calcul différentiel L3

Université Sultan Moulay Slimane Faculté des Sciences et Techniques de Beni Mellal

Calcul différentiel dans Rn

Abdesselam BOUARICH

2

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Table des matières

1

Topologie de l’espace Rm

1

1.1

Espaces vectoriels normés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.1

Structures normées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.2

Structures métriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1.3

Limite d’une suite de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.4

Espace métrique complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Introduction à la topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.1

Partie ouverte, partie fermée et voisinage d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.2.2

Intérieur et adhérence d’une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.2

1.2.3 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

Limite et continuié

19

2.1

Limite d’applications de plusieurs variables réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.1

Limites d’une fonction réelle de plusieurs variables réelles . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.1.2

Opérations algébriques sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.1.3

Mise en garde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.1.4

Deux généralisations de la notion de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Applications de plusieurs variables réelles continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.2.1

Définition et propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.2.2

Caractérisations topologiques des applications continues . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.2

3

Parties compactes dans

Rm

Différentiabilité

32

3.1

Fonctions différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.1.1

Dérivées partielles directionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.1.2

Différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

3.1.3

Différentielle totale d’une fonction réelle de plusieurs variables . . . . . . . . . . . . .

41

3.1.4

Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.1.5

Équations aux dérivées partielles d’ordre un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Dérivées partielles d’ordre supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Fonctions de classe C 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.2

3.2.1 3.2.2

Dérivées partielles secondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.3

3.4

3.5

4

3.2.3

Dérivées partielles successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.2.4

Équations aux dérivées partielles d’ordre deux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

Formule de Taylor et ses applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.3.1

Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

3.3.2

Les extremums libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.3.3

Théorème des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

Applications vectorielles différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.4.1

Différentiabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.4.2

Théorème de l’inverse locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

3.4.3

Théorème des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

3.4.4

Les extremums relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

Système de coordonnées locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

3.5.1

Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

3.5.2

Coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

3.5.3

Coordonnées cylindriques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

3.5.4

Coordonnées sphériques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

Formes différentielles, champs de vecteurs et intégrales curvilignes

67

4.1

Formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

4.1.1

Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

4.1.2

Formes différentielles exactes et formes différentielles fermées . . . . . . . . . . . . . .

69

4.1.3

Facteur intégrant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

4.1.4

Équations différentielles totale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

4.1.5

Changement de variables dans une forme différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

Intégrale curviligne d’une forme différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

4.2.1

Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

4.2.2

Aire d’une surface limitée par une courbe plane fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

4.3.1

Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

81

Intégrale curviligne d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

4.4.1

Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

4.4.2

Classification des opérateurs différentiels usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

Système de coordonnées curvilignes orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

4.5.1

Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

4.5.2

Expression du grad, Div et Rot en coordonnées curvilignes . . . . . . . . . . . . . . .

89

4.2

4.3 4.4

4.5

C HAPITRE P REMIER

T OPOLOGIE

DE L’ ESPACE

Rm

Objectifs : L’étude de ce chapitre doit vous permettre de : 1. Se familiariser avec la notion de structures normées et métriques de l’espace vectoriel réel Rm de dimesnion m > 1. 2. Savoir que la limite d’une suite de vecteurs de Rm ne dépend pas de la norme choisie. 3. S’initier aux éléménts de la topologie.

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

2

Topologie de l’espace Rm

1.1 Espaces vectoriels normés Dans cette section, nous allons munir un espace vectoriel réel E de dimension quelconque par une structure supplémentaire dite structure normée. Comme on va le voir dans la suite, c’est grâce à la notion de normes que nous serons en mesure de développer une analyse moderne (i.e. limite, continuité, différentiabilité ...) pour les applications vectorielles qui dépendent de plusieurs variables réelles.

1.1.1 Structures normées Définition 1. Soit E un espace vectoriel réel. Une application N : E → R+ qui vérifie les axiomes suivantes s’appelle norme : 1. Séparation : N(x) = 0 =⇒ x = 0 ∈ E ; 2. Homogénéité : ∀xE, ∀λ ∈ R, N(λ · x) =| λ | N(x) ; 3. Inégalité triangulaire : ∀x, y ∈ E, N(x + y) 6 N(x) + N(y). Un espace vectoriel E qui est muni d’une norme N s’appelle espace vectoriel normé et se note (E, N). Exemple 1. 1) La valeur absolue | · |: R → R+ réalise une norme sur l’espace vectoriel réel E = R.

2) Vérifions que l’application N1 : R3 → R+ définit par l’expression,

N1 (x, y, z) =| x | + | y | + | z | est une norme sur l’espace R3 . Notons que les propriétés de séparation et d’homogénéité sont évidentes pour l’application N1 . Pour vérifier l’inégalité triangulaire on procède comme suit. N1 (x + a, y + b, z + c) N1 ((x, y, z) + (a, b, c)) = = |x+a|+|y+b|+|z+c| 6 (| x | + | a |) + (| b | + | y |) + (| c | + | z |) 6 N1 (x, y, z) + N1 (a, b, c) Exercice 1. Démontrer que l’application N∞ : R3 → R+ définit par l’expression, N∞ (x, y, z) = max(| x |, | y |, | z |) est une norme sur R3 . Exercice 2. Pour tout vecteur v = (x, y, z) ∈ R3 on pose, N2 (v) =

p

x2 + y 2 + z 2 .

1) Démontrer que pour tout couple de vecteurs u = (a, b, c) et v = (x, y, z) éléments de R3 on a l’inégalité de Cauchy-Shwartz, | ax + by + cz |6 N2 (u)N2 (v). Indication : On pourra utiliser le fait que pour tout réel t le trinôme,

N2 (tu − v)2 = t2 N2 (u)2 − 2t(ax + by + cz) + N2 (v)2 > 0,

∀u, v ∈ R3 .

2) En déduire que l’application N2 : R3 → R+ vérifie l’inégalité triangulaire, N2 (u + v) 6 N2 (u) + N2 (v), ∀u, v ∈ R3 3) Montrer alors que l’application N2 : R3 → R+ définit une norme. Exercice 3. Démontrer que les applications N1 , N2 , N∞ : Rn → R+ définies par les expressions suivantes, A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Espaces vectoriels normés

3

– N1 (x1 , · · · , xn ) =| x1 | + · · · + | xn | ; p – N2 (x1 , · · · , xn ) = x21 + · · · + x2n ; – N∞ (x1 , · · · , xn ) = max(| x1 |, · · · , | xn |), définissent trois normes sur l’espace vectoriel réel Rn . Exercice 4. Soit N : E → R+ une norme. Montrer que pour tout couple de vecteurs x et y ∈ E on a, | N(x) − N(y) |6 N(x − y). En désuire que si N(a − b) 6 N(b)/2 alors N(a) > N(b)/2. Exercice 5. Soient T : E → F une application linéaire injective et N : F → R+ une norme. Montrer que la fonction N ◦ T : E → R+ est une norme. Exercice 6. Soient N et N′ : Rm → R+ deux normes. Vérifier que la somme N + N′ : Rm → R+ est une norme. Définition 2. Soit E un espace vectoriel réel. On dira que deux normes N, N′ : E → R+ sont équivalentes lorsqu’il existe deux réels α > 0 et β > 0 tels que, αN(x) 6 N′ (x) 6 βN(x),

∀x ∈ E.

(1.1)

Exemple 2. Sur l’espace vectoriel R3 montrons que les deux normes N1 (u) =| x | + | y | + | z | et N∞ (u) = max(| x |, | y |, | z |) sont équivalentes. Notons que par définition du max on a l’inégalité N∞ (u) 6 N1 (u). D’autre part, puisque on a les trois inégalités : | x |6 N∞ (u), | y |6 N∞ (u) et | z |6 N∞ (u) on déduit donc que N1 (u) 6 3N∞ (u). D’où la double inégalité, 1 N1 (u) 6 N∞ (u) 6 N1 (u), 3 qui montre que la norme N1 est équivalente à la norme N∞ . Exercice 7. Pour tout vecteur u ∈ R3 établir les inégalités suivantes : 1 1. √ N2 (u) 6 N∞ (u) 6 N2 (u) ; 3 √ 1 2. √ N1 (u) 6 N2 (u) 6 3N1 (u). 3 En déduire que les trois normes N1 , N2 et N∞ sont équivalentes deux à deux dans l’espace vectoriel R3 . Exercice 8. Soit ~a = (a1 , a2 , · · · , an ) ∈ Rn un vecteur non nul. Pour tout vecteur x = (x1 , x2 · · · , xn ) ∈ Rn on pose, Na (x) =| a1 || x1 | + | a2 || x2 | + · · · + | an || xn |. 1) Démontrer que l’application Na : Rn → R+ définit une norme si et seulement si ~a ∈ (R∗ )n . 2) On suppose que ~a ∈ (R∗ )n . Démontrer que la norme Na est équivalente à la norme N1 .

Exercice 9. Soient a < b deux nombres réls fixés. On désigne par C([a, b], R) l’espace vectoriel réel des fonctions continues sur le segment [a, b] à valeur dans R et pout élément f ∈ C([a, b], R) on pose, kf k∞ = sup{| f (t) | /∀t ∈ [a, b]}. Montrer que l’application k · k∞ : C([a, b], R) → R+ est une norme. Le théorème suivant, dont la démonstatration sera développée dans le pagaraphe 1.2.4 ; nous montre que toutes les normes d’un l’espace vectoriel réel de dimension finie E = Rn sont équivalentes deux à deux. A. Bouarich, FST de Beni Mellal

4

Topologie de l’espace Rm

Théorème 1. Toutes les normes d’un espace vectoriel réel de dimension finie sont équivalentes. C’est-à-dire, étant données deux normes arbitraires N et N′ : Rn → R+ on peut trouver deux réels α > 0 et β > 0 tels que pour tout vecteur x ∈ Rn on a, αN(x) 6 N′ (x) 6 βN(x).

Notons que le résultat du théorème n’est pas vrai pour les espaces vectoriels réels de dimension infinie. Le lecteur est vivement invité à traiter l’exercice suivant qui propose un exemple d’espace vectoriel réel de dimension infinie qui possède au moins deux normes non équivalentes. Exercice 10. On désigne par C([0, 1], R) l’espace vectoriel réel des fonctions continues sur le segement [0, 1] et pour toute fonction continue f : [0, 1] → R on pose, kf k1 =

Z

1 0

| f (x) | dx,

kf k2 =

s

Z

1

0

et

| f (x) |2 dx

kf k∞ = sup{| f (x) | /x ∈ [0, 1]}.

1) Montrer que l’application k · k1 : C([0, 1], R) → R+ est une norme.

2) Montrer que pour tout couple de fonctions continues f, g ∈ C([0, 1], R) on a l’inégalité suivante de CauchyShwartz, Z 1 | f (x)g(x) | dx 6 kf k2 kgk2 . 0

Indication : On pourra utiliser le trinôme positif,

ktf −gk2 2

=

t2 kf k2 −2t 2

Z

1 0

| f (x)g(x) | dx+kgk22 > 0, ∀t ∈ R.

3) En déduire que l’application k · k2 : C([0, 1], R) → R+ vérifie l’inégalité triangulaire et qu’elle s’agait d’une norme sur l’espace C([0, 1], R). 4) En utilisant l’inégalité de Cauchy-Shwartz, montrer que pour toute fonction continue f ∈ C([0, 1], R) on a l’inégalité, kf k1 6 kf k2 .

5) Pour tout entier n ∈ N et tout x ∈ [0, 1] on pose fn (x) = xn . En calculant kfn k1 et kfn k2 montrer que les deux normes k · k1 et k · k2 ne sont pas équivalentes. 6) Vérifier que k · k2 6 k · k∞ et en calculant les normes kgn k2 et kgn k∞ déduire que les deux normes k · k2 et k · k∞ ne sont pas équivalentes sur l’espace vectoriel C([0, 1], R). 7) Montrer aussi que les normes k · k1 et k · k∞ ne sont pas équivalentes sur l’espace vectoriel C([0, 1], R).

1.1.2 Structures métriques Définition 3. Soit E un espace vectoriel réel. Une application d : E × E → R+ qui vérifie les trois axiomes suivantes s’appelle distance : 1. Séparation : d(u, v) = 0 =⇒ u = v. 2. Symétrie : d(u, v) = d(v, u), ∀u, v ∈ Rn . 3. Inégalité triangulaire : d(u, v) 6 d(u, w) + d(w, v), ∀u, v, w ∈ Rn . Un espace vectoriel E qui est muni d’une distance d s’appelle espace métrique et se note (E, d). Etant donné un espace vectoriel normé (E, N), il est facile de vérifier que si pour tout couple de vecteurs x et y éléments de E on pose, dN (u, v) = N(u − v), on obtient de cette façon une structure métrique dN : E × E → R+ dite associée à la norme N. A. Bouarich, FST de Beni Mellal

(1.2)

Espaces vectoriels normés

5

Exemple 3. En utilisant (1.2) on conclut que les expressions suivantes définissent des distances sur l’espace vectoriel R3 . 1. d1 ((x, y, z), (a, b, c)) = N1 (x − a, y − b, z − c) =| x − a | + | y − b | + | z − c |. 2. d∞ ((x, y, z), (a, b, c)) = N∞ (x − a, y − b, z − c) = max(| x − a |, | y − b |, | z − c |). p 3. d2 ((x, y, z), (a, b, c)) = N2 (x − a, y − b, z − c) = (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 .

Exercice 11. Montrer que sur la droite réelle R il n’existe aucune norme qui induit la distance d(x, y) =| e−x −e−y |. Exercice 12. Dans cet exercice on se propose de caractériser toutes les distances qui sont induites par une norme. Soient (E, N) un espace vectoriel normé et dN (x, y) = N(x − y) la distance associée à la norme N. 1) Montrer que la distance dN vérifie les deux propriétés suivantes :

1. Invariance par translations : dN (x + z, y + z) = dN (x, y), ∀x, y, z ∈ E ; 2. Homogéniété positive : dN (λx, λy) =| λ | dN (x, y), ∀x ∈ E, ∀λ ∈ R. 2) Montrer que in versement, une distance d : E × E → R+ est induite par une certaine norme de E si et seulement si elle est invariante par translations et positivement homogène. Définition 4. Soient d, d′ : E × E → R+ deux distances. On dira que la distance d est équivalente à la distence d′ s’il existe deux réels α > 0 et β > 0 tels que, αd(u, v) 6 d′ (u, v) 6 βd(u, v),

∀u, v ∈ E.

(1.3)

Exemple 4. 1) Les distances d1 , d2 et d∞ qui sont induites sur l’espace R3 respectivement par les normes N1 , N2 et N∞ . 2) La distance d(x, y) =| e−x − e−y | n’est pas équivalente sur R à la distance d1 (x, y) =| x − y | parce que d est bornée (i.e 0 6 d 6 d 6 2) et d1 ( est non bornée.

Proposition 1. Soient N, N′ : E → R+ deux normes équivalentes. Alors, les distances associées dN (u, v) = N(u−v) et dN′ = N′ (u − v) sont équivalentes dans l’espace vectoriel Rm . En particulier, les distances d1 , d2 et d∞ associées respectivement aux normes N1 , N2 et N∞ sont équivalentes dans l’espace Rn . Démonstration. Exercice. Exercice 13. Soit (E, d) un espace métrique. Pour tout couple de points x et y éléments de l’espace E on pose, d(x, y) d′ (x, y) = . 1 + d(x, y) a) Démontrer que si trois nombres réels a > 0, b > 0 et c > 0 vérifient l’inégalité a 6 b + c alors on a l’inégalité, a b c x 6 + . Indication : On pourra utiliser la fonction croissante, x → . 1+a 1+b 1+c 1+x d(x, y) b) En déduire que l’expression d′ (x, y) = définit une distance sur E. 1 + d(x, y) c) Les distances d et d′ sont-elles équivalentes sur l’espace E ? Exercice 14. Soit (E1 , d1 ), · · · (En , dn ) des espaces métriques. Vérifier que les expressions suivantes 1. D1 ((x1 , · · · xn ); (y1 , · · · , yn )) = d1 (x1 , y1 ) + · · · + dn (xn , yn ) ; 2. D∞ ((x1 , · · · xn ); (y1 , · · · , yn )) = max(d1 (x − 1, y1 ), · · · , dn (xn , yn )) ; p 3. D2 ((x1 , · · · xn ); (y1 , · · · , yn )) = (d1 (x1 , y1 ))2 + · · · + (dn (xn , yn ))2 .

définissent des distances sur le produit cartésien E1 × · · · × En .

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

6

Topologie de l’espace Rm

1.1.3 Limite d’une suite de vecteurs Dans ce paragraphe, on va utiliser les structures métriques pour définir la notion de convergence des suites de vecteurs éléménts d’un espace vectoriel réel E. Rappelons que dans un espace vectoriel réel E ; on appelle suite vectorielle la donnée d’une applications ϕ : N → E. L’image ϕ(n) = vn ∈ E d’un entier n ∈ N s’appelle terme général de la suite vectorielle ϕ. Définition 5. Soient (E, d) un espace métrique et vn ∈ E le terme général d’une suite vectorielle. On dira que la suite de vecteurs vn ∈ E converge vers le vecteur L ∈ E relativement à la distance d si, (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N, n > n0 ) =⇒ d(vn , L) < ε.

(1.4)

Quand, la distance d est assiciée à une norme N : E → R+ (i.e, d(x, y) = N(x − y)) on préfère dire que la suite vn converge vers L ∈ E relativement à la norme N. La proposition suivante est une conséquence immédiate de la définition d’une suite vectorielle convergente ; sa preuve est laissée au lecteur à titre d’exercice. Proposition 2. Soient (E, d) un espace métrique et vn ∈ E une suite de vecteurs. Alors les propositions suivantes sont équivalentes : 1. La suite vn converge relativement à la distance d vers le vecteur L ∈ E ; 2. La suite de nombres réels un = d(vn , L) ∈ R+ tend vers zéro.

Proposition 3. Soit (E, d) un espace métrique. Si une suite de vecteurs vn ∈ E converge vers deux vecteurs L, L′ ∈ E relativement à la distance d alors L = L′ . Démonstration. Remarquons que pour un entier fixé n > 0 si on applique l’inégalité triangulaire à la distance d : E × E → R+ on obtient l’inégalité : 0 6 d(L, L′ ) 6 d(vn , L) + d(vn , L′ ) qui, par passage à la limite sur l’entier n, implique 0 6 d(L, L′ ) 6 0. D’où, L = L′ . Proposition 4. Soient (E, d) un espace métrique et vn ∈ E une suite vectorielle. Si la suite de vecteurs vn ∈ E converge vers le vecteur L ∈ E relativement à la distance d, alors ; vn converge vers le même vecteur L relativement à toutes les autres distances définies sur l’espace E qui sont équivalentes à la distance d. Démonstration. Supposons qu’on a, lim d(vn , L) = 0, et montrons que si d′ : E × E → R+ désigne une n→+∞

autre distance équivalente à la distance d.

Puisque les distances d et d′ sont équivalentes sur l’espace vectoriel E il existe donc deux réels α > 0 et β > 0 tels que pour tous x et y ∈ E on a, αd(x, y) 6 d′ (x, y) 6 βd(x, y). Maintenant, en remplaçant dans cette double inégalité le vecteur x par le vecteur vn et le vecteur y par le vecteur L on aura pour tout entier n ∈ N, αd(vn , L) 6 d′ (vn , L) 6 βd(vn , L). Ainsi, comme on sait que lim d(vn , L) = 0 donc si on fait tendre l’entier naturel n vers l’infini on obtient la double inégalité

n→+∞

0 6 lim d′ (vn , L) 6 0 n→+∞

qui implique que la suite de vecteurs vn converge vers le vecteur L relativement à la distance d′ . A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Espaces vectoriels normés

7

Corollaire 1. Dans un espace vectoriel réel de dimension finie E la convergence d’une suite vecteurs vn vers un vecteur L ∈ E ne dépend pas de la norme choisie sur E. Maintenant, puisque on sait que dans un espace vectoriel réel de dimension finie E ≃ Rm la convergence d’une suite de vecteurs vn ∈ E ne dépend pas de la norme choisie dans E, dans le reste de chapitre ; on désigera par

(1.5)

lim vn ∈ E

n→+∞

l’unique vecteur vers lequel la suite vn converge relativement à toutes les normes de l’espace vectoriel E et on l’appelle limite de vn . (i)

Ci-dessous étant donnée une suite vectorielle vn ∈ Rm ; on désignera par vn ∈ R la ième composante (1) du terme général vn ∈ Rm . Notons qu’inversement, la donnée de m suites de nombres réelles {vn /n ∈ (2) (m) (1) (m) N}, {vn /n ∈ N}, · · · , {vn /n ∈ N} permet de construire une suite vectorielle en posant vn = (vn , · · · , vn ) ∈ Rm . Théorème 2. Soient L = (l1 , · · · , lm ) ∈ Rm un vecteur et vn ∈ Rm une suite vectorielle. Alors, les propositions suivantes sont équivalentes : (1)

(m)

1. La suite de vecteurs vn = (vn , · · · , vn ) converge vers le vecteur L ∈ Rm . (i) 2. La ième composante vn du terme général vn converge dans R vers la ième composante li du vecteur L. (1)

(m)

En conséquence, si vn = (vn , · · · , vn ) ∈ Rm est le terme général d’une suite vectorielle convergente alors lim vn = lim (vn(1) , · · · , vn(m) ) = ( lim vn(1) , · · · , lim vn(m) ).

n→+∞

n→+∞

n→+∞

(1.6)

n→+∞

Démonstration. Puisqu’on sait que la limite d’une suite vectorielle vn ∈ Rm ne dépend pas de la norme choisie il suffit donc qu’on donne une démonstration du théorèm relativement à la norme, N∞ (x1 , · · · , xm ) = max(| x1 |, · · · , | xm |),

x = (x1 , · · · , xm ) ∈ Rm .

Démontrons que 1) =⇒ 2) est vraie. Notons que d’après l’expression de la norme N∞ pour tous entiers n ∈ N et 1 6 i 6 m on a une inégalité de la forme, | vn(i) − li |6 max(| vn(1) − l1 |, · · · , | vn(m) − lm |) = N∞ (vn − L), qui implique par passage à la limite sur l’entier n, 0 6 lim v (i) n→+∞ n

= li pour tout 1 6 i 6 m.

lim

n→+∞

| vn(i) − li |6

lim N∞ (vn − L) = 0. D’où,

n→+∞

(i)

Démontrons que 2) =⇒ 1) est vraie. Supposons que pour tout 1 6 i 6 m la composante vn de la suite de vecteurs vn converge vers la composante li du vecteur L = (l1 , · · · , lm ).

Sous-cette hypothèse, pour tout réel ε > 0 on peut trouver un entier n0 > 0 qui permet d’écrire simultanément les m inégalités suivantes ∀n ∈ N, n > n0

=⇒

| vn(1) − l1 |< ε, · · · , | vn(m) − lm |< ε.

Ainsi, si on passe au max sur les indices 1 6 i 6 m on déduit que pour tout entier n > n0 , max(| vn(1) − l1 |, · · · , | vn(m) − lm |) = N∞ (vn − L) < ε. Par conséquent, la suite de vecteurs vn ∈ Rm converge vers le vecteur L ∈ Rm relativement à la norme N∞ . D’où, lim vn = L. n→+∞

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

8

Topologie de l’espace Rm

cos(n) ) ∈ R2 converge dans l’espace R2 vers le vecteur L = (0, 0) n cos(n) parce que on sait que lim ne−n = lim = 0. n→+∞ n→+∞ n Log(n) n2 + 1 sin(n) 2) La suite de vecteurs vn = ( , 2 , ) ∈ R3 converge vers le vecteur L = (0, 1, 0) ∈ R3 . n n +3 n (−1)n −n2 2n + 1 3) Dans l’espace vectoriel R4 , la suite de vecteurs wn = ( ,e , 1 + (−1)n , ) diverge parce que sa n n−5 troisième composante 1 + (−1)n n’a pas de limite dans R. Exemple 5. 1) La suite de vecteurs un = (ne−n ,

Exercice 15. Soient un = (xn , yn , zn ) et vn = (an , bn , cn ) deux suites de vecteurs éléments de R3 qu’on suppose convergentes. 1) Montrer que la suite de vecteurs un + vn converge. 2) Montrer que les suites numériques dn = N2 (un ) et pn = un · vn = xn an + yn bn + zn cn sont convergentes.

3) Montrer que si la suite un tend vers le vecteur nul (0, 0, 0) ∈ R3 et que la suite vn est bornée dans l’espace R3 alors la suite des produits scalaires pn = un · vn tend vers zéro.

Exercice 16. Soit N : E → R+ une norme quelconque.

1) Montrer que pour tout couple de vecteurs x et y ∈ E on a, | N(x) − N(y) |6 N(x − y).

2) En déduire que si une suite de vecteurs xn ∈ E converge vers un vecteur L ∈ E dans l’espace vectoriel normé (E, N) alors on a lim N(xn ) = N( lim xn ) = N(L). n→+∞

n→+∞

3) Soient xn ∈ E et yn ∈ E deux suites vectorielles. Montrer que si dans l’espace vectoriel normé (E, N) on a lim xn = a ∈ E et lim N(xn − yn ) = 0 alors lim yn = a.

n→+∞

n→+∞

n→+∞

1.1.4 Espace métrique complet Définition 6. Soit (E, d) un espace métrique. On dira que un ∈ E est une suite de Cauchy si, (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀p, q ∈ N, q > p > n0 )

=⇒

d(vq , vp ) < ε.

(1.7)

Proposition 5. Dans un espace métrique (E, d) toute suite de vecteurs convergente est de Cauchy. Démonstration. En effet, si un ∈ E désigne le terme général d’une suite de vecteurs convergente de limite L ∈ E alors pour un réel ε > 0 donné on peut trouver un entier n0 ∈ N tel que pour tout n ∈ N qui ε vérifie n > n0 on aura, d(un , L) < . Avec ces notations et grâce à l’inégalité triangulaire, pour tout couple 2 d’entiers q et p tels que q > p > n0 on peut écrire, d(uq , up ) 6 d(uq , L) + d(up , L) < ε. Donc, la suite convergente un est de Cauchy dans l’espace normé (E, d). Définition 7. On dira qu’un espace vectoriel métrique (E, d) est complet si toutes ses suites de Cauchy un ∈ E convergent relativement à la distance d. Et, quand la distance d est induite par une norme N : E → R+ on dira que (E, N) est un espace de Banach au lieu de complet. Proposition 6. Soit (E, d) un espace vectoriel normé complet. Si d′ : E × E → R+ est une distance équivalente à la distance d l’espace vectoriel métrqiue (E, d′ ) est complet. Démonstration. Exercice. Théorème 3 (Complétude de l’espace vectoriel Rm ). Pour toute norme N : Rm → R+ l’espace vectoriel normé (Rm , N) est un espace de Banach. A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Espaces vectoriels normés

9

Démonstration. Etape 1 : Montrons que l’espace normé (R, | · |) est complet.

Soit un une suite de Cauchy dans l’espace normé (R, | · |). Puisque la suite de nombres réels un est bornée cela permet de construire deux suites bornées en posant : an = inf{up /∀p ∈ N, p > n}

et

bn = sup{up /∀p ∈ N, p > n}.

A titre d’exercice le lecteur vérifie facilement que les affirmations suivantes sont vraies : 1. an 6 un 6 bn , ∀n ∈ N.

2. La suite an est croissante, et donc ; converge dans R. 3. La suite bn est décroissante, et donc ; converge dans R. Pour conclure que la suite de nombres réels un converge il suffit qu’on démontre que les deux suites monotones an et bn convergent vers la même limite. C’est-à-dire il suffit qu’on montre que lim (bn − an ) = 0. n→+∞

En effet, puisque la suite numérique un est de Cauchy dans l’espace (R, | · |) donc pour tout réel fixé ε > 0 il existe un entier n0 > 0 tel que pour tout couple d’entiers q > p > n0 on a, −ε < uq − up < ε. Ainsi, si on passe au sup sur les entiers q > n > n0 tout en fixant l’entier p on obtient : −ε < bn − up < ε. De même, si on passe à l’inf sur les entiers p > n > n0 on obtient l’inégalité 0 6 bn − an < ε qui implique que la suite numérique bn − an tend vers zéro. Etape 2 : Montrons que pour tout entier m > 1 lespace vectoriel normé (Rm , N) est complet.

Notons que puisque dans l’espace vectoriel Rm toutes les normes sont équivalentes il suffit qu’on démontre cette affirmation relativement à la norme N∞ : Rm → R+ dont l’expression est donnée par N∞ (x1 , · · · , xm ) = max(| x1 |, · · · , | xm |).

Soit un = (xn1 , · · · , xnm ) une suite vectorielle de Cauchy dans l’espace normé (Rm , N∞ ). Observons que sous cette hypothèse si on se donne un réel ε > 0 on pourra trouver un n0 ∈ N tel que pour tout couple d’entiers q > p > n0 on aura, N∞ (uq − up ) < ε =⇒| xpi − xqi |< ε, ∀1 6 i 6 m. Notons que les m inégalités permettent de déduire que toutes les composantes xni de la suite de vecteurs un ∈ Rm sont des suites de Cauchy dans l’espace normé (R, | · |). Ainsi, comme d’après l’étape 1 on sait que l’espace normé (R, | · |) est complet ; on conclut finalement que la suite de vecteurs un converge dans l’espace normé (Rm , N∞ ) et que (Rm , N∞ ) est complet. Par conséquent, pour toute norme N : Rm → R+ l’espace vectoriel normé (Rm , N) est complet. Exercice 17. Démontrer que l’espace vectoriel réel des fonctions continues sur un segment, C([a, b], R), est complet relativement à la norme infinie, kf k∞ = sup{| f | /a 6 t 6 b}. Exercice 18. Le but de cet exercice est de montrer que l’espaces vectoriel réel C([−1, 1], R) des fonctions continues sur Z 1 le segement [−1, 1] n’est pas complet pour la norme, kf k2 = | f (x) |2 dx, étudiée dans l’exercice 10. −1

Pour tout entier n > 0 on définit une fonction fn : [−1, 1] → R par les expressions,   0, si x ∈ [−1, 0]    1 nx, si x ∈]0, ] fn (x) = n   1   1, si x ∈] , 1]. n 1) Tracer le graphe de la fonction fn .

2) Montrer que la fonction fn est continue sur le segement [−1, 1]. 3) Montrer que la suite de fonctions fn est de Cauchy dans l’espace vectoriel normé (C([−1, 1], R), k · k2 ). A. Bouarich, FST de Beni Mellal

10

Topologie de l’espace Rm

4) Montrer que la suite fn n’a pas de limite dans l’espace vectoriel normé (C([−1, 1], R), k · k2 ). En déduire que l’espace (C([−1, 1], R), k · k2 ) n’est pas complet. Exercice 19. Rappelons que d’après l’exercice 13, si d : E × E → R+ est une distance alors l’expression d′ (x, y) = d(x, y) définit une distance sur E. 1 + d(x, y) 1) Démontrer que d et d′ ont les mêmes suites de Cauchy. 2) Si l’espace métrique (E, d) est complet l’espace métrique (E, d′ ) est-il lui même complet ? Exercice 20. Soit (E1 , d1 ), · · · (En , dn ) des espaces métriques. On munit l’espace produit E1 × · · · × En par la distance définie dans l’exercice 14 par l’expression, D1 ((x1 , · · · xn ); (y1 , · · · , yn )) = d1 (x1 , y1 ) + · · · + dn (xn , yn ). Démontrer que les espaces métriques (E1 , d1 ), · · · , (En , dn ) sont complets si et seulement si l’espace métrique produit (E1 × · · · × En , D1 ) est complet.

1.2 Introduction à la topologie 1.2.1 Partie ouverte, partie fermée et voisinage d’un point Dans ce paragraphe, étant donnée un espace métrqiue (E, d) ; nous allons lui associer des sous-parties qui jouerons le même rôle que les intervalles de la droite réelle R pour énoncer la définition de la notion des limite, continuité et dérivabilité des applications plusieurs variables réelles. Définition 8. Soit (E, d) un espace métrique, r ∈ R∗+ et u0 ∈ E un point fixé. 1. Le sous-ensemble B(u0 , r) = {u ∈ E/d(u, u0 ) < r} s’appelle boule ouverte dans E centrée au point u0 et de rayon r > 0. 2. Le sous-ensemble B(u0 , r) = {u ∈ E/d(u, u0 ) 6 r} s’appelle boule fermée dans E centrée au point u0 et de rayon r > 0. 3. Le sous-ensemble S(u0 , r) = {u ∈ E/d(u, u0 ) = r} s’appelle sphère de E centrée au point u0 et de rayon r > 0. Sur la figure 1.1 nous avons représenté la forme géométrique des boules fermées des trois distances strandards d2 , d∞ et d1 définies dans le plan réel R2 . Boule fermée de d2

Boule fermée de d1

Définition 9. Soit (E, d) un espace métrique. A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Boule fermée de d∞

Introduction à la topologie

11

1. On dira qu’une partie F ⊆ E est fermée dans l’espace métrique (E, d) si toute suite vectorielle convergente vn ∈ F converge vers un vecteur L ∈ F.

2. On dira qu’une partie U ⊆ E est ouverte dans l’espace métrique (E, d) si son complémentaire E − U = {x ∈ E/x 6∈ U} est fermé dans l’espace métrique (E, d). 3. Soit A ⊂ E une partie non vide et x0 ∈ A. S’il existe un réel ε > 0 tel que la boule ouverte B(x0 , ε) ⊆ A on dira alors que A est un voisinage du point x0 ∈ A.

Sur la figure ci-dessous nous avons représenté une partie de l’espace mét’rique (R2 , d2 ) qui est un voisinage du point x0 mais qui n’est pas un voisinage du point y0 .

x0 b

b

y0

Convention : Dans la suite de ce chapitre, une partie vide F = ∅ de l’espace métrique (E, d) sera considérée à la fois ouverte et fermée. Ainsi, en conséquence de cette convention on déduit que l’espace E lui même est une partie qui est à la fois ouverte et fermée dans l’espace métrique (E, d). Proposition 7. Soient d et d′ : E × E → R+ deux distances équivalentes. Alors les espaces métriques (E, d) et (E, d′ ) ont les mêmes fermés et les mêmes ouverts. Démonstration. Exercice. Exemple 6. 1) Un singleton {P} est un fermé dans l’espace métrique (R3 , d2 ). En fait, plus généralement ; toute partie finie de l’espace métrique (R3 , d2 ) est fermée. 2) De l’exemple 1) on conclut que le complémentaire d’un singleton ou d’une partie finie de R3 une partie ouverte dans l’espace métrique (R3 , d2 ). 3) Soit f : [a, b] → R une fonction continue. Montrons que le graphe de la fonction f , Gr(f ) = {(x, f (x)) ∈ R2 /x ∈ [a, b]}, est une partie fermée dans l’espace métrique (R2 , d2 ). En effet, si on considère une suite de vecteurs un = (xn , yn ) ∈ Gr(f ) qui converge vers le vecteur L = (l1 , l2 ) on en déduit que les deux suites réelles xn et yn convergent respectivement vers l1 et l2 . Ainsi, puisque on sait que yn = f (xn ) et que f est continue on en déduit par passage à la limite que, lim yn = lim f (xn ) = f ( lim xn )

n→+∞

n→+∞

n→+∞

=⇒

l2 = f (l1 )

D’où, (l1 , l2 ) = (l1 , f (l1 )) ∈ Gr(f ).

