Algebra Linear

Álgebra Linear

Este livro ganhou o prêmio Jabuti de Ciências Exatas e Tecnologia, outorgado pela Câmara Brasileira do Livro, em 1996

Lima, Elon Lages Álgebra linear / Elon Lages Lima. 1.ed. Rio de Janeiro : IMPA, 2014. 357 p. : il. ; 23 cm. (Coleção matemática universitária) Inclui bibliografia. e-ISBN 978-85-244-0390-3 1. Matrizes. 2. Espaços Vetoriais. I. Título. II. Série. CDD-512

COLEÇÃO MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA

Álgebra Linear

Elon Lages Lima

INSTITUTO NACIONAL DE MATEMÁTICA PURA E APLICADA

Copyright  2014 by Elon Lages Lima Impresso no Brasil / Printed in Brazil Capa: Rodolfo Capeto, Noni Geiger e Sérgio R. Vaz

Coleção Matemática Universitária Comissão Editorial: Elon Lages Lima S. Collier Coutinho Paulo Sad Títulos Publicados: • Análise Real, vol. 1: Funções de uma Variável – Elon Lages Lima • EDP. Um Curso de Graduação – Valéria Iório • Curso de Álgebra, Volume 1 – Abramo Hefez • Álgebra Linear – Elon Lages Lima • Introdução às Curvas Algébricas Planas – Israel Vainsencher • Equações Diferenciais Aplicadas – Djairo G. de Figueiredo e Aloisio Freiria Neves • Geometria Diferencial – Paulo Ventura Araújo • Introdução à Teoria dos Números – José Plínio de Oliveira Santos • Cálculo em uma Variável Complexa – Marcio G. Soares • Geometria Analítica e Álgebra Linear – Elon Lages Lima • Números Primos: Mistérios e Recordes – Paulo Ribenboim • Análise no Espaço Rn – Elon Lages Lima • Análise Real, vol. 2: Funções de n Variáveis – Elon Lages Lima • Álgebra Exterior – Elon Lages Lima • Equações Diferenciais Ordinárias – Claus Ivo Doering e Artur Oscar Lopes • Análise Real, vol. 3: Análise Vetorial – Elon Lages Lima • Álgebra Linear. Exercícios e Soluções – Ralph Costa Teixeira • Números Primos. Velhos Mistérios e Novos Recordes – Paulo Ribenboim Distribuição: IMPA Estrada Dona Castorina, 110 22460-320 Rio de Janeiro, RJ e-mail: [email protected] http://www.impa.br

Pref´ acio ´ Algebra Linear e´ o estudo dos espac¸os vetoriais e das transformac¸o˜ es lineares entre eles. Quando os espac¸os tˆem dimens˜oes finitas, as transformac¸o˜ es lineares possuem matrizes. Tamb´em possuem matrizes as formas bilineares e, mais particularmente, as formas qua´ ´ draticas. Assim a Algebra Linear, al´em de vetores e transformac¸o˜ es ´ ˜ nulineares, lida tamb´em com matrizes e formas quadraticas. Sao ´ merosas e bastante variadas as situac¸o˜ es, em Matematica e em suas ˆ aplicac¸o˜ es, onde esses objetos ocorrem. Da´ı a importancia central da ´ ´ Algebra Linear no ensino da Matematica. ´ ˜ introdut´oria de AlgeO presente livro apresenta uma exposic¸ao ˜ pressup˜oe conhecimentos anteriores sobre o asbra Linear. Ele nao ˜ natural de um tal sunto. Entretanto conv´em lembrar que a posic¸ao ´ curso no curr´ıculo universitario vem ap´os um semestre (pelo menos) de Geometria Anal´ıtica a duas e trˆes dimens˜oes, durante o qual o estudante deve adquirir alguma familiaridade, em n´ıvel elementar, ˜ alg´ebrica de id´eias geom´etricas e vice-versa. com a representac¸ao Tornou-se quase obrigat´orio, ja´ faz alguns anos, dedicar as pri´ ´ meiras sessenta ou mais paginas de todo livro de Algebra Linear ao ˜ ˜ estudo dos sistemas de equac¸oes lineares pelo m´etodo da eliminac¸ao ˜ das matrizes e dos detergaussiana, motivando assim a introduc¸ao ˜ definidos os espac¸os vetoriais. minantes. Somente depois disso sao ˜ e´ seguido neste livro, cuja primeira sentenc¸a Esse costume nao ˜ de espac¸o vetorial. Mencionarei trˆes raz˜oes para isso: e´ a definic¸ao ´ ˜ de Algebra ˜ vejo vantagem (a) A definic¸ao Linear dada acima; (b) Nao ˜ entendidos mais inem longas motivac¸o˜ es; (c) Sistemas lineares sao ´ teligentemente depois que ja´ se conhecem os conceitos basicos de ´ ´ Algebra Linear. De resto, esses conceitos (nucleo, imagem, base, posto, subespac¸o, etc), quando estudados independentemente, tˆem muitas outras aplicac¸o˜ es.

˜ gaussiana e´ apresentado na Sec¸ao ˜ 9e O m´etodo da eliminac¸ao ˜ 17. Ele e´ aplicado para obter respostas a varios ´ retomado na Sec¸ao ˜ de sistemas lineares. outros problemas al´em da resoluc¸ao O livro e´ dividido em vinte e duas sec¸o˜ es. As oito primeiras de´ senvolvem os conceitos fundamentais e as proposic¸o˜ es basicas, que ´ formam a linguagem m´ınima necessaria para falar inteligentemente ´ ˜ faz a primeira aplicac¸ao ˜ dessas sobre Algebra Linear. A nona sec¸ao ˜ gaussiana. id´eias, tratando da eliminac¸ao ˜ 10, os espac¸os disp˜oem de produto interno, A partir da Sec¸ao o que possibilita o emprego de evocativas noc¸o˜ es geom´etricas como ˆ ˜ destacados perpendicularismo, comprimento, distancia, etc. Sao tipos particulares de operadores lineares, cujas propriedades ˜ demonstradas nas Sec¸o˜ es 13, 14 e 15. O Teorema especiais sao ˜ 13, Espectral para operadores auto-adjuntos e´ provado na Sec¸ao onde se demonstra tamb´em o Teorema dos Valores Singulares ˜ corresponde a` sua cons(Teorema 13.10), cuja grande utilidade nao p´ıcua ausˆencia na maioria dos textos elementares. Outro assunto igualmente importante e igualmente esquecido ´ no ensino da Algebra Linear e´ a pseudo-inversa, que expomos na ˜ 16. Trata-se de um t´opico facil, ´ Sec¸ao atraente, de grande apelo ˜ para os congeom´etrico, que constitui um bom campo de aplicac¸ao ceitos anteriormente estudados. ˜ 17 e´ um interludio ´ A Sec¸ao matricial, onde se mostra como as propriedades das transformac¸o˜ es lineares estudadas antes se tradu˜ zem imediatamente em fatos nao-triviais sobre matrizes, principalmente algumas decomposic¸o˜ es de grande utilidade nas computac¸o˜ es. ´ ˜ estudadas na Sec¸ao ˜ 18, As formas bilineares e quadraticas sao onde e´ estabelecida a correspondˆencia fundamental (isomorfismo) entre formas e operadores (Teorema 18.2) e provado o Teorema dos ˜ do Teorema EspecEixos Principais (Teorema 18.3), que e´ a versao ´ ainda exposto o m´etodo de Lagrange ´ tral para formas quadraticas. E ´ para reduzir uma forma quadratica a uma soma (ou diferenc¸a) de ´ quadrados e e´ feito um estudo das superf´ıcies quadricas. ˜ estudados na Sec¸ao ˜ 19, onde se define diOs determinantes sao retamente o determinante de um operador sem recurso a bases nem matrizes. Em seguida, o determinante de uma matriz n × n e´ ca´ ˜ n-linear alternada de suas colunas racterizado como a unica func¸ao ´ ˜ dos (ou linhas) que assume o valor 1 na matriz unitaria. A colocac¸ao

determinantes quase no final do livro, depois de ja´ terem sido es´ tabelecidos os resultados principais da Algebra Linear e ensinados os m´etodos mais eficientes para resolver sistemas, inverter matrizes etc, e´ uma atitude deliberada, que visa pˆor esse conceito em seu ˜ de grande importancia ˆ devido lugar. Trata-se de uma noc¸ao te´orica, ´ ´ ´ ´ indispensavel em varias areas da Matematica, a qual foi, e ainda ˜ deixou inteiramente de ser, equivocadamente considerada como nao instrumento computacional. Usar a Regra de Cramer para resolver um sistema linear, ou calcular o determinante de um operador para ˜ sao ˜ m´etodos que funcionam bem no ver se ele e´ invert´ıvel ou nao, ´ caso 2 × 2, e at´e mesmo 3 × 3, mas se tornam altamente inviaveis a partir da´ı. Depois que se tˆem os determinantes, o polinˆomio caracter´ıstico e´ ˜ 20. Esse estudo se completa na Sec¸ao ˜ 21 com a estudado na Sec¸ao ˜ dos espac¸os vetoriais complexos, nos quais vale o notavel ´ introduc¸ao fato de que todo operador possui autovetores, logo pode ser triangularizado. Este resultado e´ devidamente explorado, o que concede a ˜ um ar de happy ending para a teoria, mas nao ˜ o fim do esta sec¸ao livro. ˜ final, numero ´ ˜ das A sec¸ao 22, apresenta uma breve exposic¸ao ` equac¸o˜ es equac¸o˜ es a diferenc¸as finitas, essencialmente limitada as (e sistemas) lineares de segunda ordem. Basicamente, trata-se de obter m´etodos eficazes de calcular as potˆencias sucessivas de um operador ou de suas matrizes. ´ ˜ a` Algebra Esta introduc¸ao Linear reflete uma longa experiˆencia ´ ´ como usuario do assunto e, nos ultimos dez anos, como professor. Ao escrevˆe-la, fui influenciado pelas reac¸o˜ es dos meus alunos, suas participac¸o˜ es nas aulas e suas palavras de incentivo. Um agradecimento especial por esse motivo e´ devido aos estudantes da E.P.G.E. ˜ Getulio ´ da Fundac¸ao Vargas. Agradec¸o ao meu colega Jonas de Miranda Gomes por me ter convencido de que ainda havia lugar para ´ mais um livro nesta area e por suas sugest˜oes, sempre objetivas, que contribu´ıram para melhorar a comunicabilidade. Agradec¸o tamb´em a Wilson L. de G´oes pela incr´ıvel eficiˆencia e grande boa vontade na ˜ do manuscrito. preparac¸ao Rio de Janeiro, maio de 1995 Elon Lages Lima

Pref´ acio da Segunda Edi¸c˜ ao ˜ esgotada rapidamente, A boa acolhida dispensada a` primeira edic¸ao, animou-me a fazer nesta algumas modificac¸o˜ es, que enumero a seguir. ˜ do texto, eliminando-se varios ´ Foi feita uma extensa revisao ˜ exerc´ıcios incorretamente propostos e trechos erros de impressao, ˜ obscuros ou imprecisos. Para este trabalho, vali-me da colaborac¸ao de diversos leitores, dentre os quais destaco, de modo muito especial, ˜ o Professor Florˆencio Guimaraes, que elaborou uma lista minuciosa de correc¸o˜ es. A todos esses amigos registro meus sinceros agradecimentos. ´ O numero de exerc´ıcios foi consideravelmente aumentado com a ˜ em especial, de mais problemas elementares de natureza inclusao, computacional, visando fazer com que os leitores menos experientes ganhem confianc¸a em si ao lidarem com assuntos novos. ˜ 15 foi inteiramente reescrita, passando a tratar dos opeA Sec¸ao ´ radores normais em espac¸os vetoriais reais, um assunto facil, atra˜ 15 (operadores ente e muitas vezes negligenciado. A antiga Sec¸ao anti-sim´etricos) tornou-se um mero caso particular. Sem esforc¸o (nem espac¸o) adicional, o tratamento ganhou uma abrangˆencia bem maior. ´ Atendendo a varios pedidos, acrescentei ao livro um Apˆendice sobre a forma canˆonica de Jordan, tratando esse tema de modo sim˜ apenas sob o ponto de vista matricial mas formulando-o ples, nao tamb´em sob o aspecto de operadores. Rio de Janeiro, setembro de 1996 Elon Lages Lima

Pref´ acio da Oitava Edi¸c˜ ao ˜ al´em de conter novas correc¸o˜ es sugeridas pela atenta Esta edic¸ao, ˆ ˜ vigilancia do Professor Florˆencio Guimaraes, deu-me oportunidade ´ de acrescentar a` lista de indicac¸o˜ es bibliograficas o livro do Professor Ralph Costa Teixeira, que traz as soluc¸o˜ es de todos os exerc´ıcios aqui propostos. Rio de Janeiro, outubro de 2009 Elon Lages Lima

Conte´ udo 1 Espa¸ cos Vetoriais

1

2 Subespa¸ cos

9

3 Bases

24

4 Transforma¸ co ˜es Lineares

38

5 Produto de Transforma¸ co ˜es Lineares

51

6 N´ ucleo e Imagem

58

7 Soma Direta e Proje¸ c˜ ao

75

8 A Matriz de uma Transforma¸ c˜ ao Linear

83

9 Elimina¸ c˜ ao

101

10 Produto Interno

118

11 A Adjunta

133

12 Subespa¸ cos Invariantes

145

13 Operadores Auto-Adjuntos

156

14 Operadores Ortogonais

174

15 Operadores Normais (Caso Real)

189

16 Pseudo-inversa

195 5

17 T´ opicos Matriciais

204

18 Formas Quadr´ aticas

224

19 Determinantes

245

20 O Polinˆ omio Caracter´ıstico

268

21 Espa¸ cos Vetoriais Complexos

280

22 Equa¸ co ˜es a Diferen¸cas Finitas

299

Apˆ endice: A Forma Canˆ onica de Jordan

321

Indica¸co ˜es Bibliogr´ aficas

335

Lista de S´ımbolos

341

´Indice Remissivo

343

1 Espa¸cos Vetoriais A no¸cao ˜ de espa¸co vetorial e´ a base do estudo que faremos; e´ o terreno ´ onde se desenvolve toda a Algebra Linear. Esta se¸cao ˜ apresenta os axiomas de espa¸co vetorial, deduz suas consequˆ ¨ encias mais imediatas e exibe os exemplos mais importantes dessa no¸cao. ˜ ˜ chamaUm espa¸co vetorial E e´ um conjunto, cujos elementos sao ˜ definidas duas operac¸o˜ es: a adi¸cao, dos vetores, no qual estao ˜ que a cada par de vetores u, v ∈ E faz corresponder um novo vetor u+v ∈ E, chamado a soma de u e v, e a multiplica¸cao ˜ por um numero ´ real, que ´ a cada numero α ∈ R e a cada vetor v ∈ E faz corresponder um vetor α · v, ou αv, chamado o produto de α por v. Essas operac¸o˜ es devem satisfazer, para quaisquer α, β ∈ R e u, v, w ∈ E, as condic¸o˜ es abaixo, chamadas os axiomas de espac¸o vetorial: comutatividade: associatividade:

u + v = v + u; (u + v) + w = u + (v + w) e (αβ)v = α(βv);

vetor nulo: existe um vetor 0 ∈ E, chamado vetor nulo, ou vetor zero, tal que v + 0 = 0 + v = v para todo v ∈ E; inverso aditivo: para cada vetor v ∈ E existe um vetor −v ∈ E, chamado o inverso aditivo, ou o sim´etrico de v, tal que −v + v = v + (−v) = 0; distributividade:

(α + β)v = αv + βv e α(u + v) = αu + αv;

˜ por 1: 1 · v = v. multiplicac¸ao

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Espa¸cos Vetoriais

Se¸c˜ ao 1

´ ˜ O mesmo s´ımbolo 0 representa o vetor nulo e o numeObservac¸ao: ro zero. ´ Exemplo 1.1. Para todo numero natural n, o s´ımbolo Rn representa ˜ o espa¸co vetorial euclidiano n-dimensional. Os elementos de Rn sao ´ as listas ordenadas u = (α1 , . . . , αn ), v = (β1 , . . . , βn ) de numeros reais. ˜ a igualdade vetorial u = v significa as n igualdades Por definic¸ao, num´ericas α1 = β1 , . . . , αn = βn . ´ ˜ chamados as coordenadas do vetor u. Os numeros α1 , . . . , αn sao ˜ definidas pondo As operac¸o˜ es do espac¸o vetorial Rn sao u + v = (α1 + β1 , . . . , αn + βn ), α · u = (αα1 , . . . , ααn ). ˜ aquele cujas coordenadas sao ˜ todas O vetor zero e´ , por definic¸ao, iguais a zero: 0 = (0, 0, . . . , 0). O inverso aditivo de u = (α1 , . . . , αn ) e´ −u = (−α1 , . . . , −αn ). Verifica-se, sem dificuldade, que estas definic¸o˜ es fazem de Rn um espac¸o vetorial. Para n = 1, tem-se R1 = R = reta num´erica. R2 e´ o plano euclidiano e R3 e´ o espac¸o euclidiano tridimensional da nossa experiˆencia cotidiana. ˜ os vetores de R2 e R3 podem ser rePara ajudar a compreensao, presentados por flechas com origem no mesmo ponto O. A soma u+v e´ a flecha que liga a origem O ao v´ertice que lhe e´ oposto no paralelogramo que tem u e v como lados. (Veja Figura 1.1.)

u+ v v u 0

Figura 1.1 – Soma de vetores.

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Espa¸cos Vetoriais

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Por sua vez, o produto αu e´ a flecha colinear a u, de comprimento α vezes o comprimento de u, com o mesmo sentido de u se α > 0 e com sentido oposto se α < 0. ˜ as sequˆ ¨ encias Exemplo 1.2. Os elementos do espac¸o vetorial R∞ sao ´ infinitas u = (α1 , . . . , αn , . . . ), v = (β1 , . . . , βn , . . . ) de numeros reais. ¨ encia 0 = (0, . . . , 0, . . . ), formada por O elemento zero de R∞ e´ a sequˆ ¨ encia u = (α1 , . . . , αn , . . . ) infinitos zeros, e o inverso aditivo da sequˆ ˜ e multiplicac¸ao ˜ e´ −u = (−α1 , . . . , −αn , . . . ). As operac¸o˜ es de adic¸ao ´ ˜ definidas por por um numero real sao u + v = (α1 + β1 , . . . , αn + βn , . . . ), α · u = (αα1 , . . . , ααn , . . . ). Exemplo 1.3. Uma matriz (real) m × n a = [aij ] e´ uma lista de ´ numeros reais aij com ´ındices duplos, onde 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. Costuma-se representar a matriz a como um quadro num´erico com m linhas e n colunas, no qual o elemento aij situa-se no cruzamento da i-´esima linha com a j-´esima coluna:   a11 a12 · · · a1n  a21 a22 · · · a2n    a= . ..  . .. ..  .. .  . . am1 am2 · · ·

amn

O vetor (ai1 , ai2 , . . . , ain ) ∈ Rn e´ o i-´esimo vetor-linha da matriz a e o vetor (a1j , a2j , . . . , amj ) ∈ Rm e´ o j-´esimo vetor-coluna de a. Quando m = n, diz-se que a e´ uma matriz quadrada. O conjunto M(m×n) de todas as matrizes m × n torna-se um espac¸o vetorial quando nele se define a soma das matrizes a = [aij ] e b = [bij ] como a + b = [aij + bij ] ´ e o produto da matriz a pelo numero real α como αa = [αaij ]. A matriz nula 0 ∈ M(m × n) e´ aquela formada por zeros e o inverso aditivo da matriz a = [aij ] e´ −a = [−aij ]. ˜ Exemplo 1.4. Seja X um conjunto nao-vazio qualquer. O s´ımbolo F(X; R) representa o conjunto de todas as func¸o˜ es reais f, g : X → R. Ele se torna um espac¸o vetorial quando se definem a soma f + g de ´ ˜ f da maneira duas func¸o˜ es e o produto α · f do numero α pela func¸ao natural: (f + g)(x) = f(x) + g(x), (αf)(x) = α · f(x).

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Espa¸cos Vetoriais

Se¸c˜ ao 1

Variando o conjunto X, obtˆem-se diversos exemplos de espac¸os ˜ vetoriais da forma F(X; R). Por exemplo, se X = {1, . . . , n} entao n ∞ ˜ F(X; R) = R ; se X e´ o produto carteF(X; R) = R ; se X = N entao ˜ F(X; R) = M(m × n). siano dos conjuntos {1, . . . , m} e {1, . . . , n} entao Outros exemplos de espac¸os vetoriais ocorrem como subespac¸os, como veremos a seguir. ¨ encias dos axiomas, as Valem num espac¸o vetorial, como consequˆ regras operacionais habitualmente usadas nas manipulac¸o˜ es num´ericas. Vejamos algumas delas.

˜ u = v. Em particular, w + u = w implica 1. Se w + u = w + v entao u = 0 e w + u = 0 implica u = −w. Com efeito, da igualdade w + u = w + v segue-se que u = 0 + u = (−w + w) + u = −w + (w + u) = −w + (w + v) = (−w + w) + v = 0 + v = v. Em particular, w + u = w implica w + u = w + 0, logo u = 0. E se ˜ w + u = w + (−w) logo u = −w. w + u = 0 entao 2. Dados 0 ∈ R e v ∈ E tem-se 0 · v = 0 ∈ E. Analogamente, dados α ∈ R e 0 ∈ E, vale α · 0 = 0. Com efeito, v + 0 · v = 1 · v + 0 · v = (1 + 0) · v = 1 · v = v, logo 0 · v = 0 ´ como vimos acima. De modo analogo, como α·0+α·0 = α·(0+0) = α·0, segue-se de 1) que α · 0 = 0.

˜ α · v 6= 0. 3. Se α 6= 0 e v 6= 0 entao ˜ v = 1 · v = (α−1 · α)v = Com efeito, se fosse α · v = 0 entao α−1 · (αv) = α−1 · 0 = 0, isto e´ , ter´ıamos v = 0. 4. (−1) · v = −v. Com efeito,

v + (−1) · v = 1 · v + (−1) · v = (1 + (−1)) · v = 0 · v = 0, logo (−1)v = −v, pela regra 1. No que se segue, escreveremos u − v para significar u + (−v). Evidentemente, u − v = w ⇔ u = v + w.

