Algebraische Methoden der Quantentheorie 002

Algebraische Methoden der Quantentheorie Michael Keyl Institut f¨ ur Theoretische Physik, Technische Universit¨at Berlin...

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Algebraische Methoden der Quantentheorie Michael Keyl Institut f¨ ur Theoretische Physik, Technische Universit¨at Berlin, SoSe 97 Institut f¨ ur Mathematische Physik, Technische Universit¨at Braunschweig SoSe 99

2

Inhaltsverzeichnis I

Einfu ¨ hrung und Motivation

5

1 Klassische Statistik vs. Quantenmechanik 7 1.1 Quantenmechanik eines d–Niveausystems . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Der d–seitige W¨ urfel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Algebraische Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Das freie Fermigas 13 2.1 Das Fermigas im Kasten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Der thermodynamische Limes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 Das 3.1 3.2 3.3 3.4

II

van Hove-Modell Die Klein-Gordon-Gleichung . . . . . . . Das freie skalare Feld . . . . . . . . . . . Wechselwirkung mit klassischen Quellen Das van Hove Modell . . . . . . . . . . .

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C*- und von Neumann-Algebren

4 C*-Algebren 4.1 Grundlegende Begriffe und Definitionen 4.2 Resolvente und Spektrum . . . . . . . 4.3 Positive Elemente . . . . . . . . . . . . 4.4 Darstellungen von C*-Algebren . . . . 4.5 Zust¨ande . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Die GNS-Konstruktion . . . . . . . . . 4.7 Abelsche C*-Algebren . . . . . . . . . 5 Von 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8

19 19 24 33 42

47 . . . . . . .

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49 49 53 56 59 64 67 70

Neumannalgebren Operatortopologien . . . . . . . . . . . . . . . . . Von Neumannalgebren, elementare Eigenschaften Normale Zust¨ande und das Pr¨adual . . . . . . . . Abelsche von Neumann-Algebren . . . . . . . . . Typ-Klassifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . Modulartheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tensorprodukte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Direkte Integrale und zentrale Zerlegung . . . . .

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73 73 75 77 78 79 82 82 82

3

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4

III

INHALTSVERZEICHNIS

CCR und CAR

6 Die 6.1 6.2 6.3 6.4

83

CCR-Algebra Definition und grundlegende Eigenschaften Regul¨are und quasifreie Zust¨ande . . . . . Bogolubovtransformationen . . . . . . . . Beispiel: Der harmonische Oszillator . . . .

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85 86 88 92 94

7 Die CAR-Algebra 97 7.1 Definition und grundlegende Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . 97 7.2 Quasifreie Zust¨ande und Fockzust¨ande . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

IV

Anwendungen in der Quantentheorie

8 Quantenstatistik 8.1 KMS-Zust¨ande . . 8.2 Das freie Fermigas 8.3 Das freie Bosegas . 8.4 Das BCS–Modell .

99 . . . .

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101 101 101 101 101

9 Quantenfeldtheorie 9.1 Das freie Skalarfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Das Skalarfeld im ¨außeren Potential . . . . . . . . . 9.3 Das freie Diracfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Das Diracfeld im ¨außeren elektromagnetischen Feld 9.5 Das van Hove Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Wechselwirkende Felder und Haags Theorem . . . . 9.7 Algebraische Quantenfeldtheorie . . . . . . . . . . .

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103 103 107 109 109 109 112 112

10 Quanteninformationsverarbeitung 10.1 Kan¨ale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Kanalkapazit¨aten . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Optimale Klonierer und verwandte Operationen 10.4 Verschr¨anktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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113 113 113 113 113

V

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Anhang

A Fockr¨ aume A.1 Grundlegende Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Die kanonischen Vertauschungsrelationen . . . . . . . . . . . . . . . A.3 Der kanonischen Antivertauschungsrelationen . . . . . . . . . . . .

115 117 . 117 . 123 . 128

Teil I Einfu ¨ hrung und Motivation

5

Kapitel 1 Klassische Statistik vs. Quantenmechanik Wir wollen zun¨achst die Grundidee und einige Vorz¨ uge einer algebraischen Formu” lierung“ der Quantentheorie aufzeigen und starten daher in diesem Kapitel mit zwei einfachen Beispielen.

1.1

Quantenmechanik eines d–Niveausystems

Als erstes wollen wir Quantenmechanik auf einem endlich-dimensionalen Hilbertraum H = Cd mit d < ∞, also die Theorie eines d–Niveausystems, betrachten. Wir setzen voraus, daß dieses Modell aus der Quantenmechanik wohlbekannt ist und begn¨ ugen uns daher mit einer kurzen Zusammenfassung. Gem¨aß den u ¨blichen Regeln der Quantenmechanik, werden die Observablen eines solchen Systems durch selbstadjungierte Operatoren A ∈ B(H) und Zust¨ande durch Dichtematrizen ρ ∈ B ∗ (H) beschrieben, wobei B(H) die Algebra der beschr¨ankten Operatoren auf H (hier also die Menge der d×d–Matrizen) und B∗ (H) seinen (topologischen) Dualraum (also ebenfalls die Menge der d × d–Matrizen) bezeichnet. Die Identifikation von Dichtematrizen ρ mit Elementen des Dualraums von B(H), also mit Linearformen auf B(H), rechtfertigt sich duch die Tatsache daß jede Dichtematrix ρ durch den Erwartungswert ρ(A) := tr(ρA) eine solche Linearform definiert. Wir werden sp¨ater sehen (Korollar 5.3.7), daß f¨ ur unser einfaches Beispiel der folgende gilt 1.1.1. Satz. F¨ ur H = Cd hat ein Funktional ω ∈ B∗ (H) genau dann die Form ω(A) = tr(ρA) mit einer Dichtematrix ρ, wenn ω positiv und normiert ist, das heißt ω(AA∗ ) ≥ 0 gilt f¨ ur alle A ∈ B(H) und ω(1I) = 1, wobei 1I die Einheitsmatrix bezeichnet. Die m¨oglichen Meßwerte der Observablen A bilden ihr Spektrum σ(A), welches in diesem einfachen Falle (dim H = d < ∞) lediglich aus den Eigenwerten von A besteht. Mit anderen Worten f¨ ur alle λ ∈ C gilt λ∈ / σ(A) ⇐⇒ (A − λ1I)−1 existiert 7

(1.1)

8

KAPITEL 1. KLASSISCHE STATISTIK VS. QUANTENMECHANIK

Zu jedem Eigenwert λ ∈ σ(A) geh¨ort ein Projektor Eλ der von H auf den Eigenraum {ψ ∈ H | Aψ = λψ} projiziert, die Eλ sind also paarweise orthogonal. Genauso wie A selbst sind diese Spektralprojektoren Eλ Observablen, die jedoch (im Gegensatz zu A) nur die beiden Werte 0 und 1 annehmen k¨onnen. Sie sind mit A durch dessen Spektralzerlegung A=

X

λEλ

(1.2)

λ∈σ(A)

verkn¨ upft und lassen sich wie folgt ohne explizite Verwendung des Hilbertraumes H charakteriseren (Eindeutigkeit der Spektralzerlegung; sollte bekannt sein und wird daher nicht bewiesen): 1.1.2. Satz. Es existiert genau eine Familie σ(A) 3 λ 7→ Eλ ∈ B(H) mit den folgenden Eigenschaften: 1. Eλ2 = Eλ und Eλ∗ = Eλ (d.h. die Eλ sind Projektoren). 2. Eλ Eµ = Eµ Eλ = 0 f¨ ur alle λ, µ ∈ σ(A) mit λ 6= µ (d.h. die Eλ sind paarweise orthogonal). 3. A l¨aßt sich bez¨ uglich der Eλ spektralzerlegen: A =

P

λ∈σ(A)

λEλ .

Zusammen mit dem weiter oben erw¨ahnten Begriff des Erwartungswertes, bildet die Spektralzerlegung von A nun die Grundlage f¨ ur eine statistische Interpretation des Modells: Die Wahrscheinlichkeit bei einer Messung der Observablen A im Zustand ρ den Wert λ ∈ σ(A) zu messen, ist durch den Erwartungswert ρ(Eλ ) = tr(Eλ ρ) des Spektralprojektors Eλ gegeben. Allgemeiner gilt: Die Wahrscheinlichkeit bei selbiger Messung den Mewßwert in der Menge ∆ ⊂ σ(A) zu finden ist µ(∆) =

X

λ∈∆



ρ(Eλ ) = ρ 

X

λ∈∆



Eλ  = ρ E(∆)

(1.3)

wobei E(∆) = λ∈∆ Eλ gesetzt wurde. Die Abbildung σ(A) ⊃ ∆7→ µ(∆) ∈ [0, 1] ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Meßraum σ(A), P(σ(A)) , wenn P(σ(A)) die Potenzmenge von σ(A) bezeichnet. Entsprechend ist σ(A) ⊃ ∆ 7→ E(∆) ∈ B(H) ein projektionsoperatorwertiges Maß (PV-Maß) auf demselben Meßraum, das sogn. Spektralmaß des Operators A, mit dem Gleichung (1.2) die aus der Funktionalanalysis bekannte Form P

A=

Z

λE(dλ)

(1.4)

σ(A)

erh¨alt.

1.2

Der d–seitige Wu ¨ rfel

Als zweites Beispiel wollen wir auf ein simples Modell der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie zur¨ uckgreifen: Ein Zufallsexperiment mit d < ∞ m¨oglichen Elementarereignissen; wir werden im folgenden vom d–seitigen W¨ urfel“ reden. Er ”

¨ 1.2. DER D–SEITIGE WURFEL

9

wird beschrieben durch die Ereignismenge P(X), wobei X die endliche Menge X = {x1 , . . . , xd } der Elementarereignisse und P(X) deren Potenzmenge bezeichnet. Abweichend von der u ¨blichen Sprechweise der Wahrscheinlichkeitstheorie, aber in Analogie zur Quantenmechanik, werden wird die Begriffe Observable und Zustand benutzen. Dabei entsprechen die Observablen den Zufallsvariablen, in unserem einfachen Beispiel also reellwertige Funktionen f auf X. Ein Zustand, d.h. eine Pr¨aparation des Systems (≡ Herstellung des W¨ urfels) ist durch ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem Meßraum (X, P(X)) gegeben. In diesem speziellen Falle also P durch einen Zufallvektor, das heißt durch p = (p1 , . . . pd ) ∈ [0, 1]d mit j pj = 1, P gegeben. (Das zu p geh¨orige Maß ist dann offenbar p(∆) = λ∈∆ pλ , wobei ∆ ⊂ X ist.) Der Erwartungswert der Observablen f im Zustand p ist durch das Integral R P p(f ) = X f (x)p(dx) = j f (xj )pj gegeben. Um die Analogie zur Quantenmechanik zu erh¨ohen, f¨ uhren wir nun den Raum C(X) der komplexwertigen Funktionen auf X ein. Mit dem Produkt f g(x) = f (x)g(x) handelt es sich, ¨ahnlich wie bei dem Raum B(H) den wir im letzten Abschnitt betrachtet haben, um eine assoziative Algebra (siehe 4.1.1) auf der durch die Komplexkonjugation f ∗ (xj ) = f (xj ) eine *-Operation (also ist C(X) eine *-Algebra, siehe 4.1.2) gegeben ist. Wir k¨onnen daher die Observablen als selbstadjungierte Elemente (f = f ∗ ) dieser Algebra einf¨ uhren und Zust¨ande durch ihren Erwartungswert C(X) 3 f 7→ p(f ) ∈ C mit linearen Funktionalen, also Elementen des Duals C ∗ (X) identifizieren. Es ist leicht zu sehen, daß in Analogie zu Satz 1.1.1 die folgende Aussage gilt: 1.2.1. Satz. Ein lineares Funktional ω ∈ C ∗ (X) hat genau dann die Form ω(f ) = R X f (x)p(dx) mit dem Wahrscheinlichkeitsmaß p, wenn ω positiv und normiert ist. Das Spektrum σ(f ) der Observablen f ist, wie in der Quantenmechanik, die Menge ihrer m¨oglichen Werte also σ(f ) := {f (x) | x ∈ X}. Alternativ k¨onnen wir σ(f ) jedoch auch genauso wie σ(A) in Gleichung (1.1) charakteriesieren: λ∈ / σ(f ) ⇐⇒ (f − λ1I)−1 existiert,

(1.5)

wobei 1I ∈ C(X) durch 1I(x) = 1 definiert ist. Jedem λ ∈ σ(f ) k¨onnen wir nun wieder eine spezielle Observable, n¨amlich die charakteristische Funktion χλ der Menge f −1 (λ) zuordnen, welche eine a¨hnliche Rolle wie die Spektralprojektoren aus dem letzten Abschnitt spielen, denn es gibt offensichtlich eine Charakterisierung der χλ die der Aussage des Satzes 1.1.2 v¨ollig analog ist (der Beweis ist erneut simpel und wird daher weggelassen): 1.2.2. Satz. Es existiert genau eine Familie σ(A) 3 λ 7→ χλ ∈ C(X) mit den folgenden Eigenschaften: 1. χ2λ = χλ und χ∗λ = χλ , 2. χλ χµ = χµ χλ = 0 f¨ ur λ, µ ∈ σ(f ) und λ 6= µ, 3. f l¨aßt sich bez¨ uglich der χλ spektralzerlegen: f =

P

λ∈σ(A)

λχλ .

10

KAPITEL 1. KLASSISCHE STATISTIK VS. QUANTENMECHANIK

Vielleicht etwas umst¨andlich aber ebenfalls in enger Analaogie zur Quantenmechanik k¨onnen wir nun die statistische Interpretation des Modells angeben: Die Wahrscheinlichkeit bei einer f –Messung im Zustand p den Wert λ zu messen ist p(χλ ) = p(f −1 (λ)) wobei wir auf rechten Seite dieser Gleichung p als Wahrscheinlichkeitsmaß ansehen. Die Wahrscheinlichkeit bei derselben Messung den Meßwert P in der Menge ∆ ⊂ σ(f ) zu finden ist λ∈∆ p(χλ ) = p(f −1 (∆)) genauso wie in (1.3).

1.3

Algebraische Formulierung

Die beiden bisher betrachteten Beispiele lassen sich offenbar wie folgt auf einen einheitlichen formalen Rahmen zur¨ uckf¨ uhren: 1. Observablen sind selbstadjungierte Elemente (d.h. A = A∗ ) einer (endlichdimensionalen) *-Algebra A die ein Einselement 1I besitzt. 2. Zust¨ande sind lineare, positive (ω(AA∗ ) ≥ 0), normierte (ω(1I) = 1) Funktionale auf A. Der Erwartungswert der Observablen A im Zustand ω ist ω(A). 3. Die m¨oglichen Werte einer Observablen A sind durch ihr Spektrum σ(A) ⊂ C gegeben. Dabei ist λ ∈ σ(A) gdw A − λ1I kein (stetiges) Inverses besitzt. 4. Es existiert genau eine Familie σ(A) 3 λ 7→ Eλ ∈ A von paarweise orP thogonalen Projektoren so daß A = λ∈σ(A) λEλ . Dabei verstehen wir unter Projektor“ Eλ2 = Eλ und Eλ∗ = Eλ und unter paarweise orthogonal“ ” ” Eλ Eµ = Eµ Eλ = 0 f¨ ur λ 6= µ. 5. Die Wahrscheinlichkeit bei einer A–Messung im Zustand ω einen Wert in der P Menge ∆ ⊂ σ(A) zu finden ist durch ω(E(∆)) mit E(∆) = λ∈∆ Eλ gegeben. Ausgehend von diesem allgemeinen Schema gelangen wir zu den beiden Beispielen aus den Abschnitten 1.1 und 1.2 indem wir f¨ ur A entweder B(H) oder C(X) setzen. Die algebraische Betrachtungsweise liefert hier zwar keine neuen Aspekt der betrachteten Modelle, sie bildet jedoch eine M¨oglichkeit viele unterschiedliche statistische Theorien in ein und dem selben formalen Rahmen zu untersuchen. Neben den Spezialf¨allen Quantenmechanik und klassische Wahrscheinlichkeitstheorie sind dies etwa Theorien die neben quantenmechanischen auch klassische Observablen enthalten. Zum Beispiel k¨onnen wir eine Teilchenquelle untersuchen die Elektronen und Positronen emittiert. Interessieren wir uns dabei nur f¨ ur den Spin (≡ quantenmechanischer Anteil) und die Ladung (≡ klassischer Anteil), gelangen wir zu einer statistischen Beschreibung indem wir obiges Schema auf die Algebra B(C2 ) ⊕ B(C2 ) anwenden. Wir werden in den Kapiteln 4 und 5 diejenigen Algebren (C*– und von Neumann–Algebren) untersuchen, die f¨ ur eine pr¨azise Formulierung der soeben skizzierten Idee notwendig sind. Ein Thema welches wir bisher ausgeklammert haben, ist die Zeitentwicklung. Der Grund hierf¨ ur ist, das die beiden untersuchten Beispiele hier unterschiedliche Ans¨atze erfordern, die sich jedoch trotzdem in den soeben vorgestellten algebraischen Rahmen einf¨ ugen lassen. Betrachten wir zun¨achst die Quantenmechanik. Die

1.3. ALGEBRAISCHE FORMULIERUNG

11

Zeitentwicklung ist in diesem Falle durch eine (stark stetige) einparametrige Gruppe R 3 t 7→ Ut ∈ B(H) unit¨arer Operatoren gegeben. Im Heisenbergbild gilt daher A 7→ αt (A) := U AU ∗ f¨ ur eine Observable A. Die somit auf B(H) definierten, linearen Abbildungen αt haben die zus¨atzliche Eigenschaft daß αt (AB) = αt (A)αt (B) und αt (A∗ ) = αt (A)∗ ist. Solche Abbildungen heißen *-Automorphismen“ (siehe ” Definition 4.4.1). Da in unserem Beispiel H endlichdimensional, B(H) also eine Matrixalgebra ist, haben alle *-Automorphismen von B(H) die Form U AU ∗ : 1.3.1. Satz. Sei H endlichdimensional, und α ein *-Automorphismus von B(H), dann exisitiert ein unit¨arer Operator U auf H so daß U AU ∗ = α(A) ist. Die Aussage ist eine Konsequenz der Eindeutigkeit der GNS-Konstruktion, wir kommen in Abschnitt 5.3 darauf zur¨ uck (siehe Korrollar 5.3.8). Als Konsequenz dieses Satzes k¨onnen wir auch die Zeitentwickung des d–Niveausystems vollst¨andig algebraisch formulieren, d.h. ohne den Hilbertraum H explizit zu verwenden. Im Falle der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Sache etwas komplizierter. Erstens ist in vielen F¨allen eine diskrete Zeitenwicklung angemessener als eine kontinuierliche und zweitens sind *-Automorphismen im allgemeinen zu eng, denn jeder *-Automorphismus der Algebra C(X) hat die Form α(f ) = f ◦ σ, wobei σ eine Permutation der Elemente von X ist. Dies folgt aus der Tatsache daß α∗ reine Zust¨ande (= Diracmaße) auf reine Zust¨ande abbilden muß (siehe hierzu Abschnitt 4.7). Sinnvoller ist es daher bei abelschen Algebren positive Abbildungen zu betrachten. Wir kommen im Kapitel 10 darauf zur¨ uck.

12

KAPITEL 1. KLASSISCHE STATISTIK VS. QUANTENMECHANIK

Kapitel 2 Das freie Fermigas Im Beispiel aus Abschnitt 1.1 war die Charakterisierung von Zust¨anden durch ihre Erwartungswertfunktionale v¨ollig ¨aquivalent zur herk¨ommlichen Beschreibung durch Dichtematrizen. Daß dies bei komplizierteren Modellen nicht mehr der Fall ist, und daß die somit gewonnene zus¨atzliche Freiheit physikalisch sinnvoll genutzt werden kann soll in diesem Kapitel am Beispiel des freien Fermigases aufgezeigt werden. Eine vollst¨andige Diskussion dieses Modells ist allerdings erst in Kapitel 8.2 geplant.

2.1

Das Fermigas im Kasten

Wir betrachten zun¨achst ein nichtrelativistisches, freies Teilchen, welches sich in einem Kasten Λ = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | pi < xi < pi + li , i = 1, 2, 3}

(2.1)

aufh¨alt. Als Hamiltonoperator f¨ ur dieses System verwenden wir den Laplaceoperator −∆ mit Dirichletrandbedingungen, genauer gesagt die Friedrichsfortsetzung HΛ des symmetrischen, positiven Operators C0∞ (Λ, C) 3 ψ 7→ −∆ψ ∈ L2 (Λ, d3 x)

(2.2)

wobei wir die Einheiten so gew¨ahlt haben, daß ~/2m = 1 ist. HΛ ist strikt positiv und hat rein diskretes Spektrum:  

n1 n2 n3 π 3 σ(HΛ ) =  l1 l2 l3

!2 (n1 , n2 , n3 )

 

∈ N3  .

(2.3)

Daher ist f¨ ur jedes positive β ∈ R der Operator exp(−βHΛ ) ein Spurklasseoperator. Wir gehen nun zu einer beliebigen Anzahl von Fermionen u ¨ber die sich wechselwirkungsfrei in dem Kasten Λ bewegen. Hamiltonoperator dieses Systems ist die zweite Quantisierung (siehe Satz A.1.8) dΓ(HΛ ) auf dem fermionischen Fockraum HΛ = F− (L2 (Λ, d3 x)). Wir nehmen ferner an, daß sich das System im thermodynamischen Gleichgewicht, beschrieben durch die großkanonische Gesamtheit ρΛ =

e−βKµ mit Kµ = dΓ(HΛ − µ1I) tr (e−βKµ )

(2.4)

befindet. Daß ρΛ wohldefiniert, exp(−βKµ ) also ein Spurklasseoperator ist, folgt dabei aus der folgenden Aussage: 13

14

KAPITEL 2. DAS FREIE FERMIGAS

2.1.1. Behauptung. Sei H ein selbstadjungierter Operator auf den Hilbertraum K und β ∈ R, dann sind die folgenden Bedingungen ¨aquivalent: 1. exp(−βH) ist ein Spurklasseoperator auf K. 2. exp(−βdΓ(H − µ1I)) ist f¨ ur alle µ ∈ R ein Spurklasseoperator auf F− (K). Beweis: Die Implikation 2. ⇒ 1. ist trivial, da die Einschr¨ankung von dΓ(H) auf den Einteilchensektor von HΛ mit H u ur den Beweis der umgekehrten ¨bereinstimmt. F¨ Implikation 1. ⇒ 2. betrachten wir eine Eigenbasis N 3 n 7→ φn ∈ L2 (Λ, d3 x) von HΛ und berechnen dann die Spur von exp(−βdΓ(H − µ1I)) in der durch Satz A.3.1 ¨ Punkt 3 gegebenen Basis von HΛ . Ubungsaufgabe; siehe [6, 5.2.22]. Wir sind nun insbesondere an Erwartungswerten ωΛ (P ) = tr(ρΛ P ) interessiert. Explizit k¨onnen wir diesen Ausdruck bestimmen, wenn P ein Polynom in Erzeugungs– und Vernichtungsoperatoren ist. Es gilt dabei die folgende Aussage: 2.1.2. Behauptung. Sei ρΛ die in (2.4) definierte großkanonische Gesamtheit auf dem Hilbertraum HΛ := F− (L2 (Λ, d3 x)) und ωΛ das durch ωΛ (P ) = tr(ρΛ P ) gegebene lineare Funktional auf B(H). 1. F¨ ur f, g ∈ L2 (Λ, d3 x) ist ωΛ (A∗ (f )A(g)) = hg, ze−βHΛ (1I + ze−βHΛ )−1 f i

(2.5)

wobei z = exp(βµ) die sogn. Aktivit¨at bezeichnet. 2. Ist P ein Polynom in Erzeugungs– und Vernichtungsoperatoren, dann ist ωΛ (P ) ein Polynom in Ausdr¨ ucken der Form ωΛ (A∗ (f )A(g)). ¨ Beweis: Zu 1. Ahnlich wie in Satz A.1.15 folgt exp(−βKµ )A∗ (f ) = zA∗ (exp(−βH)f ) exp(−βKµ ).

(2.6)

Damit und mit den kanonischen Antivertauschungsrelationen erhalten wir z tr(A∗ (e−βH f )e−βKµ A(g)) tr(−βKµ ) = zωΛ (A(g)A∗ (e−βH ))

ωΛ (A∗ (f )A(g)) =

= −zωΛ (A∗ (e−βH f )A(g)) + zhg, e−βH f i.

(2.7) (2.8) (2.9)

Dies f¨ uhrt zu ωΛ (A∗ ((1I + ze−βH )f )A(g)) = zhg, e−βH f i

(2.10)

ωΛ (A∗ (f )A(g)) = hg, ze−βHΛ (1I + ze−βHΛ )−1 f i

(2.11)

und daher:

was zu beweisen war!

2.1. DAS FERMIGAS IM KASTEN

15

Zu 2. Es reicht offenbar die Aussage f¨ ur Monome der Form Qm ∗ j=1 A (fj ) k=1 A(gk ) zu beweisen, da aufgrund der kanonischen Antivertauschungsrelationen jedes Monom anderer Form in eine Linearkombination von diesen ¨ speziellen Ausdr¨ ucken umgeformt werden kann. Ahnliche Argumente wie im Beweis von Punkt 1 f¨ uhren nun zu Qn



ω

n Y

A∗ (fj )

j=1

m Y

k=1





A(gk ) = zω 

n Y

A∗ (fj )

j=2

m Y

k=1



A(gk )A∗ (e−βH f1 )

(2.12)

und daher zu 

ω

n Y

A∗ (fj )

j=1

m Y

k=1



A(gk ) =

n X

p=1



(−1)n−p zhgp , e−βH f1 iω   

n Y

A∗ (fj )

j=2

m Y

k=1 k6=p



− zω A∗ (e−βH f1 )

n Y

 

A(gk ) 

A∗ (fj )

j=2

m Y



k=1

A(gk ) (2.13)

Linearit¨at und ersetzen von f1 durch (1I + ze−βH )−1 f1 f¨ uhrt dann zu 

ω

n Y

A∗ (fj )

j=1

m Y

k=1



A(gk ) = n X

p=1



n Y

(−1)n−p ω(A∗ (f1 )A(gp ))ω  

A∗ (fj )

j=1

m Y

k=1 k6=p

 

A(gk )  . (2.14)

Iteration dieser Gleichung liefert die Behauptung. Unter Verwendung von Behauptung A.1.16 k¨onnen wir nun den Erwartungswert der Teilchenzahl bestimmen. 2.1.3. Behauptung. Der Erwartungswert der Teilchenzahl im Zustand ρΛ ist durch ωΛ (N ) =

∞ X

ze−βΛ (n1 ,n2 ,n3 ) −βΛ (n1 ,n2 ,n2 ) n1 ,n2 ,n3 =1 1 + ze

(2.15)

gegeben, wobei Λ (n1 , n2 , n3 ) =

n1 n2 n3 π 3 l1 l2 l3

!2

(2.16)

die Eigenwerte des Einteilchenhamiltonoperators sind. Beweis: Das ist eine einfache Konsequenz von Behauptung 2.1.2 Punkt 1 und Behauptung A.1.16.

16

KAPITEL 2. DAS FREIE FERMIGAS

Wir k¨onnten nun fortfahren weitere Gr¨oßen wie Energiedichte, Druck etc. zu bestimmen, den thermodynmischen Limes l1 , l2 , l3 → ∞ durchzuf¨ uhren und die thermodynamischen Gesetzm¨aßigkeiten des Systems abzuleiten. Da dies jedoch aus der Vorlesung u ¨ber Thermodynamik und Statistik bekann sein sollte verzichten wir an dieser Stelle darauf (siehe jedoch Abschnitt 8.2). Wir wollen vielmehr untersuchen, wie sich die großkanonische Gesamtheit ρΛ im Limes Λ → ∞ verh¨alt.

2.2

Der thermodynamische Limes

Wir betrachten nun ein freies, nichtrelativistisches, Teilchen, welches sich im ganzen Ortsraum (R3 ) bewegen kann. Der Hamiltonoperator dieses Systems ist dann die (eindeutige) selbstadjungierte Fortsetzung des Lapalaceoperators H := −∆ : D(H) → L2 (R3 , dx3 ). Eine beliebige Anzahl von Fermionen die sich wechselwirkungsfrei im gesamten Ortsraum R3 bewegen, ist, a¨hnlich wie im letzten Abschnitt, durch die zweite Quantisierung dΓ(H) auf dem ferminonischen Fockraum H := F− (L2 (R3 , dx3 )) gegeben. Im Gegensatz zum Fermigas im Kasten hat der Einteilchenhamiltonoperator nun jedoch ein rein kontinuierliches Spektrum. Der Operator exp(−βH) ist daher kein Spurklasseoperator, weshalb sich ein thermischer Gleichgewichtszustand nicht wie in (2.4) beschreiben l¨aßt. Stattdessen bedienen wir uns hier des Limes Λ → ∞: 2.2.1. Lemma. Sei f : R → C eine beschr¨ankte, stetige Funktion, dann ist limk→∞ kf (HΛk )ψ − f (H)ψk = 0 f¨ ur ψ ∈ L2 (Λ1 , d3 x) und jede strikt monotone Folge (Λk )k∈N die R3 ganz aussch¨opft. ¨ Beweis: Ubungsaufgabe! Hinweis: Betrachte eine Folge von W¨ urfeln Λn = [−ln , ln ]3 und vergleiche die Spektraldarstellungen von HΛn ψ (=Fourierreihe) und Hψ (=Fourierintegral) Siehe auch [6, Lemma 5.2.25]. 2.2.2. Satz. Sei N 3 n 7→ Λn ⊂ R3 eine strikt monotone Folge von Quadern (2.1) die ganz R3 aussch¨opft und ρΛ die in (2.4) definierte Dichtematrix, 1. dann ist mit ωΛ aus (2.5) und f, g ∈ L2 (Λ1 , d3 x): ω(A∗ (f )A(g)) := n→∞ lim ωΛn (A∗ (f )A(g)) = hg, ze−βH (1I + ze−βH )−1 f i =

Z

(2.17) (2.18)

−βkkk2

ze d3 k gˆ(k)fˆ(k) 1 + ze−βkkk2 R3

(2.19)

und der Grenzwert h¨angt nicht von der Folge Λn ab. 2. Ist P ein Polynom in Vernichtern und Erzeugern, dann existiert der Grenzwert ω(P ) := limn→∞ ωΛn (P ) und h¨angt nicht von der Folge Λn ab. Beweis: 2. ist eine simple Konsequenz von 1 und Behauptung 2.1.2 Punkt 2. Punkt 1 folgt aus Behauptung 2.1.2 Punkt 1 und dem folgenden Lemma.

2.2. DER THERMODYNAMISCHE LIMES

17

Betrachten wir nun die *-Algebra A die von Operatoren A(f ), A∗ (f ) mit supp f ⊂ R3 kompakt erzeugt wird. F¨ ur jedes dieser f existiert offenbar ein Λ mit 2 3 f ∈ L (Λ, d x), so daß wir den soeben bewiesenen Satz anwenden und das Funktional ω : A → C durch ω(P ) := limΛ→∞ ωΛ (P ) definieren k¨onnen. ω ist positiv und normiert also ein Zustand im Sinne von Abschnitt 1.3. Physikalisch beschreibt ω das thermodynamische Gleichgewicht des freien Fermigases im thermodynamischen Limes Λ → R3 . Jedoch exisiert keine Dichtematrix ρ auf H, so daß tr(P ρ) = ω(P ) ist. Einen Hinweis f¨ ur die Richtigkeit dieser Aussage liefert die mittlere Teilchenzahldichte, zun¨achst f¨ ur das Fermigas im Kasten Λ. Aus Gleichung (2.15) folgt offenbar δΛ =

1 l1 l2 l3

∞ X

ze−βΛ (n1 ,n2 ,n3 ) , −βΛ (n1 ,n2 ,n2 ) n1 ,n2 ,n3 =1 1 + ze

(2.20)

was f¨ ur Λ → R3 zu 2 1 Z ze−βkkk d3 k δ := lim3 δΛ = Λ→R (2π)3 R3 1 + ze−βkkk2

(2.21)

¨ f¨ uhrt (Ubungsaufgabe!). Da das Modell translationsinvariant ist, ist die Teilchenzahldichte offenbar ortsunabh¨angig, so daß aufgrund des unendlichen Volumens des R3 der Erwartungswert der Gesamtteilchenzahl ω(N ) im thermodynanischen Gleichgewicht unendlich ist. Daraus folgt zumindest tr(ρN ) = ∞, was allerdings etwas schw¨acher als tr(ρ) = ρ ist. Eine etwas exaktere Analyse liefert die folgende Aussage. 2.2.3. Satz. Es exisitert keine Dichtematrix ρ auf H so daß ω(A∗ (f )A(g)) = tr(A∗ (f )A(g)ρ) ist. Beweis: Wir werden den Beweis im Kapitel 8.2 ausf¨ uhrlich betrachten. Die Grundidee ist es die Matrixelemente eines potentiellen hψ, ρΦi = ω(A) mit A = |ψihφ|) zu betrachten und im thermodynamischen Limes zu approximieren: ω(A) = limΛ→∞ ωΛ (A). Wegen Lemma 2.2.2 konvergiert aber exp(−βdΓ(HΛ − µ1I))ψ f¨ ur Λ → ∞ und f¨ ur jedes ψ ∈ F gegen exp(−βdΓ(H − µ1I)ψ. Also m¨ ußte ρ bis auf einen Normierungsfaktor mit exp(−βdΓ(H − µ1I)) u ¨bereinstimmen, dies kann jedoch nicht sein, da exp(−βdΓ(H − µ1I)) kein kompakter Operator ist (besitzt kontinuierliches Spektrum). Der einzige Punkt des Beweises der zukl¨aren w¨are, ist die Definition von ω(A) f¨ ur das oben angegebene A, welches offenbar kein Polynom in A(f ), A∗ (g) ist. Diese Frage werden wir in Kapitel 8.2 kl¨aren.

18

KAPITEL 2. DAS FREIE FERMIGAS

Kapitel 3 Das van Hove-Modell ¨ Ahnlich wie in der Quantenstatistik kann eine algebraische Formulierung der Quantentheorie auch in der QFT von Nutzen sein. Wir werden zu diesem Zwecke eine bestimmte Klasse von Modellen aus der Quantenfeldtheorie untersuchen, n¨amlich skalare Quantenfelder die mit klassischen Quellen wechselwirken. Vorbild f¨ ur dieses Kapitel war der entsprechende Abschnitt im Buch von Emch [10] welches zum Teil die Grundlage f¨ ur die folgenden Ausf¨ uhrungen ist (Ich habe jedoch versucht wesentlich ausf¨ uhrlicher zu sein). Weite Teile der Abschnitte u unden sich ¨ber freie Felder gr¨ teilweise auch auf [19, X.7]. Bevor wir nun beginnen, m¨ochte ich noch darauf hinweisen, daß es sich nicht um eine Vorlesung u ¨ber Quantenfeldtheorie handelt. Das heißt, obwohl in diesem Kapitel ein relativ hoher Grad an Selbstkonsistenz angestrebt ist, kann eine Reihe von Aspekten, die aus Sicht der Quantenfeldtheorie von großer Wichtigkeit sind, nicht oder nur unzureichend diskutiert werden.

3.1

Die Klein-Gordon-Gleichung

Ausgangspunkt soll das freie skalare Feld auf dem Minkowskiraum sein, das heißt wir suchen nach L¨osungen der Klein-Gordon-Gleichung ∂2 ψ(t, x) − ∆ψ(t, x) + m2 ψ(t, x) = 0. ∂t2

(3.1)

Bevor wir operatorwertige Felder betrachten, die diese Gleichung erf¨ ullen, ist es n¨ utzlich zun¨achst ihre klassischen L¨osungen zu untersuchen. Das heißt wir wollen f¨ ur den Rest dieses Abschnittes annehmen, daß ψ ∈ C ∞ (R4 , C),

ψ(t, · ) =: ψt ∈ S(R3 , C) ∀t ∈ R

(3.2)

gilt, wobei S(R3 , C) den Raum der komplexwertigen Schwartzfunktionen auf dem R3 bezeichnet. Da also jedes ψt nach Voraussetzung eine Schwartzfunktion ist, k¨onnen wir Gleichung (3.1) bez¨ uglich der drei Raumkoordinaten fouriertransformieren und erhalten ∂2 ˆ ψt (k) + kkk2 ψˆt + m2 ψˆt = 0 ∂t2 19

(3.3)

20

KAPITEL 3. DAS VAN HOVE-MODELL

wobei ψˆt ∈ S(R3 , C) f¨ ur jedes t ∈ R die Fouriertransformierte von ψt bezeichnet. Wir erhalten also f¨ ur jedes k ∈ R3 eine gew¨ohnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung in t welche die folgende L¨osung besitzt: ψˆt (k) = b(k)eiω(k)t + c(k)e−iω(k)t .

(3.4)

Dabei bezeichnet ω(k) die Funktion R3 3 k 7→ ω(k) :=

q

kkk2 + m2 ∈ R.

(3.5)

Wir wollen nun annehmen, daß ψ die Anfangsbedingungen ψ(0, x) = f (x), ∂t ψ(0, x) = p(x) ∀x ∈ R3

(3.6)

erf¨ ullt, wobei f, p ∈ S(R3 , C) sind. Dann gilt offenbar fˆ(k) = b(k) + c(k) und pˆ(k) = iω(k)(b(k) − c(k))

(3.7)

und damit 1 i b(k) = (fˆ(k) − pˆ(k)), 2 ω(k)

1 i c(k) = (fˆ(k) + pˆ(k)). 2 ω(k)

(3.8)

F¨ ur alle Anfangsdaten aus (3.6) k¨onnen wir damit die L¨osung der Differentialgleichung (3.1) konstruieren. Dabei ist zu beachten, daß die Funktionen b und c aufgrund von Gleichung (3.8) ebenfalls Schwartzfunktionen sind. Außerdem ist die konstruierte L¨osung eindeutig (im durch Formel (3.2) gegebenen Funktionenraum); denn f¨ ur eine L¨osung ψ mit Anfangsdaten f = 0 und p = 0 w¨ urde aus (3.8) b = c = 0 und damit ψ = 0 folgen. Wir haben damit den folgenden Satz bewiesen: 3.1.1. Satz. Die Klein-Gordon-Gleichung (3.1) besitzt f¨ ur alle Anfangsdaten f, p ∈ S(R3 , C) genau eine glatte L¨osung ψ so daß die Funktion x 7→ ψ(t, x) f¨ ur alle t ∈ R eine Schwartzfunktion ist. Diese L¨osung ist durch 1 Z i(hk,xi+ω(k)t) i(hk,xi−ω(k)t) ψ(t, x) = b(k)e + c(k)e d3 k 3/2 3 (2π) R

(3.9)

gegeben, wobei b, c ∈ S(R3 , C) gem¨aß Gleichung (3.8) durch die Anfangsdaten gegeben sind; h · , · i bezeichnet das u ¨bliche Skalarprodukt im R3 . 3.1.2. Bemerkung. Dieser Existenz- und Eindeutigkeitssatz kann unter bedeutend allgemeineren Bedingungen bewiesen werden. Es ist ausreichend, wenn die Anfangsdaten einer geeigneten Sobolevklasse angeh¨oren. Eine ausf¨ uhrliche Diskussion dieser Tatsache im Rahmen unendlichdimensionaler Hamiltonscher Systeme findet sich z.B. im Buch von Chernov und Marsden [7]. Wir sind im folgenden an reellwertigen L¨osungen interessiert. Das heißt ψ(x, t) = ψ(x, t) was f¨ ur die Fouriertransformierte: ψˆt (k) = ψˆt (−k) ∀k ∈ R3

(3.10)

3.1. DIE KLEIN-GORDON-GLEICHUNG

21

bedeutet. Mit Gleichung (3.8) erhalten wir dadurch b(−k) = c(k) und c(−k) = b(k) ∀k ∈ R3 .

(3.11)

Aus (3.9) folgt nun offenbar 1 Z ψ(t, x) = b(k)ei(hk,xi+ω(k)t) d3 k 3/2 3 (2π) R +

1 Z c(k)ei(hk,xi−ω(k)t) d3 k, (3.12) (2π)3/2 R3

und wir k¨onnen im ersten Integral die Substitution k 7→ −k vornehmen. Mit (3.11) erhalten wir somit: ψ(t, x) =

1 Z i(h−k,xi+ω(k)t) i(hk,xi−ω(k)t) c(k)e + c(k)e d3 k. (2π)3/2 R3

(3.13)

Mit der Funktion q

(3.14)

d3 k 1 Z −i(hk,xi−ω(k)t) i(hk,xi−ω(k)t) q a(k)e + a(k)e (2π)3/2 R3 2ω(k)

(3.15)

R3 3 k 7→ a(k) =

2ω(k)c(k) ∈ C

erhalten wir also ψ(t, x) =

f¨ ur ψ(t, x) und 



1 q i a(k) = √  ω(k)fˆ(k) + q pˆ(k) 2 ω(k)

(3.16)

d3 k 1 Z −ihk,xi ihk,xi q a(k)e + a(k)e f (x) = (2π)3/2 R3 2ω(k)

(3.17)

s Z ω(k) i −ihk,xi ihk,xi d3 k p(x) = a(k)e − a(k)e 3/2 3 2 (2π) R

(3.18)

und

f¨ ur die Beziehungen zwischen a(k) und den Anfangsdaten p bzw. f . (Die Einf¨ uhrung 1/2 des Faktors ω ist an dieser Stelle v¨ollig unmotiviert und auch u ussig. Bei der ¨berfl¨ Behandlung der Quantenfelder werden wir jedoch sehen, daß dieser Faktor dort von großer Wichtigkeit ist (siehe die Bemerkungen 3.2.7 und 3.2.8). Da wir Ausdr¨ ucke f¨ ur die klassischen L¨osungen der Klein-Gordon-Gleichung erhalten wollen, die formal dieselbe Gestalt wie die Quantenfelder haben die wir sp¨ater konstruieren wollen, m¨ ussen wir uns schon an dieser Stelle mit diesen ω 1/2 Faktoren besch¨aftigen.) Zusammenfassend gilt also das folgende Korollar: 3.1.3. Korollar. Sind die Anfangsdaten f, p in Satz 3.1.1 reellwertig, dann ist auch die L¨osung ψ(t, x) reellwertig und sie hat die Form (3.15) mit der in Gleichung (3.16) gegebenen Funktion a ∈ S(R3 , C).

