An atlas of edge-reversal dynamics
CHAPMAN & HALL/CRC Research Notes in Mathematics Series Main Editors H. Brezis, Un...
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An atlas of edge-reversal dynamics
CHAPMAN & HALL/CRC Research Notes in Mathematics Series Main Editors H. Brezis, Université de Paris R.G. Douglas, Texas A&M University A. Jeffrey, University of Newcastle upon Tyne (Founding Editor) Editorial Board H. Amann, University of Zürich R. Aris, University of Minnesota G.I. Barenblatt, University of Cambridge H. Begehr, Freie Universität Berlin P. Bullen, University of British Columbia R.J. Elliott, University of Alberta R.P. Gilbert, University of Delaware D. Jerison, Massachusetts Institute of Technology B. Lawson, State University of New York at Stony Brook
B. Moodie, University of Alberta S. Mori, Kyoto University L.E. Payne, Cornell University D.B. Pearson, University of Hull I. Raeburn, University of Newcastle, Australia G.F. Roach, University of Strathclyde I. Stakgold, University of Delaware W.A. Strauss, Brown University J. van der Hoek, University of Adelaide
Submission of proposals for consideration Suggestions for publication, in the form of outlines and representative samples, are invited by the Editorial Board for assessment. Intending authors should approach one of the main editors or another member of the Editorial Board, citing the relevant AMS subject classifications. Alternatively, outlines may be sent directly to the publisher's offices. Refereeing is by members of the board and other mathematical authorities in the topic concerned, throughout the world. Preparation of accepted manuscripts On acceptance of a proposal, the publisher will supply full instructions for the preparation of manuscripts in a form suitable for direct photo-lithographic reproduction. Specially printed grid sheets can be provided. Word processor output, subject to the publisher's approval, is also acceptable. Illustrations should be prepared by the authors, ready for direct reproduction without further improvement. The use of hand-drawn symbols should be avoided wherever possible, in order to obtain maximum clarity of the text. The publisher will be pleased to give guidance necessary during the preparation of a typescript and will be happy to answer any queries. Important note In order to avoid later retyping, intending authors are strongly urged not to begin final preparation of a typescript before receiving the publisher's guidelines. In this way we hope to preserve the uniform appearance of the series. CRC Press UK Chapman & Hall/CRC Statistics and Mathematics Pocock House 235 Southwark Bridge Road London SE1 6LY Tel: 020 7450 7335
Valmir C Barbosa
An atlas of edge-reversal dynamics
CHAPMAN & HALL/CRC Boca Raton London New York Washington, D.C.
C2093/disclaimer Page 1 Wednesday, July 5, 2000 4:54 PM
Library of Congress Cataloging-in-Publication Data Barbosa, Valmir C. An atlas of edge-reversal dynamics/by Valmir C. Barbosa. p. cm. -- (Chapman & Hall/CRC research notes in mathematics series) Includes bibliographical references and index. ISBN 1-58488-209-3 (alk. paper) 1. Electronic data processing--Distributed processing. 2. Parallel processing (Electronic computers) I. Title. II. Series. QA76.9.D5 B355 2000 004′.36--dc21
00-043020
This book contains information obtained from authentic and highly regarded sources. Reprinted material is quoted with permission, and sources are indicated. A wide variety of references are listed. Reasonable efforts have been made to publish reliable data and information, but the author and the publisher cannot assume responsibility for the validity of all materials or for the consequences of their use. Neither this book nor any part may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, microfilming, and recording, or by any information storage or retrieval system, without prior permission in writing from the publisher. The consent of CRC Press LLC does not extend to copying for general distribution, for promotion, for creating new works, or for resale. Specific permission must be obtained in writing from CRC Press LLC for such copying. Direct all inquiries to CRC Press LLC, 2000 N.W. Corporate Blvd., Boca Raton, Florida 33431. Trademark Notice: Product or corporate names may be trademarks or registered trademarks, and are used only for identification and explanation, without intent to infringe.
© 2001 by Chapman & Hall/CRC No claim to original U.S. Government works International Standard Book Number 1-58488-209-3 Library of Congress Card Number 00-043020 Printed in the United States of America 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Printed on acid-free paper
This book is dedicated to Alzira, Leonardo, Julia, and Isabel.
Contents Preface : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : ix I. Edge-Reversal Dynamics : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 1. Introduction : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 1.1. SER origins and neighborhood constraints : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 1.2. Sequences of acyclic orientations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7
2. Neighborhood-Constrained Systems : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11
2.1. Resource-sharing systems : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 12 2.2. Partially concurrent networks of automata : : : : : : : : : : : : : : : : : 14
3. Scheduling by Edge Reversal : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 21
3.1. Main properties and special cases : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 21 3.2. Attractor dynamics and concurrency : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 28
4. The SER State Space : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 35
4.1. Enumerating graphs and acyclic orientations : : : : : : : : : : : : : : : 36 4.2. Some statistics and correlations : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 37
II. The Atlas : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51 5. All Graphs on Six Nodes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 55 6. All Trees on Seven Nodes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 327 7. All Rings on up to Eight Nodes : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 349
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Contents
References : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 363 Index : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 369
Preface This book is a reference volume on the dynamics of scheduling by edge reversal (SER). SER is a distributed mechanism for scheduling agents in a computer system to perform tasks in parallel, subject to the constraint that no parallelism is to exist within an agent's neighborhood. Depending on how one de nes an agent and its neighborhood, SER has important applications in computer science, especially in resource-sharing systems and within arti cial intelligence and optimization. SER is based on evolving acyclic orientations of an undirected graph. Starting at any initial acyclic orientation, an in nite sequence of acyclic orientations is obtained by e ecting a very simple transformation on the current orientation to obtain the next. This transformation is the reversal of the orientations of all edges adjacent to sinks (nodes in the graph whose adjacent edges are all oriented inward). As the graph's orientations evolve, so do the sets of sinks, forming the basis for the application of SER as an agent scheduler. In this book, I have adopted the view of SER as a dynamical system whose state space is the set of acyclic orientations of an undirected graph. From the perspective of such dynamics, the coarse structure of this set of orientations comprises several basins of attraction, each one encompassing some of the graph's acyclic orientations. The performance of SER in terms of how much parallelism it is ultimately capable of providing when scheduling agents is determined by the basin of attraction to which its operation is con ned. Choosing appropriate initial conditions is then
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Preface
the most central problem to be solved in connection with the dynamics of SER. The measure of parallelism that has to be optimized when solving this problem is akin to several of the underlying graph's chromatic indicators, and is, like most of those, of probably intractable optimization in general. This book is an attempt to subsidize the search for good heuristics to optimize the performance of SER, by providing data on the mechanism's behavior over as comprehensive a set of situations as can be presented in a single volume. The book comprises two parts. Part I is a review of the origins of SER, its properties, and its applications. It also contains data from statistics and correlations that have been computed over several graph classes of interest. Part II is by far the largest of the two parts, comprising the atlas proper. This part of the book contains graphical representations of all basins of attraction for all graphs in selected classes. Naturally, the possible choices as to which classes would go into the book were overwhelmingly too many, and each one quite vast. My nal decision arose not only from space constraints, but mostly from the richness of information that the data on the selected classes would be able to convey. Being a repository of results and data on SER, I have in general opted to not include in the book proofs of the results asserted. I have, however, attempted to provide a comprehensive set of references where the missing proofs can be looked up. Finally, in addition to the great applicability of SER that I already mentioned, there has been another major motivation driving me to undertake the preparation of a volume like this one. As with many other similarly fascinating subjects, the study of SER reveals very clearly the emergence of complex dynamic behavior from very simple transition rules. SER does, as such, provide the opportunity for the study of complex graph dynamics with strong motivation from several application areas.
Notation
The notation I use is reasonably standard, with the possible exception of n to denote set di erence.
Acknowledgments
Work on this book has taken place at two institutions. First at the Federal University of Rio de Janeiro, where most of the research and early writing were done. Then at the Computer Science Division of the University of California, Berkeley, where the writing was nished. At these two places, and elsewhere, I wish to acknowledge several people who, during
Preface
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the book's lengthy preparation, contributed in various ways to its successful completion. These include true SER enthusiasts, people with whom I discussed SER-related material, and colleagues who contributed with the means for the book to be completed. They are Mario Benevides, Charlie Colbourn, Luerbio Faria, Lus Favre, Felipe Franca, Brendan McKay, Jayme Szwarc ter, and Lot Zadeh. Partial support for my research has been provided, over the years, by the Brazilian agencies CNPq and CAPES, the PRONEX initiative of Brazil's MCT, and a FAPERJ BBP grant. Valmir C. Barbosa Berkeley, California April 2000
I Edge-Reversal Dynamics Let G be a connected, undirected graph of node set N and edge set E , with n = jN j > 1 and e = jE j. Let also N = fn0 ; : : : ; n ;1 g. An orientation of G is an assignment of directions to the edges of G, that is, a function ! : E ! N such that edge ; (n ; n ) 2 E is said to be oriented from n to n by ! if and only if ! (n ; n ) = n . An orientation is acyclic if and only if it does not induce any directed cycle on G. In other words, it is impossible to move from one node to another by following the directions of the edges according to an acyclic orientation, and yet be able to return to a previously visited node. We denote the set of all acyclic orientations of G by . This book is concerned with a deterministic, discrete-time, discretestate dynamical system whose state space is the set of acyclic orientations of G, and whose dynamics arises from the following simple rule to move from one orientation to another. If ! is the system's state at some time s 0, then ! +1 is obtained from ! by turning all sinks into sources, where a sink is a node whose adjacent edges are all oriented toward itself and a source is a node whose adjacent edges are all oriented away from itself. This dynamical system is called scheduling by edge reversal (SER), in allusion to its main set of applications, in which it is used to schedule agents for action in a variety of domains related to distributed processing in the sharing of resources, in arti cial intelligence, and in combinatorial optimization. This rst part of the book comprises Chapters 1 through 4 and n
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Part I. Edge-Reversal Dynamics
is generally devoted to a discussion of the main properties and applications of SER. Chapter 1 contains introductory material, such as a discussion of the origins of SER in the eld of computer networks and a rst glimpse into in nite sequences of acyclic orientations and some of those sequences' properties. This chapter also introduces the notion of neighborhood constraints, which establishes the basis for the treatment in Chapter 2 of the main application areas of SER. These can be broadly categorized into applications to resource-sharing computations and to computations on certain networks of automata, both discussed in Chapter 2. Chapters 3 and 4 contain a discussion of the known properties of the SER dynamics. Chapter 3 is devoted to the properties that are well established, including properties related to concurrency. Chapter 4, by contrast, contains a collection of interesting observations, statistics, and correlations that may in the future inspire the creation of successful heuristics to optimize concurrency. In addition to the publications that have contributed to the understanding of SER and of its properties, several other accounts of SER can now be found in the literature at various levels of detail. These include books [4, 5, 12, 20, 55], survey articles (e.g., [13]), and doctoral theses [3, 31]. The literature also contains accounts of how SER can be regarded as being built out of simple \synchronizing operations" [26, 57], in the sense of synchronizers for distributed algorithms [2], of SER in the context of the socalled \labeling problems" [1], and of SER-related systems in a stochastic setting [16].
1 Introduction SER originated in the eld of computer networks as a mechanism to rebuild communications routes after topological changes [32], as we discuss in Section 1.1. In this context, a nite number of sink-to-source reversals takes place (until routes are rebuilt). Most SER applications, however, require sequences of reversals that can be extended for as long as needed, so that agents can be scheduled for action \in nitely often." In Section 1.2, we discuss in nite sequences of acyclic orientations, of which the sequence that results from SER is a special case. 1.1. SER origins and neighborhood constraints
Suppose that G represents a computer network in such a way that each node stands for a message router and each edge for a bidirectional communications channel. Suppose further that G is oriented acyclically by an orientation ! such that one single node, say n0 , is a sink. It follows from the existence of one single sink in ! that every node lies on some directed path to that sink, and consequently ! can be regarded as providing all routers in the network with at least one path to the router represented by n0 . Should the network undergo a topological failure (that is, the loss of a communications channel or of a router, which can be represented by the elimination of all communications channels attached to that router), it may still be possible for all routers to send messages to n0 , so long as at least one directed path remains from each router to n0 . However, it may happen that
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Chapter 1. Introduction
the topological failure severs communication from at least one router to n0 , in which case measures are called for in order to re-establish communication. Before proceeding further into how this can be done via a simple application of the basic SER building block, there are a couple of observations worth making. Note, rst, that network-wide routes to n0 can only be established if the failure did not create in G more than one connected component. If not, then clearly there remain no means for a node that is not in the same component as n0 to send messages to n0 . This observation is one rst motivation for us to assume throughout that G is connected. The second important observation is that the disruption of communication from some node to n0 as a result of the topological failure can be detected rather simply by checking whether a sink other than n0 now exists in the network. Clearly, if such is the case (and only if such is the case), then at least the newly formed sinks cannot send messages to n0 . This is where the basic SER component of turning sinks into sources comes in to properly re-establish communication in the network: as long as there exist sinks other than n0 , turn them into sources. That this should suce for another acyclic orientation with the single sink n0 to be obtained after a nite sequence of sink-into-source transformations comes from the following two observations: Turning sinks into sources preserves acyclicity. This can be easily seen by observing that a resulting directed cycle would necessarily have to go through the node or nodes where the transformation took place, which is impossible because they were sinks and are now sources. Nodes that after the failure still have routes to n0 never become sinks. In addition, at least one of these nodes must have a neighbor from which no route any longer exists to n0 . If node ni is such a neighbor, then ni becomes a sink after as many time steps as there are edges on a longest directed path from ni to a sink. Once ni turns into a source, it never again becomes a sink, because it has now become one of the nodes from which a route exists to n0 . Clearly, this is what happens after a nite number of time steps to all nodes in the graph. An illustration is provided in Figure 1.1, in which we show a sequence of ve acyclic orientations of a graph. The rst orientation has n0 as the only sink and contains directed paths from all nodes to n0 . The second orientation is identical to the rst one, except for the loss of the edge (n3 ; n4 ), leading to the appearance of another sink (n3 ). In this second orientation, there is no directed path from n2 or n3 to n0 . The remaining
Section 1.1. SER origins and neighborhood constraints
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n2 n1 n0 ..................................................
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n2 n1 n0
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n3 n4
Figure 1.1. Recovering routes to node n0 three orientations illustrate the process of turning sinks other than n0 into sources ( rst n3 , then n2 , then n3 again) until directed paths have been re-established from all nodes to n0 . Besides its role as precursor of SER, this mechanism for recovering routes in computer networks provides the ideal setting for a brief discussion of practical implementations of the basic SER component of turning sinks into sources. If we regard G's nodes not speci cally as routers but more generally as agents in some computer system, and G's edges as channels for bidirectional communication among agents, then all computations that employ the basic sink-into-source transformation can be implemented in the following straightforward manner. The reversal of one single edge is implemented as the sending of a message from the node toward which the edge is currently oriented to the other node. To turn a sink into a source is then simply a matter of having the sink send one message to each of the nodes that are connected to it by an edge in G.
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Chapter 1. Introduction
Although we pursue the topic no further in this book, the reader should bear in mind that this simple implementation of the basic edge-reversal mechanism is resilient to any degree of \asynchronism," in the sense normally employed in the eld of distributed algorithms [5]. What this means is that the time bases for the several agents can be totally independent of one another, and that it may take a message any nite amount of time to be delivered between two agents that are directly connected to each other in G. Naturally, this simple implementation is dependent upon the existence of appropriate initial conditions, that is, of an acyclic orientation already established on G. Establishing such an orientation is subject to the optimization criteria to be introduced in Chapter 3, which of course poses implementational diculties of its own. If, in practice, nodes can be assumed to have totally ordered identi cations, then the establishment of an acyclic orientation without any concern to the aforementioned optimization criteria is a trivial matter: one may, for example, let all edges be oriented from the node with the highest identi cation to the one with the lowest. If such an assumption cannot be made, that is, if the system is of the so-called \anonymous" type [5], then one must resort to randomized procedures for the establishment of the initial acyclic orientation [17, 28, 29]. Another crucial element of SER-related computations that immediately becomes apparent from our discussion so far is that no two nodes ever become sources from sinks at the same time step if they are connected to each other by an edge in G. This comes from the obvious fact that no two sinks can be connected by an edge, and forms the basis for all the applications of SER that we address in Chapter 2. In all those applications, G is built out of a neighborhood on the node set N , that is, an irre exive, symmetric binary relation on N , and nodes that are related to each other by this relation are called neighbors. This neighborhood relation gives rise to the set E of G's edges, and its importance, in all of those applications, is that agents are precluded from acting at the same time step if they are neighbors. We use the term neighborhood constraint to refer to the prohibition that neighboring agents act simultaneously. Likewise, the term neighborhoodconstrained system refers to each of the applications requiring that constraint. Neighborhood-constrained systems constitute another motivation for our overall assumption that G is connected. For graphs with multiple connected components, neighborhood constraints only make sense within each connected component.
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Section 1.2. Sequences of acyclic orientations
1.2. Sequences of acyclic orientations
The sequences of acyclic orientations that result from the route-recovery mechanism of Section 1.1 are always nite: they end when node n0 is the only sink, because n0 is never turned into a source. Clearly, if n0 were allowed to be turned into a source, then the turning of at least one sink into a source to obtain the next orientation would yield an in nite sequence of acyclic orientations. From the standpoint of the neighborhood-constrained systems that we treat in Chapter 2, such in nite sequences are the ones that matter. At each time step s 0, the sinks of !s that are sources in !s+1 are the agents allowed to act at time s. These sinks constitute an independent set of G, that is, a subset of N that contains no neighbors. An in nite sequence of acyclic orientations such that, for s 0, !s+1 is obtained from !s by turning at least one of the sinks in !s into a source is called a schedule. It is called a greedy schedule if the sinks that are turned into sources to yield !s+1 are all the sinks of !s . Note that, as de ned, SER refers to greedy schedules only, although it shares with all other schedules the basic mechanism of turning sinks into sources. If, for two orientations ! and !0 , a schedule exists containing both orientations, and such that ! precedes !0 in the schedule, then we say that !0 is reachable from !. Characterizing the reachability of acyclic orientations of G from one another can be done as follows. For any two acyclic orientations ! and !0 , and for ni 2 N , let mi (!; !0 ) denote the number of times that ni must be turned from sink into source in order for !0 to be obtained in some schedule from !. ; Now, for all edges (ni ; nj ) such that ! (ni ; nj ) = nj , consider the equations
;
;
m (!; !0 ); if ! (n ; n ) = !0 (n ; n ) ; m (!; !0 ) = m (!; !0 ) + 1; otherwise. j
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(1:1)
What these equations are saying is that, in order for !0 to be reachable from !, neighbors ni and nj must be turned from sinks into sources an equal number of times (if the edge (ni ; nj ) is oriented likewise by both ! and !0 ), or nj must be turned from sink into source once more than ni (otherwise, and assuming that ! orients (ni ; nj ) in the direction of nj ). Solving the system of e equations (1.1) requires n nonnegative integers to be found, each representing the number of times the corresponding node is to be turned from a sink into a source in order to obtain !0 from !. As it turns out [3], this can be done if and only if !0 is reachable from !. In particular, every orientation is reachable from itself, and the corresponding
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Chapter 1. Introduction
solutions to (1.1) are all (and only) n-tuples having the same nonnegative integer in all entries. For G the 5-node ring, we provide an illustration in Figure 1.2. This gure shows ten acyclic orientations, together with all the possible transitions in and out of them. Transitions depicted by solid lines are those that occur by turning all sinks in the orientation of origin into sources; dashed lines depict the remaining transitions. Greedy schedules in this gure are all the in nite sequences of orientations that can be traced on solid lines only. These are the SER schedules, which clearly do not suce to realize the reachability of every orientation from itself. We nalize the chapter by stating two additional properties of schedules [8]. Let !0 be any acyclic orientation, and consider the greedy schedule that starts at !0 . For this schedule, and for any time step s > 0, let mi (s) denote the number of times node ni is a sink in the sequence !0 ; : : : ; !s;1 . Now consider any schedule starting also at !0 (possibly the greedy schedule, but not necessarily), and let m0i (s) denote the number of times ni is turned from sink into source in the sequence !0 ; : : : ; !s . For the greedy schedule, m0i (s) = mi (s) for all s > 0. For the general case, we have
m0 (s) m (s) i
i
for all ni 2 N and all s > 0, meaning that the greedy schedule from a given orientation allows nodes to turn from sources into sinks at least as frequently as any other schedule. The second property is valid for all schedules and has important consequences for our analysis of SER in Chapter 3. If, for nodes ni and nj , we let rij denote the distance between ni and nj in G (this is the number of undirected edges on the shortest path between the two nodes), then we have, for all s > 0, 0 m (s) ; m0 (s) rij : (1:2) i j What this means is that the basic mechanism of turning sinks into sources precludes nodes from doing it too far ahead of one another. This, incidentally, is what guarantees, in the context of Section 1.1, that the routerecovery process stops when n0 becomes the only sink in the graph: all further activity by the other nodes is dependent upon the turning of n0 into a source, which never happens.
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Section 1.2. Sequences of acyclic orientations
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Figure 1.2. Some schedules for the 5-node ring
2 Neighborhood-Constrained Systems In this chapter, the set N of G's nodes is regarded generically as a set of agents. An agent must perform certain actions from time to time, but must never do so concurrently with any of its neighbors in G, that is, other agents to which it is connected by an edge in E . Graph G is then representative of a neighborhood-constrained system, as introduced in Section 1.1. We assume, without any loss in generality, that the system that G stands for is driven by a time basis that is common to all agents. Also, we assume that performing an action takes no time and that messages sent between agents that are neighbors take no longer than the duration of one time unit to be delivered. Relaxing these assumptions to bring the system into a more realistic setting is a simple matter [5]. For systems with these characteristics, SER can be used to schedule agents to perform actions rather simply, as follows. For s 0, the agents that are allowed to perform actions at time s are those that are sinks in !s , all nonneighbors therefore. In addition to providing the basic mechanism to respect the system's neighborhood constraints, SER also guarantees that agents can perform their actions approximately equally frequently whenever needed. This is a requirement for all the systems reviewed in this chapter, and is guaranteed, in essence, by (1.2). We discuss neighborhood-constrained systems within two broad categories. First, in Section 2.1, we discuss systems for resource sharing by computational processes. Then we turn in Section 2.2 to networks of automata with applications to problems in arti cial intelligence and in optimization.
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Chapter 2. Neighborhood-Constrained Systems
2.1. Resource-sharing systems
One of the areas to which SER was rst found to be applicable as an agent scheduler was the area of resource sharing in computer systems when the requirement of mutual exclusion for the sharing of resources holds (that is, a resource must be used by at most one process at a time). In this setting, N is a set of processes and an edge in E connects two processes if and only if those processes may at some time share a resource. For the sake of simplicity, we consider computations in which a process requires access to all the resources it shares with other processes whenever it requires access to any resource. Because mutual exclusion must be enforced, neighbors never access shared resources concurrently in such systems. This system is a generalization of the paradigmatic dining philosophers problem [24], which considers ve philosophers sitting at a round table, each two neighbors sharing a fork between them. A philosopher alternates periods of thinking and eating. Eating periods start when the philosopher has acquired the two forks adjacent to him, having become hungry, and end after a nite period of time. The problem is to devise a fork-sharing policy that will allow philosophers to eat within a nite time of becoming hungry, given that every fork must be used exclusively by one philosopher at a time. For the dining philosophers problem, G is the 5-node ring, each node representing a philosopher and each edge representing a fork. In the generalized form of the problem, G is any connected graph, whose nodes and edges can continue to be regarded as philosophers and forks, respectively. In this case, a philosopher stands for a process and a fork stands for all the shared resources that the corresponding edge represents. Because of the restricted type of computations we have assumed, acquiring a fork is equivalent to acquiring all the resources that the corresponding processes share. In addition to ensuring mutual exclusion, an acceptable solution to this resource-sharing problem must also ensure the absence of deadlocks and of lockouts at all times. That is, the solution must be such that at all times at least one process requiring access to resources succeeds in accessing them (no deadlock), and all processes succeed in accessing resources within a nite time of the need for those resources having arisen (no lockout). Note, as a curiosity, that this no-lockout condition is also known as starvationfreedom, owing to the dining-philosopher abstraction often used to analyze such systems. The use of SER as a basis to a solution to the generalized dining philosophers problem goes along the following lines [19]. A philosopher that becomes hungry sends requests for all forks that he lacks to the neigh-
Section 2.1. Resource-sharing systems
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bors who have them. A request for a fork is granted immediately, unless the philosopher receiving the request is using the fork, in which case he grants access to the fork immediately upon nishing, or unless that philosopher is also hungry and the edge connecting the requesting philosopher to him is oriented toward himself. In the latter case, granting the request is postponed until after the philosopher has acquired all forks that he himself lacks and has eaten. After eating, a philosopher reverses the orientation of all edges oriented toward himself. Note, rst of all, that the orientation of the edges of G is in this solution used to establish a priority structure on the set of philosophers. When a con ict arises between two hungry philosophers for the same fork, priority is given to the philosopher toward which the corresponding edge is oriented. If the orientation is acyclic, then at all times at least one hungry philosopher must get to eat (a sink, in the worst case). Also, every philosopher gets to eat within a nite time of having become hungry, because the worst that can happen is a wait for all philosophers on directed paths from him to sinks to eat. This solution, therefore, has the potential to guarantee the desired properties of deadlock- and lockout-freedom. But it remains to argue that the changes done to acyclic orientations guarantee acyclicity. This argument is necessary because those changes are not the turning of sinks into sources that SER employs, but rather the turning of any node into a source. Arguing for sustained acyclicity is simple, though: as in the case of SER, a resulting directed cycle would have to go through the node or nodes where the changes in orientation were e ected, which is impossible because what those changes do is to turn those nodes into sources. Although this solution does not employ SER directly, but rather a variation thereof, there exists a more restricted form of the generalized dining philosophers problem to which SER can be applied directly. In this restricted version, called the heavy-load case of the problem, all philosophers are perennially hungry, but do nevertheless refrain from eating continually out of the need to let the other philosophers eat as well. In this case, the solution we outlined is such that only philosophers that are sinks eat, and the evolution of acyclic orientations of G takes place exactly according to SER, that is, all sinks are turned into sources. To nalize, we note that a variation of this heavy-load case exists that requires philosophers to eat at relative frequencies that are not \uniform" in the sense that SER guarantees. For that variation, a scheduling mechanism similar to SER has been proposed [6, 30], but we do not pursue it any further in this book.
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Chapter 2. Neighborhood-Constrained Systems
2.2. Partially concurrent networks of automata Another interesting class of neighborhood-constrained systems comes from letting N be a set of automata and E a neighborhood relation that depends intimately on the speci c automata at hand and is for now left unspeci ed. Each automaton ni is responsible for updating an integer variable vi periodically, taking values from a nite domain D = f0; : : : ; d ; 1g. This updating is done as a function of the variable's current value and of the values of the variables of the automaton's neighbors. This updating function is denoted by fi , having the form fi : D1+x ! D, where xi is the number of neighbors of ni . The updating of vi by ni takes place via the assignment i
;
vi := fi vi ; vj ; (ni ; nj ) 2 E :
(2:1)
The function fi is the same for all ni 2 N , di ering only in the number of arguments it takes, but not in how it depends on them. For this reason, we henceforth denote it simply by f . In (2.1), the notation vj ; (ni ; nj ) 2 E stands for \all vj such that ni and nj are neighbors." Similarly, throughout the section the notation vj = dj ; Q for some dj 2 D and some predicate Q is to be understood as \vj = dj for all vj such that Q." Graph G can be regarded as a network of automata, and depending on the speci cs of each particular network, the updating function f can be of a deterministic or probabilistic nature. In all cases to be considered in this section, and for reasons that will be discussed when addressing each speci c case, no two variables may be updated simultaneously if they belong to neighbors, and all variables must be updated in nitely often, in the following sense. There has to exist an integer S > 0 such that, for all s 0, all variables get updated within the time interval s; : : : ; s + S . Clearly, SER can be used to schedule nodes to update their variables by letting sinks be the nodes that may update their variables at each time. That the desired properties are guaranteed comes from the fact that sinks are never neighbors and from (1.2). These automaton networks are called partially concurrent, in allusion to the fact that parallelism in variable updating is at all times limited [4]. The rst network that we discuss is the binary Hop eld neural network [42]. In this network, each node is viewed as an arti cial neuron of binary state vi , so D = f0; 1g. Associated with every two neurons ni ; nj are the synaptic strengths wij and wji , related respectively to the in uence of nj upon ni and of ni upon nj . These two neurons are neighbors if and only if either wij 6= 0 or wji 6= 0.
Section 2.2. Partially concurrent networks of automata
15
The updating function for this network is
n;1 vi := 0; if j=0 wij vj + ei i ; (2:2) 1; otherwise, where ei represents a xed external input to the neuron and i is the neuron's threshold. What is remarkable about (2.2) is that, if wij = wji and wii = 0 for all ni ; nj 2 N , and if all neurons get to update their states in nitely often, then gradient descent is performed on the function P
nX ;1 nX ;1 nX ;1 nX ;1 wij vi vj ; ei vi + i vi ; H = ; 21 i=0 j =0
i=0
i=0
(2:3)
if neighbors are not allowed to update their states simultaneously [42]. A simple example can be used to show that this prohibition on having neighbors update their states simultaneously is also necessary [4], which characterizes the binary Hop eld network as indeed a neighborhood-constrained system [9]. The quantity in (2.3) is often referred to as the network's energy. Performing gradient descent on this energy is important because it hints at several possible applications of the network. One example is as a means to implement content-addressable memories by associating certain local minima of H with items in f0; 1gn that were stored in the network and need to be retrieved [40]. Another important area of application that the gradient-descent capability of these networks hints at is the area of combinatorial optimization, because neurons' states can be regarded as discrete variables on which an objective function having the form of (2.3) has to be minimized. Of course, the convergence to local minima that gradient descent elicits is no longer the boon that it was in the implementation of content-addressable memories, but is in general a hindrance instead, because what one seeks are global minima. Fortunately, it is possible to turn the updating function in (2.2) into a time-varying probabilistic rule that allows for global minima of H to be reached under certain assumptions. In order to do that, we rst rewrite (2.2) as ;i H 0; vi := 01;; ifotherwise, (2:4)
where i H denotes the di erence from the value of H when vi = 0 to the value of H when vi = 1, all other variables kept constant. Viewed as in (2.4), the updating function can then be rewritten as the following
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Chapter 2. Neighborhood-Constrained Systems
probabilistic rule, as long as the parameter T in this rule approaches zero. Assign 0 to vi with probability 1 (2:5) 1 + exp(;i H=T ) ; otherwise assign 1. If, on the other hand, T has a nonzero value, then the rule based on (2.5) is no longer equivalent to (2.4), but rather allows the gradient-descent behavior of the binary Hop eld network to be replaced with occasional \uphill" moves. The parameter T of (2.5) is the temperature parameter of simulated annealing [48], which, if lowered gradually from an initial high value, gives rise to a time-varying updating function based on (2.5) that may lead to convergence to global (as opposed to local) minima of H . This probabilistic variation of the binary Hop eld network is known as the Boltzmann machine [41], and its characterization as a neighborhoodconstrained system proceeds along the following more general lines. Let V be the set of variables fv0 ; : : : ; vn;1 g, and consider a probability distribution P over Dn . Consider also a symmetric neighborhood N on the set V . Two de nitions are in order [14, 37, 38, 44, 47, 60]. We say that V is a Markov random eld (MRF) with respect to P and to N if and only if P is strictly positive everywhere and, in addition, ;
P (vi = di j vj = dj ; vj 6= vi ) = P vi = di vj = dj ; (vi ; vj ) 2 N : (2:6) The positivity requirement on P can be done away with many times [52], but (2.6) is what matters: it states that the neighborhood of a variable is as good a condition as the entire remainder of the set V . Likewise, the set V is said to be a Gibbs random eld (GRF) with respect to P and to N if and only if P is the Boltzmann-Gibbs distribution, that is, ; exp ;H (d0 ; : : : ; dn;1 )=T P (d0 ; : : : ; dn;1 ) = ; (2:7) Z where T is a temperature parameter, Z is a normalizing constant, and H is any function that can be expressed as a sum of components, each of which cannot itself be broken into a sum and depends exclusively on the variables of a subset of V that is completely connected by N . Clearly, the energy of the Hop eld network as given by (2.3) is a function of this type for suitable N. A very deep and remarkable connection exists between MRFs and GRFs: V is an MRF with respect to P and to N if and only if it is also a GRF with respect to P and to N . While it may be relatively simple to
Section 2.2. Partially concurrent networks of automata
17
see that every GRF has to be an MRF, the opposite direction is far from trivial to prove [4, 37, 38]. The computation of interest over these random elds is the so-called Gibbs sampling. This computation updates the value of each variable vi according to probabilities conditioned upon all other variables' values, which by (2.6) is equivalent to conditioning upon the values of the variable's neighbors. By (2.7), vi is updated to a value di 2 D with probability 1 P 1 + d 6=d exp(;i H=T ) ; 0
i
(2:8)
i
where i H is the di erence from the value of H when vi = di to the value of H when vi = d0i , all other variables remaining constant. The probability in (2.8) generalizes the probability in (2.5). If we now return to the graph G and let its set of edges E be given to match the neighborhood N in the obvious way, then we see that the process of Gibbs sampling is indeed another computation of the general type we have been considering in this section, that is, a computation in which the automata in N update their variables based on information from their neighbors. Speci cally, i H depends only on ni 's variable and those of its neighbors, so updating functions based on (2.8) are indeed of the type given by (2.1). There are two properties of Gibbs sampling that are of interest to us [34]: If Gibbs sampling is performed in nitely often with constant T and no neighbors are allowed to update their variables simultaneously, then the distribution one observes as time progresses converges to the distribution of (2.7). If Gibbs sampling is performed in nitely often with varying T (decreasing from a high initial value, but no faster than a certain rate that we leave unspeci ed) and no neighbors are allowed to update their variables simultaneously, then the distribution one observes as time progresses converges to the uniform distribution over those points in Dn at which the function H is globally minimum. Once again, it takes only a simple example to demonstrate that forbidding simultaneous updates by neighbors is also necessary for the above two properties to hold [4]. So long as one wishes to have the guarantees offered by these properties, the process of Gibbs sampling is seen to give rise to a neighborhood-constrained system. Respecting the associated neighborhood constraints is how optimization by simulated annealing should be
Chapter 2. Neighborhood-Constrained Systems
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parallelized [7], although there are accounts of implementations that have ignored these constraints and yet appear to have yielded acceptable results [23, 27, 35, 36]. As one last example of networks of automata that can exhibit the neighborhood-constraint property, we turn to Bayesian networks [55]. A Bayesian network is an acyclic directed graph whose vertex set is the set of variables V = fv0 ; : : : ; vn;1 g and whose directed edges represent direct causal in uences of one variable upon another. Associated with each variable vi are the set Pi of its parents (immediate ancestors in the graph), the set Ci of its children (immediate descendants in the graph), and the set Mi of its mates (the other parents of its children). Also, assuming without any loss in generality that all variables are binary (i.e., they take values from the set D = f0; 1g), then associated with vi are also the 21+jP j probabilities that vi takes on one of the two possible values conditioned upon the values of its parents, that is, i
P (vi = di j vj = dj ; vj 2 Pi ):
(2:9)
Under the assumption that every variable is independent of its nondescendants in the directed graph given its parents [55], it can be shown very easily that the joint distribution over the set V is given by the product of the probabilities in (2.9), that is,
P (d0 ; : : : ; dn;1 ) =
nY ;1 i=0
P (vi = di j vj = dj ; vj 2 Pi ):
(2:10)
The most essential problem that one has to solve in connection with Bayesian networks is the problem of computing the joint posterior distribution given a set of evidences E V . Although this distribution can be derived analytically in a rather straightforward manner from (2.10) [53], assessing the probability of a single variable in V n E given the variables in E is computationally intractable [22], in the sense of NP-completeness [33]. One of the approximation techniques that aims at overcoming this limitation is the technique of stochastic simulation [54]. What it does is to update all variables in nitely often based on conditional probabilities given the values of all other variables. Similarly to what happens with MRFs, it is not really necessary to consider the values of all other variables. Speci cally, variable vi 2 V n E is assigned value di with probability
P (vi = di j vj = dj ; vj 2 Pi )
Y
vk 2Ci
P (vk = dk j v` = d` ; v` 2 Pk ); (2:11)
Section 2.2. Partially concurrent networks of automata
v0
v1
v2
..................................................................................................... .. ... . ............ ... ..... .. .... .. .... . . . . . ......... .... . . . . . . ....................................................................................
v4
v3
(a)
Figure 2.1.
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n0 n1 n2
..................................................................................... . . . . .. . .... . .... .. . . .... .... . . .... ... . . .. ....... .... . . . . . . ... .... . . . ............ . . ...........................................................................
n4
n3
(b)
A Bayesian network (a) and the resulting graph G (b)
where is a normalizing constant. By (2.11), it is apparent that the variables that matter are those in the set Li = Pi [ Ci [ Mi . As it turns out, the best way to analyze the properties of stochastic simulation is to recognize that the set V n E is a GRF with respect to the neighborhood induced by the sets Li for all vi 2 V [43]. For this GRF, T = 1 and nX ;1 H = ; ln P (vi = di j vj = dj ; vj 2 Pi ); (2:12) i=0
where the completely connected subsets of V upon which the components of H depend are fvi g [ Pi for all vi 2 V . The Boltzmann-Gibbs distribution, conditioned upon the variables in E , that results from (2.12) is the joint posterior distribution derived in [53]. What this characterization as a GRF means is that a network of automata can be set up to do Gibbs sampling on the set V n E , employing for such the conditional probabilities in (2.11) for nodes to update their variables. By the properties of Gibbs sampling when it is performed in nitely often on such variables and respecting the neighborhood constraints, convergence to the joint posterior distribution is guaranteed. In this network of automata, the set E of undirected edges mirrors the GRF neighborhood. This is illustrated in Figure 2.1, where a Bayesian network and the resulting graph G are shown. Dashed lines in part (b) represent the edges that in G join nodes whose variables are not joined by a directed edge, in any of the two possible directions, in the Bayesian network. These variables are mates of one another. In the same vein, if during the Gibbs sampling on this GRF we let T vary as prescribed earlier, then we know that a global minimum of (2.12) is eventually obtained. But this global minimum corresponds to a global maximum of (2.10), and also of the joint posterior distribution [53], so this varying-T version of Gibbs sampling can be used to identify a global
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Chapter 2. Neighborhood-Constrained Systems
maximum of the joint posterior distribution. For such, it suces that each variable vi 2 V n E be assigned value di with probability
T P (vi = di j vj = dj ; vj 2 Pi )1=T
Y
vk 2Ci
P (vk = dk j v` = d` ; v` 2 Pk )1=T ;
(2:13) where T stands for the normalizing constant given the value of T [43]. In conclusion, under stochastic simulation employing updating functions based on either (2.11) or (2.13), a Bayesian network is a neighborhoodconstrained system [25, 55].
3 Scheduling by Edge Reversal We return, in this chapter, to the analysis of SER that we started in Section 1.2. The chief concept to be discussed will be that of concurrency as it relates to SER, that is, the notion of how much parallelism can be achieved under SER. This notion is of crucial importance because it underlies the usefulness of SER as a practical method for scheduling the agents of a neighborhood-constrained system, and also because it relates closely to several of the chromatic indicators of G, thereby providing a strongly principled approach to the analysis of the SER dynamics. This chapter's material is divided into two sections. Section 3.1 contains a discussion of the main properties of SER, in direct continuation of the material introduced in Section 1.2. Special cases of G for which further properties are known are also discussed. The notion of concurrency is formally introduced in Section 3.2, where its properties are analyzed from the perspective of both its combinatorial nature and its relation to the dynamics of SER. Unless otherwise noted, this chapter is based on [3, 8].
3.1. Main properties and special cases
We start by recalling from Section 1.2 that a greedy schedule is any in nite sequence of acyclic orientations !0 ; !1 ; : : : such that, for all s 0, !s+1 is obtained from !s by turning all sinks into sources. Because we only discuss greedy schedules henceforth in the book, in the sequel we refer to them simply as schedules.
Chapter 3. Scheduling by Edge Reversal
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....................................................
Figure 3.1.
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Possible precursors of an orientation
In any schedule, and for any s 0, orientations !s and !s+1 are such that a sink in !s+1 has at least one neighbor that is a sink in !s . Now consider the question of determining the possible immediate precursors !s of !s+1 in all schedules in which !s+1 participates. In other words, the question is to determine all the orientations from which !s+1 can be obtained by turning all of each orientation's sinks into sources. By the property we just described, every sink in !s+1 has at least one neighbor that is a source also in !s+1 . So the question can be answered by considering all the nonempty subsets of G's sources according to !s+1 that dominate (are adjacent to) all sinks. Then !s+1 has as many possible immediate precursors as there are subsets like this. If no such subset exists for a given orientation, then it can only exist in a schedule as the schedule's rst orientation. This is depicted in Figure 3.1, where the three possible immediate precursors of the center orientation are shown. Of these, the rightmost orientation has itself no precursors, because its single source and sink are not neighbors. Because the SER rule to move from an orientation to the next is deterministic, and considering that the set of all the acyclic orientations of G is nite, every schedule must eventually become periodic, that is, reach a group of orientations that will be inde nitely re-visited as time progresses. We call this group of orientations a period, and denote by p(!) the number of orientations in the period that is reachable from orientation !. We call p(!) the period's length.
Section 3.1. Main properties and special cases
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In addition to p(!), another important characteristic of a period is the number of times each node is a sink in orientations of the period, called periodic orientations. It turns out that this number is the same for all nodes, as a direct consequence of (1.2): if any two nodes were sinks di erent numbers of times in a period, then all schedules going through that period would eventually violate that inequality. For the period that is reachable from orientation !, we denote this number by m(!). The two integers m(!) and p(!) have important roles to play in the remainder of the book. Whenever safe from the occurrence of ambiguities, we use m and p instead, respectively. This periodic behavior of SER schedules was already apparent in Figure 1.2, which should be re-examined now. What that gure shows is a period of length p = 5 and m = 2 for all the orientations in the gure, periodic or otherwise. Note also in this gure that the orientations that it depicts are all the orientations from which that period can be reached. All other orientations of the 5-node ring, therefore, must be such that di erent periods are reachable from them. What SER does then is to partition the set into several basins of attraction, each comprising a period (the attractor or limit cycle ) and all the other orientations from which that period can be reached. Each basin is characterized by its own m and p values, being part of a rich graph dynamics, in the sense of [56], that arises from the very simple rule of turning all sinks into sources. Although several of an SER basin's properties are known and well characterized, there still remain open questions. One of them is the question of deciding, without recourse to the SER dynamics, whether a given acyclic orientation is periodic or not. Of the known properties, two interesting ones are the following: Let an acyclic orientation be called transient if it is not periodic. Then the number of transient orientations in any schedule is O(n4 ) [49]. By contrast with this polynomial bound on the number of transient orientations of a schedule, there exist periods whose lengths are exponential p in a quantity that is asymptotically bounded from below by n [50]. Next we describe another of the interesting properties of SER basins, but rst additional concepts and notation are needed. For an acyclic orientation !, the sink decomposition of G according to ! [11] is a partition of N into the (!) independent sets S0 ; : : : ; S(!);1 having the properties that S0 is the set of sinks according to !, and that, for 0 < ` (!) ; 1,
24
Chapter 3. Scheduling by Edge Reversal
S` is the set of sinks of the graph that remains after the nodes in all of S0 ; : : : ; S`;1 have been removed from G. We call (!) the length of the sink decomposition of G according to !, denoting it simply by when no ambiguities are possible. A graph's sink decomposition has interesting properties. For example, every edge is oriented from a higher- to a lower-subscript set in S0 ; : : : ; S . Similarly, every node in S` has at least one neighbor in S`;1 , for 0 < ` ; 1. It follows from these two properties that (!) ; 1 is the length of the longest directed path in G when it is oriented by !. The following is another property of SER basins: Let ! and !0 be acyclic orientations of G such that !0 is obtained from ! by turning all sinks into sources. Then (!) ; 1 (!0 ) (!). What this property is stating is that the length of a graph's sink decomposition is nonincreasing along all possible schedules. In addition, whenever the length decreases, it does so by exactly one unit. One consequence of this is that all periodic orientations in the same basin must have sink decompositions of the same length. We provide an illustration of this property in Figure 3.2, from which the reason why it is true becomes obvious, as follows. SER can be regarded as \shifting" the sets S1 ; : : : ; S;1 one step in the direction of lower subscripts, yielding the new sink decomposition S00 ; : : : ; S0 ;1 in such a way that S00 = S1 , S10 S2 , and so on, through S0 ;2 S;1 . When this happens, it may be that no set S0 ;1 is formed, in which case 0 = ; 1, or it may happen that S0 ;1 is indeed formed, in which case it comprises nodes from S0 only and 0 = . These are the situations shown, respectively, in parts (a) and (b) of the gure. Sink decompositions are also useful in characterizing some periodic orientations, despite the fact that such a characterization is, as remarked earlier, generally unknown. The periodic orientations that we know how to characterize are those for which m = 1. Speci cally, an acyclic orientation ! is periodic with m(!) = 1 if and only if every node in S0 has at least one neighbor in S(!);1 . In this case, p(!) = (!) and the sets of sinks along the period are exactly the independent sets of the sink decomposition. This is what happens, for example, in part (b) of Figure 3.2. One obvious m = 1 case is the case of complete graphs, since in such graphs every node is connected to every other node. If G is a complete graph, then it has as many acyclic orientations as there are permutations of its nodes, that is, n! orientations. The sink decomposition of G according to each of these orientations has length n and is periodic with m = 1 and p = 0
Section 3.1. Main properties and special cases
n1
n0
n2
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25
n0 ........................................ ...... .. ..
S1
...... ................................................ .............................. .... ...... ..... .... ....... ..... .... .... ........ ..... ... ....... . . . .... .... .... . .... .... .......... .... .............................. ................................................ ......
n3
S2
n1
S0
n2
n3
S1
S0
0
0
(a)
n1
......... .......... ........ ....... .... .... . .... .... ..... .... . .... . . .... .... .... .... .... .... . . ...... . . . .... ................ . . . ..................................................................................................................................
n0
n2
S2
n0
..................................................
S1
........ ........... ........ ....... .... .... . .... .... .... .... .... . . . .... .... .... .... .... .... . ..... . . . . .... . ......... . . . . ............................. ........................................................................................................ ....
n2
n1
S2
S0
0
S1 0
S0 0
(b)
Figure 3.2.
Evolving sink decompositions
n. Therefore, the set of all acyclic orientations contains (n ; 1)! basins, each comprising n periodic orientations and no transient orientations at all. Figure 3.3 depicts all the basins of attraction for the 4-node complete graph. For the sake of visual clarity, no edges are shown in the gure, and the orientation of each edge is left to be inferred from the order in which the nodes are presented. If, for some orientation, ni appears to the left of nj for 0 i; j 3, then edge (ni; nj ) is oriented from ni to nj . Another interesting example for which m = 1 for all basins is the case of trees. Unlike complete graphs, however, if G is a tree, then all of its 2n;1 acyclic orientations belong to the same basin of attraction in . The corresponding period has length p = 2, and the independent sets in the sink decompositions of the two periodic orientations re ect the nature of trees as bipartite graphs, that is, graphs whose node sets can be partitioned into two independent sets. In other words, one of these independent sets is the set of sinks in one periodic orientation, the other in the other periodic
Chapter 3. Scheduling by Edge Reversal
26
n0 n1 n2 n3 .. .. ...... ..... ..
n3 n0 n1 n2 .. .. ...... .... ..
n2 n3 n0 n1 .. .. ...... ..... .
n1 n2 n3 n0 n3 n2 n1 n0 .. .. ....... .... ..
n0 n3 n2 n1 .. .. ....... .... .
n1 n0 n3 n2 .. .. ....... .... .
n2 n1 n0 n3
... ..... ..... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. . .. . . .. .. .. .. .. .. .. ..
... ..... ..... .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . ..
Figure 3.3.
n1 n0 n2 n3 .. .. ...... ..... ..
n3 n1 n0 n2 .. .. ...... .... ..
n2 n3 n1 n0 .. .. ...... ..... .
n0 n2 n3 n1 n3 n2 n0 n1 .. .. ....... .... ..
n1 n3 n2 n0 .. .. ....... .... .
n0 n1 n3 n2 .. .. ....... .... .
n2 n0 n1 n3
... ..... ..... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . .. .. . .. . .. . .. .. .. .. .. .. . .
... ..... ..... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . ..
n1 n2 n0 n3 . . . . .. ... ... .. .. .
n3 n1 n2 n0 . . . . . ... ...... ..
n0 n3 n1 n2 . . . . .. ... .. ... ..
n2 n0 n3 n1 n3 n0 n2 n1 . . . . .. ... ...... ..
n1 n3 n0 n2 . . . . . ... ... ... ..
n2 n1 n3 n0 . . . . .. ... ... .. ..
n0 n2 n1 n3
... ..... . ...... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . .. . .. . .. . .. . .. .. .. .. .. .. . .
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Basins of attraction for a complete graph
orientation. This is illustrated by Figure 3.4 for n = 5. Note that such m = 1, p = 2 basins happen not only for trees, but for all bipartite graphs, albeit in conjunction with other basins for nontrees. Although the m = 1 case totally dominates for complete graphs and trees, its occurrence is by no means restricted to those graphs. In fact, it is relatively easy to see that for every G there exists at least one basin for which m = 1. To see this, consider the following orientation for e n (the case of e = n ; 1 is the case of trees, already analyzed). First locate the largest undirected simple cycle in the graph (a simple cycle is one that never goes through the same node more than once). On this cycle, choose any node to be a sink and any of its neighbors on the cycle to be a source, then orient all other edges on the cycle in the general direction from the source to the sink. Now work breadth- rst from the single sink, orienting all untraversed and still not oriented edges inward to the node that is being visited. This will preserve the source chosen initially. It will also ensure that no source is created that is on some undirected cycle but
Section 3.1. Main properties and special cases
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Figure 3.4.
Basin of attraction for a tree
farther to the sink than that initial source. If every node were on some undirected cycle, then we would have one single sink adjacent to the farthest source and be done. There may, however, be \tree appendages" to the graph, i.e., subgraphs whose edges are in no undirected cycle. As we work \outward" from the initial sink, sources may appear in these subgraphs that are farthest to that sink than the initial source. This is easy to prevent, however, by simply creating new sinks whenever this would happen. These sinks, like the initial one, will be adjacent to a source that is as far from the initial sink as the initial source. By our preceding discus-
28
Chapter 3. Scheduling by Edge Reversal
sion, the orientation whose construction we just outlined is periodic with m = 1. We end this section with a discussion of rings. If G is a ring, then it has 2n ; 2 acyclic orientations, and it is possible to characterize precisely which of those orientations are periodic. In order to do so, we look closely at certain patterns in the acyclically oriented ring, as follows. Given an acyclic orientation ! of the ring, let a segment be any maximal subset of contiguous nodes having even size and such that, according to !, its nodes are alternately sinks and sources. If the ring has a nonempty segment according to !, then the size of that segment is at least 2 and at most 2bn=2c. A segment of size k > 0 contains k ; 1 edges that are internal to the segment, that is, edges that connect one node of the segment to another. The edge that connects the two extreme nodes of a size-n segment for n even is not considered internal, so, clearly, there always is at least one edge that is not internal to any segment. We say that ! is uniform if and only if all edges that are not internal to any segment are oriented in the same overall direction (clockwise or counterclockwise). Because ! is acyclic, if it is uniform then the ring has at least one nonempty segment according to it. What is interesting about a uniform orientation, say one according to which noninternal edges are oriented clockwise, is that SER can be viewed as shifting the segments counterclockwise one edge per time step. What happens eventually is that this shifting pattern clicks back in place at its original position, meaning that the original uniform orientation is periodic. As it turns out, uniformity is also necessary for an acyclic orientation of a ring to be periodic. The length p of the period and the value of m depend on how the segments are arranged along the ring. Some examples are given in Figure 3.5, where segments are enclosed in rectangular boxes. Periodic orientations are in part (a) of the gure, both having m = 3 and, from left to right, p = 9 and p = 7. Those of part (b) are transient. This characterization of periodicity for rings has good intuitive appeal, but another, simpler one can easily be deduced from it. If the clockwise direction is the direction in which at least half the ring's edges are oriented by !, then ! is periodic if and only if, when the ring is traversed in the clockwise direction, no two consecutive edges are encountered that are oriented counterclockwise.
3.2. Attractor dynamics and concurrency
As we have discussed so far in this chapter, the SER state space (the set
of all acyclic orientations of G) is partitioned into basins of attraction,
Section 3.2. Attractor dynamics and concurrency
... .. ... .............. ... ............. ................ .......... ........... ... ........... .................. ...... .... ... . ...... .. . .... ... ... .............. . . . .. . . . . . .. ........ .. . ....... .. ...... . .. . .... . ... . . .... . .... . . . . . . .... . . . . . . . .... . . .... . . .... . . .... . . .... . .... . . . . . ... . . . .... . .... . . .... . . ....... . ............ . .... . . . . . . . . ..................................
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(a)
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. ......... ............. ....... .... ..... .... .... .... .... . . ...... . ....... ... .... .... ............................................................... ........................... ..... ....... ....
(b)
Figure 3.5.
Periodic (a) and transient (b) orientations of rings
each one having a core period of orientations characterized by the integers m (how many times a node is a sink in periodic orientations) and p (how many periodic orientations there are). These two numbers can be thought of as characterizing the entire basin, because every schedule starting at some orientation in that basin is eventually attracted to the period lying at the basin's core. From the point of view of using SER to schedule agents in a real application, such as those overviewed in Chapter 2, the crucial question is how to select the initial acyclic orientation so that the resulting schedule provides a good amount of parallelism or concurrency. Because of the attractor dynamics that governs SER, this amounts to a choice among basins of attraction, because the schedules, being in nite, are intuitively expected to have concurrency properties that depend chie y on the basin's period rather than on its transient orientations. Furthermore, although a measure for how much concurrency is attained is still unde ned, we should expect more concurrency for higher m and lower p, because this means that more nodes are sinks in a shorter interval of time.
Chapter 3. Scheduling by Edge Reversal
30
Our measure for the concurrency attained along a schedule tries to capture precisely this expectation. It de nes the amount of concurrency attained by the SER schedule from an initial orientation !0 as the average, over time and over n, of the number of times nodes have been sinks in the limit as time tends to in nity. This average is denoted by (!0 ) and is de ned as nX ;1
(! ) = lim 1 m (s); (3:1) 0
s!1 ns i=0 i
where mi (s), as we recall from Section 1.2, is the number of times node ni is a sink in the rst s orientations of the schedule. We use in place of (!0 ) whenever !0 is understood from the context. Not surprisingly, it follows from (3.1) that (3:2)
(!0 ) = mp((!!0)) : 0 What (3.2) tells us is that the amount of concurrency that is attained by SER from !0 according to the de nition in (3.1) depends exclusively on the period that is eventually reached from !0 . It is therefore the same for all orientations in the same basin of attraction, and leads naturally to the question of whether such an amount of concurrency can be computed by examining the initial orientation alone, thereby bypassing any recourse to the SER dynamics apparently implied by (3.2). Of course, this question is moot if G is a complete graph or a tree, because in these cases we already know that (!0 ) = 1=n and (!0 ) = 1=2, respectively, directly from (3.2) and from the knowledge of the graph's structure. Let us then assume that G is not a tree (we still leave complete graphs in because, as will become clear shortly, what matters are the graph's undirected cycles). We proceed to answering the question armatively as follows. Let K denote the set of all simple cycles of G. For 2 K, let e+ (; !0 ) denote the number of edges in that are oriented in one of the two possible directions by !0 . Likewise for e; (; !0 ) and the other direction. Note that these two quantities are invariant under the turning of sinks into sources, because this operation adds to each of them as much as it subtracts from them. They are, therefore, the same along any schedule. Not only this, but they are also the same for all the orientations in the same basin of attraction. The reason for this is that all such orientations that are not part of a certain schedule in that basin can be obtained from orientations in the schedule by simply turning selected sources into sinks, which again adds as much as it takes.
Section 3.2. Attractor dynamics and concurrency
31
.......................................... ........... ....... ................... ....... ........ ... .... ....... .. ... ... . ....... .. . ...... .. .. .. . . .. .. .. .. . .. . ...... . .. . .. .. ........ . . . .. ........................ ...... ..... ...... ...... ...... ...... ..... ..... ...... .... .. .. . .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. . . . .. .......... ...... ....... . ........ .. .. .. ............... ............... .. ............. . .............. . ........ . . . . . . ........ .. ......... .........
Figure 3.6.
Assessing concurrency from simple cycles
Given these de nitions, it can be shown that 1 mine+ (; ! ); e; (; ! ) ;
(!0 ) = min 0 0 2K jj
(3:3)
where jj is the number of nodes in . The quantity in (3.3) can be computed in polynomial time [8, 49], which would not have been possible in general had we resorted to the dynamics of SER in search of the values of m(!0 ) and p(!0 )|as we recall from Section 3.1, there do exist exponentially large periods. The alternative expression for concurrency given in (3.3) implies that, if G is not a tree, then the amount of concurrency that is achieved from a certain acyclic orientation depends on how that orientation a ects the edges of the simple cycle (or cycles) for which 1 mine+ (; ! ); e; (; ! ) 0 0 jj is minimum over K. If is one of these critical simple cycles, and if the \+" direction is the one along which fewest of the cycle's edges are oriented, then the following also holds. Every contiguous portion of oriented in the \+" direction is a shortest directed path in G oriented by !0 ; likewise, every contiguous portion of oriented in the \;" direction is a longest directed path in G oriented by !0 . Consider, for the sake of illustration, the graph and acyclic orientation depicted in Figure 3.6. In this case, (3.3) yields = 3=8 along the simple cycle shown in solid lines when it is traversed clockwise. Now let (G) be such that
(G) = max
(!): !2
(3:4)
Chapter 3. Scheduling by Edge Reversal
32
By (3.3), (G) is such that 1 1 (3:5) n (G) 2 ; which is in accordance with the intuition regarding the functioning of SER we may have built from (3.2): it takes at most n time steps for a node to become a sink (so m p=n), and the most frequently that a node becomes a sink is in every other time step (so m p=2). The problem of determining (G) is the problem of nding the initial acyclic orientation of G that optimizes concurrency. In the remainder of this chapter, we discuss several issues related to this problem. First, however, a few de nitions related to coloring the nodes of G are in order. A coloring of the nodes of G is an assignment of natural numbers (colors ) to nodes in such a way that no two neighbors are ever assigned the same number. The minimum number of colors needed to color the nodes of G with one color per node is the graph's chromatic number, denoted by (G). The determination of (G) is in general an NP-hard problem [33, 46]. If, for k 1, the number of distinct colors to be assigned to each node is k, then the minimum number of colors needed overall to color the nodes of G is the k-chromatic number of G, denoted by k (G). Colorings of G's nodes that allow more than one color to be assigned to each node are also referred to as multicolorings [21, 58, 62]. There is a sense in which a multicoloring can be said to be more or less \ecient" than another: a multicoloring that employs a certain number of colors overall per color assigned to each node is more \ecient" than another for which this ratio is larger. The minimum ratio is called the multichromatic number (or fractional chromatic number ) of G, denoted by (G) and formally given by
k (G) : (G) = min k1 k
(3:6)
The problem of determining (G) is in general NP-hard as well [39]. Node multicolorings are important in our present context because every SER period can be regarded as providing the nodes of G with a node multicoloring. If m and p are the integers characterizing the period, then this multicoloring assigns m colors to each node, employing for such p colors overall. The exact colors assigned to each node depend on the orientations within the period in which the node is a sink. If, for t 0, !t ; : : : ; !t+p;1 are the orientations in the period, then node ni is assigned color u, for 0 u p ; 1, if and only if ni is a sink in !t+u .
Section 3.2. Attractor dynamics and concurrency
33
One interesting question is then whether other multicolorings exist that are more \ecient" than the SER multicoloring that yields m=p = (G). Such a multicoloring would assign k colors to each node, employing q colors overall, in such a way that q=k < p=m, or, equivalently, k=q > m=p. A scheduling mechanism based on this other multicoloring would schedule independent sets sharing the same color cyclically, just as inside an SER period, and would provide more concurrency than SER, as k=q > (G). This question can be answered armatively, for example for the graph in Figure 3.6. For this graph, it can be shown that (G) = 5=2 [62], which means that it is possible to schedule independent sets of nodes with more concurrency than SER can provide, given by (G) = 3=8 < 2=5 (one periodic orientation for which this SER concurrency is achieved is precisely the one shown in the gure). Note, however, that the multicolorings implied by SER periods are all interleaved multicolorings, in the following sense. If, for two neighbors ni and nj , the colors assigned to ni are ki1 < < kim , while those assigned to nj are kj1 < < kjm , then either ki1 < kj1 < < kim < kjm or kj1 < ki1 < < kjm < kim . This follows from the fact that, in any SER schedule, neighbors always appear as sinks in alternating orientations. As it turns out, every interleaved multicoloring employing a total of q colors to assign k colors to each node is such that (G) k=q. Consequently, multicolorings for which
(G) < kq 1(G) must not be interleaved. If we rewrite (3.4) as 1
1
; !2 (! )
(G) = min then by analogy with (3.6) we can call 1= (G) the interleaved multichromatic number (or interleaved fractional chromatic number ) of G. Every coloring that assigns one single color to each node is also an interleaved multicoloring, so it follows from the discussion we just had and from viewing SER periods as node multicolorings that 1 1 (G) (G) (G) :
(3:7)
Together, (3.5) and (3.7) provide the known bounds on (G). Note, however, that (G) n, so the lower bound in (3.7) is tighter than the one in
34
Chapter 3. Scheduling by Edge Reversal
(3.5). Similarly, every multicoloring assigning k colors to each node must be such that k (G) 2k (this is the number of colors required by any two neighbors). So (G) 2, and consequently the upper bound in (3.7) is also tighter than the one in (3.5). Let us then return to the question of how to nd (G). Because the inequality in (3.7) is sometimes strict (once again the graph in Figure 3.6 is an example, having (G) = 3), there might in principle be hope that such a task could be carried out eciently. However, a simple polynomial-time reduction from the decision problem related to nding (G) leads to the conclusion that the determination of (G) is also an NP-hard problem in general. Nevertheless, the value of (G) is known for some special graphs. We have (G) = 1=2 for bipartite graphs, (G) = 1=n for complete graphs, and (G) = (n ; 1)=2n for rings with n odd.
4 The SER State Space The state space of SER is the set of all the acyclic orientations of G. In
, every orientation belongs to one basin of attraction, at whose core lies a period of orientations that acts as an attractor for all the orientations in that basin. The most important problem to be solved in connection with SER is the choice of the rst acyclic orientation of a schedule according to the criterion of optimizing a measure of concurrency. This measure of concurrency is the rational number (!) for orientation !. The maximum value of this quantity over is (G). Although there exist graphs for which (G) is known analytically and can be computed easily as a function of n, the problem of determining its value is in general intractable, in the sense of NP-completeness [33]. The purpose of this chapter is to present data on the state space of SER that may in the future yield useful heuristics for the optimization of concurrency. Of course, like other e orts similar to the one that led to the creation of this book (e.g., [66]), the great complexity of the dynamical system's state space limits severely the degree of thoroughness with which to investigate its properties. This chapter is divided into two sections. Section 4.1 contains a brief account of the two sources of combinatorial explosion with which one must deal when studying the properties of SER. One of these is the number of nonisomorphic graphs for xed n, the other the number of acyclic orientations for xed G. In Section 4.2, statistics and correlations are presented for modestlysized graphs. The aim is to provide a source of information on how the
36
Chapter 4. The SER State Space
properties of SER whose assessment is computationally demanding relate to the properties of graphs and orientations that can be assessed eciently.
4.1. Enumerating graphs and acyclic orientations
In very broad terms, there are essentially two types of combinatorial structures that ultimately determine the value of (G) if we start with a xed value for n. One of them is G itself; the other is the set of all the acyclic orientations once G has been xed. Being able to enumerate all the possible variations of both structures, at least for small values of n, is one essential rst step toward understanding how those variations ultimately a ect the value of (G). Enumerating all the nonisomorphic graphs for xed n is no simple task, and the reason for this is immediately apparent from the data given in Table 4.1. In that table, we give, for 2 n 10, the number of nonisomorphic graphs in general, the number of nonisomorphic bipartite graphs, and the number of nonisomorphic trees, all on n nodes and considering connected graphs only. While for n < 5 the enumeration is trivial and can be done easily by hand, already for n = 6 one must resort to a nontrivial formal characterization of nonisomorphism to generate all graphs [45]. Beyond that, the growth is so quick that enumeration by computer is the only way to proceed. For this reason, it is no surprise that, between the rst enumeration of all nonisomorphic graphs for n = 6 and for n = 10 [18], a span of nearly forty years exists. With the aid of computer technology, it is now possible to go a little farther than n = 10 and still remain within reasonable bounds on the time required for completion [51]. Once G is xed, the generation of is another source of exponential growth, as we recall from our discussion of complete graphs, trees, and rings in Section 3.1. We mention as a side remark that, curiously, even for graphs in general there exists a principled way of assessing the number of acyclic orientations of G, although it is impractical in most cases. The basis for this is the chromatic polynomial of G [15], which we denote by G . For q 0, G (q) gives the number of distinct ways in which the nodes of G can be colored by a total of at most q colors. The least value of q for which G (q) > 0 is of course equal to (G), the graph's chromatic number. The remarkable result that relates this polynomial to the size of is that the number of acyclic orientations of G is given by the absolute value of the chromatic polynomial of G evaluated at the negative unit [63, 65], that is, j j = (;1)n G (;1): One recent approach to the generation of proceeds as follows. For 0 i < n ; 1, let Gi denote the subgraph of G whose node set is fn0 ; : : : ; ni g.
Section 4.1. Enumerating graphs and acyclic orientations
Table 4.1.
37
The number of nonisomorphic connected graphs n
General
Bipartite
Trees
2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 6 21 112 853 11;117 261;080 11;716;571
1 1 3 5 17 44 182 730 4;032
1 1 2 3 6 11 23 47 106
If all the acyclic orientations of Gi are known, then each of them can be extended to yield acyclic orientations of Gi+1 by simply assigning directions to the edges between ni+1 and its neighbors from Gi in such a way as not to form directed cycles involving such nodes. Working upward ; from G0 , all the acyclic orientations of G can be generated within O ej j time and O(e) space. This generation never requires more than O(ne) time per orientation [10]. Another recent approach is to proceed likewise, but to start from an empty subgraph of G and continue upward by adding one new edge at a time. Whenever an edge is added, itself and the edges between its end nodes and the nodes belonging to the already oriented portion of ; thegraph must be oriented acyclically [61]. This approach requires O nj j time and O(n2 ) space overall, but never more than O(n2 e) time per orientation. Neither approach is strictly better than the other in all aspects, so choosing between them must take into account which of the required computational resources is most constrained.
4.2. Some statistics and correlations
This section contains statistics and correlation data on several quantities that relate to the structure of G and to the SER schedules that originate from the acyclic orientations of G. All data are presented for classes of connected graphs with 2 n 10, depending on the number of nonisomorphic graphs for xed n and the number of acyclic orientations per graph. The
Chapter 4. The SER State Space
38
techniques used to generate the graphs in each class and the acyclic orientations of each graph were those mentioned in Section 4.1 ([51] for graphs, [10] for acyclic orientations). The graph classes that we consider are the following: Gn : All connected graphs on n nodes. Bn : All connected bipartite graphs on n nodes. Tn : All trees on n nodes. Kn : The complete graph on n nodes. Rn : The ring on n nodes. Several of the data to be presented are correlation data on two quantities relating to the same graph or the same acyclic orientation. If X and Y are these two quantities and we have z values for each of them, respectively X1 ; : : : ; Xz and Y1 ; : : : ; Yz , then the correlation indicator that we present is the so-called correlation coecient [64], given by
(XY ) ; (X )(Y ) ; ; (X 2 ) ; 2 (X ) (Y 2 ) ; 2 (Y )
(X; Y ) = q;
(4:1)
where denotes the average of the z values and 2 the square of that average. Clearly, (X; Y ) is de ned if and only if neither X nor Y is constant over its z values. It follows from (4.1) that ;1 (X; Y ) 1. In particular, if X and Y are linearly correlated to each other, that is, if there exists a nonzero real number a such that Yk = aXk for k = 1; : : : ; z , then (X; Y ) = 1 if a > 0 and (X; Y ) = ;1 if a < 0. Total uncorrelation between the two quantities is detected by (X; Y ) = 0. The rst group of correlations that we present relates quantities that can be measured eciently on G to quantities that depend on the SER dynamics. By computing (X; Y ) with X of the rst type and Y of the second, we obtain data on how the structure of the undirected G ultimately a ects the performance of SER, without regard to speci c initial conditions. Each correlation is computed on all the graphs from a certain class H, so z is the number of graphs in H. In what follows, the list from which we select X is the one given next: e: The number of edges in G. min : The minimum degree (number of neighbors) of a node in G. max : The maximum degree of a node in G.
Section 4.2. Some statistics and correlations
Table 4.2.
Class
G3 G4 G5 G6 G7 G8
39
(X; Y ) for Y = b on general graphs
X=e
X = min
X = max
1:000 0:984 0:954 0:908 0:866 0:841
1:000 0:968 0:923 0:873 0:807 0:752
| 0:333 0:435 0:441 0:466 0:467
X=D
X=g
;1:000 1:000 ;0:815 0:668 ;0:646 0:279 ;0:577 0:083 ;0:545 ;0:025 ;0:548 ;0:054
D: The diameter of G, i.e., the maximum distance over all pairs of
nodes. g: The girth of G, i.e., the number of nodes in the smallest undirected cycle in G. As for Y , the rst group of correlations employs selections from the following list: b: The number of basins of attraction in . min : The minimum value of over all basins of attraction. (G): By (3.4), the maximum value of over all basins of attraction. The rst group of correlation data appears in Tables 4.2 through 4.6, each with xed Y and one column for each possible X . The rst three tables have one row for each of G3 through G8 , and the last two one row for each of B4 through B9 . Of the ve graph classes introduced earlier, those not contemplated in these tables have X or Y constant. Similarly for Y = (G) on bipartite graphs and for entries missing from the tables. Some entries in these tables do show strong correlations, but there is a tendency for great variation as n changes, sometimes even with changes in sign. Particularly useful correlations are those that remain constant or vary relatively slowly as n changes. This happens, for example, with X = max for general graphs, but not concomitantly with a very strong correlation. Our second group of correlations refers to all the acyclic orientations of all the graphs within a certain class. As with the rst group, the aim is to observe how quantities that depend on acyclic orientations and can be assessed eciently relate to quantities that depend on the dynamics of
Chapter 4. The SER State Space
40
(X; Y ) for Y = min on general graphs
Table 4.3.
Class
G3 G4 G5 G6 G7 G8
X=e
;1:000 ;0:833 ;0:736 ;0:686 ;0:638 ;0:588
Table 4.4.
Class
G3 G4 G5 G6 G7 G8
X = min
;1:000 ;0:777 ;0:576 ;0:515 ;0:463 ;0:460
B4 B5 B6 B7 B8 B9
X=D
|
1:000 0:645 0:581 0:529 0:528 0:514
;0:175 ;0:234 ;0:267 ;0:274 ;0:267
X=g
;1:000 ;0:960 ;0:840 ;0:674 ;0:409 ;0:156
(X; Y ) for Y = (G) on general graphs
X=e
;1:000 ;0:880 ;0:788 ;0:713 ;0:694 ;0:679
Table 4.5.
Class
X = max
X = min
;1:000 ;0:614 ;0:505 ;0:348 ;0:336 ;0:303
X = max
X=D
|
1:000 0:714 0:551 0:480 0:445 0:415
;0:680 ;0:540 ;0:599 ;0:562 ;0:573
X=g
;1:000 ;0:510 ;0:392 ;0:082
0:101 0:242
(X; Y ) for Y = b on bipartite graphs
X=e
X = min
X = max
1:000 0:986 0:925 0:845 0:768 0:690
1:000 0:943 0:914 0:819 0:766 0:645
0:000 ;0:064 0:149 0:123 0:202
;0:500
X=D
;0:500 ;0:504 ;0:548 ;0:496 ;0:441 ;0:388
X=g
1:000 0:840 0:495 0:319 0:146 0:084
Section 4.2. Some statistics and correlations
Table 4.6.
Class
B4 B5 B6 B7 B8 B9
X=e
;1:000 ;0:919 ;0:800 ;0:766 ;0:693 ;0:660
41
(X; Y ) for Y = min on bipartite graphs X = min
;1:000 ;0:612 ;0:601 ;0:397 ;0:395 ;0:326
X = max
X=D
0:500 0:000 0:181 ;0:029 0:000 ;0:067
0:500 0:327 0:341 0:342 0:393 0:416
X=g
;1:000 ;1:000 ;0:969 ;0:958 ;0:888 ;0:827
SER. Correlation coecients (X; Y ) with X of the rst type and Y of the second carry information on how certain properties of acyclic orientations a ect the behavior of the SER schedules starting at those orientations. Each correlation is computed over all the acyclic orientations of all graphs in a certain class H, so z is the sum of j j for all graphs in H. For this second group of correlations, X is selected from the following list: + : The maximum in-degree according to the orientation. The max in-degree of a node is the number of neighbors from which edges are oriented toward the node. ; : The maximum out-degree according to the orientation. The max out-degree of a node is the number of neighbors toward which edges are oriented from the node. : The length of the sink decomposition according to the orientation. The length of the longest directed path according to the orientation is ; 1. + : The number of sinks according to the orientation. ; : The number of sources according to the orientation. The list from which Y is selected for the second group of correlations is the following: : The number of transient orientations on the schedule starting at the orientation. ': The fraction = (G) of optimal concurrency achieved from the orientation.
Chapter 4. The SER State Space
42
Table 4.7.
Class
G3 G4 G5 G6 G7 G8
+ X = max
;0:764 ;0:675 ;0:568 ;0:514 ;0:460 ;0:408
Table 4.8.
Class
G4 G5 G6 G7 G8
(X; Y ) for Y = on general graphs ; X = max
;0:764 ;0:609 ;0:501 ;0:433 ;0:374 ;0:318
X=
0:250
;0:124 ;0:111 ;0:134 ;0:126 ;0:112
X = +
;0:167
X = ;
;0:167 ;0:052 ;0:047 ;0:054 ;0:070 ;0:091
0:142 0:216 0:255 0:265 0:265
(X; Y ) for Y = ' on general graphs
+ X = max
; X = max
0:110 0:106 0:128 0:125 0:124
0:110 0:106 0:128 0:125 0:124
X=
;0:346 ;0:355 ;0:389 ;0:440 ;0:497
X = +
X = ;
0:214 0:229 0:229 0:226 0:225
0:214 0:229 0:229 0:226 0:225
The second group of correlations appears in Tables 4.7 through 4.13, each with xed Y and one column for each possible X . Table 4.7 has one row for each of G3 through G8 , Table 4.8 for G4 through G8 , Table 4.9 for B3 through B9 , Table 4.10 for B4 through B9 , Table 4.11 for T3 through T10 , and Tables 4.12 and 4.13 for R4 through R10 . As before, graph classes not contemplated in these tables have X or Y constant, the same holding for Y = ' on trees and for columns missing from Tables 4.12 and 4.13. As with the rst group of correlations, interesting information from these tables comes from correlations that are signi cantly distant from zero and relatively stable for entire columns. For example, it appears that shorter sink decompositions tend to lead to higher fractions of the optimal concurrency, the same holding, although not as strongly, for larger numbers of sinks and sources. The third and nal set of data that we present is related to the sensitivity of SER to the choice of the initial acyclic orientation. This sensitivity
Section 4.2. Some statistics and correlations
Table 4.9.
Class
B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9
+ X = max
;0:577 ;0:609 ;0:501 ;0:489 ;0:469 ;0:461 ;0:426
Table 4.10.
Class
B4 B5 B6 B7 B8 B9
+ X = max
;0:284 ;0:249 ;0:296 ;0:266 ;0:273 ;0:244
43
(X; Y ) for Y = on bipartite graphs ; X = max
;0:577 ;0:417 ;0:400 ;0:380 ;0:359 ;0:349 ;0:313
X=
X = +
1:000 0:089 0:087 ;0:088 ;0:068 ;0:103 ;0:086
0:070 0:181 0:201 0:230 0:221
;0:577 ;0:029
X = ;
;0:577 ;0:203 ;0:091 ;0:018 ;0:026 ;0:013 ;0:034
(X; Y ) for Y = ' on bipartite graphs ; X = max
;0:284 ;0:249 ;0:296 ;0:266 ;0:273 ;0:244
X=
;0:728 ;0:723 ;0:748 ;0:721 ;0:723 ;0:724
X = +
X = ;
0:404 0:426 0:460 0:428 0:426 0:397
0:404 0:426 0:460 0:428 0:426 0:397
is crucial for the design of heuristics to select the initial orientation, because it indicates the deviation that may occur from optimal concurrency as a result of slightly imprecise design choices in the beginning. It is, in this sense, related to the notion of deterministic chaos in dynamical systems [59]. We present these sensitivity data as eight di erent measures, to be explained shortly and denoted by 1 ; : : : ; 8 . Each measure indicates an average or bound related to the e ect of reversing the orientation of one single edge to yield another acyclic orientation. Like other data presented so far in this chapter, these measures refer to all acyclic orientations of all graphs in a certain class H. Some of the measures are averages, of which we consider two types. Overall averages are taken over all graphs in H, all acyclic orientations
Chapter 4. The SER State Space
44
Table 4.11.
Class
T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10
+ X = max
;0:577 ;0:580 ;0:413 ;0:426 ;0:375 ;0:379 ;0:347 ;0:336
; X = max
;0:577 ;0:290 ;0:242 ;0:247 ;0:262 ;0:273 ;0:268 ;0:265
Table 4.12.
Class
R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10
(X; Y ) for Y = on trees X=
1:000 0:885 0:797 0:706 0:652 0:586 0:547 0:501
X = +
;0:577 ;0:290 ;0:258 ;0:212 ;0:218 ;0:200 ;0:196 ;0:186
X = ;
;0:577 ;0:580 ;0:453 ;0:447 ;0:394 ;0:380 ;0:351 ;0:335
(X; Y ) for Y = on rings
X=
;0:372
0:000 ;0:278 ;0:100 ;0:207 ;0:102 ;0:165
X = +
;0:258 ;0:500 ;0:187 ;0:325 ;0:153 ;0:238 ;0:128
X = ;
;0:258 ;0:500 ;0:187 ;0:325 ;0:153 ;0:238 ;0:128
of each graph, and all single-edge reversals that lead to another acyclic orientation. By contrast, per-orientation averages are computed in two phases. First the quantity of interest is averaged for a xed acyclic orientation over all single-edge reversals that yield another acyclic orientation. Then these averages are themselves averaged over all graphs in H and all acyclic orientations of each graph from which at least one other acyclic orientation can be derived by means of a single-edge reversal. Other measures are bounds (minima or maxima), being evaluated over all graphs in H, all acyclic orientations of each graph, and all single-edge reversals that result in another acyclic orientation.
Section 4.2. Some statistics and correlations
Table 4.13.
Class
R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10
45
(X; Y ) for Y = ' on rings
X=
;0:906 ;0:866 ;0:825 ;0:803 ;0:763 ;0:744 ;0:705
X = +
X = ;
0:471 0:500 0:474 0:488 0:454 0:454 0:422
0:471 0:500 0:474 0:488 0:454 0:454 0:422
The following is how 1 through 8 are de ned: 1 : The overall average rate of basin change. The quantity being averaged for each single-edge reversal that preserves acyclicity is 1 for reversals that lead to another basin of attraction, 0 for the others. 2 : The per-orientation average rate of basin change. The quantity being averaged is the same as in 1 . 3 : The overall average rate of concurrency change. The quantity being averaged for each single-edge reversal that preserves acyclicity is 1 for reversals that lead to a basin of di erent concurrency, 0 for the others. 4 : The per-orientation average rate of concurrency change. The quantity being averaged is the same as in 3 . 5 : The overall average concurrency change. The quantity being averaged for each single-edge reversal that preserves acyclicity is (! ) ; (! 0 ) , where ! and ! 0 are the two orientations involved in the single-edge reversal. 6 : The per-orientation average concurrency change. The quantity being averaged is the same as in 5 . 7 : The minimum change in concurrency, as given for 5 . 8 : The maximum change in concurrency, as given for 5 . We present these eight measures in Tables 4.14 through 4.21 for G2 through G8 (one row of Tables 4.14 and 4.15 for each), B2 through B9 (Tables 4.16 and 4.17), K2 through K9 (Tables 4.18 and 4.19), and R3 through R10
Chapter 4. The SER State Space
46
Table 4.14.
Class
G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8
1 0:000 0:600 0:769 0:880 0:931 0:960 0:978
Table 4.15.
Class
G2 G3 G4 G5 G6 G7 G8
1 through 4 on general graphs 2 0:000 0:600 0:762 0:874 0:928 0:959 0:977
3 0:000 0:000 0:369 0:443 0:546 0:586 0:611
4 0:000 0:000 0:349 0:429 0:536 0:579 0:607
5 through 8 on general graphs
5 0:000 0:000 0:062 0:046 0:040 0:032 0:026
6 0:000 0:000 0:057 0:043 0:039 0:031 0:025
7 0:000 0:000 0:000 0:000 0:000 0:000 0:000
8 0:000 0:000 0:250 0:250 0:250 0:250 0:250
(Tables 4.20 and 4.21). Trees are altogether absent, because the SER state space for trees has one single basin of attraction, so 1 ; : : : ; 8 are zero throughout. Tables 4.14, 4.16, 4.18, and 4.20 refer to measures 1 ; : : : ; 4 , while Tables 4.15, 4.17, 4.19, and 4.21 refer to measures 5 ; : : : ; 8 . Recalling that average rates must be between 0 and 1, and average changes in concurrency between 0 and 0:5, what most of these tables tell us is that there is indeed considerable sensitivity to the small perturbations caused by single-edge reversals. Extreme cases of interest are those of complete graphs (single-edge reversals always cause basin changes, but, as expected, no changes in concurrency) and of rings (single-edge reversals always cause basin changes and, if n is even, concurrency changes as well).
