo se relèvent trivialement, pour tout sous-schéma fermé fini I r X , en des morphismes Frob,

: Cht&,I -t

I;>ChtI Frobo : 7;Chtl

-t

Cht';,I

qui vérifient encore Rob,

0

Robo = Frob

Frobo 0 Frob,

= Frob

.

Rappelons aussi qu'au-dessus de X x X - Ax, les champs Cht; et 5Cht peuvent être identifiés. Si donc on définit le schéma A sur F, comme la limite projective de tous les ouverts de X x X obtenus comme complémentaires des transformés de Ax par les puissances de Idx x Frobx et de Robx xIdx, on voit que Frobo et Frob, deviennent des endomorphismes de Chtg au-dessus de A. Leur composé dans un sens ou dans l'autre est le morphisme de Frobenius. Par ailleurs, si (&, El, j, t) est un D-chtouca à droite [resp. à gauche] sur un schéma S, alors la famille duale (EV,& I V , jV,t V )obtenue en appliquant au diagramme (&, El, j, t ) le foncteur contravariant HomDrxio,(., DIXIOs) = (.)Vdéfinit un DOp-chtoucaà gauche [resp. à droite] sur S, et le zéro et le pôle sont échangés. De plus, ces constructions sont fonctorielles.

On définit ainsi des morphismes de champs

* : Chtl;,

-t

L,,Cht

* : LCht -+ Chtl;,,,

au-dessus du morphisme de permutation de X x X . Ils se relèvent trivialement, pour tout sous-schéma fermé fini I des morphismes

~f

X , en

Et sont vérifiées les identités

* * = Id , * 0

0

F'robooO* = Robo

, * 0 F'robo O*

= F'rob,

.

Enfin, au-dessus de X x X - Ax, on a le morphisme induit * : Chtl;, -t Chtl;,,, dont on remarque que c'est même une involution de Chtl;, lorsque V et Vop sont isomorphes et en particulier si D = F, d = 1, V = Qx.

e) Les opérateurs de Hecke Remarquons que si (&, El, j, t) est un V-chtouca de rang r sur un schéma S et f est un faisceau inversible sur X , alors (f @ E, f @ Er,Idr @ j, IdL 8 t) définit un V-chtouca de rang r sur S . De plus, si (E, Er,j, t) est muni d'une structure de niveau I et C est muni d'une structure de niveau I c'est-à-dire d'un isomorphisme de QI-Modules

alors (C 8 E , f 8 El, IdL 8 j, IdL 8 t) est également muni d'une structure de niveau I . Et ces constructions sont fonctorielles. t est un sous-schéma fermé fini et si Picr(X) Par conséquent, si I ~ - - X désigne le groupe des faisceaux inversibles sur X munis d'une structure de niveau 1,alors Picr(X) agit sur le champ Chtl;,,I [resp. LChtI]. En particulier, le groupe de Picard Pic(X) = PicO(X)agit sur le champ Chtl;, [resp. LCht]. Et pour I -+ J ~t X deux sous-schémas fermés finis emboîtés de X , l'action de PicJ(X) et celle de PicI(X) sont compatibles via l'homomorphisme de groupes PicJ(X) -t PicI(X) et le morphisme de champs Cht&,j-+ Cht&,I [resp. GChtj -+ &ChtI]. Par ailleurs, si (E, E', j, t ) est un 23-chtouca de rang r sur un schéma S , (i : V l rxi Os Er S; z1 : 2); rxi Os 2; Eix s) est une structure de niveau I

sur (E, Et, j, t ) et g est un élément du groupe GL, (VI) c Aut (23; [XI Os), alors (i O g; i' O g ) définit une nouvelle structure de niveau I sur (E, Et, j, t ) . Et ces constructions sont fonctorielles. Ainsi, pour tout sous-schéma fermé fini I ~f X , on a une action à droite du groupe GLT(VI) sur le champ ChtLII [resp. &ChtI]. Et pour I -+ J -+ X deux sous-schémas fermés finis emboîtés de X , l'action à droite de GL,(DJ) et celle de GLT(DI) sont compatibles via l'homomorphisme de groupes GL,(Vj) -+ GLT(VI) et le morphisme de champs C h t 2 , j -+ Chtb,r [resp. &ChtJ -+ &ChtI]. Considérons maintenant T un ensemble fini de points fermés de X . On introduit le champ ~ h t =r @ ChtL,I [resp. b c h t T = @ Dchtr] InT=@ InT4 où I décrit le système inductif filtrant des sous-schémas fermés finis de X qui ne rencontrent pas T. Les morphismes zéro et pôle de ~ h t ; [resp. ~ &chtT] dans X se facOx,,) le schéma localisé de X le long torisent à travers X(T) = Spec(

n

Et d'après ce qui précéde, on a sur le champ ~ h t ;[resp. ~ &chtT] une action du groupe commutatif p i c T ( x ) = @ PicI(X) et une action à InT=0 droite du groupe & GLT(VI). InT=0 Rappelons qu'on a noté A l'anneau des adèles de F et O* = O, 4 X l

F, et

son sous-anneau des entiers. Introduisons les idéaux AT =

oT=

n

zE

0%et les anneaux quotients

T

oT= O*/OT puis et (FX)T = FXno;,

= A/AT,

zE T

A; = Ker(AX -+ (AT)'), 0; = Ker(O2 + (OT)') le sous-groupe de FXconstitué des éléments qui sont des unités en toutes les places dans T. On remarque que l'on a des isomorphismes canoniques p i c T ( x ) = @ Picr ( X ) InT=0 (préservant les degrés), et

" FX\AX/O;

2 (F')~\(A~)

Or (AT) s'identifie au centre et GLT(V@O, OT) à un sous-groupe du groupe GLr(V @O, AT) = GLT(D@ F AT) = GL,(D:). Nous allons définir sur le champ ~ h t ;[resp. ~ b c h t T ] une action à droite du groupe GL,(D;) qui prolonge les actions déjà définies des sous-groupes (AT) et GLT(V @O, OT). Pour cela, introduisons le semi-groupe

Il est immédiat que GL,(D:) est engendré par r et (AT)X.Donc il suffit de définir une action de r sur le champ c h t g T [resp. b c h t T ] qui prolonge celle de GLT(V€30, OT) et qui coïncide avec celle de (AT) sur l'intersection I' n (AT) = (AT) n OT. Soit donc g t Y, et soit (El, El7jlrtl) un objet de ~ h t ; ~ ( [resp. ~ ) b c h t T ( s ) ] . Il est muni d'isomorphismes

, KI L'élément g de M,(V@Ox OT) induit un endomorphisme de ( ' D @ ~oT)' Os. Via il et i;, il induit aussi des endomorphismes de El 80, OT et Ei @O, OT, notés [g] et [g]' respectivement. On cherche à définir le V-chtouca (E2,E;, j2,tz) = (El, E:, ji,t1)g. Tout d'abord, prenons pour E2 et E; les VIXIOs-Modules obtenus comme produits fibrés dans les diagrammes :

On remarque que [ g ] et [g]' sont des homomorphismes injectifs et que leurs conoyaux sont plats sur Os. De plus, les homomorphismes composés

sont surjectifs. Cela résulte de ce qu'ils deviennent surjectifs quand transformés par le foncteur @O, OT puisque e

Ainsi, on a des suites exactes

On en déduit que la formation de £2 et ES commute aux changements de base, et que E2 et Eh sont plats sur Os et même localement libres de rang rd2 sur O X x S . Par tensorisation, on a aussi des suites exactes

Donc ,L? et

p'

induisent des isomorphismes

Ceci prouve qu'en dehors de T , E2 et ES sont localement libres de rang r sur D [XI Os. Et ils le sont aussi au-dessus de T puisque là y et y' sont des isomorphismes. Maintenant, définissons les homomorphismes j2,t2 comme étant ceux induits par jl , t l dans les sous-Modules E2, ES, de El, Ei , 'El. Et mettons sur (E2,ES, j2,t2) la structure de niveau constituée des isomorphismes composés

Comme on a vu, cette construction est fonctorielle, et elle répond clairement aux questions posées.

Rappelons maintenant que pour tout sous-schéma fermé I défini des morphismes :

-

X , on a

Alors Frob, et Frobo commutent aux actions de PicI(X) et GL,(VI). Et * transforme les actions de PicI(X) et GL,(DI) en celles de PicI(X) et GL, (2)Ip) via les homomorphismes

Puis, pour T un ensemble fini de points fermés de X, on obtient par limite projective des opérateurs

qui vérifient Frob, *o*=Id

Robo = F'rob F'robo 0 F'rob, = R o b * 0 F'rob, O* = F'robo * O Robo O* = Frob,

0

.

De plus, Rob, et Frobo commutent à l'action de Hecke de GL,(DT) et * transforme l'action de GL, ( D z ) en celle de GL, (DlpT, via l~homomorphisme g H g-l. Enfin, on note que ~ h t ' Z et ) b c h t T s'identifient naturellement au-dessus de X(T) X(T) - A x ( ~ .

f ) Le morphisme det : ChtLtI

-

~ht;,,,

LEMME3. - Soit r 2 1 u n entier. Il existe u n unique morphisme de schémas en monoiites sur X det : M,(2))

-

Ox

qui, au-dessus du point générique de X , coincide avec le morphisme de norme réduite.

Et de plus, le morphisme (det)d : MT(V) morphisme évident hrd2: MT(V)+ Ox

-

Ox coiizcide avec le

.

Démonstration : On sait que localement pour la topologie étale, la Ox-Algèbre V se plonge dans Md(Ox). Autrement dit, on peut choisir un recouvrement étale YI de X muni d'un plongement de Oyl-Algèbres il : D 8 0y1

Md(0y1)

qui est un isomorphisme en chaque point générique de Yi. Et si Y2 est un autre recouvrement étale de X, muni d'un autre plongement 22 : 2) 8 OY, Md(Oyz) alors en chaque point générique de Yl x x Y2, les deux isomorphismes

-

induits par il et i2 se déduisent l'un de l'autre par conjugaison. On considère maintenant l'homomorphisme composé det ozi : MT(V@ Oyl) -+

-

MTd(Oy1)

Pour tout (Y2,i2), les homomorphismes det oil : MT(V@ Oyl)

--

det oi2 : MT(V@ OYZ)

Oy1 .

Oy, OYz

induisent sur YI x x Y2 des homomorphismes égaux MT(D @ Oyl Box OY,)

=

Oyl x x y z

puisque coïncidant aux points génériques de Yl x x Y2. En particulier, les deux homomorphismes sur Yi x x Yi

déduits de det ozl via les deux projections, sont identiques, ce qui signifie par descente étale que det oil provient d'un homomorphisme de schémas en monoïdes sur X det : MT(D) Ox .

-

Et toujours d'après ce qui précède, il ne dépend pas du choix de (Yl, il). Au-dessus du point générique de X , il coïncide évidemment avec le morphisme de norme réduite. Enfin, les homomorphismes (det)d et hrdZsont égaux car ils coïncident au-dessus du point générique de X.

0

-

En particulier, on a un homomorphisme de schémas en groupes sur X GLl (Ox) ,

det : GL,(D)

et pour tout sous-schéma fermé I r X , on a par changement de base un homomorphisme det : GLr(DI) GL1(OI) .

-

Ainsi, det induit encore un homomorphisme Ker[GL,(D)

GL,(Dr)]

Ker[GLi (Ox)

-

GL1(Or)] .

Notons V ~ C D[resp. , ~ pour r' > 1, ~ e c $ ~le, champ ~ ] sur IF, qui classifie les D-Modules à droite [resp. les Ox-Modules] E sur X , localement libres de rang r [resp. r'] et munis d'une structure de niveau Il c'est-à-dire d'un isomorphisme de DI-Modules [resp. de Or-Modules] (DI)'

z Er

Z£Il .

[resp.

Autrement dit, VecLZI [resp. ~ e c $ ~est , ~le] champ classifiant du schéma en groupes sur X

On voit maintenant que l'homomorphisme det induit un morphisme de champs sur IFq 1 det : V ~ C ; , ~ VecOx .

-

-

,,

Mieux encore, comme det : GL,(D) --+ GLl(Ox) provient de det : Mr(D) O x , on voit que si S est un schéma sur IF,, f i et £2 deux D €4 Os-Modules à droite sur X x S, localement libres de rang r et munis E2 est un homomorphisme DIXIOsde structures de niveau I , et si u : El linéaire, respectant les structures de niveau, on a un homomorphisme induit det u : det El

det E2 .

De plus, la section (det u ) de ~ (det &2)d@(detEl)-d s'identifie à la section hrd2 u de (hrd2E2) @ (ilrd2El)-l. En particulier, lorsque u est génériquement inversible dans toute fibre au-dessus de S, on a l'égalité entre diviseurs de Cartier (det u)

=

1 -(hpd2 d U)

.

Il est clair maintenant que les foncteurs

(1,I',j, t ) -+I

(det £, det I',det j, det t )

définissent des morphismes de champs det : Chtb,I det : bChtI

-

1 Chtox,I

&,chtI .

Ils commutent à l'action de F'rob,, Robo et *. Et ils sont compatibles aux actions de PicI(X), GLr(VI) et GLi(OI) via les homomorphismes PicI ( X ) --+ PicI (X)

9

GL(VI)

g

GLI (01)

--+

gTd H

det g

Enfin, pour T un ensemble fini de points fermés de X , on obtient par limite projective des morphismes de champs

et un homomorphisme de groupes det : GL,(D:)

-

G L (~A ~ )

qui sont compatibles.

Lissité A partir de maintenant, on n'étudiera plus que les V-chtoucas à droite. Commençons par prouver la proposition générale suivante : 2.

- Représentabilité.

PROPOSITION 1. - Soient Y u n schéma sur IF,, U , V deux champs su?. Y. Soient 'U le champ sur Y qui se déduit de U par le changement de base

Y

Frob --t

Y , et

T :U Fkob

- -

'U le morphisme au-dessus de Y qui se déduit du Rob

morphisme U U au-dessus de Y Y. Soit encore (a$) : V 'U x y U u n morphisme au-dessus de Y . On forme le carré 2-cartésien (O&donc les deux composés (7,Id) O y et

(a,P)O j sont non pas égaux mais isomorphes et W est universel pour cette propriété) :

.L

v

(a,B)

'U X y U

-

Supposons que les champs U et V sont algébriques localement de type fini sur Y , et que le morphisme a : V 'U est représentable. Alors :

-

i) W est u n champ algébrique localement de type fini sur Y ; ii) le morphisme diagonal W W x y W (qui est automatiquement représentable, séparé et de type fini) est partout non ramlifié (donc quasi-fini) ;

-

iii) si de plus U est lisse sur Y et le morphisme a : V 'U est lisse de dimension relative n, alors W est lisse de dimension relative n sur Y.

Remarque : La proposition s'applique en particulier lorsque U est de la forme U = Y x U t , auquel cas W est aussi défini par le carré 2-cartésien :

Démonstration de la proposition : i) résulte de ce que la 2-catégorie des champs algébriques localement de type fini sur Y est stable par la formation des produits fibrés. ii) Soient S un schéma sur Y et w l , w2 : S

-+

W deux objets de

WS). Il s'agit de prouver que l'espace algébrique qui représente le faisceau Isom(wl ,w z ) est non ramifié sur S . Or, en notant j(w1) = v1, j(w2) = 212, y(w1) = u l , y(w2) = u2 on a un

carré cartésien d'espaces algébriques au-dessus de S :

On remarque immédiatement que l'homomorphisme entre faisceaux de différentielles relatives

est nul. D'autre part, le morphisme

est une immersion localement fermée. En effet, il s'écrit : S x v S -+ S xru S donc s'obtient par changement de base à partir de

V

+

V Xru V

qui est une immersion localement fermée, puisque le morphisme a : V 'U est représentable par hypothèse. De ceci, on déduit que l'homomorphisme

-

est surjectif. De même, le morphisme (7, Id) est une immersion fermée, donc aussi le morphisme j : Isom(wl ,w2) Isom(vl ,vz) si bien qu'est surjectif 17homomorphisme

-

On obtient en définitive que l'homomorphisme

est à la fois nul et surjectif, donc que 1 SZIsOm~wi,w2)~s =O

comme voulu.

iii) Par hypothèse, il existe un schéma U lisse sur Y avec un morphisme U -+ ZA représentable lisse surjectif. On a un carré cartésien d'espaces algébriques :

Comme W -+ W est représentable lisse surjectif, il s'agit de prouver que si w est un point (géométrique) de W , notant y'(w) = u, jl(w) = v, W est lisse sur Y au point w de dimension relative n + dim, (W/ W) = n

+ dim, (U/ZA) .

Or U et 'U x y U sont lisses sur Y aux points u et ('u, u) de dimensions relatives dim,(U/Y) et dim,(U/Y) dim-, ('U/Y) = 2 dim,(U/Y) respectivement. E t le morphisme V Y se factorise en

+

-

donc est lisse au point v de dimension relative dim, (UIZA)

+ n + dim7, (' U/ Y)

D'après [EGA IV 41 proposition 17.3.2, on a seulement à prouver que l'homomorphisme entre espaces tangents

est surjectif. Autrement dit, il suffit de montrer que

-

Or T,(r, Id)(T,(U/Y)) = {O) x T,(U/Y) et le composé T,(V/Y) TrU('U) x T,(U) Tru('U) est surjectif par hypothèse. D'où la conclusion. 0

-

Remarque : On peut montrer que la propriété ii) entraîne que W est un champ au sens de Deligne-Mumford, c'est-à-dire possède un recouvrement étale par des schémas. Mais nous le verrons directement dans le cas qui nous intéresse. 0

>

Fixons r 1 un entier et I v X un SOUS-schéma fermé fini. On cherche à appliquer la proposition 1 avec W = Chtb,I. Pour cela, on a besoin d'une série de lemmes. Rappelons que V e ~ b désigne ,~ le champ classifiant des V-Modules à droite sur X, localement libres de rang r et munis d'une structure de niveau I. Si l'on fixe un isomorphisme de 01-Modules (DI)'. ( 0 1 ) ~ "cela ~ induit un morphisme de champs V ~ C D-+ , ~~ e c g ,zI .

=

LEMME2.

-

Le morphisme de champs

est représentable quasi-afine de type fini.

Démonstration : Soient S un schéma et S -+ ~ e c " , ~ un objet de vec$:,,(~) c'est-à-dire un fibré E de rang rd2 sur X x S, avec structure de niveau I. On considère le foncteur

D'après un théorème de Grothendieck, cf. [EGA III] corollaire 7.7.8, il est représentable par un fibré vectoriel Si -+ S sur S associé à un faisceau de présentation finie. Puis, pour tout morphisme de schémas S' -+ Si, on se demande quandest-ce que l'homomorphisme induit

est un anti-homomorphisme d'Algèbres et que de plus l'isomorphisme (VI [XIOsr)' ( 0 1[XIO~~)'"2 EI Bos Os! est VI-linéaire pour la structure de 23-Module à droite ainsi définie sur £ @osOs!. Cela revient à demander que des sections des faisceaux cohérents sur X X S1 : Endox, s, (E @osOs11, HomoxxSl (V @ox 27 @ox 5 ' @os Os,, 27 Box f Bos Os, ) et Homo, ,Sl ( D @O, (DI 0.9,1'' II@osOsl ) soient annulées par le changement de base S' -+ Si. Or ces faisceaux sont tous plats sur Si, donc cette condition est représentable par une immersion fermée S2v S1 comme il résulte du lemme suivant :

LEMME3. - Soient Z -+ Y u n morphisme projectif de schémas, F , Ç deux faisceaux cohérents sur Z tels que Ç soit plat sur Oy et a : 3 --+ Ç u n homomorphisme global. Alors il existe une immersion fermée Y. -t Y telle que pour tout morphisme de schémas Y' -+ Y , l'homomorphzsme a soit annulé par le changement de base Y' -+ Y si et seulement si Y' -+ Y se factorise à travers Yo.

Démonstration du lemme 3 : D'après Grothendieck, cf. [EGA III] corollaire 7.7.8, le foncteur (Y' -+Y ) H HomOSX y Y l (F@oyO Y / , @oy Oyt) est représentable par le fibré vectoriel associé à un certain faisceau cohérent Q sur Y . En particulier, l'homomorphisme a correspond à un homomorphisme de Oy-Modules Q + Oy. Alors, si Zdésigne le faisceau image de Q dans Oy , le sous-schéma fermé Y. de Y défini par l'Idéal Zrépond à la question posée. Avant de reprendre la démonstration du lemme 2, prouvons le lemme suivant : LEMME4. - Soient A, A' deux anneaux (commutatifs) locaux, A -+ A' u n homomorphisme local, et R une A-algèbre qui est libre de type fini comme A-module. Alors, pour tout R-module (à droite) M qui est libre de type fini sur A, M est libre de rang r sur R si et seulement si M @ A A' est libre de rang r sur R @ A A'.

Démonstration du lemme 4 : La nécessité est évidente. Il faut prouver la suffisance. Supposons d'abord que A' est le corps résiduel de A . Soit El,.. . ,mT une base de M @ A A' sur R @ A A', et soient m l , . . . ,m, des éléments de M qui relèvent m l , . . . ,mT. Ils définissent un homomorphisme R-linéaire RT -+ M. D'après le lemme de Nakayama, il est surjectif. Puis, comme il devient bijectif quand transformé par @ A A' et que M est plat sur A, il est bijectif. C'est ce qu'on voulait. Ceci nous ramène au cas où A et A' sont des corps. On voit déjà que M est projectif sur R. En effet, il faut prouver qu'est exact le foncteur

ce qui équivaut à l'exactitude du foncteur

qui résulte de ce que M @ A A' est libre sur R @ A A'.

Mais alors, on n'a plus qu'à prouver que M/Mrad(R) est libre de rang r sur R/rad(R). Or on sait que R/rad(R) s'écrit canoniquement comme un produit de A-algèbres simples de dimensions finies. Donc il suffit de prouver que pour toute A-algèbre quotient R de R qui est simple, on a dimA( M @R R) = r dimAR et cela résulte immédiatement de ce que

puisque M

@A

A' est libre de rang r sur R @A A'.

11

Fin de la démonstration du lemme 2 : Maintenant, pour tout morphisme de schémas S' -+ S , on se demande quand-est-ce que le V O Os/-Module & @osOs, est localement libre de rang r . D'après le lemme 4 ci-dessus, il faut et il suffit que l'image de X x S' dans X x S2soit contenue dans l'ouvert maximal Z où & @os0s2est localement libre de rang r . Si donc on note S3 l'ouvert de S2complémentaire du fermé image du complémentaire de l'ouvert Z dans X x S2,on voit que la condition demandée est représentable par l'immersion ouverte S3t S2. Ceci termine la démonstration.

0

Puis prouvons

I IF,.

LEMME5. - Pour tout entier r > 1 et tout sous-schéma fermé fini X , le champ V ~ C ; , ~est algébrique, localement de type fini et lisse sur

~f

Démonstration : On sait déjà que pour tout entier r' 1 1, le champ vecOx,@ = vecOx est algébrique sur IF, et localement de type fini, cf. [Laumon, Moret-Bailly] théorème 4.14.2.1. De plus, le morphisme de champs vecOx,, -+ vecOx est un torseur sous le schéma en groupes lisse S r GLT/(OI O Os) si bien que le champ vecOX, aussi est algébrique sur IF, et localement de type fini. Maintenant, le choix d'un isomorphisme de 01-Modules (VI)' -+ (01)'~' détermine un morphisme de champs Vec;,, ~ e c g qui , ~ d'après le lemme 2 est représentable quasi-affine de type fini. Donc le champ Vec;,, encore est algébrique sur IF, et localement de type fini. Il reste à prouver que le champ Vec;,, est formellement lisse sur IF,. Soient donc S le spectre d'une IF,-algèbre locale artinienne A et ~t S un sous-schéma fermé défini par un idéal J vérifiant J~= O. Et soit E un objet

-

N

de V e ~ b( ,S~) ,c'est-à-dire un V [XI Oz-Module sur X x libre de rang r , avec structure de niveau 1. -

qui est localement

D'après [Illusie] Chapitre IV, proposition 3.1.5, l'obstruction à relever

E en un V [XI Os-Module sur X x-S-localement libre de rang r gît dans le

groupe de cohomologie EX^&^^(&, & J ) . Or, comme le DIXIOF-Module -& est localement libre, les faisceaux EX^&^^(&, £ BoF J) sont nuls pour

-

a

i 2 1. Et comme S est le spectre d'une algèbre artinienne, X x 3 est de -dimension de Kru11 1 si bien qu'en définitive ~xt&,(&, & 80, J) = 0. Soit donc & un V El Os-Module sur X x S localement libre de rang r et qui relève Considérons la base ël , . . . , Er de EIx3 sur VI [XI % qui correspond à la structure de niveau (VI [XI Oz)T -+ EIXS. Comme I x S est un schéma affine, la base e l , . . . ,Er se relève en une famille e l , . . . , e , dans EIXs, laquelle définit un homomorphisme DI [XI Os-linéaire

z.

N

(VI

Os)'

-

Gxs

Comme sa réduction modulo J est un isomorphisme, et que (VI €XI Os)' et EIXs sont localement libres sur 01[XI Os, c'est un isomorphisme. Ceci termine la démonstration. 0 Posons maintenant :

DÉFINITION 6. - Pour tout entier r 2 1 et tout sous-schéma fermé fini I -t X , o n note H e ~ k e b le , ~champ qui associe à tout schéma S sur IF, le groupoi'de H e ~ k e b(,S~) des diagrammes

où : & et El sont des 2) [XI Os-Modules sur X x S , localement libres de rang r et munis de structures de niveau 1, c'est-à-dire d7isomorphismes DI (XI Os -linéaires 0 ,?t

j et t sont des homomorphismes V €3 Os-linéaires, injectifs et dont les

conoyaux sont supportés respectivement par les graphes de morphismes i,:S-+X\I etio:S-+X\I;

j et t ont leurs conoyaux localement libres de rang d comme Os-Modules; les homomorphismes duaux jVet tV ont leurs conoyaux localement libres de rang d comme Os-Modules ; j et t sont compatibles aux structures de niveau I . Avec cette définition, il est clair que l'on a un diagramme 2-cartésien de champs

Les deux morphismes horizontaux sont

Les deux morphismes verticaux sont

On veut démontrer :

L E M M E7.

-

1

Le morphisme de champs

-

avec & =

et &

H

£)

est représentable et quasi-projectif. De plus, si X' désigne l'ouvert maximal de X où V est une OxAlgèbre d'Azumaya (c'est-à-dire est localement isomorphe pour la topologie étale à Md(Ox)), alors la restriction du morphisme au-dessus de l'ouvert (X1\I)x (Xf\I)x Vec7;,, est même projective et lisse de dimension relative 2(rd - 1 ) . Démonstration : Notons Inj;,, le champ qui associe à tout schéma S sur F, le groupoïde des diagrammes

où : & et &' sont des V [XI Os-Modules à droite sur X x S, localement libres de rang r et munis de structures de niveau I ; j est un homomorphisme V [XI Os-linéaire, injectif et dont le conoyau est supporté par le graphe d'un morphisme i : S X\I; j et jV ont leurs conoyaux localement libres de rang d comme OsModules ; j est compatible aux structures de niveau I . On a un diagramme 2-cartésien

où les deux morphismes horizontaux sont

et les deux morphismes verticaux sont

Donc on est réduit à prouver : LEMME8. - Les deux morphismes de champs

sont représentables et quasi-projectifs. De plus, ils sont mêmes projectifs et lisses de dimension relative rd au-dessus de X t \ I x V ~ C ; , ~ .

-

1

Démonstration : Soient donc S un schéma sur F,, i : S -+ X \ I un morphisme et E [resp. Et] un objet de V ~ C & , ~ ( S ) . Considérons le foncteur qui à tout schéma S' + S sur S associe l'ensemble des suites exactes de Ox sl-Modules

--

O-E@osOS' [resp. O

E

--

-Et-Q-O

Ef go, Os/

Q

O]

où If [resp. El est localement libre de rang rd2, et Q est supporté par le graphe du composé if : S' + S -+ X et localement libre de rang d sur Os,. ~ OxXst) [resp. Q' = (Id, if)*QI, En posant Q' = (Id, if)*~ x t h * (Q, cela revient à considérer l'ensemble des Os/-Modules quotients Q' de

[resp. (Id, i)*Ef@osOs/] qui sont localement libres de rang d. Ce foncteur est donc représentable par un morphisme Si -+ S qui est grassmannien, donc projectif. Notons E: et Ql [resp. El et QI] les faisceaux canoniques sur X x Si. Pour tout morphisme de schémas Sf -t Si on se demande quand-est-ce que l'action de D €3 Os/ se prolonge à I I go,, Os/ [resp. El @os,OS'] et à Q1 gosl OS/. Cela revient à demander que soit annulé l'homomorphisme

-

QI] par le changement de base Sf -+ SI. [resp. El 80, D D'après le lemme 3, cette condition est représentable par une immersion fermée Sz ~f S l .

Enfin, pour tout morphisme S' + S2,on se demande quand-est-ce que le D lXI Os!-Module à droite E; Bosl Os( [resp. El Bosl Os,] est localement (E @ Os!)' [resp. libre de rang r et que le conoyau de (&: @ Os/)' (&' @ Os!)' (El @ Osl)V], qui est automatiquement plat sur O s , est localement libre de rang d sur Os. D'après le lemme 4 et la fin de la démonstration du lemme 2, cette condition est représentable par une immersion ouverte S3 C S2. Il reste à voir que si i : S + X\I prend ses valeurs dans X', alors le morphisme S3+ S est projectif lisse de dimension relative r d - 1. On a que i * D est une Algèbre d7Azumaya,donc quitte à remplacer S par un recouvrement étale, on peut supposer qu'il existe un isomorphisme i*V Z Md(Os). Pour S' -t S un morphisme de schémas, se donner un Os!-Module quotient Q' de Horno,, ((Id, i)*&@osOs,, Os!) [resp. (Id, i)*E1@osO s / ] sur S' qui soit localement libre de rang d et compatible avec l'action à gauche [resp. à droite] de Md(Osl) revient, par équivalence de Morita, à se donner un Os!-Module quotient d'un certain fibré de rang rd2/d = r d qui soit inversible. On voit que S2est l'espace projectif sur S associé à ce fibré. Il est lisse de dimension relative r d - 1. Enfin, il est immédiat que dans ce cas S3= S2. 0

-

-

D'après le lemme 5 et le lemme 7, on peut maintenant appliquer la proposition 1 au diagramme 2-cartésien de champs :

On obtient déjà le résultat suivant, dû à Drinfeld dans le cas V = Ox Pour tout entier r 2 1 et tout sous-schéma fermé fini X i Chth,, est un champ algébrique localement de type fini. De plus, le morphisme diagonal

THÉORÈME 9.

I

~f

-

est représentable, séparé, de type fini et partout non ramifié. Enfin, le morphisme (O, co) : Chtb.,

-

est lisse de dimension relative 2(rd (X1\I).

-

(X\I) x (X\I) 1) au-dessus de l'ouvert (X1\I) x

0

Remarque : Les mêmes conclusions s'appliquent évidemment aux champs Cht I. 3.

- Chtoucas

triviaux. Applications

DÉFINITION1. - Soient Y ~t X un sous-schéma fermé de X , Dy la O y -Algèbre induite sur Y par D, et r 2 1 un entier. Pour tout schéma S sur IF,, on appelle Dy-chtouca trivial de rang r sur S tout Dy [XI Os-Module à droite E sur Y x S , localement libre de rang r , et qui est muni d'un isomorphisme

où ' E désigne le DY IX] Os-Module (Idy x Frobs)*£.

On notera TrLy le champ sur IF, qui associe à tout schéma S sur IF, le groupoïde des Dy-chtoucas triviaux de rang r sur S. En particulier, si Y = X , on dispose du champ Trb des D-chtoucas triviaux de rang r. E t si I -+ X est un sous-schéma fini fermé, on note Trb,I le champ des D-chtoucas triviaux de rang r, avec structure de niveau 1 , obtenu comme le produit fibré dans le carré 2-cartésien

où le morphisme Trb --t Trbl est défini par les foncteurs de restriction £ H EIxS, et le morphisme Spec IF, -i TrbI est la section évidente S ++ ((271)~[XI OS) de R b I .

-

THÉORÈME 2. - Pour tout sous-schéma fermé Y X , et tout entier r > 1, le champ Trb, sur F, s'écrit comme la somme disjointe sur les objets E de Sr&, (SpecF,) des champs classifiants sur IF, des groupes finis Aut E d 'automorphismes. Autrement dit : (i) Le champ Trb s 'écrit

Trb =

U Spec IFq/ Aut E E

-

où E décrit la famille des V-Modules à droite sur X , localement libres de rang r . (ii) Si I X est u n sous-schéma fermé fini, on a

Comme conséquence de (i) et (ii), on a pour tout sous-schéma fermé fini I-tX ri.;,, = Spec IFq/ Aut E

U

où E décrit la famille des V-Modules à droite sur X , localement libres de rang r , et munis d'une structure de niveau I . Démonstration : Le champ Trb, s'inscrit dans le carré 2-cartésien

où Vecb, désigne le champ classifiant des Dy-Modules à droite localement libres de rang r . Or Vecb, est un champ algébrique, localement de type fini et lisse sur F,. En effet, pour Y = X, on l'a vu dans le lemme 5 du paragraphe 1.2 et si Y X est un sous-schéma fermé fini, cela résulte de ce que Vecb, est le champ classifiant du schéma en groupes

-

D'après la proposition 1 du paragraphe 1.2, on voit déjà que Tr;, est un champ algébrique localement de type fini et étale sur F,. Il reste seulement à prouver que si E décrit la famille des objets de T ,;r (Spec F,), alors le morphisme de champs

LI Spec IF, / Aut E E

-

Trb,

induit une équivalence entre fibres au-dessus de Spec K , pour tout corps algébriquement clos K contenant F,. Et ceci résulte du lemme suivant, compte tenu du lemme 4 du paragraphe 1.2. LEMME3 (Drinfeld). - Soient Z u n schéma projectif sur F,, et K u n corps algébriquement clos contenant IF,. Alors le foncteur 3 H F 8 K de la catégorie des faisceaux cohérents sur Z dans la catégorie des faisceaux cohérents Ç sur Z 8 K qui sont munis d'un isomorphisme 'Ç 2 Ç (où 'G désigne le faisceau (Idz x F'robK)*Ç) est une équivalence.

Démonstration du lemme 3 : Soit O z ( l ) un faisceau très ample sur Z. On sait que le foncteur

induit une équivalence de la catégorie des faisceaux cohérents sur Z [resp. sur Z 8 KI sur la catégorie quotient de la catégorie des modules gradués de type fini sur l'algèbre graduée @n>OHO(Z,Oz(n)) [resp. H O ( Z8 K, Oz(n) 8 K ) ] par la sous-catégor'ie des modules dont les facteurs sont nuls à partir d'un certain rang [resp. De plus, ce foncteur commute au foncteur T I . Ceci nous ramène au cas où Z = Spec K et les faisceaux cohérents sont simplement les espaces vectoriels de dimension finie, c'est-à-dire finalement à l'énoncé suivant : LEMME4. - Soient K u n corps algébriquement clos contenant IF,, U et V deux espaces vectoriels sur K de dimension finie, X : U -+ V u n homomorphisme linéaire et $ : U -+ V u n homomorphisme q-linéaire. Alors, si Uo = Ker(X - $), l'homomorphisme

est injectif si X est injectif, et il est bijectif si X et

sont bijectifs.

Démonstration du lemme 4 : Supposons X injectif. Soit e l , . . . , ek une famille d'éléments de Uo, linéairement indépendants sur IFq. Il faut voir qu'ils sont aussi linéairement indépendants sur K. Supposons qu'il existe une relation linéaire non triviale a l e l . . . akek = O. On peut la supposer minimale, au sens que le nombre de termes non nuls est minimal. En prenant l'image par $J,on obtient

+ +

qui s'écrit encore aYX(e1)

+ . . . + a;CA(ek)= O

et comme X est linéaire et injective, on trouve

Par minimalité de la relation de départ, on obtient que les uplets ( a l , . . . , a k ) et (a:, . . . ,a;) sont proportionnels, autrement dit que ( a l , . . ,a k )est proportionnel à un uplet d'éléments de IF,. Il y a contradiction. Supposons maintenant que X et $ sont bijectifs. E t notons n la dimension sur K de U ou V. D'après ce qui précède, il suffit de voir que Uo est toujours de cardinal qn. Considérons le sous-schéma fermé de GL, x GL, x An défini par l'équation gl

(rl) Zn

-

g;

('1 x

=

O. C7est évidemment un schéma en

n

groupes sur GL, x GL, qui est affine et étale. Montrons qu'il est également fermé dans GL, x GL, x Pn. E n coordonnées homogènes, l'équation s'écrit

qui est impossible à réaliser si xo = 0. Ainsi, ce schéma en groupes est fini et étale sur GL, x GL,; par conséquent son rang est constant, égal à celui pour gl = g2 = In, et c'est ce qu'on voulait. Ceci achève la démonstration du lemme 4, donc aussi du lemme 3 et du théorème 2.

O

-

Comme conséquence du théorème 2, on a :

PROPOSITION 5. - Soient I ~t J X deux sous-schémas fermés fifinis embottés de X et r 2 1 u n entier. Alors le morphisme canonique de champs au-dessus de (X\ J ) x (X\ J )

est représentable fini étale galoisien avec pour groupe de Galois le groupe fini Ker[GLr (DJ) GLr PI .

-

I)

Démonstration : Cela résulte de ce qu'on a alors les carrés 2-cartésiens

Cht',,

,

--+

1 ChtL

C%,I

Spec IF,

1

-t

+

?i-hJ= Spec IF,/GL,(Dj)

Spec IF,

L

1

Trb, = SpecIFq/GLr(DI)

Cht',

si bien que les morphismes Cht',,, -+ Cht; et Cht;,, + Cht', sont représentables finis étales galoisiens avec pour groupes de Galois respectifs GLr (DJ) et GL,(DI).

0

COROLLAIRE 6. -- Pour I ~ - Xt u n sous-schéma fermé fini de X et r 2 1 u n entier, le champ Cht&,I s'écrit comme réunion filtrante de sous-champs ouverts qui sont quotients de schémas quasi-projectifs sur IFq par l'action de groupes finis. E n particulier, Cht&,I est u n champ algébrique au sens de DeligneMumford, et il est séparé sur IFq. Démonstration : Considérons I' ~ - Xt un sous-schéma fermé fini non vide contenant 1 et de même support que 1.

On a des morphismes de champs

-

Le premier de ces morphismes s'obtient par changement de base à (Frob,Id) V e ~ b , x~ V , e ~ b , ~D'après ,. le lemme 7 du partir de V ~ C ; , ~ ~ paragraphe 1.2, le second morphisme est représentable quasi-projectif. Et le troisième est trivialement représentable quasi-projectif. De plus, d'après le lemme 2 du paragraphe 1.2, le morphisme V ~ C ; , ~ ,

-

~ e c g ,Il z est représentable quasi-affine de type fini.

Or on sait que ~ e c g ,contient ~ . un sous-champ ouvert (celui des fibrés If-stables) qui est représentable par une réunion disjointe de schémas quasiprojectifs, cf. [Seshadri] Quatrième partie. Donc le sous-champ ouvert de Cht&,I, obtenu par image réciproque est lui-même représentable par une réunion disjointe de schémas quasi-projectifs sur IF,. Et son quotient par l'action du groupe fini Ker[GL,(Vp) + GL,(VI)] est un sous-champ ouvert UI, de ChtLII. Maintenant, les Up (quand If décrit l'ensemble ordonné des sousschémas fermés finis de X qui contiennent 1 et ont même support) constituent une famille filtrante d'ouverts de Cht;,I dont la réunion est tout, car tout fibré est stable pour une structure de niveau de degré assez grand.

0

Donnons une autre conséquence du lemme 3 :

PROPOSITION 7. Supposons que V est une Ox-Algèbre maximale c'està-dire que pour tout point fermé x de X , D, = V Box O, est u n ordre maximal dans la Fx-algèbre D x = D BF F,. t Soient S u n schéma sur F, et E E' +- TE u n diagramme de O W O s Modules sur X x S , où & et &' sont localement libres de type fini sur O x x , j et t sont injectifs, et les faisceaux Coker j et Coker t ont leurs supports inclus dans X f x S . Alors E et E' sont localement libres sur V Bi O s . -

Démonstration : Si d = 1, V = Ox, il n'y a rien à démontrer. Si d > 1, on a X' # X si bien que j et t restent injectifs au-dessus de tout point algébrique de S . D'après le lemme 4 du paragraphe 1.2, on peut se limiter au cas où S est le spectre d'un corps algébriquement clos K. Notons e le rang sur O x , de E et E'. Soit x un point de X \ X r . Pour tout sous-schéma fermé fini I -+ X supporté par x, les homomorphismes induits II + Ef , + 'EIXs sont

,,

,

des isomorphismes, donc d'après le lemme 3, on a une écriture canonique

où EXest un module libre de rang e sur O I et muni d'une action de DI. Par conséquent, on obtient

où Ex =)im EI est un module libre de rang e sur 0, et muni d'une action I

de V,. Or D, = D @ F F, est une algèbre matricielle sur une algèbre à division centrale sur F, de dimension d:. On voit déjà que e est un multiple de d:, ce pour tout x E X\X1. Or le p.p.c.m. des entiers d,, quand x décrit X \ X t , est d. Donc e est un multiple de d2. Par conséquent, pour tout x E X\X1, Ex80, F, est libre sur D,. Puis, comme D, est un ordre maximal dans D,, Ex est libre sur V,, cf. [CurtisReiner] théorème 26.24 iii). D'après encore le lemme 4 du paragraphe 1.2, cela implique que & et El sont localement libres sur 238 K en tous les points au-dessus de X \ X t . Et ils le sont aussi en les points au-dessus de XI puisque leur rang est un multiple de d2. 0

COROLLAIRE 8. - Supposons que la O x -Algèbre D est partout maximale. Pour S u n schéma sur Fq, o n considère u n diagramme

où : & et Et sont des D IXI Os-Modules à droite sur X x S , localement libres de type fini comme O x ,s -Modules ; j et t sont des homomorphismes V IXI Os-linéaires, injectifs, et dont les conoyaux sont supportés respectivement par les graphes de morphismes i , : S 4 X et io : S -t X et sont localement libres de rang d sur leurs supports comme O s -Modules.

Alors, si les morphismes i , et io sont à valeurs dans X' c X , & et &' sont automatiquement localement libres comme V [XI Os-Modules. Autrement dit, le diagramme ci-dessus définit u n 2)-chtouca sur S . 4. - Correspondances de Hecke

a) Préliminaires Dans tout ce paragraphe, on fixera T un sous-ensemble fini de 1x1. On utilisera les notations du paragraphe I.le. On fixe également un élément a de ( A ~ qui ) ~est de degré 1. Il en existe d'après le lemme suivant :

1x1,

LEMME1. Pour tout sous-ensemble fini T de les entiers deg(x) = [ ~ ( x:)IF,], quand x décrit IXI\T, sont globalement premiers entre eux. -

Démonstration : Pour tout entier u

> 1, notons N,

=

deg(z). =€/XI

deg(x)lv

En notant g le genre de la courbe X , l'hypothèse de Riemann pour X nous dit exactement que Vu 2 1 , IN, -qV - 11

< 2gqV12

En particulier, si u est un nombre premier assez grand, l'ensemble {x E 1x1,deg(x) = v) est toujours non vide. D'où la conclusion.

0

Cet élément a étant fixé, il détermine un plongement

et donc aussi un plongement de Z dans

Et pour tout sous-schéma fermé fini I L, X \ T , l'homomorphisme ainsi défini Z + PicI(X) est une section de deg : PicI(X) -+Z. Maintenant, on remarque de manière générale que pour tout entier r 1, on dispose de l'application localement constante

>

deg : Cht&.I -+ Cht& -t Z

qui à tout point algébrique, c'est-à-dire à tout D-chtouca de rang r

Il lui correspond une décomposition en somme disjointe

Il est immédiat que via le plongement Z + Picl(X) l'action de +1 E Z sur Cht;,, transforme chaque Cht" en ~ h t 2 ~ : ~ ~ . D'où des isomorphismes naturels

b) Algèbres de Hecke L'entier r >. 1 étant fixé, on note G le schéma en groupes sur F des automorphismes de D r , avec donc

G(Fx) = GLr(D,) pour toute place x de F

G ( w ~= ) GL,(D

@F

AT) = GL,(D:)

d'où G(W) = G ( A ~ x)

G(Fx) xE T

et K,

= GLr(Dx) pour

toute place x de F

Si I ~j X [resp. I -+ X\T] est un sous-schéma fermé fini, on notera KI le noyau de l'homomorphisme surjectif [resp.

KI]

On remarque que K [resp. K T ] est un sous-groupe compact ouvert de G ( A ) [resp. G ( A T ) ]et que chaque KI [resp. KT] est un sous-groupe compact ouvert d'indice fini dans K [resp. K T ] . De plus, le groupe localement compact G ( A ) [resp. G ( A T ) ]est unime dulaire. Soit donc d g [resp. dgT] la mesure de Haar sur G ( A )[resp. G ( A T ) ] qui donne le volume 1 au sous-groupe K [resp. K T ] . De même, pour tout x E T , K, est un sous-groupe ouvert compact de G,, qui est unimodulaire. Soit donc dg, la mesure de Haar sur G, pour laquelle K, est de volume 1. On a dg = dgT x dg,. xET

Enfin, on remarque que a" s'identifie à un sous-groupe discret dans le centre de G(A) [resp. G ( A T ).] Posons maintenant : DÉFINITION 2. - On appelle algèbre de Hecke de G ( A ) [resp. G ( A T ) , resp. G, pour x E Tl et on note 'FI [resp. 'FIT, resp. 'FI,] la Q-algèbre de convolution, pour la mesure dg [resp. d g T , resp. dg,] des fonctions localement constantes à support compact de G(A) [resp.G ( A T ) ,resp. G,] dans Q. Et pour tout sous-schéma fermé fini I ~t X [resp.I X\T], on note 'FII [resp.'FIT] la sous-algèbre de 'FI [resp.'FIT] des fonctions invariantes à gauche et à droite par KI [resp.K T ] .

-

Remarque : On a 'FI

=

'FIT

@

@F ' I, et 'FII

=

'FIT 18@ F ' I,

xET

I

-+

pour

xET

X\T. Par ailleurs, 'FI [resp. 'FIT] est la réunion filtrante des 'FII [resp. 'FIT]. Enfin, chaque 'FII [resp. 'FIT] admet pour élément neutre la fonction 1

caractéristique de KI [resp. KT] fois la constante 1

[resp.

1

=

dgT ( K I )

A dg(Kd

= [K : KI]

KT] = [K : K I ] ] .

[ K:~

c) Correspondances de Hecke Sont toujours fixés T un sous-ensemble fini de X, a un élément de degré 1 dans ( A T ) et r > 1 un entier. On rappelle que d'après le paragraphe I.le, on dispose sur ~ h t ;de~ l'action de Hecke à droite du groupe G ( A T )= G L , ( D ~ ) . Enonçons : PROPOSITION 3.

-

Pour tout sous-schéma fermé fini I

~t

X\T

et tout

élément g du groupe G ( A ~ )le, morphisme

est représentable afine. Son image rDII(g) est un sous-champ fenné de Cht&,I/aZx Cht&,I/aZ au-dessus de X(T) x X(T). De plus, les deux projections au-dessus de X(T) x X(T)

sont des morphismes représentables finis étales.

Démonstration : D'après la proposition 5 du paragraphe 1.3, on sait, pour tout sous-schéma fermé fini J -+ X\T, qu'au-dessus de X(T) x X(T) le morphisme c h t g Cht&,j est représentable affine pro-fini galoisien de groupe KJ. On en déduit immédiatement qu'au-dessus de X(T) x X(T),le morphisme composé

-

est représentable affine pro-fini. Son image (g) est un sous-champ fermé de Cht&,,/aZ x Cht&,I/aZ. De plus, le morphisme

est représentable affine pro-fini galoisien de groupe KI que les morphismes cht;"/az ~ht&,~/a'

=

n gKZgp1,tandis

sont représentables affines pro-finis galoisiens de groupes respectifs KI et

SR-l .

Ceci termine la démonstration puisque KI n g ~ ~ g est - l un sous-groupe ouvert d'indice fini à la fois dans KI et gKIg-l.

O

Rappelons ici une définition générale. Si X est un champ sur IF,, on appelle correspondance finie étale dans X toute somme formelle finie

-

où les Xi sont des éléments de Q et les Y, sont des champs munis de deux + morphismes pi, qi : Yi X qui sont représentables finis étales. Et on pose entre les correspondances finies étales sur X les relations formelles suivantes : si Y E UY, est une décomposition en somme disjointe, alors

i

si on a un diagramme commutatif

avec pl q, p', q', f représentables finis étales et f de degré constant n alors [Y'] = n[Y].

> 1,

On notera Cor(X) l'espace vectoriel sur Q des correspondances finies étales dans un champ X sur IF,. Cet espace devient une Q-algèbre si on définit le produit [Y] . [Y'] de deux classes associées à des champs Y et X et Y' munis de morphismes représentables finis étales pl q : Y --t p', q' : Y' X comme la classe de Y x,,~,,, Y' munie de p x p' et 9 x 9'. On remarque que si X , X' sont deux champs sur IFq et X' + X est 1, alors un morphisme représentable fini étale de degré constant n 1 l'application [Y] H - [X' x x Y x x X'] définit un homomorphisme de Qn algèbres Cor(X) @or(Xt).

-

>

-

En effet, la con~patibilitéau produit résulte de ce que si Yl, Y2 sont deux champs sur IF, munis de morphismes représentables finis étales : YI X -f et Y2 X , alors on a un isomorphisme canonique

-

(X' x X Yl x x X') xxr (X' x x Y2 x x X') = X' x x Yi x x X' x x Yz x x X' ainsi qu'un morphisme représentable fini étale de degré constant égal à n

Enfin, o n remarque que d'après la proposition 3, chaque r7;,[(g) définit au-dessus de X ( T ) x X ( q une correspondance finie étale dans C h t b , I / a " . Démontrons le lemme préparatoire suivant :

L E M M E4. - Soit I ~t X\T u n sous-schéma fermé fini. Alors ( i ) Le sous-champ fermé au-dessus de X ( T ) x X [ T )

associé à tout élément g de G ( A T ) ne dépend que de la classe de g dans KT\G(A~)/K$". (ii) Si g , g' sont deux éléments de G ( A T ) et si on écrit la décomposition e n classes dans G ( A T )

o n a u n morphisme canonique représentable fini étale

qui au-dessus de chaque composante I ' 5 , [ ( g i ) est de degré constant égal au cardinal fini du quotient

(iii) Si J v X\T est u n autre sous-schéma fermé fini avec I ~t J , si g est u n élément de G ( A T ) et si on écrit la décomposition e n classes dans G(AT> j

o n a une décomposition canonique

Démonstration : Remarquons d'abord que pour J ~t X\T u n sousschéma fermé fini, h u n élément de G ( A T ) et s i , sz deux points de C h t r à valeurs dans u n schéma S sur IF,. l'image de ( s l , s z ) dans C h t b ,J / a z x C h t b ,J/a" se factorise à travers le sous-champ fermé r b . J ( h )

si et seulement si localement pour la topologie f.p.q.c. de S, on a s a E slKFhKFaZ. (i) et (iii) se déduisent immédiatement de ce fait. Pour (ii) et toujours d'après la même remarque, on est amené à s'intéresser aux triplets (si, s 2 , s3) de points de ~ h t ;à~valeurs dans un schéma S qui vérifient

Ces conditions impliquent en particulier

D'où l'existence d'un morphisme canonique

Ce morphisme est compatible aux couples de projections sur Cht&,I/a", et on sait que ces projections sont représentables finies étales. Donc ce morphisme est lui-même représentable fini étale. Maintenant, pour SQ = s l h avec h E K T ~ K ~ ~ I K on T ~n'a " , plus qu'à déterminer le nombre de classes s2KFaZtelles que

et T I T Z s a E s l h ~ T 9 I - KFaZ l s2KI g KI a Ce nombre est égal au cardinal fini du quotient

s3 E

et il ne dépend que de la classe de h dans K:\G(AT)/KTa". Ceci termine la démonstration. 0 Remarquons que pour tout sous-schéma fermé fini I ~f X\T chaque élément f de 7-:l s'écrit de manière unique comme une somme finie

KT~~KF

sont des où les Xi sont des nombres rationnels non nuls, les classes distinctes dans KT\G(AT)/KT et les i K f g z sont Kleurs F fonctions caractéristiques dans G(AT). Ceci permet d'énoncer :

Pour tout sous-schéma fermé fini I -+ X\T, associons à toute fonction f = AilKTgiK: la correspondance finie étale dans THÉORÈME 5.

-

x i

Cht&,I/a" définie comme la somme formelle

Alors : (i) L'application ainsi définie

est u n homomorphisme de Q-algèbres. (ii) Si I ~f J ~f X\T sont deux sous-schémas fermés finis emboités, alors le diagramme de Q-algèbres

est commutatif.

Démonstration : Cette application est bien définie d'après la proposition 3 et le lemme 4 (i). (i) résulte du lemme 4 (ii). (ii) Il existe bien un homomorphisme

car d'après la proposition 5 du paragraphe 1.3, le morphisme

est représentable fini étale galoisien avec pour groupe de Galois

donc de degré constant égal à l'indice [KT : K.?]. La commutativité du diagramme résulte d i lemme 4 (iii) et de ce que [KT : KT] = dgT( K ~ ) / d g T ( K ~ ) .

O

d) Sous-champs des points fixes Enonçons :

PROPOSITION 6. - Soient I -+ X\T un sous-schéma fermé fini, g un élément de G(kiT) et u, s deux entiers 1. On se place au-dessus de X(T)x X ( q x ( x x x )A. Soit Fixe;,,(g, u, s ) le champ obtenu comme produit fibré dans le carré 2-cartésien

>

u, s )

1 rb,~(g)

-

Cht;,, /az

1

Cht;,,/az

(Frobg o Fkob:;

Id)

x ChtL,,/az .

Alors Fixe;,,(g,u,s) est un champ algébrique au sens de DeligneMumford, localement de type fini au-dessus du sous-schéma femné fini des points fixes de R o b u x R o b s dans X(T)x X ( q x ( x x x )A qui est

où x i , x2 E T , x i # x2, deg(xi)Iu, deg(x2)lsDe plus, sa restriction au-dessus des (xi, x 2 ) qui sont dans XI x XI est étale sur IF,.

Démonstration : D'après le corollaire 6 du paragraphe 1.3, Cht;,,/az est un champ algébrique au sens de Deligne-Mumford, localement de type fini au-dessus de X(T) x X(T) x ( x x x )A. + De plus, d'après la proposition 3, les deux projections rb,, -+ Cht&,I/az sont des morphismes représentables finis étales. Enfin, on se rappelle que les deux morphismes Frobo et Rob, sont audessus de ( R o b , Id) et (Id, F'rob) respectivement dans x ( ~ xX ) (q x (xxx)

A. La première assertion est conséquence de ces remarques. Pour la seconde assertion, il suffit d'appliquer la proposition 1 du paragraphe 1.2 puisque : la restriction de Chto,,/az au-dessus de Spec &(xi)x Spec n(x2),

U

(~1~x2)

quand xl,x2 E XI n T, X I # x2, deg(xl)lu, deg(xz)ls, est localement de type fini et lisse sur IF,, d'après le théorème 9 du paragraphe 1.2;

la première projection et le morphisme (Rob;

-

rb,I(g) 0

Cht&,I/az est représentable étale ;

Robs, ; Id)

cht&,,/az

>

~ h t & , ~ / xa '~ h t & , ~ / a "

peut être vu comme le composé de

-

(Frob ; Id) ~ht&,~/a" ~ h t & , ~ / xa "~ h t l i ; , ~ / a ' (Fr0b;L-l ~ h t & , ~ /xa ~" h t & , ~ / a "

FrobZ1 ; Id)

o

+

~ h t & , ~ / xa Cht&,,/aZ ' .

-

Enfin, donnons

L E M M E7. - Soient I r J X\T deux sous-schémas fermés finis emboités, g u n élément de G(AT) et u, s deux entiers 2 1. Alors, si o n écrit la décomposition en classes dans G(AT) K:gKTaZ

=

II K T ~ K, J ~ ' , j

o n a u n carré 2-cartésien canonique

Fixe&,I(g, ul s)

-

.

Cht&,,/aZ

Par conséquent, o n a u n morphisme canonique p x e & , , ( s j , u1 s ) j

-

FixeD,1(9,~

1

4

qui est représentable fini étale galoisien de groupe de Galois Ker [GL, (V),

GL, (VI)] 2

KT / K;

.

Démonstration : La première assertion résulte du lemme 4 (iii). La seconde s'en déduit alors d'après la proposition 5 du paragraphe 1.3.

O

Chapitre II Chtoucas réductibles. Filtrations de Harder-Narasimhan 1.

- V-chtoucas

réductibles. Sous-champs d'iceux

a) Définitions

sur S dont le zéro io : S -+ X et le pôle i,' dans X I . Soit aussi u n diagramme commutatif

:

S

-+

x

sont à valeurs

de V IXI Os-Modules à droite sur X x S qui sont localement libres de type fini sur Ox,s, où les lignes sont exactes et les homomorphismes verticaux sont injectifs. O n suppose que El, Ei, E2, &; sont localement libres de type fini sur V [XI O s OU bien que la O x -Algèbre V est maximale sur X tout entier. Alors, S s'écrit de manière unique comme réunion disjointe de deux parties Si et S 2 à la fois ouvertes et fermées, telles que pour tout morphisme SI 4 S , on ait la propriété suivante :SI 4 S se factorise à travers l'ouvert Si [resp.S2]si et seulement si les images réciproques sur SI des deux fièches E; et 'E2 &; [resp.&i &{ et ' E l -+ &il sont des isomorphismes. E2 El &2

( \) ( >)

- -

Le diagramme

&:

&;

Iresp.

] définit alors sur SI

T&

u n V-chtouca ayant respectivement pour zéro et pour pôle les composés

Démonstration : On remarque que l'on a sur X x S une suite exacte de V IXI Os-Modules

Elle peut aussi être vue (via le morphisme (i,, Id) : S + X x S ) comme une suite exacte de ikV-Modules sur S. Et par hypothèse Et/& est localement libre de rang d sur Os. On définit Si comme l'ouvert complémentaire du support du faisceau cohérent et S2 comme l'ouvert complémentaire du support du faisceau cohérent Ei / I l . Puisque le support de Et/& est S tout entier, on voit déjà que SI et S2 sont disjoints. Montrons que leur réunion est tout. Il suffit de le faire lorsque S est le spectre d'un corps algébriquement clos K . Mais alors, comme i, se factorise à travers X t , on a un isomorphisme i k V % Md(K). Par équivalence de Morita, cet isomorphisme permet d'écrire la suite exacte ci-dessus comme la somme directe d fois d'une suite exacte d'espaces vectoriels sur K

où E est de dimension 1. D'où le résultat. Revenons maintenant à S général. = O et &;/El -+ If/& est un isomorphisme. Sur Si, on a = O sur Si. En effet, il suffit de le D'autre part, on a aussi &41T12 vérifier lorsque SI = S est le spectre d'un corps et dans ce cas cela résulte de ce que les fibrés l2et T&2 ont même degré. On en déduit que, sur Si, &;/'El + Et/'£ est un isomorphisme. De la même façon, on a sur S2: &:/El = O, &i/'l1 = O et E t / £ + ES/&, &'/'1 + sont des isomorphismes. Il reste à prouver que dans le cas où D est une Ox-Algèbre maximale, El, £il E2 et £4 sont automatiquement localement libres sur V [XI Os. Et ceci résulte de la proposition 7 du paragraphe 1.3.

0

Le lemme 1 amène à poser la définition suivante :

DÉFINITION2. - Soient r , r' deux entiers avec 1 5 r' 5 r - 1. O n note c h t q t r y l [resp. ~ h t s o t r y - " 1 et o n appelle champ des D-chtoucas de rang r réductibles avec quotient trivial de rang r' [resp. avec sous-objet trivial de rang r - r'] le champ qui à tout schéma S sur IF, associe le groupoide des diagrammes commutatifs de DIXIOs-Modules à droite sur X x S , localement libres

les lignes sont exactes ;

On remarque aussitôt qu'on a des morphismes naturels de champs

ainsi que

Maintenant, pour I [resp.

X un sous-schéma fermé fini, notons v e c z f le champ qui associe à tout schéma S sur IF, le groupoïde des

nzf]

~t

suites exactes de VI Ei Os-Modules à droite sur I x S, localement libres de rangs r - r', r et r' respectivement

[resp. et qui de plus sont munies d'un isomorphisme avec

Par ailleurs, pour tout anneau A, on note P"~'(A) le groupe des automorphismes de AT qui préservent la filtration canonique

LEMME3. - Avec les notations ci-dessus, le champ T r x ' s'identifie au champ classifiant sur IF, du groupe fini P'." (VI). Démonstration : On a le carré 2-cartésien

où le champ ~ e c x s'identifie ' au champ classifiant sur F, du schéma en groupes S w HO(S,P ~ > " ( VEl~OS)), donc est lisse sur IF,. D'après la proposition 1 du paragraphe 1.2, le champ T r x ' est étale sur P,. Il reste à prouver que pour tout corps K algébriquement clos, le foncteur T r ~ / ( S p e c F , )-+ Trxt(SpecK ) est une équivalence, ce qui résulte du lemme 3 du paragraphe 1.3 et du lemme 4 du paragraphe 1.2. 0 Or, pour tout sous-schéma fermé fini I v X, on a au-dessus de ( X \ I ) x (X\I) des morphismes canoniques

Définissons donc les champs chtqtr;;'; fibrés dans les carrés 2-cartésiens :

Chtqtr~;

I Chtqtr;;"

Chtsotry;"

et ~ h t s o t r y comme ~ ~ ' les produits

-

-

Spec IF,

I T r x ' = spec IFq/pqr' (DI)

Spec IF,

Comme dans la proposition 5 du paragraphe 1.3, on obtient :

PROPOSITION 4. - Soient r , r' deux entiers avec 1 5 r' 5 r - 1, et I L_+ J L_+ X deux sous-schémas fermés finis emboités de X . Alors o n a au-dessus de (X\J) x (X\J) des morphismes canoniques

qui sont représentables finis étales galoisiens avec pour groupe de Galois le groupe fini ~ e r [ ~ ' (>D" J ) pT"'( D I ) ].

-

Et pour tout sous-schéma fermé I X , on remarque encore qu'on a au-dessus de (X\I) x (X\I) des morphismes ~f

Or, d'après le théorème 2 du paragraphe 1.3, on a la décomposition canonique en composantes connexes

[resp.TI-&$

=

UE

SpecPq/ Aut E]

où E décrit la famille des D-Modules à droite sur X, localement libres de rang r' [resp. r - r'] et munis d'une structure de niveau I. En prenant les images réciproques, on obtient une décomposition naturelle = I I chtqtr;? chtqtr;>; E

[resp. ~ h t s o t r ~ ; - " =

-

UE

.

chtsotr;?]

b) Les morphismes ~ h t q t r ~ ~ChtD,, ; et chtsotr;:;"

-+

Chtb,,

Le but de ce paragraphe est de prouver le théorème suivant :

5. - Soient r, r' deux entiers avec 1 < r' < r - 1, I ~t X un sous-schéma fermé fini de X , et n E Z un entier. Alors, si E décrit la famille des D-Modules à droite sur X , localement libres de rang r' [resp. r - r'] et de degré _< n [resp. 2 n], munis d'une structure de niveau 1, le morphisme THÉORÈME

[resp.

U E

-

~htsotr~?

Cht;,,]

est représentable, quasi-fini, non ramifié et séparé. Autrement dit, chaque morphisme ~htqtr;:

-

Cht;,,

-

[resp. ~ h t s o t r s ?

Cht;,,]

est représentable, quasi-fini, non ramifié et séparé. Et d'autre part, la famille des Chtqtr;?, deg E < n [resp. des Chtsotr$, deg E n] est finie au-dessus de chaque ouvert quasi-compact du champ Chth,,.

>

U Avant de passer à la démonstration, donnons quelques définitions et résultats préliminaires.

DÉFINITION 6. - Si S est u n schéma sur IF,, généralisé sur S tout diagramme

on appelle D-chtouca

de D [XI Os-Modules à droite sur X x S localement libres de type fini, tel que j et t sont des isomorphismes en dehors d'un schéma fini sur S .

-

Et si El

=

( >1 &

l'

G

et

&

=

(> "

- -

&;)

-

sont deux D -

%

chtoucas généralisés sur S , on appelle morphisme de El dans E2 tout couple d'homomorphismes D [XI Os-linéaires f : Il -+ &2, f' : &i + 15; rendant commutatif le diagramme :

L'ensemble des morphismes de IF, que l'on note

Il dans E2 forme

u n espace vectoriel sur

Maintenant, on a

PROPOSITION 7. - Pour tout schéma S sur IF,, pour tous D-chtoucas généralisés l?, et 22 sur S , le foncteur

est représentable par u n schéma en IF,-espaces vectoriels sur S qui est fini et non ramifié, noté Homv,, (El @ ., & @ .). Démonstration : Tout d'abord, on a le lemme suivant :

LEMME8. - Soit S u n schéma sur

F, et F1, F2deux V [XI Os -Modules

à droite sur X x S qui sont de présentation finie, et tels que

3 2

soit plat

sur Os. Alors le foncteur

est représentable par u n fibré vectoriel de type fini sur S; que l'on notera H o m (FI ~ @ ., 3 2 @ .) .

Démonstration du lemme 8 : D'après Grothendieck (cf. [EGA III] corollaire 7.7.8), le foncteur (S' + S ) t-t Homox xs, ( 3 1 @ Os/, F2@ Os/) est représentable par un fibré vectoriel sur S que l'on notera Homox (FI@ ., F2@ .). De même, on dispose de fibrés vectoriels Homox ( 3 1 @ D @ ., F2@V @ .) et Homox (fi@ V @ -, F2@ -) sur S. Alors le noyau des deux homomorphismes Os-linéaires

induits respectivement par les homomorphismes de produit F2@V + F2et + 3 1 , est encore un fibré vectoriel sur S, et il répond à la question posée.

FI@ V

[>

O

[>

Fin de la démonstration de la proposition 7 : Notons El

'El

&;)

et

g2 =

E2

-

-

=

&;).