22

KAPITEL 3. DAS VAN HOVE-MODELL

3.1.4. Bemerkung (hamiltonsche Formulierung). Wir wollen nun die klassische Hamiltonfunktion f¨ ur die Klein-Gordon-Gleichung betrachten (f¨ ur eine ausf¨ uhrliche Darstellung der hamiltonschen Formulierung linearer hyperbolischer Differentialgleichungen, sei erneut auf das Buch von Chernov und Marsden [7] verwiesen). Als Phasenraum dient dabei der Raum der Anfangsdaten S(R3 , R) × S(R3 , R). Die Hamiltonfunktion hat dann die Form 1 1 S(R3 , R) × S(R3 , R) 3 (f, p) 7→ H(f, p) := hp, pi + h(m2 − ∆)f, f i ∈ R, (3.19) 2 2 wobei h · , · i das Skalarprodukt in L2 (R3 , d3 x) bezeichnet. Um die kanonischen Bewegungsgleichungen dieser Hamiltonfunktion zu bestimmen, f¨ uhren wir die partiellen Ableitungen h

d ∂H (f, p), ξi := H(f + ξ, p)|=0 ∂f d

(3.20)

h

d ∂H (f, p), ξi := H(f, p + ξ)|=0 ∂p d

(3.21)

und

ein. Im allgemeinen m¨ ussen diese partiellen Ableitungen nat¨ urlich nicht existieren, in unserem Falle jedoch erhalten wir ∂H ∂H (f, p) = (m2 − ∆)f und (f, p) = p ∂f ∂p

(3.22)

und somit f¨ ur die kanonischen Bewegungsgleichungen ∂H f˙t = (ft , pt ) = pt ∂p ∂H p˙t = − (ft , pt ) = (∆ − m2 )ft . ∂f

(3.23) (3.24)

Ist t 7→ (ft , pt ) eine L¨osung dieser Gleichungen, dann l¨ost ψ(t, x) := ft (x) die KleinGordon-Gleichung und l¨ost umgekehrt ψ(t, x) die Klein-Gordon-Gleichung dann ist (ft , pt ) mit ft = ψ(t, · ) und pt = ∂t ψ(t, · ) eine L¨osung der kanonischen Bewegungsgleichungen. Dies zeigt, daß die klassische Hamiltonfunktion H in der Tat die Klein-Gordon-Gleichung beschreibt. Wir wollen nun noch untersuchen, welche Gestalt H als Funktion von a ∈ S(R3 , C) hat. Wir benutzen hierf¨ ur die Unitarit¨at der Fouriertransformation. Das heißt wir berechnen hˆ p, pˆi = hp, pi und hω 2 fˆ, fˆi = h(m2 − ∆)f, f i. F¨ ur die Fouriertransformierten von f und p aus (3.7) und (3.14) erhalten wir fˆ(k) = q

1

s

(a(−k) + a(k)) und pˆ(k) = i

2ω(k)

ω(k) (a(−k) − a(k)). 2

(3.25)

Dies liefert somit h(m2 − ∆)f, f i =

Z

R3

ω(k) a(−k) + a(k) a(−k) + a(k) d3 k 2

(3.26)

3.1. DIE KLEIN-GORDON-GLEICHUNG

23

und hp, pi =

Z

R3

ω(k) a(−k) − a(k) a(−k) − a(k) d3 k. 2

(3.27)

Zusammen also 1Z H(a) = ω(k) a(−k)a(−k) + a(k)a(k) d3 k 2 R3

(3.28)

und wenn wir, ¨ahnlich wie oben, das Integral in eine Summe von zwei Integralen zerlegen und im ersten Integral die Substitution k 7→ −k vornehmen, dann folgt: Z 1Z 3 H(a) = ω(k) a(k)a(k) + a(k)a(k) d k = ω(k)a(k)a(k)d3 k. 3 3 2 R R

(3.29)

Unser n¨achstes Ziel ist nun die Quantisierung“ dieser klassischen Feldtheorie, ” das heißt wir wollen die klassischen L¨osungen ψ(t, x) der Klein-Gordon-Gleichung durch operatorwertige Felder“ Φ(t, x) zu ersetzen. Genauer gesagt wir suchen einen ” Hilbertraum F und eine Abbildung R4 3 (t, x) 7→ Φ(t, x) die jedem Ereignis (t, x) des Minkowskiraumes R4 einen selbstadjungierten Operator Φ(t, x) so zuordnet, daß (in einem geeigneten Sinne) die Klein-Gordon-Gleichung erf¨ ullt ist. (Wir werden sehen, daß unter den zus¨atzlichen Bedingungen die an dieses Modell zu stellen sind, dieser Wunsch nicht ganz erf¨ ullt werden kann. Wir werden die Φ(t, x) nicht als Operatoren sondern nur als quadratische Formen definieren k¨onnen.) Allein die Forderung Φ(t, x) solle eine L¨osung der Klein-Gordon-Gleichung sein reicht allerdings bei weitem nicht aus, um die quantisierte Theorie eindeutig festzulegen. In Analogie zum klassischen Fall k¨onnte man sagen, daß die Anfangsdaten“ ” φ(x) = Φ(0, x) und π(x) = ∂t Φ(0, x) durch geeignete Bedingungen festgelegt werden m¨ ussen. Der wichtigste Anhaltspunkt hierf¨ ur ist die Forderung, daß die Theorie kanonisch“ quantisiert werden soll. F¨ ur eine Theorie mit endlich vielen Frei” heitsgraden heißt dies, daß die klassischen Orts- und Impulskoordinaten qi , pj durch Operatoren Qi , Pj zu ersetzen sind, so daß die kanonischen Vertauschungsrelationen ¨ [Qi , Qj ] = [Pi , Pj ] = 0 und [Qi , Pj ] = iδi,j gelten. Ubertragen auf eine Feldtheorie bedeutet dies, f¨ ur die operatorwertigen Felder φ(x), π(x): [φ(x), π(y)] = iδ(x − y), [φ(x), φ(y)] = 0, [π(x), π(y)] = 0,

∀x, y ∈ R3 .

(3.30)

Ich m¨ochte allerdings schon an dieser Stelle bemerken, daß diese Forderung die Quantisierung nicht eindeutig festlegt; selbst wenn man die Probleme außer acht l¨aßt, die von der Nicht¨aquivalenz der Weylschen und der Heisenbergschen Form der Vertauschungsrelationen herr¨ uhren (siehe [20, VIII.5] f¨ ur eine Diskussion der Probleme der kanonischen Vertauschungsrelationen schon f¨ ur Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden). Wir werden im 4. Kapitel sehen, daß es bei einer Feldtheorie beliebig viele in¨aquivalente Darstellungen der kanonischen Vertauschungsrelationen gibt und wir zus¨atzliche Bedingungen ben¨otigen, um die Quantisierung eindeutig zu machen (Dieser Umstand ist u ¨brigens ein wesentlicher Grund, weshalb algebraische Methoden bei der Behandlung von Systemen mit unendlich vielen Freiheitsgraden besonders n¨ utzlich sind; wir werden dies im Verlauf dieses Kapitels noch eingehender diskutieren). Eine dieser Forderungen (aber ebenfalls nicht ausreichend) ist die

24

KAPITEL 3. DAS VAN HOVE-MODELL

nach Poincar´einvarianz“, das heißt bei dem Wechsel des Inertialsystems durch eine ” Poincar´etransformation (Λ, v) (Λ beschreibt dabei eine Lorentztransformation und v ∈ R4 eine Raumzeitranslation) soll sich das Feld durch eine geeignete unit¨are Dar∗ stellung UΛ,v der Poincar´egruppe transformieren: UΛ,v Φ(t, x)UΛ,v = Φ(Λ(t, x) + v). Um dies zu erreichen, werden wir in den n¨achsten zwei Abschnitten ein operatorwertiges Feld k 7→ A(k) (den Vernichtungsoperator“) suchen, so daß φ(x), und ” π(x) die Form φ(x) =

d3 k 1 Z ∗ −ihk,xi ihk,xi q A(k) e + A(k)e (2π)3/2 R3 2ω(k)

(3.31)

und s Z ω(k) i π(x) = A(k)∗ e−ihk,xi − A(k)eihk,xi d3 k (2π)3/2 R3 2

(3.32)

(vergl. Formel (3.17) und (3.18)) haben. Die in (3.30) angegebenen kanonischen Vertauschungsrelationen legen dabei die M¨oglichkeiten f¨ ur die Wahl der Operatoren A(k) bis zu einem gewissen Grade fest (aber nicht vollst¨andig, wie bereits erw¨ahnt). Das freie, skalare Quantenfeld Φ(t, x) ist dann wie in (3.15) ebenfalls durch die Operatoren A(k) gegeben: d3 k 1 Z ∗ −i(hk,xi−ω(k)t) i(hk,xi−ω(k)t) q Φ(t, x) = A(k) e + A(k)e . (2π)3/2 R3 2ω(k)

(3.33)

Der in diesem Integral auftauchende 1/(ω 1/2 ) Faktor ist dabei ein Vorgriff auf die bereits erw¨ahnte Poincar´einvarianz (vergleiche Bemerkung 3.2.8 f¨ ur eine ausf¨ uhrlichere Diskussion dieses Umstandes).

3.2

Das freie skalare Feld

¨ Der erste Schritt um den zum Teil sehr heuristischen Uberlegungen vom Ende des letzten Abschnittes einen pr¨azisen mathematischen Sinn zu geben, ist das Studium einer bestimmten Darstellung der in Gleichung (3.30) angegebenen Vertauschungsrelationen. Zu diesem Zwecke betrachten wir den, im Anhang A behandelten, bosonischen Fockraum FS (H) zum Hilbertraum H := L2 (R3 , d3 x). Wir definieren nun zun¨achst auf dem Definitionsbereich DS = {ψ ∈ F0 | ψ (n) ∈ S(R3n , C) ∀n ∈ N}

(3.34)

den Vernichtungsoperator A(k) : DS → FS (L2 (R3 , d3 x)): (A(k)ψ)(n) (k1 , . . . , kn ) =

√

n + 1ψ (n+1) (k, k1 , . . . , kn ).

(3.35)

Den Erzeugungsoperator A(k)∗ kann man nun jedoch nicht als Adjungierten zu A(k) definieren, da eine strikte Anwendung der Definition des Adjungierten einen

3.2. DAS FREIE SKALARE FELD

25

Operator mit Definitionsbereich {0} (!) ergeben w¨ urde. Nur formal k¨onnen wir daher schreiben ∗

(n)

(A(k) ψ)

n 1 X (k1 , . . . , kn ) = √ δ(k − kl )ψ (n−1) (k1 , . . . , kˆl , . . . , kn ). n l=1

(3.36)

Um A(k)∗ einen exakten mathematischen Sinn zu geben m¨ ussen wir quadratische Formen benutzen. Das heißt auf dem Definitionsbereich DS × DS k¨onnen wir die quadratische Form DS × DS 3 (ψ, η) 7→ A(k)[ψ, η] := hψ, A(k)ηi ∈ C

(3.37)

einf¨ uhren und A(k)∗ als die zu dieser adjungierte quadratische Form definieren: DS × DS 3 (ψ, η) 7→ A(k)∗ [ψ, η] := hA(k)ψ, ηi ∈ C.

(3.38)

Ist zum Beispiel ψ = (0, ψ (1) , 0, . . . ) und η = (0, 0, η (2) , 0, . . . ) dann folgt aus (3.38) 1 Z (2) A(k) [ψ, η] = √ η (k1 , k)ψ (1) (k1 ) + η (2) (k, k1 )ψ (1) (k1 ) d3 k1 . 2 R3 ∗

(3.39)

Um nun die Beziehung zwischen A(k) und A∗ (k) einerseits und den in (A.19) und (A.21) definierten Operatoren A(f ) und A∗ (f ) andererseits herzustellen, m¨ ussen ∗ wir die quadratischen Formen A(k), A(k) mit einer Testfunktion f ∈ S(R3 , C) verschmieren“. Das heißt wir betrachten die Integrale ” Z

R3

3

A(k)f (k)d k und

Z

R3

A(k)∗ f (k)d3 k,

(3.40)

welche im schwachen Sinne“ zu interpretieren sind. F¨ ur ψ, η ∈ DS soll gelten: ” Z

3

R3

Z

A(k)[ψ, η]f (k)d3 k

(3.41)

Z

A(k)∗ [ψ, η]f (k)d3 k.

(3.42)

A(k)f (k)d k [ψ, η] =

R3

bzw. Z

∗

R3

3

A(k) f (k)d k [ψ, η] =

R3

Damit erhalten wir die folgende Aussage: 3.2.1. Behauptung. F¨ ur jede Testfunktion f ∈ S(R3 , C) gelten die Gleichungen A(f ) =

Z

R3

A(k)f (k)d3 k

(3.43)

A(k)∗ f (k)d3 k

(3.44)

und ∗

A(f ) =

Z

B3

im schwachen Sinne. Dabei sind beide Seiten jeweils als quadratische Formem mit Definitionsbereich DS × DS aufzufassen.

26

KAPITEL 3. DAS VAN HOVE-MODELL

Beweis: Die Gleichung (3.43) folgt unmittelbar durch Vergleich der Definition von A(k) in Gleichung (3.35) mit dem Ausdruck f¨ ur A(f ) in (A.22). Die Gleichung (3.44) folgt durch Bildung von Adjungierten (oder durch Vergleich des formalen Ausdrucks (3.36) mit (A.23)). Wir sind nun bereit die am Ende des Abschnittes 3.1 angegebenen formalen Ausdr¨ ucke wie folgt zu interpretieren: 3.2.2. Satz. Durch die schwachen Integrale φ(x) =

d3 k 1 Z ∗ −ihk,xi ihk,xi q A(k) e + A(k)e (2π)3/2 R3 2ω(k)

(3.45)

s Z ω(k) i π(x) = A(k)∗ e−ihk,xi − A(k)eihk,xi d3 k (2π)3/2 R3 2

(3.46)

d3 k 1 Z ∗ −i(hk,xi−ω(k)t) i(hk,xi−ω(k)t) q A(k) e + A(k)e . (2π)3/2 R3 2ω(k)

(3.47)

und Φ(t, x) =

sind f¨ ur alle (t, x) ∈ R×R3 quadratische Formen mit dem Definitionsbereich DS ×DS definiert. Dabei bezeichnen A(k) und A(k)∗ f¨ ur jedes k ∈ R3 die quadratischen Formen aus (3.37) und (3.38). Φ(t, x) erf¨ ullt die Klein-Gordon-Gleichung (im schwachen Sinne). Beweis: Aus den Definitionen von A(k) und A(k)∗ folgt, daß f¨ ur jedes ψ, η ∈ 3n (n) 3 3 S(R , C) ∩ H die Funktionen R 7→ A(k)[ψ, η] ∈ C bzw. R 7→ A(k)∗ [ψ, η] ∈ C Schwartzfunktionen sind. Dies impliziert jedoch, daß die Integranden der zu untersuchenden Integrale schwach integrierbar sind, die Integrale also existieren. Daß Φ(t, x)[ψ, η] f¨ ur φ, η ∈ DS die Klein-Gordon-Gleichung erf¨ ullt folgt unmittelbar aus der Diskussion der klassischen L¨osungen im Abschnitt 3.1. Mit diesem Satz haben wir den Ausdr¨ ucken vom Ende des Abschnittes 3.1 in mathematisch zufriedenstellender Weise interpretiert. Allerdings sind φ(x), π(x) und Φ(t, x) keine Operatoren, sondern nur quadratische Formen. Um Operatoren zu erhalten m¨ ussen wir die Felder mit einer Testfunktion f ∈ S(R3 , C) verschmieren“ ” das heißt wir m¨ ussen die schwachen Integrale φ(f ) =

Z

3

R3

f (x)φ(x)d x,

π(f ) =

Z

R3

f (x)π(x)d3 x

(3.48)

und Φ(t, f ) =

Z

R3

f (x)Φ(t, x)d3 x

(3.49)

betrachten. Mit der Aussage 3.2.1 und der Definition des Segaloperators erhalten wir

3.2. DAS FREIE SKALARE FELD

27

3.2.3. Satz. Die schwachen Integrale in (3.48) und (3.49) existieren und definieren f¨ ur eine reellwertige Testfunktion f die auf dem Definitionsbereich DS wesentlich selbstadjungierten Operatoren φ(f ) = ΦS

fˆ √ , ω !

√ π(f ) = ΦS i ω fˆ

(3.50)

und eiωt fˆ √ . ω !

Φ(t, f ) = ΦS

(3.51)

Beweis: Wir betrachten nur φ(f ) da die anderen Aussagen v¨ollig analog bewiesen werden k¨onnen. Per Definition ist φ(f ) =

Z

f (x)φ(x)d3 x

=

Z

f (x)

=

Z

=

R3

R3

Z

R3

d3 k 1 Z ∗ −ihk,xi ihk,xi q A(k) e + A(k)e d3 x (2π)3/2 R3 2ω(k) ∗

A(k)

R3

(3.52)

(

) 1 Z −ihk,xi 3 f (x)e dx (2π)3/2 R3 ( )! 1 Z d3 k ihk,xi 3 q +A(k) f (x)e dx (2π)3/2 R3 2ω(k)

(3.54) (3.55)

3

dk A(k) fˆ(k) + A(k)fˆ(k) q 2ω(k) ∗

(3.53)

(3.56)

beim letzten Gleichheitszeichen ist zu beachten, daß die Testfunktion reellwertig ist. Mit 3.2.1 folgt die Behauptung. Nun k¨onnen wir die Aussagen des Satzes A.2.3 verwenden, um zun¨achst zu zeigen, daß die Felder φ(f ) und π(f ) den kanonischen Vertauschungsrelationen gen¨ ugen. 3.2.4. Satz. Die Felder φ(f ) und π(f ) erf¨ ullen die kanonischen Vertauschungsrelationen, das heißt f¨ ur alle ψ ∈ DS gilt: [φ(f ), φ(g)]ψ = 0,

[π(f ), π(g)]ψ = 0,

[φ(f ), π(g)]ψ = ihf, giψ.

(3.57)

Beweis: Wir betrachten nur reellwertige Testfunktionen. Die allgemeine Aussage folgt dann durch komplex-lineares Fortsetzen (beachte, daß die Segalquantisierung f 7→ ΦS (f ) nicht komplex-linear ist). Damit ist fˆ gˆ , ΦS √ [φ(f ), φ(g)]ψ = ΦS √ ω ω + * fˆ gˆ ψ = i Im √ , √ ω ω "

!

!#

ψ

(3.58) (3.59)

28

KAPITEL 3. DAS VAN HOVE-MODELL

Das Skalarprodukt auf der rechten Seite der zweiten Gleichung ist jedoch reell: Inverses Fouriertransformieren von fˆω −1/2 liefert 1 Z Z 1 −ihk,xi 3 q d x eihk,yi d3 k = f (x)e 3 3 3 (2π) ) R R ω(k) 1 Z Z 1 eihy−x,ki d3 xd3 k (3.60) f (x) q 3 3 3 (2π) ) R R ω(k) Im konjugiert komplexen Ausdruck des zweiten Terms dreht sich jedoch nur im Exponenten von exp das Vorzeichen um. Da der Integrand in k symmetrisch ist (ω(k) = ω(−k)) kann dies durch eine Substitution k 7→ −k kompensiert werden. Also ist, wenn F −1 die inverse Fouriertransformation bezeichnet F −1

fˆ √ ω

!

=F

−1

fˆ √ ω

!

(3.61)

und damit, wie bereits gesagt, das Skalarprodukt in (3.59) rein reellwertig. Damit folgt [φ(f ), φ(g)]ψ = 0 und auf genau die gleiche Weise folgt [π(f ), π(g)]ψ = 0. Damit bleibt [φ(f ), π(g)]ψ: √ fˆ [φ(f ), π(g)]ψ = ΦS √ , ΦS i ωˆ g ψ ω * +! fˆ √ = i Im i √ , ωˆ g ψ ω "

!

#

(3.62) (3.63)

Das Skalarprodukt auf der rechten Seite der zweiten Gleichung ist wieder reellwertig, da es jedoch im Argument von Im mit i multipliziert wird, folgt die Behauptung. Nun wollen wir uns dem freien Hamiltonian“ zuwenden. Hierf¨ ur definieren wir ” zun¨achst den Einteilchenhamiltonian“: ” S(R3 , C) 3 f 7→ h0 f := ωf ∈ L2 (R3 , d3 k). (3.64) Es ist unschwer zu erkennen, daß h0 auf seinem Definitionsbereich wesentlich selbstadjungiert ist und daß seine selbstadjungierte Fortsetzung die einparametrige unit¨are Gruppe (ut )t∈R mit L2 (R3 , d3 k) 3 f 7→ ut f := eiωt f ∈ L2 (R3 , d3 k)

(3.65)

erzeugt. Daher ist der freie Hamiltonian H0 := dΓ(h0 ) : DS → FS (L2 (R3 , d3 k))

(3.66)

auf seinem Definitionsbereich ebenfalls wesentlich selbstadjungiert und er erzeugt die freie Dynamik Ut := Γ(ut ). Mit Satz A.2.3(5) folgt daher sofort die Aussage: 3.2.5. Satz. Der Operator 3.66 ist wesentlich selbstadjungiert und die durch seine selbstadjungierte Fortsetzung erzeugte unit¨are Gruppe Ut = exp(itH0 ) erf¨ ullt die Gleichung: Ut φ(f )Ut∗ ψ = Φ(t, f )ψ f¨ ur alle ψ ∈ DS .

(3.67)

3.2. DAS FREIE SKALARE FELD

29

Beweis: Unmittelbare Folge von A.2.3(5) der Gleichung (3.51) und der Tatsache, daß Ut = Γ(ut ) den Definitionsbereich DS invariant l¨aßt. Diese Aussage rechtfertigt die Interpretation von H0 als freier Hamiltonoperator, da er die Dynamik des Feldes Φ(x, t) beschreibt. Damit ist die Konstruktion des freien Feldes abgeschlossen. Wir wollen jedoch noch ein paar Bemerkungen anschließen. 3.2.6. Bemerkung. Zun¨achst wollen wir einen alternativen Ausdruck f¨ ur den freien Hamiltonian betrachten, der uns im n¨achsten Abschnitt den Weg weisen wird, wie wir den Hamiltonoperator f¨ ur ein mit klassischen Quellen wechselwirkendes Feld konstruieren k¨onnen. Wir betrachten zu diesem Zwecke ψ, η ∈ H(n) Dann ist hη, H0 ψi = Z

R3

···

Z

R3

n X

!

ω(ki ) η(k1 , . . . , kn )ψ(k1 , . . . , kn )d3 k1 . . . d3 kn . (3.68)

i=1

Da die Funktionen ψ, η aber in ihren Argumenten vollst¨andig symmetrisch sind folgt daraus: hη, H0 ψi = Z

R3

···

Z

R3

nω(k)η(k, k1 , . . . , kn−1 )ψ(k, k1 , . . . , kn−1 )d3 kd3 k1 . . . d3 kn−1 (3.69)

Wir betrachten nun den Ausdruck hη, A∗ (k)A(k)ψi = hA(k)η, A(k)ψi Z Z √ = ··· n η(k, k1 , . . . , kn−1 ) R3 R3 √ nψ(k, k1 , . . . , kn−1 )d3 k1 . . . d3 kn−1 .

(3.70) (3.71) (3.72)

Dies f¨ uhrt unmittelbar zu hη, H0 ψi =

Z

R3

···

Z

R3

ω(k)(A(k)η)(k1 , . . . , kn−1 ) (A(k)ψ)(k1 , . . . , kn−1 )d3 k1 . . . d3 kn−1 d3 k (3.73)

also hη, H0 ψi =

Z

R3

ω(k)A∗ (k)A(k)[η, ψ]d3 k.

(3.74)

Im Sinne quadratischer Formen gilt also H0 =

Z

R3

ω(k)A∗ (k)A(k)d3 k.

(3.75)

Dies ist jedoch genau der Ausdruck f¨ ur die klassische Hamiltonfunktion in (3.29) wenn die Funktion a(k) durch die quadratische Form A(k) ersetzt wird.

30

KAPITEL 3. DAS VAN HOVE-MODELL

3.2.7. Bemerkung (Lorentzinvariante Maße). Nun ist noch der Grund f¨ ur das 1/2 bisher recht unmotivierte Auftauchen der vielen ω(k) zu kl¨aren. Den Hintergrund hierf¨ ur bildet das Studium Lorentzinvarianter Maße auf der positiven ‘Massenschale“ Mm := {p ∈ R4 | g(p, p) = m2 , p0 > 0},

(3.76)

wobei g : R4 ×R4 → R die Minkowskimetrik g(v, w) := v 0 w0 − 3i=1 v i wi ist. Offenbar ist Mm ein Orbit der eigentlichen, orthochronen Lorentzgruppe P

L↑+ := {Λ : R4 → R4 | Λ linear, g(Λv, Λw) = g(v, w) ∀v, w ∈ R4 , det Λ = 1, Λ00 > 0}, (3.77) das heißt f¨ ur alle p ∈ Mm ist Λp ∈ Mm . Dies legt den Wunsch nahe, auf Mm ein Maß Ωm zu finden, welches invariant unter Lorentztransformationen ist, also Ωm (Λ∆) = Ωm (∆) f¨ ur jede meßbare Teilmenge ∆ ⊂ Mm und f¨ ur jedes Λ ∈ L↑+ . Es zeigt sich, daß jedes Maß dieser Art ein Vielfaches von Ωm (∆) =

Z

jm (∆)

d3 k ω(k)

(3.78)

ist. Dabei ist jm die durch Mm 3 (k 0 , k 1 , k 2 , k 3 ) 7→ (k 1 , k 2 , k 3 ) ∈ R3 gegebene Parametrisierung von Mm [19, Thm. IX.37]. Betrachten wir nun den Hilbertraum L2 (Mm , Ωm ). Eine unit¨are Transformation von L2 (Mm , Ωm ) auf L2 (R3 , d3 k) ist offenbar durch f ◦ j −1 L2 (Mm , Ωm ) 3 f 7→ Jm (f ) := q m ∈ L2 (R3 , d3 k) ω( · )

(3.79)

gegeben. Setzen wir dies in den Ausdruck f¨ ur φ(f ) in Gleichung (3.50) ein erhalten wir: φ(f ) = ΦS

fˆ √ ω

!

˜ S (fˆ)Γ(Jm )∗ = Γ(Jm )Φ

(3.80)

˜ S den Segaloperator f¨ ur reellwertige Testfunktionen f ∈ S(R3 , R). Dabei bezeichnet Φ 2 im Fockraum u ¨ber L (Mm , Ωm ). Das heißt wir haben sozusagen im falschen“ Hilber” traum gearbeitet und dies durch das Ber¨ ucksichtigen der ω(k)1/2 Faktoren kompensiert. Warum nun der Hilbertraum L2 (Mm , Ωm ) f¨ ur unsere Zwecke der geeignetere ist werden wir in der n¨achsten Bemerkung diskutieren. Zuvor jedoch noch ein paar Worte zum Feld Φ(t, x). Wir haben es in Satz 3.2.3 r¨aumlich verschmiert um einen Operator zu erhalten. Es ist jedoch auch m¨oglich Φ(t, x) mit einer Funktion von x und t zu verschmieren. Um zu erkennen, was wir dann erhalten f¨ uhren wir zun¨achst die Abbildung √ (3.81) S(R4 , C) 3 f 7→ Ef := 2π f˜ Mm ∈ L2 (Mm , Ωm ) ein, wobei f˜ eine Variante der Fouriertransformation ist: f˜(p) :=

1 Z ig(v,p) e f (v)d4 v. 2 4 (2π) R

(3.82)

3.2. DAS FREIE SKALARE FELD

31

Das heißt anstatt des u ¨blichen Skalarproduktes verwenden wir die Minkowskimetrik im Exponenten. Eine Rechnung ¨ahnlich der aus Satz 3.2.3 zeigt nun sofort daß f¨ ur 4 alle f ∈ S(R , R) durch Φ(f ) :=

Z

R4

˜ S (Ef )Γ(Jm )−1 Φ(t, x)f (t, x)dtd3 x = Γ(Jm )Φ

(3.83)

ein auf dem Definitionsbereich F0 wesentlich selbstadjungierter Operator definiert ist. Auch dies zeigt, daß L2 (Mm , Ωm ) offenbar der angemessenere“ Hilbertraum ” ist. 3.2.8. Bemerkung (Transformationsverhalten der Felder). Am Ende dieses Abschnittes sollen schließlich noch ein paar Worte zur physikalischen Interpretation fallen. Wir betrachten zu diesem Zweck das Transformationsverhalten des Feldes unter Poincar´etransformationen (Λ, a) ∈ P+↑ (Die Poincar´egruppe ist das semidirekte Produkt aus Lorentzgruppe und Translationsgruppe; Λ ist also eine Lorentztransformation und a eine Translation des R4 ). Zu diesem Zweck betrachten wir die folgende Darstellung der Poincar´egruppe auf L2 (Mm , Ωm ): P+↑ 3 (Λ, a) 7→ Um (Λ, a),

(Um (Λ, a)f )(p) = eig(p,a) f (Λ−1 p)

(3.84)

f¨ ur alle f ∈ L2 (Mm , Ωm ). Identifizieren wir nun durch die unit¨are Transformation Jm aus Formel (3.79) den Fockraum FS (L2 (R3 , d3 k)) mit FS (L2 (Mm , Ωm )) dann kann gezeigt werden daß Γ(Um )Φ(t, x)Γ(Um ) = Φ(Λ(t, x) + a)

(3.85)

gilt [19, Thm X.42]. An dieser Stelle sehen wir, warum der Hilbertraum L2 (Mm , Ωm ) so wichtig ist und warum also in vielen Formeln die scheinbar unmotivierten ω(k)1/2 Faktoren auftreten. Ohne diese Faktoren h¨atte das Feld Φ(t, x) nicht dieses Transformationsverhalten, welches f¨ ur die physikalische Interpretation des Modells wesentlich ist. Bevor wir darauf n¨aher eingehen sei noch bemerkt, daß das Studium des Transformationsverhaltens der Felder f¨ ur die Quantenfeldtheorie von entscheidender Bedeutung ist. Wir wollen dies hier nicht vertiefen, werden jedoch beim Studium der kanonischen Vertauschungsrelationen im Kapitel 4 auf diesen Punkt zur¨ uckkommen. 3.2.9. Bemerkung (Physikalische Interpretation). Nach einem Postulat von Wigner werden relativistische, freie Teilchen gerade durch eine irreduzible, ¨ stark stetige, unit¨are Darstellung der universellen Uberlagerungsgruppe der Poincar´egruppe beschrieben (Wigner motivierte dieses Postulat durch die Annahme, ¨ daß Ubergangswahrscheinlichkeiten bei dem Wechsel des Inertialsystems invariant bleiben sollten). Eine Analyse dieser irreduziblen unit¨aren Darstellungen zeigt daß sie durch zwei Parameter, Masse und Spin, charakterisiert werden k¨onnen (Eine ausf¨ uhrliche Darstellung dieses Sachverhalts findet sich im Buch von Barut und Raczka [2]; Die Darstellung Um ist nun, wie sich zeigen l¨aßt irreduzibel und geh¨ort zur Masse m und Spin 0. Ein normiertes ψ ∈ FS (L2 (R3 , C)) mit N ψ = ψ kann daher als der Zustand eines skalaren Teilchens der Masse m interpretiert werden. Entsprechend beschreibt dann N ψ = nψ den Zustand eines n-Teilchensystemes und

32

KAPITEL 3. DAS VAN HOVE-MODELL

Ω0 den Zustand ganz ohne Teilchen, welcher zugleich der Zustand niedrigster Energie also H0 Ω0 = 0 ist. Diese Bemerkung kl¨art die physikalische Interpretation des Modells: es beschreibt also eine beliebige Anzahl wechselwirkungsfreier skalarer Teilchen der Masse m (etwa π 0 Mesonen). Offen ist jedoch noch die Interpretation einiger der von uns konstruierten Observablen. Einfach ist dies bei den Operatoren N und H0 , sie beschreiben Teilchenanzahl und Gesamtenergie. Solch direkte Aussagen sind f¨ ur φ(x) und π(x) problematisch. Jedoch k¨onnen φund π, genauso wie in der Quantenmechanik Ortsund Impulsoperator, benutzt werden, um neue Observablen zu konstruieren. Das einfachste Beispiel hierf¨ ur, welches wir kurz skizzieren wollen, ist der freie Hamiltonian H0 . Wir k¨onnen in der klassischen Hamiltonfunktion H(f, p) (3.19) die Anfangsdaten f und p durch die quantentheoretischen Analoga φ und π ersetzen. Wir erhalten dann den formalen Ausdruck 1Z 1Z ∂φ ∂φ 1 2Z 3 3 π(x)π(x)d x + δij i (x) j (x)d x + m φ(x)φ(x)d3 x. 3 3 3 2 R 2 R ∂x ∂x 2 R

(3.86)

Umformungen ¨ahnlich wie in Bemerkung 3.1.4 f¨ uhren dann zum ebenfalls formalen Ausdruck: 1Z ω(k) (A(k)A(k)∗ + A(k)∗ A(k)) d3 k. 2 R3

(3.87)

Der in diesem Ausdruck auftauchende Term A(k)A(k)∗ ist jedoch nicht definiert, auch nicht als quadratische Form, da hψ, A(k)A(k)∗ ηi = hA(k)∗ ψ, A(k)∗ ηi und ¨ A(k)∗ nicht als Operator definiert ist. Aufgrund physikalischer Uberlegungen (f¨ ur die ich auf die Lehrbuchliteratur u ¨ber Quantenfeldtheorie verweisen will, zB. [4]) kann (3.87) jedoch als Summe bestehend aus dem freien Hamiltonian H0 und einem divergenten Term, der unendlichen Selbstenergie des Vakuums“ (etwa analog zur ” Nullpunktenergie des harmonischen Oszillators) aufgefaßt werden. Da nur Energiedifferenzen nicht jedoch absolute Betr¨age gemessen werden k¨onnen, ist es legitim den Energienullpunkt neu festzulegen, also die Energie zu renormieren“. Das Auf” tauchen der divergenten Nullpunktsenergie k¨onnen wir also grob gesagt als schlechte Wahl des Energienullpunktes interpretieren und den entsprechenden Term subtrahieren. Wir gelangen dann zum renormierten Hamiltonian“ H0 , den wir gleich von ” Anfang an als den richtigen“ Hamiltonoperator interpretiert haben. ” Um (3.87) zu renormieren, haben wir also den undefinierten Ausdruck A(k)A(k)∗ durch die quadratische Form A(k)∗ A(k) zu ersetzen. Diese Idee f¨ uhrt zur Einf¨ uhrung der Wickordnung, die wie folgt definiert werden kann. Gegeben sei ein Polynom P (A(k), A(k)∗ ) in Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren (z.B. ein Potenz von φ(x)), dann ist das normalgeordnete Polynom : P (A(k), A(k)∗ ) : definiert als diejenige quadratische Form die entsteht, wenn jedes Monom von P (A(k), A(k)∗ ) so umgeordnet wird, daß alle Erzeuger A(k)∗ links von allen Vernichtern stehen. Mit diesem Begriff k¨onnen wir nun den freien Hamiltonian auch durch !

1Z ∂φ ∂φ H0 =: π(x)π(x) + δij i (x) j (x)d3 x + m2 φ(x)φ(x) d3 x : 2 R3 ∂x ∂x

(3.88)

angeben. Diese Methode l¨aßt sich nun auf andere Observablen u ¨bertragen. Zum Beispiel auf den Gesamtimpuls oder den Energie-Impuls-Tensor.

3.3. WECHSELWIRKUNG MIT KLASSISCHEN QUELLEN

3.3

33

Wechselwirkung mit klassischen Quellen

Wir wollen nun einen Schritt weiter gehen und Quantenfelder betrachten die mit klassischen Quelltermen wechselwirken“. Das heißt wir suchen nach L¨osungen der ” Feldgleichung ∂2 ψ(t, x) − ∆ψ(t, x) + m2 ψ(t, x) + ρ(x) = 0, 2 ∂t

(3.89)

wobei ρ eine geeignete, m¨oglicher Weise singul¨are Inhomogenit¨at ist. Physikalisch beschreibt ein solches Modell Mesonen deren Wechselwirkung durch den klassischen Quellterm ρ approximiert wird. Besonders interessiert uns der singul¨are Quellterm ρ = δ. Dieser Fall kann als (sehr einfaches) Modell der starken Wechselwirkung aufgefaßt werden: Es beschreibt den Einfluß der Nukleonen (die hier nur durch die Quellverteilung ρ = δ eingehen) auf das Mesonenfeld. Der erste Schritt zur Konstruktion einer solchen Theorie ist die Approximation von δ durch glatte Quellterme. F¨ ur den Rest dieses Abschnittes wollen wir daher ρ ∈ S(R3 , R) betrachten, um dann im n¨achsten Abschnitt den Grenz¨ ubergang ρ → δ durchzuf¨ uhren. Bevor wir mit der mathematischen Analyse dieses Problems beginnen sei noch bemerkt, daß bei diesen Modellen eigentlich nicht von Wechselwirkung“ geredet werden kann, ” da der Quellterm ρ zwar Auswirkungen auf die Quantenfelder hat, umgekehrt die Quantenfelder jedoch nicht auf die Quelle zur¨ uckwirken. Um nun ein solches Modell zu konstruieren suchen wir als erstes nach einen Ansatz f¨ ur den Wechselwirkungshamiltonian H. Es sollte sich dabei um einen selbstadjungierten Operator auf dem Fockraum FS (L2 (R3 , d3 x)) handeln. Die wechsel” wirkenden“ Felder erhalten wir dann durch −itH ˜ ˜ x) eitH φ(x)e =: Φ(t,

(3.90)

˜ wobei φ(x) eine quadratische Form ¨ahnlich der aus (3.45) ist. Um einen Ansatz f¨ ur H zu erhalten orientieren wir uns an der Form (3.75) des freien Hamiltonian. Diese entsprach in ihrer Gestalt der klassischen Hamiltonfunktion H(a) (siehe (3.29). Der Diskussion aus 3.1.4 folgend erhalten wir als Hamiltonfunktion f¨ ur die Feldgleichung (3.89) den Ausdruck S(R3 , R) × S(R3 , R) 3 (f, p) 7→ H(f, p) + hf, ρi

(3.91)

wobei H(f, p) die Hamiltonfunktion des freien Feldes aus (3.19) ist. Ersetzen wir die Anfangsdaten f, p durch die Funktion a(k) dann erhalten wir HW (a) :=

Z

R3

ω(k)a(k)a(k)d3 k + Z d3 k 1 Z −ihk,xi ihk,xi q ρ(x) a(k)e + a(k)e d3 x. (3.92) 3/2 3 3 (2π) R R 2ω(k)

Wenn wir in diesem Ausdruck formal a(k) durch A(k) und a(k) durch A(k)∗ ersetzen erhalten wir den Operator (siehe hierzu auch die Diskussion der Wickordnung in Bemerkung 3.2.9) H := H0 + φ(ρ) : DS → FS (L2 (R3 , d3 x))

(3.93)

34

KAPITEL 3. DAS VAN HOVE-MODELL

der auf seinem Definitionsbereich symmetrisch ist. Eine ausf¨ uhrliche Analyse von Operatoren dieser Gestalt wurde von Cook 1961 durchgef¨ uhrt [8]. Wir wollen f¨ ur alle Beweise in diesem Abschnitt auf diese Arbeit verweisen (siehe auch den entsprechenden Abschnitt im Buch von Emch [10]). Als erstes gilt 3.3.1. Satz. Der Operator H aus Gleichung (3.93) ist auf dem Definitionsbereich D(H0 ) selbstadjungiert. Außerdem ist H wesentlich selbstadjungiert auf jedem Core von H0 . Beweis: Der Beweis einer verallgemeinerten Version dieser Aussage findet sich in [8, Lemma 2]. Wir wollen f¨ ur den Beweis das folgende Theorem von Kato und Rellich verwenden [19, Thm. X.12]: A und B seien dicht definierte Operatoren auf einem Hilbertraum H so daß 1. D(A) ⊂ D(B) ist, 2. mit R 3 a < 1 und b ∈ R die Ungleichung kBψk ≤ akAψk + bkψk f¨ ur alle ψ ∈ D(A) erf¨ ullt ist (d.h. B ist A-beschr¨ankt mit relativer Schranke a) und 3. A selbstadjungiert und B symmetrisch ist, dann ist A + B auf D(A) selbstadjungiert. Außerdem ist A + B wesentlich selbstadjungiert auf jedem Core von A. Wir wollen dieses Theorem auf A = H0 und B = φ(ρ) anwenden. Daf¨ ur m¨ ussen wir als erstes zeigen, daß φ(ρ) auf dem Definitionsbereich von H0 als symmetrischer Operator definiert ist. Hierbei ist zu bedenken, daß H0 hier als selbstadjungierte Fortsetzung des auf DS definierten Operators dΓ(h0 ) aufzufasssen ist. Das heißt D(H0 ) ⊃ DS . Der Operator φ(ρ) dagegen ist die selbstadjungierte Fortsetzung des Segaloperators ΦS (ˆ ρ/ω 1/2 ), dessen Definitionsbereich F0 ist. Aufgrund der Definition des Segaloperators reicht es zu zeigen, daß A(˜ ρ) und ∗ 1/2 A(˜ ρ) (mit ρ˜ := ρˆ/ω ) auf D(H0 ) definiert sind. Betrachten wir zun¨achst A(˜ ρ). Mit (A.19) folgt f¨ ur ψ ∈ D(A(˜ ρ)): kA(˜ ρ)ψk2 =h(N + 1)b− (˜ ρ)ψ, b− (˜ ρ)ψi = =

∞ X

(3.94)

nhb− (˜ ρ)ψ (n) , b− (˜ ρ)ψ (n) i ≤

(3.95)

n=0

≤k˜ ρk2

∞ X

nhψ (n) , ψ (n) i.

(3.96)

n=0 (n) 2 Das heißt wir m¨ ussen zeigen, daß f¨ ur alle ψ ∈ D(H0 ) die Summe ∞ k n=0 (n + 1)kψ endlich ist. Hierf¨ ur stellen wir zun¨achst fest, daß der Einteilchenhamiltonian h0 von unten durch m beschr¨ankt ist. Das heißt f¨ ur η ∈ L2 (R3 , d3 k) gilt

P

hh0 η, ηi = hωη, ηi ≥ inf3 ω(k)kηk2 = mkηk2 . k∈R

(3.97)

F¨ ur ψ ∈ D(H0 ) ist daher kH0 ψk2 =

∞ X

n=0

k(H0 ψ)(n) k2 ≥ m2

∞ X

n2 kψ (n) k2 .

(3.98)

n=0

Wir haben an dieser Stelle die Definition von H0 in (3.66) und die Definition der zweiten Quantisierung selbstadjungierter Operatoren in (A.10) eingesetzt. Aus dieser

3.3. WECHSELWIRKUNG MIT KLASSISCHEN QUELLEN

35

Ungleichung folgt nun ∞ X

(n + 1)kψ (n) k ≤

n=0

∞ X

nkψ (n) k + kψk ≤

∞ X

n2 kψ (n) k + kψk < ∞.

(3.99)

n=0

n=0

¨ Damit ist A(˜ ρ)ψ definiert. Ahnliche Argumente zeigen, daß kA(˜ ρ)∗ ψk2 ≤ k˜ ρk2 h(N + 1)ψ, ψi = k˜ ρk2

∞ X

(n + 1)kψ (n) k2

(3.100)

n=0

was beweist, daß auch A(˜ ρ)∗ ψ definiert ist. Daher folgt D(H0 ) ⊂ D(φ(ρ)). Wir betrachten erneut kφ(ρ)ψk2 . Offenbar ist 1 kφ(ρ)ψk2 = kA(˜ ρ)ψ + A(˜ ρ)∗ ψk2 ≤ kA(˜ ρ)ψk2 + kA(˜ ρ)∗ ψk2 . 2

(3.101)

Setzen wir hier (3.96) und (3.100) ein folgt 2

2

kφ(ρ)ψk ≤ k˜ ρk

∞ X

k(2n + 1)ψ (n) k2 < ∞.