4) Montrons que dans l’espace métrique (R3 , d2 ) la boule fermée B(O, r) centrée à l’origine O = (0, 0, 0) et de rayon r est fermée. En effet, si on considère une suite de vecteurs vn = (xn , yn , zn ) ∈ B(O, r) qui converge vers le vecteur L = (l1 , l2 , l3 ) ∈ R3 on obtient par passage à la limite dans l’inégalité suivante, (xn )2 + (yn )2 + (zn )2 6 r 2

=⇒

(l1 )2 + (l2 )2 + (l3 )2 6 r 2

=⇒

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

L = (l1 , l2 , l3 ) ∈ B(O, r).

12

Topologie de l’espace Rm

5) Montrons que la boule ouverte B(x0 , r) centrée en x0 ∈ R3 et de rayon r > 0 est ouverte dans l’espace métrique (R3 , d2 ). Pour prouver cette affirmation nous allons démontrer que son complémentaire, X = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 + y 2 + z 2 > r 2 }, est fermé dans l’espace métrique (R3 , d2 ). En effet, si (xn , yn , zn ) ∈ X désigne une suite de vecteurs qui converge vers un vecteur L = (x, y, z) on aura donc,  2 xn + yn2 + zn2 > r 2      lim xn = x  n→+∞

     

lim yn

=

y

lim zn

=

z

n→+∞

n→+∞

=⇒

x2 + y 2 + z 2 > r 2

=⇒

(x, y, z) ∈ X.

6) Soient (E, d) un espace métrique et a ∈ E un vecteur fexé. Montrons que pour tout réel r > 0 la boule ouverte B(a, r) ⊂ E de l’espace métrique (E, d) est voisinage de tout point x ∈ B(a, r).

b

x b

a

En effet, si on considère la boule de ouverte centrée au point x et de rayon ε = parce que pour tout point y ∈ B(x, ε) on a :

d(a, y) 6 d(a, x) + d(x, y) < d(a, x) + ε = d(a, x) +

r − d(a, x) on aura B(x, ε) ⊂ B(a, r) 2

r − d(a, x) r + d(a, x) =
=⇒

y ∈ B(a, r).

7) Montrons que dans l’espace métrique (R, | · |) la partie [0, 1[ est ni ouverte ni fermée. 1 Observons que si on considère la suite xn = 1 − ∈ [0, 1[ qui tend vers 1 6∈ [0, 1[ on en déduit que [0, 1[ n’est pas n 1 fermée. De même, si on considère la suite yn = − ∈ R − [0, 1[ qui tend vers 0 6∈ R − [0, 1[ on en déduit que la n partie R − [0, 1[ n’est pas fermée et donc la partie [0, 1[ n’est pas ouverte. Proposition 8. Soit (E, d) un espace métrique. Pour toute partie non vide A ⊂ E les propositions suivantes sont équivalentes : 1. La partie A est ouverte dans l’espace métrique (E, d). 2. Pour tout a ∈ A il existe un réel ε > 0 tel que, B(a, ε) ⊆ A. 3. A est voisinage de chacun de ses points. A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Introduction à la topologie

13

Démonstration. 1) =⇒ 2) Pour prouver cette implication nous allons supposer que la proposition 1) est vraie tandis que la proposition 2) est fausse. Notons que la négation de la proposition 2) permet de trouver un point a ∈ A tel que pour tout nombre réel ε > 0 la boule ouverte B(a, ε) 6⊂ A. 1 Maintenant, grâce à cette hypothèse, en prenant des nombres réels εn = avec n ∈ N∗ on pourra trouver n 1 une suite de vecteurs dont le terme général vn ∈ B(a, ) et vn 6∈ A. Ainsi, puisque par définition de la n 1 1 boule ouverte B(a, ) on a N(vn − a) < ; il en résulte que la suite de vecteurs vn ∈ E − A converge vers n n a ∈ A. En conséquence de ceci, on conclut que la partie E − A n’est pas fermée et que la partie A n’est pas ouverte dans l’espace métrique (E, d). Mais, celà contredit clairement la proposition 1) qui affirme que la partie A est ouverte. Par conséquent, 1) =⇒ 2) est varie. 2) =⇒ 3) Est évidente (voir la définition du voisinage d’un point). 3) =⇒ 1) Pour démontrer que cette implication est vraie nous allons supposer que la proposition 3) est vraie et que la proposition 1) est fausse. En d’autres termes, nous allons supposer que le complémentaire E − A n’est pas fermé dans l’espace métrique (E, d).

Supposons qu’il existe une suite de vecteurs convergent vn ∈ E − A mais qui converge vers un vecteur a ∈ A. Puisque la partie A est voisinage du vecteur a ∈ A il existe donc un réel ε > 0 tel que B(a, ε) ⊂ A. D’autre part, comme on sait que la suite de vecteurs vn converge vers a ∈ A il existe donc un entier n0 > 0 tel que pour tout entier n > n0 le vecteur vn ∈ E − A vérifie l’inégalité d(vn , a) < ε, et donc ; pour tout entier n > n0 le terme vn ∈ B(a, ε) ⊂ A. Mais ceci contredit le fait que vn ∈ E − A. Par conséquent, 3) =⇒ 1) est varie.

Proposition 9. L’ensemble de toutes les parties ouverts dans esdpace métrique (E, d) vérifie les propriétés suivantes : 1. Si U1 , · · · , Un ⊆ E sont des ouverts dans (E, d) alors leur intersection U1 ∩ · · · ∩ Un est un ouvert de (E, d). [ 2. Si {Ui ⊆ E/i ∈ I} est une famille quelconque de parties ouvertes dans (E, d) alors leur réunion Ui est une i∈I

partie ouverte dans (E, d).

Démonstration. 1) Soient U1 , · · · , Un ⊆ E des ouverts dans l’espace métrique (E, d) et a ∈ U1 ∩ · · · Un .

Puique pour tout 1 6 i 6 n le point a ∈ Ui et Ui est ouvert il existe un réel ri > 0 tel que la boule ouverte B(a, ri ) ⊆ Ui . Ainsi, si on prend le réel r = min(r1 , · · · , rn ) on aura ∀1 6 i 6 n, B(a, r) ⊆ B(a, ri )

=⇒

B(a, r) ⊆ U1 ∩ · · · Un .

Par conséquent, l’intersection U1 ∩ · · · Un est une partie ouverte dans l’espace métrique (E, d). [ 2) Soit {Ui ⊆ E/i ∈ I} une famille quelconque de parties ouvertes dans (E, d) et a ∈ Ui . i∈I

[ Rappelons que par définition de la réunion quelconque la partenance a ∈ Ui signifie qu’il existe un i∈I

indice i0 ∈ I tel que a ∈ Ui0 . Ainsi, puisque Ui0 est un ouvert il existe un réel r > 0 tel que la boule ouverte [ [ B(a, r) ⊆ Ui0 . D’autre part, comme on a Ui0 ⊆ Ui on en déduit qu’on a l’inclusion B(a, r) ⊆ Ui qui i∈I [ implique que la réunion Ui est un ouvert dans l’espace métrique (E, d).

i∈I

i∈I

En utilisant le fait que le complémentaire d’un ouvert est fermé on déduit qu’on a la proposition suivante : Proposition 10. L’ensemble de toutes les parties fermées dans un espace métrique (E, d) vérifie les propriétés suivantes : A. Bouarich, FST de Beni Mellal

14

Topologie de l’espace Rm 1. Si F1 , · · · , Fn ⊆ E sont des fermés dans (E, d) alors leur rénuion U1 ∪ · · · ∪ Un est un fermé de (E, d). \ 2. Si {Fi ⊆ E/i ∈ I} est une famille quelconque de parties fermées dans (E, d) alors leur intérsection Fi est i∈I

une partie fermée dans (E, d).

Notons que l’intersection quelconques de parties ouvertes n’est pas en général une partie ouverte. Pour voir ceci, rappelons que si on munit l’espace R par la distance d(x, y) =| x − y | les intervalles ouverts ]a, b[ a+b b−a et de rayon r = . Ainsi, suite à cette remarque deviennent des boules centrés au milieu x = 2 2 1 1 1 si on considére la famille d’ouverts {In =] − , [= B(0, )/n ∈ N∗ } on obtient une intersection infinie n n n d’ouverts \ \ 1 1 1 B(0, ) = ] − , [= {0} n n n n>1

n>1

qui n’est pas une partie ouverte dans l’espace métrique (R, | · |).

Notons aussi que si dans l’exemple précédent on passe au complémentaire on obtient une famille de fer[ mées {Fn = R − In /n ∈ N∗ } dont la réunion Fn = R∗ n’est pas fermée dans (R, | · |). n>1

Proposition 11. Dans un espace métrique (E, d) l’ensemble de tous les voisinages V(a) d’un point a ∈ E vérifie les propriétés suivantes : 1. Si V1 , · · · , Vn ∈ V(a) sont des voisinages du point a alors leur l’intersection V1 ∩ · · · ∩ Vn ∈ V(a). 2. La réunion quelconque de voisinages du point a est un voisinage du point a.

3. Soit A ⊆ E une partie non vide telle que a ∈ A. S’il existe un voisinage V ∈ V(a) tel que V ⊆ A alors A ∈ V(a). Exercice 21. Démontrer la proposition 11. Exercice 22. Vérifier que les sous-ensembles suivants sont fermés dans l’espace vectoriel normé (Rm , N2 ) où m = 2 ou 3. 1. A = {(x, y) ∈ R2 /xy > 1}, B = {(x, y) ∈ R2 / | x | + | y |6 1}. 2. C = {(x, y, z) ∈ R3 /xy + yz + xz = 1}, D = {(x, y, z) ∈ R2 /

x2 y 2 z 2 + 2 + 2 6 1}. a2 b c

Exercice 23. Vérifier que les parties suivantes sont ouvertes dans l’espace vectoriel normé (Rm , N2 ) où m = 2 ou 3 : E = {(x, y) ∈ R2 /xey + y > 0}, F = {(x, y, z) ∈ R3 /x2 > y 2 + z 2 }, G = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y 2 < n2 où n ∈ N∗ }. Exercice 24. Dans R munit de la distance usuelle d1 (x, y) =| x − y | identifier les boules ouvertes et les boules femées. En déduire que les intervalles ouverts ]a, b[ sont des ouverts et les segaments [a, b] sont des fermées.

1.2.2 Intérieur et adhérence d’une partie Pour finir cette section, nous donnerons la définition suivante qui précise le sens mathématique des mots clefs : intérieur, extérieur, bord, frontière, partie bornée et compacte. Définition 10. Soit A une partie non vide dans l’espace métrique (E, d). 1. On dira que x ∈ A est un point intérieur de la partie A s’il existe un réel ε > 0 tel que B(x, ε) ⊂ A. L’ensemble ◦ de tous les points intérieurs de la partie A se note A. 2. L’intérieur du complémentaire E − A s’appelle extérieur de la partie A.

3. On dira que z ∈ A est sur la frontière de la partie A si pour tout réel ε > 0 on a, B(z, ε) ∩ A 6= ∅ et B(z, ε) ∩ (E − A) 6= ∅. Le sous-ensemble des points éléments de la frontière de A se note ∂A. A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Introduction à la topologie

15

Sur la figure suivante nous avons dessiné une partie A de l’espace métrique (R2 , d2 ) dans laquelle le point x est un point intérieur, le point y est un point extérieur et le point z est un point de frontière.

b

b

x

z

b

y

Exemple 7. 1) Pour l’ellipse plien A = {(x, y) ∈ R2 /2x2 + y 2 6 1} nous allons indiquer le lieu géométrique des points intérieurs, extérieurs et la frontière relativement à la distance euclidiènne d2 . – {(x, y) ∈ R2 /2x2 + y 2 < 1} est le sous-ensemble des points intérieurs à partie A. – {(x, y) ∈ R2 /2x2 + y 2 > 1} est le sous-ensemble des points extérieurs à partie A. – {(x, y) ∈ R2 /2x2 + y 2 = 1} est égal à la frontière de la partie A. ◦ 2) Dans l’espace normé (R, | · |) l’intérieur de la partie A = [a, b[ est égal à A=]a, b[, son extéreiur est égal à ] − ∞, a]∪]b, +∞[ et sa frontière est égale à ∂A = {a, b}.

3) Dans l’espace normé (R, | · |) les sous-ensembles N, Z et Q ont des intérieurs vides, car ; ils ne contiennent pas les boules ouvertes de l’espace normé (R, | · |) qui sont égales aux intervalles de nombres réels de type ]a − r, a + r[= B(a, r). Proposition 12. Dans un espace métrique (E, d) les propositions suivantes sont varies : ◦ 1. Pour toute partie non vide A ⊆ E on a A⊆ A. 2. L’intérieur d’une partie A ⊆ E est ouvert dans l’espace métrique (E, d).

3. L’intérieur d’une partie A ⊆ E est égale au plus grand ouvert de (E, d) contenu dans A. ◦ 4. Une partie A ⊆ E est ouverte si et seulement si son intérieur A= A. ◦ Démonstration. 1) Puisque un point intérieur de A est nécéssairement élément de A il en résulte que A⊆ A. ◦ 2) Pour démontrer que l’intérieur A est une partie ouverte dans (E, d) nous allons démontrer qu’elle est voisinage de chacun de ses points. ◦ Notons d’abord que si a ∈A est un point intérieur il existe un réel r > 0 tel que la boule ouverte B(a, r) ⊆ A. Ensuite, observons que puisque pour tout point x ∈ B(a, r) on a, B(x,

◦ r − d(a, y) ) ⊆ B(a, r) ⊆A⊆ A 2

on en déduit que tous les points x ∈ B(a, r) sont intérieurs à la partie A. Autrement, dit on a l’inclusion ◦ ◦ ◦ ◦ B(a, r) ⊆A qui implique que A est voisinage du point intérieur a ∈A. Donc, A est un ouvert. ◦ ◦ 3) Supposons qu’il existe un ouvert U ⊆ E tel que A⊆ U ⊆ A et montrons que U =A.

Soit a ∈ U. Puisque on sait qu’un ouvert est voisinage de chacun de ses points il existe un réel r > 0 tel que ◦ ◦ ◦ la boule ouverte B(a, r) ⊆ U ⊆ A, et donc ; le point a ∈A. Autrement dit on a U ⊆A. D’où U =A. 4) Est conséquence de 2) et 3).

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

16

Topologie de l’espace Rm

Définition 11. Soit A une partie non vide dans un espace métrique (E, d). On dira que x ∈ E est un point adhèrent à la partie A s’il existe une suite de vecteurs vn ∈ A qui converge dans (E, d) vers le point x. L’ensemble de tous les points point adhérents à la partie A s’appelle adhérence de A et se note A. Exemple 8. 1) Dans l’espace métrique (R, | · |) les adhérences des parties A =]a, b[, B =]a, b] et C = [a, b] sont égales à A = B = C = [a, b]. 2) Dans l’espace métrique (R2 , d2 ) l’adhérence de la partie A = {(x, y) ∈ R2 /1 < x2 + y 2 6 2} est égale à A = {(x, y) ∈ R2 /1 6 x2 + y 2 6 2}. Dans la proposition suivante on donnera une autre caractérisation des point adhérets à une partie non vide d’un espace métrique. Proposition 13. Soit (E, d) un espace métrique et A ⊆ E une partie non vide. Pour tout point a ∈ E les propositions suivantes sont équivcalentes : 1. Le point a ∈ E adhère à la partie A. 2. Pour tout réel ε > 0 on a B(a, ε) ∩ A 6= ∅. Démonstration. 1) =⇒ 2) Supposons que le point a ∈ A et qu’il existe un réel ε > 0 tel que B(a, ε) ∩ A = ∅.

Puisque le point a ∈ E adhère à A (i.e a ∈ A) il existe donc suite de vecteurs vn ∈ E qui converge vers le point a ∈ E relativement à la distance d. Maintenant, si on applique la définition de la convergence à la suite vn et au réel ε > 0 on peut trouver un entier n0 ∈ N tel que pour tout entier n > n0 on a, d(vn , a) < ε

=⇒

vn ∈ B(a, ε), ∀n > n0 .

Mais comme on a supposé B(a, ε) ∩ A = ∅ on en déduit donc que pour tout n > n0 le terme vn 6∈ A ce qui contredit le fait que tous les termes de la suite vn ∈ A. Par conséquent 1) =⇒ 2) est vraie.

2) =⇒ 1) Démontrons que si pour tout réel ε > 0 on a B(a, ε) ∩ A 6= ∅ alors le point a ∈ E adhér à A. 1 En effet, si pour tout entier n > 0 on prend ε = on aura n 1 B(a, ) ∩ A 6= ∅ n

=⇒

1 ∃vn ∈ B(a, ) ∩ A n

=⇒

d(vn , a) <

1 n

et

vn ∈ A.

Ainsi, de la dernière implication on conclut que la suite de vecteurs vn ∈ A converge vers le point a ∈ E, et donc ; a ∈ A. Proposition 14. Dans un espace métrique (E, d) les propositions suivantes sont varies : 1. Pour toute partie non vide A ⊆ E on a A ⊆ A. 2. L’adhérence d’une partie A ⊆ E est fermé dans l’espace métrique (E, d). 3. L’adhérence d’une partie A ⊆ E est égale au plus petit fermé de (E, d) qui contient A. 4. Une partie A ⊆ E est fermée si et seulement si son adhérence A = A. Démonstration. 1) Noter que si pour a ∈ A on considère la suite constante vn = a ∈ A on obtient une suite d’éléments de A qui converge vers a ∈ A. Donc, on a A ⊆ A. 2) D’après, la proposition précédente si un point a 6∈ A cela implique qu’il existe un réel ε > 0 tel que B(a, ε) ∩ A = ∅

⇐⇒

B(a, ε) ⊆ E − A

⇐⇒

◦ z }| { E − A =E − A .

◦ z }| { Ainsi, comme on sait que l’intérieur E − A est ouvert on en déduit que l’adhérence A est fermé. A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Introduction à la topologie

17

3) Supposons que la partie F ⊆ E est un fermée tel que A ⊆ F ⊆ A et montrons qu’on a F = A.

En effet, puisque la partie F est fermée il en résulte que pour toute suite convergente vn ∈ A ⊆ F converge dans F, et donc ; A ⊆ F. D’où F = A.

4) Est conséquence de 3) et 4).

Exercice 25. Dans l’espace métrique (R2 , d2 ) déterminer l’intérieur et l’adhérence des sous-ensembles suivants, A1 = {(x, y) ∈ R2 /1 < x2 +y 2 < 2}, A2 = {(x, y) ∈ R2 /x+y < x2 +y 2 6 2x}, A3 = [−1, 1[×]0, 1], A4 = R×Z. Exercice 26. On munit la drite réelle R par la distance unsuelle d1 (x, y) =| x − y |. Pour tout réel x ∈ R et pour [nx] tout entier n ∈ N∗ on pose, xn = , où [·] désigne la partie entière. n 1 1) Démontrer que pour tout entier n > 0 on a la double inégalité 0 6 x − xn < . n 2) En déduire que l’adhérence du corps des nombres rationels Q est égale à R. Exercice 27. Dans l’espace métrique (Rm , d2 ) démontrer les propositions suivantes : 1. L’intérieure de la boule fermée B(a, r) est égale à la boule ouverte B(a, r). 2. L’adhérence de la boule ouverte B(a, r) est égale à la boule fermée B(a, r). 3. La boule ouverte B(a, r) n’est pas fermée dans l’espace métrique (Rm , d2 ). 4. La boule fermée B(a, r) n’est pas ouverte dans l’espace métrique (Rm , d2 ). 5. La fonctière de la boule ouverte B(a, r) et de la boule fermée B(a, r) est égale à la sphère S(a, r). Exercice 28. Soit A et B ⊆ Rm deux parties non vide. On définit la distance de A à B par la formule suivante : d2 (A, B) = inf{d2 (a, b)/∀a ∈ A, ∀b ∈ B}. En particulier, si A = {a} la distance de A à B d’appelle distance de a ∈ Rm à B et se note d2 (a, B) = d2 ({a}, B). 1) Démontrer les affirmations suivantes : 1. d2 (x, A) = 0

⇐⇒

x ∈ A.

2. d2 (x, A) = d2 (x, A). 3. d2 (x, A) = d2 (x, B)

⇐⇒

A = B.

4. Si A ∩ B 6= ∅ on a d2 (A, B) = 0. 2) Pour tout réel r > 0 on pose V(A, r) = {x ∈ Rm /d2 (x, A) < r}. Démontrer les propositions suivantes : 1. V(A, r) est un ouvert non vide tel que A ⊆ V(a, r). 2. Si r 6 r ′ on a V(A, r) ⊆ V(A, r ′ ). \ 3. V(A, r) = A. r>0

Exercice 29. Soient (E, d) un espace métrique et A et B deux parties de E. Établir les formules suivantes : ◦

z }| { ◦ ◦ 1) A ∩ B =A ∩ B, ◦ ◦ ◦ z }| { 2) A ∪ B⊆ A ∪ B,

◦

A ∩ B ⊆ A ∩ B,

A ∪ B = A ∪ B, ◦ 3) ∂A = ∂(E − A) = A− A.

z }| { E − A = E − A. ◦ E− A= E − A.

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

18

Topologie de l’espace Rm

1.2.3 Parties compactes dans Rm Définition 12. Soit A une partie non vide dans l’espace métrique (Rm , d2 ). 1. On dira que la partie A ⊂ Rm est bornée dans l’espace métrique (Rm , d2 ) s’il existe un réel M > 0 et un point a0 ∈ Rm tels que A ⊆ B(a0 , M). 2. On dira que la partie A est compacte dans l’espace métrique (Rm , d2 ) si elle est fermée et bornée dans l’espace métrique (Rm , d2 ).

Exemple 9. 1) Dans l’espace métrique (Rm , d2 ) la boule fermée centrée en un point a ∈ Rm et de rayon R > 0, B(a, R), est compacte. 2) Dans l’espace métrique (Rm , d2 ) la boule ouverte centrée au point a ∈ Rm et de rayon R > 0 n’est pas compacte, car ; elle est bornée mais non fermée. 3) Le pavé C = [a1 , b1 ] × · · · [am , bm ] est borné et fermé dans l’espace (Rm , d2 ), donc ; il est compact.

4) Une droite affine ∆ ⊂ R2 d’équation ax+by = c est fermée mais non bornée. Donc, la droite ∆ n’est pas compactes dans l’espace métrique (R2 , d2 ). Théorème 4 (Bolzano-Weierstrass). Toute suite infinie de vecteurs qui est bonrée dans l’espace métrique (Rm , d2 ) possède une sous-suite convergente. Démonstration. Étape 1 : Montrons que dans (R, | · |) toute suite numérique bornée possède une sous-suite convergente. Étape 2 : Montrons le théorème dans le cas de le cas de (Rm , d2 ) avec m > 2. Théorème 5. Soit A une partie de Rm ; A est compacte dans l’espace métrique (Rm , d2 ) si et seulement si toute suite d’éléments vn ∈ A possède une sous-suite qui converge dans A. Démonstration. Définition 13. Soit A une partie de Rm . Un recouvrement ouvert de A est une famille {Ui ⊆ Rm /i ∈ I} d’ouverts [ dont la réunion contient A. C’est-à-dire, si on a A ⊆ Ui . i∈I

Théorème 6 (Borel-Lebesgue). Soit A une partie de l’espace métrique (Rm , d2 ). Les deux propositions suivantes sont équivalentes : 1. La partie A est compacte dans (Rm , d2 ). 2. Tout recouverment ouvert {Ui ⊆ Rm /i ∈ I} de la partie A contient une famille finie d’ouverts qui suffit pour couvrire A.

Démonstration. Exercice 30. Soit K une partie non vide compacte dans l’espace métrique (Rm , d2 ). Montrer qu’une partie A ⊆ K est compacte si et seulement si elle est fermée. Exercice 31. Vérifier est-ce que les sous-ensembles suiants sont compacts dans l’espace métrique (R2 , d2 ) ? 1. K1 = {(x, y) ∈ R2 /1 6 x2 + y 2 6 3} ;

2. K2 = {(x, y) ∈ R2 /x2 6 y 2 } ; x2 y 2 3. K3 = {(x, y) ∈ R2 /1 6 + 6 4} ; 4 9 4. K4 = {(x, y) ∈ R2 /x2 − 1 6 y}. Exercice 32. Soit vn ∈ Rm une suite de vecteurs qui converge vers un vecteur L ∈ Rm relativement à la distance euclidiène d2 . Montrer que le sous-ensemble V = {vn /n ∈ N} ∪ {L} est compact dans l’espace métrique (Rm , d2 ). A. Bouarich, FST de Beni Mellal

C HAPITRE D EUX

L IMITE

ET CONTINUIÉ

Objectifs : L’étude de ce chapitre doit vous permettre de : 1. Savoir calculer la limite d’une application de plusieurs variables réelles. 2. Assimiler la notion de continuité des applications vectorielles de plusieurs variables réelles. 3. Comprendre que la notion de limite et de continuité des applications vectorielles de plusieurs variables réelles ne dépendent pas de la norme choisie dans l’espace vectoriel réel Rm .

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

20

Limite et continuié

2.1 Limite d’applications de plusieurs variables réelles Dans tout le chapitre, on munit l’espace vectoriel réel Rn par la norme euclidiènne, N2 (x1 , · · · , xn ) =

p

∀(x1 , · · · , xn ) ∈ Rn ,

(x1 )2 + · · · + (xn )2 ,

sauf mention du contraire. De même, étant donné un vecteur x ∈ Rn ; on préfère désigner la norme N2 (x) par le symbole kxk := N2 (x). Ainsi, en conséquence de cette notation, la distance entre deux vecteurs x et y ∈ Rn relativement à la distance d2 associée à la norme N2 sera désignée par, d2 (x, y) = kx − yk.

2.1.1 Limites d’une fonction réelle de plusieurs variables réelles On appelle fonction de plusieurs variables réelles la donnée d’une expression analytique qui dépend d’un nombre fini d’arguments notés, x1 , x2 , · · · , xm . Par exemple, les expressions suivantes : f (x, y) = x2 y + sin(x + y) − log(y)

et

g(x, y, z, t) =

z + yex + t2 cos(y) x2 − t 2

définissent deux fonctions où la première dépend de deux variables réelles tandis que la second dépend de quatre variables réelles. Notons que l’expression f (x, y) = x2 y + sin(x + y) − log(y) a un sens que pour les couples de nombres z + yex + t2 cos(y) réels (x, y) tel que y > 0. De même, l’expression g(x, y, z, t) = est valable que sur le x2 − t 2 4 2 2 sous-ensemble {(x, y, z, t) ∈ R /x − t 6= 0}. Suite à ces remarques on appelle domaine de définition d’une fonction de plusieurs variables réelles f (x1 , x2 , · · · , xm ) le sous-ensemble noté Dom(f ) ⊂ Rm ou Df ⊆ Rm constitué par les points x ∈ Df telle que l’expression f (x) a un sens. Ainsi, par exemple, le domaine de définition de l’expression f (x, y) = x2 y + sin(x + y) − log(y) est Df = {(x, y) ∈ R2 /y > 0} tandis que celui z + yex + t2 cos(y) de la fonction g(x, y, z, t) = est égal à Dg = {(x, y, z, t) ∈ R4 /x2 − t2 6= 0}. x2 − t 2 Exercice 33. Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes : f (x, y) =

xy , x2 + y 2

g(x, y) =

x2 + y 2 , x2 − y 2

h(x, y) = p

x x2 − y

,

k(x, y, z) =

p

x2 − y 2 − z 2 .

Définition 14. Soit U ⊂ Rm une partie ouverte non vide ; et soit f : U → R une fonction qui dépend de m variables réelles. On dira que la fonction f : U → R tend vers l ∈ R lorsque le point x ∈ U tend vers x0 ∈ Rm si, (∀ε > 0)(∃η > 0)(∀x ∈ U), kx − x0 k < η

=⇒

| f (x) − l |< ε.

(2.1)

Notons que si on remarque que toutes les normes de l’espace vectoriel Rn sont équivalentes à la norme euclidiène k · k, alors ; en utilisant la norme N∞ (x1 , · · · , xn ) = max(| x1 |, · · · , | xn |) on pourra reformuler la définition précédente comme suit : Proposition 15. Soit U ⊂ Rm une partie ouverte non vide ; et soit f : U → R une fonction qui dépend de m variables réelles. L’application f : U → R tend vers le réel l lorsque la variable x ∈ U tend vers le point (0) (0) x0 = (x1 , · · · , xm ) ∈ Rm si et seulement, si pour tout réel ε > 0 il existe un réel η > 0 tel que pour les points x = (x1 , · · · , xm ) ∈ U dont les composantes vérifient simultanément, (0)

| x1 − x1 |< η, · · · , | xm − x(0) m |< η

=⇒

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

| f (x) − l |< ε.

Limite d’applications de plusieurs variables réelles

21 (0)

Démonstration. Il suffit qu’on remarque que pour tout indice 1 6 i 6 m on a la double inégalité, | xi −xi N∞ (x − x0 ) 6 kx − x0 k.

|6

Proposition 16. Soit U ⊂ Rm une partie ouverte ; et soit f : U → R une fonction qui dépend de m variables réelles. Si l’application f : U → R tend vers deux réels l et l′ lorsque le point x ∈ U tend vers x0 ∈ Rm alors l = l′ . Démonstration. Supposons que l 6= l′ et posons ε = trouver un réel η > 0 pour lequel on a les inégalités,

∀x ∈ U, kx − x0 k < η

| l − l′ | . D’après la définition de la limite on pourra 4    | f (x) − l |

| l − l′ | 4 ′   | f (x) − l′ | < ε = | l − l | 4

=⇒

< ε=

Ainsi, par sommation membre à membre et grâce à l’inégalité triangulaire on obtient la contradiction : | l − l′ | 1 =⇒ 1 < . | l − l′ |6| l − f (x) | + | f (x) − l′ |< 2ε = 2 2 Définition 15. Soit U ⊂ Rm une partie ouverte ; et soit f : U → R une fonction qui dépend de m variables réelles. L’unique nombre réel l ∈ R vers lequel la fonction f tend lorsque le point x ∈ U tend vers x0 ∈ Rm s’appelle limite de f au point x0 et se note lim f (x) = l. x→x0

Exemple 10. Montrons que la fonction f : R2 → R définit par l’expression f (x, y) = (0, 0) ∈ R2 .

Pour démontrer que

lim

(x,y)→(0,0)

x3 + y 3 tend vers 0 au point x2 + y 2

f (x, y) = 0 nous allons utiliser les inégalités suivantes,

( qui impliquent qu’on a

p p x2 + y 2 =⇒| x |3 6 ( x2 + y 2 )3 |x| 6 p p , |y| 6 x2 + y 2 =⇒| y |3 6 ( x2 + y 2 )3

p p x3 + y 3 | x |3 + | y |3 2( x2 + y 2 )3 | f (x, y) |=| 2 |6 6 = 2 x2 + y 2 . x + y2 x2 + y 2 x2 + y 2 ε > 0 on aura l’implication 2 p p ε x2 + y 2 < η = =⇒| f (x, y) |6 2 x2 + y 2 < ε 2

Maintenant, si on se donne un réel ε > 0 en prenant η =

qui entraîne

lim

(x,y)→(0,0)

f (x, y) =

x3 + y 3 = 0. (x,y)→(0,0) x2 + y 2 lim

Théorème 7. Soit U ⊂ Rm une partie ouverte ; et soit f : U → R une fonction qui dépend de m variables réelles. Pour que la fonction f tend vers le réel L ∈ R au point x0 ∈ Rm il faut et il suffit que toute suite de vecteurs un ∈ U qui converge vers x0 la suite image f (un ) tend vers l. Démonstration. 1) =⇒ 2) Supposons qu’on a lim f (x) = l et considérons une suite vectorielle quelconque un ∈ U qui converge vers le vecteur x0 .

x→x0

Par définition de la limite, si on se donne un réel ε > 0 on peut trouver un réel η > 0 tel que pour tout vecteur x ∈ U qui vérifie kx − x0 k < η il en résulte qu’on a, | f (x) − l |< ε. De même, si on applique la définition de la convergence à la suite de vecteurs un et au réel η > 0 ; on peut trouver un entier n0 > 0 tel que pour tout entier n > n0 on obtient, kun − x0 k < η. Maintenant, si on combine ces deux faits on conclut alors que, (∀ε > 0)(∃n0 > 0)(∀n ∈ N, n > n0 )

=⇒

kun − x0 k < η

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

=⇒

| f (un ) − l |< ε.

22

Limite et continuié

D’où, lim f (un ) = l. n→+∞

2) =⇒ 1) Pour prouver cette implication nous allons procéder par l’absurde. C’est-à-dire, nous allons supposer que toute suite de vecteurs un ∈ U qui converge vers x0 implique lim f (un ) = L et que f (x) ne n→+∞

tend pad vers L lorsque le point x ∈ U tend vers x0 .

Notons que si on suppose que f (x) ne tend pas vers L au point x0 cela permet de trouver un réel ε > 0 tel que pour tout réel η > 0 il existe un vecteur x ∈ U qui vérifie les deux inégalités suivantes en même temps, et

kx − x0 k < η

| f (x) − L |> ε.

1 Puisque le réel η > 0 est arbitraire donc en prenant le réel η = > 0 avec n ∈ N∗ on peut trouver un n 1 vecteur un ∈ U qui implique : kun − x0 k < et | f (un ) − L |> ε. Ceci contredit clairement l’hypothèse n de l’affirmation 2) parce que la suite de vecteurs un converge vers x0 tandis que la suite image f (un ) ne converge pas vers le réel l. En pratique on utilise le résultat du théorème précédent pour montrer qu’une fonction de plusieurs varaibles réelles n’a pas de limite en un certanin point. Nous illustrons ce fait sur l’exemple suivant. x2 − y 2 n’a pas de limite au point (0, 0) ∈ R2 . x2 + y 2 1 1 1 2 En effet, si on considère les deux suites de vecteurs un = ( , ) et vn = ( , ) qui tendent simultanément vers n n n n (0, 0) on aura, Exemple 11. Montrons que la fonction g(x, y) =

−3 2 −3 −3 (g(un ) = 0 =⇒ lim g(un ) = 0) et (g(vn ) = n = ) =⇒ lim g(vn ) = ). 5 n→+∞ n→+∞ 5 5 n2 Ainsi, puisque nous avons trouvé lim g(un ) 6= lim g(vn ) on conclut donc que g n’a pas de limite au point (0, 0). n→+∞

n→+∞

Exercice 34. On désig,e par f : R → R la fonction définit par les expresions suivantes :   x2 sin( 1 ), si x 6= 0) f (x) = x  0, si x = 0. 1) Démontrer que la fonction f (x) est dérivable mais n’est pas de classe C 1 sur R.

2) Vérifier que la fonction F : R2 → R définit par les expressions suivantes :   f (x) − f (y) , si x 6= y x−y F(x, y) =  f ′ (x), si x = y n’a pas de limite au point (0, 0).