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Espa¸cos Vetoriais

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Exemplo 1.5. Sejam u = (a, b) e v = (c, d) vetores em R2 com ´ u 6= 0, isto e´ , a 6= 0 ou b 6= 0. A fim de que v seja multiplo de u, ´ isto e´ , v = αu para algum α ∈ R, e´ necessario e suficiente que se tenha ad − bc = 0. A necessidade e´ imediata pois v = αu significa c = αa e d = αb. Multiplicando a primeira destas igualdades por b e a segunda por a obtemos bc = αab e ad = αab, logo ad = bc, ˜ supondo ou seja, ad − bc = 0. Reciprocamente, se ad = bc entao, ´ a 6= 0, obtemos d = (c/a)b. Al´em disso, e claro que c = (c/a)a. Logo, pondo α = c/a, vem d = αb e c = αa,. isto e´ v = αu. Se for b 6= 0, tomaremos α = d/b para ter v = αu.

Exerc´ıcios 1.1. Dadas as matrizes   1 −1 2 a= , 3 2 −1



2 3 0 b= −2 −3 1



e 

−4 −8 4 c= 12 13 1



:

(a) Calcule a matriz 3a − 2b + c. ´ (b) Ache numeros α e β, ambos diferentes de zero, tais que αa+βb+c tenha a primeira coluna nula. 1.2. Mostre que as operac¸o˜ es definidas no texto fazem realmente dos conjuntos Rn , M(m × n) e F(X; R) espac¸os vetoriais. 1.3. Ache o valor de t que torna a matriz abaixo igual a` matriz nula:  2  t −1 t2 − t . t3 − 1 t2 − 3t + 2 1.4. Determine os vetores u, v ∈ R4 sabendo que as coordenadas de ˜ todas iguais, a ultima ´ u sao coordenada de v e´ igual a 3 e u + v = (1, 2, 3, 4). ´ 1.5. Dados u = (1, 2, 3), v = (3, 2, 0) e w = (2, 0, 0), ache numeros α, β e γ tais que αu + βv + γw = (1, 1, 1).

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Espa¸cos Vetoriais

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1.6. Dados os vetores v1 = (1, 2, 1), v2 = (2, 1, 2), v3 = (3, 3, 2) e v4 = (1, 5, −1) em R3 , determine os vetores u = v1 − 3v2 + 2v3 − v4 , v = v1 + v2 − v3 − v4 e w = v3 − 31 v2 − 43 v1 . ˜ “Num espac¸o vetorial E existe 1.7. Considere a seguinte afirmac¸ao: ´ ´ um unico vetor nulo e cada elemento de E possui um unico inverso”. ˜ assegura que esta afirmac¸ao ˜ e´ Qual fato demonstrado nesta sec¸ao verdadeira? 1.8. Use os axiomas do espac¸o vetorial E para provar que, se v ∈ E e ´ ˜ n · v = v + · · · + v (n parcelas). n e´ um numero natural entao ˜ 1.9. Sejam u, v vetores nao-nulos do espac¸o vetorial E. Prove que v e´ ´ ´ multiplo de u se, e somente se, u e´ multiplo de v. Que se pode dizer ˜ suponhamos u e v ambos diferentes de zero? caso nao 1.10. Sejam u = (x1 , . . . , xn ) e v = (y1 , . . . , yn ) vetores em Rn . Prove ´ que um deles e´ multiplo do outro se, e somente se, xi yj = xj yi para quaisquer i, j = 1, . . . , n. 1.11. Use as relac¸o˜ es 2(u + v) = 2u + 2v, 2w = w + w para provar que a comutatividade u + v = v + u pode ser demonstrada a partir dos demais axiomas de espac¸o vetorial. ˜ do produto αv de um numero ´ 1.12. Em R2 , mantenhamos a definic¸ao por um vetor mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a defini˜ da soma u + v dos vetores u = (x, y) e v = (x′ , y′ ). Em cada c¸ao ´ tentativa, dizer quais axiomas de espac¸o vetorial continuam validos ˜ violados: e quais sao (1)

u + v = (x + y′ , x′ + y);

(2)

u + v = (xx′ , yy′ );

(3)

u + v = (3x + 3x′ , 5x + 5x′ ).

1.13. Defina a m´edia u ∗ v entre dois vetores u, v no espac¸o vetorial E pondo u ∗ v = 12 u + 12 v. Prove que (u ∗ v) ∗ w = u ∗ (v ∗ w) se, e somente se, u = w. 1.14. Dados os espac¸os vetoriais E1 , E2 , considere o conjunto E = ˜ os E1 × E2 (produto cartesiano de E1 por E2 ), cujos elementos sao pares ordenados v = (v1 , v2 ), com v1 ∈ E1 e v2 ∈ E2 . Defina operac¸o˜ es que tornem E um espac¸o vetorial. Verifique a validez de cada um ˜ se estende para o caso de dos axiomas e mostre que sua definic¸ao

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¨ encia infinita n espac¸os vetoriais E1 , . . . , En , ou mesmo de uma sequˆ E1 , E2 , . . . , En , . . . . 1.15. Sejam X um conjunto qualquer e E um espac¸o vetorial. Mostre que, com as definic¸o˜ es naturais, o conjunto F(X; E) das func¸o˜ es f : X → E se torna um espac¸o vetorial. Identifique os casos particulares em que X = {1, . . . , n}, X = N, X = A × B, onde A = {1, . . . , m} e B = {1, . . . , n}. 1.16. Dados os vetores u = (1, 2, 3), v = (3, 2, 1) e w = (−3, 2, 7) em ´ R3 , obtenha numeros α, β tais que w = αu + βv. Quantas soluc¸o˜ es admite este problema? ´ 1.17. Sejam u = (1, 1), v = (1, 2) e w = (2, 1). Ache numeros a, b, c, ˜ a′ , b′ , c′ , todos nao-nulos, tais que au + bv + cw = a′ u + b′ v + c′ w, com a′ 6= a, b′ 6= b, c′ 6= c. 1.18. Sejam E um espac¸o vetorial e u, v ∈ E. O segmento de reta de ˜ o conjunto extremidades u, v e´ , por definic¸ao, [u, v] = {(1 − t)u + tv; 0 ≤ t ≤ 1}. Um conjunto X ⊂ E chama-se convexo quando u, v ∈ X ⇒ [u, v] ⊂ X. (Ou seja: o segmento de reta que liga dois pontos quaisquer de X esta´ contido em X.) Prove: ˜ X1 ∩ . . . ∩ Xm de conjuntos convexos X1 , . . . , Xm ⊂ E e´ (a) A intersec¸ao um conjunto convexo. (b) Dados a, b, c ∈ R, o conjunto X = {(x, y) ∈ R2 ; ax + by ≤ c} e´ convexo em R2 . (c) O conjunto Y = {(x, y, z) ∈ R3 ; a ≤ x ≤ b, c < y < d} e´ convexo em R3 . ˜ numeros ´ (d) Seja X ⊂ E convexo. Se r, s, t sao reais ≥ 0 tais que ˜ u, v, w ∈ X ⇒ ru + sv + tw ∈ X. r + s + t = 1 entao ˜ t1 v 1 + · · · + tk v k , (e) Generalizando o resultado acima, a expressao ˜ ≥ 0 e t1 + · · · + tk = 1 chama-se uma combina¸cao onde t1 , . . . , tk sao ˜ convexa dos vetores v1 , . . . , vk . Se o conjunto X ⊂ E e´ convexo, prove ˜ convexa de vetores v1 , . . . , vk ∈ X ainda perque toda combinac¸ao tence a X. 1.19. Prove que o disco D = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y2 ≤ 1} e´ um conjunto convexo.

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Espa¸cos Vetoriais

Se¸c˜ ao 1

1.20. Um subconjunto C do espac¸o vetorial E chama-se um cone quando, para todo v ∈ C e todo t > 0, tem-se tv ∈ C. Prove:

(a) O conjunto dos vetores v ∈ Rn que tˆem exatamente k coordenadas positivas (0 ≤ k ≤ n) e´ um cone.

(b) O conjunto das func¸o˜ es f : X → R que assumem valores negativos em todos os pontos de um subconjunto fixado Y ⊂ X e´ um cone em F(X; R).

(c) Um cone C ⊂ E e´ um conjunto convexo se, e somente se, u, v ∈ C ⇒ u + v ∈ C.

˜ e a reuniao ˜ de uma fam´ılia qualquer de cones sao ˜ (d) A intersec¸ao ainda cones.

1.21. Dado um subconjunto X no espac¸o vetorial E, seja C(X) o conjunto das combinac¸o˜ es convexas t1 v1 + · · · + tk vk (ti ≥ 0, Σti = 1) dos elementos de X. Prove que C(X) e´ um conjunto convexo, que X ⊂ C(X) e que se C′ e´ qualquer subconjunto convexo de E contendo ˜ C′ ⊃ C(X). (Por este motivo, diz-se que C(X) e´ o menor X entao subconjunto convexo de E que cont´em X. C(X) chama-se a envolt´oria convexa do conjunto X.)

2 Subespa¸cos Um subespa¸co vetorial do espa¸co vetorial E e´ um subconjunto F ⊂ E que, relativamente as ` opera¸co˜ es de E, e´ ainda um espa¸co vetorial. Os subespa¸cos vetoriais constituem uma rica fonte de exemplos de espa¸cos vetoriais, como se vera´ nas se¸co˜ es seguintes. Seja E um espac¸o vetorial. Um subespa¸co vetorial (ou simplesmente um subespa¸co) de E e´ um subconjunto F ⊂ E com as seguintes propriedades: 1. 0 ∈ F; ˜ u + v ∈ F; 2. Se u, v ∈ F entao ˜ para todo α ∈ R, αv ∈ F. 3. Se v ∈ F entao, ˜ Segue-se que se u e v pertencem ao subespac¸o F e α, β sao ´ ˜ αu + βv ∈ F. Mais geralmente, dados numeros reais quaisquer entao v1 , . . . , vm ∈ F e α1 , . . . , αm ∈ R tem-se v = α1 v1 + · · · + αm vm ∈ F. ´ O conjunto {0}, com o unico elemento 0, e o espac¸o inteiro E ˜ exemplos triviais de subespac¸os de E. Todo subespac¸o e´ , em si sao mesmo, um espac¸o vetorial. ˜ Exemplo 2.1. Seja v ∈ E um vetor nao-nulo. O conjunto F = {αv; α ∈ ´ R} de todos os multiplos de v e´ um subespac¸o vetorial de E, chamado a reta que passa pela origem e cont´em v. Exemplo 2.2. Seja E = F(R; R) o espac¸o vetorial das func¸o˜ es reais ´ de uma variavel real f : R → R. Para cada k ∈ N, o conjunto Ck (R)

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Subespa¸cos

Se¸c˜ ao 2

´ das func¸o˜ es k vezes continuamente derivaveis e´ um subespac¸o veto˜ subespac¸os de E o conjunto Co (R) das func¸o˜ es rial de E. Tamb´em sao ´ cont´ınuas, o conjunto C∞ (R) das func¸o˜ es infinitamente derivaveis, o conjunto P = P(R) dos polinˆomios p(x) = ao + a1 x + · · · + an xn e o conjunto Pn dos polinˆomios de grau ≤ n. Para n, k ∈ N quaisquer, tem-se: Co (R) ⊃ Ck (R) ⊃ Ck+1 (R) ⊃ C∞ (R) ⊃ P ⊃ Pn . ˜ e´ um subespac¸o Observe que o conjunto dos polinˆomios de grau n nao vetorial de E pois a soma de dois polinˆomios de grau n pode ter grau < n. ´ Exemplo 2.3. Sejam a1 , . . . , an numeros reais. O conjunto H de todos os vetores v = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn tais que a1 x1 + · · · + an xn = 0 e´ um subespac¸o vetorial de Rn . No caso desinteressante em que ´ a1 = · · · = an = 0, o subespac¸o H e´ todo o Rn . Se, ao contrario, pelo menos um dos ai e´ 6= 0, H chama-se um hiperplano de Rn que passa pela origem. Exemplo 2.4. Sejam E um espac¸o vetorial e L um conjunto de ´ındices. Se, para cada λ ∈ L, Fλ e´ um subespac¸o vetorial de E entao ˜ ˜ a intersec¸ao \ F= Fλ λ∈L

˜ do Exemplo 2.3 e´ ainda um subespac¸o vetorial de E. Segue-se entao n que o conjunto dos vetores v = (x1 , . . . , xn ) ∈ R cujas coordenadas satisfazem as m condic¸o˜ es abaixo a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0

a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0 .. .

am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0 ˜ F = F 1 ∩ . . . ∩ Fm e´ um subespac¸o vetorial de Rn , o qual e´ a intersec¸ao dos hiperplanos Fi definidos, segundo o Exemplo 2.3, por cada uma das equac¸o˜ es acima.

Se¸c˜ ao 2

Subespa¸cos

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Seja X um subconjunto do espac¸o vetorial E. O subespa¸co ve˜ o conjunto de todas as torial de E gerado por X e´ , por definic¸ao, combinac¸o˜ es lineares α1 v 1 + α2 v 2 + · · · + αm v m de vetores v1 , . . . , vm ∈ X. ´ facil ´ E ver que o conjunto de todas as combinac¸o˜ es lineares que se podem formar com vetores retirados do conjunto X e´ , de fato, um subespac¸o vetorial, que indicaremos pelo s´ımbolo S(X). O subespac¸o S(X), gerado pelo subconjunto X ⊂ E, cont´em o conjunto X e, al´em disso, e´ o menor subespac¸o de E que cont´em X. Nou˜ tras palavras, se F e´ um subespac¸o vetorial de E e X ⊂ F entao ˜ S(X) ⊂ F. Evidentemente, se X ja´ e´ um subespac¸o vetorial, entao S(X) = X. Quando o subespac¸o S(X) coincide com E, diz-se que X e´ um conjunto de geradores de E. Explicitamente: um conjunto X e´ um conjunto de geradores do espac¸o vetorial E quando todo vetor w ∈ E pode exprimir-se como ˜ linear combinac¸ao w = α1 v 1 + · · · + αm v m de vetores v1 , . . . , vm pertencentes a X. ˜ Exemplo 2.5. Se v ∈ E e´ um vetor nao-nulo, o subespac¸o gerado por v e´ a reta que passa pela origem e cont´em v. Exemplo 2.6. Sejam u = (a, b) e v = (c, d) vetores de R2 tais que ´ ˜ u 6= 0, v 6= 0 e, pelo Exemnenhum deles e´ multiplo do outro. Entao plo 1.5, ad − bc 6= 0. Afirmamos que X = {u, v} e´ um conjunto de geradores de R2 , ou seja, que qualquer vetor w = (r, s) ∈ R2 pode ˜ linear w = xu + yv. De fato esta exprimir-se como uma combinac¸ao 2 ` duas igualdades num´ericas igualdade vetorial em R equivale as ax + cy = r bx + dy = s. ˜ Como ad − bc 6= 0, o sistema de equac¸o˜ es acima possui uma soluc¸ao (x, y), logo existem x, y ∈ R tais que xu + yv = w. Esta mesma con˜ pode tamb´em ser obtida geometricamente, conforme mostra a clusao ` retas que Figura 2.1. A partir da ponta de w, trac¸am-se paralelas as ´ contˆem u e v, determinando assim os multiplos xu, yv, que somados ˜ w. dao

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Subespa¸cos

Se¸c˜ ao 2

yv

w

v 0

u

u =x

+

yv

xu

Figura 2.1.

Exemplo 2.7. Os chamados vetores canˆonicos e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), .. . en = (0, 0, . . . , 0, 1) constituem um conjunto de geradores do espac¸o Rn . Com efeito, dado v = (α1 , . . . , αn ) ∈ Rn , tem-se v = α1 e1 + · · · + αn en . Analo´ gamente, os monˆomios 1, x, . . . , xn , . . . (em numero infinito) formam um conjunto de geradores do espac¸o P dos polinˆomios reais. Por sua vez, os n + 1 primeiros deles, a saber, 1, x, . . . , xn constituem um conjunto de geradores de Pn , espac¸o vetorial dos polinˆomios de grau ≤ n. ´ Resulta do Exemplo 2.6 que os unicos subespac¸os vetoriais de R2 ˜ {0}, as retas que passam pela origem e o pr´oprio R2 . Com efeito, sao seja F ⊂ R2 um subespac¸o vetorial. Se F cont´em apenas o vetor ˜ F = {0}. Se F cont´em algum vetor u 6= 0 entao ˜ ha´ duas nulo, entao ˜ multiplos ´ possibilidades: ou todos os demais vetores de F sao de u, e ˜ F neste caso F e´ a reta que passa pela origem e cont´em u, ou entao ˜ e´ multiplo ´ cont´em, al´em de u, um outro vetor v que nao de u. Neste caso, F cont´em todas as combinac¸o˜ es lineares xu + yv, logo F = R2 , pelo Exemplo 2.6.

Se¸c˜ ao 2

Subespa¸cos

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Exemplo 2.8. O sistema linear de m equac¸o˜ es a n inc´ognitas a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 .. .

am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm ˜ (x1 , . . . , xn ) se, e somente se, o vetor b = (b1 , possui uma soluc¸ao ˜ linear dos vetores-coluna . . . , bm ) e´ combinac¸ao v1 = (a11 , a21 , . . . , am1 ), .. . vn = (a1n , a2n , . . . , amn )

da matriz a = [aij ]. Com efeito, estas equac¸o˜ es significam que b = x1 v 1 + x2 v 2 + · · · + xn v n . Em particular, se os vetores-coluna v1 , . . . , vn gerarem Rm , o sistema ˜ seja qual for o segundo membro b. possui soluc¸ao, Sejam F1 e F2 subespac¸os vetoriais de E. O subespac¸o vetorial de ˜ F1 ∪ F2 e´ , como se vˆe facilmente, o conjunto de E gerado pela reuniao todas as somas v1 + v2 , onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2 . Ele e´ representado pelo s´ımbolo F1 + F2 . Mais geralmente, dados os subconjuntos X, Y ⊂ E, indica-se com ˜ as somas u + v, onde u ∈ X e X + Y o conjunto cujos elementos sao ´ v ∈ Y. Quando X = {u} reduz-se a um unico elemento u, escreve-se ˜ que u + Y resulta de Y pela u + Y em vez de {u} + Y. Diz-se entao ˜ de u. translac¸ao Quando os subespac¸os F1 , F2 ⊂ E tˆem em comum apenas o elemento {0}, escreve-se F1 ⊕ F2 em vez de F1 + F2 e diz-se que F = F1 ⊕ F2 e´ a soma direta de F1 e F2 . Teorema 2.1. Sejam F, F1 , F2 subespa¸cos vetoriais de E, com F1 ⊂ F e F2 ⊂ F. As seguintes afirma¸co˜ es sao ˜ equivalentes: (1) F = F1 ⊕ F2 ;

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Subespa¸cos

Se¸c˜ ao 2

(2) Todo elemento w ∈ F se escreve, de modo unico, ´ como soma w = v1 + v2 , onde v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2 . ˜ Demonstrac¸ao: Provemos que (1) ⇒ (2). Para isto, suponhamos que F1 ∩ F2 = {0} e que se tenha u1 + u2 = v1 + v2 , com u1 , v1 ∈ F1 e ˜ u1 − v1 = v2 − u2 . Como u1 − v1 ∈ F1 e v2 − u2 ∈ F2 , u2 , v2 ∈ F2 . Entao segue-se que u1 − v1 e v2 − u2 pertencem ambos a F1 e a F2 . Mas F1 ∩ F2 = {0}. Logo u1 − v1 = v2 − u2 = 0, ou seja, u1 = v1 e u2 = v2 . ˜ 0 + v = v + 0 com Para provar que (2) ⇒ (1), seja v ∈ F1 ∩ F2 . Entao 0, v ∈ F1 e v, 0 ∈ F2 . Pela hip´otse (2), isto implica 0 = v, portanto F1 ∩ F2 = {0}.

Exemplo 2.9. Em R4 , sejam F1 o subespac¸o gerado pelos vetores e1 = (1, 0, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0) e F2 o subespac¸o gerado pelos veto˜ F1 e´ o conjunto dos veres e2 = (0, 1, 0, 0), e4 = (0, 0, 0, 1). Entao tores da forma (α1 , 0, α3 , 0) enquanto os vetores de F2 tˆem a forma ´ claro que R4 = F1 ⊕ F2 . (0, α2 , 0, α4 ). E ˜ de subespac¸o vetorial abrange as retas, planos e seus A noc¸ao ´ analogos multidimensionais apenas nos casos em que esses conjun˜ passam tos contˆem a origem. Para incluir retas, planos, etc. que nao ˜ de variedade afim, que discutiremos pela origem, tem-se a noc¸ao agora. Seja E um espac¸o vetorial. Se x, y ∈ E e x 6= y, a reta que une os ˜ o conjunto pontos x, y e´ , por definic¸ao r = {(1 − t)x + ty; t ∈ R}. Pondo v = y − x, podemos ver que r = {x + tv; t ∈ R}. Um subconjunto V ⊂ E chama-se uma variedade afim quando a reta que une dois pontos quaisquer de V esta´ contida em V. Assim, V ⊂ E e´ uma variedade afim se, e somente se, cumpre a seguinte ˜ condic¸ao: x, y ∈ V, t ∈ R ⇒ (1 − t)x + ty ∈ V. Exemplo 2.10. Um exemplo o´ bvio de variedade afim e´ um subespa´ ˜ c¸o vetorial. Ao contrario dos subespac¸os vetoriais, que nunca sao ˜ acima e´ formulada de vazios pois devem conter o zero, a definic¸ao tal modo que o conjunto vazio a cumpre, logo ∅ e´ uma variedade afim.