(3.102)

n=0

Dies k¨onnen wir benutzen um zu zeigen, daß kφ(ρ)ψk2 ≤ a2 kH0 ψk2 + b2 kψk2

(3.103)

mit geeigneten Konstanten a, b ∈ R, a < 1 gilt. Aufgrund des oben zitierten Theorems folgt dann die Behauptung. Aufgrund von (3.102) folgt nun die Ungleichung (3.3) offenbar aus a2 m2

∞ X

n2 kψ (n) k2 + b2

n=0

∞ X

n2 − k˜ ρk2

n=0

∞ X

k(2n + 1)ψ (n) k2

(3.104)

n=0

was f¨ ur alle n ∈ N0 a2 m2 n2 − 2k˜ ρk2 n + (b2 − k˜ ρk2 ) ≥ 0

(3.105)

impliziert. Diese Ungleichung wird aber durch alle a=

k˜ ρ k2 k˜ ρk2 , b > k˜ ρk2 (λ + 1) mit λ > λm m

(3.106)

erf¨ ullt, was den Satz beweist. Der n¨achste Schritt besteht in der Spektralanalyse des Hamiltonians H. Genauer gesagt, wir werden untersuchen wie das Spektrum des freien Hamiltonians H0 und das Spektrum von H miteinander zusammenh¨angen. Zu diesem Zwecke f¨ uhren wir ∨ f ˆ mittels der Ortsdarstellung des Einteilchenhamiltonians h0 f = (h0 f ) den unit¨aren Operator e −2 ρ)

V := e−iπ(h0 ein, welcher folgendem Satz gen¨ ugt.

(3.107)

36

KAPITEL 3. DAS VAN HOVE-MODELL

3.3.2. Satz. F¨ ur alle ψ ∈ D(H0 ) = D(H) gilt 1 f −1 2 V HV −1 ψ = H 0 ψ + W ψ mit W := kh 0 ρk . 2

(3.108)

Das heißt H ist bis auf die additive Konstante W unit¨ar ¨aquivalent zum freien Hamiltonian. Beweis: Der Beweis einer Verallgemeinerung dieser Aussage findet sich wieder im Artikel von Cook [8, Thm. 1]. Wir wollen hier einen k¨ urzeren Beweis angeben. Der erste Schritt ist die Suche nach einem gemeinsamen Core f¨ ur die Operatoren H0 und H. Gem¨aß Satz 3.3.1 reicht es hierf¨ ur einen Core von H0 zu finden. Wir f¨ uhren 2 3 3 daher f¨ ur jedes f ∈ L (R , d k) die Exponentialvektoren e(f ) :=

∞ X

f

⊗n

n=0

mit f

⊗n

N  n

:= 

k=1

f

1

f¨ ur n > 0 f¨ ur n = 0

(3.109)

ein [18, Kapitel 19]. Die unit¨aren Operatoren Ut = exp(itH0 ) wirken nun auf diese Exponentialvektoren durch [18, Kapitel 20] Ut e(f ) = e(eith0 f ) = e(eitω f )

(3.110)

Daher wird der lineare Teilraum ES := span{e(f ) | f ∈ S(R3 , C)}

(3.111)

von FS (L2 (R3 , d3 k)) durch Ut auf sich abgebildet. ES ist jedoch zugleich ein dichter Teilraum [18, Kor. 19.5] von FS (L2 (R3 , d3 k)). Daher folgt aus [20, Thm. VIII.11], daß ES ein Core f¨ ur H0 ist und somit ist, wie bereits gesagt, H auf ES ebenfalls wesentlich selbstadjungiert. Dies impliziert, daß wir Gleichung (3.108) nur f¨ ur alle ψ ∈ ES beweisen m¨ ussen. Die Strategie des Beweises ist es, V und V −1 durch Potenzreihen zu ersetzen. Da π(hf0 ρ) jedoch ein unbeschr¨ankter Operator ist, sind V und V −1 nur formal durch solche Potenzreihen definiert. (Formale Rechnungen dieser Art sind sehr gef¨ahrlich! Vergleiche hierzu die Gegenbeispiele von Nelson [20, VIII.5].) Wir betrachten daher die Abbildung C × C × R 3 (z1 , z2 , s) 7→ Y (z1 , z2 , s) := V (−z1 )eisH0 V (z2 )e(f ) ∈ FS (L2 (R3 , d3 k)), (3.112) −2

f ρ))ψ ist. Mit [18, Kap. 20] und wegen H = dΓ(h ) wobei V (z)ψ := exp(−iπ(z h 0 0 0 folgt nun −2

−2

f ρ) − z h f Y (z1 , z2 , s) = C(s, z1 , z2 )e(eish0 (f + z1 h 0 2 0 ρ) ∈ ES ,

(3.113)

mit C(s, z1 , z2 ) = −2 −2 1 1 f −2 ρ, eish0 (f + z h f −2 ρ) − f i . (3.114) exp − kz2 hf0 ρk2 − kz1 hf0 ρk2 + hh 0 1 0 2 2

3.3. WECHSELWIRKUNG MIT KLASSISCHEN QUELLEN

37

F¨ ur jedes ψ ∈ FS (L2 (R3 , d3 k)) ist daher die Abbildung C × C × R 3 (z1 , z2 , s) 7→ hY (z1 , z2 , s), ψi ∈ C

(3.115)

stetig differenzierbar in s und analytisch in z1 , z2 [18, Prop. 20.2, 20.3]. Aus der Definition analytischer Abbildungen folgt nun jedoch, daß auch C × C 3 (z1 , z2 ) 7→

d hY (z1 , z2 , s), ψi|s=0 = −ihV (−z1 )H0 V (z2 )e(f ), ψi ds

(3.116)

f¨ ur alle ψ ∈ FS (L2 (R3 , d3 k)) analytisch ist. Dies bedeutet jedoch per Definition die schwache Analytizit¨at von C × C 3 (z1 , z2 ) 7→ X(z1 , z2 ) := V (−z1 )H0 V (z2 )e(f )

(3.117)

und wegen [20, VI.4] auch die starke Analytizit¨at. Daher [14, Thm 3.11.4, Thm 3.15.1] existiert die Taylorentwicklung ∞ X

1 ∂ n+l X (0, 0)z1n z2l n l n!l! ∂z ∂z 1 2 n=0,l=0

(3.118)

als absolut konvergente (in der Normtopologie) Potenzreihe. Wir m¨ ussen also lediglich die Ableitungen der Funktion X bestimmen. Aus dem Satz von Stone [20, Thm. VIII.8] folgt: ∂ n+l X ∂n ∂l ∂ (0, 0) = Y (z1 , z2 , s)|s=z1 =z2 =0 ∂z1n ∂z2l ∂z1n ∂z2l ∂s ∂n ∂ ∂l = n Y (z1 , z2 , s)|s=z1 =z2 =0 ∂z1 ∂s ∂z2l −2

−2

f ρ))l e(f ). = (iπ(hf0 ρ))n H0 (−iπ(h 0

(3.119) (3.120) (3.121)

Hierbei haben wir die Tatsache ber¨ ucksichtigt, daß (z1 , z2 , s) 7→ Y (z1 , z2 , s) in allen Argumenten stetig differenzierbar ist, und daher die Reihenfolge der partiellen Ableitungen vertauscht werden darf (dies gilt nicht nur im Rn sondern f¨ ur alle stetig differenzierbaren Abbildungen zwischen Banachr¨aumen [9, 8.12.3]). Daher erhalten wir mit ψ ∈ FS (L2 (R3 , d3 k)) f¨ ur die Taylorreihe aus (3.118): V −1 H0 V =

∞ X

1 f −2 ρ))n H (−iπ(h f −2 ρ))l ψ (iπ(h 0 0 0 n=0,l=0 n!l!

= H0 +

∞ X

−2 −2 1 f −2 ρ), H ] . . . ]]ψ. [iπ(hf0 ρ), [iπ(hf0 ρ), . . . [iπ(h 0 0 | {z } n=1 n! n mal

(3.122) (3.123)

¨ Das zweite Gleichheitszeichen folgt mit vollst¨andiger Induktion (Ubungsaufgabe!). Wir berechnen nun die in der letzten Gleichung auftretenden Kommutatoren. F¨ ur ψ ∈ F0 galt aufgrund des Satzes 3.2.5 exp(itH0 )φ(f ) exp(−itH0 )ψ = Φ(t, f )ψ. Leiten wir beide Seiten nach t an der Stelle t = 0 ab, erhalten wir daher: f f ) (siehe Satz 3.2.3) daher also i[H0 , φ(f )]ψ = π(f )ψ. Nun ist jedoch π(f ) = φ(ih 0 −2

−1

−1

f ρ)]ψ = i[H , φ(ih f ρ)]ψ = π(ih f ρ)ψ = −φ(ρ)ψ i[H0 , π(h 0 0 0 0

(3.124)

38

KAPITEL 3. DAS VAN HOVE-MODELL

und aufgrund der kanonischen Vertauschungsrelationen (siehe Satz 3.2.4) −2

−2

−2

f ρ), [π(h f ρ), H ]]ψ = −i[π(h f ρ), φ(ρ)]ψ = [π(h 0 0 0 0

−2

−1

f ρk2 ψ. (3.125) = hhf0 ρ, ρiψ = kh 0

F¨ ur n > 2 gilt offenbar: −2

−2

−2

[iπ(hf0 ρ), [iπ(hf0 ρ), . . . [iπ(hf0 ρ), H0 ] . . . ]]ψ = 0. {z

|

(3.126)

}

n mal

Setzen wir dies in (3.123) ein, dann folgt offenbar die Behauptung. Dieser Satz zeigt, daß aufgrund der Wechselwirkung mit dem Quellterm ρ die Gesamtenergie des Systems gegen¨ uber dem wechselwirkungsfreien System um eine endliche Konstante W verschoben ist. Man kann sich obendrein u ¨berlegen, daß dieser Betrag gerade durch Selbstwechselwirkungen der Quellen durch Yukawapotentiale zustande kommt (siehe [10, 1.d] und die Zitate darin). Das heißt aber, daß die niedrigst m¨ogliche Energie des Systems gerade durch die Konstante W gegeben ist. Da aber nur Energiedifferenzen und keine absoluten Betr¨age gemessen werden k¨onnen und da die Subtraktion der Konstanten W keine Auswirkungen auf die Zeitentwicklung von Erwartungswerten hat: heit(H−W 1I) ψ, Aeit(H−W 1I) ψi = he−itW eitH ψ, e−itW AeitH ψi = heitH ψ, AeitH ψi

(3.127) (3.128)

k¨onnen wir den Wechselwirkungshamiltonian H durch den renormierten Hamiltonian Hρ := H − W 1I : D(H) → FS (L2 (R3 , d3 k))

(3.129)

ersetzen, der unit¨ar ¨aquivalent zum freien Hamiltonian ist. Um nun das wechselwirkende Feld zu definieren, ben¨otigen wir eine Darstellung der kanonischen Vertauschungsrelationen, d.h. Felder φρ (x), πρ (x), die mit einer Testfunktion f ∈ S(R3 , C) verschmiert φρ (f ) =

Z

R3

f (x)φρ (x)d3 x,

πρ (f ) =

Z

R3

f (x)πρ (x)d3 x

(3.130)

abschließbare Operatoren definieren, die dieselben Kommutatorrelationen wie φ(f ) und π(f ) in Satz 3.2.4 erf¨ ullen. Die Felder φ(x) und π(x) aus (3.46) bzw (3.47) sind nicht geeignet, da das nackte Vakuum“ Ω0 zwar bzgl. des Teilchenzahlopera” tors N der einzige Zustand ohne Teilchen ist, jedoch nicht der Zustand niedrigster Energie von Hρ ist. Obendrein ist Ω0 nicht invariant unter der durch Hρ gegebenen Zeitentwicklung, d.h. exp(itHρ )Ω0 6= Ω0 . Eine bessere Wahl ist daher φρ (x) = V φ(x)V ∗ ,

π(x)ρ = V π(x)V ∗

(3.131)

denn f¨ ur die so gew¨ahlten φρ (x), πρ (x) spielt das physikalische Vakuum“ Ωρ := V Ω0 , ” welches offenbar der Eigenzustand von Hρ zur niedrigsten Energie ist, dieselbe Rolle

3.3. WECHSELWIRKUNG MIT KLASSISCHEN QUELLEN

39

wie Ω0 f¨ ur die φ(x), π(x). Um diese Aussage etwas zu pr¨azisieren betrachten wir die Operatoren (f reellwertig) √ 1 1 Aρ (f ) = √ φ(( ω fˆ)∨ ) + iπ(( √ fˆ)∨ ) , ω 2 !

Aρ (if ) = −iAρ (f )

(3.132)

welche sich zu φρ (x), πρ (x) genauso verhalten wie die Vernichtungsoperatoren A(f ) zu φ(x), π(x) (vergleiche die Ausdr¨ ucke f¨ ur φ(f ) und π(f ) in Satz 3.2.3 und die Definition des Segaloperators in Satz A.2.3) Die Aρ (f ) annilieren nun das physikalische Vakuum d.h. Aρ (f )Ωρ = 0 f¨ ur alle f . Wir definieren daher das wechselwirkende Feld Φρ (t, x) := eitHρ φρ (x)e−itHρ = V Φ(x, t)V ∗

(3.133)

welches offenbar unit¨ar ¨aquivalent zum freien Feld ist. Dieser Umstand deutet schon an, daß das somit konstruierte Modell aus physikalischer Sicht noch nicht besonders interessant ist. Deutlicher, wird dies wenn wir die zum Feld Φρ geh¨orende Streutheorie untersuchen. Zuvor wollen wir jedoch eine n¨ utzliche Beziehung der Felder Φρ (x) zu den freien Φ untersuchen. Wir betrachten zu diesem Zweck die verschmierten Felder Φρ (t, f ) =

Z

R3

Φρ (t, x)f (x)d3 x = V Φ(t, f )V ∗

∀f ∈ S(R3 , C)

(3.134)

und erhalten: 3.3.3. Behauptung. F¨ ur jede Testfunktion f ∈ S(R3 , C) gilt die Beziehung Φρ (t, f ) = Φ(t, f ) + hh−2 ˆ, eitω fˆi. 0 ρ

(3.135)

Beweis: Dies wird auf die gleiche Weise bewiesen, wie Satz 3.3.2. Es lediglich H0 durch Φ(t, f ) zu ersetzen (nat¨ urlich m¨ ussen am Ende andere Vertauschungsrelationen benutzt werden) und zu ber¨ ucksichtigen, daß Φ(t, f ) = φ((exp(iωt)fˆ)∨ ) ist. Wir k¨onnen also die Dynamik der wechselwirkenden Felder Φρ (t, x) direkt durch die Dynamik der freien Felder ausdr¨ ucken, ohne explizit den Hamiltonian Hρ zu benutzen. Dies wird im n¨achsten Abschnitt sehr n¨ utzlich sein. Zuvor jedoch ein paar Worte zur Streutheorie. 3.3.4. Bemerkung (physikalische Interpretation/Streutheorie). Die grundlegende Idee der Streutheorie1 kann wie folgt skizziert werden: Wir betrachten Teilchen, deren Dynamik bei Anwesenheit eines Streuzentrums“ durch den Wechsel” wirkungshamiltonian H und bei Abwesenheit des Streuzentrums durch den freien Hamiltonian H0 beschrieben wird. In großer Entfernung vom Streuzentrum soll dabei die Wechselwirkung vernachl¨assigbar sein, d.h. dort kann die wechselwirkende Dynamik durch die freie Dynamik approximiert werden. Das heißt der Experimentator pr¨apariert in der fernen Vergangenheit freie Teilchen im Zustand ψin und er registriert in der fernen Zukunft ebenfalls freie Teilchen im Zustand 1 Ich habe mich mit dieser Bemerkung sehr eng an die entsprechenden Ausf¨ uhrungen in [10] gehalten, die ein ausf¨ uhrlicheres Studium der Streutheorie nicht ersetzen k¨ onnen. Dies ist jedoch keine Vorlesung u uhrliche Darstellung stellt der dritte ¨ber Streutheorie. Eine mathematisch ausf¨ Band des Buches von Reed und Simon [21] dar.

40

KAPITEL 3. DAS VAN HOVE-MODELL

ψout . Die wesentlichen physikalischen Gr¨oßen die dabei gemessen werden, sind ¨ Ubergangswahrscheinlichkeiten ψin → ψout . Um diese zu ermitteln nimmt man nun an, daß ein intermedi¨arer“ Zustand ψ existiert, dessen Zeitentwicklung durch die ” wechselwirkende Dynamik gegeben ist und der f¨ ur t → ±∞ den In-“ bzw. Out” ” “Zustand approximiert. Das heißt, daß f¨ ur jeden Inzustand ψin und jeden Outzustand ψout ein ψ existiert, so daß lim |heitH0 ψin , AeitH0 ψin i − heitH ψ, AeitH ψi| = 0

(3.136)

lim |heitH0 ψout , AeitH0 ψout i − heitH ψ, AeitH ψi| = 0

(3.137)

t→−∞

und t→∞

f¨ ur alle Observablen A erf¨ ullt ist. Wir k¨onnen somit den Zustand ψ durch lim e−itH eitH0 ψin

(3.138)

lim e−itH eitH0 ψout

(3.139)

t→−∞

bzw. durch t→∞

definieren. Dieser Limes definiert also die beiden Mølleroperatoren Ω± = s − lim e−itH eitH0

(3.140)

Ω± = s − lim e−itH eitH0 Pac (H0 ),

(3.141)

t→±∞

(Genauer gesagt: t→±∞

wobei Pac (H0 ) die Projektion auf den absolut stetigen Teilraum von H0 bezeichnet; siehe [21, XI.3]). Wir k¨onnen sie verwenden um die eingangs erw¨ahnten ¨ Ubergangswahrscheinlichkeiten zu bestimmen. Wir suchen die Wahrscheinlichkeit, daß am Ende des Experiments der Zustand ηout gemessen wird wenn das System zu Beginn im Zustand ψin pr¨apariert war: |hη, ψi|2 = |hΩ+ ηout , Ω− ψin i|2 = |hηout , Ω∗+ Ω− ψin i|2 =: |hηout , Sψin i|2 .

(3.142)

Der Operator S dessen Matrixelemente also die gesuchten ¨ Ubergangswahrscheinlichkeiten beschreiben heißt Streuoperator oder S-Matrix. Ihn zu bestimmen ist das wichtigste Ziel einer wechselwirkenden Quantenfeldtheorie. Kommen wir nun auf die zuvor konstruierte Quantenfeldtheorie zur¨ uck. Im Falle einer Feldtheorie wandeln wir die asymptotischen Bedingungen (3.136) und (3.137) in Bedingungen an die Felder um, die f¨ ur das von uns untersuchte Modell lim hψ, Φin (t, f ) − Φρ (t, f )ψi = 0

(3.143)

lim hψ, Φout (t, f ) − Φρ (t, f )ψi = 0

(3.144)

t→∞

und t→∞

3.3. WECHSELWIRKUNG MIT KLASSISCHEN QUELLEN

41

lauten. Die asymptotisch freien Felder Φin (t, f ) und Φout (t, f ) stimmen in unserem Falle mit dem freien Feld Φ(t, f ) u ¨berein. Wir erkennen dies unter Verwendung von Behauptung 3.3.3, denn (3.143) und (3.144) sind offenbar ¨aquivalent zu −2 lim hhf0 ρ, (eitω fˆ)∨ i = 0,

t→±∞

(3.145)

f f = (h fˆ)∨ den Einteilchenhamiltonian in Ortsdarstellung bezeichnet (vergl. wobei h 0 0 Satz 3.3.2). Im Impulsraum wird dieser Ausdruck zu

lim

Z

t→±∞ R3

ρˆ(k) itω(k) ˆ e f (k)d3 k. ω 2 (k)

(3.146)

F¨ uhren wir nun zus¨atzlich die neuen Koordinaten S 2 × (m2 , ∞) 3 (α, s) → κ(α, s) :=

√

s2 − m2 α ∈ R3

(3.147)

ein, f¨ uhrt dies zum Integral Z

S2

Z ∞ m2

√ ρˆ(κ(α, s) its ˆ e f (κ(α, s))s s2 − m2 dsdV (α), 2 s

(3.148)

wobei dV (α) das Oberfl¨achenelement der S 2 bezeichnet. Nun betrachten wir die Funktion  √  ρˆ(κ(α,s) fˆ(κ(α, s))s s2 − m2 s > m2 2 S 2 × R 3 (α, s) 7→ h(α, s) :=  s (3.149) 0 s < m2 . Offenbar ist s 7→ h(α, s) f¨ ur alle α ∈ S 2 integrierbar, denn ρ und f sind Schwartzfunktionen, der Rest Polynomial beschr¨ankt. Daher existiert die inverse Fouriertransformation Z ˇhα (t) := √1 h(α, s)eits ds 2π R

(3.150)

f¨ ur alle α ∈ S 2 und ist aufgrund des Riemann-Lebesgue Lemmas [19, Thm. IX.7] eine stetige Funktion die im Unendlichen verschwindet. Da außerdem die Funktion ˇ α (t) beschr¨ankt ist (also die Funktionenschar α 7→ h ˇ α (t) mit S 2 × R 3 (α, t) 7→ h t als Scharparameter) gleichm¨aßig beschr¨ankt) folgt mit dem Satz u ¨ber dominierte Konvergenz [20, Thm. I.11] daß √ Z lim 2π

t→±∞

S2

ˇ α (t)dV (α) = h

√ Z 2π

ˇ α (t)dV (α) = 0 lim h

S 2 t→±∞

(3.151)

also (3.144) erf¨ ullt ist. Dies impliziert, daß die mit dem Quantenfeld Φρ verbundene Streutheorie trivial ist: Das asymptotisch freie In-Feld Φin stimmt mit dem asymptotisch freien Out-Feld Φout u ¨berein. Daher ist die S-Matrix die Identit¨at. Dies best¨atigt, was wir bereits weiter oben angedeutet haben: Die bisher konstruierte Theorie ist noch nicht sehr interessant, da die Streutheorie von einer Wechselwirkung nichts sp¨ urt. Dies wird sich im n¨achsten Abschnitt jedoch ¨andern.

42

3.4

KAPITEL 3. DAS VAN HOVE-MODELL

Das van Hove Modell

Zu Beginn des letzten Abschnittes haben wir bereits erw¨ahnt, daß unser eigentliches Ziel der Fall ρ = δ ist. Physikalisch ist dieser Fall als primitives Modell der starken Wechselwirkung zu betrachten. Die Nukleonen treten hier nur sehr rudiment¨ar durch den Quellterm ρ auf. Beschrieben wird daher nur der Einfluß der Nukleonen auf die Mesonen. Die Vorgehensweise aus dem letzten Abschnitt ist nun nicht mehr anwendbar, da H0 + φ(δ) keine wohldefinierter Operator ist. Dieser Umstand deutet bereits an, daß der Wechselwirkungshamiltonian Hρ im Falle ρ = δ auf dem Fockraum des freien Feldes nicht als selbstadjungierter Operator existieren kann. Wir werden dies noch genauer untersuchen, zuvor jedoch zeigen, wie die wechselwirkenden Felder Φδ trotz dieser Schwierigkeiten konstruiert werden k¨onnen. Zu diesem Zweck wollen wir die Dynamik des freien Feldes Φ und eines Feldes Φρ , zun¨achst mit ρ ∈ S(R3 , R), in einem neuen Kontext formulieren. Wir betrachten daher die Algebra A := span {

n Y

!

φ(fi ) | fi ∈ S(R3 , C), n ∈ N} ∪ {1I}

(3.152)

i=1

die von den Feldoperatoren φ(f ) erzeugt wird. A ist eine *-Algebra“: Das heißt A ” ist ein Vektorraum, auf dem ein bilineares, assoziatives Produkt A × A 3 (A, B) 7→ A · B ∈ A und eine *-Operation A 3 A 7→ A∗ ∈ A definiert ist. Offenbar sind alle Φ(t, f ) und alle Φρ (t, f ) Elemente dieser Algebra. Wir k¨onnen daher die Abbildungen A 3 A 7→ αt0 (A) = eitH0 Ae−itH0 ∈ A

(3.153)

A 3 A 7→ αtρ (A) = eitHρ Ae−itHρ ∈ A

(3.154)

und

definieren. αt0 und αtρ sind Automorphismen der Algebra A: Sie sind linear und multiplikativ αtρ (AB) = αtρ (A)αtρ (B) und vertauschen mit der *-Operation: αtρ (A)∗ = αtρ (A∗ ). F¨ ur uns sind sie deshalb interessant, weil sie die Dynamik der Felder Φ und Φρ wiederspiegeln: Es gilt: Φ(t, f ) = αt0 (φ(f )) und Φρ (t, f ) = αtρ (φρ (f )). Damit bleibt die Frage, was wir mit dieser Konstruktion eigentlich gewonnen haben. Hierf¨ ur benutzen wir die Behauptung 3.3.3 und die Abk¨ urzungen c(f, ρ) := hH0−2 ρ, f i und ft := (eitω fˆ)∨

(3.155)

und erhalten αtρ (φ(f )) + c(f, ρ)1I = αtρ (φ(f ) + c(f, ρ)1I) = αtρ (φρ (f )) = = αt0 (φ(f )) + c(ft , ρ)1I, (3.156) woraus αtρ (φ(f )) = αt0 (φ(f )) + c(ft − f, ρ)1I

(3.157)

3.4. DAS VAN HOVE MODELL

43

folgt. Da die Algebra A von den Feldern φ(f ) erzeugt wird, ist durch die letzte Gleichung αtρ eindeutig bestimmt, ohne den Wechselwirkungshamiltonian explizit zu benutzen. Schreiben wir c(ft , ρ) in Impulsdarstellung auf Z

R3

ρˆ(k) itω(k) ˆ ˆ(k) d3 k, e f (k) − f ω 2 (k)

(3.158)

erkennen wir daß der Grenz¨ ubergang ρˆ → 1 (also im Ortsraum ρ → δ) problemlos durchzuf¨ uhren ist ρˆ(k) itω(k) ˆ ˆ(k) d3 k e f (k) − f ρˆ→1 R3 ω 2 (k) Z eitω(k) fˆ(k) − fˆ(k) 3 = d k. ω 2 (k) R3

c(δ, ft ) := lim

Z

(3.159) (3.160)

Da f eine Schwartzfunktion ist, ist das letzte Integral und damit auch c(δ, ft − f ) wohldefiniert. Wir haben damit das wechselwirkende Feld Φδ (t, f ) und die dazugeh¨origen αtδ definiert: Φδ (t, f ) := αtδ (φ(f )) = αt0 (φ(f )) + c(δ, ft − f )1I.

(3.161)

Aus Sicht der Quantenfeldtheorie repr¨asentieren die Felder Φρ mit ρ ∈ S(R3 , R) einen Impulsraum-Cutoff“. Das heißt, um die bei großen Frequenzen auftretenden ” Divergenzen (etwa bei dem Versuch den Wechselwirkungshamiltonian f¨ ur ρ = δ zu definieren) zu beseitigen, werden diese Frequenzen durch die Cutoff-Funktion“ ” ρˆ ∈ S(R3 , C) abgeschnitten. Die Theorie ist dann wie wir gesehen haben endlich. Nun haben wir algebraische Methoden benutzt, um den Cutoff zu entfernen und das wechselwirkenden Feld zu definieren. Dies zeigt, wie n¨ utzlich algebraische Methoden in der Quantenfeldtheorie sein k¨onnen und motiviert ein intensiveres Studium von Operatoralgebren, welches wir im n¨achsten Kapitel beginnen wollen. Zuvor jedoch wollen wir ein paar Argumente untersuchen, die aufzeigen, daß die Dynamik des Feldes Φδ auf dem Fockraum des freien Feldes tats¨achlich nicht unit¨ar implementierbar ist. Das heißt auf diesem Hilbertraum gibt es keinen selbstadjungierten Operator Hδ so daß Φδ (t, f ) = exp(itHδ )φδ (f ) exp(−itHδ ) ist. Damit eng verkn¨ upft ist die Tatsache, daß es keinen Vektor im Fockraum des freien Feldes gibt, der die Rolle des physikalischen Vakuums u ¨bernehmen kann. Wir definieren zu diesem Zwecke, wie in (3.132), die zum Feld Φδ (t, f ) geh¨orenden Vernichtungsoperatoren Aδ (f ). Unter Ber¨ ucksichtigung von (3.161) erhalten wir wegen πρ (f ) = ∂t Φρ (t, f )|t=0 den Ausdruck (f¨ ur reellwertiges f ): Aδ (f ) = A(f ) + d(f, δ)1I,

1 Z f d(f, δ) := √ d3 k. 3/2 3 ω (k) 2 R

(3.162)

Aρ (f ) ist offenbar ein wohldefinierter (abschließbarer) Operator auf dem Fockraum FS (L2 (R3 , d3 k)) und wir sehen, daß er f¨ ur jedes f ∈ L2 (R3 , d3 k) definiert ist (bei antilinearer Fortsetzung: Aδ (if ) := iAδ (f )) denn das Integral d(f, δ) konvergiert offenbar f¨ ur jedes solche f . Das physikalische Vakuum ist nun durch die Bedingung Aδ (f )Ωδ = 0 gegeben. Wir werden im folgenden zeigen, daß ein solches Ωδ nicht existiert:

44

KAPITEL 3. DAS VAN HOVE-MODELL

3.4.1. Satz. Das einzige Element Ωδ in F0 ⊂ FS (L2 (R3 , d3 k)), so daß Aδ (f )Ωδ = 0 f¨ ur alle f ∈ L2 (R3 , d3 k) gilt, ist die Null. Beweis: Sei also 0 = Aδ (f )Ωδ =

∞ X

(n)

Aδ (f )Ωδ =

n=0

∞ X

n=0

(n)

A(f )Ωδ +

∞ X

(n)

d(f, δ)Ωδ ,

(3.163)

n=0

(n)

dann folgt wegen A( f )Ωδ ∈ Sn H(n) und wegen H(n) ⊥H(n+1) daß f¨ ur alle n die (n+1) n) Gleichung A(f )Ωδ = −d(f, δ)Ωδ gilt. Mit der Definition von A(f ) (siehe (A.19)) folgt daher √ (n) (n+1) (n+1) kd(f, δ)Ωδ k = kA(f )Ωδ k (3.164) k ≤ n + 1kf kkΩδ f¨ ur alle n ∈ N. Diese Ungleichung ist jedoch nur dann erf¨ ullbar, wenn Ωδ = 0 ist oder wenn eine Konstante K mit kd(f, δ)k ≤ Kkf k existiert. Letzteres w¨ urde bedeuten, daß f 7→ d(f, δ) ein stetiges lineares Funktional auf dem Hilbertraum L2 (R3 , d3 k) ist. Aufgrund des Darstellungssatzes von Riesz [20, II.4] m¨ ußte dann jedoch ein η ∈ L2 (R3 , d3 k) existieren, so daß d(f, δ) = hη, f i f¨ ur alle f ∈ L2 (R3 , d3 k). Die konkrete Form von d(f, δ) impliziert daher, daß 1/ω 3/2 quadratintegrabel sein muß. Dies ist jedoch nicht der Fall. Wir integrieren hierf¨ ur 1/ω 3 (also (1/ω (3/2) )2 ) in 3 Kugelkoordinaten u ¨ber eine Kugel K(R) ⊂ R vom Radius R: Z

S2

Z R 0

Z R r2 r2 drdV (α) = 4π dr (m2 + r2 )3/2 0 (m2 + r 2 )3/2

(3.165)

Das Integral u ur große r wie 1/r und divergiert daher f¨ ur R → ∞ ¨ber r verh¨alt sich f¨ (kann man auch zu Fuß ausrechnen). Dies beweist die Aussage. Wir k¨onnen dieses Ergebnis sofort benutzen, um zu zeigen, daß die durch f 7→ φ(f ), f 7→ π(f ) und f 7→ φδ (f ), f 7→ πδ (f ) gegebenen Darstellungen der kanonischen Vertauschungsrelationen unit¨ar in¨aquivalent sind (daß die Felder f 7→ φδ (f ), f 7→ πδ (f ) die Vertauschungsrelationen wirklich erf¨ ullen folgt aus der Definition von Φδ (t, f ) und damit auch von φδ (f ), πδ (f ) in Gleichung (3.161) und aus der Tatsache, daß f 7→ φ(f ), f 7→ π(f ) eine Darstellung der Vertauschungsrelationen ist; siehe Satz 3.2.4). W¨aren sie n¨amlich unit¨ar ¨aquivalent, w¨ urde ein unit¨arer Operator existieren, so daß U φ(f )U ∗ = φδ (f ) und U π(f )U ∗ = πδ (f ) ist. Dies impliziert aber eine entsprechende Relation f¨ ur die Vernichtungsoperatoren: U A(f )U ∗ = Aδ (f ) und diese wiederum w¨ urde 0 = U A(f )Ω0 = Aδ (f )U Ω0 zur Folge haben, wenn Ω0 das nakte Vakuum ist. Also w¨are 0 6= U Ω0 das physikalische Vakuum, welches jedoch, wie soeben gesehen, nicht existiert. Von ¨ahnlicher Art ist die folgende Aussage: 3.4.2. Satz. Es existiert kein unit¨arer Operator Ut FS (L2 (R3 , d3 k)) so daß Ut φ(f )Ut∗ = αtδ (φ(f )) ist.

:

FS (L2 (R3 , d3 k))

→

Beweis: Angenommen es g¨abe ein solches Ut , dann w¨ urden φδ,t (f ) = Φδ (t, f ) und πδ,t (f ) = ∂s Φδ (t + s, f )|s=0 eine zu φ(f ), π(f ) unit¨ar ¨aquivalente Darstellung der Vertauschungsrelationen bilden und wie soeben gesehen ein Vakuum Ωt,δ besitzen. Dies kann nun, unter Verwendung von Formel (3.161) genauso wie im letzten Beweis zum Widerspruch gef¨ uhrt werden.

3.4. DAS VAN HOVE MODELL

45

Mit anderen Worten die Dynamik des wechselwirkenden Feldes ist auf dem Hilbertraum des freien Feldes nicht unit¨ar implementierbar! Das heißt insbesondere, daß kein Wechselwirkungshamiltonian existiert (jedenfalls nicht auf dem selben Hilbertraum auf dem der freie Hamiltonian definiert ist). Daher kann eine Streutheorie wie in Bemerkung 3.3.4 skizziert gar nicht formuliert werden. Ein Ausweg aus diesem Dilemma bildet die St¨orungstheorie. Man versucht die S-Matrix durch eine St¨orungsreihe zu approximieren. Diese St¨orungsreihe ist auch als formale Potenzreihe (Term f¨ ur Term) mathematisch wohldefiniert, sie konvergiert jedoch nicht gegen einen unit¨aren Operator. In diesem einfachen Beispiel ist der Grund daf¨ ur klar: Die S-Matrix kann gar nicht als unit¨arer Operator auf demselben Hilbertraum wie das freie Feld existieren (oder besser gesagt in der selben Darstellung) wenn nichteinmal der Wechselwiekungshamiltonian wohldefiniert ist. Die algebraische Formulierung der Quantentheorie um die wir uns nun k¨ ummern wollen zeigt uns hier ganz deutlich, daß der u ur nicht¨bliche Fockraumformalismus der Quantenfeldtheorie zu eng f¨ triviale Theorien ist. Fairer Weise muß ich allerdings an dieser Stelle hinzuf¨ ugen, daß trotz eines besseren Verst¨andnisses der Problematik auch die algebraische Theorie bisher keine L¨osung f¨ ur die Konvergenzprobleme der St¨orungsreihe bei wirklich interessanten Theorien (wie etwa der Quantenelektrodynamik oder bei polynomialen Selbstwechselwirkungen) gefunden hat.

46

KAPITEL 3. DAS VAN HOVE-MODELL

Teil II C*- und von Neumann-Algebren

47

Kapitel 4 C*-Algebren Um die in Teil I entwickelten Ideen zu pr¨azisieren, ist die Bereitstellung einiger mathematischer Grundlagen notwendig. Dies soll in den n¨achsten zwei Kapiteln erfolgen. Es ist handelt sich jedoch nicht um eine ersch¨opfende Darstellung der Theorie der Operatoralgebren. F¨ ur diese Zwecke m¨ochte ich auf die umfangreiche zu diesem Thema vorhandene Literatur verweisen. Insbesondere auf den ersten Band der Monographie von Bratelli und Robinson [5] dem ich im vorliegenden Kapitel weitestgehend folgen werde.

4.1

Grundlegende Begriffe und Definitionen

Das Standardbeispiel f¨ ur die Operatoralgebren die wir in diesem Kapitel betrachten wollen ist die Algebra B(H) der beschr¨ankten Operatoren auf einem (komplexen) Hilbertraum H. Wir wollen daher die wesentlichen mathematischen Eigenschaften dieses Objektes untersuchen. Zun¨achst ist B(H)) eine assoziative Algebra. 4.1.1. Definition. Ein komplexer Vektorraum A heißt Algebra, wenn auf A eine bilineare Abbildung A×A 3 (A, B) 7→ AB ∈ A, die Multiplikation ausgezeichnet ist. A heißt assoziative Algebra, wenn das Produkt assoziativ ist: (AB)C = A(BC) =: ABC f¨ ur alle A, B, C ∈ A. Die Multiplikation in B(H) ist offenbar das Operatorprodukt. Eine weitere Eigenschaft von B(H) betrifft die Adjungierten. Zu jedem A ∈ B(H) ist auch der Adjungierte A∗ in B(H). Das heißt B(H) ist eine *-Algebra. 4.1.2. Definition. Eine assoziative Algebra heißt *-Algebra, wenn eine antilineare1 Abbildung A 3 A 7→ A∗ ∈ A mit den Eigenschaften 1. A∗∗ = A f¨ ur alle A ∈ A und 2. (AB)∗ = B ∗ A∗ f¨ ur alle A; B ∈ A ausgezeichnet ist. (Eine Abbildung mit diesen Eigenschaften heißt Involution). 1

¯ ∗ + B∗. Das heißt (λA + B)∗ = λA

49

50

KAPITEL 4. C*-ALGEBREN

Auf der *-Algebra B(H) ist eine Norm, die Operatornorm kAk := supkxk=1 kAxk gegeben. Es ist leicht zu zeigen, daß B(H) mit dieser Norm eine Banach*-Algebra ist. 4.1.3. Definition. Eine assoziative Algebra A heißt normierte Algebra wenn auf A eine Norm k · k mit der Eigenschaft kABk ≤ kAkkBk f¨ ur alle A, B ∈ A ausgezeichnet ist. Ist A eine *-Algebra und gilt zus¨atzlich kAk = kA∗ k f¨ ur alle A ∈ A, dann heißt A normierte *-Algebra. Ist schließlich A vollst¨andig in dieser Norm heißt A Banach*-Algebra. Damit bleibt eine Eigenschaft von B(H), genauer gesagt eine Eigenschaft der Operatornorm, die von besonderer Bedeutung ist. Wir k¨onnen n¨amlich zeigen daß f¨ ur alle A ∈ B(H) gilt: kAA∗ k = kAk2 . Dies folgt nicht aus den Eigenschaften einer Banach*-Algebra. Dort gilt im allgemeinen nur kAA∗ k ≤ kAk2 , weshalb es sich um eine echte Zusatzeigenschaft handelt, die Banach*-Algebren von C*-Algebren unterscheidet. 4.1.4. Definition. Eine Banach*-Algebra A heißt C*-Algebra, wenn die zus¨atzliche Bedingung kAA∗ k = kAk2 f¨ ur alle A ∈ A erf¨ ullt ist. Mit Algebren dieses Typs wollen wir uns im Folgenden besch¨aftigen und beginnen mit ein paar Beispielen. 4.1.5. Beispiel. Zun¨achst die Algebra B(H) aller beschr¨ankten, linearen Operatoren auf einem Hilbertraum H. Wir haben bereits bemerkt, daß B(H) mit dem Operatorprodukt als Multiplikation, der Hilbertraumadjungierten als *-Operation und der Operatornorm eine C*-Algebra ist. 4.1.6. Beispiel. Ist insbesondere H = Cn erhalten wir mit dem Raum M (n, C) aller komplexen n × n-Matrizen einen Spezialfall dieses Beispiels. 4.1.7. Beispiel. Die komplexen Zahlen bilden mit dem Betrag als Norm eine abelsche C-*-Algebra. 4.1.8. Beispiel. Ist A eine C*-Algebra, dann ist auch jede normabgeschlossene, selbstadjungierte (d.h. abgeschlossen unter der *-Operation) Unteralgebra B von A eine C*-Algebra. 4.1.9. Beispiel. Ist also insbesondere A = B(H) und B = LC(H), die Algebra der kompakten Operatoren, erhalten einen Spezialfall dieses Beispiels. 4.1.10. Beispiel. Die Algebra A aus dem Abschnitt 3.4 (siehe Gleichung (3.152)) ist mit Operatorprodukt und Adjungiertem eine *-Algebra. Es ist keine Norm gegeben, da die Elemente von A unbeschr¨ankte Operatoren sind.

4.1. GRUNDLEGENDE BEGRIFFE UND DEFINITIONEN

51

4.1.11. Beispiel. Sei X ein lokal kompakter, topologischer Raum und C0 (X) der Raum der stetigen, komplexwertigen Funktionen, die im Unendlichen verschwinden, das heißt f¨ ur jedes f ∈ C0 (X) und f¨ ur jedes ∈ R+ existiert ein Kompaktum K ⊂ X so daß |f (x)| < f¨ ur alle x ∈ X \ K. Wir definieren das Produkt punktweise: (f g)(x) := f (x)g(x), die *-Operation durch komplexe Konjugation f ∗ := f¯ und die Norm durch kf k := supx∈X |f (x)|. Betrachten wir nun ein Maß µ auf X und den Hilbertraum L2 (X, µ) dann k¨onnen wir C0 (X) als Algebra der Multiplikationsoperatoren auf diesem Hilbertraum auffassen. Daher ist dieses Beispiel ebenfalls ein Spezialfall von 4.1.8. 4.1.12. Beispiel. Zum Schluß schließlich noch eine Kombination des letzen Beispiels mit 4.1.5. Wir betrachten den Raum C0 (X, B(H)) von stetigen Abbildung auf X mit Werten in der Algebra B(H) die genauso wie zuvor im Unendlichen verschwinden. Dies liefert wie in 4.1.11 eine C*-Algebra, die jedoch nicht kommutativ ist. Eine wichtige Rolle bei der Untersuchung von C*-Algebren bilden Algebren mit Identit¨at, das heißt: 4.1.13. Definition. Ein Element 1I einer C*-Algebra A heißt Identit¨at (und A dann C*-Algebra mit Identit¨at), wenn f¨ ur alle Elemente A ∈ A die Gleichung 1IA = A1I = A gilt. Wenn eine Algebra eine Identit¨at besitzt so ist diese eindeutig, denn wenn es zwei Identi¨aten 1I, 1I0 ∈ A gibt dann folgt 1I = 1I1I0 = 1I0 also 1I = 1I0 . Es kann allerdings passieren, daß eine Algebra keine Identit¨at besitzt. In diesem Falle ist es f¨ ur viele Zwecke n¨otig eine solche hinzuzuf¨ ugen. Wie dies geschieht erkl¨art die folgende Aussage. 4.1.14. Behauptung. Sei A eine C*-Algebra ohne Eins und C1I + A der Produktraum C × A mit der Multiplikation (α, A)(β, B) = (αβ, αB + βA + AB), der *-Operation (α, A)∗ = (¯ α, A∗ ) und der Norm k(α, A)k := sup{kαB + ABk | B ∈ A, kBk = 1}.

