Asupra unor funcţii în teoria numerelor

(m) formeaza un I sistem redus de resturi mod m daca. fiecare este prim cu modulul �i oricare doua sunt necongruente mod m. Se �tie ca are lac urmatoarea teorema: 1 .14. Teorema ( i ) Daca aI'�' . . . , am este un sistem complet de resturi mod m �i a este un numar intreg, prim cu m, atunci �irul a aI' a�, . . ., a am este tot un sistem camp let de resturi mod m. (ii) Daca aI'�' . . . , aq> m) este un sistem redus de resturi mod m ( �i a este un numar intreg prim cu m, atunci �irul a at' a �, . . . , a a
==

1.15. Teorema.

(i) ( Zm' +) este grup comutativ

9

(ii ) (Zm' +, . ) este inel comutativ (iii) (Gm, ·) este grup comutativ, Cr
1.2. Teoreme de congruenta din teoria numerelor

In acest paragraf yom aminti cite va teorem de congruenta din teoria numerelor ( teoremele Fermat, Euler, Wilson, Gauss, Lagrange, Leibniz, Moser �i Sierpinski) pe care in parngraful urmator Ie yom genernliza �i yom pune in evidenta un punct de vedere unificator pentru ele. In

1 640 enunta, rara a demonstra,

1.2.1. Teorema (Fermat).

urmatoarea teorema: Daca intregul a nu este divizibil prin

numarul prim p, atunci aP- l l ( mod p) Prima demonstrnti-e a acestei teoreme a fost data in 1 736 de catre Euler. Dupa cum se �tie, reciproca teoremei lui format nu este adevarata. Cu alte cuvinte, din m a -1 I ( mod m) ==

==

10

�i m nu este divizibil cu a, nu rezulta cu necesitate c5. m este numar prim. N u este adeviirat nici macar c5. dadi (1.21.) este adeviirata pentru toate numerele a prime cu m, atunci m este prim, dupa cum se peate vedea din exemplul urmator ( H I ). Fie m = 561 = 3 . 11 . 17. Daca a este un intreg care nu este divizibil cu 3, cu 11 sau cu 17, avem desigur: a:? == l ( mod 3), a l O == 1 ( mod 11), a16 == 1 ( mod 17 ) conform teoremei directe a lui Fermat Dar cum 560 este divizibil cu 2 �i 10, cit �i uc 16, deduce: a560 == l ( mod m1. ), i = 1, 2, 3 unde mi :' 3, m:z = 11, m3 = 17 Conform proprietiitii ( vii) din paragraful precedent rezulta a560 == 1 ( mod m1m:zm 3 ) m adic5. a -I 1 ( mod m), pentru m 561. De altfeI , se �tie ca 561 este cel mai mic numar compus care satisface (1.2.1. ). Urmeazii numerele 1105, 1729, 2465,2821, . . . . Prin urmare, congruen�a ( 1.2.1. ) poate fi adevarata pentru un anume intreg a si un numiir compus m 1 .2.2. Defini�ie. Daca ( 1.2.1. ) este satisIacuta pentru un umar compus m si un numiir intreg a se spune ca m este pseudoprim jara de a. Daca m este pseudoprim fa� de orice intreg a prin cu m, se spune ca m este un numiir Carmichael. Matematicianul american Robert D. Carmichael a fos tprimul care in anul 1910 a pus in evidenta astfel de numere, numite numere ==

=

prime impostoare.

Pan a nu demult nu se stia dad exista sau nu 0 infinitate de numere Carmichael. In chiar primu[ numar a[ revistei "What's ,,

Happening in the Mathematical Sciences", revista in care sunt anun�ate in fiecare an rezultatele mai importante obtinute in matematidi in ultima vreme, se anunta ci trei matematicieni: Alford, Grandville �i Pomerance, au ariitat ci exista 0 infinitate de numere CarmichaeL Demonstrafia trioului de matematicieni americani se bazeaza pe 0 observatie euristicii din 1956 a matematicianului maghiar de renume interna�ional P. Erdos. Ideea de baza este de a alege un numar L pentru care exista multe numere prime p care nu divid pe L, dar cu proprietatea cii p-l divide pe L Apoi se aratii ea aceste numere prime pot fi inmultite intre ele in multe feluri astfel incit fiecare produs sa fie congruent cu 1 mod L Rezulta d fiecare astfel de produs este un numar Carmichael. De exemplu, pentru L 120, numerele prime care indeplinesc conditia amintitii mai sus sunt: =

PI

=

7,

P2

=

11,

P3

Rezultii d 41041

852841

=

=

=

13,

P4

=

31,

Ps

=

41,

P6

7.11 . 13 .41, 172081

=

61.

=

7. 13 . 31 . 61 �i

11 · 31.41 .61 sunt congruente cu 1 mod 120, deci sunt

numere Carmichael. Mentionam cii observatia euristid a lui P. Erdos se bazeaza pe urmatoarea teorema de caracterizare a numerelor Carmichael, demonstrata in anul 1899. 1 .2 .3 . Teorema (A. Korselt). Numaru l n este un numar Carmichael dad �i numai dad sunt indeplinite conditiile ( C 1 ) este liber de patrate (C:2) p - 1 divide pe n - 1 ori de cite ori p este un divizor prim al lui n. 12

Cei trei matematicieni americani au demonstrat urmatoarea teorema: 1 .2.4. Teorema (Alford, Granville, Pomerance). Exista cel putin x'2f7 numere Carmichael mai mari decit x, pentru x suficient de mare. Cu ajutorul argumentului euristic datorat lui P. Erdos se poate demonstra di exponentul 2n din teorema de mai sus poate fi inlocuit cu orice alt exponent subunitar. = 1 , atunci m ) a 1 este un numar intreg Si ( n-1 )! + 1 == O(mod n ) atunci n este numar prim Teorema lui Wilson a fost publicata prima data in 1 770 de matematicianul Waring (meditationes algebraicae), dar ea a fost cunoscuta cu muIt inainte, chiar de Leibniz. Lagrange generalizeaza teorema lui Wilson astfel: 1.2.8. Teorema (Lagrange). Daca p este un numar prim, atunci aP-l - 1 == ( a + 1 ) (a + 2 ) . . . (a + p - 1 ) (mod p ) iar Leibniz enunta urmatoarea teorema: 1.2.9. Teorema (Leibniz) Dad p este numar prim. atunci .( p-2 )! == 1 ( mod p ) Este adevarata Si reciproca teoremei lui Leibniz, adidi un numar natural n > 1 este numar prim dad si numai dad (n-2)! == 1 ( mod n)

1 .25. Teorema (Euler). Dad (a, m) ==

13

Un alt rezultat privind congruente cu numere prime este teore ma urmatoare: 1.2.10. Teorema (L. Moser). Daca p este numar prim, atunci

( p-l ) !aP + a == ° ( mod p ) iar S ierpinski demonstreaza ca are loc:

1.2.11. Teorema (Sierpinski). Daca p este numar prim, atunci

aP + ( p-l )! == ° (mod p ) S e observa ca acest enunt unifica teoremele lui Fermat si Wilson. In paragraful urmator von defini

0

functie L: Z x Z

� z,

cu ajutorul careia vom putea demonstra rezultatele care unifica toate teoremele de mai sus.

1.3. Un punet de vedere unificator asupra unor teoreme de eongruenp1 din teoria numerelor

S a eonsideram urmatoarele conditii pe care putem cere sa Ie satisfaca un numar intreg m E Z. 1 ) Vom spune ca numarul m E Z satisface conditia (a1) dad:

m = ±p� sau m = ±2 p�

eu p numar prim Si � E N* 2) Vom spune ca m E Z satisface eonditia (�) daca m = ±2Ct

cuaE{O,1, 2}

14

Fie acum mulfj.mea A definiili prin

A = {m E Z I m satisface

(al)

sau (�)}

u

{O}

Pentru un numar intreg m vom considera descompunerea in factori

sub fonna m=€

cu €

E

pt2 Pr� {-1, I} si desigur ai E N*, iar Pi sunt numere prime.

PI
• • •

Definim funcfj.a L:ZxZ �Z

prin L (x, m) = (x + CI) (x + C2) ... (x + C
CI, C2, ... C
este un sistem redus de resturi modulo m

( vezi definifj.a 1.1.3. ). 13.1. Lema. Fie n un intreg nenul oarecare si a C I , C 2,

. • .

C
E

este un sistem redus de resturi mod n
rezulta di k n13 + Cl' k n13 + C2, ... , k n13 + C
N*. Atunci dad E

Z Si �

este tot un sistem redus de resturi mod n
avem

(k n13 + Ci, n
=

1

13.2. Lema. Dad Cl' C2, ... C
este un sistem de resturi mod m, atunci din condi�ile ( 1 ) p � divide pe m

( 2 ) p� + I nu divide pe m

rezulta ca

Ct, C2, ... C
15

::s

i

::s

E

N*,


este un sistem redus de resturi modulo p�i. Demonstratia este triviala.

133. Lema. Daca ( b. q)

=

1 si

Cr. C2•.. , ,C
este un sistem redus de resturi modulo q. atunci b + Cl' b + C2• . , b + C
contine un reprezentant al clasei 6 ( mod q)

Demonstratie. Deoarece ( b, q-b ) = 1 . rezuWi eli existii io astfel incit Cio== q - b

deci b + Cio== 0 ( mod q) Obtinem atunci urmatorul rezultat:

(Pifi1 ...... Pi�) ( Teorema 1 din lu0 ( mod m / (Pi!a;.r ... Pisa;.s ) crare ). atunCI ( x + Cr) . . . . . . (x + C
= -

Demonstratie.

13.5. Teorema (Gauss). Daca Cr. C2•...• C
redus de resturi modulo m, atunci

(a) mE A � C1 C2 ... C
Utilizind aceastii teorema obtinem 13.6. Lema. Avem Cr C2 ... CQ( m)

==

pentru orice i E ?

±1 (mod Pia;.)

16

Semnul in congruenfa precedentii frind in concordanta cu conditiile mE A, respectiv me:

A

13.7. Lema. Dadi Pi este un divizor comun al lui x �i m. atunci


( x +CI) ( x +C2 ) . . . (x +C
13.8. Teorema Dadi Pil, Pi2' ......, Pis sunt toate numerele prime care divid simultan pe x si m, atunci

( 1 ) mE A � ( x +Cl) (x + C2) . . . (x +Ccp(m» == - -I ( mod i
=

( 2 ) me: A

�

( x +CI ) (x +C2) . . . ( x +Ctp(m» ==

== 1 ( mod Pil ail ... Pisai s) Notind d

=

· a·l Pill ... Pisa15 �i m'

=

mid

din teoremele 1.3.4. si 1.3.8. rezulili L (x, m) ==± 1 +kl d=�m'

unde kl k2 E Z ' Sa observam di deoarece avem ( d, m' )

=

I, rezulta ca ecuatia

k2m' - kl d = ±I cu necunoscutele kl si �admite solutii intregi. 0 0 Se stie ca dadi notiim kl , � 0 solutie particulara a acestei ecuatii. atunci kl

=

m't +klo, �=

d

't +�o cu tE Z

este solutia generalii a ecuatiei si deci

L (x, m ) = ± 1 + m' dt +klod == ±I k10 (mod m ) 17

�o m'

sau L (x, m)::

(mod m)

Utilizind aceste rezultate,obtinem urmatoarele generalizfui:

1.3.9. Teorema (generalizarea teoremei lui Lagrange). Daca m ;:

O,±4, l· ar x-" + s-" = 0,atunCl

.

xCP(ms) + s-xs::(x+

(x + lm l - 1 ) (mOd m)

1 ) (x+2 ) ...

unde � �i s se obfin din urmatoruI algoritm:

(0 )

{ x = /Coda

(1)

d = ' l { O do d mo = mI dI cu dl;:

m = modo cu do ;: 1

(s- 1 )

. Sl (xo' mo) = 1

1 Sl. (do, ,ml) = 1

' d = d 1 { s_:; �s-:; s_ mS_2- ms-I ds_1 cu ds_1 ..... ....

(s)

1

. �l (ds_2 , ' �-l) _

1

d = { ds_1 ds_1 s mS_1 = �ds cu ds = 1 �l. (ds-1 ,' �) = 1 Demonstrafie. Vezi F. Smarandache, "A generalization of Euler's '

theorem concerning congruences", Bulet Univ. B�ov, ser. C, vol. 23

( 1 981 ), pp. 7-12. Din teorema precedenta, pentru un numar prim pozitiv rezulta

�

=

m, s

=

0

si

=


=

m-l, deci obtinem teorema lui

Lagrange: -1 xm _ 1 ::(x+ 1 )(x + 2) ... (x + m -

1)

Functia L si algoritmul prezentat mai sus permit si generalizarea teoremei lui Moser si a teoremei lui Sierpinski. Astfel,deoarece avem (1) mEA � C C2 ... C aCj)(ms) + s-L(0, m) as:: 0 (mod m) 1 Cj)(m) s s m (2) meA �-L(o, m) a
.

18

(3) mE A =:::) (x-tC1 ) .•. (X+Ccp(m» aCP(llls) + S - L(x, m ) as == 0 (mod rn) ( 4) m � A=:::)- L(x, m) aCP(ms) + s+(x+C1) . .• (x+C m)a S == 0 (mod m)

cp( Din ( 1 ) pentru m numar prim, obtinem teorema lui Fermat Din ( 1 ) sau (2), pentru m numar compus oarecare, obfinem teorema lui Euler.

1.4. Contributii la

0

conjectura a lui Carmichael

Conjectura la care ne referirn este urmatoarea:

"Ecuatia
R. K

Guy arata, studiind aceastii conjectura Carmichael,

di un numar natural no care nu verifidi conjectura trebuie sa indeplineasca conditia no > 1037• Ordinul de miirime pentrn un astfel de no a fost apoi extins de catre V.L Kler, care a aratat [K2] ca trebuie sa avem no > 10400 dad no nu satisface conjectura Amintim ca in [M d se demonstreaza pentru un no care nu satisface conjectura d avem no> 1010000 In cele ce urmeaza yom amta d ecuatia
=n

19

( 1 . 4. 1.)

admite un numar finit de solutii �i vom da forma generala a

aeestora. De asemenea vom arnta di dadi Xo este 0 solutie uniea a

eeuatiei ( 1.4.1. ), pentru un n fixat, atunci Xo este multiplu al numiirului

Fie deei Xc 0 solu�ie a

223 27243 2 eeuatiei (1.4.1. ),

pentru un n fixat Vom

eonstrui eu ajutorul aeeseia 0 alta solutie yo;c Xc- Pentru aeeasta vom utiliza urmatoarele doua metode:

Metoda 1. Deseompunem pe Xo sub forma Xo = ab, eu a �i b

intregi, avand proprietatea (a,b) = 1. Daea alegem a' ;c a astfel incit
va rezulta ea Yo = a'b este 0 noua solutie a eeuatiei.

Metoda 2. Sa eonsidernm solutia Xo deseompusa in faetori primi

Xo

= q l q 2 ... q l3r ( 1.4.2) r unde PI E N* , iar q l' q 2' ... , qr sunt asadar numere prime

f /

distinete. Dadi giisim un intreg q avind propriet:ltile

1 ) (q, xo) = 1

2 )
xo).ql' q2' ..., qr

__

� este 0 noua solutie a eeuatiei.

Se observa imediat di alegerea q numar prim este neeonvenabil:l.

1.4.1. Lema. Eeuatia ( 1.4.1. ) admite un numar finit de solutii,

orieare ar fi numiirul n E N.

Demonstratie. Cazurile n = 0 si n = 1 sunt banale. Fie deci n �

fixat Si fie

PI

< P2 < ... < Ps =:; n + 1

sirul numerelor prime care nu depiisese pe n + 1. 20

2

Dad Xo este 0 solufie a eeuafiei (1.4.1. ) , atunei Xo se poate exprima eu ajutorul numerelor prime Pj sub forma 1 Xo PI0. P20.2 ... PsCIs eu aj E N. a. Deoareee pentru oriee i = r:s exista aj E N astfel incit PI I � n, rezulta d 0 S aj S aj + 1 pentru oriee i. Obtinem deei 0 martine _

-

superioara pentru numarul solutiilor eeuafiei. Aeest numar nu poate depasi

s i

=

I

1.4.2. Lema. Oriee solutie a eeuatiei (1.4.1.) are forma (1) sau (2). Xo = n

( )EI ( )E' ( )E. PI Pl-I

P2 Ps . .. -1 P2 Ps-l

E

Z

unde, pentru i = 1, s, avem

E· E·

I

1

=

0 dad a·1 = 0

= 1 dad a·1 :;: 0

1.4.3. Lema. Dad Xo este solutie unica. pentru eeuafia (1.4.1.), atunci Xc este multiplu de i! 32 72 432•

Demonstratie. Deoareee
presupune Xc � 4.