Se¸c˜ ao 2

Subespa¸cos

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˜ variedades afins entao ˜ a intersec¸ao ˜ V = Se V1 , . . . , Vm ⊂ E sao V1 ∩ . . . ∩ Vm e´ ainda uma variedade afim. Todo ponto p ∈ E e´ uma variedade afim. ´ Exemplo 2.11. Sejam a1 , . . . , an , b numeros reais. O conjunto H dos n pontos x = (x1 , . . . , xn ) ∈ R tais que a1 x1 + · · · + an xn = b ˜ cont´em a origem quando b 6= 0). Se e´ uma variedade afim (que nao ´ ˜ sao ˜ todos nulos, H chama-se um hiperplano. Se os numeros ai nao a1 = · · · = an = 0, tem-se H = ∅ quando b 6= 0 e H = Rn quando b = 0. Mais geralmente, o conjunto das soluc¸o˜ es de um sistema linear de m equac¸o˜ es com n inc´ognitas (vide Exemplo 2.8) e´ uma ˜ das m variedades variedade afim (eventualmente vazia), intersec¸ao afins definidas pelas equac¸o˜ es do sistema. ˜ O teorema a seguir mostra que toda variedade afim nao-vazia V pode ser obtida transladando-se um subespac¸o vetorial F. Diz-se que F e´ o subespac¸o vetorial paralelo a V. Teorema 2.2. Seja V uma variedade afim nao-vazia ˜ no espa¸co vetorial E. Existe um unico ´ subespa¸co vetorial F ⊂ E tal que, para todo x ∈ V tem-se V = x + F = {x + v; v ∈ F}. x+ F x F

0 ˜ Dado x ∈ V, seja F o conjunto de todos os vetores Demonstrac¸ao: ´ v = y − x, onde y ∈ V. Mostremos que F e´ um subespac¸o vetorial. E ˜ v = y − x, com claro que 0 ∈ F. Al´em disso, se α ∈ R e v ∈ F entao y ∈ V, logo αv = α(y − x) = [(1 − α)x + αy] − x = z − x,

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Subespa¸cos

Se¸c˜ ao 2

com z = (1 − α)x + αy ∈ V. Portanto αv ∈ F. Finalmente, se v = y − x ˜ e v′ = y′ − x pertencem a F entao 1 1 z = y + y′ ∈ V, 2 2 portanto z − x ∈ F. Segue-se da´ı que a soma v + v′ = y + y′ − 2x = 2(z − x) pertence a F. Em seguida, mostremos que V = x + F. Com efeito, y ∈ V ⇒ y = x + (y − x) com y − x ∈ F, logo y ∈ x + F. Assim, V ⊂ x + F. Por outro lado, um elemento qualquer de x + F tem a forma x + (y − x), com y ∈ V, logo e´ igual a y e da´ı x + F ⊂ V. ˜ subespac¸os vetoriais de E, tais que x + Finalmente, se F e F′ sao ′ F = x + F para algum x ∈ E, provemos que se tem F = F′ . Com efeito, v ∈ F ⇒ x + v ∈ x + F ⇒ x + v ∈ x + F′ ⇒ x + v = x + v′ (v′ ∈ F′ ) ⇒ v = v′ ⇒ v ∈ F′ . Portanto F ⊂ F′ . Da mesma forma, vˆe-se que F′ ⊂ F, ˜ o que conclui a demonstrac¸ao. Exemplo 2.12. Vimos no exemplo 2.8 que o conjunto V das soluc¸o˜ es de um sistema linear de m equac¸o˜ es com n inc´ognitas e´ uma variedade afim. Supondo V 6= ∅, tomemos x0 ∈ V e chamemos de F o subespac¸o vetorial de Rn formado pelas soluc¸o˜ es do sistema homogˆeneo correspondente (descrito no Exemplo 2.4; veja tamb´em a ´ ˜ que “todas as soluc¸o˜ es pagina 27). Tem-se V = x0 + F. Diz-se entao ˜ particular com a soluc¸ao ˜ do sistema se obtˆem somando uma soluc¸ao geral do sistema homogˆeneo associado”.

Exerc´ıcios ¨ encias v = 2.1. Seja R(∞) o subconjunto de R∞ formado pelas sequˆ ´ (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) que tˆem apenas um numero finito de termos xn diferentes de zero. Mostre que R(∞) e´ um subespac¸o vetorial de R∞ ¨ encias que tˆem um unico ´ ˜ e que as sequˆ termo nao-nulo constituem um conjunto de geradores para R(∞) . ˜ de matriz 2.2. Use o ´ındice deste livro para localizar a definic¸ao triangular. Mostre que o conjunto F1 das matrizes triangulares in˜ feriores e o conjunto F2 das matrizes triangulares superiores sao

Se¸c˜ ao 2

Subespa¸cos

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subespac¸os vetoriais de M(n × n), que M(n × n) = F1 + F2 e que ˜ se tem M(n × n) = F1 ⊕ F2 . nao 2.3. Seja E = F(R; R). Para X ⊂ R qualquer, ponhamos N(X) = {ϕ ∈ E ; ϕ(x) = 0 para todo x ∈ X}. Prove: (a) Para todo X ⊂ R, N(X) e´ um subespac¸o vetorial de E. (b) X ⊂ Y ⇒ N(Y) ⊂ N(X)

(c) N(X ∪ Y) = N(X) ∩ N(Y)

(d) N(X) = {0} ⇔ X = R

(e) N(X ∩ Y) = N(X) + N(Y)

(f) N(X) ⊕ N(Y) = E ⇔ Y = R − X.

2.4. No espac¸o vetorial E = F(R; R) sejam:

F1 = conjunto das func¸o˜ es f : R → R que se anulam em todos os pontos do intervalo [0, 1]; F2 = conjunto das func¸o˜ es g : R → R que se anulam em todos os pontos do intervalo [2, 3]. ˜ subespac¸os vetoriais de E, que E = F1 + F2 Mostre que F1 e F2 sao ˜ se tem E = F1 ⊕ F2 . e que nao

2.5. Considere os subespac¸os F1 , F2 ⊂ R3 assim definidos: F1 e´ o conjunto de todos os vetores v = (x, x, x) que tˆem as trˆes coordenadas iguais e F2 e´ o conjunto de todos os vetores w = (x, y, 0) que tˆem a ´ ultima coordenada igual a zero. Mostre que R3 = F1 ⊕ F2 . 2.6. Dados u = (1, 2) e v = (−1, 2), sejam F1 e F2 respectivamente as retas que passam pela origem em R2 e contˆem u e v. Mostre que R2 = F1 ⊕ F2 . 2.7. Sejam F1 = S(u1 , v1 ) e F2 = S(u2 , v2 ) os subespac¸os de R3 gerados pelos vetores u1 = (0, 1, −2), v1 = (1, 1, 1), u2 = (−1, 0, 3) e v2 = ´ (2, −1, 0). Ache numeros a1 , b1 , c1 e a2 , b2 , c2 tais que se tenha: F1 = {(x, y, z) ∈ R3 ; a1 x + b1 y + c1 z = 0}

F2 = {(x, y, z) ∈ R3 ; a2 x + b2 y + c2 z = 0}. 2.8. No exerc´ıcio anterior, mostre que u2 ∈ / F1 e que F1 + F2 = R3 . ˜ nulo w ∈ F1 ∩ F2 e conclua que nao ˜ se tem R3 = Exiba um vetor nao F1 ⊕ F 2 .

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Subespa¸cos

Se¸c˜ ao 2

˜ de todos os subespac¸os vetoriais 2.9. Prove que S(X) e´ a intersec¸ao que contˆem o conjunto X ⊂ E.

2.10. Exiba trˆes vetores u, v, w ∈ R3 com as seguintes propriedades: ´ nenhum deles e´ multiplo do outro, nenhuma das coordenadas e´ igual 3 ˜ e´ gerado por eles. a zero e R nao

2.11. Seja F o subespac¸o de R3 gerado pelos vetores u = (1, 1, 1) e ´ v = (1, −1, −1). Ache numeros a, b, c com a seguinte propriedade: um vetor w = (x, y, z) pertence a F se, e somente se, ax + by + cz = 0. ˜ linear dos vetores 2.12. Exprima o vetor (1, −3, 10) como combinac¸ao u = (1, 0, 0), v = (1, 1, 0) e w = (2, −3, 5).   4 −4 2.13. Mostre que a matriz d = pode ser escrita como −6 16 ˜ linear das matrizes combinac¸ao       1 2 −1 2 1 −2 a= , b= e c= . 3 4 3 −4 −3 4 2.14. Assinale V(erdadeiro) ou F(also): (

) O vetor w = (1, −1, 2) pertence ao subespac¸o gerado por u = (1, 2, 3) e v = (3, 2, 1).

(

˜ li) Qualquer vetor em R3 pode ser expresso como combinac¸ao near dos vetores u = (−5, 3, 2) e v = (3, −1, 3).

(

˜ S(X) ⊂ S(Y). ) Se X ⊂ Y entao

(

˜ X ⊂ Y. ) Se S(X) ⊂ S(Y) entao

(

˜ V e´ ) Se uma variedade afim V ⊂ E cont´em o vetor zero entao um subespac¸o vetorial de E.

˜ subespac¸os vetoriais? 2.15. Quais dos seguintes subconjuntos sao (a) O conjunto X ⊂ R3 formado pelos vetores v = (x, y, z) tais que z = 3x e x = 2y. (b) O conjunto Y ⊂ R3 formado pelos vetores v = (x, y, z) tais que xy = 0.

Se¸c˜ ao 2

Subespa¸cos

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(c) O conjunto Z das matrizes 2 × 3 nas quais alguma coluna e´ formada por elementos iguais. (d) O conjunto F ⊂ F(R; R) formado pelas func¸o˜ es f : R → R tais que f(x + 1) = f(x) para todo x ∈ R. (e) O conjunto L ⊂ Rn dos vetores v = (x, 2x, . . . , nx), onde x ∈ R e´ ´ arbitrario.

(f) O conjunto dos vetores v ∈ R5 que tˆem duas ou mais coordenadas nulas. (g) O conjunto dos vetores de R3 que tˆem pelo menos uma coordenada ≥ 0. 2.16. Exprima, em termos das operac¸o˜ es num espac¸o vetorial E, uma ˜ para que u, v, w ∈ E sejam colineares (isto e´ , pertenc¸am a condic¸ao ˜ o vetor zero). uma mesma reta, que pode conter ou nao ´ 2.17. Obtenha numeros a, b, c, d tais que a variedade afim (plano) ˜ ax + by + cz = d contenha os pontos de R3 definida pela equac¸ao e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1). ˜ de subespac¸o vetorial, a condic¸ao ˜ 2.18. Prove que, na definic¸ao “0 ∈ F” pode ser substitu´ıda por “F 6= ∅”. ˜ subespac¸os vetoriais? 2.19. Quais dos seguintes conjuntos sao n (a) O conjunto dos vetores de R cujas coordenadas formam uma ˜ aritm´etica. progressao ˜ ge(b) Os vetores de Rn cujas coordenadas formam uma progressao om´etrica. ˜ ari(c) Os vetores de Rn cujas coordenadas formam uma progressao ˜ fixada. tm´etica de razao ˜ ge(d) Os vetores de Rn cujas coordenadas formam uma progressao ˜ fixada. om´etrica de razao ˜ iguais. (e) Os vetores de Rn cujas primeiras k coordenadas sao (f) Os vetores de Rn que tˆem k coordenadas iguais. ¨ encias (xn ) ∈ R∞ tais que xn+2 − 3xn = xn+1 para todo n. (g) As sequˆ (h) Os vetores (x, y) ∈ R2 tais que x2 + 3x = y2 + 3y. (i) As func¸o˜ es f ∈ C∞ (R) tais que f′′ − 2f′ + f = 0.

20

Subespa¸cos

Se¸c˜ ao 2

2.20. Sejam v1 , v2 , v3 os vetores-linha e w1 , w2 , w3 os vetores-coluna da matriz   1 2 3  4 5 6 . 7 8 9 Verifique as relac¸o˜ es v3 = 2v2 − v1 , w3 = 2w2 − w1 . Exprima w1 e w2 como combinac¸o˜ es lineares de v1 e v2 , e vice-versa. Conclua que os vetores-linha e os vetores-coluna da matriz dada geram o mesmo subespac¸o de R3 .

2.21. Dˆe exemplo de uma matriz 3 × 3 cujos vetores-linha geram um subespac¸o de R3 diferente daquele gerado pelos vetores-coluna. ˜ de dois subespac¸os vetoriais de E e´ um 2.22. Prove que a reuniao subespac¸o vetorial se, e somente se, um deles estiver contido no outro. ˜ prove que, dados os numeros ´ 2.23. A partir da definic¸ao, a1 , ..., an , c, o conjunto V dos vetores x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn tais que a1 x1 + · · · + an xn = c e´ um subespac¸o vetorial de Rn se, e somente se, c = 0. ˜ feita no texto de que V e´ uma variedade afim. Prove a afirmac¸ao 2.24. Seja F um subespac¸o vetorial de E. Assinale V(erdadeiro) ou F(also): ˜ u+v∈ ( ) Se u ∈ /F e v∈ / F entao / F;

˜ αu ∈ ( ) Se u ∈ / F e α 6= 0 entao / F.

2.25. Diz-se que um subconjunto X de um espac¸o vetorial E e´ sim´etrico quando v ∈ X ⇒ −v ∈ X. Prove que um cone convexo sim´etrico ˜ e nao-vazio e´ um subespac¸o vetorial de E.

˜ seja sim´etrico e um 2.26. Dˆe exemplo de um cone convexo que nao ˜ seja convexo. cone sim´etrico que nao 2.27. Uma matriz quadrada a = [aij ] chama-se sim´etrica (respect. anti-sim´etrica) quando aij = aji (respect. aij = −aji ) para todo i e todo j. Prove que o conjunto S das matrizes sim´etricas e o conjunto ˜ subespac¸os vetoriais de A das matrizes anti-sim´etricas n × n sao M(n × n) e que se tem M(n × n) = S ⊕ A. 2.28. Seja E = F(R; R). Fixada g : R → R, mostre que o conjunto F de todas as func¸o˜ es f : R → R tais que f(g(x)) = f(x) e´ um subespac¸o

Se¸c˜ ao 2

Subespa¸cos

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˜ g tem-se F = conjunto das func¸o˜ es vetorial de E. Para qual func¸ao peri´odicas de per´ıodo a ? E se fosse g(f(x)) = f(x) ? Ou f(g(x)) = g(x) ? 2.29. Prove que o subespac¸o vetorial gerado por um cone convexo C ⊂ E e´ o conjunto das diferenc¸as u − v, onde u, v ∈ C. Conclua que o conjunto das func¸o˜ es f : X → R que s´o assumem valores positivos e´ um conjunto de geradores de F(X; R).

˜ f : X → R e´ limitada quando existe 2.30. Diz-se que uma func¸ao k > 0 (dependendo de f) tal que |f(x)| ≤ k para todo x ∈ X. Prove que o conjunto das func¸o˜ es limitadas e´ um subespac¸o vetorial de F(X; R), o qual e´ gerado pelas func¸o˜ es limitadas positivas. ˜ 2.31. Um subespac¸o vetorial de R3 gerado por dois vetores nao-colineares u, v chama-se um plano. Use um argumento geom´etrico para ˜ pertence ao plano gerado por u e v provar que se o vetor w ∈ R3 nao ˜ u, v e w geram R3 . entao

˜ e´ combinac¸ao ˜ linear dos 2.32. Mostre que o vetor b = (1, 2, 2) nao vetores v1 = (1, 1, 2) e v2 = (1, 2, 1). A partir da´ı, formule um sistema ˜ possui soluc¸ao ˜ e que linear de 3 equac¸o˜ es com 2 inc´ognitas, que nao tem o vetor b como segundo membro. 2.33. Sejam F1 , . . . , Fk ⊂ E subespac¸os vetoriais. Prove: ˜ F1 ∪. . .∪Fk e´ o conjunto F1 +· · ·+Fk (1) O subespac¸o gerado pela uniao das somas x1 + · · · + xk , onde x1 ∈ F1 , . . . , xk ∈ Fk . ˜ equivalentes: (2) As seguintes afirmac¸o˜ es sao

´ (a) Cada x ∈ F1 + · · · + Fk se escreve de modo unico como soma x = x1 + · · · + xk . (b) Para cada j = 1, . . . , k tem-se Fj ∩(F1 +· · ·+Fj−1 +Fj+1 +· · ·+Fk ) = {0}. Quando uma das condic¸o˜ es (a) ou (b) vale, escreve-se F1 ⊕ · · · ⊕ Fk em vez de F1 + · · · + Fk e diz-se que este subespac¸o e´ a soma direta de F 1 , . . . , Fk . 2.34. Seja E = F1 ⊕ F2 = G1 ⊕ G2 . Se F1 ⊂ G1 e F2 ⊂ G2 , prove que F1 = G 1 e F2 = G 2 .

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Subespa¸cos

Se¸c˜ ao 2

˜ f : E → F chama-se 2.35. Sejam E, F espac¸os vetoriais. Uma func¸ao par (respect. ´ımpar) quando f(−v) = f(v) (respect. f(−v) = −f(v)) para todo v ∈ E. Prove: (a) O conjunto A das func¸o˜ es pares e o conjunto B das func¸o˜ es ´ımpa˜ subespac¸os vetoriais de F(E; F) (vide Exerc. 1.15) e vale res sao F(E; F) = A ⊕ B.

(b) Al´em dos conjuntos A, dos polinˆomios pares, e B, dos polinˆomios ´ımpares, considere tamb´em o conjunto A′ dos polinˆomios da forma p(x) = Σai x2i que s´o contˆem expoentes pares e o conjunto B′ dos polinˆomios da forma q(x)=Σai x2i+1 , que s´o contˆem expoentes ´ımpares. ˜ subespac¸os vetoriais do espac¸o P de todos os Prove que A′ e B′ sao ′ polinˆomios, que A ⊂ A, B′ ⊂ B e P = A′ ⊕ B′ . Conclua que A = A′ e B = B′ . 2.36. Para todo n ∈ N seja Qn o conjunto dos polinˆomios (de graus ´ ˜ divis´ıveis por xn . Prove que Qn e´ um subespac¸o arbitrarios) que sao vetorial de P. Ache um subespac¸o F ⊂ P tal que P = F ⊕ Qn .

2.37. Dado X ⊂ E, seja Y o conjunto obtido de X substituindo um dos seus elementos v por v + αu, onde u ∈ X e α ∈ R. Prove que X e Y geram o mesmo subespac¸o vetorial de E. Conclua da´ı que os conjuntos {v1 , . . . , vk } ⊂ E e {v1 , v2 −v1 , . . . , vk −v1 } ⊂ E geram o mesmo subespac¸o vetorial de E. ˜ de trˆes subespac¸os vetoriais s´o pode ser 2.38. Prove que a reuniao um subespac¸o vetorial quando um deles cont´em os outros dois. 2.39. Sejam F1 , F2 subespac¸os vetoriais de E. Se existir algum a ∈ E tal que a + F1 ⊂ F2 , prove que F1 ⊂ F2 .

2.40. Seja V ⊂ E uma variedade afim. Dados v1 , . . . , vm ∈ V e α1 , . . . , αm ∈ R com α1 +· · ·+αm = 1, prove que α1 v1 +· · ·+αm vm ∈ V.

2.41. Para todo subespac¸o vetorial F ⊂ Rn , prove que existe um subespac¸o G ⊂ Rn tal que Rn = F ⊕ G.

2.42. Verdadeiro ou falso? Para quaisquer subconjuntos X, Y ⊂ E tem-se S(X ∪ Y) = S(X) + S(Y), S(X ∩ Y) = S(X) ∩ S(Y).

Se¸c˜ ao 2

Subespa¸cos

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´ (A ultima das igualdades acima sugere uma pergunta: qual seria ˜ mais o subespac¸o vetorial gerado pelo conjunto vazio? A convenc¸ao conveniente e´ S(∅) = {0}.) ˜ 2.43. Dado o subconjunto nao-vazio X do espac¸o vetorial E, a va˜ o conjunto V(X) de toriedade afim gerada por X e´ , por definic¸ao, das as combinac¸o˜ es lineares α1 v1 + · · · + αn vn , com v1 , . . . , vn ∈ X e α1 + · · · + αn = 1. Prove que (a) V(X) e´ uma variedade afim; (b) Fixado qualquer v0 ∈ X, tem-se V(X) = v0 + F, onde F e´ o subespac¸o vetorial de E gerado pelos vetores v − v0 , onde v ∈ X.

3 Bases Os espa¸cos vetoriais de dimensao ˜ finita, objetos centrais do nosso estudo, possuem uma estrutura alg´ebrica extremamente simples, evidenciada pelas id´eias de base e dimensao, ˜ que apresentaremos agora. Uma vez fixada uma base num espa¸co vetorial de dimensao ˜ n, seus elementos sao ˜ meramente combina¸co˜ es lineares dos n vetores basicos, ´ com coeficientes univocamente determinados. Nesta se¸cao, ˜ esses fatos serao ˜ estabelecidos e analisados em detalhe. Seja E um espac¸o vetorial. Diz-se que um conjunto X ⊂ E e´ linearmente independente (abreviadamente, L.I.) quando nenhum vetor ˜ linear de outros elementos de X. Para evitar v ∈ X e´ combinac¸ao ¨ ´ ambiguidade, no caso em que X = {v} consta de um unico elemento ˜ quando v 6= 0. Quando X e´ L.I., v, diz-se que X e´ L.I., por definic¸ao, ˜ vetores linearmente indediz-se tamb´em que os elementos de X sao pendentes. ˜ todos 6= 0, pois o Quando o conjunto X e´ L.I. seus elementos sao ˜ linear de quaisquer outros: 0 = 0 · v1 + · · · + vetor nulo e´ combinac¸ao ˜ ha´ “outros”, X = {v}, v 6= 0.) 0 · vm . (Se nao ´ Um crit´erio extremamente util para verificar a independˆencia linear de um conjunto e´ dado pelo teorema abaixo. Teorema 3.1. Seja X um conjunto L.I. no espa¸co vetorial E. Se α1 v1 + · · · + αm vm =0 com v1 , . . . , vm ∈ X entao ˜ α1 = · · · = αm =0. Reciprocamente, se a unica ´ combina¸cao ˜ linear nula de vetores de X e´ aquela cujos coeficientes sao ˜ todos iguais a zero, entao ˜ X e´ um conjunto L.I..