Section 4.2. Some statistics and correlations
Table 4.16.
Class
B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9
Table 4.17.
Class
B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9
47
1 through 4 on bipartite graphs 1 0:000 0:000 0:500 0:586 0:783 0:818 0:885 0:907
2 0:000 0:000 0:467 0:554 0:761 0:801 0:875 0:899
3 0:000 0:000 0:500 0:406 0:509 0:458 0:469 0:449
4 0:000 0:000 0:467 0:377 0:491 0:444 0:459 0:441
5 through 8 on bipartite graphs 5 0:000 0:000 0:125 0:102 0:099 0:078 0:060 0:047
6 0:000 0:000 0:117 0:094 0:094 0:075 0:058 0:046
7 0:000 0:000 0:000 0:000 0:000 0:000 0:000 0:000
8 0:000 0:000 0:250 0:250 0:250 0:250 0:250 0:250
Chapter 4. The SER State Space
48
Table 4.18.
Class
K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9
Table 4.19.
Class
K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9
1 through 4 on complete graphs 1 0:000 1:000 1:000 1:000 1:000 1:000 1:000 1:000
2 0:000 1:000 1:000 1:000 1:000 1:000 1:000 1:000
3 0:000 0:000 0:000 0:000 0:000 0:000 0:000 0:000
4 0:000 0:000 0:000 0:000 0:000 0:000 0:000 0:000
5 through 8 on complete graphs 5 0:000 0:000 0:000 0:000 0:000 0:000 0:000 0:000
6 0:000 0:000 0:000 0:000 0:000 0:000 0:000 0:000
7 0:000 0:000 0:000 0:000 0:000 0:000 0:000 0:000
8 0:000 0:000 0:000 0:000 0:000 0:000 0:000 0:000
Section 4.2. Some statistics and correlations
Table 4.20.
Class
R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10
1 1:000 1:000 1:000 1:000 1:000 1:000 1:000 1:000
Table 4.21.
Class
R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10
5 0:000 0:250 0:114 0:167 0:097 0:125 0:080 0:100
49
1 through 4 on rings 2 1:000 1:000 1:000 1:000 1:000 1:000 1:000 1:000
3 0:000 1:000 0:571 1:000 0:677 1:000 0:724 1:000
4 0:000 1:000 0:600 1:000 0:683 1:000 0:725 1:000
5 through 8 on rings 6 0:000 0:250 0:120 0:167 0:098 0:125 0:081 0:100
7 0:000 0:250 0:000 0:167 0:000 0:125 0:000 0:100
8 0:000 0:250 0:200 0:167 0:143 0:125 0:111 0:100
II The Atlas This second part of the book is an atlas of SER basins of attraction. For all graphs in selected classes, Chapters 5 through 7 present all the basins of attraction. Generation of all graphs within each class and of all the acyclic orientations of each graph was based on the techniques mentioned in Section 4.1 ([51] for graphs, [10] for acyclic orientations). Two main criteria were adopted when selecting the graph classes to appear in the atlas. First, such a class should contain enough variation of SER behavior in order to provide a rich insight into the dynamics of SER. The second criterion, just as fundamental as the rst, was that a graph class to appear in the atlas should comprise a number of graphs, and each graph a number of orientations, compatible with the various space constraints for the book. These criteria led to the choice of classes G6 (Chapter 5), T7 (Chapter 6), and R3 through R8 (Chapter 7). Each graph appears in the atlas as a series of entries, one containing some of the graph's characteristics (a graph entry), and one for each group of the graph's basins of attraction having the same values for m and p (a basin entry). The graph entry is indicated by the symbol x, followed by the values of n and e for that graph, as well as the range of (the nodes' degrees). The latter is given as either 2 fmin ; : : : ; max g, 2 fmin ; max g, or = min , respectively for min < max ; 1, min = max ; 1, and min = max . A basin entry is indicated by the symbol ., followed by the corresponding values of , m, and p. For each graph, basin entries appear in order of nondecreasing , and, for constant , in order of decreasing p.
Part II. The Atlas
52
A graph entry contains a picture of the undirected graph. In this picture, nodes are displayed on a circle counterclockwise in increasing order of subscripts, and edges are displayed as chords of the circle. Nodes are identi ed by their subscripts, ranging from 0 through n ; 1. For example, the identi cation that appears by node n2 is 2. A basin entry contains, for each basin of attraction, a picture of the entire basin. In this picture, each orientation is shown in a rectangular box, and boxes are connected to each other to depict the SER schedules within the corresponding basin. All schedules are displayed from left to right while on transient orientations, then counterclockwise within the period. Each acyclic orientation is displayed as a total order of node subscripts, for example 2350164 for a 7-node graph. Of course, acyclic orientations induce partial orders, not total orders, so the interpretation of this sequence of subscripts is dependent upon the structure of G. If, for example, (n1 ; n5 ) is an edge of G, then, in the orientation represented by 2350164, this edge is oriented from n5 to n1 , that is, the total order used to represent the orientation is consistent with the partial order induced by the orientation. Note that such a total order represents the orientation unambiguously given G, although not uniquely. Next are two pairs of entries, provided for the sake of illustration, each containing one graph entry and one basin entry. The rst pair's basin entry contains the basin appearing in Figure 1.2, the second pair's the basin of Figure 3.4. Although in those gures nodes are not identi ed, the correspondence should be clear. x
n = 5, e = 5, = 2 1
2
..... ..... ... .. .... ... ............. .... .. .... ............. ... . . ... . . ............. .... .... ........... .. .... .... ....................... . ........... .... ...... ........... ...... ... .... ....... ... ..................... .... .... . ... .... ...... ....................... ... .............. .. . . . .. ... ................... ...... . . . . . .. .... . ............. .... ... .... .. .... .. ...... .
0
3
4
Part II. The Atlas
53
. = 0:4 (m = 2, p = 5) 02341................. 01234 .. ....
13420................. 01342 .. ....
30124................. 34012 ...
30142................. 23014 ...
... . .. .
13402................. 12340 ... ... .
41230................. 04123 ... ... .
24013................. 23401
x
... .
... .... ... .... ... ... ... ... . .. ... ... . .. . . . .. .... ... .... ....
.. .
02314................. 03412 ... ... .
24031................. 12403 ... ... .
41203................. 34120
... .... ... .... ... ... ... ... . .. ... ... . .. . . . .. .... ... .... ....
n = 5, e = 4, 2 f1; : : : ; 3g 1
2
.. .. .. .. .. ... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .... .. .. .. ........................ .... . . ....... .... .... .... ...................... .... . . .. . . . . .... .............. . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . ..... .... ... ...... ........... .... . .... .... .. .... .......... ....
0
3
4
. = 0:5 (m = 1, p = 2) 12403........
... ... .
14023...................... ...... ..... ..
24013.............. 40123 01342 02341 03412 13042 23041 30412
12340...........
.... .... .
... ... ...
13402........................ 01234 .. .....
.. .. .. .. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... . ..... .... ..... ...... ...... .... ..... ... ..... ........ . .. .. .. .. .. .. ... .. .. ... . .. .. .. ..
12304................. 34012
. .... ....
23401....
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.... .... .... .... ... ... ... ... . .. ... .. . . ... . . . .. .... ... .....
All graphs displayed in the atlas appear in the Index under \graph in atlas," and are listed according to the values of n and e and the range of . The entry \graph in atlas, n = 6, e = 10, 2 f3; : : : ; 5g," for example,
54
Part II. The Atlas
points to all pages on which a graph entry can be found with n = 6, e = 10, and 2 f3; : : : ; 5g.
5 All Graphs on Six Nodes This chapter is the atlas of SER basins of attraction for graphs in contains entries for all the 112 connected graphs with
n = 6.
G6 .
It
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
56
x
n = 6, e = 5, 2 f1; : : : ; 5g 2
1
.. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. ..... . .. .. .. ..... ... ... ..... .. .. ..... .. .. ..... . ... . .. ..... .. .... .... ..... . . ...... ..... .... .... ..... ..... .. . .. ..... .. .. .. ........ .........................................................
3
0
4
5
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
. = 0:5 (m = 1, p = 2) 012354......
.. .. .
012453...............
.... .... ..
012534....................
....... ..... ....
013452...............................
........ .......... ..
013524....................................
.......... .......... .....
014523..............................................
.............. ......... . ........
015234......................................................
.............. ........... ............
023451............................................................
.............. ............. .........
023514.............................................................
............... .................. .........
024513...............................................................
................ ................... . ......
025134.......................................................................
................... ................... .......
034512......................................................................
................. .................. ........
035124.....................................................................
................. ................... ......
045123..............................................................
.. ............. ........... ......
051234..............................................
. ......... ..... .......
123450................................................. 123504 124503 125034 134502 135024 145023 150234 234501 235014 245013 250134 345012 350124 450123
.. ............. .. ............. .. ......................... ........ ........................... . .. .............. .. ............. .. ........................... ................ ................. ..................... ................... ............................... . ...... ..................... .................... .................... ............................. .............. ................... ................... ................. .......................... . ...... . ................... ................. ..................... .......................... .............. .............. ............... ................ .......................... . .... ........... ............... .. ................... ................ .... ................. . ........ .............. ............. ................ . ... ... ....... ........ . ......... .......... ............. . ........ ........ ......... ........ .......... ....... ...... ...... ...... ........ .... .... .... .... . ...... . .. .. ... ..
012345 ... ......................... .. .
501234
. ........................
57
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
58
x
n = 6, e = 5, 2 f1; : : : ; 4g 2
1
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3
0
4
5
. = 0:5 (m = 1, p = 2) 123504......
.. .. .
125034..............
.... .... ..
135024.......................
.. .... ....... ...
150234................................ . ...... ..... .....
235014........................... 250134 350124 501234
. .. ... .... .. .. .. ...... ..... . .. .. .. .. .. .. ... . .. . . .. ..
012453.......
023451 024513 034512 045123 124053 134052 140523 234051 240513 340512 405123
.. .. .
124503..............
.. .. .... ..
134502...........................
........ ....... ...
145023....................................012345 .. ... 234501
.. .. ..
245013
.... ..... .. ........... ....... ........ ....... ...... ............. ......... .......... ............ ....... .. ............... .. ......... .. ......... .. ........ .......... . .. .. .................. .. .......... .. ....... .. ....... .......... ...... ..... .............. ........... ........ . ........ . . . . ...... ..... ............. .............. . . .... .. ........ .. ....... .. .............. ........... .............. . . ..... .. ........ .. ............. ... .......... ............. . . ... ........... ..... . ...... ...... ....... ........ . ..... . ..... .... ..... . . .. .. .. ...
345012
013452.............. 014523
123450......
.. ... .... .... .... ... ...... ..... . .. .. .. .. .. ... .. .. . . .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. ..
123405..................450123
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Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
59
n = 6, e = 6, 2 f1; : : : ; 5g 2
1
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3
0
4
5
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 012453.......
123540......
013452
125340..............
014523 023451 024513 034512 045123 124503 134502 145023 234501 245013 345012 450123
.. .. .. ...... ..... ...... ..... .. .......... ....... ....... ...... ....... .. ............ ......... ............. ........... ..... .. .............. .. .......... .. .......... .. ........ .......... . .. .. ................. .. .......... .. ....... .. ........ ......... ......... ..... ............. ........... ........ . ........ . .... ... ..... ............. .............. . .. .... .. ........ .. .......... .. ............... ..... .............. . . ..... .. ......... .. ............ .... ........ ........... . ........ ............. . .... ....... ...... ...... ........ .. .... .... ..... ..... . . .. .. ... ..
123504...... 125034 135024 150234 235014 250134 350124
.. .. . .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... ....... .... .... ......... ......... ...... .................... ... ........ ......... . . . ... .. .... ...... ... . .. .. .. .. .. .. .. ... .. . .. .. ..
.. .. .
.. .. .... ..
135240...........................
........ ........ ..
152340...................................012354 .. .. .... ..... .... .....
235140.................. .. .. .. .. ..
251340......... .. ..
012345 .. .. ... .
501234 .. .. .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. .. .. ... .. ... .. .. .. ... .. ... .. ... .. ... .. .. .. ... .. ... .. ... .. ... .. .. .. ... .. ... .. ... .
123450
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . .. ..
351240..
012534......
... ...
013524...............
..... .... ..
015234.......................
....... ....... ...
023514...............................
........ ......... ....
025134.......................................
............. .......... ....
035124............................................
.. ........ .......... .....
051234.......................................
.. ....... ..... .......
123405 .. .
.. ......... .. ......... .. ............... . ... ............. .. ........ .. ......... .. ............ ....... . ........ ........ ......... ............. .......... . ........ ...... ......... .... . .. ..... ... .... ..... .. . ... ... ..
512340
124053....................................... 134052 140523 234051 240513 340512 405123
.. .. .. .. ... .. ... .. ... .. .. .. ... .. ... .. ... .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. ... .. ... .. ... .. ... .. .. .. ... .. ... .. ... .. .. .. .. .. .. .. . ... .
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Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
60
x
n = 6, e = 5, 2 f1; : : : ; 3g 2
1
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3
0
4
5
. = 0:5 (m = 1, p = 2) 012453...........
.... .... .
013452........................234015...... 014523
.. ... .... ...
124053......
.. .. .
134052............... 140523 240153 340152 401523
..... ..... . ..... ........ ..... ... ...... .... ............ . . . . ... .... . .. ..... . .. .. .. . .. ... . .. .. . .. ..
123405
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . ..
145023.......
023451.................150234...... 235041....... 250341 350241 502341
... ... . ..... .... ..... .. ...... .... ......... . . . . .. .. . . ... . .. .. ..
123504 125034 135024
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...... . . . . ...... ......... . ...... . . .. . ... .. ... . ... ... .. .. . .. ..
234501 024513 034512 045123 123450 124503 134502 245013 345012
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . ... ....................... . .............. . . . .................. . . ... ...... ... ................. ...... ............ .. .......... .. ................ . .. .................. ....... ............ ............. ............. .................. ......... . .......... .......... ........... ............... ........... . ........ ........ ........... ..... . ...... ...... ...... ......... .. ..... ..... .... ...... . . .. .. .. ..
012345 .. .......................... . ... .
450123
. ........................
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
n = 6, e = 5, 2 f1; : : : ; 3g 2
1
.. . .. ... ... ... .. .. .. .. ... .. .. . . .. ... .. .. .... .. .. .... ..... ... .... ..... ...... .. .... ..... . . ...... ..... ..... .... .... .......... ..... .. ........ ...... . . . .... ... ...... ...... ... .. ............... .... ..... .. ... ..... ... . ........ .........................................................
3
0
4
5
. = 0:5 (m = 1, p = 2) 012453.......
.. .. .
013452...............
.... ..... .
014523.......................
....... ...... ...
024513...............................
......... ........ ....
034512.......................................
.. ........ ........ .....
045123....................................
. ....... ..... .......
124503.................................. 134502 145023 245013 345012 450123
. .... .. ........ .. .... .. ............. ........... . . ... .. ...... .. ...... .. ......... ... .......... . .. ....... ........ .... .... .... .... ..... . .. .. .. ..
012345...........
.... .... .
023451.........................015234 .. .. 123450
.. ... .... ...
023541.......
... .. .
025341..............
.... ..... ..
035241......................
...... ....... ..
052341...............................
........ ......... ...
123540.......................................
.. ......... ........ ....
125340......................................
.. ........ ..... ......
135240................................. 152340 235401 253401 352401 523401
... .. ..... .. ......... .. .............. ............ . .. ....... .. ...... .. ......... ...... ........ . ... ...... ......... .... .... ...... ....... . . .. .. .. ..
012354...........
.... .... .
.. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. .
012534.........................234501 013524
. ... .... ...
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. . .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. ..
61
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
62
x
n = 6, e = 6, 2 f1; : : : ; 4g 2
1
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3
0
4
5
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 024153......
235140...........
034152
251340........................023514 .. ...
041523 241503 341502 415023
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ...... . .... ... ..... ....... ..... . ...... . ... .. .. ... .. .. .. . . ..
235041........... 250341 350241
.... .... . ................. . .... .... . . ... . . . ..
125034........... 135024 150234
.... .... . ................. . ... .... ... . . . . ....
.... .... .
023415 .. ... . ... .
502341 .. .. .. .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. .. .
123504 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
234150
... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. . . .. .. .. .. .. . .. .. .. ... ... ...
351240
. ... .... ...
025134...........
.... .... .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
035124........................234051 .. . . .... ....
051234....
124053......
.. .. .
134052...............
..... ..... .
140523............................
....... ..... ...
240513..................... 340512 405123
... .. ... .. .. ... . .. . . .. ..
... .. .. .. .. ... .. .. .. ... .. ... .. ... .. .. .. ... .. ...
123405 ... ... .
512340
.. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . .. ... ..
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
. = 0:5 (m = 1, p = 2) 023451......
.. ...
024513..............
.... .... ..
034512......................
....... ....... ..
045123..............................
.. ...... ........ ....
123450.........................................
......... ......... ....
124503........................................012345 .. ... 235014.......
... ... .
250134....................... 350124 501234
...... ..... .. ..... .... .. ... . . .. .. ..
012453...... 013452 014523 240153 340152 401523
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ...... . . . . . .... ..... ....... ..... . . .. ... . . . .. ... . .. .. .. . ..
134502 145023 234501 245013 345012
. ... ... ....... .... ..... ... ............. .. ............ . .. ...... .. ...... .. ......... ..... . ... ....... .. ..... ......... . ... .... .... .... ..... .. .. .. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. .. ..
234015..................450123
... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . .. ... ...
63
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
64
x
n = 6, e = 6, 2 f1; : : : ; 4g 2
1
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3
0
4
5
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 023541......
012453...... 013452 014523 024513 034512 045123 123450 124503 134502 145023 245013 345012 235041.......
... ... .
250341....................... 350241 502341
..... ..... .. ..... ..... . ... ... . . ...
450123
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.. ...
025341..............
.... .... ..
035241......................
...... ....... ...
052341..............................
.. ...... ........ ....
123540.........................................
........... .......... ..
125340......................................012354 . ... . .... ....... .... ........
012345 .. ... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. ..
023451..................150234 .. 123504........... 125034 135024
.... .... . .................. ... .... ... . . . .. ....
135240................................
.. .. .. .. .. .. .. .
234501
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. ..
235401 253401 352401 523401 124053...... 134052 140523 240153 340152 401523
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ...... ..... .... ..... ...... .... . ..... . . . .. .. .. ... .. .. .. . . ..
. ... .. ...... .. .... .. .......... ........ . . .. ...... .. .... ........ .. ...... . .. ..... ..... .. .. .. .. ..
012534...........
.... .... .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
013524..........................234015 . . . . .... ...
015234....
. . . . . . . . . . . . . . . .
123405..................152340
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . .. .. . .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . .. .. ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
65
n = 6, e = 7, 2 f1; : : : ; 5g 2
1
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3
0
4
5
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 024153......
235140...........
034152
251340........................023514 .. ...
041523 241503 341502 415023
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ...... . .... ... ..... ....... ..... . ...... . ... .. .. ... .. .. .. . . ..
235041........... 250341 350241
.... .... . ................. . .... .... . . ... . . . ..
125034........... 135024 150234
.... .... . ................. . ... .... ... . . . . ....
.... .... .
023415 .. ... . ... .
502341 .. .. .. .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. .. .
123504 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
234150
... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. . . .. .. .. .. .. . .. .. .. ... ... ...
351240
. ... .... ...
025134...........
.... .... .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
035124........................234051 .. . . .... ....
051234....
124053......
.. .. .
134052...............
..... ..... .
140523............................
....... ..... ...
240513..................... 340512 405123
... .. ... .. .. ... . .. . . .. ..
... .. .. .. .. ... .. .. .. ... .. ... .. ... .. .. .. ... .. ...
123405 ... ... .
512340
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Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
66
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 012453.......
023541......
013452
025341.............
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235014........... 250134 350124
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035241......................
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052341..............................
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123540.........................................
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125340.......................................012354 .. ... 012345 .. ... . ... .
501234 .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. ... .. ... .. .. .. ... .. ... .. ... .. ... .. .. .. ... .. ...
234501
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135240 152340 235401 253401 352401
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012534......
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013524...............
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015234............................
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240153................... 340152 401523
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234015 .. . ... .
523401
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Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
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n = 6, e = 6, 2 f1; : : : ; 3g 2
1
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3
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. = 0:25 (m = 1, p = 4) 024153......
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135042...... 150342 235041 350412 503412 125034
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023415 .. ... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
250341 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
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123504 .. .
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341250
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235140..............................023514 .. ... . .. .... .. .... ..
351402........... 513402
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025134.................340251 .. 124053...... 140253 234051 240513 402513
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123405 .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
134025.................251340
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Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
68
. = 0:5 (m = 1, p = 2) 012453.................340125............. 240153............... 401253
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234015
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013452.................250134............. 350142............... 501342
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235014
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245013......
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012345 ... ......................... . ... .
450123
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Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
69
n = 6, e = 7, 2 f1; : : : ; 4g 2
1
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3
0
4
5
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 035241......
014253...... 034251 042513 134250 142503 425013
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135240 013425 .. .... .
152340
501342 ..
352401
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350142.................235014 ... 250134
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... .
342501
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035142...... 235140 251340 351402
023514 .. ... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
025134.................340251 .. 140253............... ... ......
402513.....
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134025 .. . ... .
513402
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013524 .. ... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
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041253...............
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051342...................
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024153......
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052341...................
412503
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135042...... 150342 235041 250341 350412
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234015 .. ... .
523401
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034125 .. ... . ... .
503412 ... .. .. .. .. .. .. ... .. ... .
123504 .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
125034.................341250
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034152...............
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041523............................. . ...... ..... ....
234150...................... 241503 415023
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023415 . .... . . . . . .
502341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
350241.................135024 . . . . . . .
150234.................341502
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351240.................035124 . ... . . . . . .
051234.................340512 . . 124053...... 134052 140523 234051 240513 405123
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123405 . . . . . . .
512340
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Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
70
. = 0:5 (m = 1, p = 2) 013452......
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014523...............
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023451......................
........ ........
024513..............................
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034512.......................................
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045123............................................
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123450.........................................012345 .. ... . . .. .... ........ ... .........
124503.................................... 134502 145023 234501 350124............... 501234
... ...... .....
012453............... ... ......
401253.....
245013 345012
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340125..................450123
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Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
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n = 6, e = 7, 2 f1; : : : ; 4g 2
1
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3
0
4
5
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 024153......
035142......
041253
051342...................
234150 241503 412503 034125
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135042...... 150342 235041 350412 503412 125034
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023415 .. ... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
250341 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
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123504 .. .
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341250
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235140..............................023514 .. ... . .. .... .. .... ..
351402........... 513402
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025134.................340251 .. 124053...... 140253 234051 240513 402513
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123405 .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
134025.................251340
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Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
72
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 012453......
013542......
014523
015342...............
023451 024513 034512 045123 123450 124503 134502 145023 234501 245013 450123 350142............... 501342
... ...... .....
013452
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023541......................
........ ........
025341..............................
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035412.......................................
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053412............................................
........... ......... ..
012345 .. ... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... .
250134 .. . ... .
235014..................345012
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123540.........................................012354 . ... . . . .. .... ........ ... .........
125340.................................... 135402 153402 235401 354012 534012 240153............... 401253
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012534..................340125 . . . . . . .
234015..................253401
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Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
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n = 6, e = 8, 2 f1; : : : ; 5g 2
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. = 0:25 (m = 1, p = 4) 035241......
014253...... 034251 042513 134250 142503 425013
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135240 013425 .. .... .
152340
501342 ..
352401
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350142.................235014 ... 250134
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... .
342501
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035142...... 235140 251340 351402
023514 .. ... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
025134.................340251 .. 140253............... ... ......
402513.....
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134025 .. . ... .
513402
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013524 .. ... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
015234.................340152 .. 240153............... 401523
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041253...............
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051342...................
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024153......
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052341...................
412503
... ...... .....
135042...... 150342 235041 250341 350412
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234015 .. ... .
523401
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034125 .. ... . ... .
503412 ... .. .. .. .. .. .. ... .. ... .
123504 .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
125034.................341250
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034152...............
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041523............................. . ...... ..... ....
234150...................... 241503 415023
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023415 . .... . . . . . .
502341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
350241.................135024 . . . . . . .
150234.................341502
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351240.................035124 . ... . . . . . .
051234.................340512 . . 124053...... 134052 140523 234051 240513 405123
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512340
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Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
74
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 013542......
012453....... 013452 014523 023451 024513 034512 045123 123450 124503 134502 145023 234501 245013 450123
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023541......................
........ ........
025341..............................
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035412.......................................
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053412............................................
........... ......... ..
123540.......................................012354 .. ... . . .. .... ........ ... .........
012345 ... .. .
125340....................................
501234 ..
135402
... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. ... .. ... .. ... .. .. .. ... .. ... .. ... .. ... ..
350124.................345012
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153402 235401 253401 354012
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012534...............
... ......
401253......
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340125 .. . ... .
534012
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Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
75
n = 6, e = 8, 2 f2; : : : ; 4g 2
1
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. = 0:25 (m = 1, p = 4) 014352......
015342......
014253......
024351
025341
034251...............
043512 124350 143502 243501
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012435 .. ........ . ... .
501243 ... .. ..
350124 .. . ... .
435012
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053412 125340 153402 253401
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ...... . .... ... ..... ....... ..... . ...... . ... .. .. ... .. .. .. . . ..
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..... ..... .
012534 .. ........ . ... .
401253 ... .. ..
340125 .. . ... .
534012
...... ..... .... ... ... ... .. ... ... .... . . . ... . . . . . . . ......
042513............................ ...... ..... ....
134250..................... 142503 342501
.. .. ... .. .. ... . .. . .. .. ..
013425 . ........ . . . . . .
501342 . . . . . . .
250134 . . . . . . .
425013
...... ..... .... ... ... ... .. ... ... .... . . . ... . . . . . . . ......
015243......
.. .. .
035241...............
..... ..... .
052413............................ 135240 152403 352401
...... ..... .... ..... ....... .... . . . . .. .. ... .. .. ... .. .. . . .. ..
013524 .. ........ . ... .
401352 ... .. .
240135 .. . ... .
524013
...... ..... .... ... ... ... . ... ... . . . .... . . . ..... . . . . . . . ..
042351............... 142350
... ...... ......
250143............... 350142
... ...... ......
024153......
025143......
034152
035142...............
041523 234150 241503 341502
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ....... ..... .... ..... ....... . .. ..... . .. .. .. . .. ... . .. .. . .. ..
014235 .. ........ . ... .
501423 ... .. .
235014 .. . ... .
423501
...... ..... .... ... ... ... . .. ... . . . . .... . . ..... . . . . . . . ..
052341............... ... ......
152340......
240153............... 340152
... ...... ......
015234 . ........ . . . . . .
401523 . . . . . .
234015 . . . . . . .
523401
...... ..... .... ... ... ... . .. ... . . . . .... . . ..... . . . . . . . ..
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..... ..... .
023415 .. ........ . ... .
502341 ... .. .
150234 .. . ... .
415023
...... ..... .... ... ... ... ... ... ... . . . ... . . . . .... ........
051423............................. 235140 251403 351402
....... ..... .... ..... ....... .. . ..... . .. .. .. . .. ... . .. .. . .. ..
023514 .. ........ . ... .
402351 ... .. .
140235 .. . ... .
514023
...... ..... .... ... ... ... ... ... ... . . . ... . . . . .... ........
041352............... ... ......
241350..... 150243 350241
...... ...... ... ... ...... .....
024135 . ........ . . . . . .
502413 . . . . . .
135024 . . . . . . .
413502
...... ..... .... ... ... ... ... ... ... . . . ... . . . . .... ........
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
76
051342............... 251340
... ..... ......
140253............... 340251
... ..... ......
025134 .. ....... . . ... .
402513 ... .. .
134025 .. . ... .
513402
...... .... .... ... ... ... . ... .. . .. .... . . ... . . . . . . .......
041253............... 341250
... ..... ......
150342............... 250341
... ..... ......
034125 .. ....... . . ... .
503412 ... .. .
125034 .. . ... .
412503
...... .... .... ... ... ... . ... .. . .. .... . . ... . . . . . . .......
125043...... 041235 .. ....... .
124053...... 051234 .. ....... .
135042
134052............... 405123 ..
150423 235041 250413 350412
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ...... . . . . . .... ..... ....... ..... . . .. ... . . . .. ... . .. .. .. . ..
... .
504123 .. .. .. ... ..
123504 .. . ... .
412350
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... . ... . . .... . . . .... .......
.. .. .
013452................
.... .... ..
014523........................
....... .........
023451................................
......... ........... .
024513.........................................
........... .......... .....
034512...........................................
.. ........ .......... ......
.. ....... ..... .......
124503 134502 145023 234501 245013 345012
.. .. ......... .. .......... .. ............... .... .......... ............... . .. ........ .. ............. . ..... ........... .......... .. ..... ............. ... ...... ....... ..... ...... .......... . . ..... .... .... ....... . ... ... ... ..
401235............... ... ......
501234.....
....... ..... ...
234051.................... 340512
012453.......
123450......................................
..... ..... .
140523............................. 240513
. = 0:5 (m = 1, p = 2)
045123........................................
.. .. .
012345 .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. ..
450123
... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... .. .. . . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. ... . ... ...
.. .. .. .. .. ... .. .. . . .. ..
... . .. .. ... ..
123405 .. . ... .
512340
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... . ... . . .... . . . .... .......
051243............... ... ......
351240......
140352............... 240351
... ..... ......
035124 . ....... . . . . . . .
403512 . . . . . .
124035 . . . . . . .
512403
...... .... .... ... ... ... . ... .. . .. .... . . ... . . . . . . .......
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
77
n = 6, e = 9, 2 f2; : : : ; 5g 2
1
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3
0
4
5
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 014352......
015342......
014253......
024351
025341
034251...............
043512 124350 143502 243501
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ...... . .... ... ..... ....... ..... . ...... . ... .. .. ... .. .. .. . . ..
012435 .. ........ . ... .
501243 ... .. ..
350124 .. . ... .
435012
...... ..... .... ... ... ... .. ... ... .... . . . ... . . . . . . . ......
053412 125340 153402 253401
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.. .. .
..... ..... .
012534 .. ........ . ... .
401253 ... .. ..
340125 .. . ... .
534012
...... ..... .... ... ... ... .. ... ... .... . . . ... . . . . . . . ......
042513............................ ...... ..... ....
134250..................... 142503 342501
.. .. ... .. .. ... . .. . .. .. ..
013425 . ........ . . . . . .
501342 . . . . . . .
250134 . . . . . . .
425013
...... ..... .... ... ... ... .. ... ... .... . . . ... . . . . . . . ......
015243......
.. .. .
035241...............
..... ..... .
052413............................ 135240 152403 352401
...... ..... .... ..... ....... .... . . . . .. .. ... .. .. ... .. .. . . .. ..
013524 .. ........ . ... .
401352 ... .. .
240135 .. . ... .
524013
...... ..... .... ... ... ... . ... ... . . . .... . . . ..... . . . . . . . ..
042351............... 142350
... ...... ......
250143............... 350142
... ...... ......
024153......
025143......
034152
035142...............
041523 234150 241503 341502
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ....... ..... .... ..... ....... . .. ..... . .. .. .. . .. ... . .. .. . .. ..
014235 .. ........ . ... .
501423 ... .. .
235014 .. . ... .
423501
...... ..... .... ... ... ... . .. ... . . . . .... . . ..... . . . . . . . ..
052341............... ... ......
152340......
240153............... 340152
... ...... ......
015234 . ........ . . . . . .
401523 . . . . . .
234015 . . . . . . .
523401
...... ..... .... ... ... ... . .. ... . . . . .... . . ..... . . . . . . . ..
.. .. .
..... ..... .
023415 .. ........ . ... .
502341 ... .. .
150234 .. . ... .
415023
...... ..... .... ... ... ... ... ... ... . . . ... . . . . .... ........
051423............................. 235140 251403 351402
....... ..... .... ..... ....... .. . ..... . .. .. .. . .. ... . .. .. . .. ..
023514 .. ........ . ... .
402351 ... .. .
140235 .. . ... .
514023
...... ..... .... ... ... ... ... ... ... . . . ... . . . . .... ........
041352............... ... ......
241350..... 150243 350241
...... ...... ... ... ...... .....
024135 . ........ . . . . . .
502413 . . . . . .
135024 . . . . . . .
413502
...... ..... .... ... ... ... ... ... ... . . . ... . . . . .... ........
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
78
051342............... 251340
... ..... ......
140253............... 340251
... ..... ......
025134 .. ....... . . ... .
402513 ... .. .
134025 .. . ... .
513402
...... .... .... ... ... ... . ... .. . .. .... . . ... . . . . . . .......
041253............... 341250
... ..... ......
150342............... 250341
... ..... ......
034125 .. ....... . . ... .
503412 ... .. .
125034 .. . ... .
412503
...... .... .... ... ... ... . ... .. . .. .... . . ... . . . . . . .......
125043...... 041235 .. ....... .
124053...... 051234 .. ....... .
135042
134052............... 405123 ..
150423 235041 250413 350412
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ...... . . . . . .... ..... ....... ..... . . .. ... . . . .. ... . .. .. .. . ..
... .
504123 .. .. .. ... ..
123504 .. . ... .
412350
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... . ... . . .... . . . .... .......
.. .. .
..... ..... .
140523.............................
....... ..... ...
234051.................... 240513 340512
.. .. .. .. .. ... .. .. . . .. ..
... . .. .. ... ..
123405 .. . ... .
512340
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... . ... . . .... . . . .... .......
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 012453.......
012543.......
013452
013542................
014523 023451 024513 034512 045123 123450 124503 134502 145023 234501 245013 345012
.. .. .. ...... ..... ...... ..... .. .......... ....... ....... ...... ....... .. ............ ......... ............. ........... ..... .. ............. .. .......... .. .......... .. ........ .......... . .. .. ................... .. ........ .. ........ .. ....... .......... ....... ..... ............ ............ ........ .... ............. . . . . .... ............ . ... ............... . .. ........ .. ......... .. ................ . . .......... ............... . .. ........ .. ............. . ..... ........... .......... ....... ............ ...... ....... ....... ....... ......... . . ..... .... .... ....... .. ... ... .. ..
.. .. .
.... .... ..
015423........................
....... .........
023541...............................
......... ............
025413.........................................
........... .......... .....
035412...........................................
.. ........ .......... ......
012345 .. ........... . ... .
501234 ... .. .
450123
......... ..... ... .. ... ...... . . . . . . . . . ..........
054123........................................
.. ....... ..... .......
123540...................................... 125403 135402 154023 235401 254013 354012
.. .. ......... .. ......... .. ................ . . .......... ............... . .. ........ .. ............. . ..... ........... .......... ....... ............ ...... ....... ....... ....... ......... . . ..... .... .... ....... .. ... ... .. ..
012354 .. ........... . ... .
401235 ... .. .
540123
......... ..... ... .. ... ...... . . . . . . . . . ..........
051243............... ... ......
351240......
140352............... 240351
... ..... ......
035124 . ....... . . . . . . .
403512 . . . . . .
124035 . . . . . . .
512403
...... .... .... ... ... ... . ... .. . .. .... . . ... . . . . . . .......
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
79
n = 6, e = 5, 2 f1; : : : ; 3g 2
1
.. . .. ...... ... ... .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .... . . .. .. ... .. .. .. .... .. .. .. . ........................................................................................................... .. .... .. ... . .. .. ... ... . . ... . . .. .. .. ... .... . . ... . ... .. . . . . . .. .. .. .. .. . .. ... ...... .. ..... .. .
3
0
4
5
. = 0:5 (m = 1, p = 2) 250134............... .... .....
501234......
234501................. 012345 .. ...
013452........
... .. .
034152....................... ..... ..... ...
134052.............. 245013............... 450123 124503 145023 241503 415023
.. ...... ...... .. ... ... ... ... ..... .... ..... .. ...... . ........ . . . . ..... ... . ... . ... ... ..
235014............... 350124
... ...... ......
340152
234150 134502 341502
..... ..... ...
... ...
305124..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... ......... . . . .. .... ....... ..... . .. .. .. .. .. .. ... . .. . . .. ..
023415
023451......
... ... .
230514..............
... ... ...
123450......
023514.......
035124.......................
234015.......
234051 034512 340512
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .... .......... . . . . .... ...... . ..... . .. .. .. .. .. ... .. .. . . .. ..
123405
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... .. ... ... ... . ..... .... ..... .. ...... . . ... ... ... . . .. . . ... ... ... ... .. . .. .. ... ... ... . . ... ... .. ... ... . . . ... .. ... ...
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345012
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Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
80
x
n = 6, e = 6, 2 f1; : : : ; 4g 2
1
.. . .. ...... ... ... .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .... . . .. .. ... .. .. .. .... .. .. .. . .............................................................................................................. ..... .. .... .. ... ..... . . .. ..... ... ..... .... .... ... . ..... .. .. . ... ...... . ... ... .... .. ......... . . . . . ..... ... .. .. .. ..... .. . .. ... ..... ...... .. .......... ..
3
0
4
5
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 023514.......
... ... .
035124....................... ..... ..... ...
235014.............. 350124
. ... .. ..
250134............... 501234
... ..... ......
023451......
.. .. .
034512................... 234501 345012
...... ...... .... . .... ...... ....... . . .. . .... ... .. .. .. .. ..
012345................. 450123 ... .... .. .
245013................. 123450 .. 013452......
.. .. .
124503........ 034152.................. 145023 241503 415023
... .. . ..... ..... ..... .. ...... .... ..... ... ..... ..... . . ... . . ... ..
124530........ 145230 241530 251340............... 512340 025134 051234 230514 305124
.. ...... ...... .. ... ... ... ... ..... .... ..... .. ...... ...... . .... . ..... ..... .. . ... . ... ..
415230 024513
234051 045123 340512
234150 134502 341502
... .. ..... ..... .... .. ........ . ........ ........ .... ...... . . . ... .. ... . ... ... . .. .. . .. ..
.. .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. ..
023415
.... .... ... .... ... .. ... ... ... . .. ... . . .. . . ... . . . ... .... ... ....
245130................. 012453 .. ...
... .. . ..... ..... ..... .. ...... . ........ . . . . ..... ..... . .. . ... . . ...
014523......
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . ....... . . . .... ... .... ...... ... . .. .. .. .. .. .. .. ... .. . .. .. ..
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.. .. .
024153...................
...... ...... .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
041523...............................234015 .. .. .... .. .... ..
134052........... 340152
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
123405................. 451230
... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. . . .. .. .. .. .. . ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
81
n = 6, e = 7, 2 f1; : : : ; 5g 2
1
.. . .. ...... ... ... .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .... . . .. .. ... .. .. .. .... .. .. .. . .............................................................................................................. ..... .. .... .. ... ..... . . .. ..... ... ..... .... .... ... . ..... .. .. . ... ...... . ... ... .... .. ......... . . . . . ..... ... .. .. .. ..... .. . .. ... ..... ...... .. . .. ........................................................
3
0
4
5
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 023514....... 013452......
023541.......
035124
035241.......................
235014 350124
... ... . ..... .... ..... .. ...... .. ......... . . . . ... ... . ... . ... .. ..
023451 034512
124503....... 145023 245013 450123
... ... . ..... .... ..... .. ...... ... ......... . . . . ... ... . .. . . ... ... ..
123450 134502 345012
.. ... .. .. ... .. .... .. .. .. . .. .. .. ... . ... ........ ... ... .. ..... ... ... ....... ......... ..... ... .... ...... ........ . ......... . .. .... .. .... .. .... .. ...... ..... . .. .. .. .. .. .... .. .. . . .. ..
... ... .
..... ..... ...
235041.............. 012345 ... ... . .. .
501234 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
250134..................234501
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . . .. . .. ... ... ... ... ... ...
350241
. ... .. ..
125034....... 150234 241503 415023
... ... . ..... .... ..... .. ...... ... ......... . . . . ... ... . .. . . ... ... ..
... ... .
245130 451230
..... ..... ... ..... ..... . ... ... . . ...
012453 014523
025134.......
... ... .
051234....................... 230514 305124
..... ..... ... ..... .... ... . ... .. ...
234051 045123 134052 340512 251340
.. .. .. .. .. . .. ... .. .. .. .. .. .. .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .. ........... . . . . ..... ......... ........ . .. .. .. .... .. .... .. ...... .. ..... . .. .. .. .. ... . .. .. . .. .. ..................
125340....... 152340 241530 415230
... ... . ..... .... ..... .. ...... ..... .......... . . . . . .. . . ... . . ... ..
123405 ... ....
025341.......
512340 .. .
052341.......................
... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .
024513
... ... ... ... .... ... .. .. .. .. ... . .. .. .. . . .. . .. ... ... ... ... ... ...
.. .. .
013524..............
.. .. .. .. ..
034152........................... 234150 135024 341502
........ ......... ... . ....... .......... . . . ... ...... . . ... ...... .. .. .. .. .. .. .. .. ... . . .. .. .. ..
023415 . ..... . . . . . .
502341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
250341..................123504
124530.......
145230.......................
012354......
253401..................012534 . ... . 015234...... 024153
... ... .
230541 305241
.... ..... .. ..... .... ... ... . . ... ..
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. .. ... . .. . . ... . . . .... .... .....
123054 041523 130524 340152
.. .. . .. ... .. ... .. .. .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... .... .. ..... ..... . .. . . ............. . . . . .... ......... . . .. ...... ...... .. .... .. .. .. .... .. ...... .... .... ..... .. .. ..... . .. .. .. ..
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234015 . . . . . . .
523401
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Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
82
x
n = 6, e = 6, 2 f1; : : : ; 3g 2
1
.. . .. ...... ... ... .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .... . . .. .. ... .. .. .. .... .. .. .. . ............................................................................................................. .. .... .. .............. . .. ... .. .... .. . . . .. ............ ..... .. . . . . . . . . . ......... ... ..... . .. . . . . .. .. .. .. .......... . . . . ......... ............ . . . ..... ...
3
0
4
5
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 034152 304152
..... ...... .... .... ...... .....
341502..................023415 .. ... 230415
..................
235041........... 250341 502341 125034 135024 150234 241503 415023
.... .... . .................. .. .... .... . . .. .... .. .. .. .. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... .................... ... ...... ...... . . . .. . .... .. .. . .. .. .. ..
... .
350241 .. . .. .. .. .. .. .. .. .
123504 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
234150
... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . ... .. ... ... ...
251403............... .... .....
512403......
235140..................023514 . ... . 035124...........
.... .... .
. . . . . . . . . . . . . . .
230514..........................234051 . . 305124
. ... .... ....
134052......
.. .. .
140352...................
...... ...... .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
240351..............................123405 . . 340512 403512
.. ... .. .... .. ... ... .. . .. .. ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124035..................351240
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . .. .. . .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . .. ... ..
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
. = 0:5 (m = 1, p = 2) 124503.......
... ... .
145023....................... ..... ..... ...
245013.............. 450123
. ... .. ..
123450......
.. .. .
134502...................
235014....... 250134 350124 501234
... ... . ..... .... ..... .. ...... . ......... . . . . .... ... . ... . ... ... ..
234501
...... ....... .... .. .. .. .. . .. . .. .. .. ..
013452.......
... ... .
130452....................... ..... ..... ...
340152.............. 401352
234015......
. ... ... ..
023451....... 034512 230451 304512
... ... . ..... .... ..... .. ...... .. ......... . . . . ... ... . ... . ... .. ..
123045 240135
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . ... ..... . . ..... . .. ... . .. .. .. .. ... . .. .. . . ..
012345 .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. ... ..
345012
.. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. ...
83
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
84
x
n = 6, e = 6, 2 f1; : : : ; 3g 2
1
.. . .. ...... ... ... .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .... . . .. .. ... .. .. .. .... .. .. .. . ............................................................................................................... ..... .. .... .. .......... ..... . . ..... . . ..... .... .... ........... ..... .. ........ . ...... . . ... .. .. ................ .... .. . .. ........ ........ ... ... . . ..... ... . .. ......... ........ .. ......
3
0
4
5
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 351240.................023514 .. ....
415230.................024153 .. .... .
035124
041523...............
.................
140352............... 403512
... ..... ......
... .
240351 .. .. .. ... ..
124035 .. . ... .
512403 ... .. ..
251403.................235140
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
304152
... ...... .....
.. .. .. .. .
230415 ... ... .
523041 .. . ... .
253041.................125304 ... .. ..
152304.................241530
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
. = 0:4 (m = 2, p = 5) 023451........ 034512 134502 013452 401352
...... ...... ... ... ...... .....
345012
512340
... ...... .....
124530...........
.... .... .
012345 .. ... . .. .. .. .. .. .. ... .. ... .
240135..................450123 .. . 124503........... 145023
251340...............
... .. . ..... ..... ..... .. ...... .. ......... . . . . .... ... . ... . ... .. ...
245013
.... .... . .................. ... .... ... . . . .. ....
025134...........
.... .... .
.. .. .. .. .. .. .. .
123450 ... ... .
051234 .. .. .. .. .. .. .. .. .
235014..........................234501 350124
. .... .... ...
... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . .. .. .. ... ... . . ...
251304 512304
...... ...... ... .... ...... .....
145230..........................012453 . ... . 245130
. ... .... ....
014523........
... .. .
135024....................... . ..... ..... ..
240153.............. 034152............... ... ......
340152......
401523
.. ... ...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
234015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
023415..................045123 . . 024513...........
.... .... .
. . . . . . . . . . . . . . .
235041..........................123504 . . . 350241
. .... .... ...
. . . .
451230
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . .. . . . . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . .. .. ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
85
n = 6, e = 6, 2 f1; : : : ; 3g 2
1
.. . .. ... ... ... .. .. .. .. ... .. .. . . .. ... .. .. .... .. .. .......................................................................................................... ... . .. .... . ..... ... .. ... ...... .. ... .. .......... ..... .. ..... . .. .. ......... . . .. . . . . . . .. .. ....... .. .... ... ..... .. .. ........ . ........................................................
3
0
4
5
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 124503....... 145023 245013 450123
... ... . ..... .... ..... .. ...... .. ......... . . . . ... ... . ... . ... .. ..
013452....... 034512 130452 304512
... ... . ..... .... ..... .. ...... ... ......... . . . . ... ... . .. . . ... ... ..
235041....... 250341 350241 502341
... ... . ..... .... ..... .. ...... ... ......... . . . . .. ... . . ... . .. ... ..
125403.......
... ... .
123450 134502 345012 123045 023451 230451
.... .... .... .... .... .................. ... .... . . ... . . . ....
.... .... .... .... .... .................. ... .... . . .... . . ...
123504........... 125034 150234
.... .... . .................. ... .... . . .... . . ...
152403....................... ..... ..... ...
012345 .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
135024 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
234501
... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . . ...
254013.............. 524013
. ... .. ..
023541.......
... ... .
035241....................... 230541 305241
. ..... ..... .. ..... .... . .. . . ... . . . ..
123540...........
.... .... .
235401..........................012354 . ... . 352401
. ... .... ....
013524...........
.... .... .
123054.........................234015 . . . .... ...
130524 ...
134052.......
... ... .
140352....................... ..... ..... ...
340152.............. 401352
. .. ... ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123405...........
.... .... .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124035.........................135240 240135
. ... .... ...
... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . .. .. . . .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . . ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
86
x
n = 6, e = 7, 2 f1; : : : ; 4g 2
1
.. . .. ...... ... ... .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .... . . .. .. ... .. .. .. .... .. .. .. . ................................................................................................................ ..... .. .... .. .............. ..... . . ..... . . . ..... .... .... ........... .... ..... .. ........ . .. ...... . . ... .. .. .. ................ .... .. .... . .. ........ ........ ... ... .... . . ..... ... . ............ . . . . . . . . . . . . . .... ...
3
0
4
5
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 351240.................023514 .. ....
415230.................024153 .. .... .
035124
041523...............
.................
140352............... 403512
... ..... ......
... .
240351 .. .. .. ... ..
124035 .. . ... .
512403 ... .. ..
251403.................235140
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
304152
... ...... .....
.. .. .. .. .
230415 ... ... .
523041 .. . ... .
253041.................125304 ... .. ..
152304.................241530
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 034152............... 341502
... ..... ......
235041........... 250341 350241 125034 135024 150234 241503 415023
.... .... . ................. .... .... . . .... . . .. .. .. .. .. .. . .... .... .... .. .... .. ...... ...... ................... . ...... ...... . . . . .... .. ... ... . . .. .. .. ..
023415 .. ... . ... .
502341 ... .. .. .. .. .
123504 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
234150
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . .. ... ... ... ...
251340.................025134 .. ... 051234........... 230514 305124
.... .... . ................. ... .... ... . . . .. ....
124053......
.. .. .
134052...............
..... ..... .
140523.............................
...... ..... ....
240513..................... 340512 405123
.. .. ... .. .. ... . .. . .. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .
234051 .. . .. ... .. ... .. ... .. .. .. ... .. ... .. ... .. .. .. ... .. ..
123405 .. . ... .
512340
... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. ... .. . . ..
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
87
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 124530...........
023451...... 235014.......
... ... .
250134....................... 350124 501234
..... ..... ... ..... ... . ... . . ... .. ..
013452............... .... .....
401352......
034512 134502 234501 345012
.. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... .................... .... ....... . ...... . . . . .... ... .. .. .. .. ..
.... .... .
251304 012345 .. ... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
240135..................450123 .. . 124503 145023 245013
.... .... .... .... .... .................. ... .... . .... . . ....
.. .. .. .. .. .. .. .
123450
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. .. ... ... . . . ... ... ...
512304
...... ...... ... .... ...... .....
145230.........................012453 . ... . 245130
.. ... .... ...
014523......
.. .. .
130452...................
...... ...... .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
240153...............................234015 . . 024513.......
... ... .
045123....................... 230451 304512
. ..... ..... .. ..... .... .. ... . . ... . ..
340152 401523
.. ... . .... ... .... .. . .. . .. .. ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123045..................451230
... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. . .. . . .. .. .. .. .. . . ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
88
x
n = 6, e = 7, 2 f1; : : : ; 4g 2
1
.. . .. ...... ... ... .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .... . . .. .. ... .. .. .. .... .. .. .. . ............................................................................................................. .. .... .. .............. . .. ... .. .... .. . . . .. ............ ..... .. . . . . . . . . . ......... ... ..... . .. . . . . .. .. .. .. .......... . . . . ......... ............ . . . ......................................................
3
0
4
5
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 034152 304152
..... ...... .... .... ...... .....
341502..................023415 .. ... 230415
..................
235041........... 250341 502341 125034 135024 150234 241503 415023
.... .... . .................. .. .... .... . . .. .... .. .. .. .. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... .................... ... ...... ...... . . . .. . .... .. .. . .. .. .. ..
... .
350241 .. . .. .. .. .. .. .. .. .
123504 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
234150
... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . ... .. ... ... ...
251403............... .... .....
512403......
235140..................023514 . ... . 035124...........
.... .... .
. . . . . . . . . . . . . . .
230514..........................234051 . . 305124
. ... .... ....
134052......
.. .. .
140352...................
...... ...... .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
240351..............................123405 . . 340512 403512
.. ... .. .... .. ... ... .. . .. .. ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124035..................351240
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . .. .. . .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . .. ... ..
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
89
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 124503....... 145023 245013 450123
... ... . ..... .... ..... .. ...... . ........ . . . . ..... .... ... . . ... .. ..
013452...... 023451 034512 130452 230451 304512
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ...... ..... .... ..... ...... .... . ..... . . .. ... .. .. .. .. .. . . ..
125403.......
... ... .
123450 134502 345012
.... .... .... .... .... .................. ... .... . ... . . . . ....
152403....................... ..... ..... ...
012345 .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
123045..................350124 .. 235014...........
.... .... .
.. .. .. .. .. .. .. .
250134.........................234501 501234
... .... ....
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. ... ... . . . ... ... ...
254013.............. 524013
. ... .. ..
023541.......
... ... .
035241....................... 230541 305241
.... ..... ... ..... .... ... . ... ... ..
123540...........
.... .... .
135240..........................012354 . ... . . .... ...
235401....
013524......
.. .. .
123054...................
...... ...... .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130524...............................234015 . . .. ... . .... ..
340152........... . .. ..
401352 ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
240135..................352401
... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
90
x
n = 6, e = 8, 2 f1; : : : ; 5g 2
1
.. . .. ...... ... ... .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .... . . .. .. ... .. .. .. .... .. .. .. . ................................................................................................................ ..... .. .... .. .............. ..... . . ..... . . . ..... .... .... ........... .... ..... .. ........ . .. ...... . . ... .. .. .. ................ .... .. .... . .. ........ ........ ... ... .... . . ..... ... . ............ . . . . . . . . . . . . . .....................................................
3
0
4
5
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 351240.................023514 .. ....
415230.................024153 .. .... .
035124
041523...............
.................
140352............... 403512
... ..... ......
... .
240351 .. .. .. ... ..
124035 .. . ... .
512403 ... .. ..
251403.................235140
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
304152
... ...... .....
.. .. .. .. .
230415 ... ... .
523041 .. . ... .
253041.................125304 ... .. ..
152304.................241530
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 034152............... 341502
... ..... ......
235041...........
.... .... .
023415 .. ... . ... .
502341 ... .. .. .. .. .
250341........................123504 .. 350241
. ... .... ...
125034...... 135024 150234 241503 415023
.. .. . .... .... .... .. .... .. ...... ...... ................... . ...... ...... . . . . .... .. ... ... . . .. .. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
234150
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . .. ... ... ... ...
023541......
124530...........
035241
145230.........................012453 . ... .
135240 235401 352401
.. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... ................... ..... ...... ..... . . . . .. . .... .. .. .. .. .. ..
013524............... 401352 125403 152403 254013
... ...... ......
.... .... .... .... .... ................. ... .... .... . . . ....
.... .... .
012354 .. ... . .. ... .. ... .. ... .. .. .. ... .. ... .. ... .
240135 ... .. .
524013 ... .. .. .. .. .
123540
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. . . .. .. .. ... ... . . ... ...
451230
. ... .... ....
014523......
.. .. .
024513...............
..... ..... .
045123............................ . ...... ..... ....
130452.................... 230451 304512
. ... .. .. . .. ... . .. .. . .. ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123045 . . . . . .
512304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
251304.................245130
... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. . . .. .. .. .. .. . .. .. .. ... .. . . ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
91
251340.................025134 .. ... 051234........... 230514 305124
.... .... . ................. ... .... ... . . . .. ....
124053......
.. .. .
134052...............
..... ..... .
140523............................. ...... ..... ....
240513..................... 340512 405123
.. .. ... .. .. ... . .. . .. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .
234051 .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
123405 .. . ... .
512340
... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. ... .. . . ..
. = 0:333333 (m = 1, p = 3)
124503....... 145023 245013 450123
... ... . ..... .... ..... .. ...... .. ........ . . . . .... ... . ... . ... ... ..
013452......
125340...........
023451
152340..........................012534 . ... .
034512 123450 134502 345012
.. .. . ... ... .. ... ... .. ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ...... . . .. . ... ..... ....... ..... . ..... . . ... .. .. ... .. .. .. . ..
235014........... 250134 350124
.... .... . .................. . .... ... . . . .... . . . .
.... .... .
. .... ....
012345 .. .... .
025341
501234 ..
052341
... . .. .. .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. .. .
234501
... ... ... .... ... ... .. .. .. ... . .. .. .. .. . . . .. . . .... .... ... .... ...
230541 305241
.. ... ... ... .. ..... ..... ..... .. ...... ..... ..... .. ..... .... .. . .. . . . ... ..
253401...
015234......
.. .. .
123054...............
..... ......
130524............................ ....... ..... ....
240153..................... 340152 401523
. ... . .. .. ... ... .. . .. .. ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
234015 . . . . . .
523401
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . .. . . .. . .. .. .. ... ... ... . . . ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
92
x
n = 6, e = 5, 2 f1; 2g 2
1
. . ..... . . .... . . ... .. . . . .. .. . . ... .... . . . . . . .. . . . .. .. . . .. .. . . .. .. . .. ... . ......................... . ................................................................................. . . . .. . . .. .. . .. . . . ... . . .. . .. .... . . . . .. . . .. ..... . . . . .. . ... .... . ...... . ....... . .. .
3
0
4
5
. = 0:5 (m = 1, p = 2) 124503.................341250............ 241503............... 412503
... ...... .....
234150
.... . . .... .... . . . ....
023415......
145023...........
.... .... .
245013........................123450..................034125 450123
. .... ... ....
234015
013452........... 134025 501342
.... .... . ................. . .... .... . . ... . . . ..
340125 235014
..................
... ......
305142......
230514
234501...............
... ......
134502......
034512......
.. .. .
023451...................
350142.................023514............. 035142...............
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . ........ . . . .......... . . . .. .... . . .. .. .. .. .. .. . .. ... .. . . .. .. ..
.... . . .... .... .... ....
340251 234051
...... ..... ..... ....... . . .... ... . . .. .. . . .. .. .. ..
123405...............
... ......
250134......
012345 . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
345012
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . .. .. .. . .. . . .. ... ... ... ... . . .. ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
93
n = 6, e = 6, 2 f1; : : : ; 3g 2
1
. .. . ..... . . .... ..... . ... .. . .. . . . .. .. . . .... ... .... . . . . . . .. .. . .. ... .. . . .. . .. .... . .. .. .. . . ... .. ......................... . ..................................................................................... . . . . . . .. . .. .... . ... . . . ... . . .. .. . . ... . . . . . . .. ... ... .... . . . . . . . . .. .. .. . .. . .. . .. . ...... ...... . ..... . .. .
3
0
4
5
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 142503............... .... .....
425013......
134250.............
250134.................342501
.... . ... .... .... . . . ..
035142............... ... ......
305142..... 501342
.................
235014
..................
035241............... 305241
... ...... ......
013425................. 350142 ... ...... .. ..
023514 .. .. .. ..
230514................. 340251 .. 034251
.................
130524
.................
.. .. .. ...
134025
013524 .. .... . ... .
340152 .. .. .. ... ..
502341.................135024..................034152................. 234015 .. . 150234.................341502............. 241503............... 415023
... ...... .....
234150
.... . . .... .... .... ....
.... .... .... .... ... ... ... . .. ... . ... . . .... . . .. .... .......
.. .. .. .. .. .. .
023415................. 350241
.... ... .... .... ... .. ... .. ... . .. .. ... . .. . . ... .... .... .... ....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
94
. = 0:5 (m = 1, p = 2) 013452...... 134502............... .. .. .
.... .....
023451.............. 234501 ..... 350124.................034512 035124............... 305124 145023 245013 450123
..... ..... .....
.... .... .... .... .... ................. .... .... . .... . . ....
124503............... .... .....
412503......
340512 134052 234051
.. .. .. .. .. .... ....... .... .... ........ ....... .. ... ....... .... .. ... .... .... ...... .... .... .. .. .. .. .. ... . .. .. .. ..
123405......
123450.......... 341250
... ... ... ... .. . ... .... ... . . . ... . . .. ...
034125 340125 501234
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. ..... ........ . ........ . .. .... .. .... .. .... .. ...... ..... . .. .. .. .. .. ... .. .. . . .. ..
012345 .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
345012
... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . . .. .. .. ... ... ... . . ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
95
n = 6, e = 6, 2 f1; : : : ; 3g 2
1
. . ..... . . .... . . ... .. . . . .. .. . . ... .... . . . . . . .. . . . .. .. . . .. .. . . .. .. . .. ... . ............................ . ................................................................................. ..... . ..... . . .. . . .. ...... .. .. . .. . ... ....... .. . . ...... .. .... . . ....... . . .. ..... . ...... . . . .. ..... . . ..... .. .... . ...... ..... .... . ........ . .. .
3
0
4
5
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 013452.................250134..................345012...... 035142............... 350142
.... ...... .....
.. .. .
023514
501342.................235014
.... .... .... .... . . .... .... . . .. ....
023451...................
....... ...... .....
034512................................ 012345................. 450123............... .. ... 123450 .... .. . ....... ...... . . ..... ... . . . .... . 145023...... 134502... ...... .... .... ... 034125 .. . . ... . . . ... . .. . . . 234501 ... . . . ... 124503................. 341250............. 241503............... 412503
... ...... ......
234150
.... . . .... .... .... ....
. . . . . . . . . . . . .
023415................. 245013
.. ... ... .... .... . . . . . . ..
014523......
.. .. .
513402.................025134............. 051342 305142 134025
...... ...... ... ... ...... .....
230514
.................
251340
.... . . .... .... .... ....
..................
024513..............
.. .. .. .. .... ....
340251............................ 045123 234051
. . .... ... .... ..... . ..... . .. .. .. . .. ... . .. .. . .. ..
241530...............
... ......
412530...... 124530
.................
123405................. 451230............... ... ......
145230......
024153............. 041253
.... . .... .... .... ....
012453 . .... . . . . . .
340125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
234015................. 245130
... ... ... ... ... ... ... .. .. .. .. . . . .. .. .. .. . .. . . .... .... ... .... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
96
x
n = 6, e = 6, 2 f1; : : : ; 3g 2
1
. . ..... . . .... . . ... .. . . . .. .. . . ... .... . . . . . . .. . . . .. .. . . .. .. . . .. .. . .. ... . ......................... . ................................................................................. . . . .. . . .. .. . .. . . . ... . . .. . .. .... . . . . .. . . .. ..... . . . . .. . ... .... . ...... . .... . .. ...................................................
3
0
4
5
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 124503.......
... ... .
145023....................... ..... ..... ...
245013.............. 450123
. ... .. ..
123450........
... .. .
134502....................... ..... ..... ...
234501...............
250134.................345012
.. .. ...
012345........
... ...
013452.......................
...... ..... ..
134025.............. 501342
350142.................023514............. 035142............... 305142
... ...... .....
230514
.... . .... .... .... ....
023451 340251 234051
.... .... .... .... .... .. ................... ... .... . . .. .... ....
123405
... ......
023541............... 350412...... 035412 130542 230541 305412
..... ...... ..... ........ ..... ... ...... ...... ..... .... ..... ....... ...... . ... .. ... .. .. ... .. .. . . .. ..
125034.................341250............. 241503............... 412503
... ..... ......
234150
.... . .... .... .... . . . ..
250341 503412
123504
..................
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
023415......
034125 234015
.. .. .. .. .. .. .. .. .. . ... ..... ...... . . . ... ... . . ... . ... ... . .. .. .. . .
..... .... .... .... ... ... ... ... ... . ... . . .... . . .. .... .......
012354 .. ... .. .. .. .. .. .. .. .
123054................. 340125 ..
150342...........
.... .... . ................. .... .... . . ... . . . ...
... .
034512 ..
013542...... 135042............... .. .. .
235014 .. .......
... ... ..
.. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
235041
... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . .. ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
97
n = 6, e = 6, 2 f1; : : : ; 3g 2
1
. . ... . . .. . . ... . . . .. . . ... . . . . . . . . . .. . . .. . . .. . ... . ............................ . ............................................................................... ..... ..... . . .. . . ...... .. ... .. ....... .... .. . . ... . . ............ ... . . ...... . . . . . .. ..... .. . ..... . ...... ..... .... . . . .. ......................................................
3
0
4
5
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 124503........
... .. .
013542 023541 035412 135042 235041 350412 150342 250341 503412
.. .. .. .. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ..... ..... .... ..... ........ . .. . ...... . .. ... .. .. ... . .. .. .. .. .... .... .... .... .... ................. ... .... . . .. .... ...
145023....................... ..... ..... ...
245013.............. 450123
. .. ... ...
012354......
123504
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . ..
123450...........
.... .... .
134502......................... 012345 .. ... 234501
. ... .... ....
034512...........
.... .... .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
013452......................... 125034 ... . .... ....
023451....
... .
345012
... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. .. .. ... . . . ... ... ...
124530........
... .. .
145230....................... ...... ..... ..
245130.............. 153402 253401 534012
.... .... .... .... .... ................. ... .... . . .... . . ...
451230
012534......
015342...... 025341 053412 130542 230541 305412
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... . ........... . . . . .... ....... ..... . . ... .. ... .. .. ... .. .. . .. ..
. .. ... ...
123054
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . .. . .. . . .. .. .. .. ..
012453...........
.... .... .
014523......................... 123405 .. ... 024513
.... .... ....
340125...........
.... .... .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
134025........................ 125340 ... . .... ...
234015....
... .
045123
... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. .. ... ... . . ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
98
x
n = 6, e = 7, 2 f2; : : : ; 4g 2
1
. .. . ..... . . .... ..... . ... .. . .. . . . .. .. . . .... ... .... . . . . . . .. .. . .. ... .. . . .. . .. .... . .. .. .. . . ... .. ............................ . ..................................................................................... ..... . ..... . . . . . .. ...... . .. .... ... . .. . ... ....... .. . .. . ...... . ... . . . . ....... ... ... .... . . ...... . . . . . . . .. ..... ... .. .. . ..... .. . .. . ...... ..... ...... . .......... . ..
3
0
4
5
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 142503............... 425013
... ...... ......
134250.............
250134.................342501
.... . ... .... .... . . . ..
035241............... .. .
501342 .. . ... .
035142 350142
...... ...... ... ... ..... ......
142530............... 425130
... ...... ......
235014 ... .. .
023514..................034251
014253.............
251340.................042513
.... . ... .... .... . . . ..
051342 305142
...... ..... .... ... ... ... .. ... .. . . . .... . . . ..... ........
.. .
513402 .. . 025134 ... .. .
230514..................340251
241503............... 415023
305241
...... ..... .... ... ... ... .. ... .. . . . .... . . . ..... ........
... ......
..... ......
...... ..... ....
134502..................... 234501
501234
.................
345012
.. .. .. .. ... ... .. .. . . .. ..
124503............... .... ......
412503.....
012345................. 450123 .. ..... 145023...............
.... .....
245013......
... .. .. ..
123450 .. . ... .. .. .. .. ... .. .. .. ..
341250................. 034125
.... .... .... .... ... ... ... ... ... ... .. . .. . . ... . . . ... .... .....
023415 . . . . . . .
502341 . . . . . .
... .... .... .... ... ... .. ... .. . .. ... ... . . . . . .. .... ... .... ....
015234 . ... . . . 130524
..................
024153.............
152340.................041523
.. .. .
350124
... ...... ......
415230......
023451...............
034512.............................
234150
.... . . .... .... .... ....
. . . . . . . . . . . . . . . . .
135024
241530...............
013452...... ... ..... ......
... ...... .....
052341...............
. = 0:333333 (m = 1, p = 3)
035124...............
013524..................034152 . .... .
150234.................341502.............
134025 ... ........ ... .
...... ...... ... ... ..... ......
.... .....
350241......
013425 ... ........
.... . .... .... .... ....
. . . .
340152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
234015 . . . . . .
523401
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . . . .. .. .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
145230...............
.... .....
124530 412530 014523 024513 512340
.................
051234............... 305124
... ...... ......
045123 340512 134052 234051
...... ...... ... .... ...... ..... .. .. .. .. .. . .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... ....... .... .... ........ ....... .. .... ...... .... .... ... .. .... ...... .... .... .. .. .. .. .. ... . . .. .. .. ..
245130.....
99
012453 .. ... .. .. .. ...
041253................. 340125 .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
123405................. 451230
... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. . . .. . .. .. .. ... ... ... . . .. ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
100
x
n = 6, e = 7, 2 f1; : : : ; 4g 2
1
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3
0
4
5
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 142503............... .... .....
425013......
134250.............
250134.................342501
.... . ... .... .... . . . ..
035142............... ... ......
305142..... 501342
.................
235014
..................
035241............... 305241
... ...... ......
013425................. 350142 ... ...... .. ..
023514 .. .. .. ..
230514................. 340251 .. 034251
.................
130524
.................
.. .. .. ...
134025
013524 .. .... . ... .
340152 .. .. .. ... ..
502341.................135024..................034152................. 234015 .. . 150234.................341502............. 241503............... 415023
... ...... .....
234150
.... . . .... .... .... ....
.... .... .... .... ... ... ... . .. ... . ... . . .... . . .. .... .......
.. .. .. .. .. .. .
023415................. 350241
.... ... .... .... ... .. ... .. ... . .. .. ... . .. . . ... .... .... .... ....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
101
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 124503.......
... ... .
145023....................... ..... ..... ...
245013.............. 450123
. ... .. ..
123450........
... .. .
134502....................... ...... ..... ..
234501...............
501234.................345012 035124 305124
... ... ..
..... ...... .... .... ..... .....
012345................. 350124 ... ....... . ... .
013452...... 034512 .. . .. .. .
023451................... 340512 134052 234051
...... ...... . ................... .... ...... ....... . . .. . .... ... . .. .. .. . .
013542...... 135042............... .. .. .
... ......
023541............... 235041...... 035412 130542 230541 150342 250341 503412
.... .... .... .... .... ................. .... .... . . . .... ....
125034............... .... ......
412503.....
305412
..... ...... ..... ........ ..... ... ...... ..... .......... ..... ....... ..... . . ... .. .. .. ... ... .. .. . .. ..
123504.......... 341250
... .... ... ... . ... ... . .. ... . . . ... ... ...
.. .. .. .. .. .. .. .
123405
...... .... .... ... ... ... .. .. ... . . .... . . . .... . . . . . . .....
012354 .. ... .. .. .. .. .. .. .. .
123054................. 340125 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
034125................. 350412
... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
102
x
n = 6, e = 7, 2 f1; : : : ; 4g 2
1
. . ..... . . .... . . ... .. . . . .. .. . . ... .... . . . . . . .. . . . .. .. . . .. .. . . .. .. . .. ... . ............................ . ................................................................................. ..... . ..... . . .. . . .. ...... .. .. . .. . ... ....... .. . . ...... .. .... . . ....... . . .. ..... . ...... . . . .. ..... . . ..... .. .... . ...... ..... .... . . . .. .......................................................
3
0
4
5
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 035142............... 350142
... ...... ......
023514.............
501342.................235014
.... . ... .... .... . . . ...
023451......
.. .. .. ..
034512..............
124503........
... .. .
145023....................... 245013 450123
...... ..... .. ..... .... . ... ... . ... ..
123450 134502 234501
.. .. .. .. .... .... .... .... .... .... .. . ... ....... . . ........ . .. ...... . .. .. .. ...... .. .... .. .. .. ... . .. ... . .. .. .. ..
012345 .. ... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
013452................. 250134 ... .. .
345012
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . .. ...
013542......
.. .. .
023541...............
..... ......
035412............................ ....... ..... ....
135042..................... 235041 350412 125034
.................
241503............... 412503
.... ..... .....
341250............. 234150
012354................. 034125 .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.. .. ... .. .. ... .. . .. .. ..
.... . .... .... .... ....
023415................. 250341 .. 150342...............
.... .....
503412.....
... .. ... .
123504
... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. .. .. .. ... ... . . ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
103
124530........
... .. .
145230....................... ..... ..... ...
245130.............. 451230
. ... .. ...
513402.................025134............. 051342 305142
..... ...... .... ... ...... ......
230514
.... . . .... .... .... ....
012453......
.. .. .
014523..................
...... ..... ...
024513.............................. 123405 . . ..... ...... ... .. ... .
340251.......... . .. ..
234051..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
134025................. 251340 .. . ... .
045123 015342...... 153402............... .. .. .
... ......
025341............... 534012..... 053412 130542 230541 241530............... ... ......
412530......
305412
..... ...... ..... ........ ..... ... ...... ...... ..... ... ..... ....... ... ..... . .. .. ... ... .. . .. .. . .. ..
024153.............
125340.................041253
.... . . .... .... .... . . . .
.... ... .... .... .... .. ... .. .. .. .. .. .. ... .. . ... . . ... .... ... ....
012534 .. ... .. .. .. .. .. .. .. .
123054................. 340125 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
234015................. 253401
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
104
x
n = 6, e = 8, 2 f2; : : : ; 5g 2
1
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3
0
4
5
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 142503............... 425013
... ...... ......
134250.............
250134.................342501
.... . ... .... .... . . . ..
035241............... 013425 ... ........ .. .
501342 .. . ... .
035142 350142
...... ...... ... ... ..... ......
142530............... 425130
... ...... ......
235014 ... .. .
023514..................034251
014253.............
251340.................042513
.... . ... .... .... . . . ..
134025 ... ........ .. .
513402 .. . ... .
051342 305142
...... ...... ... ... ..... ......
...... ..... .... ... ... ... .. ... .. . . . .... . . . ..... ........
025134 ... .. .
230514..................340251
...... ..... .... ... ... ... .. ... .. . . . .... . . . ..... ........
.... .....
350241......
013524..................034152 . .... .
150234.................341502............. 241503............... 415023
... ...... .....
023415 . . . . . . .
502341 . . . . . .
135024
052341............... 305241
234150
.... . . .... .... .... ....
. . . . . . . . . . . . . . . . .
... ...... ......
241530............... ... ......
415230......
... .... .... .... ... ... .. ... .. . .. ... ... . . . . . .. .... ... .... ....
015234 . ... . . . 130524
..................
024153.............
152340.................041523
.... . .... .... .... ....
. . . .
340152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
234015 . . . . . .
523401
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . . . .. .. .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
105
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 013542......
.. .. .
013452 035124............... 350124
.... ..... .....
023451 034512
124503....... 145023 245013 450123
... ... . ..... .... ..... .. ...... ..... ..... .. ..... .... .. . ... . . ... ..
123450 134502 234501
.. .. .. .. .. . .. ... .. .. .. .. .. .. .... .. .. ...... .. .... .. .... .. .... .. ... ...... ...... ..... ..... . .. ..... ........ . ........ . . .. .. .... .. .... .. ...... .. ..... . .. .. .. .. ... . .. .. . . ..
023541...............
..... ..... .
035412............................ . ....... ..... ....
135042.................... 235041 012345 ... .......... .
350412
501234 .. .
125034...............
.. .. ... .
345012
......... ..... ... .. ... ..... ......... ..........
145230 245130 451230
051234............... 305124
... ...... ......
.... ...... .....
341250
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. .. .. .. ..
150342............... .... .....
250341......
015342...... 153402...............
124530.......
... ... . ..... .... ..... .. ...... . ........ . . . . ..... .... ... . . ... .. ..
412503
012354......
. .. .. ... .. .. ... .. . .. .. ..
.. .. .
... ......
025341............... 253401...... 012453 014523 024513 340512 134052 234051
.. .. .. .. .. . ... ... .. ... ... .. ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ...... ..... ..... ..... ....... . . ...... . .. . .. .. ... ... . .. .. .. ..
053412 130542 123405 ... .......... . ... .
512340 ... ... .
045123
......... ..... ... . .. ..... ....... . . . . . . . . . ......
230541 305412 125340 412530
..... ..... . ..... ........ ..... ... ...... . .... ............ . . . . .. ..... . .. ..... . .. .. .. . .. ... . .. .. . .. .. ...... ...... ... ... ..... ......
123054......
041253
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . .
034125 . ....... . . . . . .
503412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123504
..... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . . .... . . . .... .......
012534 . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
340125 . . . . . . .
534012
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . . .. . .. ... ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
106
x
n = 6, e = 7, 2 f1; : : : ; 4g 2
1
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3
0
4
5
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 014352......
125340...........
024351
152340........................012534 .. ...
043512 143502 243501 435012
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ...... . .... ... ..... ....... ..... . ...... . ... .. .. ... .. .. .. . . ..
125043........... 150243 250143
.... .... . ................. . .... .... . . ... . . . ..
135024........... 235014 350124
.... .... . ................. . ... .... ... . . . . ....
.... .... .
012435 .. ... . ... .
501243 .. .. .. .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. .. .
123504 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
124350
... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. . . .. .. .. .. .. . .. .. .. ... ... ...
251340
. ... .... ...
015234...........
.... .... .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
025134........................124053 .. . . .... ....
051234....
134052......
.. .. .
140523...............
..... ..... .
234051............................
....... ..... ...
240513..................... 340512 405123
... .. ... .. .. ... . .. . . .. ..
... .. .. .. .. ... .. .. .. ... .. ... .. ... .. .. .. ... .. ...
123405 ... ... .
512340
.. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . .. ... ..
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
107
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 125304....... 152304 251304 512304
... ... ..... ..... ..... .. ...... ..... ..... ... ..... .... ... . . ... .. ..
130452...... 143052 230451 243051 304512 430512
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ...... ..... ... ..... ........ . ..... . . ... .. ... .. .. ... .. .. . .. ..
013452...... 124530 145230 245130
.... .... .... .... .... .................. ... .... . ... . . . . ....
014523........... 024513 045123 124305
023451 012453 .. ... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
.... .... . .................. . .... .... . . .... . . .
123045 .. .
..................
451230
.. .. .. .. .. .. .. ..
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. .. ... ... ... ... . . ...
034512 140352 240351 403512
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ....... . . .. . ... ..... ...... ...... . ..... . . ... .. .. ... .. .. .. . ..
134502...........
.... .... .
234501.........................012345 . ... . . 345012
. ... .... ...
124035..................450123 . .
125034.......
... ... .
150234....................... ..... ..... ...
250134.............. 501234
. ... .. ..
. . . . . . . . . . . . . . .
124503...........
.... .... .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
145023..........................123450 245013
. ... .... ....
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Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
108
x
n = 6, e = 8, 2 f1; : : : ; 5g 2
1
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3
0
4
5
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 013452......
135240...........
023451
235140
034512 134502 234501 345012
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ...... . .... ... ..... ....... ..... . ...... . ... .. .. ... .. .. .. . . ..
125034........... 150234 250134
.... .... . ................. . .... .... . . ... . . . ..
145023........... 245013 450123
.... .... . ................. . ... .... ... . . . . ....
012345 .. ... . ... .
501234 .. .. .. .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. .. .
124503 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
123450
... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. . . .. .. .. .. .. . .. .. .. ... ... ...
351240
.... .... . ................. .... .... . . .... . . ..
013524...... 023514 035124 140352 240351 403512
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ....... ..... .... ..... ....... . .. ..... . .. .. .. . .. ... . .. .. . .. ..
125403........... 152403 251403
.... .... . ................. . ... .... ... . . . . ....
014352...... 012354 .. ... .. .. ... .. .. .. .. .. .. ... .. ... .. .. .. ... .. ... .. ... .
124035 ... .. .
512403 ... .. .. .. .. ... .. ... .. .. .. ... .. .. .. .. ..
123540
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. ..
.. .. .
024351...............
..... ..... .
043512............................ ...... ..... ....
143502..................... 243501 435012
.. .. ... .. .. ... . .. . .. .. ..
125043...........
.... .... .
012435 . ... . . . . . .
501243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
150243.........................123504 . . . .... ....
250143....
135024...........
.... .... .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
235014.........................124350 . .... ...
350124....
... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . .. ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
145230........... 245130 451230
.... .... . ................. .... .... . . ... . . . ...
014523...... 024513 045123 130452 230451 304512
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ....... ..... .... .... ...... . ... ..... ... .. .. . .. ... .. .. .. .. ..
125304........... 152304 251304
.... .... . ................. ... .... .... . . . ....
109
125340........... 012453 .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. ... .
123045 ... .. ..
512304 .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. ... .. .. .
124530
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. . . . .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. ...
152340 251340
.... .... . ................. .... .... . . ... . . . ...
015234........... 025134 051234
.... .... . ................. ... .... ... . . . .. ....
134052...... 140523 234051 240513 340512 405123
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... . ...... . ... ... ..... ....... ..... . ...... . ... .. .. ... .. .. .. . . ..
125430........... 012534 .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
124053 .. . .. .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
123405 ... ... .
512340
.. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . .. ... ...
.... .... .
152430.........................012543 . ... . 251430
. ... .... ....
015243...........
.... .... .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
025143........................123054 . . . . .... ...
051243....
130524......
.. .. .
143052...............
..... ..... .
230514............................ . ...... ..... ....
243051..................... 305124 430512
.. .. ... .. .. ... . .. . .. .. ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124305 . . . . . . .
512430
.. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . .. ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
110
x
n = 6, e = 7, 2 f2; 3g 2
1
. .. . ..... . . .... ..... . ... .. . .. . . . .. .. . . .... ... .... . . . . . . .. .. . .. ... .. . . .. . .. .... . .. .. .. . . ... .. ............................ . ......................................................................................... ..... ..... . . . . . ... ...... . .. .... .. ...... . .. . ....... .. .. ............ . ...... . . . . . . . . . ............. ............. ... . . .... . . . .. ...... .......... .... ... . ............... .......... . . . . . .... ...
3
0
4
5
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 035241............... 352401
... ...... ......
013524 .. ..... . ... .
401352 ... ... .
240135 .. . ... .
524013 ... .. ..
152403.................135240
.... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . .. . . ... .... .... ... .....
142530.................014253 .. .... .
035142...............
042513
351402......
304251
...... ...... ... ... ...... .....
304152
... ...... ......
.. .. .. .. .
230415 ... .. .
523041 .. . ... .
152304 ... .. .
415230
130425 ... ... .
513042 .. . ... .
251304 ... .. ..
425130
241530.................024153 ... .... 041523...............
.. .. .. .. .
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. .. ... .. .. . .. . . ... .... ... ... ... ...
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
140352 240351
023514 . ..... . . . . . .
402351 . . . . . . .
140235 . . . . . . .
514023 . . . . . . .
251403.................235140
041253 . ..... . .
403512 ...
304125 . . .
.. ..
124035 ... ... .
512403 ... ... .
351240
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... ... . .. . . . .. .... .... .....
. . . . . . . .
153042............... 253041
... ...... ......
530412 . . . . . . .
125304 . . . . . . .
412530
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 140253............... 402513
... ..... ......
251340............... 513402
... ..... ......
034251..................013425 .. ........
152340...............
134025..................051342 ...
523401......
... .
350142
..................
.. .
235014 ... ... .
025134..................340251
...... .... .... .... ... ... .. ... ... . . . .... . . . ..... ........
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . .. . . ... . . . . .... ... .....
035124 .. ..... . ... .
...... ...... ... ... ...... ......
.... .....
... ......
240153 401523
...... ...... ... ... ...... .....
015234..................340152 . ........ . . . . . .
034152..................023415 . . . . . . .
234015..................052341 . . . . . . .
350241..................135024
...... ..... .... ... ... ... . .. ... ... . . . ... . . . . ... ........
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... ... . .. . . . .. .... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
111
. = 0:4 (m = 2, p = 5) 013452......
124530...........
023451
145230........................012453 .. ... .
034512 134502 234501
.. .. . .... .... .... .. .... .. ...... ...... ................... ... ...... ....... . . .. . .... ... . . .. .. .. ..
.... .... .
012345 .. ... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
401235.................450123 .. 124503...........
.... .... .
.. .. .. .. .. .. .. .