Daea 2 nu divide pe xO' atunci ecuatiei, deoareee
Yo

=

2 Xo :;: Xo este 0 alta solutie a

Deci trebuie ea 2 sa fie divizor al lui XC)"

Dad 4 nu divide pe xO' atunei Yo = xd 2 este 0 noua solutie a ecuatiei. Rezulta d 4 este divizor al lui XC)" Z1

Dad

3 nu divide pe xo' atunci 3 xJ2 este 0 noua solutie a ecuatiei, deci trebuie ca 3 sa fie divizor al lui Xc- De asemenea, dadi 9 nu di vide pe Xo atunci Yo = 2xcJ3 este 0 alta solutie a ecuatiei. F r in urmare 9 divide pe x(J Daca 7 nu divide pe xO ' atunci Yo = 7 xJ6 este 0 noua solutie a ecuatiei, deci trebuie ca 7 sa divida pe Xc-

72 nu divide pe xO' atunci Yo = 6 xcJ7 este 0 noua solutie a ecuatiei. Deci trebuie ca si 49 sa divida pe xo. Acum, dad 43 nu divide pe xO' atunci Yo = 43xJ42 este 0 noua solutie a ecuatiei, deci trebuie ca 43 sa divida pe XcDad in plus 43 2 nu divide pe xo' atunci Yo = 42xJ43 este 0 noua solutie a ecuatiei. Deci 432 divide pe Xo si in concluzie de 2 2 3 2 72 432 divide pe x(J Rezult5. ca 0 solutie unica a ecuatiei ( 1.4. 1 ) este de forma Dad

cu Yi �

2 si (t, 2.3.743 ) = 1. Deoarece no > 10 1 0.000, rezulta ca Xc > 10 1 0.000. Dad Y1 > 3 si prin absurd 5 nu divide pe Xc, atunci Yo= 5 xJ4 este o noua solutie a ecu�tiei. Prin urmare , 5 divide pe XcDaca 25 nu divide pe Xc, atunci Yo = 4xJ5 este 0 noua solutie a ecuatiei. Prin urmare 25 divide pe x(J Vom construi acum prin recurentii

0

multime M de numere prime

avand proprietatea d dad M este infinita, atunci conjectura lui Carmichael este rezolvam. Etapele de recurentii sunt urmatoarele: (a) numerele

2, 3, 5 apartin lui M. 22

(b) dad. numerele prime distincte el' e2, ..., en sunt din M, atunci numfuul b =

1 + 2m e1 e2 ... en este prim pentru m = 1 sau m = 2, Si vom considera ca b E m m

M.

(c) Orice element apaI1inind lui M se obtine prin utilizarea, intr-un

numar fmit de pasi, numai a regulilor (a) si (b). Dadi M este infinitl, conjectura lui Carmichael este rezolvatl. Consideram di multimea M este infinita. De altfel se poate constata ca din cele

168 de numere prime mai

rnici decat 1.000 , doar 17 nu sunt in M Acestea sunt:

101, 151, 197, 251, 401, 491, 503, 601, 607, 677, 701, 727, 751, 809, 883, 907, 983.

1.5. Functii prime

Sa consideram urmatoarele funclii:

1 ) PI: N -7 {O, I } PI (n) =

{0

1

dad n este prim in caz contrar

Exemple. PI (0) = PI (1) = PI (4) = PI (6 ) =

PI (S) = 0

2 ) P2: N

2

-7

P..,(m, n) = -

1, PI ( 2 ) = PI ( 3 ) =

{O, I }

{0

1

dad!. m si n sunt prime intre ele in caz contrar 23

3 ) Mai general, Pk: N

k

-7

{O, I }

dad n1 , n2, . . . nk sunt prime intre ele in eaz eontrar In eontinuare yom studia in ee eonditii Pk(nl, n2, . . . nk) = Vom da

0

0

( 1.5. 1. )

eonditie neeesara si suficienta ea n numere prime doua

cite doua sa fie simultan prime intre ele. Generalizam teorema lui Popa W�], Cueurezeanu ([C3], p.

1 65 ),'

Clement Si Patrizio [P5]. Urmatoarea lema este evidenti

1.5.1. Lema. Dad A si B sunt intregi nenegativi, atunei AB ==

0 (mod pB) ¢::> A == 0 (mod p)

1.53. Lema. Fie a, b, p, q, numere intregi astfel ineit

(p, q) = (a, p) = (b, q) = Atunei A

== 0

(mod p) si B

== 0

aA + (bBp/q) == 0 (mod p)

1

(mod q) ¢::> aAq + bBp ==

0 (mod pq)

�

Demonstratie. Pentru prima eehivalenta avem

A = kiP, B = �q eu kl' k2

E

Z

deei aAq + bBp = (akl + bk2) pq

Reeiproe, din aAq + bBp = kpq rezulta aAq

==

0 (mod p) Si bBp ==

o (mod q)

Si datorita ipotezei rezulta A == 0 (mod p) Si B

==

0 (mod q)

A doua si a treia eehivalenta rezulta utilizind lema

24

1.5. 1.

1.53. Lema Dad PI' P:;, . . , Pn sunt numere intregi prime doua cinte dpua, iar aI' �, , an sunt numere intregi avint proprietatea .

.

.

.

(ai' p) = 1 pentru i = 1, n

Atunci, notind P = PI P:; avem •

n

�

•

. . .

.

P n �i D fiind un divizor al lui P

( pj)=O(modPI pz ... pJ

I (aiAi) .n. 1

i =

J:;Ct

�

Demonstra�ia acestei Ierne se face prin induc�e, utilizand lema pre�edenta Cu ajutorul acestei ultime Ierne obtinem urmatoarea teorema generaHi

1.5.4. Teorema. Fie Pij' cu i = 1, n, j = 1, mi, numere prime doua dte doua �i fie r1 ' r:;, ..., rn, aI' �, ..., an' numere intregi, astfel indt (ai' r) = 1 pentru orice i = 1, n.

Presupunem in plus ca numerele CI ' C:;, .. . Cn indeplinesc conditi,a (i) P·1I' p.", . .. p ·I m. sunt sumultan prime ¢::> C10 I '-::' orice i = 1, n. Atunci numerele Pij cu i

=

==

0 (mod rOI) pentru

G, j = 1, mi, sunt simultan prime daca

�i numai dad este indeplinita conditia 25

(%)i� (aijrJ unde R

=

(

0 mod

=

%)

( 1.5.2. )

r1 r2 ... rn, iar D este un divizor al lui R.

Demonstrane: ( Vezi

F.

Smarandache, "Characterization of n prime numbers

simultaneously", in «Libertas Mathematica», Texas State University, Arlington, SUA, vol.XL

(199 1 ), pp. 1 5 1-1 55).

Observafie. Daca in condifia (i ) din teorema modulul r·I este

inlocuit cu

P'i

n

J -1

unde P

=

sau cu un divizor al sau, conc1uzia

�i D este un divizor allui P.

II II Pij

i

Ij

=

=

I

Desigur congruenta

( 1.5.2) devine

( 1.5.3 ) este echivalenili cu una din condinile

(1 . 5. 4.)

i

i

=

I

( rIT . ) a'

I

I

j

=

1

p

IJ

este numar intreg

( 1.5.5 )

Sa observam de asemenea ca restricfia impusa numerelor Pij in

teorema de mai sus de a fi prime intre ele, este suficient de 26

convenabiHi, deoarece dad doua dintre aceste numere nu sunt prime intre ele, atunci cel putin unul dintre ele nu este prim �i deci nici cele m1 + m:! + .

.

+ mn numere nu sunt toate prime.

Putem obfine multe variante ale acestei teoreme, dind parametrilor

ai' �, . . an �i rl' r:! . . . , rn diverse valori. o bservatii.

.

1j

Dad in teorema de mai sus luam mi = lui Simionov pentru orice i, atunci 2)

Pentru D =

1,

1,

iar ci reprezinta teorema

obfinem teorema lui V . Popa

�

P4 ] care si ea

generalizeaza teorema lui I. Cucurezeanu [ Ci, iar aceasta din urma

generalizeaza teorema lui Clement 3)

Pentru D = Pip., si 0 alegere convenabiHi a parametrilor a1 si k1 _

rezulta teorema lui S. Patrizio. Exemple.

Fie PI ' p." .. . , pn intregi pozitivi, primi doi cite doi Si numerele Is satisfacind conditia 1 � Is � Pi' pentru orice i. Atunci PI' P:!' ... , Pn

1)

_

sunt simultan prime dad �i numai dad este verificata una din

condifiile: (T) (U)

(

i

i[(Pi-kJ!(ki-l)!-(-l)k]'IIpj = o (modP! ... prJ =!

j;O i

t [(Pi -ki)! (ki-1)!-(_l)k]. II Pj

1

-!

J;OI

(V)

1!.

{Ps+! ... Pn}

= 0 (modPI'" pJ

i[(;i-ki)!(ki-l)!-(-l)k].P�,= o (modpj) i =1

27

Capitolul2

2.1. Baze de numerape generalizate

Se �tie di dad r este un numiir natural strict mai mare decit unu, atunci

0

rice numiir natural n poate fi scris in baza de numerarie r

astfel: unde m � 0 este numar natural �i Ci, pentro i

asemenea numere naturale, cu proprietatea 0 i

=

0, m, ia r Cm

;::

�

Ci

�

(2.1 .1.) =

0, m, sunt de

r-1 pentru orice

0.

Fiecarui numiir din �rirul 0, 1 , 2" . . , , r-1 i se poate atribui un simbol care se nume�te citra �i atunci formula (2.1 . 1 .) se poate scrie n = Ym Ym-l ... Y1 Yo (r)

unde Yi este cifra care simbolizeaza numarul Ci.. Se �tie di orice numiir natural poate fi scris in mod unic intr-o

baza de numeratie oarecare r, adidi poate fi scris sub forma (21 .1 .), unde numerele Ci satisfac conditiile mentionate mai sus. Dad notiim ai recurenta

=

� observam di �irol (a)ie N satisface relatia de (21 .3.)

ai+1 = r ai �i di (2.1 .1 ) devine

n

=

Cmam + Cm-Iam_1 + .. . +Cial + Co 28

(2.1 .4)

De aici ideea de a considera un sir strict cresditor oarecare (b.). x' I lE:�

Si se poate observa cu usurinta di orice numar natural n poate fi scris in mod unic sub forma

(21.5.) dar conditiile pe care Ie satisfac cifrele ci nu mai sunt atit de simple ca in cazul bazei determinate de sirul cu termen general ai. Spre exemplu, Sirul lui Fibonacci., determinat de conditiile Fl

=

F:!

=

1

F1 +_.,=F1+l+FI

poate fi considerat 0 baza de numeratie generalizata. Aceasta baza

are mare Ie avantaj (ca Si baza de numeratie doi) ca·cifrele Ci pot Iua

doar valorile 0 Si 1 , deoarece bi

>

bi+1 .

Avantajul utilizarii acestei baze generalizate este foarte mare in reprezentarea numerelor in caIculatoarele electron ice , deoarece, pe de-o parte, se folosesc tot doua cifre ca Si in baza doi, iar pe de alta

parte pentru memorarea unui numar este nevoie de 0 cantitate mai

mica de memorie deoarece numarul cifrelor necesare pentru reprezentarea lui n in baza

(F)ie N

este mai mic decit numarul

cifrelor necesare pentru reprezentarea aceluiasi n in baza

( 2i )ieN'

o alta baza generalizata, care va fi utilizata in paragrafele

urmatoare, este baza de numeratie determinata de sirul ai ( p)

=

i (p - 1 ) / (p - 1 )

unde p > 1 este un numar natural.

( 2. 1.6. )

Sa observam ca relatia de recurenta satisIacuta de acest sir:

(2.1.7. ) este totusi destul de simp la, dar difera de relatia de recurenta clasica

( 2. 1 .3.). 29

Bineinfeles di orice numar natural n poate fi scris in mod unic sub

forma

n = Cmam + Cm_lam_l + . . . + Clal +
(21 .8.)

Pentru a determina condifiiIe pe care Ie indeplinesc cifrele Ci in acest caz yom demonstra urmatoarea teorema

2.1.1. Lema. Pentru orlce n, pE N*, P

�

1 , numarul n poate fi scris

in mod unic sub forma

n = tlanl(P) + �an2(p) + .. . + teane(p)

cu n1

>

n:!

> ... >

ne > 0 �i

1 =:; tj =:; p-l pentru j = I, e-l , iar 1 =:; te =:; p

(21.9.)

(2.1 .1 0.)

Demonstrafie. Din relatia de recurenta satisfacuta de �irul cu termen general ai(p) deducem: al(p) = I , �(p) = l+p, a3(p)

=

1 + P + p2, . ..

deci N* =. u ([ai(p), ai+l(p)]n N*) leN*

intrucit [a/p), ai+l (p)]n [ai+l(p ), ai+lp )]= ¢ Pentru orice n E N * exista atunci un unic nl astfel in cit

n E [an I (p), anl+l (p)] �i deci ayem

[anIP)] an ./p) + r, olind [a:(P)] obtinem rl an�P) tlan(p) + n

N

n =

=

t, =

r I'

ell

<

Dad rl = 0, din inegaIitatiIe

an 1 ( p) =:; n=:; an 1 +1 ( p) - 1

(21 .1 1 ) 30

deducem Dadi rl E

;:

I

S tl S p.

0, exista un unic n: E N*, astfel incit

[an 2 (p), an :+l(p)] �i cum anl (p) > r1' rezulta nl > n.,. De asemenea, din (21.1 1.) rezuWi in acest caz tI s p - 1, deoarece

Rl

t1$

Is

a -1-r l

n;t-II) a� P < P

Obtinem in continuare

= S an: (p) + r:

rl

�i continuind procesul, dupa un numar finit de p�i obtinem:

re_l = teane (p) + re cu re = ° �i n e

< ne_l, iar

Is

Sa observam ca in

te S p �i lema este demonstrata..

( 2.1. 9), spre deosebire de 21.8.),

toate cifrele tj

sunt semnificative (mai mari ca zero). Prin urmare, despre cifrele Cj din

( 2. 1.8. )

putem spune di ele sunt cuprinse intre zero �i p-l, cu

exceptia ultimei cifre semnificative, care poate fi �i p.

De asemenea sa observam di diferenta dintre relatiile de recurenta

( 2. 1.3.) �i ( 2. 1.7) induce mari diferente de calcul in baza standard. ( 2.1.12. ) (p) : 1, p, p2 , . . ., pi, ... �i baza generalizata ( 2.1.1 3.) [p] : al (p) , � (p) , ..., aj(p) , . . . Intr-adevar, �a cum se arata in [AI ]. daca m[ 5] 442, n[5] 412, r[5] 44 atunci m + n + r = 442 + 412 44 =

=

dcba

31

=

�i pentru a determina eifrele aeestei sume, ineepem adunarea din eoloana a doua, eorespunzatoare lui �(5). Avem 4�(5) + �(5 ) + 4�(5) = 5�(5 ) +4�(5) A eum, utilizand 0 unitate din prima eoloana obfinem 5�( 5 ) + 4�(5) = a3(5) + 4�(5 ) deci (deoeamdata) b = 4. Continuind, obtinem 4a3(5 ) + 4a/5 ) + a3(5) = 5a3(5) + 4a/5 ) si utilizind 0 noua unitate din prima eoloana, rezultii 4al5 ) + 4a3(5) + �(5 ) = ai5 ) +4a3(5 ) deei C = 4 �i d = l. in sf'�it, adunind eifrele ramase 4al(5 ) + 2al(5) = 5 al(5) + al(5) = 5al(5) + 1 = �(5) rezulra ca b trebuie sa fie modifieat, iar a = 0. Deei m+n+r = 1450[5]·

2.2. 0 noua functie 'in teoria numerelor

in aeest paragraf vm eonstrui 0 funetie s: Z· -7 N avind proprietatile (sl) S(n)! este divizibil eu n (s2 ) Se n) este eel mai mie numar natural eu proprietatea ( p I ). Fie p > ° un numar prim Vom eonstrui mai intii funefia Sp: N* -7 N* astfel: 32

i (a) Sp(aj(p» = p

(b) Dad n E N* este scris sub forma (2.1.9.) definim Sp(n)

t 1 Sp(a1(p»

+ SSp(�(p» + ... + teSp(ae(p»

=

2.2.1. Lema. Pentru orice numiir nE N*, exponentul la care apare numiirul prim p in descompunerea lui n! in factori primi este mai mare sua egal cu n.

