Aritmetica: Primer Ano de Matematicas

MARIO

COPPETTI

ARITMÉTICA primer a ñ o

d e

matemáticas

OBRAS DE M A T E M Á T I C A S DEL PROFESOR COPPETTI Textos aprobados por las autoridades universitarias del Uruguay, Argentina, Venezuela, etc. * Para Enseñanza Secundaria: Programas anteriores al año 1963 GEOMETRÍA PLANA, para 1er. año. ALGEBRA ELEMENTAL, para 2° año. GEOMETRÍA RACIONAL, para 2° año. ALGEBRA Y TRIGONOMETRÍA, para 3er. año. GEOMETRÍA DEL ESPACIO, para 3er. año. * Programa del año 1963. ARITMÉTICA, para 1er. año. M A T E M Á T I C A S , 2° año - A l g e b r a . M A T E M Á T I C A S , 3er. año - A l g e b r a . MATEMÁTICAS, 4° año — Algebra. TABLAS DE LOGARITMOS Y TRIGONOMÉTRICAS. Para los Colegios Nacionales y Escuelas Normales de la República Argentina ARITMÉTICA, 1er. año. - GEOMETRÍA, 1er. año. - ARITMÉTICA, 2° año. GEOMETRÍA, 2° año. - ARITMÉTICA Y ALGEBRA, 3er. año. - GEOMETRÍA, 3er. año. - ARITMÉTICA Y ALGEBRA, 4° año. - GEOMETRÍA DEL ESPACIO, 4° año. - TRIGONOMETRÍA, 5° año. * Para Enseñanza Preparatoria y de Facultades: CURSO DE TRIGONOMETRÍA PLANA Y ESFÉRICA. CURSO DE TRIGONOMETRÍA E S F É R I CA (Agotada). MATEMÁTICA para el Primer año de los Cursos Preparatorios (Agotada). * Otras obras: TABLAS SINÓPTICAS DE ARITMÉTICA Y GEOMETRÍA, para ingreso y 1er. año. TABOAS "COPPETTI", Edic. brasileña de la Tabla de Logaritmos.

A R I T M É T I C A PRIMER AÑO DE MATEMÁTICAS CICLO

DE

ENSEÑANZA

DEL 1er.

SECUNDARIA

ESTUDIANTE DOMICILIO

N°

LOCALIDAD

DERECHOS DE AUTOR RESERVADOS

N°

10382

Obra de uso autorizado para el 1er. año de los dos planes de estudio actualmente en vigencia. Resolución del Consejo Nacional de Enseñanza Secundaria del 15-X-1965.

C o m i s i ó n del Papel. - Edición amparada en el Art. 7 9 , en la Ley 13.349. Impresa

en

noviembre

de

1967,

en

la

IMPRENTA MERCUR S. A .

Canelones 1231. - Montevideo,

Uruguay.

-

I n g .

M A R I O

C O P P E T T I

ARITMÉTICA primer año de matemáticas PROGRAMA

D E L AÑO 1963

T E R C E R A

D I S T R I B U I D O R E S A R G E N T I N A : Libr. del C o l e g i o : Bs. A s . B O L I V I A : Gisbert y C í a . : La P a z . C O L O M B I A : Camacho Roldan: Bogotá. E C U A D O R : L i b . Universitaria: Quito. E S P A Ñ A : L i b . Bosch: Barcelona.

E D I C I Ó N

G E N E R A L E S G U A T E M A L A : Librería ' ' P a x " . P A R A G U A Y : L i b . Universal: A s u n c i ó n . P E R Ú : Lib. Internacional: Lima. U R U G U A Y : Barreiro y Ramos S . A . V E N E Z U E L A : Distribuidora Escolar.

P R E F A C I O

La presente edición de Aritmética ajusta las anteriores de nuestro texto "Elementos de Aritmética" al nuevo programa para el 1er. ciclo de Matemáticas de Enseñanza Secundaria (Reforma del año 1963). Se ha mantenido la metodología que ya habíamos empleado durante largos años en la enseñanza de la asignatura, sin perjuicio de seguir además las instrucciones de carácter metodológico y didáctico que acompañan dichos programas. Aunque fundamentalmente se trata del texto que venimos publicando y retocando en sucesivas ediciones desde 4936, hemos introducido en la exposición algunas modificaciones y agregado, como es natural, el desarrollo de los nuevos temas que comprenden el actual programa (parte del Cap. I sobre conjuntos, y el Cap. XII sobre numeración de base distinta de diez). * Tratamos de coordinar los primeros pasos del estudiante en enseñanza secundaria con los conocimientos que ya trae desde la escuela primaria, pues, como se establece en las instrucciones que acompañan los nuevos programas, "el éxito de cualquiera de los cursos depende, en parte, del grado de aprovechamiento logrado por el alumno en los cursos anteriores". Cada nuevo concepto lo hemos precedido, en lo posible, de algún ejemplo concreto de la realidad, bien ilustrado, para luego pasar, por abstracción, a la generalización y enunciado de la regla correspondiente. En la teoría de las operaciones y, en general, en toda la obra hemos adoptado aquellos vocablos de uso moderno que pueden simplificar el lenguaje y que ya son expresamente empleados en el actual programa. * Nos propusimos lograr la máxima claridad, dentro de la lógica, con el fin de conseguir que los alumnos asimilen las verdades matemáticas con el menor esfuerzo posible. Esto último nos indujo a presentar algunos grabados a dos tintas, que hacen más amenas y asequibles las cuestiones de Matemática en los primeros cursos de enseñanza secundaria. * Para las definiciones, propiedades más importantes y reglas operatorias, además de emplear la letra negrita, como ya lo venimos haciendo en todos nuestros textos, hemos impreso su letra en fondo coloreado, con lo que esperamos así llamar aún más la atención del estudiante, para que éste sepa discernir entre lo fundamental y secundario, y retenga con exactitud, primordialmente, lo fundamental. *

En la proposición de problemas hemos tenido muy en cuenta las instrucciones de los nuevos programas, a saber, que: "los problemas no deben ser triviales; no deben ser artificiales; deben ser naturales y relativamente sencillos. Todo problema debe estimular la puesta en marcha dé las facultades creadoras del alumno, las que funcionan debidamente cuando existe, de parte del alumno, un interés especial". Se han actualizado los datos de los problemas de nuestras ediciones anteriores conforme a la realidad en que vivimos. Ampliamos la colección de los problemas propuestos en la edición anterior, presentando algunos de ellos con los resultados respectivos para autocontrol de la preparación del alumno. Mantuvimos la costumbre de reunir los problemas por capítulos, al final de la obra, a fin de impedir que, al colocarlos al término de cada capítulo, lleguen a ser objeto de una aplicación rutinaria por parte del alumno, pudiendo en cambio el Profesor plantear cada uno de ellos en el momento oportuno.

* Hemos tratado de aprovechar la oportunidad que se nos ha presentado al tratar los diversos temas, de presentar algunas curiosidades matemáticas, adivinación de números, juegos aritméticos propuestos en forma de ejercicios, convencidos de la eficacia didáctica de tales cuestiones amenas. Ya Platón (siglo IV a . C . ) emitía la siguiente exhortación: "no usar violencia alguna con los niños en las lecciones que les dictes, más bien trata de que se instruyan jugando".

* Es probable que esta edición abarque algo más de material del estrictamente necesario para cumplir con el programa vigente, pero hemos preferido pecar por exceso, dejando librada al Profesor la tarea de discernir el material conforme las exigencias y preparación del grupo de alumnos a su cargo, y también para que el nuevo texto pueda seguir utilizándose en nuestras Escuelas Normales e Industriales, así como en otras instituciones de enseñanza secundaria de aquellos países de Latino América que, desde hace varios años, ya han adoptado nuestros textos.

* A los gentiles colegas que quieran indicarnos eventuales correcciones o deficiencias, o que quieran trasmitirnos sugerencias tendientes a mejorar esta obra, presentamos desde ya nuestra más profunda gratitud. Montevideo, diciembre de 1964. EL AUTOR. a

PREFACIO A LA 2 EDICIÓN Respondiendo a la invitación que formuláramos en el último párrafo del prefacio que antecede, hemos recibido de distinguidos colegas compatriotas algunas sugestiones y correcciones de erratas, que hemos tenido muy en cuenta al hacer la revisión del texto para esta nueva edición. Nuestro agradecimiento más sincero a cuantos nos han hecho llegar sus consejos e indicaciones, y confiamos que éstas nos seguirán llegando para mejorar las sucesivas ediciones. Mayo de 1966. M. C.

Í N D I C E Y

D E

C A P Í T U L O S

P R O G R A M A

A P R O B A D O

EN

O F I C I A L E L

AÑO

196

3 Pág.

A R I T M É T I C A REVISIÓN (CAPITULO I) Lectura y escritura de números. — Numeración romana. — Sistemas no decimales: medida de tiempo, monedas, etc. — Problemas de revisión. — (6 horas).

1

NUMERO NATURAL (CAPITULO II) Noción de conjunto y de correspondencia biunívoca entre conjuntos. — La sucesión natural. — Número cardinal de un conjunto. — Igualdad de números naturales; propiedades. — Representación gráfica de números naturales. — (4 horas).

47

ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES (CAPITULO III) Propiedades: Clausura, conmutativa, asociativa, cancelación y neutro. — La adición en la recta numérica. — Adición de más de dos sumandos: definición y propiedades. — (3 horas).

62

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES (CAPITULO IV) Definición y propiedades. — Operaciones con números concretos. — La sustracción en la recta numérica. — (5 horas).

80

DESIGUALDAD DE NÚMEROS NATURALES (CAPITULO V) Definición. — Propiedades: transitividad y tricotomía. — Propiedades de monotonía de la adición y de la sustracción. — (2 horas).

96

PROBLEMAS SENCILLOS RESOLUBLES CON LAS DEFINICIONES Y PROPIEDADES DE LA ADICIÓN Y DE LA SUSTRACCIÓN (CAPITULO VI). — (2 horas) 106 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES (CAPITULO VII) . . . 115 Definición. — Propiedades: clausura, conmutativa, asociativa, cancelación, neutro, distribución frente a la adición y a la sustracción, monotonía. — Distribución generalizada. — (4 horas). DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES (CAPITULO VIII) 139 División exacta y división entera. — Definiciones y propiedades. — La división entera en la recta numérica. — (4 horas). PROBLEMAS SENCILLOS RESOLUBLES CON LAS DEFINICIONES Y PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES ESTUDIADAS (CAPITULO IX) — (2 horas) 162 POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES (CAPITULO X) 176 Definición. — Operaciones con potencias. — Definición de radicación. — (4 horas).

ALGORITMO DE LA NUMERACIÓN (CAPITULO XI) 188 Base 10 y base distinta de 10. — Algoritmo. — (3 horas). DIVISIBILIDAD (CAPITULO XII) 194 Múltiplos y submúltiplos. — Operaciones con múltiplos. — Caracteres de divisibilidad. — (3 horas). NÚMEROS PRIMOS (CAPITULO XIII) 207 Definición. — Criba de Eratóstenes. — Propiedades de los números primos. — Determinar si un número es primo. — Descomposición en factores primos. Posibilidad y unicidad. Números primos entre sí. — Definición y propiedades. — Mul­ tiplicación y división de números descompuestos en facto­ res primos. — Máximo común divisor y mínimo común múl­ tiplo; su cálculo. — (9 horas). FRACCIONES (CAPITULO XIV) 227 Definición. — Igualdad, desigualdad y propiedades. — Den­ sidad. — Operaciones con fracciones. — Definiciones y pro­ piedades. — (15 horas). FRACCIONES DECIMALES (CAPITULO XV) 267 Definición. — Igualdad y desigualdad. — Conversión. — Ope­ raciones con fracciones decimales. — (5 horas). MEDIDA DE MAGNITUDES (CAPITULO XVI) 283 Ejemplos de magnitudes. — Producto de un segmento por un número natural y pon una fracción. — Idea de medida. — Sistema métrico decimal. — Cálculo de áreas y vo­ lúmenes. — (10 horas). MATEMÁTICA CURIOSA Suma mágica

350

TABLA DE CUADRADOS Y CUBOS de los números 1 a 200

352

PROBLEMAS PARA RESOLVER CAPITULO I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII XIII XIV XV XVI

309 314 316 319 320 321 324 325 327 328 331 333 335 337 341 343

SIGNOS USUALES EN ARTIMETICA Más Menos Multiplicado por Multiplicado por Dividido por Más o menos Menos o más Igual a Idéntico con No es igual a Aproximadamente iguales Múltiplo de a Menor que Mayor que Menor que o igual a Menor que o igual a Mayor que o igual a Mayor que o igual a Por tanto, por ser Porque Raíz cuadrada Raíz cúbica Raíz cuarta Raíz enésima Suma de Progresión aritmética Progresión geométrica Infinito Pi, 3,1416

Nuevas notaciones

= {a,b,c,...,m}. El conjunto A tiene por elementos a,b,c,. ,m , o { } Conjunto vacío Pertenece a, o es elemen­ to de No pertenece a, o no es elemento de Implica, o corresponde Implica recíprocamente, o sí y sólo si Incluido en, o subconjun¬ to de Contiene a, o superconjun¬ to de Unión Intersección Coordinable con Equivalente a Letras griegas más usadas

Alpha (Se pronuncia: alfa) Beta Gamma Delta Epsilon Lambda Mu Pi Rho Phi

(Se pronuncia: fi)

Psi Omega

NOTA.— El conjunto de signos titulado Nuevas notaciones que publicamos ahora por primera v e z en este cuadro, ocupa el lugar tipográfico de los referentes a Geometría que veníamos publicando en ediciones anteriores de Aritmética; estos últimos signos se publicarán en las próximas ediciones de Geometría.

CAPÍTULO I

" L o elemental siempre es f u n d a m e n t a l " . MIGUEL DE U N A M U N O

REVISIÓN Lectura y escritura de números 1. Sistemas de numeración. — Desde los primeros años de la escuela primaria el estudiante ya sabe que es posible, mediante pocos vocablos y pocos signos convenientemente relacionados, expresar cualquier número. Nos limitaremos, pues, a una rápida revisión del tema. Para representar los números, ya sea oralmente o por escrito, desde épocas muy remotas se adoptaron ciertos vocablos y símbolos, que se utilizan en todos los países cultos. Es natural que dichas palabras son distintas en los diversos idiomas. En castellano se indican a continuación: 0 cero

1

2

3

uno

dos

tres

4 cuatro

5

6

cinco

seis

7

8

siete ocho

9 nueve

que se llaman cifras arábigas (llamadas así, porque se atri¬

buye su origen a los árabes). Se les llama también números dígitos, porque los conjuntos que representan, pueden contarse con los dedos de ambas manos. Es incierto el origen de la escritura de las referidas cifras arábigas que, según algunos autores, derivan su forma de un cuadrado con sus dos diagonales, como se indica en la 1. — A R I T M É T I C A

1er.

AÑO

—

Coppetti

2

figura. El tiempo, que todo lo simplifica, ha hecho desaparecer los ángulos de dichas formas. También son de conocimiento del estudiante las reglas y convenios empleados para leer y para escribir los números. Llamamos SISTEMA DE NUMERACIÓN al conjunto de reglas que permiten nombrar y escribir cualquier número, utilizando un grupo reducido de palabras y de signos. Es evidente la necesidad de emplear un sistema de numeración conveniente, pues si para leer o escribir cada número se tuviera que usar una palabra o un signo completamente especial, sería imposible retener en la memoria tantas palabras y signos como números se emplean en las tareas diarias. Sistemas muy conocidos, y bien diversos entre sí, son el romano y el decimal. El primero emplea pocos signos para su escritura, siendo éstos las letras: I, V, X, L, C, D, M, sistema que trataremos en especial más adelante (N.° 11). El segundo sistema lo trataremos en párrafos siguientes y en él se emplean las cifras arábigas. Otros sistemas de numeración se tratarán también en el Cap. XI . Se llama numeral, al signo que representa un número. Así, por ej., el numeral 5, es el símbolo que representa el número cinco en el sistema decimal. En el sistema romano el mismo numeral es el símbolo V. 2. Numeración decimal (*). — El sistema que usamos desde el comienzo de nuestra enseñanza se llama sistema decimal, y fue ideado por los hindúes hace muchos siglos. Para contar los objetos de un conjunto, objetos que llamamos unidades simples, a todos se nos ocurre hacer con ellos grupos iguales. Por ser diez el número de dedos de nuestras manos, parece natural formar grupos de diez objetos. Propongámonos, por ej., contar el dinero recaudado en una de las colectas que realiza nuestra "Liga Uruguaya Contra la Tuberculosis". Las monedas de un peso las agrupamos en montones de 10 monedas. Cada montón se llama decena, o unidad de segundo orden. (*) Nuestro sistema de numeración se llama decimal porque usa grupos de diez a diez. La palabra decimal viene del vocablo decem, que significa diez.

3

Las monedas sueltas sobrantes son unidades simples o de primer orden. Cada diez montones o decenas se agrupan poniéndolas en una caja. Cada caja se llama centena, o unidad de tercer orden. Un grupo de diez cajas o centenas se llama millar, o unidad de cuarto orden.

Supongamos que hemos recogido 3 billetes de mil, 2 cajas o centenas, 6 montones o decenas y 7 monedas sueltas o unidades simples, como se indica en la figura. Tenemos: 3 2 6 7 pesos 3. Cifra cero. — Una de las ventajas de nuestro sistema decimal es la de poseer un signo para el cero, el que se usa para llenar posiciones que, al quedar vacías, se prestarían a confusión. El origen del cero es incierto, pero se sabe que los hindúes usaban un signo para el cero, alrededor del año 600 d. de J. C, y se cree que lo usaban desde mucho antes. Si al contar las monedas como procedimos en el ejemplo del párrafo anterior, hubieran resultado vacías las dos cajas, se habrían recogido entonces 3 billetes de mil, 6 montones y 7 monedas sueltas. Tendríamos entonces 3 0 6 7 pesos poniendo la cifra cero en el lugar de las centenas que faltan. Por esta razón al cero se le llama cifra no significativa, mientras que a las otras nueve cifras se les llama cifras significativas. 4. Valor de una cifra en la numeración decimal. — Del ejemplo del párrafo anterior, deducimos que en la escritura de los números del sistema decimal, una cifra significativa tiene un valor que depende del signo con que se representa

4

y otro, del lugar que ocupa respecto de las otras cifras. E J E M P L O . — Si escribimos que una población tiene 8628 habitantes, el primero y el último lugar están ocupados por la misma cifra 8 ; pero el 8 que ocupa el lugar de la izquierda, indica 8 millares de per­ sonas, y el que está a la derecha, 8 personas.

Cada cifra significativa tiene, pues, dos valores: el valor absoluto, que es el que se le asigna por convención a la forma de la cifra y el valor relativo, que depende del lugar que la cifra ocupa en el número escrito. E J E M P L O . — L a cifra 6 del número 8628 tiene el valor absoluto de 6 unidades simples; el valor relativo de la misma es de 6 centenas, o sea de 600 unidades simples.

5. Nuestro sistema de numeración es el decimal, lla­ mado así porque se funda en el siguiente PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA NUMERACIÓN.— Cada cifra colocada inmediatamente a la izquierda de otra, representa unidades diez veces mayores que la que le sigue a la derecha.

2

centenas de millares

millones

centenas de millones

simples

5.° 4.°

3.° 2.°

1.°

unidades simples

millares

millones

decenas de millones

millares de millones

decenas

billones

centenas de millares de millones

centenas de billones

centenas

LAS

a

1

a

decenas de unidades simples

a

centenas de unidades simples

3.

decenas de millares

a

millares de millones

billones

decenas de billones

DE

UNIDADES

4

a

18.­17.° 16.­ 15.° 14.° 13.° 12.° 11.° 10.° 9.° 8.° 7.° 6.°

millares de billones

NOMBRE

de millares

ORDEN

decenas de millares de billones

UNIDADES

6. millares de billones

millares

5.

a

CLASE DE

de millares de millones

de billones

6. Nomenclatura. — Es probable que el empleo del sis­ tema de numeración decimal por casi todos los pueblos, se deba a que, al principio, los hombres contaron con los de dos; la división de cada dedo en tres falanges, es probable también que haya dado la idea de división en los tres órdenes (unidades, decenas y centenas), que componen cada clase. En el cuadro siguiente resumimos la sucesión de las unidades de los diversos órdenes y clases que forman el sistema decimal:

5

NOTA. — Un millón de millones se llama billón; un millón de billones se llama trillón; un millón de trillones, cuatrillón, y así sucesivamente. No confundir con el billón francés (o millard), que vale mil millones. 7. El número diez que, de acuerdo con el principio fun­ damental de la numeración (N.° 5), llamado también principio del valor relativo, indica que cada diez unidades de un orden forman una unidad del orden inmediatamente superior, se llama base del sistema de numeración decimal. Así, por ej., para entender el significado del número re­ presentado por el numeral 247, sumamos los números que re­ presentan cada uno de los símbolos. Tendremos, pues, que 247 significa 2× 100 + 4× 10 + 7× 1, o sea 200 + 40 + 7. Por consiguiente, 200 + 40 + 7 y 247 representan el mismo número. Cuando escribimos un numeral como 247 usamos sím­ bolos numéricos, el principio del valor relativo, y la base diez. NOTA. — Como cualquier número podría ser elegido por base de un sistema, se podrían formar, en consecuencia, otros sistemas de numeración análogos al decimal. En el Cap. X I volveremos sobre este tema al tratar la "Nu­ meración de base distinta de 10". 8. Modo de leer un número. — 1 . ° Si el número tiene a lo sumo 3 cifras, no estimamos necesario enunciar regla alguna, porque entendemos que todo estudiante sabrá leer muy bien dicho número, con los conocimientos adquiridos en la escuela. EJEMPLOS. — El número 16 se lee: dieciséis. El número 58 se lee: cincuenta y ocho. El número 23 se lee: veintitrés. ( L o s números compuestos de dos decenas, se leen mediante una sola palabra, a fin de evitar la repetición del diptongo ei).

2.° Si el número tiene a lo sumo 6 cifras, se separan las tres de la derecha y se lee el primer grupo de la izquierda, agregando la palabra mil, y luego se lee el grupo de la derecha. EJEMPLO. — El número 38 508 se lee: treinta y ocho mil quinientos ocho. El número 965 216 se lee: novecientos sesenta y cinco mil dos cientos dieciséis.

3.° Si el número tiene más de 6 cifras, se agrupan de 6 en 6 a partir de la derecha, y se enuncian sucesivamente los trillones, billones, millones y unidades, aplicando a cada gru­ po de seis cifras, la regla anterior.

6 EJEMPLO. — El número 8 570 243 se lee: ocho millones, quinientos setenta mil doscientos cuarenta y tres. El número 2 072 507 910 se lee: dos mil setenta y dos millones, quinientos siete mil novecientos diez. El número 1 216 307 000 500 se lee: un billón, doscientos dieciséis mil tres­ cientos siete millones, quinientos.

NÚMEROS ORDINALES. — Estimamos conveniente recordar los adjetivos ordinales; ellos son: Primero, segundo, tercero, cuarto, quinto, sexto, séptimo, octavo, noveno (o nono). Décimo, undécimo, duodécimo, decimotercero, décimocuar to, . . . decimonono. Vigésimo, vigésimoprimero, vigésimosegundo, vigésimoter cero, . . . Cuadragésimo, cuadragésimo primero, . . . Quincuagésimo, . . . Como estos adjetivos resultan algo complicados para números gran des, en estos casos se prefiere usar el número natural, excepto para loa adjetivos sencillos, como centesimo, milésimo, etc. Así, por ejemplo, se dirá: " N N es el número 54 de la l i s t a " , en vez de " N N es el quincuagésimocuarto de la l i s t a " .

9. Modo de escribir un número. — En virtud del princi­ pio fundamental de la numeración escrita (N.° 5), deducimos la siguiente REGLA. — Para expresar con cifras un número enuncia­ do o escrito con letras, se procede de izquierda a derecha, escribiendo primeramente la cifra que representa las uni­ dades del orden más elevado; luego, sucesivamente, las ci­ fras de los órdenes inmediatamente inferiores, y recordando emplear la cifra cero para los órdenes que faltan. EJEMPLOS. — 1.° El número trescientos diecisiete, que contiene 3 centenas, 1 decena y 7 unidades simples, se escribe: 317. 2.° El número cuarenta mil quinientos treinta, que contiene 4 decenas de mil, 5 centenas y 3 decenas, faltando las unidades de mil y las simples, se escribe: 40 5 3 0 . 3.° El número setenta mil doscientos tres billones, seiscientos mil cinco, te escribe: 70 203 000 000 600 0 0 5 .

10. Concepto de número decimal. — El estudiante ya sabe desde los cursos primarios, cómo se mide una distancia; sabe que para ello se emplea por unidad fundamental el metro (m.); que un metro equivale a 10 decímetros (dm.); un de­ címetro equivale a 10 centímetros (cm.), etc.; es decir, que las medidas de longitud varían de 10 en 10, exactamente como varían las unidades empleadas en la numeración decimal.

7

Parece natural, pues, extender a los números que expre¬ san aquellas medidas, el principio del valor relativo (N.° 5 ) , que establece que cada cifra de un número representa uni­ dades 10 veces mayores que la que le sigue a la derecha. Así, por ejemplo, si la medida de cierta longitud es de 25 metros, 9 decímetros, 4 milímetros, escribiremos: 25,904 m., tomando por unidad el metro y separando por una coma la unidad fundamental de las unidades menores (que se llaman fraccionarias), y poniendo un cero en el lugar de las unidades que faltan (N.° 3). Estos números se llaman números decimales. Cuando sólo existe parte fraccionaria (la escrita a la derecha de la coma decimal), se reemplazan las unidades enteras que faltan por la cifra cero. EJEMPLOS. — 1 . ° Tomando por unidad el kilogramo, si el peso de un cuerpo es de 23 gramos ( g . ) , y 9 centigramos ( c g . ) , escribiremos el siguiente número decimal: 0,02309 K g . (cuyas unidades sucesivas son: Kg., Hg., Dg., g., dg., c g . ) . 2.° Tomando como unidad de moneda el peso 85 centésimos se escribe así: $ 0,85.

( $ ) , la cantidad

de

N O T A . — Detenemos aquí esta breve noción de "Número decimal", dada únicamente como extensión del concepto de numeración decimal y también para que el estudiante repase el tema y pueda hacer aplicaciones en los problemas de revi­ sión que se tratarán al final de este Capítulo. Más adelante volveremos a tratar los números decimales (Cap. X V ) .

Numeración romana 11. Signos de la numeración romana. — La numeración escrita de los romanos aun se emplea en algunos casos, como ser en la inscripción de fechas en los monumentos, para indi­ car las horas en los cuadrantes de los relojes, para numerar los capítulos de un libro, el orden de sucesión de los Papas y Reyes, etc. Resulta útil pues su conocimiento. (*). Los signos representativos de las cifras romanas son letras mayúsculas, de valores respectivos: I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000 Los signos I , X , C, M se llaman fundamentales, y los otros, secundarios. (*) Si bien en la numeración romana se emplearán las operaciones de sumar y da restar que se tratarán en próximos capítulos, como éstas son ya de conocimiento del estudiante desde la escuela primaria no existirá, pues, inconveniente en que se apliquen ahora en dicho sistema de numeración.

8

12. Escritura y lectura. — Para la escritura en la numera­ ción romana se establecieron las siguientes convenciones: 1. Toda cifra escrita a la derecha de otra mayor o igual, se sama con ésta. a

EJEMPLOS. —

a

2.

Toda

II

significa

uno

y uno

VI

"

cinco y uno

XII

"

diez y uno y uno

CLV

"

cien y cincuenta y cinco

cifra

c o l o c a d a a la i z q u i e r d a

o sea,

2

"

6

,

de

" "

" " 12

"

''

155

otra mayor,

se

resta a ésta. EJEMPLOS.

I V significa c i n c o menos uno, XC

"

CM

o sea

cien m e n o s diez,

"

mil

menos

cien,

4

"

"

90

"

"

900

a

3 . Todo número con una rayita horizontal en la parte superior, significa unidades de millar de ese número; con dos rayitas, unidades de millón; con tres rayitas, unidades de mi­ llar de millón, etc. EJEMPLOS.

X I I significa 12 m i l ; XL significa 40 millones.

A fin de que un mismo número no pueda representarse por dos símbolos diferentes, se ha convenido, también, que: a

4 . La I sólo se antepone a la V y a la X ; la X sólo se antepone a la L y a la C ; la C, a la D y a la M. 4. Los símbolos secundarios no se anteponen ni se repiten. a

a

6. Los símbolos fundamentales sólo pueden repetirse tres veces, a lo sumo. 13. Ejemplos. — De acuerdo con las convenciones ante­ riormente establecidas, los veintisiete primeros números son: 1 , II , III , IV , V , VI , VII , VIII , IX , X , XI, XII, XIII, XIV, XV, XVI, XVII, XVIII, XIX, X X , XXI, XXII, XXIII, XXIV, XXV, XXVI, XXVII, . . . Los numerales siguientes significan: XL, L, LX, LXX, LXXX, X C , C. 40

CC, 200

50

60

70

CCC, CD, D , DC, 300

400

500

600

80

90

DCC, DCCC, 700

800

100

CM,

M.

900

1000

9

Las unidades de millar se escriben así: MM ,

MM ,

2000

3000

IV,

V,

4000

VI,

5000

etc.,

6000

X, 10 0 0 0

XX 20 000

Análogamente, tenemos: I ,

II

,

V ,

X ;

1 , 2, ... 5, 1 0 millones; OTROS EJEMPLOS. — L o s n ú m e r o s I I I , X V , X X V I , C L X I I , M D C C X V se leen 3 15 26 162 1715 los n ú m e r o s se leen

IV, 4

XL, 40

El n ú m e r o 19 262 473 se escribe,

XCII, 92

CDXIX, 419

MCMLXIV 1964

XIXCCLXIICDLXXIII

L a costumbre de contar con los dedos sugiere los sím­ bolos I, V , X , representativos del uno, cinco y diez res­ pectivamente.

Sistemas no decimales 14. El Sistema Métrico Decimal (S. M. D.), que tratare­ mos en detalle más adelante (Cap. XVI) presenta la gran ventaja de haber sido adoptado por la casi totalidad de los países, y con ello se facilitan los intercambios entre los mismos. Pero, además de esta ventaja, nuestro sistema de medidas tiene, también, la de tener por base el número 10 (igual a la base de nuestro sistema de numeración), con lo cual se facilitan enormemente los cálculos. Sin embargo, no todos los sistemas de medidas que usamos son decimales. Entre ellos, los más importantes son los de me­ dida de tiempo (sistema cronométrico), y los de medida de, ángulos y de arcos que trataremos a continuación.

10

Medida de tiempo 15. El año y el día. — El tiempo, o duración de los actos que realizamos o de los fenómenos que ocurren alrededor nuestro, se miden mediante un conjunto de unidades que forman el llamado SISTEMA CRONOMÉTRICO (el vocablo cronómetro viene del griego, y significa medida de tiempo). Las unidades de tiempo, desde épocas muy remotas, han sido establecidas de modo que tengan carácter de fijeza y universalidad, estando relacionadas con los fenómenos de días y noches, y de sucesión de estaciones. Sabido es que la Tierra tiene dos movimientos principales. Uno de traslación en el espacio, por el que va dando

U N AÑO A S T R O N Ó M I C O

UN

DÍA

vueltas alrededor del Sol, y al mismo tiempo otro de rotación sobre sí misma alrededor de un eje imaginario que pasa por los Polos. Como consecuencia de estos dos movimientos tenemos respectivamente las definiciones siguientes: AÑO SOLAR es el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta alrededor del Sol. DÍA SOLAR es el tiempo que media entre dos pasos consecutivos del Sol por el meridiano superior del lugar. No siendo iguales la duración de los días solares, se ha adoptado como día solar medio, el promedio de todos los días del año. Se imagina así un Sol ficticio, el que se utiliza para medir el tiempo. El cociente de dividir la duración del año solar por la del día medio no es exacto, pues vale 365,2422...; es decir que en un año solar hay 365 días y ¼aproximadamente. Pero este número se ha redondeado a 365 días (año común), o a 366 (año bisiesto), que es el número de días que componen el año, al que se llama año civil.

11

DÍA SOLAR MEDIO es la unidad fundamental de la me¬ dida de tiempo. Abreviamos el lenguaje diciendo, simplemente: DÍA. Los múltiplos y submúltiplos del día son: siglo = 100 años década = 10 años lustro = 5 años año común = 365 días = 12 meses Múltiplos año comercial. = 360 días = 12 meses mes común = 31, o 30, o 28 días mes comercial = 30 días = 1/12 del año semana = 7 días Unidad

DÍA

Submúltiplos

hora minuto segundo

= 1/24 de día = 1/60 de hora = 1/60 de minuto

Una duración de tiempo, por ej., de 6 años, 27 días, 8 horas, 10 minutos y 17 segundos, se indicará escribiendo: 6 27 8 10 17 . a

d

h

m

s

16. Calendario gregoriano. — Calendario es el conjunto de reglas adoptadas por cada pueblo para contar el tiempo. Estas reglas deben procurar que el año civil difiera lo menos posible del año solar. El calendario gregoriano es el que rige casi umversalmente. Debe su nombre al Pontífice Gregorio XIII, que lo estableció en 1582, y se rige por la siguiente fórmula: Todo año tendrá 365 días, excepto cuando el número formado por sus dos últimas cifras sea divisible por 4, en cuyo caso tendrá 366 días y se llamará AÑO BISIESTO. Los años que terminan en dos ceros no se considerarán bisiestos (por ej., 1700, 1800, 1900), a menos que el número de siglos sea divisible por 4 (como lo fue el año 1600 y será el 2000). Esta reforma gregoriana estableció que el año tiene 12 meses, de 30 y 31 días, excepto febrero, que tiene 28 (o 29 si el año es bisiesto). Creemos supérfluo dar más detalles sobre nuestro calendario, por ser bien conocido desde la escuela primaria. JUSTIFICACIÓN DE LA REFORMA GREGORIANA. — T o m a n d o todos los años d e 365 días en lugar d e 366,2422 m e n c i o n a d o s en el ( N . ° 1 5 ) , ten e m o s una diferencia anual de 0,2422 días que, e n 4 a ñ o s totalizan 0,2422× 4 = 0,9688 ( c a s i 1 d í a ) ; p o r eso es que en el calendario

12 juliano (anterior al g r e g o r i a n o ) , p a r a c o m p e n s a r esa diferencia en menos se a g r e g ó un d í a cada 4 años, f o r m a n d o así el a ñ o b i s i e s t o . P a r a esa diferencia de 1,000 — 0,9688 = 0,0312 de día cada 4 años, en 400 años serán 0,0312× 100 = 3,12 d í a s ; es d e c i r que en los años 1600, 1700, 1800, 1900, 2000, . . . que serían bisiestos, h a y que suprimir tres de ellos c a d a 4, es d e c i r que fue bisiesto el 1600 y será el 2000, p e r o n o han s i d o 1700, 1800 y 1900. Esta es la reforma g r e g o r i a n a del calendario j u l i a n o que había sido i m p l a n t a d o p o r Julio César en el año 46 a. de J. C , NOTA. — E l n ú m e r o 365,2422 antes citado es a p r o x i m a d o , y puede reemplazarse por el v a l o r d e la e x p r e s i ó n : 365 + 1/4 — 3/400 — 1/2000 que sólo difiere de aquel n ú m e r o a partir de la cuarta cifra decimal. Esta e x p r e s i ó n justifica el agregado d e u n d í a c a d a 4 años en los bisiestos, y la supresión de 3 d e ellos cada cuatro en la sucesión de los años a n t e r i o r m e n t e referidos.

Medida de ángulos y arcos 17. Sistema sexagesimal. — Las ligeras nociones de geometría que implica la lectura de este párrafo y siguientes, pueden suponerse conocidas desde la escuela primaria; de lo contrario, véanse antes en el texto de Geometría, 1er. año. El ángulo recto podría tomarse como unidad para medir los ángulos; pero por ser demasiado grande para los ángulos usuales, se tomó una unidad mucho menor, resultante de dividir el ángulo recto en 90 partes iguales. Esta unidad se llama grado sexagesimal. Un ángulo de un grado se escribe: 1 . La 60 parte del grado se llama minuto; un ángulo de un minuto se escribe: 1'. La 60 parte del minuto se llama segundo; un ángulo de un segundo se escribe: 1". Los submúltiplos del segundo son los décimos, centésimas... de segundo; se escriben como fracción decimal del segundo. Así, por ej., un ángulo de 23 grados, 48 minutos, 15 segundos y 4 décimos de segundo, se escribe: 23°48'15",4. o

a

a

18. Como veremos más adelante (N.° 25 y siguientes), a estos números expresados en otro sistema distinto del decimal, se les llama números complejos; veremos entonces cómo se efectúan operaciones con los mismos. 19. Sistema centesimal. — En algunos aparatos de medida de ángulos, el ángulo recto suele estar dividido en 100

13

partes iguales, llamando a esa unidad grado centesimal. Un ángulo de un grado centesimal se escribe 1 . Los submúlti­ plos de esta unidad son: el minuto centesimal, que es la 100. parte del grado, y el segundo centesimal, que es la 100. parto del minuto. Así, por ej., un ángulo de 43 grados, 72 minutos, 43 se­ gundos y 5 décimos centesimales, se escribe: G

a

a

CC

43° 72° 43 ,5

o bien

G

43 , 72435

N O T A — En lugar de la notación con la G mayúscula superior para indicar los grados centesimales, se usa también la g minúscula.

20. Semicírculo graduado. — Si en los tres bordes del transportador de ángulos cuyo empleo se conoce de Geometría, marcáramos las divisiones correspondientes a los ángulos de , 2 , 3 . . . hasta 180°, tendríamos así un instrumento que nos permitiría obtener directamente un ángulo de un número cualquiera de grados. Pero en la práctica, los transportadores de ángulos tienen generalmente la forma circular o semicircular, que indica la figura; de esta manera, las divisiones de grado en grado re­ sultan equidistantes en el borde curvilíneo del transportador. Este instrumento se llama semicírculo graduado, o transpor­ tador de ángulos. 1o

o

o

Para su empleo, supongamos que se trata de medir el ángu­ lo AOB, indicado en la figura. No hay mas que llevar el transportador a la posición que se indica en la figura; es decir, hacemos coincidir el centro del semicírculo graduado con el vértice O del ángulo, y el radio OA' del semicírculo con el lado O A del ángulo. Leyendo la división B' por donde pasa el otro lado OB del ángulo, tendremos la medida del án­ gulo AOB. (En la figura el ángulo mide 54°).

14

21. Medida de arcos. — Consideremos un ángulo recto AOB y las distintas semirrectas de origen O que dividen el ángulo en 90 partes iguales; conforme el (N.° 17) cada uno de esos 90 angulitos tiene por medida 1 (para mayor claridad del dibujo en la figura que sigue sólo hemos trazado las divisorias cada 10°). Consideremos ahora el arco de circunferencia AB que tiene su centro en el vértice O del ángulo; este arco también resultará dividido en 90 partes iguales por cada una de las semirrectas referidas; a cada uno de estos arquitos se les llama un grado. El arco de un grado se considera dividido en 60 partes iguales, llamados minutos, y cada minuto en 60 segundos. De un ángulo cualquiera AOM, el arco AM que tiene sus extremos sobre los lados O A y OM del ángulo, se llama arco correspondiente. Como un ángulo cualquiera AOM y su arco AM resultan así divididos en el mismo número de partes iguales, tenemos: o

La MEDIDA de un arco de circunferencia es la misma que el ángulo correspondiente.

Equivalencia de medidas del sistema métrico con otras medidas usuales 22. Medidas inglesas. — El S. M. D. no ha sido adoptado aún por todos los países. Entre éstos tiene gran importancia para nosotros Inglaterra, debido a su intenso intercambio comercial con nuestro país. Al final del libro presentamos una Tabla de medidas inglesas y equivalencias en el S. M. D. EJEMPLOS. — Entre las medidas de longitud, obsérvese: 1 yarda = 3 pies; 1 pie = 12 pulgadas; 1 pulgada = 12 líneas. Una longitud, por ej., de 2 yardas, 6 pies y 8 pulgadas, se indicará escribiendo: 2 Yd., 6 Ft., 8 In. Obsérvese también que 1 libra esterlina (£) = 20 chelines (sh.), 1 chelín — 12 peniques ( d ) . Un valor, por ej., de 50 libras esterlinas, 17 chelines y 8 peniques, se indicará escribiendo: £ 50 : 17 : 8 .

15

23. Medidas anglo-americanas. — Dadas las relaciones comerciales que existen entre nuestro país y los Estados Unidos de América, estimamos conveniente ique el 'estudiante conozca estas medidas. MEDIDAS DE L O N G I T U D 1 1 1 1 1 1

milla furlong pole yarda pie pulgada

= 8 furlong = 40 poles = 5,5 yardas = 3 pies = 12 pulgadas = 12 líneas

= = = =

1609,35 201,1644 5,029 0,9144 = 0,3046 = 0,0254

MEDIDAS DE SUPERFICIE 2

1 m¡lla 1 acre 1 rod 1 yarda 1 pie 2

2

2

= = = = =

640 acres 160 rods. = 3 0 ¼ yardas 9 pies 144 pulg. 2

m. m. m. m. m. m.

MEDIDAS DE V O L U M E N

4046,8m

2

2

1 cord = 1 yard. = 1 pie = 3

3

3

128 pies 27 pies 1728 pulg. 3

3

2

2

MEDIDAS DE C A P A C I D A D 1 1 1 1

Para galón cuarto pinta gilí

líquidos = 4 cuartos = 2 pintas = 4 gills = 0,11828 litro

Para áridos 1 bushel = 4 pecks 1 peck = 8 cuartos 1 cuarto = 2 pintas 1 pinta = 0,5506 litro

M E D I D A S DE PESO Para toda clase dle artículos menos oro y plata 1 ton.

=

1 qq. 1 libra 1 onza

= = =

Para oro, plata y piedras preciosas

20 qq (hundredweigh) 100 libras 16 onzas = 453,6 g. 16 dracmas Para

medicina

1 libra = 1 2 onzas = 373,24 g. 1 onza = 8 dracmas

1 libra Troy

= 12 onzas = = 373,24195 g. 1 onza Troy = 20 pennyweights 1 pennyweight = 2 4 granos y

farmacia

1 dracma = 3 escrúpulos 1 escrúpulo = 20 granos

24. Medidas antiguas. — Desde el 1.° de enero de 1867, el sistema métrico decimal reemplazó con carácter obligatorio en la totalidad de nuestro país, al sistema de pesas y medidas que se usó hasta entonces. No obstante, para la interpretación de documentos de aquella época, etc., es conveniente conocer las equivalencias entre las medidas antiguas y las del S. M. D. Al final de este libro, el estudiante encontrará, junto con la Tabla de medidas inglesas, una Tabla de medidas antiguas de nuestro país y equivalencias con las del S. M. D.

16

Números complejos 25. Sé ha extendido la costumbre, aunque impropiamente, de llamar números complejos a las medidas de magnitudes expresadas en sistemas no decimales. Lo son, por ejemplo: 25 16' 53", 4 ; 9 15 20 ; 2 Yd. 6 Ft. 8 In. Se llaman números incomplejos aquellos en los que figura una sola clase de unidades; por ej., 95 grados, 245 horas, 15 pulgadas, etc. Los números complejos se presentan en infinidad de cuestiones de la vida práctica, como ser en la resolución de problemas referentes a medida de tiempo, medida de ángulos y arcos, medidas inglesas, anglo-americanas y antiguas, etc., por lo cual es necesario saber operar con ellas. Eepasaremos, pues, las operaciones que corrientemente se pueden presentar en su empleo. (*) Trataremos algunos ejemplos de reducción de números complejos a incomplejos, y viceversa. f

d

h

m

26. Reducción a unidades inferiores. — EJEMPLO: Reducir a minutos el intervalo de tiempo: 3 15 . El detalle de la transformación, fácil de comprender, es el siguiente: 3 15 = (60× 3 + 15) = (180 + 15) = 195 h

h

m

m

m

m

Como ejercicio, transfórmese 16°22'15" en número incomplejo; se encontrará: 58935". Análogamente: 2 Yd. 5 Ft. 8 In. — 110 In 27. Descomposición en unidades superiores. — Reducir a complejo el siguiente arco 55 693" | expresado en segundos: 55 603". 1 69 | La operación se detalla al lado. El resultado es el siguiente 493 55 693" = 15° 28'13" 13" Análogamente, compruebe el alumno que: 2365 = 3 8 13 . h

m

d

EJEMPLO: 60 928' 60 328 | 15 28'

h

28. Suma o diferencia de números complejos. — EJEMPLO. — Efectuar la suma 27° 12' 43" + 13° 25' 36". (*) En nuestra obra TABLAS SINÓPTICAS DE ARITMÉTICA Y GEOMETRÍA, publicada para el Primer año de E. Secundaria (año 1942), se encuentra en una sola página (Tabla VII) un resumen de las distintas reglas operatorias y ejemplos de empleo de los números complejos, tabla que estimamos facilitará la resolución de problemas.

17

Dispondríamos en columna los sumandos de manera que se correspondan las mismas unidades. Véase la primera de las dos disposiciones que siguen:

Suma

27° 12 ' 4 3 " 13° 2 5 ' 3 6 "

27° 1 2 ' 4 3 " 13° 2 5 ' 3 6 "

40° 3 7 ' 7 9 "

40*38'19"

Pero los 79" contienen 1' y 19"; por tanto, escribimos solamente estos 19" y agregamos 1' a la suma de los minutos. En la práctica, estas incorporaciones se efectúan mental mente, y se dispone la operación como indicamos en el secundo de los esquemas. — Efectuar la sustracción: 79° 46' 32" — 38* 49' 15" 79° 46' 32" = 78°106' 32" Como de 46' no podemos res— 3 8 °49' 15" tar 49', restamos 1 = 60' a los 79° del minuendo, los que agregamos a los 46' obtenien40° 57' 17" do entonces 106'. El minuendo podrá, pues, escribirse así: 78° 106' 32", pudiéndose ahora restar todas las partes del sustraendo a las respectivas del minuendo. La operación se detalla en el esquema de al lado. EJEMPLO II.

o

29. Multiplicación de un complejo por un entero. (*) EJEMPLO. — Hallar el triple de 8 6' 53". Multiplicando por 3 cada una de las partes del ángulo, tendremos: o

( 8 °6' 53")×

3 = 24° 18' 159".

Como ya lo hicimos en la suma (N.° 28), puesto que 159" es mayor que 60", reduciremos esta parte a minutos y segundos (N.° 26), y tendremos 159" = 2' 39". Se agregan los 2' a 18', y tendremos en definitiva el ángulo 24° 20' 39". Como ejercicio demuestre el estudiante que h

m

(9 46 57")×

h

m

s

2 = 19 33 54

(*) En lugar del vocablo entero que acabamos de emplear, debiéramos decir número natural. Pero como estos últimos números recién se definirán en el próximo Capítulo II, preferimos conservar por lo menos en este capítulo de "Repaso" la terminología que ya le es habitual al estudiante desde las escuela. La denominación de número entero abarca un campo mas amplio: el de números relativos, que recién se estudiarán en el segundo curso y que comprenden también los números naturales. 2.—ARITMÉTICA

1er. AÑO —

Coppetti

18

30. División de un complejo por un entero. — EJEMPLOS: 1.°Dividir 20 40 15' por 5. Como cada parte es 8° 22' 14" | 3 2° = 120' 2° 47' 24" divisible por el divisor, será 142' posible la división de cada 22' una de ellas, y tendremos: (20 40 15"): 5 = 4 8 3 1' = " 74" 2.° Dividir 8 22' 14'' por 14" 3. — No siendo todas las 2" partes divisibles por el divisor, tendremos que transformar los restos que se obtengan en partes del orden inferior que se sumarán a las que ya existen. El cálculo puede disponerse, para mayor claridad, como indicamos en el esquema de al lado. El cociente entero es, pues, 2°47' 24" y el resto 2". h

h

m

m

h

m

s

o

31. Multiplicación o división de un complejo por una fracción ordinaria. EJEMPLO DE MULTIPLICACIÓN. — Hallar los ¾de 8 6' 53". a) Expresaremos el resultado en forma de número compiejo. Para ello multiplicamos por 3 y luego dividimos por 4: (8°6'53")× 3/4 = [(8° 6' 53")× 3]:4 = (24° 20' 39"):4 = 6 5' 9",75 b) Expresaremos el resultado en fracción ordinaria y en número decimal de grado. Para ello transformamos primeramente el número complejo en fracción ordinaria de grado, recordando que 1' = (1/60)° y 1" = (1/3600)°; obtendremos: o

o

o

8 6' 53" = (8 + 6/60 +53/3600)°= (29213/3600)° Los ¾de 8 6' 53", expresados en fracción ordinaria de grado, serán, pues: (8 6' 53")× 3/4 = (29213/3600 × ¾)° = (29213/4800)° Deseando expresar este resultado en número decimal de grado, dividimos el numerador por el denominador, obteniendo como resultado: grados 6,08604166... DIVISIÓN. — El caso de la división por una fracción ordinaria, se reduce al anterior, puesto que equivale a la multiplicación del complejo dado por la fracción divisora invertida NOTA.— Si el multiplicador o el divisor es un número decimal se transforma en fracción ordinaria, prosiguiendo luego como en los casos anteriores. o

o

19

32. Multiplicación o diviiión do un eomplejo por otro complejo. EJEMPLO DE MULTIPLICACIÓN. — Calcular el costo de 1 yarda, 2 pies y 7 pulgadas lineales de cierto paño a razón de 3 chelines y 8 peniques la yarda. Reduciendo cada complejo a fracción ordinaria de la mayor unidad de medida, resulta: Como 1 Ft. = 1/3 Yd.; 1 In. = 1/36 Yd., tendremos: 1 Yd. 2 Ft 7 In. = Yd. (1 + 2/3 + 7/36) = Yd. 67/36 Como 1 penique = 1/12 chelín, tendremos: 3 Sh. 8 pen. = Sh. (3 + 8/12) = Sh. 11/3. El costo del paño será, pues: Sh.(11/3× 67/36) = Sh.737/108= 6 chelines, 9 8/9 peniques expresando este resultado en número complejo de libras esterlinas, escribimos: £ 0-6-9 8/9. DIVISIÓN. — En el caso de la división, también se reduce cada complejo a fracción ordinaria de la mayor unidad de medida, y luego se dividen dichas fracciones; el resultado puede dejarse expresado en fracción ordinaria de determinada unidad de complejo, o bien puede reducirse todo • complejo. Así, por e j . , sabiendo que la milla marina equivale a 120 nudos, calcule el estudiante la velocidad horaria de un buque que recorrió I6 millas y 79 1/2 nudos en 1 4 3 0 . Recordando que la velocidad v se calcula dividiendo el espacio por el tiempo que se emplea para recorrerlo, se obtendrá: v = 15 millas con 60 nudos. h

m

s

33. Operaciones con medidas angulares centesimales. — Para operar con medidas angulares expresadas en el sistema centesimal, conviene emplear la notación mediante números decimales, como indicamos en el (N.° 19), y operar como ya se sabe del curso de aritmética escolar. Para la conversión de una medida del sistema sexagesimal al centesimal, o viceversa, recuérdese que: 90° equivalen a 100 de donde: 1° = (10/9) ; 1' = (1/54) ; 1" = (1/3240) . Así, por ejemplo, para convertir 38 15' 26" al sistema centesimal, tendremos: 38' 15' 26" = (38× 60× 60 + 15× 60 + 2 6 ) " = = (137726× 1/3240) = (137726 : 3240) = 42, 5080 g

g

g

g

9

g

EJEMPLOS:

30

o

=

g

g

33 ,3333 ;

112° 32' =

g

g

25°=

125 ,0370;

27 ,77777 ; g

81 ,5797 = 73° 25' 18"

g

20

Monedas

(*)

34. Generalidades. — Desde épocas muy remotas, los pueblos han sentido la necesidad de emplear como medida común de valores, una mercadería especial, a fin de eliminar los inconvenientes de la permuta de diversidad de mercaderías, servicios, etc., que estaban obligados a emplear en las transacciones comerciales; han coincidido en emplear para ello los metales oro y plata, creando así la moneda. Para monedas auxiliares se emplea también el cobre, el níquel, el bronce y otras aleaciones. 35. Ley o título de las monedas. — Si se fabricaran las monedas de oro o plata con el metal puro o fino, no tendrían la dureza conveniente para el uso, y se deformarían muy pronto. Por consiguiente, se acuñan fundiendo el metal fino con otro metal inferior, llamado liga; es decir, que las monedas se fabrican empleando una aleación. El oro se funde con el cobre; la plata con el cobre, o con el cobre y zinc; el cobre con el estaño y zinc, etc. Se llama TITULO (o ley) de una aleación, al número que se obtiene dividiendo el peso del metal fino por el peso bruto de la aleación. Si representamos con T el título de una aleación, con F el peso del metal fino y con P el peso de la aleación, tendremos la fórmula: F T = —, P

de donde, F = T× P ,

y

F P= — T

Con estas fórmulas podremos calcular una cualquiera de las tres cantidades, T, F o P conociendo las otras dos. Así, por ej., diremos que, para calcular la cantidad de metal fino de una moneda cualquiera, se multiplica su peso bruto por el titulo de la misma. (*) El estudian-te que desee ampliar este tema puede consultar nuestro texto para «1 4.o afio de B. Secundaria, "MATEMÁTICAS A P L I CADAS, 1.a parte", escrita conforme a los programas que rigieron durante los años 1932-37, obra que posiblemente hallara en las bibliotecas liceales.

21

El título de una aleación se expresa siempre en milésimas, es decir, en el sistema decimal. (**). 36. El título de las monedas lo fija la Ley para cada país. Como no es posible obtener monedas que tengan rigurosamente la ley prefijada, existe una tolerancia en más o en menos sobre el título y sobre los pesos de cada tipo de moneda, variable según el país. Esa tolerancia se llama fuerte cuando es en más, y feble cuando es en menos, y puede llegar hasta 3 milésimas. 37. Sistemas monetarios. — El conjunto de monedas de un país, organizadas alrededor de un patrón, constituye UD sistema monetario. El elemento fundamental de un sistema monetario es la unidad monetaria o patrón, es decir, la moneda que tiene un peso y ley determinados, y que sirve de base al sistema. Existen, además, múltiplos y submúltiplos de dicha unidad, rigiendo en la mayoría de los países el sistema decimal. Las monedas inglesas no siguen el sistema decimal, como ya lo indicamos en el (N.° 22). Un sistema monetario puede ser monometalista, cuando existe una sola unidad monetaria. Actualmente, la mayoría de los países emplean el sistema monetario áureo. Si existen dos unidades monetarias (oro y plata), el sistema es bimetalista. En los países bimetalistas se fija una relación entre el valor del oro y de la plata amonedada; esta relación, en algunos países, es de 15 ½; vale decir que, a igualdad de peso, se tiene: 1.° Que el oro vale 15 ½veces más que la plata, y 310 veces más que el bronce. 2.° Que la plata vale 15 veces más que el bronce.

½veces menos que el oro y 20

3.° Que el bronce vale 310 veces menos que el oro y 20 veces menos que la plata. (**) En el comercio, suele expresarse el título de oro en kilates ( K . ) . Antiguamente, los ingleses expresaban el titulo refiriéndolo a 24 kilates, es decir, que el fino se tomaba igual a 24 K. Así, por ejemplo, considerando dos casos muy frecuentes, de oro de 18 y 14 K., sus títulos, expresados en el sistema decimal, serían, respectivamente: 14 K . =

14:24 =

0,583.

18 K . = 18:24 =

0,760

22

38. Nuestro sistema monetario. — Una Ley de la Nación del 17/XII/59 estableció: La unidad monetaria uruguaya es el PESO, con un contenido de oro puro de 0,136719 al título de 0,900 de fino con una tolerancia en más o en menos de 0,001 para el título y 0,002 para la medida de peso. El signo convencional para la designación de peso es $. En la República Oriental del Uruguay hay en circulación monedas de aleaciones de plata-cobre; de cupro-níquel y de bronce-níquel, cuyas características son las siguientes: MONEDA M E T Á L I C A D E L URUGUAY Monadas de P L A T A ( L e y del 2 3 - V I I I - 6 2 ) L E Y

Valor legal

$10,00

Peso Plata

Cobre

0,900

0,100

Diámetro

1 2 ½ g.

33

mm.

Tolerancia en el peso es de una moneda cada

300

Monedas de C U P R O - N Í Q U E L L E Y Valor legal

$0,25

Peso Cobro

Diámetro

Níquel

3

g.

18 m m .

Tolerancia en el peso es de una moneda cada

75%

25%

60

$0,50

75%

25%

4 ½ g.

22

mm.

150

$1,00

75%

25%

6

g.

26

mm.

250

$5,00

75%

25%

11

g.

30

mm.

250

Monedas de B R O N C E - N Í Q U E L Valor legal

L E Y Peso Cobre

Zinc

$0,02

79 %

20%

1%

$0,05

79%

20%

1 % 3Í

$0,10

79%

20%

1%

Diámetro

Níquel

2 g. g.

5g.

16 m m . 20

mm.

24 m m .

Tolerancia en el peso es de una moneda cada

60 120 180

También circulan billetes o moneda fiduciaria, que son certificados al portador que en cualquier momento pueden ser canjeados por monedas. Sólo el Departamento de Emisión del Banco de la República puede emitir los billetes que actualmente son de $ 1, $ 5, $ 10, $ 50, $ 100, $ 500 y $ 1000, conforme Ley del 14-VIII-1935. (*) Véase la nueva acuñación de nuestras monedas que nos referiremos al final de este capitulo (pág. 46).

23

39. Contenido en oro de nuestra moneda. — Este contenido ha sufrido sucesivas reducciones en los últimos años. a) Entre los años 1938 y 1959 fue de 0,585018 g. b) Por Ley 17/XII/59 se fijó el contenido actual de 0,136719 g. citado en el párrafo anterior. c) Por Ley 26/IV/62, sin modificar el contenido de oro del peso uruguayo, se estableció nueva equivalencia legal para la emisión de billetes fijándola en $ 1,60 por cada peso oro a la paridad legal de la Ley del 19/XII/59, lo que en los hechos equivale a un respaldo de 0,085443 por peso emitido. d) El Diario Oficial del 19/XII/63 publica un proyecto de ley fijando el contenido en oro puro del peso uruguayo en 0,059245 g., proyecto que en el momento de publicar este texto aún no ha sido sancionado. Conforme la ley vigente (26/IV/62), tenemos: El contenido en ORO de nuestra unidad monetaria (el peso) será de 0,085443 de ORO PURO, al título de novecientos milésimos (0,900). Como consecuencia de esta última ley, tenemos: 1 gramo de oro acuñado vale, 1 :0,085443 = $ 11,703709. Conforme a la relación (1.° del N.° 37), tenemos: 1 gramo de plata amonedada valdrá, 11,703709:15,5 = = $ 0,755078. Conforme a la relación (3.° del N.° 37), tenemos: 1 gramo de bronce acuñado valdrá, 11,703709:310 = = $ 0,037747. 40. Valor de las monedas. — Son tres los valores: a) Valor intrínseco, o a la par. Es el valor del metal fino, sin los gastos de acuñación. b) Valor legal o extrínseco. Es el valor que la Ley atribuye a la moneda, o sea el valor que está escrito sobre la moneda, y es igual al valor intrínseco más los gastos de acuñación (que son ínfimos); los dos valores, intrínseco y legal son, por consiguiente, casi iguales. c) Valor comercial o corriente. Como lo indicamos en el (N.° 34), la moneda metálica puede considerarse como una mercadería y, por consiguiente, puede tener en el mercado de valores, un valor diferente del legal. Diariamente, la prensa publica las cotizaciones de los valores comerciales de las monedas de varios países.

24

41. Para calcular el valor intrínseco de una moneda de oro extranjera en el Uruguay, empezamos por calcular la cantidad de oro que contiene la moneda multiplicando su peso bruto por el título (conforme la segunda de las fórmulas del N.° 35), y luego dividimos esa cantidad por la de oro que contiene el peso uruguayo. E j e m p l o s . — El d ó l a r c o n t i e n e 0,8886713 de o r o ( * ) , que d i v i d i d o este n ú m e r o p o r 0,085443 ( c o n t e n i d o en o r o de un p e s o u r u g u a y o ) , nos dá $ 10,40, v a l o r i n t r í n s e c o actual del dólar en pesos uruguayos ( 1 / 1 9 6 4 ) . C o m o segundo ejemplo, si efectuamos este c á l c u l o c u a n d o el coatenido d e o r o de nuestro p e s o era 0,136719 ( a ñ o 1960, hasta 26-VI1), e n c o n t r a m o s q u e el v a l o r intrínseco del dólar en aquella é p o c a era % 6,50 ( a p r o x . ) .

De aprobarse el proyecto referido en d) del (N.° 39), el contenido en oro de nuestro peso será el cociente 0,8886713:0,059243 = $ 15,00, valor intrínseco a que llegará el dólar en pesos uruguayos. 42.

Nombres de las unidades monetarias de varios países. PAÍS

Alemania Argentina Bélgica Bolivia Brasil Canadá Chile Colombia Costa Rica Cuba Dinamarca Ecuador EE. UU España Francia Grecia Guatemala Haití Holanda

NOMBRE

Marco Peso argentino Franco belga Peso boliviano Cruzeiro Dólar canadiense Escudo Peso colombiano Colón Peso cubano Corona Sucre Dólar Peseta Nuevo franco Dracma Quetzal Gourde Florín

PAÍS

El Salvador Honduras Inglaterra Italia Japón México Nicaragua Noruega Panamá Paraguay Perú Portugal Rusia Suiza Suecia R. Dominicana Uruguay Venezuela Yugoeslavia

NOMBRE

Colón Lempira Libra esterlina Lira Yen Peso mejicano Córdoba Corona Balboa Guaraní Sol Escudo Rublo Franco suizo Corona Peso Peso Bolívar Diñar

43. Conversión de monedas. — En las transacciones comerciales se presenta con frecuencia el siguiente problema: dada una suma de dinero en monedas de cierto país, convertirla en la suma equivalente de monedas de otro país. Es natural que lo que decimos de las monedas es aplicable al papel moneda, que las sustituye. (*) En el ( N . ° 23) vimos, al tratar las medidas de peso, que 12 onzas troy pesan 373,24195 gramos; en consecuencia, 1 onza = 373,24195 : : 12 = 81,103496 gramos. Pero este peso de oro corresponde a 35 dólares, es decir que el contenido en oro de un dólar será 31,103496 : 85 = = 0,8886713 gramos.

25

El precio de una moneda tipo extranjera se expresa en un número variable de unidades de moneda nacional, número este último que se llama cambio o cotización. La cotización en nuestro país se fija diariamente por el li­ bre juego de la oferta y la demanda. Las ofertas y las de­ mandas las realizan el Banco de la República, los diversos Ban­ cos Privados, los importadores, las Casas de Cambio, los ex­ portadores, los particulares no comerciantes con ciertos fines tales como turismo, remesa de fondos para familiares en el ex­ terior, etc. El Banco de la República fija una cotización dia­ ria que últimamente difiere de la que se ha indicado anterior­ mente, y de acuerdo con ella se cursan las operaciones de im­ portación y exportación. Por Ley 17/XII/59 el mismo Banco tiene el monopolio de la compra de divisas extranjeras produ­ cidas por la exportación de determinados productos (lanas, cueros, carnes, expellers, etc.). En la actualidad (V/1964) compra las divisas provenientes de la exportación al cambio de $ 16,20 por cada dólar (o su equivalente en las demás monedas) y vende a los importadores a $ 16,40 por cada dólar. Los diversos Bancos particulares y Casas de cambio instala­ das en nuestra plaza comercial, son las que se ocupan de comprar y vender al público las monedas extranjeras, ofertan­ do a tal efecto diariamente las cotizaciones correspondientes en pizarras a la vista del público, o que publican en la prensa local, dependiendo estos valores también de la oferta y la demanda de la moneda. Presentamos a continuación copia de una de esas cotiza­ ciones del cambio libre, publicadas en un diario de Montevideo. C O T I Z A C I O N E S E L D Í A 17-1-1964

Compra

100 100 1 100 100 1 1000 100 100 100 100 1 100 100

Argentinos Cruceiros Dólar Francos Franceses Francos Suizos Libra papel Liras Pesetas Escudos Portugueses Marcos Alemanes Florines Holandeses Escudo Chileno Guaraníes Soles Peruanos

$ " " " " " " " " " " " " "

13,60 W0 18,— 36,30 412,— 49,80 28,66 29,70 61.— 449,— 475,— 6,20 12,80 62,—

Venta

$ " M

" " " " " " " " " " "

13,90 1,40 18,30 37,20 422,— 51,30 29,40 30,40 65,— 459,— 600,— 6,90 13,60 67,—

26

44. Tabla de conversión. — Consideramos bastante prác­ tico para el viajero que se propone realizar compras en el exterior, por importes cuyos números sean de pocas cifras, el empleo de las tablitas de conversión análogas al modelo que presentamos a continuación. Se preparan conforme la cotización de la moneda extranjera del día correspondiente al cambio de dicha moneda. Así, por ej., el modelo que presentamos a continuación se refiere a la conversión de pesos argentinos en pesos uru­ guayos, cierto día en que la cotización era: $ 100 arg. — $ 14,00 urug. * La tabla es de doble entrada. Para su empleo véanse las instrucciones al pie de la misma. CONVERSIÓN de $ ARGENTINOS en URUGUAYOS 1

2

3

4

5

6

7

8

9

0.14

0.28

0.42

0.56

0.70

0.84

0.98

1.12

1.26

10

1.40

1.54

1.68

1.82

1.96

2.10

2.24

2.38

2.52

2.66

20

2.80

2.94

3.08

3.22

3.36

3.50

3.64

3.78

3.92

4.06

30

4.20

4.34

4.48

4.62

4.76

4.90

5.04

5.18

5.32

5.46

40

5.60

5.74

5.88

6.02

6.16

6.30

6.44

6.58

6.72

6.86

7.28

7.42

7.56

7.70

7.84

7.98

8.12

8.26

50

7.00

7.14

60

S.40

8.54

8.68

8.82

8.96

9.10

9.24

9.38

9.52

9.66

70

9.80

9.94

10.08

10.22

10.36

10.50

10.64

10.78

10.92

11.06

80

11.20

11.34

11.48

11.62

11.76

11.90

12.04

12.18

12.32

12.46

90

12.60

12.74

12.88

13.02

13.16

13.30

13.44

13.58

13.72

13.86

I N S T R U C C I O N E S . — Los números enteros de la primera fila ( 1 , 2 , 3 , . . . 9 ) y los de la primera c o l u m n a ( 1 0 , 2 0 , 3 0 . . . , 9 0 ) indican $ argentinos, y los números decimales que figuran en las restantes casillas indican $ uruguayos. Así, por ej., el equivalente de $ 68 arg., o sea de (60 + 8 ) , se lee en la intersección de la fila que empieza en 60, con la colum­ na encabezada con 8. Se encuentra 9,52; es decir que $ 68 arg. = $ 9,52 u r u g . Nota 1 . — Si el n ú m e r o a convertir fuera mayor que 100 y menor que 1000, se multiplicarían por 10 todos los n ú m e r o s de la tabla poniendo un cero a la derecha de los números de la primera fila y de los de la primera columna, y corriendo la coma decimal de los restantes números un lugar a la derecha. Nota 2. — La cotización de pesos uruguayos en argentinos es el número inverso de la cotización del uruguayo en argentinos. Así, para la cotización anteriormente referida tendríamos 1 : (0,14) = 7,143, es decir que 1 $ u r u g . = $ 7,143 arg. * En el momento d e reeditar esta obra la cotización del peso argentino era 0,28, valor duplo d e 0,14 que regía al construir la tabla publicada. E n consecuencia, para actualizar dicha tabla, sería necesario duplicar los resultados que figuran en la misma.

27

45. Ejemplos de cambios. — Las cuestiones sobre cambios extranjeros, cuando se trata de operaciones al contado, se resuelven generalmente por simples multiplicaciones y divisiones. E J E M P L O I. — Calcular el costo de 2500 pesos arg. el día 17-1-1964. L a tabla de cotizaciones n o s fija p a r a ese d í a : $ 100 arg. — — $ 13 90 urug. E l c o s t o p e d i d o será: 2500×

13,90/100 =

$ 347,50

(uruguayos)

E J E M P L O II. — Calcular el costo de £ 20:11:6 el día 17-1-1904. E x p r e s a n d o los 11 chelines y 6 peniques en fracción decimal de £. t e n e m o s : 11 sh. 6 d . = (11× 12 + 6 ) d . = 138 d. ( 1 3 8 / 2 4 0 ) £ = 0,676 £ . Se tiene entonces q u e 20 £ : 11:6 — 20,575 £ . Siendo e n ese día la c o t i z a c i ó n d e l a libra $ 51,30, el c o s t o pedido =

s

e

r

á

:

20,675 x

51,30 =

? 1 055,50

E J E M P L O I I I . — ¿Cuántas liras se podrán adquirir con $ 3000, estando el cambio a 29,40 pesos? ( E l c a m b i o es el c o s t o d e m i l l i r a s ) . Respuesta: (3000× 1000)/29,40 = 10 204 liras. E J E M P L O I V . — Hemos tomado un cheque de 5000 pesetas que nos costó $ 1560. ¿A qué cambio se ha cotizado? Cada peseta ha costado $ 1560/5000, y las 100 pesetas c o s t a r á n : (1560 ×

1 0 0 ) / 5 0 0 0 = $ 31,20

La cotización, o c a m b i o , fue de 31,20.

Definiciones, axiomas, postulados, etc. 46. La Aritmética, como todas las ciencias de razonamiento, utiliza algunas proposiciones relacionadas entre sí, que se llaman definiciones, axiomas, postulados, teoremas, etc. a) La definición es la proposición que establece el significado de una palabra o la naturaleza de una cosa. b) Axioma o postulado es una verdad cuya validez es forzoso admitir, ya sea por su evidencia inmediata, ya sea por la validez de las verdades que de ella se deducen. c) Teorema es una proposición que contiene una verdad, pero que es necesario probar o demostrar como consecuencia de verdades anteriormente establecidas. En el enunciado de un teorema se distinguen normalmente dos partes: la hipótesis, es el conjunto de relaciones que se admiten; la tesis, es la propiedad que es necesario demostrar. Si en el enunciado de un teorema se cambia la hipótesis por la tesis y viceversa, se obtiene un nuevo teorema que se llama inverso o recíproco del primero.

28

d) Corolario es una consecuencia que se deduce de una o más verdades demostradas. e) Problema es una proposición práctica a resolver, en la que hay que determinar ciertas cantidades desconocidas llamadas incógnitas, dadas sus relaciones con cantidades conocidas llamadas datos del problema. f) Resolución de un problema es realizar las operaciones necesarias para hallar el valor de la incógnita, o incógnitas. g) Comprobación de un problema es cerciorarse de que los valores que se han hallado para las incógnitas después de resuelto el problema, satisfacen las condiciones del mismo.

Problemas de revisión 47. Desde la escuela primaria el estudiante ya ha tenido la oportunidad de resolver problemas. Pero en este capítulo de "Revisión" de temas escolares estimamos oportuno resolver algunos problemas de aplicación de aquellos conocimientos y cuya resolución puede resultar fácil en muchos casos, pero en otros, donde las incógnitas dependen de los datos en forma algo compleja es necesario, primeramente, proceder al cálculo de otras incógnitas que tiene relación con las precedentes. Estimamos oportuno, pues, dar a continuación la resolución de algunos problemas que pueden considerarse como típicos, y de los cuales pueden deducirse normas para la resolución de otros. PROBLEMA I. — Se compran dos carretes de cable eléctrico del mismo precio por metro. Por el primero sé paga $ 300 y por el segundo, que tiene 7 m. menos de cable, se paga $ 265. ¿Cuántos metros tiene cada carrete? Resolución. — La diferencia de precio de los dos carretes de cable es de pesos 300 — 265 y por consiguiente el precio por metro es de pesos (300 — 265) : 71= 5 Dividiendo el costo del primer carrete por el precio unitario tenemos 300 : 5 = 60 Por consiguiente, los metros del primer carrete son 60, y los del segundo 60 — 7 = 53. Comprobación. $ 60× 5 = $ 300 ; $ 53× 5 = $ 265 .

29

PROBLEMA I I . — Dos automóviles parten contemporáneamente, el primero desde la ciudad de Montevideo hacia Punta del Este, que dista 145 Km., y él segundo desde Punta del Este hacia Montevideo. El primero mantiene la velocidad de 60 Km. por hora, y el segundo 55 Km. por hora. ¿Después de cuántas horas y a qué distancia de Montevideo se cruzarán los autos?

Resolución. — En una hora, la distancia de los dos autos disminuye en 60 + 55 = 115 Km. Para acortar los 145 Km. que los separan tendrán que transcurrir 145 : 115 = 1 h. 15 min. 39 s. (aprox, por defecto) La distancia desde Montevideo al punto del cruce será: (145:115)× 60 = 1740 : 23 = 75,652 Km. (aprox, por def.) PROBLEMA III. — En una excursión tomaron parte 20 hombres, 15 mujeres y 30 niños. La cuota de un hombre era doble de la de una mujer, y la de uneá mujer era triple de la de un niño. Calcular lo que pagó cada uno, sabiendo que las cuotas totalizaron 585 pesos. Resolución. — Ilustremos los datos con el siguiente esquema: Niño: Mujer: Hombre: Pagando cada mujer triple que un niño, es como si en vez de 15 mujeres hubiese 15× 3 = 45 niños. La cuota de un hombre, siendo el duplo de la de una mujer, viene a ser 2 × 3 = 6 veces la de un niño; por consiguiente, los 20 hombres equivalen en gasto a 20 X 6 = 120 niños. En esta excursión es como si hubieran ido, a los efectos de la cuota, 30 + 45 + 120 = 195 niños La cuota de un niño fue: $ 585 :195 = $ 3 La de una mujer: 3 × 3=,$ 9 La de un hombre: 9× 2 = $ 18 Comprobación. — Pagado por hombres: 20× 18 = $ 360 " mujeres: 9× 15 = " 135 " niños: 3 × 30 = " 90 Total de cuotas: $585

30 PROBLEMA IV. — Eduardo, José y Luis, trabajando juntos, descargan unos vagones en 16 horas. Si sólo trabajara Eduardo emplearía 100 horas, y José sólo tardaría 80 horas. ¿Cuánto tardaría Luis si trabajase él solo? Resolución. — En 1 hora Eduardo descarga 1/100 de la carga, y José descarga 1/80 de la misma. En consecuencia entre los dos descargan, en 1 hora: 1/100 + 1/80 = 9/400 de la carga. Pero los tres juntos, en 1 hora, descargan 1/16 del total. Así que la parte que descarga Luis en 1 hora es: 1/16 — 9/400 = 1/25 del total. Trabajando sólo Luis emplearía, pues, l : ( l / 2 5 ) = 2 5 horas. PROBLEMA V. — Un obrero cobra $ 56 por cada día que trabaja, pero debe pagar una multa de $ 24 por cada día que falta al trabajo. Al cabo de 30 días sólo recibe $ 800. ¿Cuántos días ha faltado? Resolución. — El estudiante hará los cálculos que se indican : Máximo que puede cobrar = . . . Cantidad cobrada = . . . Dinero que ha perdido = . . . Dinero que pierde por cada falta = . . . Número de faltas = . . . (Encontrará 11 días). PROBLEMA VI. — Dos grifos llenan juntos un depósito en 4 h. 20 min. El primero solo, emplearía 12 h. 30 min. Se desea saber cuánto emplearía él segundo solo. Resolución. — Reduciendo a horas: Los dos juntos emplean, 4 h. 20 min. = 41/3h. = (13/3) h. El primero emplea 25/2 hora. En consecuencia, el primero llena en una hora, l:(25/2) = 2/25 de depósito. Los dos juntos llenan en una hora, 1 :(13/3) = 3/13 de depósito. Por consiguiente, en una hora, el segundo llena: 3/13 — 2/25 = 49/325 de depósito. En llenar el depósito el segundo empleará, pues: 1:(49/325) = 325/49 de hora = 6 h. 38 min. (aprox, por exc.) PROBLEMA VII. — Alberto tiene monedas de 10 cts. y de 50 cts. Con 16 monedas se propone pagar una deuda de $ 5,20. ¿Cuántas monedas de 10 cts. y cuántas de 50 cts. debe entregar? Resolución. — Primeramente uniformamos la unidades: $ 5,20 = 520 cts.

31

Si Alberto pagara parte de su deuda con 16 monedas de 10 cts. le quedaría aún por pagar la suma de (520 — 160) cts. = 360 cts. , Pero como por cada moneda de 50 cts. que entrega en lugar de una moneda de 10 cts. la deuda que aún le queda por pagar disminuye en 50 — 10 = 40 cts., el número de monedas de 50 cts. que deben sustituir a las de 10 cts. es el cociente. 360 : 40 = 9 (monedas de 50 cts.) Las restantes 16 — 9 = 7, serán las monedas de 10 cts. Comprobación. — Importe de las monedas de 50 = 50× 9 = 450 cts. " " " " " 10 = 10× 7 = 70 " Tmporte total de la deuda pagada = 520 cts. = $ 5,20 PROBLEMA VIII. — Un arquitecto construyó un edificio con 20 apartamentos; algunos de 5 habitaciones y otros de 3. El número total de habitaciones es 74. ¿Cuántos son los apartamentos de 5 habitaciones y cuántos los de 3? Siendo este problema de índole análoga al que le precede, dejamos su resolución como ejercicio para el estudiante. Encontrará que 13 es el número de apartamentos de 3 habitaciones y 7 el de 5 habitaciones. P R O B L E M A S SOBRE P R O P O R C I O N A L I D A D

48. En este título se incluyen dos conjuntos de importantes problemas. Sobre la "Regla de tres" y el "Interés simple", temas que consideramos de gran utilidad en la vida práctica. Por este motivo, si bien esos temas ya se habrán tratado en enseñanza primaria, estimamos conveniente ahora refrescar esos conocimientos exponiendo una ligera síntesis de los mismos a fin de mejor habilitar al lector en la resolución de los problemas de repaso respectivos. 49. Razones. — Para expresar que un número es doble, triple, cuádruple, etc., de otro, decimos, también, que la razón del primer número al segundo es respectivamente 2, 3, 4, etc. Así, por ej., para expresar que 12 es el triple de 4, de cimos que la razón de 12 a 4 es 3 ; ésta se indica así:12 — 4

,

o bien,

12:4

El primer término de una razón se llama antecedente, y el segundo consecuente.

32

Así, por ej., en la razón 2/3, el antecedente es 2 y el con­ secuente 3. La razón entre una magnitud y otra homogénea con la primera, es igual a la de los números que expresan sus medidas. Así, por ej.: la razón entre 4 Kg. y 20 Kg., es 4/20 = 0,2. la razón entre $ 42 y $ 7 es 42/7 = 6; la razón entre 1 m y 1 Km. es 1/1000 = 0,001. Podemos decir también, que Se llama RAZÓN ENTRE DOS NÚMEROS al cociente exacto de la división del primero por el segundo. Las razones gozan, pues, de las propiedades de los co­ cientes indicados entre dos números, vale decir de las frac­ ciones ordinarias, las que ya se han estudiado y que en este curso se volverán a tratar en el Cap. X I V . 50.

Proporciones. — Observemos las siguientes razones: 15:5 = 3 ; 12:4 = 3 Ambas tienen el mismo valor; por consiguiente, podemos escribir: 15 12 5 4 Se llama PROPORCIÓN a la igualdad de dos razones Una proporción puede escribirse también así: 15:5 = 12:4 o bien, 15:5 :: 12:4 que se lee: 15 es a 5 como 12 es a 4. Los números que forman la proporción se llaman términos ie la misma; el primero y el último son los extremos, y el segundo y el tercero son los medios. Así, en el ejemplo anterior, los extremos son 5 y 12.

son

15 y 4 ;

los medios

51. Consideremos una proporción cualquiera: para ello es­ cribiremos una proporción literal c , o bien a : b = c : d a b d Reduciendo las dos fracciones a común denominador, para lo cual multiplicamos los dos términos de cada una por el denominador de la otra, tenemos: a×d e×b b×d d ×b Como estas dos fracciones iguales tienen el mismo denomi­

33

nador, deben tener necesariamente iguales también los numeradores, vale decir que tenemos: a×d = c×b Pero, como los factores del primer miembro de esta última igualdad son los extremos de la proporción, y los factores del segundo son los medios, resulta, pues, la siguiente PROPIEDAD FUNDAMENTAL: EN TODA PROPORCIÓN EL PRODUCTO DE LOS EXTREMOS ES IGUAL AL PRODUCTO DE LOS MEDIOS. EJEMPLO. — En la proporción 2 : 8 = 3 : 1 2 , el producto de loa extremos es 2 × 1 2 = 24 ; el de los medios es 3 × 3 = 24, Vemos que ambos productos son iguales.

52. Esta propiedad nos permite hallar cualquier término de una proporción cuando se conocen los otros tres. Así, por ej., si representamos con la letra x el extremo desconocido de la proporción 5 : 4 = 10 : x aplicándole la propiedad fundamental, tenemos: 5 × x = 10×4 Si 5 multiplicado por x es = 10 X 4, tendremos que x será 10×4 5 veces menor, o sea x = 5 y decimos que hemos despejado el extremo x. Si la proporción hubiera sido la literal del (N.° 51), despejando el medio b, o el extremo a, obtendríamos, análogamente : b×c a×d o bien, o = b = d c Las igualdades anteriores nos expresan la siguiente propiedad : En toda proporción un MEDIO es igual al producto de los extremos dividido por el otro medio; un EXTREMO es igual al producto de los medios dividido por el otro extremo. 53. Esta propiedad es muy importante, porque mediante su aplicación podemos determinar un término desconocido, incógnito, de una proporción. Sea, por ej., la proporción 12: 15 = x : 5 incógnito es un medio, indicado con x. 3.-ARITMÉTICA

1er. A Ñ O -

Coppetti

en

la

que

el

término

34 Aplicando la propiedad anterior, obtenemos: x = vale decir, que el término medio incógnito es 4 .

( 1 2 × 5 ) : 15 — 4 ,

El procedimiento empleado para hallar el valor del término incógnito de una proporción se llama resolución de la proporción. 54. Magnitudes directamente proporcionales. — Daremos este concepto mediante algunos ejemplos. Decimos corrientemente: si la medida de una mercadería aumenta, tu costo también aumenta en proporción. Este modo de expresarnos significa que, si por ej., 1 m. de tela cuesta $ 3, 2 m. costarán el doble, 3 m. costarán el triple, ½ m. costará la mitad, etc. También decimos: la paga de un obrero aumenta p r o p o r c i o n a l m e n t e ,

o bien es p r o p o r c i o n a d a o p r o p o r c i o n a l a las horas de trabajo; frases todas dentro del lenguaje común que expresan este concepto: si un obrero gana $ 3 en una hora de trabajo, para un tiempo doble recibirá un salario doble; para un tiempo triple también será triplicado el salario; para un tiempo mitad le corresponde la mitad del salario, etc.

Dos magnitudes se llaman DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (o bien decimos que varían en razón directa) cuando al multiplicar la primera por un número, la segunda resulta multiplicada por ese mismo número. 55.

EJEMPLOS PRÁCTICOS. — Podríamos dar muchos magnitudes directamente proporcionales. Ños limitaremos a algunos, de los más sencillos, advirtiendo que, a veces, la proporcionalidad sólo es aproximada. ejemplos de pares de

1.° La cantidad de una mercadería y el costo de la misma. 2.° La cantidad de trabajo ejecutado en determinado tiempo y el número de obreros empleados. 3.° La cantidad de trabajo ejecutado por cierto número de obreros y el tiempo empleado. 4.° La longitud de camino recorrido por un móvil que se traslada con movimiento uniforme y el tiempo empleado en recorrerlo. 5.° El volumen de muchos cuerpos y el peso correspondiente. Estos cuerpos se llaman homogéneos. 6.° Un lado y la superficie de un rectángulo. 7.° El numerador y el valor de una fracción. N O T A IMPORTANTE. — A l g u n o s alumnos distraídos suelen decir que dos magnitudes son directamente proporcionales, cuando aumentando una de ellas aumenta también la otra. Basta pensar en algún ejemplo para convencernos del error: El área del cuadrado aumenta cuando aumenta el lado, pero no se duplica cuando el lado se duplica, sino que se cuadruplica. A l aumentar la edad de un niño, aumenta su peso, la estatura, etc.; pero si la edad se duplica, no se duplica el peso, ni la estatura, etc.

35

56. Volviendo al ejemplo de proporcionalidad directa ci­ tado al principio del (N.° 54), tenemos: 1 m. de tela cuesta $ 3 2 " " " cuestan " 6 3"""""9 5 " " " " " 15 Obsérvese que la razón de 1 m. a 2 m. de tela es igual s la razón de sus costos. En efecto: 1/2 = 0,5 y 3/6 = 0,5. Por consiguiente podremos establecer la proporción 1:2 = 3:6 Análogamente obtenemos las proporciones: 1:3 = 3:9 , 2:3 = 6:9 ,

2:5 = 6:15 , etc.

Para todas las magnitudes directamente proporcionales podemos decir, pues, que: Si dos magnitudes son directamente proporcionales, la ra­ zón de dos valores cualesquiera de una es igual a la razón de los valores correspondientes de la otra. En otros términos, podemos decir también que: Si dos mag­ nitudes son directamente proporcionales, dos valores cuales­ quiera de una de ellas y los dos valores correspondientes de la otra forman una proporción. 57. Magnitudes inversamente proporcionales. — Como en el caso anterior, daremos este concepto mediante algunos ejemplos. Supongamos que 6 obreros de igual habilidad, empleen 18 días en ejecutar un trabajo. Es natural que, 3 de esos obreros, es decir, la mitad, harán el mismo trabajo en tiempo doble, es decir, en 36 días; 2 de dichos obreros, es decir, la tercera parte, emplearían un tiempo triple, o sea 54 días; uno solo, emplearía un tiempo 6 veces mayor, o sea 108 días. Es decir que, si el número de obreros se reduce a la mitad, a la tercera parte, etc., el tiempo que emplean para ejecutar determinado trabajo se duplica, triplica, etc. Análogamente, si se du­ plica el número de obreros, el tiempo que emplearán para ejecutar el trabajo se reducirá a la mitad, etc.

Dos magnitudes se llaman INVERSAMENTE PROPOR­ CIONALES (o bien decimos que varían en razón inversa) cuando al multiplicar la primera por un número, la segunde* resulta dividida por ese número.

36

58. EJEMPLOS PRÁCTICOS. — Son magnitudes inversamente proporcionales: 1.° El número de obreros empleados en ejecutar determinado trabajo y el tiempo empleado. 2.° La cantidad de mercadería que se puede comprar con cierta, aunia de dinero y el precio unitario de la mercadería. 3.° El tiempo empleado por un móvil en recorrer cierto camino y la velocidad respectiva. 4.° Los volúmenes y las presiones de un gas (esta es una ley que se estudiará en Física). 5.° El tiempo que tarda un depósito en llenarse y la sección dei caño que lo llena. 6.° La base de un rectángulo de determinada área y su altura. 7.° El denominador y el valor de una fracción,

59. Volviendo al ejemplo de proporcionalidad inversa citado al principio del (N.° 57), tenemos: 1 obrero hace un trabajo en 108 2 obreros liarán el trabajo en 54 3 " " " " " 36 d

d

d

Obsérvese que la razón de un obrero a 2 obreros es igual a la razón de 54 a 108 , es decir, a la de los números de días correspondientes pero invertidos. En efecto: 1/2 = 0,5, y 54/108 = 0 , 5 . Por consiguiente, podremos establecer la siguiente proporción: 1:2 — 54: 108 Análogamente obtenemos las proporciones: 1:3 = 36 : 108 , 2 : 3 = 36 : 54 , etc. Para todas las magnitudes inversamente proporcionales, pelemos decir, pues, que: Si dos magnitudes son inversamente proporcionales, la razón de dos valores cualesquiera de una es igual a la razón, invertida, de los valores correspondientes de la otra. En otros términos, podremos decir también que: Si dos magnitudes son inversamente proporcionales, dos valores cualesquiera de una de ellas y los dos valores correspondientes, invertidos, de la otra, forman una proporción, d

d

60. Regla de tres simple. — Cuando se conocen dos pares de valores correspondientes de magnitudes, conforme a lo indicado en los finales de los (Nos. 56 y 59), con esos dos pares de valores se puede formar una proporción, la que nos permitirá calcular uno de esos valores cuando se conocen los otros tres. Por esta circunstancia es que a estos problemas se les llama de regla de tres.

37

El problema se reduce, pues, a resolver una proporción; para ello aplicamos la propiedad del (N.° 52). Si las magnitudes son directamente proporcionales, la regla se llama directa; si son inversamente proporcionales, la regla se llama inversa. Los problemas de regla de tres pueden resolverse por dos métodos: a) por el método de reducción a la unidad; b) por el método de las proporciones. 61. Regla de tres simple directa. — PROBLEMA. — Quince metros de una tela cuestan $ 45. ¿Cuánto costarán 24 metros de la misma tela? Es fácil ver que se trata de magnitudes directamente proporcionales (N.° 55, 1.°). a) MÉTODO DE REDUCCIÓN A LA UNIDAD. Razonaremos así: sí 15 m. de tela cuestan $ 45, 1 m. de lela costará $ (45:15) = $ 3; por consiguiente, 24 m. de tela costarán $ ( 3 × 2 4 ) = $ 72 . Para resolver el problema hemos calculado primeramente el costo de un metro de tela, es decir, de la unidad de cantidad de tela; por esta razón es que llamamos al método de reducción a la unidad,

b) MÉTODO DE LAS PROPORCIONES. Representando con x la magnitud desconocida, podemos entonces enunciar el problema así: Si 15 m. de una tela cuestan $ 45, 24 m. costarán $ x . Puesto que las dos magnitudes son directamente proporcionales, en virtud de la propiedad (N.° 56), podremos formar una proporción con la razón 15/24 de los dos valores de la magnitud metros y con la razón 45/x de los dos valores correspondientes de la otra magnitud pesos. Tendremos, pues: 15: 24 = 45: x , de donde, x = ( 2 4 × 4 5 ) : 15 = 72 Por consiguiente, el costo de los 24 m. de tela es de $ 72. 62. A fin de no equivocarse al escribir la proporción, es conveniente escribir los datos del problema, de modo que los valores de una misma magnitud se hallen en la misma columna y cada uno en la línea del valor correspondiente de la otra, así: metros pesos 15 45 24 x Las dos flechas en el mismo sentido, indican ia proporcionalidad directa de las dos magnitudes; también indican que para formar la proporción basta escribir los números de cada columna e n el s e n t i d o Indicado

por

las

f l e c h a s , así:

15: 24 =

45:

x.

38

63. Regla de tres simple inversa. — PROBLEMA. — Seis obreros (igualmente hábiles) emplearon 28 días para ejecutar una obra. ¿Cuántos días emplearán 14 obreros para ejecutar ol mismo trabajo? Se trata de magnitudes inversamente proporcionales (Número 58, 1.°). a) MÉTODO DE REDUCCIÓN A LA UNIDAD. Razonaremos así: si 6 obreros emplean 28 , 1 obrero empleará (28 X 6) = 168 ; por consiguiente,14 obreros emplearán (168:14) = 12 . d

d

d

d

d

C o m o en el ( N . ° 6 2 ) , el p r o c e d i m i e n t o s e g u i d o justifica l a denominación de reducción a la unidad que se da al método.

b)

MÉTODO DE LAS PROPORCIONES.

Representando con x la incógnita, podemos entonces enunciar el problema así: Si 6 obreros emplean 28 días para ejecutar una obra, 14 obreros emplearán x días. Puesto que las dos magnitudes son inversamente proporcionales, en virtud de la propiedad (N.° 59), podremos formar una proporción con la razón 6/14 de los dos valores de la magnitud obreros y con la razón, invertida^ de los dos valores correspondientes de la otra magnitud días. La razón directa de estos dos últimos valores es 28/x y la invertida es x/28. Tendremos, pues: 6:14 = x: 28 Resolviendo esta proporción, obtenemos: x = (6 X 28): 14 = 12. Por consiguiente, 14 obreros emplearán 12 días en ejecutar el mismo trabajo. Como en el (N.° 62), podemos emplear también en este caso un esquema análogo, pero con las flechas en sentido contrario para indicar que se trata de proporcionalidad inversa. Tendremos, pues: 6 28 de donde, 6 : 14 = x : 28 14 x obteniendo así la misma proporción. 84. Regla de tres compuesta. — Cuando una magnitud es directamente o inversamente proporcional a más de dos magnitudes, la regla que nos permite resolver los problemas correspondientes se llama regla de tres compuesta.

39

Estos problemas se resuelven también por dos métodos: por reducción a la unidad y por las proporciones. Daremos solamente el primero, con su respectiva regla, por considerarlo más práctico que el segundo. PROBLEMA. — Sabemos que 12 obreros de igual habilidad, trabajando 6 horas diarias, construyen una pared de 3 0 m. de longitud en 20 días; 15 obreros de igual habilidad, trabajando 8 horas diarias, ¿cuánto tiempo emplearán para construir una pared de 90 m. de longitud? Con los datos del problema formamos el cuadro siguiente; conviene disponer los valores de modo que la incógnita x figure en la segunda línea y en la última columna. La inicial (d) o (i) que encabeza cada columna, indica que la magnitud que ella representa es directamente o inversamente proporcional a la magnitud a que pertenece la incógnita. Para la resolución del problema aplicaremos, pues, varias veces el razonamiento correspondiente a una regla de tres simple. obreros trabajando horas diar. const. metros en (i) (i) (d) 12 6 30 15 8 90 1

6

días 20 x

30

20×12 20×12

15

30 15 20×18×6

15

1

30 15 20×12×6

15

8

30 15×8 20×12×6

15 15×8×30 2 0 × 1 2 × 6 × 9 0 16

8

90 1 5 × 8 × 3 0

Efectuando operaciones, bailamos x = 36. Pero, el valor hallado para x también se puede escribir así: 12

2 0 × 1 2 × 6 × 9 0 x

=

= 15×8×30

6

90

2 0 × — × — × — 15 S 30

40

Esta última expresión origina la siguiente regla, que se aplica tanto para los problemas de regla de tres simple como compuesta. REGLA PRACTICA. — Para resolver un problema de regla de tres (simp. o comp.), se forma primeramente el cuadro relativo al problema, señalando con las letras (d) o (i) las magnitudes directamente o inversamente proporcionales a la de la incógnita. El valor de ésta se obtiene multiplicando el valor homogéneo al de la incógnita por las razones inversas de los valores señalados con (d) (direct. prop.), y por las razones directas de los valores señalados con (i) (inv. prop.). EJEMPLO. — Sea el siguiente problema: "Un campo de 1 2 0 Há. ha sido preparado para la siembra mediante 3 arados, que trabajaron 6 horas diarias, durante 8 días. ¿Cuántas hectáreas de un campo cuya dureza está en la relación de 4 a 5 con el anterior, se podrán preparar con 6' arados idénticos a los primeros, que trabajarán 10 horas diarias, durante 20 días?" El cuadro del problema es el siguiente: (i)

(d)

(d)

dureza

arados

horas

(d)

5

3

6

8

i

6

10

20

días

hectáreas 120

x

El valor de la incógnita, expresado en hectáreas, será, pues: 6 x

=

1 2 0 × — 3

10 ×

— 6

20 ×

— 8

5 ×

—

=

1250

4

P R O B L E M A S SOBRE I N T E R É S S I M P L E

65. Concepto de interés simple. — Si una persona presta a otra cierta suma de dinero, es lógico que la segunda retribuya a la primera ese servicio en alguna forma. En el comercio, esa retribución se efectúa pagando cierta suma de dinero, constituyendo ese pago lo que llamamos interés de aquel dinero. Podemos dar?, pues, la siguiente definición: Se llama interés simple, o solamente INTERÉS, a la ganancia que se obtiene mediante el préstamo de una suma de dinero, o depositándola en un Banco, o en Cajas de Ahorros, etc. La suma prestada o depositada se llama capital; se llama tanto por ciento, razón o tasa, al interés de $ 100 en la uní-

41

dad de tiempo, generalmente en un año. La centésima parte dei tanto por ciento se llama tanto por uno. Así, por e j . , al decir que un capital ha sido colocado a una tasa del 6 % anual, significa que $ 100 del capital producen después de un año, la ganancia de $ 6; el tanto por uno es, en este caso: $ 0,06.