145023.........................123450 .. 245013
. ... .... ....
.. .. .. .. .. .. .. .
512340.................051234 .. . ... .
350124.................345012
... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . ... ...
245130
. ... .... ...
.. .. .. .. .. .. .. .
401253.................340125 ... ... .
034125.................045123 .. . 014523...... 024513 135042 235041 350412
.. .. . .... .... .... .. .... .. ...... ...... ................... ...... ....... . . . .... ... .... .. . . .. .. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
123504 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
512304.................451230
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. ..
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
112
x
n = 6, e = 8, 2 f2; : : : ; 4g 2
1
. .. . ..... . . .... ..... . ... .. . .. . . . .. .. . . .... ... .... . . . . . . .. .. . .. ... .. . . .. . .. .... . .. .. .. . . ... .. ............................ . ............................................................................................ ..... ..... . . . . . ... .. ...... . .. .... .. ...... .. . .. . ....... .. .. ............ ..... . ...... . . . . . . . ....... ....... .. .... . . .......... ... .. .. . . . .. ..... ..... .. .. .. . . ..... .. . .. . ............... ..... ...... . .......... . .......
3
0
4
5
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 035241............... 352401
... ...... ......
013524 .. ..... . ... .
401352 ... ... .
240135 .. . ... .
524013 ... .. ..
152403.................135240
.... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . .. . . ... .... .... ... .....
142530.................014253 .. .... .
035142...............
042513
351402......
304251
...... ...... ... ... ...... .....
304152
... ...... ......
.. .. .. .. .
230415 ... .. .
523041 .. . ... .
152304 ... .. .
415230
130425 ... ... .
513042 .. . ... .
251304 ... .. ..
425130
241530.................024153 ... .... 041523...............
.. .. .. .. .
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. .. ... .. .. . .. . . ... .... ... ... ... ...
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
140352 240351
023514 . ..... . . . . . .
402351 . . . . . . .
140235 . . . . . . .
514023 . . . . . . .
251403.................235140
041253 . ..... . .
403512 ...
304125 . . .
.. ..
124035 ... ... .
512403 ... ... .
351240
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... ... . .. . . . .. .... .... .....
. . . . . . . .
153042............... 253041
... ...... ......
530412 . . . . . . .
125304 . . . . . . .
412530
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 052341............... 305241
... ..... ......
152340..................015234 .. ....... ... .
130524..................340152 .. 240153............... 401523
... ...... .....
.. .. ... ..
234015 .. . ... .
523401
..... .... .... .... ... ... ... .. ... .. . . ... . . . .... .... .......
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . .. . . ... . . . . .... ... .....
035124 .. ..... . ... .
...... ...... ... ... ...... ......
.... .....
051342............... 305142
... ..... ......
251340..................025134 . ....... . . . . .
230514..................340251 . . 140253............... ... ......
402513.....
. . . . . . . . .
134025 . . . . . . .
513402
..... .... .... .... ... ... ... .. ... .. . . ... . . . .... .... .......
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... ... . .. . . . .. .... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
113
135042...... 034125 .. ... . .. .. .
... .
150342................... 503412 ... 235041 250341 350412
...... ...... . ................... ..... ...... ...... . . . .. . .... .. .. .. .. .. . .
125034............... 412503
... ...... ......
.. ..
123504 .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. ..
341250
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. .. ... ... ... ... . . ..
241503...............
.... .....
415023.....
034152............... .... .....
234150......
023415 . ........ . . . . . .
502341 . . . . . .
350241..................135024 . . . . . . .
150234..................341502
...... ..... .... ... ... ... . ... .. . . . .... . . . .... . . . . . . . ....
051234 . ... . . . . .
305124.................340512 . . 124053...... 142503 425013
..... ...... .... ... ...... .....
034251............... .... .....
134250...... 350142
..................
134052 013425 .. ....... . .
140523
501342 ...
234051
... . .. .
235014 .. . ... .
250134..................342501
...... .... .... .... ... ... . .. ... . . . .... . . . .... . . . . . . . ....
240513 405123
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ...... ..... .... ..... ....... . . ..... . . ... .. .. . .. ... .. .. .. .. ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123405 . . . . . . .
512340
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... . . .. ...
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 013452......
.. .. .
023451...............
..... ......
034512............................. . ...... ..... .....
134502.................... 350124............... ... ......
501234......
234501 345012 401235
. ... . .. .. ... ... .. . .. .. ..
..................
124503........... 145023 245013
.... .... . .................. .. .... .... . . ... . . . .
012345 .. ... . ... .. ... .. ... .. ... .. .. .. ... .. ... ..
450123 .. . .. .. .. .. .. .. .. .
123450
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . .. ... ... ... ... ... . . ..
124530...........
.... .... .
014523 024513 045123 130452 230451 304512
.. .. .. .. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ...... ..... .... ..... ....... .. . ...... . .. . ... .. .. ... . .. .. . . ..
145230..........................012453 . ....... . . 245130
. ... .... ...
. . . . . . . . . . . . . . .
401253..................340125 . . 123045............... ... ......
512304......
. . . . . . . . .
451230
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... . . . ... . . .... . . ... .......
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
114
x
n = 6, e = 8, 2 f1; : : : ; 4g 2
1
. .. . ..... . . .... ..... . ... .. . .. . . . .. .. . . .... ... .... . . . . . . .. .. . .. ... .. . . .. . .. .... . .. .. .. . . ... .. ......................... . ............................................................................................ . . . . . ... .. . .. .... . .. ...... .. . . . . .. ............ ..... .. . . . . . . . . . . . . .. ......... ... ..... . . . . . . . . .. .. .. . .. ....... . .. . .. . . ...... ............... . . . . . . . ......................................................
3
0
4
5
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 142503............... 425013
... ...... ......
034251............... 304251
... ..... ......
.. .. .. .. .. .. .. .
130425..................350142 .. . 501342
..................
... .
235014 ... .. ..
250134..................342501 241503............... 415023 034152 304152
... ..... ...... ...... ..... .... .... ..... ......
152403...............
134250..................013425 .. .....
.... .....
524013......
.... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . .. . . ... .... .... ... .....
035241............... ... ......
305241......
230415..................350241 .. . 502341
..................
... .
135024 ... .. .
150234..................341502
... .
135042...... 150342 235041 250341 503412
.. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... ................... . ...... ....... . . .... .. .... ... . . .. .. .. ..
125034............... 412503
... ...... ......
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
123504 .. . ... .. .. .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. .. .. ..
341250
... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . .. .. .. ... .. . . . ...
251403............... ... ......
514023......
.... .... .... .... ... ... ... .. . ... ... .. . . ... . . . .. .... .... .....
035142 305142
...... ..... .... .... ..... ......
... .
134052......
240351 403512
.. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... ................... . ...... ....... . . .... .. .... ... . . .. .. .. ..
124035...............
.... .....
512403......
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
123405 .. . ... .. .. .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. .. .. ..
351240
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . .. . . ... . . . . .... ... .....
235140..................023514 . ..... . . . . . . . . . . . . . . . .
230514..................340251 . . . . . . .
402351..................134025 . . . . . .
035124 .. ... .
234051
. . . .
401352..................234015 . . .
140235..................351402
305124.................340512 .. 140352
130524..................340152 . . . . . . .
034125 .. ... . 304125.................350412 ..
. . . . . . . . . . . . . . .
240135..................352401
234150..................023415 .. ..... .. .. .. .. .. .. .. .
135240..................013524 . ..... .
... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. .. . .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. ... .. ... ...
.... .... .... .... ... ... ... .. . ... ... .. . . ... . . . .. .... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
115
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 124503....... 145023 245013 450123
... ... ..... ..... ..... .. ...... ..... ..... ... ..... .... ... . . ... .. ..
013452...... 023451 034512 130452 230451 304512
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ...... ..... .... ..... ...... .... . ..... . . . .. ... .. .. .. .. .. . . ..
125403.......
... ... .
123450 134502 234501
.... .... .... .... .... .................. ... .... . ... . . . . ....
154023....................... ..... ..... ...
012345 .. ... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
123045..................350124 .. . 501234
..................
... .
345012
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. .. ... ... ... ... . . ...
254013.............. 540123
. ... .. ..
013542......
.. .. .
023541...............
..... ..... .
035412............................. ....... ..... ...
130542.................... 230541 305412
. ... . .. ... .. .. . .. . .. .. ..
123540...........
.... .... .
135402..........................012354 . ... . . . .... ...
235401....
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123054..................340125 . . . . . . .
401235..................354012
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. .. ... ... ... ... . . ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
116
x
n = 6, e = 8, 2 f1; : : : ; 4g 2
1
. . ..... . . .... . . ... .. . . . .. .. . . ... .... . . . . . . .. . . . .. .. . . .. .. . . .. .. . .. ... . ............................ . ........................................................................................ ..... ..... . . .. ..... ... . . ...... .. . ... . . .. . ..... .. ....... .. ........ .... . ...... . . . . . . ....... ...... . ... . .. .. . .......... . . . .. ..... ..... . . . . . . . . . . . . ..... ... .... ........... . ... .. . . ............................................................
3
0
4
5
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 035142............... 351402
... ...... ......
... .
402351 ... ... .
240351.................124035 .. . 140235
.................
241530.................024153 .. ....
023514 .. ..... .
... .
251403 ... .. ..
514023.................235140
... .
041253.................230415 ...
.... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . .. . . ... .... .... ... .....
.. .
304125.................253041 .. . 153042............... 530412
... ...... .....
.. ... .. ...
125304 ... .. ..
412530
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 013542......
.. .. .
241503 412503
...... ...... ... ... ...... ......
023541...............
..... ..... .
234150..................023415 .. ... .
035412.............................
034125..................250341 .. .
135402......................
... .
135042...... 150342 235041 350412 503412 125034
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
.. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... .................... ..... ...... ....... . . . .... ... .. .. .. .. ..
123504 ..
..................
341250
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. ... ... ... ...
. ...... ..... ....
235401 354012
... .. .. .. .. ... . .. . .. .. ..
012354 . ... . . . . . . .
401235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
240135.................254013 . . . 125403........... 154023 540123
.... .... . ................. ... .... .... . . . ....
. . . . . . . . . . . . . . .
123540
... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. .. .. .. ... ... . . ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
117
124530...........
.... .... .
145230.........................012453 .. ... 245130
. ... .... ....
014523...... 024513 045123 230451 304512
.. .. . .... .... .... .. .... .. ...... ...... ................... ...... ....... . . . .... .. ... ... .. .. .. . . ..
130452............... .... .....
513042.....
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
123045 .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
251304 ... ... .
451230
.. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . .. ... ...
051342............... 305142
... ...... .....
513402..................025134 . ... . . . . .
230514..................340251 . . 124053...... 140253 234051 240513 402513
.. .. . .... .... .... .. .... .. ...... ...... .................. . ..... ....... . . ....... . . .... ... . .. .. .. ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134025..................251340
... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. ... ... ... ...
. = 0:333333 (m = 1, p = 3)
124503....... 145023 245013 450123 350142 501342
... ... . ..... .... ..... .. ...... ... ......... . . . . .. .. . . ... . .. ... ..
...... ...... ... ... ..... ......
023451 034512 123450 134502 234501
.. .. .. .. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... .................... ... ...... ....... . . .. . .... ... . . . .. .. ..
015342...... 025341 012345 .. ..... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
013452..................250134 ... ... .
235014..................345012
.... ... .... .... ... ... ... ... . .. ... ... . ... . . .. .... .... .....
053412 130542 230541 305412
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... . ...... ..... .... ..... ....... . . ...... . .. . ... .. .. ... . .. .. . .. ..
240153............... ... ......
401253......
125340...........
.... .... .
153402..........................012534 . ... . . . .... ....
534012....
. . . . . . . . . . . . . . .
123054..................340125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
234015..................253401
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
118
x
n = 6, e = 8, 2 f2; : : : ; 4g 2
1
. .. . ..... . . .... ..... . ... .. . .. . . . .. .. . . .... ... .... . . . . . . .. .. . .. ... .. . . .. . .. .... . .. .. .. . . ... .. ............................ . ......................................................................................... ..... ..... . . . . . ... ...... . .. .... .. ...... . .. . ....... .. .. ............ . ...... . . . . . . . . . ............. ............. ... . . .... . . . .. ...... .......... .... ... . ............... .......... . . . . . .....................................................
3
0
4
5
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 035241............... 352401
... ...... ......
013524 .. ..... . ... .
401352 ... ... .
240135 .. . ... .
524013 ... .. ..
152403.................135240
.... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . .. . . ... .... .... ... .....
142530.................014253 .. .... .
035142...............
042513
351402......
304251
...... ...... ... ... ...... .....
304152
... ...... ......
.. .. .. .. .
230415 ... .. .
523041 .. . ... .
152304 ... .. .
415230
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. .. ... .. .. . .. . . ... .... ... ... ... ...
130425 ... ... .
513042 .. . ... .
251304 ... .. ..
425130
241530.................024153 ... .... 041523...............
.. .. .. .. .
140352 240351
.... .....
023514 . ..... . . . . . .
402351 . . . . . . .
140235 . . . . . . .
514023 . . . . . . .
251403.................235140
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . .. . . ... . . . . .... ... .....
035124 .. ..... .
041253 . ..... . .
403512 ...
304125 . . .
... .
...... ...... ... ... ...... ......
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
.. ..
124035 ... ... .
512403 ... ... .
351240
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... ... . .. . . . .. .... .... .....
. . . . . . . .
153042............... 253041
... ...... ......
530412 . . . . . . .
125304 . . . . . . .
412530
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... ... . .. . . . .. .... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
119
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 013542......
.. .. .
023541...............
..... ..... .
035412............................. . ....... ..... ....
135402.................... 140253............... 402513
... ...... .....
251340............... ... ......
513402......
235401
034251..................013425 .. ........ . ... .
134025..................051342 ... .. .
350142..................235014 ... 025134
..................
... .
340251
354012
...... ..... .... ... ... ... .. .. ... .... . . ... . . . . . .. .......
. .. .. ... .. .. ... .. . .. .. ..
125403...........
.... .... .
012354 . .... . . . . . .
401235 . . . . . .
540123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154023.........................123540 254013
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. ... . . . .. .. . . .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
. ... .... ....
124530...........
.... .... .
145230........................012453 .. ... . .... ....
245130 ...
014523......
.. .. .
024513...............
..... ..... .
045123............................ 130452 230451 304512
...... ..... .... ..... ...... ..... ..... . . . .. ... .. .. .. .. .. . . ..
.. .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. .. .. ... .. ... .. ... .
123045 ... .. ..
512304 .. . ... .
451230
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. . . ... ... ... ... ...
152340...............
.... ......
523401..... 240153 401523
...... ...... ... ... ...... .....
015234..................340152 . ........ . . . . . .
034152..................023415 . . . . . . .
234015..................052341 . . . . . . .
350241..................135024
...... ..... .... ... ... ... . .. ... ... . . . ... . . . . .... ........
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 125340.......
... ... .
013452 023451 034512 124503 145023 245013 450123
.. ... ... ... ... ..... .... ..... .. ...... ...... . .... .. ..... ... ... . ... . ... ..
134502 234501
.. .. .. .. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... .................... ... ...... ....... . . .. . .... ... . . .. .. .. ..
123450............... 512340
... ...... .....
153402....................... ..... ..... ...
253401.............. 012345 .. ... . . .. ... .. ... .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. ... .
051234 .. .. .. .. .. .
350124..................345012
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. ... ... ... ... ... ...
534012
. ... .. ..
012534............... .... ......
401253..... 034125
..................
015342...... 025341 135042 235041 350412
.. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... ................... . .... ....... . . .... ... . . ... ... . .. .. .. ..
340125 . .... . . . . . . . . . . . .
053412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123504
... ... .... .... ... .. .. .. ... .. . . .. .. .. . ... . .. . . .... ... .... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
120
x
n = 6, e = 9, 2 f2; : : : ; 5g 2
1
. .. . ..... . . .... ..... . ... .. . .. . . . .. .. . . .... ... .... . . . . . . .. .. . .. ... .. . . .. . .. .... . .. .. .. . . ... .. ............................ . ............................................................................................ ..... ..... . . . . . ... .. ...... . .. .... .. ...... .. . .. . ....... .. .. ............ ..... . ...... . . . . . . . ....... ....... .. .... . . .......... ... .. .. . . . .. ..... ..... .. .. .. . . ..... .. . .. . ............... ..... ...... . . . . .............................................................
3
0
4
5
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 035241............... 352401
... ...... ......
013524 .. ..... . ... .
401352 ... ... .
240135 .. . ... .
524013 ... .. ..
152403.................135240
.... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . .. . . ... .... .... ... .....
142530.................014253 .. .... .
035142...............
042513
351402......
304251
...... ...... ... ... ...... .....
304152
... ...... ......
.. .. .. .. .
230415 ... .. .
523041 .. . ... .
152304 ... .. .
415230
130425 ... ... .
513042 .. . ... .
251304 ... .. ..
425130
241530.................024153 ... .... 041523...............
.. .. .. .. .
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. .. ... .. .. . .. . . ... .... ... ... ... ...
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
140352 240351
023514 . ..... . . . . . .
402351 . . . . . . .
140235 . . . . . . .
514023 . . . . . . .
251403.................235140
041253 . ..... . .
403512 ...
304125 . . .
.. ..
124035 ... ... .
512403 ... ... .
351240
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... ... . .. . . . .. .... .... .....
. . . . . . . .
153042............... 253041
... ...... ......
530412 . . . . . . .
125304 . . . . . . .
412530
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 241503............... 415023
... ..... ......
034152............... 234150
... ...... ......
023415 .. ........ .
142503...............
502341 ...
425013
... . ... .
350241..................135024 .. . 150234
..................
... .
341502
...... ..... .... ... ... ... . .. ... ... . . . ... . . . . ... ........
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . .. . . ... . . . . .... ... .....
035124 .. ..... . ... .
...... ...... ... ... ...... ......
.... .....
... ..... ......
034251............... ... ......
134250......
013425 . ........ . . . . . .
501342 . . . . . . .
350142..................235014 . . . . . . .
250134..................342501
...... ..... .... ... ... ... . .. ... ... . . . ... . . . . ... ........
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... ... . .. . . . .. .... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
121
013542......
.. .. .
023541...............
..... ..... .
035412............................. . ...... ..... ....
135402..................... 235401 354012
. ... . .. .. .. ... . .. . .. .. ..
125403........... 154023 254013
.... .... . ................. .... .... . . .... . . ..
012354 .. .... . ... .
401235 ... .. .
540123 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
123540
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . .. . . . ... ... ... ... ...
051342............... 305142
... ...... .....
251340..................025134 . ....... . . . . . .
230514..................340251 . . 140253............... .... .....
402513......
. . . . . . . . .
134025 . . . . . . .
513402
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... . ... . . ... . . . . .... .......
124530...........
.... .... .
145230........................012453 .. ... . .... ...
135042...... 034125 .. ... .
245130....
150342
014523......
235041 250341 350412
.. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... ................... ...... ....... . . . .... .. ... ... .. .. .. . . ..
125034............... 412503
... ...... ......
... .
503412 ... .. .
123504 .. . .. ... .. ... .. ... .. .. .. ... .. ... .. ... .
341250
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . . .. . .. .. .. ... ... ... . . .. ...
.. .. .
024513...............
..... ..... .
045123............................
...... ..... ....
130452...................... 230451 304512
.. .. ... .. .. ... . .. . .. .. ..
.. .. ... .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. ... .
123045 ... .. .
512304 .. . ... .
451230
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . .. .. . .. . .. . . .. .. .. .. .. . . . ... ... ...
051234 . ... . . 305124
.................
124053......
.. .. .
052341............... ... ......
305241......
152340
..................
015234 .. ....... ... .
130524..................340152 .. 240153 401523
...... ...... ... ... ...... .....
.. .. ... ..
234015 .. . ... .
523401
..... .... .... .... ... ... ... .. ... .. . . ... . . . .... .... .......
134052...............
..... ..... .
140523............................ ...... ..... ....
234051...................... 240513 405123
.. .. ... .. .. ... . .. . .. .. ..
. . . .
340512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123405 . . . . . . .
512340
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . .. . .. . .. .. ... ... ... ... . . ..
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
122
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 013452......
.. .. .
124503 145023 245013 450123
.. ... ... ... ... ..... .... ..... .. ...... ...... . .... . ..... .... .. . . ... . . ... ..
023451............... 034512 123450 134502 234501
..... ...... ..... ........ ..... ... ...... . ....... .... .... ..... ....... ... . ..... . .. ... .. .. ... . .. .. . . ..
015342...... 012345 .. ....... . . ... .
501234 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
350124..................345012
.... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . . .... . . . .... .......
025341 053412 130542 230541 305412
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... . ........... . . . . ..... ...... . ...... . ... .. ... .. .. ... .. .. . .. ..
125340...........
.... .... .
153402..........................012534 . ....... . . .... ....
253401....
123054............... ... ......
401253.....
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
340125 . . . . . .
534012
..... .... .... .... ... ... ... .. ... .. . . .... . . . .... ... .......
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
123
n = 6, e = 8, 2 f1; : : : ; 4g 2
1
.. . .. ...... ... ... .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .... . . .. .. ... .. .. .. .... .. .. .. . ................................................................................................................. ........ . ... . .. .............. . . . ... ..... .. .... .. .... .. .. ....... . . .. ............ ..... ... ..... ... . ...... . . ... . . . ... .. .. ... .. ................ .... .. .... . .. ... ...... ...... .. .. ... ..... .. .. .. ... .. ...... ............ ............. ...... ..
3
0
4
5
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 034152............... 341502
... ...... ......
023415 .. ..... . ... .
502341 ... ... .
250341.................125034 .. . ... .
150234.................241503 ... .. ..
415023.................234150
.... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . .. . . ... .... .... ... .....
351240.................023514 .. ....
415230.................024153 . .... . .
035124
041523...............
.................
140352............... 403512
... ..... ......
... .
240351 .. .. .. ... ..
124035 .. . ... .
512403 ... .. ..
251403.................235140
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
304152
... ...... .....
. . . . . . . . .
230415 . . . . . . .
523041 . . . . . . .
253041.................125304 . . . . . . .
152304.................241530
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
251430.................025143 .. .... . ... .
051243.................230514 ... .. .
305124.................243051 .. . 143052............... ... ......
430512......
.. ... .. ...
124305 ... .. .
512430
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. .. ... .. .. . .. . . ... .... ... ... ... ...
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 041352............... 413502
... ...... ......
125043...... 150243 235041 250413 350241
.. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... ................... ... ...... ....... . . ... . .... ... . . .. .. .. ..
024135 .. ... . ... .
502413 ... .. .. .. .. .. .. ... .. .. ..
123504 .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
135024.................241350
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . .. ... ... ... ...
014352......
251340.................025134 . ... . .
024351
051234.................240513 . .
043512 124350 143502 435012 250143
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... . ...... ..... ... .... ....... ... . ...... . .. ... .. .. ... . .. .. . . .. .................
. . . .
012435 .. .... . ... .
501243 .. .. .. .. ... .. ... .. ... ..
235014 ... ...
350124.................243501
... ... ... .... ... ... .. .. .. ... . . . .. ... . . .. . .. . . . ... .... ... ... ...
124053......
.. .. .
134052...............
..... ..... .
140523............................. . ...... ..... ....
234051..................... 340512 405123
.. .. ... .. .. ... .. . .. .. ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123405 . . . . . . .
512340
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. . .. .. .. ... ... ... . . . ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
124
025341......
.. .. .
052341...................
...... ...... .
125340..............................012534 .. ... . .. .... .. ... ..
152340........... 253401
.. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
015234.................240153 .. 340152............... .... ......
401523.....
.. .. .. .. .
234015 .. . ... .
523401
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. .. ... ... ... ... . . ..
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 124530........... 251304............... 512304
... ...... ......
145230 245130
.... .... . .................. ... .... .... . . .. ....
014523......
.. .. .
024513................... 045123 230451 130452............... 413052
... ...... ......
304512
...... ...... . .................... .... ...... ....... . . .. . .... ... . .. .. .. . .
023451......
.. .. .
012453 .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
123045 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
241305..................451230
... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . .. .. ... ... ... ...
034512...................
...... ...... .
134502...............................012345 . ... . . . 234501 013452............... 401352
.. ...... ......
250134............... 501234
... ...... ......
345012
.. ... .. .... .. ... .. . .. . .. .. ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
240135..................450123 . . 124503........... 145023 245013
.... .... . .................. ... .... ... . . . .. ....
. . . . . . . . . . . . . . .
123450
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ... . . ..
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
125
n = 6, e = 8, 2 f1; : : : ; 4g 2
1
.. . .. ... ... ... .. .. .. .. ... .. .. . . .. ... .. .. .... .. .. .............................................................................................................. ........ . ... ... . . . . . ... ..... ..... ... .. .... ...... .. .. ....... .. .......... ..... ... ..... ..... .. ...... ... . . ...... ... ... .. ................ .... . . . .. ... ...... ...... .. ... ..... .. .. ... .. ...... ....... . ............. ........................................................
3
0
4
5
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 013452......
023541......
034512
035241...................
134502 234501 345012 250341............... 502341
.. ...... ......
.. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... .................... ..... ...... ....... . . . .... ... .. .. .. .. ..
.. .. .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
023451..................150234 ... ... .
125034..................245013 .. . 124503........... 145023 450123
.... .... . .................. . ... .... ... . . . . ....
...... ...... .
012345 .. ... .
.. .. .. .. .. .. .. .
123450
135240...............................012354 . ... . .
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. ... . . . ... ... ...
.. .... .. .... ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
235401........... . .. ..
352401.. 140352............... 401352
.. ...... ......
013524..................240135 . . . . . . .
124035..................152403 . . . 125403........... 254013 524013
.... .... . .................. . ... .... ... . . . . ....
123540
014352......
.. .. .
041352...................
124530...........
...... ...... .
124350...............................012435 .. ... . 143502 413502
.. .... .. ... . .... ... .. . . .. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
024135.................150243 .. 125043...... 235041 250413 350241 502413 135024
.. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... ................... .... ....... . ...... . . . . .... ... .. .. .. .. .. .................
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
123504 .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
241350
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . .. ... ..
.... .... .
145230..........................012453 . ... . 451230
. ... .... ....
014523......
.. .. .
024513...................
...... ...... .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
045123..............................123045 . . 130452 304512 253041............... 523041
... ..... ......
.. ... .. .... .. ... ... .. . .. .. ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230451..................152304 . . . . . .
125304..................245130
. . . . . . . . . . . . . . .
... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . .. .. . . .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . . ...
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. . .. . . .. .. .. .. ... . . . ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
126
025341......
.. .. .
052341...................
125430...........
...... ...... .
125340..............................012534 .. ... . 253401 523401
. .... .. .... .. .... .. . .. .. . .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
015234.................240153 .. 124053...... 134052 140523 340152 401523 234015
.. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... ................... ..... ...... ....... . . . .... ... .. .. .. .. .. .................
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
123405 .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
152340
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . .. ... ..
.... .... .
254130.........................012543 . ... . . ... ....
524130....
015243......
.. .. .
025413...................
...... ...... .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
052413...............................123054 . . 230541 305241 143052............... 413052
... ..... ......
. ... .. .... .. .... ... .. . .. .. ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130524..................241305 . . . . . .
124305..................152430
... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . .. ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
127
n = 6, e = 9, 2 f1; : : : ; 5g 2
1
.. . .. ...... ... ... .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .... . . .. .. ... .. .. .. .... .. .. .. . ................................................................................................................. ........ . ... . .. .............. . . . ... ..... .. .... .. .... .. .. ....... . . .. ............ ..... ... ..... ... . ...... . . ... . . . ... .. .. ... .. ................ .... .. .... . .. ... ...... ...... .. .. ... ..... .. .. .. ... .. ...... ......... ............. .........................................................
3
0
4
5
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 034152............... 341502
... ...... ......
023415 .. ..... . ... .
502341 ... ... .
250341.................125034 .. . ... .
150234.................241503 ... .. ..
415023.................234150
.... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . .. . . ... .... .... ... .....
251430.................025143 .. .... . ... .
051243.................230514 ... .. .
305124.................243051 .. . 143052............... ... ......
430512......
.. ... .. ...
124305 ... .. .
512430
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. .. ... .. .. . .. . . ... .... ... ... ... ...
351240.................023514 .. ....
415230.................024153 . .... . .
035124
041523...............
.................
140352............... 403512
... ..... ......
... .
240351 .. .. .. ... ..
124035 .. . ... .
512403 ... .. ..
251403.................235140
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
304152
... ...... .....
. . . . . . . . .
230415 . . . . . . .
523041 . . . . . . .
253041.................125304 . . . . . . .
152304.................241530
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
128
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 125430...........
.... .... .
152430........................012543 .. ... 025341 052341 125340 152340 253401
.. .. .. .. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... ................... ... ...... ....... . . .. . .... ... . . .. .. .. ..
254130 015243 012534 .. ... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
015234.................240153 .. 340152............... 401523
.... ...... .....
.. .. .. .. .
234015 .. . ... .
523401
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. .. .. ... ... ... . . ...
025413 052413 230541 305241
.. ... .... ...
.. .. .. .. .. . .... .... .... .. .... .. ...... ...... ................... ..... ....... . . . .... ... .... .. . . .. .. .. ..
130524............... 413052
... ..... ......
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
123054 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
241305 ... ... .
524130
.. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . ... ..
013452......
.. .. .
023451...............
..... ..... .
034512............................ ....... ..... ...
134502.................... 234501 345012
... .. ... .. .. ... . .. . . .. ..
012345 . ... . . . . . . .
501234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
250134.................245013 . . . 124503...........
.... .... .
. . . . . . . . . . . . . . .
145023........................123450
... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . . .. . .. .. .. ... ... ... . . ... ...
. ... ....
450123....
023541......
.. .. .
035241...................
...... ...... .
135240...............................012354 .. ... .
041352...............
235401
413502
352401
.. ... . .... .. .... ... .. . . .. .. ..
013524............... 401352 125403 152403 254013
.... ..... ..... .... .... .... .... .... ................. ... .... . .... . . ....
.. ... .. ... .. .. .. ... .. ... .. ... .. .. ..
240135 ... .. .
524013 ... .. .. .. .. .
123540
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. ... . . . ... ... ...
... ...... ......
125043...... 150243 235041 250413 350241 135024
024135 .. ... . ... .
502413 ... .. .. .. .. .. .. ... .. ... .
.. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... ................... .... ...... . ....... . . . . .... ... .. .. .. .. ..
123504 .. .
.................
241350
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . . ... ... ... ...
124530...........
.... .... .
145230........................012453 .. ... .... ....
251340.................025134 .. ...
451230...
051234.................240513 ..
014523......
... .
124053...... 134052 140523 234051 340512 405123
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ...... . . . .. ... ..... ....... ...... . .. .. . . . ... .. .. .. . .. .. .. . ..
.. .. ... .. ... .. ... .. ... .. .. .. .. .. ..
123405 .. . ... .
512340
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. .. ... ... ... ... . . .
.. .. .
024513...............
..... ..... .
045123............................
...... ..... ....
130452...................... 230451 304512
... .. ... .. .. ... . .. .. .. ..
.. .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. .. .. ... .. ... .. ... .
123045 ... .. .
512304 ... .. .. .. .. ... .. .. .. ... ..
251304.................245130
... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . ..
014352......
.. .. .
024351...............
..... ..... .
043512............................ ....... ..... ...
124350.................... 143502 435012
... .. ... .. .. ... . .. . . .. ..
012435 . .... . . . . . .
501243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
250143.................235014 . . . . . .
350124.................243501
... ... ... .... ... ... .. .. .. ... . . . . .. .. .. . . . . .. . . . . .... ... .... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
129
n = 6, e = 9, 2 f2; : : : ; 4g 2
1
. .. . ..... . . .... ..... . ... .. . .. . . . .. .. . . .... ... .... . . . . . . .. .. . .. ... .. . . .. . .. .... . .. .. .. . . ... .. ............................. . ............................................................................................ ........ . . . . . ... ..... . . ... .. . .. .... . .. ...... .. .. ..... . . ....... .. .. ............ ..... ... ...... . . . ... . . . . . ....... ....... .. .... ... . . .......... ... .. .. . . . .. ..... ..... .. .. .. .. . . ..... .. . .. ... . ............... ..... ...... .... . .......... . ......
3
0
4
5
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 034251............... 342501
... ...... ......
013425 .. ..... . ... .
501342 ... ... .
250134 .. . ... .
425013 ... .. ..
142503.................134250
.... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . .. . . ... .... .... ... .....
035241............... 352401
... ...... ......
... .
524013 ... .. ..
152403.................135240
052413...............
341502
305241
... ...... ......
130524 ... .. .
413052 .. . ... .
241305 ... .. .
524130
401352 ... ... .
034152...............
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. .. ... .. .. . .. . . ... .... ... ... ... ...
... .
240135 .. .
152430.................015243 ... .... .. .. .. .. .
013524 .. ..... .
... ..... ......
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . .. . . ... . . . . .... ... .....
023415 .. ..... . ... .
502341 ... .. .
150234 .. . ... .
415023 ... .. .
241503.................234150
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... ... . .. . . . .. .... .... .....
241530.................024153 ... ....
251430.................025143 ... ....
041523...............
051423...............
304152
... ..... ......
.. .. .. .. .
230415 ... .. .
523041 .. . ... .
152304 ... .. .
415230
240351
... ..... ......
305142
... ..... ......
.. .. .. .. .
230514 ... .. .
423051 .. . ... .
142305 ... .. .
514230
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. .. . . .. . .. .... ... .... ... ...
042513............... 304251
... ...... .....
. . . . . . . . .
130425 . . . . . . .
513042 . . . . . . .
251304 . . . . . . .
425130 035142............... ... ......
351402......
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
023514 . ..... . . . . . .
402351 . . . . . .
140235 . . . . . . .
514023 . . . . . .
251403.................235140
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... ... . .. . . . .. .... .... .....
034125 . ..... . . . . . .
150342 250341
...... ...... ... ... ...... .....
503412 . . . . . .
125034 . . . . . . .
412503 . . . . . . .
341250
.... ... .... .... ... ... ... ... . ... ... ... . .. . . . .... ... .... .....
035124 .. ..... .
041253 .. ..... .
051243 . ..... . .
403512 ...
304125 ...
305124 . . .
... .
140352...............
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . .. .. .. .. . . .. . .. .... ... .... ... ...
142530.................014253 . .... . .
.. ..
124035 ... ... .
512403 ... ... .
351240
.... .... .... .... ... ... ... ... . ... ... . .. . . .... . . .... .... .....
... . .. ..
153042 253041
...... ...... ... .. ...... ......
530412 ... ... .
125304 ... ... .
412530
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . .. . . .... . . .... .... .....
. . . . . . . .
143052 243051
...... ...... ... .. ...... ......
430512 . . . . . . .
124305 . . . . . . .
512430
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . .. . . .... . . .... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
130
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 015342......
.. .. .
025341............... 051342............... 251340
... ...... .....
140253............... 340251
... ..... ......
..... ..... .
025134 .. ....... . . ... .
402513 ... .. .
134025 .. . ... .
513402
...... .... .... ... ... ... .. .. ... .... . . ... . . . . . .. .......
014352...... 043512 124350 143502 243501
125340 153402 253401
. ....... .... .... ..... ...... ..... ..... . .. ... .. .. ... . .. .. . . ..
012534 .. ........ . ... .
401253 ... .. ..
340125 .. . ... .
534012
...... .... .... ... ... ... . . .. ... .... . . . ... . . . . . . . .......
.. .. .
... .
135042............... 504123 .. ..... ..... .
012435 .. ........ .
150423.............................
501243 ...
235041
... . .. ..
350124 .. . ... .
435012
...... ..... .... ... ... ... ... ... . . . . .... . . ... . . . . . . . .....
250413 350412
..... .......... ..... ....... ..... . . ... .. ... .. .. ... .. .. . .. ..
.. .. ... ..
123504 .. . ... .
412350
..... .... .... .... ... ... ... . ... .. . . .... . . .... . . .... .......
... .
134052............... 405123 .. ..... ..... .
140523............................. 234051 240513 340512
...... ......... ..... ........ ..... . . ... .. ... .. .. ... .. .. . .. ..
... ......
142350 .....
250143............... 350142
... ..... ......
.. .. ... ..
123405 .. . ... .
512340
..... .... .... .... ... ... ... . ... .. . . .... . . .... . . .... .......
052341...............
.... .....
152340......
240153............... 340152
... ..... ......
041352............... .... .....
241350......
150243............... 350241
124053...... 051234 .. ....... .. .. .
042351...............
014235 . ....... . . . . . . .
501423 . . . . . .
235014 . . . . . . .
423501
...... .... .... ... ... ... . . .. ... .... . . ... . . . . . .. .......
125043...... 041235 .. .......
.. .. .
024351...............
..... ..... . ..... ........ ..... ... ...... ....... . . .. . ... ..... ...... ...... . ..... . . ... .. .. ... .. .. .. . ..
053412............................
015234 .. ........ . ... .
401523 ... .. .
234015 .. . ... .
523401
...... ..... .... ... ... ... ... ... ... .... . . . ... . . . . . . . .....
... ..... ......
024135 . ....... . . . . . . .
502413 . . . . . . .
135024 . . . . . . .
413502
...... ..... .... ... ... .. . ... ... .... .... . . ... . . . . . . . .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
131
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 124530........... 145230 245130
.... .... . ................. ... .... . . .... . . ...
014523...... 024513 045123 130452 230451 304512 412305 512304
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ... ........... . . . .... ...... . ..... . . ... .. ... .. .. ... .. .. . .. .. ..... ...... .... ... ...... .....
013452...... 012453 .. ... .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .
123045 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
451230
.. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . ... ..
.. .. .
023451...............
..... ..... .
034512............................
. ....... ..... ....
134502.................... 234501 345012
. .. .. ... .. .. ... .. . .. .. ..
401235...............
.... ......
501234.....
124503...........
.... .... .
012345 .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
450123 .. . .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .
145023.........................123450 245013
. ... .... ....
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. .. . . ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
132
x
n = 6, e = 10, 2 f2; : : : ; 5g 2
1
. .. . ..... . . .... ..... . ... .. . .. . . . .. .. . . .... ... .... . . . . . . .. .. . .. ... .. . . .. . .. .... . .. .. .. . . ... .. ............................. . ............................................................................................ ........ . . . . . ... ..... . . ... .. . .. .... . .. ...... .. .. ..... . . ....... .. .. ............ ..... ... ...... . . . ... . . . . . ....... ....... .. .... ... . . .......... ... .. .. . . . .. ..... ..... .. .. .. .. . . ..... .. . .. ... . ............... ..... ...... .... . . . .............................................................
3
0
4
5
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 034251............... 342501
... ...... ......
013425 .. ..... . ... .
501342 ... ... .
250134 .. . ... .
425013 ... .. ..
142503.................134250
.... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . .. . . ... .... .... ... .....
035241............... 352401
... ...... ......
... .
524013 ... .. ..
152403.................135240
052413...............
341502
305241
... ...... ......
130524 ... .. .
413052 .. . ... .
241305 ... .. .
524130
401352 ... ... .
034152...............
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. .. ... .. .. . .. . . ... .... ... ... ... ...
... .
240135 .. .
152430.................015243 ... .... .. .. .. .. .
013524 .. ..... .
... ..... ......
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . .. . . ... . . . . .... ... .....
023415 .. ..... . ... .
502341 ... .. .
150234 .. . ... .
415023 ... .. .
241503.................234150
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... ... . .. . . . .. .... .... .....
241530.................024153 ... ....
251430.................025143 ... ....
041523...............
051423...............
304152
... ..... ......
.. .. .. .. .
230415 ... .. .
523041 .. . ... .
152304 ... .. .
415230
240351
... ..... ......
305142
... ..... ......
.. .. .. .. .
230514 ... .. .
423051 .. . ... .
142305 ... .. .
514230
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. .. . . .. . .. .... ... .... ... ...
042513............... 304251
... ...... .....
. . . . . . . . .
130425 . . . . . . .
513042 . . . . . . .
251304 . . . . . . .
425130 035142............... ... ......
351402......
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
023514 . ..... . . . . . .
402351 . . . . . .
140235 . . . . . . .
514023 . . . . . .
251403.................235140
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... ... . .. . . . .. .... .... .....
034125 . ..... . . . . . .
150342 250341
...... ...... ... ... ...... .....
503412 . . . . . .
125034 . . . . . . .
412503 . . . . . . .
341250
.... ... .... .... ... ... ... ... . ... ... ... . .. . . . .... ... .... .....
035124 .. ..... .
041253 .. ..... .
051243 . ..... . .
403512 ...
304125 ...
305124 . . .
... .
140352...............
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . .. .. .. .. . . .. . .. .... ... .... ... ...
142530.................014253 . .... . .
.. ..
124035 ... ... .
512403 ... ... .
351240
.... .... .... .... ... ... ... ... . ... ... . .. . . .... . . .... .... .....
... . .. ..
153042 253041
...... ...... ... .. ...... ......
530412 ... ... .
125304 ... ... .
412530
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . .. . . .... . . .... .... .....
. . . . . . . .
143052 243051
...... ...... ... .. ...... ......
430512 . . . . . . .
124305 . . . . . . .
512430
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . .. . . .... . . .... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
133
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 125430...........
.... .... .
154230........................012543 .. ... 254130
015342......
015423......
.. .. .
025341............... 053412 125340 153402 253401
..... ..... . ..... ........ ..... ... ...... ....... . . .. . ... ..... ...... ...... . ..... . . ... .. .. ... .. .. .. . ..
.. ... .... ...
.. .. .
025413...............
..... ..... .
012534 .. ........ .
054123.............................
401253 ...
130542
... . .. .
340125 .. . ... .
534012
...... ..... .... ... ... .. . ... ... ... .... . . . .... . . . . . . .....
230541 305412
....... ........ ..... ....... . ..... . . ... .. ... .. .. ... .. .. . .. ..
.. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
123054 ... .. ..
412305 .. . ... .
541230
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. .. . ... ... ... ...
041352............... .... .....
241350......
150243............... 350241
.... ..... ......
013452......
013542......
023451
023541...............
034512 134502 234501 345012 124503 145023 245013
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... . ........... . . . . .... ....... ..... . . ... .. ... .. .. ... .. .. . .. .. .... .... .... .... .... ................. ... .... ... . . . .. ....
012345 .. .... . ... .
501234 ... .. ..
450123 .. .. .. ... .. ... .. ... .. .. .
123450
... ... ... .... ... ... .. .. .. ... . .. .. .. .. .. . .. . ... ... .... ... ... ...
....... ..... ....
135402.................... 051342............... 251340
... ...... ......
140253............... 340251
... ...... .....
235401 025134 .. ........ . ... .
402513 ... ... .
134025 .. . ... .
513402
...... ..... .... ... ... ... ... ... ... . . . ... . . . . .... ........
250143 350142
...... ...... ... ... ...... ......
. . . .
413502
014235 .. ........ . ... .
501423 ... .. .
235014 .. . ... .
423501
...... ..... .... ... ... ... . .. ... .... . . . ... . . . . . . ........
043512 124350 143502 243501
..... ..... . ..... ........ ..... ... ...... ...... ..... .... ..... ...... .... . ..... . .. ... .. .. .. .. .. .. . . ..
354012 125403 154023 254013
... .. ... .. .. ... .. .. . .. ..
.... .... .... .... .... ................. ... .... ... . . . .. ....
012354 . .... . . . . . .
401235 . . . . . . .
540123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123540
... ... ... .... ... ... .. .. .. ... . . . .. .. .. .. . .. . ... ... .... ... ... ...
125043...... 041235 . ....... . .
.. .. .
142350
. . .
135024 . . .
...... ..... .... ... ... ... . .. ... ... .... . . ... . . . . . . . .....
..... ..... .
035412.............................
024351............... ... ..... ......
. . . .
502413 . . .
.. .. .
014352...... 042351...............
024135 . ........ . .
.. .. .
. . . .
135042............... 504123 . . ..... ..... .
012435 .. ........ .
150423.............................
501243 ...
235041.....................
... . .. ..
350124 .. . ... .
435012
...... ..... .... ... ... ... .. .. ... .... . . . ... . . . . . . ........
...... ..... ...
250413 350412
... .. ... .. .. ... . .. . . .. ..
. . . . . . . . .
123504 . . . . . . .
412350
..... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . . ... . . . .. .... .......
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
134
124530...........
.... .... .
145230.........................012453 . ... . 245130
052341............... 152340
... ...... ......
240153............... .... .....
340152......
124053...... 051234 .. .......
014523......
134052
024513...............
015234 .. ........ .
140523
401523 ...
234051
... . .. .
234015 .. . ... .
523401
...... ..... .... ... ... ... . .. ... . . . .... . . . ..... . . . . . . ....
. ... .... ....
240513 340512
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ...... ..... ... ..... ....... ... ..... . ... .. .. .. .. .. . .. .. . .. ..
... .
405123 .. .. .. .. .. .
123405 .. . ... .
512340
..... .... .... .... ... ... ... . ... ... . ... . . ... . . . .... .......
.. .. .
..... ..... .
045123............................. ....... ..... ....
130452.................... 230451 304512
. ... .. .. . .. ... . .. .. . .. ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123045 . . . . . .
512304 . . . . . . .
451230
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. . .. . . .. .. .. .. .. . . . ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
135
n = 6, e = 7, 2 f1; : : : ; 3g 2
1
.. .. .. .......... ... ..... . .. .. ...... ... .. .. ......... ... ... ........ .. ... . . . . . . . . . .. .... .... . .. ..... .. .... .. ..... .. . . ..... ........................................................................................................ ....... .. ... ... ............. .. .... . . .. ... .. ...... .. . . . .. ............ ..... .. . . . . . . . . . .... . . ... ...... ..... ... ..... .. ....... .. .. ... ... ..... ...... ........ ..... ...... .
3
0
4
5
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 034152............... .... .....
341502......
023415 . ... . . . . . .
502341 . . . . . .
250341.................125034 . . 031452............... 403152
... ...... ......
250314............... 502314
... ..... ......
251403............... 512403
... ...... ......
140352............... 314052
... ..... ......
314502..................023145 .. ..... . ... .
240315..................450231 .. . .. .. .. .. .. .. .. .
245031..................124503 ... ... .
145023..................231450
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . .. . . . ... .... .... .....
150234......
.. .. .
231504...................
...... ...... .
241503.............................234150 .. .... .. ... ..
315024 .......... .. ..
415023..
235140..................023514 .. ........ .
041352...............
035124..................240351 ...
304152
... .
403512
..................
... .
124035 .. . ... .
231405..................351240
...... ..... .... ... ... ... . ... ... . . . .... . . . ..... . . . . . . . ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ... . . ..
250413 502413
413502..................024135 . ..... . . . . . .
... ...... .....
230415..................350241 . . .
...... ...... ... ... ...... .....
235041..................123504 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135024..................241350
251340.................025134 . ... . 051234...... 230514 251304............... 512304
... ...... .....
130452............... 413052
... ...... ......
240513 245130
..................
024513 .. ....... . . ... .
045123..................230451 ... 304512
..................
.. .
123045 .. . ... .
241305..................451230
...... .... .... .... ... ... . .. ... ... . . . ... . . . . .... ........
305124 405123
.. .. . .... .... .... .. .... .. ...... ...... .................. . .... ....... . . .. . .... .. ... ... . .. .. .. ..
134052............... .... .....
340512.....
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
234051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123405 . . . . . . .
512340
... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. ... ... . . ...
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . .. . . ... . . . . .... ... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
136
. = 0:5 (m = 1, p = 2) 023451......
.. .. .
235014 245013 250134 350124 450123 501234
.. .. .. .. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ...... .......... ..... ....... . .. ..... . .. .. .. . .. ... . .. .. . .. ..
034512...................
...... ...... .
123450..............................012345 .. ... . . ....... .... ..
134502........... 234501
.. .. ..
013452.......
... ... .
301452....................... ..... ..... ...
340152.............. 401352
.. .. ...
234015...........
.... .... .
.. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. ..
230145.........................345012 . .... ...
240135....
... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . . ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
137
n = 6, e = 8, 2 f1; : : : ; 4g 2
1
.. .. .. .......... ... ..... . .. .. ...... ... .. .. ......... ... ... ........ .. ... . . . . . . . . . .. ... . .. ..... .... .... .. ..... .. .. ..... .. .. .. ..... ... . ......... ................................................................................................................. ..... . ... .. ...... ... . ..... .. ... . .... . ..... . . .. ............ ..... ..... .. ...... . . . . . .. ... .. .. .. ................ .... .. .... . .. ........ ........ ... ... .... . . ..... ... . . .. ............ ........ ... ......
3
0
4
5
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 351240.................023514 .. ....
041352...............
035124
413502
.................
140352............... 403512
... ..... ......
... .
240351 .. .. .. ... ..
124035 .. . ... .
512403 ... .. ..
251403.................235140
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
... ...... ......
024135 .. ..... . ... .
502413 ... ... .
250413.................235041 .. . ... .
350241.................123504 ... .. ..
135024.................241350
415230.................024153 . .... . .
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . .. . . ... . . . . .... ... .....
041523............... 304152
... ...... .....
. . . . . . . . .
230415 . . . . . . .
523041 . . . . . . .
253041.................125304 . . . . . . .
152304.................241530
253140.................025314 .. .... . ... .
052314.................240531 ... .. .
405231.................124053 .. . 140523............... ... ......
314052......
.. ... .. ...
231405 ... .. .
523140
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. .. ... .. .. . .. . . ... .... ... ... ... ...
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 031452............... 403152
... ..... ......
250314............... 502314
... ...... ......
314502..................023145 .. ..... .
251304...............
240315..................450231 .. .
512304.....
... . .. .. .. .. .. .. .. .
245031..................124503 ... 145023
..................
.. ..
231450
.... .... .... .... ... ... ... .. ... ... ... . ... . . .... ... .... .....
.... ......
245130..................024513 . ........ . . . . . .
045123..................230451 . . . . . .
130452............... 413052
.. ...... ......
304512..................123045 . . . . . . .
241305..................451230
...... ..... .... ... ... ... . .. ... ... . . . ... . . . . ... ........
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
138
251340.................025134 .. ...
034152...............
051234
341502.....
230514 240513 305124 405123
.. .. .. .. .. . .... .... .... .. .... .. ...... ...... ................... ...... ....... . . . .... .. ... ... .. .. .. . . ..
134052............... 340512
.... ..... ......
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
234051 .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
123405 .. . ... .
512340
... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. ... .. . . ..
.... .....
023415 .. ... . . ... .
502341 ... .. .
250341.................125034 .. 150234......
.. .. .
231504...................
...... ...... .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
241503...............................234150
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ... . . ...
.. .... .. .... ..
315024........... .. ..
415023..
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 023451......
024531......
034512
045231...................
123450 134502 013452 401352
...... ...... ... .. ...... ......
345012 240135 235014 245013 250134 350124 501234
.. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... .................... ..... ....... . . .. . .... .. ... .. . . .. .. .. .. .................. .. .. .. .. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... .................... ...... ....... . . . .... .. .... ... .. .. .. . . ..
.. .. .
...... ...... .
012345 .. ... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
450123 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
234501
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. .. ... ... . . ... ... ...
124530...............................012453 . ... . . 253014............... .... .....
523014.....
145230 245301
.. ... .. .... .. ... .. . .. . .. .. ..
014523......
.. .. .
240153...................
...... ...... .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
301452..............................234015 . . .. .... .. ... ..
340152........... 401523
.. .. ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230145..................452301
... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. .. . .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . . ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
139
n = 6, e = 9, 2 f1; : : : ; 5g 2
1
.. .. .. .......... ... ..... . .. .. ...... ... .. .. ......... ... ... ........ .. ... . . . . . . . . . .. ... . .. ..... .... .... .. ..... .. .. ..... .. .. .. ..... ... . ......... ................................................................................................................. ..... . ... .. ...... ... . ..... .. ... . .... . ..... . . .. ............ ..... ..... .. ...... . . . . . .. ... .. .. .. ................ .... .. .... . .. ........ ........ ... ... .... . . ..... ... . . .. ... ... ........ .............................................................
3
0
4
5
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 031452............... 314502
... ...... ......
023145 .. ..... . ... .
502314 ... ... .
250314.................245031 .. . 450231
.................
... .
124503 ... .. ..
145023.................231450 041352............... 413502
... ..... ......
024135 .. ..... . ... .
502413 ... .. .
250413.................235041 .. . 350241
.................
.... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . .. . . ... .... .... ... .....
... .
123504 ... .. .
135024.................241350
.... .... .... .... ... ... ... ... . ... ... ... . .. . . . .. .... .... .....
315240.................023154 .. .... .
351240.................023514 . .... .
031524
035124.................240351 . .
403152 254031
...... ...... ... ... ...... .....
.................
.. .. .. .. .
240315 ... ... .
524031 .. . ... .
125403 ... .. ..
152403.................231540
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
140523............... .... .....
314052......
.. ... .. ...
231405 ... .. .
523140
. . . .
512403 . . . . . . .
251403.................235140
045123.................230451 . .
... ......
304152...... 253041
.................
230415 ... .. .
523041 .. . ... .
125304 ... .. .
152304.................241530
052413.................230541 ...
.. .
124035 . . .
041523...............
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . .. ... .. .. . .. . . ... .... ... ... ... ...
052314.................240531 ... 405231.................124053 .. .
... ......
403512......
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
451230.................024513 . .... . .
.. .. .. .. .
254130.................025413 .. .... .
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . .. .. .. .. . . .. . .. .... ... .... ... ...
140352...............
. . . . . . . . .
415230.................024153 ... ....
253140.................025314 .. .... . ... .
. . . .
... . .. .
305241.................123054 .. . 130524...............
.... .....
413052......
.. ... .. ...
241305 ... .. .
524130
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. .. . . .. . .. .... ... .... ... ...
. . . .
130452............... .... .....
304512......
. . . . . . . . .
123045 . . . . . . .
512304 . . . . . .
251304.................245130
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . .. ... .. .. . .. . . ... .... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
140
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 023541......
251340.................025134 .. ...
024531......
035241
051234......
045231...................
123540 135240 352401
.. .. . .... .... .... .. .... .. ...... ...... ................... ... ...... ....... . . .. . .... ... . . .. .. .. ..
013524............... 401352
.... ...... .....
012354 .. ... . .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
240135 ... .. .
524013 .. . ... .
254013.................235401 034152............... .... .....
341502......
... .
502341 ... ... .
.. .. .
231504...................
...... ...... .
240513 305124 405123
134052............... 340512
.... ...... .....
234051 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .
123405 .. . ... .
512340
... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. ... ... . . ...
023415 .. ... . .
250341.................125034 .. 150234......
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. .. .. ... ... ... . . ...
230514
.. .. . .... .... .... .. .... .. ...... ...... ................... ..... ....... . . .. . .... .. ... .. . . .. .. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
241503.............................234150
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ... . . ..
.. .... .. .... ..
315024........... . .. ..
415023..
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 013452......
025341......
023451
052341...................
034512 123450 134502 345012 235014 245013 250134 350124 450123
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ....... ..... .... ..... ...... . ...... . . . .. .. .. . .. ... . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .... .... .... .. .... .. ...... ...... ................... . ...... ....... . . .... .. ... ... . .. .. .. ..
.. .. .
...... ...... .
012345 .. ... . ... .
501234 .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. ... .. .
234501
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. . . .. . .. .. ... ... ... ... . . ...
125340..............................012534 .. ... . 152340 253401
...... .... .. .... ... . .. . .. .. ..
015234......
.. .. .
230154...............
..... ..... .
240153.............................
....... ..... ...
301524.................... 340152 401523
... .. ... .. .. ... . .. . . .. ..
.. ... .. ... .. .. .. ... .. ... .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. ... .. ... ..
234015 ... .. .
523401
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. . .. . . .. .. .. .. ... . ... ... ... ...
.. .. .
...... ...... .
124530.............................012453 . ... . . . ....... .... ..
145230........... 452301
.. .. ..
014523............... ... ......
301452......
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230145 . . . . . .
523014 . . . . . . .
253014.................245301
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . .. . .. . .. .. .. ... ... ... . . ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
141
n = 6, e = 6, = 2 2
1
. ... .. . . ..... .. . ..... ..... .... . . .. ..... . .. . ....... . . .. . ............ .. . . . . . . .. . ..... .... .. .. ....... .. . .. ..... . . . .. . . . .. . .. ......................... ....... ..................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . .. . .. .......... . . . .. . . . . ..... . . . . . . .. ..... ..... . ...... . . ... . . ..... .... ... . ...... .. .. . . . .......... .. . . ..... .... . .. ...
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 031524 . ... .
042513 .. ...
403152 . . .
304251 ...
. . . . . . .
240315 . . . . . . .
524031 . . . . . . .
152403 . . . . . .
315240
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
... . .. .
130425 ... ... .
513042 ... ... .
251304 ... ...
425130
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
. = 0:333333 (m = 2, p = 6) 034251.................013425 .. ... . .
135240.................013524 .. ... . .
301425
301524.................340152 ...
.................
... .
350142 ... .. .
135042.................123504 ... ... .
512304.................451230 ... .. ..
245130.................024513 ... ...
402513.................340251
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ..
... . .. .
034152.................023415 ... ... .
402315.................450231 ... .. ..
245031.................124503 ... ...
512403.................351240
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 035124 . ........... . .
045123 .. ........... .
145023 . . .
235014 ...
. . . . . . .
234015
......... ..... ... .. ... ...... ......... ..........
... . .. .
134025
......... ..... ... .. ... ...... ......... ..........
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ..
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
142
. = 0:5 (m = 1, p = 2) 034125............... .... .....
340125 .....
135024............... ... ......
350124......
245013............... .... .....
450123......
013452............... .... ......
301452.....
023451............... .... .....
402351.....
123450............... ... ......
512340......
034512...... 134502 234501
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .................. . .. . .. . .. . .. .. .. .. ..
230145...... 140235 051234
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .................. . .. . .. . .. . . .. .. .. ..
012345 .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
345012
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. ... ... . . . ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
143
n = 6, e = 7, 2 f2; 3g 2
1
. .. .. . . ....... . ..... ..... ... . . .. .. ...... . . ....... . .. . .. . .............. .. . . . . . ...... .... .. .. ...... .. .. ...... . . . . . . . . . .. .. . ........................ ............................ ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . ... ............... . . .. . . .. .... .. .. . . .. ............ ..... . . . . . . . . . . ......... ... ..... . . . . . . .. .. .. . ...... . . . . . . . . ......... . ....... . . . . . . ..... ...
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 031524 . ... . . .
042513 .. ... . .
403152 . . .
304251 ...
. . . . . . . .
240315 . . . . . . .
524031 . . . . . . .
152403 . . . . . .
315240
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
130425 ... ... .
513042 ... .. ..
251304 ... ...
425130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 150234 315024
...... ...... ... ... ...... ......
034152............... 341502 402315
... ...... ..... ..................
245130..................024513 . ..... . . .. .. .. ...
450231 ... ... .
245031..................124503 ... 502341
.................
145023
..................
. . . .
402513..................340251 . . .
023415 .. .......
... .
234150
..... .... .... .... ... ... ... .. ... .. . . ... . . . .... .... .......
. . .
045123.................230451..................134025 . . . 130452............... ... ......
304512.....
123045............... .... .....
512304......
. . . . . . . . . . . . . . .
451230
.... .... .... .... ... ... ... .. . ... ... . .. . . ... . . . . .... .... .....
034125 . ....... . 250134 425013
...... ...... ... ... ...... ......
034251 342501 301425
...... ..... .... ... ...... ..... ..................
. . . .
013425 .. ....... .. .. .. ...
350142 ... ... .
135042..................123504 ... ... .
501342.................235014..................134250
..... .... .... .... ... ... ... .. ... .. . . ... . . . .... .... .......
503412 . . . 250341............... 425031
... ..... ......
150342............... 315042
... ...... ......
. . . .
142503........... 231504
.... .... .. ... .... .... . . ... . . . .
125034 . . . . . . . . . . . . .
341250
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... .. . . .... . . .. .... .......
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
144
135240..................013524 .. ..... . ... .
301524..................340152 ... .. ..
035124.................140352..................234015 .. . 240351 403512
..... ...... .... .... ...... .....
124035............... 512403
... ...... .....
.. .. .. .. .. .. .. .
351240
.... ... .... .... ... ... .. ... . ... ... .. .. . .. . . . .... ... ... .....
034512......
.. .. .
135024 350124 245013 450123
...... ...... ... ... ...... .....
013452............... ... ......
301452...... 023451 402351
...... ...... ... ... ...... ......
123450...................
...... ...... ..
134502........................012345 .. ... . 234501
. .. .. .. .. .. . . .. ..
230145...... 140235 340125 501234
.. .. .. .. .. .. .. .. . .................... . ....... . . . ...... . . . .. .... ... .. .. .. .. . .
.. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .
345012
130524 305124
240513............... 405123
. = 0:5 (m = 1, p = 2)
...... ...... ... .... ..... .....
051234 . ....... . .
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. ... ... ...
..... ..... ..... .... ...... .....
... ...... .....
. . . .
134052........... 234051
.... .... .. . .... ... . . . ... . . . ...
340512 . . . . . . . . . . .
123405 . . . . . . .
512340
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... . ... . . ... . . . . .... .......
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
145
n = 6, e = 7, 2 f1; : : : ; 3g 2
1
. .. .. . . ..... . ..... ..... . . .. ...... . . ....... . . . .............. . . . . . ... . ...... .... ...... .. . ..... . .. . . ..... . ......... . ......................... ....................................................................................... ..... . . . .. . ..... . ..... .. .. .... .. .......... .... ....... . ... . ..... ... . . ..... ............ ... . ......... .. . . . . . ... . ..... ......... .... .... . . ......... ..... .. .. . . . . . . . . . . .... ...
3
0
4
5
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 135240.................013524 .. ....
042531...............
035124
425301......
.................
... .
140352 ... .. .
403512.................124035 .. . 240351 524031
...... ...... ... ... ...... .....
.. ... .. ...
152403 ... .. ..
351240
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
.... .....
014253 .. ..... . ... .
301425 ... ... .
130425.................153042 .. . ... .
530142.................125304 ... .. ..
253014.................142530
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 503412.................125034............. 250341............... 425031
... ...... .....
142503
.... . . .... .... .... ....
341250................. 013425 ... ........ ... .
034125................. 150342 ... ...
135042 350142
...... ...... ... ... ...... ......
235014 .. . ... .
123504................. 134250
...... .... .... .... ... ... .. ... ... .... . . . .... . . . . . . . .....
523401................. 015234 .. .... ... .
130524 301524 052341
.................
240531............... 405231
... ...... ......
140523 124053
...... ...... ... ... ...... ..... .... .... .... .... . .... .... .... . . . .
340152 ... .. ..
134052................. 123405 .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .
234015................. 152340
.... .... ... .... ... .. ... .. ... . .. ... . . ... . ... . . .. .... .... ....
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . .. . . ... . . . . .... ... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
146
. = 0:333333 (m = 1, p = 3)
135024............... .... .....
350124......
013452......
045231........
034512
124530.......................
123450 134502
150234.................345012 023451 140235 402351 245031 450231
..... ...... .... ... ...... .....
502341
.. .. . ... ... ... .. ... .. ... .. ..... .... ......... ......... ........ .. ....... . . . ... .. .... ... . . . .. .. .. .. .. . . ... ... ... ... .. ..... ..... ..... .. ...... ..... . . .. . .. ..... ..... ... . ... . .. ...
... .. .
..... ..... ...
245301..............
012345 .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
145023 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
124503..................234501
... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. . . .. .. .. .. .. . . ... ... ... ... ...
024531............... 402531 014523
... ...... ..... .................
130452............... ... ......
301452......
452301
... ... ...
012453 . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140253..................340125 . . . 230145 123045 134025 152304 523014
.. .. .. .. .. .. .. .. . .... .... .... .. .... . ...... .. ...... . . . ........ ....... ... ...... . . . ... ... . . .. . ... ... . .. .. .. . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
145230
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
147
n = 6, e = 7, 2 f2; 3g 2
1
. .. .. . . ....... . ..... ..... ... . . .. .. ...... . . ....... . .. . .. . .............. .. . . . . . ...... .... .. .. ...... .. .. ...... . .. . . . . . . .. .. . ....................... ........................... ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ..... . ..... . . ... ........... . . .. ..... . .. .... . .... . ....... .. ............ . ..... . . . . . . . ..... ....... ... . ......... .. . . . ............. .... ... . . . . . . ..... ... . ......... ......... . . .. ....
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 031524 . ... . . .
042513 .. ... . .
403152 . . .
304251 ...
. . . . . . . .
240315 . . . . . . .
524031 . . . . . . .
152403 . . . . . .
315240
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
130425 ... ... .
513042 ... .. ..
251304 ... ...
425130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 135240.................013524 .. .... .
042531...............
035124
425301......
.................
240351............... 403512
... ...... ......
... .
140352 .. .. .. ... ..
124035 .. . ... .
512403 ... .. ..
351240
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. .. .. .. . . . .. . ... .... ... .... ... ...
.... .....
014253 .. ..... . ... .
301425 ... ... .
530142 .. . ... .
153042.................125304 ... .. ..
253014.................142530
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
148
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 014523............... ... ......
301452 .....
230145..................452301........
... ...
152304............... 523014
... ..... ......
024531............... 402531
152340............... .... .....
523401......
.... ..... ......
015234............... .... .....
301524.....
124530.......................
..... ..... ...
145230.............. 245301
.. ... ...
012453 .. ....... . .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .
140253................. 340125 .. . ... .
034125................. 045231
340152...............
... ......
034152.....
..... .... .... .... ... ... .. . .. ... ... . . ... . . . ... .... .......
023415...............
.... .....
402315.....
450231............... .... .....
245031.....
124503................. 234015 . .......... . . . . . . .
052341 . . . . . . .
145023 135042............... .... .....
350142.....
123504............... .... .....
512304......
451230...............
... ......
245130......
024513...............
... ......
402513.....
340251............... .... .....
034251......
013425................. 045123 . .......... . . . . . . .
235014 . . . . . .
134025 013452......
.. .. .
123450 512340
...... ...... ... ... ...... ......
034512....................
...... .. ....
.. ... 051234..................345012.................... 012345 .. ... ... .
135024............... ... ......
350124......
023451............... .... .....
402351......
134502
.. .. .. .. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
140235................. 450123 ... .. ..
245013................. 234501
... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . .. ... ... ... ... ...
........ ..... .... . . ... ...... ......... ..........
........ ..... .... .. ... ..... ........ . . . . . . . . . ..
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
149
n = 6, e = 7, 2 f1; : : : ; 3g 2
1
. .. . . ..... . . ..... . ..... . . ..... . . ..... . ..... . . . . . . . ...... . ... . ...... . ..... . . ..... ......................................................................... .......... ...................... . ..... . ...... ..... . . ..... ... ...... . ...... .. .. ....... ..... .... . . ..... .. . . ......... ......... ... . ......... . . . . ... .. . ..... ......... . . ......... ..... .... . . . . ..........................................................
3
0
4
5
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 013542......
024531......
035142
045231...................
123540 135402 351402 023514
.. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... ................... ..... ...... ....... . . . .... ... .. .. .. .. .. .................
124035...... 240351 254031 402351 540231 154023
.. .. .
012354 .. ... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
140235 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
.. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... ................... .... ....... . ...... . . . . .... ... .. .. .. .. ..
125403 .. .
.................
235140
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . .. ... ..
...... ...... .
124530..............................012453 .. ... . .. .... .. .... ..
245301........... 452301
.. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
014523.................230145 .. 123045...... 130452 153042 301452 530142
.. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... ................... .... ....... . ...... . . . . .... ... .. .. .. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
125304 .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
253014.................145230
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. . .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . .. ... ..
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
150
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 135042............... 350142
.... ..... .....
123504.............
150342.................235014 245031............... ... ......
450231......
124503
250341.................145023
.... . .. .... .... . . . ....
.... .... .... .... . .... .... . ... ....
123450......
.. .. .. ..
134502...................
234501
...... ..... . . .. .. .. . .. . .. .. .. .. ..
013452........
... ...
023451.......................
...... ..... ..
034512.............. 503412
... ... ..
012345 .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .
125034 .. . ... .
345012
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . .. . .. ... ... ... ... ... . . ..
053412........
... ...
153402.......................
...... ..... ..
253401.............. 015342.................230154............. 130542............... 301542
... ...... ......
123054
.... . .... .... .... . . . ..
025341.................140253............. 240531 402531
...... ...... ... ... ...... .....
124053
.... . . .... .... .... ....
534012
. ... ... ..
134025......
234015 123405
.. .. .. .. .. .. .. .. .. ... ........ . . ...... . . . ... . ... ... . .. .. .. . ..
012534 ... ... ... .
340125 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
125340
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. . . .. . ... ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
151
n = 6, e = 7, 2 f1; : : : ; 3g 2
1
. .. . . ....... . . ..... ... . ..... . .. . ..... . .. . ..... . .. ..... . . . . .. . . . . ....... .. .. ..... . . .. ...... . . . . . . ... ............................................................................ .......... ...................... ..... . .. ... ..... . . . ......... ...... . ......... .. ....... ...... . .... . ..... .. . . .......... .......... ... . . ...... . . ..... ......... .. . . .......... ..... .. . . .......................................................
3
0
4
5
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 031542............... 315402
... ...... ......
... .
402315 ... ... .
240315.................254031 .. . 540231
.................
245130.................024513 .. ....
023154 .. ..... .
... .
125403 ... .. ..
154023.................231540
... .
045123.................230451 ...
.... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . .. . . ... .... .... ... .....
.. .
304512.................123045 .. . 130452............... 513042
... ...... .....
.. ... .. ...
251304 ... .. ..
451230
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 024531......
013542...... 035142 123540 135402 351402 240351............... .... .....
402351......
.. .. . .... .... .... .. .... .. ...... ...... .................... ..... ....... . ....... . . .... ... . .. .. .. ..
.. .. .
045231...................
...... ...... .
012354 .. ... . . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
023514..................140235 ... ... .
124035..................251403 ... 514023
..................
124530...............................012453 . ... . . .
...
235140
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . . .. . . .. ... ... ... ... ... . . ..
.. .... .. ... ..
245301........... 452301
.. .. ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
014523..................230145 . . . . . . .
153042............... 530142
... ...... ......
301452..................253014 . . . . . .
125304..................145230
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . .. ... ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
152
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 023451...........
.... .... .
245013 450123 051342
.................
135042............... 350142
... ..... ......
...... ...... ... .... ...... .....
235014............. 123504
.... . .... .... .... ....
034512........................ 012345 .. ... . 234501
. ... .... ...
013452......
.. .. .. ..
134502...................
...... .....
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
123450................................. 025134 ... ... .. . ... . ... .. 251340... ...... 345012
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
.. .. ..
513402.. 053412......
.. .. .
125340...................
...... ...... .
153402...............................012534...... .. .... .. ... ..
253401........... .. ..
534012..
015342............... ... ......
301542.....
230154
.. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. ..
245031............... 450231
... ...... .....
340125...........
.... .... .
023415........................ 025341 .. ......... . . 034125
. ... .... ...
... .
145023 .. . .. .. ..
124503................. 234015
........ ..... .... ... .. .. .... .... . . . . . . . . .........
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
153
n = 6, e = 8, 2 f2; : : : ; 4g 2
1
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3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 031524 . ... . . .
042513 .. ... . .
403152 . . .
304251 ...
. . . . . . . .
240315 . . . . . . .
524031 . . . . . . .
152403 . . . . . .
315240
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
130425 ... ... .
513042 ... .. ..
251304 ... ...
425130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 135240.................013524 .. .... .
042531...............
035124
425301......
.................
240351............... 403512
... ...... ......
... .
140352 .. .. .. ... ..
124035 .. . ... .
512403 ... .. ..
351240
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. .. .. .. . . . .. . ... .... ... .... ... ...
.... .....
014253 .. ..... . ... .
301425 ... ... .
530142 .. . ... .
153042.................125304 ... .. ..
253014.................142530
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
154
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 150234............... .... .....
315024.....
034152............... 341502
... ...... ......
245130..................024513 . ..... . . .. .. .. .. .
402315..................450231 ... 245031
..................
. . . .
402513..................340251 . . .
023415 .. ....... ... .
124503 ... .. ..
502341.................145023..................234150
..... .... .... .... ... ... ... . ... .. . . .... . . ... . . . .... .......
. . .
045123.................230451..................134025 . . . 130452............... ... ......
304512......
123045 512304
..... ..... ..... ... ...... .....
. . . . . . . . . . . . . . .
451230
.... .... .... .... .. ... .. ... . . .. ... ... . ... . . . . ... .... ... .....
034125 . ....... . 250134............... 425013
.... ..... .....
.... .....
342501......
. . . .
013425 .. ....... . . ... .
501342 ... .. .
135042............... 350142
034251...............
... ...... .....
235014 .. . 123504
..................
... .
134250
...... .... .... .... ... ... . ... ... ... .... . . ... . . . . . . . .....
503412 . . . 250341............... 425031
... ...... .....
150342............... 315042
... ...... .....
. . .
142503 231504
.... .... .... .... .... . . .... .... . . ... . . . ...
152340..................015234 .. ...... ... .
301524..................340152 .. . 052341.................140523............. 240531............... 405231
... ..... ......
124053
.... . . .... .... .... ....
.. .. .. .. .. .. .
234015 .. . ... .
523401
.... .... .... .... ... ... ... .. .. ... . ... . . ... . . . ... .... .......
125034 . . . . . . . . . . . . .
341250
..... .... .... .... ... ... ... .. ... .. . . .... . . . .... ... .......
051234 . ....... . 130524............... .... .....
305124......
240513............... 405123
... ..... ......
. . . .
134052........... 234051
.... .... .. ... .... .... . . .. ....
340512 . . . . . . . . . . .
123405 . . . . . . .
512340
..... .... .... .... ... ... ... .. ... .. . . ... . . . . .... .... .......
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 013452......
045231........
.. .. .
034512.................. 135024............... 350124 501234
.. ...... ...... .................
023451............... .... .....
402351......
123450 134502 345012
... .. ..... ... .................. ....... .. ...... .... ... . . . .... ... .. . .. .. .. .. .. ..
... .. .
012345 .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
140235..................450123 ... 245013
..................
... .
234501
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . .. .. .. ... ... ... ... . . ..
152304............... 523014
... ...... ......
024531...............
301452
...... ..... ..
145230.............. 245301
... ... ..
012453 . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
... ......
140253..................340125 . . .
...... ...... ... ... ...... ......
230145..................452301
402531..... 014523
124530.......................
. . . . . . . . . . . . . . .
... .... ... ... ... .. .. ... .. .. .. . .. .. ... . . .. . ... ... ... .... ... ....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
155
n = 6, e = 8, 2 f1; : : : ; 4g 2
1
. .. . . ....... . . ..... ... . ..... . .. . ..... . .. . ..... . .. ..... . . . . .. . . . . ....... .. .. ..... . . .. ...... . . . . . . ... ............................................................................ .......... ...................... ..... . .. ..... ..... . . . ............. ...... . .. .... . .. ....... ...... .... . . ..... . . . ......... ......... .. ..... . ......... .. .. . . ... . . ..... ......... .. .... . . ......... ..... .... . . . . ...........................................................
3
0
4
5
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 031542............... 315402
... ...... ......
... .
402315 ... ... .
240315.................254031 .. . 540231
.................
245130.................024513 .. ....
023154 .. ..... .
... .
125403 ... .. ..
154023.................231540
... .
045123.................230451 ...
.... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . .. . . ... .... .... ... .....
.. .
304512.................123045 .. . 130452............... 513042
... ...... .....
.. ... .. ...
251304 ... .. ..
451230
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 013542......
.. .. .
035142...................
...... ...... .
123540...............................012354 .. ... . .. .... .. ... ..
135402........... 351402 240351............... 402351
... ...... .....
023514
.. .. ..
..................
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
140235 ... ... .
124035..................251403 ... 514023
..................
... .
235140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
503412.................125034............. 150342............... 315042
.... ..... ......
231504
.... . ... .... .... . . . ...
341250................. 023415 . ........ . . . . . .
034125................. 250341 . . . . . .
245031 450231
...... ...... ... .. ...... ......
145023 . . . . . . .
124503................. 234150
...... .... .... .... ... ... . ... .. . . . .... . . . ..... . . . . . . . ..
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
156
024531......
.. .. .
045231...................
...... ...... .
124530...............................012453 .. ... . . 245301 452301 014523 153042............... 530142
... ...... ......
. .... .. .... .. .... .. . .. .. . .. ..
..................
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
230145 ... ... .
301452..................253014 ... ...
125304..................145230
513402................. 025134 . .... . .
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . .. ... ... ... ... ... ...
. . . .
240513 402513 051342
130542............... 305142
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 023451......
.. .. .
034512.............. 135042............... ... ......
350142...... 501342
.................
.. .. .. .. ..
123504 235014
.... .... .... .... . . .... .... . ... ....
245013............... .... .....
450123......
123450............................
....... .... ... ........
134502...... ....... 234501
.. .. .. .. .. .. . . .. .. ..
012345 .. ... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
013452................. 250134 .. . ... .
345012
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. ... ... ... ... ... ...
053412........
... ...
125340.......................
...... ..... ..
153402.............. 015342............... 025341
240531............... 402531
... ..... ......
140253 124053
012534 ... ... . .. .. .. .. .. .. ... .. .. ..
... ......
230154................. 340125 .. .
.... .... .... .... . .... .... .... . . . .
234015................. 253401
301542...... .................
534012
. ... ... ..
.................
.. .. .. .. .. .. .. .. ..
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . ... ... ... ... ... ...
... ..... ......
230514 123054
...... ...... ... .... ..... ...... .... .... .... .... . .... .... . . .. ....
340251 . . . . . .
234051................. 123405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
134025................. 251340
.... ... ... .... ... .. .. ... ... . . . .. ... . . .. . . . ... . . ... ... ... ....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
157
n = 6, e = 8, 2 f2; : : : ; 4g 2
1
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3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 031524 . ... . . .
042513 .. ... . .
403152 . . .
304251 ...
. . . . . . . .
240315 . . . . . . .
524031 . . . . . . .
152403 . . . . . .
315240
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
130425 ... ... .
513042 ... .. ..
251304 ... ...
425130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 031542............... 315402
... ...... ......
023154 .. ..... . ... .
402315 ... ... .
540231 .. . ... .
254031.................125403 ... .. ..
154023.................231540 042531............... ... ......
425301......
.... .... .... .... ... ... ... ... . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
014253 .. ..... . ... .
301425 ... .. .
530142 .. . ... .
153042.................125304 ... .. .
253014.................142530
.... .... .... .... .. ... ... ... .. .. ... . .. . . .. . . . . .... .... .....
245130.................024513 .. .... .
135240.................013524 . .... . .
045123
035124.................140352 . .
.................
130452...............
.... .....
304512......
... .
230451 .. .. .. ... ..
123045 .. . ... .
512304 ... .. ..
451230
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. . . .. .. . . . .. . .. . . ... ... .... ... ...
. . . .
240351............... .... .....
403512......
. . . . . . . . .
124035 . . . . . . .
512403 . . . . . . .
351240
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. . . .. .. . . . .. . .. . . ... ... .... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
158
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 013542......
024531......
035142
045231...................
123540 135402 351402
.. .. . .... .... .... .. .... .. ...... ...... ................... ... ...... ....... . . .. . .... ... . . .. .. .. ..
023514............... 402351
.... ...... .....
.. .. .
...... ...... .
012354 .. ... . .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
140235 ... .. .
514023 .. . ... .
251403.................235140
124530.............................012453 .. ... .
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. .. .. ... ... ... . . ...
. ....... .... ..
245301........... 452301
.. .. ..
014523...............
... ......
301452......
.. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
230145 ... .. .
523014 .. . ... .
152304.................145230
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . .. . .. . .. .. .. ... ... ... . . ...
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 251340............... ... ......
513402......
025134............... ... ......
402513......
340251...............
... ......
034251...... 135042 350142
...... ..... .... .... ..... ......
013425................. 051342 . .......... . . . . . .
235014 . . . . . . .
123504................. 134025
013452......
125340........
.. .. .
023451............... 135024............... 350124
... ..... ......
245013............... 450123
... ...... ......
034512 134502 234501 123450 512340
152340............... ... ......
523401......
.. .. ..... .. ..... ....... ..... .... ...... . ... ........ ...... ... .. .. . . .. .. .. .. .. . . .. ...... ...... ... ... ...... .....
015234............... ... ......
301524......
........ ..... .... .. .. ..... ....... . . . . . . . . . . ....
... .. .
153402....................... ..... ..... ...
012345 .. ... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
051234 .. . ... .
345012
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
340152...............
... ......
034152..... 245031 450231
...... ...... ... .. ...... ......
253401.............. 015342............... 301542 025341 402531
... ..... ...... ..... ...... .... .. ...... ......
534012
230154........... 140253
.... .... .. .. .... .... . . ... . . . ..
012534 . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
340125 . . . . . . . . . . . . . . . . .
034125..................053412
023415................. 052341 . .......... . . . . . .
145023 . . . . . . .
. .. ... ...
124503................. 234015
........ ..... .... . .. .... ..... . . . . . . . . . .........
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . .. . . .. . . .. ... ... ... ... . . ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
159
n = 6, e = 9, 2 f2; : : : ; 5g 2
1
. .. .. . . ....... . ..... ..... ... . . .. .. ...... . . ....... . .. . .. . .............. .. . . . . . ...... .... .. .. ...... .. .. ...... . .. . . . . . . .. .. . ....................... ............................ ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ..... . ..... . . ... ............... . . .. ..... . .. .... .. . .... . ....... .. ............ ..... . ..... . . . . . . . ..... ....... .. .... . ......... .. .. .. . . ............. .... ... .... . . . . . . ..... ... . . ....... . ... ... . . ............................................................
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 031524 . ... . . .
042513 .. ... . .
403152 . . .
304251 ...
. . . . . . . .
240315 . . . . . . .
524031 . . . . . . .
152403 . . . . . .
315240
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
130425 ... ... .
513042 ... .. ..
251304 ... ...
425130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 031542............... 315402
... ...... ......
023154 .. ..... . ... .
402315 ... ... .
540231 .. . ... .
254031.................125403 ... .. ..
154023.................231540 042531............... ... ......
425301......
.... .... .... .... ... ... ... ... . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
014253 .. ..... . ... .
301425 ... .. .
530142 .. . ... .
153042.................125304 ... .. .
253014.................142530
.... .... .... .... .. ... ... ... .. .. ... . .. . . .. . . . . .... .... .....