De asemenea amintim 0 formula datorata lui Legendre care

permite calculul ex ponentului la care apare numarul prim p in descomp unerea in factori a numarului n!. Acest exponent este e (n) = [nJp] + [nJp2] + . . . .

(2.2.L)

..

p

Demonstratie. Se �tie d notmd cu �xt partea intreaga a numiirui x

avem:

[a l + a2 +b ... + an] - [abl] + [ab2] + . >

. .

[an]

+

b

pentru orice aj' bE N*. Atunci, dad n are scrierea (2.1.9), obtinem

[tIPD, +t2PD,+ ... +t'pD.] [tIPPD'] + [t2PPn1 + ... + [t.P-P ] =tlpn,1 +t2P Drl + ... +t.P n,-I P �

D.

[tIP.,+t2P00.n+, ". +t.PD'] [-tIP.0,' ] +[DO-t2P . ] + ... + [t.PnD,.] tIPn,n,+t2P p

�i deci

�

p

pD

•

p

-

=

0,0,

+ ... +t.P

0

2.2.2. Teorema. Funetia S p definita prin eonditiile s3 �i S4 de mai

sus are proprietafile ( 1 ) S p(n ) ! este multiplu de pn (2) S p( n) este eel mm mie numar natural eu proprietatea ( 1 ) Demonstratie.. Proprietatea ( 1 ) rezulta din lema preeedenta. Pentru a demonstra pe ( 2 ), fie n E N* oareeare �i ?-2 un numar prim S a eonsideram pe n seris sub forma (2. 1.9) �i sa notam z t1 p nl + S pn1 + . . + tepne .

=

Vom arata ca z este eel mai mic numar natural cu proprietatea ( 1 ). Presupunand prin absurd ca exista n E N*, u n2 > . . . > ne� 1 �i =

[Z-I] p

=

tIP

nrI

+ tzP nrI +

.

.

.

n-I

+ teP '

-

1

deoarece [k + a] = k + [a] pentru orice k intreg �i

[-lip] = -1

In mod asemanator avem de exemplu

deoarece 0< t pn l .s p . p ne_l < p ne+! De asemenea e_

e

Ultima egalitate de acest fel care ne intereseaza este

deoarece O

< t2Pn2 + ... + tePn. ::; (p- 1) p n, i "" L. P I =n l

::; (p-l) .

•.

n2

+ ... +

n.,+-1 p + p . - 1 ::; (p-l) p- 1 n+l

-

--

=

n (p- 1 )p - p p . - 1
Intr-adevar, pentru urmatoarea putere a lui p avem

35

.

- 1 < Pn1 - 1 < Pn

deoarece 0 < t1pnl + S pn2 + ... + te pne -1 < pnl +1 1 < pn l + 1 Din aceste egalWifi deducem d exponentul lui p in descom­ punerea in factori a lui este: -

(z-I)! [Z-I] [Z-I] + [Z-I] t (P P 7 DI +

+

. . .

= l

p

( n rI + ... + p O) + t e\(P n + te-l P e-

e

-

I

nrl

+P

nr2

0

)

+ . . . + p + ... +

0 + ... + p - ne = n - ne < n 1

)

-

<

n

si contradicfia obtinuta demonstreaza teorema. A cum putem construi functia S: N* � N* avind proprietatile ( sl) si (s2), astfel: (i) =1 ( ii ) pentru orice n = Ep1ClI eu E = ±1 �i Pi numere prime, :t:. pentru i :t:. j, iar I, defmim ( 2.2.2) Sen) = max Sp/ 2.23. Teorema. Funetia S definita prin conditiile (i) �i (ii ) de mai sus are proprietafile (s 1 ) �i ( s2). Demonstratie. Dad n Sen) satisfaee eonditiile (sl) �i ( s2). Sa presupunem ca n :t:. ±1 �i sa notam eu Mx un multiplu de x, iar (22.3.) = max Avem = CliO �i deoareee 1 = Mp.Cli i = 15 , 1 1 · 1 ' rezulta = M iCl pentru i = G In plus, deoareee p) = 1 . obtinem Cls = Mpi

S(±I) Pi Pj

P2� .. , PsCls

ai

�

ai)

=

±1,

SPiO(aiO) SPi(ai) SPiO(aiO)! MPiO Sp.(a.) SPiO(aiO)! P (Pi' SPiO(aiO)! P:; Ps i

Cl1

(X.l

• • •

36

I

�i deci ( s ) este demonstrata. Pentru demonstrarea lui ( s2) sa observam

eli

deoareee

SPiO(alO) este cel mai mie numar natural k eu proprietatea k! MPiO Cli{), rezulta ca pentru orice u < SPiO(aiO) avem u! ;c M PiO ClIO deei u!;c M(£PIClI p:;Cl.z Pslls) Mn =

. . .

=

Ceea ee demonstreaza proprietatea ( s2).

2.2.4. Propozi�ie. Functiile Sp, cu p numar prim sunt eresc5.toare

�i surjective, dar nu sunt injective. Functia

S: Z*

-t

N* este "in

general crescatoare" in sensul ca 'if

n3

k S(k) � n

de asemenea este surjectiva, dar nu este injectiva Demonstratie. Evidenta. 2.2.5. Consecin�e.

1. Pentru orice n

E

N* avem ( 2.2.4.)

Sp(a) S(pCl) =

2. Pentru orice numiir natural n>4 avem n este prim

¢=>

Se n) = n

Intr-adevar, daca n � 5 este numar prim atunci Sen) = Sn( 1) = n Reciproc, dadi Se n) = n, pentru n

>

4 �i presupunem prin absurd

ca n nu este prim, adidi n _ Cll Cl.z . . PsCls cu s� 2 �i N* pentru i = -

PI P:;

.

G, atunci fie SPiO(aiO) dat de aiE (2.2.3.). Din formula lui Legendre ( 22 1.) deducem . n ) < < P SPiO(aiO aiO iO ceea ce contrazice presupunerea facuta. 37

De asemenea, dad. n = pU, cu a � 2, ob�nem Se n) = Sp( a) =:; p a < pU = n si teorema este demonstrata 7 3 3 Exemplu. Dacii n = ±2 1 . 32 . 7 1 , pentru calculul lui Sen) �nem cont cii (22.5.) iar pen tru a calcula pe S 2 ( 31) consid eram baza numerica generalizata [2]: 1, 3, 7, 15, 31, 63, ...

5 In aceasm baza avem 31 = 1· as( 2) deci S2 ( 31) = 1.2 = 32 Pentru calculul lui S3( 27) considernm baza generalizata [3]: 1, 4, 13, 40, . . . si avem 27 = 2..13 + 1 = 2 al3) = al ( 3), deci S3( 27) = S3(2a3( 3) + al( 3» = 2S3( a3( 3» 3 = 2.3 + 1.31 = 57

+

Sla ( 3» = 1

In SI�it, pentru a calcula pe Si 13) considernm baza generalizata [7]: 1, 8, 57, . . .

S i deducem 13 = 1·8 + 5.1 = <1:2( 7) + 5al( 7) deci S7( 13) = 1.S7( 8) + 5S7( 1) = 1.72 + 5·7 = 84 Din ( 2.2.5.) deducem Sen) = 84. Asadar, 84 este cel mai mic

numar al ciirui factorial este divizibil cu n.

2. Care sunt numerele ale carer catoriale se termina exact cu 0 mie

de zerouri?

Pentru a rnspunde la aceasm intrebare observam ca pentru n = 101000 avem S( n)! =

M 101000 Si acest Sen) este cel mai mic numiir

natural al ciirui factorial se terminii cu 0 sum de zero uri.

38

Avem Sen) = S( 2ICOO . 51COO) = max {S2( 1000), S5 ( 1000)} = = S5 ( 1000)

Consideriim baza numeridi generalizatl [5]: 1, 6, 31, 156, 781, ... Obtinem S5 ( 1000) = S5 ( 1·a5 ( 5) + I.ai5) +2 .a3( 5) 5 5 +54 +2 .53 +5 = 4005

I.al(5» =

Numerele 4006, 4007, 4008 �i 4009 au �i ele proprietatea ceruta in

enunt. dar 40 10 are proprietatea di factorialul sau are 1001 zerouri. Sa observam di

a ( p) :s a ¢::> ( pm - 1) / ( p-I) :s a ¢::> pm :s ( p-l )a +1 ¢::> m ¢::> m:S logp «p-I)a +1)

iar alP] = Ie..�( p) +kV_I ay_1 ( p) + ... +k1a1( p) =

�_l .. · kl [P]

este scrierea exponentului a in baza [p], atunci v e partea intreaga

a lui logp( ( p-I)a+1), iar cifra Ie.. este obtinuti din egalitatea a = Ie.. a/p) +rv_1

Procedind analog cu ry_l obtinem indicele v-I �i pe Ie..-l etc.

23. Formule de calcul pentru Sen)

Din proprietatea ( b) pe care 0 satisface functia Sp (§2.2.)

deducem ca

SCpO:) = p(a[p])(p)

(2.3.1.)

adidi S( pO:) se obtine inmultind cu p numarul a scris in baza [p] �i "citit" in baza ( p). 39

1 Exemplu. Pentru calculul lui S( 11 000) procedam astfel: tinind cont

cii

baza [11] este

[11]: 1, 12, 133, 1464, . .. avem 1000 = 7·133 + 5.12 + 9 = 759[11]' deci S( 11IOOO) = 11( 759)(11) = 11 (7.112 + 5·11 + 9) = 10021 Prin urmare, 10021 este cel mai mic numar natural al dirui factorial este divizibil cu 111000. Egalitatea ( 2.3.1.) earatii importanta bazelor ( p) �i [p] in calculul lui Se n). Fie a(p)=

n

.

1 I CiP

i=O

( 23.2)

expresia exponentului a in cele doua baze. Obtinem (p-l) a =

"2)i Lkj j=1 j=1 r

.

-

r

deci notind (2.3.3.) r

�i {.infud cont di I. kpj . J =1

=

r-1

I. kpj este tocmai �alP1() p j=O

S(p a) (p =

p

_

1)

+

a cr[p�a)

Cu ajutorul primei inegalitiiti ( 2. 3. 3.) obtinem

obtinem

(2.3.4.)

sau

pa i C ia i+llp) � � pP l (! ) =

i=O

+

si ill consecinfii avem

a = �l(a(p�[P/ �(p!a)

(2. 3 . 5. )

unde prin (a(p»[p] am notat numfuu l obtinut scriind pe a in baza (p) Si citindu-l in baza [pl. Inlocuind aceasta expresie a lui a in (23.4.), obtinem (2.3.6.)

Putem obtine Si 0 legatura intre S(pa) Si exponentul ep(a) din formula lui Legendre (2.21.). Amintim ca ep(a) este exponentul la care apare numfuul prim p in descompunerea in factori a lui a! Se stie ca pe linga exprimarea (221 ) mai avem

a)...!.!:!.. a - a(p'�e l:A(a) = -.. p-l

deci utilizind

(2.3.5.)

ep(a) (a(p»[p] - a

( 2.3.7. )

deducem 2.3.8.

=

aWi formula pentru ep(a) poate fi ob�inutii astfel: daca. a dat de prima egalitate (23.2.) este a(p) = Cn pn + Cn_ 1 pn- 1 + . . . + C 1 P + Co (2.3.9) atunci cum o

41

e p(a ) = [alp] + [alp2]

+ . .. +

[alpn]

=

n = (Cnp -I + Cn_Ipn-2 + . . . CI) + . . . + (CnP + Cn_l) + Cn obtinem

(2 3. 10 ) unde aCp) Cn Cn_1 ...Co este exprimarea lui a in baza (p). Din (2 3.6 . ) �i (2.3.8 . ) dedueem =

S (pa

=

) 1�1 ) (e Ja) + a) + �1 <J(p!a) + <J[p1a) 2

(2.3. 1 1 . )

Utilizind egaliHip.le ( 2.3. 1 . ) �i ( 2.3.6. ) obp.nem 0 legatura intre numerele: (aCp)hp]= numarul a seris in baza (p) �i "eitit" in baza [p] (a[p])cP)= numarul a seris in baza [p] �i "eitit" in baza (p) �i anume:

p2(a[p])cP)- ( p-I )2(aCP)[p]= p<J[p(]a ) + ( p-I )<Jcp/a ) (23. 1 2. )

Pentru a obp.ne �i alte expriman ale lui observam ca din formula lui Legendre ( 2.2. 1 . ) rezulta S( pa ) = p (a - ip(a» eu � ip(a ) 5 [(a-I )/p] (23.1 3. ) d e unde, utilizind pentru S(pa ) no tap.a eehivalenta Sp(a ), obp.nem

( l/p)Sp(a)

+

ip(a ) = a

(23. 14 . ) funep.e i p astfel incit sa

�i deci pentru fieeare funep.e Sp exista 0 avem eondip.a binarii (2 3. 1 3. ) pentru a obp.ne identitatea Pentru a obtine exprimari ale funep.ei i p observam ea din ( 2.3.7 . ) rezultii a = (p-I) e p(a ) + <JcP)(a ), iar din ( 2.3.4 .) obtinem a = (Sp(a ) - <J[p(]a ) )/( p-I ) , deei

( p-I )e p(a ) + <JcP)(a ) = (Sp(a ) - <J[ p(]a»/(p- 1) sau S ( pa ) = (p-I ) 2ep (a ) + (p-l ) <Jcp/a ) + <J[p(]a ) 42

( 2.3. 15. )

Revenind la functia ip' observam d. din ( 2.3.4. ) si ( 2. 3. 14.) rezuWi ( 23.16.)

prin urmare putem spune d. exista 0 complementaritate intre exprimarea lui ep(a) prin egalitatea ( 2. 3.7. ) Si exprimarea de mai sus a lui ip( a). Putem gasi si alte legaturi intre ip si ep. De exemplu din ( 2.3.7.) si ( 2. 3.16. ) obfinem i

} Ja

=

(p-l)eJa) + <J/p ta) - <J[Pla) p

(2. 3 . 17.)

De asemenea, din a[p] = ky ky l .. . kl = ky ( pV-I + pv-2 + . . . + 1 ) + + ky l(pv- 2 + pv- 3 + . . . + 1 ) + . . . + k2 (p+ 1 ) + kl ' obtinem a = (kypv-I + ky_I pV-2 + . . . + Is p + kl) + Kv( pv-2 + pv-3 + . . . + 1 ) + ky_l(pv-3 + pV-4 + . . . + 1 ) + . . . + k/p+l) + Is = (a[p]) (p) + [alp] - [(v[p]( a» /p] deoarece [alp] =ky(pv-2 + pv-3 + . . . + p + 1)+kjp +�_1(pv-3 + pv-4+ . . . + p + 1) + ky_/p + . . . + k3(p+ 1 ) + kip + � + !sI p + k/p iar [n + x] n + [x] Obtinem (2. 3. 18) a = (a[p]) (p) + [alp] - [<J[p{a) / p] Rezulta ca putem scrie (2. 3.19) S(pa ) = pea - ([alp] - [<J[p](a) / p])) iar din ( 23.16.) si ( 2.3. 19.) deducem (2. 3.20) ip(a) = [alp] - [<J[p](a) / p] relafie care se poate obfine Si direct, din ( 23.16. ) finind cont ca dad.: =

( m-n)/p E N atunei ( m-n )/p = [m/p] - [nip] prin urmare ( a - a[p] (a» /p = [alp] - [a[p] (a)/p] o alili exprimare a lui i ( a ) se obtine din (23. 1 . ) �i ( 2.3. 16. ) sau p din (2.3.18 ) �i ( 2.3.20 ) �i anume i p ( a) = a - (a[p])(p)

(2.3.21.)