(4.1)

C1I+A ist eine C*-Algebra mit Eins. A kann mit der Unteralgebra {(0, A) ∈ C1I+A} von C1I + A identifiziert werden. ¨ Beweis: Der Beweis ist ein einfaches Uberpr¨ ufen der Definitionen und bleibt dem ¨ Leser als Ubungsaufgabe u ¨berlassen (siehe auch [5, Prop. 2.1.5]). ¯ := X ∪ {∞} be4.1.15. Beispiel. Wir Betrachten erneut das Beispiel 4.1.11. X zeichne die Einpunktkompaktifizierung von X. Dann ist C1I + C0 (X) isomorph zur ¯ aller stetigen, komplexwertigen Funktionen auf X. ¯ Multiplikation, Algebra C 0 (X) 0 ¯ *-Operation und Norm in C (X) sind dabei wie in C0 (X) definiert, und der Iso¯ mit der eindeutigen, morphismus ist durch C1I + C0 (X) 3 (α, f ) 7→ α + f˜ ∈ C 0 (X) ˜ ¯ stetigen Fortsetzung f von f ∈ C0 (X) auf X gegeben. Weitere wichtige Grundbegriffe der Algebrentheorie sind Ideale und die durch diese gegebenen Quotientenalgebren.

52

KAPITEL 4. C*-ALGEBREN

4.1.16. Definition. Sei A eine assoziative Algebra und B ein Vektorteilraum von A. 1. Dann heißt B ein linksseitiges Ideal von A, wenn AB ∈ B aus A ∈ A und B ∈ B folgt. Entsprechend heißt B rechtsseitiges Ideal wenn BA ∈ B ist und zweiseitiges Ideal wenn beide Aussagen erf¨ ullt sind. 2. Wenn A eine *-Algebra ist, dann heißt B selbstadjungiert (siehe Beispiel 4.1.8) falls f¨ ur jedes B ∈ B auch B ∗ Element von B ist. Ein (linksseitiges/rechtsseitiges) Ideal B von A heißt dann *-Ideal wenn es zugleich selbstadjungiert ist. 4.1.17. Bemerkung. Jedes Ideal B ist automatisch eine Unteralgebra von A, denn wenn B1 , B2 ∈ B dann ist B1 ∈ A und somit B1 B2 ∈ B. 4.1.18. Bemerkung. Jedes *-Ideal B ist ein zweiseitiges Ideal von A. Sei B zum Beispiel ein linksseitiges Ideal, dann ist AB ∈ B f¨ ur alle B ∈ B und A ∈ A. Wegen ∗ der Selbstadjungiertheit von B ist B ebenfalls ein Element von B. Daher ist A∗ B ∗ ∈ B f¨ ur alle A ∈ A und erneut wegen der Selbstadjungiertheit BA = (A∗ B ∗ )∗ ∈ B. Betrachten wir nun eine Banach*-Algebra A und ein abgeschlossenes *-Ideal I. Dann ist der Quotientenraum A/I erneut ein Banachraum mit der Norm ([A] ¨ bezeichne die Aquivalenzklasse von A) k[A]k = inf{kA + Ik | I ∈ I}.

(4.2)

Wir k¨onnen jedoch aus A/I sogar eine Banach*-Algebra machen. Wir f¨ uhren hierzu die Multiplikation A/I × A/I 3 [A][B] 7→ [AB] ∈ A/I

(4.3)

A/I 3 [A] 7→ [A∗ ] ∈ A/I

(4.4)

und die *-Operation

¨ ein. Diese Operationen sind unabh¨angig vom Repr¨asentanten der Aquivalenzklasse, denn mit A + I1 ∈ [A] und B + I2 ∈ [B] (I1 , I2 ∈ I) ist offenbar (A + I1 )(B + I2 ) = AB + AI2 + I1 B + I1 I2 und AI2 + I1 B + I1 I2 := I3 ∈ I, was A + B + I3 ∈ [A + B] impliziert. Ebenso ist (A + I1 )∗ = A∗ + I1∗ ∈ [A∗ ] wegen I1∗ ∈ I. Wir haben damit die folgende Aussage bewiesen: 4.1.19. Behauptung. Sei A eine Banach*-Algebra und I ein *-Ideal, dann ist A/I zusammen mit der Multiplikation aus (4.3), der *-Operation aus (4.4) und der Norm aus (4.2) eine Banach*-Algebra, welche die Quotientenalgebra genannt wird. 4.1.20. Beispiel. Betrachten wir zum Beispiel die Algebra B(H) der beschr¨ankten Operatoren auf dem Hilbertraum H (siehe 4.1.5) und einen Vektor Ω ∈ H. Dann ist IΩ := {A ∈ B(H) | AΩ = 0} ein linksseitiges Ideal.

4.2. RESOLVENTE UND SPEKTRUM

53

4.1.21. Beispiel. Die Algebra der kompakten Operatoren aus Beispiel 4.1.9 ist ein *-Ideal der Algebra B(H), denn das Produkt eines beschr¨ankten Operators mit einem kompakten Operator ist ein kompakter Operator. 4.1.22. Beispiel. Betrachten wir schließlich noch die Algebra C0 (X) aus Beispiel 4.1.11. Ist F ⊂ X eine abgeschlossene Menge, dann ist I := {f ∈ C0 (X) | f (x) = 0, ∀x ∈ F } ein abgeschlossenes *-Ideal. Die Quotientenalgebra kann mit der Algebra C0 (F ) identifiziert werden.

4.2

Resolvente und Spektrum

Einer der wichtigsten Begriffe aus der Operatortheorie ist der des Spektrums eines Operators. F¨ ur die Definition des Spektrums sind jedoch nur rein algebraische Methoden notwendig, die auf jeder assoziativen Algebra zur Verf¨ ugung stehen. 4.2.1. Definition. Sei A eine assoziative Algebra mit Identit¨at 1I, 1. dann heißt eine Element A ∈ A invertierbar, wenn zu A ein inverses Element A−1 existiert. Das heißt es gilt AA−1 = A−1 A = 1I (Das Inverse ist offenbar eindeutig). 2. F¨ ur jedes Element A ∈ A ist die Resolventenmenge durch rA (A) = {λ ∈ C | λ1I − A ist invertierbar} ⊂ C

(4.5)

definiert. Das zu λ1I − A inverse Element (λ1I − A)−1 heißt die Resolvente A in λ. 3. Das Komplement σA (A) der Resolventenmenge rA (A) heißt das Spektrum von A. Ist A eine assoziative Algebra ohne Identit¨at, dann benutzen wir die Algebra C1I + A =: A˜ zur Definition der Resolventenmenge und des Spektrums. Mit anderen Worten wir definieren in diesem Fall: rA (A) = rA˜(A) und σA (A) = σA˜(A). 4.2.2. Beispiel. F¨ ur die Algebra B(H) und einen beschr¨ankten Operator A ∈ B(H) stimmen die Begriffe Resolvente, Resolventenmenge und Spektrum offenbar mit den aus der Funktionalanalysis bekannten Begriffen u ¨berein. 4.2.3. Beispiel. Ein Spezialfall ist die Algebra M (n, C) der komplexwertigen n × n Matrizen. λ ∈ C ist genau dann ein Element des Spektrums der Matrix A ∈ M (n, C) wenn λ Eigenwert von A ist. Der Fundamentalsatz der Algebra impliziert offenbar, daß das Spektrum σA (A) nicht leer ist. 4.2.4. Beispiel. Betrachten wir C als C*-Algebra. Das Spektrum einer komplexen Zahl z ist offenbar σC (z) = {z}. Die Resolvente von z in λ 6= z ist also 1/(λ − z).

54

KAPITEL 4. C*-ALGEBREN

¯ aus 4.2.5. Beispiel. Schließlich betrachten wir noch die abelsche Algebra C 0 (X) 0 ¯ 4.1.15). Das Spektrum einer Funktion f ∈ C (X) ist durch σC 0 (X) ¯ (f ) = {f (x) | x ∈ X} gegeben. Die Analyse des Spektrums eines Elements einer assoziativen Algebra kann sehr kompliziert sein. Im Falle von Banach*- und C*-Algebren stehen jedoch zahlreiche Techniken zur Verf¨ ugung, die zu starken Aussagen f¨ uhren. Viele Aussagen dieses und des n¨achsten Abschnittes lassen sich mit Hilfe von Reihenentwicklungen und analytische Fortsetzungen beweisen. Wir wollen die Grundidee hier kurz skizzieren und ansonsten auf die entsprechenden Stellen in [5] verweisen. Sei A also eine Banach*-Algebra, A ∈ A und λ ∈ C und λ > kAk dann ist die Folge der Partialsummen der Reihe λ

−1

∞ n X A

n=0

(4.6)

λ

offenbar eine Cauchyfolge in der Normtopologie von A und konvergiert wegen der Vollst¨andigkeit von A gegen ein Element aus A. Betrachten wir nun (λ1I − A)λ

−1

∞ n X A

n=0

λ

=

∞ n X A

n=0

λ

−

∞ n+1 X A

n=0

(4.7)

λ

= 1I.

(4.8)

Daher folgt also λ

−1

∞ n X A

n=0

λ

= (λ1I − A)−1

(4.9)

und λ ∈ rA (A). Mit anderen Worten das Spektrum ist durch λ ∈ σA (A) ⇒ |λ| ≤ kAk beschr¨ankt. Auf ¨ahnliche Weise zeigt man, daß f¨ ur λ0 ∈ rA (A) und |λ − λ0 | ≤ −1 kλ0 1I − A) k die Neumannsche Reihe ∞ X

(λ − λ0 )n (λ0 1I − A)−n−1

(4.10)

n=0

gegen ein Element von A konvergiert, welches das Inverse von λ1I − A ist, also λ ∈ rA (A). Dies zeigt insbesondere, daß rA (A) ⊂ C offen und σA (A) damit abgeschlossen ist. Außerdem ist λ 7→ (λ1I − A)−1 stetig auf rA (A). Mit ¨ahnlichen Methoden l¨aßt sich nun zeigen, daß das Spektrum σA (A) nicht leer ist. 4.2.6. Behauptung. Sei A eine Banach*-Algebra mit Identit¨at 1I und A ∈ A, dann ist durch ρ(A) = supλ∈σA (A) |λ| der Spektralradius definiert. Er erf¨ ullt die Ungleichung ρ(A) = n→∞ lim kAn k1/n = inf kAn k1/n ≤ kAk. n∈N

(4.11)

Dieser Grenzwert existiert f¨ ur alle A, was impliziert, daß σA (A) nicht leer ist. Beweis: Siehe [5, Prop. 2.2.2].

4.2. RESOLVENTE UND SPEKTRUM

55

Als n¨achstes wollen wir nun die Spektren bestimmter Klassen von Elementen einer C*-Algebra charakterisieren. Wir definieren hierzu: 4.2.7. Definition. Sei A eine *-Algebra, dann heißt ein Element A ∈ A 1. normal wenn AA∗ = A∗ A gilt und 2. selbstadjungiert wenn A = A∗ ist. 3. Hat A eine Identit¨at 1I dann heißt A eine Isometrie wenn A∗ A = 1 ist und 4. unit¨ar wenn A∗ A = AA∗ = 1I 4.2.8. Bemerkung. Jedes Element A einer *-Algebra A hat eine eindeutige Zerlegung in die Summe A = A1 + iA2 wobei A1 , A2 ∈ A selbstadjungiert sind. Sie sind offenbar durch A1 = (A + A∗ )/2 und A2 = (A − A∗ )/2 gegeben. 4.2.9. Satz. Sei A eine C*-Algebra mit Identit¨at 1I, dann gelten die folgenden Aussagen: 1. F¨ ur normales oder selbstadjungiertes A ∈ A ist der Spektralradius ρ(A) durch ρ(A) = kAk gegeben. 2. Wenn A isometrisch oder unit¨ar ist, dann gilt ρ(A) = 1 und 3. f¨ ur unit¨ares A ist σA (A) ⊂ {λ ∈ C | kλk = 1}. 4. Das Spektrum σA (A) eines selbstadjungierten Elementes A ist im Intervall [−kAk, kAk] enthalten und f¨ ur das Quadrat A2 gilt: σA (A2 ) ⊂ [0, kAk2 ]. 5. F¨ ur ein beliebiges A ∈ A und jedes Polynom P ist σP (A) (A) = P (σA (A)). Beweis: Siehe [5, Thm. 2.2.5]. Wir wollen hier nur 1. beweisen, weil dort besonders deutlich die C*-Eigenschaft eingeht. Aus Beh. 4.2.6 wissen wir daß die Folge (kAn k1/n )n∈N gegen ρ(A) konvergiert. Daher konvergiert auch die Teilfolge n n n (kA2 k1/2 )n∈N gegen ρ(A). Betrachten wir also kA2 k2 . Wegen der C*-Eigenschaft und wegen der Normalit¨at von A gilt: n

n

n

n

kA2 k2 = k(A∗ )2 A2 k = k(A∗ A)2 k. n−1

Nun ist jedoch (AA∗ )2 C*-Eigenschaft

(4.12)

selbstadjungiert und daher gilt unter Verwendung der

n

n−1

k(A∗ A)2 k = k(A∗ A)2

n−1

(A∗ A)2

n−1

k = k(A∗ A)2

k2 .

(4.13)

Wenden wir diese Prozedur induktiv an, erhalten wir n

n

n+1

kA2 k2 = kAA∗ k2 = kAk2

.

(4.14)

2−(n+1)

(4.15)

Nun ist wie eingangs bemerkt n

−n

ρ(A) = n→∞ lim kA2 k2

n

= n→∞ lim kA2 k2

56

KAPITEL 4. C*-ALGEBREN

und mit (4.14) daher

n

ρ(A) = n→∞ lim kA2 k2

2−(n+1)

n+1

= n→∞ lim kAk2

2−(n+1)

= kAk

(4.16)

was zu beweisen war. Wir sehen an dieser Aussage, daß bei C*-Algebren die Topologie sehr eng mit der algebraischen Struktur verkn¨ upft ist, denn die Norm definiert die Topologie von A und ist aufgrund des soeben bewiesenen Satzes direkt mit dem Spektralradius verkn¨ upft, der ein rein algebraisches Konzept ist. Es gilt daher die folgende Aussage: 4.2.10. Korollar. Sei A eine *-Algebra, auf der eine Norm gegeben ist, die die C*-Eigenschaft erf¨ ullt. Ist A vollst¨andig in dieser Norm, dann ist sie eindeutig. Beweis: Offenbar muß f¨ ur selbstadjungierte A ∈ A die Gleichung ρ(A) = kAk gelten und f¨ ur beliebiges A die Gleichung kAk = kAA∗ k1/2 = ρ(AA∗ )1/2 . Da der Spektralradius aber, wie soeben bemerkt, ein rein algebraisches Konzept ist, ist die Aussage bewiesen. Der Begriff des Spektrums ist von der Algebra abh¨angig, in der er definiert ist. Ist also B eine Teilalgebra einer assoziativen Algebra A, dann gilt f¨ ur A ∈ B zwar σA (A) ⊂ σB (A) jedoch sind beide Mengen im allgemeinen nicht identisch. Eine Ausnahme bilden hier C*-Algebren. 4.2.11. Satz. Sei B eine C*-Teilalgebra einer C*-Algebra A, dann gilt f¨ ur alle A ∈ B die Gleichung σB (A) = σA (A). Beweis: Die Idee des Beweises ist es die C*-Algebra C zu betrachten, die von A, A∗ und 1I erzeugt wird (das heißt die kleinste Teilalgebra von A die alle drei Elemente enth¨alt). Offenbar ist dann C ⊂ B und die Behauptung folgt wenn σC (A) = σA (A) bewiesen wurde. Um dies durchzuf¨ uhren, ist die Spektralradiusformel (Punkt 1 in Satz 4.2.9) notwendig. Auf diese Weise geht die C*-Eigenschaft in den Beweis ein. Details sind bitte [5, Prop. 2.2.7] zu entnehmen. 4.2.12. Bemerkung. Da also das Spektrum von A ∈ A nicht von der Algebra abh¨angt, werden wir im Folgenden die Algebra A nicht mehr im Index f¨ uhren. Das heißt wir schreiben σ(A) statt σA (A).

4.3

Positive Elemente

Die wohl n¨ utzlichste Teilmenge einer C*-Algebra ist die Menge der positiven Elemente. Durch sie ist es m¨oglich eine partielle Ordnung auf der Algebra einzuf¨ uhren und quantitative Absch¨atzungen durchzuf¨ uhren. Wir werden auch in diesem Abschnitt auf die meisten Beweise verzichten und stattdessen auf den entsprechenden Abschnitt in [5] verweisen. 4.3.1. Definition. Ein Element A einer C*-Algebra A heißt positiv, wenn es selbstadjungiert ist und wenn das Spektrum σ(A) Teilmenge der positiven Halbachse ist. Die Menge aller positiven Elemente von A wird mit A+ bezeichnet.

4.3. POSITIVE ELEMENTE

57

4.3.2. Beispiel. Betrachten wir die komplexen Zahlen, dann ist C+ = R+ 0 + i0, also die positiven rein reellwertigen Zahlen. 4.3.3. Beispiel. In der Algebra C0 (X) ist ein Element f genau dann positiv, wenn f (x) ∈ R+ ur alle x ∈ X ist. 0 f¨ 4.3.4. Beispiel. In der Algebra M (n, C) aller komplexen n × n Matrizen ist ein Element positiv, wenn alle Eigenwerte reell und positiv sind. 4.3.5. Beispiel. Ein beschr¨ankter, selbstadjungierter Operator A auf dem Hilbertraum H, also ein Element der C*-Algebra B(H) ist positiv, wenn hψ, Aψi > 0 f¨ ur alle ψ ∈ H gilt. √ Aus einem positiven Element f ∈ C0 (X) l¨aßt sich offenbar die Wurzel f ziehen. Der folgende Satz zeigt daß es sich dabei um ein allgemeines Konzept handelt, welches auf beliebigen C*-Algebren definiert ist. 4.3.6. Satz. Sei A eine C*-Algebra und A ein selbstadjungiertes Element. A ist genau dann positiv, wenn ein selbstadjungiertes Element B ∈ A existiert, so daß B 2 = A ist. B ist eindeutig und liegt in der von A erzeugten abelschen Unteralgebra √ von A. Wir nennen dieses eindeutige B die Wurzel von A und schreiben B = A oder B = A1/2 . Beweis: Siehe [5, Thm. 2.2.10]. Mit der Definition der Wurzel k¨onnen wir nun den Betrag eines selbstadjungierten Elementes A ∈ A definieren: 4.3.7. Definition. Sei A ein √ C*-Algebra und A ∈ A ein selbstadjungiertes Element, dann ist durch |A| = A2 der Betrag von A definiert. Als n¨achstes untersuchen wir die Eigenschaften der Menge A+ und die Zerlegung von selbstadjungierten Elementen in positive und negative Anteile. 4.3.8. Satz. Die Menge A+ der positiven Elemente der C*-Algebra A ein normabgeschlossener, konvexer Kegel mit der Eigenschaft A+ ∩ −A+ = {0}. Ist A ∈ A selbstadjungiert und definieren wir A± = (|A| ± A)/2 dann gilt: 1. A± ∈ A+ , 2. A = A+ − A− und 3. A+ A− = 0. A± sind die einzigen Elemente mit diesen Eigenschaften. Die Zerlegung von A in A± heißt orthogonale Zerlegung von A. Beweis: Siehe [5, Prop. 2.2.11].

58

KAPITEL 4. C*-ALGEBREN

4.3.9. Beispiel. Betrachten wir einen selbstadjungierten beschr¨ankten Operator auf dem Hilbertraum H, also ein Element der Algebra B(H). Bezeichne nun E+ = E(0, ∞) bzw. E− = E(−∞, 0) die zur positiven, bzw. negativen Halbachse geh¨orenden Spektralprojektoren von A. Dann gilt A± = ±E± AE± . 4.3.10. Beispiel. F¨ ur ein selbstadjungiertes Element f der Algebra C0 (X) gilt: f+ (x) = θ(f (x)) und f− (x) = θ(−f (x)), wobei θ durch θ(x) = 0 f¨ ur x < 0 und θ(x) = x f¨ ur x ≥ 0 definiert ist. 4.3.11. Beispiel. Eine reelle Zahl 0 6= z = x + i0 ∈ C ist entweder positiv oder negativ. Also z+ = z, z− = 0 oder z+ = 0, z− = −z. Die Existenz der orthogonalen Zerlegung ist unter anderem n¨ utzlich bei dem Beweis des folgenden Satzes, welcher die wichtigste Charakterisierung positiver Elemente darstellt: 4.3.12. Satz. Sei A eine C*-Algebra und A ∈ A, dann sind die folgenden Aussagen ¨aquivalent: 1. A ist positiv; 2. A = BB ∗ f¨ ur ein B ∈ A. Beweis: Die Implikation 1. ⇒ 2. ist bereits im Satz 4.3.6 enthalten. Die Beweisidee f¨ ur die andere Richtung ist die orthogonale Zerlegung BB ∗ = C −D zu untersuchen. Offenbar ist zu zeigen, daß D = 0 ist. Details finden sich in [5, Thm. 2.2.12]. Die Struktur der Menge A+ (konvexer Kegel) erlaubt es außerdem auf der Menge aller selbstadjungierten Elemente von A eine Ordnungsrelation zu definieren. 4.3.13. Behauptung. Auf der Menge aller selbstadjungierten Elemente einer C*Algebra A ist durch A ≥ B ⇐⇒ A − B ∈ A+ eine Partialordnung definiert, welche die folgenden Eigenschaften hat: 1. Aus A ≥ B ≥ 0 folgt kAk ≥ kBk. 2. Aus A ≥ 0 folgt AkAk ≥ A2 . 3. Aus A ≥ B ≥ 0 folgt C ∗ AC ≥ C ∗ BC ≥ 0 f¨ ur alle C ∈ A. 4. Besitzt A eine Identit¨at, dann folgt aus A ≥ B ≥ 0 und λ > 0 daß (B+λ1I)−1 ≥ (A + λ1I)−1 ist. Beweis: Siehe [5, Prop. 2.2.13]. Am Ende dieses Abschnittes wollen wir noch zwei n¨ utzliche Zerlegungen beliebiger Elemente einer C*-Algebra angeben. 4.3.14. Behauptung. In einer C*-Algebra A mit Identit¨at hat jedes Element A ∈ A eine Zerlegung der Form A = a1 U1 + a2 U2 + a3 U3 + a4 U4 mit den unit¨aren Elementen Ui , i = 1, . . . , 4 und ai ∈ C mit |ai | ≤ kAk/2.

4.4. DARSTELLUNGEN VON C*-ALGEBREN

59

Beweis: Es reicht offenbar den Fall kAk = 1 zu betrachten. Dann ist A = A1 + A2 mit den selbstadjungierten Elementen A1 = (A + A∗ )/2 und A2 = (A − A∗ )/2 (siehe Bem. 4.2.8). Offenbar ist kA1 k ≤ 1 und kA2 k ≤ 1. Jedes selbstadjungierte Element B von A mit kBk ≤ 1 l¨aßt √ sich jedoch als Summe von zwei unit¨aren Elementen schreiben; Mit U± = B ± i 1I − B 2 gilt B = (U+ − U− )/2. Die zweite Zerlegung ist die aus der Funktionalanalysis bekannte Polarenzerlegung. 4.3.15. Behauptung. In einer C*-Algebra A mit Identit¨at hat jedes√invertierbare Element A ∈ A eine Zerlegung der Form A = U |A|, wobei |A| = AA∗ und U unit¨ar ist. ¨ Beweis: Ubungsaufgabe! Zeige |A| ist invertierbar und definiere U = A|A|−1 .

4.4

Darstellungen von C*-Algebren

In den vorhergehenden Abschnitten haben wir Teile der abstrakten Algebrentheorie betrachtet und Teilalgebren der Algebra B(H) als Beispiele benutzt. In diesem Abschnitt wollen wir die Darstellungstheorie und damit die Verkn¨ upfung zwischen abstrakten C*-Algebren und Operatoralgebren aufzeigen. Wir beginnen mit der Definition von *-Automorphismen. 4.4.1. Definition. Eine Abbildung π : A → B zwischen zwei C*-Algebren heißt *-Morphismus von A in B wenn π die folgenden Axiome erf¨ ullt: 1. π ist linear: π(αA+βB) = απ(A)+βπ(B) f¨ ur alle A, B ∈ A und alle α, β ∈ C. 2. π ist multiplikativ: π(AB) = π(A)π(B) f¨ ur alle A, B ∈ A. 3. π vertauscht mit der *-Operation: π(A∗ ) = π(A)∗ f¨ ur alle A ∈ A. Ein *-Morphismus heißt *-Isomorphismus wenn er bijektiv ist. Die Umkehrabbildung ist dann ebenfalls ein *-Isomorphismus. Ein *-Isomorphismus heißt *Automorphismus wenn A = B ist. Wir haben bereits in Zusammenhang mit dem Spektralradius bemerkt, daß topologische und algebraische Eigenschaften einer C*-Algebra eng beieinander liegen. Dieser Umstand wird auch bei *-Morphismen deutlich, denn sie sind automatisch stetig: 4.4.2. Behauptung. Ein *-Morphismus π : A → B von der C*-Algebra A in die C*-Algebra B 1. ist stetig, das heißt kπ(A)k ≤ kAk f¨ ur alle A ∈ A. 2. Außerdem ist π positiv, das heißt f¨ ur alle A ≥ 0 folgt π(A) ≥ 0.

60

KAPITEL 4. C*-ALGEBREN

Beweis: Zu 2. Wenn A 3 A ≥ 0 ist, dann existiert wegen Satz 4.3.12 ein B ∈ A mit A = BB ∗ . Also ist π(A) = π(BB ∗ ) = π(B)π(B)∗ ≥ 0. Zu 1. Aus Behauptung 4.3.13(2) folgt 0 ≤ (A∗ A)2 ≤ A∗ AkA∗ Ak. Die 2. Aussage dieser Behauptung impliziert also 0 ≤ π(A∗ A)2 ≤ π(A∗ A)kA∗ Ak und mit 4.3.13(1) folgt dann kπ(A)k4 = kπ(A ∗ A)k2 ≤ kπ(A∗ A)kkA∗ Ak = kπ(A)k2 kAk2 . dies ist aber a¨quivalent zu kπ(A)k ≤ kAk was zu beweisen war. 4.4.3. Bemerkung. Als unmittelbare Konsequenz der letzten Aussage ist das Bild jedes *-Morphismus π : A → B eine C*-Teilalgebra von B. Denn π(A) ist offenbar ein linearer Teilraum, abgeschlossen unter der Multiplikation in B und selbstadjungiert. Wegen der Stetigkeit von π ist π(A) auch abgeschlossen in der Normtopologie. Der *-Morphismus π ist also ein *-Isomorphismus von A auf das Bild π(A) wenn π injektiv ist. Mit anderen Worten, wenn der Kern ker(π) := {A ∈ A | π(A) = 0} von π gleich {0} ist. Es ist leicht zu zeigen, daß ker(π) ein *-Ideal von A ist. Wir k¨onnen daher die Quotientenalgebra Aπ = A/ ker(π) bilden (siehe Beh. 4.1.19). Der Morphismus π induziert dann einen *-Isomorphismus π ˆ von Aπ auf π(A). Wir haben nun alle Begriffe eingef¨ uhrt, die notwendig sind um Darstellungen von C*-Algebren zu definieren. 4.4.4. Definition. Eine Darstellung der C*-Algebra A ist ein Paar (H, π) bestehend aus dem (komplexen) Hilbertraum H und dem *-Morphismus π von A in die C*-Algebra B(H) aller beschr¨ankter, linearer Operatoren auf H (siehe Beispiel 4.1.5). Die Darstellung (H, π) heißt treu wenn π ein *-Isomorphismus auf sein Bild π(A) ist, daß heißt wenn ker(π) = {0} ist. 4.4.5. Bemerkung. Im Zusammenhang mit Darstellungen hat sich im Laufe der Zeit die folgende zus¨atzliche Terminologie eingeb¨ urgert: Der Hilbertraum H heißt der Darstellungs(hilbert)raum, das Element π(A) heißt der Darsteller (von A) und der *-Morphismus π wird meist mit der Darstellung identifiziert. Wir sagen also π ist eine Darstellung von A. 4.4.6. Beispiel. Betrachten wir die Algebra B(H), dann ist (H, 1I) selbstverst¨andlich eine Darstellung von B(H). 4.4.7. Beispiel. Eine andere Darstellung von B(H) ist (H ⊕ H, π) mit π(A) = A ⊕ A. 4.4.8. Beispiel. Eine Darstellung der abelschen C*-Algebra C0 (X) (siehe 4.1.11) ist mit einem Maß µ auf X durch (L2 (X, µ), π) und (π(f )ψ)(x) = f (x)ψ(x) f¨ ur alle ψ ∈ L2 (X, µ) und alle x ∈ X gegeben. 4.4.9. Beispiel. Betrachten wir erneut die Algebra C0 (X) und ein x ∈ X. Dann ist (C, πx ) mit πx (f ) = f (x) eine Darstellung von C0 (X).

4.4. DARSTELLUNGEN VON C*-ALGEBREN

61

4.4.10. Beispiel. Sei A eine beliebige C*-Algebra und H ein beliebiger Hilbertraum, dann ist(H, π) mit π(A) = 0 f¨ ur alle A ∈ A eine Darstellung. Sie heißt die triviale Darstellung u ¨ber dem Darstellungsraum H. 4.4.11. Beispiel. Sei (H, π1 ) eine Darstellung der C*-Algebra A und U : H → H ein unit¨arer Operator, dann ist (H, π2 ) mit π2 (A) = U π2 (A)U ∗ ebenfalls eine Darstellung von A. Die Darstellungen (H, π1 ) und (H, π2 ) heißen unit¨ar ¨aquivalent, oder in Symbolen π1 ' π2 . Die wichtigsten Darstellungen sind treue Darstellungen, denn jede Darstellung definiert eine treue Darstellung der Quotientenalgebra Aπ . Die folgende Behauptung liefert Kriterien f¨ ur diese Eigenschaft. 4.4.12. Behauptung. Sei (H, π) eine Darstellung der C*-Algebra A, dann sind die folgenden Aussagen ¨aquivalent: 1. π ist treu, das heißt ker(π) = {0}. 2. kπ(A)k = kAk f¨ ur alle A ∈ A. 3. π(A) > 0 f¨ ur alle A ∈ A mit A > 0. Beweis: 1. ⇒ 2. Da ker(π) = 0 ist, k¨onnen wir π −1 als *-Morphismus von π(A) nach A durch π −1 (π(A)) = A definieren. Aus Beh. 4.4.2 folgt daher: kAk = kπ −1 (π(A))k ≤ kπ(A)k ≤ kAk und somit kπ(A)k = kAk. 2. ⇒ 3. A > 0 impliziert kAk > 0 und daher π(A) 6= 0. Andererseits folgt wegen 4.4.2 aus A ≥ 0 die Ungleichung π(A) ≥ 0. Zusammen ergibt dies π(A) > 0. 3. ⇒ 1. Angenommen 1. ist nicht erf¨ ullt, dann existiert ein B ∈ ker(π) mit ∗ ∗ B 6= 0. Also ist π(B B) = π(B )π(B) = 0. Andererseits ist B ∗ B ≥ 0 und wegen kB ∗ Bk = kBk2 ist B ∗ B 6= 0. Dies wiederspricht jedoch π(B ∗ B) = 0. Wir wollen nun die Struktur von Darstellungen n¨aher untersuchen. Hierf¨ ur ist es notwendig Teildarstellungen und direkte Summen von Darstellungen einzuf¨ uhren. 4.4.13. Behauptung. Sei (Hα , πα )α∈I eine Familie (abz¨ahlbar oder u ¨berabz¨ahlbar) von Darstellungen der C*-Algebra A. Dann ist (H, π) mit H :=

M

Hα ,

π :=

α∈I

M

πα

(4.17)

α∈I

eine Darstellung von A, die die direkte Summe der (Hα , πα ) genannt wird. Beweis: Trivial. 4.4.14. Bemerkung. Die direkte Summe α∈I Hα ist f¨ ur eine u ¨berabz¨ahlbare Indexmenge I wie folgt definiert: F(I) bezeichne die gerichtete Menge der endlichen Teilmengen von I. Dann ist L

M

Hα := {(ψα )α∈I | lim

F ∈F(I)

α∈I

X

kψα k < ∞}

(4.18)

α∈F

und das Skalarprodukt ist durch h(ψα )α∈I , (φα )α∈I i := lim

F ∈F(I)

gegeben.

L

α∈I

πα hat dann die Form

L

α∈I

X

hψα , φα i

α∈F

πα ((ψα )α∈I ) = (πα (ψα ))α∈I .

(4.19)

62

KAPITEL 4. C*-ALGEBREN

4.4.15. Beispiel. Betrachten wir erneut Beispiel 4.4.7. Offenbar ist π = 1I ⊕ 1I. 4.4.16. Beispiel. Von ¨ahnlicher Struktur ist die Darstellung (H3 , π) mit π(A) = A ⊕ A ⊕ 0 Es ist π = 1I ⊕ 1I ⊕ 0. 4.4.17. Beispiel. Eine Darstellung der abelschen Algebra C0 (X) erh¨alt man durch L ¨berein. x∈X πx (siehe 4.4.9). Diese Darstellung stimmt jedoch nicht mit 4.4.8 u Dies erkennt man daran, daß der Darstellungsraum in 4.4.8 separabel ist, die direkte L Summe x∈X C jedoch nicht. 4.4.18. Behauptung. Sei A eine C*-Algebra und (H, π) eine Darstellung. Ein abgeschlossener Teilraum F ⊂ H heißt invarianter Teilraum von (H, π), wenn alle Darsteller F auf sich abbilden. 1. Ist F ein invarianter Teilraum und bezeichnet PF den Projektionsoperator auf F, dann kommutiert PF mit allen Darstellern, das heißt π(A)PF = PF π(A) f¨ ur alle A ∈ A. 2. F¨ ur jeden invarianten Teilraum ist (F, π F) mit π F(A) := π(A) F eine Darstellung, welche Teildarstellung von (H, π) genannt wird. 3. Ist F ein invarianter Teilraum, dann ist auch das Orthokomplement F ⊥ invariant und die Darstellung (H, π) ist die direkte Summe der Teildarstellungen (F, π F) und (F ⊥ , π F ⊥ ). Beweis: Trivial. 4.4.19. Beispiel. Betrachten wir die C*-Algebra B(H) und die Darstellung (H, 1I) die einzigen invarianten Teilr¨aume sind H und {0}. 4.4.20. Beispiel. Betrachten wir erneut Beispiel 4.4.7. Diese Darstellung hat vier invariante Teilr¨aume H ⊕ H, {0}, H ⊕ {0}, {0} ⊕ H. Daher existieren zwei nichttriviale Teildarstellungen: π1 (A) = A ⊕ 0 auf dem Darstellungsraum H ⊕ {0} und π2 (A) = 0 ⊕ A auf dem Darstellungsraum {0} ⊕ H. 4.4.21. Beispiel. Jeder Hilbertraum Hy = {(z(x) | z(x) = 0 ∀x 6= y} ⊂ x∈X C ist L ein invarianter Teilraum der Darstellung x∈X πx von C0 (X) (siehe 4.4.17). L

4.4.22. Beispiel. Betrachten wir die Darstellung (L2 (X, µ), π) von C0 (X) aus Beispiel 4.4.8. F¨ ur jedes meßbare F ⊂ X mit µ(F ) 6= 0 ist HF := {ψ ∈ 2 L (X, µ) | ψ(x) = 0 f.¨ u. in X \ F } ein invarianter Teilraum. Das Studium von Darstellungen l¨aßt sich mit den bereits eingef¨ uhrten Begriffen auf das Studium nicht degenerierter Darstellungen zur¨ uckf¨ uhren. 4.4.23. Definition. Eine Darstellung (H, π) einer C*-Algebra A heißt degeneriert, wenn ein invarianter Teilraum {0} 6= F ⊂ H existiert, so daß die zugeh¨orige Teildarstellung trivial ist.

4.4. DARSTELLUNGEN VON C*-ALGEBREN

63

4.4.24. Beispiel. Die Darstellung aus 4.4.16 ist eine degenerierte Darstellung von B(H). Eine degenerierte Darstellung l¨aßt sich offenbar als direkte Summe einer nicht degenerierten und einer trivialen Darstellung schreiben. Das heißt es ist ausreichend nicht degenerierte Darstellungen zu untersuchen. Die wichtigste Klasse nichtdegenerierter Darstellungen sind zyklische Darstellungen: 4.4.25. Definition. Sei A eine C*-Algebra. Ein Tripel (H, π, Ω) heißt zyklische Darstellung von A, wenn (H, π) eine Darstellung ist und wenn Ω ∈ H zyklisch f¨ ur π ist, das heißt {π(A)Ω | A ∈ A} ⊂ H ist dicht. 4.4.26. Beispiel. Die Darstellung (H, 1I) von B(H) ist zyklisch f¨ ur jedes Ω ∈ H. 4.4.27. Beispiel. Jedes ψ ∈ L2 (X, µ) (siehe 4.4.8) welches fast u ¨berall ungleich Null ist, ist zyklischer Vektor der Darstellung (L2 (X, µ), π) von C0 (X) aus 4.4.8. Zyklische Darstellungen erlauben nun die Struktur nicht degenerierter Darstellungen n¨aher zu analysieren. 4.4.28. Behauptung. Jede nicht degenerierte Darstellung (H, π) einer C*-Algebra A ist die direkte Summe zyklischer Darstellungen. Beweis: Sei {Ωα ∈ H | Ωα 6= 0, α ∈ I} ⊂ H eine Familie von Vektoren aus H die f¨ ur alle Paare α 6= β und alle A, B ∈ A die Eigenschaft hπ(A)Ωα , π(B)Ωβ i = 0 hat. Setzen wir die G¨ ultigkeit des Zornschen Lemmas voraus, k¨onnen wir ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit annehmen, daß diese Familie maximal ist. Wir definieren dann Hα als den Normabschluß von {π(A)Ωα | A ∈ A}. Die Teilr¨aume Hα sind paarweise orthogonal und wegen der Maximalit¨at der Familie der Ωα ist die direkte Summe der Hα damit gleich H. Mit der Definition πα = π Hα folgt die Behauptung. Diese Aussage reduziert also das Studium von Darstellungen auf zyklische Darstellungen, da sich alle anderen als direkte Summe von solchen (plus evt. ein trivialer Summand) ergeben. Die letzte Klasse von Darstellungen die wir einf¨ uhren wollen, sind irreduzible Darstellungen. Sie sind dadurch charakterisiert, daß sie sich nicht als direkte Summe von Teildarstellungen schreiben lassen. 4.4.29. Definition. Eine Darstellung (H, π) heißt irreduzibel, wenn die einzigen invarianten, abgeschlossenen Teilr¨aume {0} und H sind. 4.4.30. Beispiel. Die Darstellung von B(H) aus 4.4.6 und die Darstellungen (C, πx ) von C0 (X) aus 4.4.9 sind irreduzibel. Alle anderen Beispiele sind reduzibel. Insbesondere die Darstellung 4.4.8 ist ein Beispiel f¨ ur eine zyklische und reduzible Darstellung.

64

KAPITEL 4. C*-ALGEBREN

4.4.31. Bemerkung. Die Begriff invarianter Teilraum, irreduzibel und zyklisch lassen auf nat¨ urliche Art auf beliebige Mengen M ⊂ B(H) von beschr¨ankten Operatoren u ¨bertragen. Wir werden diese Begriffe in der folgenden Behauptung zusammen mit der Kommutante M0 := {A ∈ B(H) | [A, B] = 0 ∀B ∈ M}

(4.20)

benutzen, um zwei der wichtigsten Kriterien f¨ ur Irreduzibilit¨at anzugeben. 4.4.32. Behauptung. Sei M ⊂ B(H) eine selbstadjungierte Menge, beschr¨ankter Operatoren auf dem Hilbertraum H, dann sind die folgenden Aussagen ¨aquivalent: 1. M ist irreduzibel. 2. M0 = C1I. 3. Jedes Element 0 6= Ω ∈ H ist zyklisch f¨ ur M. Beweis: 1. ⇒ 3. Angenommen es existiert ein 0 6= Ω ∈ H welches nicht zyklisch ist, dann ist das Orthokomplement von {AΩ | A ∈ M} ein abgeschlossener Teilraum von H der weder mit {0} noch mit H u ¨bereinstimmt. Da er jedoch zugleich ein invarianter Teilraum von M ist, ist dies ein Widerspruch zu 1. 3. ⇒ 2. Sei A ∈ M0 , dann ist AB − BA = 0 f¨ ur alle B ∈ M und somit ∗ ∗ ∗ ∗ 0 B A − A B = 0 f¨ ur alle B ∈ M . Da M nach Voraussetzung selbstadjungiert ist folgt A∗ ∈ M. Außerdem sind offenbar A ± A∗ und (A ± A∗ )/i Elemente von M0 . Das heißt wenn M0 6= C1I ist, dann muß ein selbstadjungierter Operator C 6= λ1I in M0 existieren. Da C mit allen B ∈ M vertauscht, trifft dies auch auf alle Spektralprojektoren zu. Sei daher E ein solcher Projektor (E 6= 1I und E 6= 0) und 0 6= Ω ∈ H mit EΩ = Ω. Dieses Ω kann jedoch kein zyklischer Vektor sein was 3. widerspricht. 2. ⇒ 1. Angenommen M ist nicht irreduzibel, dann gibt es ein nichttrivialen Projektor E der mit allen Elementen aus M vertauscht. Dieser Projektor w¨are dann aber ein Element der Kommutante was ein Widerspruch zu 2. ist.

