analyse complexe introduction

Universit´ e Sultan Moulay Slimane Facult´e des sciences et techniques de Beni Mellal Ann´ ee universitaire : 2010/2011 ...

Author: A.BOUARICH

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Universit´ e Sultan Moulay Slimane Facult´e des sciences et techniques de Beni Mellal Ann´ ee universitaire : 2010/2011

Introduction ` a l’analyse complexe Abdesselam BOUARICH Premi`ere version : 15/06/2011

A. Bouarich

2

A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

Table des mati` eres

1 Fonctions d’une variable complexe holomorphes 1.1

5

Au tours du plan complexe C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Repr´esentation des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2

Topologie de la droite complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2

Limite et continuit´e des fonctions ` a une variable complexe . . . . . . . . . . .

9

1.3

C-Diff´erentiabilit´e des fonctions ` a une variable complexe . . . . . . . . . . . .

12

1.3.1

Applications C-lin´eaires de C dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3.2

Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.3.3

Conditions de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3.4

C-diff´erentiablit´e d’ordre sup´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.3.5

Fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.3.6

D´erivations complexes symboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Exemples de fonctions ´el´ementaires complexes holomorphes . . . . . . . . . .

27

1.4

1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.4.5 1.4.6

L’exponentielle complexe z 7−→ ez

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Logarithmes complexes z 7−→ Log(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Les puissances complexes z 7−→ z a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ Fonctions inverses des puissances z 7−→ a z . . . . . . . . . . . . . . .

Les fonctions trigonom´etriques z 7−→ cos(z), sin(z), tg(z), cotg(z) . . .

Les fonctions hyperboliques z 7−→ Ch(z), Sh(z), th(z), coth(z) . . . . .

2 Int´ egration complexe : Le th´ eor` eme des r´ esidus et ses applications 2.1

2.2

32 33 34 35

36

Les courbes et les domaines du plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.1.1

Les chemins et les courbes du plan complexe . . . . . . . . . . . . . .

36

2.1.2

Les domaines du plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Int´egration des fonctions complexes ` a une variable complexe . . . . . . . . . .

41

2.2.1

41

Construction de l’int´egrale curviligne complexe . . . . . . . . . . . . .

2.3

2.4

2.2.2

Calcul et propri´et´es de l’int´egrale complexe . . . . . . . . . . . . . . .

42

2.2.3

Th´eor`eme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.2.4

Primitive d’une fonction holomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

2.2.5

Formules int´egrales de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

2.2.6

Applications int´eressantes du th´eor`eme de d´erivation . . . . . . . . . .

61

Le th´eor`eme des r´esidus et ses applications

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

2.3.1

S´eries de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

64

2.3.2

Classification des singularit´es isol´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

2.3.3

R´esidu d’un point singulier isol´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

Calcul des int´egrales simples g´en´eralis´ees par la m´ethode des r´esidus . Z 2π R(cos(t), sin(t))dt . . 2.4.1 Calcul des int´egrales d´efinies de type Z +∞0 P(x) 2.4.2 Calcul des int´egrales g´en´eralis´ees dx . . . . . . . . . −∞ Q(x) Z +∞ P(x) iαx e dx . . . . . . . 2.4.3 Calcul des int´egrales g´en´eralis´ees Q(x) −∞ Z +∞ P(x) eiαx 2.4.4 Calcul des int´egrales g´en´eralis´ees dx . . . . . . −∞ Q(x) x Z +∞ P(x) dx, −1 < α < 0 2.4.5 Calcul des int´egrales g´en´eralis´ees xα Q(x) 0

. . . .

74

. . . .

75

. . . .

77

. . . .

79

. . . .

80

. . . .

84

Chapitre Premier

Fonctions d’une variable complexe holomorphes

Dans ce chapitre, on va introduire le calcul diff´erentiel pour les fonctions complexes ` a une variable complexe. Plus pr´ecis´ement, on va y examiner les notions classiques de limite, de continuit´e et de la C-d´erivabilit´e pour les fonctions ` a variable complexe. Le r´esultat fondamental qu’on va d´emontrer dans de chapitre est que la C-d´erivabilit´e d’une fonction ` a variable complexe f (z) entraˆıne la diff´erentiabilit´e au sens des parties r´eelle et imaginaire de f (z) et que ces derniers v´erifient les conditions de Cauchy-Riemann. Les conditions de Cauchy-Riemann vont nous permettre de d´eduire que les parties r´eelle et imaginaire d’une fonction C-d´erivable sont harmoniques, donc solutions de l’´equation de Laplace. La derni`ere section de ca chapitre sera consacr´ee ` a l’´etude de certaines fonctions ´el´ementaires complexes comme par exemple : l’exponentielle, le logarithme, les puissances, les fonctions trigonom´etriques et les fonctions hyperboliques.

1.1 1.1.1

Au tours du plan complexe C Repr´ esentation des nombres complexes

Rappelons qu’un nombre complexe z ∈ C poss`ede deux composantes ; une partie r´eelle ℜe(z) ∈ R et une partie imaginaire ℑm(z) ∈ R et s’´ecrit donc sous la forme z = ℜe(z) + iℑm(z) o` u i s’appelle l’imaginaire complexe caract´eris´e par son carr´e (i)2 = −1.

Le fait que chaque nombre complexe poss`ede une partie r´eelle et une partie imaginaire nous permet d’identifier les ´el´ements de C avec les points du plan cart´esien R2 en associant ` a 2 z = x + iy ∈ C le couple (x, y) ∈ R i.e. : Ψ:

A. Bouarich

C −→ R2 x + iy 7−→ (x, y) Introduction ` a l’analyse complexe

6

Fonctions d’une variable complexe holomorphes

Ci-dessous, grˆ ace ` a l’application d’identification Ψ : C → R2 on donnera une interpr´etation g´eom´etrique de certaines op´erations classiques sur les nombres complexes. Rappelons que tout point (x, y) ∈ R2 peut ˆetre d´efini par un syst`eme de coordon´ees polaires centr´e ` a l’origine ( x = r cos(θ) y = r sin(θ) p o` u r = x2 + y 2 et θ ∈ [0, 2π[ est la mesure de l’angle que fait l’axe Ox et la droite qui passe par l’origine (0, 0) et le point (x, y).

r sin(θ)

b

M

b

θ b

r cos(θ) En utilisant l’identification Ψ on d´eduit que tout nombre complexe z ∈ C peut ˆetre d´efini en fonction des coordonn´ees polaires par la formule suivante, z =| z | (cos(θ) + i sin(θ)) dite pr´esentation du nombre complexe z en coordonn´ees polaires. Dans le reste de chapitre l’angle θ sera not´e arg(z) ∈ [0, 2π[ et sera appel´e argument du nombre complexe z. Notons aussi que l’expression polaire d’un nombre complexe z peut ˆetre ´ecrire sous forme exponentielle comme suit z =| z | ei.arg(z)

o` u

ei.arg(z) = cos(arg(z)) + i sin(arg(z))

et dont la justification sera faite dans la section 6.4 de ce chapitre. Sur l’ensemble des nombres complexes C on d´efinit une loi de composition interne additive, ∀a + ib, x + iy ∈ C,

(a + ib) + (x + iy) = (a + x) + i(b + y)

et on d´efinit aussi une loi interne multiplicative par l’expression ∀a + ib, x + iy ∈ C,

(a + ib) · (x + iy) = (ax − by) + i(ay + bx)

Il est clair que l’addition des nombres complexes s’interpr`ete dans le plan R2 comme l’addition ordiaire des vecteurs. Pour comprendre la signification g´eom´etrique de la multiplication de deux nombres complexes a = α + iβ et z = x + iy appliquons l’identification Ψ sur le produit a·z : ! ! α −β x Ψ(a · z) = (αx − βy, αy + βx) ⇐⇒ Ψ(a · z) = · β α y Ainsi, ` a partir de cette expression matricielle du produit a · z ∈ C on d´eduit que le point Ψ(a · z) s’obtient ` a partir du point Ψ(z) moyennant la simulitude qui est compos´ee par la p β rotation dir`ecte d’angle θ = arctg( ) et de l’homot´etie de rapport λ = α2 + β 2 . α A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

Au tours du plan complexe C

7

b

b

a·z

a z b

L’addition et la multiplication des nombres complexes induisent sur l’ensemble des nombres complexes C la structure alg´ebrique de corps commutatif o` u le nombre complexe nul est neutre pour l’addition tandis que le nombre complexe 1 = 1 + i0 est neutre pour la multiplication. Tout nombre complexe non nul, x + iy ∈ C∗ , poss`ede un inverse relativement ` a la multiplmication donn´e par l’expression (x + iy)−1 =

x2

x y −i 2 2 +y x + y2

Rappelons aussi que ` a chaque nombre complexe z ∈ C on associe un nombre complexe conjugu´e d´efinit par l’expression z ∈ C 7−→ z¯ = ℜe(z) − iℑm(z) On v´erifie facilement que la conjugaison des nombres complexes poss`ede les propri´et´es suivantes : 1. ∀z ∈ C,

z¯ = z ;

2. ∀z1 , z2 ∈ C,

z1 + z2 = z¯1 + z¯2 ;

3. ∀z1 , z2 ∈ C,

z¯1 · z¯2 = z1 · z 2 ;

z¯ · z ∈ R+ ; z¯ 5. z ∈ C∗ , z −1 = ; z · z¯ 6. z ∈ R ⇐⇒ z¯ = z ; 1 1 7. ∀z ∈ C, ℜe(z) = (z + z¯) et ℑm(z) = (z − z¯). 2 2i 4. ∀z ∈ C,

1.1.2

Topologie de la droite complexe

Dans ce paragraphe, on va transporter les ´el´ements de la topologie euclidi`enne de R2 sur le plan complexe C via l’identification Ψ : C → R2 . D´ efinition 1. Soit z ∈ C. Le nombre r´eel positif d´efinit par l’expression | z |:=

√

z · z¯ =

s’appelle module du nombre complexe z. A. Bouarich

p

(ℜe(z))2 + (ℑm(z))2

Introduction ` a l’analyse complexe

8

Fonctions d’une variable complexe holomorphes

Il est facile de v´erifier que la fonction, | · |: C → R+ , poss`ede les propri´et´es suivantes : 1. ∀z ∈ C,

| ℜe(z) |6| z | et | ℑm(z) |6| z | ;

2. ∀z ∈ C,

| z¯ |=| z | ;

3. | z |= 0

⇐⇒

z = 0;

4. ∀z1 , z2 ∈ C,

| z1 · z2 |=| z1 | · | z2 | ;

5. ∀z1 , z2 ∈ C,

| z1 + z2 |6| z1 | + | z2 |.

Notons que les propri´et´es 3), 4) et 5) montrent que la fonction | · |: C → R+ d´efinit une norme sur le plan complexe C vu comme espace vectoriel r´eel. Donc, ` a la norme | · | on peut associer une distance en posant pour tous les ´el´ements z = x + iy et ω = α + iβ ∈ C, p d(z, ω) :=| z − ω |= (x − α)2 + (y − β)2 En effet, en utilisant l’identification d’identification Ψ : C → R2 on voit que la distance d(z, ω) n’est autre que la distance enclidi`enne de R2 qui mesure la distance euclidienne entre les points Ψ(z) et Ψ(ω). En particulier, on d´eduit que la norme | z |= d(z, 0) (le module) n’est autre que la distance euclidi`enne s´eparant l’origine Ψ(0) du point Ψ(z). Avec la distance d : C × C → R+ on red´efinit sur le plan complexe C quelques ´el´ements topologiques d´ej` a d´efinis en analyse II sur les espaces euclidiens Rm . 1. Le disque ouvert de centre z0 ∈ C et de rayon R > 0 est d´efini dans C par D(z0 , R) = {z ∈ C ; | z − z0 |< R} 2. Le disque ferm´e de centre z0 ∈ C et de rayon R > 0 est d´efini dans C par D(z0 , R) = {z ∈ C ; | z − z0 |6 R} 3. On dira qu’une suite de nombres complexes zn ∈ C converge vers a ∈ C si (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N)(∀n ∈ N),

n > n0

=⇒

| zn − a |< ε

Le nombre complexe a s’appelle la limite de la suite de nombres complexes zn . La limite de zn quand il existe elle est unique et se note a = lim zn . n→+∞

4. On dira qu’une partie non vide F ⊆ C est ferm´ee dans (C, | · |) si toute suite d’´el´ements zn ∈ F qui converge vers a ∈ C implique que a ∈ F. 5. On dira qu’une partie non vide U ⊆ C est ouverte dans (C, | · |) si son compl´ementaire C \ U est ferm´e dans (C, | · |). 6. On dira que la partie non vide V ⊆ C est un voisinage du point z0 ∈ V s’il existe un r´eel r > 0 tel que le disque ouvert D(z0 , r) ⊆ V. 7. On dira qu’une partie Ω ⊆ C est connexe si Ω ne peut pas ˆetre contenu dans la r´eunion disjointe de deux ouverts de C. C’est-` a-dire, si U1 et U2 sont deux ouverts de C tels que U1 ∩ U2 = ∅ et Ω ⊆ U1 ∪ U2 =⇒ U1 = ∅ ou U2 = ∅ Autrement dit, on aura l’une des deux possibilit´es suivantes :

A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

Limite et continuit´e des fonctions ` a une variable complexe

9

– soit que Ω ⊆ U1 et Ω ∩ U2 = ∅ ; – ou soit que Ω ⊆ U2 et Ω ∩ U1 = ∅. Exemple 1. Le plan complexe C, les disques ouverts (ou ferm´es), les rectangles, les segments de droites et les droites sont connexes dans le plan complexe C. Par contre, la r´eunion de deux droites parall`eles, la r´eusion de disques disjoints, la r´eunion disjoints de deux cercles concentriques ne sont pas connexe dans C. Exercice 1. Pour toute partie non vide A ⊆ C on pose c(A) = {¯ z ∈ C ; z ∈ A}.

1) D´emontrer qu’une partie A ⊆ C est ferm´ee (resp. ouverte) si et seulement si c(A) est ferm´ee (resp. ouverte). 2) D´emontrer que si A ⊆ C est un voisinage de z0 ∈ A alors la partie c(A) est un voisinage du conjugu´e z¯0 . 3) D´emontrer qu’une partie A ⊆ C est connexe si et seulement si c(A) est connexe.

1.2

Limite et continuit´ e des fonctions ` a une variable complexe

´ Soit Ω ⊆ C un sous-ensemble non vide. Etant donn´ee une fonction f : Ω → C on lui associe deux fonctions r´eelles en posant u := ℜe(f ) : Ω −→ R

et

v := ℑm(f ) : Ω −→ R

appel´ee respectivement la partie r´eelle et la partie imaginaire de f (z). Donc, une fonction `a valeur complexe qui d´epend d’une seule variable complexe peut ˆetre vue comme ´etant une application d´efinie sur Ω ` a valeur dans R2 qui d´epend de deux variables r´eelles comme il est illustr´e par le diagramme commutatif suivant, (u,v)

Ψ(Ω) −→ R2 Ψ−1 ↓ ↓ Ψ−1 Ω

f

−→

C

o` u Ψ : C −→ R2 d´esigne l’application d’identification. Le diagramme commutatif pr´ec´edent est ´equivalent ` a l’expression suivante : ∀z ∈ Ω,

f (ℜe(z) + iℑm(z)) = u(ℜe(z), ℑm(z)) + iv(ℜe(z), ℑm(z))

Dans le reste de ce paragraphe, on va examiner les questions de limite et de continuit´e pour les fonctions complexes ` a une variable complexe et on comparera ces notions avec le cas des applications qui d´ependent de deux variables r´eelles. Quant ` a la question de d´erivabilit´e des fonctions `a une variable complexe elle sera ´etud´ee dans la prochaine section. D´ efinition 2. Soient Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction. On dira que f (z) tend vers un nombre complexe L ∈ C quand z ∈ Ω tend vers z0 ∈ C si, (∀ε > 0)(∃η > 0)(∀z ∈ Ω), A. Bouarich

| z − z0 |< η

=⇒

| f (z) − L |< ε.

Introduction ` a l’analyse complexe

10

Fonctions d’une variable complexe holomorphes

Comme pour le cas des fonctions r´eelles ` a une ou plusieurs variables r´eelles on v´erifie que la limite de f (z) quand il existe au point z0 elle est unique et se note lim f (z) = L. z→z0

Proposition 1. La fonction f (z) tend vers le nombre complexe L = a + ib au point z0 = x0 + iy0 si et seulement, si les parties r´eelle et imaginaire de f (z) tendent respectivement vers a et b au point (x0 , y0 ). D´emonstration. Observer que si z = x+iy et f (z) = u(x, y)+iv(x, y) on obtient les in´egalit´es : | u(x, y) − a |6| f (z) − L | et | v(x, y) − b |6| f (z) − L |. Si les limites lim f (z) et lim g(z) existent dans C on v´erifie qu’on a les formules suivantes, z→z0

z→z0

1. lim (f (z) + g(z)) = lim f (z) + lim g(z) ; z→z0 z→z0 z→z0 2. lim f (z)g(z) = lim f (z) lim g(z) ; z→z0

z→z0

3. si lim g(z) 6= 0 alors lim z→z0

z→z0

z→z0

lim f (z) f (z) z→z0 = . g(z) lim g(z) z→z0

Proposition 2. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction. La fonction f (z) poss`ede une limite L ∈ C au point a ∈ C si et seulement, si pour toute suite zn ∈ C qui converge vers le point a, lim f (zn ) = L. n→+∞

Exercice 2. D´emontrer la proposition. z n’a pas de limite au point a = 0 parce que si z¯ 1 pour tout r´eel θ ∈ [0, 2π] fix´e on consid`ere la suite de nombres complexes, zn = eiθ , on aura n zn lim zn = 0 tandis que la limite lim f (zn ) = lim = e2iθ d´epend de θ. n→+∞ n→+∞ n→+∞ z ¯n Exemple 2. La fonction z ∈ C∗ 7−→ f (z) =

D´ efinition 3. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction. On dira que f (z) est continue au point z0 ∈ Ω si la limite lim f (z) = f (z0 ) ie. : z→z0

(∀ε > 0)(∃η > 0)(∀z ∈ Ω),

| z − z0 |< η

=⇒

| f (z) − f (z0 ) |< ε.

Proposition 3. La fonction f (z) est continue au point z0 = x0 + iy0 si et seulement si ses parties r´eelle et imaginaire sont continues au point (x0 , y0 ). D´emonstration. Observer que si pour tout z = x + iy on ´ecrit f (z) = u(x, y) + iv(x, y) on obtient, | u(x, y) − u(x0 , y0 ) |6| f (z) − f (z0 ) | et | v(x, y) − v(x0 , y0 ) |6| f (z) − f (z0 ) |. En appliquant les formules de calcul des limites des fonctions complexes ` a une variable complexe on d´eduit que si les fonctions f et g : Ω → C sont continues alors leur somme f + g, f leur produit f g et leur quotient sont continues sur leurs domaines de d´efinition respectif. g Exemple 3. Les fonctions suivantes sont continues sur leurs domaines de d´efiition : 1. z 7−→ z¯ = x − iy, z 7−→ z n = (x + iy)n ; 1 z¯ x y 2. z 7−→ = = 2 −i 2 ; 2 2 z |z| x +y x + y2 A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

Limite et continuit´e des fonctions ` a une variable complexe

3. z 7−→

11

1 z x y = = 2 +i 2 . 2 2 z¯ |z| x +y x + y2

parce que leurs parties r´eelles et imaginaires sont continues sur leurs domaines de d´efinition respectifs. Proposition 4. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction. Alors, pour tout point a ∈ Ω les propositions suivantes sont ´equivalentes : 1. La fonction f (z) est continue au point a ∈ Ω. 2. Si zn ∈ Ω est une suite qui converge vers a ∈ Ω alors la suite image f (zn ) converge vers f (a). Proposition 5. Pour qu’une fonction f : C → C soit continue il faut et il suffit que l’image inverse par f (z) de tout ouvert (resp. ferm´e) de C soit un ouvert (resp. ferm´e) de C. Exercice 3. D´emontrer les deux propositions pr´ec´edentes. Proposition 6. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction continue. Si une partie non vide Ω′ ⊆ Ω est connexe alors son image f (Ω′ ) est connexe dans C. D´emonstration. Soit U et U′ deux ouverts de C tels que U ∩ U′ = ∅ et f (Ω′ ) ⊆ U ∪ U′ .

Notons que puisque la fonction f (z) est continue il s’ensuit que f −1 (U) et f −1 (U′ ) sont ouverts dans C et sont disjoints parce que U ∩ U′ = ∅

=⇒

f −1 (U) ∩ f −1 (U′ ) = ∅

Ainsi, comme la partie Ω′ est connexe et telle que Ω′ ⊆ f −1 (f (Ω′ )) ⊆ f −1 (U) ∪ f −1 (U′ ) on aura par exemple

Ω′ ⊆ f −1 (U)

et

Ω′ ∩ f −1 (U′ ) = ∅

=⇒

f (Ω′ ) ⊆ U

et

f (Ω′ ) ∩ U′ = ∅

Par cons´esquent, la partie image f (Ω′ ) est connexe dans C. Exercice 4. D´emontrer que si f : C → C est une fonction continue alors le sous-ensemble Ω = {z ∈ C ; f (z) 6= 0} est un ouvert. Exercice 5. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction continue. D´emontrer que si au point z0 ∈ Ω, f (z0 ) 6= 0 alors il existe un r´eel r > 0 tel que le disque ouvert | f (z0 ) | D(z0 , r) ⊆ Ω et pour tout z ∈ D(z0 , r) on a | f (z) |> . 2 Exercice 6. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction continue. D´emontrer que les fonctions suivantes sont continues, z ∈ Ω 7−→ f (z), A. Bouarich

z ∈ Ω 7−→ f (¯ z ),

z ∈ Ω 7−→ f (¯ z) Introduction ` a l’analyse complexe

12

Fonctions d’une variable complexe holomorphes

1.3 1.3.1

C-Diff´ erentiabilit´ e des fonctions ` a une variable complexe Applications C-lin´ eaires de C dans C

Rappelons que le corps des nombres complexes C on peut le voir soit comme un espace vectoriel sur R de dimension deux, ou soit comme un espace vectoriel sur C lui mˆeme dans ce cas sa dimension complexe ezst ´egale ` a un ie. : dimR C = 2

et

dimC C = 1

Lorsque le corps C est vu comme un R-espace vectoriel sa base canonique est constitu´ee par les nombres complexes {1, i}. Donc, grˆ ace ` a la base canonique {1, i} qu’on pourra d´ecomposer tout nombre complexe z ∈ C en partie r´eelle et partie imaginaire z = x × 1 + y × i.

Lorsque C est vu comme un C-espace vectoriel dans ce cas sa base canonique est constitu´ee par l’´el´ement neutre de la multiplication {1}. Ceci se traduit par le fait que chaque nombre complexe z ∈ C s’´ecrit z = z × 1. Le fait de voir le corps des nombres complexes C soit comme un R-espace vectoriel ou soit comme un C-espace vectoriel divise l’esnemble des applications lin´eaires A:C→C en deux classes d’applications : 1. Applications R-lin´eaires : – ∀z1 , z2 ∈ C, A(z1 + z2 ) = A(z1 ) + A(z2 ) ; – ∀z ∈ C, ∀λ ∈ R, A(λ · z) = λA(z). 2. Applications C-lin´eaires : – ∀z1 , z2 ∈ C, A(z1 + z2 ) = A(z1 ) + A(z2 ) ; – ∀z ∈ C, ∀λ ∈ C, A(λ · z) = λA(z). Notons que puisque R ⊂ C il en r´esulte que toute application C-lin´eaire A : C → C est R-lin´eaire et on a z ∈ C,

A(z) = A(z × 1) = zA(1)

o` u

A(1) ∈ C

Ainsi, si on pose a = A(1) on voit que l’application C-lin´eaire A : C → C a pour expression, z ∈ C,

A(z) = a · z

Maintenant, si on regarde l’application C-lin´eaire A : C → C comme ´etant R-lin´eaire alors en munissant le plan complexe C par sa base canonique {1, i} on conclut que pour tout nombre complexe z = x + iy on obtient : A(x + iy) = a · z = (α + iβ) · (x + iy) = αx − βy + i(xβ + αy) ! ! α −β x = · β α y A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

C-Diff´erentiabilit´e des fonctions ` a une variable complexe

13

Donc, relativement ` a base canonique {1, i} du plan complexe C la matrice r´eelle d’une application C-lin´eaire A : C → C est donn´ee par ! α −β o` u α + iβ = A(1) = a β α Inversement, consid´erons une application R-lin´eaire A : C → R et munissons le plan complexe C par sa base canonique {1, i}. Donc, les colonnes de la matrice de l’application R-lin´eaire relativement ` a la base {1, i} sont ´egales aux vecteurs A(1) et A(i). Autrement dit, si on pose A(1) = α + iβ et A(i) = γ + iλ on aura ! α γ β λ Ainsi, si on veut que l’application A : C → R soit C-lin´eaire on aura en particulier A(i) = iA(1)

=⇒

γ + iλ = i(α + iβ)

=⇒

γ = −β

et

λ=α

Par cons´equent, pour qu’une application R-lin´eaire A : C → C soit C-lin´eaire il faut et il suffut que sa matrice r´eelle relativement ` a la base canonique {1, i} soit de la forme ! ! α γ α −β = o` u α + iβ = A(1) β λ β α Proposition 7. Soit A : C → C une application C-lin´eaire. Relativement ` a la base canonique {1, i} du corps des nombres complexes C on a les propri´et´es suivantes : ! α −β 1. La matrice r´eelle de l’application A est ´egale ` a o` u α + iβ = A(1). β α 2. Le d´eterminant de la matrice r´eelle de l’application A est ´egal ` a | A(1) |2 = α2 + β 2 > 0.

3. L’application A est inversible si et seulement si A(1) 6= 0.

En cons´equence, l’ensemble des matrices des applications C-lin´eaires A : C → C est un corps en bijection canonique avec le corps des nombres complexes C ie. : ! α −β { ; α + iβ ∈ C} ≃ C β α Exemple 4. Consid´erons l’application d´efinie par A: C → C z 7−→ i¯ z ¯ z¯) = λA(z), l’application A est donc R-lin´eaire. Puisque pour tout r´eel λ on a A(λz) = i(λ ∗ Mais, puisque pour tout z ∈ C on a : A(iz) = i(¯i z¯) = z¯

et

iA(z) = i(i¯ z ) = −¯ z

=⇒

A(iz) 6= iA(z)

on en d´eduit que l’application A n’est pas C-lin´eaire. Notons aussi que si on munit le plan complexe C par la base canonique {1, i} on voit que ! 0 1 la matrice r´eelle de l’application R-lin´eaire A est ´egale ` a et que son d´eterminant 1 0 D´et(A) = −1. Cette remarque nous donne une confirmation matricielle du fait que A n’est pas C-lin´eaire. A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

14

Fonctions d’une variable complexe holomorphes

1.3.2

Fonctions holomorphes

D´ efinition 4. Soient Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction. On dira que f (z) f (z) − f (z0 ) est C-d´erivable au point z0 ∈ Ω si le taux d’accroissement admet une limite z − z0 dans C quand z ∈ Ω \ {z0 } tend vers z0 . La limite lim

z→z0 z6=z0

f (z) − f (z0 ) z − z0

quand il existe elle est unique, elle s’appelle d´eriv´ee de la fonction f (z) au point z0 et se note df (z0 ). f ′ (z0 ) ou dz Proposition 8. Si la fonction f : Ω → C est d´erivable au point z0 ∈ Ω alors elle est continue au point z0 . D´emonstration. Remarquer que pour tout nombre complexe z ∈ Ω \ {z0 } on peut ´ecrire f (z) − f (z0 ) =

f (z) − f (z0 ) × (z − z0 ) z − z0

f (z) − f (z0 ) tend vers f ′ (z0 ) quand z − z0 tend vers z − z0 z´ero on aura lim f (z) = f (z0 ). Donc, f (z) est continue au point z0 . et ainsi comme le taux d’acroissement z→z0

Dans la suite de ce chapitre s’il n’y a pas un risque de confusion nous dirons d´erivable pour d´esigner une fonction qui est C-d´erivable. D´ efinition 5. On dira que la fonction f : Ω → C est holomorphe au point z0 ∈ Ω si f est d´erivable sur un voisinage V ⊆ Ω de z0 . Notons que si f : Ω → C est une fonction holomorphe on lui associe une fonction d´eriv´ee f ′ : Ω → C qui envoit z ∈ Ω sur la d´eriv´ee f ′ (z).