66. Parece natural admitir que la retribución a que nos referimos en el párrafo anterior, debe ser directamente proporcional a la magnitud de la suma prestada. Si se conviene que sea también directamente proporcional a la duración del préstamo, el interés se llama simple. El cálculo del interés simple, es, pues, un problema de regla de tres compuesta, porque el interés varía con las dos magnitudes: capital y tiempo, siendo directamente proporcional a ambas Si el interés producido al final de cada período convenido para su pago no se retira, sino que se deja al deudor en calidad de préstamo en las mismas condiciones que el capital primitivo, el interés se llama compuesto. Este problema, de real i m p o r t a n c i a e n las transacciones comerciales, p o d r á ser tratado en el 4.° c u r s o , después de haberse estudiado " P r o g r e s i o n e s g e o m é t r i c a s " y " L o g a r i t m o s " .

Los elementos que intervienen en los problemas de interés son siempre: interés , capital, , tasa , tiempo que generalmente se indican con las letras l

,

C

, R

,

t

Se llama monto a la suma del capital y del interés correspondiente. Indicando con M el monto, tenemos: M — C -f- 1 • 67. Fórmula fundamental. — PROBLEMA. — Qué interés producen $ 3200 colocados al 6 % durante 4 años? Siguiendo el procedimiento indicado por la regla del (N.° 64), tenemos el siguiente cuadro: (d) (d) $ 100 en 1 año, producen $ 6 $ 3200 " 4 años, " $ x de donde x =

6×

4 —× 1

3200

3200×4×6 ,

100

o sea,

x

=

=

768

100

es decir, que el interés es de $ 768. Es evidente que, si los valores numéricos fueran otros, el razonamiento sería el mismo. Podemos, pues, sustituir esos

42

valores de las letras convenidas (N.° 66) y obtenemos la siguiente fórmula fundamental del interés simple: C×t×R I = 100 con la que podremos resolver todos los problemas de tipo ana logo al anterior. La fórmula que precede justifica la siguiente REGLA. — Para calcular el INTERÉS SIMPLE de un capital, se multiplica la centésima parte del capital por el tiempo expresado en años y por la razón. EJEMPLO. — El interés de $ 4500 al 4 % es: I = (4500 : 1 0 0 ) × 6 × 4 = $ 1 0 8 0 .

anual durante 6 años

68. Otras fórmulas. — a) Con procedimientos análogos al empleado para hallar la fórmula anterior, se pueden obtener las que expresan el capital, el tiempo y la tasa. I×100

I×100

C =

7×100 R =

t×R

C×R

C×t

Estas fórmulas pueden obtenerse t a m b i é n partiendo de l a funda mental. P a r a ello sería n e c e s a r i o aplicar una regla o p e r a t o r i a referente al "Pasaje de factores y d i v i s o r e s " q u e trataremos m á s adelante (Cap. I X , N . ° 2 5 2 ) , que d i c e : Un factor de un miembro de una igualdad pasa al o t r o , como divisor; inversamente, un divisor de un miembro de una igualdad pasa al otro, como factor. Intente el estudiante hallar las referidas fórmulas empleando d i c h a regla.

69. Estas fórmulas justifican otras tantas reglas para calcular el capital, o el tiempo, o la razón. Así, por ej., la primera origina la siguiente REGLA. — El CAPITAL se calcula multiplicando el interés por 100 y dividiendo el resultado por el producto del tiempo expresado en años por la razón. Como ejercicio, enuncie el estudiante las reglas respectivas para calcular el tiempo y la razón.

43

70. Resolución de problemas. — En las cuatro fórmulas recientemente halladas, el tiempo i se expresa en un número entero de años. Por consiguiente, si en un problema, el tiempo es, por ejemplo, 5 meses, tendremos t = 5/12: si el tiempo es 18 días, tendremos t = 18/360; si el tiempo es 3 años, 7 meses y 25 días, tendremos: t = 3 + 7/12 +25/360= = 1315/360 ; etc. Sustituyendo cualquiera de estos valores de t en las fórmulas del interés, resulta fácil ver que, si el tiempo se expresa en meses, o días, él número 100 de las fórmulas debe multiplicarse por 12, o por 360, respectivamente. PROBLEMA I. — ¿Cuál es el interés de $ 8 3 5 0 colocados al 4 rante 2 años y 8 meses? Aplicando la fórmula fundamental, en la que t = 2 8 resulta: a

m

½ % du=

m

32 .

8 3 5 0 × 3 2 × 4 , 5

I

=

=

1002 ;

el interés es, pues: $ 1 0 0 2 .

1 0 0 × 1 2

PROBLEMA I I . — ¿Qué capital se colocó al 6 % para producir de interés en 5 años? A p l i c a n d o la p r i m e r a de las fórmulas ( N . ° 6 8 ) , t e n e m o s :

$ 240

240×100

C

=

=

8 0 0 ; el capital es de $ 8 0 0 .

5 × 6

PROBLEMA I I I . — ¿Durante cuánto tiempo ha sido colocado un capital de $ 1 2 5 0 0 al 5 % % para obtener un monto de $ 1 3 0 5 0 ? Restando el capital al monto, tenemos el interés: I

=

13 050 —

12 500 =

550

A p l i c a n d o luego la segunda d e las fórmulas del ( N . ° 6 8 ) , resulta: I =

( 5 5 0 × 1 0 0 ) : (12 5 0 0 × 5 , 5 ) =

0,8 años

Este tiempo, que está expresado en años, podemos reducirlo a días, multiplicándolo por 360, y tendremos: d

d

m

d

t = (0,8×360) = 288 , o sea, también, t = 9 18 PROBLEMA IV. — A un capitalista le proponen, para renta, una de las siguientes propiedades: Una casa que cuesta $ 8 5 0 0 0 y produce $ 850 de alquiler mensual; una segunda propiedad que cuesta $ 7 2 0 0 0 y produce $ 8 0 0 mensualmente; una tercera que cuesta $ 1 0 0 0 0 0 y produce $ 9 5 0 sensualmente. ¿Cuál es la adquisición más c o n v e n i e n t e ? La que produce mayor tanto por ciento, es la más conveniente a los efectos de colocación de dinero para renta. Para resolver el problema emplearemos, pues, la tercera de las fórmulas del ( N . ° 6 8 ) , obteniendo en este caso, el tanto por ciento mensual: R

=

( 8 5 0 × 1 0 0 ) : 85000 = R"

=

1,000;

R'

( 9 5 0 × 1 0 0 ) :

=

( 8 0 0 × 1 0 0 ) : 72000 =

100000 =

1,111

0,950

Resultando R' m a y o r que R y que R", la a d q u i s i c i ó n m á s conveniente es pues la segunda. Si deseáramos calcular el % de renta anual, no habría más que multiplicar los resultados anteriores por 12; para la segunda propiedad, e n c o n t r a r í a m o s el 13 1/3 %.

44

NOTAS

HISTÓRICAS

La nvmeración. — Los pueblos primitivos contarían los objetos que cambiaban entre sí para sus usos, marcando signos sobre los troncos de árboles y sobre los huesos de animales. Los chinos contaban los objetos mediante nudos que hacían en cuerdas especiales, y también mediante piedrecillas que coleccionaban convenientemente. Los babilonios usaban un sistema de numeración bastante perfeccionado, como lo atestiguan tablas que datan de más de 2000 años antes de J C. En la época del romano Boecio (siglo V ) , ya se aplicaba el principio del valor relativo de nuestro sistema de numeración decimal. Se utilizaba en los cálculos un dispositivo que se llamaba Mesa pitagórica, que más tarde fué llamada "abaco''. Cada ficha del abaco llevaba escrito, en carácter especial, un signo representativo de cada uno de los nueve primeros números; a continuación reproducimos dichos signos

Se dejaba vacía la ranura correspondiente al orden de unidad que faltase. Hubiera bastado con agregar a los nueve símbolos, otro que representase el cero, para llegar así a nuestra numeración escrita. El sistema de numeración moderna, basado en la colocación de las cifras y en el uso del cero, se empleó inicialmente en la India; en el siglo V I I I llegó a conocimiento de los árabes, quienes lo trasmitieron a Europa en el siglo X I I I por intermedio del matemático italiano Leonardo de Pisa. En cuanto a los signos 4, 5, 6, 7, 9, y aun el 8, parece que han derivado de las letras iniciales de las palabras correspondientes del alfabeto indio, usado por el año 150 a J . C , mientras que loa signos para los números 1, 2 3, parecen derivarse de uno, dos, tres trazos de pluma escritos en cursivo. En cuanto al cero, parece que, inicialmente, los órdenes se indicaban con puntos; por e j . : 3. = 30; 5.-. = 5 000, etc.; es probable, pues, se hayan transformado dichos puntos en pequeños circuios. }

Los signos. — Los actuales signos se adoptaron después de conocerse el cálculo aritmético. El signo de igualdad = fué empleado FRANCISCO VIETA inicialmente por el matemático inglés Roberto (1540-1603) Recorde a mediados del siglo X V I , justificandolo así: " N a d a hay más igual que dos rayas iguales y paralelas". Los signos de desigualdad. > y < , fueron empleados por primera vez por el inglés Harriot, a mediados del siglo X V I . El empleo de las letras para representar los números en la forma sistemática actual, se debe al matemático francés Francisco Vieta (siglo X V I ) , creando con ello el Algebra elemental, hermosa rama de la Matemática que se estudiará en el próximo curso.

45 Las proporciones. — E l r o m a n o Boetio razón entre dos n ú m e r o s a s í : 2:3,

ratio

(475-524)

designaba

la

subsesquialtera

Análogamente, el inglés Wallis (1616-1703), en su presa una razón así: 4 3/7: 1 ratio quadruplo super triparticus séptima

"Algebra"

ex-

El signo : empleado para representar una razón lo empleó inicialmente el inglés Oughtred, en su obra "Cañones S i n n u m " ( 1 6 5 7 ) . Matemáticos árabes del siglo X V , empleaban el signo . - . en lugar de los dos puntos, y aun en lugar del signo = que empleamos actualmente para igualar las dos razones de una proporción. El italiano Tartaglia (1537) escribía una pro porción así: 1 6 / / 8 / / 8 / / 4 , y Oughtred (1631) 16.8 : : 8 . 4 . GODOFREDO LEÍBNTZ La notación actual, 1 6 : 8 = 8 : 4 , la intro(1646-1716) dujo el alemán Leibniz (1693), el que comparte con Newton la genial creación del Cálculo infinitesimal, rama de las mas hermosas de la Matemática Superior. Regla de tres. — Los hindúes y los árabes ya empleaban frecuentemente la regla de tres, para la resolución de problemas de matemática comercial. Merece destacarse la obra del hindú Bhaskara (1114-1185), titulada " L i l a v a t i " ; era un excelente tratado de aritmética que, entre otros muchos puntos, trataba de las reglas de tres simple y compuesta (en diversos casos), de los problemas de interés, descuento, cambios, etc. El italiano Leonardo de Pisa, llamado también Fibonacci (hijo d« Bonachón), introduce en Europa la ciencia oriental. Con su famosa obra " L i b e r Abaci" ( 1 2 0 2 ) , difunde el empleo de la regla de tres, llamada en aquella época, regla de los tres números conocidos, o regla de los mercaderes, o regla magistral, o regla de la proporción, o regla áurea. Uso primitivo del interés. — La práctica de pagar intereses es probablemente tan antigua como la moneda misma, pues, el cobro de los intereses por el uso del dinero, es tan inevitable como el cobro de la renta por el uso de una casa, un campo o cualquier otra propiedad. Los primeros documentos de transacciones con intereses aparecen en Babilonia, y datan por lo menos de 2000 años antes de J. C. En aquel tiempo, el capital consistía en productos, tales como el grano, aceite, vino de dátiles, ganado, etc., y el interés se pagaba ya en grano, ya en dinero. Pagarés primitivos, dados por arrendatarios a los dueños de la propiedad, estipulaban un interés que hasta llegaba a un 40 % anual; hay pruebas de que en algunas ciudades existía una tasa legal obligatoria. Regulación de la tasa. — Aunque el cobro de los intereses se usaba en Grecia, India y China, es menos importante en la Historia de las matemáticas comerciales, que la regulación de la tasa en la época romana y en la Edad Media.

46 El primer código romano (451 a 449 a. J. C.) restringía la tasa a un duodécimo del capital, por año. En fecha posterior, Cicerón, consideraba como extorsión el 48 % que pedía Bruto, y fijaba la tasa para la provincia de Cilicia en un 12 %. A principios de la Era Cristiana, el 25 % era la tasa legal máxima. Quinientos años más tarde, el Emperador Justiniano no permitía interés mayor del ½% mensual, o sea el 6 % anual. Origen de la expresión "por ciento". — La idea de computar el interés o las pérdidas y ganancias en un tanto por ciento, quizás sea el resultado de los impuestos romanos que se valoraban en 1/25, 1/20 , 1/100 . El italiano Nicolás Tartaglia, en su " T r a t tato dei n u m e r i e m i s u r e " , publica una interesante colección de problemas referentes a matemática comercial, los que, indirectamente, proporcionan algunas referencias sobre las costumbres comerciales en aquella época. Así, por ejemplo, encontramos que el interés del dinero, para su colocación en renta segura, variaba del 5 al 12 % anual; mientras que el interés para transacciones comerciales era del 20 % anual o más. Durante el siglo X V I , el interés que era del NICOLÁS TARTAGLIA 26 al 28 % , fué regulado y disminuyó al 10 % (1500-1557) en el reinado de Enrique V I I I , y al 8 % en el siglo X V I I . Durante la Edad Media se divulgó la práctica de computar las pérdidas y ganancias en un tanto por ciento. Las palabras " p e r c e n t o " se abreviaban de diversas maneras. Se transformaron en "p. cento", en p . 100, o p . cent., y otras varias n o t a c i o n e s hasta l l e g a r al símbolo actual % .

NUEVA ACUÑACIÓN DE MONEDAS a

Al editarse la presente 2. edición de este libro ya ha entrado a regir una nueva ley de emisión de nuestras monedas (de fecha 2-XII-1965), por la que se modifica la que publicáramos en la página 22. Conforme la misma, las características para la actual moneda metálica de nuestro país son las siguientes: Monedas confeccionadas con una aleación de bronce-aluminioníquel, y monedas divisionarias de aluminio. Las de bronce-aluminio-níquel tendrán valores sellados de $ 10,00, $ 5,00 y $ 1,00, con 28, 25 y 22 mm. de diámetro, y 9, 7 y 5 g. de peso, respectivamente. La aleación a emplear estará formada de 92 % de bronce, 6 % de aluminio y 2 % de níquel puro. Las de aluminio tendrán valores sellados de $ 0,50 y $ 0,20 con 23½y 20½ mm. de diámetro, y 2 y 1½ g. de peso, respectivamente. La tolerancia en el peso de las monedas será para las de bronce-aluminio-níquel de 1 ½%, y para las de aluminio de 5 % .

CAPÍTULO II

" D i o s creó los números naturales; el resto e s obra de los h o m b r e s " . KRONECKER " D e b e de haber pasado largo tiempo hasta descubrir que una pareja de faisanes y un par de d í a s son ejemplos del número d o s " . BERTRAND RUSSELL

NUMERO NATURAL Noción de conjunto 71. Unidad y conjunto. — Desde la escuela primaria, el estudiante ya tiene el concepto intuitivo de unidad y de conjuntos, como lo veremos en los ejemplos siguientes. Los espectadores de un partido de fútbol, los alumnos de una clase, las páginas de un libro, las perlas de un collar, los meses de año, etc., son ejemplos de conjuntos. Cada espectador, cada alumno, cada página, cada perla, cada mes, se llama elemento del conjunto, o UNIDAD. Por consiguiente, la consideración de sus elementos nos da idea de pluralidad. En un conjunto, los elementos pueden ser de la misma especie, o de distinta especie, como por ej. los diversos objetos contenidos en un cajón. Podemos decir, pues, que CONJUNTO es toda colección de objetos de la misma, o de distinta especie. Simbólicamente, el conjunto de los cinco dedos de una mano pueden representarse con cinco signos convencionales, como indicamos en la figura siguiente:

A

B

C

D

E

o bien o también Las ideas de unidad y de conjunto son relativas. Así, hemos puesto como ejemplo de conjuntos los días del mes; pero a su vez el día puede ser considerado como un conjunto de horas; la hora como un conjunto de minutos. El primer conjunto nombrado lo consideramos de orden superior al segundo (días); éste de orden superior al tercero (horas), y así sucesivamente.

48

72. Ordenación en los conjuntos. — Un conjunto es ordenable cuando es posible dar un criterio que permita de­ cir, dados dos elementos cualesquiera, cuál de ellos es ante­ rior. Así, los alumnos de una clase constituyen un conjunto ordenable con respecto a la estatura entendiendo, por ej., que entre dos alumnos, el de mayor (o menor) estatura es ante­ rior al otro; de lo contrario el conjunto es no ordenable. El criterio de orden posee la propiedad transitiva: Si un elemento es anterior a otro y éste lo es a un tercero, el primero lo es al tercero. 73. Conjuntos finitos e infinitos. — Si todos los elemen­ tos de un conjunto ordenable pueden ser considerados, uno por uno, en determinado tiempo, el conjunto se dice que es finito. Así lo son los conjuntos de volúmenes de una biblio­ teca, el de alumnos de una clase, etc. De lo contrario el con­ junto es infinito Así lo son los infinitos puntos de una recta, los radíos de una circunferencia, etc. 74. Comparación de conjuntos. — Representemos los dos conjuntos a comparar con las letras M y N, respectiva­ mente. Pueden presentarse tres casos: 1.° Que todo elemento del conjunto M se encuentre eu el conjunto N, y viceversa (fig. a). 2.° Que los conjuntos M y N tengan solamente algu­ no o algunos elementos comunes (fig. b). 3.° Que M y N no tengan ningún elemento común (fig. c). En el primer caso (fig. a) decimos que los conjuntos son iguales. El conjunto formado por las letras A, B, C, D, E, es igual al formado por las letras E, B, C, D, A. Caso 1.° Conjunto M

A B C D E Conjunto N

E B C D A (fig. a)

Caso 2.° Conjunto M

A B C D E F G H Conjunto N (fig. b)

49

Caso 3.° Conjunto N

Conjunto M

A

B

E F G H

C D (fig. c )

En el segundo caso (fig. b) decimos que el conjunto formado por los elementos comunes es parcial con respecto al conjunto M, y parcial con respecto al conjunto N. En el caso de la figura el conjunto formado por las letras D, E, F es parcial con respecto a cada uno de los conjuntos M y N; también decimos que es un subconjunto de M y N. En el tercer caso (fig. c) decimos que los conjuntos M y N son diferentes o disjuntos. Así el conjunto formado por las letras A, B, C, D es diferente al formado por las letras E, F, O, H.

Correspondencia biunívoca entre conjuntos 75. Coordinación de conjuntos. — Así como hemos introducido los conceptos primarios de unidad y de conjunto (N.° 71), estableceremos ahora el de correspondencia entre los elementos de un conjunto M y los de otro conjunto N. Esta correspondencia resulta bien determinada cuando nos dan un criterio que permita saber cuál o cuáles elementos del conjunto N corresponden a cada elemento del conjunto M. Ilustremos el concepto con un ejemplo: A una reunión familiar concurre un conjunto de personas llamadas Raúl, Felipe, Carlos y Juan, que dejan en el guardarropa de la casa los abrigos de colores respectivos: azul, negro, gris y marrón. Al retirarse, cada persona retira su abrigo, sin que quede persona alguna sin su abrigo, ni abrigo sin su dueño. Decimos entonces que entre el conjunto de personas y el conjunto de abrigos existe una correspondencia perfecta, o BIUNÍVOCA, que también se llama coordinación. Se llaman elementos homólogos los que se corresponden. Así, por ej., son homólogos los elementos Raúl y abrigo azul. 4.—ARITMÉTICA

1er.

AÑO

—

Coppetti

50

Generalizando podemos decir que Dos conjuntos M y N son COORDINABLES cuando entre sus elementos se puede establecer una CORRESPONDENCIA BIÜNIVOCA, de modo que cada elemento de M tenga uno sólo correspondiente u homólogo en N, y cada elemento de N tenga uno sólo en M. 76. Postulados sobre la coordinación de conjuntos. 1.° Dados dos conjuntos coordina-bles, si a cada uno se agre­ ga, o se quita, un nuevo elemento, los conjuntos que se obtie­ nen son también coordinables. Así por ej., dados los conjuntos coordinables de la primera de las figuras que siguen, lo son también los de la segunda y tercera, pues éstos se obtienen agregando, o quitando, res­ pectivamente, un elemento a los conjuntos dados. Conjunto dado

Conjuntos resultantes

A B C D

A B C D E

A B C

A B C D

A B C D E

A B C

2.° Dados dos conjuntos finitos, o son coordinables, o uno de ellos es Coordinable con parte del otro. Así, por ej., si tenemos un conjunto de botellas y un con­ junto de tapones, y nos proponemos colocar un tapón en cada botella, puede suceder que: a) Cada botella tenga su tapón (fig. a). b) Alguna botella quede sin tapón (fig. b). c) Después de tapar todas las botellas, sobren algunos ta­ pones (fig. c).

(fig.

a)

(fig.

b)

(fig.

c)

51

En el caso (a), los dos conjuntos son coordinables. En el caso (b), sólo una parte del conjunto de botellas es Coordinable con el de tapones. En el caso (c), sólo una parte del conjunto de tapones es Coordinable con el de botellas. 3.° Si dos conjuntos finitos son coordinables de cierto modo, la coordinación será siempre posible de cualquier modo. 4.° Todo conjunto es Coordinable consigo mismo (Carácter idéntico). 5.° Si un conjunto es Coordinable con otro, este último es Coordinable con el primero (Carácter recíproco). 6.° Si un conjunto es Coordinable con otro, y éste es Coor­ dinable con un tercero, el primer conjunto es también Coor­ dinable con el tercero (Carácter transitivo). 77. Sucesión fundamental de conjuntos. — Sea la suce­ sión de conjuntos finitos que presentamos en el esquema que sigue: A

A,B,

A,B,C,

A,B,C,D . . . .

conjunto conjunto vacío de un solo elemento

La primera de las llaves se refiere a un conjunto sin elementos, y se llama conjunto vacio, o conjunto nulo; la segunda, a un conjunto de un solo elemento; la siguiente tiene un elemento más que la anterior; y así sucesivamen­ te. Esta sucesión de conjuntos se llama sucesión fundamen­ tal de conjuntos finitos. 78. En esta sucesión no hay dos conjuntos que sean coordinables entre sí. Todo conjunto finito es Coordinable con uno, y sólo con uno de los conjuntos de la sucesión fun­ damental.

La sucesión de números naturales 79. Concepto de número natural. — En la (fig. a) que sigue se representan un conjunto de esferas y un conjunto de triángulos, coordinables a su vez con el conjunto de le­

52

tras A, B, de la sucesión fundamental, y, por consiguiente, coordinable entre sí, en virtud del Postulado 6.° del (N.° 76).

A

B

(fig.

a)

A B C

(fig.

b)

A B C D

(fig.

c)

En la (fig. 6) se representan varios conjuntos de obje­ tos, coordinables a su vez con el conjunto de letras A, B, C de la sucesión fundamental 7, por consiguiente, coordinables entre sí. En la (fig. c) se representan varios conjuntos coordina­ bles con el conjunto de letras A, B, C, D de la sucesión fun­ damental, y, por tanto, también coordinables entre sí. Continuando análogamente podríamos imaginarnos otros conjuntos de cosas que fueran coordinables, respectivamente, con los conjuntos sucesivos de la sucesión fundamental A, B, C, D, E; A, B, C, D, E, F, . . . etc. Podríamos también imaginarnos varios conjuntos de un solo elemento que fueran coordinables con el conjunto de la letra A de la sucesión fundamental. También podríamos imaginarnos varios conjuntos vacíos, que serían coordinables con el conjun­ to nulo de la sucesión fundamental. La coordinación de los conjuntos a que se refiere la (fig. a) nos sugiere la idea del DOS. Análogamente la coordinación representada en la (fig. b) nos sugiere la idea del TRES; en la (fig. c) la idea del CUATRO. Análogamente para otros ejemplos que podríamos imaginar de coordinación con otros conjuntos de la sucesión fundamental, nos sugeriría la idea del CINCO, del SEIS, . . . así como del UNO y del CERO. Estos conceptos de cero, de uno, de dos, de tres, . . . etc., son conceptos abstractos que nos representan, respectivamen­ te, la propiedad común de todos los conjuntos coordinables entre sí. Dichos conceptos se llaman NÚMEROS NA­ TURALES.

53

80. Serie o sucesión de números naturales. — Cada con­ junto de la sucesión fundamental representa, pues, un niímero, que llamamos, respectivamente: cero, uno, dos, tres, cuatro, cinco, . . . etc. y los representamos con los siguientes signos, 0 , 1, 2, 3, 4, 5, Los puntos suspensivos se utilizan para indicar que el con­ junto de números continúa indefinidamente. Esta sucesión es lo que se llama serie, o sucesión de los números naturales. Estas palabras (cero, uno, dos, tres, . . . ) , y estos signos (0, 1, 2, 3, . . . ) no son los números naturales, sino la manera de expresar y representar los números naturales. Así, al de­ cir cuatro, significa un vocablo con el cual expresamos la propiedad común a todos los conjuntos coordinables con el conjunto A, B, C, D de la sucesión fundamental. Al escri­ bir 6, significa un signo representativo de la propiedad común a todos los conjuntos coordinables con el conjunto A, B, C, D, E, F de la sucesión fundamental. 81. La serie de números naturales es ilimitada, porque al llegar a un número cualquiera siempre se puede obtener un número siguiente. Dos números que se suceden en esta serie se llaman núme­ ros consecutivos en la sucesión de los números naturales. POSTULADO. — Cada número natural tiene un siguiente, y sólo uno.

Número cardinal de un conjunto 82. Consideremos, por ej., el conjunto de asientos de una sala de cine, y el conjunto de espectadores que se proponen ocupar asientos. El boletero vende un conjunto de entradas (o boletos), cada una de las cuales entrega a cada espectador, y éste, a su vez, ocupa un asiento. Cada persona ocupará así un asiento y, al llegar a vender todas las entradas, todos los espectadores tendrán su asiento. El conjunto de asientos y de espectadores son coordinables con el conjunto de entradas. Se ha realizado así la operación de contar empleando como conjunto de referencia el de la sucesión de los números na­ turales, empezando por 1.

54

Al contar los elementos de un conjunto siempre se llega a un número natural, denominación que se justifica por ser el número que naturalmente se encuentra al contar un conjun­ to de elementos. El número que corresponde al último elemento contado se llama número cardinal del conjunto. 83. Postulados sobre el número cardinal. — Como se evidencia en las figuras que siguen, el número cardinal del conjunto de letras que componen la palabra "Artigas", o sea del conjunto A, B, T, I, O, A, 8 es 7; decimos que ese nú­ mero representa el conjunto.

ARTIGAS

ARTIGAS

ARTIGAS

1234567

7654321

4153276

7

7

7

POSTULADO I. — El número cardinal de un conjunto es el mismo cualquiera que sea el orden como se cuenten sus ele­ mentos. En la primera de las figuras que anteceden contamos de izquierda a derecha; en la segunda, de derecha a izquierda, y en la tercera, en cualquier orden. En todos los casos el nú­ mero correspondiente al último elemento contado es siempre el 7, siendo éste el número cardinal del conjunto. POSTULADO I I . — Todos los conjuntos coordinables tienen el mismo número cardinal, aún siendo sus elementos de na­ turaleza diferente. Consideremos los tres conjuntos del esquema que sigue: animales (rana, pato, elefante, caballo); letras de la pala­ bra MANO; colores de dichos animales (verde, blanco, gris, marrón).

55 Vemos que el conjunto de animales está coordinado con el conjunto de letras, y con el conjunto de colores, los que a su vez están coordinados con el conjunto de números naturales del 1 al 4. Decimos entonces que 4 es el número cardinal de estos tres conjuntos.

Rana M Verde I

Caballo O Marrón 4

Pato Elefante N A Blanco Gris 3 2

84. Como consecuencia de estos dos postulados tenemos: El número cardinal representa todos los conjuntos coordi­ nables entre sí, haciendo abstracción de la naturaleza y del orden como se cuenten los elementos. 85. Número ordinal. — Al contar los elementos de un conjunto, por ej. las letras de la palabra UNIVERSAL, el número natural que corresponde a cada elemento se llama número ordinal.

U N I V E R S A L 1 2 3 4 5 6 7 8

9

Vemos que contando de izquierda a derecha, a la letra TJ le corresponde el número natural 1, y decimos entonces que dicha letra es la número 1 del conjunto, o el primer ele­ mento. A la letra N le corresponde el número 2, y decimos que es el segundo elemento del conjunto; a la letra I le corres­ ponde el número 3, y decimos que es el tercer elemento; etc. Si contamos en otro orden, por ejemplo en orden alfabé­ tico, en el esquema que sigue se indican los números erdinales que corresponden a cada letra:

U N I V E R S A L 8 5 3 9 2 6

7

1 4

56

Vemos que a la letra A le corresponde el número 1, y de­ cimos que es la primera; a la E le corresponde el número 2, y decimos que es la segunda; y así sucesivamente. Al contar los elementos de un conjunto finito, establece­ mos, pues, implícitamente una ordenación entre sus elemen­ tos, lo que justifica la denominación empleada de número ordinal. Los números ordinales también se representan con la no­ tación 1.°, 2.°, 3.°, 4.°, . . . etc.; pero en la práctica suele suprimirse la o superior derecha de la abreviatura, pues no hay confusión al decir, por ej., al referirnos al número or­ dinal de la página de un diario, página 4, en lugar de 4 . . A

86. Como resumen de los conceptos que acabamos de dar sobre número cardinal y número ordinal, tenemos: El número cardinal es el número ordinal correspondiente al último de los elementos contados de un conjunto e indica, pues, cuántos son sus elementos; mientras que el número ordinal se refiere a un elemento cualquiera del conjunto te­ niendo en cuenta el orden prefijado del conteo e indica, pues, el lugar que ocupa ese elemento en el conjunto.

E J E M P L O . — E n un salón de clases, a c a d a a l u m n o se le de­ signa c o n el n ú m e r o de lista, y se e s t a b l e c e que c a d a uno de ellos d e b a o c u p a r el asiento que tiene el m i s m o n ú m e r o de la lista. Si todos los asientos están o c u p a d o s , p a r a saber c u á n t o s a l u m n o s hay en clase basta mirar en la lista el n ú m e r o de orden que c o r r e s p o n d e al último asiento, que en el c a s o de la figura es 32; éste es el número cardinal del c o n j u n t o de asientos y a la vez el ordinal del ú l t i m o asiento. Si algunos asientos están d e s o c u p a d o s y e l p r o f e s o r desea s a ­ b e r quiénes s o n l o s a l u m n o s que han faltado a c l a s e , bastará que busque en la lista los n ú m e r o s c o r r e s p o n d i e n t e s a l o s lugares no

57 o c u p a d o s . A s í , en la figura se o b s e r v a la falta de los alumnos c o r r e s p o n d i e n t e s a los lugares 3 y 6 (la n u m e r a c i ó n ha sido e s t a ­ b l e c i d a de izquierda a d e r e c h a ) ; éstos son números ordinales.

87. Números naturales concretos. — Si al contar los ob­ jetos de un conjunto, tenemos en cuenta (o concretamos) la especie de los mismos, por ejemplo, si decimos: siete casas, siete lápices, siete libros, enunciamos así números concretos. Análogamente si decimos: cinco metros, ocho gramos, dos pesos, abreviamos su escritura así: 5 m. , 8 g. , 2 $ (también se escribe $ 2). El número natural que precede la abreviatura se llama coeficiente, y el símbolo representativo se llama unidad sim­ bólica. Los coeficientes en los últimos ejemplos son, respec­ tivamente: 5, 8 y 2; las unidades simbólicas son: m., g. y $ . Por el contrario, si prescindimos (o hacemos abstracción) de la especie de los objetos contados, enunciamos así núme­ ros abstractos. Por ejemplo, siete, es un número abstracto. 88. Magnitudes y cantidades. — Desde la escuela pri­ maria, el estudiante ya tiene los conceptos abstractos de lon­ gitud, área, volumen, capacidad, peso, tiempo, temperatura, velocidad, amplitud de ángulos, etc., que reciben el nombre de magnitudes. Los casos concretos que por observación y abstracción nos han conducido a los conceptos mencionados se llaman can­ tidades. Así, por ej., son cantidades: la longitud de una carretera o de una regla, la superficie de un campo o la de un cilin­ dro, etc., siendo las magnitudes respectivas: la longitud, la superficie, el volumen, la capacidad, el peso, etc. 89. Números homogéneos y heterogéneos. — En un con­ junto de dos o más números concretos pueden éstos ser ho­ mogéneos o heterogéneos. Son homogéneos los números concretos que representan estados de la misma magnitud. Así, por ej., lo son: 7 litros; 40 decilitros; 6 mililitros pues se refieren todos a una misma magnitud: capacidad. Son heterogéneos los números concretos que representan estados de diferente magnitud. Así, por ej., lo son: 15 mesas, o bien, 18 decalitros,

12 cuadernos, 9 kilómetros,

9 libros, 385 gramos.

58

90. Objeto de la Aritmética. — Es aquella parte de la Matemática que estudia las propiedades de los conjuntos independientemente de la naturaleza de sus elementos, es decir que estudia las propiedades comunes a todos los conjuntos que son coordinables entre sí. Como el número cardinal representa a todos estos conjuntos ( N . ° 8 4 ) , podemos dar, pues, la siguiente definición: La ARITMÉTICA es la ciencia que estudia las propiedades generales de los números y las especiales de ciertas clases de números. Para su estudio hacemos abstracción de todas las propiedades de las cosas que se estudian en otras ciencias, incluso la forma y tamaño (que se estudian en Geometría).

Igualdad de números naturales 91. Representación literal. — Para el estudio y enunciado de propiedades que trataremos en lo sucesivo, suelen representarse los números mediante letras, usándose generalmente las minúsculas del alfabeto latino: a , b , c , d , ... De esta manera, los razonamientos y propiedades serán generales, es decir, que serán válidos cualesquiera que sean los números que representan. Cuando, por alguna circunstancia especial, convenga repetir una letra, se la acentuará, escribiendo, a' , b' , c' , ... que se leen: a prima, b prima, . . . Cuando se repite por segunda vez, se pone, a" , b" , . . . que se lee: a segunda, b segunda, etc. 92. Definición. — Ilustremos el concepto con un ejemplo. Consideremos los conjuntos de bancos y de alumnos de una clase. Si todos los bancos están ocupados por alumnos, sin que queden alumnos sin ocupar bancos, ambos conjuntos están coordinados, y decimos que son iguales los números cardinales representativos de ambos conjuntos. Podemos dar, pues, la siguiente definición: NÚMEROS IGUALES son los que representan conjuntos coordinables.

Representando esos números con letras (con a el que repre­ senta el número de personas, y con b el que representa el nú­ mero de bancos), dicha relación de igualdad entre a y b se expresa simbólicamente así: a = b, y se lee, a igual a b. El número a que está a la izquierda del signo de igual­ dad ( = ) se llama primer miembro, y el b que está a la de­ recha, segundo miembro de la igualdad. Si un número a no es igual a otro, o sea cuando no exista coordinación biunívoca entre los elementos de los conjuntos que representan, decimos que es desigual, y se expresa así: a = b signo fácil de recordar pues es el signo de igualdad tachado (no igual).

Propiedades de las igualdades 93. Enunciado y expresión simbólica de los caracteres de igualdad. — Admitiremos como evidentes las siguientes pro­ piedades, que se llaman caracteres o leyes formales de la igualdad que, por otra parte, resultan justificadas por los cuatro últimos postulados de la coordinación de conjuntos que dimos en el (N.° 76). l.° Todo número es igual a si mismo (carácter idéntico). Simbólicamente, escribiremos: a = a . 2.° Si un número e$ igual a otro, éste lo es al primero (ca­ rácter recíproco, o simétrico). Si a = b , tenemos h = a . 3.° Si un número es igual a otro y éste, a su vez, es igual a un tercero, el primero es igual al tercero (carácter transi­ tivo). Si a = b y b = c , tenemos a — c . EJEMPLO. — Si en una clase existen tantas mesas como sillas y tantas sillas como alumnos, es evidente que existen tantas mesas como alumnos. 94. Consecuencias. — Los caracteres anteriores justifican las siguientes propiedades de las igualdades: 1. Se pueden invertir los dos miembros de una igualdad. 2. Si dos igualdades tienen un miembro común se puede formar otra igualdad con los otros dos miembros. a

a

60

Si a = b y c = b , tendremos: a = c . En este caso podemos escribir: a = b = c . Recíprocamente, una expresión como esta última, justifica cualesquiera de las igualdades últimamente establecidas. EJEMPLO. — Si tenemos, a = b = c = d = ... = m , podremos escribir: a = d , o bien, a = m,b = d,c = m, ... etc.

Representación gráfica de números naturales 95. Recta numérica. — Los números naturales se re­ presentan gráficamente por segmentos de recta. Así, en la fi­ gura que sigue supongamos que el segmento de recta MN re­ presente cierta unidad. Si sobre una semirrecta Ox, que se acostumbra colocar horizontalmente y con el origen a la iz­ quierda, llevamos a partir de O el segmento MN, una o más veces, tendremos segmentos compuestos de aquel segmento unidad. Por ejemplo, el segmento OC se compone de 3 unidades: el segmento OE de 5; etc.

Al punto O llamamos origen, y a los puntos C , E , F', . .. extremos de los segmentos O G , OE , OF , ... Los extremos de los segmentos O A, OB, OC, . . . represen­ tan entonces los números naturales 1, 2, 3, . . . etc. Podemos escribir OA = 1, OB = 2, OC = 3, . . . etc., y decir que el punto A representa el número natural 1; el punto B repre­ senta el número 2; el punto C, el número 3; el D, el 4; . . . ; el O el 7, y así sucesivamente. El punto O (origen) representa el conjunto nulo, y decimos que representa el número cero. Podemos decir, pues, que Los números naturales se pueden representar por puntos de una semirrecta. La semirrecta Ox se llama eje orientado (en el caso de la figura, la orientación es de izquierda a derecha).

61

La distancia del origen a cada uno de los puntos A, B, C, D, E, . . . etc., se llama abscisa del punto respectivo. Así el segmento O A es la abscisa del punto A; el segmento OB es la abscisa de B; ...; OF es la abscisa de F . Dicho de otra manera: la abscisa del punto A es 1 ; la abscisa de B es 2 ; . . ; la de F es 6, . . . etc. La abscisa del origen es O (cero). E J E M P L O S . — Si e m p l e a m o s en la figura que sigue, l e e m o s quier punto de la s e m i r r e c t a Ox; de R es 9, h a b i e n d o t o m a d o c o m o

la r e g l a g r a d u a d a que s e indica d i r e c t a m e n t e la a b s c i s a de cual­ la a b s c i s a de P es 4; de Q es 7; unidad el c e n t í m e t r o .

C o m o el estudiante y a tiene d e s d e l o s c u r s o s primarios la n o ­ ción de n ú m e r o d e c i m a l ( N . ° 1 0 ) , p o d r á e n t o n c e s leer la a b s c i s a de cualquier p u n t o ; de S es 2,5; de T e s 0,8 . C o m o o t r o e j e m p l o t e n e m o s la e s c a l a de un t e r m ó m e t r o . El n ú ­ m e r o que m a r c a la temperatura a leer es la a b s c i s a del e x t r e m o d e r e c h o de la c o l u m n a de m e r c u r i o .

Se cero) para de la

s o b r e e n t i e n d e que el o r i g e n de la e s c a l a (la temperatura está a la izquierda, p e r o fuera del t r o z o de e s c a l a utilizable t e r m ó m e t r o s c l í n i c o s . L a t e m p e r a t u r a que se l e e en el c a s o figura es 37,9 vale d e c i r 37 g r a d o s y 9 d é c i m o s .

La n o c i ó n de infinito n o es un misterio en se reduce a e s t o : después

de cada número

matemáticas;

natural,

hay

otro.

JULIO TANNERY

CAPÍTULO

III

" E l bienestar de l a s naciones está íntimamente ligado al progreso de la M a t e m á t i c a " . NAPOLEÓN

ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES Definiciones 96. Operaciones aritméticas. — El conjunto de procedimientos y reglas que nos enseñan a obtener, partiendo de dos o más números dados llamados cantidades conocidas o datos, otro número desconocido llamado resultado, es lo que se llama operación aritmética. Las operaciones aritméticas se clasifican en directas e inversas. Si con dos números dados (a) y (fe) se efectúa determinada operación aritmética obteniendo como resultado él numero (c), la operación que debe realizarse con (c) y con uno de los dos números dados para obtener el otro, se llama INVERSA de la primera. Las operaciones directas son: la adición (o suma), la multiplicación y la potenciación; las operaciones inversas: la sustracción (o resta), la división, la radicación (o extracción de raíz), y la logaritmación. La sustracción y la división son las operaciones inversas respectivamente de la adición y de la multiplicación; la radicación y la logaritmación son operaciones inversas de la potenciación. La adición, sustracción, multiplicación y división, constituyen el grupo de las CUATRO OPERACIONES FUNDAMENTALES. Estas cuatro operaciones se tratarán, en este curso, así como la potenciación y la definición de radicación. En el segundo curso se tratará más extensamente la radicación, y en el cuarto curso se estudiará la logaritmación. 97. Suma de conjuntos. — Sean los dos conjuntos de letras diferentes: A, B y C , D, E que deseamos reunir en un solo conjunto a todos los elementos que los forman, y sólo ellos. El resultado de la operación es el conjunto: A, B, C, D, E

63

Podemos decir, pues, que: Se llama CONJUNTO SUMA de dos conjuntos dados, que no tienen ningún elemento común, al conjunto formado por todos los elementos de dichos conjuntos, y sólo por ellos. Así, por ej., el conjunto de alumnos de una clase es el conjunto suma de alumnos varones y alumnas niñas. Las palabras: adicionar, sumar, agregar, son sinónimas. Todas significan efectuar la adición o hallar la suma. 98. Suma de números naturales. — Consideremos, por ej., dos conjuntos de números naturales cuyos números cardinales sean respectivamente 3 y 5, los que representamos er. el esquema siguiente: cuyo número cardinal es 3 """"5

Si reunimos ambos conjuntos, obtenemos el conjunto que sigue: cuyo número cardinal es 8. Decimos que 8 es la suma de 3 y 5, lo que se expresa así: 3+ 5 = 8 El signo de sumar es una cruz ( + ) , que se lee más, y se coloca entre los sumandos. En general, si representamos con a y con 6 dos números naturales cualesquiera y con $ su suma, se escribe así: a+ b= s Podemos entonces establecer la siguiente definición: SUMA de dos números naturales es el número cardinal del conjunto suma de los conjuntos componentes cuyos números cardinales son los de los números dados. EJEMPLO. — En un canasto tengo 6 manzanas y en otro 5. ¿Cuántas manzanas tendré si las pongo todas en un canasto? Para contestar a esta pregunta, puedo reunir todas las manzanas, formando de los dos conjuntos uno solo, y luego contar: obtengo 11 manzanas. Pero también puedo proceder tomando una manzana de uno de los conjuntos j agregándola al otro; por ejemplo, tomando una del conjunto de 5

64

7 agregándola al de 6, y decir 6 y 1, 7; repito la misma operación 4 veces más diciendo sucesivamente: 7 y 1, 8; 8 y 1, 9; 9 y 1, 10; 10 y l, 11. liemos hecho una primera operación aritmética: Decimosqueel número de manzanas, de este único grupo es la suma de los números de manzanas de los conjunios considerados. 99. La segunda de las operaciones descriptas para ha­ llar la suma de los dos conjuntos, facilita la comprensión de la siguiente definición: Se llama SUMA DE DOS NÚMEROS al que se obtiene contando sucesivamente después del primero, tantos núme­ ros como unidades tenga el segundo. Por ejemplo, la suma de 8 con 4 es el número que se obtiene contando cuatro unidades consecutivas al número 8; se liega así al número 12, que se llama suma de 8 con 4 Los números cuya suma hay que hallar, se llaman suman­ dos o términos de la suma.

Propiedades 100. Propiedad de clausura. — En el Cap. II hemos tra­ tado los conjuntos que, como vimos, pueden agrupar diver­ sidad de elementos que se asemejan; por ej., el conjunto de alumnos de una clase, el de letras de una palabra, el de ciu­ dades de un país, el de los números naturales, etc. Nos referiremos ahora en particular a uno de esos con­ juntos: el de los números naturales, con lo que entendere­ mos! mejor lo referente al estudio de los conjuntos. Se trata de la idea de clausura. Si representamos con la letra N ese conjunto de todos los números naturales, lo anotamos así: N [ 1, 2, 3, 4, 5 . . . ] el que gozará de la siguiente propiedad: Si sumamos dos números naturales cualesquiera, la suma es siempre un número natural. Así, por ej., 3 + 8 = 11, 25 + 104= 129, . . . y cada suma da siempre un número natural.

65

Para la adición tenemos la siguiente definición: Si la suma de dos elementos cualesquiera de un conjuau to es un elemento del mismo, decimos que el conjunto es CERRADO respecto de la adición. La adición goza, pues, de la propiedad de clausura. Conforme la propiedad enunciada, decimos que el conjunto N es cerrado respecto de la adición. Si consideramos, por ej., el conjunto M [ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ] , no es cerrado respecto de la adición, puesto que podemos hallar dos números en el mismo cuya suma no se encuentre en el conjunto; así, por ej., 3 + 5, cuya suma 8 no está en M. E J E M P L O S . — D e s d e la escuela p r i m a r l a el estudiante sabe cuáles son números pares y números impares. A s í , p o r e j . , sea P [2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . ] el conjunto de todos los n ú m e r o s p a r e s . Si s u m a m o s dos cualesquiera d e estos números, la s u m a es también un n ú m e r o p a r ; p o r c o n s i g u i e n t e p o d e m o s decir que el c o n j u n t o P es cerrado respecto de la a d i c i ó n . E l conjunto R [11, 12, 13,, 1 4 ] no es cerrado respecto de la adición, porque existen por l o m e n o s d o s elementos c u y a s u m a ya n o es elemento del c o n j u n t o R. A s í , p o r e j . , 11 -f- 12 = 2a es diferente de cualquier elemento de R.

101.

En general, tenemos:

Un conjunto es CERRADO respecto de una operación, si combinando dos elementos cualesquiera de ese conjunto mediante dicha operación, el resultado es siempre un elemento del conjunto dado. N O T A . — En Capítulos siguientes veremos que el conjunto de números naturales es cerrado respecto de la multiplicación, pero no lo es respecto de la división y de la sustracción. Al tratar los números racionales (Cap. XIV) veremos que el conjunto de dichos números es cerrado respecto de la adición y de la multiplicación.

102. Propiedad uniforme. — Consideremos las sumas de números concretos siguientes: 3 puertas

+ 5 puertas = 8 puertas

3 mesas

+ 5 mesas

— 8 mesas

3 peras

+ 5 peras

= 8 peras

5.—ARITMÉTICA

1er.

AÑO

—

Copoetri

66

Es evidente que, cualquiera que sea la naturaleza de los conjuntos sumados, siendo 3 por un lado y S por otro, resulta siempre 8, como suma. Obtenemos, pues, un resultado único, aun prescindiendo de la naturaleza de los objetos sumados, circunstancia esta última que nos permite elevarnos de la suma de números concretos a la de números abstractos, y escribimos: 3 + 5 = 8 . La unicidad del resultado de la suma justifica la siguien­ te propiedad: La suma de dos números dados tiene un valor único. 103. Propiedad conmutativa. — Ilustremos esta propie­ dad mediante un ejemplo. Si en la siguiente suma: 6 libros + 3 libros + 4 libros = 13 libros alteramos el orden de los conjuntos sumandos, el conjunto suma no varía porque contiene el mismo número de elemen­ tos. Así, por ej., tenemos: 3 libros + 6 libros + 4 libros = 13 libros 6 libros + 4 libros + 3 libros = 13 libros Podemos expresar este hecho escribiendo: 6 + 3+ 4= 3 + 6+

4

= 6 + 4 + 3 = ... -

13

Como este razonamiento puede repetirse para cualesquiera

67

que sean los números, podemos, pues, representarlos con letras (N.° 91), y poner: a + b+ c + d =c + b+ d + a= d + c + a + b =

...

Esta igualdad origina el siguiente enunciado general: El valor de una suma no cambia, si se altera el orden de los sumandos. La denominación de conmutativa para esta propiedad, pro­ viene de la palabra conmutar, o sea, cambiar entre sí los sumandos. Como comprobación gráfica de esta propiedad, véase el es­ quema que sigue que muestra la correspondencia entre los elementos de los dos conjuntos resultantes de sumar a + b + c y b + c + a, y en consecuencia la igualdad de estas dos úl­ timas sumas. a b c a+ b+ c

b

c

a

b + c+a

104. Propiedad asociativa. — Supongamos, por ejemplo, que disponemos de cuatro bolsas que contienen: la primera, 7 manzanas, la segunda 2, la tercera 8, y la cuarta 9 ; nos proponemos reunir todas las manzanas en un solo cajón. Podemos proceder de distintos modos: l.° Verter en el cajón, sucesivamente, las manzanas de cada bolsa; esta operación se indica así: 7 + 2 + 8 + 9 2.° Verter en la segunda bolsa, las manzanas de la tercera, luego verter en el cajón, sucesivamente, las manzanas de la primera, segunda y cuarta bolsa; esta operación se in­ dica así: 7 + (2 + 8 ) + 9 3.° Verter en la primera bolsa las manzanas de la tercera, y en la cuarta bolsa las manzanas de la segunda, luego

68

verter en el cajón, sucesivamente, las manzanas de la pri­ mera y cuarta bolsa; esta operación se indica: (7 + 8) + (9 + 2) Así, sucesivamente, podríamos continuar variando la for­ ma de reunir las manzanas de cada bolsa. Cualquiera de los modos adoptados, u otro cualquiera que se empleare, daría como resultado que en el cajón se encon­ traría siempre el mismo número de manzanas, porque en vir­ tud del Postulado del (N.° 83), en todos los casos el con­ junto suma contendría el mismo número de manzanas. Este hecho se puede expresar escribiendo la igualdad de las ex­ presiones antes indicadas, a saber: 7 + 2 + 8 + 9 = 7 + ( 2 + 8) + 9 = = (7 + 8) + (9 + 2) = . . . = 2 6 Como podemos repetir el razonamiento con otros números, empleando el lenguaje abreviado de las letras, tenemos: a + b + c + d = a +(b + d)+c=

... = (a + c + d) + b = ...

que origina el siguiente enunciado general: La suma de varios números naturales no altera si se sus­ tituyen dos o más sumandos por su suma efectuada. La denominación de asociativa para esta propiedad, pro­ viene de la palabra asociar, o sea, reunir varios sumandos. Como comprobación gráfica de esta propiedad véase el es­ quema que sigue, que muestra la correspondencia entre los elementos de los dos conjuntos resultantes de las sumas a + b + c + d y (a + c) + (b + d), y en consecuencia la igualdad de estas últimas sumas. a + b + c + d = (a + c) + (b + d) b

a +c

c

d

b+d

a+ b+c+d

(a + c) +(b+ d)

69 E J E M P L O . — E n c i e r t o j u e g o de cartas, J u a n h a tendido e n la m e s a 3 cartas, luego 2, y finalmente 4; P e d r o h a t e n d i d o primer a m e n t e 5 cartas y luego 4. ¿ C ó m o son los n ú m e r o s de cartas tendidas p o r c a d a j u g a d o r ?

L a figura evidencia que los j u g a d o r e s han tendido igual de c a r t a s : El primero: 3 + 2 + 4 = 9 El segundo:

(3 +

o sea, habiendo sustituido

(3 +

2) +

4 =

9

5 +

4 =

9

número

2 ) p o r su suma efectuada.

105. Paréntesis. — Obsérvese en los últimos ejemplos que se ha empleado el símbolo ( ) que se llama paréntesis. Generalmente, al encerrar una operación dentro de un pa« réntesis, significa que se desea calcular previamente el resultado de esa operación, para luego operar sucesivamente. Así, por ejemplo, si ponemos (5 + 3) + (13 + 24) significa que debemos calcular separadamente las sumas 5 + 3 = 8 y 13 + 24 = 37 , y luego sumar los resultados: 8 + 37 = 45 . Cuando un paréntesis debe encerrar otro, se le reemplaza por un paréntesis recto o corchete [ ] . Así, por ejemplo, si ponemos: [5 + (3 + 13)] + 24, significa que debemos calcular primeramente la suma 3 + 13 = 16, la que se agregará a 5, obteniendo 5 + 16 = 21 ; luego se agregará 24 a este resultado, obteniendo 21 + 24 = 45. También se emplean las llaves { } en lugar del paréntesis, cuando éste debe encerrar corchetes. 106. Una o más operaciones con números indicadas mediante los signos convencionales respectivos, constituyen una

70

expresión aritmética. Así, por ejemplo, lo son las siguientes: 3 + 5 + (6 + 2) + 1 ; [5 + (2 + 1)] + 3 107.

Propiedad disociativa. — La igualdad a + b + c + d = a+(b + d) + c que expresa la propiedad anterior, puede escribirse inver­ tida, en virtud del carácter recíproco de la igualdad (N.° 93), 2.°), y tenemos: a + (b + d) + c = a + b + c + d que nos permite enunciar aquella propiedad de este otro modo: Si dos o más sumandos están encerrados dentro de parénte­ sis, se pueden quitar dichos paréntesis; en otros términos: El valor de una suma no cambia si se sustituyen dos o más sumandos por otros, cuya suma sea igual a la de los primeros. EJEMPLO. —

9 =

1 + 8 = 7 +

Por

ser

7 =

4 + 5 = 9 = =

(3 + (3 +

3

+

4 =

2 +

5

=

. . . la suma 7 + 9 podrá escribirse asi: 4) + 4) +

9 = (1 +

7 + 8) =

(1 + ... =

8) =

...

16

La denominación de disociativa para esta propiedad, pro­ viene de la palabra disociar, o sea, en este caso, descomponer un sumando en otros. APLICACIÓN. — Esta propiedad recíproca de la asociativa, conjunta­ mente con ésta y con la conmutativa, se aplican frecuentemente en el cálculo mental, Así, p o r e j e m p l o , d e b i e n d o s u m a r 45 + 69, se efectúa m á s fácil­ mente la suma descomponiendo (disociando) los dos sumandos como sigue: 45 + 69 = (40 + 5) + (60 + 9 ) = (40 + 60) + (5 + 9 ) = = 100 + 14 = 114 En la práctica no se escriben todas estas igualdades, sino que se opera mentalmente así: decenas unidades 4 5 6 9 10

14,

es decir,

100 +

14 =

114.

En resumen se adicionan separadamente las cifras de las decenas, se reducen a unidades, y a éstas se les agrega la suma de las ci­ fras de las unidades.

71

108. Propiedades de las igualdades. Cancelación. Si tenemos la igualdad de sumas: b+ a= c+a en la que el sumando a figura una sola vtz en cada miem­ bro de la igualdad, podemos decir entonces que esas sumas son representativas de dos conjuntos coordinables; en conse­ cuencia, podemos aplicar el Postulado 1.° del (N.° 76) y su­ primir a cada uno de ellos un mismo número (o) y obtendre­ mos resultados iguales: b=c que nos justifica la siguiente propiedad de las igualdades: Si suprimimos un mismo número de ambos miembros de una igualdad, obtenemos otra igualdad. La denominación de cancelación para esta propiedad pro­ viene de la palabra cancelar, o sea de suprimir un sumando en cada miembro de la igualdad. NOTA. — Esta propiedad tiene aplicación en la simplifica­ ción de una igualdad, cuando permite esa cancelación. 109. La aplicación del mismo Postulado del (N.° 76) a la igualdad: b= c nos permite sumar un mismo número (a) a ambos miembros, v obtenemos: b + a= c+a que nos justifica esta otra propiedad de las igualdades: Si sumamos un mismo número a los dos miembros de una igualdad, obtenemos otra igualdad. Así, por ej., dada la igualdad: 3 + 12 + 7 = 22, tenemos esta otra? 3 + 12 + 7 + 4 = 22 + 4 . 110. Como corolario de la propiedad anterior, tenemos esta otra propiedad de las igualdades: Sumando miembro a miembro varias igualdades se obtiene otra igualdad.

72

Simbólicamente, siendo dadas las igualdades, a = a' , b = h' , c = c' sumándolas miembro a miembro (se dice también, sumándolas ordenadamente), se obtiene esta otra igualdad: a + b + c = a' + b' + c' EJEMPLO. —

Sean las d o s igualdades

2 +

5 =

7

,.

Sumándolas ordenadamente, 2+

5 +

4 +

4 +

siguientes: 6 +

1 =

8 +

7

+ 8 +

3

3

resulta: 6 +

1 =

igualdad ésta que se comprueba, efectuando las operaciones; llegamos a la expresión, 18 = 18 que, por tener sus dos miembros idénticos, se llama identidad.

111. Sumando cero (Neutro). — Como la agregación de un conjunto cualquiera (a) a un conjunto nulo es el primer conjunto, tenemos: a+0=0+a=a cualquiera que sea a. El número 0 que sumado con otro no lo altera se llama módulo de la adición. Por ser 0 el único número que cumple tal condición, se justifica pues la siguiente propiedad: El cero es el único número que sumado con cualquier otro, da una suma igual a éste. El número cero desempeña en la adición un papel neutro, vocablo que justifica la denominación de sumando neutro para el número 0. También se emplea dicho vocablo para designar la propiedad. Algunos autores llaman también al número cero elemento idéntico para la adición.

La adición en la recta numérica 112. Suma de dos números. — Sean, por ej., los números 5 y 3, cuya suma nos proponemos hallar gráficamente. Si sobre el eje orientado Ox, a continuación del segmento 0E = 5 llevamos 3 veces el segmento unidad MN, o sea que llevamos un segmento EH = OC = 3, obtenemos el segmento OH, a cuyo extremo H corresponde el número 8, es decir la suma 5 + 3.

73

El segmento OH representa, pues, gráficamente, la suma 5+ 3 Del ejemplo anterior, que también hubiera podido estable cerse en forma análoga para otros números, deducimos la siguiente REGLA. — Para SUMAR GRÁFICAMENTE dos números se emplea un eje orientado (por ejemplo, hacia la derecha); a continuación del segmento representativo de uno de loe lumandos, se lleva (siempre hacia la derecha), un segmento igual al representativo del otro sumando; el segmento que tiene por origen el del eje orientado y por extremo el del segundo sumando, representa, gráficamente, la suma pedida

Adición de más de dos sumandos 113.

Definición.

Se llama SUMA DE VARIOS NÚMEROS, la que se ob­ tiene sumando los dos primeros, luego sumando el resultado con el tercero, el nuevo resultado con el cuarto, y así suce­ sivamente, hasta que se hayan considerado todos los números. Así, la suma de los números 5, 3, 13 y 24 es el número que se obtiene sumando 5 con 3, el resultado con 13, y el Quevo resultado con 24. Pero, en lugar de escribir 5 + 3= 8; se escribe:

8 + 13 = 21 ; 21 + 24 . = 45 ;

5 + 3 + 13 + 24 = 45 .

74

Conforme al empleo del paréntesis que indicamos en el (N.° 1 0 5 ) , el proceso seguido en esta operación se indica, simbólicamente, así: [ ( 5 + 3 ) +

13 ] + 2 4 = 45

En general, representando con a, b, c, d, e números cualesquiera, tendremos por definición de suma: a+b

+ c + d+ e= { [ ( a + b ) + c ] + d} + e

E J E M P L O I. — En una casa de tres pisos habitan: 18 personas en la planta baja, 15 en el primer piso, 12 en el segundo y 14 en el tercero. ¿Cuál es el número de habitantes de la casa? El número pedido es: 18 + 15 + 12 + 14 = efectuando la suma de los cuatro números dados.

59,

obtenido

EJEMPLO I I . — Para indicar la suma de $ 5, con $ 3, con $ 13 y con $ 24, se escribirá indiferentemente: $ 5 + $ 3 + $ 13 + $ 24 = $ 45, o bien: $ ( 5 + 3 + 13 + 24) = $ 45

NOTA. — Obsérvese en los ejemplos anteriores que los términos de una suma y el resultado de la operación son números concretos homogéneos. 114. Como caso particular de la definición del ( N ° 113), cuando todos los sumandos son 1, tenemos: 1 + 1 =

2

1 + 1 + 1 = (1 + 1 ) + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 = (1 + 1 +

3

1 ) + 1 = 4

y, en general, n veces l + l + l +

...+l = n

En consecuencia tenemos. Guando todos los sumandos son 1, la suma es igual al número de sumandos. 115. NOTA. — Al referirnos en párrafos anteriores a distintas propiedades de la adición (prop. uniforme, conmutativa, asociativa, disociativa, etc.), no las limitamos al caso de dos sumandos, vale decir que se cumplirán aun en el caso de adición de más de dos sumandos.

75

Práctica de la adición 116. Procedimiento. — Si para hallar la suma de varios números de varias cifras aplicáramos el procedimiento indicado en la definición de suma (N.° 113), extendido el procedimiento para más de dos sumandos, tendríamos que contar sucesivamente después del primero, las unidades del segundo, a continuación de este resultado las unidades del tercero, y así sucesivamente; la operación resultaría excesivamente larga, por lo cual, en la práctica, se usa un procedimiento abreviado, que explicaremos mediante algunos ejemplos. 117. Suma de dos números de una cifra. — Desde los primeros años escolares, el T A B L A DE S U M A R alumno ya sabe sumar mentalmente dos números 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 de una cifra cada uno, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 sin tener necesidad de 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 aplicar la definición de suma (N.° 113). Ta ha 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 aprendido de memoria los 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 resultados de las sumas 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 de los nueve primeros nú7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 meros, los que se indican en una tabla, llamada 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 tabla de sumar. 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 La suma de dos núme 9 10 11 12 13 14 15 16 17 l8 ros se encuentra en la casilla de intersección de la columna encabezada con uno de los sumandos dados, y la fila que empieza por el otro sumando E J E M P L O . — Se suma 5 + 8, se encuentra en la casilla de intersección de la columna encabezada con el número 5, y la fila que empieza con el número 8. En dicha casilla leemos el número 13, que es la suma que buscábamos.

118. Suma de un número cualquiera con otro de una cifra. — Sea, por ej., la suma 46 + 7. Agregando como en el caso anterior, las 7 unidades del segundo número a las 6 del primero, se obtiene 13 unidades, o sea 1 decena y 3 unidades. Esta decena, sumada con las 4 decenas del primer número, da 5 decenas. La suma es, pues, 5 decenas y 3 unidades, o sea, 53.

76

En el proceso seguido hemos aplicado sucesivamente las propiedades disociativa y asociativa de la adición, y luego otra vez las mismas propiedades y en igual orden. 119. Suma de varios números cualesquiera.—Todo núme­ ro de varias cifras, puede considerarse como la suma de los valores relativos de las mismas; es decir, como la suma de las unidades de los distintos órdenes contenidas en el mis­ mo número. Así, por ej., propongámonos sumar los números 5764, 492, 4786. Para ello los descomponemos en las unidades de los distintos órdenes, y tenemos: 5764 = 5 millares + 7 centenas + 6 decenas + 4 unidades 492 =

4 centenas + 9 decenas + 2 unidades

4786 = 4 millares + 7 centenas + 8 decenas + 6 unidades Es natural que, sumando las once partes en que se han descompuesto los números dados, tendremos todas las unida­ des contenidas en los mismos, es decir, que tendremos la suma. Pero como estas partes pueden sumarse en cualquier orden (N.° 103); sumaremos primero las unidades, luego las dece­ nas, después las centenas y luego los millares. 5 764 Disponemos la operación como se indica al lado, 492 y empezando por la derecha, decimos: 4 unidades 4 786 y 2 son 6, y 6 son 12, es decir, 1 decena y 2 uni­ dades; escribo éstas en el orden de las unidades, 11 042 y llevo una decena para sumarla con las decenas de los números dados. Pasando a las decenas, decimos: 1 decena que llevaba y 6 son 7, y 9 son 16, y 8 son 24 decenas, es decir, 2 cente­ nas y 4 decenas; escribo las 4 decenas en su orden, y llevo 2 centenas para sumarlas con las de los números dados. Pasarnos a la columna de las centenas diciendo: 2 cen­ tenas que llevaba y 7 son 9, y 4 son 13, y 7 son 20 cente­ nas, es decir, 2 millares; escribo cero en el orden de las centenas, y llevo los 2 millares. Pasando a los millares, decimos: 2 millares que llevaba y 5 son 7, y 4 son 11, es decir, 1 millar y 1 decena de mi­ llar; las escribo en el orden respectivo. La suma es, pues: 11 042. De este ejemplo podemos enunciar la siguiente

77

REGLA. — Para SUMAR VARIOS NÚMEROS, se escriben ordenadamente cada uno debajo del anterior, de modo que las unidades del mismo orden se encuentren en la misma columna. Debajo de estos sumandos se traza un segmento de recta para separarlos del resultado que se escribirá debajo Se suman primeramente todas las cifras de la última co­ lumna de la derecha; si el total no excede de 9, se escribe debajo de esta columna; si excede de 9, se escriben sola miente las unidades y se llevan mentalmente las decenas a la columna siguiente. Se opera análogamente con cada una de las otras columnas hasta la última, cuya suma se escri­ birá íntegra a la izquierda de la cifra anteriormente hallada. El número formado por todas estas cifras, es el resultado NOTA. — Se empieza la adición por la columna de la derecha, a fin de llevar a la columna siguiente las decenas provenientes de la suma de la columna anterior. Si la suma de las cifras de cada columna no excediera de 9, podrían sumarse las columnas en cualquier orden.

120. Prueba de la suma. — Se llama prueba de una ope­ ración, una segunda opcración que sirve para verificar la primera. La prueba de la suma puede realizarse de varios modos; citaremos dos de ellos. l.° Prueba por inversión. — Se efectúa otra vez la adición pero en sentido inverso, es decir, sumando de abajo para arriba (si la primera operación se hizo en la forma habitual, es decir, sumando de arriba para abajo). Los dos resultados deben ser iguales, en virtud de la propiedad del (N.° 103) 2.° Prueba por sumas parciales. — Con todos los sumandos se forman dos o más grupos, hallan­ 3 856 do las sumas de los términos que 9 023 forman cada grupo; luego se halla el 417 13 296 total de estas sumas parciales y su 8 709 resultado debe ser igual al de la pri­ 39 162 mera operación, en virtud de la pro­ 297 48168 piedad asociativa de la suma (N.° 104). Véase el ejemplo de al lado. 61 464 61 464 a

121. Notas prácticas. — 1. Cuando los números a sumar son muchos, en la práctica se acostumbra sumarlos en gru­ pos, y luego se suman los resultados de dichos grupos, como ya lo hicimos en la prueba de la suma (N.° 120, 2 . ) . a

a

2. Cuando los sumandos no se hallan escritos en columna, no es nece­ sario esta última disposición para hallar su suma. Basta con empezar a

78 sumar las últimas cifras de la derecha de cada número, pasar luego a las penúltimas, 7 asi sucesivamente, como indicamos en la regla (N.° 1 1 9 ) . P a r a e v i t a r q u e las cifras n o s e c o n s i d e r e n en s u j u s t o orden, es c o n v e n i e n t e , c u a n d o se c o n s i d e r e c a d a cifra, p o n e r s o b r e ella una m a r c a , p o r e j e m p l o , u n p u n t o . Presentamos a continuación un ejemplo, en que los números están escritos en cualquier orden: 245 387

569

7 573

6 372

S u m o las u l t i m a s c i f r a s : 7, 5, 2, 9; e s c r i b o 3 ( a la d e r e c h a ) y l l e v o 2, que s u m o a las penúltimas c i f r a s : 8, 4, 7, 6; escribo 7 y l l e v o 2, que s u m o a las a n t e p e n ú l t i m a s : 3, 2, 3, 5; e s c r i b o 5 y llevo 1, que s u m o c o n 6, y o b t e n g a 7, cifra de los millares d e la s u m a . a

3. En los cuadros estadísticos, presupuestos, etc., generalmente inte­ resa conocer las sumas de los números colocados en cada columna y las de cada fila. Las sumas de los números de las columnas se escriben en la última fila, y las de las filas en la última columna. El total general se obtiene sumando los números de la última fila, o bien los de la última columna. En la práctica, se calcula este total general por los dos procedimientos, a fin de verificar todas las adiciones efectuadas En el cuadro que sigue, presentamos un ejemplo. Obsérvese que, en este ejemplo, para obtener las sumas de los nú meros de cada fila, conviene emplear el punteado de cada cifra, como lo indicamos en la nota anterior.

CENSO G E N E R A L D E P O B L A C I Ó N D E L A R E P Ú B L I C A Realizado el 16-X-1963, por la Dirección G. de Estadística y Censos Departamento Hombres Mujeres TOTAL ARTIGAS CANELONES C E R R O LARGO COLONIA DURAZNO FLORES FLORIDA LAVALLEJA MALDONADO PAYSANDU RIO NEGRO RIVERA ROCHA SALTO SAN JOSÉ SORIANO TACUAREMBÓ TREINTA Y TRES Sub-totales MONTEVIDEO TOTAL

26 748 132 167 36 209 53 527 28 905 11 935 34 115 33 911 31549 44 581 24 941 37 739 28 112 46 738 40 623 38 209 38 835 22 219

25 345 123 159 35 013 51268 27 165 11 511 30 071 31649 29 999 42 407 21800 38 087 26 894 45 857 36 661 36 540 37 420 20 997

52 093 255 326 71 222 104 795 56 070 23 446 64 186 65 560 61 548 86 988 46 741 75 826 55 006 92 595 77 264 74 749 76 255 43 216

711063 558 363

671 843 614 751

1382 906 1173 114

1 269 426

1 286 594

2 556 020

79

CUADRADOS

MÁGICOS

C o m o práctica de suma mental ejercítese el estudiante en la c o m p r o b a c i ó n de las propiedades de los cuadrados mágicos. E l p r i m e r o de los cuadrados que figuran en esta página, está f o r m a d o p o r la sucesión de los nueve p r i m e r o s n ú m e r o s naturales, 1 , 2 , 3 , . . 1 8 6 . . . , 9 . Verifiqúese que la s u m a de los n ú m e r o s escritos e n cada línea horizontal, en c a d a colum­ 7 3 5 na vertical y en cada diagonal es siempre 15, es decir: 6 + 1 + 8 = 7 + 5 + 3 = 2 + 9 + 4 = 4 9 = 2 6 + 7 + 2 = 1 + 5 + 9 = 8 + 3 + 4 = = 6 + 5 + 4 = 8 + 5 + 2. L a suma constante que resulta para cada línea horizontal, co­ lumna vertical o diagonal se llama constante del cuadrado, y el número de casillas de su lado se llama base o módulo del cuadrado. N o existen cuadrados má­ gicos de m ó d u l o 2. 4 5 16 9 El s e g u n d o cuadrado ciue p u b l i c a m o s es de m ó d u l o 4, siendo su constante, 34. Este cuadrado 14 11 2 7 continúa siendo m á g i c o c u a n d o transportamos una línea o una c o l u m n a d e u n lado p a r a o t r o . L a 1 13 12 8 constante 34 se obtiene s u m a n d o de otras mane­ ras cuatro n ú m e r o s del c u a d r a d o ; p o r ejemplo, 1 5 1 0 6 3 en d i r e c c i ó n paralela, a las d i a g o n a l e s : 4 + 1 1 + 1 3 + 6 = 1 4 + 8 + 3 + 9 = 1 + 1 0 + 16 + 7 = = o bien, s u m a n d o los n ú m e r o s de las casillas situadas en los vértices de un c u a d r a d o : 4 + 5 + 11 + 14 = 4 + 16 + 13 + 1 = 8 + 13 + 3 + 10 = . . . etc. Es en virtud de esta curiosa propiedad que los cuadrados c o m o el últimamente i n d i c a d o se les clasifica de diabólicos.

El cuadrado m á g i c o que antecede es b a s t a n ­ te original, y a que si se i n ­ v i e r t e su p o s i c i ó n respecto del lector, y o b s e r v a n d o que un 2 (tal como está dibujado en la figu­ ra) invertido representa un 7, y viceversa, un 6 invertido representa un 9, y v i c e ­ versa, y un 1 invertido n o se altera, se t e n d r á t a m ­ bién un cuadrado m á g i c o con la m i s m a constante 179.

CAPITULO

IV

" S i n la presencia del mundo exterior, ningún conocimiento matemático habría jamás podido penetrar en el cerebro h u m a n o " . LAISANT

SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES Definición 122. Definición y ejemplos. — Iniciamos el estudio de la segunda de las operaciones fundamentales, la sustracción, o resta, apoyándonos en la imagen real del siguiente ejemplo: Si tengo 12 pesos y presto 3 a un amigo, ¿cuántos me quedan? Primeramente le entrego nn peso y me quedan 1 1 ; le entrego un segundo peso y me quedan 10; le doy un tercero y me quedan 9. Por consiguiente, después de haber entregado los tres posos a mi amigo, me quedan 9. La operación realizada se llama s u s t r a c c i ó n o resta, y lo que me queda, es decir, los 9 pesos, se llama diferencia entre 12 y 3. Observemos que, si mi amigo me devuelve los 3 pesos, éstos, agregados a los 9 que tengo, forman los 12 pesos que tenia; resulta, pues, justificada la siguiente

DEFINICIÓN. — Se llama DIFERENCIA entre dos números (no siendo el segundo mayor que el primero), aquel número que sumado al segundo, da como resultado el primero. Así, para indicar que la diferencia entre 12 y 3 es 9, se escribe: 12 — 3 — 9 que se lee, 12 menos 3 es igual a 9; o más brevemente, 12 menos 3, 9, queriendo con esto expresar que sumando 9, con 3 se obtiene 12. Como vemos, la palabra menos se abrevia con el signo — . El número mayor (o a lo sumo igual al segundo número), se llama minuendo; el número que se resta (número que se sustrae), se llama sustraendo; ambos números son los términos de la diferencia (*). Por definición tenemos: 8 — 8 = 0 puesto que 8 + 0 = 8 ; 5 —0 = 5 " " 0 + 5 = 5. (*) De la expresión mayor que empleada en la definición de diferencia, ya tiene el estudiante su concepto desde la escuela primaria. Así, del ejemplo tratado al principio de este párrafo, bien sabe que si sólo tengo 12 pesos no puedo prestar 18; decimos entonces que la sustracción 12-18 es imposible, por ser el sustraendo mayor que el minuendo. Al tratar más adelante las "Desigualdades" volveremos sobre este tema (Cap. V ) .

81

La SUSTRACCIÓN es la operación aritmética mediante la cual hallamos la diferencia entre dos números. Las palabras:

sustraer,

quitar,

restar

son sinónimas, y

todas significan efectuar la sustracción. Para indicar que restando 25 kilogramos de 38 kilogramos, obtenemos 13 kilogramos, se escribirá indiferentemente: Kg. 38 — Kg. 25 = Kg. 13; o bien, Kg. (38 — 25) = Kg. 13

Propiedades 123. Condición de posibilidad. — Recordemos el ejemplo que precede a la definición de diferencia (N.° 122); vimos que si de $ 12 que tenía, prestaba a un amigo $ 3, me quedaban $ 9, lo que se expresaba así: 12 — 3 = 9. También vimos que volvía a poseer los $ 12 cuando el amigo me devolvía los $ 3 prestados, puesto que los adicionaba a los $ 9 que me quedaban, o sea: 12 = 3 + 9 . En general, podemos enunciar la siguiente PROPIEDAD FUNDAMENTAL de la sustracción: El minuendo es igual a la suma del sustraendo, con la diferencia. Una expresión literal de esta propiedad la tendríamos llamando, por ejemplo, ra al minuendo, s al sustraendo y d a la diferencia; en consecuencia, podemos escribir

m = s + d

que implica para la sustracción de donde proviene, la siguiente expresión: , m —s = d Pero más adelante veremos (Cap. V) que siendo la suma (ra) de dos números mayor o igual que cualquiera de los sumandos (s), en este caso deberá ser el minuendo mayor, o igual que el sustraendo; podemos establecer, pues, la siguiente condición de posibilidad de la sustracción: 6

6.—ARITMÉTICA

1er. A Ñ O —

Coppetti

82

Para que la sustracción de números naturales sea posi­ ble debe ser el minuendo mayor o igual que el sustraendo. 124. Corolarios. — En el (N.° 105) ya empleamos el paréntesis, para indicar que debemos efectuar previamente la operación que él encierra. Con las notaciones del párrafo anterior, siendo d = m —s si sustituímos el valor de m por el que nos da la relación fundamental, m = d + 5 , obtenemos: d = (d + s) — s Esta última relación nos justifica, pues, el siguiente COROLARIO I. — Un número no altera si se le suma otro y del resultado se resta este mismo número. EJEMPLO.

9

=

(9 +

5) — 5 .

Verificación:

9

=

14 — 5 .

La propiedad fundamental de la resta expresa: m = d+ s en la que, sustituyendo el valor de d por el que lo define, d = m — s , obtenemos: m = (m — s) + s Esta última relación nos justifica, pues, el siguiente COROLARIO II. — Un número no altera si se le resta otro y al resultado se le suma este mismo número. EJEMPLO.

12 =

(12 — 7) + 7 .

Verificación:

12 = 5 + 7 .

125. Propiedad uniforme. — Supongamos que restamos los siguientes números concretos: 8 manzanas — 3 manzanas = 5 manzanas 8 lapiceras — 3 lapiceras = 5 lapiceras Es evidente que cualquiera que sea la naturaleza de los con­ juntos restados, siendo 8 por un lado y 3 por el otro, resulta siempre 5 como diferencia, puesto que 5 es el único número que sumado con 3 da 8. Obtenemos, pues, un resultado único, aún prescindiendo de la naturaleza de los objetos restados, circunstancia esta úl­ tima que nos permite elevarnos de la resta de números con­ cretos a la de números abstractos, y escribimos: 8—3 = 5 . La unicidad del resultado de la sustracción justifica los dos enunciados siguientes de propiedades, que son equiva­ lentes : a) La diferencia de dos números naturales tiene un valor único.

83

b) Restando miembro a miembro dos igualdades entre nú­ meros naturales se obtiene otra igualdad (siempre que las res­ tas sean posibles). Simbólicamente, siendo dadas las igualdades, a — a' , b = b' restándolas miembro a miembro, se obtiene esta otra igualdad: a — b = a' — b' Como comprobación gráfica de esta propiedad véase el es­ quema que sigue que muestra la correspondencia entre los elementos de los dos conjuntos resultantes de efectuar las sustracciones a — b y a' — V, y en consecuencia la igualdad de estas diferencias.

126.

a

b

a— b

a'

b'

a.' — b'

Resta de un número y una suma indicada.

Para restar de un número una suma de otros, se puede restar del número sucesivamente los términos de la suma. Simbólicamente, si a es el número y b + c + d la suma de los otros, tendremos: a

— (6 +

c + d) = a

—

b

—

c —d

Fácilmente se justifica esta propiedad con el siguiente razonamiento. Supongamos, por ejemplo, que de una caja que contiene 30 pesos, tengo que sacar 13 pesos para pagar: 3 a un primer acreedor, 4 a un segundo, 6 a un tercero. Puedo, en una sola vez, sacar los 13 pesos y pagar 3 al pri­ mero, 4 al segundo y 6 al tercero; el número de pesos que quedan en la caja resulta así: 30 — (3 + 4 + 6) = 17 o bien, puedo sacar de la caja, sucesivamente, primero 3 pe­

84

sos que pago al primer acreedor, luego 4 que pago al se­ gundo, y en último término 6 que pago al tercero; el nú­ mero de pesos que quedan en la caja es: 30 — 3 — 4 — 6 = 17 Evidentemente, los resultados de operar con ambos proce­ dimientos son iguales; por tanto, podemos escribir: 30 — (3 + 4 + 6) = 30 — 3 — 4 — 6 Como el mismo razonamiento podríamos repetir para nú­ meros cualesquiera, se justifica, pues, la relación general anteriormente establecida. EJEMPLOS.

— 1.° Si restamos ordenadamente las igualdades:

8 + 5 + 3 = tenemos,

10 + 6

,

2 + 7 =

(8 + 5 + 3 ) — (2 + 7 ) =

5 + 4

(10 + 6 ) — (5 + 4 )

y aplicando la propiedad enunciada en el párrafo anterior, resulta, 8 +

5 +

3 — 2 — 7 =

10 +

6 — 5 — 4

Como verificación, efectuemos operaciones y llegamos a una identidad. 13 + 3 — 2 — 7 =

16 — 5 — 4

14 — 7 =

7

; 16 — 2 — 7 = 11 — 4 ; ;

7 =

7.

2.° Restando ordenadamente las igualdades a + b + c = m + n , resulta:

a +

b+

p + q — r

c — p — q — m + n — r

127. Otras propiedades de la resta. Con las notaciones habituales, es decir, llamando m al minuendo, s al sustraen­ do y d a la diferencia, la propiedad fundamental (N.° 123) nos da la relación: d + s = m Sumando a ambos miembros un número cualquiera n , te­ nemos :

d+ s + n = m+ n

y, en virtud de la propiedad asociativa de la suma, d + (5 + n) = (m + n) Como esta igualdad nos expresa que (s + n) es el número que sumado con d nos da (m + n) , equivale a decir que d

85

es la diferencia entre (m + n) y (s + n) , o sea: (m + n) — (s + n) = d Podemos escribir, pues, que para n cualquiera,

m — s = d,

de donde (m + n) — (s + n) = d

Se origina, pues, el siguiente enunciado general: Agregando un mismo número al minuendo y al sustraendo de una sustracción, la diferencia no altera. E J E M P L O . — Siendo Efectuando 15 — 10 =

12 — 7 =

operaciones,

a

los

5 , tenemos: (12 + 3 ) — (7 + efectos

de

la

verificación,

3) =

5.

resulta:

5 .

128. Análogamente, si de m y s restamos un mismo nú­ mero n, menor que el menor de ellos, obtenemos la siguiente relación : (m

—

n)

—

( s — n) =

d

Como ejercicio, enuncie el estudiante la propiedad para este último caso. E J E M P L O . — Siendo 12 — 7 = 5 , tenemos: (12 — 3 ) — (7 — 3 ) = 5 , Efectuando operaciones, a los efectos de la verificación, resulta: 9— 4 = 5.

129. Dejamos como ejercicio para el estudiante verificar mediante ejemplos numéricos, y escriba luego las expresio­ nes literales de las propiedades siguientes: a

1. Aumentando o disminuyendo en un número al minuen­ do sin alterar el sustraendo, la diferencia resulta respecti­ vamente aumentada o disminuida en aquel número. a

2. Aumentando o disminuyendo en un número al sus­ traendo sin alterar el minuendo, la diferencia resulta respec­ tivamente disminuida o aumentada en aquel número. a

3. Para restar un número a una suma, basta restarlo a ano cualquiera de los sumandos.

86

Como ejercicio para el estudiante, demuestre nuevamente la propiedad del (N.° 128) utilizando los dos conjuntos de elementos que se indican en la figura que sigue: a

horizontal

a

"

1.

2.

m = 9 (1ra. fila horizontal) s

= 7 (2. En ella se tiene:

a

"

"

)

d = 2 (diferencia) n =4

Práctica de la sustracción 130. Para hallar la diferencia entre dos números, podría­ mos aplicar uno de los dos procedimientos indicados en el ejemplo del (N.° 122). Aplicando el primero, tendríamos que contar sucesivamente, pero en orden inverso (o sea descon­ tar), a partir del número mayor, tantas veces como unidades tiene el número menor; el último número contado sería la diferencia. Así, la diferencia entre 12 y 3 la obtendríamos contando en la forma indicada, tres veces a partir de 12, o sea: 11, 10, 9; el último número 9 es la diferencia que buscábamos. Aplicando el segundo procedimiento, tendríamos que con­ tar sucesivamente, a partir del número menor de los números dados hasta obtener el mayor; el número de veces contadas sería la diferencia que buscábamos. Así, la diferencia entre 12 y 3 la obtendríamos contando: 4, 5, 6, 7, 8,. 9, 10, 11, 12; como son 9 las veces contadas, este número es la diferencia. La operación realizada con cualquiera de los dos procedi­ mientos anteriores, resultaría excesivamente larga; por con­ siguiente, en la práctica se usa un procedimiento abreviado (como lo usamos también en la suma), que explicaremos me­ diante algunos ejemplos. 131. Caso que el menor de los números y la diferencia tengan sólo una cifra. — En este caso podría aplicarse

87

cualquiera de los procedimientos indicados en el párrafo anterior; es lo que hacen los niños, en sus primeras operaciones de cálculo, contando con los dedos. Pero, es preferible ejercitarse para obtener los resultados mentalmente, que también los proporciona la tabla de sumar ( N . ° 1 1 7 ) . Así, por ejemplo, la diferencia 15 — 7 se obtiene buscando en la tabla cuál es el número que sumado con 7 da 15; se encuentra 8 . 132. Caso general. — 1.° Cada cifra del sustraendo es menor que la del mismo orden del minuendo. Por ejemplo, en la sustracción de los números 9485 y 3172. Para ello restamos: las unidades de las unidades; las decenas de las decenas, y así sucesivamente. 9 485 Disponemos la operación como se indica al — 3172 lado, escribiendo el sustraendo debajo del minuendo, y de modo que las unidades del mismo orden se encuentren en la misma columna; luego 6 313 decimos: 5 unidades menos 2 son 3 unidades; 8 decenas menos 7 es 1 decena; 4 centenas menos 1 son 3 centenas; 9 unidades de mil menos 3 son 6 unidades de mil. La diferencia es, pues: 6 313 . 2.° Algunas cifras del sustraendo son mayores que las del mismo orden del minuendo. Por ejemplo, en la sustracción de los números 8 532 y 6 479 En éstos, la sustracción de las unidades y de las decenas no es posible. Razonamos entonces así: 8 532 No pudiendo restar 9 de 2, agrego 10 unidades al 2, y tengo 12; la sustracción resulta en- — 6 479 tonces posible y nos quedan 3 unidades, las que escribo en la columna de las unidades, debajo 2 053 de la raya. Pero, por haber aumentado el minuendo en 10 unidades, compenso el error aumentando también el sustraendo en 10 unidades (N.° 127), es decir, aumentando en 1 decena las 7 del sustraendo, lo que da 8 decenas. Paso a la segunda columna: de 3 decenas no puedo restar 8; agrego 10 decenas al 3, y tengo 13; 8 al 13 van 5. Pero, por haber aumentado el minuendo en 10 decenas, compenso el error aumentando en 1 centena las 4 del sustraendo, lo que da 5 centenas.

88

Paso a la tercera columna, y digo: 5 al 5, 0; luego a la cuarta: 6 al 8 van 2 . La diferencia es, pues, 2 053 . De aquí la siguiente REGLA. — Para RESTAR DOS NÚMEROS se escribei ordenadamente el menor debajo del mayor, de modo que la* unidades del mismo orden se encuentren en la misma colum na. Debajo del sustraendo se traza un segmento de recta para separar el resultado que se escribirá debajo. Luego se resta* sucesivamente las unidades, las decenas, las centenas, etc., del minuendo, y se escribe cada diferencia debajo de la^ cifras de donde provienen. Si alguna de las sustracciones resultara imposible, se aumenta en 10 la cifra del minuendo, luego, hecha la sustracción, se agrega una unidad a la cifra del orden siguiente del sustraendo antes de restarla de la cifra correspondiente del minuendo. EJEMPLOS:

38 592 — 19 265

253 407 — 8 061

19 327

245 346

133. Prueba de la resta. — En el (N.° 120) ya indicamos qué ee entendía por prueba de una operación. Para la sus­ tracción, indicaremos dos: 1.° Prueba por suma. — Se realiza aplicando la propiedad fundamental de la resta (N.° 123), o sea, sumando el sus­ traendo con la diferencia; nos debe dar como resultado el minuendo. No es necesario efectuar aparte esta suma; se utiliza el mismo esquema de la resta, y se suma de abajo para arriba la diferencia con el sustraendo. 2.° Prueba por diferencia. — Se realiza restando la dife­ rencia al minuendo y nos debe dar el sustraendo. Esto se justifica también mediante la propiedad (N.° 123). Como ejercicio, dejamos que el estudiante haga esta demos­ tración. NOTA. — Por ser más fácil sumar que restar, en la prác­ tica, se opta por la primera de las pruebas indicadas. 134. Nota práctica. — Cuando los términos de una di­ ferencia no se hallan escritos en columna, puede efectuarse

89

la operación sin cambiar disposición: basta para ello seguir el procedimiento indicado para la suma (N.° 121, 2 . ) , es decir, de poner un punto sobre cada una de las cifras consideradas. a

Sumas y restas combinadas 135. Polinomio aritmético. — Al estudian la adición, llamamos términos de la misma a los sumandos que la componen (N.° 99); al estudiar la sustracción, llamamos términos al minuendo y al sustraendo (N.° 122). Generalizando, en una expresión aritmética se llaman términos, los números separados por los signos de sumar o de restar, signos éstos que se llaman también, respectivamente, signo más ( + ) y signo menos ( — ) . Son términos aditivos los precedidos del signo ( + ) , y términos sustractivos los precedidos del signo ( — ) . El signo + se dice que es contrario del signo —, y viceversa. Cuando una expresión aritmética consta de un solo término, se le llama monomio; de dos, binomio; de tres, trinomio; en general, con más de un término, se llama polinomio aritmético, o suma algebraica. Calcular una expresión aritmética significa efectuar las operaciones indicadas hasta obtener un solo término, al que se llama valor de la expresión. ( * ) . NOTA. — Dos términos de igual valor numérico se dicen opuestos cuando uno es aditivo y el otro sustractivo. Si figuran en un mismo polinomio pueden suprimirse ambos. Así, por ej., el polinomio 12 — 3 + 5 + 3, se simplifica, 12 + 5. Para calcular el valor de un polinomio aritmético pueden seguirse dos procedimientos. Así, por ej., dada la suma algebraica 9+5—3+7—2—1 si efectuamos las sumas y restas en el orden como están indicadas, tenemos: 9 + 5 — 3 + 7 — 2 — 1 = 14 — 3 + 7 — 2 — 1 = = 1 1 + 7 — 2 — 1 = 18 — 2 — 1 = 16 — 1 = 15 (*) En los primeros pasos de la Matemática, se operaba con pequeñas piedras, que en latín se llamaban cálculi. (Actualmente, los médicos llaman cálculos a ciertas piedras que se encuentran en organismos enfermos.) Después se utilizaron bolillas atravesadas por alambres, formando el aparato llamado ábaco; posteriormente se reemplazaron las bolillas por cifras, pero conservándose aún la palabra cálculo.

90

El número 15 así obtenido es el valor de la suma algebraica dada. Podemos proceder también en otra forma: reuniendo por un lado los términos aditivos, por otro los sustractivos, y luego restando a la primera suma la segunda. Así, para el ejemplo anterior, tenemos: La suma de los términos aditivos es: 9 + 5 + 7 = 21. " " " " sustractivos es: 3 + 2 + 1 = 6. Restando de la primera suma la segunda, tenemos el valor de la expresión dada: 21 — 6 = 15 . La operación se indica así: 9 + 5 — 3 + 7 —2 — 1 = (9 + 5 + 7) — (3 + 2 + l) = 21 — 6= 15 Podemos enunciar, pues, la siguiente REGLA. — Para hallar el VALOR DE UNA SUMA ALGEBRAICA podemos efectuar las sumas y restas en el orden como están indicadas, o bien, podemos hallar la suma de los términos aditivos y de ella restar la suma de los sustractivos. 136. El valor del polinomio sería siempre el mismo aún si se alterara el orden de las sumas y restas (con tal que las sustracciones que aparezcan sean posibles). Así, por ej., podremos escribir: 9 —3—5 + 2 — 1= 9—1—5—3+ 2 PROBLEMA. — Un automovilista parte de la ciudad de Montevideo y se dirige a Salto. El primer dia recorre 265 Km.; el segundo día retrocede 95 Km. hacia Montevideo; el tercer día recorre 280 Km. hacia Salto y el cuarto dia retrocede 189 Km. ¿A qué distancia se encontrará de Montevideo al finalizar el cuarto dia? L a distancia p e d i d a será el v a l o r en k i l ó m e t r o s del siguiente polinomio: 265 — 95 + 280 — 139. 1er. p r o c e d i m i e n t o : ~ 265 — 95 + 280 — 139 = 170 + 280 — 139 = 450 — 139 = 2.° p r o c e d i m i e n t o 265 — 95 + 280 — 139 = (265 + 280). — (95 + 139) = = 545 — 234 = 311

311

R e s p u e s t a : 311 k i l ó m e t r o s .

NOTA. — Cuando una expresión aritmética contiene uno o más paréntesis comprendidos entre signos + o — , el valor de la expresión que encierra cada paréntesis es un término. Así, por ej., la expresión, 9 — (4 + 1) + (3 — 2) consta de tres términos: el primero, 9 ; el segundo, (4 + 1) ; el tercero, (3 — 2). Su valor ea9 — 5 + 1 = 9.