4.5

Zust¨ ande

Im Kapitel 1 haben wie die Idee entwickelt, Zust¨ande eines quantenmechanischen Systems als lineare Funktionale einer C*-Algebra aufzufassen. Wir wollen diesen Ansatz nun auf der Basis des bisher erworbenen Wissens erneut diskutieren undr betrachten zu diesem Zweck den toplogischen Dualraum einer C*-Algebra A, das heißt den Raum aller stetigen, linearen Funktionale ω : A → C auf A mit der Norm kωk = supkAk=1 |ω(A)|. Geeignete Kandidaten f¨ ur Zust¨ande sind nun die positiven, normierten Elemente von A∗ . Bevor wir diese Definition jedoch n¨aher betrachten, ist es sinnvoll die folgende Beziehung zwischen Positivit¨at und Stetigkeit zu betrachten: 4.5.1. Satz. Sei A eine C*-Algebra mit Identit¨at und ω : A → C ein (nicht notwendiger Weise stetiges) lineares Funktional, dann sind die folgenden Aussagen ¨aquivalent:

¨ 4.5. ZUSTANDE

65

1. ω ist positiv, das heißt ω(AA∗ ) ≥ 0 f¨ ur alle A ∈ A. 2. ω ∈ A∗ und kωk = ω(1I). Beweis: Siehe [5, Prop. 2.3.11]. 4.5.2. Bemerkung. Eine ¨ahnliche Aussage gilt auch f¨ ur C*-Algebren ohne Identit¨at. Anstelle der 1I muß dann eine approximative Identit¨at verwendet werden. Insbesondere folgt Steitgkeit auch ohne Existenz der Identit¨at aus Positivit¨at. Wir haben hier ein weiteres Beispiel f¨ ur den Umstand, daß algebraische Eigenschaften, Ordnungseigenschaften und topologische Eigenschaften bei C*-Algebren eng miteinander verzahnt sind. Wir k¨onnen daher definieren: 4.5.3. Definition. Ein positives, lineares Funktional ω : A → C auf der C*-Algebra A heißt Zustand, wenn kωk = 1 gilt. Die Menge aller Zust¨ande wird mit EA bezeichnet. Betrachten wir nun eine C*-Algebra A ohne Identit¨at und die Algebra A˜ := C1I + A die wir durch hinzuf¨ ugen einer solchen erhalten. Dann k¨onnen wir jedes ω ∈ A∗ durch ω ˜ (λ1I + A) = λkωk + ω(A) zu einem Element ω ˜ von A˜∗ fortsetzen. ω ˜ heißt die kanonische Fortsetung von ω. Es gilt die folgende Aussage [5, Cor. 2.3.13]: 4.5.4. Behauptung. Sei A eine C*-Algebra ohne Identit¨at und A˜ := C1I + A die Algebra wir durch hinzuf¨ ugen einer solchen erhalten. Die kanonische Forsetzung ω ˜ ∗ eines positiven Funktionals ω ∈ A ist positiv und es gilt kωk = k˜ ω k. 4.5.5. Beispiel. Betrachten wir zum Beispiel die C*-Algebra B(H) der beschr¨ankten Operatoren auf dem Hilbertraum H. Dann deifiniert jeder Spurklasseoperator ρ ein positives Funktional B(H) 3 A 7→ ωρ (A) := tr(ρA) ∈ C mit kωρ k = tr ρ. Daher ist ωρ ein Zustand wenn ρ auf Eins normiert, also eine Dichtematrix ist. 4.5.6. Beispiel. Sei X wie in Bsp. 4.1.11 ein lokalkompakter Raum und C0 (X) die in 4.1.11 definierte abelscheR C*-Algebra. Dann definiert jedes endliche Maß µ durch C0 (X) 3 f 7→ ωµ (f ) := X f (x)dµ(x) ∈ C ein positives lineares Funktional mit µ(X) = kωµ k. Also ist ωµ genau dann ein Zustand, wenn µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist. Eine unmittelbare Folgerung aus Satz 4.5.1 ist, daß jede konvexe Linearkombination λ1 ω1 + λ2 ω2 , λ1 , λ2 ∈ R+ , λ1 + λ2 = 1 zweier Zust¨ande wieder ein Zustand ist, denn λ1 ω1 +λ2 ω2 ist offenbar positiv und daher kλ1 ω1 +λ2 ω2 k = λ1 ω1 (1I)+λ2 ω2 (1I) = 1. Dies beweist offenbar die folgende Behauptung (f¨ ur den Fall, daß A eine Identit¨at besitzt; ansonsten kann in ¨ahnlicher Weise mit einer approximativen Identit¨at argumentiert werden; siehe [5, Cor. 2.3.12]). 4.5.7. Behauptung. Die Menge EA aller Zust¨ande der C*-Algebra A ist eine konvexe Teilmenge von A∗ .

66

KAPITEL 4. C*-ALGEBREN

Auf der Menge der positiven Funktionale k¨onnen wir nun, ¨ahnlich wie auf der Menge der positiven Elemente von A durch: ω1 ≥ ω2 : ⇐⇒ ω1 − ω2 ist positiv, eine Ordnungrelation einf¨ uhren. Wenn ω1 ≥ ω2 gilt, dann sagen wir ω1 majorisiert ω2 . Ein explizites Bespiel hierf¨ ur ist die konvexe Linearkombination λ1 ω1 + λ2 ω2 die offenbar sowohl λ1 ω1 als auch λ2 ω2 majorisiert. Diese Tatsache k¨onnen wir benutzen um reine Zust¨ande zu definieren; denn diese sollen sich gerade nicht als nichttriviale konvexe Linearkombination darstellen lassen. 4.5.8. Definition. Ein Zustand ω auf der C*-Algebra A heißt reiner Zustand, wenn die einzigen positiven, linearen Funktionale die von ω majorisiert werden die Form λω mit 0 ≤ λ ≤ 1 haben. Die Menge aller reinen Zust¨ande auf A wird mit PA bezeichnet. 4.5.9. Beispiel. Reine Zust¨ande auf B(H) sind durch A 7→ ωψ (A) := hψ, Aψi und auf C0 (X) durch Diracmaße f 7→ ωx (f ) = f (x) gegeben. Eine wichtige Frage ist, ob auf jeder C*-Algebra Zust¨ande existieren. Eine positive Antwort liefert das Hahn-Banach-Theorem. 4.5.10. Satz. Zu jedem Element A ∈ A einer C*-Algebra existiert ein reiner Zustand ω mit ω(AA∗ ) = kAk2 . Beweis: Wir wollen den Beweis kurz skizzieren (siehe auch [5, Lemma 2.3.23]). Wir nehmen hierf¨ ur an, daß A eine Identit¨at besitzt (ansonsten f¨ ugen wir eine hinzu) und den Teilraum B := {α1I + βAA∗ | α, β ∈ C} definieren. Auf B ist dann durch φ(α1I + βAA∗ ) := α + βkAk2 ein steitges lineares Funktional auf B gegeben. Es l¨aßt sich nun zeigen, daß kφk = φ(1I) = 1 ist. Aufgrunds des Hahn-Banach-Theorems existiert nun eine stetige Fortsetzung ω von φ auf ganz A so daß kω(1I)k = kωk = kφk = 1 ist. Mit Satz 4.5.1 folgt daß ω positiv und somit ein Zustand ist. Bleibt zu zeigen daß ω rein ist, wof¨ ur ich auf den Beweis in [5, Lemma 2.3.23] verweisen m¨ochte. Eine Aussage, die mit ¨ahnlichen Methoden bewiesen werden kann, ist die folgende: 4.5.11. Behauptung. Sei B eine C*-Teilalgebra der C*-Algebra A und ω ein Zustand auf B. Dann kann ω zu einem Zustand ω ˆ auf A fortgesetzt werden. Ist ω rein, dann kann auch ω ˆ rein gew¨ahlt werden. Beweis: [5, Prop. 2.3.24] Zum Ende dieses Abschnittes soll noch eine Aussage u ¨ber die Struktur der Menur ist zu bemerken, daß neben der Normgen EA und PA gemacht werden. Hierf¨ topologie auf A∗ auch die schwach*-Topologie existiert. Sie ist durch die folgenden Umgebungsbasen definiert: U(ω; A1 , . . . , An ; ) := {ω 0 ∈ A∗ | |ω(Ai ) − ω 0 (Ai )| ≤ , i = 1, . . . , n}.

(4.21)

4.5.12. Satz. Sei A eine C*-Algebra und BA ⊂ A∗ die Menge der positiven, linearen Funktionale deren Norm kleiner oder gleich Eins ist.

4.6. DIE GNS-KONSTRUKTION

67

1. BA ist eine konvexe, schwach*-kompakte Teilmenge von A∗ deren extremale Punkte die Null und die reinen Zust¨ande sind. 2. Die Menge EA der Zust¨ande ist ebenfalls konvex (wie bereits in Prop. 4.5.7 gesehen) jedoch nur dann schwach*-kompakt wenn A eine Identit¨at enth¨alt. 3. In diesem Falle sind die reinen Zust¨ande die Extremalpunkte von EA und EA ist der schwach*-Abschluß der konvexen H¨ ulle von PA . Beweis: [5, Thm. 2.3.15]

4.6

Die GNS-Konstruktion

Wir haben zu Beginn des letzten Abschnittes die M¨oglichkeit erw¨ahnt, Zust¨ande auf einer C*-Algebra A durch normierte Vektoren Ω ∈ H in einer Darstellung (H, π) zu definieren. Das entsprechende positive, lineare Funktional ist dann durch ωΩ (A) = hΩ, π(A)Ωi definiert. Es stellt sich nun die Frage, ob jeder Zustand diese Form hat. Ihre Beantwortung f¨ uhrt zur GNS-Konstruktion die wir nun betrachten wollen. 4.6.1. Lemma. F¨ ur jedes positive lineare Funktional ω auf einer C*-Algebra A gilt 1. ω(A ∗ B) = ω(B ∗ A) f¨ ur alle A, B ∈ A. 2. |ω(A∗ B)|2 ≤ ω(A∗ A)ω(B ∗ B) f¨ ur alle A, B Ungleichung“)

∈ A ( Cauchy-Schwartz”

3. |ω(A∗ BA)| ≤ ω(A∗ A)kBk f¨ ur alle A, B ∈ A Beweis: Sei A, B ∈ A dann ist wegen der Positivit¨at von ω durch C 3 λ 7→ ω((λA + B)∗ (λA + B)) ∈ C eine positive quadratische Form gegeben. Das heißt es muß ∗ ¯ q(λ) := |λ|2 ω(A∗ A) + λω(A B) + λω(B ∗ A) + ω(B ∗ B) ≥ 0

(4.22)

f¨ ur alle λ ∈ C gelten. Insbesondere muß q(λ) ∈ R sein, das heißt der Ima∗ ¯ gin¨arteil von λω(A B) + λω(B ∗ A) ∈ R muß verschwinden. Dies bedeutet je∗ ¯ doch λ(ω(A∗ B) − ω(B ∗ A)) + λ(ω(B A) − ω(A∗ B)) = 0. Da λ beliebig ist folgt 1. Die Cauchy-Schwartzsche Ungleichung folgt nun f¨ ur ω(A∗ A) 6= 0 indem wir ∗ ∗ ∗ λ = −ω(A B)/ω(A A) setzen. Im Falle ω(A A) = 0, ω(B ∗ B) 6= 0 folgt die Aussage, indem wir die Rollen von A und B vertauschen. Gilt ω(A∗ A) = 0 und ω(B ∗ B) = 0 dann liefert λ = −ω(A∗ B) die Beziehung −2|ω(A∗ B)|2 ≥ 0 was ω(A∗ B) = 0 impliziert. Damit bleibt die Aussage 3 zu beweisen. Aus 2. folgt |ω(A∗ BA)|2 ≤ ω(A∗ A)ω(A∗ B ∗ BA). Daher folgt 3. aus der Ungleichung A∗ B ∗ BA ≤ kBk2 A∗ A welche wiederum aus Behauptung 4.3.13(3) folgt, da kBk2 1I − B ∗ B ≥ 0 ist (kB ∗ Bk = kBk2 , das Spektrum von B ∗ B ist in [0, kBk2 ] enthalten also σ(kBk2 1I − B ∗ B) ⊂ {kBk2 − λ | λ ∈ [0, kBk2 ]} = [0, kBk2 ]). 4.6.2. Satz. Sei A eine C*-Algebra und ω ∈ EA , dann existiert eine bis auf Unit¨ar¨aquivalenz eindeutige zyklische Darstellung (Hω , πω , Ωω ), die GNSDarstellung bzgl. ω, so daß ω(A) = hΩω , π(A)Ωω i f¨ ur alle A ∈ A gilt.

68

KAPITEL 4. C*-ALGEBREN

Beweis: Wir betrachten zun¨achst die Menge Iω := {A ∈ A | ω(A∗ A) = 0}.

(4.23)

Iω ist offenbar ein linearer Teilraum von A und wegen ω((BA)∗ (BA)) = ω(A∗ B ∗ BA) ≤ kBk2 ω(A∗ A) (siehe 4.6.1(3)) ist Iω sogar ein linksseitiges Ideal. Wir betrachten daher auf den Quotientenraum A/Iω den Ausdruck h[A], [B]i := ω(A∗ B), ¨ der von den Repr¨asentanten A, B der Aquivalenzklassen [A], [B] ∈ A/Iω unabh¨angig ist. Dies folgt mit I1 , I2 ∈ Iω durch: ω((A + I1 )∗ (B + I2 )) = ω(A∗ B) + ω(B ∗ I1 ) + ω(A∗ I2 ) + ω(I1∗ I2 ) = = ω(A∗ B). (4.24) Denn die Cauchy-Schwartzsche Ungleichung impliziert z.B. |ω(B ∗ I1 )| ≤ ω(B ∗ B)ω(I1∗ I1 ) = 0 da I1 ∈ Iω . Die Funktion h · , · i definiert daher ein Skalarprodukt welches A/Iω zum Pr¨ahilbertraum macht. Seine Vervollst¨andigung bezeichnen wir mit Hω . Jedes A ∈ A definiert nun auf A/Iω die lineare Abbildung πω (A)[B] = [AB]. Da Iω ein linksseitiges Ideal ist, ist πω (A) wohldefiniert. Außerdem gilt kπω (A)[B]k2 = h[AB], [AB]i = ω(B ∗ A∗ AB) ≤ kAk2 ω(B ∗ B) = kAk2 k[B]k2 . (4.25) Daher ist πω (A) beschr¨ankt und kann zu einem beschr¨ankten Operator auf ganz Hω ausgedehnt werden. Die Darstellungseigenschaften der Abbildung πω folgen unmittelbar aus der Definition; z.B. πω (A)πω (B)[C] = [ABC] = πω (AB)[C]. Damit haben wir eine Darstellung (Hω , πω ) von A definiert und es fehlt nur noch der zyklische Vektor. Wir wollen hierf¨ ur annehmen, daß A eine Identit¨at enth¨alt. Dann k¨onnen wir Ωω := [1I] betrachten. Offenbar hat jedes [A] ∈ A/Iω die Form [A] = πω (A)Ωω weshalb Ωω zyklisch ist. Falls A keine Identit¨at besitzt, k¨onnen wir eine hinzuf¨ ugen und die soeben vorgestellte Konstruktion f¨ ur A + C1I durchf¨ uhren. In diesem Falle wird allerdings ein zus¨atzliches Argument f¨ ur die Zyklizit¨at ben¨otigt, welches bitte [5, Thm. 2.3.16] zu entnehmen ist (dort wird eine approximative Identit¨at verwendet, die wir in dieser Vorlesung nicht betrachtet haben). Damit verbleibt die Eindeutigkeit bis auf Unit¨ar¨aquivalenz. Sei daher 0 (Hω , πω0 , Ω0ω ) eine weitere zyklische Darstellung von A, die die Eigenschaft ω(A) = hΩ0ω , πω0 (A)Ω0ω i besitzt, dann definieren wir U πω (A)Ωω := πω0 (A)Ω0ω . Offenbar ist hU πω (A)Ωω , U πω (B)Ωω i = hπω0 (A)Ω0ω , πω0 (B)Ω0ω i = hΩ0ω , πω0 (A∗ B)Ω0ω i = ω(A∗ B) = hΩω , πω (A∗ B)Ωω i = hπω (A)Ωω , πω (B)Ωω i.

(4.26) (4.27) (4.28) (4.29)

Entsprechendes gilt f¨ ur die Umkehrabbildung U −1 πω0 (A)Ω0ω = πω (A)Ωω . Daher ist U zu einem unit¨aren Operator von Hω0 nach Hω fortsetzbar, f¨ ur den gilt: U πω0 (A)U ∗ = πω (A) und U Ω0ω = Ωω .

(4.30)

Mit anderen Worten: die Darstellungen (Hω0 , πω0 , Ω0ω ) und (Hω , πω , Ωω ) sind unit¨ar a¨quivalent.

4.6. DIE GNS-KONSTRUKTION

69

4.6.3. Beispiel. Sei A = M (2, C) und ω(A) = 12 tr A. Dann gilt !

a b c d

M (2, C) 3 A =

a ¯ c¯ ¯b d¯

∗

⇒A =

!

und

∗

A A=

|a|2 + |c|2 a ¯b + c¯d ¯ba + dc ¯ |b|2 + |d|2

!

. (4.31)

Daher ist ω(A∗ A) = 21 (|a|2 +|b|2 +|c|2 +|d|2 ) und somit ω(A∗ A) = 0 ⇐⇒ A = 0 mit anderen Worten: Iω = {0} und Hω = A = M (2, C). Identifizieren wir nun M (2, C) verm¨oge der unit¨aren Abbildung 4

1

2

3

4

C 3 (x , x , x , x ) 7→

x1 x3 x2 x4

!

∈ M (2, C)

(4.32)

mit dem Hilbertraum2 (C4 , 12 h · , · i), dann ergibt sich f¨ ur C4 3 x := (x1 , x2 , x3 , x4 ): πω (A)x =

a b c d

!

x1 x 3 x2 x 4

!

= (ax1 + bx2 , cx1 + dx2 , ax3 + bx4 , cx3 + dx4 ). (4.33) Mit anderen Worten πω (A) = A ⊕ A. Der zyklische Vektor schließlich ist Ωω = (1, 0, 0, 1), denn offenbar ist mit e1 = (1, 0) und e2 = (0, 1) 1 1 1 1 hΩω , A ⊕ AΩω i = he1 , Ae1 i + he2 , Ae2 i = tr A = ω(A). 2 2 2 2

(4.34)

Wir m¨ochten an dieser Stelle bemerken, daß ω in der Darstellung πω nat¨ urlich ein Vektorzustand ist (so ist πω ja gerade gemacht) jedoch kein reiner Zustand. Aus diesem Grunde verdoppelt“ sich der urspr¨ ungliche Hilbertraum C2 zum C4 . ” Eine unmittelbare Folge des letzten Satzes ist das folgende Korollar: 4.6.4. Korollar. Sei ω ein Zustand auf der C*-Algebra A und α : A → A ein Automorphismus der ω invariant l¨aßt, d.h. ω(α(A)) = ω(A) f¨ ur alle A ∈ A. Dann existiert ein eindeutiger unit¨arer Operator auf dem Hilbertraum Hω , so daß U πω (A)U ∗ = πω (α(A)) und U Ωω = Ωω gilt (d.h. α ist unit¨ar implementierbar). Beweis: Offenbar ist π(A) = πω (α(A)) eine Darstellung f¨ ur die ω(A) = hΩω , π(A)Ωω i gilt. Daher folgt die Aussage aus der Eindeutigkeit der GNSDarstellung. Ein wichtige Aussage ist schließlich die nun folgende Beziehung zwischen reinen Zust¨anden und irreduziblen Darstellungen. 4.6.5. Satz. Ein Zustand ω auf der C*-Algebra A ist genau dann ein reiner Zustand, wenn seine GNS-Darstellung irreduzibel ist. Beweis: Siehe [5, 2.3.19]. 2

h · , · i bezeichnet dabei daß u ¨bliche Skalarprodukt auf dem C4 ; der Faktor wegen hA, Ai = ω(A∗ A) = 12 (|a|2 + |b|2 + |c|2 + |d|)

1 2

ist notwendig

70

KAPITEL 4. C*-ALGEBREN

Eine wichtige Konsequenz der GNS-Konstruktion ist die Existenz von Darstellungen, denn wir haben in Satz 4.5.10 gesehen, daß auf jeder C*-Algebra Zust¨ande existieren. Wir k¨onnen sogar weiter gehen und die folgende zentrale Strukturaussage beweisen: 4.6.6. Satz. Jede C*-Algebra ist *-isomorph zu einer normabgeschlossenen, selbstadjungierten Algebra beschr¨ankter Operatoren auf einem Hilbertraum H. Beweis: Wir betrachten f¨ ur jeden Zustand ω auf A die GNS-Darstellung (Hω , πω , Ωω ) und bilden deren direkte Summe H=

M

Hω ,

π=

ω∈EA

M

πω .

(4.35)

ω∈EA

Aus Satz 4.5.10 folgt f¨ ur jedes A ∈ A die Existenz eines ω mit ω(A∗ A) = kAk2 . Daher ist kAk2 = ω(A∗ A) = kπω (A)Ωω k2 ≤ kπω (A)k2 ≤ kAk2

(4.36)

also kπω (A)k2 = kAk2 . Daher gilt kAk ≥ kπ(A)k ≥ kAk und damit ist π eine treue Darstellung (siehe Behauptung 4.4.12).

4.7

Abelsche C*-Algebren

Am Schluß dieses Kapitels wollen wir schließlich noch die Struktur abelscher C*Algebren betrachten. Die zentrale Aussage dieses Abschnittes ist daß alle abelschen C*-Algebren die Form C0 (X) mit einem lokalkompakten Raum X besitzen (siehe Bsp. 4.1.11). Der erste Schritt ist die Definition des Spektrums einer abelschen C*Algebra. 4.7.1. Definition. Sei A eine abelsche C*-Algebra. Ein Charakter ω von A ist eine nichtverschwindende lineare Abbildung A 3 A 7→ ω(A) ∈ C die die Eigenschaft ω(AB) = ω(A)ω(B) f¨ ur alle A, B ∈ A besitzt. Die Menge aller Charaktere von A heißt das Spektrum σ(A) von A. 4.7.2. Behauptung. Die Charaktere einer abelschen C*-Algebra A stimmen mit deren reinen Zust¨anden u ¨berein. Beweis: Wir wollen f¨ ur den Beweis annehmen, daß A eine Identit¨at enth¨alt (siehe [5, Prop. 2.3.27] f¨ ur den allgemeinen Fall). Sei ω ∈ σ(A). Dann ist ω(A) = ω(A1I) = ω(A)ω(1). Da mindestens ein A mit ω(A) 6= 0 existiert folgt ω(1I) = 1. Sei nun λ 6∈ σ(A). Dann existiert ein B ∈ A mit (λ1I−A)B = 1I. Daher ist ω(λ1I−A)ω(B) = 1 also (λ − ω(A))ω(B) = 1 und daher λ 6= ω(A). Das zeigt, daß ω(A) ∈ σ(A) ist und daher |ω(A)| ≤ ρ(A) = kAk gilt (also ist ω stetig). Ebenso folgt ω(A∗ A) ≥ 0 da das Spektrum von A∗ A positiv ist. Also ist ω ein Zustand. Bleibt zu zeigen, daß ω ein reiner Zustand ist. Wir betrachten zu diesem Zweck die GNS-Darstellung von ω. Es muß offenbar hπω (A∗ )Ωω , πω (B)Ωω i = hΩω , πω (A)Ωω ihΩω , πω (B)Ωω i

(4.37)

4.7. ABELSCHE C*-ALGEBREN

71

gelten. Angenommen die Dimension von Hω ist gr¨oßer als Eins, dann gibt es ein ψ ∈ Hω so daß hψ, πω (B)Ωω i = 0 ist. Daher existiert f¨ ur jedes > 0 ein A ∈ A so ∗ daß kπω (A )Ωω − ψk ≥ /kBk gilt. Dies impliziert jedoch |hπ(A∗ )Ωω , πω (B)Ωω i| = |hψ, πω (B)Ωω i − h(ψ − π(A∗ )Ωω ), πω (B)Ωω i| = = |h(ψ − π(A∗ )Ωω ), πω (B)Ωω i| ≤ kψ − πω (A∗ )kkBk = . (4.38) Daher existiert ist hΩω , πω (A )Ωω ihΩω , πω (B)Ωω i < . Mit ω(B) 6= 0 folgt daraus, daß ω(A ) gegen Null konvergieren muß. Dies jedoch heißt daß ω(A CB) = hπω (A∗ )πω (C ∗ )Ωω , πω (B)Ωω i f¨ ur alle B, C ∈ A gegen Null konvergiert. Da Ωω zyklischer Vektor ist folgt daraus πω (A ) gegen Null f¨ ur → 0. Dies wiederspricht jedoch der Annahme daß πω (A∗ )Ωω f¨ ur → 0 gegen ψ 6= 0 konvergiert. Also ist dim Hω = 1 und πω damit irreduzibel. Mit Satz 4.6.5 folgt daher daß ω ein reiner Zustand ist. Sei ω nun ein reiner Zustand, dann ist wie soeben bemerkt πω irreduzibel und wegen Beh. 4.4.32 gilt f¨ ur die Kommutante πω (A)0 = C1I. Da A jedoch abelsch ist folgt πω (A) ⊂ πω (A)0 = C∞ dies ist jedoch nur m¨oglich wenn Hω eindimensional ist. Dann aber faktorisiert ω. Da das Spektrum von A eine Teilmenge des Dualraumes A∗ ist, k¨onnen wir auf σ(A) die Spurtopologie bzgl. der Schwach*-Topologie betrachten. Es gilt dann der folgende Satz: 4.7.3. Satz. Sei A eine abelsche C*-Algebra und X die Menge aller Charaktere zusammen mit der Spurtopologie bzgl. der Schwach*-Topologie auf A∗ , 1. dann ist X ein lokalkompakter, hausdorffscher, topologischer Raum. 2. X ist genau dann kompakt, wenn A eine Identit¨at besitzt. ˆ 3. Durch A 3 A 7→ Aˆ ∈ C0 (X) mit A(ω) = ω(A) ist ein *-Isomorphismus gegeben (vergl. Bsp. 4.1.11), der Gelfandtransformation genannt wird. Beweis: Zu 1. Sei ω0 ∈ X, dann existiert ein A ∈ A+ mit ω0 (A) > 0. O.B.d.A. k¨onnen wir annehmen, daß ω(A) > 1 ist. Daher ist die Menge K = {ω | ω ∈ X, ω(A) > 1} eine offene Umgebung von ω0 . Der Abschluß von K ist in {ω | ω ∈ X, ω(A) ≤ 1} enthalten, denn f¨ ur jedes Netz (ωi )i∈I von Elementen aus K gilt offenbar (limi∈I ωi )(AB) = limi∈I ωi (A) limi∈I ωi (B) und limi∈I ωi (A) ≥ 1. Da alle ¯ ⊂ BA der Einheitskugel in A∗ , die wegen Satz Charaktere Zust¨ande sind ist also K ¯ eine kompakte Umgebung von ω0 . 4.5.12 kompakt ist. Also ist K Zu 3. Durch Aˆ ist auf X eine komplexwertige Funktion gegeben, die aufgrund der Definition der Schwach*-Topologie offenbar steitg ist. Außerdem folgt ebenso wie im vorstehenden Absatz, daß die Menge {ω ∈ X | ω(A) ≥ } kompakt ist. Daher ist Aˆ ∈ C0 (X). Die Abbildung A 3 A 7→ Aˆ ∈ C0 (X) die somit gegeben ist, ist offenbar ein Morphismus. Wegen des Satzes 4.5.10 ist sogar 2 ∗ A(ω)| = kAk2 ˆ 2 = sup |A(ω)| ˆ kAk = |Ad

(4.39)

ω∈X

und daher ist mit Behauptung 4.4.12 die Abbildung A 7→ Aˆ ein Isomorphismus auf ihr Bild.

72

KAPITEL 4. C*-ALGEBREN

Damit bleibt zu zeigen, daß das Bild dieser Abbildung ganz C0 (X) ist. Die Funktionen Aˆ mit A ∈ A separieren die Elemente von X: Wenn ω1 6= ω2 dann gibt es ein ˆ 1 ) 6= A(ω ˆ 2 ). Aufgrund des Approximationssatzes A ∈ A mit ω1 (A) 6= ω2 (A) also A(ω ˆ von Stone und Weierstraß ist {A | A ∈ A} dicht in C0 (X). Und da A 7→ Aˆ wie soeben gesehen ein Isomorphismsus ist, ist {Aˆ | A ∈ A} abgeschlossen, stimmt also mit C0 (X) u ¨berein. Zu 2. Wenn X kompakt ist, dann ist die Funktion X 3 ω 7→ 1 ∈ C ein Element von C0 (X). Wegen Behauptung 3 ist daher eine Identit¨at in A. Sei nun andersherum angenommen, daß A eine Identit¨at enth¨alt, dann gilt f¨ ur alle ω ∈ X die Ungleichung ω(21I) ≥ 1. Daher zeigt eine ¨ahnliche Argumentation wie f¨ ur Behauptung 1 daß X kompakt ist. Als Konsequenz dieses Satzes k¨onnen wir nun den Funktionalkalk¨ ul f¨ ur eine normales Element einer beliebigen C*-Algebra einf¨ uhren. 4.7.4. Satz. Sei A ein normales Element einer C*-Algebra A und ı ∈ C0 (σ(A)) das durch ı(x) = x, x ∈ σ(A) definierte Element dere abelschen C*-Algebra C0 (σ(A)), dann existiert ein eindeutiger *-Isomorphusmus φ : C0 (σ(A)) → φ C0 (σ(A)) ⊂ A mit der Eigenschaft φ(ı) = A. Beweis: Betrachte die von A, A∗ und 1I erzeugte abelsche C*-Algebra B ⊂ A. Aufgrund des Darstellungssatzes von Gelfand existiert ein lokalkompakter topologischer Raum X und ein *-Isomorphismus ψ : C0 (X) → B. Mit u = ψ(A), ist offenbar σ(A) = σ(u) = {u(x) | x ∈ X}. Daher ist C0 (σ(A)) 3 f 7→ f ◦ u ∈ C0 (X) ein *-Isomorphismus von C0 (σ(A)) auf eine Teilalgebra von C0 (X). Daher k¨onnen wir definieren: C0 (σ(A)) 3 f 7→ φ(f ) := ψ(u ◦ f ) ∈ B. Offenbar hat φ die gew¨ unschte Eigenschaft Φ(ı) = A., womit die Eindeutigkeit zu zeigen bleibt. Dies wird dem ¨ Leser als Uberaufgabe u ¨berlassen.

Kapitel 5 Von Neumannalgebren Wir haben im letzten Kapitel gesehen, daß jede C*-Algebra als Algebra beschr¨ankter Operatoren auf einem Hilbertraum dargestellt werden kann. Diese Algebra ist dabei abgeschlossen in der Normtopologie. In vielen Situation jedoch ist sinnvoll, die Operatoralgebra in einer anderen Topologie abzuschließen. Dies f¨ uhrt zum Begriff der von Neumann Algebra.

5.1

Operatortopologien

¨ Wir beginnen mit einer Ubersicht u ur diesen Zweck ¨ber alle Topologien die wir f¨ betrachten wollen. Es handelt sich dabei um lokalkonvexe Topologien die von Familien von Halbnormen erzeugt werden. Wir erinnern daher zun¨achst an die Definition eines lokalkonvexen Raumes. 5.1.1. Definition. Sei V ein komplexer (reeller) Vektorraum, dann heißt ein Funktional p : V → R eine Halbnorm, wenn die folgenden Bedingungen erf¨ ullt sind: 1. p(x) ≥ 0 f¨ ur alle x ∈ V . 2. p(λx) = |λ|p(x) f¨ ur alle λ ∈ C (λ ∈ R) und x ∈ V . 3. p(x + y) ≤ p(x) + p(y) f¨ ur alle x, y ∈ V . 5.1.2. Definition. Ein komplexer (reeller) Vektorraum V zusammen mit einer Familie (pi )i∈I von Halbnormen heißt lokalkonvexer Raum. Die lokalkonvexe Topologie von V ist dabei durch die Umgebungsbasen (1 , . . . , n > 0) U (x; p1 , . . . , pn ; 1 , . . . , n ) := {y ∈ V | p1 (x − y) < 1 , . . . , pn (x − y) < n }

(5.1)

gegeben. Ein lokalkonvexer Raum ist ein topologischer Vektorraum, das heißt die durch die Halbnormen definierte Topologie ist mit der Vektorraumstruktur vertr¨aglich. Außerdem ist ein lokalkonvexer Raum uniformisierbar, mit anderen Worten der Begriff der Vollst¨andigkeit ist definiert. Schließlich ist noch zu bemerken, daß ein lokalkonvexer Raum genau dann hausdorffsch ist wenn pi (x) = 0, ∀x ∈ V ¨aquivalent zu x = 0 ist. Wir wenden uns nun lokalkonvexen Topologien auf B(H) zu. Zun¨achst die starke und die σ-starke Topologie. 73

74

KAPITEL 5. VON NEUMANNALGEBREN

5.1.3. Definition. Sei H ein komplexer Hilbertraum und B(H) die Algebra der beschr¨ankten Operatoren auf H. 1. Die starke Topologie auf B(H) ist durch die Familie pψ (A) = kAψk, ψ ∈ H von Halbnormen definiert. 2. Der Definition der σ−starken Topologie dienen die durch pψn ,n∈N (A) = P 2 1/2 ( ∞ definierten Halbnormen, wobei (ψn )n∈N eine Folge von Elen=1 kAψn k ) P 2 menten aus H ist, f¨ ur die ∞ n=1 kψn | < ∞ ist. Wie bereits bemerkt ist B(H) in dieser Topologie ein topologischer Vektorraum. Die Multiplikation ist nicht stetig. Es gilt nur noch die folgende Aussage. 5.1.4. Behauptung. Betrachte einen komplexen Hilbertraum H und auf der Algebra B(H) die starke bzw. σ-starke Topologie, dann gilt: 1. Die σ-starke Topologie ist feiner als die starke Topologie. 2. Beide Topologien stimmen auf der Einheitskugel B1 (H) u ¨berein. 3. B1 (H) ist in der durch diese Topologien definierten uniformen Struktur vollst¨andig. 4. Die Abbildung B1 (H) × B(H) 3 (a, b) 7→ AB ∈ B(H) ist stetig in beiden Topologien. 5. Die Multiplikation ist jedoch nur dann auf ganz B(H) × B(H) stetig, wenn H endlich dimensional ist. 6. Die Abbildung A 7→ A∗ ist nicht stetig. Beweis: [5, Prop. 2.4.1]. Als n¨achstes wenden wir uns der schwachen bzw. σ-schwachen Topologie zu: 5.1.5. Definition. Sei H ein komplexer Hilbertraum und B(H) die Algebra der beschr¨ankten Operatoren auf H. 1. Die schwache Topologie wird durch die Familie pψ,φ (A) := |hψ, Aφi|, ≤, φ ∈ H 2. und die σ-schwache durch pψn ,φn ,n∈N (A) = ∞ n=1 |hψn , Aφn i|, ψn , φn ∈ H mit P∞ P∞ 2 2 n=1 kψn k < ∞ und n=1 kφn k < ∞ definiert. P

¨ Ahnlich wie f¨ ur die starke und die σ-starke Topologie erhalten wir die Aussage: 5.1.6. Behauptung. Betrachte einen komplexen Hilbertraum H und auf der Algebra B(H) die schwache bzw. σ-schwache Topologie, dann gilt: 1. Die σ-schwache Topologie ist feiner als die schwache Topologie. 2. Beide Topologien stimmen auf B1 (H) u ¨berein. 3. B1 (H) ist kompakt in beiden Topologien.

5.2. VON NEUMANNALGEBREN, ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN

75

4. Die Abbildungen A 7→ AB, A 7→ BA und A 7→ A∗ sind stetig. 5. Die Multiplikation ist als Abbildung auf B(H) × B(H) nur dann stetig wenn H endlich dimensional ist. Beweis: [5, Prop. 2.4.2] Schließlich gibt es noch die stark* und σ-stark* Topologien. 5.1.7. Definition. Sei H ein komplexer Hilbertraum und B(H) die Algebra der beschr¨ankten Operatoren auf H. 1. Die stark* Topologie auf B(H) wird durch die Familie p∗ψ (A) := kAψk+kA∗ ψk, ψ∈H 2 2. und die σ-stark* Topologie durch die Familie p∗ψn ,n∈N (A) := ( ∞ n=1 kAψn k + P∞ P 2 1/2 2 , ψn ∈ H mit ∞ n=1 kAψn k ) n=1 kψk < ∞ von Halbnormen definiert.

P

Der wesentliche Unterschied zwischen starker Topologie und stark* Topologie ist die Stetigkeit von A 7→ A∗ in letzterer. Ansonsten gelten alle Aussagen aus Behauptung 5.1.4. ¨ Fassen wir nun nocheinmal alle behandelten Topologien im Uberblick zusammen. Norm

Norm

Norm

x   

x   

x   

x   

x   

x   

σ-stark* ←−−− σ-stark ←−−− σ-schwach

stark* ←−−− stark ←−−− schwach Dabei bedeutet der Pfeil ← “ist feiner als”.

5.2

Von Neumannalgebren, elementare Eigenschaften

Sei M ⊂ B(H) eine Menge von Operatoren auf dem Hilbertraum H, dann ist die Kommutante von M durch M0 := {A ∈ B(H) | [A, B] = 0 ∀B ∈ M}

(5.2)

definiert (siehe (4.20)). M0 ist offenbar eine Banachalgebra und wenn M selbstadjungiert ist, sogar eine C*-Algebra. Doppeltes Anwenden der Kommutante liefert offenbar M ⊂ M00 und dreifaches M0 = M000 . Wir definieren nun: 5.2.1. Definition. Eine von Neumannalgebra auf dem Hilbertraum H ist eine *Unteralgebra M von H f¨ ur die M = M00 gilt. Das Zentrum einer von Neumannalgebra ist durch Z(M) = M∩M0 gegeben. Eine von Neumannalgebra mit Z(M) = C1I heißt Faktor.

76

KAPITEL 5. VON NEUMANNALGEBREN

Eine von Neumannalgebra enth¨alt zahlreiche Projektionsoperatoren. Um dies zu sehen, betrachten wir einen selbstadjungierten Operator A ∈ M. Wenn A mit einen Operator B kommutiert, dann kommutiert B auch mit allen Spektralprojektionen von A. Also sind alle diese Projektoren Elemente von M. Jeder selbstadjungierte Operator kann in der Normtopologie durch eine Linearkombination von Spektralprojektoren approximiert werden und jedes Element einer C*-Algebra ist die Linearkombination zweier selbstadjungierter Operatoren. Daher bilden die Projektoren eine totale Teilmenge von M. 5.2.2. Beispiel. Die C*-Algebra B(H) ist eine von Neumannalgebra und sogar ein Faktor. Die Algebra LC(H) der kompakten Operatoren (siehe Bsp. 4.1.9) ist keine von Neumannalgebra, da LC(H)00 = B(H) ist. Wir kommen nun zum Bikommutantentheorem“ von Neumanns, welches die ” wichtigste Aussage u ¨ber von Neumannalgebren darstellt. Zuvor noch eine technische Definition: 5.2.3. Definition. Sei H ein Hilbertraum, M ⊂ B(H) und K ⊂ H, dann ist k·k

[MK] := span{Aψ | A ∈ M, ψ ∈ K}

.

(5.3)

M heißt nicht degeneriert, wenn [MH] = H ist. 5.2.4. Satz. Sei M eine nicht degenerierte *-Algebra beschr¨ankter Operatoren auf dem Hilbertraum H, dann sind die folgenden Aussagen ¨aquivalent: 1. M ist eine von Neumannalgebra, also M = M00 . 2. M ist schwach abgeschlossen. 3. M ist stark abgeschlossen. 4. M ist σ-schwach abgeschlossen. 5. M ist σ-stark abgeschlossen. 6. M ist stark* abgeschlossen. 7. M ist σ-stark* abgeschlossen. Beweis: [5, Thm. 2.4.11] Eine unmittelbare Folgerung aus diesem Satz ist die folgende Dichtheitsaussage: 5.2.5. Korollar. Sei M eine nicht degenerierte *-Algebra beschr¨ankter Operatoren auf dem Hilbertraum H, dann ist M dicht in M00 bez¨ uglich der schwachen, σ-schwachen, starken und σ-starken Topologie und bzgl. der stark* und der σ-stark* Topologie.

¨ ¨ 5.3. NORMALE ZUSTANDE UND DAS PRADUAL

5.3

77

Normale Zust¨ ande und das Pr¨ adual

Eine weitere M¨oglichkeit von Neumannalgebren zu charakterisieren bietet die Tatsache, daß jede von Neumannalgebra der Dualraum eines Banachraumes ist. 5.3.1. Definition. Das Pr¨adual einer von Neumannalgebra M ist der Raum aller σ-schwach stetigen linearen Funktionale auf M und wird mit M∗ bezeichnet. 5.3.2. Satz. Das Pr¨adual M∗ der von Neumannalgebra M ist ein Banachraum in der Norm von M∗ und M ist das Dual von M∗ bzgl. der Dualit¨at M × M∗ 3 (A, ω) 7→ ω(A). Beweis: [5, Prop. 2.4.18]. 5.3.3. Beispiel. Das Pr¨adual B(H)∗ der von Neumannalgebra B(H) ist isomorph zum Raum T (H) := {ρ ∈ B(H) | tr ρ < ∞} der Spurklasseoperatoren auf H zusammen mit der Spurnorm kρk1 = tr |ρ|. Der Isomorphismus ist gegeben durch T (H) 3 ρ 7→ ωA ∈ B(H)∗ mit ωρ (A) = tr(ρA). Nun wollen wir die Zust¨ande untersuchen, die im Pr¨adual einer von Neumannalgebra liegen. Wir definieren: 5.3.4. Definition. Ein Zustand ω auf der von Neumannalgebra heißt normal, wenn er σ-schwach stetig ist. 5.3.5. Bemerkung. Im allgemeinen definiert man normale Zust¨ande durch die Bedingung daß ω(supi Ai ) = supi ω(Ai ) f¨ ur alle aufsteigenden Netze (Ai )i∈I ist. Die zuvor angegebene Definition ist jedoch ¨aquivalent und vermeidet den Begriff des Netzes. 5.3.6. Satz. Ein Zustand ω auf der von Neumannalgebra M ist genau dann normal, wenn ein Dichteoperator ρ, das heißt ρ ∈ T (H) mit ρ ≥ 0 und tr ρ = 1 existiert, so daß ω(A) = tr(ρA) ist. Beweis: [5, Thm. 2.4.21]. Eine simple Konsequenz dieser Aussage, ist Satz 1.1.1 der uns in Kapitel 1 als Motivation f¨ ur die Interpretation von Zust¨anden als positiven linearen Funktionalen diente: 5.3.7. Korollar. Zu jedem Zustand ω auf der von Neumannalgebra B(Cd ) (mit d ∈ N) existiert eine Dichtematrix ρ mit ω(A) = tr(ρA) Beweis: Da B(Cd ) endlich dimensional ist, stimmen offenbar alle in Abschnitt 5.1 definierten Topologien (untereinander und) mit der Normtopologie u ¨berein. Daher ist jeder Zustand normal und die Aussage folgt aus 5.3.6. Eine weitere unmittelbare Konsequenz ist Satz 1.3.1, der uns im Kapitel 1.3 ebenfalls zur Motivation einer algebraischen Betrachtungsweise der Quantentheorie diente.

78

KAPITEL 5. VON NEUMANNALGEBREN

5.3.8. Korollar. Sei d ∈ N und A = B(Cd ) dann hat jeder Automorphismus α : A → A die Form α(A) = U AU ∗ ,wobei U ein unit¨arer Operator auf Cd ist. Beweis: Wie soeben gesehen, stimmen die Zust¨ande auf B(Cd ) mit den Dichtematrizen u ¨berein. Daraus folgt offenbar, daß reine Zust¨ande eindimensionalen Projektoren, also normierten Elementen des Cd entsprechen. Sein also ω ein reiner Zustand mit ω(A) = hx, Axi dann ist (Cd , Id, x) die GNS-Darstellung von ω (genau gesagt unit¨ar ¨aquivalent zu selbiger). Da α ein Automorpismus ist, ist α∗ ω ebenfalls ein reiner Zustand, so das ein Vektor y ∈ Cd mit (α∗ ω)(A) = hy, Ayi existiert und (Cd , Id, y) ist die GNS-Darstellung von α∗ ω. Nun ist jedoch offenbar auch (Cd , α, x) unit¨ar a¨quivalent zur GNS-Darstellung von α∗ ω. Daher existiert ein unit¨arer Operator mit U AU ∗ = α(A), was zu beweisen war. Eng verkn¨ upft mit normalen Zust¨anden ist der Begriff der Quasi¨aquivalenz von ” Darstellungen“ der wie folgt definiert ist: 5.3.9. Definition. Sei A eine C*-Algebra 1. und π eine Darstellung, dann heißt ein Zustand ω π-normal wenn ein normaler Zustand ρ auf π(A)00 mit ω(A) = ρ(π(A)) existiert. 2. Zwei Darstellungen π1 , π2 von A heißen quasi¨aquivalent π1 ≈ π2 wenn alle π1 -normalen Zust¨ande auch π2 -normal sind. Betrachten wir einen Zustand ω und seine GNS-Darstellung (Hω , πω , Ωω ), dann ist ω offenbar πω -normal. Betrachten wir zwei Zust¨ande ω1 , ω2 , k¨onnen wir definieren: ω1 und ω2 sind quasi¨aquivalent ω1 ≈ ω2 wenn ihre GNS-Darstellungen quasi¨aquivalent sind. Mit anderen Worten zwei Zust¨ande sind genau dann quasi¨aquivalent, wenn sie in derselben Darstellung als Dichteoperatoren darstellbar sind. Der n¨achste Satz zeigt unter anderem wie Quasi¨aquivalenz mit Unit¨ar¨aquivalenz zusammenh¨angt. 5.3.10. Satz. Sei A eine C*-Algebra und (H1 , π1 ), (H2 , π2 ) nicht degenerierte Darstellungen von A. Die folgenden Aussagen sind ¨aquivalent: 1. π1 und π2 sind quasi¨aquivalent. 2. Es existiert ein *-Isomorphismus α : π1 (A)00 → π2 (A)00 , so daß α(π1 (A)) = π2 (A) f¨ ur alle A ∈ A gilt. 3. Es existiert ein n ∈ N so daß

Ln

k=1

π1 unit¨ar¨aquivalent zu

Ln

k=1

π2 ist.