245130.................024513 .. .... .
135240.................013524 . .... . .
045123
035124.................140352 . .
.................
130452...............
.... .....
304512......
... .
230451 .. .. .. ... ..
123045 .. . ... .
512304 ... .. ..
451230
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. . . .. .. . . . .. . .. . . ... ... .... ... ...
. . . .
240351............... .... .....
403512......
. . . . . . . . .
124035 . . . . . . .
512403 . . . . . . .
351240
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. . . .. .. . . . .. . .. . . ... ... .... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
160
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 250134............... 425013 135042 350142
..... ..... .....
034251............... 342501
... ...... .....
013425 .. ........ .
150234...............
501342 ...
315024
... . .. .
...... ...... ... .... ..... ......
235014 .. . ... .
123504..................134250
...... ..... .... ... ... ... .. .. ... .... . . ... . . . . . .. .......
245031 450231
..... ..... .....
034152............... ... ......
341502 .....
023415 . ........ . . . . . .
502341 . . . . . .
...... ...... ... .... ..... ......
145023 . . . . . . .
124503..................234150
...... ..... .... ... ... ... . . .. ... .... . . ... . . . . . .. .......
013542......
.. .. .
035142...................
...... ...... .
123540..............................012354 .. ... . 135402 351402
.. ... .. .... .. ... .. . .. . .. .. ..
023514............... 402351
... ...... ......
.. ... .. ... .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. ... .
140235 ... .. ..
514023 .. . ... .
251403.................235140
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. .. ... ... ... ... . . .. ...
251340..................025134 . ...... . . . . . .
402513..................340251 . . . 051342.................230514............. 130542............... 305142
... ...... .....
123054
.... . .. .... .... . . . ....
. . . . . . . . . . . . .
134025 . . . . . . .
513402
.... .... .... .... ... ... ... . .. ... ... . ... . . .. .... .... .......
024531......
.. .. .
045231...................
...... ...... .
124530.............................012453 .. ... . . .... .. .... ..
245301.......... 452301
.. .. ..
014523............... 301452
... ...... ......
.. ... .. ... .. ... .. .. .. ... .. ... .. ... .
230145 ... .. .
523014 .. . ... .
152304.................145230
034125 . ....... . .
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. .. ... ... . . . ... ... ...
. . . .
503412 . . . 250341...............
.... .....
425031......
150342............... 315042
... ...... ......
. . .
142503........... 231504
.... .... .. .. .... .... . . .... . . .
125034 . . . . . . . . . . . . .
341250
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... ... . . ... . . . ... .... .......
152340..................015234 .. ...... . ... .
301524..................340152 .. . 052341.................140523............. 240531............... 405231
... ...... ......
124053
.... . .... .... .... ....
.. .. .. .. .. .. .
234015 .. . ... .
523401
.... .... .... .... ... ... ... ... .. ... . .. . . . .... ... .... .......
051234 . ....... . . 130524............... ... ......
305124......
240513............... 405123
... ...... ......
. . . .
134052 234051
.... .... .... .... .... . . ... .... . ... . . . . ....
340512 . . . . . . . . . . .
123405 . . . . . . .
512340
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... ... . . ... . . . ... .... .......
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
161
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 013452......
053412........
023451
125340.......................
034512 135024............... 350124 245013 450123
... ...... ..... ..... ...... .... .... ..... .....
123450 134502 234501
.. .. . .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... ....... ... .... .... .... ........ ....... . ...................... .... ....... . . .... ... . . ... ... . .. .. .. .. .. . .. .. .. .
... .. .
..... ..... ...
153402.............. 012345 ... .......... . ... .
501234 ... ...
345012
......... ..... ... .. ... ..... ......... ..........
015342............... 301542 025341 402531
... ...... ..... ..... ...... .... .... ..... .....
253401
... ... ...
230154........... 140253
.... .... .. . .... .... . . ... . . . ...
012534 . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
340125 . . . . . . .
534012
... .... ... ... ... .. .. ... .. .. .. . . .. .. ... . . .. . ... ... ... ... ... ....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
162
x
n = 6, e = 8, 2 f2; 3g 2
1
. .. .. . . .......... . ..... ..... . .. . . .. ...... ... .. . . ....... ... ... . . . .............. .. ... . . . . . . . . .. ..... .... . .. ...... .. .... .. ..... . .. .. .. ..... . ..... . ......................... . . ....... . ......................................................................................... . . . . .. ...... ... . . . .. .... . . .... . . . . . .. ............ ..... .. . . . . . . . . . . . . .. ......... ... ..... . . . . . . . . .. .. .. . .. ....... . . . . . . . . . ......... ........... . . . . . . . ..... ...
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 031425 . ... . . .
031524 .. ... . .
042513 .. ... . .
052413 . ... . . .
503142 . . .
403152 ...
304251 ...
305241 . . .
. . . . . . . .
250314 . . . . . . .
425031 . . . . . . .
142503 . . . . . .
314250
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
240315 ... ... .
524031 ... .. ..
152403 ... ...
315240
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
130425 ... ... .
513042 ... .. ..
251304 ... ...
425130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
130524 . . . . . . .
413052 . . . . . . .
241305 . . . . . .
524130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 251403............... 514023
... ...... .....
035142............... 235140
... ...... ......
023514 .. ........ .
041352...............
402351 ...
304152
... . .. .
140235 .. . ... .
314025..................351402
...... ..... .... ... ... ... . .. ... . . . .... . . . ..... . . . . . . ....
... ...... .....
241350..................024135 . ....... . . 230415............... ... ......
502413......
. . . . . . . . .
350241 . . . . . .
135024 . . . . . . .
413502
245130.................024513 .. .... . ... .
045123.................230451 .. 130452............... 304512 412305 512304
... ...... ...... ...... ...... ... ... ...... ......
.. .. ... ..
123045 .. .. .. .. .. .. .. .. .
451230
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . .. .. .. .. . . .. . .... .... ... ... ... ...
051342............... 305142
... ...... .....
251340..................025134 . ....... . . 230514............... ... ......
402513.....
. . . . . . . . .
340251 . . . . . .
134025 . . . . . . .
513402
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... . ... . . ... . . . . .... .......
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... . ... . . ... . . . . .... .......
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
034251............... 134250
... ..... ......
.. .. .. .. .
301425.................350142 ... 501342
.................
250134............... .... .....
425013......
035241...............
013425 .. ..... ... .
235014 .. .. .. .. .. .
342501
... ......
135240......
.... .... .... .... .. ... ... ... .. .. ... . .. . . .. . . . .. .... ... .....
... .
240135...............
.... .....
315042
412503
352401
035124 . ....... . .
503412 ...
403512 . . .
250341..................125034 .. . 231504
.. .. .. .. .
.... .... .... .... .. ... ... ... . . .. ... . .. . . .. . . . .. .... ... .....
034125 .. ....... . .. ..
... ...... ......
.. .. .. .. .
401352.................234015 .. 524013......
..... ...... .... .... ...... .....
013524 .. .....
301524.................340152 ...
... .
150342...............
163
.. .. .. .. ..
341250
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... .. . . .... . . .. .... .......
. . . . . . . .
140352............... 314052
... ...... ......
031452............... ... ......
041235 .. ....... . ... .
304125..................350412 .. 250413 504123
...... ...... ... ... ...... ......
135042............... ... ......
235041......
.. .. ... ..
123504 .. . ... .
412350
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... . ... . . ... . . . . .... .......
051234 .. ....... . ... .
305124..................340512 .. 240513............... 405123
... ...... .....
134052 234051
...... ...... ... ... ...... ......
.. .. ... ..
123405 .. . ... .
512340
..... .... .... .... ... ... ... .. .. .. . . .... . . ... . . . ... .......
314502..... 402315 502314 245031
...... ...... ... ... ...... ...... .................
240351..................124035 . . . 231405............... .... ......
512403.....
. . . . . . . . . . . . . . .
450231 . . . . . . . . . . .
124503 . . . . . .
... ......
415023.....
351240
023145 . .... .
145023.................231450
241503...............
. . . . . . . . . .
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... .. . . .... . . .. .... .......
... ... ... ... .... ... .. .. .. .. .. . .. .. ... .. . .. . .... ... .... .... ...
034152............... .... ......
234150.....
023415 . ........ . . . . . .
502341 . . . . . . .
150234 . . . . . . .
315024..................341502
...... ..... .... ... ... ... . .. ... ... . . . .... . . . ..... ........
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
164
. = 0:5 (m = 1, p = 2) 023451......
.. .. .
034512...................
...... ...... .
123450..............................012345 .. ... . . ....... .... ..
245013 450123
..... ..... ..... ... ...... .....
013452............... ... ......
301452.....
134502........... 234501
.. .. ..
230145......
.. .. .
340125...................
...... ...... .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
350124..............................345012 .. .... .. ... ..
401235........... . .. ..
501234..
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
165
n = 6, e = 8, 2 f1; : : : ; 3g 2
1
. .. . . .......... . . ..... . .. . ..... ... . . . ..... ... .... . . ..... . .. ... ..... . . . . . . . . . . ...... .. . . .. ... .. . .. ...... .. . ..... . . .. . ..... ............................................................................... .......... ...................... . ..... . .. ..... .. ..... . . . ............. . ...... . .. .. .... . . .. . ....... .. ...... .... . . ..... . . . ............ ......... .. ..... . .. .. . .......... . . . .. ..... ..... . . . ..... .. .... . ............... ..... .... . ........ . ....... .
3
0
4
5
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 035142............... 351402
... ...... ......
023514 .. ..... . ... .
402351 ... ... .
240351.................124035 .. . 140235
.................
... .
251403 ... .. ..
514023.................235140 053142............... ... ......
531402......
.... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . .. . . ... .... .... ... .....
241350.................024135 .. ....
241530.................024153 . .... .
041235
041253.................230415 . . .
.................
... .
250413 ... .. .
504123.................235041 .. . 135042 350412
...... ...... ... ... ...... .....
.. ... .. ...
123504 ... .. ..
412350
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
. . . . . . .
304125.................253041 . . . 153042............... 530412
... ...... .....
. . . . . . . . . .
125304 . . . . . . .
412530
025314 .. ..... . ... .
402531 ... .. .
240531.................124053 .. . ... .
140253.................231405 ... .. .
314025.................253140
.... .... .... .... ... ... ... ... . ... ... ... . .. . . . .. .... .... .....
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 031452............... 503142
... ..... ......
240315............... 402315
... ...... ......
314502..................023145 .. ..... .
241305...............
250314..................450231 .. .
412305.....
... . .. .. .. .. .. .. .. .
245031..................124503 ... 145023
..................
.. ..
231450
.... .... .... .... ... ... ... .. ... ... ... . ... . . .... ... .... .....
.... ......
245130..................024513 . ........ . . . . . .
045123..................230451 . . . . . .
130452............... 513042
.. ...... ......
304512..................123045 . . . . . . .
251304..................451230
...... ..... .... ... ... ... . .. ... ... . . . ... . . . . ... ........
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
166
051342............... 305142
... ...... ......
240513............... .... .....
402513......
513402..................025134 .. ..... .
241503...............
230514
..................
412503......
234051
..................
... .
340251 .. . .. .. .. .. .. .. .. .
123405 ... ... .
134025..................251340
.... ... .... .... ... ... .. ... .. .. ... ... . . .... . . .... ... ... .....
.... .....
350142............... 501342
.... ...... .....
235014
.... . .... .... .... ....
150342 315042
345012......
.. .. .
023451...................
...... ...... .
034512.............................. 012345 .. ....... . . .. .... .. .... ..
... .
123450............ 450123 .. . 240135............... ... ......
401235......
014523.................230145............. 301452............... 530142
... ...... ......
253014
.... . .... .... .... . . . ..
134502
.. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .
245013................. 234501
...... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . . . ... . . . . . .. ........
452301......
.. .. .
024531...................
...... ...... .
045231.............................012453 .. ........ . .. .... .. ... ..
... .
124530 .......... 340125 .. . 240153............... 401253
... ..... ......
145230
.. .. ..
. . . .
034125..................250341 . . . . . .
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 013452.................250134.............
234150..................023415 . ........ . .
.. .. .. .. .. .. .. .
234015................. 245301
...... .... .... .... ... ... ... ... ... . . . ... . . . . .... ........
...... ..... .... .... ..... .....
503412..................125034 . . . . . . .
231504..................341250
...... ..... .... ... ... ... .. .. ... .... . . . .... . . . . . . .......
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
167
n = 6, e = 9, 2 f2; : : : ; 4g 2
1
. .. .. . . .......... . ..... ..... . .. . . .. ...... ... .. . . ....... ... ... . . . .............. .. ... . . . . . . . . ... . .. .. ...... .... .... .. ...... .. .. . ..... . .. .. .. . . ..... ... . . ......... ......................................................................................... ......................... ..... . . . . .. ...... ... . . . ..... . .. .... . .... . ...... . . .. ............ ..... ..... ... . . . . . . . . . . . . ....... ....... .. .... . . .......... ... .. .. . . . .. ..... ..... .. .. .. . . . . . . . . . . . ..... .... ... ........... . ............ . ....... ...
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 031425 . ... . . .
031524 .. ... . .
042513 .. ... . .
052413 . ... . . .
503142 . . .
403152 ...
304251 ...
305241 . . .
. . . . . . . .
250314 . . . . . . .
425031 . . . . . . .
142503 . . . . . .
314250
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
240315 ... ... .
524031 ... .. ..
152403 ... ...
315240
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
130425 ... ... .
513042 ... .. ..
251304 ... ...
425130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
130524 . . . . . . .
413052 . . . . . . .
241305 . . . . . .
524130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 241530.................024153 ... ....
053142...............
041523
253140
304152
..... ...... .... .... ...... .....
.. .. .. .. .
230415 ... ... .
523041 .. . ... .
152304 ... .. ..
415230 042531............... 142530
... ..... ......
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. .. .. .. . . . .. . ... .... ... .... ... ...
... ...... ......
025314 .. ..... . ... .
402531 ... ... .
140253 .. . ... .
314025 ... .. ..
531402
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
014253 .. ..... .
035124 .. ..... .
301425 ...
403512 ...
... . .. .
530142 .. . ... .
253014 ... .. .
425301
.... .... .... .... .. ... ... ... .. .. ... . .. . . .. . . . . .... .... .....
... .
140352............... 240351
... ..... ......
.. .
124035 ... ... .
512403 ... ... .
351240
.... .... .... .... .. ... ... ... . . .. ... . .. . . .. . . . . .... .... .....
035241............... .... .....
135240......
013524 . ..... . . . . . .
401352 . . . . . . .
240135 . . . . . . .
524013 . . . . . . .
352401
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
041235 . .... . . . . . .
504123 . . . . . .
250413.................235041 . . . 135042............... 350412
.... ...... .....
. . . . . . . . . .
123504 . . . . . .
412350
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. . .. . . .. .... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
168
035142...............
041253 ..... .. . ... .
304125 ... .. .
153042 253041
...... ..... .... ... ...... ......
041352............... ... ......
241350......
530412 ... ... .
125304 ... ... .
412530
.... .....
351402.....
.... .... .... .... .. ... .. ... .. . ... .. . .. . . .. . . . .. .... ... .....
052314 .... . . .
023514 .. ..... . ... .
402351 ... .. .
140235 .. . ... .
514023 ... .. .
251403.................235140
. . . .
405231 . . .
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. ... . .. . . .. . . . .. .... ... .....
. . . .
240531.................124053 . . . 140523............... .... ......
314052.....
. . . . . . . . . .
231405 . . . . . .
523140
024135 .. ..... . ... .
502413 ... ... .
350241 .. . ... .
135024 ... .. .
413502
.... .... .... ... ... ... .. ... ... .. ... ... . .. . . . .... ... ... .....
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 031452............... 314502.....
503412 ...
402315
... . .. .
150342............... .... ......
315042.....
250341..................125034 .. . 231504 412503
...... ...... ... ... ...... .....
... ......
034125 .. .......
.. ... .. .. .
341250
..... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . . .... . . . .... .......
502314 245031
...... ...... ... ... ...... ..... .................
023145 . .... . . . . . . . . . . . . . . . .
450231 . . . . . . . . . . .
124503 . . . . . . .
145023.................231450
... ... ... ... .... ... .. .. .. .. .. . . .. .. .. ... . . . . .... ... .... .... ...
245130.................024513 .. .... ... .
045123.................230451 .. 130452............... 304512 412305 512304
... ...... ..... ...... ...... ... .. ...... ......
241503............... 415023
... ...... ......
.. .. .. .. .
123045 .. .. .. .. .. .. .. .. .
451230
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. ... .. .. ... . .. . . ... ... ... ... ... ...
051342............... 305142
230514............... .... .....
402513......
. . . . . . . . .
340251 . . . . . . .
134025 . . . . . . .
513402
034152............... ... ......
234150.....
... .
502341 ... .. .
..................
... .
341502
...... ..... .... ... ... ... . .. ... ... . . . ... . . . . .... .......
..... .... .... .... ... ... ... . ... .. . . ... . . . . .... . . ... .......
051234 . ....... . .
023415 .. ........ . 150234 .. .
315024
... ...... .....
251340..................025134 . ....... . .
. . . .
305124..................340512 . . 240513............... 405123
... ..... ......
134052............... ... ......
234051.....
. . . . . . . . .
123405 . . . . . . .
512340
..... .... .... .... ... ... ... .. ... .. . . .... . . .... .... .......
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
034251............... 134250
... ..... ......
... .
501342 ... .. .
350142.................235014 .. 250134 425013
..... ...... .... ... ...... .....
052341...............
013425 .. ....... .
... .. ... .
342501
.... .....
152340.....
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... . ... . . .... . . . .... .......
169
015234 .. ..... .. .. .. ...
301524.................340152 .. . 240153...............
.... ......
401523.....
.. .. .. .. ..
234015 ... .. .
523401
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. ... . .. . . .. . . . .. .... ... .....
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 013452......
024531......
023451
045231...................
034512 123450 350124............... 501234
... ..... ......
134502 345012
.. .. . ... ... .. ... ... .. ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ...... .......... ..... ....... ... . ..... . .. ... .. .. .. .. .. .. . . ..
.. .. .
...... ...... .
124530..............................012453 . .... . .
012345 .. .... .. .. .. .. .. ... .. ... .. .. .. ... .. ... ..
401235..................450123 ... ...
245013..................234501
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . . .. . . . . . . ... .... ... ... ...
. ....... .... ..
145230........... 245301 014523............... 301452
.. ...... ......
. .. .. ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
401253..................340125 . . 230145............... .... .....
523014.....
. . . . . . . . .
452301
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . . .. .. . . .. . . . . . .... ... .... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
170
x
n = 6, e = 9, 2 f2; : : : ; 4g 2
1
. .. .. . . .......... . ..... ..... . .. . . .. ...... ... .. . . ....... ... ... . . . .............. .. ... . . . . . . . . .. ..... .... . .. ...... .. .... .. ..... . .. .. .. ..... . ..... . ......................... . . ....... . ......................................................................................... . . . . .. ...... ... . . . .. .... . . .... . . . . . .. ............ ..... .. . . . . . . . . . . . . .. ......... ... ..... . . . . . . . . .. .. .. . .. ....... . . . . . . . . . ......... ........... . . . . . . . ......................................................
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 031425 . ... . . .
031524 .. ... . .
042513 .. ... . .
052413 . ... . . .
503142 . . .
403152 ...
304251 ...
305241 . . .
. . . . . . . .
250314 . . . . . . .
425031 . . . . . . .
142503 . . . . . .
314250
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
240315 ... ... .
524031 ... .. ..
152403 ... ...
315240
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
130425 ... ... .
513042 ... .. ..
251304 ... ...
425130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
130524 . . . . . . .
413052 . . . . . . .
241305 . . . . . .
524130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 031452............... 314502
... ...... ......
023145 .. ..... . ... .
502314 ... ... .
450231 .. . ... .
245031.................124503 ... .. ..
145023.................231450
.... .... .... .... ... ... ... ... . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
254130.................025413 .. .... . ... .
054123.................230541 .. 130542............... ... ......
305412......
.. .. ... ..
123054 .. . ... .
412305 ... .. .
541230
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. ... .. .. . .. . .. . . .. .... ... ... ... ...
031542............... 315402
... ...... ......
023154 .. ..... . ... .
402315 ... ... .
540231 .. . ... .
254031.................125403 ... .. ..
154023.................231540
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
245130.................024513 . .... . . . . . .
045123.................230451 . . 130452............... .... .....
304512......
. . . . . . . . .
123045 . . . . . . .
512304 . . . . . . .
451230
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. . . .. .. . . . .. . .. . . ... ... .... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
171
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 035241............... .... .....
051342............... 305142
.. ...... ......
251340
..................
230514............... 402513
.... ...... .....
025134 .. ....... . .. .. .. .. .
340251 ... .. .
134025 .. . ... .
513402
241503............... 415023
..... ..... .....
034152............... 234150
... ...... .....
.. .
315024..................341502
... ......
.. ... .. ...
341250
... .
304125..................350412 .. 250413 504123
135042............... 235041
.. ...... ......
.. .. ... ..
123504 .. . ... .
412350
..... .... .... .... ... ... ... .. ... .. . . .... . . .... .... .......
051234 .. ....... ... .
305124..................340512 .. .... .....
405123......
134052 234051
. . . .
402351 . . . . . . . . . .
314025..................351402
. . . . . . .
140352 314052
...... ...... ... ... ...... ......
041352............... 304152
... ...... ......
.. .. ... ..
123405 .. . ... .
512340
..... .... .... .... ... ... ... .. ... .. . . .... . . .... .... .......
240351..................124035 . . . 231405............... ... ......
512403.....
. . . . . . . . . .
351240
...... .... .... ... ... ... . . . .. ... .... . . .... . . . . . . .......
230415............... ... ......
502413......
. . . . . . . . .
350241 . . . . . . .
135024 . . . . . . .
134250......
013425 . ..... . . . . . . . . . .
301425.................350142 . . . . . . .
501342.................235014 . . 250134............... ... ......
425013......
..... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . . .... . . . .... .......
241350..................024135 . ....... . .
413502
.... .....
240513...............
023514 . ....... . . . 140235 . . .
034251...............
...... ...... ... .. ...... ......
... ......
235140 .....
403512 . . .
..... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . . .... . . . .... .......
041235 .. .......
...... ...... ... ... ...... ......
035142...............
503412 ... 250341..................125034 .. . 412503.....
..... ..... .....
352401
035124 . ....... . .
.. .
315042
.... .....
524013......
. . . . . . . . .
.... .... .... ... ... ... ... .. . . .. .. .. . .. . . .... . . .. .... ... .....
034125 .. ....... . ... .
231504...............
240135...............
514023
... .
150342
. . . .
502341 ...
... .
. . . . . . . . .
401352.................234015 . .
251403...............
...... .... .... ... ... ... ... .. ... .... . . .... . . . . . . .......
013524 . ..... .
301524.................340152 . . .
023415 .. ....... . . 150234 .. .
...... ...... ... ... ...... ......
..... .... .... .... ... ... ... .. ... .. . . .... . . . .... ... .......
135240 .....
. . . . . . . . .
342501
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... . . .. . . ... . . . . .... .... .....
..... .... .... .... ... ... ... .. ... .. . . .... . . .... .... .......
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
172
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 023451......
023541......
034512
035412...................
123450 245013 450123
..... ..... ..... ... ...... .....
013452............... 301452
... ...... .....
134502 234501
.. .. . .... .... .... .. .... .. ...... ...... .................... ... ...... ....... . . .. . .... ... . . .. .. .. ..
.. .. .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
230145..................350124 ... 501234
..................
...... ...... .
012345 .. ... .
... .
345012
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
123540..............................012354 . ... . . . ....... .... ..
254013 540123
..... ..... ..... ... ...... .....
013542............... ... ......
301542.....
135402........... 235401
.. .. ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230154..................340125 . . . . . . .
401235..................354012
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
173
n = 6, e = 10, 2 f2; : : : ; 5g 2
1
. .. .. . . .......... . ..... ..... . .. . . .. ...... ... .. . . ....... ... ... . . . .............. .. ... . . . . . . . . ... . .. .. ...... .... .... .. ...... .. .. . ..... . .. .. .. . . ..... ... . . ......... ......................................................................................... ......................... ..... . . . . .. ...... ... . . . ..... . .. .... . .... . ...... . . .. ............ ..... ..... ... . . . . . . . . . . . . ....... ....... .. .... . . .......... ... .. .. . . . .. ..... ..... .. .. .. . . . . . . . . . . . ..... .... ... ........... . ... ... . . .............................................................
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 031425 . ... . . .
031524 .. ... . .
042513 .. ... . .
052413 . ... . . .
503142 . . .
403152 ...
304251 ...
305241 . . .
. . . . . . . .
250314 . . . . . . .
425031 . . . . . . .
142503 . . . . . .
314250
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
240315 ... ... .
524031 ... .. ..
152403 ... ...
315240
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
130425 ... ... .
513042 ... .. ..
251304 ... ...
425130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
130524 . . . . . . .
413052 . . . . . . .
241305 . . . . . .
524130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 035142............... 351402
... ...... ......
023514 .. ..... . ... .
402351 ... ... .
140235 .. . ... .
514023 ... .. ..
251403.................235140
.... .... .... .... ... ... ... ... . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
041352............... 241350
... ...... ......
... .
135024 ... .. ..
413502
045123
253140
130452............... 304512
... ..... ......
230451 .. .. .. ... ..
123045 .. . ... .
512304 ... .. .
451230
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. ... .. .. . .. . .. . . .. .... ... ... ... ...
502413 ... 350241 .. .
053142...............
... .
... . ... .
245130.................024513 .. .... . .................
024135 .. ..... .
... ..... ......
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
025314 .. ..... . ... .
402531 ... .. .
140253 .. . ... .
314025 ... .. .
531402
.... .... .... .... .. ... ... ... . . .. ... . .. . . .. . . . . .... .... .....
241530.................024153 . .... . . 041523............... ... ......
304152......
. . . . . . . . .
230415 . . . . . . .
523041 . . . . . . .
152304 . . . . . . .
415230
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. . . .. .. . . . .. . .. . . ... ... .... ... ...
254130.................025413 . .... . . . . . .
054123.................230541 . . 130542............... ... ......
305412......
. . . . . . . . .
123054 . . . . . . .
412305 . . . . . .
541230
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. . .. . . .. .... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
174
035241............... 135240
... ..... ......
042531...............
013524 .. ..... . ... .
401352 ... .. .
240135 .. . ... .
524013 ... .. .
352401
.... .....
142530.....
.... .... .... ... ... ... ... .. ... .. ... . .. . . ... .... .... ... .....
504123 ... 250413
.................
135042............... 350412
.... ..... .....
.. .
235041 .. . .. ... .. ...
123504 ... .. .
412350
240531
.................
140523...............
253014 ... .. .
425301
314052
.... ...... .....
... .
304125 ... .. ..
153042............... 253041
... ...... ......
315402.....
.. ... .. ...
231405 ... .. .
523140
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. ... . .. . . .. . . . .. .... ... .....
. . . .
140352............... 240351
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . ... .. .. .. . .. . .... .... ... ... ... ...
... ......
530412 ... ... .
125304 ... ... .
412530
... ..... ......
. . .
124035 . . . . . . .
512403 . . . . . . .
351240 031452...............
041253 .. ..... .
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. . . .. . ... ... ... ... ... ...
405231 ... 124053 .. .
403512 . . .
... .
031542...............
.. .
301425 ... .. .
052314 .. .... . ... .
035124 ..... . . .
... .
530142 .. .
041235 .. .... . ... .
014253 .. ..... .
... ......
314502......
.... ... .... .... ... ... .. ... . . . ... .. ... . ... . . .... ... ... .....
023145 . ..... . . . . . .
502314 . . . . . . .
450231 . . . 245031
.................
. . . .
124503 . . . . . .
145023.................231450
023154 .. ..... . ... .
402315 ... .. .
540231 .. . ... .
254031.................125403 ... .. .
154023.................231540
.... .... .... .... ... ... ... .. . ... ... ... . .. . . ... .... .... .....
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 013542......
.. .. .
023541...............
035412............................
503412 ...
123540.....................
... .
150342............... 315042
.. ...... ......
051342............... 305142
... ..... ......
250341 231504 412503
.................. ...... ...... ... ... ...... ......
.. .
125034 .. . .. ... .. ...
341250
..... .... .... .... ... ... ... . ... ... . .. . . . . .... . . ... .......
230514 402513
.. .. .. .. .
340251 ... .. .
134025 .. . ... .
513402
. ....... ..... ....
135402 354012 254013
251340..................025134 ... ....... ...... ...... ... ... ...... .....
..... ..... .
034125 .. ....... .
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... ... . . ... . . . ... .... .......
... .. ... .. .. ... .. .. . .. ..
.................
241503............... 415023
... ..... ......
012354 . ....... . . . . . . .
401235 . . . . . .
540123 . . . . . . . . . . .
235401
.... .... .... .... ... ... ... .. ... .. . . .... . . .... .... .......
034152............... .... .....
234150......
023415 . ........ . . . . . .
502341 . . . . . .
150234 . . . . . . .
.... .... .... .... .. ... .. ... . . . ... .. . .. . . .. . . . .. .... ... .....
315024..................341502
...... ..... .... ... ... ... .. .. ... .... . . . ... . . . . . . ........
.... .... .... ... ... ... .. ... . . . .. ... ... . .. . . . .... ... ... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
175
024531......
.. .. .
045231...................
...... ...... .
124530..............................012453 .. ... . .. .... .. ... ..
145230........... 245301
.. .. ..
014523............... 301452
... ...... ......
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
230145 ... .. ..
523014 .. . ... .
452301 052341............... 152340
... ...... ......
240153 401523
051234 . ....... . . . . . .
305124..................340512 . . 240513............... 405123
.. .. .. .. . .. ... .. .. .
234015 ... .. .
523401
... ...... ......
034251...............
015234 .. .....
301524.................340152 .. . ..... ...... .... ... ...... .....
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. .. ... ... ... ... . . ..
.... .....
134250......
.... .... .... ... ... ... .. ... ... .. .. .. . . . . . .. .... ... .... .....
134052............... ... ......
234051......
... .
501342 ... ... .
.... ......
425013.....
123405 . . . . . . .
512340
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... .. . . .... . . .. .... .......
013425 .. ....... .
350142.................235014 .. 250134...............
. . . . . . . . .
.. .. .. .. .
342501
..... .... .... .... ... ... ... . ... ... . ... . . ... . . . .... .......
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 025341......
013452...... 023451 034512 123450 245013............... 450123
.. ...... ......
134502 234501 350124
.. .. .
053412...................
.. .. . ... ... .. ... ... .. ..... .... ..... ........ ..... ... ...... .. .......... . . . . .... ........ ..... . . ... .. .. .. ... ... .. .. . .. ..
012345 .. ....... . .
..................
345012
...... ...... .
125340...............................012534 . .... . . ... .
501234 .. .. .. .. ... .. ... .. ... ..
.... .... .... .... ... ... ... .. ... .. . . .... . . .... .... .......
.. .... .. ... ..
153402........... . .. ..
015342 301542
...... ...... ... ... ...... .....
253401..
230154............... .... .....
401253......
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
340125 . . . . . . .
534012
... ... .... .... ... .. .. .. ... .. . . . . .. ... . . .. . .. . . . .... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
176
x
n = 6, e = 9, 2 f1; : : : ; 4g 2
1
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3
0
4
5
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 034152............... 341502
... ...... ......
023415 .. ..... . ... .
502341 ... ... .
250341.................125034 .. . ... .
150234.................241503 ... .. ..
415023.................234150
.... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . .. . . ... .... .... ... .....
351240.................023514 .. ....
041352...............
035124
413502......
.................
140352............... 403512
... ..... ......
041523...............
431502
... ......
304152...... 253041
.................
230415 ... .. .
523041 .. . ... .
125304 ... .. .
152304.................241530
.. .. ... ..
124035 .. . ... .
512403 ... .. ..
043152...............
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. .. ... .. .. . .. . . ... .... ... ... ... ...
240351 ..
251403.................235140
415230.................024153 ... .... .. .. .. .. .
... .
... ..... ......
024315 .. ..... . ... .
502431 ... .. .
250431.................125043 .. . 150243
.................
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
... .
231504 ... .. .
315024.................243150
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... ... . .. . . . .. .... .... .....
251430.................025143 .. .... .
253140.................025314 .. .... .
051243.................230514 ...
052314.................240531 ...
... . .. .
305124.................243051 .. . 143052............... .... .....
430512......
.. ... .. ...
124305 ... .. .
512430
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . .. .. .. .. . . .. . .. .... ... .... ... ...
... . .. .
405231.................124053 .. . 140523...............
.... .....
314052......
.. ... .. ...
231405 ... .. .
523140
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. .. . . .. . .. .... ... .... ... ...
.... .....
024135 . ..... . . . . . .
502413 . . . . . . .
250413.................235041 . . . . . . .
350241.................123504 . . . . . . .
135024.................241350
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . .. . . ... . . . . .... ... .....
251340.................025134 . .... . . . . . .
051234.................240513 . . . . . .
405123.................234051 . . . 134052............... ... ......
340512......
. . . . . . . . . .
123405 . . . . . .
512340
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . .. ... .. .. . .. . . ... .... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
177
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 251304............... 512304
... ...... .....
130452............... 413052
.... ..... ......
245130..................024513 .. ........ .
031452...............
045123
403152
..................
... .
230451 ... .. .
304512..................123045 .. . 241305
..................
... .
451230
024351 043512 124350 143502 435012 250143
.................
..... ..... .....
250314............... .... .....
502314......
314502..................023145 ..... . . . . . . .
240315..................450231 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
245031..................124503 . . . . . . .
145023..................231450
.... .... .... .... .. ... .. ... . . .. ... ... . ... . . . . ... .... ... .....
025341......
014352......
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ...... .......... ..... ....... . .. ..... . .. .. .. . .. ... . .. .. . .. ..
...... ..... .... ... ... ... .. .. ... .... . . ... . . . . . .. .......
.. .. .
052341...................
...... ...... .
125340..............................012534 .. ... . 012435 .. .... .
152340
501243 ..
253401
... . .. .. .. ... .. ... .. ... ..
235014 ... ...
350124.................243501
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. ... ... .. .. . ... . . . . .... .... ... .... ...
.. ... .. .... .. ... .. . .. . .. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
015234.................240153 .. 340152...............
.... ......
401523.....
.. ... .. ..
234015 .. . ... .
523401
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. . .. . .. . .. ... ... ... ... ... ...
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 023451......
034512...................
045231
123450..............................012345 . ... . .
124530 253014............... 523014
... ..... ......
301452............... 430152
... ...... ......
.. .. .
024531......
145230 245301 014523
.. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... .................... .... ....... . . ... ... . . . .... ... . .. .. .. .. ..................
...... ...... .
.. .... .. ... ..
134502 ..........
012453 .. ..... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
230145 ... ... .
243015..................452301
.... .... .... .... ... ... ... ... . ... ... . .. . . .... . . .... .... .....
013452............... 401352
... ...... ......
250134............... .... .....
501234......
345012
.. .. ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
240135..................450123 . . . . . . . . . . . . . . . . .
245013..................234501
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. . .. . .. ... ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
178
x
n = 6, e = 9, 2 f1; : : : ; 4g 2
1
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3
0
4
5
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 031452............... 314502
... ...... ......
... .
502314 ... ... .
250314.................245031 .. . 450231
.................
041352...............
023145 .. ..... .
... .
124503 ... .. ..
145023.................231450
413502
.... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . .. . . ... .... .... ... .....
... ...... ......
024135 .. ..... . ... .
502413 ... ... .
250413.................235041 .. . 350241
.................
... .
123504 ... .. ..
135024.................241350
253140.................025314 . .... .
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . .. . . ... . . . . .... ... .....
. . . .
052314.................240531 . . . . . .
405231.................124053 . . . 140523............... 314052
... ...... .....
. . . . . . . . . .
231405 . . . . . . .
523140
254130.................025413 .. .... . ... .
052413.................230541 ... .. .
305241.................123054 .. . 130524............... ... ......
413052......
.. ... .. ...
241305 ... .. .
524130
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. .. ... .. .. . .. . . ... .... ... ... ... ...
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 025341......
025431......
052341
052431...................
125340 253401 523401
.. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... .................... ... ...... ....... . . ... . .... ... . . .. .. .. ..
.. .. .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
015234..................240153 ... 134052............... 340152
... ..... ......
401523
..................
...... ...... .
012534 .. ... . .
... .
234015 ... ...
123405..................152340
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. . .. ... ... ... ... ... ...
125430................................012543 . ... . . . .. .... .. .... ..
254301............ 524301
.. .. ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
015243..................230154 . . . . . . .
143052............... 430152
... ..... ......
301524..................243015 . . . . . .
124305..................152430
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. . .. ... ... ... ... ... ...
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
179
013452......
.. .. .
034512...................
...... ...... .
123450..............................012345 .. ... . . .. .... .. ... ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
134502........... 345012 250341............... ... ......
502341.....
023451
.. .. ..
..................
150234 ... ... .
125034..................245013 ... 450123
..................
...
234501
351240..................023514 . ..... .
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . .
140352............... 403512
.... ..... .....
254031............... .... .....
524031.....
035124..................240351 . . . . . .
124035..................152403 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125403..................235140
023541......
.. .. .
035241...................
...... ...... .
123540..............................012354 .. ... . .. .... .. ... ..
135240........... 352401
.. .. ..
013524............... 401352 254013
... ...... ......
.................
.. .. .. .. .. .. .. .. ... .. ... .. ... .. ... .
240135 ... .. .
524013 .. . ... .
235401
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. . . .. ... ... ... ... . . ..
451230..................024513 . ..... . . . . . .
130452............... 304512
253041...............
... ......
523041......
043512 124350 143502 435012 250431............... 502431
... ...... ......
125043
. . . . . . . . . . . . . . .
125304..................245130
.. .. .
045231...................
...... ...... .
012435 .. ... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
024351..................150243 ... ..................
. . .
123045..................152304 . . .
.... ... .... .... ... ... ... ... . ... ... . . .. . . . .. .... .... ... .....
024531......
014352......
.. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... .................... ...... ....... . . . .... .. ... ... .. .. .. . . ..
... ...... ......
045123..................230451 . . .
... .
235014 ... ...
350124..................243501
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . ... .. ... ... ... ... . . .
124530..............................012453 . ... . . 145230 452301
. ... .. .... .. .... ... .. . .. .. ..
014523............... ... ......
301452.....
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230145 . . . . . . .
523014 . . . . . . .
253014.................245301
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. .. .. ... ... . . ... ...
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Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
180
x
n = 6, e = 10, 2 f1; : : : ; 5g 2
1
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3
0
4
5
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 031452............... 314502
... ...... ......
023145 .. ..... . ... .
502314 ... ... .
250314.................245031 .. . ... .
450231.................124503 ... .. ..
145023.................231450
.... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . .. . . ... .... .... ... .....
315240.................023154 .. .... .
034152...............
031524
341502......
403152
...... ...... ... ... ...... .....
.. ..
152403.................231540
035124.................240351 ..
413502
140352............... 403512
.... ..... ......
.. .. ... ..
124035 .. . ... .
512403 ... .. .
251403.................235140 043152............... 431502 250431
... ...... .....
.................
024315 .. ..... . ... .
502431 ... .. .
125043 .. . ... .
150243.................231504 ... 315024
.................
.. .
243150
.... .... .... .... .. ... ... ... . ... ... ... . .. . . . .... ... .... .....
... .
524031 .. .
254031.................125403 ...
041352...............
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. .. ... .. .. . .. . . ... .... ... ... ... ...
240315 ... ... .
351240.................023514 .. .... . ... .
.. .. .. .. .
... ..... ......
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
024135 .. ..... . ... .
502413 ... .. .
250413.................235041 .. . ... .
350241.................123504 ... .. .
135024.................241350
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... ... . .. . . . .. .... .... .....
.... .....
023415 . ..... . . . . . .
502341 . . . . . . .
250341.................125034 . . . . . . .
150234.................241503 . . . . . . .
415023.................234150
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . .. . . ... . . . . .... ... .....
415230.................024153 . .... . . 041523............... ... ......
304152......
. . . . . . . . .
230415 . . . . . .
523041 . . . . . . .
253041.................125304 . . . . . .
152304.................241530
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . .. ... .. .. . .. . . ... .... ... ... ... ...
451230.................024513 .. .... .
251340.................025134 . .... . .
045123.................230451 ..
051234.................240513 . . .
... .
130452............... 304512 251304
... ...... .....
.................
.. .. ... ..
123045 .. . ... .
512304 ... .. .
245130
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. .. . . .. . .. .... ... .... ... ...
. . . . . . .
405123.................234051 . . . 134052............... .... .....
340512......
. . . . . . . . . .
123405 . . . . . .
512340
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. .. . . .. . .. .... ... .... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
181
251430.................025143 .... .. .
253140.................025314 .... .. .
254130.................025413 .... . . .
051243
052314
052413.................230541 . . .
.................
... .
230514 ... .. ..
305124.................243051 .. . 143052 430512
..... ...... .... .... ...... .....
.. .. .. .. ..
124305 ... .. .
512430
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
.................
... .
240531 ... .. ..
405231.................124053 .. . 140523 314052
..... ...... .... .... ...... .....
.. .. .. .. ..
231405 ... .. .
523140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
305241.................123054 . . . 130524............... .... ......
413052.....
. . . . . . . . . .
241305 . . . . . .
524130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 023541......
013452...... 023451 034512 123450 134502 345012
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ....... . . .. . ... ..... ...... ...... . ..... . . ... .. .. ... .. .. .. . ..
123540 012345 .. .... .
135240
501234 ..
352401
... . .. .. .. ... .. ... .. ... ..
250134.................245013 ... 450123
.................
014352......
.. .. .
035241...................
...
234501
... ... ... .... ... ... .. .. .. .. .. ... .. .. .. . . . . .. .... .... ... .... ...
...... ...... . ................... ... ...... ....... . . .. . .... ... . .. .. .. . ..
013524...............
... ......
401352..... 254013
.................
.. .. .
012354 .. ... . .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. ... .. ... .. ... .
240135 ... .. ..
524013 .. . ... .
235401
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . .. . .. . . .. .. .. ... ... ... . . ...
024351...............
..... ..... .
043512............................. ....... ..... ...
124350.................... 143502 435012
... .. ... .. .. ... . .. . . .. ..
. . .
025431......
045231
052341
052431...................
124530 145230 452301
014523............... 301452
... ...... ......
012453 .. ... . .. ... .. ... .. ... .. .. .. ... .. ... .. ... .
230145 ... .. .
523014 .. ... .
253014.................245301
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. .. .. ... ... ... . . ... ...
125340 152340 253401
.... ......
401523.....
... ... ... .... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. .. . . . . .. . . . . .... ... .... ...
.. .. .
012534 .. ... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
015234.................240153 .. 340152...............
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
350124.................243501
025341......
.. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... ................... .... ...... . ....... . . . . .... ... .. .. .. .. ..
. . . .
501243 . .
250143.................235014 . . .
024531......
.. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... ................... .... ...... . ....... . . . . .... ... .. .. .. .. ..
012435 . .... . .
.. ... .. ..
234015 .. . ... .
523401
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . .. . . .. . .. .. ... ... ... ... . . .
...... ...... .
125430..............................012543 . ... . . .. .... .. ... ..
152430........... . .. ..
254301..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
015243.................230154 . . 301524............... .... ......
430152.....
. . . . . . . . .
243015 . . . . . . .
524301
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . .. . . .. . .. .. ... ... ... ... . . .
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
182
x
n = 6, e = 9, 2 f2; : : : ; 4g 2
1
. .. .. . . ....... . ..... ..... ... . . .. .. ...... . . ....... . .. . .. . .............. .. . . . . . ...... .... .. .. ...... .. .. ...... . .. . . . . . . .. .. . ....................... ............................ .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . .......... . . ... ............... . . ... ...... . .. . .. .... .. . .. ..... . ....... .. ............ ..... ... ..... . . . ... . . . . . ..... ....... .. .... ... . ......... .. .. .. . . .. . ............. .... ... .... . . . ... . . ..... ... . . ....... .... ............ . . ... .....
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 031524 . ... . . .
042513 .. ... . .
403152 . . .
304251 ...
. . . . . . . .
240315 . . . . . . .
524031 . . . . . . .
152403 . . . . . .
315240
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
130425 ... ... .
513042 ... .. ..
251304 ... ...
425130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 042531............... 425301
... ...... ......
014253 .. ..... . ... .
301425 ... ... .
530142 .. . ... .
153042.................125304 ... .. ..
253014.................142530 051342............... 251340
... ..... ......
.... .... .... .... ... ... ... ... . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
025134 .. ..... . ... .
402513 ... .. .
340251 .. . ... .
134025 ... .. .
513402
.... .... .... .... .. ... ... ... .. .. ... . .. . . .. . . . . .... .... .....
052431............... 152430
... ...... ......
015243 .. ..... . ... .
301524 ... ... .
430152 .. . ... .
243015 ... .. ..
524301 034251............... 134250
... ..... ......
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
043152............... .... .....
243150......
501342 ... .. .
250134 .. . ... .
425013 ... .. .
342501
.... .... .... .... .. ... ... ... . . .. ... . .. . . .. . . . . .... .... .....
. . . .
502431 . . . . . . .
150243 . . . . . . .
315024 . . . . . . .
431502
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
034125 . .... . .
013425 .. ..... . ... .
024315 . ..... . .
. . . .
503412 . . . . . .
150342.................125034 . . . 250341............... 425031
.... ...... .....
. . . . . . . . . .
142503 . . . . . .
341250
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. . .. . . .. .... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
042315 .... .. .
135240.................013524 .. .... .
051234 .... . . .
504231 ...
035124.................140352 ..
405123 . . .
... . .. ..
250431.................125043 .. . 150423 315042
..... ...... .... .... ...... .....
183
.. .. .. .. ..
231504 ... .. .
423150
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
... .
240351............... 403512
... ..... ......
.. .. ... ..
124035 .. . ... .
512403 ... .. .
351240
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
240513.................234051 . . . 134052............... .... ......
340512.....
. . . . . . . . . .
123405 . . . . . .
512340
051243 .. .... . ... .
305124 ... .. .
130524.................143052 .. . 243051............... ... ......
430512......
.. ... .. ...
124305 ... .. .
512430
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. . . .. . ... ... ... ... ... ...
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 015342......
.. .. .
053412...................
...... ...... .
125340.............................012534 . ... . . . .... .. .... ..
153402.......... 152340..................015234 .. ....... .
253401
052341..................140523 ..
025341...............
... .
240531............... 405231
.... ...... .....
124053 340152
...... ...... ... ... ...... .....
034152............... .... .....
341502...... 402315 150234 502341
...... ...... ... .. ...... ......
.. .. ..
..................
.. .. ... ..
234015 .. . ... .
523401
..... .... .... .... ... ... ... . ... ... . . . .... . . .... .... .......
.... .....
402531......
450231 ... ... .
245031..................124503 ... ... .
145023..................234150
..... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . . . .... . . . .... .......
140253 . . . . . .
340125 . . . . . .
534012
023415 .. ....... .. .. .. ...
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. .. ... ... . . . ... ... ...
042351............... ... ......
423501......
014235 . ........ . . . . . .
501423 . . . . . . .
135042 350142
...... ...... ... .. ...... ......
250143..................235014 . . . . . . .
123504..................142350
...... ..... .... ... ... ... . .. ... . . . .... . . . ..... . . . . . . ....
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
184
014352......
.. .. .
024351...............
043512.............................
045123..................230451 ...
124350......................
... . .. .
130452............... ..... .....
304512.....
..... ..... .
245130..................024513 .. ....... . 423051..................142305 .. . 123045 512304
...... ...... ... ... ...... .....
.. .. .. .. ..
451230
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... ... . . .... . . .. .... .......
. ...... ..... ....
243501 435012
. ... . .. .. .. ... . .. . .. .. ..
012435 . ....... . . . . . .
501243 . . . . . .
350124 . . . . . . . . . . .
135024.................143502
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... . ... . . .... . . . .... .......
. = 0:333333 (m = 1, p = 3)
152304............... 523014
... ...... ......
024531......
013452......
045231
034512...................
124530 145230 245301
.. .. . .... .... .... .. .... .. ...... ...... .................... . ...... ...... . . . .... .. .... ... . .. .. .. ..
014523............... 301452
... ..... ......
.. .. .
...... ...... .
012453 .. ... . . .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. ... .. ... .
230145 .. .. .. .. .. .
423015..................452301
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. . ... .. ... ... ... ... ...
123450..............................012345 . ... . . . . .... .. .... ..
134502........... 023451............... 402351
... ...... ......
345012
.. .. ..
140235............... .... .....
501234......
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
450123 . . . . . . . . . . .
245013..................234501
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. . ... .. ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
185
n = 6, e = 9, 2 f2; : : : ; 4g 2
1
. .. .. . . ....... . ..... ..... ... . . .. .. ...... . . ....... . .. . .. . .............. .. . . . . . ...... .... .. .. ...... .. .. ...... . .. . . . . . . .. .. . ....................... ........................... .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . .......... . . ... ........... . . ... ...... . .. . .. .... . .. ..... . ....... .. ............ ... . ..... . . . ... . . . . ..... ....... ... . ... . ......... .. . .. . ............. .... ... . . . ... . . . ..... ... . ......... .... ... .. . ........................................................
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 031524 . ... . . .
042513 .. ... . .
403152 . . .
304251 ...
. . . . . . . .
240315 . . . . . . .
524031 . . . . . . .
152403 . . . . . .
315240
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
130425 ... ... .
513042 ... .. ..
251304 ... ...
425130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 042531............... 425301
... ...... ......
014253 .. ..... . ... .
301425 ... ... .
530142 .. . ... .
153042.................125304 ... .. ..
253014.................142530
.... .... .... .... ... ... ... ... . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
152430............... 524301
... ...... ......
015243 .. ..... . ... .
301524 ... ... .
430152 .. . ... .
043152.................024315 ... .. ..
243015.................052431
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
031542............... .... .....
315402......
023154 . ..... . . . . . .
402315 . . . . . . .
540231 . . . . . . .
254031.................125403 . . . . . . .
154023.................231540
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
245130.................024513 .. .... .
034251.................013425 .. .... .
135240.................013524 . .... . .
045123
134025
035124.................140352 . .
.................
130452............... 304512
... ..... ......
... .
230451 .. .. .. ... ..
123045 .. . ... .
512304 ... .. .
451230
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. ... .. .. . .. . .. . . .. .... ... ... ... ...
.................
251340............... 513402
... ..... ......
... .
051342 .. .. .. ... ..
025134 .. . ... .
402513 ... .. .
340251
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. . .. . . .. .... ... ... ... ...
. . . .
240351............... ... ......
403512......
. . . . . . . . .
124035 . . . . . . .
512403 . . . . . .
351240
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. . .. . . .. .... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
186
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 014352......
024531......
015342......
024351
045231
125340...................
043512 243501 435012
.. .. . .... .... .... .. .... .. ...... ...... ................... ... ...... ....... . . .. . .... ... . . .. .. .. ..
124350............... 512430
.... ...... .....
012435 .. ... . .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
051243 ... .. .
350124 .. . ... .
135024.................143502
124530
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. .. .. ... ... ... . . ...
245301 452301
.. .. . .... .... .... .. .... .. ...... ...... ................... ... ...... ....... . . .. . .... ... . . .. .. .. ..
014523............... 301452
.... ...... .....
.. .. .
...... ...... .
012453 .. ... . .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
230145 ... .. .
523014 .. . ... .
152304.................145230
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . .. . .. . .. .. .. ... ... ... . . ...
153402.............................012534 . ... . . . ....... .... ..
534012
.. .. ..
025341............... ... ......
402531......
013542......
125430
023451
035142...................
154230 254301 542301
015423............... 301542
.. ...... ......
012543 .. ... . .. ... .. ... .. ... .. .. .. ... .. ... .. ... .
230154 ... .. .
423015 .. . ... .
042315.................054231
034512
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. .. ... ... ... ... . . .
134502 345012
123450............... 512340
.. ...... ......
. . .
340125 . . . . . . .
013452......
.. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... ................... .... ....... . ...... . . . . .... ... .. .. .. .. ..
140253 . . .
034125.................053412
025431......
.. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... ................... .... ....... . ...... . . . . .... ... .. .. .. .. ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
253401...........
.. .. .
...... ...... .
012345 .. ... . .. ... .. ... .. ... .. .. .. ... .. ... .. ... .
051234 ... .. .
450123 .. . ... .
245013.................234501
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . .. . .. . .. .. ... ... ... ... . . .
123540...............................012354 . ... . . .. .... .. ... ..
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135402........... .. ..
351402..
023514............... ... ......
402351......
140235 . . . . . .
514023 . . . . . . .
251403.................235140
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 152340............... 523401 245031 450231 034152 340152
... ...... ..... ...... ...... ... ... ...... ..... ...... ...... ... .... ..... ......
015234..................145023 .. ..... .. .. .. .. .. .. .. .
124503..................234015 .. .. .. .. .. .. .. .. .
023415..................052341
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . .. . . . .... ... .... .....
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . .. . .. . .. .. .. ... ... ... . . ...
042351............... ... ......
423501..... 251430 514230 135042 350142
...... ...... ... ... ...... ..... ...... ...... ... .... ..... ......
014235..................051423 . ..... . . . . . . . . . . . . . . . .
025143..................235014 . . . . . . . . . . . . . . . . .
123504..................142350
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . .. . . . .... ... .... .....
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . .. . .. . .. .. ... ... ... ... . . .
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
187
n = 6, e = 10, 2 f2; : : : ; 5g 2
1
. .. .. . . ....... . ..... ..... ... . . .. .. ...... . . ....... . .. . .. . .............. .. . . . . . ...... .... .. .. ...... .. .. ...... . .. . . . . . . .. .. . ....................... ............................ .......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . .......... . . ... ............... . . ... ...... . .. . .. .... .. . .. ..... . ....... .. ............ ..... ... ..... . . . ... . . . . . ..... ....... .. .... ... . ......... .. .. .. . . .. . ............. .... ... .... . . . ... . . ..... ... . . ....... .... ... ... . . ............................................................
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 031524 . ... . . .
042513 .. ... . .
403152 . . .
304251 ...
. . . . . . . .
240315 . . . . . . .
524031 . . . . . . .
152403 . . . . . .
315240
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
130425 ... ... .
513042 ... .. ..
251304 ... ...
425130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 042531............... 425301
... ...... ......
014253 .. ..... . ... .
301425 ... ... .
530142 .. . ... .
153042.................125304 ... .. ..
253014.................142530 043152............... 243150
... ..... ......
.... .... .... .... ... ... ... ... . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
024315 .. ..... . ... .
502431 ... .. .
150243 .. . ... .
315024 ... .. .
431502
.... .... .... .... .. ... ... ... .. .. ... . .. . . .. . . . . .... .... .....
052431............... 152430
... ...... ......
015243 .. ..... . ... .
301524 ... ... .
430152 .. . ... .
243015 ... .. ..
524301
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
031542............... .... .....
315402......
. . . . . . . .
254031.................125403 . . . . . . .
154023.................231540 051342...............
045123
251340......
130452............... 304512
... ..... ......
... .
230451 .. .. .. ... ..
123045 .. . ... .
512304 ... .. .
451230
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. . .. . . .. .... ... ... ... ...
. . . .
402315 . . . 540231 . . .
245130.................024513 .. .... . .................
023154 . ..... . .
... ......
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
025134 . ..... . . . . . .
402513 . . . . . .
340251 . . . . . . .
134025 . . . . . .
513402
.... .... .... .... .. ... ... ... . . .. ... . .. . . .. . . . . .... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
188
034251............... .... .....
134250.....
013425 .. ..... . ... .
501342 ... .. .
250134 .. . ... .
425013 ... .. .
342501
034125 .... .. .
042315 .... . . .
503412 ...
504231 . . .
... .
.... .... .... ... ... ... ... .. ... .. ... . .. . . ... .... .... ... .....
.. ..
150342.................125034 .. . 250341 425031
..... ...... .... .... ...... .....
.. .. .. .. ..
142503 ... .. .
341250
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
250431.................125043 . . . 150423............... .... ......
315042.....
. . . . . . . . . .
231504 . . . . . .
423150
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
135240.................013524 .. .... .
051234 .. .... .
051243 . .... . .
035124.................140352 ..
405123 ...
305124 . . .
... .
240351............... 403512
... ...... .....
.. .. .. .. .
124035 .. . ... .
512403 ... .. .
351240
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. . . .. . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
240513.................234051 .. . 134052...............
... ......
340512......
.. ... .. ...
123405 ... .. .
512340
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. . . ... .. .. . . .. . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . .
130524.................143052 . . . 243051............... ... ......
430512......
. . . . . . . . . .
124305 . . . . . .
512430
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. . . ... .. .. . . .. . ... ... ... ... ... ...
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 025431......
013542......
054231
035142...................
125430 154230 254301
.. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... ................... . ...... ....... . . .... .. ... ... . .. .. .. ..
015423............... 301542
... ...... ......
.. .. .
013452......
012543 .. ... . .. ... .. ... .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. ... .
230154 ... .. .
423015 .. ... .
542301
023451
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. .. ... ... . . . ... ... ...
034512 123450 134502 345012
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... .. .......... . . . . .... ....... . ..... . . ... .. ... .. .. ... .. .. . .. ..
...... ...... .
123540.............................012354 . ... . . . .... .. .... ..
351402
501234 ...
023514...............
... . .. .
450123 .. .. .. ... ..
.... .... .... .... ... ... ... .. ... .. . . .... . . .... .... .......
130542............... 305142
... ...... ......
051423
..................
123054............... ... ......
423051......
230514 .. .. .. .. .. .
142305 .. . ... .
514230
.... .....
402351......
140235 . . . . . . .
... ......
423501......
014235 . ........ . . . . . .
501423 . . . . . .
135042 350142
...... ...... ... ... ...... .....
. . .
514023 . .
251403.................235140
042351...............
251430..................025143 .. .......
..... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . . .... . . . .... .......
.. .. ..
012345 .. ....... . .
245013.................234501
... .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135402..........
250143..................235014 . . . . . . .
123504..................142350
...... ..... .... ... ... ... . . .. ... .... . . . ... . . . . . . ........
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. .. ... ... . . . ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
189
014352......
.. .. .
024351...............
..... ..... .
043512............................. . ...... ..... ....
124350...................... 243501 435012
. ... . .. .. .. ... . .. . .. .. ..
012435 .. ....... .
152340..................015234 . ....... . .
501243 ...
052341..................140523 . .
... . .. .
350124 .. .. .. .. .. .
135024.................143502
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... . ... . . .... . . . .... .......
. . . .
240531............... 405231
... ..... ......
024531......
015342......
045231
053412...................
124530 245301 452301
.. .. . .... .... .... .. .... .. ...... ...... ................... ...... ....... . . . .... .. ... ... .. .. .. . . ..
014523............... 301452
.... ...... .....
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
230145 ... .. .
523014 .. .
125340..............................012534 .. ... .
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. .. .. ... ... ... . . .. ...
034152............... ... ......
341502......
153402 253401
.. ... . .... .. ... ... . .. . .. .. ..
025341...............
.... ......
402531.....
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
140253 ... .. .
340125 .. . ... .
534012
023415 .. ........ . ... .
502341 ... ... .
450231
234015 . . .
150234..................145023 .. . ... .
124503..................234150
...... ..... .... ... ... ... . .. ... ... . . . ... . . . . . .. ........
. . . .
523401
...... ...... .
012453 .. ... .
... .
.. ...... ......
.... .....
340152......
. . . . . . . . .
.. .. .
152304.................145230
245031...............
124053...............
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. . .. . .. .. .. ... ... ... . . .. ...
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... . ... . . ... . . . . .... .......
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
190
x
n = 6, e = 11, 2 f2; : : : ; 5g 2
1
. .. .. . . .......... . ..... ..... . .. . . .. ...... ... .. . . ....... ... ... . . . .............. .. ... . . . . . . . . ... . .. .. ...... .... .... .. ...... .. .. . ..... . .. .. .. . ......................... ... . . .......... . ......................................................................................... .......... . . . . .. ...... ... . . . ... ...... . .. .... . .... . .. ..... . . ....... .. .. ............ ..... ... ...... . . . ... . . . . . ....... ....... .. .... ... . . .......... ... .. .. . . . .. ..... ..... .. .. .. .. . . . . . . ... . . . . . ..... .... ... ........... .... ... ... . . .............................................................
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 031425 . ... . . .
031524 .. ... . .
042513 .. ... . .
052413 . ... . . .
503142 . . .
403152 ...
304251 ...
305241 . . .
. . . . . . . .
250314 . . . . . . .
425031 . . . . . . .
142503 . . . . . .
314250
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
240315 ... ... .
524031 ... .. ..
152403 ... ...
315240
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
130425 ... ... .
513042 ... .. ..
251304 ... ...
425130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
130524 . . . . . . .
413052 . . . . . . .
241305 . . . . . .
524130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 031452............... 314502
... ...... ......
023145 .. ..... . ... .
502314 ... ... .
450231 .. . ... .
245031.................124503 ... .. ..
145023.................231450 035142............... 351402
... ..... ......
.... .... .... .... ... ... ... ... . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
023514 .. ..... . ... .
402351 ... .. .
140235 .. . ... .
514023 ... .. .
251403.................235140
.... .... .... .... .. ... ... ... .. .. ... . .. . . .. . . . . .... .... .....
031542............... 315402
... ...... ......
023154 .. ..... . ... .
402315 ... ... .
540231 .. . ... .
254031.................125403 ... .. ..
154023.................231540 041352............... 241350
... ..... ......
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
024135 .. ..... . ... .
502413 ... .. .
350241 .. . ... .
135024 ... .. .
413502
.... .... .... .... .. ... ... ... . . .. ... . .. . . .. . . . . .... .... .....
034152............... .... .....
341502......
023415 . ..... . . . . . .
502341 . . . . . . .
150234 . . . . . . .
415023 . . . . . . .
241503.................234150
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
241530.................024153 . .... . . 041523............... .... .....
304152.....
. . . . . . . . .
230415 . . . . . .
523041 . . . . . . .
152304 . . . . . .
415230
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. . .. . . .. .... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
043152............... 243150
... ..... ......
024315 .. ..... . ... .
502431 ... .. .
150243 .. . ... .
315024 ... .. .
431502
.... .... .... ... ... ... ... .. ... .. ... . .. . . ... .... .... ... .....
245130.................024513 .. .... .
051342...............
045123
251340.....
.................
130452............... 304512
... ..... ......
051423...............
253140
.... .....
305142......
230514 ... ... .
423051 .. . ... .
142305 ... .. .
514230 034251............... 134250
... ...... .....
013425 .. ..... . ... .
501342 ... .. .
250134 .. . ... .
425013 ... .. .
342501
.... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... . .. . . ... .... .... .....
... ...... ......
140352............... 240351
.. ...... ......
403512 ... .. ..
124035 ... ... .
512403 ... ... .
351240
150423 315042
.. ... .. ...
231504 ... .. .
423150
... .
402531 ...
531402 035241...............
... ......
135240.....
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
025314 .. ..... .
.. .
.... .... .... ... ... ... .. ... . . . .. ... ... . .. . . . .... ... ... .....
.... .....
... .
401352 ... 240135 .. . ... .
524013 ... .. .
352401
.... .... .... .... ... ... ... .. . ... ... ... . .. . . ... .... .... .....
... . .. ..
250413.................235041 .. . 135042 350412
...... ...... ... ... ..... ......
... ...... ......
.. ... .. ...
123504 ... .. .
412350
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. .. . . .. . ... . . .. ... .... ... ...
. . . .
134025 . . . . . .
513402
301425 ... .. .
530142 .. . ... .
253014 ... .. .
425301
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. .. ... . .. . . ... . . . . .... ... .....
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. ... . .. . . .. . . . .. .... ... .....
254130.................025413 . .... . . . . . .
054123.................230541 . . 130542............... ..... .....
305412.....
. . . . . . . . .
123054 . . . . . . .
412305 . . . . . .
541230
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. . . ... .. .. . . .. . ... ... ... ... ... ...
034125 . ..... . . . . .
150342 250341
...... ...... ... ... ...... ......
503412 . . . . . . .
125034 . . . . . . .
412503 . . . . . . .
341250
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . . . . . .... ... .... .....
041253 . ..... . . . . .
304125 . . . . . . .
153042 253041
...... ...... ... ... ...... .....
530412 . . . . . . .
125304 . . . . . . .
412530
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . .. . . ... . . . ... .... .....
051234 . .... .
014253 .. ..... . ... .
. . . .
402513 . . . . . .
041235 .. .... 504123 ...
025134 . ..... . . 340251 . . .
013524 .. ..... . .. .
142530
250431.................125043 .. .
512304 ...
314025 ...
504231 ... .. ..
... .
... .
042531...............
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. .. .. .. . . .. . .. . . . .... ... ... ... ...
123045 .. .
... .
042315 .. .... ... .
...... ...... ... ... ...... .....
.... .... .... .... ... ... ... .. ... ... ... . .. . . . .... .... .... .....
.. .. ... ..
140253 .. .
035124 .. ..... ... .
230451 ..
.. .
053142...............
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. . . .. . ... ... ... ... ... ...
... .
451230
251430.................025143 .. .... . .. .. .. .. .
191
. . . .
405123 . . . . . . .
240513.................234051 . . . 134052............... 340512
... ...... .....
. . . . . . . . . .
123405 . . . . . .
512340
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . . .. .. . . .. . .. . . . .... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
192
051243 ..... .. . ... .
305124 ... .. .
143052 243051
...... ..... .... ... ...... ......
430512 ... ... .
124305 ... ... .
512430
.... .... .... .... .. ... .. ... .. . ... .. . .. . . .. . . . .. .... ... .....
052314 .... .. .
052431...............
405231 ...
152430.....
... . .. ..
240531.................124053 .. . 140523 314052
..... ...... .... .... ...... .....
.. .. .. .. ..
231405 ... .. .
523140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
.... .....
015243 . ..... . . . . . .
301524 . . . . . .
430152 . . . . . . .
243015 . . . . . .
524301
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. ... . .. . . .. . . . .. .... ... .....
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 025431......
.. .. .
054231...................
...... ...... .
015342......
125430.............................012543 .. ... .
025341
154230
053412 125340 153402 253401
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... . ...... .... .... ..... ...... .... . ..... . .. ... .. .. ... . .. .. . . ..
012534 .. ........ . ... .
401253 ... .. .
340125 .. . ... .
534012
...... ..... .... ... ... ... . .. ... .... . . . .... . . . . . ........
254301 015423 301542
. .... .. ... .. .... ... .. .. . . .. ..
...... ...... ... ... ...... .....
.. .. .. .. .. .. ... .. .. .. ... .. ... .. ... .
230154 ... .. ..
423015 .. . ... .
542301
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . .. . .. . . .. .. .. ... ... ... . . ...
013542...... 035412 123540 135402 354012
012354 .. ....... . .
042351...............
401235 ...
142350......
... . .. .
540123 .. .. .. ... ..
.... .... .... .... ... ... ... . ... ... . ... . . ... . . . .... .......
... ......
250143 350142
...... ...... ... ... ...... ......
014235 .. ........ . ... .
501423 ... .. .
235014 .. . ... .
423501
...... ..... .... ... ... ... .. ... .. . . . .... . . . ..... . . . . . . . .
.. .. .
...... ...... .
124530.............................012453 .. ... . . .... .. .... ..
145230..........
240153 340152
...... ...... ... .. ...... ......
134502 345012 245013
.. .. .. .. . .. ... .. . . .. .. ..
.................
012345 . ....... . . . . . .
501234 . . . . . . .
450123 . . . . . . . . . . .
234501
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... ... . . .... . . .. ..... .......
..... ..... .
045231...................
... ......
. ....... ..... ....
123450....................
.. .. .
024531......
152340.....
..... ..... .
034512.............................
024351...............
254013.................235401
052341...............
.. .. .
023451...............
014352......
.. .. .
023541...............
..... ..... . ..... ........ ..... ... ...... ...... . . .. . ... ..... ....... ...... . ..... . . ... .. .. ... .. .. .. . ..
013452......
015234 .. ........ . ... .
401523 ... .. .
234015 .. . ... .
523401
...... ..... .... ... ... ... ... ... ... . . . .... . . . . ... ........
245301
.. .. ..
014523...............
.... .....
301452......
.. ... .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. ... .. ... .
230145 ... .. .
523014 .. . ... .
452301
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. . .. . .. .. .. ... ... ... . . . ...
043512............................. . ....... ..... ....
124350.................... 143502 243501
... .. ... .. .. ... .. .. . .. ..
012435 . ........ . . . . . .
501243 . . . . . . .
350124 . . . . . . .
435012
...... ..... .... ... ... ... .. ... .. . . . .... . . . ..... . . . . . . . .
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
193
n = 6, e = 9, = 3 2
1
.. .... ..... .... . .. ......... ..... .. . . .. ... . ..... .. .. . .. .. . ..... .... ... . ... . . ............ .. .... . .. . ... . . . . . . . . . .... ... .. . .. ... ...... .. .... .. .. ....... . .. ... . . .... . . .......... . ........ .................... . ........................................................................................ . .. ..... ... . . . . . . . . . . . . .. .... ............ .... . . . . ........ .. . .. . . . . . . ... . . . . .. ..... ..... ... .... . . . . . . . . . .. ....... .. .. ... . . ..... . . . ....... ........ ...... . . . . . . . .
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 031425 . ... .
031524 .. ...
032415 .. ...
032514 . ... .
041325 . ... .
503142 . . .
403152 ...
503241 ...
403251 . . .
504132 . . .
. . . . . . .
250314 . . . . . . .
425031 . . . . . . .
142503 . . . . . .
314250
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
... . .. .
240315 ... ... .
524031 ... ... .
152403 ... ...
315240
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
... . .. .
150324 ... ... .
415032 ... ... .
241503 ... ...
324150
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
. . . . . . .
140325 . . . . . . .
514032 . . . . . . .
251403 . . . . . .
325140
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
. . . . . . .
250413 . . . . . . .
325041 . . . . . . .
132504 . . . . . .
413250
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
041523 . ... . . .
042315 .. ... . .
042513 .. ... . .
051324 . ... . . .
051423 . ... . . .
304152 . . .
504231 ...
304251 ...
405132 . . .
305142 . . .
. . . . . . . .
230415 . . . . . . .
523041 . . . . . . .
152304 . . . . . .
415230
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
... . .. ..
150423 ... ... .
315042 ... ... .
231504 ... ...
423150
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
052314 . ... . . .
052413 .. ... . .
405231 . . .
305241 ...
. . . . . . . .
140523 . . . . . . .
314052 . . . . . . .
231405 . . . . . .
523140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
... . .. ..
130524 ... ... .
413052 ... ... .
241305 ... ...
524130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
... . .. ..
130425 ... ... .
513042 ... ... .
251304 ... ...
425130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
. . . . . . . .
240513 . . . . . . .
324051 . . . . . . .
132405 . . . . . .
513240
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
. . . . . . . .
230514 . . . . . . .
423051 . . . . . . .
142305 . . . . . .
514230
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
194
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 403125............... 503124
.... ..... .....
145032............... ... ......
245031......
035241............... 135240
... ...... .....
031245 .. ..... ... .
450312 .. . .. .. .. .. .. .. .. .
124503 ... .. ..
312450
324015 524013
032451...............
... ......
132450 ..... 401325 501324
...... ...... ... ... ..... ......
.... ......
142350.....
401352 ...
301425...............
... .
240135 .. . ... .
352401
501423
... ...... .....
... .
140352............... 240351
... ..... ......
312405............... 512403
... ..... ......
052341............... 152340
... ..... ......
301524............... ... ......
401523......
.. .
124035 .. . .. .. .. .. .. .. .. .
351240
340152 .. . ... .
234015 ... .. .
523401
.... .... .... .... ... ... ... ... .. .. .. . . .. . . .... . . .... ... .....
.... .... .... ... ... ... ... ... ... .. .. . . .. . . .. .... .... ... .....
304125............... 504123
.. ...... ......
135042...............
.... .....
235041......
031452...............
... ......
231450......
402315...............
... ......
502314......
... .
130452 230451 412305 512304
...... ...... ... .. ...... ......
304512 ... .. .
123045 .. . .. .. .. .. .. .. .. .
451230
245013 ...
.... .... .... .... ... ... ... ... . .. ... ... . ... . . .. .... .... .....
.. .. .. .. .. .. .. .
350142 .. . ... .
235014 ...
405123
... ...... ......
134052...............
... ......
234051......
034251............... .... .....
134250......
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. ... .. . . ... . . .... .... ... .....
325014 425013
150342...............
123504 ... ... .
412350
023145 .. ..... .. .. .. .. .. .. .. .
450231 .. . ... .
145023 ...
.... .... .... ... ... ... ... ... . .. .. .. . . .. . . .... . . .... ... .....
312504 412503
341250
... ......
423015............... 523014
... ..... ......
034152............... ... ......
234150......
... .
512340
...... .... .... .... ... ... . .. ... ... .... . . .... . . . . . . .....
315024............... 415023
... ...... ......
... ......
. . . .
301452 . . . 230145 . . . . . . .
452301
314025 514023
...... .... .... .... ... ... ... ... ... . . . ... . . . . .... ........
023415 . ........ . . . . . .
502341 . . . 150234 . . . . . . .
341502
...... ..... .... ... ... ... .. ... ... . . . .... . . . ..... . . . . . . . .
023514 . ........ . . . . . .
402351 . . . . . . .
..... ...... .... ... ...... .....
.... ... .... .... ... ... ... ... . .. ... ... . .. . . . . ... .... .... .....
014523 . ....... . . .
. . .
235140......
123405 ...
. . . . . . . . . . . . . . .
. . .
340512 .. . .. .. .. .. .. .. .. .
. . . .
..... ..... ..... ... ...... ......
035142...............
.... ... .... .... ... ... ... ... . . .. ... . .. . . .... . . . .... .... .....
503412 . . . 125034 . . .
051234 .. ..... ... .
. . . .
342501
.... ......
250341.....
145230......
.. .. .. .. .. .. .. .
250134 . . .
. . . .
350412 .. .
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... .. . . .. . . . .... .... .... .....
. . . .
501342 . . .
034125 . ..... .
045231...............
... .
013425 . ....... . . . . . .
..... ...... .... ... ...... .....
041235 .. ..... .
314502
305124...............
.... .... .... .... .. ... ... .. . . .. .. .. . .. . . .... . . .. .... ... .....
014235 .. .....
.. .
045123 .. ..... . ...... ...... ... ... ...... .....
... .
423501
015234 .. ..... .. .. .. .. .. .. .. .
450132 .. .
.. .
035124 .. ..... . 403512 ...
.. .. .. .. .. .. .. .
324501
013524 .. ........ .
...... ..... .... ... ... .. .. .. ... .... . . .... . . . . . ........
013245 .. .....
.. ..
042351...............
.. .
..... ...... .... .... ...... .....
.... ... .... .... ... ... ... ... .. .. ... . ... . .... . . ... ... ... .....
140235 . . . . . . .
351402
...... ..... .... ... ... .. . ... ... . . . .... . . . .... . . . . . . . ....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
041352............... 241350
... ..... ......
302415............... 502413
... ..... ......
024135 .. ..... .. .. .. .. .. .. .. .
350241 .. . ... .
135024 ... .. .
413502
.... .... .... ... ... ... ... .. ... .. ... . .. . . ... .... .... ... .....
. = 0:5 (m = 1, p = 2) 013452......
.. .. .
023451...............
..... ..... .
034512............................. ....... ..... ...
123450.................... 134502 234501
.. .. .. ... .. .. .. . .. . .. .. ..
301245......
.. .. .
340125...............
..... ..... .
350124............................ . ...... ..... ....
401235...................... 450123 501234
. ... . .. .. .. ... . .. . .. .. ..
012345 .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
345012
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. ... . . . ... ... ...
045132............... 245130
... ...... ......
195
051342............... 251340.....
302451 ...
302514...............
... . .. .
413025 513024
...... ...... ... ... ...... .....
.... .....
024513 .. ....... . . 130245 .. . ... .
451302
...... .... .... ... ... ... . . ... .. . . . .... . . . ..... . . . . . . ....
... ......
402513......
025134 . ..... . . . . . . . . . . . . . . . .
340251 . . . . . . .
134025 . . . . . .
513402
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. ... . .. . . .. . . . .. .... ... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
196
x
n = 6, e = 10, 2 f3; 4g 2
1
.. .... ... .......... . ... . ... ..... . .. ... . . .. ...... ... .. . ... .......... .... ... ... . .. . . ........ . ... . . . ... . . . . . . . .. ....... ... . .. .. .... ... ....... . .. .. .. ... ..... . . .. .. .. . ........ ... . .. .......... . ......................... ............................................................................................ ..... . . .. ..... ... . . . ..... . .. .... . .... . ...... . . .. ............ ..... ..... ... . . . . . . . . . . . . ....... ....... .. .... . . .......... ... .. .. . . . .. ..... ..... .. .. .. . . . . . . . . . . . ..... .... ... ........... . ............ . ....... ...
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 031425 . ... . . .
031524 .. ... . .
032415 .. ... . .
032514 . ... . . .
041325 . ... . . .
503142 . . .
403152 ...
503241 ...
403251 . . .
504132 . . .
. . . . . . . .
250314 . . . . . . .
425031 . . . . . . .
142503 . . . . . .
314250
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
240315 ... ... .
524031 ... .. ..
152403 ... ...
315240
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
150324 ... ... .
415032 ... .. ..
241503 ... ...
324150
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
140325 . . . . . . .
514032 . . . . . . .
251403 . . . . . .
325140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
250413 . . . . . . .
325041 . . . . . . .
132504 . . . . . .
413250
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
041523 . ... .
042315 .. ...
042513 .. ...
051324 . ... .
051423 . ... .
304152 . . .
504231 ...
304251 ...
405132 . . .
305142 . . .
. . . . . . .
230415 . . . . . . .
523041 . . . . . . .
152304 . . . . . .
415230
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
150423 ... ... .
315042 ... ... .
231504 ... ...
423150
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
052314 . ... . . .
052413 .. ... . .
405231 . . .
305241 ...
. . . . . . .
140523 . . . . . . .
314052 . . . . . . .
231405 . . . . . .
523140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
130524 ... ... .
413052 ... .. ..
241305 ... ...
524130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
130425 ... ... .
513042 ... ... .
251304 ... ...
425130
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
240513 . . . . . . .
324051 . . . . . . .
132405 . . . . . .
513240
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
230514 . . . . . . .
423051 . . . . . . .
142305 . . . . . .
514230
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
197
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 035124 .. ..... .
041235 .. ..... .
041253 . ..... . .
403512 ...
504123 ...
304125 . . .
... .
140352 240351
...... ...... ... .... ...... .....
.. .
124035 ... ... .
512403 ... ... .
351240 035142............... 235140
... ...... .....
023514 .. ..... . ... .
402351 ... ... .
140235 .. . ... .
514023 ... .. ..
351402 053142............... 253140
... ...... ......
... .
402531 ... ... . ... .
314025 ... .. ..
531402
142530
... ...... ......
.... .... .... ... ... ... ... .. . ... ... ... . .. . . . . ... .... .... .....
025314 .. ..... . 140253 .. .
042531...............
.... .... .... .... .. ... .. ... . .. .. ... ... . .. . . . . ... .... ... .....
.... .... .... ... ... ... .. ... . ... .. ... . .. . . .. .... .... ... .....
014253 .. ..... . ... .
301425 ... .. .
530142 .. . ... .
253014 ... .. .
425301
.... .... .... .... ... ... ... ... .. ... . . .. . . ... . . . . .... .... .....
... . .. .
135042............... 235041
... ...... ......
041352............... 241350
... ...... .....
350412 ... ... .
123504 ... ... .
412350
024135 .. ..... . ... .
502413 ... ... .
350241 .. . ... .
135024 ... .. ..
413502 035241............... 135240
... ...... ......
... .
401352 ... ... . ... .
524013 ... .. ..
352401
.... .....
153240......
.... .... .... ... ... ... ... .. . . .. ... ... . .. . . . . ... .... .... .....
013524 .. ..... . 240135 .. .
053241...............
.... .... .... .... .. ... .. ... . . . .. ... ... . .. . . . . ... .... ... .....
.... .... .... ... ... ... .. ... . . .. .. ... . .. . . .... . . .... ... .....
. . . . . . .
153042............... 253041
... ...... ......
041532............... ... ......
241530......
530412 . . . . . . .
125304 . . . . . . .
412530
024153 . ..... . . . . . .
302415 . . . . . . .
530241 . . . . . . .
153024 . . . . . . .
415302 042351............... .... .....
142350......
.... .... .... .... .. ... .. ... . . . .. ... ... . .. . . . . ... .... ... .....
.... .... .... ... ... ... ... .. . . .. ... ... . .. . . . . ... .... .... .....
014235 . ..... . . . . . .
501423 . . . . . . .
350142 . . . . . . .
235014 . . . . . . .
423501
.... .... .... ... ... ... .. ... . . .. .. ... . .. . . .... . . .... ... .....
015324 .. ..... .
053124 . ..... . .
401532 ...
405312 . . .
... . .. .
240153 .. . ... .
324015 ... .. .
532401
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... . . .. . . ... . . . . .... .... .....
. . . .
140532............... 240531
.... ...... .....
. . .
124053 . . . . . . .
312405 . . . . . . .
531240
.... .... .... .... ... ... ... .. . . .. .. . . .. . . .... . . . .... .... .....
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 051342............... .... ......
251340..... 302514 402513
...... ..... .... ... ..... ......
025134 .. ..... .. .. .. .. .. .. .. .
340251 .. . ... .
134025 ... .. .
513402
.... .... .... ... ... ... .. ... .. ... ... . ... . .... ... .... ... .....
034251............... 134250
... ..... ......
013425 .. ........ .
403125...............
501342 ...
503124
... . .. .
325014............... 425013
... ..... ......
250134 .. . ... .
342501
...... ..... .... ... ... ... .. ... ... .... . . . ... . . . . . . . ......
... ...... ......
145032............... ... ......
245031......
031245 . ..... . . . . . .
450312 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124503 . . . . . . .
312450
.... .... .... .... ... ... ... .. . ... .. . . ... . ... . . .. .... ... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
198
031452............... .... .....
231450.....
402315............... 502314
... ..... ......
023145 .. ..... .. .. .. .. .. .. .. .
450231 .. . ... .
145023 ... .. .
314502
305124............... 405123
..... ..... .....