91

137. Comprobación con ejemplos y ejercicios de aplicación. 1.° Sea la expresión: 12 — 5 — 2 + 6 + 1. Calculando su valor por el primer procedimiento, tenemos: 12 — 5 — 2 + 6 + 1 = 7 — 2 + 6 + 1 = 5 + 6 + 1 = 12 Como comprobación, calculemos nuevamente su valor por el segundo procedimiento: 12— 5 —2 + 6 + 1 = (12 + 6 + 1) — (5 + 2) = 19 —7 = 12 2.° Sea la expresión: 9 — (4 + 1) + (3 — 2) . Primer procedimiento: 9—(4 + l ) + (3 — 2) = 9 — 5 + 1 = 4 + 1 = 5 Segundo procedimiento: 9 — (4 + l ) + (3 —2) = 9 + (3 —2) — (4 + l ) = 9 + l—5 = 10—5 = 5 3.° PROBLEMA. — En cierta fecha deposité $ 200 en una Caja de Ahorros; varios días después retiré $ 45; luego volví a retirar $ 50, y finalmente deposité $ 130. ¿A cuánto asciende el saldo t El saldo que deseamos conocer es el valor, en pesos, de la siguiente expresión. 200 — 45 — 50 + 130 = 155 — 50 + 130 = 105 + 130 = 235 El saldo de la cuenta es, pues, de $ 235.

Operaciones con números concretos ADICIÓN

138. Suma de números concretos homogéneos. — Conforme la definición que dimos en el (N.° 89) sólo se podrán sumar números concretos cuando sean homogéneos. Estos pueden ser complejos o incomplejos. 139. Suma de números incomplejos. 1er. caso. — Sumar números concretos incomplejos expresados en la misma unidad. Así, en el Ej. II del (N.° 113) al tratar la suma de varios números, obsérvese que el resultado $ 45 de la suma de números concretos $5 + $3 + $13 + $24 es otro número concreto de la misma unidad simbólica ($), cuyo coeficiente (45) es la suma de los coeficientes de los sumandos. Generalizando el procedimiento podemos enunciar la siguiente

92

REGLA. — La suma de números concretos incomplejos de una misma unidad es el número de la misma unidad, cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes de los sumandos. E J E M P L O . — L a suma. 12 días + 8 días + 3 días será: (12 + 8 + 3 + 11) días = 34 días.

+

11 días

2.° caso. — Suma de números concretos incomplejos de dis­ tinta unidad. Sea, por ej., la siguiente suma: 3 días + 28 horas + 25 minutos + 21 horas + 40 minutos. Ordenando primeramente los sumandos y agrupando los de igual unidad, la suma indicada se puede escribir así: 3 días+ (28 + 21) horas + (25 + 40) minutos. Efectuando la suma de coeficientes, 3 d. + 50 h. + 5 min., y finalmente las reducciones, se obtiene: 5 d. 2 h. 5 min. Este ejemplo y otros análogos nos justifican la siguiente R E G L A . — La suma de números concretos incomplejos de distinta unidad, es el número que resulta de agrupar todos los sumandos, realizando previamente las ordenaciones y re­ ducciones correspondientes. E j e m p l o . — L a siguiente s u m a , 5 m. 47 c m . + 13 m m . + 6 m , + 8 con. + será: (5 + 6 ) m . + (47 + 8 ) c m . + (13 + 9 ) = 11 m . + 55 c m . + 22 m m . — 1 D m . + + 5 dm. + 7 cm. + 2 mm. R e d u c i e n d o este n ú m e r o c o m p l e j o a i n c o m p l e j o del t e n e m o s : 11572 m m .

9 mm. mm. = 1 m. + último orden,

140. Suma de números complejos. — Propongámonos efectuar las sumas indicadas en los ejemplos siguientes. Para ello disponemos los sumandos uno debajo del otro, de modo que queden en columna las unidades correspondientes: EJEMPLO

12° 16° 7 o

36°

48' 36' 25' 51

;

I

35" 43" 59" 17"

EJEMPLO

52 21 6 81

d

d

d

d

17 13 20

h

h

h

3

h

II m

23 51 16

m

30

m

m

En el primer ejemplo, la suma de los segundos es 137". Pero como 60" = 1', los 137" contendrán 2' y 17"; suma­ mos, pues, los 2' a los de la segunda columna, obteniendo

93 o

111', o sea 1 51'. Escribimos 51' y sumamos 1 ° a los de la tercera columna, obteniendo 36°. En el segundo ejemplo se opera análogamente. Como ejercicio, calcule el estudiante la suma. Estos ejemplos nos justifican la siguiente R E G L A . — La suma de números complejos es el número que resulta de las sumas parciales de las unidades de los diversos órdenes, realizando luego las reducciones correspondientes. EJEMPLO.

— Calcular las siguientes

5 Y d . 2 Ft. 8 I n .

+

sumas:

7 Y d . 1 Ft.

9 In.

+

15 I n .

D i s p o n i e n d o l o s s u m a n d o s en columna, c o m o lo h i c i m o s en dos últimos e j e m p l o s , t e n e m o s : 5 Y d . 2 Ft. 7 Y d . 1 Ft.

los

8 In. 9 In. 15 In.

12 Y d . 3 F t . 32 In. = 13 Y d . 2 F t . 8 In. P a r a las r e d u c c i o n e s h e m o s e m p l e a d o la T a b l a de m e d i d a s inglesas que figura al final de este libro, en la que se e s t a b l e c e que 1 Y d . = 3 F t . ; 1 F t . = 12 In.

SUSTRACCIÓN

141. Resta de números incomplejos. — Procedemos en forma análoga que para la suma (N.° 140); es decir que se restan los números abstractos de unidades, poniendo a la diferencia la abreviatura correspondiente a la unidad común. EJEMPLOS.

15 din. — 8 dm.

319 £. — 145 £. =

=

(15 — 8 )

dm.

(319 — 145) £. =

=

7

dm.

174 £.

142. Resta de números complejos. — Propongámonos efectuar las sustracciones indicadas en los ejemplos siguientes: EJEMPLO I

210° — 47° 163°

36° 15° 21'

EJEMPLO II

48" 32" 16''

25 — ll

d

13

d

d

h

5 21 7

h

h

18 43 35

m

m

m

El primer ejemplo no requiere explicación alguna. En cuanto al segundo, se efectúa la sustracción con un procedimiento análogo al empleado para números naturales (N.° 132), y que detallamos a continuación. Así, no pudiendo restar 43 de 18 , agregamos 6CP a los 18 del minuendo, obteniendo 78 , a los que restando 43 m

m

m

m

m

94 m

1

quedan 35 . Para que la diferencia no altere, agregamos l a las 21 del sustraendo, lo que nos da 22 ; pero 22 no se puede restar de 5 ; por tanto, aumentamos el minuendo en 24 ; obtenemos 29 , de las que restando 22 quedan 7 . Luego agregamos 1 a los 11 del sustraendo, y nos da 12 , que restados de 25 , nos da 13 . Este ejemplo, y otros análogos nos justifican la siguiente b

b

11

h

h

h

d

h

d

d

h

d

d

R E G L A . — La diferencia de números complejos es el número que resulta de restar las unidades del sustraendo de las correspondientes del minuendo. Si en el minuendo faltan unidades de algún orden que figuran en el sustraendo, o el coeficiente del minuendo es menor que el correspondiente del sustraendo, se toma en el minuendo una unidad del orden inmediato superior y se reduce a la del orden necesario. E J E M P L O . — E f e c t u e m o s la sustracción 28 £ . 5 s h . 10 d . — 15 £ . 10 s h . 11 d . 28 £ . 5 s h . 10 d . = 27 £ . 24 s h . 22 d . — 15 £ . 10 s h . 11 d . = — 15 £ . 10 s h . 11 d . Resultado

12 £ . 14 s h . 11 d .

La sustracción en la recta numérica 143. Resta de dos números. — Sean, por ej., los números 5 y 3, cuya diferencia nos proponemos hallar gráficamente. Como en el caso de la adición, sea OE el segmento representativo del número 5, y OC el del número 3 .

Si sobre un eje orientado Ox, a partir del extremo E del minuendo llevamos 3 veces el segmento unidad MN = 1 pero hacia atrás (es decir, hacia la izquierda en un eje orientado hacia la derecha), o sea, llevamos un segmento E B = O C = 3, obtenemos el segmento O B a cuyo extremo corresponde el número 2, es decir, la diferencia

95

5 — 3. El segmento O B representa, pues, gráficamente, la diferencia 5 — 3 . Del ejemplo anterior, que también hubiera podido establecerse en forma análoga para otros números, deducimos la siguiente REGLA. — Para RESTAR GRÁFICAMENTE dos números se emplea un eje orientado; a partir del extremo del seg mentó representativo del minuendo, se lleva el segmento representativo del sustraendo, pero hacia atrás (es decir, an sentido contrario al del eje orientado); el segmento qut tiene por origen el del eje orientado y por extremo el extre mo libre del sustraendo representa, gráficamente, la dife rencia pedida. NOTAS

HISTÓRICAS

Las operaciones de sumar y restar son de origen hindú. Los árabes sumaban y restaban operando de izquierda a derecha; este procedí miento se empleó aun hasta el siglo X V I . El método moderno que consiste en operar de derecha a izquierda, es de origen inglés. Los signos + y — aparecen por el año 1500, reemplazando las antiguas iniciales p y m, de plus (más) y minus ( m e n o s ) ; es probable que la deformación de estas iniciales justifique la forma de aquellos signos. Hablan más elocuentemente de nuestros signos convencionales + y — , los jeroglíficos egipcios. En el libro de Ahmes, que data de más de 4000 años, los signos + y — tienen la forma de las piernas de un hombre que camina para atrás o para adelante ( P e a n o ) . Estos signos fueron empleados por el matemático alemán Juan Widman, luego por Stifel, y adoptados más tarde por el francés Vieta.

PROBLEMA

CAPCIOSO

(Se

denominan

así

los

proble-

mas cuya solución no es la primera que se le ocurre a la generalidad d e las p e r s o n a s ) . U n caracol — por a s u n t o s part i c u l a r e s — desea t r a s l a d a r s e de u n a h u e r t a a o t r a , vadeando el m u r o de s e p a r a c i ó n , que tiene 5 metros de a l t u r a ; t r e p a v e r t i c a l m e n t e por el muro recorriendo c a d a d í a 3 m . y desciende ( ¡ c a p r i c h o s de c a r a c o l ! ) , t a m b i é n v e r t i c a l m e n t e , c a d a noche, 2 m., de modo q u e c a d a d í a a v a n z a , e n e f e c t i v o , 1 metro de s u r u t a . ¿ E n cuántos d í a s llegará a l a c i m a del muro? — Respuesta: en 3 días (y no en 5 ) .

CAPITULO V

" A fin de alcanzar la Verdad e s necesario, una v e z en la v i d a , poner todo en d u d a , hasta donde s e a p o s i b l e " . DESCARTES

DESIGUALDAD DE NÚMEROS NATURALES Definición 144. Al definir la igualdad de números naturales (N.° 92) pusimos un ejemplo de comparación de dos conjuntos. Alumnos de una clase, cuyo número representamos con a. Bancos de la misma, cuyo número representamos con b. Pueden presentarse tres casos: 1.° Si todos los bancos han sido ocupados por alumnos, sin que queden alumnos sin ocupar bancos, ni bancos sin ocupar; decimos entonces que los números a y b son iguales, y escribimos la siguiente igualdad: a= b 2.° Si hay más alumnos que bancos después que cada banco ha sido ocupado por un alumno, quedarán alumnos de pie; el conjunto de bancos estará así coordinado con una parte del conjunto de alumnos. En este caso decimos que el número de alumnos a es mayor que el de bancos b, o que el núm&ro de bancos b es menor que el de alumnos a, lo que se expresa, simbólicamente, así: a > b, o bien b < a 3.° Si hay menos alumnos que bancos y comparamos los conjuntos como lo hicimos en el caso anterior, llegamos a la conclusión que a es menor que b, y escribimos: a < b, o bien b > a En estos dos últimos casos hemos llegado a una expresión que se llama desigualdad entre números. Diremos: NÚMEROS DESIGUALES son los que representan conjun­ tos no coordinables. Los signos > y < se leen, respectivamente, mayor que, y menor que.

97

El número que está delante del signo de desigualdad se llama primer miembro, y el que está después, segundo miembro de la desigualdad. Damos a continuación la representación gráfica de los tres casos que se pueden presentar en la comparación de números naturales. Con trazos verticales se indica la correspondencia biunívoca que puede presentarse entre los elementos de los conjuntos que representan dichos números. Caso de igualdad

Casos de desigualdad

a= b a

a> b a

b

a
b

b

145. Como consecuencia de las definiciones dadas en los casos 2.° y 3.° del (N.° 144), podemos establecer las siguientes definiciones: 1. — Dados dos números a y b, se dice que a es mayor que b y se escribe ^ , a> b si existe un número n diferente de cero, tal que sea: a= b + n Es evidente que, en este caso, a es un número que sigue al número b en la sucesión de números naturales. 2 . — Dados dos números a y b se dice que a, es menor que b, y se escribe a
a

si existe la relación b > a. En este caso a precede al número b en la sucesión de números naturales. a

146. Como corolario de la definición 1. del ( N ° 145), tenemos la siguiente propiedad La suma de dos números naturales es mayor, o a lo sumo igual, que cualquiera de los sumandos. Esta propiedad la hemos empleado para establecer la condición de posibilidad de la sustracción (N.° 123). 7. _

ARITMÉTICA

1er. AÑO

—

Coppetti

98 N O T A . — Para recordar los signos de mayor o menor, obsérvese que tienen su parte más abierta hacia la cantidad más grande, como ten­ diendo abarcar a ésta.

Para indicar que dos cantidades a y b difieren muy poco entre sí, es decir, que son aproximadamente iguales, se escribe: a=b

Propiedades TRANSITIVIDAD

147. Carácter transitivo de la relación de mayor y de la de menor. — Es evidente que la desigualdad no tiene el ca­ rácter idéntico, puesto que siendo a — a , no puede ser a < a , ni a > a . La desigualdad tampoco tiene el carácter recíproco, puesto que si a < 6, sabemos que es b > a (N.° 144), y no b < a. En cambio, la desigualdad goza del carácter transitivo es decir, si es: a < b y b < c, tenemos a < c . Estas tres desigualdades se pueden resumir así: a< i < c Análogamente, si es: m > p y p > q, tenemos m > q y podemos escribir también así: m > p > q. Podemos enunciar, pues, el siguiente carácter transitivo de las desigualdades: a) Si un número es menor que otro y éste menor que un tercero, el primero es menor que el tercero. b) Si un número es mayor que otro y éste mayor que un tercero, el primero es mayor que el tercero.

99 EJEMPLOS. — 1.» P o r ser 2.»

P o r ser

13 > 7

y

2 < 5 y 5 < 9, 7 > 4,

podemos escribir,

podemos escribir

2 < 9.

13 > 4 .

148. Ordenación en la recta numérica. — Si considera­ mos la representación gráfica de los números naturales (N.° 9 5 ) , o sea de los números: 0, 1, 2, 3, 4, . . . , etc. vimos que son, respectivamente, los puntos, O, A, B, C, D, ..., etc., del eje orientado O x (Véase la figura que presentamos en aquel párrafo). Un número natural cualquiera será menor que otro, si su punto representativo está a la izquierda del otro en el eje orientado de izquierda a derecha. Análogamente, un núme­ ro natural cualquiera es mayor que otro si su punto repre­ sentativo está a la derecha de este otro. Así, es 7 > 2, por estar el punto G representativo de 7 a la derecha del punto B, representativo de 2. Si consideramos la sucesión de los números naturales, te­ nemos: 0 < 1, 1 < 2, 2 < 3, 3 < 4, . . . etc. Podemos escribir, pues: 0<1<2<3<4<... es decir que los números naturales dados por la sucesión fun­ damental están ordenados en forma creciente. 149. Carácter transitivo de la relación de desigualdad combinada con la de igualdad. — Combinando las relaciones de igualdad con las de mayor y menor, fácil resulta justi­ ficar que: si a = b y b > c , tenemos, a > c En efecto, basta reemplazar el número b por su igual a en el primer miembro de la primera desigualdad. Análogamente, si a = b y b < c , tenemos, a < c . " a> b " b = c, " a> c. " a < b " b = c, " a< c. 150. Las propiedades que preceden y el carácter tran­ sitivo de las desigualdades (N.° 147) justifican que: Si a = b , b < c , c < d , tenemos, a < d

100

En general, dados varios números, tales que cada uno esté, ligado con el siguiente por el signo < o = , tendremos la relación de < entre el primero y el último número, excepto cuando todos los signos intermedios sean =. Como ejercicio, enuncie el estudiante la propiedad análoga para el caso que intervenga la relación de mayor. TRICOTOMÍA

151. Postulado de las tres posibilidades. — Postular sig­ nifica pedir; por consiguiente, al enunciar un postulado, pe­ dimos al lector admita sin pruebas lo que en él se afirma como verdad general, y que ha de servir de base para ul­ teriores razonamientos (N.° 46, c ) . Recordemos que al establecer las relaciones de igualdad, mayor y menor entre números naturales (N.° 144), evidencia­ mos con un ejemplo que si llamamos a y b al número de elementos de dos conjuntos, son posibles uno de los tres casos siguientes: a — b , a < b , o a > b Aun tratándose de conjuntos de un número muy elevado de elementos, tales que resulte imposible toda experiencia, la in­ tuición nos aconseja aceptar el siguiente POSTULADO DE LAS TRES POSIBILIDADES. — Da­ dos dos números, debe verificarse una y sólo una de las si­ guientes posibilidades: el primero es igual al segundo; el pri­ mero es menor que el segundo; o el primero es mayor que el segundo. Las tres posibilidades a = b, a < b, a > b, se exclu­ yen y se completan. Decir que se excluyen significa que si se cumple una de ellas no se cumplen las otras dos. Decir que se completan significa que entre dos números cualesquiera debe verificarse siempre alguna de las tres po­ sibilidades indicadas. En símbolos, tenemos: Si a = b, no es a < b, ni a > b Si a > b, no es a = b, ni a < b Si a < b, no es a = b, ni a > b

101

Así por ejemplo, si un estudiante tiene 15 años, no tiene ni menos ni más de 15 años; si tiene más de 15 años, no tiene ni 15 años ni menos de 15 años; si tiene menos de 15 años, no tiene 15 años ni más de 15 años. EJEMPLOS. — Siendo 2 < 5 , no puede ser 2 > 5 , ni 2 = 5. Si m no es menor, ni igual a n, tendremos m > n. 152. Para indicar que el número p no es menor que q, vale decir que es igual o mayor, se escribe p >q Para indicar que el número r no es mayor que s , se escribe: r <s EJEMPLO. — Mediante la experiencia se ha constatado que cada centímetro cuadrado de la superficie del cuero cabelludo humano contiene a lo sumo 165 cabellos. Si llamamos x al número de cabellos que contiene 1 em.2 de la superficie indicada, podremos escribir: x <165 . Como problema interesante de aplicación de la referencia anterior, y estimando en 775 c m , l a sup. del c u e r o cabelludo h u m a n o , demostrar que en una ciudad de 150 mil habitantes existen, por lo menos, dos personas que tienen igual número de cabellos. ( E l mayor número de cabellos que puede tener una persona es 7 7 5 × 1 6 5 = . . . por consiguiente, . . . ) . 2

Suma de igualdades y desigualdades 153. Propiedades de monotonía (*). — Hemos visto (N.° 110) que sumando miembro a miembro varias igualdades se obtiene otra igualdad. Consideremos ahora la igualdad y desigualdad siguientes: a= b y c< d que sumadas ordenadamente nos dan: a+ c < 6+ d lo que nos origina la siguiente propiedad: I. Sumando miembro a miembro una igualdad y urna desigualdad, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido. EJEMPLOS. — Siendo 5 = 2 + 3 y 8 < 10 , tenemos: 5 + 8 < 2 + 3 + 10 que, como comprobación, nos da, 13 < 1 5 . Igualmente, siendo que,

1 + 2 + 3 = 6 y 5 > 4 , tenemos: 1 + 2 + 3 + 5 > 6 + 4 como comprobación, nos da, 11 > 10 .

(*) Esta propiedad se llama de MONOTONÍA porque el mantiene el sentido de la desigualdad de los sumandos.

resultado

102

DEMOSTRACIÓN. — Como aplicación de la noción de conjuntos que dimos en el Cap. II, demostraremos esta última propiedad. Sea M N P Q el conjunto que representan a y b, o sea, a = b. "ABC " " " representa c " " c < d. " ABCDE " " " d Es c < d porque el conjunto ABC es parte del A B C D E, y en este último figuran D y E. Al sumar los elementos M, N, P, Q a estos dos últimos conjuntos, resultan los siguientes conjuntos: M N P Q A B C, que representa a + c a + c < b +d b+d desigualdad esta última que justifica la propiedad enunciada. Como comprobación gráfica de esta propiedad, véase el es­ quema que sigue, que evidencia que el conjunto que resulta de efectuar la suma a + c es menor que el que resulta de efectuar b + d, o sea que es a + c < b + d. a

b

c

a+ c

d

b+ d

154.

Si consideramos las tres desigualdades siguientes, a < a' , b < b' , c < c' y las sumamos ordenadamente, tenemos esta otra desigualdad, a + b + c < a' + b' + c' que nos origina la siguiente propiedad: II. Sumando miembro a miembro varías desigualdades del mismo sentido se obtiene otra desigualdad de igual sentido. EJEMPLOS. — Siendo 9 < 1 2 , 0 < 5 , 7 < 8 , 9 + 0 + 7 < 12 + 5 + S y, como comprobación, resulta: 16 < 25 .

tenemos:

103 DEMOSTRACIÓN. — Sean las dos desigualdades del m i s m o s e n t i d o : a < a' y b < b' Si s u m a m o s o a l o s d o s m i e m b r o s d e la p r i m e r a , en virtud de la propiedad I del ( N . ° 153) r e s u l t a : a + b < a' + b [a] Si s u m a m o s a' a l o s d o s m i e m b r o s d e la segunda, resulta: a' + b < a' + b' [b] A p l i c a n d o a las desigualdades [ a ] y [ p ] la propiedad transitiva de las desigualdades ( N . ° 1 4 7 ) , r e s u l t a : a + b < a' + b' D e m o s t r a d a la propiedad p a r a d o s desigualdades, si se le s u m a otra del m i s m o sentido c < c', resulta: a + b + c < a' + b' + c' desigualdad esta ú l t i m a q u e j u s t i f i c a la propiedad enunciada.

Dejamos como ejercicio para el estudiante la comprobación de este caso para lo cual construirá una gráfica análoga a la del caso anterior. NOTA. — Si se suman dos desigualdades de sentidos contra­ rios, no se puede prever nada de los resultados obtenidos. Así, en los tres ejemplos que siguen, obsérvese que puede obte­ nerse una desigualdad en cualquiera de los dos sentidos, o una igualdad: 3 < 5 3<5 3<5 8 > 2 2 >1 8 > 6 11 > 7 5 < 6 11 = 11

Resta de igualdades y desigualdades 155. para la también I I I que

Propiedades de monotonía. — Como para la adición, sustracción de igualdades y desigualdades se cumple la propiedad de monotonía, pero sólo en los casos I y trataremos a continuación.

I. Si de los dos miembros de una desigualdad restamos los de una igualdad (siempre que la sustracción sea posible) ob­ tenemos una desigualdad del mismo sentido que la primera. Simbólicamente, si o bien, si

a < b c = d a > b c = d

tenemos: a — c < b — d tenemos: a — c > b — d

E J E M P L O I. — Si de los dos miembros de la desigualdad restamos los de la igualdad 5 + 2 = 3 + 4 , tenemos:

8

<

12

104 8 — (5 + 2 ) <

12 — (3 + 4 )

Para verificarlo, efectuamos operaciones, y resulta: 8 — 5 — 2 <

12 — 3 — 4

;

3 — 2 <

9 — 4 ;

1 < 5

E J E M P L O I I . — Restando ordenadamente a los dos miembros de la desigualdad 5 + '9 > 10 , los de la igualdad 2 + 4 = 6 , obtenemos: (5 + 9 ) — (2 + 4 ) >

10 — Ü

;

14 — 6 >

4

;

8 >

4.

DEMOSTRACIÓN. — E n virtud del postulado de las tres posibilidades (N.° 151) e s : a — c < b — d o bien es, a — c >b — d Si admitiéramos por un m o m e n t o una de estas d o s últimas posi­ bilidades, a — c > b — d, s u m á n d o l e a a m b o s m i e m b r o s un mis­ mo n ú m e r o c = d, en virtud del ( N . ° 108 y 153) t e n d r í a m o s : a > b, resultado éste que sería c o n t r a d i c t o r i o c o n la hipótesis de ser a < b. E n c o n s e c u e n c i a se c u m p l e la p r i m e r a p o s i b i l i d a d de ser á — c < b — d. ( * )

Dejamos como ejercicio para el estudiante la comprobación de este caso, para lo cual construirá una gráfica análoga a la del (N.° 153). II. Si de los dos miembros de una igualdad restamos los de una desigualdad (siempre que la sustracción sea posible) obtenemos una desigualdad de sentido contrario. a Simbólicamente, si c a o bien, si c

= < = >

b d b d

tenemos: a — c > b — d tenemos: a — c < b — d

EJEMPLO I. — Restando ordenadamente a los dos miembros de la igual­ dad 8 + 4 =

12 , los de la desigualdad

8 + 4 — '5 >

12 — 9

;

5 <

12 — 5 >

9 , 3

obtenernos: ;

7 >

3

EJEMPLO I I . — Siendo 8 + 3 — 2 = 4 + 5 y 1 + 4 < 6 , obte­ nemos : (3 + 3 — 2) — ( l + 4 ) > ( 4 + 5 ) — 6 ; 9 — 5 > 9 — 6 ; 4 > 3 DEMOSTRACIÓN. — E n virtud del postulado de las tres posibilidades (N.° 151) e s : a — c < b — d, o bien es a — c >b — d Si admitiéramos p o r un m o m e n t o una de estas dos posibilidades, a — c > b — d, sumándole a a m b o s m i e m b r o s de la desigualdad c > d, en virtud del ( N . ° 154, I I ) tendríamos a > 1), resultado éste que sería c o n t r a d i c t o r i o c o n la hipótesis de ser a — b. E n conse­ c u e n c i a se c u m p l e la p r i m e r a posibilidad, de ser a — c < b — d. (*) En esta demostración se empleó el método llamado por reducción al absurdo. Consiste en admitir como verdad provisional lo contrario de lo que sé desea demostrar; pero, al dednoir de esto una contradicción entre la hipó­ tesis y verdades anteriores, quiere decir, qne lo contrario de lo que se desea demostrar es absurdo; por consiguiente debe admitirse la tesis como verdadera.

105

Como comprobación gráfica de esta propiedad véase el es­ quema que sigue, a

b

c

a —c

d.

h— d

que muestra que el conjunto que resulta de la sustrac­ ción a — c es mayor que el que resulta de la sustracción b — d, o sea: a— c > b — d III. Restando miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario (siempre que la sustracción sea posible) resulta otra desigualdad del mismo sentido que la de los minuendos. Simbólicamente, si

a < b c > d tenemos: a — c < b — d

I. — Siendo 12 < 15 y 8 > 2 , resulta: 12 — 8 < 15 — 2 ; 4 < 13 EJEMPLO II. — Siendo 7 + 8 > 9 y 6 < 2 + 5 , resulta: 7 + 8 — 6 > 9 — (2 + 5) ; 15 — 6 > 9 — 7 ; 9 > 2 . DEMOSTRACIÓN. — Como en los dos casos anteriores partimos del postulado de las tres posibilidades; si admitimos la segunda y la tercera de las posibilidades, a — c >b — d, sumándole la desigual­ dad c > d, resultaría a > b, contradictorio con la hipótesis de ser a < b. En consecuencia se cumple la primera de las posibilidades, de ser a — c < b — d. NOTA. — Si las desigualdades son del mismo sentido, nada podrá preverse de la relación que resulte. Así, por ej., siendo 5 < 9 y 2 < 6 , resulta: 5 — 2 = 9 — 6 5 < 9 y 2 < 4, " 5—2 < 9—4 o < 9y 2 < 8, " 5—2 > 9—8 EJEMPLO

CAPITULO VI

" L a m ú s i c a enseñó a l mundo a pensar con los sonidos y l a s matemáticas con l a s fórmulas".

GOETHE

PROBLEMAS SENCILLOS resolubles con las definiciones y propiedades de la adición y de la sustracción Trasposición de términos 156. PROBLEMA. — Hallar el peso de un lápiz utilizando la balanza. Lo colocamos en uno de sus platillos (fig. a), el de la derecha, y ponemos en el otro una pesa de 25 g. La balanza se desequilibra. Se vuelve a equilibrar en cuanto colocamos junto al lápiz una pesa de 4 g. (fig. b). ¿Cuánto pesa el lápiz?

(fig. a)

( f i g . b)

Resolución. — Si representamos con x el peso desconocido del lápiz, el equilibrio de pesos que nos acusa la balanza (fig. b) nos indica que los pesos del platillo de la derecha (4 + x) igualan al peso del otro platillo, 25 g.; o sea, 4 + x = 25 ,

[a]

Esta igualdad nos expresa que conocemos la suma (25) de dos números y uno de ellos (4). Conforme la definición que dimos en e l , ( N . °123), el otro sumando desconocido (x), será la diferencia x = 25 — 4 [b] o sea, x = 21 Respuesta: peso del lápiz, 21 gramos

107

157. Si comparamos las igualdades [a] y [b], vemos que únicamente difieren en la posición del número 4; en la [a] se encuentra como sumando en el primer miembro, mientras que en la [|3] figura como sustraendo en el segundo miembro. Podemos decir, también, que hemos pasado, o traspuesto, un término de un miembro a otro de la igualdad. La operación realizada se llama trasposición de términos Enunciaremos, pues, en forma general, la siguiente REGLA. — Para PASAR UN TÉRMINO de un miembro a otro de una igualdad, si figura como sustraendo en uno de los miembros pasa al otro como sumando; si figura como sumando, en uno de los miembros, pasa al otro como sustraendo. E J E M P L O S . — 1.° por ej., estas o t r a s : 8 + 5 = 2.°

La igualdad: 8 + 16 — 3 ;

8 +

3 =

16, nos

origina,

8 = 16 — 3 — 5

De la i g u a l d a d : a + b — c = m + n, tenemos, por e j . :

a + b = m + n + c, 3.°

5 +

o bien,

De la igualdad, 8 — 6 + 2 = 2 +

4 =

9 +

5,

o también,

a + b — a — m — n 9 — 4, tenemos, p o r e j . : 8 — 5 +

2 — 9 +

4 =

0

158. PROBLEMA II. — Un comerciante inició la labor diaria con un capital en caja de $ 200. Por varias ventas percibió $ 300. Luego cobró una cuenta cuyo importe se ignora, por no haberse anotado ni registrado en caja. Finalmente pagó algunas cuentas de gastos por un total de $ 550, cerrando la caja con una existencia de $ 800. ¿Cuál es el importe de la cuenta no anotada? Si representamos con x el importe desconocido, las condiciones del problema nos permiten establecer la siguiente relación : 200 + 300 + x — 550 = 800 Trasponemos términos en esta igualdad a fin de aislar x, para lo cual aplicamos la Regla del (N.° 157), y tenemos: £ = 800 — 200 — 300 + 550 Calculamos el valor de este polinomio por cualquiera de los procedimientos del (N.° 135), y obtenemos: x = 850. Respuesta: la cuenta no anotada importaba, $ 850.

108

159. En los dos problemas tratados, los enunciados de los mismos nos llevaron a establecer una igualdad entre números y cierta letra, incógnita, a los efectos de determinar qué valor admite la incógnita para que la igualdad resulte satisfecha. Esta igualdad se llama ecuación. La incógnita se representa generalmente con una de las últimas letras del alfabeto. En los problemas tratados hemos empleado la x. El proceso seguido para aislar la incógnita y calcular finalmente su valor, se dice resolución de la ecuación. Este tema se tratará ampliamente en el próximo curso (Cap. IV del Algebra). E J E M P L O . — Sea el siguiente p r o b l e m a : Si la diferencia entre cierto número ( m i n u e n d o ) y 15 es 8, ¿cuál es ese número? Si l l a m a m o s x a la incógnita, tenemos que la e c u a c i ó n del problema e s : x — 15 = 8 Resolvemos esta ecuación aislando x, para lo cual aplicamos el (N.° 157) y t e n e m o s : x = 8 + 15 = 23 El valor de la incógnita, es decir el n ú m e r o que deseábamos conocer, es 23.

Cálculo mental 160. Cálculo rápido y mental. — Algunas de las propiedades estudiadas de la adición y de la sustracción ayudan muchas veces, en el cálculo mental con dichas operaciones. ADICIÓN

161. Suma de cifras. — Dos cifras son complementarias cuando su suma es igual a 10 . Los pares de cifras complementarias son, pues: 1 y 9 ; 2 y 8 ; 3 y 7 ; 4 y 6 ;. 5 y 5, que conviene recordarlas; decimos también, que 1 es el complemento de 9 ; 2 es el complemento de 8 ; etc. Sumaremos, pues, las cifras complementarias cuando sean sumandos de ubicación próxima en el esquema de la suma. Así, por e j . , obtenemos rápidamente la siguiente suma: 8 + 5 + 2 = 15 observando que 8 y 2 son cifras complementarias. Análogamente: 6 + 7 + 4 + 3 + 8 = 28 observando que 6 y 4 son cifras complementarias, así como 7 y 3 .

109

162. Suma de dos números de dos cifras. — Sumamos mentalmente por un lado las decenas y por otro las uni­ dades, reuniendo luego los resultados. Así, por e j . , decimos: 34 + 52 = 8 6 . Mentalmente hemos efectuado 10 + 50 = 80 ;

4 + 2 = 6;

80 + 6 = 86 .

Este procedimiento es ventajoso cuando la suma de las cifras de las unidades es menor que 10 . Cuando la suma de las cifras de las unidades es mayor que 10, procedemos como antes, pero conservando sólo la cifra de las unidades de esta suma y aumentando en una unidad la cifra de las decenas. Así, por e j . , decimos 85 + 67 = 152 . Mentalmente hemos efectuado SO + 60 = 140 ; 5 + 7 = 1 2 ; 140 + 10 + 2 = 152 .

163. Suma de dos números cualesquiera. — Descompone­ mos mentalmente cada número en las unidades de sus dis tintos órdenes; efectuamos las sumas de esas unidades em­ pezando por las de orden más elevado y sumamos luego los resultados parciales. Así, por ej., decimos: 743 + 285 = 1028. Mentalmente hemos efec­ tuado 700 + 200 = 900 ; 40 + 80 = 120 ; 3 + 5 = 8 . Luego: 900 + 120 = 1020 ; 1020 + 8 = 1028 . NOTA. — Conviene no pasar de un ejercicio al siguiente sin haber antes practicado bastante con el anterior. Es necesario que el estu­ diante logre operar mentalmente con rapidez y sin mayor esfuerzo, efectuando, podríamos decir, simultáneamente las distintas operaciones Para el estudiante que posea algo de memoria visual, le resultará más fácil el cálculo mental, imaginándose los números escritos en una piza­ rra; en otros términos, tratando de ver, idealmente, los números sobre los que opera.

164. 10 000,

Sumar un número que difiere muy poco de 100,1000, etc.

— Para

ello s u m a m o s 100, 1000,

10 000,

restando luego el exceso del número agregado sobre

etc.,

el nú­

mero dado. Por ejemplo, si tenemos que sumar 97 = 10O — 3, sumamos 100 } restamos 3. Así, decimos: 538 + 97 = 635 ; mentalmente herno* efectuado 538 + 100 — 3 = 638 — 3 = 635 .

SUSTRACCIÓN

165. 10 000,

Restar un número que difiere muy poco de 100,1000, etc.

— Para

ello r e s t a m o s 100,

1000,

10 000,

etc.,

sumando luego el exceso del número restado sobre el nú­ mero dado. Por ejemplo, para restar 996 = 1000 — 4 , restamos 1000 y suma . mos 4 ; así efectuaremos 35872 — 996 = 35872 — 1000 + 4 = = 34872 + 4 = 34876.

110

166. Resta de dos números cualesquiera. — Empleando el procedimiento indicado en el (N.° 126), para restar de un número otro, podemos restar sucesivamente al primero las unidades de los diversos órdenes del segundo. Así,

por ej., para efectuar la sustracción 826 — 354 , efectuamoe 826 — 300 = 526 ; 526 — 50 = 476 ; 476 — 4 = 472 .

NOTA. — Al tratar más adelante las "Reglas operatorias" con la diferencia de dos números (N.° 170), volveremos sobre el cálculo mental.

Intercalación o supresión de paréntesis 167. Reglas prácticas para quitar paréntesis precedidos por el signo + o por el signo — . Su inducción con ejemplos. En la supresión de paréntesis distinguiremos dos casos, según que el paréntesis tenga delante el signo + o el signo —. PRIMER CASO. — Paréntesis precedido del signo más. — Ilustremos el razonamiento mediante un ejemplo. Supongamos que Antonio tenía 50 pesos; le pagué 15, me devolvió 18 y volví a pagarle 20. ¿Cuántos pesos tiene ahora? La cuenta es la siguiente: 50 + 15 — 18 + 20 Pero, calculando aparte las cantidades que pagué a Antonio y las devueltas por él, lo que en definitiva le di ha sido el valor del polinomio (15 — 18 + 20). De modo que el número de pesos que le quedan a Antonio se puede expresar también así: 50 + (15 — 18 + 20) Siendo evidentemente iguales los valores de ambas expresiones, podemos escribir: 50 - f (15 — 18 + 20) = 50 + 15 — 18 + 20 Como el razonamiento podría repetirse para otros números y otras entregas o devoluciones, podemos, en general, establecer la siguiente REGLA. — Todo paréntesis precedido del signo + , puede suprimirse, escribiendo con los mismos signos los términos que encierra.

111

Con otras palabras, diremos también: Para sumar a un número un polinomio, se escriben sus tér­ minos a continuación del número con los signos que tienen. Recuérdese que al tratar la propiedad disociativa de la suma ya indicamos un procedimiento análogo, cuando el po­ linomio encerrado dentro de paréntesis tenía todos sus tér­ minos precedidos del signo + . EJEMPLO I. La suma de 1 2 con el polinomio (8 + 5 — 2 — 1 + 6 ) 12 EJEMPLO 25

+

+ 8 +

5 —

2 —

6 =

1 +

es:

28.

II.

[8 +

(15 — =

5)

25

EJEMPLO III. 9 + [(2 — 6) — 5]

=

+

+

6]

8 + 9

=

25

15 —

+ [ 2 —

+

[8 +

15 —

6 =

49 .

5 +

6 — 5]

= 9

+

5 +

6],

=

2 — 6 — 5 =

0

168. SEGUNDO CASO. — Paréntesis precedido del signo me­ nos. — Sea, por ej., la expresión 10 — (5 — 2 + 4) que nos indica debemos restar a 10 el polinomio que está encerrado dentro del paréntesis. Decimos que la diferencia se obtiene escribiendo el minuendo y a continuación el polino­ mio sustraendo con los signos cambiados. Es decir, que aquella diferencia será 10 — 5 + 2 — 4 La validez del procedimiento se justifica aplicando la pro­ piedad fundamental de la sustracción (N.° 123), que establece que la suma del sustraendo con la diferencia debe ser igual al minuendo. En la sustracción anterior el sustraendo es (5 — 2 + 4) y la diferencia dijimos era (10 — 5 + 2 — 4 ) . Sumando estas dos expresiones, tenemos: (5 — 2 + 4) + (10 — 5 + 2 — 4) = = 5 — 2 + 4 + 10 — 5 + 2 — 4 = 10

Reproduciéndose el minuendo, significa que aquella dife­ rencia es la verdadera. Tendremos, pues: 10 — (5 — 2 + 4) = 10 — 5 + 2 — 4 Podríamos repetir el razonamiento con números cuales quiera, que representaríamos mediante letras, confirmando

112

así el procedimiento en forma general. Podemos dar, en con­ secuencia, la siguiente REGLA. — Todo paréntesis precedido del signo menos, puede suprimirse, escribiendo con signos contrarios los tér­ minos que encierra. EJEMPLO. I .

25 — (10 — 7 + 2 — 4 ) =

25 — 10 +

7 — 2 +

4

EJEMPLO I I .

(15 + 3 ) — [8 + (7 — 2) — 4] = = EJEMPLO

15 + 3 — 8 — (7 — 2) + 4

=

15 + 3 — 8 — 7 + 2 + 4 = 9

III.

a — (b — 2 + c + 5 — d) — a—

b + 2—c— 5 + d

169. Intercalación de paréntesis. — Consideremos dos ejemplos cualesquiera de supresión de paréntesis, a los que aplicamos las reglas de los (Nos. 167 y 168): a + (b + c — d) = a + b + o — d a — (b + c — d) = a — b — c + d Aplicando a estas igualdades el carácter recíproco (N.° 93) resulta: a + b + c — d = a + (b + c — d) a — b — c + d — a — (b + c — d) Si observamos en los dos ejemplos los signos de los tér­ minos en ambos miembros de las igualdades, podemos enun­ ciar la siguiente REGLA. — Dos o más términos de una suma algebraica se pueden ENCERRAR DENTRO DE PARÉNTESIS, conser­ vando cada uno de ellos el signo respectivo, o cambiándole de signo, según que se preceda al paréntesis del signo + o —, respectivamente. EJEMPLO

EJEMPLO II.

I

8 +

3 —2 +

5 —1

=

5 + 3 + 10 — 1 2 — 6 + 4 =

8 + ( 3

—2 +

5)—1

( 5 + 3 + 1 0 ) — (12+6—4)

170. Reglas operatorias. — La intercalación de parén­ tesis nos justifica las siguientes reglas operatorias: 1. Para sumar a un número una diferencia, se le suma el minuendo y al resultado se le resta el sustraendo. En efecto, n + (m — s) = n, + m — s = (n + m) — s a

113 a

2. Para restar de un número una diferencia, se le resta él minuendo y al resultado se le suma el sustraendo. En efecto, tenemos: n— (m — s) = n — m + s — (n — m) + s a

3. Para sumar un número a una diferencia, se le suma al minuendo y al resultado se le resta el sustraendo. En efecto, tenemoe: (m — s) + w = m — s+n = m + n — s=(m + n) — s 4. Para restar un número a una diferencia, se le suma al sustraendo y el resultado se resta del minuendo. En efecto, (m — s) — n = m — s — n — m — (s + n) a

Las reglas anteriores tienen interesantes aplicaciones en el cálculo mental, como ya lo hicimos en párrafos anteriores: ia regla 1. , en el (N.° 165); la 2. , en el (N.° 166). Un ejemplo de aplicación de la regla 3. se presenta en el proceso que sigue: 98 + 45 = (100 — 2) +45 = (100 + 45) — 2 = 145 — 2 = 143 a

a

a

a

Un ejemplo de aplicación de la regla 4. se presenta en el proceso que sigue: 278 — 35— 75 = 278 — (35 + 75) = 278 — 110 = 168

Matemática curiosa ADIVINAR EL RESULTADO DE UNAS OPERACIONES (Suma y resta)

Se pide a una persona que escriba un número de tres cifras tales que la primera sea mayor que la tercera. Supongamos que escribe Luego se le pide que escriba debajo el mismo número pero invirtiendo sus cifras . . Que halle luego la diferencia Que escriba debajo de este último el número que resulta de invertir sus cifras .

831 138 693 396

Que sume los dos últimos números . . . . 1 089 La persona que propone el juego puede adelantar el resultado final: es siempre el número 1089. 8.—ARITMÉTICA

1er. A Ñ O —

Coppetti

114

La explicación es sencilla, pues en la sustracción se obtiene siempre un 9 colocado entre dos cifras que suman 9. Al invertir las cifras de esta diferencia, saldrá luego en la suma un 9 como cifra de las unidades, y un 8 como cifra de las decenas; las centenas serán (9 + 1 ) = 1 0 que se lleva del 18; es decir que el resultado es el número 1089. EL CAMARERO DESHONESTO

Un señor recibió como regalo 80 botellas de un exquisito espumante. Esperando la ocasión de reuniones o festejos para la consumisión respectiva, ordenó al camarero de colocar en la cantina dichas botellas, y de disponerlas en las estanterías existentes en las 4 paredes de la cantina. En presencia del señor, las botellas fueron distribuidas como se indica en la (fig. a), de modo que en cada pared se encontraban 21 botellas. 1

1

2

19

17

19

1

2

(fig.

a)

19

19 1

17

17 (fig.

2

10

17

1

2

10 b)

1

10 1

1

10

( f i g . c)

El camarero deshonesto se ingenió de manera de robar 4 botellas distribuyendo las restantes como indica la (fig. 6), es decir siempre 21 por lado; en esta forma, aún controlando, el señor creyó que se trataba de una simple trasposición de sus botellas, ya que contó también el mismo número 21 por cada pared. Visto el resultado de la treta, el camarero continuó repitiendo la operación, aumentando siempre en uno el número de botellas dispuestas en los ángulos, y disminuyendo en dos el número de las dispuestas en el medio de las paredes. Llegó así a la disposición que se indica como última en la (fig. c ) , después de haber robado en total 36 botellas. En efecto, si bien resultan aún 21 por cada lado, el total de botellas es 44.

CAPITULO VII

" L a ciencia matemática e s importante sobra todo porque constituye el Instrumento más poderoso que el espíritu humano puede emplear en la investigación de las leyes de los fenómenos", AUGUSTO COMTE

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES Definición 171. Producto de dos números. Ilustraremos este concepto con un ejemplo: Dispongo de 4 canastos que contienen cada uno 12 manzanas, y vierto ios 4 canastos en un cajón. ¿Cuántas manganas contendrá el cajón? El número que buscamos es evidentemente la suma 12 + 12 + 12 + 12 que tiene la figuiente particularidad: todos los sumandos son iguales, una suma de varios sumandos iguales se llama p r o d u c t o ; aiás concretamente, la suma anteriormente indicada se llama producto de 12 por 4 Resulta, pues, aclarada la siguiente

DEFINICIÓN. — Se llama PRODUCTO de dos números al que se obtiene efectuando la suma de tantos sumandos iguales al primero como unidades tenga el segundo. Por ejemplo, en lugar de escribir 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15 se escribe 3 × 5 = 15 o bien 3.5 = 15 que se lee, tanto en un caso como en el otro, el producto de 3 por 5 es 15, o bien 3 multiplicado por 5 es igual a 15, o más brevemente: 3 por 5, 15. 172. El número que se suma con sí mismo, se llama multiplicando; el que indica cuántas veces debe tomarse el multiplicando como sumando, se llama multiplicador; ambos se llaman factores. Podemos decir, pues, que la multiplicación es una suma abreviada. Si los factores son literales, por ej. el producto de m por n, se representa de cualquiera de estos tres modos: m×n m.n mn La última notación no es conveniente cuando los factores son numéricos, pues podría inducir a error. Así, por ej. si

116

escribiéramos la expresión 63, leeríamos el número sesenta y tres, y no el producto 6 por 3, cuyo valor es 18. — Con cualquiera de las notaciones (Kg. 3) 5 = Kg. 15 ; Kg. ( 3 × 5 ) = Kg. 15 ; Kg. 3 × 5 = Kg. 15 con las que indicamos el producto de Kg. 3 por 5, se con viene en abreviar la suma Kg. 3 + Kg. 3 + Kg. 3 + Kg. 3 + Kg. 3 = Kg. 15 NOTA.

Obsérvese, pues, que el producto es de la misma especie que el multiplicando, mientras que el multiplicador debe ser un número abstracto, puesto que indica cuántos sumandos iguales entran en la suma. 173. Producto de varios números. — Ilustraremos este concepto con un ejemplo Es necesario colocar los vidrios de las ventanas de un edificio de 5 plantas, con 18 ventanas en cada planta y 2 vidrios en cada ventana. ¿Cuántos vidrios se necesitan para todo el edificio? Podemos razonar así: empecemos por calcular el número de vidrios para cada planta. Siendo 18 las ventanas de una planta y llevando 2 vidrios cada una, su número estará representado por el producto 2 × 1 8 Para todo el edificio, es decir, para las 5 plantas, será necesario un número de vidrios igual al producto por 5 del número de vidrios necesarios para cada planta. Efectuando el producto encontramos: ( 2 × 1 8 ) × 5

=

3 6 × 5

=

180

y contestamos que el número de vidrios necesarios para todo el edificio es de 180.

Si omitimos el paréntesis que hemos usado en el ejemplo anterior para indicar que debe multiplicarse por 5 el resultado de la multiplicación de 2 por 18, tendremos la expresión: 2 × 1 8 × 5 que se llama producto indicado, o simplemente producto de tres números 2, 18, 5. En general: Se llama PRODUCTO DE VARIOS NÚMEROS el que se obtiene multiplicando el primero por el segundo número, el producto obtenido por el tercero, el nuevo producto por el cuarto, y así sucesivamente, hasta considerar todos los números.

117

Así, por ejemplo, el producto de 5 por 2 y por 8 es el número que se obtiene multiplicando 5 por 2 y el resultado por 8. Pero, en lugar de escribir 5 × 2 = 10 , 1 0 × 8 = 80 se escribe: 5 × 2 × 8 = 80 que se lee brevemente: 5 por 2, por 8, igual a 80. La MULTIPLICACIÓN as la operación aritmética me­ diante la cual hallamos el producto de varios números. 174. Múltiplos de un número. — El producto de dos números naturales se llama también MÚLTIPLO de cualquiera de esos números. Así, en lugar de decir 35 es el producto de 7 por 5, o de 5 por 7, podemos decir: 35 es múltiplo de 7, y también es múltiplo de 5. En general, si al producto de dos números b y m lo re­ presentamos con la letra a, tendremos: a = b×m igualdad ésta que nos dice que a es múltiplo de b según m ; o bien, que a es múltiplo de m según b . Las palabras múltiplo de, se reemplazan, también, por x&i punto colocado sobre el número; así, para los números ante­ riormente indicados, puede escribirse: a = b , o bien, a = m Un número se llama par si es múltiplo de 2; de le contrario, es impar. E J E M P L O S . — L o s primeros múltiplos de 5 s o n : 5.0 = 0 ; 5 . 1 = 5 ; 5 . 2 = 10 • 5 . 3 = 15 ; 5 . 4 = 20 ; ote. Los primeros números pares, o sea múltiplos de 2, s o n : 0

, 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , etc.

Propiedades de la multiplicación 175. Propiedad de clausura. — Admitido el proceso de multiplicación como una suma abreviada (N.° 172), y como esta última goza de la propiedad de clausura, también dire­ mos que el conjunto de números naturales es CERRADO con respecto a la multiplicación. Podemos enunciar, pues, la si­ guiente propiedad:

118

El producto de dos números naturales es otro número natural. E J E M P L O S . — E l c o n j u n t o de t o d o s los n ú m e r o s naturales que t e r m i n a n en 0 ó en 5 es c e r r a d o respecto de la m u l t i p l i c a c i ó n . E l conjunta d e t o d o s los n ú m e r o s p a r e s es c e r r a d o respecto de la multiplicación. A n á l o g a m e n t e el c o n j u n t o de t o d o s los n ú m e r o s im­ pares .

176. Propiedad uniforme. — Como la multiplicación es una suma abreviada, y esta última operación goza de la pro­ piedad uniforme (N.° 102), es decir que da resultado único, podemos afirmar también que la multiplicación tiene esta pro­ piedad. El producto de dos números tiene un valor único. 177. La unicidad del resultado de la multiplicación jus­ tifica la siguiente propiedad de las igualdades: Multiplicando miembro a miembro varias igualdades se obtiene otra igualdad. Simbólicamente, siendo dadas las igualdades, a = a' , b = b' , c = c' tenemos: a×b×c = a'×b'×c' 178. Como corolario de la última propiedad, tenemos: Si multiplicamos los dos miembros de una igualdad por un mismo número, se obtiene otra igualdad. Así, dada la igualdad a = b , tenemos: a×n = b×n 179. Propiedad cancelativa. — Recíprocamente, de la última igualdad pasamos a la penúltima, y podemos entonces enunciar esta otra propiedad: Si suprimimos un mismo factor de ambos miembros de una igualdad, se obtiene otra igualdad. Esta propiedad es válida siempre que el factor suprimido sea distinto de cero (n = 0). La denominación de cancelación para esta propiedad pro­ viene de la palabra cancelar, o sea, de suprimir el factor co­ mún de ambos miembros de la igualdad. NOTA. — Esta propiedad tiene aplicación en la simplifica­ ción de igualdades cuando permiten esa cancelación.

119 G

T

E J E M P L O . — L a igualdad a x & x 3 x c = X & X c x 3 , tiene el factor 3 en a m b o s m i e m b r o s , se s i m p l i f i c a a s í :

180.

^

u

e

Propiedad conmutativa. — Producto de dos factores.

Siendo la multiplicación una suma abreviada y como se efectúa

contando los objetos sumados, el resultado será el mismo, aunque se varíe el orden con que se cuenten los objetos (N.° 103). Así, por ejemplo, propongámonos contar los bancos del sa­ lón de clase, que representamos con puntos en la figura de al lado. Si contamos los bancos por filas horizontales, en­ contramos 4 filas de 7 ban­ cos cada una, o sea 7 +

7 +

7 +

7

=

7 × 4

Contándolos por columnas verticales, encontramos 7 co­ lumnas de 4 bancos cada una!, o sea 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 × 7 Pero, como indicamos anteriormente, siendo evidentemen­ te siempre el mismo el número de objetos, cualquiera que sea el modo de contarlos, tendremos: 7 × 4

=

4 × 7

Como el razonamiento podría repetirse para cualesquiera que sean los números de filas y de columnas, y aun para otros objetos, representando los números por letras, podemos establecer la igualdad a×b

=

b×a

que origina el siguiente enunciado general: El valor de un producto de dog factores no cambia, si se altera el orden de los mismos. 181. Producto de varios factores. — La propiedad conmu­ tativa también se cumple para el producto de más de dos factores. En efecto: en la figura siguiente se representa también un conjunto de bancos dispuestos en dos filas y divididos en grupos mediante las barras verticales.

120

Cada par de barras comprende un número de bancos igual al producto 3 × 2 . Como los pares de barras son 4, ten­ dremos un número total de bancos igual a 3 × 2 × 4 . Pero como el número de bancos comprendidos entre cada par de barras puede representarse también con 2 × 3 , el número total de bancos será: 2 × 3 × 4 . Podemos, pues, escribir: 3 × 2 × 4 = 2 × 3 × 4

(cambio de los 2 primeros factores). Si ahora contamos por filas, en cada una tenemos 3 × 4 bancos, y puesto que son 2 filas, el total será 3 × 4 × 2 , que igualado con la primera de las expresiones anteriores, nos da: 3 × 2 × 4 = 3 × 4 × 2 (cambio de los dos últimos factores). Aplicando sucesivamente uno u otro de los dos cambios anteriores, podemos llevar los factores a cualquier posición. La propiedad puede generalizarse para cualquier número de factores. Podemos, pues, en todos los casos, establecer la igualdad a.b.c.d.e

= b.d.a.e.c

= c.d.a

,b..e=

...

que origina el siguiente enunciado general: El valor de un producto de cualquier número de fajctores no cambia, si se altera el orden de los mismos. E J E M P L O . — Como comprobación, calculemos producto de los números: 4 , 6 , 3 y 2 . 4 × 6 × 3 × 2 = 2 4 × 3 × 2 = 7 3 × 2 × 6 × 4 = 6 × 6 × 4 = 3 2 × 3 × 4 × 6 = 6 × 4 × 6 = 2

de diferentes modos el 2 × 2 6×4 4×6

= 144 = 144 = 144

182. Propiedad asociativa. — Volvamos al ejemplo cita do en el (N.° 173), al ilustrar el concepto de producto de va­ rios factores:

121 Es necesario colocar los vidrios de las ventanas de un edificio de 5 plantas, con 1 8 ventanas en cada planta y 2 vidrios en cada ventana. ¿Cuántos vidrios se necesitan para todo el edificio? Ya hemos resuelto este problema, calculando primera mente el número ele vidrios que necesitaba cada planta, encontrando finalmente el producto: ( 2 × 1 8 ) × 5 Se hubiera podido hacer otro razonamiento: calcular primeramente el número total de ventanas del edificio: siendo 18 las ventanas de una planta y 5 el número de plantas, el producto ( 1 8 × 5 ) expresa el número total de ventanas; como cada ventana necesita 2 vidrios, el número total de vidrios que necesitará el edificio lo indica el producto 2 × ( 1 8 × 5 ) Podemos, pues, escribir la siguiente ( 2 × 1 8 ) × 5

que nos expresa la propiedad

=

igualdad: 2 × ( 1 8 × 5 )

asociativa

de la

multiplicación.

El producto de tres números es el mismo ya que se multiplique producto de los dos primeros por el tercero, o- ya que se multiplique primero por el producto de los otros dos. f

el el

Consideraciones análogas a las del ejemplo anterior, nos permiten extender la propiedad asociativa al caso de más de tres factores, y recordando también que, mediante la propiedad conmutativa, podemos, en un producto de varios factores, disponer consecutivamente de cualesquiera de ellos, estableceremos, pues la igualdad, a×b×c×d

=

a×(b×d)×c

que origina el siguiente enunciado general: El valor de un producto no altera si se sustituyen dos o más factores cualesquiera por su producto efectuado. Al sustituir dos o más factores por su producto efectuado, decimos que hemos asociado esos factores, vocablo que justifica la denominación de asociativa para esta propiedad. EJEMPLO.

2 5 × 6 3 7 × 4

(Se calculó mentalmente el producto f i n a l ) .

=

6 3 7 × ( 2 5 × 4 )

=

6 3 7 × 1 0 0

=

63700

el producto de 2 5 por 4 , y luego también

183. Propiedad disociativa. — La igualdad a×b×c×d

=

a×(b×c)×d

que expresa la propiedad asociativa del producto, puede es-

122

cribirse invertida, en virtud del carácter recíproco de las igualdades, y tenemos: a×(b×c)×d

=

a×b×c×d

que nos permite enunciar aquella propiedad de este otro modo: Si dos o más factores están encerrados dentro de paréntesis, se pueden quitar dichos paréntesis; en otros términos: El valor de un producto no cambia si se sustituyen dos o más factores por otros factores cuyo producto sea igual al de los primeros. Así, por ejemplo, tendremos: 6 × 8 = (2.3)8 = 6(2.4) = 6(2.2.2) = (2.3) (2.4) = . . . = 48 Como corolarios de la propiedad anterior, tenemos que: Para multiplicar un producto indicado por un número, basta multiplicar uno de los factores por ese número, con­ servando los restantes factores. E J E M P L O . — El producto de 6 0 × 3

=

( 5 × 2 × 6 )

180, puede obtenerse también ( 5 × 3 ) × 2 × 6 5 × ( 2 × 3 ) × 6

=

por

1 5 × 2 × 6 =

3, que es igual a

así:

5 × 6 × 6

=

180,

=

o bien

180; etc.

Para multiplicar un número por otro compuesto de varios factores, se puede multiplicar sucesivamente por cada factor. E J E M P L O . — E l p r o d u c t o de 8 p o r 15, siendo 15 = obtenerse t a m b i é n

5 x

3, puede

así: ( 8 × 5 ) × 3

=

4 0 × 3

=

120

184. Factor uno (Neutro). — Conforme la definición de producto de dos factores (N.° 171), el .producto 1 × 5 , o sea 1 + 1 + 1 + 1 + 1, es igual a 5, análogamente se con­ viene que 5 × 1 sea igual a 5. A la expresión 5 × 1 le lla­ mamos producto de 5 por 1, si bien a ella no podemos apli­ carle la definición de multiplicación (porque la suma no puede constar de un solo sumando).

123

Teniendo, pues, 1 × 5 = 5 × 1 = 5 , diremos que: Si uno de los dos factores de un producto es igual a 1, el producto es igual al otro factor. En general, tenemos: 1×a = a×1 = a El número 1 que como factor de otro número natural no altera el producto se llama módulo de la multiplicación. Por ser 1 el único número que cumple tal condición, se justifica la siguiente propiedad: El UNO es el único número que como factor de otro da un producto igual a éste. El número uno desempeña, pues, en la multiplicación, un papel neutro, vocablo que justifica la denominación de factor neutro para el número 1 . Algunos autores le llaman también elemento idéntico. 185. Factor cero. — Como el producto 0 × 5 , o sea 0 + 0 + 0 + 0 + 0, es igual a cero, análogamente se conviene que 5 × 0 sea igual a 0. A la expresión 5 × 0 le llamamos producto de 5 por 0, si bien a ella no podemos aplicarle la definición de multiplicación (puesto que, siendo 0 el multiplicador, tendríamos una suma sin sumandos, lo que carece de sentido). Teniendo, pues, 0 × 5 = 5 × 0 = 0, diremos que: Si uno de los factores de un producto es cero, el producto es cero. En general, tenemos: 0×a = a×0 = 0 Recíprocamente: Si un producto es igual a cero, debe ser cero por lo menos uno de los factores. De lo anterior, deducimos: La condición necesaria y suficiente para que un producto sea cero, es que sea cero por lo menos uno de los factores. 186. Interpretación geométrica. — Sean por ej., AB y C D los segmentos representativos de los números 3 y 5 . Si construímos un rectángulo de base M N = A B — 5 , y altura N P = C D = 3 , y luego unimos los puntos de divi-

124

sión de las unidades correspon­ dientes, como indica la figura, descompondremos así el rectán­ gulo en un conjunto de cuadra­ dos. Para contar el número de cuadrados que lo forman, di­ remos : 1. fila = 5 cuadrados 2. " = 5 3. " = 5 El número total de cuadrados, según la definición de pro­ ducto, será, pues: 5 + 5 + 5 = 5 × 3 = 15 es decir, que será el producto de los números 5 y 3. En general, cualesquiera que sean los números naturales m y n que se multiplican, podemos establecer la siguiente in­ terpretación geométrica: El producto de m por n está representado por el rectán­ gulo cuyos lados son segmentos, uno de ellos compuesto de m unidades y el otro de n unidadesa

a

a

187. Propiedades de monotonía. — Las tres propiedades que trataremos a continuación se llaman de monotonía, por razón análoga a la indicada en la Nota del (N.° 153), es de­ cir, porque el resultado mantiene el sentido de la desigualdad. Producto de una desigualdad por un número. I. Multiplicando ambos miembros de una desigualdad por un mismo número (diferente de cero) se obtiene una desigualdad del mismo sentido. Así, por ej., siendo a > b y n = 0(*), también será: a×n > b×n En efecto, podemos tomar: a>b a>b n veces a>b (*) Esta condición es indispensable porque, si fuera n = 0, se tendría a × n = 0 y b × n = 0, y en consecuencia resultaría a × n = = b×n.

125

y sumando miembro a miembro, en virtud del (N.° 154), tenemos: n

sumandos

n

sumandos

a + a + ... + a > b + b + ... + b, o sea, a×n

>

b×n

esto último en virtud de la definición de producto (N.° 171). 188. Producto de igualdades y desigualdades. — Como corolario de esta primera propiedad, tenemos este otro enun­ ciado : II. Multiplicando miembro a miembro una igualdad y una desigualdad, se obtiene otra desigualdad del mismo sentido. Así, por ej., de la igualdad y desigualdad siguientes a=b y c
6 +

2 y 5 <

9, t e n e m o s :

8 × 5 < (6 + 2 ) ; × 9 que, c o m o c o m p r o b a c i ó n , n o s da, 40 < 72. Igualmente, siendo 2 + 3 + '8 — 5 = 8 y 10 > (2 + 3 + 8 — 5 ) × 1 0 > 8 × 7 que, c o m o c o m p r o b a c i ó n , n o s da, 80 > 56.

189.

7, t e n e m o s

Producto de desigualdades.

III. Multiplicando miembro a miembro varias desigual­ dades del mismo sentido, se obtiene otra desigualdad de igual sentido. Así, por ej., de las dos desigualdades siguientes. a > b y c>d tenemos esta otra desigualdad: a × c > b × d DEMOSTRACIÓN. — Si m u l t i p l i c a m o s la p r i m e r a desigualdad p o r c, y la segunda por b resulta, r e s p e c t i v a m e n t e : > d y b a×c > b×c y 4×b Pero siendo b×c = c × b , e n v i r t u d de l a p r o p i e d a d transi­ tiva de las desigualdades ( N . ° 147) resulta: a×c >d×b, o sea, a×c > b×d.

126 E J E M P L O . — Siendo 13 > 4 y 19 > 12, tenemos, 1 3 × 1 9 > C o m p r o b a c i ó n : 247 > 48.

4×12.

N O T A . — Si se multiplican miembro a miembro desigual­ dades de sentido contrario, no puede anticiparse el resulta­ do; puede ser una desigualdad de cualquier sentido, o una igualdad, como puede comprobarse en los tres ejemplos que siguen: 3<6 3 < 6 3 < 6 8>2 7 > 5 4 > 2

3 × 8 > 6 × 2 o sea, 24 > 12

3 × 7 < 6 × 5

3 × 4 = 6 × 2

21 < 30

12 = 12

190. Propiedad distributiva de la multiplicación frente a la adición. Para indicar el PRODUCTO DE UNA SUMA POR UN NUMERO se encierra la suma dentro de un paréntesis. Así, por ej., queriendo indicar el producto de la suma 3 + 2 por 4, se escribe indiferentemente: (3 + 2 ) × 4 . o bien (3 + 2) .4 , o aún ( 3 + 2) 4 . Efectuando la suma y multiplicando el resultado por 4, tenemos: (3 + 2) 4 = 5 × 4 = 20 Observemos ahora cómo podemos llegar al mismo resultado por otro procedimiento: El esquema de al lado contiene 4 filas, de (3 + 2) círculos cada fila, y comprende en total, un núme­ ro de círculos igual a ( 3 + 2 ) × 4 . Pero teniendo en cuenta los colo­ res de esos círculos (blancos y ne­ gros), y contando primero los blan­ cos y luego los negros, tenemos 4 filas de 3 círculos blancos, y 4 filas de 2 círculos negros, o sea un número total de círculos de ( 3 × 4 ) + ( 2 × 4 ) . Igualando ambos números, resulta : (3 + 2 ) × 4 = ( 3 × 4 ) + ( 2 × 4 ) [a] Haciendo operaciones, tenemos: ( 3 + 2 ) × 4 = 12 + 8 = 20 resultado éste igual al obtenido por el primer procedimiento

127

El razonamiento empleado para obtener la igualdad [a] podría aplicarse a números cualesquiera, y establecer en ge­ neral la igualdad (a + b + c) . m = a . m + b . m + c . m Como en virtud de la propiedad conmutativa tenemos también que (a + b + c) . m = m . (a + b + c) podemos enunciar, pues, la siguiente propiedad general: Para multiplicar una suma, no efectuada, por un número o un número por una suma, puede multiplicarse cada tér­ mino de la suma por el número, y luego sumarse los pro­ ductos parciales. Otra

demostración

Por

d e f i n i c i ó n de p r o d u c t o

(8 + 5 + 2 ) × 3 =

de l a p r o p i e d a d anterior

es la s i g u i e n t e :

( N . ° 1 7 1 ) , tenemos, p o r

( 8 + 5 + 2) +

(8| +

5 + 2)

+

ejemplo:

(8 + 6 + 2)

E n v i r t u d de la propiedad d i s o c i a t i v a d e la s u m a ( N . ° 1 0 7 ) , po­ demos s u p r i m i r los paréntesis del s e g u n d o m i e m b r o de la igualdad anterior; luego, a p l i c a n d o a ese m i e m b r o la propiedad c o n m u t a t i v a d e la s u m a ( N . ° 1 0 3 ) , t e n e m o s : (8 + 5 + 2 ) × 3 = 8 + 8 + 8 + 5 + 5 + 5 + 2 + 2 + 2 Finalmente, a p l i c a n d o l a p r o p i e d a d a s o c i a t i v a d e l a s u m a ( N . ° 104) y l u e g o la definición de p r o d u c t o de d o s factores ( N . ° 1 7 1 ) , resulta: (8 +

5 + 2 ) × 3 =

igualdad ésta que d e m u e s t r a

8 × 3

+ 5 × 3

+

2 × 3

l a propiedad.

101. Propiedad distributiva de la multiplicación frente a la sustracción. Emplearemos un procedimiento análogo al seguido en el se­ gundo método de demostración tratado en el párrafo anterior. Sea a — b la diferencia indicada de dos números, que nos proponemos multiplicar por un número n, operación que se indica así: (a — b)×n, o bien, (a — b) .n Considerando esa diferencia como un solo número, y apli­ cando al producto la definición de multiplicación, tenemos: n sumandos (a — b). n = (a — b) + (a — b) + ... + (a — b)

128

Suprimiendo los paréntesis del segundo miembro (N.° 167), y luego agrupando los minuendos por un lado y los sustraendos por otro (N.° 169), podemos escribir: n sumandos

(a — b).n=

n sumandos

(a + a + . . . + a) — (b + b + . . . +h)

Pero, siendo por definición de producto: n sumandos

a + a +'...+ resulta,

n sumandos

a = a.n y b + b+ ... + b = b.n

(a — b) . n = a . n — b .n Como en virtud de la propiedad conmutativa del producto, tenemos también que (a — b) .n = n. (a — b) podemos enunciar, pues, la siguiente propiedad general: Para multiplicar una diferencia, no efectuada, por un nú­ mero o un número por una diferencia, puede multiplicarse el minuendo por el número y del resultado restarse el pro­ ducto del sustraendo por dicho número. E J E M P L O . — Efectuemos por dos procedimientos la

multiplicación:

(15 — 8 ) × 9 . er

1.

procedimiento:

(15 — 8 ) × 9

2

.

(15 — 8 ) × 9 . =

°

„

=

7 × 9

=

63.

1 5 × 9—8 × 9 =

135 — 72 =

63.

192. Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma algebraica. Siendo una suma algebraica una combinación de sumas y restas (N.° 135), su producto por un número se obtiene apli­ cando la siguiente propiedad: Para multiplicar una suma algebraica por un número, puede multiplicarse cada uno de sus términos por el nú­ mero, afectando cada producto parcial del signo del término que en él figura.

129

Simbólicamente, tenemos, por ejemplo: (a + b — c + d — e) .m = a.m + b.m — c.m + d.m — e.m Comprobaremos la propiedad con algunos ejemplos: EJEMPLO I . =

(5 — 3 +

20 — 12 +

7 — 2 ) × 4 =

28 — 8 =

8 +

Comprobación:

(5 — 3 + 7 — 2 ) × 4

EJEMPLO I I .

[8— (6 — 4 ) +

=

21 =

36 — 8 =

=

28 .

7 × 4= 28.

7 ] × 3 =

2 4 — ( 6 × 3 — 4 × 3 ) +

=

5 × 4 — 3 × 4 + 7×4 — 2 × 4

28 — 8 =

8 × 3 — (6 — 4 ) × 3 + 7 × 3

24 — 18 + 12 +

21 =

39

1 3 × 3 =

39

=

Comprobación: [ 8 — ( 6 — 4) +

7 ] × 3 =

(8 — 2 +

7 ) × 3 =

193. Regla para sacar factor común. — Si aplicamos el carácter recíproco a la propiedad distributiva de la multiplicación, es decir, si escribimos en orden inverso la igualdad del párrafo anterior tenemos: a.m — b.m — c.m + d.m = (a — b — c + d) .m lo que justifica la siguiente propiedad: Cuando todos los términos de una expresión algebraica tienen un mismo factor (llamado por eso factor común) puede éste sacarse, multiplicando a un paréntesis en el que se encerrará la suma algebraica de los restantes factores de cada término, con sus mismos signos. EJEMPLO I . —

El

polinomio 8

×

5

—

2

×

5

+

6

×

3

×

5

2 +

6

×

3

)

×

tiene

el factor común 5 ; . sacándolo, resulta: 8 × 5 EJEMPLO 6

— 2 × 5

+

6 × 3 × 5

=

(8 —

5

II. —

4

×

3

— 15 +

3 =

(2

— 4

— 5 +

1 ) × 3

Como ejercicio, calcule el estudiante los valores de las expresiones de cada miembro de las igualdades de los ejemplos que preceden. Calculará los segundos miembros hallando previamente los valores de los polinomios encerrados dentro de paréntesis.

Distribución generalizada 194. Producto de dos sumas. — Recordemos la propiedad distributiva de la multiplicación: (a + b + c) .m = a.m + b.m + c.m 9.—ARITMÉTICA

1er.

AÑO

—

Coppetti

130

Si sustituímos m por otra suma indicada, por ej., m = d + e, tenemos: (a + b + c).(d + e) = a.(d + e) + b.(d + e) + c.(d + e). aplicando nuevamente la propiedad distributiva a cada uno de los tres productos indicados en el segundo miembro, re­ sulta: (a + b + c).(d + c) = a.d + a.e + b.d + b.e + c.d + c.e Esta igualdad nos justifica la siguiente REGLA. — El PRODUCTO DE UNA SUMA POR OTRA SUMA, se obtiene multiplicando cada término de la primera suma por cada término de la segunda, y luego sumando los productos parciales. E J E M P L O . — El producto (5 + 3 ) . ( 4 + 7) puede efectuarse así: (5 + 3) . (4 + 7) = 5 × 4 + 3 × 4 + 5 × 7 + 3 × 7 = 20 + 12 + 35 + 21 = 88

195. Producto de una suma por una diferencia. — Si en la igualdad que inicia el párrafo anterior, sustituímos m por una diferencia indicada, por ej., m = d — e , tenemos: (a +b+c).(d— e) = a.(d —e)+b.(d —e)+c.(d — e) Aplicando a estos tres productos indicados la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la sustracción, el segundo miembro de la igualdad anterior toma la forma, (a.d — a.e) + (b.d — b.e) + (c.d — c.e) que se puede escribir así: (a.d + b.d + c.d) — (a.e + b.e + ce) Igualando el primer miembro de la primera igualdad con esta última expresión, resulta: (a +b+ c).(d —e) = a.d+b.d +c.d—a.e — b.e—c.e Esta igualdad nos justifica la siguiente REGLA. — El PRODUCTO DE UNA SUMA POR UNA DI­ FERENCIA, se obtiene adicionando los productos de cada sumando por el minuendo, menos los productos de los mis­ mos sumandos por el sustraendo. E J E M P L O . — El producto

(9 + 5 ) . ( 8 — 3 )

9×8 + 5×8 — 9×3 — 5×3

=

puede efectuarse así:

72 + 40 — 27— 15 =

70

131 196. Ejercicios de aplicación. — 1.° Demostrar que, da­ dos cuatro números consecutivos cualesquiera, el producto del 2.° por el 3.° menos el producto del 1.° por el 4.° es igual a 2. Si a es un número cualquiera, son consecutivos los siguien­ tes números: a , (a + 1) , (a + 2) , (a + 3) . El producto del segundo por el 3.°es: (a + 1 ) . (a + 2) = = a×a + 1×a + a×2 + 1×2 = a.a + a + a.2 + 2 El producto del 1.° por el 4.° es: a. (a + 3) = a.a + a.3 Para abreviar la escritura, llamando x a la diferencia de productos ( 2 . ° × 3 . ° — 1 . ° × 4 . ° ) , tenemos: x = (a.a + a + a.2 + 2) — (a.a + a.3) Quitando paréntesis, aplicando luego la propiedad conmu­ tativa y la asociativa, en este orden, resulta, x = (a.a + a + a.2 -— a.a — a.3) + 2 Sacando el factor común a , tenemos: x = a.(a + 1 + 2 — a — 3) + 2 Pero la suma algebraica que se obtiene dentro del parén­ tesis es nula; en consecuencia, es nulo también el término que la contiene como factor, y nos queda x = 2 . 2 . °Demostrar que el producto de un número impar cual­ quiera por sí mismo es igual al producto de los números pares contiguos, más 1 . Cualquiera que sea el número natural n, el producto (2 n) es un número par; ( 2 n + 1) es el número impar conse­ cutivo, y ( 2 n + 2) el número par siguiente al primero. De acuerdo con el enunciado, deberá cumplirse la igualdad: ( 2 n + 1) ( 2 n + 1) = 2 n ( 2 n + 2) + 1 Como ejercicio, termine el estudiante esta demostración. 197. Producto de dos diferencias. — Recordemos la pro­ piedad distributiva de la multiplicación con respecto a la sustracción: (a — b).n = a.n — b.n Si sustituímos n por una diferencia indicada, por ejem­ plo, n — c — d , tenemos: (a — b ) . ( c — d) = a.(c — d) — b.(c — d)

132

Aplicando a estos productos nuevamente la propiedad dis­ tributiva de la multiplicación con respecto a la sustracción, el segundo miembro de la igualdad anterior toma la forma, (a.e — a.d) — (b.e — b.d) Igualando el primer miembro de la igualdad anteprece­ dente con esta última expresión, de la que suprimimos los paréntesis (Nos. 167 y 168), resulta: (a — b).(c — d) = a.e — a.d — b.c + b.d REGLA. — El PRODUCTO DE DOS DIFERENCIAS es igual a la suma algebraica de los productos de cada término de la primera diferencia por cada término de la segunda, afectando a cada producto parcial del signo positivo o nega­ tivo según que los factores que lo forman sean del mismo signo o de signo contrario, respectivamente. E J E M P L O . — El producto (8— 5 ) . ( 7 — 4) puede efectuarse así: 8 × 7 — 8 × 4 — 5 × 7 + 5 × 4 = 5 6—32 —35 + 20 = 9

198. Producto de dos sumas algebraicas. — Como ejer­ cicio, dejamos que el estudiante demuestre que la regla an­ terior es aplicable para obtener el producto de dos sumas al­ gebraicas, con tan solo sustituir en ella la palabra diferencia por suma algebraica. Así, por ej., llegará a obtener la siguiente igualdad: (a — b — c ) ( d — e) = ad — ac — bd + be — c + c e apliquemos la regla anterior al siguiente producto: (8 + 9 — 7 ) ( 6 — 3 + 2) = 8 × 6 — 8 × 3 + 8 × 2 + + 9 × 6 — 9 × 3 + 9 × 2 — 7×6 + 7 × 3 — 7 × 2 = = 48 — 24 + 16 + 54 — 27 + 18 — 42 + 21 — 14 = 50 Como verificación, calculando los valores de cada factor, tenemos: (8 + 9 — 7 ) ( 6 — 3 + 2) = 1 0 × 5 = 50

Práctica de la multiplicación 199. Si para multiplicar dos números tuviéramos que recurrir siempre al procedimiento indicado por la definición de la operación (N.° 171), es decir, en transformar la mul­

133

tiplicación en una adición, en la mayoría de los casos resul­ taría una operación algo larga. Así, por ejemplo, para mul­ tiplicar 425 por 397, tendríamos que escribir el número 425 como sumando, 397 veces y luego sumar. En la práctica se abrevia la operación con los procedi­ mientos que veremos a continuación. 200. Producto de un número por 10, 100, 1000, etc. — Para multiplicar un número por la unidad seguida de ceros basta colocar a la derecha del número tantos ceros como siguen a dicha unidad. }

Por ejemplo, el produeto de 12 por 100 es igual al de 100 por 13 (según la prop. conmutativa del producto). Pero 1 0 0 × 1 2 es la suma de 12 números iguales a 10O, o sea 12 centenas, vale decir, 1 2 0 0 .

201. Producto de dos números de.una sola cifra. — Sea, por ejemplo, la multiplicación de 8 por 5. Según la defini­ ción (N.° 171), tendríamos que efectuar la suma de 5 nú­ meros iguales a 8; tendremos, pues: 8 × 5 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 40. No es posible dar otra regla para obtener los productos de dos factores de una sola cifra. Conviene, por consiguiente, aprender dichos productos de T A B L A DE MULTIPLICAR memoria, para lo cual se em­ plea la Tabla de multiplica­ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ción, o de Pitágoras, que figu­ 2 4 6 8 10 12 14 16 18 ra al lado, ya muy conocida 3 6 9 12 15 18 21 2 4 2 7 por el estudiante desde la Escuela Primaria. 4 8 12 16 2 0 24 2 8 3 2 36 En ella, por ejemplo, el pro­ 5 10 15 2 0 2 5 3 0 35 4 0 4 5 ducto 8 × 5 se encuentra en 6 12 18 2 4 3 0 3 6 4 2 4 8 5 4 el cruce de la columna enca­ 7 14 21 2 8 3 5 4 2 4 9 5 6 6 3 bezada con el 8 y la fila que 8 16 2 4 3 2 4 0 4 8 5 6 6 4 7 2 empieza con el 5, o al revés. 9 18 2 7 3 6 4 5 5 4 6 3 7 2 8 1 Pasemos ahora al procedi­ miento de la multiplicación, distinguiendo tres casos, además del referente al de dos fac­ tores de una sola cifra. 202. PRIMER CASO. — Producto de un número cualquiera por otro de una sola cifra. — Sea, por ejemplo, la multi­ plicación de 5768 por 4.

134

El multiplicando equivale a la suma 8 unidades + 6 decenas + 7 centenas + 5 millares por consiguiente, se obtendrá el producto aplicando la pro­ piedad distributiva (N.° 192), y usando la tabla de multipli­ cación. Tendremos, pues: 5 7 6 8 × 4 = (8 unid. + 6 dec. + 7 cent. + 5 m i l l . ) × 4 = = 32 unid. + 24 dec. + 28 cent. + 20 millares. En la práctica, se efectúa la suma de estos resultados parciales al mismo tiempo que la multiplicación, operando como sigue: 4 veces 8 son 32 unidades, o sea 3 decenas y 2 unidades; escribo éstas en el orden de las unidades y llevo 3 decenas. 4 veces 6 decenas son 24 decenas, y 3 5768 que llevaba son 27 decenas, o sea 2 centenas y 7 × 4 decenas; escribo 7 decenas y llevo 2 centenas; etc. 23072 Del ej. anterior podemos enunciar la siguiente REGLA. — Para multiplicar un número cualquiera por otro de una sola cifra, se multiplican por ésta cada una de las cifras del multiplicando, empezando por la derecha, y se escribe cada producto en el orden respectivo, si no excede de 9. Si un producto excede de 9, sólo se escriben las uni­ dades, y se llevan las decenas para agregarlas al producto siguiente. Prácticamente, la operación se dispone en la forma ya co­ nocida por los estudiantes, que hemos indicado al margen. 203. SEGUNDO CASO. — Producto de un número cualquiera por otro formado por una sola cifra significativa seguida de ceros. Sea, por ejemplo, el producto de 2385 por 700. Como 700 es igual a 7 × 1 0 0 , podemos escribir, aplicando en su orden las propiedades disociativa y asociativa: 2385×700 = 2 3 8 5 × ( 7 × 1 0 0 ) = 2 3 8 5 × 7 × 1 0 0 = = ( 2 3 8 5 × 7 ) × 1 0 0 = 1 6 6 9 5 × 1 0 0 = 1669500 es decir, que basta multiplicar 2385 por 7 y agregar dos ceros a la derecha del resultado (N.° 200).

135

Del ejemplo anterior deducimos la siguiente REGLA. — Cuando el multiplicador consta de una sola cifra significativa seguida de ceros, se multiplica el multiplicando por dicha cifra como en el (N.° 202); luego se escriben a la derecha del producto tantos ceros como tenga a su dere­ cha el multiplicador. 204. TERCER CASO. — (Caso general). Producto de dos nú­ meros cualesquiera. 782 Sea, por ejemplo, el producto de 782 por 943. Siendo el multiplicador igual a (3 + 40 + 900), × 943 el producto se obtendrá multiplicando 782 suce­ 2346 sivamente por 3, 40, 900, y sumando luego los 31280 productos parciales (N.° 190). Pero, como cada 703800 una de estas multiplicaciones pertenece a uno de los casos anteriores, no estimamos necesario más detalles. Generalmente se dispone la opera­ 737426 ción como indicamos al lado. En la práctica no se escriben los ceros terminales de los productos 782 parciales, dejando su lugar en blanco, como in­ × 943 dicamos en la segunda de las operaciones de al lado 2346 Podemos, pues, establecer la siguiente 3128 7038 737426 REGLA. — Para multiplicar dos números cua­ lesquiera se escribe el multiplicador debajo del multiplicando y se traza debajo de los factores un segmento de recta. Luego se multiplica el multiplicando ordenadamente por cada cifra del multiplicador, empezando por la de la derecha, y escribiendo estos productos parciales uno debajo del otro, pero desplazando cada uno de un lugar hacia la izquierda respecto del precedente. La suma de los productos parciales así escritos nos da el producto total a

205. Notas prácticas. 1. Si alguna cifra del multipli­ cador es 0, es inútil efectuar el producto del multiplicando por esa cifra; se pasa, en ese caso, a la cifra inmediata de la izquierda (a no ser que ella también sea 0) y el respectivo

136

producto parcial se escribe desplazado en dos lugares hacia la izquierda respecto del anterior. Si en el multiplicador existen dos ceros seguidos, el producto parcial de la primera cifra signifi­ 13028 cativa que le precede, se escribe desplazado en 19542 tres lugares hacia la izquierda, respecto del an­ terior; y así sucesivamente. Véase el ejemplo de al lado. 19555028 2. En la multiplicación de dos números, por comodidad y en virtud de la propiedad conmutativa, se toma como multi­ plicador el número que tiene menos cifras significativas. 3257 × 6004

a

a

3. El producto de dos números, uno de los cuales o ambos terminan con ceros, se efectúa multiplicando los números obtenidos suprimiendo los ceros finales y escribiendo a la derecha del producto los ceros que se habían suprimido. Fácilmente se justifica esta regla mediante el siguiente ejemplo: 43700×260 = 4 3 7 × 1 0 0 × 2 6 × 1 0 = = 4 3 7 × 2 6 × 1 0 0 × 1 0 = (437×26)×1000 que nos indica que es necesario primeramente multiplicar 437 por 26, y el producto obtenido multiplicarlo por 1000, es decir, agregarle tres ceros (N.° 200). 206. Prueba de la multiplicación. — La prueba de la mul­ tiplicación se realiza aplicando la propiedad conmutativa (N.° 180) ; vale decir, tomando como multiplicando el factor Que antes era multiplicador, e inversamente. No existiendo error en la operación, el nuevo producto debe ser igual a) primero. EJEMTLO : 345 213 × 213 × 345 1065 1035 852 345 639 690 73485 734:85 PRODUCTO DE NÚMEROS CONCRETOS

207. Multiplicación de un número incomplejo por un nú­ mero natural. — Como ya lo hicimos en los ejemplos citados al definir un producto (Nos. 171 y 172), para multiplicar un número incomplejo por un número natural se multiplica el

137

número abstracto de unidades por el número natural, poniendo luego al resultado la abreviatura correspondiente a la unidad dada. EJEMPLOS. ( 6 £ . ) × 9 = ( 6 × 9 ) £ . = 54£. (6 dm. + 8 dm.)×3 = [(6 + 8)dm.] ×3 = (14 dm.)×3 = = (14×3) dm. = 42 dm. 208. Multiplicación de un número complejo por un número natural. — Propongámonos, por ej., efectuar la siguiente multiplicación: (5 7 1 2 ) × 3 . Decimos: 12 multiplicado por 3 da 36 = 1 6 ; escribimos 6 y llevamos 1 . 5 7 12 7 multiplicado por 3 da 21 , más 1 que ×3 llevábamos, da 22 = 1 10 ; escribimos 10 y llevamos 1 . 5 multiplicado por 3 da 15 , más 1 que 16 10 6 llevábamos da 16 , completando así el producto. Tendremos, pues: (5 7 12 ) × 3 = 16 10 6 a

m

d

d

d

d

m

d

m

m

m

m

a

m

m

a

m

a

a

m

d

m

a

a

a

a

a

a

m

d

a

m

d.

209. Ejercicios y problemas.—Efectuar la siguiente multiplicación: (115°43' 1 8 " ) × 4 . Disponiendo los factores como lo hicimos en el párrafo anterior, tenemos: 115° 43' 18" ×4 460° 172' 72" = 462°53' 12" 2 . °Verifique el estudiante la multiplicación siguiente-. (15 £. 13 sh. 4 d . ) × 2 6 = 407 £. 6 sh. 8 d. = £. 407 : 6 : 8 . 3 . °PROBLEMA. — En una hora, una máquina teje 2 Yd. 1 Ft. 8 In. ¿Cuánto tejerá en 8 horas? La respuesta del problema nos la da el producto del número incomplejo 2 Yd. 1 Ft. 8 In. por el número natural 8. Tendremos: 2 Yd. 1 Ft. 8 In. ×8

16 Yd. 8 Ft. 64 In. = 19 Yd. 1 Ft. 4 In. 4 . °PROBLEMA. — Un vertedero arroja 1 bar. 15 fr. 2 ct. de agua por minuto, y otro, 1 bar. 30 fr. 3 ct. en el mismo tiempo. ¿Cuánto arrojan juntos en una hora?

138

Lo que arrojan juntos en un minuto es la suma: 1 bar. 15 fr. 2 ct. + 1 bar 30 fr. 3 ct. = 3 bar. 14 fr. 1 ct. En una hora, o sea en 60 minutos, arrojarán juntos el pro­ ducto (3 bar. 14 fr. 1 c t . ) × 6 0 = 33 pp. 5 bar. 19 fr.

NOTAS H I S T Ó R I C A S

E l signo × de la multiplicación, se d e b e al m a t e m á t i c o inglés Oughtred ( s i g l o X V I I ) ; empleado por Wallis, Newton, etc., se h i z o universal. Leibniz s i m p l i f i c ó este signo r e d u c i é n d o l o a u n punto. Cardan (1637), n o usó s i g n o alguno interpuesto entre dos factores, c o l o c á n d o l o s uno al lado del otro ( L u c o s l o atribuye a Stiefel en 1 5 4 4 ) . L o s e g i p c i o s multiplicaban mediante adi­ c i o n e s y duplicaciones convenientes. A s í , para multiplicar, p o r ejemplo, 18 p o r 13, c o m o 13 = 1 + 4 + 8, duplicaban sucesi­ vamente el multiplicando, o b t e n i e n d o : 18 , 36 , 72 , 144. E n virtud de la propiedad distributiva, el producto e s : 18×13 = 1 8 × ( 1 + 4 + 8 ) = 1 8 + 1 8 × 4 + 1 8 × 8 o sea,

JUAN WALLIS

(1616-1703)

1 8 + 7 2 + 1 4 4 = 234. ,

Los g r i e g o s y a c o n o c í a n la tabla de multi­ plicar, debiéndose a Pitágoras ( s i g l o V I a. J. C ) , la d i s p o s i c i ó n d e la tabla a doble entrada que lleva su n o m b r e .

El actual p r o c e d i m i e n t o de m u l t i p l i c a c i ó n se debe a los hindúes, que lo transmitieron a E u r o p a por intermedio de los árabes.

La mamá tenía 15 naranjas en el plato y las repartió entre los tres niños, tocándole 5 a cada uno. N o le sobró ninguna. Ha hecho una D I V I S I Ó N E X A C T A , que se expresa así: 15 : 3 = 5.

CAPITULO

VIII

DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES División exacta. - Definiciones 210. Definición y ejemplos de cociente exacto. — Supongamos que nos proponen los siguientes problemas: ¿Cuántos recipientes podemos llenar con 15 litros de vino si se vierten 5 litros en cada recipiente? ¿Cuántas horas se emplearán para caminar 15 Km. si se hacen 5 Km. cada hora? En ambos casos la solución es el número 3 (recipientes u horas), que multiplicado por 5 nos da 15. En esta índole de problemas hallamos, pues, un número abstracto, llamado cociente, que multiplicado por otro número conocido, llamado divisor, nos dé un producto también conocido, llamado dividendo. Daremos, pues, la siguiente DEFINICIÓN. — Se llama COCIENTE EXACTO de un número natural D por otro d , al número natural c que multiplicado por el segundo d nos dé como resultado el primero D . Se indica así: D : d= c , que equivale a , c ×d = D. Para los ejemplos referidos, tendremos: 15 : 5 = 3

140

que se lee, 15 dividido por 5 es igual a 3, o más brevemente: 15 dividido 5, 3. El dividendo y el divisor se llaman términos del cociente. La DIVISIÓN es la operación aritmética mediante la cual hallamos el cociente de dos números. La operación realizada en los ejemplos anteriores se llama DIVISIÓN EXACTA. Es la operación inversa de la multi­ plicación, puesto que el producto del divisor por el cociente es igual al dividendo. 5 × 3 = 15 divisor cociente dividendo a

211. NOTAS. — 1. Obsérvese que 5 : 1 = 5, porque 1 × 5= 5 Tendremos, pues: El cociente de un número por 1 es el mismo número 2. Tenemos: 13 : 13 = 1, porque 13 × 1 = 13 o sea: El cociente de un número por sí mismo es igual a 1. 3. Tenemos: 0 : 26 = 0, porque 26 ×0 = 0 . El cociente de 0 por un número (distinto de cero), es igual a 0. 4. Una división de la forma 42 : 0, es decir, con divi­ dendo distinto de cero y con divisor cero, no tiene sentido, porque no existe ningún número que multiplicado por cero dé 42, es decir, nos dé un número diferente de cero (N.° 185). Decimos que una operación del tipo 42 : 0 es una división imposible, o bien, que es un símbolo de imposibilidad. 5. Una división de la forma 0 : 0 , es decir, con dividendo y divisor iguales a cero, decimos que es un cociente indeter­ minado, porque cualquiera que sea el valor que le asigne­ mos a dicho cociente, multiplicado por el divisor 0, repro­ duce el dividendo. Decimos, también, que 0 : 0 es un símbolo de indeterminación. 6. Recordando lo indicado respecto de la naturaleza del producto (NOTA del N.° 172), podemos establecer lo si­ guiente : a) Si el dividendo y el divisor son cantidades de la misma especie, el cociente es un número abstracto. a

a

a

a

a

141 Así, por ejemplo, en el problema: Si se gastaron $ 63 en mercaderías a $ 7 el kilogramo, ¿cuántos kilogramos se compraron? Se contesta con la indicación siguiente: ( $ 63) : ( $ 7) = 9 (número de kilogramos de mercadería).

b) Si el dividendo y el divisor expresan cantidades de distinta especie, el cociente es de la misma especie que el dividendo, y el divisor se considera como número abstracto. Así, por ejemplo, en el problema: Si se gastaron $ 63 para comprar 9 kilogramos de mercaderías, ¿cuánto se pagó por cada kilogramo? Se contesta con la indicación siguiente: ($ 63) : 9 = $ 7 (costo de cada kilogramo).