'E2

Les homomorphismes E2 -+ E;, El + E:, 'E2 + E; et 'El -+ I I induisent des homomorphismes Os-linéaires entre fibrés vectoriels sur S :

Par ailleurs, on a un homomorphisme Os-q-linéaire

:

On remarque que j2,jl, t2 et t l sont universellement injectifs, donc sont des immersions fermées. On voit- immédiatement sur les définitions que le foncteur (S' S) H H ~ m v(El , ~8 Os,, E2 8 Os,) est représentable par le sous-schéma fermé de Homv(El 8 ., E2 8 .) x s Homv(&; 8 .,E; 8 -) défini par les équations j2(f)= j1(f1) et t2 o r ( f ) = t1(ft). Ce schéma est donc affine sur S. Il est aussi projectif sur S, donc fini. Pour le voir, il suffit de montrer qu'il est aussi fermé dans le fibré projectif

-

Or en coordonnées homogènes, les équations s'écrivent

qui est impossible à réaliser avec fo = O et (f,f') # (0,O). Enfin, ce schéma est non ramifié sur S. En effet, d'après l'équation j2(f ) = jl(f'), ~ o m v , (Fl , 8 un sous-schéma fermé de Homv(&{8 -, ES 8 .), donc aussi de ., E; 8 -) via t l , si bien que

-

a,

E2 8 -) est @I

est un homomorphisme surjectif. Or d'après l'équation ta O T ( f ) = tl( f'), on a dtl = O d'où

comme on voulait. Par ailleurs, prouvons : LEMME9. - Soient S un schéma sur IF,, nœthérien, et E un faisceau cohérent localement libre sur X x S . Alors il existe un entier n E 27, tel que pour tout point algébrique s = Spectc(s) de S , et pour tout faisceau localement libre F sur X x s plongé dans Es [resp. quotient de Es], on a deg F 5 n

[resp. deg F

> n]

Démonstration : Si m (parmi un nombre fini de possibilités) désigne le rang de 3,tout plongement 3 ct £, induit un plongement

d'où une inclusion

entre espaces vectoriels de dimension finie sur le corps ~ ( s ) . Or, d'après le théorème de Riemann-Roch, on a

-

où g désigne le genre de la courbe X . Or la fonction s dim,(,) H'(X x s, Am£,) ne dépend que du point image de s dans S, et comme fonction de ce point, elle est constructible. Comme S est nœthérien, on voit que cette fonction ne prend qu'un nombre fini de valeurs. Ceci prouve que s'il existe un plongement 3 v Es, deg 3 est uniformément majoré. D'autre part, s'il existe un homomorphisme surjectif £, -+ 3, il lui correspond un plongement entre fibrés duaux 3" v £ y , donc deg.FV = - deg 3 est uniformément majoré. 0

Démonstration du théorème 5 : On remarque d'abord qu'au-dessus de ( X \ I ) x ( X \ I ) , on a un diagramme 2-commutatif

chtqtr~;

1

-

~htsotry;~'

ChtBlr

1

resp.

+

ChtD,I

1

où les deux morphismes verticaux sont représentables finis étales. Donc il suffit d'étudier le cas I = 0. On sait que l'ensemble des V-Modules à droite E sur X , localement libres, de rang et de degré fixés et dont tout ~ous-C3~-Modulelocalement

libre a son degré majoré par une constante fixée, est fini. Ainsi, l'assertion que la famille des c h t q t r ~ ; , deg E n. [resp. des ~htsotr;?, deg E n] est finie au-dessus de tout ouvert quasi-compact de Chtl;, est conséquence du lemme 9 ci-dessus. Reste à prouver que chaque morphisme

<

chtqtr;"

-

Chth

>

[resp. chtsotrDE -+ Chth]

est représentable quasi-fini non ramifié et séparé. On note que pour tout schéma S sur IF,, le foncteur chtqtrgE (s)

Cht&(S) [resp. chtsotrDE (s)

-

Chtb(S)]

est fidèle. Comme le morphisme Spec IF, + Spec IF,/ Aut E est représentable fini étale galoisien, il suffit donc de prouver qu'est représentable quasifini non ramifié le morphisme

~~t [resp. chtsotrgE x (spec~./

E)

Spec F,

-

Chth] .

E

est un V-chtouca de rang r sur S, et = E IXI Os est le V-chtouca trivial sur S induit par E, alors le foncteur qui à tout schéma S' -t S sur S associe l'ensemble des morphismes de 2@ Os! dans @ Os! [resp. de E 8 Os/ dans ,?@ O s / ]tels que les homomorphismes E @ Os, -. E @ Os! et Et 8 Os! -+ E @ Os! soient surjectifs [resp. E 18 Os! -t £ @ Osl et E@Osf -+ Et@Os~ soient injectifs et aient leurs conoyaux localement libres, @Os! t EV@Os! ce qui revient à dire que les homomorphismes duaux IV et Et" @ Os! -+ E V@ Os! soient surjectifs] est représentable quasi-fini non ramifié et séparé sur S . Ce foncteur s'envoie évidemment dans le foncteur

E

qui d'après la proposition 7 est représentable fini non ramifié sur S. Sur Si x X, on a des homomorphismes canoniques

et pour tout morphisme S' + Si, on se demande quand-st-ce que les faisceaux conoyaux Coker(E @ Os, -+ E @ Os,) et Coker(E1@ Os, -+ E @ OS,) [resp. Coker(EV@Os, -+ EV@Osl) et Coker(EtV@Osl -+ EV@Os,)] sont annulés par le changement de base St -t Si. D'après le lemme de Nakayama et la propreté de X , cette condition est représentable par l'immersion ouverte dont l'image dans Si est le complémentaire de l'image des supports de ces faisceaux sur X x Si. 0 Ceci termine la démonstration. Comme conséquence du théorème 5 ci-dessus et du corollaire 6 du paragraphe 1.3, on a :

-

COROLLAIRE 10. - Pour tous entiers r , r' avec 1 < r' 5 r - 1, tout sousschéma fermé fini I X et tout V-Module à droite E sur X , localement libre de rang r' [resp. r - r'] et muni d'une structure de niveau 1, le champ chtqtrZ

[resp. ~ h t s o t r g T ]

est u n champ algébrique au sens de Deligne-Mumford, localement de type fini et séparé sur F,. Il s'écrit comme réunion filtrante de sous-champs ouverts qui sont quotients de schémas quasi-projectifs sur IF, par l'action de groupes finis.

O c) Les morphismes chtqtr$

~htsotr2:-

i

~ h t x ; ' x SpecF,/AutE

Spec Fq/ Aut E x ~ h t g , ~

et

-

Enonçons d'abord le théorème suivant :

THÉORÈME 11. - Soient r , r' deux entiers avec 1 5 r' < r - 1, I X u n sous-schéma fermé fini, et E u n V-Module à droite sur X , localement libre de rang r' [resp. r - r'], muni d'une structure de niveau I. Alors le morphisme

chtqtr;;

[resp. ~htsotr;;

--

~ h t x ; ' x Spec IF,/ Aut E SpecPP/ Aut E x chtDjI

]

est de type fini et lisse de dimension relative r'd [resp. ( r - rl)d].

O

Avant de procéder à la démonstration, rassemblons quelques résultats préliminaires. Tout d'abord, rappelons la notion de champ de Picard ( c f . [SGA4], XVIII, paragraphe 1.4).

DÉFINITION12 (Grothendieck). - Soit S u n schéma sur IF,. O n appelle champ de Picard sur S tout champ A sur S muni d'un morphisme commutatif et associatif

et d'un morphisme élément neutre O : S -+ A, vérifiant les axiomes naturels. Si (A,+) et ( B , +) sont deux champs de Picard sur S , u n morphisme de l'un dans l'autre est u n morphisme A -+ B muni d'un 2-isomorphisme de commutation des deux foncteurs composés dans le diagramme

et avec des compatibilités évidentes. Par abus de langage, appelons noyau d'un tel morphisme le produit fibré O sur B de A -+ B et S B dans la 2-catégorie des champs. C'est encore u n champ de Picard sur S . Un champ de Picard sur S est dit représentable s'il est isomorphe à u n espace algébrique e n groupes abéliens sur S . U n morphisme (A,+) -+ ( B , +) entre champs de Picard sur S est dit représentable si son noyau est représentable. U n champ de Picard (A,+) sur S est dit algébrique s'il existe u n champ de Picard représentable ( A ,+) sur S et u n morphisme ( A ,+) -+ ( A ,+) représentable lisse de type fini.

-

On a le lemme suivant

:

LEMME13. - Soit S u n schéma sur IF,. ( i ) Associons à tout complexe A' : A-' 5 A0 de faisceaux de groupes abéliens sur le grand site f.p.9.c. de S , concentré en degrés -1 et O le champ A défini par le S-espace e n groupoides correspondant.

Alors ce foncteur induit une équivalence de la catégorie démvée desdits complexes dans la catégorie des champs de Picard sur S . E n particulier, o n dispose de la notion de triangle de champs de Picard. (ii) S i (A, +) est u n champ de Picard sur S associé à u n complexe A' comme dans (i), alors pour tout schéma S r sur S , le groupe des classes d'isomorphismes d'objets de A ( S f )s'identifie à H O ( S ' ,A') et le groupe des automorphismes de n'importe quel objet s 'identifie à H-1 ( S ' , A'). (iii) Soit (A, +) -t (B, +) -t (Cl+) -t u n triangle de champs de Picard sur S . Alors a fortiori (A,+) est le noyau de (B, +) -+ (C, +), et localement pour la topologie f.p.q.c., les fibres du morphisme B -t C sont isomorphes à des fibres de A -t S . E n particulier, si A est représentable [resp. de type fini, resp. lisse de dimension relative n] il e n est de m ê m e du morphisme B -t C. Démonstration : (i) est prouvé dans [SGA4], XVIII, proposition 1.4.15. (ii) est évident sur les définitions. (iii) La première assertion est claire d'après [SGA4], XVIII, corollaire 1.4.17. Pour la seconde, soient S' un schéma sur S et S' -+ C un morphisme. D'après (ii) et l'hypothèse, il existe un recouvrement SI' -t S' pour la topologie f.p.q.c. tel que SI' -t S' -+ C se relève en Sr' -t B. Et le choix d'un tel relèvement détermine un isomorphisme induit par

+

La dernière assertion est conséquence immédiate des précédentes.

O

Maintenant, prouvons :

LEMME14. - Soit ~ e c lez champ qui associe à tout schéma S sur IF, le groupoi'de des suites exactes de 2)E3 Os-Modules à droite sur X x S , localement libres de rangs r - r', r et r' respectivement

-

-

dont la restriction à I x S est munie d'un isomorphisme avec la suite exacte 2);' El Os 0. canonique O -. 2);-" E3 O s + D; O s Alors le morphisme

est algébrique, de type fini et lisse. Plus précisément, si S est u n schéma sur F, et &, F sont deux objets de Vecg,, (s)et v e c ~( S' ) respectivement, alors le champ E ~ x t v( E, ~, F ) obtenu comme produit fibré dans le carré 2-cartésien

est u n champ de Picard sur S qui localement pour la topologie de Zariski de S peut être représenté par u n complexe C-' + Co de Os-Modules localement libres de type fini. E n particulier, le champ E ~ ~ V , ~ ( &sur , FS) est algébrique lisse de type fini. Démonstration :Introduisoris sur X x S le faisceau Homv[xlos(&, F ) = H o m v ( & , F ) qui est localement libre de rang r 1 ( r - r')d2 sur O x x s . Puis introduisons le faisceau H ~ r n ~ , ~F () &=, H o m v ( & , F ) gox S = H o m v ( & , F go, Z)où Z c O x est l'Idéal qui définit le sous-schéma fermé I ~f X i Il est aussi localement libre de rang r l ( r - r')d2 sur O x , s . Alors, si p : X x S -+ S désigne la projection, il est immédiat que Extv, (£, F)est le champ de Picard sur S associé à l'objet

dans la catégorie des complexes concentrés e n degrés -1 et O. Le fait que localement sur S , il peut être représenté par u n complexe de Os-Modules localement libres de type fini résulte d'un théorème de Grothendieck, c f . [Mumford]Chapitre I I , 5 5, puisque H o m v , (&, F ) est plat sur O s . O n conclut d'après le lemme 13 (iii). 0

L E M M E15. - Soient S u n schéma sur IF,, A, 23 et B' trois D IXi O s Modules à droites sur X x S , localement libres de rangs a , b et b, avec structures de niveau 1, et B -t B' u n homomorphisme D IXI Os-linéaire, injectiJ dont le conoyau est supporté par le graphe d'un morphisme i : S + X\I et tel que B ' / B [resp. EX^&^^, ( B 1 / B D , H O s ) ] est localement libre de rang ,O sur son support comme Os-Module.

Alors on a un triangle de champs de Picard au-dessus de S

[resp.

L L

-

-

EX~V,I(A, a) Ext~,~(B',d)

--

E X ~ D , ~ al) (A, EX~~,~(B,A) ]

où C est le fibré associé au faisceau localement libre dual

v

a)) ] .

[resp. (i, ~ d )~*x t & , , ( o p ,

(

En particulier, le morphisme E x t v , (A, ~ 13)

-

E x t v ,(A, ~ B')

est représentable de type fini lisse de dimension relative ap.

Remarque : Lorsque i : S --+ X est à valeurs dans XI, il est équivalent de demander que B' /B ou que EX^&,^ (BI/B, V i ZOs) soit localement libre de rang comme Os-Module. Et dans ce cas, le faisceau (i, Id)* EX^&^,^ (B1/B,A) s'identifie à H O ~ ~ = ~ ( @os B ' / i*Rk, B (i,Id)*A) puisqu'alors ~ o r y(B'IB, ~ Os) s'identifie à Bt/B @osi*Rk. Démonstration du lemme 15 : On a une suite exacte de OxxsModules : O -+ H o m v ,(A, ~ B) -t Homv,I(A, BI) + Homvrxios(A, Bt/B) + O [resp.O

-t

HomvjI(BI, A) -+

HomvjI(B, A)

-+

EX^&,^ (Bt/B, A)

-+

O]

En notant p : X x S -+ S la projection, on en déduit un triangle dans la catégorie dérivée des complexes concentrés en degrés -1 et O (i, Id)*Homvrxio, (A, Bt/B)+ R p * H o m v ,(A, ~ B) 1-11 Rp*Homv,r(A, a') [- 11 -+

[resp. (i, ~ d ) * E x t &(Bf/B, ~ ~ A) - t R p , N o m ~ , ~ ( BA)[-11', RP*H o ~ v I ( ,a , A) [- 1 11 d'où la première assertion puisque E X ~ ~ J ( A , Bet) E x ~ ~ , ~ ( A , B ' ) [ r e s p . E x t ~ , ~ ( B ' , Aet ) Extz>,~(B,d)]sont les champs de Picard ~ 17)[- 11 et Rp*H ~ r n v(A, , ~BI) [- 11 [resp. associés à Rp, H o m v ,(A, R P * H O ~ V , I ( B ' , A ) [ -et ~ ]RP*HO~V,I(B,A)[-Il]. La seconde assertion en résulte d'après le lemme 13 (iii). 0

Démonstration du théorème 11 : Soient S un schéma sur F, et S + Chtb:;' x SpecF,/ Aut E [resp. S + SpecP,/ Aut E x ~ h t g , un ~]

[resp. Chtg,, (s)] et d'un objet E de Tr$,I (s)[resp. Trb:;' (s)] qui devient isomorphe à E audessus de chaque point géométrique de S. Notons Exta,j (E, 3 ) [resp. E X ~ D(,F~, E)] le champ fibre au-dessus de S du morphisme chtqtr2; [resp. Chtsotr;:

-

~ h t b ~x; 'Spec F,/ Aut E Spec Fq/ Aut E x c h t g j I

].

On remarque qu'on a un carré 2-cartésien

où d'après le lemme 14 tous les champs ExtV,,(. , . ) sont algébriques lisses et de type fini sur S, et d'après le lemme 15 le morphisme

est représentable et lisse de dimension relative r'd [resp. (r - r1)d]. On conclut en appliquant la proposition 1 du paragraphe 1.2.

1

d) Les champs Extz>,r(E, y ) et EX^^,^ (y,E) Commençons par introduire une nouvelle notion. Considérons de manière générale Y un schéma et U un champ sur Y, algébrique au sens de Deligne-Mumford, localement de type fini et lisse. E t soit Y + U une section de ce champ sur Y. Par hypothèse, il existe Ul + U un recouvrement étale de U par un schéma lisse sur Y. Alors Yi = Y x u Ul est un recouvrement étale de Y , et le morphisme Yi + Ul x y YI est une section du morphisme lisse Ul x y YI -' Yi qui relève la section Yi + U x y Yl de U x y YI -+YI. Ainsi, Yi + Ul x y Yl est une immersion régulière et comme telle admet un faisceau normal Nl sur Yi. De plus, si U2 + U est un autre recouvrement étale, avec U3 = U1 xu U2, Y2 = Y x u U2, Y3 = Y x u U3 = Yl x y Y2 et N 2 , N3 les faisceaux normaux correspondants, alors les sections Yl -+ Ul X Y YI et Y2 + Uz x y Y2 s'inscrivent dans un diagramme commutatif

où les morphismes horizontaux sont étales. Il en résulte que sur Y3 les trois faisceaux N3, 0Y3 et N2@oy2 0y3 sont canoniquement isomorphes. De ceci, il résulte d'une part que Ni est muni d'une donnée de descente relativement à Yi + Y, donc qu'il provient d'un faisceau N sur Y, et d'autre part que ce faisceau N ne dépend pas du choix de Ul. Le faisceau N ainsi défini sur Y est appelé le faisceau normal de la section Y + Li du morphisme lisse 24 -, Y. Comme sous-produit de la démonstration du théorème 11 (via celle de la proposition 1 du paragraphe I.2), on a : COROLLAIRE 16. Soient r , r' deux entiers avec 1 5 r' 5 r - 1, I u n sous-schéma fermé ,fini. -

-

X

[resp. de ~ h t $ , ~ ( et~ E ) ]u n objet de T~$,,(s) [resp.'lk~$(S)]. Alors la section triviale du morphisme de type fini lisse de dimension relative r'd

[resp. ( r - r' )dl

admet pour faisceau normal le faisceau sur S

[resp. (iolId)* EX^&^,^ (3'lT3, E ) qui s 'identifie à H o m i ; v ( 3 ' l T F@os i:R&, (iolI d ) * £ ) lorsque io : S + X est à valeur dans X I ] . Démonstration : Il suffit d'appliquer le l e m m e 15 e t la remarque qui le suit. O

O n a également :

PROPOSITION 17. - SOUSles hypothèses et avec les notations du corollaire 16, E X ~ ~ , ~ ( E[ r, eFs p) . ~ x t z > , ~ ( F , est E ) ]u n champ de Picard sur S . Il s'inscrit naturellement dans u n triangle de champs de Picard sur S ~ x t v( E, l 5) ~ [resp. ~ x t v ,(y, r f)

-

i

j-to~

E x t v , I ( E ,3)

-

+

t-TO~

E x t v , (FI, ~ E)

-

EX^^,^ ( E ,3')

ExtV,r ('3,E ) +]

où j et t sont induits par les homomorphismes V IXI Os-linéaires 3 2 F' et ' F 5 3' et 7 est induit par l~homomorphismeD IXI Frobs-linéaire 3 A TF. Démonstration : T o u t d'abord, il est évident sur les définitions que E x t V , (~E ,F ) [resp. EX^^,^ (TlE ) ] s'identifie a u noyau d e l'homomorphisme j-tor

E x t v , ~ ( E3) , [resp. E X ~ D , ~ (EF)' ,

---t

t-~oj ---t

EX~V,I(& 3') , E x t ~ , r ( ~EF) ],.

O r , e n notant p : X x S -t S la projection, o n sait que cet homomorphisme est l'image par le foncteur R p , (.) [- 1] d e l'homomorphisme de faisceaux sur X x S

Par conséquent, il s'agit de montrer que 17homomorphismede faisceaux sur S

[resp. ~ ' pHomv,I(F1, , E)

t-roj +

Rlp, H o m v ,('F, ~ E)]

est surjectif. Et pour cela, il suffit de montrer que le morphisme

-

j-tor

E x t v , ~ ( EF, )

E x t v , ~ ( E3') ,

t-roj

[resp. E X ~ ~ , ~ ( F ~ , E ) E X ~ ~ , ~ ( ' F , E ) ] . est lisse. Considérons donc S' un schéma sur S et s' : Sr -+ E X ~ ~ J ( & , F ' ) [resp. s' : S' -t E x t V , ~ E ) ] un point à valeur dans S'. Il s'agit de prouver que la fibre de j - t O T [resp.t - T O j ] au-dessus de s' est lisse sur S'. Pour simplifier les notations, on peut supposer que S' = S et noter s' = S . Alors cela résulte des lemmes 14 et 15 et de la proposition 1 du paragraphe 1.2 puisqu70n a un carré 2-cartésien :

[respectivement :

O Afin d'exploiter cette proposition dans le cas où S est un point géométrique, on a besoin du lemme algébrique suivant :

LEMME18. - Soient K u n corps sur IF,, algébriquement clos, U et V deux espaces vectoriels sur # de dimension finie, X : U -+ V u n homomorphisme linéaire et S, : U -+ V u n homomorphisme q-linéaire. Alors : (i) Si X est injectif, le schéma en groupes Ker(X - S,) est discret; il s'identifie à u n sous-IFq-espace vectoriel de U tel que Ker(X - S , ) @ J ~K~ U est injectif; e n particulier, le rang sur IF, de Ker(X - S,) est majoré par la dimension sur K de U . De plus, le schéma e n groupes commutatifs quotient Coker(X - S,) est unipotent et isomorphe (non canoniquement) à Coker(X). -f

base

(ii) Si X et S, sont bijectifs, il existe une base u1, . . . ,u n de U et une . . . , un de V telles que

VI,

(iii) Si X est surjectif, la composante neutre du schéma en groupes commutatifs Ker(X - S,) est unipotente et isomorphe (non canoniquement) à Ker (A). (iv) Factorisons S, canoniquement e n U 1 ,TU -% V O& T est l'isomorphisme de Frobenius et p est u n homomorphisme linéaire avec donc des diagrammes

Alors, si X et p sont surjectifs [resp. injectifs], la restriction à Ker(X - p o T) x K e ~ ( ~ Tp O tX) de la forme bilinéaire

U x tV

-

K

( u ,v*) t-t< v*, X(u)

>=< tX(v*),u >

est à valeurs dans IF,, et elle induit une dualité parfaite entre la partie discrète de Ker(X - p O T) (c'est-à-dire son quotient par sa composante neutre) et le groupe discret Ker(tp - T O tX) [resp. entre le groupe discret Ker(X - p O T ) et la partie discrète de Ker(tp - T O tX)].

Démonstration : (i) Ker(X-$) est discret et étale sur K car c'est le noyau d'un homomorphisme séparable entre schémas en groupes lisses dont la différentielle d(X - $) = X est injective. Ainsi Ker (A - +) s'identifie à l'ensemble de ses points sur K , c'est-à-dire à un sous-groupe de U . Le fait que Ker(X - $) @pq K -t U est injectif a déjà été montré dans le lemme 4 du paragraphe 1.3. Pour la seconde assertion, choisissons W un supplémentaire dans V de Im(X). Alors l'homomorphisme induit W -+ Coker(X) est un isomorphisme. Par conséquent, l'homomorphisme de schémas en groupes commutatifs IFqlinéaires Coker(X - $) W

-

est étale. Comme Coker(X - $) est connexe, cet homomorphisme est surjectif et son noyau est un sous-groupe discret IFq-linéaire de W. Il s'agit donc de prouver que tout quotient de W par un sous-groupe discret IFq-linéaire G est isomorphe à W comme schéma en groupes commutatifs IFq-linéaires. Si G = O, il n'y a rien à prouver. Dans le cas contraire, choisissons f i # O dans G, et complétons f l en une base f i , .. . , f k de W. Alors l'homomorphisme IFq-linéaire

a pour noyau IF, f i C G. Donc l'homomorphisme de projection W + W/G se factorise à travers cet homomorphisme W -+W, et W/G apparaît comme un quotient de W cette fois par GIIF, f l . D'où le résultat par récurrence sur le cardinal de G. (ii) Cela a déjà été démontré dans le lemme 4 du paragraphe 1.3. (iii) On fait une démonstration par récurrence sur la dimension de U . Si Ker S, c Ker A, on a nécessairement Ker+ = Ker X puisque X est surjective. Posons alors U2 = U / Ker A. Les homomorphismes induits X2, $2 : U2 V sont bijectifs, donc d'après (i), Ker(X2 - Si2) est discret. De plus, on a une suite exacte canonique -)

O

-t

KerX

-+ Ker(X - $)

--+

Ker(A2 - $2)

)

0

d'où le résultat dans ce cas. Dans le cas contraire, il existe ui E Ker $ tel que vl = X(ul) soit non nul.

Posons U1 = K u l , Vl = Kul, U2 = U/Ul, V2 = V/Vl. E t soient X i , $l : Ul -t VI et Ag, $2 : U2 + V2 les homomorphismes induits. Le lemme du serpent nous donne immédiatement deux suites exactes :

Le résultat pour X - $ se déduit donc de celui pour X2 - $2. Afin de préparer la démonstration de (iv), étudions un isomorphisme comme nous venons d'en construire : Ker X

Ker(X - $)O

u

e(u)

H

Pour tout élément u de Ker A, l'homomorphisme composé K + Ker X

+ Ker(X

-

$) a

e(au)

H

est nécessairement de la forme

puisqu'il est IFq -linéaire. ) nuls à partir d'un certain rang et on a u(O) = u puisque la Les u ( ~ sont différentielle de e en O est l'identité de Ker A. Chaque application u t-,u(') Ker X -t U est qi-linéaire. Enfin, comme a H e(au) est à valeurs dans Ker(X - $), on trouve

Notons U0 le sous-espace de U engendré par les u ( ~ )u, E Ker A, i > 0, et V0 son image par $ ou A. Alors les homomorphismes induits Xo, go, Xo - $0 : U0 + V0 sont tous trois surjectifs. - Notons Ü = U/U', V = V/VO et A, $ : Ü + V les homomorphismes induits. Le lemme du serpent nous donne une suite exacte

O

-t

KerXo

+

Ker X

+

~ e r X + Coker Xo

+

CokerX

II

II

II

Ker X

O

O

-+

~ o k e r x+ O

- donc X : U -+V est un isomorphisme. : Ü 4 7 est Supposons maintenant que $ aussi est surjectif. Alors surjectif, donc bijectif. D'après (ii), il existe une base ü l , . . . ,ük de Üformée d'éléments du sous-groupe discret ~ e r ( X Or, comme Xo - $0 est surjectif et d'après le lemme du serpent, on a une suite exacte

3).

Choisissons des éléments ul, . . . ,uk dans Ker(X-+) qui relèvent E l , . . . ,ük, soient V I , . . . , vk leurs images par X ou +, et notons ud C U et Vd C V les sous-espaces engendrés. On a obtenu des décompositions en sommes directes

u=u0a3ud v=v0a3vd telles que X et $ induisent des isomorphismes de ud sur Vd.

Démontrons maintenant (iv). = p O T sont surjectives, l'autre cas Il suffit d'étudier le cas où X et étant sa traduction en termes duaux. Montrons d'abord que si u E Ker(X - p O 7) et v* E Ker(tp - T O tX), on a < v*, X(u) > E IF,. Calculons

< v*, X(U) >=< v * , p O T(U) > =< t p ( v * ) , r ( ~>) =< 7 O t ~ ( ~ * ) >= , ~ ((<~ t )X ( ~ * )u, >), d'où le résultat. On en déduit par continuité que si v* E Ker(tp - T O tA), alors

Cela s'écrit encore

et donc la forme linéaire < v*, A(.) > s'annule sur l'espace engendré par les ~ ( ~ c'est-à-dire 1 , UO. On est donc ramené au cas où U = ud, V = vd,autrement dit où A, $ : U V sont tous deux bijectifs, et l'assertion (iv) devient alors évidente puisqu'il existe des bases ui,. . . ,uk et V I , .. . , vk de Ud et Vd vérifiant X(ui)=vi=$(ui), l
-

Ceci termine la démonstration.

0

Du lemme 18 ci-dessus et de la proposition 17, o n déduit maintenant THÉORÈME 19. - Avec les hypothèses et notations du corollaire 16, supposons que S est u n point géométrique, c'est-à-dire le spectre d'un corps algébriquement clos contenant IF,.

( i ) Alors le champ E X ~ V( E, ,~f ) [resp.E X ~ V (7, J E)] sur S est algébrique au sens de Deligne-Mumford, de type fini et lisse de dimension r'd [resp. ( r - r l ) d ] . De plus, l'espace grossier associé à ce champ est représentable. C'est u n schéma en groupes commutatifs, de type fini et lisse. (ii) La composante neutre de ce schéma e n groupes est unipotente. Son algèbre de Lie est canoniquement isomorphe à Homimv((i,, Id)*£, F 1 / F ) qui s'identifie [resp. ~ x t & ~( F, 1 / T FE,) à H O ~ ~ ~ ~ (€3FicR&, ' / ~( 2 0F, Id)*£) lorsque le zéro io est dans X I ] . Elle possède une filtration canonique à deux termes où le sous-groupe est isomorphe (non canoniquement) à c o k e r ( H O ( x sH ; o m v , ~ ( EF, ) ) 1H ' ( X S ; H O ~ ~ , 3'))) ~ ( E , [resp.c o k e r ( H 0 ( x s ;H o m v , l ( T , E ) ) 2 H O ( x s ; HO^^,^

E)))]

et le groupe quotient est isomorphe (non canoniquement) à

(iii) Par ailleurs, la partie discrète de ce schéma e n groupes (c'està-dire le groupe de ses composantes connexes) est canoniquement isomorphe à Homox ,T ( H o m( ~E ,f ) , O& €3 Z-' 8 O S ) [resp.~ o m o ,,, (Homv(?, £), flk 8 1-' 8 O s ) ] où flk est le faisceau canonique des diflérentielles sur X , Z est l'Idéal annulateur de I dans O x , et H o m v ( £ , f ) [resp. Homv(?, E)] désigne le

Ox-chtouca à droite [resp. à gauche] généralisé .

H o m v ( E ,3)

H o m v ( F ,E)

\ Homv ( E ,F I ) [resp. Homv ( F I ,E )

i"

\

Homv(&, ' F )

H o m ('F, ~ E)

(iv)- Enfin, le groupe de structure de la gerbe E x t V t I ( E d , ) [resp. E x ~ . ~ , ~E)] ( Fsur , son espace grossier est canoniquement isomorphe à

Démonstration : Seule l'assertion (iii) demande une explication supplémentaire. Il faut vérifier que les homomorphismes duaux de

sont H o m ( H o m ~ ( EF, f ) ,Ri @ 1-1@ O s )

-

Hom(Homv(E, F ) , Ri @ Z P 18 O s ) H o r r i ( H ~ m ; r , ( l , F ~ ) , R k @ ~ - ~ --@ O ~H) o m ( H ~ m ~ ( l , ~ F ) , 0; @ 2-1 @ 0 s ) [resp.H o m ( H o m v ( ' F , E ) , RX @ 2-1 8 O s ) H o m ( H o m v ( F f ,E ) , RX @ 1-18 O s ) Hom(Homv(F1,E ) , H o m ( H o m v ( F ,E ) , Rk 8 Z-1 8 O s ) 0; @ Z-l @ O s ) ]. Or, ceci n'est autre que la dualité de Serre.

0

2. - Filtrations canoniques de Harder-Narasimhan. Applica-

tions a) Pentes. Filtrations canoniques de Harder-Narasimhan

O n commence par des considérations générales. DÉFINITION1. O n appelle catégorie à pentes une catégorie abélienne A munie de deux applications rg:ObA-N deg:ObA-IR qui sont additives au sens que pour toute suite exacte O dans A, on a

+A +B +C +O

Pour tout objet A de A avec rg A 1 1, on appelle pente de A et on note p ( A ) le quotient deg A l r g A. Ç Ae = A est une Si A est u n objet de A et O = A. Ç Al Ç filtration de A avec rg A. < rg Al < . . . < rg Ae, on appelle polygone de cette filtration l'application continue

qui s 'annule aux points O et rg A et qui sur chaque intervalle [rgAiil, rg Ai], 1 5 i 5 t, est afine de pente F ( A ~ / A ~- -p ~ ( A)) . Si A est u n objet de A avec rg A > 1, et a une famille de sous-objets de A, a sera dite bonne si : ( i ) a est stable par intersections finies et sommes finies ; (ii) a est nœthérienne au sens que toute suite croissante d'éléments de a est stationnaire ; (iii) si Al E a, on a : Ai # O rg Ai 2 1 ; ( i v ) si Al, A2 sont éléments de a, o n a (le signe A signifiant "et")

Pour u n tel couple ( A ,a ) , on note

O n dit que (A, a) est semi-stable si

Si rg A = O, o n convient de noter p+(A) = -m, p-(A)

= +m.

Faisons quelques remarques. Si A est une catégorie à pentes, A un objet de A, et a une bonne famille de sous-objets de A, on pourra appeler maximaux les éléments Al de a qui vérifient

La propriété (iii) exprime que O est maximal. D'après la propriété (ii), tout élément de a est contenu dans un élément maximal de même rang, et d'après (iv) on peut dans la définition de p+(A) et p-(A) se cantonner aux Al qui sont maximaux. D'autre part, on a toujours p+(A) 2 p(A) p-(A) ainsi que l'équivalence p+(A) = p(A) ¢j p- (A) = p(A). D'autre part enfin, si Al est un élément maximal de a et A2 2 Al est un élément de a, la famille des B/Al, Al B C A2, B E a, est une bonne famille de sous-objets de A2/A1. Tout tel quotient A2/Al sera implicitement muni de cette bonne famille. Maintenant, on peut énoncer :

>

PROPOSITION 2. - Soient A une catégorie à pentes, A u n objet de A, et a une bonne famille de sous-objets de A. Alors : (i) A possède une unique filtration par des éléments de a

telle que : les Ai, O 5 i 5 Ic, sont des éléments maximaux de a ; - chacun des quotients Ai/AiPl est semi-stable;

> p(Ak/Alc-1). p(Al/Ao) > p(Ap/Ai) > O n l'appelle la filtration canonique (de Harder-Narasimhan) de (A, a). (ii) Si p = pA désigne le polygone de cette filtration canonique, il majore les polygones de toutes les filtrations de A par des éléments de a. (iii) Pour tout Al E a, on a rg Al 2 1 --I p(A1) 5 p(A)

+ 2% r. Al)

(iv) Le polygone p est concave, de pente maximale p+(A) - p(A), et de pente minimale p- (A) - p(A) .

(v) Si (A', a') est un autre objet de A, muni d'une bonne famille de sous-objets, et si u : A -t A' est un homomorphisme tel que Keru E a et I m u E a', alors p-(A) >p+(A1) + u = o .

Démonstration : (i) On raisonne par récurrence sur r = rg A. Pour tout entier r', 1 < r' 5 r, notons p,i = sup{p(A1) On a p+ (A) = rnax{p> , 1 5 r' 1 5 ri r, tel que

<

, Al

E a A rg Al = r')

.

< r), et il existe un unique entier r i ,

On peut choisir une suite (A,) d'éléments de a, tous de rang rl, telle que

Pour tous entiers n , p, on a

+ + + + + + A,) avec deg(An nA,) < p+ (A)rg(A, nA,), rg(A, + A,) L ri et p(A, + A,) 5 max{p>, ri < r' < r) < p+(A) si rg(A, + A,) > r1. Ceci impose que pour tous n , p assez grands, A, n A, et A, + A, soient aussi de rang r i . On peut supposer que c'est réalisé pour tous n , p 2 1. Si alors on introduit les An = Al + . . + A,, les An sont tous de rang rl. En effet, la filtration de A',/Al par les (Al + . . . + Ap)/A1, 1 < p 5 n , a pour quotients successifs les (Al + . . . + Ap)/(Al + . . . + qui sont des quotients de + Ap)/Ap-l donc de rang O. Les An forment une suite croissante d'éléments de a, donc stationnaire. Soit Al sa limite. Pour tous n , on a A, C An A rgA, = rg An + p(A,) < p(An) d'où rg(A, Ap) rgAn r d p = rg(A, n A,) deg A, = deg(A, n A,) deg(A, deg A,

~ ( 2 1= ) p+(A). Par choix de r i , Al est de rang maximal vérifiant la condition p(A1) = P+ ( 4 . Si B est un autre élément de a qui vérifie B # O A p(B) = p+(A), on a nécessairement p(A1 B ) = p+(A) = p(A1) puisque Al n B = O ou p@l n B ) 5 p+(A).

+

+

+

Donc Al 2 Al B est réalisé avec rgÀl = rg(Al B ) et p(À1) = p(A1 + BI. Ceci impose Al = Al B soit B C Al. Ai est aussi évidemment maximal, et on n'a plus qu'à appliquer l'hypothèse de récurrence à ~ 1 x 1 . (i) ==+ (iv) , est évident. (i) ==+ (iii). On remarque que Ai est filtré par les Al n Ai. Chaque ~ Ai = (Al nAi+l +Ai)/Ai se plonge dans Ai+l /Ai. quotient Al nAi+l/ A n Il est nul ou bien vérifie

+

\

I

I

On conclut grâce à la concavité du polygone p. (iii) ==+ (ii) est évident. (v) Si Im u est non nul, on a par définition

0

Il y a contradiction.

LEMME3. - O n suppose que V est une Ox-Algèbre partout maximale. Soient K u n corps algébriquement clos contenant F, et 5, 5 deux points de X sur K qui sont dans X' [resp. qui sont dans X' et ne sont images 1 'un de 1 'autre par aucune puissance de Frob]. Soit CI u n nombre dans l'intervalle ]O, 1 [ [resp. dans RI. Soit AE,, la catégorie abélienne des diagrammes de DK-Moddes cohérents sur X K &=

et 3 respectivement. où j et t sont des isomorphismes en-dehors de Alors, si u n tel objet E est sans torsion au sens que & et &' sont sans torsion SUT O X , & et &' sont localement libres sur V K autrement dit E définit u n D-chtouca généralisé sur K . Par conséquent, l'application sur Ob AE,,

est à valeurs dans

IV.

Par ailleurs, o n définit 1 'application

Alors dz,, munie de rg et deg, est une catégorie à pentes et pour tout objet sans torsion de (c'est-à-dire tout D-chtouca généralisé sur K ) la famille de tous ses SOUS-objetsest une bonne famille au sens de la définition 1. Démonstration : Il est évident que Ao,, est une catégorie abélienne. Le fait que tout objet sans torsion de AG,, est un D-chtouca généralisé sur K résulte de la proposition 7 du paragraphe 1.3. 11 est évident encore que les applications rg et deg, sont additives. Reste à prouver que pour tout sous-objet sans torsion de do,,, la famille de tous ses sous-objets est une bonne famille. Les propriétés (i), (ii) et (iii) dans la définition sont clairement vérifiées. Pour ce qui est de - (iv),- il s'agit de voir que si est un objet sans torsion de Ac,= et f i Ç E2 sont deux sous-objets de même rang, alors

-

deg, E2 - deg,

-

= deg,

-

1 d

F = -(a d i m F ~

+ (1 - a ) d i m F~ r )

Si O < a < 1, on a terminé. Et dans le second cas, la conclusion résulte du lemme suivant

LEMME4. Soient K u n corps contenant IF,, et 3,755 deux points de X sur K , dont aucun n'est image de l'autre par une puissance de Rob. Soient T et F I des faisceaux finis sur Ox, et j : F + F r , t : 'F + Fr des homomorphismes qui sont des isomorphismes e n dehors de 755 et de ô respectivement. Alors dimK F = dimK Fr. -

Démonstration : Si ( F ) et ( F r ) sont les diviseurs associés à F et F', on voit qu'il existe deux entiers n, et no dans Z tels que

On en déduit ( F ) - ('F) = no8 - nEi50 qui est possible seulement si no = 0 = n,. Donc ( F ) = (FI) et a fortiori dimK F = dimK F r . 0

Dans la situation du lemme 3, on peut donc appliquer les notions de la définition 1. En particulier, pour tout objet E de A5,= de rang 1 1, on dispose de sa pente d'indice a : p, (É) = deg,(g)/rg(F). Et si 2 est sans torsion, on peut introduire

-

g est dit a-semi-stable

-

-

-

si p a (E) = p , (E) = p z (E) . D'après la proposition 2, on a maintenant : THÉORÈME 5. -

O n suppose que D est une Ox-Algèbre partout maxi-

male. Soient K u n corps algébriquement clos contenant IF, et a, c>o deux points de X sur K qui sont dans X' [resp. qui sont dans XI et ne sont images 1 'un de 1 'autre par aucune puissance de Rob]. Soit a u n nombre dans l'intervalle ]O, 1[ [resp. dans IR]. Soit

g=

(' >

E l ) u n D-chtouca généralisé sur K , tel que El/£

TE

soit concentré en 5. soit concentré en cjo et Alors : (i) É possède une unique filtration par des D-chtoucas généralisés

telle que : - 0 les quotients Ei/Ei-l sont des D-chtoucas généralisés qui sont a-semi-stables ;

- -

/&(Él/&) > &('%/El)

-

-

> ' . > pa(Ek/Ek-l).

O n l'appelle la filtration a-canonique (de Harder-Narasimhan) de g. Son polygone est noté p,. Il vérifie les propriétés (ii), (iii) et (iv) de la proposition 2. (ii) Si É est u n D-chtouca trivial, de la forme 2 = E @Fq K où E est deg(det E) u n V-Module à droite localement libre sur X , alors p,(E) = %DE .b (\E ), est indépendant de a . De plus, la filtration a-canonique de E est composé de D-chtoucas triviaux, et elle est indépendante de a

(iii) Si

E est u n D-chtouca, deg,

on a

E = deg(det E) + (1

-

a ) = deg(det E')

-

a.

- -

Dans la filtration a-canonique de 6, tous les quotients Ei/Ei-i sont des D-chtoucas triviaua:-sauf u n et u n seul qui est u n D-chtouca. Par conséquent, E a une filtration canonique

où :

--

et El£" sont des D-chtoucas triviaux,

C'IF est u n D-chtouca, 5°F est a-semi-stable ,L-

et

(P)> ,La (F"/P) > ,J+ ( E / F f ).

Démonstration : (i) résulte de la proposition 2. (ii) est évident. (iii) résulte du lemme 1 du paragraphe 11.1. Remarquons que sous les hypothèses du lemme 3, pour tout objet C de Pic(X), on dispose d'un foncteur

Par ailleurs, dans le cas où 3 et 753 ne sont images l'un de l'autre par aucune puissance de Rob, on dispose de deux foncteur exacts

définis de la manière suivante :

A tout diagramme

('

E l ) , R o b resp. F'rob0 associe le dia-

'&

gramme &'

où ,& [resp. Eo] s'inscrit dans le carré cartésien et cocartésien de DKModules

Sur les sous-catégories des D-chtoucas triviaux, Frob, et F'robo sont l'identité et sur les sous-catégories des V-chtoucas, ils se confondent avec les foncteurs déjà définis au paragraphe 1.1. Enfin, ils transforment D-chtoucas généralisés en V-chtoucas généralisés.

LEMME6.

-

SOUS les hypothèses du lemme 3 et avec les définitions

ci-dessus, o n a pour tout objet E = (i) Pour tout élément

L de Pic(X)

:

(ii) Dans le cas o ù et E6 n e sont images l'un de l'autre par aucune puissance de Rob, o n a :

Démonstration : (i) est évident. (ii) résulte de ce que, avec les notations de la discussion qui précède l'énoncé du lemme, on a

d'où

0

comme on voulait.

COROLLAIRE 7. - Toujours tout V-chtouca généralisé

SOUS

les hypothèses d u l e m m e 3 , o n a pour

&Il&

est concentré e n E 5 et en : (i) P o u r tout élément C de Pic(X), le foncteur C @ . transforme la filtration a-canonique de g e n la filtration a-canonique de C @ E, et les polygones associés sont les m ê m e s . (ii) Dans le cas où 5 et E6 n e sont images l ' u n de l'autre par aucune puissance de Frob, le foncteur Frob, [resp.Frobo] transforme la filtration û c a n o n i q u e de g e n la filtrntion ( a 1 ) c a n o n i q u e de F'rob, (E) [resp. e n la filtration ( a - 1)-canonique de ~ r o b ~ ( g )et] ,les polygones associés sont les m ê m e s . tel que

+

Démonstration : Compte tenu du lemme 6, il suffit de voir que tout considéré est l'image sous-objet maximal de l'image de ,? par le foncteur par ce foncteur d'un sous-objet maximal de &. Dans le cas (i), cela résulte de ce que le foncteur C B. a un quasi-inverse qui est L-l @ .. Et dans le cas (ii), cela résulte de ce que F'rob, (E), E et F'robo(g) sont canoniquement isomorphes en dehors de 5 et m. 0

b) Les sous-champs ouverts C h t Z p- a

>

Soit r 1 un entier. Rappelons que pour tout sous-schéma fermé fini I décomposition en somme disjointe

-+

X , on a la

associée à l'application localement constante deg : ChtL,I

-

Chtb

qui à tout point algébrique, c'est-à-dire

--+

Z

à tout D-chtouca de rang r

sur un corps K associe deg(det E ) . ' Le

but dé ce paragraphe est de démontrer le théorème suivant :

On suppose que D est une Ox -Algèbre maximale. Soient r > 1 et n E Z deux entiers. Soit a un nombre dans l'intervalle ]O, 1[ [resp. dans IR]. Enfin, soit p : [O, r ] -+IR+ un polygone, c'est-à-dire une application continue, afine sur chaque intervalle [r' - 1,r'], r' = 1 ' 2 , . . . ,r et s'annulant aux points O et r . Alors : (i) Il existe dans le champ Cht" au-dessus de X' x X' [resp. de X' x X' X(X,X) A] un (unique) sous-champ ouvert noté ~ht"'"'~ tel que pour tout point géométrique S = Spec K -t C h t y correspondant à un D-chtouca de rang r et de degré n sur K , dont le zéro et le pôle sont dans X' [resp. sont dans X' et ne sont images l'un de l'autre par aucune puissance de Frob], ce point se factorise à travers l'ouvert - ~ h t " " ~ ' ~ si et seulement si le polygone de la filtration a-canonique de £ est majoré par p. THÉORÈME 8. -

(ii) Le sous-champ ouvert ~ h t " " ~ ' ~ est de type fini sur X' x X' [resp. sur X' x X' x ( x x x ) A].

O Avant de procéder à la démonstration, nous allons prouver quelques lemmes préparatoires.

(i) Soient r > r l > 1 et n, nl E Z des nombres entiers. Soit Vecsoyi t n 2 n 1 le champ qui associe à tout schéma S sur F, le groupoi'de des suites exactes

de Oxxs-Modules sur X x S avec E et El localement libres sur O x x s de rangs respectifs r et r l et de degrés respectifs n et nl relativement à S , et avec E2 plat sur O s . Alors le morphisme

-

V e ~ s o T ; T i , ~ ~ ~Vecbx l

(O-El

-E-E2-O)-&

est représentable et projectif. (ii) Soient r > r l 2 1 et n, ni, ni E Z des nombres entiers. Soit C h t s o ~ l. n . n .ni ~ le champ qui associe à tout schéma S sur IF, le groupoide des diagrammes commutatifs

de rang r et de degré n sur S , où les lignes sont exactes, où E2 et ES sont plats sur O s et où El et Ei sont localement libres sur O x x s de rang rld" et sont de degrés respectifs dnl + r l deg(2)) et d n i r l deg(2)) relativement à S. Alors le morphisme --+ Cht'-,"

+

Chtsoyl ?."."I

est représentable et projectif.

Démonstration : (i) est un théorème de Grothendieck, cf. [FGA] Les schémas de Hilbert. (ii) Posons n = dn r deg(V), Ti1 = dnl r i deg(D), Ti: = dn: r i deg(D). On a un diagramme commutatif :

+

+

+

Autrement dit, on a un morphisme de Chtso,T,TI ,n,n1,ni dans le produit fibré

lequel, d'après (i), est représentable et projectif sur Cht2n. De plus, ce morphisme représente les conditions d'annulation des homomorphismes composés :

D'après le lemme 3 du paragraphe 1.2, ce morphisme est donc représentable par une immersion fermée. D'où la conclusion.

0

LEMME10. -(i) Il existe une constante R 2 O telle que pour tout Vchtouca

maximal 3 de & (c'est-à-dire tel que E l 3 soit sans torsion) vérifiant

(ii) Sous les hypothèses du théorème 8 , soit q : [O, r d 2 ] + Ji%+ u n polygone tel que :

Alors, pour tout D-chtouca &- =

('>

de rang r sur u n corps

'& algébriquement clos K dont le polygone a-canonique est majoré par p, le polygone canonique du Ox-Module sans torsion & est majoré par q. Démonstration : (i) Soit 3' le sous-Ox-Module maximal de El engendré par 3 . Il s'agit de prouver que les homorphismes composés

sont nuls si R est assez grande. D'une part, il existe un fibré inversible très ample C sur X tel que D @ox C soit engendré par ses sections. Donc tout Ox-Module quotient de 3Box D est aussi quotient d'une puissance de 3Box C-l d'où

Si donc R 2 deg(C), on voit d'après la proposition 2 (v) que l'homomorphisme 3@ox D + &/3 est nécessairement nul. D'autre part, on a ~ ~ ( ' 3= )p P ( 3 ) et on remarque que l'homomorphisme &/3 + &'/Ff est injectif et que son conoyau est de torsion et de degré 5 d , d'où p+(Ef/F1)5 p+(E/F) d .

+

Si donc aussi R > d, on voit toujours d'après la proposition 2 (v) que l'homomorphisme -+ &'/Ft est nul. (ii) Soit O = Eo Ç El Ç E2 Ç . . . Ç & la filtration canonique de Harder-Narasimham de E, et ?json polygone associé. On raisonne par l'absurde en supposant que ?j n'est pas majoré par q. Soit alors i un entier qui maximise la différence (ïj q)(rg Ei) et posons 3 = f i . D'après nos hypothèses, on a

-

-

D'après (i), 3provient d'un sous-objet maximal 3=

>

t?)

. Soit r', 1 5 r' < r, son rang sur VK. On a

rg3=r'd2

rg&=rd2

= deg(det E)

deg,

+ (1- a) = deg& -dr d e g V + (1- a)

et deg 3- r' deg V ou bien d deg 3- r' deg V deg, 8 = deg(det 3) (1 - a) = (1 - a) d

deg,

8 = deg (det 3 ) =

+

+

suivant que y est un V-chtouca trivial ou un V-chtouca. Dans le premier cas, on obtient l'inégalité deg,

-

et dans le second cas deg, d'où deg,

r'

-

- - deg, & - (1- a) r

8 - $ deg,

' + r-(l r

> p(rt) dans les deux cas, et il y a contradiction.

0

Maintenant, on peut donner : Démonstration du théorème 8 : (i) On considère le morphisme

où (r,n l , n i ) décrit l'ensemble des triplets d'entiers qui vérifient 1 5 ri < r, n i = n i ou ni = n l 1, et an1 (1 - a ) n i - y ( n (1 - a ) ) > p(ri). D'après le lemme 9 (ii) ci-dessus combiné au lemme 9 du paragraphe 1.4, ce morphisme est représentable et projectif. T- n,P, SP complémentaire de son image répond à la Alors l'ouvert Cht= question posée. (ii) On a un carré 2-cartésien

+

+

-

Chtl;,

1

+

Heckel;,

-

Vecl;,

1

Vecb x Vec7;

et d'après le lemme 7 du paragraphe 1.2, le morphisme Hecke; -t X x X x VecL est (représentable) de type fini. Il en est donc de même du morphisme

De plus, d'après le lemme 2 du paragraphe 1.2, le morphisme Vecl;, -t ~ e c g zest (représentable quasi-affine) de type fini. Enfin, avec les notations rd2 du lemme 10 ci-dessus, le morphisme ~ht"""'~ + VecoX se factorise à travers le sous-champ ouvert de ~ e c qui g classifie les fibrés de degré dn + r deg V dont le polygone de Harder-Narasimhan est majoré par q. Et on sait que cet ouvert est de type fini sur IF,. Ceci achève la démonstration. -

Pour tout sous-schéma fermé fini I ~1X , on notera Cht;"Pa3P

-

O

le SOUS-

champ ouvert de Chtl;,,, image réciproque de ~ h t y " ' ~ par le morphisme Cht',,, On a :

Cht', .

-

PROPOSITION 11. - SOUSles hypothèses du théorème 8, et si I X est u n sous-schéma fermé fini vérifiant ddeg I > p(1) p(r - l ) , le champ ~ h t z ' " ' ~ est représentable quasi-projectif sur ( X t \ I ) x ( X f \ I ) [resp.( X f\ I ) x ( X t \ I ) x (x X ) Al.

+

.

Démonstration : D'après le théorème 8 ci-dessus et le corollaire 6 du paragraphe 1.3, on sait déjà que c h t z P a S Ppeut s'écrire comme le quotient d'un schéma quasi-projectif sur IFq [resp. A] par l'action d'un groupe fini. Donc il suffit de prouver que si S = Spec K + ~ h t " ' ~ ' ~ est un point géométrique correspondant à un D-chtouca E sur un corps algébriquement clos K , alors tout automorphisme u de E est l'identité. Or, si Z désigne le faisceau d'idéaux dans Ox qui définit 1, u - Id détermine un morphisme

Or, d'après le lemme 6 ci-dessus, on a

tandis que par hypothèse d'où D'après la proposition 2 (v), on conclut u

- Id = 0.

Enfin, le lemme 6 et le corollaire 7 ci-dessus impliquent : PROPOSITION 12. - SOUSles hypothèses du théorème 8, on a : (i) Pour tout élément II C: Pic(X), le foncteur II @ - envoie le champ 7- n,', P ' Cht, dans le champ

-

(ii) Les foncteurs Frob, pectivement dans

et

et Frobo envoient le champ ~ h t r ' ~ ,res' ~ Cht,7-,n+li',+1IP Chty-'>%-l<~

c) Les horocycles

DÉFINITION 13. - Si a est un nombre réel, on appellera a-type tout quadruplet t = (r,Et,Eu,n) où : r

1 1 et n

E

Z sont des entiers,

E' et El' sont des V-Modules à droite localement libres de type fini sur X , les inégalités suivantes sont vérifiées : P-(E')

>

+

n - deg(det E') - deg(det Et') (1 - a ) r - rgDE1- rgDEU > p+(E")

-

Le théorème 5 (iii) dit exactement que tout V-chtouca E = de rang r et de degré n sur un corps algébriquement clos K et tel que ( i o ,i,) est à valeur dans X' x XI [resp. X' x X' x ( x x x ) A si a $]0,1[ ] possède une unique filtration

pour laquelle il existe un a-type t

--

=

(r, El, E", n ) avec :

b E E' Brq K E/E1' " E" BrqK , ,!?"/El est un V-chtouca a-semi-stable.

En effet, les inégalités dans la définition des a-types s'écrivent alors exactement : p - ( 2 ) >pa(E"/F') > p + (g/ 2) De - plus, on remarque que dans ces conditions le polygone a-canonique de Il est caractérisé par les conditions E ne dépend que de t. On le notera suivantes : sur l'intervalle [O, rgDEt],la fonction

est le polygone canonique du V-chtouca trivial E' ;

0 sur l'intervalle [rgv Et,r de pente

0

-

rg,Ert]

, la fonction x

++

pi(x) est affine

sur l'intervalle [O, rg, Eu], la fonction

est le polygone canonique du D-chtouca trivial E u . Considérons maintenant a un nombre réel et t = (r,Et,E", n) un atype. On dispose au-dessus de Chth des champs

En prenant l'image réciproque de l'ouvert Cht", ~htsotr;~'." et Chtqtr,r,EU,n. E r ,Err,n

Soit HoroL',

on définit des champs

le produit fibré dans le carré 2-cartésien :

,Er,Etr,n

~orob

I

-

r-rgVE1,E",n-deg(det

Chtqtr,

Er)

I

Il s'inscrit aussi dans le carré 2- cartésien :

HOrOr>E' ,Et',n

r,Etr,n ChtqtrD

Chtsotr,r-rgvE",Er,n-deg(det

---+

,

El1)

r-rgD Er',n-deg(det Er')

Cht,

On a un morphisme canonique -T,

Horo,

E',E" ,n

-

T - r g D E t - r g D E" ,n-deg(det E t ) - d e g ( d e t E")

Cht,

D'après le théorème 11 du paragraphe 11.1, ce morphisme est de type fini et lisse de dimension relative (rgVE1 rg,EU)d. Par ailleurs, on a aussi un morphisme canonique

+

et d'après le théorème 5 du paragraphe 11.1, il est représentable quasi-fini, non ramifié et séparé. Maintenant, énonçons :

O n suppose que D est une Ox-Algèbre maximale. Soient r 1 et n E Z deux entiers. Soit a u n nombre dans l'intervalle ]O, 1 [ [resp. dans RI. (i) Pour tout a-type t = ( r ,Et,E", n ) , appelons champ horocycle T E',E",n,cx le champ image réciproque par le de a-type t, et notons Haro$ morphisme THÉORÈME14.

>

-

du sous-champ ouvert des D-chtoucas a-semi-stables T - r g D E J - r g D E",n-deg(det E t ) - d e g ( d e t E"),F, 50

Cht,

au-dessus de X' x X' [resp.X' x X' x ( x x x )A]. Alors Horo,T,E',Er',n,cx est de type fini sur X' x X t [resp.X t x X' x ( x xx,A] et lisse de dimension relative

(ii) Pour tout a-type t

=

( r ,Et,E", n ) , le morphisme

au-dessus de X' x X' [re.sP.X' x X t X X X A] ) est représentable par une immersion localement fermée.

(iii) Si p, q : [O, r ] 4 E%+ sont deux polygones vérifiant p 5 q, alors, au-dessus de XI x XI [resp.XI x XI x ( X ,XI A ] , l e sous-champ ouvert Cht..h
T,E',E",~,oI quand t et des parties localement fermées Horov décrit la famille des a-types dont le polygone p; vériifie

=

( r ,Et,E", n )

Démonstration : Compte tenu des considérations qui précèdent l'énoncé du théorème, on a : (i) résulte de ce que le champ

au-dessus de XI x XI [resp. X' x XI X ( X , X ) A] est de type fini (d'après le théorème 8) et lisse de dimension relative 2(r - rgvE1 - rgVEu)d - 2 (d'après le théorème 9 du paragraphe 1.2). r,Er,E",n,a -+ Cht" est représen(ii) On sait déjà que le morphisme Horov table quasi-fini et non ramifié. Il suffit donc de prouver que l'application induite entre ensembles de points géométriques est injective, et ceci résulte de l'unicité de la filtration a-canonique d'un D-chtouca.

(iii) résulte de l'existence et unicité des filtrations a-canoniques.

[l

Chapitre III Description adélique des chtoucas. Nombres de Lefschetz 1. - Rappels : 9-espaces et F,-modules de Dieudonné, d'après

Drinfeld On renvoie à [Laumon, Rapoport, Stuhler] Appendice A et [Drinfeld, 19871 pour les démonstrations. A partir de maintenant, F, désignera toujours une clôture algébrique du corps fini IF,. Et on rappelle que F est le corps des fonctions de la courbe X, avec donc IF, comme corps des constantes.

6)

DÉFINITION 1. - Un 9-espace ( s u r est u n espace vectoriel V de dimension finie sur le corps F gFq muni d'une application IdF @ Froblinéaire bijective 9 : V V. Un morphisme cr entre deux 9-espaces (V1,cpi) et (V2,pz) est une application F @p.q %-linéaire VI --% V2 telle que 9 2 o ci = cr 0 91.

-

6

--

DÉFINITION 2. - Une 9-paire est une paire ( F , II), où F est une F algèbre de dimension finie et commutative, et f i est u n élément de F X @ Q gui vérifie la propriété suivante : pour toute sous-algèbre stricte F' de F , II n'est pas dans le sous-groupe FIX@ Q de F x @ Q.

--

F

-

L E M M E3. - Si ( F ,II) est une 9-paire, F est une F-algèbre étale. De plus, si N E iZ est u n entier n o n nul tel que fiN E F , alors = F[fiN].

O A chaque 9-espace non nul (V, c p ) , Drinfeld associe une cp-paire ( F ( V , ~ ) , II(V,,)) de la manière suivante : Pour n assez divisible, le p-espace (V, 9) sur est défini sur IFq=. 1, un espace vectoriel V' de Autrement dit, il existe un entier nt dimension finie sur F @1r4 IFqn!, une application IdF @ F'rob-linéaire cp' : V' + V' et un isomorphisme de 9-espaces :

>

6

III - DESCRIPTION ADÉLIQUE

DES CHTOUCAS.

NOMBRESDE LEFSCHETZ

Alors cpfnt : V' + Vf est une application F Brq F,.I-linéaire et la sous-algèbre engendrée

et bijective,

est de dimension finie sur F et commutative. Si II' : V + V est le prolongement F @pq&-linéaire de d n l ,c'est-à-dire II' = y P t @ IdK, la F-sous-algèbre

Ff = F [II'] c EndF,Fq,(V) donc ~ ] est , aussi de dimension finie sur F et est isomorphe à F [ ~ ' ~ commutative. De plus, II' commute avec cp, d'où

Posons

F ( ~ , ,= )

n FIIIfN].

N>1

C'est une F-algèbre commutative et de dimension finie, et il existe un entier N 2 1 tel que F(v,,) = FIIIfN]. Comme IIfN: V + V est bijective, IIfNest élément de F&,) et on peut poser I N l/nlN H ( V , ~=) (II 1 F;V,,) @ Q On vérifie facilement que (F(v ), II(v,,)) est une cp-paire et qu'elle est ? indépendante des choix à unique isomorphisme près. On a le théorème suivant, dû à Drinfeld : (i) La catégorie des cp-espaces sur IF, est abélienne, F-linéaire et semi-simple. (ii) L'application (V, cp) +--+ (F(V,,), II(V,,))ci-dessus induit une bijection entre l'ensemble des classes d'isomorphismes de cp-espaces - -irréductibles et l'ensemble des classes d'isomorphismes de cppaires ( F , I I ) , où F est un corps. (iii) Si F est un corps extension finie de F , et fi t F x @ Q, notons d ( 5 ) le plus petit dénominateur commun des rationnels deg(5)2(fi), où 2 décrit l'ensemble des places de F et deg(2) est le degré sur IF, du corps résiduel de 5 .

Avec ces notations, on a pour tout 9-espace irréductible (V, 9 ) dimF@,qG(v) = [ F ( ~ , 9:)Fld(n(v,p)) et End(V, 9 ) est une algèbre à division centrale sur F(v,,) de dimension d(II(v,lp))2et d'invariants invz(End(V, 9 ) ) = - deg(iZ)lc(II(v,,)) E Q/Z en les places iZ de F(V,,). Soit maintenant x une place de F . On rappelle que F, désigne la complétion correspondante de F, 0, l'anneau des entiers de F,, a, E O, un élément uniformisant, ~ ( x le ) corps résiduel et deg(x) la dimension de ~ ( x sur ) F, . DÉFINITION 5. - Un F,-module de Dieudonné sur % est un F,&,&module N de type fini qui est muni d'une application 1dFX&Frob-linéaire bijective Si : N -+ N . Un morphisme a entre deux F,-modules de Dieudonné (Ni, $1) et (N2,T)2) est une application ~ ~ 6 & ~ & - l i n é a i rNI e 5N2 telle pue $ 2 0 ~ := a0T)i. Les Fx-modules de Dieudonné forment une catégorie qui est F,-linéaire, abélienne, nœthérienne et artinienne. Soit io : ~ ( x -+ ) Ï& un plongement fixé sur F,. E t pour j E Z/deg(x)Z, notons i j = F'robi oio : ~ ( x -)+ %. Alors on a un scindage canonique, où chacun des facteurs est un corps :

Par conséquent, la donnée d'un Fx-module de Dieudonné (N, T)) -est équivalente à celle d'espaces de dimension finie N j sur F,~,(,),~~IF, et d'applications semilinéaires bijectives cpj : N j -+ Nj+1 sur

- à se donner un espace vectoriel No de dimension Cela revient encore finie sur F,B,(,) ,i, F, et une application IdFxO,(,) ,i, F'robdeg(")-linéaire bijective NO. $0 = (Pdeg(x)-1 O 9deg(z)-2 O ' ' O 9 0 : NO

III

-

DESCRIPTION ADÉLIQUE

DES

CHTOUCAS. NOMBRES DE

LEFSCHETZ

Soient maintenant e 2 1, r E Z deux entiers premiers entreeux. Soit No u n espace vectoriel de dimension e sur F , & ~ ( , ) , ~ , F avec ~ pour base n1, . . . ,ne et soit $0 : No -' No l'application I ~ F ~ ~ ? J , ( , ) ~, ~~, ~ ~ d e g linéaire bijective définie par : mzne si i = 1 $0 (ni)= si i = 2 , . . . , e ni-1 D'après les considérations précédentes, la paire ( N o ,$ 0 ) définit u n F,module de Dieudonné que l'on notera (Ne,,; SI,,,). Sa classe d'isomorphismes ne dépend pas des choix d u plongement io : ~ ( xr ) et de l'élément uniformisant m , E O,. Toujours d'après Drinfeld, o n a les résultats suivants :

6

THÉORÈME6. ( i ) La catégorie abélienne des F,-modules de Dieudonné sur est semi-simple. (ii) Les F,-modules de Dieudonné irréductibles sont exactement les (Ne,,; +,) définis ci-dessus. (iii) Pour tous entiers e 2 1, r E Z avec e A r = 1, End(Ne,,; SI,,,) est une algèbre à division centrale sur F,: d7invariant E Q/Z.

5

-:

--

PROPOSITION 7. - Soit (V,p ) u n p-espace irréductible et ( F ,I I ) (F(v,,), II(v,,)) la cp-paire qui lui correspond. Pour toute place 5 de F au-dessus de x , posons

(&, Le scindage canonique F,

95) =

@F

2=

O =

FZGF(v7 9).

n F;:- induit u n scindage (V,, p,)

=

Zlx

@ ( V z , p z ) de (V,, cp,) = F , ~ F ( v ,c p ) comme F, -module de Dieudonné. ,lx

-

Alors, pour toute place 5 de F au-dessus de x, (V,, pz) est isomorphe à (Ndz,rz; +d*,rz)" où les entiers d,, r , et s, sont uniquement déterminés par : d,21, r,€Z, s ~ L 1 d, A r , = 1 r5/dn: = d e g ( 5 ) 2 ( f i ) / [ É ;:, F,] dzsE = d ( E ) [ G: F,:]

( x ) -

6,

Pour ( N ,$) un Fx-module de Dieudonné sur on appellera réseau dans N tout s o u s - ~ ~ ~ ~ , ~ m oded type u l e fini de N qui engendre N comme F, 6&, &module. Par ailleurs, on notera

N+ = { n E N 1 $(n)= n ) . L E M M E8. - Les propriétés suivantes d'un Fx-module de Dieudonné ( N ,$) sont équivalentes : ( i ) Il existe u n réseau M de N tel que $ ( M ) = M . (ii) Le morphisme canonique N @ ~ & + ~ FN , est bijectif. (iii) ( N ,$) est isomorphe à une puissance de $l,o). De plus, si ces conditions sont remplies, alors pour tout réseau M de N vérifiant $ ( M ) = M , M G = M n N @ est u n réseau dans le Fx-espace vectoriel de dimension finie N* et le morphisme canonique + M est u n isomorphisme.

M+~&,K

O L E M M E9. - Les propriétés suivantes de ( N ,$) sont équivalentes ( i ) L'ensemble N des réseaux M de N tels que :

:

est non vide. (ii) Il existe u n entier e 2 1 tel que ( N ,$) soit isomorphe à (Ne,l;$ e , l ) [ r e s ~(Ne,-1; . $e,-I)]. De plus, si ces conditions sont réalisées, N est u n espace principal homogène pour l'action du groupe Z donnée par

LEMME10. - Les propriétés suivantes de ( N ,$) sont équivalentes (i) Il existe u n réseau M dans N tel que :

:

III - DESCRIPTION ADÉLIQUE

(ii) Il existe des entiers e

DES CHTOUCAS.

NOMBRESDE LEFSCHETZ

> h > 1 tels que (N, $)

soit isomorphe à

(Ni,o;S I ~ , O ) @ " -(Nh,i; ~ $h,l) [resp. ( ~ i , o$1,0)"-~ ; @ (Nh,-1; $h,-I)]

.