Comme pour le cas des fonctions ` a une variable r´eelle on v´erifie que si f et g sont holomorphes sur un ouvert non vide Ω ⊆ C on aura les formules de d´erivations suivantes, 1. (f + g)′ = f ′ + g′ , 2. (f g)′ = f ′ g + f g′ , f ′ f ′ g − f g ′ 3. = , g (g)2 4. (f ◦ g)′ = (f ′ ◦ g)g′ ,

5. si g est holomorphe sur un ouvert non vide Ω′ tel que g(Ω′ ) ⊆ Ω alors la fonction compos´ee f ◦ g est holomorphe sur Ω′ et sa fonction d´eriv´ee (f ◦ g)′ = (f ′ ◦ g)g′ . Proposition 9. Soient Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction. Alors les applications suivantes sont ´equivalentes, 1. La fonction f est d´erivable au point z0 ∈ Ω. 2. Il existe un nombre complexe λ ∈ C qui satisfait ` a la propri´et´e suivante : (∀ε > 0)(∃η > 0)(∀z ∈ Ω), | z − z0 |< η =⇒ | f (z)− f (z0 )− f ′ (z0 )·(z − z0 ) |< ε | z − z0 | A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

C-Diff´erentiabilit´e des fonctions ` a une variable complexe

15

3. Il existe une application A : C → C qui est C-lin´eaire et telle que (∀ε > 0)(∃η > 0)(∀z ∈ Ω), | z − z0 |< η =⇒ | f (z) − f (z0 ) − A(z − z0 ) |< ε | z − z0 | D´emonstration. 1) =⇒ 2) Il suffit qu’on ´ecrive la d´efinition de la limite pour lim z→z

0 z6=z0

f (z) − f (z0 ) =λ z − z0

tout en utilisant les quantificateurs universels logiques. 2) =⇒ 3) Remarquer que si pour tout z ∈ C on pose A(z) = f ′ (z0 ) · z on obtient une application C-lin´eaire et ainsi on pourra r´eecrire 2) en utilisant l’application A(z). 3) =⇒ 1) Observer que puisque l’application A : C → C est C-lin´eaire on aura pour tout z ∈ C, A(z) = A(1)z, donc en portant A(z) dans la proposition 3) on en d´eduit que la d´eriv´ee a A(1) = f ′ (z0 ). de f (z) au point z0 est ´egale ` D´ efinition 6. Soient Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction d´erivable au point z0 ∈ Ω. L’application C-lin´eaire df (z0 ) : C −→ C ′ u 7−→ f (z0 ) · u s’appelle diff´erentielle de f (z) au point z0 . Notons que puisque l’application identique z 7−→ z est holomorphe et sa fonction d´eriv´ee est ´egale ` a la constante un donc sa diff´erentielle dz est l’application identique ie. : dz : C −→ C u 7−→ u Ainsi, suite ` a cette remarque on pourra exprimer la diff´erentielle de toute fonction holomorphe f (z) par l’expression classique rencontr´ee au niveau des fonctions r´eelles ` a une seule variable r´eelle, df (z) = f ′ (z) · dz

⇐⇒

∀u ∈ C,

df (z)(u) = f ′ (z)dz(u) = f ′ (z)u

Observons que si on pose f ′ (z0 ) = a+ib ∈ C on d´eduit que la matrice r´eelle de la diff´erentielle df (z0 ) : C → C est donn´ee par l’expression a −b b a

!

Exemple 5. 1) La fonction g(z) =| z |2 est continue sur C et elle est d´erivable au point z0 = 0 parce que g(z) − g(0) z¯ z lim = lim = lim z¯ = 0 = g′ (0) z→0 z→0 z z→0 z z6=0

A. Bouarich

z6=0

Introduction ` a l’analyse complexe

16

Fonctions d’une variable complexe holomorphes

Observons que pour tous z ∈ C et a ∈ C∗ tels que z 6= a le taux d’acroissement g(z) − g(a) z−a

z¯ z − a¯ a z−a (z − a)¯ z + a(¯ z−a ¯) = z−a z¯ − a ¯ = z¯ + a z−a =

1 Donc, si on prend la suite de nombres complexes zn = a + eiθ avec n ∈ N∗ on obtient la n limite suivante g(zn ) − g(a) 1 lim = lim a ¯ + e−iθ + ae−2iθ = a ¯ + ae−2iθ n→+∞ n→+∞ zn − a n qui d´epend de l’angle θ, or ceci implique que pour tout a ∈ C∗ la fonction g(z) = z¯ z n’est pas d´erivable au point a 6= 0.

2) Pour tout entier n > 0 la fonction f (z) = z n est holomorphe sur C et sa d´eriv´ee au point z0 ∈ C est donn´ee par f ′ (z0 ) = =

lim z→z

0 z6=z0

z n − (z0 )n z − z0

lim (z n−1 + z n−2 z0 + · · · + z(z0 )n−2 + (z0 )n−1 )

z→z0

= n(z0 )n−1 Maintenant, puisque on sait que les monˆ omes z 7−→ z n sont holomorphes sur C on d´eduit que toutes les fonctions polynˆ omiales complexes P(z) ∈ C[z] sont holomorphes sur C. De mˆeme, P(z) on conclut que toute fraction polynˆ omiale ∈ C(z) est holomorphe sur son domaine Q(z) d´efinition qui est ´egal ` a l’ouvert U = {z ∈ C ; Q(z) 6= 0}. Exercice 7 (La r´egle de l’Hospital). Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide, et soient f et g : Ω → C deux fonctions d´erivables au point z0 ∈ Ω telles que f (z0 ) = g(z0 ) = 0. D´emontrer que si la f ′ (z) limite z→z lim ′ existe alors on a 0 g (z) z6=z 0

lim z→z

0 z6=z0

f (z) f ′ (z) = z→z lim ′ 0 g (z) g(z) z6=z 0

Th´ eor` eme 1 (Inverse local). Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction holomorphe. Si au point z0 ∈ Ω la d´eriv´ee f ′ (z0 ) 6= 0 alors il existe un r´eel tel que le disque ouvert D(z0 , r) ⊆ Ω de sorte que la restriction f| : D(z0 , r) → C soit injective et sa fonction inverse f|−1 : f (D(z0 , r)) → C est holomorphe. D´emonstration. Admise.

1.3.3

Conditions de Cauchy-Riemann

Th´ eor` eme 2 (Conditions de Cauchy-Riemann). Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction. Pour que f (z) soit C-d´erivable au point z0 ∈ Ω il faut et il suffit que la partie A. Bouarich

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C-Diff´erentiabilit´e des fonctions ` a une variable complexe

17

r´eelle u(x, y) et la partie imaginaire v(x, y) de f (z) soient diff´erentiables au point (x0 , y0 ) et que leurs d´eriv´ees partielles au point (x0 , y0 ) v´erifient les conditions suivantes dites de Cauchy-Riemann : ∂u ∂v (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) ∂x ∂y

et

∂u ∂v (x0 , y0 ) = − (x0 , y0 ) ∂y ∂x

D´emonstration. 1) Supposons que f est C-d´erivable au point z0 ∈ Ω. Donc, par d´efinition de la d´eriv´ee on peut ´ecrire (∀ε > 0)(∃η > 0)(∀z ∈ Ω), | z − z0 |< η =⇒ | f (z) − f (z0 ) − (z − z0 )f ′ (z0 ) |< ε | z − z0 | Observons que si on pose z = x + iy, z0 = x0 + iy0 et f ′ (z0 ) = a + ib ∈ C on voit que la partie r´eelle et la partie imaginaire du nombre complexe, E(z, z0 ) = f (z) − f (z0 ) − (z − z0 )f ′ (z0 ) sont donn´ees par les expressions suivantes, ( ℜe(E(z, z0 )) = u(x, y) − u(x0 , y0 ) − [(x − x0 )a − (y − y0 )b] ℑm(E(z, z0 )) = v(x, y) − v(x0 , y0 ) − [(x − x0 )b + (y − y0 )a] Ainsi, puisque | ℜe(E(z, z0 )) |6| E(z, z0 ) | et | ℑm(E(z, z0 )) |6| E(z, z0 ) | de la d´efinition de d´erivabilit´e de f au point z0 on voit que d`es que le nombre complexe z ∈ Ω v´erifie | z −z0 |< η on aura les deux in´egalit´es :

et

p | u(x, y) − u(x0 , y0 ) − [(x − x0 )a − (y − y0 )b] |6 ε (x − x0 )2 + (y − y0 )2 p | v(x, y) − v(x0 , y0 ) − [(x − x0 )b + (y − y0 )a] |6 ε (x − x0 )2 + (y − y0 )2

qui impliquent que u(x, y) et v(x, y) sont diff´erentiables au point (x0 , y0 ) et que leurs d´eriv´ees partielles respectives sont donn´ees au point (x0 , y0 ) par les expressions,   ∂u ∂v     (x0 , y0 ) = a (x0 , y0 ) = b ∂x ∂x et ∂u ∂v     (x0 , y0 ) = −b (x0 , y0 ) = a ∂y ∂y

Ainsi, en comparant les lignes de ces deux syst`emes on d´eduit que u(x, y) et v(x, y) v´erifient les conditions de Cauchy-Riemann au point (x0 , y0 ) ie. : ∂u ∂v (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) ∂x ∂y ∂u ∂v (x0 , y0 ) = − (x0 , y0 ) ∂y ∂x 2) La r´eciproque est ´evidente. Il suffit qu’on ´ecrive la d´efinition de diff´erentiabilit´e au point (x0 , y0 ) pour la partie r´eelle u(x, y) et la partie imaginaire v(x0 , y0 ) et grˆ ace au conditions de Cauchy-Riemann on en d´eduira la C-d´erivabilit´e de la fonction ` a variable complexe f (z). A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

18

Fonctions d’une variable complexe holomorphes

Corollaire 1. Si la fonction f (z) = u(x, y) + iv(x, y) est d´erivable au point z0 = x0 + iy0 par rapport ` a z alors sa d´eriv´ee est donn´ee par les expressions suivantes ∂u ∂u ∂v ∂v (x0 , y0 ) + i (x0 , y0 ) = −i (x0 , y0 ) + i (x0 , y0 ) f ′ (z0 ) = ∂x ∂x ∂y ∂y ∂u ∂u ∂v ∂v (x0 , y0 ) − i (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) + i (x0 , y0 ) = ∂x ∂y ∂y ∂x

Proposition 10. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction dont les partie ∂u ∂u r´eelle et imaginaire sont not´ees u(x, y) et v(x, y). Si les quatre d´eriv´ees partielles , , ∂x ∂y ∂v ∂v et sont continues au point (x0 , y0 ) et v´erifient les conditions de Cauchy-Riemann ∂x ∂y ∂v ∂u (x0 , y0 ) = (x0 , y0 ) ∂x ∂y

et

∂u ∂v (x0 , y0 ) = − (x0 , y0 ) ∂y ∂x

alors la fonction f (z) est d´erivable au point z0 = x0 + iy0 . D´emonstration. Remarquer que la continuit´e des d´eriv´ees partielles de u(x, y) et v(x, y) implique qu’elles sont diff´erentiables au point (x0 , y0 ), et puis appliquer le th´eor`eme pr´ec´edent. Exemple 6. 1) La fonction f (z) = z¯ est continue sur C mais puisque la partie r´eelle et la partie imaginaire de f (z) sont ´egales ` a ( u(x, y) = x ∂v ∂u (x, y) = 1 6= (x, y) = −1 =⇒ ∂x ∂y v(x, y) = −y on en d´eduit que la fonction f (z) = z¯ n’est pas d´erivable sur les points de C. 2) On d´efinit l’exponentielle d’un nombre complexe z = x + iy ∈ C par l’expression, ez = ex+iy = ex (cos(y) + i sin(y)) La fonction z 7−→ ez est holomorphe sur C car ses parties r´eelles et imaginaires sont de classe C ∞ et v´erifient les conditions de Cauchy-Riemann  ∂ ∂ (   (u(x, y)) = ex cos(y) = (v(x, y)) x u(x, y) = e cos(y) ∂x ∂y =⇒ ∂ ∂  v(x, y) = ex sin(y)  (u(x, y)) = −ex sin(y) = − (v(x, y)) ∂y ∂x

3) Les conditions de Cauchy-Riemann ne sont pas suffisantes pour assurer la d´erivabilit´e d’une fonction ` a une variable complexe. Par exemple, si on consid`ere la fonction  2  z si z 6= 0 f (z) = z¯  0 si z = 0

on obtient une fonction non d´erivable au point z0 = 0 parce que pour tout z 6= 0 le taux f (z) − f (0) z d’acroissement = n’a pas de limite quand z ∈ C∗ tend vers z´ero. Ce pendant, z−0 z¯ puisque la partie r´eelle u(x, y) et la partie imaginaire v(x, y) de f (z) sont ´egales ` a:  3 2  x − 3xy si (x, y) 6= (0, 0) u(x, y) = x2 + y 2  0 si (x, y) = (0, 0) A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

C-Diff´erentiabilit´e des fonctions ` a une variable complexe et

 2 3  3x y − y v(x, y) = x2 + y 2  0

19

si

(x, y) 6= (0, 0)

si

(x, y) = (0, 0)

on voit que leurs d´eriv´ees partielles sont donn´ees par  ∂u   (0, 0) =   ∂x et

 ∂u    ∂y (0, 0) =  ∂v   (0, 0) =   ∂x

∂v     ∂y (0, 0) =

lim

x→0 x6=0

lim

x→0 x6=0

u(x, 0) − u(0, 0) =1 x u(0, y) − u(0, 0) =0 y

v(x, 0) − v(0, 0) =0 x

lim

x→0 x6=0

lim

x→0 x6=0

v(0, y) − v(0, 0) = −1 y

et donc elles v´erifient les conditions de Cauchy-Riemann au point (0, 0), ∂v ∂u (0, 0) = − (0, 0) = 1 ∂x ∂y

∂u ∂v (0, 0) = (0, 0) = 0 ∂y ∂x

et

malgr´e que f (z) n’est pas d´erivable au point z0 = 0. Notons qu’en effet la partie r´eelle e de f (z) n’est pas diff´erentiable au point (0, 0) parce que si dans le rapport, ∂u ∂u u(x, y) − u(0, 0) − x (0, 0) − yx (0, 0) −4xy 2 ∂x p ∂x U(x, y) = = 2 (x + y 2 )3/2 x2 + y 2

on passe aux coordonn´ees polaires on obtient l’expression

U(r cos(θ), r sin(θ)) = −4 cos(θ) sin2 (θ) qui prouve que U(x, y) n’a pas de limite quand (x, y) tend vers (0, 0). L’exemple pr´ec´edent nous montre que dans le th´eor`eme 1, ` a cˆ ot´e des conditions de CauchyRiemann, l’hypoth`ese de diff´erentiabilit´e des parties r´eelle et imaginaire de f (z) est essentielle pour assurer la d´erivabilit´e de f (z). Exercice 8. Sur le plan complexe C on d´efinit une fonction ` a valeur complexe par :

f (z) =

 

0 z5  | z |4

si

z=0

si

z 6= 0

1) Montrer que la fonction f : C → C v´erifie les conditions de Cauchy-Riemann au point (0, 0). 2) La fonction f : C → C est-elle C-diff´erentiable au point (0, 0) ? A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

20

Fonctions d’une variable complexe holomorphes

Exercice 9. Soient Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction d´erivable.

1) Montrer que la matrice et le d´eterminant jacobiens de l’application f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y) sont donn´es au point (x0 , y0 ) ∈ Ω par, ∂u (x , y )  ∂x 0 0 J(f, (x0 , y0 )) =  ∂u − (x0 , y0 ) ∂y 

 ∂u (x0 , y0 )  ∂y  ∂u (x0 , y0 ) ∂x

et

Det J(f, (x0 , y0 )) =| f ′ (z0 ) |2

2) Montrer qu’en coordonn´ees polaires les conditions de Cuachy-Riemann s’´ecrivent sous la forme, 1 ∂v ∂v 1 ∂u ∂u = et =− ∂r r ∂θ ∂r r ∂θ Exercice 10. Soit Ω ⊆ C un ouvert convexe non vide et f : Ω → C une fonction holomorphe. D´emontrer que si l’une des fonctions suivantes u(x, y) = ℜe(f (z)), r(x, y) = | f (z) |,

v(x, y) = ℑm(f (z)), θ(x, y) = arg(f (z))

est contante alors f (z) est constante sur Ω.

1.3.4

C-diff´ erentiablit´ e d’ordre sup´ erieur

Les fonctions d´eriv´ees d’ordre supp´erieur ` a n > 1 d’une fonction holomorphes f : Ω → C se d´efinient en utilisant la formule de r´ecurrence, ∀z ∈ Ω,

′ f (n+1) (z) = f (n) (z)

Dans la section 3, on d´emontrera que toute fonction holomorphe est ind´efiniment d´erivable en tant que fonction ` a variable complexe. De plus, on d´emontrera que toute fonction holomorphe se d´eveloppe en une s´erie enti`ere au voisinage de chaque point de son domaine d’holomorphie. Ce r´esultat marque la diff´erence fondamentale entre les fonctions ` a une variable complexe holomorphes (ie. C-d´erivables) et les applications r´eelles ` a plusieurs variables r´eelles R-d´erivables. X Th´ eor` eme 3. Soit an (z − z0 )n une s´erie enti`ere de rayon de convergence R > 0. La n>0

fonction f (z) d´efinie sur le disque ouvert D(z0 , R) par la s´erie enti`ere z 7−→ f (z) :=

X

n>0

an (z − z0 )n

est holomorphe et sa d´eriv´ee est donn´ee premi`ere est donn´ee par la s´erie enti`ere z 7−→ f ′ (z) :=

X n>1

nan (z − z0 )n−1

En effet, la fonction f (z) est ind´efinement C-d´erivable et on a f (n) (z0 ) = n!an , ∀n ∈ N. A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

C-Diff´erentiabilit´e des fonctions ` a une variable complexe

21

D´emonstration. Il suffit qu’on donne une preuve pour le cas des s´eries enti`eres centr´ees au X X an z n et nan z n−1 ont le mˆeme point z0 = 0. Notons aussi que les deux s´eries enti`eres n>0

n>1

rayon de convergence R > 0, donc pour tout r´eel 0 < r < R ces deux s´eries enti`es convergent X normalement sur le disque ferm´e D(0, r), de plus la s´erie num´erique n | an | r n−1 converge. n>1

Observons que si pour z1 ∈ D(0, R) on calcul la diff´erence f (z) − f (z1 ) lorsque le nombre complexe z ∈ D(0, R) \ {z1 } on obtient f (z) − f (z1 ) z − z1

1 X an (z n − (z1 )n ) z − z1 n>0 X = an z n−1 + z n−2 z1 + · · · z(z1 )n−2 + (z1 )n−1 =

n>1

Ainsi, puisque pour | z |< r et | z1 |< r on a la mojoration an (z n−1 + z n−2 z1 + · · · z(z1 )n−2 + (z1 )n−1 ) < n | an | r n−1

et puisque la s´erie num´erique

X n>1

F(z) =

X n>1

n | an | r n−1 converge on en d´eduit que la fonction

an z n−1 + z n−2 z1 + · · · z(z1 )n−2 + (z1 )n−1

converge normalement sur le disque ferm´e D(0, r), donc la limite lim z→z

1 z6=z1

X f (z) − f (z1 ) = lim F(z) = nan (z1 )n−1 = f ′ (z1 ) z→z1 z − z1 n>1

Par cons´equent, la fonction f (z) est holomorphe sur le disque D(0, R).

1.3.5

Fonctions harmoniques

D´ efinition 7. Soit Ω ⊆ R2 un ouvert non vide. On dira que la fonction u : Ω → R est harmonique si elle est solution de l’´equation de Laplace : ∆u =

∂2u ∂2u + 2 =0 ∂x2 ∂y

Proposition 11. Soient Ω ⊆ R2 un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction holomorphe. Si les parties r´eelle et imagiaire de la fonction f (z) sont de classe C 2 sur Ω alors elles sont harmoniques. D´emonstration. Notons que puisque f (z) = u(x, y) + iv(x, y) est holomorphe sur Ω les fonctions u(x, y) et v(x, y) v´erifient les conditions de Cauchy-Riemann i.e. : ∀(x, y) ∈ Ω, A. Bouarich

∂u ∂v = ∂x ∂y

et

∂u ∂v =− ∂y ∂x Introduction ` a l’analyse complexe

22

Fonctions d’une variable complexe holomorphes

Ainsi, comme les fonctions u et v sont de classe C 2 on pourra ´ecrire ∀(x, y) ∈ Ω : ∂2u ∂x2 ∂2v ∂x2

= =

∂ ∂u = ∂x ∂x ∂ ∂v = ∂x ∂x

∂ ∂v ∂ ∂v ∂ ∂u = = − =⇒ ∆u = 0 ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂y ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂v − = − = − − =⇒ ∆v = 0 ∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂y

Donc, la partie r´eelle et la partie imaginaire de f (z) sont harmoniques sur Ω. D´ efinition 8. Soient Ω ⊆ R2 un ouvert non vide et u : Ω → R une fonction harmonique. Toute fonction v : Ω → R tel que le couple (u, v) v´erifie les conditions de Cauchy-Riemann s’appelle conjugu´ee harmonique de la fonction u. Proposition 12. Soient Ω ⊆ R2 un ouvert non vide et u : Ω → R une fonction harmonique. Au voisinage de chaque point z0 ∈ Ω la fonction u poss`ede une conjugu´ee harmonique qui est unique ` a une constante pr`es. D´emonstration. Observons que si pour tout (x, y) ∈ Ω on pose P = obtient une forme diff´erentielle sur Ω : ω = Pdx + Qdy =

∂u ∂u dx − dy ∂y ∂x

∂u ∂u et Q = − on ∂y ∂x

∂P ∂2u ∂2u ∂Q = = − = ∂y ∂y 2 ∂x2 ∂x

=⇒

qui est donc ferm´ee. Donc, d’apr`es le th´eor`eme de H. Poincar´e, pour tous (x0 , y0 ) ∈ Ω et r > 0 tr`es petit tel que le disque ouvert D((x0 , y0 ), r) ⊆ Ω la forme diff´erentielle ω = Pdx + Qdy est exacte sur D((x0 , y0 ), r) (car le disque est convexe). Autrement dit, il existe une fonction v(x, y) qui est de classe C 2 sur D((x0 , y0 ), r), unique ` a une constante pr`es et dont la diff´erentielle totale ∂v ∂v dv = dx + dy = ω ∂x ∂y

=⇒

 ∂v   ∂x ∂v   ∂y

∂u ∂y ∂u = Q = − ∂x = P =

Notons que le couple de fonctions (u, v) v´erifient les conditions de Cauchy-Riemann et que les deriv´ees partielles secondes de v(x, y) sont donn´ees par :  2 ∂ v    ∂x ∂2v    ∂y 2

∂2u ∂x∂y ∂2u = − ∂y∂x

=

=⇒

∆v = 0

Par cons´equent, sur le disque ouvert D((x0 , y0 ), r) ⊂ Ω la fonction v(x, y) est une conjugu´ee harmonique de la fonction u(x, y). Corollaire 2. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide. Une fonction u(x, y) de classe C 2 est harmonique si et seulement si elle est la partie r´eelle (ou imagiaire) d’une certaine fonction holomorphe sur un ouvert non vide Ω′ ⊆ Ω. A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

C-Diff´erentiabilit´e des fonctions ` a une variable complexe Exemple 7. V´erifions que la fonction u(x, y) =

23

x est harmonique sur R2 \ {(0, 0)} et x2 + y 2

cherchons sa conjugu´ee harmonique v(x, y). En effet, puisque pour tout (x, y) 6= (0, 0) on a ∂u y 2 − x2 = 2 ∂x (x + y 2 )2

=⇒

et ∂u −2xy = 2 ∂y (x + y 2 )2

=⇒

∂2u −2x(x2 + y 2 ) − 4x(x2 − y 2 ) −2x(3y 2 − x2 ) = = ∂x2 (x2 + y 2 )3 (x2 + y 2 )3 ∂2u −2x(x2 + y 2 ) + 8xy 2 −2x(−3y 2 + x2 ) = = ∂y 2 (x2 + y 2 )3 (x2 + y 2 )3

x est harmonique sur son domaine de d´efinition. x2 + y 2 Cherchons une fonction harmonique v(x, y) qui soit solution du syst`eme des ´equations aux d´eriv´ees partielles suivant :   y ∂v ∂u y 2 − x2    + ϕ(x)   v = − 2 = = 2 2 2 x + y2 ∂y ∂x (x + y ) =⇒ ∂v 2xy ∂v ∂u 2xy     = + ϕ′ (x) = − = 2  2 2 2 ∂x (x + y 2 )2 ∂x ∂y (x + y ) on conclut que la fonction u(x, y) =

y Ainsi, comme ϕ′ (x) = 0 on conclut que la fonction v(x, y) = − 2 +Cte est une conjugu´ee x + y2 x . harmonique de la fonction harmonique u(x, y) = 2 x + y2 Notons aussi que pour tout z = x + iy 6= 0 on peut ´ecrire que u(x, y) + iv(x, y) = = =

x −y +i 2 + iCte 2 +y x + y2 z¯ + iCte | z |2 1 + iCte z x2

Exercice 11. Soit f (z) une fonction holomorphe sur un ouvert non vide Ω ⊆ C.

1) Montrer que sur Ω on a les formules de d´erivations suivantes, h∂ 2 i2 h ∂ i2 1. + = | f ′ (z) | ; | f (z) | | f (z) | ∂x ∂y 2 2 ∂ ∂ 2. | f (z) | + | f (z) | = 4 | f ′ (z) |2 . ∂x2 ∂y 2 2) En d´eduire que sur l’ouvert {z ∈ Ω f (z) 6= 0} la fonction Log | f (z) | est harmonique. 3) Montrer que la fonction arg(f (z)) est harmonique sur son domaine de d´efinition.