S rezulili S p(ep (a» p[alp] = a - ap unde ap este restul impa¢rii lui a la p, [i de asemenea (2.3.22.) ep(Sp(a» � a, ep(Sp(a) - 1 ) < a In sf'�it, din definitia lui =

deci

s Ja} - a(p{s Ja}) > -a p- l SJa} - l - a(p{s Ja} - l) < a p-l Utilizind (2.3.4.) rezulta di Sp(a) este solutia unidi a sistemului a(p)(x) � a[p](a) � a(p)(x- l ) + 1 (2.3.23.)

In fialul acestui paragraf vom reveni la funetia i pentru a prezenta p o comportare asimptotidi a ei Din eondifiile pe care Ie indepline�te aeeasta funefie in ( 23. 1 3 ) rezultl ea notind �( a, p ) = [(a- l)/p] - ip(a) avem � � O. Pentru a caleula pe � observam ea (2.3.24.) [(a-l )/p] - ip( a) [(a-l )/p] - [alp] + [a[p](a)/p] si presupunind a E [hp+ 1, hp+p--l], rezulta =

[(a- I )/p]

=

[ alp]

deci �(a, p)

=

[(a-I )/p] - ip (a)

=

(2 .3. 25)

[cr[ pla)/p]

De asemenea, dad a = hp, atunci [(a-I )/p] = [( hp-I )/p]

in timp ce [alp] ilea, p)

=

=

=

h- I

h, deci

(2.3 .24) devine

[cr[p)(a)/p] - I

Analog, dad a = h p + p, obtinem [(a- I )/p] = [h + I - ( lIp)]

iar [alp]

=

h+ I , deci

=

(2.3 .26)

h

(23 .24.)

pentru care �( a, p ) are forma

are forma

(23.26 ). Pentru OIice a ( 2. 3.25. ) sau ( 2.3.26.) deducem d

�( a, p ) este maxim dad cr[p)(a) este maxim, deci pentru a unde

=

aM '

aM = « p-I )(p- I ) . . . ( p-I ) P [p] v termem Avem deci (p- I )a/p) + (P-I )�_ l (P) + . . . + (p-l )az(p) + p = 2 = (p-I) [(pY-I )/(p-I )' + (pY- l_ I )/(p-I ) + . . . + (p - I )/(p-I)] + Y- l p = (pY + . . . + p?rp) - (v- I ) = P �(p) - (v- I ) aM

=

+

p=

Rezulta d aM n u este multiplu de p dad � i numai dad. v-I nu

este multiplu de p. In acest caz

cr[p] (aM) = ( v- I)(p-I ) + P = pv-v+ I �i

�( aM' p) = [cr[p)(aM)/p] Deci

i p(aM) � [(aM-I )/p] - t

=

[v - ( v-I )/p] = v - [( v- l )/p]

adica ip(aM)E [[(aM- l )/rl - t, [(aM - I )/p] ] . Dad v-I E ( hp, hp+p ) , obtinem [(v-I )/p] = h �i

h( p- l ) + deei

lim

U M -t

1

< .6.( a ) < h ( p- l ) + P + M

1

.6. (a M, p) = 00

00

Observam de asemenea ca

[(aM-I )/p}= av
[

Asadar, dad aM

De asemenea din

J J

i a

-

�-

[cr�-l]

ea px, atunei .6.( aM ' p )

aJp) - v

_

-

aJP1 _

[;] V 2

]

� -

ea

E

x.

� l

rezultii

lim U -t

00

i a

[ J; )] a l

=1

2.4. Legaturi intre funcpa S �i unele functii numerice clasice

In aeest pragraf vom prezenta legaturi ale funefiei S eu funefia lui

Euler, funefia lui von Mangolt, funefia lui Riemann, funefia n

2.4.1. Definipe. Functia

{ 0,

lui von Mangolt se define�te prin

In p, dacii n = pm (24 . 1.) dacii n ;e pm Se �tie cii aceasta functie nu este multiplicativa, adicii din (n, m) = 1 nu rezulta A(n.m) = A(n).A(m) De exemplu, pentru n = 3 �i m= 5 avem A(n) = In 3, A( m) = In 5 �i A( m n) = A( l 5) = ° Despre aceasta functie se cunosc urmatoarele rezultate: 2.4.2. Teorema. Avem A(n) =

Ii) (ii)

n

L A(d) = In
unde }l este functia lui Moebius, definita prin

{ I,

daca n = 1 A(n) = 0, dacii n este divizibil cu un patrat (24 .2) ( 1) k, daca n = PI P2 . . . Pk 2.43. Definipe. Functia \jf: R -7 R este definita prin relatia _

(2 .4.3) Dintre proprietatile acestei functii mentionam doar doua, de care avem nevoie in conti.nuare, �i anume: 2.4.4. Teorema. Functia \jI satisface Ii) 'If{ x ) =

(ii) 'V( x ) =

L A( n)

n:5

x

In l . 2. 3.

[

. . ..

[x]

47

unde cu paranteza dreapta numerelor

am

notat cel mai mic multiplu comun al

1, 2, . .. [x).

Se �tie d. pe mulnmea N* putem considera doua structuri laticeale

�i anume

'J.fe = ( N*, A, V ), � = (N*, 1- �

unde A = min, V = max

-1 �

= c.mmd.c. ( notat pina acum cu paranteze rotunde )

= c.mmd.c. (notat pina acum nu paranteze drepte )

Ordinea indusa pe N* de structura

'Xe 0 yom nota cu :s, iar ordinea

indusa pe N* de structura � 0 notam cu :sd, se �tie d. nl :S d n2 <=> nl divide nz ( <=> n /nz )

(24.4. )

In virtute a acestor consideratii putem spune ca funqia S este

definita pe laticea � cu valori in laticea '1{,. Aceasta in virtutea proprietatii

S(nl -er nz ) = S(nl ) V S(nz ) pe care 0 are s.

(2.4.5. )

In felul acesta S devine 0 functie monotona, in sensul ca n l :s d nz Se �tie

�

S(nl ) :s S(nz )

( 2.4.6.)

�) d. dad. ( 0/, A, V) este 0 latice finitii, 0/= {Xl ' XZ' . . . Xn }

cu ordinea indusa :s, atunci pentru orice functie f: V � R, functia generatoare a�ata este definita prin F( n ) =

ysn

L fey )

(24.7)

Acum putem reveni la functia lui Mangolt �i sa observam ca notind cu pi functia generatoare a�ata functiei numerice f in laticea

�, �i cu fO functia generatoare a�ata lui f in laticea � in virtutea teoremei 2.4.2 avem pe de-o parte: ( 2. 4.8. ) pi( n ) = A(k) = In n

�n

iar

pe de alta parte se poate eonstata eu usurinta ca fun qia generatoare atasata aeeleiasi funetii a lui Mangolt, insa in latieea � este pJ( n ) = A ( k ) = ",(n ) = In [ 1 , 2, . . . , n] Observam deei di fieeiirei funetii numeriee f Ii putem atasa doua funeti,i generatoare si anume funeti,ile pJ si pi. Pe baza aeestor eonsideratii obti,nem diagrama urrnatoare:

�

A

Fd(n) L A(k) In =

=

�

21 .

FIn)

k:Sd n

=

"" L lc Sd n

In k

F(n)

=

n

22

L in k In n!

Ic S n

=

� �

49

Observam de aici di defrnifia lui S este intr-o strinsa legatura cu egalitafile (1.1. ) �i (2.2.). Considerind drept f funcfia lui Mangolt, din egalitafile ef(n) = e ven ) n] = e F(n) = ef( l ) . ef(2) [ 1. 2 •

•. • • •

. . . .

pi pi n ! eF( n ) = e c 1 ) . e c:! ) ... . epic n ) utilizind �i definifia funcfiei S . suntem cond�i la a considera funcfii numerice de forma (2.4.9.) ye n ) = min {m/ n:5d [l. 2, . . . m] } asupra carora vom reveni intr-un paragraf care urmeaza. Revenind la ideea legaturii dintre funcfia S �i funcfii numerice c1asice, pentru a prezenta 0 legatura dintre S si funcfia lui Euler amintim di daca p este un num:1r prim. atunci ( 24. 1 0. )
=

.

=

Dr(z)

=

i f(�

n=l

(2. 4 . 12. )

n

care pentru un anume z = x + i y poate fi convergent:! sau nu. Cea mai simpia serie Dirielet este s(z) =

i�

n=!

n

z

( 24. 1 3. ) 50

nufnitii funqia lui Riemann sau funct i a zeta, care este con verg e nt3.

pentru Rez > l.

In cele ce urmeaza vom presupune d Z E R, deci z

2.4.6. Teorema. Dad t.

= x..

a'

n = I1 P i 1 n i

=

I

este descompunerea In factori prirni a numarului natur:l.l n. atunci Intre functiile I' �(xl)

Sp

si functia lui Riemann avem urm:itoare.1 le £'::inlr:i t.

= I II n�!

L(X)

. 1=1

( ai .- l SP A P i - Pi

)

Pi

x

ai •

Dernonstraoe: Se srie c3 ser1:l Dirichet :lrasara functiei lui \ 1001 '.!S .J

I

D.. (z)= -pentru Re(z» 1 ( (z) iar seria Dirichet atasata functiei lui Euler este ((z- I ) D� ( z))=--((z)

�

(2" +. 1 4 . )

�S;�

per:tru Re(z» 2

Avern de asernenea

pentru Re(z» 1

unde �(n) este numarul divizorilor l ui n, inclusiv l si n.

Mai general:

D " in)=((z)*((z-k),

pe:1tru Re(z» I, Relz» k- l

unde -=,(n) esre suma ;Juterilor de or::mn k :l dlvizorilor lui n

Vom nota :(n) In loc de : , I n ). lar

'0

In)=; I n ).

Dupi cum am r:1ai spus. intre functi ile Q s i

�(x-l) :.,�( X )

=I

I n plus, av e m


n�: n ,

x

� ex.ist3. leg5.rurJ. ( 2.-+.1 5. )

t n;

\

tn


in=! Snen) x

�i notind cu DFsd seria Diriclet atasata functiei urmatoare Fs d deducem 2.4.6. Teorema. Pentru orice x > 2 avem ( i) se x) s Ds(x) s sex-I) 2 ( ii ) S ( x) DFSd ( x) s s e x) . se x-I) Demonstratie. (i) Inegalitatile rezulta din aceea ca avem 1 s Se n) n ( 24. 16. ) pentru orice n E N* (ii ) Avem

s s

=

l S( ) +

S(1 )

+

2

x

sex) Ds lx)

S (2)

+

1� )(� ) £..J -;

1

£..J

k=l k k=l

S (1) + S(3 ) + x 3

S(1 )

S(k»

x

+

k

S(2)

4

x

=

+

S(4)

+

...

=

DF d(x) S

Si inegalitiitile rezultii utilizind pe (i). Sa observam ca (ii) este echivalent cu Dt(x) s DFSd(x) s DcrCx) inegalitate care peate fi dedusa si observind ca din ( 2.4. 1 6. ) se obtine

I I ::; I S (k) ::; I

k::;d n

is d Q

52

is d a

k

prin urmare avem ten ) :::s Fsd(n) :::s (j( n) ( 24. 1 7 ) Remardim eli in [ GsJ s-a aratat di functia sumatoare FSd satisface chiar inegalitatea ten ) :::s Fsd(n) :::s n + 4 Pentru aprezenta aite inegaliiliti satisIacute de seria Dirichlet Ds amintim mai intii eli dad!. f �i g sunt doua functii de 0 variabila reala, cu cre�teri nemarginite, dad f(x) > 0 �i dad exista constantele C1 �i c; astfel incH If(x)1 < Cl(x) pentru orice x > C2 atunci scriem f(x) = O(g(x» (f este de ordinul lui g). In mod special se noteaza cu O( I ) orice funqie care ramine miirginitii pentru x > C2. Dad raportul f(x )/g( x) tinde la zero pentru x tinzind la infinit, notam f(x) = 0 ( g(x)) In mod special se noteaza cu o( I ) orice functie care tinde la zero cind x tinde la infinit Evident ca f(x) = o(g(x)) � f(x) = O(g(x») dar nu �i reciproc. 2.4.7. Teorema. Func�ia lui Riemann satisface rumatoarele egalitiip.: (i) �(z) = l I(z-I ) + 0(1) (li) In �(z) = In( l I(z-I ) + O(z-I ) ( iii) �' (z) = -1I(z-I )2 + 0(1) pentru orice numar complex Z, unde prin O( 1) am notat 0 funqie miirginitii. Utilizind teoremele ( 2.4.6.) �i (2.4.7. ) obtinem: 53

2.4.8. Teorema. Seria Dirichlet Ds atasata func�ei S si derivata

sa D's satisfac inegalitawe: $

e i ) lie x-I ) + oe 1 )

e ii ) -lIe x-I )2 + 0( 1)

Dse x ) $ lIe x-2 ) + O( 1 ) $

D's( x ) $ -1I ( x-2 ) + 0(1) 2

Nota�a consacrata pentru numarul numerelor prime mai mici decit

x este IT( x ). In [S8J se da 0 legatura intre func�i1e IT si Plecind de la observatia ca Se x )

n

>

$

s.

n pentru orice n si

di

pentru

4 avem Se n ) = n dad si numai dad n este numar prim, se

obfine I1(x) =

r rS�k)] -

k =2l

1

2.5. Functia S ca funcpe sumatoare

Hind data 0 func�e numerica, formula de inversiune a lui Mobius permite, dupa cum se stie, scrierea func�ei f cu ajutorul functiei

sumatoare pi si anume

t£)

fen) = L �(d) F din daca d F (n) = L f(d) din .

( 2.5.1. )

Avind in vedere acest aspect, putem considera orice functie numerica f in doua situatii: 1 ) in situatia de a-i explicita functia sumatoare F 2) in situatia ca f sa fie fonsiderata functie sumatoare a unei functii numerice

g.

g(n) = L � (d) f din

ti)

d � f --7 F C n) 54

=

L fC d )

din

(2. 5 . 2 . )

De exemplu, pentru fen ) = n (aplicatia identidi) avem

g ( n ) = L ll (d &n

�

=

F d n)

(


=

L d = (J(d)

( 2. 5 . 3 . )

&n

Considerind cazul particular cind f este functia S , explicitarea functiei sumatoare Fsd este dificila in general deoarece

�

F (n) =

I S ed ) = I

din

din

max

(s()�) )

(2 . 5 . 4. )

cu bj factori primi ai lui d. Totusi, in doua cazuri particulare exprimarea lui FsdC n) este mai accesibila, si anume pentru n = pCl si pentru n numiir liber de patrate. In primul caz avem

�p Cl) = jI=I s(pj) = jI(! P- l)j + <J[py)) =I (2. 5 . 5 . ) (p-l) a (a+ l) + f <J !.j). =

=

<

2

L..

j= I

[p

Fie acum n = P I ° P2 ° . . . ° Pk un numiir liber de patrate, cu P I . . . < Pk numere prime. Desigur k S e n ) = p si Fsd( 1 ) = S O ) = 1

FSd(P I ) = S O ) + S ( P I ) = 1 + PI FSd( PI oP2 ) = S ( 1 ) + S(P I ) + S ( P2 ) + S (P IoP2 ) = 1 + PI +2P2

FSd( PI oP2°P3 ) = 1 + Pl _+

si rezultii

2 P2 + 23p3 = F( PI op2 ) + 22p3

k Fsd( n ) = 1 + Fsd( PrP2° . . . °Pk_ l ) +2 -1 Pk

de unde se obtine

55

< P2

k 1 + L2i-1 Pi i=l Sa observam C3. deoarece Sen) date de (2 5.8 .) in egalitate FS d( n)

Sen)

=

(2 5.8 .)