De plus, si ces propriétés sont satisfaites, tout réseau M de N satisfaisant les conditions de (i) se décompose de manière unique en somme directe de deux 0 ~ ~ ~ , ~ - s o u s - m o d u 1libres es

tels que : $(M")

=~

é

t

$(Mc) 2 M c [resp.M CC $(MC)]

3n > 1 , $"(Mc)

CwxMc

[resp.M CC wX$"(Mc)]

dimK(MC/$(Mc)) = 1 [resp. dimK($(MC)/MC)= l]

Description à isogénie près des V-chtoucas de rang r sur IF, Dans cette section et jusqu'à la fin du chapitre, on fixe O et co deux points fermés de X ou, si l'on préfère, deux places de F. On suppose que O et m sont distincts, et qu'ils sont dans l'ouvert X' C X. Ainsi les algèbres Do = V 80, O. et V, = V @O, O , sont respectivement isomorphes à Md(Oo) et Md(O,L ) sur IFq, On fixe également deux plongements ~ ( 0 ) IF, et ~ ( o o v autrement dit deux points de x(&)au-dessus de O et co qu'on notera O et m.

-

IF, ayant O pour zéro et 55 pour pôle, on appelle fibre générique de & le triplet (V, cp, i ) où : 0

V est la fibre générique de E , cp est l'application IdF @ F'rob-linéaire composée

2. DESCRIPTION À I S O G É N I E PRÈS

O

DES

D-CHTOUCAS DE

RANG

r

SUR

&

i : DOP+ End(V, cp) est l'homomorphisme de F-algèbres induit par l'action à droite de D sur &.

On dira que deux tels 2)-chtoucas sont isogènes si leurs fibres génériques respectives sont isomorphes. 2. - Il existe une bijection naturelle de l'ensemble des PROPOSITION classes d'isomorphismes de D-chtoucas de rang r sur & ayant O pour zéro et W pour pôle sur l'ensemble des classes d'isomorphismes de paires ((V,cp, i ) , ( M X ) x E l x l ) où ' : O

(V,cp) est u n cp-espace sur &, de rang rd2 sur F

O

i : DOP-t End(V, cp) est u n homomorphisme de F -algèbres,

O

les M x , indexés par les points fermés de X , sont des réseaux,

&,

@ F ~

libres de rang r sur lJ,GFq&, dans les Fx-modules de Dieudonné

(V,, 9,) = (F,&FV, ~ , & ~ c p ) et qui vérifient : ( i ) on a w,v, ( M m ) C Mm C cp,(Mffi) ;le module c p , (M,)/M, sur ~ ( m@ )F ~& est de longueur d et supporté par le point W ; (ii) on a woMo C cpo(Mo) E Mo ; le module Mo/cpo(Mo) sur ~ ( 0@)F ~& est de longueur d et supporté par le point O ; (iii) si x # m,O on a cp,(Mx)

= Mx ;

( i v ) n'importe quelle base de l'espace vectoriel V sur F B F q& est telle que pour presque toute place x , elle s'envoie dans le réseau M x de Vx et l'engendre comme 0,6$~~&-module. Cette bijection est induite par l'application qui à tout tel D-chtouca =

(>) ?t

associe saer,

générique ainsi que la famille des réseaux

'E

Démonstration : Il est évident que si est u n D-chtouca de rang r est la sur Ï& ayant O pour zéro et W pour pôle, et si ((V,cp, i), paire associée, alors V est de rang rd2 sur F @ P &, ~ (V,c p ) est u n cp-espace sur 6,et les réseaux M x satisfont les propriétés ( i ) , (ii), (iii), ( i v ) .

III

-

DESCRIPTION ADÉLIQUE DES CHSOUCAS. NOMBRES DE LEFSCHETZ

Réciproquement, à toute paire ((V, cp, i), (Mx).,

) vérifiant les -con~

Commençons par noter F = F @ F ~% le corps des fonctions de la courbe X = X mpq & et pour tout point fermé 5 de X, soient Pz le complété de F selon la valuation associée à Z et 0, son anneau des entiers. Si x est un point fermé de X et a décrit l'ensemble fini des points fermés de X au-dessus de x,on a -

Pour tout point fermé ?E de X,d'image x dans X, on pose

Ainsi, MF est un réseau dans V,

libre de rang r sur la Oralgèbre

V 80, O,, et les propriétés (i), (ii), (iii), (iv) des Mz se traduisent par

:

(i)' ME C cp,(M=) et le quotient
IF,,

FEU

?ë€U

on a MF = VE, & et I' Comme pour tout point fermé ?E de sont des OxModules quasi-cohérents. Et d'après la propriété (iv)', leurs

fibres génériques s'identifient à V. On a des plongements évidents & ~t &' et '& c+ &' et aussi une action de V @ I OF ~ , sur & et Et compatible avec ces plongements. Puis, d'après le théorème d'approximation forte, on a pour tout point fermé T de X

On en déduit que & et &' sont des OFModules localement libres de rang rd2 puis, d'après le lemme 4 du paragraphe 1.2, qu'ils sont localement libres de rang r sur 27 gox OF. On en déduit aussi, d'après les propriétés (i)', (ii)' et (iii)', que &Il& et Er/- sont supportés par E 6 et O respectivement et sont de dimension d sur IF,. Ceci termine la démonstration. 0

LEMME3.

-

Soit (V, cp, i ) la fibre générique d'un V-chtouca de rang r

Soit (V, cp) = (VI, pl) @ (Vu,9") la décomposition d e r ( v ,cp) dans la catégorie semi-simple des y-espaces, où l'on a regroupé dans (V",
<

Démonstration : (i) résulte de ce que, comme (VI, cp') et (Vu,cp") sont sans facteurs irréductibles communs dans la catégorie semi-simple des cpespaces, on a End(V, cp) = End(vl,cpl) x ~ n d ( V "
III

-

DESCRIPTION ADÉLIQUE DES CHTOUCAS. NOMBRES DE LEFSCHETZ

Pour (ii) et (iii), considérons (W, cp) un sous-cp-space de (V, cp) stable par l'action de D. Soient 3 et 3' les sous-fibrés maximaux de £ et E' engendrés par W C V. Les morphismes 3@O, V -+ £13,3' 80, V -+ £'/F1, 3 -+ £'IFt et '3 -+ £'/Fr sont partout nuls puisqu'ils le sont sur la fibre générique et que &/3 et £'/F1 sont sans torsion. Autrement dit, 3,3' sont stables par l'action de V et les plongements £ -+ £', '& -+ £' induisent des plongements 3 -+ 3','3 -+ 3 ' . Or d'après le lemme du serpent appliqué au diagramme

on a une suite exacte de V @p, & - ~ o d u l e s

q,

où E l / £ est supporté par E 5 et de dimension d sur donc irréductible puisque V, Z Md(O,). On en déduit que ou bien T'IF = O ou bien 3'13 = I l / & . Dans le premier cas, comme '3 et 3 ont même degré, on a aussi F1/'3= O, d'où un isomorphisme '3 E 3 . D'après le lemme 3 du paragraphe 1.3, on peut écrire 3 Z F @pu où F est un V-Module sur X. Donc (W, cp) n'a que des facteurs triviaux et son rang est un multiple de d2. De même, dans le second cas, (VIW, cp) n'a que des facteurs triviaux et son rang est un multiple de d2. Ceci prouve (ii) et (iii). (iv). Si l'on avait (V, cp) = (V", cp"), alors par exemple (Vo,cpo) serait une + i , ~ )donc , ne posséderait pas de réseau Mo vérifiant puissance de cpo(Mo)Ç Mo, ce qui contredit la proposition 2. Par ailleurs, si (V',9') n'était pas isotypique, on pourrait écrire (V: 9')= (V:, cpi) @ (V,', (P;) avec (V;, 9;) et (V,', cpa) sans facteurs communs donc stables par D comme dans (i). Et cela contredirait (ii). 0

IF,,

D'après le lemme 10 du paragraphe 111.1, on a : LEMME4. - Soit ((V, (P, i), ( M x ) x E I X une I ) paire comme dans la proposition 2. Et soit r', 1 5 r' 5 r, le rang irréductible de (V, cp, 2 ) .

Le choix d'un isomorphisme D, z Md(O,) [resp.Vo détermine par équivalence de Morita un scindage canonique

" Md(Oo)]

(vo,

où (k, F,) [resp. Fo)] est un F, [resp.Fol-module de Dieudonné sur IF,, et G, C k [resp.Go -Co]est un réseau. De plus, (k, Fm) [resp.(Vo,Fo)] se décompose canoniquement en

-

où pour un entier h,,

1 5 h,

5 r'd [resp.ho, 1 5 ho 5 r'd], on a

-

vol

Enfin, le réseau M , dans -[resp.Godans est la somme directe d'un réseau Mm dans [resp.Mo dans F6] et d'un réseau dans [resp. dans qui vérifient : - -FE ( M E ) = M z [resp.z ( M t ) =

zi

-

v,"]

-_ -

M m C ?&(Mm)

%il, -

[resp.F6(M6)C Mo],

dimension 1 sur G, - -

-

vz

-

$ & ( M & ) / M & [resp.M6/F6(Mo)]est supporté par cio [resp.O] et de

Les notations cio et O qui apparaissent dans cette proposition vont maintenant acquérir un sens indépendant et désigner deux places d'une certaine extension finie F de F comme suit :

III

-

D E S C R I P T I OADÉLIQUE N

N O M B R E SD E

DES CHTOUCAS.

LEFSCHETZ

PROPOSITION 5. - Soit ((V,cp, i ) ,( M x ) x E u n e paire comme dans la proposition 2 . Soit (V,cp, i ) = (VI,cp', i ) @ ( V u ,cp", i ) la décomposition de (V,cp, i ) e n partie irréductible et partie triviale, et soit r', 1 5 r' 5 r , son rang irréductible. Soit (W,$) l'unique cp-espace - - irréductible qui entre dans la décomposition de (VI,cp'), et soit ( F ,I I ) la cp-paire associée. Alors : ( i ) Le cp-espace (VI,cp') est isomorphe à (W,~ i ) ~ . ( i i ) S i [Ê; : FI désigne le degré sur F du corps

F,

on a

[F : ~ ] d ( f = i ) r'd . (iii) Il existe seulement deux places 2 de F

telles que 2 ( f i ) # 0 ;1 'une, notée &, divise oo et l'autre, notée O , divise O . ( i v ) S i h,, h o , 1 5 hm, ho 5 r'd, sont les deux entiers introduits dans le lemme 4 , o n a h

r'd --

" - [F : F ]

-

[ F , : Fm]

r'd ho = --[F : FI

(v) S i o n note A = E n d ( V , cp, i ) , A' E n d ( V t : cp", i ) avec donc A = A' x A", o n a :

[G : Fol .

=

A' est une algèbre à division centrale sur

E n d ( V 1 ,cp', i ) , A"

F,

=

de dimension ( r ' d l

[Ê; : F ] ) et~ d'invariants dans Q / Z :

[F : F ] / r 1 d e n la place & [F : F ] / r l d e n la place 6 -

[& : F,]inv,(D)

e n toute place Z # &, O de Ê; d'image z dans F

A'' est isomorphe à MT-,! ( D ) .

>

Démonstration : Il existe un entier n 1 tel que (VI,cp') soit isomorphe à (W,4 ) " . Donc le rang d u cp-espace (W,4 ) s'écrit

D'autre part, d'après le théorème 4 (iii) d u paragraphe 111.1, il est aussi égal à

D'après ce même théorème, F est un corps et End(W, $J) est une algèbre à division centrale sur Ê; dont la dimension est d ( n ) ? et dont l'invariant en chaque place Ic de F est -

deg(5)5(fi) E Q/Z .

On en déduit en particulier - que End(V1,p') 2 Mn(End(W7Si)) est une algèbre centrale simple sur F d'invariants

et de dimension n ~ d ( E= ) ~rr2d4/[Ê;: FI2. Or via i, l'algèbre à division centrale DOpsur F se plonge dans End(V, p ) , donc aussi l'algèbre centrale simple DOp@IF de dimension d2 sur Ê;. Par conséquent, l'algèbre A' = End(Vt,cp', i ) qui est le commutateur dans End(Vr,cp') de DOp ou de DOp@ F F est une algèbre centrale simple sur F d'invariant

F

-

en chaque place 2 de F au-dessus de x dans F, et de dimension r t 2 d 2 / [ F: FI'

(3')

sur

F.

En particulier, on voit que [F : F] divise r'd. Maintenant, comme F s'identifie au centre de A' = End(V1,p',i), on voit que F @ F Fm [resp. F @ F Fol se plonge dans End(VA, y',,, i ) [resp. End(Vd, cpo, i)]. De plus, le choix d'isomorphismes V, Md(0,) et Do "= Md(Oo) comme dans le lemme 4 détermine par équivalence de Morita des décompositions de la forme

"

et des isomorphismes End(VA,

PL, i) r End(VL, @L)

End(Vd,

(cd,

PL,

-

i)

" End(V,, &) .

Or, le lemme 4, (VA7+k) [resp. &)] qui est un facteur de - d'après - [resp. (V,, cp,) (Vo, ?O)] tel que le facteur complémentaire soit trivial, est nécessairement de la forme

III

-

DESCRIPTION ADÉLIQUE

DES CHTOUCAS.

NOMBRESDE LEFSCHETZ

d'où un isomorphisme induit

où, d'après le théorème 6 (iii) du paragraphe 111.1, End(Nhm,-1;$hm,-l)] [resp. End(Nho,l;$h,,l)] est une algèbre à division centrale sur Fm[resp. Fol d'invariant llh, [resp. -l/ho] dans Q/Z. Donc il existe une unique place c% [resp. 61 de F au-dessus de la place cc [resp. O] de F, telle que

-

-

-

-

-

É;o] on a Et si on pose VA = V& @(kFF Fk [resp. Vi = Vd @(p8FFo) m d'après la proposition 7 du paragraphe 111.1

Par ailleurs, posant (W,, $&) = (W, $) on a un isomorphisme

&],

[resp. (Wo,$+j) = (W, $)@,

2

est un entier et encore d'après la proposition 7 du paradonc e = graphe 111.1, on a : deg(6)6(fi)

hoe = d(II) [F6: Fol

-

D'autre part, si 2 est une place de F au-dessus - de la place x = cc ou O dans F2 est isomorphe F mais distincte de & et 0, (CL,9;) = (VL, 9;)@ (F@FF=) à une puissance de (Nl,o;$l,o) donc aussi (Wi-,$,) = (W,$) @FFz et toujours d'après la proposition 7 du paragraphe 111.1, cela entraîne

C'est vrai aussi lorsque 2 est une place de F au-dessus d'une place x # CO, O dans F car alors il existe dans (V,, cp,) un réseau Mx tel que y, (Mx) = Mx, et d'après le lemme 8 du paragraphe 111.1, cela impose que (V,, y,) est isomorphe à une puissance de (N1,o;$i,o). Ceci, combiné aux formules (4), prouve déjà (iii). Maintenant, d(fi) est le plus petit commun dénominateur des rationnels deg(&)&(ÎI) et deg(0)O(ÎI). Or, d'après (1) et (2), on a r'd2 d(fi) =

r'd

- e---

n[F:F]

[F:F]

et d'après (4)

- -e -1 deg(&)& (II) = -= d (fi) r'dl [É; : FI

- - e 1 deg(O)O(II)= T = -d ( n ) r t d / [ F : FI

.

Comme on a vu déjà que [É; : F] divise r'd, on conclut :

r'd d(n) = [É; : F]

d -=e=l n

Ceci prouve (i) et (ii). La combinaison de (4) et (5) prouve (iv). La combinaison de (3), (3') et de ( 5 ) ,plus le fait que inv, D = invoD = O prouve la première partie de (v). Pour la seconde partie de (v), il faut remarquer que A" est le commutateur de DOPdans End(Vt', cp") Ei M(r-r,)d2(F), et que DgFDOP Ei Mdz ( F ) Ceci termine la démonstration.

O

THÉORÈME6. - Il existe une bzjection naturelle de l'ensemble des classes d'isogénies de D-chtoucas de rang r -sur - ayant O pour zéro et Ei3 pour pôle sur l'ensemble des couples (r', ( F , II)), où :

6

r'-est - un entier vérifiant 1 5 r' 5 r . ( F , II) est une classe d'isomorphismes de cp-paires vérifiant :

(i)

F est un corps et le degré [F : FI

divise r'd.

(ii) Il existe seulement deux places 2 de É; telles que 2(fi) notée 66,divise CO et l'autre, notée 6, divise O.

# O ;l'une,

III

-

DESCRIPTION ADÉLIQUEDES CHTOUCAS. NOMBRES DE

LEFSCHETZ

(iii) On a les formules

-

d'où en particulier d(II) = d . [F:F]

-

(iv) Pour toute place 5 de F au-dessus d'une place x de F , on a r 'd

[F : F]

[F, : Fx]invx( D ) = O

dans Q/Z .

Cette bzjection est induite par l'application qui à tout tel V-chtouca de fibre générique - - (V, cp, i) associe le rang irréductible r' de (V, cp, i) et la cp-paire (F,II) qui correspond à 1 'unique cp-espace irréductible (W, $) qui entre comme facteur dans la partie irréductible (VI, cp') de (V, cp, i). Démonstration : D'après la proposition 2, il est équivalent de raisonner en termes de V-chtoucas comme dans l'énoncé ou bien en termes de paires ((V, cp, i), (Mx)xE comme dans ladite proposition. C'est ce second point de vue qu'on utilisera. -D'après la proposition 5, on sait déjà que si (r', ( F , II)) est dans l'image de l'application étudiée, elle vérifie les propriétés de l'énoncé. - - une application inverse. Soient donc r' un entier, Il s'agit de construire 1 5 r' 5 r, et ( F , II) une cp-paire satisfaisant les conditions (i), (ii), (iii), (iv). -Soit (W, Si) le cp-espace irréductible qui correspond à la cp-paire ( F , II) d'après le théorème 4 (ii) du paragraphe 111.1. E t soit A' une algèbre à division centrale sur d'invariants

F

l

[F : F]lr'd -

en la place &,

[F : F ] / r r d en la place O,

[& : F,]invx(D) en toute place Z # &, (1 de F au-dessus d'une place x de F.

D'après la propriété (iv), on a dimF A'

=

(-)[Fr'd: F]

2

Alors, DOPOF A' = (DOPOF F ) OF Al et Md(End(W,qb)) sont des algèbres centrales simples sur Ê; qui ont même dimension rf2d4/[Ê;: FI2 = d2d(6)2 et mêmes invariants

-

[Ê; : F ] / r f d = - deg(&)&(n) en la place &, -

O

[F : F ] / r f d =

=

-

---

-

deg(O)O(II) en la place

deg(i3)5(n) en les places Z

O,

# 6, (7) de F,

comme il résulte des propriétés (ii) et (iii) et du théorème 4 (iii) du paragraphe III. 1. Donc il existe un isomorphisme entre ces deux algèbres (unique à automorphisme intérieur près, d'après le théorème de Skolem-Nœther) :

Posons (V', 9') = (W, SI)^, et soit i l'homomorphisme de F-algèbres injectif défini comme le composé

On remarque que End(Vf,cp', i), définie comme le commutant de i(DOP) dans End(Vt,cp'), s'identifie à A'. Par ailleurs, soit (Vu,cp") le cp-espace trivial de rang (r - r1)d2

Il est muni naturellement d'une action à droite de D , c'est-à-dire homomorphisme de F-algèbres

d'un

i : DOP -+ ~ n d ( V "cp") , et End(V1', cp", i) s'identifie naturellement à A" = MT-,l(D). Posons maintenant (V, cp, i ) = (V', cp', i) @ (Vu,cp", i) . On remarque que A = End(V, cp, i) s'identifie à A' x A". Il reste à prouver qu'il est possible de construire une famille de réseaux Mx dans les Fx-modules de Dieudonné (V,, cp,) = (F,@FV, 1 d ~ , @ ~ c p ) ,

III

-

DESCRIPTION ADÉLIQUE DES CHTOUCAS. NOMBRES DE LEFSCHETZ

libres de rang r sur les v,&~&, indexés par l'ensemble des points fermés x de X, et satisfaisant les conditions (i), (ii), (iii), (iv) de la proposition 2. Fixons une base de l'espace vectoriel V sur F 6 3 1 Q. ~~ Alors il existe un ensemble fini C 3 {CO,O) de places de F tel que pour toute place x 6 C, le réseau M, engendré dans V, par cette base soit stable par l'action de V,, libre de rang r sur v,&~", et vérifie cp(Mz) = Mz. Maintenant, si x E C\{CO,O), (V,, cp,) est isomorphe à

(V:~&~&,

1dG Rob) d'après la propriété (ii) et la proposition 7 du paragraphe 111.1. Et n'importe quel V,-module libre de rang r dans le D,-module libre de rang r VZx engendre un réseau Mx de V, qui est stable par V,, libre de rang r sur v,&~", et tel que vX(Mx)= Mz. Enfin, le choix d'isomorphismes d'algèbres Dm F Md(Om) et DO Md(Oo) détermine par équivalence de Morita des décompositions où, par construction de (V, cp)

-

-

(Vm, cpm) 2 (Wm,'$m) @ (N1,o;'$1,0)

(T-rl)d

(T-rl)d

(Vo, @O)2 (Wo, '$0) @ (N1,o;?h,o) Et, d'après les propriétés (ii) et (iii) et la proposition 7 du paragraphe III. 1, on a encore

(w0,'$0) "-

où hm =

-r'd

(Nho,l;'$ho,l)@ (Nl,0,'$1,0)

-

[F& : Fm],ho =

T1d-ho

[ F :~Fol. [F:F] [F:F] D'après le lemme 10 du paragraphe 111.1, il existe donc des réseaux GmÇ SrOO et Go Vo tels que

c -

KG G &O(Mm)

dimpg(@m(%,)/z,)

-

-

=1

- -

De plus, quitte à transformer Mm [resp. Mo] par 5 , [resp. @O] suffisamment de fois, on peut supposer que le support de @,(Mw)/Mm est le point & [resp. O]. [resp. &/@o(Go)] Il suffit alors de prendre

-

-

Mm = ( M ~ 2) (v,)~ ~ = V, pour terminer la construction.

0

3.

- Description

d'une classe d'isogénies de D-chtoucas

On conserve sur EG, O, CO, O les hypothèses du précédent paragraphe. Pour tout sous-schéma fermé fini I -+ X qui évite cc et O, on note ChtLYI(O,W) le groupoïde des D-chtoucas de rang r sur &, ayant O pour zéro et 'ZZo pour pôle, et qui sont munis d'une structure de niveau I. On note également Cht;,,

(O, EG) = @Cht&,I(O, S) I

le groupoïde obtenu par limite projective. On sait qu'en fait il n'a pas d'automorphismes non triviaux. Lorsque C décrit l'ensemble des classes d'isogénies de tels D-chtoucas, on a évidemment une décomposition

Par images réciproques, on en déduit des décompositions

U cht;F,(O, EG) Cht&,+(O, EG) = II cht;:+ (O,m) . Cht;,,(O, EG) =

et

C

D'autre part, rappelons que A désigne l'anneau des adèles de F, c'està-dire le produit restreint des F, relativement aux 0, quand x décrit l'ensemble des places de F . On introduit aussi Am10 le produit restreint des F, relativement aux 0, quand x décrit IX/\{CO,O). Ainsi A = Fmx Am10 x FO. = D @IF AOO'O. Ainsi DA On note encore DA = D @IF A et [resp. D W ' O ] est le produit restreint des D, relativement aux D, quand x décrit 1x1 [resp. IXl\{oo,O)]. Enfin, l'entier r > 1 étant fixé, on dispose comme dans le paragraphe I.4b de

DFO

G ( F ) = GL,(D) G(F,) = GL,(D,) pour toute place z de F , G(A) = (%(DA) G(A->O) = GL,(DWTO)

III

-

DESCRIPTION ADÉLIQUE DES

NOMBRESDE

CHTOUCAS.

LEFSCHETZ

K, = GL,(V,) pour t o u t e place x d e F ,

Si I ~f X est un sous-schéma fermé fini [resp. e t qui évite KI [resp. K ~ I le" noyau ~ ] d e l ~ h o m o m o r p h i s m esurjectif

K

--t

G L , ( D I ) [resp. K

00,

O] o n note

-

~

>G L , ~ (DI)].

O n a que K [resp. KmlO]est un sous-groupe compact ouvert d e G ( A ) [resp. G(Am>O)]e t que chaque KI [resp. KI'']est un sous-groupe ouvert d'indice fini dans K [resp. Avec ces hypothèses et notations, o n a maintenant : T H É O R È M E 1. Soient C u n e classe d'isogénies et (V,cp,i) la fibre générique qui lui correspond. Soient (V,cp, i) = (VI,cp', i ) @ (V",y'', i ) sa décomposition e n partie irréductible et partie triviale. Soient A = E n d ( V , c p , i ) , A' = E n d ( V r , c p ' , i ) , A" = E n d ( V " , c p U , i ) avec donc A = ntx n t / . Fixons des isomorphismes d'algèbres D , G Md(O,), Do G M d ( O O ) ( d ' o ù des isomorphismes induits G ( F m ) G GLrd(O,), G ( F o ) GLrd(O0)). E t soient -

,.r

(cz,

et FE), (@,&) triviauz, les décompositions qui leur sont associées (d'après le lemme 4 du paragraphe précédent). Alors :

( ~ r ' ~ )DT'O, q~'~

(i) Le module sur constitué des éléments de vPl0= V & ~ A " ~ O fixés par = cp&d, est libre de rang r . Y">' est u n espace S i Y">' désigne l'ensemble de ses bases sur principal homogène pour l'action à droite naturelle de G ( A m " ) , ou pour mO l'action à gauche naturelle de A U ~ ( V ~c,omlO,i) ", = AutDm,o((VA ' ) ).

DT'O,

A

m

(ii) L'espace (CE)" [resp. ( v $ ) z ] sur Fm [resp.Fol est de dimension rd - hm [resp.rd - ho]. S i Y 2 [resp.Y$] désigne l'ensemble des ]:. est u n espace principal homogène pour bases de cet espace, ~ E [ r e s pY l'action à droite naturelle du groupe G z = GLrd-hm(Fm) [resp.G! = GLrd-ho(FO)] OU pour l'action à gauche naturelle de A u t ( v Z , @$) = -'Pm [ ~ e ~AU~(V:, AutF, ((Pm )-&) p. 8 ) = AutFo ((V$)z)]. (iii) S i 2, [resp.Z6] désigne l'ensemble des réseaux M& dans 9,

"

& dans 1"] u i vérifient : 0-q

[resp.

XZ& 2 (3&(Moo) [resp. 2 X&] ~ci.(G&)/M~ [resp.Go/@,j(XZ6)]est supporté par EG

5,

[resp.O] et de

dimension 1 sur alors 2, [resp.Zo] est u n espace principal homogène pour l'action de Z donnée pa,r

(iv) Le groupe multiplicatif A x agit naturellement à gauche sur ymlo, Y 2 et Y$, Ces actions se factorisent à travers celles de Aut(vr2Y i )= m O

AutDI,o((VA

--

-

--

)

A

), A u t ( C 2 ( ~ ~ ) = A u ~ ~ , ( et ( FAut(F$, ~ ) ~ 8~ )) =

AutFo ((v:@). agit naturelle(v) Le groupe multiplicatif A X = (A')X x m e n t sur 2, [resp.261. S o n action se factorise à travers celle de Z via 1 'homomorphisme

de norme - réduite associé à l'algèbre à division où det est l'homomorphisme [resp. End(Vo,&)] sur Fm [resp.Fol. centrale End(V,, )3(, [resp.K! = GLrd-ho(On)] est u n sous-groupe ouvert compact de G$ = GLrdPh, (Fm) [resp. =

(vi) Notons K z = GLrd-h,(Om)

GLrd- ho (Fo)]Alors 1 'ensemble c h t g (O, KI) s 'identifie canoniquement à

GO

III

DESCRIPTION ADÉLIQUE

-

DES CHTOUCAS.

Et pour tout sous-schéma fermé fini I -+ ~ h t &(O, E ) s 'identifie canoniguement à

NOMBRESDE

LEFSCHETZ

X qui évite cm, O , le groupoide

Démonstration : (i) résulte de ce que, d'après la proposition 2 du paragraphe précédent, il existe dans les (V,, pz), x E IXJ\{cm,O) des réseaux Mx, libres de rang r sur et vérifiant les propriétés (iii) et (iv) dans ladite proposition. En effet, d'après le lemme 8 du paragraphe 111.1, on a alors des isomorphismes

V,~$~,F

et d'après le lemme 4 du paragraphe 1.2, (Mx)px est libre de rang r sur V,. Si donc, pour tout x E IXl\{cm, O), on choisit (mk, m;, . . . ,m:) une base de (Mx)px sur CDx et si on introduit ml = ( m ~ ) x E l x l \ ~ m.,.O, m l ,T. = (m:),,jxi\(m,o), alors la famille m l , . . . ,mr est une base de ( V ~ ' O ) ' ~ ' O sur DoolO. ,,O Ainsi, (VA ) voo'o est libre de rang r sur D"tO et les autres assertions s'en déduisent immédiatement. (ii) résulte de même du lemme 4 du paragraphe précédent. (iii) résulte aussi du lemme 4 du paragraphe précédent, combiné au lemme 9 du paragraphe 111.1. Il apparaît un facteur deg(cm) [resp. deg(O)] car si Mm [resp. Mo] est un élément de Z, [resp. Zo],et si m est un entier, alors le quotient

-

-

est supporté par Robm( E ) [resp. Robm(O)]. (iv) est évident. (v) Il est évident que A X agit naturellement sur Z, [resp. Z,j] via - ut(&, y,) [resp. Aut (Vo,$O)] . De plus, l'action de Aut(V,, p,) [resp. A U ~ ( C ~ ,sur Zm [resp. Zo] se factorise nécessairement par

h)] -

Aut (V, ,)$ ,

det

F:

0

-

[resp. Aut (Vo,&)

det

F,X I

en un homomorphisme F z -+ Z [resp. F , -+ Z]. Puis, pour connaître ce dernier, il suffit de connaître l'action du centre F z de Aut(V,, (5,) [resp. de ut(&, G ) ] . Or, pour g, E FM no,, Mm E 2, [resp. go E F z noo,@ E ZO]et n E N,on a

1

d'où le résultat. (vi) D'après la proposition 2 et le lemme 4 du paragraphe précédent, se donner un V-chtouca dans Cl muni d'un isomorphisme de sa fibre générique avec (V, cp, i), revient à se donner : 0

pour tout x E \ X ) \ { m ,O) un réseau Mx dans V,, libre de rang r sur Vx@Fq&de façon à vérifier les propriétés (iii) et (iv) de ladite proposition-2, invariants par cp$ dans un réseau dans FE et un réseau et cpt respectivement, - deux éléments MG et M6 de 2, et Zo respectivement.

MZ

0

q,

De plus, se donner une structure de tous niveaux en-dehors de oo et O sur le D-chtouca considéré revient à se donner pour tout x E IXl\{m, O) une base de Mx sur DX&,Ï& invariante par y,, c'est-à-dire une base sur de ( v F . ~ ) ' qui ~ ' ~engendre les Mx. et est la- donnée de Et d'après le lemme 8 du paragraphe 111.1, 0équivalente à celle de deux réseaux dans ( V 2 ) v z et (@)'O, autrement dit de deux éléments de Y 2 / K $ et Y $ / K ~ . Ceci prouve la première assertion de (vi). Maintenant on remarque que pour tous sous-schémas fermés I -+ J X évitant m et O, le foncteur D

~

I

'

-

est galoisien de groupe

III

-

DESCRIPTION ADÉLIQUE DES CHTOUCAS. NOMBRESDE

et comme

nKJ"

LEFSCHETZ

r C -

= { l } , on en déduit que C h t ~(O,, m) ~ s'identifie au

J

quotient de cht;:+(~,m) démonstration.

par l'action à droite de KT", ce qui termine la

0

Maintenant, décrivons en termes des identifications du théorème 1 (vi) l'action des opérateurs définis au paragraphe 1.1.

PROPOSITION 2. (i) Le morphisme de champs F r ~ b $ $ ~ ) [resp. ~ r o b : ~ ~ induit ( ~ ) ] un foncteur de chaque groupoi'de Cht&,l(O,E) ou ChtL,,(O, m ) dans luimême. De plus, ce foncteur préserve les classes d'isogénies C . Et en termes des identifications du théorème 1 (vi)

son action est induite par :

1 'identité sur Y:, Yw3O et Y:, la translation par +1 sur Z, [resp.Zo] c'est-à-dire 1 'application

1 'identité sur Zo [resp.Z,] . (ii) L'action de Heclce à droite du groupe GL,(DT") = G(Am>O) sur le champ ChtD induit une action sur 1 'ensemble Cht&,+(O, 3) qui préserve chaque classe d'isogénies C . E n termes des identifications du théorème 1 (vi)

cette action est induite par :

1 'identité sur 26, Y:, Y: et Zo7 l'action à droite naturelle de G(Amz0) sur Ym10 citée dans le théorème 1 (i). Démonstration : deg(O)] (i) Cette action existe car le morphisme ~ r o b d , e g ( ~[resp. ) Frobo transforme le zéro O et le pôle ?% en O et F ' I - O ~ ~ ~ ~ = ( ~00 ) ([resp. E ) en et )ml. ~ r o b ~ ~ ~ ( O=)O( O Le reste de l'assertion est évident sur les définitions. (ii) est évident sur les définitions, une fois remarqué que l'action de Hecke préserve zéro et pôle.

0

4. DESCRIPTION DES GROUPOÏDES

DE POINTS FIXES

4. - Description des groupoïdes de points fixes

On conserve sur EG, 0, oo, O les hypothèses des deux précédents paragraphes. Par ailleurs, on se reporte aux hypothèses, notations et définitions du paragraphe 1.4 consacré aux correspondances de Hecke, avec maintenant T = {oo,O). En particulier, on fixe une fois pour toutes un élément a de degré 1 dans (Aoo,O)x . Si I ~f X \ T est un sous-schéma fermé fini et g est un élément de G(A"lO), on dispose de la correspondance finie étale I'&,I(g) dans ~ h t & , ~ / aau-dessus " de X ( q x X ( q . Si de plus u, s 2 1sont deux entiers avec deg(0) lu, deg(oo)1 s , on dispose du champ des points fixes Fixe&,,(g, u, s) qui est algébrique au sens de Deligne-Mumford, et étale, au-dessus de Spec ~ ( 0 x) Spec ~ ( o o ) . On note F i ~ e b , ~ u, ( gs)(O,m) , le groupoïde fibre au-dessus du point (O, m) à valeurs dans Le foncteur canonique

K.

induit une décomposition suivant les classes d'isogénies Fixe&,, (g, u, S)(O, EG) =

U ~ixe;:,

(g, u, s ) (O, m ) .

C

PROPOSITION 1. - Soient I ~f X\{oo, O) un sous-schéma femné fini, g un élément de G(AD">O)et u, s 1 deux entiers avec deg(O)lu, deg(oo)ls. Soit C une classe d'isogénies de C h t & , I ( O , ~ )et , fixons des isomorphismes d 'algèbres Dm Md(O,), Do Md(O0). Alors, avec les notations ci-dessus et celles du théorème 1 du paragraphe 111.3, le groupoide ~ixe;:~ (g, u, s)@,EG) est naturellement équivalent au groupoide quotient

>

où :

-

0

(Y,MG, y$,

- y:, Mo) décrit le sous-ensemble de A X x 2 , x

III

Y" Cc x

-

DESCRIPTION ADÉLIQUE

Ym9O

DES CHTOUCAS.

NOMBRESDE LEFSCHETZ

x Y$ x Zodes éléments qui vérifient

si l'on note y = (y', y") E A' = (A')' x (A")', Ê; le centre de l'algèbre à division A', det : ( A ' ) -+ (Ê;) 1'homomorphisme de norme réduite, et &, 6 les places de Ê; déterminées par

l'action à droite de KZ x K F " ~ " x K! sur ce sous-ensemble est induite par celle de x G(Am3O) x G! sur Z, x YE x x Y$ x Zo (telle que précisée dans le théorème 1 du paragraphe III.3), et par l'action identité sur le facteur A', l'action à gauche de A' sur ce sous-ensemble est induite par celle de A' sur 2" x Y 2 x YmsOx Y$ x 20 et par l'action de conjugaison sur le facteur A X

GE

Démonstration : Par définition, on a un carré 2-cartésien de champs :

En prenant les fibres au-dessus du point (O, W) à valeur dans et en se restreignant à la classe d'isogénies Cl on en déduit un carré 2-cartésien

de groupoïdes rC

F i ~ e ~ , ~ ( g , u , s ) ( O , o-o)-t

(O, -)/az

cht$

où, d'après le théorème 1 (vi) du paragraphe 111.3, le groupoïde E ) est naturellement équivalent à ~ht:,(O, A x \ [ Z m x Y 2 x Y-,'

x Y$ x

z~]/K x KY'' ~

x Kg.

De plus, et d'après la proposition 2 (i) du paragraphe 111.3, l'action de Frobg Frobf, sur ~ h t z ( Om) , est induite en ces termes par : O O O

YZ,Ym>Oet ,Y! & sur 2,.

l'action identité sur la translation par la translation par

+sur ZO,

Enfin, d'après la proposition 2 (ii) du paragraphe 111.3, et la définition de la correspondance (g)(O, m) s'identifie au (g), le groupoïde quotient

I'gI

où (Mm, y$, y;V30, y r " , y!, Mo) est le sous-ensemble de Z, y m > O x Y"1° x !Y x Zn des éléments qui vérifient ~

Y2

3

0

x

YZx

y ~ , O K ~ : O g ~ ~ ~ O a Z

Pour conclure il suffit, d'après le théorème 1 (v) du paragraphe 111.3, de vérifier que les homomorphismes composés (A') [resp.

(A1)'

et

(AI>.

[resp.

-

ut(&, 5,) ~ u t ( F 65,6 )

det

(F)

det

(F)

- det

det

F;

Fc

-4.)

Z

O(.)

Z]

III

-

DESCRIPTION ADÉLIQUE DES CHTOUCAS. NOMBRES DE

LEFSCHETZ

sont égaux. On remarque que ces deux homomorphismes sont continus pour la topologie m-adique [resp. O-adique], se factorisent à travers F$ [resp. Fc] et que l'image dans FG [resp. Fc] du sous-groupe F C Fx C (A') a son adhérence d'indice fini. Donc il suffit de prouver que ces deux homomorphismes deviennent égaux quand composés avec le plongement Fx Fx -+ (A')x. Soit donc y' E F C (A') '. Son image par le premier homomorphisme est

-

et son image par le second est

Or d'après la proposition 5 du paragraphe 111.2, on a hm =

r'd

[F:F]

-

[F,

: Fm]

r'd ho = --: FI

[F 16: Fol

dims A' =

r'd (?-) [F: F]

2

et par ailleurs, on a évidemment

d'où le résultat annoncé.

0

Posons, les places O et m étant toujours fixées : DÉFINITION 2. Soient u, s 2 1 deux entiers. Un élément y du groupe G ( F ) = GL,(D) est dit (u, s)-admissible si la F-algèbre engendrée F[y] se décompose en F[y] = F' x F", où : -

F' est un corps, et si y' désigne l'image de y dans FI, alors il existe deux places O' et m ' de F' au-dessus de O et m respectivement, telles que O ' ( Y ) # 0 , m'(y') # O O

et x'(yl) = O pour toute autre place x' de F' au-dessus de O ou m ,

0 si y" désigne l'image de y dans F u , alors y" a toutes ses valuations nulles au-dessus de O ou m.

Remarque : Les écritures F [ y ]= F ' x F", y = ( y ' , y") sont évidemment uniques. O n pourra les appeler les décompositions canoniques de F [ y ]et y. O n dira que F' et y' en sont les parties irréductibles, F" et y" les parties triviales. O n note que les polynômes minimaux de y' et y" sont premiers entre eux.

n

L E M M E3. - O n fixe u , s 2 1 deux entiers. ( i ) Soient C une classe d 7isogénies et (V,cp, i ) la fibre générique qui lui correspond. Et, avec les notations du théorème 1 du paragraphe 111.3, soit y = ( y ' , y") u n élément de A = A' x A" tel qu'il existe y$ E Y 2 et E K: vérifiant - deg(&)&(det

yvz

E

y')

=s

Y $ K ~

O O rvO E YOKO

deg(0)6(dety')

=u

(avec les notations de la proposition 1 ) . Alors il existe une base de (V,i ) sur D @IF, telle que le plongement induit A X -+ G L T ( D@IF, &) envoie y sur u n dément de G L T ( D ) ,bien déterminé à conjugaison près, et qui est nécessairement ( u ,s)-admissible. De plus, si F' = F [ y ' ] ,Fr' = F [y"], F [ y ]= F' x F" est la décomposition canonique de F [ y ] ,F' contient F et, avec les notations de la définition 2, 0' est l'unique place de F' au-dessus de 0 et oo' 1 'unique place de F' au-dessus de 63. (ii) Réciproquement, soit y u n élément ( u ,s ) -admissible dans G L , ( D ). Alors il existe sur (V,i ) = ( D @IF, une structure de cp-espace (V,cp, i), bien déterminée à isomorphisme près préservant y et telle que :

F)T

O O

O

y E A = End(V, cp, i ) , (V,cp, i ) est fibre générique d'une classe d 'isogénie C, la décomposition canonique F [ y ] = F' x F" est compatible avec la décomposition canonique A = A' x A", le centre 5 de A' est contenu dans F' et, avec les notations de la définition 2 ci-dessus et du théorème 6 du paragraphe 111.2, les places 66,O de F sont les restrictions des places cm',O' de FI,

III

-

DESCRIPTION ADÉLIQUE DES CHTOUCAS. NOMBRES DE

LEFSCHETZ

sur (Vu,i), cp" est induit par 1'homomorphisme Id @ Frob de (V, i) = ( D @ ~ , & ) De ~ . plus, il existe y 2 E et y! E (avec les notations du théorème 1 du paragraphe 111.3) tel que soit vérifié le système de conditions (1).

YZ

Y~O

Démonstration : (i) Posons Ê;' = F[y1]. Ainsi Ê;' est un corps, plongé dans A', et engendré par Ê; et F r . On remarque d'abord que l'homomorphisme composé

est injectif. Comme ~ n d ( ~ ,g,) , est une algèbre à division, on voit que Ê;' @F est un corps. Autrement dit, il existe une unique place &' de Ê;' au-dessus de la place & de Ê;. De même, il existe dans Ê;' une unique place 6' au-dessus de la place 6 de Ê;. Par conséquent, - on a &'(yf) # O, 6'(yr) # O et 2'(yr) = O pour toute autre place 2' de F' au-dessus de m ou O, comme il résulte maintenant des conditions (1). Cela implique en particulier que si m f et O' sont les places de F' restrictions de &' et 6', alors &' [resp. 6'1 est l'unique place de Ê;' au-dessus de m f [resp. Of]. -Or, si fi est l'élément de (Ê;) @Qtel que (F,II) soit la cp-paire associée à (V', cp'), on a d'après le théorème 6 du paragraphe 111.2 que &(fi) # O, q f i ) # O et 2(fi) = 0 pour tout autre place 2 de Ê;. Par ailleurs, il existe dans F' un élément non nul II' tel que m'(IIt) # 0, 0'(IIr) # O, et xf(II') = O pour toute autre place x' de FI. En effet, si X' désigne la courbe projective lisse sur F, dont le corps des fonctions est Frlle fibré associé au diviseur de degré O : deg(0')wt - deg(m')O' est nécessairement de torsion dans le groupe abélien Pic(Xr). Maintenant, il existe deux entiers non nuls N , N' E Z tels que fiN E (F)x (FI)., rSN' E i 'Ê;')x et &'(fiN) = &'(IItN' ). D'autre part, on a automatiquement 2'(IIN) = O = z ' ( I I ' ~ ') pour toute place 2' # &', 6' dans Ê;'. Donc aussi @(fiN)= 6'(IIfN') d'après la formule du produit, et fiN et IIfN' diffèrent d'une constante multiplicative. Quitte à remplacer N et N' par des multiples, on peut même supposer

Mais, d'après le lemme 3 du paragraphe 111.1, Ê; est engendré sur F par IIN, donc Ê; E Fr et F' = FI.

-

D'autre part, il résulte encore des conditions (1) que y" a toutes ses valuations nulles au-dessus de CO ou O. Maintenant, montrons qu'il existe un plongement F I Mrt (D). On dispose d'un plongement

FI

-

A', et on sait dimFA1 =

@s

sont annulés par &. Or, d'après la proposition 5 (v) du paragraphe 111.2, A' et D @F F ont mêmes invariants en toutes les places 2 f &, 6 dans F. Par conséquent, tous les invariants de D @F F' = (D @F F ) @pF sont annulés par T' d L'existence d'un plongement F' ~t M,t(D) résulte alors du lemme suivant : tous les invariants de A'

FI

m.

LEMME4. - Soient K u n corps de fonctions sur u n corps fini, K ' u n corps extension finie de K et A une algèbre centrale simple sur K , de dimension finie a 2 . Alors, il existe u n plongement KI v A sur K si et seulement si [KI : KI divise a et annule tous les invariants de A@KK' e n les places de K t .

&

Démonstration : Supposons qu'il existe un plongement KI ~t A. Et soit KI' un corps plongé dans A, maximal, et contenant KI. On a que Kt' est dans A son propre centralisateur. Donc, d'après [Jacobsen, II] théorème 4.8, on a

&

est un entier, et qui annule tous les invariants de Donc [Kt' : K t ] = A gKKI en les places de KI. Réciproquement, si = a' est un entier qui annule les invariants de A@KKI, on peut écrire A@KKI E Mal,/ (A') où A' est une algèbre centrale simple sur K t , de dimension al2. On a aussi AOP@K K t E Ma/,/ (Alop)et le choix d'une base de AO ' p sur K détermine un plongement

&

Le commutateur de AOPdans Ma2 ( K ) est isomorphe à A, et il contient K t . C'est ce qu'on voulait. 0

Suite de la démonstration du lemme 3 : Maintenant, le choix d'une base de (VI, i ) sur D plongement composé

@F I,

IF4 détermine un

III

-

DESCRIPTION ADÉLIQUE

DES CHTOUCAS.

NOMBRESDE

LEFSCHETZ

qui, d'après le théorème de Skolem-Nœther, est conjugué de

Autrement dit, quitte à changer de base, on peut supposer que ces homomorphismes composés sont égaux. Par ailleurs, si on choisit une base sur D de (v")'Q1', elle induit un plongement

F"

-i

End(VU,9", i) =

end((^")^'/, 1:)

=

MT//(D)

Le composé F [ y ] = F' x F"

-t

MT/(D) x MT//( 0 ) -t MT(D)

répond alors à la question posée. En effet, pour prouver que l'image de y est (u, s)-admissible on n'a plus qu'à remarquer que les homomorphismes

[resp.

-

deg(6)6(.) (6) '

Z]

sont égaux. (ii) y E GLT(D)peut être vu comme un automorphisme du D-module à droite D r , et aussi du D @p, h o d u l e à droite ( D @F-~ F)'. On pose V' = Kery" @pq V" = Kery' @1r4 IFq, si (7',y1') est la décomposition canonique de y. Ainsi, y' s'identifie à un automorphisme de Ker y", ou de VI, et y" s'identifie à un automorphisme de Ker y', ou de VI'. On notera r' le rang de VI. Il s'agit de mettre sur V' et V" des structures de 9-espaces 9' et 9" de façon à vérifier les propriétés de l'énoncé. (Vu,9") doit être un 9-espace trivial, avec y" E End(VU,y'', 2 ) . On peut prendre 9" = IdKe, @JFrob, et c'est la seule possibilité. Voyons maintenant comment construire 9'. Tout d'abord, il existe II' E (FI)' tel que m'(II1)# O, Ot(II') # O, et xf(IT') = O pour toute autre place x' de FI.

5,

I,

-

FIIIln] C FI.

Et soit F = nEz\{o)

Puis, soit

fi l'unique élément de ( F ) [F: F]

deg(&)&(II)

= --

r'd

8 Q colinéaire à II' et qui vérifie

--[F: FI deg(O)O(II) = --r'd

si &, 6 désignent les places de F obtenues par restriction de cm', 0'. On a 6 dans Ê;. aussi fi) = O pour toute place 2 # 5, Et on remarque au passage que nécessairement m' et O' sont les seules places de F' au-dessus de & et 6 puisque II' E ( F ) 8 Q et x1(II') = 0, b'x' # ml, 0'. Par ailleurs, de l'existence des plongements

-

F

~

_

F' f

-t

~ n d ( ~?", e ri)

MT((D)

on déduit d'après le lemme 4 que [F: FI et même [ F I : FI divisent r'd, que annule les invariants de D 8~P et que annule les invariants de

* [F: F]

D O F FI. On voit déjà d'après le théorème 6 du paragraphe 111.2 que (V', i ) peut être muni - - d'une structure de p-espace (VI, pl, i ) dont la p-paire associée soit (F,II) et telle que (V, p , i) = (VI, y', i) @ (V", cp", i) définisse une classe d'isogénie C. Montrons que quitte à conjuguer y' par un élément de Aut(V1,i ) , on peut supposer que y' E Aut(V1,cp', i) = A'. Pour cela, il suffit de prouver qu'existe un plongement

car alors les plongements

F'

-t

A'

-t

Fr -t Aut(V1,i)

Aut(V1,i) et

seront nécessairement conjugués. Et d'après le lemme 4, il s'agit de voir que [Fr: FI divise

d et que [F:F] .

.

[ F 1 : F ]annule les invariants de A' @IF FI. Cela résulte de ce qu'on a déjà prouvé, car, d'après la proposition 5 (v) du paragraphe 111.2, A' 8~ F' a mêmes invariants que D @IF F' en toutes les places distinctes de oo' et O', et ses invariants en oo' et O' sont respectivement 'Id

[F : FI [FL, : F-,] r'd

[FI :F I =-

r'd

et

[F : FI [Fol: FG] - =

--

r'd

[FI --

: F]

r'd

.

III

-

DESCRIPTION ADÉLIQUE

DES CHTOUCAS.

NOMBRESDE LEFSCHETZ

Ceci achève la construction d'un cp' convenable. Et il est immédiat qu'à isomorphisme près préservant y' c'est la seule possibilité. La dernière assertion résulte de ce que, comme y est ( u ,s)-admissible, son image dans ~ u t ( ( v 2 ) G z [resp. ) ~ u t ( (0 G2~)] ) a toutes ses valuations nulles, donc engendre u n sous-groupe d'adhérence compacte, qui nécessairement stabilise u n réseau, c'est-à-dire u n élément de Y ~ / K $ o Ko [resp. Y0 / 01.

O

De la proposition 1 et d u lemme 3, ainsi que d u théorème 1 d u paragraphe 111.3, o n déduit immédiatement : T H É O R È M E 5. Soient r 2 1 u n entier, oo et O deux places distinctes de F qui sont dans X I , et m, O deux points de au-dessus de cm et O . O n fixe des isomorphismes d'algèbres Dm Md(O,), Do Md ( 0 0 ) . Soit (V,i ) le D @ F ~ 6 - m o d u l e à droite ( D @pq Pour toute structure de cp-espace (V,cp, i ) sur (V,i ) , telle que ( V ) V = (v")v" soit contenu dans Dr et qui corresponde à une classe d7isogénies de C h t & ( O , m ) , on choisit une fois pour toutes, avec les notations du théorème 1 du paragraphe 111.3, u n point base dans

-

-

-

~(6) w

w

6)'.

c'est-à-dire : une base de

( v ~ ' sur ~ DW'O; ) ~ ~ ' ~ - -0 2 ] sur Fm [resp.Fol, une base de ( V 2 ) V - [resp.(K) m

u n réseau dans V k [resp.Vol qui soit élément de 2 , [resp.Zn]. E n notant G(Am?O) = GL,(DF"), G$ = G L r d - h w ( F m ) 7 G! = GLrd-ho ( F o ) et A = End(V, cp, i ) , Af = E n d ( V f ,cp', i), At'= E n d ( V U ,cp", i ) , on a des homomorphismes induits :

Ax

-

AIx

det

FX

--d e g ( 6 ) d e g ( w )m(')

Z

De plus, soit a u n élément de degré 1 dans (Am>O) X , fixé une fois pour toutes. Et soient u, s > 1 deux entiers, avec deg(0) 1 u et deg(oo) 1 S . Pour tout élément y de G ( F ) = G L T ( D ) qui est ( u , s)-admissible, o n choisit une fois pour toutes une structure de 9-espace (V,9, i ) sur (V,i ) qui satisfasse les conditions du lemme 3 (ii). Et on note AT = A i , x A;,, la sous-algèbre de A = A' x A" des éléments qui commutent avec y . Alors, si y décrit u n ensemble de représentants des classes de conjugaison d'éléments ( u ,s)-admissibles de G ( F ) = G L , ( D ) , les choix que nous avons faits déterminent une équivalence, pour tout sous-schéma fermé fini I -t X\{oo,O) et tout élément g de G(AmlO), entre le groupoide FixeLlI(g,u, s ) ( O , m ) et la somme disjointe de groupoides quotients

et {(m,, 9 2 , gmjO,g:, m o ) ) est le sous-ensemble de Z x GE x G(Am>O)x

G! x Z défini par les conditions

5.

- Nombres

de Lefschetz

Sont toujours fixés oo, O , 755 et O comme dans les précédents paragraphes. Par ailleurs, o n suppose que V est une Ox-Algèbre partout maximale. a) Polygones de Harder-Narasimhan

III

-

DESCRIPTION ADÉLIQUE DES CHTOUCAS. NOMBRES DE

LEFSCHETZ

LEMME1. - Soit a u n nombre réel. Soit AG,, la catégorie abélienne des diagrammes de V @ p q K-Modules cohérents sur X @IF, IF,

où j et t sont des isomorphismes en-dehors de W et O respectivement. Soient rg et deg, les deux applications

--

rg : ObdE,,

-

&

+

-

rg& = rg

deg, : O b d ~ , ,

-

N -(&/Etor) ~ F , F ,

Eû

& +-+ a deg(det &)

+ (1

-

a) deg(det &') .

Alors & , munie de ces deux applications est une catégorie à pentes ( a u sens de la définition 1 du paragraphe 11.2). De plus, si E est u n objet sans torsion de dZ,, (c'est-à-dire u n muni d'un automorphisme y de sa fibre V-chtouca généralisé sur générique, alors la famille de ses sous-objets dont la fibre générique est stabilisée par y est une bonne famille (toujours au sens de la définition 1 du paragraphe 11.2).

6)'

Démonstration : Cela résulte du lemme 3 du paragraphe 11.2 et du fait que si y est un automorphisme d'un certain p-espace (V, p, i ) la famille des sous-espaces stabilisés par y est stable par intersections et sommes.

O

D'après la proposition 2 du paragraphe 11.2, on voit maintenant que pour tout entier r 2 1 et tout nombre réel a, on peut associer à tout couple (E,y) constitué d'un-objet de Chtb(O, E ) et d'un automorphisme y de la fibre générique de &, un polygone a--canonique

-

On dispose aussi du polygone a-canonique de &

Pa

[O7

r]

+

et on a évidemment toujours l'inégalité

E+

LEMME2. Soient r 2 1 u n entier et a u n nombre réel. Soient g u n objet de C h t b ( O , ~ )et y u n automorphisme de la fibre générique (V,cp,i) de 2. Soit y = (y', y") l'écriture qui correspond à la décomposition canonique (V, cp, i ) = (VI, pl, i ) @ (Vu,p", i ) e n partie irréductible et partie triviale. Enfin, soit C u n élément de Pic(X) muni d'une section rationnelle n o n nulle !et tel que l'homomorphisme y'' : (V, cp, i) + (V, cp, i ) et e induisent u n homomorphisme partout défini -

Alors, en posant R = d deg C, o n a : (i) Pour tout sous-objet maximal

Y de

tel que

a

est stabilisée par y. la fibre générique de (ii) Pour tout polygone p : [O, r ] + IR+ vérifiant

-

-

et en notant PT,, et pa les polygones a-canoniques de ( & , y ) et &, o n a l'équivalence

Démonstration : (i) La fibre générique de 5 s'écrit comme la somme directe d'un sousespace de (VI, cpl, i ) qui est soit O soit (VI, cp', i ) et d'un sous-espace de (VI', cp", i ) . Donc elle est automatiquement stabilisée par y'. Comme y = y' y'', il s'agit de voir qu'elle est aussi stabilisée par y" c'est-à-dire que l'homomorphisme composé

+

est nul. Or, d'après le lemme 6 (i) du paragraphe 11.2, on a

III

-

DESCRIPTION ADÉLIQUE

DES CHTOUCAS.

NOMBRESDE

LEFSCHETZ

d'où par hypothèse

On conclut d'après la proposition 2 (v) du paragraphe 11.2. (ii) On sait que p,,, p, d'où déjà l'implication

<

-

-

Réciproquement, supposons qu'on n'ait pas p, 5 p. Soit O = Eo C II C . . . la filtration ai-canonique de g. Soit 3 un objet parmi les qui maximise la quantité (deg, j. - 'g.F deg, É) - ~ rg '? Ainsi, on a

-

(?) r=, (~

- p) (rg

Y) .

-

deg, É > p(rg X) rg E et par ailleurs, il résulte de l'hypothèse sur p que deg, .F -

D'après (i), la fibre générique de vrai non plus que PT,, p.

<

est stabilisée par y et donc il n'est pas

0

Considérons maintenant, pour r 2 1un entier et ai E R, l'application qui à tout objet de Cht&(O,m) [resp. et qui est muni d'un automorphisme de sa fibre générique] associe son polygone a-canonique p, [resp. p,,,]. Cette application est invariante par l'action de Pic(X) d'après le corollaire 7 (i) du paragraphe 11.2. En particulier, si on a choisi un élément a de degré 1 dans (A"tO) X , elle est invariante par a". Or, si I -t X\{w, O) est un sous-schéma fermé fini, g est un élément ' ) u, s 2 1 sont deux entiers avec deg(0)lu et de G(A3">') = G L ~ ( D ~ ?et deg(m) 1 s, le foncteur

associe à tout objet de F i ~ e & , ~ u, ( gs)(O, , W) un objet de Cht&(O,~ 6 ) (modulo a") et qui de plus est évidemment muni d'un automorphisrne de sa fibre générique. A tout objet de Fixe&(g,u, s)(O, m), on sait donc associer des polygones ai-canoniques p, et p,,, .

PROPOSITION 3. - O n a fixé u n élément a de degré 1 dans '. Soient r > 1 u n entier et a u n nombre réel. Soient I v X\{rn,O) u n sous-schéma fermé fini, g u n élément de G(AoO>')et u , s > 1 deux entiers avec deg(0) 1 u et deg(co) 1 S . ( i ) Soit R 2 O une constante telle qu'existe u n élément b E vérifiant : (

~

~

2

'

)

Alors pour tout polygone p : [O, r ] -t IR+ tel que

et pour tout objet de Fixe&,I ( g ,u , s)(O,E ) de polygones a-canoniques p , et p,,,,on a l'équivalence

(ii) Pour tout polygone p : [O, r ] + R+, il n'y a qu'un nombre fini de classes d'isomorphismes dans le groupode Fixe&,I( g ,u , s ) (O, ~ 6dont ) le polygone a-canonique PT,, vérifie

P,,, I P . Démonstration : ( i ) O n utilise les notations de la proposition 1 d u paragraphe 111.4 et la description qui y est faite d u groupoïde Fixe&,I ( g ,u , s ) (O, 55). O n considère donc u n objet dans la classe d'isogénies F'ixe;>l ( g l u , s ) (O, TE)représenté - parunuplet ( y ,~ ~ , y $ , ~ " M - O' )d~ a ~n s,n x~ X ~Z ~, X Y ~ X Y " ~ ' X Y $ X Z ~ qui vérifie : -

deg(&)&(det y') = s

-yy,"

yYr"

E

y$K$ E y m 2 0 ~ ~ ' 0 g ~ pour ~ ' 0uan nn E Z

O O YY! E Y O K O deg(0)b(detT') = u

Ecrivons que l'élément det y dans F X est de degré 0. O n obtient -s

+ deg(det g ) + r d n + u = O

III

DESCRIPTION ADÉLIQUE

-

DES CHTOUCAS.

NOMBRESDE

LEFSCHETZ

puisque a est de degré 1. Par ailleurs, on a

Donc si ,C est le réseau dans A qui est engendré par b-'an en les places distinctes de oo, O et par 1 en oo et O, ,C vu comme un élément de Pic(X) muni d'une section rationnelle vérifie l'hypothèse du lemme 2 ci-dessus. s-u-deg(det g ) A Or deg C = - deg(b) n = - deg(b) rd . insi, l'énoncé résulte du lemme 2 (ii). (ii) Il existe certainement une constante R O comme dans (i), et on peut trouver un polygone q p tel que

+

+

>

>

Il suffit donc de prouver qu'il n'y a qu'un nombre fini de classes d'isomorphismes dans Fixe&,, (g, u, s)(O, m) dont le polygone a-canonique p, vérifie

Et ceci résulte des faits suivants : O D'après la proposition 6 du paragraphe 1.4, le champ F i ~ e & , ~u, ( gs) , au-dessus de Spec ~ ( 0 x) Spec &(CO) est un champ algébrique au sens de Deligne-Mumford, étale sur F,, donc localement fini sur IFq.

-

Le morphisme F i ~ e & , ~u, ( gs) , par une immersion fermée. O On a un isomorphisme naturel : O

Cht&,,/aZ est représentable

Les morphismes Chtg:z -t Chtr;" sont représentables finis, et d'après le théorème 8 du paragraphe 11.2, les sous-champs ouverts c h t y . P a 3 s des Chtr;" sont de type fini au-dessus de X' x X' x ( x x x )A. O

0 b) Définition des nombres de Lefschetz

>

On a fixé a un élément de degré 1 dans (Arn3O) et r 1 un entier. On reprend les notations du paragraphe I.4b, avec T = {CO, O). En particulier, le groupe G(Arn2O)= GL,(D?") est muni de la mesure de Haar

dgm>' pour laquelle le sous-groupe compact ouvert = GL,(D,M") est de volume 1. Xm3O désigne l'algèbre de Hecke de G(Am>O),c'est-àdire l'algèbre de convolution des fonctions localement constantes à support compact de G(A"lO) dans Q. Et pour tout sous-schéma fermé fini I X\{oo, O ) , désigne la sous-algèbre de X"1° des fonctions invariantes à gauche et à droite par K f ' O = K ~ ~ [ G L , ( V ~ ~ O )i G L , ( D I ) ] O . n rappelle que tout élément f m 9 O de XY'O s'écrit de manière unique comme une somme finie ~

"

2

'

-

2

où les Xi sont des nombres rationnels non nuls, les K y l O g i ~ ~sont O des classes distinctes dans K J ~ O \ G ( A ~ ~ O ) / K ~ ' O et les Ü K m , o C D ~ O sont leurs I g,KI fonctions caractéristiques dans G(Am>O).

PROPOSITION 4. - Soient u , s 2 1 deux entiers avec deg(0) ( u et deg(oo) ( S . Et soient p : [O, r ] + IR+ u n polygone, et cr u n nombre réel. ( i ) Pour tout sous-schéma fermé fini I r X et tout élément g de G(A"lO), on considère la somme 1 M

# Aut ( M )

où M décrit u n ensemble de représentants des classes d'isomorphismes d'objets du groupoi'de Fixe&,I ( g ,u , s ) (O, a)dont le polygone a-canonique p,,, vérifie pl,, < pl et où pour tout tel M , # A u t ( M ) désigne le cardinal du groupe finz de ses automorphismes. Alors cette somme est finie. O n la note ~ e f ; ~ ; ~ ~ 'u~, s() g. , Elle ne dépend que de la classe de g dans K ~ ' ~ \ G ( A " ~ O ) / K ~ ' ~ . (ii) Pour tout élément f"1° de 'FI"">' et tout sous-schéma fermé 1 -i X\{m, O ) tel que f"3O E X;"" XWlO, on considère la somme

c

associée à l'écriture canonique

Alors cette somme ne dépend pas de I .

III

-

DESCRIPTION ADÉLIQUE DES CHTOUCAS. NOMBRES DE

LEFSCHETZ

-

On la note ~ e f " , ~ ' ~ (f r n > ~u,, s). C'est une fonction Q-linéaire de f

rn30

E

IFID"lO.

Démonstration : (i) La finitude de cette somme a été prouvée dans la proposition 3 (ii) plus haut. Le fait qu'elle ne dépend que de la classe de g dans K F ' ~ \ G ( ~ ~ ~ ~ ) / K F ' ~ résulte du lemme 4 (i) du paragraphe 1.4. (ii) Il suffit de prouver que si I -+ J -+ X\{oo, O) sont deux sousE IFIÏrO E I F ~ cJ~~ alors schémas fermés finis emboîtés avec les sommes associées à (f D">O, 1)et (f J) sont égales. Or ceci résulte du lemme 7 du paragraphe 1.4 puisque l'indice fini [K?" : est égal au quotient des mesures

x~:~, KY"]

frn10

rn30,

(KJ~O) .

dgrn>O Enfin, la Q-linéarité est évidente.

LEMME5. - Soient u, s > 1 deux entiers, avec deg(0) 1 u et deg(oo) 1 S. Et soit p : [O, r] + R+ un polygone. Alors pour toute fonction f m 9 O dans %"">O,l'application

est périodique de période le p.g.c.d. des entiers deg(0) et deg(oo).

Démonstration : Il est équivalent de prouver que pour tout sousschéma fermé fini I -+ X\{oo, O) et tout élément g E G(Acoto),la fonction

est période de période le p.g.c.d. de deg(0) et deg(oo). Or les morphismes Robo deg(o) et ~ o b $ $ ~ ) induisent deux foncteurs commutant entre eux Fixe;,,

(g, u, S)(O,a5)

=

Fixe;,,

(g, u, s) (O, m) .

De plus, le composé O ( F r ~ b ~ ( ~ ) ) ~ ~= g(O) Frobdeg(0)deg(D") est une équivalence, puisque Frob est une équivalence du groupoïde ~ h t ; , ~ ( & )dans lui-même. Donc F'robteg(0)et F r 0 b 2 ( ~sont ) eux-mêmes des équivalences. Et d'autre part, d'après le lemme 6 (ii) du paragraphe 11.2, le polygone a-canonique de tout objet de Fixe;,,(g, u, s)(O,a5) est égal au polygone ( a - deg(0))-canonique [resp. ( a deg(oo))-canonique] de son image par Fr~bUeg(~) [resp. F'r~bd,ep(~)]. D'où le résultat. 0

+

6.

- Expression

intégrale des nombres de Lefschetz

Sont toujours fixés CO, O, i50 et O comme dans les précédents paragraphes, ainsi qu'un élément a de degré 1 dans qu'un entier r 2 1, et que des isomorphismes D, 2;Md(O,), D0GMd(O0). Et on suppose que D est une Ox-Algèbre partout maximale. a) Fonctions de troncature Considérons d'abord, avec les notations du théorème 1 du paragraphe 111.3, C une classe d'isogénies, (V, cp, i) la fibre générique qui lui correspond, et y un élément de A X = Aut (V, cp, i). D'après ce théorème le groupoïde

où A, désigne la sous-algèbre de A des éléments qui commutent avec y, s'identifie au groupoïde des D-chtoucas dans Cht&(O,w) qui sont dans la classe d'isogénie C et dont la fibre générique est munie d'un automorphisme dans la classe de conjugaison de y. D'après les considérations du paragraphe III.5a, on peut donc associer à tout objet de ce groupoïde et à tout nombre réel a un polygone a-canonique

PT,,. Pour tout polygone p : [O, r ] -+ IR+ et tout a E IR, on notera ,!&(li 5 p) la fonction caractéristique de l'ensemble des objets dont le polygone a canonique est majoré par p. C'est donc une fonction caractéristique sur 2, x Y 2 x Y";' x Y : x Zo, invariante à gauche par A,X et invariante à droite par K$ x Km.' x K i . Elle est également invariante par AX et en particulier par a", d'après le lemme 6 (i) du paragraphe 11.2. Considérons maintenant le cas particulier où y est un élément (u, s)admissible de G ( F ) = GLT(D),pour u, s > 1 deux entiers avec deg(0)lu, deg(m) ls, où (V, i) = ( D 8~~& ) T , et où (V, cp, i) est la structure de cpespace sur (V,i) qui a été associée à y dans l'énoncé du théorème 5 du paragraphe 111.4. Toujours comme dans ce théorème, on a également choisi un point base de 2, x x Y">' x Y$ x Zo qui induit une identification

si bien que les fonctions caractéristique définies sur Z x G E x G(A,?') x x Z.