2.1.2 Opérations algébriques sur les limites Proposition 17. Soit U ⊂ Rm un ouvert non vide. Pour tout couple de fonctions f, g : U → R qui possède une limite finie au point x0 ∈ Rm on a les formules suivantes, 1. Somme : lim (f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x). x→x0

x→x0

x→x0

2. Produit : lim (f (x)g(x)) = [ lim f (x)][ lim g(x)]. x→x0

x→x0

x→x0

1 1 3. Inverse : Si lim g(x) 6= 0 alors lim = . x→x0 x→x0 g(x) lim g(x) x→x0

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Limite d’applications de plusieurs variables réelles

23

Cette proposition se démontre de la même façon que dans le cas des fonctions réelles qui dépendent d’une seule variable réelle. Proposition 18. Soit U ⊂ Rm un ouvert non vide et f, g, h : U → R des fonctions telles que, f (x) 6 h(x) 6 g(x),

∀x ∈ U.

Si au point x0 ∈ Rm les fonctions f, g : U → R tendent vers la même limite L ∈ R alors on a lim h(x) = L. x→x0

Démonstration. Noter que d’après la définition de la limite, pour un réel ε > 0 on peut trouver un réel η > 0 tel que pour les vecteurs x ∈ U qui vérifient : kx − x0 k < η =⇒

(

−ε < f (x) − L < ε =⇒ −ε < h(x) − L =⇒| h(x) − L |< ε. −ε < g(x) − L < ε =⇒ h(x) − L < ε.

Donc, on a lim h(x) = L. x→x0

Corollaire 2. Soit U ⊂ Rm un ouvert non vide. Si la fonction f : U → R tend vers zéro au point x0 ∈ Rm et g : U → R est une fonction bornée alors la fonction produit f (x)g(x) tend vers zéro au point x0 . Démonstration. Puisque la fonction g est supposée bornée il existe donc un réel K > 0 tel que pour tout x ∈ U on a | g(x) |6 K. Ainsi, si pour tout x ∈ U on multiplie | g(x) | par | f (x) | on obtient pour tout x ∈ U la double inégalité, −K | f (x) |6 f (x)g(x) 6 K | f (x) |, qui satisfait aux hypothèses de la proposition précédente. D’où, lim f (x)g(x) = 0. x→x0

xy 2 au point (0, 0). x2 + y 2 Puisque l’inégalité 0 6 y 2 6 x2 + y 2 est vraie pour tout (x, y) 6= (0, 0) on en déduit alors qu’on a,

Exemple 12. 1) Calculons la limite de la fonction h(x, y) =

06

y2 | x | y2 6 1 =⇒| f (x, y) |= 6| x | x2 + y 2 x2 + y 2

=⇒

lim

(x,y)→(0,0)

f (x, y) = 0,

parce que on a lim | x |= 0. x→(0,0)

x 2) La fonction g(x, y) = x sin( ) tend vers L = 0 au point (0, 0), car ; on sait que la fonction sinus est bornée et que y la fonction h(x, y) = x tend vers zéro quand (x, y) tend vers (0, 0).

2.1.3 Mise en garde Dans ce paragraphe, on se propose de corriger deux erreurs fréquentes en calcul des limites de fonctions réelles de plusieurs variables réelles. A) Les limites partielles n’impliquent pas la limite absolue Théorème 8 (Formule des limites partielles). Soit U ⊂ R2 un ouvert non vide et f : U → R une fonction. Si la fonction f tend vers le réel L au point (x0 , y0 ) ∈ R2 alors les fonctions partielles x → f (x, y0 ) et y → f (x0 , y) tendent simultanément vers L lorsque x et y tendent respectivement vers x0 et y0 . Autrement dit, on a lim

(x,y)→(x0 ,y0 )

f (x, y) = L

=⇒

(

limx→x0 f (x, y0 ) = L limy→y0 f (x0 , y) = L.

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

(2.2)

24

Limite et continuié

Démonstration. La fonction f tend vers L au point (x0 , y0 ) ∈ R2 , donc ; pour tout réel ε > 0 donné on peut trouver un réel η > 0 qui vérifie la propriété suivante, ∀(x, y) ∈ U, k(x, y) − (x0 , y0 )k =

p

(x − x0 )2 + (y − y0 )2 < η =⇒| f (x, y) − L |< ε.

Ainsi, dans cette dernière inégalité si on pose y = y0 on déduit que ∀x ∈ R,

| x − x0 |< η

=⇒

| f (x, y0 ) − L |< ε.

Donc, on a lim f (x, y0 ) = L. x→x0

De la même façon, si on pose x = x0 on déduit que, lim f (x0 , y) = L. y→y0

Exemple 13. 1) La fonction k(x, y) = 1 et lim f (0, y) = −1 sont distinctes.

x2 − y 2 n’a pas de limite au point (0, 0) car ses limites partielles lim f (x, 0) = x→0 x2 + y 2

y→0

2) Attention : Dans cet exemple on se propose de montrer que la réciproque du théorème précédent est fausse. C’està-dire, il se peut que les limites partielles d’une fonction f (x, y) existent et égales lim f (x0 , y) = lim f (x, y0 ) = L y→y0

x→x0

sans que la limite absolue de la fonction f (x, y) n’existe au point (x0 , y0 ). xy Considérons la fonction f (x, y) = 2 qui est bien définie sur l’ouvert R2 − {(0, 0)}. x + y2 Remarquons que puisqu’on a f (x, 0) = 0 et f (0, y) = 0 ceci implique que les limites partielles de f (x, y) au point (0, 0) sont égales à, lim f (0, y) = 0 et lim f (x, 0) = 0. Par contre, notons que si on considère les suites y→0

x→0

1 1 1 1 vectorielles un = ( , ) et vn = (− , ) qui convergent vers (0, 0) on obtient deux suites images f (un ) = 12 et n n n n f (vn ) = − 12 dont les limites sont différentes, lim f (un ) 6= lim f (vn ). n→+∞ n→+∞ xy Par conséquent, la fonction f (x, y) = 2 n’a pas de limite au point (0, 0) malgré que ses limites partielles x + y2 existent au point (0, 0) et sont égales. B) L’existence des limites doubles n’impliquent pas l’existence de la limite absolue Théorème 9 (Formule de la double limite). Soit U ⊂ R2 un ouvert non vide. Soit f : U → R une fonction qui tend vers le réel L ∈ R au point (x0 , y0 ) ∈ R2 . Si pour tout réel x (resp. y) proche de x0 (resp. y0 ) on a, lim f (x, y) = L(y) ∈ R

x→x0

et

lim f (x, y) = M(x) ∈ R,

y→y0

alors on a la formule : (2.3)

lim [ lim f (x, y)] = lim [ lim f (x, y)] = L.

y→y0 x→x0

x→x0 y→y0

Démonstration. Il suffit qu’on traduise la définition des trois limites

lim

f (x, y) = L, lim f (x, y) =

(x,y)→(x0 ,y0 )

x→x0

L(y) et lim f (x, y) = M(x), puis ; en utilisant les deux inégalités suivantes, y→y0

| L(y) − L |6| f (x, y) − L(y) | + | f (x, y) − L | et | M(x) − L |6| f (x, y) − M(x) | + | f (x, y) − L | on en tire aisément la formule de la double limite en faisant tendre (x, y) vers (x0 , y0 ) dans les deux inégalités. A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Limite d’applications de plusieurs variables réelles

25

Exemple 14. 1) Dans cet exemple, on va se servir de la formule de la limite double pour démontrer que la fonction x2 − y 2 + x3 + y 3 f (x, y) = n’a pas de limite au point (0, 0). x2 + y 2 En effet, si on calcule la limite de la fonction partielle x → f (x, y) au point 0 par rapport à x tout en fixant y on obtient, y3 − y2 = y − 1. lim f (x, y) = L(y) = x→0 y2 Ainsi, si maintenant on fait tendre la variable y vers 0 dans cette limite partielle on voit alors que la limite double, lim [ lim f (x, y)] = −1.

y→0 x→0

De même, si on calcule la limite de la fonction partielle y → f (x, y) en 0 relativement à y tout en fixant x on obtient, x2 + x3 lim f (x, y) = = L(x) = 1 + x. D’où, par passage à limite sur x on obtient la seconde double limite, y→0 x2 lim [lim f (x, y)] = 1. x→0 y→0

x2 − y 2 + x3 + y 3 n’a pas de limite au point (0, 0) car ses deux limites x2 + y 2

Conséquence : La fonction f (x, y) = doubles au point (0, 0) sont différentes.

2) Attention : La réciproque du théorème précédent est fausse. C’est-à-dire, si les deux doubles limites existent en un certain point (x0 , y0 ) et sont égales cela ne suffit pas pour conclure que la limite absolue existe en ce point. xy Pour cela considérons de nouveau la fonction f (x, y) = 2 dont la limite n’existe pas au point (0, 0) d’après x + y2 les calculs ci-dessus. Mais, malgè ceci pour tout réel y 6= 0 proche de 0 on a, lim

x→0 x2

xy 0 = 2 = 0 = L(y) =⇒ lim [ lim f (x, y)] = 0, 2 y→0 x→0 +y y

et aussi pour tout réel x 6= 0 proche de 0 on a, lim

y→0 x2

xy 0 = 2 = 0 = L(x) =⇒ lim [lim f (x, y)] = 0. x→0 y→0 + y2 x

Conséquence : La fonction f (x, y) =

x2

limite absolue au point (0, 0) n’existe pas.

xy admet des limites doubles au point (0, 0) qui sont égales mais sa + y2

Exercice 35. Soit f : R2 − {(0, 0)} → R la fonction définie par f (x, y) = 1) Montrer qu’on a lim [ lim f (x, y)] = lim [lim f (x, y)] = 0. y→0 x→0

x2 y 2 . x2 y 2 + (x − y)2

x→0 y→0

2) Que peut-on dire de la limite absolue de la fonction f (x, y) au point (0, 0) ? Justifier votre reponse. Exercice 36. Considérons la fonction f : R2 → R définie par les expressions :   x sin( 1 ), si y 6= 0 y f (x, y) =  0, si y = 0.

1) Calculer les deux limites doubles lim [ lim f (x, y)] et lim [lim f (x, y)]. y→0 x→0

x→0 y→0

2) Montrer que la fonction f (x, y) tend vers zéro quand le couple (x, y) tend vers (0, 0). Exercice 37. Soit f : R2 → R une fonction définit par l’expression,  2  2x y , si (x, y) 6= (0, 0) 4 f (x, y) = x + y2  0, si (x, y) = (0, 0).

1) Trouver la limite de la fonction f (x, y) au point (0, 0) suivant toutes les droites d’équation y = ax. 2) Trouver la limite de la fonction f (x, y) au point (0, 0) suivant toutes les paraboles d’éqution y = ax2 . 3) La fonction f (x, y) admet-elle une limite au point (0, 0) ? A. Bouarich, FST de Beni Mellal

26

Limite et continuié

Exercice 38. Calculer les limites suivantes ou montrer qu’elles n’existent pas : p x+y x3 + y 3 1 p , lim , lim x2 + y 2 sin( ), lim 2 2 2 2 x (x,y)→(0,0) x + y (x,y)→(0,0) x + y (x,y)→(0,0) x2 + y 2 sin(xy) . , lim (x,y)→(0,0) | x | + | y | (x,y)→(0,0) x2 + y 2 lim

Exercice 39. Etudier l’existence des limites suivantes : xyz xy + yz + zx xy + yz + zx p lim , lim , lim . (x,y,z)→(0,0,0) x2 + y 2 + z 2 (x,y,z)→(0,0,0) x2 + y 2 + z 2 (x,y,z)→(0,0,0) x2 + y 2 + z 2

2.1.4 Deux généralisations de la notion de la limite

Pour achever cette section consacrée à la notion de la limite des fonctions de plusieurs variables réelles, dans un premier temps nous donnerons la définition des limites infinies. Ensuite, nous donnerons la définition de la limite d’une application vectorielle de plusieurs variables réelles. A) Limites à l’infini Définition 16. Soit U ⊂ Rm un ouvert non vide et f : U → R une fonction. 1. On dira que la fonction f tend vers le réel l ∈ R lorsque le point x ∈ U tend vers l’infini ∞ si on a, (∀ε > 0)(∃A > 0)(∀x ∈ U), kxk > A =⇒| f (x) − l |< ε. 2. On dira que la fonction f tend vers +∞ (resp. −∞) lorsque le point x ∈ U tend vers le point x0 ∈ Rm si on a, (∀B > 0)(∃η > 0)(∀x ∈ U), kx − x0 k < η =⇒ f (x) > B

( resp. f (x) < −B).

3. On dira que la fonction f tend vers +∞ (resp. −∞) lorsque le point x ∈ U tend vers l’infini ∞ si on a, (∀A > 0)(∃B > 0)(∀x ∈ U), kxk > B =⇒ f (x) > A ( resp. f (x) < −A). Exemple 15. 1) Calculons la limite de la fonction g(x, y) = Notons d’abord que l’inégalité | x |6

p

p

x quand le vecteur (x, y) tend vers l’infini. + y2

x2 + y 2 implique que pour tout vecteur (x, y) 6= (0, 0) on peut écrire, | g(x, y) |=

Ainsi, si pour un réel ε > 0 donné on pose A = k(x, y)k =

x2

x2 + y 2 > A =

|x| 1 6p . 2 +y x2 + y 2

x2

1 > 0 on en déduit qu’on a, ε

1 1 x =⇒| g(x, y) |6 p < ε =⇒ lim = 0. 2 + y2 2 2 ε x (x,y)→∞ x +y

1+x+y au point (0, 0). x2 + y 2 p Observons que pour tout (x, y) ∈ R2 on a la double inégalité | x + y |6| x | + | y |6 2 x2 + y 2 qui implique p 1 − 2 x2 + y 2 6 1 + x + y. Par conséquent, si on divise les deux membres de la dernière inégalité par la fonction x2 + y 2 on obtient, p 1 − 2 x2 + y 2 1+x+y 6 2 = f (x, y). x2 + y 2 x + y2 p p 1 − 2 x2 + y 2 1 − 2r Maintenant, en posant r = x2 + y 2 on conclut que l’expression = tend vers +∞ lorsque 2 2 x +y r2 le nombre réel r tend vers zéro. D’où, lim f (x, y) = +∞. 2) Calculons la limite de l’application f (x, y) =

(x,y)→(0,0)

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Applications de plusieurs variables réelles continues

27

x3 − y 3 n’a pas de limite lorsque le vecteur (x, y) ∈ R2 tend vers l’infini. x2 + y 2 En effet, si on considère la suite vectorielle un = (n, n) on aura f (un ) = 0 qui implique que lim h(un ) = 0, par 3) Montrons que la fonction h(x, y) =

n→+∞

contre ; si on considère la suite vectorielle vn = (n, −n) on déduit que la suite image h(vn ) = n tend vers +∞. Par x3 − y 3 conséquent, la fonction h(x, y) = 2 n’a pas de limite à l’infini. x + y2 Exercice 40. Calculer les limites suivantes ou montrer qu’elles n’existent pas : x3 − y 3 sin(x + y) 2 2 lim , lim , lim ex−y , lim e−x −y (x2 + xy + y 2 ). (x,y)→∞ x2 + y 2 (x,y)→∞ x2 + y 2 (x,y)→∞ (x,y)→∞ Exercice 41. Etudier l’existence des limites suivantes : x+y+z sin(xy) Log(x2 + y 2 + z 2 ) , lim , lim . x2 + y 2 + z 2 (x,y,z)→∞ x2 + y 2 + z 2 (x,y,z)→∞ x2 + y 2 + z 2 (x,y,z)→∞ lim

B) Limites d’applications vectorielles à plusieurs variables réelles Définition 17. Soit U ⊂ Rm un ouvert et f : U → Rp une application vectorielle. On dira que l’application f : U → Rp tend vers le vecteur L ∈ Rp quand le vecteur x ∈ U tend vers x0 ∈ Rm si on a, (∀ε > 0)(∃η > 0)(∀x ∈ U)kx − x0 k < η =⇒ kf (x) − Lk < ε.

(2.4)

En procédant comme dans le cas des fonctions réelles de plusieurs variables réelles, on montre que le vecteur L ∈ Rp vers lequel l’application f : U → Rp converge au point x0 ∈ Rm est unique. Le vecteur L s’appelle limite de la fonction f (x) au point x0 et se note, lim f (x) = L. x→x0

Notons que si on munit l’espace vectoriel réel Rp par sa base canonique (e1 , · · · , ep ) alors pour tout vecteur x ∈ U la valeur de l’application f : U → Rp s’écrit comme sous la forme, f (x) = f1 (x)e1 + f2 (x)e2 · · · + fp (x)ep = (f1 (x), · · · , fp (x)) ∈ Rp où les expressions f1 , · · · , fp : U → R sont des fonctions réelles que l’on appelle composantes de l’application vectorielle f : U → Rp . Théorème 10. Soit U ⊂ Rm un ouvert non vide et f : U → Rp une application de composantes f1 , f2 · · · fp : U → R. Alors les propositions suivantes sont équivalentes, 1. L’application f : U → Rp tend vers le vecteur L = (l1 , · · · , lp ) ∈ Rp au point x0 ∈ Rm .

2. Les composantes f1 , · · · , fp : U → R de l’application f : U → Rp tendent respectivement au point x0 ∈ Rm vers les nombres réels l1 , · · · , lp .

En conséquence, on a la formule

lim f (x) = lim (f1 (x), · · · , fp (x)) = ( lim f1 (x), · · · , lim fp (x)).

x→x0

x→x0

x→x0

x→x0

(2.5)

Ce théorème se démontre de la même façon que le théorème 2.

2.2 Applications de plusieurs variables réelles continues 2.2.1 Définition et propriétés élémentaires Définition 18. Soit U ⊂ Rm un ouvert non vide et f : U → Rp une application vectorielle. On dira que l’application f : U → Rp est continue au point x0 ∈ U si on a, (∀ε > 0)(∃η > 0), (∀x ∈ U)kx − x0 k < η =⇒ kf (x) − f (x0 )k < ε. A. Bouarich, FST de Beni Mellal

(2.6)

28

Limite et continuié

Les théorèmes que nous énoncerons ci-dessous sont conséquences immédiates des propriétés de la limite des applications vectorielles de plusieurs variables réelles ; leurs démonstrations sont omises et laissées au soin du lecteurs à titre d’exercices. Théorème 11. Soit U ⊂ Rm un ouvert non vide et f : U → Rp une application vectorielle. Alors les propositions suivantes sont équivalentes, 1. L’application f : U → Rp est continue au point x0 ∈ U.

2. Au point x0 ∈ U on a lim f (x) = f (x0 ). x→x0

3. Pour toute suite de vecteurs un ∈ U qui converge vers x0 ∈ U on a, (2.7)

lim f (un ) = f ( lim un ) = f (x0 ).

n→+∞

n→+∞

En conséquence, l’application f : U → Rp est continue si et seulement si toutes ses composantes f1 , · · · , fp : U → R sont continues. Grâce aux résultats du théorème qui relient la continuité d’une application vectorielle en un point x0 avec la limite en ce point on déduit que tous les résultats que nous avons établit à propos de la notion de la limite restent valables pour la notion de la continuité. En particulier, nous avons la proposition suivante qui donne quelques opérations algébriques sur les applications continues. Proposition 19. Soit U ⊂ Rm un ouvert non vide. Soient f, g : U → Rp et h : U → R trois applications continues au point x0 . Alors on a les propositions suivantes : 1. La somme vectorielle s(x) = f (x) + g(x) est continue au point x0 . 2. L’application λ(x) = h(x) · f (x) = (h(x)f1 (x), · · · , h(x)fp (x)) est continue en x0 .

3. Le produit scalaire p(x) = f (x) · g(x) = f1 (x)g1 (x) + · · · + fp (x)gp (x) est continue au point x0 ∈ U.

4. Si k : Rp → Rq est continue au point f (x0 ) ∈ Rp alors la fonction composée k ◦ f : U → Rq est continue au point x0 .

Exemple 16. 1) Pour tout 1 6 i 6 m on désigne par pri : Rm → R la ième projection définit par l’expression, pri (x1 , · · · , xm ) = xi .

La projection pri : Rm → R est continue en chaque point de son domainbe car pour tout couple de vecteurs x et a ∈ Rm on a l’inégalité, p | pri (x) − pri (a) |=| xi − ai |6 (x1 − a1 )2 + · · · + (xm − am )2 = kx − ak, qui implique clairement que la projection pri est continue au point a ∈ Rm .

2) De la continuité des projections pr1 , · · · , prm : Rm → R on conclut que toutes les formes linéaires réelles f : Rm → R d’expressions f (x) = a1 pr1 (x) + a2 pr2 (x) + · · · + am prm (x) = a1 x1 + a2 x2 + · · · + am xm ,

x = (x1 , · · · , xm ) ∈ R

sont continues sur l’espace vectoriel réel Rm . 3) Soit A = (ai,j ) une matrice réelle d’ordre m × p. Pour tout vecteur x ∈ Rm posons F(x) = A · x et montrons que l’application vectorielle F : Rm → Rp est continue. En effet, si on fixe une base canonique dans les deux espaces vectoriels Rm et Rp ceci nous permet d’écrire l’application linéaire F : Rm → Rp sous la forme d’un système linéaire comme suit,  a11 x1 + a21 x2 + · · · + am1 xm = f1 (x)      a12 x1 + a22 x2 + · · · + am2 xm = f2 (x) F(x) = .. .. .. ..   . . ··· . .    a1p x1 + a2p x2 + · · · + amp xm = fp (x). A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Applications de plusieurs variables réelles continues

29

Ainsi, comme toutes les composantes fi : Rm → R de l’application linéaire F sont des formes linéaires continues sur l’espace vectoriel Rm on déduit donc l’appliction linéaire F = (f1 , · · · , fp ) est continue sur Rm .

D’après ce qui précède on voit en particulier que les applications linéaires F(x, y) = (2x + y, 5x − 2y) et G(x, y, z) = (z + y, x + y + z, 2z + x + y) sont continues sur leur domaine respectif R2 et R3 .

4) Notons aussi que puisque les projections pri : Rm → R sont continues ceci permet de déduire que les polynômes R(x1 , · · · , xm ) à plusieurs variables réelles P(x1 , x2 , · · · , xm ) et les fractions de polynômes sont continues sur leur Q(x1 , · · · , xm ) domaine de définition. Par exemple, le polynôme P2 (x, y, z) = xyz + x2 + y 3 + z 5 est continue sur R3 tandis que la fraction rationnelle x2 + y − 52 est continue sur l’ouvert {(x, y) ∈ R2 /xy + 5 6= 0}. P3 (x, y) = xy + 5 Exercice 42. Démontrer que la fonction F : R2 → R définit par l’expressions suivantes, ( 0, si xy = 0 F(x, y) = 1, si xy 6= 0. n’est pas continue au point (0, 0). Exercice 43. Étudier la continuité des fonctions f, g : R2 → R définient par les formules,  x y  e −e , x−y f (x, y) =  ex ,

si

x 6= y

si

x=y

,

 

x2 y , g(x, y) = x2 + y 2  0,

si

(x, y) 6= (0, 0)

si

(x, y) = (0, 0)

Exercice 44. Démontrer que si f : R → R est une fonction de classe C 1 alors la fonction F : R2 → R qui lui est associée par les expressions suivantes :

est continue sur R2 .

  f (x) − f (y) , x−y F(x, y) =  f ′ (x),

si

x 6= y

si

x=y

Exercice 45. Soient a > 0, b > 0 et c > 0 des réels fixés. Sur l’ouvert D = R+ × R+ \ {(0, 0)} on définit une fonction f : D → R par l’expression, f (x, y) =

xa y b , (x2 + y 2 )c

∀(x, y) ∈ D.

1) Démontrer que si a + b > 2c, f (x, y) tend vers zéro lorsque (x, y) ∈ D tend vers (0, 0).

2) Vérifier que si on suppose a + b 6 2c, la fonction f (x, y) n’a pas de limite au point (0, 0). Exercice 46. 1) Montrer que si L : Rn → R est une forme linéaire alors il existe un réel k > 0 tel que pour tout vecteur x ∈ Rn on a | L(x) |6 kkxk.

2) Montrer que plugénéralement si A : Rm → Rn est une application linéaire alors il exist un réel k > 0 tel que pour tout x ∈ Rn on a kA(x)k 6 kkxk. 3) En déduire que toute application linéaire qui est définie sur un espace de dimension finie est continue.

2.2.2 Caractérisations topologiques des applications continues Proposition 20. Soit f : Rm → Rp une application vectorielle, alors ; les propositions suivantes sont équivalentes : 1. L’application f : Rm → Rp est continue au point a ∈ Rm . A. Bouarich, FST de Beni Mellal

30

Limite et continuié 2. Pour tout réel ε > 0 il existe un réel δ > 0 tel que f (B(a, δ)) ⊆ B(f (a), ε). 3. Pour tout voisinage V ⊆ Rp du point f (a) il existe un voisinage W ⊆ Rm du point a tel que f (W) ⊆ V.

Démonstration. Corollaire 3. Soit f : Rm → Rp une application vectorielle, alors ; les propositions suivantes sont équivalentes : 1. L’application f : Rm → Rp est continue en chaque point a ∈ Rm . 2. L’image réciproque d’un ouvert de (Rp , d2 ) est un ouvert de (Rm , d2 ). 3. L’image réciproque d’un fermé de (Rp , d2 ) est un fermé de (Rm , d2 ). Proposition 21. Si f : Rm → Rp est une application continue alors pour toute partie compacte K ⊂ Rm l’image f (K) ⊂ Rp est compacte. Démonstration. Corollaire 4. Soient f : Rm → R une fonction continue et K ⊆ Rm une partie compacte. Alors, f est bornée sur K et elle y atteint ses bornes. C’est-à-dire, il existe deux vecteurs a ∈ K et b ∈ K tels que f (a) = inf{f (x)/∀x ∈ K}

et

f (b) = sup{f (x)/∀x ∈ K}.

Démonstration. Exercice 47. On désigne par A et B deux ensembles et par f une application. Démontrer les relations ensemblistes suivantes : 1. A ⊆ f −1 (f (A)) ; 2. f (f −1 (A)) ⊆ A ; 3. f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B) ; 4. f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B) ; 5. f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B) ; 6. f (A ∩ B) ⊆ f (A) ∩ f (B) ; 7. A ⊆ B

=⇒

f (A) ⊆ f (B) ;

8. A ⊆ B

=⇒

f −1 (A) ⊆ f −1 (B).

Exercice 48. Soit A et B ⊆ Rm deux parties non vide. On rappelle que la distance de A à B par la formule suivante (cf. exercice 28) : d2 (A, B) = inf{(a, b)/∀a ∈ A, ∀b ∈ B}. En particulier, si A = {a} la distance de A à B d’appelle distance de a ∈ Rm à B et se note d2 (a, B) = d2 ({a}, B). 1) Pour tout x ∈ E on pose f (x) = d2 (x, A) et g(x) = d2 (x, A) − d2 (x, B). Établir les inégalités : | f (x) − f (y) |6 d2 (x, y)

et

| g(x) − g(y) |6 2d2 (x, y).

En déduire que les fonctions f et g : (Rm , d2 ) → (R, | · |) sont continues.

2) On suppose que les parties A et B sont fermées et disjointes, A ∩ B = ∅. Démontrer les propositions suivantes : 1. D = {x ∈ Rm /d2 (x, A) < d2 (x, B)} est un ouvert.

2. E = {x ∈ Rm /d2 (x, A) > d2 (x, B)} est un ouvert. 3. A ⊂ D, B ⊂ E et D ∩ E = ∅. A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Applications de plusieurs variables réelles continues

31

Exercice 49. Soient f : Rm → Rn une application continue et K ⊆ Rm . Démontrer que le sous-ensemble, ΓK = {(x, f (x))/x ∈ K} est compact dans le produit cartésien Rm × Rn munit de la distance D2 ((x, y), (a, b)) =

p

(d2 (x, a))2 + (d2 (y, b))2 .

Exercice 50. Soit f : (Rm , d2 ) → (R+ , d2 ) une fonction continue qui ne s’annulle jamais sur la boule fermée B(0, r). Montrer qu’il existe un réel a > 0 tel que pour tout vecteur x ∈ B(0, r), f (x) > a. Exercice 51. Soit f : (Rm , d2 ) → (Rm , d2 ) une application continue. On dira que f possède un point fixe s’il existe un a ∈ Rm tel que f (a) = a. On dira aussi que f est contractante s’il existe un réel 0 < k < 1 tel que pour tout x et y ∈ Rm on a, d2 (f (x), f (y)) 6 kd2 (x, y). Ainsi, le but de cet exercice de montrer que toute application contractante possède un point fixe. 1) Démontrer que si l’application f est contractante alors le sous-ensemble Fix(f ) = {x ∈ Rm /f (x = x} est un singleton. 2) Pour un vecteur x0 ∈ Rm donné et pour tout entier n ∈ N on pose par récurrence xn+1 = f (xn ).

i) Montrer que pur tout entier n ∈ N on a d2 (xn , xn+1 ) 6 kn d2 (x0 , x1 ).

ii) Montrer que la suite xn ∈ Rm est de Cauchy dans l’espace métrique (Rm , d2 ). iii) En déduire que l’application contractante f possède un point fixe. 3) exemple Exercice 52. Le but de cet exercice est de montrer qu’en dimension infinie il existe des applications linéaires non continues. Pour cela considérons l’espace vectriel normé (C([0, 1], R), k · k1 ) des fonctions continues sur le segment Z 1 [0, 1] munit par la norme kf k1 = | f (x) | dx. Et pour tout élément f ∈ C([0, 1], R) posons F(f ) = f (1). 0

1) Montrer que dans l’espace vectoriel normé (C([0, 1], R), k · k1 ) la suite de fonctions fn (x) = xn converge vers la fonction nulle f (x) = 0, ∀x ∈ [0, 1].

2) En utilisant la suite de fonctions fn (x) = xn déduire l’application linéaire F : (C([0, 1], R), k · k1 ) → (R, | · |) définie ci-dessus n’est pas continue au point f (x) = 0, ∀x ∈ [0, 1].

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

C HAPITRE T ROIS

D IFFÉRENTIABILITÉ

Objectifs : L’étude de ce chapitre doit vous permettre de : 1. Se familiariser avec la notion de différentiabilités des applications de plusieurs variables réelles. 2. Savoir calculer les dérivées partielles d’une fonction de plusieurs variables réelles. 3. Maîtriser le calcul des matrices jacobiennes. 4. Identifier les extremums d’une fonction de plusieurs variables réelles. 5. Savoir appliquer le théorème des fonctions implicites et calculer les dérivées partielles d’une fonction implicite.

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Fonctions différentiables

33

3.1 Fonctions différentiables 3.1.1 Dérivées partielles directionnelles Définition 19. Soient U ⊂ Rm un ouvert non vide et f : U → R une fonction.

1) Soient a ∈ U et ~u ∈ Rm un vecteur non nul. La limite suivante quand elle existe, ∂f f (a + t~u) − f (a) (a) := lim , t→0 ∂~u t

(3.1)

s’appelle dérivée partielle de la fonction f (x) au point a ∈ U suivant la direction du vecteur ~u ∈ Rm .

2) Les dérivées partielles de la fonction f : U → R au point a ∈ U dans la direction des vecteurs de la base canonique {~e1 , · · · , ~em } de l’espace vectoriel Rm , quand elles existent, se notent respectivement par les expressions, ∂f ∂f (a) = (a), ∂~e1 ∂x1

∂f ∂f (a) = (a), · · · , ∂~e2 ∂x2

3) Quand au point a ∈ U toutes les dérivées partielles la fonction f (x) au point a ∈ U par l’expression, gradf (a) :=

∂f ∂f (a) = (a). ∂~em ∂xm

∂f ∂f (a), · · ·, (a) existent on définit le vecteur gradient de ∂x1 ∂xm

∂f ∂f ∂f (a)~e1 + (a)~e2 + · · · + (a)~em . ∂x1 ∂x2 ∂xm

(3.2)

Notons que pour une fonction à deux variables f (x, y) sa dérivée partielle au point (x0 , y0 ) suivant un vecteur non nul ~u = a~ı + b~ ∈ R2 se calcule par la formule explicite suivante : ∂f f ((x0 , y0 ) + t(a, b)) − f (x0 , y0 ) f (x0 + ta, y0 + tb) − f (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) = lim = lim . t→0 t→0 ∂~u t t De cette formule on déduit que pour calculer la dérivée partielle de la fonction f (x, y) par rapport à la variable x au point (x0 , y0 ) il suffit qu’on pose y = y0 , et puis, on dérive la fonction partielle à une seule ∂f variable x → f (x, y0 ) au point x = x0 . De même, pour calculer la dérivée partielle (x0 , y0 ) il suffit donc ∂y qu’on dérive la fonction partialle y → f (x0 , y) au point y = y0 . Exemple 17. 1) Considérons la fonction f : R2 → R définie par l’expression,  0 si (x, y) = (0, 0)  3 f (x, y) = x  si (x, y) 6= (0, 0). (x − y)2 + y 4

Calculons les dérivées partielles de la fonction f (x, y) au point (0, 0) suivant la direction du vecteur non nul ~u = a~ı + b~. Par définition de la dérivée partielle directionnelle on peut écrire, f ((0, 0) + t(a, b)) − f (0, 0) f (ta, tb) − 0 a3 ∂f (0, 0) = lim = lim = lim . t→0 t→0 t→0 (a − b)2 + t2 b4 ∂~u t t A partir de l’expression de cette limite on voit clairement que la fonction f (x, y) admet une dérivée partielle au point (0, 0) suivant le vecteur ~u = a~ı + b~ si et seulement si on a a 6= b. Donc on a : ∂f a3 (0, 0) = ∂~u (a − b)2

avec

a 6= b.