=

=

. L /-l( r) FSd(t)

Pk' inlocuind valorile lui FSd( t) (2 5. 9.)

f[ = n

aparent obtinem 0 exprimare a lui Pk in functie de numere prime precedente . In realitate ( 2 . 5.9.) este 0 identitate in care dupa reducerea termenilor asemenea coeficientul fiecaruinumiir prim este nul. In [GsJ se rezolv3. ecuatia (2 5.9.i) Fsd ( n) n in ipoteza (2 5.9.ii) SO) 0 2.5.1. Propozipe. in ipoteza 92.5.9. 5) ecua�ia ( 2.5.9.i) are doar solutiile a) n numiir prim b) n E {9, 16, 24 } Demonstratie. Deoarece (25.9. iii ) Fsd ( n) din L Sed) in ipoteza mcum se observa ca orice numiir prim este solutie a ecuatiei. Sa presupunem ca k n II p{i i=l este descompunerea in factori primi a numarului compus n�4 , unde numerele prime Pi �iexponentiiri E N* satisfac condi�le ( c l) P 1 r1 > Pli pentru orice iE { 2, 3, . . . , k } =

=

=

=

56

( e2 ) Pi < Pi+ I Sa

pentru i E { 2, 3, . . . , k-l } , ori de cite ori avem k � 3.

presupunem mai intii k = 1 �i rl � 2 Datorita inegalitatii

S (PI S I ) ::s PI S I

observam d. avem Pl rl =

n

=

Fs d ( n )

=

FS d ( p I r l )

=

rl L

s l =O

S (PI S I )

deei Dad. PI

�

5, aeeasta inegalitate nu este satisfaeuta pentru rl

deci trebuie sa avem PI

>

5. Cu alte euvinte, PI

E

�

2,

{ 2, 3 } .

Cu ajutorul inega1ita� (25.9iv) putem gasi un supremum prentru r l ' supremum ee depinde de valorile lui P l' Dad. PI PI = 3

=

2, rezulta d. rl poate lua doar valorile 2,

3,

4 �i pentru

singura valoare posibilii a lui rl este 2

Deei sunt eel mult patru solutii ale ecuatiei ( 2.5.9. i) daeii n este

de forma n = p{ I , �i anume n E { 4, 8 , 9, 16 } . Calculind pe Fsd(n) in fiecare din aceste eazuri obtinem FSd( 4 ) = 6 , FSd (8 ) = 10; FSd (9) = 9; Fsd( 16 ) = 16 In consecintii, solalii sunt n = 9 �i n = 16.

Sii presupunem aeum k � 2

Seriind in ecualia ( 2.5.9. i ) pe n descompus in faetori primi. obtinem

57

�

r1

rk

I ... I max ( p

SFO

s .-= o

I ... I r1

<

rk

SFO

=

s .-= O

r

rna;.;

�

I'

P : h . . . , P oS

kl

<

: P { I' P i ;) . . . , P If kl = k

rk

:t. . I p {l � p {l rr (ri + l )

SFO

. .

s .-= O

i=l

am obtinut deciinegalitatea

IT K < P 1fl(flr + 1 ) = f1 (fr1 +l 1)

i=

1 f+ l

PI

1

l

PI

(2. S.9.v)

l-

Suntem astfeI condu�iIa studiuI functiilor f(x)

x

=

x

:1

�l

g (x)

=

�:

x

ll ) , x

E

[0,

00

) , unde a, b � 2

DerivateIe aces tor doua funcfii sunt

cr' (x)

o

x

a [(x + 1) In - l] �i a 2 Ix + 1) 2 b)x In ( + (2 - In b) x + 1 =

f(x) =

b

x-

1

Deoarece (x+l ) In a -1 � ( 1+1 ) In 2 - 1 = 2 In 2 -1 > 0, fezuIta 58

> 0 pentru x �

cii f ( x )

1.

In plus, maximul functi,ei se obti,ne pentru

Notind

deducem

de unde rezuIta

� (In b/ �

x<

(2

Sa observful ca avem

�i

rl

PI

rl +

In b

In b) (2 + In b)

+

2 ln b

2 pentru b� 2 2 2 < < ln b - ln 2

x -+ oo

PI

la oo 1 cre�te, pentru r l E N*, de la 2

--

in plus

deoarece dad

pentru

e rI E

oric

N*.

Re\inem deci cii k

n

i =2

3

lim f(x) = lim g(x) = 00

X ---+ OO

�ezulta ca

?i

-

+4 <

�i < 3 59

PI

� 2

Daf avem �i

de unde rezulili ca trebuie sa avem k :s 3.

Pentru k = 2, din ( 2.5.9.v) si (25.9.vi) deducem

deci P::

<

6.

Daca presupunem ca f:: � 3 , deducem

P I . P:: � 2 . 3 = 6, adidi P2 �i obWtem

p � :5 p �2

4 f2 + 1 deci P::

2

<

<

f 1(f1 + 1) r1- I

PI

>

6/PI ·

:5

max

{ 2, -6 } PI

:5

max

{2, P2 } P2

4, ceea ce este 0 contradictie.

A�adaf, avem f2 :s 2. Deci P2 E {2, 3, 5} , f2 E {I, 2 }

Mai mult, din

p �i < r11r 1 + 1) P 2 < -1 -< 1 2 - r2 + 1 r1-

PI

fezulili fl

:s

"":'" < --'2r1- 1

-

r llr l + 1)

6.

In consecintli, fixind valorile lui P:: �i f2 inegaliilitile

=

ne dau suficiente informatii pentru a determina un su premum pentru r 1 ( mai mic decit $apte) pentru fiecare valoare a lui P l . Rezultatele sunt date in tabelul urmator. P2

2 2 2 2 2 3 3 3

r..,

PI

1

3

r1

1 9( s3

5 1 9l � 1 1 p l �7 2 2 3 1 2 p l �5 2 2g1:sS 1 1 1 p l �5 1

1

2

3

n=p l r l p 2-3 r1

2 -y l 2 PI 36

4 PI

3-2r 1

3 PI

40

2

r21 d

Fsd(n) I Dad Fsd(n)=n. atuncil 2+3r1( rl +1 ) I 312

I I 2+5rl ( r1+1 )

-I

III

I 2+2 PI I 34 II I I 3 PI + 6 :1 I 2r1 2-2r1 + 1 2 iIi 1/ 2 p +3 30 I II 'I

II

'II 11 -,

Ii

II

I

312

0=2 34 = 36 P l=6 =3 PI = 3 30 = 40 r1

I

f I

I

I

i

1 I

i

Din acest tabel deducem ca trebuie sa avem n = 3 . 2r1 sau r1 = 3 deci n = 3.23 = 24, adica n = 24 este singura solutie a ecuatiei ( 25.9.i) pentru k = 2 In sf'�it, sa presupunem k = 3; atunci deoarece ( p/2 )(p/2 ) < 3 rezulra P2·P3 < 1 2, deci P2 = 2 $i P3 E { 3, 5 } . Deoarece r l(r l + 1 ) r l/r l + 1 ) � ( 2.5.9.vii ) < 2 1 1 rr-

PI

3

rr-

utilizind ( 2.5.9.vi) obtinem P2 = 3. De asemenea din (2S.9.vi ) $i ( 2.5.9.vii ) obtinem ') r �

r3

-- - 3 < 2 r2 + 1 r3 + 1 --

81

!

i

�i deoarece membrul sting al acestei inegalitafi este un produs de doua funcfii strict crescatoare pe [ 1 , -), deducem ca singurele valori posibile pentru f2 �i f3 sunt f2 = f3 = 1 . Introducind aeeste valori in ( 25.5. v ) obfinem -<

3 2

ll r l + 1) f llfl + 1) < ---'r-----'I rl- - 5 rl- I PI

de unde rezulta fl = l. In eonsecinta, eeuafia ( 2.5.9.i) este satisIaeuta dad �i numai daca n = 2.3 ·P I = 6P I Daf S(2 � jp I) = 6 P I = F�16 P I) = SO) + S(2) + S (3) + S(6) + ii i=O =O j

deoareee S( 2i.3i) � 3 < P I pentru i, j E { D, I } �i deci P I 4, eeea ce contraziee presupunerea P I ;:: 5. Rezulta eli eeuafia avuta in vedere nu are solutll pentru k = 3 �i propozifia este demonstrata. Consecinta S olufiile inegalitafii ( 2S.9.viii) Fsd(n ) > n se obfin finind cont de faptul eli ( 25.9.viii ) implieli ( 2.5.9.v) Deci Fsd(n ) > � n E { 8, 1 2, 1 8, 2D} sau n = 2p, eu p numar prim In eonseeintfi, avem =

62

n + 4 pentru orice n E N*. Mai mult, intrucit avem solufiile inecuafiei Fs d( n ) � n putem deduce si solufiile inecua�iei Fsd ( n ) < n. Amintim di in [S9] se studiaza limita sirului FSd ( n )

�

d

T(n) = I - In F S( n) +

n

n

1

� I 7k F S\ P i ) 1=1 k= 1

ce confine func�ia sumatoare. S e demonstreaza ca

lim T(n) = � I n continuarea acestui paragraf vom avea in vedere sageata spre stinga din ( 25.2), adica vom privi pe S ca 0 funcfie sumatoare a unei funcfii s, pe care 0 vom determina Avem deci, prin definifie, sen) =

I � (d) S(J)

d in

Daca descompunerea lui n in factori primi este n

=

al

pI

• p a2

,

-. . . . • P

at t

rezuita ca

S a consideram ca (2 . 5 . 1 0 . ) 63

Distingem urmatoarele cazuri: s

(al )

(P i o 0 1) � s(Pia J.\

. pentru l :;: l. o-

al -

In acest caz observam d divizorii d ai lui n pentru care J.I.( d)

sunt de forma d = 1 sau d =

{ (l,l (

I

2

Ct_1 +

. . .

+

(-1 )

0

Un divizor de forma a

•

PiO sau nu, deci utilizind (2.5. 1 0 ) rezultl

doua poate sa contina pe sen) = S PiO 7 1- C t-l +

P i 1P i2 ' " P ir

:;:

t-I C t-I'_l) { (ll�7 (-1 + S PiO

+

2

C ,_l - ct_1 + 1

.

.

.

+ (- 1 )

t-I)

C t_1

de unde rezulti'i d sen) = 0 pentru t 2: 2 sau dad

s

a lO - 1

s

(P iO}� - (P iO ) ai

_

�i s( n) = p'IO ill celelalte cazuri.

( a2 ) dad exista jo astfel incit s

s

s

(PiOa lo - I) (PjOa)") . (PjOaiO - I ) - (P ai )J pentru . <

SI

s

>

1 :;: 10> J o

.

.

In acest caz, presupunilld in plus ca obtinem

sen) = S

sen)

1

.

1)

t-I

t-I C t-l +

)

t-' t-2 C t-2 + 2 CLJO - I t-2 t-2 I 1- C t-2 + C t-2 + . . . + (-1) C t-2 + S PjO +S

deci

{PiO'cd] ( 1 - C t_1 + C 2t_1 + . . .+ (

in ce1elalte cazuri.

(

=

(PjoCLj�] (

I 2 - 1 + Ct-2 - C t-2 + . . . + (

)(

-

-

0 daca t � 3 sau

daca S

(p�;o- ) I

=

1)

)

S{p,;d'

)

si S en) = -PjO

In consecinta, observam d pentru a obtine pe s ( n ) construim, dupa modelul de mai sus, un �ir maximal i t ' i2 , . . . , ik astfel incit S

-

a l�_1 -

(Pi 1JJ, s(P alli 1 1) s(Pi2}� . . . , s{Pik-1 1 ) s{P ik ]J se n ) = 0 daca t k + 1 sau S{p�i' S(p�ik - I)

( n) = s

a

2:

<

ai

<

<

ai

s( n ) (_ 1 ) k + l pik in celeialte cazuri. Deoarece pentru 0 egalitate de forma S( pa ) S( pa - l ) avem S(pa) = S (pa- I ) � (p-l) a + (j[p) (a) (p-l )(a-l) = (j[p{ a-l) � =

=

=

�

(j[ p) (a-l) - (j[ p{ a) = p- I I iar S (pa) ;z: S(pa- ) � (j[p (a-l) - (j[ p{a) = - I , notind deducem ca j

avem

{

0, daca � k+ l sau (j[pj (ak -I) - (j[ p](ak) Pk - 1 (-l )k+ l pk, in celelalte cazuri. Aplicape. S e �tie [�] d dad ( 0/, A, V ) este 0 !atice finit5. cu 0/ = { x l ' x2' . . . , xn } �i notam cu ::5 ordinea indusa pe V, iar pentru functia f: 0/ � R consideram functia generatoare, definita prin egalitatea (24.7. ), atunci dadi nomm F(x1. A xJ. ) 01J rezulra det ( gi) = f(x l ) .f(x2 ) f(xn) In [L2] se arara d acest rezultat peate fi generalizat la 0 muHime partial ordonat:a, definind sen ) =

=

(Y • • =

•

g ij

=

I

x $; x ,

. . .

•

f(x)

Utilizind aceste rezultate �i notind �(r) = det ( S(i Aj » pentru i, j = G d rezulra d � ( r) = sO ) . s(2 ) . . . . . s(r) deci pentru r suficient de mare ( de fapt pentru r � 8 ) avem �(r) = O. Mai mult, pentru orice n exista r, suficient de mare, astfel incit dad 65

�( n, k ) = det S « n+i ) Ad (n+j » , pentru i, j I, k sa avem �(n, k ) = 0 pentru k � r. Aceasta deoarece =

�(n, k )

=

k

i=l

IT s(n+i )

Avind in vedere seria Dirichlet Ds atasata functiei s prin egalitatea DJx) avem

=i

n=I

sen ) n

x

(i) 1 :s; D Jx) :s; D 2

(li) 1 :s; DJx) :s;

:- 1

e (x - 2)

, a ftind 0 constanta pozitiva

Demonstratie. (0 Utilizind regula de inmul�ire a seriilor Dirichlet obfinem

=

_ (i: � )( i: � ) -

�( » S( » = 1 Dgx) = Qx) k= l k k=1 k + �( l ) S( l ) + �(l ) S(2) + ,,(2 ) SO ) + �(l ) S(3) ,,(3) SO ) + �O ) S(4) + �(2 ) S(2) + �(4) S( l ) + 4' 3' 2' =� L... s(k) = D�x) kzl k

...

=

x

si afirma�ia rezl!lta tinind cont de inegalita�ile ( i ) din teorema

2.4.6.

Inegalitatile (ii) rezulta finind cont de teorema 2.4.7.

66

Capitolul 3 Generalizari ale functiei

S

3 . 1 . Prelungirea functiei S la multi mea Q a numerelor rationale

Pentru a obtine aceasta prelungire vom defmi mai intii 0 duala a functiei S.

In [D2] �i [D ] este pus in evidentii un principiu de dualitate cu 4 ajutorul ciiruia plecind de la 0 latice data pe intervalul unitate, sa se obtina alte latici pe acelasi interval. Rezultatele au fost folosite pentru a propune 0 varianta de spatii bitopologice si pentru a introduce un nou punct de vedere pentru studiul multimilor fuzzy. In [D3 ] metoda de a obtine noi latici pe intervalul unitate este

generalizata la 0 latice oarecare.

In cele ce urmeaza vom adopta 0 metoda din [D3] pentru a construi toate functiile legate intr-un anume sens prin dualitate cu functia Smarandache.