Con las notaciones: ($ 15) : 3 = $ 5 ; m.(54 : 6) = m:9 expresamos que la tercera parte de $ 15 es $ 5, o bien que $ 15 es el triple de $ 5; que la sexta parte de m. 54 es m. 9, o bien que el séxtuplo de m.9 es m.54 . 212. Interpretación geométrica. — Sea, por ej. la división de 15 : 5 = 3 . Si con; una misma unidad de medida representamos geométricamente el dividendo, AB = 15 y el divisor CD = 5, observemos en la figura que el cociente (15 : 5 = 3) es el número de veces que el segmento dividendo A B contiene al segmento divisor CD.

a

1. El hecho de contener el dividendo un número exacto de veces al divisor, es lo que motiva las denominaciones de división y cociente exacto. 2. Recordando la interpretación geométrica de la resta (N.° 143), la figura anterior nos muestra que el segmento divisor se ha podido restar exactamente del segmento dividendo; es decir que el cociente es el numeró que indica cuántas veces se puede restar sucesivamente el divisor del dividendo. De aquí que podamos decir, pues, que la división es una sustracción abreviada. NOTAS. —

a

213. Condición de posibilidad. — Como en toda división exacta el dividendo es igual al producto del divisor por el

142

cociente, el dividendo deberá ser un múltiplo del divisor (N.° 174). Así, por ej., será posible la división de 2 4 por 6 , porque el dividendo 24 es múltiplo del divisor 6 . Podemos establecer, pues, la siguiente condición: Para que sea POSIBLE LA DIVISIÓN de números natu­ rales, el dividendo debe ser múltiplo del divisor. 214. Corolarios. — I, Un número no altera si se divide por otro y el cociente se multiplica por este último. Así, por ej., tendremos: (24 : 6).6 = 24 ; (35 : 7 ) . 7 = 35 En efecto, sea en general a un número que dividimos por otro número b ; el cociente lo indicamos con la expresión (a : b) ; vale decir, que tenemos: a : b = (a : b) Según la definición ( N . ° 210), el producto del cociente (a : b) por el divisor b nos da el dividendo a ; es decir, que (a : b ).b = a relación ésta que justifica el corolario enunciado. 215. II. — Un número no altera si se multiplica por otro y el producto se divide por este último. Así, por ej.,

(5.3)

:3 =

5

;

(12.7) : 7

En general, podemos escribir la siguiente relación: (a.b) : b = a que fácilmente se verifica aplicando la definición de cociente, en efecto, el producto del cociente a por el divisor b , o sea a.b, nos da el dividendo ( a . b ) . NOTA. — Al eliminar el número b que multiplica y divide, decimos que se ha simplificado la expresión. 216. Cuando en expresiones como en las de los corolarios anteriores se suprimen los paréntesis, las operaciones deben realizarse en el orden como están escritas.

143

Así, por ej., tendremos: 24 : 4.4 : 8 = 6.4 : 8 = 24 : 8 = 3 Análogamente, 5.6 : 3.2 : 5 = 30 : 3.2 : 5 = 10.2 : 5 = 20 : 5 = 4

Propiedades de la división exacta 217. Propiedad uniforme. — Como vimos en los ejemplos de división (N.° 210), el cociente entre dos números es único, vale decir, que es independiente de los símbolos que repre­ sentan el dividendo y el divisor. Enunciaremos, pues, la siguiente propiedad: Dividiendo miembro a miembro dos igualdades (siempre que sean posibles tales divisiones) se obtiene otra igualdad. Simbólicamente, siendo dadas las igualdades: a = a' , b = b' dividiéndolas miembro a miembro se obtiene esta otra igualdad; a : b = a' : b' 218. Propiedad de monotonía. — Como para la multipli­ cación se cumple análogamente para la división la propiedad de monotonía: I. Dividiendo miembro a miembro una desigualdad por una igualdad (siempre que sean posibles tales divisiones) resulta otra desigualdad del mismo sentido que la dada. Es decir que si por ejemplo tenemos: a < b ; c= d resulta: a :c < b :d E J E M P L O . — Sean 6 < 8 sulta:

6

:

2

<

y 8

2 = 2 ; d i v i d i e n d o ordenadamente re­ :

2

,

o sea

3

<

4

DEMOSTRACIÓN. — E n v i r t u d del postulado de las tres posibilida­ des ( N . ° 151) e s : a : c < b : d, o bien a : c > b : d Si a d m i t i m o s p o r un m o m e n t o que se c u m p l a una de estas dos últimas posibilidades y m u l t i p l i c a m o s a m b o s m i e m b r o s p o r u n mis­ mo número c = d , será: (a : c) × c > (b : d) ×d que, en v i r t u d del ( N . ° 2 1 4 ) , resulta, a > b.

144 Pero esto sería c o n t r a d i c t o r i o c o n la hipótesis d e ser a < b, en consecuencia se c u m p l e la p r i m e r a d e las posibilidades, de ser a : c < b : d . E n esta d e m o s t r a c i ó n se h a empleado el m é t o d o de reducción al absurdo y a referido en la llamada del ( N . ° 1 5 5 ) .

II. Dividiendo miembro a miembro dos desigualdades de sentido contrario (siempre que sean posibles tales divisiones) resulta otra desigualdad del mismo sentido que la de los dividendos. Es decir que, si a < b , c > d tenemos: a : c < b : d , o bien, c : a > d : b E J E M P L O . — Sean 2 4 < 3 6 y 8 > resulta: 24 : 8 < 36 : 3 ,

3 . D i v i d i e n d o ordenadamente o sea, 3 < 12

a

NOTA 1. — Dividiendo miembro a miembro una igualdad por una desigualdad, se obtiene otra desigualdad de SENTIDO CONTRARIO al de la desigualdad divisora. En este caso no se cumple la propiedad de monotonía. (Véase la llamada del N.° 153 referente al empleo del vocablo monotonía). Simbólicamente, si es a = b y c < d, resulta: a : c > b :d NOTA 2. — Dividiendo miembro a miembro dos desigualdades del MISMO SENTIDO, no puede adelantarse el resultado; puede ser una desigualdad en cualquier sentido, o una igualdad, como puede verse en los ejemplos siguientes : 30 > 6 15 > 10 15 < 20 5>2 5> 2 3< 4 a

30 : 5 > 6 : 2 o sea 6 > 3

15 : 5 < 10 : 2 15 : 3 = 20 : 4 o sea 3 < 5 o sea 5 = 5

219. Propiedades distributivas con respecto a la suma y a la resta. — Ilustremos el concepto con un ejemplo de la realidad. Supongamos que un chacarero va al mercado con tres cajones de limones; un cajón contiene 90. otro 72 y el otro 54. De acuerdo con el precio de plaza, vende los limones a razón de 9 por $ 1. ¿Cuántos pesos cobra vendiendo todos los limones que llevó? Es natural que, para contestar a esta pregunta podemos razonar de dos modos: l.° Se calcula el número total de limones que el chacarero llevó al mercado, y el número que buseamos es el cociente de

145

aquel total (90 + 72 + 54), dividido por 9, que se indica así: (90 + 72 + 54) : 9 2.° Se calcula cuántos pesos se han cobrado por la venta de los limones de cada cajón y se suman los tres ingresos; el número que buscamos resulta ahora representado mediante la suma (90 : 9) + (72 : 9) + (54 : 9) Siendo evidentemente la misma la suma cobrada, ya se razone de uno u otro modo, podemos igualar las expresiones anteriores, y tendremos: (90 + 72 + 54) : 9 = (90 : 9) + (72 : 9) + (54 : 9) y, en general (a + b+c)

:m = a :m + b : m + c : m

que se puede expresar así: Para dividir una suma indicada por un número, se puede dividir cada término de la suma por el número, y se suman los cocientes parciales (siempre que dichos sumandos sean múltiplos del divisor). 220. Análogamente, para dividir una diferencia indicada por un número, tenemos: (a — b) : m = a : m — b : m Como ejercicio, enuncie el estudiante la regla respectiva. Las dos reglas anteriores constituyen la propiedad distributiva de la división respecto de la suma y de la resta, respectivamente. E J E M P L O I. — Siendo

24=

8

,

40 =

8

,

16 =

8 ,

se puede

calcular el cociente de 2 4 + 4 0 + 1 6 por 8 , así: (24+40+16):8

=

24:8+40:8+16:8 =

Como verificación, tenemos: E J E M P L O I I . — Siendo

3 + 5 + 2

( 2 4 + 4 0 + 1 6 ) :8 =

21 =

3

,

1 5 == 3 ,

(21—15):3

10. — A R I T M É T I C A

=

21:3—15:3 =

( 2 1 — 1 5 ) :3 = 1er. A Ñ O —

6:3 =

Coppetti

7—5 = 2

10

se puede calcular el

cociente de 2 1 — 1 5 por 3 , a s í :

Verificación:

=

80:8 = 1 0 .

2

146

221. Inalterabilidad del cociente cuando se multiplican o dividen por un mismo número el dividendo y el divisor. — Con las notaciones habituales, es decir, llamando D al divi­ dendo, d al divisor y c al cociente, por definición (N.° 210) tenemos: D :d = c , o bien, c.d = D Si multiplicamos los dos miembros de la última igualdad por un mismo número n tendremos otra igualdad, en virtud de la propiedad uniforme de la multiplicación (N.° 176): c.d.n = D.n que, por la propiedad asociativa de la multiplicación, se puede escribir así: c.(d.n) = D.n Pero según la definición de cociente, esta igualdad equi­ vale a decir que c es el cociente de (D.n) por (d.n), o sea, que: (D.n) : (d.n) = c Podemos enunciar, pues, la siguiente propiedad: Si se multiplican por un mismo número el dividendo y el divisor, el cociente no altera. E J E M P L O . — Siendo Verificación:

12:4 =

3 ,

es

(12×5):(4×5) =

(12×5): (4×5) = 60:20 =

3 .

3 .

222. Estudiemos ahora el caso que se dividan el dividendo y el divisor por un mismo número. En virtud del corolario del (N.° 214), los números d y D pueden escribirse así: d = (d : n).n ; D = (D : n).n Sustituyendo estos valores de d y D en la igualdad D=d.c que define el cociente c , tenemos: (D : n) .n = (d:n) .n.c Simplificamos esta igualdad dividiendo 9us dos miembros por n (N.° 217), y resulta: D : n = (d : n).c Como en el caso anterior diremos que c es el cociente de dividir (D : n) por (d : n) , o sea, que: (D :n) : (d : n) = c

147

Podemos enunciar, pues, la siguiente propiedad: Si se dividen por un mismo número el dividendo y el di­ visor, el cociente no altera. EJEMPLOS. — 1 . ° Para calcular el cociente 150:50 suprimimos loe ceros finales, y dividimos 1 5 : 5 = 3 . Esto equivale a dividir loa do» términos del cociente por 1 0 . 2 . ° Para calcular el cociente ( 7 × 6 ) : ( 2 × 7 ) suprimimos el factor 7 de cada término del cociente, y nos queda, 6 : 2 = 3 . (Esto equivale a dividir los dos términos del cociente por 7.)

223. División de un producto indicado de varios factores por uno de ellos. — Sean a , b , c , tres números naturales cualesquiera; demostraremos que tenemos la relación: ( a . b . c ) : b = a.c Vale decir, que podemos enunciar la siguiente propiedad: Para dividir un producto de varios factores por uno de ellos, basta suprimir del producto este factor. Así por ej., tendremos: (8 ×

12

×5 ×

9) :5 =

8 × 12 × 9

Esta propiedad general resulta demostrada mediante la de­ finición de cociente (N.° 210), puesto que el producto del cociente (a.c) por el divisor b, nos reproduce el divi­ dendo; en efecto: (a.c).b = a.c.b = a.b.c Estas dos últimas transformaciones en virtud de la9 pro­ piedades disociativa y conmutativa de la multiplicación. 224. Otra propiedad que se demuestra en forma análoga a la anterior es la siguiente: Para dividir un producto de varios factores por el producto do algunos de los mismos factores, basta suprimir del divi­ dendo los factores del divisor. Así, por ej., tendremos (8 × 5 ×2 ×3 ) : (8 × 2) = 5 × 3 .

148

Para justificar el cociente hallado, basta multiplicarlo por el divisor, y ver que se reproduce el dividendo (N.° 210). Efectuando operaciones y aplicando las propiedades disocia­ tiva y conmutativa de la multiplicación, resulta: ( 5 × 3 ) × ( 8 × 2 ) = 5 × 3 × 8 × 2 = 8 × 5 × 2 × 3 El último miembro es, precisamente, el dividendo. En general, tendremos: ( a . b . c . d ) : (b .d) =

a.c

225. También se demuestra análogamente la siguiente propiedad. Para dividir un producto de varios factores por un divisor de uno de ellos, basta dividir a dicho factor. Así, por ej., siendo 6 divisor de 12, resulta: (4 × 12 × 7) :6 = 4 × (12 :6) × 7 En general, tendremos (a .b . c .d) : n = a . (b : n) . c . d Como ejercicio, efectúe el estudiante esta demostración. 226. Como ejercicio, también dejamos para el estudiante la demostración de la siguiente propiedad: Para dividir un número por un producto de varios facto­ res, puede procederse dividiendo sucesivamente por cada uno de ellos. Vale decir que, para dividir un número N por el producto (a.b.c), decimos que el cociente se puede obtener dividien­ do N por a, luego dividiendo el resultado (N: a) por b , y finalmente dividiendo el nuevo resultado [(N:a) : b] por c . Esto se indica mediante la igualdad general N :(a.b.c) =

[(N : a) :b] : c

Para esta demostración se aplicarán los (Nos. 210 y 224).

149 EJEMPLO.

— Para dividir 1 8 0 por 3 × 5 × 6 180: 3

=

60

;

60: 5

=

12

;

podemos proceder así:

12: 6

=

2

Ei resultado es el último cociente hallado, o sea 2 . Procediendo di­ rectamente, calcularíamos previamente el divisor 3 X 5 X 6 = 9 0 , y luego dividiríamos 1 8 0 : 9 0 = 2 .

227. Ejercicios de aplicación. — 1.° Para calcular men­ talmente el cociente 48 :3 , descomponemos así: 48 :3 = (16 × 3) : 3 = 16 2.° Calcular mentalmente 90 :6 . Descomponemos así: 90 : 6 = (3 × 3 × 2 ×5) : (3, × 2) = 3 × 5 = 15 3.° Calcular mentalmente 90 :5 ; haremos: 90 :5 = (3×15×2) :5 = 3×(15:5)×2 = 3 × 3 × 2 = 18 4.° PROBLEMA. — Multipliqúese un número cualquiera por 13, al producto agregúese el mismo número, divídase el resul­ tado primeramente por 7 , y luego divídase el cociente por el número 2. Se encontrará siempre como resultado él nú­ mero primitivo. Si llamamos n al número primitivo, este juego matemá­ tico se explica mediante las transformaciones siguientes: [(n × 13 + n): 7] :2 = [ ( 1 4 n ) : 7] :2 = (2n) :2 = n

División entera 228. Definiciones. — Ilustraremos este concepto con un ejemplo. Supongamos que nos proponemos distribuir 15 ob­ jetos entre 3 personas; por ser 5 × 3 = 15, daremos, pues, 5 objetos a cada persona. Pero si son 17 los objetos a distribuir, ya no es posible el reparto completo, pues dando 5 a cada una, resultan 15 objetos distribuidos y nos sobran 2; si intentáramos dar 6 a cada persona, serían necesarios 18 objetos. Vemos que el número dado, 17, está comprendido entre dos múltiplos consecutivos de 3, que son 15 = 3 ×5 y 18 = 3 ×6 ; podemosi escribir, pues, 3 ×5 < 17 < 3 ×6 Esta distribución, que no resulta exacta, se llama DIVI­ SIÓN ENTERA, porque a cada una le corresponde un cierto número entero de objetos, es decir, sin fraccionarlos; también se le llama división inexacta.

150

La mamá tenía 17 naranjas en el plato, que repartió entre los 3 niños, tocándole 5 a cada uno y le sobraron 2 e n e l plato. Ha hecho una división que no resulta exacta, que se llama D I VISIÓN E N T E R A . Esto se expresa así: 17 : 3 = 5, y sobran 2.

En el ejemplo anterior, el número 5, que es el mayor de los números naturales que multiplicado por 3 nos da un producto menor que 17, se llama cociente entero. Daremos, pues, la siguiente DEFINICIÓN. — Se llama COCIENTE E N T E R O entre dos números naturales D y d , dados en este orden, al mayor número natural c que multiplicado por el segundo nos dé un resultado menor o igual que el primero.

Los números D y d, igualmente que en la división exacta, se llaman dividendo y divisor, respectivamente. Como caso particular, si el dividendo es múltiplo del divisor, la división resulta exacta. 229. En el ejemplo que dimos al tratar el concepto de división entera (N.° 2 2 8 ) , es decir al dividir 17 por 3, vimos que el cociente entero era 5 , y nos quedaba un sobrante de 2 unidades, al que se le llama resto; éste se puede calcular así: resto = 17 — 3 × 5 = 17 — 15 = 2 Daremos, pues, la siguiente DEFINICIÓN. — Se llama RESTO de una división entera a la diferencia entre el dividendo y el producto del divisor por el cociente. Con las notaciones del párrafo anterior, si representamos con r al resto, tendremos: r = D — d.c de donde, D = d.c + r De acuerdo con la definición, el resto r es siempre menor que el divisor d. y

151

230. Ejemplos. — 1.° El cociente entero entre los núme­ ros 30 y 7 es 4 , porque el mayor múltiplo de 7 contenido en 30 es 7 ×4= 28 ; el resto es, 30 — 28 = 2 ; obsérvese que es 2 < 7 . 2.° El cociente entero entre 103 y 25 es 4 ; el resto es 103 — 25 × 4 = 3 ; obsérvese que es 3 < 25.

Propiedades de la división entera 231. Relaciones fundamentales entré el dividendo, el di­ visor, el cociente entero y el resto. — De la definición que dimos en el párrafo anteprecedente, resulta: D = d X c + r, siendo r < d que constituye la RELACIÓN FUNDAMENTAL de la divi­ sión, y pueda enunciarse así: El dividendo íes igual al producto del divisor por el co­ ciente más el resto, siendo éste menor que el divisor. 232. Si la división es exacta, el resto vale cero, y entonces la relación anterior toma esta otra forma más sencilla: D= d × c . E J E M P L O S . — 1 . ° En la división entera de 4 7 por 5 , el cociente en­ tero es 9 y e" resto 2 ; en consecuencia, podemos escribir: 4 7 = 5 × 9 + 2 , siendo 2 < 5 2 . ° En la división exacta de secuencia, podemos escribir:

5 4 por 9 , el cociente es 54 = 9 × 6 .

6 ;

en con­

233. Propiedades del cociente entero. — Si se multiplican o dividen los dos términos de una divi­ sión por un mismo número, el cociente no altera, pero el resto queda multiplicado o dividido, respectivamente, por el mis­ mo número. Con las notaciones habituales para la división, en el (N.° 231) vimos que D = d × c + r, siendo r < d 1.° Multipliquemos por m ambos miembros de la igualdad y de la desigualdad anteriores; obtendremos, respectivamente,

152

otra igualdad y otra desigualdad (Nos. 178 y 187). Pero obser­ vemos que el segundo miembro de la igualdad, por ser una suma de dos partes, será necesario multiplicar por m cada una de ellas (N.° 190); y que la primera parte d × c siendo un producto de dos factores, para multiplicarla bastará con multiplicar sólo el factor d. Tendremos, pues: D×m=(d×m)×c + r×m; r ×m< × m las que demuestran que dividiendo (D × m) por (d × m) se obtiene por cociente c y por resto r × m. Por tanto, las dos divisiones, la de D por d, y la de (D × m) por (d × m), dan el mismo cociente c; pero, mientras que en la primera el resto es r, en la segunda es r × m. Queda, pues, demostrada la propiedad. 2.° Para el caso que se dividan los dos términos de una división por un mismo número, será necesario emplear en la demostración la propiedad (N.° 219), luego la (N.° 218), y razonar como en el caso anterior. Como ejercicio, dejamos para el estudiante esta demostración. APLICACIÓN. — L»a propiedad anterior se aplica, por ejemplo, para simplificar las divisiones; cuando el dividendo y el divisor tienen un factor común que resulta fácil suprimir. Así, la división de 15 000 por 2 500 resulta más cómoda si se dividen previamente ambos térmi­ nos por el factor común 100, presentándose entonces la división 150 : 25 que tiene el mismo cociente que la primitiva; si interesa conocer el resto de la primera, habrá que multiplicar el de la segunda por 100.

234. División entera por defecto y por exceso. — Sea, por ej., la división 23 :7 que no es exacta, porque 23 no es múltiplo de 7. El cociente entero es por definición 3, porque es el mayor número natural que multiplicado por el divisor 7 no supera al dividendo: 3 × 7 = 21 < 23 Este cociente (3) se llama cociente por defecto, pues al pro­ ducto del divisor por este cociente es necesario agregarle el resto (2) para obtener el dividendo (N-° 231) 7 ×3 + 2 = 23 Este resto se llama resto por defecto. Conforme a la definición de resto en la división entera (N.° 229) podemos establecer la siguiente definición: Resto por defecto en una división entera es la diferencia entre el dividendo y el producto del divisor por el cociente por defecto.

153

Si representamos con D el dividendo, (c) el cociente por defecto y r el resto por defecto, tendremos: r = D — (d × c) [a] En el ejemplo tratado, el resto por defecto es: 23 — 7 × 3 =f 2 En la misma división 23 :7, el número natural consecutivo del cociente por defecto, o sea (3 + 1) = 4, se llama cociente por exceso, pues al producto del divisor por el cociente por exceso es necesario restarle cierto exceso ( 5 ) , que se llama resto por exceso, para obtener el dividendo: 7 ×4 — 5 = 23 Podemos establecer, pues, la siguiente definición: Resto por exceso en una división entera es la diferencia entre el producto del divisor por el cociente por exceso y el dividendo. Si representamos con D el dividendo, el cociente por exceso será (c + 1), y si al resto por exceso le Llamamos r , ten­ dremos: r' = d ×(c+ 1) — D [ß] En el ejemplo tratado, el resto por exceso es: 7 ×4 — 23 = 5 235. Los dos restos, por defecto y por exceso, gozan de la siguiente propiedad: 9

La suma de los restos por defecto y por exceso es igual al divisor. Así, por ej., en la división numérica últimamente tratada 23 :7, el resto por defecto) es 2, y el resto por exceso es 5; su suma es 7, igual al divisor. DEMOSTRACIÓN. — S u m a n d o ordenadamente las igualdades [ a ] y [ ß ] del p á r r a f o anterior, l o que p o d e m o s h a c e r e n v i r t u d del (N.° 1 1 0 ) , resulta: r + r' = D — (d × c) + d × (c + 1) — D E f e c t u a m o s el último» p r o d u c t o a p l i c a n d o la p r o p i e d a d distributiva de la m u l t i p l i c a c i ó n frente a l a a d i c i ó n ( N . ° 190),, l o q u e n o s d a : d ×c + d. S u s t i t u y e n d o este v a l o r e n l a igualdad anterior, re­ sulta: r + r' = D — (d ×c) + (d×c) + d — D que s i m p l i f i c a m o s a p l i c a n d o la N o t a del ( N . ° 135) al aparecer dos pares d e t é r m i n o s opuestos, y n o s d a : r + r' = d

154

La división entera en la recta numérica 236. Representación gráfica de la divjsióm entera por defecto. — Sea, por ej., la división 23 :7 que representare­ mos gráficamente en la recta numérica de la figura que sigue:

Con una misma unidad de medida representamos el dividen­ do con el segmento AB = 23, y el divisor con el segmento CD = 7. Transportamosi el segmento divisor sobre el segmen­ to dividendo, consecutivamente, a partir del origen A, y ve­ mos que el divisor está contenido en el dividendo 3 veces y sobra un segmento MB = 2. El número 3 es el cociente entero por defecto, y el número 2, representativo del segmento MB, es el resto por defecto. 237. Representación gráfica de la división entera por ex­ ceso. — En la misma figura se representa la división por ex­ ceso 23 : 7. El cociente por exceso es 4, por ser las veces que se ha llevado el divisor sobre la recta numérica donde se ha representado el dividendo 23, y el resto por exceso es el segmento BN = 5 . En la figura puede verse que la suma de los segmentos MB y BN es el segmento MN, o sea MB + BN = MN, y que estos tres segmentos representan, respectivamente, los restos por defecto 2, por exceso 5, y el divisor 7. Vale decir que se confirma la propiedad enunciada en el (N.° 235), que la suma de los restos por defecto y por exceso es igual al divisor.

Práctica de la división 238. Si para dividir dos números tuviéramos que recurrir al procedimiento indicado en el (N. 228), tendríamos que formar los productos sucesivos del divisor por los números 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , etc., hasta encontrar un producto igual al

155

dividendo, o bien, hasta obtener el mayor producto posible menor que el dividendo. log

Así, por ejemplo, el cociente de 8 6 por 1 2 se obtendría múltiplos sucesivos de 1 2 que son: 12,

calculando

24, 36, 48, 60, 72, 84, 9 6 , . . .

Vemos que el mayor múltiplo contenido tn 8 6 es 8 4 , que es 1 2 × 7 ; 12 está contenido al máximo 7 veces en 8 6 ; el cociente es, pues, 7 , el resto será 8 6 — 8 4 = 2 .

El procedimiento resulta, en la práctica, algo largo, sobre todo cuando el dividendo es grande, por lo cual se abrevia mediante las reglas que veremos a continuación. 239. Téngase presente que en este capítulo sólo nos ocuparemos de la parte entera del cociente, a la que llamare­ mos simplemente cociente. En el capítulo sobre "números decimales" volveremos sobre ello, y veremos como se puede continuar la división para obtener un cociente más aproxi­ mado, en forma de número decimal. Empecemos por calcular el número de cifras del cociente, sin efectuar la división. 240. Número de cifras del cociente. — Sea, por ej., la división de 22 372 por 34. Si a la derecha del divisor 34 agregamos un cero, obtenemos 340, que es menor que 22 372. Agregando otro cero, tenemos 3 400 que aun es menor que el dividendo. Finalmente, un tercer cero da 34 000 que es mayor que el dividendo. Por consiguiente, el dividendo con­ tiene más de 100 veces y menos de 1 000 veces al divisor. Como el cociente es el número de veces que el dividendo contiene al divisor, este número estará comprendido entre 100 y 1000: tiene, por consiguiente, tres cifras; podemos dar, pues, la siguiente REGLA. — El número de cifras de un cociente es igual al menor número de ceros que es necesario agregar a la derecha del divisor, para que éste contenga al dividendo. EJEMPLOS.

—

L o s cocientes

6 5 :8 ,

3926: 472

son

de una

cifra.

El cociente 8 0 5 3 6 : 9 5 tendrá tres cifras.

Distinguiremos en la división cuatro casos: 241. PRIMER CASO. — El divisor y el cociente tienen una sola cifra entera. En este caso procedemos como indicamos en el (N.° 228), buscando el mayor múltiplo del divisor contenido en el divi­

156

dendo. Esta investigación se abrevia usando la tabla de mul­ tiplicar (N.° 201), que contiene en una misma columna todos los múltiplos de la cifra que encabeza dicha columna. Así, por ej., sea la división de 56 por 9. Utilizamos la columna encabezada por 9 y buscamos en ella, el mayor de los números infe­ riores a 56; encontramos 54. Este es el mayor múltiplo de 9 con tenido en 56, y corresponde a 9 × 6 . El número 6 es, pues, la parte entera del cociente; el resto de la división es 56 — 54 = 2 .

Conviene acostumbrarse a efectuar esta operación mental mente, es decir, sin recurrir a la tabla. 242. SEGUNDO CASO. — El dividendo 7 el divisor son cua­ lesquiera, y el cociente tiene una sola cifra entera. Este caso se reconoce porque tendremos que agregar un cero a la derecha del divisor para obtener un número mayor que el dividendo (N.° 240). Sea, por ej., la división de 38169 por 7 241. Puesto que el cociente es de una sola cifra, para hallarla tendríamos que formar los productos sucesivos del divisor por los números 2, 3, 4, . . . 8 y 9 hasta encontrar el mayor pro­ ducto menor que el divisor. Pero estos ensayos se abrevian observando que el producto de la cifra 7 (de los millares) del divisor por 6, ya forma un número 7 ×6 = 42 mayor que los 38 millares del divi­ dendo. Se comenzará, pues, ensayando por el 5 . Vemos, pues, que estos ensayos se simplifican considerando provisionalmente sólo la primera cifra del divisor y las uni­ dades del mismo orden del dividendo, y empezando el ensayo del cociente de la división así reducida. Se multiplica luego el divisor por la cifra así obtenida, y el producto se resta del dividendo. Si puede efectuarse la sustracción, la cifra ensayada es válida, y la diferencia es el resto de la operación. De lo contrario, se disminuye en una unidad aquella cifra y se efectúa un nuevo ensayo, hasta que el producto pueda res­ tarse del dividendo. La cifra correspondiente al último ensayo es el cociente que buscábamos. En la práctica se abrevian estas operaciones, efectuando al mismo tiempo el producto del divisor por el cociente y la sustracción. Así, por ej., en la división de 38 169 por 7 241, se dispone la ope­ ración como sigue: dividendo 38169 7 241 divisor resto

1964

5

cociente

157 Decimos: 5 por 1 es 5, al 9 van 4 ; 5 por 4 son 20, al 26 van y llevo 2 ; 5 por 2 son 10, y 2 que llevaba son 12, al 21 van 9 llevo 2 ; 5 por 7 son 35 y 2 son 37, al 38 va 1. Las cifras 1964 for­ man el resto.

Como puede verse en el ejemplo anterior, para efectuar al mismo tiempo ambas operaciones (multiplicación y sustrac­ ción), hemos multiplicado sucesivamente las unidades de los diversos órdenes del divisor por el cociente, y restado los productos de las unidades correspondientes del dividendo. Cuando se nos ha presentado una resta imposible, como por ejemplo las 20 decenas que no podían restarse de 6, se han agregado al minuendo las unidades necesarias del orden in­ mediatamente superior, agregándolas también al sustraendo en el producto siguiente, con lo cual la diferencia no altera (N.° 127). Podemos dar, pues, la siguiente REGLA. — Cuando el cociente es de una sola cifra, se ob­ tendrá ésta empezando por ensayar la que resulta de dividir por la primera cifra del divisor las unidades del mismo orden del dividendo. Si el producto de esta cifra por todo el divisor puede restarse del dividendo, esta cifra es el co­ ciente, de lo contrario, se disminuirá en una unidad dicha cifra y se ensayará otra vez, y así sucesivamente, hasta obtener un producto igual o inferior al dividendo. La diferencia entre el dividendo y el producto del divisor por el cociente es el resto. 243. TERCER CASO. — El divisor es un número de una sola cifra, y el cociente es un número cualquiera. Sea, por e j . , la división del número 968 por 7. Descomponemos el dividendo en las unidades de los diversos órdenes, y tendremos: 968 = 9 centenas + 6 decenas + 8 unidades Empezamos por dividir las 9 centenas (que llamamos primer divi dendo parcial), por 7 : nos da 1 centena como cociente, y un resto de 9 — 7 × 1 = 2 centenas; la cifra 1 es la de las centenas del en­ ciente, es decir, la primera. El resto de 2 centenas, o sea 20 decenas, lo sumamos con las 6 de­ cenas del dividendo, obteniendo 26 decenas (que llamamos segundo divi­ dendo parcial), que dividido por 7 nos da 3 decenas como cociente, y un resto de 26 — 7 × 3 = 5 decenas; la cifra 3 es la de las decenas del cociente, o sea la segunda. El resto de 5 decenas, o sea 50 unidades, lo sumamos con las 8 unidades del dividendo, obteniendo 58 unidades (tercer dividendo par cial), que dividido por 7 nos da 8 unidades como cociente, y un resto de 58 — 7 ×8 = 2 ; la cifra 8 es la de las unidades del cociente, o sea la última. El cociente total es, pues, 138 y el resto 2

158 Dispondremos la operación del ejemplo anterior en la forma acos­ tumbrada, y efectuaremos las multiplicaciones y sustracciones para hallar Los restos o dividendos parciales, en la forma abreviada en que lo hici­ mos para el caso anterior. 7 divisor dividendo 968 138 cociente segundo dividendo parcial 29 tercer dividendo parcial 58 resto 2 Decimos: 9 entre 7 es 1 ; 1 por 7 es 7 , al 9 van 2 . Se baja la cifra siguiente 6; 2 6 entre 7 son 3 ; 3 por 7 son 2 1 , al 2 6 van 5 . Se baja la cifra siguiente 8 ; 5 8 entre 7 son 8 ; 8 por 7 son 5 6 , al 5 8 van 2 El cociente total es 1 3 8 y el resto 2 .

Estimamos que, con el ejemplo anterior y la práctica que en esta operación ya tendrá el alumno de la Escuela Prima­ ria, y cuando el divisor es un número de una sola cifra, re­ sultará suficientemente justificada la siguiente REGLA. — Se separan de la izquierda del dividendo tantas cifras como sean necesarias para obtener un número igual o mayor que el divisor. Luego se divide el número así formado, llamado primer dividendo parcial, por el di­ visor, de acuerdo con la regla del Primer caso (N.° 240); el cociente obtenido es la primera cifra del cociente total. Agregúese a la derecha del resto, la cifra siguiente del di­ videndo, y con el número así formado, llamado segundo dividendo parcial, se procede como con el primero, escri­ biendo la cifra cociente a la derecha de la anterior, y agre­ gando a la derecha del resto, la cifra siguiente del dividendo, formando así el tercer dividendo parcial; se continúa así hasta agotar todas las cifras del dividendo. Las cifras de los cocientes parciales sucesivos forman el cociente total; el último resto es el de la operación, (hundo algún dividendo parcial resulte menor que el divisor, se es­ cribe un cero en el lugar de la cifra corTHrpondienU del cociente y se continúa la operación bajando una oifra más del cociente. EJEMPLO. — Sea la división de 1 8 1 6 5 por 6 . El primer dividendo parcial es 1 8 que contiene a 6 tres veces; la primera cifra del cociente es, pues, 3. El primer resto parcial es 0. Bajamos 18 1 6 5 6 la cifra siguiente 1 del dividendo; el segundo divi­ dendo parcial es 1, que no contiene al divisor. La 016 3 027 segunda cifra del cociente es, pues, 0 . Bajamos la 45 cifra siguiente del dividendo 6 ; el segundo dividendo 3 parcial es ahora 1 6 que contiene 2 veces al 6 , con un resto 4 . La tercera cifra del cociente es, pues, 2 . Bajamos la cifra

159 siguiente del dividendo; el tercer dividendo parcial es 45, que con tiene 7 veces al 6, con un resto 3. La última cifra del cociente es 7. El cociente total es 3 027, y el resto 3.

244. CASO GENERAL. — Divisor y cociente de varias cifras. — Sea, por ej., la división de 37 569 por 82. Según la regla del (N.° 240) el cociente tendrá 3 cifras es decir, que constará de centenas, decenas y unidades. Des­ compongamos entonces el dividendo en la suma de sus centenas, decenas y unidades: 37569 = 375 centenas + 6 decenas + 9 unidades En general, el primer sumando de esta descomposición se obtendrá separando en el dividendo, a partir de la izquierda, tantas cifras como sean necesarias y suficientes para obtener un número mayor que el divisor. Luego procedemos como en el caso anterior, empezando por dividir el primer grupo de cifras 375 por el divisar 82; da 4 de cociente y 47 de resto, según la regla del (N.° 242). Tanto el cociente como el resto obtenido, son de la misma especie que el dividendo parcial, es decir, centenas; la cifra 4 representa, pues, las centenas del cociente, o sea la primera cifra del cociente que buscamos. (Sígase el ejemplo que se indica a continuación). Al resto obtenido de 47 centenas se le agregan las 6 dece­ nas del dividendo, formando así el número 476, que llama­ mos segundo dividendo parcial; etc. La operación se continúa aplicando la regla del caso an­ terior. de acuerdo con el esquema siguiente: dividendo 37 569 82 divisor segundo dividendo parcial 4 76 458 cociente tercer dividendo parcial 669 resto 13 El cociente total es 458, y el resto 13 . La REGLA, en este caso, es la misma que en el caso an­ terior. 245. Prueba de la división. — La prueba de la división se efectúa aplicando la relación fundamental (N.° 231); vale decir, multiplicando el cociente por el divisor y agregándole el resto al producto obtenido. No existiendo error en la ope­ ración, el resultado debe ser igual al dividendo. Así, en la división del ejemplo anterior, tenemos: 82 ×458 + 13 = 37 556 + 13 = 37 569

160 N O T A S . — Como casos particulares de la división, dejamos para el estudiante la verificación de las siguientes reglas: 1.a Para dividir un número cualquiera por la unidad seguida de ceros, se taohan a la derecha del número tantas cifras como ceros tenga el divisor. El resto lo forman las cifras tachadas, y el cociente las que quedan. 2.* Para dividir un número cualquiera por otro terminado en ceros, se suprimen éstos, y se tachan a la derecha del dividendo tantas cifras como ceros tenía el divisor, hallando luego el cociente de los números así reducidos. El resto se forma con el que resulta de esta división colocándole a la derecha aquellas cifras tachadas. Así, por e j . , el cociente de la división de 25384 por 100 es 253, y el resto es 84. El cociente de la división de 934675 por 5200 es el mismo que el de 9346 por 52, o sea 179. El resto de esta última división es 38; por tanto, el de la primera será 3875.

COCIENTE DE NÚMEROS CONCRETOS

246. División de un número incomplejo por un número natural. — Como ya lo hicimos en los ejemplos b de la 6.* Nota del (N° 211), para dividir un número incomplejo por un número natural se divide el número abstracto de unidades por el número natural, poniendo luego al resultado la abreviatura correspondiente a la unidad dada. EJEMPLOS:

(8Kg.):2 =

4 Kg.

;

(12 £.) : 3 =

4 £.

;

s

(15 m.s) :5 =

3 m.

En el caso que el dividendo no sea múltiplo del divisor también se puede calcular el cociente, pero expresándolo en forma de número complejo. Como ejemplos, a continuación presentamos los esquemas de dos divisiones. 1141°

200

141° × 60 8460' 460 60 ×

£. 6 825

1000

825 × 20

5° 42' 18'

sh. 16500 500 ×

6 £. 16 8h. 6 d.

12

60 d.

3600" 1600 000

6000 0000

247. División de un número complejo por um número natural. — Propongámonos, por ej., efectuar (19° 20') : 5 . 1 9 ° 20' 5 Decimos: 19°dividido por 5 da 3 como cociente en4 × 6 0 3 ° 52' tero y 4 ° como resto, o sea 240' 4 ×60 = 240', que suma+ 20' dos con los 20' del dividendo, 260' da 260'. 00 260' dividido por 5 da 52' ; el cociente pedido es 3 52'. o

o

161

248. Ejercicios y problemas. — Transformar en barriles (medida antigua) la medida 963 litros. En la Tabla de equivalencias (pág. 308) encontramos que 1 bar. = 761. (aprox.) 1. 963 76 Por consiguiente, 12 bar. 21 fr. 1 ct. 203 tendremos • 51 ×32 9631.= (963:76) bar. fr. 1632 112 Recordando que 36×4 1 bar. = 32 fr., y 1 fr. = 4 ct. ct. 144 la operación se dispone 68 como indica el esquema de al lado. Tenemos: 963 1. — 12 bar. 21 fr. 1 ct.. con un resto de 68 cuartas. 2 . ° Verifique el estudiante las operaciones siguientes. [(8°6'52")×3]:4 = (24°20'36") :4 = 6°5'9" 3 . ° PROBLEMA. — Un buque efectuó un recorrido de 97 millas y 103 yardas en 4 horas. ¿Cuál es su velocidad horaria? En la Tabla de medidas inglesas encontramos: 1 Mi. (marina) = 6087 Ft. y 1 Yd. = 3 Ft., de donde: 1 Mi. = 6087 :3 = 2029 Yd. Aplicando la fórmula del (N.° 253, 2.°), tenemos: v = e : t = (97 Mi. 103 Yd.) : 4 = 24 Mi. 533 Yd. NOTAS

HISTÓRICAS

La notación de cociente mediante la raya de fracción, cuyo empleo ya indicamos en el Cap. I, la utilizaron los indúes. El matemático italiano Leonardo de Pisa (en 1202), introdujo en Europa dicha notación llamándole números ruptus (número roto, quebrado). Posteriormente se utilizaron las iniciales M y D para indicar la multiplicación y división, respectivamente. El signo : de la división fué empleado por primera vez, en 1657, por el matemático inglés Oughtred. Es probable que el signo ÷ que a veces se emplea para indicar la división, resulte de la combinación de la raya de fracción — , y del símbolo : que expresa la GUILLERMO OUGHTRED razón entre dos números. (1575-1660) No aconsejamos emplear este signo para la división, sino l o s d o s puntos habituales, y a que el signo ÷ se empleará en p r ó x i m o s cursos, para indicar "progresión aritmética". 11.—

ARITMÉTICA

1er.

AÑO

—

Coppetti

CAPITULO IX

" U n matemático que no tenga algo de poeta no puede ser un perfecto m a t e m á t i c o " . KARL

WEIESTIIASS

PROBLEMAS SENCILLOS resolubles con las definiciones y propiedades de las operaciones estudiadas Operaciones combinadas 249. Indicaciones generales. — Habiendo ya tratado en el Cap. IV "Sumas y Restas combinadas", y luego en los Cap. VII y VIII la "Multiplicación y División", estimamos ahora oportuno tratar de las operaciones combinadas con estas cua­ tro operaciones fundamentales, las que pueden presentarse en la resolución de problemas. Recordemos que en el (N.° 106) llamamos expresión arit­ mética a una o más operaciones con números, indicados me­ diante los signos convencionales respectivos. Por ej., es una expresión aritmética: 8 + 5 × 2 + 9 : 9 — 12 :4 En el (N.° 135) también vimos que: Se llaman términos de una expresión a las cantidades se paradas por los signos + y — . Los signos X y : no separan términos. Así, la expresión anterior consta de cuatro términos, que son: 8 , 5 × 2 , 9 : 9 , 12:4. La expresión 3 + 5 × 4, se compone de dos términos: 3 y 5 × 4 . En el (N.° 135) vimos que un polinomio aritmético es la expresión formada únicamente de términos separados por los signos de sumar o de restar. Por ej., es un polinomio 5 + 3 — 2 + 15 — 6 que consta de cinco términos. El polinomio 6 × 5 + 8 :2 — 4 × 2 × 3 + l, consta de cuatro términos. 250. Cálculo de expresiones aritméticas. Para calcular una expresión aritmética., se calcula prime­ ramente el valor de cada término, con lo que se logra un po­ linomio, y luego se suman o se restan los números obte­ nidos, según que el signo que los precede sea + o — ,

163

respectivamente (En el N.° 135 ya tratamos algunos ejem­ plos de cálculo de polinomios). Así, por ej., la expresión 3 + 2 × 7 significa que a) número 3 tenemos que sumarle el producto 2 × 7 , o sea sumarle 14. La operación re indica y efectúa así: 3 + 2 × 7 = 3 + 14 = 17 Para calcular una expresión aritmética conviene volverla a escribir sustituyendo cada término por su valor, o bien, cuan­ do en un término figuran varias operaciones indicadas, sus­ tituyendo en dicho término el resultado de una o varias de esas operaciones. Procediendo gradualmente de esta manera se llega a obte ner un polinomio, cuyo valor sabemos calcular. En los primeros ejercicios, y para facilitar la separación de términos en las expresiones algo complicadas, conviene que el alumno subraye cada término, como lo hacemos en el ejemplo siguiente:

8 × 3 + 5 — 1 3 × 2 + 10:5

251. Ejercicios. — Aplicaremos las normas generales ante­ riormente indicadas, a la resolución de algunos ejercicios. I. El valor de la última expresión se calculará efectuando primeramente las multiplicaciones y divisiones indicadas, y finalmente las sumas y restas: 8 × 3 + 5 — 13 × 2 + 10: 5 = 24 + 5 — 26 + 2 = 5 EJEMPLO

II:

23 — 6 : 2 : 3 + 3 × 7 × 2 — 100 : 5 × 2 = 23 — 3 : 3 + + 21 × 2 — 20 × 2 = 23 — 1 + 42 — 40 = 24

Pasaje de factores y divisores 252. Pasaje de factores y divisores de un miembro a otro de una igualdad. — De acuerdo con la definición de cociente exacto (N.° 210) vimos que la relación a :b = c [a] puede escribirse también así: a=c.b [ß] Observemos que las igualdades [a] y difieren única­ mente en la posición del número b ; en la igualdad [a] fi­ gura b como divisor del primer miembro, mientras que en la [ß] figura como factor del segundo miembro. Podemos enun­ ciar, pues, la siguiente

164

REGLA. — Un factor de un miembro de una igualdad pasa al otro, como divisor; inversamente, un divisor de un miem­ bro de una igualdad pasa al otro, como factor. E J E M P L O S . — I. 8×3 II.

D e la igualdad =

96:4 ,

8 × 3 × 4

y también,

=

8 =

96 ,

tenemos:

96:4:3

D e la igualdad, (48 X 3 ) :2 = 72 , tenemos: 48 ×3 = 72 × 2 , y también, 48 = 72

×2 : 3 .

253. Problemas de aplicación. — l.° Desde la Escuela, el estudiante recordará que si representamos con b la base y a la altura de un rectángulo, su área 8 se calcula con la expresión (o fórmula) : S = a ×b Pero si conocemos el área S y la base b , y nos propone­ mos calcular la altura a , será necesario en ese caso que el número a quede solo en uno de los miembros de la igualdad; para ello pasamosel factor b del segundo al primer miembro (N.° 252), y tenemos: 8 :b = a , o sea, a = S :b Esta última fórmula nos expresa que para calcular Ja al­ tura de un rectángulo, se divide el número que expresa la medida de su superficie por el de la base. 2

E J E M P L O S . — El área de un rectángulo mide 480 m . y la base 32 m.; su altura será: a = 8:b = 480:32 = 15 m. Análogamente, si conocemos el área S y la altura a, la base b se calculará con la fórmula, b = S:a. Para el ejemplo en cuestión, ten­ dremos: b == S:a = 480:15 = 32 m.

2.° Al decir que un auto marcha con una velocidad cons­ tante de 30 Km. por hora, significa que en 1 hora recorre 30 Km.; en 2 horas recorre 30 ×2 ; en 3, recorre 30 × 3 ; en 4, recorre 30 × 4 ; etc. En un, número cualquiera de horas, que representaremos con la letra t (tiempo), reco­ rrerá un espacio que representaremos con la letra e ; en este problema tendremos, pues, la siguiente relación: e = 30 × t Si la velocidad en lugar de ser de 30 Km., fuera otra cual­ quiera, que representaremos con v , tendremos la siguiente fórmula general, e = v.t que nos permite calcular el espacio recorrido por un móvil cuando se conoce la velocidad (constante) del mismo y el tiempo empleado en recorrerlo.

165

Pero si conocemos, por ej., el espacio e recorrido y el tiem­ po t empleado, y nos proponemos calcular la velocidad v, será necesario en ese caso que el número v quede solo en uno de los miembros de la igualdad; para ello pasamos el factor t del segundo al primer miembro (N.° 252), y tenemos: e : t = v , o sea, v = e : t Esta fórmala nos expresa que para calcular la velocidad de un móvil, cuando ésta es constante, se divide el espacio reco­ rrido por el tiempo empleado en recorrerlo. E J E M P L O S . — Si un aeroplano empleó 1 hora y 5 minutos, o sea 6 5 minutos, en el viaje Buenos Aires - Montevideo, que dista 1 9 5 K m . , su velocidad f u é : v =

e:t

=

195:65 =

3 K m . por minuto, o sea, 3 × 6 0 = 1 8 0 K m . p o r hora.

Análogamente, si conocemos el espacio e, y la velocidad v , calcula­ remos el tiempo t con la fórmula, t = e:v, A s í , p a r a r e c o r r e r el t r a m o de carretera Montevideo-Salto, q u e tiene u n a longitud d e unos 5 0 0 K m . , c o n u n a v e l o c i d a d d e 7 0 K m . por h o r a s e necesitará u n t i e m p o : t = e : v = 5 0 0 : 7 = 7 horas y 9 minutos (aprox.)

254. Ecuación numérica. — En la resolución de los pro­ blemas del párrafo anterior hemos empleado un proceso aná­ logo al ya empleado en el (N.° 159), es decir que hemos llegado a establecer una igualdad entre cantidades conocidas (datos) y otra desconocida (incógnita), igualdad que como ya dijimos constituye la ecuación del problema. Luego, he­ mos aislado en uno de los miembros de la ecuación esa in­ cógnita, calculando finalmente su valor numérico. Hemos re­ suelto una ecuación, tema éste que se tratará ampliamente en el próximo curso de Matemática, en Algebra. Así, por ej., si nos proponen los siguientes problemas: 1) Dado el producto 104 de dos números, y uno de ellos 8, hallar el otro factor. El factor desconocido es la incógnita que representamos con la letra x. La ecuación del problema es: 8 × x = 104 Despejamos la incógnita aplicando la primera parte de la regla del (N.° 252), y resulta: x = 104:8 = 13 2) Dado el cociente 9 de dos números y el dividendo res­ pectivo 153, hallar el divisor. El divisor desconocido lo representamos con la letra x; la ecuación del problema es: 153 : x = 9

166

Aplicando a esta igualdad la segunda parte de la regla del (N.° 252) tenemos: 153 = 9 × x y aplicando ahora a esta última la primera parte de dicha regla, resulta; 153 : 9 = x, o sea x = 153 : 9 = 17

Cálculo mental 255. Cálculo rápido mental. — Como lo hicimos para la adición y la sustracción (N.° 160), veremos ahora cómo em­ pleando propiedades de la multiplicación y de la división pue­ de facilitarse el cálculo mental de dichas operaciones. MULTIPLICACIÓN

256. Multiplicación por 2, 4, 8, 16, etc. — Cuando multi­ plicamos un número por 2, se dice también que lo duplicamos. Puede efectuarse la duplicación de un número agregándolo a sí mismo. Así, por ej., para duplicar el número 324, efectuamos mentalmente la suma 324 + 3 2 4 , que nos da 648 .

Para multiplicar un número por 4, se le duplica 2 veces. Análogamente, para multiplicar por 8 = 2 × 2 × 2 . se le duplica 3 veces. Así, por ejemplo, el producto de 413 por 8, lo obtenemos duplicando 3 veces. Decimos: el doble de 413 es 826; el doble de 826 es 1652: el doble de 1652 es 3304. El producto que buscábamos es 3 3 0 4 .

257. Multiplicación por 11. — a) Si el, multiplicando consta de una sola cifra, ésta se repite dos veces. Así, tendremos:

8

× 11 =

88.

b) Si el multiplicando tiene 7 luego se escribe el resultado Si dicha suma tiene más de una para sumarlas a la cifra de la

dos cifras, se suman éstas entre aquellas dos cifras. cifra, se llevan sus decenas izquierda.

Así, para hallar el producto 34 × 11 , efectuamos: 3 + 4 = 7 , luego escribimos el 7 entre el 3 y el 4 ; el producto será 3 7 4 .

j

Análogamente, para el producto 58 × 1 1 , efectuamos 5 + 8 = 13 ; escribimos el 3 entre el 5 y el 8, pero aumentamos una unidad al 5 El producto será 6 3 8 .

c) Si el multiplicando tiene más de dos cifras, se le mul­ tiplica primeramente por 10 y a este resultado se le suma el número primitivo.

167 Así, el producto 8 574 × 11 se obtendrá sumando 85 740 y 8 5 7 4 , obteniendo 94 314 . Como ejercicio, justifique el estudiante este procedimiento; para ello tenga presente que 11 = 10 + 1, y luego aplique al producto la pro­ piedad distributiva.

258. Multiplicación por 9, 99, 999, etc. — Para efectuar estos productos se multiplica por 10, 100, 1 000, etc., al multiplicando, y al resultado se le resta el número primitivo. Así, por e j . , el producto de 573 × 99 se obtendrá efectuando la diferencia 57 300 — 573 = 56 727 . Se justifica el procedimiento observado que 9 = 10 — 1 ; 99 = 100 — 1 ; 999 = 1000 — 1 ; etc.

259. Otras multiplicaciones. — a) Para multiplicar un número por otro compuesto de varios factores, se le puede multiplicar sucesivamente por cada factor (N.° 183). Así, por ej., para multiplicar por 15 = 5 × 3 , multiplicaremos por 5 y el resultado por 3 , o viceversa. Análogamente, para multiplicar por 6 multiplicarnos por 2 y por 3 . f

b) Para multiplicar por un número que difiera poco de un número redondo (es el que termina en uno o varios ceros), se multiplica por el número redondo, y al resultado se le suma o resta, según los casos, el producto del número dado por la diferencia entre el número redondo y el mul­ tiplicador. Este p r o c e d i m i e n t o y a lo h e m o s aplicado en el ( N . ° 257, c ) . Así, para multiplicar por 19, 29, 39, etc., por ser 19 = 20 — 1 ; 29 = 30 — 1 ; 39 = 40 — 1 ; etc., podemos multiplicar por 20, 30, 40, etc., y restar al producto el número dado. Por ejemplo: 36 × 39 =

36 × 40 — 36 =

1440 — 36 =

1404.

Análogamente, por ser 98 = 100 — 2 , tendremos, por e j . , el »iguiente producto: 23 × 98 = 2 300 — 23 × 2 = 2 300 — 46 = 2 2 5 4 .

260. Multiplicación de dos números de dos cifras cada uno. — Estimamos interesante exponer el método de mul­ tiplicación cruzada, usado desde épocas remotas (siglo XII). Se multiplican las cifras de las unidades y se escribe la última cifra de este producto llevando las decenas; luego se multiplican en cruz las cifras de los factores y se efectúa la suma de los dos productos, agregando a esta suma 64 las decenas que llevábamos; se escribe la última cifra del resultado y se llevan sus decenas; finalmente, × se multiplican las cifras de las decenas, al producto 57 se le agrega lo que llevábamos y el número que se 3648 obtiene se antepone a las dos cifras ya escritas.

168

Con un poco de práctica, el método resulta fácil y útil. De la cruceta colocada entre los dos factores, proviene el actual signo de multiplicación. DIVISIÓN

261. División por 2. — Conviene que el estudiante recuer­ de el duplo de los 50 primeros números, que serán los 50 primeros números pares: 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , . . . , 100 . Recordando esa colección de números, podemos, pues, con­ testar en seguida cuánto es la mitad de un número menor que 100; si el número es par, recordando cuál es el número cuyo duplo es el número dado; si el número es impar se le resta una unidad y se toma la mitad del número par que resulta. Así, por ej., se contestará sin titubeos: la mitad de 58 es 29; la mitad de 67 es 33 con el resto 1. La división por 2 de un número cualquiera es una ope­ ración que puede efectuarse, sin dificultad, mentalmente. Para mayor rapidez, pueden considerarse dos cifras a la vez. Así, por ej., para hallar la mitad de 6431, decimos: la mitad de 64 es 32, la de 31 es 15 y el resto 1; la mitad que buscamos es, pues, 3215 y el resto 1. >

262. Multiplicación por 5. — Como 5 = 10 : 2 , para mul­ tiplicar por 5, podemos multiplicar por 10 y dividir por 2, vale decir que, agregamos un cero a. la derecha del número y luego tomamos la mitad del resultado. Así, para multiplicar 5 317 por 5 , tomamos la mitad de 53 170 que es 26 585 . f

263. División por 5. — Para dividir por 5, podemos divi­ dir por 10 y multiplicar por 2; esto se logra suprimiendo la última cifra de la derecha y duplicando el numero así obtenido, al que se le suma 1 si la cifra suprimida es igual o mayor que 5 . Así, el cociente de 3 872 por 5 se obtiene duplicando 774 y el resto es 2 .

387 ,

logrando

Análogamente, el cociente de 8 627 por 5 , se obtiene duplicando 862 , o sea 1724 y agregando 1, lo que da 1725 ; el resto será 7 — 5 = 2 .

264. División por 4, 8, 16, etc. — Para dividir por 4 = 2 × 2 , dividimos dos veces consecutivas por 2 . Para dividir por 8 = 2 × 2 × 2 , dividimos tres veces consecutivas por 2 , etc. Así, por e j . , la cuarta parte de 5732, tomo primeramente 2866; luego la mitad de esta mitad: 1 4 3 3 .

la

mitad:

169

265. Multiplicación o división por 25. — Como 25 = 100:4, para mu) ti pilcar por 25, podemos multiplicar por 100 y dividir por 4 ; vale decir que agregamos dos ceros a la de­ recha del número y luego tomamos la mitad dos veces. Así, por ej., el producto de 321 por 25 lo obtendremos tomando pri­ meramente la mitad de 32100 , o sea 16050 , y luego la mitad de esta mitad, resultando 8 0 2 5 .

Para dividir por 25 , podemos dividir por 100 y multi­ plicar por 4 . 266. Otras divisiones. — Para dividir un número por otro compuesto de varios factores, se le puede dividir sucesiva­ mente por cada factor (N.° 226). Así, para dividir por 15 = 5 × 3 , dividimos por 5 y luego por 3 . Por e j . , el cociente de 345 por 15 lo obtenemos dividiendo primero por 5, obteniendo 69, y luego por 3, resultando 23. Para dividir por 6, dividimos por 2 y por 3 . Para dividir por 12, dividimos por 4 y por 3 .

Para multiplicar por 125 = 1 000: 8, multiplicamos por 1 000 y dividimos por 8. Análogamente, para dividir por 125 , dividimos por 1 000 y multiplicamos por 8.

Matemática curiosa ADIVINACIÓN DE NÚMEROS

a) Adivinar un número de tres cifras, por cuarta per­ sona. 1.° Se pide a un amigo que escriba un número de tres cifras, y las repita en el mismo orden a con­ tinuación para formar un nuevo número de seis ci­ fras. Por ejemplo 873873 2.° Se pide a una 2. persona que divida por 7 el número que le dirá la 1. ; obtendrá 124839 3.° Se pide a una 3. persona que divida por 11 el número que le dirá la 2 . ; obtendrá 11349 4.° Se pide a una 4. persona que divida por 13 el resultado obtenido por la 3. y finalmente que sume el número 1111 al último cociente; obtendrá . . . 1984 Este resultado lo hará conocer la 4. persona a usted. Debe restar a este número 1111 y la diferencia 873 es el número que escribió inicialmente la 1. persona. a

a

a

a

a

a

a

a

170

Obsérvese que el resultado de dividir por 13 obtenido por la 4. persona es el número 873 inicialmente elegido por la primera persona. La adición y sustracción del número 1111 fue únicamen­ te con el objeto de no hacer tan evidente el secreto del juego. Demostración: Si llamamos a, b, c, las tres cifras que for­ man el número elegido por la 1. persona, el número de seis cifras será: abcabc, el que puede escribirse así: a

a

abcabc = abc000 + abc = abe × (1000 + 1) Pero siendo 1001 = 7 × 11 × 13, tendremos: abcabc = abc × 7 × 11 × 13 Al dividir este producto sucesivamente por 7, por 11 y por 13, desaparecen esos tres últimos factores (en virtud del N.° 223), y nos queda como resultado el número primitivo: abc. b) Adivinar los puntos marcados por tres dados. Un amigo tira los tres dados y nosotros adivinaremos los números que marcan, siempre que el amigo haga los siguien­ tes cálculos y que nos indique el resultado final. l.° Sumar 5 al doble de los puntos que marque el primer dado. 2.° Multiplicar esa suma por 5. 3.° Sumar a éste producto los puntos que marque el se­ gundo dado. 4 Multiplicar por 10 esta suma, y al producto sumar los puntos que marque el tercer dado. 5.° Restar 250 al resultado final que le dará a conocer el amigo. Esta diferencia es un número de tres cifras, que son jus­ tamente los tres puntos marcados por los dados. EJEMPLO. — 1er. dado, 2; 2.° dado, 4; 3er. dado, 1. o

Operaciones: l.° 2 × 2+ 5= 9 2.° 9 × 5 = 4 5 3.° 45 + 4 =49 4.° 49 × 10 + 1 = 491 5.° 491 — 250 = 241 cuyas cifras: 2, 4 y 1 son los números marcados.

171

Demostración: En general, si las cifras marcadas por los dados se designan con a, b, c, se han efectuado las siguientes operaciones : [(a × 2 + 5) × 5 + 6] × 10 + c — 250 = 100 × a + + 10 × b + c = abc La cifra de las centenas es a; la de las decenas es b; la de las unidades simples es c. Hasta se puede contestar el orden como han salido los dados, o sea l.°, a; luego, b; finalmente, c. c) Adivinar la edad de una persona y el número de su calzado. Se pide a un amigo que, sin mostrar las operaciones que realizará, efectúe las siguientes: 1.° Multiplique por 2 el número de su calzado. 2.° Sume 5 a ese producto. 3.° Multiplique la suma por 50. 4.° Sume a ese producto el número de años que cumple, o que cumplirá este año. 5.° Sume finalmente el número 365 (los días del año común). El amigo obtendrá así un número de cuatro cifras que hará conocer a usted. De este resultado resta usted el número 615 y obtendrá así un número de cuatro cifras. El formado por las dos primeras cifras, será el número de los zapatos; el formado por las dos últimas, será la edad. Demostración: Si representamos con a el número del calzado y con b el de la edad, las operaciones realizadas son las siguientes: (a × 2 + 5) × 50 + b + 365 — 615 = = 100 × a + 250 + b + 365 — 615 = 100 × a + b EJEMPLO. — Un niño de 14 años que calce el 38, calculará así: 4.° 4050 + 14 = 4064 l.° 38 × 2 = 76 5.° 4064 + 365 = 4429 2.° 76 + 5 = 81 6.° 4429 — 615 = 3814 3.° 81 × 50 = 4050 El número 3814 es el resultado buscado. 38 es el número del calzado, y 14 la edad.

172

d) Adivinar el número de la página, el número de orden de una línea y el de una palabra elegida arbitrariamente por un alumno. Invitad a un alumno a abrir un libro en una página cualquiera, y elegir una palabra entre las 9 primeras líneas de la página, siendo la elección de la palabra entre las 9 primeras que se encuentran en la línea elegida. Luego pídase al alumno que efectúe las siguientes operaciones : l.° Multiplique el número de la página por 10. 2.° Agregue al producto el número de la línea aumentado en 2. 3.° Multiplique esta suma por 10. 4.° Sume finalmente el número de orden de la palabra en la línea elegida. Pedir el resultado, y restarle del mismo el número 20. La cifra de las unidades simples del resultado es el número de orden de la palabra en la línea elegida; la cifra de las decenas es el número de orden de la línea, y el número formado por las cifras restantes es el de la página en la cual se ha tomado la palabra elegida. Demostración Indicando con a el número de la página donde se ha eLgido la palabra, con b el número de la, ¡línea y con c el número de orden de la palabra en la línea, las operaciones realizadas son las siguientes: (a × 10 + b + 2) × 10 + c — 20 = = a × 100 + b × 10 + c = abc En este resultado se ve que c es la cifra de las unidades, b la cifra de las decenas, y a el número de centenas. EJEMPLO. — Si una palabra fue tomada en la página 253, en la 7. línea y en el 6.° lugar, tenemos: a

(253 × 10 + 7 + 2) × 10 + 6 — 20 = 25376

LA

MULTIPLICACIÓN

MUSULMANA

Sea, por ejemplo, la multiplicación 5817 × 423. Escribimos uno de los factores, 5817, de izquierda a de

173

pecha, y el otro, 423, de abajo para arriba; trazamos una cua­ drícula, así como sus diagona­ les, como indica la figura. Escribamos en cada casilla el producto de las cifras de los factores que se encuentran ini­ ciando la línea y la columna co­ rrespondiente ; disponemos ese producto de modo que la cifra de las decenas se encuentre se­ parada de la cifra de las uni­ dades, mediante la diagonal. Así, efectuaremos: 3 X 5 = 15; escribimos 1 debajo de la diagonal de la primera casilla, y 5 arriba. 3 X 8 = 24; escribimos 2 debajo y 4 encima de la diagonal de la segunda casilla, y así sucesivamente. Se efectúan luego las sumas de las cifras adyacentes a una misma diagonal, en forma análoga a nuestra multiplica­ ción, es decir de arriba para abajo y comenzando de la diagonal derecha; el número 2460591 así obtenido es el producto de los dos números dados. MULTIPLICACIÓN RUSA

Algunos pueblos de Rusia multiplican sin emplear la ta­ bla pitagórica. Para ello se escriben los dos factores uno al la­ do del otro y se forman con ellos dos columnas: debajo del factor que está a la izquierda se toma la mitad 22 × 6 en números enteros, es decir depreciando frac­ 11 12 ciones, y de esta mitad se toma también la mi­ 5 24 tad, y así sucesivamente hasta llegar a 1; deba­ 2 48 jo del factor que está a la derecha, y paralela­ 1 96 mente, se escribe su duplo, y así sucesivamente hasta emparejar con el último número de la co­ 132 lumna de la izquierda, como puede verse en el ejemplo de al lado en que se han tomado los números 22 y 6 como factores. Hecho esto se tachan de la columna de la derecha todos los números colocados enfrente de los números pares de la otra columna y se suman los números no tachados; esta suma será el resultado de la multiplicación: 22 × 6 = 132 En efecto, un producto no altera cuando uno de los factores se multiplica y el otro divide por un mismo número; por con­ siguiente el producto 22×6 es igual al de 11×12; pero, en virtud de la propiedad distributiva de la multiplicación,

174

11×12 = (10+1)×12 = 10×12+(12). Dejemos aparte (sin tachar) estas 12 unidades, y sigamos con 10×12 = 5×24 = = 4×24+(24). Dejemos aparte estas 24 unidades, y sigamos con 4×24 = 2×48 = 1×96 = (96). Sumando, pues, estos números 12, 24 y 96 (originados por la presencia de los fac* tores impares 11, 5 y 1), obtenemos 132 = 22×6. PRODUCTOS Y

SUMAS

NOTABLES

El matemático árabe IBN ALBANNA (siglo X I I ) , publicó las siguientes operaciones curiosas: 9×9+7=88 98×9+6=888 987×9+5=8888 9876×9+4=88888 98765×9+3=888888 987654×9+2=8888888 9876543×9+1=88888888 98765432×9+0=888888888

11×11=121 111×111=12321 1111×1111=1234321 11111×11111=123454321 111111×111111=12345654321 1111111×1111111=1234567654321 11111111×11111111=123456787654321 111111111×111111111=12345678987654321

1 × 9 + 2=11 1 2 × 9 + 3=111 1 2 3 × 9 + 4=1111 1 2 3 4 × 9 + 5=11111 1 2 3 4 5 × 9 + 6=111111 1 2 3 4 5 6 × 9 + 7=1111111 1 2 3 4 5 6 7 × 9 + 8=11111111 1 2 3 4 5 6 7 8 × 9 + 9=111111111 123456789×9 + 10=1111111111

1×8+1=9 12×8+2=98 123×8+3=987 1234×8+4=9876 12345×8+5=98765 123456×8+6=987654 1234567×8+7=9876543 12345678×8+8=98765432 123456789×8+9=987654321

CAPRICHOS DEL NUMERO 12345679

Este número está formado por la sucesión de las cifras significativas, excepto el 8. Si se le multiplica por uno cual­ quiera de los nueve primeros múltiplos de 9: 9, 18, 27, 36, 45. 54, 63, 72, 81, el producto se compondrá de 9 cifras iguales. Así tenemos: 12345679× 9=111111111 12345679 × 18=222222222 12345679×27=333333333 12345679×81=999999999 En general, siendo n una cifra cualquiera, resulta: 12345679 × (9 × n) = nnnnnnnnn

175

LA MULTIPLICACIÓN CON SORPRESA

Divertimiento fundado en el capricho anterior: Se pide a un niño que escriba el número formado por la sucesión de las cifras significativas excepto el 8. Luego se le pregunta cuál es la que ha dibujado peor. Si contesta, por ej., la cifra 6, se le pide que multiplique por ( 9 × 6 ) = = 54 el número 12345679. Encontrará como producto un número formado exclusivamente por todos seis, o sea: 666666666 . UN AUTOMOVILISTA INTELIGENTE

Obsérvese el contador de kilómetros del auto que reproducimos en la figura. Marca 15 951. El conductor nota que es éste un número simétrico, es decir que se lee el mismo número tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda. (*) —Tengo la impresión, pensó para sí, que dentro de poco, un número que presentará las mismas particularidades aparecerá en el contador. En efecto, dos horas más tarde apareció un número que daba la misma lectura en los dos sentidos. Calcular la velocidad de recorrido del auto durante esas dos horas. Solución. — Al aumentar el kilometraje y por consiguiente las cifras de las unidades, decenas, centenas, etc., como en la centena correspondiente al 951 no puede haber otro número terminado en 51, resulta que el número buscado estará en la centena siguiente y será entonces mayor que 16000 Km. Por consiguiente, en ese millar serán simétricos los números que terminan en 61, es decir: 16061 , 16161 , 16261 , etc. Resulta pues que el primer número simétrico que aparece en el contador es el 16061 . El promedio horario de velocidad es fácil de calcular y es de 55 Km./h. (*) E n la j e r g a llama c a p i c ú a .

cabalística

al n ú m e r o

s i m é t r i c o también

se

le

" D i s t i n g u i r claramente lo que s e sabe y lo que no s e sabe, e s q u i z á la ventaja m á s pre­ ciada que s e puede obtener del estudio de la M a t e m á t i c a " . J U L E S TANNERY

CAPITULO X

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES Potencia de números naturales 267. Definiciones y ejemplos. — Sean, por ejemplo, los siguientes productos: 7× 7 se indica con el símbolo 7 que se lee segunda potencia de 7; 7 es la base de la potencia y 2 el exponente o grado de la potencia. 5 × 5 × 5 se indica con el símbolo 5 que se lee tercera potencia de 5; 5 es la base y 3 el exponente de la potencia. 8 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3 ; 15 × 15 × 15 × 15 = 15 ; etc. De estas igualdades resulta que el exponente indica cuántos son los factores del producto, todos iguales a la base. Diremos, pues, que Una potencia es un producto de varios factores iguales. La notación, por ej., 15 se lee también: 15 elevado a 4, o 15 a la cuarta. En general, si a y n representan números cualesquiera, a representa el producto de n factores iguales al número a. Tenemos, pues, la siguiente 2

3

5

4

4

n

DEFINICIÓN. — Se llama POTENCIA enésima de un nú­ mero a, al producto de n factores iguales al número a. A la segunda potencia de un número se le llama, tam­ bién, cuadrado del número; a la tercera potencia, cubo, y a la cuarta, bicuadrado. Así, por ej., el cuadrado de 5, es 5 = 25 ; el cubo de 5 es 5 = 125. Se llaman potencias semejantes las que tienen el mismo exponente. Las potencias semejantes son, pues, del mismo gra­ do. Por ej., 7 y 5 son potencias semejantes de 7 y de 5. También lo son: 2 , 15 , 42 . 2

3

4

4

3

8

3

177

La POTENCIACIÓN es la operación aritmética mediante la cual hallamos la potencia de un número. Por definición, cualquier

potencia

de 0 es igual a 0.

4

En efecto: 0 = 0 ×0 ×0 ×0 = 0. Análogamente, cualquier potencia de 1 es igual a 1. En efecto: 1 = 1 × 1 × 1 × 1 × 1 × 1 = Se conviene, además, en que cualquier número elevado a mismo número (aun cuando la idea de producto requiere dos factores). Por ejemplo: 12 = 12 ; 426 = 426 ; etc. También se conviene en que cualquier número (diferente a 0 es igual a 1. Por ejemplo: 5 = 1 ; 462 = 1 ; etc. 6

1

1. 1 es igual al por lo menos

1

0

de 0 ) elevado

0

268. Interpretación geométrica del cuadrado y del cubo de un número natural. — Las denominaciones de cuadrado y cubo que dimos a la segunda o a la tercera potencias de un número a, provienen de las figuras geométricas cuadrada o cúbica que se pueden formar con a o a objetos, respectivamente. Así, por ej., 5 = 5 × 5 , siendo un producto, se representa geométricamente por el rectángulo A B C D de la primera figura, de lados iguales a 5 unidades (N.° 186); es pues un cuadrado. 2

3

2

Para interpretar geométricamente el cubo de un número, por ej., 5 = 5 × 5 × 5 , observemos la figura de la derecha, que representa un cubo cuya arista mide 5 unidades. El número de cubos parciales que contiene es 5 × 5 × 5 = 5 , puesto que consta de 5 capas de 5 X 5 cubos cada una. 3

8

269. Tabla de las primeras potencias sucesivas de los números dígitos. — Potencias ordenadas de un mismo número, 12.— ARITMÉTICA

1er. AÑO

—

Coppetti

178

cuyos exponentes son números consecutivos de la sucesión fundamental, se llaman potencias sucesivas de dicho número. Las potencias sucesivas del número a son, pues: a = 1 ; a = a ; a = a-a ; a = a.a.a ; etc. Como caso particular, las potencias sucesivas del número 10 son: 10 = 1 ; 10 = 10 ; 10 = 100 ; 10 = 1000 ; etc. Obsérvese que toda potencia de 10 es igual a un número formado por la unidad seguida de tantos ceros como unidades tenga el exponente. A continuación presentamos una tabla de la segunda y ter­ cera potencia de los números dígitos, que conviene recuerde el estudiante: 0

1

0

2

3

1

2

3

Números

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Cuadrados

1

4

9

16

25

36

49

64

81

Cubos

1

8

27

64

125 216 3 4 3 512 7 2 9

Por ser de frecuente uso, conviene también recordar los si­ guientes cuadrados: l l = 121 ; 12 = 144 ; 15 = 225 ; 25 = 625 2

2

2

2

Al final del libro (pág. 352) presentamos una tabla de cua­ drados y cubos de los números naturales, desde 1 a 200. Ejer­ cítese el estudiante en su manejo. Así, por e j . , el cuadrado y el cubo del número 57 se encuentran en la fila que empieza por 57, y en las columnas encabezadas con n y n , respectivamente, encontrando 3 249 y 18519'3. 2

3

270. Propiedad de clausura. — Como la potenciación es un caso particular de la multiplicación y esta operación goza de la propiedad de clausura (N.° 175), podemos afirmar que la potenciación tiene esta propiedad, o sea: La potencia de un número natural es también un número natural. 271. Propiedad uniforme. — Análogamente que en el pá­ rrafo que antecede, como la multiplicación goza de la propie­ dad uniforme (N.° 176), es decir que da resultado único, te­ nemos :

179

Si se elevan a una misma potencia los dos miembros de una igualdad se obtiene otra igualdad. m

Simbólicamente, si a = b , tenemos, a =

m

b

272. Ley de monotonía. — Como la potenciación es un caso particular de lá multiplicación, y para ésta última se cumple la ley de monotonía, podemos prever que para la potenciación también se cumplirá dicha ley, cuyo enunciado es el siguiente: Si se elevan a una misma potencia, distinta de oero, loe dos miembros de una desigualdad, se obtiene otra desigual­ dad del mismo sentido que el de la dada. HIPÓTESIS),

a < b y m

0

TESIS).

m

a

<

m

b

DEMOSTRACIÓN. — Si tuviéramos m = 1, se cumpliría la tesis, porque ella se convertiría en la hipótesis, a < b. a< b Si m > 1, escribimos m desigualdades igua­ a
m

77i m Análogamente se demuestra que si a > b , es a > b . Como ejercicio de aplicación de la propiedad que antecede, demuestre el estudiante que las potencias sucesivas de un nú­ mero mayor que uno crecen a medida que aumenta el expo­ nente. m

m

Operaciones con potencias 273. Producto de dos potencias de igual base. — Sea el si­ guiente producto de potencias: 8 × 8 . En virtud de la definición de potencia, y luego de la propiedad disociativa del producto (N.° 183), tendremos: 3

2

2

83 × 8 = (8 × 8 × 8) × (8 × 8) = 3

2

factores

=

fact.

8 × 8 × 8 × 8 × 8 = 8 (3 +

o sea:

3

8

2

× 8 =

3+2

8

2 ) factores 5

= 8

3 +

4

180

En general,

m

n

a

m + n

× a = a

que origina la siguiente REGLA. — El producto de potencias de la misma base es otra potencia de igual base, cuyo exponento es la suma de los exponentes. Recíprocamente, leyendo la ig;ualdad que antecede en or­ den inverso (carácter recíproco), tenemos: Una potencia puede transformarse en el producto de varias potencias de la misma base cuya suma de exponentes sea igual al exponente de la potencia dada. EJEMPLO :

8

5

=

8

3

×

8

2

=

8

2

×

8

2

×

8

=

. . .

APLICACIÓN. — Esta propiedad es muy útil para el cálculo del valor de una potencia. Así, por e j . , debiendo calcular el valor de 5 « , en lugar de efectuar 7 multiplicaciones, se abrevia calculando primeramente el cuadrado de 5, multiplicando este resultado por sí mismo, y el nuevo resultado otra vez por sí mismo, como indicamos a continuación. 58 =

(52

4

× 52) × 5

=

4

(25 × 25) × 5 =

025 × 625 =

390 6 2 5 .

274. Cociente de dos potencias de igual base. — Sea, por ej., el cociente de potencias (8 : 8 ) . Por definición de co­ ciente tendremos que hallar un número que multiplicado por el divisor 8 nos reproduzca el dividendo 8 . Si llamamos c al cociente, tendremos: 8 = 8 × c 5

3

3

5

3

5

Pero, en virtud de la regla del (N.° 272), el cociente de­ berá ser una potencia de 8 con un exponente tal que, agre­ gándole 3 dé 5; dicho exponente será, pues, 5 — 3 = 2 . Por consiguiente, tendremos: 8:8 = 8 = 8 5

En general,

m

n

a :a =

8

5 — 3

2

m—n

a

que origina la siguiente REGLA. —El cociente de do3 potencias de igual base, cuando el exponente del dividendo es mayor que el del divisor, es la potencia de la misma base, cuyo exponento es la dife­ rencia de los exponentes.

181

275. Condición de posibilidad en este último caso. — Se­ gún la regla anterior, debiendo ser el exponente del co­ ciente, la diferencia entre el exponente del dividendo y del divisor, en este orden, solo será posible cuando el exponente minuendo sea mayor o igual que el exponente sustraendo (N.° 123). Podemos enunciar, pues, la siguiente condición: Para que sea posible la división de dos potencias de igual base, debe ser el exponente de la potencia dividendo mayor o ipiuil que el exponente de la potencia divisor. 276. Producto de potencias semejantes. — Sean, por ej., el producto de potencias semejantes (es decir, que tienen igual exponente): 3 × o × 8 . En virtud de la definición de potencia, y aplicando en su orden las propiedades disociativa, conmutativa y asociativa de la multiplicación, tendremos las siguientes transforma­ ciones 3 × 5 × S = (3.3) × (5.5) × (8.8) = 3.3.5.5.8.8 = = 3.5.8.3.5.8 = (3.5.8) × (3.5.8) = (3 × o × 8) o sea : 3 × 5 × 8 = (3 × 5 × 8) En general, para cualquier número de factores, tendremos 2

2

2

2

2

2

2

a

2

m

2

m

2

m

m

a × b × c = (a × b × c) que origina la siguiente

REGLA. — El producto de potencias semejantes es igual a una potencia única, semejante a aquéllas y de base igual al producto de las bases. APLICACIÓN. — Esta propiedad resulta muy útil en el cálculo. Aai, por ej., debiéndose calcular el producto 2 . 1 3 . 5 , en lugar de calcular 2 y 5 , etc., se abrevia el cálculo así: 4

4

3

3

4

2 .13.5

3

3

=

2 .2.13.5

3

3

== ( 2 . 5 ) . 2 . 1 3 =

3

10 .26 =

26 000

Recíprocamente, en virtud de la ley simétrica aplicada a la igualdad anterior, tenemos: La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores. Así, por ej., tendremos: (2 × 5 × 9) = 2 × 5 × 9 NOTA. — Esta se llama propiedad distributiva de la po­ tenciación respecto de la multiplicación. 3

3

3

3

182

277. Cociente de potencias semejantes. — Sea el cociente de las potencias semejantes a por b ; se efectúa la opera­ ción con la siguiente m

m

REGLA. — El cociente de dos potencias semejantes es igual a una potencia semejante a aquellas y de base igual al cociente de las bases. Es decir que tendremos: m

m

a : b

m

=

(a : b)

m

La potencia (a:b) es, efectivamente, el cociente que bus­ camos, porque, según el (N.° 210), si lo multiplicamos por el divisor b , para lo cual aplicamos respectivamente los (Nos. 276 y 214), obtenemos el dividendo: m

m

m

(a:b)

m

× b = [(a:b) × b]

m

= a

APLICACIÓN. — Esta propiedad resulta muy útil en el cálculo nu mérico. Así, por e j . , debiéndose calcular el cociente 7 5 0 : 2 5 , en lugar da calcular 7 503 y 253, etc., se abrevia el cálculo así: 3

3

750 :25

3

=

(750:25)

3

3

=

30

=

3

27 000

Recíprocamente, en virtud de la ley simétrica aplicada a la igualdad anterior, tenemos: La potencia de un cociente es igual al cociente de la poten­ cia del dividendo por la del divisor. Así,

por e j . , tendremos:

(36: 9 ) 2 =

2

2

36 ; 9 =

1296: 81 =

16.

NOTA. — Hemos tratado ejemplos de divisiones exactas; para el caso de divisiones inexactas también se cumplen las reglas anteriores, como lo veremos al tratar de las fracciones ordinarias en el capítulo XIV. 278. Potencia de otra potencia. — Si multiplicamos poten­ cias de igual base e igual exponente, por ej., en el producto 2 X 2 X 2 , tendremos una potencia de otra potencia, que se indica así: (2 ) . En virtud de la definición, y aplicando luego la regla del (N.° 272), tendremos las siguientes transformaciones: 5

5

5

5

5

3

3

5

5

5

(2 ) = 2 × 2 × 2 = 2

5 + 5 + 5

= 2

5 × 8

= 2

15

183

m n

(a )

En general

m×n

=

a

que origina la siguiente REGLA. — La potencia de una potencia es otra potencia de la misma base, cuyo exponente es el producto de los exponentes. NOTA. — Esta es la propiedad asociativa de la potencia Aplicando sucesivamente la propiedad anterior, resulta: [(a ) ] = [a ] = a Por ejemplo, tendremos: [(3 ) ] 3 = 3 = 6 558 731 m

n

p

m

2

4

n

2

p

m

2 . 4 . 2

n

p

16

Definición de radicación 279. Definiciones y ejemplos de raíz cuadrada, cúbica y en general, de raíz enésima de un número natural. — Hemos visto que la adición tiene como operación inversa, la sustrac­ ción; la multiplicación tiene como operación inversa, la di­ visión exacta; la potenciación tiene como operaciones inver­ sas la radicación y la logaritmación. La primera se tratará en este capítulo, y la segunda se transfiere para el cuarto curso.

DEFINICIÓN. — Se llama RAÍZ CUADRADA de un número al número cuyo cuadrado reproduce el primero. Así, por ejemplo, 3 es la raíz cuadrada de 9, porque 3 = 9 12 " " 144, " 12 = 144 Para indicar la raíz cuadrada de un número, por ej., de 144, escribimos V144 = 12. El signo V se llama radical; el número colocado debajo se llama número subradical o radicando. A la raíz cuadrada de un número suele llamársele simple­ mente, raíz del número. De la misma manera decimos que 2 es la raíz cúbica de 8, porque 2 = 8 10 " " " " " 1000, " 10 = 1000 3 " " " cuarta " 81, " 3 = 81. 2

2

3

3

4

184

Para indicar la raíz cubica de un número, por ejemplo, de 1000, escribimos, V1000 = 10 . En general: b es la raíz enésima de a, si b = a 3

n

DEFINICIÓN. — Se llama raíz enésima de un número natural, a otro número que elevado a la potencia n repro­ duce el radicando. La raíz enésima de un número a la indicamos así: n

Va = b El número n se llama índice de la raíz. Cuando el índice de una raíz es 2 , se suele suprimir. La RADICACIÓN es la operación aritmética mediante la cual hallamos la raíz de un número. Se llama también ex­ tracción de raíz. 280. Condición de posibilidad. — De la definición de raíz cuadrada de un número natural se deduce que para que exis­ ta dicha raíz, debe ser el radicando un cuadrado perfecto, es decir, un número que resulte de elevar al cuadrado uno de los números naturales. Los primeros números naturales que tienen raíz cuadrada son: 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , 36 , 49 , 64 , 81 , . . . No es posible, pues, extraer la raíz cuadrada de los núme­ ros comprendidos entre dos cualesquiera de los anteriormente citados. Así, por ej., diremos que no es posible la operación V28, porque no existe ningún número natural cuyo cuadrado nos dé 28, puesto que 5 = 25 < 28 , y 6 = 36 > 28 . 2

2

281. Raíz entera. — Por definición de raíz cuadrada, y de acuerdo con los valores de "Números" y "Cuadrados" que dimos en el (N.° 269), tendremos que los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ,10, 11, 12, son las raíces cuadradas de los números 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, res­ pectivamente. Estos últimos números ( 1 , 4, 9 , . . . ) se llaman cuadrados perfectos. La tabla de cuadrados y cubos de los números 1 a 99 que ya mencionados en el (N.° 269), da en la columna de los "Números", las raíces cuadradas y cúbicas de los números que figuran en las columnas de "Cuadrados" y "Cubos",

185

respectivamente. Así, podemos hallar en ella, por ej., que V2916 =

54 y que

3

V262144

=

64 .

Pero no todos los números son cuadrados ni cubos de otros, como puede observarse en dichas tablas. Así, por e j . , si nos dicen que en el piso de una habitación cuadrada hay 225 baldosas, podemos afirmar que existirán 15 hileras de 15 bal­ dosas cada una, puesto que 15 × 15 = 225, siendo 15 el único número cuyo cuadrado da 225. También podremos embaldosar otro piso cuadrangular con 256 baldosas, porque 162 = 256 . En cambio, con un número de baldosas comprendido entre 225 j 256, por ejemplo, con 230, no podremos embaldosar un patio cuadrangular con igual número de filas como hileras de baldosas. Esto se expresa diciendo que 230 no es cuadrado perfecto. En consecuencia, así como hemos defi­ nido el cociente inexacto o entero, definimos aquí también la raíz inexacta o entera:

DEFINICIÓN. — Se llama RAÍZ CUADRADA ENTERA d« un número, al mayor entero cuyo cuadrado está contenido en el número dado. Así, por ej., la raíz cuadrada entera de 230 es 15, porqur 230 está comprendido entre 15 y 16 , y por tanto, 15 es i) mayor entero cuyo cuadrado es menor que 230. Análoga­ mente la raíz cuadrada entera de 85 es 9, porque el mayor cuadrado contenido en 85 es 81 = 9 . Análogamente, la raíz cúbica entera de 131 es 5 , porque el mayor cubo contenido en 131 es 5 = 125. 2

2

2

8

DEFINICIÓN. — Se llama RESTO de la raíz cuadrada entera de un número, a la diferencia entre el número dado y el cua­ drado de su raíz cuadrada entera. Así, por ej., dijimos que la raíz cuadrada entera de 230 es 15: el resto será 230 — 15 — 230 — 225 = 5 . En el ejemplo de las 230 baldosas propuesto en este pá­ rrafo, el resto 5 representará el número de baldosas sobrantes después de haber formado el mayor cuadrado posible de 15 ×15 = 225 baldosas con las 230 que se dieron. Por el contrario, cuando la raíz corresponde a una poten cia perfecta, se llama raíz exacta. Por ej., 5 es la raíz cua­ drada exacta de 25; 2 es la raíz cúbica exacta de 8. La definición de resto nos justifica la siguiente propiedad: Todo número es igual al cuadrado de su raíz cuadrada en­ tera más el resto. 2

186

Llamando N al número, b su raíz cuadrada entera y r el resto, tenemos la siguiente relación fundamental: N= b +r 282. Obtención de raíces. — Nos concretaremos a las raíces cuadradas y cúbicas, y en especial a las primeras. Cuando se trata de la raíz cuadrada o la raíz cúbica de una potencia perfecta, ya indicamos al principio del párrafo anterior, cómo se buscaba en la tabla su raíz exacta. Cuando se trata de la raíz cuadrada de un número que no sea cuadrado perfecto, se busca también en la tabla en la columna respectiva (encabezada con "Cuadrado") el número menor que él y que más se le aproxime; el número corres­ pondiente de la primera columna es la raíz entera buscada. Así, por ej., en la tabla del final del libro vemos que la raíz cuadrada entera de 853 es 29, porque es el número co­ rrespondiente a 841, siendo este último el que más se apro­ xima a 853 (de los menores a 853) en la columna de "Cua­ drado". Cuando el número es mayor que el límite de la tabla, es posible hallar la raíz cuadrada, exacta o entera, mediante un procedimiento operatorio que veremos en el próximo cur­ so. Las otras raíces se hallan mediante procedimientos que se estudiarán en el cuarto curso (aplicación de los logaritmos). 2

NOTAS

HISTÓRICAS

Las nociones de potencia y raíz aparecieron desde muy antiguo en los problemas geométricos, como lo indican las palabras cuadrado y tubo, esta última de origen griego. Las potencias y raíces de grado superior aparecieron más tarde con Diofanto (siglos III y I V ) y los árabes del siglo XII. Las primeras tentativas de representaciones simbólicas de las poten cías, se deben a] italiano Bombelli (1572), < Para representar a , a , . . . etc., el francés Vieta (1591), escribía: A quad, A cub, . . . etc.; el inglés Earriot (1631), perfeccionó la notación de Vieta escribiendo aa, o bien aaa, . . . etc.; el francés Eerigone (1634), escribió a2, a3, . . . etc. La idea del exponente para indicar las poten­ cias. se debe al francés Descartes (1637), pero sólo utilizaba los exponentes enteros y positivos a, a, a. ... El inglés Wallis dió el significado de los expo­ nentes negativos y fraccionarios (que se estudia­ rán en el tercer curso). ISAAC NEWTON La idea general de exponente, es decir, pu­ (1642-1727) diendo tomar n todos los valores posibles en la expresión a", se debe a uno de los geniales fundadores de la ma­ 2

1

2

3

3

187

temática moderna, al inglés Newton, que la aplieó en el famogo teorema del binomio, que lleva BU nombre, en sus cartas dirigidas a Leibnitz en 1676. El símbolo V para indicar la raíz cuadrada, lo introdujo el alemán Budolff (1526), en su álgebra titulada " D i e Coss". Este símbolo era una deformación de la letra inicial de la palabra radix (raíz); indi caba con VV la raíz cuadrada, y con VVV la raíz cúbica, El matemático hindú Bhashara (1114-1185) y el francés Chuquet (1484), ya habían empleado una notación análoga.

E J E R C I C I O S C U R I O S O S . — ¿Cuál es el mayor número escrito con 3 cifras iguales a 3? 33

Es 333. Podría pegarse en el número 3 , pero éste es 327. ¿Cuál es el mayor número escrito con 3 cifras iguales a 9? 99

99

En este caso no es 9 , sino el número 9 , pues el exponente 9 es mayor que 99. El exponente 9 da como resultado el número 387 420 489 . Para elevar la base 9 a esta potencia es necesario efectuar 387 420 488 multiplicaciones, y se obtiene un número de 369 692 128 cifras. Para escribir este número en una tira de papel, suponiendo que cada cifra ocupe el ancho de 2 milímetros y otro tanto de separación, se necesitaría una tira de más de 1478 kilómetros de longitud. 9

9

P R O P I E D A D . — El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de los cuadrados de esos números, más el doble de su producto. Consideremos el cuadrado de lado 3 + 2 = 5 (1. figura del N.° 268), que contiene (3 + 2) cuadraditos. Marque el lector con lápiz la 3. raya vertical y también la horizontal. El cuadrado considerado resultará así descompuesto en cuatro partes: un cuadrado de lado 3, y otro de lado 2, que contienen respectivamente 3 y 2 cuadraditos; luego quedan dos rectángulos iguales de lados 3 y 2, que contienen 3×2 cuadraditos. Tenemos pues: (3 + 2) = 3 + 2 + 2 × (3 × 2) Igualdad que nos justifica la propiedad enunciada. Con el cubo de la misma figura se podría demostrar esta otra igualdad: (3 + 2) = 3 + 2 + 3 × (3 × 2) + 3 × (3 × 2 ) a

2

a

a

2

3

3

2

3

a

2

2

2

Como ejercicio, enuncie el estudiante la propiedad respectiva.

CAPITULO

XI

" L e i b n i t z vio en la aritmética binarla la imagen de la c r e a c i ó n . Imaginó que la unidad representaba Dios y el cero el v a c í o ; y que el Ente supremo había tomado los seres desde el vacío, así como con la unidad y el cero se expresan todos los números en el sistema binario de n u m e r a c i ó n " . P. S. LAPLACE

ALGORITMO DE LA NUMERACIÓN Base 10 y base distinta de 10 283. Algoritmo. — Con este vocablo se indica el proceso que sigue un conjunto de reglas operatorias. Proviene del primer tratado sistemático conocido de álgebra como opuesta a la aritmética, trabajo del árabe Mohamed ben Musa, al-Khowarizmi de Khorassan (año 825). Su nombre degeneró en nuestro "algoritmo" antes referido. 284. Base 10. — En el Cap. I (N.° 7), al repasar el sistema de numeración decimal, indicamos que su base era el número 10; y que conforme el principio del valor relativo, cada 10 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediatamente superior. 285. Base distinta de 10. — Si en lugar de 10 tomamos otro número como base: 2, 3, 4, 5, . . . etc., tendremos otros sistemas de numeración, para los que rigen principios análogos a los establecidos para el'sistema decimal. Así, en el sistema de base 2 se cumplirá: 1) Que dos unidades de un orden forman una del orden superior inmediato. 2) Que toda cifra escrita a la izquierda de otra representa unidades dos veces mayores que la que representa ésta. 3) Que con dos cifras se pueden escribir todos los números. Análogamente decimos para otros sistemas de base 3, 4, 5, 6, etc. Podemos establecer, pues, la.siguiente definición: La base de un sistema de numeración es el número que expresa cuantas unidades de un orden son necesarias para formar una unidad del orden inmediatamente superior. La base de un sistema debe ser por lo menos igual a 2; si se tomara por base el número 1, las unidades de los diversos órdenes serían iguales entre sí.