4) En appliquant les formules ´etablies dans 1) d´emontrer que toute fonction homolomorphe sur Ω qui v´erifie | f (z) |=| z |2 +c2 est constante. Exercice 12. V´erifier que les fonctions suivantes sont harmoniques et trouver leurs fonctions harmoniques conjugu´ees, ex sin(y), A. Bouarich

Log(x2 + y 2 ),

x3 − 3xy 2 + x2 − y 2 − xy + x + y Introduction ` a l’analyse complexe

24

1.3.6

Fonctions d’une variable complexe holomorphes

D´ erivations complexes symboliques

Soit Ω ⊆ R2 un ouvert non vide et f : Ω → R une fonction de classe C 1 . Notons que si on pose z = x + iy ∈ C on pourra ´ecrire ∀(x, y) ∈ Ω,

f (x, y) = f (

z + z¯ z − z¯ , ) 2 2i

Ainsi, si pour tout point (x, y) ∈ Ω ⊆ C on pose F(z, z¯) := f (

z + z¯ z − z¯ , ) 2 2i

alors en interpr´etant z et z¯ comme ´etant des variables ind´ependants les r´egle de d´erivation d’une fonction compos´ee qui d´epend de plusieurs variables nous permet de d´eduire que les d´eriv´ees partielles de la fonction F(z, z¯) sont donn´ees par les expressions suivantes : ∂ (F(z, z¯)) = ∂z

∂f z + z¯ z − z¯ ∂ z + z¯ ∂f z + z¯ z − z¯ ∂ z − z¯ ( , ) ( )+ ( , ) ( ) ∂x 2 2i ∂z 2 ∂y 2 2i ∂z 2i 1 ∂f ∂f (x, y) − i (x, y) 2 ∂x ∂y 1 ∂ ∂ −i (f (x, y)) 2 ∂x ∂y ∂ 1 ∂ −i (F(z, z¯)) 2 ∂x ∂y

= = =

De la mˆeme fa¸con on trouve que ∂ (F(z, z¯))) = ∂ z¯ = = =

∂f z + z¯ z − z¯ ∂ z + z¯ ∂f z + z¯ z − z¯ ∂ z − z¯ ( , ) ( )+ ( , ) ( ) ∂x 2 2i ∂ z¯ 2 ∂y 2 2i ∂ z¯ 2i 1 ∂f ∂f (x, y) + i (x, y) 2 ∂x ∂y ∂ 1 ∂ +i (f (x, y)) 2 ∂x ∂y 1 ∂ ∂ +i (F(z, z¯)) 2 ∂x ∂y

Suite ` a ces calculs on d´eduit que les d´eriv´ees partielles par rapport aux variables complexes ind´ependants z et z¯ sont reli´ees aux d´eriv´ees partielles par rapport aux variables r´eelles ind´ependantes x et y par les formules suivantes : ∂ 1 ∂ ∂ = −i ∂z 2 ∂x ∂y

et

∂ 1 ∂ ∂ = +i ∂ z¯ 2 ∂x ∂y

Si maintenant f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y) est une fonction dont les composantes sont de classe C 1 on pourra alors d´efinir ses d´eriv´ees partielles par rapport aux variables complexes z et z¯ par les expressions suivantes : ∂f ∂u ∂v = +i ∂z ∂z ∂z

et

∂f ∂u ∂v = +i ∂ z¯ ∂ z¯ ∂ z¯

Proposition 13. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction holomorphe. Si u(x, y) = ℜe(f (z)) et v(x, y) = ℑm(f (z)) alors on a les formules suivantes, A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

C-Diff´erentiabilit´e des fonctions ` a une variable complexe

25

∂u 1 ∂u 1 = f ′ (z) et = f ′ (z) ; ∂z 2 ∂ z¯ 2 ∂v ∂v i ′ i = − f (z) et = f ′ (z) ; 2. ∂z 2 ∂ z¯ 2 1.

D´emonstration. Utiliser les conditions de Cauchy-Riemann. Corollaire 3. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction dont la partie r´eelle u(x, y) et la partie imaginaire v(x, y) sont diff´erentiables sur Ω. Alors, la fonction f (z) est ∂f holomorphe si et seulement si sa d´eriv´ee partielle = 0. ∂ z¯ Proposition 14. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction dont les parties r´eelle et imaginaire sont de classe C 2 . Alors, le Laplacien de la fonction f (z) est donn´e par la formule ∂2f ∂2f =4 ∆(f ) = 4 ∂z∂ z¯ ∂ z¯∂z D´emonstration. Notons que si u(x, y) est une fonction r´eelle de classe C 2 on aura 4

∂2u ∂ ∂u ∂u = 2 +i ∂z∂ z¯ ∂z ∂x ∂y ∂ ∂ ∂u ∂u = −i +i ∂x ∂y ∂x ∂y 2 2 2 ∂ u ∂ u ∂2u ∂ u + i − i + = ∂x2 ∂x∂y ∂y∂x ∂y 2 = ∆(u)

Donc, si les parties r´eelle et imaginaire de la fonction f (z) = u(x, y) + iv(x, y) sont de classe ∂2f ∂2u ∂2v ∂2f C 2 on aura, 4 =4 + 4i . D’o` u, 4 = ∆(u) + i∆(v) = ∆(f ). ∂z∂ z¯ ∂z∂ z¯ ∂z∂ z¯ ∂z∂ z¯ Corollaire 4. Une fonction r´eelle u(x, y) de classe C 2 est harmonique si et seulement si elle ∂2u est solution de l’´equation aux d´eriv´ees partielles, = 0. ∂z∂ z¯ ´ Corollaire 5 (Equation de Laplace). La solution g´en´erale de l’´equation de Laplace ∆(u(x, y)) = 0 s’´ecrit sous la forme, u(x, y) = F(z) + G(¯ z ), o` u F et G sont deux fonctions ` a deux variables 2 r´eelles de classe C . ´ Corollaire 6 (Equation de Poisson). Soit ρ(x, y) une fonction continue. La solution g´en´erale de l’´equation de Poisson, ∆(u(x, y)) = ρ(x, y) est ´egale ` a la somme u0 (x, y) + u(x, y) avec u0 (x, y) est une solution particuli`ere de l’´equation de Poisson et u(x, y) est une fonction harmonique arbitraire (ie. solution de l’´equation de Laplace). A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

26

Fonctions d’une variable complexe holomorphes

D´emonstration. Observer que si u0 et u sont des solutions de l’´equation de Poisson on aura, ∆(u0 ) = ∆(u) = ρ, donc ∆(u − u0 ) = 0. Donc, la solution g´en´erale de l’´equation de Poisson est la somme d’une solution particuli`ere et d’une fonction harmonique. Exemple 8. 1) D’apr`es le r´esultat du corollaire on voit que pour tout entier n > 1 le polynˆ ome de degr´e deux ` a deux variables, 1 [(x + iy)n + (x − iy)n ] 2 k=n k X π k n−k = cos((n − k) ) nx y 2

Hn (x, y) =

C

k=0

est une fonction harmonique. 2) Cherchons la solution g´en´erale de l’´equation de Poisson : ∆(u) = x + y Pour chercher une solution particuli`ere u0 (x, y) de l’´equation de Poisson ∆(u) = x + y il suffit qu’on remplace les coordonn´ees cart´esi`ennes x et y par les variables complexes z et z¯ ie. : ∆(u) = x + y

⇐⇒

4

∂2u 1 1 1 1 = (z + z¯) + (z − z¯) = (1 − i)z + (1 + i)¯ z) ∂z∂ z¯ 2 2i 2 2

Ainsi, par int´egration par rapport ` a z et z¯ on trouve qu’une solution particul`ere de l’´equation de Poisson ∆(u) = x + y est donn´ee par la fonction u0 (x, y) = =

1 1 (1 − i)z 2 z¯ + (1 + i)(¯ z )2 z 16 16 1 3 (x + x2 y + xy 2 + y 3 ) 8

Donc, la solution g´en´erale de l’´equation de Poisson ∆(u) = x + y est la somme 1 u(x, y) + (x3 + x2 y + xy 2 + y 3 ) 8 avec u(x, y) est une fonction harmonique arbitraire. Exercice 13. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction dont les parties r´eelle et imaginaire sont de classe C 1 . D´emontrer que ∂ ∂ 1. (f (z)) = (f (z)) ; ∂z ∂ z¯ ∂ ∂ 2. (f (z)) = (f (z)) ; ∂ z¯ ∂z 3. ∆(f (z)) = ∆(f (z)). Exercice 14. Montrer que si f (z) est holomorphe sur l’ouvert Ω ⊆ C alors la fonction g(z) = f (¯ z ),

∀z ∈ Ω = {¯ z ∈ C ; ∀z ∈ Ω}

est holomorphe. A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

Exemples de fonctions ´el´ementaires complexes holomorphes

Exercice 15. Trouver la d´eriv´ee seconde mixte 4 | z |p ,

ep|z| ,

∂2 = ∆ des fonctions suivantes : ∂z∂ z¯

Log(1+ | z |2 ),

Log | z − a |,

27

arctg(

1+ | z | ) 1− | z |

o` u p ∈ R et a ∈ C sont des constantes. Exercice 16. Resoudre les ´equations ´equations de Poisson suivantes : 1. ∆(u) = x3 + y 3 ; 2. ∆(u) = xy 2 ; 3. ∆(u) = sin(x + y) ;

1.4 1.4.1

Exemples de fonctions ´ el´ ementaires complexes holomorphes L’exponentielle complexe z 7−→ ez

D´ efinition 9. On d´efinit l’exponentielle d’un nombre complexe z ∈ C par l’expression z = x + iy 7−→ z z := ex (cos(y) + i sin(y)) Si on d´esigne par u(x, y) = ex cos(y) la partie r´eelle et par v(x, y) = ex sin(y) la partie imaginaire de l’exponentielle complexe ez on obtient deux fonctions de classe C ∞ sur R2 , de plus, comme en tout point de R2 on a les conditions de Cauchy-Riemann, ∂u ∂v = ∂x ∂y

∂u ∂v =− ∂y ∂x

et

on d´eduit alors que la fonction exponentielle z 7−→ ez est holomorphe sur C.

La proposition suivante nous donnera le d´erveloppement de l’exponentielle complexe en s´erie enti`ere. Proposition 15. L’exponentielle de tout nombre complexe z ∈ C est ´egal ` a la somme de la s´erie enti`ere : z2 z3 zn ez = 1 + z + + + ··· + + ··· 2! 3! n! D´emonstration. 1) Notons que d’pr`es la r`egle de D’Alembert le rayon de convergence de la z2 z3 zn s´erie enti`ere 1 + z + + + · · · + + · · · est infini, donc sa somme f (z) d´efinie une fonction 2! 3! n! holomorphe sur le plan comlplexe C dont la fonction d´eriv´ee v´erifie la relation ∀z ∈ C,

f ′ (z) = f (z)

2) Notons aussi que si on porte le nombre complexe z = x+ iy dans l’expression de la fonction f (z) on obtient une application F : R2 → C d´efinie par une s´erie ` a deux variables, F(x, y) = f (x + iy) =

X 1 (x + iy)n n! n>0

A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

28

Fonctions d’une variable complexe holomorphes

L’application F(x, y) est diff´erentiable sur le plan r´eel R2 et ses d´eriv´ees partielles premi`eres v´erifient en chaque point (x, y) ∈ R2 , ∂F (x, y) = F(x, y) ∂x

et

∂F (x, y) = iF(x, y) ∂y

Ainsi, on remarque que si pour tout x et y ∈ R on a pose, G(x, y) = F(x, y)e−x e−iy on obtient une application, G : R2 → C qui est diff´erentiable et dont les d´eriv´ees partielles premi`eres sont nulles : ∂G (x, y) = ∂x ∂G (x, y) = ∂y

∂F (x, y)e−x e−iy − F(x, y)e−x e−iy = 0 ∂x ∂F (x, y)e−x e−iy − iF(x, y)e−x e−iy = 0 ∂y

Donc, puisque le plan R2 est convexe la fonction G(x, y) est constante, et comme on a G(0, 0) = 1 on en d´eduit que pour tout (x, y) ∈ R2 , F(x, y) = ex eiy . Autrement dit, pour tout X zn nombre complexe z = x + iy ∈ C la somme f (z) = = ex eiy = ez . n! n>0 La d´efinition de l’exponentielle complexe et la proposition pr´ec´edente permettent de d´eduire qu’on a les propri´et´es suivantes : dez = ez ; dz 2. exp(C) := {ez ; ∀z ∈ C} = C∗ ; 1. ∀z ∈ C,

′

3. ∀z, z ′ ∈ C, ez+z = ez ez ′ ; 1 4. ∀z ∈ C, e−z = z ; e 5. ∀k ∈ Z, ∀z ∈ C, ez+2kπi = ez ;

1.4.2

Logarithmes complexes z 7−→ Log(z)

Au paragraphe pr´ec´edent on a vu que l’exponentielle complexe z 7−→ ez est holomorphe sur C, 2πi-p´eriodique, non injective et son image exp(C) = C∗ . Donc, pour tout nombre complexe z ∈ C∗ il existe au moins un nombre complexe u(z) ∈ C solution de l’´equation eX = z. D´ efinition 10. Soient z ∈ C∗ et u ∈ C. Si l’exponentielle complexe eu = z on dira que le nombre complexe u ∈ C est un logarithme de z ∈ C∗ . Il est facille de v´erifier que pour tout nombres complexes z ∈ C∗ si on utilise l’expression de l’exponentielle complexe (i.e. ex+iy = ex eiy ) on pourra trouver un logarithme complexe u = x + iy ∈ C de z tel que u = Log(| z |) + iarg(z) A. Bouarich

o` u

0 6 arg(z) < 2π Introduction ` a l’analyse complexe

Exemples de fonctions ´el´ementaires complexes holomorphes

29

Notons que si pour tout nombre complexe z ∈ C∗ on d´efinit suppose que son argument arg(z) ∈ [0, 2π[ on obtient une correspondance C∗ −→ C z 7−→ Log(| z |) + iarg(z) dont la partie r´eelle Log(| z |) est diff´erentielle sur C∗ tandis que la partie imaginaire arg(z) n’est pas continue sur la demi-droite r´eelle R∗+ . Pour confirmer ce fait observons que si pour ε > 0 fix´e on consid´erons une application continue γ :] − ε, ε[→ C∗ telle que γ(0) = 1

et

∀t > 0, ℑm(γ(t)) > 0 resp.

∀t < 0, ℑm(γ(t)) < 0

(voir la figure) on voit que les deux limites suivantes sont diff´erentes : lim (Log(| γ(t) |) + iarg(γ(t))) = 0

et

t→0

lim (Log(| γ(t) |) + iarg(γ(t))) = 2πi

t→0

t>0

t<0

Ci-dessous pour rem´edier la question de continuit´e du logarithme complexe on va “couper ”le paln complexe le long d’une demi-droite infinie ∆O d’origine O. Dans la litt´erature d’analyse complexe le point O s’appelle point de branchement et la demi-droite ∆O s’appelle coupure. dez Rappelons que d’apr`es le th´eor`eme de la fonction inverse puisque la d´eriv´ee = ez est dz non nulle tout point z ∈ C∗ poss`ede un voisinage Vz ⊂ C∗ sur lequel la fonction inverse, z 7−→ u(z), de l’exponentielle complexe (ie. eu(z) = z) est holomorphe. Ci-dessous, on va chercher le domaine de d´efinition maximal sur lequel le logarithme complexe vue comme fonction inverse de l’exponentielle soit holomorphe. Notons que si u0 ∈ C est solution particuli`ere de l’´equation eX = z la 2πi-p´eriodicit´e de l’exponentielle complexe implique que l’ensemble des solutions de l’´equation eX = z est infini et est ´egal ` a {u0 + 2kπi ; k ∈ Z}. b

2π b

−π

u1 b

u0

b b

b

−2π A. Bouarich

b

b

π

b

u2

u−1 u−2 Introduction ` a l’analyse complexe

30

Fonctions d’une variable complexe holomorphes

Observons que si on restreint l’exponentielle complexe z 7−→ ez sur les ouverts de type Dk = {x + iy ∈ C ; x ∈ R

et

(2k − 1)π < y < (2k + 1)π}

o` u

k∈Z

elle devient injective et son image exp(Dk ) = Uπ = C \ {x + 0i ; ∀x ∈ R− }. Ainsi, pour tout nombre complexe z ∈ Uπ il existe un unique logarithme complexe qui appartient `a l’ouvert Dk qu’on d´esignera dans la suite par, Logk (z). Par cons´equent, puisque sur l’ouvert Dk l’exponentielle complexe est holomorphe injectif et v´erifie la relation exp(Logk (z)) = z le th´eor`eme de l’inverse locale implique que pour tout entier k ∈ Z la fonction logarithme complexe Logk : Uπ −→ Dk z 7−→ Logk est holomorphe et sa fonction d´eriv´ee est donn´ee par l’expression d 1 (Logk (z)) = dz z

∀z ∈ Uπ ,

D´ efinition 11. La fonction logarithme complexe Log0 : Uπ −→ D0 z 7−→ Log(| z |) + iarg(z) s’appelle la d´etermination (ou branche) principale du logarithme complexe.

π arg(z)

b

Log(z)

b

b

b

z

b

Log(| z |) −π

b

Ainsi, grˆ ace ` a la d´etermination principale du logarithme complexe Log0 : Uπ → D0 on d´eduit que pour tout entier k ∈ Z on peut associer ` a chaque nombre complexe z ∈ Uπ un unique logarithme complexe qui appartient ` a l’ouvert Dk d´efini par : Logk (z) = Log0 (z) + 2kπi

tel que

exp(Logk (z)) = z

Notons que puisque ` a chaque nombre complexe z ∈ Uπ on associe une infinit´e de logarithmes complexes {Logk (z) = Log0 (z) + 2kπi ; ∀k ∈ Z} dans la litt´erature d’analyse complexe on dit que le logarithme complexe est une fonction multiforme ou multiplivalent. A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

Exemples de fonctions ´el´ementaires complexes holomorphes

31

Dans la suite, s’il n’y a aucune confusion ` a craindre on d´esignera la d´eterminantion principale du logarithme complexe que par le symbole Log. Notons aussi lorsqu’on parlle du logarithme complexe cela sous entend qu’il s’agit de la d´etermination principale du logarithme complexe. La d´etermination principale du logarithmique complexe prolonge le logarithme n´ep´erien de l’ouvert R∗+ sur l’ouvert Uπ mais ne pr´eserve pas la propri´et´e classique qui consiste ` a transformer le produit de deux nombres complexes en une somme de leurs logarithmes complexes. D’ailleurs on ne doit pas s’attendre `a ce que le logarithme complexe devient un homomorphisme de groupes parce que son domaine de d´efinition Uπ n’est pas un sous-groupe multiplicatif de C∗ . Toutefois on a la : Proposition 16. Pour tout couple de nombres complexes z1 et z2 ´el´ements de l’ouvert Uπ on a les expressions suivantes : Log(z1 z2 ) = Log(z1 ) + Log(z2 ) + 2kπi arg(z1 z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 ) + 2kπi

o` u

k = −1, 0 ou 1.

Exemple 9. Calculons le logarithme complexe des nombres complexes z1 = i

et

z2 = −1 + i

1) Notons que puisque la repr´esentation polaire de z1 et z2 est donn´ee par π z1 = e 2 i

et

z2 =

√

3π 2e 4 i

on d´eduit que la d´etermination principale du logarithme complexe des trois nombres complexes a: z1 , z2 et z1 · z2 est ´egale ` π Log(z1 ) = i , 2

Log(z2 ) =

3π Log(2) +i , 2 4

Log(z1 · z2 ) = Log(−1 − i) =

3π Log(2) −i 2 4

Ainsi, puisque la somme des logarithmes complexes Log(z1 ) + Log(z2 ) =

Log(2) 5π +i = Log(z1 z2 ) + 2πi 2 4

on en d´eduit que Log(z1 z2 ) = Log(z1 ) + Log(z2 ) − 2πi Enfin, notons que pour toute demi-droite ∆θ = {reiθ ; ∀r > 0} avec 0 < θ < 2π on pourra d´efinir une d´etermination du logarithme complexe, not´ee Logθ , qui prolongent le logarithme n´ep´erien de R∗+ sur le compl´ementaire Uθ = C\∆θ et ` a valeur dans l’ouvert Dθ,k = {x+iy ; x ∈ R et θ < y < θ + 2kπ} avec k ∈ Z est fix´e. Plus pr´ecis´ement, on a ∀z ∈ Uθ ,

Logθ (z) = Log(| z |) + iarg(z) ∈ Dθ,0

ie.

θ < arg(z) < θ + 2π

Remarquons que pour tout r´eel θ 6= π la d´etermination du logarithme complexe, Logθ : Uθ → Dθ,k , nous fournit un prolongement du logarithme n´ep´erien de R∗+ sur la droite r´eelle R. C’esta-dire, grˆ ` ace ` a la d´eterminantion Logθ on pourra maintenant calculer le logarithme complexe Logθ (x) de tout nombre r´eel trictement n´egatif. A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

32

Fonctions d’une variable complexe holomorphes

Exemple 10. Pour tout r´eel θ ∈ [0, 2π[\{π} la d´etermination du logarithme complexe Logθ : Uθ → Dθ,0 nous donne ∀x ∈ R∗+ ,

Logθ (−x) = Log(x) + πi ∈ Dθ,0 ⊂ C

En particulier, on aura Logθ (−1) = πi 6∈ R.

1.4.3

Les puissances complexes z 7−→ z a

Soit a ∈ C. On d´efinit la puisance d’exposant a d’un nombre complexe z ∈ C∗ par l’expression z a := eaLogk (z) o` u Logk (z) : Uπ → Dk d´esigne une d´etermination du logarithme complexe. De l’expression exponentielle de la puissance complexe on voit que :

1. si l’exposant a ∈ Z (entier) la puissance z a prend une seule valeur ; p ∈ Q (rationnel) la puissance z a prend un nombre fini de valeurs 2. si l’exposant a = q complexes car pour tout z 6= 0 on a l’expression p 2kπp )] z a := eaLogk (z) = exp[ Log(| z |) + i(arg(z) + q q qui montre que la puissance complexe z a prend ses valeurs dans l’ensemble {eaLogk (z) = p 2kπp exp[ Log(| z |) + i(arg(z) + )] ; 0 6 k 6 q − 1}. q q 3. si l’exposant a 6∈ Q la puissance complexe z a poss`ede une infinit´e de d´eterminations.

Donc, pour tout a ∈ C \ Z la puissance z a est une fonction multiforme et sa d´eterminantion principale est donn´ee par la fonction wa : Uπ −→ C a Log (z) z −→ e qui est holomorphe et sa d´eriv´ee est donn´ee en tout point z ∈ Uπ par l’expression d a (z ) = az a−1 dz Les puissances complexes v´erifient les propri´et´es suivantes : 1. z a · z b = z a+b ;

2. (z · w)a = z a · wa · e2πika o` u k = ±1 ou 0 ;

3. (z a )b = z ab e2πkib o` u k ∈ Z;

4. Log(z a ) = aLog(z) + 2πki o` u k ∈ Z; Exemple 11. En utilisant la d´etermination principale du logarithme complexe calculons les puissances complexes suivantes : i

(i) , A. Bouarich

i

(−1 + i)

et

i i · (−1 + i) Introduction ` a l’analyse complexe

Exemples de fonctions ´el´ementaires complexes holomorphes

33

(i)i = eiLog(i) = ei(iπ/2) = e−π/2 √

(−1 + i)i = eiLog(−1+i) = ei(Log(

2)+i3π/4)

√

= e−3π/4+iLog(

2)

i √ √ i · (−1 + i) = (−1 − i)i = eiLog(−1−i) = ei(Log( 2)−i3π/4) = e3π/4 eiLog( 2)

Notons que puisque le produit des puissances complexes √

√

(i)i · (−1 + i)i = e−π/2 e−3π/4+iLog( 2) = e−5π/4 eiLog( i on d´eduit que (i)i · (−1 + i)i 6= i · (−1 + i) et qu’en fait on a

2)

i (i)i · (−1 + i)i = i · (−1 + i) e(2πi)·i

1.4.4

Fonctions inverses des puissances z 7−→

√ a

z

On va discuter la construction de la fonction inverse de la puissance complexe que pour le cas des exposants entiers n > 2, ωn (z) = z n , ∀z ∈ C. d Il est clair que la fonction z 7−→ z n est homolomorphe sur C et sa fonction d´eriv´ee (ωn (z)) = dz nz n−1 se n’annule qu’au point z = 0, donc tout point z 6= 0 poss`ede un voisinage sur lequel la fonction ωn (z) poss`ede un inverse holomorphe. En effet, puisque pour tout entier 0 6 k 6 n − 1 la restriction de la fonction ωn (z) sur l’ouvert 2kπ (2k + 2)π Dk = {z ∈ C∗ ; < arg(z) < } est injective et on a ωk (Dk ) = U0 = C \ R+ n n on d´eduit que l’inverse de la fonction ωn (z) est multiforme qui poss`ede n d´eterminantions holomorphes ωn−1 : U0 → Dk avec 6 k 6 n − 1. La d´eterminantion principale de la fonction inverse de ωn est d´efinie de U0 dans D0 par √ l’expression z 7−→ n z. Cette expression signifie que si z ∈ U0 alors en ´ecrivant p z =| z | eiarg(z) 7−→ n | z |eiarg(z)/n Les autres d´eterminantions de l’inverse de ωn (z) s’obtiennent en multipliant la d´eterminantion 2kπi principale par l’exponentielle complexe exp[ ] avec 0 6 k 6 n − 1. n

D1 D0 Dn−1

A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

34

Fonctions d’une variable complexe holomorphes

Par exemple, la fonction inverse de la fonction ω2 (z) = z 2 poss`ede deux d´eterminantions d´efinies respectivement sur l’ouvert U0 par z 7−→

1.4.5

√

z ∈ D0 = {z ∈ C ; ℑm(z) > 0}

et

√ z 7−→ − z ∈ D1 = {z ∈ C ; ℑm(z) < 0}

Les fonctions trigonom´ etriques z 7−→ cos(z), sin(z), tg(z), cotg(z)

Rappelons que pour tout r´eel θ l’exponentielle complexe de iθ est donn´ee en coordonn´ees polaires par l’expression, eiθ = cos(θ) + i sin(θ) Donc, le cosinus et le sinus de tout r´eel θ on peut les exprimer par des exponentielles complexes par les formules, cos(θ) =

eiθ + e−iθ 2

et

sin(θ) =

eiθ − e−iθ 2i

En effet, ces deux expressions de cosinus et sinus r´eels nous sugg`erent de les prlonger sur le plan complexes en posant pour tout nombre complexe z ∈ C, cos(z) =

eiz + e−iz 2

et

sin(z) =

eiz − e−iz 2i

Notons que puisque l’exponentielle complexe est holomorphe sur C et 2πi-p´eriodique on en d´eduit que les fonctions cosinus et sinus complexes sont holop´eriodiques sur C, elles sont de 2π-p´eriodes et elles gardent toutes les propri´et´es de leurs sœurs r´eelles. De plus, en utilisant le d´eveloppement en s´erie enti`ere de l’exponentielle complexe on voit que pour tout nombre complexe z ∈ C on a, cos(z) =

X (−1)n

n>0

(2n)!

z 2n

et

sin(z) =

X (−1)n z 2n+1 (2n + 1)! n>0

Enfin, notons que comme dans le cas des fonctions trigonom´etriques r´eelles on d´efinit la fonction tangente complexe et la cotangente complexe en posant : tg(z)

=

cotg(z) =

1 − e2iz sin(z) =i , cos(z) 1 + e2iz cos(z) e2iz + 1 = i 2iz , sin(z) e −1

si

∀z 6= nπ + π/2

si

∀z 6= nπ.