GE

< p)

sont maintenant

III

-

DESCRIPTION ADÉLIQUE DES

CHTOUCAS.

NOMBRESDE

LEFSCHETZ

O n rappelle qu'on a u n e décomposition canonique e n partie irréductible e t partie triviale

(V,cp, i ) = (VI,y', i ) @ ( V u ,y",i) e t que les isomorphismes décompositions

v,=

Md (O,),

VOS Md ( 0 0 ) induisent des

C o m m e ci-dessus, soient u, s 2 1 deux entiers avec deg(O)lu, d e g ( m ) l s et y u n élément ( u ,s)-admissible de G ( F ) = G L r ( D ) . Soient y = ( y ' , y " ) la décomposition canonique de y , r' le rang de y' sur D , E = D r , E t = D r ' , E" = Dr-" ; o n a donc y E Aut E , E = Et @ E" et o n suppose que y' E Aut Et, y" E Aut E". Ainsi (VI,i ) = E r @ p q IF, et ( V u ,cp", i) = ( E " @ I F ,&,Id 8 Frob). Avec les notations ci-dessus, o n suppose encore que le point base choisi -,O de [resp. resp. Y:] qui est u n e base de ( V ~ > ' ) ' A sur D r 1 '

LEMME1.

[ Tesp. de

--

Yg, ( v )sur -

llm,O

adjoignant à la base de

(c()@f sur Fol a été construit e n [resp. (G&)2&,resp. (cdf)%] induite

Fm, resp. de

(V~~'O)'A

par la base canonique de

- 'O(v")P" 2

=

Et'

=

Dr-"

une base de

( V ~ ' O ) ' ~ ~ ' O

[resp. (Fo,6)2z7 resp. (Vo ) 1 . Alors : ( i ) E n notant A,, A;,,, E n d ( E ) , , E n d ( E 1 ) y ,E n d ( E l ' ) ~les ~~ sous-algèbres de commutateurs, o n a

Ai,,

et E n d ( E ) , = End(E1),( x E n d ( E U ) , / ~. De plus, o n a des identiifications naturelles

A"

= End(EU)

A;,, = End(EU),/I .

( i i ) Les sous-D-modules W de E stables par y sont ceux de la forme

où W' et W u sont respectivement des sous-D-modules de E r et E" stables par y' et y".

(iii) L'application W ++ W = W @IF, & C E @IF, = V induit une bijection de l'ensemble des W comme dans (ii) tels que W' = O ou W' = E t sur l'ensemble des sous-espaces de (V,cp, i) stables par y . ( i v ) Pour W comme dans (iii), le sous-groupe de G(A"lo) des éléments qui stabilisent le sous-espace w ~ ' O de ET'' se confond avec le -m,o sous-groupe des éléments qui stabilisent le sous-espace W A de V ~ ~ O . Notons-le Pw (Am?'). ( v ) Avec les notations de la définition 2 du paragraphe 111.4, soit y& = 70,l'image de y0 dans le facteur FA, de FA ou F [y10 [resp. y;, = y,( l'image de y , dans le facteur F&, de F k ou F[y],]. Soient et y:' [resp. y ~ et' y:'] les autres facteurs avec donc

et soient les décompositions en sommes directes correspondantes

L 'isomorphisme D ~ - ~ (; M o ~~[resp. ) D,4Md tions canoniques

(O,)] induit des décomposi-

La base canonique de Et' induit une base canonique - de Ë{ [resp.EL] de cardinal ( r - r l ) d . Et la dimension de @" [resp. EZ']sur Fo [resp. Fm] est r'd - ho [resp. r'd - h,]. Donc le choix d'une base de cet espace induit u n isomorphisme

[resp. G E

= G L r d P h , (F,);GM'

-

= AU~F,

( E E ' ) = A U ~ B _( E Z ' ) ] .

Ce choix étant fait, le sous-groupe de G'P [resp. G E ] des éléments qui stabilisent le sous-espace w:' = Wo f' E t [ resp. WE' = W , n E Z ' ] se confond avec le sous-groupe des éléments qui stabilisent le sous-espace -0

-

W , = TV0 n v," [resp. = W , nV ~ I . Notons-le (PW)! [resp. ( P W ) E ] .

ADÉLIQUE III - DESCRIPTION

DES CHTOUCAS.

NOMBRESDE

LEFSCHETZ

( v i ) Soit W u n sous-D-module de E comme dans (iii). Pour tout a E R, soit d e g r l'application

-

ZXG~XG(W~O)XG;XZ+IR qui associe à tout élément de l'ensemble de départ le nombre réel deg,(F) où F est le sous-objet maximal engendré par W dans le D-chtouca E de fibre générique (V,y , i ) associé à cet élément. -Par ailleurs, -notons degW l'unique application G ( A f f i l O-)+ Z [resp. G z -t Z , resp. G E + Z ] invariante à droite par Km9O [resp. K t , resp. K E ] et qui à tout élément de P ~ ( A " ~ O[resp. ) (Pw)O, resp. (Pw)g]associe le degré du déterminant dans AffitO[resp. Fo, resp. Fm] de sa restriction dans A U ~ ~ ~ . O [resp. AutD0(w:'),resp. Autom ( W Z ' ) ] . A

(wF'O)

Alors, pour tout a E IR, et tout ( m G , g $ , g f f i ~ O , g ~ , mdans o ) Z x G$ x G(Am>O)x G$ x Z , on a l'égalité :

=

{

+ deg w (goO

degw (g$ ) + degw ( P O ) deg(oo)m,

si W'

=O

+ degw ( 9 2 ) + degw (go">')+ deg w ( gOo )

- deg(0)mO

+(1

-

a)

+ degF1(O,1 , 1 , 1 , 0 )

s i W' = E'

(vii) Pour tout polygone p : [O, r ] -t IR+, tout élément ( m , ,g$ ,gmlO,

gi,mo)de Z X G $ x G ( h m ? ~X) Gx ~Z et tout a E R , o n a p7,,

-(mm,g$

- p si et seulement si <

(1 -

:

(deg(m)mm w) r

-

,gOO'O,goO,mo)

- deg(0)mO

+

+ ( 1 - a ) + deg:'

+

E

O

r (degE ( g z ) degE ( g m 3 0 ) deg ( g o ) ) pour tout W comme dans (iii), tel que W' = E' ;et

(0,1,1,1,0))

< p(rgDW )

- w ( rd e g ( c o ) m , - d e g ( 0 ) m o + ( l - a ) + d e g ~ ' ( O , l , l , l , O ) )

pour tout W comme dans (iii), tel que W' = 0. Démonstration : (i) résulte de ce que y' et y" ont leurs polynômes minimaux premiers entre eux et de ce que (v")'P" = E". (ii) est conséquence de (i). (iii) est conséquence de (ii) et (i) et de ce que (VI, pl, i) est irréductible, comme on a vu dans le lemme 3 (ii) du paragraphe 111.2. = E" puisque W est de la forme (iv) résulte de ce que (vu+)"'' W = W' @ W" avec W' = O ou W' = E' et W" - C_ Eu. (v) La dimension de go/sur Fo [resp. de Emt sur Fm]est

r 'd [FI

: FI

r'd [Fo,: Fol [resp. [FI: FI [FL, : Fm]] .

Or, d'après la proposition 5 (iv) du paragraphe 111.2, on a

r'd [Fo : Fol = ho [resp. ---[F, [Ê; : FI [Ê; : FI r'd

: Fm]= hm]

et d'après le lemme 3 (i) du paragraphe 111.4, O' [resp. CO'] est l'unique place de F' au-dessus de la place 6 [resp. &] de Ê; si bien que

-

Fol - [FA,: Fol [F,:F,] [resp. : FI [F' : F] [Ê; : FI

[&j :

[F

-

[F;,:F,]] [FI :

F]

Ainsi la dimension de Eot [resp. Emt]est effectivement ho [resp. hm]. Et la dernière assertion se prouve comme (iv). (vi) est évident sur les définitions. (vii) résulte de (vi) et de ce que, si (g,y) est un objet de Chtb(O, W)muni d'un automorphisme de sa fibre générique, et de polygone a-canonique p,,,, on a p,,, 5 p si et seulement si tout sous-objet maximal ? de C dont la fibre générique est stable par y vérifie

III

-

DESCRIPTION ADÉLIQUE

DES

CHTOUCAS. NOMBRESDE

LEFSCHETZ

b) Expression intégrale PROPOSITION 2. - Pour tout élément fmzO de l'algèbre de Hecke 7-L"'O du groupe G ( A W > O )tous , entiers u, s 1 avec deg(O)lu, deg(ca)ls, tout polygone p : [O, r ] -+ IR+ et tout nombre réel a , o n a l'égalité

>

y décrit u n ensemble de représentants des classes de conjugaison d'éléments (u,s)-admissibles dans G ( F ) , comme dans le théorème 5 du paragraphe 111.4, d m , et d m o sont la mesure de comptage sur Z,

dg,", dgm>Oet dg! sont les mesures de Haar sur G E , G ( A m l O ) et Gg respectivement qui attribuent le volume 1 aux sous-groupes ouverts compacts K z , Km>' et K!, f$ et f: désignent respectivement les fonctions caractéristiques de K$ et K: dans G E et G!.

Démonstration : Par linéarité, o n se ramène immédiatement au cas où f W ) O est la fonction caractéristique ~ , o o , O ~ ~ , o o d'une ' O classe KF'OgKF'O, o ù I ~f X\{w, O) est u n sous-schéma fermé fini et g est u n élément de G(AmlO). La formule résulte alors de la définition

e t d u théorème 5 d u paragraphe 111.4.

0

Afin de transformer cette intégrale, nous avons besoin de quelques lemmes préparatoires. L E M M E3. - Soient u , s L 1 dewx entiers avec deg(0)lu et d e g ( m ) ) set y u n élément ( u ,s)-admissible de G ( F ) = G L , ( D ) . O n se place dans les conditions et sous les hypothèses du lemme 1. Alors :

(i) O n a pu choisir la base de ( V ~ ~ O )sur ~ ;D T~> O' ~de telle façon que y' ait même image par les deux homomorphismes

-

,O0

-

(ii) O n a pu choisir les bases de ( p ~ & ) y - et EZ' sur Fm [resp. de et @" sur FOIde telle façon que y' ait m ê m e image par les deux homomorphismes

(c$')s

(iii) L'algèbre des commutateurs MT/(D),I est une algèbre matricielle sur le corps F' E t A;, r'd

= F [ y l ] ,de

dimension

est une algèbre à division centrale sur F r , de dimension

(rn) .

Enfin, les deux groupes ( M r ~ ( D ) Y / ) x= GL,I(D),I et déduisent l'un de l'autre par torsion intérieure. (iv) Sous la condition de (i), les algèbres MTt(D)y 8 , A;, @, Am.0 s'identzfient. (v) Les scindages

sont ceux induits par le scindage

se et

III

-

DESCRIPTION ADÉLIQUE DES CHTOUCAS. NOMBRES DE

LEFSCHETZ

De plus, et sous les conditions de (ii), les algèbres Mrd-ho(FO)7Utet ~ n d ( ÿ $g, ) , t [resp. Mrd-h,

-

et End(V2,

s'identzfient.

Démonstration : (i) et (ii) sont conséquences du lemme suivant :

>

LEMME4. - Soient x une place de F , n 1 u n entier, y1 et 7 2 deux éléments de GL, (D,) . O n suppose que y1 et 7 2 ont même polynôme caractéristique x et m ê m e polynôme minimal p sur F,, et que tous les facteurs irréductibles de p apparaissent avec la multiplicité 1. Alors y1 et y2 sont conjugués dans GL,(D,). De plus, si y1 et y2 sont éléments du sous-groupe GL,(D,), si x est dans X', et si l'anneau quotient O[X]/p(X) est normal, alors y1 et y2 sont conjugués dans GL, (V,) .

Démonstration : Ecrivons les décompositions en facteurs irréductibles

On a les décompositions en sommes directes

Pour tout i, 1 5 i 5 t , Ker(pi(yi)) et Ker(pi(y2))sont des D,-modules, de même dimension mi deg(pi) sur F,, donc isomorphes. Ils sont munis d'une action de y1 et 7 2 respectivement, avec le même polynôme minimal pi qui est premier. La première assertion du lemme résulte donc du théorème de SkolemNoether . Supposons maintenant que y1 et y2 sont dans GL,(D,), que x est dans X' , et que l'anneau quotient O, [XI/p(X) est normal. Alors, les actions de y1 et y2 sur D: définissent sur celui-ci deux structures de modules sur V, @oz O,[X]/p(X) qui, d'après ce qu'on vient de voir, deviennent isomorphes quand tensorisées par F,. Comme x est dans X', c'est-à-dire V, 2 Md(O,) et que, d'après l'hypothèse sur p, O, [X]/p(X) est un produit d'anneaux de valuation discrète, cela implique que les deux modules ainsi définis sur V,BoZ O, [X]/p(X) sont isomorphes. C'est ce qu'on voulait.

O Suite de la démonstration du lemme 3 : (iii) La première assertion est évidente.

La seconde résulte de ce que, d'après la proposition 5 du paragraphe 111.2, A' est une algèbre à division centrale sur

? de dimension

(&)

2

et - de ce que, d'après le lemme 3 du paragraphe 111.4, F' = F [ y f ]contient F comme sous-corps. La troisième assertion résulte des deux premières. (iv) On a un homomorphisme injectif naturel A i l 8, Bm3O+ M+(D)y 8~Bm" qui est nécessairement un isomorphisme puisque, d'après (iii), Ai, et Mrr(D)Y~ ont même dimension sur F'. (v) La première formule est évidente. La seconde résulte de ce que 0' [resp. m'] est l'unique place de F' au-dessus de la place 6 [resp. &] de La dernière assertion se prouve alors comme (iv). 0

F.

LEMME5. - Soient K u n corps de fonctions sur u n corps fini, BK son anneau des adèles et R une algèbre à division centrale sur K , de dimension a'. Alors : (i) Les algèbres de Lie R et M,(K) des groupes R X et GL,(K) deviennent isomorphes sur toute clôture séparable de K , et l'isomorphisme qui les relie est bien déterminé à conjugaison près. Par conséquent, leurs puissances extérieures maximales sur K s'identifient et pour tout place x de K , le groupe R,X = (R BK K x ) X est unimodulaire et peut être muni d'une unique mesure de Haar dont la forme volume correspond à celle de la mesure de Haar sur GL,(Kx) qui attribue le volume 1 aux sous-groupes ouverts compacts maximaux. (ii) Soient Rz = (RBKBK) et GL,(AK) qu'on munit des mesures de Haar induites par les produits des mesures de Haar introduites dans (i) sur les R5 et les GL,(K,). E t soient R ~ Oet GL,(AK)O les sous-groupes ouverts de R i et GL,(AK) constitués des éléments dont le déterminant dans AG est de degré 0 . Alors R ' \ R ~ O est compact et GL,(K)\GL,(AK)O est de volume fini égal à celui de R ~ \ R ~ ' . (iii) Pour toute place x de K , l'homomorphisme det

R,X-K,X-Z

4.)

est surjectif7 et si R, = R B K K, est encore une algèbre à division, le noyau de cet homomorphisme est compact, de volume 1 (#fi(.) - 1 > ( ( # 4 4 ) 2- 1 ) . . . ((#44)"-l - 1)

III

-

DESCRIPTION ADÉLIQUE DES CHTOUCAS. NOMBRES DE

LEFSCHETZ

où #K(x) désigne le cardinal du corps résiduel de K,. Démonstration : (i) R et M,(K) deviennent isomorphes sur n'importe quelle clôture séparable de K car ce sont des algèbres centrales simples sur K de même dimension a2. Et d'après le théorème de Skolem-Noether l'isomorphisme qui les relie est bien déterminé à conjugaison près. Les autres assertions s'en déduisent immédiatement. (ii) Notons A? le sous-groupe de A g des éléments de degré 0. D'après [Weil] lemme 3.1.1, K et R X\ R i 0 sont compacts. D'autre part et si on choisit une mesure de Haar pour A;, on sait d'après [Weil]théorème 3.3.1 que R XA$\R; et GL, (K)AK\GL, (AK) ont le même volume fini. Et on a des suites exactes

\AP

d'où l'on déduit que volume fini.

R~\RÀJO

et G L , ( K ) \ G L , ( A ~ ) ~ont aussi même

(iii) Soit x une place de K , et soit KL une extension de K, de dimension a et totalement ramifiée. De ces conditions imposées à KL, il résulte que : il existe un plongement K i : : RZ sur Kz, et alors est commutatif le diagramme : KZ det\

-t

R,X Jdet

K,"

- -

det 4.) l'homomorphisme K: K," Z est surjectif. La première assertion s'en déduit. Enfin, la, seconde assertion est prouvée dans [Laumon] lemme 4.6.4 ou bien dans [Rogawski]. 0

Maintenant, prouvons :

PROPOSITION 6 . - Soient fwl0 u n élément de l'algèbre de Heclce 7-lm>0 du groupe G ( A m l O ) , u, s 1 deux entiers avec d e g ( 0 )lu, d e g ( m )1s' p : [O, r ] -+ IR+ u n polygone et cr un nombre réel. Soit y u n élément ( u ,s ) -admissible de G ( F ) . O n suppose vérifiées les hypothèses du lemme 1 ( d o n t o n conserve les notations) et du lemme 3 ( i ), ( i i ). Alors o n a l'égalité

>

où : f s = f,"' et fi = ff désignent respectivement les fonctions ca= GLrd-hm(Om) et K: = GLrd-ho(OO) dans ractéristiques de G$ = GZ' et G: = G:', O dg$ = dg:/, dgm>O et dg! = dg:' sont les mesures de Haar sur GE = GE', G(A"lO) et Gg = GO' qui attribuent le volume 1 aux sousgroupes ouverts compacts K$, et K i , O dm, et d m o sont la mesure de comptage sur Z, O dg,,~ et dgyo' sont les mesures de Haar sur O

KZ

~

~

1

'

qui attribuent le volume 1 aux sous-groupes ouverts compacts mazimaux,

III

-

DESCRIPTION ADÉLIQUE

DES CHTOUCAS.

NOMBRESDE LEFSCHETZ

Démonstration : C'est une conséquence immédiate de la proposition 2, du lemme 3 et du lemme 5 puisque :

A/,,@ F I F k , [resp. AL, @ pFA,] est une algèbre à division centrale sur

Fm, [resp. FA,] de dimension

(&)

([F$F~~)~I' les deux homomorphismes A;

A;

- A:

2

=

=

(&)

2

(A) 2

[resp.

=

Z se factorisent respectivement en

--deg(m1)

(A;,

2 Fm;

cm1(.)

Z

deg(m)

Z

d'après le lemme 1, la fonction de troncature I(&,)~ 5 p) est invariante à gauche par les sous-groupes de (A;, @ F A) et (Endo(E1),, @ F A) constitués des éléments dont le déterminant est de degré 0.

0

c) Transfert pour les termes elliptiques On commence par rassembler quelques lemmes préparatoires. Posons d'abord la définition suivante : DÉFINITION 7. - Soient K u n corps local non-archimédien, O son anneau de valuation, K. son corps résiduel de cardinal fini # K . , et v : K X + Z l'homomorphisme de valuation. Pour n > 1 et t E Z\{0) deux entiers, on appelle fonction de Dnnfeld en rang n et de niveau t la fonction

définie suivant les cas par : (i) Si t 2 1, o n a pour tout g E G L , ( K ) : f t ( g ) = ( 1 - # ~ . ) ( 1 - K.)^) . . ( 1- ( # K . ) P - ' ) si g E M n ( 0 ) r ) G L , ( K ) , v(det g ) = t et en désignant par p la dimension sur K. du noyau de la matrice g image de g dans Mn ( K . ) , f t ( g ) = O si g $ M n ( 0 ) ou v ( d e t g ) # t .

(ii) Si t

< -1,

on a pour tout g

E

GLn(K)

O n a le lemme fondamental suivant, d û à Drinfeld : L E M M E8. - SOUSles hypothèses de la définition 7 , soit y u n élément de G L n ( K ) , elliptique c'est-à-dire tel que KI = K [ y ] soit u n corps. Soient n' le corps résiduel de K I , #n' son cardinal, et n1= l+l. Soient dg et dg, les mesures de Haar sur G L n ( K ) et G L n ( K ) , qui attribuent le volume 1 aux sous-groupes ouverts compacts maximaux. Alors, si t E Z\{O) et v(det y ) = t , on a

Démonstration : Voir [Laumon]théorème 4.6.1 dans le cas t cas t -1 s'en déduit puisque f (g-' y g ) = f (g-'y-'g). Par ailleurs, o n a :

<

2 1. Le

0

L E M M E9. - SOUSles hypothèses de la définition 7 , soit y u n élément de G L n ( K ) . O n suppose que t E Z\{O) et v(det y ) = t . Soit O = Eo Ç El Ç Ç Ee-1 Ç Ee = E une filtration de E = K n qui est respectée par y . Soit N le radical unipotent du sous-groupe parabolique P de G L n ( K ) associé à cette filtration, et soit d n la mesure de Haar sur N qui attribue le volume 1 au sous-groupe ouvert compact N n G L n ( 0 ) . Enfin, pour 1 5 i 5 t , soit Ti l'automorphisme de Ei/Ei-' induit par 7Alors : ( i ) On a

,.

à moins qu'il n'existe io, 1

< io < t, tel que

(ii) Si les polynômes minimaux des ;Yi, 1 premiers entre eux, on a

SN

< i < t , sont deux à deux

f (n-' y n ) - d n = O

à moins qu'il n'existe io comme dans (i)

III

-

DESCRIPTION ADÉLIQUE

DES CHTOUCAS.

NOMBRESDE

(iii) Si k? = 2, les polynômes minimaux de 7, et entre eux, et v(det 7,) = t , v(det 7,) = O, o n a

LEFSCHETZ

7,sont

premiers

où f; est la fonction de Drinfeld de niveau t sur Aut E l , El étant muni de la structure entière induite par celle de E , et f i est la fonction caractéristique du sous-groupe de Aut E/El image de GL,(O) n P par P -+ Aut E/E1. Démonstration : (i) résulte de [Laumon] proposition 4.2.5. (ii) est conséquence de (i) puisqu'alors n H y-ln-' y n est un difféomorphisme de N, dont le jacobien est constant. (iii) résulte aussi de [Laumon] proposition. 4.2.5. 0 Rappelons aussi le lemme évident :

l

LEMME10. - Soient K u n corps local n o n archimédien, O son anneau de valuation. Soient n 2 1 u n entier, G = GL,(K), P u n sous-groupe parabolique de G , N son radical unipotent et M = P I N . (i) Soient KG = GL,(O), dg [resp. d n , resp. d m ] la mesure de Haar sur G [resp. N , resp. Ml qui attribue le volume 1 au sous-groupe ouvert compact KG [resp. KG n N , resp. Im(KG n P + M ) ] . Alors, pour toute fonction intégrable f : G + R, o n a :

(ii) Si y est u n élément de P dont les images dans les diflérents facteurs de M ont leurs polynômes minimaux deux à deux premiers entre eux, alors les groupes de commutateurs G,, P, et M , s'identifient. (iii) Sous les hypothèses de (ii), soit dg, = d m , une mesure de Haar sur le groupe G , = M,, et soient dg, d n et d m les mesures de Haar sur G , N et M définies en (i). Alors, pour toute fonction intégrable f sur l'orbite G,\G de y , o n a :

De la proposition 6 e t des lemmes 8 , 9 et 10, on déduit immédiatement :

PROPOSITION 11. - Soient f m > O u n élément de l'algèbre de Heclce 'FI">>' du groupe G ( A m t O ) ,u , s 2 1 deux entiers avec deg(0)lu, d e g ( m )ls, -SI dedm) [resp- fou l d e g ( o ) ] la fonction de Drinfeld e n rang rd et de 00 niveau

[resp. de niveau A] dedo) sur G L r d ( F m ) = G ( F m ) [resp. l 'élément induit G L d ( J ' 0 ) = G ( F o ) ] et f = fG S I d e d a ) f m,O fo" / de l'algèbre de Heclce 'FI du groupe G ( A ) = G(F,) x G(Am3O) x G ( F o ) . Alors, pour tout élément y de G ( F ) = G L , ( D ) qui est elliptique c'està-dire tel que F' = F [ y ] soit u n corps, o n a : a si y n'est pas ( u ,s)-admissible ---"-

deg(c=)

@

@

a si y est ( u ,s)-admissible (avec nécessairement y = y'

fonctions de troncature i(p$,)a 5 p ) valant 1 art out)

avec les notations de la proposition 2 .

et toutes les

C h a p i t r e IV Le cas d e s V-chtoucas de r a n g r

=

1

1. - Projectivité

Dans tout ce chapitre, on fixe a un élément de degré 1 dans A X dont toutes les composantes dans les F, valent 1 en-dehors d'un ensemble fini Ta de places x de F. On supposera également toujours que V est une Ox-Algèbre partout maximale sur X . Nous allons montrer : THÉORÈME 1. -

(i) Le champ algébrique (au sens de Deligne-Mumford) c h t h l a " est propre et lisse de dimension relative 2(d - 1) au-dessus de XI x XI. (ii) Si I -+ X est un sous-schéma fermé fini non vide, le champ ~ h t k , ~ / aest " représentable, projectif, et lisse de dimension relative 2(d- 1) au-dessus de X 1 \ I x X1\I.

Démonstration : Rappelons ce que nous savons déjà.

U

D'après le théorème 9 du paragraphe 1.2, le champ c h t h = chth" est lisse de dimension relative 2(d - 1) au-dessus de XI x XI,

nEZ

et donc il en est de même de

D'après la proposition 5 du paragraphe 1.3, chaque morphisme ~ h t h -+ , ~c h t h est représentable fini étale galoisien au-dessus de X \ I x X \ I , et il en est de même du morphisme ~ h t & , ~ / -+ a "~ h t & / a " . Enfin, on remarque que tout V-chtouca de rang 1 est irréductible, et a fortiori a-semi-stable pour n'importe quel a €10, l[. D'après le théorème 8 (ii) du paragraphe 11.2, on voit donc que c h t h l a " E 2 de type fini sur XI x XI, et d'après la proposition 11 du JJ ~ h t est lsnsd

paragraphe 11.2, on sait que ~ h t h , ~ / aest " représentable quasi-projectif sur ( X t \ I ) x (X1\I) dès que I # 0.

En définitive, il nous suffira pour démontrer le théorème de prouver le critère valuatif de propreté pour le morphisme

-

cht&/aZ

X' x X' ,

ou, ce qui est équivalent, pour le morphisme chth

X' x X' .

Soient donc A un anneau de valuation discrète, K son corps des fractions, w un élément uniformisant et Ic = A/wA son corps résiduel. On peut se limiter au cas où A est complet. Notons A' l'anneau local du point générique de la fibre spéciale X @ k plongée dans X @ A et Ic' = Frac(F 8 k) [resp. K' = l?rac(F @ K)] le corps des fonctions de X @ Ic [resp. X @ KI. Ainsi, A' est un anneau de valuation discrète, dont le corps résiduel est Ic', le corps des fractions est K t , et dont w est aussi un élément uniformisant. Citons la proposition suivante due à Drinfeld :

PROPOSITION 2. - Avec les notations et hypothèses ci-dessus, soit V u n espace vectoriel de dimension finie sur K', m u n i d'une application

Mo/wM0

n'est pas nilpotente. Démonstration : Voir [Drinfeld, 19891 proposition 3.2. Suite de la démonstration du théorème 1 : On considère un diagramme commutatif SpecK

-----+

chth

de rang 1 sur K , de zéro io et de pôle .,i Il s'agit de prolonger & en un D-chtouca sur A. identifiée aussi à celle de EL. Et soit Soit V la fibre générique de IK, p : V -+ V l'application induite par le composé EK -+ -t &K. Le couple (V, p) vérifie les hypothèses de la proposition 2. Quitte à remplacer K par une extension finie totalement ramifiée, on peut donc supposer que le A'-réseau Mo satisfait la condition de la proposition 2 (ii). Bien sûr, on a aussi sur V une action à droite de D commutant à p. Comme Mo est le plus grand réseau stabilisé par cp, on voit que Mo est également respecté par l'action de D. Et comme X @ A est un schéma régulier dont le sous-schéma des points de codimension 5 1est la réunion de la fibre générique X @ K et de Spec A', IKet EL se prolongent de manière unique en des faisceaux localement libres de type fini & et &' sur X @ A qui sur Spec A' s'identifient à Mo. Mo étant stable par D, & et £' sont munis d'actions à droite de D et Mo étant stable par cp, on a un diagramme d'homomorphismes D 8 A-linéaires

On remarque que j reste injectif quand réduit modulo W . Donc Coker j est plat sur A ; on en déduit qu'il est supporté par le graphe du morphisme ,i : SpecA -+ X et qu'il est libre de rang d sur A puisqu'il en est ainsi au-dessus de Spec K. Par ailleurs, la suite exacte O -+ 5 £' -+ Coker t -+ O nous dit que Coker t est de dimension projective 5 1. Il en résulte que tout point associé à Coker t est de codimension 1, c'est-à-dire correspond à un diviseur de X @ A, qui ne peut être que la fibre spéciale X I8 k ou bien le graphe du morphisme io : Spec A -t X . De ces constatations, il résulte en particulier que le faisceau Coker j @ A k sur la fibre spéciale X @ k est concentré en le point i,(Spec k) E X1(k) et que la partie de torsion du faisceau Coker t @ A k sur X @ k est concentrée en le point io(Spec k) E X1(k). Maintenant, les fibres génériques des fibrés induits = £ @ A k et -1 £ = £' k sur la fibre spéciale X @ k s'identifient à Mu/wMu = Po.

E t par construction, l'application cp : M o -+ n'est pas nilpotente. Autrement dit, les sous-espaces k'Imcpn, n O, sont tous non nuls. Etant emboîtés, ils sont égaux à partir d'un certain rang à un sous-espace non nul No de %O. Ce dernier est stable par l'action de D et par $5, et on a kfcp(No)= N o . Soient donc 3:et F' les sous-fibrés de E et 6' sur X @ k engendrés par N o . Ils sont stables par l'action de D et on a un diagramme d'homomorphismes D @ Minéaires induits par j et t et qui sont des isomorphismes en le point

>

Donc Cokerj et Cokert sont des faisceaux de torsion et qui se plongent respectivement dans Cokerj @ A k et Cokert @ A k. Ils sont supportés par i,(Spec k) et io(Speck) qui sont dans X f ( k ) . Comme D est une Qx-Algèbre partout maximale, on voit d'après la proposition 7 du paragraphe 1.3 que 7et 7' sont localement libres sur V 8 k. Or et sont localement libres de rang 1 sur V @ k. Donc 7 = 7' = et No = Z o . On a prouvé que, de même que j, t reste injectif quand réduit modulo W . Comme on a dit pour Coker j , il en résulte que Coker t est supporté par le graphe du morphisme io : Spec A -t X et qu'il est libre de rang d sur A.

z,

z zf

D'après le corollaire 8 du paragraphe 1.3, on conclut que un V--chtouca de rang 1 sur A, de pôle ,i démonstration. 2.

-

et de zéro io, ce qui termine la

0

Cohornologie L-adique des s c h é m a s ~ h t & , ~ / a ' "

Dans ce qui suit, !désignera toujours un nombre premier distinct de caractéristique du corps fini IF,. Et Qe désignera le corps des nombres adiques c'est-à-dire le complété de Q pour la valuation discrète associée à L ou encore le corps des fractions de Ze = @Z/LnZ. n

PROPOSITION 1. - Pour tout sous-schéma fermé fini non vide I

c,

X,

les morphismes au-dessus de ( X t \ I ) x ( X t \ I )

sont représentables projectifs lisses de dimension relative 2(d - 1). Pour tout entier n > O , les Qe-faisceaux

sur ( X t \ I ) x ( X t \ I ) sont constructibles et lisses ( d o n c peuvent être vus comme des représentations du groupoi'de fondamental .ir(Xt\I x X ' \ I ) de X t \ I x X t \ I dans la catégorie des Q-espaces vectoriels de dimension finie) et ils s'identifient naturellement. Démonstration : La première assertion résulte du théorème 1 du paragraphe IV.l puisque dans le paragraphe I.ld; on a pu construire un isomorphisme * : kchtI/az ~ht&,,,,/a' au-dessus de l'automorphisme de permutation dans X \ I x X \ I . Alors les faisceaux Hg,I et DH? sont constructibles parce que les morphismes p ~ , et l .op, sont projectifs et ils sont lisses parce que et .op1 sont projectifs et lisses. On remarque qu'en dehors de la diagonale de X \ I x X \ I et comme on a vu dans le paragraphe I.lb, les schémas &ChtI et c h t h , s'identifient ~ Hg,I s'identifient naturellement. Par conséquent les faisceaux D H et naturellement en le point générique de X t \ I x X 1 \ I . Comme ces faisceaux sont constructibles et lisses et que X t \ I x X t \ I est connexe, ils s'identifient partout.

O

PROPOSITION 2. Alors :

--

Soit I ~ - Xt u n sous-schéma fermé fini n o n vide.

Hg,, sont nuls e n dehors de O 5 n 5 4(d 1). Chaque faisceau Hg sur X 1 \ I x X 1 \ I est naturellement m i ~ n i

(i) Les faisceauz

-

(ii) de deux homomorphismes indbits par Frobo et Frob, (Frob xId)*Hz,,

-4

Hz,,

et

(Id x F r ~ b ) * H z+ ? ~ Hg,I

dont le composé dans u n sens ou dans l'autre est égal à l'isomorphisme canoniqzle (Frob)*H;,, Hg,, . Ces deux morphismes sont donc des isomorphismes. (iii) S i T est u n ensemble $ni de places de X avec T n Ta = 0 et I X\T, chacun des faisceaux Hg est muni sur X ( q x X ( T ) d'une de l'algèbre de Hecke H T action à droite naturelle de la sous-aigèbre du groupe G ( A ~= ) (Dz)X, avec les notations du paragraphe I.4b.

,

~f

HF

-

(iv) S i a : X'\I x X'\I -t X'\I x Xf\I désigne le morphisme de permutation, l'isomorphisme * : ~ h t & , , , ~ &ChtI au-dessus de rr induit qui transforment les isomorphismes des isomorphismes a*HgtI de (ii) N

en

--

Hg,, (Id x F r ~ b ) * H g ~ ~ ,Hg,,,, ~ (RobxId)*Hg,

et

Hg,,

--+

et (Rob ~ I d ) * H g o--t ~ , ~Hgop,,.

(v) Le morphisme det : c h t h I I phisme

HO,,,

(IdxFrob)*Hg,,

-

-+

cht&,,,

induit u n homomor-

H$,I

compatible aux isomorphismes de (ii) et (iv). Démonstration : (i) résulte de ce que la dimension relative de chth,, sur Xt\I x Xt\I est 2(d - 1). (ii) On définit ces homomorphismes comme étant induits par les morphismes

Frobo : c h t h , , et

Rob,

: cht&,,

i

&Chtr au-dessus de

(Frob x Id)

&ChtI au-decisus de

(Id x Frob) ,

et par les identifications des faisceaux Hg,, et D H ~ (iii) Prouvons d'abord le lemme suivant :

-

LEMME3. - Soit S u n schéma sur IFq. Rappelons que pour tout schéma Y f S sur S , Cor(Y) désigne la Q-algèbre des correspondances finies étales sur Y.

-

(i) Pour tout Y f S comme ci-dessus, soit Corf (Y) le sousespace vectoriel de Cor(Y) sur Q,engendré par les cycles [I']tels que les f S soient égaux. Alors Corf (Y) est deux morphismes composés I'= Y

-

u n e sous-algèbre de Cor(Y).

f (ii) S i Y + S est u n schéma propre sur S et F est un Qe-faisceau constructible sur S , il existe u n e action à droite naturelle de Corf (Y) sur chaque faisceau Rnf , f * F ,n 2 0. (iii) Si Y f S et Y' f ' S sont deux schémas propres sur S et

-

-

Y' -% Y est u n morphisme tel que f' = f O g et qui est fini étale de rang constant, alors l'homomorphisme Cor(Y) + Cor(Y1) envoie Corf (Y) dans Cor (Y') et 1 'homomorphisme induit est compatible avec les actions de Corf (Y) et Corf (Y') sur les Rnf , f * F et Rnf i f ' * F respectivement et avec les homomorphismes 1

-

R"~J*F

~ ~ f * g * g *=f R* ~ ~ : ~ I * . F .

Démonstration du lemme 3 : (Pl, q 1 )

(PZ> 4 2 )

(i) Il suffit de remarquer que si ---t Y x Y et rz YxY sont deux morphismes avec f o pl = f o ql et f o pz = f o qz, et si on pose r = x , , , y , , , I'2, alors les deux morphismes pl x pz : I' + Y et ql x q 2 : I' Y vérifient f o ( p l x p2) = f O (ql x q2). -f

(PA)

(ii) Si I' Y x s Y est un morphisme avec p et q finis étales, on définit l'action à droite du cycle [FI sur Rnf , f * F comme le composé

R n f * f * F -t R n f , p , p * f * F = R n f * q , q * f * F --,R n f * f * F où le premier homomorphisme est induit par l'homomorphisme d'adjonction pour p et le second l'est par l'homomorphisme de trace pour q. Par linéarité, on étend cette action aux combinaisons linéaires formelles à coefficients dans Q de tels cycles [FI. Il reste à prouver que cette action passe au quotient Corf (Y) et qu'elle est compatible avec la multiplication dans Corf (Y). Si (I',(p, q ) ) = U(ri7(pi, q i ) ) , l'action de [I']est bien égale à celle de i

C[ri]car on a évidemment pour tout faisceau Ç sur Y i

IV

-

LE CAS

Puis, si deux cycles gramme commutatif

DES

D-CHTOUCAS DE RANG r = 1

(r,(p, q)) et

(TI, (p', q')) s'inscrivent dans un dia-

Y avec y un morphisme fini étale de degré constant égal à n, alors l'action de [r']est égale à celle de n[r]car pour tout faisceau Ç sur I'le composé

de l'homomorphisme d'adjonction et de la trace est la multiplication par 71. Enfin, il y a compatibilité avec la multiplication car pour tout carré cartésien où les morphismes sont finis étales

et pour tout faisceau Ç sur Y, les deux homomorphismes composés

sont égaux, ce qu'on voit immédiatement sur les fibres. (iii) La première assertion est immédiate. Pour la seconde, soit a le rang constant de Y' sur Y, et considérons (I',(p, q)) un cycle de Corf(Y) et (I",(p', q')) = Y' x y I' x y Y'. Il s'agit de prouver que l'homomorphisme composé

est égal à cr: fois l'homomorphisme composé

Or on a un diagramme commutatif où tous les carrés sont cartésiens et tous les morphismes sont finis étales

1 l

Y

Y

donc on a , en sus de Rnf: f l * F = Rnf*g*g* f * F , R n f ; p ' , p l * f l * F = Rnf*g*g*p*gq*g;p*f * F = Rnf*g*g*p*q*g*g*f * F 1

1

Rnf*q,q

1*

f l * F = Rnf*g*g*q*gp*gpq*f* F = Rnf*g*g*q*p*g*g*f * F

d'où encore

, 1

R n f ; p ' , p l * f l * F = Rnf*g*g*g*g*p*p* f * F 1

1

et Rnf,q,q 1

1

1*

f l * F = Rnf*g,g*g,g*q,q* f * F .

Cela permet de condure puisque pour tout faisceau Ç sur Y, l'homomorphisme composé Ç -+ g,g*Ç -t Ç est la multiplication par a. 0

Suite de la démonstration de la proposition 2 : D'après ce lemme 3, l'assertion (iii) résulte maintenant de ce que d'après le théorème 5 du paragraphe 1.4, on a un homomorphisme de @algèbres

%y

-4

Cor(Cht&,,/aZ)

171

dont l'image est évidemment contenue dans la sous-algèbre associée au morphisme ~ h t & , ~ / + a' Xp) x Xp). (iv) est évident puisque l'isomorphisme * transforme les morphismes Robo et Frob, respectivement en Frob, et Robo. (v) est évident puisque le morphisme det commute aux différents morphismes R o b o , Frob, et *. 0 Prouvons maintenant le théorème suivant, dû à Drinfeld THÉORÉME 4. - Soient X1 et X2 deux courbes quasi-projectives lisses sur IF,. Soient r ( X l x X2), 7r(X1) et 7r(X2) les groupoides fondamentaux de X1 x X 2 , X1 et X2. Alors le foncteur naturel

induit une équivalence de la catégorie des représentations du groupoide 7r(X1) x r ( X 2 ) dans les ensembles finis dans la catégorie des revêtements finis étales Y de Xi x X2 qui sont munis d'un isomorphisme au-dessus de

x1 x x2

(Id x Frob)*Y --&Y .

Démonstration : Il faut d'abord montrer que si Y est un revêtement " fini étale de X1 x X2 qui provient d'une représentation de 7r(Xl) x 7r(X2), il est naturellement muni d'un isomorphisme (Id x Frob)*Y Y. Pour commencer, on peut choisir X i un revêtement fini étale galoisien de Xg tel que la représentation restreinte de 7r(X2) soit trivialisée par le foncteur 7r(Xi) --+ 7r(Xz). Autrement dit, si Yi est le revêtement fini étale de Xi qui correspond à la représentation restreinte de 7r(X1), on a un isomorphisme canonique YXX2 x; Y, x

=

x;

si bien que YxX2X i est muni d'un isomorphisme canonique (Id x F'rob) * (Y,

x2

XS )

Y,

,2

Xi

au-dessus de X1 x X i . Cet isomorphisme est invariant par le groupe de Galois de X i sur X2 donc il provient d'un isomorphisme (Id x F'rob)*Y

Y

2. COHOMOLOGIE e-ADIQUEDES

SCHÉMAS ~

ht&,~/(~'

au-dessus de X1 x Xa Et il est évident que celui-ci ne dépend pas du revêtement XS de X 2 que nous avons choisi. Il nous faut maintenant définir un foncteur en sens inverse. Commençons par prouver le lemme suivant : LEMME 5. Soit XI une courbe projective lisse sur IF,. Alors le champ qui à tout schéma S sur IF, associe le groupoi'de des schémas Y finis et plats sur Xi x S qui sont munis d'un isomorphisme (Id x F'rob)*Y -t Y au-dessus de Xi x S s'écrit canoniquement -

N

flSpec IF,/ -

Aut Y;

y1

où Yi décrit l'ensemble des classes d'isomorphismes de schémas finis plats sur et où, pour tout tel E, A u t x désigne le groupe fini de ses automorphismes au-dessus de

K.

Démonstration : Notons X le champ ainsi défini. Et soit Troy [resp. Xi] le champ qui à tout schéma S sur IF, associe le x1 groupoïde des Modules & sur Oz,s, localement libres de type fini et qui £ [resp. ainsi que d'un sont munis d'un isomorphisme (Id x Rob)*& homomorphisme £ Buqxs & i &, compatibles entre eux]. On a des morphismes naturels de champs

Or, d'après le lemme 3 du paragraphe 1.2, le morphisme X i Xl est représentable par une immersion fermée. Et d'après la proposition 7 du paragraphe 11.1, le morphisme XI + Trop est représentable fini non ramifié. x1 Enfin, d'après le théorème 2 (i) du paragraphe 1.3, Sro- est un champ x1 algébrique au sens de Deligne-Mumford et étale sur IF,. On en déduit que X également est un champ algébrique au sens de Deligne-Mumford et étale sur IF,. Pour conclure, on n'a plus qu'à remarquer que le morphisme évident

induit une équivalence entre fibres au-dessus de lemme 3 du paragraphe 1.3.

&, comme il résulte du 0

Suite de la démonstration du théorème 4 : Soit maintenant Y un revêtement fini étale de X1 x X2, muni d'un isomorphisnie (Id x Frob)*Y Y au-dessus de X i x X2. soit Xi la courbe normalisée de Xi. Elle est donc projective lisse sur IF, et elle contient Xi comme ouvert. Et soit Y la clôture normale de X1 x Xz dans le corps des fonctions de Y. Ainsi, Y est la restriction de Y au-dessus de Xi x X2. De plus, Y est, sans torsion, donc plat sur X2 et comme Y est normal, ses fibres au-dessus des points de X 2 sont sans composantes immergées, donc plates sur XI, et en définitive 7est plat sur X1 x X2. Enfin, comme 7et (Id x ~ r o b ) * Y sont normaux et coïncident au-dessus de Xi x X 2 , ils coïncident partout. On peut maintenant appliquer le lemme 5. On voit qu'il existe un revêtement fini étale galoisien XS de X L avec un isomorphisme canonique

où Yi est un revêtement fini étale de Xi. Ce revêtement Yicorrespond à une représentation de 7r(Xl) qui, cornposée avec le foncteur

est égale au composé de la représentation de 7r(X1 x X2) qui correspond à Y avec le foncteur

Or on a un diagramme 2-cocartésien

donc on obtient une représentation unique de 7r(Xi) x 7r(X2) qui soit équivalente aux données précédentes. Il est évident qu'elle ne dépend pas du choix de X i . On a ainsi construit un foncteur en sens inverse. Il est 6vident qu'il est quasi inverse du premier.

1

De la proposition 1, de la proposition 2 (ii) et du théorème 4, on déduit immédiatement : COROLLAIRE 6. Pour tout sous-schéma fermé fini n o n vide I -+ X , chacun des faisceaux H g , I sur X 1 \ I x X 1 \ I peut être v u comme u n e représentation du groupofde produit -

dans la catégorie des Qe-espaces vectoriels de dimension finie.

Prouvons encore

L E M M E7. - Soient T u n ensemble fini de places de X avec T n Ta = 0 et I J X \ T deux sous-schémas fermés finis n o n vides emboités. ~

_

-

f

Q

(i) Pour tout n 2 O , o n a u n plongement canonique de faisceaux de Qe-espaces vectoriels sur X t \ J x XI\ J

V u e n termes de représentations, il est compatible aux actions des groupoides 7r(X1\I) x 7r(X1\I) et 7r(X1\J) x 7r(X1\J) via le foncteur 7r(X1\J) + n ( X t \ I ) .

-

H g , , au---dessus de X[T) x (ii) Chacun des plongements HG X est compatible aux actions des sous-algèbres 'Tt: et 'Tt; de l'alg2bre de Hecke TtT via 1 'inclusion C T' t:.

'FIT

,

(iii) L 'action à droite de 1 'algèbre 'Tt: sur HG, comprend e n particulier une action ù droite du groupe K T / K ? = ( D J ) Xet s'identifie de K"/KJ. a u sous--faisceau de HG fixé par le sous--groupe

,,

KF/KF

Démonstration : D'après la proposition 5 du paragraphe 1.3, le rnorphisme ~hth,~/a' Chth, / a z

,

-

au-dessus de ( X 1 \ J ) x ( X t \ J ) est représentablc fini étale galoisien de groupe Ker[(DJ)X + (DI)'] = Et ce morphisme comniute aux actions de Frobo et Frob,. Par conséquent, les homomorphismes d'adjonction

KFIKJT.

HZ,J

-+

H74,J

sont compatibles aux actions de n(X1\I) x n(X1\I) et n ( X t \ J ) x n(X1\J) et au foncteur n(X1\J) + n ( X t \ I ) . On dispose aussi de l'homomorphisme de trace

-

H ~ , J Hg,, H z , + H z , 1 est la multiplication par le degré

et le composé H g , , -t : K:]. Ceci prouve (i) et (iii). Enfin, (ii) est conséquence du théorème 5 (ii) du paragraphe 1.4 et du lemme 3 (iii) ci-dessus. 0

[KT

Maintenant, on a :

PROPOSITION 8. - Soit T u n ensemble fini de places de X avec TnT,

0. Pour tout entier n > O , posons

=

H~I= " lim Hz,, $ InT=@ qui est u n faisceau de Qe-espaces vectoriels sur XtT) x XtT). Alors : (i) S i X Xt3, chaque H;." pro uit

@ n(X1\I) est le groupoide fondamental de InT=@ peut être vu comme u n e représentation du groupoide

T

=

T ( ~ [ T) ) T ( ~ [ T ) )

dans la catégorie des Qe-espaces vectoriels. (ii) S i 7iT désigne l'algèbre de Hecke du groupe G(AT) = (D:)', c h a p e Hg'" est m u n i d'une action à droite de 7iT ou, ce qui est équivalent, d'une action à droite lisse de G(AT), et qui commute à l'action de (XtT) X n (X[T)1. Cette action est admissible au sens que pour tout sous-groupe ouvert de G(AT), le sous-faisceau de fixé par ce sous-groupe est constructible.

HZ"

(iii) Pour tout entier n

> 0 , o n dispose d'un isomorphisme

-

Il échange les actions des deux facteurs n(XtT)) et n(XiT)) et il est via l'isomorphisme g compatible aux actions de (D:)' et (D;P')X g-l.

(iv) O n a u n homomorphisme naturel

) qu'à 1'isomorphisme compatible aux actions de ?r(XiT)) x T ( X [ ~ ) ainsi de (iii) et aux actions de (AT)x et (D:)~ via l'homomorphisme det : + (AT)x .

(DI)

Démonstration : (i) résulte du corollaire 6 et du lemme 7 (i). (ii) L'existence de cette action de l'algèbre de Hecke 'FIT résulte de la proposition 2 (iii) et du lemme 7 (ii). Cette action commute avec celle de T ( X [ ~ )x) ?r(XIT)) car l'action à droite du groupe G(AT) sur c h t k T et L c h t T est compatible avec les morphismes Robo et Frob,. Enfin, cette action est admissible d'après le lemme 7 (iii). (iii) résulte de la proposition 2 (iv) et du fait que l'isomorphisme

est compatible aux actions de (DipT)' et de (D:)~ via llisomorphisme g ,---+g - l . (iv) résulte de la proposition 2 (v) et du fait que le morphisme T chth: det : ~ h t -+ est compatible aux actions à droite de -+ (AT)X . phisme det : (D:) 3.

- Généralités

(DI)et de (AT)

via l'homomor-

O

sur les représentations admissibles

a) Représentations admissibles. Homomorphismes de traces Rappelons d'abord (d'après par exemple [Cartier]) :

DÉFINITION1. - Soient L u n corps de caractéristique O et A une Lalgèbre munie d'une famille ( e l ) d'éléments idempotents telle que la famille ( e I A e I ) de sous-algèbres de A est inductive de réunion A. O n appelle représentation admissible de A tout module à droite M sur A tel que les sous-modules M e I sur les sous-algèbres e I A e I soient tous de dimension finie sur le corps L et aient leur réunion égale à M .

Une représentation admissible M de A est dite irréductible si elle n e possède d'autre sous-représentation que O et M . Une représentation admissible M de A est dite absolument irréductible si pour tout corps L' contenant L la représentation admissible M @ L L' de la L'-algèbre A @ L L' est irréductible. Enfin, u n e représentation admissible M de A est dite semi-simple si elle est isomorphe à u n e s o m m e directe finie de représentations admissibles irréductibles. Prouvons : PROPOSITION 2. SOUSles hypothèses de la définition 1, o n a : ( i ) La catégorie des représentations admissibles de A est abélienne et pour tout 1, la catégorie des représentations admissibles (c'est-à-dire de dimension finie sur le corps L ) de l'algèbre e I A e I est abélienne, nœthérienne et a r t i n ~ e n ~ n e . ( M e I ) I induit u n e équivalence de la catégorie ( i i ) Le foncteur hl des représentations admissibles de A sur la catégorie des systèmes inductifs (hlI)de représentations admissibles des sous-algèbres e I A e I , m u n i s donc d'isomorphismes compatibles -

-

pour tous indices 1, J vérifiant e J A e c e I A e I . C e foncteur admet pour quasi i n v e r s e

(iii) S i n/l est u n e représentation admissible de A qui correspond à u n système inductif ( M I ) dans l'équivalence de ( i i ) , M est irréductible si et seulement si pour tout 1, M I est irréductible comme représentation de erAer. ( i v ) P o u r tout indice I fixé, 1 'application

induit u n e injection de l'ensemble des classes de représentations admissibles irréductibles Af de A telles que M e I # O dans l'ensemble des classes de représentations admissibles irréductibles n o n nulles de e I A e I . De plus, pour tout tel M l'homornorphisme naturel

-

EndA( h l )

est bijectif,

EndeIA,, ( A f e ~ )

(v) Si M est une représentation admissible semi-simple de A, alors pour tout corps L' contenant L, la représentation admissible M @ L L' de A @ L L' est aussi semi-simple. (vi) Si M est une représentation admissible semi-simple non nulle de A, son algèbre Endd(M) des endomorphismes est semi-simple, et de dimension finie sur le corps L. De plus, M est irréductible si et seulement si Endd(M) est une algèbre à division, et M est absolument irréductible si et seulement si le plongement L ~f Endd ( M ) est un isomorphisme.

Démonstration (i) résulte de ce que toute sous-représentation et toute représentation quotient d'une représentation admissible est encore admissible. (ii) est évident sur la définition. (iii) Déjà, la suffisance résulte de (ii). Pour la nécessité, si M est irréductible et N est une sous-représentation d'un MeI, alors N A est une sous-représentation de M avec NAeI = N d'où l'on tire ou bien N A = M et N = Mel ou bien N A = O et N = 0. Ce qui prouve que MeI est irréductible. (iv) Il faut prouver que si M est une représentation admissible irréductible de A telle que MeI = Ml # 0, M est complètement déterminée par MI. eIA. C'est un module à droite sur A, tel que %el Soit % = MI s'identifie à MI, et qui est muni d'un homomorphisme A-linéaire % + M . Cet homomorphisme est non nul, donc surjectif puisque M est irréductible. Soit encore N = {rn E %, rnAeI = 0). N est le plus grand sousmodule N de % tel que Nel = O. Comme MI est irréductible sur eIAeI et engendre % sur A, on voit que pour tout sous-module N de % ou bien N C N ou bien N = %. - Par conséquent, le module M I N est irréductible. Enfin, l'homomorphisme surjectif % -t M se factorise évidemment -en M I N + M qui est un homomorphisme surjectif entre A-modules irréductibles, donc un isomorphisme. Ainsi, on peut effectivement retrouver M à partir de MI Maintenant, l'homomorphisme naturel

est injectif puisque M est irréductible et MI # 0. De plus, et avec les notations ci-dessus, tout endomorphisme de MI sur eIAeI induit un endomorphisme de = MI @,,A,, e1A sur A, lequel

a

stabilise nécessairement le sous-module N = {m E -induit un endomorphisme de M I N E M sur A. Ainsi l'homomorphisme injectif

hl, mAeI

=

O), donc

admet un inverse à droite. C'est un isomorphisme. (v) Il suffit de considérer le cas où M est irréductible. Soit D = EndA(M) qui est une algèbre à division, et de dimension finie sur L d'après (iv). Les sous-A-modules de M @ L L' correspondent bijectivement aux sous-D-modules à droite de D @ L L' et les sous-modules de M @ L L' sur A @ L L' correspondent bijectivement aux idéaux à droite de D @ L L'. Mais comme D est une algèbre à division de dimension finie sur L et comme L est de caractéristique 0, D @L LI est une algèbre semi-simple de dimension finie sur LI, d'où l'on conclut. (vi) Si M est irréductible, Endd(M) est une algèbre à division et de dimension finie sur L d'après (iv). Et si M % M r l @ . . @ Mmr où M l , . . . , MT sont des représentations admissibles irréductibles de A, deux à deux non isomorphes, on a

Ceci prouve les deux premières assertions. Enfin, la troisième assertion résulte de la seconde puisque si M est irréductible et L' est un corps contenant L, M Br, L' est une représentation semi-simple de A B L LI d'après (v) et Endd8,p (MB L LI) = End*(M) @ L L' .

0 COROLLAIRE 3. Avec les hypothèses et notations de la définition 1, soit Kad(A) le groupe -

où, pour to,ut indice I , K(eIAeI) désigne le groupe de Grothendieck de la catégorie abélienne des représentations admissibles de la L-algèbre eIAeI et où, pour tous indices I , J avec eIAeI e J A e J , l'homomorphisme

c

est induit par le foncteur exact

Alors le groupe K a d ( A ) est naturellement isomorphe au groupe abélien des sommes formelles où M décrit u n ensemble de représentants des classes d'isomorphismes de représentations admissibles irréductibles n o n nulles de A et ( A M ) décrit l'ensemble des familles d'éléments de Z telles que pour tout indice I il n'y ait qu'un nombre fini de M vérifiant M e r # O et AM # 0. De plus, toute représentation admissible M de A a une classe associée [Ml dans K a d ( A ) et le groupe K a d ( A ) est engendré par l'ensemble de ces classes [ M l .

Démonstration : C'est immédiat d'après la proposition 2 (ii), (iii) et ( i v ).

O PROPOSITION 4. - Toujours avec les hypothèses et notations de la définition 1, o n a : ( i ) Pour tout élément f de A et toute représentation admissible M de A, l'opérateur induit par f sur M est de rang fini sur L. O n dispose donc de sa trace que l'on note T r M ( f )E L. (ii) Pour tout élément f de A, l'application M +-+ T r M ( f ) se factorise de manière unique en u n homomorphisme

E t pour tout élément fixé M de K a d ( A ) ,1 'application

est u n homomorphisme L-linéaire.

, a Ml = (iii) Etant donnés M l et M 2 deux éléments de K a d ( A ) on M 2 si et seulement si T r M l( f ) = T r M 2( f ) , V f E A. Plus précisément, si ( M i ) est une famille finie d'éléments de K a d ( A ) , No une représentation admissible irréductible de A et ( N j )u n ensemble de représentants des classes d'zsomorphismes de représentations admissibles

irréductibles de A dont le coeficient dans l'un des Mi au moins est non nul, alors il existe f E A tel que pour tout j TrNj(f) = l si N j S N o TrNj( f ) = O dans le cas contraire

Démonstration : (i) Par hypothèse sur A, il existe un indice I tel que f E e I A e I . Donc l'image de l'opérateur induit par f dans M est contenue dans M e 1 qui est de dimension finie sur L. (ii) Par définition, on a

Et pour tout f E e I A e I fixé, l'application qui à toute représentation admissible M I de e I A e I associe la trace dans L de l'opérateur induit par f dans M I se factorise en un unique homomorphisme

D'où la première assertion. La seconde est évidente. (iii) La première assertion est conséquence évidente de la seconde. Pour celle-ci, soit I un indice tel que NoeI # O. L'ensemble JO des j tels que N j e I # O est fini, et ces N j e I sont irréductibles et deux à deux non isomorphes, comme il résulte de la proposition 2 (iv). D'après [Bourbaki] Chapitre 8, 5 12, proposition 3, les formes linéaires f TrNjeI( f ) eIAeI L, quand j décrit J O ,sont linéairement indépendantes. Comme JO est fini, il existe f E e I A e I telle que

-

-

Et si N j e I = O, on a nécessairement TrN, ( f ) = O puisque f E e I A e I . C'est ce qu'on voulait. 0

b) Corps de rationalité. Corps de définition Posons :

DÉFINITION 5. Toujours avec les hypothèses et notations de la définition 1, soient L1 u n corps contenant L et M t une représentation admissible de 1 'algèbre A Br, L' . O n appelle corps de rationalité de M1 et o n note L(M1) le sous-corps de L1 qui est engendré sur L par les éléments TrM/( f ) quand f décrit A. O n appelle corps de définition de M' tout corps Li contenant L tel qu'existent une représentation admissible Ml de A Br, LI, u n corps Li contenant à la fois LI et L1 et u n isomorphisme entre représentations Li admissibles de d -

6. - Dans les conditions de la définition 5 , o n a : PROPOSITION (i) Le corps de rationalité de M1 se plonge naturellement dans tout corps de définition de M t . De plus, et si M t est irréductible, le corps de rationalité de M' est égal à celui de M'el pour tout indice I tel que M1eI # 0 . (ii) Si Ml est irréductible et s'il existe une représentation admissible M de A telle que le coeficient m1 E N de [Ml] dans la classe [M Br, LI] E K a d ( AgLLI) soit n o n nul, le corps de rationalité L(M1) = L ( M ' ~ ' )est une extension finie de L et c'est le plus petit corps de définition de M ' ~ ' . (iii) Sous les hypothèses de (ii), il existe une extension finie de L contenant L(M1) qui soit u n corps de définition de M t .

Démonstration : (i) La première assertion résulte de ce que deux représentations admissibles isomorphes ont même homomorphisme trace associé, et de ce que la formation de la trace commute aux extensions du corps de base. Pour la seconde assertion, on peut supposer que LI est galoisien sur L, de groupe C. Pour tout élément u de C, on dispose de la représentation admissible irréductible u(M1) = M1 @LI,, LI de A gr, L'. D'après la proposition 4 (iii), le corps de rationalité de M' [resp. de Mte1] est le plus grand sous-corps de LI fixé par le sous-groupe de C constitué des éléments a qui vérifient u ( M f ) 2 M' [resp. a ( M f ) e I E u(M1)]. On conclut d'après la proposition 2 (iv). (ii) On peut supposer que la représentation admissible M de d est irréductible. Posons D = EndA(M) et D1 = EndABLL/(M1). D'après la proposition 2 (vi), D et Dl sont des algèbres à division, de dimensions finies sur L et L' respectivement. Soient C et Cl leurs centres, qui sont des corps, extensions finies de L et LI.

D'après la proposition 2 (v), la représentation M @L L' de A @ L L' est semi-simple, si bien que l'algèbre Mm/(Dl) = ~ n d d L~I (Mlm1) , s'identifie à l'un des facteurs de l'algèbre semi--simple D @ L LI. Autrement dit encore, C' est l'un des facteurs de C @ L L' et on a

Soient c un élément qui engendre C sur L, P son polynôme minimal sur L et Pl le polynôme minimal sur LI de l'image de c dans Cl. Ainsi, P' est un facteur de P dans l'anneau polynomial L1[X]. Les coefficients de Pl sont dans L' et algébriques sur L. Le sous-corps de LI qu'ils engendrent est fini sur L et c'est un corps de définition de Mlm'. D'après (i), ceci prouve que le corps de rationalité L(M1) = L ( M ' ~ ' ) est fini sur L. Il reste à prouver que Mlmf est définie sur L(M1). D'après ce qui précède, on peut supposer encore que L' est une extension finie galoisienne de L. Soit C son groupe de Galois sur L(M1).A tout a E C est canoniquement associé un automorphisme a-linéaire

L'image de la sous-représentation Mlmf par a est une sous-représentation qui a même homomorphisme trace associé. D'après la proposition 4 (iii), cette image est encore Mlm1.Ainsi, les automorphismes a se restreignent à et ils vérifient a O a' = a O a'

'da, a' E C

Ils définissent donc une donnée de descente sur M t m f c'est-à-dire , sur tous les Mtmfe1.Comme ces derniers sont de dimension finie sur LI, la donnée de descente est effective et la représentation Mlm1est définie sur L(M1). (iii) Notons Lo = L(M1). D'après (ii), Lo est une extension finie de L et il existe une représentatioh semi-simple Mo de A gLLo telle que Mo @L,, L' 2 Mlmf. Do = Endd@LL,(Mo)est une algèbre simple de dimension finie sur Lo. C'est une algèbre centrale simple sur son centre Co, et si D' = ( M t ) ,elle vérifie Do RLoLI 2 Mm/(Dl). On voit que répond à la question toute extension finie de Co qui scinde l'algèbre centrale simple Do, par exemple n'importe quel sous-corps maximal contenant Co de l'algèbre à division centrale associée à Do.

Prouvons encore (d'après par exemple [Waldspurger] lemme 1.1) : PROPOSITION 7. - Dans les conditions de la définition 5, supposons que la représentation admissible M' de l'algèbre A@LLt est irréductible et qu'elle est el-non ramifiée pour un certain indice I c'est-à-dire que M'el est de dimension 1 sur le corps Lt ou encore T r M ~ ( e= I ) 1. Alors M t est absolument irréductible et elle est définie sur son corps de rationalité. Démonstration : D'après la proposition 2 (iv), l'algèbre des endomorphismes de Mt s'identifie à l'algèbre des endomorphismes de M t e I ,laquelle est nécessairement Lt puisque MteI est de dimension 1. D'après la proposition 2 (vi), M t est donc absolument irréductible comme annoncé. Pour la seconde assertion, on peut supposer que L est le corps de rationalité de MteI et que Lt est galoisien sur L de groupe C. Soit MI un sous-espace non nul de MteI et de dimension 1 sur le corps L. Pour tout élément f de e I A e I ,son action sur MteI est la multiplication par le scalaire TrMl ( f ) qui est dans L , donc MI est stable par cette action. Soit maintenant M = M I A 5 M t . Il suffit de prouver que l'homomorphisme M B L Lt -t M t est un isomorphisme car alors M sera nécessairement admissible. Comme M' est irréductible, l'homomorphisme M @ L Lt -+ M t qui est non nul est nécessairement surjectif. Reste à prouver qu'il est injectif. Raisonnant par l'absurde, supposons qu'il existe des éléments m l , . . . ,ml, de M , linéairement indépendants sur L et des scalaires X I , . . . , XI, E LI, non tous nuls, tels que mlXl . . . mkXk = O dans M t . On peut supposer que cette relation est de longueur minimale et aussi que par exemple X2/X1 $- L si bien qu'il existe a E C vérifiant a ( X 2 / X 2 ) # X2/Xi. Comme L est le corps de rationalité de MI, les deux représentations admissibles irréductibles M' et a ( M f )= M'@Ll,,L' ont le même homomorphisme trace associé, donc sont isomorphes d'après la proposition 4 (iii). Autrement dit, M t possède un automorphisme a-linéaire. Bien sûr il préserve M'el et quitte à le multiplier par un scalaire, on peut supposer qu'il fixe MI et donc aussi M. En prenant l'image par cet automorphisme de la relation

+ +

on obtient un nouvelle relation

On peut la combiner à la précédente pour obtenir une relation non triviale et de longueur plus petite. Il y a contradiction. 0

c ) Représentations d'algèbres

admissibles

des

produits

tensoriels

Commençons par le lemme suivant :

LEMME8. - Soient L u n corps de caractéristique 0 , A une L-algèbre, ( e l ) une famille d'éléments idempotents de A, vérifiant les propriétés de la définition 1. Une représentation admissible M de A sera dite isotypique si elle est isomorphe à une puissance d'une représentation admissible irréductible et elle sera dite absolument isotypique si pour tout corps LI contenant L la représentation M @ L LI de A @ L LI est isotypique. Alors, une représentation admissible semi-simple M de A est isotypique [resp. absolument isotypique ] si et seulement si son algèbre des endomorphismes est une algèbre simple [resp. centrale simple ] sur L. Démonstration : C'est une conséquence immédiate de la proposition 2 ( v )e t ( v i ) puisque la formation des algèbres d'endomorphismes commute a u x changements de base.

n

Dans la situation d u lemme et pour toute représentation admissible absolument isotypique M de A, o n notera d ( M ) l'unique entier 2 1 tel que dimL(Endn(M))= d(M)2. Enonçons maintenant (d'après par exemple [Bourbaki]Chapitre 8) :

PROPOSITION 9. - Soient L u n corps de caractéristique 0 , Al et A2 deux L-algèbres, (e:) et ( e J ) deux familles d'éléments idempotents de Al et A2, vérifiant les propriétés de la définition 1. Soit A 1 'algèbre Al @ L A2, munie de la famille d'idempotents ( e i @ e;). Alors : ( i ) Si M l et M 2 sont deux représentations admissibles de Al et A2, M = M l @ L M 2 est une représentation admissible de A = Al @ L A 2 . (ii) Dans la situation de ( i ) et si M l et M2 sont semi-simples, M est aussi semi-simple, et

(iii) Dans la situation de ( i ) , et si M l est absolument isotypique, o n a les implications : O O

M 2 isotypique + M isotypique, M 2 absolument isotypique ==+ M absolument isotypique.