134052............... .... .....
234051......
051234 .. ..... . ... .
340512 .. . .. .. .. .. .. .. .. .
123405 ... ... .
512340
250341
.. ...... ......
312504............... 412503
.. ...... ......
.... ... .... .... ... ... .. ... ... ... .. ... . ... . . .... ... ... .....
034152............... 234150
... ...... ......
315024 415023
...... ...... ... ... ...... .....
032451...............
... ......
132450...... 401325 501324
...... ...... ... ... ...... .....
152340.....
125034 .. . .. .. .. .. .. .. .. .
341250
502341 ... 150234 .. . ... .
341502
... ......
301524 401523
...... ...... ... ... ...... ......
...... .... .... ... ... ... . . ... .. . . . .... . . . ..... . . . . . . ....
.. .. .. .. .. .. .. .
450132 .. . ... .
245013 ...
.... .... .... ... ... ... .. ... . . . .. ... ... . .. . . . .... ... ... .....
015234 .. ..... .. .. .. .. .. .. .. .
340152 .. . ... .
234015 ... .. .
523401
.... .... .... .... ... ... ... .. . ... ... ... . .. . . ... .... .... .....
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 013452......
014532......
023451
024531...............
034512 123450 134502 234501
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ...... ..... ... ..... ........ . ..... . . ... .. ... .. .. ... .. .. . .. ..
.. .. .
..... ..... .
012345 .. ... . ... .. ... .. ... .. ... .. .. .. ... .. ... ..
401235.................450123 .. . 350124............... ... ......
501234......
.. .. .. .. .
345012
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . . .. . ... ... ... ... ... ... ...
045312.............................
. ....... ..... ....
124530..................... 145302 245301
... .. ... .. .. ... .. .. . .. ..
012453 .. ... . ... .. ... .. ... .. ... .. .. .. ... .. ... ..
401253.................340125 .. . 301245...............
... ......
530124......
.. .. .. .. .
453012
. . . .
130452 230451 412305 512304
013245 .. .....
324501
503412 ... .. .
... .
.. .
052341...............
.... .... .... .... .. ... ... ... .. ... ... . . . . . .. .... ... .... .....
045123 . ..... . . 023415 .. ....... . . .. .
034125 .. ..... ... .
150342...............
.... .... .... ... ... ... ... .. ... .. ... . .. . . ... .... .... ... .....
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . . .. . ... ... ... ... ... ... ...
...... ...... ... .... ...... ..... ..... ...... .... ... ...... .....
045231............... ... ......
145230......
304512 . . . . . . .
123045 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
451230
014523 . ........ . . . . . .
301452 . . . . . .
423015 523014
..... ...... .... .... ...... .....
045132............... ... ......
245130......
230145 . . . . . . .
452301
513024
.. ...... ......
...... ..... .... ... ... ... ... .. ... .... . . ... . . . . . . .......
024513 . ........ . . . . . .
302451 . . . . . . .
413025...............
.... ... .... .... ... ... .. ... . . .. ... .. .. . .. . . . .... ... ... .....
130245 . . . . . . .
451302
...... ..... .... ... ... ... . .. ... ... . . . ... . . . . ... ........
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
199
n = 6, e = 10, 2 f2; : : : ; 4g 2
1
.... . ... .......... . ... . ...... .. . ... . . ..... .. .. . ..... .... ... ... . .. . . .......... . ... . . . . ... . . . . . .. ....... . . .. .. ... ....... . .. .. . ... ..... . . .. . ........ ............................................................................... .......... ......................... . .. ..... . ..... . .. . . ............. . ..... . .. .. .... . .... . . ....... .. ...... .... . . ..... . . . ............ ......... .. ..... . .. .. . .......... . . . .. ..... ..... . . . ..... .. .... . ............... ..... .... . . . . ............................................................
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 032415 . ... . . .
042315 .. ... . .
051324 .. ... . .
051423 . ... . . .
503241 . . .
504231 ...
405132 ...
305142 . . .
. . . . . . . .
150324 . . . . . . .
415032 . . . . . . .
241503 . . . . . .
324150
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
150423 ... ... .
315042 ... .. ..
231504 ... ...
423150
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
240513 ... ... .
324051 ... .. ..
132405 ... ...
513240
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
230514 . . . . . . .
423051 . . . . . . .
142305 . . . . . .
514230
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 231450.................023145 ... ....
031542...............
031452
231540
503142
..... ...... .... .... ...... .....
.. .. .. .. .
250314 ... ... .
450231 .. . ... .
145023 ... .. ..
314502
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. .. .. .. . . . .. . ... .... ... .... ... ...
... ...... ......
... .
154023 ... .. ..
315402
041352
241530
504132
250413 ... .. .
350241 .. . ... .
135024 ... .. .
413502
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. ... .. .. . .. . .. . . .. .... ... ... ... ...
402315 ... ... .
041532...............
.. .. .. .. .
... .
540231 .. .
241350.................024135 ... .... ...... ..... .... .... ..... .....
023154 .. ..... .
... ..... ......
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
024153 .. ..... . ... .
302415 ... .. .
530241 .. . ... .
153024 ... .. .
415302
.... .... .... .... .. ... ... ... . . .. ... . .. . . .. . . . . .... .... .....
035142............... .... .....
235140......
023514 . ..... . . . . . .
402351 . . . . . . .
140235 . . . . . . .
514023 . . . . . . .
351402 045132............... ... ......
245130......
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
024513 . ..... . . . . . .
302451 . . . . . .
130245 . . . . . . .
513024 . . . . . .
451302
.... .... .... .... .. ... ... ... . . .. ... . .. . . .. . . . . .... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
200
053142............... 531402
... ..... ......
025314 .. ..... . ... .
402531 ... .. .
140253 .. . ... .
314025 ... .. .
231405.................253140
.. ... .. ...
125403 ... .. .
312540
... . .. ..
135042............... 235041
... ...... ......
350412 ... ... .
123504 ... ... .
412350
.. .
241305.................254130
... ......
245013 ... .. .
324501
130452 513042
230415
153042............... 530412
.... ...... .....
.. ... .. ...
251304 ... .. .
451230
.. ...... ......
... .
140532 240531
...... ...... ... ... ..... ......
405312 ... .. ..
124053 ... ... .
312405 ... ... .
531240
.... .... .... .... .. ... ... ... . ... ... . ... . .. . . . ... .... ... .....
253041 .. . .. ... .. ...
125304 ... .. .
412530
.... .... .... ... ... ... .. ... . . . .. ... ... . .. . . . .... ... ... .....
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . . .. .. .. . .. . ... . . ... ... ... ... ...
015324 .. ..... . ... .
401532 ... 324015 ... .. .
532401
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . .. . . ... . . . ... .... .....
054123 .. ..... . ... .
230541
245031
305412 ... .. ..
123054 ... ... .
412305 ... ... .
541230
.... .... .... .... .. ... ... ... . ... ... . ... . .. . . . ... .... ... .....
450312 . . . . . . .
124503 . . . . . . .
312450
.... .... .... .... .. ... .. ... . . . ... .. . .. . . .. . . . .. .... ... .....
035124 . .... . . . . . .
403512 . . . . . .
240351.................124035 . . . 140352............... ... ......
514032......
142350.....
.. .
... .
130542
145032
304125 ...
.. .
...... ...... ... ... ..... ......
. . .
...... ..... .... ... ...... ......
042351...............
240153 .. .
053124 .. ..... .
. . . .
041253 .. .... . ... .
153240
230451.................123045 .. .
501324 ... ... .
304512 ... .. ..
... . ... .
.................
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. ... . .. . . .. . . . .. .... ... .....
013245 .. ..... . 450132 .. .
053241...............
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. . .. .. .. . . .. . ... . . .. ... .... ... ...
503124 . . .
413025 ...
045123 .. .... ... .
...... ...... ... ... ..... ......
.... .... .... .... ... ... ... ... .. ... ... . . . . . .... ... .... .....
302541 ... ... .
041235 .. ..... 504123 ...
031245 ..... . . .
... . .. .
132450......
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. . . .. . ... ... ... ... ... ...
025413 .. ..... . 130254 .. .
403125 ... 240315.................254031 .. . ... ......
.... .....
541302.....
032451...............
.. .
540312......
054132...............
031254 .. .... . ... .
154032...............
.... .... .... ... ... ... ... .. ... .. ... . .. . . ... .... .... ... .....
... ......
. . . . . . . . . .
251403 . . . . . .
351240
014235 . ..... . . . . . .
501423 . . . . . .
350142 . . . . . . .
235014 . . . . . .
423501 054231............... ... ......
154230......
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. . . ... .. .. . . .. . ... ... ... ... ... ...
.... .... .... .... ... ... ... .. . ... ... ... . .. . . ... .... .... .....
015423 . ..... . . . . . .
301542 . . . . . .
230154 . . . . . . .
423015 . . . . . .
542301
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . .. . . ... . . . ... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
201
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 014532......
.. .. .
024531............... 035241............... 135240
... ...... .....
240135............... 540132
... ..... ......
051342............... 513402 302514 402513
... ...... ..... ...... ...... ... ... ...... ......
..... ..... .
013524 .. ....... . . ... .
401352 ... .. .
254013 .. . ... .
352401
...... .... .... ... ... ... .. .. ... .... . . ... . . . . . .. .......
025134 .. .... .. .. .. .. .. .. .. .
340251 .. ... .. ... .
234051.................123405 ... ...
134025.................251340
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. ... ... .. .. .. . . .. . .. .... .... ... ... ...
045312............................ 124530 145302 245301
. ....... .... .... ..... ...... ..... ..... . .. ... .. .. ... . .. .. . . ..
012453 .. ........ . ... .
301245 ... .. ..
530124 .. . ... .
453012
...... .... .... ... ... ... . . .. ... .... . . . ... . . . . . . . .......
234150.................023415 .. .... ... .
034125.................250341 .. 150342 503412
...... ...... ... ... ...... ......
312504...............
... ......
412503......
.. .. ... ..
125034 .. .. .. .. .. .. .. .. .
341250
... ... .... ... ... .. .. .. .. .. .. . . . .. .. .. . ... . . ... ... ... .... ... ...
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 023451......
015342......
034512
025341...............
123450 134502 234501
.. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... ................... . ...... ....... . . .... .. .... ... . . .. .. .. ..
013452............... 501342
... ...... ......
350124............... 450123
... ...... ......
.. .. .
012345 .. ... . .. ... .. ... .. ... .. .. .. ... .. ... .. ... .
250134 .. . .. .. .. .. .. .. .. ..
345012
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. .. ... ... ... ... . . . ...
..... ..... .
053412............................
....... ..... ....
125340.................... 153402 534012
.. .. .. .. . .. ... .. . . .. .. ..
301254...............
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
.... ......
340125 ...
.................
253401
401253..... 234015
012534 .. ... .
.. .. .. .. .
... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . .. .. ... ... ... ... . . ...
045231............... ... ......
145230 .....
230145............... 530142
... ..... ......
014523 . ....... . . . . . . .
301452 . . . . . .
253014 . . . . . . .
452301
...... .... .... ... ... ... . . .. ... .... . . ... . . . . . .. .......
013542......
.. .. .
023541...............
..... ..... .
035412............................. ....... ..... ...
123540.................... 135402 235401
... .. ... .. .. ... . .. . . .. ..
012354 . ........ . . . . . .
401235 . . . . . . .
540123 . . . . . . .
354012
...... ..... .... ... ... ... ... ... . . . . .... . . ... . . . . . . . .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
202
x
n = 6, e = 11, 2 f3; : : : ; 5g 2
1
.. .... ... .......... . ... . ... ..... . .. ... . . .. ...... ... .. . ... .......... .... ... ... . .. . . ........ . ... . . . ... . . . . . . . .. ....... ... . .. .. .... ... ....... . .. .. .. ... ..... . . .. .. .. . ........ ... . .. .......... . ......................... ............................................................................................ ..... . . .. ..... ... . . . ..... . .. .... . .... . ...... . . .. ............ ..... ..... ... . . . . . . . . . . . . ....... ....... .. .... . . .......... ... .. .. . . . .. ..... ..... .. .. .. . . . . . . . . . . . ..... .... ... ........... . ... ... . . .............................................................
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 031425 . ... . . .
031524 .. ... . .
032415 .. ... . .
032514 . ... . . .
041325 . ... . . .
503142 . . .
403152 ...
503241 ...
403251 . . .
504132 . . .
. . . . . . . .
250314 . . . . . . .
425031 . . . . . . .
142503 . . . . . .
314250
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
240315 ... ... .
524031 ... .. ..
152403 ... ...
315240
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
150324 ... ... .
415032 ... .. ..
241503 ... ...
324150
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
140325 . . . . . . .
514032 . . . . . . .
251403 . . . . . .
325140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
250413 . . . . . . .
325041 . . . . . . .
132504 . . . . . .
413250
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
041523 . ... .
042315 .. ...
042513 .. ...
051324 . ... .
051423 . ... .
304152 . . .
504231 ...
304251 ...
405132 . . .
305142 . . .
. . . . . . .
230415 . . . . . . .
523041 . . . . . . .
152304 . . . . . .
415230
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
150423 ... ... .
315042 ... ... .
231504 ... ...
423150
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
052314 . ... . . .
052413 .. ... . .
405231 . . .
305241 ...
. . . . . . .
140523 . . . . . . .
314052 . . . . . . .
231405 . . . . . .
523140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
130524 ... ... .
413052 ... .. ..
241305 ... ...
524130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
130425 ... ... .
513042 ... ... .
251304 ... ...
425130
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
240513 . . . . . . .
324051 . . . . . . .
132405 . . . . . .
513240
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
230514 . . . . . . .
423051 . . . . . . .
142305 . . . . . .
514230
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
203
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 041532............... 241530
... ...... .....
024153 .. ..... . ... .
302415 ... .. .
530241 .. . ... .
153024 ... .. ..
415302 054132............... .... ......
254130.....
.... .... .... ... ... ... ... .. ... .. ... .. . . ... . . .... .... ... .....
013245 .. ..... . ... .
501324 ... .. .
450132 .. . ... .
245013 ... .. .
324501
.. ..
451302
. . .
140253 . . . . . . .
314025 . . . . . . .
531402
.... .... .... .... .. ... ... .. . . .. .. .. . .. . . .... . . .. .... ... .....
.... .... .... .... ... ... ... ... .. ... .. . . .. . . . . .... ... .... .....
... . .. .
145032............... 245031
... ..... ......
032541............... 132540
... ...... .....
450312 ... ... .
124503 ... .. ..
312450
.... .... .... .... ... ... .. ... . . .. ... ... . .. . . . . ... .... ... .....
013254 .. ..... . ... .
401325 ... .. .
540132 .. . ... .
254013 ... .. .
325401
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... .. . . .. . . . . .... ... .... .....
. . . . . . .
154032............... 254031
... ..... ......
035241............... ... ......
135240......
540312 . . . . . . .
125403 . . . . . . .
312540
.... .... .... .... ... ... .. ... . . .. ... ... . .. . . . . ... .... ... .....
013524 . ..... . . . . . .
401352 . . . . . .
240135 . . . . . . .
524013 . . . . . .
352401
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... .. . . .. . . . . .... ... .... .....
041235 . ..... . .
501423 ...
403512 ...
504123 . . .
... .
235014 ... .. .
423501
.... .... .... ... ... ... ... ... ... .. .. . . .. . . .. .... .... ... .....
041253 .. ..... ... .
304125 ... .. .
253041
513024 ...
. . . .
402531 . . .
035124 .. ..... .
... . ... .
153042
... .
025314 . ..... . .
014235 .. ..... . 350142 .. .
...... ...... ... ... ...... ......
.. .
130245 .. .
... ......
253140 .....
403125 . . .
541302
... ......
302451 ...
053142...............
031254 . ..... .
.. .
142350......
... .
.... .... .... .... .. ... ... .. . . .. .. .. . .. . . .... . . .. .... ... .....
503124 ...
... .
042351...............
024513 .. ..... .
031245 .. .....
... .
413025 ...
132450
245130
... ...... .....
302541 ... 130254 .. .
... ...... .....
045132...............
025413 .. ..... . .. .
032451...............
.... .... .... .... .. ... ... .. . ... .. .. . .. . . . .... ... .... ... .....
530412 ... ... .
125304 ... ... .
412530
.... ... .... .... ... ... ... ... .. .. ... . .. . . .... . . . .... .... .....
... .
140352............... 240351
... ..... ......
.. .
124035 ... ... .
512403 ... ... .
351240 042531............... 142530
... ...... ......
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. .. .. . . .. . . .... . . .... ... .....
014253 .. ..... . ... .
301425 ... .. .
530142 .. . ... .
253014 ... .. .
425301
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... . . .. . . ... . . . . .... .... .....
. . . . . . .
135042 235041
..... ...... .... .. ...... ......
045231............... .... .....
145230......
350412 . . . . . . .
123504 . . . . . . .
412350
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. .. .. . . .. . . .... . . .... ... .....
014523 . ..... . . . . . .
301452 . . . . . .
230145 . . . . . . .
523014 . . . . . .
452301
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... . . .. . . ... . . . . .... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
204
053241............... 153240
... ..... ......
015324 .. ..... . ... .
401532 ... .. .
240153 .. . ... .
324015 ... .. .
532401 031452............... 231450
... ...... ......
023145 .. ..... . ... .
502314 ... ... .
450231 .. . ... .
145023 ... .. .
314502 041352............... ... ......
241350.....
.... .... .... ... ... ... ... .. ... .. ... . .. . . ... .... .... ... .....
.... .... .... ... ... ... .. ... ... .. ... ... . .. . . . .... ... ... .....
054231...............
.... .....
154230.....
015423 .. ..... .
045123 ..... . . .
301542 ...
304512 . . .
... . .. .
230154 .. . ... .
423015 ... .. .
542301 031542............... 231540
... ...... ......
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. ... . .. . . .. . . . .. .... ... .....
023154 .. ..... . ... .
402315 ... ... .
540231 .. . ... .
154023 ... .. .
315402
.... .... .... ... ... ... .. ... . . . .. ... ... . .. . . . .... ... ... .....
024135 .. ..... .
053124 .. .....
502413 ...
405312 ...
... . .. .
350241 .. . ... .
135024 ... .. .
413502
.... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... . .. . . ... .... .... .....
... .
140532 240531
...... ...... ... ... ...... ......
.. ..
124053 ... ... .
312405 ... ... .
531240
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . . . . . .... ... .... .....
. . . .
130452............... 230451
... ..... ......
. . .
123045 . . . . . . .
512304 . . . . . . .
451230 035142............... ... ......
235140......
.... .... .... .... .. ... .. ... . . . ... .. . .. . . .. . . . .. .... ... .....
023514 . ..... . . . . . .
402351 . . . . . . .
140235 . . . . . . .
514023 . . . . . .
351402
.... .... .... ... ... ... .. ... . . . .. ... ... . .. . . . .... ... ... .....
054123 . ..... . . . . .
130542 230541
...... ...... ... ... ...... ......
305412 . . . . . . .
123054 . . . . . . .
412305 . . . . . . .
541230
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . . . . . .... ... .... .....
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 013542......
.. .. .
034251............... 134250
... ..... ......
013425 .. ........ .
305124...............
501342 ...
405123......
... . .. .
325014............... 425013
... ...... .....
052341............... 152340 301524 401523
... ...... ..... ...... ...... ... .. ...... ......
250134 .. . ... .
342501
...... ..... .... ... ... ... ... ... . . . .... . . . ... . . . . . . . .....
015234 .. ..... .. .. .. .. .. .. .. .
340152 .. . ... .
234015 ... .. .
523401
.... .... .... .... ... ... ... ... .. ... ... . . ... . . . .. .... .... .....
... ......
134052 234051
..... ...... .... ... ...... ......
051342...............
... ......
251340..... 302514 402513
...... ...... ... .. ...... ......
051234 .. ..... . ... .
340512 .. . .. .. .. .. .. .. .. .
123405 ... ... .
512340
.... .... .... .... ... ... ... .. . . .. .. . . .. . . .... . . . .... .... .....
025134 .. ..... .. .. .. .. .. .. .. .
340251 .. . ... .
134025 ... .. .
513402
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . . ... . . . .. .... .... .....
023541...............
..... ..... .
035412............................. . ....... ..... ....
123540..................... 135402 235401
... .. ... .. .. ... .. .. . .. ..
034152............... .... .....
234150......
012354 . ....... . . . . . . .
401235 . . . . . .
540123 . . . . . . .
354012
023415 . ........ . . . . . .
502341 . . . . . .
315024 415023
...... ...... ... .... ..... .....
...... .... .... .... ... ... .. ... .. . . . .... . . . ..... ........
150234 . . . . . . .
341502
...... ..... .... ... ... .. . .. .. ... .... . . . ... . . . . . . ........
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
205
014532......
.. .. .
024531...............
034125 .. .....
045312.............................
503412 ...
... .
..... ..... .
. ....... ..... ...
124530..................... 145302 245301
. ... . .. .. .. ... . .. . .. .. ..
012453 .. ....... . .
150342...............
301245 ...
250341
... . .. .
530124 .. . ... .
453012
...... .... .... ... ... ... . ... ... . .. .... . . ... . . . . . . .......
.... ...... .....
312504...............
.... ......
412503.....
.. .
125034 .. . .. .. .. .. .. .. .. .
341250
.... ... .... .... ... ... .. ... . . . .. ... . . .. . . . ... . . . . ... ... .....
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 015342......
013452...... 023451 034512 123450 134502 234501
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ...... .......... ..... ....... . .. ..... . .. .. .. . .. ... . .. .. . .. ..
350124............... ... ......
450123.....
.. .. .
025341...............
..... ..... .
053412.............................
....... ..... ....
012345 .. ..... .
125340....................
501234 .. .
153402
... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
345012
.... ... .... .... ... ... ... ... ... ... ... . . ... . . .. .... .... .....
253401
... .. ... .. .. ... .. .. . .. ..
301254...............
.... ......
401253.....
012534 .. ... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
340125 .. . ... .
534012
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. . .. . ... .. ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
206
x
n = 6, e = 12, 2 f3; : : : ; 5g 2
1
.. .... ... .......... . ... . ... ..... . .. ... . . .. ...... ... .. . ... .......... .... ... ... . .. . . ........ . ... . . . ... . . . . . . . .. ....... ... . .. .. .... ... ....... . .. .. .. ... ..... . . .. .. .. . ........ ... .. . ........... .................... . ............................................................................................ .......... . . .. ..... ... . . . ... ...... . .. .... . .... . .. ..... . . ....... .. .. ............ ..... ... ...... . . . ... . . . . . ....... ....... .. .... ... . . .......... ... .. .. . . . .. ..... ..... .. .. .. .. . . . . . . ... . . . . . ..... .... ... ........... .... ... ... . . .............................................................
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 031425 . ... . . .
031524 .. ... . .
032415 .. ... . .
032514 . ... . . .
041325 . ... . . .
503142 . . .
403152 ...
503241 ...
403251 . . .
504132 . . .
. . . . . . . .
250314 . . . . . . .
425031 . . . . . . .
142503 . . . . . .
314250
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
240315 ... ... .
524031 ... .. ..
152403 ... ...
315240
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
150324 ... ... .
415032 ... .. ..
241503 ... ...
324150
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
140325 . . . . . . .
514032 . . . . . . .
251403 . . . . . .
325140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
250413 . . . . . . .
325041 . . . . . . .
132504 . . . . . .
413250
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
041523 . ... .
042315 .. ...
042513 .. ...
051324 . ... .
051423 . ... .
304152 . . .
504231 ...
304251 ...
405132 . . .
305142 . . .
. . . . . . .
230415 . . . . . . .
523041 . . . . . . .
152304 . . . . . .
415230
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
150423 ... ... .
315042 ... ... .
231504 ... ...
423150
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
052314 . ... . . .
052413 .. ... . .
405231 . . .
305241 ...
. . . . . . .
140523 . . . . . . .
314052 . . . . . . .
231405 . . . . . .
523140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
130524 ... ... .
413052 ... .. ..
241305 ... ...
524130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
130425 ... ... .
513042 ... ... .
251304 ... ...
425130
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
240513 . . . . . . .
324051 . . . . . . .
132405 . . . . . .
513240
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
230514 . . . . . . .
423051 . . . . . . .
142305 . . . . . .
514230
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
207
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 031452............... 231450
... ...... .....
023145 .. ..... . ... .
502314 ... .. .
450231 .. . ... .
145023 ... .. ..
314502 035142............... 235140
... ...... ......
023514 .. ..... . ... .
402351 ... .. .
140235 .. . ... .
514023 ... .. .
351402 043152............... 243150
... ...... .....
... .
502431 ... 150243 .. . ... .
315024 ... .. .
431502
251430
... ..... ......
... .
302514 ... ... . ... .
143025 ... .. .
514302
231540
... ...... .....
023154 .. ..... . ... .
402315 ... .. .
540231 .. . ... .
154023 ... .. ..
315402 041352............... 241350
... ...... ......
024135 .. ..... . ... .
502413 ... .. .
350241 .. . ... .
135024 ... .. .
413502 045132............... 245130
... ...... .....
... .
302451 ... 130245 .. . ... .
513024 ... .. .
451302
253140
... ..... ......
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. ... .. . . ... . . .... .... ... .....
024513 .. ..... . .. .
053142...............
.... .... .... .... .. ... ... .. . . .. .. .. . .. . . .... . . .. .... ... .....
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... .. . . .. . . . . .... ... .... .....
025314 .. ..... . ... .
402531 ... ... .
140253 .. . ... .
314025 ... .. .
531402
.... .... .... ... ... ... ... ... . .. .. .. . . .. . . .... . . .... ... .....
031254 .. .....
503124 ...
403125 ...
.. .
245031
.... .... .... ... ... ... ... ... ... .. .. . . .. . . .. .... .... ... .....
031542...............
031245 .. ..... ... .
145032
.... .... .... .... ... ... ... ... .. ... .. . . .. . . . . .... ... .... .....
025143 .. ..... . 430251 .. .
...... ...... ... ... ...... ......
.... .... .... ... ... ... ... .. ... .. ... .. . . ... . . .... .... ... .....
024315 .. ..... . .. .
051432...............
.... .... .... .... .. ... ... .. . ... .. .. . .. . . . .... ... .... ... .....
450312 ... ... .
124503 ... ... .
312450
.... ... .... .... ... ... ... ... .. .. ... . .. . . .... . . . .... .... .....
... . .. .
154032 254031
...... ...... ... ... ...... ......
540312 ... ... .
125403 ... ... .
312540
.... ... .... .... ... ... ... ... . . .. ... . .. . . .... . . . .... .... .....
034152............... ... ......
234150 .....
023415 . ..... . . . . . .
502341 . . . . . .
150234 . . . . . . .
415023 . . . . . . .
341502 041532............... .... ......
241530.....
024153 . ..... . . . . . .
302415 . . . . . .
530241 . . . . . . .
153024 . . . . . .
415302 051342............... ... ......
251340......
. . . .
402513 . . . 340251 . . . . . . .
134025 . . . . . .
513402
... ......
254130......
. . . .
302541 . . . . . . . . . . .
413025 . . . . . .
541302
.... .....
132450......
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... .. . . .. . . . . .... ... .... .....
025413 . ..... . . 130254 . . .
032451...............
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. ... .. . . ... . . .... .... ... .....
025134 . ..... . . . . .
054132...............
.... .... .... .... .. ... ... .. . . .. .. .. . .. . . .... . . .. .... ... .....
.... .... .... ... ... ... ... ... . .. .. .. . . .. . . .... . . .... ... .....
013245 . ..... . . . . . .
501324 . . . . . .
450132 . . . . . . .
245013 . . . . . .
324501
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... . . .. . . ... . . . . .... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
208
032541............... 132540
... ..... ......
013254 .. ..... . ... .
401325 ... .. .
540132 .. . ... .
254013 ... .. .
325401
150342 250341
125034 ... ... .
412503 ...
.. .
143250
530412 ... ... .
125304 ... ... .
412530
... .
501432 ... .. . ... .
325014 ... .. .
432501
230451
... .
425013 ... .. .
342501
.... .....
135240.....
013524 . ..... . . . . . .
401352 . . . . . .
240135 . . . . . . .
524013 . . . . . .
352401
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. ... . .. . . .. . . . .. .... ... .....
.... .... .... .... ... ... ... ... . .. ... . .. . . ... . . . .... ... .....
... .
140352 240351
...... ...... ... .... ..... .....
.. .
124035 ... ... .
512403 ... ... .
351240 042351............... 142350
... ...... ......
014235 .. ..... . ... .
501423 ... .. .
350142 .. . ... .
235014 ... .. .
423501 045231...............
... ......
145230......
.... ... .... .... ... ... ... ... . . ... .. .. . .. . . .... ... .... .....
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . .. . . ... . . . ... .... .....
. . . . . . .
135042............... 235041
... ..... ......
042531............... .... ......
142530.....
350412 . . . . . . .
123504 . . . . . . .
412350
.... ... .... .... ... ... ... ... . . ... .. .. . .. . . .... ... .... .....
014253 . ..... . . . . . .
301425 . . . . . .
530142 . . . . . . .
253014 . . . . . .
425301
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . .. . . ... . . . ... .... .....
014523 .. ..... .
043125 . ..... . .
301452 ...
504312 . . .
... . .. .
230145 .. . ... .
523014 ... .. .
452301
.... .... .... .... ... ... ... .. . . .. ... . .. . . ... . . . .... ... .....
. . . .
150432............... 250431
... ...... ......
. . . .
125043 . . . . . . .
312504 . . . . . . .
431250
.... .... .... .... ... ... ... .. . . .. ... . .. . . ... . . . .... ... .....
045123 .. ..... .
051234 .. ..... .
051243 . ..... . .
304512 ...
405123 ...
305124 . . .
... .
130452
.... .... .... .... .. ... ... ... .. ... ... . . . . . .. .... ... .... .....
014325 .. ..... . 250143 .. .
...... ...... ... ... ...... ......
.. .
250134 .. .
035241...............
504123 . . .
.. .
304125 ...
... ..... ......
501342 ...
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. ... . .. . . .. . . . .. .... ... .....
041235 . ..... .
... .
043251...............
... .
403512 ...
.... ... .... .... ... ... ... ... .. ... .. .. . .. . . .... ... .... .....
041253 .. .....
253041
013425 .. ..... .
035124 .. .....
341250
153042
134250
... ..... ......
503412 ...
... .
...... ...... ... ... ...... .....
034251...............
034125 .. ..... ... .
...... ...... ... .... ..... .....
.... .... .... ... ... ... ... .. ... .. ... . .. . . ... .... .... ... .....
.. ..
123045 ... ... .
512304 ... .. ..
451230
.... ... .... .... ... ... ... ... . ... ... ... . .. . . ... .... .... .....
... . .. ..
134052............... 234051
... ...... ......
340512 ... ... .
123405 ... .. ..
512340
.... ... .... .... ... ... ... ... . ... ... ... . .. . . ... .... .... .....
. . . . . . . .
143052............... 243051
... ...... ......
430512 . . . . . . .
124305 . . . . . . .
512430
.... ... .... .... ... ... ... ... . ... ... ... . .. . . ... .... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
052341............... 152340
... ..... ......
015234 .. ..... . ... .
401523 ... .. .
340152 .. . ... .
234015 ... .. .
523401 054231............... ... ......
154230......
.... .... .... ... ... ... ... .. ... .. ... . .. . . ... .... .... ... .....
052431............... 152430
... ..... ......
209
015243 .. ..... . ... .
301524 ... .. .
430152 .. . ... .
243015 ... .. .
524301
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. ... . .. . . .. . . . .. .... ... .....
015423 .. ..... .
053124 .. ..... .
301542 ...
405312 ...
... . ... .
230154 .. . ... .
423015 ... .. .
542301
.... .... .... ... ... ... .. ... ... .. ... ... . .. . . . .... ... ... .....
... .
140532 240531
...... ...... ... .... ...... .....
.. ..
124053 ... ... .
312405 ... ... .
531240
.... ... .... .... ... ... .. ... . . . ... .. ... . ... . . .... ... ... .....
053241............... .... .....
153240.....
015324 . ..... . . . . . .
401532 . . . . . .
240153 . . . . . . .
324015 . . . . . .
532401
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. ... . .. . . .. . . . .. .... ... .....
054123 . ..... . . . . . .
130542 230541
...... ...... ... .... ...... .....
305412 . . . . . . .
123054 . . . . . . .
412305 . . . . . . .
541230
.... ... .... .... ... ... .. ... . . . ... .. ... . ... . . .... ... ... .....
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 013452......
013542......
014352......
023451
023541
024351...............
034512 123450 134502 234501
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ....... ..... .... ..... ....... . . ...... . .. . ... .. .. ... . .. .. .. ..
012345 .. ........ . ... .
501234 ... .. ..
450123 .. . ... .
345012
...... ..... .... ... ... ... ... ... ... . . . ... . . . . ... ........
035412 123540 135402 235401
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ....... ..... .... ..... ....... . . ...... . .. . ... .. .. ... . .. .. .. ..
.. .. .
..... ..... .
012354 .. ........ . ... .
401235 ... .. ..
540123 .. . ... .
354012
...... ..... .... ... ... ... ... ... ... . . . ... . . . . ... ........
043512............................. . ....... ..... ....
124350..................... 143502 243501
. ... . ... .. .. ... .. . .. .. ..
014532......
015342......
015432......
024531
025341
025431...............
045312 124530 145302 245301
.. .. . .. ... ... .. ... ... ..... .... ..... ........ ..... ... ...... ...... ..... .... ..... ...... .... . ..... . . .. ... .. .. .. .. .. . . ..
012453 .. ........ . ... .
301245 ... .. .
530124 .. . ... .
453012
...... ..... .... ... ... ... .. .. ... .... . . . ... . . . . . . ........
053412 125340 153402 253401
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012435 . ........ . . . . . .
501243 . . . . . . .
350124 . . . . . . .
435012
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012534 .. ........ . ... .
401253 ... .. .
340125 .. . ... .
534012
...... ..... .... ... ... ... .. .. ... .... . . . ... . . . . . . ........
054312............................. ...... ..... ....
125430.................... 154302 254301
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012543 . ........ . . . . . .
301254 . . . . . .
430125 . . . . . . .
543012
...... ..... .... ... ... ... .. .. ... .... . . . ... . . . . . . ........
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
210
x
n = 6, e = 7, 2 f1; : : : ; 3g 2
1
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3
0
4
5
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 042513............... .... .....
425013......
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.... . ... .... .... . . . ..
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.................
235014
..................
135240............... 315240
... ...... ......
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123504 .. .. .. ..
231504................. 341250 .. 134250
.................
031524
.................
.. .. .. ...
034125
013524 .. .... . ... .
340152 .. .. .. ... ..
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... ...... .....
234051
.... . . .... .... .... ....
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.. .. .. .. .. .. .
123405................. 351240
.... ... .... .... ... .. ... .. ... . .. .. ... . .. . . ... .... .... .... ....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
211
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 351204.................134520............. 135204 315204
...... ...... ... .... ...... .....
341520
.... . .. .... .... . . . ....
013452 .. ... 034152
.................
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... ...... .....
342051
.... . .. .... .... . . . ...
134205 341205 512304
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230145 .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
345120
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ... ...
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... ..... ......
340251
.... . .... .... .... ....
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.... ..... ......
341502
.... . ... .... .... . . . ..
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345012 ... ....... . ...
123450 .. . .. .. .. .. .. .. .. .. ..
234150................. 023415
..... ..... .... ... ... ... .. ... ... . .... . . . ... . . . . . . .......
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
212
x
n = 6, e = 7, 2 f2; 3g 2
1
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3
0
4
5
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350124......
134502.............
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.... . ... .... .... . . . ..
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234501
......... ...... ... .. ... ..... . . . . . . . . . ..........
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...... ...... ... ... ...... .....
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.................
124053
.... . . .... .... .... ....
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.... . . .... .... .... ....
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......... ..... .... ... ... ... ..... . . . . . ..... .........
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......... ...... ... . ... ..... ......... . . . . . . . . . .
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.................
204531............... 420531
... ...... ......
120453 142053
.... .... .... .... . .... .... .... ....
230145 .. . .. .. ..
341205................. 452301
........ ..... .... ... .. ... ..... ...... . . . . . . . . .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
502341.................145023............. 150234............... 315024
.... ..... .....
341502
.... . . .... .... .... ....
213
234150................. 023415 ... .......... . ... .
450231 ... ... .
124503
......... ..... ... .. .... ..... ......... ..........
023451 .. ......... . . ... .
024513
.................
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.. ...... ......
340251 234051
.... .... .... .... . . .... .... . ... ....
503412.................125034............. 150342............... 315042
.... ..... .....
231504
.... . ... .... .... . . . ...
134025 .. . .. .. ..
123405................. 245013
........ ..... .... ... ... .... ..... ....... . . . . . . . . ...
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250341 ... ...
145230
......... ..... ... .. .... ..... ......... ..........
034512 .. ......... ... .
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...... ..... .... ... ...... ......
342051
.... . .... .... .... ....
123045 .. . .. .. ..
134205................. 451230
......... ..... .... ... .. ... .... . . . . . ...... .........
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
214
x
n = 6, e = 8, 2 f2; : : : ; 4g 2
1
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3
0
4
5
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... ...... ......
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...... ...... ... ... ..... ......
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425031.....
235014 ... .. .
123504..................134250
014253.............
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.... . ... .... .... . . . ..
150342 315042
...... ..... .... ... ... ... .. ... .. . . . .... . . . ..... ........
.. .
503412 .. . 125034 ... .. .
231504..................341250
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024531............... 402531
... ...... ......
140253
.... . ... .... .... . . . ...
502341.................145023............. 150234............... 315024
.. ...... ......
341502
.... . .... .... .... ....
... ...... .....
315240
...... ..... .... ... ... ... .. ... .. . . . .... . . . ..... ........
052341
... ...... ..... .................
240531............... 405231
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124503 .. . .. .. .. .. .. .. .. .
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234051
.... . . .... .... .... ....
. . . . . . . . . . . . . . . . .
123405 . . . . . . .
512340 . . . . . .
035124
152340...............
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...... ...... ... ... ..... ......
.... .....
351240......
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... ..... ......
... .... .... .... ... ... .. ... .. . .. ... ... . . . . . .. .... ... .... ....
015234 . .... . 031524 140523 124053
..................
.... .... .... .... . .... .... .... ....
. . . .
340152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
234015 . . . . . .
523401
.... .... .... .... ... ... ... ... . . ... ... .. . .. . . .. .... .... ... ....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
135024............... ... ......
350124......
134502.............
501234.................345012
.... . ... .... .... . . . ...
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.... ..... ......
340251
.... . .... .... .... . . . .
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...... ...... ... .... ...... .....
341520
.... . ... .... .... . . . ...
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... ..... ......
135204............... .... .....
351204......
142053
.... . .... .... .... ....
134520.............
512304.................345120
.... . .... .... .... . . . .
045123.................230451............. 204513............... 420513
... ..... ......
342051
.... . .... .... .... ....
215
123450................. 012345 .. ....... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
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234501
..... .... .... .... ... ... ... .. ... .. . . .... . . .... .... .......
014523 .. .... 034152
.................
.. .. ..
230145 .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
341205................. 452301
.... ... ... ... ... .. .. .. .. ... ... .. ... . . .. . . ... ... ... ... ... ....
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134205................. 451230 ... .. .
034512
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... ... . . ... . . . ... .... .......
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
216
x
n = 6, e = 8, 2 f1; : : : ; 4g 2
1
. .. ....... . . ....... . ............... ..... ... . . .. ............... .. . . ...... . . . . .............. .......... .... . . . . . . . ....... ...... .... ...... ...... .. .. ...... . ...... . . . . . .. ....... . . . .. . ... ..... . .. .. ..... . . . .. . ... .............. ... . . .. . .. ...... .. . . . .. ............ ..... . . . . . . . . . . ... . . . ..... .. . .. . . ..... .... ... .... . ..... . .. .. ... . ......... .... . . . ........................................................
3
0
4
5
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245013......
023451.............
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.... . ... .... .... . . . ..
135024............... ... ......
315024..... 501234
.................
345012
..................
012345................. 350124 ... ...... .. ..
134502 .. .. .. ..
341502................. 234150 .. 123450
.................
.. .. .. ...
023415
.... .... .... .... ... ... ... . .. ... . ... . . .... . . .. .... .......
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... ..... ......
340251
135402............... 315402
042513............... .... .....
425013...... 250134
.................
.... . .... .... .... ....
.. ...... ......
034251............. 342501
.... . . .... .... .... ....
135042............... 315042
... ...... .....
.. .. .. .. .. .. .
134025................. 351402 ... ...
123540 .. .. .. ..
231540................. 023154
.... .... .... .... ... ... ... ... ... ... . .. . . ... . . . .. .... .... .....
013425................. 350142 ... ...... .. ..
123504 .. .. .. ..
231504................. 341250 .. .. .. .. ...
501342.................235014..................134250................. 034125
.... .... .... .... ... ... ... .. .. ... .. . . ... . . . .... .... .......
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
217
512304.................345120..................013452................. 230145 .. ..... 451230.................034512............. 045123............... 204513
... ..... ......
230451
.... . .... .... .... . . . .
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... ...... .....
135240............... 315240
.... ..... .....
.. .. .. .. .. .. .
123045................. 351204 ... ... .
134520 .. .. .. ..
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013524 .. .... ... .
031524................. 340152 .. .. .. .. .. .
512340.................035124..................134052................. 234015 .. . 051234.................340512............. 240513............... 405123
... ...... ......
234051
.... . .... .... .... . . . .
135420............... 315420
... ...... ......
.. .. .. .. .. .. .
123405................. 351240
205134............... 420513
.. ...... ......
342051
.... . .... .... .... ....
.... ... ... ... ... .. .. .. .. ... ... .. ... . . .. . ... ... ... ... ... ....
013542 .. .... . 031542
.................
... .
230154 .. .. .. ... ..
513420.................035142..................123054................. 341205 .. . 051342.................230514.............
.... ... .... .... ... ... .. ... .. .. ... .. .. . .. . . . .... ... ... .....
.. .. .. .. .. .. .
134205................. 351420
.... .... .... .... ... ... ... ... . .. ... .. . .. . . . .... ... .... ... ....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
218
x
n = 6, e = 9, 2 f2; : : : ; 5g 2
1
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3
0
4
5
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... ...... ......
023451.............
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.... . ... .... .... . . . ..
135402............... 012345 ... ........ .. .
501234 .. . ... .
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...... ...... ... ... ..... ......
024531............... .... ......
245031.....
345012 ... .. .
134502..................123450
012453.............
450231.................124503
.... . ... .... .... . . . ..
023415 ... ........ .. .
502341 .. . ... .
150234............... 315024
... ..... ......
042513............... 425013
... ..... ......
145023 ... .. .
341502..................234150
034251.............
250134.................342501
.... . ... .... .... . . . ..
.... .....
350142.....
...... ..... .... ... ... ... .. ... .. . . . .... . . . ..... ........
025134............... 402513
... ...... .....
.. .
501342 .. . 235014 ... .. .
123504..................134250
...... ..... .... ... ... ... .. ... .. . . . .... . . . ..... ........
340251
.... . . .... .... .... ....
025341............... 402531
... ..... ......
153402............... ... ..... ......
... ......
351204......
134025 . . . . . . .
513402 . . . . . .
140253
.... . ... .... .... . . . ..
045123............... .. ...... ......
... .... .... .... ... ... .. ... .. . .. ... ... . . . . . .. .... ... .... ....
340125 . ........ . . . . . .
534012 . . . . . . .
125340 . . . . . . .
231540..................023154
...... ..... .... ... ... ... .. ... .. . . . .... . . . ..... ........
134520..................013452 . .... .
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. . . . . . . . . . . . . . . . .
235140
253401.................012534.............
315402
013425 ... ........
123540..................012354 . .... .
251340.................023514.............
135204...............
... .
135042...............
...... ..... .... ... ... ... .. ... .. . . . .... . . . ..... ........
.... .....
351402......
230451
.... . . .... .... .... ....
. . . . . . . . . . . . . . . . .
123045 . . . . . . .
512304 . . . . . .
345120
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Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
135240............... 351240
... ..... ......
013524..................134052 .. ....
051234.................340512............. 240513 405123
..... ...... .... .... ...... .....
234051
.... . . .... .... .... ....
.. .. .. .. .. .. .. .. .
123405 .. . ... .
512340 ... .. .
035124
042531............... ... ......
425031......
014253.............
250341.................142503
.... . ... .... .... . . . ...
034125 ... ....... . .. .
503412 .. . ... .
150342 315042
...... ...... ... .... ..... .....
152340............... 315240
... ...... ......
125034 ... .. .
231504..................341250
240531 405231
...... .... .... .... ... ... .. ... .. . . . .... . . . ..... . . . . . . . ..
031524
124053
.... . ... .... .... . . . ...
... .
340152 .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
234015 ... .. .
523401
135420............... .... .....
351420.....
.... .... .... ... ... .. ... .. ... . .. .. ... . .. . . .. .... ... .... ....
013542..................123054 . .... .
051342.................230514............. 205134............... 420513
.... ...... .....
342051
.... . . .... .... .... ....
045231............... 204531
.... ...... .....
152304............... ... ...... .....
153420............... 315420
134205 . . . . . . .
513420 . . . . . .
... ...... ......
120453
.... . ... .... .... . . . ...
205341............... ... ..... ......
... ... .... ... ... .. .. .. .. ... . . . .. .. ... . .. . . .. .... .... ... ....
230145 . ........ . . . . . .
523014 . . . . . . .
145230 . . . . . . .
341520..................034152
...... ..... .... ... ... ... .. ... .. . . . .... . . . ...... . . . . . . ..
015342 . .... . 031542
..................
053412.................120534............. 420531
. . . . . . . . . . . . . . . . .
035142
452301.................014523............
315204
015234 .. .... ..................
052341.................140523............. ...... ...... ... ... ..... ......
... ... .... ... ... .. .. .. .. ... ... .. .. ... . .. . . .. .... .... ... ....
219
142053
.... . ... .... .... . . . ...
. . . .
230154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
341205 . . . . . .
534120
.... .... .... ... ... .. ... .. ... . .. .. ... . .. . . .. .... ... .... ....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
220
x
n = 6, e = 8, 2 f2; 3g 2
1
. ...... . ......... . . .......... . ......... . ............... .... ... . . . ....... . . . . .......... .............. .... . . . . . . . .. . ....... .. ............ ....... .. .. ..... . ..... . .. . .. ....... ..... . ... ..... . .. ......... . .. . . ..... .. ... .............. . ..... . . . . . ...... .. ..... .. ...... .... ..... .. ..... .. ........ .... . . . . . . . . . . ....... ...... . ... . .. .. . .. .. . . ... ................ . . . ..... .. .... . ............... ..... .... . ........ . ....... .
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 024135 . ... . . .
053142 .. ... . .
502413 . . .
205314 ...
. . . . . . . .
350241 . . . . . . .
135024 . . . . . . .
413502 . . . . . .
241350
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
420531 ... ... .
142053 ... .. ..
314205 ... ...
531420
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 025314 .. .... . ... .
402531 ... .. .
240531.................124053 ... 140253
.................
314025............... 531402
.. ...... ......
024153............... .... .....
241503......
... .
231405 .. .. .. .. .. .
253140
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. . .. .. . . . .. . .. . . . ... ... ... ... ...
... . .. .
150234 .. . ... .
315024.................341502 ... .. .
415023.................234150
051342
.................
205134...............
... ......
420513.....
... .
230514 .. .. .. ... ..
342051 .. . ... .
134205 ... .. .
513420
023415 .. ..... . 502341 ...
351420.................035142 .. .... .
.... .... .... ... ... ... .. ... ... ... ... . . . . . .. .... ... .... .....
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. .. . . .. . .... .... ... ... ... ...
041235 . .... . . 204135
.................
. . . .
250413 . . . . . .
504123.................235041 . . . 135042............... ... ......
350412......
. . . . . . . . . .
123504 . . . . . .
412350
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. .. . . .. . .... .... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
221
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 041253............... 204153
... ...... ......
150342............... .... .....
315042......
412503..................034125 .. ........ .
351402...............
230415..................250341 ...
513402 .....
... . .. ..
503412..................125034 ... 231504
..................
... .
341250
...... ..... .... ... ... ... ... ... ... . . . .... . . . ..... .......
.... .....
240513............... 402513
... ..... ......
235140..................023514 . ........ . . . . . .
025134..................340251 . . . . . .
234051..................123405 . . . . . . .
134025..................251340
...... ..... .... ... ... ... . . .. ... .... . . ... . . . . . .. .......
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 145230............... 314520 045231 204531
..... ..... ..... ...... ...... ... ... ...... .....
014523 .. ........ . 031452 503142 120453 412053
..... ..... ..... ... ...... ..... ...... ...... ... ... ...... ......
... .
250314........... 341205
.... .... .. .. .... ... . . . .... . . ..
230145 .. .. .. .. .. .
452301
........ ..... .... ... .. . ... .... .... . . . . . ... .........
145023............... .... ......
314502.....
045123 204513
034512 .. ........... ... .
230451..................123045 ... .. .
412305..................451230
......... ..... ... . .. ... ..... ......... ..........
. . .
401235
... ..... ......
350124............... ... ......
501234......
024531..................012453 .. ........... ... .
240153 401253
...... ...... ... ... ...... ......
340125 ... .. .
234015..................245031
......... ..... ... . ... ..... ........ . . . . . . . . . ....
. . . .
502314..................450231 . . . 124503
240135............... ...... ...... ... ... ...... ......
231450..................023145 . .......... . . .
024513............... ... ......
245013...... 134502 345012
...... ...... ... ... ...... ......
023451........... 123450
.... .... .. .. .... .... . . ... . . . ..
. . . .
350142 501342
012345 . .......... . . . . . .
450123 . . . . . . .
234501
134520..................013452 . ........... . ...... ...... ... ... ...... ......
......... ..... ... .. ... ..... ......... ..........
250134 . . . . . .
235014..................345120
......... ..... ... . ... ..... ........ . . . . . . . . . ....
......... ...... ... .. ... ..... ......... ..........
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
222
x
n = 6, e = 9, 2 f2; : : : ; 4g 2
1
. .. ....... . . .......... . ............... ..... . .. . . .. ............... .... ... . . ...... . . . . . .............. .............. .... . . . . . . . . ....... .... . ........... .. ...... .. .... ....... . .. ..... .. .. ..... . . ..... .... ..... . ..... . ... .... ......... . . ..... ...... ... .............. . ..... . . . . . .. . . . ...... ...... .... .... ............ .... ..... .. ........ . . . . . . . . . . . . . ....... ....... . ... . . .. .. . . . . ... ................ .... ... .... . . ..... .. . .. . ............... ..... ...... . .......... . .......
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 024135 . ... . . .
025314 .. ... . .
041352 .. ... . .
053142 . ... . . .
502413 . . .
402531 ...
204135 ...
205314 . . .
. . . . . . . .
350241 . . . . . . .
135024 . . . . . . .
413502 . . . . . .
241350
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
140253 ... ... .
314025 ... .. ..
531402 ... ...
253140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
520413 ... ... .
352041 ... .. ..
135204 ... ...
413520
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
420531 . . . . . . .
142053 . . . . . . .
314205 . . . . . .
531420
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 135240............... 352401
... ...... ......
013524 .. ..... . ... .
401352 ... ... .
240135 .. . ... .
524013 ... .. ..
052413.................035241
.... .... .... .... ... ... ... ... . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
042531.................014253 ... ....
415230.................034152 . .... . .
142503
041523...............
314250
..... ...... .... .... ...... .....
.. .. .. .. .
031425 ... ... .
503142 .. . ... .
250314 ... .. ..
425031
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. . . .. .. . . . .. . .. . . ... ... .... ... ...
... ......
204153......
. . . .
315204.................341520 024153...............
051342
504123 ...
241503......
205134............... 420513
... ..... ......
230514 .. .. .. ... ..
342051 .. . ... .
134205 ... .. .
513420
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. ... .. .. . .. . .. . . .. .... ... ... ... ...
... . .. .
250413.................235041 .. . 135042 350412
..... ...... .... .... ...... .....
.. ... .. ...
123504 ... .. .
412350
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. . .. . . .. .... ... ... ... ...
. . . .
523041 . . . . . . .
041235 .. .... .
... .
230415 . . . 152304 . . .
351420.................035142 .. .... . .................
. . . . . . . . .
... ......
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. . . .. .. . . . .. . .. . . ... ... .... ... ...
023415 . ..... . . . . . .
502341 . . . . . .
150234 . . . . . . .
315024.................341502 . . . . . .
415023.................234150
.... .... .... .... .. ... ... ... . . .. ... . .. . . .. . . . . .... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
052314 .... .. .
251340.................023514 ... ....
405231 ...
025134...............
... . .. ..
240531.................124053 .. . 140523 314052
..... ...... .... .... ...... .....
223
.. .. .. .. ..
231405 ... .. .
523140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
... ......
402513.....
.. .. .. .. .
340251 ... .. .
134025 .. . ... .
513402 ... .. .
351402.................235140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 041253............... 412503
... ...... .....
... .
503412 ... .. .
150342............... ... ......
315042......
250341..................125034 .. . 231504
..................
042513...............
034125 .. ........ .
... .
341250
... ......
425013 .....
...... ..... .... ... ... ... .. .. ... .... . . .... . . . . . ........
051234 240513 405123
...... ..... .... .... ..... .....
134052............... ... ......
234051......
... .
340512 .. .. .. ... ..
123405 .. . ... .
512340
... ......
245031.....
012453............... .... .....
401253.....
145023............... 314502
... ...... .....
024513............... .... ......
245013..... 350124 501234
...... ...... ... ... ...... ......
134502............... 345012
... ...... .....
. . .
501342 . . . . . . .
250134..................342501
152340...............
..... .... .... .... ... ... ... . ... .. . . .... . . ... . . . .... .......
340125...............
... ......
502314......
315240
450231 ... .......... . .. .
124503 .. .
......... ...... ... .. ... ..... ......... ..........
023451...........
012345 .. ........ . .. .. .. .. .. .. .. .
401235................. 450123 ... .. .
234501
...... .... .... .... ... .. .. .. ... ... . . . ... . . . . . . ........
...... .... .... .... ... ... ... ... .... .... . . ... . . . . . . . .....
052341..................015234 . ....... . . . . . .
031524..................340152 . . 240153............... ... ......
... .
.... .... .. .. ... .... ... . . . . ....
... ...... .....
401523......
231450................. 023145
123450
013425 . ....... . . . . . . .
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 024531...............
.... .....
134250......
350142..................235014 . . .
351240..................035124 .. ....... . ..................
034251...............
. . . . . . . . .
234015 . . . . . . .
523401
..... .... .... .... ... ... ... . ... .. . . .... . . ... . . . .... .......
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
224
145230............... 045231............... 204531
... ..... ......
351204............... 512304
..... ..... .....
314520
... ...... ......
120453............... .... .....
412053......
134520............... ... ......
345120..... 045123 204513
...... ..... .... .... ..... ......
014523 .. ....... . ... .
031452................. 230145 .. 341205...............
.... ......
523014.....
.. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .
452301
..... .... .... .... ... ... .. .. ... ... . . . . .... . . .. ..... ......
013452........... 230451
.... .... .. .. ... .... .... . . ....
123045 .. ........ . .. .. .. .. .. .. .. .
412305................. 451230 ... .. ..
034512
...... .... .... .... ... ... .. .. ... .... . . . ... . . . . . . .......
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
225
n = 6, e = 9, 2 f1; : : : ; 4g 2
1
. .. ....... . . .......... . ............... ..... . .. . . .. ............... .... ... . . ...... . . . . . .............. .............. .... . . . . . . . ...... .. .. . . ... .. ............ ... . .. ..... ...... .. .... ..... . . .. ....... .. .. . ..... .... ..... . .. ..... . .. . . ...... . ... .............. . . . . .. .... . .. ...... .. . . . . .. ............ ..... .. . . . . . . . . . . . . .. ... . . . . ..... .. . .. . . ... ......... .... ... .... . . . .. .. ... ............... .... . . . .........................................................
3
0
4
5
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 241350.................023415 .. .... .
251340.................023514 .. .... .
413520.................034152 . .... .
024135
025134
041352.................230415 . .
502413 315024
...... ...... ... ... ...... .....
.................
.. .. .. .. .
350241 ... ... .
135024 .. . ... .
341502 ... .. ..
413502.................234150
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
402513 314025
...... ...... ... ... ...... .....
.................
.. .. .. .. .
340251 ... ... .
134025 .. . ... .
351402 ... .. ..
513402.................235140
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
. . . .
204135............... ... ......
520413......
. . . . . . . . .
352041 . . . . . . .
135204 . . . . . . .
315204.................341520
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
513420.................035142 .. .... . ... .
051342.................230514 .. 205134............... .... .....
420513......
.. .. ... ..
342051 .. . ... .
134205 ... .. .
314205.................351420
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. .. ... .. .. . .. . . ... .... ... ... ... ...
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 052413............... .... ......
524013.....
135240............... 315240
... ...... .....
035241..................013524 .. ..... .. .. .. .. .. .. .. .
031524..................340152 .. . ... .
401352..................234015 ... .. .
240135..................352401
.... .... .... .... ... ... ... .. .. .. ... ... . .. . . . .. .... .... .....
135420............... 315420
... ..... ......
541230.................035412............. 054123............... 205413
.... ...... .....
230541
.... . . .... .... .... ....
013542 . .... . . . . . .
031542................. 230154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123054................. 341205 . . . . . .
412305................. 354120
.... .... .... .... ... ... ... ... . . .. ... . . .. . .. . . . ... .... .... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
226
024513............... .... .....
245013.....
023451.............
450123.................234501
.... . ... .... .... . . . ...
012345................. 350124 ... ....... . .. .
501234................. 345012 .. . ... .
134502 314502 025413............... ... ......
254013......
...... ...... ... ... ..... ......
023541.............
540123.................235401
.... . ... .... .... . . . ...
123450 ... .. ..
231450................. 023145
412350..................034125 . ..... . 012354
.................
315402 042513............... 425013
... ..... ......
134250............... 314250
.... ..... ......
.... ..... .....
.. .
401235................. 354012 .. . 123540 ... .. .
231540................. 023154
.. .. .. .. .. .. .. .
031425..................350142 .. . 501342
..................
... .
235014 ... .. .
134520............... 314520
... ...... ......
451230.................034512............. 204513
... ...... .....
250413...............
...... .... .... .... ... ... . ... .. . . . .... . . . ..... . . . . . . . ..
504123
230451
.... . .... .... .... ....
.... ..... .....
135042............... .... ......
315042.....
041235..................350412 . . . . . .
235041..................123504 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
231504..................341250
512340..................035124 . ..... .
034251..................013425 .. .....
250134..................342501
045123...............
. . . .
340125 ... ....... . ... .
135402...............
...... .... .... .... ... ... . ... .. . . . .... . . . ..... . . . . . . . ..
. . . .
.... .... .... .... ... ... ... .. . ... ... . .. . . .... . . . .... ... .....
240513 405123 134052 314052
013452 .. .... ... .
031452................. 230145 .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
123045................. 351204 ... .. .
512304................. 345120
.... .... .... .... ... ... ... ... .. .. ... . ... . . .... .... .... ... ...
...... ...... ... ... ...... ..... ...... ...... ... ... ..... ......
051234..................340512 . . . . . . .
234051..................123405 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
231405..................351240
.... .... .... .... ... ... ... .. . . .. ... ... . ... . . .. .... .... .....
.... ... .... .... ... ... ... ... . ... ... . .. . . ... . . . .. .... ... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
227
n = 6, e = 9, 2 f2; : : : ; 4g 2
1
. ...... . ......... . . .......... . ......... . ............... .... ... . . . ....... . . . . .......... .............. .... . . . . . . . .. . ....... .. ............ ....... .. .. ..... . ..... . .. . .. ....... ..... . ... ..... . .. ......... . .. . . ..... .. ... .............. . ..... . . . . . ...... .. ..... .. ...... .... ..... .. ..... .. ........ .... . . . . . . . . . . ....... ...... . ... . .. .. . .. .. . . ... ................ . . . ..... .. .... . ............... ..... .... . . . . ............................................................
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 024135 . ... . . .
053142 .. ... . .
502413 . . .
205314 ...
. . . . . . . .
350241 . . . . . . .
135024 . . . . . . .
413502 . . . . . .
241350
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
420531 ... ... .
142053 ... .. ..
314205 ... ...
531420
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 025314 .. .... . ... .
402531 ... .. .
240531.................124053 ... 140253
.................
314025............... 531402
.. ...... ......
024153............... .... .....
241503......
... .
231405 .. .. .. .. .. .
253140
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. . .. .. . . . .. . .. . . . ... ... ... ... ...
... . .. .
150234 .. . ... .
315024.................341502 ... .. .
415023.................234150
051342
.................
205134...............
... ......
420513.....
... .
230514 .. .. .. ... ..
342051 .. . ... .
134205 ... .. .
513420
023415 .. ..... . 502341 ...
351420.................035142 .. .... .
.... .... .... ... ... ... .. ... ... ... ... . . . . . .. .... ... .... .....
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. .. . . .. . .... .... ... ... ... ...
041235 . .... . . 204135
.................
. . . .
250413 . . . . . .
504123.................235041 . . . 135042............... ... ......
350412......
. . . . . . . . . .
123504 . . . . . .
412350
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. .. . . .. . .... .... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
228
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 024513............... ... ......
245013 ..... 450123
.................
023451............. 234501
.... . .. .... .... . . . ....
.. ..
501234 .. . ... .
350124..................345012 ... .. .
134502..................123450 135402............... 354012
... ...... ......
123540
540123.................235401
351402...............
012345 ... ........
... ......
513402......
...... ..... .... ... ... ... . ... ... . . .... . . . ..... . . . . . . ...
240513............... 402513
... ...... .....
024531............... .... .... .... .... . . .... .... . . .. ....
... ......
245031......
012354 ... ....... . .. .
401235 .. ... .
240135..................254013 ... .. ..
025413..................023541
145023
...... .... .... ... ... ... .. .. .. . .. .... . . ... . . . . . . .......
314502
...... ..... .... ... ...... .....
041253............... 204153
... ...... ......
150342............... ... ......
315042......
045231............... 204531 145230 314520
... ...... ...... ...... ...... ... ... ...... .....
412503 230415
..................
250341 ...
054123
503412..................125034 ... 231504
..................
120453
..................
... ......
354120......
.. . ... .
341250
...... ..... .... ... ... ... . .. ... ... . . . ... . . . . .... ........
205413
031452............... 503142
.. ...... ......
230145 .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. ...
250314 ... .. .
452301
045123............... 204513
... ..... ......
230451
.... . ... .... .... . . . ..
153420...............
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. .. .. .. . . . .. . . . . . . .... ... ... ... ...
315420 053412 205341
350142............... ... ......
501342......
134520................. 013452 .. ....... 123045
...... ...... ... .... ..... ......
.................
.. .. ..
250134 .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
235014................. 345120
..... .... .... .... ... ... .. .. .. ... ... . . ... . . . .. .... .......
... ...... ...... ...... ...... ... ... ...... .....
...... .... .... ... ... ... . .. ... .. . . . .... . . . ....... .......
012453........... 231450
.... .... .. .... .... . . .... . . ...
023145 . ....... . . . . . . .
502314 . . . . . . .
450231 . . .
...... .... .... ... ... ... . . ... ... . . . .... . . .... . . . . . . .....
013542........... 230541
.... .... .. . .... .... ... . . . . ....
123054 . ........ . . . . . .
412305 . . . . . . .
541230 . . . . . . .
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 451230.................034512.............
. . . .
134025..................251340
035412
014523 .. .... . ... .
. . .
234051..................123405 . . .
. . . .
034125 .. ........ . ... .
. . . .
025134..................340251 . . .
124503 135420...............
..................
235140..................023514 . ....... . . .
...... ..... .... ... ... ... . . ... ... .... . . . ... . . . . . . ........
015342 . .... . . 031542
..................
120534............... ... ......
412053......
. . . .
230154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
341205 . . . . . .
534120
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . . .. .. . . . .. . . . . . . .... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
534012.................125340............. 153402 315402
...... ...... ... .... ...... .....
231540
.... . .. .... .... . . . ...
240153............... .... ......
401253.....
229
025341................. 012534 .. ....... .. .. ..
023154................. 340125 .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
234015................. 253401
..... .... .... .... ... ... .. .. ... ... . . . . .... . . .. ..... ......
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
230
x
n = 6, e = 9, 2 f2; : : : ; 4g 2
1
. .. ....... . . ........ . ............... ..... . . . .. ............... .... . . ...... . . . . .............. .............. . . . . . . . . ....... .... . ......... ...... .. .... ....... . ..... .. .. ..... . . ..... .... ..... . ..... . .... ......... . . ..... ...... ........ . ..... . . . . . . ...... ... ...... ...... .... .... .......... .... ..... .. ........ . . . . . . . . . . . ....... ....... ... . . .. .. . . . ... ................ .... .... . . ..... .. .. . ............... ..... .. .. . . . . ............................................................
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 024135 . ... . . .
025314 .. ... . .
041352 .. ... . .
053142 . ... . . .
502413 . . .
402531 ...
204135 ...
205314 . . .
. . . . . . . .
350241 . . . . . . .
135024 . . . . . . .
413502 . . . . . .
241350
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
140253 ... ... .
314025 ... .. ..
531402 ... ...
253140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
520413 ... ... .
352041 ... .. ..
135204 ... ...
413520
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
420531 . . . . . . .
142053 . . . . . . .
314205 . . . . . .
531420
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 041235 .. .... .
135240...............
504123 ...
352401
... . .. .
250413.................235041 .. . 135042............... ... ......
350412.....
.. ... .. .. .
123504 ... .. ..
412350
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. .. .. .. . . . .. . ... .... ... .... ... ...
042531.................014253 ... .... 142503............... .... .....
314250.....
.. .. .. .. .
031425 ... .. .
503142 .. . ... .
250314 ... .. .
425031
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. ... .. .. . .. . .. . . .. .... ... ... ... ...
... ...... ......
... .
401352 ... ... .
240135 .. . ... .
524013 ... 052413
.................
052314 . .... . .
013524 .. ..... .
.. ..
035241
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
. . . .
405231 . . . . . .
240531.................124053 . . . 140523............... ... ......
314052.....
. . . . . . . . . .
231405 . . . . . . .
523140
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. . . .. .. . . . .. . .. . . ... ... .... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
231
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 025413............... ... ......
254013 ..... 135402 354012
...... ...... ... ... ..... ......
023541........... 123540
.... .... .. .. .... .... . . ... . . . ..
012354 ... ....... . .. .
401235 .. . ... .
540123 ... .. ..
235401
...... .... .... ... ... ... . .. ... .. . . . .... . . . ....... .......
145230............... 314520
... ...... .....
045231............... 204531
... ...... .....
031452........... 120453
.... .... .. .. ... .... ... . . . . ....
014523 . ....... . . . . . . . . . . .
230145 . . . . . . .
523014 . . . . . . .
452301
..... .... .... .... ... ... ... . ... .. . . .... . . ... . . . .... .......
534120.................015342..................230154 . .... . 052341............... .... .....
523401......
240153............... ... ......
401523......
024531............... 245031 145023 314502
... ...... ..... ...... ...... ... ... ...... ......
015234..................340152 .. ....... . . 134052
..................
234015
..................
351240
..................
... .
123405 ... .. .
152340 .. . ... .
035124
...... .... .... .... ... ... . .. ... .... .... . . ... . . . . . . . .....
231450
.... .....
205341......
025341...............
012453...........
.... .... .. . .... .... ... . . . . ....
053412...............
... ......
023145 ... ........ .. .
502314 .. . ... .
450231 ... .. .
124503
...... ..... .... ... ... ... .. ... ... .... . . . ... . . . . . . . .......
253401......
120534............... .... ......
412053..... 134205
..................
351420
..................
012534............... ... ......
401253..... 134025
..................
. . . . . . . . . . . . . . .
341205 . . . . . . . . . . . . .
153420 . . . . . .
035142
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . . .. .. .. . . .. . ... .... ... ... ... ...
340125 . ....... . . . . . . . . . .
153402 . . . . . . .
351402..................235140 . . . . . .
534012.................125340..................023514
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... ... . . ... . . . ... .... .......
134520..................013452 . .... . 041253............... 412503 250341 503412
... ...... ...... ..... ...... .... ... ...... ......
134250
..................
013425 .. ........ . ... .
034125..................150342 ... .. .
350142..................235014 ... ... .
125034..................341250
...... ..... .... ... ... ... .. ... ... . . . .... . . . ..... . . . . . . . .
451230
.................
045123............... ... ......
204513......
135420...............
024513
354120......
245013
023451 502341
...... ...... ... ... ...... .....
.. .. .. .. .. .. .. .
150234 .. . .. ... .. ...
350124..................345012 ... .. .
134502..................123450
230451 523041 351204
450123.................234501..................012345 .. .... ...... ...... ... .... ..... ......
. . . .
034512..................123045 . . .
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. . .. .. ... .. . . . . ... ... ... ... ... ...
.... .....
054123............... 205413
... ...... ......
...... ...... ... ... ...... ...... ..................
. . . . . . . . . . . . . . .
152304 . . . . . . . . . . .
345120
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . . .. .. . . . .. . . . . . .. ... ... ... ... ...
013542........... 230541
.... .... .. .. .... .... . . .... . . .
123054 . ........ . . . . .
412305 . . . . . . .
541230 . . . . . .
035412
...... ..... .... ... ... ... .. ... .. . . . .... . . . ..... ........
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
232
x
n = 6, e = 10, 2 f2; : : : ; 5g 2
1
. .. ....... . . .......... . ............... ..... . .. . . .. ............... .... ... . . ...... . . . . . .............. .............. .... . . . . . . . . ....... .... . ........... .. ...... .. .... ....... . .. ..... .. .. ..... . . ..... .... ..... . ..... . ... .... ......... . . ..... ...... ... .............. . ..... . . . . . .. . . . ...... ...... .... .... ............ .... ..... .. ........ . . . . . . . . . . . . . ....... ....... . ... . . .. .. . . . . ... ................ .... ... .... . . ..... .. . .. . ............... ..... ...... . . . . .............................................................
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 024135 . ... . . .
025314 .. ... . .
041352 .. ... . .
053142 . ... . . .
502413 . . .
402531 ...
204135 ...
205314 . . .
. . . . . . . .
350241 . . . . . . .
135024 . . . . . . .
413502 . . . . . .
241350
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
140253 ... ... .
314025 ... .. ..
531402 ... ...
253140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
520413 ... ... .
352041 ... .. ..
135204 ... ...
413520
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
420531 . . . . . . .
142053 . . . . . . .
314205 . . . . . .
531420
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 135240............... 352401
... ...... ......
013524 .. ..... . ... .
401352 ... ... .
240135 .. . ... .
524013 ... .. ..
052413.................035241
.... .... .... .... ... ... ... ... . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
042531.................014253 ... ....
415230.................034152 . .... . .
142503
041523...............
314250
..... ...... .... .... ...... .....
.. .. .. .. .
031425 ... ... .
503142 .. . ... .
250314 ... .. ..
425031
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. . . .. .. . . . .. . .. . . ... ... .... ... ...
... ......
204153......
. . . .
315204.................341520 024153...............
051342
504123 ...
241503......
205134............... 420513
... ..... ......
230514 .. .. .. ... ..
342051 .. . ... .
134205 ... .. .
513420
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. ... .. .. . .. . .. . . .. .... ... ... ... ...
... . .. .
250413.................235041 .. . 135042 350412
..... ...... .... .... ...... .....
.. ... .. ...
123504 ... .. .
412350
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. . .. . . .. .... ... ... ... ...
. . . .
523041 . . . . . . .
041235 .. .... .
... .
230415 . . . 152304 . . .
351420.................035142 .. .... . .................
. . . . . . . . .
... ......
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. . . .. .. . . . .. . .. . . ... ... .... ... ...
023415 . ..... . . . . . .
502341 . . . . . .
150234 . . . . . . .
315024.................341502 . . . . . .
415023.................234150
.... .... .... .... .. ... ... ... . . .. ... . .. . . .. . . . . .... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
052314 .... .. .
251340.................023514 ... ....
405231 ...
025134...............
... . .. ..
240531.................124053 .. . 140523 314052
..... ...... .... .... ...... .....
233
.. .. .. .. ..
231405 ... .. .
523140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
... ......
402513.....
.. .. .. .. .
340251 ... .. .
134025 .. . ... .
513402 ... .. .
351402.................235140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 024531............... 245031 145023 314502
... ...... ..... ...... ...... ... ... ..... ......
025341...............
012453........... 231450
.... .... .. .. .... .... . . .... . . .
... ......
023145 ... ........ .. .
502314 .. . ... .
450231 ... .. ..
124503 042513............... ... ......
425013.....
034251............... 134250
.... ...... .....
013425 ... ........ .. .
501342 ... ... .
350142..................235014 ... ... .
250134..................342501 041253............... 412503 150342............... 315042
... ...... ......
250341
... ...... ......
..................
...... ..... .... ... ... ... .. ... .. . . . .... . . . ..... . . . . . . . .
...... ..... .... ... ... ... .. ... ... .... . . . ... . . . . . . . .......
034125 .. ........ . ... .
503412 ... ... .
125034 .. . ... .
231504..................341250
...... ..... .... ... ... ... .. ... ... . . . .... . . . ..... . . . . . . . .
253401 .....
351240
051234..................340512 .. 240513............... 405123
... ...... ......
134052 234051
...... ...... ... ... ...... .....
.. .. ... ..
123405 .. . ... .
512340
340125 . ....... . . . . . .
534012 . . .
153402 315402
125340 . . . . . . .
231540..................023154
451230.................034512............. 045123............... 204513
... ...... .....
230451
.... . .. .... .... . . . ...
. . . . . . . . . . . . .
123045 . . . . . . .
512304 . . . . . . .
351204..................345120
024513............... ... ......
245013......
023451.............
450123.................234501
.... . .... .... .... . . . ..
. . .
501234 . . . . . .
350124..................345012 . . .
.... .....
354120......
054123............... 205413
... ..... ......
.... .... .... .... ... ... ... . . .. ... . .. . . ... . . . ... .... .......
012345 . ........ . .
. . .
..... .... .... .... ... ... ... . ... ... . ... . . .... . . ... .......
...... .... .... .... ... ... ... ... .... .... . . ... . . . . . . . .....
134520..................013452 . ...... .
134502..................123450
035124 .. ....... ... .
.... .....
401253......
. . . .
...... ...... ... ... ...... .....
135420............... ..................
012534...............
...... ..... .... ... ... ... . .. ... ... . . . ... . . . . ..... .......
013542........... 230541
.... .... .. .. .... .... . . .... . . .
123054 . ........ . . . . .
412305 . . . . . . .
541230 . . . . . . .
035412
...... ..... .... ... ... ... .. ... .. . . . .... . . . ...... .......
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
234
025413............... .... .....
254013.....
135402............... ... ......
354012......
023541........... 123540
.... .... .. ... .... ... . . . .... . . .
012354 ... ....... . .. .
401235 .. . ... .
540123 ... .. .
235401
152340 315240
..... ...... .... .... ..... .....
...... .... .... .... ... ... .. ... ... . . . .... . . . ...... .......
052341..................015234 .. ....... . ... .
031524..................340152 .. 240153............... 401523
.... ..... ......
.. .. .. .. .
234015 .. . ... .
523401
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... . ... . . ... . . . . .... .......
145230............... 314520
... ...... .....
045231............... 204531
... ...... .....
153420............... 315420
.... ..... .....
053412............... ... ......
205341......
031452........... 120453
.... .... .. .. ... .... .... . . ....
014523 . ....... . . . . . . . . . . .
230145 . . . . . .
523014 . . . . . . .
452301
..... .... .... .... ... ... ... . ... ... . ... . . .... . . ... .......
015342 . .... . . . . . .
031542..................230154 . . 120534............... ... ......
412053......
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
341205 . . . . . .
534120
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. . . ... .. .. . . .. . ... ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
235
n = 6, e = 10, 2 f3; 4g 2
1
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3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 024135 . ... . . .
024315 .. ... . .
025134 .. ... . .
025314 . ... . . .
041352 . ... . . .
502413 . . .
502431 ...
402513 ...
402531 . . .
204135 . . .
. . . . . . . .
350241 . . . . . . .
135024 . . . . . . .
413502 . . . . . .
241350
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
150243 ... ... .
315024 ... .. ..
431502 ... ...
243150
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
340251 ... ... .
134025 ... .. ..
513402 ... ...
251340
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
043152 . ... .
051342 .. ...
053142 .. ...
204315 . . .
205134 ...
205314 ...
. . . . . . .
520431 . . . . . . .
152043 . . . . . . .
315204 . . . . . .
431520
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
420513 ... ... .
342051 ... ... .
134205 ... ...
513420
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
420531 ... ... .
142053 ... ... .
314205 ... ...
531420
. . . . . . . .
140253 . . . . . . .
314025 . . . . . . .
531402 . . . . . .
253140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
520413 . . . . . . .
352041 . . . . . . .
135204 . . . . . .
413520
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 024153............... 241503
... ...... ......
023415 .. ..... . ... .
502341 ... .. .
150234 .. . ... .
415023 ... .. .
341502.................234150
.... .... .... ... ... ... .. ... ... ... ... . . . . . .. .... ... .... .....
025143............... 251403
... ...... ......
023514 .. ..... . ... .
402351 ... .. .
140235 .. . ... .
514023 ... .. .
351402.................235140
.... .... .... ... ... ... .. ... . . . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
024351............... .... .....
243501......
012435 . ..... . . . . . .
501243 . . . . . .
350124 . . . . . . .
435012 . . . . . .
143502.................124350
.... .... .... ... ... ... .. ... . . . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
236
025341............... 253401
... ..... ......
012534 .. ..... . ... .
401253 ... .. .
340125 .. . ... .
534012 ... .. .
153402.................125340
.... .... .... ... ... ... ... .. ... .. ... . .. . . ... .... .... ... .....
134250............... 342501
... ..... ......
013425 .. ..... . ... .
501342 ... .. .
250134 .. . ... .
425013 ... .. .
042513.................034251
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. ... . .. . . .. . . . .. .... ... .....
135240............... .... .....
352401.....
013524 . ..... . . . . . .
401352 . . . . . .
240135 . . . . . . .
524013 . . . . . .
052413.................035241
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. ... . .. . . .. . . . .. .... ... .....
341520.................034152 .. .... .
351420.................035142 .. .... .
041235 . .... . .
041523...............
051423...............
504123 . . .
.... .....
204153......
.. .. .. .. .
230415 ... ... .
523041 .. . ... .
152304 ... .. .
415230
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. . . .. . ... ... ... ... ... ...
.... .....
205143......
.. .. .. .. .
230514 ... ... .
423051 .. . ... .
142305 ... .. .
514230
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. . . ... .. .. . . .. . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . .
250413.................235041 . . . 135042............... ... ......
350412......
. . . . . . . . . .
123504 . . . . . .
412350
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. . . ... .. .. . . .. . ... ... ... ... ... ...
042531.................014253 ... ....
042315 .. .... .
143520.................014352 . .... . .
142503...............
504231 ...
043512...............
... ......
314250......
.. .. .. .. .
031425 ... .. .
503142 .. . ... .
250314 ... .. .
425031
205341
... ...... ......
315042
.... ...... .....
231504 ... .. .
423150
... ......
204351......
120435 . . . . . .
512043 . . . . . . .
351204 . . . . . .
435120
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . . .. .. .. . .. . ... . . ... ... ... ... ...
405123 ...
152403
405231 . . .
.. ... .. ...
123405 ... .. .
512340
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. . .. .. .. . . .. . ... . . .. ... .... ... ...
153420.................015342 ... .... 053412...............
150423...............
.. ... .. ...
. . . . . . . . .
052314 . .... .
.. ..
... ......
.. .
250431.................125043 .. .
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . . .. .. .. . .. . ... . . ... ... ... ... ...
052431.................015243 ... ....
240513.................234051 .. . 340512......
... .
051234 .. .... ... .
134052...............
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . ... .. .. .. . .. . .... .... ... ... ... ...
.. .. .. .. .
120534 ... .. .
412053 .. . ... .
341205 ... .. .
534120
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. .. .. .. . . .. . .. . . . .... ... ... ... ...
315240
...... ...... ... ... ...... .....
.. .. .. .. .
031524 ... .. .
403152 .. . ... .
240315 ... .. .
524031
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. .. . . .. . ... . . .. ... .... ... ...
. . . . . . . .
240531.................124053 . . . 140523............... ... ......
314052......
. . . . . . . . . .
231405 . . . . . .
523140
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. .. . . .. . ... . . .. ... .... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
237
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 041253............... 341250
.... ..... .....
150342............... 250341
... ..... ......
052341............... .... .....
152340......
240153............... 340152
... ..... ......
042351...............
034125 .. ........ . ... .
503412 ... .. .
125034 .. . ... .
412503
142350
...... ..... .... ... ... ... . .. ... .... . . ... . . . . . .. .......
.... ..... .....
250143............... 350142
... ..... ......
014235 .. ........ . ... .
501423 ... .. .
235014 .. . ... .
423501
051243...............
...... ..... .... ... ... ... . .. ... .... . . ... . . . . . .. .......
.... .....
351240 .....
140352............... 240351
... ..... ......
035124 . ........ . . . . . .
403512 . . . . . .
124035 . . . . . . .
512403
015234 .. ....... . . ... .
401523 ... .. .
234015 .. . ... .
523401
...... .... .... ... ... ... .. .. ... . . . .... . . .... . . . . . . .....
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 134520............... 345120 045123 204513
... ...... ..... ...... ...... ... ... ...... .....
230451
314520 045231 204531
... ..... ...... ...... ..... .... ... ..... ......
.... .... .. .... .... . . ... . . . ....
412305............... 512304
145230...............
024513...............
013452...........
... ...... ......
031452........... 120453 423015 523014
... ......
123045 ... ....... .. .. .. .. .. .. ... .. ... .
451230 ... ...
034512
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... . ... . . .... . . .... .......
014523 ... ..... .. .. .. .. .
.... .... .. .. .... .... . . ... . . . ..
230145 ...
...... ...... ... .. ...... ......
452301
.. .. .. .. .. .. ... .. ... .
.... ... .... .... ... ... ... ... . .. ... ... . .. . . . .... ... .... .....
245013..... 134502 345012
...... ...... ... ... ...... .....
023451........... 123450
.... .... .. .... .... . . ... . . . ....