Sa observam d dad noUm:

Ri n )

=

{ m / n� m! } d R(n) = { m / n � m ! }

Lin) = { m / m! � n } d L(n) = { m / m ! � n }

putem spune cii functia S este definitii de tripletul ( A,

deoarece

67

E,

R ), d

S(n) = A { m i m E Ri n) } Putem cita toate functiile definite cu ajutorul unui triplet (a, b, c ), unde d a este unul dintre simbolurile V , A, V, si A. d b este unul dintre simbolurile E Si e c este una dintre muHimile Ri n), Li n ), RCn ) si L(n) defmite mai sus. Nu toate aceste functii sunt netriviale. Dupa cum am vazut, tripletul (A., E , R d ) defineste functia S / n ) = S e n ), dar tripletul (A., E , L d ) defineste functia S z C n ) = A. { m 1 m! Sd n } care este identic egaHi cu unlL Multe dintre functiile obtinute prin aceasm metoda sunt functii in scara. De exemplu, daca. motam cu S 3 functia definita de tirpletul CA., E , R), avem S / n) = A { m / n S m! } Deci S / n ) = m daca Si numai daca n E [em-I) ! + 1 , m!] In cele ce urmeazii yom acorda 0 atentie specialii functiei S 4 defmitii de tripletul (V, E , Ld ). Avem (3. 1 . 1 .) S/ n ) = V { m / m! Sd n } care este, intr-un anume sens, duala functiei S. 3.1.1. Propozipe. Functia S4 satisface S/ n 1 1 n2 ) = S4 (n 1 ) A S4 ( n ) ( 3. 1.2 ) :2 deci este un morfism de la ( N*, A) la (N*, A ). d Demonstratie. Dad p 1 , p:2 , . . . , p. , . . . este simI numerelor prime Si 1

S8

i n l = n p . a n., = n p . � i , a., �. E N doar un numar finit dintre exponentii a.I $i �I. fiind nenuli, obtinem min ( ai, �i) n l A n., - n p.I d Dad notam = m, S (n. ) = m., i = 1,2 S 4 ( n l A n,,) 4 I I d $i presupunem m l :S m2 , rezulta ca membrul drept din (3.l.2) este m I A m." Din definifia lui S4 rezulta ca exponentul e . ( m ) la care apare � numarul prim p.I in descompunerea in factori alui m ! satisface inegalitatea e pi.(m ) :s min ( a.,I �.I ), i� 1 $i eixsta j astfel incit e . ( m+l ) > min ( a., � . ). J J PJ Atunci rezultii ca u. � e .(m), �. � e ( m ), i � 1 pi pi I I Avem de asemenea e pi.(m ! ) :S a., epi.(m., ) :S a.I $i in plus existii h $i k astfel incit _

I

I

I

I

_

.

I

e ph ( ml +

_

1 ) > ah, epk( m2 + 1 ) > ak

Atunci min ( a.,I �.I ) � min (e pi.(m l ), epi.(m.,_ » = e pi.(m ! ) deoarece m ! :S m 2 Re zulta ca m l :S m Dad presupunem d inegalitatea este stricta, rezulta m ! :S n l ' deci exista h astfel in cit e ph ( m ) > ah �i avem contradictia eph( m ) > min ( ah, �h ) $i propozitia este demonstrata. 69

Observam d foarte multe dintre valorile lui S4 sunt egale cu unu. De exemplu: S4 ( 2n + 1 ) = 1 Si S/ n ) >1 dad si numai dad n este numar par. 3 . 1 .2 . Propozitie. Fie P I ' P ' . . . P Sirul n umerelor prime ::! i consecutive Si Rr n = p 1 cxI . p 1 cx::! · 0 '" • pkCIk: . q l "'RI . q::!'"R::! ,. descompunerea numarului nE N* in factori primi astfel incit prima parte a descompunerii confine ( eventualele ) numere prime consecutive si fie CIi xi S(pI. .) 1 dad e pI.(S(p.Ic » ' > .a.I tI. = S(p.Iill) + p.I - 1 dad epi.(S(p.Iill» = a.I (3. 1 .3.) Atunci (3. 1 .4.) S4( n ) = min { t 1 , t2 , . . . , �, Pk+ l- 1 } i CI Demonstrafie. Daca epi.(S(pI. » > a.,I din definifia funcfiei S rezulra . ca S(p.ICXI) - 1 este cel mai mare intreg. pozitiv m cu proprietatea . epi.(m) � aI. De asemenea, daca epi.(S(pI. ill» = a.,I atunci S(p.Iill)+ p.I - 1 este cel mai mare intreg m cu proprietatea epi.(m) = aI.. Rezulra ca numarul min { t l ' t2, . . . , tk, Pk+ l - 1 } este cel mai mare intreg pozitiv m pentru care epi.(m ! ) =:; a.I pentru i = 1 , 2 , . . . , k. 3.1.3. Propozipe. Funcfia S4 satisface d S4( n l + n::! ) A S/ n l V n::! ) = S i n l ) A Si n::! ) . pentru once n 1 , n" E N* . Demonstrafie. Afmnafia rezulra utilizind egalitatea ( 3. 1.2 ), finind cont de faptul ca •

{

. . .

• . . .

_

.

_

10

I nainte de a prelungi functia S la multimea Q a numerelor rationale vom pune in evidenta unele proprietati de morfism pentru alte functii definite prin triplete ( a, b, c). 3.1.4. Propozi�ie.

( i ) Functia S 5 : N* --7 N*, S / n ) = � { m 1 m! ::;d n } satisface S 5 (n 1 1 n2 ) = S 5(n 1 ) 1 S 5(n2) S 5(n l ) A S 5 (n2 ) (ii ) Functia S6 : N* --7 N*, S 6 ( n ) = � { m / n ::;d m! } satisface S 6(n l -e. n2) = S in l ) -e. S 6(n2) (iii) Functia S 7 : N* --7 N*, S / n ) = � { m I m! ::;d n } satisface S 7 (n 1 A n 2) = S 7(n 1 ) A S 7(n2) S /n 1 V n 2) = S /n 1 ) V S /n 2) =

Demonstratie. ( i ) fie A = { ai I ai! ::;d n 1 } ; B { b I b/ ::;d n2 } j C = { Ck I Ck! ::;d n 1 1- n2 } Atunci avem A c B sau B c A. Intr-adevar, fie A = { a i ' a2, . . . , ah } , B = {b l ' b 2, . . . , b) astfel incit a. < a. I �i b. < b.J I . 1+ + J Atunci dad. ah ::s; b , rezulta ca a. ::s; b pentru i a.! ::S;d b ! ::S;d n..,. Prin urmare A c B.

(3.1 .5.)

(3. 1 .6.)

(3.1 .7. ) (3. 1 .7. )

=

1

1

r

1

r

-

71

r

= 1 , h, deci

Analog, dadi br :S ah, rezulm B c A. Desigur, avem C = A n B, deci dad A c B rezuWi S 5 ( n 1 Ad n2 ) = �Ck = � ai = S / n 1 ) = min { S5 (n l ), S/ n2 ) } = S 5 (n 1 ) 1S/n2) Considerind S 5 definita pe � din ( 2.7. 5. ) rezulta c5. aceasta functie este monotona.. Dar nu este pe laticea �, deoarece m ! < m ! + 1 dar S/m ! ) = [ 1 , 2, . . . , m] Si S/m !+ I ) = 1 ( ii ) Sa observam d S6 ( n ) = � { m / 3 i E 1 , t astfel ca epi. ( m) < u. } Dad nomm a = V { m / n :5d m! } atunci n :5d (a+ I ) ! Si a+ I = A { m / n :5d m! } = Sen) deci S 6(n) = [1, 2, . . . , Sen) - 1] Atunci avem Si n l �n2 ) = = [ 1 , 2, . . . , S(n l �n) - 1] = = [1, 2, . . . , S(n l ) V S(n2)-I ] si Si nl) Vd S6(n2) = [[1, 2, . . , Sinl)-l], [ 1 , 2, . . . , S 6 (n2)-I ]] = = [ 1 , 2, . . . , Sin l ) V S6(n2 )-1] ( iii) Egalimtile rezulm din faptul d Sin) = [ 1 , 2, . . . , m] ¢:::> n E [m!, (m+l ) !- I ] Acum yom extinde functia S la multimea numerelor rationale. Orice numar rational pozitiv poate fi descompus in factori primi sub fonna I

.

( 3. 1.8. )

cu U E Z si doar un numar finit dintre acesti exponen�i sunt p nenuli. n

Avind in vedere aeeasta seriere se dii d efin ifia divzibil itatii numerelor rationale in felul urmator: a = I1 p divide numarul 3.1.5. Definitie. Numarul rational rational b = I1 p �' dad ap s pp. Datoritii egalitiitii ( 3 . 1.8.) inmultirea numerelor rationale se reduce la adunarea exponentilor acestor numere. In eonseeintli, problemele in legatura eu divizibilitatea numerelor rationale se redue l a probleme de ordine intre exponenti. eel mai mare divizor eomun d �i eel mai mie multiplu eomun e se definese [H2] prin a,

d - ( <1, b , -

e- [ <1, b,

) - TI p

min (a p' P p · · ·)

) -- TI p

max

. • •

p

• . •

(a p' p p

p

• • •

)

( 3. 1 . 9. )

Mai mult, intre eel mai mare divizor eomun �i eel mai mie multiplu eomun al unor numere rationale nenule existii relatia [a,

b, . .

.

]

=

1

(!a' !b ' . . . )

(3. 1 . 10.)

Desigur, oriee numar rational pozitiv a poate fi seris sub forma a = nln l eu n E N, n l E N*, (n, n l ) = 1. 3.1.6. Definipe. Prelungirea S: Q* � Q* a funetiei Smarandaehe + + este

( 3.1.1 1.)

o eonseeintli a aeestei definitii este aeeea cii dad. n �i n., sunt

l

intregi pozitivi, atunci

S

=

(n\ n12) S (n\) v S (nI2) V

73

(3. 1 . 1 2 . )

Intr-adevar

In general

S (nnJ v :J =(s (n) vs(m») .(s(n\) vs (�J) formula care generalizeaza egalitatea ( 2.22. ) 3.1.7. Detinitie. Functia S: Q* -7 Q* definiili prin + + -

S(a) =

1

s(�)

se nume�te duala functiei S. 3.1.8. Propozipe. Duala S a functiei S satisface (i)

= In l) A In � (n l A _nI2)= 5(�n l )A5(�n 2)

S(n l A n 2)

1 (ii) 5 _

5

5

pentru orice n l Si n2. Mai mult, avem si

Demonstratia este evidenili.

74

( 3. 1 . 1 3 . )

Observatii 1 ) Restrictia functiei S la rnultirnea intregilor pozitivi coincide eu funetia S4' 2 ) Prelungirea funqiei S : Q * -7 Q * la mulfimea tuturor numerelor rationale nenule se poate face prin egalitatea S(-a) Sea) pentru orice a E Q * +

+

=

+

3.2. Funcp.i numerice inspirate din defmitia funcpei Smarandache

In acest paragraf yom utiliza egalitatea ( 3. 1 . 1. ) �i relatia (2.4.9.) pentru a defmi prin analogie alte funqii numeriee. S a observam ca putem spune ea n ! este produsul tuturor numerelor intregi pozitive ee nu dep�ese pe n, in latieea L Analog, produsul � al tuturor divizorilor lui m, inc1uzind pe unu �i m, este produsul tuturor intregilor pozitivi ce nu dep�ese pe m in latieea Lct. Deci putem considera funcfii de fonna 9(n) A { m / n :5d q(m) } Se �tie d dad m = P I xl P., x2 . p xt este deseompunerea in factori a numarului rn, atunei produsul tuturor divizorilor lui m este (3.2 1.) - dm} q (m) m =

•

_

•

. .

•

t

V

unde 't ( m)

=

( x I + 1 ) (x2+ 1 ) . , ( x + 1 ) este nurniirul divizorilor lui m .

t

75

D aca- n are descompunerea n = p 1
inegalitatea n !>d q(m) este echivalenta cu q / x ) == x / x1 +1 ) . . . ( \+1 ) - 2a1 � 0 q., ( x ) x.., (X.,+ 1 ) . . . (xt+ 1 ) -2a.., � 0 _

==

_

_

_

en

( 3.2.2 )

qt (x) xt (xt+l ) . . . (xt+ l ) -2at � 0 Deci 9( n ) poate fi dedus rezo2.va nc problema de programare neliniara . f ( rmn ) (x) = P I xl • p.., x2 • . . . • ptxt (3.2.3.) cu restrictiile ( 3.2.2. ) Solu�a acestei probleme poate fi ob�nuta aplicind de exemplu algoritmul S UMT ( Sequential Unconstraine d Minimization Techniques) datorat lui Fiacco �i McCormick [F1 ] . Exemple. 1 ) Pentru n = 34 • 5 1 2, relatiile ( 3.2.2 ) �i ( 3.23. ) devin . f( ) . ··1 ( rmn e ) x = 3 x1 . )-x2 cu restnctn { X 1 (x 1 +1 )(x +1 ) � 8 2 x/ x 1 +1 )(x +1 ) � 24 2 Utilizind algoritmul SUMT, consideram func�a ==

_

t

U(x, n ) = f(x) - r L In q. (x) i=l �i sistemul 1

au

-

�-

0

( 3.2.4. )

au 0 aX 2 -

In [F 1 ] se arara ca daca solu�a x 1 (r), x..,(r) a acestui sistem nu poate fi explicitata din sistem, putem face pe r sa tinda la zero. Atunci sistemul devine _

76

X l ( X + l )(x ,,+l ) = 8 J \ x 2 + 1 ) (x 2-+ 1 ) = 24 1 si are solufi,a X l = 1 , x2

(/

Deci avem

. mm

{m

/ 34

•

Intr-adevar, "

3

12

3.

$ q(m) } =

/

q (rn o) 'V

A

2) pentru n

5

=

rn o

rno = 3 • 53

, (m J

4

= rn o = 3

4

•

P

5 -= n

3 2 • 57, din sisternuI (3.2.4.) rezulta pentm x., ecuafi,a

=

2x + 9x2 - + 7x - 98 = 0 2 2 cu 0 soIufi,e reaIa in intervalul

(2, 3 ). Rezulta x l

E

-

(4/7, 5/7 ).

Considerind x = 1 , observarn ca pentru X2 = 2 perechea (x , x nu 1 1 2 2 4 12 este 0 solufi,e admisibiHi a problemei, dar x = 3 da 8 (3 . 57 ) = 3 . 5 ., 3 ) In general, pentru n = P xl • P: x2 di� sistemul ( 3 .2.4. ) rezulta I

ecuafi,a

3 a1 x2 + (a1

+

.,

a2 ) x2- + a2 x2 - 2a2- = 0 "

cu solufi,a data de fOITIlul lui Cartan.

Desigur, utiIizind "metoda tripletelor " putem atasa Si funqiei e multe aIte funcfi,i. Pentm funcfi,a v dara de

(2.4.9. )

se pot de asemenea atasa funcfi,ile

generate prin metoda tripletelor. In cele ce urmeaza vom studia analogul funcfi,ei Smarandache si duala ei in acest al doilea caz.

3.2.1. Propozipe. Dad n are descornpunerea (3.2. 1 . i ) atunci Cti (i ) v(n ) = max p . I i

=

1. t

.

(ii ) v (n 1 � n2 ) = v(n 1 ) Demonstrafi,e. (i) Fie Pn

an =

max

p

i

V v(n2 )

cti

n

an ai deci pentru i = atunci p . .:5 p n 1 ai .:5 an [ 1 , 2, . . , P ] P1. n aj ai Dar (p . , p . ) = 1 pentru i :;c j �i deci 1 J an ] n :5d [ 1 , 2 , ,P n . . an Daca pentru un anume m eu propnetatea rm; p n an :5 [ 1 , 2, , m] . . , m] , ar rezulta eontradietia p

l,"Z,

d

.

. . .

2,

n

. .

(ii)

Daca ap n =n n =np 2

1

'

atunci

n

1

.e- n2

deci

=

np

ma.'<

p

d

E,

[1,

�p

Cap. �p)

.e-

�

Desigur putem spune eli functia v

( A,

avea n:5d

. . .

a n ) = max pmax c p, P) = max (max p 2 l si propozitia este demonstrata v(n

am

�d])' unde

R [d] = { m / n :5d [ 1 , 2,

. .

1

ap

, max

� p P)

= v este definiti de tripletul

. , m] }

Duala sa, in sensul avut in vedere in paragraful precedent este functia definiti de tripletul functie yi n )

(V,

E,

L d ) ' Sa notam cu v aceasti 4 [ ]

= V { m / [ 1 , 2, . , m] :5d n] .

.