En conséquence de ce calcul on déduit que les dérivées partielles de la fonction f (x, y) au point (0, 0) suivant les deux vecteurs de la base canonique {~ı, ~} sont égales à, ∂f ∂f (0, 0) = (0, 0) = 1 ∂x ∂~ı

et

∂f ∂f (0, 0) = (0, 0) = 0. ∂y ∂~

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

34

Différentiabilité

2) Considérons la fonction f : R2 → R définit par les expressions suivantes,   0, si x=y=0     x, si y=0 f (x, y) =  y, si x=0     1, si x 6= 0 et y 6= 0.

a) Calculons les dérivées partielles au point (0, 0) de la fonction f (x, y) suivant les vecteurs de la base canonique {~ı, ~} de l’espace R2 : f ((0, 0) + t~ı) − f (0, 0) f (t, 0) − 0 t−0 ∂f (0, 0) = lim = lim = lim =1 t→0 t→0 t→0 ∂x t t t

et

∂f f ((0, 0) + t~) − f (0, 0) f (0, t) − 0 t−0 (0, 0) = lim = lim = lim = 1. t→0 t→0 t→0 ∂y t t t

b) Puisque pour tout vecteur non nul ~u = a~ı + b~ tel que a 6= 0 et b 6= 0 le taux d’accroissement de la fonction f (x, y) au point (0, 0) dans la direction du vecteur ~u = (a, b) est donnée par l’expression, f ((0, 0) + t~u) − f (0, 0) f (ta, tb) − f (0, 0) 1 = = , t t t ∂f qui n’a pas de limite lorsque le réel t tend vers zéro ; on déduit donc que la dérivée partielle directionnelle (0, 0) ∂~u n’existe pas. Notons qu’en conséquence de l’exemple 2) ci-dessus on apprend qu’en général l’existence des deux déri∂f ∂f vées partielles (0, 0) et (0, 0) n’assure pas l’existence des dérivées partielles au point (0, 0) ∈ U suivant ∂x ∂y une direction arbitraire non nulle ~u = a~ı + b~. Le théorème suivant nous donnera une condition suffisante qui permet de déduire l’expression de la dérivée partielle suivant une direction quelconque en fonction des dérivées partielles quand elles existent suivant la base canonique de l’espace vectoriel ambient. Théorème 12. Soient U ⊂ Rm un ouvert non vide et f : U → R une fonction dont toutes les dérivées par∂f ∂f tielles , · · ·, : U → R existent et sont continues au point a ∈ U. Alors, pour tout vecteur non nul ∂x1 ∂xm ~u = (α1 , α2 , · · · , αm ) ∈ Rm la dérivée partielle de la fonction f (x) au point a ∈ U suivant la direction du vexteur ~u 6= 0 existe et elle est donnée par la formule, ∂f ∂f ∂f ∂f (a) = (a)α1 + (a)α2 + · · · + (a)αm = gradf (a) · ~u. ∂~u ∂x1 ∂x2 ∂xm

(3.3)

Démonstration. Ici, pour éviter de trop alourdire les notations nous préférons donner une preuve du théorème que dans le cas particulier d’une fonction à deux variables f (x, y). En effet, notre preuve reste valable pour le cas général où la dimension m > 2. Posons ~u = (α, β) et a = (x0 , y0 ). Observons que si on écrit le nombre réel f ((x0 , y0 ) + t(α, β)) − f (x0 , y0 ) = f (x0 + tα, y0 + tβ) − f (x0 , y0 ) sous la forme suivante, f (x0 + tα, y0 + tβ) − f (x0 , y0 ) = [f (x0 + tα, y0 + tβ) − f (x0 , y0 + tβ)] + [f (x0 , y0 + tβ) − f (x0 , y0 )], alors en appliquant le théorème des accroissements finis aux deux fonctions partielles x → f (x, y0 + tβ) et y → f (x0 , y) on pourra trouver deux nombres réels 0 < θ1 < 1 et 0 < θ2 < 1 tels que f (x0 + tα, y0 + tβ) − f (x0 , y0 + tβ) = tα

∂f (x0 + θ1 tα, y0 + tβ) ∂x

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Fonctions différentiables

35

et

∂f (x0 +, y0 + θ2 tβ). ∂x Ainsi, suite à cette remarque, puisque on sait que les deux dérivées partielles de f (x, y) sont continues au point a = (x0 , y0 ) donc en tendant le nombre réel t vers zéro on obtient : f (x0 , y0 + tβ) − f (x0 , y0 ) = tβ

f (x0 + tα, y0 + tβ) − f (x0 , y0 ) t→0 t lim

Par conséquent, la dirivée directionnelle

∂f ∂f (x0 + θ1 tα, y0 + tβ) + β (x0 , y0 + θ2 tβ)] t→0 ∂x ∂y ∂f ∂f = α (x0 , y0 ) + β (x0 , y0 ). ∂x ∂y = lim [α

∂f (x0 , y0 ) = gradf (x0 , y0 ) · ~u. ∂~u

Corollaire 5. Soient U ⊂ Rm un ouvert non vide et f : U → R une fonction dont toutes les dérivées partielles · · ·,

∂f : U → R existent et sont continues au point a ∈ U. Alors on a les propositions suivantes : ∂xm

∂f , ∂x1

∂f 1) Si le vecteur gradient gradf (a) = ~0 alors pour tout vecteur non nul ~u ∈ Rm la dérivée directionnelle (a) = 0. ∂~u ∂f 2) Si le vecteur gradient gradf (a) 6= ~0 alors la dérivée directionnelle (a) = 0 si et seulement si le vecteur ~u est ∂~u orthogonal au vecteur gradient gradf (a). La démonstration de la proposition suivante est une conséquence des opérations algébriques sur la limites de fonctions de plusieurs variables réelles. Proposition 22 (Operations algébriques). Soit U ⊂ Rm un ouvert non vide. Si les dérivées partielles de f et g : U → R existent alors on a les formules suivantes : ∂(f + g) ∂f ∂g 1) = + ; ∂xi ∂xi ∂xi ∂(f · g) ∂f ∂g 2) = g+f ; ∂xi ∂xi ∂xi ∂f ∂g g−f ∂ f ∂xi ∂xi 3) ( )= . ∂xi g g2 En conséquence, pour tout vecteur non nul ~u ∈ Rm les trois formules précédentes restent valables pour la dérivée ∂ partielle directionnelle . ∂~u Exercice 53. Calculer les dérivées partielles des fonctions suivantes : x 2 f1 (x) = Log(x2 + y 2 ), f2 (x, y) = Arctg( ), f3 (x, y) = xexy . y Exercice 54. Donner le vecteur gradient de la fonction f (x, y, z) ainsi que sa dirévée parielle dans la direction ~u indiquée ci-dessous. p 1. f1 (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 et ~u1 = a~ı + b~ + c~k. 1 2 3 2. f2 (x, y, z) = + + et ~u2 = −~ı + 2~ − ~k. x y z 1 3. f3 (x, y, z) = Arctg( 2 ) et ~u3 = ~ı + ~ + ~k.. x + y2 + z2 Exercice 55. Soit f : R → R une fonction dérivable et a un réel non nul fixé.

1) Calculer les dérivées partielles de la fonction U(x, y) = f (x + ay). En déduire que la fonction U(x, y) est solution ∂U ∂U de l’équation aux dérivées partielles, =a . ∂x ∂y 2) Calculer les dérivées partielles de la fonction V(x, y) = yf (x2 − y 2 ). En déduire que la fonction V(x, y) est 1 ∂V 1 ∂V 1 solution de l’équation aux dérivées partielles, + = 2 V. x ∂x y ∂y y A. Bouarich, FST de Beni Mellal

36

Différentiabilité

Exercice 56. Soit f : R → R une fonction dérivable. ∂Z ∂Z +y = 0. ∂x ∂y ∂S xy ∂S 2. Si S(x, y) = f ( 2 ) vérifier qu’on a, x +y = 0. 2 x +y ∂x ∂y ∂W ∂W 3. Si W(x, y) = x2 f (x/y) vérifier qu’on a, x +y = 2W. ∂x ∂y

1. Si Z(x, y) = f (y/x) vérifier qu’on a, x

Exercice 57. Soit f : R → R une fonction dérivable. Pour tout triplet de nombres réels non nuls x, y et z on définit x y z une fonction par l’expression, T(x, y, z) = f ( ) + f ( ) + f ( ). y z x Vérifier que sur l’ouvert U = (R∗ )3 la fonction T(x, y, z) est solution de l’équation aux dérivées partielles : x

∂T ∂T ∂T +y +z = 0. ∂x ∂y ∂z

−r 2 ) une fonction. Trouver la constante n de sorte que la fonction v(r, t) soit 4t ∂v 1 ∂ ∂v solution de l’équation aux dérivées partielles, = 2 (r 2 ). ∂t r ∂r ∂r

Exercice 58. Soit v(r, t) = tn exp(

3.1.2 Différentiabilité Définition 20. Soient U ⊂ Rm un ouvert non vide et f : U → R une fonction. On dira que la fonction f (x) est différentiable au point a ∈ U s’il existe une application linéaire L : Rm → R qui vérifie la condition suivante, (∀ε > 0)(∃η > 0)(∀h ∈ Rm , a + h ∈ U)(|| h ||< η =⇒| f (a + h) − f (a) − L(h) |6|| h || ε).

(3.4)

Ci-dessous on donnera quelques conditions nécessaires qui caractérisent les fonctions réelles de plusieurs variables réelles différentiables. Proposition 23 (Continuité). Si la fonction f : U → R est différentiable au point a ∈ U alors elle est continue au point a. Démonstration. Il suffit qu’on remarque que si on pose h = x − a dans la définition de différentiabilité de f (x) au point a alors de lim L(h) = 0 on voit que, h→0

lim f (x) = lim f (a + (x − a)) = lim f (a + h) = f (a).

x→x0

x→a

h→0

Par conséquent, la fonction f (x) est continue au point a. Proposition 24 (Dérivées directionnelles). Si f : U → R est différentiable au point a ∈ U alors pour tout vecteur ∂f non nul ~u ∈ Rm la dérivée partielle directionnelle (a) = L(~u) ; où L : Rm → R désigne l’application linéaire qui ∂~u caractérise la différentibilité de f (cf. def. 20). Démonstration. Il suffit qu’on remarque que dans la définition de différentiabilité de f (x) en posant h = t~u pour tout réel t ∈ R proche de zéro on obtient, || t~u ||< η =⇒ | f (a + t~u) − f (a) − tL(~u) |6| t ||| ~u || ε f (a + t~u) − f (a) =⇒ | − L(~u) |6|| ~u || ε. t Ainsi, comme ε > 0 est arbitraire on conclut que

∂f f (a + t~u) − f (a) (a) = lim = L(~u). t→0 ∂~u t

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Fonctions différentiables

37

Proposition 25 (Unicité). Si L, L′ : Rm → R sont deux applications linéaires qui vérifient la définition de différentiabilté de la fonction f (x) au point a ∈ U alors L = L′ . Démonstration. En effet, si on applique le résultat du corollaire précédent au deux formes linéaires L et L′ on voit que pour tout vecteur ~u ∈ Rm non nul on a, ∂f (a) = L(~u) ∂u

et

∂f (a) = L′ (~u) ∂u

=⇒

L = L′ .

Définition 21. L’unique forme linéaire L : Rm → R qui caractérise la différentiabilité de f : U → R au point a ∈ U s’appelle différentielle de f (x) au point a et se note, df (a) : Rm → R. Dans ce qui va suivre, on se propose de donner une formule explicite de la différentielle df (a) : Rm → R. En effet, puisque d’après la proposition 18 on sait que pour tout vecteur non nul ~h ∈ Rm on a, ∂f df (a) · ~h = (a) = gradf (a) · ~h. ∂~u donc, en développant le vecteur ~h ∈ Rm dans la base canonique {e1 , · · · , em } de l’espace vectoriel Rm sous la forme ~h = h1 e1 + · · · + hm em ; on déduit que la différentielle df (a) est donnée par l’expression explicite : ∂f ∂f df (a) · ~h = h1 (a) + · · · + hm (a). ∂x1 ∂xm

(3.5)

Pour finir ce paragraphe on donnera le théorème suivant qui propose une méthode pratique qui nous permet de tester est-ce qu’une fonction donnée est différentiable ou non en un certain point de son domaine de définition. Théorème 13. Soient U ⊂ Rm un ouvert non vide et f : U → R une fonction. Alors, la fonction f (x) est différentiable au point a ∈ U si, et seulement, si on a les deux conditions suivantes, ∂f ∂f 1) Toutes les dérivées partielles, (a), · · · , (a) existent. ∂x1 ∂xm ∂f ∂f f (a + h) − f (a) − (h1 (a) + · · · + hm (a)) ∂x1 ∂xm p = 0. 2) La limite lim h→0 (h1 )2 + · · · + (hm )2

Exemple 18. 1) Une forme linéaire f : Rm → R est différentiable en chaque point a ∈ Rm , car ; en posant pour tout vecteur L(h) = f (h) on voit que la limite, f (a + h) − f (a) − L(h) f (a + h) − f (a) − f (h) 0 = lim = lim = 0. h→0 h→0 h→0 || h || || h || || h || lim

Donc, la forme linéaire f : Rm → R est différentiable et sa différentielle est donnée par, df (a) · ~h = f (~h),

∀a ∈ Rm , ~h ∈ Rm .

Grâce à ce résultat on déduit qu’en particulier pour tout entier, 1 6 i 6 m, la iième projection canonique pri (x1 , · · · , xm ) = xi est différentiable sur Rm et que sa différentielle en chaque point a ∈ Rm est donnée par, dpri (a) · ~h = pri (~h) = hi ,

∀~h ∈ R.

En pratique on note la différentielle de la iième projection canonique pri par le symbole, dxi := dpri

⇐⇒

dxi (a) · ~h = hi ,

∀a ∈ Rn , ~h ∈ Rm .

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

(3.6)

38

Différentiabilité

2) Montrons que la fonction g : R2 → R définie par l’expression suivante est différentiable au point (0, 0),   0, si (x, y) = (0, 0) g(x, y) = 1  (x2 + y 2 ) sin( 2 ), si (x, y) 6= (0, 0). x + y2 Il s’agit donc de calculer les dérivées partielles de g au point (0, 0) et ensuite étudier la limite du rapport, ∂g ∂g g(h, k) − g(0, 0) − (h (0, 0) + k (0, 0)) ∂x ∂y √ E(h, k) = . 2 2 h +k lorsque le couple de nombres réels (h, k) tend vers (0, 0). a) En appliquant les définitions, on voit que les dérivées partielles de la fonction g(x, y) au point (0, 0) sont données par, ∂g (0, 0) = ∂x ∂g (0, 0) = ∂y

1 g(x, 0) − 0 = lim x sin( 2 ) = 0, x→0 x x 1 g(0, y) − 0 lim = lim y sin( 2 ) = 0 y→0 y→0 y y lim

x→0

b) Maintenant, en portant dans E(h, k) l’expression de la fonction g(x, y) et ses dérivées partielles calculées on voit qu’on a, ∂g ∂g g(h, k) − g(0, 0) − (h (0, 0) + k (0, 0)) ∂x ∂y √ lim E(h, k) = lim 2 2 (h,k)→(0,0) (h,k)→(0,0) h +k p 1 = lim h2 + k2 sin( 2 ) = 0, h + k2 (h,k)→(0,0)

√ 1 ) est bornée et h2 + k2 tend vers zéro au point (0, 0). Par conséquence, la fonction h2 + k2 g(x, y) est différentielle au point (0, 0) et sa différentielle dg(0, 0) = 0. car la fonction sin(

3) Étudions la différentiabilité au point (0, 0) de la fonction F : R2 → R définie par les expressions suivantes,   0, si (x, y) = (0, 0) 3 3 F(x, y) = x −y  , si (x, y) 6= (0, 0). x2 + y 2

En appliquent la définition des dérivées partielles on voit pour la fonction F(x, y) on a, ∂F (0, 0) = ∂x ∂F (0, 0) = ∂y

F(x, 0) − F(0, 0) x−0 = lim = 1, x→0 x x F(0, y) − F(0, 0) −y − 0 lim = lim = −1. y→0 y→0 y y lim

x→0

Avant qu’on passe à l’étude de différentiabilité de la fonction F(x, y), notons que si on suppose la fonction F(x, y) est différentiable au point (0, 0) sa différentielle est donc nécessairement égale à l’application linéaire, L(h, k) = ∂F ∂F h (0, 0) + k (0, 0) = h − k. Par conséquent, pour voir est-ce que la fonction F(x, y) est différentiable au point ∂x ∂y F(h, k) − F(0, 0) − (h − k) √ (0, 0) ou non on doit donc étudeir la limite du rapport E(h, k) = lorsque (h, k) tend h2 + k2 vers (0, 0). 1 1 1 1 En effet, si on porte les deux suites vectorielles un = ( , ) et vn = ( , − ) dans le rapport n n n n x3 − y 3 − (x − y) F(x, y) − F(0, 0) − (x − y) (x − y)xy x2 + y 2 p p p E(x, y) = = = x2 + y 2 x2 + y 2 (x2 + y 2 ) x2 + y 2 A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Fonctions différentiables

39

1 on voit clairement que les deux limites lim E(un ) = 0 et lim E(vn ) = − √ sont différentes. Par conséquent, la n→+∞ n→+∞ 2 fonction F(x, y) n’est pas différentiable au point (0, 0). De l’étude de la fonction F(x, y) définie ci-dessus on déduit que l’existence des deux dérivées partielles ∂F ∂F (0, 0) et (0, 0) n’assurent pas la différentiabilité au point (0, 0). En d’autres termes, l’existence des ∂x ∂y deux dérivées partielles au point (0, 0) n’est pas une condition suffisante pour que la fonction F(x, y) soit différentiable au point (0, 0). En effet, même si toutes les dérivées partielles directionnelles existent en un point du domaine de définition d’une certaine fonction ne garantient pas sa différentiabilité en ce point. Pour vérifier ce fait, le lecteur pourra revenir sur la fonction F(x, y), qui est non différentiable au point (0, 0), pour calculer ses dérivées partielles au point (0, 0) suivant toute direction vectorielle non nulle ~u ∈ R2 . Théorème 14. Soit U ⊂ Rm un ouvert non vide ; et soit f : U → R une fonction dont toutes les dérivées partielles existent et sont continues au point a ∈ U. Alors, la fonction f (x) est différentiable au point a ∈ U et sa différentielle est donnée par l’expression, df (a) · ~h = gradf (a) · ~h,

∀~h ∈ Rm .

(3.7)

Démonstration. Nous donnerons une démonstration que pour une fonction qui dépend de deux variables réelles mais qui reste valable dans le cas général. ∂f ∂f et au point a = ∂x ∂y (x0 , y0 ) le théorème 9 implique que pour tout vecteur non nul ~u = α~ı + β~ ∈ R2 la dirivée partielle di∂f rectionnelle est égale à (a) = gradf (a) · ~u. D’autre part, observons que si on applique le théorème des ∂~u accroissements finis à la fonction ϕ(t) = f (x0 + tα, y0 + tβ) avec t ∈ [0, 1] on pourra alors trouver un réel θ ∈]0, 1[ tel que, D’abord, rappelons que sous l’hypothèse de continuité des dérivées partielles

ϕ(1) − ϕ(0) = f (x0 + α, y0 + β) − f (x0 , y0 ) = (1 − 0)ϕ′ (θ) ϕ(t) − ϕ(θ) = lim t→θ t−θ f (x0 + tα, y0 + tβ) − f (x0 + θα, y0 + θβ) = lim t→θ t−θ f ([x0 + θα] + (t − θ)α, [y0 + θβ] + (t − θ)β) − f (x0 + θα, y0 + θβ) = lim t→θ t−θ ∂f = (x0 + θα, y0 + θβ) = gradf (x0 + θα, y0 + θβ) · ~u ∂~u ∂f ∂f = α (x0 + θα, y0 + θβ) + β (x0 + θα, y0 + θβ). ∂x ∂y Puisque les dérivées partielles de f sont continues au point (x0 , y0 ) donc en posant, ε1 (α, β) =

∂f ∂f (x0 + θα, y0 + θβ) − (x0 , y0 ) ∂x ∂x

et

ε2 (α, β) =

∂f ∂f (x0 + θα, y0 + θβ) − (x0 , y0 ), ∂y ∂y

ce permet de récrire le rapport

E(α, β) = =

∂f ∂f f (x0 + α, y0 + β) − f (x0 , y0 ) − [α (x0 , y0 ) + β (x0 , y0 )] ∂x ∂y p 2 2 α +β αε1 (α, β) + βε2 (α, β) p . α2 + β 2

Finalement, en remarquant que

lim

(α,β)→(0,0)

ε1 (α, β) = 0 et

Shwartz | αε1 (α, β) + βε2 (α, β) |6

p

α2 + β 2

lim

(α,β)→(0,0)

p

ε2 (α, β) = 0 ; l’inégalité de Cauchy-

(ε1 (α, β))2 + (ε2 (α, β))2 ,

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

40

Différentiabilité

permet de conclure que la limite au point (x0 , y0 ) telle que pour

E(α, β) = 0. En conséquence, la fonction f (x, y) est différentiable

lim

(α,β)→(0,0) tout ~h ∈ R2

on a df (a) · ~h = gradf (a) · ~h.

Exercice 59. Soit f : R2 → R la fonction définie par les expressions,   cos(x) − cos(y) , si x−y f (x, y) =  − sin(x), si

x 6= y x=y

1) Montrer que la fonction f (x, y) est continue sur R2 .

2) Montrer que la fonction f (x, y) admet des dérivées partielles au point (0, 0) suivant toute direction non nulle ~u = (a, b) ∈ R2 . 3) Est-ce que la fonction f (x, y) est différentiable au point (0, 0) ?

Exercice 60. Soit g : R2 → R la fonction définie par l’expression,   y, si g(x, y) =  sin(xy) , si x

x=0 x 6= 0

1) Calculer les dérivées partielles de la fonction g(x, y) au point (0, 0). 2) Montrer que la fonction g(x, y) est différentiable au point (0, 0). Exercice 61. Soit h : R2 → R la fonction définie par, ( 0, h(x, y) = 2 2 x y log(x2 + y 2 ),

si si

(x, y) = (0, 0) (x, y) 6= (0, 0)

1) Calculer les dérivées partielles de la fonction h(x, y) en tout point (x, y) ∈ R2 . ∂h ∂h 2) Montrer que les dérivées partielles (x, y) et (x, y) sont continues au point (0, 0). ∂x ∂y 3) Est-ce que la fonction h(x, y) est différentiable au point (0, 0) ? Exercice 62. Soit k : R2 → R la fonction définie par, k(x, y) =

 

0, 4xy(x2 − y 2 )  , x2 + y 2

si

(x, y) = (0, 0)

si

(x, y) 6= (0, 0)

∂k ∂k (0, 0) et (0, 0). ∂x ∂y 2) Montrer que la fonction k(x, y) est différentiable au point (0, 0).

1) Calculer les dérivées partielles

Exercice 63. Dans cet exercice on considère une fonction ϕ : [a, b] → R de classe C p+1 avec p > 1 et on rappelle que d’après le théorème de Taylor que pour tout couple de nombres réels x et y ∈ [a, b] il existe un nombre réel θ ∈]0, 1[ tel que, ϕ(y) − ϕ(x) = (y − x)ϕ′ (x) +

(y − x)2 (y − x)p (p) (y − x)p+1 (p+1) ϕ”(x) + · · · + ϕ (x) + ϕ (x + θ(y − x)). 2! p! (p + 1)!

Soit F : R2 → R la fonction définie par les expressions suivantes :   ϕ(x) − ϕ(y) , x−y F(x, y) =  ϕ′ (x),

si x 6= y si x = y.

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Fonctions différentiables 1) Calculer la limite

lim

41

(x,y)→(a,a)

F(x, y). En déduire que la fonction F est continue sur R2 .

2) Pour tout point (a, a) ∈ R2 calculer les dérivées partielles

∂F ∂F (a, a) et (a, a). ∂x ∂y

3) Montrer que la fonction F est de classe C 1 .

4) Est-ce que la fonction F est différentiable au point (a, a) ? Justifier votre réponse.

3.1.3 Différentielle totale d’une fonction réelle de plusieurs variables Dans ce paragraphe, étant donné un ouvert non vide U ⊂ R2 et une fonction f : U → R ; on se propropose à exprimer la variation totale de la fonction f (x, y) autour du point (x0 , y0 ) ∈ U en fonction des variations infinitésimales de ses deux variables δx0 (x) = x − x0 et δy0 (y) = y − y0 lorsque dont les dérivées partielles ∂f ∂f et sont continues au point (x0 , y0 ). On rappelle que la variation totale de la les dérivées partielles ∂x ∂x fonction f : U → R aux points (x, y) ∈ U et (x0 , y0 ) ∈ U est définie par l’expression, f (x, y) − f (x0 , y0 ) = f (x0 + δx0 (x), y0 + δy0 (y)) − f (x0 , y0 ).

(3.8)

Observons que si on applique le théorème des accroissements finis aux applications partielles x → f (x, y0 ) et y → f (x0 , y) on peut trouver deux les nombres réels θ1 et θ2 ∈]0, 1[ tels que, ∂f (x0 + θ1 (x − x0 ), y) ∂x ∂f f (x0 , y) − f (x0 , y0 ) = (y − y0 ) (x0 , y0 + θ2 (y − y0 )) ∂y f (x, y) − f (x0 , y) = (x − x0 )

Il est clair qu’avec ces notations la variation totale de la fonction f (x, y) peut s’écrire maintenant sous la forme : f (x, y) − f (x0 , y0 ) = (x − x0 )

∂f ∂f (x0 + θ1 (x − x0 ), y) + (y − y0 ) (x0 , y0 + θ2 (y − y0 )) ∂x ∂y

(3.9)

Par conséquent, si on fait tendre le couple (x, y) vers (x0 , y0 ) on déduit qu’on pourra approcher la variation totale infinitésimale de la fonction f (x, y) au point (x0 , y0 ) ∈ U par l’expression, f (x, y) − f (x0 , y0 ) =

∂f ∂f (x0 , y0 )dx + (x0 , y0 )dy. ∂x ∂y

où dx et dy désignent les applications différentielles des deux projections canoniques de R2 . Cette expression fonctionne comme suit : f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 , y0 ) =

∂f ∂f (x0 , y0 )h + (x0 , y0 )k. ∂x ∂y

Définition 22. Soit U ⊂ Rm un ouvert non vide et f : U → R une fonction dont toutes les dérivées partielles existent et sont continues sur l’ouvert U. On appelle différentielle totale de la fonction f (x) au point (x1 , · · · , xm ) ∈ U l’expression, df (x1 , · · · , xm ) =

∂f ∂f (x1 , · · · , xm )dx1 + · · · + (x1 , · · · , xm )dxm . ∂x1 ∂xm

(3.10)

Notons que si on définit la différentielle totale du rayon vecteur ~r = (x1 , · · · , xm ) par l’expression d~r = (dx1 , · · · , dxm ) ceci nous permet d’exprimer la différentielle totale de la fonction f (x) par le produit scalaire, df = gradf · d~r =< gradf, d~r > . A. Bouarich, FST de Beni Mellal

(3.11)

42

Différentiabilité

Proposition 26. Soient U ⊂ Rm un ouvert non vide et f, g : U → R deux fonctions dont les dérivées partielles sont continues. Alors, la différentielle totale vérifie les formules suivantes : 1) d(f + g) = df + dg ; 3) d(f g) = gdf + f dg ; f gdf − f dg . 2) Si g 6= 0 alors d( ) = g g2 Démonstration. Les trois formules de la proposition se déduisent des opérations algébriques sur les dérivées partielles d’une fonction de plusieurs variables réelles. Ci-dessous, nous allons appliquer la notion de la différentielle totale pour calculer les dérivées partielles de certaines fonctions de plusieurs variables composées. Considérons une fonction f (x, y) dont les dérivées partielles sont continues sur un ouvert non vide de R2 . En plus, supposons que les variables de f (x, y) sont eux aussi des fonctions à deux variables x(u, v) et y(u, v) possédant des dérivées partielles continues. Avec ces hypothèses nous allons utiliser la notion de différentielles totales pour calculer les deux dérivées partielles de la fonction composée, F(u, v) = f (x(u, v), y(u, v)). a) Puisque les dérivées partielles des fonctions x(u, v) et y(u, v) sont continues donc leurs différentielles totales existent et sont données par,    dx = ∂x (u, v)du + ∂x (u, v)dv ∂u ∂v ∂y ∂y   dy = (u, v)du + (u, v)dv. ∂u ∂v

Ainsi, si porte l’expression des deux différentielles dx et dy dans l’expressions de la différentielle totale de la fonction f (x, y) on obtient, ∂f ∂f (x, y)dx + (x, y)dy ∂x ∂y ∂f ∂x ∂x ∂f ∂y ∂y = (x, y)[ (u, v)du + (u, v)dv] + (x, y)[ (u, v)du + (u, v)dv] ∂x ∂u ∂v ∂y ∂u ∂v ∂f ∂x ∂f ∂y = [ (x, y) (u, v) + (x, y) (u, v)]du ∂x ∂u ∂y ∂u ∂f ∂x ∂f ∂y + [ (x, y) (u, v) + (x, y) (u, v)]dv ∂x ∂v ∂y ∂v

df (x, y) =

Finalement, si on se rappelle que la différentielle totale est égale à la limite de la variation totale, f (x, y) − f (x0 , y0 ) = f (x(u, v), y(u, v)) = f (x(u0 , v0 ), y(u0 , v0 )) = F(u, v) − F(u0 , v0 ) on déduit donc qu’on a df (x, y) = dF(u, v). Par conséquent, si compare l’expression de la différentielle ∂F ∂F totale dF(u, v) = (u, v)du + (u, v)dv avec celle de df (x, y) trouvée ci-dessus on voit alors qu’on a, ∂u ∂v ∂F ∂f ∂x ∂f ∂y (u, v) = (x, y) (u, v) + (x, y) (u, v) (3.12) ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u et que ∂F ∂f ∂x ∂f ∂y (u, v) = (x, y) (u, v) + (x, y) (u, v). ∂v ∂x ∂v ∂y ∂v

(3.13)

b) Notons que si en particulier on suppose que les varaibles (x, y) sont définies par le système des coordonnées polaires, ( x(r, θ) = r cos(θ) y(r, θ) = r sin(θ), A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Fonctions différentiables

43

les formules (2.12) et (2.13) nous permet de déduire que les dérivées partielles de la fonction F(r, θ) = f (r cos(θ), r sin(θ)) sont égales à,  ∂F ∂f ∂f   (r, θ) = cos(θ) (x, y) + sin(θ) (x, y) ∂r ∂x ∂y ∂F ∂f ∂f   (r, θ) = −r sin(θ) (x, y) + r cos(θ) (x, y). ∂θ ∂x ∂y Notons aussi que grâce au dernier système nous pouvons exprimer les dérivées partielles de la fonction f (x, y) en fonction des coordonnées polaires r et θ comme suit : ∂f ∂F sin(θ) ∂F (x, y) = cos(θ) (r, θ) − (r, θ) ∂x ∂r r ∂θ

(3.14)

∂f ∂F cos(θ) ∂F (x, y) = sin(θ) (r, θ) + (r, θ). ∂y ∂r r ∂θ

(3.15)

et que

c) Pour finir calculons la dérivée de la fonction composée ϕ(t) = f (x(t), y(t)) où les coordonnées cartésiennes (x(t), y(t)) sont de classe C 1 par rapport à la variable t ∈ R. En effet, si écrit la différentielle de x(t) et de y(t) sous la forme,

dy dx · · dt = x(t)dt et dy = dt = y(t)dt, dt dt on pourra alors exprimer la différentielle totale de la fonction f (x, y) au point (x(t), y(t)) par : dx =

∂f ∂f · · (x(t), y(t))x(t)dt + (x(t), y(t))y(t)dt ∂x ∂y ∂f ∂f · · = [ (x(t), y(t))x(t) + (x(t), y(t))y(t)]dt. ∂x ∂y

df (x, y) =

Ainsi, comme la variation tatale f (x, y) − f (x0 , y0 ) = ϕ(t) − ϕ(t0 ) donc en passant à la limite en voit que la différentielle totale df (x, y) = dϕ(t). et que, dϕ ∂f dx ∂f dy (t) = (x(t), y(t)) + (x(t), y(t)) . dt ∂x dt ∂y dt

(3.16)

Exercice 64. Calculer la différentielle totale des fonctions suivantes, y f1 (x, y) = Arctg( ), x

f2 (x, y) = Log(x2 + y 2 ),

f3 (x, y) = Arctg(

x+y ). 1 − xy

Exercice 65. Soit f (x, y) une fonction dont toutes les dérivées partielles existent et sont continues. On pose F(r, θ) = f (r cos(θ), r sin(θ)). ∂f ∂f ∂F ∂f ∂f ∂F a) Etablir les relations, x +y =r et −y +x = . ∂x ∂y ∂r ∂x ∂y ∂θ b) En déduire l’expresion en coordonnées polaires de la solution générale des équations aux dérivées partielles, p p ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f +y = 0, −y +x = 0, x +y = a x2 + y 2 et −y +x = a x2 + y 2 . x ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y

Exercice 66. Soit f (x, y) une fonction dont les dérivées partielles existent et sont continues sur R2 . On suppose que les coordonnées cartésiens (x(s, t), y(s, t)) = (s2 + t2 , s + t) et on pose F(t, s) = f (x(s, t), y(s, t)). ∂f ∂f a) En utilisant uniquement la différentielle totale, df (x, y) = (x, y)dx + (x, y)dy, montrer que les dérivées ∂x ∂y partielles de la fonction F(s, t) sont données par, ∂F ∂f ∂f (s, t) = 2s (x, y) + (x, y) ∂s ∂x ∂y

et

∂F ∂f ∂f (s, t) = 2t (x, y) + (x, y) ∂t ∂x ∂y

∂F ∂F ∂f ∂f +t = 2x +y . ∂s ∂s ∂x ∂y ∂f ∂f c) Résoudre l’équation aux dérivées partielles, 2x +y = 0. ∂x ∂y b) Etabblir la relation : s

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

44

Différentiabilité

Exercice 67. On dira que la fonction f : R2 → R est homogène de degré n ∈ R, si pour tout réel t > 0 on a, f (tx, ty) = tn f (x, y). i) Vérifier que les fonctions suivantes sont homogènes et préciser leurs degré. f1 (x, y) =

xy , 2 x + y2

f2 (x, y) =

x3 − y 3 , x2 + y 2

f3 (x, y) = xn

sin(x/y) . x+y

ii) Montrer que si f admet des dérivées partielles continues alors on a, x

∂f ∂f (x, y) + y (x, y) = nf (x, y). ∂x ∂y

Indication : On pourra considérer la fonction ψ : R → R définie par ψ(t) = f (tx, ty).

iii) En déduire que toute fonction homogène de degré zéro est solution de l’équation aux dérivées partielle, x

∂ω ∂ω (x, y) + y (x, y) = 0. ∂x ∂y

3.1.4 Théorème des accroissements finis Dans ce paragraphe, nous allons démontrer le théorème des accroissements finis pour les fonctions de plusieurs variables réelles. Pour énoncer le théorème des accroissements finis on aura besoin de quelques notions géométriques qu’on va préciser dans la définition suivante. Définition 23. Soit C ⊂ Rm une partie non vide.