Exercice 17. Montrer que les fonctions trigonom´etriques complexe v´erfient les relations classiques suivantes : 1. cos2 (z) + sin2 (z) = 1 ; 2. cos(z + u) = cos(z) cos(u) − sin(z) sin(u) ; 3. cos(z − u) = cos(z) cos(u) + sin(z) sin(u) ; 4. sin(z + u) = sin(z) cos(u) + cos(z) sin(u) ; 5. sin(z − u) = sin(z) cos(u) − cos(z) sin(u) ; 6. sin(2z) = 2 sin(z) cos(z) ; A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

Exemples de fonctions ´el´ementaires complexes holomorphes

35

7. cos(2z) = cos2 (z) − sin2 (z) ; u−z u+z ) sin( ); 8. sin(z) + sin(u) = 2 cos( 2 2 u−z u+z ) cos( ); 9. cos(z) + cos(u) = 2 cos( 2 2 tg(z) + tg(u) 10. tg(z + u) = . 1 − tg(z)tg(u) Exercice 18. Montrer que pour tout r´eel y ∈ R on a cos(iy) = Ch(y)

et

sin(iy) = i Sh(y)

En d´eduire que les fonctions cosinus et sinus complexe ne sont pas born´ees sur C.

1.4.6

Les fonctions hyperboliques z 7−→ Ch(z), Sh(z), th(z), coth(z)

Pour d´efinir le sinus et le cosinus hyperboliques complexes on ´etend leurs expressions r´eelles sur la droite complexe C : Sh(z) =

ez − e−z 2

et

Ch(z) =

ez + e−z , 2

∀z ∈ C.

(1.1)

Puisque les fonctions hyperboliques Sh et Ch sont d´efinies ` a partir de l’exponentille complexe sont donc holomorphes. Le lecteur pourra v´erifier ` a titre d’exercice que leur fonctions d´eriv´ees sont donn´ees par les expressions, d Sh(z) = Ch(z) dz

et

d Ch(z) = Sh(z), dz

∀z ∈ C.

De mˆeme, on d´efinit la tangente et la cotangente hyperbolique complexe comme dans le cas r´eelles par,  Sh(z) ez − e−z   , si ∀z 6= i(nπ + π/2) = z  th(z) = Ch(z) e + e−z Ch(z) ez + e−z   = z , si ∀z 6= inπ.  coth(z) = Sh(z) e − e−z

A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

Chapitre Deux

Int´ egration complexe : Le th´ eor` eme des r´ esidus et ses applications

Ce chapitre sera consacr´e au calcul int´egrale des fonctions complexe ` a une variable complexe. Apr`es voir construit l’int´egrale simple complexe on va donner ses propri´et´es ´elmentaires. ´ Ensuite, on va d´emontrer les formules int´egrales de Cauchy qui vont nous permet de d´emontrer plusieurs r´esultats qui caract´erisent les fonctions holomorphes. Par exemple, grˆ ace aux formule int´egrales de Cauchy on va d´emontrer que toute fonction holomorphe sur un ouvert on vide est ind´efinement d´erivable et qu’elle est d´eveloppable en s´erie enti`ere au voisinage de chaque point de son domaine de d´efinition. La notion la plus importante qu’on va introduire dans ce chapitre est la notion de r´esidu d’une singularit´e isol´ee d’une fonction holomorphe. La notion de r´esidu est tr`es puissante vis-` a-vis calcul des int´egrales complexe, car comme on va le voir avec le th´eor`eme des r´esidus, l’int´egrale complexe d’une fonction holomorphe sur un domaine qui est limit´e par un contour ferm´e s’exprime par la somme des r´esidus de ses singularit´es isol´ees qui sont ` a l’int´erieur du contour ferm´e.

2.1 2.1.1

Les courbes et les domaines du plan complexe Les chemins et les courbes du plan complexe

D´ efinition 12. Une application continue γ : [a, b] → C s’appelle chemin. 1. On dira que le chemin γ est de classe C 1 par morceaux s’il existe un nombre fini de points a < t1 < t2 < · · · < tm < b tels que l’application γ(t) poss`ede des d´eriv´ees ` a γ| gauche et ` a droite de chaque points tj et toutes ses restrictions ]tj , tj+1 [−→ C sont de 1 classe C . 2. Le point γ(a) s’appelle l’origine du chemin γ et le point γ(b) l’extr´emit´e du chemin γ. 3. Lorque γ(a) = γ(b) on dira que le chemin γ est ferm´e. A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

Les courbes et les domaines du plan complexe

37

4. Si la restriction de l’application γ(t) sur l’intervalle ouvert ]a, b[ est injective on dira que le chemin γ est simple ou qu’il est sans points doubles. 5. L’image Γ = {γ(t) ; t ∈ [a, b]} s’appelle courbe param´etr´ee dans le plan complexe par l’application γ. 6. Soient γ1 : [a, b] → C et γ2 : [c, d] → C deux param´etrisations d’une courbe Γ. On dira que γ1 et γ2 sont ´equivalentes s’il existe une bijection continue θ : [a, b] → [c, d] ayant un inverse θ −1 continue et telle que γ2 ◦ θ(t) = γ1 (t), ∀t ∈ [a, b]. b

Figure 2.1 – Exemples de chemins du plan complexe Notons que si on utilise la bijection θ : [0, 1] → [a, b] d´efinie par l’expression t 7−→ θ(t) = t(b − a) + a on d´eduit que les chemins du plan complexe peuvent ˆetre d´efinis ` a partir des applications continues sur le segment [0, 1] dans le plan C. En particulier, le segment du plan complexe d’origine z ∈ C et d’extr´emit´e u ∈ C peut ˆetre param´etr´e par l’application t ∈ [0, 1] 7−→ γ(t) = (1 − t)z + tu ∈ C dont l’image sera not´ee [z, u] = {(1 − t)z + tu ∈ C ; t ∈ [0, 1]}. D´ efinition 13. Soit γ : [a, b] → C un chemin. L’application continue γ − : [a, b] → C d´efinie par γ − (t) = γ(a + b − t) s’appelle chemin oppos´ee ou chemin inverse du chemin γ. Avec cette d´efinition on voit que toute courbe param´etr´ee Γ = {γ(t) ; t ∈ [a, b]} pourra ˆetre parcourue suivant deux sens : soit de γ(a) = A vers γ(1) = b ou bien de γ(b) = B vers γ(a) = B. Le parcourt du point A vers le point B s’appelle orientation positive et se y

note Γ+ = {γ(t) ; t ∈ [a, b]} ou AB tandis que la travers´ee oppos´ee de B vers A s’appelle y

orientation n´egative et se note Γ− = {γ − (t) ; t ∈ [a, b]} ou BA.

Par exemple, le cercle de centre z0 ∈ C et de rayon R > 0 on peut le parcourir soit dans le sens horaire ou soit dans le sens trigonom´etrique. Par convention le sens trigonom´etrique param´etr´e par l’application t ∈ [0, 1] 7−→ z(t) := z0 + Re2πit A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

Int´egration complexe : Le th´eor`eme des r´esidus et ses applications

38

est consid´er´e comme une orientation positive du cercle. L’orientation n´egative du cercle peut obtenue ` a partir de la param´etration : t ∈ [0, 1] 7−→ z − (t) := z0 + Re−2πit .

z1 b

z2 b

Figure 2.2 – Le cercle de centre z1 est orient´e positivement tandis que le cercle de centre z2 est orient´e n´egativement.

D´ efinition 14. Soient γ1 et γ2 : [0, 1] → C deux chemins tels que γ1 (1) = γ2 (0). L’application continue γ1 ⋆ γ2 : [0, 1] → C d´efinie par les expressions suivantes, ( si t ∈ [0, 1/2] γ1 (2t) γ1 ⋆ γ2 (t) = γ2 (2t − 1) si t ∈ [1/2, 1] s’appelle chemin compos´ee de γ1 et γ2 . Par r´ecurrence on pourra d´efinir la composition d’une famille de n chemins γ1 , · · · , γn si pour a l’origine du chemin γj+1 (t) (ie. tout j ∈ {0, · · · , n − 1} l’extr´emit´e du chemin γj (t) est ´egale ` γj (1) = γj+1 (0)).

Figure 2.3 – Trois chemins compos´es

Par exemple, le bord d’un triangle T de sommets z1 , z2 et z3 ∈ C est un chemin ferm´e compos´e par trois chemins qui mat´erialisent les arrˆetes [z1 , z2 ], [z2 , z3 ] et [z3 , z1 ] du triangle T, on peut le param´etr´e par le syst`emes suivant :   z1 + 3t(z2 − z1 ) si t ∈ [0, 1/3]  γ(t) = z2 + (3t − 1)(z3 − z2 ) si t ∈ [1/3, 2/3]   z3 + (3t − 2)(z1 − z3 ) si t ∈ [2/3, 1]

2.1.2

Les domaines du plan complexe

D´ efinition 15. Soit Ω ⊆ C une partie non vide. 1. On dira que la partie Ω est un domaine s’il est ouvert et connexe. A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

Les courbes et les domaines du plan complexe

39

2. On dira que la partie Ω est convexe si pour tout couple de points z1 et z2 ∈ Ω le segment [z1 , z2 ] = {(1 − t)z1 + tz2 ∈ C, ∀t ∈ [0, 1]} ⊆ Ω. 3. On dira que la partie Ω est ´etoil´ee s’il existe un point z0 ∈ Ω tel que pour tout z ∈ Ω le segment [z0 , z] ⊆ Ω. z1 z5 z2 b

b

b

z3

b

z4 Figure 2.4 – Une partie polygonale convexe b

Il est clair que toute partie convexe est ´etoil´ee, et que l’int´erieur de toute partie ´etoil´ee est un domaine (ie. est ouvert et connexe). D´ efinition 16. Soit Ω ⊆ C une partie non vide. Soient γ1 et γ2 : [0, 1] → Ω deux chemins qui ont les mˆemes extr´emit´es ie. : a = γ1 (0) = γ2 (0)

et

b = γ1 (1) = γ2 (1)

On dira que le chemin γ1 se d´eforme continument sur le chemin γ2 s’il existe une application continue H : [0, 1] × [0, 1] → Ω telle que H(t, 0) = γ1 (t),

H(t, 1) = γ2 (t),

H(0, s) = a

et

H(1, s) = b

L’application H(t, s) s’appelle une d´eformation continue de γ1 sur γ2 . b

b

γ1 a b

γs γ2

Figure 2.5 – Le chemin γ1 se d´eforme continument sur γ2 et γs un chemin interm´ediaire

Notons que si H : [0, 1] × [0, 1] → Ω est une d´eformation continue de γ1 sur γ2 alors pour tout s ∈ [0, 1] fix´ee l’application partielle t ∈ [0, 1] 7−→ γs (t) := H(t, s) ∈ Ω est un chemin d’origine H(0, s) = a et d’extr´emit´e H(1, s) = b. Notons aussi que l’application H′ (t, 1 − s) permet de d´eformer continument le chemin γ2 sur le chemin γ1 . D´ efinition 17. Soit Ω ⊆ C une partie non vide. Si tout chemin ferm´e de Ω peut ˆetre d´eform´e continument en un point on dira que Ω est simplement connexe. Et, si Ω n’est pas simplement connexe on dira qu’il est multiplement connexe. A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

Int´egration complexe : Le th´eor`eme des r´esidus et ses applications

40

Proposition 17. Toute partie ´etoil´ee non vide Ω ⊂ C est simplement connexe. D´emonstration. Pour d´emontrer cette affirmation supposons que pour le point a ∈ Ω on a pour tout z ∈ Ω le segment [a, z] ⊂ Ω. Puis, observons que pour tout chemin ferm´e γ : [0, 1] → Ω tel que γ(0) = γ(1) = a si on pose ∀t, s ∈ [0, 1],

H(t, s) = (1 − s)γ(t) + sa

on obtient une application continue qui d´eforme le chemin ferm´e γ sur le point a ; car pour tout t ∈ [0, 1], H(t, 0) = γ(t) et H(t, 1) = a. Proposition 18. Soit Ω ⊆ C une partie non vide, born´ee et ayant un int´erieur non vide. Pour que Ω soit simplement connexe il faut et il suffit que sa fronti`ere ∂Ω soit constitu´ee par une seule courbe ferm´ee. D´emonstration. Admise. Exemple 12. 1) Les triangles, les rectangles, les polygones, les disques ouverts ou ferm´es, les demi-plans de C sont simplement connexes. 2) Si on se donne une partie Ω qui est simplement connexe alors en fixant un nombre fini de points {x1 , x2 , · · · , xn } ⊂ Ω le compl´ementaire Ω1 = Ω \ {x1 , x2 , · · · , xn } est multiplement connexe. De mˆeme, si on enl`eve de Ω un nombre fini de disques D(x1 , r1 ), · · · , D(xn , rn ) ⊆ Ω on obtient un domaine multiplement connexe [ [ Ω2 = Ω \ D(x1 , r1 ) · · · D(xn , rn ) b

b

b

Figure 2.6 – Domaine multiplement connexe Donc, en particulier, pour tout les r´eels 0 < r < R la couronne circulaire C(r, R) = {z ∈ C ; r 6| z |6 R} est multiplement connexe car sa fronti`ere est constitu´ee par deux cercles concentriques de rayons respectifs r et R. A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

Int´egration des fonctions complexes a` une variable complexe

41

Les discussions de ce paragraphe peuvent ˆetre r´esum´ees en deux points : i) Un domaine Ω ⊆ C sans trous est simplement connexe mais s’il poss`ede au moins un seul trou dans ce cas il est multiplement connexe. ii) Si le domaine Ω ⊂ C est born´e et multiplement connexe alors sa fronti`ere est constitu´ee par un nombre fini de courbes simples ferm´ees.

2.2

2.2.1

Int´ egration des fonctions complexes ` a une variable complexe Construction de l’int´ egrale curviligne complexe

Soit Ω ⊆ C un domaine non vide. Consid´erons un chemin γ : [a, b] → Ω de classe C 1 par morceaux et fixons m-points a = t0 < t1 < · · · < tm−1 = b. γ(tm−1 ) γ(tm−2 ) b

b

b b

γ(t1 )

b

b

b

γ(t0 ) b

b

b

Figure 2.7 – Chemin subdivis´e en m-portions de chemins

De plus, consid´erons une fonction born´ee f : Ω → C et pour tout entier 0 6 j 6 m − 1 choisissons dans la portion de chemin γ([tj , tj+1 ]) un point ζj . D´ efinition 18. La somme suivante s’appelle somme de Riemann de longueur m ∈ N associ´ee a la fonction f (z) et au chemin γ subdivis´e en m-portions de chemins point´ees par les ζj ∈ ` γ([tj , tj+1 ]) : j=m−2 X R(f, γ, m, ζj ) = f (ζj )(γ(tj+1 ) − γ(tj )) j=0

La limite de la suite des sommes de Riemann lim

tj+1 −tj →0 m→+∞

R(f, γ, m, ζj ) =

lim

tj+1 −tj →0 m→+∞

j=m−2 X j=0

f (ζj )(γ(tj+1 ) − γ(tj ))

s’appelle int´egrale curviligne de la fonction f (z) le long du chemin γ et se note Z Z f (z)dz ou bien f (z)dz o` u Γ = γ([a, b]) γ

Γ

Lorsque la courbe Γ est ferm´ee on utilise l’une des notations suivantes : I I f (z)dz ou f (z)dz γ

A. Bouarich

Γ

Introduction ` a l’analyse complexe

Int´egration complexe : Le th´eor`eme des r´esidus et ses applications

42

Comme le module | γ(tj+1 ) − γ(tj ) | mesure la longueur du segment [γ(tj ), γ(tj+1 )] on d´eduit que la somme de Rieman associ´ee ` a la constante f (z) = 1, j=m−2 X j=0

| γ(tj+1 ) − γ(tj ) |

peut ˆetre consid´er´ee comme ´etant une valeur approch´ee de la longueur de la courbe Γ = γ([0, 1]). Donc, si on passe ` a la limite suivante lim

tj+1 −tj →0 m→+∞

j=m−2 X j=0

| γ(tj+1 ) − γ(tj ) |

on obtient la valeur exacte de la longueur de la courbe Γ = γ([a, b]) et on la d´esigne par Z ℓong(Γ) = | dz | Γ

Observons que si on suppose le chemin γ(t) est de classe C 1 on pourra alors approcher la ˙ j ), donc en passant ` a la limite diff´erence γ(tj+1 ) − γ(tj ) par le nombre complexe (tj+1 − tj )γ(t ´ on dduit que la longueur de la courbe Γ = γ([a, b]) est ´egale ` a l’int´egrale simple d´efinie : Z Z b ℓong(Γ) = | dz |= | γ(t) ˙ | dt Γ

a

Exemple 13. Calculons la longueur de l’arc Γ param´etr´e par l’application γ(t) = z0 + Reit avec t ∈ [θ0 , θ1 ]. b

z0 Figure 2.8 – Un arc de cercle de centre z0 et de rayon R > 0.

ℓong(Γ) =

Z

| dz |=

γ

=

Z

θ1

θ0

Z

θ1 θ0

| γ(t) ˙ | dt

| iReit | dt

= R(θ1 − θ0 ) Par cons´equent, si on prend θ0 = 0 et θ1 = 2π on d´eduit que la longueur d’un cercle entier de centre z0 et de rayon R > 0 est ´egale ` a 2πR.

2.2.2

Calcul et propri´ et´ es de l’int´ egrale complexe

Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction continue dont les parties r´eelle et imaginaire sont d´esign´ees respectivement par u(x, y) et v(x, y). Consid´erons un chemin γ : [a, b] → Ω de classe C 1 par morceaux et pour tout t ∈ [a, b] posons γ(t) = x(t) + iy(t). A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

Int´egration des fonctions complexes a` une variable complexe

43

Donc, avec ces donn´ees une somme de Riemann de longueur m ∈ N pourra ˆetre ´ecrite sous la forme, R(f, γ, m, ζj ) = =

j=m−2 X j=0

j=m−2 X j=0

=

f (ζj )(γ(tj+1 ) − γ(tj ))

[u(ζj ) + iv(ζj )][(x(tj+1 ) − x(tj )) + i(y(tj+1 ) − y(tj ))]

j=m−2 X j=0

+ i

[u(ζj )(x(tj+1 ) − x(tj )) − v(ζj )(y(tj+1 ur) − y(tj ))]

j=m−2 X j=0

[v(ζj )(x(tj+1 ) − x(tj )) + u(ζj )(y(tj+1 ) − y(tj ))]

˙ j ) et y(tj+1 )−y(tj ) D’autre part, observons que si on approche x(tj+1 )−x(tj ) par (tj+1 −tj )x(t par (tj+1 − tj )y(t ˙ j ) on voit que la somme de Riemann R(f, γ, m, ζj ) peut ˆetre approch´ee par la somme j=m−2 X j=0

[u(ζj )x(t ˙ j ) − v(ζj )y(t ˙ j )](tj+1 − tj ) + i

j=m−2 X j=0

[v(ζj )x(t ˙ j ) + u(ζj )y(t ˙ j )](tj+1 − tj )

Par cons´equent, si dans cette nouvelle expression de la somme de Riemann R(f, γ, m, ζj ) on fait tendre m vers l’infini et tj+1 − tj vers z´ero on obtient la formule suivante : Z Z b Z b f (z)dz = (u(γ(t))x(t) ˙ − v(γ(t))y(t))dt ˙ +i (v(γ(t))x(t) ˙ + u(γ(t))y)dt ˙ Γ a Za Z = (udx − vdy) + i (vdx + udy) Γ

Γ

Proposition 19. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction continue. Si γ : [a, b] → Ω est une courbe de classe C 1 alors l’int´egrale curviligne Z Z b f (z)dz = f (γ(t))γ(t)dt ˙ Γ

a

D´emonstration. 1) Pour d´emontrer la formule de la proposition on va appliquer la d´efinition de l’int´egrale curviligne d’une forme diff´erentielle r´eelle le long d’une courbe Γ param´etr´ee par l’application γ(t) = x(t) + iy(t), ∀t ∈ [a, b]. Z Z Z f (z)dz = (udx − vdy) + i (udy + vdx) Γ Γ Γ Z b Z b = [u(γ(t))x(t) ˙ − v(γ(t))y(t)]dt ˙ +i [v(γ(t))x(t) ˙ + u(γ(t))y(t)]dt ˙ a a Z b = [u(γ(t))x(t) ˙ − v(γ(t))y(t)] ˙ + i[v(γ(t))x(t) ˙ + u(γ(t))y(t)] ˙ dt a Z b = [u(γ(t)) + iv(γ(t))] · [x(t) ˙ + iy(t)]dt ˙ a Z b = f (γ(t))γ(t)dt ˙ a

A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

Int´egration complexe : Le th´eor`eme des r´esidus et ses applications

44

Corollaire 7. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction continue. Si γ : [a, b] → Ω est un chemin de classe C 1 alors pour toute fonction θ : [c, d] → [a, b] qui est bijective et croissante on a, Z Z f (z)dz) = f (z)dz γ◦θ

γ

Les propri´et´es des int´egrales complexes curvilignes ´enum´er´ees ci-dessous se d´emontrent `a partir des sommes de Riemann. Z Z Z 1. (f (z) + g(z))dz = f (z)dz + g(z)dz. Γ Γ Γ Z Z 2. ∀λ ∈ C, λ · f (z)dz = λ · f (z)dz. Γ ΓZ Z Z 3. f (z)dz = f (z)dz + f (z)dz. Γ1 ⋆Γ2 Γ1 Γ2 Z Z 4. f (z)dz = − f (z)dz. Γ− Γ Z Z 5. f (z)dz 6 | f (z) | · | dz |6 sup{| f (z) | ; z ∈ Γ}ℓong(Γ). Γ

Γ

Exemple 14. Soient m ∈ Z et a ∈ C fix´e. Calculons l’int´egrale curviligne de la fonction (z − a)m le long du cercle Γ de centre a et de rayon R = 1 param´etr´e par l’application γ(t) = a + eit ,

Z

Γ

(z − a)m dz =

Z

t ∈ [0, 2π] 2π

eimt (ieit )dt

0

Z

2π

= i (0 =

ei(m+1)t dt

0 2πi

si si

m 6= −1 m = −1

Exercice 19. Calculer les int´egrales curviligne suivantes Z Z Z ℜe(z)dz, ℑm(z)dz, [a,b]

[a,b]

(¯ z )n dz

C(0,r)

Exercice 20. Soient a et b ∈ C tels que 0 <| a |<| b |. Calculer l’int´egrale curviligne I dz (z − a)(z − b) C(0,r) dans les trois cas : 1) 0 < r <| a |, 2) | a |< r <| b | et 3) 0 <| b |< r. Exercice 21. Pour tout z ∈ C \ C(0, 1) on pose I 1 du f (z) = 2πi C(0,1) u(u + z) 1) Calculer la valeur f (z) selon la position de z par rapport au cercle C(0, 1). 2) Calculer les deux limites lim f (z) et lim f (z).

A. Bouarich

z→i

z→i

|z|<1

|z|>1

Introduction ` a l’analyse complexe

Int´egration des fonctions complexes a` une variable complexe

2.2.3

45

Th´ eor` eme de Cauchy

Dans ce paragraphe, on va d´emontrer la formule de Cauchy en appliquant la formule de GreenRiemann vue en analyse II. Pour cela on va rappeller la notient d’orientation des domaines du plan complexe et on rappellera aussi la formule de Green-Riemann. D´ efinition 19. Soit Ω ⊂ C un domaine multiplement connexe dont la fronti`ere ∂D est constitu´ee par un nombre fini de courbes simples. On dira que Ω est orient´ee positivement si chaque composante de sa fronti`ere est parcourue de telle sorte que l’int´erieur de Ω reste du cˆ ot´e gauche (voir la figure ci-dessous).

Figure 2.9 – Domaine multiplement connexe orient´e positivement En pratique, l’orientation positive d’un domaine multiplement connexe D ⊂ C se fait en parcourant la composante ext´erieure du bord ∂D dans le sens trigonom´etrique tandis que les composantes int´erieures du bord ∂D on les parcourt dans le sens horaire. Donc, le fait d’orienter un domaine multiplement connexe D ⊂ C induit une orientation naturelle des composantes du bord ∂D. Th´ eor` eme 4 (Formule de Green-Riemann). Soit ω = Pdx + Qdy une forme diff´erentielle de classe C k sur un ouvert non vide Ω ⊆ C. Pour tout domaine compact multiplement connexe D ⊆ Ω orient´e positivement l’int´egrale curviligne I ZZ ∂Q ∂P (Pdx + Qdy) = − dxdy ∂x ∂y ∂D D

En utilisant les variables complexes ind´ependantes z et z¯ la formule de Green-Riemann pourra ˆetre formul´ee pour les fonctions complexes ` a variable complexe par le : Th´ eor` eme 5 (Formule de Riemann-Green complexe). Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction dont la partie r´eelle u(x, y) et la partie imaginaire v(x, y) sont de classe C 1 . Si D ⊆ Ω est un domaine compact multiplement connexe orient´e positivement alors l’int´egrale curviligne I ZZ ∂f f (z)dz = 2i dxdy ∂ z¯ ∂D D D´emonstration. Rappelons que dans les conditions du th´eor`eme l’int´egrale curviligne I I I f (z)dz = (udx − vdy) + i (vdx + udy) ∂D

∂D

∂D

Donc, si on applique aux parties r´eelle et imaginaire de Riemann on obtient I I f (z)dz = ∂D

A. Bouarich

I

f (z)dz la formule de Green-

∂D

∂D

(udx − vdy) + i

I

(vdx + udy) ∂D

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Int´egration complexe : Le th´eor`eme des r´esidus et ses applications

46

= = = =

ZZ ∂u ∂v ∂u ∂v − dxdy + i − dxdy − ∂x ∂y ∂y D D ∂x Z Z h ∂u ∂u i h ∂v ∂v i +i + − −i dxdy − ∂y ∂x ∂x ∂y D ZZ ∂u ∂v −2 dxdy 2i ∂ z¯ ∂ z¯ D ZZ ∂f 2i dxdy ¯ D ∂z ZZ

Rappelons qu’au chapitre pr´ec´edent on a vu que si les parties r´eelle et imaginaire d’une fonction f (z) = u + iv sont diff´erentielles alors f (z) est holomorphe si et seulement, si les d´eriv´ees partielles de u et v v´erifient les conditions de Cauchy-Riemann ie. ∂u ∂v ∂u ∂v ∂f = et =− ⇐⇒ =0 ∂x ∂y ∂y ∂x ∂ z¯ D’o` u le corollaire, Corollaire 8 (Cauchy (1815)-Riemann (1846)). Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction holomorphe dont la partie r´eelle u(x, y) et la partie imaginaire v(x, y) sont de classe C 1 . Si D ⊆ Ω est un domaine compact multiplement connexe et orient´e positivement alors l’int´egrale curviligne I f (z)dz = 0

∂D

Le r´esultat du corollaire pr´ec´edent qu’on vient de d´eduire ` a partir de la formule de GreenRiemann complexe d´emontr´e pour la premi`ere fois en 1815 par Cauchy en utilisant une m´ethode bas´ee le calcul des variations. En 1900 Goursat a propos´e une nouvelle d´emonstration de la formule de Cauchy sans demander que les parties r´eelle et imaginaire de la fonction f (z) ne soient de classe C 1 . En effet, l’hypoth`ese de classe C 1 exig´ee par le corollaire sur les parties r´eelle et imaginaire est superflue parce que au paragraphe 2.5, consacr´e aux formules int´egrales de Cauchy, on va d´emontrer que toute fonction holomorphe est en fait ind´efinement d´erivable sur l’int´erieur de son domaine de d´efinition. Vue l’int´erˆet instructif et p´edagogique de la d´emonstration historique du th´eor`eme de CauchyGoursat on va la d´evelopper ci-dessous sous sa forme g´en´erale. Th´ eor` eme 6 (Cauchy-Goursat (1900)). Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction holomorphe. Pour tout domaine multiplement connexe comapct D ⊂ Ω qui est orient´e positivement et dont la fronti`ere est constitu´ee par un nombre fini de courbes simples ferm´ees et disjointes ∂D = Γ1 ∪ · · · ∪ Γn l’int´egrale curviligne I I I f (z)dz = f (z)dz + · · · + f (z)dz = 0 ∂D

Γ1

Γn

En particulier, pour toute courbe ferm´ee Γ ⊂ Ω qui borde un domaine simplement connexe D ⊆ Ω l’int´egrale curviligne, I f (z)dz = 0 Γ

A. Bouarich

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Int´egration des fonctions complexes a` une variable complexe

47

D´emonstration. La preuve du th´eor`eme de Cauchy-Goursat sera d´evelopp´ee en ´etapes. ´ Etape 1 : Cas d’un triangle ´ Etape 2 : Cas d’un domaine compact simplement compact ´ Etape 3 : Cas d’un domaine compact multiplement connexe Exemple 15. On d´esigne par C(0, r) le cercle de centre z = 0 et de rayon r > 0 parcouru dans le sens trigonom´etrique. Les int´egrales curvilignes suivantes sont nulles : I I I I ez 2 3 dz = 0, z dz = 0, sin(z )dz = 0, dz = 0 C(0,r) C(0,r) C(0,r) C(0,r) z − 2r Exercice 22. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction holomorphe. Soit Γ ⊆ Ω une courbe param´etr´ee par une application γ : [a, b] → Ω de classe C 1 telle que au point t1 < t2 on a γ(t1 ) = γ(t2 ) et la restriction de γ sur ]t1 , t2 [ est injective et l’image γ([t1 , t2 ]) borde un domaine simplement connexe (voir la figure).

b

Figure 2.10 – Un chemin avec un point double et la boucle ferm´ee qu’elle forme

1) D´emontrer que si on pose Γ1 = γ([a, t1 ]), Γ2 )γ([t1 , t2 ]) et Γ3 = γ([t3 , b]) alors l’int´egrale curviligne Z Z Z Z f (z)dz = f (z)dz = f (z)dz + f (z)dz Γ

Γ1 ⋆Γ2 ⋆Γ3

2) En d´eduire que l’int´egrale curviligne

Γ1

Z

Γ3

f (z)dz peut ˆetre calcul´ee sans passer par les boucles

Γ

de Γ cr´ees par les points doubles de Γ et qui bordent des domaines simplement connexes. 3) D´emontrer que si le domaine Ω est simplement connexe alors l’int´egrale curviligne de f (z) le long d’une Γ ⊂ Ω qui joint a ` a z peut ˆetre calcul´ee en supposant que Γ est simple. Le th´eor`eme de Cauchy-Goursat poss`ede plusieurs applications importantes qui seront illustr´ees ci-dessous. Proposition 20. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction holomorphe. Pour tout couple de courbes simples ferm´ees Γ1 et Γ2 ⊂ Ω qui sont disjointes orient´ees dans le mˆeme sens trigonom´etrique et bordent une couronne C ⊆ Ω l’int´egrale curviligne, I I f (z)dz = f (z)dz Γ1

A. Bouarich

Γ2

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Int´egration complexe : Le th´eor`eme des r´esidus et ses applications

48

Figure 2.11 – Une couronne non circulaire dont les composantes du bord sont orient´ees dans le sens trigonom´etrique (positive).