( i v ) Dans la situation de ( i ) , et si Ml est a,bsolument irréductible, on a les implications :

===+M irréductible, M2 absolument irréductible +M absolument irréductible.

a M2 irréductible a

( v ) Réciproquement, si M est une représentation admissible irréductible de A, il existe deux représentations admissibles irréductibles Ml et M2 de Al et A2, uniques à isomorphisme près, telles que M soit un quotient M2 de A . de la représentation admissible semi-simple Ml ( v i ) Dans la situation de ( v ) et si M est absolument isotypique, Ml et M2 sont aussi absolument isotypiques. De plus, d ( M ) divise le produit d ( M l ) d ( M 2 )et on a un isomorphisme

Enfin, pour tous f 1 E Al, f

E

A2, on a

(vii) Dans la situation de ( v ) et si L est algébriquement clos, on a un isomorphisme Ml@LM2"M. Démonstration : ( i ) résulte de ce que, pour tous indices I et J , on a u n isomorphisme naturel ~ ( e@: e:) 2 le:) @ L ( ~ 2 . : ) . (ii) Pour montrer que M est semi-simple, on peut supposer que Ml et M2 sont irréductibles. Notons Dl = E n d d i ( M l ) et D2 = Endd2(M2) qui sont des algèbres à division de dimension finie sur L. O n peut écrire

et tout sous-espace de Ml @L M2 stable par les actions de Al et A2 est de la forme Ni go2M2 où Nl est un sous-espace de Ml @ L D2 stable par les actions de A' et D2. De plus

et tout sous-espace Ni de Ml @ L D2 stable par les actions de Al et D2 est de la forme N gol Ml où N est un sous-espace de Dl @ L D2 stable par les actions de Dl et D2, autrement dit un idéal à droite de la L-algèbre Dl @ L 0 2 . Or Dl g LD2 est une algèbre semi-simple puisque Dl et D2 le sont et que le corps L est de caractéristique 0, donc Ml g L M2 est une représentation semi-simple. La seconde assertion, c'est-à-dire l'égalité

est une conséquence immédiate de l'exactitude du foncteur .@IL. en chacune des deux variables. (iii) résulte de (ii) et du lemme 8 puisque le produit tensoriel sur L d'une algèbre centrale simple et d'une algèbre simple [resp. de deux algèbres centrales simples ] est une algèbre simple [resp. centrale simple]. (iv) est conséquence de (ii) et de la proposition 2 (vi). (v) Il est immédiat que l'action à droite de A sur M correspond à deux actions à droite commutant entre elles de Al et A2 sur M . Pour tout indice J, ~ e vue ? comme représentation de Al est admissible. Choisissons un J tel que Me: # O, et soit Ml une sous-représentation admissible irréductible non nulle de Me; sur Al. Alors HomAi(Ml, M ) est une représentation de A2, automatiquement admissible, et non nulle par choix de Ml. Soit M2 une sous-représentation admissible irréductible non nulle de HomAi (Ml, M ) sur A2. Sur A, on dispose d'un homomorphisme

qui est non nul, donc surjectif puisque M est irréductible. Ceci prouve l'existence de Ml et M2. Leur unicité à isomorphisme près résulte de ce que pour tout indice J[resp.Il, la représentation admissible Ml g L ~ 2 e ;de Al [resp. le: @JL M2 de A2] est isotypique de type Ml [resp. M2],donc aussi Me; [resp. Me:]. (vi) Notons C , Cl et C2 les centres des algèbres Endd(M), Enddi(M1) et Enddz(M2). D'après (ii) et (v), C est un quotient de Cl @ L C2. Par conséquent, l'égalité L = C implique L = Cl et L = C2. D'après le lemme 8, ceci signifie que si M est absolument isotypique, Ml et M2 le sont. Mais alors, d'après (iii), Ml @ L M2 est aussi absolument isotypique, donc isomorphe à une puissance de M . Et l'exposant est nécessairement

d(M1)d(M2)

puisque E n d A ( M ) est de dimension d ( M ) ' sur L e t E n d d ( M l B L M 2 ) = Enddl ( M l ) @ILEndAz ( M 2 ) est d e dimension d ( M l ) 2 d ( M 2 ) 2sur L . Enfin, la dernière assertion est conséquence de l'existence d ' u n isomor4M)

phisme M l M L M 2 S M on a

d(M )d(M

puisque, pour t o u s f 1

E

Al, f

t A2,

~i(f1)n~z(f2). ( v i i ) résulte d e ( v ) e t ( v i ) car alors M , M l e t M 2 sont absolument irréductibles, donc absolument isotypiques avec n M l @ ~ ~ 2 ( f@ 1

f2) =n

COROLLAIRE 10. - Soient L u n corps et Y u n ensemble. Pour tout y E Y , soit A Y une L-algèbre, munie d'une famille (e;)IEzY d'idempotents comme dans la définition 1 , et parmi ceux-ci distinguons u n idempotent particulier e i . Pour tout sous-ensemble fini YI de Y , notons AY1la L-algèbre @ A g , munie de la famille d'idempotents ( e l ) indexée par

n ZY

Y€YI

= ZY1, avec

Y €Y1

u n élément distingué e: . Pour tous sous-ensembles finis Yi, Y2 de Y avec YI C Y2,soit AY1~ AY2 l'inclusion définie par

- t

Enfin, pour tout sous-ensemble (infini)Y1 de Y , notons AY1la L-algèbre l i m AY2 -y2

où Y2 parcourt l'ensemble inductif des sous-ensembles finis de Y contenus dans Y i . Munissons AY1de la famille évidente ( e p ) d'idempotents indexée par 9 Z Y 2 ou, si l'on préfère, par le sous-ensemble ZY1 de ZY cons-

n

yz

y€Y1

titué des familles dont tous les éléments sauf u n nombre fini sont é,qaux à 0. Cette famille a u n élément distingué e:. Alors :

( i ) Si Y' = Yi - . . Y, est une réunion disjointe de parties de Y , il lui est associé u n isomorphisme canonique

U U

(ii) Si M est une représentation admissible irréductible de AY, pour toute partie Y' de Y , il existe deux représentations admissibles irréductibles M Y ' et M Y j Y ' de AY' et dYiY',uniques à isomorphisme près, telles que M soit u n quotient de M y ' @L My\ y'. (iii) Dans les conditions de (ii) et si Y' = Yi . . U Y, est une réunion disjointe de parties de Y , M Y ' est u n quotient de MY1 @L M Y 2 @L . @L My,. ( i v ) Dans les conditions de (ii) et si M est absolument isotypique, tous les MY' sont absolument isotypiques. De plus, si Y' = Yi . Y, est une réunion disjointe de parties de Y , d ( M Y ' ) divise d ( M Y l ) d ( M Y 2 ) . - d ( M Y - ) , et il existe u n isomorphisme

U.

U U

~t pour tous fY1 E dY1,fY2 E A Y 2 , . . . , fYn E dYn,o n a

( v ) Dans les conditions de ( i v ) , il existe u n sous-ensemble fini Y de Y tel que pour toute partie Y' de Y ne rencontrant pas Y,la représentation MY' soit e;' -non ramifiée et absolument irréductible (c'est-à-dire absolument isotypique avec d ( M Y ' ) = 1 ) .

Démonstration ( i ) résulte de ce que le produit tensoriel commute aux limites inductives. (ii) a été montré dans la proposition 9 ( v ) . (iii) D'après la proposition 9 ( v ) ,il existe certainement des représentations admissibles irréductibles NYl , . . . , NYn de AY1,. . . ,AYn telles que MY' soit u n quotient de N Y 1 @L . . . @L NYn . Alors, pour 1 5 i < n, M est u n quotient de

donc d'un NYi 8 N ~ \ ~ ~ ~ estÙune \ représentation ~ i admissible irréductible de AY\Yi. Toujours d'après la proposition 9 (v), cela impose NY2= MYi comme on voulait. (iv) résulte par itération de la proposition 9 (vi) compte tenu de (iii). (v) D'après la proposition 7, il suffit de considérer le cas où le corps L est algébriquement clos. Alors, pour toute réunion disjointe Y' = Yi JJ . . JJY, de parties de Y, on a un isomorphisme

comme il résulte de la proposition 9 (vii). Soit IoE ZY un indice tel que Me: # 0, autrement dit tel que TrM(e:) soit un entier non nul. Il existe un sous-ensemble fini Y. de Y tel que la composante de Io E zY= F0x zy\'o dans zy\'o soit l'élément distingué 0. Si donc YI, . . . ,Y, sont des parties disjointes de Y\Yol le produit TrMy1( e p ) . . . TrMyn( e 2 ) est un facteur de TrM(e:) dans N. Par conséquent, il existe une partie finie Y y. de Y telle que pour toute partie finie Y' de Y évitant Y, la représentation MY' soit elt-non ramifiée. Enfin, cette propriété est encore vraie lorsqu'on abandonne la condition de finitude de Y' E Y\Y car le choix d'un élément non nul ~ \ pour~ toute~ partie e finie~ Yi 3\ Y de ~ Y détermine ~ un mY1 t ~ homomorphisme

>

lim MY1 + y1

-

My

non nul donc surjectif. 4.

- Calcul

des traces. Applications

a) Formules des traces On rappelle que a est un élément fixé de degré 1 dans A X dont toutes les composantes dans les F, valent 1 en-dehors d'un ensemble fini Tade places x de F. Et on a supposé que D est une Ox-Algèbre partout maximale sur X.

On utilise les notations du paragraphe I.4b avec r = 1. Ainsi

G(F,) = D,X pour toute place x de F

K, = V,X pour toute place x de F

dg [resp. dg, pour x une place de FI désigne la mesure de Haar sur le groupe localement compact unimodulaire G(A) [resp. G(F,)] qui attribue le volume 1 au sous-groupe ouvert compact K [resp. K,]. Par ailleurs, si T est un ensemble fini de places de F, on note G(AT) =

n

xE T

G(F,), KT =

n

%ET

K, et d g = ~

,X= dg,. xET

On note 'FI [resp. F ' I, si x est une place de F, resp. 'FIT si T est un ensemble fini de places de FI la Q-algèbre de Hecke du groupe G(A) [resp. G(F,), resp. G(AT)],c'est-à-dire l'algèbre de convolution, pour la mesure dg [resp. dg,, resp. dgT] des fonctions localement constantes à support compact de G(A) [resp. G(F,), resp. G(AT)] dans Q. De plus, si I -t X est un sous-schéma fermé fini [resp. et supporté par x, resp. et supporté par Tl, on note KI [resp. K,,I, resp. KT,I] le sous-groupe ouvert compact

[resp. K,J = Ker[Kx

-

VIX]

resp. K T , = ~ Ker[KT

,

DIX] ]

On note 'FII [resp. resp. 'FIT,I] la sous-algèbre de 'FI [resp. F ' I, resp. 'FIT] des fonctions invariantes à droite et à gauche par KI [resp. K,,I, resp. KT,I] et on note fI [resp. f,,I, resp. ~ T J ]la fonction caractéristique de KI 1

1

[resp. K,,I, resp. KT,I] fois la constante

1 , ~~T(KT,I)" Commençons par le résultat suivant :

[resp. &(KI)

I

dg, (KXJ) '

resp.

( i ) Dans la Q-algèbre 'FI [resp.'FI, pour x une place de F , resp. fi [resp. f , ~ , resp. fT,1] constituent une famille d'idempotents qui vériifie les hypothèses de la définition 1 du précédent paragraphe. E t pour tout 1, o n a

'FIT pour T u n ensemble fini de places de FI, les éléments

f1xf1= 3-11

[resp. f F I , , ~ ' F I F I , f= F I ,%, ~, I , resp. ~ T , ~ ' F =I 'FIT,I] ~ ~ ~ , ~

(ii) Si dans chaque famille ( f F I , , I ) I[resp. ( ~ T J ) ~o]n , distingue l'élément f Z t 0 [resp.fT,@]qui est la fonction caractéristique du sous-groupe K , [resp.K T ] , alors la Q-algèbre 'Ft est le produit de la Q-algèbre 'FIT et des Q-algèbres 'FIFI,,x $ T , au sens du corollaire 10 du précédent paragraphe. (iii) Si A u t désigne le Q-espace vectoriel des fonctions localement constantes (à support compact) de G ( F ) \ G ( A ) / a Z dans Q , m u n i de l'action à droite par convolution de 'FI, alors Aut est une représentation admissible de 'FI. ( i v ) Pour tout élément f E 'FI, l'opérateur induit par f dans A u t possède u n noyau localement constant sur G ( F ) \ G ( A ) / a Z x G ( F ) \ G ( A ) / a Z qui est

E t sa trace est donnée par la formule de Selberg

Ou encore, si y décrit u n ensemble de représentants des classes de conjugaison de G ( F ) et si pour tout tel y G ( F ) , désigne son commutateur dans G ( F ) , on a dg.

C f (ang-'yd

.

nEZ

Démonstration : ( i ) e t (ii) sont évidents. (iii) C o m m e o n a déjà v u dans le lemme 5 (ii) d u paragraphe 111.6, l'espace homogène G ( F ) \ G ( A ) / ~ " est compact.

-

Ainsi, pour tout sous-schéma fermé fini I X, l'ensemble G(F)\G(A)/ est fini et donc le sous-espace Aut fI de Aut qui est constitué des fonctions invariantes à droite par KI est de dimension finie sur Q. (iv) Pour toute fonction m E Aut, calculons son image mf par l'action à droite par convolution de f E B . Pour tout h E G(A), on a

KI^"

Ainsi, l'opérateur induit par f possède un noyau localement constant qui est

Sa trace se calcule en intégrant ce noyau le long de la diagonale, ce qui donne la première formule. La seconde s'en déduit en regroupant par classes de conjugaison les éléments y E G ( F ) . 0 A partir de maintenant, on fixe F, une clôture séparable du corps F et on note rF le groupe de Galois de F, sur F . Pour tout entier n, on note HZ, la fibre au-dessus du point Spec F, x Spec F, de la représentation du groupoide produit a(X;@))x T ( X [ ~ )= ) ~ ( S p e cF) x ~ ( S p e cF) dans la catégorie des Qe-espaces vectoriels, définie dans la proposition 8 du paragraphe IV.2. Ainsi, chaque HZ, est un espace vectoriel sur Qe, muni d'une action continue du groupe rFx I'F, c'est-à-dire de deux actions continues de rF qui commutent. De plus, d'après la proposition 8 (ii) du paragraphe IV.2, chaque HZ, est muni d'une action à droite de l'algèbre de Hecke B Bq Qe, commutant à l'action de rF x FF, et comme tel, c'est une représentation admissible. Autrement dit, et en notant d F , e l'algèbre des fonctions à support fini du groupe rF dans Qe, chaque Hg est une représentation admissible de (B@Q Qe) @& A F , ~ @ q e Jb,e.

D'après la proposition 2 (i) du paragraphe IV.2, les H g sont nuls en dehors de O 5 n 5 4(d - 1). On notera H; la somme alternée de classes

dans le groupe de Grothendieck admissible

On a le théorème fondamental suivant : - Soit f u n élément de 'FI. Soient O et CO deux places de F , distinctes, qui sont dans X ' , qui ne sont pas dans Ta et telles que, correspondant à l'écriture 'FI = F ' I, BQ'F1°020 BQ 'FIo, f se mette sous la forme

THÉORÈME 2.

E I - P 0 et fo,@, f,,@ sont les éléments idempotents distingués où de 'FI0 et F ' ,I c'est-à-dire les fonctions caractéristiques des sous-groupes ouverts compacts maximaux Ko et K, de G(Fo) et G(F,) respectivement. Soit 1-0 [resp. T,] u n élément de l+obenius en O [resp. en CO] c >est-àdire u n élément du sous-groupe de décomposition de O [resp. de CO] dans F F qui induit 1 7 a u t o m ~ r p h i ~ F'robdeg(0) me [resp. F ' r ~ b ~ ~ sur~ la ( ~clôture ) ] algébrique de &(O) [resp. de K(co)]. Soient u , s 1 deux entiers. Soit f t E 'FIo [resp. f;" E 'FI,] la fonction de Drinfeld en rang d et de niveau u [resp. de niveau -s] sur G(Fo) r GLd(Fo) [resp. G(F,) GLd(F,)] comme dans la définition 7 du paragraphe 111.6~. Alors o n a l'égalité f m j O

>

"

dans le corps Q. Démonstration : Par définition de la trace, on a

D'après le lemme 7 (iii) du paragraphe IV.2 et le fait que f = f,,@ @ f m ? ' @ fo,@, on voit que les homomorphismes de faisceaux H z n 4 H $ ~

avec T = {cc, O) induisent un isomorphisme de l'image de l'opérateur induit par f m ? O E Xm)O= XT dans sur l'image de l'opérateur induit par f t H dans HD". Or le faisceau Hg." se prolonge sur X(,) x X;T) et d'après la proposition 8 du paragraphe IV.2, l'action de rLU x rGS ne dépend que de son image dans x ( X ; ~ ) x) x ( X ; ~ ) et ) a fortiori de son image dans x ( X [ ~ , x) ~ ( x ; ~ ) ) . Ainsi chaque TrHg (f x 7-0" x rGS) est égal à la trace de l'opérateur x TC" x TG" sur n'importe quelle fibre du faisceau Hg:" induit par au-dessus de Xio) x Xim). Considérons donc la fibre au-dessus de SpecFq, pour O : ~ ( 0 ) F, et cc : ~ ( m ) IFq deux points de x(F,) au-dessus de O et cc. D'après l'hypothèse sur r o et r,, leurs actions sur cette fibre sont celles des automorphismes de Frobenius arithmétiques F'robdeg(0)et Frobdeg(m) de IF,. Elles sont inverses des actions des morphismes de Frobenius d e d o ) et ~ r ~ b d , e 6 ( 4 géométriques correspondants c'est-à-dire de Robo d'après le théorème 4 et la proposition 2 (ii) du paragraphe IV.2. Ainsi, chaque TrH;(f x 7CU x 7;)' est égal à la trace de l'opérateur

HZ"

-

fm10

-

induit par x Robodeg(0)U x F r 00~ b ~sur~la~fibre ( ~de )Hg)" ~ au-dessus de Spec F,. Maintenant, il existe certainement un sous-schéma fermé fini non vide I v X\{m, O) tel que E HÏ'O, c'est-à-dire tel que f m > O s'écrive comme une combinaison linéaire de fonctions caractéristiques de classes bilatères K Ï ~ O g K ~ d'éléments 'O g E G(Am?O). D'après le théorème 1 (ii) du paragraphe IV.l et comme I est non vide, le champ ~ h t b , ~ / aest ' représentable projectif et lisse au-dessus de IFq. De plus, d'après la proposition 6 du paragraphe 1.4, la correspond e g ( 0 ) ~ FrObdeg(m)s dance inverse de celle associée au morphisme Robo cc coupe transversalement toutes les correspondances dans le champ ~ h t L , , / a " au-dessus de Spec F,. On est donc en position d'appliquer le théorème des points fixes de Grothendieck-Lefschetz, et avec les notations de la proposition 4 (ii) du paragraphe 111.5 (en omettant les troncatures qui ici sont triviales puisqu'on est en rang r = l ) ,on obtient fW3O

fW10

Or, d'après la proposition 2 et la proposition 11 du paragraphe 111.6 et le fait que tout élément de G ( F )= DX est elliptique, on sait

1

où y décrit un ensemble de représentants des classes de conjugaison de G ( F ) et, pour tout tel y,G(F), désigne son commutateur dans G ( F ) . On conclut d'après la proposition 1 (iv) ci-dessus. 0

b) Représentations automorphes

DÉFINITION3. - Pour L un corps de caractéristique 0 , o n appelle facteur L-automorphe de 3-1 toute représentation admissible irréductible et absolument isotypique II de 3-1 @q L telle que soit n o n nul le coeficient correspondant m(II) de la classe [Aut @ q L ] dans le groupe Kad(IFI@qL ) . Remarque : Si II est une représentation admissible irréductible de

IFI @q L , il est équivalent de demander que m(II) soit non nul ou bien que II puisse s'écrire comme un sous-quotient de la représentation admissible Aut B q L . Lorsque L = @, la définition ci-dessus coïncide donc avec la définition usuelle.

PROPOSITION 4. - Pour L u n corps de caractéristique O et Il u n facteur L-automorphe de IFI, o n a : (i) Le corps de rationalité Q(II) de II est une extension finie de Q . C'est le plus petit corps de définition de IIm(=). (ii) Il existe une extension finie de Q ( I I ) et donc de Q qui soit u n corps de définition de II. (iii) Si, pour toute place x E 1x1, II, désigne la représentation admissible irréductible absolument isotypique de 'Hz @qL qui est associée à Ii d'après le corollaire 10 (iv) du paragraphe IV.3 et la proposition 1 (ii), alors pour toutes ces places x sauf u n nombre fini, II, est f,,o n o n ramifiée. Elle est absolument irréductible et définie sur son corps de rationalité, lequel est contenu dans Q(H) . De plus, on a : (iv) Il existe une bijection naturelle entre l'ensemble des classes d'isomorphismes de facteurs L-automorphes II de IFI et l'ensemble des couples (E, riE) avec E u n sous-corps de L qui est fini sur Q et IIE une classe d'isomorphismes de facteurs E-automorphes dont le corps de rationalité est E tout entier. Si II et ( E ,I I E ) se correspondent, o n a

-

Démonstration : (i) et (ii) résultent de la proposition 6 du paragraphe IV.3. (iii) D'après le corollaire 10 (v) du paragraphe IV.3, pour toutes les places x sauf un nombre fini, II, est f,,@-non ramifiée. Cela entraîne qu'elle est absolument irréductible et définie sur son corps de rationalité d'après la proposition 7 du paragraphe IV.3. Enfin, l'inclusion Q(II,) Ç ()(II) résulte du corollaire 10 (iv) du paragraphe IV.3. (iv) Soit II un facteur L-automorphe de 3-1. Posons E = Q(II) qui est un sous-corps de L et qui est fini sur Q d'après (i). Toujours d'après (i), la représentation IIm(") est définie sur E. Comme telle, elle est absolument isotypique donc de la forme II;, où IIE est une représentation admissible absolument isotypique et irréductible de 3.1 BQE. Nécessairement IIE est un facteur E-automorphe de 3-1 et n = m(IIE). De l'isomorphisme nm(")2 résulte alors la formule m(II)d(II) = m(HE)d(nE). Réciproquement, supposons donné (E,IIE). Comme H E est absolument isotypique, IIE B E L l'est aussi; elle est donc de la forme IIE @E L E IIn' où II est une représentation admissible absolument isotypique et irréductible de 3-1 Bq L, avec nécessairement d(IIE) = nld(II) si bien que d(II) divise d(IIE). Et II est un facteur L-automorphe de 3-1. Ces deux applications sont évidemment inverses l'une de l'autre, ce qui termine la démonstration. 0 Citons maintenant le théorème suivant : THÉORÈME 5 (Satake). - Soient K un corps local non-archimédien, O son anneau de valuation, K son corps résiduel de cardinal fini #K.et a un élément uniformisant. Soient n 2 1 un entier, H le groupe unimodulaire GL, (K), muni de la mesure de Haar sur H qui attribue le volume 1 au sous-groupe compact ouvert maximal Ho = GL, (O). Soit A l'algèbre de convolution des fonctions localement constantes à support compact de H dans Q. Et pour tout entier i O, soit ai E A la fonction caractéristique du sous-groupe ouvert compact Hi = Ker[Ho -+ GLn(O/wi)] multipliée par la constante [Ho: Hi]. On a :

>

(i) Les éléments ai, i

> O, constituent une famille d'idempotents de

A qui vérifie les hypothèses de la définition 1 du paragraphe IV.3.

(ii) La sous-algèbre aoAao de A est commutative et de type fini sur Q. (iii) Si L est u n corps de caractéristique O et M est une représentation admissible absolument irréductible de A @ q L telle que M a o # O , alors M a o est de dimension 1 sur L, autrement dit M est ao-non ramifiée. (iv) Sous les hypothèses de (iii), il existe u n unique polynôme à coeficients dans L , unitaire et de degré n et dont les racines {zl ( M ) , . . . ,zn(M)) dans n'importe quelle clôture algébrique de L sont non nulles et telles que les fonctions de Drinfeld en rang n et de niveau t , t E Z\{O}, f t E A, introduites dans la définition 7 du paragraphe III.Gc, vér$ent

Ce polynôme caractérise la représentation M . Démonstration : (i) est évident. (ii) résulte de l'isomorphisme de Satake, cf. [Laumon] théorème 4.1.17. (iii) D'après la proposition 2 (iii) du paragraphe IV.3, M a o doit être une représentation absolument irréductible de l'algèbre a o A @ qLao dès lors que M est absolument irréductible et M a o # O. Mais comme cette algèbre est commutative d'après (ii), M a o est nécessairement de dimension 1 sur L . (iv) Lorsque L = @, c'est le contenu de [Laumon] théorèmes 7.5.4 et 7.5.6. De plus, et si P désigne alors le polynôme unitaire à coefficients dans @ dont l'ensemble des racines est {zi(M), . . . ,zn(M)), les coefficients de P sont des fonctions symétriques de ces racines, donc des expressions polynomiales à coefficients dans Q en les nombres zl (M)t . . , z, ( M ) t = TrM(ft),t > 1. Ainsi, ces coefficients sont dans le corps de rationalité de M. Ceci prouve le résultat lorsqu'il existe un plongement de L dans @. Reste à voir qu'on peut se ramener à ce cas. D'après la proposition 7 du paragraphe IV.3, M est définie sur son corps de rationalité, donc on peut supposer que L = Q(M). D'après la proposition 6 (i) du paragraphe IV.3, L est alors aussi le corps de rationalité de M a o . Comme l'algèbre aoAao est de type fini sur Q d'après (ii) et comme l'homomorphisme de trace sur M a o est un homomorphisme d'algèbres de aoAao dans L puisque M a o est de dimension 1, on voit que le corps L est engendré sur Q par un nombre fini d'éléments. Il peut donc se plonger dans @, comme on voulait. 0

+ +

Enfin, prouvons :

PROPOSITION 6. - Soit II un facteur @-automorphe de 'FI. (i) Si f est un élément de 'FI et f - désigne la fonction élément de 'FI définie par f-(g) = f (g-l), Vg E G(A), alors les deux nombres complexes

sont conjugués. (ii) Pour tout point fermé x de X' tel que le facteur II, de II correspondant au facteur 'FI, de 'FI soit f,,@-non ramifié, le uplet de nombres complexes zl (II,), . . . ,zd(II,) associé à II, d'après le théorème 5 (iv) est qdeg(x)(d-l) qd"g(4(d-1) tel que les deux uplets et zl(IIx), . - ., zd(nx) ,'", zd (II, ) zl (Hz) sont égaux à permutation près.

Démonstration : (i) Soit I -+ X un sous-schéma fermé fini tel que, fI désignant l'élément idempotent correspondant de 'Tl, on ait f E fI'FI fI d'où aussi f - E fI'FI fI et n n ( f ) =nnfI(f> nn(f-) =nnf,(f-) . Maintenant, llfI est un sous-quotient de la représentation de dimension finie sur @ Aut fI B q (C et il suffit de prouver que pour toute sousreprésentation M de Aut f I gQC , on a TrM(f-) = TrM(f). Or sur le @-espacevectoriel Aut @qC,on dispose de la forme hermitienne définie positive

Si f i , . . . , f, désigne une base orthonormée de M, on a donc

Or d'après la proposition 1 (iv), les deux opérateurs induits sur Aut Bq@ par f et f - ont des noyaux localement constants sur G(F)\G(A)/aZ x

G(F)\G(A)/aZ, à valeurs dans Q et qui se déduisent l'un de l'autre par échange des deux variables. Donc ces deux opérateurs sont adjoints l'un de l'autre pour le produit hermitien < .).> et pour tout i , 1 5 i 5 n, on a

D'où le résultat. (ii) se déduit de (i) et du théorème 5 (iv). En effet, écrivons la décomposition Ii "= II, @@ IIx et choisissons un f tel que l'élément idempotent associé sous-schéma fermé fini I ~ - X\{x) f? dans 3-1" vérifie IIxff # O, si bien que Trnz (f?) est un entier non nul. Pour tout t E Z\{O), soient f: et fgtles fonctions de Drinfeld en rang d et de niveaux t et -t sur GLd(Fx)G G(Fx). Alors on a

(f:

@

fi")- = f2 @ ffl"

d'où l'on tire d'après (i)

0

ce qui permet de conclure.

c) Représentations l-adiques de sentations automorphes

rF x rF attachées aux repré-

Commençons par un lemme préparatoire :

LEMME7. - Soient L u n corps contenant Qe et II une représentation admissible absolument isotypique irréductible de 3-1 @Q L . (i) Pour toute représentation admissible irréductible C de l'algèbre ( d ~ , e @ Q d, ~ , e@Q, ) L , la représentation n @C de ~ %Oq ( d ~ , e @ Qd, ~ , eBQ, ) L est isotypique. Elle s'écrit

où (II, C) est une représentation admissible irréductible, et e(II, C) est u n entier > 1 qui divise d ( I I ) 2 . (ii) Pour tout C comme dans (i) et tout entier n, O 5 n 5 4(d - l), soit m n ( n , C) la multiplicité de (II, C) dans la classe

Alors les entiers mn(II, C) sont nuls sauf pour un nombre fini de représentations irréductibles C (à isomorphisme près), et si on pose

on a un isomorphisme

De plus, si on pose pour tout C m(II, C) = C(-l)"mn(II, C) E 23 et si on n

définit l'élément

Démonstration : (i) La représentation II @L C est isotypique d'après la proposition 9 (iii) du paragraphe IV.3. De plus, les représentations HomB8pL(II,II @L C) et H O ~ % ~ ~ L ( I I , (II, C)) de (AF,[ BQ, AF,e) Bq, L sont évidemment admissibles, et on a des isomorphismes :

Comme la représentation C est irréductible, cela prouve que e(II, C) est un diviseur de d (II)2. (ii) Le fait que les entiers mn(II, C) sont presque tous nuls résulte de ce que HZ, Bq, L, considérée comme une représentation du seul facteur IFI @Q L, est admissible. Les autres assertions sont immédiates d'après (i). 0

LEMME8. - Soient L et II comme dans le lemme 7. (i) Si la représentation II est absolument irréductible, alors on a pour toute représentation admissible irréductible C de (AF,~ BQ,A F , ~@Q, ) L

mLc = ( n , q

O n a pour tout entier n

et on a dans K,d('FI

@Q

( A F , BQ, ~ dF,e) BQ, L) l'égalité

(ii) Si L' est u n corps qui contient L et II' est l'unique représentation admissible absolument isotypique irréductible de 3-1 @Q L' qui intervient comme facteur dans la représentation absolument isotypique II BL LI, avec donc u n isomorphisme

alors pour tout entier n on a u n isomorphisme

Démonstration : (i) Le fait que II est absolument irréductible se traduit par l'égalité d(II) = 1. De plus chaque entier e(I3, C), qui d'après le lemme 7 (i) divise d (II)2 , doit valoir 1. Toutes les assertions se déduisent alors du lemme 7. (ii) Par définition des entiers mn(II, C) [resp.mn(II', Cl)], la somme

dans le groupe Kad (3-1@Q ( d ~ , @ e a e A F , ~@Q, ) L ) [resp. Kad (3-1@Q ( A F , @Q, ~ d ~ , eBQ, ) LI)] rassemble toutes les composantes de la classe [Hg @Q, LI [resp.[Hg B Q , L']] qui font apparaître II [resp. IIt] comme facteur correspondant à 3-1 @Q L [resp.3-1 @Q LI]. Par conséquent, il existe un isomorphisme

D'après le lemme 7 (ii), cela prouve la première assertion. La seconde s'en déduit trivialement. Du théorème 2 et du théorème 5 nous allons maintenant déduire : THÉORÈME 9. - Soient L u n corps contenant Qe et I i une représentation admissible absolument isotypique irréductible de 'FI @Q L . (i) L 'ensemble des points fermés x de Xt\Ta tels que le facteur II, de II correspondant à l'algèbre 3-1, @Q L ne soit pas f , , p ~ o n ramifié est u n ensemble fini. O n notera X f , son complémentaire dans Xt\Ta. (ii) Pour tout entier n, O 5 n 5 4(d - 1)' la représentation CE de ïFx ïFest n,on ramifiée au-dessus de X f , x X f , c'est-à-dire se factorise à travers le foncteur

(iii) Soient O et cc deux points fermés de XfI, 1-0 ïF et 7, E ïF deux éléments de Frobenius en O et cc respectivement. Alors, pour tout entier u E N divisible à la fois par deg(0) et deg(m), toutes les valeurs propres de l'opérateur induit dans CE par l'élément x rOOu'deg(m) de ïFx ïF sont des entiers algébriques sur Q 70-u'deg(0) dont toutes les valeurs absolues sont égales à q S u . Par conséquent, les représentations semi-simples CE, O 5 n 5 4(d - 1 ) ) ont deux à deux des facteurs irréductibles distincts. (iv) S'il existe n tel que la représentation Eg soit n o n nulle, II est u n facteur L-automorphe de 3-1. De plus, il existe alors u n ouvert non vide Xff C X h tel que pour tous points fermés distincts O , oo de X f f , tous éléments 7 0 , r, de ïF comme dans (iii) et tous entiers u, s E Z,o n ait

où m(II) est le coeficient de [II] dans la classe [Aut @,QL]E Kad(îfBQ L) et zl (IIo),. . . , zd(IIo) et zl (II,), . . . , zd(II,) sont c o m m e dans le théorèm e 5 (iv). Démonstration : (i) résulte du corollaire 10 (v) du paragraphe IV.3. (ii) Il s'agit de prouver que pour tout ensemble fini T de points fermés de Xfi, la représentation E;4 de rF x T F se factorise à travers le groupoïde r(XiT)) x x(XiT)). Or le facteur IIT = @ II, de II qui correspond au facteur îfT de îf est XET

fTtO-nonramifié. Par conséquent et d'après les propositions 2 (iv) et 9 (iv) et (v) du paragraphe IV.3, l'homomorphisme de faisceaux

induit un isomorphisme de la composante de [ H ~ ~ " @ LI, Q dans , le groupe de fT,@8~3-1~) € 3 L~ = @UJîfT) BQL Grothendieck admissible de (fT,@îfT 0 qui est isotypique de type (nTf T , O ) @ L sur ~ T la composante de [H&nBQeL] dans le groupe de Grothendieck admissible de (îfT @,Q îfT) @Q L = îf @Q L

1.

qui est isotypique de type IIT @L IIT = Il, à savoir [@(II, c ) ~ " ( " ~ ~ ) C

Et d'après la proposition 8 du paragraphe IV.2, le faisceau H":' se prolonge sur XiT) x Xi,,), et vu comme représentation du groupoïde ~ ( S p eFc ) x ~ ( S p eFc ) , il provient d'une représentation du groupoïde 4 X h ) x GqT)). Cela permet de conclure puisque d'après le lemme 7 (ii)

-

(iii) On conserve les notations de la démonstration de (ii), avec T = {O, C a ) . Soit I X \ T un sous-schéma fermé fini non vide tel que, si désigne l'élément idempotent correspondant dans 'MT, on ait IIT f,T # 0, c'est-àdire aussi II(fT,@€3 f?) # O. Alors l'ensemble des valeurs propres de l'opérateur induit par rou/ ded'J) 7,u'deg(oo) sur CE est certainement contenu dans l'ensemble des valeurs U' deg(0) x deg(x) sur n'importe quelle propres de l'opérateur induit par ro fibre du faisceau Hg'" = Hg,I.

f7

fT

TU!

Considérons donc la fibre au-dessus de Spec&, pour O : ~ ( 0 ct ) & et oo : ~ ( o o ct ) & deux points de X(&) au-dessus de O et m . deg(0) Sur cette fibre, les actions de 70 et T, sont inverses de celles de Robo ( ~ ) est égale à celle du et l'action de T [ ~ ' ~ ~ x~ rgu'deg(co) et morphisme de Frobenius géométrique Rob". Or d'après le théorème 1 du paragraphe IV.l, le champ ~ h t ~ , ~ est / a représentable, " projectif et lisse au-dessus de X'\I x X1\I. On conclut d'après le théorème de pureté de Deligne que les valeurs propres de ces opérateurs ont les propriétés annoncées. La dernière assertion de (iii) est une conséquence évidente de la précédente. (iv) D'après la proposition 6 (iii) du paragraphe IV.3 et le lemme 8 (iil on peut se limiter au cas où L est une clôture algébrique de Qe. Alors et d'après le lemme 8 (i), on a dans le groupe de Grothendieck BQ, d F , e ) BQ, L la décomposition admissible de 'FI BQ

-

où n décrit un ensemble de représentants des classes d'isomorphismes de représentations admissibles absolument irréductibles de 'FI BQ L. D'autre part, on a dans le groupe de Grothendieck admissible de 'FI@QL la décomposition ?r

où chaque m(n) est un entier > 0, non nul si et seulement si n est un facteur L-automorphe de 'FI. D'après la proposition 4 (iii) du paragraphe IV.3, il existe un élément f E 'FI tel que pour tout n intervenant dans l'une des classes [HZ,BQ, LI ou dans [Aut ~ Q L ]on, ait

"

Tr,(f) = 1 si n Il Tr,( f ) = O dans le cas contraire Soit alors T un ensemble fini de places de X , contenant Ta et tel que f soit de la forme f = 8 fT où f T est un élément de 'FIT et est l'élément idempotent distingué de 'FIT. Soit Xff le complémentaire de T dans Xh. Alors pour tous points fermés distincts O, oo de Xff, f peut s'écrire sous la forme f = f,,@ @ f @ fo,@ où E 'FIoO>O.

fr

0010

fr

f m j o

Pour u , s

> 1 deux entiers, on a donc d'après le théorème 2

D'après l'hypothèse sur f et le corollaire 10 (iv) du paragraphe IV.3, cela s'écrit encore

De plus, si ( f ; ) # 0 et TrTW(f;") # O, alors xof0,0 # 0 et .rr,fm,O #0 et d'après le théorème 5 (iii) ceci implique que .rra fo,@et T, f,,@ sont de dimension 1 sur L si bien que dans tous les cas

En utilisant encore l'hypothèse sur f et d'après le théorème 5 (iv), on obtient :

Cette égalité, vraie pour tous entiers u, s 2 1, s'étend immédiatement à tous entiers u, s E Z, ce qui prouve la seconde assertion. Pour la première assertion, supposons qu'il existe n avec Cn # O. Alors d'après la dernière assertion de (iii), on a aussi CH # O. Et d'après le théorème de densité de ~ e b o t a r e v ,les 7FUx rGS quand (O, CO) décrit l'ensemble des couples de points fermés distincts dans Xff et u , s décrivent Z, sont denses dans TF x rF.Comme Cff est une représentation non nulle continue de rF x rF, on voit d'après la proposition 4 (iii) du paragraphe IV.3, qu'il existe un tel TC" x rgSavec Tr,; (7;OU x 7;)' # 0, ce qui impose m ( n ) # 0.

O COROLLAIRE 10. (i) Pour tout entier n impair, le faisceau Hg est nul. Il en est de même du faisceau Hg,I pour tout sous-schéma fermé fini I -+ X . (ii) Dans le groupe de Grothendieck admissible de 'FI @Q Qe, on a l'égalité entre classes induites

Démonstration : (i) La seconde assertion est conséquence de la première car d'après le lemme 7 (iii) du paragraphe IV.2, on a toujours Hg,I = H $ f I . Pour la première assertion, il suffit de prouver que si L est un corps algébriquement clos contenant Qe, II un facteur L-automorphe de % et n un entier impair, alors Ch = 0. Fixons O et oo deux points fermés distincts de Xff.Et soient 70 et 7, comme dans le théorème 8 (iii). Pour tout entier n , O 5 n 5 4(d - l),notons -deg(m) An,1,.. . , An,b(n) les valeurs propres de l'opérateur induit par r0 - dedo) p. Tm Pour tout entier u E Z,on a donc

et d'après le théorème 9 (iii) les ensembles {An,l,.. . , An,b(n)) sont deux à deux disjoints. Mais d'après le théorème 9 (iv) on a également

sur L est nulle. Ceci prouve que pour n impair, la dimension b(n) de (ii) Soit encore L un corps algébriquement clos contenant Qe. Il suffit de prouver que dans Kad(%BQ L), on a

[H; BQ, L] = d2[Aut BQL].

et dans Kad(% Bq L), on a

Enfin, si 1 désigne l'élément unité dans rF x TF, on a d'après le théorème 9 (iv) %-=,(l) = m(II)d2 . D'OÙ

l'on conclut.

O

d) Représentations l-adiques de t ions automorphes

rF attachées aux représenta-

Pour tout entier n E Z, on introduit Qe(n) la représentation continue de rF de dimension 1 sur Qe qui se factorise à travers le foncteur rF -t ~ ( S p eF) c + ~ ( S p e c F , )et pour laquelle n'importe quel automorphisme de Frobenius (arithmétique) de ~ ( S p eIFq) c agit par la multiplication par qn. Si L est un corps contenant Qe et a est une représentation de dF,e BQ, L de dimension finie sur L , on note a ( n ) la représentation a Bq, Qe(n). D'autre part, on note aVla représentation duale HomL(a,L ) de a . Les foncteurs a a ( n ) et a t-+ a" sont exacts et induisent des automorphismes de K(dF,e Bq, L ) , notés de la même façon. Avec ces notations, on a :

-

PROPOSITION 11. - Soient L un corps contenant Qe et II u n facteur L-automorphe de 7i. (i) Ch peut être vue comme une représentation semi-simple de (&,e BQ, &,e) BQ, L. Elle induit une représentation du premier facteur d F , e BQ, L qu'on notera a: et qui est également semi-simple. (ii) XfI désignant l'ouvert non vide de X' défini dans le théorème 9 (i), la représentation an de TF est non ramifiée au-dessus de Xfl c'est-à-dire se factorise à travers le foncteur

(iii) Xff désignant l'ouvert non vide de Xfl introduit dans le théorèm e 9 (iv) on a pour tout point fermé O de Xff, tout élément .ro E rF comme dans le théorème 9 (iii) et tout u E Z

(iv) On a u n isomorphisme entre représentations semi-simples de ( A F , BQ, ~ A ? e ) BQ, L

Démonstration : (i) Ch = C(-l)n[CK] peut être vue comme une représentation n

semi-simple de BQ, dF,e) BQ, L puisque d'après le corollaire 10 (i) les Cg sont nulles pour tous n impairs. D'après la proposition 9 (v) du paragraphe IV.3, a& est alors semisimple comme représentation de d F , e BQ, L.

(ii) résulte du théorème 9 (ii). (iii) s'obtient en choisissant un point fermé cm de X h distinct de O et en posant s = O dans l'énoncé du théorème 9 (iv). (iv) D'après (i) ci-dessus et la proposition 9 (ii) du paragraphe IV.3, les deux représentations considérées sont semi-simples. De plus, d'après (iii) ci-dessus et le théorème 9 (iv), . . leurs homomorphismes traces associés coïncident en tous les éléments de rFx rFqui sont de la forme r0-"

X TGS

avec 0, cm deux points fermés distincts de Xff, TO et r, comme dans le théorème 9 (iii) et u , s E Z. Or ces éléments sont denses dans rF x rF d'après le théorème de densité de ~ e b o t a r e vCela . permet de conclure lorsque L est une extension algébrique de Qe car alors les représentations de rF x rF considérées sont continues. Et on se ramène à ce cas d'après le lemme 4 (iv), le lemme 8 (ii) et la partie (i) du lemme suivant : LEMME12. - Soient L et II comme dans la proposition 11. (i) S i L' est u n corps qui contient L et II' est l'unique facteur LIautomorphe de 'FI qui vérifie

alors on a u n isomorphisme

(ii) Il existe une extension finie L' de L telle que pour n' comme dans (i) tous les facteurs irréductibles de la représentation a& de dFte @JQ,L sont absolument irréductibles. (iii) Si L' est une extension de L qui vérifie la conclusion de (ii) et m 1 est le plus grand entier tel que la représentation a& s'écrive sous 1 d). la forme rm, alors CE est isomorphe à une puissance de T 8 ~ " ( -

>

Démonstration : (i) résulte des définitions de ah et a;, et du lemme 8 (ii). (ii) résulte de la proposition 6 (iii) du paragraphe IV.3b ainsi que de (i).

(iii) m est le p.g.c.d. de tous les coefficients des composantes irréductibles de la classe [ah,] et c'est aussi le p.g.c.d. des coefficient des composantes irréductibles de la classe [(ah,)V(1- d)]. Comme ces composantes irréductibles sont en fait absolument irréductibles on voit d'après la proposition 9 (iv) du paragraphe IV.3 que le p.g.c.d. des coefficients des composantes irréductibles de la classe [ah, 8 ( ~ f , ) ~-(d)] l est m2. On conclut d'après la proposition 11 (iv) car alors m2 doit être divisible par d ( ~ ~ ~ ) ~ m ( n ~ ) d ~ . O Nous pouvons maintenant démontrer : THÉORÈME 13. - Soient L u n corps contenant Qe, I I u n facteur Lautomorphe de 7.t et Q(II) L) @. u n plongement dans C du corps de rationalité Q(II) de II qui est u n corps de nombres. Alors : (i) E n utilisant les notations du théorème 5 (iv), les uplets de normes de nombres complexes

quand O décrit l'ensemble des points fermés de l'ouvert n o n vide Xn C Xf, C X1\T, de X , sont tous égaux à permutation près. Ils sont respectés par 1 'involution t qd-' /t . Et ils prennent leurs valeurs dans l'un ou l'autre des deux ensembles

-

(1, q, q2,.. . ,qd-2 , qd-1 }

ou

{q1/2, q3l2,.. . ,qd-5/2,qd-3'2}.

(ii) S'il existe au moins u n point fermé O de Xg où l'on sache que

alors o n peut conclure que pour tout point fermé x de Xff

E t il est équivalent de dire que CH = O , V n # 2(d - 1). Remarque : Les inégalités dans l'hypothèse de (ii) sont connues en tous les points fermés O de Xf, si II correspond au sens de Jacquet-Langlands à une représentation automorphe cuspidale du groupe adélique GLd(A). Démonstration du théorème 13 : Que Q(II) soit un corps de nombres a été vu dans la proposition 4 (i).

-

(i) La symétrie par l'involution t q d - ' / t résulte de la proposition 6 (ii). 1 On remarque que pour x fixé, connaître le uplet des I z i ( I I o ) l m, 1 i 5 d , revient à connaître le uplet des

<

Or d'après la proposition 11 (iii) et (iv) et la proposition 6 (ii), le uplet répété d(II)2m(TI)fois des zi(no)zj(no)1

15il j5d'

s'identifie au uplet des valeurs propres de l'opérateur induit par TC' x r i 1 sur la représentation semi-simple Cf de rF x r F . Puis d'après le théorème 9 (iii) et le corollaire 10 (i), on voit que les normes de ces nombres sont à valeurs dans l'ensemble (1,qdeg(0),q2 de&d0)' . . . ,q 2(d-1)

deg(0)

>

<

et que chaque norme qndeg(0),O n 5 2(d - l ) , apparaît avec une multiplicité égale à la dimension sur L de Cr;", donc indépendante du point fermé 0. A partir de là, on conclut immédiatement. (ii) La première assertion est un cas particulier de (i). La seconde résulte de la discussion dans la démonstration de (i).

n

Afin de poursuivre, on a besoin de rappels sur les fonctions L associées aux représentations t-adiques de rF et sur les fonctions L associées aux représentations automorphes cuspidales des groupes adéliques GL, (A).

DÉFINITION14 (Grothendieck). - Soient L u n e extension finie de Qe et U u n ouvert n o n vide de X . Soit a u n e représentation continue de ï Fdans u n espace de dimension finie sur L, n o n ramifiée sur U c'est-à-dire se factorisant à travers le foncteur rF ~ ( S p eFc ) --+ T ( U ) .

-

O n appelle fonction L partielle associée à a et o n note L u ( a , x) la série formelle à coeficients dans Ü&

où O décrit l'ensemble des points fermés de U et chaque élément de Frobenius e n la place O.

70

E

rF est

un

DÉFINITION15 (Langlands). - Soient n1 et n 2 entiers, II1 et II2 deux représentations admissibles irréductibles automorphes cuspidales des algèbres de Heclce sur @ des groupes adéliques GL,, ( A ) et GL,, ( A ) respectivement. Soit U u n ouvert non vide de X tel que pour tout point fermé x de U les facteurs locaux II1, et II2, de IIl et II2 (qui sont des représentations admissibles irréductibles des algèbres de Heclce sur @ des groupes GL,, (F,) et GL,, (F,) respectivement) soient non ramifiées au sens du théorème 5 . O n appelle fonction L partielle associée à II1 8 I: et o n note Lu(IIl 8 I:, z ) la série formelle à coeficients dans @

où x décrit l'ensemble des points fermés de U . 16 (Grothendieck, Deligne). -- Comme dans la définition 14, soient L une extension finie de Qe et U u n ouvert non vide de X . ( i ) Si a , a i , a2 sont trois représentations de rF comme dans la définition 14 et s'il existe une suite exacte THÉORÈME

alors o n a L u ( a , z ) = L u ( a l , z )Lu(a2, z ) . (ii) Toute représentation a de ï Fcomme dans la définition 14 peut être vue comme u n L-faisceau constructible et lisse sur U . E t o n a la formule

E n particulier, Lu ( a ,r ) est une fraction rationnelle. De plus o n remarque que H z ( a ) = H O ( a )si U = X , H z = O si U et que ( a )E H O ( a V(- 1 ) ) .

#X

HZ

(iii) Dans la situation de (ii), supposons que a est pure de poids n E Z c'est-à-dire que pour tout point fermé O de I;, les valeurs propres de 1-0' dans a sont des nombres algébriques sur Q dont toutes les valeurs absolues archimédiennes sont égales à q4 d e d o ) . Alors toutes les valeurs propres de ~ o b - ldans H E ( a ) sont des nombres algébriques sur Q dont les valeurs absolues archimédiennes sont de la forme q% avec n' 5 n+ 1. I

(iv) Soient al et a2 deux représentations de ïFcomme dans la définition 14, supposées irréductibles et pures de même poids. Alors la fonction L(al 63 a:, z ) possède au point q-l u n pôle de multiplicité égale à la dimension sur L de EndL(al) si al et a2 sont isomorphes, et dans le cas contraire, elle n'a ni zéro ni pôle e n ce point.

Démonstration : (i) est évident sur la définition. (ii) La première assertion résulte de la définition du groupoïde x(U) et de ce que TF, étant profini donc compact, stabilise un réseau de a . La formule qui suit est un théorème de Grothendieck. Les deux expressions pour H:(a) sont évidentes, et celle pour H:(a) s'obtient par dualité de Poincaré-Grothendieck. (iii) a été démontré par Deligne. (iv) La représentation al @ozest pure de poids O donc d'après (iii) le polynôme detH:(,,B,;) (1-Frob-l z ) ne s'annule pas au point q-l. D'après ,,( Bu;) (1 - 14-ob-l z ) non plus ne s'y annule pas et (ii) , le polynôme detHco le polynôme detH2(,,~,;)(l - hob-' z ) s'y annule avec la multiplicité

0

d'où l'on tire le résultat annoncé. THÉORÈME 17. - Soient ni et na, IIl et définition 15. Alors la série

ri2 et

U comme dans la

est convergente dans u n voisinage de O dans @. Elle se prolonge en une fonction méromorphe sur C tout entier. A u point q-l elle n'a ni zéro ni pôle si nl # n2 ou bien si ni = n2 mais II1 et II2 ne sont pas isomorphes, et elle a en ce point u n pôle d'ordre 1 si Démonstration : Voir [Shahidi]. Nous pouvons maintenant démontrer :

18. - Soient L u n corps contenant Qe et I'I u n facteur L-automorphe de 7-l qui correspond au sens de Jacquet-Langlands à une représentation automorphe cuspidale du groupe adélique GLd(A). THÉORÈME

Supposons que l'on sache que toute représentation continue, non ramifiée sur u n ouvert n o n vide U de X et absolument irréductible de ï Fdans u n espace de dimension d' < d sur une extension finie de Qe corresponde au sens de Langlands à une représentation automorphe cuspidale du groupe adélique GLdt (A), n o n ramifiée sur U . Alors o n peut conclure que la représentation semi-simple aïf de ï Fest absolument isotypique et si son unique facteur irréductible est absolument irréductible, il est de dimension d . Remarque : La supposition du théorème est réalisée d'après Drinfeld lorsque d < 3. Démonstration du théorème 18 : D'après la proposition 4 (ii) et le lemme 12 (i) et (ii), on peut supposer que L est une extension finie de Qe, que II est absolument irréductible et que a; s'écrit

où les a sont des représentations absolument irréductibles de T F dont on note du les dimensions respectives sur L. D'après la proposition 11, les facteurs a sont des représentations continues non ramifiées sur Xff et on a

Soit II' la représentation automorphe cuspidale de GLd(A) qui est associée à II au sens de Jacquet-Langlands. Supposons qu'il existe un facteur a avec m ( a ) 1 1 et du < d. Alors par hypothèse il lui correspond au sens de Langlands une représentation automorphe cuspidale II', de GLdo(A). D'après la proposition 11 (iii), on a une égalité de séries formelles à coefficients dans le corps Q(II) (qui est contenu à la fois dans L et dans @)

D'après le théorème 16 (ii), le premier terme est une fraction rationnelle. De plus, d'après le théorème 13 (ii) et la proposition I l (iii), la représentation aïf est pure de poids d - 1, donc aussi son facteur a. On en déduit grâce au théorème 16 (iv) et (i) que la fraction rationnelle Lx;;(a; 8 a V , z ) possède au point q-' un pôle d'ordre m(a). Et d'après le théorème 17, Lx;; (II' @II;", Z) induit une fonction méromorphe sur @ qui n'a ni zéro ni pôle au point q-'. Il y a contradiction.

Ainsi, les représentations absolument irréductibles a qui interviennent dans la décomposition de ah sont toutes de dimensions du 2 d. Maintenant on a, toujours d'après la proposition 11 (iii), l'égalité suivante entre séries formelles à coefficients dans Q(II)

D'après le théorème 17, le second terme induit sur C une fonction méromorphe qui présente au point q-' un pôle d'ordre m(II)2d2.D'autre part et comme on a déjà dit, la représentation ah et ses facteurs a sont purs de poids d - 1. D'après le théorème 16 (ii), (i) et (iv), la série formelle Lx;;(ah @ (ah)", Z ) est une fraction rationnelle qui admet au point q - l un pôle d'ordre C m(a)2. IT

En résumé, on a

On en déduit C m ( a )

Cm

Cr


= m(II)d qui n'est compatible avec

u

( ~ =) m(II)2d2 ~ que s'il n'y a qu'un seul facteur a et qui vérifie

C'est ce qu'on voulait.

Chapitre V Calcul des nombres de Lefschetz en rang r

>2

1. - Polygones canoniques de Harder-Narasimhan et troncatures d'Arthur

a) Petit dictionnaire des adèles et des fibrés On note G le schéma en groupes sur F des automorphismes de E = D r , pour r > 2 un entier. Soit Mo le sous-groupe de Lévi de G associé à la décomposition en somme directe E = D $ . . . @ D. Désignons par Po [resp. M o ] l'ensemble fini des sous-groupes paraboliques de G [resp. de leurs sous-groupes de Lévi] qui contiennent Mo. Et soit Po E Po le sous-groupe parabolique minimal associé à la filtration O Ç D Ç D~ Ç . . . Dr = E. Tout sous-groupe parabolique P E Po admet un unique sous-groupe de Lévi Mp qui soit dans M o . En particulier Mpo = Mo. Pour tout M E M o [resp. P E Po]on notera Z M son centre [resp. Z p = Z M , le centre de M p ] . On notera en particulier Zpo = ZMo= ZO. On désignera par P > Po l'ensemble de tous les sous-groupes paraboliques de G. Pour tout P E P , on notera N p son radical unipotent. On suppose que l'ordre DA dans DA = D @ F A associé à la Qx-algèbre D localement libre de rang d2 et de fibre générique D est maximal, si bien que K = GLr(DA)est un sous-groupe ouvert compact maximal de G(A). Enfin, on fixe a E AX un idèle de degré 1 dont les composantes valent 1 en dehors d'un ensemble fini Ta de places de F. Le quotient G(A)/K s'identifie naturellement à l'ensemble des DModules (à droite) & localement libres de rang r sur X et munis d'une trivialisation de leur fibre générique c'est-à-dire d'un isomorphisme

Le D-Module E g qui correspond à un élément g = (gx)x,lxlde G(A) est caractérisé par le fait que pour tout x E 1 x1 & B~~Oz = Ex = gx(DL) dans DL

=Ex

Puis le quotient G(F)\G(A)/K s'identifie au groupoïde des D-Modules localement libres de rang r sur X. Si £9 est le 2)-Module associé à un

7-22

élément g E G(A), son degré est deg&g = deg(detg) et sa pente est deg &g Mg> = rgEg = I-L(s). Si maintenant P est un objet de Po et rl, . . . ,ripl désignent les rangs des facteurs simples de Mp au nombre de IPI, l'application S H F I P S permet d'identifier P ( F ) \ G ( F ) au sous-ensemble Pp de P des sousgroupes paraboliques de G dont le quotient réductif a ses facteurs de rangs ri, . . . ,r l p . Et Pp s'identifie à son tour à l'ensemble des filtrations E. = (O = Eo Ç El Ç . . . Ç ElPl = E) de E = Dr telles que rg(Ei-1\Ei) = ri, 1 < i < [PI. On associe pour cela à tout sous-groupe parabolique Q E Pp la plus fine filtration E? de E qu'il stabilise. Puis si g E G(A)/K correspond à un fibré 1 9 muni d'une trivialisation &$ E E et si Q E Pp est un sous-groupe parabolique, on peut leur associer la filtration &?'& de &g par les sous-fibrés engendrés par les E& E E . ) une équivalence du On remarque que l'application g H (19, E ? ' ~ définit quotient P ( F ) \ G ( A ) / K sur le groupoïde des D-Modules & localement libres de rang r munis d'une filtration &. vérifiant rg(Ei-l\Ei) = ri, 1
<

b) Polygones et filtrations canoniques de Harder-Narasimhan

A tout élément g E G(A) et à tout sous-groupe parabolique Q E P auxquels on fait correspondre le fibré 1 9 muni de la filtration &?'&, est associé le polygone pQ : [O, r] -t R défini par les conditions : pQ s'annule aux bornes O et r et il est affine sur chaque intervalle

[rg&::y,

rg&:'&], pour tout indice i, on a

r On prouve d'après la proposition 2 du paragraphe II.2a que pour tout élément g E G(A) fixé et lorsque Q décrit l'ensemble P de tous les sousgroupes paraboliques de G, la famille des polygones pQ possède un plus grand élément. On le note pg et on l'appelle polygone canonique de HarderNarasimhan de g ou de Eg. C'est un polygone concave. De plus, parmi les sous-groupes paraboliques Q de G dont le polygone se confonde avec le polygone canonique pg, il en existe un plus grand (rg&:2Q) = deg

-

-9

Qg, correspondant à une filtration &?'&

=

Zg, qu'on

canonique de Harder-Narasimhan de g ou de E g .

appellera filtration

Rappelons tout de suite le lemme fondamental suivant dû à Harder et Narasimhan : LEMME1. - Pour tout polygone p : [O, r] + IR+, l'ensemble

0

est compact.

On prouve plus généralement que pour tout élément g E G(A) et tout sous-groupe parabolique P de G fixés et lorsque Q décrit l'ensemble de tous les sous-groupes paraboliques de G contenus dans P, la famille des polygones pQ possède un plus grand élément. On le note :p et on l'appelle polygone canonique de Harder-Narasimhan de l'élément g muni de la filtration P. De plus, parmi les sous-groupes paraboliques Q C P de G dont le polygone pQ se confonde avec le polygone canonique $,, il en existe -9

-g,p

C P, correspondant à une filtration E ~ ' ~ =' E. , un plus grand qu'on appellera raffinement canonique de Harder-Narasimhan de ( g ,P ) ou de I ? ~ ~ . Le lemme 1 entraîne le résultat plus général : COROLLAIRE 2. - Pour tout sous-groupe parabolique P E P et pobr tout polygone p : [O, T ] + IR+, l'ensemble

est compact.

O

Pour des raisons techniques il nous faudra aussi pouvoir modifier les filtrations canoniques Qg et de la faqon que voici : Pour tout élément g E G(A) [resp. et tout sous-groupe parabolique P E P] et toute constante p 2 O, on notera pQg [resp. kQ>] l'unique sous-g,p groupe parabolique de G tel que si p z g [resp. P I . ] désigne la filtration de E g associée, alors

> fia: >

fiag>

Bien sûr, on a toujours Qg [resp. P QSp]. Autrement dit la filtration fi59 de Eg est moins fine que la filtration canonique Eg [resp. -g,p de Eg et elle est moins la filtration fi&, est plus fine que la filtration -9,p fine que le raffinement canonique E, 1. &?lP

Nous aurons également besoin d'une variante de la notion de polygone attaché à une filtration &?'& d'un fibré 5 9 , lorsqu'on fixe un homomorphisme E : AX/OL + R. Considérons g un élément de G(A), Q E P un sous-groupe parabolique de G et y un élément de Q ( F ) . Ainsi y stabilise-t-il la filtration E& de E = DT associée à Q et pour tout indice i on peut introduire l'automorphisme : [O, r] R le polygone défini y, restriction de y à E/. On notera p;,,,, par les conditions : s'annule aux bornes O et r et il est affine sur chaque

-

Pg,y,,

intervalle [rgEEl, rgEiQ 1, 0 pour tout indice i, on a p$,,,,(rgE~) = (deg E!3Q

+ ~ ( d eyi)) t

-

rgEP (deg Eg + ~ ( d ey)) t .

r Ici encore on prouve d'après la proposition 2 du paragraphe II.2a que pour tout élément g E G(A) et tout automorphisme y E G ( F ) , et lorsque Q décrit l'ensemble de tous les sous-groupes paraboliques de G contenant y, la famille des polygones pi,,,, possède un plus grand élément. On le note p;,: et on l'appelle polygone &-canonique de Harder-Narasimhan de (g, y). C est un polygone concave. de G Il est réalisé par un plus grand sous-groupe parabolique -g>Y>E contenant y, correspondant à une filtration £, , qu'on appelle filtration &-canoniquede Harder-Narasimhan de (g, y) ou de ( E g , y). Plus généralement, pour g E G(A),P un sous-groupe parabolique de G et y E P(F),on dispose d'un raffinement &-canoniqueq;,,,, inclus dans

a;,,

--~,P,Y,E

P et contenant y, correspondant à une filtration E. de Es, et dont le &-polygoneest noté p$,,,, . Lorsque E = O on pourra ôter le "E" dans toutes ces notations. c) Troncatures par le polygone canonique. Un peu de combinatoire Introduisons d'abord une nouvelle notation. Si p, q : [O, r] -. R sont deux polygones et P E P est un sous-groupe parabolique de G, on notera q > p p pour signifier que q(rg E:)

> p(rg E:),

15 i

< [PI .

Pour P contenant Po, on remarque que la fonction caractéristique sur G(A) g l ( p g , >P P ) se confond avec celle notée dans [Arthur] 9

-

?p(H(g)- T )

si T est un cocaractère réel de Mo tel que la famille des différences de pentes

[p(rl)- p(rt - l ) ]- [p(rl+ 1 ) - p(rl)],

1 < rt < r ,

soit égale à celle des a ( T ) ,a décrivant l'ensemble des racines simples de Po. Relions par une première formule les troncatures par le polygone canonique aux troncatures d'Arthur :

PROPOSITION 3. Pour tout polygone concave p : [O'r] + IR+, on a l'identité suivante entre fonctions caractéristiques il(.- .) de la variable g E G(A) : -

Démonstration : On sait que pour tout P E P et tout 6 E P(F)\G(F) on a = De plus, quand P décrit le sous-ensemble de Po des éléments contenant Po et 6 décrit P(F)\G(F), 6-lP6 décrit l'ensemble P de tous les sous-groupes paraboliques de G. Ainsi la somme de droite se récrit-elle sous la forme

pp

Lorsque pg = max{p$) vérifie p g 5 p, tous les termes dans cette somme PEP

sont nuls excepté celui correspondant à P = G qui vaut 1. Reste à voir que si p g n'est pas majoré par p, cette somme est nulle. Or on sait associer à tout P E P le raffinement canonique de ( g , P ) . On peut regrouper les termes suivant leurs raffinements canoniques et il suffit de prouver que pour tout Q E P :

Qc

PEP Q g --

P-Q

C'est le cas particulier p

= O,

Q = Q du lemme suivant :

LEMME4. - Soient p 1 O une constante, p : [O, r] + R un polygone et Q , Q E P deux sous-groupes paraboliques tels que Q E Q. Alors la fonction sur Q(F)\G(A)/~"

est la fonction caractéristique d'un sous-ensemble compact qui contient {g,Qg = Q A p Q g = Q pg 5 p} et même lui est égal si le polygone p est p-grand au sens que pour tout r', 1 5 r' < r , [P(rl)- p(rf - l ) ]1 P + Kr' + 1) - p(rl)I. Démonstration : Introduisons les ensembles suivants, pour tout g G ( A ):

E

Il est immédiat que l'application P H I p = {rg&:'P, 1 5 i < [PI)définit une bijection de l'ensemble {P E P, = Q A pQ; = Q A p: >, p} sur l'ensemble des parties J de I qui vérifient Ï p C I C Ï et 1\10 U I\Ïp & J & 1, et que pour tout tel P, \Pl- 1 = # I p . Ainsi la fonction considérée estelle la fonction caractéristique du sous-ensemble des g E Q(F)\G(A)/aZ vérifiant Ï p C I C Ï et Ï\Ïo U I\Ïp = I,. D'après le corollaire 2, c'est une partie compacte, et qui contient évidemment {g,Qg = Q A p Q g = Q Apg 5 PI. Voyons maintenant ce qu'impliquent les relations Ï p C I 2 Ï et 7\70 U I\Ï, = 1, lorsque le polygone p est p-grand. Tout d'abord, on prétend que I, = 0. Supposant I, # 0, soit r' le plus petit des éléments de Ï qui maximisent la différence (pE-p) (r'). Comme p est p-grand on a nécessairement r' E Ï p Q d'où d'une part r' E I et même r' E I, puisque I, # 0 et d'autre part r' E Ïo.Cela contredit l'égalité 1\70 U I\Ï~ = I,.

&;

Comme I, = 0, on a Ï = Ïoet I = Ïpc'est-à-dire Qg = Q et @Qg = Q. Les relations p: p et pQg = Q impliquent alors pP = p z < p puisque le Q polygone p est p-grand. Ceci termine la démonstration du lemme 4 et donc aussi de la proposition 3.