1) On appelle segment d’origine A ∈ Rm et d’extrémités B ∈ Rm le sous-ensemble de l’espace Rm défini par : [A, B] = {(1 − t)A + tB ∈ Rm /t ∈ [0, 1]}. 2) On dira que la partie C est convexe si pour tout couple de points A, B ∈ C le segment [A, B] ⊂ C. N’est pas convexe

Convexe Segment

Théorème 15 (Accroissements finis). Soit U ⊂ Rm un ouvert non vide et f : U → R une fonction différentiable. Si A et B sont deux points de U tel le segment [A, B] ⊂ U alors il existe un réel θ ∈]0, 1[ tel que, −→ f (B) − f (A) =< gradf (A + θ(B − A)), AB >

(3.17)

Démonstration. Nous donnerons une preuve pour les fonctions à deux variable mais qui reste valable pour le cas des fonctions de plusieurs variables réelles. Posons A = (x0 , y0 ) ∈ U et B = (x, y) ∈ U. Puisque la fonction ϕ : [0, 1] → R définie par, ϕ(t) = f (x0 + t(x − x0 ), y0 + t(y − y0 )), A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Dérivées partielles d’ordre supérieure

45

est continue sur le segment [0, 1] et est dérivable sur l’intervalle ouvert ]0, 1[ ; le théorème classique des accroissements finis nous permet de trouver un réel θ ∈]0, 1[ tel que, ϕ(1) − ϕ(0) = (1 − 0)ϕ′ (θ). Ainsi, en portant dans la dernière ligne l’expression de la dérivée de la fonction ϕ : [0, 1] → R qui est donnée par l’expression (2.16), ϕ′ (t) = (x − x0 )

∂f ∂f (x0 + t(x − x0 ), y0 + t(y − y0 )) + (y − y0 ) (x0 + t(y0 − x0 ), y0 + t(y0 − x0 )) ∂x ∂y

−→ on obtient la formule recherchée, f (B) − f (A) =< gradf (A + θ(B − A)), AB >. Corollaire 6. Soient U ⊂ Rm un ouvert non vide convexe et f : U → R une fonction dont toutes les dérivées ∂f ∂f ,···, sont nulles sur l’ouvert U alors la fonction partielles sont continues. Si toutes les dérivées partielles ∂x1 ∂xm f est constante sur U. Démonstration. Notons d’abord qui si on fixe un point A0 ∈ U alors grâce à la convexité de l’ouvert U on voit que pour tout point A ∈ U le segment [A0 , A] ⊂ U. Ainsi, puisque la fonction f (x) vérifie les hypothèses du théorème des accroissements finis sur le segement [A0 , A] donc il existe un réel θ ∈]0, 1[ tel que, −−→ f (A) − f (A0 ) =< gradf (A0 + θ(A − A0 )), A0 A > . Mais, comme on sait que les dérivées partielles de la fonction f (x) sont nulles sur l’ouvert U il en résulte donc que pour tout x ∈ U on gradf (x) = 0. D’où, f (A) = f (A0 ), ∀A ∈ U. Exercice 68. Soit U ⊂ Rm et f : U → R une fonction différentiable. Montrer que pour tout couple de points A et B ∂f éléments de l’ouvert U tels que le segment [A, B] ⊂ U il existe un point C ∈ [A, B] tel que f (B) − f (A) = −→ (C). ∂ AB Exercice 69. Montrer que pour tout couple de nombres réels h > 1 et k > 1 il existe un réel 0 < θ < 1 tel que, h+k h+k−2 Log( )= . 2 2 + θ(h + k − 2)

3.1.5 Équations aux dérivées partielles d’ordre un

3.2 Dérivées partielles d’ordre supérieure 3.2.1 Fonctions de classe C 1 Définition 24. Soit U ⊂ Rm un ouvert non vide. On dira que la fonction f : U → R est de classe C 1 si toutes ses ∂f ∂f dérivées partielles ,···, : U → R sont continues. ∂x1 ∂xm Exemple 19. On se propose d’étudier la continuité des dérivées partielles de la fonction f : R2 → R qui est définie par l’expression,   0, si (x, y) = (0, 0) 3 3 f (x, y) = x −y  , si(x, y) 6= (0, 0) x2 + y 2 a) Notons que par définitions des dérivées partielles on a au point (0, 0),  ∂f f (x, 0) − f (0, 0) x−0   (0, 0) = lim = lim = 1, x→0 x→0 ∂x x x ∂f f (0, y) − f (0, 0) −y − 0   (0, 0) = lim = lim = −1 y→0 y→0 ∂y y y A. Bouarich, FST de Beni Mellal

46

Différentiabilité

b) La fonction f (x, y) est une fraction rationnelle sur l’ouvert U = R2 − {(0, 0)} donc ses deux dérivées partielles existent sur U et sont données par les expressions suivantes,  3x2 (x2 + y 2 ) − 2x(x3 − y 3 ) x4 + 3x2 y 2 + 2xy 3 ∂f   (x, y) = = ,  ∂x (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2 −3y 2 (x2 + y 2 ) − 2y(x3 − y 3 ) −3x2 y 2 − 2yx3 − y 4 ∂f    (x, y) = = ∂y (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2

Puisque selon ces expressions les dérivées partielles de la f (x, y) sont des fractions rationnelles elle sont donc continues sur l’ouvert U = R2 − {(0, 0)}.

b) Étudions la continuité des dérivées partielles de la fonction f (x, y) au point (0, 0). 1 1 Oservons que si on considère les suites vectorielles un = ( , 0) et vn = (0, − ) on déduit que, n n    ∂f (un ) = 1 ∂f ∂x =⇒ lim (x, y) n’existe pas ∂f  (x,y)→(0,0) ∂x  (vn ) = 0 ∂x

De la même, façon on montre que la dérivée partielle

∂f n’est pas continue au point (0, 0). ∂y

Conséquence : Puisque les dérivées partielles de la fonction f (x, y) ne sont pas continues au point (0, 0) donc f (x, y) est de classe C 1 que sur l’ouvert R2 − {(0, 0)}.

3.2.2 Dérivées partielles secondes Définition 25. Soit U ⊂ Rm un ouvert non vide et f : U → R une fonction de classe C 1 . On désigne par {e1 , · · · , em } la base canonique de l’espace Rm .

1) On dira que la fonction f : U → R possède une dérivée partielle seconde par rapport à xi et xj au point a ∈ U si ∂f ∂f (a + tej ) − (a) ∂xi ∂xi la limite lim existe et on note, t→0 t ∂2f ∂ ∂f ( )(a) = (a). ∂xj ∂xi ∂xj ∂xi 2) On dira que la fonction f : U → R est de classe C 2 si pour tout couple d’indice 1 6 i, j 6 n les dérivées partielles ∂2f secondes : U → R existent et sont continues. ∂xi ∂xj

Exemple 20. 1) Calculons les dérivées partielles secondes de la fonction f (x, y) = Log(x2 + y 2 ) au point (x, y) 6= (0, 0). Puisque la fonction logarothmique Log et x2 + y 2 sont dérivables par rapport à x et y on aura donc, ∂f 2x (x, y) = 2 ∂x x + y2

et

∂f 2y (x, y) = 2 . ∂y x + y2

∂f ∂f De même, puisque les fonctions dérivées partieles (x, y) et (x, y) sont des fractions rationnelles, et donc ; elles ∂x ∂x possèdes des dérivables partielles données par, ∂2f 2(x2 + y 2 ) − 4x2 2y 2 − 2x2 (x, y) = = , ∂x2 (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2

∂2f −4xy (x, y) = 2 ∂y∂x (x + y 2 )2

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Dérivées partielles d’ordre supérieure

47

∂2f 2x2 − 2y 2 (x, y) = , ∂y 2 (x2 + y 2 )2 2) Calculons les dérivées partielles secondes mixtes définie par la formule, g(x, y) =

∂2f −4xy (x, y) = 2 . ∂x∂y (x + y 2 )2

∂2g ∂2g (0, 0) et (0, 0) de la fonction g : R2 → R qui est ∂y∂x ∂x∂y

 

0 x3 y  x2 + y 2

si

(x, y) = (0, 0)

si

(x, y) 6= (0, 0)

a) Calculons les dérivées partielles premières de la fonction g(x, y) en tout point (x, y) ∈ R2 . Premièrement, puisque g(x, y) est une fraction polynômiale sur l’ouvert R2 − {(0, 0)} donc ses dérivées partielles premières existent en tout point (x, y) 6= (0, 0) et sont données par : ∂g x4 + 3x2 y 2 (x, y) = y 2 ∂x (x + y 2 )2

et

∂g x2 − y 2 (x, y) = x3 2 . ∂y (x + y 2 )2

D’autre part, par définition des dérivées partielles premières on aura au point (0, 0), g(x, 0) − g(0, 0) ∂g =0= (0, 0) x→0 x ∂x lim

et

g(0, y) − g(0, 0) ∂g =0= (0, 0) y→0 y ∂y lim

b) Calculons les deux dérivées partielles secondes mixtes de la fonction g(x, y). ∂g ∂g (0, y) − (0, 0) 0 ∂2g ∂x ∂x lim = lim = 0 = (0, 0), y→0 y→0 y y ∂y∂x ∂g ∂g (x, 0) − (0, 0) x−0 ∂2g ∂y ∂y lim = lim =1= (0, 0). x→0 y→0 x x ∂y∂x Notons que le calcul des dérivées partielles secondes mixtes de la fonction g(x, y) au point (0, 0) nous a donné deux valeurs différentes, ∂2g ∂2g 0= (0, 0) 6= (0, 0) = 1. ∂y∂x ∂y∂x Ceci nous montre clairement qu’au niveau du calcul des dérivées partielles mixites il ne faut intervertir l’ordre des symboles de dérivation partielle. Le théorème suivant nous donnera la condition suffisante qui assurera l’égalité des dérivées partielles secondes mixtes. Théorème 16 (Shwartz). Soit U ⊂ R2 un ouvert non vide. Si la fonction f : U → R admet des dérivées partielles ∂2f ∂2f secondes mixtes et continues au point (x0 , y0 ) ∈ U alors, ∂x∂y ∂y∂x ∂2f ∂2f (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) ∂x∂y ∂y∂x

(3.18)

Démonstration. Pour un couple de points (h, k) proche de (0, 0) posons, F(h, k) = f (x0 + h, y0 + k) − f (x0 + h, y0 ) − f (x0 , y0 + k) + f (x0 , y0 ). Observons que pour k fixé, en posant ϕ(x) = f (x, y0 + k) − f (x, y0 ), ceci définit une fonction dérivable sur un voisinage de x0 dont la dérivée est donnée par, ϕ′ (x) =

∂f ∂f (x, y0 + k) − (x, y0 ). ∂x ∂x

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

48

Différentiabilité

Ainsi, puisque l’expression F(h, k) = ϕ(x0 + h) − ϕ(x0 ) le théorème des accroissements finis permet de trouver un réel 0 < θ < 1 tel que : F(h, k) = hϕ′ (x0 + θh) = h[

∂f ∂f (x0 + θh, y0 + k) − (x0 + θh, y0 )] ∂x ∂x

∂f (x0 + θh, y) est dérivable, le théorème des De même, si on remarque que la fonction partielle y → ∂x ′ accroissements finis nous permet encore de trouver un réel 0 < θ < 1 tel que, F(h, k) = hk

∂2f (x0 + θh, y0 + θ ′ k). ∂y∂x

Enfin, comme on sait que la dérivée partielle seconde à la limite sur (h, k) vers (0, 0) on obtient,

∂2f est continue au point (x0 , y0 ) ; donc en passant ∂y∂x

∂2f F(h, k) ∂2f = lim (x0 + θh, y0 + θ ′ k) = (x0 , y0 ). hk ∂y∂x (h,k)→(0,0) (h,k)→(0,0) ∂y∂x lim

De la même façon comme ci-dessus, en posant ψ(y) = f (x0 + h, y) − f (x0 , y) ceci permet d’écrire F(h, k) = ψ(y0 + k) − ψ(y0 ). Puis, grâce au théorème des accroissements finis on pourra trouver deux réelles 0 < λ, λ′ < 1 tels que ∂2f F(h, k) = hk (x0 + λh, y0 + λ′ k). ∂x∂y Ensuite, en passant à la limite sur (h, k) vers (0, 0) on obtient, F(h, k) ∂2f ∂2f = lim (x0 + λh, y0 + λ′ k) = (x0 , y0 ). hk ∂x∂y (h,k)→(0,0) (h,k)→(0,0) ∂y∂x lim

D’où,

∂2f ∂2f (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ). ∂x∂y ∂y∂x

Exemple 21. Pour comprendre l’utilité de l’hypothèse de continuité des dérivées partielles secondes mixtes demandée x3 y par le théorème de Schwartz nous allons revenir sur la fonction g(x, y) = 2 étudiée ci-dessus. x + y2 Rappelons que les dérivées partielles premières de la fonction g(x, y) sont des fractions polynômiales données par, x4 + 3x2 y 2 ∂g (x, y) = y 2 ∂x (x + y 2 )2

et

∂g x2 − y 2 (x, y) = x3 2 . ∂y (x + y 2 )2

Donc leurs dérivées partielles secondes mixtes sont continues sur l’ouvert R2 − {(0, 0)} et sont données par les expressions, ∂2g x6 + 6x4 y 2 − 3x2 y 4 ∂2g (x, y) = = (x, y), ∀(x, y) 6= (0, 0). ∂x∂y (x2 + y 2 )3 ∂y∂x 1 Mais, observons que si on considère les deux suites vectorielles un = (0, n1 ) et vn = ( , 0) on obtient deux limites n différentes, ∂2g ∂2g lim (un ) = 0 et lim (vn ) = 1, n→+∞ ∂x∂y n→+∞ ∂x∂y qui montrent que les dérivées partiles secondes mixtes de la fonction g(x, y) ne sont pas continues au point (0, 0). Exercice 70. Soit h : R2 → R une fonction définie par l’expression,   0, si (x, y) = (0, 0) 2 2 h(x, y) = 4xy(x − y )  , si (x, y) 6= (0, 0). x2 + y 2 A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Dérivées partielles d’ordre supérieure

49

1) Montrer que la fonction h(x, y) est de classe C 1 sur R2 . ∂2h ∂2h 2) Calculer les dérivées partielles secondes (0, 0) et (0, 0). ∂x∂y ∂y∂x 3) La fonction h(x, y) est-elle de classe C 2 sur R2 ? Exercice 71. Soit f : R → R une fonction de classe C 2 . Pour tout (x, y, z) ∈ R3 on pose r = p définit une fonction ω : R3 → R par l’expression, ω(x, y, z) = f ( x2 + y 2 + z 2 ).

p x2 + y 2 + z 2 et on

1) Montrer que ω(x, y, z) est solution de l’équation aux dérivées partielles, ∆ω =

∂2ω ∂2ω ∂2ω 2 ′ + 2 + 2 = f ” (r) + f (r). 2 ∂x ∂y ∂z r

2) Trouver toutes les fonctions f pour que la fonction ω(x, y, z) soit harmonique (i.e. ∆ω = 0). Exercice 72. Soit f : R2 → R une fonction de classe C 2 . Pour tous réels r > 0 et θ on pose, F(r, θ) = f (r cos(θ), r sin(θ)). Montrer qu’on a, ∂2f ∂2f ∂2F 1 ∂2F 1 ∂F (x, y) + (x, y) = (r, θ) + (r, θ) + (r, θ). ∂x2 ∂y 2 ∂r 2 r 2 ∂θ 2 r ∂r Exercice 73. Dans cet exercice, pour un couple de nombres réels fixés (a, b) ∈ R2 on se propose de trouver toutes les solutions ω(x, y) de l’équation aux dérivées partielles (E) : a

∂2ω ∂2ω ∂2ω + b + = 0. ∂x2 ∂x∂y ∂y 2

1) On considère deux réels α, β ∈ R tels que α 6= β et on pose u = x + αy et v = x + βy. Montrer que si ω(x, y) est solution de l’équation aux dérivées partielles (E) alors la fonction Ω(u, v) = ω(x, y) est solution de l’équation aux dérivées partielles (E′ ) : (a + bα + α2 )

2 ∂2Ω ∂2Ω 2 ∂ Ω + (2a + b(α + β) + 2αβ) + (a + bβ + β ) = 0. ∂u2 ∂u∂v ∂v 2

2) Équation hyperbolique : i) Montrer que si on suppose ∆ = b2 − 4a > 0 alors il existe deux nombres réels α 6= β qui permettent de réduire ∂2Ω l’équation (E′ ) en une équation de la forme, = 0. ∂u∂v ii) En déduire que, sous l’hypothèse ∆ > 0, la solution générale ω(x, y) de l’équation (E) est une fonction ayant comme expression, ω(x, y) = f (x + αy) + g(x + βy), avec f, g : R → R sont deux fonctions de classes C 2 quelconques. 3) Équation parabolique : i) Montrer que si on suppose ∆ = b2 − 4a = 0 alors en prenant α racine de polynôme x2 + bx + a et β = 6 α; 2Ω ∂ l’équation (E′ ) se réduit à une équation de la forme, = 0. ∂v 2 ii) En déduire que, sous l’hypothèse ∆ = 0, la solution générale ω(x, y) de l’équation (E) est une fonction ayant comme expression ω(x, y) = f (x + αy) + xg(x + αy) avec f, g : R → R sont deux fonctions de classes C 2 quelconques. 4) Équation elliptique : A. Bouarich, FST de Beni Mellal

50

Différentiabilité

i) Montrer que si on suppose que ∆ = b2 − 4a < 0 alors il existe deux nombres réels α 6= β qui permettent de réduire ∂2Ω ∂2Ω l’équation (E′ ) en une équation de la forme, + = 0. ∂u2 ∂v 2 ∂2Ω ∂2Ω ii) Trouver toutes les fonctions Ω(u, v) = A(u)B(v) solution de l’équation aux dérivées partielle + = 0. ∂u2 ∂v 2 5) Résoudre les équations aux dérivées partielles suivantes : ∂2ω ∂2ω a) − = 0. ∂x2 ∂y 2 ∂2ω ∂2ω ∂2ω b) + − 2 = 0. ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 ∂2ω ∂2ω ∂2ω c) + = 0. + ∂x2 ∂x∂y ∂y 2

3.2.3 Dérivées partielles successives Etant donnée un ouvert non vide U ⊂ Rm et une fonction f : U → R ; on définit les dérivées partielles mixtes d’ordre 3, 4, · · · , l ∈ N par les formules récurrentes suivantes, ∂ ∂2f ∂4f ∂lf ∂3f = ( ), ,···, où 1 6 i1 , · · · + ik 6 m. ∂xi ∂xj ∂xk ∂xi ∂xj ∂xk ∂xi ∂xj ∂xk ∂xl ∂xi1 · · · ∂xkn Définition 26. Soit U ⊂ Rm un ouvert non vide et f : U → R une fonction. On dira que la fonction f est de classe ∂lf C p (p ∈ N) si toutes ses dérivées partielles mixtes d’ordre 1 6 l 6 p, , existent et sont continues sur ∂xi1 · · · ∂xkn l’ouvert U. Le théorème suivant se démontre de la même façon que le théorème de Schwartz énoncé au paragraphe précédent. Théorème 17. Soit U ⊂ Rm un ouvert non vide. Si f : U → R est une fonction de classe C p alors le calcul des dérivées partielles mixtes d’ordre 1 6 k 6 p de f ne dépend pas de l’ordre de dérivation.

3.2.4 Équations aux dérivées partielles d’ordre deux

3.3 Formule de Taylor et ses applications 3.3.1 Formule de Taylor Dans ce paragraphe, nous nous proposons d’établir une formule de Taylor pour les fonctions de deux variables réelles. Nous attirons l’attention du lecteur que la formule de Taylor que nous donnerons cidessus se généralise aisément au cas des fonctions de plusieurs variables. En effet, nous avons préféré travailler qu’avec deux variables afin de permettre au lecteur de suivre avec aisance le développement de nos calculs. Considérons un ouvert convexe non vide U ⊂ R2 et une fonction f : U → R de classe C p dont toutes les dérivées partielles mixtes d’ordre p + 1 existent. Il est clair que pour tout couple de points A = (a, b) ∈ U et B = (a + h, b + k) ∈ U la convixité de l’ouvert U implique que l’expression F(t) = f (a + th, b + tk) est bien définie sur le segment [0, 1] et que toutes ses dérivées d’ordre 1 6 k 6 p + 1 existent sur [0, 1]. Rappelons aussi que sous ces hypothèse nous pouvons appliquer à la fonction F(t) la formule de Taylor pour un certain réel θ ∈]0, 1[ : F(1) = F(0) +

1 ′ 1 1 1 F (0) + F”(0) + · · · + F(p) (0) + F(p+1) (θ). 1! 2! p! (p + 1)! A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Formule de Taylor et ses applications

51

Maintenant, si on dérive la fonction composée F(t) = f (a + th, b + tk) par récurrence jusqu’à l’ordre (p + 1) comme suit, ∂f ∂f (a + th, b + tk) + k (a + th, b + tk), ∂x ∂y 2 ∂ f ∂2f ∂2f F”(t) = h2 2 (a + th, b + tk) + 2hk (a + th, b + tk) + k2 2 (a + th, b + tk), · · · ∂x ∂x∂y ∂y .. . = ··· i=n n X i i (n) F (t) = Cn hikn−i ∂x∂i ∂yfn−i (a + th, b + tk) où Cp = (p −p!i)!i! F′ (t) = h

i=0

alors en portant les expressions de F(0), F′ (0), F”(0), · · · dans la formule de Taylor associée à la fonction F(t) on obtient la formule de Taylor à l’ordre p > 1 pour la fonction f (x, y), ∂f ∂f (a, b) + k (a, b)] ∂x ∂y 2 2 ∂2f 1 2∂ f 2∂ f [h (a, b) + 2hk (a, b) + k (a, b)] + · · · 2! ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 i=p 1 X i i p−i ∂ p f ( Cp h k ∂xi∂yp−i (a + θh, b + θk). p!

f (a + h, b + k) − f (a, b) = [h + +

i=0

La formule de Taylor qu’on vient d’établir nous permet de déduire la fameuse formule de Taylor-Mac Laurin qui est à la base de la notion de développamlent limité et que l’on utilise notamment pour calculer certaines limites de fonctions de plusieurs variables réelles. Théorème 18 (Formule de Taylor-Mac Laurin). Soit U ⊂ R2 est un ouvert convexe non vide et f : U → R une fonction de classe C p dont toutes les dérivées partielles mixes d’ordre p + 1 existent. Alors, il existe une fonction réelle ε(x, y) continue sur un voisinage de (0, 0) telle que ε(0, 0) = 0 et pour (x, y) ∈ U proche du point (a, b) on a la formule suivante : ∂f ∂f (a, b) + (y − b) (a, b)] + ∂x ∂y 2f 1 ∂ ∂2f ∂2f [(x − a)2 2 (a, b) + 2(x − a)(y − b) (a, b) + (y − b)2 2 (a, b)] 2! ∂x ∂x∂y ∂y i=p 1 X i ∂pf i p−i +··· + [ C (a, b)] p (x − a) (y − b) p! ∂xi ∂y p−i i=0 p ( (x − a)2 + (y − b)2 )p + ε(x − a, y − b). p!

f (x, y) − f (a, b) = [(x − a)

Exercice 74. Déterminer le développement limité de Taylor d’ordre 3 des fonctions suivantes au voisinage de (0, 0) : r 1 1+x y cos(x − y), sin(xe ), , log( ). 2 2 1+x +y 1−y Exercice 75. Donner le développement limité à l’ordre 4 au voisinage de (0, 0) des fonctions suivantes, f (x, y) = sin(x) cos(y)

et

g(x, y) = exp(x − y) sin(xy).

Exercice 76. Calculer les limites suivantes en utilisant un développement limité jusqu’à un ordre convenable. exp(xy) − 1 − xy , x2 + y 2 (0,0) lim

sin(x + y) − x − y 2 p , (0,0) x2 + y 2 lim

lim (log(

(0,0)

1+x ) − x − y)(x2 + y 2 )−1/2 . 1−y

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

52

Différentiabilité

3.3.2 Les extremums libres Définition 27. Soit U ⊂ Rm un ouvert non vide et f : U → R une fonction.

1) On dira que la fonction f (x) admet un maximum local au point a ∈ U s’il existe un réel ε > 0 tel que, ∀x ∈ U,

kx − ak < ε

=⇒

f (x) 6 f (a).

2) On dira que la fonction f (x) admet un minimum local au point a ∈ U s’il existe un réel ε > 0 tel que, ∀x ∈ U,

kx − ak < ε

=⇒

f (a) 6 f (x).

Un point a ∈ U qui est soit un maximum local ou soit un minimum local de f s’appelle extremum local. Sur la figure suivante nous donnerons la présentation graphique des extremums locaux d’une fonctions réelles à deux variables réelles.

Maximums 10 8 6 4 2 0 −2 −4 −6 −8 50 40

50 Minimum

30

40 30

20 20

10

10 0

0

F IGURE 3.1 – Forme géométrique des extremums locaux

Proposition 27. Soit U ⊂ Rm un ouvert non vide et f : U → R une fonction différentiable. Si a = (a1 , a2 , · · · , am ) ∈ U est un extremum local de f (x) alors le vecteur gradient gradf (a) = ~0. Démonstration. Il suffit qu’on remarque que les fonctions partielles ϕ1 (x1 ) = f (x1 , a2 , · · · , am ), ϕ2 (x2 ) = f (a1 , x2 , · · · , am ), · · · , ϕm (xm ) = f (a1 , a2 , · · · , xm ) qui dépendent d’une seule variables réelle admettent un extremum local au points a1 , a2 , · · · , am respectivement. Donc, d’après la caractérisation des extremums locaux des fonctions réelles à une seule variable réelle on déduit que les dérivées suivantes sont nulles : ϕ′1 (a1 ) =

∂f ∂f (a) = 0, · · · , ϕ′m (am ) = (a) = 0. ∂x1 ∂xm

D’où, gradf (a) = ~0. A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Formule de Taylor et ses applications

53

Définition 28. Soit U ⊂ Rm un ouvert non vide et f : U → R une fonction qui admet des dérivées partielles d’ordre un. Si au point a ∈ U le vecteur gradient gradf (a) = ~0 ∈ Rm on dira que a ∈ U est un point critique de la fonction f (x). Exemple 22. Cherchons les points critiques de la fonction différentiable g : R2 → R définie par l’expression, g(x, y) = x3 − 3xy 2 + y. Pour que le point (x, y) soit critique pour g(x) il faut et il suffit qu’on ait :   ∂g   x2 − y 2 =  (x, y) = 0 ∂x ~ gradg(x, y) = 0 ⇐⇒ ⇐⇒  ∂g (x, y) = 0  xy =  ∂y

0 1 ⇐⇒ 6

(

y = 1/6x x4 = 1/36.

A partir du dernier système on conclut que la fonction g(x, y) = x3 − 3xy 2 + y possède deux points critiques qui 1 1 1 1 sont : ( √ , √ ) et (− √ , − √ ). 6 6 6 6 Une question naturelle se pose : est-ce tout point critique est un extremum local ? En général la réponse est non. Pour voir concrètement ceci considérons la fonction f (x, y) = x2 − y 2 dont le vecteur gradient gradf (0, 0) = ~0 mais sa valeur f (0, 0) = 0 est ni minimale ni maximale parce que pour tous réels x et y on a la double inégalité, f (0, y) = −y 2 6 f (0, 0) = 0 6 f (x, 0) = x2 . Le graphe de f (x, y) = x2 − y 2 au-dessus d’un voisinage de (0, 0) est une selle de cheval. Point selle : ni minimum ni maximum

10

5

0

−5

−10 3 2

3

1

2 0

1 0

−1

−1

−2

−2 −3

−3

F IGURE 3.2 – Représentation graphique d’un point selle

Le théorème suivant nous donne des conditions suffisantes pour qu’un point critique d’une fonction de classe C 2 soit un extremum local. Théorème 19 (Caractérisation des extremums locaux). Soit U ⊂ R2 un ouvert convexe non vide et f : U → R une fonction de classe C 2 . Pour un point critique (x0 , y0 ) ∈ U de la fonction f (x, y) on pose, r0 =

∂2f (x0 , y0 ), ∂x2

s0 =

∂2f (x0 , y0 ) ∂x∂y

et

t0 =

∂2f (x0 , y0 ). ∂y 2

Alors, on a les propositions suivantes, 1. Si ∆ = (s0 )2 − r0 t0 < 0 et r0 > 0 alors f (x0 , y0 ) est une valeur minimume locale de f (x, y). 2. Si ∆ = (s0 )2 − r0 t0 < 0 et r0 < 0 alors f (x0 , y0 ) est une valeur maximale locale de f (x, y).

3. Si ∆ = (s0 )2 − r0 t0 > 0 alors f (x0 , y0 ) est ni minimale locale ni maximale local de f (x, y). A. Bouarich, FST de Beni Mellal

54

Différentiabilité 4. Si ∆ = (s0 )2 − r0 t0 = 0 on ne peut rien dire à propos de la nature de la valeur f (x0 , y0 ).

Démonstration. Puisque la fonction f est de classe C 2 elle possède donc un développement limité d’ordre deux au voisinage du point critique (x0 , y0 ) donné par : f (x, y) − f (x0 , y0 ) = +

2 1 ∂2f ∂2f 2∂ f (x , y ) + (y − y ) (x0 , y0 )] [(x − x0 )2 2 (x0 , y0 ) + 2(x − x0 )(y − y0 ) 0 0 0 2 ∂x ∂x∂y 2 ∂y 2 (x − x0 )2 + (y − y0 )2 ε(x − x0 , y − y0 ). 2

Ainsi, si on pose h = x − x0 et k = y − y0 on pourra alors récrire le développement limité de f (x, y) sous la forme suivante, 1 h2 + k2 f (x, y) − f (x0 , y0 ) = [h2 r0 + 2hks0 + k2 t0 ] + ε(h, k), 2 2 qui nous montre que lorsque h et k sont très proches de zéro le signe du terme f (x, y) − f (x0 , y0 ) dépend du signe du discriminant ∆ = (s0 )2 − r0 t0 et de celui de r0 . Le tableau suivant résume toutes les affirmations du théorème précédent. ∆ = (s0 )2 − r0 t0

−

−

+

f (x, y) − f (x0 , y0 )

+

−

change

r0 ou t0

f (x0 , y0 )

+

−

minimum

maximum

0

ni min ni max

cas douteux

Notons que si le discriminant ∆ = (s0 )2 − r0 t0 < 0 il en résulte que t0 et r0 sont de même signe parce que : ∆ = (s0 )2 − r0 t0 < 0

(s0 )2 < r0 t0 .

=⇒

Exemple 23. Cherchons les extremums locaux de la fonction f : R2 → R définit par l’expression, f (x, y) = 5 + y − x2 − y 2 + x2 y. a) Cherchons les points critiques de la fonction f (x, y). Pour que le couple de nombres réels (x, y) soit un point critique de la fonction gf (x, y) il faut qu’il soit solution de l’équation, gradf (x, y) = (0, 0).  ∂f (   (x, y) = 0 −2x + 2xy = 0 ∂x =⇒ =⇒ (x, y) = (0, 1/2) ou (x, y) = (±1, 1). ∂f  1 − 2y + x2 = 0  (x, y) = 0 ∂y Suite à ce calcul nous déduisons donc que la fonction f (x, y) possède trois points critiques {(0, 1/2), (1, 1), (−1, 1)}. b) Étudions la nature des trois points critiques de la fonction f (x, y). Notons que les dérivées partielles secondes de la fonction f (x, y) sont données par, ∂2f (x, y) = −2 + 2y, ∂x2

Pts critiques (0, 1/2) (1, 1) (−1, 1)

∂2f (x, y) = 2x ∂x∂y

et

∂2f (x, y) = −2 =⇒ ∆(x, y) = 4x2 + 4y − 4. ∂y 2

∆ = (s0 )2 − r0 t0

r0

Nature du point critique

−2

-1

Maximule locale

4

Ni minimale ni maximale

4

Ni minimale ni maximale

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Formule de Taylor et ses applications

55

Exercice 77. Étudier la nature des extremums possibles des fonctions définies par les expressions suivantes, 1. f1 (x, y) = x2 − xy + y 2 + y 3 ; 2. f2 (x, y) = xey − yex ; x 3. f3 (x, y) = e 2 (x2 + y 2 ) ; 4. f4 (x, y) = x2 − 2(x − y)2 + y 4 .

3.3.3 Théorème des fonctions implicites Étant donnée une fonction F : Rn+1 → R de classe C p ; dans cette section nous nous proposons de trouver les solutions d’une équation de type F(x1 , x2 , · · · , xn+1 ) = 0 dites équations implicites. Quand l’équation implicite possède une solution particulière F(x01 , x02 , · · · , x0n+1 ) = 0, sous certaines hypothèses que nous discuterons ci-dessous, nous allons démontrer que l’équation implicite F(x1 , x2 , · · · , xn+1 ) = 0 possède des solutions de la forme, F(x1 , x2 , · · · , xn , f (x1 , x2 , · · · , xn )) = 0,

(3.19)

où la fonction inconnue f (x1 , x2 , · · · , xn ) est de classe C p sur un voisinage de (x01 , x02 , · · · , x0n ) et à valeur dans un voisinage de x0n+1 = f (x01 , x02 , · · · , x0n ). La fonction f (x1 , x2 , · · · , xn ) qui vérifie (2.19) s’appelle explicitation de l’equation implicite F(x1 , x2 , · · · , xn+1 ) = 0 et le théorème assurant l’existence locale de f (x1 , x2 , · · · , xn ) est connu par théorème de la fonction implicite. Théorème 20 (Fonctions implicites). Soit U ⊂ Rn+1 un ouvert non vide et F : U → R une fonction de classe C p , p > 1. Soit (a1 , · · · , an , b) ∈ U une solution particulière de l’equation implicite F(x1 , · · · , xn , xn+1 ) = 0. ∂F (a1 , · · · , an , b) 6= 0 alors il existe un réel η > 0 tel que le produit B((a1 , · · · , an ); η)×]b− Si la dérivée partielle ∂xn+1 η, b + η[⊂ U et une fonction ϕ : B((a1 , · · · , an ); η) → R de classe C p appelée fonction implicite qui possède les propriétés suivantes : 1. ϕ(a1 , · · · , an ) = b ; 2. ∀x ∈ B((a1 , · · · , an ); η)

=⇒

ϕ(x) ∈]b − η, b + η[

et

F(x, ϕ(x)) = 0 ;

3. les dérivées partielles premières de la fonction implicite xn+1 = ϕ(x) sont données par l’expression : ∂F (x, ϕ(x)) ∂ϕ ∂xi (x) = − , ∂F ∂xi (x, ϕ(x)) ∂xn+1

∀1 6 i 6 n.