D´emonstration. Supposons que Γ1 est la composante ext´erieure du bord ∂C et Γ2 est composante int´erieure et qu’elles sont orient´ees dans le sens trigonom´etrique (voir la figure). Dans ces conditions, si on oriente la couronne C positivement on voit que le bord ∂C = Γ1 ∪Γ− 2 et ainsi la formule de Cauchy-Goursat appliqu´ee ` a la fonction holomorphe f (z) sur la couronne orient´ee C nous donne : I I I f (z)dz = f (z)dz + f (z)dz = 0 ∂C

Donc, puisque

I

Γ− 2

f (z)dz = −

Γ− 2

Γ1

I

f (z)dz on d´eduit que

Γ2

I

f (z)dz =

Γ1

I

f (z)dz. Γ2

Corollaire 9. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction holomorphe. Soient z1 et z2 ∈ Ω deux points fix´es et Γ1 et Γ2 deux courbes simples qui ont la mˆeme origine z1 et la mˆeme extr´emit´e z2 et telles que la courbe compos´ee Γ1 ⋆ Γ− 2 borde un domaine simplement connexe D ⊆ Ω (voir la figure), alors l’int´egrale curviligne Z Z f (z)dz = f (z)dz Γ1

Γ2

z2 b

Γ1

Γ2

b

z1

Figure 2.12 – Deux chemins ayant les mˆemes extr´emit´es et bordent un domaine simplement connexe.

Exercice 23. En appliquant la formule de Green-Riemann complexe, d´emontrer que l’aire I 1 du domaine limit´e par une courbe simple ferm´ee Γ est ´egale ` a z¯dz. 2i Γ Exercice 24. Soit Ω ⊂ C un ouvert non vide et f et g : Ω → C est holomorphe. A. Bouarich

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Int´egration des fonctions complexes a` une variable complexe

49

1) D´emontrer que pour tout domaine multiplement connexe D ⊂ Ω on a ZZ I f (z)g(z)dz = 2i f ′ (z)g(z)dxdy ∂D

D

2) En d´eduire que le l’int´egrale double ZZ I 1 | f ′ (z) |2 dxdy = f (z)f ′ (z)dz 2i D ∂D

Exercice 25. Soit Ω ⊆ C un ouvert connexe born´e non vide et f : Ω → C une fonction holomorphe. D´emontrer que si la fonction f ′ (z) ne s’annule pas sur Ω alors l’aire de f (Ω) est donn´ee par la formule ZZ Aire(f (Ω)) = | f ′ (z) |2 dxdy Ω

Application : Calculer l’aire du domaine f (D(0, 1)) dans les cas suivants : f1 (z) = z n ,

et

f2 (z) = z 3 + 3z

Exercice 26. Soient a > 0 et b > 0. On d´esigne par Γ ⊂ C l’ellipse param´etr´e par l’application γ(t) = a cos(t) + ib sin(t) ∀t ∈ [0, 2π]. 1 En int´egrant la fonction holomorphe sur l’ellipse Γ d´eduire que l’int´egrale simple z Z 2π 2π dt = 2 2 2 2 ab a cos (t) + b sin (t) 0

2.2.4

Primitive d’une fonction holomorphe

Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction continue. Dans ce paragraphe, on se propose de donner les conditions n´ec´essaires et suffisantes pour que la fonction f (z) poss`ede une primitive. D´ efinition 20. Soit U ⊆ Ω un ouvert non vide et F : U → C une fonction continue. On dira que la fonction F(z) est une primitive sur U de la fonction f (z) si, ∀z ∈ U,

F′ (z) = f (z)

Notons que puisque la d´eriv´ee d’une constante est nulle on d´eduit que la primitive d’une fonction f (z) lorsqu’il existe sur un ouvert connexe elle est unique ` a une constante additive pr`es. C’est-` a-dire, si sur un ouvert connexe non vide U les fonctions F(z) et G(z) sont des primitives de f (z) alors la fonction F(z) − G(z) est constante sur U. Proposition 21. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction continue. Si la fonction F(z) est une primitive de f (z) sur Ω (ie. f (z) = F′ (z), ∀z ∈ Ω) alors pour tout chemin γ : [a, b] → Ω de classe C 1 l’int´egrale curviligne complexe Z f (z)dz = F(γ(b)) − F(γ(a)) γ

En particulier, si le chemin γ est ferm´e l’int´egrale curviligne I f (z)dz = 0 γ

A. Bouarich

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50

D´emonstration. Rappelons que l’int´egrale curviligne de la fonction f (z) le long d’un chemin de classe C 1 , γ : [a, b] → Ω, est donn´ee par Z

f (z)dz =

γ

Z

b

f (γ(t))γ(t)dt ˙

a

Observons que si la fonction F(z) est une primitive de f (z) sur l’ouvert Ω on aura f (γ(t))γ(t) ˙ = d (F(γ(t))), donc dt Z Z b d (F(γ(t)))dt = F(γ(b)) − F(γ(a)) f (z)dz = γ a dt En cons´equence, si le chemin γ est ferm´e il s’ensuit que

I

f (z)dz = 0.

γ

Il est important de souligner que le r´esultat de la proposition nous apprend que si Ω ⊆ C est un ouvert non vide et f : Ω → C estIune fonction continue telle que il existe une courbe

ferm´ee Γ ⊂ Ω dont l’int´egrale curviligne pas de primitives holomorphe sur Ω.

f (z)dz est non nulle alors la fonction f (z) n’admet

Γ

z n+1 Exemple 16. Puisque pour tout entier n ∈ Z \ {−1} la fonction z 7−→ est une n+1 n ∗ primitive de la fonction z 7−→ z sur l’ouvert C on aura pour toute courbe Γ d’origine a ∈ C et d’extr´emit´e b ∈ C, Z

n

z dz =

Γ

Z

Γ

d z n+1 bn+1 an+1 ( )dz = − dz n + 1 n+1 n+1

1 le long du cercle Γ param´etr´e par l’application z it γ(t) = re avec t ∈ [0, 2π] on d´eduit que puisque l’int´egrale curviligne Cependant, si on int´egre la fonction z 7−→ I

γ

dz = z

est non nulle, donc la fonction z 7−→

Z

0

2π

ireit dt = 2πi reit

1 n’admet pas de primitive holomorphe sur l’ouvert C∗ . z

Le th´eor`eme suivant nous donnera la condition suffisante pour qu’une fonction continue poss`ede une primitive. Th´ eor` eme 7 (Existence de la primitive). Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et If : Ω → C une fonction continue. Si pour toute courbe ferm´ee Γ ⊂ Ω l’int´egrale curviligne, f (z)dz = 0, alors on a les propositions suivantes

Γ

1. Les int´egrales curvilignes de la fonction f (z) ne d´ependent que des extr´emit´es des chemins d’int´egratiuons contenues dans Ω. Z z 2. La fonction z 7−→ F(z) = f (u)du est holomorphe sur l’ouvert Ω et c’est une primia

tive de f (z), c’est-` a-dire F′ (z) = f (z), ∀z ∈ Ω.

A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

Int´egration des fonctions complexes a` une variable complexe

51

D´emonstration. Notons d’abord que puisque les int´egrales curvilignes de f (z) sont nulles le long des courbes ferm´ees il s’ensuit que l’int´egrale curviligne de f (z) long des courbes Γ ⊂ Ω ne d´epend que des extrim´emit´es de Γ. Pour d´emontrer ce fait consid`erons deux courbes Γ1 et Γ2 ⊆ Ω d’origine z1 ∈ Ω et d’extrimit´e z2 ∈ Ω et puis appliquons le th´eor`eme de CauchyGoursat ` a la courbe ferm´ee Γ1 ⋆ Γ− 2 ie. : I

Γ1 ⋆Γ− 2

f (z)dz = 0

I

=⇒

f (z)dz = Γ1

I

f (z)dz

Γ2

Ainsi, dans la suite pour tout couple de points a et z ∈ Ω on va ´ecrire

Z

z

f (z)dz pour d´esigner

a

l’int´egrale curviligne de f (z) le long d’une courbe d’origine a et d’extrimit´e z. V´erifions qu’en effet si on fixe le point a dans Ω alors la fonction Z z z ∈ Ω 7−→ F(z) := f (u)du a

est homolophe et que sa fonction d´eriv´ee F′ (z) = f (z). Fixons un r´eel ε > 0 et z ∈ Ω. Donc, puisque la fonction f est continue au point z il existe un r´eel r > 0 tel que ∀u ∈ D(z, r),

| f (u) − f (z) |< ε

D’autre part, consid´erons une courbe Γ ⊂ Ω d’origine a et d’extrim´et´e z et pour tout h ∈ D(0, r) d´esignons par Γz,h ⊂ D(z, r) le segment d’origine z et d’extr´emit´e z + h ∈ D(z, r) (voir la figure)

z b

z+h

Γ b

b

a

Figure 2.13 – Le chemin compos´e Γ ⋆ Γz,h .

Donc, avec les notations ci-dessus on d´eduit que pour tout h ∈ D(0, r) on a F(z + h) = = =

Z Z Z

f (u)du Γ⋆Γz,h

f (u)du + Γ z

Z

f (u)du Γz,h

Z

z+h

f (u)du + f (u)du a z Z z+h = F(z) + f (u)du z

A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

Int´egration complexe : Le th´eor`eme des r´esidus et ses applications

52

Ainsi, comme hf (z) = que

Z

z+h

f (z)du et pour tout u ∈ D(z, r) on a | f (u)− f (z) |< ε on d´eduit

z

Z z+h Z z+h + h) − F(z) − hf (z) = f (u)du − f (z)du F(z z z Z z+h = (f (u) − f (z))du < ε | h | z

Par cons´equent, la fonction F(z) est holomorphe sur l’ouvert Ω et sa fonction d´eriv´ee F′ (z) = f (z), ∀z ∈ Ω. Donc, F(z) est une primitive de f (z) sur l’ouvert Ω. Corollaire 10. Si Ω ⊆ C est un ouvert simplement connexe non vide alors toute fonction holomorphe f : Ω → C poss`ede une primitive sur Ω. 1 sur l’ouvert simplement connexe Exemple 17. 1) La restriction de la fonction z 7−→ z − Uπ = C \ R poss`ede la d´eterminantion principale du logarithme complexe ∀z ∈ Uπ ,

Log(z) := Log(| z |) + iarg(z)

o` u

arg(z) ∈] − π, π[

comme primitive holomorphe telle que Log(1) = 0. Les autres primitives holomorphes de la 1 fonction sur Uπ sont ´egales ` a Log(z) + 2kπi avec k ∈ Z. z 1 2) Calculons l’int´egrale curviligne de la fonction g(z) = 2 le long le cercle Γ param´etr´e z −1 par l’application γ(θ) = 1 + eiθ avec θ ∈ [0, 2π]. I

Γ

dz 2 z −1

1 2

=

I

Γ

dz 1 − z−1 2

I

Γ

dz z+1

1 Notons que puisque ` a l’int´erieur du cercle Γ la fonction est holomorphe le th´eor`eme de z+1 I dz Cauchy-Goursat implique = 0. Donc, on obtient Γ z+1 I

Γ

dz 2 z −1

=

1 2

I

Γ

dz 1 = z−1 2

Z

0

2π

ieiθ dθ = πi eiθ

1 n’a pas de primitive holomorphe −1 1 sur l’ouvert C \ {−1, 1}. Cependant, si on restreint g(z) = 2 sur le demi-plan sup´erieur z −1 H = {z ∈ C ; ℑm(z) > 0} on v´erifie que la fonction

En cons´equence de ce calcul on d´eduit que la fonction

z2

1 1 G(z) = Log(z − 1) − Log(z + 1) 2 2 est une primitive holomorphe de g(z) sur H telle que G(i) = A. Bouarich

π . 2

Introduction ` a l’analyse complexe

Int´egration des fonctions complexes a` une variable complexe

2.2.5

53

Formules int´ egrales de Cauchy

Dans ce paragraphe, on va d´emontrer les c´el`ebres formules int´egrales de Cauchy. Ces formules vont nous permettre de d´emontrer que toute fonction holomorphe est ind´efinement C-d´erivable. Th´ eor` eme 8 (Seconde formule de Cauchy). Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction holomorphe. Si Γ ⊂ Ω est une courbe simple ferm´ee qui borde un domaine simplement connexe D ⊆ Ω (ie. Γ = ∂D) alors pour tout point z0 qui appartient ` a l’int´erieur de D on a I 1 f (z) f (z0 ) = dz 2πi Γ z − z0

Γ b

z0

Figure 2.14 – La courbe Γ borde un domaine simplement connexe.

D´emonstration. Soit z0 un point qui appartient ` a l’int´erieur du domaine D limit´e par la courbe simple ferm´ee Γ. Donc, puisque la fonction f (z) est holomorphe sur Ω en fixant un r´eel ε > 0 on peut trouver un r´eel r > 0 tel que le disque ferm´e D(z0 , r) ⊂ D et on a ∀z ∈ D(z0 , r) =⇒ f (z) − f (z0 ) − f ′ (z0 )(z − z0 ) < ε | z − z0 | Notons aussi que si on applique la formule de Cauchy-Goursat sur la couronne D \ D(z0 , r) orient´ee positivement (voir la figure) dont le bord est constitu´e par Γ et le cercle C(z0 , r) centr´e au point z0 et de rayon r on d´eduit que I I f (z) f (z) dz = dz Γ z − z0 C(z0 ,r) z − z0 Ainsi, si on int`egre l’in´egalit´e pr´ec´edente le long du cercle C(z0 , r) on obtient I I I I f (z) f (z0 ) ′ dz − dz − f (z0 )dz < ε | dz | C(z0 ,r) z − z0 C(z0 ,r) z − z0 C(z0 ,r) C(z0 ,r) I f (z) dz − 2πif (z0 ) < 2πrε C(z0 ,r) z − z0

Par cons´equent, en faisant tendre le r´eel ε > 0 vers z´ero on obtient la formule int´egrale de I 1 f (z) Cauchy f (z0 ) = dz. 2πi C(z0 ,r) z − z0 A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

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54

Corollaire 11 (Formule de la moyenne de Gauss). Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction holomorphe. Pour tout point z0 ∈ Ω et pour tout r´eel r > 0 tel que le disque ferm´ee D(z0 , r) ⊂ Ω on a la formule de la moyenne Z 2π 1 f (z0 ) = f (z0 + reiθ )dθ 2π 0

D´emonstration. Remarquer que si on applique la formule de Cauchy ` a la fonction holomorphe f (z) sur le cercle C(z0 , r) = ∂D(z0 , r) on obtient I 1 f (z) f (z0 ) = dz 2πi C(z0 ,r) z − z0 Puis, observer que si on param´etrise le cercle C(z0 , r) par l’application γ(θ) = z0 + reiθ avec θ ∈ [0, 2π] on d´eduit que I Z 2π 1 f (z) 1 f (z0 + reiθ ) iθ dz = ire dθ f (z0 ) = 2πi C(z0 ,r) z − z0 2πi 0 reiθ Z 2π 1 f (z0 + reiθ )dθ. Donc, f (z0 ) = 2π 0 Dans les exemples ci-dessous on va appliquer la formule int´egrale de Cauchy pour calculer des int´egrales curvilignes. Exemple 18. 1) On d´esigne par Γ le cercle de centre z = 0 et de rayon r = 2. Calculons les int´egrales curvilignes suivantes en appliquant la formule de Cauchy : I 5 I ez z + 10z + 4 dz et dz Γ (z − 1)(z + 3) Γ z(z − 4i) ez z 5 + 10z + 4 Puisque les fonctions f (z) = et g(z) = sont holomorphes sur le disque z+3 z − 4i centr´e ` a l’origine et de rayon deux la formule de Cauchy nous permet de d´eduit que I I I 1 ez f (z) ez 1 eπi dz = dz = f (1) =⇒ dz = 2πi Γ (z − 1)(z + 3) 2πi Γ z − 1 2 Γ (z − 1)(z + 3) 1 2πi

I

Γ

Γ′

z 5 + 10z + 4 1 dz = z(z − 4i) 2πi

I

Γ

g(z) dz = g(0) z

=⇒

I

Γ

z 5 + 10z + 4 dz = −2π z(z − 4i)

⊂ C une courbe simple ferm´ee, donc elle borde un domaine simplement connexe 2) Soit D ⊂ C. Notons que si on applique la formule de Cauchy ` a la fonction f (z) = 1 sur D on d´eduit que ( I 0 si z 6∈ D 1 du = 2πi Γ′ u − z 1 si z ∈ Int(D) Exercice 27. Soit f (z) une fonction holomorphe sur le disque D(0, R). Pour tout r´eel 0 < r < R on d´esigne par C(0, r) le cercle param´etr´e par γ(t) = reit avec t ∈ [0, 2π]. Selon la position de a et b ∈ C \ C(0, r) par rapport au cercle C(0, r) calculer l’int´egrale I f (z) dz C(0,r) (z − a)(z − b)

Indication : D´ecomposer la fraction A. Bouarich

1 et appliquer la formule de Cauchy. (z − a)(z − b) Introduction ` a l’analyse complexe

Int´egration des fonctions complexes a` une variable complexe

55

Exercice 28. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction continue. D´emontrer que si Γ et Γ′ ⊂ Ω sont deux courbes simples ferm´ees qui limitent une couronne C ⊂ Ω sur laquelle la fonction f (z) est holomorphe alors pour tout point z qui appartient ` a l’int´erieur de C on a I I 1 f (w)dw f (w)dw 1 f (z) = − 2πi Γ′ w − z 2πi Γ w − z o` u Γ′ (resp. Γ) est la composante ext´eieure (resp. int´erieure) de la fronti`ere ∂C.

Th´ eor` eme 9 (Principe du maximum). Soit Ω ⊂ C un ouvert connexe non vide et soit f : Ω → C une fonction holomorphe. S’il existe un point z0 ∈ Ω tel que | f (z) |6| f (z0 ) |

∀z ∈ Ω, alors la fonction f (z) est constante sur Ω.

D´emonstration. Posons F = {z ∈ Ω ; f (z) = f (z0 )}. La partie F est ferm´ee non vide (car z0 ∈ F) et montrons qu’elle est aussi F ouverte.

Pour un u ∈ F fix´e prenons un r´eel r > 0 tel que le disque ferm´e D(u, r) ⊂ Ω. Donc, puisq f (z) est holomorphe on d´eduit que pour tout r´eel ρ 6 r la formule de la moyenne de Gauss implique que Z 2π 1 f (u) = f (u + ρeiθ )dθ 2π 0 Donc, puisque le module | f (u) |=| f (z0 ) | et | f (u + ρeiθ ) |6| f (z0 ) | on en d´eduit que 1 | f (u) |=| f (z0 ) |6 2π

Z

0

2π

| f (u + ρeiθ ) | dθ 6| f (z0 ) |

Ainsi, puisque la fonction positive θ ∈ [0, 2π] 7−→| f (z0 ) | − | f (u + ρeiθ ) | est continue et son int´egale d´efinie,

Z

2π 0

| f (z0 ) | − | f (u + ρeiθ ) |

dθ, est nulle on en

d´eduit que pour tous θ ∈ [0, 2π] et ρ ∈ [0, r] on a | f (u + ρeiθ ) |=| f (z0 ) |. Donc, la fonction holomorphe f (z) est constante sur le disque D(u, r) car son mudule de f est constant sur D(u, r). Par cons´equent, comme le disque D(u, r) ⊆ F on conclut que F est voisinage de chacun de ses points, donc c’est un ouvert. Enfin, notons que puisque F et C \ F sont des ouverts disjoints tels que Ω ⊆ F ∪ C \ F la connexit´e de Ω implique que Ω ⊆ F. Donc, F = Ω et f (z) est constante sur Ω. Le r´esultat du principe du maximum nous informe que si une fonction holomorphe f (z) n’est pas constante sur un ouvert connexe Ω et si elle est continue sur le bord ∂Ω alors la valeur maximale de son module | f (z) | est atteinte sur le bord de Ω ie. : sup{| f (z) | ; ∀z ∈ Ω} = sup{| f (z) | ; ∀z ∈ ∂Ω} A. Bouarich

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56

Par exemple, pour une fonction f (z) qui est holomorphe sur un disque ouvert D(0, r) et continue sur le cercle C(0, r) on aura sup{| f (z) | ; | z |< r} = sup{| f (z) | ; | z |= r} Th´ eor` eme 10 (Formule de d´erivation de Cauchy). Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction holomorphe. Alors, la fonction f (z) est ind´efinement d´erivable et sa d´eriv´ee d’ordre n > 1 est donn´ee en tout point int´erieur z0 ∈ Ω par la formule I n! f (z)dz (n) f (z0 ) = 2πi Γ (z − z0 )n+1 o` u Γ ⊂ Ω d´esigne une courbe ferm´ee simple qui borde un domaine simplement connexe D ⊆ Ω (ie. Γ = ∂D) et qui contient le point z0 dans son int´erieur.

Γ b

z0

Figure 2.15 – La courbe Γ borde un domaine simplement connexe.

D´emonstration. Notons d’abord que puisque z0 appartient ` a l’int´erieur du domaine D limit´e par Γ il existe un r´eel r > 0 tel que D(z0 , r) ⊂ D. Notons aussi que puisque pour tout entier f (z) est holomorphe sur la couronne C = D \ D(z0 , r), donc apr`es n > 0 la fonction (z − z0 )n+1 orientation positive de la couronne C, la formule de Cauchy-Goursat permet de d´eduire que I I I f (z) f (z) f (z) dz = 0 =⇒ dz = dz n+1 n+1 (z − z ) (z − z ) (z − z0 )n+1 0 0 ∂C Γ C(z0 ,r) En cons´equence de cette ´egalit´e on conclut que pour d´emontrer la formule de d´erivation de Cauchy il suffit qu’on la v´erifie sur le cercle C(z0 , r). 1) D´emontrons la formule pour n = 1. Pour tout h ∈ C tel que | h |< r/2 la formule de Cauchy nous permet d’´ecrire que I h f (z) f (z0 + h) − f (z0 ) 1 f (z) i = − dz h 2πhi C(z0 ,r) z − z0 − h z − z0 I 1 f (z) = dz 2πi C(z0 ,r) (z − z0 )(z − z0 − h) I I 1 f (z) 1 hf (z) = dz + dz 2 2πi C(z0 ,r) (z − z0 ) 2πi C(z0 ,r) (z − z0 )2 (z − z0 − h) A. Bouarich

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Int´egration des fonctions complexes a` une variable complexe

57

Maintenant, observons que puisque pour tout z ∈ C(z0 , r) et | h |< r/2 on a | z − z0 |= r

et

| z − z0 − h |>| z − z0 | − | h |> r − r/2 = r/2

et puisque la fonction f (z) est born´ee sur le cercle C(z0 , r) donc la borne sup´erieure sup{| f (z) | ; ∀z ∈ C(z0 , r)} = M(r) < +∞ on d´eduit que I

C(z0 ,r)

| h | M(r) I 4π | h | M(r) hf (z) | dz |= dz 6 (z − z0 )2 (z − z0 − h) r 3 /2 r2 C(z0 ,r)

Ainsi, comme pour tout h ∈ C tel que | h |< r/2 on obtient la majoration I f (z + h) − f (z ) 4πM(r) | h | f (z) 1 0 0 − dz 6 h 2πi C(z0 ,r) (z − z0 )2 r2

I 1 f (z) qui implique que si h tend vers z´ero on obtient = dz. 2πi C(z0 ,r) (z − z0 )2 2) D´emontrons la formule pour n = 2. Comme dans 1) pour tout h ∈ C tel que | h |< r/2 la formule de Cauchy d´emontr´ee pour n = 1 nous permet d’´ecrire que I h f ′ (z0 + h) − f ′ (z0 ) 1 f (z) i f (z) = − dz h 2πhi C(z0 ,r) (z − z0 − h)2 (z − z0 )2 I f (z)(2(z − z0 ) − h) 1 dz = 2πi C(z0 ,r) (z − z0 )2 (z − z0 − h)2 I 1 (z − z0 )(2(z − z0 − h) + h) = f (z) dz 2πi C(z0 ,r) (z − z0 )3 (z − z0 − h)2 I I 1 2f (z) h f (z)(3(z − z0 ) − 2h) = dz + 3 2πi C(z0 ,r) (z − z0 ) 2πi C(z0 ,r) (z − z0 )3 (z − z0 − h)2 f ′ (z0 )

Ainsi, comme dans 1) en observant que sur le cercle C(z0 , r) on a | z − z0 |= r et pour | h |< r/2 on a | z − z0 − h |> r/2 on d´eduit que I f ′ (z + h) − f ′ (z ) 2! f (z) | h | M(3r + 2(r/2) 0 0 − dz (2πr) 6 3 h 2πi C(z0 ,r) (z − z0 ) r 3 (r/2)2 ) 32M 6 |h| r3 Par cons´equent, si on fait tendre h vers z´ero on d´eduit que la d´eriv´ee seconde I 2! f (z) dz f (2) (z0 ) = 2πi C(z0 ,r) (z − z0 )3 3) En supposant que pour tout 0 6 p 6 n − 1 la d´eriv´ee f (p) (z0 ) est existe et qu’elle est donn´ee par la formule int´egrale I p! f (z) (p) f (z0 ) = dz 2πi C(z0 ,r) (z − z0 )p+1 A. Bouarich

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58

on d´emontre comme ci-dessus que le taux d’accroissement I h f (z) f (z) i f (n−1) (z0 + h) − f (n−1) (z0 ) (n − 1)! − dz = n h 2πhi (z − z0 )n C(z0 ,r) (z − z0 − h) I n! f (z) tend vers dz = f (n) (z0 ) quand h tend vers z´ero. 2πi C(z0 ,r) (z − z0 )n+1 Th´ eor` eme 11 (Morera 1886). Soient Ω ⊆ C un ouvert non vide etIf : Ω → C une fonction continue. Si pour toute courbe ferm´ee Γ ⊂ Ω l’int´egrale curviligne f (z)dz est nulle alors Γ

la fonction f (z) est holomorphe sur Ω.