Beweis: [5, Thm. 2.4.26]

5.4

Abelsche von Neumann-Algebren

In Kapitel 4.7 haben wir gesehen, daß jede abelsche von Neumannalgebra die Form C0 (X) mit einem lokalkompakten Hausdorffraum X hat. Daher verbleibt die Frage welche speziellen Eigenschaften X haben muß, damit C0 (X) von Neumannalgebra ist (genauer gesagt W ∗ -Algebra ist). Eine Antwort gibt der nun folgende Satz.

5.5. TYP-KLASSIFIZIERUNG

79

5.4.1. Definition. Ein (lokal)kompakter Hausdorffraum X heißt extrem unzusammenh¨angend wenn jede offene Menge einen offenen Abschluß besitzt. 5.4.2. Satz. Eine abelsche von Neumannalgebra R ist *-isomorph zur Algebra C0 (X), wobei X ein extrem unzusammenh¨angender, kompakter Hausdorffraum ist. Beweis: Siehe [15, Thm. 5.2.1] Der Unterschied zwichen C* und von Neumannalgebren ist, daß in letzteren viel mehr Projektoren enthalten sind. Daher m¨ ussen in C0 (X) viel mehr charateristische Funktionen enthalten sein. Dies legt die Vermutung nahe, daß f¨ ur jedes normale Element A ∈ R einer von Neumannalgebra durch C0 (σ(A)) 3 χ∆ 7→ φ(χ∆ ) ∈ R, mit dem Morphismus φ aus Satz 4.7.4 das Spektralmaß gegeben ist. In der Tat gilt der folgende Satz: 5.4.3. Satz. Sei A ∈ R ein selbstadjungiertes Element einer von Neumannalgebra, dann existiert genau eine Familie R 3 λ 7→ Eλ ∈ R von Projektionen, mit den folgenden Eigenschaften: 1. Eλ = 0 f¨ ur λ < −kAk und Eλ = 1I f¨ ur λ ≥ kAk. 2. Eλ ≤ Eµ f¨ ur λ ≤ µ. 3. Eλ =

V

µ>λ

Eµ .

4. AEλ ≤ λEλ und λ(1I − Eλ ) ≤ A(1I − Eλ ) f¨ ur jedes λ. 5. A =

R kAk

−kAk

λdEλ im Normsinne.

Beweis: Ein ausf¨ uhrlicher Beweis findet sich in [15, Thm. 5.2.2]. Wir wollen hier nur kurz die Konstruktion der Eλ skizzieren. Sei M ⊂ R die von A erzeugte von Neumannalgebra und X ihr Spektrum. Sei ferner f ∈ C0 (X) die zu A geh¨orende Funktion, dann ist f −1 ((λ, ∞)) = Xλ eine abgeschloffene Menge (Leicht zu zeigen). Daher ist die charakteristische Funktion χλ von Xλ in C0 (X). Wir w¨ahlen dann f¨ ur Eλ die zu den χλ geh¨origen Operatoren.

5.5

Typ-Klassifizierung

Wir wollen in diesem Abschnitt kurz auf die Frage eingehen, welche Gestalt eine von Neumannalgebra im allgemeinen hat. Dies f¨ uhrt uns direkt zur Typ-Klassifizierung“ ” die wir im folgenden betrachten wollen. Die Idee dabei ist, eine von Neumannalgebra R durch Eigenschaften ihrer Projektoren zu charakterisieren. (Wir haben zu Beginn des Abschnitts 5.2 bereits erw¨ahnt, daß die Menge der Projektoren in R total ist.) Der erste Schritt ist dabei der Vergleich von Projektoren gem¨aß der folgenden Definition: 5.5.1. Definition. Zwei Projektoren E, F einer von Neumannalgebra R heißen ¨aquivalent bzgl. R, in Symbolen E ∼R F (oder E ∼ F falls klar ist auf welches R sich die Aussage bezieht) wenn ein V ∈ R mit V ∗ V = E und V V ∗ = F existiert.

80

KAPITEL 5. VON NEUMANNALGEBREN

5.5.2. Bemerkung. V ∗ V = E und V V ∗ = F sind f¨ ur eine lineare Abbildung V : H → H Projektoren gdw. V eine partielle Isometrie ist, das heißt: 1. kV xk = kxk f¨ ur alle x ∈ H 2. und V ker(V )⊥ ist eine Isometrie. siehe [15, Prop. 6.1.1]. Mit anderen Worten V ist ein unit¨arer Operator vom initialen Teilraum EH = ker(V )⊥ auf den finalen Teilraum F H = Ran(V )∗ . Daraus folgt offenbar f¨ ur endlich dimensionale Projekoren: E ∼B(H) F ⇐⇒ dim E = dim F . ¨ Die soeben eingef¨ uhrte Relation ∼R ist eine Aquivalenzrelation [16, Prop. 6.1.5]. ¨ Die Menge der Projektionen in R zerf¨allt daher in Aquivalenzklassen, zwischen denen wiederum durch E F : ⇐⇒ E ∼ F0 und F0 < F eine Ordnungsrelation gegeben ist [16, Prop 6.2.4, Prop 6.2.5]. Ist R ein Faktor (siehe Definition 5.2.1), ¨ zeigt sich, daß die Menge der Aquivalenzklassen durch sogar vollst¨andig geordnet ist [16, Prop. 6.2.6]. Es besteht offenbar eine gewisse Analogie zur Mengenlehre, denn offenbar k¨onnen wir ∼ mit der Relation ist gleich m¨achtig wie“ und < mit ” ⊂ vergleichen. Diese Tatsache motiviert die Einf¨ uhrung von den Begriffen endlich“ ” und unendlich“. ” 5.5.3. Definition. Sei R eine von Neumannalgebra und E ∈ R eine Projektion. 1. E heißt endlich wenn es keine echte Teilprojektion F < E gibt, die zu E selbst ¨aquivalent ist, ansonsten heißt E unendlich. 2. R heißt endlich bzw. unendlich, wenn die Identit¨at die entsprechende Eigenschaft hat. 3. R heißt halbendlich, wenn jede Projektion in R eine nicht verschwindende endliche Projektion enth¨alt. 4. R heißt echt unendlich, wenn alle nichtverschwindenden Projektionen im Zentrum von R unendlich sind. 5. R heißt rein unendlich, alle nicht verschwindenden Projektionen in R unendlich sind. Basierend auf den bereitgestellten Begriffen k¨onnen wir nun wie folgt eine Klassifikation aller von Neumannfaktoren angeben. 5.5.4. Definition. Sei M ein Faktor, dann sagen wir M ist 1. vom Typ I, wenn M eine minimale Projektion besitzt. (a) vom Typ In wenn 1I die Summe von n minimalen Projektionen ist. (b) vom Typ I∞ wenn M Typ I und unendlich ist. 2. vom Typ II wenn M halbendlich aber nicht vom Typ I ist. (a) vom Typ II1 wenn M Typ II und endlich ist. (b) vom Typ II∞ wenn M Typ II und unendlich ist.

5.5. TYP-KLASSIFIZIERUNG

81

3. vom Typ III wenn M rein unendlich ist. 5.5.5. Satz. Jeder Faktor geh¨ort genau einer der soeben definierten Familien (In , I∞ , II1 , II∞ , III) an. Beweis: [16, Korollar 6.5.3]. Die soeben angegeben Klassifizierung kann auf von Neumannalgebren mit nichttrivialem Zentrum verallgemeinert werden, erfordert allerdings einige zus¨atzliche Begriffe (z.B. abelsche Projektionen; siehe [16, Theorem 6.5.2]). Wir wollen hier nicht weiter darauf eingehen und statt dessen darauf verweisen, daß sich von Neumannalgebren (in der Regel) als direkte Summe oder direktes Intergral von Faktoren schreiben lassen (siehe Abschnitt 5.8). Wir wollen f¨ ur den Rest des Abschnittes zu jedem Typ ein Beispiel angeben. Am einfachsten ist die f¨ ur Typ I von Neumannalgebren. 5.5.6. Satz. Ein Typ I Faktor M ist *-isomorph zu von Neumannalgebra B(H). Dabei ist M genau dann vom Typ In wenn dim(H) = n ist. Beweis: [16, Theorem 6.6.1]. Eng verwand zu diesem Resultat ist noch die folgende Aussage u ¨ber endlichdimensionale C*-Algebren: 5.5.7. Satz. Jede endlichdimensionale C*-Algebra ist eine endliche direkte Summe von endlichen Typ I Faktoren. Beweis: [16, Prop. 6.6.6] Um Beispiele von Typ II Algebren zu erhalten folgen wir Kapitel 6.7 aus [16]. Daf¨ ur betrachten wir eine diskrete Gruppe G mit Einselement e und den Hilbertraum H = l2 (G). F¨ ur x, y ∈ H ist dann die Faltung auf G die durch (x ∗ y)(g0 ) = P −1 ∞ g∈G x(g0 g )y(g) definierte l (G) Funktion. Daher sind durch H 3 y 7→ Lx (y) = ∞ x ∗ y ∈ l (G) und H 3 x 7→ Ry (x) = x ∗ y ∈ l∞ (G) lineare Abbildungen definiert. Von besonderem Interesse sind nun diejenigen x, y ∈ H f¨ ur die Ran(Lx ) ⊂ H und Ran(Ry ) ⊂ H ist. Daß diese Menge nicht leer ist erkennt man wie folgt: F¨ ur jedes g ∈ G bezeichne xg ∈ H die charakteristische Funktion der Menge {g}, dann ist offenbar xg ∗ x und x ∗ xg Elemente von l2 (G) = H. Eine genauere Analyse der Operatoren liefert die folgende Behauptung [16, Thm. 6.7.2]: 5.5.8. Behauptung. Seien x, y ∈ G so daß Lx , Ry beschr¨ankte Operatoren auf H sind, dann gelten die folgenden Aussagen. 1. Die Mengen LG := {Lx | x ∈ H, Lx ∈ B(H)},

RG := {Ry | y ∈ H, Ry ∈ B(H)}

(5.4)

sind von Neumannalgebren mit LG = R0G . 2. LG bzw. RG werden von {Lxg | g ∈ G} bzw. von {Rxg | g ∈ G} erzeugt. Die Elemente Lxg , Rxg sind unit¨ar.

82

KAPITEL 5. VON NEUMANNALGEBREN

Unter speziellen Bedingungen an die Gruppe G sind die Algebren LG und RG Typ II1 von Neumannalgebren. 5.5.9. Satz. Sei G eine Gruppe so daß die Konjugationsklasse [g] jedes Elements g 6= e unendlich ist, und mit G 6= [e] dann sind LG und RG Typ II1 Faktoren. Beweis: [16, Thm. 6.7.5]. 5.5.10. Beispiel. Sei Π die Gruppe der Permutationen von Z die alle bis auf endlich viele Elemente invariante l¨aßt, dann sind LΠ und RΠ Typ II1 Faktoren. Um Typ II∞ Faktoren zu konstruieren betrachten wir einen Typ II1 Faktor M und ein n ∈ N ∪ {∞}. Mit n ⊗ M bezeichnen wir nun die Menge an beschr¨ankten L Operatoren auf der direkten Summe n H deren Matrixelemente alle aus M sind (wenn wir A ∈ n ⊗ M als Matrix mit Elementen aus M aufassen). Wir erhalten dann die folgende Aussage [16, Thm. 6.7.10]. 5.5.11. Satz. Sei M ein Typ II1 Faktor. Dann ist n ⊗ M f¨ ur n ∈ N ebenfalls Typ II1 und f¨ ur n = ∞ Typ II∞ . Ein Beispiel f¨ ur Typ III Algebren entnehmen wir der Quantenfeldtheorie. 5.5.12. Beispiel. Zu diesem Zweck betrachten wir im Minkowskiraum den Zukunftskegel V + = {(x0 , ~x) ∈ R4 | − x20 + |~x|2 < 0, x0 > 0} und zu den Punkten p = (1, 0, 0, 0), q = (−1, 0, 0, 0) den Doppelkegel O = (q + V + ) ∩ (p − V + ). Ferner sei S(R4 ) 3 f 7→ Φ(f ) das in Kapitel 3.2 eingef¨ uhrte freie, skalare Quantenfeld, dann ist R(O) := {eiΦ(f ) | f ∈ S(R4 ), supp(f ) ⊂ O}00 ein Typ III-Faktor.

5.6

Modulartheorie

[. . . ]

5.7

Tensorprodukte

[. . . ]

5.8 [. . . ]

Direkte Integrale und zentrale Zerlegung

Teil III CCR und CAR

83

Kapitel 6 Die CCR-Algebra Wir wollen in diesem Kapitel eine bestimmte Klasse von Algebren betrachten, die besonders geeignet ist Vielteichensysteme mit Bosestatistik zu beschreiben. Um unsere Vorgehensweise zu motivieren, betrachten wir zun¨achst die Quantisierung eines einfachen Hamiltonschen Systems. Sei daher V = R2n der Phasenraum, auf dem die symplektische Form V × V 3 (q1 , p1 ; q2 , p2 ) 7→ σ(q1 , p1 ; q2 , p2 ) := hq1 , p2 i − hq1 , p1 i gegeben ist. Die Dynamik sei durch eine quadratische, positive P m ω2 1 Hamiltonfunktion V 3 (q, p) 7→ h(f, g) := ni1 2m (pi )2 + i2 i (q i )2 gegeben. Die i Bewegungsgleichungen ergeben sich also als Integralkurven des Hamiltonschen Vektorfeldes Xh : V → V , welches durch dh = σ(Xh , · ) definiert ist. F¨ ur zwei beliebige Funktionen f, g ist durch die Hamiltonschen Vektorfelder Xf , Xh auch die Poissonklammer {f, h} := σ(Xf , Xh ) definiert. Die Koordinatenfunktionen V 3 (q, p) 7→ q k und V 3 (q, p) 7→ pl , welche wir mit ihren Funktionswerten qk , pl identifizieren wollen erf¨ ullen nun die wohlbekannten kanonischen Poissonrelationen {q k , pl } = δk,l ,

{q k , q l } = {pk , pl } = 0.

(6.1)

Die kanonische Quantisierung“ dieses Systems basiert nun auf dem Wunsch ” einen Hilbertraum H und eine lineare Abbildung f 7→ Af zu finden, so daß Phasenraumfunktionen f auf Operatoren Af in H so abbildet werden, daß A{f,g} = i[Af , Ag ] gilt. Dieser Wunsch allerdings l¨aßt sich nicht erf¨ ullen [13]. Eine schw¨achere Forderung, die mehr Aussicht auf Erfolg hat, ist die Suche nach einem Hilbertraum H, einem dichten Teilraum D ⊂ H und 2n Operatoren Qk , P l die auf D wesentlich selbstadjungiert sind, D invariant lassen und die kanonischen Vertauschungsrelationen [Qk , P l ]ψ = iδkl ψ,

[Qk , Ql ]ψ = [P k , P l ]ψ = 0

(6.2)

erf¨ ullen. Formal sind diese Vertauschungsrelationen ¨aquivalent zu den Weylrelationen V (s)U (t) = U (t)V (s)e−ihs,ti ,

V (s + t) = V (s)V (t),

U (s + t) = U (s)U (t) (6.3)

wobei f¨ ur s, t ∈ Rn Pn

V (s) := ei(

k=1

sk Qk )

, 85

U (t) := e(i

Pn

l=1

tl P l )

(6.4)

86

KAPITEL 6. DIE CCR-ALGEBRA

ist. Diese Relationen folgen jedoch im strengen mathematische Sinne nicht aus den kanonischen Vertauschungsrelationen (siehe hierzu [20, VIII.5]). Umgekehrt jedoch ist (6.2) eine Konsequenz von (6.4). Mit den Operatoren Qk , P l k¨onnen wir nun Polynome f : V → R (q, p) 7→ f (q, p) = aα1 ,...,αn ,β1 ,...βn (q 1 )α1 . . . (q n )αn (p1 )β1 . . . (pn )βn + · · · + a0 (6.5) auf Operatoren Af = aα1 ,...,αn ,β1 ,...βn (Q1 )α1 . . . (Qn )αn (P 1 )β1 . . . (P n )βn + · · · + a0

(6.6)

abbilden. Insbesondere erhalten wir den Hamiltonoperator H := Ah des Systems. H ist auf D symmetrisch und positiv und besitzt daher eine selbstadjungierte Fortset¯ so daß wir die Dynamik des quantisierten Systems durch die einparametrige zung H, unit¨are Gruppe exp(tH) beschreiben k¨onnen. Die soeben konstruierte Abbildung f 7→ Af erf¨ ullt jedoch im allgemeinen nicht die oben gestellte Forderung A{f,g} = i[Af , Ag ]. Eine Besch¨aftigung mit dieser Problematik hat in den 70’ und 80’ Jahren unter dem Titel geometrische Quantisie” rung“ intensiv stattgefunden, leider ohne wirklich durchschlagenden Erfolg. N¨aheres zu diesem Thema kann dem Buch von Woodhouse [22] entnommen werden. Wir wollen nun die Weylrelationen etwas umschreiben um eine Form zu erhalten die sich f¨ ur eine Verallgemeinerung eignet. Wir f¨ uhren zu diesem Zweck die Weyloperatoren W (s, t) = exp(i/2hs, ti)V (s)U (t) ein und erhalten die folgende ¨aquivalente Form der Weylrelationen: i

0 0

W (s, t)W (s0 , t0 ) = e− 2 σ(s,t;s ,t ) W (s + s0 , t + t0 ).

(6.7)

Sie hat den Vorteil, daß sie auf beliebige reelle symplektische Vektorr¨aume verallgemeinert werden kann. Dies motiviert die Definition der CCR-Algebren, die wir im n¨achsten Abschnitt vornehmen wollen.

6.1

Definition und grundlegende Eigenschaften

Wir wollen nun jedem reellen symplektischen Vektorraum eine (bis auf Isomorphie eindeutige) C*-Algebra zuordnen. Daf¨ ur erinnern wir zun¨achst an die Definition eines reellen symplektischen Raumes. 6.1.1. Definition. Ein Paar (V, σ) bestehend aus einem reellen Vektorraum und einer reellwertigen, antisymmetrischen und (schwach) nicht degenerierten1 Bilinearform auf V (der symplektischen Form heißt (reeller) symplektischer Vektorraum. Unserer einf¨ uhrenden Argumentation folgend suchen wir nun nach einer C*Algebra, die von unit¨aren Elementen W (x), x ∈ V erzeugt wird, die die Weylrelationen (6.7) erf¨ ullen. Hierf¨ ur betrachten wir einen unendlichdimensionalen HilberL traum L und die direkte Summe H := x∈V Lx , Lx = L, ∀x ∈ V (siehe Bemerkung 4.4.14). Auf H sind nun durch (F ∈ H) i

(W (f )F )(x) := e 2 σ(x, f )F (x + f ) 1

D.h. σ(x, y) = 0 ∀y = 0 ⇐⇒ x = 0.

(6.8)

6.1. DEFINITION UND GRUNDLEGENDE EIGENSCHAFTEN

87

unit¨are Operatoren definiert die, wie sich leicht nachpr¨ ufen l¨aßt, die Weylrelationen erf¨ ullen. Die *-Unteralgebra A0 die von den so definierten W (f ) algebraisch erzeugt wird kann nun in der Operatornorm abgeschlossen werden und wir erhalten eine C*-Algebra mit den gew¨ unschten Eigenschaften. Wir haben daher den folgenden Satz bewiesen: 6.1.2. Satz. Zu jedem reellen, symplektischen Vektorraum (V, σ) existiert eine C*Algebra A die von Elementen W (f ), f ∈ V erzeugt wird (sogn. Weylelementen) f¨ ur die gilt: 1. W (f )∗ = W (−f ) f¨ ur alle f ∈ V und i

2. W (f )W (g) = e− 2 σ(f,g) W (f + g) f¨ ur alle f, g ∈ V . Sei nun (V, σ) der Phasenraum eines klassischen Hamiltonschen Systems. Die Idee ist, die selbstadjungierten Elemente von A als Observablen des quantisierten Systems aufzufassen. Hierf¨ ur ist es jedoch wesentlich zu wissen, ob die von den W (f ) erzeugte Algebra bis auf Isomorphie eindeutig ist, da sonst die Physik von der richtigen Wahl der Algebra A abh¨angig ist. 6.1.3. Satz. Seien A1 , A2 C*-Algebren die von Elementen W1 (f ) bzw. W2 (f ) erzeugt werden, die die Bedingungen aus Satz 6.1.2 erf¨ ullen, dann gibt es einen eindeutigen *-Isomorphismus α : A1 → A2 mit der Eigenschaft α(W1 (f )) = W2 (f ). Es gibt daher zu jedem reellen symplektischen Vektorraum (V, σ) eine algebraisch eindeutige C*-Algebra die von den Weylelementen W (f ) erzeugt wird. Wir werden sie die CCR-Algebra CCR(V, σ) von (V, σ) nennen. Beweis: [6, Seite 20]. Die folgende Behauptung f¨aßt ein paar simple Eigenschaften der CCR-Algebren zusammen. 6.1.4. Behauptung. Sei (V, σ) ein reeller, symplektischer Vektorraum und CCR(V, σ) die dazugeh¨orige CCR-Algebra, dann gelten die folgenden Aussagen: 1. W (0) = 1I 2. W (f ) ist unit¨ar f¨ ur alle f ∈ V . 3. CCR(V, σ) ist nicht separabel f¨ ur dim V 6= 0. 4. kW (f ) − 1Ik = 2 f¨ ur f 6= 0. 5. Sei F ⊂ V ein linearer Teilraum und A(F ) ⊂ CCR(V, σ) die C*-Teilalgebra die von den Weylelementen W (f ) mit f ∈ F erzeugt wird, dann folgt aus A(F ) = CCR(V, σ) daß auch F = V ist. 6. CCR(V, σ) hat keine nichttrivialen, k · k-abgeschlossenen *-Ideale (d.h. CCR(V, σ) ist einfach. Beweis: Die Aussagen sind zum Teil trivial. F¨ ur den Rest sei wieder auf [6, Seite 20] verwiesen.

88

KAPITEL 6. DIE CCR-ALGEBRA

Betrachten wir nun einen symplektischen Isomorphismus T : V → V , das heißt σ(T f, T g) = σ(f, g) f¨ ur alle f, g ∈ V . Dann hat die Familie (WT (f ))f ∈V mit WT (f ) = W (T (f )) offenbar die gleichen Eigenschaften wie die originale (W (f ))f ∈V . Satz 6.1.3 impliziert daher die Existenz genau eines *-Automorphismus αt von CCR(V, σ) mit α(W (f )) = W (T (f )). Das heißt es gilt die folgenden Behauptung: 6.1.5. Behauptung. Zu jedem symplektischen Isomorphismus T des symplektischen Vektorraumes (V, σ) existiert genau ein Automorphismus αT der CCR-Algebra CCR(V, σ) der der Gleichung αt (W (f )) = W (T f ),

∀f ∈ V

(6.9)

gen¨ ugt. Automorphismen dieser Form heißen Bogolubovtransformationen.

6.2

Regul¨ are und quasifreie Zust¨ ande

Wir wollen nun einen Zustand ω auf einer CCR-Algebren CCR(V, σ) betrachten. Er ist offenbar durch seine Werte auf den Weylelementen eindeutig festgelegt. Es ist daher n¨ utzlich sein erzeugendes Funktional V 3 f 7→ φω (f ) := ω(W (f )) ∈ C

(6.10)

zu betrachten. Mit seiner Hilfe k¨onnen wir eine ausgezeichnete Klasse von Zust¨anden definieren. 6.2.1. Definition. Ein Zustand ω auf der CCR-Algebra CCR(V, σ) heißt regul¨ar wenn f¨ ur jedes f ∈ V die Funktion R 3 t 7→ φω (tf ) ∈ C stetig ist. Regul¨are Zust¨ande sind deshalb besonders interessant, weil ihnen Quantenfelder zugeordnet werden k¨onnen. Um dies zu sehen, betrachten wir einen regul¨aren Zustand ω und seine GNS-Darstellung (Hω , πω , Ωω ). Regularit¨at impliziert nun daß t 7→ hΩω , W (tf )Ωω i f¨ ur alle f ∈ V stetig ist. Da Ωω zyklisch ist und da die Weyloperatoren die CCR-Algebra erzeugen, folgt daraus, daß die einparametrige Gruppe t 7→ W (tf ) schwach stetig ist. Es existiert daher ein selbstadjungierter Erzeuger Φω (f ) mit W (f ) = exp(iΦω (f )).

(6.11)

Mit anderen Worten die GNS-Darstellung eines regul¨aren Zustandes ist regul¨ar, wenn wir regul¨are Darstellungen wie folgt definieren: 6.2.2. Definition. Eine Darstellung (H, π) einer CCR-Algebra CCR(V, σ) heißt regul¨ar, wenn f¨ ur alle f ∈ V die einparametrige, unit¨are Gruppe t 7→ π(W (tf )) stark stetig ist. Es ist m¨oglich an komplexwertige Funktionen auf V Bedingungen zu stellen, so daß sie erzeugende Funktionale von Zust¨anden ergeben: 6.2.3. Behauptung. Das komplexwertige Funktional φ auf V ist das erzeugende Funktional eines regul¨aren Zustandes ω, wenn es die folgeden Bedingungen erf¨ ullt:

¨ ¨ 6.2. REGULARE UND QUASIFREIE ZUSTANDE

89

1. φ(0) = 1 2. λ 7→ φ(λf ) ist f¨ ur alle f ∈ V stetig. 3. F¨ ur alle Folgen λj ∈ C, fj ∈ V , j = 1, . . . n gilt n X

¯ l λj e− 2i σ(fj ,fl ) φ(fj − fl ) ≥ 0. λ

(6.12)

j=1

Beweis: [10, Seite 307]. Die Idee hinter dieser Aussage beruht auf der Tatsache, daß die Weylelemente W (f ) in CCR(V, σ) linear unabh¨angig sind. (Das ist leicht zu ¨ sehen; Ubungsaufgabe!) Daher kann f¨ ur alle diese Linearkombinationen das lineare P P Funktional ω( nj=1 λj W (fj )) = nj=1 λj φ(fj ) definiert werden. Die erste Bedingung bedeutet also ω(1I) = 1, die dritte ω(A∗ A) ≥ 0, also die Positivit¨at und die zweite die Regularit¨at von ω. Es ist also nur noch zu zeigen, daß ω stetig in der Normtopologie ist, denn dann kann ω auf ganz CCR(V, σ) als regul¨arer Zustand fortgesetzt werden. Hief¨ ur ist Satz 4.5.1 n¨ utzlich. Die in (6.11) eingef¨ uhrten Felder haben jedoch nicht die Struktur der Quantenfelder aus Kapitel 3. F¨ ur diesen Zweck ist eine weitergehende Einschr¨ankung erforderlich. 6.2.4. Behauptung. Sei s( ·, , cdot ) ein reelles Skalarprodukt auf V . Dann ist 1

V 3 f 7→ φω (f ) = e− 4 s(f,f ) ∈ C

(6.13)

genau dann das erzeugende Funktional eines regul¨aren Zustandes ω wenn |σ(f, g)| ≤

q

q

s(f, f ) (s(g, g)

(6.14)

f¨ ur alle f, g ∈ V erf¨ ullt ist. Der Zustand ω heißt dann quasifrei. Beweis: [3, Lemma 8.2.8]. Das besondere an quasifreien Zust¨anden ist ihre enge Verkn¨ upfung zu Fockraumdarstellungen der kanonischen Vertauschungsrelationen. Der Schl¨ ussel hierf¨ ur ist die folgende Aussage: 6.2.5. Behauptung. Sei (V, σ) ein symplektischer Vektorraum und s ein reelles Skalarprodukt, so daß (6.14) gilt, dann gibt es einen komplexen Hilbertraum H, und eine Abbildung K : V → H, so daß die folgenden Bedingungen erf¨ ullt sind: 1. K ist R-linear. 2. K(V ) + iK(V ) ⊂ H ist dicht. 3. K ist symplektisch σ(Kf, Kg) = Imhf, gi. 4. kK(f )k2 = s(f, f ).

90

KAPITEL 6. DIE CCR-ALGEBRA

Beweis: Offenbar ist (V, s) ein reeller Pr¨ahilbertraum und kann somit vervollst¨andigt werden. (V¯ , s¯) bezeichne diese Vervollst¨andigung. Wegen (6.14) ist σ nun eine stetige Bilinearform auf (V, s) und kann stetig auf (V¯ , s¯) fortgesetzt werden. Wir bezeichnen diese Fortsetzung mit σ ¯ . Nun betrachten wir den komplexen Vektorraum H = V¯ ⊕iV¯ und das komplexe Skalarprodukt, welches man durch komplex lineares/antilineares Fortsetzen von hf + i0, g + i0i := s¯(f, g) + i¯ σ (f, g) erh¨alt. Die Abbildung V 3 f 7→ K(f ) := f + i0 ∈ H erf¨ ullt offenbar alle erw¨ unschten Bedingungen. Unmittelbare Folgerung dieser Aussage ist nun der folgende Satz: 6.2.6. Satz. Sei ω quasifreier Zustand auf CCR(V, σ) mit erzeugendem Funktional φω (f ) = exp(− 14 s(f, f )). Zus¨atzlich sei H ein komplexer Hilbertraum und K : V → H die Abbildung aus Beh. 6.2.5, dann ist auf dem symmetrischen Fockraum FS (H) (siehe Def. A.1.5) durch (ΦS (K(f ) bezeichnet den Segaloperator von K(f ); siehe Gl. A.43)) π(W (f )) = Wω (f ) := eiΦs (K(f )) ,

∀f ∈ V

(6.15)

eine zyklische Darstellung definiert (mit dem Fockraumvakuum Ω0 ∈ FS (H) (siehe Def. A.1.5) als zyklischem Vektor), die unit¨ar ¨aquivalent zur GNS-Darstellung von ω ist. Beweis: Die unit¨aren Operatoren exp(iΦS (φ)) ∈ FS (H) erf¨ ullen die Relation i

eiΦS (φ+ψ) = e− 2 Imhφ,ψi eiΦS (φ) eiΦS (ψ) .

(6.16)

Das folgt formal aus den Kommutatorrelationen in Satz A.2.3(3). Ein exakter Beweis findet sich in [19, Thm X.41]. Setzen wir nun K(f ) und K(g) ein, dann folgt mit Beh. 6.2.5 daß die Operatoren Wω (f ), Wω (g) die selben Weylrelationen erf¨ ullen wie die Weylelemente W (f ) und W (g). Damit definiert (6.15) offenbar eine Darstellung von CCR(V, σ). F¨ ur die Zyklizit¨at von Ω0 ist zu zeigen, daß die Menge {Wω (f )Ω0 | f ∈ V } total in H ist (d.h. der Abschluß der linearen H¨ ulle ist ganz H). Hierf¨ ur benutzen wir die Tatsache, daß 1 i 2 eiΦs (ψ) Ω0 = e− 4 kψk e( √ ψ) 2

(6.17)

ist, wobei e(ψ) den Exponentialvektor von ψ bezeichnet, e(ψ) :=

∞ X

n=0

ψ

⊗n

mit ψ

⊗n

N  n

:= 

k=1

1

ψ

f¨ ur n > 0 f¨ ur n = 0

(6.18)

dem wir bereits im Beweis von Satz 3.3.2 begegnet sind. (Ein Beweis f¨ ur Gleichung (6.17) findet sich in [18, Kapitel 20]; dabei ist zu beachten, daß die dortige Defini√ tion des Segaloperators sich von der unsrigen um ein Faktor 2 unterscheidet). Da K(V ) + iK(V ) dicht in H ist, folgt aus [18, Kor. 19.5] daß {e(K(f )) | f ∈ V } total in H ist, was zu beweisen war (die Tatsache, daß K(V ) + iK(V ) dicht in H ist und nicht K(V ) ist hier unerheblich, da der Beweis von Korollar 19.5 in [18] sehr leicht auf unsere Situation u ¨bertragen werden kann).

¨ ¨ 6.2. REGULARE UND QUASIFREIE ZUSTANDE

91

Damit bleibt zu zeigen, daß die somit konstruierte zyklische Darstellung von CCR(V, σ) unit¨ar ¨aquivalent zur GNS-Darstellung von ω ist. Das heißt es ist zu zeigen, daß 1

hΩ, π(W (f ))Ωi = hΩ, eiΦS (K(f )) Ωi = ω(W (f )) = φω (f ) = e− 4 s(f,f )

(6.19)

ist. Hierf¨ ur benutzen wir erneut (6.17) und die Gleichung 1 1 1 1 hΩ, Wω ( f + f )Ωi = hWω (− f )Ω, Wω ( f )Ωi = 2 2 2 2 1 i i 2 e− 8 kK(f )k he(− √ K(f )), √ e(K(f ))i (6.20) 2 2 2 2 mit he(ψ), e(φ)i = exp(hψ, φii [18, Gl 19.2] und Beh. 6.2.5 folgt daher 1

2

1

hΩ, π(W (f ))Ωi = e− 4 kK(f )k = e− 4 s(f,f ) ,

(6.21)

was zu beweisen war. Eine besondere Rolle spielen nun diejenigen quasifreien Zust¨ande, die zugleich reine Zust¨ande sind. Es handelt sich dabei gerade um die sogn. Fockzust¨ande: 6.2.7. Definition. Ein quasifreier Zustand ω auf der CCR-Algebra CCR(V, σ) mit erzeugendem Funktional exp(− 41 s( · , · )) heißt Fockzustand wenn eine lineare Abbildung J : V → V existiert, so daß 1. J 2 = −1I, 2. σ(f, Jg) = −σ(Jf, g) f¨ ur alle f, g ∈ V und 3. σ(f, Jf ) = s(f, f ) f¨ ur alle f ∈ V gilt. J heißt Komplexifizierung von V . F¨ ur Fockzust¨ande l¨aßt sich die Abbildung K : V → H aus Beh. 6.2.5 etwas modifizieren. Wir k¨onnen n¨amlich aus V durch (a + ib)f := af + bJf mit a, b ∈ R und f ∈ V einen komplexen Vektorraum machen. Mit dem Skalarprodukt hf, gi := s(f, g) + iσ(f, g) ist V dann ein komplexer Pr¨ahilbertraum. Das heißt f¨ ur Fockzust¨ande existiert eine Abbildung K : V → H wie in Beh. 6.2.5 f¨ ur die sogar K(V ) dicht in H ist (und nicht nur K(V ) + iK(V )). Insbesondere heißt dies wir k¨onnen f¨ ur Fockzust¨ande ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit annehmen, daß ein komplexer Pr¨ahilbertraum (V, h · , · i) gegeben ist. so daß der symplektische Raum durch (V, Imh · , · i) und das erzeugende Funktional durch exp(− 41 k · k2 ) gegeben ist. Wir nennen den zugeh¨origen Fockzustand ω0 den ausgezeichneten Fockzustand und seine GNS-Darstellung die ausgezeichnete Fockdarstellung. Wir kommen nun zu zwei wichtigen Eigenschaften von Fockzust¨anden. Die erste haben wir bereits angek¨ undigt. Jeder Fockzustand ist ein reiner Zustand. 6.2.8. Satz. Sei ω quasifreier Zustand auf der CCR-Algebra CCR(V, σ). Dann ist ω genau dann ein Fockzustand wenn seine GNS-Darstellung irreduzibel ist. Daher gilt auch, daß ω genau dann ein reiner Zustand ist wenn er Fockzustand ist (siehe Satz 4.6.5).

92

KAPITEL 6. DIE CCR-ALGEBRA

Beweis: [3, Lemma 8.2.11]. 6.2.9. Satz. Zu zwei beliebigen Fockzust¨anden ω1 , ω2 auf der CCR-Algebra CCR(V, σ) existiert eine Bogolubovtransformation α : CCR(V, σ) → CCR(V, σ) so daß ω1 = ω2 ◦ α ist. Mit anderen Worten die Gruppe der Bogolubovtransformationen operiert transitiv auf der Menge der Fockzust¨ande. Beweis: [3, Lemma 8.2.12].

6.3

Bogolubovtransformationen

Betrachten wir nun einen komplexen Pr¨ahilbertraum (V, h · , · i), die zugeh¨orige CCR-Algebra CCR(V, σ) (mit σ = Imh · , · i) und den ausgezeichneten Fockzustand ω0 (mit erzeugendem Funktional exp(− 14 k · k2 )). Dann existiert, wie soeben bemerkt, zu jedem weiteren Fockzustand ω eine Bogolubovtransformation α : CCR(V, σ) → CCR(V, σ) mit ω = ω0 ◦ α. F¨ ur die GNS-Darstellungen bedeutet dies, daß hΩω , πω (A)Ωω i = hΩω0 , πω0 (α(A))Ωω0 i ist. Die Eindeutigkeit der GNSDarstellung impliziert daher die Existenz eines unit¨aren Operators U1 : Hω → Hω0 mit U1 πω (A)U1∗ = πω0 (α(A)) und U1 Ωω = Ωω0 . Dies bedeutet jedoch nicht, daß πω und πω0 unit¨ar ¨aquivalent sind, denn daf¨ ur m¨ ußte zus¨atzlich ein unit¨arer Opera∗ tor U2 : Hω → Hω0 mit U2 πω (A)U2 = πω0 (A) existieren. Mit anderen Worten der unit¨are Operator U1 U2∗ =: U : Hω0 → Hω0 implementiert α in der GNS-Darstellung von ω0 , das heißt es gilt U πω0 (A)U ∗ = πω0 (α(A)). Um also zu entscheiden, ob der Fockzustand (bzw. seine GNS-Darstellung) unit¨ar a¨quivalent zur ausgezeichneten Fockdarstellung ist, m¨ ussen wir untersuchen, ob die zugeh¨orige Bogolubovtransformation unit¨ar implementierbar ist. Um diese Frage zu beantworten folgen wir der Darstellung in [18, Kap. 22]. Eine allgemeinere Aussage, die daf¨ ur technisch aufwendiger ist, findet sich in [1] (siehe auch [3, 8.2.6]). Wir nehmen hierf¨ ur an, daß V sogar ein komplexer (separabler) Hilbertraum ist und betrachten einen R-linearen Teilraum V0 ⊂ V f¨ ur den V0 + iV0 = V gilt. Ein reell linearer Operator T : V → V , kann dann mit f ∈ V0 in T f = T11 f + iT21 f bzw. T (if ) = T12 f + iT22 f zerlegt werden. Dies definiert vier R-lineare Operatoren Tij , i, j = 1, 2. Diese wiederum definieren einen R-linearen Operator T0 durch V0 ⊕ V0 3 (f, g) 7→ T0 (f, g) = (T11 f + T12 g, T21 f + T22 g) ∈ V0 ⊕ V0 .

(6.22)

Mit diesen Begriffen k¨onnen wie nun das angek¨ undigte Theorem formulieren: 6.3.1. Satz. Sei V ein komplexer, separabler Hilbertraum CCR(V, σ) mit σ = Imh · , · i die dazugeh¨orige CCR-Algebra, ω0 der ausgezeichnete Fockzustand, V0 ⊂ V ein R-linearer Teilraum mit V0 + iV0 = V und T : V → V eine R-lineare, bijektive Abbildung mit den folgenden Eigenschaften 1. T und T −1 sind stetig. 2. T ist symplektisch: ImhT f, T gi = Imhf, gi f¨ ur alle f, g ∈ V .

6.3. BOGOLUBOVTRANSFORMATIONEN

93

Die durch αT (W (f )) = W (T f ) gegebenen Bogolubovtransformation ist dann und nur dann in der GNS-Darstellung πω0 unit¨ar implementierbar wenn S0∗ S0 − 1I ein Hilbert-Schmidt-Operator2 in V0 ⊕ V0 ist. Beweis: [18, Thm. 22.11].

6.3.2. Beispiel. Sei zum Beispiel V = L2 (R, dx), V0 = L2R (R, dx) und T (f + ig) := ρ−1 f +iρg mit ρ ∈ R+ . Der Operator T ist offenbar symplektisch, stetig, invertierbar und T −1 ist ebenfalls stetig. Er erf¨ ullt also die Voraussetzungen des Satzes. Der Operator T0 : V0 ⊕ V0 → V0 ⊕ V0 hat die Form T0 (f, g) = (ρ−1 f, ρg) und ist daher selbstadjungiert. Also ist (T0∗ T0 − 1I)(f, g) = (ρ−2 − 1)f, (ρ2 − 1)g). F¨ ur ρ2 6= 1 ist dies jedoch nie Hilbert-Schmidt, so daß die durch α(W (f )) = α(W (T f )) gegebene Bogolubovtransformation nicht unit¨ar implementierbar ist. Bezeichnet nun ω0 wieder den ausgezeichneten Fockzustand auf CCR(V, σ) dann ist also ω = ω0 ◦ α ein weiterer Fockzustand, dessen GNS-Darstellung unit¨ar in¨aquivalent zur ausgezeichneten Fockdarstellung ist. Dies zeigt, daß es im allgemeinen mehrere unit¨ar in¨aquivalente, regul¨are, irreduzible Darstellungen einer CCRAlgebra gibt. Eine Ausnahme bilden CCR-Algebren die u ¨ber endlichdiemensionalen symplektischen R¨aumen konstruiert sind. Bevor wir hierzu kommen, wollen wir jedoch noch die Quasi(in)¨aquivalenz der Darstellungen πω und πω0 untersuchen. Angenommen πω und πω0 sind quasi¨aquivalent, dann existiert ein Dichteoperator λ auf Hω0 so daß ω(A) = tr(πω0 (A)λ) ist. Da ω aber ein Fockzustand ist, ist ω auch reiner Zustand und kann nicht in eine echte konvexe Linearkombination zerlegt werden. Das heißt ω ist ein Vektorzustand ˜ ω ∈ Hω0 so daß ω(A) = hΩ ˜ ω , πω0 (A)Ω ˜ ωi mit anderen Worten es existiert ein Vektor Ω ˜ gilt. Zugleich ist Ω0 zyklischer Vektor bezgl. der ausgezeichneten Fockdarstellung, denn diese ist irreduzibel und daher jedes ψ ∈ Hω0 mit ψ 6= 0 zyklisch. Dies aber ˜ ω ) unit¨ar ¨aquivalent zur GNS-Darstellung von ω ist, im bedeutet, daß (Hω0 , πω0 , Ω Widerspruch zur unit¨aren In¨aquivalenz der Darstellungen. Also sind ω0 und ω quasiin¨aquivalent! Zum Abschluß diese Abschnittes wollen wir nun noch das bereits ankek¨ undigte Theorem von Stone und von Neumann angeben, welches aussagt, daß die soeben untersuchten Patologien“ bei Systemen mit endlich vielen Freiheitsgraden nicht ” auftreten k¨onnen. 6.3.3. Satz. Alle irreduziblen, regul¨aren Darstellungen der CCR-Algebra CCR(R2n , σ) sind unit¨ar ¨aquivalent zur ausgezeichneten Fockdarstellung. Beweis: [3, 8.2.5] 2 Ein Operator A : H → H auf einem P separablen Hilbertraum H (reell oder komplex) heißt ∞ Hilbert-Schmidt-Operator wenn die Reihe n=1 kAφn k2 f¨ ur eine (und damit f¨ ur alle) Orthonormalbais (φn )n∈N konviergiert.