(3.20)

Démonstration. Exemple 24. Montrons que l’équation F(x, y) = x + y − exy = 0 définit la coordonnée y comme fonction implicite de la coordonnée x au tours du point (0, 1). Puis cherchons un développement limite de la fonction implicite à l’ordre 2 au voisinage de zéro. a) Notons d’abord que la fonction F(x, y) est de classe C ∞ sur l’ouvert U = R2 − {(0, 1)} et qua sa dérivée partielle de F par rapport à la variable y est donnée par, ∂F ∂F (x, y) = 1 − yexy =⇒ (0, 1) = 1 6= 0. ∂y ∂y A. Bouarich, FST de Beni Mellal

56

Différentiabilité

Donc, d’après le théorème la fonction implicite il existe un réel η > 0 et une fonction implicite ϕ :] − η, η[→ R de classe C ∞ telle que ϕ(0) = 1

et

F(x, ϕ(x)) = x + ϕ(x) − exp(xϕ(x)) = 0, ∀x ∈] − η, η[

b) Dans cette étape, nous nous proposons de chercher un développement limité à l’ordre 2 de la fonction implicite ϕ(x) = y au voisinage du point x0 = 0. Il s’agit donc de calculer les dérivées d’ordre un et deux de la fonction implicite y = ϕ(x) et par suite appliquer la formule de Taylor-Mac Laurin. Notons qu’un tel travail nous donnera une idée sur le comportement de la fonction implicite y = ϕ(x) sur un voisinage de 0. b1) Si on dérive l’équation F(x, ϕ(x)) = x + ϕ(x) − exp(xϕ(x)) = 0 par rapport à x on obtient : 1 + ϕ′ (x) − (ϕ(x) + xϕ′ (x)) exp(xϕ(x)) = 0 =⇒ ϕ′ (0) = 0. b2) Pour calculer la dérivée seconde de la fonction y = ϕ(x) au point 0 nous allons dériver l’équation, 1 + ϕ′ (x) − (ϕ(x) + xϕ′ (x)) exp(xϕ(x)) = 0, par rapport à x : ϕ”(x) − (2ϕ′ (x) + xϕ”(x)) exp(xϕ(x)) + (ϕ(x) + xϕ′ (x))2 exp(xϕ(x)) = 0 =⇒ ϕ”(0) = −1 b3) D’après la formule de Taylor-Mac laurin le développement limité à l’ordre 2 de la fonction implicite y = ϕ(x) au voisinage du point 0 est donné par l’expression, ϕ(x) = ϕ(0) + xϕ′ (0) +

x2 x2 ϕ”(0) + o(x2 ) =⇒ ϕ(x) = 1 − + o(x2 ). 2 2

2 1 0 −1 −2 −3 −4 −5 −6 2 1

1.5 0.5

1 0 0.5 Y

−0.5 0

−1

X

F IGURE 3.3 – Graphe des fonctions implicites x + y = exp(xy)

Exemple 25. Montrons que l’équation F(x, y, z) = z 3 + xyz + x+ y − 1 = 0 définit la coordonnée z comme fonction implicite qui dépend des dex variables x et y avec z(0, 0) = 1. Puis cherhons un développement limité à l’ordre de deux de la fonction z = ϕ(x, y) sur un voisinage de (0, 0). ∂F a) En effet, puisque on a F(0, 0, 1) = 0 et (0, 0, 1) = 3 6= 0 ; le théorème de la fonction implicite permet de trouver ∂z un réel η > 0 et une fonction z = ϕ(x, y) de classe C ∞ telle que : ϕ(0, 0) = 1

et

F(x, y, ϕ(x, y)) = 0,

∀(x, y) ∈] − η, η[×] − η, η[

b) Cherchons le développement limité à l’ordre deux de la fonction implicite z = ϕ(x, y) au point (0, 0). A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Formule de Taylor et ses applications

57

b1) Pour calculer les deux dérivées partielles premières de la fonction implicite z = ϕ(x, y) au point (0, 0) il suffit qu’on dérive l’équation implicite, F(x, y, ϕ(x, y)) = (ϕ(x, y))3 + xyϕ(x, y) + x + y − 1 = 0, par rapport aux variables indépendantes x et y.   ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ 1    3(ϕ(x, y))2  (x, y) + yϕ(x, y) + xy (x, y) + 1 = 0 (0, 0) = − ∂x ∂x ∂x 3 =⇒ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ 1    3(ϕ(x, y))2  (x, y) + xϕ(x, y) + xy (x, y) + 1 = 0 (0, 0) = − ∂y ∂y ∂y 3

b2) Pour calculer toutes les dérivées partielles d’ordre deux de la fonction implicite les lignes du dernier système par rapport à x et y :   2 ∂z 2 ∂z ∂2z   2∂ z   + xy 2 6z( ) + 3z + 2y = 0   2   ∂x ∂x ∂x ∂x     2 2 ∂z ∂z 2 ∂ z 2∂ z + 2x = 0 6z( ) + 3z + xy =⇒   ∂y ∂y 2 ∂y ∂y 2     2z 2z   ∂z ∂z ∂z ∂z ∂ ∂   2   6z + 3z +z+x +y + xy = 0 ∂x ∂y ∂x∂y ∂x ∂y ∂x∂y

z = ϕ(x, y) nous allons dériver ∂2ϕ (0, 0) = 2 ∂x 2 ∂ ϕ (0, 0) = ∂y 2 2 ∂ ϕ (0, 0) = ∂y∂x

−2 9 −2 9 −5 9

b3) Enfin, si on applique la formule de Taylor-Mac Laurin à la fonction z = ϕ(x, y) au point (0, 0) on déduit que le développement limité de z = ϕ(x, y) à l’ordre deux au point (0, 0) est donné par : 1 1 1 ϕ(x, y) = 1 − x − y − [x2 + 5xy + y 2 ] + o(x2 + y 2 ). 3 3 9 Exercice 78. a) Montrer que l’équation F(x, y) = y + x2 + y 2 + x3 + y 3 = 0 définit implicitement une fonction y = f (x) au voisinage de 0 telle que f (0) = 0. b) Donner un développement limité à l’ordre 4 de la fonction f (x) au voisinage de 0. Exercice 79. Soit F : R3 → R une fonction de classe C 1 . On suppose que l’équation F(x, y, z) = 0 admet au moins une solution dans R3 . a) Sous quelles conditions l’équation F(x, y, z) = 0 définit trois fonctions implicites x(y, z), y(x, z) et z(x, y) ? b) Montrer que sous les conditions trouvées en a) les dérivées partielles premières des trois fonctions implicites x(y, z), y(x, z) et z(x, y) vérifient les équations aux dérivées partielles : ∂z ∂x =1 ∂x ∂z

et

∂z ∂x ∂y = −1. ∂x ∂y ∂z

Exercice 80. a) Montrer que l’équation F(x, y, z) = x cos(y) + y cos(z) + z cos(x) = −1 définit implicitement au voisinage de (0, 0) une fonction z = f (x, y) telle que f (0, 0) = 1. ∂f ∂f b) Calculer les dérivées partielles (0, 0) et (0, 0). ∂x ∂x c) Donner le développement limité à l’ordre deux de la fonction implicite z = f (x, y) au voisinage du point (0, 0). Exercice 81. 1) Démontrer que l’équation F(x, y, z) = Log(1 + x + z) + x + y + z = 0 permet de définir l’ordonnée z comme fonction à deux variables, z = ϕ(x, y), de classe C ∞ dans un voisinage de (0, 0) ∈ R2 .

2) Écrire le développement limité de la fonction implicite z = ϕ(x, y) jusqu’à l’ordre deux au voisinage de (0, 0).

Exercice 82. Soit f : R → R une fonction de classe C ∞ telle que f (0) = 0. Pour tout (x, y, z) ∈ R3 on pose F(x, y, z) = f (xy) + f (yz) + f (zx) + x + y + z. 1) Montre qu’il existe une fonction z = ϕ(x, y) de classe C ∞ sur un voisinage du point (0, 0) telle que, F(x, y, ϕ(x, y)) = 0. 2) Donner l’expression du développement limité à l’ordre deux de la fonction implicite ϕ(x, y) au voisinage de (0, 0). A. Bouarich, FST de Beni Mellal

58

Différentiabilité

Exercice 83. Dans cet exercice on se propose de trouver les extremums de la fonction à une variable réelle y = f (x) définie par l’équation implicite, F(x, y) = x2 + y 2 + y(x + 1) = 0. 1) Montrer que la fonction implicite y = f (x) possède deux points critiques x1 et x2 que l’on déterminera. 2) Etudier est-ce que les valeurs critiques y1 = f (x1 ) et y2 = f (x2 ) sont des extremums pour la fonction y = f (x) ou non ? Exercice 84. Dans cet exercice on se propose de trouver les extremums de la fonction à deux variables réelles z = ϕ(x, y) définit par l’equation implicite, F(x, y, z) = x2 + 2y 2 + 3z 2 − 2(x + y)z − 2 = 0. a) Calculer les dérivées partielles premières de la fonction implicite z = ϕ(x, y). b) En déduire que la fonction implicte z = ϕ(x, y) possède deux points critiques P = (x1 , y1 , z1 ) et Q = (x2 , y2 , z2 ). c) Trouver la nature des points critiques P et Q de la fonction implicite z = ϕ(x, y).

3.4 Applications vectorielles différentiables Dans cette section, nous allons étendre la notion de différentiabilité aux applications de plusieurs variables réelles à valeurs dans un espace vectoriel de dimension finie.

3.4.1 Différentiabilité Définition 29. Soit U ⊂ Rm un ouvert non vide et f : U → Rp une application. On dira que l’application f (x) est différentiable au point a ∈ U s’il existe une application linéaire L : Rm → Rp telle que, (∀ε > 0)(∃η > 0)(∀h ∈ Rm ), khk < η

=⇒

kf (a + h) − f (a) − L(h)k < εkhk.

(3.21)

Les affirmations de la proposition suivante se démontrent de la même façon que celles des trois propositions 15, 16 et 17. Proposition 28. Soit U ⊂ Rm un ouvert non vide et f : U → Rp une application. Si f (x) est différentiable au point a ∈ U. Alors on a les propositions suivantes : 1. L’application f (x) est continue au point a ∈ U : lim f (x) = f (a). x→a

2. Pour tout vecteur non nulle ~v ∈ Rm la dérivée directionnelle existe, f (a + t~v ) − f (a) ∂f = (a) = L(~u), x→a t ∂~u lim

où L : Rm → Rn désigne l’application linéaire qui vérifie (2.21).

3. L’application linéaire L : Rm → Rp qui vérifie (2.21) est unique. L’unqie application linéaire L : Rm → Rp qui vérifie (2.21) s’appelle différentielle de l’application f (x) au point a ∈ U et se note df (a) : Rm → Rn . Théorème 21. Soit U ⊂ Rm un ouvert non vide. Une application f = (f1 , · · · , fn ) : U → Rn est différentiable au point a ∈ U si et seulement, si toutes ses composantes f1 , · · · , fn : U → R sont différentiables au point a ∈ U. En conséquence, les composantes de l’application différentielle df (a) : Rm → Rn sont égales aux différentielles des composantes de f (x) : df (a) = (df1 (a), · · · , dfn (a)). A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Applications vectorielles différentiables

59

Démonstration. Supposons que f est différentiable au point a ∈ U. Donc, pour un réel ε > 0 donné on peut trouver un réel η > 0 tel que, ∀h ∈ Rm , khk < η

=⇒

kf (a + h) − f (a) − df (a) · hk 6 εkhk

Observons que si on désigne par L1 , · · · , Ln : Rm → R les composantes de la différentielle de l’application f (x) au point a respectivement (i.e df (a) = (L1 , · · · , Ln )), en écrivant pour tout vecteur h ∈ Rm ; f (a + h) − f (a) − df (a) · h = (f1 (a + h) − f1 (a) − L1 (h), · · · , fn (a + h) − fn (a) − Ln (h))), alors de la définition de différentiabilité de f (x) on déduit que pour tout indice 1 6 i 6 n et pour tout vecteur h ∈ Rm tel que khk < η on a les inégalités suivantes : | f1 (a + h) − f1 (a) − L1 (h) | 6 kf (a + h) − f (a) − df (a) · hk 6 εkhk, .. .. .. . . . | fn (a + h) − fn (a) − Lp (h) | 6 kf (a + h) − f (a) − df (a) · hk 6 εkhk, qui signifient que toutes les composantes f1 , · · · , fn : U → R de l’applications f (x) sont différentables au point a ∈ U et que pour chaque indice 1 6 i 6 n on a Li = di f (a). Inversement, supposons que les composantes f1 , · · · , fn sont différentiables au point a ∈ U et prenons un réel ε > 0. Donc, il existe un réel η > 0 tel que pour tout vecteur h ∈ Rm de norme khk < η on a simultanément les inégalités suivantes : | f1 (a + h) − f1 (a) − df1 (a) · h | 6 .. .. . . | fn (a + h) − fn (a) − dfn (a) · h | 6

√ε khk, n

.. . ε √ khk. n

Ainsi, en prenant la racine carré de la somme des carrés des n inégalités précédentes on obtient l’inégalité, ∀h ∈ Rm , khk < η =⇒ kf (a + h) − f (a) − (df1 (a) · h, · · · , dfn (a) · h)k 6| ε | khk, qui montre que l’application f (x) est différentiable au point a ∈ U et que sa différentielle au point a ∈ U est df (a) = (df1 (a), · · · , dfn (a)). Grâce à l’expression df (a) = (df1 (a), · · · , dfn (a)) nous pouvons maintenant expliciter la matrice associée à l’application linéaire df (a) : Rm → Rn relativement aux bases canoniques (e1 , · · · , em ) de l’espaces vectoriel Rm et (v1 , · · · , vn ) de l’espaces vectoriel Rn .

En effet, si on évalue l’application linéaire df (a) : Rm → Rn au vecteur h = h1 e1 + · · · hm em ∈ Rm on obtient, df (a) · (h) = h1 df (a) · (e1 ) + · · · + hm df (a) · (em ).

D’autre part, comme pour chaque vecteur ei élément de la base canonique de l’espace Rm l’expression df (a) · (ei ) = (df1 (a) · (ei ), · · · , dfn (a) · (ei )) s’écrit sous le forme : df (a) · (ei ) = df1 (a) · (ei )v1 + · · · + dfn (a) · (ei )vn =

∂f1 ∂fn (a)v1 + · · · + (a)vn . ∂xi ∂xi

on en déduit donc que la matrice associée à l’application différentielle df (a) : Rm → Rn est égale à,   ∂f1 ∂f1 ∂f1 (a) (a) · · · (a)  ∂x1  ∂x2 ∂xm  ∂f  ∂f2 ∂f2   2 (a) (a) · · · (a)    ∂x1  ∂x2 ∂xm (3.22)   .. .. ..   . . ··· .    ∂fp  ∂fp ∂fp (a) (a) · · · (a) ∂x1 ∂x2 ∂xm A. Bouarich, FST de Beni Mellal

60

Différentiabilité

Définition 30. La matrice définit par l’expression (2.22) qui est associée à la différentielle df (a) : Rm → Rp s’appelle matrice jacobienne de l’application f : U → Rn au point a ∈ U et se note J(f, a). Exemple 26. 1) Si f : Rm → R est différentiable au point x = (x1 , · · · , xm ) ∈ Rm alors sa matrice jacobienne J(f, x) est par définition égale à,   ∂f  ∂x1 (x)   ∂f    (x)    = grad(f )(x).  ∂x 2 J(f, x) =   .   ..    ∂f  (x) ∂xm

2) Puisque les fonctions G1 (x, y) = ex cos(y) et G2 (x, y) = ex sin(y) sont différentiables il en résulte donc que l’application G = (G1 , G2 ) : R2 → R2 est différentiable. En chaque point (x, y) ∈ R2 la différentielle dG(x, y) : R2 → R2 est donnée par la matrice jacobienne :   ∂G1 ∂G1 ! (x, y) (x, y) ex cos(y) −ex sin(y)  ∂x  ∂x J(G, (x, y)) =  ∂G . = ∂G2 2 ex sin(y) ex cos(y) (x, y) (x, y) ∂y ∂y

Exercice 85. Déterminer la matrice jacobienne de l’application F : R3 → R3 définit par l’espression, F(x, y, z) = (x2 − yz, y 2 − zx, z 2 − xy). Exercice 86. Pour tout réel k > 0 déterminer la matrice jacobienne de l’application G : Rn → Rn définit pour tout x vecteur x 6= ~0 par G(x) = . (kxk)k Pour finir ce paragraphe, nous donnerons ci-dessous certaines opérations algébriques sur les applications différentielles et leurs matrices jacobiennes. Proposition 29. Pour tout couple d’applications f et g différentiables on a les propriétés suivantes : 1. La somme f + g est différentielle et en chaque point a de son domaine la différentielle est donnée par, d(f + g)(a) = df (a) + dg(a). En conséquence, la matrice jacobienne de f + g au point a est égale à, J(f + g, a) = J(f, a) + J(g, a). 2. Si f est différentielle au point a et g est différentielle au point f (a) alors l’application composée g ◦ f est différentielle et sa différentielle est égale à, d(g ◦ f )(a) = dg(f (a)) ◦ df (a).

(3.23)

En conséquence, la matrice jacobienne de g ◦ f au point a est égale à, J(g ◦ f, a) = J(g, f (a)) · J(f, a).

(3.24)

Démonstration. Exercice. Exemple 27. Supposons que f : R2 → R) est une fonction différentielle et que G : R2 → R2 est une application différentiable. Sous ces hypothèses, en posant g(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) ; la formule (2.24) nous permet de voir que la matrice jacobienne de la fonction F(x, y) = f ◦ g(u, v) est égale à, J(F, (u, v)) = J(f, g(u, v)) · J(g, (u, v))   ∂x ∂x ∂F ∂F ∂f ∂f  ∂v  ( (u, v), (u, v)) = ( (x, y), (x, y))  ∂u ∂y ∂y  ∂u ∂v ∂x ∂y ∂u ∂v ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂x ∂f ∂y = ( (x, y) + (x, y) , (x, y) + (x, y) ). ∂x ∂u ∂y ∂u ∂x ∂v ∂y ∂v A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Applications vectorielles différentiables

61

Ainsi, si on compare les composantes des membres de l’expression précédente ; on obtient les formules suivantes que nous avons établi au paragraphe 2.1.3 (cf. (2.12) et (2.13)) en utilisant la méthode des différentielles totales,  ∂f ∂x ∂f ∂y ∂F   (u, v) = (x, y) (u, v) + (x, y) (u, v) ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂F ∂f ∂x ∂f ∂y   (u, v) = (x, y) (u, v) + (x, y) (u, v) ∂u ∂x ∂v ∂y ∂v

3.4.2 Théorème de l’inverse locale

Dans ce paragraphe, nous allons démontrer le théorème de l’inverse locale qui est fondamental en calcul différentiel dans l’espace Rm . Gâce à ce théorème nous seront en mesure de calculer la différentielle de l’application inverse d’une application différentiabile bijective f : Rm → Rm sans connaître l’expression explicite de la fonction inverse f −1 . Définition 31. Soit A ⊆ Rn une partie compacte dont l’ensemble de points intérieurs est non vide. On dira que l’application T : A → A est contractante s’il existe un réel 0 < k < 1 tel que, ∀x, y ∈ A

=⇒

kT(x) − T(y)k 6 kkx − yk.

Le réel 0 < k < 1 s’appelle coefficient de contraction de l’application T. Théorème 22 (Point fixe de Banach). Soit A ⊆ Rn une partie compacte dont l’ensemble de points intérieurs est non vide et T : A → A une application contractante. Alors, il existe un et un seul point a ∈ A tel que T(a) = a. Démonstration. Dans cette preuve on désigne par 0 < k < 1 le coefficient de contraction de l’application contractante T : A → A, et pour la donnée d’un vecteur x ∈ A ; on définit une suite vectorielle par la relation récurrente, et xm+1 = T(xm ), ∀m ∈ N. x0 = x Ci-dessous, nous allons démontrer que la suite vectorielle xm ∈ A est de Cauchy. Ensuite, en utilisant le fait que la partie compacte A est complet pour la métrique euclidiènne ; nous vérifierons que la suite de vecteurs xm ∈ A converge vers l’unique point fixe de l’application contractante T.

D’abord, observons que puisque l’application T est contractante cela permet d’écrire que pour tout entier m > 1 l’inégalité suivante, kxm+1 − xm k = kT(xm ) − T(xm−1 )k 6 kkxm − xm−1 k duquelle on déduit par récurrence qu’on a l’inégalité, kxm+1 − xm k 6 km kx1 − x0 k, ∀n > 0. D’autre part, observons que si on considère deux entiers naturels m < p alors grâce l’inégalité précédente on voit qu’on a, kxp − xm k = k(xp − xp−1 ) + (xp−1 − xp−2 ) + · · · (xm+1 − xm )k 6 kxp − xp−1 k + kxp−1 − xp−2 k + · · · kxm+1 − xm k 6 (kp−1 + kp−2 + · · · + km )kx1 − x0 k kp − km 6 kx1 − x0 k. 1−k

Ainsi, puisque le réel 0 < k < 1 il en résulte que la suite numérique kp est de Cauchy, et donc ; la suite vectorielle récurrente xp = T(xp−1 ) est de Cauchy dans l’espace normé (Rn , k · k). A. Bouarich, FST de Beni Mellal

62

Différentiabilité

Finalement, comme on sait que l’espace normé (Rn , k · k) est complet et la partie A est fermée (compacte) ; on conclut donc que la suite récurrente xm ∈ A converge vers un vecteur a ∈ A tel que T(a) = a. En conséquence, le vecteur a ∈ A est un point fixe de l’application contractante T.

Pour achever la preuve montrons que l’application contractante T possède un seul point fixe. En effet, si on suppose qu’il existe dans la partie A deux points a 6= b tels que T(a) = a et T(b) = b on pourra alors écrire, 0 < ka − bk = kT(a) − T(b)k 6 kka − bk =⇒ ka − bk < ka − bk car le réel 0 < k < 1. Ainsi, comme la dernière inégalité est impossible on en déduit que l’application contractante T : A → A possède un seul point fixe. Théorème 23 (Inverse locale). Soit U ⊂ Rm un ouvert non vide et f : U → Rm une application de classe C 1 . Si au point a ∈ U le déterminant jacobien Det(J(f, a)) =

D(f1 , · · · , fm ) (a) 6= 0 D(x1 , · · · , xm )

alors il existe un réel ε > 0 et une unique application g : f (B(a, ε)) → B(a, ε) ⊂ U de classe C 1 telle que pour tout x ∈ B(a, ε) on a g ◦ f (x) = x et pour tout y ∈ f (B(a, ε)) on a, f ◦ g(y) = y. De plus, la jacobienne de l’application inverse locale g est donnée par, J(g, b) = J(f, g(b))−1 où f (a) = b. Démonstration.

3.4.3 Théorème des fonctions implicites Théorème 24 (Système d’équations implicites). Soit U ⊂ Rm+p = Rm × Rp un ouvert non vide et F : U → Rp une application de classe C p , p > 1 de composantes F1 , F2 , · · · , Fp . Soit (a, b) ∈ U un point tel que F(a, b) = 0 (i.e. solution particulière du système d’equation F(x, y) = 0, (x, y) ∈ U). Si la matrice des dérivées partielles  ∂F

i

∂yk

 (a, b) 16i6p

16k6p

est inversible alors il existe deux réels η > 0 et ε > 0 tels que le produit B(a, η) × B(b, ε) ⊂ U et il existe aussi une application et une seule de classe C p ϕ : B(a, η) → B(b, ε) appelée fonction implicite qui possède les propriétés suivantes : 1. ϕ(a) = b ; 2. ∀x ∈ B(a, η), F(x, ϕ(x)) = 0 ; 3. La matrice jacobienne de ϕ est donnée au point a ∈ U par la formule,  ∂ϕ   ∂F −1  ∂F  i i k J(ϕ, a) = (a) 16k6p = (a, b) 16i6p (a, b) 16i6p ∂xj ∂yk 16j6m 16j6m 16k6p ∂xj Démonstration.

3.4.4 Les extremums relatifs Dans ce paragraphe, on se propose de caractériser les extremums d’une fonction réelle à plusieurs variables réelles qui est définie sur un domaine régie par un système d’équations. Par exemple, pour une fonction f (x, y) la question consiste à chercher les extremums de la restriction de la fonction f sur le sous-ensemble formé par les tous les points (x, y) solution de l’équation g(x, y) = 0 et qui sont contenus dans le domaine de définition de la fonction f (x, y). A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Système de coordonnées locales

63

3.5 Système de coordonnées locales Dans cette section, nous allons étudier la notion de coordonnées curvilignes et nous en donnerons quelques exemples pratiques qu’on utilise notamment soit pour effectuer un changement de variables au sein d’une équation aux dérivées partielles ou sein d’une intégrale multiple.

3.5.1 Définition Définition 32. Soient U, V ⊂ Rm deux ouverts non vides et T : U → V une application de classe C 1 . On dira que la transformation T : U → V réalise un système de coordonnées ou ( changement de variables) si elle est bijective et son inverse T−1 : V → U est de classe C 1 .

z

(x, y, z) b

T b

y T(x, y, z)

x

Le théorème suivant est une conséquence immédiate du théorème de l’inverse locale. Théorème 25. Pour qu’une transformation bijective T : U → V soit un changement de variables il faut et il suffit que le déterminant de sa matrice jacobienne soit non nul sur l’ouvert U, Det(J(T, a)) 6= 0, ∀a ∈ U. Exemple 28. Considérons la transformation T : R∗+ × R∗+ → R∗+ × R∗+ définie par les expressions, x T(x, y) = ( , xy) = (u, v). y Alors, la transformation T réalise un changement de variable sur R+ × R+ parce que, 1. T est une bijection sur son domaine et ayant comme inverse, T

−1

√ (u, v) = ( uv,

r

v ) = (x, y. u

2. Le déterminant de la matrice jacobienne de T est non nul sur l’ouvert R∗+ × R∗+ , 

1  y J(T, (x, y)) = y

 x − 2 2x y  =⇒ detJ(T, (x, y)) = 6= 0. y x

Dans les prochains paragraphes nous décrirons quelques systèmes de coordonnées classiques très utiles en mathématiques. A. Bouarich, FST de Beni Mellal

64

Différentiabilité

3.5.2 Coordonnées polaires On munit le plan R2 par les coordonnées carésiènnes x et y. Donc, étant donné un point M ∈ R2 on peut la repérer par un couple de nombres réels, M = (x, y). En fait, le point M peut être aussi identifié par deux autres paramètres (r, θ) qu’on appelle coordonnées polaires définies de la manière suivante : p 1. d(O, M) = x2 + y 2 = r désigne la distance qui sépare M de l’origine O = (0, 0) ; −−→ 2. θ ∈ [0, 2π[ désigne l’angle formé par l’axe Ox et le vecteur OM mesuré depuis Ox (voir figure).

r sin(θ)

b

M

b

θ b

r cos(θ)

Notons que le repérage du point M = (x, y) par les paramètres (r, θ) permet de définir un changement de variables P(r, θ) = (r cos(θ), r sin(θ)) de l’espace R+ ∗ ×[0, 2π[ dans le plan R2 . Parce que P est bijective, de classe C 1 et en chaque point (r, θ) on a, J(P, (r, θ)) =

cos(θ) −r sin(θ) sin(θ) r cos(θ)

!

=⇒ Det(J(P, (r, θ))) = r > 0

Enfin, notons que la transformation inverse de P est donnée par, p y P−1 (x, y) = ( x2 + y 2 , Arctg( )) x

et que sa matrice jacobienne est donnée en un point (x, y) par, 

 J(P−1 , (x, y)) = 

x p

x2 + y 2 y − 2 x + y2

y p



x2 + y 2   x 2 2 x +y

3.5.3 Coordonnées cylindriques On munit l’espace R3 par son système de coordonnées cartésiens x, y et z. Ceci permet donc le repérage de tout point M ∈ R3 par un triplet de nombres réels, M = (x, y, z). Ainsi, si on représente la projection orthogonal M′ = (x, y) ∈ R2 du point M = (x, y, z) sur le plan R2 par les coordonnées polaires ceci nous fournit une façon pour repérer les points R3 par le système suivant appelé : systèmes de coordonnées cylindriques.    x = r cos(θ) y = r sin(θ)   z = z

p −−→ où θ ∈ [0, 2π[ désigne la mesure de l’angle formé par l’axe Ox et le vecteur OM′ , et où r = x2 + y 2 ∈ R+ désigne la distance qui sépare l’origine O du point M′ = (x, y, 0) (Voir figure). A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Système de coordonnées locales

65 z M b

O

y

θ M′ x

Le repérage du point M = (x, y, z) ∈ R3 par les paramètres (r, θ, z) permet de définir un changement de variables C(r, θ, z) = (r cos(θ), r sin(θ), z) de l’espace R+ ∗ ×[0, 2π[×R dans l’espace R3 que l’on appelle : système de coordonnées cylindriques. En effet, l’application C est visiblement bijective, de classe C 1 et en chaque point (r, θ, z) on une jacobienne, 

 cos(θ) −r sin(θ) 0   J(C, (r, θ, ϕ)) =  sin(θ) r cos(θ) 0  =⇒ Det(J(P, (r, θ, z))) = r > 0 0 0 1 L’expression de la transformation inverse de C est donnée par, p y C−1 (x, y, z) = ( x2 + y 2 , Arctg( ), z) x

La matrice jacobienne C−1 au point (x, y, z) est donc donnée par,

J(C

−1



x p

 x2 + y 2  , (x, y, z)) =  − y  x2 + y 2 0

y p

x2 + y 2 x x2 + y 2 0

0



  0   z

Par conséquent, C définit un changement de coordonnées sur l’ouvert U = R+ ∗ ×]0, 2π[×R dans l’ouvert V = R3 − {(x, 0, z)/x > 0, z ∈ R} qu’on appelle système de coordonnées cylindriques.

3.5.4 Coordonnées sphériques Dans l’espace R3 on définit un troisième système de coordonnées dites sphériques en posant :    x = r cos(θ) cos(ϕ) y = r sin(θ) cos(ϕ)   z = r sin(ϕ)

p où le paramètre r = x2 + y 2 + z 2 ∈ R+ désigne la distance qui sépare O du point M = (x, y, z), θ ∈ [0, 2π[ −−→ π π est la mesure de l’angle formé par l’axe Ox et le vecteur OM′ et ϕ ∈] − , [ est la mesure de l’angle formé 2 2 −−→ −−→ par les vecteurs OM′ et OM (voir figure). A. Bouarich, FST de Beni Mellal

66

Différentiabilité z M b

φ

O

y

θ M′ x

Enfin, notons que la matrice jacobienne de l’application S : R+ × R2 → R3 définie par le système de coordonnées sphériques est égale à, 

 cos(θ) cos(ϕ) −r sin(θ) cos(ϕ) −r cos(θ) sin(ϕ)   J(S, (r, θ, ϕ)) =  sin(θ) cos(ϕ) r cos(θ) cos(ϕ) −r sin(θ) sin(ϕ)  =⇒ DetJS = r 2 cos(ϕ) r sin(ϕ) 0 r cos(ϕ)

x y , ), où r 2 = x2 + y 2 . r2 r2 a) Calculer la matrice jacobienne de l’application ϕ en tout point de son domaine. Exercice 87. Pour tout point (x, y) ∈ R2 − {(0, 0)} on pose, ϕ(x, y) = ( b) Soit f : R2 → R une fonction de classe C 2 .

1b) Calculer les dérivées partielles d’ordre un et deux de la fonction F(x, y) = f ◦ ϕ(x, y). 2b) En déduire qu’on a les relations aux dérivées partielles suivantes : x où le symbole ∆ =

∂F ∂F x ∂f y ∂f +y = 2 ◦ϕ+ 2 ◦ϕ ∂x ∂y r ∂x r ∂y

et

∆F =

1 (∆f ) ◦ ϕ r4

∂2 ∂2 + désigne l’opérateur laplacien. ∂x2 ∂y 2

Exercice 88. Trouver l’expression du laplacien ∆f (x, y) (resp. ∆g(x, y, z)) en coordonnées polaires (resp. cylindriques).

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

C HAPITRE Q UATRE

F ORMES

DIFFÉRENTIELLES , CHAMPS DE

VECTEURS ET INTÉGRALES CURVILIGNES

Objectifs : L’étude de ce chapitre doit vous permettre de : 1. Se familiariser avec la notion de formes différentielles et de champs de vecteurs ; 2. Savoir vérifier qu’une forme différentielle est fermée ou non. 3. Maîtriser la manipulation des opérateurs différentiels usuels : gradient, rotationnel, divergence et laplacien. 4. Savoir calculer l’intégrale curvilgne d’une forme différentielle ou d’un champ de vecteurs le long d’une courbe. 5. Comprendre que l’intégrale curviligne d’une forme différentielle exacte ou d’un champ de gradients ne dépend que des extrémités du chemin d’intégration.

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

68

Formes différentielles, champs de vecteurs et intégrales curvilignes

4.1 Formes différentielles 4.1.1 Définitions et exemples Définition 33. Soit U ⊂ Rm un ouvert non vide. On appelle forme différentielles de classe C k , avec k > 1, une expression de la forme, (4.1)

ωx = P1 (x)dx1 + · · · + Pm (x)dxm ,

où les P1 , · · · , Pm : U → R sont des fonctions de classe C k , appelées composantes de ω, et où les dx1 , · · · , dxm désignent la différentielle des coordonnés de l’espace Rm . Notons que puisque les différentielles dxi : Rn → R sont des formes linéaires, dxi · h =

∂pri = hi , ∂h

∀h = (h1 , · · · , hm ) ∈ Rm

ceci permet d’interpréter une forme différentielle ω = P1 dx1 + · · · + Pm dxm définie sur un ouvert non vide U ⊂ Rm comme la donnée d’une famille de formes linéaires ωa : Rm → R indexée par a ∈ U telle que, ωa (h) = P1 (a)h1 + · · · + Pm (a)hm ,

∀h ∈ Rm .

Proposition 30. Soit Ω une forme différentielle de classe C k sur l’ouvert U ⊂ Rm . S’il existe deux familles de fonctions {P1 , · · · , Pm } et {Q1 , · · · , Qm } de classe C k définies sur l’ouvert U telles que pour tout x ∈ U, ωx = P1 (x)dx1 + · · · + Pm (x)dxm = Q1 (x)dx1 + · · · + Qm (x)dxm , alors P1 = Q1 , · · · , Pm = Qm . En conséquence, les composantes d’une forme différentielle sont uniques. Démonstration. Supposons qu’en tout point x ∈ U on a l’égalité, ω = P1 (x)dx1 + · · · + Pm (x)dxm = Q1 (x)dx1 + · · · + Qm (x)dxm . Puisque on sait que sur la base canonique {e1 , · · · , em } on a dxi (ei ) = 1 et que dxi (ej ) = 0 si i 6= j on déduit donc que pour tout 1 6 i 6 m et pour tout point a ∈ U on a les deux expressions, ( ωa (ei ) = P1 (a)dx1 (ei ) + · · · + Pm (a)dxm (ei ) = Pi (a) ωa (ei ) = Q1 (a)dx1 (ei ) + · · · + Qm (a)dxm (ei ) = Qi (a). D’où Pi (a) = Qi (a) pour tout 1 6 i 6 m. Grâce à la propriété d’unicité des composantes d’une forme différentielle nous pourrons introduire des opérations algébriques sur l’ensemble des formes différentielles de classe C k définies sur un ouvert non vide U. 1. Addition : Étant données deux formes différentielles ω = P1 (x)dx1 + · · · + Pm (x)dxm et ω ′ = Q1 (x)dx1 + · · · + Qm (x)dxm on définit leurs somme par la formule : ω + ω ′ = (P1 (x) + Q1 (x))dx1 + · · · + (Pm (x) + Qm (x))dxm 2. Produit : On définit le produit d’une forme différentielle ω = P1 dx1 + · · · + Pm dxm par une fonction f : U → R de classe C k par l’expression, (f · ω)x = f (x)P1 (x)dx1 + · · · + f (x)Pm (x)dxm = f (x)ωx , A. Bouarich, FST de Beni Mellal

∀x ∈ U

Formes différentielles

69

Exemple 29. 1) Soit U ⊂ Rm un ouvert non vide et f : U → R une fonction de classe C k+1 avec k > 0. En posant pour tout x ∈ U, ∂f ∂f (a)dx1 + · · · + + · · · + (a)dxm , ωx = df (x) = ∂x1 ∂xm on définit ainsi une forme différentielle de classe C k . Par conséquent, la différentielle totale d’une fonction de classe C k+1 est une forme différentielle de C k . 2) Vérifions que la forme différentielle, ω = ydx + xdy, est une différentielle totale sur R2 . Il s’agit donc de chercher une fonction différentiable f : R2 → R dont la différentielle totale df = ω.  ∂f   ∂x ∂f   ∂y

 (  f (x, y) = xy + C1 (y) f (x, y) = xy + C1 (y) =⇒ =⇒ ∂f ∂C1  = x=x+ (y) C1 (y) = C2 = x ∂y ∂y = y

Conséquence : la fonction f (x, y) = xy + C2 a pour différentielle totale df = ω.

3) Montrons que la forme différentielle ω = ydx − xdy n’est pas une différentielle totale.

En effet, si on suppose qu’il existe une fonction différentiable f (x, y) dont la différentielle totale, df = ω = ydx−xdy, il en résulte donc qu’on a,   ∂f (    f (x, y) = xy + C(y) (x, y) = y f (x, y) = xy + C(y) ∂x =⇒ =⇒ ∂f ∂f ′   (x, y) = −x = x + C (y) C′ (y) = −2x  (x, y) = −x ∂y ∂y

Ainsi, si on dérive l’expression C′ (y) = −2x par rapport à x on obtient la contradiction 0 = −2 qui implique que la forme différentielle ω = ydx − xdy n’est pas égale à la différentielle totale d’une fonction différentiable. Notons que suite aux exemples précédents on conclut que la notion de formes différentielles généralise la notion de la différentielle totale introduite au chapitre 2 et que nous avons associé à une fonction.