Se¸c˜ ao 3

Bases

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˜ Suponhamos, por absurdo, que se tenha α1 v1 +· · ·+ Demonstrac¸ao: αm vm = 0 com v1 , . . . , vm ∈ X mas nem todos os αi sejam nulos. Por ˜ teremos v1 = −(α2 /α1 )v2 − · · · − simplicidade, seja α1 6= 0. Entao ˜ linear de outros (αm /α1 )vm = 0, o que exprime v1 como combinac¸ao ˜ fosse L.I., algum dos seus elementos de X. Reciprocamente, se X nao ˜ linear dos demais: vetores seria combinac¸ao v = α1 v 1 + · · · + αm v m ,

logo 1 · v − α1 v1 − · · · − αm vm = 0,

˜ linear nula de vetores em X, na qual pelo menos o uma combinac¸ao ˜ e´ zero. primeiro coeficiente nao ´ Corolario. Se v = α1 v1 + · · · + αm vm = β1 v1 + · · · + βm vm e os vetores v1 , . . . , vm sao ˜ L.I. entao ˜ α1 = β 1 , . . . , αm = β m . Com efeito, tem-se neste caso (α1 − β1 )v1 + · · · + (αm − βm )vm = 0 logo α1 − β1 = · · · = αm − βm = 0. Evidentemente, todo subconjunto de um conjunto L.I. e´ ainda L.I. . Exemplo 3.1. Os vetores canˆonicos e1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , en = ˜ L.I. . Com efeito, α1 e1 + · · · + αn en = 0 (0, . . . , 0, 1) em Rn sao significa (α1 , . . . , αn ) = 0, logo α1 = · · · = αn = 0. Analogamente, ˜ L.I. pois αo + α1 x + · · · + αn xn = os monˆomios 1, x, . . . , xn em Pn sao ˜ identip(x) e´ o vetor nulo em Pn somente quando p(x) e´ a func¸ao camente nula, isto e´ , p(x) = 0 para todo x ∈ R. Isto obriga a ser ˜ nulo de grau k tem no αo = · · · = αn = 0 pois um polinˆomio nao ´ ˜ nos permite ainda concluir maximo k ra´ızes reais. Esta observac¸ao que X = {1, x, . . . , xn , . . .} ⊂ P e´ um conjunto infinito L.I. . ´ ` vezes util. ´ Na pratica, o crit´erio seguinte e´ as ˜ Teorema 3.2. Sejam v1 , . . . , vm vetores nao-nulos do espac¸o veto˜ linear dos anteriores entao ˜ o rial E. Se nenhum deles e´ combinac¸ao conjunto X = {v1 , . . . , vm } e´ L.I. . ˜ li˜ Suponhamos, por absurdo, que uma combinac¸ao Demonstrac¸ao: ˜ todos nulos, fosse igual near dos vetores dados, com coeficientes nao ´ ˜ ˜ a zero. Se αr vr fosse a ultima parcela nao-nula dessa combinac¸ao, ˜ ter´ıamos entao α1 v1 + · · · + αr vr = 0,

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Bases

Se¸c˜ ao 3

vr−1 , logo vr seria com αr 6= 0. Da´ı viria vr = − αα1r v1 − · · · − ααr−1 r ˜ linear dos elementos anteriores a ele na lista v1 , . . . , vm . combinac¸ao (Observe que r > 1 pois v1 6= 0.) ´ ˜ Evidentemente, vale um resultado analogo, Observac¸ao: com “sub¨ sequentes” em vez de “anteriores” no enunciado. Um conjunto X ⊂ E diz-se linearmente dependente (abreviada˜ e´ L.I. . mente, L.D.) quando nao ˜ linear Isto significa que algum dos vetores v ∈ X e´ combinac¸ao ˜ que X = {0}. A fim de que X seja de outros elementos de X, ou entao ´ ˜ linear nula L.D. e´ necessario e suficiente que exista uma combinac¸ao α1 v1 + · · · + αm vm = 0 de vetores v1 , . . . , vm ∈ X com algum coeficiente ˜ Y tamb´em e´ L.D. . Se 0 ∈ X entao ˜ o αi 6= 0. Se X ⊂ Y e X e´ L.D. entao conjunto X e´ L.D. . Exemplo 3.2. Os vetores u = (1, 2, 3), v = (4, 5, 6), w = (7, 8, 9) em ˜ L.D. pois w = 2v − u. R3 sao ˜ L.D., isto nao ˜ signiExemplo 3.3. Quando os vetores v1 , . . . , vm sao ˜ linear dos demais. Por fica que qualquer um deles seja combinac¸ao ˜ {u, v, w} ⊂ R2 e´ um exemplo se u = (1, 2), v = (3, 4) e w = (4, 8) entao ˜ e´ combinac¸ao ˜ linear de conjunto L.D. pois w = 4u + 0 · v por´em v nao u e w. Uma base de um espac¸o vetorial E e´ um conjunto B ⊂ E linearmente independente que gera E. Isto significa que todo vetor v ∈ E ´ ˜ linear v = α1 v1 + · · · + se exprime, de modo unico, como combinac¸ao αm vm de elementos v1 , . . . , vm da base B. Se B = {v1 , . . . , vm } e´ uma ˜ os numeros ´ base de E e v = α1 v1 + · · · + αm vm , entao α 1 , . . . , αm chamam-se as coordenadas do vetor v na base B. Exemplo 3.4. Os vetores e1 = (1, 0, . . . , 0), . . . , en = (0, . . . , 0, 1) constituem uma base {e1 , . . . , en } de Rn , chamada a base canˆonica. Analogamente, os monˆomios 1, x, . . . , xn formam uma base para o espac¸o vetorial Pn dos polinˆomios de grau ≤ n. O conjunto {1, x, . . . , xn , . . .} ´ dos monˆomios de graus arbitrarios constitui uma base (infinita) para o espac¸o vetorial P de todos os polinˆomios reais. Conv´em observar, entretanto, que o conjunto X = {e1 , . . . , en , . . .} ⊂ R∞ , onde

Se¸c˜ ao 3

Bases

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¨ encia infinita cujo n-´esimo termo e´ en = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .) e´ a sequˆ ˜ iguais a zero, e´ um conjunto infinito L.I. mas 1 e os demais sao ˜ e´ uma base de R∞ pois nao ˜ gera este espac¸o. Com efeito, o nao subespac¸o vetorial de R∞ gerado por X e´ o conjunto R(∞) formado ¨ encias v = (α1 , . . . , αn , . . .) nas quais apenas um numero ´ pelas sequˆ finito de coordenadas αn e´ 6= 0. Demonstraremos a seguir que se um espac¸o vetorial E admite ˜ todas as bases de E tˆem o mesmo uma base com n elementos entao ´ ´ numero n de elementos. Este numero e´ chamado a dimensao ˜ de E. O ponto de partida e´ o lema abaixo. Nele, um sistema linear e´ ˜ e´ chamado homogˆeneo quando o segundo membro de cada equac¸ao igual a zero. Todo sistema homogˆeneo admite pelo menos a solu¸cao ˜ trivial (0, 0, . . . , 0). Isto e´ coerente com o Exemplo 2.4, pois as soluc¸o˜ es v = (x1 , . . . , xn ) de um sistema homogˆeneo constituem um subespac¸o vetorial de Rn e todo subespac¸o cont´em o vetor nulo. Lema 3.1. Todo sistema linear homogˆeneo cujo numero ´ de inc´ognitas e´ maior do que o numero ´ de equa¸co˜ es admite uma solu¸cao ˜ nao˜ trivial. ˜ Consideremos o sistema Demonstrac¸ao: a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0

a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = 0 .. .

(*)

am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = 0, ˜ no de m equac¸o˜ es com n inc´ognitas, onde m < n. Usaremos induc¸ao ´ ´ ˜ numero m de equac¸o˜ es. Para m = 1, temos uma unica equac¸ao a11 x1 + · · · + a1n xn = 0, com n > 1 inc´ognitas. Um dos coeficientes a1i e´ 6= 0. Mudando os ´ nomes das inc´ognitas, se necessario, podemos supor que a1n 6= 0. A ˜ dada equivale a equac¸ao   a11 a1n−1 xn = − x1 + · · · + xn−1 . a1n a1n ˜ ` n − 1 inc´ognitas Atribuindo arbitrariamente valores nao-nulos as ´ ˜ obtex1 , . . . , xn−1 e calculando xn por meio desta ultima expressao, ˜ nao-trivial ˜ ˜ dada. Para mos uma soluc¸ao (x1 , . . . , xn ) para a equac¸ao

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Bases

Se¸c˜ ao 3

˜ suponhamos o lema verdadeiro para um siscompletar a induc¸ao, ´ tema com m − 1 equac¸o˜ es. Mudando, se necessario, a ordem das equac¸o˜ es e os nomes das inc´ognitas, podemos admitir que, no sis˜ da m-´esima equac¸ao ˜ resulta tema (*) dado, tem-se amn 6= 0. Entao   am1 amn−1 xn = − x1 + · · · + xn−1 . amn amn Substituindo, em cada uma das m − 1 primeiras equac¸o˜ es, a inc´ognita xn por este valor, obtemos um sistema homogˆeneo de m − 1 equa˜ este c¸o˜ es nas n − 1 inc´ognitas x1 , . . . , xn−1 . Pela hip´otese de induc¸ao, ˜ nao-trivial ˜ sistema admite uma soluc¸ao (α1 , . . . , αn−1 ), pois n − 1 > m − 1. Pondo   amn−1 am1 αn = − α1 + · · · + αn−1 , amn amn ˜ nao-trivial ˜ obtemos uma soluc¸ao (α1 , . . . , αn−1 , αn ) do sistema proposto (*). Teorema 3.3. Se os vetores v1 , . . . , vm geram o espac¸o vetorial E ˜ qualquer conjunto com mais de m vetores em E e´ L.D. entao ˜ Demonstrac¸ao: Dados os vetores w1 , . . . , wn em E, com n > m, para cada j = 1, . . . , n temos wj = α1j v1 + · · · + αmj vm pois os vetores ˜ L.D., devev1 , . . . , vm geram E. Para mostrar que os vetores wj sao ˜ todos iguais a zero, tais que mos achar coeficientes x1 , . . . , xn , nao x1 w1 + · · · + xn wn = 0. Substituindo os wj por suas express˜oes em termos dos vi , esta igualdade significa que       n n n X X X  xj α1j  v1 +  xj α2j  v2 + · · · +  xj αmj  vm = 0. j=1

j=1

j=1

´ ˜ sera´ satisfeita desde que todos os Certamente esta ultima condic¸ao somat´orios dentro dos parˆenteses sejam nulos, ou seja, que ˜ nao-trivial ˜ (x1 , . . . , xn ) seja uma soluc¸ao do sistema homogˆeneo α11 x1 + α12 x2 + · · · + α1n xn = 0

α21 x1 + α22 x2 + · · · + α2n xn = 0 .. .

αm1 x1 + αm2 x2 + · · · + αmn xn = 0.

Se¸c˜ ao 3

Bases

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˜ existe, pelo Lema 3.1, pois n > m. Logo w1 , . . . , wn Uma tal soluc¸ao ˜ L.D. e o teorema esta´ demonstrado. sao ´ Corolario 1. Se os vetores v1 , . . . , vm geram o espa¸co vetorial E e os vetores u1 , . . . , un sao ˜ L.I. entao ˜ n ≤ m. ´ ˜ do Teorema 3.3. Este corolario e´ uma mera reformulac¸ao ´ Corolario 2. Se o espa¸co vetorial E admite uma base B={u1 , . . . , un } com n elementos, qualquer outra base de E possui tamb´em n elementos. Com efeito, seja B ′ = {v1 , . . . , vm } outra base de E. Como B ′ gera E ´ e B e´ L.I., temos n ≤ m, pelo Corolario 1. Como B gera E e B ′ e´ L.I., ´ do mesmo corolario segue-se m ≤ n. Logo m = n. Diz-se que o espac¸o vetorial E tem dimensao ˜ finita quando ad´ mite uma base B = {v1 , . . . , vn } com um numero finito n de elemen´ tos. Este numero, que e´ o mesmo para todas as bases de E, chama-se ˜ diz-se a dimensao ˜ do espac¸o vetorial E: n = dim E. Por extensao, ˜ zero. que o espac¸o vetorial E = {0} tem dimensao ´ Corolario 3. Se a dimensao ˜ de E e´ n, um conjunto com n vetores gera E se, e somente se, e´ L.I.. ˜ e´ L.I. entao ˜ um dos Com efeito, se X = {v1 , . . . , vn } gera E e nao ˜ dos n − 1 restantes. Estes n − 1 vetoseus elementos e´ combinac¸ao ˜ res formariam ainda um conjunto de geradores de E, em contradic¸ao com o Teorema 3.3, pois E cont´em (uma base com) n vetores linearmente independentes. Reciprocamente, suponhamos que X seja ˜ gerasse E, existiria um vetor v ∈ E que nao ˜ seria L.I. . Se X nao ˜ linear dos elementos de X. Entao, ˜ pelo Teorema 3.2, combinac¸ao ˜ com o Teorema 3.3, pois uma {v1 , . . . , vn , v} seria L.I., em contradic¸ao base de E, com n elementos, gera o espac¸o. Como a base canˆonica {e1 , . . . , en } ⊂ Rn tem n elementos, Rn e´ um ˜ finita n. Segue-se entao ˜ do Corolario ´ espac¸o vetorial de dimensao 3 n que, para mostrarmos que n vetores v1 , . . . , vn ∈ R formam uma ˜ L.I. ou, alternativamente, que base basta provarmos que eles sao n geram R .

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Bases

Se¸c˜ ao 3

Teorema 3.4. Seja E um espa¸co vetorial de dimensao ˜ finita n. Entao: ˜ (a) Todo conjunto X de geradores de E cont´em uma base. (b) Todo conjunto L.I. {v1 , . . . , vm } ⊂ E esta´ contido numa base. (c) Todo subespa¸co vetorial F ⊂ E tem dimensao ˜ finita, a qual e´ ≤ n. (d) Se a dimensao ˜ do subespa¸co F ⊂ E e´ igual a n, entao ˜ F = E. ´ ˜ Demonstrac¸ao: (a) Os conjuntos L.I. em E tˆem no maximo n elementos. Seja Y = {v1 , . . . , vm } ⊂ X um subconjunto L.I. de X ´ ´ com o numero maximo poss´ıvel de elementos. Se existisse algum ˜ fosse combinac¸ao ˜ linear de v1 , . . . , vm entao ˜ o vetor v ∈ X que nao conjunto {v1 , . . . , vm , v} ⊂ X seria L.I. pelo Teorema 3.2, mas isto contradiria a maximalidade de m. Logo devemos ter X ⊂ S(Y), donde E = S(X) ⊂ S(Y) e da´ı S(Y) = E, ou seja Y e´ uma base de E, contida em X, como se devia demonstrar. (b)

Seja Y = {v1 , . . . , vm , vm+1 , . . . , vk }

´ ´ um conjunto L.I. com o numero maximo poss´ıvel de elementos contendo os m vetores dados. (Pelo Teorema 3.3, tem-se k ≤ n.) Se ˜ fosse combinac¸ao ˜ linear dos existisse em E algum vetor v que nao ˜ Y ∪ {v} seria um conjunto L.I., de acordo com elementos de Y, entao ˜ com a maximalidade de k. Segue-se o Teorema 3.2, em contradic¸ao que Y gera E, logo e´ uma base de E, contendo v1 , . . . , vm . (c) Seja Y = {v1 , . . . , vm } ⊂ F um subconjunto de F que e´ L.I. e tem ´ ´ ˜ Y gera F pois se o numero maximo poss´ıvel de elementos. Entao ˜ fosse combinac¸ao ˜ linear dos vetores de Y algum elemento v ∈ F nao ˜ pelo Teorema 3.2, {v1 , . . . , vm , v} ⊂ F seria um conjunto L.I., entao, contrariando a maximalidade de m. Portanto Y e´ uma base de F ˜ finita. Al´em disso, tem-se dim F = m ≤ n pois e F tem dimensao nenhum conjunto com mais de n elementos em E pode ser L.I. . ˜ toda base de F e´ um subconjunto (d) Se dim F = dim E = n entao ´ L.I. com n elementos em E, logo gera E, pelo Corolario 3. Segue-se que F = E.

Se¸c˜ ao 3

Bases

31

Neste livro, trataremos primordialmente dos espac¸os vetoriais ˜ finita. Diz-se que o espac¸o vetorial E tem dimensao de dimensao ˜ ˜ tem dimensao ˜ finita, isto e´ , quando nenhum infinita quando ele nao subconjunto finito de E e´ uma base. Como todo subconjunto finito ˜ se reduza ao vetor 0) cont´em um subconjunto L.I. que gera (que nao o mesmo subespac¸o, podemos dizer que um espac¸o vetorial E tem ˜ infinita se, e somente se, nao ˜ e´ gerado por um conjunto dimensao finito de vetores. Por exemplo, o espac¸o P de todos os polinˆomios ˜ infinita pois se X ⊂ P e´ um conjunto finito de reais tem dimensao polinˆomios e r e´ o mais alto grau de um polinˆomio qualquer de X ˜ o subespac¸o vetorial gerado por X esta´ contido em Pr , logo nao ˜ entao e´ igual a P. Exemplo 3.5. Os monˆomios 1, x, . . . , xn constituem uma base do espac¸o vetorial Pn , dos polinˆomios de grau ≤ n, logo Pn tem di˜ finita e dim Pn = n + 1. Por outro lado, o conjunto infimensao nito {1, x, . . . , xn , . . .} e´ uma base do espac¸o vetorial P de todos os ˜ infinita. Tamb´em tem dimensao ˜ inpolinˆomios, o qual tem dimensao (∞) finita o espac¸o R , introduzido no Exemplo 3.4, pois admite a base ¨ encia infinita {e1 , e2 , . . . , en , . . .}, onde en = (0, . . . , 0, 1, 0, . . .) e´ a sequˆ ˜ zeros. Finalmente, infinita cujo n-´esimo termo e´ 1 e os demais sao ˜ exibamos explicitamente uma base para o espac¸o R∞ , embora nao ˜ tem dimensao ˜ finita, em virtude do podemos assegurar que ele nao (∞) item (c) do Teorema 3.4 acima, ja´ que R e´ um subespac¸o de R∞ ˜ infinita. com dimensao Exemplo 3.6. O espac¸o vetorial M(m × n), das matrizes m × n, tem ˜ finita, igual a m · n. Uma base para M(m × n) e´ formada dimensao ˜ da i-´esima pelas matrizes eij , cujo ij-´esimo elemento (na intersec¸ao ˜ linha com a j-´esima coluna) e´ igual a 1 e os demais elementos sao iguais a zero. ˜ sao ˜ todos iguais a Exemplo 3.7. Se os coeficientes a1 , . . . , an nao zero, o hiperplano H = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ; a1 x1 + · · · + an xn = 0} ˜ n − 1 em Rn . Com efeito, ade´ um subespac¸o vetorial de dimensao mitindo (por simplicidade) que an 6= 0, vemos que v = (x1 , . . . , xn ) ∈ H ⇔ xn = −

a1 an−1 x1 − · · · − xn−1 . an an

32

Bases

Se¸c˜ ao 3

Em particular, para todo i = 1, . . . , n − 1, o vetor vi = (0, . . . , 1, . . . , 0, −ai /an ), ´ ˜ zero, cuja i-´esima coordenada e´ 1, a ultima e´ −ai /an e as demais sao ˜ L.I., como se pertence a H. Al´em disso, os vetores v1 , . . . , vn−1 sao ˜ n − 1 ou n. Como vˆe facilmente. Logo o subespac¸o H tem dimensao ˜ pertence a H), H 6= Rn (por exemplo, o vetor v = (0, . . . , 0, an ) nao segue-se que dim H = n − 1 e os vetores v1 , . . . , vn−1 formam uma base do hiperplano H. Diz-se que a variedade afim V ⊂ E tem dimensao ˜ r quando V = ˜ r. x + F, onde o subespac¸o vetorial F ⊂ E tem dimensao

Exerc´ıcios 3.1. Dados os vetores u = (a1 , a2 , a3 ), v = (b1 , b2 , b3 ) e w = (c1 , c2 , c3 ), escreva u′ = (a1 , a2 ), v′ = (b1 , b2 ) e w′ = (c1 , c2 ). Supondo u′ e v′ L.I., existem α, β ∈ R tais que w′ = αu′ + βv′ . Prove que {u, v, w} e´ L.D. se, e somente se, w = αu + βv (com os mesmos α e β). Use esse crit´erio para determinar se os vetores u, v e w abaixo ˜ L.I. ou L.D.: sao (a)

u = (1, 2, 3),

v = (1, 3, 2),

w = (−1, 2, 3)

(b)

u = (1, 2, 3),

v = (1, 3, 2),

w = (1, 4, 1).

˜ L.I.: 3.2. Mostre que as matrizes a, b e c abaixo sao       1 1 1 0 1 1 a= , b= , c= . 0 0 0 1 1 1 ˜ linearmente independen3.3. Prove que os polinˆomios seguintes sao tes: p(x) = x3 − 5x2 + 1,

q(x) = 2x4 + 5x − 6,

r(x) = x2 − 5x + 2.

3.4. Seja X um conjunto de polinˆomios. Se dois polinˆomios quaisquer pertencentes a X tˆem graus diferentes, prove que X e´ L.I. .

Se¸c˜ ao 3

Bases

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3.5. No espac¸o P3 dos polinˆomios de grau ≤ 3, verifique se os po˜ L.I. ou L.D.: linˆomios abaixo sao p(x) = x3 − 3x2 + 5x + 1, q(x) = x3 − x2 + 6x + 2, r(x) = x3 − 7x2 + 4x.

˜ em C∞ (R) e´ combinac¸ao ˜ linear de outras entao ˜ 3.6. Se uma func¸ao ˜ combinac¸o˜ es lineares (com os messuas derivadas sucessivas sao mos coeficientes) das derivadas dessas outras. Use este fato para mostrar que {ex , e2x , x3 , x2 , x} e´ um conjunto L.I. . 3.7. Seja E = F1 ⊕ F2 . Se B1 e´ uma base de F1 e B2 e´ uma base de F2 , prove que B1 ∪ B2 e´ uma base de E. 3.8. Exiba uma base para cada um dos subespac¸os de R4 listados a seguir: F = {(x1 , x2 , x3 , x4 ); x1 = x2 = x3 = x4 } G = {(x1 , x2 , x3 , x4 ); x1 = x2 e x3 = x4 } H = {(x1 , x2 , x3 , x4 ); x1 = x2 = x3 } K = {(x1 , x2 , x3 , x4 ); x1 + x2 + x3 + x4 = 0}. ˜ finita. Dado um subespa3.9. Seja E um espac¸o vetorial de dimensao c¸o F ⊂ E, prove que se pode obter um subespac¸o G ⊂ E tal que E = F ⊕ G. 3.10. Seja F o subespac¸o vetorial (plano) de R3 formado pelos vetores v = (x, y, z) tais que x − 2y + 4z = 0. Obtenha uma base {u1 , u2 , u3 } ⊂ R3 tal que u1 e u2 pertenc¸am a F. 3.11. Mostre que os polinˆomios 1, x−1 e x2 −3x+1 formam uma base ˜ linear dos de P2 . Exprima o polinˆomio 2x2 − 5x + 6 como combinac¸ao elementos dessa base. 3.12. Mostre que os vetores u = (1, 1) e v = (−1, 1) formam uma base de R2 . Exprima cada um dos vetores e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) ˜ linear dos elementos dessa base. como combinac¸ao

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Bases

Se¸c˜ ao 3

3.13. Mostre que os vetores u = (1, 1, 1), v = (1, 2, 1) e w = (2, 1, 2) ˜ L.D. . sao ˜ 3.14. Assinale V(erdadeiro) ou F(also) quanto a` validez da afirmac¸ao: ˜ de dois subconjuntos L.I. do espac¸o vetorial E e´ ainda “A uniao um conjunto L.I.” (

) Sempre.

(

) Nunca.

(

) Quando um deles e´ disjunto do outro.