D´emonstration. Rappelons que d’apr`es le r´esultat du th´eor`eme 4 puisque les int´egrales curviligne de f (z) sont Z nulle le long des courbes ferm´ees contenues dans Ω il en r´esulte que la z

fonction F(z) =

f (u)du est bien d´efinie et holomorphe sur Ω. Ainsi, comme la fonction

a

d´eriv´ee F′ (z) = f (z) le th´eorme ` de d´erivation de Cauchy implique de f (z) est holomorphe sur Ω. Exemple 19. On d´esigne par Γ le cercle centr´e ` a l’origine et de rayon r = 1. Calculons les int´egrales curvilignes I I dz e2z dz ∀n > 1, et n+1 (z − 2) 2 Γ z Γ (2z − 1) (2z + 1) 1 1) Observons que si on pose f (z) = on obtient une fonction holomorphe sur le disque z−2 centr´e ` a l’origine et de rayon r = 1. Donc, d’apr`es la formule de d´erivation de Cauchy la d´eriv´ee d’ordre n > 0 de f (z) au point z = 0 est ´egale ` a I I n! f (z) dz 2πi dn 1 f (n) (0) = dz =⇒ = ( ) n+1 (z − 2) 2πi Γ z n+1 n! dz n z − 2 z=0 Γ z Ainsi, puisque pour tout entier la d´eriv´ee I

Γ

dn 1 (−1)n n! ( ) = on en d´eduit que dz n z − 2 (z − 2)n+1

dz 2πi (−1)n n! πi = =− n n+1 n+1 z (z − 2) n! (−2) 2

e2z est holomorphe sur C ⊂ {−1/2, 1/2}. Donc, si (2z − 1)2 (2z + 1) pour 0 < r < 1/4 on oriente positivement le domaine D = D(0, 1) \ D(−1/2, r) ∪ D(1/2, r)

2) Notons que la fonction

la formule de Cauchy-Goursat appliqu´ee ` a la fonction g(z) implique I I I e2z dz e2z dz e2z dz = + 2 2 2 C(0,1) (2z − 1) (2z + 1) C(−1/2,r) (2z − 1) (2z + 1) C(1/2,r) (2z − 1) (2z + 1)

Ainsi, si on applique la formule de d´erivation aux deux int´egrales curvilignes de droite on d´eduit qu’elles sont ´egales ` a I e2z dz e2z πi = 2πi = e−1 2 2 2(2z − 1) z=−1/2 4 C(−1/2,r) (2z − 1) (2z + 1) A. Bouarich

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Int´egration des fonctions complexes a` une variable complexe

b

b

59

b

Figure 2.16 – Le domaine D orient´e positivement

et I

C(1/2,r)

4e − 2e e2z dz d e2z πei = 2πi = 2πi = (2z − 1)2 (2z + 1) dz 4(2z + 1) z=1/2 4(4) 4

Donc, l’int´egrale curviligne

I

C(0,1)

e2z dz πi = (e + e−1 ). (2z − 1)2 (2z + 1) 4

Exercice 29. Soit R > 1 et f : D(0, R) → C une fonction holomorphe. D´emontrer que ∀n > 0,

f (n) (0) 1 = n! 2π

Z

2π

f (eiθ )e−inθ dθ

0

Exercice 30. Soit R > 1 et f : D(0, R) → C une fonction holomorphe.

1) Calculer les deux int´egrales curvilignes suivantes le long du cercle C(0, 1) : I

C(0,1)

1 f (z) 2 − (z + ) dz z z

et

I

1 f (z) 2 + (z + ) dz z z C(0,1)

2) En d´eduire qu’on a les deux formules suivantes Z f ′ (0) 1 2π f (eit ) cos2 (t/2)dt = f (0) + π 0 2 Z 2π ′ 1 f (0) f (eit ) sin2 (t/2)dt = f (0) − π 0 2 Exercice 31. Soient f et g : D(0, 1) → C continues et holomorphe sur le disque ouvert D(0, 1). D´emontrer que l’int´egrale curviligne 1 2πi

I

|u|=1

  f (z) zg(u) + du = 1  g( ) u − z zu − 1 z

f (u)

si

| z |< 1

si

| z |> 1

Exercice 32. Calculer les int´egrales curvilignes suivantes I

|z|=1

ez dz , zn

I

|z|=1

cos(z)dz , z 2 (z − 2)

I

|z|=2

(z 2 + 1)dz , z 3 (1 − z 2 )

I

|z−i|=1

zdz + 1)3

(z 2

Exercice 33. Calculer l’int´egrale curviligne suivante pour r = 1 et r = 3 I ez dz 2 |z|=r z(z − 4)(z − 2) A. Bouarich

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60

Exercice 34. Soient P(z) et Q(z) deux polynˆ omes tel que le degr´e deg(P) < deg(Q). 1) D´emontrer que si Q(z) poss`ede que des z´eros simples z1 , z2 , · · ·, zm ∈ C alors k=m X P(zk ) 1 P(z) = Q(z) Q′ (zk ) z − zk k=1

2) En d´eduire que pour tout r´eel r > max(| zk | ; k = 1, · · · , m) l’int´egrale curviligne I

|z|=r

k=m X P(zk ) P(z) zP(z) dz = 2πi = 2πi lim ′ z→∞ Q(z) Q(z) Q (zk ) k=1

3) Application : Calculer les int´egrales curvilignes suivantes, I I (z 2 + 1)dz (z 3 + z)dz , , 2 2 2 |z|=3 (z − z − 2)z |z|=2 (z − z + 1)(z + z + 1)

I

|z|=3

(z − 1)dz z 3 − 4z − 3

Exercice 35. Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et z0 ∈ Ω. Consid´erons une fonction f : Ω → C qui est continue et holomorphe sur Ω \ {z0 }. 1) D´emontrer que la fonction g(z) = (z − z0 )f (z) est holomorphe sur l’ouvert Ω. 2) En d´eduire que la fonction f (z) est holomorphe sur l’ouvert Ω.

Exercice 36. On d´esigne par Γ (resp. Γ∗ ) le demi-cercle sup´erieur (resp. inf´erieur) orient´e dans le sens trigonom´etrique, centr´e ` a l’origine et de rayon un. ´ Etant donn´e un r´eel R > 1 et une fonction ϕ(z) continue sur le disque D(0, R), pour tout nombre complexe z ∈ C \ Γ on pose : Z ϕ(u)du f (z) = Γ u−z

et

g(z) =

Z

Γ∗

ϕ(u)du u−z

1) Montrer que la borne inf´erieur : inf{| z − u | ; ∀u ∈ Γ} =|| z | −1 |.

a Γ on a 2) Montrer que pour tout couple de points z 6= z0 qui n’appartiennent pas ` Z Z f (z) − f (z0 ) ϕ(u)du (z − z0 )ϕ(u)du − = 2 2 z − z0 Γ (u − z0 ) Γ (u − z0 ) (u − z) 3) On pose M = sup{| ϕ(u) | ; ∀u ∈ Γ}. Montrer que Z (z − z )ϕ(u)du πM | z − z0 | 0 6 2 (u − z) (u − z ) (| 1− | z0 |)2 | 1− | z || 0 Γ

4) En d´eduire que la fonction f (z) est holomorphe sur l’ouvert C \ Γ et que sa fonction d´ereiv´ee est donn´ee par l’expression, Z ϕ(u)du ′ ∀z 6∈ Γ, f (z) = 2 Γ (u − z) 5) En proc´edant comme dans 2) et 3) d´emontrer que la fonction g(z) est holomorphe sur l’ouvert C \ Γ∗ . 6) D´emontrer que si la fonction ϕ(z) est holomorphe sur le disque D(0, R) alors on a les relations suivantes ( ϕ(z) si | z |< 1 f (z) + g(z) = 0 si 1 <| z |< R A. Bouarich

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61

En d´eduire que pour tous les points z+ ∈ Γ et z− ∈ Γ∗ on a lim f (z) = ϕ(z+ ) lim f (z) − z→z

z→z+ |z|<1

et

+ 1<|z|
lim g(z) − z→z lim g(z) = ϕ(z− )

z→z−

− 1<|z|
|z|<1

7) Conclure.

2.2.6

Applications int´ eressantes du th´ eor` eme de d´ erivation

Dans ce paragraphe, on va appliquer les formules de d´erivation int´egrales (cf. th. 7) pour mettre en ´evidence quelques propri´et´es importantes et sp´eciales pour les fonctions holomorphes. Rappelons que ci-dessus nous avons d´emontr´e que les fonctions holomorphes sont ind´efinement d´erivales, donc il est naturel de se demander sont-elle d´eveloppables en s´eries enti`eres ? La r´eponse affirmative est donn´ee par le th´eor`eme suivant : Th´ eor` eme 12 (D´eveloppement en s´erie enti`ere). Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide, et soient z0 ∈ Ω et R > 0 tel que le disque ferm´e D(z0 , R) ⊂ Ω. Si f : Ω → C est une fonction holomorphe alors pour tout z ∈ D(z0 , R) la s´erie de Taylor X f (n) (z0 ) n>0

n!

(z − z0 )n

converge normalent vers f (z) dans le disque ferm´ee D(z0 , R). D´emonstration. Soit z ∈ D(z0 , R) tel que | z − z0 |= ρ < r < R. Pour tout u ∈ C(z0 , r) ´ecrivons 1 u−z

= =

=

1 (u − z0 ) − (z − z0 ) 1 1 z u − z0 1 − − z0 u − z0 k=n 1 X z − z k 0

u − z0

k=0

u − z0

+

1 z − z0 n+1 u − z u − z0

Maintenant, multiplions les deux membres de cette ´egalit´e par f (u) et int´egrons le long du cercle C(z0 , r) tout en appliquant les formules de d´erivations de Cauchy, 1 2πi

I

C(z0 ,r)

f (u)du u−z

=

f (z) =

k=n X k=0 k=n X k=0

f (k) (z0 ) 1 (z − z0 )k + k! 2πi

I

f (u) z − z0 n+1 du u − z u − z0

f (k) (z0 ) 1 (z − z0 )k + k! 2πi

I

f (u) z − z0 n+1 du u − z u − z0

C(z0 ,r)

C(z0 ,r)

z − z ρ 0 D’autre part, observons que puisque pour tout u ∈ C(z0 , r) on a < < 1 et comme u − z0 r | u − z |>| u − z0 | − | z − z0 |= r − ρ on en d´eduit la majoration 1 I f (u) z − z0 n+1 M(r) ρ n+1 du 6 2πi C(z0 ,r) u − z u − z0 2π(r − ρ) r A. Bouarich

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Int´egration complexe : Le th´eor`eme des r´esidus et ses applications

62

k=n X f (k) (z0 ) k (z − z (z) − ) f 0 6 k! k=0

Par cons´equent, puisque

ρ n+1 M 2π(r − ρ) r

X f (n) (z0 ) ρ < 1 on conclut que la s´erie de Taylor (z−z0 )n converge r n! n>0

normalement vers f (z) dans le disque D(z0 , r).

Le th´eor`eme pr´ec´edent nous permet de d´emontrer que les z´eros d’une fonction holomorphe non nulle sont isol´es. C’est-` a-dire, si f : Ω → C est une fonction holomorphe non nulle qui s’annulle en un point a ∈ Ω alors il existe un r´eel r > 0 tel que D(a, r) ⊆ Ω de sorte que {z ∈ Ω ; f (z) = 0} ∩ D(a, r) = {a}. D´ efinition 21. Soit Ω ⊆ C un ouvert connexe non vide et f : Ω → C une fonction holomorphe. On dira que z0 ∈ Ω un z´ero de f (z) d’ordre m ∈ N∗ si on a f (z0 ) = f ′ (z) = · · · = f (m−1) (z0 ) = 0

et

f (m) (z0 ) 6= 0

Si z0 ∈ Ω est un z´ero d’ordre m > 1 donc le d´eveloppement de f (z) en s´erie enti`ere au voisinage de z0 s’´ecrit sous la forme f (z) = am (z − z0 )m + am+1 (z − z0 )m+1 + · · · = (z − z0 )m g(z) o` u g(z) est une fonction holomorphe telle que g(z0 ) 6= 0.

Inversement, si f (z) = (z − z0 )m g(z) avec g(z) est holomorphe sur un voisinage de z0 et g(z0 ) 6= 0 alors z0 est un z´ero de f (z) d’ordre m. Th´ eor` eme 13 (Principe du z´ero isol´e). Soit Ω ⊆ C un ouvert connexe non vide et f : Ω → C une fonction holomorphe. S’il existe une suite infinie zn ∈ Ω qui converge vers a ∈ Ω et telle que f (zn ) = 0 alors la fonction f (z) est identiquement nulle sur Ω. D´emonstration. 1) Notons d’abord que f (a) = 0 et puique pour tout entier n le taux d’acroisf (zn ) − f (a) sement est nul cela implique que la d´eriv´ee f ′ (a) = 0. zn − a 2) Observons aussi que puisque sur le sous ensemble infini {n ∈ N , zn 6= a} le second f (zn ) − f (a) − (zn − a)f ′ (a) taux d’acroissement est nul on en d´eduit que la d´eriv´ee seconde (zn − a)2 f (2) (a) = 0. 3) Par r´ecurrence, on v´erifie de la mˆeme fa¸con que toute les d´eriv´ees f (n) (a) sont nulles, donc puisque f (z) est d´evellopable en s´erie enti`ere sur un voisinage du point a on d´eduit qu’il existe un disque D(a, r) sur lequel f (z) est identiquement nulle. 4) Enfin, notons que la partie ferm´ee F = {z ∈ Ω ; f (z) = 0} est un voisinage de a, en fait un ouvert. Donc, par connexit´e de l’ouvert Ω on d´eduit qu’on a l’´ galit´e F = Ω qui implique que f (z) est nulle sur Ω. Le principe du z´ero isol´e est un ph´enom`ene sp´ecial pour les fonctions holomorphes parce que sur les espaces Rn on peut construire des fonctions de classe C ∞ qui s’annulent sur des ouverts A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

Int´egration des fonctions complexes a` une variable complexe non vides. Par exemple, sur R2 la fonction suivante ( 0 si f (x, y) = 1 exp[ x2 +y2 −1 ] si

63

x2 + y 2 > 1 x2 + y 2 6 1

est de classe C ∞ et s’annule sur l’ouvert R2 \ D(0, 1). Th´ eor` eme 14 (In´egalit´es de Cauchy). Soit Ω ⊆ C un ouvert non vide et f : Ω → C une fonction holomorphe. Si le point z0 ∈ Ω alors pour tout r´eel r > 0 tel que D(z0 , r) ⊆ Ω et pour tout entier n > 0 on a l’in´egalit´e f (n) (z ) M(r) 0 6 n n! r

o` u M(r) = sup{| f (z) | ; ∀z ∈ D(z0 , r)}.

D´emonstration. Rappelons que d’apr`es l’expression int´egrale des d´eriv´ees d’ordre sup´erieurs de f (z) au point z0 si on C(z0 , r) d´esigne le bord du disque ferm´e D(z0 , r) ⊆ Ω on aura f (n) (z0 ) 1 = n! 2πi

I

C(z0 ,r)

f (z)dz (z − z0 )n+1

=⇒

I f (n) (z ) 1 | f (z) || dz | 0 6 n! 2π C(z0 ,r) r n+1

Ainsi, on voit que l’in´egalit´e de Cauchy s’obtient en remarquant que

I

C(z0 ,r)

en posant M(r) = sup{| f (z) | ; ∀z ∈ D(z0 , r)}.

| dz |= 2πr et

Th´ eor` eme 15 (Liouville). Toute fonction holomorphe et born´ee sur le plan complexe C est constante. D´emonstration. Remarquer que s’il existe un r´eel M > 0 tel que pour tout z ∈ C, | f (z) |6 M. Donc, d’apr`es l’in´egalit´e de Cauchy pour tous r > 0 et z ∈ D(0, r), | f ′ (z) |6

M(r) M 6 r r

Ainsi, si on fait tendre le r´eel r > 0 tend vers l’infini on d´eduit que la d´eriv´ee f ′ (z) = 0, et donc pour tout z ∈ C, f (z) = f (0). Th´ eor` eme 16 (Th´eor`eme fondamental de l’alg`ebre). Tout polynˆ ome de degr´e n > 1 ` a coeficient complexes poss`ede au moins une racine dans C. D´emonstration. Supposons que P(z) est une fonction polynˆ omiale de degr´e n > 1 qui ne 1 s’annule pas dans C. Donc, si pour tout z ∈ C on pose f (z) = on obtient une holomorphe P(z) 1 sur C. D’autre part, comme la limite lim = 0 on en d´eduit que la fonction f (z) z→∞ P(z) est born´ee sur C. Ainsi, puisque le th´eor`eme de Liouville implique que la fonction f (z) est constante sur C il s’ensuit que le polynˆ ome P(z) est constant sur C ; or ceci est absurde. Donc, tout polynˆ ome P(z) de degr´e n > 1 s’annule sur C. A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

Int´egration complexe : Le th´eor`eme des r´esidus et ses applications

64

2.3

Le th´ eor` eme des r´ esidus et ses applications

2.3.1

S´ eries de Laurent

D´ efinition 22. Une s´erie des puissances de la forme X a−2 a−1 an (z − a)n = · · · + + + a0 + a1 (z − a) + a2 (z − a)2 + · · · 2 (z − a) z−a n∈Z

s’appelle s´erie de Laurent centr´ee au point a ∈ C. X a−n 1. La s´erie des puissances n´egatives s’appelle la partie principale. (z − a)n n>0 X 2. La s´erie des puissances positives an (z − a)n s’appelle la partie r´eguli`ere. n>0

3. On dira que la s´erie de Laurent converge si ses parties principale et r´eguli`ere convergent.

La proposition suivante est analogue au th´eor`eme de Hadamard pour les s´eries enti`eres ; elle va nous donner les formules qui permettent de d´eterminer l’int´erieur du domaine de convergence simple d’une s´erie de Laurent et nous donnera aussi une formule qui permet de calculer les coefficients de la s´erie de Laurent. X Proposition 22. Soit an (z − a)n une s´erie Laurent centr´ee au point a ∈ C. On pose n∈Z

r = Lim-sup n→+∞

p n

| a−n |

et

R=

1 Lim-sup n→+∞

p n

| an |

1. Sur la couronne circulaire Cr,R (a) = {z ∈ C ; r <| z − a |< R} la s´erie de Laurent X an (z − a)n converge simplenement. n∈Z

2. Pour tout couple de r´eels r < r ′ < R′ < R la s´erie de Laurent

X

n∈Z

an (z − a)n converge

normalement vers une fonction holomorphe f : Cr′ ,R′ → C dont les fonctions d´eriv´ees s’obtiennent en d´erivant la s´erie de Laurent terme ` a terme. 3. Pour tout r´eel r < ρ < R les coefficients de la s´erie de Laurent sont donn´es par l’intergrale curviligne I f (z)dz 1 an = , ∀n ∈ Z 2πi C(a,ρ) (z − a)n+1 p | an | et lim n | a−n | n→+∞ n→+∞ X existent le crit`ere de Cauchy permet de d´eduire que la partie r´eguli`ere an (z − a)n converge D´emonstration. 1) et 2) Notons que si on suppose que les limites lim

p n

n>0

si on a

p | z − a | lim n | an | < 1 n→+∞ X a−n tandis que la partie principale converge si on a (z − a)n n>0 lim

n→+∞

p n

| a−n |

|z−a| A. Bouarich

<1 Introduction ` a l’analyse complexe

Le th´eor`eme des r´esidus et ses applications

65

Donc, selon le crit`ere de Cauchy la s´erie de Laurent converge pour tout nombre complexe z ∈ C,

r = lim

n→+∞

Si les deux suites lim

n→+∞

p n

p n

| a−n |<| z − a |<

| an | et lim

n→+∞

p n

lim

n→+∞

1 p n

| an |

=R

⇐⇒

z ∈ Cr,R

| a−n | n’existent pas on proc`ede comme dans la

preuve du th´eor`eme de Hadamard (voir Chp. 4).

3) Si f : Cr′ ,R′ → C est la limite normale de la s´erie de Laurent tout r´eel r ′ < ρ < R′ et pour tout entier m ∈ Z on peut ´ecrire que

1 2πi

I

C(a,ρ)

f (z) (z − a)m+1

=

f (z)dz (z − a)m+1

=

n∈Z

Ainsi, comme pour tout m ∈ Z l’int´egrale n − m − 1 6= −1 on en d´eduit que am

X

X

n∈Z

an (z − a)n donc pour

an (z − a)n−m−1

X an I (z − a)n−m−1 dz 2πi C(a,ρ)

n∈Z

I

C(a,ρ) I

1 = 2πi

(z − a)n−m−1 dz s’annule si et seulement si

C(a,ρ)

f (z)dz . (z − a)m+1

Le th´eor`eme suivant est d´emontr´e par P.A. Laurent en 1843 il d´emontre que toute fonction holomorphe sur une couronne circulaire poss`ede une s´erie de Laurent. Th´ eor` eme 17 (P.A. Laurent 1843). Toute fonction holomorphe f : Cr,R (a) → C se d´eveloppe de mani`ere unique en s´erie de Laurent centr´ee au point a ie. : ∀z ∈ Cr,R (a),

f (z) =

X

n∈Z

an (z − a)n

De plus, pour tout r´eel r < ρ < R et pour tout entier n ∈ Z le coefficient I 1 f (z) an = dz 2πi C(a,ρ) (z − a)n+1 D´emonstration. Dans l’int´erieur de la couronne Cr,ρ (a) fixons un point z et choisissons deux nombres r´eels r < r1 <| z − a |< R1 < R.

ρ R1

r1

b

a

r

R

b

z

Figure 2.17 – Cr,R (a) : une couronne circulaire centr´ee en a ∈ Ω A. Bouarich

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Int´egration complexe : Le th´eor`eme des r´esidus et ses applications

66

Donc, si on applique la formule de Cauchy-Goursat ` a la fonction orient´e positivement (voir la figure) D = Cr1 ,R1 (a) \ D(z, ε) on d´eduit que I ∂D

f (w)dw = w−z

I

C(a,R1 )

avec

f (w) sur le bord du domaine w−z

4ε < min(| z − a | −r1 , R1 − | z − a |)

f (w)dw − w−z

I

C(a,r1 )

f (w)dw − w−z

I

C(z,ε)

f (w)dw =0 w−z

Ainsi, comme la fonction f (w) est holomorphe sur le disque ferm´e D(z, ε) la formule int´egrale I 1 f (w)dw . D’o` u, de Cauchy implique que f (z) = 2πi C(z,ε) w − z I I 1 f (w)dw 1 f (w)dw f (z) = − 2πi C(a,R1 ) w − z 2πi C(a,r1 ) w − z Pour trouver le d´eveloppement de Laurent on va d´evelopper les deux int´egrales curvilignes pr´ec´edentes respectivement en s´erie de puissances positives et n´egatives. Notons que si pour tout w ∈ C(a, r1 ) on ´ecrit 1 w−z

1 1 1 =− w (w − a) − (z − a) z−a1− −a z−a w − a n+1 k=n i 1 h X w − a k = − + z −wa − a z−a z−a 1− k=0 z−a k=n X (w − a)k w − a n+1 1 + = − k+1 (z − a) z−a w−z =

k=0

alors en multipliant cette expression par f (w) on obtient l’int´ grale curviligne 1 2πi

I

C(a,r1 )

f (w)dw w−z

+

k=n X

I 1 1 f (w)dw (z − a)k+1 2πi C(a,r1 ) (w − a)−k k=0 I w − a n+1 f (w)dw 1 2πi C(a,r) z − a w−z

= −

D’autre part, observons que puisque pour tout w ∈ C(a, r1 ) on a | w − z |>| a − z | − | w − a |

=⇒

| w − z |>| a − z | −r1

Donc, si on pose r =| z − a | et M(r1 ) = sup{| (f (w) | ; w ∈ C(a, r1 )} on obtient l’in´egalit´e de Cauchy 1 I w − a n+1 f (w)dw M(r ) r n+1 1 1 6 2πi C(a,r1 ) z − a w−z r − r1 r

Ainsi, comme pour tout w ∈ C(a, r1 ) on a | w − a |<| z − a on en d´eduit que si on fait tendre l’entier n vers l’infini on conclut que l’int´egrale curviligne I I X a−n 1 f (w)dw 1 f (w)dw =− o` u a = , ∀n > 1 −n 2πi C(a,r1 ) w − z (z − a)n 2πi C(a,r1 ) (w − a)−n+1 n>1

A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

Le th´eor`eme des r´esidus et ses applications

67

De la mˆeme fa¸con que ci-dessus, on v´erifie que l’int´egrale curviligne I I 1 f (w)dw X 1 f (w)dw n = an (z − a) o` u an = 2πi C(a,R1 ) w − z 2πi C(a,R1 ) (w − a)n+1 n>0

f (w)dw f (w)dw et w 7−→ sont −n+1 (w − a) (w − a)n+1 holomorphes sur la couronne Cr1 ,R1 et comme pour tout r´eel r1 < ρ < R1 le cercle C(a, ρ) se d´eforme continument sur les deux cercles C(a, r1 ) et C(a, R1 ) on d´eduit que I I 1 f (w)dw 1 f (w)dw an = = 2πi C(a,R1 ) (w − a)n+1 2πi C(a,ρ) (w − a)n+1 Enfin, puisque pour tout n > 0 les fonctions w 7−→

et a−n

1 = 2πi

I

C(a,r1 )

f (w)dw 1 = (w − a)−n+1 2πi

I

C(a,ρ)

f (w)dw (w − a)−n+1

Noter que l’expression des coefficients an de la s´erie de Laurent trouv´ee impliques que les an ne d´ependent que de f (z) et donc ils sont uniques. Exemple 20. 1) D´eveloppons la fonction a = 0 valable sur C∗ .

sin(z) en s´erie de Laurent centr´ees ` a l’origine z

Rappelons que la fonction sin(z) est holomorphe sur C et son d´eveloppement en s´erie enti`ere centr´ee ` a l’origine est donn´ee pour tout z ∈ C sin(z) =

X

(−1)n

n>0

z 2n+1 (2n + 1)!