189

Un sistema de numeración se llama binario, si la base es 2 ; ternario, base 3 ; cuaternario, base 4 ; quinario, base 5 ; senario, base 6 ; septenario, base 7 ; octonario, base 8; nonario, base 9 ; el de base 10, decimal; el de base 11, undecimal; el de base 12, duodecimal; de base 13, de base 14, etc. 286. Notación. — Para indicar, por ejemplo, que el nú­ mero 647 está escrito en el sistema de base 9, se indica así: 647 , es decir que se escribe en la parte inferior derecha del número dado el referente a la base 9, que se llama subíndice. Otro caso: para indicar el número 4 3 1 2 en el sistema quinario, emplearemos el subíndice 5, así: 4312 . Cuando un número no lleva subíndice, significa que está escrito en el sistema decimal. 9

5

287. Número de cifras de un sistema. — En todo sistema se emplean tantas cifras como unidades tenga la base, con­ tando la cifra cero. Así, en el sistema binario se emplean las cifras 0 y el 1. El 2 no puede emplearse porque en este sistema dos unidades de un orden cualquiera forman una del orden inmediato supe­ rior, y el número 2 se escribirá 1 0 ; lo que significa cero uni­ dades del primer orden y una del segundo. En el sistema ternario se emplean las cifras 0, el 1 y el 2. El 3 no puede emplearse en este sistema, porque tres unida­ des de un orden cualquiera forman ya una del orden inme­ diato superior, y el número 3 se escribirá 1 0 ; lo que significa cero unidades del primer orden y una del segundo. Y así sucesivamente: por ej., en el sistema quinario se em­ plean las cifras: el 0, el 1, el 2, el 3 y el 4. Cuando la base del sistema es mayor que 10, las cifras mayores de las 9 primeras ya empleadas se representan por letras; así, la letra a representa el 10; la b, el 11, la c, el 12, y así sucesivamente. Por ej., las cifras del sistema duodecimal son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b. En el sistema de base 15 son las cifras anteriores y además las letras c, d, e. NOTA. — Con la escritura del número 10, se expresa la base de todos los sistemas; así, 10 = 2 ; 10 = 3 ; . . . 1 0 = = 5 . . . etc. 2

8

5

288. Valor relativo de las cifras en los diversos siste­ mas. — Conforme a los (Nos. 285 y 286), tenemos los si­ guientes ejemplos:

190

a) En el número 213 (sistema cuaternario), el valor re­ lativo de sus cifras es: La cifra 2 representa unidades de tercer orden, y siendo la base 4, significa que cada unidad de tercer orden con­ tiene 4 unidades del segundo orden, y como cada unidad de segundo orden contiene 4 del primero, el valor relativo de la cifra 2 será: 2 × 4 × 4 = 32 unidades de primer orden. La cifra 1, que representa unidades de segundo orden, contendrá 1 × 4 = 4 unidades de primer orden. El valor relativo de la cifra 3, es 3 unidades de primer orden. b) En el número 4132 el valor relativo de sus cifras es: 1. cifra 4 : 4 × 5 × 5 × 5 = 500 unidades de 1er. orden 2. " 1: 1 × 5 × 5 = 25 " " " 3. " 3: 3 × 5 = 15 " " " 4. " 2 : 2 " " " " NOTAS, a) La suma de los valores relativos de estas cua­ tro cifras será el valor del número en el sistema decimal, o sea: 500 + 25 + 15 + 2 = 542 unidades de 1er. orden. b) También se puede expresar este resultado como valor del polinomio: 2 + 3 × 5 + l × 5 + 4 × 5 = 542 4

5

a

a

a

a

2

3

A l g o r i t m o p a r a la c o n v e r s i ó n escrituras

de

289. Son tres los casos que se pueden presentar: a) Convertir un número escrito en un sistema distinto del decimal al decimal. Detallamos a continuación los cálculos para el último ejemplo ( N . ° 288, b), el del número 4132 . 4 × 5 = 20 20 + 1 = 21 21 × 5 = 105 105 + 3 = 108 108 × 5 = 540 540 + 2 = 542 Tendremos, pues: 4132 = 542 = 542 Para la conversión, en este caso podemos enunciar, pues, la siguiente 5

5

10

191 REGLA. — Se multiplica la primera cifra de la izquierda del número dado por la base y a este producto s& le suma la cifra siguiente. Ésta suma se multiplica por la base y al producto se le suma la tercera cifra, y así sucesivamente has­ ta sumar la última cifra del número dado. EJEMPLOS. — l.°) Conversión del número 5ab4 al sis­ tema decimal. Siendo por convención (N.° 287), a = 10 y b = 11, tenemos: 60 + a = 60 + 1 0 = 70 5 × 12 = 60 840 + b = 840 + 11 = 851 70 × 12 = 840 10212 + 4 = 10216 851 × 12 = 10212 Tendremos, pues: 5 a b 4 = 10216 12

12

b) Convertir un número escrito en el sistema decimal a otro sistema. Sea, por ej., la conversión del número 4569 al sistema duo­ decimal. Lo dividiremos sucesivamente por la base 12, hasta obtener un cociente menor que el divisor: 4 56 9 12 12 96 380 0 ( 9 ) 20 12 31 (8) (7) (2) Tendremos, pues: 4569 = 2789 Para la conversión, en este caso y otros análogos que 6e podrían proponer, podemos enunciar la siguiente 12

REGLA. — Se divide el número y los sucesivos cocientes por la base del nuevo sistema, hasta llegar a un cociente menor que el divisor. El número en el nueva sistema se formará es­ cribiendo de izquierda a derecha el último cociente seguido de todos los restos de las divisiones que le preceden consideradas de derecha a izquierda, aunque sean ceros. EJEMPLO. —

43581 135 0081 (6)

Convertir el número 43581 al sistema de base 15. 15 2905 140 055 (10)

15 193 43 (13)

15 (12)

192

Recordando la convención a = 10; b = 11; c = 12; d = 13 resulta: 4 3 5 g l

=

c) Convertir un número escrito en un sistema distinto del decimal a otro sistema que no sea el decimal. REGLA. — Se reduce el número dado al sistema decimal y de éste se pasa al sistema pedido.

Se aplicarán pues en su orden las reglas anteriores (N.° 289, a y b). EJEMPLO. — Conversión del número 2789i al sistema qui­ nario . Convirtiendo 2789i al sistema decimal, tenemos: 2789i = 4569 Convirtiendo ahora 4569 al sistema quinario; 4569 = 121234 En consecuencia, para la conversión pedida, resulta: 2789i = 121234 2

2

2

5

2

5

290. Forma polinómica de un número. — En el (N.° 288, b) vimos que 4132 = 542 . Las cifras de la expresión quinaria del número, leídas de derecha a izquierda, o sea 2, 3, 1, 4, son los restos de las di­ visiones sucesivas de 542 por 5, y la última es el último co­ 5 ciente: 5 4 2 5 42 108 5 (2) 8 21 (3) (1) (4) El número 542 puede entonces escribirse así: 542 = 2 + 3 × 5 + 1 × 5 + 4 × 5 expresión ésta que también ya la hemos usado en un ejem­ plo, en la nota del (N.° 288, b). En general, dado un número M escrito en el sistema de base n, con la notación ya indicada, o sea: M = ... D G B A tendremos, M = A + B.n + C.n + D.n + ... siendo A, B, C, D, . . . todos los números menores que n, y 5

2

3

(n

2

3

193

constando este polinomio de tantos términos como cifras expresan el numero M en el sistema de base n . EJEMPLO I. — Siendo 4569 = 121234 , es : 4569 = 4 + 3 × 5 + 2 × 5 + 1 × 5 + 2 × 5 + l × 5 5

2

3

4

5

10

EJEMPLO

II. — 4569 = 9 + 6 × 10 + 5

×10

10

2

+ 4

N O T A . — ( * ) El sistema binario se usa en algunas calculadoras m o d e r n a s d e alta v e l o c i d a d . E s t a s calculadoras, a v e c e s incorrectamente cerebros electrónicos, usan la c o m o n o s o t r o s u s a m o s la base diez. L a n u m e r a c i ó n en el sistema b i n a r i o empieza c o m o se continuación: 5 6

7

8

3

máquinas llamadas base dos indica a

Numerales d e c i m a l e s :

1 2 3

Numerales

1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010

binarios:

4

×10

9

10

Las c a l c u l a d o r a s m o d e r n a s d e alta v e l o c i d a d funcionan eléctricamente. Una llave eléctrica s i m p l e tiene solamente d o s p o s i c i o n e s : abierta o cerrada. D i c h a s máquinas usan estos d i s p o s i t i v o s ; tienen, pues, solamente dos posiciones para cada cifra, y en c o n s e c u e n c i a usan el sistema de notación binario. L a ( f i g . a ) representa esquemáticamente una calculadora. L o s c u a r o c í r c u l o s representan c u a t r o luces d e un t a b l e r o ; c a d a luz c o r r e s p o n d e a un lugar e n el sistema b i n a r i o . A l conectarse la c o r r i e n t e s e e n c i e n d e la luz, l o cual s e i n d i c a en la figura así O, c o r r e s p o n d i e n d o esa señal al s í m b o l o 1. C u a n d o s e desconecta la c o r r i e n t e la luz se apaga, Jo c u a l s e Índica asi . en l a f i g u r a . A esta señal c o r r e s p o n d e el s í m b o l o 0.

(fig. a)

( f i g . b)

( f i g . e)

El tablero de l a ( f i g . a ) representa el numeral equivalente al n u m e r a l d e c i m a l 10, pues e s : 1010 = 2

3

1 × 2

+

2

0 × 2

+

1

×2

1

+

0 × 1 =

E l tablero de la ( f i g . b) representa:

1111 =

El tablero de la ( f i g . c ) representa:

1110

2

2

=

binario 1010,

8 +

15

2 =

10

10

10

14

10

(*) Esta nota ha sido tomada del Vol. I (Parte I) de la obra MATEMÁTICAS P A R A E L PRIMER CICLO SECUNDARIO, editada por el Grupo de Estudio de la Matemática Escolar de la Fundación N. de Ciencias. Pasadena. California.

13. — A R I T M É T I C A

1er. AÑO

—

Coppetti

CAPITULO XII

" L o s descubrimientos matemáticos, pequeños o g r a n d e s . . . j a m á s han nacido por generación espontánea. Siempre presuponen un terreno sembrado de conocimientos preliminares y bien preparados por el trabajo, conciente y subconciente". FÉLIX KLEIN

D I V I S I B I L I D A D

Múltiplos y submúltiplos 291. Definiciones. — Recordemos (N.° 210), que si tenemos, por ej., 42:7 = 6, por ser esta división exacta, podemos escribir, 42 = 7 × 6 ; decimos entonces que 42 es divisible por 7, o bien que 42 es MÚLTIPLO de 7 . En general, si a = m × n , decimos que a es múltiplo tanto de m como de n, y escribimos: a = m , o bien, a = n Los números m y n se llaman submúltiplos, o bien divisores, o factores, o una parte alícuota de a . Daremos, pues, la siguiente DEFINICIÓN. — Un número es DIVISIBLE por otro, cuando el primero es múltiplo del segundo, o lo que es lo mismo, cuando el primero contiene un número exacto de veces a segundo. Así por ejemplo, por ser exacta la división 56 : 7 = 8, decimos que 56 es divisible por 7 292.

PROPIEDAD FUNDAMENTAL.

Todo número es divisible por cualquiera de sus factores. Esta propiedad es una consecuencia inmediata de las definiciones dadas en el párrafo anterior. Así, por e j . , el número 24 = 8 × 3 , es divisible por 3 , porque este ultimo número es factor de 2 4 ; por análoga razón decimos que 24 es divisible por 8 . Si escribimos 24 = 2 × 4 × 3, podemos decir que 24 es también divisible por 2 y por 4 , etc.

195

Operaciones con múltiplos 293. Propiedad 1.

a

El producto de un múltiplo de un número por cualquier factor es también múltiplo de dicho número. Así, 42 es múltiplo de

7,

porque 42 =

7 ×

6.

Si multiplicamos a 42 por otro número cualquiera, por e j . , por 3 , tmrlremos: 42 × 3 . Sustituyendo 42 por su valor ( = 7 × 6 ) , r e s u l t a 7 × 6 × 3 ; vemos que este producto es también múltiplo da 7 (porque 7 figura como f a c t o r ) . Como el razonamiento podría reali­ zarse para números cualesquiera, queda, pues, probada la propiedad. Puede otro,

enunciarse,

divide

también

también,

así:

a cualquier

Si

un

múltiplo

número de

divide

a

éste.

Por ej., 2 divide a 6, por consiguiente, dividirá a cualquier múltiplo de 6, es decir, a 12, 18, 24, etc.

294. Propiedad 2.

a

La suma de varios múltiplos de un número es también un múltiplo de ese número. Así. por ej., 12, 9, 18 ion múltiplo» de 3 ; deoimog qua la 12 + 9 + 18 = 39 es también un múltiplo da 3 .

m m

Esta propiedad resulta inmediatamente da la operación de " s a c a r un factor c o m ú n " ( N . ° 1 9 3 ) . E n efecto, t i los n ú m e r o s 12, 9, 18 s o a múltiplos de un mismo número 3, equivale a deeir que este número es factor común; sacándolo, tendremos: 12 + 9 +

18 =

3 ×

Vemos, pues, que la suma (12 +

(4

+ 3 +

6)

9 +

18) tiene el factor

3 , o sea

así:

Si

divide

es también un múltiplo de 3 . Puede otros,

enunciarse,

divide

también

también,

a la suma

de

un

número

o

éstos.

Por ej., 2 divide a 6, 14, 16; por consiguiente dividirá a la suma 6 +

14 +

16 =

36.

NOTA. — Se comprende fácilmente que esta propiedad es válida aun en el caso de que en lugar de una suma se tenga la diferencia de dos números (N.° 191). Por ej., 5 divide a 60 y a 3 5 ; por consiguiente, dividirá a la dife­ rencia 60 — 35 = 2 5 .

196

295. Propiedad 3.

a

Si la suma de dos sumandos es múltiplo de un número, y uno de los sumandos es múltiplo de éste, también lo es el otro sumando. Daremos una demostración literal de esta propiedad que, como ejercicio, invitamos al estudiante lo haga también con las dos propiedades anteriores: (Hipótesis).

a + b = c

(Tesis).

a = c

b= c

(Demostración). La igualdad b = (a + b) — a , nos in­ dica que b es la diferencia de (a + b) y a, es decir de dos múltiplos de un mismo número (por hipótesis); esa diferen­ cia será también múltiplo de c, en virtud de la Nota de la Prop. 2. (N.° 294), lo qué constituye la tesis. a

296. Como corolario de la propiedad anterior, tenemos: Si en una suma de dos sumandos, uno de ellos es múltiplo de un número y el otro no lo es, la suma tampoco es múl­ tiplo de ese número. Así, por e j . , 12 es múltiplo de 3, y 16 no lo e s ; la suma 12 + 16 = 28 no es múltiplo de 3 .

Puede enunciarse también así: Si un número divide a uno de los dos sumandos de una suma y al otro no, la suma no es divisible por aquel número. NOTA. — Obsérvese también que el resto de la división de la suma por el número es el mismo que el de la división del sumando no divisible. Así, en la suma 28 del ejemplo anterior, el resto de la división por 3 es 1; el resto de dividir el segundo sumando 16 por 3 es también

1,

es decir, el mismo.

297. Propiedad 4.

a

Todo múltiplo de un múltiplo de un número, es también múltiplo de éste.

197

(Hipótesis).

a = m,

y

m= n

(Tesis). a=n (Demostración). Por hipótesis es: a = m × a' y m = n × n' Sustituyendo este último valor de m en la igualdad que le precede, resulta: a = (n × n') a' = n (n' × a') = n 298. Números pares y números impares. — Como consecuencia de las propiedades que anteceden, tenemos: Las sumas y diferencias de números pares son también números pares (de la prop. N.° 294). Si una suma y uno de los sumandos son pares, también es par el otro sumando. La suma de un número par con uno impar, es impar (N.° 296). Los múltiplos de los números pares son también pares (N.° 293).

Caracteres de divisibilidad 299. Supongamos que nos proponen el siguiente problema: "Disponiendo de una pieza de género de 126 metros, ¿es posible cortarla en trozos de 9 m. cada uno sin que baya sobrante? ¿Sucedería lo mismo si los trozos fueran de 10 m. cada uno? ¿Y si la pieza tuviera 127 metros?" A estas preguntas podemos contestar hallando el cociente en cada caso, según la definición del (N.° 228); pero en estos casos no interesa conocer el valor del cociente, sino que interesa, sobre todo, saber si la división es exacta o inexacta, vale decir, si el dividendo es o no divisible por el divisor dado. En muchos casos se puede saber si un número es divisible por otro sin efectuar la división, mediante el conocimiento de ciertas condiciones que se llaman criterios o caracteres de divisibilidad, que trataremos a continuación. Los criterios de divisibilidad que más se consideran son los por una potencia de 10 (es decir, los números formados por la unidad seguida de uno o más ceros), por 2 y 5, por 4 y 25, por 8 y 125, por 3 y 9 y por 11. 300. Divisibilidad por 10 y sus potencias. — Sea un número cualquiera que termina en cero; por ej., 270. Po-

198

demos descomponerlo en el producto de dos números: el formado por decena», y el otro el número 10 . Análogamente, para cualquier otro número que termine en cero. Así, tendremos: 270

=

27 ×

10

Siendo 10 factor de 270, este número resulta, pues, divisible por 10, en virtud de la propiedad fundamental (N.° 292). En forma análoga podemos establecer las igualdades: 85 700 = 857 × 1 0 0 ; 4 000 = 4 × 1 0 0 0 ; etc. que nos conducen al siguiente criterio general: Un número será DIVISIBLE POR UNA POTENCIA DE 10 (es decir, 10 , o 100, o 1 000, . . . ) cuando termine en tantos ceros como unidades tenga el exponente de la potencia. NOTA. — Hubiéramos podido llegar al mismo resultado teniendo pre stnte la Nota 1* del (N.°* 245). 301. Divisibilidad por 2 y 5. — En el párrafo anterior vimos que, un número que termina en cero tiene el factor 10. Tero como 10 = 2 × 5 , vemos, pues, que todo número que termina en cero tiene los factores 2 y 5 ; en consecuencia, será divisible por estos últimos números. Por otra parte, cualquier número podemos descomponerlo en dos partes separando las decenas de las unidades; poi ejemplo: 3875 = 3870 + 5 La primera parte, por terminar en cero, es siempre divisible por 2 y por 5. La segunda parte es la cifra de las unidades del número dado; si ésta es cero o una de las cifras pares, el número será divisible por 2, y si es cero o cinco será divisible por 5, en virtud de la propiedad del (N.° 294). Diremos, pues: Un número será DIVISIBLE POR 2 cuando termine en 0 o en cifra PAR, Un número s e r á DIVISIBLE POR 5 cuando termine ¿n 0 o en 5. En el 5 no es NOTA. podamos

ejemplo numérico anterior, 3875 no es divisible por 2, porque cifra par; en cambio es divisible por 5 por terminar en 5 . — L l a m á n d o s e número par a t o d o entero divisible p o r 2 , d e c i r que l o s n ú m e r o s pares tienen p o r expresión general

199 2 n , en la que n representa un n ú m e r o entero cualquiera. L o s nú­ meros impares d i v i d i d o s p o r 2 dan o o m o r e s t o 1, y tienen c e m o ex­ presión general 2n + 1,

302. Divisibilidad por 4 y 25. — Un número que termine en dos ceros tiene el factor 100 = 4 × 25, en virtud del (N.° 300). Razonando como en el párrafo anterior, vería­ mos, pues, que el número dado es divisible por 4 y por 25. Sea ahora un número cualquiera; podemos descomponerlo en dos partes: sus centenas por un lado, y sus decenas y unidades por otro. Así, tendremos, por ej,: 796 = 700 + 96 ; 3 675 = 3 600 + 75 ; ete. La primera parte, por terminar en dos ceros, es siempre arj múltiplo de 4 y 25; para que también lo sea el número dado, bastará, pues, que lo sea la segunda parte, es decir, el número formado por las cifras de las decenas y unidades. Diremos, pues: Un número será DIVISIBLE por 4 o 25, cuando las DOS últimas cifras sean ceros, o formen un número múl­ tiplo de 4 o 25, respectivamente. Así, en los últimos ejemplos, el número 796 es divisible por 4, por que 96 = 4 × 24 es un múltiplo de 4 ; no es divisible por 25, porque 96 no es múltiplo de 25. El número 3675 no es divisible por 4, por­ que 75 no es múltiplo de 4 ; en cambio es divisible por 25 porque 75 = 3 × 25 es múltiplo de 25. 303. Divisibilidad por 8 y 125. — Un número que termina en tres ceros tiene el factor 1000 = 8 ×125. También, cualquier número puede descomponerse así, por ejemplo: 68 375 = 68 000 + 375 En consecuencia, razonando como en el caso anterior, ten­ dríamos el siguiente criterio: Un número será DIVISIBLE por 8 o 125, cuando las TRES últimas cifras sean ceros, o formen un número MÚL­ TIPLO de 8 o 125, respectivamente. En el ejemplo propuesto, el número 68 375 es divisible por 125 porque 875 = 125 × 3 es múltiplo de 125. 304. Método general de divisibilidad. — Resueltos ya en particular los casos más sencillos de divisibilidad, tratare-

200

mos ahora el problema más general. Para ello veremos el teorema en que se fundan los diversos criterios de divisibi­ lidad, teorema que también puede emplearse para el estu­ dio de los criterios de divisibilidad ya tratados. TEOREMA FUNDAMENTAL. — Un número cualquiera (por ej., 5894) es igual a un múl­ tiplo de otro (por ej. de 7), más la cifra de las unidades del primero (4), más el producto de la cifra de las decenas del mismo (9) por el resto (3) de la división de 10 por el se­ gundo número (7), más el producto de la cifra de las cen­ tenas del primer número (8) por el resto (2) de la división de 100 por el segundo número (7), y así sucesivamente. Número cualquiera =

HIPÓTESIS)

10 (3)

TESIS)

7 1

100 30 (2)

5894.

1000 30 20 (6)

7 14

7 142

5894 = 7 + 4 + 9 × 3 + 8 × 2 + 5 × 6.

DEMOSTRACIÓN. — Los restos de las divisiones por 7 de 10 , 100 y 1000 son, respectivamente, 3, 2 y 6. Por definición de división entera (N.° 228) y por la Pro­ piedad del (N.° 293), tenemos: 10 = 7 ×

1+ 3 = 7 + 3

100 = 7 × 14 + 2 = 7 + 2 1000 = 7 × 142 + 6 = 7 + 6 Consideremos las igualdades formadas por los primeros y terceros miembros de las que anteceden, y multipliquemos: la 1. por la cifra 9 de las decenas del número dado; la 2. por la cifra 8 de las centenas y la 3. por la cifra 5 de los millares; obtenemos: a

a

a

90 = 7 × 9 + 3 × 9 = 7 + 3 × 9 800 = 7 × 8 + 2 × 8 = 7 + 2 × 8 5000 = 7 × 5 + 6 × 5 = 7 + 6 × 5

201

en las que hemos aplicado la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y la del (N.° 293). Si sumamos ordenadamente las igualdades formadas por los primeros y terceros miembros de las que anteceden, resulta: 5890 = 7 + 3 × 9 + 2 × 8 + 6 × 5 • • • entendiéndose que 7 reemplaza la suma (7 + 7 + 7), por ser ésta un múltiplo de 7 (N.° 294). Sumando a los dos miembros la cifra 4 de las unidades del número dado, y alterando el orden de los factores de cada producto, obtenemos la tesis: 5894 = 7 + 4 + 9 × 3 + 8 × 2 + 5 × 6 En general, si N y n son los números dados, a , b , c , d, ... las cifras de las unidades, decenas, centenas, etc., del primero (N =. ...deba) , y r , r , r . . . (que se leen: r sub 1, r sub 2 , etc.), los restos de dividir por n los números 10 , 100 , 1000 , . . . , tendremos: 1

N = n + a+>b×r

1

2

3

+ c×r

2

+ d×r

3

+

...

igualdad ésta que expresa la tesis para números cualesquiera. 305. Divisibilidad por 9. — Sea un número cualquiera, por ej, de cuatro cifras: N = d c b a. Los restos de dividir 10, 100, 1000, etc., por 9 son todos iguales a 1; aplicando, pues el teorema fundamental (N.° 304), tenemos: N = 9 + a + b×1 + c×1 + d×1 o sea, N = 9 + (a + b + c + d) Esta última expresión nos muestra que N será divisible por 9, cuando (a + b + c + d) sea múltiplo de 9, en virtud de la propiedad 3. del (N.° 295). Diremos, pues: a

Un número será DIVISIBLE POR 9 cuando lo sea la SUMA DE LAS CIFRAS que lo forman. Así, por e j . , 5274 es d i v i s i b l e p o r 9, porque 5 + 2 + 7 + 4 = 18 es divisible p o r 9; el n ú m e r o 4863 n o lo es, p o r q u e 4 + 8 + 6 + 3 = = 21 n o es divisible p o r 9.

NOTA. — Obsérvese que, para abreviar, se puede prescin­ dir de aquellas cifras que sumadas dan 9; así, en el último

202

ejemplo, basta sumar 4 + 8 = 12, para afirmar que el nú­ mero dado no es divisible por 9. 306. Divisibilidad por 3. — Como en el caso anterior de divisibilidad por 9, emplearemos la igualdad: N = 9 + (a + b + c + d) Pero siendo 3 factor de 9, en virtud del (N.° 293) es 9 = 3 , y la última igualdad nos da: N = 3 + (a + b + c + d) Razonando con esta igualdad en forma análoga a como lo hicimos en el caso anterior, llegamos a establecer el siguiente criterio: Un número será DIVISIBLE POR 3 cuando lo sea la SUMA DE LAS CIFRAS que lo forman.

= =

A s í p o r ej., 17862 es divisible p o r 3, p o r q u e 1 + 7 + 8 + 6 + 2 = 24 es d i v i s i b l e por 3; el n ú m e r o 572 n o l o es, p o r q u e 5 + 7 + 2 = 14 n o es divisible p o r 3.

307. NOTA. — Obsérvese también que, el resto de la divi­ sión de un número cualquiera por 3 o por 9 es igual al resto de la división por 3 o por 9, respectivamente, de la suma de las cifras significativas del número (Nota del N.° 296). Así, por ej., el resto de la división de 4863 por 9, que es 3 en virtud le la igualdad 4863 = 9 ×6 4 0 + 3 , es el mismo que el de la división de 4 + 8 + 6 + 3 = 21 por 9 . Para hallar ese resto, prácticamente decimos: 4 y 8 son 1 2 ; de 12 resto 9 y me quedan 3; 3 y 6 son 9; 9 menos 9 es 0 ; 0 y 3 son 3 ; este último número es el resto que buscábamos. (Véase que para hallar el resto de la división por 9 de la suma de las cifras del número dado, hemos restado al dividendo, sucesivamente, el divisor 9 ; la última dife­ rencia es el resto de la división).

308. Divisibilidad por 11. — Sea un número cualquiera, por ej., N = f e d o b a . Loa restos de dividir 10, 100, 1000, 10000, etc., por 11 son respectivamente: 10, 1, 10, 1, etc., al­ ternándose en esta forma indefinidamente. Por consiguiente aplicando el teorema fundamental (N.° 304), tenemos: N = a + b×10 + c×1 + d×10 + e×1 + f × 1 0 Sustituyendo 10 = 11 — 1 , y aplicando luego conocidas propiedades de la multiplicación y de la adición, resulta:

203

N = (11 b + 11 d + 11 f) +

(a + c + e) — (b + d + f)

Pero (11 b + 11 d + 11 f) = 11 en virtud de (Nos. 293 y 294) y la igualdad anterior se escribe entonces así; N = 11 + (a + c + e) — (b + d + f) Llamando Z a la suma de las cifras de lugar impar, a con­ tar de la derecha, y P a la suma de las cifras de lugar par, tenemos: N = 11 + I — P Según que sea I >P o I < P, escribiremos respectiva­ mente : N = 11 + (I — P) , o N = 11 — (P — I) La penúltima expresión nos muestra que N seré divisible por 11 cuando (Z — P) sea múltiplo de 11 (N.° 294). La última expresión nos muestra que N será divisible por 11 cuando (P — Z) sea múltiplo de 11 (Notadel N.° 294). Am­ bos resultados nos justifican el siguiente criterio:

Un número será DIVISIBLE POR 11, cuando lo sea la DIFERENCIA ENTRE LAS SUMAS formadas por las ci­ fras de LUGAR PAR y las de LUGAR IMPAR. Así, por ej., 8391702 es divisible por 11, porque la diferencia (2 + 7 + 9 + 8) — (0 + 1 + 3) = 22 es divisible por 11 ; el número 74326 no lo es, porque la diferencia (6 + 3 + 7) — (2 + 4) = = 10 no es divisible por 11; tampoco lo es el número 6378, porque la diferencia (7 + 6) — (8 + 3) = 2 , no es divisible por 11. 309. Aplicaciones del teorema fundamental para los pri­ meros criterios de divisibilidad. Aplicando el teorema fundamental de la divisibilidad en la investigación de los primeros casos ya tratados (de 2 y 5, de 4 y 25, de 8 y 125) pueden volverse a hallar algunos de ellos, y también se hallarán nuevos criterios para algunos de dichos casos (de 4 y de 8 ) . T r a t a r e m o s c o m o ejemplo los criterios de divisibilidad p o r 2 y por 5, dejando c o m o e j e r c i c i o p a r a el estudiante los otros criterios. a ) Divisibilidad por 2. — Si c o m o lo h i c i m o s en el ( N . ° 308) buscamos los restos d e dividir 10, 100, 1000, etc., p o r 2. encontra­ r e m o s que son t o d o s nulos. Con las n o t a c i o n e s empleadas e n aquel párrafo para el n ú m e r o dado, o sea, N = d c b a, t e n d r e m o s : N = 2+ a + o sea,

N = 2+ a

b×0

+ c×0

+

d×0

204 Esta última expresión nos muestra que N será divisible p o r 2 cuando a sea múltipla de 2, v a l e d e c i r c u a n d o sea c e r o o cifra par; este es el resultado a que llegamos en el ( N . ° 3 0 1 ) . b)

Divisibilidad

por 5. — A n á l o g a m e n t e al caso anterior, llega­

mos a la e x p r e s i ó n :

N =

5 +

a

que n o s m u e s t r a que N será divisible p o r 5 cuando la cifra o sea 0 ó 5, resultado éste c o i n c i d e n t e c o n el que l l e g a m o s en el ( N . ° 3 0 1 ) . c)Divisibilidad por 4. — P r o c e d i e n d o c o m o l o h i c i m o s e n los ca­ sos anteriores, v e r í a m o s que el resto de dividir 10 p o r 4, es 2, y los de d i v i d i r 100, 1000, etc., por 4 son todos nulos. T e n d r í a m o s así: o sea,

N N

= 4 + a + b × 2 + c×0

+

d×0

= 4+ a + b × 2 = 4 +

(a +

2.b)

Esta última expresión n o s justifica este otro criterio d e divisibi­ lidad: Un número será divisible por k cuando la suma de la cifra de sus unidades simples con el duplo de la cifra de las decenas, sea múl­ tiplo de b. Así, p o r ej., 796 e s divisible p o r 4, p o r q u e 6 + 2 × 9 = 24 es m ú l t i p l o de 4 . E l n ú m e r o 13854 n o es d i v i s i b l e por 4, porque 4 + 2 × = 14 no es múltiplo d e 4 . d) Divisibilidad por 8. — P r o c e d i e n d o c o m o en los c a s o s ante­ riores, v e r í a m o s que el r e s t o de d i v i d i r 10 p o r 8, es 2, y el de dividir 100 p o r 8, es 4 ; y l o s de d i v i d i r 1000, 10000, etc., p o r 8 s o n todos nulos. P r o c e d i e n d o c o m o en l o s casos anteriores o b t e n d r í a m o s : 5

N =

8 +

( a + 2.b +

Esta expresión nos justifica el siguiente

4.c) criterio:

Un número será divisible por 8 cuando la suma de la cifra de sus unidades simples, más el duplo de la cifra de las decenas, más el cuádruple de la cifra de las centenas sea múltiplo de 8. . Así, por ej., 1084936 es divisible p o r 8, porque 6 + 2 × 3 + 4 × × 9 = 48 es m ú l t i p l o de 8 . El n ú m e r o 123758 n o es divisible p o r 8, porque 8 + 2 ×5 + 4 ×7 = 46 n o es m ú l t i p l o d e 8 . C o m o e j e r c i c i o c o m p a r a t i v o d e los d o s p r o c e d i m i e n t o s hallados de divisibilidad p o r 8, apliquemos a h o r a el criterio del ( N . ° 303) al p r i m e r o de los ejemplos. E l , n ú m e r o f o r m a d o p o r las tres últimas cifras del n ú m e r o d a d o es 936, que es múltiplo de 8. porque l a di­ visión ( 9 3 6 : 8 ) resulta .exacta; e n c o n s e c u e n c i a el n ú m e r o dado es divisible p o r 8. E n el s e g u n d o ejemplo, del n ú m e r o 123758, n o es divisible p o r 8, porque el n ú m e r o 758 f o r m a d o p o r sus tres últimas cifras n o es múltiplo de 8, porque la d i v i s i ó n ( 7 5 8 : 8 ) n o es exacta. e) Divisibilidad por 125. — A n á l o g a m e n t e a los casos anteriores, al d i v i d i r 10 p o r 125 h a l l a m o s el resto 1 0 ; e l de 100 p o r 125 es 100; y los de d i v i d i r 1000, 10000, etc., p o r 125 s o n todos nulos. E n con­ secuencia l l e g a m o s a la e x p r e s i ó n : , N =

125 +

(a +

10.b

+

100.c)

que nos indica que N será divisible p o r 125, cuando el n ú m e r o ( a + 10.6 + 100.C) sea m ú l t i p l o de 125; p e r o d i c h o n ú m e r o es el (cba) f o r m a d o p o r las tres últimas cifras del n ú m e r o dado, resultado éste coincidente c o n el enunciado del c r i t e r i o d a d o en el ( N . ° 3 0 3 ) .

205

Prueba por 9 de las cuatro operaciones 310. Para cada una de las cuatro operaciones fundamen­ tales, hemos visto cómo se efectúa la prueba; pero es prefe­ rible, en general, otro procedimiento que expondremos a continuación, y en el que aplicaremos el criterio de divi­ sibilidad por 9, que acabamos de tratar. NOTA. — La prueba por 9 de las cuatro operaciones, no da la segu ridad de que el resultado de la operación sea exacto, puesto que si el error cometido en la operación es un múltiplo de 9, la prueba resulta igual. 311. Adición. — La prueba por 9 de la adición se efectúa hallando los restos de dividir por 9 todos los sumandos. La suma de los números y la suma de los restos, divididos por 9, deben dar restos iguales. EJEMPLO: 44-

3 875 624 763

El resto " " " "

de 3 8 7 5 : 9 " 624:9 " 763:9

es " "

5 3 7

15 5262 El resto de 5 262: 9 es 6 ; el resto d e 15:9 es 6. Siendo los dos restos Iguales, es probable q u e la s u m a sea exacta. Prácticamente, puesto que el resto p o r 9 se haUa 3 875 5 m e n t a l m e n t e ( N . ° 3 0 7 ) , l a o p e r a c i ó n s e dispone 3 624 más brevemente c o m o i n d i c a m o s al l a d o . E n últi­ mo t é r m i n o s e halla el resto d e l a s d o s sumas 763 7 p o r 9. Obsérvese que esta p r u e b a es u n a aplicación de 15 5 262 la propiedad i n d i c a d a en l a N o t a del ( N . ° 2 9 6 ) . 6 Restos: 6 generalizada a l a s u m a d e v a r i o s sumandos.

312. Sustracción. — La prueba por 9 de la sustracción se efectúa hallando los restos de dividir por 9 él minuendo, el sustraendo y la diferencia. La suma de los dos últimos restos por 9 debe dar él primer resto. EJEMPLO:

57 023 — 8 412

6

48 611

2

Suma

8

Resto:

8

"

8

En lugar de esta prueba, se prefiere la indicada en el (N.° 133), por resultar más fácil y breve. 313. Multiplicación. — La prueba por 9 de la multiplica­ ción se efectúa hallando los restos por 9 de los factores. El producto de los dos números dados y el producto de los restos, divididos por 9, deben dar restos iguales.

206 EJEMPLO:

473 ×5 2 946 23 65 24 596

El resto de 4 7 3 : 9 es " " " 52: 9 "

5 7

Producto, 35: 9 =

35. 8

El

resto

de

El resto de 24 596: 9 =

8

En la práctica, resulta cómodo disponer los resultados de las divisiones por 9, en la forma como indicamos al lado.

5 8

7 8

314. División. — La prueba por 9 de la división se efectúa hallando los restos por 9 del divisor, del cociente y del resto, y al producto de los dos primeros se le agrega el tercero. Lo suma que se obtiene y el dividendo, divididos por 9, deben lar restos iguales. 3 675

214

El resto de 214: 9 es

7

1 535 37

17

"

8

"

17: 9 "

"

37: 9 "

56 (producto) 1 57

El resto de 3675: 9 es 3 ;

(suma)

el resto de 5 7 : 9 es 3 .

Como en la multiplicación, en la división también se omiten todaí tai indicaciones hechas para hallar los restos, escribiéndolos únicamente en un esquema análogo a aquél. NOTA. — Para recordar más fácilmente esta prueba, obsérvese que con los restos (de la división por 9 ) , se efectúan las mismas operaciones que se tendrían que efectuar con los números enteros, para comprobar la o p e r a c i ó n m e d i a n t e la otra prueba de la d i v i s i ó n ( N . ° 245).

NOTAS

HISTÓRICAS

Los indios ya conocían la divisibilidad por 3 y por 9. La divisibilidad por 11 recién se descubrió varios siglos después ( X V I I y XVIII).

BLAS PASCAL

(1623-1662)

El matemático francés Pascal (siglo X V I I ) dio la regla para hallar los caracteres de divisibilidad por cualquier número. Desde muy joven, Pascal se perfiló como un gran matemático; a la edad de 14 años ya era admitido en las sesiones de eminentes geómetras, de donde surgió la famosa Academia Francesa.

CAPITULO XIII

" E n las matemáticas hay s u t i l í s i m a s inven­ ciones que pueden ser de m u c h a utilidad, tanto para satisfacer a los curiosos como para facilitar las artes todas y disminuir el trabajo de los h o m b r e s " . DESCARTES

NÚMEROS

PRIMOS

Definición 315. En la vida práctica suelen presentarse problemas donde es necesario conocer los divisores de un número, como veremos en el siguiente problema: Tenemos 12 objetos iguales, como ser: botones, bochas, bo­ tellas, etc., que nos proponemos archivar en cartones, o en cajas rectangulares. El caso que presentamos en la figura, de 12 botones, pueden disponerse de más de un modo para su archivo: una sola fila de 12 botones; dos filas de 6 bo­ tones; 3 filas de 4 botones.

1 f i l a de 1 2

2 f i l a s de 6

3 f i l a s de 4

Esta diversidad de disposiciones ha sido posible porque el número 12 tiene más de dos divisores, como se muestra a continuación: 12 = 1 × 12 = 2 × 6 = 3 × 4 Si en lugar de 12 hubieran sido 13 los botones, sólo una disposición admitirían; la de una sola fila, pues el núme­ ro 13 admite solamente dos divisores: 13 = 1 × 13 Estos números que sólo tienen por divisores a sí mismos y la unidad se llaman números primos o simples. Daremos, pues, la siguiente DEFINICIÓN. Se llama NUMERO PRIMO el número natural, distinto de 1, que sólo es divisible por sí mismo y por la unidad.

208

En los otros casos, se llama NUMERO COMPUESTO. Son, pues, números compuestos, los números naturales que admiten algún otro divisor distinto de sí mismo 7 de la unidad. Por ej. son primos los números 2, 3, 5, 7, 11, . . . , 97, . . . ; son compuestos: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, . . . , 36, . . . NOTA. — Excluiremos a la unidad de la sucesión de números primos, por motivo de que algunas propiedades de dichos números no se cumplirían si se la considerara entre los nú­ meros primos. Conviene que el estudiante recuerde loe números primos menores que 100 ; ellos son: 2 , 3, 5,

7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 ,

37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 .

Criba de Eratóstenes 316. Tabla de números primos. — Indicaremos el procedi­ miento para hallar todos los números primos menores que cierto número, por ej., que 100 , obteniendo así una tabla de números primos. Se aplica, para ello, la siguiente regla, lla mada Criba de Eratóstenes: (*) Se escribe, empezando por 2, la serie natural de los nú­ meros, suprimiendo los números pares mayores que 2 (puesto que éstos, siendo divisibles por 2, no son primos). De los números restantes, el que sigue a 2 es 3; se supri­ men luego todos los números múltiplos de 3, excluyendo el 3. (Para ello se tachan los números contando de tres en tres, a partir de 3 = 9, puesto que los múltiplos de 3 menores que 9 ya habían sido suprimidos). De los números restantes, el que queda sin suprimir des­ pues de 3 es el 5; se suprimen luego todos los números múl­ tiplos de 5, excluyendo él 5 (se empieza suprimiendo 5 = 25, puesto que los múltiplos de 5, menores que 25, ya habían sido suprimidos en las operaciones anteriores). 2

2

(*) Eratóstenes, célebre filósofo y matemático griego del siglo III a. J. C. Se le atribuye el empleo de un procedimiento análogo al que usamos actualmente para la construcción de una tabla de números primos, pero grabando en una placa de cobre los números y agujereando los lugares de los números compuestos; después de esta operación, la placa resultó una verdadera criba.

209 TABLA

D E N Ú M E R O S P R I M 0 6 D E 1 A 1000

2

43 103 173 241 317 401 479 571 647 739 827 919

3

47 107 179 251 331 409 487 577 653 743 829 929

5

53 109 181 257 337 419 491 587 659 751 839 937

7

59 113 191 263 347 421 499 593 661 757 853 941

11

61 127 193 269 349 431 503 599 673 761 857 947

13

67 131 197 271 353 433 509 601 677 769 859 953

17

71 137 199 277 359 439 521 607 683 773 863 967

19

73 139 211 281 367 443 523 613 691 787 877 971

23

79 149 223 283 373 449 541 617 701 797 881 977

29

83 151 227 293 379 457 547 619 709 809 883 983

31

89 157 229 307 383 461 557 631 719 811 887 991

37

97 163 233 311 389 463 563 641 727 821 907 997

41 101 167 239 313 397 467 569 643 733 823 911 —

Procediendo análogamente, se suprimen los múltiples de 7, excluyendo el 7, y empezando la supresión a partir de 7 = 49. Después de la operación anterior, el primer múltiplo de 11 que quedaría, es 11 = 121, puesto que mediante las operaciones anteriores, resultan suprimidos todos los múltiplos Se 11 menores que 121. Pero como 121 está fuera del limite de la tabla que deseamos construir, la operación resulta, pues, terminada. Los números obtenidos con la Criba de Eratóstenes, que son los no tachados, son los números primos menores que 100 (límite de la Tabla). Los números primos menores que 100 figuran en las dos primeras columnas de la tabla anterior, son los 25 primeros números primos que, como ya lo indicamos en el (N.° 315), conviene recuerde el estudiante. Como ejercicio obténgase los restantes números primos menores de 1000 que figuran en la tabla. 2

2

14.— ARITMÉTICA

1er. AÑO

—

Coppetti

210

Principales propiedades de los números primos Para mantenemos dentro del carácter elemental del curso, sólo tra taremos algunas de las propiedades de los números primos. De acuerdo con el programa vigente, no corresponden las demostraciones de estas propiedades; no obstante, expondremos con letra chica algunas de ellas, estimando que podrán interesar al buen estudiante. 317. Conforme la definición que dimos de número primo, téngase presente que se ha excluido la unidad de la sucesión de números primos; algunas propiedades de dichos números no se cumplirían si se la considerara entre los números primos. PROPIEDAD I.

Si un número no es primo, el más pequeño de sus divisores es un número primo. Así, por ej., 45 tiene por divisores: 3 , 5 , 9 , 15 y 45 ; vemos que el más pequeño de estos divisores, o sea 3 , es un número primo. En general, llamemos N al número dado; no siendo éste un número primo, admite por definición uno o más divisores distintos de sí mismo y de la unidad. Si llamamos d al más pequeño de esos divisores, demostraremos que d es primo. En efecto, si d no fuera primo, admitiría un divisor d* menor que d y mayor que 1 , resultando entonces que el número d' seria también divisor de N en virtud de la conocida propiedad de que si un número divide a otro divide también a cualquiera de sus múltiplos ( N . ° 2 9 3 ) ; en este c a s o N tendría, pues, un d i v i s o r m e n o r q u e d, lo que es imposible, desde que habíamos supuesto que d era el más pequeño de los divisores de N . No admitiendo el número d otro divisor más que sí m i s m o y la unidad es u n n ú m e r o p r i m o , y resulta asi demostrada la propiedad.

318. Propiedad I I . Si un número no es primo, admite como divisor un número primo, cuyo cuadrado no supera aquel número. Así, por ej., el número 3 es el más pequeño de los divisores primos de 15; por consiguiente, 3 = 9 no supera a 15. M número 7 es el único divisor primo de 4 9 ; por consiguiente, 7 = 49 no supera a 49, sino que lo iguala. 2

2

211

Sea ¿V un número no primo, y d el más pequeño de sus divisores que, como sabemos, es un número primo (N.° 317). Decimos que d tiene que ser menor, o a lo sumo igual a N , es decir que d < N 2

2

En efecto, llamando

c al cociente de dividir

N: d =

c ,

de donde,

N

N =

por d,

tendremos:

c.d

y de esta última tenemos también N : c = d, lo q u e significa que c es un divisor de N ; pero habíamos supuesto que d era el más pequeño de los divisores de N , por consiguiente tendremos: d < c Multiplicando los dos miembros de la desigualdad anterior por d , resulta otra desigualdad en virtud de la propiedad del ( N . ° 1 8 7 ) . d.d

< c.d,

o sea,

2

d

< N

Como corolario de la propiedad anterior, tenemos; Si un número no admite ningún divisor primo cuyo cuadrado no lo supere, aquel número es primo. 319.

PROPIEDAD III.

La sucesión de números primos es ilimitada. Equivale decir que, por grande que sea un número primo, existe siempre otro mayor que él. Por ser ilimitada la serie de los números naturales (N.° 81), nos induciría a admitir que también es ilimitada la serie de números primos, en virtud del procedimiento empleado en el (N.° 316) para su obtención. No obstante, daremos su demostración rigurosa. En efecto, llamemos p suponer tan grande como Efectuemos el producto guemos a este producto Tendremos la igualdad:

a un número primo cualquiera, que podemot queramos. de todos los números primos basta p ; agreel número 1 , 3' llamemos S a la suma.

( 2 . 3 . 5 . 7 . . . p) Si daría

+

1 =

5

5 resultara un número primo, siendo mayor que demostrada la propiedad.

p,

ya que-

Si S no es primo, el más pequeño de sus divisores, que llamam o s d , es un n ú m e r o p r i m o ( N . ° 3 1 7 ) . E s t e n ú m e r o d n o puede ser uno de los encerrados dentro del paréntesis, porque si lo fuera, sería un factor del producto ( 2 . 3 . 5 . 7 . . . p ) , y por tanto dividiría a este producto; pero entonces dividiendo a la suma S y al primero de sus dos sumandos ( 2 . 3 . 5 . 7 . . . p ) , tendría que dividir también al otro sumando (N.° 2 9 5 ) , o sea al n ú m e r o 1 , l o q u e es absurdo. N o

212 siendo el número primo d uno de los encerrados dentro del paréntesis es, por consiguiente, mayor que p. Resulta demostrado, pues, que la serie de números primos no tiene límite superior.

Determinar si un número es primo 320. Si el número verifica alguno de los caracteres de divisibilidad de los números estudiados en el capítulo XII, podemos contestar que el número es compuesto. De lo con­ trario, parece que tendríamos que efectuar las divisiones por todos los números menores que él. Pero no es así, por­ que esta investigación se abrevia de la siguiente manera: Si el número está comprendido dentro de los límites de la "Tabla de números primos" de que disponemos, bastará con observar si el número dado se encuentra o no en la tabla. E J E M P L O . — Con la tabla del ( N . ° 3 1 6 ) c o n t e s t a m o s inmediatamente que los números 271, 547, 929, son primos, y que los números 280, 637, 979,, son compuestos.

Si el número dado es mayor que el límite de la tabla, esta investigación se abrevia aplicando la Propiedad (N.° 318). Según ella, tendremos la siguiente REGLA. — Para reconocer si un número es primo, basta in­ vestigar su divisibilidad por cualquiera de los números primos cuyos cuadrados no superen al número dado; si no es divisible por ninguno de ellos, afirmamos que aquel número es primo. Así, por ej., el número 269 no es divisible por ninguno de los números primos 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 . (El cua­ drado de 13 es menor que 269). El número primo siguiente a 13 es 17. Pero siendo 17 = 289 mayor que 269, podemos afirmar, pues, que 269 es un número primo (N.° 318). Para reconocer que 17 es mayor que 269, se puede obser­ var que 17 está contenido en 269, menos de 17 veces, o sea que el cociente de 269 por 17 es menor que 17. Según esto, resulta aun más práctico emplear esta otra 2

2

REGLA. — Para RECONOCER SI UN NUMERO ES PRIMO o compuesto, se divide por los números primos sucesivos, 2, 3, 5, 7, 11, etc.; si se llega a un cociente igual o menor que el divisor sin haber obtenido ninguna división exacta, el número es primo; de lo contrario, compuesto.

213 Así, por ej., p r o p o n g á m o n o s averiguar si 1037 es p r i m o o c o m ­ puesto. N o es divisible ni p o r 2, ni p o r 3, ni por 5. D i v i d i é n d o l o p o r 7, e n c o n t r a m o s el resto 1. N o es t a m p o c o d i v i s i b l e p o r 11, ni p o r 1 3 . Finalmente, 17 da una d i v i s i ó n exacta c o n 61 c o m o cociente. T e n e m o s , pues, 1037 = 17 ×61. E l n ú m e r o 1037 es, pues, c o m p u e s t o . Sea a h o r a el n ú m e r o 1059. N o es divisible p o r 2, 3, 5; 7 da el resto 3; n o es divisible t a m p o c o p o r 11, 13, 17, 19, 23, 29; por 31 d a el c o c i e n t e 34 y resto 5; por 37 da el cociente 28 y resto 23; siendo este último c o c i e n t e m e n o r que el d i v i s o r , p o d e m o s a f i r m a r que el n ú m e r o 1059 es p r i m o .

Descomposición en factores primos Posibilidad y unicidad 321.

PROPIEDAD. —

Si un número no es primo, es un producto de factores primos. Así, por ej., 70 es el producto de los factores primos 2, 5, 7, o sea: 70 = 2 × 5 × 7 . En general, sea número primo a.

N un número no primo; admitirá como divisor un Llamando q al cociente, tendremos:

N: a = Si q es porque N Si q no mando q*

q ,

de donde,

N =

a × q.

[a]

un número primo, la propiedad ya quedaría demostrada, es el producto de dos números primos a y q. es primo, admite como divisor un número primo b , y lla­ al cociente, tendremos: q: b =

q',

de donde,

q =

b ×

q'.

Sustituyendo este último valor de q en la [ a l , resulta: N =

a × b × q'

Si q' es un número primo, la propiedad ya quedaría de lo contrario, procediendo como antes, llegaríamos a la

[b] demostrada; igualdad:

N = a × b × c × q" [ul en la que a , b, c , son números primos y q" es el cociente de la división de q' por c. Si q" no fuera primo, continuaríamos razo­ nando como antes, obteniendo otras igualdades de forma análoga a las [ a l , [ b ] , [u]. Pero, de las divisiones sucesivas efectuadas, vemos que q es menor que N, que q* es menor que q, q" menor que q' y así sucesi­ vamente; es decir, que los cocientes sucesivos q, q', . . . van siempre disminuyendo, y como no hay sino un número limitado de nú­ meros menores que uno dado, también se limitará el número de divi­ siones sucesivas. Se llegará, pues, a un último cociente que será primo, y entonces N resultará un producto de factores primos.

Esta propiedad nos muestra la POSIBILIDAD de descom­ posición de un número en sus factores primos. A continua­ ción indicaremos el procedimiento para lograr esa descom­ posición.

214

322. DEFINICIÓN. — DESCOMPONER UN NUMERO EN SUS FACTORES PRIMOS significa hallar los números primos que multiplicados entre sí, dan por resultado el nú mero dado. Sea, por e j . , el número 300 que nos proponemos descomponer en factores primos. El menor número primo que lo divide es 2, y el cociente es 150; tendremos, pues: 300 = 2 × 1 5 0 . Este número 150 admite también el menor divisor 2 , y el cociente es 75 ; tendremos, pues: 300 = 2 × 2 × 75 . Este número 75 admite el menor divisor que le sigue a 2, que es 3, y el cociente es 2 5 ; tendremos, pues, 300 = 2 × 2 × 3 × 2 5 . El número 25 ya no es divisible por 3 pero si por 5, y el cociente es 5; tendremos, pues 300 =

2

×

2 × 3 × 5 × 5 =

3 × 52

22×

Los factores primos del número 300 son: 2, 2, 3, 5, 5. El proceso anterior, aplicable a cualquier número compuesto, no* conduce a la siguiente

REGLA. — Para descomponer un número en sus FACTORES PRIMOS, se divide sucesivamente el número dado y los cocientes sucesivos por su más pequeño divisor primo, hasta obtener el número 1 como último cociente. El producto de todos los divisores primos empleados es igual al número dado. EJEMPLOS. — En

la práctica,

Descompongamos los números la operación se dispone

300 150 75 25 5 1 Tendremos, pues: 300 = 2 × 4410

=

4410 2205 735 245 49 7 1

2 2 3 5 5

2 ×

300 y 4410.

así:

3 × 5 ×

5 =

2 3 3 5 7 7

22 × 3 ×

52

2 × 3 × 3 × 5 × 7 × 7 = 2 × 3 2 × 5 × 7 2

323. Obsérvese que mediante la aplicación de la regla anterior, hemos obtenido los factores primos de un número en forma ordenada, de menor a mayor. Pero no es indispensable seguir el orden indicado en las divisiones sucesivas; en ciertos casos conviene alterar dicho orden, que el resultado es siempre el mismo. Así, por ej., tendremos: 2400 = 24 × 100 = 8 × 3 × 10 = 2 × 3 × 2 × 5 = 2 × 3 × 5 2

3

2

2

5

2

215

Como ejercicio, descompóngase el número 2400 siguiendo otro orden en las divisiones sucesivas, y compruébese la igualdad de resultados. Hágase lo mismo con otros números compuestos. Admitiremos, pues, el siguiente postulado de UNICIDAD de la descomposición en factores primos: Un número compuesto sólo admite una descomposición en factores primos.

Números primos entre sí Definición y propiedades 324. Definición. — En los ejemplos del (N.° 322) en­ contramos : 300 = 2 .3.5 ; 4410 = 2.3 .5.7 Puede notarse que 2, 3 y 5 son factores primos comunes a los números 300 y 4410; mientras que 7 es factor no común. Vemos, pues, que la descomposición en factores primos de dos o más números nos ofrece un procedimiento sencillo para hallar sus factores primos comunes y sus factores primos no comunes. 2

2

2

2

DEFINICIÓN. — Dos o más números se llaman PRIMOS ENTRE SI cuando no admiten otro divisor común que la unidad. Por ej., son primos entre sí los números: 15 y 16; también lo son* 10, 21 y 11. ídem 8, 20, 15, 28. N O T A . — N o se confunda el c o n c e p t o de números primos ( N . ° 315) con el de números primos entre si. A s í , por e j . , los números 9 y 16 son p r i m o s entre sí, mientras que separadamente no son n ú m e r o s p r i m o s ; el p r i m e r c o n c e p t o afecta a un solo número, lo que justifica la d e n o m i n a c i ó n de n ú m e r o p r i m o absoluto que también se da a los números p r i m o s , mientras que el otro c o n c e p t o afecta dos o más números, de m o d o que cada uno de éstos, considerado en esa forma, es primo relativamente a los otros.

325. Entre las propiedades relativas a números primos entre sí, merecen citarse las siguientes: PROPIEDAD I. — Si un número divide al producto de dos factores, y es primo con uno de ellos, divide al otro factor.

216

Así, por ej., 3 divide a 48 = 8 × 6, y es primo con 8; divide, pues, al otro factor 6. PROPIEDAD I I . — Si un número primo divide al producto de varios factores, divide a uno de los factores.

Esta propiedad es una consecuencia inmediata del (N.° 292). Así, por ej., 3 divide a 420 = 4 × 7 × 15 ; el número 3 divide también a 15, que es uno de los factores de 420. COROLARIO. — Si un número primo divide a una potencia de un número, divide a dicho número. Así, por ej., 3 divide a 36 = 62, divide, pues, al número 6 . PROPIEDAD I I I . — Si dos números son primos entre sí, lo son también dos de sus potencias con exponentes cualesquiera. Así, por e j . , 5 y 8 son primos entre sí; 125 = pues, también primos entre sí.

58 y 64 =

8 2 son,

Multiplicación y división de números descompuestos en sus factores primos 326. Multiplicación. — Sea, por ej., la multiplicación de ios números 108 por 120. Descompuestos en sus factores primos, resulta: 108 = 2 × 3 ; 120 = 2 × 3 × 5 . El producto de dichos números será 108 × 120 = 2 × 3 × 2 × 3 × 5 Alterando convenientemente el orden de los factores y multiplicando en su orden las potencias de igual base (N.° 272), tendremos: 108 × 120 = 2 × 3 × 5 Aun para la multiplicación de más de dos números, po­ demos enunciar la siguiente 2

3

2

3

3

3

5

4

REGLA. — El PRODUCTO de dos o más NÚMEROS DE* COMPUESTOS en sus factores primos, se obtiene multipli­ cando los distintos factores primos y poniendo como expo­ nente de cada uno de ellos, la SUMA de los exponentes con que figura ese factor en los diversos números.

217 2

EJEMPLO.—El producto de los números a = 3 × 5 ; i = 2 c = 2 × 3 y 7 , e s : a.b.c = 2 × 3 × 5 × 7 . 4

4

7

3

2

× 3 × 5 ;

3

327. División. — Sea, por ej., la división del número a = 2 × 3 × 7 por b = 2 × 3 . Poniendo en evidencia en el dividendo los factores del divisor y aplicando la propiedad del (N.° 224), tenemos: a:b = [(2 .2 ) × (3 .3) × 7]-. (2 × 3) = = [2 .2 .3 .3.7] : (2 .3) = 2 × 3 × 7 Podemos, pues, enunciar la siguiente 6

8

S

2

2

3

3

2

8

2

3

2

2

REGLA. — El COCIENTE de dos NÚMEROS DESCOM­ PUESTOS en sus factores primos, se obtiene RESTANDO a los exponentes de los factores del dividendo, los de los mismos factores del divisor. Para que pueda efectuarse la división, es necesario que todos los factores primos del divisor se encuentren en el dividendo, y que cada uno figure en el dividendo con un exponente igual o mayor que en el divisor. Cuando los expo­ nentes son iguales, su diferencia es cero; recuérdese, entonces, que hemos convenido que todo número elevado a cero e9 igual a 1 (N.° 267). NOTA. — Podemos decir también que un número es divisible por otro (o múltiplo de éste), si contiene todos los factores primos del segundo, con exponentes iguales o mayores. Así,

por 3

ej., 2

«ocíente 2 . 3 ;

el en

número

5

2

2 .3 .5

3

es

divisible

cambio, no es divisible por

por 3

2

3

2 .5 ,

siendo

el

4

2 .5 .

Máximo común divisor 328. Divisores comunes. — Para formar divisores de un número, se multiplican algunos factores primos del número con exponente que no exceda del que tiene cada factor en el número. Así, 22

por e j . , serán divisores de 120 = 2a × 3 × 5, los números × 5 = 2 0 ; 2 3 × 5 = 4 0 ; 2 × 3 = 6 ; 3 × 5 = 15 ; 22 × 3 × 5 = 60 ; etc., etc.

Para hallar los divisores comunes de varios números, es decir, los divisores de todas ellos al mismo tiempo, se forma­ rán los productos de los factores primos contenidos en todos

218

ellos (los factores comunes), y afectando cada factor de un exponente que no exceda al que tiene cualquiera de los nú­ meros dados. EJEMPLO. — Para hallar los divisores 24 = 28 × 3; 30 = 2 × 3 × 5; 54 = mente l o s d i v i s o r e s p r i m o s c o m u n e s , q u e a e x p o n e n t e s que n o e x c e d a n de 1. Los d i v i s o r e s c o m u n e s serán, p u e s : 2; Prescindiremos del divisor común 1, que

comunes de los número» 2 × 33, hallamos primera­ s o n 2 y 3, y l o s e l e v a m o s 3 y 2 × 3 = 6. lo es de todos los números

329. Máximo común divisor (Se abrevia, M. C. D.). — ton el ejemplo anterior hallamos que los divisores comunes de los números 24, 30 y 54 eran: 2, 3 y 6. Observemos que el mayor es 6. Este número, que es el mayor divisor común de los números dados, se llama máximo común divisor.

Columnas de t o d o s los divisores de 24, 30, 54.

24

30

54

12

15

27

8

10

18

6

6

9

4

5

6

M . C. D .

3

3

3

div. com.

2

2

2

1

1

1

Para expresar que el M. C. D. de dos números a y b es igual a c , escribimos: D (a , b) = c . Para el ejemplo anterior, tendremos: D(24 , 30, 54) = 6. Podremos establecer, pues, la siguiente DEFINICIÓN. — Se llama MÁXIMO COMÚN DIVISOR de dos o más números, al mayor de sus divisores comunes.

Cálculo del M. C. D. y propiedades 330.

Método de los factores primos.

Para hallar el M. C. D. de dos o más números, no es ne­ cesario hallar todos los divisores comunes de dichos números (operación que generalmente resulta algo larga), para luego elegir el mayor; se halla directamente mediante la siguiente

219

REGLA .— Para hallar el M. C. D. de varios números descompuestos en sus factores primos, se forma el producto do los factores primos comunes, tomados una sola vez, con el menor de los exponentes que tenga en los números dados En efecto: no podría obtenerse un divisor común mayor, porque tendría que tener los mismos factores primos con exponentes mayores, o bien, tendría que tener un nuevo factor primo, lo que es imposible, porque entonces, en cualquiera de los dos casos, ya no sería divisor de alguno de los números dados.

A continuación presentamos dos ejemplos de cálculo del VI. C. O. de dos grupos de números: 2

126 = 2.3 .7 180 = 2 .3 .5 2

2

4

2

400 = 2 .5 1 400 = 2 .5 .7 520 = 2 .5.13 3

3

2

2

M. C.D. = 2.3 = 18

3

M C. D. = 2 . 5 = 40

NOTA. — Como consecuencia de la definición de números primos entre sí, resulta: El M. C. D. de dos números primos entre sí es la unidad. 331. Propiedades del M, O. D. — A fin de no apartarnos del programa oficial, sólo daremos sin demostración los enunciados de algunas de las propiedades. PROPIEDAD I. — Si dos o más números son tales que el más pequeño divida a todos los otros, su M. C. D. es el número más pequeño. Esta propiedad resulta casi evidente. Así, por e j . , sean los números 72 y 1 2 ; observemos primeramente que 12 es divisor de 72, y como es también divisor de sí mismo, es, pues, divisor común de 72 y 12. Luego observemos que, cualquier número mayor que 12, no dividiendo a 12, ya no puede ser divisor común de 72 y 12.

NOTA.—Por razón análoga: Si el más pequeño de varios números, divide a todos los otros, él es el M. C. D. de todos. PROPIEDAD II. — Si dos números son tales que el más pequeño no divide al más grande, su M. C. D. es el mismo que el del número más pequeño y del resto de la división.

220

Así, por ej., sean los números 210 y 45. ESI cociente de dividir 210 por 45 es 4 y el resto 30. Decimos que el M. C. D. de 210 y 45 es el mismo que el de 45 y 30. En efecto, en virtud de la relación fundamental (N.° 2 3 0 ) , t e n e m o s : de donde

de la d i v i s i ó n

210 = 45 × 4 + 30 30 = 210 — 45 × 4

[ ] [fl] a

Todo número que divida a 210 y a 45 divide también a 45 × 4 , porque sabemos que si un número divide a otro divide también a cual­ quier múltiplo de éste ( N . ° 2 9 3 ) . P e r o d i v i d i e n d o d i c h o n ú m e r o a los dos términos de la diferencia del segundo miembro de la [b] dividirá, pues, a la diferencia, o sea al n ú m e r o 3 0 . ( N o t a del N . ° 2 9 4 ) . Vemos, pues, que todos los divisores comunes del dividendo ( 2 1 0 ) y del divisor ( 4 5 ) , son también divisores comunes del divisor ( 4 5 ) y del resto ( 3 0 ) . Inversamente, todo número que divida a 45 y a 30 divide también a 45 × 4 ( N . ° 2 9 3 ) . P e r o d i v i d i e n d o d i c h o n ú m e r o a l o s d o s suman­ dos del segundo miembro de la [a] dividirá también a la suma, o sea al n ú m e r o 210 ( N . ° 2 9 4 ) . Vemos, pues, que todos los divisores comunes del divisor ( 4 5 ) y del resto ( 3 0 ) , son también divisores comunes del dividendo ( 2 1 0 ) y del divisor ( 4 5 ) . Como los dos pares de números (210, 4 5 ) (45, 3 0 ) tienen los mismos divisores comunes, tendrán también el mismo máximo común divisor. Como el razonamiento sería análogo para cualquier ros, resulta demostrada la propiedad.

par

de

núme­

332. Método de las divisiones sucesivas. En las dos propiedades anteriores se funda el método de las divisiones sucesivas, para hallar el M. C. D. de dos nú­ meros. Propongámonos hallar, por ej., el M. C. D. de los números 210 y 45. l.° Divido 210 por 45. Si la división resultara exacta, 45 sería el M. C. D. (Prop. I ) . Pero se obtiene el cociente 4 y resto 30; por consiguiente, el M. C. D. que buscamos es el mismo que el de 45 y 30 (Prop. II). 2.° Divido 45 por 30. Si la división resultara exacta, 30 sería el M. C. D. (Prop. I ) . Pero se obtiene el cociente 1 y resto 15; por consiguiente, el M. C. D. que buscamos es el mismo que el de 30 y 15 (Prop. II). 3.° Divido 30 por 15. Ahora la división resulta exacta; por consiguiente, 15 es el M. C. D. de 30 y 15, y por tanto, también de los números dados 210 y 45.

221

En la práctica, la operación se dispone como en el esquema siguiente: 4 210

45

30

15

1 30

2 15

o

D

(210, 45) =

15

Del proceso anterior se deduce la siguiente REGLA. — Para hallar el M. C. D. de dos números, se divido el mayor por el menor; si la división resulta exacta, el me ñor es su M. C.D.; si la división resulta inexacta, ae divido el número menor por el resto de la división, el primer resto por el segundo, el segundo por el tercero, y así sucesivamente hasta llegar a una división exacta; el divisor de esta última división es el M. C. D. de los dos números dados. PROPIEDAD III. — Si dos o más números se dividen por su M. C. D. los cocientes que se obtienen son números primos entre sí. Así, por e j . , í ) (210, 45) = 15 ; si dividimos 210 y 45 por 15, obtenemos los cocientes, 210: 15 — 14, y 4 5 : 15 = 3, que son números primos entre sí. PROPIEDAD I V . — El M. 0. D. de varios números es igual al M. C. D. del grupo de números que se obtiene reemplazando algunos de ellos por su M. C. D. Así,

por e j . , siendo D (450, 180) = 90, tendremos D (450, 180, 2100) = D (90, 2100) = 30

Esta propiedad nos justifica la siguiente REGLA. — Para hallar el M. O. D. de VARIOS NÚMEROS se busca primeramente el de dos de ellos, luego el del M. C. D. hallado y de un tercer número, y asi sucesivamente. El último M. C. D. hallado es también el de todos los números dados. El ejemplo anterior se dispone en el siguiente esquema: 450 180 90 2100 30

222

Mínimo común múltiplo 333. Múltiplo común. — En el (N.° 174) indicamos qué se entendía por múltiplo do un número, e hicimos notar que el producto de dos números es múltiplo de ambos. Así, por e j . , para hallar los múltiplos de 7 basta multiplicar este número por los n ú m e r o s naturales s u c e s i v o s 1, 2, 3, 4, obte­ niendo d i c h o s m ú l t i p l o s : 7, 14, 21, 28, . . .

Obsérvese también que, - para que un número sea múltiplo de otro, basta que contenga los tactores primos de este último fon ex ponentes respectivamente iguales o mayores. Así, por ej., 2 .3 .7 es múltiplo de 2 . 3 . Para hallar múltiplos comunes a varios números, es decir, los múltiplos de todos ellos al mismo tiempo, se formarán los productos ele los factores primos comunes y no comunes y afectando cada factor de un exponente que no sea inferior al que tiene cualquiera de los números dados. Se comprende fácilmente que, así como un número tiene infinidad de múltiplos, mi grupo de números tiene también una infinidad de múltiplos comunes. 5

4

3

4

EJEMPLO. — Para hallar los múltiplos comunes d« 6 = 2 X 3 ; 8 = 2»; 12 = 22 × 3, h a l l a m o s p r i m e r a m e n t e t o d o s los divisores primos, que son 2 y 3» y los e l e v a m o s a e x p o n e n t e s q u e n o sean i n t e r i o r e ! a 3 y 1, r e s p e c t i v a m e n t e . Múltiplos c o m u n e s de d i c h o s n ú m e r o s serán, p u e s : 23 × 3 = 24; 2 × 3 = 48; 2 × 3 = 96; etc. 2 × 3 = 72: 2 × 3 = 216; 2 × 3 = 728; etc. 4

3

2

3

5

3

3

4

334. Mínimo común múltiplo (Se abrevia, M. C. M.). — En el ejemplo anterior bailamos los primeros múltiplos co­ munes de los números 6, 8 y 12, encontrando que eran: 24, 48, 72, . . . etc., etc. Observemos que el menor es 24, al que se llama mínimo común múltiplo.

Columnas d e múltiplos de 6, 8, 12.

6

8

12

12

16

24

18

24

36

24

32

48

30

40

36

48

M.C.M.

múltiplo común

42 48 etc., p u e s t o que la serie de los múltiplos de un n ú m e r o es ilimitada.

223

Para expresar que el M. C. M. de los números a y b es igual a m, escribiremos: M (a, b) = m. Para el ejemplo anterior, tendremos: M(6, 8, 12) = 24 Podremos establecer, pues, la siguiente DEFINICIÓN. — Se llama MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO de dos o más números, al menor de sus múltiplos comunes

Cálculo del M. C. M. 335.

Método de los factores primos.

P a r a hallar el M . C. M. de d o s o más n ú m e r o s , no es ne­ cesario, aplica la

en

la

práctica,

proceder

como

antes,

sino

que

se

siguiente

REGLA. — Para hallar el M. C. M. de varios números des compuestos en sus factores primos, se forma el producto de los factores primos comunes y no comunes, tomados una sola vez con su mayor exponente. En efecto: no podría obtenerse un múltiplo común menor, porque tendríamos que suprimir algún factor primo, o bien, tendríamos que disminuir algún exponente; pero entonces dejaría de ser múltiplo del número o números de que procede dicho factor o exponente. Asi, 120

=

por e j . , sean 23.3.5

Tendremos: M

;

los números 120, 132, 1350.

132 =

22.3.11

(120, 132, 1350) =

;

1350 = 3

3

2

2.33.52.

2 .3 .5 .11

=

59400

Procedimientos abreviados para el cálculo del M. C. D. y del M. C. M. 336. Cálculo rápido del M. O. D. — El procedimiento es­ tablecido por la regla (N.° 330) para calcular el MÁXI­ MO COMÚN DIVISOR de varios números, se puede abre­ viar buscando solamente los factores primos comunes a los números dados, como se indica en el esquema siguiente; los números dados son los mismos del segundo ejemplo del

224

(N.° 330) o sea:

400,

1400,

520.

400 1400 200 700 100 350 50 175 10 35 Los factores primos comunes se de la línea; tendremos, pues:

520 2 260 2 130 2 65 5 13 encuentran a la derecha

D (400 , 1400 , 520) = 2 × 2 × 2 × 5 = 40 337. Cálculo rápido del M. C. M. — A fin de no apar­ tarnos del programa oficial, sólo daremos los enunciados de algunas de las propiedades que abrevian el cálculo del M.C.M. a) El M. C. M. de dos números primos entre sí es su pro­ ducto. Así, por e j . , tendremos: M ( 3 5 , 6 ) = 35 × 6 = 210 ; M ( 8 , 1 5 , 11) = 8 × 15 × 11 = 1 3 2 0 . b)

Si

un

es también

número el M.

de

un

C. M. de

grupo

e$ múltiplo

los números

del

de

los

otros,

él

grupo.

EJEMPLOS. — M (48 , 12) = 48 , porque 48 es múltiplo de 12 ; M (45, 15, 9 ) = 4 5 , porque 45, es múltiplo de log otros dos números. c ) En la investigación del M. C. pueden suprimirse aquellos que sean quiera de los números dados.

M. de varios d i v i s o r e s de

uno

números, cual­

Asi, por ej., si nos proponemos hallar el M ( 4 8 , 12, 3 6 , 9) tendremos: M (48 , 12) = 4 8 , y M (36 , 9 ) = 36 , en virtud de la propiedad anterior ( 6 ) . Por consiguiente, se haüará solamente el M (48 , 3 6 ) , que es 1 4 4 . Tendremos, pues: M (48 , d)

La

el procedimiento mente,

12 ,

operación

para

36 ,

9) =

realizada del

el caso

M (48 ,

para

( N . ° 3 3 6 ) , nos de

36) =

calcular permite

d o s números,

su

M.

144

el Af.

C.

calcular C.

D.

por

rápida­

M.

Así, por ej., sean los números 36 y 48 . Disponiendo la operación como indicamos antes, tenemos: 36 18 9 3

48 24 12 4

2 2 3 de donde,

D (36 ,

48) =

2 ×

2 × 3 =

12

Para hallar el M, C M. multiplicamos loa dos últimos cocientes, 3 y 4 obtenidos en la operación, por el M. C. D. de los números dados, es decir, por 12 ; tenemos, pues: M (36, 48) = (3 × 4) × 12 = 144

225

e) Como consecuencia del método que precede podemos dar la siguiente REGLA. — Para hallar el M. C. M. de dos números: 1) Se halla el M. C. D. de los dos números; 2) se divide uno de los números dados por el M. C. D.; 3) se multiplica el otro nú mero por el cociente obtenido. Así, para los números del ejemplo que precede, tenemos 36:12=3 D(36,

48)=12

48:12=4 En

efecto,

M ( 3 6 . 48) =

; M(36,

48)=48×3=144

: M(36,

48)=36×4=144

o bien

según el m é t o d o a n t e r i o r m e n t e i n d i c a d o

[ 3 6 : D ( 3 6 , 48)]

× [48:

D ( 3 6 , 48)]

×D(36,

(d),

es.

48)

f

simplificando, t e n e m o s las siguientes i g u a l d a d e s : 48) = [ 3 6 : D ( 3 6 , 4 8 ) ] × 4 8 = ( 3 6 : 12) × 48 = 3 × 48 = 1 4 4 M ( 3 6 , 4 8 ) = [48: D(36. 48)] × 36 = (48: 1 2 ) × 36 = 4 × 36 = 1 4 4 M(36,

338. Ejercicios de aplicación. — l.° Sin efectuar la división, investigar si 17640 es divisible por 252. Descomponemos ambos números en sus factores primos: 17640 = 2 3 . 5.7 ; 252 = 2 .3 .7 Como todos los factores de 252 figuran en 17640 con exponente igual o menor, es 17640 múltiplo de 252 , y por consiguiente, es divisible por este último. 2 ° Hallar el cociente de ¡os números del ejercicio anterior. — Se obtendrá suprimiendo del dividendo los factores comunes con el divisor (N.° 224); el cociente será, pues: 17040:252 = (23:22).(32:32).5. (72:7) = 2.5.7 = 70 3

2

2

2

2

339. División de números dados, por su M. O. D. — Aprovechando la descomposición en sus factores primos, fácilmente se divide un conjunto de números, por su M. C. D. Así, por ej., sean los números dados: 120 = 2 .3.5 ; 36 == 2 .3 ; 144 = 2 .3 cuyo M. C. D. es: 2 .3 = 12. Los cocientes de dividir los números dados por su M. C. D. se obtienen suprimiendo de cada número dado los faatores comunes con el divisor (N.° 224); así tendremos: 3

2

2

4

2

2

3

36:12 =

2

120:12 = ( 2 . 3 . 5 ) : ( 2 . 3 ) = 2 . 5 = 10 ( 2 . 3 ) : ( 2 . 3 ) = 3 ; 144:12 = ( 2 : 3 ) : ( 2 . 3 ) = 2

2

2

4

2

2

2

2 .3=12

340. División del M. C. M. por cada uno de los números dados. — Aprovechando la descomposición en sus factores 15.— ARITMÉTICA

1er. AÑO —

Coppetti

226

primos, también 6e divide fácilmente el M. C M. por los números dados. Así, por ej., sean los números: 15 = 3.5 ; 36 = 2 .3 ; 54 = 2.3 cuyo M. C. M. es: 2 .3 .5 = 540 . Los cocientes de dividir el M. C. M. por cada uno de los números dados se obtiene suprimiendo del M. C. M. los factores comunes con cada divisor (N.° 224); tendremos: 2

2

2

3

3

2

3

2

2

540:15 = ( 2 . 3 . 5 ) : ( 3 . 5 ) = 2 . 3 = 36 540:36 = ( 2 . 3 . 5 ) : ( 2 . 3 ) = 3 . 5 = 15 ; 540:54 = ( 2 . 3 . 5 ) : ( 2 . 3 ) = 2 . 5 = 10 2

3

2

2

3

NOTAS

2

3

HISTÓRICAS

La teoría de los números primos, así como la demostración de que la serie de números primos es ilimitada, ya se encontraba en los famosos " E l e m e n t o s " de Euclides, obra del célebre matemático griego del siglo n i a. J. C . Las primeras tablas de números primos fueron publicadas por Kruger. Las tablas más difundidas son las de Chernao y de Burkhardt, Uegando las últimas hasta el número 3 035 0 0 0 . El número primo más grande que se ha llegado a calcular e s : 2 — 1 = 2 305 843 009 213 693 951 pero, téngase presente que existen números primos mayores aun que éste, en virtud de ser ilimitada la serie de números primos . 61

PROBLEMAS

CURIOSOS

(Aplicaciones del M. C . M.)

1.° ¿Cuál es el número más pequeño que al dividirlo por 10 se obtiene 9 como resto, por 9 el resto es 8, por 8 el resto es 7, etc... por 2 el resto es 1? Si es N el n ú m e r o que d e s e a m o s hallar, t e n d r e m o s : N = múlt. 10 + 9 = múlt. 10 + 10 — 1 = M . 10 — 1, de donde, N + 1 = M . 10 Igualmente, tenemos: N + 1 = M . 9 ; N + 1 = M . 8; e t c . . . . , N + 1 = M . 2 El número ( N + l ) es, pues, el M . C . M . de los 10 primeros números, o sea: N + l = 2 × 3 × 5 × 7 = 2520 .*. Respuesta: N = 2519 2.° Si un vendedor de frutas cuenta sus manzanas de 2 en 2, le sobra 1; de 3 en 3, le sobran 2; de 4 en 4, le sobran 3; etc....; si las cuenta de 7 en 7, no le sobra ninguna. ¿Cuántas manzanas tiene, siendo su número menor que 200? Sea N el número que buscamos; razonando c o m o en el problema anterior, es ( N + l ) un múltiplo de 2, de 3, dé 4, de 5, de 6, y N es un múltiplo de 7. El M . C . M . de 2. 3, 4, 5, 6, es 60; por consiguiente, ( N + l ) es un múltiplo de 60. Los primeros de estos múltiplos, disminuidos en una anidad, son: 59, 119, 179, 239, . . . etc. De estos números sólo consideraremos los que son múltiplos de 7, siendo el más pequeño 119. — Respuesta: N = 119. 3

2

CAPITULO XlV

" L o s números son libres creaciones del e s ­ píritu humano que sirven para captar la d i ­ versidad de las cosas con m á s facilidad y precisión".

DEDEKIND

FRACCIONES Definiciones 341. Casos de imposibilidad de la división de números naturales. — Supongamos que nos proponen las siguientes divisiones: 3:5 , 27:4 , 2:3 Ninguna de ellas es posible, en el campo de los números naturales, porque en ninguna de ellas el dividendo es múl­ tiplo del divisor, condición ésta que, como vimos al tratar la división, es indispensable para que sea posible la ope­ ración (N.° 213). Para que la división sea posible en todos los casos, se ha creado una clase de números llamados fracciones puras, de los cuales el estudiante ya tiene una idea desde la Escuela Primaria. 342. Caso que el dividendo tenga un significado concreto. — Supongamos que el dividendo sea una magnitud concreta, por ej., la superficie de una hoja de papel, el volumen de un montón de arena, la longitud de una barra de hierro, etc., que podemos dividir o imaginar divididas en tantas partes iguales como queramos. Una división cualquiera, como por ejemplo, 3: 5 ten­ dría entonces interpretación: significa que la magnitud dada (que se considera como unidad de medida) se ha dividido en cinco partes iguales y se han tomado tres de ellas. Así, por ej., supongamos que el segmento de recta A B de La figura que sigue represente una magnitud lineal cualquiera

(longitud de una barra metálica, de un camino, etc.); el seg­ mento A C del mismo, que comprende tres de las cinco partes

228

en que se ha dividido, representa gráficamente el resultado de la división (3:5), considerando como unidad la longitud del segmento dado A B . igualmente el círculo dibujado a la derecha de la misma figura se ha dividido en cinco sectores iguales, y se han to­ mado tres de ellos; la superficie rayada representa, pues, el resultado de la división (3:5), considerando como unidad la superficie del círculo dado. 343. Números fraccionarios puros. — De acuerdo con la interpretación que dimos en el párrafo anterior, el resultado de la división de dos números naturales, cuando el dividendo no es múltiplo del divisor, nos permite establecer la siguiente DEFINICIÓN. — Se llama NUMERO FRACCIONARIO PU­ RO, o FRACCIÓN PURA, al símbolo formado por un par ordenado de números naturales, tales que el primero no sea múltiplo del segundo, y que éste sea distinto de cero. Así, por ej., el número fraccionario puro que origina la di­ visión referida en el párrafo anterior, o sea 3: 5, se indica con cualquiera de los tres símbolos siguientes: 3 3/5 5 En general, si a y b son dos números naturales, dados en ese orden, el número fraccionario del cual son compo­ nentes se escribe: a b La raya de fracción (—) equivale, pues, al signo de di­ visión (: ) ; es decir, que podemos escribir: a-.b =

a

b El primer número, a, es el numerador y el segundo b, es el denominador; ambos se llaman términos de la fracción. Respecto de la lectura de los números fraccionarios, el es­ tudiante recordará desde la Escuela Primaria, que después de leer el numerador se agrega la palabra medios, tercios, cuar­ tos, quintos, sextos..., etc., según que el denominador sea, respectivamente, el número 2 , 3, 4, 5, 6 , . . . etc. Así, por ej., las fracciones puras 3/5, 7/10, 5/14, se leen respectivamente, tres quintos, siete décimos, cinco catorceavos.

229

Las expresiones anteriores se llaman también fracciones ordinarias (esta última denominación, para distinguirlas de las "fracciones decimales" que estudiaremos más adelante). El vocablo denominador se ha optado porque denomina la fracción, al indicar en cuántas partes iguales se dividió una magnitud; el vocablo numerador, porque numera las partes que se consideran. Las fracciones que tienen por numerador la unidad se lla­ man unidades fraccionarias. Así, por ej., lo son: un medio, un tercio, un décimo, etc. 1/2 ; 1/3 ; 1/10 344. De acuerdo con el concepto de número fraccionario que dimos en el (N.° 342) podemos establecer, también la siguiente DEFINICIÓN. — Se llama NUMERO FRACCIONARIO PU­ RO, o FRACCIÓN PURA, al símbolo con el cual se expresa que una magnitud se ha dividido (o que se piensa dividir) en cierto número de partes iguales, y que se han reunido al­ gunas de estas partes. Así, por ej., la fracción 4/9 significa el conjunto de cuatro unidades fraccionarias iguales a 1/9, o sea 4

1

1

1

1

/ = / + / + / + / Son fracciones de la misma especie las que tienen igual denominador. Así, por ej., lo son: 8/7, 2/7, 8/7, etc. 9

9

9

9

9

345. Fracciones aparentes. — Se conviene que todo nú­ mero natural se puede representar por cualquier par de números naturales tales que su cociente sea el número dado. Así, por ejemplo, el número 3 puede presentarse con cual­ quiera de las siguientes expresiones de números fraccionarios: 3

6

9

12

. . . etc. 4 2 3 1 puesto que los cocientes 3:1 ; 6 : 2 ; 9 : 3 ; 12:4 son todo* iguales al número 3. Estas expresiones se llaman números fraccionarios aparen­ tes o fracciones impuras. 346. FRACCIÓN PROPIA es aquella cuyo numerador es menor que el denominador.

230

Así, por ej., son propias las fracciones: 8/5, 2/7, 9/10 , NOTA. — Una fracción propia es menor que 1. 0

FRACCIÓN IMPROPIA es la que tiene el numerador no menor del denominador. Así,

NOTA. —

347.

8

27

100

2

27

8

por ej., son impropias las fracciones:

Una fracción impropia es igual o mayor que 1. A

NOTAS. — 1.

Los símbolos

0

a 0

y

no tienen signi­ 0

ficado, pues por definición de fracción ( N . ° 343) el denomina­ dor debe ser distinto de cero. a

2. )

Se conviene también definir: 0 =

0,

b

y

a 1

= a

Esta última definición permite considerar los números na­ turales como fracciones que tienen por denominador la unidad. 348. Números racionales. — DEFINICIÓN. — Se llama NU­ MERO RACIONAL a todo número natural o fraccionario puro de la forma a/b. Conforme las definiciones dadas hasta ahora, tenemos el si­ guiente esquema de clasificación de números: Números naturales Números racionales Números fraccionarios puros

Los números fraccionarios puros como integrantes de la familia de los números racionales, gozan de propiedades aná­ logas a las de los números naturales que integran la misma familia, como lo veremos más adelante al tratar los carac­ teres de igualdad y propiedades de las operaciones aritmé­ ticas con dichos números.

231

Igualdad de fracciones 349. Fracciones equivalentes. — Mediante la figura ad­ junta, podemos ver que, dividir una magnitud en 2 partee iguales y considerar una de esas partes es lo mismo que di­ vidirla en 4 partes iguales y considerar 2, o bien, dividirla en 6 partes y considerar 3, o en 12 y considerar 6, etc. Esto significa que las fracciones 1/2, 2/4, 3/6, 6/12, . . . tienen el mismo valor, y escribimos: 1/2 = 2/4

unidad

=

3/6 = 6/12 = . . .

entera

Análogamente podemos ver en la figura que 1/3 = 2/6 = 4/12 = . . . ; 9/12 = 8/4 = . . . Los segmentos indicados, así como los ángulos y todos los entes que se pueden medir, sabemos que se llaman magni­ tudes. Puesto que cada fracción representa cierta magnitud, decimos que son iguales las fracciones que expresan una mis­ ma magnitud, o igual valor. Se justifica, pues, que: Se llaman FRACCIONES EQUIVALENTES las que tie­ nen el mismo valor y términos diferentes. a

350. Propiedades fundamentales. — 1. Obsérvese que los términos de las fracciones 2/4, 8/6 > 6/12, . . . se obtienen de los correspondientes términos de la fracción multipli­ cándolos ambos por 2, 3, 6, . . . , respectivamente. Tenemos, pues, la siguiente propiedad de las fracciones:

232

MULTIPLICANDO LOS DOS TÉRMINOS DE UNA FRACCIÓN POR UN MISMO NUMERO (diferente de 0). SE OBTIENE UNA FRACCIÓN EQUIVALENTE. Mediante esta propiedad, toda fracción puede transfor­ marse en infinidad de fracciones equivalentes. Así, por ejemplo, de ]a fracción 2/3, tenemos: 2/3 = 4/6 = 6/9 = . . . = 20/30 = . . . a

351. 2. Obsérvese que los términos de las fracciones . . . 3/6, 2/4, 1/2, se obtienen de los términos correspondientes de la fracción 6/12, dividiéndolos ambos por . . . 2, 3, 6, res­ pectivamente. Tenemos, pues, la siguiente propiedad. DIVIDIENDO LOS DOS TÉRMINOS DE UNA FRAC­ CIÓN POR UN DIVISOR COMÚN, SE OBTIENE UNA FRACCIÓN EQUIVALENTE. Así, por ej., tendremos: 10/60 = 5/30; hemos obtenido la segunda fracción dividiendo los dos términos de la primera por 2. Ambas propiedades pueden expresarse con la siguiente igualdad: a.m a [a] b.m b La primera propiedad resulta de leer de izquierda a de­ recha la igualdad [a]. La segunda, al aplicar a la misma igualdad el carácter recíproco de las igualdades (N.° 93), que nos permite leerla de derecha a izquierda. 352. Propiedad de los productos cruzados. — Considere­ mos una cualquiera de las igualdades de fracciones referi­ das en el párrafo anterior, por ejemplo: 2

4

6

12

Obsérvese que el producto 2 × 12 es igual al producto 6 × 4. Al primero se le llama primer producto cruzado y al otro, segundo producto cruzado. Consideremos otra de las igualdades referidas en ej (N.° 349); por ejemplo, 9 3 12

4

233

Obsérvese que también se verifica la igualdad de produc­ tos cruzados, o sea: 9 × 4 = 12 × 3 En símbolos, cualquiera que sea la igualdad de fracciones que se considere, si a

c

, es a× d = b × c b d resultado que nos sugiere admitir como definición la si­ guiente PROPIEDAD. — Si dos fracciones son iguales, también son iguales los productos cruzados de sus términos. NOTA. — El primer producto cruzado es el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, y el otro es el producto del denominador de la pri­ mera fracción por el numerador de la segunda. a

P u e d e demostrarse esta p r o p i e d a d e m p l e a n d o la 1. de las pro­ piedades fundamentales ( N . ° 3 5 0 ) . P a r a ello m u l t i p l i q u e m o s l o s dos t é r m i n o s de la 1. f r a c c i ó n (a/b) d e l a hipótesis p o r el denomina­ dor (d) d e la 2 . y los dos t é r m i n o s d e la 2 . f r a c c i ó n (c/d) por el d e n o m i n a d o r ( b ) d e la 1. ; t e n d r e m o s así la siguiente i g u a l d a d : a

a

a

a

a . d

c . b

6 . a

d . b

qué, en virtud de la propiedad c o n m u t a t i v a de la m u l t i p l i c a c i ó n aplicada a los dos t é r m i n o s de la segunda fracción, se puede es­ c r i b i r así: a . d b . c b . d

b . d

Siendo toda fracción una división indicada ( N . ° 3 4 3 ) , esta última igualdad de c o c i e n t e s i n d i c a d o s que tienen iguales divisores ( b . d ) , implica la igualdad de los d i v i d e n d o s (a.d) y ( b . c ) , o sea l a igual­ dad de p r o d u c t o s c r u z a d o s : a× d = b × c que constituye la t e s i s .

353. Basándose en la propiedad anterior puede demos­ trarse, inversamente que Dos fracciones son iguales, si lo son los productos cruza­ dos de sus términos.

234

Significa que dadas las fracciones a/b y c/d, y siendo por hipótesis a × d = b × c, tendremos la igualdad de frac­ ciones : a c b

d

354. Caracteres de igualdad. — Aplicando la propiedad de los productos cruzados (N.° 352), se puede comprobar que la igualdad de números racionales goza de los tres caracteres fundamentales: l.°) Carácter idéntico. — Todo número racional es igual a si mismo. a a En símbolos: b b E n efecto, los p r o d u c t o s cruzados s o n a.b y b.a, e i n v i r t i e n d o el orden d e los factores d e este ú l t i m o , n o s d a : a.b = a.b. Apli­ c a n d o ahora el ( N . ° 3 5 3 ) resulta justificada l a igualdad de frac­ ciones a/b = a/b.

2.°) Carácter recíproco. — Si un número racional es igual a otro, éste es igual al primero. En símbolos, sí a a c c es d b b d L a última igualdad resulta idéntica a la a n t e r i o r al aplicar a a m b o s m i e m b r o s la propiedad c o n m u t a t i v a del p r o d u c t o d e dos fracciones, y l u e g o aplicar el carácter r e c í p r o c o de las igualdades d e n ú m e r o s naturales ( N . ° 9 3 ) .

3.°) Carácter transitivo. — Si un número racional es igual a otro y éste es igual a un tercero, el primero es igual, al tercero. En símbolos, si e a e c a c y es b b d d f f En efecto, por hipótesis se verifican las igualdades de productos cruzados a, d = b.c c.f = d.e Multiplicando ordenadamente estas igualdades, resulta a.d.c.f = b.c.d.e y simplificando, tenemos a.f = b.e que demuestra la propiedad ( N . °353).

235

Propiedades de las fracciones 355. Simplificación. — De dos fracciones iguales, decimos que una de ellas tiene forma más simple que la otra cuando se presenta con términos más pequeños. Así, en el ejemplo anterior, 10/60 = 5/20, decimos que / tiene forma más simple que 10/60 . La transformación de una fracción en otra equivalente, pero con términos más pequeños, se llama SIMPLIFICACIÓN. Tendremos, pues, que: Una fracción se puede simplificar dividiendo (cuando es posible) sus dos términos por un divisor común. Así, por ej., la fracción 5/30 puede simplificarse dividiendo sus dos términos por 5, y tendremos 5/30 = 1/6 . 8

3 0

356. Fracciones irreducibles. — Si una fracción no se puede simplificar, significa que sus términos no tienen divisores comunes, es decir, que son números primos entre sí. Tenemos, pues la siguiente definición: Una fracción se llama IRREDUCIBLE cuando sus dos términos son primos entre sí. También decimos, en este caso, que la fracción está reducida a su mínima expresión. Así, por e j . , la fracción 85/41 es irreducible, porque D ( 8 5 , 4 1 ) = 1, vale decir, por ser 85 y 41 números primos entre sí. Análogamente son irreducibles: 24/35 > 10/33 •

357. Para REDUCIR UNA FRACCIÓN A SU MAS SIMPLE EXPRESIÓN, pueden seguirse dos métodos: EMPLEO DE LOS DIVISORES COMUNES. — Se dividen los dos términos de la fracción sucesivamente por sus divisores comunes hasta agotarlos. En esta operación aplicaremos los criterios de divisibilidad tratados en el capítulo XII. E J E M P L O . — Para reducir la fracción 42/48 , diremos: 42 y 48 son ambos divisibles por 2, porque terminan en cifra par; por tanto, efectuando las divisiones por 2 de lo§ términos de la fracción tendremos 42

21

48

34

236 21 y 24 sun ambos divisibles por 3: efectuando 21

42 Por

tenemos: 24

el par de divisione»

7 consiguiente,

7

tendremos:

8

8

48

358. EMPLEO DEL M. C. D. —Se dividen los dos términos de ta fracción por su máximo común divisor. Con este método se obtiene directamente, con un solo par de divisiones, la forma irreducible de la fracción (N.° 332, Propiedad 111). EJEMPLO. — Sea 252/336 la fracción dada. Tenemos; D ( 2 5 2 , 336) =

84,

dividiendo los dos términos de la fracción dada por 84, obtenemos la forma

reducida

8/4.