<

O On prouve de la même façon que la proposition 3 : PROPOSITION 3'. (i) Soit E : AX/O: -+ W u n homomorphisme. Pour tout polygone concave p : [O, r ] -+ IR+,o n a 1 'identité suivante entre fonctions caractéristiques a(. .) des variables g E G(A) et y E G ( F ) :

(ii) Pour tout polygone concave p : [O, r ] + IR+, o n a en particulier :

d) Conséquences de l'invariance locale Pour tout sous-groupe parabolique P E P, on note dnp la mesure de Haar sur Np(A) pour laquelle le quotient compact Np(F)\Np(A) est de volume 1. On a le lemme fondamental suivant (pour une autre formulation, voir par exemple [Mœglin, Waldspurger, 19941 lemme 1.2.7) : LEMME5. - Pour tout sous-groupe ouvert K' de K , il existe une constante p O ne dépendant que de K' telle que : Pour tout élément g E G(A), pour tout sous-groupe parabolique P E P de G vérifiant P pQg et pour toute fonction cp : G(A) + @. invariante à gauche par Np(F) et invariante à droite par K t , o n a :

>

>

Démonstration : Il n'y a pas de restriction à supposer, quitte à changer g en Sg et cp(.) en cp(S-l.) pour un certain S E G ( F ) , que la filtration canonique Qg de g est un élément Q de Po. A fortiori P qui contient Q est aussi dans Po et il n'y a plus qu'un nombre fini de possibilités pour P et Q. En écrivant la décomposition d'Iwasawa de g et d'après le corollaire 2, on peut supposer de plus que g est de la forme g = n2rn.k où : n reste dans un domaine fondamental compact fixé de NQ(A) relativement au réseau NQ(F), m reste dans une partie compacte fixée de MQ(A), l IQI Z = ( Z , . . . ' zlQ1) est dans ZQ(A) = ZQ(A) x . . - x ZQ (A) 2

.

(A')IQI, et pour tous indices i ,j, 1 < i < j 5 [QI, on a p(zi) 1 p(zj), et même p(zi) ) p p(zj) si Z;I et Z& ne sont pas dans le même facteur simple de Mp. On en déduit aussitôt que si la constante p est assez grande en fonction de K t , il existe dans Np(A) un domaine fondamental compact Np(A) relativement au réseau Np(F) tel que pour tout np E Np(A) l'élément g - l n p g = k l m - l z -1 n -1 npnzmk soit dans K t . Et comme cp est invariante à droite par K t , on obtient

+

Le lemme 5 entraîne aussitôt le résultat plus général :

COROLLAIRE 6. - Pour tout sous-groupe ouvert K t de K , il existe une constante p > O ne dépendant que de K t telle que : Pour tout élément g E G(A), pour tous sous-groupes paraboliques P, Q E P de G vérifiant P Q PQ; et pour toute fonction cp : G(A) + @ invariante à gauche par NQ(F) Np(F) et invariante à droite par K t , o n

>

>

>

Pour tout polygone p : [O, r ] + IR+, l'opérateur de troncature d'Arthur Ap sur les fonctions localement constantes cp : G(F)\G(A) + @ est défini

1. POLYGONES DE HARDER-NARASIMHAN

ET TRONCATURES D'ARTHUR

par la formule :

Ceci étant rappelé, on a :

PROPOSITION 7. - Pour tout sous-groupe ouvert K' de K , il existe une constante p 2 O ne dépendant que de K r telle que, pour tout polygone p : [O, r ] + IR+ qui soit p-grand et pour toute fonction cp : G(F)\G(A) -+ C invariante à droite par K I , o n ait :

Démonstration : La formule de définition de ( A P q ) ( g )s'écrit encore :

Lorsque p g = max{p$) vérifie p g 5 p, tous les termes dans cette somme PEP

sont nuls à l'exception de celui correspondant à P = G qui vaut p ( g ) . Reste à voir que si p g n'est pas majoré par p, cette somme est nulle. Or on sait associer à tout P E P le raffinement canonique Q$ = Q de ( g ,P ) ainsi que, pour p 2 O fixée, la filtration PQ; = Q. Et si p a été choisie comme dans le corollaire 6, on a avec ces notations

Regroupons donc les P E P suivant les couples associés. On conclut d'après le lemme 4.

(a:,

PQ;)

=

(Q,Q)

0

e) Conséquences de la compacité du support On a l'autre lemme fondamental suivant :

LEMME8. - Pour toute partie compacte S de G ( A ) , il existe une constante p O telle que pour tout g E G ( A ) et tout y E G ( F ) , on ait l'implication : g-lYg E S =====3 y E 'Qg

>

Démonstration : Choisissons un élément b E AX tel que b S C Mr(VA) ri G(A). Et notons C le Ox-Module inversible associé à l'élément b-l. Comme g-lyg E S, y induit un homomorphisme de V-Modules sur X partout défini E g A 5 9 @O, C. 11 s'agit de montrer que pour tout indice i s'annule le composé

PI;

L)

&g

Yt Eg @O,

C -+ (pE;\&g) gox C .

Pour cela, il suffit d'après la proposition 2(v) du paragraphe II.2a que la pente maximale p+ du fibré d'arrivée soit strictement inférieure à la pente minimale p- du fibré de départ. Or p+((pE;\&g) @O, C) = p+(plg\&g) + ddeg C et par définition même de la filtration p l g on a p-(p$) > p + p+(pE:\~g). Ainsi la constante p = d deg L = -d deg b répond-elle à la question posée. 0 Le lemme 8 entraîne aussitôt le résultat plus général : COROLLAIRE 9. - Pour toute partie compacte S de G(A), il existe une O telle que pour tout élément g E G(A), pour tout sousconstante p groupe parabolique P de G et pour tout y E P(F) on ait l'implication :

>

Citons la conséquence suivante du lemme 8 : PROPOSITION 10. - Pour toute partie compacte S de G(A), il existe une constante p > O telle que pour tout polygone p : [O, r] 4 IR+ qui soit p-grand, pour tout g E G(A) et pour tout y E G(F), on ait 17implication:

<

Démonstration : Bien sûr on a sans hypothèse aucune p9, jP, d'où l'implication p +p9, p. Réciproquement supposons que p; 5 p. Si p est choisie comme dans le lemme 8, l'hypothèse gP1yg E S entraîne que y E pQg. Donc le polygone f i p g du couple (g, pQg) est majoré par p: et a fortiori par p. Or, comme p est p-grand, il est équivalent de demander que ppg 5 p ou que pg 5 p.

<

<

O

Etant donnés h : G(A)/aZ + @ une fonction localement constante à support compact et P un objet de Po, l'opérateur p ++ p * h de convolution à droite par h dans l'espace des fonctions localement intégrables de

M ~ ( F ) N ~ ( A ) \ G ( A ) / ~dans " (Cadmet un noyau qui s'écrit 0

-

La combinaison des deux lemmes fondamentaux 5 et 8 entraîne :

PROPOSITION Il. - Soit h : G ( A ) / a Z @. une fonction supportée par une partie compacte S et invariante à droite par u n sous-groupe ouvert K t de K . Alors pour tout polygone p : [O, r ] IR, la fonction

-

est à support compact sur G ( F ) \ G ( A ) / ~ " . Et si le polygone p est p-grand pour p 2 O une constante assez grande e n fonction de S et K t , elle est égale aux deux fonctions

Démonstration : Récrivons la somme considérée sous la forme

x

( - l ) l P 1 - ' f i (>, ~$ P)

dnp .

PEP

h(g-'ynpg). -IEP(F)

Choisissons p 2 O une constante qui satisfasse la conclusion du corollaire 9 relativement à S et celle du corollaire 6 relativement à K t . Associant à tout P E P le raffinement canonique = de ( g ,P) ainsi que la filtration PQ; = Q, on a :

a;

Regroupons donc les P E P suivant les couples associés. On conclut d'après le lemme 4.

'0;)

=

(a,Q)

0

-

Nous voulons également écrire une variante de la proposition 11 s7appliquant à un type particulier de fonctions h : G(A)/aZ @ localement constantes à support compact. Supposons fixé E un homomorphisme du groupe multiplicatif AX/O: dans le groupe additif R. On dira qu'une telle fonction h est adaptée à E si elle vérifie les propriétés suivantes : O pour tout g E G(A) on a l'implication

pour tout P E Poet pour tout élément m = ( m l , . . . , mlPI) dans M~(A) = M; (A) x . . . x MLPI(A) tel qu'existent k, k' t K avec O

il y a un unique indice i , 1 5 i 5 IPI, vérifiant

Si h est adaptée à

E,

alors pour tout P E Po le noyau Kh,p : (g', g)

-

dnp . h(g-lynpg') se décompose de manière naturelle en une somme l
où pour tous gr,g t G(A) et pour tout indice i, 1 5 i 5 ]PI,K;,,(g1,g) est défini de la manière suivante : On écrit pour g' et g des décompositions d71wasawag' = m'n'k', g = mnk où kt, k sont dans K , nt, n sont dans Np(A) et m' = (ml1,. . . ,m'lPI), m = ( m l , . . . ,mlPl) sont dans Mp(A) = M&(A) x . - . x h l F i ( A ) . Et on pose

où la sommation est restreinte aux y M;(F) x x M L ~ ~ ( Fvérifiant ) -

s

e

=

(y1,. . . ,yIPI) dans Mp(F) =

Introduisons encore une nouvelle notation. Pour tout sous-groupe parabolique P E P de G et pour tout indice i , 1 5 i 5 IPI, on désigne par le polygone [O, r ] -+ W qui est affine sur chaque intervalle [ r g ~ ; l, rgEjP 1, 1 5 j 5 [PI,et qui en chaque point rgET vaut

-

Ceci étant posé, on prouve de la même façon que la proposition 11 :

-

PROPOSITION 11'. - Soit h : G ( A ) / a Z @ une fonction supportée par une partie compacte S, invariante à droite par u n sous-groupe ouvert Kt de K et adaptée à u n certain homomorphisme E : A X / O i R. Alors pour tout réel a et pour tout polygone p : [O, r ] -+ IR, la fonction

est à support compact sur G(F)\G(A)/U". Et si le polygone p est p-grand pour p 1 O une constante assez grande en fonction de S, de Kt et de la/, elle est égale à la fonction

2.

-

Transfert

a) Traces tronquées d'Arthur et nombres de Lefschetz Le groupe adélique G(A) est muni de la mesure de Haar dg pour laquelle le sous-groupe ouvert compact maximal K = GL,(DA) est de volume 1. Etant donnée h : G ( A ) / a Z -+ @ une fonction localement constante à support compact, on appelle trace tronquée d'Arthur de h par un polygone p l'intégrale

=/

T'rSP(h)

dg.

G(F)\G(A)/~~

c PEFo p>po

(-l)lPl-l

c

i(~$>p~)Kh.~(6~,69)

S€P(F)\G(F)

qui est bien définie d'après la proposition 11 du précédent paragraphe. 229

Lorsque h est de surcroît adaptée à un certain homomorphisme AX/Oz + Et, on dispose aussi pour tout réel cr de l'intégrale

E

:

qui est bien définie d'après la proposition 11' du précédent paragraphe. On remarque que Tr$'(h) = 'I'rSp(h) et on prouvera au paragraphe VI.2f que les fonctions cr ++ Trdp(h) sont périodiques de période r!d. La suite de ce chapitre contient la démonstration du théorème suivant : THÉORÈME 1. - Soient S' une partie compacte de G(A), K' u n sousgroupe ouvert de K et t O u n entier. Soient O et cm deux points fermés de X ou, si 1 'on préfère, deux places de F. O n suppose que O et m sont distincts, qu'ils ne sont pas dans l'ensemble fini Ta et qu'existent des isomorphismes Do % Md(OO),Dm 2 Md(O,). O n suppose également que deg(0) et deg(m) sont assez grands e n fonction de S' et t ( e t précisons que cette condition est vide si S' E K et t = 0). Soient O et W deux points de X(F,) au-dessus de O et cm. Soit €0 : AX/Oz -t Ii% l'homomorphisme ( a x ) x E l xH l deg(0)O(ao). Soit : G(A">O)/aZ -+ Q (pour Am10 = A/(F, x Fo)) une fonction invariante à droite par l'image dans G(AW>O)de Kt E K 2 G(A) et supportée par l'image dans G ( A ~ > du ~ )compact / ~ ~ S' de G(A). Soient u , s 2 1 deux entiers avec deg(0) lu, deg(cm) 1s et lu - sl 5 t . Soit f$ : G(Fo) + Q [resp. f g S t : G(F,) -+ Q]la fonction de Drinfeld U S ] sur e n rang rd et de niveau u' = -[resp. de niveau -s' = deg(0) degb) G(Fo) GLrd(F0) [resp. sur G(F,) E GL,d(F,)]. Soit f : G(A)/aZ -t Q la fonction f = f;" @ @ f$' qui est adaptée m à LEO. U Alors il existe une constante p 2 0 , ne dépendant que de K t et S', telle que, pour tout polygone p : [O, r ] -t Et+ qui soit p-grand, les deux fonctions périodiques ~t + Q a c ~ef;;'l*a'~( f 0030' u, S )

>

fm10

"

fm10

R-+Q aient même moyenne.

crc'T'rdp(f)

@ f:' soit adaptée à Le fait que la fonction f = f;"' 8 f ,zO résulte du lemme 9 (i) du paragraphe 111.6~. l'homomorphisme

-

Et on rappelle que la périodicité de la fonction a u ~ef;;P'.''~ (f " ' O , u, s ) a été prouvée dans le lemme 5 du paragraphe III.5b.

b) Une fonction de troncature auxiliaire Etant donné E : A X / O i -t IR un homomorphisme, nous aurons besoin d'une variante de la notion de polygone &-canonique. Tout d'abord, on dira qu'un polynôme unitaire x à coefficients dans F et dont le coefficient constant det x est non nul est adapté à E si ~ ( d eXt) > O et si le coefficient constant det p de tout polynôme unitaire p entrant en t 2 O. facteur dans x vérifie ~ ( d ep) Et on dira qu'un élément y E G(F) est adapté à E si son polyôme caractéristique X, l'est. Dans ce cas, on dira qu'un sous-module W de E = Dr est adapté à y et E si y préserve W et si la restriction yw de y à W vérifie l'alternative e(det yw ) = O ou ~ ( d eyw t ) = ~ ( d ey). t Comme y est adapté à cl on voit que la famille des sous-modules de E adaptés à y et e est stable par intersections et sommes. Disons aussi qu'un sous-groupe parabolique Q E P est adapté à y et e si tous les objets de la filtration associée E? de E sont adaptés à y et E. Il résulte de la proposition 2 du paragraphe II.2a que pour tout élément g E G(A) et tout a E R, et lorsque Q décrit l'ensemble des sous-groupes paraboliques de G adaptés à y et el la famille des polygones pgQ,,,,, possède un plus grand élément p?,,,. C'est un polygone concave. On note QY,,, le plus grand sous-groupe parabolique adapté à y et E qui le réalise, et la filtration associée du fibré £9. Plus généralement, si P est un sous-groupe parabolique adapté à y et e, on dispose d'un raffinement canonique lj;,,,,, C P, correspondant à une filtration d'p>7@E de &g et dont le ae-polygone est noté

g,,,,,.

LEMME2. - Soit y E G ( F ) u n automorphisme de E = Dr adapté à u n homomorphisme E : AX/O: -+ IR. Décomposant le polynôme caractéristique de y e n X, = X ~ X ; où xi, [resp.x;] rassemble tous les facteurs premiers p vérifiant ~ ( d ept ) > O [resp.~ ( d ep) t = O], soient El, = Ker X; (y), ES' = Ker X: (y) et y', y" les restrictions de y à ces sous-modules de E . Alors : (i) O n a El, @ E{ = E . De plus les sous-modules de E adaptés à y et E sont exactement ceux de la fomne W = W' @ W" avec W' = O ou W' = El, et Wt' u n sous-module de E{ stable par y". (ii) Pour tout sous-module W de E , notons Pw le sous-groupe parabolique de G stabilisateur de W et degW : G(A) -t Z l'unique

application invariante à droite par K = GLT(DA)et qui à tout élément de Pw(A) associe le degré du déterminant dans AX de sa restriction dans A u t ~ ,(W @ F A). Ceci étant posé, pour tout élément g E G(A), tout a E IR et tout polygone p : [O, r ] -+ R, o n a j7;,,, 5 p si et seulement si : (1-

q) ae(det y) + degw(g)

comme dans (i) avec W' = Ek, - F a r ( d e t y) degw ( g ) comme dans (i) avec W' = 0.

+

-

-

degE (9) < p(rgW) pour tout W

7degE(9) < p(rgW) pour

tout W

Démonstration : (i) La première assertion résulte de ce que X, = x1X" est une ,Y décomposition du polynôme caractéristique de y comme produit de deux polynômes premiers entre eux. Ceci implique même que les sous-modules de E stables par y sont exactement ceux de la forme W = W' @ W" avec W', W" des sous-modules de E;, Ey stables par y', y". Alors la restrict = O si et seulement si W' = O et tion yw de y à W vérifie ~ ( d eyw) = ~ ( d ey) t si et seulement si W' = E;. ~ ( d eyw) t (ii) est une simple traduction des définitions, compte tenu de (i). 0 Etant donné h : G(A)/aZ + @ une fonction localement constante à support compact et x un polynôme unitaire à coefficients dans F, on dira que le couple (h, X) est adapté à un homomorphisme E : AX/Oz + R si : x est adapté à E, pour toute décomposition en somme directe E = Et @ Et' de E = D r , tout y" E Aut Et' vérifiant ~ ( d ey") t = O et X,U 1 X, et tout g E G(A), la fonction

est adaptée à *E. Bien sûr, si (h, X) est adapté à E pour un certain X, h est elle-même adaptée à E. On dira que h est très adaptée à E si pour tout y E G ( F ) tel qu'existe g E G(A) vérifiant h(g-lyg) # O, le couple (h, x,) est adapté à E .

PROPOSITION 3. - Soit h : G(A)/aZ + @ une fonction supportée par une partie compacte S et invariante à droite par u n sous-groupe ouvert KI de K . Et soit x u n polynôme unitaire à coeficients dans F , de degré r d , tel que le couple (h, X) soit adapté à u n homomorphisme E : AX/O: + R.

l

Alors pour tout polygone p : [O, r ] + E% et tout a E IR, la fonction

est à support compact modulo G ( F ) . Et si le polygone p est p-grand pour p > O une constante assez grande en fonction de S , K r et [al,elle est égale à la fonction

De plus, ces assertions restent vraies quand on restreint les sommations aux y E G ( F ) tels que Ek et E y soient fixés (le support étant cette fois considéré rnodulo le sous-groupe des fixateurs de ceux-ci). Démonstration : Bien sûr, il suffit de prouver la dernière affirmation. Soient donc x = X'X" la décomposition canonique de x comme dans le lemme 2, r'd et ( r - rl)d les degrés de X' et X I ' , et E = E r @ E" la décomposition en somme directe correspondante de E , avec E' = D", Er' = D'-~'. Notons aussi G' et G" les schémas e n groupes sur F des automorphismes de E r et E". Pour g E G ( A ) , on s'intéresse à la somme

où { y ) désigne l'ensemble des y E G ( F ) tels que X , = X , Eh = E r , E y = E u , c'est-à-dire des y = ( y ' , y") E G r ( F )x G f r ( F )tels que x,t = x', -yy" =

Soit p

> O une constante assez grande en fonction de S et de K r . Notons

& = pQ9 et &' = & n G'.

D'après le lemme 8 d u paragraphe V . l e , on connait déjà l'implication y E h(g-'rg) # 0 D'autre part, o n a :

*

LEMME4. Dans la situation ci-dessus, écrivons g sous la forme ( g r ,gr')nk où gr E Gr( A ) , g" E G U ( A ) ,k E K et n E Np,, ( A ) où Np,, est le radical unipotent du sous-groupe parabolique PEt de G respectant le sousobjet E' de E . Et supposons que pour certains g: E G 1 ( A ) ,g l E G r r ( A )de polynômes caractéristiques X I , X I ' , on ait h(g-' (g:, g l ) g ) # O . -

Alors n est dans une partie compacte de G(A) qui ne dépend que du support S de h.

Démonstration du lemme 4

:

Faisons le changement de variable ga = g'-'gigt, g l = gr'-'gyg". Il suffit alors de remarquer que l'application

induit un homéomorphisme de l'ensemble des (g;, g2, n ) E G' (A) x G"(A) x Np,, (A) tels que xg; = xt7xg; = xtt sur l'ensemble des gz E PE/(A) tels que xg2= x et Ker xt(g2)= Et @ A.

0

Suite de la démonstration de la proposition 3 : Remarquons que le sous-ensemble {y) n Q ( F ) de G ( F ) est invariant à droite par NQ/(F),de même d'ailleurs que l'application y ++ p;,,, sur ce sous-ensemble. Ecrivant g = (g', gf')nk comme dans le lemme 4,on voit que s'il existe

>

y E {y) îi Q ( F ) tel que h(g-'yg) # O, alors QI '-''Q~' où p' 2 O est une constante ne dépendant que de S. Si donc la constante p est assez grande en fonction de S et de K t 7il résulte du lemme 5 du paragraphe V.ld que

C

h-yg-'ydg)

d n ~ .'h(g-'FQ'g)

=

7

6ENQ/ (F)

et cette dernière intégrale ne peut être non nulle que si NQ/ = (1) c'està-dire si Q est adapté à y et E. Ceci entraîne que pG,,,,, p;,,, pl donc que le polygone canonique de g est majoré en fonction de p, de la1 et de p et on a démontré que la fonction considérée est à support compact modulo G1(F) x Gt'(F). De plus, si le polygone p est ( p p,)-grand pour p, 2 O une constante assez grande en fonction de la[,on a pour tout y E {y)nQ(F) l'équivalence

<

<

+

d'où l'égalité :

t 4

j

COROLLAIRE 5. - Pour h comme dans la proposition 3 et très adaptée à u n homomorphisme E , l'intégrale

est bien définie. C'est une fonction périodique de période r!d de la variable a E R. E t elle est égale à T'rdp(h) si le polygone p est p-grand pour p une constante assez grande en fonction de S et de KI. Démonstration : La première assertion est immédiate. Pour la seconde, il suffit de démontrer que pour toute décomposition en somme directe E = E' @ El' de E = Dr avec E' = D", El' = D ~ - ~ ' et notant G', G" les schémas en groupes sur F des automorphismes de Et, E", l'intégrale sur G1(F) x G U ( ~ ) \ G ( A ) / a de z la fonction à support compact

est périodique de période r'd comme fonction de a E R. Or ceci s'obtient en faisant le changement de variable g H ( a , l ) g dans G(A) qui consiste à translater par ( a , 1) E G1(A) x G"(A) car pour tout y E G(F) vérifiant Ek = El, E; = E", on a

Enfin la troisième assertion résulte de la proposition 3 combinée à la proposition 11' du paragraphe V.le. 0 c ) Première transformation

Avec les notations du théorème 1 que nous voulons démontrer, nous allons d'abord prouver que la fonction f = f;" @ fW?O @ f$ est très au sens du paragraphe précédent. adaptée à l'homomorphisme

LEMME6 . - Soient K u n corps local n o n archimédien, O son anneau des entiers, n 1 et t E Z\{0) deux entiers et f t : GLn(K) + Z la fonction de Drinfeld en rang n et de niveau t . Soit E = E' $ Eu une décomposition e n somme directe de E = K n .

>

Supposons qu'existent u n élément g: E Aut E' dont toutes les valuations des valeurs propres sont non nulles et un élément g l E Aut E" dont la valuation du déterminant est nulle, tels que f ( g i ,g i ) # 0 . Alors : ( i ) Si M = On désigne le réseau des points entiers dans E = K n et M t , M" sont les réseaux intersections avec E t , E u , on a M = M t @ M u . (ii) Si on choisit deux bases pour les réseaux M' et M u avec en particulier des isomorphismes induits Aut E t 2 G L n I ( K ) , Aut Eu E GL,// ( K ) et si f It et f" désignent respectivement la fonction de Drinfeld en rang nt et de niveau t sur G L , / ( K ) et la fonction caractéristique de GL,l/ ( O ) dans GL,u ( K ) , on a pour tous g' E Aut E' et g" E Aut E" tel que det g" soit de valuation nulle :

(iii) Pour g' E Aut E t , g" E Aut E" et n un élément du radical unipotent du sous-groupe parabolique de Aut E préservant E t , on a l'implication

( i v ) Soient Q' un sous-groupe parabolique de Aut E r , NQ/ son radical unipotent et dnQf une mesure de Haar sur N Q ~Pour . g E Aut E , g' E Q' et g" E Aut E" tels que det g" soit de valuation nulle et que deux au moins des éléments induits par g' dans les facteurs de Q1/NQ/aient un déterminant de valuation non nulle, on a

Démonstration : Comme par définition f Pt ( g ) = f ( g - l ) , b'g E Aut E , il suffit de prouver ces assertions pour t 2 1. ( i ) Comme f (gi,gi/) # O , on a nécessairement (g:, g l ) ( M ) C M et a fortiori g i ( M t ) C M t , g l ( M 1 ' )G M u . Bien sûr, on a M' @ M" C M . En sens inverse, soit m u n élément de M . Il s'écrit m = m' m" avec m' E E', m" E Eu. D'autre part, les valeurs propres de g: sont de valuations non nulles par hypothèse donc strictement positives puisque g i ( M 1 )C M t . Et il existe certainement u n entier e 1 tel que gl( m l ) E M'. Or g l (ml) g l e ( m " ) = ( g i ,g:)"(m) est dans M puisque (gi,g l ) ( M ) C M . Par conséquent g l e (mu)E M n E" = M" et comme g l E Aut E" vérifie g l ( M U ) = M", on obtient m" E M" puis m' E M t . C'est ce qu'on voulait.

+

+

>

(ii) se déduit immédiatement de (i) et de la définition des fonctions de Drinfeld. (iii) Ecrivons sous forme de matrices par blocs selon la décomposition E = El $ El1les matrices suivantes :

On voit en particulier que les matrices g;, ghb - bgg, ga doivent être à coefficients entiers et que même g; t GL,!, (O). Soit w un élément uniformisant de K. Et soit 0 le plus petit entier O tel que wBb soit à coefficients entiers. Il faut prouver que ,L3 = O. Supposons au contraire que 0 > O. Alors, comme g;(wpb) - ( W B ~ ) = ~ ;wp(g;b- bg;),

>

---

où g;, g;, W B désignent ~ les réductions modulo w des matrices à coefficients entiers 92, 92 etwob. La matrice g; est inversible, donc g; induit un automorphisme de l'espace image de wpb. Mais comme toutes les valeurs propres de gh sont est nilpotente. Ainsi zi?i3b = O et la matrice de valuation > O, la matrice zjp-lb est à coefficients entiers. Il y a contradiction. (iv) Notons XI le polynôme caractéristique commun à tous les I le radical unipotent NQL éléments glnQt quand ~ Q décrit Si f (g-l ( g l n Q ~gI1)g) , = O, VnQt E NQI, il n'y a rien à démontrer. Dans le cas contraire, il faut en particulier que toutes les racines de XI aient des valuations 2 O et XI s'écrit canoniquement X' = xixb où xi [resp. x;] rassemble toutes les racines de valuations strictement positives [resp. nulles]. Notons Ei = Ker xi (g') , Eh = Ker x2 (gl), avec donc une décomposition en somme directe El = Ei $ Eh, et N$, = NQ/ fl Aut E:, N i , = NQt fl Aut Eh. Pour tout élément ~ Q E I NQ,, il existe un élément nQ, E NQI qui envoie Kerx;(g1nQl) et Kerx;(glnQI) sur Ei et ES respectivement. Autrement dit glnQt s'écrit sous la forme glnQr = (nQ,)-1 g1n 1Q l n ~ , n Q l avec nb, E NQ,, n i , t N i , . De plus, n t , est déterminé à multiplication à gauche près par un élément de Nh, x N& et si n& est choisi, nQ, et nQ, sont uniquement déterminés.

On en déduit que si dnb, et dnQ, désignent des mesures de Haar sur NQ, et NQ,, il existe une mesure dn& sur l'espace homogène N b x NQ,\NQI telle que

En remplaçant g par n&g, El par E;, El' par Eb $ Et', on est donc ramené au cas où X' = xi, El = Ei, autrement dit où toutes les racines de X' ont des valuations > 0. On remarque encore que quitte à remplacer El, El', (g', g") et Q' par g-'(Et), g-l(E"), g-l(g',gtl)g et gP1Q1g, on peut supposer que g = Id. Encore une fois, si f (g'nQ,,9'') = O, VnQ/ E NQI,il n'y a rien à démontrer. Sinon on peut écrire d'après (ii)

'

On conclut d'après le lemme 9 (i) du paragraphe 111.6~appliqué à la fonction de Drinfeld f It. II Montrons maintenant : PROPOSITION 7. - Avec les notations du théorème 1, la fonction f = 8 fm>' 8 f;' est très adaptée à 17homomorphisme:E'. Et il existe une constante p 2 O ne dépendant que de KI et S I telle que, pour tout polygone p : [O, r] -t R+ qui soit p-grand et pour tout a E IR,on ait :

f;"

Démonstration : La première assertion résulte de la partie (iv) du lemme 6. Pour ce qui est de la seconde, la périodicité des fonctions considérées permet de se limiter aux ai E [O, r!d]. Et l'égalité annoncée est un cas particulier du corollaire 5 quand p est assez grande en fonction de KI et du support de f , c'est-à-dire de KI, S', u et S. Notre but est donc d'affiner ce résultat jusqu'à supprimer la dépendance en u et S.

Par définition, ~ r : ~ ( f )est l'image par la fonctionnelle JG(F)\G(A)Io~dg. de la fonction qui associe à tout g la somme

où, pour tout P E P, P ( F ) , désigne l'ensemble des y E P ( F ) tels que P soit adapté à y et E = :E@ Rappelons que pour g E G(A), y E G ( F ) et P un sous-groupe parabolique adapté à y et E , on dispose d'un raffinement canonique C P, correspondant à une filtration de £9 et dont le a&-polygone est noté pp,7,(YE. Si p 2 O est- une constante, on peut aussi introduire le raffinement 5 P, correspondant à la filtration 'Êg'P'7'aEtelle intermédiaire 'Qg,,,,, que

e'P'7@c

+

où, pour tout polygone p, on note dp(rl) = Ip(rl)- p(rl - l ) ] - Cp(rl 1)p(r1)1, W . On remarque que la décomposition E = Ek @ E; induit une projection dans la fibre générique de chaque naturelle de Ek, E; Iigf'P>?'ff&l'"g~>P>~~a~ On notera Iigf'P'~'a&/Iig~J'~~'up

.

2-1

[email protected] I

/P@:?~@'

2-1

" q,

nE{ les sous-fibrés maximaux engendrés par les ima-

ges de Ek, E;. LEMME8. - Soient g E G(A), P E P , y E P ( F ) , et a E [O, r!d] (i) Il existe une constante p l O ne dépendant que de KI et SI telle que si f (g-'ynpg) # O pour un certain n p E Np(A), si p 2 p l et si fi@iPj7iaE $ {£y}, alors

>

(ii) Il existe une constante p2 2 O ne dépendant que de KI, S I , u et s telle que si f (g-lyy1npg) # O pour un certain n p E Np(A), si EAU^ E;

p

> pz et si

Et -i7/

=ES

'e'P"'a' $

{£y}, alors

Démonstration du lemme 8 : (i) est conséquence du corollaire 9 du paragraphe V.le combiné au lemme 4 du paragraphe V.2b et au lemme 6 (iii) du paragraphe V.2c (appliqué sur les corps locaux Fo et Fm). (ii) est conséquence de (i) ainsi que du lemme 5 du paragraphe V.ld et du lemme 8 du paragraphe V.le puisque la fonction f est très adaptée à l'homomorphisme E . [1 D'autre part, on a la variante suivante du lemme 4 du paragraphe V.lc :

LEMME9. - Soient p 2 O une constante, p : [O, r ] -+ R u n polygone, a u n réel, Q , $ t P deux sous-groupes paraboliques tels que C Q et y u n élément de Q(F), . Alors la fonction sur $(F)\G(A)/aZ

a

est la fonction caractéristique du sous-ensemble

Suite de la démonstration de la proposition 7 : Etant donnés $ Q deux sous-groupes paraboliques de G, p 2 O une constante, p : [O, r ] -+ R un polygone et a E [O, r ! d ] ,considérons la fonction sur Q(F)\G(A)/~" qui à tout g associe

D'après les lemmes 8 (ii) et 9 ci-dessus et le corollaire 6 du paragraphe V.ld, cette fonction est à support compact. Et d'après les lemmes 8 (i) et 9 ci-dessus et le corollaire 6 du paragraphe V.ld, son intégrale pour la mesure dg est égale à celle de la fonction

ce qui termine la démonstration.

0

d) Suite et fin du calcul Enonçons le théorème général suivant : h une fonction localement constante à support u n polynôme unitaire de degré rd à coeficients

THÉORÈME 10. - Soient

compact sur G(A.)/aZ et x dans F . O n suppose que pour deux places distinctes 0 , CO de F hors de Ta, h est de la forme h = h , @ ho0?O@ ho où h m , ho, hm>' sont des fonctions localement constantes à support compact sur G(F,), G ( F o ) , G(A"'o)/a" telles que pour tout sous-groupe parabolique n o n trivial P de G et tout élément y E P ( F ) de polynôme caractéristique X , = X , o n ait

si dnp,,, dnp,o désignent des mesures de Haar sur NP(F,), N p ( F o ) . Alors : ( i ) S i x a au moins deux facteurs premiers distincts, o n a

(ii) Si

x

a u n seul facteur premier p , o n a

où c, est la classe de conjugaison elliptique { y E G ( F ) , p ( y ) = O), y, est u n représentant quelconque de la classe c, et G,,, désigne le sous-schéma e n groupes de G des commutateurs de y,.

0

Remarque : O n sait déjà d'après la proposition 3 d u paragraphe V.2b aue les fonctions

sont à support compact sur G ( F ) \ G ( A ) / ~ " (et il suffit pour cela de l'une ou l'autre des familles d'annulations en co et O dans l'hypothèse). A fortiori les termes de gauche dans (i) et (ii) sont bien définis. Et les deux autres intégrales dans (ii) sont convergentes sans aucune hypothèse sur h.

0

Ce théorème sera prouvé dans les prochains paragraphes. Admettons-le provisoirement et montrons qu'il entraîne le théorème principal :

Démonstration du théorème 1 du paragraphe V.2a : On se place sous les hypothèses dudit théorème. On suppose en particulier que deg(0) et deg(co) sont assez grands en fonction de S' et lu - sl pour que soit vérifiée la conclusion du lemme suivant :

LEMME11.- Soient S ' , O, co, €0 et f comme dans l'énoncé du théorème 1 du paragraphe V.2a. Soit { x ) ~l'ensemble fini des polynômes caractéristiques d'éléments y E G ( F ) pour lesquels il existe g E G(A) vérifiant f (g-lyg) # 0. Alors, si deg(0) et deg(co) sont assez grands e n fonction de S' et lu - sl K et u = s ) , tout x E { x ) ~s'écrit (et cette condition est vide si S' canoniquement x = X'X" où : O les racines de X" ont toutes leurs valuations nulles au-dessus de O et co, si bien que (det x") = 0 ; O pour tout facteur irréductible p de x', les valuations au-dessus de O de ses racines sont 2 0, avec au moins une inégalité stricte (si bien que co(det p) > O), et les valuations au-dessus de oo de ses racines sont 5 O, avec au moins une inégalité stricte. De plus, le coe@cient constant de X , OU de x', est de valuation u' = u deg(0) e n O et -s' = -A deg(co) en Démonstration du lemme 11 : Il est immédiat sur la définition des fonctions de Drinfeld f$ et f s S ' que toute racine d'un polynôme x E { x ) a toutes ses valuations 2 O au-dessus de O et toutes ses valuations 5 O au-dessus de co. La seule chose qui reste à prouver est que s'il existe un facteur p de ~ le terme constant det p soit de valuation non nulle l'un des x E { x ) dont en l'une des places O, oo et de valuation nulle en l'autre, cela impose sur deg(0) ou deg(co) une borne qui ne dépend que de S' et lu - S I . Ecrivons pour cela la formule du produit

On conclut en remarquant que le troisième terme est borné par une constante qui ne dépend que de S' et l u - SI. Et dans le cas particulier où S' C K et u = s, ce troisième terme est nécessairement nul si bien qu'il n'y a aucune condition à imposer sur deg(0) et deg(oo) pour obtenir une contradiction. 0

Suite de la démonstration du théorème principal : Supposons aussi que le polygone p : [O, r] -t Jiû+ est assez grand en fonction de K' et S' pour vérifier la conclusion de la proposition 7. Pour tout polynôme x E {x)f , on considère sa décomposition canonique x = xfxffet, notant r f d et ( r - rl)d les degrés de xf et x", la décomposition E = Et$ E" de E = Dr avec Et = D ~ 'E" , = et G', G" les schémas en groupes sur F des automorphismes de Et, Eu. Ainsi, pour tout a E Jiû, ~ r $ ~ ( fs'écrit ) comme la somme sur tous les x E {x) des intégrales

Introduisant dg' la mesure de Haar sur G1(A) = GLrt(DA) qui attribue le volume 1 au sous-groupe ouvert compact maximal GLrt(DA), cette intégrale s'écrit encore

x3 . x

L

dg

Jw(F)\Gt(*)dg'

Or, d'après le lemme 2 (ii) du paragraphe V.2b, la condition < p s'écrit exactement P(Y',Y"),~:EO -dg

ar

+ deg(det g') E Ig

où I, est un intervalle fermé borné de Jiû qui dépend de g, puisque cc0 îL (det X) = r. Fixant g E G(A) et y" E G"(F) vérifiant x7//= x", considérons pour tout n E Z l'intégrale

où la sommation est limitée aux g' E G'(F)\Gt(A) vérifiant deg(det g') = n. On voit par le changement de variable g' H ag' que la fonction n HSn est périodique de période r'd. Par conséquent, on peut écrire pour tout a€R

+ + +

où # ( ( a r n rldZ) n I,) désigne le cardinal fini de l'intersection de ar + n rldZ avec l'intervalle I,. Or ce cardinal est périodique de période r1d/r comme fonction de cu et sa valeur moyenne est t ( I g ) / r l dsi t ( I g )désigne la longueur de I,. Par conséquent, l'intégrale considérée sur G1(F)\G'(A) est également périodique de période rld/r comme fonction de cu et sa valeur moyenne est

Or, d'après le lemme 6 (iv) du paragraphe V.2c et le lemme 11ci-dessus, toutes les fonctions f ( g - l ( . ,y")g) sur G 1 ( A )vérifient les hypothèses du théorème 10. Donc chaque intégrale

est nulle si X' a au moins deux facteurs premiers, et si X' a un unique facteur premier pX elle est égale à la même intégrale où l'on restreint la sommation aux y' E G 1 ( F )vérifiant p,(yl) = 0. Notons { x ) f le sous-ensemble de { x ) constitué ~ des polynômes x = X'X" dont la composante X' n'a qu'un seul facteur premier pX. Et notons { y ) ; le sous-ensemble de G ( F ) constitué des éléments dont le polynôme caractéristique est dans { x ) > et dont la restriction y' à El, est elliptique c'est-à-dire vérifie p,(yl) = 0. Ainsi on a prouvé que la moyenne de la fonction périodique cii H ( f ) est égale à celle de

Notant {c); l'ensemble fini des classes de conjugaison de {y)), y, un représentant de chaque c E {c); et GTc le sous-schéma en groupes de G des commutateurs de y,, cette moyenne est encore égale à la somme sur les c E {c)) des moyennes des fonctions périodiques

Pour tout c E {c); de polynôme caractéristique x E {x);, décomposons des polynômes à coefficients dans Fo [resp. dans Fm]en

x dans l'anneau

I X ~ I rassemble ] toutes les racines de valuation > O [resp. < O] où X ~ [resp. et X$ [resp. XZ] rassemble toutes les racines de valuation O. Bien entendu, xol [resp. x,/] est un diviseur de x'. Ecrivons les décompositions en sommes directes

Eo = Eo/O E:'

[resp. E,

= E,,

@E ]:'

de Eo = E @ F Fol= D2; [resp.E, = E @IF F, = Dm] avec Eo/ = Ker XOJ(y,), EO = Ker X$ (y,) (resp. Ed = Ker X,I (y,), E,"' = ~ eXz'(yc)]. r Notons Go! = Aut Eot, Gt = Aut E:' [resp. G,t = Aut E,/, GE' = Aut E,"'] et y01 E Go/, E GO' [resp.y,/ E G,!, y ~ E ' GE'] les restrictions de y, à Eol et E$ [resp. à E,I et E g t ] . Enfin, notons dgo/ et dg$ [resp. dg,! et dgg1]les mesures de Haar sur Go! et GO' [resp. G,t et GE'] qui attribuent le volume 1 aux sous-groupes ouverts compacts maximaux. Mettons sur Eh et E;' [resp. E,I et EZ'] les structures entières induites par celle de Eo [resp. E,]. Introduisons f;' ['esp. f;~'] la fonction de Drinfeld de niveau u' sur Go/ [resp. de niveau -s' sur G,t] et f:' [resp. la fonction caractéristique de GU' n GL, (Do) dans GO' [resp. de G E n GL,(D,) dans GZ']. Comme G(F) est dense dans G(Fo) x G(F,), on a pu choisir chaque représentant y, de façon que f$(yc) # O et f&s'(y,) # O. D'après le lemme 6 (i), (ii), (iii) du paragraphe V.2c et le lemme 10 (i) du paragraphe 111.6~~ on a pour tout c E {c)) et tout a E IR

#

[cf]

Sc,.

dg. (F)\G(*)/aZ

Gqc,aE&o 5 P)f (9-lrcd

De plus, d'après le lemme 2 (ii) du paragraphe V.2b et comme Eol et E,I sont contenus respectivement dans E' @ F Fo et E' @ F F, , la condition *m'Smm ' g m , O 90O'90' < p~~>a:&o

-

est un intervalle fermé borné de R. Notons G,,, et G,,, les sous-groupes de commutateurs de y,/ et y01 dans G,t et Go!; munissons-les des mesures de Haar dg,-, et dg,,, qui attribuent le volume 1 aux sous-groupes ouverts compacts maximaux. On voit que la moyenne de chaque fonction où

Jcmtgw,o 9,

O

go

est égale au produit de la moyenne de la fonction périodique

et des deux intégrales orbitales

Pour que ces deux intégrales orbitales soient non nulles, il faut d'après les lemmes 9 (ii) et 10 (iii) du paragraphe 111.6~que les polynômes

minimaux de y,~ et y01 soient premiers c'est-à-dire que F,[y,l] = Fk, et Fo[yol]= FA, soient des corps. Autrement dit, il faut que y, soit (u, s)-admissible au sens de la définition 2 du paragraphe 111.4. Dans ce cas et d'après le lemme 8 du paragraphe III.Gc, les deux intégrales orbitales valent respectivement

où deg(ml), deg(O1) désignent les degrés résiduels sur IF, des corps Fk,, FA, et hm, ho désignent les dimensions sur Fm,Fo des espaces E,', Eot. Or d'après les propositions 2 et 6 du paragraphe III.6b combinées avec le lemme 1 (vii) paragraphe III.Ga, la moyenne des nombres de Lefschetz - du < -p (fm)O,u, s) est égale à la somme sur tous les y, qui sont a' D (u, s)-admissibles des moyennes des fonctions

3. - Le cas où

x a plusieurs facteurs premiers distincts

On se propose dans ce paragraphe de démontrer la partie (i) du théorème 10 du paragraphe V.2d.

a) Préliminaires Nous rassemblons ici plusieurs lemmes dont nous aurons besoin.

LEMME1. - Soit S une partie compacte de G(A). Soient g, g' deux éléments de G(A) tels que g' E g S , &g et &g/ les VModules localement libres de fibre générique Dr qui leur sont associés et P E P u n sous-groupe parabolique de G. Alors : (i) La différence des deux polygones p$ et est bornée par une constante pl qui ne dépend que de S .

pc 1

1

(ii) La diflérence des deux polygones canoniques p$ et p; est bornée par P l . (iii) Si p 2 2p1, le rafinement intermédiaire vérifie

Démonstration : (i) Ecrivons les décompositions d71wasawa avec p, p' E P(A) et k , k' E K = GLr(VA). Alors on a - pg - p p - l p l ; or p-lp' reste dans la partie compacte P 3, = K S K donc le polygone &, reste borné en fonction de S uniquement. (ii) résulte de (i) appliqué à tous les raffinements Q P de P . (iii) résulte de (ii) appliqué à PQ;. 0

LEMME 2. - Soit h une fonction supportée par une partie compacte S de G(A)/aZ et invariante à droite par u n sous-groupe ouvert K' de K . Soit E = El $ . . . @ El une décomposition standard de E = Dr avec E l = D r l , . . . , Ee = Dre. Notons M l , . . . , Mt les schémas e n groupes sur F des automorphismes de E l , . . . ,E t . Pour toute permutation a de { 1 , 2 , . . . ,t } , notons P u le sous-groupe parabolique de G associé à la filtration

1x1

Puis, si a = est une famille indexée par de permutations de { 1 , 2 , . . . ,t } , notons Nu(A) le produit restreint des Npnz(F,) relativement aux NpDz(Fx)n GLT(VS). Soient aussi X I , . . . ,X e des polynômes à coeficients dans F deux à deux premiers entre eux et Z le sous-schéma fermé de M l x . . . x Mt constitué des uplets dont les polynômes caractéristiques sont X I , . . . , Xe. Alors :

( i ) Toutes les fonctions indexées par n E N u ( A ) , k E K

sont supportées par une partie compacte ( S i x . . - x Se)aZ de ( M l ( A )x .. x M ~ ( A ) ) / ~ ' . (ii) Il existe un sous-groupe compact N u ( A ) de N u ( A ) ne dépendant ' que que de S tel que pour tous n E N U ( A ) ,k E K , on ait n E N a ( A ) d es la restriction de hnk à Z ( A ) est non nulle. (iii) Il existe un sous-groupe ouvert compact K i x . . - x Ke de Ml ( A )x . . x M e ( A ) ne dépendant que de S et K' et par lequel sont invariantes à droite toutes les fonctions h n k , n E N a ( A ) , k E K . Démonstration : ( i ) Pour que hn"ml, . . . , me)# O , il faut que n - 1 ( m l , .. . , m e ) n E K S K .

Or, la matrice n-l ( m l ,. . . , me)na même déterminant que ( m l ,. . . ,me)et mêmes blocs diagonaux. D'où le résultat. (ii) Si hn"ml, . . . ,me)# O avec n E N u ( A ) , k E K et ( m i ,. . . , me)E Z ( A ) , alors d'après ( i ) le !-uplet ( m l ,. . . ,me) reste dans une partie compacte de Z ( A ) qui ne dépend que de S , et donc aussi ( m l , .. . ,m e ) - ' n - ' ( m l , . . . ,me)n,qui est dans N u ( A ) ,reste dans une partie compacte qui ne dépend que de S . Or, pour toute permutation a de {1,2, . . . ,t ) ,le morphisme de schémas Z x Np-

( ( m l ,... ,me);n )

-t

Z x Np( ( m l , . . ,me);( m l , .. . , m e ) - l n - l ( m l , . . . , me)n)

est u n isomorphisme. Pour x une place de F , l'isomorphisme réciproque transforme toute partie compacte de Z(F,) x N p b ( F x )en une partie compacte de Z(F,) x NP6(F,) et, en-dehors d'un nombre fini de places, il transforme le compact (Z(F,) n GL,(Vx)) x ( N p - (F,) n GL,(V,)) en lui-même. Le résultat annoncé s'en déduit, compte tenu de ce que toute partie compacte de N u ( A )est contenue dans u n sous-groupe compact.

(iii) Comme Na(A) et K sont compacts, il existe évidemment un sous-groupe ouvert compact K i x - .- x Ke de Ml (A) x . . . x Me(A) tel que

Un tel Ki x . . . x Ke répond à la question posée. Pour tout V-Module localement libre E de fibre générique E = Dr et tout sous-module Et de E, on notera E n Et le sous-V-Module maximal de E dont la fibre générique est Et. LEMME3. - Soit S une partie compacte de G(A). Soient g u n élément de G(A) et &g le V-Module localement libre de fibre générique DT qui lui correspond. Soient y u n élément de G ( F ) tel que g-lyg E S et x son polynôme caractéristique. Soient X I , . . . ,Xe des polynômes unitaires divisant X, deux à deux premiers entre eux et tels que x et XI . . . Xe aient les mêmes facteurs premiers. Alors : (i) Il existe une constante p l 2 O ne dépendant que de S telle que

> pS(Eg) - Pl. E g est u n sous-V-Module maximal de Eg tel que (ii) Si F ~ ~ ( >3 p )l p+(Eg/F) et si F I C £9 n Ker xi, (y) est u n sous-Dmodule d'un £9 n Ker xio(y) tel que p(F1) = pf (Es n Ker xi,, (y)) = max {/ (Eg i+ n Ker xi (y))), o n a nécessairement

+

i
Démonstration : (i) Les deux premières inégalités sont évidentes. Pour la troisième, considérons pg le polygone canonique de g. Et rappelons que d'après le lemme 8 du paragraphe V.le, il existe une constante p i 2 O ne dépendant que de S telle que tout sous-D-Module maximal F de E g vérifiant p-(F) > p+(Eg/F) p i est génériquement stable par y. Soit F, 1 5 F .< r , le plus grand entier tel que

+

On a ou bien T = r ou bien @g(T) > p i , donc figure dans la filtration canonique de Harder-Narasimhan de Eg un sous-V-Module de rang T ; nécessairement sa fibre générique est stable par y et il vérifie

Puis, comme x et XI . . . Xe ont les mêmes facteurs premiers, I n Ker xi,(y) est non nul pour au moins un io E {1,2,. . . ,t). D'après le lemme 2 (ii) ci-dessus, il vérifie alors

où py > O est une constante qui ne dépend que de S . On voit que pl = ( r - 1)pi + p(L1 répond à la question posée. (ii) Il s'agit de prouver la nullité du composé

Or, d'après (i) et l'hypothèse sur 3,on a p-(3')

= p(3') =

max {p+(EgnKerxi(y)))2 p+(Eg)-PI

i sile

> p+(Eg/3).

On conclut d'après la proposition 2 (v) du paragraphe 11.2.

O COROLLAIRE 4. - Soient x u n polynôme unitaire à coeficients dans F et X I , . . . , Xe des polynômes unitaires divisant X, deux à deux premiers entre eux et tels que x et X I . ..xe aient les mêmes facteurs premiers, comme dans le lemme 1. Et soit h une fonction localement constante à support compact sur G(A)/aZ. Alors : (i) Pour tout nombre réel po, la fonction

est à support compact sur G(F)\G(A)/~".

(ii) O n suppose que pour tout élément y E G ( F ) de polynôme caractéristique X, = x et pour tout sous-groupe parabolique non trivial P de G contenant y, on a

L,,N

dnp . h(g-lynpg) = 0 ,

Vg E G(A) .

Dans ce cas, si po est u n réel assez grand en fonction de h, on a pour toute application cp : Q + IR et tout g E G(A)

si plpo désigne la fonction t t-+ cp(t)l(t5 pg). E n particulier, pour u n tel pg, la fonction de (i) se confond avec

Démonstration : (i) est une conséquence immédiate du lemme 3 (i) ci-dessus et du lemme 1 du paragraphe V.lb. (ii) Etant donnée p > O une constante, considérons le sous-groupe parabolique pQg associé à tout g E G(A). D'après le lemme 8 du paragraphe V.le, on a l'implication

dès lors que p est assez grande en fonction du support de h. De plus, d'après le lemme 3 (ii) ci-dessus, l'expression max p+(Eg n Kerxi(y)) - p(g) ne i
'"ag

Pour conclure, il suffit de choisir po E R de façon que lQg =

G ==+ max p+ (Eg n Ker xi (Y)) i
- p(g)

Or lQg = G ==+ P + ( ~) p-(g) 5 ( r - l ) p l donc po la question posée.

=

I po .

( r - l ) p répond à

b) Démonstration du théorème 10 (i) du paragraphe V.2d On se place sous les hypothèses de ce théorème. Ainsi, le polynôme x compte au moins deux facteurs premiers distincts. On peut certainement l'écrire sous la forme x = x1x2 OU ~1 et ~2 sont deux polynômes unitaires non triviaux premiers entre eux. On sait d'après le corollaire 4 (ii) que pour po un réel assez grand en fonction de h

de sorte qu'il suffit de montrer que l'expression de droite s'annule. D'après le corollaire 4 (i), la double sommation dans ladite expression de droite est absolument convergente et tous les changements de variables y sont autorisés. Les degrés des polynômes et ~2 sont de la forme rld7 r2d avec ri 2 1, 7-2 2 1, rl r2 = r . On considère la décomposition standard E = El @ E2 de E = DT avec El = DT1, E2 = 0'2. On note Ml, M2 les schémas en groupes sur F des automorphismes de El, E2 et dml, dm2 les mesures de Haar sur Ml(A), M2(A) qui attribuent le volume 1 aux sous-groupes ouverts compacts maximaux. Alors l'intégrale ci-dessus est égale à

+

Notons Pl et Pzles sous-groupes paraboliques de G respectant les sousmodules El et E2 de E = Dr. Puis, étant donnée a : IX 1 + {1,2), x H a, une application, notons Nu(A) le produit restreint des N p , (F,) relativement aux N p l (F,) n GLr(D,) muni de la mesure de Haar dn qui attribue le volume 1 à N u (A) n K . Notons dk la mesure induite par dg sur K C G(A). Pour tous éléments k E K , n E Nu(A), notons hnk la fonction

Alors l'intégrale étudiée se récrit comme la transformée par la fonctionz dml . dm2. de l'expression nelle .fK dk . .fMl(F)\Mi(A)/azxM2(F)\Mz(~)/a

Il nous suffira donc de prouver que pour ml E Ml (A), m2 E M2(A), k E K fixés, cette expression est nulle si a a été choisie judicieusement et si po est assez grand en fonction de h. ~ -~p((aem1, ~ ~ m2)n)) ~ ~ po ) est ~ Or la condition rnax{pf ( E ( ~n Ei) i=1,2 (n) si Bio(n) et Bzo(n) désignent les équivalente à - B : ~(n) 5 e parties entières de

<

< ~i~

donc

C'(,T$'~(E +

eEz

= max{O, BLo(n)

(

~

' n~Ei) ~- p((aeml, ~ ~ ~m2)n)} ) ~ < po)

+ B ; ~(n) + 1 ) .

D'autre part, on sait d'après le lemme 2 (ii) que pour n en-dehors d'un sous-groupe compact Nu(A) de Nu(A) qui ne dépend que du support de h, on a h n k ( m i 1y 1 m l , m 2 ~ ~ 2 m= z )O dès que xy1= XI, xyz = x2.

+

Examinons d'abord le cas où B i o( n ) B i , ( n )+ 1 > O, V n Alors il nous suffit de prouver que pour tous éléments fixés y1 7 2 E M 2 ( F )avec x,, = X I , xr2 = ~2 s'annulent les intégrales

La(,,

dn . h n k ( m ; l y l m l ,mzl y2mz) B ; (~n ),

1x1

On voit ici qu'il convient d'avoir choisi l'application a : -+ (1'2) de telle façon que les images a0 et a , des places O et oo soient distinctes ; disons par exemple que a0 = 1 et a , = 2. En effet, les entiers B i o ( n ) et BEo(n)sont alors respectivement invariants par les facteurs NP' (Fo)et Np2(F,) de N u ( A ) . Et on conclut d'après les hypothèses sur les facteurs ho et h, de h. Examinons maintenant l'autre cas où il existe au moins un n E N u ( A ) tel que Bk,(n) BEo(n) 1 < O. D'après le lemme 1 (ii), on voit déjà qu'existe une constante pl ne dépendant que de N a ( A ) (donc de h mais pas de po) telle que ou bien pCL+(ml) - p ( m l ) > po - pl OU bien p+(mz) - p ( m 2 ) > po - pl. Quitte à renuméroter, on peut supposer par exemple P + ( m z ) - 4 m 2 ) > Po - P l . Pour toute constante p2 2 0, on peut considérer le sous-groupe -m2 parabolique p2Q de M2 et p2Em2 la filtration de E2 qui lui correspond. Et on remarque que p2Qm2 est non trivial si PO - pl 2 ( r - 1)p2. D'autre part, d'après le lemme 2 (i) et (iii), toutes les fonctions hnk, n E N u ( A ) , sont supportées par une partie compacte ( S i x S2)aZ de ( M l( A )x Mz ( A ) ) / a Zne dépendant que de h et invariantes à droite par un sous-groupe ouvert compact K1 x K z de M l ( A ) x M 2 ( A ) ne dépendant que de h. Si donc pz est assez grande en fonction de h et si on note Q z = p2Qm2, il résulte du lemme 8 du paragraphe V.le et du lemme 5 du paragraphe V.ld que pour tout n E N u ( A ) et tout y1 E M l ( F ) avec x,, = X I

+

+

De plus, il n'y a aucune restriction à supposer que rn2 E Q2(A). Notons d'autre part Q le sous-groupe parabolique de G respectant la filtration de E par les El $ p2Ër2,i > 1. D'après le lemme 1 (iii), on voit que si pz est assez grande en fonction de Nu(A) donc de h, la fonction n c-t B,&( n ) B,$ ( n ) 1 sur Nu(A) est invariante par N?(A) n NQ(A) puisqu7alors p+(&(ml~m2)n n E 2 ) = p + (& ( m l ? m z ) n(J ~ ~ z - j J 1 ~ ) . Or NU(A)n NQ(A) contient le facteur N p (Fo)n NQ(Fo) et le quotient NQ/Npi n NQ s'identifie à NQz. On conclut d'après l'hypothèse sur le facteur ho de h.

+

+

1

4. - Le cas où

x

est une puissance d'un polynôme irréductible

On se propose dans ce paragraphe de démontrer la partie (ii) du théorème 10 du paragraphe V.2d.

a) Préliminaires sur les sous-groupes de commutateurs et les intégrales orbitales Commençons par le résultat suivant : LEMME1. - Soient K u n corps, R une algèbre centrale simple sur K de dimension d2 et r > 1 u n nombre entier. Soit y E GL,(R) u n automorphisme du R-module à droite E = RT. Enfin, soient p u n polynôme à coeficients dans K et n 2 1 u n entier tels que pn(y) = 0. Pour tout entier i , O 5 i 5 n, notons

Ei = Ker p(y)i et pour tous entiers i , O

< i 5 n, et j, O < j < n

-

i, notons

Notons aussi P la sous-algèbre de Mr(R) constituée des endomorphismes de E qui respectent la filtration de E par les Eij, et N le radical de P . Alors : (i) La sous-algèbre End(E)? de End(E) = MT(R) constituée des endomorphismes de E qui commutent avec y est contenue dans P. (ii) Pour tout entier i , 1 5 i < n, p(y) induit u n isomorphisme

qui envoie les Ei\Ei,j, O 5 j 5 n - i , sur les Ei-l\Ei-l,j+l. Via ces isomorphismes, l'image de tout élément de End(E), E P dans chaque End(Ei\Ei+1) s'identifie à celle dans End(Eo,i). E n particulier, le noyau de End(E), ~t P -+ End(Ei) est nilpotent. Démonstration : (i) résulte de ce que tout endomorphisme de E qui commute avec y doit stabiliser les sous-modules Ker / ~ ( yet ) ~Imp(y)j donc aussi les Ei,j. (ii) La première assertion résulte de ce que pour tout entier i

et pour tous entier i , j

-

La seconde assertion est conséquence de la première puisque tout élément de End(E), commute a fortiori avec p(y) et avec les ~ ( y ) ~ . Enfin, on voit que le noyau de End(E), P -+ End(E1) s'identifie à celui de End(E), v P -+ End(El) x End(E1\E2) x . . . x End(En-l\E,) donc est contenu dans N . Il est nilpotent.

O Remarque : Avec les notations du lemme 1, on voit que si p = p'p" est le produit de deux polynômes p', p" premiers entre eux et si on pose E' = Ker pln(?), E" = KerpUn(y),alors E = E' $ El', End(E), = End(Ef), x End(Er'), et pour tous entiers i, j

PROPOSITION 2. - SOUSles hypothèses et avec les notations du lemme 1, o n a : (i) Le groupe Aut(E), = End(E)Y des automorphismes de E qui commutent avec y est unimodulaire au sens que son action par conjugaison sur End(E), induit l'action triviale sur la puissance extérieure maximale de End(E),.

(ii) Notons Pl la sous-algèbre de End(El) constituée des endomorphismes de El qui respectent la filtration par les Eo,j et Pl, = Pl f' End(Ei), . E t supposons que tous les facteurs irréductibles de p appal-aissent avec la multiplicité 1. Alors l'homornorphisrne

est surjectif. P a r conséquent, l'homomorphisme

est surjectif et son noyau est le radical de End(E), [resp. le radical unipotent de Aut(E),] . Démonstration :

(i) Il suffit de prouver l'assertion après n'importe quelle extension du corps de base. On peut donc supposer qu'il existe un isomorphisme R E M d ( K ) . Quitte à remplacer r par rd, ceci nous ramène au cas où R = K. On peut supposer également que le polynôme minimal de y est scindé et même, d'après la remarque qui précède l'énoncé de la proposition, que c'est une puissance pn d'un polynôme p de degré 1. En utilisant les notations du lemme 1, choisissons pour tout i , 1 5 i n, un sous-espace Ëi de Ei qui relève le quotient Ei-l,l\Ei-l,o= Ei-~,l\Ei de Ei. Alors, se donner un élément de End(E), revient exactement à se donner sa restriction à chaque Ëi qui est un homomorphisme arbitraire de Ëi dans Ei= Ker = $ $ p(y)j(Ëj+i/).

<

l < i / < i Osjsn-it

Pour g un élément de End(E),, notons (gi)15iin la famille des homomorphismes qu'il induit dans les Ei- 1,1\Ei . Alors son action par conjugaison sur la puissance extérieure maximale de End(E), est le produit sur tous les i , 1 5 i < n, de

Comme dim Ei =

C

C

dimËj+i,, on voit que ce produit est 1.

1
C'est ce qu'on voulait. (ii) Montrons que l'homomorphisme End(E), + Pl, est surjectif. Il suffit de le prouver après n'importe quelle extension finie séparable du corps de base, l'hypothèse sur p n'étant pas modifiée par une telle extension. On peut donc supposer qu'il existe un isomorphisme R E Md(K). Par équivalence de Morita et quitte à remplacer r par rd, ceci nous ramène au cas où R = K . Et d'après la remarque qui précède l'énoncé de la proposition, on peut supposer que p est irréductible. E vu comme module sur l'anneau de polynômes K [ X ] via l'action de y s'écrit sous la forme

@~ ( X ) ~ ~ \ K i X l e k k

où les nk sont des entiers, 1 5 nk 5 n , et les er, sont des éléments de E . Les éléments de End(E), sont déterminés par les images des ek, chacune étant arbitraire dans Ker p(y)lzk. D'autre part, les éléments de End(El), sont déterminés par les images des p(y)nk-lek, lesquelles sont arbitraires dans E l . On voit qu'un tel élément de End(El), est induit par un élément de End(E), si et seulement si pour tout k l'image de p(y)nk-lek est dans

C'est dire exactement que cet élément est dans la sous-algèbre Pl, de End(E1), comme on voulait. Maintenant, le noyau de End(E), -+ Tl, étant nilpotent d'après le lemme 1 (ii), on voit qu'un élément de End(E), est inversible si et seulement si son image dans Pl, l'est, si bien qu'est aussi surjectif l'homomorphisme Aut (E), P ,: .

-

Enfin, remarquons que le noyau de End(E),

+

n

End(Eo,.i\Eo,.i-l),

l<j
est nilpotent puisque contenu dans N d'après le lemme 1 (ii) et que . . d'autre part l'algèbre End(Eo,j\Eo,j-l), est semi-simple puisque

n

l<j
par hypothèse tous les facteurs irréductibles de p apparaissent avec la multiplicité 1. A partir de là, les deux dernières assertions résultent des deux premières.

0 Citons enfin le résultat suivant, dû à Rao et Deligne en caractéristique O et à Howe en caractéristique > O : PROPOSITION 3. - Soient K u n corps local non archimédien, R une algèbre centrale simple sur K de dimension d2 et r > 1 u n nombre entier. Soient y E GL,(R) u n automorphisme du R-module à droite E = Rr et Aut(E), le sous-groupe de Aut(E) = GL,(R) constitué des automorphismes de E qui cornmutent avec y . Enfin, soient dg et dg, deux mesures de Haar sur les groupes localement compacts unimodulaires Aut(E) et Aut(E), et la mesure quotient sur 1 'orbite Aut (E),\ Aut(E). Alors, pour toute fonction h localement constante à support compact définie sur Aut ( E ) , 1 'intégrale orbitale

2

est convergente. Démonstration : On a vu dans la proposition 2 (i) que le sous-groupe Aut(E), est unimodulaire. Pour ce qui est de la convergence, voir [Laumon] proposition 4.8.9.

O b) Encore une nouvelle fonction de pente maximale Dans ce sous-paragraphe et dans les suivants, on fixe x un polynôme unitaire à coefficients dans F de degré rd qui est une puissance d'un polynôme irréductible p. On note FI le corps FI = F[X]/p(X) et O; le faisceau de Ox-algèbres sur X des entiers de FI c'est-à-dire la clôture intégrale de Ox dans FI. Le faisceau d'algèbres O> @Vest fini sur Ox et il a pour fibre générique F' g F D. Il est certainement contenu dans un faisceau d'algèbres fini sur Ox, de fibre générique F' g~ D et maximal pour ces propriétés. On fixe une fois pour toutes un tel faisceau V I . LEMME4. - Soient g u n élément de G(A) et E g le V-Module localement libre de fibre générique Dr qui lui correspond.

Soit y u n élément de G ( F ) = GL,(D) dont le polynôme caractéristique est X. Etant donné 3 u n sous-V-Module de Eg, o n dira qu'il est (y,p)admissible si y stabilise la fibre générique de 3 et si la restriction de y à cette fibre est annulée par le polynôme irréductible p . O n dira que 3 est (y, p, VI)-admissible s'il est (y, p) -admissible et s 'il est stable par l'action à droite de 2)' induite par celle de F I 8~D. O n suppose que g-'yg E S , où S est une partie compacte de G(A). Alors pour tout sous-V-Module n o n nul maximal 3 de E g qui est (y, p) admissible et e n notant 3' le plus grand sous-V-Module de 3 qui soit (y, p, VI) -admissible, o n a rg3' = r g 3 ) ~(3 - Po ) ~ ( 3 2) ~ ( 3 ' 2 où po 2 O est une constante qui ne dépend que de S .

Démonstration : On note d'abord que le polynôme x et donc aussi le polynôme p figurent dans un ensemble fini qui ne dépend que de S . Puis on remarque que dans le A-module des polynômes de degré < deg p à coefficients dans A, il existe certainement un O-module compact Q ne dépendant que de p tel que

D'après l'hypothèse g-'yg E S, on voit qu'il existe une partie compacte S' de Mr(DA) ne dépendant que de S telle que g-%(r), q E S ) 9 C S I . Soit b E AX un élément ne dépendant que de S tel que bS' E Mr(DA). Et notons C le Ox-Module inversible sur X associé à b E A X . Pour 3 comme dans l'énoncé, on obtient donc ( 3 Box C ) V 1C 3. 3L)V' ~ est un sous-V-Module ~ ~ de 3 . Il est stable par l'action à puisque V'V' = VI, donc il est contenu dans 3 ' . Et il contient

Ainsi, ( droite de 2)' 380, C . De ceci on déduit

Ainsi po = -d deg b répond à la question posée.

On a besoin de la variante suivante du lemme 3 du paragraphe V.3a :

LEMME5. Soit S une partie compacte de G(A). Soient g u n élément de G(A) et E g le D-Module localement libre de fibre générique DT qui lui correspond. Soit y u n élément de G ( F ) de polynôme caractéristique x et tel que g-l,yg E S. Introduisons -

Alors : (i) Si E' désigne le plus grand sous-D-Module de 1 9 n Ker p(y) qui soit (y, p, VI) -admissible c'est-à-dire stable par D r , o n a

+

P ~ , , , , VWg) ~ = P;

(Et) = max{p(Ff),FrC E' A F' est stable par y génériquement).