Donc, pour tout z ∈ C∗ on a la s´erie de Laurent sin(z) z 2n z2 z4 =1− + + · · · + (−1)n + ··· z 3! 5! (2n + 1)! dont la partie principale est identiquement nulle. 1 en s´erie de Laurent centr´ee ` a l’origine a = 0 valable 2) D´eveloppons la fonction 2 z (z − i) sur la couronne 0 <| z |< 1. Pour cela observons que puisque pour tout | z |< 1 on a la s´erie enti`ere X 1 i = =i (−1)n (i)n z n z−i 1 + iz n>0 on d´eduit que le d´eveloppement de Laurent de la fonction donn´e par X 1 i 1 = + − i + (−1)n (i)n+1 z n , z 2 (z − i) z2 z n>1

1 au voisinage de z´ero est − i)

z 2 (z

∀z ∈ C∗ ,

0 <| z |< 1

Notons que la partie principle de la s´erie de Laurent de la fraction rationnelle une fraction rationnelle A. Bouarich

i 1 + . 2 z z

1 est − i)

z 2 (z

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Int´egration complexe : Le th´eor`eme des r´esidus et ses applications

68

3) Rappelons que a fonction exponetielle ez poss`ede sur C le d´eveloppement en s´erie enti`ere suivant X zn ∀z ∈ C, ez = n! n>0 Donc, pour tout z ∈ C∗ on a la s´erie de Laurent centr´e ` a l’origine X 1 1 e1/z = , ∀z ∈ C∗ n n! z n>0

Notons que la partie principale du d´eveloppement de la fonction holomorphe e1/z en s´erie de Laurent autour de z´ero contient une infinit´e de termes. 1 4) Dans cet exemple, on va d´evelopper la fonction holomorphe f (z) = en s´erie (z − 1)(z − 2) de Laurent dans plusieurs couronnes contenues dans l’ouvert C \ {1, 2}. a) Notons que pour tout 0 <| z − 1 |< 1 on peut ´ecrire X 1 1 X f (z) = = (z − 1)n = − (z − 1)n (1 − z)[1 − (z − 1)] 1−z n>0

n>−1

b) De mˆeme, pour tout 0 <| z − 2 |< 1 on pourra ´ecrire X 1 1 X f (z) = = (−1)n (z − 2)n = (−1)n+1 (z − 2)n (z − 2)[1 + (z − 2)] z − 2 n>0 n>−1 c) Notons aussi que puisque pour tout 1 <| z |< 2 on a f (z) =

1 1 1 1 1 1 − =− − z−2 z−1 2 1 − z/2 z 1 − 1/z

donc du fait que | z/2 |< 1 et | 1/z |< 1 on pourra ´ecrire 1 X zn 1 X 1 f (z) = − − 2 n>0 2n z n>0 z n X X zn = − zn − 2n+1 n6−1

n>0

Exercice 37. D´eterminer le d´eveloppement en s´erie de Laurent dans la couronne indiqu´ee. 7z − 2 1. , {z ∈ C ; 0 <| z |< 1}. z(z + 1)(z − 2) 7z − 2 2. , {z ∈ C ; 0 <| z + 1 |< 1}. z(z + 1)(z − 2) 1 , {z ∈ C ; 0 <| z − i |< 1}. 3. 2 z (z − i) 1 4. 2 , {z ∈ C ; 1 <| z |}. z (z − i) z2 + 1 5. 2 2 , {z ∈ C ; 0 <| z |< 1}. z (z − 1) z2 + 1 6. 2 2 , {z ∈ C ; 0 <| z − 1 |< 1}. z (z − 1) z2 + 1 7. 2 2 , {z ∈ C ; 0 <| z + 1 |< 1}. z (z − 1) A. Bouarich

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Le th´eor`eme des r´esidus et ses applications

2.3.2

69

Classification des singularit´ es isol´ ees

D´ efinition 23. Soient z0 ∈ C et r > 0. Si f (z) est une fonction holomophe sur le disque point´e D′ (z0 , r) = {z ∈ C ; 0 <| z − z0 |< r} on dira que le point z0 est une singularit´e isol´ee de f (z). Il existe trois types de singularit´es isol´ees : 1. On dira que z0 est une singularit´e isol´ee supprimable si lim f (z) existe dans C. z→z0

N∗

2. On dira que z0 est un pˆ ole d’ordre m ∈ si pour tout entier 0 6 p < m la limite p m lim (z − a) f (z) = ∞ mais lim (z − a) f (z) existe dans C. z→z0

z→z0

3. On dira que z0 est une singularit´e isol´ee essentielle si pour tout entier m ∈ N la limte lim f (z) n’existe pas. z→z0

Exemple 21. 1) Les fonctions suivantes poss`edent une singularit´e suprimable au point z0 = 0: 2 ez − 1 sin(z) 1 − cos(z) sin(z) , , , 2 2 z z z Sh(z) z2 + 7 pr´esente un pˆ ole d’odre deux au point z1 = i et un pˆ ole z 3 (z − i)2 d’ordre trois au point z2 = 0. 1 3) La fonction exp( ) poss`ede une singularit´e isol´ee essentielle au point z0 = 0. z 1 1 4) Notons que puisque la fonction sin( ) s’anulle sur les termes de la suite on en d´eduit z nπ 1 que le point z0 = 0 n’est pas une singularit´e isol´e pour la fonction sin( ). z 2) La fraction rationnelle

Proposition 23. Soit z0 ∈ C et f : D′ (z0 , r) = {z ∈ C ; 0 <| z − z0 |< r} → C une fonction holomorphe. Alors on a les propositions suivantes : X 1. z0 est une singularit´e suprimable si et seulement si la s´erie de Laurent an (z − z0 )n n∈Z

associ´ee ` a f (z) ne contient pas des puissances n´egatives.

ole d’ordre fini si et seulement si la s´erie de Laurent 2. z0 est un pˆ

X

n∈Z

a f (z) contient un nombre fini de puissances n´egatives. `

an (z − z0 )n associ´ee

3. z0 est une singularit´e essentielle si et seulement si la s´erie de Laurent

X

n∈Z

associ´ee ` a f (z) contient une infinit´e de puissances n´egatives.

an (z − z0 )n

D´emonstration. Exercice.

2.3.3

R´ esidu d’un point singulier isol´ e

Soit f : {z ∈ C ; 0 <| z − z0 |< R} → C une fonction holomorphe. Rappelons que d’apr`es le th´eor`eme de Laurent la fonction f (z) se d´evelope dans le disque point´e D′ (z0 , R) en s´erie de puissance sous la forme ∀0 <| z − z0 |< R, A. Bouarich

f (z) =

X

n∈Z

an (z − z0 )n Introduction ` a l’analyse complexe

Int´egration complexe : Le th´eor`eme des r´esidus et ses applications

70

telle que pour tout r´eel 0 < ρ < R le coefficient I 1 f (z) an = , 2πi C(z0 ,ρ) (z − z0 )n+1

∀n ∈ Z

D´ efinition 24. Avec les notations ci-dessus, le coefficient I 1 a−1 = f (z)dz 2πi C(z0 ,ρ) s’appelle le r´esidu de f (z) au point z0 et se note R´es(f (z), z0 ). Il est int´eressant de noter que pour tout r´eel 0 < ρ < R l’int´egrale curviligne autour de la singularit´e isol´e z0 , I f (z)dz = 2πiR´es(f (z), z0 ) C(z0 ,ρ)

Notons aussi qu’` a partir de la d´efinition on d´eduit que si f (z) admet une t une singularit´e isol´ee supprimable au point z0 alors le r´esidu R´es(f (z), z0 ) = 0. Exemple 22. 1) Rappelons que pour tout nombre complexe z ∈ C∗ on a la s´erie de Laurent e1/z = 1 +

1 1 1 + + ··· + + ··· 2 z 2!z n!z n

Donc, puisque le r´esidu R´es(e1/z , 0) = 1 on en d´eduit que l’int´egrale curviligne I e1/z dz = 2πi |z|=1

Observons que si pour θ ∈ [0, 2π] on porte z = eiθ dans cette int´egrale on d´eduit que Z

2π 0

ecos(θ) sin(θ − sin(θ))dθ = 0

et

Z

2π

0

ecos(θ) cos(θ − sin(θ))dθ = 2π

La proposition suivante nous donnera une m´ethode pratique qui permet de calculer le r´esidu d’une fonction f (z) en un pˆ ole d’ordre m > 1. Proposition 24. Soit f : {z ∈ C ; 0 <| z − z0 |< R} → C une fonction holomorphe. Si le point z0 est un pˆ ole de f (z) d’ordre m > 1 alors le r´esidu R´es(f (z), z0 ) =

i 1 dm−1 h m (z − z ) f (z) 0 (m − 1)! dz m−1 z=z0

En particulier, si z0 est un pˆ ole simple alors le r´esidu

R´es(f (z), z0 ) = lim (z − z0 )f (z) z→z0

D´emonstration. Observer que si z0 est un pˆ ole d’ordre m > 1 alors le d´eveloppement de f (z) en s´erie de Laurent centr´ee au point z0 est donn´ee en tout point 0 <| z − z0 |< R par f (z) =

X a−m a−1 + ··· + + an (z − z0 )n m (z − z0 ) z − z0 n>0

A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

Le th´eor`eme des r´esidus et ses applications

71

Donc, si on pose g(z0 ) = 0 et g(z) = (z − z0 )m f (z) on obtient une holomorphe sur le disque D(z0 , R) parce que sur le disque D(z0 , R) on a la s´erie enti`ere : (z − z0 )m f (z) = a−m + a−m+1 (z − z0 ) + · · · + a−1 (z − z0 )m−1 +

X n>0

an (z − z0 )n+m

1 g(m−1) (z0 ) = R´es(f (z), z0 ). (m − 1)!

Donc, le coeffecient a−1 =

Corollaire 12. Soient g(z) et h(z) deux fonctions holomorphes sur le disque D(z0 , R). Si g(z0 ) 6= 0, h(z0 ) = 0 et h′ (z0 ) 6= 0 alors le r´esidu g(z) (z − z0 )g(z) g(z0 ) , z0 = lim = ′ R´es z→z h(z) h(z) h (z0 ) 0 Exemple 23. 1) La fonction f (z) =

1 poss`ede trois pˆ oles simples {0, −i, i} dont les + 1)

z(z 2

r´esidus sont donn´es par, 1. R´es(f (z), 0) = lim zf (z) = 1. z→0

2. R´es(f (z), i) = lim(z − i)f (z) = −1/2. z→i

3. R´es(f (z), −i) = lim (z + i)f (z) = −1/2. z→−i

2) La fonction g(z) =

(z 2

1 poss`ede deux pˆ oles d’ordre 4 aux points {−i, i}, donc leurs + 1)4

r´esidus sont donn´es par R´es(g(z), i) =

R´es(g(z), −i) =

i 1 d3 h 4.5.6 5i 1 d3 h (z − i)4 i 1 = =− =− 3 2 4 3 4 7 3! dz (z + 1) z=i 3! dz (z + i) z=i 3!(2i) 32

i 1 d3 h (z + i)4 i 1 d3 h 1 4.5.6 5i = =− = 3 2 4 3 4 7 3! dz (z + 1) z=−i 3! dz (z − i) z=−i 3!(−2i) 32

1 pr´esente au point z0 = 0 un pˆ ole d’ordre deux. Donc, le z(ez − 1) r´esidu de f (z) au point z = 0 est donn´e par la limite 3) La fonction f (z) =

R´es(f (z), 0) = = = = =

1 d 4 lim z f (z) 3! z→0 dz 1 d z lim 6 z→0 dz ez − 1 ez − 1 − zez 1 lim (r´egle de l’Hospital) 6 z→0 (ez − 1)2 −z 1 lim (r´egle de l’Hospital) 6 z→0 2(ez − 1) 1 − 12

Notons que puisque le r´esidu R´es( I A. Bouarich

1 1 , 0) = − on en d´eduit que l’int´egrale curviligne z(ez − 1) 12

|z|=1

1 2πi πi dz = − =− − 1) 12 6

z(ez

Introduction ` a l’analyse complexe

Int´egration complexe : Le th´eor`eme des r´esidus et ses applications

72

Exercice 38. D´emontrer que pour tout entier n > 1 le r´esidu R´es(z n e1/z , 0) =

1 . (n + 1)!

Exercice 39. Calculer R´es(f (z), u) pour f (z) et u donn´es ci-dessous. 1. f1 (z) =

z2 + 1 , u1 = 0. − z2)

z 3 (1

z 2 − 2z + 10 , u2 = 1. (z − 1)2 (z 2 + 2z) 1 , u3 = kπ o` 3. f3 (z) = u k ∈ Z. sin(z) 1 , u4 = 2kπi o` 4. f4 (z) = z u k ∈ Z. e −1 1 5. f5 (z) = , u5 = 1. Log2 (z) 2. f2 (z) =

Th´ eor` eme 18 (Th´eor`eme des r´esidus (Cauchy 1826)). Soit Γ ⊂ C une courbe simple ferm´ee qui borde un domaine born´e simplement connexe D ⊂ C (ie. ∂D = Γ).

Si f : D → C est une fonction homolorphe sauf aux points {z1 , z2 , · · · , zn } ⊂ Int(D) (ie. les zk sont des singularit´es isol´ees de f (z)) alors l’int´egrale curviligne I

f (z)dz = 2πi

Γ

k=n X

R´es(f (z), zk )

k=1

D´emonstration. Autour de chaque singularit´e isol´ee zk consid´erons un disque ferm´e D(zk , rk ) o` u les rayons rk > 0 seront choisis de tel sorte que les k disques D(zk , rk ) soit disjoints (voir la figure). De plus, orientons la courbe ferm´ee Γ et le bord de chaque disque D(zk , rk ) dans le sens trigonom´etrique. b

z3

Γ b

z2

b

z1 b

z4

Figure 2.18 – La courbe simple ferm´ee Γ borde un domaine simplement connexe born´e D point´e par quatre singularit´es isol´ees de f (z).

Maintenant, si on applique la formule de Cauchy-Goursat ` a f (z) sur le domaine K=D\

k=n [

D(zk , rk )

k=1

on d´eduit que l’int´egrale curviligne I

Γ

A. Bouarich

f (z)dz =

k=n XI k=1

f (z)dz

|z−zk |=rk

Introduction ` a l’analyse complexe

Le th´eor`eme des r´esidus et ses applications

73

I 1 Ainsi, comme pour chaque singularit´e zk on a f (z)dz = R´es(f (z), zk ) on d´eduit 2πi |z−zk |=rk I k=n X f (z)dz = 2πi R´es(f (z), zk ). donc que l’int´egrale curviligne Γ

k=1

z3 + 1 Exemple 24. 1) La fonction f (z) = 4 poss`ede quatre pˆ oles simples qui se trouvent sur z +1 le cercle centr´e ` a l’origine et de rayon R = 1 et sont zk = ei(π/4+kπ/2) = eiπ/4 (eiπ/2 )k

avec

06k63

z3 + 1 dz = 0 car la fonction 4 |z|=r z + 1 f (z) est holomorphe sur le disque D(0, r). Mais, si le r´eel r > 1 on aura Notons que pour tout r´eel 0 < r < 1 l’int´egrale curviligne

I

I

k=3

|z|=r

X z3 + 1 dz = 2πi R´es(f (z), zk ) z4 + 1 = 2πi

= −

k=0 k=3 X

k=0 k=3 X

πi 2

= 2πi

(zk )3 + 1 4(zk )3

(zk )3 + 1 zk

k=0

2) Calculons l’int´egrale curviligne de la fonction g(z) = parcouru dans le sens trigonom´etrique.

car (zk )4 = −1

1 − cos(z) le long curcle C(0, 4) z 3 (z − π)2

Notons que puisque la fonction f (z) est holomorphe sur C \ {0, π} et qu’elle pr´esente un pˆ ole simple au point z1 = 0 et un pˆ ole double au point z2 = π le th´eor`eme des r´esidus implique que l’int´egrale curviligne I h i 1 − cos(z) dz = 2π R´ e s(g(z), 0) + R´ e s(g(z), π) 3 2 |z|=4 z (z − π) h i 1 − cos(z) d h 1 − cos(z) = 2πi lim + lim z→π dz z→0 z2 z3 z=π h 1 −6 i = 2πi + 4 2 π 12 = (π − 3 )i π Exercice 40. Pour tout entier n > 1 d´emontrer que l’int´egrale curviligne I

|z|=2

z 2n−1 + 1 dz = 2πi z 2n + 1

Exercice 41. Calculer les int´egrales curviligne suivantes, I

|z|=2

z 3 dz , z4 − 1

A. Bouarich

I

|z|=2

dz , (z + 1)(z 3 − 1)

I

|z|=2

(sin(z) − z)dz , z 3 (z + 1)

I

|z|=2π

1 − cos(z))dz z 3 (z − iπ)

Introduction ` a l’analyse complexe

Int´egration complexe : Le th´eor`eme des r´esidus et ses applications

74

Exercice 42. Soient P(x) et Q(x) deux polynˆ omes irr´eductibles et tel que Q(x) ne poss`ede que des racines simples not´ees {z1 , z2 , · · · , zq }. P(z) P(zk ) 1) D´emontrer que le r´esidu R´es , zk = ′ , ∀1 6 k 6 q. Q(z) Q (zk ) 2) En d´eduire que pour tout r´eel R > max{| zk | ; 1 6 k 6 q} l’int´egrale curviligne k=q

I

|z|=R

X P(zk ) P(z)dz zP(z) = 2πi = 2πi lim ′ z→∞ Q(z) Q(z) Q (zk ) k=1

3) Calculer les int´egrales curvilignes suivantes I

2.4

|z|=

z2 + z + 1 dz, z3 + z2 + z + 1

I

|z|=

z3 − 1 dz, z 4 + 4z + 1

I

|z|=

5z 2 − 2z + 1 dz 3z 3 + 5z 2 − 2z − 2

Calcul des int´ egrales simples g´ en´ eralis´ ees par la m´ ethode des r´ esidus

Dans cette section, nous allons appliquer le th´eor`eme des r´esidus pour calculer certaines classes d’integrales simples d´efinies ou g´en´eralis´ees. Notons d’abord que si f :]a, b[→ R est une fonction continue telle que la fonction ` a variable complexe f (z) soit holomorphe sur un ouvert Ω ⊆ C sauf sur un nombre fini de points singuliers isol´es sur Ω. Ainsi, si en supposant que l’intervalle ]a, b[⊂ Ω le th´eor`eme des r´esidus implique que pour toute courbe simple Γ ⊂ Ω telle que Γ ∩ [a, b] = {a, b} (voir la figure) on a Z

b a

f (x)dx = −

Z

f (z)dz + 2πi Γ

k=1

b

Γ

z1 z2 b

k=m X

R´es f (z), zk

z4 b

b

z3

b

b

a

b

Figure 2.19 – La courbe compos´ee [a, b] ⋆ Γ est simple ferm´ee borde un domaine du plan complexe qui contient certaines singularit´es de f (z).

Z

b

f (x)dx ` a partir du calcul Donc, grˆ ace ` a cette formule on pourra calculer l’int´egrale simple a Z de l’int´egrale curviligne complexe f (z)dz, le cas id´eal est lorsqu’il existe une courbe simple Γ

Γ qui donnera une int´egrale curviligne complexe simple ` a calculer ou identiquement nulle !

Dans cette section, on va exploiter cette remarque pour calculer certaines familles d’int´egrales simples par application du th´eor`eme des r´esidus. A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

Calcul des int´egrales simples g´en´eralis´ees par la m´ethode des r´esidus

2.4.1

Calcul des int´ egrales d´ efinies de type

Z

75

2π

R(cos(t), sin(t))dt

0

Consid´erons une fraction rationnelle R(x, y) r´eelle ` a variables r´eelles et observons que si on it pose z = e avec t ∈ [0, 2π] on otient l’expression suivante 1 1 1 1 R(cos(t), sin(t)) = R( (z + ), (z − )) 2 z 2i z et ainsi comme la diff´erentielle dz = izdt on d´eduit que l’int´egrale simple de la fraction rationnelle trigonom´etrique R(cos(θ), sin(θ)) d´efinie sur [0, 2π] est ´egale ` a une int´egrale curviligne que l’on peut calculer avec le th´eor`eme des r´esidus i.e : I Z 2π 1 1 1 1 dz R(cos(t), sin(t))dt = R( (z + ), (z − )) 2 z 2i z iz 0 |z|=1 X = 2πi R´es(r(z), zk )

1 1 1 1 1 oles de la fraction rationnelle r(z) o` u r(z) = R( (z + ), (z − )) et o` u les zk sont les pˆ iz 2 z 2i z qui appartiennent ` a l’int´erieur du disque D(0, 1). Z 2π dt √ Exemple 25. 1) Calculons l’int´egrale simple d´efinie 5 + cos(t) 0 Pour calculer cette int´egrale on va appliquer la m´ethode ci-dessus qui consiste ` a poser z = eit avec t ∈ [0, 2π]. Z

0

2π

√

dt 5 + cos(t)

=

I

=

I

|z|=1

|z|=1

Ainsi, puisque le nombre r´eel 2 − i(z 2

√

1 dz 1 1 iz 5 + (z + ) 2 z 2dz √ i(z 2 + 2 5z + 1) √

5 est le seul pˆ ole de la fraction rationnelle

2 2 √ √ √ = + 2 5z + 1) i(z − (− 5 − 2))(z − (− 5 + 2))

qui appartient ` a l’int´erieur du disque D(0, 1) le th´eor`eme des r´esidus implique que Z 2π √ dt 2 √ √ = 2πiR´es( , 2 − 5) 5 + cos(t) i(z 2 + 2 5z + 1) 0 h2 i 1 √ √ = 2πi =π i (− 5 + 2) − (− 5 − 2) Notons que si la fraction rationnelle R(cos(t), sin(t)) est int´egrable sur l’intervalle [0, 2π] elle poss`ede des coefficents de Fourier complexes donn´es par l’expression, Z 2π 1 1 ∀n ∈ Z, c−n = (an + ibn ) = R(cos(t), sin(t))eint dt 2 2π 0 I 1 1 1 1 1 = R( (z + ), (z − ))z n−1 dz 2πi |z|=1 2 z 2i z A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

Int´egration complexe : Le th´eor`eme des r´esidus et ses applications

76

Exemple 26. Soit a > 0. Calculons les coefficients de Fourier de la fonction f (t) =

1 Ch(a) + cos(t)

qui est 2π-p´eriodique et de classe C ∞ sur R.

Pour calculer les coefficients de Fourier complexe de la fonction f (t) on va donc appliquer le th´eor`eme des r´esidus ` a l’int´egrale simple : Z 2π 1 eint dt ∀n ∈ N, c−n = 2π 0 Ch(a) + cos(t) I 1 2z n dz = 2πi |z|=1 z 2 + 2Ch(a)z + 1 I 1 2z n dz = 2πi |z|=1 (z + ea )(z + e−a ) 2z n −a = R´es , −e (z + ea )(z + e−a ) 2(−1)n e−na = −e−a + ea (−1)n e−na = Sh(a)

1 est paire ses coefficients bn sont donc Ch(a) + cos(t) 2(−1)n e−na . Par cons´equent, pour tout nuls et que par suite les coefficients an = 2c−n = Sh(a) 1 x ∈ R la s´erie de Fourier associ´ee ` a la fonction 2π-p´eriodique √ est ´egale ` a: 5 + cos(t) Noter que puisque la fonction f (t) =

X 2(−1)n e−na 1 1 = + cos(nt) Ch(a) + cos(t) Sh(a) Sh(a) n>1

Exercice 43. Calculer les int´egrales simples suivantes par la m´ethode des r´esidus. Z 2π dt 1. o` u a > 1. a + cos(t) 0 Z 2π dt 2. o` u a > 1. (a + cos(t))2 0 Z 2π dt 3. o` u | a |6= 1. 1 − 2a cos(t) + a2 0 Z π cos2 (t)dt 4. . 0 5 − 3 cos(t) Z π 5. cos2n+1 (t)dt o` u n ∈ N. 0 Z π 6. cos2n (t)dt o` u n ∈ N. 0

Exercice 44. Pour tout r´eel | a |> 1 calculer les coefficients de Fourier de la fonction 2π-p´eriodique 1 f (x) = , ∀x ∈ R (a + cos(x))2 A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

Calcul des int´egrales simples g´en´eralis´ees par la m´ethode des r´esidus

77

Exercice 45. Pour tout r´eel | a |6= 1 calculer les coefficients de Fourier de la fonction 2π-p´eriodique 1 , ∀x ∈ R f (x) = 2 a + 1 − 2a cos(x)

2.4.2

Calcul des int´ egrales g´ en´ eralis´ ees

Z

+∞

−∞

P(x) dx Q(x)

Consid´erons une fonction x ∈ R 7−→ f (x) dont la fonction ` a variable complexe associ´ee z 7−→ f (z) est holomorphe sur C sauf en un nombre fini de singularit´es isol´ees. On va d´esigne par {z1 , z2 , · · · , zn } les singularit´es de f (z) qui appartiennent au demi-plan sup´erieur H = {z ∈ C ; ℑm(z) > 0}.

b

z1

Γ

z2

z4 b

b

z3

b

b

b

−R

R

Figure 2.20 – La courbe Γ est simple ferm´ee borde un domaine du demi-plan sup´erieur contenant certaines singularit´es de f (z).