NOTA I M P O R T A N T E . — En general, resulta siemprt conveniente reducir una fracción a su mínima expresión antes de operar con ella.

359. Transformar una fracción en otra equivalente de denominador dado. — Sea, por ej., la fracción / que queremos transformar en otra equivalente de denominador 20. Empezamos por reducir la fracción a su mínima expre­ sión, y tenemos: 14/8 = 7 /4. Basta notar que, si 20 debe ser el nuevo denominador, as necesario multiplicar el denominador 4 por 5 (cociente de 20 por 4) y que, por otra parte, para obtener una frac­ ción equivalente, es necesario entonces multiplicar también por 5 el numerador (N.° 350). 1 4

8

14

7

7×5

35

8

4

4×5

20

Tendremos, pues: De aquí que podamos establecer la siguiente REGLA. — Para transformar una fracción en otra equiva­ lente de denominador dado, se divide este denominador por el de la fracción primitiva y se multiplican por el cociente obtenido los dos términos de la fracción primitiva. NOTA. — Para que esta transformación sea posible, es nece­ sario que, previa reducción de la fracción a su más simple expresión (N.° 357), el denominador dado sea múltiplo del le la fracción primitiva.

237

360. REDUCCIÓN A COMÚN DENOMINADOR. — Pronto veremos (al comparar, sumar y restar fracciones), que es necesario saber transformar los números racionales en fracciones equivalentes que tengan todas el mismo de­ nominador, transformación que se llama reducción a común denominador. Para ello basta, pues, hallar un múltiplo co­ mún de todos los denominadores de las fracciones dadas y transformar cada una de éstas en una fracción que ten­ ga por denominador dicho múltiplo común (N.° 359). Ahora bien, como un múltiplo común de los denominado­ res es su producto (N.° 174), tendremos, pues la siguiente REGLA. — Para reducir fracciones a un COMÚN DE­ NOMINADOR, basta multiplicar los dos términos de cada una de ellas por los denominadores de todas las otras. EJEMPLO

I.

— Reduciremos

a

común

denominador

las

fracciones

Simplificamos previamente la primera fracción: aquéllas se transfor­ man entonces en 3/4 y 3/7 Aplicando la regla anterior, tenemos: 3

21

3×7

5

5×4

20

4 28 7 4×7 7×4 EJEMPLO I I . — Reduciremos a común denominador 7

7

×2

14

5 × 4 × 2 ;

4

4×2

8

5

28

7/4,

5 , 1/2 .

40

1

1 × 4

4

8

2

2 × 4

8

=

4 × 2

361. Empleo del M. C. M. — Los denominadores de las fracciones 2/3, 7/6, 5/9 admiten los múltiplos comunes 18, 36, 54, . . . etc. Por consiguiente, dichas fracciones pueden reducirse de modo que tengan por denominador común uno cualquiera de estos múltiplos. Siendo 18 el M. C M. de los denominadores, será, pues, el mínimo común denominador. Reduciendo las fracciones al denominador 18, decimos que reducimos las fracciones al mínimo denominador común. Po­ demos' enunciar la siguiente REGLA. — Para reducir varias fracciones irreducibles al MÍNIMO DENOMINADOR COMÚN, se transforman en otras equivalentes que tengan por denominador el mínimo común múltiplo de los denominadores de las fracciones dadas.

238

Podemos decir también que: Para reducir varias fracciones al mínimo denominador común, se reducen primeramente a su más simple expresión; luego se toma como nuevo denominador común el M. C. M. de los denominadores. Los numeradores se obtienen multipli­ cando cada uno de los anteriores por el cociente de dividir dicho M. C. M. por el denominador respectivo. EJEMPLO. — Sean las fracciones: C. M. de los denominadores: Cocientes por los denominadores:

2/3

= 18 18: 3 = 6 ,

,

7/6

18: 6 =

,

5/9

3 ,

18:9 =

2

2 × 6

12

7

×3

21

5 × 2

10

3 × 6

18

6 × 3

18

9× 2

18

Fracciones transformadas:

Desigualdad de fracciones 362. Fracciones de igual denominador. — Todos sabemos que 3/4 de Kg. es más que 1/4 de Kg.; que 9/10 de metro es más que 5/10 de metro; que 5/2 de litro es más que 8/2 de litro, etc. Podemos, pues, escribir 3/4 > 1/4 ; 9/10 > 5/10 ; 5/2 > 3/2 ; y establecer la siguiente propiedad:

etc.

De dos o más fracciones de IGUAL DENOMINADOR, es mayor la que tiene mayor numerador. 363. Fracciones de igual numerador. — Es evidente que la cuarta parte de una manzana es mayor que la sexta porté de la misma, es decir, 1/4 > 1/6. En general, se comprende fácilmente que, cuanto mayor sea el número de partes en que se divide una misma magni­ tud, tanto menor será cada una de estas partes; tendremos, pues, que 1/2 > 1/3 > 1/4 > 1/5 > > 1/1000 > . . . : es decir: de varias unidades fraccionarias, es mayor la que tiene menor denominador. Análogamente se comprende fácilmente que así como 1/4 de manzana es más que Ve de la misma manzana, también 3/4 de manzana será más que 8/6 de la misma; también 3/2 de metro es más que3/40de metro; 4/5 de Kg. es más que 4/8 de Kg., etc. Podemos, pues, escribir 1/4 > 1/6 ; 3/4 > 3/6 > etc. y establecer la siguiente propiedad:

239

De dos o más fracciones de IGUAL NUMERADOR, ei mayor la que tiene menor denominador. 364. Fracciones cualesquiera. — Para comparar fracciones que no tienen ni los numeradores ni los denominadores igua­ les, es necesario reducirlas previamente a común denomina dor y luego aplicar la propiedad del (N.° 362). A s í , p o r ej., para c o m p a r a r las fracciones 3/5 y 4/7, reduciéndolas a común denominador, tenemos: 3

21

4

21

20

20

5

35

7

35

3 resulta

como 35

35

4 >

5

7

En general, dadas dos fracciones tales que sea a c b d reduciéndolas a común denominador obtenemos: c.b a.d b.d d.b Como los denominadores de éstas son iguales (b.d) = = (d.b), en virtud del (N.° 362) el numerador de la pri­ mera fracción será mayor que el numerador de la segunda, a.d > b.c Esta desigualdad es la regla de los productos cruzados que dimos en el (N.° 352). Podemos establecer, pues, como definición la siguiente propiedad: d e c i r

Una fracción es MAYOR que otra cuando el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda es MAYOR que el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda. Así, p o r e j . , para c o m p a r a r las fracciones 3/5 y 4 / 7 , c o m p a r a m o s los p r o d u c t o s c r u z a d o s : 3 × 7 y 5 × 4, que s o n respectivamente 21 y 20; siendo 21 > 20, es 3/5 > 4 / 7 .

Representación gráfica 365. Los números racionales en la recta numérica. — En el (N.° 95) vimos como se representan sobre la recta numérica los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, . . . Veremos ahora que los números fraccionarios puros también se pue­ den representar gráficamente.

240

3

9

Sean, por ej. las fracciones iguales:

y 12 4 Como vimos en la figura del (N.° 349), la fracción 3/4 representa un segmento compuesto de las tres cuartas par­ tes del segmento unidad. Es decir, que el segmento unidad entera se ha dividido en cuatro partes iguales y se han to­ mado tres de ellas, obteniendo así un segmento representa­ tivo de la fracción 3/4. En la figura que sigue se reproduce la recta numérica más allá de la primera unidad entera. En dicha recta el seg­ mento OA representa la fracción %, es decir el conjunto de 3 unidades fraccionarias del valor 1/4 cada una. Decimos que el punto A representa en la recta numérica al número fraccionario3/4.

Si nos proponemos representar la fracción V12, obsérvese que, como dividir la unidad entera en 12 partes iguales equi­ vale a dividir cada una de las unidades fraccionarias ante­ riores, que eran cuartos, en tres partes iguales, para obtener así doceavos (por ser 3 × 4 = 12), tendremos que 9 de estas últimas unidades fraccionarias (1/12) equivalen a 3 de las unidades anteriores (1/4), es decir que 9/12 = 3/4. El segmento OA representa entonces ambas fracciones 9/12 y 3/4, y el punto A las representa sobre la recta numérica. Análogamente representa cualquiera de las fracciones equivalentes a ellas 9 6 24 30 18 27 75 12 8 32 40 24 36 100 que resultan de multiplicar por un mismo número los dos términos de la primera fracción 3/4, conforme la propiedad del (N.° 350). Si tomamos 5 de las unidades fraccionarias 1/4, el seg­ mento OB representará la fracción 5/4, y también la frac­ ción 10/8, .... Si dividimos la unidad entera en 10 partes iguales, el segmento OC representará la fracción 23/10, pues el extre­

241 a

mo C corresponde a la 23. subdivisión de las que resultan de dividir la unidad entera en décimos. Los puntos M, N y P, extremos de los segmentos OM, ON y OP que representan los números naturales 1, 2, y 3 también forman parte de esta ordenación de números fraccionarios, porque bien sabemos que todo número natural es equivalente a una fracción aparente (N.° 345). En la misma recta numérica hemos representado entonces un conjunto de números racionales (naturales y fraccionarios puros). Por tanto, generalizando esta representación, tenemos: Cada número racional puede representarse por el segmento obtenido dividiendo el segmento unidad entera en tantas partes iguales como indique el denominador, y tomando luego tantas partes como indique el numerador. Mediante este procedimiento asociamos un punto de la recta numérica con cada número racional, de modo que a cada número racional le corresponda un solo punto de la recta. Tenemos, pues, una correspondencia biunívoca entre los números racionales y algunos puntos de la recta. Denominamos los puntos de la recta numérica por los nombres de los números correspondientes. Así diremos, por ej., que el punto 1/2 corresponde al número racional1/2. Llamaremos a tales puntos, puntos racionales, y usaremos los términos "número racional" y "punto racional" en forma equivalente. NOTA. — Se podría suponer que la correspondencia biunívoca mencionada asigna un número a cada punto de la recta; pero esto no sucede así, pues sobre la recta numérica existen más puntos sin ubicar por el procedimiento indicado anteriormente. Estos puntos no marcados corresponden a números como por ej., V2, V3 y V5 que no son números racionales. A estos números nos referiremos más adelante (N.° 414). 366. Ordenación de números racionales. — Como a cada número racional menor que otro corresponde un segmento representativo menor que el segundo, si los tomamos todos a partir de un mismo origen sobre un eje orientado y hacia la derecha, resultará así sobre la recta numérica una sucesión ordenada de extremos (puntos), a cada uno de los cuales corresponde un número racional, extremos tales que a cada punto anterior a otro corresponde un número menor que el de este otro, y recíprocamente. En la figura del (N.° 365) se evidencia la ordenación de 16. — A R I T M É T I C A

1er. AÑO —

Coppetti

242

las fracciones referidas en la misma de menor a mayor, al recorrer la recta numérica de izquierda a derecha. Así, tenemos, que es: 0 < 1/4; 1/4 < 2/4 ; 2/4 < 3/4 ; 3/4 < 1 1 < 5/4 ; 2 < 23/10 ; 23/10 < 3 En virtud de la ley transitiva de las desigualdades (N.° 147), esta ordenación se puede escribir así: 0 < 1/4 < 2/4 < 3/4 < 1 < 5/4 < 2 < 23/10 < 3 < . . . Operaciones

con

fracciones

367. Definición y cálculo de la suma. — Como los nú­ meros racionales pueden presentarse por fracciones de igual o distinto denominador, se darán definiciones distintas para la adición de fracciones en ambos casos. Caso de fracciones de igual denominador. Así como para sumar unidades enteras de la misma es­ pecie, por ej., 2 Kg., 1 Kg., 4 Kg., decimos: 2 Kg. + 1 Kg. + 4 Kg. = (2 + 1 + 4) Kg. análogamente, para sumar unidades fraccionarias de la mis ma especie, por ej., 2 novenos, 1 noveno, 4 novenos, decimos. 2 novenos + 1 noveno + 4 novenos = ( 2 + 1 + 4) novenos que se escribe así: 1 2+ 1+4 4 2 9 9 9 En general, podremos escribir a d

9

b

c

a+ b+c

d

d

d

Esta igualdad nos justifica la siguiente D E F I N I C I Ó N . — Se llama suma de dos o más fracciones de IGUAL DENOMINADOR a otra fracción de igual de­ nominador, cuyo numerador sea la suma de los numeradores. Basándose en esta definición, enuncie el estudiante la REGLA correspondiente para sumar dos o más fracciones de igual denominador.

243 EJEMPLO.

6/5

+

8/5

+

2/5

+

1/5

=

17/5.

368. Caso de fracciones de distintos denominadores. — Si las fracciones no tienen igual denominador, se suman aplican­ do la siguiente REGLA. — Para SUMAR dos o más fracciones de DISTIN­ TOS DENOMINADORES, se reducen previamente a común denominador y luego se suman aplicando la definición an­ terior. EJEMPLO. —

Sea la

suma

1/3

+

5/4

+

7/18.

Reduciendo previamente las fracciones a común denominador, 1

5

7

12

45

14

71

3

4

18

36

36

36

36

tenemos•

369. Caso de un número natural con una fracción. Para sumar un número natural con una fracción, se re­ duce el número natural a fracción poniéndole por denomi­ nador la unidad (N.° 345), y luego se procede como en el caso anterior. EJEMPLO.

3

2

3

2

15

2

17

5

1

5

5

5

5

+

370. Números mixtos. — Se llama número mixto a la suma de un número natural con una fracción propia. Es un número mixto, por ej., 2 + 4/5. El número 2 es la parte entera y 4/5 la parte fraccionaria. Por lo indicado en el (N.° 369), vemos que un número mixto puede reducirse a fracción impropia equivalente, para lo cual se aplica la siguiente REGLA. — Para REDUCIR UN NUMERO MIXTO A FRACCIÓN, se multiplica la parte entera del número mix­ to por el denominador de la fracción, al resultado se le suma el numerador, y a la suma obtenida se le pone como deno­ minador el de la fracción. 2 Así,

por e j . , tendremos:

4

×5 +

2

20 + 2

22

5

5

4 5

5

371. Inversamente, veamos cómo podemos reducir una fracción a número mixto. Sea, por ej., la fracción 23/7. Di-

244

vidiendo el numerador por el denominador, obtenemos el co­ ciente entero 3 y el resto 2; por consiguiente, en virtud de la relación fundamental de la división (N.° 231), podemos escribir 7×3 + 2 23 23 = 7 × 3 + 2 , de donde 7 7 La fracción 23/7 puede considerarse, pues, como suma de 2 7×3 Las dos fracciones ; la primera es una frac­ y 7 7 ción aparente de valor 3, y la segunda es propia. Por con 2 2 23 3 siguiente, podemos escribir 3 7 7 7 Podemos, pues, establecer la siguiente REGLA. — Para TRANSFORMAR UNA FRACCIÓN IM PROPIA EN NUMERO MIXTO, se divide el numerador por el denominador; el cociente entero obtenido es la parta entera del número mixto que sie busca; el resto de la divi­ sión es el numerador de la parte fraccionaria, la que tiene por denominador el de la fracción dada. Así, por e j . , para transformar 17/3 dividimos 17 por 3 ; nos da el 17 cociente entero 5, y resto 2 ; por consiguiente,

tendremos:

2 5

3

3

372. Recordando que la raya de quebrado equivale al signo de división (N.° 343), vemos pues, que esta regla per­ mite completar un cociente cuando la división es inexacta (N.° 228); se agrega al cociente entero una fracción que tie­ ne por numerador el resto y por denominador el divisor. Así, por e j . , la división de 48 por 5 da por cociente entero 3 resto 3 ; por consiguiente podremos escribir 4 8 : 5 = 9 + 5

9 y 3 9 5

Propiedades de la adición 373. Propiedad de clausura. — Análogamente que para los números naturales (N.° 100), la suma de números fraccio­ narios goza de propiedad similar.

245

Como los números naturales y los números fraccionarios integran el conjunto de los números racionales, podemos de­ cir que este último conjunto es cerrado respecto de la adi­ ción, lo que nos justifica la siguiente propiedad: La suma de dos números racionales cualesquiera, es siem­ pre un número racional. Así, por ej., tenemos: 9 1 3

2

14

4

7

o

3

4 4 5 5 3 3 5 Obsérvese que los tres resultados de las sumas son también números racionales.

374. Propiedad uniforme. — Puesto que fracciones igua­ les representan el mismo número, vale decir la misma mag­ nitud, y como ya vimos en el (N.° 102) que el resultado de sumar esas magnitudes es independiente de la naturaleza de las magnitudes sumadas, para las fracciones elegidas, ten­ dremos la siguiente propiedad: La suma de dos números racionales dados tiene un valor único. Como corolario, tenemos la siguiente propiedad de laa igualdades, de enunciado análogo a la del (N.° 1 1 0 ) : Sumando miembro a miembro varias igualdades entre nú­ meros racionales, se obtiene otra igualdad. E J E M P L O . — Sean las igualdades 2/3 = S u m a n d o ordenadamente t e n e m o s

6/9

y

5/6 =

15/18

2/3 + 5 / 6 = 6 / 9 + 15/18 C o m p r o b a m o s efectuando o p e r a c i o n e s , reduciendo previamente m í n i m o c o m ú n denominador, q u e es 18 y r e s u l t a : 9/6 =

27/18,

y simplificando,

3/2 =

al

3/2

375. Propiedad conmutativa. — También se podría hallar esta propiedad teniendo presente que las fracciones que se suman son magnitudes de la misma naturaleza, puesto que se han reducido previamente a común denominador, y en­ tonces podemos aplicar a esa suma la propiedad del (N.° 103). Pero podemos dar una demostración directa.

246

En efecto, como para sumar números racionales se redu­ cen previamente a común denominador y luego se suman los numeradores que resulten, y como éstos son números naturales cuya suma no se altera si se cambia el orden de los sumandos (N.° 103), tendremos así la siguiente propiedad: El valor de la suma de números racionales no cambia, si se altera el orden de los sumandos. EJEMPLO. — propiedad:

La igualdad a/n

+ b/n

+

que sigue expresa c/n = c/n

+ a/n

simbólicamente

+

la

b/n

Si efectuamos las sumas, t e n d r e m o s : (a +

b + c)/n =

(c + a +

b)/n

y a m b o s resultados son iguales, p o r ser a + b + C z = c + a

+

b

376. Propiedad asociativa. — Esta propiedad, análoga­ mente que para la anterior, resultaría demostrada mediante la asimilación de magnitudes con fracciones. Pero con igual razonamiento, decimos que al asociar algunos sumandos ra­ cionales en los numeradores se asociarán números naturales, y aplicando entonces la propiedad del (N.° 104) y tenemos la siguiente propiedad: La suma de varios números racionales no altera si se sus­ tituyen dos o más sumandos por su suma efectuada. 377. Puesto que la propiedad asociativa se expresa con una igualdad, ésta puede leerse en orden inverso, y resulta así la propiedad disociativa para la suma de números ra­ cionales, es decir que se puede disociar un sumando racional en varios sumandos racionales. 378. En la práctica conviene utilizar estas propiedades para abreviar los cálculos. .Así, por ej. para la suma si­ guiente : 3/5 + 2/3 + 2/5 + 1/3 + 5/6 Conviene alterar el orden de los sumandos 2.° y 3.°, y luego asociar el 1.° con 2.°, y 3.° con 4.°, obteniendo, (3/5 + 2/5) + (2/3 + 1/3) + 5/6 = 1 + 1 + 5/6 = = 2 + 5/6 = 17/6

247

379. Propiedades de monotonía. — Por las razones dadas en recientes párrafos, la snma de números racionales goza de las mismas propiedades de monotonía que la suma de números naturales, por lo cual remitimos al lector a aquellos enunciados (N.° 153 y 154). E J E M P L O . — Siendo 2/3 =

4/6

y

5/7 <

8/9. t e n e m o s :

2/3 + 5/7 < 4 / 6 + 8/9 Como c o m p r o b a c i ó n , calculamos ambas s u m a s y o b t e n e m o s : 29/21 < 84/54 desigualdad ésta verdadera, p o r ser el p r i m e r p r o d u c t o cruzado men o r q u e el s e g u n d o ( N . ° 3 6 4 ) ; en efecto, es 29 × 64 < 21 × 84 ; 1566 < 1764

Propiedades de la sustracción 380. Definición y cálculo de la diferencia. — Procediendo análogamente que en la suma, sea, por ej., el siguiente problema: Si de una barra metálica de /io de m. de longitud, cortamos un trozo7/10de m., ¿cuánto nos queda? Diremos: 9 décimos de m. — 7 décimos de m. = 2 déci naos de m.; en términos abstractos escribiremos: 9 7 2 10 10 10 La definición de esta operación, como inversa de la adición, es la misma que dimos para los números naturales. 9

DEFINICIÓN. — Se llama DIFERENCIA entre dos números racionales (no siendo el segundo mayor que el primero), aquel número que sumado al segundo da como resultado el primero. Escribir la igualdad a/m — b/n = p/q , equivale pues a esta otra: p/q + b/n = a/m Así, en el ejemplo numérico último es2/10la diferencia, porque la suma 2/10 + 7/10 = 9/10. Las definiciones de minuendo, sustraendo y diferencia, así como la condición de posibilidad de la sustracción de números racionales, es análoga que para los números naturales. Para calcular una diferencia de números racionales será necesario que tengan iguales denominadores, y luego se aplica una REGLA análoga a la de la adición (N.° 368), pero reemplazando el vocablo suma por resta. Como ejercicio, dejamos que el estudiante enuncie esta regla.

248

Si las fracciones tienen distinto denominador, se empieza por reducirlas a común denominador, y luego se efectúa la sustracción como antes. 8

3

8 × 7

3 × 5

56

15

43

5

7

5 × 7

7 × 5

35

35

36

EJEMPLO.

381. Propiedad uniforme. — Como para los números na­ turales, la sustracción de números racionales goza de la pro­ piedad uniforme: a) La diferencia entre dos números racionales tiene un valor único. b) Restando miembro a miembro dos igualdades entre números racionales, se obtiene otra igualdad. Simbólicamente, dadas las igualdades a/b = c/d y m/n = p/q tendremos: a/b — m/n = c/d — p/q E J E M P L O . — Si restamos ordenadamente las 3/5 = llegamos

6/10

a la i d e n t i d a d

(12 — 1 0 ) / 2 0 =

y

2/4 =

igualdades

1/2

siguiente:

(12 — 10)/20

o sea

1/10 =

1/10

Multiplicación 382. Multiplicación por un número natural. — Al de­ finir la multiplicación en el (N.° 171), vimos que, con la notación, por ej., (Kg. 3 ) × 5, se indicaba el producto de Kg. 3 por 5, que abreviaba la suma Kg. 3 + Kg. 3 + Kg. 3 + Kg. 3 + Kg. 3 Análogamente, el producto ( 3 séptimos) por 5 abrevia la áuma 3 séptimos + 3 séptimos + 3 séptimos + 3 sépti mas + 3 séptimos; esto se puede escribir así: 3 3 3 3 3 3 5 7 7 7 7 7 7 Pero la suma indicada en el seernndo miembro de esta igual dad se efectúa con la regla del (N.° 367), y resulta: 3+3+3+3+3 3 3×5 5 7 7 7

249

En general,

a b

a × c

c

b

igualdad que nos origina la siguiente REGLA. — Para MULTIPLICAR UNA FRACCIÓN POK UN NUMERO NATURAL, se multiplica por éste el numera­ dor, conservando el mismo denominador. 383. Leyendo en orden inverso la última igualdad, es decir, aplicándole el carácter recíproco de las igualdades, podemos "nunciar la siguiente propiedad: SI SE MULTIPLICA EL NUMERADOR DE UNA FRAC CION POR UN NUMERO NATURAL, LA FRACCIÓN RESULTA MULTIPLICADA POR ESE NUMERO. 4 x 2

4 ,

Así, por ej., si tenemos la fracción

la fracción 5

5 4 × 3

12

5

5

será doble de la primera;

5

será triple de la primera, etc.

384. Cuando el denominador de la fracción es divisible por el número, y sólo en este caso, puede efectuarse la multipli­ cación dividiendo el denominador por el número, conservando el mismo numerador. 5 5 5 3

Así, por ej., tendremos: 12

12: 3

4

Este procedimiento se basa en la siguiente propiedad: SI SE DIVIDE EL DENOMINADOR DE UNA FRACCIÓN POR UN NUMERO NATURAL, LA FRACCIÓN RESULTA MULTIPLICADA POR ESE NUMERO. Esta propiedad se evidencia también mediante la figura del (N.° 365). Así, en el ejemplo anterior, establecimos que 6/4 es el triplo de 5/12. En efecto: puede verse que la unidad fraccionaria / es el triplo de la unidad fraccionaria 1/12 porque 1/4 = 8/12 = (1/12) × 3, por consiguiente, 5 veces 1/4 será también el triplo de 5 veces 1/12, o sea que 5/4 es el triplo de 5/12 . 1

á

Como ejercicio, enuncie el estudiante la REGLA corres­ pondiente para efectuar la multiplicación.

250

385. División por un (número natural. — Sean por ej., las divisiones siguientes 15 5 5 y 2 7 6 En el primer caso, siendo el numerador de la fracción di­ visible por el número, dividimos el numerador por el número, •onservando el mismo denominador, y resulta: 15 7

5

15:5

3

7

7

Es evidente que 3/7 es efectivamente el cociente, es decir, ia quinta parte del dividendo 15/7, porque ambas fracciones tienen igual deno m i n a d o r , y c o m p a r a n d o l o s n u m e r a d o r e s ( N . ° 3 6 2 ) , v e m o s que 3 es la q u i n t a parte de 15, porque 3 × 6 = 15.

Podemos, pues, enunciar la siguiente propiedad: SI SE DIVIDE EL NUMERADOR DE UNA FRACCIÓN POR UN NUMERO NATURAL, LA FRACCIÓN RESULTA DIVIDIDA POR ESE NUMERO. Como ejercicio, enuncie el estudiante la REGLA corres­ pondiente para efectuar la división. 386. En el segundo caso, no siendo el numerador divisible por el número natural, multiplicamos el denominador por el entero conservando el mismo numerador, y resulta: 5 6

5

5

2

12

6×2

La fracción 5/12 es, efectivamente, el cociente, es decir, la mitad del d i v i d e n d o 5/6. E n e f e c t o : en la figura del ( N . ° 3 4 9 ) , v e m o s que 1/12 es la mitad de 1/6 porque 1/6 = 2/12 = (1/12) × 2 ; Ppr consiguiente, 5 veces 1/12 será también la mitad de cinco veces 1/6, o sea que 5/12 es la mitad de 5/6 .

Ejemplos análogos justifi­ can, pues, la igualdad general que se indica al lado, la que ori­ gina la siguiente definición:

a b

c

a b

×c

Se llama cociente de una fracción por un número natural, a la fracción formada multiplicando el denominador por di­ cho número y conservando el mismo numerador.

251

Como consecuencia de esta definición, enuncie el estudiante la REGLA operatoria para la división de una fracción por un número natural. 387. Leyendo en orden inverso la última igualdad, es decir aplicándole el carácter recíproco de las igualdades, podemos enunciar la siguiente propiedad: SI SE MULTIPLICA EL DENOMINADOR DE UNA FRACCIÓN POR UN NUMERO NATURAL, LA FRACCIÓN RESULTA DIVIDIDA POR ESE NUMERO. 388. Multiplicación de fracciones. — Esta operación se origina en los problemas concretos de multiplicación y división combinadas. Supongamos, por e j . , que nos proponen la siguiente cuestión: Si un auto emplea 4/5 de minuto en recorrer 1 Km., ¿cuánto empleará en recorrer 9/10 de Km.? El problema se reduce a hallar los 9/10 de 4/5, operación que indicamos con la multiplicación de fracciones, o sea: (9/10) × (4/5). Razonaremos así: Si 1 Km. lo recorre en 4/5 de minuto, 1/10 de 4 Km. lo recorrerá

en

1 0 veces menos, o sea

en

4 10

5

5×10

de minuto, y 9/10 de K m . en 9 veces más, o sea en 4 × 9

4 9 5 ×

10

Tendremos, 5 ×

10

9

4

9×4

10

5

10 × 6

pues:

Ejemplos análogos para otras unidades, nos conducen a establecer la igualdad general que se indica al mara × c a c gen, la que origina la sib × d b d guiente DEFINICIÓN. — Se llama PRODUCTO de dos fracciones, a la fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores.

Basándose en esta definición, enuncie el estudiante la REGLA correspondiente para multiplicar dos o más fracciones.

252

389. Si los factores son más de dos, es fácil verificar que la regla también se cumple en ese caso. 2

3

4

2 × 3 × 4

24

8

5

7

9

5 × 7× 9

315

105

Así, por e j . , tendremos:

Propiedades de la multiplicación 390. Propiedad de clausura. — Por igual razón invoca­ p a r a la adición en el (N.° 373), podemos decir que el conjunto de números racionales es cerrado respecto de la multiplicación, lo que nos justifica la siguiente propiedad: da

El producto de dos números racionales cualesquiera, es siempre un número racional. C o m o lo h i c i m o s p a r a la a d i c i ó n , v e r i f i q u e

el estudiante

esta propiedad proponiéndose algunos ejemplos. 391. Propiedad uniforme. — Por igual razón invocada la adición en el (N.° 374), tendremos la siguiente pro­ piedad : para

El producto de dos números racionales dados tiene un valor único, es decir independiente de cuales sean las frac­ ciones que los representen. Como corolario, tenemos la siguiente propiedad de las igualdades, de enunciado análogo a la del (N.° 177): Multiplicando miembro a miembro varias igualdades en­ tre números racionales, se obtiene otra igualdad. E J E M P L O . — Sean l a s igualdades 2/5 = 4 / 1 0 y 3/7 = 9 / 2 1 . Multiplicando ordenadamente t e n e m o s : Comprobación: (2/5) × (3/7) = (4/10) × (9/21) 6/35 = 36/210,

y simplificando,

6/35 = 6 / 3 6

392. Propiedad conmutativa. — Como el numerador del producto de dos números racionales es el producto de los numeradores (N.° 388), y por ser éstos números naturales, dicho producto es independiente del orden en que se con­ sideren los factores, y análogamente con el denominador, por consiguiente tendremos:

253

El producto de números racionales es independiente del orden de los factores. Verificaremos esta propiedad mediante un ejemplo. Demostraremos que 2/3 × 4/5 =

4/5

×

2/3 . Para ello, aplicando

sucesivamente los ( N o s . 388 y 180) y la r e g l a inversa del ( N . ° 388) tenemos: 4 × 2 4 4 2 2 × 4 2 3

5

3 × 5

5 × 3

5

3

Como el razonamiento seria el mismo para otros números cualesquiera, queda demostrada la generalidad de la propiedad.

393. Propiedad asociativa. — Análogamente que en la propiedad anterior, resulta que la asociación de dos o más factores equivale a asociar los correspondientes numerado­ res y los denominadores, operación que como ya vimos en el (N.° 182) no altera el producto; resulta pues demostrada la siguiente propiedad: El producto de números racionales no altera si se susti­ tuyen dos o más factores por su producto efectuado. E J E M P L O . — Sea el p r o d u c t o ( 1 / 2 ) . ( 3 / 4 ) . ( 5 / 3 ) .2 Efectuando las m u l t i p l i c a c i o n e s de izquierda a derecha, y sim­ plificando al final, t e n e m o s : ( 3 / 8 ) . ( 5 / 3 ) . ( 2 ) = ( 1 5 / 2 4 ) . ( 2 ) = 30/24 = 5/4 A s o c i a n d o los factores p r i m e r o y último, t e n e m o s : ( 1 / 2 ) . ( 2 ) . ( 3 / 4 ) ( 5 / 3 ) = ( 1 ) . ( 1 5 / 1 2 ) = 5/4

394. Puesto que la propiedad asociativa expresa una igualdad, ésta se puede enunciar en orden inverso y resulta así la propiedad disociativa para el producto de varios nú­ meros racionales, de enunciado análogo a la de los números naturales (N.° 183). 395. Propiedad distributiva. — El enunciado de esta pro­ piedad en los distintos casos presentables, es análogo que para los números naturales, ya que el multiplicando sea una suma (N.° 190), una diferencia (N.° 191), o una suma al­ gebraica de números racionales (N.° 192), y aún en los ca­ sos de productos de dos sumas (N.° 194), o de una suma por una diferencia (N.° 195) de números racionales. Como ejercicio dejamos que el estudiante las enuncie para los nú­ meros racionales.

254 EJEMPLOS. —

1.°

Caso de u n a suma

por un número

ra­

cional : (5/3+2+1/6) . (3/2)=

( 5 / 3 ) . (3/2) + 2 . (3/2) +

(1/6) . (3/2)

=

=5/2+3+1/4=23/4 2.°

Caso de una suma p o r u n a diferencia:

( 1 / 3 + 1 / 2 + 5 / 4 ) . ( 3 / 2 — 1 / 4 ) = ( 1 / 3 ) . (3/2) + (1/2) . (3/2) + + (5/4). ( 3 / 2 ) — ( 1 / 3 ) . ( 1 / 4 ) - ( 1 / 2 ) . ( 1 / 4 ) — ( 5 / 4 ) . (1/4) = = (1/2)+ (3/4) + ( 1 5 / 8 ) - ( 1 / l 2 ) — ( 1 / 8 ) — ( 5 / 1 6 ) = 1 2 5 / 4 8

396. Propiedades de monotonía. — Como para la multi­ plicación de números naturales, la de números racionales goza de propiedades de monotonía de análogos enunciados. Así, la análoga a la del (N.° 187) sería: Multiplicando ambos miembros de una desigualdad por un mismo número racional (diferente de cero) se obtiene una desigualdad del mismo sentido. f

Simbólicamente, dados dos números racionales que redu­ cidos a común denominador, presentan la desigualdad si­ guiente : b a n

n

Si multiplicamos los dos miembros por un mismo número racional, p/q, decimos que se mantiene el sentido de la desigualdad, o sea que es también a

p

b

p

n

q

n

q

Demostración: Efectuando l o s p r o d u c t o s c r u z a d o s y aplicando l u e g o l a propie­ dad d e m o n o t o n í a d e los m i s m o s del ( N . ° 3 6 4 ) . o b t e n e m o s : (a.p). (n.q) < ( b . p ) . (n.q) d e donde a.p.n.q < b.p.n.q A p l i c a n d o a esta ú l t i m a la p r o p i e d a d d e m o n o t o n í a del ( N . ° 218) la s i m p l i f i c a m o s d i v i d i e n d o l o s d o s m i e m b r o s p o r e l m i s m o n ú m e r o (p.n.q), y obtenemos: a n

n

que constituye, precisamente, la hipótesis.

Como ejercicio, enuncie el estudiante para los números ra­ cionales las otras dos propiedades de monotonía análogas a las de los (Nos. 188 y 189).

255 E J E M P L O . — Siendo 5 / 2 > 1/3, m u l t i p l i c a n d o p o r 4 / 7 , t e n e m o s : ( 5 / 2 ) . (4/7) > (1/3). (4/7). Efectuando, resulta 20/14 > 4 / 2 1 . V e r i f i c a m o s calculando l o s p r o d u c t o s cruzados, y obtenemos 20 × 21 > 14 × 4, p o r resultar 420 > 56

División 397. Números inversos. — Dos fracciones se llaman inver­ sas, cuando el numerador de una es el denominador de la otra; así, lo son los tres ejemplos siguientes: 3 5 1 a b 4 y 5 3 b a 4 Aplicando a dos fracciones inversas la definición de pro­ ducto (N.° 388), tenemos: b.a b a.b a 1 b a.b a.b a lo que nos justifica la siguiente DEFINICIÓN. — Dos fracciones (distintas de cero) se di­ cen inversas (o recíprocas) si su producto es igual a la unidad. 398. Definición de división. — En el Cap. VIII vimos que la división exacta sólo era posible (N.° 213) cuando el dividendo era múltiplo del divisor, y que la división entera no siempre era posible en el campo de los números natura­ les. Veremos ahora que esta última división admite solución empleando los números racionales. En este nuevo campo de los números, se suprime para la división exacta la restric­ ción de que el dividendo sea múltiplo del divisor. DEFINICIÓN. — Se llama COCIENTE de un número ra­ cional m/n (dividendo) por otro (p/q) (divisor), al número que multiplicado por el segundo (p/q) naos da como resul­ tado el primero (m/n). La DIVISIÓN es la operación aritmética mediante la cual hallamos el cociente de dos números racionales. NOTA. — Prescindimos de emplear el calificativo de exac­ ta a la división, pues es la única que trataremos entre nú­ meros racionales.

256

399. Cálculo del cociente. — Sea, por ej., la división de /g por / - ¡ . Tenemos qu<í encontrar una fracción que, multiplicada por el divisor nos dé el dividendo /g. El cociente se obtiene con la siguiente 2

s

2

REGLA. — Para DIVIDIR DOS FRACCIONES, se multiplica la fracción dividendo por la fracción divisor invertida. Es decir, que: 2

5

2

7

2 × 7

14

3

7

3

5

3×5

15

a

En general:

e

a × d

d

b × c

a × d es, efectivamente, el cociente, porque

La fracción b× por el divisor c/d,

multiplicada

c nos da:

a×d

o

a × d × c

a

b × c

d

b×c×d

b

es decir, que nos reproduce el dividendo.

400. Como consecuencia de la definición de fracción inversa de otra, podemos enunciar la regla anterior en esta otra forma: Para dividir dos fracciones, se multiplica la fracción dividendo por la inversa de la divisora. 401. Casos particulares. La división de un número natural por una fracción es un caso particular de la regla anterior, dando al número natural la forma fraccionaria (poniéndole por denominador la unidad). Así, por ei., tendremos: 2

6

2

5

3

5 × 3

15

3

1

3

1

2

1 × 2

2

6

Como ejercicio, enuncie el estudiante la REGLA correspondiente en este caso.

257

Con análogo procedimiento se puede hallar la regla referida al final del (N.° 386), que da el cociente de una fracción por un número natural. Se tiene, en efecto, a b

c

a

c

b

1

a

1

a

c

b.c

402. División completa de números racionales. — Al definir la división exacta (N.° 398) indicamos que esta operación no tenía restricción en el campo de los números racionales; siendo el dividendo y el divisor números naturales, el cociente es la fracción que tiene por numerador el dividendo, y por denominador el divisor. En efecto, la división de a por b es: 1 b a×1 a a a a b 1 1 1 1 1×b Queda así resuelto el problema de la división de dos números naturales aún en el caso que el dividendo no sea múltiplo del divisor; el cociente es, pues, el número fraccionario a/b. En general, conforme la relación fundamental en la división entera entre números naturales D y d, y siendo c el cociente entero y r el resto, tenemos: D = d. c + r . Dividiendo ambos miembros por d, resulta: D

r c

d d relación que puede expresarse así: El COCIENTE COMPLETO de la división de dos números naturales es igual al cociente entero más una fracción cuyo numerador es el resto, y el denominador es el mismo divisor. E J E M P L O . — Si t u v i é r a m o s que repartir 12 objetos entre 3 personas t o c a r í a 4 objetos a c a d a una, y la división resulta exacta. Si en c a m b i o fueran 14 los objetos a repartir entre las m i s m a s personas, la división resultaría inexacta, y daría el m i s m o cociente 4, pero h a b r í a un resto de 2 objetos que q u e d a r í a n sin repartir. C o n f o r m e la ú l t i m a r e l a c i ó n se c o m p l e t a r í a el r e p a r t o a s i g n a d o a cada una de las p e r s o n a s los 4 objetos m á s 2 / 3 de c a d a objeto, o sea en total 4 + ( 2 / 3 ) = 1 4 / 3 .

403. Observaciones para operar con números racionales. 1. Para efectuar operaciones en las que intervengan núa

1 7. — A R I T M É T I C A

1er.

AÑO —

Coppetti

258

meros mixtos, generalmente conviene reducir previamente estos últimos a números fraccionarios. 2. Téngase presente que antes de efectuar el producto indicado de números racionales, conviene dividir los facto­ res del numerador y del denominador por los divisores co­ munes que tuvieren. Aplicaremos estas dos observaciones en el siguiente: 11 4 3 11 × 5 55 4 11 × 5 × 4 2 5 6 4 ×3 3 4 3 3 3 4 a

Propiedades de la división 404. Puesto que la división de dos números racionales se reduce a la multiplicación del dividendo por el inverso del divisor (N.° 400), se mantendrán, pues, en la división las mismas propiedades. Propiedad de clausura. — El cociente de dos números ra­ cionales cualesquiera, es siempre un número racional. Propiedad uniforme. — El cociente de dos números ra­ cionales tiene un valor único. Como corolario, tenemos: Dividiendo miembro a miembro dos igualdades entre nú­ meros racionales, se obtiene otra igualdad. E J E M P L O . — Sean las igualdades 3/5 = 9/15 y 2/7 = 4/14 Dividiéndolas ordenadamente tenemos: (3/5); (2/7) = (9/15): (4/14); (3/5).(7/2) = (9/15).(14/4) Efectuando obtenemos. 21/10 = 1 2 6 / 6 0 . C o m p r o b a m o s esta igual­ dad efectuando los p r o d u c t o s c r u z a d o s : 21 ×60 = 126 × 10, obte­ n i e n d o la identidad 1260 = 1260.

405. Propiedad distributiva. — Como para la multipli­ cación la propiedad distributiva de la división puede ser con respecto a la suma, a la diferencia o a la suma alge­ braica. Los enunciados son análogos, y dejamos que el es­ tudiante los formule en cada caso. (Cambiará las palabras multiplicación y productos por división y cocientes, respec­ tivamente) . E J E M P L O . — Calcular e m p l e a n d o p r i m e r a m e n t e l a propiedad dis­ tributiva, y luego d i r e c t a m e n t e ( 6 / 5 + 3/2 + 2 + 1 / 3 ) : ( 2 / 3 ) = ( 6 / 5 ) : ( 2 / 3 ) + ( 3 / 2 ) : ( 2 / 3 ) + + 2: ( 2 / 3 ) + ( 1 / 3 ) : (2/3) = (6/5). (3/2) + (3/2). (3/2) + + 2.(3/2) + ( 1 / 3 ) . (3/2) = (9/5) + (9/4) + 3 + (1/2) = = ( 3 6 / 2 0 ) + ( 4 5 / 2 0 ) + ( 6 0 / 2 0 ) + ( 1 0 / 2 0 ) = 151/20 Directamente, tenemos : (36/30+45/30+60/30+10/30). (3/2) = (151/30). (3/2) =151/20

259

Nociones de potencia y raíz 406. La potenciación. — La potencia de nna fracción tiene el mismo significado que la de un número natural. Así, por ej., 3/5 × 3/5 es el cuadrado de 3/5 ; indica (3/5) La fracción 3/5 es la base y 2 el exponente. Análogamente diríamos para las otras potencia». Recordemos, pues, la definición dada en el Cap. X (N.° 267): 2.

DEFINICIÓN. — Se llama POTENCIA ENÉSIMA de un número racional, al producto de n factores iguales a ese número. Se mantienen las mismas definiciones para base, y para exponente de la potencia. 407. Por definición tenemos, por ejemplo: 3 5

4

3

3 5

3

3 5

5

5

3.3.3.3 5.5.5.5

3

4

5

4

81 625.

de la que se deduce la igualdad general y regla siguientes: Regla. — Para ELEVAR UNA FRACCIÓN A UNA POTENCIA, so forma otra fracción cuyos tér­ minos sean los de aquélla elevados a la misma potencia.

a b

n

an bn

408. Potencias de fracciones irreducibles. — Tenemos la siguiente PROPIEDAD. — Cualquier potencia de una fracción irredu­ cible, es otra fracción irreducible. En efecto, elevando la fracción irreducible a/b a la poten­ cia n, obtenemos la igualdad literal del párrafo anterior. Pero, en virtud da la Propiedad III del (N.° 325), si a y b son primos entre sí, lo son también a y b ; por consiguiente la fracción a /b es irreducible. n

n

n

n

E J E M P L O S . — L a s p o t e n c i a s sucesivas de l a fracción 3 / 4 s o n 3/4

,

9/16

,

27/64 ,

...

260

y todas ellas son fracciones irreducibles, por tener sus términos primos entre sí. 409. Reglas generales de cálculo de potencias. — Como las reglas operatorias con potencias se demostraron para núme­ ros naturales en el Cap. X como consecuencia de la propie­ dad asociativa de la multiplicación, que también se cumple para los números racionales, como ya lo vimos en este Ca­ pítulo, pueden establecerse, sin repetir la demostración, las reglas operatorias usuales: Así, por ej.: (4/5) .(4/5) = ( 4 / 5 ) ; (7/3) :(7/3) = ( 7 / 3 ) = (7/3) ; etc. 2

3

6

2+8

2

6—2

4

410. La radicación. — La raíz de una fracción tiene ei mismo significado que la de un número natural. Así, 2/3 es la raíz cuadrada de 4/9, porque (2/3) = 4/9. y escribimos V4/9 = 2/3 . Recordemos pues la definición dada en el Cap. X (N.° 279). 2

DEFINICIÓN. — Se llama RAÍZ ENÉSIMA de un número racional, a otro número que elevado a la potencia n repro­ duce el radicando. Se mantienen las mismas definiciones para radical, para radicando, y para índice de la raíz. Podemos enunciar, pues, la siguiente REGLA. — Para EXTRAER LA RAÍZ CUADRADA DE UNA FRACCIÓN cuyos términos son cuadrados perfectos, se forma otra fracción cuyos términos son las raíces cuadradas de los de la fracción dada. Análogamente procederíamos para raíces de otros índices cúbicas, cuartas, ... etc., pero siempre que los términos de la fracción cuya raíz se desea extraer sean cubos perfectos, cuartas potencias perfectas, . . . etc., respectivamente. V25/100 = 5/10 ;

V1/4

3

= 1/2 ; V3/125

= 2/5.

411. Números sin raíz exacta. — En el (N.° 280), al es­ tablecer la condición de posibilidad de extracción de la raíz cuadrada de un número natural, vimos que para que exista la raíz, debe ser el radicando un cuadrado perfecto.

261

En el campo de los números naturales decimos, por ej., que V2, V3, V5, etc., no tienen significado. Pero cabe la duda: ¿tendrán significado en el campo de los números fraccionarios? Es decir, dado un número natural a, que suponemos no sea cuadrado perfecto, ¿existirá entre los números fraccionarios algún número p/q que sea raíz cuadrada exacta de a? Para averiguarlo, supongamos que p/q sea irreducible, puesto que si no lo fuera fácilmente lo reduciríamos (N.° 357); si p/q fuera la raíz cuadrada de a, o sea Va = = p/q, elevando al cuadrado tendríamos: a = (p/q) . Pero como cualquier potencia de una fracción irreducible es también irreducible (N.° 408), esto significa que a es también una fracción irreducible y, en consecuencia, no puede reducirse a un número natural. Tenemos, pues: Si un número natural no tiene raíz cuadrada natural, tampoco la tiene fraccionaria (p/q). 2

Densidad 412. Densidad en la recta numérica. — En el (N.° 365) ya vimos cómo se emplea la recta numérica para representar en una gráfica los números naturales y los fraccionarios, es decir, los números racionales. a) En la parte superior de la figura que sigue se marcan en la recta numérica los puntos correspondientes a los números naturales 0, 1, 2, 3 y 4. Obsérvese que hay vacíos entre dos puntos consecutivos cualesquiera.

b) En la parte inferior de la figura se marcan en el mismo intervalo (0 a 4), los puntos racionales correspondientes a las fracciones de denominadores 2, 3, 4 y 6. Obsérvese que se obtiene así en la recta numérica, un con-

262

junto de puntos más próximos unos de otros que en el pri­ mer caso. En éste, entre cada dos números naturales con­ secutivos, hallamos 9 puntos racionales (incluyendo los ex­ tremos). c) Consideremos el conjunto de puntos racionales entre 0 y 1, que representan fracciones con denominadores de 1 a 7 inclusive, puntos que indicamos a continuación. En la pri­ mera fila las fracciones con denominador 1; en la segunda, las fracciones con denominador 2, para los nuevos puntos; en la tercera, las fracciones con denominador 3, para los nuevos puntos, y así sucesivamente. 0/1 l/l 1/2 1/3 2/3 1/4 3/4 1/5 2/5 3/5 4/5 1/6 5/6 1/7 2/7 3/7 4/7 5/7 6/7 Presentamos ahora a continuación, en una fila única, es­ tos números racionales ordenados de menor a mayor: 0 1 1 1 1 2 1 2 3 1 4 3 2 5 3 4 5 6 1 1 7 6 5 4 7 3 5 7 2 7 5 3 7 4 5 6 7 1 Son 19 los puntos racionales bailados en el intervalo 0 a 1, número éste (19) mayor que el del caso anterior, que era 9. Decimos entonces que este conjunto de puntos, o de números racionales, es más denso que el anterior. Podríamos seguir así intercalando nuevos números racio­ nales correspondientes a fracciones de otros denominadores, por ej., 5, 7, 8, . . . etc., y tendríamos así conjuntos más densos aún que los anteriores. 413. Propiedad de la densidad. — Podemos emplear otro método para designar y localizar nuevos puntos racionales. Para ello, dados dos números racionales cualesquiera a y b, siendo a < b, sean A y B los puntos racionales correspondien­ tes. La media de esos dos números, o sea la semisuma de los mismos, 1/2 (a + b) da la abscisa del punto medio del seg­ mento de recta A B que determinan dichos puntos(*). ;

(*) D i j i m o s que 1/2 (a + 6) es la abscisa del punto m e d i o M del segmento AB, p o r q u e siendo O el o r i g e n d e las abscisas, y a longitud del segmento AB — 6 — a, la abscisa de M s e r á : OM = OA + 1/2 = a + 1/2 ( b — a ) = = a + b/2 — a/2 = a/2 + b/2 = 1/2 ( a + b) }

263

Así, por ej., entre los puntos 1/7 y 1/6 del mismo conjunto de números se encuentra otro punto racional correspondiente al número 13/84, pues éste es la media de aquellos números : 1/7 + 1/6 13 2

84

Entre los puntos 1/6 y 1/5 del último conjunto, se encuentra análogamente el número racional 11/60, que es la media de los números 1/6 y 1/5. Entre los puntos 0/1 y 1/7 se encuentra análogamente el punto 1/14. Así hallaríamos nuevos números racionales entre dos consecutivos de la sucesión referida en el (N.° 412). Si intercaláramos estos nuevos puntos, el conjunto antes indicado comenzaría así: 0/1, 1/14, 13/84, 11/60 , 9/40 , 15/56 , . . . Se hallarían por este método todas las nuevas fracciones de aquel conjunto, y encontraríamos así 18 fracciones más entre 0/1 y 1/1; en total 19 + 18 = 37 , número éste mayor que el de las 19 fracciones antes halladas. Se puede seguir así indefinidamente hallando nuevos números racionales comprendidos entre dos consecutivos cualesquiera, tomando medias, luego medias de medias, y así sucesivamente. Este procedimiento sugiere la siguiente propiedad de los números racionales: Entre dos números racionales distintos hay siempre un tercer número racional. En la recta numérica esto significa que el número de puntos racionales en cualquier segmento es ilimitado; equivale decir que por muchos que sean los puntos racionales que se hayan ubicado en un segmento de recta, y por pequeño, que sea ese segmento, se pueden ubicar otros tantos puntos como se deseen. Una verdad importante es, pues, la siguiente: El conjunto de puntos racionales es DENSO en la recta numérica.

264

414. Breve noción de número irracional. — En el (N.° 365) vimos que a todo número racional corresponde un punto de la recta numérica, punto que tiene por abscisa dicho número racional. Puede presentarse ahora la siguiente duda: ¿A todo punto de la recta numérica corresponderá siempre un número racional? La respuesta no es afirmativa; existen puntos de dicha recta para los cuales no existen números racionales correspondientes, vale decir que la abscisa de uno de esos puntos ya no es un número racional sino un número que se llama número irracional. El prefijo "i" cambia el significado de "racional" en "no racional". En el Cap. XVI trataremos "Medida de Magnitudes", y entonces veremos cómo se mide un segmento de recta, o un ángulo, adoptando cierta unidad de medida. Veremos entonces cuándo dos segmentos son conmensurables, es decir cuándo tienen una medida común, y cuándo, por el contrario, son inconmensurables. Para la expresión de estos últimos se emplean los números irracionales, de los que daremos una noción más adelante. Nos limitaremos, por ahora, a citar algunos ejemplos. a) La diagonal de un cuadrado es inconmensurable con la medida de su lado. Si el lado del cuadrado lo tomamos como unidad de medida, la de su diagonal es el número irracional V2. (Véase la NOTA del final de este párrafo). b) La diagonal del cubo es inconmensurable con la medida de su arista. Si la arista del cubo la tomamos como unidad de medida, la de su diagonal es el número irracional V3. c) Son números irracionales las raíces cuadradas de números racionales que no sean cuadrados perfectos. En la figura que presentamos, si O ABC es un cuadrado de lado O A = 1, tendremos: OB = V2 Si con un compás llevamos el segmento diagonal OB sobre la recta numérica Ox, el punto B' así obtenido, cuya abscisa es V2, no puede coincidir con ningún punto racional. Análogamente decimos para el punto M de abscisa V3 ; etc.

265

El conjunto de puntos racionales, si bien puede ser tan denso como querramos, no cubre toda la recta numérica, pues ésta contiene también puntos irracionales. N O T A . — I n d i c a r e m o s c ó m o se llega al n ú m e r o V2 c i t a d o en el primer ejemplo a). Si e m p l e a m o s el f a m o s o teorema de Pitágoras, que se estudiará en el p r ó x i m o curso de Geometría, que expresa q u e : " E n t o d o triángulo rectángulo, el c u a d r a d o de la hipotenusa es igual a la s u m a d e los cuadrados de los catetos", a p l i c á n d o l o al triángulo rectángulo OAB de la última figura, c u y o s catetos son los lados O A = A B = 1 del cuadrado OABC, y c u y a hipotenusa es l a diagonal OB=d, te­ nemos: d = 1 + 1 = 2 de d o n d e d = V2 2

2

2

P o d e m o s también llegar a este resultado sin adelantar el e m p l e o de dicho teorema. P a r a ello c o n s t r u í m o s el cuadrilátero BDEF de lado doble que el del c u a d r a d o p r i m i t i v o OABO, y trazamos sus dia­ gonales BE y DF. L a s diagonales de este c u a d r a d o m e d i r á n ( 2 . d ) . P e r o el estudiante y a sabe desde la escuela primaria, que el área de un c u a d r a d o se o b t i e n e m u l t i p l i c a n d o el lado p o r si m i s m o , o bien t o m a n d o la mitad del p r o d u c t o de sus d o s diagonales. P a r a el c u a ­ drado BDEF tendremos así las dos expresiones equivalentes d e su área: p o r el 1er. p r o c e d i m i e n t o , el p r o d u c t o : 2 ×2 "

"

2.°

"

"

"

(2.d)×(2.d):2=2×d

2

2

Igualando estas dos expresiones, t e n e m o s : 2×d = 2 × 2 ; simpli­ ficando resulta, d = 2, y p o r d e f i n i c i ó n de raíz c u a d r a d a de un n ú m e r o ( N . ° 2 7 9 ) , es d la raíz c u a d r a d a de 2, o s e a : d = V2. 2

Curiosidades numéricas

EJERCICIO C U R I O S O . — Con cuatro cuatros, y do signos de sumar, restar, multiplicar y raya de escribir los diez primeros números naturales. 44

4

4

4 +

4 +

4 — 4

4

4 ×

emplean fracción,

4 +

4

4 44

4 4 + 4

4 4

4

4

4

44 4

4×4 4

4

4 + 4 + 4

4 4

44 — 4

4

4

266 LA HERENCIA

DEL Á R A B E

Un Árabe dejó como herencia para sus tres hijos, 17 ca­ mellos a repartir así: la mitad al primero, la tercera parte al segundo y la novena al tercero. Resultándole a los he­ rederos difícil tal repar­ to, decidieron dirigirse a un Juez. Este se hizo prestar, recurriendo a un amigo, un camello y eje­ cutó entonces el reparto dispuesto por el Árabe, pero sobre los 18 came­ llos que tuvo entonces a su disposición. Así, entregó: la mitad, es decir 9 camellos al pri­ mer heredero; la tercera parte, o sea 6, al segun­ do ; la novena parte, o sea 2, al tercero. En total, 9 + 6 + 2 = 17. El camello sobrante (18 — 17 = 1) lo restituyó al amigo. Este resultado que aparenta algo paradógico, se explica observando que la suma de fracciones: 1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18 es menor que la unidad. De modo que el reparto de los 17 camellos entre los tres herederos no se habría hecho por completo si el Juez no hubiera recurrido al préstamo de un camello; habría sobrado 1/18 de la herencia sin repartir (que equivale a 17/18 de camello). Problema tomado de uno similar de la obra: MALBA TAHAN. «El Hombre que Calculaba".

" S i n la Matemática el hombre no s e habría elevado un palmo del s u e l o " . GALILEO

CAPITULO XV

FRACCIONES DECIMALES Definiciones 415. Unidades decimales. — Se llaman FRACCIONES DECIMALES las que tienen por denominador una potencia de 10. Por ej., son fracciones decimales las siguientes: 17

23

215

4

etc. 104 10 1000 100 A las fracciones decimales podemos aplicar todas las transformaciones estudiadas para las fracciones ordinarias y también las reglas respectivas para efectuar las opera­ ciones (Cap. XIV). Sea una fracción decimal cualquiera, por ej.,8537/1000, que podemos escribir así: 8537

8000 + 500 + 30 + 7

8000

500

30

7

1000 1000 1000 1000 1000 1000 y simplificando: 1 8537 5 3 1 7 1 3 1 8 5 8 1000 10 100 íooo 1000 100 10 Pero, observemos que cada una de las fracciones Vio, 1/100, 1/1000, . . . es diez veces mayor que la siguiente; se comportan, pues, como las unidades enteras de los di­ versos órdenes . . . 1000, 100, 10, 1. En consecuencia, y por analogía, dichas fracciones se llaman unidades fraccionarias decimales de 1.°, 2.°, 3. , . . . orden, respectivamente; también se lea llama: décimas, centésimas, milésimas, .... La fracción decimal citada anteriormente puede leerse, pues, así:3537/1000= 8 unidades, 5 décimas, 3 centésimas, 7 milésimas. El conjunto de las unidades simples, decenas de unidades simples, centenas de unidades simples, millares, decenas de millares,... etc., etc., forman las unidades enteras En el cuadro que sigue, indicamos la sucesión de los diver­ sos órdenes de las unidades enteras y fraccionarias decimales, hasta un cierto límite. er

268

3.°

2.°

1.°

1.°

2.°

3.°

4.°

decenas de unidades simples

unidades simples

décimas

centésimas

milésimas

diezmilésimas

centenas de millares

simples

4.°

millares

5.°

centenas de unidades simples

6."

decenas de millares

7.°

DECIMALES

a

6.°

millonésimas

de millones

8.°

millones

UNIDADES

9.°

centenas de millones

LAS

millares

millones

11.° 10.°

1.

a

2.

a

decenas de millones

DE

3.

millares de millones

NOMBRE

12.°

decenas de millares

UNIDADES ORDEN

U. F R A C C I O N A R I A S

ENTERAS

a

millares de millones

centenas de millares de millones

LAS

4.

cienmilésimas

UNIDADES

CLASE DE

416. Número decimal. — Como toda fracción decimal puede considerarse como el conjunto de unidades decimales de los diversos órdenes, y, puesto que éstas siguen también el principio fundamental de la numeración, o del valor re­ lativo (N.° 5), podemos enunciar la siguiente PROPIEDAD FUNDAMENTAL. — Toda unidad fraccionaria dé­ cimo! de un orden cualquiera vale 10 unidades fraccionarias decimales del orden inmediato siguiente a la derecha.

Por consiguiente, tenemos: Una unidad entera = 10 décimas Una décima = 10 centésimas Una centésima = 10 milésimas

Emplearemos, pues, para las fracciones decimales, la misma notación ya empleada para los números decimales (cuyo concepto ya dimos en el (N.° 10), y escribiremos: 8537 8, 537 1000 es decir, que expresamos el número decimal correspondiente a una fracción decimal dada, separando en el numerador de ésta, con una coma y a partir de la derecha, tantas cifras como ceros figuren en el denominador.

269

Si en el numerador no figuraran tantas cifras como las Que debemos separar, se reemplazarán con ceros escritos a lo izquierda de aquellas cifras, y cuando faltaran los enteros en el número decimal, se colocará aún otro cero a la izquierda de la coma, en el lugar de los enteros que faltaren. Este procedimiento constituye, pues, la REGLA para trans­ formar una fracción decimal en número decimal. 27 75923 85/6 0,027 . 0,75923 EJEMPLOS : 85,/6 1000 100000 100 El símbolo así formado se llama expresión decimal, o nú­ mero decimal. NOTA. — En realidad, el número decimal es el ente abs­ tracto representado por ese símbolo, así como llamamos nú­ meros naturales a los símbolos 7, 13, 25, . . . DEFINICIÓN. — Se llama NUMERO DECIMAL a la suma de un número natural con fracciones decimales que tienen por denominador 10, 100, 1000, . . . etc., y por numerador, números naturales inferiores a 10. Ej.

14

3

5

0

2

10

100

1000

10000

14,3502

417. Las cifras situadas a la derecha de la coma decimal se llaman cifras decimales, y forman lo que se llama parte decimal del número decimal dado. Las cifras situadas a la izquierda forman la parte entera. Así, por ej., en el número decimal 8,537 la parte entera es 8, y la parte decimal 537. 418. Escritura de números decimales. — Empleamos la misma regla que para escribir números naturales, es decir: se escriben las cifras representativas de los diversos órdenes de izquierda a derecha, partiendo de la de orden más ele­ vado, y empleando la coma decimal para separar las unida­ des enteras de los decimales. Así. por ej., el número trescientos ocho unidades, cuatro décimas y siete milésimas, se escribirá: 308,407 colocando un cero en el lugar de la cifra de las centésimas que faltan. El número 3 décimas, 7 cen­ tésimas y 2 milésimas se escribirá 0,372.

419. Lectura de números decimales. — Se lee primera­ mente la parte entera, si existe, y luego la parte decimal, que puede leerse de dos modos:

270

a) Leyendo cada una de las cifras decimales acompañadas con el nombre de las unidades del orden que representan. b) Leyendo toda la parte decimal, como si se tratara de un número natural y pronunciado finalmente el nombre de las unidades decimales del orden más bajo que figuran en el número. Así. por e j . , el número 4,8032 puede leerse: cuatro unidades, ocho décimas, tres milésimas j dos diezmilésimas ; o mejor aún: cuatro unidades, ocho mil treinta y dos diezmilésimas.

También puede leerse un número decimal prescindiendo de la coma y leyendo todo el número como si fuera un número natural, y pronunciando luego el nombre del orden decimal que corresponde a la ultima cifra. Así, por e j . , sea el número 5,83; las 5 unidades valen 500 centésimas, por consiguiente, todo el número puede leerse, 583 centésimas.

420. Transformación de número decimal en fracción.— El procedimiento de lectura indicado en el párrafo anterior (N.° 419), nos indica cómo se puede transformar un número decimal a fracción ordinaria. En efecto, siendo 5,83 = 583 centésimas, podemos escribir 5,83 = 583/100. Análogamente tenemos: 0,075 = 78/1000 — 8/40; 0,0016 = 16/10000 = 1/625 Podemos, pues, establecer la siguiente R E G L A . — Para transformar un número decimal en fracción ordinaria se suprime la coma, y al número natural que resulta se le pone por denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenía el número dado.

Propiedades 421. Igualdad de números decimales. — Siendo los números decimales una modalidad de las fracciones ordinarias (N.° 416), tienen, pues, las mismas propiedades que estas últimas; pero su notación especial origina, también, enunciados particulares de algunas propiedades. — Un número decimal no altera de valor cuando a la derecha de su parte decimal se agregan o suprimen ceros. a

PROPIEDAD 1.

En efecto: 4,83 = 483/100 = 48300/10000 = 4,8300

271 a

En virtud de la ley simétrica (N.° 93, 2. ), resulta tam­ bién demostrada la segunda parte de la propiedad. 422. Multiplicación por la unidad seguida de ceros. — Para multiplicar, o para dividir, un número decimal por 10, 100, 1000, . . . se transporta la coma hacia la derecha, o hacia la izquierda, respectivamente, en uno, dos, tres, . . . lugares. a

PROPIEDAD 2.

En

efecto: 3,427 × 3,427 ×

10 = 100 =

(3427/1000) × 10 = 8427/100 (3427/1000) × 100 = 8427/10

= =

2 9 7 , 4 5 : 1 0 = (29745/100) : 10 = 29745/1000 = 297,45:100 = (29745/100): 100 = 29745/10000 =

34,27; 342,7; 29,745; 2,9745 .

423. Desigualdad de números decimales. — Para com­ parar dos o más números decimales, empezamos por trans­ formar los números decimales en fracciones equivalentes aplicando el (N.° 420) y luego comparamos las fracciones re­ sultantes, comparando los numeradores respectivos (N.° 362). Así, por ej., comparemos los dos números decimales si­ guientes: 24,5 y 9,24 Primeramente igualamos el número de sus cifras decimales aplicando la Prop. 1. del (N.° 421) y tenemos las equiva­ lencias respectivas: 24,50 y 9,24 Luego transformamos estos números decimales en frac­ ciones, obteniendo dos fracciones de iguales denominadores: 2450/1000 y 924/1000 Aplicando a éstas la propiedad del (N.° 362), será ma­ yor la que tenga mayor numerador. Como 2450 > 924, será 24,5 > 9,24 a

Operaciones con números decimales 424. Para hallar las reglas operatorias con números de­ cimales, los transformamos en fracciones decimales equiva­ lentes (N.° 420) poniéndole por denominador la unidad se­ guida de ceros y luego operamos con esas fracciones como ya sabemos hacerlo empleando las reglas respectivas para calcular con números decimales.

272

425. La adición. — Sea, por ej., la adición de los siguien­ tes números decimales: 25, 48 + 6,1 + 48, 593 Esto equivale a efectuar la adición de las fracciones de­ súnales : 25480 6100 48593 2548 61 48593 100

1000

1000

1000

10

25480 + 6100 + 48593

80173

1000 80,173

1000 1000 De este ejemplo deducimos la siguiente REGLA. — Para SUMAR números decimales se escriben ordenadamente cada uno debajo del anterior, de modo que las unidades enteras y decimales del mismo orden se en­ cuentren en la misma columna y, por consiguiente, también las comas, e imaginando ceros donde no haya cifras. Luego se suman como si fueran números naturales, y en el resul­ tado se colocará una coma en columna con las de los su­ mandos. EJEMPLOS. — Efectuar 53,85 +

las

14,072 +

Las operaciones nuación:

se

sumas:

543,5342 ;

disponen

y

5,13 +

efectúan

0,35 + como

53,85 14,072 543,5342

5,13 0,35 736,923

611,4562

742,403

se

736,923 . indica

a conti­

426. La sustracción. — La sustracción de números deci­ males se efectúa con un razonamiento análogo al empleado en la adición, y recordando cómo 21,45 se efectúa la sustracción de nú­ 8, 3027 — 9,0738 meros naturales. — 0, 431 Como ejercicio, enuncie el estu­ 12,3762 diante la regla correspondiente, 7, 8717 que aplicará en los ejemplos de al lado. 427. La multiplicación. — Sea, por ej., el producto de los números decimales 28,436 y 5,17. Tendremos:

273 28436 28,436

×

517

28436 × 517

100

1000 × 100

5,17

1000

14 701 412

28436 × 517

147,01412

100000 De este ejemplo deducimos la siguiente 100000

REGLA. — Para MULTIPLICAR dos números decimales se multiplican como si fueran números naturales (es decir, prescindiendo de las comas) y a la derecha del resultado se separan, mediante una coma, tantas cifras decimales como tengan en conjunto los dos factores.

428. La división. — Como en las operaciones anteriores, i ni es de dar la reírla trataremos algunos ejemplos. 1.° Sea la división de 28,5 por 4. — Como al multiplicar el dividendo y el divisor por un mismo número el cociente no altera, multiplicando 28,5 y 4 por 10 , podemos escribir: 28,5: 4 = 285: 40 (Hemos igualado el número de cifras decimales). 40 285 Dividiendo ahora 285 por 40, tenemos 7 como cociente y 5 como resto. Deseando continuar la operación, 7,125 50 ponemos una coma en el cociente después del 7, y un 100 cero a la derecha del resto 5 unidades enteras, que lo 200 transforma en 50 décimas. 00 Dividimos 50 por 4 0 ; el cociente 1 que se obtiene, representa décimas y se escribe dicha cifra a la derecha de la coma en e/ lugar de las décimas. A la derecha del nuevo resto, que es 10 décimas, se escribe un cero, y dividimos el número que se obtiene, que es 100 centésimas, por 40; el cociente, que es 2, representa centésimas y se escribe dicha cifra en el cociente a la derecha de las décimas, en el lugar de las centésimas. A la derecha del nuevo resto, que es 20 centésimas, escribimos un cero, y dividimos las 200 milésimas que resultan por 40, y el cociente que es 5 representan milésimas que escribimos en el cociente a la derecha del 2. Siendo el resto cero, el cociente obtenido es completo, y vale 7,125. 2 . ° Sea la división de 83,57 por 1,8. — Para igualar el número de cifras decimales, multiplicamos por 100 y podemos escribir: 83,57: 1,8 = 8357: 180 180 8357 Procediendo como en el e j . 1.°, obtenemos el esquema de al lado. 1157 46,42 En este caso, la división resultó inexacta; el cociente 770 es 46,42 y el resto verdadero es 0,014 (obsérvese que la 500 cifra 1 del resto aparente, corresponde a la columna de 140 la cifra 7 de las centésimas del dividendo d a d o ) . Verificaríamos la d i v i s i ó n a p l i c a n d o l a r e l a c i ó n fundamental ( N . ° 2 3 1 ) . y tendríamos: 83,57 = 1,8 × 43,42 + 0,014. 18. — A R I T M É T I C A

1er. AÑO

—

Coppetti

274 3 . °Sea la división de 4,28 por 63,759. — Multiplicando ambos términos por 1000 igualamos el número de cifras decima­ 63 759 428000 les y tenemos: 454460 0,0671 4,28:63,759 = 4280:63759 Procediendo como en el e j . 1.°, obtenemos el esquema de al lado.

81470 17711

L a prueba de la operación, planteada como en el e j . anterior, se indica a continuación: 4,28 = 63,759 × 0,0671 + 0,0017711

Del procedimiento seguido en los ejemplos tratados se deduce la siguiente REGLA. — Para DIVIDIR dos números decimales, se iguala el número de sus cifras decimales, se prescinde de las co­ mas, y luego se efectúa la operación como en la división de números naturales. Si la división da un resto diferente de cero, es posible obtener una parte decimal en el cociente. Para ello se pone tina coma a la derecha del cociente obtenido y un cero a la derecha del resto de la división y se divide el número que resulta por el divisor; la cifra obtenida como cociente re­ presenta décimas y se escribe en el cociente a la derecha de la coma. Si la nueva división da un resto diferente de cero, escribi­ mos a su derecha un cero y procediendo como antes, obte­ nemos la cifra de las centésimas del cociente. Prosiguiendo análogamente, obtenemos otras cifras deci­ males del cociente, a no ser que se obtenga un resto cero, en cuyo caso resulta limitado el número de cifras del co­ ciente. 429. La potenciación. — La potencia de un número de­ cimal tiene el mismo significado que la de un número frac­ cionario, y, en consecuencia,, también que la de un número natural (N.° 267). Así, por ej., 0,26 × 0,26 es el cuadrado de 0.2G; se indita ( 0 , 2 6 ) . Análogamente para los cubos, etc. Siendo una potencia un producto de varios factores, para elevar un número decimal a cierto exponente, aplicaremos, pues, las reglas operatorias de la multiplicación de números decimales (N.° 427). 2

3

Así, por ej., ( 0 , 4 ) =

0,4 × 0,4 × 0,4 =

0,16 × 0,4 =

0,064

275

Conversiones 430. Transformación de una fracción ordinaria en número decimal. — Ya vimos cómo se transforma una fracción decimal en número decimal (N.° 416). Veamos ahora la transformación de una fracción ordinaria en número decimal. Para ello, bastará con dividir el numerador por el denominador de la fracción dada (N.° 342). Pero, cabe preguntar: ¿existirá siempre un número cociente exacto de dos números naturales? Si existe, le llamamos cociente exacto entre los números dados. Así, por ej., dada la fracción ordinaria 9/4, si dividimos 9 por 4 encontramos el cociente exacto 2,25. Análogamente obtenemos cocientes exactos en las transformaciones de las fracciones: 132/25 = 5,28 ; 5/8 = 0,625 ; etc. DEFINICIÓN. — Se llama NÚMERO DECIMAL EXACTO

a un número decimal con un número finito de cifras decimales. Pero para otras fracciones ordinarias, puede suceder que la división del numerador por su denomi3 nador no tenga fin; por ej., en la frac5 ción 5/3. Si efectuamos la división, vemo9 20 1,66... que el resto, que es 2, se repite siempre, 20 y, por consiguiente, también la cifra 6 del 2 cociente; la división no tiene fin. Análogamente, si intentamos transformar en números decimales las fracciones ordinarias 484/11 y 389/225 ; obtenemos: 464 11 24 42,1818... 20 90 20 9...

225 389 1640 1,7288.,. 650 2000 2000 200...

Si continuáramos estas dos divisiones, hallaríamos en la primera siempre el grupo 18 y en la segunda 8. Ponemos puntos suspensivos para indicar que el cociente no tiene fin.

276

431. Números decimales periódicos. — Observemos en los ejemplos anteriores que, a partir de cierto resto, las cifras del cociente se repiten indefinidamente en el mismo orden, vale decir, periódicamente; esos cocientes se llaman números decimales periódicos. En toda división inexacta como las anteriores tiene que suceder esto, puesto que, debiendo ser todos los restos me­ nores que el divisor, y ninguno llega a valer cero, deberá repetirse algún resto; desde ese momento se repetirán, pues, las cifras del cociente. Los símbolos: 1,66... ; 42,1818... ; 1,7288... se llaman números decimales periódicos, y el grupo de cifras que se repite se llama período. La cifra o grupo de cifras decimales que preceden al período, se llama antiperíodo. Cuando el período empieza a partir de la coma, el número se llama periódico puro o simple (casos de los números 1,66... y 42,1818...); de lo contrario, se llama periódico mixto (caso del número 1,7288...). En el número decimal periódico 1,7288... el período es 8, y el antiperíodo es 72. Otra notación para los números periódicos, es la de poner una raya encima del período y luego poner los puntos sus­ pensivos. Así, los tres números periódicos anteriores se escri­ ben así: 1,6... ; 42,18... , 1,728... Algunos autores encierran el período dentro de un parén­ tesis; así los números anteriores pueden escribirse: 1,(6) ; 42,(18) ; 1,72(8) En resumen, la transformación de una fracción ordinaria en número decimal origina uno de los siguientes casos: 1.° La fracción se transforma en número decimal exacto. 2.° La fracción se transforma en número decimal perió­ dico puro. 3.° La fracción se transforma en número decimal perió­ dico mixto. 432. Dada una fracción irreducible cualquiera, podemos prever si al convertirla en número decimal nos dará un número decimal exacto, o bien periódico, puro o mixto. Para ello aplicaremos, sin demostración (dado su escaso interés práctico), la siguiente

277

REGLA. — Dada una fracción irreducible, si su denomina­ dor sólo admite como divisores 2 y 5, o uno solo de ellos la fracción origina un NUMERO DECIMAL EXACTO; cuando no admite como divisores ni 2 ni 5, origina un NUMERO DECIMAL PERIÓDICO PURO; cuando admite como divisores 2 y 5 o uno solo de ellos, y además algún otro factor primo, origina un NUMERO DECIMAL PE­ RIÓDICO MIXTO. EJEMPLOS. — 1 . ° La fracción 9/4 se transforma en número decimal exacto, porque es irreducible y su denominador tiene por único f a c t o r p r i m o el n ú m e r o 2. Análogamente, la fracción 42/80 que tiene por irre­ ducible equivalente 21/40, y cuyo denominador tiene como únicos fac­ tores 2.°

primos La

2 y

fracción

5, 4/21

por se

ser

40

=

convierte

5 en

× 23 . un

número

periódico

puro,

por

que es irreducible y su denominado, sólo tiene los tactores primos 3 y 7 3.° La fracción 17/14 se convierte en un número periódico mixto porque es irreducible y su denominador tiene, a d e m á s de 2, el factor primo 7.

433. Fracciones generatrices. — Como lo indicamos re­ cientemente, cuando el cociente del numerador por el deno­ minador de una fracción ordinaria es un numero decimal periódico, la fracción que lo genera se llama generatriz DE dicho número decimal periódico. Así, por ej., 3/11 es la generatriz del número decimal periódico 9, 27 . . ., porque dividiendo 3 por 11 obtenemos como cociente 0 , 2 7 . . . ; análogamente 2/15 es la generatriz del número decimal periódico 0 , 1 3 . . . : etc.

Veremos ahora las reglas (que no demostramos, por no exigirlo el programa oficial), para transformar un número decimal periódico en fracción ordinaria. REGLA 1.°—La FRACCIÓN GENERATRIZ de un número decimal PERIÓDICO PURO, tiene por numerador el nú mero formado por la parte entera seguida del período, dis­ minuido de la parte entera, y por denominador el número formado por tantos 9 como cifras tenga el período. EJEMPLOS :

524—5 5,24

...

519

173 0,261

=

99

99

33

261

29

999

111

.. .

278 REGLA 2 . °— La F R A C C I Ó N G E N E R A T R I Z de un numero decimal PERIÓDICO M I X T O , tiene por numerador el número formado por la parte entera seguida del antiperíodo y del período, disminuido del número formado por la parte entera seguida del antiperíodo, y por denominador el número formado por tantos 9 como cifras tenga el período, seguido por tantos ceros como cifras tenga el antiperíodo EJEMPLOS :

3245—32

3213

357

463—46

417

139

900

900

300

0,463

3,245 990

990

110 a

Demostración de la Regla 1. L l a m a m o s f la fracción generatriz del n ú m e r o d e c i m a l p e r i ó d i c o puro e, (ab)ab..., en el que e es la parte entera y (ab) el p e r í o d o , o sea: f = e, (ab) ab... [a] Multipliquemos los d o s m i e m b r o s de la igualdad [ a ] p o r la unidad seguida de tantos ceros c o m o cifras tenga el p e r í o d o , en este caso por 100; t e n d r e m o s : f × 100 = eab, (ab)

ab...

[b]

De la igualdad [b] restamos la [ a ] y o b t e n e m o s : 99 × f = eab — e D i v i d i e n d o a m b o s m i e m b r o s de esta ú l t i m a igualdad p o r 99 y simplificando, resulta: eab — e 99 expresión que n o s justifica la R e g l a 1. . a

434. Aproximación en las operaciones. — En el (N.° 432) vimos la imposibilidad de expresar en forma de número decimal ciertas fracciones ordinarias, como por ejemplo las que tienen por denominadores 3, 6, 7, 15, que nos originan números decimales periódicos. En la práctica, si bien esos números tienen infinitas cifras decimales, detenemos su cálculo en una de esas cifras, prescindiendo del resto que es cada vez más pequeño. Así, de la fracción 1/3 tomamos uno de los siguientes valores aproximados: 0,3 0,33 0,333 Si tomamos por ejemplo el segundo valor 0,33 que es menor que 0,34, decimos que 0,33 es el valor aproximado por defecto a menos de una centésima, y 0,34 el aproximado por exceso, siempre a menos de una centésima.

279

Se acostumbra decir que 0,1 es el grado de aproximación del número 0,3 y que 0,01 es el grado de aproximación de 0,34. NOTA. — Siempre que nos refiramos, simplemente, a un valor aproximado del cociente a menos de 1/n, se sobreen­ tiende el por defecto. La aproximación del resultado de una operación es, pues, tanto mayor cuanto mayor sea el número de cifras decima les consideradas. EJEMPLOS I. — Calcular 349: 23 a menos de 0,01 ( o sea con una centésima de aproximación). Efectuando la división se encuentra el co­ ciente 15,17 y el resto 0,09. Prueba:

23 × 15,17+0,09 =

348,91 +

0,09 =

349.

E J E M P L O I I . —- Calcular el cociente 45,6938: 9,2 con V i o de apro­ ximación. Efectuando la división, encontramos el cociente 4,9 y el resto 0,6138. Prueba:

9,2

×4,9 +

0,6138 =

45,08 + 0,6138 =

45,6938.

435. Cuando queremos expresar un número, por ej., con 2 cifras decimales y conocemos también la tercera cifra de­ cimal, si esta última no llega a 5 conservamos aquellas dos primeras cifras decimales, sin modificación alguna, y de­ cimos entonces que la aproximación es a menos de media unidad decimal. Así, por ej., en la división 3,7338: 1,3 encontramos el cociente 2,871 7 resto 2. Decimos que 2,87 es un valor del cociente aproximado por defecto a menos de media centésima, o sea con un grado de apro­ ximación de 0,005.

Cuando la cifra que sigue a la última que queremos con­ servar es 5 o mayor que 5, aumentamos en una unidad la última cifra decimal a conservar. Así, en el ejemplo anterior, 2,9 sería el valor del cociente (3,7338: 1,3) Aproximado por exceso a menos de media décima, o sea con un grado de aproximación de 0,05.

Operaciones combinadas 436. Cálculo de expresiones que sólo contienen números naturales y decimales. — Se efectuarán teniendo presentes las indicaciones ya formuladas (Nos. 250 y siguientes) para el cálculo de expresiones aritméticas con números natura­ les. Es evidente que, para el cálculo de expresiones en que intervengan números decimales, se aplicarán las reglas co­ rrespondientes que ya dimos.

280

Las divisiones que no den un cociente exacto, se podrán calcular por aproximación, y, en ese caso, la expresión arit­ mética también resultará aproximada. Si se desea el resul­ tado exacto, se transformarán ios números decimales en fracciones, operando luego con éstas. EJEMPLO I.

23,42 +

6,8

× 2,15

+

243:0,4

—

(0,5)2

=

= 23,42 + 14,62 + 607,5 — 0,25 = 645,29 EJEMPLO II. =

125,44 +

(11,2)2 +

85/23 — 0,225 =

8 , 5 : 2 , 3 — 6,25

125,215 +

x

0,036

3 + 16/23 =

=

128,215

+

Si en este último cálculo se prefiere como resultado un número deci­ mal, se transformará la última fracción 16/23 en número decimal apro­ ximado, y tendremos: 128,215 +

16/23

= 128,215 +

0,695 =

128,910

resultado expresado con 0,001 de aproximación por defecto. No siendo exacta la igualdad anterior, por ser su segundo miembro aproximado, indicamos eso mediante el signo =que se lee " a p r o x i ­ madamente igual", "más o menos igual", o expresiones semejantes

437. Cálculo de expresiones con fracciones ordinarias, números naturales y decimales. — Solamente en casos sen­ cillos puede convenir la transformación de las fracciones a números decimales; ésto solamente cuando, a primera vista, se reconoce que las fracciones son exactamente reducibles. EJEMPLO :

2,15

× 3/4 + 4,26: 2/5 — 0,2 =

1,6125 +

×0,3 =

2,15 × 0,75 + 4,26: 0,4 — 0,06 =

10,65 — 0,06 =

12,2025

Cuando las operaciones se pueden efectuar exactamente, conviene operar con los números decimales y con las fraccio­ nes como si los primeros fueran números naturales, obte­ niendo como resultado del cálculo, o una fracción ordinaria, o una fracción con uno de sus términos (o ambos) decima­ les. Estas fracciones se reducen luego fácilmente a ordi­ narias. 2

EJEMPLO:

0,75

31,5

4

2

6,3

0,25

4

5

0,75 +

63

63,75 15,9375

4

4

NOTA. — Cuando se opta operar exclusivamente con nú­ meros decimales, puede resultar muy útil el empleo de Tablas que dan los números recíprocos (N.° 397) de los enteros des­ de 1 hasta cierto límite.

281 Así, por ej., la división 8: 37, puede reemplazase por la multiplica­ ción 8 × (1/37) = 8 × 0,027027, resultando, en general, mas rápido multiplicar que dividir.

438. Como regla general válida para todos los casos, se transforman iodos los números decimales en fracciones deci­ males, transformándose así la expresión en fraccionaria. 1

5

EJEMVI-O

22

2,4

1,6

0,3

2

6 24

22

10

10

22 × 10 10 × 16 288

165

16

1 4 30

1,4 3 7 3

6

10

7 × 10 3 × 14 200

14

12

11

1

5

6

8

4

3 113

518 — 165 2

120

120

120

120

120

120

120

Curiosidad numérica EL NUMERO 142857

Multipliquemos 142 857 sucesivamente por 2, 3, 4, 5 y 6; se nos presentarán en los productos las mismas cifras que en el número primitivo ; decimos que se ha operado una permu­ tación circular, o que se han obtenido números cíclicos: 142 857 × 2 = 285 714 142 857 × 3 = 428 571 142 857 × 4 = 571 428 142 857 × 5 = 714 285 142 857 × 6 = 857 142 La multiplicación por 7 rompe este resultado mágico, pues nos da: 142 857 × 7 = 999 999 Este famoso número 142 857 es el período del número deci­ mal periódico puro cuya fracción generatriz es 1/7, pues, 142 857

1

0,142 857 142 857... 999 999 7 Esta circunstancia nos permite justificar las propiedades del número.

282 Así, por ej,, para el primer p r o d u c t o p o r 2, t e n e m o s : 2/7 =

100/7 — 98/7 =

14,2857 1 4 2 8 5 7 . . . — 14 = 0.2857 142857 1 4 . . .

Por consiguiente: 0,142857 1 4 2 8 5 7 . . . × 2 = 0,2857 1 4 2 8 5 7 . . . Multiplicando los d o s m i e m b r o s por 1 000 000 y aplicando luego 1» propiedad distributiva, r e s u l t a : 142857 × 2 + 0 , 1 4 2 8 5 7 . . . × 2 = 285714 + 0,285714... 7 simplificando, 142857 × 2 = 285714 . Se o p e r a r á a n á l o g a m e n t e p a r a l o s o t r o s p r o d u c t o s : 3 / 7 = 1 0 / 7 - 1 ; 4/7=10 000/7-1428 ; 5/7=100 000/7-14285 ; 6/7=1000/7-142

NOTAS

HISTÓRICAS

El empleo sistemático de los números decimales se atribuje al holandés Simón Stevin (1548-1620), conocido por sus contemporáneos por sus trabajos sobre arte militar. En su "Aritmética" (1585), usa tres notaciones diferentes, según los casos, para indicar un número decimal. Asi, por ej., para el nú­ mero decimal 3,14 emplea las notaciones siguientes:

El uso de la coma decimal los empleó inicialmente Juan escocés ritmos

actual, o el punto (que usan los ingleses), Neper (1550-1617), destacado matemático a quien se debe la invención de los loga­ (que se estudiarán en el cuarto curso)

Otros matemáticos de nota emplearon, también, otros signos para los números decimales; así, por ejemplo, para el número decimal 3,14, el alemán Kepler (1616) empleó 3(14); el inglésOughtred. (1631) 3 | 14; el alemán Mercator (1668) 3[14; el inglés Newton (1707) 3'14. Las aproximaciones numéricas son tan anti­ guas como el cálculo numérico, pero solamente en el último siglo se han estudiado racional­ mente. Importantes referencias al respecto se encuen­ JUAN NEPER tran en Gauss (1855), en Fourier (1830), en (1550-1617) Cauchy (1857). Merecen citarse las Memorias del italiano G. Peano ' Aprossimazioni numeriche", presentadas a la Academia de Turín (1917). 1

CAPÍTULO XVI

. . . " n a d i e osará estimar a ia ligera ia deuda que tiene el mundo con los matemáticos, en cuanto ellos tratan, en s u propio idioma, te­ mas de fundamental importancia y gobiernan, determinan y deciden sobre todo lo que está sometido al Número y a la M e d i d a " . GOETHE

MEDIDA DE MAGNITUDES Ejemplos de magnitudes 439. Magnitud y cantidad. — En el (N.° 88) del Cap. II, ya dimos una idea de la aplicación de estos términos, que ahora la complementamos. Así, vimos que los cuerpos tienen peso; el peso es una magnitud. Cada cuerpo tiene su peso. Los pesos de los cuer­ pos son cantidades. Las líneas tienen longitud; la longitud es una magnitud. Cada línea tiene su longitud. Las longitudes de las líneas son cantidades. Los cuerpos tienen área; el área es una magnitud. Cada cuerpo tiene su área. Las áreas de los cuerpos son cantidades. Los cuerpos tienen volumen; el volumen es una magnitud. Cada cuerpo tiene su volumen. Los volúmenes de los cuerpos son cantidades. El peso, la longitud, el área, el volumen son magnitudes distintas. Así, por ej., los pesos de una locomotora y de un automó­ vil son cantidades distintas de una misma magnitud (peso). En el (N.° 89) también vimos que estas últimas cantidades, es decir magnitudes del mismo nombre, se llaman homogé­ neas, o de la misma especie. Así, los pesos de los dos loco­ móviles citados pueden ser, por ej., de 60 toneladas, o de 1500 kilogramos respectivamente. También son homogéneas, dos o más longitudes, las amplitudes de dos ángulos, dos in­ tervalos de tiempo, las capacidades de dos recipientes, etc. En general, todos los entes que pueden compararse estable­ ciendo entre ellos las relaciones de igual, mayor y menor, se llaman magnitudes. También los números pueden clasificarse entre las magnitu­ des de la misma especie, puesto que dados dos números, sa­ bemos decir si son iguales, o cuál es mayor. Las longitudes son cantidades homogéneas porque se pue­ den comparar. Las longitudes y amplitudes son cantidades heterogéneas, pues no son comparables.

284

Cabe también la siguiente clasificación: magnitudes geo­ métricas, por ej., las longitudes, las amplitudes, las exten­ siones (que llamamos área) y las capacidades; magnitudes físicas, por ej., los pesos de los cuerpos, sus temperaturas, intervalos de tiempo, velocidades, etc.

Producto de un segmento por un número natural y por una fracción 440. Comparación de longitudes. — Esta comparación se reduce a comparar segmentos de recta, que llamaremos a y b. Para compararlos, ensayamos si el primero contiene un nú­ mero exacto de veces al segundo, es decir, si a puede divi­ dirse, o suponer dividido en segmentos iguales a b. Eealizamos este ensayo transportando consecutivamente el segmento b sobre el a, a partir de un extremo; pueden pre­ sentarse dos casos. PRIMER CASO. — En la primera de las figuras sean los seg­ mentos AB = a, y MN = b. Procediendo en forma análoga como cuando sumamos gráficamente dos números naturales (N.° 95), sobre el segmento AB llevamos consecutivamente el segmento b a partir del extremo A, y vemos que en ese caso b cabe exactamente 3 veces en a; es decir, que a = b + b + b, o sea a = 3.b.

Si en lugar de 3 fueran m las veces que b cupiere exacta­ mente en a, tendríamos entonces, a = m. b, vale decir que el segmento a es múltiplo del b. Decimos, también, que el segmento a es el producto del seg­ mento b por el número natural m. SEGUNDO CASO. — Si a no fuera múltiplo de b, emplearemos cierto postulado que se dará en el próximo curso de Geome­ tría, llamado Postulado de Arquímedes, que dice: Dados dos segmentos, existe siempre un múltiplo de uno de ellos que es mayor que el otro; y se llegará entonces a un múltiplo de

285

b mayor que a. Por consiguiente a está comprendido entre dos múltiplos consecutivos de b, y podemos escribir: m.b < a < (m+1) .b Así, por ej., si dividiéramos la unidad b en 2 partes igua­ les, y adoptáramos como nueva unidad esta parte alícuota

de la primera (b/2), puede suceder que el segmento a sea múltiplo de (b/2). Si lo fuera, caso de la segunda de las fi­ guras que presentamos, tendríamos: a = ( b / 2 ) + ( b / 2 ) + ( b / 2 ) + ( b / 2 ) + (b/2) + (b/2) + (b/2) = =

7b/2

NOTA. — Obsérvese que el segmento b/2 está contenido 2 veces en b, y 7 veces en a. Si no se lograra esta coincidencia, se ensayaría dividir el segmento b en 3 partes iguales, para ver si el segmento a es, o no es, múltiplo de (b/3); si no lo fuera continuaríamos ensayando, y supongamos que al dividir b en n partes igua­ les, esta nueva unidad fraccionaria (b/n) estuviera contenida un número m de veces en a. Llegaríamos entonces a la si­ guiente expresión: a = (m/n).b y decimos que el segmento a es el producto del segmento b por la fracción m/n. Decimos también que la medida de a respecto de la uni­ dad b es el número fraccionario m/n, o que este número es la razón del segmento a al b, o el cociente de a por b . 441. Segmentos conmensurables, o inconmensurables. — Los dos casos recientemente tratados se caracterizan por existir un segmento que es submúltiplo común de a y de b, vale decir que a y b admiten una medida común; se dice en­ tonces que los dos segmentos, son conmensurables. Se presenta un tercer caso de comparación de longitudes, cuyo estudio se tratará en el segundo curso de Geometría; es

286

cuando los segmentos no cumplen la condición de ser conmensurables, es decir que no son equimúltiplos de ningún otro segmento, y se llaman entonces inconmensurables; esta última denominación por no existir unidad que sirva de medida común de ambos segmentos. En este tercer caso decimos que existe un número a que multiplicado por b nos da el segmento a, o sea: a = a.b, y este número a no pudiendo ser natural ni fraccionario, es decir no pudiendo ser racional, se llama número irracional. Dada la imperfección de nuestros sentidos y de los instrumentos de medida, nunca es posible afirmar, en la práctica, que dos magnitudes san o no conmensurables, puesto que, después de cierto número de ope raciones, se llegará a un resto imperceptible, y, por tanto, imposible de medir. Pero la existencia de cantidades inconmensurables se comprueba mediante la teoría; la Mecánica, la Física, la Geometría, nos ofrecen muchos ejemplos. En el campo de esta última, eitemos, por e j . , el lado de un cuadrado y su diagonal, el lado y la altura de un triángulo equilátero, la arista de un cubo y su diagonal, una circunferencia y su diámetro.