4.1.2 Formes différentielles exactes et formes différentielles fermées Définition 34. Soit U ⊂ Rm un ouvert non vide et ω = P1 (x)dx1 + · · · + Pm (x)dxm une forme différentielle de classe C k sur U.

1) On dira que la forme différentielle ω est exacte sur l’ouvert U s’il existe une fonction f : U → R de classe C k+1 , appelée primitive de ω, telle que pour tout réel x ∈ U la différentielle totale df (x) = ωx .

(4.2)

2) On dira que la forme différentielle ω est fermée sur l’ouvert U si pour tout couple d’index 1 6 i, j 6 m on a, ∂Pj ∂Pi = . ∂xj ∂xi

(4.3)

Donc, en particulier, pour qu’une forme différentielle à deux variables ω = P(x, y)dx+Q(x, y)dy soit fermée il faut et il suffit que ses composantes vérifient la condition, ∂P ∂Q = . ∂y ∂x A. Bouarich, FST de Beni Mellal

70

Formes différentielles, champs de vecteurs et intégrales curvilignes

De même, pour qu’une une forme différentielle à trois variables réelles, ω = P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz, soit fermée il faut et il suffit qu’on ait les trois les conditions suivantes,  ∂P       ∂y ∂Q  ∂z    ∂R   ∂x

= = =

∂Q ∂x ∂R ∂y ∂P . ∂z

Proposition 31. Sur un ouvert non vide U ⊂ Rm une forme différentielle de classe C 1 qui est exacte est fermée. Démonstration. Soit ω = P1 dx1 + · · · + Pm dxm une forme différentielle exacte sur l’ouvert U ⊂ Rm ; et soit f : U → R une fonction de classe C k+1 telle que ω = df . ∂f Sous cette hypothèse, les composantes Pi de la forme différentielle ω sont données par, P1 = , · · · , Pm = ∂x1 ∂f . D’autre part, observons que puisque la fonction f est de classe C 2 sur l’ouvert U le théorème de ∂xm Schwartz permet d’obtenir les relations, ∂Pi ∂2f ∂2f ∂Pj = = = ∂xj ∂xj ∂xi ∂xi ∂xj ∂xi qui montrent que la forme différentielle ω est fermée sur l’ouvert U. Exemple 30. 1) La forme différentielle ω1 = Pdx + Qdy = ydx + xdy est fermée parce que nous avons, ∂P =1 ∂y

et

∂Q = 1. ∂x

2) La forme différentielle ω = ydx − xdy n’est pas fermée, car ; si on pose P(x, y) = y et Q(x, y) = −x on obtient, ∂P ∂Q − = 2 6= 0. ∂y ∂x 3) La forme différentielle ω = zdx + xdy − ydz = Pdx + Qdy + Rdz n’est pas fermée car on a, ∂P ∂R − = 1 6= 0. ∂z ∂x x y dx − 2 dy est fermée sur l’ouvert R2 − {(0, 0)} parce que si on pose 4) La forme différentielle ω = 2 x + y2 x + y2 y x P(x, y) = 2 et Q(x, y) = − 2 on obtient : 2 x +y x + y2 ∂P x2 − y 2 = 2 ∂y (x + y 2 )2

et

∂Q x2 − y 2 = 2 ∂x (x + y 2 )2

=⇒

∂P ∂Q = . ∂y ∂x

Pour finir ce paragraphe nous allons énoncer sans démonstration le théorème de H. Poincaré qui nous donne une condition suffisante pour qu’une forme différentielle fermée soit exacte. Cette condition est liée à la nature géométrique du domaine de définition de la forme différentielle fermée donnée. Définition 35. On dira que la partie non vide A ⊂ Rn est étoilée si il existe un point M0 ∈ A tel que pour tout point M ∈ A le segment [M0 , M] ⊂ A. Il est clair que toute partie convexe dans l’espace Rm est étoilée mais la réciproque n’est pas vraie. Sur la figure, ci-après nous avons dessiné une partie du plan R2 qui est étoilée non convexe. A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Formes différentielles

71

b

Théorème 26 (H. Poincaré). Sur un ouvert non vide étoilé (ou convexe) U ⊂ Rm toute forme différentielle fermée est exacte. Exercice 89. Montrer que chacune des formes différentielles définies ci-dessous admet une primitive sur le domaine D indiqué. 1) ω = x(y 2 + 1)dx + y(x2 + 1)dy est définie sur D = R2 . y x 2) ω ′ = − 2 dx + 2 dy est définie sur D = {(x, y) ∈ R2 /x > 0 et y > 0}. 2 x +y x + y2 3) ω” = (2x cos(y) − y 2 sin(x))dx + (2y cos(x) − x2 sin(y))dy définie sur D = R2 . Exercice 90. Soient f, g : R → R deux fonctions de classe C 1 et ω une forme différentielle définie sur R2 par l’expression, ω = f (y)dx + g(x)dy. 1) Déterminer toutes les fonctions f et g pour que la forme différentielle ω soit fermée. 2) Pour un couple de fonctions f et g trouvées en 1) chercher une primitive de ω. Exercice 91. Soient a, b, c et m quatre nombres réels fixés et ω désigne une forme différentielle définie sur R3 par axy bx2 1 − z 2 + cx2 yz + mx l’expression, ω = dx + dy + dz. 1 + z2 1 + z2 (1 + z 2 )2 1) Déterminer les nombres réels a, b, c et m pour que la fomre différentielle ω soit exacte. 2) Trouver une primitive de la forme ω quand (a, b, c, m) = (2, 1, −2, 0). Exercice 92. Déterminer toutes les fonctions réelle f (x, y, z) de sorte que la forme différentielle ω = zydx + zxdy + f (x, y, z)dz soit fermée.

4.1.3 Facteur intégrant Définition 36. Soient U ⊂ Rm un ouvert non vide étoilé et ω une forme différentielle de classe C k sur l’ouvert U. On appelle facteur intégrant de ω toute fonction µ : U → R de classe C 1 telle que le produit µ · ω soit une forme différentielle exacte sur l’ouvert U. Dans ce paragraphe, nous donnerons une méthode pratique qui permet de trouver un facteur intégrant pour certaines classes de formes différentielles à deux variables réelles. Soit ω = P(x, y)dx + Q(x, y)dy une forme différentielle qui possède un facteur intégrant de classe C 1 noté µ : U → R. Puisque en particulier la forme produit µ ·ω est une forme différentielle fermée ses composantes µP et µQ vérifient donc la relation, ∂(µP) ∂(µQ) = ∂y ∂x A. Bouarich, FST de Beni Mellal

72

Formes différentielles, champs de vecteurs et intégrales curvilignes

qui, après développement, induit l’une équation aux dérivées partielles d’ordre un suivante P

∂µ ∂µ ∂P ∂Q −Q + µ( − )=0 ∂y ∂x ∂y ∂x

(4.4)

pour laquelle le facteur intégrant µ est une solution. Inversement, notons que puisque l’ouvert U est étoilé le théorème de H. Poincaré permet de voir que toute solution de l’équation aux dérivées partielles (3.4) est un facteur intégrant de la forme différentielle ω = Pdx + Qdy. Par conséquent, pour chercher un facteur intégrant il suffit qu’on résout l’équation (3.4). C’est ce qu’on va faire ci-dessous pour deux cas spéciaux mais très fréquents. 1 ∂P ∂Q − ) = F(x) ne Premier cas : On suppose que la composante Q(x, y) 6= 0 et que la fonction ( Q ∂y ∂x dépend pas de la variable y. Sous cette hypothèse, si on porte la fonction µ(x, y) = µ(x) dans l’équation aux dérivées partielles (3.4) on obtient une équation différentielle ordinaire de degré un, −Qµ′ (x) + µ(x)(

∂P ∂Q − )=0 ∂y ∂x

(4.5)

qui s’intègre de la manière suivante : Z dLog | µ(x) | 1 ∂P ∂Q µ′ (x) = = ( − ) = F(x) =⇒ µ(x) = exp[ F(x)dx]. µ(x) dx Q ∂y ∂x 1 ∂P ∂Q ( − ) = G(y) ne P ∂y ∂x dépend pas de la variable x. Et, comme ci-dessus, si on porte la fonction µ(x, y) = µ(y) dans l’équation aux dérivées partielles (3.4) on obtient l’équation différentielle ordinaire de degré un, Deuxième cas : On suppose que la composante P(x, y) 6= 0 et que la fonction

∂P ∂Q − ) = 0, ∂y ∂x Z dont la solution est donnée par l’expression µ(y) = exp[ G(y)dy]. Pµ′ (y) + µ(y)(

(4.6)

4.1.4 Équations différentielles totale Dans ce paragraphe, nous allons appliquer la notion de facteur intégrant pour résoudre les équations différentielles ordinaires de degré un de type g(x, y)y ′ = f (x, y). Définition 37. Soit ω = P(x, y)dx + Q(x, y)dy une forme différentielle de classe C 1 définie sur un ouvert non vide U ⊂ R2 . Une équation différentielle de type, ω = P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0,

(4.7)

s’appelle équation différentielle totale dont l’inconnue est le couple (x, y) ∈ U. Notons que si on suppose que l’ensemble de solutions de l’équation (3.7) est égal au graphe de la fonction y(x) ceci nous permet de déduire que la fonction y(x) est aussi solution de l’équation différentielle ordinaire de degré un, Q(x, y)

dy = −P(x, y). dx

(4.8)

Il est clair que inversement, le graphe de toute solution de l’équation différentielle (3.8) est contenu dans l’ensemble de solutions de l’équation différentielle totale (3.7). A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Formes différentielles

73

En pratique, pour résoudre l’équation différentielle totale (3.7) ou l’équation différentielle (3.8) qui lui est associée on procède comme suit. a) Si la forme différentielle ω = P(x, y)dx + Q(x, y)dy est exacte sur son domaine de définition, on cherche alors une fonction f (x, y) dont la différentielle totale df = ω (ie. primitive). Ceci permet de déduire que chaque point élément du sous-ensemble S = {(x, y)/f (x, y) = cte} est solution de l’équation différentielle (3.7). b) Quand, la forme différentielle ω = P(x, y)dx+ Q(x, y)dy n’est pas exacte et son domaine de définition est étoilé, dans ce cas ; on cherche un facteur intégrant µ(x, y) pour ω et puis on applique la méthode décrite dans a) sur la forme différentielle fermée µ · ω.

c) Pour résoudre une équation différentielle ordinaire de type P(x, y) + Q(x, y)y ′ (x) = 0 on lui associe la forme différentielle ω = Pdx + Qdy et puis on résout l’équation différentielle totale ω = 0. Exemple 31. 1) Cherchons la solution générale de l’équation différentielle totale ω = (x + y)dx + (x + 2y)dy = 0. ∂P ∂Q = = 1) sur le plan R2 qui est convexe, le théorème de ∂y ∂x H. Poincaré assure donc l’existence d’une fonction f (x, y) dont la différentielle totale df = ω.

Puisque la forme différentielle donnée ω est fermée (ie.

Pour cercher la fonction f (x, y), primitive de ω, il suffit qu’on résout le système suivant :    ∂f   f (x, y) = y 2 + xy + C(x)   C′ (x) = x = x+y ∂x 2 =⇒ =⇒ ∂f   f (x, y) = y 2 + xy + x + C1  ∂f = 2y + x = x + y = y + C′ (x)  ∂x 2 ∂y

Ainsi, en conséquence de ce qui présède on conclut que l’ensemble de solutions de l’équation différentielle totale, ω = (x + y)dx + (x + 2y)dy = 0,

1 est égal à S = {(x, y) ∈ R2 /y 2 + xy + x2 = C, C ∈ R}. 2 2) Cherchons la solution générale de l’équation différentielle ordinaire de degré un, xy ′ (x) = y(1 + xy). Pour résoudre cette équation différentielle nous allons intégrer l’équation différentielle totale qui lui est associée, ω = P(x, y)dx + Q(x, y)dy = y(1 + yx)dx − xdy = 0. ∂P ∂Q ∂y(1 + xy) ∂(−x) − = − = 2+2yx 6= 0, cela implique que la forme différentielle ∂y ∂x ∂y ∂x ω n’est pas fermée. Donc, pour résoudre l’équation ω = 0 il suffit qu’on cherche un facteur intégrant µ(x, y) pour la forme différentielle ω. Ainsi, puisque nous avons,

i) Cherchons un facteur intégrant µ(x, y) pour ω. Observons que si on suppose que µ(x, y) = µ(y), l’équation aux dérivées partielles (3.7) qui caractérise les facteurs intégrants de ω nous donne, yµ′ (y) + 2µ(y) = 0

=⇒

dµ(y) dy = −2 µ(y) y

=⇒

ii) Maintenant, cherchons une fonction f (x, y) dont la différentielle totale df =  ∂f   ∂x ∂f   ∂y

= =

 1   f (x, y) = +x y x =⇒  ∂f  = − 2 ∂x y

µ(y) =

C . y2

1 1 x ω = ( + x)dx − 2 dy. 2 y y y

 x  + C(x)  C(x) = y =⇒ 1 1   f (x, y) = + x = + C′ (x) y y

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

x2 + C1 2 2 x x + + C1 y 2

74

Formes différentielles, champs de vecteurs et intégrales curvilignes

iii) Cherchons une solution particulière de l’équation différentielle xy ′ (x) = y(1 + xy) qui satisfait aux conditions initiales : x0 = 1 et y0 = 1. Notons d’abord que puisque la solution générale de l’équation différentielle ordinaire xy ′ = y(1 + xy) à pour expression, x x2 2x + =C =⇒ y(x) = où C ∈ R. y 2 2C − x2

3 Ainsi, si on porte les valeurs x0 = 1 et y0 = 1 dans l’expression de y(x) on déduit que la constante C = et que la 2 solution particulière de l’équation différentielle xy ′ (x) = y(1 + xy) qui prend la valeur y0 = 1 au point x0 = 1 est 2x . donnée par l’expression, y(x) = 3 − x2 Exercice 93. Résoudre les équations différentielles totales suivantes :

1) (x + y 2 )dx − 2xydy = 0 ; y 2) dx + (y 3 − Logx)dy = 0. x Exercice 94. Intégrer les équations différentielles suivantes : 1) tg(x)y ′ + y = sin2 (x) ; 2) y ′ + ytg(x) = cos2 (x). Exercice 95. Soit ω = (x4 + a2 y 2 )dx + xy(x2 − a2 )dy une forme différentielle avec a ∈ R.

1) Déterminer une fonction f (x) de sorte que f (x)ω soit exacte.

2) En déduite toutes les solutions de l’équation différentielle totale ω = 0.

4.1.5 Changement de variables dans une forme différentielle Définition 38. Soit U ⊂ Rm et V ⊂ Rn deux ouverts non vides. Soient F = (f1 , · · · , fn ) : U → V une application de classe C 1 et ω = P1 dx1 + · · · + Pn dxn une forme différentielle de classe C 1 sur l’ouvert V. On définit le transposé par F de la forme différentielle ω par l’expression, F∗ (ω) = P1 ◦ Fdf1 + · · · + Pn ◦ Fdfn .

(4.9)

Proposition 32. Soit ω = P1 dx1 + P2 dx2 + · · · + Pm dxm une forme différentielle de classe C 1 sur un ouvert non vide U ⊂ Rm . Si γ(t) = (x1 (t), · · · , xm (t)) est une application de classe C 1 sur le segment [a, b] à valeur dans l’ouvert U alors la forme différentielle transposée, γ ∗ (ω) = (P1 ◦ γ(t)

dx1 (t) dxm (t) + · · · + Pm ◦ γ(t) )dt. dt dt

(4.10)

En conséquence, s’il existe une fonction f : U → R telle que la forme différentielle ω = df alors le transposé γ ∗ (ω) = d(f ◦ γ) =

d(f ◦ γ) dt. dt

Démonstration. Il suffit qu’on remarque que par définition de la forme différentielle transposée on peut écrire, γ ∗ (ω) = P1 ◦ γ(t)d(x1 (t)) + · · · + Pm ◦ d(xm (t)) dx1 dxm = P1 ◦ γ(t) dt + · · · + Pm ◦ γ(t) dt dt dt dx1 dxm = (P1 ◦ γ(t) + · · · + Pm ◦ γ(t) )dt. dt dt

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Intégrale curviligne d’une forme différentielle

75

Proposition 33. Soit ω une forme différentielle de classe C 1 définit sur un ouvert non vide V ⊂ Rp . Alors pour tout ouvert U ⊂ Rm et pour toute application de classe C 1 , f : U → V, on a les propositions suivantes : 1) Si ω est fermée alors la forme différentielle transposée f ∗ (ω) est fermée. 2) Si ω est exacte alors la forme différentielle transposée f ∗ (ω) est exacte. Exemple 32. 1) Calculons la forme différentielle transposée de la forme différentielle fermée suivante définie sur l’ouvert R × R∗+ par l’expression, y x ω=− 2 dx + 2 dy, x + y2 x + y2 moyennant l’application P(r, θ) = (r cos(θ), r sin(θ)) = (x, y) ∈ R2 avec r 6= 0.

En effet, si on applique la définition de la forme différentielle transposée P∗ (ω) on obtient : P∗ (ω) = −

r sin(θ) r cos(θ) d(r cos(θ)) + d(r sin(θ)) (r cos(θ))2 + (r sin(θ))2 (r cos(θ))2 + (r sin(θ))2

1 [− sin(θ)(cos(θ)dr − r sin(θ)dθ) + cos(θ)(sin(θ)dr + r cos(θ)dθ)] r = dθ. =

2) Calculons le transposé de la forme différentielle ω = ydx − xdy + (x2 + y 2 )dz par l’application γ : R → R définie par γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (cos(t), sin(t), t).

γ ∗ (ω) = sin(t)d(cos(t)) − cos(t)d(sin(t)) + ((cos(t))2 + (sin(t))2 )d(t) = −(sin(t))2 dt − (cos(t))2 dt + dt

= −dt + dt = 0. Exercice 96. Démontrer la proposition précédente quand ω = P(x, y)dx+Q(x, y)dyd et f (x, y) = (f1 (x, y), f2 (x, y)). Exercice 97. Calculer le transposé des deux formes différentielles suivantes, ω1 =

x2

y x dx + 2 dy 2 +y +1 x + y2 + 1

et

ω2 =

x2

x y dx − 2 dy, 2 +y +1 x + y2 + 1

par l’application f : R2 → R2 définie par f (r, θ) = (r cos(θ), r sin(θ)) :

4.2 Intégrale curviligne d’une forme différentielle 4.2.1 Définition et propriétés Définition 39. Soit γ : [a, b] → R3 une application de classe C k , k ∈ N.

1) Le sous-ensemble Γ = {γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3 /∀t ∈ [a, b]} s’appelle chemin (ou courbe) de classe C k paramétrée par l’application γ. Quand la troisème composante de γ, z(t) = 0, on dira que le chemin Γ est plane. 2) Le point γ(a) = A s’appelle origine du chemin Γ et γ(b) = B son extrémité. Quand γ(a) = γ(b) on dira que la courbe Γ est fermée. 3) Soient γ1 : [a, b] → R3 et γ2 : [a′ , b′ ] → R3 deux paramétrisations de classe C 1 d’un chemin Γ. S’il existe une bijection θ : [a, b] → [a′ , b′ ] de classe C 1 telle que γ1 (t) = γ2 ◦ θ(t) on dira que le chemin γ1 est équivalente à la courbe γ2 . Sur la figure suivante nous avons représenté un cercle sur le plan Oxy, donc il s’agit d’une courbe fermée. Nous avons aussi représenté une hélice et un segment qui sont des courbes non fermées. A. Bouarich, FST de Beni Mellal

76

Formes différentielles, champs de vecteurs et intégrales curvilignes

z

y

x

Définition 40. Soient U ⊂ R3 un ouvert non vide et Γ ⊂ U une courbe paramétrée par une application γ : [a, b] → R3 de classe C 1 . Si ω = Pdx + Qdy + Rdz est une forme différentielle de classe C 1 sur l’ouvert U on définit son intégrale curviligne le long de Γ par l’expression, Z

ω=

Γ

Z

b

(P(x(t), y(t), z(t))x′ (t) + Q(x(t), y(t), z(t))y ′ (t) + R(x(t), y(t), z(t))z ′ (t))dt.

(4.11)

a

Notons que l’expression (3.11) donne l’inpressiosn que l’intégrale curviligne d’une forme différentielle dépend de l’application γ qui paramétrise le chemin d’intégration Γ. La proposition suivante nous montre qu’en fait l’expression (3.11) ne dépend pas du choix de la paramétrisation γ. Z Proposition 34. L’intégrale curviligne ω ne dépend pas du choix de la paramétrisation γ : [a, b] → R3 de la Γ

courbe Γ.

Démonstration. Pour simplifier le développement de nos calculs nous donnerons une démonstration que pour les formes différentielles à deux variables réelles. Soient γ1 , γ2 : [a, b] → R3 deux paramétrisations de la courbe Γ ; et soit θ : [a, b] → [′ , b′ ] une bijection de classe C 1 telle que γ2 ◦ θ = γ1 . Pour tout réel t ∈ [a, b] posons γ1 (t) = (x1 (t), y1 (t)) et γ2 (t) = (x2 (t), y2 (t)). Z Avec ces données si on développe l’intégrale curviligne ω en appliquant l’expression (3.11) à la paraméΓ

trisation γ1 on obtient, Z

b

a

γ1∗ (ω)

= = =

Z Z

Z

b

(P(x1 (t), y1 (t))x′1 (t) + Q(x1 (t), y1 (t))y1′ (t))dt

a b

(P(x2 ◦ θ(t), y2 ◦ θ(t))x′2 ◦ θ(t) + Q(x2 ◦ θ(t), y2 ◦ θ(t))y2′ ◦ θ(t))θ ′ (t)dt

a

b′ a′

Donx, l’intégrale curviligne

(P(x2 (t), y2 (t))x′2 (t) Z

+

Q(x2 (t), y2 (t))y2′ (t)dt

=

Z

b′

a′

γ2∗ (ω).

ω ne dépond pas du choix de la paramétrisation de la courbe Γ. Γ

Dans le reste du chapitre, étant donnée une forme différentielle ω et une courbe Γ d’origine A et d’extrémité B dans le domaine de définition de ω ; on notera l’intégrale de ω le long de Γ par, Z contenue Z Z curviligne I ω=

Γ

y

ω. Et, quand la courbe Γ est fermée (i.e. A = B) on écrira

AB

ω=

Γ

ω.

Γ

Proposition 35. Soient ω et ω ′ deux formes différentielles de classe C 1 définies sur un ouvert non vide U ⊂ Rm . y

Alors, pour toute courbe Γ = AB ⊂ U de classe C 1 et pour tout réel k ∈ R on a, A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Intégrale curviligne d’une forme différentielle Z Z ′ ′ (ω + ω ) = ω + y y y ω . AB Z AB ZAB 2) y (kω) = k y ω.

1)

77

Z

AB

AB

y

2) Pour tout point C ∈ AB = Γ on a,

Z

y

ω=

AB

Z

y

ω+

AC

Z

y

ω.

CB

Démonstration. Les deux premières formules de la proposition sont déduites immédiatement de la linéarité des intégrales simples. Tandis que la troisième formule est une conséquence de la relation de Chasle. Exemple 33. Considérons la forme différentielle ω = ydx − zdy + xdz.

1) Calculons l’intégrale curviligne de la forme différentielle ω le long du chemin Γ1 constitué par la réunion des deux segments [A, C] = [(1, 0, 0), (0, 1, 0)] et [C, B] = [(0, 1, 0], (−1, 0, 0)] (Voir figure).

C 1

Γ1 A

B −2 Pour calculer l’intégrale curviligne

Z

−1

1

ω nous allons paramétrer le segment [A, C] (resp. [C, B]) par l’application Γ1

γ1 (t) = (1 − t, t, 0) (resp. γ2 (t) = (−t, 1 − t, 0)) avec t ∈ [0, 1]. Z

ω = Γ1

Z

ω+

[A,C] Z 1

Z

ω

[C,B]

Z

1

(γ1 ) (ω) + (γ2 )∗ (ω) 0 0 Z 1 Z 1 Z = −tdt + −(1 − t)dt = =

∗

0

0

1 0

−dt = −1.

2) Calculons l’intégrale curviligne de la forme différentielle ω le long du demi-cercle Γ2 paramétré par l’application γ(t) = (− cos(t), sin(t), 0) avec t ∈ [0, π].

1

Γ2 A

B −2

Z

ω =

Γ2

=

−1

Z

0

γ (ω) =

Z

0

sin(t)d(− cos(t)) Z π 1 − cos(2t) π (sin(t))2 dt = dt = . 2 2 0

−π Z π 0

∗

1

−π

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

78

Formes différentielles, champs de vecteurs et intégrales curvilignes

Notons que les deux intégrales curvilignes de la forme différentielle ω = ydx − zdy + dz le long des courbes Γ1 et Γ2 ont des valeurs distingues malgré que Γ1 et Γ2 ont la même origine A et la même extrémité B. Cidessous, nous démontrons un théorème qui caractérise les formes différentielles dont toutes les intégrales ciurvilignes ne dépendent que des extrémités du chemin d’intégration. Théorème 27. Soit U ⊂ Rm un ouvert non vide convexe ; et soit ω une forme différentielle fermée de classe C 1 sur U. Pour que la forme différentielle fermée ω soit exacte sur l’ouvert U il faut et il suffit que toutes ses intégrales curvilignes ne dépendent que des extrémités du chemin d’intégration. Démonstration. 1) Supposons que la forme différentielle ω est exacte. Considérons une fonction f : U → R dont différentielle totale df = ω et une courbe Γ paramétrée par une application γ : [a, b] → U telle que γ(a) = A et γ(b) = B. Avec ces données l’intégrale curviligne de la forme différentielle ω est donc égale à, Z

ω= Γ

Z

b ∗

γ (ω) = a

Z

a

b

d(f ◦ γ) dt = f ◦ γ(b) − f ◦ γ(a) = f (B) − f (A). dt

D’autre part, si on considère une autre fonction g : U → R primitive de la forme différentielle ω = dg, puisque l’ouvert U est convexe ; alors de l’expression ω = df = dg on déduit que la fonction f − g = c est constante et que : Z

ω= Γ

Z

a

b

d(g ◦ γ) dt = g ◦ γ(b) − g ◦ γ(a) = g(B) − g(A) = f (B) − f (A). dt

Ainsi, en conséquence de ce calcul, on concluut que l’intégrale curviligne de la forme différentielle exacte y

ω le long d’une courbe Γ = AB ne dépend que des extrémités A et B. Z 2) Supposons que l’intégrale curviligne ω ne dépendent que des extrémités du chemin d’intégration Γ

y

Γ = AB et montrons que la fomre différentielle ω est exacte.

Fixons un point A0 ∈ U et pour tout point M = (x1 , · · · , xn ) ∈ U posons, f (M) =

Z

(4.12)

ω.

y

A0 M

Notons que puisque les intégrales cirvilignes de la forme différentielle ω = P1 dx1 + · · · + Pm dxm ne dépendent que des extrémités d’intégration ceci implique que la fonction f : U → R définie par (3.12) Z est bien définie. Ainsi, dans le reste de cette preuve, on se propose de montrer que la fonction f (M) =

y

ω

A0 M

est de classe C 1 et que sa différentielle totale df = ω.

Pour calculer les dérivées partielles de la fonction f (M) =

Z

y

ω nous allons étudier la limite du taux

A0 M

→ f (M + t− ei ) − f (M) quand le réel t tend vers zéro. Pour cela observons que si on considère t y y − les deux chemins A0 M et A0 M ∪ [M, M + t→ ei ] représentés sur la figure suivante, d’accroissement

b

M + tei b

M b

A0 A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Intégrale curviligne d’une forme différentielle on aura f (M) =

Z

y

A0 M

→ ω et f (M + t− ei ) =

Z

79

− A0 M∪[M,M+t→ ei ] y

ω.

→ Ensuite, observons que si on paramétrise le segment [M, M + tei ] par l’application γ(s) = M + s− ei pour s ∈ [0, t] on obtient : Z Z Z Z t − → − ω− y ω= ω= Pi (M + s→ ei )ds. f (M + t ei ) − f (M) = y → − → − A0 M∪[M,M+t ei ] A0 M [M,M+t ei ] 0 D’autre part, notons que si on applique la formule de la moyenne à l’intégrale simple précédente, on pourra trouver un réel ct ∈ [0, t] tel que, Z t − → − − f (M + t ei ) − f (M) = ei ). Pi (M + s→ ei )ds = tPi (M + ct → 0

Ainsi, puisque les composantes Pi de la forme différentielle ω sont supposées continues on déduit que la → f (M + t− ei ) − f (M) ∂f limite, lim = (M) = Pi (M) est continue et que la différentielle totale df = ω. t→0 t ∂xi Corollaire 7. Soit ω une forme différentielle fermée de classe C 1 sur un ouvert non videI U ⊆ Rm . Pour que la forme différentielle ω soit exacte il faut et il suffit que pour toute courbe fermée Γ ⊂ U on ait,

ω = 0.

Γ

Exemple 34. Grâce au résultat du corollaire 4 nous pouvons maintenant montrer que la forme différentielle, ω=−

x2

y x dx + 2 dy, 2 +y x + y2

qui est fermée n’est pas exacte sur l’ouvert R2 − {(0, 0)}.

En effet, si on onsidère le cercle Γ de rayon un centré au point (0, 0) que l’on paramétrise par l’application γ(t) = (cos(t), sin(t)) avec t ∈ [0, 2π] on obtient une intégrale curviligne, I Z 2π Z 2π Z 2π sin(t) cos(t) ∗ ω= γ (ω) = − dt = 2π 6= 0, d(cos(t)) + d(sin(t)) = 1 1 Γ 0 0 0 non nulle. Donc, d’après le corolaire 4 la forme différentielle fermée ω n’est pas exacte sur l’ouvert U = R2 − {(0, 0)}.

Exercice 98. Soient a, b, c et d quatre nombres réels fixés. On considère la forme différentielle ω définie sur l’ouvert R2 − {(0, 0)} par l’expression, ax + by cx + dy dx + 2 dy. 2 2 x +y x + y2 1) Montrer que la forme différentielle ω est fermée si et seulement si, a = d et b = −c.

2) On suppose que a = d et b = −c. Calculer l’intégrale curviligne de la forme différentielle fermée ω le long du cercle de rayon r = 1 et de centre (0, 0). 3) La forme ω est-elle exacte ? Justifier votre réponse ? Exercice 99. Les formes différentielles suivantes sont-elles exactes ? Si oui, les intégrer. ω1 =

ydy − xdx , x2 − y 2

ω2 =

y2 2y dx − dy. x2 x

4.2.2 Aire d’une surface limitée par une courbe plane fermée Dans ce paragraphe, nous allons utiliser les intégrales curvilignes pour calculer l’aire d’une surface plane S ⊂ R2 dont la frontière est une courbe plane fermée sans point double.

Pour fixer les idées nous supposerons que la surface S ⊂ R2 est limitée par une courbe fermée Γ contenue dans le premier quadrant du plan R2 . De même, nous allons supposer que la courbe Γ est égale à la réunion y

y

de deux courbes Γ1 = AB et Γ2 = BA paramétrisées respectivement par les fonctions y1 (x) et y2 (x) telles que y1 (x) 6 y2 (x) pour x ∈ [a, b] (voir la figure). A. Bouarich, FST de Beni Mellal

80

Formes différentielles, champs de vecteurs et intégrales curvilignes

Γ2 A

B b

b

Γ1 a

b

Avec les données ci-dessus, l’aire algébrique du domaine S limitée par la courbe Γ = Γ1 ∪ Γ2 peut être calculer en prenant la soustraction de l’aire algébrique du deux domaines limités par les deux graphes Γ1 et Γ2 , l’axe Ox et les deux droites verticales x = a et x = b : Aire(S) =

Z

b a

y2 (x)dx −

Ainsi, puisque les deux intégrales curvilignes suivantes Z Z a Z b y2 (x)dx = − y2 (x)dx y ydx = BDA

b

Z

b

y1 (x)dx.

a

Z

et

a

on conclut donc que l’intégrale curviligne

I

ydx = Γ

Z

y

y

ACB

ydx +

ACB

Z

y

BDA graphes Γ′1

ydx =

Z

b

y1 (x)dx

a

ydx = −Aire(S).

Notons que si on décompose la courbe fermée Γ en deux et Γ′2 que l’on peut paramértriser par des fonctions x1 (y) 6 x2 (y) avec Iy ∈ [c, d] on vérifie de la même façon que l’aire algébrique du domaine S

est égale à l’intégrale curviligne,

xdy = Aire(S).

Γ

En conséquence des discussions précédentes on déduit qu’on le théorème suivant :

Théorème 28. L’aire algébrique d’une surface S ⊂ R2 dont la frontière est une courbe fermée plane Γ sans point double est égale à l’intégrale curviligne, I 1 (xdy − ydx) = Aire(S). (4.13) 2 Γ Corollaire 8. Si la frontière Γ du domaine S ⊂ R2 est paramétrée par les coordonnées polaires (x, y) = (r cos(θ), r sin(θ)) alors l’aire algébrique de la surface S est donnée par, I I 1 1 Aire(S) = (xdy − ydx) = r 2 dθ. (4.14) 2 Γ 2 Γ Exemple 35. 1) Calculons l’aire algébrique de la surface S limitée par l’ellipse, Γ = {(x, y) ∈ R2 / b b

−a

x2 y 2 + 2 = 1}. a2 b

Γ a

b

b

b

−b I 1 Pour calculer l’aire algébrique de la surface S nous allons appliquer la formule Aire(S) = (xdy − ydx). Pour 2 Γ cela paramétrons l’ellipse Γ par l’application γ(t) = (a cos(t), b sin(t)) avec t ∈ [0, 2π] : I Z 1 1 2π Aire(S) = (xdy − ydx) = (ab cos2 (t) + ba sin2 (t))dt = abπ. 2 Γ 2 0 A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Champs de vecteurs

81

2) Calculons l’aire de surface Σ limitée par la lemniscate de Bernoulli Γ définie en coordonnées polaires par,r 2 = π π a2 cos(2θ) avec θ ∈ [− , ] (Voir la figure). 2 2 Γ −a

a Σ b

b

Puisque la surface Σ est symétrique par rapport aux axes du plan R2 cela implique que l’aire de Σ est égale au double de l’aire de la S′ limitée par la courbe Γ′ formée par l’axe Ox et la moitié supérieure de la courbe de Bernoulli. Donc, π π si on paramétrise par r 2 = a2 cos(2θ) avec θ ∈ [− , ]. D’où, 4 4 I Z π 4 ′ 2 Aire(S) = 2Aire(S ) = r dθ = a2 cos(2θ)dθ = a2 . Γ′

− π4

Exercice 100. Calculer l’aire de la surface S ⊂ R2 limitée par la courbe fermée Γ solution de l’équation implicite, x3 + y 3 − 3axy = 0. 3at2 3at , ) avec t ∈ R. Indication : Observer que la courbe Γ peut être paramétrée par γ(t) = ( 1 + t3 1 + t3 Exercice 101. Soient a, b, c, d, A et B des nombres réels tels que ad − bc > 0.

a) Montrer que la courbe C paramétrée par le système x = a cos(t) + c sin(t) + A et y = b cos(t) + d sin(t) + B avec t ∈ [0, 2π] est une ellipse.

b) Montrer que l’aire de la surface S limitée par la courbe C est égale à π(ad − bc).