(

) Quando um deles e´ parte do outro.

(

) Quando um deles e´ disjunto do subespac¸o gerado pelo outro.

´ ´ ( ) Quando o numero de elementos de um deles mais o numero de ˜ de E. elementos do outro e´ igual a` dimensao 3.15. Seja S o conjunto das matrizes sim´etricas n × n. Para cada ´ par (i, j) de numeros naturais de 1 at´e n, com i ≤ j, seja sij a matriz ˜ iguais a 1 e os den × n cujos elementos nas posic¸o˜ es ij e ji sao ˜ zero. Prove que estas matrizes constituem uma base para mais sao ´ o subespac¸o vetorial S ⊂ M(n × n). De modo analogo, obtenha uma base do subespac¸o A das matrizes anti-sim´etricas n × n. Conclua que dim S = n(n + 1)/2 e dim A = n(n − 1)/2. 3.16. As matrizes t = [tij ] ∈ M(n × n) tais que tij = 0 quando i < j ˜ chamadas triangulares inferiores. Prove que elas constituem sao um subespac¸o vetorial L ⊂ M(n × n), obtenha uma base para L e ˜ determine a sua dimensao. ¨ ˜ 3.17. Obtenha uma base e consequentemente determine a dimensao de cada um dos subespac¸os de M(n × n) abaixo descritos: (a) matrizes cuja soma dos elementos da diagonal (trac¸o) e´ zero. ´ (b) matrizes que tˆem a primeira e a ultima linha iguais. (c) matrizes cuja segunda linha e´ igual a` terceira coluna. (d) matrizes nas quais a soma dos elementos da primeira linha e´ igual a` soma dos elementos da segunda coluna.

Se¸c˜ ao 3

Bases

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3.18. Sejam u, v ∈ E vetores linearmente independentes. Dado α 6= 0, prove que o conjunto de dois elementos {v, v + αu} e´ uma base do subespac¸o gerado pelos vetores v, v + u, v + 2u, . . . , v + nu, . . . . 3.19. Sejam v1 = (1, 2, . . . , n), v2 = (n + 1, n + 2, . . . , 2n), . . . , vn = (n2 − n + 1, n2 − n + 2, . . . , n2 ). Prove que estes vetores geram em Rn o mesmo subespac¸o F que os vetores w1 = (1, n+1, 2n+1, . . . , n2 −n+1), w2 = (2, n+2, . . . , n2 −n+2), . . . , wn = (n, 2n, . . . , n2 ) e que dim F = 2. (Veja Exerc´ıcio 2.3.) ˜ nao-trivial ˜ 3.20. Ache uma soluc¸ao para o sistema homogˆeneo: x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0 2x1 + x2 + x3 − x4 = 0 3x1 − 2x2 + x3 − 2x4 = 0 ˜ linear nula dos vetores v1 = e, a partir da´ı, obtenha uma combinac¸ao (1, 2, 3), v2 = (2, 1, −2), v3 = (3, 1, 1), v4 = (4, −1, −2), na qual os ˜ sao ˜ todos iguais a zero. coeficientes nao ´ 3.21. Seja {v1 , . . . , vn } uma base do espac¸o vetorial E. Se os numeros ˜ sao ˜ todos iguais a zero, prove que o conjunto F dos a1 , . . . , an nao vetores v = x1 v1 + · · · + xn vn tais que a1 x1 + · · · + an xn = 0 e´ um subespac¸o vetorial de E, com dim F = n − 1. 3.22. Prove que {1, ex , e2x , e3x , e4x } e´ um conjunto L.I. no espac¸o ˜ dada uma combinac¸ao ˜ linear nula, derive-a, deC∞ (R). (Sugestao: x pois divida por e e prossiga.) 3.23. Sejam X1 , . . . , Xn , . . . subconjuntos L.I. do espac¸o vetorial E. S (a) Se X1 ⊂ X2 ⊂ . . . ⊂ Xn ⊂ Xn+1 ⊂ . . ., prove que X = Xn e´ L.I. .

(b) Se cada Xn tem n elementos, prove que existe um conjunto linearmente independente X∗ = {x1 , . . . , xn , . . .} com xn ∈ Xn para cada n ∈ N.

(c) Supondo E = R(∞) S e admitindo as hip´oteses dos ´ıtens anteriores, e´ verdade que X = Xn seja uma base de E ?

˜ L.I., prove que o mesmo se da´ com 3.24. Se os vetores v1 , . . . , vm sao os vetores v1 , v2 − v1 , . . . , vm − v1 . Vale a rec´ıproca?

3.25. Dado o conjunto finito X = {a1 , . . . , an }, obtenha uma base para o espac¸o vetorial F(X; R).

36

Bases

Se¸c˜ ao 3

3.26. Seja X um conjunto infinito. Para cada a ∈ X, seja fa : X → R ˜ tal que fa (a) = 1 e fa (x) = 0 se x 6= a. Prove que o conjunto a func¸ao Y ⊂ F(X; R) formado por estas func¸o˜ es e´ linearmente independente, ˜ tem dimensao ˜ finita. Prove ainda que Y nao ˜ gera logo F(X; R) nao F(X; R). ˜ finita. Obtenha uma 3.27. Sejam F1 , F2 ⊂ E subespac¸os de dimensao base do subespac¸o F1 + F2 que contenha uma base de F1 , uma base de F2 e uma base de F1 ∩ F2 . 3.28. Exiba uma base para cada um dos espac¸os vetoriais abaixo e ˜ da´ı calcule sua dimensao: (a) polinˆomios pares de grau ≤ n. (b) polinˆomios ´ımpares de grau ≤ n. (c) polinˆomios de grau ≤ n que se anulam para x = 2 e x = 3. (d) vetores de Rn (n ≥ 6) nos quais a segunda, a quarta e a sexta ˜ iguais. coordenadas sao 3.29. Pode-se ter uma base de Pn formada por n + 1 polinˆomios de grau n ? 3.30. Mostre que os vetores u = (1, 1, 1), v = (1, 2, 3) e w = (1, 4, 9) formam uma base de R3 . Exprima cada um dos vetores e1 , e2 , e3 da ˜ linear de u, v e w. base canˆonica de R3 como combinac¸ao ¨ encia infinita F1 , F2 , . . . , Fn , . . . de subespac¸os 3.31. Ache uma sequˆ vetoriais de P tais que: (a) dim Fn = ∞; (b) Fm ∩ Fn = {0} se m 6= n.

3.32. Para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n, sejam si , tj : M(m × n) → R as func¸o˜ es definidas por si (a) = soma dos elementos da i-´esima linha de a e tj (a) = soma dos elementos da j-´esima coluna de a. Prove que ˜ L.D. no espac¸o vetorial E = F(M(m × n); R) s1 , . . . , sm , t1 , . . . , tn sao mas o conjunto {s1 , . . . , sm−1 , t1 , . . . , tn } e´ L.I. . 3.33. Com as notac¸o˜ es do exerc´ıcio anterior, sejam τ, σ : M(n × n) →

R as func¸o˜ es definidas, para cada a = [aij ] ∈ M(n × n) por τ(a) = a11 + · · · + ann (soma dos termos da diagonal principal) e σ(a) = a1n + a2,n−1 + · · · + an1 (soma dos termos da outra diagonal). Prove

Se¸c˜ ao 3

Bases

37

˜ func¸o˜ es linearmente que, para n ≥ 3, {s1 , . . . , sn−1 , t1 , . . . , tn , τ, σ} sao independentes. 3.34. Num espac¸o vetorial E, diz-se que o vetor v e´ uma combina¸cao ˜

afim dos vetores v1 , . . . , vr quando se tem v = α1 v1 + · · · + αr vr , ˜ afimcom α1 + · · · + αr = 1. Diz-se que os vetores v1 , . . . , vr sao ˜ afim dos independentes quando nenhum deles e´ uma combinac¸ao ˜ equivalentes: demais. Prove que as seguintes afirmac¸o˜ es sao ˜ afim-independentes. (1) Os vetores v1 , . . . , vr sao ˜ α1 = · · · = αr = 0. (2) Se α1 v1 + · · · + αr vr = 0 e α1 + · · · + αr = 0 entao r r P P ˜ (3) Se α1 v1 + · · · + αr vr = β1 v1 + · · · + βr vr com αi = βi entao i=1

i=1

α1 = β1 , . . . , αr = βr . (Em particular, duas combinac¸o˜ es afins dos vi s´o podem ser iguais quando tiverem os mesmos coeficientes.) ˜ L.I. . (4) Os vetores v2 − v1 , v3 − v1 , . . . , vr − v1 sao ˜ r − 1. (5) A variedade afim gerada por v1 , . . . , vr tem dimensao

4 Transforma¸co ˜es Lineares ´ A Algebra Linear pode ser apresentada sob trˆes pontos de vista equivalentes: transforma¸co˜ es lineares, matrizes ou formas quadraticas. ´ A eˆ nfase (ou at´e mesmo a exclusividade) que se da´ a uma dessas abordagens e´ muitas vezes uma questao ˜ de habito, ´ gosto pessoal ou convic¸cao. ˜ Neste livro, os trˆes aspectos serao ˜ devidamente tratados por´em a primazia sera´ concedida as ` transforma¸co˜ es lineares, pelos trˆes motivos apontados, principalmente o ultimo. ´ Sejam E, F espac¸os vetoriais. Uma transforma¸cao ˜ linear A : E → F e´ uma correspondˆencia que associa a cada vetor v ∈ E um vetor A(v) = A · v = Av ∈ F de modo que valham, para quaisquer u, v ∈ E e α ∈ R, as relac¸o˜ es: A(u + v) = Au + Av, A(α · v) = α · Av. O vetor A·v chama-se a imagem (ou o transformado) de v pela trans˜ A. formac¸ao ˜ linear entao ˜ A · 0 = 0. Com Se A : E → F e´ uma transformac¸ao efeito, A · 0 = A(0 + 0) = A · 0 + A · 0. Al´em disso, dados u, v ∈ E e α, β ∈ R, tem-se A(αu + βv) = A(αu) + A(βv) = α · Au + β · Av. Mais geralmente, dados v1 , . . . , vm em E e α1 , . . . , αm ∈ R, vale A(α1 v1 + · · · + αm vm ) = α1 · Av1 + · · · + αm · Avm . Da´ı resultam A(−v) = −Av e A(u − v) = Au − Av.

Se¸c˜ ao 4

Transforma¸c˜ oes Lineares

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A soma de duas transformac¸o˜ es lineares A, B : E → F e o produto ˜ linear A : E → F por um numero ´ ˜ de uma transformac¸ao α ∈ R sao as transformac¸o˜ es lineares A + B : E → F e αA : E → F, definidas respectivamente por (A + B)v = Av + Bv e (αA)v = α · Av, para todo ˜ linear nula 0 : E → F, v ∈ E. O s´ımbolo 0 indica a transformac¸ao definida por 0 · v = 0 e, definindo −A : E → F por (−A) · v = −Av, vˆe-se que (−A) + A = A + (−A) = 0. Seja L(E; F) o conjunto das transformac¸o˜ es lineares de E em F. As definic¸o˜ es acima tornam L(E; F) um espac¸o vetorial. Quando E = F, ˜ L(E) em vez de L(E; E). As transformac¸o˜ es liusaremos a notac¸ao ˜ chamadas neares A : E → E do espac¸o vetorial E em si mesmo sao operadores lineares em E. Por sua vez, as transformac¸o˜ es lineares ˜ chamadas funcionais lineaϕ : E → R, com valores num´ericos, sao ∗ res. Escreve-se E em vez de L(E; R) e o conjunto E∗ dos funcionais lineares ϕ : E → R chama-se o espac¸o vetorial dual de E. Um operador linear especial e´ o operador identidade I : E → E, ´ definido por I · v = v para todo v ∈ E. Quando for necessario especificar, escreveremos IE em vez de I. ˜ linear A : E → F e´ um tipo particular de Uma transformac¸ao ˜ que tem o espac¸o vetorial E como dom´ınio e o espac¸o F como func¸ao ˜ f: X → Y contra-dom´ınio. Em geral, para se definir uma func¸ao ´ e´ necessario especificar o valor f(x) para cada elemento x no seu ˜ manejaveis ´ dom´ınio X. O que torna as transformac¸o˜ es lineares tao e´ que, para se conhecer A ∈ L(E; F), basta que se saibam os valores A · v que A assume nos vetores v ∈ B, onde B e´ uma base de E. Isto ´ ˜ finita. Neste caso, e´ particularmente util quando E tem dimensao ´ um numero finito de valores A · v1 , . . . , A · vn (onde {v1 , . . . , vn } ⊂ E e´ uma base) atribu´ıdos arbitrariamente, definem inteiramente uma ˜ linear A : E → F. Mais precisamente, vale o transformac¸ao Teorema 4.1. Sejam E, F espac¸os vetoriais e B uma base de E. A ´ cada vetor u ∈ B, fac¸amos corresponder (de maneira arbitraria) um ˜ existe uma unica ´ ˜ linear A : E → F vetor u′ ∈ F. Entao transformac¸ao tal que A · u = u′ para cada u ∈ B.

´ ˜ Todo vetor v ∈ E se exprime, de modo unico, Demonstrac¸ao: como ˜ linear v = α1 u1 + · · · + αm um de elementos u1 , . . . uma combinac¸ao . . . , um da base B. Definimos A : E → F pondo A · v = α1 u′1 + · · · + αm u′m .

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Transforma¸c˜ oes Lineares

Se¸c˜ ao 4

Dados v, w ∈ E temos v = α1 u 1 + · · · + αm u m e w = β1 u 1 + · · · + βm u m .

(Mesmo que a base B seja infinita, podemos exprimir v e w como combinac¸o˜ es lineares dos mesmos elementos de B, completando com ´ coeficientes zero os multiplos dos ui que aparecem apenas numa das ˜ duas express˜oes.) Entao v+w=

m X

(αi + βi )ui

i=1

logo A(v + w) = Σ(αi + βi )u′i = Σαi u′i + Σβi u′i = A · v + A · w. ´ De maneira analoga se vˆe que A(αv) = α · Av, portanto A : E → F, ˜ linear, tal que A · u = u′ , para assim definida, e´ uma transformac¸ao ˜ todo u ∈ B. Quanto a` unicidade, seja B : E → F outra transformac¸ao ˜ para cada v = linear tal que B · u = u′ para todo u ∈ B. Entao, Σαi ui ∈ E tem-se B · v = B(Σαi ui ) = Σαi · Bui = Σαi · u′i = A · v ˜ portanto B = A. Isto completa a demonstrac¸ao. Em virtude do Teorema 4.1, se quisermos definir uma transfor˜ linear A : Rn → Rm basta escolher, para cada j = 1, . . . , n, mac¸ao um vetor vj = (a1j , a2j , . . . , amj ) ∈ Rm e dizer que vj = A · ej e´ a imagem do j-´esimo vetor da base canˆonica, ej = (0, . . . , 1, . . . , 0), pela ˜ linear A. A partir da´ı, fica determinada a imagem transformac¸ao A · v de qualquer vetor v = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn . Com efeito, tem-se v = x1 e1 + · · · + xn en , logo   n n n X X X   A·v=A (a1j xj , a2j xj , . . . , amj xj ) xj A · e j = xj e j = =

n X j=1

a1j xj ,

j=1

j=1

j=1



n X j=1

a2j xj , . . . ,

n X j=1



amj xj  ,

Se¸c˜ ao 4

Transforma¸c˜ oes Lineares

41

ou seja, A(x1 , x2 , . . . , xn ) = (y1 , y2 , . . . , ym ), onde y1 = a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn

y2 = a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn .. .

(*)

ym = am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn . ˜ linear A : Rn → Rm fica inteiResumindo: uma transformac¸ao ramente determinada por uma matriz a = [aij ] ∈ M(m × n). Os ˜ as imagens A · ej dos vetores da vetores-coluna dessa matriz sao n ´ base canˆonica de R . A imagem A · v de um vetor arbitrario v = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn e´ o vetor w = (y1 , . . . , ym ) ∈ Rm cujas coordenadas ˜ dadas pelas equac¸o˜ es (*) acima, nas quais ocorrem os vetoressao linha da matriz a. Diz-se que a e´ a matriz da transforma¸cao ˜ A rela` bases canˆonicas de Rn e Rm . Tem-se tiva as A · ej =

m X

aij ei

(j = 1, . . . , n),

i=1

˜ em Rn e os ei em Rm . onde os ej estao Em particular, a matriz de um funcional linear ϕ : Rn → R e´ do tipo 1 × n, logo pode ser escrita simplesmente como [a1 , a2 , . . . , an ], onde aj = ϕ(ej ). Para todo vetor x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn tem-se ϕ(x) = a1 x1 + · · · + an xn . ˜ dual, uma transformac¸ao ˜ linear A : R → Rn e´ dada Na situac¸ao ´ por uma matriz n × 1, cuja unica coluna e´ o vetor v = A · 1 = ´ (a1 , . . . , an ). (A base canˆonica de R1 = R tem um unico elemento n ˜ linear A : R → R fica inteirae1 = 1.) Assim, a transformac¸ao ´ mente determinada por um unico vetor v ∈ Rn . Tem-se A · t = t · v para todo t ∈ R. Evidentemente, o mesmo se pode dizer de toda ˜ linear A : R → F, seja qual for o espac¸o vetorial F: transformac¸ao conhecendo v = A · 1 ∈ F tem-se A · t = tv para todo t ∈ R. Exemplo 4.1. Se dim E = 1, todo operador A : E → E e´ do tipo A = αI, isto e´ , existe uma constante α ∈ R tal que Av = αv para

42

Transforma¸c˜ oes Lineares

Se¸c˜ ao 4

˜ ˜ {u} ⊂ E todo v ∈ E. Com efeito, seja u ∈ E um vetor nao-nulo. Entao ´ e´ uma base: todo vetor em E e´ multiplo de u. Portanto existe α ∈ R tal que Au = αu. Para qualquer outro vetor v ∈ E, temos v = λu portanto Av = A(λu) = λ Au = λ αu = α(λ u) = αv. ˜ de angulo ˆ Exemplo 4.2. (Rotac¸ao θ em torno da origem em R2 .) Trata-se do operador R : R2 → R2 , que leva cada vetor v no vetor ˜ de angulo ˆ Rv que dele resulta pela rotac¸ao θ em torno da origem. A ´ bem mais claro ainda Fig. 4.1 deixa claro que R(u+v) = R·u+R·v. E 2 ˜ que R(αv) = α · Rv para v ∈ R e α ∈ R, logo R e´ uma transformac¸ao 2 ′ ´ linear. Para um vetor v = (x, y) ∈ R arbitrario, seja R · v = (x , y′ ). ′ ′ Sabemos que x = ax + by e y = cx + dy e

R

Ru

(u

+ v )

v Rv

u+

v

u

O

˜ de vetores. Figura 4.1 – Rotac¸ao

queremos determinar a matriz 

 a b , c d

onde Re1 = (a, c) e Re2 = (b, d), com e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1). ´ Ora, pelas definic¸o˜ es de seno e cosseno, o vetor unitario Re1 , ˆ que forma com e1 um angulo θ, tem coordenadas cos θ e sen θ, ou seja, Re1 = (cos θ, sen θ). Al´em disso, como e2 forma com e1 um ˆ ˆ angulo reto, Re2 tamb´em forma com Re1 um angulo reto. Logo Re2 = (− sen θ, cos θ). (Veja Fig. 4.2.)

Se¸c˜ ao 4

Transforma¸c˜ oes Lineares

Re2

43

e2

cos sen

Re1

e1

-sen

cos

˜ de angulo ˆ Figura 4.2 – Rotac¸ao θ.

˜ R : R2 → R2 leva um vetor v = (x, y) no vetor Portanto, a rotac¸ao ′ ′ Rv = (x , y ), onde x′ = x cos θ − y sen θ; y′ = x sen θ + y cos θ.

A matriz de R relativa a` base canˆonica de R2 e´ 

 cos θ − sen θ . sen θ cos θ

˜ ortogonal sobre uma reta.) A reta y = Exemplo 4.3. (Projec¸ao ax e´ o conjunto dos pontos (x, ax) ∈ R2 , onde x varia em R. Ela e´ o subespac¸o vetorial de R2 gerado pelo vetor (1, a). Consideremos o operador P : R2 → R2 que faz corresponder a cada v = (x, y) ∈ R2 o vetor Pv = (x′ , ax′ ), cuja extremidade e´ o p´e da perpendicular baixada de v sobre a reta y = ax. (Veja Fig. 4.3.)

44

Transforma¸c˜ oes Lineares

Se¸c˜ ao 4

v

y = ax Pv

˜ ortogonal sobre uma reta. Figura 4.3 – Projec¸ao ˜ de x e y, o que nos dara´ as Queremos determinar x′ em func¸ao ˜ das coordenadas de v. No caso coordenadas (x′ , ax′ ) de Pv em func¸ao particular em que a = 0, a reta y = ax e´ o eixo das abcissas e a ˜ Pv e´ simplesmente igual a (x, 0). As equac¸o˜ es da projec¸ao ˜ P projec¸ao ′ ′ ˜ portanto sobre o eixo horizontalsao x = x, y = 0. A matriz de P na  1 0 2 base canˆonica de R e´ . No caso geral, a extremidade do vetor 0 0 ˆ ˆ ˆ Pv e´ o v´ertice do angulo reto num triangulo retangulo cujos demais ˜ a origem e a extremidade do vetor v. Pelo teorema de v´ertices sao ´ Pitagoras, temos dist(v, 0)2 = dist(Pv, 0)2 + dist(v, Pv)2 , ou seja, x2 + y2 = (x′ )2 + a2 (x′ )2 + (x − x′ )2 + (y − ax′ )2 . Suponhamos x′ 6= 0. Desenvolvendo, simplificando e dividindo ambos os membros por x′ , obtemos (1 + a2 )x′ = x + ay, donde x′ =

x + ay , 1 + a2

ou seja x′ =

1 a x+ y. 1 + a2 1 + a2

O caso x′ = 0 significa que v = (x, y) esta´ sobre a perpendicular a` reta ˜ dessa perpendicular y = ax passando pela origem. Ora, a equac¸ao ˜ x′ = (x + ay)/(1 + a2 ) fornece x′ e´ x + ay = 0, logo a expressao ˜ de x e y em todos os casos. Vemos, em particular, que em func¸ao

Se¸c˜ ao 4

Transforma¸c˜ oes Lineares

45

˜ P : R2 → R2 e´ um operador linear, cuja matriz na base a projec¸ao canˆonica de R2 e´   1

2

 1+a 

a 1+a2

a 1+a2 a2 1+a2

 .