En la práctica se reemplazan los números irracionales por números racionales aproximados, a menos de cierta unidad decimal prefijada (N.° 434). 442. Noción de número irracional. — Concretemos, poi ej., el estudio de la medida de magnitudes inconmensurables al caso de dos segmentos. Según lo indicado en el párrafo anterior, si A B y A M son dos segmentos inconmensurables significa que, cualquiera que sea el número de partes iguales en que se divida A M , y por pequeñas que sean estas partes, nunca se logrará que una de ellas llegue a ser también parte alícuota de A B. Por consiguiente, resulta evidente que A B contendrá un cierto número de aquellas partes alícuotas de AM, y, además, un segmento menor que una de aquellas partes. Así, por ej., si construyéramos un cuadrado de lado A M suficientemente grande, podríamos verificar que la diagonal A B contiene 1 vez al lado; el resto M' B contiene 4 veces a 1/10 del lado; el nuevo resto contiene 1 vez1/100del lado; el resto siguiente contiene 4 veces 1/1000 del lado; el otro resto contiene 2 veces1/10000del lado, y así indefinidamente. Tomando, pues, como unidad de medida el lado A M del cuadrado, obtendríamos, sucesivamente,

287

para medida de su diagonal, los siguientes números: 1 ; 1,4 ; 1,41 ; 1,414 1,4142 ; . . . etc. aproximados por defecto a menos de 1 , 1/10, 1/100, . . . etc., es decir, con un error tanto menor cuanto mayor sea el número de sus cifras decimales que se consideren. Pero, según vimos en la Nota del (N.° 414) la medida de la diagonal de dicho cuadrado es V2; los números decima­ les últimamente indicados serán pues, aproximaciones su­ cesivas por defecto del número irracional V2. El número de cifras decimales resulta ilimitado, dada la inconmensurabilidad de AB y A M ; pero, nótese bien que estos números decimales no son números periódicos. En efecto, si lo fueran, por ser un número decimal periódico igual a una fracción ordinaria, podríamos entonces dividir el segmento A M «n tantas partes iguales como lo indicara el denominador de la fracción ordinaria generatriz del número periódico; por consiguiente, un número de esas partes exactamente igual al del numerador de dicha fracción resultaría contenido exactamente en A B, lo que es absurdo, por resu) rar contrario a la hipótesis de la inconmensurabilidad. Se presentan, pues, números de una nueva especie: núme­ ros de infinitas cifras decimales, no periódicos y que no pue­ den ser iguales a números racionales. Se llaman números irracionales. ;

EJEMPLOS. — Son números irracionales las raíces cuadradas de nú­ meros racionales que no son cuadrados perfectos: V2 ;

V3/4

;

V0,17~ ;

...

etc.

NOTA. — Además de los números irracionales referidos en los ejemplos que anteceden, existen otros. Mencionaremos dos de ellos, por ser muy aplicados en Matemáticas: el número que se designa con la letra griega π(pi), que es la razón (o cociente) entre la circunferencia y su diámetro; el otro es el número que se designa con la letra e, que se verá en cursos superiores al tratar el tema "logaritmos". Damos las primeras cifras de estos dos números que, por ser irracio­ nales, no pueden expresarse en forma de fracción ordinaria: π= 3,141592653.589 . . . e = 2,718281828459 . . .

Idea de medida 443. Unidad de medida. — D e s d e la escuela p r i m a r i a y a sabe el estudiante que si queremos c o m p a r a r dos magnitu­ des, p o r e j . , las alturas de dos mesas, p o d e m o s colocarlas

288

una al lado de la otra y en seguida veremos cuál es la más alta; para comparar los pesos de dos cuerpos, los colocamos en los platillos de una balanza, y el lado bacía donde se inclina, nos determina cuál es el cuerpo de mayor peso. Pero esta comparación directa no siempre es posible, debido a la imposibilidad física del traslado de las magnitudes a comparar, como lo serían, por ej., las profundidades de dos pozos, las longitudes de dos carreteras, las alturas de dos edificios, etc. En estos casos se procede a la comparación en forma indirecta, empleando una magnitud fija, homogénea con las que deseamos comparar, y que se llama unidad de medida o patrón. 444. Medida de urna magnitud. Medir una magnitud significa compararla con una unidad de medida, para determinar cuántas veces la magnitud dada contiene a dicha unidad. El número que se obtiene, que expresa, pues, el resultado de una medida, se llama medida de la magnitud. EJEMPLO. — Si digo: mi bastón tiene 5 palmos ( * ) de longitud; la magnitud a medir es la longitud del bastón; la unidad de medida conocida os la longitud del palmo; la relación de las dos magnitudes, o sea la medida del bastón, es 5, y la he obtenido llevando el palmo sucesivamente sobre el bastón.

Así, por ej., la medida de la longitud de un segmento de recta AB se indica así: AB (sin barra en la parte superior).

Si tomamos como unidad de medida el segmento MN = r , vemos en la figura que AB contiene 4 veces a r, pero no llega a contenerlo 5 veces; decimos entonces que la medida (*) El palmo equivale, aproximadamente, a la longitud determinada por la mano de un hombre, abierta y extendida desde el extremo del pulgar hasta el del meñique.

289

de AB es aproximadamente 4r, lo que escribimos así: AB = 4r (el signo =significa aproximadamente igual). Si tomáramos como unidad de medida el segmento PQ = s, vemos en la misma figura que AB contiene 5 veces a s, pero no llega a contenerlo 6 veces; decimos entonces que la medida de AB es aproximadamente 5s. Podemos observar que si medimos un segmento con unidades de diferente tamaño, la medida obtenida no da la magnitud del segmento. Debe conocerse además la magnitud de la unidad de medida usada. La medida de AB no es la misma cuando se usa la unidad r que cuando se usa la unidad s. La longitud de un segmento comprende tanto la medida como la unidad adoptada. Así, en el primer ejemplo de medida, encontramos AB =4r. Nótese cómo se emplean estas palabras: 4 es la medida r es la unidad de medida 4r es la longitud 445. Resumen de los tres casos de medidas. — Los resultados a que llegamos en los (Nos. 440 y 441) comparando longitudes, son válidos para todas las cantidades homogéneas, y podemos resumirlos así: Dadas dos cantidades homogéneas A y B, puede suceder que: 1.° Existe un número natural m, tal que sea A = m.B 2.° Existe un número racional m/n, tal que sea A — (m/n) .B 3.° Existe un número irracional a, tal que sea A = a.B En general, tenemos, pues: Dadas dos cantidades, existe siempre un número natural, fraccionario o irracional, tal que la primera cantidad es igual al producto de dicho número por la otra. Decimos también que la medida de A respecto de la unidad B es el número natural m, el número fraccionario m/n, o el número irracional a . Este número se llama razón de las cantidades A y B, o cociente de A y B, y se representa así: A:B, o bien A/B. (Véase el N.° 342). 19. — A R I T M É T I C A

1er. A Ñ O — Coppetti

290

446. Sistema de medidas. — El conocimiento de las medidas de dos o más magnitudes, nos permitirá compararlas. Así, por ej., si encontramos que la medida de la altura de una casa es de 12 metros, y la de otra es de 15 metros, diremos que la segunda es más alta que la primera. Si se tratara de medir la longitud de una carretera, ya no tomaríamos por unidad el metro, sino que reuniríamos varias unidades métricas para formar otra mayor, que se llama un múltiplo del metro. En cambio, para medir, por ej., el espesor de una lámina de hierro, tampoco emplearíamos como unidad el metro, sino que tomaríamos otra más pequeña que resultaría de fraccionar el metro en partes iguales y que se llama submúltiplo del metro. Análogamente diríamos respecto de las otras magnitudes: áreas, volúmenes, pesos, capacidades, etc. El conjunto de unidades que se emplea para la medida de las diversas magnitudes, se llama un sistema de medidas

Sistema métrico decimal 447. El sistema métrico decimal es el conjunto de medidas que tienen por base (o unidad fundamental) el metro. El metro es la longitud del patrón de platino iridiado que, previo acuerdo entre las distintas naciones, se conserva en la "Oficina Internacional de Pesas y Medidas" de París. 448. Referencias históricas. — Antes de que se adoptara el sistema métrico decimal, cada país, y aun cada región, tenía un sistema propio de medidas. Como es natural, esa diversidad de sistemas obstaculizaba las transacciones internacionales y nacionales. Se sintió, pues, la necesidad de un único sistema de medidas. En 1790, la Asamblea nacional francesa resolvió encargar a una Comisión de destacadas personalidades del mundo científico, la tarea de crear un sistema de medidas, a fin de adoptarlo para todos los países. En 1799 la Comisión presentó sus conclusiones que resumimos a continuación: La base del sistema propuesto es el metro (que ya definimos en el párrafo anterior). Una copia exacta de aquel patrón se conserva en ia Oficina de Pesas y Medidas con sede en Breteuil (cerca de París). Los primeros modelos fueron construidos con una aleación de platino e iridio (90 partes y 10 respectivamente), en forma de barra de sección en X, como la de la figura de al lado, y en cuya canal están marcados loi extremos del metro.

291

Esta aleación cambia muy poco la longitud de modelo en diferen­ tes condiciones atmosféricas. Modelos de éstos se conservan en las capitales de los distintos paí­ ses, y con arreglo a ellos se construyen los metros en uso, de ma­ dera, de metal, etc. La intención de la Comisión era que dicho patrón fuera la diezmillo­ nésima parte del cuadrante de meridiano terrestre, o sea el areo de meridiano comprendido entre el Polo y el Ecuador (véase la figura que presentamos). Al efecto, se midió un arco de dicho meridiano, eli­ giéndose la parte comprendida entre Dunkerque y Barcelona.

Por medidas posteriores se comprobó que la primera no era exacta; pero, de optarse por la nueva medida, hubiera sido necesario modificar el patrón, así como todas las copias que se habían hecho, agregándole anas dos décimas de milímetro. Previendo los trastornos que ocasionaría esta modificación, se prefirió conservar la primera medida. En consecuencia, podemos decir que el metro mide aproximadamente la diezmillonésima parte del cuadrante de meridiano terrestre. El sistema se llama métrico, porque la unidad fundamental es el me­ tro, y se llama decimal, porque los múltiplos y submúltiplos de la unidad fundamental siguen la misma ley del sistema de numeración decimal. De la unidad fundamental se dedujeron todas las otras unidades. Así, corno unidad de peso, se propuso el peso de un decímetro cúbico de agua destilada a su máxima densidad (4 grados centígrados y a 760 mm. de presión), pero, por razones que no creemos del caso citar en este curso, se convino en adoptar como kilogramo legal el peso de cierto cilindro de platino conservado también en Breteuil.

De acuerdo cen las referencias históricas que anteceden, po­ demos decir que El METRO mide APROXIMADAMENTE la diezmilloné­ sima parte del cuadrante de meridiano terrestre.

292

A continuación trataremos del estudio detallado del sistema métrico decimal, que se abrevia así: S. M. D. 449. MEDIDAS DE LONGITUD. — Como ya indicamos, la unidad fundamental para las medidas de longitud es el METRO, que se abrevia con la inicial m., y que también es la unidad principal para estas medidas. Las relaciones entre el metro y sus múltiplos y submúltiplos las indicamos en el esquema siguiente, así como las abreviaturas correspondientes que encerramos dentro de paréntesis.

Múltiplos

miriámetro kilómetro hectómetro decámetro

metro decímetro Submúltiplos centímetro milímetro

(Mm.) (Km.) (Hm). (Dm.)

= 10 000 m. = 1000 m. = 100 m. = 10 m.

(m.) (dm.) = (cm.) = (mm.) =

0,1 m. 0,01 m. 0,001 m.

Para la medida de longitudes muy pequeñas (como lo serían en objetos microscópicos), se emplea como unidad la miera, o milésima de milímetro, que se designa con la letra griega u(que se lee mú). Tendremos, pues, 1 mm. = 1 000 u Cada unidad de longitud es diez veces mayor que la lenidad inmediata inferior. Así, por ej.: 1 Mm. = 10 Km.; 1 Km.=10 Hm.; 1 Hm.=10 Dm.; etc. NOTA. — Obsérvese que para designar las unidades secundarias (múltiplos o submúltiplos), hemos antepuesto al nombre de la unidad principal los prefijos: Deca, Hecto, Kilo, Miria, que significan 10, 100, 1000, 10000, respectivamente, para los múltiplos; deci, centi, mili, que significan 0,1, 0,01, 0,001, respectivamente, para los submúltiplos. (*) (*) La notación verdadera para representar los tres primeros múltiplos del metro, o sea la fijada por ley, e inicialmente establecida por una Comisión internacional, es: dam., hm., km., en lugar de Dm., Hm., Km. que hemos indicado. En nuestra escuela primaria, así como en enseñanza secundaria, y por razones didácticas, se emplea aún esta última notación, es decir la de iniciar las abreviaturas de los múltiplos indicados con letra mayúscula, que por ser más grande que la minúscula, ayuda a recordar que se trata de unidades más grandes que la principal.

293

450. La medida de la longitud de una línea expresada en el 8. M. D. mediante un número decimal, se lee aplicando la si­ guiente regla: primeramente se lee la parte entera con indica­ RÍAN de la unidad de medida, y luego la parte decimal con indicación del orden de la última cifra. Así, por e j . , 25,06 m, se lee: 25 metros y 6 centésimas (de metro) Como una centésima de metro es un centímetro, podremos leer también' 25 metros y 6 centímetros.

451. Cambio de unidad. — Cuando una longitud ha sido medida empleando una de las precedentes unidades y sus partes decimales, podemos referir la medida a otra unidad, con tan sólo correr convenientemente la coma decimal, puesto que las unidades métricas varían en forma análoga a las unidades decimales. Así, por ej., deseando expresar en decímetros la longitud 5,23 m., puesto que 1 m. = 10 dm., tendremos que multipli­ car por 10, y resulta: 5,23 m. = (5,23 × 10) dm. = 52,3 dm Análogamente, deseando expresar en kilómetros la longitud 8,47 Dm., sabiendo que 1 Dm. = 0,01 Km., tendremos que multiplicar por 0,01, o sea dividir por 100: 8,47 Dm. =

(8,47:100) Km. = 0,0847 Km.

De los ejemplos anteriores deducimos la siguiente REGLA. — Para reducir una medida de longitud a otra de orden superior o inferior, se corre la coma decimal hacia la izquierda o derecha, respectivamente, contando un lugar para cada múltiplo o submúltiplo.

452. Medidas efectivas. — Para proceder a la medición de longitudes se emplean los patrones o medidas efectivas, Las usuales en el comercio son: el metro, dividido en decíme­ tros y centímetros (construido de madera, o de metal, rígido o plegable, y también de cinta de hule). El doble decímetro, dividido en centímetros y milímetros (de madera, metal, hueso, etc.); el decámetro y doble decámetro (de cinta de hule o acero, que usan los técnicos en el terreno). Las medidas que no son efectivas se llaman ficticias; no existen en la realidad material, pero se emplean en el cálculo.

294

A continuación presentamos un decímetro en tamaño natural dividido en centímetros y milímetros (regla graduada que emplean los dibujantes), que se construye en madera, me-

tal, material plástico, etc. La segunda de las figuras es el metro de hule que emplean las costureras o sastres, que tiene generalmente 1,50 m. de longitud. La tercera, es el metro de cinta de acero, empleado por constructores, mecánicos, etc. 453. MEDIDAS DE SUPERFICIE. — Como unidad principal de medida de superficie, se convino en tomar el cuadrado que tiene por lado un metro. Esta unidad se llama METRO CUADRADO y se indica con la abreviatura m. Se llama AREA de una superficie al número que expresa su medida. Los múltiplos y submúltiplos son los cuadrados que tienen por lado los múltiplos y submúltiplos del metro. Para comprender las relaciones que los ligan, así como con la unidad principal (metro cuadrado), basta tener presente que, un cuadrado está formado por 100 cuadrados iguales que tienen por lado la décima parte del lado del primero. La figura de al lado evidencia lo antedicho. 2

295

En el esquema siguiente presentamos las relaciones entre el m. y sus múltiplos y submúltiplos. 2

miriámetro kilómetro Múltiplos hectómetro decámetro Submúl­ tiplos

cuadrado cuadrado cuadrado cuadrado

metro cuadrado decímetro cuadrado centímetro cuadrado milímetro cuadrado

2

(Mm. ) (Km. ) (Hm. ) (Dm. )

= 100 000 000 m. = 1000 000 m. = 10 000 m. = 100 m.

2

2

2

2

2

2

2

2

(m. ) (dm. ) = 0,01 m. (cm. ) = 0,0001 m. (mm. ) = 0,000 001 m 2

2

2

2

2

2

Cada unidad de superficie es cien veces mayor que la uni­ dad inmediata inferior. 454. Lectura y escritura de números que expresan super­ ficies. — La lectura de un número que expresa una medida de superficie, se deduce inmediatamente del ejemplo siguiente: Sea 8,356 Dm. , que se escribirá 8,3560 Dm. (primeramente hemos hecho par el número de cifras decimales); luego se leerá: 8 decámetros cuadrados, 35 metros cuadrados y 60 decímetros cuadrados, o bien, 8 decámetros cuadrados y 3560 decímetros cuadrados. Para la escritura de un número que exprese una medida de superficie, téngase presente que cada unidad de superficie contiene 100 unidades de la especie inmediatamente inferior, y por consiguiente, que las unidades de la misma especie deben representarse con dos cifras. Así, por ej., el área de 64 Dm.2, 7 m.2. 5 dm.2 y 92 cm.2, e escri­ birá, tomando como unidad el decámetro cuadrado: 64,070592 Dm.2. 2

2

8

455. Cambio de unidad. — La reducción de una medida de superficie de una unidad a otra, se efectúa con una resrla análoga a la del (N.° 451), pero corriendo la coma decimal dos lugares para cada múltiplo o submúltiplo. Así, por ej., para reducir m.2 a Hm.2, correremos la coma cuatro lugares hacia la izquierda. Tendremos, pues: 5,437 m.2 = 0,0005437 Hm.2. 456. Unidades agrarias. — Las medidas de superficie que se usan para expresar las áreas de campos son: centiárea (cá.) = =

1 m.

área

(á.)

hectárea

(Há.) = 10 000 m.

2

100 m.

2

2

296

Vemos, pues, que estas medidas, llamadas agrarias, no son más que el m. , el Dm. y el Hm. , respectivamente, que se les designa con otros nombres. Difieren solamente que, en las medidas agrarias la unidad principal de medida es el ÁREA (es decir, el Dm. , y no el m. como en las usuales medidas de superficie). 2

2

2

2

2

457. Medición de áreas. — No existen medidas efectivas para la medición de áreas, porque sería muy engorrosa e im­ precisa la operación de llevar sucesivamente sobre la super­ ficie a medir, un patrón cuadrado. Se recurre entonces a la ''Geometría", que nos proporciona procedimientos indirectos (mediante el cálculo), como veremos en el N° 465 y sigtes. 458. MEDIDAS DE VOLUMEN. — Como unidad principal de la medida de volumen, se convino en tomar el cubo que tiene por arista un metro. Esta unidad se llama METRO CUBICO y se indica con la abreviatura m. Los múltiplos y sub­ múltiplos de esta unidad son cubos que tienen por arista los múltiplos y sub­ múltiplos del metro. Las relaciones que ligan entre sí estas unidades se comprenden fácilmente, observando, por ej., que un cubo de 1 dm. de arista puede considerarse for­ mado por 10 capas, com­ puesta cada una de 10 cocolumnas de 10 cm . cada una (véase la figura de al lado), o sea 10 × 10 × 10=1000cm .=1dm . En el esquema siguiente presentamos las relaciones entre el m. y sus múltiplos y submúltiplos. 3

3

3

3

3

Múltiplos

miriámetro cúbico kilómetro cúbico hectómetro cúbico decámetro cúbico metro cúbico

3

(Mm. ) (Km. ) (Hm. ) (Dm. ) (m. ) 8

3

3

3

3

= 1000 000 000 000 m. = 1 000 000 000 m. = 1000 000 m. = 1000 m.

3

3

3

297 3)

Submúl­ tiplos

3

decímetro cúbico (dm. = 0,001 m. centímetro cúbico (cm. = 0,000 001 m. milímetro cúbico (mm. ) = 0,000 000 001 m. 3)

3

3

3

Cada unidad de volumen es mil veces mayor que la unidaó inmediata inferior. 459. Lectura y escritura de números que expresan volú­ menes. — Para la lectura de un número que exprese una medida de volumen, se procede en forma análoga que para las medidas de superficie, pero, advirtiendo que la parte decimal se divide, a partir de la coma, en grupos de tres cifras, completando con uno o dos ceros el último grupo m fuera necesario. La reducción de una medida de volumen de una unidad a otra se efectúa con una regla análoga a la del (N.° 451), pero corriendo la coma decimal tres lugares para cada múl­ tiplo o submúltiplo. 3

3

Así, por e j . , para reducir 2, 58 dm. a c m . , corremos la coma tres lugares hacia la derecha, y tendremos: 2,58 dm.8 = 2550 c m . . 3

N O T A . — P o r razones análogas a las indicadas en el ( N . ° 4 6 7 ) , n o existen medidas efectivas de volumen.

460. MEDIDAS DE CAPACIDAD. — Para medir la capa­ cidad, es decir, el volumen interior de un recipiente destinado para contener un líquido o un árido (granos), podrían usarse las unidades de volumen referidas en los párrafos anteriores. No obstante, en la práctica, se emplea como unidad principal el dm. , que en este sistema se llama litro (*) y se abrevia con l. Las relaciones entre el litro y sus múltiplos y submúltiplos •e indican a continuación: 3

Múltiplos

Submúltiplos

hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro

(Hl.) = 100 l. (Dl.) = 10 l. (1.) (dl.) == 0,1 l. (cl.) = 0,01 l. (ml.) = 0,001 l.

Cada unidad de capacidad es diez veces mayor que lo unidad inmediata inferior. (*) La definición dada para el litro es la que se emplea corrientemente en la práctica. No obstante, ateniéndose a la definición legal, diremos que el litro es al volumen de 1 Kg. da agua.

298

En consecuencia, para la lectura de una medida de capa­ cidad se procederá como para las medidas de longitud. Así, por ej., 8,35 Hl. se lee: 8 hectolitros y 35 litros. Análogamente se procederá para la reducción de una me­ dida de capacidad a otra. Siendo el litro equivalente al decímetro cúbico, resulta fácil expresar en medidas de capacidad una magnitud valorada en medidas de volumen. Así, por ej., tendremos: 6,04367 m. = 604,367 Dl. = 604367 cl. 3

Los patrones o medidas efectivas de capacidad, tienen generalmente forma cilindrica de altura igual al diámetro de la base, para medidas de áridos, y de altura doble del diámetro de la base, para los líquidos. Las capacidades usuales de estos patrones son las de la unidad, la doble unidad, y la media unidad.

Litro de madera

Litro de latón

Litros de hojalata o de aluminio

461. MEDIDAS DE PESO. — Vimos (N.° 448) que la uni­ dad legal de peso es la de cierto cilindro de platino que llama­ mos kilogramo. No obstante, como unidad principal se toma un submúltiplo de dicho patrón, que es su milésima parte, y que se llama GRAMO (se abrevia con g.). El gramo es, pues, aproximadamente, el peso de un cm. de agua destilada, pe­ sada en el vacío, a 4 centígrados. 3

o

Las relaciones entre el gramo y sus. múltiplos y submúlti­ plos son: tonelada (t.) = 1000 Kg. = 1000 000 g. quintal (q.) = 100 Kg. = 100 000 g. miriagramo (Mg.) = 10 Kg. = 10 000 g. Múltiplos kilogramo (Kg.) = 1000 g. hectogramo (Hg.) = 100 g. decagramo (Dg.) = 10 g. gramo (g.)

299

decigramo (dg.) = 0,1 g. centigramo (cg.) = 0,01 g. miligramo (mg.) = 0,001 g. Cada unidad de peso es diez veces mayor que la unidad inmediata inferior. Para la lectura, escritura y cambio de unidad con las medidas de peso, se procederá, pues, como con las medidas de longitud y de capacidad. Submúltiplos

Así, por e j . , 9,362 K g . se leerá 9 kilogramos y 362 gramos. Como ejemplo de reducciones tenemos: 4,23 q. = 423 K g . = 0,423 t. Las medidas efectivas de peso son: el miriagramo, el kilogramo, el hectogramo, el decagramo, el gramo, el decigramo, el centigramo, con su doble y media unidad, respectivamente, y el miligramo con su doble. Los patrones comerciales, llamados pesas, se construyen, de fundición (para las grandes pesas), de bronce (para las pesas inedias) y de latón (para las pequeñas), de las formas muy conocidas por los estudiantes (troncos de pirámides, cilindros o laminillas cuadradas, según el tamaño de la p e s a ) .

Pesas de fundición

bronce

latón

Las colecciones de pesas suelen estar constituidas por dos ejemplares de cada pesa, a fin de facilitar las operaciones de pesada. La precisión que se logre en la pesada depende de la sensibilidad de la balanza, instrumento éste de medida bien conocido por los estudiantes en sus distintos modelos, adecuados a la magnitudes de las pesades. Aunque el uso de balanzas automáticas, frecuentes en el comercio, evita el empleo de pesas, la comprobación o verificación de esas balanzas ha de realizarse mediante la correspondiente colección de pesas. 462. Equivalencias entre las unidades de capacidad, volumen y peso. — Puesto que, por definición (N.° 461) un centímetro cúbico de agua destilada, a la temperatura de 4 centígrados, pesa aproximadamente un gramo, y recordando las equivalencias entre las medidas de capacidad y de volumen (N.° 460) podemos, pues, establecer el siguiente cuadro de equivalencias: o

300

Para cualquier cuerpo 3

1 mi. — 1 cm . 11. = 1 dm . 1 Kl. = 1 m .

= 1 g. = 1 Kg. = 1 t.

3

3

Capacidad Volumen

para el agua

Peso

Vemos que el peso y el volumen de una cierta cantidad de agua se puede expresar con el mismo número; las unidades respectivas se llaman correspondientes. Son, pues, unidade* correspondientes las siguientes: gramo y centímetro cúbico; kilogramo y decímetro cúbico; tonelada y metro cúbico, etc. EJEMPLOS. —

1.°

El

3

p e s o d e 7,345 d m . d e a g u a es 7,345 K g . o

2.°

H a l l a r el p e s o de 3 Hl., 5 DI., 12 el., 6 m i . d e a g u a a 4 . 350 , 126 litros pesan 350,126 K g . 3.° ¿ C u á l es la c a p a c i d a d de u n d e p ó s i t o q u e c o n t i e n e 5 t., 4 K g . 7 H g . de a g u a ? 5 t. 4 K g . 7 H g . = 5 0 0 4 , 7 K g . o c u p a n 5 0 0 4 , 7 d m . 3

463. Peso específico (o densidad). — Si pesamos volúmenes iguales de cuerpos diferentes, hallamos pesos diferentes; por ej., pesando 1 dm. de agua destilada a 4 C, 1 dm. de mercurio, 1 dm. de hierro, hallamos: 3

o

B

8

1 dm.

3

de agua destilada a 4

O

C.

pesa

1

Kg.

1

"

"

mercurio

"

13,6 K g .

i

"

"

hierro

"

7,8 K g .

Vemos, pues, que en igualdad de volumen, el mercurio pesa 13,6 veces más que el agua; el hierro pesa 7,8 veces más que el agua, etc. Cada uno de estos números: 1 ; 13,6 ; 7,8 se llama peso específico de la respectiva sustancia. En el lenguaje corriente, al peso específico se le llama, también, densidad, si bien en Física, Química y Mecánica dichos vocablos tienen significados diferentes. Tendremos, pues, la siguiente DEFINICIÓN. — Se llama peso específico de un cuerpo, al número que expresa el peso de la unidad de volumen del cuerpo, estando expresados el peso y el volumen en unidades correspondientes. (*) Peso específico y densidad son dos conceptos distintos, aunque resultan expresados por el mismo número. Peso específico es el peso de la unidad de volumen, y densidad e s la masa d e la unidad de volumen.

301

Así, por ej., al decir que el hierro tiene un peso específico 7,8 significa que 1 dm. de hierro pesa 7,8 Kg. Un volumen cualquiera de hierro, por ej., 5 dm. . pesará 5 veces más, o sea 7,8 × 5 = 39 Kg. Del razonamiento anterior deducimos, pues, que para hallar el peso de un cuerpo cualquiera, se multiplica su volumen por el peso específico. Peso = (volumen) × (peso específico) 3

3

Si al peso lo representamos con la inicial P, al volumen con 7, y al peso específico (o densidad) con D, tendremos la fórmula fundamental: P =

V × D

Para aplicar esta fórmula, es necesario que el peso y el volumen se expresen en unidades correspondientes; es decir, por e j . , si el volumen se expresa en c m . , el peso resultará expresado en gramos; si en dm. , el peso será K g . 3

PESOS Agua

pura . . .

ESPECÍFICOS 1

DE ALGUNOS

. . . .

0,9 M a d e r a : p i n o .

Alcohol . . . .

0,8

roble.

Aluminio . . . .

2,6

Mármol . . . .

Bronce . . . . .

8,1 M e r c u r i o 8,9 Nafta

Cobre

CUERPOS

(*)

0,9 Oro

Hielo

7,8 H o r m i g ó n . . .

Acero Aceite.

3

. . .

19,6

2,3 P i e d r a : c a l i z a , granito 0,4 0,8 Plata 2,7 Platino 13,6

Plomo

0,75

Zinc

2,6 2,7 10,6

. . . .

21,3 11,3 7,1

464. Problemas. — Cuando se conozcan dos de las tres magnitudes P, V, D, fácilmente se halla la magnitud desconocida (incógnita), mediante la fórmula fundamental: P = V × D . Como la incógnita puede ser una cualquiera de aquellas tres magnitudes, pueden presentarse, pues, tres tipos de problemas. PROBLEMA 1.° — Dado el volumen y la densidad de un cuerpo, hallar su peso. Este problema se resuelve directamente con ia fórmula an­ terior : P = V × D . (*) En nuestra TABLA DE LOGARITMOS, TRIGONOMÉTRICAS, ANUA­ LIDADES, CONSTANTES USUALES, FORMULARIO, etc., el estudiante encon­ trará una " T a b l a de Pesos Específicos" de 69 sustancias de uso corriente (págs. 172 y 178).

302 E J E M P L O . — Una plancha de hormigón tiene las siguientes dimensiones: largo = 6 m.; ancho 4 m . ; espesor 12 cm. Si el peso específico del hormigón es de 2,3, calcular el peso de la plancha en K g . Multiplicando las medida, por e j . , en = 2880 dm. . El P = V × V = 3

tres dm. , peso 2880

PROBLEMA 2.° —

3

dimensiones expresadas en la misma unidad de tendremos el volumen: V = 60 × 40 × 1,2 = resultará, entonces, expresado en K g . y será: × 2,3 = 6624 K g .

Dado el peso y la densidad de un cuerpo,

hallar su volumen. P D deducida de la fórmula fundamental aplicando la regla del Este problema se resuelve con la fórmula:

V =

(N.° 2 5 2 ) . EJEMPLO. — El peso de un trozo de hierro es de 93 K g . Siendo la densidad del hierro de 7,8, ¿cuál será el valor del volumen? Aplicando la fórmula tenemos: V = 9 3 : 7,8 = 11,923 dm. (con 1 cm. de aprox.). 3

3

PROBLEMA 3,° — Dado el peso y el volumen de un cuerpo, hallar su densidad. P Este problema se resuelve con la fórmula D = V también deducida de la fórmula fundamental aplicando la regla del ( N . ° 2 5 2 ) . E J E M P L O . — Un block de granito pesa 1134 K g . y iu volumen e* 0,420 m.8. Calcular la densidad del material. Reduciendo previamente el volumen a dm. , unidad correspondiente del Kg., tenemos: 0,420 m. = 420 dm. . L a densidad será, pues: D = 1134: 420 = 2,7. 3

3

3

NOTA. — La última fórmula, D = P : V, nos justifica, también, que la densidad de un cuerpo es el cociente que resulta de dividir el peso por el volumen del mismo, expresando ambas magnitudes en unidades correspondientes.

Cálculo de áreas y volúmenes 465. Preliminares. — De acuerdo al programa vigente de la asignatura, en este primer curso sólo corresponde tratar las reglas prácticas relativas al cálculo de áreas de las figuras planas, y áreas y volúmenes de algunos poliedros usuales, empleando los conocimientos que el alumno ya posee desde la escuela primaria y que empleará para la resolución de los problemas respectivos que se proponen al final de este libro.

303

Las demostraciones de las reglas referentes a figuras pla­ nas se estudiarán en el segundo curso, y las de las figuras del espacio, en el cuarto curso. Recuérdese que: Se llama A R E A de una superfioie al número que expresa su medido en unidades superficiales. Así, por e j . , al decir que el área de un rectángulo es de 24 m , quiere decir que su superficie contiene 24 veces la de 1 m . Las áreas se obtienen siempre multiplicando las longitudes de dos líneas: si éstas se expresan en metros, el producto da el área en me­ tros cuadrados; si en centímetros, el área resultará expresada en cen­ tímetros cuadrados, y así con otras unidades. A n á l o g a m e n t e d i r í a m o s p a r a e l c á l c u l o d e v o l ú m e n e s , donde in­ tervienen tres factores lineales, y el resultado s e expresará enton­ ces en m e d i d a s c ú b i c a s . R e p r e s e n t a r e m o s c o n la letra 8 el á r e a d e una superficie y c o n V el v o l u m e n d e un c u e r p o . 2

2

466. ÁREA DEL RECTÁNGULO Y DEL CUADRADO. REGLA. — El área de un rectángulo es igual al producto de sus dos dimensiones. S

=b×h

EJEMPLO. — El área de un campo rectangular cuyas dimensiones son 1235 m . y 56 D m . r e s p e c t i v a m e n t e , e s : 1235 × 560 = 691600 m. = = 69 Há. 1600 m . 2

2

R E G L A . — El área de un cuadrado es igual al producto del lado por sí mismo, o bien, puede de­ S = a cirse, que se eleva el lado al cuadrado. 2

467.

ÁREA DEL PARALELOGRAMO.

REGLA. — El área de un paralelogramo es igual al pro­ ducto de la base por la altura.

S

=b×h

E J E M P L O . — Si la base de un paralelogramo mide 37 mm. y su altura 21 mm., su área será: 8 = 37 × 21 = 777 m m . 2

304

468.

ÁREA DEL TRIANGULO.

REGLA. — El área de un triángulo es igual a la mitad del producto de la base por la altura.

S =

b×h 2

EJEMPLO. — La base de un triángulo mide 42,54 m. y su 10,25 m. Su áraa será: J (42,54 × 10,25) = 218,0175 m2.

469.

altura

ÁREA DEL TRAPECIO.

REGLA. — El área de un trapecio es igual a la mitad del producto de la suma de las bases por la altura, o bien, puede decirse, la semisuma de las bases por la altura.

S =

b + b'

× h

2 EJEMPLO. — Si las bases de un trapecio miden 38 m. y 16 m. res­ pectivamente y la altura 21 m., su área será: S=1/2(38+16) × 2 1 = 5 6 7 m . 2

470.

ÁREA DE UN POLÍGONO REGULAR.

REGLA. — El área de un polígono regular es igual a la mitad del producto del perímetro por la apotema.

S =

p × a 2

Designando con p el perímetro, o sea el producto del lado por el número de lados (en el caso de la figura p = l × 6 ) , EJEMPLO. — El lado de un hexágono regular mide 4 m. y su apo­ tema 3,464 m . ; el perímetro es, pues, 4 × 6 = 24 m., y su área, 1/2 (24 × 3,464) = 41,568 m = 415 680 c m . 2

2

305

471. LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA Y ÁREA DEL CIRCULO. REGLA. — La longitud de una circunferencia se obtiene multiplicando n por el diámetro. Con la letra griega relación constante entre irracional ( N . ° 4 1 4 ) , o bien el valor 3,14, t o m a 3,1416.

π (léase p i ) , se representa en Matemáticas la la circunferencia y su diámetro; es un número que en la práctica se t o m a el v a l o r 22/7 o, si se desea una a p r o x i m a c i ó n m a y o r s e

Designando con c la longitud de la circunferencia, COD R el radio y con d = 2 el diámetro, tenemos: c =

π× d

o bien

c = 2πR

REGLA. — El área de un círculo es igual a la mitad del producto de la circunferencia por el radio. Como la circunferencia vale 2 π R, el área del círculo será:

S =

(2 π R) × R

2

, que simplificada da:

S = π R

2 Esta última fórmula origina esta otra REGLA. — El área de un círculo es igual al producto de * por el cuadrado del radio. EJEMPLO. — El área de una m o n e d a de cincuenta c e n t é s i m o s c u y o radio es d e 12 m m . , v a l d r á : S = π ( 1 2 ) = 3,14 × 12 × 12 = 452 mm ( a p r o x i m a d a m e n t e ) 2

472.

2

ÁREA Y VOLUMEN DEL PRISMA,

REGLA. — El área lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base por la altura. Representando con 8 el área total, tenemos: S = p h+ 2 B

2

EJEMPLO. — Un prisma recto tiene por base un polígono de 4 m de área y 5 m. de perímetro; la altura del prisma mide 72 dm. El área lateral es 5 × 7,2 = 36 m ; el área total será: S = 36 + 2 × 4 = 36 + 8 = 44 m 2

2

2 0 . — A R I T M É T I C A 1er. A Ñ O — Coppetti

306

REGLA. — El volumen de un prisma cualquiera ea igual al producto del área de la base por la altura.

Como consecuencia de la regla anterior, tendremos: REGLA. — El volumen del paralelepípedo rectangular es igual al producto de las tres dimensiones. 473.

ÁREA Y VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE REGULAR

REGLA. — El área lateral de una pirámide regular es igual a la mitad del producto del perímetro de la base por la apotema de la pirámide. Representando con S el área lateral, tenemos: l

p

S

×a

l

2 EJEMPLO. — Una pirámide regular tiene como 1 m de l a d o ; la apotema de la pirámide mide gono de la base 0,688 m . ; el perímetro medirá, El área lateral vale, 1/2 ( 5 × 4,8) = 12 m 8 = 1/2 (4,8 + 0,688) × 5 = 13,72 m .

2

base un pentágono de 4,8 m. y la del pentá­ pues, 1 × 5 = 5 m, . El área total será,

2

REGLA. — El volumen de una pirámide cualquiera es igual a un tercio del producto del área de la base por la altura B × h 3 E J E M P L O . — E l área d e l a base d e la p i r á m i d e del e j . anterior e s : B = 6 × 0,688: 2 = 1,72 m y su altura m i d e 4,75 m. El volumen de la pirámide será: 7 = 1,72 × 4,75 : 3 = 2,723 m , 2

3

474.

ÁREA Y VOLUMEN DEL CILINDRO.

REGLA. — El área lateral de un cilindro circular recto es igual al producto de la circunferencia de la base por la altura.

307

S

l

2 π R h

=

EJEMPLO. — El área de la lámina de metal necesaria para construir un depósito cilíndrico, con tapa, de 8 dm. de radio y 12 dm. de altura s e r á : 2 × 3,14 × 8 (12 + 8) = 1004 dm 10,04 m 2

2

REGLA. — El volumen de un cilindro

es igual al producto del área de la base por la altura. EJEMPLO. — La capacidad del depósito 3,14 × 8 × 12 = 2411,52 litros.

3

V = π Rh

dei ejemplo anterior es

2

475.

ÁREA Y VOLUMEN DEL CONO.

REGLA. — El área lateral de un cono circular recto es igual a la mitad del producto de la S = πR g circunferencia de la base por la generatriz. l

EJEMPLO. — La construir un embudo es: S = 3,14 × 3 constituye el embudo = 37,68 litros.

superficie de la lámina de metal necesaria para cónico de 5 dm. de generatriz y 3 dm. de radio × 5 = 47,10 d m . Siendo la altura del cono que de 4 dm., su capacidad será: V = 3 , 1 4 × 3 × 4 : 5 = 2

3

REGLA. — El volumen de un cono ea igual a un tercio del producto del área de la base por la altura.

V =

1 3

2

πR h

476. ÁREA Y VOLUMEN DE LA ESFERA. REGLA. — El área de una esfera es cuatro veces la de su círculo máximo. (Se entiende por círculo máximo el que tiene el mismo radio que la esfera). REGLA. — El volumen de una esfera es igual al producto del área de la esfera por un tercio del radio, o bien, cuatro tercios del producto de πpor el cubo del radio. S

=

2

4 π R

V =

4

3

2

π R

esfera ×

Tierra,

53 : 3 =

4 ×

supuesta 3,1416 ×

de 5 cm. de radio

Monedas

3,14

la

Medidas de peso

6366 K m . El área terrestre será, p u e s : S =

Medidas de peso

volumen de una

de

(Para áridos)

×

radio

Medidas de capacidad

4

El

Medidas de capacidad

Km2

1.'

Medidas de capacidad (Para líquidos)

de

—

Medidas de superficie

Equivalencias en el sistema métrico

EJEMPLOS.

Medida* de superficie

Valores relativos

El

Hedidas de longitud

Nombres sistemáticos abreviaturas usuales

millones

Medidas de longitud

Equivalencia en el sistema métrico

e

Valores relativos

TABLA DE M E D I D A S ANTIGUAS DE LA REPÚBLICA Y EQÜIV. EN EL S. M D.

2.

Nombres sistemáticos y abreviaturas usuales

TABLA DE M E D I D A S INGLESAS Y E Q U I V A L E N C I A S EN EL S. M. D

308

esférica, 63662 =

aproximadamente.

523,333 cm»

es:

es 510

de

309

PROBLEMAS Y EJERCICIOS PARA RESOLVER

"La resolución de problemas no solamente sirve a proporcionar un sólido y racional conocimiento de la materia, sino que sirve también para agudizar el ingenio y darle la facultad de penetrar en la íntima razón de todas las cosas". DESCARTES.

CAP. I . — R E V I S I Ó N NUMERACIÓN 1. L e e r l o s n ú m e r o s que siguen y expresar cuántas unidades hay de cada o r d e n . A s í p o r e j . , 8 572 se l e e r á : 8 unidades de m i llar, 5 centenas, 7 d e c e n a s y 2 unidades s i m p l e s . 17 ; 874 615 ; 34 654 892 ; 567 421 003; 2 453 124 027 2. Escribir los números siguientes: a) t r e s mil o c h o c i e n t o s c i n c o ; mil quinientos d o s ; c i n c o mil tres; b) v e i n t i d ó s mil c i n c o ; un millón c u a t r o c i e n t o s m i l ; c) t r e s c i e n t o s billones diez mil m i l l o n e s sesenta mil n o v e c i e n tos u n o . 3. T r a t e m o s de imaginar l o que significa el n ú m e r o U N BIL L Ó N , o sea el n ú m e r o 1 s e g u i d o de d o c e c e r o s 1.000 000 000 000. Así, una p e r s o n a que sea capaz de c o n t a r cien n ú m e r o s en un minuto, d i c i e n d o rápidamente 1,2,3,4,5,.. . hasta un billón ¿ c u á n t o t i e m p o emplearía para llegar a d i c h o n ú m e r o ? R e s u é l v a s e este p r o b l e m a y se e n c o n t r a r á nada m e n o s que 19000 a ñ o s a p r o x i m a damente . 4. E s c r i b i r c o n cifras arábigas los siguientes n ú m e r o s e s c r i t o s con cifras r o m a n a s : VIII, X L , X L I I I , X C , LXXIV, DC, MCD, S ü X X I I ,

MDCC

5.

E s c r i b i r c o n cifras r o m a n a s los siguientes n ú m e r o s : 25, 146, 503, 714, 999, 1054, 4266, 5089, 8754 6. E s c r i b i r c o n cifras r o m a n a s las siguientes f e c h a s : D e s c u b r i m i e n t o de A m é r i c a (1492*); I n v e n c i ó n d e l a i m p r e n t a (143-6); N a c i m i e n t o y m u e r t e de nuestro p r o c e r G r a l . J o s é G e r v a s i o A r tigas (1764-1850). SISTEMAS NO DECIMALES Medidas de tiempo 1. R e d u c i r a h o r a s : a) 4 s e m . 6 días 7 h. ; b) 1 año 3 meses 6 d í a s . 2. a) b)

Reducir a días: 2 siglos 35 años 3 s e m . ; 4 lustros 3 a ñ o s 2 s e m .

3. ¿Cuá'ntas h o r a s han t r a n s c u r r i do d e s d e el 1.° d e e n e r o d e 1962 al 31 de d i c i e m b r e d e 1963? 4. 5. a)

¿ C u á n t o s a ñ o s , días y h o r a s hay en 1 600 000 m i n u t o s ? Reducir a complejo de tiempo: 13 467 s e g . ; b ) 7 208 d í a s ;

c ) 368 h o r a s .

310 6. Constátese que d e s d e la c r e a c i ó n del M u n d o n o han transcurrido aún un trillón d e s e g u n d o s , en la h i p ó t e s i s que h a y a sido creado hace 6 mil años. 7. ¿ Q u é t i e m p o tardará un a v i ó n en dar la vuelta a la Tierra v o l a n d o a 840 K m . p o r h o r a y siguiendo un m e r i d i a n o ? 8. El año a ñ o 1959? 25

1960 c o m e n z ó en v i e r n e s .

¿ E n qué día c o m e n z ó el Resultado J u e v e s

9. Hallar q u é día fue el 18 de Julio de 1830 s a b i e n d o que de d i c i e m b r e de 1963 fue m i é r c o l e s .

el

R e s o l u c i ó n . — T e n e m o s que desde el 18 de j u l i o de 1830 al 26 de d i c i e m b r e de 1830 s o n : 13 + 31 + 30 + 31 + 30 + 25 = = 160 d í a s . De 1830 a 1963 i n c l u s i v e v a n 133 años, o sea 100 años ordinarios más 33 b i s i e s t o s . T o t a l : 1 6 0 + 3 6 5 x 1 0 0 + 3 6 6 x 3 3 = 48738 días o sea 6962 semanas más 4 d í a s . Se trata pues de u n sábado ( c u a t r o días antes del miércoles ) . f

10. ¿ E n qué día una habrá v i v i d o 4000 d í a s ?

persona

nacida

11. D e m o s t r a r que son iguales las d o s ( e x c e p t o el día 31) c o r r e s p o n d i e n t e s a l o s bre; a n á l o g a m e n t e para abril y julio, y y d i c i e m b r e . E s d e c i r que al m i s m o día m i s m o día d e la s e m a n a .

el

o

1

de j u n i o

de 1897

h o j a s de un c a l e n d a r i o meses marzo y noviemtambién para s e t i e m b r e del m e s c o r r e s p o n d e el

12. ¿ Q u é día de la s e m a n a será el 25 de A g o s t o del a ñ o 2000? H á g a s e el c á l c u l o partiendo del día de h o y .

Números complejos 1. R e d u c i r a e x p r e s i ó n 23472" . 2.

Efectuar o

c o m p l e j a : el á n g u l o 1 0 4 3 6 7 " ; el

arco

las siguientes o p e r a c i o n e s :

5 26'14" +

o

48 53'57" ; (52°16')×7 ;

,

49°37'16" — 8°47 11" ; (85°20'):5

3. E f e c t u a r las cuatro o p e r a c i o n e s del e j e r c i c i o anterior pero c a m b i a n d o l o s datos del s i s t e m a s e x a g e s i m a l al s i s t e m a c e n t e s i m a l . 4. L o s c u a t r o resultados del e j e r c i c i o anterior transformarlos al sistema s e x a g e s i m a l y c o t e j a r l o s c o n l o s resultados del ejercicio a n t e p r e c e d e n t e . 5. U n a legua m a r i n a es 1/20 de g r a d o de m e r i d i a n o terrestre. Hallar su equivalente en m e t r o s , t o m a n d o c o m o m e d i d a del m e r i d i a n o 40 m i l l o n e s de m e t r o s . 6. El nudo m a r i n o es 1/120 de milla m a rina, y la m i l l a m a r i n a es un m i n u t o de m e ridiano t e r r e s t r e . Hallar el e q u i v a l e n t e en metros. a

1875

líneas;

7. R e d u c i r 15 yardas, 2 pies y 7 pulgadas pulgadas.

8. R e d u c i r las siguientes m e d i d a s inglesas a expresiones complejas: 6704 p u l g a d a s ; 2547 g a l o n e s ; 1578 o n z a s .

311 9. R e d u c i r las siones c o m p l e j a s :

siguientes

2235 y a r d a s l i n e a l e s ;

medidas

anglo-americanas

1000 pies c ú b i c o s ;

a

expre-

20 pintas .

10. P a r a un viaje de M o n t e v i d e o a B u e n o s A i r e s n o s p r o p o r cionan l o s siguientes i t i n e r a r i o s : ÓMNIBUS: ÓMNIBUS: Montevideo ( S ) 7 h. 10 m i n . Montevideo ( S ) 9 h. 15 m i n . Colonia ( L l ) 9 h. 20 m i n . Colonia ( L l ) 11 h. 45 m i n . AVIÓN: Colonia ( S ) 10 h. 05 m i n . B u e n o s A i r e s ( S ) 10 h. 20 m i n .

ALISCAFO: Colonia ( S ) 12 h. 45 m i n . B u e n o s A i r e s ( L l ) 13 h. 45 m i n .

Optando p o r el primer itinerario, ¿ c u á l es la duración total del v i a j e ? ¿ Q u é t i e m p o s se invierten en el t r a m o terrestre y e n el a é r e o r e s p e c t i v a m e n t e ? A n á l o g a pregunta para el segundo itinerario, que sustituye el t r a m o a é r e o por m a r í t i m o .

Monedas 1. ¿Cuál es el p e s o del níquel y el p e s o del c o b r e c o n t e n i d o s en 376 m o n e d a s u r u g u a y a s de c u p r o - n í q u e l de 1 p e s o ? 2. ¿Cuál es e l p e s o del c o b r e , del zinc y del níquel en 500 m o n e d a s de $ 0,10?

contenidos

3. El fino de una m o n e d a que pesa 20 g . a la l e y de 0,750 se v e n d e a $ 12 el g r a m o de o r o . ¿ C u á n t o d i n e r o se r e c i b e ? Resultado $ 180 4. Si a un lingote de m e t a l que pesa 90 g . y tiene d e l e y 0,800 le q u i t a m o s 5 g . de liga y le a g r e g a m o s 8 g . de fino ¿ c u á l será su n u e v a l e y ? Resultado 0,860 5. R e d u c i r $ 4 230 u r u g u a y o s a m o n e d a inglesa al c a m b i o de 51,30 . 6. R e d u c i r $ 20 000 a U$S, al c a m b i o de 18,30 . 7. Con $ 9 220 se c o m p r a r o n tización se o p e r ó ? 8. ¿Cuántos pesos uruguayos C r . se c o m p r a n a $ 1,40?

180

£

cuestan

15 sh.

9 d., ¿ a qué c o -

80 000 c r u c e i r o s

si

100

9. Si U $ S 280 m e c o s t a r o n $ 5 070,24, incluida la c o m i s i ó n del 0,6 % , ¿ a qué c a m b i o o p e r é ? 10. C o m p r ó £ 348 : 10 : 9 a $ 51 la l i b r a . V e n d í 200 £ a $ 48 la libra. ¿ A qué tipo de c a m b i o d e b o v e n d e r el r e s t o p a r a g a nar en c o n j u n t o $ 200? 11. Si e n M o n t e v i d e o la libra se c o t i z a a $ 51,30 y l o s 100 c r u c e i r o s a $ 1,40, ¿ c u á n t o v a l e una l i b r a en R í o de J a n e i r o ?

312 12. Convertir 200 000 liras italianas en m a r c o s a l e m a n e s utilizando las c o t i z a c i o n e s del d í a . Se c o n s u l t a r á una de las c o t i z a c i o n e s publicadas en la prensa diaria p o r las Casas d e C a m b i o . 13. P r e p a r a r una tabla a n á l o g a a la de la página 26. para c o n v e r t i r c r u c e i r o s en p e s o s uruguayos, partiendo de la c o t i z a c i ó n del día, la que se c o n s u l t a r á en la prensa diaria. I g u a l m e n t e para la c o n v e r s i ó n de francos f r a n c e s e s en p e s o s u r u g u a y o s . PROBLEMAS DE REVISIÓN

Razones y proporciones 2

3

1. ¿Cuál es la razón entre el m.2 y el D m . ? ¿ Entre el m. y el

dm.

3

2. Calcular la r a z ó n entre la v e l o c i d a d de un tren que r e c o rre 135 K m . en 3 h o r a s y la de o t r o t r e n que r e c o r r e 200 K m . en 4 h o r a s . 3. La razón entre los volúmenes de oxígeno y nitrógeno que contiena el aire es 1 / 4 . ¿Cuál es la razón entre el nitrógeno y el oxígeno? 4. La razón ( o relación) entre los números de alumnos promovidos y aplazados de una clase es de 5: 4. Si los p r o m o v i d o s son 15, ¿cuántos son los aplazados? 5. Hallar 12°36'45".

la

razón

entre

los

siguientes

ángulos:

37°50'15" y Resultado 3

6. L a r a z ó n entre l o s d o s m e t a l e s A y B que forman una aleac i ó n es 3: 5 . ¿ C u á n t o s K g . del m e t a l A es n e c e s a r i o fundir c o n 15 K g . del m e t a l B ? 7-13. Resolver y verificar 5 : 8 = 25 : x ; 7 : 3 12 : x = 6 : 2 ; (8 — x) : x (3 + x) :

las = = (1

siguientes p r o p o r c i o n e s : x : 12 ; x : 4 = 9 : 12 ; 4 : 12 ; (3 + x) : x = 15 : 6 ; + x) = 8 : 4

14. T r e s s o c i o s ganaron $ 80 000 en un a ñ o . D e b e n r e p a r t i r s e esa g a n a n c i a p r o p o r c i o n a l m e n t e a los capitales que aportaron, que s o n : $ 60 000, $ 70 000 y $ 120 000 r e s p e c t i v a m e n t e . ¿ C u á n t o le c o rresponde a cada uno? Resultado $ 19 200; $ 22 400; 9 38 400 15. Dos viajeros, uno de los cuales tiene 5 panes y el otro 7, en cu entran a un tercero con quien distribuyen las provisiones. A l despedirse este último entregó como retribución 12 monedas. ¿Cómo corresponderá repartir las monedas entre los dos primeros viajeros? Bespuesta: Se repartirán proporcionalmente a los números 1 y 3. (Este problema es del " L í b e r A b a c i " de Leonardo de Pisa, año 1202). Resultado 3 y 9 m o n . respectivamente PROPORCIONALIDAD

Regla de tres simple 1. Un tornillo avanza 5 mm. eada 8 vueltas; ¿cuántas vueltas tendré que dar para avanzar 7,5 mm.? 2. U n a u t o m ó v i l r e c o r r e un t r a y e c t o de 48 K m . y c o b r a $ 60. ¿ C u á n t o c o s t a r á el r e c o r r i d o de 104 K m . ? h

m

3. Una canilla vierte 4 litros y medio por minuto y emplea 1 20 para llenar un depósito. ¿Cuánto tiempo emplearía para llenar el depósito otra canilla que vierte 324 litros por hora? Resultado, 1 hora, 6 minutos, 40 segundos

313 4. Un r e l o j atrasa 3 min. 20 sg. en 12 h. ¿ C u á n t o atrasará en 5 d. 15 h.? 5. Un ó m n i b u s tiene una v e locidad de 48 K m . por hora y para r e c o r r e r cierta distancia e m plea 3 horas y 30 minutos. ¿Cuánto e m p l e a r í a si la v e l o c i d a d fuera de 64 K m . por h o r a ? 6. El importe de una comida fué repartido entre 12 personas y cada una pagó $ 28 . Si también hubieran tenido que pagar las dos personas homenajeadas, ¿cuál habría sido la cuota? 7. En un libro de c o c i n a e n c o n t r a m o s la siguiente r e c e t a : "harina 200 g.; azúcar 60 g.; m a n t e c a 40 g.; l e c h e 8 di.; .Si sólo se dispusiera de 150 g. de harina, ¿ c u á l e s serían las cantidades de los o t r o s c o m p o n e n t e s que c o r r e s p o n d e r í a e m p l e a r ? 8. E n un cuartel hay 330 s o l d a d o s que disponen de v í v e r e s para 60 d í a s . Si a los 15 días llegan al cuartel 165 s o l d a d o s más, ¿ c u á n t o s días durarán los v í v e r e s ? Resultado 45 d .

Regla de tres compuesta 9. Un hombre, caminando 11 horas diarias durante 4 días, recorrió 160 Kmi ¿Cuántos días tendría que caminar para recorrer 200 Km ., marchando 8 horas diarias? 10. Con 5 rollos de papel de 40 cm. de ancho se empapelaron 48 m. de una pared. ¿Cuántos rollos de 50 cm. de ancho se necesitarían para empapelar 75,60 m.2 ? Resultado, 6,3 rollos

2

11. Se gastaron $ 48,00 para el a l u m b r a d o de una casa, c o n 10 lámparas, e n c e n d i d a s durante 4 horas diarias. ¿ C u á n t o se gastaría c o n 15 lámparas, e n c e n d i d a s durante 3 horas diarias? T

12. L n gato y medio, come un rutón y medio en un minuto y medio. ¡Cuántos gatos se necesitarán para comer 60 ratones en 30 minutos 1 (Este problema es de la "Matemática dilettevole", de I. Ghersi). 13. P a r a transportar cierto material a 2 K m . de distancia, se e m p l e a n 14 o b r e r o s durante 20 días. ¿ C u á n t o s o b r e r o s se necesitarán para transportar el m i s m o material, a 3 K m . de distancia, en 21 d í a s ? 14. P a r a h a c e r una obra, 20 o b r e r o s n e c e s i t a n 18 d í a s . C i n c o o b r e r o s salen d e l g r u p o c u a n d o el trabajo se halla en la m i t a d . ¿ C u á n t o s días m á s de los 18 se necesitan para t e r m i n a r la o b r a ? Resultado 3 d. 15. D o s h a c e n d a d o s arriendan un c a m p o en $ 15 110 anuales. El primero p o n e en el c a m p o 200 v a c u n o s durante 220 días, 10 horas diarias. El s e g u n d o p o n e 620 v a c u n o s durante 155 días, 8 horas diarias. ¿ C u á n t o d e b e pagar c a d a u n o ? Interés

simple

1. U n a c a s a p r o d u c e $ 500 de alquiler m e n s u a l . ¿ C u á n t o p u e d o pagarla para que mi dinero p r o d u z c a e l 12 % de interés a n u a l ? 2. Un usurero, prestando $ 24 , exige, después de un mes, la devolución de $ 2 5 . ¿ A qué tanto por ciento coloca su dinero? Resultado, 50 % anual

314 3. ¿ D u r a n t e cuánto tiempo enturo colocarlo un capital de $ 840 al 6 % para obtener un monto de $ 859,601 4. ¿ Q u é t i e m p o n e c e s i t a un capital estar c o l o c a d o al 10 % , para que el interés sea el 50 % del capital? Resultado 5 años 5. Un capital c o l o c a d o al 12 % durante 5 años p r o d u c e el mismo interés que $ 5700 al 18 % durante 2 a ñ o s . ¿ A cuánto asciende dicho capital?

CAP. II. — NUMERO

NATURAL

Conjuntos 1. P o n g a el alumno e j e m p l o s de conjuntos y e x p r e s e cuáles son sus e l e m e n t o s o u n i d a d e s : a ) Con o b j e t o s de la m i s m a e s p e c i e . b) Con o b j e t o s de distinta e s p e c i e . Cuide al elegir los e j e m p l o s que los c o n j u n t o s estén bien determinados. P o r ej., no basta mencionar "un conjunto de caballos", pues n o se da un criterio para saber si un caballo determinado p e r t e n e c e o no al conjunto. E n c a m bio sería c o r r e c t o m e n c i o n a r : El conjunto de t o d o s l o s caballos, o el conjunto de caballos de P e d r o Martínez, o el conjunto i n t e -

g r a d o por los caballos C E N T E L L A , P L A T E R O , T R O T A D O R y B R A V O ; o también el conjunto f o r m a d o por caballo T o r d i l l o , c a ballo Alazán, caballo T u b i a n o , etc. En este último e j e m p l o , los e l e m e n t o s del conjunto ya no son c a b a l l o s sino clases de caballos. 2. E n u m e r e el alumno los e l e m e n t o s de los siguientes c o n juntos: A = [ l o s m e s e s del a ñ o ] ; B = [las v o c a l e s ] C = [ l o s n ú m e r o s pares m e n o r e s que d i e z ] D = [las cifras del sistema d e c i m a l de n u m e r a c i ó n ] E [ l o s e l e m e n t o s de D que no son n ú m e r o s i m p a r e s ] F = [los elementos de A cuyos nombres no empiezan con consonante] =

3. P o n g a el alumno e j e m p l o s de conjuntos c u y o s e l e m e n t o s sean ellos también c o n j u n t o s . (Por ej., el conjunio de departamentos de nuestro país cuyo número de habitantes supera los 70 000, considerando cada departamento como el conjunto de todos sus habitantes; empleará los datos del último censo que hemos publicado en la pág. 78). 4. E x p o n e r un criterio que permita ordenar se determinaron en l o s e j e r c i c i o s 2 y 3 .

los conjuntos

que

5. P o n g a el alumno e j e m p l o s de conjuntos finitos y de c o n juntos infinitos. Cuide igualmente que estén d e t e r m i n a d o s ; e s d e cir, que si se da un e l e m e n t o cualquiera, pueda d e c i r s e si perten e c e o n o al c o n j u n t o . 6. ¿ P u e d e n c o n s i d e r a r s e c o m o unidades de los conjuntos posteriores y c o m o c o n j u n t o s de los anteriores los siguientes c o n c e p t o s : letras, sílabas, palabras, p á r r a f o s , . . . ? P r o s í g a s e hasta llegar al conjunto b i b l i o t e c a s .

315 7. E m p l e a n d o la c o n o c i d a n o m e n c l a t u r a de nuestra numeración decimal, enuncíense algunos conjuntos de unidades tales que el p r i m e r o sea de orden superior al s e g u n d o ; el 2.° de orden superior al 3.°; y así s u c e s i v a m e n t e . 8. C o m p a r a r los c o n j u n t o s siguientes n o m b r a n d o en cada c a s o los e l e m e n t o s c o m u n e s : a) M — [taza plato, c u c h i l l o ! A [cuchillo, tenedor] 6) R [ 1 , 2, 5, 7, 9] 8 = [0, 4, 6, 8 ] c) A = [Juan, Luís, A l b e r t o ] B — [Luis, Alberto, Juan] d) C — [a, 6, m z, e ] D — [ m , a, e ] 7

=

f

Formar conjuntos que sean subconjuntos de C. ¿ F i g u r a D entre los s u b c o n j u n t o s de C? 9. C o n s i d é r e n s e los conjuntos M, N, R, S, A , B, C y D del e j e r c i c i o 8. Decir cuáles son c o o r d i n a b l e s . E s t a b l e c e r entre e s t o s sendas c o r r e s p o n d e n c i a s b i u n í v o c a s . E x p r e s a r qué e l e m e n t o s son h o m ó l o g o s en dichas c o r r e s p o n d e n c i a s . 10. En la c o r r e s p o n d e n c i a que se e s t a b l e z c a entre los conjuntos R y G del e j e r c i c i o a n t e r i o r : a ) E x p r e s a r qué e l e m e n t o es el h o m ó l o g o del 2 . b) ¿ D e qué e l e m e n t o es h o m ó l o g o la m ? c ) V e rificar el postulado l . ° de la c o o r d i n a c i ó n de conjuntos ( N . ° 7 6 ) . 11. ¿ S o n finitos los conjuntos del e j . 6? Verificar lado 2.° de la c o o r d i n a c i ó n de c o n j u n t o s ( N . ° 7 6 ) .

el

postu-

12. Indicar cuándo son c o o r d i n a b l e s : a ) un conjunto de s o m breros y un conjunto de p e r s o n a s ; 6) un conjunto de asientos y un conjunto de e s t u d i a n t e s ; c ) un conjunto de estudiantes y un conjunto de s o b r e s a l i e n t e s ; d) un conjunto de a u t o m ó v i l e s y un conjunto de c h o f e r e s . 13.

Dados

los

conjuntos:

A = [Juan, Luis, A l b e r t o ] ; B = [una bicicleta, una radio, una silla] Si son c o o r d i n a b l e s , e s t a b l e c e r entre ellos varias c o r r e s p o n d e n cias b i u n í v o c a s distintas. ¿ C u á n t a s pueden e s t a b l e c e r s e ? Verificar el carácter r e c í p r o c o de la c o o r d i n a c i ó n ( P o s t u l a d o 5 . ° ) . 14. Coordinar el conjunto A del e j e r c . anterior c o n s i g o m i s m o , de dos m a n e r a s distintas ( P o s t . 4 . ° ) . 15. E s t a b l e c e r una c o o r d i n a c i ó n e n t r e los c o n j u n t o s M y A del e j e r c . 8. E s t a b l e c e r a s i m i s m o una c o o r d i n a c i ó n entre l o s c o n j u n t o s A y D del m i s m o e j e r c i c i o . P u e d e e s t a b l e c e r s e una c o o r d i n a c i ó n entre M y D h a c i é n d o l e c o r r e s p o n d e r a c a d a e l e m e n t o de M el e l e m e n t o h o m ó l o g o en la s e g u n d a c o r r e s p o n d e n c i a del e l e m e n t o de A que es h o m ó l o g o en la primera c o r r e s p o n d e n c i a del e l e m e n t o d a d o d e M. D e esta m a ñ e r a se puede verificar para este c a s o el c a r á c t e r transitivo de la c o o r d i n a c i ó n de c o n j u n t o s .

La sucesión de números naturales. — Número cardinal. 16. ¿ C o n qué conjunto de la s u c e s i ó n fundamental d e c o n j u n tos son c o o r d i n a b l e s cada uno de los c o n j u n t o s del e j e r c . 6? 17. ¿ Q u é c o n j u n t o s de los del e j . 8 están constituidos por núm e r o s naturales? ¿ S o n c o o r d i n a b l e s d i c h o s c o n j u n t o s ? ¿ C ó m o se llaman las p r o p i e d a d e s c o m u n e s a ellos y a t o d o s l o s c o n j u n t o s respectivamente coordinables con ellos?

316 18. ¿Cuál es el 5.° e l e m e n t o de la s u c e s i ó n fundamental? e s el 100.° e l e m e n t o ?

¿Cuál

19. ¿ C u á l es el c o n s e c u t i v c de 9999 en la s u c e s i ó n fundamental? 20. Contar los e l e m e n t o s de cada uno de l o s c o n j u n t o s del e j . 8. ;

21. ficar

¿ C u á l es el n ú m e r o cardinal d e c a d a u n o de e l l o s ? Veri» l o s postulados I y II de los n ú m e r o s cardinales ( N . ° 8 3 ) .

22. Indicar cuáles de l o s n ú m e r o s siguientes s o n u s a d o s c o m o cardinales y cuáles c o m o o r d i n a l e s : a) P e d r o tiene 3 h e r m a n o s ; v i v e en la calle Sarandí 122. b) E n el libro de A r i t m é t i c a de A n t o n i o faltan 9 páginas, y a d e m á s la página 103 está r a s g a d a . c) P a r a ir d e s d e M o n t e v i d e o a M e r c e d e s e m p l e é 5 h o r a s ; partí de M o n t e v i d e o a las 13 y l l e g u é a l a s . . . d) E n una carrera p e d e s t r e han participado 123 c o r r e d o r e s ; v e n c i ó el c o r r e d o r r e g i s t r a d o c o n el n ú m e r o 2 5 . 23. Considerar el conjunto de letras de la palabra L E T R A . Contar de d o s maneras sus e l e m e n t o s ( e n d o s ó r d e n e s d i s t i n t o s ) . E x p r e s a r en cada c a s o cuál ha sido el n ú m e r o ordinal que c o r r e s p o n d i ó a la E; cuál ha sido el del último e l e m e n t o ; y cuál ha sido el p r i m e r o .

Igualdades. 24.

Se dan las igualdades

a) 4) 1.° ¿ Q u é m é t r i c o en

siguientes:

4 + 1 = 5 b) 5 = 3 + 2 3 + 2 = 0? d ) x = b + 4 igualdades pueden d e d u c i r s e a p l i c a n d o el c a r á c t e r c a d a una de e l l a s ?

2.° ¿ Q u é igualdad p u e d e deducirse aplicando a las o ) y carácter t r a n s i t i v o ?

si-

.&) el

Recta numérica 25. R e p r e s e n t a r en un eje orientado m e r o s naturales 0, 5 y 1 2 .

(recta numérica)

los nú-

C A P . I I I . — ADICIÓN D E NÚMEROS N A T U R A L E S 1. E l P a r l a m e n t o d e nuestra R e p ú b l i c a lo integran el conjunto suma d e . . . ( ? ) . 2. F o r m a r el c o n j u n t o s u m a d e los c o n j u n t o s de letras d e las p a labras siguientes y hallar e l n ú m e r o cardinal d e la s u m a : rosa, clavel, m a r g a r i t a , PALACIO LEGISLATIVO Montevideo 3. ¿ E s el c o n j u n t o de n ú m e r o s pares c e r r a d o r e s p e c t o d e la adición? 4. ¿ E s el conjunto d e t o d o s l o s múltiplos d e 5, (5, 10, 15, 20, 25, e t c . ) , c e r r a d o r e s p e c t o de la a d i c i ó n ?

317 5. de la a) minan b)

D e c i r si l o s c o n j u n t o s siguientes son o n o c e r r a d o s r e s p e c t o adición: el c o n j u n t o de l o s n ú m e r o s naturales c u y o s n u m e r a l e s teren 0 ; el c o n j u n t o de l o s n ú m e r o s naturales q u e v a n del 10 al 99 .

6. A p l i c a n d o las p r o p i e d a d e s c o n m u t a t i v a o la asociativa, o bien a m b a s , efectuar m e n t a l m e n t e las siguientes s u m a s : a) 1 + 3 + 5 + 7 + 9 ; 2 + 4 + 6 + 8 + 10; 6) 12 + 8 + 15 + 5 + 24 + 16 ; 999 + 53 + 997 + 1 + 3 7. El viaje por ferrocarril de Montevideo a Artigas, se realiza mediante tres líneas diferentes, euyos kilometrajes indicaremos dentro de paréntesis: Montevideo-Paso de los Toros (273 K m . ) ; Paso de los T o ros-Salte (317 K m . ) ; Salto-Artigas (227 K m . ) . ¿Cuál es la distancia de Montevideo a Artigas? 8. S e g ú n una i n f o r m a c i ó n estadística de h a c e siete años, el núm e r o de p e r s o n a s de h a b l a e s p a ñ o l a en A m é r i c a a s c e n d í a a 90 mil l o n e s ; en E u r o p a 30 m i l l o n e s ; en Á f r i c a 2 m i l l o n e s y en O c e a n í a 3 m i l l o n e s . ¿ C u á l era el n ú m e r o total de p e r s o n a s de habla españ o l a en aquel m o m e n t o ? 9 . U n a p e r s o n a d e p o s i t ó en un B a n c o c i n c o s u m a s d i f e r e n t e s ; la 1 . d e $ 6250 ; la 2 . equivalente a la 1 . y la 5 . j u n t a s ; la 3 . e q u i v a l e n t e a la 2 . y 5 . ; la 4 . de $ 5000, y l a 5 . e q u i v a l e n t e a la 1 . y 4 . ¿ Q u é suma d e p o s i t ó en t o t a l ? 10. Calcular la suma d e l o s c i n c u e n t a p r i m e r o s n ú m e r o s naturales a p l i c a n d o la p r o p i e d a d asociativa, c o n el m e n o r n ú m e r o p o sible de s u m a s . a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

11. U t i l i z a n d o l o s d a t o s e s t a d í s t i c o s que h e m o s p u b l i c a d o en la p á g . 78, c a l c u l a r el total de habitantes d e l litoral de n u e s t r a R e pública . 1 2 . Del portal a la planta baja de un e d i f i c i o d e pisos h a y 16 e s c a l o n e s , y l u e g o , de piso a piso, 20 e s c a l o n e s m á s . El p o r t e r o sube una b o l s a de c a r b ó n a c a d a u n o de l o s c i n c o p i s o s del e d i f i c i o , b a j a n d o a b u s c a r l a c a d a v e z al p o r t a l . ¿ C u á n t o s e s c a l o n e s d e b e r á subir, d e n o h a b e r a s c e n s o r ? 13. Juan, P e d r o y Carlos se distribuyen cierta suma de d i n e r o : Juan r e c i b e $ 2835. Carlos $ 880 m á s que P e d r o , y Juan $ 235 m á s que l o q u e r e c i b i e r o n Carlos y P e d r o j u n t o s . Calcular el total repartido. Resultado $ 5 435 14. U n a c a s a ha sido c o m p r a d a e n $ 235 000 y en r e p a r a c i o n e s se han i n v e r t i d o $ 25 400. ¿ E n c u á n t o es n e c e s a r i o v e n d e r l a p a r a o b t e n e r una g a n a n c i a d e $ 30 000? 15. A n t o n i o t i e n e que pagar una deuda en c i n c o c u o t a s ; la p r i m e r a de $ 3 500, y las s u c e s i v a s a u m e n t a n s i e m p r e en $ 450. C a l c u lar el i m p o r t e d e la d e u d a . 16. L a s cajas de pesas que h a b i t u a l m e n t e a c o m p a ñ a n las lanzas e s t á n c o m p u e s t a s a s í : 1 pieza

de 1 g. ;

2 piezas de 2 g. ; 1 pieza

ba-

2 piezas de 10 g. ;

2 piezas de 100 g. ;

1 pieza

de 20 g. ;

1 pieza

de 5 g. ;

1 pieza de 500 g., e t c .

d e 50 g. ; 1 pieza

de 200 g. ;

318

Mostrar que c o n e s t e conjunto de pesas pueden pesarse todas las masas, de g r a m o en g r a m o , inferiores a la suma d e l total d e p e s a s . A s í , por ej., ¿ c ó m o f o r m a r los p e s o s de 70 a 80 g r a m o s ? 17. D e m o s t r a r que si cuatro n ú m e r o s a, b, c, d, son tales que cada u n o supera el p r e c e d e n t e en un n ú m e r o k, se t i e n e : (En efecto, bro a miembro

a + k ...).

=

a + d = b + c b ; d = c +

k;

sumando

miem-

18. L o s agentes viajeros de una c a s a de c o m e r c i o han c o n seguido para la m i s m a l o s p e d i d o s de p a ñ o s que se indican, p o r su valor en p e s o s , en el siguiente cuadro. Se desea s a b e r : l . ° , el pedido o b t e n i d o por c a d a uno al c a b o del s e m e s t r e ; 2.°, el p e dido c o n s e g u i d o durante c a d a uno de l o s m e s e s por t o d o s e l l o s ; 3.°, la v e n t a realizada por la casa durante el s e m e s t r e por m e dio de sus agentes viajeros. C o m p r o b a r los resultados c o m p a r á n dolos entre sí. De León Iglesias Costa TOTALES Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

8 605 5 418 3 085 10 765 9 416 8 300

TOTALES

1267 2 058 5 546 9 765 8 407 7 206

5 750 7 750 6 600 8 106 7 472 9 704

....

....

19. E n el año 1964, la inscripción g e n e r a l de a l u m n o s en lic e o s e institutos p ú b l i c o s y privados del país fue la s i g u i e n t e : LICEOS 1er. 2.° 3er. 4.°

1 e r . ciclo año . . . 18 422 año . . . 15 353 año . . . 12 424 año . . . 9 966

OFICIALES

LICEOS

PRIVADOS

o

1er. 2 o

2 ciclo año . . . 9 287 año . . . 5 723

1er. 2.°

c i c l o . . . 13165 ciclo . . . 915

¿ C u á n t o s alumnos se inscribieron ese año en el primer c i c l o de enseñanza oficial y cuántos en el s e g u n d o c i c l o ? ¿ C u á n t o s en el conjunto del primer c i c l o de instituciones públicas y privadas, y cuántos en el s e g u n d o c i c l o ? Utilizando estas sumas parciales, verificar que el total general del alumnado del país a s c e n d i ó a 85 255 . (Como información ilustrativa del crecimiento de la población estudiantil del país damos los siguientes totales, proporcionados por la Oficina de Estadística de Enseñanza Secundaria: Año 1950, 34 226 alumnos; Año 1955, 40 090; Año 1960, 69 742 a l u m n o s ) .

319

CAP. IV. — S U S T R A C C I Ó N D E NÚMEROS N A T U R A L E S 1. T e dicen que pienses un n ú m e r o , que l u e g o le aumentes 7, después le restes 4, y finalmente que le r e s t e s el n ú m e r o que habías p e n s a d o . ¿Cuánto ha de quedarte? ¿ P o r q u é ? 2. El primero y último s u m a n d o de una suma han aumentado, r e s p e c t i v a m e n t e , en 6745 y en 2407, y otros dos han disminuido en 2456 el u n o y en '5078 el o t r o . ¿ Q u é alteración ha e x p e r i m e n tado la s u m a ? 3. Un taximetrista anota cada n o c h e lo que m a r c a su cuentaq u i l ó m e t r o s . A n o t ó el d o m i n g o 12 547 K m . , el lunes 13 904 K m . , el m a r t e s 14 240 K m . y el m i é r c o l e s 14 716 K m . ¿ Q u é distancia r e c o r r i ó cada día? ¿Cuál es la diferencia de r e c o r r i d o s entre el día que r e c o r r i ó m á s y el que c i r c u l ó m e n o s ? 4. Una familia c o m p r a un r o p e r o por $ 2000 ; una c a m a por $ 1600 ; un c o l c h ó n por $ 800 ; una c ó m o d a p o r $ 1200 . Si el p a g o se h a c e al c o n t a d o , el v e n d e d o r ofrece una rebaja del 10 % . Si se realiza a crédito, el p a g o se hará en 5 cuotas iguales, cada una de las cuales tendrá un r e c a r g o de $ 55 . ¿Cuál será el m o n t o d e la cuota, y cuánto ganará la familia si paga al c o n t a d o ? Resultado, Cuota $ 1175; gan. $ 835 5. Se debe repartir $ 4570 entre cuatro personas, de m o d o que la primera r e c i b a $ 1150, la segunda $ 148 m e n o s , la t e r c e r a $ 340 m á s que la s e g u n d a y la cuarta el r e m a n e n t e . ¿Cuánto le t o c a a cada p e r s o n a ? 6. E m p l e a n d o un eje orientado, trazar tres s e g m e n t o s de l o n gitudes r e s p e c t i v a s : a = 12 c m . ; b = 10 c m . ; c = 8 cm. Construir l u e g o los s e g m e n t o s que tienen por l o n g i t u d e s : a + b + c ; a — b + c ; b + c — a 7 . Verificar que la diferencia entre un número formado por tres cifras consecutivas y el número que resulta de invertir las cifras, ee siempre 198. ( E j . : 765 — 567 = 1 9 8 ) . 8. Calcular la edad de los siguientes hombres célebres, de los que se dan las fechas del nacimiento y de la muerte: Artigas (17641 8 5 0 ) ; Cervantes (1549-1616); Feríeles (499429 a. J. C); Julio César (100-44 a. .J. C.). 9. Calcular la duración de los períodos históricos comprendidos entre las siguientes fechas: Descubrimiento de América (1492) y descubrimiento del estrecho de Magallanes ( 1 5 2 0 ) ; Fundación de Montevideo (1726) e instalación del Cabildo Abierto (1808),

OBELISCO

A

LOS

CONSTITUYENTES del año

1930.

10. El Obelisco de Montevideo tiene 40 metros de altura; el de Buenos Aires. 6 8 ; el de Washington, 169; la torre Eiffel de París, 300. Calcular la diferencia de altura entre cada una de las construcciones indicadas .

320 11. A un c e r e z o subí, que cerezas tenía; ni c e r e z a s c o m í , ni cerezas dejé. ¿Cuántas h a b í a ? ( P r o b l e m a de aritmética y g r a m á tica, pues t a m b i é n i m p l i c a el e m p l e o c o r r e c t o del singular y del plural). Resultado H a b í a n 2 y comí 1 12. Completar las siguientes igualdades y decir qué propiedad se a p l i c a : . . . — 352 = 874 ; 8736 — . . . = = 1382 ; 1253 + . . . = 2739. 13. Tres personas A, B, C, tienen, en conjunto, $ 30467; las sumas de B y C forman un total de $ 18265, y las de A y C $ 21304. ¿Cuánto tiene cada una? Resultado: A = $ 12 202 ; B = $ 8 868 ; C = * 9 402 14. a) 6) c) d)

¿ Q u é v a r i a c i ó n e x p e r i m e n t a la diferencia de d o s n ú m e r o s : si el m i n u e n d o aumenta en 1 3 . si el sustraendo aumenta en 13 ; si el sustraendo a u m e n t a en 11 y el m i n u e n d o e n 13 ; si el m i n u e n d o aumenta en 11 y el sustraendo en 13 ?

CAP. V . — D E S I G U A L D A D D E NÚMEROS N A T U R A L E S 1. dades a) b)

A p l i c a r las p r o p i e d a d e s de m o n o t o n í a a la suma y desigualdades s i g u i e n t e s : 8 + 3 = 11 , 5 < 4 + 7 7 > 5 , 4 + 6 > 8 , 16 > 12

2. dades a) b) c)

A p l i c a r las p r o p i e d a d e s de m o n o t o n í a a la y desigualdades siguientes: 15 < 23 , 8 = 3 + 5 6 + 4 = 7 + 2 + 1, 8 > 3 17 > 12 , 5 < 8

3. R e e m p l a z a r las letras por n ú m e r o s se verifiquen las siguientes r e l a c i o n e s :

4.

a c

> <

b d

a+c

=

b+d

p+m

=

b—d

u > x < <

v y v+y

u > v x < y

p > q m < n p—m

>

q—n

5. Siendo a = b , c > d , p > a+p+c+m c o n respecto a b + q + d + n ? 6.

u+x

q+n

que

c o n las r e l a c i o n e s :

a > b c < d a—c

>

resta de igual-

c o n v e n i e n t e s , para

p > q m < n

El m i s m o e j e r c i c i o

de igual-

D e m o s t r a r que si es

a>b>c

>d

u—x q , es

,

<

v—y

m = n , ¿ c ó m o es también

a—d>b—c

7. Luis es m á s r i c o q u e Manuel y m e n o s que E d u a r d o . ¿Cuál es el m á s r i c o de l o s t r e s ? 8. Ordenar según el n ú m e r o de habitantes la n ó m i n a d e l o s c i n c o d e p a r t a m e n t o s d e la R e p ú b l i c a m á s p o b l a d o s . (Utilizar l o s datos del c u a d r o del C e n s o que figura en la pág. 7 8 ) . 9. F r a n c i s c o gana m á s q u e Julio. A m b o s gastan m á s que ganan, y el s e g u n d o tiene más g a s t o s que el p r i m e r o . de los d o s tiene m á s d e u d a s ?

de l o ¿Cuál

321 Resolución: De FRANCISCO: Ganancia = GF; Gastos gF; Deuda — gF—GF De JULIO: Ganancia — GJ; Gastos gJ; Deuda = gJ—GJ Como Francisco gana más que Julio, es GF > GJ Como Julio tiene más gastos que Francisco, es gF < gJ Restando de esta última desigualdad la penúltima, en virtud del Post. III del (N° 155), resulta: gF — GF < gJ — GJ Siendo estas diferencias las deudas respectivas de Francisco y de Julio, resulta...

CAP. V I . — P R O B L E M A S S E N C I L L O S R E S O L U B L E S CON L A S D E F I N I C I O N E S Y P R O P I E D A D E S D E L A ADICIÓN Y D E L A SUSTRACCIÓN 1. E n una suma d e v a r i o s s u m a n d o s , en lugar d e escribir l o s s u m a n d o s 7860 y 8035.. se ha escrito, r e s p e c t i v a m e n t e , 780i6 y 8305 . D e c i r c ó m o se d e b e c o r r e g i r la suma, sin h a c e r l a nuevamente. 2. Cuatro o b r e r o s han r e c i b i d o e n t r e t o d o s la teantidad d e % 4115 en p a g o de la m a n o de o b r a d e una c o n s t r u c c i ó n ; el p r i m e r o r e c i b i ó $ 970 , el s e g u n d o $ 120 m á s que e l primero, el t e r c e r o r e c i b i ó $ 110 m e n o s que l o s dos p r i m e r o s juntos, ¿ c u á n t o recibió el c u a r t o ? 3. Calcular el v a l o r de la letra x en c a d a una de las siguientes igualdades: a) 10 + x = 24 d) 13 — (x + 6) = 5 b) 15 + x — 3 = 22 — 6 e ) 15 = 35 — (x — 2) c) 16 + (x — 10) = 25 f) 52 = x + 15 4. Se ha c o m p r a d o en r e m a t e un c a m p o en $ 780 5 4 0 . El r e matador c o b r ó $ 15 350 de c o m i s i ó n y hay que a b o n a r a d e m á s $ 65 060 por escrituras y gastos de mensura. ¿ E n c u á n t o h a b r á que vender el c a m p o para ganar $ 11 000? 5. P o r pagar al c o n t a d o una factura de $ 1780 n o s h a c e n una rebaja de $ 2 5 0 . E n t r e g a m o s d o s billetes de $ 1 0 0 0 . ¿ C u á n t o nos d e v o l v e r á n ? 6. Si tuviera $ 450 m á s de lo que p o s e o podría c o m p r a r un r e c e p t o r d e radio de $ 2500 y m e sobrarían $ 180 . ¿ C u á n t o p o s e o ? 7. Un j a r d i n e r o c o m i e n z a a cavar su jardín a las 7 h . y tarda 3 h. 25 min. en h a c e r ese trabajo. T a r d a l u e g o 1 h. 35 min. en nivelar y rastrillar; 40 m i n . en formar c a n t e r o s ; 55 m i n . para s e m b r a r l o s y 25 min. para r e g a r l o s . Si termina el trabajo a las 14 h . 30 m i n . ¿durante cuánto t i e m p o i n t e r r u m p i ó e l trabajo para c o m e r ? 8. P e d r o d e b e tomar el tren de las 8 h . 5 m i n . y d e s e a llegar 10 m i n . antes de la h o r a de la salida del t r e n . P a r a trasladarse a la estación tiene que t o m a r un ó m n i b u s q u e sale de la parada cada 10 min. a partir de las 6 h . 20 min. y tarda 35 m i n . e n llegar a la e s t a c i ó n . ¿ A qué h o r a sale el último ó m n i b u s que le permitirá llegar a la h o r a prefijada? 9. Carlos tiene 25 c e r e z a s y Raúl tiene 1 3 . ¿Cuántas c e r e z a s tendrá que dar Carlos a Raúl para que l o s dos tengan i g u a l ? 2 1 . — A R I T M É T I C A 1er. AÑO —

Coppetti

322 10. A d i c i o n o m i s g a s t o s de seis días y resultan $ 5 8 0 . P e r o después c o m p r u e b o que el primer día a n o t é $ -5 d e m e n o s ; el s e g u n d o $ 10 de m á s ; el t e r c e r o $ 6 de m e n o s ; el c u a r t o $ 18 de m e n o s y el s e x t o $ 14 de m á s . ¿ C u á l e s han sido m i s g a s t o s en r e a l i d a d ? 1 1 . ¿ C u á n t o s k i l o g r a m o s pesan c a d a una de las siguientes personas, s a b i e n d o que P a b l o y R o b e r t o pesan en c o n j u n t o 135 k i l o g r a m o s ; R o b e r t o y A n t o n i o pesan j u n t o s 155 k i l o g r a m o s , y que P a b l o y A n t o n i o pesan j u n t o s 140 k i l o g r a m o s ? 1 2 . Adivinación de la suma de cinco números sin conocer los sumandos. Se emplea p a r a ello u n a h o j a cualquiera de u n almanaque mensual, c o m o p o r e j . el m o d e l o que presentamos e n s e g u i d a . E n t r e g a la h o j a a un e s p e c t a d o r y de ella t e n drás que r e c o r d a r únic a m e n t e qué d í a d e la s e m a n a es el n ú m e r o 1, pues e s e d í a d e t e r m i n a el número clave a que nos referiremos más adelante. P a r a la h o j a p r e s e n t a da, s e r e c o r d a r á que al día 1 e s m i é r c o l e s . Luego pides al espectador que, m a n t e n i e n d o oculta la h o j a del almanaque, elija un n ú m e r o de cada una de las cinco filas, que anote en secreto esos c i n c o n ú m e r o s , y que sólo te indique a qué días de la semana c o r r e s p o n d e n . A s í p o r e j . h a b i e n d o anotado los n ú m e r o s 4, 6, 16, 21 y 26, te dirá l o s días respectivos, a sab e r : sábado, lunes, jueves, martes y domingo. E n el e s q u e m a que sigue v e m o s que los días de la s e m a n a están divididos en dos grupos: Dom. 3

Lun. 2

Mar. 1

Miér. O

Jue.

Vi.

Sáb.

1

2

3

(—) los de la derecha d e la c o l u m n a central ( o sea, y los de la izquierda (Mar., Lun. y D o m . ) . asigna una cifra c o m o l o h e m o s indicado en que dada la disposición s i m é t r i c a respecto de ( d e l M i é r . ) se recuerdan f á c i l m e n t e .

(+ ) Jue., V i . y S á b . ) A c a d a d í a s e le el esquema, cifras la c o l u m n a central

E n el e j e m p l o citado, l o s días i n d i c a d o s p o r el espectador ( l o s tachados) son: De la derecha: j u e v e s y s á b a d o ; tú anotas los n ú m e r o s asignados a esos días, que son 1 y 3 respectivamente, que suman 4 . D e la izquierda: d o m i n g o , lunes y m a r t e s ; tú anotas l o s n ú m e r o s asignados a esos días, que son 3, 2 y 1, que suman 6. L a diferencia de estas d o s sumas es 6 — 4 = 2 . P a r a c a d a hoja del almanaque existe un número clave. Si el día 1 es miércoles, c o m o en la hoja presentada, el n ú m e r o c l a v e es 75,

323 que es la s u m a de los n ú m e r o s de la c o l u m n a encabezada p o r el 1, o sea:

1 +

8 +

15 + 22 +

29' =

75

L a diferencia que h a b í a m o s hallado anteriormente se suma, o se resta, al n ú m e r o clave, según que ella sea a f a v o r de l o s n ú m e r o s de la derecha, o de la izquierda, respectivamente. E n el ejemplo citado siendo la diferencia 2 a favor d e los núm e r o s de la izquierda ( p o r ser 6 > 4 ) , c o r r e s p o n d e entonces restarla al n ú m e r o clave, y t e n e m o s : 75 — 2 = 73 que es la suma de los n ú m e r o s que habrá anotado nuestro espectador y que p o d r e m o s anunciar antes que él efectúe la s u m a . Como v e r i f i c a c i ó n , t e n e m o s : 4 + 6 + 16 + 21 + 26 = 73 A c o n t i n u a c i ó n i n d i c a m o s los números claves según el día de la semana que sea el día 1: Dom. = 9 0 ; L . = 8 5 ; Ma.=80; Mi. = 7 5 ; Jue. = 7 0 ; V i . = 6 5 ; S . = 6 0 (La e x p l i c a c i ó n de este j u e g o de a d i v i n a c i ó n resultó algo larga, p e r o la e j e c u c i ó n es rápida, y el cálculo puede resultar casi instantáneo . Empleo

del paréntesis

1-4.

Calcular

(3475 + (327 +

Indicar

expresión 6.

(768 -

las

siguientes

349 -

286) -

198) - ( 1 8 2 +

(185 -

127) +

178)] +

expresiones:

(645 +

327)] +

830).

(3125 -

3786

+

que la suma [12 +

2 4 6 - { 18 -

[(37 -

20

+

[102 -

15

+

11)

(42 -

(8 — +

3] ,

35) + 3)

23] -

72 } +

25.

d e b e restarse de la

y efectuar

expre-

l u e g o el cálculo

resultante.

Transformar (74

e n la suma

(32 —

124] +

3 2 4 }.

( 4 3 + 2 7 ) - { 12 +

sión 243 — la

325) +

+ [61 - ( 3 0 5 13) +

702 5.

286 -

235)-[(982 -

de

8427).

178 +

-

los valores

la +

diferencia de 86 +

105) —

dos (53 +

sumas: 27 +

93)

de tres diferencias.

C A P . VII. — M U L T I P L I C A C I Ó N D E NÚMEROS

NATURALES

1. U n m a y o r i s t a quiere c o m p r a r 285 pollos y elige 95 a $ 30 cada uno, 82 a $ 34 c a d a u n o y el r e s t o a $ 56 la y u n t a . ¿ L e resultará m á s v e n t a j o s o pagar t o d a la cantidad a $ 31 p o r p o l l o ? ¿Por qué? 2. U n c o m e r c i a n t e v e n d e 15 m . de una pieza de seda a $ 240 el m e t r o y 8 m . de paño a $ 180 el m e t r o . Gana en total $ 7 5 8 . ¿ C u á n t o le c o s t a r o n d i c h o s t e j i d o s ? 3. U n a o b r a c o n s t a de 12 t o m o s ; c a d a t o m o tiene 240 p á g i n a s ; c a d a p á g i n a 52 líneas y c a d a línea 48 letras. ¿Cuántas letras c o n tiene toda la o b r a ? 4. El S o l es 1 384 472 v e c e s más g r a n d e que la Tierra, y ésta 49 v e c e s más grande que la Luna. ¿Cuántas v e c e s m á s g r a n d e e s el Sol que la L u n a ?

324 5. Un auto m a r c h a c o n la v e l o c i d a d c o n s t a n t e d e 15 m e t r o s p o r s e g u n d o . ¿ C u á n t o r e c o r r e r á en una h o r a ? ( o sea, cuál es su velocidad horaria). 6. U n auto parte de cierto lugar c o n una v e l o c i d a d d e 750 m e tros p o r m i n u t o y después d e 10 minutos trata de alcanzarlo o t r o auto que m a r c h a c o n una v e l o c i d a d de 950 m e t r o s p o r minuto. ¿Qué distancia separará aun l o s d o s autos m e d i a h o r a d e s p u é s de

la salida del s e g u n d o , s u p o n i e n d o que hayan m a r c h a d o regularmente, y qué distancias h a b r á n r e c o r r i d o l o s autos e n el m o m e n to de e n c o n t r a r s e ? 7 . U n o b r e r o gana $ 60 p o r día de trabajo y gasta $ 1200 p o r m e s . S a b i e n d o que trabaja t é r m i n o m e d i o , 25 días por m e s , ¿ c u á n t o habrá e c o n o m i z a d o en un a ñ o ? 8-10. Calcular los valores de las siguientes expresiones aplicando la propiedad distributiva y verificar el ejercicio por otro procedimiento;; (5 + 11-13. ciones:

2)

×3 ;

Efectuar

por

(8 +

4 +

13)

×5 ;

(15 — 3)

d o s p r o c e d i m i e n t o s las

(8+3). (5+2) ;

×2 .

siguientes

( 5 + 9 + 1 ) . (7—3) ;

opera-

( 9 — 5 ) . (7—2)

14. ¿ E n c u á n t o aumenta el p r o d u c t o de d o s n ú m e r o s si se aum e n t a en e l n ú m e r o k uno de l o s f a c t o r e s ? 15.