401235............... ... ......
501234......
024531............... ... ......
245031..... 145023 314502
...... ..... .... ... ...... .....
012345 . ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
450123 . . . . . .
234501
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... . ... . . .... . . .... .......
012453........... 231450
.... .... .. .... ... . . . ... . . . ....
402315............... ... ......
502314......
023145 . ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
450231 . . . . . .
124503
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... . ... . . . .... . . .... .......
...... ..... .... ... ... ... . .. ... .... . . ... . . . . . .. .......
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
238
x
n = 6, e = 11, 2 f3; : : : ; 5g 2
1
. .. ....... . . .......... . ............... ..... . .. . . .. ............... .... ... . . ...... . . . . . .............. .............. .... . . . . . . . . ....... .... . ........... .. ...... .. .... ....... . .. ..... .. .. ..... . . ..... .... ..... . ..... . ... .... .......... . . ......... ...... . ... .............. . . . . ... ...... . .. .... .. ...... .. .. ..... . . ....... .. .. ............ ..... ... ...... . . . ... . . . . . . . ....... ....... . ... ... . . .. .. . . . ... ................ .... ... .... .. . . ..... .. . .. ... . . ............... ..... ...... .... . . . .............................................................
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 024135 . ... . . .
024315 .. ... . .
025134 .. ... . .
025314 . ... . . .
041352 . ... . . .
502413 . . .
502431 ...
402513 ...
402531 . . .
204135 . . .
. . . . . . . .
350241 . . . . . . .
135024 . . . . . . .
413502 . . . . . .
241350
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
150243 ... ... .
315024 ... .. ..
431502 ... ...
243150
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
340251 ... ... .
134025 ... .. ..
513402 ... ...
251340
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
043152 . ... .
051342 .. ...
053142 .. ...
204315 . . .
205134 ...
205314 ...
. . . . . . .
520431 . . . . . . .
152043 . . . . . . .
315204 . . . . . .
431520
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
420513 ... ... .
342051 ... ... .
134205 ... ...
513420
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
420531 ... ... .
142053 ... ... .
314205 ... ...
531420
. . . . . . . .
140253 . . . . . . .
314025 . . . . . . .
531402 . . . . . .
253140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
520413 . . . . . . .
352041 . . . . . . .
135204 . . . . . .
413520
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 024153............... 241503
... ...... ......
023415 .. ..... . ... .
502341 ... .. .
150234 .. . ... .
415023 ... .. .
341502.................234150
.... .... .... ... ... ... .. ... ... ... ... . . . . . .. .... ... .... .....
025143............... 251403
... ...... ......
023514 .. ..... . ... .
402351 ... .. .
140235 .. . ... .
514023 ... .. .
351402.................235140
.... .... .... ... ... ... .. ... . . . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
024351............... .... .....
243501......
012435 . ..... . . . . . .
501243 . . . . . .
350124 . . . . . . .
435012 . . . . . .
143502.................124350
.... .... .... ... ... ... .. ... . . . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
025341............... 253401
... ..... ......
012534 .. ..... . ... .
401253 ... .. .
340125 .. . ... .
534012 ... .. .
153402.................125340
.... .... .... ... ... ... ... .. ... .. ... . .. . . ... .... .... ... .....
134250............... 342501
... ..... ......
239
013425 .. ..... . ... .
501342 ... .. .
250134 .. . ... .
425013 ... .. .
042513.................034251
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. ... . .. . . .. . . . .. .... ... .....
135240............... .... .....
352401.....
013524 . ..... . . . . . .
401352 . . . . . .
240135 . . . . . . .
524013 . . . . . .
052413.................035241
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. ... . .. . . .. . . . .. .... ... .....
341520.................034152 .. .... .
351420.................035142 .. .... .
041235 . .... . .
041523...............
051423...............
504123 . . .
.... .....
204153......
.. .. .. .. .
230415 ... ... .
523041 .. . ... .
152304 ... .. .
415230
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. . . .. . ... ... ... ... ... ...
.... .....
205143......
.. .. .. .. .
230514 ... ... .
423051 .. . ... .
142305 ... .. .
514230
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. . . ... .. .. . . .. . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . .
250413.................235041 . . . 135042............... ... ......
350412......
. . . . . . . . . .
123504 . . . . . .
412350
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. . . ... .. .. . . .. . ... ... ... ... ... ...
042531.................014253 ... ....
042315 .. .... .
143520.................014352 . .... . .
142503...............
504231 ...
043512...............
... ......
314250......
.. .. .. .. .
031425 ... .. .
503142 .. . ... .
250314 ... .. .
425031
205341
... ...... ......
315042
.... ...... .....
231504 ... .. .
423150
... ......
204351......
120435 . . . . . .
512043 . . . . . . .
351204 . . . . . .
435120
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . . .. .. .. . .. . ... . . ... ... ... ... ...
405123 ...
152403
405231 . . .
.. ... .. ...
123405 ... .. .
512340
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. . .. .. .. . . .. . ... . . .. ... .... ... ...
153420.................015342 ... .... 053412...............
150423...............
.. ... .. ...
. . . . . . . . .
052314 . .... .
.. ..
... ......
.. .
250431.................125043 .. .
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . . .. .. .. . .. . ... . . ... ... ... ... ...
052431.................015243 ... ....
240513.................234051 .. . 340512......
... .
051234 .. .... ... .
134052...............
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . ... .. .. .. . .. . .... .... ... ... ... ...
.. .. .. .. .
120534 ... .. .
412053 .. . ... .
341205 ... .. .
534120
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. .. .. .. . . .. . .. . . . .... ... ... ... ...
315240
...... ...... ... ... ...... .....
.. .. .. .. .
031524 ... .. .
403152 .. . ... .
240315 ... .. .
524031
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. .. . . .. . ... . . .. ... .... ... ...
. . . . . . . .
240531.................124053 . . . 140523............... ... ......
314052......
. . . . . . . . . .
231405 . . . . . .
523140
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. .. . . .. . ... . . .. ... .... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
240
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 041253............... 341250
.... ..... .....
150342............... 250341
... ..... ......
024513............... 245013
... ...... ......
134502............... 345012
... ..... ......
052341...............
034125 .. ........ . ... .
503412 ... .. .
125034 .. . ... .
412503
152340
...... ..... .... ... ... ... . .. ... .... . . ... . . . . . .. .......
240153............... 340152
123450
... ..... ......
... .
401523 ... .. .
234015 .. . ... .
523401
.. .
501234 .. . ... .
450123 ... .. ..
234501
...... ..... .... ... ... ... . .. ... ... . . . .... . . . ..... .......
345120......
045123............... 204513
... ..... ......
315420 054231 205431
... ...... ..... ...... ...... ... ... ...... ......
135420............... ... ......
354120..... 054123 205413
...... ...... ... ... ...... .....
031542 120543
.... .... .... .... .... . .... .... . ... . . . . ....
015423 ... ....... .. .. .. .. .
230154 ... .. .
423015 .. . ... .
542301
013542........... 230541
.... .... .. . .... .... . . ... . . . ...
123054 ... ........ .. .
412305 .. . ... .
541230 ... .. .
035412 025413............... 254013 135402 354012
... ...... ...... ...... ...... ... ... ...... .....
..... .... .... .... ... ... ... . ... .. . . .... . . ... . . . .... .......
...... ..... .... ... ... ... ... ... . . . .... . . . .... . . . . . . . ....
123540
.... .... .. .. ... .... .... . . ....
... ......
245031......
145023............... 314502
... ...... ......
.. .
401235 .. . ... .
540123 ... .. .
235401
...... .... .... .... ... ... .. .. ... .... . . . ... . . . . . . ........
. . .
124035 . . .
013452........... 230451
.... .... .. ... .... .... . . .. ....
123045 . ........ . . . . .
512304 . . . . . . .
451230 . . .
... ......
142350......
250143............... 350142
... ..... ......
254031...... 154023 315402
...... ...... ... ... ...... .....
...... ..... .... ... ... ... . .. ... ... . . . .... . . . ..... .......
012453........... 231450
.... .... .. .. .... .... . . .... . . .
023145 . ........ . . . . .
502314 . . . . . . .
450231 . . . . . .
042351...............
. . . .
512403
124503
... ......
012354 ... ....... .
240351
... ..... ......
. . . .
403512 . . .
. . . .
025431...............
023541...........
140352...............
035124 . ........ . .
034512 024531...............
154230...............
.... .....
351240 .....
...... ..... .... ... ... ... . .. ... .... . . ... . . . . . .. .......
.... .....
012345 ... ........
051243...............
015234 .. ........ .
134520...............
023451...........
.... .... .. ... .... .... . . .. ....
.... ..... .....
...... ..... .... ... ... ... .. ... .. . . . .... . . . ..... . . . . . . . .
014235 . ........ . . . . . .
501423 . . . . . .
235014 . . . . . . .
423501
...... ..... .... ... ... ... ... ... . . . .... . . . ... . . . . . . . .....
012543........... 231540
.... .... .. .. ... .... .... . . ....
023154 . ....... . . . . . .
402315 . . . . . . .
540231 . . . . . .
125403
...... .... .... .... ... ... .. .. ... .... . . . ... . . . . . . ........
...... ..... .... ... ... ... . .. ... .... . . ... . . . . . .. .......
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
145230............... ... ......
314520......
045231............... 204531
... ..... ......
031452........... 120453
.... .... .. ... .... ... . . . .... . . .
014523 .. ....... . .. .. .. .. .
230145 ... .. .
523014 .. . ... .
452301
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... ... . . .... . . .. .... .......
241
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
242
x
n = 6, e = 8, 2 f2; 3g 2
1
. .. ....... . . .......... . ............... ..... . .. . . .. ............... .... ... . . ...... . . . . . .............. .............. .... . . . . . . . ...... .. .. . . ... .. ............ ... . .. ..... ...... .. .... ..... . . .. ....... .. .. . ..... ... .. . ....... ..................... . ................................................................................... . . . . . .. . . . .. .. .... . .. . . . ... . . .. .. . .. .... . . . . . . .. ... .. ... . . . . . . . . .. .. .. . .. . .. . .. . ...... ...... . ..... . .. .
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 031425 . ... . . .
052413 .. ... . .
503142 . . .
305241 ...
. . . . . . . .
250314 . . . . . . .
425031 . . . . . . .
142503 . . . . . .
314250
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
130524 ... ... .
413052 ... .. ..
241305 ... ...
524130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 024513 .. ..... ... .
302451 ... .. ..
413025............... 513024
... ..... ......
130245 ... ... .
451302 ... .. ..
245130
.... .... .... .... ... ... ... ... . ... ... . . .. . . . .... .... .... .....
031452 .. ..... . ... .
420315............... .... ......
520314.....
203145 ... .. .
452031 ... ... .
145203 ... ... .
314520
.... .... .... .... ... ... ... ... . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
025134............... 302514
... ...... .....
023415 . .... . . 502341 . . .
134025 ...
150234 . . .
... . .. .
513402 .. . ... .
251340 ... .. .
425130.................042513 031524............... 315240
... ...... ......
... .
240315 ... 524031 .. . ... .
152403 ... 415203
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . . . . . .... ... .... .....
. . . . . . .
315024.................341502 . . 241503............... .... .....
415023.....
.. .
341520
.... .... .... ... ... ... .. ... . . . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
. . . . . . . . .
234150
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. . . . .. . .. . . . ... ... ... ... ...
035142 . ..... . .
034152 .. ..... . .. .
.................
. . . .
340251 .. ..... .
. . . .
203514 . . . . . .
420351 . . . . . . .
314205............... 514203
... ...... ......
142035 . . . . . . .
351420
.... .... .... .... .. ... ... ... . . .. ... . .. . . .. . . . . .... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
051342 .. .... . ... .
305142.................230514 .. 205134............... 420513
... ..... ......
.. .. ... ..
342051 .. . ... .
134205 ... .. .
513420
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
302415............... 502413
.... ..... .....
243
024135 ..... .. . ... .
350241 ... .. .
135024 ... ... .
413502 ... ... .
241350
.... .... .... .... .. ... .. ... . . . ... .. . .. . . .. . . . .. .... ... .....
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 035241..................013524 .. ....... . ... .
135240 413520
...... ...... ... .... ..... .....
301524..................340152 ... .. .
041352..................234015 .. . 240135 524013
..... ...... .... .... ...... .....
023145............... ... ......
502314...... 245031 145023............... .... .....
314502......
..................
.. .. .. .. ..
352401
.. .. .. ...
124503 ...
412503..................341250 ... 231450
. . . .
051234 305124
.. ..
034125
250134...............
..... .... .... .... ... ... ... .. ... .. . . .... . . .... .... .......
425013
351240
240351
... ..... ......
301452................. 230145 .. 124035...... 341205 412035 451203 512403
... ......
134052......
123405 . . . . . . . . . . .
.... ...... .....
134250............... ... ......
342501..... 301425
..................
.. .. . .... .... .... .. .... .. ....... ..... ................... .... ....... . . .... ... . . ... ... . .. .. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
345120
.... .... .... .... ... ... ... ... . ... ... . .. . . .... . . .... .... .....
.... .... .... .... ... ... .. ... . .. ... ... . ... . . . . ... .... ... .....
013425 . ....... . . . . . . . . . .
350142 . . . . . . . . . . .
... .
034512...............
340512...............
. . . . . . . . .
023514..................034251
134520................. 013452 .. ..... . 035124
240513..................234051 . .
501342..................235014 . . .
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) ...... ..... .... ... ..... ......
...... ...... ... .... ..... .....
412305..................451230
450231 .. ....... ... .
..................
512340..................045123 . ..... .
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... ... . . ... . . . ... .... .......
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... ... . . ... . . . ... .... .......
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
244
245013............... 450123
.... ...... .....
023451............... ... ......
234501......
012345......
.. .. .
301245...................
...... ...... .
340125..............................345012 .. ..... 350124 501234
... .. .... .. .... ... .. . .. .. ..
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
134502................. 123450 ... .. .
412350................. 041235
.... .... .... .... .. ... ... .. ... .. ... . .. . . . ... ... .... ... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
245
n = 6, e = 8, 2 f2; 3g 2
1
. ...... . ......... . . .......... . ......... . ............... .... ... . . . ....... . . . . .......... .............. .... . . . . . . ...... . ........... . ... .. .. ...... . ...... .. .. ..... ..... . . .. ..... . ..... . ... . .. ......... ................................................................................ ......................... ..... . . . . .. . . ..... . .. .. .. ...... . . ... . ..... ... . .. .... . . . . . . ....... . . .. ..... . .. . . ... ......... . . ..... .. .... . ...... ..... .... . ........ . .. .
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 024135 . ... . . .
024153 .. ... . .
035142 .. ... . .
053142 . ... . . .
502413 . . .
302415 ...
203514 ...
205314 . . .
. . . . . . . .
350241 . . . . . . .
135024 . . . . . . .
413502 . . . . . .
241350
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
530241 ... ... .
153024 ... .. ..
415302 ... ...
241530
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
420351 ... ... .
142035 ... .. ..
514203 ... ...
351420
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
420531 . . . . . . .
142053 . . . . . . .
314205 . . . . . .
531420
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 023415 .. .... .
031452 .. .... . 503142
.................
203145............... ... ......
420315.....
... .
250314 .. .. .. ... ..
452031 .. . ... .
145203 ... .. .
314520
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . .. .. .. .. . . .. . .... .... ... ... ... ...
024513 .. .... . ... .
302451 ... .. ..
130245 ... ... .
513024.................451302 .. 241305............... ... ......
413025......
.. .. .. .. .
245130
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. . .. .. .. . .. . .. . . . ... ... ... ... ...
... .
502341 ... .. .
150234 ... 315024
.................
241503...............
.... .....
415023.....
... .
341502 .. .. .. .. .. .
234150
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. . . . .. . .. . . . ... ... ... ... ...
051342 . .... . . 305142
.................
205134............... ... ......
420513.....
. . . .
230514 . . . . . . . . . . .
342051 . . . . . . .
134205 . . . . . .
513420
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. .. . . .. . .... .... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
246
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 023145............... 502314
.... ..... .....
145023............... 314502
... ..... ......
025134...............
450231..................124503 .. ........ . 412503
..................
... .
341250 ... .. .
231450..................034125 .. . ... .
240315..................245031
...... ..... .... ... ... ... .. .. ... .... . . ... . . . . . .. .......
.... .....
302514 .....
134025............... 513402
... ..... ......
340251..................123405 . ........ . . . . . .
412305..................451230 . . . . . .
251340..................045123 . . . . . . .
240513..................234051
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 350142 501342
301452 530142
..... ..... ..... ... ...... .....
...... ...... ... ... ...... .....
350124............... ... ......
501234......
301245............... ... ......
530124......
023514............... 235014
..... ..... .....
025314............... 253014
... ...... ......
134502............... 345012
... ..... ......
145302............... 453012
... ..... ......
134520................. 013452 . .......... . . 034512 240351
..... ..... ..... ... ...... .....
. . . .
124035............... 412035
.... ..... ......
250134 . . . . . . .
451203................. 345120
........ ...... ... .. ... ..... ......... ..........
145230................. 014523 . ........... . 045231 240531
...... ...... ... ... ...... .....
. . . .
124053 412053
...... ...... ... ... ...... ......
230145 . . . . . .
341205................. 452301
........ ...... ... .. .. ..... ........ . . . . . . . . . ....
023451................. 012345 . ........... . . 123450...............
... ......
412350......
. . . .
041235 240135
...... ...... ... ... ...... .....
450123 . . . . . .
245013................. 234501
........ ...... ... .. .... ..... . . . . . . . . . .........
024531................. 012453 . ........... . . 124530...............
... ......
412530......
. . . .
041253............... 240153
... ...... .....
340125 . . . . . .
234015................. 245301
........ ...... ... .. ... ...... ......... ..........
...... ..... .... ... ... ... . . .. ... .... . . ... . . . . . .. .......
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
247
n = 6, e = 9, 2 f2; : : : ; 4g 2
1
. .. ....... . . .......... . ............... ..... . .. . . .. ............... .... ... . . ...... . . . . . .............. .............. .... . . . . . . . ...... .. .. . . ... .. ............ ... . .. ..... ...... .. .... ..... . . .. ....... .. .. . ..... ... .. . . ......... ................................................................................... ......................... ..... . . . . . .. . . . ..... . .. .. .... .. ...... . . ... . .. ..... ... . .. .... . . . . . . . . ....... ... .. ... . . ...... . . . . . . . .. ..... ... .. .. . ..... .. . .. . ...... ..... ...... . .......... . ..
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 024135 . ... . . .
024153 .. ... . .
031425 .. ... . .
035142 . ... . . .
052413 . ... . . .
502413 . . .
302415 ...
503142 ...
203514 . . .
305241 . . .
. . . . . . . .
350241 . . . . . . .
135024 . . . . . . .
413502 . . . . . .
241350
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
530241 ... ... .
153024 ... .. ..
415302 ... ...
241530
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
250314 ... ... .
425031 ... .. ..
142503 ... ...
314250
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
420351 . . . . . . .
142035 . . . . . . .
514203 . . . . . .
351420
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
130524 . . . . . . .
413052 . . . . . . .
241305 . . . . . .
524130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
053142 . ... . . . . .
205314 . . . . . .
420531 . . . . . . .
142053 . . . . . . .
314205 . . . . . .
531420
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 025134............... 302514
... ...... .....
023415 .. .... . ... .
340251 .. ..... .
502341 ...
134025 ...
150234 ...
... . .. .
513402 .. . ... .
251340 ... .. .
425130.................042513
.... .... .... .... ... ... ... ... . ... .. .. . . . . . . .... ... .... ....
.. .. ... .
315024.................341502 .. 241503...............
... ......
415023......
.. .. .. .. .
234150
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. .. . .. . .. . . . ... ... ... ... ...
031452 . ..... . . . . . .
420315 520314
...... ...... ... ... ...... .....
203145 . . . . . .
452031 . . . . . . .
145203 . . . . . . .
314520
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... .. .. . . . . . .... ... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
248
031524............... 315240
... ..... ......
... .
240315 ... .. .
524031 .. . ... .
152403 ... .. .
415203.................341520 142530............... ... ......
425301......
035241.................013524 ... ....
034152 .. ..... .
135240...............
.... .... .... ... ... ... ... .. ... .. ... . .. . . ... .... .... ... .....
... ......
413520.....
.. .. .. .. .
041352 ... .. .
240135 .. . ... .
524013 ... .. .
352401
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
014253 .. ..... .
024513 .. ..... .
301425 ...
302451 ...
... . ... .
530142 .. . ... .
253014 ... .. .
025314.................042531
.... .... .... ... ... ... .. ... ... .. ... ... . .. . . . .... ... ... .....
... . .. ..
413025............... 513024
... ...... ......
130245 ... ... .
451302 ... ... .
245130
051342 . .... . . . . . .
305142.................230514 . . 205134............... ... ......
420513......
. . . . . . . . .
342051 . . . . . . .
134205 . . . . . .
513420
.... ... .... .... ... ... .. ... . . . ... .. ... . ... . . .... ... ... .....
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 250134............... 425013
... ..... ......
134250............... 342501
... ...... .....
350142
..................
023514
..................
052341..................015234 . ....... .
013425 .. ........ . ... .
501342 ... ... .
235014 .. . ... .
034251
...... ..... .... ... ... ... . .. ... ... . . . ... . . . . .... ........
. . . .
152340 415230
...... ...... ... ... ...... ......
051234............... 305124
.... ...... .....
240513
..................
340512............... 134052
... ..... ......
234051 .. .. .. ... ..
123405 .. ... .. ... .
412305..................451230
035124............... 351240
.... ..... .....
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. .. . . .. . . .... . . . .... .... .....
134520..................013452 ... ..... 034512 240351 412035
...... ...... ... ... ...... ..... ..................
.. .. .. .. .
124035 ... .. .. .. .. .
451203 ... ... .
512403..................345120
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . ... . . .. .... .... .....
041523............... ... ......
240153.....
023145...............
512340..................045123 .. ..... . ... .
301524..................340152 . .
.... .....
502314......
. . . . . . . . .
234015 . . . . . . .
523401
450231 . ....... . . . . . . . . . .
245031..................124503 . . . . . . .
145023 314502
...... ...... ... .. ...... ......
024531............... ... ......
245301.....
..... .... .... .... ... ... ... .. ... .. . . . .... . . .... .... .......
412503..................341250 . . . . . . .
231450..................034125
..... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . . .... . . . .... .......
012453..................340125 . ..... . 301245............... .... ......
530124..... 145302
..................
. . . . . . . . .
453012 . . . . . . . . . . . . .
124530 . . . . . .
412530..................041253
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . . ... . . . .. .... .... .....
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
249
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 052314............... 523014
..... ..... .....
350124............... 501234
.. ...... ......
145230................. 014523 . ........... . . 045231............... .... .....
240531.....
134502............... 345012
... ...... ......
. . . .
124053 412053
...... ...... ... .... ...... .....
123450............... 412350
.. ...... ......
301452................. 230145 . . . . . .
341205................. 452301
........ ..... .... . .. .... ...... . . . . . . . . . ........
023451................. 012345 . ........... . . . . . .
041235................. 450123 . . . . . .
245013................. 234501
........ ...... ... . . ... ..... . . . . . . . . .. ..........
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
250
x
n = 6, e = 10, 2 f3; : : : ; 5g 2
1
. .. ....... . . .......... . ............... ..... . .. . . .. ............... .... ... . . ...... . . . . . .............. .............. .... . . . . . . . ...... .. .. . . ... .. ............ ... . .. ..... ...... .. .... ..... . . .. ....... .. .. . ..... ... .. . . ......... ................................................................................... ......................... ..... . . . . . .. . . . ..... . .. .. .... .. ...... . . ... . .. ..... ... . .. .... . . . . . . . . ....... ... .. ... . . ...... . . . . . . . .. ..... ... .. .. . ..... .. . .. . ...... ..... ...... . . . .. ........................................................
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 024135 . ... . . .
024153 .. ... . .
024513 .. ... . .
025413 . ... . . .
031425 . ... . . .
502413 . . .
302415 ...
302451 ...
302541 . . .
503142 . . .
. . . . . . . .
350241 . . . . . . .
135024 . . . . . . .
413502 . . . . . .
241350
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
530241 ... ... .
153024 ... .. ..
415302 ... ...
241530
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
130245 ... ... .
513024 ... .. ..
451302 ... ...
245130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
130254 . . . . . . .
413025 . . . . . . .
541302 . . . . . .
254130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
250314 . . . . . . .
425031 . . . . . . .
142503 . . . . . .
314250
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
031452 . ... .
031542 .. ...
035142 .. ...
052413 . ... .
053142 . ... .
203145 . . .
203154 ...
203514 ...
305241 . . .
205314 . . .
. . . . . . .
520314 . . . . . . .
452031 . . . . . . .
145203 . . . . . .
314520
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
420315 ... ... .
542031 ... ... .
154203 ... ...
315420
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
420351 ... ... .
142035 ... ... .
514203 ... ...
351420
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
130524 . . . . . . .
413052 . . . . . . .
241305 . . . . . .
524130
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
420531 . . . . . . .
142053 . . . . . . .
314205 . . . . . .
531420
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 142530............... 425301
... ...... .....
023145 .. .... .
023415 . .... . .
014253 .. ..... .
502314 ...
502341 . . .
301425 ...
450231 ...
... . .. .
530142 .. . ... .
253014 ... .. .
025314.................042531
.... .... .... .... ... ... ... ... . ... .. .. . . . . . . .... ... .... ....
... . .. .. ... .
245031.................124503 .. 145023...............
... ......
314502......
.. .. .. .. .
231450
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. .. . .. . .. . . . ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
150234 . . . . . . .
315024.................341502 . . 241503............... ... ......
415023......
. . . . . . . . .
234150
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. .. . .. . .. . . . ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
031524............... 315240
... ..... ......
024531...............
034152 .. ..... . ... .
240315 ... .. .
524031 .. . ... .
152403 ... .. .
415203.................341520
245301
.... .... .... ... ... ... ... .. ... .. ... . .. . . ... .... .... ... .....
305142.................230514 .. 205134 420513
...... ...... ... ... ...... .....
.. .. .. .. .
342051 .. . ... .
134205 ... .. .
513420
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. ... . .. . . .. . . . .. .... ... .....
... .
301245 ... .. . ... .
453012 ... .. .
145302.................124530
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. . . .. . ... ... ... ... ... ...
035241.................013524 . .... . .
012453 .. ..... . 530124 .. .
051342 .. .... . ... .
... ..... ......
251
135240............... ... ......
413520.....
. . .
352401
035412...............
302514......
203541
.... ...... .....
120354 ... ... .
412035 .. . ... .
541203 ... .. .
354120
. . .
240135 . . . . . . .
025134...............
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. . . ... .. .. . . .. . ... ... ... ... ... ...
041352 . . . 524013 . . .
135420.................013542 .. .... . .. .. .. .. .
. . . . . . . . .
... ......
340251 . ..... . . . . . .
134025 . . . . . . .
513402 . . . . . . .
251340 . . . . . .
425130.................042513
054123 .. .... . ... .
205413.................230541 .. 130542............... ... ......
305412......
.. .. ... ..
123054 .. . ... .
412305 ... .. .
541230
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . ... .. .. .. . .. . .... .... ... ... ... ...
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 153420..................015342 .. ....... ... .
053412............... .... .....
205341.....
150342............... 315042
... ...... ......
301542..................230154 .. 120534 412053
...... ...... ... ... ...... ......
023154............... 231504 250341
... ...... .....
..................
.. .. ... ..
341205 .. . ... .
534120
..... .... .... .... ... ... ... . ... ... . .. . . . . .... . . ... .......
250134............... ... ......
425013.....
351240
125034 .. . ... .
412503..................341250
. . . .
501342 . . . . . . . . . . .
503412 ... ... .
013425 . ........ . .
023514..................034251
035124...............
...... ..... .... ... ... ... . .. ... ... . . . ... . . . . ... ........
... ......
342501......
350142..................235014 . . .
034125 .. ........ . ... .
134250...............
... ...... ......
...... ..... .... ... ... ... .. ... .. . . . .... . . . ..... . . . . . . . .
134520..................013452 . ....... . . 034512............... ... ......
240351......
. . . . . . . . .
124035 . . . . . . .
512403 . . . . . . .
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
451203..................345120
..... .... .... .... ... ... ... .. ... .. . . .... . . .... .... .......
.... .... .... ... ... ... .. ... . . . .. ... ... . .. . . . .... ... ... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
252
135042............... 350412
.... ...... .....
023541..................012354 .. ....... . 123504 412350 250413
245013 450123
..... ...... .... .... ...... .....
..... ..... ..... .... ..... .....
..................
023451............... 234501
... ...... .....
.. .. .. .. .
041235 ... .. .
504123 .. . ... .
235041
012345 .. ....... . . ... .
501234 ...
350124..................345012 .. . ... .
134502..................123450
... ......
452301......
014523............... 301452
.... ..... .....
.. .
523014 ... ... .
240531
. . . .
051234 305124
...... ...... ... .... ...... .....
...... .... .... ... ... ... . .. ... ... . . . .... . . . ...... .......
.... .....
253401......
.. ..
124053
...... ..... .... ... ... ... .. .. ... .... . . . ... . . . . . . .......
240513..................234051 . . 340512............... ... ......
134052......
012534............... ... ......
301254.....
. . . . . . . . .
123405 . . . . . . .
512340
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... ... . . .... . . .. .... .......
340125 . ....... . . . . . . .
534012 . . . . . . .
153402..................125340 . . . . . . .
412530..................041253
...... .... .... ... ... ... . .. ... ... . . .... . . . ..... ........
052341..................015234 . ....... . .
230145 ... ....... .
052314..................045231 ... ..................
451230..................045123 . ....... . .
025341...............
.. .
145230...............
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... ... . . .... . . .. .... .......
. . . .
152340 415230
...... ...... ... ... ...... .....
301524..................340152 . . 041523............... .... .....
240153......
. . . . . . . . .
234015 . . . . . . .
523401
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... .. . . .... . . .. .... .......
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
253
n = 6, e = 9, = 3 2
1
. .. ....... . . ........ . ............... ..... .... . . .. ............... .... ... . . ...... . . . . . ............ ............. .... . . . . . . . . . . . . . . ......... .... .... ... .. ..... .. .... . ...... .. ...... .. ... ..... . . ... .... . . ......................... ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................ . . . . ..... . .... .. ......... ..... . . . . . . . ..... . . .... ......... ..... . . . . . .. ..... .. ....... .. . ...... . ..... . . . ........................... ... . .. ... .. . . . . .... ......... ......... ... .. ......... ......... . .... ...
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 024153 . ... .
025314 .. ...
031524 .. ...
035142 . ... .
041352 . ... .
302415 . . .
402531 ...
403152 ...
203514 . . .
204135 . . .
. . . . . . .
530241 . . . . . . .
153024 . . . . . . .
415302 . . . . . .
241530
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
... . .. .
140253 ... ... .
314025 ... ... .
531402 ... ...
253140
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
... . .. .
240315 ... ... .
524031 ... ... .
152403 ... ...
315240
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
. . . . . . .
420351 . . . . . . .
142035 . . . . . . .
514203 . . . . . .
351420
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
. . . . . . .
520413 . . . . . . .
352041 . . . . . . .
135204 . . . . . .
413520
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
042513 . ... . . . . . . .
304251 . . . . . . .
130425 . . . . . . .
513042 . . . . . . .
251304 . . . . . .
425130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 302514 402513
...... ...... ... .. ...... ......
025134 .. ..... . ... .
340251 ... .. .
134025 ... ... .
513402 ... ... .
251340
.... .... .... .... ... ... ... ... .. ... ... . .. . . . .... .... .... .....
042531............... 142530
... ...... .....
014253 .. ..... . ... .
301425 ... .. .
530142 .. . ... .
253014 ... .. ..
425301
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . .. . . . .... .... .... .....
031425............... ... ......
531420......
053142 . ..... . . . . . .
250314 . . . . . .
425031 . . . . . . .
142503 . . . . . . .
314250
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . .. . . . .... .... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
254
031452 ..... .. . ... .
420315............... 520314
... ..... ......
203145 ... .. .
452031 ... ... .
145203 ... ... .
314520
.... .... .... .... .. ... .. ... .. . ... .. . .. . . .. . . . .. .... ... .....
035124 .. ..... . ... .
140352 240351
...... ...... ... .... ...... .....
403512 ... .. ..
124035 ... ... .
512403 ... ... .
351240 035241............... ... ......
135240.....
.... ... .... .... ... ... .. ... ... ... .. ... . ... . . .... ... ... .....
013524 .. ..... . ... .
401352 ... .. .
240135 .. . ... .
524013 ... .. .
352401
.... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... . .. . . ... .... .... .....
023514 .. ..... .
034152 . ..... . .
402351 ...
203415 . . .
... . .. ..
140235 ... ... .
251403 351402
..... ...... .... ... ...... .....
024135...............
... ......
524130......
514023 ... ... .
235140
520341 . . . . . . .
315204 415203
..... ...... .... ... ...... .....
152034 . . . . . . .
341520
.... ... .... .... ... ... .. ... . . .. ... .. .. . .. . . . .... ... ... .....
041253 . ..... . . 304125 . . .
... .
... .
413502 ... .. .
241350
304152
. . . .
350241 ... 135024 .. .
... ..... ......
. . . .
052413 .. ..... . ... .
204153...............
.... ... .... .... ... ... .. ... . . .. ... .. .. . .. . . . .... ... ... .....
.... .... .... ... ... ... .. ... . . . .. ... ... . .. . . . .... ... ... .....
. . . . . . . .
153042............... 253041
... ...... ......
530412 . . . . . . .
125304 . . . . . . .
412530
.... ... .... .... ... ... .. ... . . . ... .. ... . ... . . .... ... ... .....
041523 .. .....
024513 . ..... .
230415 ...
302451 . . .
... . .. ..
523041 ... ... .
152304 ... ... .
415230
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . . . . . .... ... .... .....
. . . . . . . .
413025............... 513024
... ...... ......
130245 . . . . . . .
451302 . . . . . . .
245130
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . . . . . .... ... .... .....
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 024531............... 245301
... ...... ......
012453 .. .... .. .. .. ...
401253.................340125 .. . 301245............... 530124
... ...... ......
.. ... .. ...
453012 .. .. .. .. .. .
145302.................124530 152340............... 523401
... ...... ......
015234 .. .... .. .. .. .. .
301524.................340152 .. . 240153............... 401523
.... ..... .....
... ... ... ... .... ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. . . . .. . .. .... .... ... ... ...
.. ... .. ...
234015 .. .. .. .. ...
023415.................052341
... ... ... ... .... ... .. .. .. .. .. ... .. .. .. . . . .. . .. ... .... ... ... ...
041235............... 412350
... ...... ......
045123 .. .... .. .. .. ...
250413.................235041 .. . 135042............... 350412
... ...... ......
.. ... .. ...
123504 .. .. .. .. .. .
512304.................451230 023145............... 402315
... ...... ......
450231 .. .... .. .. .. .. .
245031.................124503 .. . 145023............... 314502
.... ..... .....
... ... ... ... .... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. .. . . . .. . .. .... .... ... ... ...
.. ... .. ...
231450 .. .. .. .. ...
523140.................052314
... ... ... ... .... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. .. . . . .. . .. ... .... ... ... ...
034251.................013425 . .... . . 134250............... .... .....
513420......
. . . . . . . . .
051342 . . . . . . . . . . . .
350142.................235014 . . 250134............... ... ......
425013.....
. . . . . . . . .
342501
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. ... . . .. . .. .... ... .... ... ...
134520.................013452 . .... . . 034512............... .... .....
203451......
. . . . . . . . .
120345 . . . . . . . . . . . .
412035.................451203 . . 351204............... ... ......
512034.....
. . . . . . . . .
345120
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. . . .. .. ... . . .. . .. .... ... .... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
255
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 034125.................045231 .......... .. . .
145230.................014523 .......... .. . .
023451.................012345 .......... . . . .
250341.................125034 ...
301452.................230145 ...
401235.................450123 . . .
... . .. ..
412503.................341250
......... ..... ... . .. .... ...... . . . . . . . . . ........
512340.................051234 .. ........... . ... .
350124.................345012 ... .. ..
134502.................123450
......... ..... ... ... ... ..... ......... ..........
... . .. ..
523014.................452301
......... ..... ... . .. .... ...... . . . . . . . . . ........
. . . . . . . .
245013.................234501
......... ..... ... . .. .... ...... . . . . . . . . . ........
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
256
x
n = 6, e = 10, 2 f3; 4g 2
1
. .. ....... . . .......... . ............... ..... . .. . . .. ............... .... ... . . ...... . . . . . .............. .............. .... . . . . . . . ...... .. .. . . ... .. ............ ... . .. ..... ...... .. .... ..... . . .. ....... .. .. . ..... ... ... . . ......... ........................................................................................ ......................... ..... . . . . .. ...... ... . . . ..... . .. .... . .... . ...... . . .. ............ ..... ..... ... . . . . . . . . . . . . . . ....... ....... . ... . . .. .. . . . . ... ................ .... ... .... . . ..... .. . .. . ............... ..... ...... . .......... . .......
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 024135 . ... . . .
024153 .. ... . .
025314 .. ... . .
031425 . ... . . .
031524 . ... . . .
502413 . . .
302415 ...
402531 ...
503142 . . .
403152 . . .
. . . . . . . .
350241 . . . . . . .
135024 . . . . . . .
413502 . . . . . .
241350
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
530241 ... ... .
153024 ... .. ..
415302 ... ...
241530
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
140253 ... ... .
314025 ... .. ..
531402 ... ...
253140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
250314 . . . . . . .
425031 . . . . . . .
142503 . . . . . .
314250
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
240315 . . . . . . .
524031 . . . . . . .
152403 . . . . . .
315240
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
035142 . ... .
041352 .. ...
042513 .. ...
052413 . ... .
053142 . ... .
203514 . . .
204135 ...
304251 ...
305241 . . .
205314 . . .
. . . . . . .
420351 . . . . . . .
142035 . . . . . . .
514203 . . . . . .
351420
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
520413 ... ... .
352041 ... ... .
135204 ... ...
413520
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
130425 ... ... .
513042 ... ... .
251304 ... ...
425130
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
130524 . . . . . . .
413052 . . . . . . .
241305 . . . . . .
524130
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
420531 . . . . . . .
142053 . . . . . . .
314205 . . . . . .
531420
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 031452 .. ..... . ... .
420315............... .... ......
520314.....
203145 ... .. .
452031 ... ... .
145203 ... ... .
314520
.... .... .... .... ... ... ... ... . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
035241............... 135240
... ...... ......
034152 . ..... . .
013524 .. ..... . ... .
401352 ... .. .
240135 .. . ... .
524013 ... .. .
352401
.... .... .... ... ... ... .. ... . . . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
. . . .
203415 . . . . . .
520341 . . . . . . .
315204............... 415203
... ...... ......
152034 . . . . . . .
341520
.... .... .... .... .. ... ... ... . . .. ... . .. . . .. . . . . .... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
035124 ..... .. . ... .
140352............... 240351
... ..... ......
403512 ... .. .
124035 ... ... .
512403 ... ... .
351240
253041
302514 402513
...... ..... .... .... ..... .....
.... .....
142530.....
530412 ... ... .
125304 ... ... .
412530
025134 .. ..... ... .
340251 ... .. .
134025 ... 513402 ... ... .
251340
.. .
530142 .. . ... .
253014 ... .. .
425301
.... .... .... .... .. ... ... ... .. ... ... . . . . . .. .... ... .... .....
... . .. .
413025............... 513024
305142
... ..... ......
.................
205134...............
... ......
420513......
... .
502341 ... .. ..
150234 ... 241503............... 415023
... ..... ......
... .
341502 .. .. .. .. .. .
234150
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. ... .. .. . . .. . .. . . . .... ... ... ... ...
130245 ... ... .
451302 ... ... .
245130
.... ... .... .... ... ... ... ... . . ... .. .. . .. . . .... ... .... .....
. . . .
504123 . . . . . . .
250413.................235041 . . . 135042............... .... ......
350412.....
204153............... 304152
.... ..... .....
. . . . . . . . . .
123504 . . . . . .
412350
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
041523 . ..... . . . . .
230415 . . . . . .
523041 . . . . . . .
152304 . . . . . . .
415230
.... ... .... .... ... ... ... ... . . ... .. .. . .. . . .... ... .... .....
051342 .. .... .
052314 . .... . .
230514 ..
405231 . . .
... . .. .. ... ..
342051 .. . ... .
134205 ... .. .
513420
023415 .. ....
315024
301425 ...
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. ... . .. . . .. . . . .. .... ... .....
302451 ...
... .
.................
... .
024513 .. .....
.... ... .... .... ... ... ... ... .. ... .. .. . .. . . .... ... .... .....
041235 .... . . .
014253 .. ..... .
304125 ... .. .
... ..... ......
042531...............
041253 .. ..... ... .
153042...............
.... .... .... .... .. ... .. ... .. . ... .. . .. . . .. . . . .. .... ... .....
257
... ... .... ... ... .. .. .. .. ... .. . . .. .. .. . .. . .. . . ... ... .... ... ...
. . . . . . .
240531.................124053 . . . 140523............... ... ......
314052.....
. . . . . . . . . .
231405 . . . . . .
523140
... ... .... ... ... .. .. .. .. ... .. . . .. .. .. . .. . .. . . ... ... .... ... ...
023514 .. ..... . ... .
402351 ... .. .
140235 ... ... .
251403............... 351402
... ..... ......
514023 ... ... .
235140
.... .... .... .... ... ... ... .. . . .. ... . .. . . ... . . . .... ... .....
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 134520.................013452 ... ....
024531...............
034512
245301
203451
...... ...... ... .. ...... ......
.. .. .. .. .
120345 ... .. .. .. .. .
412035.................451203 .. 351204............... 512034
... ...... ......
.. .. .. .. .
345120
... ... .... ... ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. . . .. . .. ... ... ... ... ... ...
... ..... ......
012453 .. .... .. .. .. ...
401253.................340125 .. . 301245............... 530124 145302
... ...... ......
.................
.. ... .. ...
453012 .. .. .. .. ...
124530
... ... ... ... .... .. .. .. .. .. ... . . .. .. .. . . . .. . ... .... ... ... ... ...
045123 . .... . . 204513
.................
130452............... .... .....
304512......
412305............... .... .....
512304......
. . . .
230451 . . . . . . . . . . .
123045 . . . . . . . . . . . . . . . . .
451230
... ... .... ... ... .. .. .. .. ... .. . . .. .. .. . . .. . .. . . . ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
258
051234 .. ....... . ... .
305124..................340512 .. 240513............... 405123
... ...... ......
034251............... 134250 350142
... ...... ......
.................
250134............... .... .....
425013......
134052............... ... ......
234051......
.. .. ... ..
123405 .. . ... .
512340
052341...............
013425 .. ....... . ... .
501342 ... .. .
235014 .. .. .. .. .. .
342501
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... ... . . .... . . .. .... .......
152340
..... .... .... .... ... ... ... . ... ... . .. . . . . .... . . ... .......
... ...... ......
015234 .. ..... .. .. .. .. .
301524.................340152 .. . 240153............... 401523
.... ..... .....
.. ... .. ...
234015 ... .. .
523401
034125 .. ....... ... .
503412 ... .. ..
150342............... 315042
.. ...... ......
250341..................125034 .. . 231504............... 412503
... ...... ......
.. ... .. ...
341250
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... .. . . .... . . .. .... .......
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 145230................. 014523 .. ......... . 045231............... ... ......
204531......
350124............... 501234
... ..... ......
... .
120453 412053
...... ...... ... ... ...... ......
134502............... 345012
... ...... ......
301452................. 230145 .. 341205...............
... ......
523014......
023451...............
... ......
123450..... 401235
.................
.. .. ... ..
452301
........ ..... ..... ... .. ... .... . . . ..... . . . . . . . ......
012345 .. ......... .. .. .. ...
450123 ... ... .
245013................. 234501
........ ..... ..... ... . .. ... .... . . . . ....... . . . . . . . . .
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. .. .. . .. . . .... . . .... ... .....
402315............... 502314 245031
... ...... ..... .................
145023............... .... .....
314502......
023145 . ..... . . . . . .
450231 . . . . . . . . . . .
124503 . . . . . . . . . . .
231450
.... ... .... .... ... ... .. ... . . . .. ... . .. . . .. . . . .. .... ... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
259
n = 6, e = 10, 2 f2; : : : ; 4g 2
1
. ...... . ......... . . .......... . ......... . ............... .... ... . . . ....... . . . . .......... .............. .... . . . . . . ...... . ........... . ... .. .. ...... . ...... .. .. ..... ..... . . .. ..... . ..... .. ... . .. ......... ..................................................................................... ......................... ..... . . . .. ...... ... . . ..... . .. . ... . ...... . . ..... .. ..... ... ........ .... . . . . . . . . . . . ....... ...... . ... . .. .. . .. .. . . ... ................ . . . ..... .. .... . ............... ..... .... . . . . ............................................................
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 024135 . ... . . .
024153 .. ... . .
024513 .. ... . .
031542 . ... . . .
035142 . ... . . .
502413 . . .
302415 ...
302451 ...
203154 . . .
203514 . . .
. . . . . . . .
350241 . . . . . . .
135024 . . . . . . .
413502 . . . . . .
241350
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
530241 ... ... .
153024 ... .. ..
415302 ... ...
241530
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
130245 ... ... .
513024 ... .. ..
451302 ... ...
245130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
420315 . . . . . . .
542031 . . . . . . .
154203 . . . . . .
315420
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
420351 . . . . . . .
142035 . . . . . . .
514203 . . . . . .
351420
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
053142 . ... . . . . .
205314 . . . . . .
420531 . . . . . . .
142053 . . . . . . .
314205 . . . . . .
531420
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 024531............... 245301
... ...... .....
012453 .. ..... . ... .
301245 ... .. .
530124 .. . ... .
453012 ... .. .
145302.................124530
.... .... .... .... ... ... ... ... . ... .. .. . . . . . . .... ... .... ....
023145 . .... . .
135420.................013542 ... .... 035412............... 203541
... ..... ......
.. .. .. .. .
120354 ... .. .
412035 .. . ... .
541203 ... .. .
354120
... ... .... ... ... .. .. .. .. ... .. . . .. .. .. . . .. . .... .... ... ... ... ...
. . . .
502314 . . . . . . .
450231 . . . . . . .
245031.................124503 . . 145023............... ... ......
314502......
. . . . . . . . .
231450
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. .. . .. . .. . . . ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
260
025314 .. .... . ... .
402531 ... .. .
240531.................124053 ... ... .
140253.................231405 .. 314025............... .... .....
531402......
.. .. .. .. .
253140
315402
.... ..... ......
130254 ... ... .
241305...............
.... .....
541302......
204153
... .
125403 .. .. .. .. .. .
231540
... .
230415 ... .. .
304125.................253041 .. . 153042 530412
...... ...... ... ... ...... ......
.. ... .. ...
125304 ... .. .
412530
... .
402351 ... 240351
.. ..
124035 ... ... .
140235.................251403 .. 351402 514023
...... ...... ... ... ...... ......
254130
... . .. .
150234 ... 315024
.................
241503............... 415023
.... ..... ......
.. .. .. .. .
235140
... .
341502 .. .. .. .. .. .
234150
203145............... 503142
... ...... ......
204513
.................
... .
230451 ... .. .
304512.................123045 .. . 130452 513042
...... ...... ... ... ...... ......
.. ... .. ...
251304 ... .. .
451230
031452 . ..... . . . . .
250314 . . . . . .
452031 . . . . . . .
145203 . . . . . . .
314520
... ... .... ... ... .. .. .. .. ... .. . . . .. .. . .. . .. . . .. .... ... ... ... ...
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . . .. .. . . .. . .. . . .. .... ... ... ... ...
204135
. . . .
250413 . . . . . .
504123.................235041 . . . 135042............... ... ......
350412.....
. . . . . . . . . .
123504 . . . . . . .
412350
205413
.................
130542...............
.... .....
305412......
... .
230541 .. .. .. ... ..
123054 .. . ... .
412305 ... .. .
541230
305142
205134............... .... ......
420513.....
. . . .
230514 . . . . . . . . . . .
342051 . . . . . . .
134205 . . . . . .
513420
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . . .. .. . . .. . .. . . . .... ... ... ... ...
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 153420..................015342 .. ....... 053412 205341
...... ...... ... .. ...... ......
301542
..................
120534............... 412053
... ..... ......
... .
230154 .. .. .. ... ..
341205 .. . ... .
534120
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... ... . . ... . . . ... .... .......
245013............... 450123
... ..... ......
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . . .. .. . . .. . .. . . . ... ... ... ... ...
051342 . .... . . .................
054123 .. ....
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. . .. ... .. .. . .. . . . .... ... .... ... ...
.... ... .... .... ... ... .. ... . . . .. ... . . .. . . . ... . . . . ... ... .....
041235 . .... . . .................
045123 .. .... .
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. .. .. .. . . .. . .. . . .. .... ... ... ... ...
023514 .. .... .................
... .
502341 ...
... ... .... ... ... .. .. .. .. ... .. ... .. .. . .. . .. . . .. .... ... ... ... ...
041253 .. .... . .................
413025 ...
402315 ... 240315.................254031 ... 154023...............
.. .
023415 .. .... .
.. .
540231
.... .... .... .... .. ... .. ... . . . ... .. . .. . . .. . . . .. .... ... .....
... .
302541 ...
023154 .. .... . ... .
.................
025413 ..... .. .
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. .. .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
023451............... .... .....
234501......
012345 . ........ . . . . . .
501234 . . . . . .
350124..................345012 . . . . . . .
134502..................123450
...... ..... .... ... ... ... .. .. ... .... . . . ... . . . . . . ........
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . . .. .. . . .. . .. . . .. .... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
135402............... 354012
.... ...... .....
023541............... 123540
... ..... ......
012354 .. ....... . .
045231...............
401235 ...
204531
... . .. .
240135..................254013 .. . 540123
..................
203415
..................
261
... .
235401
...... .... .... ... ... ... .. .. .. . .. .... . . ... . . . . . . .......
.... ...... .....
145230..................014523 . ....... . . . . . .
120453..................230145 . . 301452............... ... ......
530142......
034125 .. ....... . 150342 315042
..... ...... .... ... ...... ......
... .
250341 ... .. ..
503412..................125034 .. . 231504............... .... ......
412503.....
.. .. .. .. ..
341250
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... . ... . . ... . . . . .... .......
. . . . . . . . .
253014 . . . . . . .
452301
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... ... . . .... . . .. .... .......
025134 . ....... . . 240513............... 402513
.... ..... .....
302514
..................
. . . .
340251 . . . . . . .
234051..................123405 . . . 134025............... .... ......
513402.....
. . . . . . . . . .
251340
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... . ... . . ... . . . . .... .......
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 034512............... 203451
... ...... ......
350142............... 501342
... ..... ......
134520..................013452 .. ....... . ... .
120345..................250134 .. 235014............... 451203
... ...... ......
.. .. ... .. .. .. .. .. .. ...
345120
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... ... . . ... . . . ... .... .......
153402............... 534012
.... ...... .....
240153............... 401253
... ...... ......
025341............... ... ......
125340......
012534 . ......... . . . . . . . . . .
301254..................340125 . . . . . . .
234015..................253401
........ ..... ..... ... .. .. .... . .... . . . . . . . .. ........
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
262
x
n = 6, e = 11, 2 f3; : : : ; 5g 2
1
. .. ....... . . .......... . ............... ..... . .. . . .. ............... .... ... . . ...... . . . . . .............. .............. .... . . . . . . . ...... .. .. . . ... .. ............ ... . .. ..... ...... .. .... ..... . . .. ....... .. .. . ..... ... ... . . ......... ........................................................................................ ......................... ..... . . . . .. ...... ... . . . ..... . .. .... . .... . ...... . . .. ............ ..... ..... ... . . . . . . . . . . . . . . ....... ....... . ... . . .. .. . . . . ... ................ .... ... .... . . ..... .. . .. . ............... ..... ...... . . . . .............................................................
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 024135 . ... . . .
024153 .. ... . .
024513 .. ... . .
025314 . ... . . .
025413 . ... . . .
502413 . . .
302415 ...
302451 ...
402531 . . .
302541 . . .
. . . . . . . .
350241 . . . . . . .
135024 . . . . . . .
413502 . . . . . .
241350
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
530241 ... ... .
153024 ... .. ..
415302 ... ...
241530
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
130245 ... ... .
513024 ... .. ..
451302 ... ...
245130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
140253 . . . . . . .
314025 . . . . . . .
531402 . . . . . .
253140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
130254 . . . . . . .
413025 . . . . . . .
541302 . . . . . .
254130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
031425 . ... .
031452 .. ...
031524 .. ...
031542 . ... .
035142 . ... .
503142 . . .
203145 ...
403152 ...
203154 . . .
203514 . . .
. . . . . . .
250314 . . . . . . .
425031 . . . . . . .
142503 . . . . . .
314250
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
520314 ... ... .
452031 ... ... .
145203 ... ...
314520
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
240315 ... ... .
524031 ... ... .
152403 ... ...
315240
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
420315 . . . . . . .
542031 . . . . . . .
154203 . . . . . .
315420
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
041352 . ... . . .
042513 .. ... . .
052413 .. ... . .
053142 . ... . . .
204135 . . .
304251 ...
305241 ...
205314 . . .
. . . . . . .
520413 . . . . . . .
352041 . . . . . . .
135204 . . . . . .
413520
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
130425 ... ... .
513042 ... .. ..
251304 ... ...
425130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
130524 ... ... .
413052 ... .. ..
241305 ... ...
524130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . .
420531 . . . . . . .
142053 . . . . . . .
314205 . . . . . .
531420
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . .
420351 . . . . . . .
142035 . . . . . . .
514203 . . . . . .
351420
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
263
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 023154 .. .... .
023415 .. .... .
402315 ...
502341 ...
... . .. ..
540231 ... 254031 154023 315402
................. ...... ...... ... .... ..... ......
024531............... ... ......
245301 .....
... .
125403 .. .. .. .. .. .
231540
... .
301245 ... .. . ... .
453012 ... .. ..
145302.................124530
... ......
135240.....
... . .. ..
150234 ... 315024 241503 415023
................. ...... ...... ... .... ..... ......
.... .... .... .... .. ... ... .. . ... .. .. . .. . . . .... ... .... ... .....
401352 ... .. .
240135 .. . ... .
524013 ... .. .
352401
.... .... .... .... ... ... ... ... .. ... ... . . ... . . .. .... .... .....
203541
... ...... ......
.. .. .. .. .
120354 ... .. .
412035 .. . ... .
541203 ... .. .
354120
... ... .... ... ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. ... . .. . . ... ... ... .... ... ...
204513
130452............... ... ......
304512......
... .
230451 .. .. .. .. .. .
123045 .. . ... .
512304 ... .. .
451230
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. .. .. .. . . . .. . . . . . .. ... ... ... ... ...
234150
.. .
520341 ... ... .
315204...............
... ......
415203.....
023514 . ..... . . . . .
402351 . . . . . .
140235 . . . . . . .
251403 351402
..... ..... ..... .... ..... .....
152034 ... .. ..
341520
.... .... .... .... ... ... .. ... . . .. ... ... . .. . . . . ... .... ... .....
... .
504123 ... 250413
.................
135042............... 350412
... ..... ......
204153............... 304152
... ...... ......
.. .
235041 .. . .. ... .. ...
123504 ... .. .
412350
... . .. .
523041 ... ... .
152304 ... ... .
415230
305142
.................
205134...............
... ......
420513......
. . . .
235140
. . . .
140352............... 240351
.... ..... .....
403512 . . . . . .
124035 . . . . . . .
512403 . . . . . . .
351240
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . . .. .. ... . .. . ... .... ... ... ... ...
041523 .. ..... . 230415 ...
514023 . . .
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... .. . . .. . . . . .... ... .... .....
.... ... .... .... ... ... ... ... . . .. ... . ... . .... . . ... ... ... .....
035124 . ..... .
041235 .. .... .
045123 .. .... .................
.. .. .. .. .
... .
135420.................013542 ... .... 035412...............
341502 ..
203415 ...
013524 .. ..... . ... .
... .
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
034152 .. .....
012453 .. ..... . 530124 .. .
035241...............
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
.... ... .... .... ... ... ... ... . . .. ... . .. . . ... . . . .. .... ... .....
041253 . ..... . . . . . .
304125 . . . . . .
153042............... 253041
... ..... ......
302514............... 402513
... ...... ......
530412 . . . . . . .
125304 . . . . . . .
412530
.... ... .... .... ... ... ... ... . . .. ... .. . . .. . . . ... .... .... .....
025134 . ..... . . . . . .
340251 . . . . . .
134025 . . . . . . .
513402 . . . . . . .
251340
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... .. . . .. . . . . .... ... .... .....
051342 .. ....
052314 . .... .
230514 ..
405231 . . .
... . .. .. .. .. .
342051 .. . ... .
134205 ... .. .
513420
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . . .. .. . . . .. . . . . . .. ... ... ... ... ...
. . . . . . .
240531.................124053 . . . 140523............... ... ......
314052......
. . . . . . . . . .
231405 . . . . . .
523140
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . . .. .. . . . .. . . . . . .. ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
264
042531............... 142530
... ...... ......
023145 .. .... . ... .
502314 ...
014253 .. ..... . ... .
301425 ... .. .
530142 .. . ... .
253014 ... .. .
425301
.... .... .... ... ... ... ... ... .. .. ... . . ... . . ... ... .... ... .....
.. .
450231 ... 245031
.................
145023...............
.... .....
314502......
... .
124503 .. .. .. .. .. .
231450
054123 . .... . .
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. . . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
205413
.................
130542............... .... .....
305412......
. . . .
230541 . . . . . . . . . . .
123054 . . . . . . .
412305 . . . . . .
541230
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 025341............... 245013 450123
...... ...... ... ... ..... ......
023451 234501 350124
...... ..... .... ... ...... ......
..................
.... .....
012345 .. ........ . ... .
501234 ... ... .
345012 .. . ... .
134502..................123450
045231............... ... ......
204531......
...... ..... .... ... ... ... . .. ... ... . . . ... . . . . .... ........
253401......
301254............... .... .....
401253.....
120453 301452
...... ...... ... ... ...... .....
.. .. .. .. .
230145 ... .. .
523014 .. . 452301
305124
405123
134052 234051
153420 .... ......
205341.....
. . . .
534012 . . . . . .
..... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . . .... . . . .... .......
.... .... .... ... ... ... ... .. . . .. .. .. . . .. . . ... . . . . ... .... .....
034125 . ....... . . . . . .
503412 . . . . . .
150342............... 315042
... ..... ......
.................. ...... ...... ... ... ...... ......
... ......
051234 .. ....... .
152340......
340512 ..
301524
... . .. .. ... ..
123405 .. . ... .
512340
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... ... . . ... . . . ... .... .......
240153 401523
................. ...... ..... .... ... ...... ......
034251...............
053412...............
340125 . . .
153402.................125340
052341...............
... ..... ......
. . . . . . . . . . . . . . .
145230..................014523 ... .......
... .
240513...............
012534 . ..... .
..................
015342 .. ....... . ... .
301542..................230154 .. 120534 412053
...... ...... ... .. ...... ......
.. .. .. .. .
341205 .. . ... .
534120
..... .... .... .... ... ... ... .. ... .. . . .... . . .... .... .......
... ......
134250......
250341..................125034 . . . 231504............... ... ......
412503......
340152 . . . . . . . . . . . . .
234015 . . . . . .
523401
. . . .
501342 . . . . . .
.... .....
425013......
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . . ... . . .... .... .... .....
013425 . ....... . .
350142.................235014 . . 250134...............
341250
015234 . ..... . . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
342501
. . . . . . . . . .
..... .... .... .... ... ... ... . ... ... . ... . . ... . . . .... .......
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... ... . . ... . . . ... .... .......
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . . .. .. . . .. . .. . . . ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
134520.................013452 .. ....... . 034512............... .... .....
203451.....
351204............... .... ......
451203.....
.. .. .. .. .
120345 ... .. .
512034 .. . ... .
345120
..... .... .... .... ... ... ... .. ... ... . . . .... . . . ... .... .......
135402............... 354012
.... ..... .....
265
023541............... ... ......
123540......
012354 . ........ . . . . . .
401235 . . . . . .
540123 . . . . . . .
254013..................235401
...... ..... .... ... ... ... . .. ... . . . .... . . . .... . . . . . . . ....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
266
x
n = 6, e = 12, 2 f3; : : : ; 5g 2
1
. .. ....... . . .......... . ............... ..... . .. . . .. ............... .... ... . . ...... . . . . . .............. .............. .... . . . . . . . ...... .. .. . . ... .. ............ ... . .. ..... ...... .. .... ..... . .. ....... .. .. . ......................... ... ... . . .......... . ........................................................................................ .......... . . . . .. ...... ... . . . ... ...... . .. .... . .... . .. ..... . . ....... .. .. ............ ..... ... ...... . . . ... . . . . . . . ....... ....... . ... ... . . .. .. . . . ... ................ .... ... .... .. . . ..... .. . .. ... . . ............... ..... ...... .... . . . .............................................................
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 024135 . ... . . .
024153 .. ... . .
024315 .. ... . .
024513 . ... . . .
025134 . ... . . .
502413 . . .
302415 ...
502431 ...
302451 . . .
402513 . . .
. . . . . . . .
350241 . . . . . . .
135024 . . . . . . .
413502 . . . . . .
241350
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
530241 ... ... .
153024 ... .. ..
415302 ... ...
241530
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
150243 ... ... .
315024 ... .. ..
431502 ... ...
243150
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
130245 . . . . . . .
513024 . . . . . . .
451302 . . . . . .
245130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
340251 . . . . . . .
134025 . . . . . . .
513402 . . . . . .
251340
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
025143 . ... .
025314 .. ...
025413 .. ...
031425 . ... .
031452 . ... .
302514 . . .
402531 ...
302541 ...
503142 . . .
203145 . . .
. . . . . . .
430251 . . . . . . .
143025 . . . . . . .
514302 . . . . . .
251430
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
140253 ... ... .
314025 ... ... .
531402 ... ...
253140
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
130254 ... ... .
413025 ... ... .
541302 ... ...
254130
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
250314 . . . . . . .
425031 . . . . . . .
142503 . . . . . .
314250
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
520314 . . . . . . .
452031 . . . . . . .
145203 . . . . . .
314520
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
031524 . ... . . .
031542 .. ... . .
034152 .. ... . .
035142 . ... . . .
041352 . ... . . .
403152 . . .
203154 ...
203415 ...
203514 . . .
204135 . . .
. . . . . . .
240315 . . . . . . .
524031 . . . . . . .
152403 . . . . . .
315240
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
420315 ... ... .
542031 ... .. ..
154203 ... ...
315420
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
520341 ... ... .
152034 ... .. ..
415203 ... ...
341520
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . .
420351 . . . . . . .
142035 . . . . . . .
514203 . . . . . .
351420
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . .
520413 . . . . . . .
352041 . . . . . . .
135204 . . . . . .
413520
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
267
042513 . ... .
043152 .. ...
051342 .. ...
052413 . ... .
053142 . ... .
304251 . . .
204315 ...
205134 ...
305241 . . .
205314 . . .
. . . . . . .
130425 . . . . . . .
513042 . . . . . . .
251304 . . . . . .
425130
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
520431 ... ... .
152043 ... .. ..
315204 ... ...
431520
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
420513 ... ... .
342051 ... .. ..
134205 ... ...
513420
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
130524 . . . . . . .
413052 . . . . . . .
241305 . . . . . .
524130
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
420531 . . . . . . .
142053 . . . . . . .
314205 . . . . . .
531420
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 034251............... 134250
... ...... ......
013425 .. ..... . ... .
501342 ... .. .
250134 .. . ... .
425013 ... .. .
342501
.... .... .... ... ... ... ... .. . ... .. .. . . .. . . ... .... ... .... .....
134520.................013452 ... ....
035241...............
034512
135240......
203451
...... ...... ... ... ...... .....
.. .
345120
035412
142530
203541
120354 ... ... .
412035 .. . ... .
541203 ... .. .
354120 052431............... 152430
... ...... .....
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. . . .. . . . .... ... .... ... ...
015243 .. ..... . ... .
301524 ... .. .
430152 .. . ... .
243015 ... .. .
524301
.... .... .... .... ... ... ... ... .. ... ... . . ... . . .. .... .... .....
.. .
512034 .. . 451203 ...
042531...............
.. .. .. .. .
120345 ... ... .
135420.................013542 .. .... . ...... ...... ... ... ...... ......
.. .. .. .. .
... ..... ......
... ... .... ... ... .. .. .. .. .. .. . . . .. .. .. . .. . . . . . . .... ... ... ... ...
014253 .. ..... . ... .
301425 ... ... .
530142 .. . ... .
253014 ... .. .
425301
.... .... .... ... ... ... .. ... . . . .. ... . .. . . .... . . . .... .... .....
.... .....
205341
... ..... ......
.. .. .. .. .
120534 ... .. .
412053 .. . ... .
341205 ... .. .
534120
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . . .. .. ... . .. . ... .... ... ... ... ...
. . . . . . .
524013 . . . . . .
352401
502314 ... .. .
450231 ... ... .
245031.................124503 .. 145023............... ... ......
314502.....
.. .. .. .. .
231450
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... . . .. . .. .... ... .... ... ...
.... .... .... ... ... ... ... .. . . .. .. .. . . .. . . ... . . . . ... .... .....
143520.................014352 . .... . . 043512............... ... ......
204351......
. . . . . . . . .
120435 . . . . . . .
512043 . . . . . . .
351204 . . . . . .
435120
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . . .. .. .. . . .. . . . .... ... .... ... ...
034125 . ..... . . . . . .
150342 250341
...... ...... ... ... ...... .....
503412 . . . . . .
125034 . . . . . . .
412503 . . . . . . .
341250
023145 .. .... . ... .
. . . .
401352 . . . 240135 . . .
153420.................015342 ... .... 053412...............
013524 . ..... . .
.... .... .... .... ... ... .. ... . .. ... ... . . ... . . .. .... .... .....
023154 . .... . . 402315 . . .
403512 ...
540231 . . .
... .
140352 240351
...... ...... ... ... ...... .....
. . . .
035124 .. ..... .. .
124035 ... ... .
512403 ... ... .
351240
.... .... .... .... ... ... .. ... . .. ... ... . . ... . . .. .... .... .....
. . . . . . .
254031.................125403 . . 154023............... ... ......
315402.....
. . . . . . . . .
231540
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. . . .. .. ... . . .. . .. .... ... .... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
268
041235 .... .. . ... .
504123 ... .. ..
250413.................235041 .. . 135042 350412
..... ...... .... .... ...... .....
204153............... .... .....
304152......
.. .. .. .. ..
123504 ... .. .
412350
... .
230415 ... .. ..
523041 ... 152304 ... ... .
415230
... ......
243501.....
012435 .. ..... . ... .
501243 ... .. .
350124 .. . ... .
435012 ... 143502
.................
.... ... .... .... ... ... .. ... ... ... .. ... . ... . . .... ... ... .....
.. .
124350
.... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... . .. . . ... .... .... .....
051243 .. ..... ... .
305124 ... .. ..
143052 243051
...... ...... ... ... ...... .....
430512 ... ... .
124305 ... ... .
512430
.. .
153042 253041
...... ..... .... ... ...... ......
.. ... .. ...
231405 ... .. .
523140
... .
125304 ... ... .
412530
... ......
315042......
. . . .
502341 . . . . . . .
150234 . . . . . . .
241503 341502
..... ...... .... ... ...... .....
402351 . . .
.. ... .. ...
231504 ... .. .
423150
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. . . ... .. .. . . .. . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . .
140235 . . . . . . .
251403 351402
...... ...... ... .... ..... ......
045123 .. .... . ... .
... ......
304512......
.. .. ... ..
123045 .. . ... .
512304 ... .. .
451230 024531...............
... ......
245301......
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . . .. .. .. . .. . ... . . ... ... ... ... ...
012453 .. ..... . ... .
301245 ... .. .
530124 .. . ... .
453012 ... .. .
145302.................124530
... ...... ......
. . . .
234150
023514 . ..... .
204513.................230451 .. 130452...............
415023 . . .
.... ... .... .... ... ... .. ... . . .. ... .. .. . .. . . . .... ... ... .....
504231 ... 250431.................125043 .. . 150423...............
.... .... .... .... .. ... .. ... . . . ... .. . .. . . .. . . . .. .... ... .....
042315 .. .... . .. .
253401
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. .. .. .. . . .. . .. . . . .... ... ... ... ...
530412 ...
... .
405231 ... 240531.................124053 .. . 314052
304125 ...
025341...............
.. ..
140523
... .
052314 .. .... ... .
...... ...... ... ... ...... .....
.... .... .... .... ... ... ... .. ... ... ... . .. . . . .... .... .... .....
023415 . ..... . .
041253 ..... .. .
041523 .. ..... .
... .
024351...............
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . .. . . ... . . . ... .... .....
012534 .. ..... . ... .
401253 ... .. .
340125 .. . ... .
534012 ... .. .
153402.................125340
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. .. ... . .. . . ... . . . . .... ... .....
514023 . . . . . . .
235140
.... ... .... .... ... ... ... ... . . ... .. .. . .. . . .... ... .... .....
051234 . .... . . . . . .
405123 . . . . . .
240513.................234051 . . . 134052............... .... ......
340512.....
205143............... 305142
... ...... .....
. . . . . . . . . .
123405 . . . . . .
512340
051423 . ..... . . . . .
230514 . . . . . . .
423051 . . . . . . .
142305 . . . . . . .
514230 025431............... .... .....
254301......
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . . .. .. .. . .. . ... . . ... ... ... ... ...
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . .. . . ... . . . ... .... .....
012543 . ..... . . . . . .
301254 . . . . . .
430125 . . . . . . .
543012 . . . . . .
154302.................125430
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. .. ... . .. . . ... . . . . .... ... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
269
054123 .. .... . ... .
205413.................230541 .. 130542............... ... ......
305412......
.. .. ... ..
123054 .. . ... .
412305 ... .. .
541230
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 135402............... 354012
... ...... ......
023541............... 123540
... ..... ......
012354 .. ........ .
045231...............
401235 ...
204531
... . ... .
540123 .. . ... .
254013..................235401 052341............... 152340
... ..... ......
240153............... 340152
... ..... ......
134502............... 345012
... ...... .....
401523 ... .. .
234015 .. . ... .
523401
023451............... 123450
... ......
... ...... ......
250143............... 350142
... ..... ......
... .
501423 ... .. .
235014 .. . ... .
423501
501234 ...
205431
... .
450123 .. . ... .
245013..................234501
230145 . . . . . . .
523014 . . .
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... ... . . ... . . . ... .... .......
...... ..... .... ... ... ... ... ... . . . .... . . . ... . . . . . . . .....
054231...............
...... .... .... .... ... ... .. ... .. . . . .... . . . ..... . . . . . . . .
.... .....
301452......
. . . . . . . . .
014235 .. ........ .
012345 .. ....... . . ... .
120453...............
. . . .
142350......
...... ..... .... ... ... ... ... ... . . . .... . . . ... . . . . . . . .....
... ...... ......
145230..................014523 . ....... . .
452301
042351...............
015234 .. ........ . ... .
...... ..... .... ... ... ... .. .. ... .... . . . ... . . . . . . . .......
... ...... .....
154230..................015423 . ....... . . 120543............... .... .....
301542......
. . . . . . . . .
230154 . . . . . . .
423015 . . . . . . .
542301
..... .... .... .... ... ... ... . ... ... . ... . . .... . . ... .......
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
270
x
n = 6, e = 10, 2 f2; : : : ; 4g 2
1
........... ... ..... . ... .... . ... ........ ... .. ... . . .. ...... ..... ... ... . ... ... . ........ .. .. . . .. . . . . ... . . . . . . . .. .. .. . . ... .. ........... . ... . .. ..... .. .... . .. ... .. .. . .. .............................................................. . ............................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . ..... ..... .. ............. ..... . . .. .. . . ...... .. .... ........... .... . .. . ....... .. .. ......... .. . ...... . . . . . . . . . . ....... ....... . ... . . .. .. . . . . ... ................ .... ... .... . . ..... .. . .. . ............... ..... ...... . .......... . .......
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 023514 . ... . . .
024153 .. ... . .
032415 .. ... . .
032514 . ... . . .
035142 . ... . . .
402351 . . .
302415 ...
503241 ...
403251 . . .
203514 . . .
. . . . . . . .
140235 . . . . . . .
514023 . . . . . . .
351402 . . . . . .
235140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
530241 ... ... .
153024 ... .. ..
415302 ... ...
241530
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
150324 ... ... .
415032 ... .. ..
241503 ... ...
324150
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
041523 . ... .
041532 .. ...
051423 .. ...
304152 . . .
204153 ...
305142 ...
. . . . . . .
230415 . . . . . . .
523041 . . . . . . .
152304 . . . . . .
415230
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
320415 ... ... .
532041 ... ... .
153204 ... ...
415320
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
230514 ... ... .
423051 ... ... .
142305 ... ...
514230
. . . . . . . .
140325 . . . . . . .
514032 . . . . . . .
251403 . . . . . .
325140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
420351 . . . . . . .
142035 . . . . . . .
514203 . . . . . .
351420
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 142530.................014253 ... ....
053241...............
042513...............
153240
304251
... ..... ......
.. .. .. .. .
130425 ... .. .
513042 .. . ... .
251304 ... .. .
425130
... ... .... ... ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. . . .. . .... .... ... ... ... ...
... ...... .....
034152 . .... . . . . . .
015324 .. ..... .
203415 . . .
401532 ...
520341 . . .
... . .. .
240153 .. . ... .
324015 ... .. .
532401
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... .. .. . . . . . . .... ... .... ....
. . . . . . . .
352041.................135204 . . 152034............... ... ......
415203......
. . . . . . . . .
341520
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. .. . .. . .. . . . ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
035124 ..... .. . ... .
140352............... 240351
... ..... ......
403512 ... .. .
124035 ... ... .
512403 ... ... .
351240
304125 ... .. ..
153042............... 253041
... ...... ......
530412 ... ... .
125304 ... ... .
412530
350241.................135024 .. . 150234 415023
..... ...... .... .... ...... .....
035241............... 352401
.... ... .... .... ... ... .. ... ... ... .. ... . ... . . .... ... ... .....
... ...... ......
.. .. .. .. ..
341502 ... .. .
234150
.... .... .... ... ... ... .. ... . . . .. ... ... . .. . . . .... ... ... .....
... .
401352 ... ... .
240135 .. . ... .
524013 ... .. .
152403.................135240
205134 ...
.. ... .. ...
132405 ... .. .
513240
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . ... .. .. .. . .. . .... .... ... ... ... ...
... . .. .
320514.................342051 .. . 142053............... 420513
.... ...... .....
.. ... .. ...
134205 ... .. .
513420
. . . . . . . .
150423.................135042 . . . 235041............... .... ......
350412.....
042351...............
013524 .. ..... .
051342 .. .... .
.. .
324051
504123 . . .
.. ..
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
405132 ... 140532.................124053 .. . .... ...... .....
041235 .... . . .
502341 ...
051324 .. .... . ... .
240513...............
023415 .... .. . ... .
.... .... .... .... .. ... .. ... .. . ... .. . .. . . .. . . . .. .... ... .....
041253 .. ..... . ... .
271
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . . .. .. .. . .. . ... . . ... ... ... ... ...
... ......
142350......
. . . . . . . . . .
123504 . . . . . .
412350
014235 . ..... . . . . . .
501423 . . . . . . .
350142 . . . . . . .
235014 . . . . . .
423501
142503............... ... ......
425013......
034251............... 134250
... ...... ......
... ......
013425 .. ........ . ... .
501342 ... ... .
250134 .. . 325014
..................
023451............... ... ......
234501......
... .
342501
350124............... 501234
... ..... ......
145023
...... ..... .... ... ... ... .. .. ... .... . . . ... . . . . . . ........
. . . .
140253............... ... ......
402513......
. . . . . . . . .
134025 . . . . . . .
513402 . . . . . .
251340
.. .. .. ... ... .
134502 ... ... .
345012..................123450
..... .... .... .... ... ... ... . ... ... . ... . . .... . . ... .......
345120..................013452 . ..... . 034512............... .... .....
203451.....
. . . . . . . . .
120345 . . . . . . . . . . . . .
412035..................451203 . . . . . .
145203..................134520
012345 .. .......
401235..................450123 ... ..................
512034......
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . . ... . . ... . . . .. .... .....
245130..................012453 . ..... . . . . . .
024513............... 302451
... ..... ......
.... .... .... ... ... ... .. ... . . . .. ... ... . .. . . . .... ... ... .....
025134 . .... . . 302514.................340251 . .
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 351204...............
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
401253..................340125 . . 130245............... ... ......
451302 . .
..................
124530
513024...... 145302
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . .. . . ... . . . .... ... .....
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . . .. .. .. . .. . ... . . ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
272
032451............... 324501
... ..... ......
401325............... 501324
... ..... ......
.. .. .. .. .. .. .. .
450132 .. .. .. .. .. .
145032.................124503 ... 245013
.................
145230.................014523 .. .... .
013245 .. ....
...
132450
... .
045123.................130452 ..
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. ... .. .. .. .. . ... . .. ... ... ... ... ... ...
230451...............
... ......
304512......
412305...............
.... .....
512304......
.. .. .. .. .
123045 .. .. .. .. .. .. .. .. .
451230
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. . . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
145320..................014532 . ....... . .
051234 .. ....... . 140523............... 405123
.... ..... .....
305124
..................
134052............... 234051
.... ..... ......
... .
340512 .. .. .. .. .. .
123405 .. . ... .
512340
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... . ... . . ... . . . . .... .......
. . . .
045132..................120453 . . . . . . .
204513............... 320451
... ...... ......
034125 .. ....... ... .
503412 ... 250341............... 325041
... ...... .....
150342
..................
132504............... .... ......
412503.....
.. ..
125034 .. . .. ... .. ...
341250
..... .... .... .... ... ... ... . ... ... . .. . . . .... . . . ... .......
052341............... 305241
... ..... ......
412053..................341205 . . . 132045............... .... ......
513204.....
. . . . . . . . . .
451320
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... .. . . .... . . .. .... .......
152340..................015234 . ....... . . 130524............... ... ......
401523......
. . . . . . . . .
340152 . . . . . . .
234015 . . . . . . .
523401
..... .... .... .... ... ... ... .. ... .. . . ... . . . .... .... .......
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
273
n = 6, e = 10, 2 f2; : : : ; 4g 2
1
........... ... ..... . ... .... . ... ........ ... .. ... . . .. ...... ..... ... ... . ... ... . ........ .. .. . . .. . . . . ... . . . . . . . .. .. .. . . ... .. ........... . ... . .. ..... .. .... . .. ... .. .. . .. .............................................................. . .......................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . ..... . .. ............. . .. .. . . .. .... . ........... .... . . . . .. ......... .. .. . . . . . . . . . . . . . .. ... . . . . ..... .. . .. . . ... ......... .... ... .... . . . .. .. ... ............... .... . . . .........................................................
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 032415 . ... . . .
032514 .. ... . .
041523 .. ... . .
051423 . ... . . .
503241 . . .
403251 ...
304152 ...
305142 . . .
. . . . . . . .
150324 . . . . . . .
415032 . . . . . . .
241503 . . . . . .
324150
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
140325 ... ... .
514032 ... .. ..
251403 ... ...
325140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
230415 ... ... .
523041 ... .. ..
152304 ... ...
415230
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
230514 . . . . . . .
423051 . . . . . . .
142305 . . . . . .
514230
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 023415 .. .... . 302415
.................
... .
350241 ... .. .
502341.................135024 .. . 150234 415023
...... ...... ... ... ...... .....
032541............... 325401
... ...... ......
.. ... .. .. .
341502 ... .. ..
234150
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. .. .. .. . . . .. . ... .... ... .... ... ...
302514
.................
401325 ... .. .
540132 .. . ... .
154032.................125403 ... .. .
254013.................132540
.... .... .... ... ... ... .. ... ... ... ... . . . . . .. .... ... .... .....
032451...............
340251 ...
324501......
... . .. .
402351.................134025 .. . 140235 514023
...... ...... ... ... ...... .....
.. ... .. .. .
351402 ... .. ..
235140
152034...............
.... .....
415203......
013245 . ..... . . . . . .
501324 . . . . . . .
450132 . . . . . . .
145032.................124503 . . . . . . .
245013.................132450
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
203415 ...
203514 . . .
320415.................352041 ... 520341
.... .....
035142 . .... .
.. ..
.................
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. . . .. .. . . . .. . .. . . ... ... .... ... ...
034152 .. .... ... .
013254 .. ..... . ... .
023514 .. .... .
... .
135204 .. .. .. .. .. .
341520
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. . . . .. .. . .. . .. . . .. .... ... ... ... ...
. . . . . . . .
320514.................342051 . . . . . . .
420351.................134205 . . 142035............... .... .....
514203......
. . . . . . . . .
351420
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. . . . .. .. . .. . .. . . .. .... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
274
145230.................014523 .. .... .
154230.................015423 .. .... .
045123
054123.................130542 ..
.................
230451............... 304512
... ..... ......
... .
130452 .. .. .. ... ..
123045 .. . ... .
512304 ... .. .
451230
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
... .
230541...............
... ......
305412......
.. .. ... ..
123054 .. . ... .
412305 ... .. .
541230
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 142503............... 425013
... ...... ......
034251............... 134250
... ..... ......
013425 .. ........ . ... .
501342 ... ... .
250134 .. . ... .
325014..................342501
152403............... 524013
.... ...... .....
035241............... 135240
... ..... ......
...... ..... .... ... ... ... .. .. ... .... . . . ... . . . . . . . .......
013524 .. ........ . ... .
401352 ... .. .
240135 .. . ... .
324015..................352401
...... ..... .... ... ... ... ... ... . . . .... . . . ... . . . . . . . .....
145203............... ... ......
451203......
203451............... 320451
.... ..... ......
154203............... ... ......
541203......
203541............... 320541
... ..... ......
034125 .. ....... ... .
503412 ... 250341............... 325041
.. ...... ......
150342 132504 412503
.................. ...... ...... ... ... ...... ......
.. .
125034 .. . .. ... .. ...
341250
..... .... .... .... ... ... ... . ... .. . . ... . . . . .... . . ... .......
042351............... 304251
... ...... ......
... . .. .
240351............... .... .....