94

6.4

KAPITEL 6. DIE CCR-ALGEBRA

Beispiel: Der harmonische Oszillator

Wir wollen nun die bis jetzt bereitgestellten Strukturen auf einige konkrete Beispiele anwenden, zun¨achst auf den wohlbekannten harmonischen Oszillator. Wir betrachten zu diesem Zwecke den reellen, symplektischen Vektorraum (V1 , σ) mit V1 = C und σ(z1 , z2 ) = Im(z1 z2 ). Die klassischen Bewegungsgleichungen sind durch die Hamiltonfunktion 1 1 h : V1 3 (q + ip) 7→ h(q + ip) := p2 + ω 2 q 2 ∈ R 2 2

(6.23)

bzw. durch die entsprechenden Hamiltonschen Bewegungsgleichungen q(t) ˙ = p(t), p(t) ˙ = −ω 2 q(t)

(6.24)

gegeben. Zu den Anfangsdaten q(0) + ip(0) = q0 + ip0 geh¨oren die L¨osungen p0 −iωt )e ), ω

p(t) = Im((ωq0 + ip0 )e−iωt )

(6.25)

V1 3 z0 = (q0 + ip0 ) 7→ Tt (z0 ) = z(t) = q(t) + ip(t) ∈ V1

(6.26)

q(t) = Re((q0 + i welche durch

eine einparametrige Gruppe (Tt )t∈R symplektischer Transformationen definieren. Betrachten wir nun die CCR-Algebra CCR(V1 , σ). Die Tt definieren auf ihr die Bogolubovtransformationen αt (W (z0 )) = W (z(t)) welche wir als Quantendynamik im Heisenbergbild interpretieren k¨onnen. Um diese Dynamik nun auf die bekannte Art durch unit¨are Operatoren ausdr¨ ucken zu k¨onnen, f¨ uhren wir die Abbildung V1 3 z = q + ip 7→ K1 (z) :=

√ i ωq + √ p ∈ C ω

(6.27)

ein. Sie ist bijektiv, reell-linear und symplektisch (ist also ein Beispiel f¨ ur die Abbildung aus Behauptung 6.2.5) und sie verkn¨ upft die Tt mit den unit¨aren Transformationen C 3 z 7→ ut · z := e−iωt z ∈ C,

(6.28)

√ 1 Tt (K1−1 (z0 )) = √ Re(z0 e−iωt ) + i ω Im(z0 e−iωt ) ω

(6.29)

K1 (Tt (K1−1 (z0 ))) = ut · z0 .

(6.30)

denn es ist

und daher

Betrachten wir also auf CCR(V1 , σ) den Fockzustand ω0 mit erzeugendem Funktional 1

2

φω0 (z) = ω0 (W (z)) = e− 4 |K1 (z)| ,

(6.31)

6.4. BEISPIEL: DER HARMONISCHE OSZILLATOR

95

dann ist 1

2

1

ω0 (αt (W (z))) = ω0 (W (Tt (z))) = e− 4 |K1 (Tt (z))| = e− 4 |ut ·K1 (z)| = 1

2

e− 4 |K1 (z)| = ω0 (W (z)). (6.32) Mit anderen Worten ω0 ist unter der Zeitentwicklung αt invariant und wird daher in der GNS-Darstellung πω0 von ω0 unit¨ar implementiert. Das heißt es existiert genau eine einparametrige (stark stetige) unit¨are Gruppe Ut auf dem GNS-Hilbertraum Hω0 , die das GNS-Vakuum invariant l¨aßt (Ut Ωω0 = Ωω0 ) und f¨ ur die gilt: πω0 (αt (A)) = Ut πω0 (A)Ut∗ .

(6.33)

Außerdem k¨onnen wir die selbstadjungierten Operatoren Ψ(z) :=

d πω (W (tz))|t=0 dt 0

(6.34)

definieren, da die GNS-Darstellung πω0 regul¨ar ist. Mit 1 Qψ := Ψ( ) und P ψ = Ψ(iω)ψ ω

(6.35)

erhalten wir daher zwei selbstadjungierte Operatoren, die aufgrund der Weylrelationen die kanonischen Vertauschungsrelationen [Q, P ]ψ = iψ erf¨ ullen. (Q und P besitzen einen gemeinsamen dichten Definitionsbereich F0 ⊂ Hω0 den sie auf sich abbilden. Das folgt aus der Struktur quasifreier Zust¨ande; siehe Satz 6.2.6). Wir haben also durch die Konstruktion der CCR-Algebra CCR(V1 , σ) und durch die Wahl des Zustandes ω0 , das zu Beginn dieses Kapitels erw¨ahnte Quantisierungsprogramm durchgef¨ uhrt. Dabei ist die Wahl des Zustandes nicht entscheidend, denn aufgrund des Eindeutigkeitssatzes von Stone und von Neumann 6.3.3 erf¨ ullt jeder regul¨are, reine Zustand genau den selben Zweck. Insbesondere also d¨ urfte sich das soeben konstruierte Modell nicht von dem u ¨blichen harmonischen Oszillator unterscheiden. Um dies zu sehen, verwenden wir die Konstruktion aus Satz 6.2.6. Der GNS-Hilbertraum kann also mit dem symmetrischen Fockraum FS (C) identifiziert werden. Da aber C ⊗ · · · ⊗ C = C ist, ist in diesem Falle FS (C) = l2 (N0 ). Das in diesem Hilbertraum kanonisch gegebene Orthonormalsystem bezeichnen wir mit (χn )n∈N0 (also χn = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . ) mit der Eins an n-ter Stelle). Die Darsteller der Weyloperatoren sind durch πω0 (W (z)) = exp(iΦS (K(z))) gegeben, wobei ΦS (z) wieder die Segaloperatoren sind, also ΦS (z) = √12 (A(z) + A(z)∗ ). Erzeugungs und Vernichtungsoperator haben in diesem speziellen Falle die wohlbekannte Form √ A(z)χn = zAχn mit Aχn = nχn−1 (6.36) und 1 A∗ (z)χn = zA∗ χn mit A∗ χn = √ χn+1 n

(6.37)

und sind nat¨ urlich auf dem Teilraum F0 := {(z1 , . . . , zn , 0, . . . , 0, . . . ) ∈ l2 (N0 )} definiert (siehe Def. A.1.5). Die Segaloperatoren h¨angen offenbar mit den in (6.34)

96

KAPITEL 6. DIE CCR-ALGEBRA

definierten Operatoren Ψ(z) durch Ψ(z) = ΦS (K1 (z)) zusammen. Aus (6.35) folgt daher f¨ ur die Operatoren Q, P 1 1 Qψ = ΦS ( √ )ψ = √ (Aψ + A∗ ψ) ω 2ω

(6.38)

r √ ω P ψ := ΦS (i ω) := −i (Aψ − A∗ ψ). 2

(6.39)

und

Dies sind aber die wohlbekannten Operatoren f¨ ur Ort und Impuls in der Teil” chenzahldarstellung“. Um zur Ortsdarstellung zu gelangen m¨ ussen diejenige unit¨are Transformation L : l2 (N0 ) → L2 (R, dx) ben¨ utzen, die χn ∈ l2 (N0 ) auf die normier2 2 2 ten Eigenfunktionen ψn ∈ L (R, dx) des selbstadjungierten Operators − 12 dtd 2 + ω2 x2 abbilden, also r n √ ω 1 2 n ξ2 d ˜ ˜ ψn (x) = ψn ( ωx), mit ψn (ξ) = 4 (−1) e e−ξ . n n π 2 n! dξ

(6.40)

Diese Prozedur ist aus der Quantenmechanik wohlbekannt, weshalb wir hier nicht n¨aher darauf eingehen wollen. Es ergeben sich f¨ ur Q, P die wohlbekannten Ausdr¨ ucke (LQL∗ ψ)(x) = xψ(x),

LP L∗ ψ =

1d ψ. i dt

(6.41)

Damit bleibt die Struktur der Dynamik, also der Ut , zu betrachten. Wegen (6.33) ist Ut eiΦS (K1 (z)) U ∗ = eiΦS (K1 (Tt z)) = eiΦS (ut K1 (z)) .

(6.42)

F¨ ur das letzte Gleichheitszeichen wurde (6.30) verwendet. Mit Satz A.2.3(5) folgt daher daß Ut = Γ(ut ) ist (siehe Satz A.1.9). Daher folgt f¨ ur den Hamiltonoperator d −iHψ = dt Ut ψ|t=0 wegen Satz A.1.9 die Gleichung Hψ = dΓ(ω)ψ also Hχn = nωχn und somit auch LHL∗ ψn = nωψn . Nun ist jedoch aus der Quantenmechanik des harmonischen Oszillators wohlbekannt, daß −

1 d2 ω2 2 1 ψ (x) + x ψn (x) = ω(n + )ψn (x) n 2 2 dt 2 2

(6.43)

ist. Daher ergibt sich f¨ ur H: (LHL∗ ψ)(x) = −

1 d2 ω2 2 1 ψ (x) + x ψn (x) − ψn (x). n 2 2 dt 2 2

(6.44)

Wir haben also den harmonischen Oszillator ohne Nullpunktsenergie quantisiert! W¨ahrend uns dies hier st¨ort, ist dieser Effekt bei der Quantisierung des Skalarfeldes, die wir im Kapitel 9 betrachten werden erw¨ unscht.

Kapitel 7 Die CAR-Algebra Die im letzten Kapitel betrachteten CCR-Algebren eignen sich, wie wir gesehen haben, zur Beschreibung von bosonischen Systemen. In diesem Kapitel wollen wir eine Algebra betrachten, die sich in ¨ahnlicher Weise zur Diskussion von Fermisystemen eignet.

7.1

Definition und grundlegende Eigenschaften

[. . . ]

7.2

Quasifreie Zust¨ ande und Fockzust¨ ande

[. . . ]

97

98

KAPITEL 7. DIE CAR-ALGEBRA

Teil IV Anwendungen in der Quantentheorie

99

Kapitel 8 Quantenstatistik [. . . ]

8.1

KMS-Zust¨ ande

[. . . ]

8.2

Das freie Fermigas

[. . . ]

8.3

Das freie Bosegas

[. . . ]

8.4

Das BCS–Modell

[. . . ]

101

102

KAPITEL 8. QUANTENSTATISTIK

Kapitel 9 Quantenfeldtheorie [. . . ]

9.1

Das freie Skalarfeld

Wir kehren nun also in das 3. Kapitel zur¨ uck und betrachten erneut das freie Skalarfeld. Aus der Bemerkung 3.1.4 entnehmen wir den symplektischen Vektorraum (V, σ) mit V2 = S(R3 , R) × S(R3 , R) und σ(f1 , p1 ; f2 , p2 ) := hf1 , p2 i − hf2 , p1 i,

(9.1)

wobei h · , · i das Skalarprodukt in L2R (R, dx) bezeichnet. Die Dynamik des Modells hatten wir bereits in 3.1 untersucht. F¨ ur die Anfangsdaten (f, p) ∈ V ergibt sich gem¨aß (3.15) und (3.16) d3 k 1 Z −i(hk,xi−ω(k)t) i(hk,xi−ω(k)t) q ft (x) = a(k)e + a(k)e (2π)3/2 R3 2ω(k)

(9.2)

und Z i a(k)ω(k)e−i(hk,xi−ω(k)t) − pt (x) = 3/2 3 (2π) R

d3 k

−a(k)ω(k)ei(hk,xi−ω(k)t) q

(9.3)

2ω(k)

mit 



1 q i a(k) = √  ω(k)fˆ(k) + q pˆ(k) . 2 ω(k)

(9.4)

¨ Ahnlich wie im vorangehenden Kapitel erhalten wir die einparametrige Gruppe (Tt )t∈R von symplektischen Transformationen durch Tt (f, p) = (ft , pt ). (Symplektizit¨at ist bitte selbst nachzurechnen! Hinweis: Verwende den Erzeuger dieser Gruppe = Hamiltonsches Vektorfeld; vergl. auch die Ausf¨ uhrungen im n¨achsten Abschnitt). 103

104

KAPITEL 9. QUANTENFELDTHEORIE

Zur Quantisierung verwenden wir wieder die CCR-Algebra CCR(V2 , σ). Die symplektischen Transformationen erzeugen wie beim harmonischen Oszillator die einparametrige Gruppe von Bogolubovtransformationen αt (W (f, p)) = W (ft , pt ). Bleibt schließlich die Wahl eines Zustandes und damit einer Darstellung. Wir betrachten zu diesem Zweck die Abbildung √ i V2 3 (f, p) 7→ K2 (f, p) := ω fˆ + √ pˆ ∈ L2 (R3 , d3 k). ω !

(9.5)

Sie ist was leicht nachzurechnen ist, reell-linear, symplektisch und ihr Bild ist dicht in L2 (R3 , d3 k). Außerdem gilt eine ¨ahnliche Relation wie in (6.30). Um dies zu erkennen, betrachten wir den Erzeuger der einparametrigen Gruppe (Tt )t∈R (siehe Bem. 3.1.4): d (ft , pt )|t0 = (p, (∆ − m2 )f ) =: X(f, p) mit f0 = f, p0 = p. dt

(9.6)

Fouriertransformieren bildet diesen Operator auf (fˆ, pˆ) 7→ (ˆ p, −ω 2 fˆ)

(9.7)

ab. Daher ist K2 (X(f, p)) = K2 (p, (∆ − m2 )f ) =

√ 3 ω pˆ − iω 2 fˆ

(9.8)

und 3

−iωK2 (f, p) = −iω 2 fˆ +

√ ωˆ g

(9.9)

weshalb K2 (X(f, p)) = −iωK2 (f, p) gilt. Anders ausgedr¨ uckt, die Abbildung K2 intertwined“ die symplektische Gruppe (Tt )t∈R und die unit¨are Gruppe (ut )t∈R mit ” ut ψ = exp(−iω)ψ. Wir k¨onnen einen regul¨aren Fockzustand ω0 auf CCR(V2 , σ) durch das erzeugende Funktional 1

φω0 (f, p) = ω0 (W (f, p))e− 4 kK2 (f,p)k

2

(9.10)

definieren. Betrachten wir nun die GNS-Darstellung πω0 , dann erhalten wir auf Hω0 ¨ die selbstadjungierten Operatoren Ψ(f, p) mit πω0 (W (f, p)) = exp(iΨ(f, p)). Ahnlich 2 −1/2 wie im letzten Abschnitt definieren wir dann das Feld φ(f ) = Ψ((−∆ + m ) f, 0) und den kanonisch konjugierten Impuls π(p) = Ψ(0, (−∆ + m2 )1/2 p). Wie bei dem harmonischen Oszillator ist wieder ω0 (αt (W (f, p)) = ω0 (W (f, p)) (siehe (6.32)). Daher ist die Zeitentwicklung unit¨ar implementiert: πω0 (αt (A)) = Ut πω0 (A)Ut∗ und wir k¨onnen das Quantenfeld durch Φ(t, f ) = Ut φ(f )Ut∗ = Ψ(Tt ((−∆ + m2 )−1/2 f, 0))

(9.11)

oder durch Φ(f ) =

Z R

Φ(t, f (t, · ))dt

(9.12)

9.1. DAS FREIE SKALARFELD

105

¨ definieren. Ahnlich k¨onnen wir auch f¨ ur den Impuls Π(t, g) = Ut π(g)Ut∗ = Ψ(Tt (0, (−∆ + m2 )1/2 g))

(9.13)

definieren, jedoch enth¨alt das Feld Π(t, g) keine andere Information als Φ(t, f ) denn wir k¨onnen beide durch d d Φ(t, f ) = Ψ( Tt ((m2 − ∆)1/2 f, 0)) = dt dt = Ψ(Tt (0, (∆ − m2 )(m2 − ∆)−1/2 f )) = Π(t, −f ) (9.14) ineinander umrechnen. ¨ Den Ubergang zu den Konstruktionen aus Abschnitt 3.2 erhalten wir nun mit Satz 6.2.6, denn wir k¨onnen Hω0 mit dem symmetrischen Fockraum FS (L2 (R3 , d3 k)) und die Darsteller πω0 (W (f, p)) mit exp(iΦS (K2 (f, p))) identifizieren, wenn ΦS (ψ) die Segaloperatoren aus (A.43) bezeichnen. Das heißt das weiter oben eingef¨ uhrte Feld Ψ(f, p) stimmt mit ΦS (K2 (f, p)) u ¨berein und wir erhalten √ ωˆ fˆ φ(f ) = ΦS (K2 ((−∆ + m ) f, 0)) = ΦS ( f ) = ΦS ( √ ) ω ω

(9.15)

√ iω pˆ π(p) = ΦS (K2 (0, (−∆ + m2 )p)) = ΦS ( √ ) = ΦS (i ω pˆ) ω

(9.16)

2 −1

und

die Ausdr¨ ucke aus Satz 3.2.3. Die Zeitentwicklung ist ¨ahnlich wie im letzten Abschnitt durch die zweite Quantisierung der unit¨aren Operatoren ut gegeben, denn es ist Ut πω0 (W (f, p))Ut∗ = πω0 (W (Tt (f, p)) = eiΦS (K2 (Tt (f,p))) = eiΦS (ut K2 (f,p)) = = Γ(ut )eΦS (K2 (f,p)) Γ(u∗t ). (9.17) Dabei wurde erneut Satz A.2.3(5) benutzt. Wir erkennen, daß ut die einparametrige Gruppe ist, die vom Einteilchenhamiltonian“ h0 erzeugt wird, daß heißt es ” gilt ut = exp(−ith0 ) (siehe1 (3.64)) erzeugt wird. Die Zeitentwicklung Ut = Γ(Ut ) wird daher vom freien Hamiltonian“ H0 = dΓ(h0 ) erzeugt: Ut = exp(−itH0 ) in ”2 ¨ Ubereinstimmung mit (3.66). Wir haben also mit algebraischen Mitteln das Modell aus Abschnitt 3.2 rekonstruiert. Im Gegensatz jedoch zum harmonischen Oszillator ist in diesem Falle die Wahl des Zustandes keineswegs egal, denn wie wir im Beispiel 6.3.2 gesehen haben, gibt es Fockzust¨ande deren GNS-Darstellungen unit¨ar in¨aquivalent sind und somit zu physikalisch anderen Modellen f¨ uhren. Wir wollen daher noch ein paar Anmerkungen machen, die aufzeigen wodurch der von uns gew¨ahlte Zustand ausgezeichnet ist. 1 Im Gegensatz zum Abschnitt 3.2 ist hier jedoch ut = exp(−ith0 ), das heißt die Zeit l¨ auft in die andere Richtung. Leider ist das Skript an diesem Punkt nicht ganz konsistent. 2 Siehe Fußnote 1.

106

KAPITEL 9. QUANTENFELDTHEORIE

Zu diesem Zweck betrachten wir den Hilbertraum L2 (Mm , Ωm ) aus Bemerkung 3.2.7 und den unit¨aren Operator Jm : L2 (Mm , Ωm ) → L2 (R3 , d3 k) aus Formel (3.79). Auf L2 (Mm , Ωm ) war die stark stetige, unit¨are, irreduzible Darstel−1 lung P+↑ 3 (Λ, a) 7→ Um (Λ, a) durch (Um (Λ, a)f )(p) = eig(p,a)f (Λ p) gegeben (siehe Bem.3.2.8). Kombinieren wir nun die Abbildung K2 mit dem unit¨aren Opera¨ tor Jm dann folgt mit kurzer Rechnung (Ubungsaufgabe!), daß eine Darstellung ↑ P+ 3 (Λ, a) 7→ TΛ,a der Poincar´egruppe durch symplektische Transformationen TΛ,a von (V, σ) existiert, so daß U (Λ, a)Jm (K2 (f, p)) = Jm (K2 (TΛ,a (f, p))) ist. Um die physikalische Bedeutung der Darstellung TΛ,a zu erkl¨aren, wiederholen wir zun¨achst etwas Geometrie des Minkowskiraumes. Wir betrachten den Minkowskiraum koordinatenfrei, das heißt ohne Bezug auf ein bestimmtes Inertialsystem. Er wird dann durch einen vierdimensionalen affinen Raum M beschrieben (ohne ausgezeichnetes affines Koordinatensystem!), auf dessen unterliegendem Vektorraum V eine symmetrische, nicht degenerierte Bilinearform g der Signatur (+, −, −, −) gegeben ist3 . Ein Inertialsystem Σ ist nun durch eine Lorentzbasis (ei )i=0,...,3 , daß heißt es gilt g(ei , ej ) = i δij mit 0 = 1 und i = −1 f¨ ur i = 1, 2, 3 und einen Koordinantenursprung o ∈ M gegeben. Wir erhalten dadurch die KoP ordinatenabbildung R4 3 (t, x) 7→ Σ(t, x) := o + te0 + 3i=1 xi ei ∈ M. Entsprechend erhalten wir f¨ ur ein zweites Inertialsystem Σ0 eine Koordinatenabbildung P 4 0 0 0 0 R 3 (t , x ) 7→ Σ (t , x0 ) := o0 + t0 e00 + 3i=1 x0i e0i ∈ M, welche mit der alten durch eine Poincar´etransformation (Λ, a) verkn¨ upft ist, das heißt (t0 , x0 ) = Λ · (t, x) + a. Auf M sei nun eine Funktion ψ : M → R gegeben, die im Inertialsystem Σ die Klein-Gordon-Gleichung l¨ost, genauer gesagt die Funktion R4 3 (t, x) 7→ ψ(t, x) = ψ ◦ Σ(t, x) ∈ R erf¨ ullt diese Gleichung. Entsprechend ist auch R4 3 (t0 , x0 ) 7→ 0 0 0 0 0 ψ (t , x ) = ψ◦Σ (t , x0 ) ∈ R eine L¨osung der Klein-Gordon-Gleichung, welche mit der ersteren durch ψ 0 (t, x) = ψ(Λ−1 ((t, x)−a)) verkn¨ upft ist. Beide L¨osungen sind durch Anfangsdaten (f, p) ∈ V , bzw. (f 0 , p0 ) ∈ V eindeutig bestimmt und die Verkn¨ upfung dieser Anfangsdaten ist gerade durch die symplektische Transformation TΛ,a gege¨ ben, daß heißt: TΛ,a (f, p) = (f 0 , p0 ). Eine Uberpr¨ ufung dieser Aussage u ¨berlasse ich 4 wieder dem Leser . Die symplektischen Transformationen TΛ,a und die entsprechenden Bogolubovtransformationen αΛ,a (W (f, p)) = W (TΛ,a (f, p)) repr¨asentieren also den Wechsel des Inertialsystems und es ist eine physikalisch vern¨ unftige Annahme, daß das Vakuum ω0 in allen Inertialsystemen identisch ist, daß heißt ω0 ◦ αΛ,a = ω0 . Es ist leicht zu sehen, daß ω0 diese Eigenschaft wirklich besitzt: 1

2

ω0 (αΛ,a (W (f, p))) = ω0 (W (TΛ,a (f, p))) = e− 4 kK2 (TΛ,a (f,p))k = 1

−1

= e− 4 kJm

Um (Λ,a)Jm K2 (f,p)k2

=e

−1 kK2 (f,p)k2 4

= ω(W (f, p)). (9.18)

Daher sind die Bogolubovtransformation αΛ,a in der Darstellung πω0 unit¨ar implementiert. Das heißt es existiert eine stark, stetige unit¨are Darstellung U (Λ, a) 3

Ein affiner Raum ist eine Menge M auf der ein reeller Vektorraum V transitiv durch M × V 3 (p, v) 7→ p + v ∈ M operiert. R 4 Hinweis: Betrachte die Fouriertransformation ψ˜ = (2π)−2 R4 ψ(x) exp(ig(x, p))d4 x. Sie bildet L¨ osungen der Klein-Gordon-Gleichung auf Elemente in L2 (Mm , Ωm ) ab. Mann kann dann ausrechnen daß Um (Λ, a)ψ˜ das Bild der Poincar´etransformierten L¨ osung ist.

¨ 9.2. DAS SKALARFELD IM AUSSEREN POTENTIAL

107

mit U (Λ, a)πω0 (A)U (Λ, a)∗ = πω0 (αΛ,a (A)). Diese Darstellung kann mit der zweiten Quantisierung Γ(Um (Λ, a)) von Um (Λ, a) identifiziert werden. Zum Schluß schließlich betrachten wir die durch a 7→ U (1I, a) gegebenen Raumzeittranslationen. Es handelt sich um eine stark stetige, unit¨are Darstellung der abelschen Gruppe R4 und f¨ ur jedes Element ej ∈ R4 , j = 1, . . . , 4 der kanonischen Basis existiert daher ein selbstadjungierter Operator Pi so daß exp(itPj ) = U (tej ). F¨ ur j 6= 0 sind die Pj Komponenten des Gesamtimpulses, w¨ahrend P0 mit dem freien Hamiltonian u ¨bereinstimmt. Es kann nun gezeigt werden (siehe hierzu die Diskussion der Wightmanaxiome in [19, X.42]), daß das gemeinsame Spektrum dieser vier Operatoren im abgeschlossenen Vorw¨artslichtkegel {x ∈ R4 | g(x, x) ≥ 0, x0 ≥ 0} enthalten ist. Mit anderen Worten der Zustand ω0 erf¨ ullt die “Spektralbedingung”. Poincar´einvarianz und Spektralbedingung sind die wichtigsten Kriterien zur Auswahl eines Vakuumzustandes. Insbesondere in der Wightmantheorie dient die Translationsinvarianz des Vakuums dazu, dieses eindeutig festzulegen (siehe z.B. [19, IX.8] f¨ ur eine Diskussion der Wightmanaxiome).

9.2

Das Skalarfeld im ¨ außeren Potential

Im n¨achsten Beispiel wollen wir die Behandlung des freien Feldes etwas verallgemeinern und ¨außere Potentiale hinzuf¨ ugen. Das heißt wir betrachten Feldgleichungen der Form ∂2 ψ(t, x) − ∆ψ(t, x) + (S(x) + m2 )ψ(t, x) = 0, ∂t2

(9.19)

wobei S : R3 → R ein hinreichend regul¨ares, positives Potential ist. Die klassischen L¨osungen dieser Gleichungen lassen sich auch bei bekanntem Potential im allgemeinen nicht in geschlossener Form angeben. Es handelt sich jedoch um strikt hyperbolischer Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die intensiv studiert wurden. Es existieren zahlreiche Aussagen zur Existenz und Eindeutigkeit der L¨osungen (siehe [12, Kap.6] f¨ ur eine recht elementare Einf¨ uhrung in hyperbolischer Differentialgleichung mehrerer Ver¨anderliche. Auch die Ausf¨ uhrungen in [11] lassen sich unmittelbar auf den flachen Fall u ¨bertragen). Wir wollen im folgenden davon ausgehen, daß S die folgende Bedingung erf¨ ullt5 : F¨ ur alle Anfangsdaten ∞ 3 ∞ 3 (f, p) ∈ C0 (R , R) × C0 (R , R) =: V3 existiert genau eine L¨osung von (9.19). Wir k¨onnen nun ¨ahnlich wie bei der Klein-Gordon-Gleichung die Feldgleichung (9.19) in ein System erster Ordnung umwandeln: d d ft = pt , pt = (∆ − m2 − S)ft . dt dt

(9.20)

Der Operator −∆ + m2 + S : C0∞ (R3 , C) → L2 (R3 , d3 x) ist symmetrisch, daher ist die Abbildung V3 3 (f, p) 7→ (p, (∆ − m2 − S)f ) ∈ V3 antisymmetrisch bzgl. der 5 Der Operator (f, p) 7→ (p, (∆ − m2 − S)f ) den wir sogleich betrachten werden bildet Anfangsdaten mit kompakten Tr¨ager auf Anfangsdaten mit kompakten Tr¨ ager ab. Eine a ¨hnliche Aussage gilt nicht f¨ ur Schwartzfunktionen, wenn S im Unendlichen zu schnell divergiert. Daher haben wir in diesem Abschnitt einen gegen¨ uber 9.1 etwas kleineren Phasenraum gew¨ ahlt

108

KAPITEL 9. QUANTENFELDTHEORIE

symplektischen Form σ aus (9.1): σ(f1 , p1 ; p2 , (∆ − m2 − S)f2 ) = hf1 , (∆ − m2 − S)f2 i − hp1 , p2 i = = h(∆ − m2 − S)f1 , f2 i − hp1 , p2 i = −σ(p1 , (∆ − m2 − S)f1 ; f2 , p2 ). (9.21) Daher ist die einparametrige Gruppe (Tt )t∈R mit Tt (f, p) = (ft , pt ) und f0 = f und p0 = p (das heißt t 7→ Tt (f, p) ist die L¨osung von (9.20) zu den Anfangsdaten (f, p)) eine einparametrige symplektische Gruppe und wir k¨onnen auf der CCR-Algebra CCR(V3 , σ) (die etwas kleiner ist als die aus 9.1, da C0∞ (R3 , R) in S(R, R) nur dicht liegt) die einparametrige Gruppe von Bogolubovtransformationen αt (W (f, p)) = W (T (f, p)) definieren. Diese Gruppe beschreibt die Dynamik des skalaren Feldes unter dem Einfluß des ¨außeren Potentials S. Damit bleibt die Wahl eines Zustandes und einer Darstellung zu diskutieren. Wir stellen zu diesem Zweck fest, daß der Operator −∆ + m2 + S nicht nur symmetrisch sondern auch positiv ist. Er besitzt daher auf jeden Fall eine positive selbstadjungierte Fortsetzung (die Friedrichsfortsetzung siehe [19, Thm X.23]). Wir wollen diese Fortsetzung im folgenden auch mit −∆ + m2 + S bezeichnen. Außerdem bleibt noch festzuhalten, daß wegen der Positivit¨at des Potentials S das Spektrum dieses Operators nach unten durch m2 > 0 beschr¨ankt ist. Wir k¨onnen also mittels des 1 Spektraltheorems die Funktion ( · )± 4 auf den Operator anwenden. Dies f¨ uhrt zur folgenden Abbildung 1

1

V 3 (f, p) 7→ K3 (f, p) := (−∆ + m2 + S) 4 f + i(−∆ + m2 + S)− 4 p ∈ ∈ L2 (R3 , d3 x). (9.22) 1

1

Da sowohl (−∆ + m2 + S) 4 als auch (−∆ + m2 + S)− 4 dicht definierte Operatoren auf L2 (R3 , d3 x) sind, ist das Bild von K3 offenbar dicht in L2 (R3 , d3 x). Außerdem ist K3 symplektisch, denn 1

1

ImhK(f1 , p1 ), K(f2 , p2 )i = h(−∆ + m2 + S) 4 f1 , (−∆ + m2 + S)− 4 p2 i − 1

1

− h(−∆ + m2 + S)− 4 p1 , (−∆ + m2 + S) 4 f2 i = hf1 , p2 i − hf2 , p1 i. (9.23) Damit ist durch 1

2

ω0 (W (f, p)) = e− 4 kK3 (f,p)k

(9.24)

ein Fockzustand definiert. Um zu sehen, daß er invariant unter der Dynamik αt ist betrachten wir die einparametrige unit¨are Gruppe √ −∆+m2 +S

ut = e−it

.

(9.25)

Offenbar ist: √ − i −∆ + m2 + SK3 (f, p) = 3

1

= −i(−∆ + m2 + S) 4 f + (−∆ + m2 + S) 4 p = K3 (p, (∆ − m2 − S)f ). (9.26) Nun ist jedoch (f, p) 7→ (p, (∆ − m2 − S)f ) der Erzeuger der einparametrigen symplektischen Gruppe (Tt )t∈R , woraus ut K3 (f, p) = K3 (Tt (f, p)) folgt. Daher ist 1

2

1

2

ω0 (αt (W (f, p))) = e− 4 kK3 (Tt (f,p))k = e− 4 kut K3 (f,p)k = ω0 (W (f, p)).

(9.27)

9.3. DAS FREIE DIRACFELD

109

Die Bogolubovtransformationen αt sind daher unit¨ar implementierbar, weshalb wir eine einparametrige unit¨are Gruppe Ut mit Erzeuger H, dem Hamiltonian des Systems erhalten. Wie f¨ ur das freie Feld k¨onnen wir außerdem den Feldoperator φ(f ) = Ψ((−∆ + m2 + S)−1/2 f, 0) und π(p) = Ψ(0, (−∆ + m2 + S)1/2 p) definieren, wobei Ψ(f, p) durch eiΨ(f,p) = π0 (W (f, p)) definiert ist. Identifizieren wir den GNS-Hilbertraum wieder FS (H), dann √ gem¨aß Satz 6.2.6 mit dem Fockraum 1 2 2 wird Ut zu Γ(ut ), H zu dΓ( −∆ + m + S), φ(f ) = ΦS ((−∆ + m + S)− 4 f ) und 1 π(p) = ΦS (i(−∆ + m2 + S) 4 p). Setzen wir S = 0, dann wird die Feldgleichung (9.19) zur Klein-GordonGleichung und wir erhalten eine alternative Quantisierung des freien Feldes, die jedoch im Wesentlichen mit der in Abschnitt 9.1 vorgestellten Version u ¨bereinstimmt. Der einzige Unterschied betrifft die CCR-Algebra, denn es gilt, wie bereits erw¨ahnt CCR(V3 , σ) CCR(V2 , σ). Dieser Unterschied ist jedoch nicht wesentlich, da sowohl die Bogolubovtransformationen αt als auch der Fockzustand ω0 aus diesem Abschnitt f¨ ur den Fall S = 0 Einschr¨ankungen der entsprechenden Gr¨oßen aus Abschnitt 9.1 sind. F¨ ur die Bogolubovtransformationen ist dies ganz offensichtlich, da die symplektischen Transformationen v¨ollig identisch definiert sind. Um die Fockzust¨ande zu vergleichen betrachten wir die Abbildungen K3 : V3 → L2 (R3 , d3 x) und die entsprechende Abbildung K2 aus (9.5). Fouriertransformieren wir nun K3 (f, p) f¨ ur (f, p) ∈ V3 dann ergibt sich sofort (K3 (f, p))∧ = K2 (f, p). Da die Fouriertransformation unit¨ar ist, folgt sofort daß der in diesem Abschnitt konstruierte Fockzustand und der aus Abschnitt 9.1 u ¨bereinstimmen. Daß nun bei der Einschr¨ankung“ von ” CCR(V2 , σ) auf CCR(V3 , σ) keine wesentliche Information verloren geht, folgt aus der Tatsache, daß πω0 (CCR(V2 , σ))00 = πω0 (CCR(V3 , σ))00 = B(Hω0 ) ist (es sind also noch genug“ Elemente in CCR(V3 , σ) enthalten). ” Der letzte Punkt dieses Abschnittes betrifft die Frage durch welche Kriterien der konstruierte Zustand ω0 physikalisch ausgezeichnet ist. Hierf¨ ur m¨ochte ich auf eine Arbeit von Kay [17] verweisen. Aus ihr folgt unmittelbar, daß ω0 bis auf Unit¨ar¨aquivalenz der einzige Fockzustand auf CCR(V3 , σ) ist, der invariant unter der Zeitentwicklung αt ist.

9.3

Das freie Diracfeld

[. . . ]

9.4

Das Diracfeld im ¨ außeren elektromagnetischen Feld

[. . . ]

9.5

Das van Hove Modell

Im letzten Beispiel zu CCR-Algebren wollen wir auf das van Hove Modell zur¨ uckkommen welches wir bereits im Abschnitt 3.4 untersucht hatten. Wir be-

110

KAPITEL 9. QUANTENFELDTHEORIE

trachten f¨ ur diesen Zweck die CCR-Algebra CCR(V2 , σ) und die Bogolubovtransformationen αt und den Fockzustand ω0 aus Abschnitt 9.1. Die Quantisierung der Feldgleichung ∂2 ψ(t, x) − ∆ψ(t, x) + m2 ψ(t, x) + ρ(x) = 0, 2 ∂t

(9.28)

mit der Schwartzfunktion ρ ∈ S(R3 , R) (siehe (3.89)) f¨ uhrte in Abschnitt 3.3 zu einer unit¨ar ¨aquivalenten Theorie, deren Vakuum durch ωρ (A) = hV Ωω0 , πω0 (A)V Ωω0 i

(9.29)

und deren Dynamik6 αtρ durch ∗ πω0 (αtρ (A)) = Uρ,t πω0 (A)Uρ,t mit Ut,ρ = V Ut V ∗

(9.30)

gegeben ist. Dabei ist Ut = exp(−itH0 ) durch den freien Hamiltonian H0 (siehe Abschnitt 9.1) und V durch (π ist der kanonisch konjugierte Impuls aus Abschnitt 9.1) √ ˜ −2 ˜ 0 f = (ω fˆ)∨ = m2 − ∆f V = e−iπ(h0 ρ) mit h (9.31) wegen (9.13) also durch ˜ −3/2 V = πω0 (W (0, −h ρ)) 0

(9.32)

gegeben. Wir wollen nun angeben, welche Gestalt αtρ unabh¨angig von der Darstellung πω0 hat. Unter Verwendung der Weylrelationen erhalten wir ˜ −3/2 ˜ −3/2 ρ)W (f, p)W (0, −h ρ) = V ∗ πω0 (W (f, p))V = πω0 W (0, h 0 0

= e−ic(ρ;f,p) πω0 (W (f, p)) (9.33) mit c(ρ; f, p) :=

*

+

ρˆ ˆ ,f . ω

(9.34)

Daher ist πω0 (αtρ (W (f, p))) = V Ut V ∗ πω0 (W (f, p))V Ur tV ∗ = = Ut πω0 Ut∗ ei(c(ρ;Tt (f,p))−c(ρ;f,p)) (9.35) also αtρ (W (f, p)) = αt (W (f, p))ei(c(ρ;Tt (f,p))−c(ρ;f,p)) .

(9.36)

Obwohl wir hier dieselbe Bezeichnung gew¨ ahlt haben, stimmt αtρ nicht mit den Automorphismen aus Abschnitt 3.4 u ¨berein. Die Algebra A die wir dort betrachtet haben, ist eine *-Algebra, jedoch keine C*-Algebra (und damit auch keine CCR-Algebra), da sie unbeschr¨ ankte Operatoren enth¨ alt. 6

9.5. DAS VAN HOVE MODELL

111

In ¨ahnlicher Weise k¨onnen wir bei der Berechnung des erzeugenden Funktionals des Zustandes ωρ vorgehen. Mit (9.33) folgt: ωρ (W (f, p)) = hV Ω0 , πω0 (W (f, p))V Ω0 i = hΩ0 , V ∗ πω0 (W (f, p))V Ω0 i = 1

2 −ic(ρ;f,p)

= ω0 (W (f, p))e−ic(ρ;f,p) = e− 4 kK2 (f,p)k

. (9.37)

Aus der Definition von αtρ und ωρ folgt unmittelbar, daß ωρ invariant unter der Dynamik αtρ ist; jedoch kann dies auch unter Verwendung der soeben errechneten Formeln u uft werden. ¨berpr¨ Dies ist besonders wichtig, wenn wir nun den Grenz¨ ubergang“ ρˆ → 1 ” durchf¨ uhren (also den Ultraviolett-Cutoff entfernen), denn der Ausdruck c(δ; f, p) :=

1 ˆ ,f . ω

(9.38)

ist offenbar f¨ ur jede Schwarzfunktion f wohldefiniert. Wir k¨onnen daher αtδ (W (f, p)) := αt (W (f, p))ei(c(δ;Tt (f,p))−c(δ;f,p))

(9.39)

und 1

2 −ic(δ;f,p)

φωδ (f, p) := e− 4 kK2 (f,p)k

(9.40)

definieren. Damit sich aus diesen Definitionen eine vern¨ unftige Quantentheorie erδ gibt, m¨ ussen wir u berpr¨ u fen, ob sich α zu einem Automorphismus von CCR(V2 , σ) ¨ t fortsetzen l¨aßt, und ob φωδ das erzeugende Funktional eines regul¨aren Zustandes ist. Wir untersuchen zun¨achst αtδ . Da alle Weyloperatoren linear unabh¨angig sind ¨ (ist leicht nachzurechnen; Ubungsaufgabe!) kann αtρ auf den Raum aller endlichen Linearkombinationen von Weyloperatoren fortgesetzt werden. Dieser Raum ist eine dichte *-Unteralgebra von CCR(V2 , σ), und wir k¨onnen zeigen, daß αtδ ein *Automorphismus dieser Unteralgebra ist. Z.B. gilt: i

αtδ (W (f1 , p1 )W (f2 , p2 )) = e− 2 σ(f1 ,p1 ;f2 ,p2 ) αtδ (W (f1 + p2 , p1 + p2 )) i

= e− 2 σ(f1 ,p1 ;f2 ,p2 ) αt (W (f1 + f2 , p1 + p2 ))ei(c(δ;Tt (f1 +f2 ,p1 +p2 ))−c(δ;f1 +f2 ,p1 +p2 )) = αt (W (f1 , p1 ))αt (W (f2 , p2 ))ei(c(δ;Tt (f1 ,p1 ))−c(δ;f1 ,p1 )) ei(c(δ;Tt (f2 ,p2 ))−c(δ;f2 ,p2 )) = αtδ (W (f1 , p1 ))αtδ (W (f2 , p2 )). (9.41) Daher gilt f¨ ur alle A ∈ CCR(V2 , σ) die endliche Linearkombinationen von Weylelementen sind kαtδ (A)k ≤ kAk (das folgt aus Behauptung 4.4.2). Mit anderen Worten αtδ ist auf seinem Definitionsbereich stetig und kann daher als Automorphismus auf ganz CCR(V2 , σ) fortgesetzt werden. Um zu beweisen, daß φωδ ein erzeugendes Funktional ist benutzen wir Behauptung 6.2.3. Die einzige nichttriviale Bedingung ist offenbar die Positivit¨at. Hierf¨ ur 7 betrachten wir f¨ ur jede temperierte Distribution T , das Funktional 1

φT (f, p) := e− 4 kK2 (f,p)k

2 −ic(T ;f,p)

(9.42)

7 Eigentlich wollte ich den Begriff der Distribution in diesem Skript vermeiden, um die mathematischen Voraussetzungen nicht noch umfangreicher werden zu lassen. Leider ist mir aber an dieser Stelle kein anderes einfaches Argument eingefallen. Alle notwendigen Aussagen u ¨ber temperierte Distributionen finden sich jedoch in [20].