˜ em torno de uma reta.) Seja S : R2 → R2 Exemplo 4.4. (Reflexao ˜ em torno da reta y = ax. Para todo v = (x, y) ∈ R2 , a reta a reflexao ˆ y = ax e´ a bissetriz do angulo entre v e Sv e e´ perpendicular a` reta ˜ ortogonal sobre a reta que liga v a Sv. Seja P : R2 → R2 a projec¸ao y = ax. A Fig. 4.4 mostra que, para todo v ∈ R2 , tem-se v + Sv = 2Pv, ou seja, que I + S = 2P, onde I : R2 → R2 e´ o operador identidade. Da´ı vem S = 2P − I. Usando o exemplo anterior, conclu´ımos que, para todo v = (x, y), tem-se Sv = (x′ , y′ ), onde x′ =

2a 1 − a2 x+ y, 1 + a2 1 + a2

y′ =

2a 1 − a2 x− y. 2 1+a 1 + a2

2Pv= v +Sv

v

Pv Sv

˜ em torno de uma reta. Figura 4.4 – Reflexao ´ Exemplo 4.5. Como vimos acima, o unico tipo de funcional linear ϕ : Rn → R e´ o da forma ϕ(v)=a1 x1 + · · · + an xn , para v = (x1 , . . . , xn ). Por outro lado, se E = Co ([a, b]) e´ o espac¸o vetorial das func¸o˜ es cont´ınuas f : [a, b] → R, podemos definir o funcional linear ϕ : E → R pondo Zb ϕ(f) = f(x) dx. a

Outro exemplo de funcional linear ξ em E consiste em fixar um ponto c ∈ [a, b] e definir, para cada f ∈ E, ξ(f) = f(c). Ainda no contexto

46

Transforma¸c˜ oes Lineares

Se¸c˜ ao 4

do espac¸o de func¸o˜ es E = Co ([a, b]), podemos definir um operador ˜ cont´ınua linear K : E → E do seguinte modo: fixamos uma func¸ao ´ k : [a, b] × [a, b] → R, de duas variaveis, e fazemos corresponder a ˜ g = Kf ∈ E dada por cada f ∈ E a func¸ao Zb g(x) = k(x, y)f(y) dy. a

˜ D : C∞ (R) → Finalmente, temos o importante operador de derivac¸ao C∞ (R), definido por Df = f′ = derivada de f. Ele tamb´em pode ser considerado, de forma mais restrita, como um operador D : Pn → Pn , onde ! n n X X i D ai x = iai xi−1 , i=0

i=1

˜ linear ou, de forma mais ampla, como uma transformac¸ao D : Ck (R)→ Ck−1 (R), para k > 0.

Exerc´ıcios ˜ transformac¸o˜ es lineares e α e´ 4.1. Prove que se A, B : E → F sao ´ ˜ A + B e αA, conforme definidas no texto, sao ˜ um numero real entao transformac¸o˜ es lineares. ˜ de 30◦ em 4.2. Sejam R, P, S : R2 → R2 respectivamente a rotac¸ao ˜ ortogonal sobre a reta y = x/3 e a retorno da origem, a projec¸ao ˜ em torno da mesma reta. Dado o vetor v = (2, 5), determine flexao os vetores Rv, Pv e Sv. 4.3. Assinale verdadeiro (V) ou falso (F): ´ dada uma transformac¸ao ˜ linear A : E → F. E (

˜ v = 0. ) Se v ∈ E e´ tal que Av = 0 entao

(

˜ w = u + v. ) Se Aw = Au + Av entao

(

˜ linear de u1 , . . . , um entao ˜ Av e´ combinac¸ao ˜ ) Se v e´ combinac¸ao linear de Au1 , . . . , Aum .

(

˜ colineares (isto e´ , pertencentes a uma mesma ) Se u, v, w ∈ E sao ˜ Au, Av e Aw sao ˜ colineares. reta) entao

Se¸c˜ ao 4

Transforma¸c˜ oes Lineares

47

˜ sobre o eixo x, paralelamente a` 4.4. Seja A : R2 → R2 a projec¸ao reta y = ax (a 6= 0). Isto significa que, para todo v = (x, y), temse Av = (x′ , 0), tal que v − Av pertence a` reta y = ax. Exprima x′ ˜ de x e y e escreva a matriz de A relativamente a` base em func¸ao canˆonica de R2 . 4.5. Dados os vetores u1 = (2, −1), u2 = (1, 1), u3 = (−1, −4), v1 = ˜ um operador (1, 3), v2 = (2, 3) e v3 = (−5, −6), decida se existe ou nao linear A : R2 → R2 tal que Au1 = v1 , Au2 = v2 e Au3 = v3 . Mesma pergunta com v3 = (5, −6) e com v3 = (5, 6).

˜ geral de um operador linear A : R2 → R2 e´ A(x, y) = 4.6. A expressao (ax + by, cx + dy). Determine as constantes a, b, c e d de modo que A transforme os vetores u = (1, 2) e v = (3, 4) nos vetores Au = (1, 1) e Av = (2, 2). ˜ geral de um funcional linear f : R3 →R e´ f(x, y, z) = 4.7. A expressao ax + by + cz. Dados os vetores u = (1, 2, 3), v = (−1, 2, 3) e w = (1, −2, 3), determine a, b e c de tal modo que se tenha f(u) = 1, f(v) = 0 e f(w) = 0. 4.8. Seja A : R2 → R2 o operador linear definido por A(x, y) = (5x + ˜ 4y, −3x − 2y). Ache vetores nao-nulos u = (x, y) e v = (s, t) tais que ˜ unicas ´ Au = u e Av = 2v. Sao as soluc¸o˜ es? Sera´ poss´ıvel achar w 6= 0 em R2 com Aw = αw, onde α 6= 1 e α 6= 2 ?

4.9. Dˆe as express˜oes dos funcionais lineares f, g, h : R3 → R que formam a base dual em (R3 )∗ da base {u, v, w} ⊂ R3 , onde u = (1, 1, 1), v = (1, −1, 1) e w = (1, 1 − 1). (Vide Exerc´ıcio 4.20.) ˜ linear A : R2 → R3 . Sabe-se que 4.10. Tem-se uma transformac¸ao A(−1, 1) = (1, 2, 3) e A(2, 3) = (1, 1, 1). Pede-se a matriz a ∈ M(3 × 2) ` bases canˆonicas de R2 e R3 . de A relativamente as ˜ linear A : E → F transforma 4.11. Prove que uma transformac¸ao todo conjunto convexo C ⊂ E num conjunto convexo A(C) ⊂ F.

˜ do operador linear A : R2 → R2 , sa4.12. Determine a expressao bendo que, para todo v = (x, y), o segmento de reta que liga v a Av = (x′ , y′ ) e´ horizontal e tem seu ponto m´edio sobre a reta y = x. Qual e´ a imagem do eixo vertical pelo operador A ? 4.13. Prove que os operadores lineares E11 , E12 , E21 , E22 : R2 → R2 , definidos por E11 (x, y) = (x, 0), E12 (x, y) = (0, x), E21 (x, y) = (y, 0),

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Transforma¸c˜ oes Lineares

Se¸c˜ ao 4

E22 (x, y) = (0, y), constituem uma base do espac¸o vetorial L(R2 ). Prove ainda que outra base deste espac¸o pode ser formada com os operadores A, B, C, I, onde A(x, y) = (x + 3y, y), B(x, y) = (x, 0), C(x, y) = (x + y, x − y) e I(x, y) = (x, y). 4.14. Verifique que as func¸o˜ es definidas nos Exerc´ıcios 3.32 e 3.33 ˜ funcionais lineares. sao ˜ linear 4.15. Seja A : E → F uma transformac¸ao ˜ L.I., prove que v1 , . . . , vm ∈ E (a) Se os vetores Av1 , . . . , Avm ∈ F sao ˜ L.I. . tamb´em sao (b) Se F = E e os vetores Av1 , . . . , Avm geram E, prove que v1 , . . . , vm geram E. (c) Valem as rec´ıprocas de (a) e (b)? Seria (b) verdadeira com F 6= E ? ˜ lineares? 4.16. Quais das transformac¸o˜ es abaixo sao (a) (b) (c) (d)

A : R3 → R3 , A(x, y, z) = (x, 2y , 2z ).

A : R3 → R3 , A(x, y, z) = (3x, a, 5z), onde a ∈ R.

A : R4 → R3 , A(x, y, z, w) = (x − w, y − w, x + z).

A : M(n × n) → Rn , A([aij ]) = (a11 , a22 , . . . , ann ).

A : C∞ (R) → C∞ (R), Af = 3f′′ − 2f′ + 1.   a b (f) A : M(2 × 2) → R, A = ad − bc. c d (e)

˜ linear e E′ ⊂ E, F′ ⊂ F 4.17. Sejam A : E → F uma transformac¸ao subespac¸os vetoriais. Prove que A(E′ ) = {Av; v ∈ E′ } e´ um subespac¸o de F e A−1 (F′ ) = {v ∈ E; Av ∈ F′ } e´ um subespac¸o de E. Se V ⊂ E ˜ variedades afins, prove que os conjuntos A(V) ⊂ F e e W ⊂ F sao −1 ˜ tamb´em variedades afins. A (W) ⊂ E, definidos analogamente, sao

˜ finita 4.18. No exerc´ıcio anterior, prove que se E′ tem dimensao ˜ dim A(E′ ) e´ finita e dim A(E′ ) ≤ dim E′ . Dˆe um exemplo de entao ˜ identicamente nulo A : R2 → R2 e um subespac¸o um operador nao ′ 2 E ⊂ R tal que dim A(E′ ) < dim E′ . Prove tamb´em que se E e F′ tˆem ˜ finita e A e´ sobrejetiva entao ˜ dim A−1 (F′ ) ≥ dim F′ . Dˆe um dimensao exemplo em que A 6= 0 e dim A−1 (F′ ) > dim F′ . Dˆe tamb´em um exemplo (com dim E = ∞), onde dim F′ e´ finita mas dim A−1 (F′ ) = ∞.

4.19. Dados os espac¸os vetoriais E, F, prove que L(E; F) e´ um subespac¸o vetorial de F(E; F). (Vide Exerc´ıcio 1.15.)

Se¸c˜ ao 4

Transforma¸c˜ oes Lineares

49

4.20. Seja V = {v1 , . . . , vn } uma base do espac¸o vetorial E. Para cada i = 1, 2, . . . , n, seja fi : E → R o funcional linear determinado (conforme o Teorema 4.1) pelas condic¸o˜ es fi (vi ) = 1, fi (vj ) = 0 se j 6= i. Prove que {f1 , . . . , fn } e´ uma base de E∗ = L(E; R) (chamada a base dual da base V). Mostre que se tem fi (v) = xi para todo v = x1 v1 + · · · + xn vn ∈ E.

4.21. Seja f : R2 → R um funcional linear. Sabendo que f(1, 1) = 3 e f(2, 3) = 1, calcule f(1, 0) e f(0, 1).

4.22. Seja A : R2 → R2 o operador linear dado por A(x, y) = (ax + by, cx + dy), com ad − bc 6= 0. Prove: (1) Para todo v 6= 0 em R2 , tem-se A.v 6= 0.

˜ 1) e´ transfor(2) Toda reta R ⊂ R2 (variedade afim de dimensao mada por A numa reta. (3) A transforma retas paralelas em retas paralelas. 4.23. Determine α de modo que as retas perpendiculares em R2 , de equac¸o˜ es y = αx e y = −x/α sejam transformadas em retas perpendiculares pelo operador linear A : R2 → R2 , dado por A(x, y) = (2x + 3y, x − 2y).

˜ finita. Dados os 4.24. Sejam E, F espac¸os vetoriais de dimensao vetores v1 , . . . , vm ∈ E e w1 , . . . , wm ∈ F, a fim de que exista uma ˜ linear A : E → F com Av1 = w1 , . . . , Avm = wm , e´ transformac¸ao ´ ˜ linear nula α1 v1 + necessario e suficiente que, para toda combinac¸ao · · · + αm vm = 0, se tenha tamb´em α1 w1 + · · · + αm wm = 0. ˜ ˜ 4.25. Seja v um vetor nao-nulo de um espac¸o vetorial E, de dimensao finita. Dado qualquer espac¸o vetorial F 6= {0}, mostre que existe uma ˜ linear A : E → F tal que Av 6= 0. transformac¸ao ˜ finita. Dada uma base 4.26. Seja E um espac¸o vetorial de dimensao F = {f1 , . . . , fn } ⊂ E∗ , mostre que existe uma base {v1 , . . . , vn } ⊂ E da qual F e´ dual. (Veja Exerc´ıcio 4.20.)

4.27. Seja Y um conjunto de geradores do espac¸o vetorial E. Se as ˜ tais que Aw = Bw para todo transformac¸o˜ es lineares A, B : E → F sao w ∈ Y, prove que Av = Bv para todo v ∈ E.

50

Transforma¸c˜ oes Lineares

Se¸c˜ ao 4

4.28. Seja X = {v1 , . . . , vm } um conjunto L.I. no espac¸o vetorial E,

˜ finita. Dados arbitrariamente os vetores w1 , . . . , wm no de dimensao ˜ linear A : E → espac¸o vetorial F, prove que existe uma transformac¸ao ´ F tal que Av1 = w1 , . . . , Avm = wm . A e´ unica se, e somente se, X e´ uma base de E. ˜ T : E → F, entre espac¸os vetoriais, chama4.29. Uma transformac¸ao se afim quando se tem T ((1−t)u+tv) = (1−t)Tu+tTv para quaisquer ˜ afim T : E → F, prove: u, v ∈ E e t ∈ R. Dada a transformac¸ao

(a) Toda variedade afim V ⊂ E e´ transformada por T numa variedade afim V ′ ⊂ F.

˜ escrevendo αv = (1 − α)0 + αv, resulta que (b) Se T · 0 = 0, entao, T (αv) = α · Tv para quaisquer α ∈ R, v ∈ E.
˜ T 21 (u + v) = 21 (Tu + Tv), (c) Supondo ainda T · 0 = 0, a relac¸ao implica que T (u + v) = Tu + Tv para quaisquer u, v ∈ E. ˜ S : E → F, definida por Sv = (d) Para todo b ∈ F, a transformac¸ao Tv + b tamb´em e´ afim.

˜ afim se, e somente Conclua que T : E → F e´ uma transformac¸ao se, existem A ∈ L(E; F) e b ∈ F tais que Tv = Av + b para todo v ∈ E.

˜ n − 1. Seja H ⊂ Rn um subespac¸o vetorial de dimensao Tome uma base V ⊂ H, formada pelos vetores v1 , . . . , vn−1 , onde vi = (αi , . . . , αin ), i = 1, . . . , n − 1. Use o fato de que o sistema de n P equac¸o˜ es lineares αij xj = 0, com n − 1 equac¸o˜ es e n inc´ognitas, ad4.30.

j=1

˜ nao-trivial ˜ ´ mite uma soluc¸ao para concluir que existem n numeros a1 , . . . , an tais que v = (x1 , . . . , xn ) pertence a H se, e somente se, ˜ a1 x1 + · · · + an xn = 0. (Todo subespac¸o vetorial de Rn com dimensao n − 1 e´ um hiperplano, isto e´ , e´ o conjunto das soluc¸o˜ es de uma ˜ linear homogˆenea.) equac¸ao

5 Produto de Transforma¸co ˜es Lineares O produto de transforma¸co˜ es lineares, que introduziremos nesta se¸cao, ˜ e´ um exemplo concreto de estrutura alg´ebrica que apresenta variados e interessantes fenˆomenos, nao ˜ encontrados nas opera¸co˜ es entre numeros ´ ou entre vetores. Dadas as transformac¸o˜ es lineares A : E → F, B : F → G, onde o dom´ınio de B coincide com o contra-dom´ınio de A, define-se o produto BA : E → G pondo, para cada v ∈ E, (BA)v = B(Av), E

A

F

B

G

BA

˜ linear. ObVˆe-se imediatamente que BA e´ uma transformac¸ao serve-se tamb´em que BA nada mais e´ do que a composta B ◦ A das ˜ dos princ´ıpios gerais que se C : G → H func¸o˜ es B e A. Segue-se entao ˜ linear, vale a e´ outra transformac¸ao Associatividade: (CB)A = C(BA). ´ A linearidade tampouco e´ necessaria para mostrar que, dadas A : E → F e B, C : F → G, tem-se a Distributividade a` esquerda: (B + C)A = BA + CA, que decorre ˜ de B + C. simplesmente da definic¸ao Usando a linearidade de C : F → G, vˆe-se que, dadas A, B : E → F, vale a

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Produto de Transforma¸c˜ oes Lineares

Se¸c˜ ao 5

Distributividade a` direita: C(A + B) = CA + CB. Com efeito, para todo v ∈ E, tem-se [C(A + B)]v = C[(A + B)v] = C(Av + Bv) = C(Av) + C(Bv) = (CA)v + (CB)v = (CA + CB)v. Exemplo 5.1. Sejam f, g, h : R → R definidas por f(x) = x, g(x) = ˜ [h ◦ (f + g)](x) = 4x2 + 4x + 1, enquanto x + 1 e h(x) = x2 . Entao [(h ◦ f) + (h ◦ g)](x) = 2x2 + 2x + 1, logo h ◦ (f + g) 6= h ◦ f + h ◦ g. Isto ˜ e´ linear. se da´ porque h nao ¨ encia da linearidade de B e´ a Outra consequˆ ´ Homogeneidade: B(αA) = α(BA), valida para α ∈ R, A : E → F e B : F → G quaisquer. Evidentemente, dada A : E → F, tem-se AIE = A = IF A, de modo ˜ elementos que as aplicac¸o˜ es identidade IE : E → E, IF : F → F sao ˜ cada uma delas do lado apropriado. neutros para a multiplicac¸ao, ´ Diferenc¸as notaveis entre o produto de transformac¸o˜ es lineares ´ ˜ as ausˆencias da comutatividade, e o produto de numeros reais sao ˜ da lei do corte e da inversa multiplicativa para uma transformac¸ao 6= 0, al´em da presenc¸a de transformac¸o˜ es nilpotentes, para as quais ˜ de tem-se An = 0 com A 6= 0. Deve-se ainda mencionar a restric¸ao que o produto BA s´o esta´ definido quando A toma valores no dom´ınio ˜ desaparece, naturalmente, quando se trata de de B. Esta restric¸ao ˜ o produto BA esta´ operadores lineares no mesmo espac¸o E: entao definido quaisquer que sejam A, B ∈ L(E). ˜ ortoExemplo 5.2. Sejam P, R : R2 → R2 respectivamente a projec¸ao ˜ de um angulo ˆ gonal sobre a reta y = x e a rotac¸ao de 90◦ em torno da ˜ para todo v = (x, y) ∈ R2 , tem-se Pv = 12 (x + y, x + y), origem. Entao, Rv = (−y, x). Segue-se que 1 RPv = (−x − y, x + y) 2 e 1 PRv = (x − y, x − y). 2 Portanto RPv 6= PRv para todo v, exceto para v = (0, 0). Observe que bastaria que RPv 6= PRv para um unico ´ v a fim de termos RP 6= PR.

Se¸c˜ ao 5

Produto de Transforma¸c˜ oes Lineares

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˜ ortogonal sobre uma certa Exemplo 5.3. Seja P : R2 → R2 a projec¸ao reta r. Para todo v sobre a reta r, tem-se Pv = v. Assim, para qualquer v ∈ R2 , tem-se PPv = Pv, pois Pv esta´ sobre r. Noutras palavras, ˜ e´ pervale PP = P, ou seja PP = PI, embora P 6= I. Assim, nao mitido cortar o fator P a` esquerda em ambos os membros da igual˜ existe Q ∈ L(R2 ) tal que QP = I. dade PP = PI. Segue-se que nao Com efeito, se um tal operador Q existisse, de PP = P concluir´ıamos QPP = QP, isto e´ , IP = I, donde P = I. Exemplo 5.4. Sejam P, Q : R2 → R2 projec¸o˜ es ortogonais sobre duas retas do plano, uma das quais e´ perpendicular a` outra. Todo vetor ˆ que tem Pv e Qv como lados. v ∈ R2 e´ a diagonal de um retangulo (Veja Fig. 5.1.) v

Qv Pv

Figura 5.1. ˜ que v = Pv+Qv para todo v ∈ R2 , ou seja, P+Q = I Segue-se entao e Q = I − P. Portanto PQ = P(I − P) = P − P2 = P − P = 0. Obtemos ´ poss´ıvel mesmo ˜ assim dois operadores nao-nulos P, Q com PQ = 0. E 2 2 ˜ que um operador nao-nulo A ∈ L(R ) cumpra A = 0. Basta pˆor A(x, y) = (x − y, x − y). Um operador A chama-se nilpotente quando, para algum n ∈ N, tem-se An = 0. Um exemplo significativo de operador nilpotente e´ a ˜ D : Pn → Pn . Para todo polinˆomio p de grau ≤ n tem-se derivac¸ao Dn+1 p = 0, logo Dn+1 = 0. ˜ rotac¸o˜ es em torno da origem Exemplo 5.5. Se Rα , Rβ : R2 → R2 sao ˆ ˜ Rα · Rβ = Rα+β . (Isto pode com angulos α e β respectivamente, entao

54

Produto de Transforma¸c˜ oes Lineares

Se¸c˜ ao 5

ser visto geometricamente na Fig. 5.2 ou usando as f´ormulas de ˜ em torno de uma cos(α + β) e sen(α + β)). Se S : R2 → R2 e´ a reflexao ˜ S · S = I. Isto se segue da expressao ˜ S = 2P − I, levando reta entao em conta que P · P = P, mas tamb´em pode ser visto geometricamente (com mais facilidade). Rb v

Ra Rb v = R a + b v

v

a b

˜ Figura 5.2 – Rotac¸oes do plano.

Exerc´ıcios 5.1. Verifique explicitamente que o produto BA de transformac¸o˜ es ˜ linear. lineares e´ ainda uma transformac¸ao 5.2. Considere os operadores lineares R, S, P : R2 → R2 , onde R e´ a ˜ de 30◦ em torno da origem, S e´ a reflexao ˜ em torno da reta rotac¸ao ˜ ortogonal sobre a mesma reta. y = 2x e P e´ a projec¸ao (i) Mostre que se tem PS = SP = P. (ii) Verifique a igualdade RSR = S. ˜ comuta com S nem com P. (iii) Mostre que R nao (iv) Determine todos os vetores v tais que PRv = 0 e RPv 6= 0. 5.3. Dado o operador linear A : E → E, seja N o conjunto dos vetores v ∈ E tais que Av = 0. Mostre que N e´ um subespac¸o vetorial de E. Prove que A2 = 0 se, e somente se, para todo v ∈ E tem-se Av ∈ N.