324051.....
140352..................124035 .. . 132405 512403
...... ...... ... ... ...... .....
.. ... .. .. .
351240
. . . .
034512..................120345 . . . . . . .
132045..................351204 . . . . . . .
512034..................345120
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... ... . . ... . . . ... .... .......
. . . .
035412..................120354 . . . . . .
132054..................341205 . . . . . . .
412035..................354120
302451 145023 450123
... ...... ...... ..... ...... .... ... ...... .....
...... ..... .... ... ... ... ... ... . . . .... . . . ... . . . . . . . .....
142350..................014235 . ....... . . 130425............... ... ......
501423......
. . . . . . . . .
350142 . . . . . . .
235014 . . . . . . .
023451...............
...... ..... .... ... ... ... . . .. ... .... . . . ... . . . . . . . .......
135420..................013542 . ........ . .
423501
035124 .. ....... . 403512 ...
134520..................013452 . ........ . .
..... .... .... .... ... ... ... .. ... .. . . .... . . .... .... .......
234501..................012345 . ........ . . . . .
130245..................350124 . . . . . . .
501234..................345012 . . . . . . .
134502..................123450
...... ..... .... ... ... ... . . ... ... .... . . . ... . . . . . . ........
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
041235 .. ....... . 150423 504123
...... ...... ... .... ...... .....
304125
..................
135042............... 235041
... ..... ......
... .
350412 .. .. .. ... ..
123504 .. . ... .
412350
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... ... . . .... . . .. .... .......
051234 .. ....... . 140523............... 405123
.... ..... .....
305124
..................
134052............... .... .....
234051......
... .
340512 .. .. .. ... ..
123405 .. . ... .
512340
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... . ... . . ... . . . . .... .......
275
052341............... 305241
.... ...... .....
152340..................015234 . ....... . . 130524............... .... .....
401523.....
. . . . . . . . .
340152 . . . . . .
234015 . . . . . . .
523401
023541............... 302541 154023 540123
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... ... . . .... . . .. .... .......
235401..................012354 . ........ . . . . . .
... ...... .....
130254..................340125 . . .
..... ...... .... ... ...... ......
135402..................123540
. . .
401235..................354012 . . . . . . .
...... ..... .... ... ... ... .. .. ... .... . . . ... . . . . . . .......
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
276
x
n = 6, e = 11, 2 f2; : : : ; 5g 2
1
........... ... ..... . ... .... . ... ........ ... .. ... . . .. ...... ..... ... ... . ... ... . ........ .. .. . . .. . . . . ... . . . . . . . .. .. .. . . ... .. ........... . ... . .. ..... .. .... . .. ... .. .. . .. .............................................................. . ............................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . ..... ..... .. ............. ..... . . .. .. . . ...... .. .... ........... .... . .. . ....... .. .. ......... .. . ...... . . . . . . . . . . ....... ....... . ... . . .. .. . . . . ... ................ .... ... .... . . ..... .. . .. . ............... ..... ...... . . . . .............................................................
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 023514 . ... . . .
024153 .. ... . .
032415 .. ... . .
032514 . ... . . .
035142 . ... . . .
402351 . . .
302415 ...
503241 ...
403251 . . .
203514 . . .
. . . . . . . .
140235 . . . . . . .
514023 . . . . . . .
351402 . . . . . .
235140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
530241 ... ... .
153024 ... .. ..
415302 ... ...
241530
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
150324 ... ... .
415032 ... .. ..
241503 ... ...
324150
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
041523 . ... .
041532 .. ...
051423 .. ...
304152 . . .
204153 ...
305142 ...
. . . . . . .
230415 . . . . . . .
523041 . . . . . . .
152304 . . . . . .
415230
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
320415 ... ... .
532041 ... ... .
153204 ... ...
415320
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
230514 ... ... .
423051 ... ... .
142305 ... ...
514230
. . . . . . . .
140325 . . . . . . .
514032 . . . . . . .
251403 . . . . . .
325140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
420351 . . . . . . .
142035 . . . . . . .
514203 . . . . . .
351420
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 145230.................014523 .. .... .
145320.................014532 .. .... .
053241...............
045123
045132
153240......
.................
230451............... 304512
.. ...... ......
... .
130452 .. .. .. .. .. .
123045 .. . ... .
512304 ... .. .
451230
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. . .. .. .. . .. . .. . . ... ... .... ... ...
.................
204513............... 320451
.. ...... ......
... .
120453 .. .. .. .. .. .
132045 .. . ... .
513204 ... .. .
451320
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. .. . .. . .. . . ... ... .... ... ...
.... .....
015324 . ..... . . . . . .
401532 . . . . . .
240153 . . . . . . .
324015 . . . . . .
532401
.... .... .... ... ... ... .. ... . . . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
277
154230.................015423 .. .... .
023415 .... .. .
023541...............
054123
502341 ...
235401.....
.................
230541............... 305412
... ..... ......
... .
130542 .. .. .. ... ..
123054 .. . ... .
412305 ... .. .
541230
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
... . .. ..
350241.................135024 .. . 150234 415023
..... ...... .... .... ...... .....
245130.................012453 .. .... . 024513............... 302451
.... ...... .....
.. .. .. .. .
130245 ... ... .
513024 .. . ... .
451302 ... .. .
145302.................124530
032541............... 325401
... ...... ......
... ......
... .
302514.................340251 .. 140253 402513
...... ...... ... ... ...... .....
... .
125403 ...
... .
401352 ... ... .
524013 ... .. .
152403.................135240
... .
.... .... .... .... ... ... ... ... . .. ... ... . .. . . . .. .... .... .....
.. . ... .
352041.................135204 .. 152034 415203
...... ...... ... ... ...... ......
.... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... . .. . . ... .... .... .....
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. . . ... .. .. . . .. . ... ... ... ... ... ...
012354 . ..... . . . . . .
401235 . . . . . .
540123 . . . . . . .
154023.................135402 . . . . . .
354012.................123540 032451............... ... ......
324501......
. . . .
501324 . . . 450132 . . .
145032
.................
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. ... . .. . . .. . . . .. .... ... .....
013245 . ..... . . . . . . . . . .
124503 . . . . . .
245013.................132450
... .
150423
.................
235041............... 350412
... ...... ......
142350
120354 ... .. .
412035 .. . ... .
541203 ... .. ..
135420
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. . .. .. .. . . .. . ... . . .. ... .... ... ...
341520
504123 ...
035412
.. .. .. .. .
.. .. .. .. .
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . . .. .. .. . .. . ... . . ... ... ... ... ...
.... .... .... ... ... ... .. ... . . . .. ... ... . .. . . . .... ... ... .....
035124 . ..... . . . . . .
140352 240351
...... ...... ... ... ...... .....
.. ...... ......
.. ..
135042 .. . .. ... .. ...
123504 ... .. .
412350
501423 ... .. .
350142 .. . ... .
235014 ... .. ..
423501
. . . .
124035 . . . . . . .
512403 . . . . . . .
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . . .. .. .. . . .. . ... . . ... ... ... ... ...
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . .. . . ... . . . ... .... .....
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... .. .. . .. . . . .. .... .... .....
041253 . ..... . . . . . .
304125 . . . . . . .
153042............... 253041
... ...... ......
530412 . . . . . . .
125304 . . . . . . .
412530
.... .... .... .... ... ... ... .. . ... ... ... . .. . . .... ... .... .....
051324 . .... .
014235 .. ..... . ... .
403512 . . .
351240
041235 .. ....
042351...............
154203
513402 ... 251340
354120.................013542 ... ....
.................
... . .. .
013524 .. ..... . 240135 .. .
203541
134025 .. .
520341 ...
.. .
...... ...... ... ... ...... .....
.. .. .. .. .
401325 ...
... .
254013.................132540
352401......
025134 .. .... .
203415 ...
.. .
035241...............
.. .
234150
.... .....
034152 .. ....
540132 .. . 154032
341502 ...
013254 .. ..... . ... .
.................
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. . . .. . ... ... ... ... ... ...
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405132 . . . . . . .
140532.................124053 . . . 240513............... ... ......
324051......
. . . . . . . . . .
132405 . . . . . . .
513240
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. .. . . .. . ... . . .. ... .... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
278
051342 .... .. .
142530.................014253 ... ....
205134 ...
042513...............
... . .. ..
320514.................342051 .. . 142053 420513
..... ...... .... .... ...... .....
.. .. .. .. ..
134205 ... .. .
513420
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
... ......
304251.....
.. .. .. .. .
130425 ... .. .
513042 .. . ... .
251304 ... .. .
425130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 142503............... 425013
... ...... ......
034251............... 134250
... ..... ......
... .
501342 ... ... .
250134 .. . 325014 145203............... 451203
... ...... ......
..................
153420..................015342 . ....... . .
013425 .. ........ .
... .
342501
...... ..... .... ... ... ... .. .. ... .... . . . ... . . . . . . . .......
. . . .
205341 320541
...... ...... ... .... ..... .....
034512............... ... ...... ......
.. .. .. ...
120345 ... ... .
512034 ... ... .
351204..................345120
..... .... .... .... ... ... ... . ... .. . . .... . . ... . . . .... .......
405123
025341............... 302541
... ...... ......
.... .....
412053......
305124
..................
134052............... 234051
... ...... ......
... .
340512 .. .. .. ... ..
123405 .. . ... .
512340
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... ... . . ... . . . ... .... .......
253401..................012534 ... ....... 130254 401253
..... ...... .... ... ...... .....
.. .. .. .. .
340125 ... ... .
534012 .. . ... .
153402..................125340
..... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . . .... . . . .... .......
. . . . . . . . .
341205 . . . . . . .
534120
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... ... . . ... . . . ... .... .......
034125 . ....... . . . . . .
503412 . . . . . .
250341 325041
...... ...... ... ... ...... ......
150342..................125034 . . . 132504............... ... ......
412503.....
023451...............
051234 .. ....... 140523
132054...............
134520..................013452 .. ....... 203451
...... ...... ... ... ...... .....
053412..................120534 . .
... ......
234501.....
. . . . . . . . . .
341250
012345 . ........ . . . . . .
501234 . . . . . .
145023............... 450123
... ..... ......
052341............... 305241
... ...... ......
..... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . . .... . . . .... .......
350124..................345012 . . . . . . .
134502..................123450
...... ..... .... ... ... ... . .. ... ... . . . ... . . . . .... ........
152340..................015234 . ....... . . 130524............... ... ......
401523.....
. . . . . . . . .
340152 . . . . . . .
234015 . . . . . . .
523401
..... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . . .... . . . .... .......
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
279
n = 6, e = 10, 2 f1; : : : ; 4g 2
1
.. ........... ... .. . ... . ... ........ .. ... . . .. ...... .. ..... . ... ... . ...... .... .. . . .. . . . ... . . . . . ........ .. . . ...... ... ... . . .. . .. ......... . ... . . . . . .................................................................................. .............................. ... . . ........ ...... . ... ... ............. ... ....... . . .. . . .... . .. ..... . ....... .. ............ ..... ... ..... . . . ... . . . . . . . ..... ....... . ... ... . ......... .. .. .. . . . ... .. . ..... ......... .... .. .... ... . . . ......... ..... ...... .... . .......... . .....
3
0
4
5
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 024351............... 243501
... ...... ......
012435 .. ..... . ... .
501243 ... ... .
150243.................135024 .. . ... .
350124.................143502 ... .. ..
435012.................124350
.... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . .. . . ... .... .... ... .....
251340.................012534 .. ....
034251...............
025134
342501......
.................
340251............... 402513
... ..... ......
035124.................140352 ..
423501
240351............... 403512
.... ..... ......
.. .. ... ..
124035 .. . ... .
512403 ... .. .
152403.................135240 043251............... 432501 150432
... ...... .....
.................
014325 .. ..... . ... .
501432 ... .. .
125043 .. . ... .
250143.................132504 ... 325014
.................
.. .
143250
.... .... .... .... .. ... ... ... . ... ... ... . .. . . . .... ... .... .....
.. .. ... ..
134025 .. . ... .
513402 ... .. ..
042351...............
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. .. ... .. .. . .. . . ... .... ... ... ... ...
140253 ..
153402.................125340
351240.................013524 .. .... . ... .
... .
... ..... ......
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
014235 .. ..... . ... .
501423 ... .. .
150423.................135042 .. . ... .
350142.................123504 ... .. .
235014.................142350
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... ... . .. . . . .. .... .... .....
.... .....
013425 . ..... . . . . . .
501342 . . . . . . .
150342.................125034 . . . . . . .
250134.................142503 . . . . . . .
425013.................134250
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . .. . . ... . . . . .... ... .....
425130.................014253 . .... . . 042513............... ... ......
304251......
. . . . . . . . .
130425 . . . . . .
513042 . . . . . . .
153042.................125304 . . . . . .
251304.................142530
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . .. ... .. .. . .. . . ... .... ... ... ... ...
435120.................014352 ... ....
152340.................015234 . .... . .
043512...............
051234.................140523 . . .
.... .....
204351......
.. .. .. .. .
120435 ... .. .
512043 .. . ... .
152043.................135204 ... 351204
.................
.. .
143520
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. .. . . .. . .. .... ... .... ... ...
. . . . . . .
405123.................134052 . . . 234051............... .... .....
340512......
. . . . . . . . . .
123405 . . . . . .
512340
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. .. . . .. . .. .... ... .... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
280
152430.................015243 .... .. .
153240.................015324 .... .. .
153420.................015342 .... . . .
051243
051324
051342.................120534 . . .
.................
... .
130524 ... .. ..
305124.................143052 .. . 243051 430512
..... ...... .... .... ...... .....
.. .. .. .. ..
124305 ... .. .
512430
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
.................
... .
140532 ... .. ..
405132.................124053 .. . 240513 324051
..... ...... .... .... ...... .....
.. .. .. .. ..
132405 ... .. .
513240
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
205134.................142053 . . . 342051............... .... ......
420513.....
. . . . . . . . . .
134205 . . . . . .
513420
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 152304............... 512304 230451 423051
... ...... .....
..... ...... .... .... ...... .....
032451............... .... ......
403251.....
150324............... .... ......
501324.....
145230..................014523 .. ........ . 045123
..................
... .
130452 ... .. .
304512..................123045 .. . ... .
142305..................451230
...... ..... .... ... ... ... .. .. ... .... . . .... . . . . . ........
153204............... ... ......
513204 ..... 320451 432051
140325..................450132 .. . .. .. .. .. .. .. .. .
145032..................124503 ... 245013
..................
... .
132450
.... .... .... .... ... ... ... .. .. ... .. . . .. . . . . .... ... .... .....
... .
203451............... .... ......
420351.....
152034............... 512034
... ...... ......
.. .
142035..................451203 .. . .. .. .. .. .. .. .. .
145203..................134520
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. .. . . .. . . .... . . . .... .... .....
204513..................132045 . . . . . . .
143205..................451320
...... ..... .... ... ... ... . . .. ... .... . . .... . . . . . ........
245130..................012453 . ..... . . . . . .
302451............... 430251
... ..... ......
153024............... .... .....
513024......
345120..................013452 .. ..... . 034512..................120345 ...
. . . .
045132..................120453 . . . . . .
..... ...... .... .... ...... .....
324501..................013245 .. ..... . ... .
145320..................014532 . ........ . .
023451............... 402351 150234 501234
024513..................130245 . . . . . . .
143025..................451302 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
145302..................124530
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. .. ... . . . . . .... . . .... ... .....
234501..................012345 . ..... . . . . . .
... ...... .....
140235..................450123 . . .
..... ...... .... .. ...... ......
145023..................134502 . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
345012..................123450
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. .. ... . . . . . .... . . .... ... .....
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
281
n = 6, e = 11, 2 f1; : : : ; 5g 2
1
.. ........... ... .. . ... . ... ........ .. ... . . .. ...... .. ..... . ... ... . ...... .... .. . . .. . . . ... . . . . . ........ .. . . ...... ... ... . . .. . .. ......... . ... . . . . . .................................................................................. .............................. ... . . ........ ...... . ... ... ............. ... ....... . . .. . . .... . .. ..... . ....... .. ............ ..... ... ..... . . . ... . . . . . . . ..... ....... . ... ... . ......... .. .. .. . . . ... .. . ..... ......... .... .. .... ... . . . ......... ..... ...... .... . . . ............................................................
3
0
4
5
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 023451............... 234501
... ...... ......
012345 .. ..... . ... .
501234 ... ... .
150234.................145023 .. . ... .
450123.................134502 ... .. ..
345012.................123450
.... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . .. . . ... .... .... ... .....
235140.................012354 .. .... .
024351...............
023514
243501......
402351
...... ...... ... ... ...... .....
.. .. .. .. .
140235 ... ... .
514023 .. . ... .
154023.................135402 ... .. ..
351402.................123540
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. . . .. . .. . . .... ... .... ... ...
.... .....
012435 . ..... . . . . . .
501243 . . . . . . .
150243.................135024 . . . . . . .
350124.................143502 . . . . . . .
435012.................124350
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . .. . . ... . . . . .... ... .....
245130.................012453 ... ....
251340.................012534 .. .... .
251430.................012543 . .... . .
024513...............
025134.................140253 ..
025143.................130254 . .
... ......
302451...... 153024
.................
.. .. .. .. .
130245 ... .. .
513024 .. . ... .
145302 ... .. .
451302.................124530 032451............... 324501
... ...... .....
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. .. ... .. .. . .. . . ... .... ... ... ... ...
013245 .. ..... . ... .
501324 ... .. .
150324.................145032 .. . ... .
450132.................124503 ... .. .
245013.................132450
.... .... .... .... .. ... ... ... . ... ... ... . .. . . . .... ... .... .....
... .
340251............... 402513
.... ..... ......
.. .. ... ..
134025 .. . ... .
513402 ... .. .
153402.................125340
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . .. ... .. .. . .. . . ... .... ... ... ... ...
. . . .
302514............... .... .....
430251......
032514...............
342501.....
403251
... ..... ......
140325 ... .. .
514032 .. . ... .
154032.................125403 ... .. .
251403.................132540
. . . .
514302 . . . . . .
034251...............
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. .. . . .. . .. .... ... .... ... ...
143025 . . .
154302.................125430
325140.................013254 ... .... .. .. .. .. .
. . . . . . . . .
... ......
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . .. ... .. .. . .. . . ... .... ... ... ... ...
013425 . ..... . . . . . .
501342 . . . . . .
150342.................125034 . . . . . . .
250134.................142503 . . . . . .
425013.................134250
.... .... .... .... .. ... ... ... . ... ... ... . .. . . . .... ... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
282
345120.................013452 ... ....
351240.................013524 .. .... .
351420.................013542 . .... . .
034512
035124
035142.................120354 . .
203451 152034
..... ..... ..... ... ...... .....
.................
.. .. .. .. .
120345 ... .. .
512034 .. . ... .
145203 ... .. .
451203.................134520 042351............... 423501
... ...... ......
014235 .. ..... . ... .
501423 ... ... .
150423.................135042 .. . 350142
.................
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
... .
123504 ... .. .
235014.................142350
.... .... .... ... ... ... .. ... ... .. ... ... . .. . . . .... ... ... .....
.................
240351............... 403512
... ..... ......
... .
140352 .. .. .. ... ..
124035 .. . ... .
512403 ... .. .
152403.................135240
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
. . . .
203514............... ... ......
420351......
042513...............
432501......
304251 153042
.... ...... .....
.................
130425 ... ... .
513042 .. . ... .
125304 ... .. .
251304.................142530
. . . .
514203 . . . . . .
043251...............
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. . . ... .. .. . . .. . ... ... ... ... ... ...
142035 . . .
154203.................135420
425130.................014253 .. .... . .. .. .. .. .
. . . . . . . . .
... ......
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
014325 . ..... . . . . . .
501432 . . . . . . .
150432.................125043 . . . . . . .
250143.................132504 . . . . . .
325014.................143250
.... .... .... ... ... ... .. ... . . . .. ... ... . .. . . . .... ... ... .....
435120.................014352 ... ....
451230.................014523 .. .... .
451320.................014532 . .... . .
043512...............
045123.................130452 ..
045132.................120453 . .
... ......
204351......
.. .. .. .. .
120435 ... .. .
512043 .. . ... .
152043.................135204 ... .. .
351204.................143520
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . ... .. .. .. . .. . .... .... ... ... ... ...
... .
230451...............
... ......
304512......
.. .. ... ..
123045 .. . ... .
512304 ... .. .
152304.................145230
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . . .. .. .. . .. . ... . . ... ... ... ... ...
. . . .
204513............... ... ......
320451......
. . . . . . . . .
132045 . . . . . . .
513204 . . . . . .
153204.................145320
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . . .. .. .. . .. . ... . . ... ... ... ... ...
152340.................015234 .. ....
152430.................015243 .. ....
153240.................015324 . .... .
051234
051243
051324.................140532 . . .
.................
... .
140523 ... .. ..
405123.................134052 .. . 234051............... ... ......
340512......
.. ... .. ...
123405 ... .. .
512340
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. . .. .. .. . . .. . ... . . .. ... .... ... ...
.................
... .
130524 ... .. ..
305124.................143052 .. . 243051...............
... ......
430512......
.. ... .. ...
124305 ... .. .
512430
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. .. . . .. . ... . . .. ... .... ... ...
. . . . . . . .
405132.................124053 . . . 240513............... ... ......
324051......
. . . . . . . . . .
132405 . . . . . .
513240
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. .. . . .. . ... . . .. ... .... ... ...
153420.................015342 .. ....
154230.................015423 .. ....
154320.................015432 . .... .
051342
051423
051432.................120543 . . .
.................
... .
120534 ... .. ..
205134.................142053 .. . 342051 420513
...... ...... ... ... ...... .....
.. ... .. ...
134205 ... .. .
513420
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. .. .. .. . . .. . .. . . . .... ... ... ... ...
.................
... .
130542 ... .. ..
305142.................123054 .. . 230514 423051
...... ...... ... ... ...... .....
.. ... .. ...
142305 ... .. .
514230
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . . .. .. . . .. . .. . . . .... ... ... ... ...
. . . . . . . .
205143.................132054 . . . 320514............... 432051
... ...... .....
. . . . . . . . . .
143205 . . . . . .
514320
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . . .. .. . . .. . .. . . . .... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
283
n = 6, e = 12, 2 f2; : : : ; 5g 2
1
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3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 023415 . ... . . .
023514 .. ... . .
024153 .. ... . .
025143 . ... . . .
032415 . ... . . .
502341 . . .
402351 ...
302415 ...
302514 . . .
503241 . . .
. . . . . . . .
150234 . . . . . . .
415023 . . . . . . .
341502 . . . . . .
234150
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
140235 ... ... .
514023 ... .. ..
351402 ... ...
235140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
530241 ... ... .
153024 ... .. ..
415302 ... ...
241530
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
430251 . . . . . . .
143025 . . . . . . .
514302 . . . . . .
251430
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
150324 . . . . . . .
415032 . . . . . . .
241503 . . . . . .
324150
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
032514 . ... .
034152 .. ...
035142 .. ...
041523 . ... .
041532 . ... .
403251 . . .
203415 ...
203514 ...
304152 . . .
204153 . . .
. . . . . . .
140325 . . . . . . .
514032 . . . . . . .
251403 . . . . . .
325140
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
520341 ... ... .
152034 ... ... .
415203 ... ...
341520
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
051423 . ... . . .
051432 .. ... . .
305142 . . .
205143 ...
. . . . . . .
230514 . . . . . . .
423051 . . . . . . .
142305 . . . . . .
514230
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
320514 ... ... .
432051 ... .. ..
143205 ... ...
514320
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
420351 ... ... .
142035 ... ... .
514203 ... ...
351420
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
230415 . . . . . . .
523041 . . . . . . .
152304 . . . . . .
415230
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
320415 . . . . . . .
532041 . . . . . . .
153204 . . . . . .
415320
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
284
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 042351............... 142350
... ...... .....
014235 .. ..... . ... .
501423 ... .. .
350142 .. . ... .
235014 ... .. ..
423501
.... .... .... .... .. ... ... .. . ... .. .. . .. . . . .... ... .... ... .....
142530.................014253 ... ....
043251...............
042513...............
143250 .....
304251
.... ..... .....
.. .. .. .. .
130425 ... .. .
513042 .. . ... .
251304 ... .. ..
425130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... ......
014325 . ..... . . . . . .
501432 . . . . . .
250143 . . . . . . .
325014 . . . . . . .
432501
.... .... .... .... .. ... ... .. . . .. .. .. . .. . . .... . . .. .... ... .....
143520.................014352 .. .... .
145230.................014523 .. .... .
145320.................014532 . .... . .
043512...............
045123.................130452 ..
045132.................120453 . .
.... .....
204351......
.. .. .. .. .
120435 ... .. .
512043 .. . ... .
351204 ... .. .
435120 052341............... 152340
... ...... .....
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . ... .. .. .. . . .. . ... .... ... ... ... ...
015234 .. ..... . ... .
401523 ... .. .
340152 .. . ... .
234015 ... .. .
523401
.... .... .... .... ... ... ... ... .. ... .. . . .. . . . . .... ... .... .....
... .
230451............... 304512
... ...... .....
.. .. ... ..
123045 .. . ... .
512304 ... .. .
451230
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . . .. .. .. . . .. . ... .... ... ... ... ...
. . . .
204513............... ... ......
320451.....
052413
153240......
305241
130524 ... .. .
413052 .. . ... .
241305 ... .. .
524130
... ... .... ... ... .. .. .. .. ... .. . . .. .. .. . ... . . ... ... ... .... ... ...
. . . .
513204 . . . . . .
053241...............
.. .. .. .. .
132045 . . . 451320
152430.................015243 ... .... ..... ...... .... .... ..... .....
. . . . . . . . .
... ......
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . . .. .. .. . . .. . ... .... ... ... ... ...
015324 . ..... . . . . . .
401532 . . . . . .
240153 . . . . . . .
324015 . . . . . .
532401
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... .. . . .. . . . . .... ... .... .....
153420.................015342 ... ....
154230.................015423 .. ....
154320.................015432 . .... .
053412
054123
054132.................120543 . .
205341
...... ...... ... ... ...... .....
.. .. .. .. .
120534 ... ... .
412053 .. . ... .
341205 ... .. .
534120 023451............... 234501
... ...... ......
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. .. .. .. . . . .. . . . . . .. ... ... ... ... ...
012345 .. ..... . ... .
501234 ... .. .
450123 .. . ... .
145023.................134502 ... .. .
345012.................123450
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... . . .. . . ... . . . . .... .... .....
.................
230541...............
... ......
305412......
... .
130542 .. .. .. ... ..
123054 .. . ... .
412305 ... .. .
541230 023541...............
.... .....
235401......
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . . .. .. . . . .. . . . . . .. ... ... ... ... ...
. . . .
205413............... ... ......
320541......
. . . . . . . . .
132054 . . . . . . .
413205 . . . . . .
541320
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . . .. .. . . . .. . . . . . .. ... ... ... ... ...
012354 .. ..... .
024135 . ..... .
401235 ...
502413 . . .
... . .. .
540123 .. . ... .
154023.................135402 ... .. .
354012.................123540
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... . . .. . . ... . . . . .... .... .....
. . . .
150243............... 350241
.... ...... .....
. . .
135024 . . . . . . .
413502 . . . . . . .
241350
.... ... .... .... ... ... ... ... . . .. ... . .. . . .... . . . .... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
024351............... 243501
... ..... ......
012435 .. ..... . ... .
501243 ... .. .
350124 .. . ... .
435012 ... .. .
143502.................124350 025341............... 253401
... ...... ......
012534 .. ..... . ... .
401253 ... ... .
340125 .. . ... .
534012 ... .. .
153402.................125340 032451............... 324501
... ...... .....
.... .... .... ... ... ... ... .. ... .. ... . .. . . ... .... .... ... .....
.... .... .... ... ... ... .. ... ... .. ... ... . .. . . . .... ... ... .....
025134 ..... .. . ... .
140253............... 340251
... ..... ......
.. .
245013.................132450
... .
251340
.... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... . .. . . ... .... .... .....
... .
504123 ... .. ..
150423.................135042 .. . .. ... .. ...
123504 ... .. .
412350
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. . .. .. .. . . .. . ... . . .. ... .... ... ...
041352 .. ..... . ... .
204135 ... .. .
352041
520413 ... ... .
135204 ... ... .
413520
.... .... .... .... ... ... ... ... . .. ... . .. . . ... . . . .... ... .....
245130.................012453 . .... . . 024513............... ... ......
302451.....
025413............... 302541
.... ...... .....
.. .. .. .. .
130254 ... ... .
413025 .. . ... .
541302 ... .. .
154302.................125430
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. . . ... .. .. . . .. . ... ... ... ... ... ...
... .
140352 240351
...... ...... ... ... ...... ......
.. ..
124035 ... ... .
512403 ... ... .
351240
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . . . . . .... ... .... .....
304125 ... .. ..
153042...............
... ......
253041.....
034251............... 342501
... ...... ......
530412 ... ... .
125304 ... ... .
412530
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . .. . . ... . . . ... .... .....
013425 .. ..... . ... .
501342 ... .. .
250134 .. . ... .
425013 ... .. .
142503.................134250
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. .. ... . .. . . ... . . . . .... ... .....
130245 . . . . . .
513024 . . . . . . . . . .
145302.................124530
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
034125 . ..... . . . . . .
150342 250341
...... ...... ... .... ...... .....
503412 . . . . . . .
125034 . . . . . . .
412503 . . . . . . .
341250 032541............... ... ......
325401.....
.... ... .... .... ... ... .. ... . . . ... .. ... . ... . . .... ... ... .....
013254 . ..... . . . . . .
401325 . . . . . .
540132 . . . . . . .
154032.................125403 . . . . . .
254013.................132540
.... .... .... .... ... ... ... .. . ... ... ... . .. . . ... .... .... .....
041325 . .... .
041253 .. ..... ... .
. . . . . . . . .
451302 . . .
254130.................012543 .. .... .
041235 .. ....
152043
513402 ...
403512 ...
... .
145032.................124503 ...
...... ...... ... ... ...... ......
... .
501324 ... ... .
... ......
.. .
134025 ...
035124 .. .....
450132 .. .
350412......
402513 ...
.... .... .... .... .. ... .. ... . . . ... .. . .. . . .. . . . .. .... ... .....
013245 .. ..... . .. .
235041...............
285
. . . .
504132 . . . . . . .
150432.................125043 . . . 250413............... ... ......
325041......
. . . . . . . . . .
132504 . . . . . .
413250
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. .. . . .. . ... . . .. ... .... ... ...
345120.................013452 . .... . . 034512............... 203451
... ...... ......
. . . . . . . . .
120345 . . . . . .
512034 . . . . . . .
451203 . . . . . .
145203.................134520
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . . .. .. . . .. . .. . . . .... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
286
051234 .... .. . ... .
405123 ... .. ..
140523.................134052 .. . 234051 340512
..... ...... .... .... ...... .....
.. .. .. .. ..
123405 ... .. .
512340
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
051342 .. ..... . ... .
205134 ... .. ..
142053............... 342051
... ...... ......
420513 ... ... .
134205 ... ... .
513420
.... ... .... .... ... ... .. ... ... ... .. ... . ... . . .... ... ... .....
051324 .... . . .
051243 ..... .. . ... .
305124 ... .. .
143052 243051
...... ..... .... ... ...... ......
035241............... 352401
... ...... ......
430512 ... ... .
124305 ... ... .
512430
.... .... .... .... .. ... .. ... . . . ... .. . .. . . .. . . . .. .... ... .....
013524 .. ..... . ... .
401352 ... ... .
240135 .. . ... .
524013 ... .. .
152403.................135240
.... .... .... ... ... ... .. ... . . . .. ... ... . .. . . . .... ... ... .....
. . . .
405132 . . . . . . .
140532.................124053 . . . 240513............... .... ......
324051.....
. . . . . . . . . .
132405 . . . . . .
513240
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
354120.................013542 . .... . . 035412............... .... .....
203541......
. . . . . . . . .
120354 . . . . . . .
412035 . . . . . . .
541203 . . . . . .
154203.................135420
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. . . ... .. .. . . .. . ... ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
287
n = 6, e = 13, 2 f3; : : : ; 5g 2
1
.. ........... ... .......... . ... . ... ........ ..... . .. ... . . .. ............... .... ... . ... ............ ... .. ... . ....... .. .. . . ........ . . . . . ... . . . . . . . . . . ....... .... . .......... .. ...... ... ....... .. .... . . .. .. ... ..... . .. ......... ..... ........ . ............................ . ........... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .......... ....... . .. ............. . . . . ... ...... . . .. .... .. ...... .. .. ..... . . ....... .. .. ............ ..... ... ...... . . . ... . . . . . . . ....... ....... . ... ... . . .. .. . . . ... ................ .... ... .... .. . . ..... .. . .. ... . . ............... ..... ...... .... . . . .............................................................
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 023145 . ... . . .
023154 .. ... . .
023415 .. ... . .
023514 . ... . . .
024135 . ... . . .
502314 . . .
402315 ...
502341 ...
402351 . . .
502413 . . .
. . . . . . . .
450231 . . . . . . .
145023 . . . . . . .
314502 . . . . . .
231450
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
540231 ... ... .
154023 ... .. ..
315402 ... ...
231540
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
150234 ... ... .
415023 ... .. ..
341502 ... ...
234150
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
140235 . . . . . . .
514023 . . . . . . .
351402 . . . . . .
235140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
350241 . . . . . . .
135024 . . . . . . .
413502 . . . . . .
241350
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
024153 . ... .
024315 .. ...
024513 .. ...
025134 . ... .
025143 . ... .
302415 . . .
502431 ...
302451 ...
402513 . . .
302514 . . .
. . . . . . .
530241 . . . . . . .
153024 . . . . . . .
415302 . . . . . .
241530
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
150243 ... ... .
315024 ... ... .
431502 ... ...
243150
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
130245 ... ... .
513024 ... ... .
451302 ... ...
245130
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
340251 . . . . . . .
134025 . . . . . . .
513402 . . . . . .
251340
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
430251 . . . . . . .
143025 . . . . . . .
514302 . . . . . .
251430
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
025314 . ... . . .
025413 .. ... . .
031425 .. ... . .
031452 . ... . . .
031524 . ... . . .
402531 . . .
302541 ...
503142 ...
203145 . . .
403152 . . .
. . . . . . .
140253 . . . . . . .
314025 . . . . . . .
531402 . . . . . .
253140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
130254 ... ... .
413025 ... .. ..
541302 ... ...
254130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
250314 ... ... .
425031 ... .. ..
142503 ... ...
314250
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . .
520314 . . . . . . .
452031 . . . . . . .
145203 . . . . . .
314520
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . .
240315 . . . . . . .
524031 . . . . . . .
152403 . . . . . .
315240
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
288
031542 . ... .
032415 .. ...
032514 .. ...
034152 . ... .
035142 . ... .
203154 . . .
503241 ...
403251 ...
203415 . . .
203514 . . .
. . . . . . .
420315 . . . . . . .
542031 . . . . . . .
154203 . . . . . .
315420
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
150324 ... ... .
415032 ... .. ..
241503 ... ...
324150
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
140325 ... ... .
514032 ... .. ..
251403 ... ...
325140
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
520341 . . . . . . .
152034 . . . . . . .
415203 . . . . . .
341520
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
420351 . . . . . . .
142035 . . . . . . .
514203 . . . . . .
351420
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
041325 . ... . . .
041352 .. ... . .
041523 .. ... . .
041532 . ... . . .
042315 . ... . . .
504132 . . .
204135 ...
304152 ...
204153 . . .
504231 . . .
. . . . . . .
250413 . . . . . . .
325041 . . . . . . .
132504 . . . . . .
413250
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
520413 ... ... .
352041 ... .. ..
135204 ... ...
413520
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
230415 ... ... .
523041 ... .. ..
152304 ... ...
415230
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . .
320415 . . . . . . .
532041 . . . . . . .
153204 . . . . . .
415320
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . .
150423 . . . . . . .
315042 . . . . . . .
231504 . . . . . .
423150
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
042513 . ... . . .
043152 .. ... . .
045132 .. ... . .
051324 . ... . . .
051342 . ... . . .
304251 . . .
204315 ...
204513 ...
405132 . . .
205134 . . .
. . . . . . .
130425 . . . . . . .
513042 . . . . . . .
251304 . . . . . .
425130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
520431 ... ... .
152043 ... .. ..
315204 ... ...
431520
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
320451 ... ... .
132045 ... .. ..
513204 ... ...
451320
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . .
240513 . . . . . . .
324051 . . . . . . .
132405 . . . . . .
513240
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . .
420513 . . . . . . .
342051 . . . . . . .
134205 . . . . . .
513420
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
051423 . ... . . .
051432 .. ... . .
052314 .. ... . .
052413 . ... . . .
053142 . ... . . .
305142 . . .
205143 ...
405231 ...
305241 . . .
205314 . . .
. . . . . . .
230514 . . . . . . .
423051 . . . . . . .
142305 . . . . . .
514230
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
054132 . ... . . . . .
205413 . . . . . . .
320541 . . . . . . .
132054 . . . . . . .
413205 . . . . . . .
541320
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
320514 ... ... .
432051 ... ... .
143205 ... ...
514320
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
140523 ... ... .
314052 ... ... .
231405 ... ...
523140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . .
130524 . . . . . . .
413052 . . . . . . .
241305 . . . . . .
524130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . .
420531 . . . . . . .
142053 . . . . . . .
314205 . . . . . .
531420
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
289
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 031245 .. .....
031254 .. .....
503124 ...
403125 ...
... . .. .
145032............... 245031
... ...... .....
042531............... 142530
... ...... ......
450312 ... ... .
124503 ... .. ..
312450
014253 .. ..... . ... .
301425 ... .. .
530142 .. . ... .
253014 ... .. .
425301 045231............... 145230
... ...... .....
... .
301452 ... 230145 .. . ... .
523014 ... .. .
452301
152340
... ..... ......
154032............... 254031
... ...... .....
043251............... 143250
... ...... ......
... .
125403 ... .. ..
312540
014325 .. ..... . ... .
501432 ... .. .
250143 .. . ... .
325014 ... .. .
432501
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. ... .. . . ... . . .... .... ... .....
045312............... 204531
.... ..... .....
.. .. .. .. .
120453 ... .. .
312045 .. . ... .
531204 ... .. .
453120
... ... .... ... ... .. .. .. .. ... .. . . .. .. .. . ... . . ... ... ... .... ... ...
403512 ...
234015 ... .. .
523401
.... .... .... ... ... ... ... ... ... .. .. . . .. . . .. .... .... ... .....
... .
140352............... 240351
... ..... ......
.. .
124035 ... ... .
512403 ... ... .
351240
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. .. .. . . .. . . .... . . .... ... .....
041235 .. .....
041253 .. .....
504123 ...
304125 ...
... . .. .
350412 ... ... .
123504 ... ... .
412350
.... ... .... .... ... ... ... ... .. .. ... . .. . . .... . . . .... .... .....
042351............... ... ......
142350 .....
... . .. .
153042 253041
...... ...... ... ... ...... ......
530412 ... ... .
125304 ... ... .
412530
.... ... .... .... ... ... ... ... . . .. ... . .. . . .... . . . .... .... .....
014235 . ..... . . . . . .
501423 . . . . . .
350142 . . . . . . .
235014 . . . . . . .
423501
.... .... .... .... .. ... ... .. . . .. .. .. . .. . . .... . . .. .... ... .....
143520.................014352 . .... . . 043512............... .... .....
204351......
. . . . . . . . .
120435 . . . . . .
512043 . . . . . . .
351204 . . . . . .
435120
145320.................014532 ... ....
401523 ... ... .
235041
.. .
540312 ...
.... ... .... .... ... ... ... ... . . .. ... . ... . .... . . ... ... ... .....
035124 .. ..... .
... . ... .
135042
.... .... .... .... ... ... ... ... .. ... .. . . .. . . . . .... ... .... .....
... .
015234 .. ..... . 340152 .. .
...... ...... ... ... ...... ......
.... .... .... ... ... ... ... .. ... .. ... .. . . ... . . .... .... ... .....
014523 .. ..... . .. .
052341...............
.... ... .... .... ... ... ... ... .. .. ... . ... . .... . . ... ... ... .....
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . . .. .. .. . . .. . ... .... ... ... ... ...
034125 . ..... . . . . . .
150342............... 250341
... ...... ......
503412 . . . . . .
125034 . . . . . . .
412503 . . . . . . .
341250 052431............... ... ......
152430......
015243 . ..... . . . . . .
301524 . . . . . . .
430152 . . . . . . .
243015 . . . . . .
524301 053241............... .... .....
153240......
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... .. . . .. . . . .... .... .... .....
.... .... .... ... ... ... ... ... . .. .. .. . . .. . . .... . . .... ... .....
015324 . ..... . . . . . .
401532 . . . . . .
240153 . . . . . . .
324015 . . . . . .
532401
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... . . .. . . ... . . . . .... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
290
153420.................015342 ... ....
054231...............
053412
154230
205341
..... ..... ..... ... ...... .....
.. .. .. .. .
120534 ... .. .
412053 .. . ... .
341205 ... .. .
534120 023451............... 234501
... ...... ......
012345 .. ..... . ... .
501234 ... ... .
450123 .. . ... .
345012 ... .. .
134502.................123450 024351............... 243501
... ...... .....
.. .
143502.................124350
... .
423015 ... .. .
542301 023541...............
... ......
235401......
.... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... . .. . . ... .... .... .....
... .
401235 ... ... .
540123 .. . ... .
354012 ... .. .
135402.................123540
... .
130452 230451
...... ...... ... ... ...... ......
.... .... .... ... ... ... .. ... . . . .. ... ... . .. . . . .... ... ... .....
.. ..
123045 ... ... .
512304 ... ... .
451230
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . . . . . .... ... .... .....
405123 ...
305124 ...
340512 ... ... .
123405 ... ... .
512340
.... .... .... .... ... ... ... .. ... ... ... . .. . . . .... .... .... .....
012543 .. ..... . ... .
301254 ... .. .
430125 .. . ... .
543012 ... .. .
154302.................125430
.... .... .... .... ... ... ... ... .. .. ... . .. . . ... . . . . .... ... .....
... . .. ..
143052 243051
...... ...... ... ... ...... .....
032451............... 132450
... ...... ......
154320.................015432 . .... . . 054312............... ... ......
205431.....
430512 ... ... .
124305 ... ... .
512430
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . .. . . ... . . . ... .... .....
013245 .. ..... . ... .
501324 ... .. .
450132 .. . ... .
245013 ... .. .
324501
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. .. ... . .. . . ... . . . . .... ... .....
. . . . . . . . .
120543 . . . . . .
312054 . . . . . . .
431205 . . . . . .
543120
012354 .. ..... .
051243 .. .....
.. ..
254301
.. .
230154 .. .
051234 .. ..... ... .
... ...... ......
301542 ...
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. ... . .. . . .. . . . .. .... ... .....
304512 ...
... .
435012 ...
025431...............
... .
501243 ... ... .
234051
015423 .. ..... .
045123 .. .....
350124 .. .
134052
.... .... .... ... ... ... .. ... ... .. ... ... . .. . . . .... ... ... .....
... ..... ......
012435 .. ..... . .. .
...... ...... ... ... ...... .....
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
043125 . ..... . . . . . .
150432 250431
...... ...... ... .... ...... .....
504312 . . . . . . .
125043 . . . . . . .
312504 . . . . . . .
431250 024531............... ... ......
245301.....
012453 . ..... . . . . . .
301245 . . . . . .
530124 . . . . . . .
453012 . . . . . .
145302.................124530 025341............... ... ......
253401......
. . . .
401253 . . . . . . . . . .
534012 . . . . . .
153402.................125340
.... .....
132540......
.... .... .... .... ... ... ... .. . ... ... ... . .. . . ... .... .... .....
012534 . ..... . . 340125 . . .
032541...............
.... ... .... .... ... ... .. ... . . . ... .. ... . ... . . .... ... ... .....
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . .. . . ... . . . ... .... .....
013254 . ..... . . . . . .
401325 . . . . . .
540132 . . . . . . .
254013 . . . . . .
325401
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. .. ... . .. . . ... . . . . .... ... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
034251............... 134250
... ..... ......
013425 .. ..... . ... .
501342 ... .. .
250134 .. . ... .
425013 ... .. .
342501 035241............... 135240
... ...... ......
.... .... .... ... ... ... ... .. ... .. ... . .. . . ... .... .... ... .....
134520.................013452 ... .... 034512............... 203451
... ...... .....
401352 ... ... .
240135 .. . ... .
524013 ... .. .
352401
.... .... .... ... ... ... .. ... ... .. ... ... . .. . . . .... ... ... .....
.. .. .. .. .
120345 ... .. .
512034 .. . ... .
451203 ... .. .
345120
013524 .. ..... . ... .
291
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
054123 .. ..... . ... .
130542............... 230541
.... ...... .....
305412 ... .. ..
123054 ... ... .
412305 ... ... .
541230
.... ... .... .... ... ... .. ... . . . ... .. ... . ... . . .... ... ... .....
053124 ..... . . . . . . .
140532............... 240531
... ..... ......
405312 . . . . . .
124053 . . . . . . .
312405 . . . . . . .
531240
.... .... .... .... .. ... .. ... . . . ... .. . .. . . .. . . . .. .... ... .....
135420.................013542 . .... . . 035412............... .... .....
203541......
. . . . . . . . .
120354 . . . . . . .
412035 . . . . . . .
541203 . . . . . .
354120
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. . . ... .. .. . . .. . ... ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
292
x
n = 6, e = 11, 2 f3; 4g 2
1
. .................................................... ... . . ...... .. .. . .............. ..... . .. . . .. ............... .... ... . . ...... . . . . . .............. .............. ... . . . . . . . ...... .. .. . . ... .. ............ ... . .. ..... ...... .. .... ..... . . .. ....... .. .. . ..... ... ... . . ......... ........................................................................................ ......................... ..... . . . . .. ...... ... . . . ..... . .. .... . .... . ...... . . .. ............ ..... ..... ... . . . . . . . . . . . . . . ....... ....... . ... . . .. .. . . . . ... ................ .... ... .... . . ..... .. . .. . ............... ..... ...... . .......... . .......
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 024135 . ... . . .
024153 .. ... . .
025314 .. ... . .
031425 . ... . . .
031524 . ... . . .
502413 . . .
302415 ...
402531 ...
503142 . . .
403152 . . .
. . . . . . . .
350241 . . . . . . .
135024 . . . . . . .
413502 . . . . . .
241350
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
530241 ... ... .
153024 ... .. ..
415302 ... ...
241530
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
140253 ... ... .
314025 ... .. ..
531402 ... ...
253140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
250314 . . . . . . .
425031 . . . . . . .
142503 . . . . . .
314250
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
240315 . . . . . . .
524031 . . . . . . .
152403 . . . . . .
315240
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
035124 . ... .
035142 .. ...
035214 .. ...
041253 . ... .
041352 . ... .
403512 . . .
203514 ...
403521 ...
304125 . . .
204135 . . .
. . . . . . .
240351 . . . . . . .
124035 . . . . . . .
512403 . . . . . .
351240
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
420351 ... ... .
142035 ... ... .
514203 ... ...
351420
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
140352 ... ... .
214035 ... ... .
521403 ... ...
352140
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
530412 . . . . . . .
253041 . . . . . . .
125304 . . . . . .
412530
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
520413 . . . . . . .
352041 . . . . . . .
135204 . . . . . .
413520
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
042135 . ... . . .
042153 .. ... . .
042513 .. ... . .
052413 . ... . . .
053124 . ... . . .
504213 . . .
304215 ...
304251 ...
305241 . . .
405312 . . .
. . . . . . .
350421 . . . . . . .
135042 . . . . . . .
213504 . . . . . .
421350
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
530421 ... ... .
153042 ... .. ..
215304 ... ...
421530
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
130425 ... ... .
513042 ... .. ..
251304 ... ...
425130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . .
130524 . . . . . . .
413052 . . . . . . .
241305 . . . . . .
524130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . .
240531 . . . . . . .
124053 . . . . . . .
312405 . . . . . .
531240
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
293
053142 . ... . . . . .
205314 . . . . . .
420531 . . . . . . .
142053 . . . . . . .
314205 . . . . . .
531420
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 034152 .. ..... ... .
203415 ... .. ..
520341 ... ... .
315204............... ... ......
415203......
152034 ... .. ..
341520
.... .....
351402......
514023 ... ... .
235140
250413 350412
304152
... ..... ......
342150
401352 ... .. .
240135 .. . ... .
524013 ... .. .
352401
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. .. .. . . .. . . .... . . .... ... .....
302451 ...
.. .
235041 ... ... .
123504 ...
.... .... .... .... ... ... .. ... ... ... ... . . ... . . .. .... .... .....
041523 .. ..... . ... .
230415 ... .. .
523041 ... ... .
152304 ... ... .
415230
.... .... .... .... ... ... ... ... . ... ... . . ... . . .... .... .... .....
... . .. .
413025............... 513024
... ..... ......
130245 ... ... .
451302 ... ... .
245130
. . .
120345 . . . . . . .
412035.................451203 . . 351204............... ... ......
013524 .. ..... . ... .
. . . .
512034......
024513 .. ..... .
412350
204153
... ......
.. .. .. .. .
504123 ...
... .
..... ...... .... .... ...... .....
215034...............
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . . .. .. . . .. . . . . . .. ... ... ... ... ...
041235 .. ..... . ... .
...... ...... ... ... ...... .....
315042.................231504 ..
135240
... .
203451 . . .
... .
402351 ... 140235 ...
503421 ... .. .
035241...............
.. ..
034512 . .... . .
150342 ...
421503......
.... .... .... .... ... ... ... ... . .. .. . . .. . . .... . . . .... .... .....
034215 .. .... . ... .
023514 .. ..... . ... .
251403...............
.... ... .... .... ... ... ... ... ... .. ... . .. . . .. .... .... .... .....
.... .... .... .... ... ... .. ... . .. ... ... . . ... . . .. .... .... .....
042531............... ... ......
142530......
402135 350214 502134
...... ...... ... ... ...... .....
... .
450213 .. .. .. ... ..
345021 .. . ... .
134502 ... .. .
213450
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. . . .. .. ... . . .. . ... ... ... .... ... ...
345120
014253 . ..... . . . . . .
301425 . . . . . .
530142 . . . . . . .
253014 . . . . . .
425301
302514............... 402513
... ..... ......
. . . .
340251 . . . . . .
134025 . . . . . . . . . . .
251340
403125............... 503124
.... ...... .....
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. .. .. . . .. . . .... . . .... ... .....
025134 . ..... . .
513402 . . .
021345 .. .... . .................
. . . . . . . . .
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . . .. .. . . .. . . . . . .. ... ... ... ... ...
.... .... .... .... ... ... .. ... . .. ... ... . . ... . . .. .... .... .....
031245 . ..... . . . . . .
450312 . . . . . .
245031 . . . . . . .
124503 . . . . . . .
312450
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . . ... . . .... .... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
294
402153
.................
302145............... 530214
... ...... ......
021453 .. .... .
045213 ..... .. .
340215 ..
304521 ...
... . .. .. ... ..
453021 .. . ... .
145302 ... .. .
214530
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . . ... ... ... ... ...
... . .. .
130452 ... ... .
421305...............
.... .....
521304......
051234 .. .... . 305124
.................
240513............... 405123
... ..... ......
... .
340512 .. .. .. ... ..
234051 .. . ... .
123405 ... .. .
512340
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . . .. .... ... ... ... ...
213045 ... ... .
452130
.... .... .... .... .. ... .. ... . . . ... .. . .. . . .. . . . .. .... ... .....
045312 . .... . . . . . .
204531 . . . . . .
120453 . . . 412053
.................
312045............... .... .....
531204......
051342 .. .... . 305142
.................
205134............... 420513
... ..... ......
... .
230514 .. .. .. ... ..
342051 .. . ... .
134205 ... .. .
513420
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . . .. .. . .. . .. . . .. .... ... ... ... ...
305214............... 405213
... ...... .....
. . . .
341205 . . . . . . . . . . .
453120
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. . . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
052134 . ..... . . . . . .
340521 . . . . . .
134052 . . . . . . .
213405 . . . . . . .
521340
.... ... .... .... ... ... ... ... . . .. ... . .. . . .. . . . .. .... ... .....
023415 . .... . . 052314 .. ..... ... .
405231 ... .. .
214053 314052
...... ...... ... ... ...... ......
140523 ... ... .
231405 ... ... .
523140
.... .... .... .... ... ... ... .. .. .. ... . .. . . ... . . . .... ... .....
. . . .
502341 . . .
031452 .. ..... ... .
420315............... 520314
.... ...... .....
203145 ... .. .
452031 ... ... .
145203 ... ... .
314520
.... .... .... .... ... ... ... .. . . .. ... . .. . . ... . . . .... ... .....
. . .
150234 . . . . . . .
315024.................341502 . . 241503............... ... ......
415023......
. . . . . . . . .
234150
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . .. ... .. .. . .. . . .... ... .... ... ...
034125 .. ..... . ... .
503412 ... .. ..
250341 ... ... .
312504 412503
...... ...... ... ... ...... .....
125034 ... ... .
341250
.... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... . .. . . .... ... .... .....
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 024531............... ... ......
124530..... 401253
.................
301245............... .... .....
530124......
012453 .. ..... .. .. .. .. .
340125 .. . .. ... .. ...
453012 ... .. .
245301
.... .... .... .... ... ... ... ... .. ... ... . . ... . . . .. .... .... .....
402315............... 502314 214503 314502
... ...... ......
...... ...... ... ... ...... .....
023145 .. ........ . ... .
450231 ... .. .
145023 ... ... .
231450
...... ..... .... ... ... ... .. .. ... .... . . . ... . . . . . . ........
204513............... 304512 412305 512304
045123 . ........ . . . . . .
... ...... ......
230451 . . .
...... ...... ... ... ...... .....
451230
. . .
123045 . . . . . . .
...... ..... .... ... ... ... .. .. ... .... . . . ... . . . . . . ........
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
034251............... 134250
... ..... ......
... .
501342 ... .. .
350142.................235014 .. 250134............... ... ......
425013.....
052341...............
013425 .. ....... .
... .. ... .
342501
152340
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... . ... . . .... . . . .... .......
... ..... ......
295
015234 .. ..... .. .. .. ...
301524.................340152 .. . 240153 401523
..... ...... .... .... ...... .....
.. .. .. .. ..
234015 ... .. .
523401
034521...............
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. ... . .. . . .. . . . .. .... ... .....
.... .....
134520.....
013452 . ....... . . . . . .
201345 . . . . . .
420135.................452013 . . 352014............... ... ......
520134.....
. . . . . . . . .
345201
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 045231............... 145230 201453 420153
...... ...... ... ... ...... ......
... ...... ......
023451............... .. .. .. .. .
301452..................230145 .. . 342015 523014
...... ...... ... ... ...... .....
... ......
123450 .....
014523 .. ....... . .. ... .. ...
452301
...... .... .... .... ... ... . ... ... ... .... . . ... . . . . . . . .....
012345 . ........ . . . . . . . . . .
401235..................450123 . . . 350124 501234
...... ...... ... ... ...... .....
245013............... ... ......
345012......
. . . . . . . . . .
234501
...... ..... .... ... ... ... . . .. ... .... . . .... . . . . . ........
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... . ... . . .... . . . .... .......
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
296
x
n = 6, e = 11, 2 f2; : : : ; 4g 2
1
. .................................................... ... . . ...... .. .. . .............. ..... . .. . . .. ............... .... ... . . ...... . . . . . .............. .............. ... . . . . . . . ...... .. .. . . ... .. ............ ... . .. ..... ...... .. .... ..... . . .. ....... .. .. . ..... ... ... . ....... ..................... . ........................................................................................ . . . . .. ...... ... . . . .. .... . . .... . . . . . .. ............ ..... .. . . . . . . . . . . . . .. ... . . . . ..... .. . .. . . ... ......... .... ... .... . . . .. .. ... ............... .... . . . .........................................................
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 024513 . ... . . .
025413 .. ... . .
031245 .. ... . .
031254 . ... . . .
031425 . ... . . .
302451 . . .
302541 ...
503124 ...
403125 . . .
503142 . . .
. . . . . . . .
130245 . . . . . . .
513024 . . . . . . .
451302 . . . . . .
245130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
130254 ... ... .
413025 ... .. ..
541302 ... ...
254130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
450312 ... ... .
245031 ... .. ..
124503 ... ...
312450
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
540312 . . . . . . .
254031 . . . . . . .
125403 . . . . . .
312540
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
250314 . . . . . . .
425031 . . . . . . .
142503 . . . . . .
314250
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
031452 . ... .
031524 .. ...
031542 .. ...
042513 . ... .
045213 . ... .
203145 . . .
403152 ...
203154 ...
304251 . . .
304521 . . .
. . . . . . .
520314 . . . . . . .
452031 . . . . . . .
145203 . . . . . .
314520
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
240315 ... ... .
524031 ... ... .
152403 ... ...
315240
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
052413 . ... . . .
054213 .. ... . .
305241 . . .
305421 ...
. . . . . . .
130524 . . . . . . .
413052 . . . . . . .
241305 . . . . . .
524130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
130542 ... ... .
213054 ... .. ..
421305 ... ...
542130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
420315 ... ... .
542031 ... ... .
154203 ... ...
315420
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
130425 . . . . . . .
513042 . . . . . . .
251304 . . . . . .
425130
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
130452 . . . . . . .
213045 . . . . . . .
521304 . . . . . .
452130
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
297
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 023415 .. .... .
023514 .. .... .
502341 ...
402351 ...
... . .. ..
150234 ... ... .
315024.................341502 .. 241503............... .... .....
415023......
.. .. .. .. .
234150
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
140235 ... ... .
314025.................351402 .. 251403...............
.... .....
514023......
021345 .. .... . ... .
302145.................350214 .. 450213............... ... ......
502134......
.. .. ... ..
345021 .. . ... .
134502 ... .. ..
213450
150342 ... ... .
421503
... .
.. .. .. .. .
342150
... .
203514 ... .. .
420351 ... ... .
... ......
514203.....
142035 ... ... .
351420
... .
250413 504123
341250
.. ..
120345 ... ... .
312045.................351204 .. 451203 512034
...... ...... ... .. ...... ......
.... .... .... .... ... ... .. ... ... ... ... . . ... . . .. .... .... .....
.. .. ... ..
235041 .. . ... .
123504 ... .. .
412350
345120
. . . . . . .
520341 . . . . . . .
315204 415203
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. . . .. .. .. . . . .. . ... .... ... ... ... ...
...... ...... ... ... ...... .....
.. .. .. .. .
352140
035124 . ..... . . . . . .
403512 . . . . . .
240351 . . . . . . .
312405 512403
...... ...... ... .... ..... .....
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. . . . .. .. ... . .. . . ... ... ... ... ... ...
... .
520413
124035 . . . . . . .
351240
. . . . . . .
120354 . . . . . . .
312054.................341205 . . 412035............... ... ......
541203......
041352 .. .... . 304152.................230415 .. 204135
. . . .
341520
.... ... .... .... ... ... ... ... . . .. ... .. . . .. . . . ... .... .... .....
203541 . . .
... .
...... ...... ... .. ...... ......
152034 . . .
.... .... .... .... ... ... .. ... . . .. ... ... . .. . . . . ... .... ... .....
035412 . .... .
140352 ...
... ......
. . . .
403521 ... 314052.................231405 .. 214035...............
. . . .
413502 . . .
035214 .. .... .. .
521403......
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . ... .. .. ... . . .. . ... ... ... ... ... ...
.. .. .. .. .
... .
041235 .. .... . 304125.................350412 .. ...... ...... ... .. ...... ......
.. ..
... .
035142 .. ..... .
314205...............
125034 ...
203451 ...
315042.................231504 ..
. . . .
135024 . . .
.... ... .... .... ... ... .. ... . . .. .. ... . .. . . .... . . . .... ... .....
203415 . . .
.... .... .... .... ... ... .. ... . . .. ... ... . .. . . . . ... .... ... .....
034512 .. ....
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. .. .. .. .. . . . .. . ... .... ... ... ... ...
. . . .
350241 . . .
034152 . ..... .
250341 ...
412503
024135 . ..... . .
503412 ... .. .
312504
502413
.... ..... .....
034125 .. ..... ... .
...... ...... ... ... ...... .....
302415...............
241350
503421 ... .. ..
215034
235140
034215 .. .... ... .
...... ...... ... .. ...... ......
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. .. .. .. . .. . . .. . . .. ... ... .... ... ...
.. .. .. .. .
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
.. .. ... ..
352041 .. . ... .
135204 ... .. .
413520
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . . .. .. ... . . .. . ... ... ... ... ... ...
304215............... 504213
... ..... ......
. . . . . . . . .
354120
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. . . . .. .. ... . .. . . ... ... ... ... ... ...
042135 . ..... . . . . .
350421 . . . . . .
135042 . . . . . . .
213504 . . . . . . .
421350
.... .... .... .... ... ... .. ... . .. ... ... . . ... . . .. .... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
298
302514............... .... .....
402513.....
025134 ..... .. . ... .
340251 ... .. .
134025 ... ... .
513402 ... ... .
251340
.... .... .... .... .. ... .. ... .. . ... .. . .. . . .. . . . .. .... ... .....
204513...............
.... .....
304512.....
... .
240513 405123
...... ...... ... ... ...... .....
.. .. .. .. .
234051 .. . ... .
123405 ... .. .
512340
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. . . .. . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
450231 ... ... .
214503............... 314502
.. ...... ......
145023 ... ... .
231450
.... .... .... .... .. ... ... ... .. ... ... . . . . . .. .... ... .... .....
230451 ... .. .
123045 ... 512304 ... ... .
451230
.... .... .... .... .. ... .. ... . . . ... .. . .. . . .. . . . .. .... ... .....
021354 . .... . . . . . .
302154.................340215 . . 402135............... ... ......
540213......
... .
205134 420513
...... ...... ... ... ...... .....
.. .. .. .. .
342051 .. . ... .
134205 ... .. .
513420
205413...............
... ......
305412......
... ... .... ... .... .. .. .. .. .. .. . . ... .. .. . . .. . ... ... ... ... ... ...
230541 ... .. ..
123054 ... ... .
412305 ... ... .
541230
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . . . . . .... ... .... .....
354021 . . . . . . .
135402 . . . . . .
305214............... 405213
..... ..... .....
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
052134 . ..... . . . . . .
340521 . . . . . . .
134052 . . . . . . .
213405 . . . . . . .
521340
.... ... .... .... ... ... .. ... . . . ... .. ... . ... . . .... ... ... .....
023154 . ..... .
054123 .. ..... ... .
. . . . . . . . .
213540
051342 .. .... . 305142.................230514 ..
023145 .. ..... 502314 ...
... .
... .
051234 .. .... . 305124.................340512 ..
045123 ..... .. .
. . . .
402315 . . . . . .
540231 . . . . . . .
215403............... 315402
.. ...... ......
154023 . . . . . . .
231540
.... .... .... .... .. ... ... ... . . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 023451............... 123450
... ...... ......
301245
.................
501234
.................
245013............... ... ......
450123.....
034521............... 134520
... ...... ......
301452
.................
201345
.................
452013............... ... ......
520134.....
012345 .. ..... .. .. .. ...
350124 ... ... .
345012 .. .. .. .. .. .
234501
.... .... .... .... ... ... ... ... . ... ... . . ... . . .... .... .... .....
230145 ... ... .
352014 .. .. .. .. .. .
345201
123540
... ...... ......
301254
.................
401235
.................
254013...............
... ......
540123.....
013452 .. ..... .. .. .. .. .
023541...............
.... .... .... .... ... ... ... ... . ... ... . . ... . . .... .... .... .....
035241............... 135240
... ...... ......
301524
.................
401352
.................
240135...............
... ......
524013.....
012354 .. ..... .. .. .. ...
340125 ... ... .
354012 .. .. .. .. .. .
235401
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . . ... . . .... .... .... .....
340152 ... ... .
234015 .. .. .. .. .. .
352401
... ......
134250...... 301425
.................
501342
.................
250134............... ... ......
425013.....
013524 .. ..... .. .. .. .. .
034251...............
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . . ... . . .... .... .... .....
035421............... ... ......
135420...... 301542
.................
201354
.................
420135............... ... ......
542013.....
013425 . ..... . . . . . . . . . .
350142 . . . . . . .
235014 . . . . . . . . . . .
342501
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . . ... . . .... .... .... .....
013542 . ..... . . . . . . . . . .
230154 . . . . . . .
342015 . . . . . . . . . . .
354201
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . . ... . . .... .... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
299
n = 6, e = 11, 2 f3; 4g 2
1
. ................................................... ... . . ...... .. . . .............. ..... . . . .. ............... .... . . . . .... . . .............. ............. . . . . . . . . . . . ...... .. .. . ... .. .......... ... . ..... ...... .. .... ..... ..... . . .. .. . ..... ..... ... . ......... . ......................... ......................................................................................... ..... . . . . ... .. . ..... . .. .... ..... .... . ...... . . . . . .. ....... ..... ... .. . . . . . . . . . . . . . . ....... ....... ... . . .. .. . . . ... ................ .... .... . . ..... .. .. . ............... ..... .. .. . . . . ............................................................
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 021354 . ... . . .
021453 .. ... . .
024135 .. ... . .
025314 . ... . . .
025413 . ... . . .
402135 . . .
302145 ...
502413 ...
402531 . . .
302541 . . .
. . . . . . . .
540213 . . . . . . .
354021 . . . . . . .
135402 . . . . . .
213540
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
530214 ... ... .
453021 ... .. ..
145302 ... ...
214530
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
350241 ... ... .
135024 ... .. ..
413502 ... ...
241350
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
140253 . . . . . . .
314025 . . . . . . .
531402 . . . . . .
253140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
130254 . . . . . . .
413025 . . . . . . .
541302 . . . . . .
254130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
031245 . ... .
031254 .. ...
031425 .. ...
031452 . ... .
035214 . ... .
503124 . . .
403125 ...
503142 ...
203145 . . .
403521 . . .
. . . . . . .
450312 . . . . . . .
245031 . . . . . . .
124503 . . . . . .
312450
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
540312 ... ... .
254031 ... ... .
125403 ... ...
312540
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
250314 ... ... .
425031 ... ... .
142503 ... ...
314250
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
520314 . . . . . . .
452031 . . . . . . .
145203 . . . . . .
314520
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
140352 . . . . . . .
214035 . . . . . . .
521403 . . . . . .
352140
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
035412 . ... . . .
041253 .. ... . .
041352 .. ... . .
042135 . ... . . .
045213 . ... . . .
203541 . . .
304125 ...
204135 ...
504213 . . .
304521 . . .
. . . . . . .
120354 . . . . . . .
412035 . . . . . . .
541203 . . . . . .
354120
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
530412 ... ... .
253041 ... .. ..
125304 ... ...
412530
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
520413 ... ... .
352041 ... .. ..
135204 ... ...
413520
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . .
350421 . . . . . . .
135042 . . . . . . .
213504 . . . . . .
421350
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . .
130452 . . . . . . .
213045 . . . . . . .
521304 . . . . . .
452130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
300
045312 . ... .
052413 .. ...
053124 .. ...
053142 . ... .
054213 . ... .
204531 . . .
305241 ...
405312 ...
205314 . . .
305421 . . .
. . . . . . .
120453 . . . . . . .
312045 . . . . . . .
531204 . . . . . .
453120
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
130524 ... ... .
413052 ... .. ..
241305 ... ...
524130
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
240531 ... ... .
124053 ... .. ..
312405 ... ...
531240
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
420531 . . . . . . .
142053 . . . . . . .
314205 . . . . . .
531420
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
130542 . . . . . . .
213054 . . . . . . .
421305 . . . . . .
542130
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 042531............... .... .....
142530......
014253 .. ..... .
041235 .. .....
021345 . ..... .
301425 ...
504123 ...
502134 . . .
... . .. .
530142 .. . ... .
253014 ... .. .
425301 024531............... 124530
... ..... ......
012453 .. ..... . ... .
301245 ... ... .
530124 .. . ... .
453012 ... .. .
245301
350412
.... ..... .....
... .
145023 ... ... .
231450
035241...............
.... .....
135240.....
405231 ... .. .
214053 314052
...... ...... ... ... ..... ......
140523 ... ... .
231405 ... ... .
523140
123504 ...
350214............... 450213
.... ..... .....
524013 ... .. .
352401
.... .... .... ... ... ... .. ... . . . .. ... . .. . . .... . . . .... .... .....
013542 .. ..... . ... .
201354 ... .. .
420135 .. . ... .
542013 ... .. .
. . . .
213450
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . . ... . . .. .... .... .....
. . . .
130425............... 530421
... ..... ......
... .
503412 ... .. .
250341 ... ... .
.... .....
125034 ... ... .
341250
.... .... .... .... ... ... ... .. . . .. ... . . .. . . ... . . . .... ... .....
. . .
153042 . . . . . . .
251304 . . . . . . .
425130
305214............... 405213
... ..... ......
.... .... .... .... ... ... ... .. . . .. ... . .. . . ... . . . .. .... ... .....
052134 . ..... . . . . . .
340521 . . . . . .
134052 . . . . . . .
213405 . . . . . . .
521340
034125 .. ..... .
412503......
. . . .
134502 . . .
304251 . . .
... .
312504...............
. . . .
345021 . . .
.... ... .... .... ... ... ... ... . .. .. ... . .. . . ... . . . .... .... .....
401352 ...
354201
.... .... .... .... ... ... ... ... . ... ... . . ... . . .... .... .... .....
. . . .
042513 . ..... . .
... . ... .
... ......
.... ... .... .... ... ... ... ... . .. .. ... . .. . . ... . . . .... .... .....
013524 .. ..... . 240135 .. .
052314 .. ..... . ... .
... . .. ..
135420.....
.... .... .... .... ... ... ... ... .. ... .. . . .. . . . . .... ... .... .....
.. ..
235041 ... 412350
502314 ... 450231 ... ... ......
250413...............
035421...............
.. .
314502.....
.... .... .... ... ... ... .. ... ... .. ... . .. . . .... ... .... .... .....
... .
023145 .. ..... . ... .
214503...............
.... .... .... ... ... ... ... .. . ... .. .. . . .. . . ... .... ... .... .....
.... .... .... .... ... ... .. ... . .. ... ... . . ... . . .. .... .... .....
035124 . ..... . . . . . .
403512 . . . . . .
124035............... 524031
... ..... ......
240351 . . . . . . .
152403 . . . . . . .
351240
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . . ... . . .... .... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
035142 .. ..... .
053412 .. ..... .
203514 ...
205341 ...
... . .. ..
142035............... 542031
... ...... ......
301
420351 ... ... .
154203 ... ... .
351420
.... ... .... .... ... ... .. ... .. .. ... ... . . .... . . .... ... ... .....
... . .. ..
312054............... 412053
... ...... ......
120534 ... ... .
341205 ... ... .
534120
.... ... .... .... ... ... .. ... . . .. ... ... . . .... . . .... ... ... .....
205413............... 305412
... ...... ......
054123 . ..... . . . . . .
230541 . . . . . . .
123054 . . . . . . .
412305 . . . . . . .
541230
.... ... .... .... ... ... .. ... . . .. ... ... . . .... . . .... ... ... .....
024513 .. ..... . ... .
130245............... 530241
.... ..... ......
302451 ... .. .
153024 ... ... .
451302 ... ... .
245130
.... ... .... .... ... ... ... ... .. .. ... . . .. . . . ... .... ... ... .....
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 123450.................012345 ... .... 023451............... 502341 350124
... ...... ..... .................
245013............... 450123
.... ..... ......
.. .. .. .. .
150234 ... .. .. .. .. .
345012 .. .. .. .. .. .
234501
120345 520341 351204 451203
...... ...... ... ... ...... ......
204513 304512
..... ...... .... .... ...... .....
123045...............
.... ......
523041.....
034512 .. ..... .
025341...............
203451 ...
125340
... .
...... ...... ... .... ...... .....
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... .. . .. .. .. . .. . . . . . . .... ... ... ... ...
.. .
152034 .. . .. .. .. .. .. .. .. .
345120
.... .... .... .... ... ... ... ... . .. .. . . .. . . .... . . . .... .... .....
... ..... ......
301254............... 401253
... ..... ......
302514 402513 134025 534021
...... ...... ... ... ...... ..... ..... ...... .... .. ...... ......
... .
230451 .. . .. .. .. .. .. .. .. .
152304 ... ... .
451230
.. .. .. .. .. .. .. .
340125 .. . ... .
534012 ... .. .
... ...... ......
523401
340251 .. .
301524.................340152 .. .
.. .. .. .. .. .. .. .
153402 ... ... .
251340
.... .... .... .... ... ... ... ... . ... .. . . .. . . ... . . . .... ... .....
240153 401523 123405
...... ..... .... ... ...... ..... .................
.... .... .... ... ... ... ... ... . .. .. .. . . .. . . .... . . .... ... .....
015234 .. ....
025134 .. ..... . ... .
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... .. . . .. . . . . .... ... .... .....
012534 .. .....
253401 052341...............
023514 . ..... . .
045123 .. ..... .
.. .. .. ... .. ... .. .. .
234015 .. .. .. .. ...
152340
... ... ... ... .... ... .. .. .. .. .. . . .. .. .. . ... . .. . . . ... ... ... ... ...
. . . .
140235............... 540231
... ..... ......
251403............... .... .....
351402......
045231............... ... ......
145230......
201453............... ... ......
301452......
402351 . . . . . . .
154023 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
235140
014523 . ..... . . . . . . . . . . . . . . . .
230145 . . . . . . .
523014 . . . . . .
452301 053421............... .... .....
534201......
. . . . . . . . .
134205
. . . . . . . . . .
... ......
342015 . .
.................
153420
420153.....
.... .... .... ... ... ... ... ... . .. .. .. . . .. . . .... . . .... ... .....
015342 . .... .
301542.................230154 . . . 201534...............
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. .. .. . . .. . . .... . . .... ... .....
. . . . . . . . .
... ... ... ... .... ... .. .. .. .. .. . . .. .. .. . ... . .. . . . ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
302
134250.................013425 .. .... . 034251............... 503421 350142
.... ..... ..... .................
250134............... 425013
.... ..... ......
.. .. .. .. .
150342 .. . .. .. .. .. .
235014 .. .. .. .. .. .
342501
... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. .. .. .. . .. .. . .. . . .. ... ... ... ... ...
034521............... 134520
... ...... .....
013452 .. ........ . ... .
201345 ... ... .
352014............... 452013
.... ..... .....
520134 .. . ... .
345201
...... ..... .... ... ... ... .. ... .. . . . .... . . . ...... .......
023541............... ... ......
123540.....
012354 . ........ . . . . . .
401235 . . . . . . .
254013............... 354012
.... ..... .....
540123 . . . . . . .
235401
...... ..... .... ... ... ... .. ... .. . . . .... . . . ...... .......
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
303
n = 6, e = 12, 2 f3; : : : ; 5g 2
1
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3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 021354 . ... . . .
021453 .. ... . .
024135 .. ... . .
024153 . ... . . .
024513 . ... . . .
402135 . . .
302145 ...
502413 ...
302415 . . .
302451 . . .
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540213 . . . . . . .
354021 . . . . . . .
135402 . . . . . .
213540
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530214 ... ... .
453021 ... .. ..
145302 ... ...
214530
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... . .. ..
350241 ... ... .
135024 ... .. ..
413502 ... ...
241350
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530241 . . . . . . .
153024 . . . . . . .
415302 . . . . . .
241530
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130245 . . . . . . .
513024 . . . . . . .
451302 . . . . . .
245130
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025314 . ... .
025413 .. ...
031245 .. ...
031254 . ... .
031425 . ... .
402531 . . .
302541 ...
503124 ...
403125 . . .
503142 . . .
. . . . . . .
140253 . . . . . . .
314025 . . . . . . .
531402 . . . . . .
253140
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130254 ... ... .
413025 ... ... .
541302 ... ...
254130
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... . .. .
450312 ... ... .
245031 ... ... .
124503 ... ...
312450
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540312 . . . . . . .
254031 . . . . . . .
125403 . . . . . .
312540
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. . . . . . .
250314 . . . . . . .
425031 . . . . . . .
142503 . . . . . .
314250
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031452 . ... . . .
031524 .. ... . .
031542 .. ... . .
035124 . ... . . .
035142 . ... . . .
203145 . . .
403152 ...
203154 ...
403512 . . .
203514 . . .
. . . . . . .
520314 . . . . . . .
452031 . . . . . . .
145203 . . . . . .
314520
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240315 ... ... .
524031 ... .. ..
152403 ... ...
315240
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... . .. .
420315 ... ... .
542031 ... .. ..
154203 ... ...
315420
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. . . . . . .
240351 . . . . . . .
124035 . . . . . . .
512403 . . . . . .
351240
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420351 . . . . . . .
142035 . . . . . . .
514203 . . . . . .
351420
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Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
304
035214 . ... .
035412 .. ...
041253 .. ...
041352 . ... .
042135 . ... .
403521 . . .
203541 ...
304125 ...
204135 . . .
504213 . . .
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140352 . . . . . . .
214035 . . . . . . .
521403 . . . . . .
352140
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... . .. .
120354 ... ... .
412035 ... .. ..
541203 ... ...
354120
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... . .. .
530412 ... ... .
253041 ... .. ..
125304 ... ...
412530
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. . . . . . .
520413 . . . . . . .
352041 . . . . . . .
135204 . . . . . .
413520
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. . . . . . .
350421 . . . . . . .
135042 . . . . . . .
213504 . . . . . .
421350
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042153 . ... . . .
042513 .. ... . .
045213 .. ... . .
045312 . ... . . .
052413 . ... . . .
304215 . . .
304251 ...
304521 ...
204531 . . .
305241 . . .
. . . . . . .
530421 . . . . . . .
153042 . . . . . . .
215304 . . . . . .
421530
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... . .. .
130425 ... ... .
513042 ... .. ..
251304 ... ...
425130
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130452 ... ... .
213045 ... .. ..
521304 ... ...
452130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
053124 . ... . . .
053142 .. ... . .
054213 .. ... . .
405312 . . .
205314 ...
305421 ...
. . . . . . .
240531 . . . . . . .
124053 . . . . . . .
312405 . . . . . .
531240
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... . .. .
420531 ... ... .
142053 ... .. ..
314205 ... ...
531420
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
130542 ... ... .
213054 ... .. ..
421305 ... ...
542130
. . . . . . .
120453 . . . . . . .
312045 . . . . . . .
531204 . . . . . .
453120
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. . . . . . .
130524 . . . . . . .
413052 . . . . . . .
241305 . . . . . .
524130
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. = 0:2 (m = 1, p = 5) 042531............... ... ......
142530......
014253 .. ..... .
021345 .. ..... .
301425 ...
502134 ...
... . ... .
530142 .. . ... .
253014 ... .. .
425301 024531............... 124530
... ...... ......
.... .... .... .... ... ... ... ... . .. ... . . .. . . ... . . . .... ... .....
... .
350214............... 450213
... ..... ......
.. .
345021 ... ... .
134502 ... ... .
213450
.... .... .... .... ... ... ... .. . . .. ... . . .. . . ... . . . .... ... .....
012453 .. ..... .
041235 .. ..... .
301245 ...
504123 ...
... . .. .
530124 .. . ... .
453012 ... .. .
245301
.... .... .... .... ... ... ... ... .. ... . . .. . . ... . . . . .... .... .....
... .
250413............... 350412
.... ..... ......
.. ..
235041 ... ... .
123504 ... ... .
412350
.... .... .... .... ... ... ... .. . . .. .. . . .. . . .... . . . .... .... .....
302514............... 402513
... ...... .....
025134 . ..... . . . . . .
340251 . . . . . .
134025 . . . . . . .
513402 . . . . . . .
251340 035241............... .... .....
135240......
.... .... .... .... ... ... ... .. . . .. ... . . .. . . ... . . . .... ... .....
013524 . ..... . . . . . .
401352 . . . . . .
240135 . . . . . . .
524013 . . . . . .
352401
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Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
302154............... .... .....
402153.....
021534 ..... .. . ... .
340215 ... .. .
534021 ... ... .
153402 ... ... .
215340
.... .... .... .... .. ... .. ... .. . ... .. . .. . . .. . . . .. .... ... .....
204153...............
.... .....
304152.....
402315 ... .. ..
540231 ... ... .
215403............... ... ......
315402.....
154023 ... ... .
231540
251403 351402
... .
502341 ... .. .
150234 ... ... .
315024.................341502 .. 241503...............
... ......
135420......
... .
514023 ... ... .
235140
... ......
... .
205134 420513
...... ...... ... ... ...... ......
.. .. ... ..
342051 .. . ... .
134205 ... .. .
513420
... .
201354 ... ... . ... .
542013 ... .. .
305214............... 405213
... ..... ......
.... .... .... .... ... ... ... .. . . .. ... ... . .. . . . .. .... .... .....
... .
125034 ... .. ..
341250
450231 . . . . . . .
214503 314502
..... ...... .... ... ...... .....
145023 . . . . . . .
231450
.... ... .... .... ... ... .. ... . . .. ... .. .. . .. . . . .... ... ... .....
134052 ... ... .
521340
... . .. .
520341 ... ... .
.... .....
. . . .
230451 . . . . . .
123045 . . . . . . .
512304 . . . . . . .
.... ... .... .... ... ... ... ... . . .. ... . .. . . .. . . . .. .... ... .....
051234 . .... . . . . .
305124.................340512 . . 240513............... ... ......
405123.....
. . . . . . . . .
234051 . . . . . . .
123405 . . . . . .
512340
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . ... .. .. . . .. . . .... ... .... ... ...
405231 . . .
.. .. ... .
415203......
304512
... ...... .....
045123 . ..... . .
052314 . ..... . .
... .
213405 ...
315204...............
204513...............
340521 ...
.... .... .... .... ... ... ... .. . ... ... ... . .. . . .... ... .... .....
203415 ...
.... ... .... .... ... ... ... ... ... ... ... . .. . . . .... .... .... .....
. . . .
052134 .. ..... .
503412 ... 250341 ... .... .....
013542 .. ..... .
354201
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . ... .. .. .. . . .. . .... .... ... ... ... ...
. . . .
502314 . . .
451230
034152 .. .....
.. .
412503......
234150
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. . . . ... .. .. . . .. . ... ... ... ... ... ...
034125 .. ..... ... .
312504...............
.. .. .. .. .
420135 .. .
051342 .. .... 305142.................230514 ..
.... .... .... .... .. ... .. ... . . . ... .. . .. . . .. . . . .. .... ... .....