112

KAPITEL 9. QUANTENFELDTHEORIE

mit c(T ; f, p) :=

*

+

ρˆ ˆ ,T . ω

(9.43)

F¨ ur feste λj ∈ C, (fj , pj ) ∈ V2 , j = 1, . . . , n ist auf dem Raum S 0 (R3 , R) durch S 0 (R3 , R) 3 T 7→

n X

¯ l λj e− 2i σ(fj ,pj ;fl ,pl ) φT (fj − fl , pj − pl ) ∈ C λ

(9.44)

j=1

ein in der schwachen Topologie stetiges Funktional gegeben. Dies folgt aus der Stetigkeit der Funktionale T 7→ c(T ; f, p). Diese Funktionale sind f¨ ur alle ρ ∈ S(R3 , R) ⊂ 0 3 S (R , R) positiv, da φρ in diesem Falle ja mit dem erzeugendem Funktional des regul¨aren Zustandes ωρ u ¨bereinstimmt. Da aber S(R3 , R) ein dichter Teilraum von 0 3 S (R , R) ist, m¨ ussen die Funktionale (9.44) f¨ ur alle T positiv sein. Daher ist insbesondere φωδ das erzeugende Funktional eines regul¨aren Zustandes ωδ . Damit haben wir die Quantisierung der Feldgleichung (9.28) vervollst¨andigt. Es ist leicht nachzupr¨ ufen, daß ωδ invariant unter den αtδ ist. Daher existieren unit¨are ∗ Operatoren Uδ,t mit Uδ,t πωδ (A)Uδ,t πωδ (αtδ (A)). Die Uδ,t bilden offenbar eine unit¨are Gruppe. Wenn diese stark stetig ist (was nachzupr¨ ufen w¨are) k¨onnen wir den Hamiltonian des Modells durch Uδ,t = exp(−itHδ ) definieren. Ebenso k¨onnen wir in Analogie zu Abschnitt 9.1 die Felder φδ (f ) und πδ (p) angeben. Wie haben damit im Gegensatz zu Abschnitt 3.4 f¨ ur das van Hove Modell ein physikalisches Vakuum und einen Wechselwirkungshamiltonian gefunden. Jedoch kann ¨ahnlich wie in Beispiel 6.3.2 gezeigt werden, daß die Zust¨ande ωδ und ω0 quasiin¨aquivalent sind. Daher ist in der Darstellung ωδ das nackte Vakuum ω0 nicht als Vektorzustand darstellbar, ¨ahnlich umgekehrt ωδ in der Vakuumdarstellung des ¨ freien Feldes nicht als Vektorzustand darstellbar war (siehe Satz 3.4.1). Ahnliches gilt f¨ ur den freien Hamiltonian und den Wechselwirkungshamiltonian Hδ .

9.6

Wechselwirkende Felder und Haags Theorem

[. . . ]

9.7 [. . . ]

Algebraische Quantenfeldtheorie

Kapitel 10 Quanteninformationsverarbeitung [. . . ]

10.1

Kan¨ ale

[. . . ]

10.2

Kanalkapazit¨ aten

[. . . ]

10.3

Optimale Klonierer und verwandte Operationen

[. . . ]

10.4

Verschr¨ anktheit

[. . . ]

113

114

KAPITEL 10. QUANTENINFORMATIONSVERARBEITUNG

Teil V Anhang

115

Anhang A Fockr¨ aume F¨ ur die Diskussion der Beispiele in den Kapiteln 2 und 3 und der CCR– bzw. CAR– Algebren (Kapitel 6 und 7) spielen Bose– bzw Fermifockr¨aume eine große Rolle. Wir wollen in diesem Anhang die wichtigsten Definitionen und Eigenschaften bereitstellen, ohne jedoch großen Wert auf Vollst¨andigkeit (insbesondere bei den Beweisen) zu legen. Stattdessen sei hier auf die Literatur [20, 19, 6], der auch der vorliegende Anhang an vielen Stellen folgt, verwiesen.

A.1

Grundlegende Definitionen

F¨ ur den Rest dieses Kapitels bezeichne H einen komplexen, separablen Hilbertraum und H(n) := H ⊗ ·{z · · ⊗ H} . | n mal

(A.1)

f¨ ur jedes n ∈ N das Tensorprodukt von H (siehe [20] Kap. II.4 f¨ ur die Definition des Tensorproduktes). A.1.1. Definition. Setzen wir zus¨atzlich H(0) := C, dann definiert die direkte Summe F(H) :=

∞ M

H(n)

(A.2)

n=0

den Fockraum u ¨ber H. Der (dichte) Teilraum F(H) ⊃ F := {ψ ∈ F(H) | ∃n0 ∈ N ψ (n) = 0 ∀n > n0 }

(A.3)

heißt der Raum der endlichen Teilchenvektoren und das Element Ω0 = (1, 0, 0, . . . ) heißt das Vakuum. A.1.2. Bemerkung. Ist ψ ein Element von F(H) dann wollen wir im Folgenden die Projektion auf den n-Teilchensektor“ H(n) mit ψ (n) bezeichnen. ” 117

¨ ANHANG A. FOCKRAUME

118

A.1.3. Beispiel. Betrachten wir zum Beispiel ein nichtrelativistisches Teilchen mit Spin 0, dann ist H = L2 (R3 , d3 x) und somit H(n) = L2 (R3 × · · · × R3 , d3 x1 . . . d3 xn ), also F(L2 (R3 , d3 x)) =

∞ M

L2 (R3 × · · · × R3 , d3 x1 . . . d3 xn ).

(A.4)

n=0

Das Tensorprodukt L2 (R3 ×· · ·×R3 , d3 x1 . . . d3 xn ) beschreibt ein System welches aus n unterscheidbaren Teilchen besteht, im Falle n = 2 etwa ein Wasserstoffatom. Wir wollen jedoch Systeme betrachten, die aus einer beliebigen Anzahl nicht unterscheidbarer Teilchen bestehen. Da wir außerdem an Teilchen interessiert sind, die der Bose– bzw. der Fermistatistik gen¨ ugen, ben¨otigen wir symmetrische und antisymmetrische Tensorprodukte. A.1.4. Behauptung. Sei Pn die Permutationsgruppe f¨ ur n Elemente und (φk )k∈N eine Basis von H. Dann ist f¨ ur jedes σ ∈ Pn durch σ(φk1 ⊗ · · · ⊗ φkn ) := φkσ(1) ⊗ · · · ⊗ φkσ(n)

(A.5)

ein unit¨arer Operator auf H(n) definiert. Daher sind, wenn sign(σ) das Signum1 der Permutation σ bezeichnet durch Pn+ =

1 X 1 X σ und Pn− = sign(σ)σ n! σ∈Pn n! σ∈Pn

(A.6)

orthogonale Projektoren (d.h. (Pn± )∗ = Pn± und (Pn± )2 = Pn± ) gegeben. Beweis: Der Beweis ist einfach und bleibt daher dem Leser u ¨berlassen. Wir definieren nun den symmetrischen und den antisymmetrischen bzw. den bosonischen und den fermionischen Fockraum: A.1.5. Definition. Die direkten Summen F+ (H) :=

∞ M

n=0

Pn+ H(n) und F− (H) :=

∞ M

Pn− H(n)

(A.7)

n=0

heißen der bosonische, bzw. der fermionische Fockraum u ¨ber H. Beide R¨aume sind offenbar abgeschlossene Teilr¨aume von F(H). Die zugeh¨origen ProjektionsoperatoP P + − − ren wollen wir mit P + := ∞ := ∞ n=0 ∗Pn und P n=0 Pn bezeichnen. A.1.6. Bemerkung. Der Raum F der endlichen Teilchenvektoren F ⊂ F(H) f¨ uhrt zu ¨ahnlichen (ebenfalls dichten) Teilr¨aumen von F± (H). Wir wollen sie im folgenden mit F± = F± (H) ∩ F bezeichnen. Das Vakuum Ω0 ist offenbar Element sowohl von F+ (H) als auch von F− (H) und bedarf daher keiner speziellen (das heißt von ± abh¨angigen) Notation. 1 Das Signum von σ ∈ Pn ist durch die Bedingung V (x1 , . . . , xn ) = sign(σ)V (xσ(1) , . . . , xσ(n) ) Q definiert, wobei V (x1 , . . . , xn ) = j
A.1. GRUNDLEGENDE DEFINITIONEN

119

A.1.7. Beispiel. Betrachten wir erneut den Hilbertraum L2 (R3 , d3 x) dann ist Pn+ H(n) = L2S (R3 × · · · × R3 , d3 x1 . . . d3 xn ), also derjenige Teilraum von L2 (R3 × · · · × R3 , d3 x1 . . . d3 xn ), der aus vollst¨andig symmetrischen Funktionen besteht. Damit ist F+ (L2 (R3 , d3 x)) =

∞ M

L2S (R3 × · · · × R3 , d3 x1 . . . d3 xn ).

(A.8)

n=0

Entsprechend sind die Elemente von F− (L2S (R3 , d3 x)) vollst¨andig antisymmetrische L2 Funktionen. Sei nun H : D(H) → H ein selbstadjungierter Operator auf H mit Definitionsbereich D(H), dann k¨onnen wir einen Operator dΓ(H) mit Definitionsbereich D(dΓ(H)) := {ψ ∈ F | ψ (n) ∈

n O

D(H) ∀n ∈ N}

(A.9)

k=1

durch (dΓ(H)ψ)(n) := (H ⊗ 1I ⊗ · · · ⊗ 1I + 1I ⊗ H ⊗ · · · ⊗ 1I + · · · + + 1I ⊗ · · · ⊗ 1I ⊗ H)ψ (n) (A.10) f¨ ur alle ψ ∈ D(dΓ(H)) und durch dΓ(H)Ω0 = 0 definieren. A.1.8. Satz. Sei H : D(H) → H selbstadjungiert, 1. dann ist der in (A.10) definierte Operator dΓ(H) : D(dΓ(H)) → F(H) auf dem in Gleichung (A.9) gegebenen Definitionsbereich wesentlich selbstadjungiert. dΓ(H) heißt die zweite Quantisierung von H. Wir werden ihren selbstadjungierten Abschluß auch mit dΓ(H) bezeichnen solange dies nicht zu Verwirrung f¨ uhrt. 2. Bezeichnet zus¨atzlich D(dΓ± (H)) den durch D(dΓ(H)) ∩ F± (H) definierten Teilraum von F± (H), dann gilt dΓ(H) · D(dΓ± (H)) ⊂ F± (H). Das heißt die Einschr¨ankung von dΓ(H) auf den Definitionsbereich D(dΓ± (H)) definiert einen wesentlich selbstadjungierten Operator auf F± (H) den wir ebenfalls die zweite Quantisierung von H nennen werden. Beweis: Die zweite Aussage ist eine triviale Konsequenz der speziellen Form von dΓ(H) und der ersten Aussage, deren Beweis wir daher ausschließlich betrachten. Da H selbstadjungiert ist, ist der Operator Gn := H ⊗ 1I ⊗ · · · ⊗ 1I + 1I ⊗ H ⊗ · · · ⊗ 1I + · · · + 1I ⊗ · · · ⊗ 1I ⊗ H

(A.11)

auf dem Definitionsbereich D(H)⊗· · ·⊗D(H) wesentlich selbstadjungiert [20, Thm. VIII.33]. Daher ist Ran(Gn ± i1I) dicht in H(n) [20, Thm. VIII.3] und somit ist auch P Ran(dΓ(H) ± i1I) = Ran( ∞ n=0 Gn ± i1I) dicht in FS (H). Dies aber impliziert, daß dΓ(H) auf seinem Definitionsbereich wesentlich selbstadjungiert ist, was zu beweisen war.

¨ ANHANG A. FOCKRAUME

120

Betrachten wir nun die einparametrige unit¨are Gruppe Ut = exp(itH) die der selbstadjungierte Operator H auf dem Hilbertraum H erzeugt. Sie steht mit der durch dΓ(H) erzeugten Gruppe wie folgt in Beziehung: A.1.9. Satz. Sei U ein unit¨arer Operator U auf H 1. dann ist die zweite Quantisierung von U der durch (Γ(U )ψ)(n) = U ⊗ · · · ⊗ U ψ (n) ,

∀ψ ∈ F(H)

(A.12)

und Γ(U )Ω0 = Ω0 definierte unit¨are Operator Γ(U ) : F(H) → F (H). 2. Γ(U ) l¨aßt F± (H) invariant. Die Einschr¨ankung definiert daher einen unit¨aren Operator Γ± (U ) auf F± (H). 3. Ist H : D(H) → H ein selbstadjungierter Operator, dann gilt f¨ ur die durch dΓ(H) erzeugte einparametrige, unit¨are Gruppe exp(itdΓ(H)) = Γ(Ut ) mit Ut := exp(itH). 4. Eine entsprechende Aussage gilt f¨ ur dΓ± (H) und Γ± (U ). Beweis: Die einzige nichttriviale Aussage ist die dritte, weshalb wir hier nur diese beweisen wollen. Sei hierf¨ ur ψ1 ∈ D(H) dann gilt aufgrund des Satzes von Stone [20, Thm. VIII.8] ∂/∂t Ut ψ1 |t=0 = iHψ1 . Mit der Produktregel und mit ψk ∈ D(H), k = 1, . . . , n erhalten wir daher ∂/∂t Ut ⊗ · · · ⊗ Ut ψ1 ⊗ · · · ⊗ ψn = iGn ψ1 ⊗ · · · ⊗ ψn . F¨ ur alle ψ ∈ D(dΓ(H)) impliziert dies ∂/∂t Γ(Ut )ψ = idΓ(H)ψ. Da dΓ(H) auf seinem Definitionsbereich wesentlich selbstadjungiert ist, folgt somit die Behauptung. A.1.10. Bemerkung. Eine Unterscheidung zwsichen dΓ und Γ einerseits und dΓ± und Γ± andererseits ist in vielen F¨allen nicht n¨otig. Wir werden die Indizes ± immer dann weglassen, wenn aus dem Zusammenhang klar wird was gemeint ist. A.1.11. Beispiel. Betrachten wir zum Beispiel ein nichtrelativistisches, freies Teilchen der Masse m. Seine Dynamik wird durch den (wesentlich selbstadjungierten) 1 Hamiltonoperator H := − 2m ∆ : S(R3 , C) → L2 (R3 , d3 x) bzw. durch die zugeh¨orige 1 unit¨are Gruppe Ut := exp(it 2m ∆) beschrieben. Die Dynamik einer beliebigen Anzahl solcher Teilchen, die nicht untereinander wechselwirken, ist daher durch die zweiten 1 Quantisierungen dΓ± (− 2m ∆) bzw. Γ± (Ut ) gegeben, wobei Γ+ , dΓ+ ein System von Bosonen und Γ− , dΓ− ein System von Ferminonen beschreibt. A.1.12. Beispiel (Teilchenzahloperator). Die zweite Quantisierung N := dΓ(1I) des Einheitsoperators auf H hat f¨ ur alle ψ ∈ F(H) die Eigenschaft (N ψ)(n) = nψ (n) . Er heißt der Teilchenzahloperator. Insbesondere hat er die Eigenschaft N Ω0 = 0. Das heißt Ω0 ist der einzige Zustand ohne Teilchen“, was den Namen ” Vakuum“ rechtfertigt. Hierbei ist zu beachten, daß es sich zun¨achst um eine rein ” mathematische Definition und noch nicht um einen physikalischen Teilchenbegriff handelt.

A.1. GRUNDLEGENDE DEFINITIONEN

121

Wir definieren nun f¨ ur alle f ∈ H und ψ1 , . . . ψn ∈ H: b(f )ψ1 ⊗ · · · ⊗ ψn = hf, ψ1 iψ2 ⊗ · · · ⊗ ψn .

(A.13)

h · , · i bezeichnet hier das Skalarprodukt in H. b(f ) kann auf endliche Linearkombinationen der ψ1 ⊗ · · · ⊗ ψn ∈ F (H) fortgesetzt werden und wegen kb− (f )ηk ≤ kf kkηk

(A.14)

zu einem beschr¨ankten Operator auf F(H). F¨ ur den zu b(f ) adjungierten Operator b(f )∗ gilt hχ2 ⊗ · · · ⊗ χn , b(f )ψ1 ⊗ . . . ⊗ ψn i = = hf, ψ1 ihχ2 ⊗ · · · ⊗ χn , ψ2 ⊗ · · · ⊗ ψn i = hf, ψ1 ihχ2 , ψ2 i . . . hχn , ψn i = hf ⊗ χ2 ⊗ · · · ⊗ χn , ψ1 ⊗ · · · ⊗ ψn i = hb(f )∗ χ2 ⊗ · · · ⊗ χn , ψ1 ⊗ · · · ⊗ ψn i.

(A.15) (A.16) (A.17) (A.18)

Zusammen mit dem Teilchenzahloperator N aus Beispiel A.1.12 erhalten wir nun die Operatoren √ A(f ) := N + 1b(f ) und A± (f ) := A(f ) F± : F± → F± (H) (A.19) Die adjungierten Operatoren2 haben die Form √ √ h N + 1b(f )ψ, ηi = hψ, P ± b(f )∗ N + 1ηi

(A.20)

wobei P ± : F(H) → F± (H) die Projektoren aus Definition A.1.5 sind. Also √ A± (f )∗ F± = P ± b( f ) N + 1 (A.21) Wir erhalten somit die folgende Definition: A.1.13. Definition. Der in Gleichung (A.19) definierte Operator A± (f ) : F± → F± (H) heißt Vernichtungsoperator. Sein in Gleichung (A.21) gegebener Adjungierter A± (f )∗ heißt Erzeugungsoperator. Beide Operatoren sind abschließbar (im fermionischen Fall sogar beschr¨ankt; siehe Satz A.3.1) und ihr Abschluß wird im folgenden ebenfalls mit A± (f ), bzw. A± (f )∗ bezeichnet. Die Vernichtungsoperatoren A(f ) bieten eine alternative M¨oglichkeit, das Vakuum Ω0 zu charakterisieren. Es ist n¨amlich leicht nachzupr¨ ufen, daß Ω0 das einzige Element des symmetrischen Fockraumes ist, welches von allen A(f ) anniliert“ wird, ” also die Bedingung A(f )Ω0 = 0 erf¨ ullt. A.1.14. Beispiel. Wir betrachten wieder den Fall H = L2 (R3 , d3 x), dann gilt f¨ ur ψ ∈ FS (L2 (R3 , d3 x)): (n)

(A(f )ψ) 2

Z √ (x1 , . . . , xn ) = n + 1

R3

f (x)ψ (n+1) (x, x1 , . . . , xn )d3 x

(A.22)

Der Adjungierte von A(f ) spielt in der Regel keine Rolle und wird daher nicht betrachtet.

¨ ANHANG A. FOCKRAUME

122

und n 1 X (A+ (f )∗ ψ)(n) (x1 , . . . , xn ) = √ f (xi )ψ (n−1) (x1 , . . . , xˆi , . . . , xn ) n i=1

(A.23)

bzw n 1 X (A− (f )∗ ψ)(n) (x1 , . . . , xn ) = √ (−1)i+1 f (xi )ψ (n−1) (x1 , . . . , xˆi , . . . , xn ). (A.24) n i=1

F¨ ur jeden unit¨aren Operator U auf H k¨onnen wir nun die Wirkung Γ(U )A± (f )Γ(U ∗ ) betrachten. Es ergibt sich der folgende einfache Zusammenhang. A.1.15. Behauptung. F¨ ur jeden unit¨aren Operator U : H → H und f¨ ur alle ψ ∈ F± gilt Γ(U )A(f )Γ(U ∗ )ψ = A(U f )ψ. Beweis: Sei ψ = ψ1 ⊗ · · · ⊗ ψn ∈ H(n) , dann ist Γ(U )b(f )Γ(U ∗ )ψ = Γ(U )b(f )(U ∗ ψ1 ⊗ · · · ⊗ U ∗ ψn ) = hf, U ∗ ψ1 iΓ(U )(U ∗ ψ2 ⊗ · · · ⊗ U ∗ ψn ) = hU f, ψ1 iψ2 ⊗ · · · ⊗ ψn = b(U f )ψ.

(A.25) (A.26) (A.27) (A.28)

Da endliche Linearkombinationen solcher ψ dicht in H(n) sind und da b(f ) beschr¨ankt ist erhalten wir somit Γ(U )b(f )Γ(U )∗ = b(U f ). Die Operatoren N und P ± vertauschen jedoch mit Γ(U ) (das folgt unmittelbar aus den Definitionen von N , P ± und Γ(U ); siehe Beispiel A.1.12, Behauptung A.1.4 und Satz A.1.9) so daß unmittelbar Γ(U )A(f )Γ(U )−1 = A(U f ) auf dem Definitionsbereich F± folgt. Adjungieren wir diese Gleichung und schr¨anken dann auf F± ein erhalten wir ebenso Γ(U )A(f )∗ Γ(U )∗ = A(U f )∗ , was zu beweisen war. Von Interesse ist schließlich noch die folgende Beziehung zwischen Erzeuger/Vernichter und dem Teilchenzahloperator A.1.16. Behauptung. Sei (fn )n∈N eine Orthonormalbasis von H, dann gilt auf P ∗ F± (H) f¨ ur den Teilchenzahloperator N die Gleichung: N = ∞ n=1 A± (fn )A± (fn ). Beweis: Der Beweis ist recht simpel, erfordert allerdings einige Kombinatorik, ¨ ¨ahnlich wie in Satz A.2.1 Punkt 1 und bleibt den Leser als Ubungsaufgabe u ¨berlassen. A.1.17. Bemerkung. Oft werden wir auschließlich Bosonen oder ausschließlich Fermionen betrachten. In solchen Situationen sind Verwechslungen zwischen den fermionischen und den bosonischen Versionen der eingef¨ uhrten Gr¨oßen ausgeschlossen. Wir werden dann die Indizes ± nur bei den Fockr¨aumen F± (H) selbst und den Projektoren P ± , Pn± beibehalten, bei allen Operatoren (dΓ, Γ, N , A(f ), A∗ (f )) und dem Teilraum F jedoch weglassen.

A.2. DIE KANONISCHEN VERTAUSCHUNGSRELATIONEN

A.2

123

Die kanonischen Vertauschungsrelationen

Am wesentlichsten zeigt sich der Unterschied zwischen Bose– und Fermifockraum bei den Eigenschaften der Erzeuger und Vernichter. Wir beginnen mit dem bosonischen Fall und der wohl wichtigsten Aussage dieses Kapitels, den kanonischen ” Vertauschungsrelationen“ der bosonischen Erzeuger und Vernichter. A.2.1. Satz. Sei F+ (H) der bosonische Fockraum u ¨ber dem Hilbertraum H. 1. F¨ ur alle ψ ∈ F und f, g ∈ H, gelten die kanonischen Vertauschungsrelationen, der bosonischen Vernichter und Erzeuger: [A(f ), A(g)]ψ = 0, [A∗ (f ), A∗ (g)]ψ = 0, und [A(f ), A∗ (g)] = hf, gi. (A.29) 2. Ist (fj )j∈N eine Orthonormalbasis von H, dann ist A∗ (fj1 ) · · · A∗ (fjn ),

{j1 , . . . , jn } ⊂ N,

(A.30)

wobei {j1 , . . . , jn } u ¨ber alle endlichen Teilmengen von N l¨auft, eine Orthonormalbasis von F+ (H). 3. Jeder beschr¨ankte Operator T mit der Eigenschaft [A(f ), T ]ψ = [A∗ (f ), T ]ψ = 0,

∀f ∈ H ∀ψ ∈ F

(A.31)

ist ein vielfaches der Identit¨at. Beweis: Zu 1. Es handelt sich hier um eine etwas un¨ ubersichtliche, aber im Prinzip einfache Rechung. Da sie in den meisten Monographien ausgelassen wird, soll der Beweis hier durchgef¨ uhrt werden. Sei also ψk ∈ H, k = 1, . . . , n und ψ :=

1 X ψσ(1) ⊗ · · · ⊗ ψσ(n) ∈ Sn H(n) n! σ∈Pn

dann ist mit den Gleichungen (A.13) und (A.19): √ n X hf, ψσ(1) iψσ(2) ⊗ · · · ⊗ ψσ(n) . A(f )ψ = n! σ∈Pn Genauso folgt mit (A.18) und (A.21) √ n+1 X ψσ(1) ⊗ · · · ⊗ ψσ(n+1) , A(f )∗ ψ = (n + 1)! σ∈Pn+1 wobei ψn+1 := f gesetzt wurde. Betrachten wir nun A(f )A(g)ψ: √ √ n n−1 X hg, ψσ(1) ihf, ψσ(2) iψσ(3) ⊗ · · · ⊗ ψσ(n) . A(f )A(g)ψ = n! σ∈Pn

(A.32)

(A.33)

(A.34)

(A.35)

¨ ANHANG A. FOCKRAUME

124

Hieraus folgt offenbar A(f )A(g)ψ = A(g)A(f )ψ, so daß der entsprechende Kommutator verschwindet. Da A(f )∗ zu A(f ) adjungiert ist, erhalten wir ebenso [A∗ (f ), A∗ (g)]ψ = 0, womit [A(f ), A∗ (g)]ψ zu betrachten bleibt. Es ist 1 X hf, ψσ(1) iψσ(2) ⊗ · · · ⊗ ψσ(n+1) , n! σ∈Pn+1

A(f )A∗ (g)ψ =

(A.36)

wobei, ¨ahnlich wie eben, ψn+1 := g gesetzt wurde. Der Term A(g)∗ A(f )ψ erfordert etwas mehr Kombinatorik. F¨ ur k, l ∈ {1, . . . , n} definieren wir zu diesem Zwecke Pn (k, l) := {σ ∈ Pn | σ(k) = l}. Damit ist (√ n " √ n  X n X 1 1 nX ∗ A(g) A(f )ψ = hf, ψk i n k=1 (n − 1)! σ∈Pn (1,k) n l=1 (n − 1)! X

ψκ(σ(2)) ⊗ · · · ⊗ ψκ(σ(l)) ⊗ g

κ∈Pn (k,k)

  ⊗ ψκ(σ(l+1)) ⊗ · · · ⊗ ψκ(σ(n))  .

(A.37)

F¨ ur σ ∈ Pn (1, k) und κ ∈ Pn (k, k) ist nun offenbar κ ◦ σ ∈ Pn (1, k) was f¨ ur festes k und l X

X

ψκ(σ(2)) ⊗ · · · ⊗ ψκ(σ(l)) ⊗ g ⊗ ψκ(σ(l+1)) ⊗ · · · ⊗ ψκ(σ(n)) =

σ∈Pn (1,k) κ∈Pn (k,k)

(n − 1)!

X

ψσ(2) ⊗ · · · ⊗ ψσ(l) ⊗ g ⊗ ψσ(l+1) ⊗ · · · ⊗ ψσ(n) (A.38)

σ∈Pn (1,k)

impliziert. Daher erhalten wir A(g)∗ A(f )ψ = 



n X 1 X hf, ψk i  ψσ(2) ⊗ · · · ⊗ ψσ(l) ⊗ g ⊗ ψσ(l+1) ⊗ · · · ⊗ ψσ(n)  . (A.39) n! k,l=1 σ∈Pn (1,k)

Vergleichen wir diese Formel mit (A.36) dann erkennen wir, daß die einzigen Summanden die in (A.36) auftauchen jedoch nicht in (A.39) die Form hf, giψσ(1) ⊗ · · · ⊗ ψσ(n) haben. Daraus folgt also [A(f ), A∗ (g)]ψ = hf, giψ was zu beweisen war. Zu 2. Die Aussage folgt aus der Tatsache, daß √ A∗ (f1 ) · · · A∗ (fn )Ω0 = n!Pn− (f1 ⊗ · · · ⊗ fn )

(A.40)

(A.41)

ist. Zu 3. Wir bestimmen die Matrixelemente von T in der Basis aus Punkt 2 dieses Satzes: hA∗ (F1 )Ω, T A∗ (F2 )Ωi = hT ∗ Ω, A(F1 )A∗ (F2 )Ωi = hA(F2 )A(F1 )∗ Ω, T Ωi

(A.42)

A.2. DIE KANONISCHEN VERTAUSCHUNGSRELATIONEN

125

wobei wir hier die Abk¨ urzungen A∗ (F1 ) = A∗ (fj1 ) · · · A∗ (fjn ), A∗ (F2 ) = A∗ (fk1 ) · · · A∗ (fkm ) und den entsprechenden Ausdr¨ ucken f¨ ur die Vernichter benutzt haben. Wenn nun n 6= m ist, dann ist entweder A(F1 )A(F2 )∗ Ω = 0 oder A(F2 )A(F1 )∗ Ω = 0. Gleichung (A.42) zeigt, daß in diesem Falle das betreffende Matrixelement von T Null ist. Also verbleibt n = m. Eine kurze Rech¨ nung (Ubungsaufgabe!) zeigt daß unter dieser Voraussetzung A(F1 )A(F2 )∗ Ω = hA(F1 )∗ Ω, A∗ (F2 )ΩiΩ, ist; also A(F1 )A(F1 )∗ Ω = Ω und A(F1 )A(F2 )Ω = 0 wenn F1 6= F2 ist. Daher erhalten wir hA∗ (F1 )Ω, T A∗ (F1 )Ωi = hΩ, T Ωi. Alle nichtdiagonalen Matrixlemente sind Null. Mit anderen Worten es gilt T = hΩ, T Ωi1I, was zu beweisen war. Eng mit den Erzeugern und Vernichtern verkn¨ upft und von großer Bedeutung bei der Quantisierung des skalaren Feldes (siehe Abschnitt 3.2) ist der sogn. Segal” operator“: A.2.2. Definition. Auf dem Raum F ⊂ F+ (H) ist f¨ ur jedes f ∈ H durch 1 ΦS (f ) := √ (A(f ) + A(f )∗ ) 2

(A.43)

der Segaloperator definiert. Der folgende Satz f¨aßt die wichtigsten Eigenschaften des Segaloperators zusammen (siehe [19, Thm. X.41]): A.2.3. Satz. Der soeben definierte Segaloperator ΦS (f ) : F → F+ (H) hat f¨ ur jedes f ∈ H die folgenden Eigenschaften: 1. Er ist wesentlich selbstadjungiert. Wir werden seinen selbstadjungierten Abschluß ebenfalls mit ΦS (f ) bezeichnen. 2. F¨ ur jede gegen f ∈ H k · k–konvergente Folge (fn )n∈N und jedes ψ ∈ F konvergiert ΦS (fn )ψ, ebenfalls in der Normtopologie, gegen ΦS (f )ψ. 3. F¨ ur alle ψ ∈ F und f¨ ur alle f, g ∈ H gilt [ΦS (f ), ΦS (g)]ψ = i Imhf, giψ.

(A.44)

4. Die lineare H¨ ulle der Menge {ΦS (f1 ) · · · ΦS (fn )Ω0 | fi ∈ H, n ∈ N0 }

(A.45)

ist dicht in F+ (H). 5. F¨ ur jeden unit¨aren Operator U : H → H gilt Γ(U )D(ΦS (f )) = D(ΦS (U f )) und f¨ ur alle ψ ∈ D(ΦS (U f )) ist Γ(U )ΦS (f )Γ(U )−1 ψ = ΦS (U f )ψ.

(A.46)

¨ ANHANG A. FOCKRAUME

126

Beweis: Zu 1. Offenbar ist ΦS (f )F ⊂ F f¨ ur alle f ∈ H. Daher gilt ψ ∈ C ∞ (ΦS (f )) T n f¨ ur alle ψ ∈ H(n) (mit C ∞ (ΦS (f )) := ∞ n=1 D(ΦS (f ) )). Wir zeigen nun im folgenden, daß alle diese ψ analytische Vektoren sind, das heißt es gilt ∞ X

kΦS (f )k ψk k t <∞ k! k=0

(A.47)

f¨ ur geeignete t > 0. Die Behauptung folgt dann aus Nelsons Satz u ¨ber analytische Vektoren [19, Thm. X.39]. Aus der Definition von A und A∗ und aus kb(f )k = kf k (siehe Formel (A.14)) folgt √ √ k A# (f ) . . . A# (f ) ψk ≤ n + 1 . . . n + kkf kk kψk, (A.48) |

{z

k mal

}

wobei A# (f ) entweder A(f ) oder A(f )∗ repr¨asentiert. Da ΦS (f )k ψ die Summe von 2k Termen der Form 1 2k/2

A# (f ) . . . A# (f ) ψ |

{z

k mal

(A.49)

}

ist, erhalten wir also q

kΦS (f )k ψk ≤ 2k/2 (n + k)!kf kk kψk.

(A.50)

k k/2 Da die Summe ∞ ((n + k)!)1/2 kf kk /k! f¨ ur alle t konvergiert, ist ψ ein anak=0 t 2 lytischer Vektor und ΦS (f ) somit wesentlich selbstadjungiert auf F . 2. folgt aus

P

ΦS (fn ) − ΦS (f ) ψ

1 1 ≤ √ kA(fn − f )ψk + √ kA∗ (fn − f )ψk 2 2

√

≤ kfn − f k N + 1ψ .

(A.51) (A.52)

Zu 3. Der Kommutator [ΦS (f ), ΦS (g)]ψ ist eine Summe von Kommutatoren der Form [A# , A# ]ψ. Mit Satz A.2.1 folgt daher "

#

1 1 [ΦS (f ), ΦS (g)]ψ = √ (A(f ) + A(f )∗ ), √ (A(g) + A(g)∗ ) ψ 2 2 1 = ([A(f ), A(g)∗ ]ψ + [A∗ (f ), A(g)]ψ) 2 1 = ([A(f ), A(g)∗ ]ψ − [A(g), A(f )∗ ]ψ) 2 1 = (hf, gi − hg, f i) ψ 2 1 = hf, gi − hf, gi ψ 2 = i Imhf, giψ was zu beweisen war.

(A.53) (A.54) (A.55) (A.56) (A.57) (A.58)

A.2. DIE KANONISCHEN VERTAUSCHUNGSRELATIONEN

127

Zu 4. Die linearen H¨ ullen von {ΦS (f1 ) · · · ΦS (fn )Ω0 | fi ∈ H, n ∈ N0 } und ∗ {A (f1 ) · · · A (fn )Ω0 | fi ∈ H, n ∈ N0 } sind offenbar identisch. Die Aussage folgt daher aus Satz A.2.1 Punkt 2. 5. folgt unmittelbar aus der Definition des Segaloperators und aus Behauptung A.1.15. ∗

Der Umgang mit dem Segaloperator (und mit den bosonischen Erzeugern und Vernichtern) wird oft durch die Tatsache erschwert, daß es sich hierbei um einen unbeschr¨ankten Operator handelt. Daher sind oft die Weyloperatoren W (f ) := exp(iΦS (f )) von gr¨oßerem Nutzen. A.2.4. Satz. Sei f ∈ H und W (f ) = exp(iΦS (f )) der zugeh¨orige Weyloperator, 1. dann gilt W (f )D(ΦS (g)) = D(ΦS (g)) und W (f )ΦS (g)W (f )∗ = ΦS (g) − Imhf, gi1I. 2. Ferner gen¨ ugen W (f ), W (g) und W (f + g) den Weylrelationen: i

W (f )W (g) = e− 2 Imhf,gi W (f + g).

(A.59)

3. Die Menge {W (f ) | f ∈ H} ist auf F+ (H) irreduzibel. 4. F¨ ur jede gegen f ∈ H k · k–konvergente Folge (fn )n∈N konvergiert W (fn ) stark gegen W (f ). Beweis: Zu 1. Da F ein Core von ΦS (g) ist, existiert zu jedem ψ ∈ D(ΦS (g)) eine Folge (ψn )n∈N , ψn ∈ F so daß ψn → ψ und ΦS (g)ψn → ΦS (g)ψ gilt. Ferner ist jedes ψn ∈ F ein analytischer Vektor von Φ(f ), so daß wir ΦS (g)W (f )∗ ψn durch eine Potenzreihe ausdr¨ ucken k¨onnen. Durch Satz A.2.3 Punkt 3 erhalten wir damit ∗ ΦS (g)W (f ) ψn = W (f )∗ (ΦS (g) − Imhf, gi1I)ψn und kΦS (g)W (f )∗ (ψn − ψm )k ≤ kΦS (g)(ψn − ψm )k + | Imhf, gi|kψn − ψm k.

(A.60)

Also konvergiert ΦS (g)W (f )∗ ψn gegen ΦS (g)W (f )∗ ψ, weshalb W (f )∗ ψ ∈ D(ΦS (g)) ist. Dies zeigt jedoch, daß D(ΦS (g)) invariant unter W (f ) und W (f )ΦS (g)W (f )∗ = ΦS (g) − Imhf, gi1I auf D(ΦS (g)) ist. Zu 2. Diese Aussage ist formal ¨aquivalent zu den kanonischen Vertauschungsrelationen in Satz A.2.3 Punkt 3. Formale Rechnungen mit unbeschr¨ankten Operatoren sind jedoch oft irref¨ uhrend. In der Tat zeigen Gegenbeispiele, daß es unbeschr¨ankte, selbstadjungierte Operatoren gibt die A.2.3(3) erf¨ ullen, jedoch nicht die zu beweisende Identit¨at. Daher folgen wir hier einer anderen Beweisidee. Aufgrund der Invarianz von D(ΦS (g)) unter W (f ) k¨onnen wir f¨ ur ψ ∈ F die folgende Ableitung bestimmen: d W (tf )W (tg)W (t(f + g))∗ ψ = dt iW (tf )Φs (f )W (tg)W (t(f + g))∗ ψ + iW (tf )W (tg)ΦS (g)W (t(f + g))∗ ψ −iW (tf )W (tg)ΦS (f )W (t(f + g))∗ ψ − iW (tf )W (tg)ΦS (f )W (t(f + g))∗ ψ. (A.61)

¨ ANHANG A. FOCKRAUME

128

Mit Aussage 1. dieses Satzes erhalten wir dann d W (tf )W (tg)W (t(f + g))∗ = W (tf )[iΦ(f ), W (tg)]W (t(f + g))∗ + ψ dt = −it Imhf, giW (tf )W (tg)W (t(f + g))∗ ψ,

(A.62) (A.63)

und Integration dieser Gleichung liefert W (f )W (g)W (f + g)∗ = 1I − i

Z 1

t Imhf, giW (tf )W (tg)W (t(f + g))∗ dt

(A.64)

0

n–fache Iteration dieser Gleichung liefert n X

j

1 i W (f )W (g)W (f + g) = − Imhf, gi 2 j=1 j! ∗

(−i)n

Z 1 Z t1 0

0

···

Z tn−1 0

+

t1 · · · tn (Imhf, gi)n

W (tn f )W (tn g)W (tn (f + g))∗ dtn · · · dt1 (A.65) Das Integral auf der rechten Seite l¨aßt sich nun wie folgt absch¨atzen:

Z 1

Z tn−1

n ∗

··· t1 · · · tn (Imhf, gi) W (tn f )W (tn g)W (tn (f + g)) dtn · · · dt1

≤

0

0

Z 1 Z tn−1 n ··· t1 · · · tn Imhf, gi dtn · · · dt1 . (A.66) 0

0

Die rechte Seite dieser Ungleichung geht jedoch f¨ ur n → ∞ wie 1/n! gegen Null, so daß aus Gleichung (A.65) folgt: i

W (f )W (g)W (f + g)∗ = e− 2 Imhf,gi 1I.

(A.67)

Multiplikation von rechts mit W (f + g) liefert die gesuchte Identit¨at. Zu 3. Wegen Behauptung 4.4.32 reicht es zu zeigen daß jeder beschr¨ankte Operator in der Kommutante der W (f ) ein vielfaches der Identit¨at ist. Sei also T ein solcher Operator. Da ΦS (f ) der infinitesimale Erzeuger der Gruppe t 7→ W (tf ) ist, gilt offenbar T D(ΦS (f )) ⊂ ur alle ψ ∈ D(ΦS (f )). √ D(ΦS (f )) und [T, ΦS (f )]ψ = 0 f¨ Nun ist jedoch A(f ) = 1/ 2(ΦS (f ) + iΦS (if )), weshalb die Aussage aus Satz A.2.1 Punkt 3 folgt. Zu 4. Die Aussage folgt aus Satz A.2.3 Punkt 2 und [20, Theorems VIII.21 und VIII.25].

A.3

Der kanonischen Antivertauschungsrelationen

Im Fermionischen Fall ist die Situation wesentlicher einfacher, da die Operatoren A(f ) und A∗ (f ) beschr¨ankt sind. Insbesondere ben¨otigen wir also keine Weyloperatoren. Die wesentliche Aussage ist daher der folgende Satz.

A.3. DER KANONISCHEN ANTIVERTAUSCHUNGSRELATIONEN

129

A.3.1. Satz. Auf dem fermionischen Fockraum F− (H) haben Vernichtungs- und Erzeugungsoperator A(f ), A∗ (f ) die folgenden Eigenschaften: 1. A(f ) und A∗ (f ) sind beschr¨ankt und es gilt kA(f )k = kf k = kA∗ (f )k. Wir bezeichnen mit A(f ) und A∗ (f ) ab nun die Fortsetzungen auf ganz F− (H). 2. A(f ) und A∗ (f ) gen¨ ugen den kanonischen Antivertauschungsrelationen: {A(f ), A(g)} = {A∗ (f ), A∗ (g)} = 0, {A(f ), A∗ (g)} = hf, gi1I

(A.68)

wobei {A, B} = AB + BA den Antikommutator bezeichnet. 3. Ist (fj )j∈N eine Orthonormalbasis von H, dann ist A∗ (fj1 ) · · · A∗ (fjn ),

{j1 , . . . , jn } ⊂ N,

(A.69)

wobei {j1 , . . . , jn } u ¨ber alle endlichen Teilmengen von N l¨auft, eine Orthonormalbasis von F+ (H). 4. Die Menge {A(f ), A∗ (g) | f, g ∈ H} ist irreduzibel. Beweis: Zu 2. Die kanonischen Antivertauschungsrelationen werden genauso u uft wie die Vertauschungsrelationen in Satz A.2.1 Punkt 1. Es sind lediglich ¨berpr¨ die aufgrund der Antisymmetriesierung ver¨anderten Vorzeichen zu beachten. Zu 1. Die Beschr¨anktheit von A(f ) und A∗ (f ) kann nun aus den Antivertauschungsrelationen abgeleitet werden: (A∗ (f )A(f ))2 = A(f )∗ A(f )A∗ (f )A(f ) + (A(f )∗ )2 A(f )2 = A(f )∗ A(f ), A∗ (f )A(f ) = kf k2 A∗ (f )A(f ).

(A.70) (A.71)

Dabei wurde die Tatsache verwendet, daß (A(f )∗ A(f )∗ ψ)(n+2) = (n + 1)−1/2 (n + − 2)−1/2 Pn+2 f ⊗ f ⊗ ψ (n) also A(f )∗ A(f )∗ ψ = 0 f¨ ur alle ψ ∈ FA (H) gilt. F¨ ur jedes normierte ψ ∈ FA (H) ist damit kA(f )∗ A(f )ψk2 = |hψ, (A(f )∗ A(f ))2 ψi| ≤ kψkk(A(f )∗ A(f ))2 ψk = kf k2 kA∗ (f )A(f )ψk

(A.72) (A.73)

f¨ ur f 6= 0 ist offenbar auch A(f )∗ A(f )ψ 6= 0 und wir erhalten kA(f )∗ A(f )ψk ≤ kf k2 . Daher ist A(f )∗ A(f ) ein beschr¨ankter Operator und wegen kA(f )ψk2 = |hψ, (A(f )∗ A(f ))ψ i|2 ≤ kA∗ (f )A(f )ψk ≤ kf k2

(A.74)

auch A(f ) und A∗ (f ). Damit sind A(f ) und A∗ (f ) Elemente von B(FA (H)) und wir k¨onnen die C*-Bedingung anweden und erhalten mit kA(f )k4 = k(A∗ (f )A(f ))2 k = kf k2 kA∗ (f )A(f )k = kf k2 kA(f )k2

(A.75)

die Gleichung kA∗ (f )k = kA(f )k = kf k, was zu beweisen war. Der Beweis von 3. und 4 erfolgt Analog zu Satz A.2.1 Punkt 2 und 3 (vergl. hierf¨ ur auch Behauptung 4.4.32).

130

¨ ANHANG A. FOCKRAUME

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LITERATURVERZEICHNIS

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