Donc, si pour tout r´eel R > max(| z1 |, | z2 |, · · · , | zn |) on int´egre la fonction f (z) sur la courbe Γ parcourue dans le sens trigonom´etrique et qui est constitu´ee par l’int´ervalle [−R, R] et le demi-cercle CR de centre l’origine et de rayon R (voir la figure), le th´eor`eme des r´esidus implique que I Z R Z k=n X f (z)dz = f (x)dx + f (z)dz = 2πi R´es(f (z), zk ) Γ

−R

CR

k=1

Par cons´equent, si on fait tendre le r´eel R > 0 vers l’infini on obtient l’expression suivante : Z +∞ Z k=n X f (x)dx = − lim f (z)dz + 2πi R´es(f (z), zk ) −∞

R→+∞ CR

k=1

Le lemme Z de Jordan suivant permet de calculer la valeur de la limite de l’integrale curviligne lim f (z)dz lorsque R tend vers l’infini pour certaines fonctions f (z). R→+∞ CR

Lemme 1 (Jordan). Soit S = {z ∈ C ; r <| z − z0 |< R et θ0 6 arg(z) 6 θ0 + α} un secteur non vide. Si f : S → C est une fonction holomorphe telle que lim zf (z) = A

z→∞ z∈S

alors

lim

Z

R→+∞ γR

A. Bouarich

f (z)dz = iAα o` u γR (t) = z0 + Reit ∈ S avec t ∈ [θ0 , θ0 + α]. Introduction ` a l’analyse complexe

Int´egration complexe : Le th´eor`eme des r´esidus et ses applications

78

CR Cr

S

b

z0 Figure 2.21 – Le secteur S de centre z0 est limit´e par deux arcs circulaires CR et Cr et avec CR qui tend vers l’infini

D´emonstration. Donc, si on suppose que la limite z→∞ lim zf (z) = A ∈ C existe le lemme de Jordan implique z∈S

que lorsque le r´eel R vers +∞ on obtient l’expression suivante Z

+∞

f (x)dx = −iAπ + 2πi

−∞

k=n X

R´es(f (z), zk )

k=1

P(x) est une fraction rationnelle irr´eductible dont le Q(x) d´enominateur Q(x) v´erifie les conditions suivantes : En particulier, si la fonction f (x) =

1. le polynˆ ome Q(x) ne poss`ede pas de racines r´eelles ; 2. le degr´e de Q(x) est sup´erieur ou ´egal au degr´e de P(x) plus deux deg(Q(x)) > deg(P(x)) + 2 la formule ´etablie ci-dessus implique que l’int´egrale simple g´en´eralis´ee Z

+∞

−∞

k=n

X P(x)dx = 2πi R´es f (z), zk Q(x) k=1

Exemple 27. 1) Pour tous 0 < a < b calculons l’int´egrale simple g´en´eralis´ee Z +∞ x2 dx 2 2 2 2 −∞ (a + x )(b + x ) x2 Notons que cette int´egrale converge car ` a l’infini la fonction 2 est ´equivalente 2 )(b2 + x2 ) (a + x Z +∞ 1 z2 dx a la fonction 2 et on a ` = 1 converge et que la fonction f (z) = x x2 (a2 + z 2 )(b2 + z 2 ) 1 est holomorphe sur le demi-plan sup´erieur sauf aux points ia et ib. Donc, puisque lim zf (z) = z→∞ 0 le lemme de Jordan combin´e avec le th´eor`eme des r´esidus impliquent qu’on a Z +∞ h i x2 dx = 2πi R´ e s(f (z), ia) + R´ e s(f (z), ib) 2 2 2 2 −∞ (a + x )(b + x ) h i (ia)2 (ib)2 = 2πi + (2ia)(b2 − a2 ) (−b2 + a2 )(2ib) π = b+a A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

Calcul des int´egrales simples g´en´eralis´ees par la m´ethode des r´esidus

79

2) Pour tout entier n > 0 et a > 0 calculons l’int´egrale simple g´en´eralis´ee Z

+∞

0

dx (a2 + x2 )n+1

1 est holomorphe sur le demi-plan sup´erieur et n’a pas de racimes (a2 + z 2 )n+1 r´eelles, donc d’apr`es le th´ or`eme des r´esidus on aura La fonction

Z

+∞ 0

dx 2 (a + x2 )n+1

= = = = =

1 2

+∞

dx + x2 )n+1 −∞ 1 πiR´es , ia (a2 + z 2 )n+1 n 1 πi d n n+1 n! dz (z + ia) z=ia π(n + 1) · · · (2n + 1)i (−1)n n! (2ia)2n+1 (2n + 1)! π 2 (n!) (2a)2n+1 Z

(a2

Exercice 46. Calculer les int´egrales simples suivantes par la m´ethode des r´esidus. Z +∞ tdt . 1. 2 2 −∞ (t − 2t + 2) Z +∞ tdt 2. . 4 t + t2 + 1 0 Z +∞ dt 3. o` u n ∈ N. 1 + t2n 0 Z +∞ m−1 t dt 4. o` u les entiers m et n v´erifient 0 < m < n. 2n 1+t 0

2.4.3

Calcul des int´ egrales g´ en´ eralis´ ees

Z

+∞

−∞

P(x) iαx e dx Q(x)

P(x) dont le d´enominateur Q(x) ne poss`ede pas des Q(x) racines r´eelles et son degr´e de Q(x) est sup´erieur ou ´egalZau degr´e de P(x) plus un (ie. +∞ P(x) iαx deg(Q(x)) > deg(P(x)) + 1). Le calcul de l’int´egrale simple e dx sera fait selon −∞ Q(x) le signe du param`etre α. Consid´erons une fraction rationnelle

a) Le param`etre α > 0 : Dans ce cas on choisit un r´eel R > 0 strictement sup´erieur aux modules des racines {z1 , z2 , · · · , zn } de Q(z) qui appartiennent au demi-plan sup´erieur H et P(z) iαz puis on int`egre la fonction e sur la courbe simple ferm´ee ΓR constitu´ee par l’intervalle Q(z) [−R, R] et le demi-cercle CR ⊂ H centr´e ` a l’origine et de rayon R. Donc, d’apr`es le th´eor`eme des r´esidus on obtient I

ΓR

P(z) iαz e dz = Q(z)

A. Bouarich

Z

R −R

P(x) iαx e dz + Q(x)

Z

CR

k=n

X P(z) iαz P(z) iαz e dz = 2πi R´es( e , zk ) Q(z) Q(z) k=1

Introduction ` a l’analyse complexe

Int´egration complexe : Le th´eor`eme des r´esidus et ses applications

80

Notons que puisque deg(Q(x)) > deg(P(x)) + 1 il s’ensuit que

P(z) tend vers z´ero quand z Q(z)

P(z) | ; z = Reiθ avec 0 6 θ 6 π} tend vers z´ero Q(z) quand R tend vers +∞. Ainsi, puisque le module Z π Z P(z) iαz e dz 6 M(R) e−αR sin(θ) dθ CR Q(z) 0 Z π/2 6 2M(R) e−αR sin(θ) dθ tens l’infini, donc la fonction M(R) = sup{|

0

6 2M(R)

on en d´eduit que lim

6 Z

R→+∞ CR

Z

+∞ −∞

Z

π/2

e−2αRθ/π dθ

car sin(θ) > 2θ/π, ∀θ ∈ [0, π/2]

0

πM(R) [1 − e−αR ] αR P(z) iαz e dz = 0. Par cons´equent, l’int´egrale simple g´en´eralis´ee Q(z) k=n

X P(x) iαx P(z) iαz e dz = 2πi R´es( e , zk ) Q(x) Q(z) k=1

b) Le param`etre α < 0 : On d´esigne par {u1 , u2 , · · · , um } les racines de Q(x) qui appartiennet au demi-plan inf´erieur H− , puis pour tout r´eel R > max(| u1 |, | u2 |, · · · , | um |) on int´egre P(z) iαz la fonction e sur la courbe ferm´ee ΓR constitu´ee par le demi-cercle CR = {Reiθ ; θ ∈ Q(z) [−π, π]} ⊂ H− et l’intervalle [−R, R] parcouru dans le sens oppos´e. Comme ci-dessus en appliquant le th´eor`eme des r´esidus sur ΓR on obtient I Z R Z k=n X P(z) iαz P(x) iαx P(z) iαz P(z) iαz R´es( e dz = − e dz + e dz = 2πi e , uk ) Q(z) ΓR Q(z) CR Q(z) −R Q(x) k=1

et ainsi le passage ` a la limite sur R vers l’infini implique que Z +∞ k=n X P(x) iαx P(z) iαz e dx = −2πi R´es( e , uk ) Q(z) −∞ Q(x) k=1 Z Exemple 28. Pour tous les r´eels a > 0 et b > 0 calculons l’int´egrale

+∞ 0

cos(bx) dx x2 + a2

eibz D’apr`es la m´ethode d´ecrite ci-dessus en int´egrant la fonction 2 sur la corube simple a + z2 ferm´ee ΓR constitu´ee par un demi-cercle CR contenu dans le demi-plan sup´erieur H centr´e a ` l’origine et de rayon R > a et l’intervalle [−R, R] on obtient lorsque R tend vers +∞ : Z +∞ ibx Z +∞ e dx eibz e−ba cos(bx) πe−ab = 2πiR´ e s( , ia) = 2πi =⇒ dx = 2 2 z 2 + a2 2ia x2 + a2 2a −∞ x + a 0

2.4.4

Calcul des int´ egrales g´ en´ eralis´ ees

Z

+∞

−∞

P(x) eiαx dx Q(x) x

Dans ce paragraphe, on va adapter la m´ethode d´ecrite au paragraphe pr´ec´edent au cas des P(x) eiαx P(x) fonctions avec est une fraction rationnelle tel que le polynˆ ome Q(x) ne Q(x) x Q(x) poss`ede pas des racines r´eelles et son degr´es deg(Q(x)) > deg(P(x)). A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

Calcul des int´egrales simples g´en´eralis´ees par la m´ethode des r´esidus

Notons que dans ces conditions pour calculer l’int´egrale g´en´eralis´ee

Z

81 +∞

−∞

P(x) eiαx dx il suffit Q(x) x

P(z) eiαz qu’on int`egre la fonction sur la courbe ferm´ee Γε,R (voir la figure) constitu´ee par le Q(z) z demi-cercle CR = {Reiθ ; θ ∈ [0, π]} (si α > 0 mais si α < 0 on prend θ ∈ [−π, 0]), l’intervalle I− = [−R, −ε], le demi-cercle Cε = {εeiθ ; θ ∈ [−π, 0]} et enfin l’intervalle I+ = [ε, R] et o` u r < min(| z1 |, | z2 |, · · · , | zn |) et R > max(| z1 |, | z2 |, · · · , | zn |).

b

z1

Γ

z4 b

b

z2

z3

b

b

b

b

−R

R

Figure 2.22 – La courbe Γ est simple ferm´ee borde un domaine contenu dans le demi-plan P(z) tout en ´evitant l’origine. sup´erieur H contenant les singularit´es zk ∈ H de Q(z)

Donc, d’apr`es le th´eor`eme des r´esidus on obtient I Z −r Z P(x) eiαx P(x) eiαx P(z) eiαz dx = dx + dz Q(z) z Γε,R Q(x) x C− −R Q(x) x r Z R Z P(x) eiαx P(z) eiαz + dx + dz CR Q(z) z r Q(x) x = 2πi

k=n X k=1

R´es(

P(x)eiαx , zk ) Q(x)

P(z) eiαz dz CR Q(z) z tend vers z´ero quand le rayon R tend vers +∞. Pour calculer la limite de l’intergarle Z f (z)dz lorsque r tend vers z´ero on va d´emontrer le deuxi`eme lemme de Jordan suivant. Notons aussi que si on proc`ede comme ci-dessus on v´erifie que l’intergrale

Z

C− r

Lemme 2 (Jordan). Soit S = {z ∈ C ; r <| z − z0 |< R et θ0 6 arg(z) 6 θ0 + α} un secteur non vide. Si f : S → C est une fonction holomorphe telle que lim (z − z0 )f (z) = a ∈ C

z→z0 z∈S

alors lim

Z

r→0 γr

f (z)dz = iaα o` u la courbe γr (t) = z0 + reit ∈ S avec t ∈ [θ0 , θ0 + α].

D´emonstration. Donc, d’apr`es le second lemme de Jordan, puisque z´ero est un pˆ ole simple il s’ensuit que la limite P(z) eiαz P(0) = =a∈C lim z z→0 Q(z) z Q(0) A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

Int´egration complexe : Le th´eor`eme des r´esidus et ses applications

82

CR Cr

S

b

z0 Figure 2.23 – Le secteur S de centre z0 est limit´e par deux arcs circulaires CR et Cr et avec Cr qui tend vers z0

existent, et donc si on fait tendre le r´eel r vers z´ero on obtient Z

+∞

−∞

k=n

X P(x) eiαx R´es(f (z), zk ) dx = iaπ + 2πi Q(x) x k=1

+∞

sin(x) dx par la m´ethode des r´esidus. x 0 eiz Pour calculer cette int´egrale nous allons int´egrer la fonction sur la courbe ferm´ee Γε,R z constitu´ee par le demi-cercle CR = {Reiθ ; θ ∈ [0, π]}, l’intervalle I− = [−R, −ε], le demicercle Cε = {εeiθ ; θ ∈ [−π, 0]} et enfin l’intervalle I+ = [ε, R]. eiz Donc, puisque la fonction est holomorphe dans le domaine limit´e par la courbe Γε,R on z aura I Z Z −ε ix Z Z R ix eiz eiz e eiz e dz = dz + dx + dz + dx = 0 x Γε,R z CR z −R x Cε z ε Exemple 29. Calculons l’int´egrale g´en´eralis´ee

Observons que puisque

Z

−ε −R

2i

Z

eix dx = − x R ε

Z

R

ε

Z

e−ix dx on d´eduit que x

sin(x) dx = − x

Z

CR

eiz dz − z

Z

Cε

eiz dz z

iθ

Ainsi, comme la limite lim eiεe = 1 la seconde lemme de Jordan implique que la limite ε→0

lim

Z

ε→0 Cε

eiz dz = −iπ z

iθ

De mˆeme, puisque le module | eiRe |= e−R sin(θ) on en d´eduit que le module Z

CR

et donc

Z π Z π/2 Z π/2 eiz π −R sin(θ) −R sin(θ) dz 6 e dθ = 2 e dθ 6 2 e−2Rθ/π dθ = (1 − e−R ) z R 0 0 0 lim

Z

R→+∞ CR

eiz dz = 0. z

Par cons´equent, si dans l’int´egrale simple vers z´ero on obtient

ε

Z

0

A. Bouarich

Z

+∞

R

sin(x) dx on fait tendre R vers +∞ et ε > 0 x

sin(x) π dx = x 2 Introduction ` a l’analyse complexe

Calcul des int´egrales simples g´en´eralis´ees par la m´ethode des r´esidus

Exemple 30. Calculons l’int´egrale simple g´en´eralis´ee

Z

0

+∞

83

1 − x2 sin(ax) dx o` u a > 0. 1 + x2 x

1 − z 2 eiaz Consid´erons la fonction f (z) = qui est holomorphe sur C \ {±i, 0} et pour laquelle 1 + z2 z les points ±i et 0 sont des pˆ oles simples. Donc, si on applique le th´eor`eme des r´esidus ` a f (z) sur la courbes ferm´ees Γε,R (voir la figure 21) on obtient Z Z −ε Z Z R f (z)dz + f (z)dz + f (z)dz + f (z)dz = 2πiR´es(f (z), i) CR

C− ε

−R

ε

Observons d’abord que l’int´egrale simple Z −ε Z −ε Z R 1 − x2 eiax 1 − x2 e−iax f (z)dz = dx = − dx 2 x 2 x −R −R 1 + x ε 1+x Ceci permet de d´eduire que Z Z R Z h 2 e−a i 1 − x2 sin(ax) dx + 2i f (z)dz + f (z)dz = 2πi 2 x 2i i CR C− ε 1+x ε

et donc pour calculer l’int´egrale donn´ee il suffit qu’on calcule les deux limites suivantes Z Z lim f (z)dz et lim f (z)dz ε→0 C− ε

R→+∞ CR

Notons que puisque lim εeiθ f (εeiθ ) = 1 la seconde lemme de Jordan implique ε→0

06θ6π

lim

Z

ε→0 C− ε

f (z)dz = −iπ

1 − z2 Dˆeme, observons que puisque lim = 1 on d´eduit qu’il existe M > 0 et R0 > 0 tel que z→∞ 1 + z 2 1 − z2 pour R > R0 on a 6 M. Donc, si pour z ∈ CR on pose z = Reiθ avec 0 6 θ 6 π on 1 + z2 aura dz = izdθ et par suite en proc´edant comme dans l’exemple pr´ec´edent on v´erifie que Z π Z Z 2πM −aR sin(θ) −aR f (z)dz 6 M e dθ 6 (1 − e ) =⇒ lim f (z)dz = 0 R→+∞ CR aR CR 0 Maintenant, avec ces calculs on d´eduit que si R tend vers +∞ et r tend vers z´ero on obtient Z +∞ Z +∞ 1 − x2 sin(ax) 1 − x2 sin(ax) π π −a 2i dx = πi − 2πe i =⇒ dx = − a 2 2 1+x x 1+x x 2 e 0 0 Exercice 47. Calculer les int´egrales simples suivantes par la m´ethode des r´esidus. Z +∞ cos(bx) 1. dx o` u b > 0 et α ∈]0, π[. 2 −∞ x − 2 cos(α)x + 1 Z +∞ 3 t sin(t)dt 2. . (t2 + 1)2 0 Z +∞ 1 − cos(2t)dt 3. . (t2 + 1)2 0 Z +∞ x sin(x) 4. dx. 2 x +x+1 0 Z +∞ sin(x) 5. dx. 2 (x + 1)(x − π) 0 A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

Int´egration complexe : Le th´eor`eme des r´esidus et ses applications

84

2.4.5

Calcul des int´ egrales g´ en´ eralis´ ees

Z

+∞

xα

0

P(x) dx, −1 < α < 0 Q(x)

P(x) qui a que des pˆ oles non r´eels Q(x) et tel que le degr´e deg(Q(x)) > deg(Px)+1, on va d´ecrire une m´ethode qui permet de calculer Z +∞ P(x) les int´egrales g´en´eralis´ees de type xα dx avec −1 < α < 0. Q(x) 0 Z +∞ P(x) dx on effectue le changement xα Notons d’abord que si dans l’int´egrale g´en´eralis´ee Q(x) 0 de variable x = et on obtient dx = et dt et que Z +∞ Z +∞ P(et ) α P(x) dx = dt x e(α+1)t Q(x) Q(et ) 0 −∞ Dans ce paragraphe, ´etant donn´ee une fraction rationnelle

Notons aussi que si u = Log(z) d´esigne la d´etermination principale du logarithme complexe P(z) alors le telle que arg(z) ∈]0, 2π[ on d´eduit que si z0 6= 0 est un pˆ ole de la fraction Q(z) u P(e ) nombre complexe u0 = Log(z0 ) est une singularit´e de la fonction . Q(eu ) Z +∞ P(x) Suite ` a ces remarques on d´eduit que pour calculer les int´egrales g´en´eralis´ees de type xα dx Q(x) 0 P(eu ) il suffit qu’on applique le th´eor`eme des r´esidus ` a la fonction e(α+1)u sur le rectangle CR Q(eu ) indiqu´e sur la figure suivante :

2πi b

b

u1 b

u3

u2

u4

b

u5

b

−R

R

Figure 2.24 – La courbe ΓR est simple ferm´ee et borde un rectangle du demi-plan sup´erieur P(ez ) qui contient les singularit´es de la fonction . Q(ez )

I I

(α+1)u

e

∂CR

k=n

e(α+1)u ∂CR

k=1

P(eu ) du = Q(eu ) + =

A. Bouarich

u X P(eu ) (α+1)u P(e ) du = 2πi R´ e s(e , uk ) Q(eu ) Q(eu )

Z Z

R

(α+1)x

e −R −R

P(ex ) dx + i Q(ex )

(α+1)(x+2πi)

e

Q(ex )

R

1 − e2π(α+1)i

P(ex )

Z

R

−R

Z

2π

e(α+1)(R+iy)

0

dx + i

e(α+1)x

Z

0

2π x P(e )

Q(ex )

P(eR+iy ) dy Q(eR+iy )

e(α+1)(−R+iy)

P(e−R+iy ) dy Q(e−R+iy )

dx +

Introduction ` a l’analyse complexe

Calcul des int´egrales simples g´en´eralis´ees par la m´ethode des r´esidus

i

Z

2π

(α+1)(R+iy)

e 0

P(eR+iy ) dy − i Q(eR+iy )

Z

2π

e(α+1)(−R+iy)

0

85 P(e−R+iy ) dy Q(e−R+iy )

Ainsi, puisque pour tout r´eel R > 0 assez grand on a | e(α+1)(R+iy)

P(eR+iy ) c |≃ e(α+1)R nR Q(eR+iy ) e

et

| e(α+1)(−R+iy)

P(e−R+iy ) |≃ R−(α+1)R c′ Q(e−R+iy )

o` u n ∈ N∗ on d´eduit que si R tend vers l’infini on obtient les deux expressions suivantes Z

+∞

xα

0

k=n P(x) πe−παi X P(z) R´es(z α dx = − , zk ) Q(x) sin(πα) Q(z) k=1

et Z

+∞

(α+1)x

e −∞

k=n u πe−παi X P(ex ) (α+1)u P(e ) dx = − , uk ) R´ e s(e Q(ex ) sin(πα) Q(eu ) k=1

+∞

eax dx x −∞ 1 + e Pour calculer cette int´egrale nous consid´erons le rectange ΓR dont les cˆ ot´es sont [−R, R], [R, R + 2πi], [R + 2πi, −R + 2πi] et [−R + 2πi, −R] (voir la figure) et nous appliquerons le eaz th´eor`eme des r´esidus ` a la fonction f (z) = sur ΓR : 1 + ez Exemple 31. Pour tout 0 < a < 1 calculons l’int´egrale

Z

2πi b

b

πi

−R

R

Figure 2.25 – La courbe ΓR est simple ferm´ee et borde un rectangle du demi-plan sup´erieur qui contient le pˆ ole simple πi de f (z).

I

f (z)dz = 2πiR´es(f (z), πi)

ΓR

(z − πi)eaz z→πi 1 + ez aπi e = 2πi πi = −2πieaπi e = 2πi lim

Observons que par d´efinition d’une int´egrale curviligne on peut ´ecrire I Z R ax Z 2π a(R+iy) e dx ie dy f (z)dz = + x R+iy 1 + e 1 + e ΓR −R 0 Z −R a(x+2πi) Z 0 a(−R+iy) e dx ie dy + + −R+iy (x+2πi) 1+e R 2π 1 + e Z R eax dx Z 2π iea(R+iy) dy Z 2π iea(−R+iy) dy = 1 − e2πai + − x 1 + eR+iy 1 + e−R+iy −R 1 + e 0 0 A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

Int´egration complexe : Le th´eor`eme des r´esidus et ses applications

86

Ainsi, puisque le param`etre 0 < a < 1 et pour tout r´eel y ∈ [0, 2π] on a

et

iea(R+iy) eaR 6 ≃+∞ e(a−1)R 1 + eR+iy eR − 1

iea(−R+iy) e−aR 6 ≃+∞ e−aR 1 + e−R+iy 1 − e−R

=⇒

=⇒

2π

lim

Z

iea(R+iy) dy =0 1 + eR+iy

2π

lim

Z

iea(R+iy) dy =0 1 + eR+iy

R→+∞ 0

R→+∞ 0

on en d´eduit que si R tend vers l’infini on obtient Z +∞ eax dx 1 − e2πai = −2πieaπi x 1 + e −∞ Par cons´equent, pour tout r´eel 0 < a < 1 l’int´egrale g´en´eralis´ee Z +∞ ax e dx π = x sin(πa) −∞ 1 + e Notons que si dans l’int´egrale qu’on vient de calculer on effectue le changemenet de variable t = ex on aura dt = tdx et par suite Z +∞ ax Z +∞ a−1 e dx t π ∀a ∈]0, 1[, = dt = x 1 + e 1 + t sin(πa) −∞ 0 Exercice 48. Calculer l’int´egrale g´en´eralis´ee suivante par la m´ethode des r´esidus Z +∞ ax e dx −1
2

Int´egrer la fonction e−z le long du bord du rectangle R orient´e positivement de sommets 0, r, r + ia et ia avec a > 0 et puis faire tendre r vers +∞ pour d´eduire que √ Z +∞ −at2 −a2 π e cos(2at)dt = e 2 0 Z +∞ Z a 2 2 2 e−at sin(2at)dt = e−a e−t dt 0

0

iz 2

Exercice 50. Int´egrer la fonction e le long du bord du secteur C(R) = {z ∈ C ; | z |6 R, 0 6 arg(z) 6 π/4} et puis faire tendre R vers +∞ pour d´eduire que √ Z +∞ Z +∞ π 2 2 cos(t )dt = sin(t )dt = √ 2 2 0 0 Z +∞ Log(x) Exercice 51. Calculer l’int´egrale simple g´en´eralis´ee, dx en int´egrer la fonc2 + 1)2 (x 0 Log(z) tion 2 le long de la courbe ferm´ee ΓR,ε qui borde le domaine (z + 1)2 DR,ε = {z ∈ C ; | z |6 R avec ℑm(z) > 0} \ z ∈ C ; | z |6 ε avec ℑm(z) > 0} puis faire tendre R vers +∞ et ε vers 0. A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe

Calcul des int´egrales simples g´en´eralis´ees par la m´ethode des r´esidus

87

iz

ee Exercice 52. Int´egrer la fonction le long sur la courbe ferm´ee ΓR,ε qui borde le domaine z DR,ε = {z ∈ C ; | z |6 R avec ℑm(z) > 0} \ z ∈ C ; | z |6 ε avec ℑm(z) > 0} puis faire tendre R vers +∞ et ε > 0 vers 0 pour d´eduire que Z

0

A. Bouarich

+∞

ecos(t) sin(sin(t)) π dt = (e − 1) t 2

Introduction ` a l’analyse complexe

Index

Formule de d´erivation de Cauchy, 56 Formule de Green-Riemann complexe, 45 Calcul des int´egrales simples par la m´ethode Formule de la moyenne de Gauss, 54 des r´esidus, 74 Chemin, 36 In´egalit´es de Cauchy, 63 Chemin oppos´e, 37 Int´egrale curviligne complexe, 41 Chemains compos´es, 38 Inverse local, 16 Conditions de Cauchy-Riemann, 16 Le Laplacien d’une fonction, 25 Conjugu´ee harmonique, 22 Limite d’une fonction ` a variable complexe, 9 Coupure, 29 Logarithme complexe, 28 Courbe param´etr´ee, 37 Longueur d’une courbe, 42 Couronne circulaire, 40 Application C-lin`eaire , 12

D´erivations complexes simboliques, 24 D´etermination principale du logarithme, 30 Disque ferm´e, 8 Disque ouvert, 8 Domaine, 38 Domaine multiplement connexe, 39 Domaine orient´e positivement, 45 Domaine simplement connexe, 39 ´ Equation de Laplace, 21, 25 ´ Equation de Poisson, 25 Exponentielle complexe, 27 Fonction C-d´erivable, 14 Fonction `a variable complexe continue, 10 Fonction holomorphe, 14 fonction multiforme, 30 Fonctions harmoniques, 21 Fonctions hyperboliques complexes, 35 Fonctions trigonom´etriques complexes, 34 Formule de Cauchy-Goursat, 46 A. Bouarich

Partie connexe, 8 Partie convexe, 39 Partie ´etoil´ee, 39 Partie ferm´ee, 8 Partie ouverte, 8 Point de branchement, 29 Pˆ ole d’ordre m > 1, 69 Premi`ere formule de Cauchy, 46 Primitive, 49 Principe des z´eros isol´es, 62 Principe du maximum, 55 Puissances complexes, 32 R`egle de l’Hospital, 16 R´esidu d’une singularit´e isol´ee, 70 Seconde formule de Cauchy, 53 S´eries de Laurent, 64 Singularit´e isol´ee, 69 Singularit´e supprimable, 69 Singularit´e essentielle, 69 Introduction ` a l’analyse complexe

INDEX

89

Th´eor‘eme de Liouville, 63 Th´eor`eme d’inverse locale, 16 Th´eor`eme de Laurent, 65 Th´eor`eme de Morera, 58 Th´eor`eme des r´esidus, 72 Th´eor`eme fondamental de l’alg`ebre, 63 Voisinage d’un point, 8

A. Bouarich

Introduction ` a l’analyse complexe