D'autre part, si 3' est u n SOUS-2)-Module de 5 9 qui est ( y ,p,D1)admissible et vérifie p(F1) = p:,,,v,(Eg), il est y-semi-stable. (ii) Il existe une constante p l 2 0 ne dépendant que de S telle que

(iii) Si F C Eg est u n sous-D-Module maximal de Eg stable pY(1gl.F) et si F' est génériquement par y et tel que & ( F ) > pl u n sous-D-Module de 5 9 qui est (y, p, V') -admissible et vérifie p(F') = p;,,,vt (Eg), o n a nécessairement

+

Démonstration : (i) Les deux assertions résultent de ce que si F' est un sous-VModule de £9 qui est (y, p , D')-admissible, tout sous-D-Module maximal de F' qui est stable par y génériquement est aussi (y, p, D')-admissible. (ii) Il est évident sur la définition que pi(Eg) ) ( E g ) Par ailleurs, il existe d'après le lemme 3 (i) du paragraphe V.3a une constante p i ne dépendant que de S telle que

Soit F un sous-D-Module maximal de génériquement et qui réalise

Eg

f? Kerp(y), stable par y

Et soit F'le plus grand sous-D-Module de F qui soit (y, p, D')-admissible. D'après le lemme 4, on a

où po L O est une constante qui ne dépend que de S. On voit que p l = p i po répond à la question posée. (iii) Il s'agit de prouver la nullité du composé

+

Or, d'après (i), (ii) et l'hypothèse sur Fr,on a

On conclut d'après la proposition 2 (v) du paragraphe 11.2.

O On a également besoin du corollaire suivant :

COROLLAIRE 6. - Soit h une fonction localement constante à support compact de G(A)/aZ dans @. E t soit

converge si et seulement si pour tout sous-groupe parabolique standard P E Po, P 2 Po, de G converge 1 'intégrale

où dk désigne la mesure de Haar de volume 1 sur K = GLT(DA),dmp la mesure de Haar sur le sous-groupe de Lévi Mp(A) qui attribue le volume 1 à Mp(A) ri K, et m& la première composante de tout mp E Mp(A) = M; (A) x . - . x (A). E t dans ce cas, la première intégrale est égale à la somme des secondes sur tous les sous-groupes paraboliques standards P . Démonstration : Soit p 2 O une constante. L'intégrale de la fonction considérée sur G(F)\G(A)/aZ est certainement égale à la somme sur tous les sousgroupes paraboliques standards P des intégrales de la même fonction sur les {g E P(F)\G(A)/U", ,Qg = P ) . De plus, si p est assez grande en fonction de h, on a les propriétés suivantes, pour g E G(A) et pQg = P : D'après le lemme 8 du paragraphe V.le,

D'après le lemme 5 du paragraphe V.ld,

D'après le lemme 5 (iii) ci-dessus,

On conclut en écrivant la formule d'intégration associée à la décomposition d'Iwasawa.

0 c) Introduction d'un facteur de convergence On conserve les notations du sous-paragraphe précédent. En particulier, on a défini les fonctions de pente maximale p~,,,,..

PROPOSITION 7. (i) Pour toute fonction h localement constante à support compact sur G(A)/aZ et pour tout réel s > 0, l'intégrale

est convergente. Plus précisément, pour toute classe de conjugaison c dans G ( F ) de polynôme caractéristique x et pour tout réel s > 0 , l'intégrale

est convergente. Et on a

(ii) Pour toute classe de conjugaison c dans G ( F ) dont le polynôme caractéristique est x mais qui n'est pas elliptique c'est-à-dire dont le polynôme minimal n'est pas p, il existe une fonction h positive vérifiant lim IC(h) = +CO

s+o

.

(iii) Si c, désigne la classe de conjugaison elliptique dans G ( F ) dont le polynôme minimal est p, on a pour toute fonction h lim Iz, ( h ) = Icp ( h )

s-O

où ICp( h ) désigne l'intégrale convergente

( i v ) Etant données x E IX(\T, une place et h , [resp.h ] une fonction localement constante à support compact sur G(F,) [resp.G ( A ) ] ,on dira que h , est inadaptée à x [resp. que h est inadaptée à x e n la place x si h est de la forme h = h , @ h x et ] si pour tout y E G ( F ) de polynôme caractéristique x et tout sous-groupe parabolique non trivial P de G contenant y , on a dnp,, . h x ( g ; l r n ~ , x g x )= 0 , Vgx E G ( F , ) , où dnp,, désigne une mesure de Haar sur N p (F,) . Alors, pour toute fonction h inadaptée à x e n au moins une place, on a l i m IG(h) = Ix( h )

s+o

où I, ( h ) désigne 1 'intégrale convergente

Démonstration : (i) Prouvons la première assertion. O une constante qui vérifie la conclusion Pour cela, choisissons p du corollaire 6. Il s'agit donc de prouver que pour tout sous-groupe parabolique standard P de G et notant hp la fonction localement constante

>

est convergente l'intégrale

Ecrivons la décomposition en facteurs M p = M$ x - .- x MpIPI . Pour m p = ( m1p , . . . , m K 1 ) E Mp(A) et e = (el,. . . , e l p l ) E Z,IPI, -aemp

la condition PQ s'explicite en

=

P portant sur aemp = (aelm&,. . . ,~ " I P I ~ ~ ' )

D'autre part, si r i , . . . ,rip désignent les rangs de M$, . . . , MLp, on a

Ainsi, pour m p E Mp(A), la somme

converge si s > 0. Comme la partie de M$ (F)\M$ (A)/aZ x . . . x MLP1(F)\M;~' (A)/az -mlpl

IPI constituée des (mb, . . . ,m Z 1 )tels que pQmF = M$, . . . ,PQ = Mp est compacte d'après le lemme 1 du paragraphe V.lb, l'intégrale ci-dessus est effectivement convergente.

Enfin, comme il y a convergence absolue, la seconde assertion est équivalente à la première, avec l'égalité IX(h) = C I,"(h). C

(ii) Soit y, un représentant de la classe de conjugaison c. Soit P le sous-groupe parabolique de G attaché à la filtration de E = Dr par les sous-modules Ker p(yc), Ker p2(yc),. . . Comme c n'est pas elliptique, P est non trivial. On peut supposer qu'il est standard. Soit Z le sous-schéma fermé de Mp constitué des éléments dont le polyôme minimal est p. Bien sûr, on a y, E Z(F)Np(F). Soit x n'importe quelle place dans (X(\Ta. Dans Z(F,)Np(F,) le sousensemble des points g, conjugués de y, est un ouvert de Zariski puisque défini par la condition que p(g,) soit de rang maximal. Par conséquent, on peut choisir une fonction localement constante à support compact h, de la forme h, @ hx, positive, invariante par conjugaison par K , ne s'annulant pas en yc et telle que h, s'annule en tous les points de G(F,) qui sont conjugués d'un élément de Z(F,)Np(F,) sans l'être de y,. De ce choix, il résulte que pour toute constante p 2 O assez grande en fonction de h et pour tout réel s > O, on a

Comme l'intégrale

diverge, on voit que lim I,S(h) = +m. s-t+cc

(iii) résulte du théorème de convergence dominée de Lebesgue puisque la double sommation sur G(F)\G(A)/aZ et sur c,

est absolument convergente et que, d'après le lemme 5 (ii), il existe une constante pl > O ne dépendant que du support de h telle que

(iv) D'après l'hypothèse sur h et le corollaire 6, on a pour toute constante p assez grande en fonction de h et pour tout réel s 2 0 :

Et la seconde expression est évidemment continue en la variable s 2 O puisque le quotient G(F)\{g E G(A), p&" = G ) / a Z est compact. C'est ce qu'on voulait.

O d) Décomposition par classes de conjugaison et par places On conserve les notations des deux sous-paragraphes précédents. Commençons par montrer :

L E M M E8. - Pour toute classe de conjugaison c dans G ( F ) de polynôme caractéristique X , notons pnc le polgrnôme minimal de c et choisissons y, u n représentant de c tel que le sous-groupe parabolique P, de G respectant la filtration par les Ez = ~ e r p ( y , ) ~ ,O 5 i 5 n c , et les E t j = ~ ep(-yc)' r + (1m p(y,)j n Ker , ~ ( y , ) ~ ,+ O~ 5) i 5 n, , O 5 j

( n, - i ,

soit standard. Alors : (i) Le sous-schéma en groupes Gyc de G des commutateurs de y, est contenu dans P,. De plus, le groupe GYc(A) est unimodulaire. O n peut le munir d'une mesure de Haar dgyc. (ii) Pour g u n élément de G(A) et £ 9 le D-Module localement libre de fibre générique E = Dr qui lui est associé, notons

où chaque E h j , O 5 j 5 n,, désigne le plus grand sous-2)-Module n E,",j stable par l'action à droite de DI. Ceci étant posé, l'intégrale

de

&g

est convergente pour tout réel s

> O , et elle est de la forme

où C I est u n réel positif qui ne dépend que de

S.

Démonstration : (i) La première assertion a été prouvée dans le lemme 1 (i) et la seconde dans la proposition 2 (i). (ii) On sait d'après la proposition 7 (i) que pour toute fonction localement constante à support compact h sur G(A)/aZ et tout réel s > O converge l'intégrale

Comme l'expression intégrale Z,S(g) en la variable g est invariante à droite par K, on voit qu'elle doit converger pour tout g. Pour s > O, il s'agit maintenant de montrer que l'expression

est indépendante de g E G(A). Etant donné g un élément de G(A), soit £i = Eh,, le plus grand sous2)-Module de £9 n E," = & g n E,", stable par l'action à droite de 2)'. Considérons g' un élément quelconque de G(A) tel que 19' n El = Ei. A fortiori, pour tout j, O j < n,, & g f n EQ, se confond avec £ 6 , le plus grand sous-D-Module de 59 n EQ,j stable par 2)'. Maintenant, pour tout g,, E G,,(A) & P,(A), & g r c g 1 n E," est égal au transformé de &: par la restriction de gTc à E," g F A et il est stable par 2)'. De même, £g,cgnE," est égal au transformé de &gnEf par cette restriction, et le plus grand sous-2)-Module stable par 2)' qu'il contienne est égal au transformé de f i .

<

Ainsi, on voit que q"Pc ( 9 ) ~(g) s

= qsPc ( 9 0 ((j) ~ ~.

D'autre part, d'après la maximalité de la Ox-Algèbre finie Dl, deux V-Modules localement libres de fibre générique E,C qui sont stables par V' peuvent toujours être transformés l'un en l'autre par un automorphisme de ET A qui commute avec y, et respecte la filtration par les Eô,j € 4 A. ~ Or, d'après la proposition 2 (ii), un tel automorphisme peut s'écrire comme la restriction à Et g F A d'un élément de Gyc(A). Ainsi on a pu prendre g' de la forme

-

où gr, 6 G,JA) et go est un élément fixé de G(A). Pour conclure, il suffit donc de prouver que les fonctions g +-+ Zz(g) et cpc (g) sont invariantes à gauche par GTc(A). g En ce qui concerne Zz(g), c'est évident sur la définition puisque dgyc est une mesure de Haar. Et pour ce qui est de p,(g), écrivons

Sur cette écriture, l'invariance à gauche par Gyc(A) apparaît immédiatement, comme conséquence du lemme 1 (ii).

O

Rassemblons quelques renseignements sur les fonctions pc :

LEMME9. Soit c une classe de conjugaison dans G ( F ) de polynôme caractéristique X . Avec les notations du lemme 8 , on a : ( i ) Pour toute partie compacte S de G ( A ) , la fonction pc : G ( A ) + Q est minorée sur le sous-ensemble {g E G ( A ) , g-lycg E S ) par une constante qui ne dépend que de S . (ii) O n peut associer à toute place x de F une fonction -

invariante à gauche par G,JF,) G ( A ) , la somme

et telle que pour tout g = ( g Z ) x E I XEI

soit finie et égale à p c ( g ) . (iii) Pour tout place x de F et toute partie compacte S , de G(F,), la fonction y,,, : G(F,) -+ Q est minorée sur le sous-ensemble {g, E G(F,), g i 1 y c g z E S,) par une constante qui ne dépend que de S,. Démonstration : ( i ) Soit donc g u n élément de G ( A ) tel que g-lycg E S . Avec les notations d u lemme 8 ( i i ) ,o n a

D'après le lemme 4, les différences degv(Eo,j) - degv(Eg n E,",j) sont bornées par une constante qui ne dépend que de S , de sorte qu'il suffit de minorer

Quitte à remplacer S par K S K , o n peut supposer que g est dans P c ( A ) . Alors d'après le lemme 1 ( i i ) , l'élément

induit pour tout j, O 5 j

< nc, un homomorphisme bien défini

Ej"\Ej"+,@ F A

-+

E,",j@ F A

et Ejc\Ejc+i et Eoctj peuvent être identifiés via Cet homomorphisme doit rester dans une partie compacte qui ne dépend que de S , et deg, (Es n E;\&g n ET+,) - deg, (&gn E,",j) apparaît comme le degré de son déterminant dans A X .D'où le résultat. (ii) Pour x une place de F et g, un élément de G(F,), notons Ex le le réseau g,(DL) dans E @ F F,. Et pour tout j, O 5 j < nc, notons plus grand sous-D,-module de &, n (E; @ F F,) qui soit stable par l'action à droite de DL = V' @ O,. Posons

où, si chaque réseau est représenté par une matrice posé d e g ~ , ( & A= ~ )-deg(x)x(det(goj),), ~ O Ij < n c , deg,, Ex = - deg(x)x(det g,) .

on a

Il est évident sur les définitions que si ( g x ) x E l x=l g E G(A), la somme C X E l X PC,Z , (gx) est finie et égale à cpc(g). L'invariance à gauche par Gyc(F,) de chaque fonction p,,, résulte du lemme 1 (ii) et de la formule

(iii) est une conséquence formelle de (i) et (ii).

O Choisissons pour toute place x de F une mesure de Haar dgyc,, sur le groupe unimodulaire GYc(F,), de façon que la mesure de Haar dgYc sur Gyc(A) soit induite par le produit des dgyc,,, x E Puis, pour tout ensemble fini T G 1x1 de places de F , notons dgycjT[resp. dg;] la mesure de Haar sur Gyc(AT) [resp. Gyc(AT)], produit des dgyc,,, x E T [resp.x E IX (\Tl. Introduisons aussi la fonction

1x1.

LEMME 10. - Soient T u n ensemble fini de places de F et hT une fonction localement constante à support compact sur G(AT). Alors pour toute classe de conjugaison c dans G ( F ) de polynôme caractéristique x et pour tout réel s > 0 , l'intégrale

est convergente. De plus, c'est une fonction continue de la variable s

> 0.

Démonstration : C'est une conséquence immédiate de la proposition 3 et du lemme 9 (iii).

O Maintenant, prouvons : THÉORÈME 11. - Soit c une classe de conjugaison dans G ( F ) de polynôme caractéristique X . (i) Soient T l , . . . ,Tn des parties finies disjointes de 1 x1 et T = Tl U . . . U T n . . .@ hTn @ hT une fonction produit tensoriel de fonctions Soit h = hT, localement constantes à support compact sur G(AT,), . . . ,G(ATn),G(AT). Alors, pour tout réel s > 0 , l'intégrale

est convergente, et on a

(ii) Si la classe c n'est pas elliptique, alors pour toute partie finie T de 1 x1 et pour toute fonction positive hT localement constante à support compact sur G(AT) qui ne s'annule pas uniformément sur la classe de conjugaison de y,, on a lim I:+ (hT)I," = +oo

s-10

.

(iii) Soit h une fonction localement constante à support compact sur G(A)/aZ et inadaptée à x e n au moins une place au sens de la proposition 7 (iv). Alors l'expression 1: (hl possède une limite finie quand s tend vers O.

(iv) Si la classe c n'est pas elliptique, alors pour toute place x et toute fonction h, localement constante à support compact sur G(F,) inadaptée à X , on a lim I,S,,(h,) = 0 . s-+o

Démonstration : (i) On sait d'après la proposition 7 (i) que pour tout s > O converge l'intégrale

Comme il y a encore convergence lorsqu'on remplace h par sa valeur absolue, on voit que dans l'expression de IC(h) il y a convergence absolue pour la double sommation sur G(F)\G(A)/u" et sur c. Par changement de variable, on obtient alors

La conclusion résulte maintenant du lemme 8 (ii) et du lemme 9 (ii). (ii) D'après la proposition 7 (ii), il existe une fonction h' 2 O localement constante à support compact sur G(A) qui vérifie lim I,"(h1)= +m .

s-O

>

Or il existe certainement un sous-ensemble fini T' T de (XIainsi que des fonctions hT' > O sur G ( A ~ ' )hT'\T , sur G(ATI\T)et h& 2 O sur G(ATl) telles que

D'après (i), on a pour tout s

> 0,

D'après le lemme 10, l'expression I,StTt(hkt)possède une limite quand s tend vers O. On en tire

D'autre part, il résulte de l'hypothèse sur hT que la limite de l'expression I:TtlT(hTt\T) quand s tend vers O doit être strictement positive. D où la conclusion.

(iii) Ainsi il existe une place O de F telle que h soit de la forme h = ho 8 ho, où ho, ho sont des fonctions sur G(Fo), G(AO) et ho est inadaptée à X. De plus, on peut certainement écrire ho sous la forme ho = h, 8 hOz" où x est une place distincte de O et h,, holx sont deux fonctions sur G(F,), G(A03"). D'après (i), on a pour tout s > 0,

I: (h) = I;,, (ho)I:,, (h,) I , ( O ~ ~ (ho>") } ~ ~ I; Et d'après le lemme 10, on sait que l'expression I,S,,(h,) possède une limite finie quand s tend vers O. Donc il suffit de prouver que le produit

possède une limite finie quand s tend vers O. Nous allons le montrer par récurrence descendante sur la dimension d, de la classe de conjugaison de y, dans G(F,). Ainsi, supposons le résultat déjà vérifié pour les classes de conjugaison de dimensions strictement plus grandes. On sait que la classe de conjugaison de y, dans G(F,) est un ouvert de Zariski dans la réunion des classes de conjugaison d'éléments y,/ qui sont de dimension d , ~5 d,. Donc il existe une fonction h5 2 O sur G ( F x ) , ne s'annulant pas uniformément sur la classe de conjugaison de y, mais s'annulant sur les classes de conjugaison des y,/ avec cl # c et d , ~< d,. D'après la proposition 7 (iv), on sait que l'expression

possède une limite quand s tend vers O. Par choix de h i , on a I:,,,(hi) = O pour tout s > O et toute classe cl # c vérifiant d,! 5 d,. On sait aussi d'après le lemme 10 que toutes les expressions I;/,,(h;) possèdent une limite finie quand s tend vers O, et d'après le choix de h i cette limite est strictement positive pour cl = c. Enfin, l'hypothèse de récurrence est que pour toute classe cf telle que d , ~> d,, l'expression

possède une limite finie quand s tend vers O. Le résultat pour c s'en déduit aussitôt.

(iv) D'après (ii), il existe une fonction hx lim I,"+(hx)1,"= +CO s-ro

2 O sur G(Ax) telle que

.

Or, d'après (iii), on sait que l'expression I,"(h, 8 hx) = I,",, (h,) I ~ ~ s ( h x ) I ~ possède une limite finie quand s tend vers O. D'où la conclusion.

O Remarque : Bien que nous n'en ayions nul besoin ici, on pourrait préciser le comportement des diverses fonctions de la variable s que nous avons introduites. Tout d'abord il est évident sur les définitions que la variable s peut être prise dans (C au lieu de IR. Puis on pourrait montrer : Sous les hypothèses du lemme 10, il existe un réel E > O tel que la fonction I,S,T(~T) soit définie et holomorphe dans le domaine Re s > -E. O Rappelons que pour c une classe de conjugaison de polynôme caractéristique X , pnc désigne son polynôme minimal, et notons k, _< n, le rang du centre du plus grand quotient réductif du groupe de commutateurs Gy,. Alors la fonction I,Sest définie et holomorphe dans le domaine Re s > O, et elle admet au voisinage de O un prolongement méromorphe avec un pôle d'ordre Ic, - 1.

Pour T et hT comme dans le théorème 11 (ii), la fonction I:>" (hT) s'écrit comme un produit eulérien de fonctions holomorphes. Elle est définie et holomorphe dans le domaine R e s > O et elle admet au voisinage de O un prolongement méromorphe avec un pôle d'ordre n, - k,. O

O Pour h comme dans le théorème 11 (iii), la fonction C I (h) possède au voisinage de O un prolongement analytique. O Pour x une place de F et h, une fonction comme dans le théorème 11 (iv), les points précédents impliquent que la fonction IC,,(h,) admet au point O un zéro d'ordre au moins (k, - 1) (n, - k,) = n, - 1.

+

O

Démonstration de la partie (ii) du théorème 10 du paragraphe V.2d : On considère donc une fonction h de la forme hm @ ho">'@hooù cc,O sont deux places distinctes de F, hm, hoojO,ho sont des fonctions sur G(F,), G(AD"2O),G(Fo) et hm, ho sont inadaptées à X . Avec les notations de la proposition 7, on veut prouver

D'après la proposition 7 (iv) et (iii), on sait

Comme pour tout s

> O, on a

il suffit de montrer que, pour toute classe c

# c,,

Or d'après le théorème 11 (i), on a, pour tout s

> 0,

et d'après le théorème 11 (iii) et (iv), on sait que l'expression

possède une limite finie quand s tend vers O, et que lim I&(h,)

s-O

=O

Ceci termine la démonstration.

O Remarque : Esquissons une autre démonstration du théorème 10 du paragraphe V.2d qui s'inspire des méthodes d'Arthur (voir [Laumon] chapitre 10 pour le cas des corps de fonctions).

Considérons comme fixées une fonction hm>' sur G(A"zO) et une fonction ho sur G(Fo) inadaptée à X. D'après la proposition 3 du paragraphe V.2b, la fonctionnelle

est bien définie et elle est évidemment invariante par conjugaison. D'après un théorème de Harish-Chandra et Shalika (voir [Laumon] lemme 10.6.5), elle peut donc s'écrire

où les y, sont des représentants des classes de conjugaison c de G ( F ) dont le polynôme caractéristique est x et les a, sont des coefficients réels. Supposons maintenant que hm est inadaptée à X. Dans le cas (i) où x a plusieurs facteurs premiers distincts, toutes les intégrales de hm sur les orbites des y, sont nulles, ce qui donne le résultat annoncé. Dans le cas (ii) où x est une puissance d'un polynôme irréductible p, toutes les intégrales orbitales de h, considérées s'annulent, sauf celle qui correspond à la classe de conjugaison elliptique c,. Il reste à déterminer le coefficient aCF ce qui est possible (mais nullement évident) par les méthodes d'Arthur.

O

Chapitre VI Formule des traces d'Arthur-Selberg et conjecture de Ramanujan-Petersson 1. - Rappels sur la décomposition spectrale de Langlands

a) Notations On fixe toujours X une courbe projective lisse géométriquement connexe sur un corps fini F,. On note F le corps des fonctions de X , A l'anneau des adèles de F, Oa G A son sous-anneau des entiers et a E AX un élément de degré non nul dont les composantes valent 1 en dehors d'un ensemble fini Ta de places de F . On fixe également D une algèbre centrale simple sur F de dimension d2, V A C DA = D @ F A un ordre maximal et r 1 un entier. On note G le schéma en groupes sur F des automorphismes de E = Dr et K = GLr(Da) qui est un sous-groupe ouvert compact maximal de G(A).

>

Soit Mo le sous-groupe de Lévi de G associé à la décomposition en somme directe E = D @ . . . @ D. On désigne par Po [resp. Mo] l'ensemble fini des sous-groupes paraboliques de G [resp. de leurs sous-groupes de Lévi] qui contiennent Mo. Et soit Po E Po le sous-groupe parabolique minimal associé à la filtration O Ç D Ç D~ Ç - . . Ç Dr = E. Tout sous-groupe parabolique P E Po admet un unique sous-groupe de Lévi Mp qui soit dans M o . En particulier Mpo = Mo. Pour tout M E Mo [resp. P E Po]on note ZM son centre [resp. Zp = ZMp le centre de Mp]. On note en particulier Zpo = ZMo= ZO. On désigne par P > Pol'ensemble de tous les sous-groupes paraboliques de G. Pour tout P E P , on note N p son radical unipotent. Introduisons encore W C G ( F ) le groupe des permutations de (1'2,. . . , r ) et WM = W n M ( F ) pour tout M E M o . Pour M, Ml deux éléments de Mo, on notera Hom(M, Ml) l'ensemble des doubles classes a E WM1\W/WM telles que a M o - l & Ml. Si M = Ml x . - . x Me et Ml = Mi x . . . x Mj, sont les décompositions de M et Ml en produits de facteurs simples de rangs r i , . . . ,re et ri, . . . ,ré,, cet ensemble Hom(M, Ml) s'identifie à celui des applications

a : {1,2,. . , t ) -+ {1,2,. . . ,et) telles que

ri =

ri, 1

< j < P. Pour

i
a(i)=j M, M t ,M" E Mo on peut donc composer les éléments de Hom(M, M t ) et Hom(Mt,Mt') si bien que Mo devient une catégorie. Il en est de même de Po si on pose pour tous P, Pt E Po,Hom(P, Pt)= Hom(Mp, Mp,).

b) Degrés. Polygones. Groupes de caractères Pour tout M E Mo,on dispose de l'homomorphisme de degré

où IMI désigne le nombre de facteurs simples de M . Puis, pour P E Po,on dispose de l'homomorphisme composé

où 1 PI = 1 Mp 1. On notera encore degp l'unique prolongement de degp en une application G(h) -+ zIPI qui soit invariante à droite par K . Cette application degp permet aussi d'associer à tout élément g E P(F)\G(A)/KZG(A) un polygone (normalisé) p g . Si Mp = Ml x . . . x Mlpl, r1,r2,. . . ,ripl sont les rangs de M l , . . . , M I P Iet degp(g) = (deg, (9) , . . . ,d e g l p(9)) l dans ZIPI, c'est l'unique application [O, r] 4 IR s'annulant aux points O et r et qui sur chaque intervalle [ri+ . . .+ripl,rl + deg.(g) - -.deg(g) . . ri] est affine de pente A ri r Toujours pour un tel P E Po,on notera Ap le groupe de Lie complexe commutatif constitué des caractères M ~ ( A ) / U -+ " C X qui se factorisent à travers l'homomorphisme surjectif

+

Ap s'écrit canoniquement Ap = ImAp x ReAp où ImAp désigne le sous-groupe de Lie réel compact des caractères unitaires et ReAp le sousgroupe de Lie réel linéaire des caractères à valeurs dans I R : . On notera dXp la mesure de Haar sur le groupe compact ImAp qui lui attribue le volume 1. Plus haut, nous avons prolongé degp en une application sur tout G(A) invariante à droite par K. Nous ferons de même avec les éléments de Ap.

On notera pp E ReAp la racine carrée du caractère modulaire de Mp(A) par lequel Mp(A) agit sur les mesures de Haar dnp de Np(A) : m p . dnp . m p 1 = pp (mp) . dnp, Vmp E Mp (A). Si P, Q sont deux objets de Po avec P C Q, l'inclusion Mp(A) C MQ(A) induit une immersion naturelle AQ -+ Ap. Il y a aussi une inclusion ZQ(A) G Zp(A) Mp(A) et on note R ~ A ?le sous-groupe de Lie réel de ReAp constitué des caractères qui sont triviaux sur ZQ(A). On vérifie facilement que ReAp = RehQ x R ~ A ? . On note A? le sous-groupe de Lie complexe connexe de Ap engendré par R~A:. Il se décompose naturellement en A: = 1mA$ x R ~ A $avec 1mAP ImAp, ImAp = 1mAQ1rnA$ et ImAQ n I ~ A : est fini.

c

c

Pour tout P E Po avec r i , . . . , rlpl les rangs des facteurs simples de Mp, introduisons encore la notion de composantes d'un caractère Xp E Ap se factorisant à travers l'homomorphisme surjectif degp : ~ p ( A ) / a ' + (Z x x Z ) / ( r l , . . . ,r j P l ) d ZPour . tout indice i E {1,2,. . . , IPI) on appelle i-ème composante de Xp E Ap et on note A$ l'image par l'homomorphisme (Z x . - . x Z ) / ( r l , . . . , r l P l ) d Z4 (CX de l'élément (0,. . . , O , 1 , 0 , . . . , O ) où l'unique 1 est placé en i-ème position. Etant donné Xp E Ap, on notera IXp( » 1 [resp. lXPl > 1, resp. lXPl 11 si pour tout indice i, 1 < i < /PI,on a

>

resp.

n 1~;1

Tl+:.+rt

>

n

'3

p,;/.i+~++'~~~]

On a évidemment les implications

Et ces trois relations sont compatibles avec la multiplication dans Ap. Remarquons aussi que la relation [ A p / 2 1 [resp. lXpl > 1, resp. lXp 1 » 11 est équivalente à ce que pour tout élément g E P(F)\G(A)/KZG(A) dont le polygone est concave [resp. concave et non nul, resp. > O et non nul], on ait (Xp(g)l 1 [resp. IXp(g)l > 1, resp. IXp(g)l > 11. Enfin, si P, Q sont deux objets de Po avec P G Q, les relations 1 . 1 2 1, 1 . 1 > 1 sont compatibles avec l'immersion Ag -t Ap. Pour A$ E A$

>

on notera I A >~ 1 [resp. I A 2~ 11 si A? vérifie cette relation en tant qu'élément de Ap. E t on notera l X P l » 1 s'il existe XQ E Ag tel que le caractère XQ A&, E ilp vérifie l A Q X P l >> 1.

c) Paires discrètes Munissons le groupe adélique G(A) de l'unique mesure de Haar dg dont la restriction dk au sous-groupe ouvert compact maximal K = GL,(VA) est de volume 1. Plus généralement, pour tout M E Mo soit dm la mesure de Haar sur M(A) qui attribue le volume 1 au sous-groupe ouvert compact maximal KM = K n M(A). E t pour tout P E P soit d n p la mesure de Haar sur Np(A) pour laquelle le quotient compact Np(F)\Np(A) est de volume 1. Pour tout P E P o , soit L2( M p ( F ) ~ p ( A ) \ G ( A ) / a z )l'espace des fonctions de carré intégrable M ~ ( F ) N ~ ( A ) \ G ( A )-+ / ~C, ~ muni de l'action à droite de G(A). Afin d'énoncer la décomposition spectrale due à Langlands de ces espaces, nous avons besoin de la notion de paire discrète. Considérons donc M un objet de M o , x : ZM(A)/aZ -+ C X un caractère central de M(A)/aZ et K t un sous-groupe ouvert de K . Notons L&,(M(F)\M(A)/~", X ) l'espace des fonctions p : M(F)\M (A)/aZ -+ @. telles que : p est invariante à droite par K t n M(A) C K n M(A), ~ ( z m= ) x ( z ) p ( m ) , Vz E ZM(A), 'dm E M(A), en notant 1x1 : M(A)/u" -+ I R: l'unique caractère qui prolonge le module de x : Znn(A)/aZ -+ C ', la norme Il 1 définie par

fi

(où ri, . . . , r l ~désignent ] les rangs des facteurs simples de M ) est finie. Puis notons L& (M(F)\M(A)/U", X) la réunion filtrante des L$, (M( F ) \ M (A)/aZ,X) quand K ' décrit la famille des sous-groupes ouverts de K , munie de l'action à droite de M(A). D'après Langlands (voir [Mœglin, Waldspurger, 19941 théorème VI.2.1) cet espace s'écrit naturellement comme la somme directe d'une partie "discrète" (M (F)\M (A)/aZ, x ) et ~ d'une~partie ~ "continue". ~

LL

1. Pour tout M ZM(A)/aZ -+ C X, la représentation est admissible. THÉORÈME

-

E

Mo et tout caractère central

x

:

Lk ( M ( F ) \ M ( A ) / a z , x)disc de M(A)

Esquisse de démonstration : Il s'agit de prouver que pour tout sous-groupe ouvert K ' de K le sous~ ~ des~ formes ~ invariantes à espace de L & ( M ( F ) \ M ( 8 ) / a Z ,x ) constitué droite par K' n M ( 8 ) est de dimension finie. Or, d'après Langlands, ces formes discrètes s'obtiennent comme résidus des séries d'Eisenstein construites à partir des formes cuspidales sur les MQ(F)(NQ(A)n M(A))\M(A) avec Q E PO,MQ C M . De plus, les formes cuspidales invariantes à droite par les MQ(A) n K t constituent des espaces de dimensions finies et comme chacun des ImAQ est compact, chaque série d'Eisenstein ne donne naissance par résidus qu'à un nombre fini de formes discrètes. 0

Chaque représentation L k (M ( F ) \ M (A)/aZ,x ) ~ étant ~ ~ admissible, ~ , s'écrit canoniquement comme une somme directe de sousreprésentations isotypiques dont les facteurs irréductibles sont non isomorphes de l'une à l'autre et qu'on appellera les composantes discrètes de L2, ( M ( F ) \ M ( A > l a Zx). ,

DÉFINITION 2. - O n appelle paire discrète (P, IT)la donnée d'un P E Po et d h n e représentation admissible isotypique .rr de Mp(A) qui soit une " , si X , : ~ p ( 8 ) / a "+ composante discrète de L & ( M ( F ) \ M ~ ( A ) / ~ x,) C X désigne le caractère central de IT. Considérons (P, IT)une paire discrète et P -% P' un isomorphisme dans

Po c'est-à-dire une double classe a E WMp,\W/WMp représentée par une permutation w E W vérifiant W M ~ W - ' = M p . Alors IT' = {(p(w-l.w),

IT)

DÉFINITION 3. - O n dit que deux paires discrètes (P, IT) et (Pt,IT') sont équivalentes s'il existe u n isomorphisme a : P + P' dans Po et u n caractère Xp E Ap tels que

Introduisons enfin les groupes de fixateurs d'une paire discrète (P, IT). On note Fixe(7r) [resp. Fixe,(.rr) pour a : P + P' un morphisme de Po] le groupe fini des couples (7,p p ) dans Autpo (P) x Ap qui vérifient T(IT@ p p ) avec la loi de composition

= IT

[resp. et ar

= a] ,

Bien sûr chaque Fixe,(K) est contenu dans Fixe(r) et il contient le groupe fini Fixep(n) des caractères p p E Ap vérifiant K 8 p p = T.

d) Séries d'Eisenstein. Opérateurs d'entrelacement

Si (P, T) est une paire discrète et KI un sous-groupe ouvert de K , on notera Lkt(Mp(F)Np(A)\G(A)/aZ,~) l'espace des fonctions p : Mp(F)Np(A)\G(A)/aa + C invariantes à droite par K' et telles que pour tout Ic E K la fonction

soit dans le sous-espace . ~ ~ c L ~ ( M ~ ( F ) \ M ~xn). ( A ) On / ~ ~ note , L& (MF(F) Np (A)\G(A)/aZ7T ) la réunion filtrante des espaces L&,(Mp ( F ) N p ( A ) \ G ( ~ ) / a " ,T) quand K r décrit la famille des sousgroupes ouverts de K . L k (Mp (F)Np (A)\G(A)/aa, T) est muni de la norme hermitienne p ++ I/ 11 définie par

fi

Remarquons que pour tout Xp E Ap, aussi

T

8 Xp = {pXP,p E

T),

donc

Venons-en aux séries d7Eisentein. Considérons P, Pr deux objets de Po avec P P t . Pour p : M ~ ( F ) N ~ ( A ) \ G ( A )+ /~C ~ une fonction, on introduit la série

c

~ ( 6 9 ) 9 E Mpt(F)Npt(A)\G(A)/aé. Et pour 6EP(F)\Pt(F) tout Xp E Ap, on note Er' ( p l X p ) = Er' (pXp). On prouve facilement que (9,X p ) est définie en un point A$ E Ap7 alors elle si la fonction Xp l'est sur l'ouvert des Xp E Ap vérifiant [ A P / » IX$I et elle est holomorphe sur cet ouvert. On note encore EFf(p,Xp) son plus grand prolongement méromorphe. On a le résultat fondamental dû à Langlands : E F t ( v ) ( g )=

-

EF'

Pour toute paire discrète (P,T), tout Pl E Po avec P E Pl et toute fonction p E L & ( M ~ ( F ) N ~ ( A ) \ G ( A )K/)~, ~la, série THÉORÈME 4. -

d'Eisenstein ( y , XP) : g

C

(yXp) ( O g )

est convergente dans l'ouvert / A p » f i . De plus, elle admet u n prolongement méromorphe à Ap tout entier.

0

Puis introduisons les opérateurs d'entrelacement. Considérons cette fois deux objets P, Pl E Po tels que Mp = M p . Pour y : M p ( ~ ) ~ p ( ~ ) \ G ( ~4) C / aune Z fonction, on introduit l'intégrale

où dnp,pl désigne la mesure de Haar sur Np(A) n Np/ (A) pour laquelle le quotient compact N p ( F ) n Npt (F)\Np(A) n Np/ (A) est de volume 1. Et pour tout Xp E Ap auquel est évidemment associé l'unique Xpl E Apt dont la restriction à Mpt(A) = Mp(A) se confonde avec celle de Xp, on note ( y , Xp) = M ; ' ( ~ X ~ ) X $ . Ici encore on prouve que si la fonction Xp H MF1( y , Xp) est définie en un point A$ E Ap, elle l'est sur l'ouvert des Xp E Ap vérifiant lXpl » lX$l et elle est holomorphe dans cet ouvert. On note toujours M P t ( y ,X p ) son plus grand prolongement méromorphe. On a le résultat fondamental dû à Langlands :

MF'

Soient (P,T ) une paire discrète, Pl u n objet de Po tel que Mpt = M p et y u n e fonction dans L L ( M ~ ( F ) N ~ ( A ) \ G ( A )T/ )~. ~ , Alors : (i) L 'intégrale THÉORÈME 5.

-

est convergente dans l'ouvert X p l

» fi.

De plus, la fonction ~ ~ ~ ( c p admet , X ~ )u n prolongement méromorphe à Ap tout entier. Elle prend ses valeurs dans LL(Mp1 (F)Npl (A)\G(A)/aZ,d) où (Pl, d) est la paire discrète qui correspond à (P, T ) via l'identité Mpt(A) = Mp(A). (ii) Pour tout Pl' E Po tel qu'à la fois P C P" et Pl C Pl1, o n a l'égalité suivante entre fonctions méromorphes de la variable Xp E Ap :

(iii) Pour tout P" E Po tel que Mp// = Mpl = Mp, on a l'égalité suivante entre fonctions méromorphes de la variable X p E Ap :

E n particulier on a quand P" = P :

Etant donnée (P,T) une paire discrète, on dira que n est unitaire si

IxTl = 1. Toujours d'après Langlands, on a

:

THÉORÈME6. - Soient (PlT) une paire discrète telle que T soit unitaire et cp une fonction dans L ~ ( M ~ ( F ) N ~ ( A ) \ G ( A T).) /Alors ~~, : (i) Pour tout Pt 2 P dans Po, la fonction méromorphe sur Ap

est régulière sur le tore imaginaire ImAp. (ii) Pour tout P' E Po tel que Mpr = Mp, la fonction méromorphe sur Ap XP M;/(% XP) est régulière sur le tore imaginaire ImAp. De plus, on a pour tout Xp E ImAp :

-

Introduisons maintenant de nouveaux opérateurs qui généralisent les E;' et les MF'. Considérons (P,T) une paire discrète, cp une fonction dans LL( M ~ ( FNp) (A)\G(A)/aZ,T ) et a : P + P' un morphisme de Po. Ainsi a est-il une double classe dans WMPr\W/WMp telle que aMpa-' E Mpt. Choisissons w E W un représentant de a .

-

Envisageons d'abord le cas où a est un isomorphisme c'est-à-dire où aMpaP1 = Mp/ soit wMpwP' = Mp!. Alors on définit une fonction méromorphe Xp Mj$(cp, Xp) sur Ap par la formule

1. RAPPELSSUR LA DÉCOMPOSITION SPECTRALE DE LANGLANDS

En effet cette expression ne dépend pas du représentant choisi w de a . D'après le théorème 5 (i) les fonctions Xp) sont dans L ~ , ( M P(F)NP/ ' (A)\G(A)/aZ,4 4 ) . Envisageons maintenant le cas général d'un morphisme quelconque a : P -+ Pl. Il existe certainement P E Potel que P P' et MF = wMpwP1. désigne le morphisme de Po induit par w E W, on définit Si a : P -+ une fonction méromorphe Xp c E;i(ip, X p ) sur Ap par la formule

En effet, d'après le théorème 5 (ii) et (iii), cette expression ne dépend pas du choix du représentant w E W et de P E Po.

MF'

Ayant désormais construit tous les opérateurs (., Xp) et E& Xp), on remarque que le théorème 5 (ii) et (iii) se traduit pour eux par les propriétés de fonctorialité suivantes : Si a : P -+ P' est un isomorphisme de Po et a' : Pl un morphisme de Po,on a :

Si a : P

-+

Pl et a' : P'

-+ Pl'

( e ,

+

P" est

sont deux isomorphismes de Po,

on a :

MG':,.

XP), +P))

= ~g:',(ip, XP)

e) La décomposition spectrale de Langlands Introduisons de nouveaux espaces, dits de fonctions de Paley-Wiener. Etant donnés (P,T) une paire discrète, KI un sous-groupe ouvert de K [resp. et a : P + Pl un morphisme de Po],soit LS(,(ImAp x M p ( F )Np (A)\G(A)/aZ,T) l'espace [resp. soit Lk,,, (ImAp x M p (F) NP (A)\G(A)/aZ,T) le sous-espace] des fonctions

telles que : la fonction Xp H @(Ap, .) est une combinaison linéaire finie à coefficients dans L g I( M ~ ( F ) N ~ ( A ) \ G ( A )T) / ~de ~ , caractères du tore ImAp,

pour tout X p Fixe,(n)], on a a

E

A p et tout pp

E

Fixep(n) [resp. tout ( r , p p )E

Notons aussi L L (ImAp x Mp(F)Np(A)\G(A)/aZ,r ) l'espace [resp. ~, réunion filtrante L&,(ImAp x M ~ ( F ) N ~ ( A ) \ G ( An))/le~ sous-espace] des L&(1mAp x Mp(F)Np(A)\G(A)/aZ,.rr)[resp. des L ~ , , , ( I m A p x MP ( F )N p ( A )\G(A)/aZ,T ) ] quand KI décrit la famille des sous-groupes ouverts de K . , peut mettre Sur cet espace L$(ImAp x M p ( ~ ) N p ( A ) \ ~ ( A ) /Ta )Zon . 1 1 IxTI II définie par la norme hermitienne @ H

Son complété [resp. le complété de chaque sous-espace L ~ , , ( I m A p x Mp(F)Np(A)\G(A)/aZ,n ) ] pour cette norme est noté L2(ImAp x Mp(F)Np(A)\G(A)/az,n ) [resp. ~ Z ( 1 m A p x M p ( F ) Np(A)\G(A)/aZ,7 . 4 Nous pouvons maintenant énoncer le théorème de décomposition spectrale de Langlands : THÉORÈME 7.

Soit Pl un objet de Po. Alors pour toute paire discrète ( P ,n ) avec n unitaire et pour tout morphisme F : P -+Pt de P , l'application définie sur ~ L ( 1 m A xp M p ( F ) Np(A)\G(A)/az, n ) par la formule -

induit une isométrie du sous-espace L k , , (ImAp x M p ( F )Np ( A )\ G ( A ) / a Zr, ) sur un sous-espace de L2(Mpt( F )N p (A)\G(A)/aZ) et elle est nulle sur le supplémentaire orthogonal de ce sous-espace dans L k ( I m A p x M p ( F ) N p ( A ) \ G ( A ) / a Zn, ) . Elle induit par suite une isométrie du sousespace complété L; (1mAp x M p ( F )N p (A)\G(A)/az, n ) sur un sous-espace fermé de L2(Mpt( ~ ) N p(A)\G(A)/aZ). t Enfin L2(Mpt ( F )Npt (A)\G(A)/aZ)est la somme directe hilbertienne de ces sous-espaces fermés quand ( P ln ) décrit un ensemble de représentants des classes d'équivalence d e paires discrètes avec n unitaire et quand a décrit un ensemble de représentants des orbites dans Hompo(P,P t ) sous l'action à droite de Fixe(n). 0

f ) Expression spectrale des noyaux Dans tout ce paragraphe on considère h : G(A)/aZ + C une fonction à support compact invariante à droite et à gauche par un sous-groupe ouvert Kt de K . Pour tout objet P de 'Po, l'opérateur cp H cp * h de convolution à droite par h dans l'espace des fonctions localement intégrables de M ~ ( FNp(A)\G(A)/aZ ) dans @ admet un noyau qui s'écrit Kh.P(gt' 9) =

C

1

d n p . ~ ( S - ~ Y ~ P.S I )

y~ M p ( F ) N p ( A )

Et pour tout caractère Xp E Ap on dispose aussi de l'opérateur composé

Il est immédiat que pour toute paire discrète (P,n ) chacun de ces opérateurs envoie l'espace L k ( M p (F)N p (A)\G(A)/aZ,n ) dans le sousespace L&, ( M p ( ~ ) N p ( ~ ) \ G ( A ) / aT). z , Or d'après le théorème 1 il n'y a qu'un nombre fini de classes d'équivalence de paires discrètes (P, n ) pour lesquelles l'espace L$, ( M ~ ( F ) N ~ ( A ) \ G ( A )n/ )~ soit ~ , non nul et chacun de ces espaces est de dimension finie. De ces considérations et du théorème 7, on déduit :

COROLLAIRE 8. - Pour tout Pt E Po et pour toute G(A)/az -t C à support compact et invariante à droite et un sous-groupe ouvert K t de K , le noyau de l'opérateur de droite par h dans L2(Mpt ( F ) N (A)\G(bi)/aZ) ~ s'écrit sous

fonction h : à gauche par convolution à la forme

où (P,T) décrit un ensemble de représentants des classes d'équivalence de paires discrètes avec T unitaire et où t ? ~ ' ( P , n ) désigne une base orthonormée finie de chaque espace L$, (Mp ( F )Np (A)\G(A)/az, T) .

O

Nous aurons également besoin d'une variante du corollaire 8 s'appliquant à un type particulier de fonctions h : G(A)/aZ + C comme ci-dessus.

Considérons h une telle fonction qui soit adaptée à un homomorphisme e : A X / O i -+ IR au sens du paragraphe V.le. Comme on a vu, pour tout P E Polle noyau K h , p se décompose de manière naturelle en une somme

Pour tout indice i, 1 5 i 5 [PI,on dispose dans l'espace des fonctions localement intégrables de M p ( ~ ) N p ( ~ ) \ G ( ~ ) dans / a Z C de l'opérateur de noyau K i t P cpHcp*ih

Et pour tout caractère Xp E Ap, on dispose aussi de l'opérateur composé cp H hi(cp7Xp) = ((pXp) *i h)X;'. Ici encore, pour toute paire discrète (P,T), chacun de ces opérateurs envoie L & ( M ~ ( F ) N ~ ( A ) \ G ( A ) / ~n") , ~~, dans le sous-espace LCI(Mp (F)N ~ ( A ) \ G ( A ) /n). Avec ces hypothèses et ces notations, on déduit encore du théorème 7 la variante suivante du corollaire 8 : COROLLAIRE 8'. - Soient E : A X / O i -+ IR un homomorphisme et h : G(A)/aZ -+ C une fonction à support compact, invariante à droite et à gauche par un sous-groupe ouvert KI de K et adaptée à E . Alors pour tout P' E Po et pour tout indice il, 1 5 'i 5 IP'J, le noyau K:,~, s'écrit sous la f o n e

où (P,T) décrit un ensemble de représentants des classes d'équivalence de paires discrètes avec n unitaire et où BKt(P7T) désigne une base orthonormée finie de chaque espace L&,(Mp (F)Np (A)\G(A)/aZ, T) . 2. - La formule des traces d'Arthur-Selberg : le côté spectral

a) Une assertion d'intégrabilité Le présent paragraphe 2 repose sur la proposition suivante

PROPOSITION 1. - Soient ( P ,T ) une paire discrète avec T unitaire, K' u n sous-groupe ouvert de K , X p ++ c p ( X p ) une fonction analytique sur ImAp à valeurs dans l'espace de dimension finie L&,(M~(F)N~(A)\G(A)/~",T), cp u n élément de ce même espace ~ k( M,p ( ~ ) N p ( A ) \ G ( A ) / a ZT,) , { p ) une famille compacte de polygones p : [O, r ] -t R et { a ) une partie compacte de R . Alors il existe sur G(F)\G(A)/aZ une fonction positive intégrable qui majore en modules toutes les fonctions

quand p, a décrivent respectivement { p ) , { a ) , X i , X 2 décrivent u n certain voisinage de I m A p dans A p et i décrit { 1 , 2 , . . . , [PI). 0 Avant de procéder à la démonstration de cette proposition, notons-en tout de suite deux conséquences qui s'obtiennent par combinaison avec les corollaires 8 et 8' d u paragraphe VI.l f :

COROLLAIRE 2. - POUTtoute fonction h : G ( A ) / a Z -+ cC à support compact et invariante à droite et à gauche par u n sous-groupe ouvert K' de K et pour tout polygone p : [O, r ] + R, l'intégrale T'i-lP(h)de la fonction à support compact sur G(F)\G(A) / a Z

est égale à la somme finie

où ( P , x ) décrit u n ensemble de représentants des classes d'équivalence de paires discrètes avec T unitaire, et BK! (P,T ) désigne une base orthonorm.ée finie de chacun des espaces L & , ( M p ( ~ ) N p ( A ) \ G ( A ) / a " T, ) . 0

COROLLAIRE 2'. - Soit h : G ( A ) / a Z + C une fonction à support compact, invariante à droite et à gauche par un sous-groupe ouvert K' de K et adaptée à un certain homomorphisme E : A X / O i + IR. Alors pour tout polygone p : [O,r] + II% et pour tout nombre réel a , l'intégrale T'rdp(h)de la fonction à support compact sur G(F)\G(A)/aZ

est égale à la somme finie

où ( P , T ) décrit un ensemble d e représentants des classes d'équivalence de paires discrètes avec rr unitaire, et BK' ( P ,T ) désigne une base orthonormée C] finie de chacun des espaces L'$, ( M ~ ( F ) N ~ ( A ) \ G ( A )T/ )~. " , b) Démonstration de ladite intégrabilité D'après Langlands la fonction X p H p(XP) à valeurs dans [resp. " , de la forme l'élément p de ] l'espace L & , ( M ~ ( F ) N ~ ( A ) \ G ( A )T/)~est

où

( P ,??) est

-

C P et que Z soit unitaire cuspidale, Res, est un opérateur de résidus en un point X dans Ag tel que > 1, X p H @ ( A p ) est une fonction analytique à valeurs dans [resp. $5 est )/~~, un élément de ] l'espace L&, ( M ~ ( F ) N ~ ( A ) \ G ( AZ). une paire discrète telle que P

1x1

Bien sûr l'inclusion P C P induit un morphisme de Po. - Son composé avec tout morphisme a : P + P' de Po sera noté 3 : P + P'. D'autre part, pour i E {1,2, . . . , 1 PI)' choisissons un 1:E (1'2, . . . , P l ) antécédent de i via l'inclusion P C P.

- -

Nous sommes amenés, pour tous Al E Ap , X i , X z E RF, à considérer la fonction sur G(F)\G(A)/aZ qui associe à tout g E G ( A ) la somme uEHompo ( P ,P') 6~P' ( F ) \ G ( F )

Nous allons d'abord transformer ces expressions en un point g E G(A) fixé. Po dans Po et tout 6 E Encore une fois, associons à tout Pt P1(F)\G(F) le raffinement canonique p16 = Q de (g, 6-1 PIS). Et si ,LL 2 O est une constante, on dispose aussi de la filtration fiQ6-lp16 = Q' - -fi avec donc C Q' C[ 6-'PIS. De plus le couple (Q, Q ) peut être écrit sous --1-'la f o r m e Q = S Pa, Q' = 6 P b où PO cPcP', S E P(F)\G(F). En regroupant les termes, notre expression se récrit

>

Qi-1

Or d'après le corollaire 6 du paragraphe V.ld et si la constante ,LL > O est choisie assez grande en fonction du sous-groupe ouvert K t de K, on peut substituer aux séries d'Eisenstein leurs termes constants de la manière suivante :

dnpp - E;'-(@(.\~

~ p )1 1 , Xp) (nFPEg)

où on note a;, a i t Hompo(P,Pt) les composés de tous morphismes Po induit par l'inclusion PPC Pl. al, 0 2 E Homp, ( P , P') avec le morphisme de

>

Il est clair d'autre part que si la constante C, L O est assez grande en fonction des compacts {p) et { a ) , alors, pour tous a E Hompo(P,Pl), 01, a2 E

- l-PP ), les égalités a i = -a = ai impliquent les équivalences Hompo( P

Ainsi notre expression se récrit-elle encore

lemme suivant :

- Soient p 2 O une constante, P , P , P , FP des éléments de Po vérifiant P Ç P et Po C P C plL,a l l a2 deux morphismes dans Hompo( P l-P P ) et g u n élément de G(A). Alors : (i) L'ensemble { P r E Po, =p A =p .) ou bien est vide ou bien est égal à { P r E % , p PC P r c pl) pour u n unique Fr 1Pl*dans Po. (ii) Pour tout PI1 dans Po, la somme -

>

vaut ou bien O ou bien (-1)1''1-'. Et le second cas se produit si et seulement si les homomorphismes a; : ReAp -+ ReAPp, a$ : ReA- -+ ReApu induits par les inclusions vérifient C T ~les conditions suivantes : -+ CT~Z~CT;~, v C T ~ Z ~ a 0;

et a; envoient le sous-groupe ReAc de ReAP dans le sous-

-1

groupe ReAS, de ReAFr,

P

0

l'homomorphisme u,f/a; : XF

H

O ; ( X ~ ) ~ ; ( X ~envoie ) - ' ReAp

-/

dans le sous-groupe ~ e A g ,de Redp., -

le sous-groupe engendré dans R ~ A $ 2 ReAF. par a; ( ~A ge ) , P

aZ(ReA5) et (a;/o;)(ReAp)

rencontre le cône des carnetères A%;

Démonstration du lemme 3 : (i) Il est clair que l'ensemble {PiE PO,&", = non vide si et seulement si il contient l'élément Pfi. Dans ce cas, introduisons les ensembles

A

fiG;/

U

<1 .

= pfi)est

avec donc 7\70 ÏfiÇ I C Ï. Et pour tout Pl 2 P dans Po,notons Ip/= {rg&;'p', 1 j < lPiI). L'application Pl H Ip/définit une bijection sur l'ensemble des parties -fi de Ï et pour tout Pi 2 P les conditions & ,; = P et = P sont P est équivalentes à I\Ïfi-- C Ip/C I c'est-à-dire pt C Pt C Pfisi FI défini par IF/= Ii\I,. (ii) De la même façon, l'ensemble des Pi E Po tels que

<

,&pl

>

PpC Pt C pi 3 0 E Homp, (P,Pi),ai = a = a2 ou bien est vide ou bien est égal à {Pt E PO,pu C Pi certain Fil E Po vérifiant Pp C PM C p l . Et on a

C F ) pour

un

d'où la première assertion. Le second cas est réalisé si et seulement si le sous-ensemble envisagé de % a Pi comme unique élément. Or la première condition de l'énoncé por- -1 tant sur a; et a2 traduit le fait que les deux morphismes de Hompo(PlP )

induits par 01 et a 2 se factorisent chacun dans Homp, (P, Pt).La seconde condition portant sur a;/aS traduit le fait que al et a 2 induisent le même - -t morphisme dans Hompn(P,P ). Et la troisième condition traduit le fait que l'ensemble considéré n'a d'autre élément que F'. 0

Suite de la démonstration de la proposition 1 : Rappelons que nous avons déjà fixé la constante p 2 O en fonction du sous-groupe ouvert Kt de K et des compacts {p} et { a } . Fixons également des éléments P , -1 -t P , P t Po vérifiant Po C P C Pl" C Pt. Disons que deux morphismes - -l" de Hompn( P , P ) sont équivalents s'ils se déduisent l'un de l'autre par P composition avec un élément de A U ~ ( Pcornmutant ) avec 17inclusion et fixant ?? @ Cette relation est compatible avec les conditions du lemme 3 (ii). Faisons donc décrire à a1 et a 2 deux classes de Hompn( P ,-l" P ) qui satisfassent ces conditions. Il nous suffit maintenant de prouver que lorsque p décrit { p ) , a décrit et X i , XZ décrivent un certain voisinage de { a ) , j décrit (1'2, . . . , lpl"~) ImAp dans Ap, les fonctions

Pc

X.

Resi

C ET

(@,. X 2 ~ p 1(g) )

PP2

sur l'ouvert U dans P(F)\G(A)/U' constitué des élément g tels que {Pl E po,Q:, = P A pQ$, = pl") = { P t t PO,FpC Pl C P l ) sont uniformément majorées en modules par une fonction intégrable. On remarque que l'opérateur d'intégration SImh dXr ci-dessus est appliqué à des fonctions analytiques de la variable X p E Ap si bien que le contour ImAp peut être déplacé. Pour tout Xo E Re Ap proche de 1, nos fonctions s'écrivent encore sous la forme :

D'autre part, nous pouvons évidemment nous limiter au cas où les deux résidus qui apparaissent dans cette expression ne sont pas identiquement nuls. Mais alors on déduit de [Mœglin, Waldspurger, 19941 proposition V.3.15 et proposition VI.1.6 (c), que pour tous al, 02 dans les classes

-

considérées, pour tout X1 dans un certain voisinage de

X dans AC et avec p

-

APL

les notations du lemme 3 (ii),les caractères a; (1x1l ) et a; (1x1l) dans Re P sont 5 1. Comme les conditions du lemme 3 (ii) sont satisfaites, on a pu choisir le caractère Xo E Re Ap proche de 1-de-telle sorte que pour tous al, a 2 dans les classes considérées, pour tous X i , X2 dans un certain voisinage de X dans AP et pour tous X i , X2 dans un certain voisinage de ImAp dans P Ap, le caractère

<

A < 1 et dans dans Re se projette dans RehF: sur un élément Re A,. à l'intérieur d'un voisinage f d e 1 arbitrairement petit en fonction du &sinage choisi de ImAp dans Ap. Or pour tout Xp E Imhp, la fonction de la variable g E G(A) qui est le quotient du module de

par le caractère

est invariante à gauche par MF, (F), Np, (A) et ZFp (A). Et le sousensemble Ur de P(F)\G(A)/u" constitué des éléments g E G(A) tels que mg E U, c'est-à-dire que pour tout Pr E Po on a l'équivalence

a;,

= p~pa;,= 7' cjpl"

c P/ c Pr , p-cupL, P

mil existe p ~ { p ) a , E { a } et j ~ { l2,, . . . , IP'I)vérifiant @-@>pp P

se projette sur une partie compacte de MF@(F)NFb (A)+, (A)\G(A). On en déduit qu'en sus du caractère A < 1 dans ~ e A 5 ,et du voisinage V de 1 dans ReApr, il existe une constante C > O telle que, pour tous X i , X2 dans un voisinage suffisamment petit de Imhp dans Ap, pour tout X p E ImAp et pour tout g E Ur, on ait -/

Or, si le voisinage V de 1 dans ReAFl a été pris assez petit, la fonction sur U t P(F)\G(A)/u"

c

est intégrable. Cela termine la démonstration de la proposition 1.

0

c) Première transformation des coefficients de Fourier par échange de deux sommations Nous conservons les hypothèses et les notations de la proposition 1. D'après cette proposition, la fonction

est bien définie et analytique. Nous voulons calculer sa valeur en l'élément neutre (1,l). Nous savons que c'est la somme des coefficients de Fourier de cette fonction, c'est-à-dire des intégrales

quand ( x l , x 2 ) décrit l'ensemble des couples de caractères de Im Ap. Comme les fonctions ( X i , X2) c ~:[jp," ( X I , X2, g) sont invariantes par Im Ap plongé diagonalement dans Im Ap x Im Ap, un coefficient de Fourier comme ci-dessus ne peut être non nul que si XI et ~2 sont égaux à un même caractère x de Im Ap. D'après la proposition 1, on peut intervertir les sommations JImAp dXl., JIm Ap dX2. et JG(F)\c(a),az dg. si bien qu'après changement des variables Xi et X2 en X1/XP et X 2 / X p , et comme JIrnAp dXp = 1, le coefficient de Fourier attaché à ( x ,X) s'écrit

Or d'après le théorème 7 du paragraphe VI.le, pour tout P' E Po et tout a E Hompo(P,Pt),les deux fonctions

sont de carré intégrable sur MPI( F ) N ~ ~ ( A ) \ G ( A ) / ~Donc " . le produit de la première et de la conjuguée de la seconde est intégrable sur Mpl(F) Np/(A)\G(W)/aZ et a fortiori sur l'ouvert défini par la condition p& >, p

- ap$).

Ainsi notre coefficient de Fourier s'écrit-il encore

où < .;. > désigne le produit hermitien dans chaque L2(Mpl(F) NP' (A)\G(A)/aZ). Par souci de commodité, nous allons modifier un peu l'indexation de cette somme. Nous avons besoin pour cela de nouvelles notations. Rappelons d'abord que si P, Pl E Po, Hompo(P,Pl) se plonge naturellement dans l'ensemble des applications surjectives de l'intervalle {1,2,. . . , [PI) sur l'intervalle {1,2,. . . , lPII}. En sens inverse, si P E Po et a est une application surjective de l'intervalle {1,2,. . . , (Pl)sur un intervalle {1,2, . . . ,t), il existe un unique P' E Po tel que 1 P'I = !et que, si on écrit les décompositions Mp = Ml x . - x M l P let Mpt = Mi x . . . x Mi, alors Mj C ML(j), 1 5 j ( (PI. On notera dans ce cas Pl = a ( P ) et a définit un élément de Homp, (P, a ( P ) ) . D'autre part, si T est une permutation d'un ensemble {1,2,. . . ,!), on notera T+ : (1'2,. . . ,!) -+ (1'2,. . . ,!+} [resp. T- : {1,2,.. . , t ) + (1'2, . . . ,t-}] l'unique application surjective telle que rf (7-'(1)) = 1 [resp. r - ( ~ ~ ' ( 1 )=) 11 et que pour tout j, 1 5 j < !, on ait

~ + ( r - ' ( j + l ) ) = r + ( ~ - ' ( j ) )[resp. r-(7-' (j+l)) = T-(T-' (j))+l] si T-l (j+l) < T-l ( j ) . Quand t = (Plpour P un élément de Po, on disposera donc dans Po de T+(P) et r - ( P ) . Ceci étant posé et fixant un P E Po,associons à tout couple (Pl, a) où Pl E Po,Pl _> Po et a E Hompo(P,Pl) le couple (7, Q) où T est l'unique permutation de {1,2, . . . , 1 Pl) telle que

O O

le composé OT-' : {1,2,.. . , (PI)-+{1,2,. . . , (Pt() soit croissant, pour tous i l ,i2 E {1,2,. . . , IPI), on ait l'implication

et où Q = a ( P ) . Il est clair que cette application définit une bijection sur l'ensemble des couples (T,Q) où O T appartient à l'ensemble G l p ldes permutations de {1,2,. . . , /PI), O Q est élément de Po et T ( P )C Q C T-(P). Ainsi, nous avons prouvé :

L E M M E4. - Dans la situation de la proposition 1 et pour tous caractères XI, ~2 de ImAp, le coeficient de Fourier

est nul si XI #

~2

et si XI = ~2 = x il est égal à

où < .;. > désigne NQ(F)\G(A)/~').

le produit

herrnitien dans chaque L2(MQ(F)

O d) Transformées de Fourier des fonctions de troncature. Condition de recollement d'Arthur Afin de calculer les produits hermitiens qui apparaissent dans le lemme 4, il nous faut écrire chacune des fonctions caractéristiques I(pQ >Q

p - ap:;?)) comme une expression intégrale en les caractères éléments de Im AQ. Les deux lemmes qui suivent affirment l'existence d'une telle écriture et en précisent les propriétés formelles dont nous aurons besoin.

LEMME5. Soit P E PO. A tout polygone p : [O, r ] + IR et à toute permutation T E G l p l de { 1 , 2 , . . . , ( P I ) on peut associer une fonction rationnelle -P lp,T : AP -+ @ -

ayant pour dénominateur p p

-l(j+l) - p;l(')), (pk

c

de telle sorte

l<j
que :

( i ) Pour tout po « 1 dans Re A p , tout polygone p et toute T E G I P I o n a 1 'égalité suivante entre fonctions sur M T ( p ,( F )N T ( p )(A)\G(A)/aZ : ( - l ) l ~ - ( p ) l - l j q, ~.( P ) >T- ( P ) P , P ~ + ( P < -7 )

+ ( P )P )

=

(ii) Pour tout polygone p, tout entier i E { 1 , 2 , . . . , IPI), tout a E R soit Ea transposition et toutes permutations T I , 7 2 E elpl telles que de deux entiers adjacents !et ! 1, les deux expressions polynômiales

+

pz'(')

prennent la même valeur e n tout point p p E A p dont les composantes l ( t + l ) = pP.gl(e) et = p$(e+l) sont égales.

4

(iii) Pour tout entier i E { 1 , 2 , . . . , [ P l ) , il existe u n caractère xi de A p tel que pour tout polygone p, tout cu E R et toute T E e l p lon , ait l'égalité suivante entre fonctions rationnelles sur A p : -p-

( a + ~ )' (pP')( ~ =)

~ P , T

- h p - a p 7~( ~( )i )

xZUp,T

Démonstration : Notons r i , . . . ,ripl les rangs des facteurs simples de M p . Par définition A p est le groupe des caractères de M p ( A ) / a Z qui se factorisent à travers l'homomorphisme surjectif degp : ~ p ( A ) / a "+ / ( r l , . . . ,r l p l ) d L donc A p s'identifie au groupe dual de i d P I / ( r l l . .. ,r l p l ) d Z .

aPI

-

D'autre part, pour tout polygone p et toute r E elPl, l'application (-1) l+-(p)l-l l(pr(m) p) sur Mp(A)/aZ se T- (P) >T-(P) p, ~ T + ( P ) factorise également à travers degp et peut être vue comme une application sur ZIPI/(rl,. . . ,q p l ) d Z . Pour tout p p E Ap avec lppl « 1,introduisons donc la série convergente

L'assertion (i) est évidente sur cette formule. Le fait que la fonction $;,, soit rationnelle de dénominateur p p

H

n

(pdl('+')

- p;

l(")

et les

lIj
On prouve de la même façon le second lemme qui précise les résidus des -P fonctions lp,T : LEMME6. - Soit p : [O, r] --+ W un polygone. Alors à tout Q E Po on peut associer une fonction rationnelle

ayant pour dénominateur p~ u

n

( p g l - p i ) , de telle sorte que : l<j> 1 dans ReAQ, on a l'égalzté : suivante entre fonctions sur MQ(F)N~ ( A ) \ G ( A ) / U ~

(ii) Pour tout P E Po, toute permutation T E G I P Ide (1'2, . . . , I PI), tout caractère PO« 1 dans Re Ap, toute famille de caractères P$ E ReAQ, » 1 quand Q E Po, T(P) C Q C 7 - ( P ) , et toute fonction holomorphe : Ap -+ @, on a la formule de résidus

,.

7-l

où on a noté T-1 chacun des composés AQ -+

AT(p)

Ap.