D e m o s t r a r que la s u m a de d o s n ú m e r o s pares es par. R . (2a + 2b — . . . ) 16. L a suma de dos n ú m e r o s impares es p a r . R. ( 2 a + l + 2 b + 1 = . . . ) 17. D e m o s t r a r que la s u m a de tres n ú m e r o s c o n s e c u t i v o s es igual al triple del n ú m e r o m e d i o R . ( a + 1 + a+2 + a+3 = . . . ) 18. Calcular la suma de l o s n ú m e r o s e s c r i t o s en la p r i m e r a l í n e a de la T a b l a de P i t á g o r a s . D e d u c i r la suma de l o s n ú m e r o s de la s e g u n d a línea, l u e g o l o s de la 3 . , de la 4 . . . . , de la 9 . línea. ¿Cuál e s la suma de t o d o s l o s n ú m e r o s que figuran en la tabla? a

a

a

19. Calcúlese la diferencia de los p r o d u c t o s 54 × 37 y 29 × 37 , sin h a c e r m á s que una s o l a o p e r a c i ó n de multiplicar. 2 0 . A p l i c a r las p r o p i e d a d e s d e m o n o t o n í a al p r o d u c t o de una igualdad p o r una desigualdad, o al d e d o s desigualdades que p r o p o n d r á el estudiante y verificar los r e s u l t a d o s . 21. Sin efectuar la operación, decir en cuánto aumenta el producto 14 × 3 si se suma el número 5 a uno de los factores.

325 22. ¿ E n cuánto disminuye el p r o d u c t o nuye el n ú m e r o 3 al m u l t i p l i c a n d o ?

25 X

15,

si se dismi-

23. U n a cuadrilla está f o r m a d a por 8 o b r e r o s , y c a d a uno de ellos ejecuta 10 m e t r o s diarios de una o b r a ; otra cuadrilla está formada por 12 o b r e r o s y c a d a uno de ellos ejecuta 9 m e t r o s diarios de la obra. Si cada m e t r o de o b r a se p a g a $ 2, ¿ c u á l será el gasto diario para pagar a t o d o s los o b r e r o s ? 24. Sabemos que un día tiene 24 horas; cada hora 60 minutos, y cada minuto 60 segundos. ¿Cuántos segundos contiene un día? Resultado. 86 400 25. Una persona se encuentra alineada entre dos poblaciones A y B, cuyos relojes están perfectamente regulados con el suyo. Observa que, cuando el reloj de A da las horas, su reloj marca 3 segundos más, y que, después de 5 segundos, percibo las horas del reloj de B. Calcular La distancia entre las dos poblaciones, sabiendo que el sonido recorre 340 metros por segundo. Resultado, 2 720 metros 26. Una canilla vierte en un depósito 8 litros de agua por minuto, otra 16 litros, y una tercera deja salir del depósito 10 litros. ¿Cuántos litros contendrá el depósito después de 2 horas, si antes que las canillas empezaran a funcionar contenía 350 litros? Resultado, 2 030

C A P . V I I I . — DIVISIÓN D E NÚMEROS N A T U R A L E S 1. ¿ P o r qué n ú m e r o es n e c e s a r i o dividir 195 p a i a o b t e n e r c o m o c o c i e n t e 13 ? 2. ¿ C u á l es el m a y o r n ú m e r o de v e c e s que se p u e d e restar suc e s i v a m e n t e 128 a 1440? Resultado: 11 3. El c o c i e n t e de d o s n ú m e r o s es 14 y el r e s t o 21. ¿Cuál e s el d i v i d e n d o si el divisor es 24? Resultado: 357 4. Dividir 7845 p o r 74 y decir cuál es el m e n o r n ú m e r o que d e b e a g r e g a r s e al d i v i d e n d o para o b t e n e r un c o c i e n t e e x a c t o . Resultado: 73 5-7. C o m p l e t a r las siguientes e x p r e s i o n e s , y d e c i r la propiedad que se aplica en c a d a una: . . . : 835 = 210 ; 4165 : . . . = 49 ; . . . × 64 = 4 6 7 2 . 8. U n avión ha recorrido 10 800 000 m e t r o s en 15 h o r a s . ¿Cuál es su v e l o c i d a d expresada en m e t r o s p o r hora, por m i n u t o y por s e g u n d o ? 9. L a Tierra da una vuelta alr e d e d o r de su eje en 24 h o r a s . ¿ C u á n t o s m e t r o s p o r s e g u n d o rec o r r e r á un o b j e t o c o l o c a d o en el Ecuador, si éste m i d e 40 003 200 m e t r o s ? 10. D e m o s t r a r que los c o c i e n t e s d e dividir p o r 9 la suma d e l o s n ú m e r o s de una c o l u m n a , o d e una fila, de la T a b l a s Pitagórica son r e s p e c t i v a m e n t e : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45. 11. Calcular la longitud en metros de una milla marina, sabiendo que es la longitud de un minuto de circunferencia máxima terrestre, teniendo esta última 40 millones de metros aproximadamente. Resultado, 1862

326 12. E l Sol dista de la T i e r r a 149 504 201 K m . y la luz se p r o p a g a a r a z ó n de 300 000 K m . por s e g u n d o . Calcular cuánto t i e m p o tarda e n l l e g a r a la T i e r r a la luz s o l a r . 13. ¿ C u á l e s s o n l o s c o c i e n t e Igual al r e s t o ?

números '

que,

d i v i d i d o s por 17, dan un Resultado Múltiplos de 18

14. U n o b r e r o e j e c u t ó un trabajo en ' d o s m e s e s , g a n a n d o en total $ 3690. ¿ C u á n t o g a n ó en el primer m e s y c u á n t o en e l s e g u n d o , si el n ú m e r o de días que trabajó en el s e g u n d o es d o b l e d e los que trabajó en el p r i m e r o ? 15. U n a u t o r e c o r r i ó 810 k i l ó m e t r o s . Durante la t e r c e r a parte de su r e c o r r i d o , a n d u v o a 45 k i l ó m e t r o s p o r hora. ¿ C o n qué v e l o cidad h a b r á t e n i d o que r e c o r r e r el r e s t o del c a m i n o p a r a realizar el viaje c o m p l e t o en 16 h o r a s ? 16-17.

Calcular

( 5 1 3 . 2 7 6 ) : 12 ;

los v a l o r e s d e las siguientes (300: 1 2 ) . 5 ;

492:3.5: 4 ;

expresiones: 420:5:3:2:7.

18. M u l t i p l i c a n d o un n ú m e r o p o r 6, el resultado p o r 7, y e l n u e v o resultado p o r 11, se o b t i e n e c o m o p r o d u c t o 2310 .¿Cuál es el n ú m e r o ? Resultado: 5 19. D e b e n dividirse $ 25 700 entre cuatro p e r s o n a s , c o n la c o n d i c i ó n d e que, a la m á s anciana, d e b e c o r r e s p o n d e r é $ 1 600 m á s que a c a d a una de las otras. ¿ C u á n t o r e c i b e c a d a p e r s o n a ? 20. Multipliqúese un n ú m e r o cualquiera p o r 11, al p r o d u c t o agreg ú e s e el m i s m o n ú m e r o , d i v í d a s e el resultado p r i m e r o p o r 6, y l u e g o d i v í d a s e el c o c i e n t e p o r el n ú m e r o p r i m i t i v o ; se o b t e n d r á s i e m p r e 2. Indíquense qué p r o p i e d a d e s se aplican p a r a justificar e s t e j u e g o . 21. D o s e m b a r c a c i o n e s , A y B, partieron en el m i s m o m o m e n t o , del P u e r t o d e M o n t e v i d e o , p a r a realizar un viaje de ida y vuelta a R í o de Janeiro, distante 1200 millas, a p r o x i m a d a mente. L a e m b a r c a c i ó n A mantiene una v e l o c i d a d d e 8 millas por hora en el viaje d e ida y 12 millas p o r h o r a e n el d e v u e l t a ; la e m b a r c a c i ó n B mantiene una v e l o c i d a d c o n s t a n t e d e 10 millas por hora en los d o s v i a j e s . ¿ L l e g a r á n Juntas al r e g r e s o a M o n t e v i d e o ? Resultado, B regresa 10 horas antes que A. 22. D o s o b r e r o s que p e r c i b e n el m i s m o j o r n a l e j e c u t a n j u n t o s un trabajo por el que se les paga $ 2 300 e n t o t a l . U n o d e e l l o s trabajó 24 d í a s y el o t r o 2 2 . ¿ C u á n t o c o r r e s p o n d e a c a d a u n o ? 2 3 . D i v i d i e n d o d o s n ú m e r o s naturales 40 c o m o c o c i e n t e y 64 c o m o r e s t o . Si al d i v i d e n d o , sin m o d i f i c a r el divisor, el t a m e n t e 4 1 . ¿ C u á l e s son el d i v i d e n d o y

u n o p o r el o t r o , h a l l a m o s h u b i é r a m o s a g r e g a d o 179 c o c i e n t e habría sido e x a c el d i v i s o r p r i m i t i v o s ? Resultado 9784 y 243 2 4 . U n m u e b l e r o v e n d i ó a un cliente sillones y sillas. El p r e c i o de un sillón e s triple del de una silla. El m u e b l e r o r e c i b i ó $ 5400 p o r 12 sillas y 2 s i l l o n e s . ¿ C u á l es el p r e c i o d e una silla y cuál el d e un s i l l ó n ? Resultado $ 300 y $ 900 2 5 . P a r a r e p a r a r un c a m i n o , 15 o b r e r o s de igual r e n d i m i e n t o trabajaron durante 21 d í a s . Se les p a g ó una s u m a g l o b a l de $ 18 900. ¿Qué podemos calcular?

327

CAP. I X . — P R O B L E M A S S E N C I L L O S R E S O L U B L E S CON L A S DEFINICIONES Y PROPIEDADES DE L A S OPERACIONES ESTUDIADAS 1-3.

Calcular los v a l o r e s de las siguientes

(35 +

48 — 16) × 12 — (16 — 8 +

3 6 . ( 1 8 — 15) +

6): 2 +

3 0 . 2 0 . 1 0 — (85 × 3 0 : 2 +

(1950:13).30 +

[9 +

( 7 4 : 2 : 37 +

16) +

4.

Deducir el v a l o r de x de las siguientes 8

b)

x:5

c)

15 +

= 93 10

×x=

735

f)

(16 +

9): 3 .

(564.10: 4 0 ) : 3

101): 3] — 20(9: 3 +

a)

× x = 136

expresiones:

1)

igualdades:

d)

54 — (x:4)

e)

139 =

= 50

125 +

7 ×

28 — 3 × x =

x

4

5. E n una d i v i s i ó n , el d i v i d e n d o es 374, e l c o c i e n t e 23, y el r e s to 6. ¿ C u á l e s el d i v i s o r ? 6.

¿ C u á l e s e l n ú m e r o que s u m a d o c o n su triple n o s da 62?

7. D o s n ú m e r o s suman 224, y su c o c i e n t e e x a c t o es 1 3 . ¿ C u á les son e s o s n ú m e r o s ? 8. T r e s fortunas a s c i e n d e n a $ 1 200 000 en c o n j u n t o . ¿ C u á l e s son sus i m p o r t e s s a b i e n d o que la primera tiene $ 100 000 m á s que la segunda, y ésta $ 200 000 m á s que la t e r c e r a ? 9. C o n el d i n e r o que d i s p o n e una persona, aumentado en $ 224, puede efectuar g a s t o s que i m p o r t a n 6 v e c e s aquel dinero. ¿ C u á n t o tenía? 10. L o s g a s t o s de una familia a s c i e n d e n a $ 11 250 e n l o s 150 p r i m e r o s días del año. ¿ E n cuánto habrá que disminuir el g a s t o diario para que el gasto total del año sea s ó l o de $ 21 900 ? 11. U n a pieza de tela que c o s t ó $ 2 900 se v e n d i ó g a n a n d o $ 512. D e ella, 17 m e t r o s se vendieron a $ 92 el m e t r o , y el rest o a $ 88 el m e t r o . ¿ Q u é longitud tenía la p i e z a ? 12. C o m p r é 20 libros. U n o s l o s p a g u é a $ 50 c a d a uno y l o s o t r o s a $ 48 c a d a u n o . Si en total gasté $ 984, ¿ c u á n t o s libros c o m p r é d e c a d a p r e c i o ? 13. U n t i r a d o r c o n v i e n e e n c o b r a r $ 5 p o r c a d a tiro que a c i e r te y pagar $ 2 por c a d a tiro q u e falle. D e s p u é s d e 13 d i s p a r o s r e c i b e $ 9 . ¿Cuántas v e c e s h a dado e n el b l a n c o ? 14. A d i v i n a r e l n ú m e r o p e n s a d o . — EJEMPLO. — Digo a un a m i g o : Piensa un número, multiplícalo por 2, súmale 5, multiplica la suma por 5, agrégale 10, multiplica por 10, y dime el resultado. Si de éste quito 350 y suprimo los dos ceros finales, tendré el número pensado. Si l l a m a m o s n al n ú m e r o p e n s a d o , el p r o c e d i m i e n t o se justifica con la serie de o p e r a c i o n e s que i n d i c a m o s a c o n t i n u a c i ó n : ([(n

×2 +

5)

×5 +

10]

×10 — 3 5 0 ) : 100 =

n

328 15. E j e m p l o . — Piensa un n ú m e r o y triplícalo. A g r é g a l e uno cualquiera de los n ú m e r o s 1 , 2 , 3 . T r i p l i c a el resultado y agrégale el n ú m e r o p e n s a d o . ¿ C u á n t o te d i o ? Si m es el resultado, el c o c i e n t e entero de la división d e m p o r 10 es el n ú m e r o p e n s a d o .

CAP. X . — P O T E N C I A C I Ó N Y RADICACIÓN D E NÚMEROS NATURALES Potenciación 1-5.

E s c r i b i r en forma de p o t e n c i a única, las siguientes 3

5

2

4

4

3

6

4

2

expre5

siones: 2 × 2 ; 5 .5 .5 ; 6 : 6 ; 15 :15 ; (3 ) . 6-8. E s c r i b i r las siguientes p o t e n c i a s en forma de p r o d u c t o s de potencias: (3 × 5) ; ( 4 . 3 . 7 ) ; (a.b.c) . 4

del

9. ¿Qué diferencia cubo de 2 ?

2

3

existe entre el cubo del doble de 2 y el doble

10. Una " d o c e n a " es un conjunto de 12 objetos; una " g r u e s a " es un conjunto de doce docenas. Indicar en forma de potencia el número de objetos de una gruesa, y calcular su valor. 11-16. E x p r e s a r en forma m á s simple las siguientes y calcular el v a l o r de cada r e s u l t a d o : 2

3

3 .2 .3.2 3

4

2

3

;

(4 .5 ).(4.5)

4

2

2

2 .3 .5 (2.3 .5 ) 2

;

5

6

(8 .3 ):(8.3)

4

; 4

expresiones

5

2

( 3 . 2 ) : (2.3 ) ; ;

3

4

2

2

(2 ) : (2 ) .

17. A l final de un primer año, una rama de una planta se bifurca; al filial del segundo año, se bifurcan cada una de estas nuevas ramas y así sucesivamente. Expresar en forma de p o t e n c i a , el número de ramas que habrá producido la primera, al final del décimo ano. 18. ¿Cuántos fueron los bisabuelos de nuestros bisabuelos? (Es evidente que cada uno de nosotros tiene cuatro abuelos y por consiguiente 8 bisabuelos, etc.). 19. U n a h o j a de papel c u a d r a d o c u y o lado m i d e 64 c m . se divide en cuatro cuadrados i g u a l e s ; c a d a uno de éstos se divide en cuatro c u a d r a d o s y así s u c e s i v a m e n t e hasta obtener cuadrados de 2 c m . de lado. ¿ C u á n t o s son los c u a d r a d o s o b t e n i d o s en la última o p e r a c i ó n ? E x p r e s a r el resultado en f o r m a de p o t e n c i a única de un n ú m e r o . Leyenda 20. guiente

del juego

de

ajedrez. 6 4

Calcular la diferencia ( 2 — 1 ) , e x p r e s i ó n que abrevia la sisuma:

1 +

2 +

4 +

8 +

16 +

...

+

262 +

203

Se obtiene c o m o resultado el n ú m e r o de 20 cifras: 18.446 774.073 709.551 615 a que n o s r e f e r i r e m o s en la siguiente l e y e n d a : El ajedrez es un j u e g o antiquísimo. Cuando el rey hindú Sheram lo c o n o c i ó q u e d ó maravillado y se p r o p u s o r e c o m p e n s a r a su i n ventor, l l a m a d o Sessa, quien c o n s u l t a d o s o b r e la r e c o m p e n s a que deseaba, así c o n t e s t ó :

329 —Señor: me conformo que ordene me sea dado un solo grano de trigo por la primera casilla del tablero de '" juego, dos por la segunda, cuatro por la tercera, y así duplicando sucesivamente hasta la 6 4 casilla. A c e p t a d o el pedido, grande fue la sor- ^ presa del rey cuando le i n f o r m a r o n que la cantidad de g r a n o s pedida totalizaba el nú- < m e r o gigante de veintidós cifras obtenido c o m o resultado de este e j e r c i c i o , cantidad de trigo que no cabría en las casillas del tablero, ni que t a m p o c o habría t r i g o su- " ficiente en su reino, ni en t o d a la superficie de la T i e r r a supuesta cultivada durante v a r i o s siglos para satisfacer el p e d i d o . ( P u e d e leerse un interesante relato de esta leyenda en la o b r a de nuestra t r a d u c c i ó n titulada "El H o m b r e que Calculaba", de Malba T a h a n ) . {

a

l

(

1

21. L a suma de l o s n p r i m e r o s n ú m e r o s i m p a r e s es el c u a drado de n. A s í , en la figura que sigue puede v e r s e la d e s c o m p o s i c i ó n g e o m é t r i c a del c u a d r a d o de 5 en la suma de los 5 prim e r o s n ú m e r o s impares.

52

=

=

1 +

3

+

5

+

7

+

9

22. Se tiene un c i e r t o n ú m e r o de m o n e d a s para d i s p o n e r en un c u a d r o ; en un primer e n s a y o quedan 48 fuera del c u a d r o ; poniendo una más en cada lado, faltan 33 m o n e d a s para c o m p l e tarlo. ¿Cuántas s o n las m o n e d a s ? Si x es el número de monedas del lado en la primera disposición, en la segunda será ( x + l ) . El enunciado del problema origina, pues, la siguiente ecuación: x + 48 = (x + 1 ) 2 — 33 . 2

Aplicando a la expresión ( x + l ) 2 la propiedad que dimos en la pág. 187, o sea, que: "El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de los cuadrados de esos números, más su doble producto", la última ecuación se transforma en 2

2

x + 48 = x + 1 + 2 ×x — 33 que simplificada nos da: 2×x = 80, de donde x — 40 . La ción del problema es pues 402 + 48 = 1648 monedas.

solu-

Radicación 1. E m p l e a n d o la T a b l a de Cuadrados y Cubos que figura al final de este libro, indicar cuáles de los siguientes n ú m e r o s son c u a d r a d o s p e r f e c t o s y cuáles n o lo s o n : 3025 ; 28561 ; 1235 ; 38800. De l o s p r i m e r o s leer su raíz cuadrada, y de l o s o t r o s su raíz entera y r e s t o r e s p e c t i v o . 2. De los n ú m e r o s que siguen, indicar cuáles son cuadrados perfectos, y de éstos calcular su raíz cuadrada e m p l e a n d o los factores: 2 .3 ; 5 .7 ; 6 .3.2 ; 2 .6 2

2

2

4

3

3

3

330 3. ¿ P o r qué n ú m e r o es n e c e s a r i o dividir c a d a u n o d e l o s p r o ductos que siguen, para o b t e n e r el m a y o r c u a d r a d o p e r f e c t o ? 3

2 .6

3

;

5 .15.4

2

;

3

2

(2 .5 .11)

3

4. En un terreno d e f o r m a cuadrada se plantan 2916 á r b o l e s , c o l o c á n d o l o s equidistantes s o b r e r e c t a s paralelas. ¿ C u á n t o s c o n tiene c a d a fila? 6. E m p l e a n d o la T a b l a d e c u a d r a d o s que se e n c u e n t a a l final de este l i b r o , hallar las r a í c e s c u a d r a d a s e n t e r a s d e c a d a u n o d e los siguientes n ú m e r o s y e f e c t u a r las pruebas r e s p e c t i v a s . 256

;

700

;

6672

;

38502

6.

Hallar el n ú m e r o c u y o c u a d r a d o a u m e n t a d o e n 215 d a 38 631.

7.

Hallar el n ú m e r o c u y o c u a d r a d o d i s m i n u i d o en 47 da 33 809.

8. D o s n ú m e r o s , u n o e s duplo del o t r o y la suma d e sus cuad r a d o s es 22 445. ¿ C u á l e s s o n l o s d o s n ú m e r o s ? 9. Calcular el lado de u n c u b o c u y a superficie es 1176 c m 2 . ( N ó t e s e que la superficie d e l c u b o e s t á f o r m a d a p o r 6 c u a drados). 10. Un n ú m e r o es tal que m u l t i p l i c á n d o l o r e s p e c t i v a m e n t e p o r 2, p o r 3 y p o r 7 se o b t i e n e n tres n ú m e r o s c u y o p r o d u c t o es 115 248. Hallar el n ú m e r o . 11. ¿ Q u é n ú m e r o m u l t i p l i c a d o p o r 10 v e c e s el m i s m o n ú m e r o , es igual a 5760? 12. L a s u m a de los c u a d r a d o s de d o s n ú m e r o s es 170, y la diferencia de l o s m i s m o s c u a d r a d o s es 7 2 . ¿ C u á l e s s o n l o s números?

CAP. X I . — ALGORITMO D E L A NUMERACIÓN 1 . E s c r i b i r e l n ú m e r o que r e p r e s e n t a : 2 unidades de p r i m e r o r d e n en el s i s t e m a b i n a r i o ; 3 í d e m en el t e r n a r i o ; 5 í d e m en el q u i n a r i o . 2. E s c r i b i r el n ú m e r o que r e p r e s e n t a : 3 unidades de p r i m e r o r d e n en e l s i s t e m a b i n a r i o ; 5 í d e m e n el t e r n a r i o ; 6 í d e m e n e l cuaternario y en el s e n a r i o . 3. ¿ C u á l es el v a l o r d e la cifra 5 en c a d a uno d e l o s n u m e rales s i g u i e n t e s ? ( T o d o s e n la base 7 ) . 350 ;

45 ;

7

504 ;

7

?

5040

7

4. Sin r e d u c i r al s i s t e m a d e c i m a l , d e c i r c u á l d e l o s d o s m e r a l e s 5 6 2 6 5 4 2 es m a y o r . 7

nu-

7

5. E l n ú m e r o 15 h. 45 m . 35 s. q u e e x p r e s a una m e d i d a d e t i e m p o es de cierta manera-, un n ú m e r o e s c r i t o en el s i s t e m a d e base 6 0 . E s c r i b i r l o en el s i s t e m a d e b a s e 10, t o m a n d o el s e g u n d o ( s ) p o r unidad de p r i m e r o r d e n . I n v e r s a m e n t e , escribir 35237 s e g u n d o s en horas, m i n u t o s y s e g u n d o s . 6. Justificar que 9 un m i s m o n ú m e r o .

1 0

y 12

7

son dos numerales

diferentes

7. Escribir en notación duodecimal los tres números guen a veintiuno del s i s t e m a d e c i m a l .

que

para si-

331 8 . E s c r i b i r c a d a uno d e l o s siguientes numerales e n la n o t a ­ ción desarrollada ( p o l i n ó m i c a ) y l u e g o en n o t a c i ó n d e c i m a l : 110101 ; 103401 ; 1758 ; 537b4 ; 70a5b2 2

9.

5

Convertir

sistema

9

al sistema

decimal:

87356; 1010

574;

sistema

15

los numerales

siguientes

del

38001.

10.

Convertir

11.

Convertir 1 1 2 2 al sistema d e base 7 .

2

al

1 2

quinario

quinario.

3

12. E s c r i b i r en el sistema d e base 12 un n ú m e r o que se e s ­ cribe 87523 e n el sistema de b a s e 9 . 13. Cada u n o de los e j e m p l o s que siguen está e s c r i t o e n b a s e 7. Sumar d i r e c t a m e n t e y l u e g o verificar c a m b i a n d o los n u m e r a l e s al sistema d e c i m a l : (a)

63 +

104 14.

(b)

11

345 +

1263

7

ídem del ejercicio

(a)

43 —

(b)

16

(c)

615 7

(d)

106

3602 +

3456

7

anterior

7

para r e s t a r :

252 —

523 +

(c)

63

362

(d)

— 105

1421 —

624

« f 156 15. Sumar l o s siguientes n u m e r a l e s e x p r e s a d o s e n la n o t a c i ó n binaria. V e r i f i c a r los resultados e m p l e a n d o la n o t a c i ó n d e c i m a l : 7

(a) +

110 101 1911

16.

(6)

10110 11010

+

110000

2

Completar la siguiente tabla d e

base diez 1 2 3 7 15 17 32 256

7

base ocho 1

base cinco

7

(c)

10111 11111

+ 2

2

numerales: base dos

1

base 1

2 3 7 17 21 ? ?

2 3 12 30 ? ? ?

10 11 111 ? 7 ? ?

doce

1 2 3 7 13 ? ? 194

17. Escribir la b a s e que c o r r e s p o n d e a la i n t e r r o g a c i ó n ( ? ) e n c a d a numeral siguiente, si t o d o s r e p r e s e n t a n al m i s m o n ú m e r o quince en la n u m e r a c i ó n d e c i m a l : 13 ?

21 ?

30

1111 ?

?

18. Construir una tabla de sumas b á s i c a s para n ú m e r o s e s ­ critos en base siete. Se h a n dejado sin llenar algunas casillas para que, c o m o ejercicio, las llene el estudiante.

332 + 0 1 0 0 1 1 1 2

2

3

2

3

2

2

4

3

3

3

3 4 5

4

5 6 10 6 10 11 11

4

11

5

11 1 2

14

13

15

6

Se emplea la tabla en forma análoga a la que ya presentamos para la suma en el sistema decimal (pág. 7 5 ) . Así, para la primera de las sumas que presentamos como ejemplo, diremos:

5 6

6 10

54

12 13 +

14 101

425 +

243

613 1341

7

+

6541

261

+

7 7

4 mer 1 lo más

306

7

+ 4 , la tabla nos da 11; escribimos el 1 como unidad de pri­ orden debajo de la primera columna de la derecha, y el otro sumamos a las cifras de segundo orden, y diremos ( 5 + 1 ) 6, 1, la tabla nos da 10, y tenemos así la suma 1 0 1 .

19.

=

7

R e s t a r los siguientes numerales e s c r i t o s en base 362 254 105

452 156

1363 625

263

7

siete:

1204 — 365

7 7

7

H a c e r la prueba de las cuatro s u s t r a c c i o n e s s u m a n d o el sustraen­ do c o n la diferencia r e s p e c t i v a ( N . ° 133, 1.°). V e r i f i c a r uno cual­ quiera de los e j e r c i c i o s transformando p r e v i a m e n t e los n u m e r a l e s dados al sistema decimal, e t c . Efectuar las o p e r a c i o n e s emplean­ do la tabla de sumar que figura en el e j e r c i c i o anterior. Asi, para la primera sustracción, terminando en 4 el sustraendo buscamos en la 4 fila de la tabla el número que termina en 2, por ser ésta la última cifra del mintiendo, y encontramos el 12 , al que le corresponde el 5 en la entrada superior de la tabla; es ésta la cifra de primer orden de la diferencia. Siendo la cifra 2 del mi­ nuendo menor que la 4 correspondiente del sustraendo llevamos entonces el 1 del 1 2 para sumar con la cifra 5 de la segunda co­ lumna, y decimos 5 + 1 6 , al 6 del minuendo van 0, que es la segunda cifra de la diferencia. Finalmente 2 al 3 va 1, que es la cifra de tercer orden que faltaba. Obtenemos así la diferencia 105 a

7

=

?

20. Sumar y restar los siguientes numerales d u o d e c i m a l e s . V e ­ rificar los resultados e x p r e s a n d o los n ú m e r o s en n o t a c i ó n d e c i m a l y s u m a n d o y restando l u e g o en la f o r m a habitual. ( R e c u é r d e s e que a y b representan r e s p e c t i v a m e n t e las cifras 10 y 1 1 ) . a 2 4 19 3

8 7 5 a 9 Sumas:

9

6 2

1 2

Restas:

7

8

1 2

8

b

b

7

1 1 0 7 9 2 3 1 2

3 a

4

1 2

CAP. XII. — D I V I S I B I L I D A D 1. E s c r i b i r tres n ú m e r o s de cuatro cifras divisibles al m i s m o t i e m p o p o r 2 y p o r 3 .

c a d a uno

que

sean

2. E s c r i b i r tres n ú m e r o s de cuatro cifras divisibles al m i s m o t i e m p o p o r 4 y p o r 5 .

cada uno

que

sean

333 3. de

E s c r i b i r tres n ú m e r o s : uno de 5 cifras, o t r o de seis y otro siete, que sean divisibles p o r 1 1 .

4. Si del cubo do un número se resta el mismo número, verificar que la d i f e r e n c i a es s i e m p r e divisible p o r 3 . 5. ¿ P o r qué, si se e s c r i b e n d o s cifras iguales antes o después de un n ú m e r o divisible p o r 11, se o b t i e n e o t r o n ú m e r o t a m b i é n divisible p o r 11? 6. El n ú m e r o 2061 es divisible por 3 . Hallar o t r o s n ú m e r o s form a d o s c o n las m i s m a s cuatro cifras y que sean divisibles p o r 3 y por 5 ; por 2 y por 5 ; por 2 , por 3 y por 5 . 7. E n el n ú m e r o 1406 sustituyase el que resulte un n ú m e r o divisible p o r 4 .

cero

c o n una

cifra

tal

8. V e r i f i c a r m e d i a n t e a l g u n o s e j e m p l o s n u m é r i c o s , que r e s t a n d o a un n ú m e r o cualquiera la s u m a de sus cifras, el resultado es s i e m p r e divisible p o r 9 . 9. Indíquese qué cifras se pueden c o l o c a r en el lugar del punto en c a d a u n o de los n ú m e r o s siguientes, para que resulten d i v i s i b l e s por 4: 54. : 3 0 . ; 17.6 ; 2 7 . 2 ; 1 5 . 8 . 10. Indíquese qué cifras se podrían c o l o c a r a la derecha do c a d a uno de l o s n ú m e r o s siguientes, para o b t e n e r n ú m e r o s divisibles por 9: 345 ; 107 ; 7536 ; 1084 ; 2118 11. Si a un número f o r m a d o por un número par de cifras te le suma el n ú m e r o invertido, v e r i f i c a r que la s u m a es s i e m p r e divisible p o r 11 ( p o r e j . , lo será la suma 3529 + 9253). 12. en

1,

Verificar que el cuadrado de un n ú m e r o es s i e m p r e divisible p o r 8 .

impar,

disminuido

13. E s c r i b i r un n ú m e r o cualquiera, por e j e m p l o de c i n c o c i fras, y sin efectuar la división, calcular los r e s t o s de las d i v i s i o nes del m i s m o por 2, por 3, por 4, p o r 9, por 11 y por 25. 14. D e m o s t r a r que cualquier n ú m e r o f o r m a d o de 3 cifras les es divisible p o r 37 . [aaa = 100a + 10a + a = a.(100 + 10 + 1) = . . . ]

igua-

15. D e m o s t r a r que cualquier n ú m e r o f o r m a d o de 4 cifras i g u a les es divisible p o r 101. ( S e p r o c e d e en f o r m a a n á l o g a al p r o b . ant.). 16. D e m o s t r a r que la suma tivos e s divisible por 4 .

de d o s n ú m e r o s i m p a r e s c o n s e c u -

17. U n a caja c o n t i e n e l á p i c e s en n ú m e r o inferior a 5 0 . A g r u pándolos de 9, o d e 5, sobran 2 , ¿ C u á n t o s son l o s l á p i c e s ? Resultado 47 18. U n c a j ó n c o n t i e n e un c o n j u n t o de peras c o m p r e n d i d o entre 100 y 2 0 0 . A g r u p á n d o l a s 10 por b a n d e j a n o s o b r a ninguna, pero si las a g r u p a m o s 9 por b a n d e j a sobran 7 . ¿ Cuántas s o n las peras? Resultado 160 19. U n n ú m e r o de tres cifras e m p i e z a en 3 y t e r m i n a en 4 . ¿Cuál es la cifra de las d e c e n a s si el n ú m e r o es divisible p o r 9? Ídem si el n ú m e r o es divisible por 3. ( M á s de una s o l u c i ó n ) . Entre l o s n ú m e r o s hallados, ¿ e x i s t i r á n m ú l t i p l o s de 4?

334 20. D a d o el número 10 802, ¿ C u á l e s s o n las cifras que pueden c o l o c a r s e en lugar de l o s d o s c e r o s p a r a que el n ú m e r o o b t e nido sea divisible a la v e z p o r 4 y por 9? E n t r e l o s n ú m e r o s o b t e nidos, hallar l o s que sean divisibles por 8 . 21. L o s n ú m e r o s 21 y 48 son divisibles por 3 , p e r o n o por 9. Sin efectuar el p r o d u c t o de aquellos n ú m e r o s ¿ p o d r á anticiparse si el resultado es divisible p o r 9 ? 22. L o s alumnos d e una c l a s e pueden disponerse e n 2 filas de igual n ú m e r o d e alumnos. A n á l o g a m e n t e e n 3 filas, o e n 5 filas. ¿Cuál es el n ú m e r o de a l u m n o s de la clase si n o llega a 60 ? 23. Son bisiestos los años múltiplos de 4, e x c e p t u a n d o l o s m ú l tiplos de 100 cuyas centenas n o son m ú l t i p l o s de 4. ¿ S e r á n b i s i e s tos l o s a ñ o s siguientes? a) 1964 ; b) 2000 ; c ) 1942 ; el) 1946 ; e ) 1948 24. D e m o s t r a r que si dos n ú m e r o s divididos por un t e r c e r o restos iguales, su diferencia es divisible por ese n ú m e r o . Siendo N y N' los dos números, y d el tercero, tenemos: N

=

d.c

+ r

N'

=

d.C

+

dan

r

Restando estas dos igualdades, tenemos: N — N' = d. ( c — c ' ) , de donde, ... 25. Hallar un n ú m e r o d e 3 cifras tal que si le r e s t a m o s 7, la diferencia sea divisible por 7 ; si le r e s t a m o s 3 sea divisible p o r 8, y si le r e s t a m o s 9 , sea divisible por 9 . , El número es un múltiplo de 7, de 8 y de 9. Es pues su producto 7 × 8 × 9 = 504 . No puede contener otro factor, pues tomando un factor más, el más pequeño posible, el número 2, el producto 5 0 4 × 2 tendría más de tres cifras, contradictorio con el enunciado del problema que limita a 3 las cifras. La primera diferencia es: 7 × 8 × 9

—

7 =

7 ×

(8 ×

9 — 1) =

7 × 71 (múltiplo de 7 ) .

Análogamente para las otras dos diferencias con sustraendos que resultan múltiplos de 8 y 9 respectivamente.

8 y 9,

2 6 . U n a c o m p r a d o r a e n u n s u p e r m e r c a d o p i d e el i m p o r t e total de sus c o m p r a s , que e r a n : 2 paquetes d e arroz a $ 4,20 c a d a u n o ; 4 j a b o n e s a $ 3 c a d a u n o ; 6 paquetes de y e r b a y una d o c e n a de cajas d e fósforos. El t i c k e t de la c o m p r a arrojaba un total de $ 69,40 . P e r o la c o m p r a d o r a o b s e r v a a la v e n d e d o r a que d e b e de h a b e r un e r r o r en la cuenta. ¿ C ó m o se e x p l i c a la o b s e r v a c i ó n instantánea de la d i e n t a ? En efecto, el precio del arroz y el del jabón expresados en centésimos son múltiplos de 3. El número de paquetes de yerba y el de cajas de fósforos son igualmente múltiplos de 3. En consecuencia, el precio total debe ser un múltiplo de 3, lo que no acontecía con el número que expresaba el total de la compra también expresado en centésimos. C A P . XIII. — NÚMEROS PRIMOS 1 - 7. A v e r i g u a r si son p r i m o s o compuestos los números: 221 ; 361 ; 769 ; 2047 ; 3577 ; 8403 ; 8-15. 432

;

Descomponer en 3964

;

4320

;

sus

6480

factores ;

12540

siguientes 4739.

simples ;

4050

;

81000

;

C7375

335 16-21. Calcular el M. C. M. de los siguientes grupos de números: ( 4 8 , 16) ; (840 , 720) ; ( 1 2 , 5 1 ) ; ( 1 0 5 0 , 8 4 0 ) ; ( 1 6 2 0 , 2 1 8 4 ) ; (5040 , 3600) . 2 2 - 2 4 . í d e m para los grupos de n ú m e r o s : (2520 , 1800 , 4200) ; (350 , 252 , 396 ,

1800 , 2016 , 1296).

2610

;

2 5 - 3 0 . Mediante la d e s c o m p o s i c i ó n en sus factores p r i m o s , calcular : D ( 1 6 , 48 , 72) ; D(1040 , 300) ; D(1232 , 4532 , 5632) . M ( 1 5 , 40 , 60) ; M ( 9 0 , 180 , 945) ; M(2970 , 1485) . Resultados; 8 ; 20 ; 44 ; 120 ; 3 780 ; 2 970 31 3107,

Hallar el m a y o r n ú m e r o que divida a los n ú m e r o s 2538, 2211 , y dé p o r restos 18 , 20 y 6 , respectivamente. Resultado: 63 32. Se desea embaldosar el piso de un salón rectangular do 2520 cm. de largo por 410 cm. de ancho, con baldosas cuadradas del mayor lado posible. ¿Cuánto medirá el lado de dichas baldosas, y cuántas se necesitarán! Resultado: lado = 10 cm. ; n — 10 332 33-37. Hallar t o d o s los divisores simples y c o m p u e s t o s de los números: 12 ; 56 ; 192 ; 336 ; 1 0 8 0 . 38. Un n ú m e r o se d i c e perfecto, si es igual a la suma de sus divisores, e x c e p t u a n d o el m i s m o n ú m e r o . Verifiqúese que son p e r f e c t o s l o s n ú m e r o s 6, 28, 496 y 8128 . 3 9 . D o s n ú m e r o s se d i c e n amigos, si c a d a uno de ellos es igual a la suma de l o s divisores del otro, e x c e p t u a n d o el m i s m o n ú m e r o . V e r i f i c a r que son a m i g o s los n ú m e r o s de c a d a una de las parejas s i g u i e n t e s : 2 2 0 , 284; 2620 , 2924; 3 5 1 0 , 4950; 6232 , 6 3 6 8 . 4 0 . Un comerciante cobra cierto crédito cada 15 días de parte de A , cada 20 de B, cada 30 de C y cada 45 de D. ¿Cada cuántos dias se realizarán los cobros de los créditos en el mismo díaf Resultado, 180 41. Un propietario de tres terrenos cuyas áreas son: 1680 m?, 1920 m. , 2400 m. , desea venderlos subdividiéndolos en fracciones todas iguales y de la mayor área posible. ¿Cuál será el área de cada fracción y cuántas podrá hacer? Resultado: 240 m. ; n = 25 2

2

2

4 2 . El número de alumnos de un colegio no llega a 50"0. Contánd o l o s de 4 en 4, o de 5 en 5, o de 6 en 6, o de 7 en 7, siempre sobra 1. ¿ C u á n t o s son los a l u m n o s ? 4 3 . Un campo de forma rectangular tiene 220 metros de largo por 186 de a n c h o . ¿Cuál será la longitud de la mayor cinta métrica que mida e x a c t a m e n t e las d o s d i m e n s i o n e s ? 4 4 . A l r e d e d o r de una plaza d e b e n c o l o c a r s e lámparas e l é c t r i c a s a la m a y o r distancia p o s i b l e u n a de otra, y de m o d o que entre d o s c o n s e c u t i v a s exista s i e m p r e una m i s m a distancia. Si los l a d o s de la plaza m i d e n r e s p e c t i v a m e n t e 120 m., 140 m., 160 m . y 186 m., calcular e l n ú m e r o d e l á m p a r a s que se necesitan. 4 5 . U n a c a m p a n a suena c o n 16 s e g u n d o s de intervalo entre d o s repiques, otra c o n 15 y una t e r c e r a c o n 18 s e g u n d o s d e intervalo. Si dan el p r i m e r g o l p e simultáneamente, ¿ d e s p u é s de cuántos segundos volverán a coincidir los repiques?

336 4 6 . S a b i e n d o que el M . C . D . de dos n ú m e r o s es 60, su M . C . M . 1800, y el m e n o r de los dos n ú m e r o s 180, calcular el n ú m e r o m a y o r . R. Se aplicará la regla del párrafo 337 4 7 . D o s engranajes tienen 8 y 24 dientes, r e s p e c t i v a m e n t e . Si dos dientes se enfrentan una vez, ¿al c a b o de cuántas vueltas de cada engranaje v o l v e r á n a enfrentarse n u e v a m e n t e aquellos dientes? 48. Cierta plaza pública de la ciudad es estación de partida de tres líneas de ó m n i b u s . E l servicio se inicia, para las tres líneas c o n t e m p o r á n e a m e n t e a la hora 5 y los ó m n i b u s se s u c e d e n c a d a 6 minutos en la primera línea, cada 8 m i n u t o s en la segunda, cada 10 m i n u t o s en la tercera. ¿ A qué hora v o l v e r á n a partir c o n t e m p o r á n e a m e n t e l o s t r e s ó m nibus de las tres l í n e a s ? Resultado a las 7 h. 4 9 . El planeta Júpiter tiene c i n c o satélites: el p r i m e r o c o m pleta su r e v o l u c i ó n a l r e d e d o r d e l planeta en 12 h o r a s ; el s e g u n do e n 42 h.; e l t e r c e r o en 85 h.; el cuarto en 172, y el quinto en 400 . ¿ D e s p u é s de cuántas h o r a s los c i n c o satélites se v o l v e r á n a encontrar en la m i s m a p o s i c i ó n relativa de h o y ? ¿Cuántas r e v o luciones h a b r á dado cada uno d e ellos en este período d e t i e m p o ? R. Después de 6 140 400 h. el primer satélite habrá dado 511 700 revoluc; . . . etc.

CAP. XIV. — F R A C C I O N E S 1. Indicar cuáles de las fracciones siguientes son propias y cuáles aparentes: 8/3 ; 9/12 ; 35/7 ; 2. Ordenar por valores crecientes las fracciones: 3. Ordenar por valores decrecientes las fracciones: 4. ¿ Cuáles son las fracciones con denomiuador 4 los números 7 y 10? Resultado: 5. Expresar: 8 en tercios;

12 en quintos;

5 en

propias, cuáles im 5/4 ; 9 / 7 . 5/8 , 3/8 , 9/8 9/4 , 9/5 , 9 / 2 . comprendidas entre entre 28/4 y 40/4

catorceavos.

6-13. Reducir a su más simple expresión las fracciones: 9/15 : 20/16 ; 12/36 ; 140/350 ; 540/918 ; 5005/605 ; 27036/76032 ; 120076/30008 . 80

14. Un grado del termómetro centígrado vale / de un grado Réaumur. Expresar esta relación mediante una fracción irreducible. Resultado, 4/5 15. Transformar la fracción / a otra que tenga por denominador uno de los números 20 , 100 215. Resultados: 28/20 ; 140/100 ; 301/216 16-23. Simplificar las siguientes fracciones antes de efectuar las operaciones que se indican en ellas: 100

7

5

2

2 • 2

3

3

12 • 18 • 21 7 (2 • 3 )

42•33•5

4•3•25 8•12•25

3 • 7 • 22

2

48 • 15 16•9•7

8•6•5

4•5•6 7•4•5 • 5

3 •4 • 5

2

(2 • 5 )

4

• 3

2

3

49 • 3 • 11

9 •7 • 11

337 24-31. Completar las siguientes

48

35

5

5

36

3 5

igualdades:

253

23

48

12

28

77 9 7 7 56 80 144 16 72 6 54 32-37. Reducir a común denominador, después de efectuar plificaciones, los siguientes grupos de fracciones: 42

2 3

6

10

3

4

10

3

125

4

100

5

39

3

4

10

11

20

_3

7

11

14

4

100

9

15

2 9

las sim-

38-39. Reducir al mínimo común denominador los siguientes grupea de fracciones: 15/4 , 3 , 21/27 , 40/30 ; 15/30 , 70/45 , 4 , 1 2 6 / 9 0 , 40. En el juego del ' 'tiro al blanco'*, Eduardo Adolfo 1 en 7. ¿ Quién fué más hábil?

erró 4 tiros en 2 7 ; Resultado, Adolfe

41. A l c o m e n z a r e l día 6 de m a r z o , ¿ e s m a y o r la f r a c c i ó n transcurrida del m e s , o la t r a n s c u r r i d a del a ñ o ? 42. P a r a atraer la clientela, un c o m e r c i a n t e anuncia una r e baja de un 15 % ; otro, nna r e b a j a de 1/5 ; un t e r c e r o deja l o s primitivos precios y escribe nuevamente los precios debajo así: una etiqueta que m a r c a b a $ 260 está m a r c a d a c o n $ 210 . C o m p a rar estas t r e s r e b a j a s . 43. T r e s m i e m b r o s de un d i r e c t o r i o social fueron e l e c t o s en d i s tintas s e s i o n e s . El p r i m e r o t u v o 26 v o t o s s o b r e 38 ; el s e g u n d o 32 s o b r e 47 , y el t e r c e r o 34 s o b r e 55 . ¿Cuál de l o s s o c i o s ha sido mejor votado?

Adición y sustracción 44. a) V e r i f i c a r el siguiente c u a d r a d o m á g i c o de constante 45/2 (3 c o l u m n a s , 3 filas y 2 d i a g o n a l e s ) . b) L l e n a r los lugares v a c í o s para que el s e g u n d o de l o s cuadrados resulte m á g i c o y v e r i f i c a r (8 s u m a s ) .

45. Un surtidor vierte 7 litros de agua en 3 minutos, y o t r o 10 litros en 15 minutos. ¿ Q u é cantidad de agua vierten j u n t o s en un m i n u t o ? 22. — A R I T M É T I C A

1er. AÑO —

Coppetti

338 46. L e í un l i b r o en 4 d í a s . En el p r i m e r o leí 1/5, en el s e g u n d o 1/3 y en el t e r c e r o 3/10. ¿ Q u é f r a c c i ó n -del libro leí en el c u a r t o día? 47. Gasté 6/7 de m i d i n e r o y m e q u e d a r o n $ 480 . Si s o l a m e n t e hubiera g a s t a d o 4 / 5 de l o que tenía, ¿ c u á n t o m e hubiera q u e d a d o ? 48. U n p r e m i o d e $ 11 700 d e b e repartirse e n t r e un c o r o n e l , un m a y o r , un capitán y un teniente d e m o d o que para c a d a g r a d o la cuota aumente e n la mitad d e la anterior. ¿ C u á n t o le c o r r e s p o n d e a cada u n o ? 49. Una p e r s o n a ha g a s t a d o p r i m e r o 2/5 de su fortuna, y l u e g o 2/7 d e l r e s t o . ¿ C u á n t o le q u e d a ? 50. U n ciclista r e c o r r i ó un t r a y e c t o e n 4 h o r a s . E n la p r i m e r a h o r a r e c o r r i ó 1/3 del t r a y e c t o , en la segunda h o r a l o s 2/9, y e n la t e r c e r a h o r a l o s 5/18 . ¿ Q u é f r a c c i ó n de t o d o el t r a y e c t o r e c o rrió en tres h o r a s ? 51. Cierta s u m a de d i n e r o d e b e ser distribuida entre tres personas de m o d o que la p r i m e r a tenga 1/3 d e la suma, la s e g u n d a 1/12 m á s que la primera, y la t e r c e r a la parte r e m a n e n t e . ¿ Q u é fracción de la s u m a r e c i b i r á la t e r c e r a p e r s o n a ? 52. Raúl quiere e c o n o m i z a r 1/10 d e l o que gana. Gasta 1/8 de su g a n a n c i a para a l o j a m i e n t o y le quedan $ 6 200 para o t r o s gastos. ¿Cuánto gana? 53-56 Efectuar las siguientes operaciones y simplificar:

2

57. En cierto momento se hallan en la clase, estudiando, / del n ú m e r o d e a l u m n o s que forman el grupo, / l e y e n d o y i / esc r i b i e n d o . ¿ D e c u á n t o s a l u m n o s se c o m p o n e el grupo, t e n i e n d o presente que faltan 4? Resultado, BO 5

1

3

58.

Transformar

mentalmente

en números mixtos:

5

1 7

/

5

;

2 8

/

1 2

.

59-65. Efectuar las siguientes operaciones y ejmplificar:

Resultados: 113/20 ; 125/21 ; 43/12 ; 83/10 ; 6521/840 ; 103/84 ; 2161/420

Multiplicación y división 66. Hacer 5 veces mayor la fracción 4 / 1 5 : 1.°) sin alterar el denominador; 2.°) sin alterar el numerador. ídem tomar la mitad de la fracción.

339 67. Si un m e t r o de una tela cuesta $ 50, ¿ c u á n t o cuestan 2 3/5 m e tros d e la m i s m a t e l a ? 68. El s o n i d o r e c o r r e , a p r o x i m a d a m e n t e , 340 m e t r o s p o r s e g u n d o . ¿ A qué distancia s e p r o d u j o una d e s c a r g a eléctrica, si se o y ó el trueno d e s p u é s de 7 % s e g u n d o s de h a b e r s e v i s t o el r e l á m p a g o ? Resultado, 2607 6 9 . I n t e r r o g a d o P I T Á G O R A S s o b r e el n ú m e r o de sus discípul o s c o n t e s t ó : " U n a mitad estudia la Matemática, 1/4 l o s m i s t e r i o s de la naturaleza, 1/7 m e d i t a en el silencio y h a y también 3 muj e r e s . ¿ C u á n t o s d i s c í p u l o s tenía P i t á g o r a s ? Resultado 28 70. S a b i e n d o que del t r i g o se o b t i e n e 11/12 de su peso en h a rina y de la harina 6/5 de su p e s o e n pan, hallar cuántos k i l o g r a m o s d e t r i g o s o n n e c e s a r i o s para o b t e n e r 132 K g . de pan. Resultado 120 7 1 . U n a pelota r e b o t a l o s 3/5 de la altura q u e ha c a í d o . ¿ D e qué altura ha sido dejada c a e r una pelota de g o m a que al r e b o t a r l l e g a a 27 d m . del s u e l o ? Resultado 45 dm. 72. Cuatro C o n c e j o s D e p a r t a m e n t a l e s d e A d m i n i s t r a c i ó n Municipal deben contribuir en l o s g a s t o s de la c o n s t r u c c i ó n de una c a r r e t e r a : el p r i m e r o c o n una suma igual a 1/5 del gasto total, el s e g u n d o c o n 1/4, el t e r c e r o c o n l o s 3/8, y el cuarto h a c i é n d o s e c a r g o del i m p o r t e d e la c o n s t r u c c i ó n de 2940 m . de c a r r e t e r a . Se desea saber q u é fracción de g a s t o s le c o r r e s p o n d e al cuarto M u nicipio, y cuál s e r á la longitud total de la c a r r e t e r a a c o n s t r u i r . Resultado 7/40; 16 800 m. 7 3 . A m e d i o d í a l a s agujas de l a s h o r a s y de l o s m i n u t o s d e un r e l o j están superpuestas. ¿ D e s p u é s de cuánto t i e m p o se s u p e r p o n drán n u e v a m e n t e ? Resultado (1 + 1/11)h. 74-77.

Calcular l o s v a l o r e s d e las siguientes e x p r e s i o n e s :

78-81.

Efectuar

las siguientes o p e r a c i o n e s :

82E n l o s e x á m e n e s de fin de c u r s o la m i t a d de l o s a l u m n o s de cierto L i c e o fueron r e p r o b a d o s , p e r o , d e é s t o s , sólo 1/3 se p r e s e n t ó a los e x á m e n e s de r e p a r a c i ó n y sólo / d e estos ú l t i m o s fueron a p r o b a d o s . Calcular el n ú m e r o total de a l u m n o s e x a m i n a d o s a fin de curso, s a b i e n d o que en los d o s p e r í o d o s de e x á m e n e s fueron a p r o b a d o s en total 76 alumnos. Resultado, 120 4

5

340 83-86.

Calcular

87-89.

Efectuar

los v a l o r e s de las siguientes

Resultados:

47/20

las siguientes

;

14/3

;

expresiones:

48/205

;

39/20

;

operaciones:

Resultados:

605/16

90.

E x t r a e r las r a í c e s c u a d r a d a s de 4/9 ,

91.

El p r o d u c t o de t r e s n ú m e r o s

; 11/60 ; 11/4

1/16 ,

25/1000-0.

es 3240. El s e g u n d o e s

2/3

del p r i m e r o , y el t e r c e r o es '5/4 del s e g u n d o . Hallar l o s n ú m e r o s .

X V . — FRACCIONES

CAP.

DECIMALES

1. Transformar

en números decimales las fracciones

2, Transformar

en fracciones o r d i n a r i a s :

0,3 ;

30/100 ;

0,085 ;

6/10

0,80 .

3-10. E f e c t u a r las siguientes o p e r a c i o n e s , c a l c u l a n d o l o s resulta­ dos c o n 0,01 d e a p r o x i m a c i ó n : 23,5 + 8,26 — 0,19 ; (86,2 — 0,4) — — (86,05 — 18) ; 13,25 × 47,2 ; 2,38 × 5,9 × 0,005 ; 969,3: 3 ; 0,8365: 5 ; 0 , 8 : 2 , 5 ; 1 1 , 4 3 : 0 , 6 3 5 . 11. C o m p l e t a r el siguiente c u a d r o relativo al c e n s o de la p o ­ blación d e a l g u n o s departamentos d e la R e p ú b l i c a : Superficie Km.

DEPARTAMENTOS Montevideo

.

Canelones Colonia

.

.

664 11 378

Artigas Cerro

.

2

.

Población al 16-X-63

Densidad H a b . por Km

1 1 7 3 114

1 766,74

52 093

4 752

Largo

71 222 5 682

2

104 795

19,99 4,94

341 12-15.

Efectuar

las siguientes

16. Transformar

operaciones:

en número decimal:

1/2

;

1/8

;

5/16 .

17-20. Transformar en número decimal, con 0,01 de aproximación, la# guientes fracciones: 4/3 ; 5/6 ; 46/49 : 2 0 1 / 3 2 0 , 21-22. Calcular a m e n o s de 0,001 por d e f e c t o :

23-25. Transformar presiones s i g u i e n t e s :

en f r a c c i ó n ordinaria cada una

R.

de las e x -

247/33; 1106/891; 283/241

¿6. V e r i f i c a r que la generatriz del n ú m e r o simple 0,45 p u e d e ser t a m b i é n 4545/9999 .

decimal

periódico

27 D e m o s t r a r que la diferencia entre d o s n ú m e r o s d e c i m a l e s p e r i ó d i c o s simples es t a m b i é n un n ú m e r o d e c i m a l p e r i ó d i c o simple. 28. V e r i f i c a r que si un n ú m e r o d e c i m a l p e r i ó d i c o simple c u y o p e r í o d o t e n g a t r e s cifras se disminuye en 1 la cifra d e las c e n tenas del p e r í o d o y si se a u m e n t a en 1 la cifra d e las u n i d a d e s del p e r í o d o , la d i f e r e n c i a de las d o s g e n e r a t r i c e s e s 11/111 . 29. Justificar l o s c a p r i c h o s del n ú m e r o 1234&679 que i n d i c a m o s en la página 174 . P a r a ello o b s é r v e s e que el n u m e r a l citado e s el p e r í o d o de la f r a c c i ó n d e c i m a l p e r i ó d i c a simple que se o b t i e n e c o n v i r t i e n d o la f r a c c i ó n 1/81 . T e n e m o s p u e s : 1 — = 81

12345679 ,

de donde,

12345679 ×

81 =

999999999

999999999

y dividiendo ambos miembros por 9 resulta: 12345679×9

=

111111111

igualdad ésta que justifica el p r i m e r o de l o s c a p r i c h o s del número referido. Multiplicando a m b o s m i e m b r o s p o r 2 . . . ; o p o r 3,... 30. D i s p o n e r e n o r d e n de magnitud c r e c i e n t e las f r a c c i o n e s : 53/55 ; 1.°

reduciéndolas

a común

49/53 ;

173/179

denominador;

342 2.° c a l c u l a n d o sus valores decimales a p r o x i m a d o s . Se limitará en e s t o s c á l c u l o s , hasta que se puedan e m p l e a r las cifras d e c i males halladas para realizar la clasificación pedida. D e estos d o s p r o c e d i m i e n t o s , ¿ c u á l prefiere u s t e d ? 31. 1/2

Calcular ;

1/3

;

c o n 1 m i l é s i m o de 1/4

;

1/5

;

a p r o x i m a c i ó n las

1/6

;

1/7

;

fracciones:

1/8

;

1/9.

Calcular la suma de las f r a c c i o n e s d e c i m a l e s obtenidas., r e p r e sentando los valores por defecto, l u e g o por e x c e s o , c u a n d o ellas no son exactas. ¿ C o n cuántos m i l é s i m o s de a p r o x i m a c i ó n es esta suma la e x p r e s i ó n de la s u m a e x a c t a ? 32. Se e s p a r c e u n i f o r m e m e n t e s o b r e una superficie de 450 m2. un v o l u m e n de 2355 m3. de tierra. Calcular, c o n 1 m i l í m e t r o de a p r o x i m a c i ó n , el e s p e s o r de la capa de tierra obtenida. ¿ S e r í a razonable pedir una a p r o x i m a c i ó n m a y o r ? 33. U n industrial c o m p r ó este año y p a g ó $ 8370 por g a s t o s generales. ductos fabricados. P a g a el 12 % de ganancias y el 18 % s o b r e el resto.

$ 18 450 de materias p r i m a s V e n d i ó en $ 38 252 los proi m p u e s t o s s o b r e 1/4 de sus ¿Cuál e s la ganancia n e t a ?

34. Problema capcioso. — E l precio de una botella c o n su tapón es $ 1,05. L a botella cuesta $ 1 m á s que el t a p ó n . ¿ C u á n t o cuesta la botella y cuánto el t a p ó n ? (Llamando x al precio el tapón, tenemos: ( x + 1 ) + x = 1,05, .*. x — $ 0,025; el precio de la botella será $ 1,025).

CAP. X V I . — MEDIDA D E MAGNITUDES Medidas de longitud 1-2. Completar: K m . 5,48 = Hm. . . . = Dm. . . . = dm. 639 = Dm. . . . = cm. . . . = mm. . . . 3-4.

dm. . . .

Sustituir los puntos por la indicación de la medida: m. 45726 = . . . 45,726 = . . . 4,5726 mm. 53,27 = . . . 0,5327 = . . . 5,327

5. U n a u t o m ó v i l r e c o r r e 12,5 H m . p o r minuto. ¿ C u á n t o s k i l ó m e tros r e c o r r e r á e n 3 horas y m e d i a ? 6. Sabiendo que el m e r i d i a n o terrestre, de 40 millones d e m e tros, se divide en 360 g r a d o s , calcular, e n metros,, la longitud de un g r a d o de meridiano. 7. Calcular en m e t r o s la longitud d e la milla marina, s a b i e n d o que entran 60 millas e n 1 g r a d o de meridiano t e r r e s t r e . 8. P a r a instalar un t e l é f o n o entre d o s p o b l a c i o n e s se han c o l o c a d o p o s t e s distantes entre sí 48 m . S i e n d o 14,4 K m . la distancia entre el primer p o s t e y el último, ¿ c u á n t o s postes h a b r á ? 9. U n a l o c o m o t o r a r e c o r r e 9 H m . 8 D m . 5 m . por m i n u t o . ¿ C u á n t o s m e t r o s r e c o r r e e n un s e g u n d o y cuántos k i l ó m e t r o s en 6,5 h o r a s ? 10. ¿ C u á n t o s tubos de hierro de 2,5 m . se necesitan c o n d u c c i ó n de aguas de 1,75 K m . de l o n g i t u d ?

para

una

343 11. A a m b o s lados de una vía férrea se coloca un alambrado de 3 h i l o s d e s d e el K m . 67 al K m . 65. E l a l a m b r e c u e s t a $ 9 e l k i l o g r a m o y c a d a r o l l o d e 100 m . p e s a 2 K g . L o s p o s t e s y la m a n o de o b r a c u e s t a n el d o b l e del p r e c i o del a l a m b r e . ¿ C u á l es el g a s t o total? 12. Se ha m e d i d o una tela c o n un metro falso. que no tenía m á s q u e 98 c m . L a l o n g i t u d e n c o n t r a d a e s d e 49,26 m . ¿Qué p é r d i d a s u f r e e l c o m p r a d o r s i e l p r e c i o q u e h a p a g a d o e s d e $ 30 por m e t r o ? R e s u l t a d o $ 29,55 13. A l b e r t o y Carlos m i d e n la longitud de una calle c o n sus p r o p i o s p a s o s . A l b e r t o c u e n t a 50 p a s o s m á s q u e C a r l o s , p e r o e l p a s o d e A l b e r t o m i d e m . 0,78 m i e n t r a s q u e e l d e C a r l o s m i d e m . 0,84. ¿ C u á l e s l a l o n g i t u d d e l a c a l l e ? R e s u l t a d o 546 m . 14. E m p l e a n d o el c u a d r o de m e d i d a s a n g l o - a m e r i c a n a s d e la p á g . 15, e x p r e s a r en metros la siguiente suma de medidas de longitud: 1 milla + 30 p o l e s + 2,5 y a r d a s + 2 pies + 9 pulgadas

Medida de la circunferencia

(Tomar

π=

3,14).

1. Calcular la longitud de una circunferencia de 5 metros de diámetro. 2. Calcular la longitud de una c i r c u n f e r e n c i a de 5 m. con 3 c m de radio. 3. Calcular las longitudes de los b o r d e s de las m o n e d a s de nuestro país de c i r c u l a c i ó n actual, mediante los diámetros respect i v o s ( q u e m e d i r á el e s t u d i a n t e ) . 4. Calcular el radio de una c i r c u n f e r e n c i a de 9,318 m. de longitud. 5 . El radio de una rueda es d e r e c o r r i d o d e s p u é s d e 820 vueltas.

80 c m . Calcular

el

camino

6. Las agujas de un r e l o j de bolsillo tienen las siguientes l o n g i t u d e s : el minutero 18 m m . y el horario 9 m m . Calcular el c a m i n o r e c o r r i d o p o r el e x t r e m o de cada aguja después de 12 horas, e x p r e s a n d o los resultados en c e n t í m e t r o s . 7. ¿ C u á n t o t i e m p o e m p l e a r á un c a b a l l o p a r a dar una vuelta en una pista circular de 200 m. de d i á m e t r o , si c o r r e a razón de 13 m. por s e g u n d o ? 8. Las ruedas anteriores d e un carruaje m i d e n 0,75 m . de diámetro y las p o s t e r i o r e s 0,90 m. Calcular cuántas vueltas dan las ruedas anteriores mientras que las p o s t e r i o r e s d a n 1500 vueltas. 9 . ¿ C u á n t o s K m . p o r s e g u n d o r e c o r r e un en el m o v i m i e n t o de r o t a c i ó n de la T i e r r a ?

punto

del

Ecuador

10. Calcular la longitud del r a d i o m e d i o terrestre, t o m a n d o c o m o valor a p r o x i m a d o de la m e d i d a de un meridiano, 40 millones de metros.

11.

Problema sobre la actual población del mundo.

C o n f o r m e datos p u b l i c a d o s p o r el " U N D e m o g r a p h i c Y e a r b o o k " , se calcula que la p o b l a c i ó n mundial actual ( m e d i a d o s de 1964). e s de 3.250 m i l l o n e s de habitantes, e x c l u y e n d o de e s t e c e n s o la po-

344 b l a c i ó n de China Comunista de la que n o se tienen d a t o s ; n o o b s tante se e s t i m a que en 1960 d i c h a p o b l a c i ó n alcanzaba a l o s 650 m i l l o n e s . P u e d e aceptarse, pues, que a c t u a l m e n t e la p o b l a c i ó n m u n dial alcanzará p r o b a b l e m e n t e a u n o s 4.000 m i l l o n e s d e habitantes.

100 habitantes alineados transversalmente

ECUADOR

40 millones alineados longitudinalmente en cada anillo

P a r a p r o p o r c i o n a r una idea gráfica de e s t e numeral, s u p o n g a m o s que s e ubicaran p e r s o n a s ( e n fila india) s o b r e la línea del e c u a d o r t e r r e s t r e (40 m i l l o n e s d e m e t r o s ) , distanciándolas 1 m e tro de c e n t r o a c e n t r o de c a b e z a i n m e d i a t a ; podrían así d i s p o nerse en f o r m a de anillo 40 m i l l o n e s d e p e r s o n a s . ¿ C u á n t o s d e e s t o s a n i l l o s paralelos t e n d r í a n que f o r m a r s e p a r a u b i c a r la t o talidad de l o s habitantes del m u n d o a c t u a l ? Resultado 100 12. P r o b l e m a c a p c i o s o . — El aro de la llanta de una c a r r e t a m i d e 4 m . U n h e r r e r o lo corta, le añade un t r o z o de 2 m . y h a c e así o t r o a r o de 6 m . ¿ C u á l es la d i f e r e n c i a d e l o s r a d i o s a n t e s y después del c o r t e ? Si c o n el m e r i d i a n o terrestre se pudiera hacer lo m i s m o , es d e c i r a u m e n t a r l o en 2 m., ¿ c u á l sería la difer e n c i a d e l o s radios, a n t e s y d e s p u é s ? Sin efectuar c á l c u l o a l g u n o dígase, p o r intuición, si la s e g u n d a diferencia es m e n o r , igual o m a y o r que la primera. L u e g o e f e c túese el c á l c u l o c o r r e s p o n d i e n t e . Resultado R — r = 1 / π = 0,318 m. 13. U n c o r r e d o r p e d e s t r e d e b e r e c o r r e r 9,420 K m . en una pista circular de 60 m . de d i á m e t r o . ¿ C u á n t o t i e m p o e m p l e a r á si d a una vuelta e n 52 s e g u n d o s ? 14. L a rueda trasera de un t r a c t o r m i d e 130 c m . de d i á m e t r o y da 100 vueltas en 2 m i n u t o s , a) ¿ Q u é distancia r e c o r r e r á el tract o r m a r c h a n d o r e g u l a r m e n t e d e s d e las 7 y 15 h a s t a las 9 y 45, c o n una p a r a d a de 6 m i n u t o s ? b) Si la rueda delantera d a 1725 vueltas m á s que la rueda t r a s e r a para r e c o r r e r l a m i s m a distancia, ¿ c u á n t o m i d e su p e r í m e t r o y cuál es su r a d i o ? Medidas de superficie 1.

Expresar c o m o complejos los siguientes: 2

2

a) 283,1415 D m . ; 2.

b) 7380,318 m . ;

2

c)

31,25731 H m .

Completar: 2

m. Há. 2 + 4

ra.2 /

5

=

58 +

dm.

cá. 352 + 2

cm.

...

;

2

148 +

Dm.

mm.

2

37

1

/

2

2

25 = 2

á. 0,135 =

m. =

2

cm.

...

...

cm.

2

...

3. U n propietario p o s e e 4 p r e d i o s : el 1.° tiene 98 H á . 3 á. 45 cá. ; el 2.° 105 H á . 63 á. 74 c á . ; el 3.° 48 H á . 85 á. 9 c á . ; el 4.° 90 H á . 57 á . 86 c á . ¿ C u á l es la superficie m e d i a d e un predio, e x p r e s a d a en n ú m e r o c o m p l e j o ? 4. U n a p r o p i e d a d de 6 H á . 8 á. 5 c á . e s t á dividida en p a r t e s ; una c o n t i e n e 692 m . m á s que la otra. ¿ C u á l es la perficie d e c a d a parte d e la p r o p i e d a d ? 2

dos su-

345 5. ¿ C u á n t o vale la h e c t á r e a 25 c á . se pagan $ 2 244,75?

de terreno l a b o r a b l e si por 748 á.

6. Se desea permutar un terreno de 2 H á . 8 á . p o r o t r o de 105 á. 25 c á . S u p o n i e n d o que el p r i m e r o v a l g a $ 0,95 el m . , cuál será el p r e c i o d e l área del s e g u n d o ? 2

7. U n terreno de 35 á. a 10 c á . que vale $ 80000 la hectárea se p e r m u t a p o r o t r o que vale $ 7,50 el m e t r o c u a d r a d o . Calcúlese su superficie en c e n t i á r e a s . 8. E m p l e a n d o el cuadro d e m e d i d a s a n g l o - a m e r i c a n a s de la pág. 15, expresar en m e t r o s c u a d r a d o s la siguiente s u m a de m e didas de s u p e r f i c i e : 1 a c r e . + 30 yardas + 8 p i e s . 2

2

2

Medidas de volumen 3

3

3

1-2. E s c r i b i r m e d i a n t e c i f r a s : 5 m. , 42 dm. y 8 cm. ; 63 Dm. y 38 m. t o m a n d o c o m o unidades r e s p e c t i v a s l a m e n o r . 3

3

3-5. Completar las e q u i v a l e n c i a s : Din.3 64,35 = m.s . . . ; cm. 126,2 = Dm. 3

6-7. Efectuar Dm.s 5 2 + dm. ;

3

3

... ;

dm.

3

5,2 = cm.

las siguientes o p e r a c i o n e s : 352 = cm. . . . dm. 8,43 — mm. 987 = mm. 3

3

3

3

3

;

... ...

8. E x p r é s e s e en c e n t í m e t r o s c ú b i c o s la d i f e r e n c i a q u e h a y entre l o s 2/5 y l o s 3/8 d e un d m 3 . 9. ¿Cuántas de 1,152 m . ?

cajas d e 1080 c m 3 . p o d r á n c o l o c a r s e en un

cajón

3

10. P a r a construir el c i m i e n t o de una pared se han e m p l e a d o 15 m . y 48 d m 3 . d e h o r m i g ó n p a g a n d o p o r el total $ 6 771,60. ¿Cuál fue el p r e c i o por m e t r o c ú b i c o d e m a t e r i a l ? 3

3

3

11. Se ha c o n s t r u i d o una pared de 83 m . 70 d m . c o n ladrillos d e 1 d m 3 . 200 c m . , ¿ c u á n t o s ladrillos se han utilizado? 3

12. "Empleando el c u a d r o de m e d i d a s a n g l o - a m e r i c a n a s d e la p á g . 15, calcular el n ú m e r o d e m e t r o s c ú b i c o s d e una y a r d a cúbica. Resultado 0,7645 m . Medidas de capacidad 3

1-3.

3

C o m p l e t a r : m. 5,74 = 1. . . . = Dl. . . . = Hl. Dm.3 0,053 = Dl. . . . = Hl. . . . = dl. . . . Dl. 13 / = dm. . . . = l . . . . = cl. . . . 2

...

3

5

4. Efectuar litros:

la

siguiente

adición y

expresar

el

resultado

en

34 1. 7 e l . + 45 D l . 8 d l . + 27 H l . 25 D l . + 13 d l . 3 m l . 5. U n a c u b a tiene 37 H l . 4 D l . de c a p a c i d a d ; si se e c h a n en ella 35 H l . 6 1. de vino, e x p r é s e s e e n d e c a l i t r o s , l o q u e se d e b e a g r e g a r para l l e n a r l a . 6. E m p l e a n d o el c u a d r o de m e d i d a s a n g l o - a m e r i c a n a s d e la p á g . 15, e x p r e s a r en litros la siguiente suma d e m e d i d a s d e c a pacidad : a) 1 g a l ó n + 3 c u a r t o s + 1,5 pinta ; (1 pinta = 0,47312 l i t r o s ) . b) 2 bushels + 3 p e c k s + 7 cuartos ; (1 c u a r t o = 1,1012 l i t r o s ) .

346 7. de

3

U n d e p ó s i t o tiene 2,150 m de c a p a c i d a d . ¿ C u á n t a s b o t e l l a s 74 d i . se p o d r á n llenar c o n su c o n t e n i d o ?

8. Se quiere llenar c o n agua c o l o n i a un frasco de 75 e l . c o n un d e d a l de 2 5 cm ¿ C u á n t a s v e c e s s e r á n e c e s a r i o v a c i a r en el frasco el c o n t e n i d o del d e d a l ? Resultado 300 3

9. Se han v e n d i d o 45 H l . de v i n o p o r $ 11 250. ¿ C u á n t o v a l drán 3 D I . ? 10. U n a c o c i n a c o n s u m e 63 H l . de gas c a d a tres d í a s . Si el m e t r o c ú b i c o cuesta $ 1,20 ¿ c u á n t o se p a g a r á p o r c o n s u m o m e n s u a l ? 11. U n m a y o r i s t a h a c o m p r a d o cierta cantidad d e v i n o por $ 27 000 a $ 18 el D l . ¿ A c u á n t o tiene que v e n d e r el litro para ganar $ 3000? 12. ¿ C u á n t o gasta al año en b e b e r , una p e r s o n a q u e m e n t e c o n s u m e 4 cl. de v i n o si l o paga $ 4,80 el l i t r o ?

diaria-

13. Si un litro de j e r e z c u e s t a $ 60, ¿ a c u á n t o hay que v e n d e r el v a s i t o de 5 e l . para que la g a n a n c i a de un litro sea igual al costo? Resultado. $ 6

Medidas de peso 1.

Completar: Ka.

2.

T. 1,356 = 53/4 =

Hg.

Q. . . . = ... =

Mg. . . . =

Hg. . .

Dg.

E f e c t u a r la a d i c i ó n siguiente e x p r e s a n d o el resultado en m g . 28 M g . +

135 K g . +

1253 H g . +

123076 d g . +

352076 m g .

3. ¿ Q u é p e s a s d e b e n c o l o c a r s e en el platillo c o r r e s p o n d i e n t e de la balanza para lograr las siguientes p e s a d a s , si se d i s p o n e n de las siguientes p e s a s : U n a d e 500 g., d o s de 2 Hg., una de 1 H g . Una

de

50 g., d o s de 20 g. una

de

10 g.

U n a de 5 g., d o s d e 2 g., una de 1 g. Pesadas a efectuar:

9 g. ;

47 g. ;

1 Kg. ;

385 g.

4. L a unidad principal de m e d i d a s de p e s o a n g l o - a m e r i c a n a s es la libra, que equivale a 0,4536 K g . S a b i e n d o que u n a o n z a es 1/16 de libra, calcular el p e s o en g r a m o s d e 2 ( O z . ) . 8 ( l b . ) . 5. U n c o m e r c i a n t e c o m p r ó 8 t o n e l a d a s de papas a $ 200 el quintal. P a g ó $ 120 por t o n e l a d a por el t r a n s p o r t e y e m p l e ó 2 o b r e r o s que trabajaron 10 h o r a s ' y 13 h. r e s p e c t i v a m e n t e a $ 5,00 la hora, i n c l u y e n d o c a r g a s s o c i a l e s . C a l c u l a r : l . ° C o s t o d e l t o tal de papas a d q u i r i d a s . 2.° P r e c i o de v e n t a total si el n e g o ciante se r e s e r v a un beneficio del 20 % s o b r e el p r e c i o de c o s t o . 6. U n c h a c a r e r o c o m p r a t r i g o a $ 220 p o r quintal, p a r a s e m brar su c a m p o d e 2 H á . , 6 á. y 50 c á . Si s i e m b r a 30 K g . p o r hectárea, se p r e g u n t a : l . ° la cantidad de t r i g o que d e b e c o m p r a r ; 2.° el c o s t o de e s t e t r i g o . 7. D e 2,8 D I . de l e c h e se extrae, en general, 1 K g . d e mant e c a . ¿ D e c u á n t o s litros d e l e c h e se e x t r a e r á n 1 H g . d e m a n t e c a ? 8. U n e l . de agua de m a r c o n t i e n e disueltos 35 c g . de sal d e c o c i n a . U n H g . de agua d e m a r ¿ c u á n t o s D g . d e sal c o n t e n d r á disuelta?

347 9. U n c a m i ó n d e b e ser c a r g a d o c o n c a j o n e s que c o n t i e n e n 12 botellas de c e r v e z a de un litro c a d a u n a . U n a b o t e l l a v a c í a pesa 420 g. ; un litro de c e r v e z a 1 K g . ; y un c a j ó n v a c í o , 4,200 K g . ¿ C u á n t o s c a j o n e s llenos se p o d r á n cargar, si la c a r g a n o p u e d e s o b r e p a s a r l o s 1 250 K g . ? 10. C o n un r o l l o de a l a m b r e que p e s a 10,494 K g . se quiero fabricar c l a v o s de 37,5 m m . de l o n g i t u d . ¿ C u á n t a s d o c e n a s de c l a v o s se p o d r á n fabricar s a b i e n d o que el m e t r o de alambre p e s a 132,5 g r a m o s ? Resultado 176

Problemas sobre densidades 1. ¿ Cuál es el peso de un tambor do aceite, sabiendo que su capacidad es de 230 litros, que vacío pesa 52 K g . y que la densidad del aceite es 0,91? 2. Un recipiente lleno de alcohol pesa 18,34 K g . y vacío pesa 957 Dg. Calcular su capacidad en m 1. sabiendo que la densidad del alcohol es 0,79 . Resultado, 11101 m L 3. L a densidad del bronce es 8,15. ¿Cuál es el volumen de un trozo de 25 g.t 4. Un trozo de madera pesa 164 Hg. y su volumen es 36 d m . » ; feallar la densidad de esa madera. Resultado, 0,466 5. U n m e t r o c ú b i c o d e c i e r t a sustancia p e s a 3,6 t o n e l a d a s . Si por c o m p r e s i ó n se r e d u c e el v o l u m e n en V B > ¿ c u á l « e r a la den» flidad de la sustancia después de c o m p r i m i d a ? 6. U n r e c i p i e n t e l l e n o d e nafta pesa K g . 11,030, y a c e i t e pesa K g . 13,670. Calcular la c a p a c i d a d y el p e s o p i e n t e s a b i e n d o que un litro de nafta pesa K g . 0,690 y de aceite K g . 0,910. Resultado 12 litros;

l l e n o de del r e c i un litro 2,750 Kg.

7. U n r e c i p i e n t e v a c í o p e s a 235 g . ; lleno de l e c h e p e s a 25 H g . 4 g. ; ¿ c u á n t o p e s a l l e n o de agua, s i e n d o la densidad de la l e che 1,03? 8. U n h a c e n d a d o v e n d e c a d a m a ñ a n a 20 litros de l e c h e que s ó l o pesan 20,510 K g . S a b i e n d o que la densidad de la l e c h e es 1,03, calcular el fraude que c o m e t e el l e c h e r o .

Área de las figuras planas 1. en

Calcular el n ú m e r o de m e t r o s las h o j a s de este libro.

cuadrados

de papel

que

2. El p e r í m e t r o de un r e c t á n g u l o m i d e 21,36 m. y ia base dupla d e la altura. Calcular el área del r e c t á n g u l o . 2

3. El á r e a d e un c u a d r a d o es de 2809 d m . ¿ C u á n t o lado? 4. ¿ C u á n t a s b a l d o s a s cuadradas d e 25 c m . d e l a d o sitan para e m b a l d o s a r un patio rectangular d e 7 m. d e 45 m. de a n c h o ? 5. L a base d e un p a r a l e l o g r a m o m i d e 69 d m . y la Jas dos t e r c e r a s p a r t e s de la b a s e . Calcular el área. 6. L a base d e un triángulo Calcular el área en c m .

tiene

6,24 m . y la

mide

hay es de

se n e c e l a r g o por altura

altura

es

34 dm.

2

7. E l área d e un triángulo e s d e 5 Ha. y la b a s e m i d e 215 m. Calcular, c o n un d m . de a p r o x i m a c i ó n , la altura.

348 8. Las bases de un trapecio son de 23,40 m. y 15,70 m. respective, m e n t e ; la altura es los / de la suma de las bases. Calcular el área. 9. U n c a n t e r o circular de c é s p e d m i d e 40 m . de d i á m e t r o , y en él se c o l o c a n 4 m a c i z o s circulares de flores de 36 d m . de r a d i o . En el centro del c a n t e r o h a y un estanque circular de 52 m . de c i r c u n f e r e n c i a . Calcular la superficie r e s e r v a d a para el c é s p e d . 2

5

Área y volumen del prisma 1. Calcular el área total y el v o l u m e n de un p a r a l e l e p í p e d o rectangular c u y a s d i m e n s i o n e s son 46 c m . , 22 cm., 18 c m . 2. Calcular el área lateral y total, asi c o m o el v o l u m e n de un p r i s m a r e c t o cuya base es un h e x á g o n o d e 0,24 m. de lado (la a p o t e m a del h e x á g o n o se o b t i e n e multiplicando el lado p o r 0,866). siendo la altura del p r i s m a d e 5 d m . 3. ¿ C u á n t o s ladrillos d e 30 c m . de longitud, 15 c m . d e a n c h o y 5 c m . d e e s p e s o r se n e c e s i t a n p a r a construir una pared de 25 m. de longitud, 3,50 m. d e altura y 0,45 m . d e e s p e s o r ? 4. L a s d i m e n s i o n e s de l o s tirantes d e m a d e r a se expresan, g e neralmente, en el c o m e r c i o , c o n m e d i d a s inglesas. Para cierta c o n s t r u c c i ó n se n e c e s i t a n 50 tirantes d e 18 pies de largo p o r 5 pulgadas de alto y 3 pulgadas de espesor. ¿ A cuánto a s c e n d e r á el c o s t o d e d i c h a m a d e r a a r a z ó n d e $ 3800 el millar de p i e s ? ( U n pie de barraca es el v o l u m e n de un p r i s m a r e c t o cuya base es un cuadrado de 1 pie d e lado, s i e n d o la altura d e 1 p u l g a d a ) . 3

5. ¿ C u á n t o s m . de p e d r e g u l l o se n e c e s i t a n p a r a construir una carretera de 8,250 K m . de longitud y 5 m. d e a n c h o , si el e s p e s o r de la c a p a d e p e d r e g u l l o tiene que ser d e 2,7 d m . ? 6. En rectangular una canilla el agua del

un recipiente, c u y a forma es la d e un p a r a l e l e p í p e d o de 2,50 m. de longitud y 1,25 m. d e a n c h o , vierte agua a razón de 5 litros p o r s e g u n d o . ¿ E n cuánto t i e m p o recipiente llegará a 3,20 d e a l t u r a ?

Área y volumen de la pirámide 1. Uña c a r p a tiene la f o r m a de una p i r á m i d e cuadrangular regular, m i d i e n d o el lado d e la base 3,50 m . y la a p o t e m a 4,80 m. Calcular el área de la tela n e c e s a r i a p a r a construir la c a r p a . 2. Calcular el área total d e una p i r á m i d e triangular regular midiendo el lado de la base 5,54 m. y la a p o t e m a lateral 9,64 m . (La a p o t e m a del triángulo equilátero s e c a l c u l a m u l t i p l i c a n d o el lado p o r 0,2887). 3. El lado de la b a s e de una p i r á m i d e h e x a g o n a l regular m i d e 24 c m . y la a p o t e m a lateral m i d e l o s / d e l lado de la base. Calcular la superficie lateral d e la pirámide. 4. Se d e s e a pintar la superficie lateral d e un o b e l i s c o piramidal h e x a g o n a l regular c u y o lado d e la b a s e m i d e 2,40 m . y la a p o t e m a lateral 7,50 m. ¿ A cuánto a s c e n d e r á el c o s t o del trabajo a razón d e $ 15 e l m ? 5

4

2

5. El á r e a lateral d e u n a p i r á m i d e o c t o g o n a l regular mide 9,472 m y la a p o t e m a lateral 0,59 m. Calcular el área total de la pirámide. ( L a a p o t e m a de un o c t ó g o n o se o b t i e n e multiplicando el lado por 1,20*i). 2

349 6. El lado de la base de una pirámide cuadrangular mide 9,5 c m . y la altura 15 c m . Calcular el v o l u m e n .

regular

Área y volumen del cilindro 1. Calcular el área lateral de un cilindro de 2,15 m. de altura v 18 dm. de radio. 2. ¿Cuál es el área total de un cilindro c u y o diámetro mide 48 dm. y la altura 1 m.? Resultado: 612709 cm 2

3. Se desea construir un d e p ó s i t o c i l i n d r i c o ( c o n tapa) de 1 m. de radio y 1 m. de altura. ¿Cuál será el c o s t o de la lámina de metal a e m p l e a r a r a z ó n de $ 24 el m . ? 2

2

de

4. El área lateral de un cilindro es de 145,90 cm 1 dm. Calcular el radio de la base.

5. Calcular la capacidad en litros e j e r c i c i o N.° 3.

y la altura

del d e p ó s i t o cilindrico de

6. Un pozo c i l i n d r i c o tiene una profundidad de 25 m.; el radio interno mide 11 dm. y el externo 16 dm. Calcular el volumen de la pared que lo circunda. 7. Con 100 m o n e d a s de plata de 25 mm. de d i á m e t r o y 1 mm de espesor, se funde un lingote de s e c c i ó n cuadrada de 2 c m . de lado. ¿Cuál será la longitud del l i n g o t e ? 8. L o s radios de las bases de dos recipientes cilindricos miden 8 c m . y 12 c m . r e s p e c t i v a m e n t e . El primero contiene un líquido hasta 2,4 dm. del fondo. ¿A qué altura alcanzará dicho líquido si se vierte en el s e g u n d o v a s o ?

Área y volumen del cono 1. Calcular el área lateral radio y 4 m. de apotema.

de un

c o n o que mide 28 dm. de

2. Calcular el área total de un c o n o que mide 3 dm. de radio, y 65 c m . de generatriz. Resultado, 8953 cm 2

3. Una carpa tiene forma c ó n i c a de 2,4 m. de radio y 52 dm. de generatriz. Calcular el n ú m e r o de metros lineales de tela que se necesitan para contruirla, s i e n d o el a n c h o de la tela de 80 cm. 2

de

4. El área lateral de un c o n o r e c t o es de 628 cm y el radio la base m i d e 2 dm. Calcular el valor de la generatriz.

5. Calcular el y la altura 2 m.

volumen de

un

cono

c u y o radio

vale

75 c m

Área y volumen de la esfera de

1. Calcula radio.

2. rencia

el área

y el volumen de una esfera de 3,6 d m Resultados, S = 163 dm . ; V = 195 dm

Calcular el área de una esfera en la m á x i m a de la m i s m a mide 18,84 d m .

2

cual

2

una circunfe-

3. D e m o s t r a r que si se duplica el radio d e una esfera, su v o l u m e n resultará m u l t i p l i c a d o p o r o c h o . 4. ¿ E n cuánto aumentará la altura del agua en un v a s o cilíndrico de 5 c m . de radio, si se vierten en él 10 bolitas esféricas de 1 c m . de d i á m e t r o ?

MATEMÁTICA

Suma...

CURIOSA

mágica

Invita a un amigo para que escriba en la pizarra un número cualquiera (para fijar ideas, por ej. 7853) como primer sumando, y establece tú, mentalmente, cuántas veces más te propones renovar tal invitación (por ej. 2 veces). Luego escribe tú sobre una hoja de papel el número 27851 (obtenido restando 2 al número que escribió el amigo y anteponiendo también un 2 a dicho número); luego entrega tal papel a otro compañero (o compañera) a quien invitarás lo mantenga oculto.

351 Dile luego al amigo que escriba en la pizarra debajo del 1? otro número cualquiera (con la condición de que no tenga más cifras que el precedente). Tú escribirás ahora el tercer sumando; el 4? lo escribirá el amigo y finalmente el 5? lo escribirás tú. Pide al amigo que efectúe la adición de estos 5 sumandos e invita al compañero guardián de la hoja misteriosa, a cotejar el número escrito en la pizarra con la suma obtenida por el amigo. ¡Asombroso!... Los dos números son ¡guales. Nada misterioso. Hé aquí la explicación: Mientras que los números escritos por el amigo fueron elegidos por él arbitrariamente, los que tú escribiste tenían como cifras los complementos a 9 de las correspondientes cifras del número que le precede. En consecuencia (en el caso tratado) la suma del 2° sumando con el 3? es 9999; la del 4? y del 5? es también 9999; es decir que en conjunto la suma de los 4 últimos sumandos es: 9999 + 9999 = 20000 — 2 Por consiguiente, sumar el primer número con los otros 4 equivale a sumar al primero 20000 y restar 2. Estas dos operaciones se disimulan en el procedimiento práctico de escribir 2 a la izquierda del primer número y restar 2 a la última cifra de la derecha. Este procedimiento justifica la escritura del número realizada inicialmente en la hoja de .papel que el amigo ocultó al comenzar el juego. Resulta aún más espectacular este juego si se realiza con personal de una oficina contable donde se disponga de una máquina de sumar, y si se eleva el número de sumandos a muchos más.

Puedes prescindir del control antes indicado del compañero si tú cuentas cuántos son los sumandos que, en virtud de la disposición indicada para el juego, es un número impar (2n + 1). Restas 1 a este número y tomas la mitad de la diferencia, o sea n , siendo este último número el que debes anteponer al primer número escrito por el amigo y restar a las unidades simples, para luego asombrar con la suma total que tú puedes dar casi instantáneamente.

TABLA DE CUADRADOS Y

CUBOS

de los n ú m e r o s 1 a 200 2

n n n n n 3

2

2

3

n n n

3

n

2

n n

3

n

1 2 3 4 6

1 4 9 16 25

1 8 27 64 125

51 52 53 54 55

2601 2704 2809 2916 3025

132651 140608 148877 157464 166375

101 102 103 104 105

10201 10404 10609 10816 11025

1030301 1061208 1092727 1124864 1157625

151 152 153 154 155

22801 23104 23409 23716 24025

3442951 3511808 3581577 3652264 3723875

6 7 8 9 10

36 49 64 81 100

216 343 612 729 1000

66 57 58 59 co

3136 3249 3364 3481 3600

175616 185193 195112 205379 216000

106 107 108 109 110

11236 11449 11664 11881 12100

1191016 1225043 12597Í2 1295029 1331000

156 157 158 159 160

24336 24649 2-4964 25281 25600

8796416 3869893 3944312 4019679 4096000

11 12 13 14 15

121 144 169 196 225

1331 1728 2197 2744 3375

61 62 63 64 65

3721 3844 3969 4096 4225

226981 238328 250047 262144 274625

111 112 113 114 115

12321 12544 12769 12996 13225

1367631 1404928 1442898 1481544 1520875

161 162 163 164 165

25921 26244 26569 26896 27225

4173281 4251528 4330747 4410944 4492125 .

16 17 18 19 20

256 289 324 361 400

4096 4913 5832 6859 8000

66 67 68 69 70

4356 4489 4624 4761 4900

287496 300763 314432 328509 343000

116 117 118 119 120

13456 13689 13924 14161 14400

1560896 1601613 1643032 1685150 1728000

166 167 168 169 170

27556 27889 28224 28561 28900

4574296 4657463 4741632 4826809 4913000

21 22 23 24 25

441 484 529 676 625

9261 10648 12167 13824 15625

71 72 73 74 75

5041 5184 5329 5476 5625

357911 473248 389017 405224 421875

121 122 123 124 125

14641 14884 15129 15376 15625

1771561 1815848 1860867 1906624 1953125

171 172 173 174 175

29241 29584 29929 30276 30625

5000211 5088448 5177717 5268024 5359375

26 27 28 29 80

676 729 784 841 900

17576 19683 21952 24389 27000

76 77 78 79 80

5776 5929 6084 6241 6400

438976 456533 474552 493039 512000

126 127 128 129 130

15876 16129 16384 16641 16900

2000376 2048383 2097152 2146689 2197000

176 177 178 179 180

30976 31329 31684 32041 ' 32400

5451776 5545233 5639752 5735339 5832000

31 32 83 34 35

961 1024 1089 1156 1225

29791 32768 85987 89304 42875

81 82 83 84 85

6561 6724 6889 7056 7225

531441 551368 571787 592704 614125

131 132 133 134 135

17161 17424 17689 17956 18225

2248091 2299968 2352637 2406104 2460375

181 182 183 184 185

32761 33124 83489 33856 84225

5929741 6028568 6128487 6229504 6331625

36 37 38 39 40

1296 1369 1444 1521 1600

46656 50653 54872 59319 64000

86 87 88 89 90

7396 7569 7744 7921 8100

636056 658503 681472 704969 729000

136 18496 137 18769 138 19044 139 19321 140 19600

2515456 2571353 2628072 2685619 2744000

186 187 188 189 190

34596 34969 35344 35721 36100

6434856 6539203 6644672 6751269 6859000

41 42 43 44 45

1681 1764 1849 1936 2025

68921 74088 79507 85184 91125

91 92 93 94 95

8281 8464 8649 8836 9025

753571 778688 804357 830584 857375

141 142 143 144 145

19881 20164 20449 20736 21025

2803221 2863288 2924207 2985984 3048625

191 192 193 194 195

36481 36864 37249 37636 38025

69G7871 7077888 7189057 7301384 7414875

46 47 48 49 50

2116 2209 2304 2401 2509

97336 103823 110592 117649 125000

96 97 98 99 100

9216 9409 9604 9801 10000

884736 912673 941192 970299 1000000

146 147 148 149 150

21316 3112136 21609 : 3179523 21904 3241792 22201 330949 22500 3375000

196 197 198 199 200

38416 38809 39204 39601 40000

7529536 7645373 7762392 7880599 8000000

NOTA. — Para el empleo de esta tabla consúltese el último pá­ rrafo del (N.° 269) de la pág. 178.

• El romance E L HOMBRE QUE CALCULABA es tan sencillo y atrayente que, a pesar de ser matemático, puede ser leído y apreciado por cualquier persona que conozca apenas la tabla de multiplicar. • Refiere una serie de episo­ dios ocurridos con un singular calculista persa, que resuelve las situaciones más delicadas de la vida con el auxilio de la Mate­ mática. • Contiene, también, una s e ­ rie de leyendas, anécdotas céle­ bres, recreaciones aritméticas y problemas curiosos, analizados y resueltos por el ingenioso cal­ culista "sin matemática". Es un libro indispensable para PROFESORES, ESTUDIANTES, P R O F E S I O N A L E S , Etc. E S E L MEJOR OBSEQUIO PARA UN E S T U D I A N T E , P U E S L E AVI­ VARA LA AFICIÓN POR E L E S ­ TUDIO D E L A S MATEMÁTICAS.