Rezulti cii v ( n ) este cel mai mare intreg pozitiv cu proprietatea 4 '

eli toti intregii pozitivi m .:5 vi n ) divid pe n. Sa observam eli

v (n) 4

> 1

0 conditie necesarn �i suficientii pentru a avea

este sa existe m

> 1

astfel incH toate numerele prime p.:5 m

sa divida pe n. Din definitia lui v rezulti de asemenea ca 4 v ( n ) = m � n este divizibil prin orice i .:5 m, dar nu prin m+ l . 4 75

3.2.2. Propozipe.

Func�a v satisface 4 V ( n A n., ) = v ( n ) A v ( n., ) 4 r d 4 _ 4 r Demonstra�e. Sa notfun

n = n A n." v ( n ) = m, v ( n. ) = rn. , i = 1 , 4 I l d - 4 I D a ca m = m A m , mum d m = m r l l 2 Din defini�a lui v rezulu 4

2

v ( n . ) = m. � [ '1 i s m. => n este divizibil eu i dar nu eu m. + 1 4 1 I I

1:

Dad am avea m < m , atunci m + 1 s m S m , deci m+ 1 divide I r 2 pe n �i pe n , deei m+l divide pe n. Dad m > m , atunei m + l s m, 2 1 i I deci m + 1 divide pe n.

l

Dar n divide pe n demonstrata.

l

'

deci m + l divide pe n �i propozi�a este r l

Sa observam eli onotind

t = max { i / j � i => n este divizibil eu j } o Atunei v in) se poate ob�ne rezolvind problema de programare

liniam

max

f(x) :::

to

I X i in P

i r =

to

I X i in P i � in Pt# l

i 1 =

Dad f este valoarea maxima a lui f din aeeasta problema, atunci o

yi n ) = e

ro

De exemplu, v

3 (2 -3 2-5- 1 1 )

=

6

4 Desigur si funetia v poate fi e xtinsa la multimea numerelor

ra�onale, prin aeelasi proeedeu ea si fune�a 79

S.

3.3. Functii Smarandache de tipul unu, doi �i trei

Fie X 0 mulp-me nevid5., r e X x X 0 relap-e de echivalenta,

X

multimea cIaselor de echivalenta corespunzatoare si ( 1, ::s:) muHime

total ordonata.

3.3.1. Dermipe. Dad g: X -t I este 0 funcp-e injectiva oarecare,

atunci funcp-a -t

f: X

I, f( x )

=

(3.3. 1. )

g( x)

se numeste functie de standardizare.

Despre multimea X yom spune in acest caz ca este ( r, (I, ::S:), f)

standardizata.

3.3.2. Definipe. Dad r1 si r sunt doua relatii de echivalenta pe X, 2

relap-a

r=

r 1 A r2 este determinatli de conditia

¢::>

x r 1 y Si x r y 2 Se observa cu usurinta eli r este

xry

3.33. Definipe. Functiile f. : X dad pentru orice x, y fk( x )

::s:

fk( y )

¢::>

E

f/ x )

1

0

-t

X rezultli :s

� ( y ), k, j

( 3.3.2)

relatie de echivaIen�

I, i

=

=

1 , s, au aceeasi monotonie

1, s

3.3.4. Teorema. Dad functiile de s tandardizare f. : X corespunzatoare relatiilor de echivalenta r., pentru i 1

monotonie, atunci functia

_ 1

=

1

este 0 functie de standardizare corespunzatoare relatiei r

este de aceeasi monotonie cu functiile f.. 1

=

s

A r.1 si i=1

Demonstratie. Dam demonstratia acestei teoreme penttu cazul s In cazuI general demonstratia rezultli apoi prin inductie. 80

I,

1 , s, au aceeasi

f = max. f. 1

-t

=

2

X

S a notam cu

rl

' x ., r_

�i

x

r

clasele de echivalenta a le lui

x

corespunzatoare respecti v relatiilor de echi valenta r , r::; $i r = r A r 1 1 2' X X X iar cu r l' r_"' r mUlfimile cit corespunzatoare. Avem f.1 ( x ) = g.(x . ), i = 1 ,2, unde g. : X .

Func?a

g:

1

n

1

X � I definita prin g(x ) r r

injectiva. intr-adevar, dad = max ( gl( Xr 1 -)' .,

g::;

., - ) ), g.,( _ xr_ .,

avem de exemplu max ( gl (Xr 1 I ) ,

g/xr::;l »

l 2 xr ;:: Xr

n

=

�

max

�i max

I sunt func?i injective. (g 1 ( x ) , g ( x ) rl ::; r2

(g ( x \ g ( x 1 rl ::; r2

este

1» =

atunci datorita injectivita?i functiilor g 1 �i = gl(xr2::; ) = max

2 C g 1 C xr 1 ::; ) , g::;C xr::; »

�i avem 0 contradic?e, deoarece

2 l l f ( x ) = g( xrl::; ) < g 1 (xrl ) = f C X ) 1 1 1 f2 ( x1 ) = g2 (Xr 1 ) < g::;(xr2::; ) = f::;(x::; )

deci fl $i f::;nu sunt de aceeJ.$i monotonie. Din injectivitatea lui g rezulili ca func?a f: X � I, f(x ) = g(xr ) este 0 func?e de standardizare. in plus avem 1 2 f(x 1 ) :s f(x ) � g(xr ) :s g(xr::; ) � max( g l ( xr 1 1 ), g.,_( Xr_.., l » :s ::; ::; 1 max(g/xr / ) , g2(xr::;::; » ) � max(f (x I ), f2 ( x » :s max(f ( x ) , f::;(x ) 1 I 2 2 l l � � f/ x ) :s f(x ) �i f/ x ) :s f (x ) deoarece f $i f2 au aceea�i l z monotonie. sunt doua opera?i algebrice pe

S a considerfun acum d X,

respectiv

1.

33.5. Definipe. Func?a de standardizare f: X

este L compatibila cu operatiile X

triplerul ( f( x ), fCy), f( x

T

T

�i

.L

�

dad. pentru orice x , y E

y» sati�face condi?a L 81

I se spune ca

In aeest eaz, yom mai spune ca funtia f I-standardizeaza struetura ( X,

T

) pe struetura ( I, :s

.l.

).

Exemplu. Dad! f este funetia Smarandaehe S : N*

� N*,

avem

urmatoarele standardizan (a) funetia S, I - standardizeaza ( N*, - ) in ( N*, :S, +) deoareee I avem

(I/ S(a-b) :s S e a ) + S(b) b ) Functia S verifica de asemenea relatia

(I) : max (S(a), S(b)) :s (S(a-b) :s Sea) - S( b )

deci aceasta funqie ( 1) standardizeaza struetura ( N* , -) in (N*, :s , -).

eu aeeasta introducere putem defini funetiile Smarandaehe de primul tip. Am vazut

cii

functia Smarandaehe S ' a fost defmitii eu ajutorul

func�iilor S p avind proprieta�ile ( a ) �i ( b ) din paragraful 2.2.

Amintim

ca pentru fieeare numiir prim p functia S p : N*

defmitii de eonditiile 1 ) S p(n) !

2 ) S p( n )

� N*

este

este divizibil cu pn

este eel mai mic intreg pozitiv avind proprietatea 1 ).

Utilizind defini�ia fucntiei de standardizare prezentam in continuare

[B 2]

trei generalizari ale funetiei Sp.

Vom nota cu Mn un multiplu de n.

Pentru orice ne N* relatia rn determinatii de condiriile 33.6. Definipe.

82

c

N* x N* este

( i) Dad n = u':', cu U = 1 sau u = p - numar prim.

s i i € NY , ':' a r a , b E Ny atune':' a:::-, b <==> = k€ N Y , k ! = Mu " , k ! = MU"� s':' k e s t e eel rna i mi e i n t reg p o z i t i v eu a e e a s ta p ropr::. e t a t e

(n) Daca n = p ..

�

atunci

1

i l . p i2 ?

_

.

.

.

.

P

s

is,

(3.3.4)

de p r imul tip e s t e funeia nume =iea S . : NY- NY d e t e � ':' n a : a de eene: : ':' ':' l e ( i ) Daca n=U1 , C� 0 = : sau w=p nurna= P = :ill

K avand p =o p =':' e tatea :< ! = Mu" ( i i ) Daea n=Pl" P2'Z . . . P." a t u n e i a t u n c i S. ( a )

e s � e c e 2. rna':' mic :' :1 : =9':; p c : :' : :' �l

S . ( a ) = rnax ( S;: ] l J " ' ) l :s: i :s: s

Se observa Ca: 1 . Func�iile S

n

sunt funqii de standardizare corespunzatoare n

relat:iiJ.or de echivalen� r defInite mai sus �i pentru n = 1 ob�em x = rl

N*, pentru orice x E N*, iar s 1 (n) = 1

pentru orice n E

N*.

n

2. Dad. n = p este un numar pri m , atunci S este func�ia

S defmitii de F. Smarandache. p

3. Func�e S sunt crescatoare �i deci sunt de acee�i monotonie. n

ln sensu! defini�ei ( 3.3.3. ).

3.3.8. Teoremi. Funqiil e S au proprietatea ca L standardizeaza 1

n

( N*, +)

pe

( N*, �. + ) prin rela�a

(L 1 ) : max ( S n( a), S n( b »

pentru orice

a,

�

n

S ( a+b)

�

n

n

S ( a) + S ( b )

b E N * �i ( L ) standardizeaza structura ( N* , + ) pe Z 83

structura ( N*, ::;, . ) prin

(1: 2 ): max ( S n( a), S n( b »

pentru orice

a,

n

b E N*

Demonstratie. Fie p

un

n

n

::; S ( a+b ) ::; S ( a ) · S ( b )

numar prim �i n

i p , cu i E N*, iar

=

S iC a), b* = S i( b ) , k = S i( a+b ) p p p numerele a* , b* �i k sunt cele mai S lui mitiei def ta Atunci datori n

a*

=

mici numere mtregi pozitive cu proprietati!e: a* !

=

Mp ia, b* !

Deoarece k !

=

=

Mp i b , k !

Mp i a

=

Mpi(a+b ).

M p i b rez uWi a* ::; k � i b * ::; k , deci

=

max ( a*, b* ) ::; k, ceea ce demonstreaza primele inagalitati din (1: ) I �i

(1:) Deoarece ( a* + b * ) !

=

a* ! ( a* + 1 )

a vem k � a " +b " ,

Dad n

=

p/I

.

deci P i2 2

.

pentru j

PJ J

..

. .

i, s

( a* + b * )

=

M p' :'�1

r e z u l t a ca

i . p S, avind in vedere cele de mai sus s

PJ J

max ( S .i.(a), S l.( b » =

. .

(1: 1 ) este verificata.

deducem

(1: 1 ):

. .

PJ J

PJ J

PJ J

::; S i.(a+b) ::; S l . ( a ) + S i( b )

In consecintii j

PJ J

j

PJ J

j

PJ J

max ( max S i( a), max S l.( b » ::; max S i.( a+b) ::; � J

ru J

j

::; max ( S .i.( a) + max ( S i .( b ) ) pentru j j

A�adar n

n

n

n

=

i,

S

n

max ( S ( a), S ( b ) ::; S ( a+b ) ::; S ( a ) + S ( b ) Pentru demonstrarea celei de-a doua inegal i tati din ( 1:.,) sa amintim c5. ( a+b ) ! ::; ( ab ) ! daca �i numai dac5. a 84

>

1 �i b

>

1 �i sa

observam ca inegalitatea este satisIacuta pentru n S ( a+b) l

S Ca) I

=

=

S/b )

=

1

deoarece

1

=

Fie acum n>1. Rezulta ca pentru a*

=

S ( a ) avem a* n

>

1.

Intr-adevar. daca n are descompunerea ( 3.3.4. ) atunci a*

=

S ( a ) max S 1. ( a )

¢>

1

o

ceea ce implica p

pj j

I

P, _

=

' "

=

>

Prin urmare. pentru orice n n

S ( a)

=

>

a*

0

1 �i S ( b)

atunci ( a*+b* ) !

�

=

b*

=

=

1

p

5

=

1 . deci n =

1.

1 avem

>

1

( a*·b* ) ! �i obfinem

S ( a+b) < S n ( a) + S n( b ) n

�

S (a) · S (b) n n

In continuare prezentam citeva rezultate referitoare la monotonia funqiilor Smarandache de primul tip.

3.3.9. Propozifie. Pentru fiecare intreg p o z i tiv n funqia

Smarandache . de primul tip S este crescatoare. 0

Demonstrafie. Daca n este numar prim �i k < k , finind cont ca

avem ( S (k2 » ! n

Mnk2

=

rezulta S ( k ) o

I

�

l

Mnk l

=

S (k,) 0

_

Pentru n numar mtreg oarecare S

(i k )

pm m

S pt (i k2 ) t

l

=

Deoarece po rn !

S (i k )

max S .(i.k )

Is� pj

=

Isjsr

PJ

J

J

I

max S .(i .k, )

�

S

o

-

( i k? )

pm m _ !

2

rezulta ca S (k )

�

=

�

=

fi@

S (k ) 0

l S (k, ) 0

_

S ( i k?) pt t _

S (k ) �i propozitia este demonstrata. n

2

as

3.3. 1 0. Propoz i�ie. S i rul de funqii ( S ) * es te mon oton p iEN crescator pentru OIice numar prim p.

Demonstrafie. Pentru orice i , i E N*, cu i < i 2

1

n E N* avem

S i (n) = S ( il . n) p i p deci S i p i

:s

p
S (k) p

:s

1

., _

�i pentru orice

S ( i., . n) = S i ., ( n ) pP _

S i., si propozif,ia este demonstrata. p_

3.3.11. Propozitie. Fie p Si q numere prime date. Atunei �

<

q

S (k) pentru orice k E N*.

Demonstraf,ie. Fie k E N* Si I s

_ s-1

k = t a ( p ) + t.,a

s 1

( p) + . . . + t a ( p )

scrierea lui k ill baza [pl. Se �tie ca avem 0

i

=

:S

:S

t.

1

( 3.3.5. ) p-l , pentru

1 , s, iar ultima eifra semnifieativa poate lua �i valoarea p.

Treeerea de la k la k+ 1 in ( 3.3.5. ) pune in evidenfii urmatorul algritm: s

( i ) t este mant cu 0 unitate s

�1

( ii ) dad t nu poate fi mant eu 0 unitate. atunci t s

este mant cu

o unitate �i t devine zero.

( iii ) dad nici t niei t s

�1

nu pot

s

s-1

mareste eu 0 unitate, iar t Si t

fi mariti eu 0 unitate atunci ts-_., se

devine egali cu zero.

Procedeul continua ill acest fel pilla ob tinem expresia lui k=l Notiim eu

� ( S ) = S ( k+ l ) - S ( k ) k p p p

( 3.3.6. )

salmI funcf,iei S cilld trecem de la k la k+ 1 , urmind proeedeul

p

descris mai illainte g5.sim

86

- in eazul

- in eazul

- in eazul

C i) 6.kC S p ) = p ( ii )

( iii )

Se observa cii

S

P

( n) =

q

n

n

kL=1 6.k( Sq ) + Sq ( 1 ) eont cii S C I ) = p < p

( n) =

Tinind

6.k (S p ) = 0

kL=1 6.k( SP ) + Sp( 1 )

�i analog S

6.k( Sp ) = 0

q =

S ( 1 ) �i q

utilizind algoritmul de

mai sus dedueem ca numaruI de salturi eu valoarea zero a lui

Sp este

mai mare de cit numarul de salturi eu valoarea zero a lui respeetiv numaruI de salturi eu valoarea p a lui

numaruI de salturi eu valoarea q a lui

n

n

�I 6.kC Sp ) + S/ 1 ) < �l

S

,

S

p

este mai

mie

S �i q decit

de unde rezuita

q 6.kC S ) + S ( 1 ) q q

(3.3.7. )

SpCn) < S ( n ) , pentru oriee n E N*. q Exemplu. Tabelul eu valorile lui S �i S pentru 0 < n � 20 este 3 2 deei

19 20

saltu1

2

,

I

,

,

0 2, 2 0 0 2 2 0 2 i

2 0

2 2 2

S/ k) 2 4 4 6: 8 8 8 10 12 12 14 16 16 16 16 18 18 20 22 24

saltul

3 3 '0 3 3 3 0 3 3 3 0 0 3 3 3 0 3 3 3

S i k) 3 6 9 : 9 12 15 18 18 21 24 27 27 27 27 30 36 36 39 42 45 Deei

S2(k) < S/ k) pentru k 1, 20 =

a7

O b s e rvafie. P e n tru once � i r cresc ator d e n u mere pri me p

S I < Sp I < Sp _., < < Spn < . . . �i dad . I . . n < . . . rezulta n = P I . P2 . . . . . Pt cu P
I

.