0

Signalons tout de suite que la propriété du lemme 5 (ii) nous servira à mettre en œuvre le lemme suivant dû à Arthur :

LEMME7. - Soient P E Po, R u n domaine dans Ap et (Si, : R + @) une famille de fonctions holomorphes indexée par l'ensemble G l p l des permutations T de {1,2,. . . , IPI) et vérifiant la condition de recollement suivante : Si 7 1 ' 7 2 E G l p l sont deux permutations telles que 727;' soit la transposition de deux entiers adjacents e et e + 1, les deux fonctions SiTl et Si, prennent la même valeur en tout point p p E R dont les composantes 1 1 slwet p; = ,p-l(e+l) = PP sont égales. PP Alors la fonction

est partout définie et holomorphe sur R. Démonstration : Il suffit de prouver que pour tous el, l2 E {1,2,. . . , /PI), el # e2, l'hypersurface définie par l'équation = n'est pas singulière pour la fonction considérée. Or le groupe fini G l p lse décompose naturellement comme une réunion disjointe de singletons {T) et de paires (71, 7 2 ) de telle façon que : Pour tout singleton {T) il n'existe pas d'entier l tel que {el, e2) = e { ~ - l ( e )T-l , (e+ 1)) si bien que l'hypersurface = p P n'est pas singulière pour la fonction

& &

Pour toute paire {rl,7 2 ) il existe un unique entier e tel que -1 '(e) = el = $(e+ i), ( e + 1) = e2 = q l ( e ) et ~ ; l ( j ) = r;'(j), V j # e, t 1, si bien que d'après la condition de recollement l'hypersurface p$ = p$ n'est pas singulière pour la fonction -

T~

+

On conclut en faisant la somme.

0

e) Calcul des coefficients de Fourier au moyen de l'isométrie de Langlands Revenons à la situation de la proposition 1 et du lemme 4. Etant donnés une permutation de (1'2, . . . , 1 PI) et Q un élément de Po vérifiant T- ( P ) , nous pouvons maintenant calculer le produit hermitien T(P) C Q dans L2(MQ(F)NQ(A)\G(A) /aZ) des deux fonctions T

E 6

2''

. ~ ( ' 2 ) ~ @ , 7 (97 '2) (.) .

D'après le lemme 6 (i), la première de ces deux fonctions s'écrit

un caractère >> 1 dans Re AQ que l'on choisit très proche de pour CL$ 1. Rappelons ici que l'élément cp et les p(A1), Al E ImAp7 sont dans où (P'T) est une paire discrète. l'espace L~(M~(F)N~(A)\G(A)/~~,~) une permutation de Pour A l , A 2 E Ar, ,uQpQ E AQ et a E 61pl (1'2, . . . , IPI) telle qu'on ait ra(P) Ç Q en sus de T(P)C Q, on voit que la relation d'égalité entre représentations

est équivalente à ce qu'il existe A, E ImAp tel que (a, A,) E Fixe(.ir) C Autp, ( P ) x Im Ap7 A1 = ~ ( A ~ ) / T - ~ ( P Q P Q ) ~ ( A ~ ) . D'après le théorème 7 du paragraphe VI.le, nous obtenons :

LEMME8. - Dans la situation de la proposition 1 et pour tout caractère de Im Ap, le coeficient de Fourier explicité dans le lemme 4 est égal à la somme

x

où chaque LL,; est u n caractère » 1 dans Re AQ choisi très proche de 1 et < .;. > désigne le produit hermitien dans les espaces L2(MT(p)(F) K(P) (W\G(A)/aZ,~ ( 4 ) .

O

~ i k o n sun élément (a, A), E Fixe(.ir). Nous allons réindexer la somme sur les T E G l p let les Q E Po vérifiant r ( P ) , r a ( P ) C Q c T-(P)qui apparaît dans ce lemme. Commençons par introduire 7, l'unique permutation de {1,2,.. . , IPI) telle que ru transforme chacune des orbites de a en un intervalle de

il,2 , . - . IPIh 7

ru est croissante sur chacune des orbites de a, 0

pour tous jl, j2 E {1,2,. . . , ]Pl),on a l'implication

Pour Q E Po fixé, il existe au plus une permutation T E G l p ltelle que r ( P ) , r a ( P ) C Q C r P ( P ) . C'est le cas si et seulement si il existe une permutation r' E CElpl, nécessairement unique, vérifiant 0 (*), : TI transforme en intervalle tout intervalle qui est image par ru d'une orbite de a et T' est croissante sur tout tel intervalle, r1rU(P), T~T~U2 ( PQ) C (7')-r,(P) . On introduit alors TI' E G I P Il'unique permutation telle que r = T''T'T,. D'autre part, on notera Pu E Po le plus petit sous-groupe parabolique contenant tous les ruak(P), k E Z. Il est clair que l'ensemble {1,2, . . . , 1 Pu1) s'identifie à celui des orbites de a et que le groupe G i p o des l permutations

de cet ensemble est en bijection naturelle avec l'ensemble des permutations T' E 6 ( p lqui satisfont la condition (*), ci-dessus. Si maintenant Q E Po et r, r' E 6 p sont deux permutations se correspondant comme ci-dessus avec T = T''T'T,, nous pouvons récrire de la manière suivante un certain nombre des termes qui apparaissent dans l'expression du lemme 8 : /LgPQ

CQ

et rlr,(P)

C

Q, on a pour tout A,, T ' ' - ' ( ~ $ ~ Q )= P$pQ d'où T - ' ( ~ $ ~ Q )= T ~ ~ ' T - ' ( ~ et ~/~Q)

a Comme à la fois T ( P ) ~ ( 1 )

p-apr(~) aussi -itQ

a Comme T " - ' ( ~ Q ~=~pQpQ ) et d'après les théorèmes 5 (iii) et 6 (ii) du paragraphe VI.ld, on a pour tout Ap E Im Ap :

Procédons donc à ces substitutions dans l'expression du lemme 8. Puis, en gardant fixes un élément (a, A,) E Fixe(7r) et une permutation r', faisons la somme sur tous les Q E Po vérifiant r 1 ~ , ( P ) , ~ ' r , a ( P ) C Q C (7')-r,(P), condition qui est équivalente à T'(P,) Ç Q Ç (7')-(Pu). D'après la formule de résidus du lemme 6 (ii), nous obtenons :

x

LEMME9. - Dans la situation de la proposition 1 et pour tout caractère de Im Ap, le coeficient de Fourier du lemme 4 est égal à la somme

où, pour tout (o,A,) E Fixe(r),

I

0

désigne u n caractère

« 1 dans

Re Apu, choisi très proche

de 1, le groupe GIPU 1 des permutations de {1,2, . . . ' 1 Pu1) est identifié à l'ensemble des permutations T de {1,2, . . . , [PI)qui satisfont la condition (*), ci-dessus, 0 i, désigne l'indice dans {1,2, . . . , 1 Pu1) qui correspond à 1 'indice rU(i) dans {1,2, . . . , 1 PI) via 1 'inclusion ru(P)C Pu.

0

Nous pouvons améliorer ce résultat en appliquant le lemme 7 :

COROLLAIRE 10. - Dans la situation de la proposition 1 et du lemme 9 , et pour tout (a, A,) E fixe(^), la fonction sur Im Ap x Apu 1

PU

C

..p-ffp+u)

gpO,rT(Po) (pu)

est bien définie et analytique dans u n voisinage de ImAp x Im ApO. De plus, il est loisible dans la formule du lemme 9 de prendre tous les caractères pa égaux à 1. Démonstration : La seconde assertion résulte de la première et du lemme 9 par déplacement des contours d'intégration. Quant à la première assertion, elle résulte du lemme 7. En effet, d'après le lemme 5 (ii), la famille de fonctions

vérifie la condition de recollement du lemme 7 et il en est de même des produits hermitiens intervenant en facteurs d'après les théorèmes 5 (iii) et 6 (ii) du paragraphe VI. Id. 0

f ) Enoncé des résultats Nous conservons les notations du paragraphe e. Nous arrivons au bout du calcul entrepris dans les paragraphes c et e : THÉORÈME I

l.

- SOUSles

hypothèses de la proposition 1, l'intégrale

VI - FORMULE DES

TRACES ET CONJECTURE DE RAMANUJAN-PETERSSON

est égale à la somme

où, pour tout (a, A,) E Fixe(7r) Ç Autp, (P) x Im Ap, les A: décrivent u n ensemble d'antécédents par 1 'application Ap H T~ (a(Ap)/Apa(A,)) de l'intersection finie de son image avec Im Apo dans Im AT,(p). De plus, tous les termes dans cette somme sont périodiques de période r!d comme fonctions de a E R. Démonstration : L'intégrale JG(F)\G(A),a z d g . K'P'">~ ( l , l ,g ) est égale ip(.pP à la somme des coefficients de Fourier de la fonction analytique sur Im Ap x Im Ap :

Or tous les coefficients de Fourier en dehors de ceux explicités dans le lemme 4 sont nuls. Et ces derniers sont calculés dans le lemme 9 et le corollaire 10. La formule annoncée en résulte si on remarque que, pour tout (a,A,) E Fixe(7r) fixé, 17homomorphismeIm Ap + Im Ap Ap H a(Ap)/Ap admet ), pour noyau T; (Im Apu) et pour image T'; (Im ,A,;:

'

les deux sous-groupes T'; (Im Apu ) et T'; Im Ap et leur intersection est finie.

(Im A:(~))

engendrent

Pour ce qui est de la périodicité, rappelons que d'après le lemme 5 (iii), il existe un caractère X" de depo tel que pour tout a E IR et toute T E 6 1 P o ~ , on ait l'égalité : On conclut en remarquant que tous les éléments T,(~(XX)/X~~(A,)) dans ImApo ont un ordre qui divise r ! d .

1

Ce théorème va nous permettre de donner une expression spectrale pour les traces tronquées Trip(h) [resp. TrdP(h)] du corollaire 2 [resp. du corollaire 2'1. Introduisons d'abord une notion commode : Appelons quadruplet discret tout quadruplet (P, T , a, A,) constitué d'une paire discrète (P, T ) et d'un couple (a, A,) E Fixe(7r) C Autpo(P) x AP. a',A:,) sont Disons que deux quadruplets discrets (P,.rr, a, A,) et (PI,d, équivalents s'il existe un isomorphisme r : P -+ Pt dans Po et un caractère A p E Ap tels que T' = r ( r 8 A p ) , a' = rar-1 et A;, = r(A,a-l (Ap)/Ap). Disons qu'un quadruplet discret (P, .rr, a, A,) est bon si la représentation n est unitaire (d'où nécessairement A, E ImAp) et si les orbites de a E Autp,,(P) C B l P lagissant sur {1,2,. . . , IPI) sont des intervalles. Dans ce cas, on note Pu E Po le plus petit sous-groupe parabolique contenant tous les o k ( p ) , k E Z. Et on convient d'identifier le groupe B j P a Iau constitué des permutations r qui transforment en sous-ensemble de elpl intervalle tout intervalle de {1,2,. . . , IPI) qui est une orbite de a, et qui sont croissantes sur tout tel intervalle. On remarque que si (P,T ) est une paire discrète avec 7r unitaire et défini comme dans (a, A,) est un fixateur de T , alors, pour ru E elpl la discussion qui précède l'énoncé du lemme 9, le quadruplet discret (ru( P ) , ru(T),ruar; l , ru(A,)) est bon. Ainsi toute classe d'équivalence de quadruplets discrets compte-t-elle au moins un bon représentant. Enfin, si (P, T , a, A,) est un quadruplet discret, on note Fixe(P, T , a, A,) le sous-groupe commutateur de (a, A,) dans Fixe(P, T ) . On voit que l'ensemble des (a', A): E Fixe(P, T ) tels que les quadruplets discrets (P, T, a, A,) et (P,T , a', A;) soient équivalents a pour cardinal le quotient 1 Fixe(P, T )1 1 Fixe(P, T , a, A,) 1 ' En combinant le corollaire 2 et le théorème 11 nous obtenons maintenant : THÉORÈME 12. - SOUSles hypothèses du corollaire 2, la trace tronquée TkSp(h) est égale à la somme

où ( P , x , a, A,) décrit u n ensemble de bons représentants des classes d'équivalence de quadruplets discrets, et les A: décrivent u n ensemble d'antécédents par 1 'application A p F+ a(Ap)/Apa(A,) de 1 'intersection finie de son image avec Im Apu dans Im Ap . 0 Nous déduisons de même du corollaire 2' et du théorème 11 : THÉORÈME 12'. - SOUSles hypothèses du corollaire 2'' la trace tronquée Trdp(h) est égale à la somme

où les (P, rr, a, A,) et les A: sont comme dans l'énoncé du théorème 12, et où chaque i, désigne l'indice dans {1,2,.. . , IP,I) qui correspond à l'indice i dans {1,2,. . . , IPI) via l'inclusion P C Pu. De plus, tous les termes dans cette somme sont périodiques de période r!d comme fonctions de ai E R.

0

3.

- Application

à la conjecture de Ramanujan-Petersson

Dans ce paragraphe, nous nous limitons au cas où d = 1, D = F et 'D = O x ,avec donc G = GL,.

a) Composantes locales. Valeurs propres des opérateurs de Hecke

Si T est un ensemble fini de places de F, notons AT le produit des F,, x E T [resp. AT le produit restreint des F,, x E IXI\T, relativement aux

O,].

Etant donnés n 2 1 un entier, Tl, . . . ,Tk des parties finies deux à deux disjointes de 1x1 et T = Tl LI . . . LI Tk, toutes représentations admissibles x~~, . . . ,x ~xT~de ,GL, (ATl), . . . , GL, (ATk), GLn (AT) induisent une représentation admissible KT, 8 . . . @ TT, 8 xT = n de GL,(A), et réciproquement toute représentation admissible irréductible x de GL,(A) s'écrit de manière unique (à isomorphisme près) sous cette forme et ses

composantes TT,, . . . ,TT,, nT sont elles-mêmes admissibles irréductibles. En particulier, on peut associer à une telle représentation n une composante locale IT, (qui donc est une représentation admissible irréductible de GLn(F,)) en toute place x de F. Rappelons le résultat suivant (déja contenu dans le théorème 5 et la proposition 6 du paragraphe IV.4b) :

PROPOSITION 1. - Soient x une place de F , n 2 1 u n entier, et IT, une représentation admissible irréductible de GLn(F,) qui est n o n ramifiée au sens que le sous-espace des invariants par GLn(O,) n'est pas nul. Alors il existe une famille {zl (IT,),. . . , zn(nx)} d'éléments de C X , uniquement déterminée à permutation près, telle que, pour tout t E Z\{O), la fonction de Drinfeld f de niveau t sur GLn(F,) vérifie

De plus, dans le cas où la représentation IT, est unitaire, les deux familles

. - ., &(,x)>

{

qdeg(")(n-l)

,'",

}

sont égales à perzn (xx ) mutation près. A fortiori, la famille {Izl (n,) 1, . . . , I~,(IT,)1) est symétrique dans . :RI par rapport à la valeur qdeg(x)(n-1)/2 0 {z1(,,),

et

21 (nx)

qdeg(x)(n-i)

Notons que pour toute représentation admissible irréductible n de GLn(A), ses composantes locales IT, sont non ramifiées en dehors d'un ensemble fini de places x de F et il leur est attaché des familles {Z~(IT,), . . . , z,(IT,)). Lorsque IT est unitaire, il en est de même de toutes ses composantes locales n,, si bien que la seconde assertion de la proposition 1 s'applique à toutes les IT, non ramifiées. Pour toute paire discrète (P,IT), la représentation admissible isotypique n de Mp(A) est en fait irréductible d'après [Mœglin, Waldspurger, 19891 (à partir du cas cuspidal traité par Shalika). Si r i , . . . ,rlp~désignent les rangs des différents facteurs de Mp, IT s'écrit sous la forme ni @ . . - @ nlpl où T I , .. . , nlpl sont des représentations admissibles irréductibles de GL,, (A), . . . , GLrIPI (A) qu'on peut appeler les composantes de IT. Nous aurons besoin de l'encadrement suivant, dû à Jacquet et Shalika :

PROPOSITION 2. Soit IT une composante discrète de L ~ ( G ( F ) \ G ( A ) / U " ) , nécessairement unitaire et irréductible comme représentation de G(A) . -

O n suppose que n est cuspidale. Alors, pour toute place x de F où la composante locale nx est n o n ramifiée, o n a

b) Rappels sur les zéros et pôles des opérateurs d'entrelacement Nous rassemblons dans la proposition suivante les résultats connus à ce sujet dont nous aurons besoin :

PROPOSITION 3. - Soient ( P ,n ) une paire discrète avec n unitaire cuspidale, T la transposition de deux indices adjacents i et i + 1 dans {1,2,. . . , IPI), ni et ni+l les composantes de n d 'indices i et i 1. Alors : (i) La famille d'opérateurs

+

est une fraction rationnelle comme fonction de X p E A p qui ne dépend que du quotient des deux composantes et d'indices i et i + 1 de Xp. (ii) Si u n élément X p E A p est u n pôle de cette fraction rationnelle, il vérifie l'un des termes de l'alternative : ou bien IX"p/lXF1l < 1, ou bien 1X"p/lXF11 = q et les deux représentations ni 8 ( ~ $ / q ) ~ ~ et g (ni+l ' ) 8 ( ~ F l ) ~ ~ gsont ( ' ) isomorphes. (iii) Si s E @ est u n zéro de la fonction de Rankin-Selberg s t-, alors s est dans la bande critique O < Res < 1 et il existe L(s, 8 u n zéro X p E A p de la fraction rationnelle de (i) tel que = qs.

X$/XP1

XF1

X$/XP1

Démonstration : (i) Il est évident sur la définition que la famille d'opérateurs d'entrelacement MG::)(., X p ) ne dépend que de la variable X>/XF1. C'est une fraction rationnelle d'après [Mceglin, Waldspurger, 19941 proposition IV. 1.12. On sait d'autre part (voir par exemple les paragraphes 11.1 et 11.2 de [Mœglin, Waldspurger, 19891) qu'en procédant au changement de variable

X$/h",C1 = qs, l'opérateur d'entrelacement M;,(~~)(., Xp) s'écrit forme

SOUS

la

où l'opérateur d'entrelacement normalisé N;Y)(., Xp) est une fraction rationnelle en la variable X$/Xb+l qui, d'après la proposition 1.10 de [Mœglin, Waldspurger, 19891 n'a pas de pôle dans le domaine 1 2 1, E ( S , ni 0?Ti+l)est une puissance de qS, est une fraction rationnelle en la variable qS dont s H L ( s , ni @ les zéros sont dans la bande critique O < Re s < 1 et dont les pôles sont simples et sont exactement les s E C tels que ou bien Res = O et les représentations ni @ qsdeg(.)et ,i+l sont isomorphes ou bien Re s = 1 et les représentations ni @ q(s-l) deg(') et ni+l sont isomorphes. Les assertions (ii) et (iii) s'en déduisent aussitôt.

IX$/XP1

0

c) Rappels sur les spectres discrets, d'après Mœglin et Waldspurger Le résultat principal de [Mœglin, Waldspurger, 19891 est : - Soit (P,n) une paire discrète avec n unitaire. Alors il existe une paire discrète (S>,ii) avec P C P et 7i unitaire cuspidale, ainsi qu'un caractère dans Re A c C Re A,- tels que :

THÉORÈME 4.

X

P -

Poqr tout i E (1'2,. . . , [ P I ) et si o n considère l'ensemble Ji des indices j E {1,2,.. . , \Pl) qui s'envoient sur i uia ltinchrsion P 5 P , toutes les composantes j E Ji, sont égales.

c,

Le Pl-uplet des composantes de dans IR: est la juxtaposition de \Pl uplets de longueurs respectives # J i , . . . , #JIPIqui sont les

Toute fonction dans L ~ ( M ~ ( F ) N ~ ( A ) \ G ( A )n) / ~ "s'écrit , E Re AC d'une série d'Eisenstein XE w comme u n résidu en le point P P P E--(9, Ag), A g E Ag, associée à une fonction

X

E

LL (M,-(F)

N ~ ( A ) \ G ( A ) / ~ ii). ',

Afin d'exploiter ce résultat, nous aurons besoin de connaître la forme précise des coefficients constants des fonctions de Drinfeld.

PROPOSITION5. - Soient n > 1 u n entier, P C G L , u n SOUSgroupe parabolique semi-standard (c'est-à-dire contenant le tore maximal diagonal), N p le radical unipotent de P , et M p = GL,, x . - . x G L n l p Ile quotient réductif P I N p . Soient x une place de F , d n , la mesure de Haar sur N p ( F , ) qui attribue le volume 1 au sous-groupe ouvert compact N p ( O , ) , et pp : P(F,) -+ IW; la racine carrée du caractère modulaire de P(F,). Soient t E Z\{O) u n entier et f t [resp. fit, 1 5 i 5 [ P l ]la fonction de Drinfeld en rang n [resp. ni] et de niveau t sur GL,(F,) [resp. G L n z(F,)]. Alors, pour tout m = ( m l , .. . ,mlPI)dans M p ( F , ) = GL,, (F,) x . . - x G L n l p(lF z ) , o n a :

Démonstration : Voir par exemple [Laumon]proposition 4.2.5.

d) Enoncé du théorème principal Notre but est de démontrer le résultat suivant : THÉORÈME 6 . - A toute composante xi, 1 5 i 5 (Pl, d'une représentation unitaire .rr s'inscrivant dans une paire discrète ( P ,T ) , est attaché u n nombre (nécessairement unique) E,, E {O, de telle sorte que : (i) Pour tout i E { 1 , 2 , . . . , ( P l ) , pour toute place x de F en-dehors est n o n ramifié, la famille {zj(.rri,,)) de Ta où le facteur local ri,, de associée à ri,, comme dans la proposition 1 vérifie

i)

(ii) Pour toute transposition T de deux indices adjacents i et i dans { 1 , 2 , . . . , ( P l ) , la famille d'opérateurs

qui est une fraction rationnelle en la variable tous ses zéros et pôles vérifient

XZ,/XF' 1

E

qE"i

-Ersil

+1

X;/XY1 de C X est telle que +te

O

Avant de procéder à la démonstration de ce théorème, donnons-en tout de suite la conséquence suivante :

i

(i) Soit T une représentation automorphe cuspidale irréductible unitaire de GL,(A). Alors : Si r est impair, T vérifie la conjecture de Ramanujan-Petersson, c'est-à-dire que pour toute place x E 1x1 où T est non ramifiée, on a r-1 I ~ ~ ( T ~ ) =I q& z , 1 < i < r , et on pose^, = O . O

i

Si r est pair, ou bien T vérifie la conjecture de RamanujanPetersson au sens ci-dessus, et on pose E, = 0 ; ou bien, pour toute place x E 1x1où T est non ramifiée, la moitié parmi les 1ri(Tzi,)/&, 1 < i 5 r , 7-1 1 valent y?+$ et l'autre moitié q T - n , et on pose E= = g1 . O

1

(ii) Etant données deux telles représentations TI, ~2 de GL,,(A), GLT2(A), tous les zéros de la fonction de Rankin-Selberg s w L(s, T I @ 7r2) sont sur la droite Re s = si E,, = E,, et sur les droites Re s = $, Re s = 34 si E r , # ET,.

Démonstration : i

i

l

1

1

(i) Quitte à tensoriser T par un caractère unitaire de GL,(A) = G(A) se factorisant à travers l'homomorphisme de degré, on peut supposer que (G, T) est une paire discrète avec T unitaire cuspidale et appliquer le théorème 6 (i) combiné à l'encadrement de la proposition 2 et à la propriété de symétrie de la proposition 1. Si E, = O, on voit que pour tout x E IXI\T, où T est non ramifiée, tous les I Z ~ ( T ~ ) & valent y?. Et si E, = alors pour tout x E IXI\T,, la moitié des l r i ( ~ , ) & r-1 1 valent y?+: et l'autre moitié 9 7 - 4 , ce qui n'est possible que si r est pair. Comme l'élément a E A X a pu être choisi de façon que T, évite n'importe quel sous-ensemble fini strict de 1x1, (i) est démontré.

a,

(ii) Ici encore et quitte à tensoriser par un caractère, on peut supposer que T = TI @ ~2 s'inscrit dans une paire discrète (Pl T) avec r = rl r:! et IPI = 2. On conclut en combinant le théorème 6 (ii) et la proposition 3 (iii). [1

+

e) Commencement de la démonstration : Application de la formule des traces d'Arthur-Selberg, du théorème des points fixes de Grothendieck-Lefschetz et du théorème de pureté de Deligne

>

Nous allons démontrer le théorème 6 par récurrence sur le rang r 1 de G = GL,. Supposons donc le résultat déjà connu en tous les rangs < r et cherchons à prouver que toutes les paires discrètes (P,n) de G avec n unitaire le vérifient également. Montrons d'abord qu'en-dehors du cas où P = G et n est unitaire cuspidale, l'hypothèse de récurrence permet d'associer à toute composante ni de n un unique cri E {O, satisfaisant la propriété (i). Il faut distinguer deux cas. Si IPI 2, c'est-à-dire si n a plusieurs composantes, ni est une représentation admissible irréductible d'un GL,,(A) avec ri < r. Et il existe un caractère unitaire J de GLTi(A) se factorisant à travers l'homomorphisrne de degré tel que ni @ J soit une composante discrète de la représentation Lm (GL,~(F)\ GLT1(A)/aZ). On voit que = cri@< répond à la question posée. D'autre part, si P = G mais 7r n'est pas cuspidale, considérons - la paire discrète 5) avec .7i unitaire cuspidale et ici nécessairement lPl > 2 qui est associée à (P, n ) comme dans le théorème 4. Toutes les composantes 7ij de 5 sont égales et il résulte dudit théorème 4 combiné à la proposition 5 que E, = E n j vérifie la propriété (i).

i)

>

(P,

Montrons ensuite qu'en-dehors du cas où \PI = 2 et n est unitaire cuspidale, l'hypothèse de récurrence entraîne que toute transposition r de deux indices adjacents i et i 1 vérifie la propriété (ii) relativement aux E , ~ et cri+, que nous venons d'exhiber. Ici encore il y a deux cas. Si IP( 2 3, il existe une paire discrète (P',n1) d'un G' = GL,) avec r' < r, IP'I = 2 et n' unitaire telle que ni = ni @ (pb)deg(.), n; = xi+l @ (pP )deg(') pour un certain p p E ImAp. En notant 7' la transposition des deux indices 1 et 2, on voit donc que les deux fractions rationnelles

+

'+'

ont mêmes zéros et mêmes pôles si p p ~ > / p A$' P ~ = Ahf /Agf. Comme = E,; et E,,, = E,; , la paire discrète (Pl T) vérifie bien la propriété (ii). D'autre part, si JPJ= 2 mais .rr n'est pas cuspidale, considérons la paire discrète ( P , 57) avec 57 unitaire cuspidale et ici nécessairement I P I2 3 qui est associée à (Pl T) comme dans le théorème 4. Ji et Jz désignent les sous-ensembles de {1,2, . . . , l Pl) constitués des indices j s'envoyant respectivement sur 1 et 2 via l'inclusion P P . Ainsi, quand j décrit Ji [resp. J2], les composantes Zj sont-elles toutes égales et a-t-on ] la proposition 5. Comme nécessairement E,, = E + ~[resp. E,, = E + ~ d'après la propriété (ii) est déjà connue pour la paire discrète ( P , 57), il résulte du théorème 4 que la paire (Pl T ) la vérifie également. E,~

-

c

Il nous reste à prouver que, pour toute composante discrète cuspidale T de L k ( G ( F ) \ G ( A ) / a Z ) , il existe E, E {O, vérifiant la propriété (i), et que, pour toute paire discrète (P,T) de G avec 1 Pl = 2 et T unitaire cuspidale, la transposition T des deux indices 1 et 2 vérifie la propriété (ii) relativement à E,, et E,, déjà définis. Nous allons déduire cela de la formule de traces que voici :

i)

-

LEMME8. - Soient I X un sous-schéma fermé fini et KI = K I = Ker[GL,(OA) + GL, ( D I ) ]le sous-groupe ouvert associé de K = GL,(OA). Soient O et cc deux points fermés de X ou, si l'on préfère, deux places deux points de X ( F q ) au-dessus de O, cc. On suppose que O de F , et O, et cc sont distincts et ne sont pas dans Ta ni dans le support de I. Soit f : G(A)/aZ -+ Q la fonction caractéristique de KI que multiplie 1

1

= [K : KI]. Ainsi f s'écrit-elle f = f, @ fm>O@ fo où f,, fo vol( KI) son; lei fonctions caractéristiques de GL, (O,), GL, (Oo) dans GL, (F,), GL, (Fo) et f est une fonction sur G L , ( A ~ > ~ ) / ~ " . Soit u > 1 un entier divisible par deg(0) et deg(oo) . U Soit f,"' [resp. f ~ ~ la fonction ' ] de Drinfeld de niveau u1= --deg(0) [Tesp. U =] sur GL, (Fo) [resp. GL,(F,)] . E t soit f : G(A)/aZ + Q deg(cc) qui est adaptée à 17homomorphismeEO : la fonction f&"' @ f W > O 8 A" 10: II;P (~X)XE(X( deg(O)O(ao). Alors, pour tout polygone p : [O, r] -+ IR+ assez grand en fonction de K' uniquement, la moyenne de la fonction périodique sur R "3'

fzf

-+

est égale à la moyenne de la s o m m e de fonctions périodiques

o ù les notations sont celles des théorèmes 12 et 12' du paragraphe VI.2f. Démonstration du lemme 8 : C'est la combinaison du théorème 1 du paragraphe V.2a et du théorème 12' du paragraphe VI.2f. 0 Dans ce qui suit, nous allons fixer le sous-groupe ouvert K t = KI de K , les places O, oo E 1x1,les points 0, Ei5 E x(F,) ainsi qu'un polygone de troncature p assez grand en fonction de K t . Nous allons nous attacher à préciser le comportement en le multiple u de deg(0) et deg(oo) des différents termes apparaissant dans la formule du lemme 8. Voyons d'abord le premier terme : LEMME9.

-

La moyenne de la fonction périodique

est, comme fonction du multiple u de deg(0) et deg(oo), de la forme

où chaque cx est une constante dans C et { A ) est u n ensemble fini d'éléments de C X dont les modules sont dans qi". Démonstration du lemme 9 : La fonction périodique considérée est 1 en escalier (en fait, elle est localement constante en-dehors de ( r - l)!Z). Il suffit donc de montrer que pour tout a E R fixé, la fonc'tion h H ~ e f z , ~ ' ~ (u , u ) est de la forme requise. Choisissons J -+ X un sous-schéma fermé fini évitant O, cc et Ta, contenant I comme sous-schéma fermé et tel que le revêtement galoisien fmlO,

Chtr'Pm


-

O x , J /az du champ ~ h t z , : ~ / soit a ~ un schéma quasi-projectif lisse sur F,. La fonction f = f, @ @ fo peut évidemment s'écrire f = cilKJgiaeoù les gi décrivent un ensemble fini de représentants

x

fWt0

i

des classes modulo K j dans KI, les ilKJgiazdésignent les fonctions caractéristiques des classes KJgiaZ dans G(A)/aZ et les ci sont des nombres rationnels. Chaque gi induit un automorphisme de C h t ~ ? , ?et ~ par définition

Soit uo le p.p.c.m. de deg(0) et deg(oo). Pour tout gi fixé et comme l'automorphisme induit est d'ordre fini et commute avec F'robuo, on voit par un argument de descente qu'existe un schéma quasi-projectif lisse S sur F,.o muni d'un isomorphisme ~ h t " ? ~ / a ~x ( x X x )(-O, 00) '" S IF^"(, IFq faisant se correspondre gi xFrobuOet FrobuO.Pour tout multiple u de deg(0) et deg(m), on peut donc écrire 1 Fixe(gi x F'robu,~ h t O $ , ? ~ / x a (~x x x ) (8, W))1 = 1 Fixe(Frobu, S @IF,"(, Fq)1. On conclut en combinant le théorème des points fixes de GrothendieckLefschetz et le théorème de pureté de Deligne. 0

f ) Fin de la démonstration : Identification de la forme des différents termes dans la formule des traces Commençons par expliciter davantage les termes de traces figurant dans l'énoncé du lemme 8 : LEMME10. - Chacune des expressions ( ~ ( F ) N ~ ( A G ( A ) / ~ ( , X)

A

b

A

1

où r l , . . . , rlpl désignent les rangs des différents facteurs de M p . Démonstration du lemme 10 : Les fonctions de Drinfeld f;' et f;"' sont invariantes par GL, (Oo) et GL, (O,) respectivement. Donc ou bien f;' [resp. f;~'] agit comme O au cas où n est ramifiée en O [resp. en cm], ou bien, au cas où n est non ramifiée, elle agit comme sa trace que multiplie l'opérateur induit par la fonction caractéristique fo de GL,(Oo) [resp. f, de GL,(O,)]. Comme f, 8 8 fo = f est la fonction 1 caractéristique de K t que multiplie = [ K : Kt], donc induit vol(Kt) l'opérateur de projection orthogonale de ( ~(F) pN P (A)\G(A)/az, n) pN~ (A)\G(A)/aZ, n ) , on conclut d'après la sur le sous-espace LS(,( ~ (F) proposition 1 combinée à la proposition 5. 0 fm10

'LI

Puis étudions la dépendance en u de ces termes en distinguant plusieurs Cas :

LEMME11. - Pour tout quadruplet discret (P,.rr, a, A,) qui est bon et ne s'inscrit pas dans l'un des deux cas suivants : P = G et n est unitaire cuspidale, )Pl = 2, r est unitaire cuspidale et a est la permutation identique des deux indices 1 et 2, et pour tout i E {1,2,. . . , ( P l ) , la moyenne de l'expression du lemme 8

est, pour tout multiple u assez grand de deg(0) et deg(oo), de la forme

où chaque CA est une constante dans C et {A) est u n ensemble fini d'éléments de C X dont les modules sont dans q f z . Démonstration du lemme 11 : D'après le lemme 10, on peut se limiter au cas où n est non ramifiée en O et CO, et il suffit de prouver que la moyenne de chacune des fonctions périodiques

*

a la forme requise dès lors que u est assez grand. Or nous savons déjà que I I ~ ( T 1 ~ , ~ )E q€"j +f

"

et z

,

)1 d

g

E

= Si i, = j,, i et j sont dans la même orbite de a si bien que et on a terminé. Si au contraire i, # j,, déplaçons le contour d'intégration ImApu dans r

dA,. de façon à faire tendre le quotient A"Ae

l'opérateur

vers

Im AP,

O. D'après le lemme 7 du paragraphe VI.2d1 les seules singularités que l'on rencontre sont celles induites par les pôles des A, e MG!^^)(-, AUX:) et par les zéros des A, c M;!:?(,. AUX:). Rappelons-nous aussi que tout opérateur d'entrelacement s'écrit comme un composé d'opérateurs d'entrelacement associés à de simples transpositions d'indices adjacents, opérateurs dont nous savons situer les zéros et les pôles. Ainsi tous les sous-espaces apparaissant dans la formule des résidus .1 .2 doivent-ils satisfaire des équations de la forme x$/x$' = A l , x>/x> = in-1 in A2,. . . , Auc /Ag = An avec i = z.O , z.1, z.2 , . . . ,in-1 ,z.n - j des indices dans {1,2,. . . , /PI) et Al, A 2 , . . . , A n des coefficients dans C X qui vérifient pl 1 q E r ,-'ri, ~ +9' - . - ,JA,I E q E " i n - ~- ~ l . n +&". Quant aux résidus à l'infini, ils sont nuls si u est assez grand. D'où la conclusion. 0 LEMME12. - Soit (Pl T, a, A,) u n quadruplet discret tel que P = G ( s i bien que a est la permutation identique de (1) et Pu = G) et que T soit unitaire cuspidale. Alors, quand A, parcourt le groupe fini Im ApO = Im AG, chacune des expressions

[f

T r ~ m ( ~ ( F ) \ ~ ( ~ ) / a z , ru(', ) 'O)]

est égale à O si .rr est ramifiée e n O ou oo, et dans le cas contraire est égale à

Démonstration du lemme 12 : C'est un cas particulier du lemme 10.

O LEMME13. - Soit (P,ri, O,A,) u n quadruplet discret tel que JPJ= 2, que a soit la permutation identique de { 1 , 2 ) (avec donc Po = P) et que ri soit unitaire cuspidale. O n considère la moyenne de la fonction périodique

Alors o n a suivant les cas : (i) Si ri est ramifiée en O ou CO, cette moyenne vaut O . (ii) S i ri est n o n ramifiée en O et CO et si A, # 1, cette moyenne est, pour tout multiple u assez grand de deg(0) et deg(oo), de la forme

où chaque ch est une constante dans (C et {A) est u n ensemble fini d'éléments de (CX dont les modules sont dans q i z . (iii) Si ri est n o n ramiifiée en O et CO et si A, = 1, cette moyenne est, pour tout multiple u assez grand de deg(0) et deg(m), de la forme

chaque ch est une constante dans (C et {A) est u n ensemble fini d'éléments de (CX dont les modules sont dans qiz, 0 {X)kr désigne l'ensemble fini des X E (CX tels que (XI < 1 et que X s'écrive X = X & / X g ou X$/X& pour Xp u n élément de Ap e n lequel 1 'opérateur M ~(., XP) ~ : L&, ~ (Mp(F) ~ )Np(RL)\G(RL)/az, ri) i L&, (F) N ~ (A)\G(A)/az, ~ ( ~ ) ri)) associé à la transposition 7-0 des deux indices 1 et 2 admette u n zéro ou u n pôle,

pour tout X E {X)k,, c i est une constante réelle < O, et ZA est u n ensemble fini non vide d'éléments de C X dont l'ensemble des modules est contenu dans qEri-Eff2+S"et symétrique par rapport à gr-'. Démonstration du lemme 13 : (i) est une conséquence immédiate du lemme 10. (ii) D'après le lemme 10, la fonction considérée s'écrit encore

si r i et 7-2 désignent les rangs des deux facteurs de Mp. C'est donc une somme sur les deux indices i , j E (1'2). Examinons chaque terme isolément. Quand i # j , on peut déplacer le contour d'intégration ImAp dans l'opérateur dXp. de façon à faire tendre X',/X$ vers O et on ne rencontre jamais de singularité, si bien que ce terme est nul dès lors que u est assez grand. Et quand i = j , le terme a la forme requise puisque ~ z n ( . r r i , ~ )El h qErt+fE,b'ket z t ( i r j , , ) l 6 E q E " ~ + ~ " , bavec ' e ici in%= E,,.

hmAp

(iii) Notons Xp

Xp

e M?LOP)(.,hp)

Pour tout a E -p-apro

e

M $ ~ ~ ) ( .Xp)' , la dérivée de la fraction rationnelle

en la variable Xb/X$.

IR et tout i

E (1'2)' les deux fonctions p p

-p-app H

UP,id

(pp)

(%)

,o(P)

et PP UP,,~ (pp) s'écrivent chacune comme le quotient d'une par 1 - ph/& et p;/& - 1 respectivement. puissance de On déduit facilement de cette remarque et du lemme 10 que la moyenne de la fonction considérée s'écrit comme la somme de

et d'une constante fois

cA.,

dXp . dimc LK, ( M ~ ( F ) N ~ ( A ) \ G ( A ) / T) ~",

2=1,2

Le second terme est de la forme rencontrée dans (ii) et pourra être rangé cxXu de l'expression cherchée. dans la partie CxGIxl Pour ce qui est du premier terme, remarquons déjà que pour tout (i, j ) la famille des modules

est contenue dans q E " t -'"j +iZ et qu'elle est symétrique par rapport à gr-' d'après la proposition 1. Puis distinguons suivant le couple (i, j ) . Si i = j, on voit que l'expression obtenue peut à son tour être rangée dans la partie ExElAl cxX? Et quand (ilj) = (1,2) [resp. (2, l ) ] , déplaçons le contour d'intégration h p dXP. de façon à faire tendre Xb/X$ [resp. Im Ap dans l'opérateur APIA$] vers O. Ceci fait apparaître les résidus de la fraction rationnelle

Lm

< 1 [resp. JX$/X$I < 11. Or on en les X p E Ap vérifiant (X$/X'$I vérifie aisément que ladite fraction rationnelle n'est autre que la dérivée logarithmique du déterminant

pour n'importe quel choix de bases dans LK, (Mp (F)Np (A)\G(A)/aZ, ii) et L'&,(MTo( p )( F )Nm (p)(A)\G(A)/aZ,TO (T)). D'autre part, les résidus à l'infini s'annulent dès lors que u est assez grand et, pour (i, j ) = (1,2) [resp. (2, l ) ], l'intégrale

est égale à la somme -

nAXU [resp.

nhX-u]

où chaque nx désigne l'ordre en le point X E C X de la fraction rationnelle Xp r det(~;!~~)(.,X p ) ) en la variable Xb/Xg. On voit que tous les coefficients sont des entiers négatifs sauf quand [XI < 1 et nx < O [resp. IXI > 1 et nx > O], mais d'après la proposition 3 (ii) du paragraphe VI.3b (complétée par l'équation fonctionnelle des opérateurs d'entrelacement), un tel terme ne peut exister qu'avec /XI = q-' [resp. IXI = q] et E,, = E,, si bien qu'on peut le ranger dans la partie cAXu.D'où la conclusion. WAI

O

Fin de la démonstration du théorème 6 : Rassemblons les renseignements contenus dans les lemmes 8, 9, 11, 12 et 13. On obtient une identité de la forme

pour tout multiple u assez grand de deg(0) et deg(oo), où T décrit un ensemble de représentants des classes de composantes discrètes cuspidales de LL(G(F)\G(A)/az) qui sont non ramifiées en O et oo, (P, T) décrit un ensemble de représentants des classes de paires discrètes (P, T) avec 1 PI = 2 et T unitaire cuspidale non ramifiée en O et oo, les ensembles finis {A)#, et ZA,X E {A)#,, sont définis comme dans le lemme 13 (iii), les c, sont des constantes réelles > O, les c i des constantes réelles < O, et les CA des constantes complexes, e {A) est un ensemble fini d'éléments de C X dont les modules sont dans qi". De cette identité, nous déduisons que pour toute L& (G(F)\G(A)/aZ,T) # O, on a

T

vérifiant

et que pour toute (P,T ) , on a

*

En effet, supposons que ce ne soit pas le cas. Commençons par nour }c ou { z )1 } est rappeler que chaque famille {lzk ( l i o ) 1 symétrique par rapport à q q qu'aussi chaque famille { / z / ,z E Zx}, X E { A } # , , est contenue dans qE.i-'-2+ '4 et symétrique par rapport à et que tous les ( X I , X E { A ) # , , sont < 1. Puis considérons la famille réunion disjointe de tous les Irk( r O )1 qr-' 1.q(h) 1qui ne sont pas dans q4" ainsi que la famille réunion disjointe de tous les { X z , z E ZA) qui ne sont pas contenus dans q i " . II résulte de l'identité ci-dessus que ces deux familles sont égales à permutation près. Or la moyenne géométrique de la première est qr-' et celle de la seconde est < qr-l. Il y a contradiction.

*

*

Comme on peut choisir arbitrairement le sous-groupe ouvert K' = KI de K et les places O et cm,on a terminé. 0

Bibliographie [E.G.A.] Eléments de Géométrie Algébrique, par Alexandre Grothendieck et Jean Dieudonné ; Publications mathématiques de 171.H.E.S.,nos 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32. [F.G.A.] Fondements de la Géométrie Algébrique, par Alexandre Grothendieck; Séminaire Bourbaki, secrétariat mathématique, Paris, 1962. [S.G.A.4] Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie, dirigé par Alexandre Grothendieck et alii ; Théorie des topos et cohomologie étale des schémas ; Exposé XVIII : La formule de dualité globale, par Pierre Deligne ; Springer lecture notes, volume 305, 1973. [Arthur J., 19781 A trace formula for reductive groups 1 : terms associated to classes in G ( Q ) ,Duke Mathematical Journal 45. [Bourbaki N ., 19581 Eléments de mathématique : Algèbre ; Hermann. [Cartier P., 19791 Representations of p-adic groups : A survey ; In : Corvallis conference on automorphic forms, representations and L-functions, 1 ; Proceedings of symposia in pure mathematics, volume 33. [Curtis C.W. et Reiner I., 19811 Methods of representation theory : with applications to finite groups and orders, 1; Wiley. [Deligne P., 19801 La conjecture de Weil II, Publications Mathématiques de 1'I.H.E.S. 52. [Drinfeld V.G., 19761 Commutative subrings of certain noncommutative rings ; Functional analysis and its applications 10. [Drinfeld V.G., 19781 Langlands' conjecture for GL(2) over functional fields; Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Helsinki. [Drinfeld V.G., 19871 Varieties of modules of F-sheaves; Functional analysis and its applications 21. [Drinfeld V.G., 19881 The proof of Petersson's conjecture for GL(2) over a global field of characteristic p : Functional analysis and its applications 22. [Flicker Y. et Kazhdan D., 19891 Geometric Ramanujan conjecture and

Drinfeld reciprocity law, in :Number theory, trace formulas and discrete groups, Academic Press. [Gelbart S. et Jacquet H., 19791 Forms of GL(2) from the analytic point of view ; In : Corvallis conference on automorphic forms, representations and L-functions, 1; Proceedings of symposia in pure mathematics, volume 33. [Harder G. et Narasimhan M.S., 19751 On the cohomology groups of moduli spaces of vector bundles on curves ; Mathematische Annalen 212. [Howe R., 19741 The Fourier transform and germs of characters (case of GL, over a p-adic field) ; Mathematische Annalen 208. [Illusie L., 19711 Complexe cotangent et déformations, 1; Springer lecture notes, volume 239. [Jacobson N., 19851 Basic algebra, 1, I I ; Freeman. [Jacquet H., Piatetski-Shapiro L. et Shalika J., 19831 Rankin-Selberg convolutions, American Journal of Mathematics 105. [Jacquet H. et Shalika J., 19811 On Euler products and the classification of automorphic representations 1, II, American Journal of Mathematics 103. [Laumon G., 19951 Cohomology of Drinfeld modular varieties, 1, I I ; Cambridge University Press. [Laumon G. et Moret-Bailly L., 19931 Champs algébriques; Prépublication de l'université de Paris-Sud. [Laumon G., Rapoport M. et Stuhler U., 19931 V-elliptic sheaves and the Langlands correspondence; Inventiones mathematicae 113. [Mœglin C. et Waldspurger J.-L., 19891 Le spectre résiduel de GL(n), Annales Scientifiques de 1'Ecole Normale Supérieure 22. [Mœglin C. et Waldspurger J.-L., 19941 Décomposition spectrale et séries d'Eisenstein, Une paraphrase de l'écriture, Birkhauser. [Mumford D., 19701 Abelian varieties; Oxford University Press. [Rogawski J., 19831 Representations of GL(n) and division algebras over a p a d i c field ; Duke mathematical journal 50. [Seshadri C.S., 19821 Fibrés vectoriels sur les courbes algébriques; Astérisque 96, Société Mathématique de France. [Shahidi F., 19881 Automorphic L-functions, a survey; In : Automorphic

forms, Shimura varieties and L-functions, 1 ; Proceedings of a conference held at the University of Michigan, Ann Arbor ; Academic Press. [Stuhler U., 19861 p a d i c homogeneous spaces and moduli problems; Mathematische Zeitschrift 192. [Waldspurger J.-L., 19851 Sur les valeurs de certaines fonctions L automorphes en leur centre de symétrie ; Compositio mathematicae 54. [Weil A., 19821 Adeles and algebraic groups; Birkhauser.

L. LAFFORGUE URA DO752 du CNRS Université de Paris-Sud Mathématique, Bât. 425 91405 Orsay Cédex (France)

1973 :

1 2-3 4 5 6 7-8 9 10

1974 :

- Y. MEYER - Trois problèmes sur les sommes trigonométriques. - Colloque international du CNRS - Équations aux dérivées partielles linéaires (Orsay. 1972). - Séminaire K.G.B. - Sur les marches aléatoires (Rennes. 1972). - R. KAUFMAN and Th. KORNER - Pseudofunctions and Helson sets. - A. HATCHER and J. WAGONER - Pseuâo-isotopies of compact manifolds. - Colloque sur les singularités en géométrie analytique (Cargèse, 1972). - J. PELLAUMAIL - Une nouvelle construction de l'intégrale stochastique. - A. ESCASSUT e t Ph. ROBBA - Prolongement analytique e t algèbres de Banach ultramétriques.

11

-

12 13-14 15 16 17 18 19

-

20

-

-

MAUREY - Théorèmes de factorisation pour les opérateurs linéaires à valeurs dans espaces LP. LAUDENBACH - Topologie de la dimension trois : homotopie e t isotopie. (Épuisé) GUICHARDET - Systemes dynamiques non commutatifs. MAISONNEUVE - Systemes régénératifs. DOUADY - J.-L. VERDIER - Séminaire de géométrie analytique. DOUADY - J.-L. VERDIER - Séminaire de geométrie analytique. E. BOMBIERI - Le grand crible dans la théorie analytique des nombres (2e édition). S. ALINHAC - P. BOLLEY - J . CAMUS - B. HANOUZET - B. HELFFER - C. ZUILY Sur quelques équations aux dérivées partielles singulières. H. C. PINKHAM - Deformations of algebraic varieties with G , action. B. les F. A. B. A. A.

1975 :

21 - N. EL KAROUI - H. REINHARD - Compactification et balayage de processus droits. 22-23 - Ph. COURRÈGE - P. PRIOURET - P. RENOUARD - M. YOR - Oscillateur anharmonique, processus de diffusion e t mesures quasi-invariantes. 24-25 - Journées arithmétiques de Bordeaux (1974). 26 J. LANNES - F. LATOUR - Forme quadratique d'enlacement e t applications. 27 - R. CORI - Un code pour les graphes planaires et ses applications. 28-29 - A. DENJOY - Évocation de l'homme e t de l'aeuvre. 30 - R. ROUSSARIE - Modèles locaux de champs e t de formes.

1976 :

31 32-33 34-35 36-37 38-39 40

1977 :

- J . E. FRANKE - S. NEWHOUSE - J . PALIS - M. M. PEIXOTO - Trois études en dynamique qualitative. - Colloque Analyse e t Topologie en l'honneur de H. CARTAN, 2' édition. - Journées " Équations aux dérivées partielles " de Rennes. - A. DOUADY - J.-L. VERDIER - Séminaire de géométrie analytique. - Journées Algorithmiques (Paris, 1975). - International Conference on Dynamical Systems in Mathematical Physics (Rennes, 1975).

41-42 - Journées Arithmétiques de Caen (1976). 43-44 - Théorie de la robustesse e t estimation d'un paramètre (Orsay-Paris VII. 1974-1975). 45 - D. LEHMANN - Théorie homotopique des formes différentielles (d'après D. Sullivan). 2' édition. 46 - J.-P. SERRE - Arbres. amalgames. SL,. 3' édition. 47-48 - J.-M. FONTAINE - Groupes p- divisibles sur les corps locaux. - Dynamical Systems 1, Warsaw (1977). 2" édition. 49 50 - Dynamical Systems II, Warsaw (1977). 2e édition.

Dynamical Systems III. Warsaw (1977). 2' édition. Temps locaux (Paris VI, 1976-1977). A. BEAUVILLE - Surfaces algébriques complexes. 3' édition. Représentations des groupes localement compacts e t applications aux algèbres d'opérateurs (Orléans. 1973-1974). 56 - M. SHUB - Stabilité globale des systèmes dynamiques, 2' édition. - R. R. COIFMAN - Y. MEYER - Au-delà des opérateurs pseudo-différentiels, 2' édition. 57 - Première classe de Chern e t courbure de Ricci : preuve de la conjecture de Calabi 58 (Séminaire Palaiseau. 1978). 2' édition. 59-60 - Journées singulières de Dijon.

1979 :

- Journées Arithmétiques de Luminy (1978). - P. DOMBROWSKI - 150 Years after Gauss' "disquisitiones generales circa superficies curvas", 2' édition. - Journées de Géométrie Algébrique de Rennes (juillet 1978). 1. 63 64 - Journées de Géométrie Algébrique de Rennes (juillet 19781, I l . - Journées de Géométrie Algébrique de Rennes (juillet 1978). I I I . 65 66-67 - Travaux de Thurston sur les surfaces (Séminaire Orsay). 2' édition. - Grandes déviations e t applications statistiques (Séminaire Orsay, 1977-1978). 68 69-70 M. WALDSCHMIDT - Nombres transcendants et groupes algébriques (2' édition).

1980 :

71-72 - Les équations de Yang-Mills (Séminaire E.N.S., 1977-1978). - Modèles de l'arithmétique (Séminaire Paris VII) - K. MC ALOON. 73 74 - Journées sur les marches aléatoires (Nancy, 1979). 75-76 - Analyse des systèmes (Bordeaux. 11-16 septembre 19781. - R. R. COIFMAN - R. ROCHBERG - M. H. TAIBLESON - G. WEISS - Representation 77 theorems for Hardy spaces. 78 - A. LOUVEAU - Ensembles analytiques e t boréliens dans les espaces produits. 79 - N. KATZ - Sommes exponentielles. rédigé par G. LAUMON. 80 - Analyse sur les variétés (Metz, 1979).

1981 :

81 - P. BUSER and H. KARCHER - Gromov's almost flat manifolds. 82-83 - Caractéristique d'Euler-Poincaré (Séminaire E.N.S. 1978-1979). 84-85 - Géodésiques e t diffusions en temps petit (Séminaire de probabilités. université de Paris VII). - Séminaire sur les pinceaux de courbes de genre au moins deux (L. SZPIHO). 86 87-88 - Tableaux de Young e t foncteurs de Schur en algcbre e t géométrie (Torun. 1980). 89-90 - Analytic solutions of partial differential equations (Trento. 1981).

1982 :

51 52-53 54 55

-

1978 :

61 62

C. DE CONCINI. D. EISENBUD, C. PROCESI - Hodge Algebras. SÉMINAIRE BOURBAKI, volume 1981182, exposés 579-596. - JOURNEES ARITHMÉTIQUES. Metz (1981). J. SJOSTRAND - Singularités analytiques microlocales (suivi d'un texte avec B. LASCAR sur l'équation de Schrodinger). - C. S. SESHADRI - Fibrés vectoriels sur les courbes algébriques 96 (rédigé par J.-M. DREZET). 97 - D. CERVEAU, J.-F. MATTEI - Formes intégrables holomorphes singulières. 98-99 - Bifurcation, théorie ergodique e t applications (Dijon, juin 1981). - Analyse e t topologie sur les espaces singuliers (CIRM 1981) - Vol. 1. 100 91 92-93 94 95

-

-

-

-

Analyse e t Topologie sur les espaces singuliers (CIRM, 1981) - Vol. I I - III. M. R. HERMAN - Sur les courbes iuvariantes par les difféomorphismes de l'anneau, Vol. 1. 105-106 - SÉMINAIRE BOURBAKI. volume 1982183. exposés 597-614. 107-108 - IIIe rencontre de géométrie du Schnepfenried (mai 1982). Vol. 1. 109-110 - IIIe rencontre de géométrie du Schnepfenried (mai 1982). Vol. 2.

1983 :

101-102 103-104

1984 :

111 112

1985 :

121-122 - SÉMINAIRE BOURBAKI. volume 1983184, exposés 615-632. 123 - B. A. KUPERSHMIDT - Discrete Lax equations and differential-difference calculus. 124-125 - Homologie. groupes Extn, représentations de longueur finie des groupes de Lie.

m. ibi J. HARTHONG - Études sur la mécanique quantique. B. HELFFER - Théorie spectrale pour des opérateurs globalement elliptiques. 113-114 Homotopie algébrique e t algèbre locale (CIRM. 1982). J. M. LEMAIRE. J . C. THOMAS. 115 M. H. SLIMAN - Théorie de Mackey pour les groupes .adéliques. 116 Structure transverse des feuilletages. Toulouse 1982. 117 - J . LIPMAN - Dualizing sheaves. differentials and residues on algebraic varieties. - Variational methods for equilibrium problems of f!uids. Trento 1983. 118 1 19-120 - Cohomologie p-adique.

126 127 128 129 130 131 132

No hors série 1986 :

-

- Géométrie des surfaces K3 : modules e t périodes. Séminaire Palaiseau. - Séminaire sur les Pinceaux Arithmétiques : la conjecture de Mordell (L. SZPIRO). - M. KASHIWARA, P. SCHAPIRA - ~ i c r o i o c dstudy of sheaves. - L. MORET-BAILLY - Pinceaux de variétés abéliennes. - Systèmes différentiels e t singularités (C.I.R.M. 1983) édité par A. GALLIGO. M. GRANGER, Ph. MAISONOBE. - Colloque en l'honneur de L. SCHWARTZ, Volume 1. - Colloque en l'honneur de L. SCHWARTZ, Volume 2. : Elie Cartan et les mathimatiques d'aujourd'hui - Lyon, 25-29 juin 1984.

133-134 - SÉMINAIRE BOURBAKI. volume 1984185. exposés 633-650. 135-136 - Analyse harmonique des mesures, B. HOST, J.-F. MÉLA. F. PARREAU. 137 - K. HULEK - Projective geometry of elliptic curves. 138-139 - M. CHAPERON - Géométrie différentielle e t singularités de systèmes dynamiques. 140-141 - J.-L. BRYLINSKI. T. MONTEIRO FERNANDES - Géométrie et analyse microlocales. 142-143 - M. ENGUEHARD, T. PETERFALVI - Révision dans les groupes finis. Groupes du type de Lie dc rang 1. - M. R. HERMAN - Sur les courbes invariantes par les difféomorphismes de l'anneau, 144 Vol. 2.

1987 :

SEMINAIRE BOURBAKI, volume 1985186, exposés 651-668. JOURNÉES ARITHMÉTIQUES, Besançon (24-28 juin 1985). M. KAROUBI - Homologie cyclique e t K-théorie. Singularités d'équations différentielles, Dijon, mai 1985. SÉMINAIRE BOURBAKI, volume 1986187, exposés 669-685. Théorie des variétés minimales et applications (Minimal Submanifolds). Séminaire Palaiseau. - A. UNTERBERGER - Analyse harmonique e t analyse pseudo-différentielle du cône de lumière.

145-146 147-148 149 150-151 152-153 154-155 156

- COLLOQUE PAUL LÉW sur les processus stochastiques (22-26juin 1987, École Polytechnique, Palaiseau). - O. MATHIEU - Formules de caractères pour les algèbres de Kac-Moody générales. - SÉMINAIRE BOURBAKI, volume 1987188, exposés 686-699. - On the geometry of differentiable manifolds (Rome, 23-27 juin 1986). - 1. DOLGACHEV, D. ORTLAND - Point sets in projective spaces and theta functions. - H. CLEMENS, J. KOLLÀR, S. MORI - Higher dimensional complex geometry. - A. GOLDMAN - Mouvement brownien à plusieurs paramètres : mesure de HausdorE des trajectoires. - Orbites unipotentes et représentations. 1. Groupes finis et algèbres de Hecke.

1989

:

169-170 - D.G. BABBITT, V.S. VARADARAJAN - Local moduli for meromorphic differential equations. 171-172 - Orbites unipotentes et représentations. II. Groupes p-adiques e t réels. 173-174 - Orbites unipotentes et représentations. III. Orbites e t Faisceaux pervers. - P. de la HARPE, A. VALETTE - La propriété (T) de Kazhdan pour les groupes localement 175 compacts (avec un appendice de M. Burger). - Y. FÉLM - La dichotomie elliptique-hyperbolique en homotopie rationnelle. 176 177-178 - SÉMINAIRE BOURBAKI, volume 1988189, exposés 700-714. 179-180 - Théorie de Hodge (Lurniny, juin 1987).

1990

:

181-182 - Représentations linéaires des groupes finis (Luminy, mai 1988). - Séminaire sur les Pinceaux de courbes elliptiques (à la recherche de .Morde11 effectif*) 183 L. SZPIRO. 184-185 - M. MARTIN-DESCHAMPS, D. PERRIN - Sur la classification des courbes gauches. 186 - P. G. GOERSS - On the André-Quillen cohomology of commutative F,-algebras. 187-188 - W. PARRY, M. POLLICOTT - Zeta functions and the periodic orbit structure of hyperbolic dynamics. 189-190 -SÉMINAIRE BOURBAKI, volume 1989190, exposés 715-729. 191 - THÉORIE DE L'HOMOTOPIE, (Luminy 1988), H.R. MILLER. J.-M. LEMAIRE, L. SCHWARTZ, éditeurs. 192 -Algorithmique, Topologie et Géométrie Algébriques, (Sevilla 1987, Toulouse 1988), C. HAYAT - LEGRAND, F. SERGERAERT, éditeurs.

1991

:

193

-G. DAVID, S. SEMMES - Singular Integrals and Rectifiable Sets in Rn.

Au-delà des graphes lipschitziens. 194-195 -G. MALTSINIOTIS - Privilège numérique uniforme. 196-197 -Courbes modulaires e t courbes de Shimura. 198-199-200 -Journées arithmétiques de Luminy (1989). 201-202-203 - SÉMINAIRE BOURBAKI, volume 1990191, exposés 730-744. 204 - P . LE CALVEZ - Propriétés dynamiques des difféomorphismes de l'anneau et du tore.

1992

:

*205 ****206 *207 *208 **209 **210

- J.-M.

BISMUT, W. ZHANG - An extension of a theorem by Cheeger and Muller (with a n appendix by F. LAUDENBACH). - SÉMINAIRE BOURBAKI, volume 1991192, exposés 745-759. -Méthodes semi-classiques, volume 1, École d'été (Nantes, juin 1991). -A. YEKUTIELI - An explicit construction of the Grothendieck residue complex. -Journées arithmétiques de Genève (19911,D. Coray, Y.-F.S. Pétermann, éditeurs. -Méthodes semi-classiques, volume 2, Colloque International (Nantes, juin 1991).

J. K O L L ~ - Flips and abundance for algebraic threefolds. A summer seminar a t the University of Utah (Salt Lake City, 1991). M. BROUÉ, G. MALLE, J. MICHEL - Représentations unipotentes génériques e t blocs des groupes réductifs finis (avec un appendice de G. LUSZTIG). R. HARVEY, B. LAWSON. A theory of characteristic currents associated with a singular connedion. J . LE POTIER - Systèmes cohérents et structures de niveau. M. DUFLO, S. KUMAR, M. VERGNE - S u r la cohomologie équivariante des variétés différentiables. SÉMINATRE BOURBAKI, volume 199Z93, exposés 760-774. Colloque d'Analyse complexe et Géométrie (Marseille, janvier 1992). Journées de Géométrie Algébrique d'Orsay (Juillet 1992). H. RUBENTHALER - Les paires duales dans les algèbres de Lie réductives. H.H. ANDERSEN, J.C. JANTZEN, W. SOERGEL - Representations of Quantum Groups at a p-th Root of Unity and of semisimple Groups in Charaderistic p : Independence of p. A. OGUS - F-Crystals, G f i t h s transversality, and the Hodge decomposition. Complex analytic methods in dynamical systems (IMPA, January 1992). Périodes p-adiques (Séminaire de Bures, 1988). P. SCHAPIRA, J.-P. SCHNEIDERS - Index Theorem for Elliptic Pairs. L. BREEN - On the classification of 2-gerbes and 2-stacks. K-Theory (Strasbourg, 1992). SÉMINAIRE BOURBAKI, volume 1993194, exposés 775-789. Columbia University Number Theory Seminar (New York, 1992). B. PERRIN-RIOU - Fondions L p-adiques des représentations p-adiques J.-Y. CHEMIN - Fluides parfaits incompressibles. J.-C. YOCCOZ - Petits diviseurs en dimension 1. Recent advances in operator aigebras (Orléans, 1992). 1. KRIZ, J.P. MAY - Operads, Algebras, Modules, and Motives. A. GENESTIER - Espaces symétriques de Drinfeld. J.-P. OTAL - Le théorème d'hyperbolisation pour les variétés fibrées de dimension 3. Hommage à P.A. MEYER et J. NEVEU SÉMINAIRE BOURBAKI, volume 199U95, exposés 790-804. A. BROISE, F. DAL'BO et M. PEIGNÉ : Études spectraies d'opérateurs de M e r t et applications. J.-L. VERDIER - Des catégories dérivées des catégories abéliennes. A. SA B ~ X ' I T O ,R. B. MELROSE, M. ZWORSKI - Semilinear diffraction of conormal waves. SÉMINAIRE BOURBAKI, volume 1995196, exposés 805-819. N. BURQ - Pôles de diffusion engendrés par un coin. L. LAFFORGUE - Chtoucas de Drinfeld et conjecture de Ramanujan-Petersson en préparation :

J.-M. BISMUT - Holomorphic families of immersions and higher analytic torsion forms. P. COLMEZ - Intégration sur les variétés p-adiques.

OPERATEURS PSEUDO-DIFFERENTIELS ET THÉORÈME DE NASH-MOSER Serge ALlNHAC Patrick GÉRARD Collection "Savoirs actuels" introduits il y a vingt-cinq ans, les opérateurs pseudo-différentiels sont devenus un outil de base dans les domaines des équations aux dérivées partielles et de l'analyse sur les variétés. Ils permettent de porter un regard neuf sur la puissante méthode de perturbation due à Nash et Moser, qui, de la géométrie aux mathématiques appliquées, reste ou cœur de nombreuses études. (et ouvrage présente ces deux importontes théories en examinont comment elles sont liées l'une à l'autre. S'appuyant sur de nombreux exemples et exercices, les auteurs proposent des démonstrotions simples et complètes. Sont successivement abordés, l'analyse microlocale, la théorie de Littlewood-Paley, les inégalités d'énergie pour les équations hyperboliques et les théorèmes de fonctions implicites. Issu d'un cours professé à I'Ecole Normale Supérieure dans le cadre du magistère de mathématiques, ce livre s'adresse aux étudiants de troisième cycle de mathémtiques désireux d'acquérir une formation de base en analyse. IIpeut également être utilisé par des chercheurs souhaitant s'initier rapidement à l'un ou l'autre des suiets traités.

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16 x 23 190 pages Coédition Interéditions

Réédition du Séminaire N. Bourbaki Années 1948 à 1968 Exposés 1 à 346 10 volumes, 4400 pages

EX

SÉMINAIREB O U R B A K I SOC

SOC

Réédités et rendus plus lisibles, les exposés 1 à 346 du séniinaire couvrent de façon assez complète l'ensemble des progrks réalisés en a na thématiques pures pendant les trks fécondes années 1948 à 1968 : naissance de la géométrie algébrique moderne, développement de la théorie des groupes de Lie et de leurs espaces homogènes, des espaces fibrés, des méthodes cohomologiq~~es, de l'analyse harmonique, naissance de la théorie moderne des formes automorphes, etc. Ils restent à tout jamais un ouvrage de référence pour cette période de l'histoire mathématique. Pour tout renseignement, contacter

Société Mathématique de France Maison dc In SMF, avenue de Lurniny, BP 67 13774 Marscille ceclex 09, France. Fax : 04 9 1 4 1 17 5 1 rtiail : [email protected].

Ce livre a pour objet principal la conjecture de RamanujanPetersson sur les corps de fonctions. On démontre celle-ci pour les représentations automorphes cuspidales de GLr quand r est impair, et on obtient u n résultat partiel quand r est pair. On précise également l'emplacement des zéros des fonctions L de Rankin-Selberg de paires. La démonstration se fait par l'étude des champs classifiant les chtoucas de Drinfeld. Elle combine en particulier le théorème des points fixes de Grothendieck-Lefschetz, le théorème de pureté de Deligne et une version sur les corps de fonctions de la formule des traces d'Arthur-Selberg.

ASTÉRISQUE243**, volume double Directeur de la publication :3.5. RISLER

Achevé d'imprimer sur les presses de l'Imprimerie LOUIS-JEAN B.P. 87 05003 GAP cedex Dépôt légal : 514 Novembre 1997 ISSN 0303-1179 Editeur : C.P.P.P. 53621 - Imprimé en France