023415 .. .... .
402351 ... 140235 ...
.. .
523041 ... 415230
035421...............
.. ..
230415 ...
... .
415023.....
.... .... .... .... ... ... ... ... .. ... ... . . . . . .... ... .... .....
... .
152304 ...
023514 .. ..... ... .
...... ...... ... ... ...... ......
.... ... .... .... ... ... .. ... . .. ... .. ... . ... . . .... ... ... .....
023145 . ..... . .
041523 ..... .. .
... .
023154 .. ..... . ... .
305
152034 ... .. ..
341520
.... ... .... .... ... ... ... ... . .. ... ... . .. . . ... . . . ... .... .....
. . . . . . . .
214053............... 314052
... ...... ......
140523 . . . . . . .
231405 . . . . . . .
523140
.... .... .... .... ... ... ... .. . ... ... ... . .. . . .... ... .... .....
034215 . .... . . . . .
503421 . . . . . . .
150342 . . . . . . .
315042.................231504 . . 215034............... ... ......
421503......
. . . . . . . . .
342150
... ... .... ... .... .. .. .. .. ... . . . .. .. .. . . .. . ... . . .. ... .... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
306
053412 ..... .. . ... .
205341 ... .. .
312054 412053
...... ..... .... ... ...... ......
120534 ... ... .
341205 ... ... .
534120
.... .... .... .... .. ... .. ... .. . ... .. . .. . . .. . . . .. .... ... .....
205413...............
.... .....
305412.....
034512 . ..... . .
054123 ..... .. . ... .
230541 ... .. .
123054 ... ... .
412305 ... ... .
541230
.... .... .... .... .. ... .. ... . . . ... .. . .. . . .. . . . .. .... ... .....
. . . .
203451 . . . . . . .
120345 . . . . . . .
351204 451203
..... ...... .... ... ...... .....
512034 . . . . . . .
345120
.... ... .... .... ... ... .. ... . . .. ... .. .. . .. . . . .... ... ... .....
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 034251............... ... ......
134250 .....
013425 .. ....... .
034521...............
501342 ...
134520
... . .. .
350142.................235014 .. 250134 425013
...... ...... ... ... ...... .....
023451............... 123450
... ...... .....
.. .. .. .. .
342501
... .
501234 ...
350124.................345012 .. ... ......
450123......
052341............... 152340 301524 240153 401523
... ...... ...... ................. ...... ..... .... ... ...... ......
... .. ... .
234501
..... .... .... .... ... ... ... . .. ... ... . . .... . . .. ..... .......
340152 .. . .. ... .. ...
234015 ... .. .
523401
013452 .. ....... . . ... .
201345 ...
352014
...... ...... ... ... ...... .....
025341............... 125340 301254 401253
... ...... .....
...... ...... ... ... ...... .....
520134 .. . ... .
345201
.. .. .. .. .. .. .. .
340125 .. . ... .
534012 ... .. .
.... .... .... .... ... ... ... ... . ... ... . . ... . . .... .... .... .....
053421...............
... ......
153420...... 301542 201534 420153
................. ...... ..... .... ... ...... ......
...... .... .... .... ... ... . .. ... ... .... . . ... . . . . . . . .....
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . . ... . . .. .... .... .....
015342 .. ..... .. .. .. ...
230154 .. . .. ... .. ...
342015 ... .. .
534201
023541............... .... .....
123540......
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . . ... . . .... .... .... .....
012354 . ....... . . . . . . .
401235 . . . . . .
254013 354012
012534 .. .....
253401
015234 .. ..... .. .. .. ...
... ...... ......
.. .
452013
012345 .. ....... . .. .
245013...............
..... .... .... .... ... ... ... .. .. ... ... . . ... . . . .. .... .......
...... ...... ... ... ...... .....
045231............... ... ......
145230..... 201453 301452
...... ...... ... ... ...... .....
540123 . . . . . . .
235401
...... .... .... .... ... ... . .. ... ... .... . . ... . . . . . . . .....
014523 . ..... . . . . . . . . . . . . . . . .
230145 . . . . . . .
523014 . . . . . .
452301
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . . ... . . .. .... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
307
n = 6, e = 12, = 4 2
1
. .................................................. ... . . ...... .. .. . .............. ..... .... . . .. ............... .... ... . . ... ... . . . . . ............ ............. ... . . . . . . . . . . . ..... .... . ........... .. .... ....... .. ........ . .. ... ..... . . .. ...... .... . ...... ........... ...................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................ . . . . ........ . .... .. .............. . . . ... ....... . . . .. .... . . .... .. . .. ..... . . . . . . .. ..... ..... .... ... ............ . ... . ... . . . ............ ............. ... .... ... . . . . . . . . . . . .. ... .... .. . . ... . .... .......... .......... .... .. .... ........ ............ .... . . . . . . . . . . . .
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 021435 . ... .
021534 .. ...
024135 .. ...
024153 . ... .
024315 . ... .
502143 . . .
402153 ...
502413 ...
302415 . . .
502431 . . .
. . . . . . .
350214 . . . . . . .
435021 . . . . . . .
143502 . . . . . .
214350
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
... . .. .
340215 ... ... .
534021 ... ... .
153402 ... ...
215340
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
... . .. .
350241 ... ... .
135024 ... ... .
413502 ... ...
241350
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
. . . . . . .
530241 . . . . . . .
153024 . . . . . . .
415302 . . . . . .
241530
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
. . . . . . .
150243 . . . . . . .
315024 . . . . . . .
431502 . . . . . .
243150
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
025134 . ... . . .
025143 .. ... . .
025314 .. ... . .
031425 . ... . . .
031524 . ... . . .
402513 . . .
302514 ...
402531 ...
503142 . . .
403152 . . .
. . . . . . . .
340251 . . . . . . .
134025 . . . . . . .
513402 . . . . . .
251340
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
... . .. ..
430251 ... ... .
143025 ... ... .
514302 ... ...
251430
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
... . .. ..
140253 ... ... .
314025 ... ... .
531402 ... ...
253140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
. . . . . . . .
250314 . . . . . . .
425031 . . . . . . .
142503 . . . . . .
314250
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. . . . . . . .
240315 . . . . . . .
524031 . . . . . . .
152403 . . . . . .
315240
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034125 . ... . . .
034152 .. ... . .
034215 .. ... . .
035124 . ... . . .
035142 . ... . . .
503412 . . .
203415 ...
503421 ...
403512 . . .
203514 . . .
. . . . . . . .
250341 . . . . . . .
125034 . . . . . . .
412503 . . . . . .
341250
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... . .. ..
520341 ... ... .
152034 ... ... .
415203 ... ...
341520
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
... . .. ..
150342 ... ... .
215034 ... ... .
421503 ... ...
342150
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
. . . . . . . .
240351 . . . . . . .
124035 . . . . . . .
512403 . . . . . .
351240
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. . . . . . . .
420351 . . . . . . .
142035 . . . . . . .
514203 . . . . . .
351420
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
308
035214 . ... .
041253 .. ...
041352 .. ...
042135 . ... .
042153 . ... .
403521 . . .
304125 ...
204135 ...
504213 . . .
304215 . . .
. . . . . . .
140352 . . . . . . .
214035 . . . . . . .
521403 . . . . . .
352140
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
530412 ... ... .
253041 ... .. ..
125304 ... ...
412530
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
520413 ... ... .
352041 ... .. ..
135204 ... ...
413520
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
350421 . . . . . . .
135042 . . . . . . .
213504 . . . . . .
421350
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
530421 . . . . . . .
153042 . . . . . . .
215304 . . . . . .
421530
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
042513 . ... . . .
043125 .. ... . .
043152 .. ... . .
043512 . ... . . .
051243 . ... . . .
304251 . . .
504312 ...
204315 ...
204351 . . .
305124 . . .
. . . . . . .
130425 . . . . . . .
513042 . . . . . . .
251304 . . . . . .
425130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
250431 ... ... .
125043 ... .. ..
312504 ... ...
431250
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
520431 ... ... .
152043 ... .. ..
315204 ... ...
431520
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . .
120435 . . . . . . .
512043 . . . . . . .
351204 . . . . . .
435120
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . .
430512 . . . . . . .
243051 . . . . . . .
124305 . . . . . .
512430
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051342 . ... . . .
052134 .. ... . .
052143 .. ... . .
052413 . ... . . .
053124 . ... . . .
205134 . . .
405213 ...
305214 ...
305241 . . .
405312 . . .
. . . . . . .
420513 . . . . . . .
342051 . . . . . . .
134205 . . . . . .
513420
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
340521 ... ... .
134052 ... .. ..
213405 ... ...
521340
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
053142 . ... . . .
053412 .. ... . .
205314 . . .
205341 ...
. . . . . . .
420531 . . . . . . .
142053 . . . . . . .
314205 . . . . . .
531420
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
120534 ... ... .
412053 ... ... .
341205 ... ...
534120
... . .. .
430521 ... ... .
143052 ... .. ..
214305 ... ...
521430
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . .
130524 . . . . . . .
413052 . . . . . . .
241305 . . . . . .
524130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . .
240531 . . . . . . .
124053 . . . . . . .
312405 . . . . . .
531240
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 041235 .. ..... . ... .
250413............... 350412
... ...... ......
504123 ... .. .
235041 ... ... .
123504 ... .. ..
412350
.... .... .... .... ... ... ... ... . .. ... . . .. . . ... . . . .... ... .....
042531...............
... ......
142530......
014253 .. ..... .
024513 . ..... . .
301425 ...
302451 . . .
... . .. .
530142 .. . ... .
253014 ... .. .
425301
.... .... .... .... ... ... ... .. . . .. ... . . .. . . ... . . . .... ... .....
. . . . . . .
413025 513024
...... ...... ... ... ...... ......
130245 . . . . . . .
451302 . . . . . . .
245130
.... .... .... .... ... ... ... .. . . .. ... . . .. . . ... . . . .... ... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
204153 304152
..... ...... .... .... ..... .....
041523 ..... .. . ... .
230415 ... .. .
523041 ... ... .
152304 ... ... .
415230
.... .... .... .... .. ... .. ... .. . ... .. . .. . . .. . . . .. .... ... .....
042315 .. ..... . ... .
504231 ... .. ..
215043............... 315042
... ...... ......
402135............... ... ......
502134......
150423 ... ... .
231504 ... ... .
423150
.... ... .... .... ... ... .. ... ... ... .. ... . ... . . .... ... ... .....
043521............... 143520
... ..... ......
450213 ... .. ..
345021 ... ... .
134502 ... ... .
213450
.... .... .... .... ... ... ... ... .. ... ... . . . . . .... ... .... .....
204531 ... .. .
120453 ... ... .
431205............... ... ......
531204......
312045 ... ... .
453120
.... .... .... .... ... ... ... ... . .. ... . .. . . ... . . . .... ... .....
430215............... 530214
... ...... ......
302145 ... .. .
453021 ... ... .
145302 ... ... .
214530
201435 ... ... .
352014 ... .. .
435201 053421...............
... ......
153420......
.... .... .... .... ... ... ... ... . .. ... . .. . . ... . . . .... ... .....
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. ... . .. . . .. . . . .. .... ... .....
015342 .. ..... . ... .
201534 ... ... .
420153 .. . ... .
342015 ... .. .
534201
.... .... .... ... ... ... .. ... . . . .. ... ... . .. . . . .... ... ... .....
052431............... .... .....
152430.....
... .
420315...............
.... ......
520314.....
203145 ... .. ..
452031 ... ... .
145203 ... ... .
314520
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . . . . . .... ... .... .....
051234 .. ..... ... .
240513............... 340512
.. ...... ......
405123 ... .. ..
234051 ... ... .
123405 ... ... .
205143 305142
...... ...... ... .... ...... .....
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . .. . . ... . . . ... .... .....
051423 .. ..... . ... .
230514 ... .. .
423051 ... ... .
142305 ... ... .
514230
.... .... .... .... ... ... ... .. . . .. ... . .. . . ... . . . .... ... .....
015243 . ..... . . . . . .
301524 . . . . . .
430152 . . . . . . .
243015 . . . . . .
524301
403125............... 503124
..... ..... .....
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. ... . .. . . .. . . . .. .... ... .....
031245 . ..... . . . . . .
450312 . . . . . . .
245031 . . . . . . .
124503 . . . . . . .
312450
.... ... .... .... ... ... .. ... . . . ... .. ... . ... . . .... ... ... .....
045213 . ..... .
031452 .. .....
512340
021453 .. ..... . ... .
... . .. .
045312 .. ..... . ... .
014352 .. ..... . 520143 .. .
021345 .. ..... ... .
309
. . . .
304521 . . . . . .
130452 . . . . . . .
421305............... 521304
.. ...... ......
024351............... ... ......
124350......
213045 . . . . . . .
452130
012435 . ..... . . . . . .
501243 . . . . . .
350124 . . . . . . .
435012 . . . . . .
243501 025341............... .... .....
125340......
.... .... .... .... .. ... ... ... . . ... ... . . . . . .... . . ... .... .....
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . .. . . ... . . . ... .... .....
012534 . ..... . . . . . .
401253 . . . . . .
340125 . . . . . . .
534012 . . . . . .
253401
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. .. ... . .. . . ... . . . . .... ... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
310
023415 .. ..... . ... .
502341 ... .. ..
150234 ... ... .
241503............... ... ......
341502.....
415023 ... ... .
234150
... .
351402
314052
134250
140235 ... 251403
214053
402351 ... .. .
514023 ... ... .
235140
034512 ..... . . .
405231 ...
203451 . . .
.. .
...... ..... .... ... ...... ......
034251...............
.... ... .... .... ... ... ... ... .. ... .. .. . .. . . .... ... .... .....
052314 ..... .. . ... .
023514 .. ..... ... .
...... ...... ... .... ..... ......
.... ... .... .... ... ... .. ... .. .. ... .. .. . .. . . . .... ... ... .....
... ...... ......
140523 ... ... .
231405 ... ... .
523140
.... .... .... .... .. ... .. ... . . . ... .. . .. . . .. . . . .. .... ... .....
013425 .. ..... . ... .
501342 ... ... .
250134 .. . ... .
425013 ... .. .
342501
.... .... .... ... ... ... .. ... . . . .. ... ... . .. . . . .... ... ... .....
. . . . . . .
412035 512034
...... ..... .... ... ...... ......
035241............... ... ......
135240......
120345 . . . . . . .
451203 . . . . . . .
345120
.... .... .... .... .. ... .. ... . . . ... .. . .. . . .. . . . .. .... ... .....
013524 . ..... . . . . . .
401352 . . . . . . .
240135 . . . . . . .
524013 . . . . . .
352401
.... .... .... ... ... ... .. ... . . . .. ... ... . .. . . . .... ... ... .....
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 042351............... 142350
... ...... .....
250143............... 350142
... ...... .....
024531............... 124530
... ...... ......
430125............... 530124
... ...... ......
014235 .. ........ . ... .
501423 ... ... .
235014 .. . ... .
423501
...... ..... .... ... ... ... ... ... ... . . . ... . . . . .... ........
034521...............
... ......
134520.....
420135............... 520134
... ...... .....
012453 .. ........ .
204513...............
301245 ...
304512
... . ... .
453012 .. . ... .
245301
...... ..... .... ... ... ... . ... ... .... . . . ... . . . . . . ........
... ..... ......
412305...............
... ......
512304......
013452 .. ........ .
402315...............
201345 ...
502314
... . ... .
452013 .. . ... .
345201
...... ..... .... ... ... ... ... ... ... . . . ... . . . . .... ........
145230
... ...... ......
201453............... 301452
... ...... .....
423015............... 523014
... ...... .....
014523 .. ..... .. .. .. .. .. .. .. .
230145 .. .. .. .. .. .. .. .. .
452301
.... .... .... .... .. ... ... ... ... ... ... . .. . . .... .... .... .....
023451...............
... ......
123450......
401235...............
... ......
501234......
245013...............
... ......
345012......
214503............... 314502
... ...... ......
045123 .. ........ .
052341...............
230451 ...
152340......
... . .. .
123045 ... ... .
451230
...... ..... .... ... ... ... ... ... ... . . . ... . . . . .... ........
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 045231...............
... ..... ......
012345 .. ..... .. .. .. .. .. .. .. .
450123 .. .. .. .. .. .. .. .. .
234501
.... .... .... .... .. ... ... ... . .. ... ... . .. . . .... .... .... .....
.... .....
240153............... 340152
... ...... ......
023145 . ........ . . . . . .
450231 . . . . . .
145023 . . . . . . .
231450
...... ..... .... ... ... ... .. ... .. . . . .... . . . ..... . . . . . . . .
015234 . ........ . . . . . .
401523 . . . . . . .
234015 . . . . . . .
523401
...... ..... .... ... ... ... . ... ... .... . . . ... . . . . . . ........
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
311
n = 6, e = 13, 2 f4; 5g 2
1
. .................................................... ... . . ...... .. .. . .............. ..... . .. . . .. ............... .... ... . . ...... . . . . . .............. .............. ... . . . . . . . ...... .. .. . . ... .. ............ ... . .. ..... ...... .. .... ..... . .. ....... .. .. . ......................... ... ... . . .......... . ........................................................................................ .......... . . . . .. ...... ... . . . ... ...... . .. .... . .... . .. ..... . . ....... .. .. ............ ..... ... ...... . . . ... . . . . . . . ....... ....... . ... ... . . .. .. . . . ... ................ .... ... .... .. . . ..... .. . .. ... . . ............... ..... ...... .... . . . .............................................................
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 021345 . ... . . .
021354 .. ... . .
021435 .. ... . .
021453 . ... . . .
021534 . ... . . .
502134 . . .
402135 ...
502143 ...
302145 . . .
402153 . . .
. . . . . . . .
450213 . . . . . . .
345021 . . . . . . .
134502 . . . . . .
213450
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
540213 ... ... .
354021 ... .. ..
135402 ... ...
213540
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. ..
350214 ... ... .
435021 ... .. ..
143502 ... ...
214350
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
530214 . . . . . . .
453021 . . . . . . .
145302 . . . . . .
214530
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
340215 . . . . . . .
534021 . . . . . . .
153402 . . . . . .
215340
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
021543 . ... .
024135 .. ...
024153 .. ...
024315 . ... .
024513 . ... .
302154 . . .
502413 ...
302415 ...
502431 . . .
302451 . . .
. . . . . . .
430215 . . . . . . .
543021 . . . . . . .
154302 . . . . . .
215430
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
350241 ... ... .
135024 ... ... .
413502 ... ...
241350
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
530241 ... ... .
153024 ... ... .
415302 ... ...
241530
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
150243 . . . . . . .
315024 . . . . . . .
431502 . . . . . .
243150
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130245 . . . . . . .
513024 . . . . . . .
451302 . . . . . .
245130
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025134 . ... . . .
025143 .. ... . .
025314 .. ... . .
025413 . ... . . .
031245 . ... . . .
402513 . . .
302514 ...
402531 ...
302541 . . .
503124 . . .
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340251 . . . . . . .
134025 . . . . . . .
513402 . . . . . .
251340
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430251 ... ... .
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514302 ... ...
251430
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140253 ... ... .
314025 ... .. ..
531402 ... ...
253140
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130254 . . . . . . .
413025 . . . . . . .
541302 . . . . . .
254130
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. . . . . . .
450312 . . . . . . .
245031 . . . . . . .
124503 . . . . . .
312450
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Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
312
031254 . ... .
031425 .. ...
031452 .. ...
031524 . ... .
031542 . ... .
403125 . . .
503142 ...
203145 ...
403152 . . .
203154 . . .
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540312 . . . . . . .
254031 . . . . . . .
125403 . . . . . .
312540
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250314 ... ... .
425031 ... .. ..
142503 ... ...
314250
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520314 ... ... .
452031 ... .. ..
145203 ... ...
314520
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. . . . . . .
240315 . . . . . . .
524031 . . . . . . .
152403 . . . . . .
315240
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420315 . . . . . . .
542031 . . . . . . .
154203 . . . . . .
315420
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034125 . ... . . .
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034215 .. ... . .
034512 . ... . . .
035124 . ... . . .
503412 . . .
203415 ...
503421 ...
203451 . . .
403512 . . .
. . . . . . .
250341 . . . . . . .
125034 . . . . . . .
412503 . . . . . .
341250
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... . .. .
520341 ... ... .
152034 ... .. ..
415203 ... ...
341520
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150342 ... ... .
215034 ... .. ..
421503 ... ...
342150
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120345 . . . . . . .
512034 . . . . . . .
451203 . . . . . .
345120
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. . . . . . .
240351 . . . . . . .
124035 . . . . . . .
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351240
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035412 .. ... . .
041253 . ... . . .
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203514 . . .
403521 ...
203541 ...
304125 . . .
204135 . . .
. . . . . . .
420351 . . . . . . .
142035 . . . . . . .
514203 . . . . . .
351420
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140352 ... ... .
214035 ... .. ..
521403 ... ...
352140
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... . .. .
120354 ... ... .
412035 ... .. ..
541203 ... ...
354120
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. . . . . . .
530412 . . . . . . .
253041 . . . . . . .
125304 . . . . . .
412530
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. . . . . . .
520413 . . . . . . .
352041 . . . . . . .
135204 . . . . . .
413520
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042135 . ... . . .
042153 .. ... . .
042513 .. ... . .
043125 . ... . . .
043152 . ... . . .
504213 . . .
304215 ...
304251 ...
504312 . . .
204315 . . .
. . . . . . .
350421 . . . . . . .
135042 . . . . . . .
213504 . . . . . .
421350
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530421 ... ... .
153042 ... ... .
215304 ... ...
421530
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... . .. .
130425 ... ... .
513042 ... ... .
251304 ... ...
425130
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. . . . . . .
250431 . . . . . . .
125043 . . . . . . .
312504 . . . . . .
431250
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. . . . . . .
520431 . . . . . . .
152043 . . . . . . .
315204 . . . . . .
431520
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
043512 . ... .
045213 .. ...
045312 .. ...
051243 . ... .
051342 . ... .
204351 . . .
304521 ...
204531 ...
305124 . . .
205134 . . .
. . . . . . . .
120435 . . . . . . .
512043 . . . . . . .
351204 . . . . . . .
435120
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. ..
130452 ... ... .
213045 ... .. ..
521304 ... ... .
452130
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... . .. ..
120453 ... ... .
312045 ... .. ..
531204 ... ... .
453120
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. . . . . . . .
430512 . . . . . . .
243051 . . . . . . .
124305 . . . . . . .
512430
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. . . . . . . .
420513 . . . . . . .
342051 . . . . . . .
134205 . . . . . . .
513420
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
313
052134 . ... .
052143 .. ...
052413 .. ...
053124 . ... .
053142 . ... .
405213 . . .
305214 ...
305241 ...
405312 . . .
205314 . . .
. . . . . . .
340521 . . . . . . .
134052 . . . . . . .
213405 . . . . . .
521340
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
430521 ... ... .
143052 ... .. ..
214305 ... ...
521430
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
130524 ... ... .
413052 ... .. ..
241305 ... ...
524130
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
053412 . ... . . .
054213 .. ... . .
054312 .. ... . .
205341 . . .
305421 ...
205431 ...
. . . . . . .
120534 . . . . . . .
412053 . . . . . . .
341205 . . . . . .
534120
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
130542 ... ... .
213054 ... .. ..
421305 ... ...
542130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
120543 ... ... .
312054 ... .. ..
431205 ... ...
543120
. . . . . . .
240531 . . . . . . .
124053 . . . . . . .
312405 . . . . . .
531240
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
420531 . . . . . . .
142053 . . . . . . .
314205 . . . . . .
531420
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
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. = 0:2 (m = 1, p = 5) 025341............... 125340
... ..... ......
012534 .. ..... . ... .
401253 ... .. .
340125 .. . ... .
534012 ... .. .
253401 034251............... 134250
... ...... ......
.... .... .... .... ... ... ... ... .. .. .. . . .. . . .... . . .... ... .....
013425 .. ..... . ... .
501342 ... .. .
250134 .. . ... .
425013 ... .. .
342501
.... .... .... .... ... ... ... ... . .. .. . . .. . . .... . . . .... .... .....
025431...............
... ......
125430......
... . .. .
540231 ... ... .
215403 315402
...... ...... ... ... ...... .....
154023 ... ... .
231540
.... .... .... .... ... ... ... ... . ... ... . . ... . . .... .... .... .....
042315 . ..... . .
301254 ...
504231 . . .
... . .. .
430125 .. . ... .
543012 ... .. .
254301 034521...............
.... .....
134520......
... .
201345 ... .. . ... .
452013 ... .. .
345201
204513...............
... ......
304512......
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. .. .. . . .. . . .... . . .... ... .....
. . . . . . .
215043 315042
...... ...... ... ... ...... .....
.... .... .... .... ... ... ... .. . . .. .. . . .. . . .... . . . .... .... .....
230451 ... .. .
123045 ... ... .
512304 ... ... .
451230
.... .... .... .... ... ... .. ... . .. ... ... . . ... . . .. .... .... .....
. . . .
231504 . . . . . . .
423150
. . . .
502314 . . . . . .
450231 . . . . . . .
214503 314502
...... ...... ... .. ...... ......
145023 . . . . . . .
231450
.... .... .... .... ... ... .. ... . .. ... ... . . ... . . .. .... .... .....
023415 . ..... . .
045123 .. ..... ... .
150423 . . .
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. .. .. . . .. . . .... . . .... ... .....
023145 . ..... . .
013452 .. ..... . 520134 .. .
023154 .. ..... . 402315 ...
012543 .. ..... .
. . . .
502341 . . . . . .
150234 . . . . . . .
241503 341502
...... ...... ... ... ...... .....
415023 . . . . . . .
234150
.... .... .... .... ... ... ... .. . . ... ... . . ... . . .... .... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
314
023514 .. ..... . ... .
402351 ... .. ..
140235 ... ... .
251403............... ... ......
351402.....
035421............... 135420
... ...... ......
514023 ... ... .
235140
... .
201354 ... 420135 .. . ... .
542013 ... .. .
354201
143520
... ...... .....
.. .
435201
123405 ... ... .
.... .... .... ... ... ... .. ... ... .. ... ... . .. . . . .... ... ... .....
205143............... 305142
..... ..... .....
051423 .. ..... . ... .
230514 ... .. ..
423051 ... ... .
142305 ... ... .
514230
.... ... .... .... ... ... .. ... . . . ... .. ... . ... . . .... ... ... .....
.... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... . .. . . ... .... .... .....
... . .. ..
214053............... 314052
... ...... ......
140523 ... ... .
231405 ... ... .
523140
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . . . . . .... ... .... .....
041235 .. .....
201534 ...
504123 ...
... . .. . ... .
342015 ... .. .
534201
305412
... .
015342 .. ..... . 420153 .. .
205413
.. .
234051 ...
405231 ...
... .
... .
...... ...... ... .... ...... .....
340512
... ..... ......
201435 ... 352014 ...
153420
240513...............
405123 ...
.... .... .... .... .. ... .. ... . . . ... .. . .. . . .. . . . .. .... ... .....
052314 .. .....
520143 .. .
.. ...... ......
... .
014352 .. ..... . .. .
053421...............
051234 ..... .. .
512340
013542 .. ..... . ... .
043521...............
.... ... .... .... ... ... .. ... .. .. ... .. .. . .. . . . .... ... ... .....
.... .... .... .... ... ... ... ... .. ... ... . .. . . ... . . . ... .... .....
054123 .. ..... . ... .
230541 ... .. .
123054 ... ... .
412305 ... ... .
541230
.... .... .... .... ... ... ... ... . .. ... . .. . . ... . . . .... ... .....
... .
250413............... 350412
.. ...... ......
.. ..
235041 ... ... .
123504 ... ... .
412350 024531...............
.... .....
124530......
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . .. . . ... . . . ... .... .....
012453 .. ..... . ... .
301245 ... .. .
530124 .. . ... .
453012 ... .. .
245301
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. .. ... . .. . . ... . . . . .... ... .....
035241............... .... .....
135240.....
013524 . ..... . . . . . .
401352 . . . . . .
240135 . . . . . . .
524013 . . . . . .
352401 042531............... ... ......
142530......
014253 . ..... . . . . . .
301425 . . . . . . .
530142 . . . . . . .
253014 . . . . . .
425301 052431............... ... ......
152430.....
. . . .
301524 . . . 430152 . . . . . . .
243015 . . . . . .
524301
... ......
124350......
. . . .
501243 . . . . . . . . . .
435012 . . . . . .
243501
304152
.... ...... .....
.... .... .... .... ... ... ... .. . ... ... ... . .. . . ... .... .... .....
012435 . ..... . . 350124 . . .
204153...............
.... .... .... ... ... ... .. ... . . . .. ... ... . .. . . . .... ... ... .....
015243 . ..... . . . . .
024351...............
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. ... . .. . . .. . . . .. .... ... .....
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . .. . . ... . . . ... .... .....
041523 . ..... . . . . . .
230415 . . . . . .
523041 . . . . . . .
152304 . . . . . . .
415230
.... .... .... .... ... ... ... .. . . .. ... . .. . . ... . . . .... ... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
315
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 023541............... 123540
... ...... ......
045231............... 145230 .....
401235 ...
201453
... . .. .
254013............... 354012
... ...... .....
042351............... 142350
... ...... ......
250143............... 350142
... ..... ......
... ......
012354 .. ....... . . 540123 .. . ... .
235401
...... .... .... .... ... ... . .. ... ... .... . . .... . . . . . . .....
301452
...... ...... ... ... ..... ......
.. .
235014 .. . ... .
423501
230145 .. . ... .
523014 ... 452301
014235 .. ....... . . 501423 ...
.. .. .. .. .. .. .. .
.. ..
023451............... ... .
014523 .. .....
...... .... .... .... ... ... ... ... .... .... . . ... . . . . . . . .....
123450
... ...... .....
... ......
345012......
052341............... ... ......
152340......
240153............... ... ......
340152......
054231............... .... ......
012345 .. ........ .
154230.....
501234 ...
201543
... . .. .
245013...............
.... .... .... .... .. ... ... .. . . .. .. .. . .. . . .... . . .. .... ... .....
450123 .. . ... .
234501
...... ..... .... ... ... .. . . .. ... .... . . .... . . . . . ........
301542
...... ...... ... ... ...... .....
015234 . ....... . . . . . . .
401523 . . . . . . .
234015 . . . . . . .
523401
...... .... .... ... ... ... . .. ... .. . . . .... . . . ...... ........
015423 . ..... . . . . . . . . . . . . . . . .
230154 . . . . . . .
423015 . . . . . .
542301
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. ... .. . . ... . . .... .... ... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
316
x
n = 6, e = 14, 2 f4; 5g 2
1
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3
0
4
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. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 021345 . ... . . .
021354 .. ... . .
021435 .. ... . .
021453 . ... . . .
021534 . ... . . .
502134 . . .
402135 ...
502143 ...
302145 . . .
402153 . . .
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450213 . . . . . . .
345021 . . . . . . .
134502 . . . . . .
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540213 ... ... .
354021 ... .. ..
135402 ... ...
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350214 ... ... .
435021 ... .. ..
143502 ... ...
214350
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530214 . . . . . . .
453021 . . . . . . .
145302 . . . . . .
214530
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340215 . . . . . . .
534021 . . . . . . .
153402 . . . . . .
215340
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021543 . ... .
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023154 .. ...
023415 . ... .
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302154 . . .
502314 ...
402315 ...
502341 . . .
402351 . . .
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430215 . . . . . . .
543021 . . . . . . .
154302 . . . . . .
215430
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450231 ... ... .
145023 ... ... .
314502 ... ...
231450
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540231 ... ... .
154023 ... ... .
315402 ... ...
231540
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150234 . . . . . . .
415023 . . . . . . .
341502 . . . . . .
234150
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. . . . . . .
140235 . . . . . . .
514023 . . . . . . .
351402 . . . . . .
235140
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024315 .. ... . .
024513 . ... . . .
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502413 . . .
302415 ...
502431 ...
302451 . . .
402513 . . .
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350241 . . . . . . .
135024 . . . . . . .
413502 . . . . . .
241350
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241530
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150243 ... ... .
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431502 ... ...
243150
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130245 . . . . . . .
513024 . . . . . . .
451302 . . . . . .
245130
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340251 . . . . . . .
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513402 . . . . . .
251340
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Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
317
025143 . ... .
025314 .. ...
025413 .. ...
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302514 . . .
402531 ...
302541 ...
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403125 . . .
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430251 . . . . . . .
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251430
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140253 ... ... .
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253140
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450312 . . . . . . .
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314520
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540321 . . . . . . .
154032 . . . . . . .
215403 . . . . . .
321540
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150324 ... ... .
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324150
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251403 ... ...
325140
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250341 . . . . . . .
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341250
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520341 . . . . . . .
152034 . . . . . . .
415203 . . . . . .
341520
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034215 . ... . . .
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403512 ...
203514 . . .
403521 . . .
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150342 . . . . . . .
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342150
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120345 ... ... .
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345120
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351240
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140352 . . . . . . .
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035412 . ... .
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203541 . . .
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304125 ...
504132 . . .
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120354 . . . . . . .
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354120
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350412 ... ... .
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412350
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530412 ... ... .
253041 ... .. ..
125304 ... ... .
412530
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250413 . . . . . . .
325041 . . . . . . .
132504 . . . . . . .
413250
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520413 . . . . . . .
352041 . . . . . . .
135204 . . . . . . .
413520
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Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
318
041523 . ... .
041532 .. ...
042135 .. ...
042153 . ... .
042315 . ... .
304152 . . .
204153 ...
504213 ...
304215 . . .
504231 . . .
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230415 . . . . . . .
523041 . . . . . . .
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415230
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320415 ... ... .
532041 ... .. ..
153204 ... ...
415320
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350421 ... ... .
135042 ... .. ..
213504 ... ...
421350
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530421 . . . . . . .
153042 . . . . . . .
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421530
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043152 .. ... . .
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304251 . . .
504312 ...
204315 ...
504321 . . .
204351 . . .
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251304 . . . . . .
425130
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250431 ... ... .
125043 ... .. ..
312504 ... ...
431250
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152043 ... .. ..
315204 ... ...
431520
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150432 . . . . . . .
215043 . . . . . . .
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432150
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351204 . . . . . .
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045123 . ... . . .
045132 .. ... . .
045213 .. ... . .
045312 . ... . . .
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304512 . . .
204513 ...
304521 ...
204531 . . .
405123 . . .
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230451 . . . . . . .
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512304 . . . . . .
451230
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320451 ... ... .
132045 ... .. ..
513204 ... ...
451320
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130452 ... ... .
213045 ... .. ..
521304 ... ...
452130
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120453 . . . . . . .
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531204 . . . . . .
453120
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340512 . . . . . . .
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205143 . . .
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430512 . . . . . . .
243051 . . . . . . .
124305 . . . . . .
512430
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240513 ... ... .
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513240
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420513 ... ... .
342051 ... ... .
134205 ... ...
513420
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230514 . . . . . . .
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142305 . . . . . .
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320514 . . . . . . .
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143205 . . . . . .
514320
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053124 . ... .
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305214 ...
405231 ...
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405312 . . .
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340521 . . . . . . .
134052 . . . . . . .
213405 . . . . . . .
521340
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430521 ... ... .
143052 ... .. ..
214305 ... ... .
521430
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140523 ... ... .
314052 ... .. ..
231405 ... ... .
523140
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241305 . . . . . . .
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531240
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Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
319
053142 . ... .
053214 .. ...
053412 .. ...
054123 . ... .
054132 . ... .
205314 . . .
405321 ...
205341 ...
305412 . . .
205413 . . .
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420531 . . . . . . .
142053 . . . . . . .
314205 . . . . . .
531420
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140532 ... ... .
214053 ... .. ..
321405 ... ...
532140
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054213 . ... . . .
054312 .. ... . .
305421 . . .
205431 ...
. . . . . . .
130542 . . . . . . .
213054 . . . . . . .
421305 . . . . . .
542130
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
120543 ... ... .
312054 ... .. ..
431205 ... ...
543120
... . .. .
120534 ... ... .
412053 ... .. ..
341205 ... ...
534120
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
230541 . . . . . . .
123054 . . . . . . .
412305 . . . . . .
541230
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
320541 . . . . . . .
132054 . . . . . . .
413205 . . . . . .
541320
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... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 023451............... 123450
... ..... ......
012345 .. ..... . ... .
501234 ... .. .
450123 .. . ... .
345012 ... .. .
234501 024531............... 124530
... ...... ......
012453 .. ..... . ... .
301245 ... .. .
530124 .. . ... .
453012 ... .. .
245301 032451............... 132450
... ...... .....
.... .... .... .... ... ... ... ... .. .. .. . . .. . . .... . . .... ... .....
.... .... .... .... ... ... ... ... . .. .. . . .. . . .... . . . .... .... .....
013245 .. ..... . ... .
501324 ... .. .
450132 .. . ... .
245013 ... .. .
324501
.... .... .... .... ... ... ... ... .. ... ... . . ... . . . .. .... .... .....
023541............... 123540
... ..... ......
012354 .. ..... . ... .
401235 ... .. .
540123 .. . ... .
354012 ... .. .
235401 025341............... 125340
... ...... ......
012534 .. ..... . ... .
401253 ... .. .
340125 .. . ... .
534012 ... .. .
253401 032541............... 132540
... ...... .....
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. .. .. . . .. . . .... . . .... ... .....
.... .... .... .... ... ... ... .. . . .. .. . . .. . . .... . . . .... .... .....
013254 .. ..... . ... .
401325 ... .. .
540132 .. . ... .
254013 ... .. .
325401
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . . ... . . . .. .... .... .....
024351............... ... ......
124350......
012435 . ..... . . . . . .
501243 . . . . . .
350124 . . . . . . .
435012 . . . . . .
243501 025431............... .... .....
125430......
012543 . ..... . . . . . .
301254 . . . . . .
430125 . . . . . . .
543012 . . . . . .
254301 034251............... ... ......
134250.....
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. .. .. . . .. . . .... . . .... ... .....
.... .... .... .... ... ... ... .. . . .. .. . . .. . . .... . . . .... .... .....
013425 . ..... . . . . . .
501342 . . . . . .
250134 . . . . . . .
425013 . . . . . .
342501
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . . ... . . . .. .... .... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
320
034521............... 134520
... ..... ......
013452 .. ..... . ... .
201345 ... .. .
520134 .. . ... .
452013 ... .. .
345201 042351............... 142350
... ...... ......
014235 .. ..... . ... .
501423 ... ... .
350142 .. . ... .
235014 ... .. .
423501 043521............... 143520
... ...... .....
... .
201435 ... 520143 .. . ... .
352014 ... .. .
435201
152340
.. ...... ......
... .
401523 ... .. . ... .
234015 ... .. .
523401
153420
... ...... ......
.... .... .... .... ... ... ... ... ... ... ... . .. . . ... .... .... .....
015234 .. ..... . 340152 .. .
053421...............
.... .... .... ... ... ... .. ... ... .. ... ... . .. . . . .... ... ... .....
014352 .. ..... . .. .
052341...............
.... .... .... ... ... ... ... .. ... .. ... . .. . . ... .... .... ... .....
.... .... .... .... ... ... ... ... .. ... ... . .. . . ... . . . ... .... .....
015342 .. ..... . ... .
201534 ... .. .
420153 .. . ... .
342015 ... .. .
534201
.... .... .... .... ... ... ... ... .. .. ... . .. . . ... . . . . .... ... .....
035241............... 135240
... ..... ......
013524 .. ..... . ... .
401352 ... .. .
240135 .. . ... .
524013 ... .. .
352401 042531............... 142530
... ...... ......
014253 .. ..... . ... .
301425 ... ... .
530142 .. . ... .
253014 ... .. .
425301 045231............... 145230
... ...... .....
... .
301452 ... 230145 .. . ... .
523014 ... .. .
452301
152430
.. ...... ......
... .
301524 ... .. . ... .
243015 ... .. .
524301
154230
... ...... ......
.... .... .... .... ... ... ... .. . ... ... ... . .. . . ... .... .... .....
015243 .. ..... . 430152 .. .
054231...............
.... .... .... ... ... ... .. ... . . . .. ... ... . .. . . . .... ... ... .....
014523 .. ..... . .. .
052431...............
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. ... . .. . . .. . . . .. .... ... .....
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . .. . . ... . . . ... .... .....
015423 .. ..... . ... .
301542 ... .. .
230154 .. . ... .
423015 ... .. .
542301
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. .. ... . .. . . ... . . . . .... ... .....
035421............... .... .....
135420.....
013542 . ..... . . . . . .
201354 . . . . . .
420135 . . . . . . .
542013 . . . . . .
354201 043251............... ... ......
143250......
014325 . ..... . . . . . .
501432 . . . . . . .
250143 . . . . . . .
325014 . . . . . .
432501 045321............... ... ......
145320.....
. . . .
201453 . . . 320145 . . . . . . .
532014 . . . . . .
453201
... ......
153240......
. . . .
401532 . . . . . . . . . .
324015 . . . . . .
532401
.... .....
154320......
.... .... .... .... ... ... ... .. . ... ... ... . .. . . ... .... .... .....
015324 . ..... . . 240153 . . .
054321...............
.... .... .... ... ... ... .. ... . . . .. ... ... . .. . . . .... ... ... .....
014532 . ..... . . . . .
053241...............
.... .... .... ... ... ... ... .. . . . .. ... . .. . . .. . . . .. .... ... .....
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. ... ... . .. . . ... . . . ... .... .....
015432 . ..... . . . . . .
201543 . . . . . .
320154 . . . . . . .
432015 . . . . . .
543201
.... .... .... .... ... ... ... .. . .. .. ... . .. . . ... . . . . .... ... .....
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
x
321
n = 6, e = 15, = 5 2
1
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3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 012345 . ... .
012354 .. ...
012435 .. ...
012453 . ... .
012534 . ... .
501234 . . .
401235 ...
501243 ...
301245 . . .
401253 . . .
. . . . . . .
450123 . . . . . . .
345012 . . . . . . .
234501 . . . . . .
123450
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
... . .. .
540123 ... ... .
354012 ... ... .
235401 ... ...
123540
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
... . .. .
350124 ... ... .
435012 ... ... .
243501 ... ...
124350
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
. . . . . . .
530124 . . . . . . .
453012 . . . . . . .
245301 . . . . . .
124530
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
. . . . . . .
340125 . . . . . . .
534012 . . . . . . .
253401 . . . . . .
125340
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
012543 . ... . . .
013245 .. ... . .
013254 .. ... . .
013425 . ... . . .
013452 . ... . . .
301254 . . .
501324 ...
401325 ...
501342 . . .
201345 . . .
. . . . . . . .
430125 . . . . . . .
543012 . . . . . . .
254301 . . . . . .
125430
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
... . .. ..
450132 ... ... .
245013 ... ... .
324501 ... ...
132450
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
... . .. ..
540132 ... ... .
254013 ... ... .
325401 ... ...
132540
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
. . . . . . . .
250134 . . . . . . .
425013 . . . . . . .
342501 . . . . . .
134250
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
. . . . . . . .
520134 . . . . . . .
452013 . . . . . . .
345201 . . . . . .
134520
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
013524 . ... . . .
013542 .. ... . .
014235 .. ... . .
014253 . ... . . .
014325 . ... . . .
401352 . . .
201354 ...
501423 ...
301425 . . .
501432 . . .
. . . . . . . .
240135 . . . . . . .
524013 . . . . . . .
352401 . . . . . .
135240
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
... . .. ..
420135 ... ... .
542013 ... ... .
354201 ... ...
135420
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
... . .. ..
350142 ... ... .
235014 ... ... .
423501 ... ...
142350
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
. . . . . . . .
530142 . . . . . . .
253014 . . . . . . .
425301 . . . . . .
142530
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
. . . . . . . .
250143 . . . . . . .
325014 . . . . . . .
432501 . . . . . .
143250
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
322
014352 . ... .
014523 .. ...
014532 .. ...
015234 . ... .
015243 . ... .
201435 . . .
301452 ...
201453 ...
401523 . . .
301524 . . .
. . . . . . .
520143 . . . . . . .
352014 . . . . . . .
435201 . . . . . .
143520
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
230145 ... ... .
523014 ... .. ..
452301 ... ...
145230
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. .
320145 ... ... .
532014 ... .. ..
453201 ... ...
145320
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
340152 . . . . . . .
234015 . . . . . . .
523401 . . . . . .
152340
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
. . . . . . .
430152 . . . . . . .
243015 . . . . . . .
524301 . . . . . .
152430
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
015324 . ... . . .
015342 .. ... . .
015423 .. ... . .
015432 . ... . . .
021345 . ... . . .
401532 . . .
201534 ...
301542 ...
201543 . . .
502134 . . .
. . . . . . .
240153 . . . . . . .
324015 . . . . . . .
532401 . . . . . .
153240
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
420153 ... ... .
342015 ... .. ..
534201 ... ...
153420
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
230154 ... ... .
423015 ... .. ..
542301 ... ...
154230
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . .
320154 . . . . . . .
432015 . . . . . . .
543201 . . . . . .
154320
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . .
450213 . . . . . . .
345021 . . . . . . .
134502 . . . . . .
213450
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
021354 . ... . . .
021435 .. ... . .
021453 .. ... . .
021534 . ... . . .
021543 . ... . . .
402135 . . .
502143 ...
302145 ...
402153 . . .
302154 . . .
. . . . . . .
540213 . . . . . . .
354021 . . . . . . .
135402 . . . . . .
213540
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
350214 ... ... .
435021 ... .. ..
143502 ... ...
214350
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
530214 ... ... .
453021 ... .. ..
145302 ... ...
214530
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . .
340215 . . . . . . .
534021 . . . . . . .
153402 . . . . . .
215340
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . .
430215 . . . . . . .
543021 . . . . . . .
154302 . . . . . .
215430
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
023145 . ... . . .
023154 .. ... . .
023415 .. ... . .
023451 . ... . . .
023514 . ... . . .
502314 . . .
402315 ...
502341 ...
102345 . . .
402351 . . .
. . . . . . .
450231 . . . . . . .
145023 . . . . . . .
314502 . . . . . .
231450
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
540231 ... ... .
154023 ... ... .
315402 ... ...
231540
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
... . .. .
150234 ... ... .
415023 ... ... .
341502 ... ...
234150
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . .
510234 . . . . . . .
451023 . . . . . . .
345102 . . . . . .
234510
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . .
140235 . . . . . . .
514023 . . . . . . .
351402 . . . . . .
235140
... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. . .. . . ... ... ... ... ... ...
023541 . ... .
024135 .. ...
024153 .. ...
024315 . ... .
024351 . ... .
102354 . . .
502413 ...
302415 ...
502431 . . .
102435 . . .
. . . . . . . .
410235 . . . . . . .
541023 . . . . . . .
354102 . . . . . . .
235410
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. ..
350241 ... ... .
135024 ... .. ..
413502 ... ... .
241350
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . . ...
... . .. ..
530241 ... ... .
153024 ... .. ..
415302 ... ... .
241530
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
150243 . . . . . . .
315024 . . . . . . .
431502 . . . . . . .
243150
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
. . . . . . . .
510243 . . . . . . .
351024 . . . . . . .
435102 . . . . . . .
243510
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. . . .. . . .. . . ... ... ... ... ... ...
Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
323
024513 . ... .
024531 .. ...
025134 .. ...
025143 . ... .
025314 . ... .
302451 . . .
102453 ...
402513 ...
302514 . . .
402531 . . .
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130245 . . . . . . .
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Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
324
034521 . ... .
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320415 ... ... .
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Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
325
045123 . ... .
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205143 ...
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432051 ... .. ..
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340521 ... ... .
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430521 . . . . . . .
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Chapter 5. All Graphs on Six Nodes
326
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6 All Trees on Seven Nodes This chapter is the atlas of SER basins of attraction for graphs in T7 . It contains entries for all the 11 trees with n = 7.
Chapter 6. All Trees on Seven Nodes
328
x
n = 7, e = 6, 2 f1; : : : ; 6g 2
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Chapter 6. All Trees on Seven Nodes
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0123465.......
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. = 0:5 (m = 1, p = 2)
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0126345 0134562 0134625 0135624 0136245 0145623 0146235 0156234 0162345 0234561 0234615 0235614 0236145 0245613 0246135 0256134 0261345 0345612 0346125 0356124 0361245 0456123 0461235 0561234 0612345 1234560 1234605 1235604 1236045 1245603 1246035 1256034 1260345 1345602 1346025 1356024 1360245 1456023 1460235 1560234 1602345 2345601 2346015 2356014 2360145 2456013 2460135 2560134 2601345 3456012 3460125 3560124 3601245 4560123 4601235 5601234
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Chapter 6. All Trees on Seven Nodes
330
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. = 0:5 (m = 1, p = 2)
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1360245................................................
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1460235...............................................................
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2360145 2460135 2601345 3460125 3601245 4601235 6012345 0123564
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0124563 0125634 0134562 0135624 0145623 0156234 0234561 0235614 0245613 0256134 0345612 0356124 0456123 0561234 1235064 1245063 1250634 1345062 1350624 1450623 1506234 2345061 2350614 2450613 2506134 3450612 3506124 4506123 5061234
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2345601 2356014 2456013 2560134 3456012 3560124 4560123
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1234605 1236045 1246035 1260345 1346025 1360245 1460235
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0245613
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Chapter 6. All Trees on Seven Nodes
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. = 0:5 (m = 1, p = 2)
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0134562................................
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0256134 0345612 0356124 0456123 0561234 1235604 1245603 1256034
0123456.................
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0234561............................................ 0162345 . .. . . . .. ..... ..... .....
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1345602 1356024 1456023 1560234 2356014 2456013 2560134 3456012 3560124 4560123 5601234
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0246351......................
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2560134 3560124 5601234
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0246135..............
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2345601......
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1245603...............
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1460235......................... .. .... .. .... .. ....... .. ..... . .... .. . .. ... .. .. .. .. ..
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0245163......
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0146352...............
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0234651.......................
....... ...... ... .. .......... .. ...... .. ....... ........ ........ .... .. ............. .. ........ .. ........ .. ....... .. ....... ..... ..... ............ ..... ...... ........ .. ............. . . . . .... ............. ..... ............. . .. ..... .. ........ .. ............ ........ .. .... ............ . . .... .. ....... ........ . ........ ....... ........ .. ... .... . . .... .... ...... . .. .. ... ...
0246351 0346512 0463512 1340652 1406352 2340651 2406351 3406512 4063512
2345601 2456013 4560123
0123465......
.. .. .
0124635..............
.... .... ..... .... .... .... .... .... .... ..... ..... .... .... .... .... .... ..... ... .... .. . . .. ..... . . ... ..... . .. ..... ...... ... ..... ..... . .. .... .... .... .... ...... . . . . .... ... ..... .. .. .. . .. ..
1234065 1240635
0124563......
.. .. .
0145623..............
.. .. .... ..
0245613.......................
.. .... ....... ...
0456123................................ ....... ..... .....
1245063......................... . .. .. ... .. .... .. .... .. ..... . .. . .. .. .. ... . .. .. .. ..
1450263 2450163 4501263
1360452......
.. .. . ... ... ... ... ... .. ..... ... ..... ........ ..... ... ...... ...... ..... ... ..... ....... ..... . . .. ... . .. .. ... ... . .. .. .. . .
1603452 2360451 2603451 3604512 6034512
0123456......
.. .. .. .. .. ... .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. ... .. .. .. ... .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. ... .. ... .. ... .. .. .. ... .. ... .. .. .. .. .. .. ... .. ... .... .... .... .. .... .. ....... ..... .. ... ..... .... ..... . .... .... .... .... ...... ..... ....... . . ...... ....... ........ ...... ....... .......... . ......... ......... .......... ......... ........ ............ .. ........... .......... .......... ............ ................ . . ........... ......... .......... ............ .............. ................ . .. .......... ......... ........... ........... ............. .................. . .................. ........ ......... ........ ...... ........... ... ...... ...... ...... ........ ... . .... .... .... ...... .. .. . . .. ..
3450126
1234506 0134562 0234561 1345026 2345016
1246035 .. .. . . .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. ... .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. ... .. .. .. ... .. ... .. ... .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. ... .. ... .. .. .. ... .. ... .. .. .. .. .. .. .
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1234605.................0345612
Chapter 6. All Trees on Seven Nodes
346
x
n = 7, e = 6, 2 f1; : : : ; 3g 2
1
. . .. . . .. . . . ... .. . ...... . . . ..... ... . .... . ..... ... . . . .... ........ .. ............. . .. ............ . ...... .... . .. . . . . . . . . . ................ . ................... . .... . ............. .. . ..... . . ..... . . .. . .. . .... . .. . .. . . . .. . . .. . .... . .. .... ... . .... . .. . .. . ..... . . . . . . . .. . .. . . .. .. .. . . .. . . . ...... . . .... . . . . . . . .
3
0
4
5
6
Chapter 6. All Trees on Seven Nodes
347
5601234.................2345601.............
. = 0:5 (m = 1, p = 2)
2560134
..... ...... .... .. ...... ......
5260134
.... . .... .... .... . . . ..
3452601
3460125.................0134562...... 0134625.......
... ... . ..... .... ..... .. ..... ..... ..... .. ..... ..... .. . ... . ... ..
0341625 1340625 3401625 1346025
...... ...... ... .... ..... .....
3416025
0346125............... .... .....
3406125......
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... . ... ... ... .. ... . ... ... ... .. .... ..... .. ... .... ...... . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... . .. .. .. .. .. . .. .. .. ..
3450162
0345162 1345062
4601235.................1345602............. 1460235............... ... ...... ......
4160235
.... . . .... .... .... . . . .
3451602
3560124.................0234561...... 0235614.......
... ... .
0352614...................... ..... ..... ...
2350614............... ... ... ..
3502614
2356014............... .... .....
3526014......
0356124............... ... ......
3506124.....
.. ... .. .. .. .. ... .. .. .. . ... .... ... .. ... .. ... . ... .. ..... ..... .. . .... .... ..... . .. ... . .. .. .. .. .. .. .. ... . .. .. .. .. .. . ... .. ...
3450261
0345261 2345061
4560123.................1234560...... 1245603.......
... ... . ..... .... ..... .. ..... .... ......... . . . . .. . . . ... . . ... ..
1452603 2451603 4512603
2456013............... ... ......
4526013......
1456023............... ... ......
4516023......
... .. .. ... .. .. .. .. ... .. . ... ... ... .. ... .. ... .. ... .. .... ..... .. .. ..... ..... . ..... . .. ... . .. .. .. . .. ... .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. ..
3451260
1345260 2345160
3601245.................0345612............. 0361245............... ... ...... ......
3061245
.... . ... .... .... . . . ..
3450612
0134526......
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. . .. ... ... .. .. ... .. .. .. . .. . .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. ... . .. .. .. . .. .. .. . .. .... . .. . . .. ... .. .. .. .. .. ... .. . ..... ... ...... ..... .... ...... .... .... .. .. ....... ... ... .. ...... .. ... ... ... .. ...... .. ... .. ..... .. ... ... ... ... .... ... ....... .. .... ... ..... ... ... .. . ... .. .. ........ .. .... ...... ........ ......... ........ ...... ...... .... . ...... ...... ... .. . . . .. . ..... .. .... .... . . ...... . . .. .... .. ... . . ..... ...... .... .... ..... . ... ..... . ... .... ..... .... . ... ... . . ...... .... .......... ... . ...... . ...... . .. .... .. ... .. ...... . . .. .. ....... .. . . ... .... .. ....... .. .. . .. .. ...... . ... ... .... ... ..... .. .... .. .... .. ...... . ... ... ... ... ...... ... ... .. .... ... ....... .... . .... ..... ... .... . .. .... . . .... ... . ... ...... ...... ..... .. ...... ........ . ... .... . .. . ...... ...... ........ ... ... . ..... .... . ... .. ...... ....... ........ . ....... ...... ....... ..... ......... .. .. .... ...... ... ..... . ... . ... .. . ..
2345016
0234516
1345026
0345126
1234506 3450126 6012345
0123456 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3456012
Chapter 6. All Trees on Seven Nodes
348
x
n = 7, e = 6, 2 f1; 2g 2
1
. . .. . . .. . . . ... .. . ...... . . . ..... ... . .... . ..... ... . . . .... ........ .. ............. . .. ............ . ...... .... . .. . . . . . . . . . ................ . ................... . .... . ............. .. . ..... . . ...... . . .. . .. .... . .. . .. ........ . . . . . .. . .... . .. ........... . .... . .. ..... . ..... . . . . . . . . . . . .. . . ...... . . . .... ....... . .... . .... . .... ... . . .... . . ........ . . . . .
3
0
4
5
6
. = 0:5 (m = 1, p = 2) 0235614...........
.... .... . ................. .... .... . . .... . . ..
2360145
2560134............... 3450261
.................
5023614 3502614
.................
0352614............... ... ......
3052614......
2356014............... ... ...... ......
3560124
0356124............... ... ...... ......
3601452
0134526
.. .. .. .. .. . .... .... .... .. .... .. ...... .... .. ..... ...... ... ... . . . ... ... . .. .. .. ..
2450136
0345261 3405261
1340526 3401526
0234561........
... ... ... ... . . ..... ..... ... ..... .... . . .. . . .. .. ..
2346015 4502361
1345026............... .... ......
3450126.....
4162503
2456013............... ... ...... .....
4560123 1456023
...... ...... ... ... ...... .....
4501362
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . .. .. ..
0345612
0134562........
... ... .
...... ..... ..
3461250................. 0134625......
4612503.................1346250............. ... ...... .....
3460152......
0345162......................
6124503
1462503...............
2345601..................0123456 . .. .
0345126 .... .... .... .... . .... .... .... ....
1245603
.... .... .... .... .... ................. ... .... . .... . . ....
.... .....
5601234......
.... . ... .... .... . . . ...
3416250
1234560........
... ... ... ... . .... ......... . . . ... .. . . .. ... ... ...
2345016 3612450
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .... . . . . .. ... ..... ....... ..... . .. ... .. ... .. .. ... . .. . .. .. ..
0341625 1346025 3401625 0346125
...... ...... ... ... ...... .....
3460125
1346052.............. . ... ... ..
3401562 3450162
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . .. . . .. .. .. .. .. . .. ..
1345602
1234605......
... ... .. .. .. .. .. ... ... ... ... ... .. .. ... ... ... ... ... .. .. ... ... . .. .... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .... .... .... .... .. .... .... ......... . ........... . ..... ........ ......... .......... ........... ............... . ..... ........... ........... .......... .......... ............... . .......... ................ ........ .......... .......... .......... ............. ... ........ ........ ....... ......... . . ..... .... ..... ...... .. .. .. .. ..
2340156
0234516 0361245 1450236 3601245 4501236
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . .. . .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . .. .. .. .. .. . . ... .. .. .. .. . . .. ..
3456012
7 All Rings on up to Eight Nodes This chapter is the atlas of SER basins of attraction for graphs in R3 through R8 . It contains entries for all the 6 rings for which 3 n 8.
Chapter 7. All Rings on up to Eight Nodes
350
x
n = 3, e = 3, = 2 1
. ..... . . . . . ......... . ..... . . ...... . . ...... . ...... . . ..... . . ..... . . ..... . ..... . . ..... . . ... . ...... . . ..... . ..... . . . . . . . . . . ..... . . . . . . . . ..... . . ..... . . ..... . . .......... . . .....
0
2
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 012 . ........... .
021 .. ...........
201 . . .
102 ...
. . . . . . .
120
........ ...... ... .. ... ..... ........ . . . . . . . . . ..
... . .. .
210
........ ...... ... .. ... ..... ........ . . . . . . . . . ..
Chapter 7. All Rings on up to Eight Nodes
x
n = 4, e = 4, = 2 1
.. ....... .... .. .... ... .. .... .... . . . ... ... ... .... .... .. . . . . .... . .. . . . ... ....................................................................................................... .. .. . .... ... .... .... ... .... ... .... . . . ... .... .... . .. ....... ......... ....
2
0
3
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 0213 . ........ . .
0312 .. ........ .
3021 . . .
2031 ...
. . . . . . .
1302 . . . . . . .
2130
...... .... .... .... ... ... .. ... .. . . . .... . . . ..... . . . . . . . .
... . .. .
1203 ... ... .
3120
...... .... .... .... ... ... .. ... .. . . . .... . . . ..... . . . . . . . .
. = 0:5 (m = 1, p = 2) 0231 ............... .... .....
1230 .....
2013 ............... ... ......
3012 .....
0123 .. .......... . .. .. .. .. .. .. .. .
2301
......... ..... .... . .. ...... ...... . . . . . . . . . . ...
351
Chapter 7. All Rings on up to Eight Nodes
352
x
n = 5, e = 5, = 2 1
2
.. ...... .... .. ... .. .... .. ........... .... ........... .... . ... . .... .................. ..... .... .. .... ....................... ... .... ...... . ....... .... .... .. .................... . ... .... . ... . ......... . .. ... .. .................... .... ...... . ... ... .... ....................... . . . ... ....................... .. . . . . . . ... ... ......... .... ... ........... .... . .... ... ..... ......
0
3
4
. = 0:2 (m = 1, p = 5) 02413 . ..... .
03142 .. .....
30241 . . .
20314 ...
. . . . . . . .
13024 . . . . . . .
41302 . . . . . . .
24130
... .
... .... .... .... ... ... ... .. . ... .. ... . . ... . . .... .... .... ....
.. ..
42031 ... ... .
14203 ... .. ..
31420
... .... .... .... ... ... ... .. . ... .. ... . . ... . . .... .... .... ....
. = 0:4 (m = 2, p = 5) 02341................. 01234 .. .... .
13420................. 01342 .. .... .
30124
30142................. 23014 ...
.................
... .
34012 ... .. .
13402................. 12340 ... ... .
41230................. 04123 ... ... .
24013................. 23401
.... .... .... .... ... ... ... .. . ... ... . .. . . ... . . . .... .... ....
... . .. .
02314................. 03412 ... ... .
24031................. 12403 ... ... .
41203................. 34120
.... .... .... .... ... ... ... .. . ... ... . .. . . ... . . . .... .... ....
Chapter 7. All Rings on up to Eight Nodes
x
n = 6, e = 6, = 2 2
1
. ... .. . . ..... .. . ..... ..... .... . . .. ..... . .. . ....... . . .. . ............ .. . . . . . . .. . ..... .... .. .. ....... .. . .. ..... . . . .. . . . .. . .. ......................... ....... ..................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . .. . .. .......... . . . .. . . . . ..... . . . . . . .. ..... ..... . ...... . . ... . . ..... .... ... . ...... .. .. . . . .......... .. . . ..... .... . .. ...
3
0
4
5
. = 0:166667 (m = 1, p = 6) 031524 . ... .
042513 .. ...
403152 . . .
304251 ...
. . . . . . .
240315 . . . . . . .
524031 . . . . . . .
152403 . . . . . .
315240
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
... . .. .
130425 ... ... .
513042 ... ... .
251304 ... ...
425130
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ...
. = 0:333333 (m = 2, p = 6) 034251.................013425 .. ... . .
135240.................013524 .. ... . .
301425
301524.................340152 ...
.................
... .
350142 ... .. .
135042.................123504 ... ... .
512304.................451230 ... .. ..
245130.................024513 ... ...
402513.................340251
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ..
... . .. .
034152.................023415 ... ... .
402315.................450231 ... .. ..
245031.................124503 ... ...
512403.................351240
. = 0:333333 (m = 1, p = 3) 035124 . ........... . .
045123 .. ........... .
145023 . . .
235014 ...
. . . . . . .
234015
......... ..... ... .. ... ...... ......... ..........
... . .. .
134025
......... ..... ... .. ... ...... ......... ..........
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . . .. . . .. .. ... ... ... ... . . ..
353
Chapter 7. All Rings on up to Eight Nodes
354
. = 0:5 (m = 1, p = 2) 034125............... .... .....
340125 .....
135024............... ... ......
350124......
245013............... .... .....
450123......
013452............... .... ......
301452.....
023451............... .... .....
402351.....
123450............... ... ......
512340......
034512...... 134502 234501
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .................. . .. . .. . .. . .. .. .. .. ..
230145...... 140235 051234
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .................. . .. . .. . .. . . .. .. .. ..
012345 .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
345012
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. ... ... . . . ... ... ...
Chapter 7. All Rings on up to Eight Nodes
x
355
n = 7, e = 7, = 2 2
. . . . . ... . .... . . ..
..... ......
1
3 .................. ........ ................................ .... ............... . ..... . .... . ............. .. ..
.... ....... ....................... .... .. . .... .............. .... ..... .......... .. . .. . . ....... . ..... ............ .... .... ....... ........................... .... ...... .. .. . . .... ........ . . . . . . . . . . . .. . ..... .. ....... . .. . . . . .............. . .... . . . ..... ... . .... .. . .. ..... . . . ... ...... . .... . . . .... . . ...
4
5
0
6
. = 0:142857 (m = 1, p = 7) 0362514 . ... . .
0415263 .. ... .
4036251 . . .
3041526 ...
. . . . . . . .
1403625 . . . . . . .
5140362 . . . . . . .
2514036 . . . . . .
6251403 . . . . . . .
3625140
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. .. ... ... . . . ... ... ...
... . .. ..
6304152 ... ... .
2630415 ... ... .
5263041 ... ...
1526304 ... ... .
4152630
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. . .. . . .. .. .. ... ... . . . ... ... ...
. = 0:285714 (m = 2, p = 7) 0235614 . ... . .
0246135 .. ... .
0346251.................0134625 . ... . .
4602351 . . .
3502461 ...
4013625.................4501362 . . .
. . . . . . .
1346025 . . . . . . .
0356124 . . . . . . .
2450136 . . . . . .
1460235 . . . . . . .
3561240
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . . .. .. ... ... ... . . . ... ...
... . .. .
1562304 ... ... .
2461350 ... ... .
0451263 ... ...
1350246 ... ... .
4613502
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . .. . . .. .. ... ... ... . . . ... ...
. . . . . . .
1450362.................1245036 . . . . . . .
5124036.................5612403 . . . . . . .
2561403.................2356140 . . . . . .
6235140.................0623514 . . . . . . .
3602514.................3460251
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . .. .. . .. . .. . .. .. .. .. ... ... . . . ... ...
Chapter 7. All Rings on up to Eight Nodes
356
1452630.................0145263 .. ... . ... .
4015263.................3401526 ... .. ..
0341526.................0461352 ... ... .
3604152.................2360415 ... ... .
6230415.................5623041 ... ...
2563041.................1256304 ... ... .
5126304.................4512630
... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . .. ... ... ...
. = 0:428571 (m = 3, p = 7) 2561304............... 0346125............... ... ......
3460125...... 0134562
...... ...... ... ... ...... ......
4013562
1450236............... .... ..... ......
4501236
1245603............... ... ...... .....
5124603 2561340
...... ...... ... ... ...... .....
5612340
2356014............... ... ...... ......
6235014
0462351............... ... ..... ......
3602451
0345612
...... ...... ... ... ...... .....
1345602 2401356
...... ...... ... ... ...... .....
0351246 1456023
...... ...... ... .. ...... ......
2456013 3512460
...... ...... ... ... ...... ......
1462350 0256134
...... ...... ... ... ...... .....
3560124 0234561
...... ...... ... ... ...... .....
4623501
1360245............... .... ...... .....
4601235
... ..... ......
5612304 0123456 .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .
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1245630............... .... .....
5124630......
4560123 .. . .. .. .. .. .. .. .. .
1234560 .. .. .. .. .. .. .. .. .
0561234 .. .. .. .. .. .. .. .. .
2345601 .. .. .. .. .. .. .. .. .
0146235 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
3456012
1450263............... ... ......
4501263.....
0134526............... ... ......
4013526..... 0346152
...... ...... ... ... ...... ......
3460152
0461235............... ... ...... ......
3602415
2356041............... .... .....
6235041.....
1456230............... ... ......
2456130......
0512463............... ... ......
2460135......
0345126............... .... ......
1345026.....
4601352...............
0124563 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3450126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0145623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.... ......
2346015 . . .
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0456123 . . .
1356024..... 0234615 4612350 0245613
..... ...... .... ... ..... ......
3560241
1623504............... ... ......
3501246......
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1235604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4561230
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Chapter 7. All Rings on up to Eight Nodes
x
357
n = 8, e = 8, = 2 2
3
1
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4
5
0
7
6
. = 0:125 (m = 1, p = 8) 04163725 . ... . .
05273614 .. ... .
50416372 . . .
40527361 ...
25041637 . . .
14052736 ...
72504163 . . .
61405273 ...
37250416 . . .
36140527 ...
63725041 . . .
73614052 ...
16372504 . . .
27361405 ...
41637250
52736140
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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. = 0:25 (m = 2, p = 8) 04527361................. 01452736 .. ... .
04613725 .. ... .
14637250................. 01463725 . ... . .
40152736................. 46015273 ...
15603472 ...
40163725................. 45016372 . . .
14605273................. 13460527 ...
24501637 ...
04516372................. 02451637 . . .
61340527................. 67134052 ...
04712563 ...
50241637................. 57024163 . . .
36714052................. 23671405 ...
35702416 ...
25704163................. 23570416 . . .
72361405................. 57236140 ...
25603471 ...
72350416................. 67235041 . . .
25736140................. 02573614 ...
16723504 ...
36725041................. 13672504 . . .
50273614................. 45027361
34712560
61372504................. 46137250
... . .. . ... . ... . ... ... . ...
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Chapter 7. All Rings on up to Eight Nodes
358
05612473 . ... . . . . . .
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34601527 . . . . . . .
14703562 . . . . . . .
26713405 . . . . . . .
35612470 . . . . . .
05723614 . . . . . . .
24703561 . . . . . .
14502736
. = 0:25 (m = 1, p = 4) 03471256 . ........ . .
03561247 .. ........ .
56034712 . . .
47035612 ...
. . . . . . . .
12560347 . . . . . . .
47125603
....... .... .... .... ... ... . .. ... ... . . . ... . . . . . . . .......
... . .. ..
12470356 ... ... .
56124703
....... .... .... .... ... ... . .. ... ... . . . ... . . . . . . . .......
Chapter 7. All Rings on up to Eight Nodes
359
. = 0:375 (m = 3, p = 8) 25703614............... ..... ..... .....
57023614
02457361............... .... .....
50247361......
04512736............... ... ......
45012736......
01456273............... ... ......
40156273......
14603527............... .... .....
46013527......
13467052............... ... ...... ......
61347052 36712405
...... ...... ... ... ..... ......
67123405
23567140............... ... ...... ......
72356140
04572361...............
... ......
24570361.....
15024736...............
01245736 .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
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... ......
45601273 .. .
..... ...... .... .... ...... .....
01345627 .. .
24701356...... 04561273 14560273 34015627
...... ...... ... ... ...... .....
05612347 14670352
..... ...... .... ... ...... .....
34670152 26134705
...... ..... .... ... ...... ......
14702356
25671340...............
... ...... ......
35671240
07235614...............
... ......
35601247......
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
46701352 .. . .. .. .. .. .. .. .. .
12346705 .. . .. .. .. .. .. .. .. .
56712340 .. .. .. .. .. .. .. .. .
02356714 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
45702361
12456037................. 01467235 . ... . . . . .
... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . .. .. ... ... ... ...
47012563................. 34570126 . . . . . .
03457126................. 02456137 . . . . . . .
56023471................. 15670234 . . . . . . .
12567034................. 23457016 . . . . . .
47123560................. 04671235 . . . . . . .
03467125................. 13567024 . . . . . .
56013472................. 24560137
Chapter 7. All Rings on up to Eight Nodes
360
14603725............... ... ...... ......
46013725
01456372............... .... .....
40156372......
04512637............... ... ......
45012637......
02457163............... ... ......
50247163......
25703416............... .... .....
57023416......
23567041............... ... ...... .....
72356041
36712504............... .. ...... ......
67123504
13467250............... ... ...... ......
61347250
04561372...............
.... .....
14560372.....
24015637...............
01245637 .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
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.... ......
45701263 .. .
..... ...... .... ... ...... ......
02345716 .. .
15602347..... 04571263 24570163 35024716
..... ...... .... ... ...... .....
04712356 25670341
...... ...... ... ... ...... .....
35670241 17235604
..... ...... .... .. ...... ......
25601347
14672350...............
... ......
34671250......
06134725...............
... ......
34701256......
.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
56702341 .. . .. .. .. .. .. .. .. .
12356704 .. . .. .. .. .. .. .. .. .
46712350 .. .. .. .. .. .. .. .. .
01346725 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
45601372
03456127................. 01457236 . ... . . . . . .
... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . .. .. . .. . . .. .. .. .. .. . . ... ... ... ... ...
47013562................. 24670135 . . . . . .
12467035................. 13456027 . . . . . . .
56123470................. 05671234 . . . . . . .
03567124................. 23467015 . . . . . .
47023561................. 14570236 . . . . . . .
12457036................. 02567134 . . . . . .
56012473................. 34560127
Chapter 7. All Rings on up to Eight Nodes
361
01245673...........
.... .... .
. = 0:5 (m = 1, p = 2)
15602473........................34501267.......... . .... .... ....
24701563
04512673............... .... ..... .....
45012673
... ... ... ... .. . ... ... ... . . . ... . . .. ...
03451267
01345672...........
.... .... .
05613472........................24601357.......... . .... .... ....
34701562
14603572............... .... ......
46013572.....
... ... ... ... .. .. ... ... . . . ... . . . ... . . .
12460357
02345671...........
.... .... .
04723561........................15702346.......... . .... .... ....
35602471
25703461............... ... ......
57023461......
36712450............... ... ......
67123450...... 12345670
.... .... .... .... .... ................. ... .... . . . . .... . . ..
14723560
... ... ... ... .. ... ... . .. ... . . ... ... ...
12570346
03671245..........
... ... ... ... .. ... ... ... . . . ... . . .. ....
06712345
04567123......
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14567023
24567013 03456712
34567012 12456703
25613470
01456237............... .... .....
40156237.....
04561237...........
.... .... . ................. . .... .... .... . . ....
14560237
47015623..........
... ... ... ... .. . ... ... . .. ... . . . ... . . ..
01456723
45601237
25670134...........
.... .... .
35670124........................ 23456701.......... . .... .... ....
56701234
23567014............... .... .....
72356014......
... ... ... ... .. . ... .... . . . ... . . . ... . . ..
47235601
04571236...........
.... .... .
24570136........................ 02456713.......... .... .... ....
45701236
02457136............... .... ......
50247136.....
... ... ... ... .. ... ... ... ... . . ... ... ...
56024713
14670235...........
.... .... .
34670125........................ 13456702.......... . .... ....
46701235....
13467025............... .... .....
61347025......
.... ... ... .... . ... ... ... . . .. ... ... ...
56134702
23470156......
.. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. ... .. . .. ... .. ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. . ..... .... .... ..... ..... ... . .. .. ..... . .. .. .... . .. ....... . . .. .. ..... .. ... .. ...... .. ....... .. ....... ..... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ........ ...... ...... ... ...... ........ ...... ....... ........ . ... ..... ..... ........ ........ ....... ........ ....... .... .... ..... ..... ...... . . .. .. .. ..
01472356
13560247
02561347 47012356 56012347
01234567 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Index acyclic directed graph, see acyclic orientation acyclic orientation, 1 reachability, 7 sequence, see schedule sink, 1 sink decomposition, 23 length, 24 source, 1 atlas, 51 criteria for construction, 51 entry, 51 general graphs with n = 6, 55 rings with n 2 f3; : : : ; 8g, 349 trees with n = 7, 327 Bayesian network, 18 as GRF, 19 as neighborhood-constrained system, 20 joint distribution, 18 joint posterior distribution, 18 stochastic simulation, 18 binary Hop eld neural network, 14
as neighborhood-constrained system, 15 energy, 15 for content-addressable memory, 15 in combinatorial optimization, 15 updating function, 15 Boltzmann machine, 16, see also MRF as generalization of the binary Hop eld neural network, 15 as neighborhood-constrained system, 16 Boltzmann-Gibbs distribution, 16 computer network, 3 topological failure, 3 dining philosophers problem, see resource-sharing system
370
enumeration of acyclic orientations, 36 enumeration of undirected graphs, 36 Gibbs random eld, see GRF Gibbs sampling, see MRF graph acyclic directed, see acyclic directed graph undirected, see undirected graph graph in atlas n = 3, e = 3, = 2, 350 n = 4, e = 4, = 2, 351 n = 5, e = 5, = 2, 352 n = 6, e = 5, 2 f1; 2g, 92 n = 6, e = 5, 2 f1; : : : ; 3g, 60, 61, 79 n = 6, e = 5, 2 f1; : : : ; 4g, 58 n = 6, e = 5, 2 f1; : : : ; 5g, 56 n = 6, e = 6, 2 f1; : : : ; 3g, 67, 82, 84, 85, 93, 95{97 n = 6, e = 6, 2 f1; : : : ; 4g, 62, 64, 80 n = 6, e = 6, 2 f1; : : : ; 5g, 59 n = 6, e = 6, = 2, 141, 353 n = 6, e = 7, 2 f1; : : : ; 3g, 135, 145, 149, 151, 210 n = 6, e = 7, 2 f1; : : : ; 4g, 69, 71, 86, 88, 100, 102, 106 n = 6, e = 7, 2 f1; : : : ; 5g, 65, 81 n = 6, e = 7, 2 f2; 3g, 110, 143, 147, 212 n = 6, e = 7, 2 f2; : : : ; 4g, 98 n = 6, e = 8, 2 f1; : : : ; 3g, 165 n = 6, e = 8, 2 f1; : : : ; 4g, 114, 116, 123, 125, 137, 155, 216
Index
n = 6, e = 8, 2 f1; : : : ; 5g, 73, 90, 108 n = 6, e = 8, 2 f2; 3g, 162, 220 n = 6, e = 8, 2 f2; : : : ; 3g, 242, 245 n = 6, e = 8, 2 f2; : : : ; 4g, 75, 112, 118, 153, 157, 214 n = 6, e = 8, 2 f2; : : : ; 5g, 104 n = 6, e = 9, 2 f1; : : : ; 4g, 176, 178, 225 n = 6, e = 9, 2 f1; : : : ; 5g, 127, 139 n = 6, e = 9, 2 f2; : : : ; 4g, 129, 167, 170, 182, 185, 222, 227, 230, 247 n = 6, e = 9, 2 f2; : : : ; 5g, 77, 120, 159, 218 n = 6, e = 9, = 3, 193, 253 n = 6, e = 10, 2 f1; : : : ; 4g, 279 n = 6, e = 10, 2 f1; : : : ; 5g, 180 n = 6, e = 10, 2 f2; : : : ; 4g, 199, 259, 270, 273 n = 6, e = 10, 2 f2; : : : ; 5g, 132, 173, 187, 232 n = 6, e = 10, 2 f3; 4g, 196, 235, 256 n = 6, e = 10, 2 f3; : : : ; 5g, 250 n = 6, e = 11, 2 f1; : : : ; 5g, 281 n = 6, e = 11, 2 f2; : : : ; 4g, 296 n = 6, e = 11, 2 f2; : : : ; 5g, 190, 276 n = 6, e = 11, 2 f3; 4g, 292, 299
Index
n = 6, e = 11, 2 f3; : : : ; 5g, 202, 238, 262 n = 6, e = 12, 2 f2; : : : ; 5g, 283 n = 6, e = 12, 2 f3; : : : ; 5g, 206, 266, 303 n = 6, e = 12, = 4, 307 n = 6, e = 13, 2 f3; : : : ; 5g, 287 n = 6, e = 13, 2 f4; 5g, 311 n = 6, e = 14, 2 f4; 5g, 316 n = 6, e = 15, = 5, 321 n = 7, e = 6, 2 f1; 2g, 348 n = 7, e = 6, 2 f1; : : : ; 3g, 336, 340, 342, 344, 346 n = 7, e = 6, 2 f1; : : : ; 4g, 332, 334, 338 n = 7, e = 6, 2 f1; : : : ; 5g, 330 n = 7, e = 6, 2 f1; : : : ; 6g, 328 n = 7, e = 7, = 2, 355 n = 8, e = 8, = 2, 357 GRF, see MRF Hop eld neural network, see binary Hop eld neural network Markov random eld, see MRF MRF, 16 as neighborhood-constrained system, 17 equivalence to GRF, 16 Gibbs sampling, 17 convergence, 17 neighborhood, 6 neighborhood constraint, 6 neighborhood-constrained system, 6, 11
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network of automata, 14, see also Bayesian network, binary Hop eld neural network, Boltzmann machine, GRF, MRF in nitely-often update, 14 partially concurrent, 14 updating function, 14 use of SER, 14 orientation, 1 acyclic, see acyclic orientation resource-sharing system, 12 deadlock, 12 heavy load, 13 lockout, 12 mutual exclusion, 12 nonuniform heavy load, 13 starvation, 12 use of SER, 12 schedule, 7 greedy, 7, see also SER scheduling by edge reversal, see SER SER, 1 acyclicity preservation, 4 and multicolorings, 32 as dynamical system, 1 as graph dynamics, 23 asynchronous, 6 attractor, 23 basin of attraction, 23 concurrency, see SER concurrency frequency of becoming sink, 8 immediate precursors of an orientation, 22 implementation, 5 limit cycle, 23 on complete graphs, 24
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on rings, 28 on trees, 25 origins, 3 period, 22 length, 22 periodic orientation, 23 relation to sink decomposition, 24 state space, 1 statistics and correlations, see SER statistics and correlations transient orientation, 23 SER concurrency, 28 and multicolorings, 33 bounds, 32, 33 for complete graphs, 30 for trees, 30 from SER dynamics, 30 from structure, 30 maximum, 31 for bipartite graphs, 34 for complete graphs, 34 for rings with n odd, 34 NP-hardness, 34 statistics and correlations, see SER statistics and correlations SER statistics and correlations, 37 correlation coecient, 38 diameter, 39 fraction of maximum concurrency, 41 girth, 39 graph classes, 38
Index
length of sink decomposition, 41 maximum concurrency, 39 maximum degree, 38 maximum in-degree, 41 maximum out-degree, 41 minimum concurrency, 39 minimum degree, 38 number of basins of attraction, 39 number of edges, 38 number of sinks, 41 number of sources, 41 number of transient orientations, 41 sensitivity to initial conditions, 42 simulated annealing, 16 parallel, 17 undirected graph k-chromatic number, 32 chromatic number, 32 coloring, 32 fractional chromatic number, 32 independent set, 7 interleaved fractional chromatic number, 33 interleaved multichromatic number, 33 interleaved multicoloring, 33 multichromatic number, 32 multicoloring, 32 neighbors, 6