I

=

=

( 3.3.9.)

ilk( S pi) s ilk( S p )

Tinind cont de propozitia trecind de la

k la k+ 1

3.3. 1 1

din egalitatea

( 3.3.9.)

rezulta ca

obtinem

ilk( S pi ) s i ilk ( Sp ) s i · p < q �i n n i L il k( S ) s L ilk( S ) k=! k=1 p q

( 3.3.10.)

Deoarece avem

Spi( n )

n Sp.( 1 ) + kL ilk ( S i ) s S i( 1 ) + i kL ilk ( S ) P P P I =1 =l n

=

�l

n S (n) = S ( 1 ) + kL ilk( S ) q q q =l din ( 3.3.8. ) �i ( 3.3. 10) rezulra S i ( n ) s S p

�i propozitia este demonstrata.

q

( n) pentru orice nE N*

3.3.13. Propozipe. Dad p este numar prim. atunci orice n

< p.

Sn < Sp pentru

Demonstratie. Dad n este un numar prim, din inegalitatea utilizmd propozitia

n<

p,

3.3. 1 1. rezulra Sn (k) < Sp(k) pentru orice k E N*. aa

�

D aca n este un numar compus n �

p

r

.

S (k) n

11"

<

pj j

=

max ( S i(k»

=

l !:js

p, deci cum i �r

p

D ::s rr

r

p

.

=

pr r

P

I

il

.P

2

i2

.. . . . P c

ic

'

S i (k ) �i deoarece' n

11"

<

.

atuncl <

p rezulta ca

p, utilizind propozifia precedenta

rezultii S i ( k) ::s S ( k), deci S (k ) n

<S

p

(k) pentru orice kE N*.

Trecem acum la prezentarea func�or Smarandache de al do ilea tip, �a cum este ea defmita in

[Bl

3.3.14. Defmipe. Func�e Smarandache de tipul doi sunt funqiile k S : N* - N* definite prin egalitatea k S ( n)

=

S ( k ) pentru orice k E N* fix at, unde S n

Smarandache de primul tip corespunzatoare lui Observam ca pentru k lntr-adevar, pentru n =

=

>

=

n,

n

este functia

k 1 , S este chiar funqia Smarandache S.

1 avem

max ( S 1.( 1 » = max ( S .( i . » = S e n ) pj J pj j j 3.3. 1 5 . Teorema. F unctile S marandache de tipul doi 1: 3 l S (n)

n

S (1)

standardizeaza structura ( N*, . ) pe structura (N*, ::s, + ) prin k k k k k ( 1:3 ): max ( S ( a), S ( b » ::s S ( a.b) ::s S ( a) + S ( b )

pentru orice a, b E N * � i in acela�i timp 1: 4-standardizeaza structura ( N* , .) pe structura (N*, ::s, .) prin k k k k ( 1:4): max ( S\ a), S ( b » ::s S ( a.b ) ::s S ( a) . S ( b ) pentru orice a, b E N*.

k Demonstratie. Relatia de echivalenta r corspunzatoare lui S k este defmitii prin

( 3.3. 1 1. ) 89

�i a* este eel mai mie intreg pozitiv eu proprietatea (3.3. 1 1. ). Prin urmare, putems pune ca S

k

este 0 funet,ie de standardizare at�ata

relat,iei de eehivalen� l. S a observrun ca funeliile Smarandache de tipul al doilea nu sunt 2 de aceea�i monotonie deoarece de exemplu S ( a ) �

2 S( a )

2 I S( b ) �i de aici nu rezulili S C a)

Pentru fiecare a, b E N*, fie a*

=

�

�

2 S (b)

¢:>

I S ( b ).

k S ( a ), b*

=

k S ( b ), C

=

k S ( a.b ).

�i C* sunt respectiv cele mai miei numere intregi

Atunci a*, b*

pozitive eu proprietiitile a* !

=

k Ma , b* !

=

Mb*, C* !

=

k k M( a .b ) �i deci C* !

=

k Ma

=

k Mb ,

de unde rezultii a*

�

C*, b*

�

C*

ceea ce implica max (a * , b* ) k

k

madx ( S ( a ), S ( b »

�

Dar deoareee ( a*+b* ) ! rezulta ca avem �i C* k

D in

�

=

�

=

k k M( a b )

a* + b*, deei

in sf'�it, deoareee ( a*b* ) ! k S ( a.b )

..

( 3.3. 1 2 )

M ( a* !b* ! )

k

deci ( �3 ) este verificata.

rezulta ca avem

C*, adid.

k S ( a.b )

� S (a) + S (b) ( 3 . 3 . 12 ) s i ( 3 . 3 . 1 3 )

k S ( a.b )

�

obtinem max ( S ' ( a ) ,

=

( 3.3. 1 3. )

S « b ) ) � S ' ( a ) + S« b )

M (a* !b* ! )

�i

k k S (a) . S ( b)

eeea ce demonstreaza pe ( �4)'

3.3.16. Propozitie. Pentru orice k. n E N*, avem k S 9n )

<

n·k

( 3.3. 14. ) 90

. . FI· e n = P il . P i2 . . P it �I D emonstraf.1e I 2 . .. t .

Sen)

=

I ��

PJ

Atunei, deoarece k S (n)

=

�i Sen)

J

max ( S . ( i . »

=

S(p Un) m

k S(n ) = max( S . ik) = S( p irk) s k S(p ir) S k S(p im) = k Sen) r r m Isj:g PJ J

s

n, rezulra inegalitatea ( 3.3. 14. ).

3.3.17. Teorema. Orice numar prim p k k loeal pentru funqiile S �i S ( p )

=

P

p( k - i

P

�

5 este punet de rna'{im

(k»

unde i sunt funetiile defInite prin egalitatea (2.3.1 3.).

Demonstrafie. Dad . p> 5 este un numiir prim, partea intii a

teoremei rezulra din inegalitafile S

p-

l(k) <

S

(k) �i S I (k) < S (k) p+ p

p

pe eare Ie satisfac funcfiile Smarandache de primul timp. k A doua parte a teoremei rezuita din defInifia funetiilor S : k S (p)

S

=

p

(k)

=

p

p(k-i ( k »

�i teorema este demonstrata. Sa observam ca avem �i k S (p)

p-k pentru p � k

=

3.3.18. Teorema. Numerele kp, cu p numiir prim �i P k puncte frxe pentru funcfia S . Demonstrafie. Fie p un numar prim, m

=

PI

al

a2

. P2

descompunerea in factori a lui m �i p > max( m. 4 ). Atunci p.u. S p. I

I

I

ai

< p pentru

. 1 =

-

1, t

deci avem 91

>

k.

sunt at

. Pc

k S ( mp )

Pentru m k S (le p )

S « mp l )

=

=

=

=

max ( S .(a. ) , S ( k » Isis

k ob�em

pi

P

I

=

P

S ( k)

=

kp

kp

k deci kp este punct fIx pentru S .

3.3.19. Teorema.. Functiile Sk au urmlitoarele proprietliti: k (i) S

( li )

l o( n +E) pentru

=

1 l·

m sup

Si nk) = k -n

E >

0

Demonstratie. Avem Os

�n) = l im S(n k) s lim s �n) = k l i m S In) I +E n - x nI +E n - � n I +E �n

lim

n-

s

I +E

n-x n

=

0

�i ( i ) este demonstrata De asemenea

lim sup

0 - :10

unde ( p )

n C � N

S �n) = l i m sup S(nk) = l i m s (p � = k n n P n

n - ::CI

n-x

este �irul numerelor prime.

3.3.20. Teorema. Functiile Smarandache de tipul al doilea sunt in n

general crescatoare, ill sensul cl 't/ n E N* 3 m

� rna

�

k S (m)

�

k S (n).

Demonstralie. Se �tie [S J di functia Smarandache este in general ;:,

crescatoare, adicii 't/ t E N* 3

k Fie t = n �i

ra

ro

E N* 't/

r � ra

�

S(r)

�

astfel illcit pentru orice

Fie de asemenea

rna

=

Set)

r � ra

avem S(r)

.• � [� ro 1 + 1 . Desigur rna � 92

�-ro

.;::>

�

( 3.3. 1 5. ) k S(n ).

rna

k

� ra Sl

.

<=>

k k rn � rn . o k k Deoarece rn � rn � r0 rezul ta o k k k k S(rn ) � S(n ) adica S (rn) � S (n)

rn � rn

o

A�adar

[� J + 1 'r/ m � mo o k unde r = r (n ) este dat de ( 3.3. 1 5. ) o o 'r/ n E N* 3 m =

�

k k S (m) � S (n)

33.21. Teorema. Fiecare numar n = p ! , cu p � max ( 3 , k), nurnar

k prim este punct de minim relativ al lui S . Demonstralie. Fie p! = P I

i2 im p . P2 . . . . . P m .

il

descompunerea lui p ! in factori primi, astfel ineit

2 = p I < P? < . . , < p < p. m _

i Deoarece p ! este divizibil cu p. j, rezulta J S ( p .ij ) p = S(p ) pentru orice j = 1 , m. 1

s

Desigur

k k" k k S ( p ! ) = S« p ! ) ) = max ( S(p . .IJ ) , S ( p » J l:Sjsn �l j S ( p.i ) 1

ss

k ij k S ( P . ) < k S ( p ) = kp = S ( p )

pentru k

1

p. Prin urmare

k k S ( p ! ) = S( p ) = kp pentru k

s

p

Dad. descompunerea lui p !-1 in factori primi este p' 1 = q .!

il

i . q2

atunci avem q.

J

2

>

. ... .

�

it

p pentru j = 1 ,

t

93

!

( 3.3. 16. )

Rezulta ij S ( p !-l ) = max ( S( q . » = S e a cu

J

1 !:F;t

'In

im)

� . p, �i deoarece S(�lm) > S ( p ) = S ( p ! ) rezultii di .

S ( p !-l ) > S(p ! )

Analog se aratii di S( p ! ) + 1 > S ( p ! ) Desigur k S ( p !_l )

=

�

k S « p !_l ) )

m m k.i ) �

Seq

Se q

m

k

k ) > S(p )

=

k.p

( 3.3. 1 7. ) �i s

k

( p !+ l ) = S e e p ! + 1 )

Din

in

k

) > k .p

( 3.3. 1 8. )

( 3.3. 1 6. ), ( 3.3. 1 7. ) �i ( 3.3. 1 8. ) rezultii demonstratia teoremei.

incheierea acestui paragraf vom prezenta funcWle Smarandache

de al treilea tip, a�a cum au fost ele defInite de 1 B aIacenoiu in

[B/

Sa consideram �iruri1e arbitrare a , a , 1 2

( a) :

1

( b):

1 =b

=

[

•

. . •

, a ,

_

b." . . , b ,

avind proprietiitile 1m

a

k

1m

= a · a , b n

Desigur, exista alegind

n

n

k

' "

... n

= b · b

( 3.3. 1 9. )

0 infmitate de �iruri c u aceste proprietati deoarece

0 valoare arbitrara pentru a

27

termenii urmatori din �irul ( a )

se determina punfud conditia sa fIe satisiacuili relatia de recurenfa.. Fie acum functia f

b: N*

a

unde S

_

an

N* . f b( n ) = S ( b ) a

an

n

este functie Smarandache de primul tip. 94

Se observa �or ca

( i ) dad a

n

=

n

=

( i ) dad a

1 �i b

n

=

n pentru OIice n E

n �i b = 1 , pentru orice n E

n

N*, rezuWi fab = S I N*, rezulta f b

=

5 1.

3.3.22. Definipe. Funcfiile Smararidache de tipul aI treilea

a

f

=

sunt

b defInite prin

functiile S S b

a

a

b

a

in cazul cind �irurile ( a ) $i ( b ) diferii de cele care genereaza func­

We 5 1 �i

51.

3.3.23. Teorema. FuncWle f b au proprietatea ca L -standardizea_

a

za structura

( L5):

( N*, ) pe struc tura ( N* , �, +, 0) prin 0

max ( fab( k), fabe n » � � fab( kon ) � bn fab( k )

Demonstratieo Fie f

b(k)

a

=

f b(kon ) a

ak

k

S (b ) =

S

ak'

n

=

k* , fabe n )

kn

(b

'

)

=

=

S (b )

an n

t*

=

=

b b f e n) ka

n*

k*, n* �i t* sunt cei mai mici i'ntregi pozitivi pentru care b = M ( a k ) , n * ! M( a bn ), t* ! M( a bnk ) M« a oa ) �·bn )

Atunci k* !

)

=

k

=

n

nk

=

k n

�i deci

max(k*, n* ) � t*

( 3.3.20 )

muIt, deoarece ( bkon* ) ! M( ( n* ! ) bk), ( bnok* ) ! = M( (k* ! )bn ) b ( b on * + b ok* ) ! = M( ( b on* ) ! ( b ok* ) ! ) M« n* ! ) x: o( k* ! ) bo ) = k n k n = M« a bn ) bx: o( a �)bn ) M« a oa )�bn ) k n k n Mai

=

=

=

rezuIra d

t* - bn k* + bk <

0

0

n*

( 3.3.2 1 . ) 95

Din ( 3.3.20. )

si ( 3.3.2 1 . )

obtinem n

n

max (k*, n* ) ::5 t* ::5 b ·k* + b ·n* Din aeeasta inegalitate rezulta

( L 5 )'

( 3.3.22. ) deei funetia Smarandaehe de

al treilea tip satisfaee

( L6):

max ( S

\k), S ab( n »

b b ::5 S ( k.n ) ::5 b S b(k) + bkS e n ) n a a 3

a

pentru oriee k, n E N*

Si

Exemplu. Fie sirurile ( a ) n E N*.

Funetia

S 3: N* a

-+

( b ) determinate de a

n

=

b

n

=

n, ell

Smarandaee de al treilea tip eorespunz.atoare este a

N * , S 3( n )

Si ( L ) devine 6

=

n

S (n)

max ( Sk ( k ) , S ( n » ::5 S k ( k·n ) ::5 n S k( k ) + k S ( n ) n ·n n pentru oriee k, n E N*. Aceasta relatie este eehivalenta eu urmatoarea relatie, serisa eu ajutorul

functiei

Smarandaehe

k k n n max ( S ( k ) , S ( n » ::5 S( ( k.n l· ) ::5 n S ( k ) +

96

k S ( nn ) .

Cuprins I ntroducere

5

Capitolul 1 Generalizarea unor teoreme de congruenta 1. 1. Notiuni introductive . . . . . . . . . . . . . . .

.

.

.

.

.

..

.

. .

..

1. 5.

Functii prime

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...

.

.

.

.

.

.

.

.

.

2.4. Legaturi intre functia S c1as i c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . 5.

�i .

.

.

.

.

Capitolul 2 2 . 1. Baze de numeratie generalizate . . . 2 . 2. noua functie i n teoria numere10r 2. 3. Formu1e de calcul pentru S ( n) . . . . .

0

.

.

1. 2. Teoreme de congruenta din teoria numerelor . . . . . 1. 3. Un punct de vedere unificator asupra unor congruenta din teoria numerelor . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. 4. Contributii la 0 conj ectura a lui Carmichael . . . .

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

23

28 32 39

teoreme .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

une1e functii numerice .

.

.

.

Functia S ca functie sumatoare

.

.

.

.

.

.

.

.

7

10 de 14 19

.

.

.

.

. .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

46

54

Capito1u1 3 Generalizari ale functiei S 3. 1. Pre1ungirea functiei S la multimea Q a numerelor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 rationale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Functii numerice inspirate din definitia functiei Smarandache . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 7 5 3. 3 Functii Smarandache de tipul unu , doi, �i trei . . . . . . . . . . . 80

. .

..

97

..

P, 'l 2

2

2

2

I

I

I

2

PI 3

5

Pl � 7 3

2

2 Pl �

3

P I ;<5

3

3

I

I

I

2 2

'I

I gI 3 :< 1ST,s:!

I

2 I

2slsS

I

3

I � n=pI' p' 2-3"

2-511

Fs"
2+3rl(r,+1)

2+5rl(r.+ l )

2 PI

2+2 PI

4 PI

3 PI + 6

36

34

l 2r 33 PI

2rt2-2r,+12

40

30

2�+3

Il3cl F,"
runci

•

312

0=2

36

34

P I=6

fl

s

3

PI = 3

30 = 40

2 5 Lei