4.3 Champs de vecteurs 4.3.1 Définitions et exemples → − Définition 41. Soit U ⊂ Rm un ouvert non vide. Une application X : U → Rm de classe C k s’appelle champ de vecteurs de classe C k défini sur l’ouvert U. Il est clair que si on munit l’espace Rm par la base canonique {~e1 , · · · , ~em } ceci permet d’écrire le champ de vecteurs X : U → Rm en chaque point x ∈ U sous la forme, − → X(x) = P1 (x)~e1 + · · · + Pm (x)~em , ∀x ∈ U

− → où les P1 , · · · , Pm : U → R sont des fonctions de classe C k appelées composantes du champ X. Notons aussi que pour tout x ∈ U si on pose ~r(x) = (x1 , · · · , xm ) et d~r = (dx1 , · · · , dxm ) on peut alors associer au → − champ de vecteurs X une forme différentielle de classe C k sur l’ouvert U définit par l’expression, − → ~ · d~r X = P1~e1 + · · · + Pm~em =⇒ ω X = P1 (x)dx1 + · · · + Pm (x)dxm = X

(4.15)

Inversement, la donnée d’une forme différentielle ω = P1 (x)dx1 + · · · + Pm (x)dxm de classe C k définit sur l’ouvert U permet de construire un champ de vecteurs de classe C k sur U en posant, Xω (x) = P1 (x)~e1 + · · · + Pm (x)~em ,

∀x ∈ U.

(4.16)

→ − La correspondance X ↔ ω X montre qu’il y a une équivalence entre l’étude des formes différentielles et les champs de vecteurs. Ci-dessous nous allons illustrer ce fait avec plus de détail en réexaminant au sujet des champs de vecteurs tous les résultats et propriétés établis à propos des formes différentielles. A. Bouarich, FST de Beni Mellal

82

Formes différentielles, champs de vecteurs et intégrales curvilignes

A) Champ de gradients → − Définition 42. Soit U ⊂ Rm un ouvert non vide et X : U → Rm un champ de vecteurs de classe C k . On dira que le → − champ de vecteurs X dérive d’un potentiel scalaire si il existe une fonction f : U → R de classe C k+1 dont le gradient ~ gradf = X. → − Proposition 36. Pour qu’un champ de vecteurs X dérive d’un potentiel scalaire il faut et il suffit que la forme différentielle qui lui est associée ω X soit exacte. Démonstration. Ceci est une conséquence immédiate de la relation, gradf · d~r = df . ~ = (x + y 2 )~ı + (2xy − y 2 )~ est un champ de gradients sur R2 . Exemple 36. 1) Montrons que le champ de vecteur X ~ Cherchons donc une fonction f : R2 → R dont le gradient gradf (x, y) = X(x, y).   1 2 ∂f    f (x, y) =  x + y 2 x + ϕ(y) = x + y2 2 ∂x =⇒ ∂f ∂f     = 2xy − y 2 = 2xy + ϕ′ (y) = 2xy − y 2 ∂y ∂y  1 3   ϕ(y) = y +C 3 =⇒ 1 1 2   f (x, y) = x + y2x − y3 + C 2 3 → − 2) Montrons que le champ de vecteurs X(x, y) = y~ı − x~ n’est pas un champ de gradient. → − En effet, si on suppose qu’il existe une fonction f (x, y) telle que gradf (x, y) = X il en résulte alors qu’on a,   ∂f    f (x, y) = yx + ψ(y) = y ∂x =⇒ ψ ′ (y) = −2x =⇒ ∂f ∂f ′ (y) = −x   = x + ψ  = −x ∂y ∂y

ceci est impossible car les variables x et y sont indépendantes. → − Conséquence : le champ de vecteurs X(x, y) = yı − x n’est un champ de gradients. B) Rotationnel d’un champ de vecteurs

→ − Définition 43. Soit U ⊂ R3 un ouvert non vide et X : U → R un champ de vecteurs de classe C k , k > 0 dont les → − composantes sont notées par (P, Q, R). On définit le rotationnel du champ X par l’expression, ~k ~ı ~ ∂ ∂ ∂ → − = ( ∂R − ∂Q )~ı − ( ∂R − ∂P )~ + ( ∂Q − ∂P )~k Rot( X) = ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y ∂x ∂y ∂z P Q R

→ − → − → − et on dit que le champ de vecteurs Y = Rot( X) dérive du potentiel vecteur X sur l’ouvert U. → − − → Proposition 37. Soit X = (P, Q, R) un champ de vecteur de classe C 1 . Alors, le champ rotationnel Rot( X) = ~0 si → − et seulement si la forme différentielle ω X associée à X est fermée. → − Démonstration. Il suffit qu’on applique la définition du rotationnel d’un champ de vecteurs X = (P, Q, V),  ∂R ∂Q     ∂y = ∂z   ∂R ∂Q ∂R ∂P ∂Q ∂P ~ ~ ∂R ∂P Rot(X) = ( − )~ı − ( − )~ + ( − )k = 0 ⇐⇒ =  ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y ∂x ∂z   ∂Q ∂P    = ∂x ∂y A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Champs de vecteurs

83

→ − − → Proposition 38. Si X : U → R3 est un champ de gradients de classe C 1 alors son rotationnel Rot( X) = ~0. → − Démonstration. En effet, si le champ de vecteur X = (P, Q, R) est un champ de gradient il existe donc une → − fonction f : U → R de classe C 2 telle que X = (P, Q, R) = grad(f ). Et, ainsi avec le théorème de Schwartz on peut écrire, ∂R ∂Q ∂R ∂P ∂Q ∂P ~ − )~ı − ( − )~ + ( − )k ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f ~ ~ = ( − )~ı − ( − )~ + ( − )k = 0. ∂z∂y ∂y∂z ∂z∂x ∂x∂z ∂y∂x ∂x∂y

Rot(gradf ) = (

En utilisant la dualité entre les champs de vecteurs et les formes différentielles on déduit du théorème de H. Poincaré que : − → Théorème 29 (H. Poincaré). Si U ⊂ R3 est un ouvert étoilé (ou convexe) alors tout champ de vecteurs X ayant un rotationnel nul dérive d’un potentiel scalaire. C’est-à-dire on a l’équivalence, → − → − Rot( X) = ~0 ⇐⇒ ∃f : U → R, gradf = X Démonstration. En effet, sous les hypothèses du théorème, la proposition précédente implique que la forme → − différentielle ω X associée au champ de vecteurs X est fermée. Le théorème 1 de H. Poincaré implique donc ~ que la forme différentielle ω X est exacte. Et, enfin, la proposition 7 implique que le champ de vecteurs X est un champ de gradients. C) Divergence d’un champ de vecteurs → − Définition 44. Soit U ⊂ R3 un ouvert non vide et X : U → R3 un champ de vecteurs dont les composantes (P, Q, R) sont de classe C k+1 . La fonction Div : U → R définie par l’expression, ∂P ∂Q ∂R → − Div( X) = + + ∂x ∂y ∂z → − → − s’appelle divergence du champ X. Quand, le champ de vecteurs X = gradf est un gradient sa divergence ∂2f ∂2f ∂2f → − Div( X) = Div(gradf ) = + + = ∆(f ) ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 s’appelle Laplacien de la primitive f . → − → − − → Proposition 39. Si un champ de vecteurs X est de classe C 1 dérive d’un potentiel vecteur (i.e. X = Rot( A)) alors sa divergence est nulle. → − → − Démonstration. Utiliser la formule de Schwartz pour obtenir Div( X) = Div(Rot( A)) = 0. − → Théorème 30 (H. Poincaré). Sur un ouvert non vide U ⊂ R3 étoilé (ou convexe) tout champ de vecteurs X de classe C 1 à divergence nulle dérive d’un potentiel vecteur. C’est-à-dire on a, → − → − − → → − Div( X) = 0 ⇐⇒ ∃ A, X = Rot( A). A. Bouarich, FST de Beni Mellal

84

Formes différentielles, champs de vecteurs et intégrales curvilignes

4.4 Intégrale curviligne d’un champ de vecteurs 4.4.1 Définition et propriétés → − Définition 45. Soient U ⊂ R3 un ouvert non vide et X : U → R3 un champ de vecteurs de classe C k . Pour une y

courbe Γ = AB ⊂ U paramétrisée par une application γ : [a, b] → U ⊂ R3 de classe C 1 on définit l’intégrale → − curviligne du champ X = (P, Q, R) le long du chemin Γ par la formule : Z Z b → − X · d~r = (P(x(t), y(t), z(t))x′ (t) + Q(x(t), y(t), z(t))y ′ (t) + R(x(t), y(t), z(t))z ′ (t))dt Γ

a

où ~r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = γ(t).

− → Notons que si on désigne par ω X = Pdx+Qdy+Rdz la forme différentielle associée au champ de vecteurs X → − on déduit alors que l’intégrale curviligne du champ de vecteurs X est égale à celle de la forme différentielle ωX : Z Z X ~ · d~r = X y y ω AB

AB

En conséquence de cette égalité, on déduit Z que toutes les propriétés et tous les résultats que Z nous avons − → X établi à propos de l’intégrale curviligne y ω restent vrais pour l’intégrale curvilgne y X · d~r. En AB

particulier, nous avons le théorème :

AB

→ − Théorème 31. Pour qu’un champ de vecteurs X de classe C k dérive d’un potentiel scalaire f : U → R il faut et il I → − suffit que pour toute courbe fermée Γ ⊂ U l’intégrale curviligne, Xd~r = 0. Γ

Démonstration. Utiliser le fait que

Z

y

AB

− → X · d~r =

Z

y

ω X . Ensuite, appliquer le corollaire 4.

AB

→ − Corollaire 9. Soit X un champ de vecteurs de classe C k défini sur un ouvert non vide U ⊂ R3 . Si les intégrales y → − ~ curvilignes du champ de vecteurs X ne dépendent que des extrémités du chemin d’intégration Γ = AB alors X dérive du potentiel scalaire défini par l’expression, Z → − f (M) = y X · d~r, A0 M

où M est un point qui varie dans l’ouvert U et A0 ∈ U est un point fixé. Exemple 37. Soit f : R → R une fonction de classe C 1 . Sur l’ouvert U = {(x, y, z) ∈ R3 /(x, y) 6= (0, 0)} on y x → − définit un champ de vecteurs par l’expression, X = (− 2 , 2 , f (z)). 2 x + y x + y2 → − Notons d’abord que le rotationnel du champ de vecteurs X est nul, ~k ~ ı ~  ∂ ∂ ∂ ∂ x ∂ y ~ = ~ ~ Rot(X) ∂x ∂y ∂z = ( ∂x ( x2 + y 2 ) − ∂y (− x2 + y 2 ))k = 0. y x − f (z) x2 + y 2 x2 + y 2 ~ le long du cercle Γ qui est D’autre part, observons que si on calcul l’intégrale curviligne du champ de vecteurs X contenu dans le plan d’équation z = 1, de centre (0, 0, 1) et de rayon un et que l’on paramétrise par l’application (x(t), y(t), z(t)) = (cos(t), sin(t), 0) avec t ∈ [0, 2π] : I Z 2π ~ = ~ · dr X ((sin(t))2 + (cos(t))2 )dt = 2π Γ

0

~ n’est pas un champ de vecteurs gradients, et donc ceci ; malgré que son on conclut que le champ de vecteur X rotationnel est nul. A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Intégrale curviligne d’un champ de vecteurs

85

~ par l’expression, Exercice 102. Sur l’ouvert U = R2 − {(0, 0)} on définit un champ de vecteurs X ~ = (− X

xy 2 y3 , ) (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2

~ le long du cercle x2 + y 2 = 1. a) Calculer l’intégrale curviligne du champ de vecteurs X ~ d’un potentiel scalaire ? b) Peut-on dériver le champ de vecteurs X ~ un champ de vecteurs défini sur R3 par l’expresExercice 103. Soit f : R → R une fonction de classe C 1 , et soit X ~ = (x3 , f (y), −3z(x2 + y 2 )). sion, X ~ = 0. 1) Déterminer l’expression de f pour que la divergence DivX ~ dérive d’un potentiel vecteur. 2) En déduire toutes les fonctions inconnues f (y) pour lesquelles X

4.4.2 Classification des opérateurs différentiels usuels Dans ce paragraphe, nous donnerons quelques propriétés et relations entre les opérateurs différentiels que nous avons introduit ci-dessus : grad, Div, Rot. Ensuite, nous donnerons leurs classification sur un ouvert de l’espace R3 qui est non vide et étoilé (ou convexe). Soit U ⊂ R3 un ouvert non vide étoilé. Pour tout couple de fonctions f, g : U → R et tous couple de champs ~ Y ~ : U → R3 on vérifie aisément qu’on a les relations suivantes. de vecteurs X, 1. ∀λ, µ ∈ R, grad(λf + µg) = λgrad(f ) + µgrad(g) ;

2. grad(f g) = f grad(g) + ggrad(f ) ; ~ + µY) ~ = λDiv(X) ~ + µDiv(Y) ~ ; 3. ∀λ, µ ∈ R, Div(λX

~ = f Div(X) ~ + gradf · X ~ ; 4. Div(f X) ~ + µY) ~ = λRot(X) ~ + µRot(Y) ~ ; 5. ∀λ, µ ∈ R, Rot(λX ~ = f Rot(X) ~ + gradf ∧ X ~ ; 6. Rot(f X) ~ ∧ Y) ~ =Y ~ · Rot(X) ~ −X ~ ∧ Rot(Y) ~ ; 7. Div(X

~ ~ − ∆(X) ~ où ∆(X) ~ = (∆(P), ∆(Q), ∆(R)) désigne le Laplacien du 8. Rot(Rot(X)) = grad(Div(X)) ~ = (P, Q, R). champ de vecteurs X

En utilisant les résultats établis dans les paragraphes précédents, on peut maintenant classifier tous les ~ de classe C 2 définis sur un ouvert non vide étoilé (ou convexe) U ⊂ R3 en quatre champs de vecteurs X catégories. → − → − A) Champ de vecteurs irrotationnel Rot( X) = ~0 et solénoïdale Div( X) = 0 ~ = ~0, le théorème de Puisque sur l’ouvert U étoilé (ou convexe) le champ de vecteurs rotationnel Rot(X) → − H. Poincaré montre donc qu’il existe une fonction f : U → R telle que, X = gradf . Ainsi, puisque en plus → − on a Div( X) = 0 nous en déduisons que le Laplacien de la primitive f est harmonique, ∆(f ) = Div(grad(f )) =

∂2f ∂2f ∂2f + + =0 ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

→ − → − Conséquence 1 : Si sur un ouvert étoilé (ou convexe) on a Rot( X) = ~0 et Div( X) = 0 alors le champ de → − → − vecteurs X dérive d’un potentiel scalaire f : U → R harmonique (i.e. X = gradf avec ∆(f ) = 0). → − → − B) Champ de vecteurs irrotationnel Rot( X) = ~0 mais non solénoïdale Div( X) 6= 0 → − Puisque sur l’ouvert U étoilé (ou convexe) le champ de vecteurs rotationnel Rot( X) = ~0, le théorème de → − H. Poincaré montre qu’il existe une fonction f : U → R telle que, X = gradf . Mais, puisque la divergence → − Div( X) 6= 0 nous en déduisons que le Laplacien de la primitive f est non nul, ∆(f ) = Div(grad(f )) =

∂2f ∂2f ∂2f + + 6= 0. ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

86

Formes différentielles, champs de vecteurs et intégrales curvilignes

→ − → − Conséquence 2 : Si sur un ouvert étoilé (ou convexe) on a Rot( X) = ~0 et Div( X) 6= 0 alors le champ de → − → − vecteurs X dérive d’un potentiel f : U → R non harmonique (i.e. X = gradf avec ∆(f ) 6= 0). → − → − C) Champ de vecteurs rotationnel Rot( X) 6= ~0 et solénoïdale Div( X) = 0 → − − → Puisque sur l’ouvert U étoilé (ou convexe) le champ de vecteurs X possède une divergence nulle Div( X) = → − 0, le théorème de H. Poincaré montre qu’il existe un champ de vecteur A : U → R3 dont le champ rota→ − → − → − − → tionnel Rot( A) = X et ayant une divergence Div( A) = 0. Ainsi, comme nous avons en plus Rot( X) 6= ~0 on obtient la relation suivante, → − → − → − → − → − Rot( X) = Rot(Rot( A) = grad(Div( A)) − ∆( A) = −∆( A) 6= ~0 → − qui montre que le potentiel vecteur A n’est pas harmonique. → − → − Conséquence 3 : Si sur un ouvert étoilé (ou convexe) on a Rot( X) 6= ~0 et Div( X) = 0 alors le champ de → − → − → − vecteurs X dérive d’un potentiel vecteur A : U → R3 solénoïdale (i.e. Div( A) = 0) dont au moins l’une de ses composantes est non harmonique. → − → − D) Champ de vecteurs rotationnel Rot( X) 6= ~0 et non solénoïdale Div( X) 6= 0 → − Avec ces hypothèses, on montre que le champ de vecteurs X peut être écrit comme somme (superposition) → − − → de deux champs de vecteurs Y et Z tels que, → − → − 1. Le champ Y dérive d’un potentiel scalaire (i.e. Y = gradf ). → − → − → − 2. Tandis que le champ Z dérive d’un potentiel vecteur (i.e. Z = Rot( A)). − → Notons qu’en conséquence de ce résultats on voit que le potentiel scalaire f et le potentiel vecteur A ne → − → − → − sont pas harmoniques car on a Div( X) = ∆(f ) 6= 0 et Rot( X) = −∆( A) 6= ~0. Exercice 104. Pour tout (x, y, z) ∈ R3 on désigne par ~r = x~ı + ~ + z~k.

1) Calculer le vecteur gradient des fonctions suivantes : Logk~rk,

(k~rk)n avec n ∈ N,

où f : R → R désigne une fonction de classe C 1 .

1 , k~rk

f (k~rk)

2) Calculer la divergence des champs de vecteurs suivants : ~r,

~r , k~rk

~r , k~rk3

A ∧ ~r

où A = a~ı + b~ + c~k ∈ R3 − {(0, 0, 0} est un champ de vecteurs constant. 3) Calculer le rotationnel des champs de vecteurs de la question 2).

→ − Exercice 105. Sur l’espace vectoriel R3 on définit un champ de vecteurs X = (2xyz, x2 z, x2 y). 1) Calculer le rotationnel du champ de vecteurs X. → − 2) En déduire que le champ de vecteurs X dérive d’un potentiel scalaire que l’on déterminera. → − Exercice 106. Sur l’espace vectoriel R3 on considère le champ de vecteurs, Y = (y + z, z + x, x + y). → − 1) Calculer le rotationnel du champ de vecteurs Y. → − 2) En déduire que le champ de vecteurs Y dérive d’un potentiel scalaire que l’on déterminera. → − 3) Calculer la divergence du champ de vecteurs Y. y 2 − z 2 z 2 − x2 x2 − y 2 → − → − 4) Vérifier que le champ de vecteurs Y dérive du potentiel vecteur A = ( , , ). 2 2 2 → − Exercice 107. On dira que le champ de vecteurs X possède une potentialité si il dérive d’un potentiel scalaire ou vecteur. Montrer que les champs de vecteurs suivants possèdent une potentialité. x~ı + y~ − → X1 = p , x2 + y 2 + 1

→ − X 2 = (yz + 1)~ı + xz~ + xy~k, A. Bouarich, FST de Beni Mellal

~ı + ~ + ~k → − X3 = . x+y+z

Système de coordonnées curvilignes orthogonales

87

4.5 Système de coordonnées curvilignes orthogonales 4.5.1 Définitions et exemples Définition 46. Soit U ⊂ R3 un ouvert non vide et F : U → R3 une application de classe C 1 . On dira que l’application F(u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) définit un système de coordonnées curvilignes orthogonales si on a les conditions suivantes, 1) Le déterminant de la matrice jacobienne de F est non nul. ∂F ∂F ∂F , et sont orthogonaux deux à deux. 2) Les dérivées partielles vectorielles ∂u ∂v ∂w Si F(u, v, w) désigne un système de coordonnées définit sur un ouvert non vide U ⊂ R3 on lui associe les nombres réels positifs suivants, hu = k

∂F k, ∂u

hv = k

∂F k, ∂v

hw = k

∂F k, ∂w

appelés coefficients de proportionnalité du système F. De même, au système F on associe aussi une base orthonormée appelée repère mobile dont les éléments sont définis par les expressions, 1 ∂F − → eu = , hu ∂u

1 ∂F → − ev = hv ∂v

1 ∂F − e→ w = hw ∂w.

(4.17)

→ → Puisque les vecteurs − eu , − ev et − e→ w on orthogonaux deux à deux, en utilisant le produit vectoriel ; on obtient les relations : − → − − → e→ w = eu ∧ ev ,

→ − − eu = → ev ∧ − e→ w

et

→ − → − ev = − e→ w ∧ eu .

(4.18)

Ci-dessous, nous allons décrire les systèmes de coordonnées curvilignes orthogonaux les plus connus. Exemple 38. 1) Système de coordonnées cylindriques Rappelons que sur l’espace R3 nous avons défini le système de coordonnés cylindriques C(r, θ, z) = (x, y, z) par le système des expressions,    x = r cos(θ) y = r sin(θ)   z = z. z

M b

O

y

θ M′ x

Ici, on se propose de vérifier que le système de coordonnés cylindriques C(r, θ, z) est orthogonal, de plus, on va expliciter le repère mobile qui lui est associé. A. Bouarich, FST de Beni Mellal

88

Formes différentielles, champs de vecteurs et intégrales curvilignes

En effet, puisque les dérivées partielles du système C(r, θ, z) sont données par les expressions suivantes :  ∂C      ∂r ∂C  ∂θ     ∂C ∂z

=

(cos(θ), sin(θ, 0)

= (−r sin(θ), r cos(θ), 0) =

(0, 0, 1).

on vérifie facilement que les trois produit scalaire sont nuls : ∂C ∂C ∂C ∂C ∂C ∂C · = · = · =0 ∂r ∂θ ∂r ∂z ∂θ ∂z Puisque les coefficients de proportionnalité du système orthogonal C(r, θ, z) sont donnés par, hr = 1,

hθ = r,

hz = 1

et donc le repère mobile associé au système C(r, θ, z) est donné par,  − → → − −  + sin(θ)→  er = cos(θ) ı −ı + cos(θ)→ − → − eθ = − sin(θ)→  → −  − → ez = k.

2) Système de coordonnées sphériques

Rappelons aussi que sur l’espace R3 nous avons défini le système de coordonnés sphériques S(r, θ, ϕ) = (x, y, z) par les expressions,    x = r cos(θ) cos(ϕ) y = r sin(θ) cos(ϕ)   z = r sin(ϕ). z

M b

φ

O

y

θ M′ x

Le système de coordonnés sphériques S(r, θ, ϕ) est orthogonal car les dérivées partielles vectorielles du système S(r, θ, ϕ) sont données par les expressions  ∂S     ∂r  ∂S  ∂θ     ∂S ∂ϕ

=

(cos(θ) cos(ϕ),

= (−r sin(θ) cos(ϕ),

sin(θ) cos(ϕ),

0)

r cos(θ) cos(ϕ),

0))

= (−r cos(θ) sin(ϕ), −r sin(θ) sin(ϕ), r cos(ϕ)). A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Système de coordonnées curvilignes orthogonales

89

et le leur produit scalaire deux à deux est nul : ∂S ∂S ∂S ∂S ∂C ∂C · = · = · = 0. ∂r ∂θ ∂r ∂ϕ ∂θ ∂ϕ Puisque les coefficients de proportionnalité du système de coordonnées sphériques S(r, θ, ϕ) sont égales à, hr = 1,

hθ = r cos(ϕ),

hϕ = r

il en résulte que le repère mobile associé au système S(r, θ, ϕ) est donné par,  → − → − → − −  + sin(θ) cos(ϕ)→ + sin(ϕ) k  er = cos(θ) cos(ϕ) ı → − −ı − eθ = − sin(θ)→ + cos(θ)→  −  − → − + − sin(θ) sin(ϕ)→ − + cos(ϕ)→ k. e→ ϕ = − cos(θ) sin(ϕ) ı

3) Système de coordonnées paraboloïdales

Sur l’espace R3 on définit un système de coordonnées P(u, v, θ) = (x, y, z) par les expressions,   x = uv cos(θ)   y = uv sin(θ)  1   z = (u2 − v 2 ). 2

Le système P(u, v, θ) s’appelle : système de coordonnées paraboloïdales. Le système P(u, v, θ) est orthogonal car ses dérivées partielles sont orthogonaux deux à deux :  ∂P   = v cos(θ)~ı + v sin(θ)~ + u~k    ∂u ∂P = u cos(θ)~ı + u sin(θ)~ − v~k  ∂v     ∂P = −uv sin(θ)~ı + uv cos(θ)~ ∂θ Puisque les coefficients de proportionnalité du système P(u, v, θ) sont égales à, p p hu = u2 + v 2 , hv = u2 + v 2 , hθ = uv,

le repère mobile associé au système P(u, v, θ) est donné par les expressions,  1 −  → − −ı + v sin(θ)→ − + u→  eu = √ (v cos(θ)→ k)   2 2  u +v 1 − → − −ı + u sin(θ)→ − − v → ev = √ (u cos(θ)→ k)  2 2  u +v    − → −ı − . eθ = − sin(θ)→ + cos(θ)→

4.5.2 Expression du grad, Div et Rot en coordonnées curvilignes

Dans ce paragraphe, on se propose de donner l’expression des opérateurs différentiels grad, Div et Rot dans un système de coordonnées curvilignes orthogonal quelconque. Ensuite, nous appliquerons les formules trouvées pour exprimer le gradient, la divergence et le rotationnels dans les systèmes de coordonnées cylindriques et sphériques. A) Expression du gradient en coordonnées curvilignes orthogonal Soit U ⊆ R3 un ouvert non vide munit d’un système de coordonnées curvilignes orthogonal F(u, v, w) = (x, y, z). Considérons une fonction f : U → R de classe C 1 et calculons les coordonnées de son vecteur gradient gradf relativement au repère mobile (eu , ev , ew ) associé au système F(u, v, w). Il s’agit donc de − − déterminer les composantes Xu , Xv et Xw du vecteur gradient gradf dans la base (→ eu , → ev , − e→ w) : − − gradf = Xu → eu + Xv → ev + Xw − e→ w. A. Bouarich, FST de Beni Mellal

90

Formes différentielles, champs de vecteurs et intégrales curvilignes

Observons que si on désigne par ~r(u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) le rayon vecteur on obtient par différentiation, d~r =

∂~r ∂~r ∂~r du + dv + dw = hu eu du + hv ev dv + hw ew dw. ∂u ∂v ∂w

Ainsi, en utilisant le fait que la différentielle totale df = gradf · d~r ; on déduit alors que les composantes − − du vecteur gradient f relativement au repère mobile (→ eu , → ev , − e→ w ) sont données par les expressions :  1 ∂f   , Xu =   hu ∂u   1 ∂f Xv = ,  hv ∂v   1 ∂f    Xw = hw ∂w

Conséquence : Le vecteur gradient d’une fonction f : U → R de classe C 1 relativement à un système de coordonnées curvilignes orthogonaux F(u, v, w) = (x, y, z) à pour expression : gradf =

1 ∂f → 1 ∂f → 1 ∂f − − − eu + ev + e→ w. hu ∂u hv ∂v hw ∂w

(4.19)

Exemple 39. 1) En coordonnées cylindriques le vecteur gradient grad(f ) a pour expression : gradf =

1 ∂f → ∂f → ∂f → − − − er + eθ + ez . ∂r r ∂θ ∂z

(4.20)

2) En coordonnées sphériques le vecteur gradient de la fonction f a pour expression :

gradf =

∂f → 1 ∂f → 1 ∂f − − − er + eθ + e→ ϕ. ∂r r cos(ϕ) ∂θ r ∂ϕ

(4.21)

3) En coordonnées paraboloïdales le vecteur gradient de la fonction f a pour expression : gradf = √

1 ∂f → 1 ∂f → 1 ∂f → − − − eu + √ ev + eθ . 2 2 2 uv ∂θ + v ∂u u + v ∂v

u2

(4.22)

B) Expression de la divergence en coordonnées curvilignes orthogonal → − Dans ce paragraphe, étant donné un ouvert non vide U ⊆ R3 et un champ de vecteur X : U → R3 de classe C 1 ; on va exprimer sa divergence relativement à un système de coordonnées curvilignes orthogonal F(u, v, w) = (x, y, z). → − ev , − e→ Remarquons que puisque dans la base orthonormée (→ eu , − w ) associée au système F(u, v, w) le champ → − → − → − − → de vecteurs X s’écrit sous la forme, X = Xu eu + Xv ev + Xw ew , donc ; en lui appliquant la divergence on obtient,

→ − − − Div( X) = Div(Xu → eu ) + Div(Xv → ev ) + Div(Xw − e→ w ).

D’autre part, si on remarque que le vecteur gradient des coordonnées u, v et w (vues comme fonctions) est donné par les expressions,  1 →  −  gradu = eu ,   h  u  1→ − gradv = ev ,  h v   1 −    gradw = e→ w, hw − → on titre alors de l’orthogonalité de la base (→ eu , − ev , − e→ w ) qu’on a,  − →   eu = hv hw gradv ∧ gradw, → − ev = hv hw gradw ∧ gradu,   − e→ w = hu hv gradu ∧ gradv.

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

Système de coordonnées curvilignes orthogonales

91

De même, si on remarque que le rotationnel d’un vecteur gradient est nul, Rot(

1− 1 → 1− → − → eu ) = Rot( → ev ) = Rot( e− w) = 0 , hu hv hw

et qu’on a Div(grad ∧ grad) = 0 on déduit que, Div(

− → → − − eu ev e→ w ) = Div( ) = Div( ) = 0. hv hw hu hw hu hv

→ Ainsi, avec es remarques précédentes on peut maintenant exprimer la divergence des composantes Xu − eu , → − − → Xv ev et Xw ew . Par exemple on a, → − eu → )) Div(Xu − eu ) = Div((Xu hv hw )( hv hw → − → − eu eu = (Xu hv hw )Div( ) + grad(Xu hv hw ) · hv hw hv hw → − eu 1 ∂ = grad(Xu hv hw ) · = (Xu hv hw ). hv hw hu hv hw ∂u → − D’où l’expression recherchée pour la divergence Div d’un champ de vecteurs X relativement à un système de coordonnées curvilignes orthonormées F(u, v, w) : → − Div( X) =

1 ∂ ∂ ∂ [ (Xu hv hw ) + (Xv hu hw ) + (Xw hu hv )]. hu hv hw ∂u ∂v ∂w

(4.23)

− → Exemple 40. 1) En appliquant l’expression précédente on voit que la divergence d’un champ de vecteurs X = → → → Xr − er + Xθ − eθ + Xz − ez est donnée en coordonnées cylindriques par, 1 ∂ ∂ ∂ → − Div( X) = [ (rXr ) + (Xθ ) + (rXz )]. r ∂r ∂θ ∂z

(4.24)

∂f → 1 ∂f → ∂f → → − − − − En particulier, si X est un champ de gradient gradf = er + eθ + ez alors sa divergence est donc égale ∂r r ∂θ ∂z au laplacien de la fonction f : ∆(f ) =

1 ∂ ∂f 1 ∂2f ∂f (r ) + 2 2 + . r ∂r ∂r r ∂ θ ∂z

(4.25)

→ − − − 2) En coordonnées sphériques la divergence d’un champ de vecteurs X = Xr → er + Xθ → eθ + Xϕ − e→ ϕ est donnée par l’expression, → − Div( X) =

1 r 2 cos(ϕ)

[

∂ 2 ∂ ∂ (r cos(ϕ)Xr ) + (rXθ ) + (r cos(ϕ)Xϕ )]. ∂r ∂θ ∂ϕ

(4.26)

∂f → 1 ∂f → 1 ∂f − → − − − Si en particulier, le champ X est champ de gradient gradf = er + eθ + e→ ϕ alors sa divergence ∂r r cos(ϕ) ∂θ r ∂ϕ est égale au la placien de la fonction f , ∆(f ) =

1 ∂ 2 ∂f 1 ∂2f ∂ ∂f [ (r ) + + (cos(ϕ) )]. 2 2 2 r ∂r ∂r cos (ϕ) ∂θ ∂ϕ ∂ϕ

(4.27)

Exercice 108. Chercher toutes les solutions de l’équation de Laplace ∆(f ) = 0 en coordonnées cylindriques telle que p f (x, y, z) ne dépend que du rayon r = x2 + y 2 .

Exercice 109. Chercher toutes les solutions de l’équation de Laplace ∆(f ) = 0 en coordonnées sphériques telle que p f (x, y, z) ne dépend que du rayon r = x2 + y 2 + z 2 .

− → Exercice 110. Donner l’expression de la divergence en coordonnées paraboloïdales d’un champ de vecteurs X. En déduire l’expression du laplacien en coordonnées paraboloïdales d’une fonction f . A. Bouarich, FST de Beni Mellal

92

Formes différentielles, champs de vecteurs et intégrales curvilignes

C) Expression du rotationnel en coordonnées curvilignes orthogonal → − → → Dans ce paragraphe, on se propose d’exprimer le rotationnel d’un champ de vecteur X = Xu − eu + Xv − ev + − → Xw ew en coordonnées curvilignes orthogonales. − → Notons que puisque le rotationnel Rot est linéaire donc pour exprimer le champ de vecteurs Rot( X) dans un système de coordonnées curvilignes orthogonaux F(u, v, w) il suffit qu’on exprime le rotationnel des → − − − composantes du champ de vecteurs X = Xu → eu + Xv → ev + Xw − e→ w . Par exemple on a : 1− → Rot(Xu − eu ) = Rot((Xu hu )( → eu )) hu 1− 1→ − = Xu hu Rot( → eu ) + grad(Xu hu ) ∧ eu hu hu 1→ 1 ∂ ∂ − − eu = (Xu hu )→ = grad(Xu hu ) ∧ [hv ev − hw (Xu hu )− e→ w ]. hu hu hv hw ∂w ∂v − Avec le même calcul on détermine l’expression des champs de vecteurs Rot(Xv → ev ) et Rot(Xw − e→ w ), et on déduit finalement l’expression du rotationnel en coordonnées curvilignes orthogonales est donnée par le déterminant : − − hu → eu hv → ev hw − e→ w 1 → − ∂ ∂ ∂ . (4.28) Rot( X) = hu hv hw ∂u ∂v ∂w hu Xu hv Xv hw Xw → − Exemple 41. 1) En coordonnées cylindriques le rotationnel d’un champ de vecteurs X est donné par l’expression, 1 → − Rot( X) = r

→ − er ∂ ∂u Xr

1 → − Rot( X) = 2 r cos(ϕ)

→ − er ∂ ∂r Xr

− r→ eθ ∂ ∂θ rXθ

→ − ez ∂ ∂z Xz

.

(4.29)

→ − 2) En coordonnées sphériques le rotationnel d’un champ de vecteurs X est donné par l’expression, − r cos(ϕ)→ eθ r − e→ ϕ ∂ ∂ ∂θ ∂ϕ r cos(ϕ)Xθ rXϕ

A. Bouarich, FST de Beni Mellal

.

(4.30)