Se¸c˜ ao 5

Produto de Transforma¸c˜ oes Lineares

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ˆ 5.4. Sejam R, R′ : R2 → R2 respectivamente as rotac¸o˜ es de angulos θ e θ′ em torno da origem. Partindo do fato de que o produto RR′ e´ a ˜ de angulo ˆ rotac¸ao θ + θ′ , use o Exemplo 4.2 para obter as f´ormulas ´ classicas cos(θ + θ′ ) = cos θ · cos θ′ − sen θ · sen θ′ e sen(θ + θ′ ) = sen θ · cos θ′ + sen θ′ · cos θ. 5.5. Seja A : E → E um operador nilpotente. Prove que existe algum vetor v 6= 0 em E tal que Av = 0.

5.6. Dados os operadores A, B : R2 → R2 dados por A(x, y) = (x + y, 0) e B(x, y) = (−y, x), obtenha as express˜oes dos operadores A + B, AB, BA, A2 e B2 . Descreva geometricamente esses cinco operadores. ˜ sobre o eixo x paralelamente a uma certa (Exemplo: A e´ a projec¸ao reta. (Qual?)) 5.7. Seja A : R3 → R3 dado por A(x, y, z) = (ay + bz, cz, 0). Mostre que A3 = 0.

5.8. Sejam A, B, C, D : R2 → R2 os operadores dados por A(x, y) = (x, 0), B(x, y) = (−y, x), C(x, y) = (0, y) e D(x, y) = (y, −x). Determine o operador ABCD. 5.9. Considere as transformac¸o˜ es lineares A : R2 → R3 e B : R3 → R2 , definidas por: A(x, y) = (x, y, x + y) e B(x, y, z) = (ax + (a − 1)y + (1 − a)z, −bx + (1 − b)y + bz). Determine o operador BA : R2 → R2 . 5.10. Dado o operador A : R2 → R2 , com A(x, y) = (3x − 2y, 2x + 7y), ˜ ache um vetor nao-nulo v = (x, y) tal que Av = 5v.

5.11. Sejam A, B : E → E operadores lineares. Suponha que existam vetores u, v ∈ E tais que Au e Av sejam L.D. . Prove que BAu e BAv ˜ L.D. . Se a dimensao ˜ de E for igual a 2, prove tamb´em que ABu sao ˜ L.D. . (Sugestao: ˜ se u e v sao ˜ L.D. o fato e´ o´ bvio. Caso e ABv sao ´ contrario, u e v formam uma base de E. Exprima Bu e Bv em termos dessa base e depois aplique A.) 5.12. Sejam A, B : R3 → R3 definidos por A(x, y, z) = (x, y, 0) e B(x, y, z) = (x + z, y, 0). Obtenha vetores u, v ∈ R3 tais que Au e Av sejam L.D. por´em ABu e ABv sejam L.I. . 5.13. No espac¸o vetorial P dos polinˆomios, considere os operadores ˜ (Dp(x) = p′ (x)) e multiplicac¸ao ˜ lineares D, A : P → P de derivac¸ao por x (Ap(x) = xp(x)) respectivamente. Determine DA − AD.

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Produto de Transforma¸c˜ oes Lineares

Se¸c˜ ao 5

5.14. Seja A : R2 → R2 o operador linear definido por A(x, y) = (ax + by, cx + dy). Verifique que A2 − (a + d)A = (bc − ad)I. Use esta igualdade para provar que, se ad − bc 6= 0, existe um operador linear B : R2 → R2 tal que BA = AB = I.

5.15. Seja C(A) o conjunto dos operadores lineares X : E → E que comutam com o operador A ∈ L(E) (isto e´ , AX = XA). Prove que C(A) e´ um subespac¸o vetorial de L(E) e que X, Y ∈ C(A) ⇒ XY ∈ C(A).

˜ e´ da forma αI. 5.16. Seja A : R2 → R2 um operador linear que nao Prove: (a) Existe w ∈ R2 tal que {w, Aw − w} ⊂ R2 e´ uma base. (b) Se P : R2 → R2 e´ o operador que a cada v = xw + y(Aw − w) ∈ R2 ˜ AP 6= PA. faz corresponder Pv = xw entao ´ Conclua que os unicos operadores lineares em R2 que comutam ˜ os da forma αI. com todos os demais sao 5.17. Estenda o exerc´ıcio anterior para todos os espac¸os vetoriais de ˜ finita (maior do que 1) em vez de R2 . dimensao ˜ linear e B : F → E uma 5.18. Sejam A : E → F uma transformac¸ao ˜ tal que AB = IF e BA = IE . Prove que B e´ uma transformac¸ao ˜ func¸ao linear. ˜ n. Para todo k = 5.19. Seja E um espac¸o vetorial de dimensao 2, . . . , n, exiba um operador linear A : E → E tal que Ak = 0 mas Aj 6= 0 se j < k.

˜ 5.20. Sejam A, P : E → E operadores lineares nao-nulos tais que AP = 0. Prove que existem vetores diferentes de zero u 6= v com Au = Av.

˜ 5.21. Sejam A : R2 → R2 um operador linear e P : R2 → R2 a projec¸ao ortogonal sobre uma reta r (passando pela origem). Prove que as ˜ equivalentes: seguintes afirmac¸o˜ es sao (a) Para todo v ∈ r tem-se Av ∈ r. (b) PAP = AP. ˜ linear tal que Xw 6= 0 para 5.22. Seja X : F → G uma transformac¸ao todo w 6= 0 em F. Prove que se A, B ∈ L(E; F) cumprem XA = XB ˜ A = B. entao

Se¸c˜ ao 5

Produto de Transforma¸c˜ oes Lineares

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˜ linear com a seguinte pro5.23. Seja X : E → F uma transformac¸ao priedade: para cada w ∈ F existe (pelo menos) um vetor v ∈ E tal que Xv = w. Suponha que A, B ∈ L(F; G) cumprem a igualdade AX = BX. Prove que A = B. 5.24. Sejam A, B : E → F transformac¸o˜ es lineares tais que, para todo operador linear X : F → F, tem-se XA=XB. Prove que A=B.

6 N´ ucleo e Imagem Nesta se¸cao, ˜ sera´ examinada com cuidado a possibilidade de uma transforma¸cao ˜ linear admitir ou nao ˜ uma inversa. Veremos que isto esta´ associado a` existˆencia e a` unicidade da solu¸cao ˜ de um sistema de equa¸co˜ es lineares. Sera´ introduzido o conceito de isomorfismo, que dara´ um sentido preciso a` afirma¸cao ˜ de que dois espa¸cos vetoriais de mesma dimensao ˜ sao ˜ algebricamente indistingu´ıveis. Tudo come¸ca com o nucleo ´ e a imagem de uma transforma¸cao. ˜ ˜ linear A : E → F estao ˜ associados dois subA toda transformac¸ao ´ espac¸os vetoriais indispensaveis para estudar o comportamento de ´ A: o nucleo de A, que e´ um subespac¸o de E, e a imagem de A, que e´ um subespac¸o de F. A imagem de A e´ o subconjunto Im(A) ⊂ F, formado por todos ˜ imagens de elementos de E pela os vetores w = Av ∈ F que sao ˜ A. transformac¸ao ˜ de imagem tem sentido seja qual for a func¸ao ˜ A : E → F, A noc¸ao ˜ Quando A e´ linear, entao ˜ Im(A) e´ um subespac¸o seja linear ou nao. vetorial de F, como se vˆe facilmente. ˜ A e´ sobrejetiva. Isto Se Im(A) = F, diz-se que a transformac¸ao significa que, para qualquer w ∈ F dado, pode-se achar v ∈ E tal que A · v = w. Seja X ⊂ E um conjunto de geradores do espac¸o vetorial E. A ˜ linear A : E → F e´ o subespac¸o vetorial imagem da transformac¸ao de F gerado pelos vetores Av, v ∈ X. Em particular, A e´ sobrejetiva se, e somente se, transforma X num conjunto de geradores de F.

Se¸c˜ ao 6

N´ ucleo e Imagem

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Se v1 , . . . , vn geram E os vetores Av1 , . . . , Avn geram Im(A). Segue˜ de Im(A) e´ menor do que ou igual a` dimensao ˜ se que a dimensao do dom´ınio de A. Este fato sera´ tornado mais preciso a seguir. (V. Teorema 6.6.) Exemplo 6.1. Dado um sistema linear de m equac¸o˜ es a n inc´ognitas a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 .. .

am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm , ˜ linear cuja matriz nas bases caseja A : Rn → Rm a transformac¸ao nˆonicas de Rn e Rm e´ a = [aij ]. Isto significa, como sabemos, que, para j = 1, . . . , n, os vetores vj = Aej =

m X i=1

aij ei = (a1j , . . . , amj ) ∈ Rm

˜ os vetores-coluna da matriz a. Em termos da transformac¸ao ˜ sao linear A, o sistema acima pode ser interpretado como o problema de achar um vetor x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn tal que Ax = b, onde b = ˜ se, e somente se, o (b1 , . . . , bm ). Portanto o sistema admite soluc¸ao ˜ linear A, o que equivale vetor b pertence a` imagem da transformac¸ao a dizer que os conjuntos {v1 , . . . , vn } e {v1 , . . . , vn , b} geram ambos o mesmo subespac¸o Im(A).

Exemplo 6.2. Um funcional linear f : E → R e´ sobrejetivo ou e´ ˜ os unicos ´ igual a zero, pois {0} e R sao subespac¸os vetoriais de R. ˜ D : Ck (R) → Ck−1 (R) e´ sobrejetiva, e o mesmo se da´ A derivac¸ao ˜ linear com o operador D : C∞ (R) → C∞ (R) e com a transformac¸ao 2 2 ˜ ortogonal sobre uma reta D : Pn → Pn−1 . Se P : R → R e´ a projec¸ao r, a imagem de P e´ essa reta r. ˜ linear B : F → E chama-se uma inversa a` Uma transformac¸ao ˜ linear A : E → F quando se tem AB = IF , ou direita da transformac¸ao seja, quando A(Bw) = w para todo w ∈ F. Teorema 6.1. A fim de que uma transforma¸cao ˜ linear A : E → F, entre espa¸cos vetoriais de dimensao ˜ finita, possua uma inversa a` direita B ∈ L(F; E) e´ necessario ´ e suficiente que A seja sobrejetiva.

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N´ ucleo e Imagem

Se¸c˜ ao 6

˜ ˜ Se A admite uma inversa a` direita B : F → E entao, Demonstrac¸ao: para todo w ∈ F tem-se A(Bw) = w, logo w = A · v, onde v = Bw, ˜ se usou a linearidade de A, e muito e A e´ sobrejetiva. (Aqui nao menos a finitude das dimens˜oes de E e F.) Suponhamos, em seguida, que A seja sobrejetiva. A fim de definir uma transforma˜ linear B : F → E com A(Bw) = w para todo w ∈ F, tomamos c¸ao uma base B = {w1 , . . . , wm } ⊂ F. Como A e´ sobrejetiva, podemos escolher vetores v1 , . . . , vm ∈ E tais que Av1 = w1 , . . . , Avm = wm . ˜ linear B : F → E tal que Pelo Teorema 4.1, existe uma transformac¸ao Bw1 = v1 , . . . , Bwm = vm . Afirmamos que, para todo w ∈ F, temse A(Bw) = w. Com efeito, sendo B uma base, podemos escrever w = β1 w1 + · · · + βm wm , portanto A(Bw) = A(β1 Bw1 + · · · + βm Bwm ) = A(β1 v1 + · · · + βm vm ) = β1 Av1 + · · · + βm Avm

= β1 w1 + · · · + βm wm = w.



˜ linear sobrejetiva A : E → F Exemplo 6.3. Uma transformac¸ao pode admitir mais de uma inversa a` direita B : F → E. Um exem˜ linear A : R3 → R2 , defiplo simples e´ dado pela transformac¸ao nida por A(x, y, z) = (x, y). Fixados arbitrariamente a, b ∈ R, a ˜ linear B : R2 → R3 , definida por B(x, y) = (x, y, ax + transformac¸ao ´ by), e´ uma inversa a` direita para A. Variando os numeros a e b, obtemos infinitas possibilidades para B. ˜ D : Pn+1 → Exemplo 6.4. Uma inversa a` direita para a derivac¸ao ˜ linear J : Pn → Pn+1 , que a cada polinˆomio Pn e´ a transformac¸ao p(x) = ao + a1 x + · · · + an xn de grau ≤ n faz corresponder o polinˆomio Jp(x) = ao x +

a1 2 an n+1 x + ··· + x . 2 n+1

˜ linear A : E → F e´ o conjunto dos veO nucleo ´ da transformac¸ao ˜ N (A) para repretores v ∈ E tais que Av = 0. Usaremos a notac¸ao ´ facil ´ ´ ver que N (A) e´ um subespac¸o vetorial sentar o nucleo de A. E de E. ˜ linear A : E → F chama-se injetiva quando Uma transformac¸ao v 6= v′ em E ⇒ Av 6= Av′ em F. Equivalentemente: Av = Av′ ⇒ v = v′ . ˜ tem sentido para qualquer func¸ao ˜ A : E → F, seja ela Esta noc¸ao

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˜ No caso linear, por´em, o teorema abaixo simplifica a linear ou nao. ˜ da injetividade. verificac¸ao Teorema 6.2. A fim de que uma transforma¸cao ˜ linear A : E → F seja injetiva e´ necessario ´ e suficiente que seu nucleo ´ N (A) contenha apenas o vetor nulo. ˜ v ∈ N (A) ⇒ A · v = 0 = ˜ Demonstrac¸ao: Seja A injetiva. Entao A · 0 ⇒ v = 0, logo N (A) = {0}. Reciprocamente, seja N (A) = {0}. ˜ Av = Av′ ⇒ A(v − v′ ) = Av − Av′ = 0 ⇒ v − v′ ∈ N (A) ⇒ Entao v − v′ = 0 ⇒ v = v′ , logo A e´ injetiva. Teorema 6.3. Uma transforma¸cao ˜ linear e´ injetiva se, e somente se, leva vetores L.I. em vetores L.I. .

˜ linear injetiva. ˜ Seja A : E → F uma transformac¸ao Demonstrac¸ao: ˜ linearmente independentes, vamos Se os vetores v1 , . . . , vn ∈ E sao ˜ vetores linearmente indeprovar que suas imagens Av1 , . . . , Avn sao ˜ pendentes em F. Com efeito, se α1 · Av1 + · · · + αn · Avn = 0 entao A(α1 v1 + · · · + αn vn ) = 0, logo α1 v1 + · · · + αn vn = 0 pois A e´ in˜ L.I., segue-se que α1 = · · · = αn = 0, jetiva. Como v1 , . . . , vn sao ˜ L.I. . Reciprocamente se a transformac¸ao ˜ portanto Av1 , . . . , Avn sao ˜ v 6= 0 em linear A : E → F leva vetores L.I. em vetores L.I. entao E ⇒ {v} L.I. ⇒ {Av} L.I. ⇒ Av 6= 0, portanto N (A) = {0} e A e´ injetiva. ˜ finita n e A : E → Segue-se deste teorema que se E tem dimensao ˜ linear injetiva entao ˜ dim F ≥ n. Assim, por F e´ uma transformac¸ao ˜ existe uma transformac¸ao ˜ linear injetiva de R3 em R2 . exemplo, nao

Teorema 6.4. Seja A : E → F uma transforma¸cao ˜ linear. Para todo b ∈ Im(A), o conjunto V = {x ∈ E; Ax = b}, formado pelas solu¸co˜ es do sistema linear Ax = b, e´ uma variedade afim em E, paralela ao nucleo ´ N (A). ˜ Fixemos x0 ∈ V, isto e´ , com Ax0 = b. Afirmamos Demonstrac¸ao: que V = x0 + N (A). Com efeito, v ∈ N (A) ⇒ A(x0 + v) = Ax0 + Av =

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N´ ucleo e Imagem

Se¸c˜ ao 6

b + 0 = b ⇒ x0 + v ∈ V. Logo x0 + N (A) ⊂ V. Reciprocamente, x ∈ V ⇒ x = x0 + (x − x0 ) = x0 + v

⇒ b = Ax = A(x0 + v) = Ax0 + Av = b + Av

⇒ b = b + Av

⇒ Av = 0

⇒ x = x0 + v ∈ x0 + N (A).

Logo V ⊂ x0 + N (A).



˜ Geometricamente, o Teorema 6.4 significa que o espaObservac¸ao. ˜ de laminas ˆ c¸o vetorial E se exprime como uma reuniao paralelas V = x0 + N (A), cada uma das quais e´ uma variedade afim que ´ se transforma por A num unico ponto b∈Im(A). Este ponto, naˆ turalmente, varia quando se passa de uma lamina para outra. (Veja Fig. 6.1.) E

x0 (A

)

F

(A

)

N

Ax0

0

x

+N

A O

O

Im(A)

Figura 6.1. Algebricamente, o Teorema 6.4 significa que, para cada b ∈ Im(A), obtˆem-se todas as soluc¸o˜ es x ∈ E do sistema linear Ax = b ˜ particular” x0 desse sistema e a soluc¸ao ˜ assim: acha-se uma “soluc¸ao ˜ particular com a “soluc¸ao ˜ gegeral x = xo + v e´ a soma dessa soluc¸ao ral v do sistema homogˆeneo associado” Ax = 0. Naturalmente, esta ´ ´ ˜ ultima e´ um elemento qualquer do nucleo de A. Se b ∈ / Im(A) entao ˜ possui soluc¸ao. ˜ o sistema Ax = b, evidentemente, nao ´ ˜ ou de uma reflexao ˜ no plano Exemplo 6.5. O nucleo de uma rotac¸ao ´ ˜ ortogonal P : R2 → R2 sobre R2 reduz-se a {0}. O nucleo da projec¸ao ´ a reta r e´ a reta que cont´em 0 e e´ perpendicular a r. O nucleo da

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˜ D : Ck (R) → Ck−1 (R) e´ o subespac¸o uni-dimensional de derivac¸ao k ´ C (R) formado pelas func¸o˜ es constantes. O nucleo de um funcional ˜ linear nao-nulo ϕ : E → R e´ um hiperplano H ⊂ E. Sejam A : E → F e B : F → E transformac¸o˜ es lineares. Diz-se que B e´ uma inversa a` esquerda de A quando BA = IE , isto e´ , quando B(Av) = v para todo v ∈ E. Exemplo 6.6. Seja A : R2 → R3 definida por A(x, y) = (x + 2y, 2x + ˜ linear B : R3 → R2 , dada por 3y, 3x + 4y). A transformac¸ao B(x, y, z) = (−3x + 2y, 2x − y)

˜ cumpre a relac¸ao B(A(x, y)) = B(x + 2y, 2x + 3y, 3x + 4y) = (−3(x + 2y) + 2(2x + 3y), 2(x + 2y) − (2x + 3y)) = (x, y) para qualquer (x, y) ∈ R2 . Logo B e´ uma inversa a` esquerda para A. ˜ linear pode admitir uma infiniExemplo 6.7. Uma transformac¸ao dade de inversas a` esquerda. Por exemplo, seja A : R2 → R3 dada ˜ por A(x, y) = (x, y, 0). Para quaisquer a, b ∈ R, a transformac¸ao linear B : R3 → R2 , dada por B(x, y, z) = (x + az, y + bz) e´ uma inversa a` esquerda de A, pois BA(x, y) = B(x, y, 0) = (x, y) para todo (x, y) ∈ R2 . Teorema 6.5. Sejam E e F espa¸cos vetoriais de dimensao ˜ finita. A transforma¸cao ˜ linear A : E → F possui inversa a` esquerda se, e somente se, e´ injetiva.

˜ ˜ Demonstrac¸ao: Seja B : F → E inversa a` esquerda de A. Entao Au = Av ⇒ u = B(Au) = B(Av) = v, logo A e´ injetiva. Reciprocamente, suponhamos que A seja injetiva. A fim de obter uma inversa a` esquerda B para A, tomemos {v1 , . . . , vn } ⊂ E, uma base. Pelo Te˜ L.I., logo podemos achar orema 6.3, os vetores Av1 , . . . , Avn ∈ F sao vetores w1 , . . . , wk ∈ F tais que {Av1 , . . . , Avn , w1 , . . . , wk } ⊂ F

seja uma base. (Teorema 3.4.) Pelo Teorema 4.1, a fim de definir ˜ linear B : F → E, basta especificar seus valores nos a transformac¸ao

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elementos desta base. Poremos B(Av1 ) = v1 , . . . , B(Avn ) = vn , Bw1 = 0, . . . , Bwk = 0. Dado qualquer v ∈ E, tem-se v = α1 v1 + · · · + αn vn , logo BAv = B(α1 Av1 + · · · + αn Avn ) = α1 BAv1 + · · · + αn BAvn

= α1 v1 + · · · + αn vn = v, portanto B e´ uma inversa a` esquerda de A.

˜ linear A : E → F chama-se invert´ıvel quando Uma transformac¸ao existe B : F → E linear tal que BA = IE e AB = IF , ou seja, quando B e´ , ao mesmo tempo, inversa a` esquerda e a` direita de A. Neste caso, diz-se que B e´ a inversa de A e escreve-se B = A−1 . ˜ linear A seja invert´ıvel, e´ necesA fim de que a transformac¸ao ´ ˜ sario e suficiente que ela seja injetiva e sobrejetiva. Diz-se, entao, que A e´ uma bije¸cao ˜ linear entre E e F ou, mais apropriadamente, ˜ que A : E → F e´ um isomorfismo e que os espac¸os vetoriais E e F sao isomorfos. ˜ isomorfismos, entao ˜ A−1 : F → E e Se A : E → F e B : F → G sao ˜ isomorfismos. Tem-se (BA)−1 = A−1 B−1 e, BA : E → G tamb´em sao para α 6= 0, (αA)−1 = α1 · A−1 . Um isomorfismo A : E → F entre espac¸os vetoriais transforma toda base de E numa base de F. Reciprocamente, se uma transfor˜ linear A : E → F leva alguma base de E numa base de F entao ˜ mac¸ao A e´ um isomorfismo. Do que foi dito acima resulta, em particular, que dois espac¸os ˜ finita isomorfos tˆem a mesma dimensao. ˜ vetoriais de dimensao A rec´ıproca e´ verdadeira, como veremos agora. ˜ finita n. FiCom efeito, seja E um espac¸o vetorial de dimensao xando uma base {v1 , . . . , vn } ⊂ E, podemos definir uma transfor˜ linear A : Rn → E pondo, para cada v = (α1 , . . . , αn ) ∈ Rn , mac¸ao Av = α1 v1 + · · · + αn vn . Tem-se Ae1 = v1 , . . . , Aen = vn . Assim, A transforma a base canˆonica {e1 , . . . , en } ⊂ Rn na base {v1 , . . . , vn } ⊂ E, logo e´ um isomorfismo entre Rn e E. ˜ n e´ isomorfo Noutras palavras, todo espac¸o vetorial de dimensao a Rn . Como o inverso A−1 : E → Rn e o produto BA−1 : E → F de A por ˜ isomorfismos, segue-se que dois outro isomorfismo B : Rn → F sao ˜ n, sao ˜ isomorfos. espac¸os vetoriais E, F, ambos de dimensao

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Exemplo 6.8. O espac¸o Pn , dos polinˆomios de grau ≤ n, tem di˜ n+1, logo e´ isomorfo a Rn+1 . Por sua vez, o espac¸o M(m×p), mensao das matrizes m × p, e´ isomorfo a Rmp , portanto Pn e´ isomorfo a M(m × p) se, e somente se, n + 1 = mp. ˜ de isomorfismo entre espac¸os vetoriais e´ fundamental . A noc¸ao ´ Ela nos permite identificar, sob o ponto de vista da Algebra Linear, espac¸os vetoriais que se apresentam sob formas a` primeira vista diferentes. Por exemplo, a correspondˆencia (ao , . . . , an ) ↔ ao + a1 x + · · · + an xn , e´ um isomorfismo natural entre Rn+1 e Pn , que ´ desempenha papel relevante em Analise. Noutro exemplo, se dispusermos os elementos de uma matriz n× n em fileiras paralelas a` sua diagonal principal, veremos que ha´ um total de n(n + 1) n + (n − 1) + · · · + 2 + 1 = 2 elementos nesta diagonal ou acima dela. Colocando esses elementos numa linha, em ordem determinada, obtemos um vetor de Rn(n+1)/2 . ˜ Se a matriz dada e´ sim´etrica, os elementos abaixo da diagonal nao ˜ necessarios ´ ´ sao para determina-la pois apenas repetem os demais. Este processo estabelece um isomorfismo entre o espac¸o vetorial S das matrizes sim´etricas n × n e o espac¸o euclidiano Rn(n+1)/2 , o que nos permite concluir que dim S = n(n + 1)/2 . Um isomor´ fismo analogo (desprezando a diagonal principal que, neste caso, s´o cont´em zeros) mostra que as matrizes anti-sim´etricas n × n formam ˜ n(n − 1)/2. um espac¸o vetorial de dimensao ´ Teorema 6.6. (Teorema do Nucleo e da Imagem.) Sejam E, F espa¸cos vetoriais de dimensao ˜ finita. Para toda transforma¸cao ˜ linear A : E → F tem-se dim E = dim N (A) + dim Im(A).

˜ Demonstrac¸ao: O teorema resulta imediatamente da seguinte ˜ mais precisa, que provaremos a seguir: se {Au1 , . . . , Aup } afirmac¸ao ˜ e´ uma base de Im(A) e {v1 , . . . , vq } e´ uma base de N (A) entao {u1 , . . . , up , v1 , . . . , vq } e´ uma base de E. Com efeito, em primeiro lugar, se tivermos α1 u 1 + · · · + αp u p + β 1 v 1 + · · · + β q v q = 0

(*)

˜ aplicando o operador A a ambos os membros desta igualdade entao, ´ e lembrando que v1 , . . . , vq pertencem ao nucleo de A, obtemos α1 Au1 + · · · + αp Aup = 0.

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Se¸c˜ ao 6

˜ L.I., resulta da´ı que α1 = · · · = Como os vetores Au1 , . . . , Aup sao αp = 0. Portanto a igualdade (*) se reduz a β1 v1 + · · · + βq vq = 0. ˜ L.I., conclu´ımos que β1 = · · · = βq = 0. Isto Como v1 , . . . , vq sao ˜ L.I. . mostra que os vetores u1 , . . . , up , v1 , . . . , vq sao ´ Em seguida, consideremos um vetor arbitrario w ∈ E. Como Aw ∈ Im(A), podemos escrever Aw = α1 Au1 + · · · + αp Aup , pois {Au1 , . . . , Aup } e´ uma base da imagem de A. A igualdade acima pode ser reescrita como A[w − (α1 u1 + · · · + αp up )] = 0. ´ Assim, o vetor w − (α1 u1 + · · · + αp up ) pertence ao nucleo de A, logo ˜ linear dos elementos da base pode ser expresso como combinac¸ao ˜ {v1 , . . . , vq }. Temos entao w − (α1 u1 + · · · + αp up ) = β1 v1 + · · · + βq vq , ou seja, w = α1 u1 + · · · + αp up + β1 v1 + · · · + βq vq . Isto mostra que os vetores u1 , . . . , up , v1 , . . . , vq geram E e portanto constituem uma base. ´ Corolario. Sejam E, F espa¸cos vetoriais de mesma dimensao ˜ finita n. Uma transforma¸cao ˜ linear A : E → F e´ injetiva se, e somente se, e´ sobrejetiva e portanto e´ um isomorfismo. Com efeito, temos n = dim N (A) + dim Im(A). Logo N (A) = {0} se, e somente se dim Im(A) = n, ou seja, Im(A) = F. ´ Exemplo 6.9. Um caso particular do corolario acima diz que, num ˜ finita, um operador linear e´ injetivo se, espac¸o vetorial de dimensao ˜ e somente se, e´ sobrejetivo. Isto seria falso num espac¸o de dimensao infinita, como se vˆe no seguinte exemplo: sejam A, B : R∞ → R∞ definidos por A(x1 , x2 , x3 , . . .) = (0, x1 , x2 , x3 , . . .) e B(x1 , x2 , x3 , . . .) = (x2 , x3 , x4 , . . .).

Se¸c˜ ao 6

N´ ucleo e Imagem

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˜ operadores lineares. O primeiro e´ injetivo mas nao ˜ e´ soA e B sao ˜ e´ injetivo. brejetivo e o segundo e´ sobrejetivo mas nao ´ Exemplo 6.10. O Teorema do Nucleo e da Imagem da´ outra expli˜ para o fato de um hiperplano H ⊂ Rn ter dimensao ˜ n − 1. Por cac¸ao esse teorema, se dim E = n e f : E → R e´ um funcional linear 6= 0 ˜ o nucleo ´ ˜ n − 1 em E, entao de f e´ um subespac¸o vetorial de dimensao ˜ pois f nao-nulo implica Im(f) = R logo dim Im(f) = 1 e dim N (f) = dim E − dim Im(f) = n − 1. Ora, o hiperplano H = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ; a1 x1 + · · · + an xn = 0} ´ ˜ nulo f : Rn → R, definido por e´ o nucleo do funcional linear nao f(x1 , . . . , xn ) = a1 x1 + · · · + an xn .

Teorema 6.7. Se uma transforma¸cao ˜ linear A : E → F tem uma inversa a` esquerda B : F → E e uma inversa a` direita C : F → E entao ˜ −1 B = C e A e´ um isomorfismo, com A = B = C. ˜ Demonstrac¸ao: Tem-se BA = IE e AC = IF . Portanto B = BIF = B(AC) = (BA)C = IE C = C.

´ Corolario. Seja dim E = dim F. Se as transforma¸co˜ es lineares A : E → F, B : F → E sao ˜ tais que BA = IE entao ˜ AB = IF e B = A−1 . ´ Com efeito, BA = IE ⇒ A injetiva ⇒ A sobrejetiva (Corolario do Teorema 6.6) ⇒ AC = IF para alguma C ⇒ C = B (Teor. 6.7) ⇒ AB = IF .

Exerc´ıcios ´ ˜ linear 6.1. Prove que o nucleo e a imagem de uma transformac¸ao ˜ respectivamente subespac¸os vetoriais de E e F. A : E → F sao

6.2. Seja A : E → E um operador linear. Para quaisquer vetores u ∈ N (A) e v ∈ Im(A), prove que se tem Au ∈ N (A) e Av ∈ Im(A).

´ 6.3. Encontre numeros a, b, c, d de modo que o operador A : R2 → R2 , ´ dado por A(x, y) = (ax+by, cx+dy) tenha como nucleo a reta y = 3x.

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Se¸c˜ ao 6

6.4. Ache a, b, c, d tais que o operador A : R2 → R2 com A(x, y) = (ax + by, cx + dy), tenha a reta y = 2x como imagem.

˜ de um operador A : R2 → R2 cujo nucleo ´ 6.5. Escreva a expressao seja a reta y = x e cuja imagem seja a reta y = 2x. ´ 6.6. Defina um operador A : R2 → R2 que tenha como nucleo e como imagem o eixo x.

´ 6.7. Resolva um exerc´ıcio analogo ao anterior, com a reta y = 5x em lugar do eixo x. ˜ linear A : R4 → R3 , dada por 6.8. Considere a transformac¸ao

A(x, y, z, t) = (x + y + z + 2t, x − y + 2z, 4x + 2y + 5z + 6t),

˜ pertenc¸a a` imagem de A e com encontre um vetor b ∈ R3 que nao isso exiba um sistema linear de trˆes equac¸o˜ es com quatro inc´ognitas ˜ sem soluc¸ao. 6.9. Seja E = C0 (R) o espac¸o das func¸o˜ es cont´ınuas f : R → R. Defina o operador Rx linear A : E → E pondo, para cada f ∈ E, Af = ϕ, onde ´ e a imagem do operaϕ(x) = 0 f(t) dt, x ∈ R. Determine o nucleo dor A. ˜ as se6.10. Seja E = R∞ o espac¸o vetorial cujos elementos sao ¨ encias x = (x1 , x2 , . . .) de numeros ´ quˆ reais. Defina os operadores lineares A, B : E → E pondo Ax = (x1 , 0, x2 , 0, x3 , . . .) e Bx = y, onde ´ y = (y1 , y2 , . . .), onde yk = xk+1 −2xk . Determine o nucleo e a imagem de A e B. 6.11. Assinale verdadeiro (V) ou falso (F): (

˜ linear A : E→F e´ sobrejetiva se, e somente ) Uma transformac¸ao se, dim N (A) = dim E − dim F.

(

˜ linear A : E → F, para todo b fixado em ) Dada a transformac¸ao F, o conjunto G = {x ∈ E; Ax = b} e´ um subespac¸o vetorial de E.

( (

) Para todo operador linear A : E → E, tem-se E = N (A) ⊕ Im A.

) Todo operador linear injetivo no espac¸o C0 (R) das func¸o˜ es cont´ınuas f : R → R e´ tamb´em sobrejetivo.

Se¸c˜ ao 6

(

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´ ˜ linear A : R5 → R3 tem di) O nucleo de toda transformac¸ao ˜ ≥ 3. mensao

6.12. Seja a = [aij ] uma matriz m × n. Se suas colunas geram um ˜ r, em Rm prove que, para todo subespac¸o vetorial F, de dimensao n P b ∈ F, as soluc¸o˜ es x = (x1 , . . . , xn ) do sistema linear aij xj = bi (i = j=1

˜ n − r em Rn . 1, . . . , m) formam uma variedade afim de dimensao

6.13. Prove que cada uma das transformac¸o˜ es lineares abaixo e´ injetiva e obtenha uma inversa a` esquerda linear para cada uma delas. (a) A : R → Rn ; A(x) = (x, 2x, . . . , nx).

(b) B : R2 → R3 ; B(x, y) = (x + 2y, x + y, x − y).

(c) D : R3 → R4 ; D(x, y, z) = (2x, 3y, 5z, x + y + z).

(d) C : Pn → Pn+2 ; C · p(x) = (x2 + 1)p(x).

˜ finita. Dado um opera6.14. Seja E um espac¸o vetorial de dimensao dor linear A : E → E, defina o novo operador TA : L(E) → L(E) pondo TA (X) = AX, para todo X ∈ L(E). Prove que TA e´ invert´ıvel se, e somente se, A e´ invert´ıvel. Mesmo problema para SA (X) = XA. 6.15. Sejam F1 , F2 subespac¸os de E tais que dim F1 +dim F2 = dim E. Mostre que existe um operador linear A : E → E tal que F1 = N (A) e F2 = Im(A).

˜ linear A : E → F e´ sobrejetiva 6.16. Prove que uma transformac¸ao se, e somente se, transforma um conjunto de geradores de E num conjunto de geradores de F.

6.17. Seja A : R2 → R2 um operador linear 6= 0. Se An = 0 para ˜ seja F = Im A. Entao ˜ a algum n > 2, prove que A2 = 0. [Sugestao: ˜ de A a` reta F e´ zero ou e´ invert´ıvel.] restric¸ao 6.18. Seja A : Pn → Pn o operador linear definido por A · p(x) = ´ x · p′′′ (x). Descreva o nucleo e a imagem de A. Obtenha bases para N (A) e para Im(A).

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Se¸c˜ ao 6

6.19. Assinale verdadeiro (V) ou falso (F): ( ( ( (

˜ linear A : Rm → Rn e´ injetiva entao ˜ ) Se a transformac¸ao dim Im(A) = m. ˜ dim N (A) = m − n. ) Se A : Rm → Rn e´ sobrejetiva entao

˜ tais que dim Im(A) = dim Im(B) entao ˜ ) Se A, B ∈ L(Rn ) sao dim Im(AB) = dim Im(BA) = dim Im(A).

˜ a imagem do ) Se N (A) e´ gerado pelos vetores v1 , v2 , v3 entao ˜ 2. operador A : R5 → R5 tem dimensao

6.20. Determine uma base para a imagem de cada uma das trans˜ sobrejetivas. formac¸o˜ es lineares abaixo e indique quais sao (a) A : R2 → R2 , A(x, y) = (x − y, x − y).

(b) B : R4 → R4 , B(x, y, z, t) = (x + y, z + t, x + z, y + t).
(c) C : R3 → R3 , C(x, y, z) = x + y2 , y + 2z , z + x2 .   1 1 . (d) D : M(2 × 2) → M(2 × 2), D · X = AX, onde A = 0 1 (e) E : Pn → Pn+1 , E · p(x) = x · p(x).

˜ sobrejetivas 6.21. Prove que as transformac¸o˜ es lineares a seguir sao e obtenha uma inversa a` direita linear para cada uma delas. (a) A : R3 → R2 , A(x, y, z) = (2x + y, z).

(b) B : Pn → R, B · p(x) = p(1).

(c) C : R2 → R2 , C(x, y) = (x + y, x − y).

(d) P : Rn → Rn−1 , P(x1 , . . . , xn ) = (x1 , . . . , xn−1 ).

Mostre que em trˆes dos quatro exemplos acima, as transformac¸o˜ es dadas admitem infinitas inversas a` direita lineares e infinitas ˜ nao-lineares.

Se¸c˜ ao 6

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6.22. Para cada uma das nove transformac¸o˜ es lineares dos exerc´ı´ cios anteriores, determine o nucleo e obtenha uma base do mesmo, ˜ se reduza a {0}. caso nao 6.23. Seja T : Pn → Pn o operador linear definido por T.p(x) = ´ 5p(x) − 4p′ (x) + p′′ (x). Mostre que seu nucleo e´ {0} e conclua que, para todo polinˆomio b(x) existe um polinˆomio p(x) tal que 5p(x) − 4p′ (x) + p′′ (x) = b(x). 6.24. Seja X ⊂ F um subconjunto com a seguinte propriedade: toda ˜ linear A : E → F cuja imagem cont´em X e´ sobrejetiva. transformac¸ao Prove que X e´ um conjunto de geradores de F. ˜ e´ muito mais facil ´ do que parece.) (Sugestao: ˜ linear sobrejetiva entre 6.25. Seja A : E → F uma transformac¸ao ˜ finita. Prove que existe um subespac¸o espac¸os vetoriais de dimensao ˜ de A a E′ e´ um isomorfismo vetorial E′ ⊂ E tal que a restric¸ao sobre F. 6.26. Seja A : E → F um isomorfismo. Se T : F → E e´ tal que AT = IF (ou TA = IE ), prove que T e´ linear.

˜ finita. Se dim E < 6.27. Sejam E, F espac¸os vetoriais de dimensao dim F, prove que existem transformac¸o˜ es lineares A : E → F e B : F → E tais que A e´ injetiva e B e´ sobrejetiva.

6.28. Dadas as transformac¸o˜ es lineares A : E → F, B : F → G, assinale V(erdadeiro) ou F(also) nas seguintes implicac¸o˜ es:

( ( ( (

) BA sobrejetiva ⇒ B sobrejetiva. ) BA sobrejetiva ⇒ A sobrejetiva. ) BA injetiva ⇒ B injetiva. ) BA injetiva ⇒ A injetiva.

˜ as quatro implicac¸o˜ es sao ˜ Prove ainda que se E = F = G entao verdadeiras. ˜ linear A pode escrever-se como o 6.29. Prove que toda transformac¸ao ˜ linear sobrejetiva e T e´ produto A = TS, onde S e´ uma transformac¸ao ˜ linear injetiva. Vale tamb´em uma decomposic¸ao ˜ uma transformac¸ao do tipo A = S′ T ′ , com S′ sobrejetiva e T ′ injetiva? 6.30. Dado o conjunto finito X com n elementos, prove que o espac¸o vetorial F(X; R) e´ isomorfo a Rn . Mais geralmente, dado qualquer

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Se¸c˜ ao 6

espac¸o vetorial E, estabelec¸a um isomorfismo entre F(X; E) e En = E × · · · × E (n fatores).

´ 6.31. Dados os numeros reais a = ao < a1 < · · · < an = b, considere o conjunto E1 ⊂ F([a, b]; R) formado pelas func¸o˜ es f : [a, b] → R que, ˜ representadas em cada intervalo fechado [ai−1 , ai ], i = 1, . . . , n, sao por polinˆomios de grau ≤ 1, isto e´ , f(x) = αi x + βi para ai−1 ≤ x ≤ ai . Prove que E1 e´ um subespac¸o vetorial e que a correspondˆencia f 7→ (f(ao ), . . . , f(an )) e´ um isomorfismo entre E1 e Rn+1 . Conclua que dim E1 = n + 1. Descreva a base de E1 que corresponde a` base canˆonica de Rn+1 . ˜ de exerc´ıcio anterior, seja E2 o conjunto das 6.32. Com a notac¸ao ´ func¸o˜ es derivaveis f : [a, b] → R cujas restric¸o˜ es aos intervalos ˜ polinˆomios de grau ≤ 2. Considerando [ai−1 , ai ], i = 1, . . . , n, sao ˜ D : E2 → E1 , prove que E2 ⊂ F([a, b]; R) e´ um subespac¸o a derivac¸ao ˜ n + 2. vetorial de dimensao

˜ finita, E∗ = L(E; R) 6.33. Sejam E um espac¸o vetorial de dimensao ∗∗ ∗ seu dual e E = L(E ; R) seu bi-dual. Considere a correspondˆencia ξ : E → E∗∗ , que associa a cada vetor v ∈ E o elemento ξ(v) = v∗∗ ∈ E∗∗ tal que v∗∗ (f) = f(v) para todo v ∈ E. Prove que ξ e´ um isomorfismo. [Este exerc´ıcio significa que f(v) pode ser considerado como um valor ˜ f de variavel ´ ˜ v (mais exatamente, v∗∗ ) de da func¸ao v ou da func¸ao ´ variavel f.]

˜ 6.34. Seja f : E → R um funcional linear nao-nulo no espac¸o vetorial ˜ n. Prove que existe uma base {u1 , . . . , un } ⊂ E tal E, de dimensao que f(u1 ) = · · · = f(un−1 ) = 0 e f(un ) = 1. Use este fato para provar ˜ ˜ existe um que se g : E → R e´ outro funcional linear nao-nulo entao isomorfismo A : E → E tal que g = f ◦ A. ˜ 6.35. Dado o funcional linear nao-nulo f : E → R, prove que existe um vetor u ∈ E tal que f(u) = 1. Seja F ⊂ E o subespac¸o (reta) gerado por u. Prove que E = F ⊕ N (f).

˜ 6.36. Sejam f, g : E → R funcionais lineares nao-nulos no espac¸o ˜ finita. Prove que um deles e´ multiplo ´ vetorial E, de dimensao do ´ outro se, e somente se, eles tˆem o mesmo nucleo. ´ 6.37. Supondo Y ⊂ X, descreva o nucleo e a imagem da transfor˜ linear R : F(X; R)→F(Y; R), que associa a cada func¸ao ˜ f : X→R mac¸ao ˜ Rf = f|Y : Y → R. sua restric¸ao

Se¸c˜ ao 6

N´ ucleo e Imagem

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˜ respecti6.38. Sejam E, F os espac¸os vetoriais cujos elementos sao vamente as func¸o˜ es pares e as func¸o˜ es ´ımpares R → R. Descreva o ´ nucleo e a imagem das transformac¸o˜ es lineares R : E → F([0, +∞); R) ˜ f : R → R sua e R′ : F → F([0, +∞); R) que associam a cada func¸ao ˜ ao intervalo [0, +∞). restric¸ao

6.39. Estabelec¸a um isomorfismo entre o espac¸o vetorial das matrizes sim´etricas n × n e o espac¸o das matrizes triangulares inferiores (aij = 0 se i < j). Idem entre as matrizes anti-sim´etricas e as triangulares inferiores com diagonal nula. ˜ 3 em R5 . Quais 6.40. Sejam F1 e F2 subespac¸os vetoriais de dimensao ˜ as dimens˜oes poss´ıveis do subespac¸o F1 ∩ F2 ? Mesma pergunta sao com dim F1 = 4 e dim F2 = 3. 6.41. Seja A : E → E um operador linear. Prove que A2 = 0 se, e somente se, Im(A) ⊂ N (A).

6.42. Dadas as transformac¸o˜ es lineares A, B : E → F, entre espac¸os ˜ finita, prove: vetoriais de dimensao

˜ existe um isomorfismo Q : F → F tal que (a) Se N (A) = N (B) entao B = QA.

˜ existe um isomorfismo P : E → E tal que (b) Se Im(A) = Im(B) entao B = AP.

(c) Se dim N (A) = dim N (B) (ou, equivalentemente, dim Im(A) = ˜ existem isomorfismos P : E → E e Q : F → F tais dim Im(B)) entao que B = QAP. (d) Existem operadores lineares A, B : E → E tais que N (A)=N (B), Im(A) = Im(B), sem que exista um isomorfismo P : E → E, com B = P−1 AP.

6.43. Se os vetores v1 , . . . , vm ∈ E geram um subespac¸o vetorial de ˜ r, prove que o conjunto dos vetores (α1 , . . . , αm ) ∈ Rm dimensao tais que α1 v1 + · · · + αm vm = 0 e´ um subespac¸o vetorial de Rm ˜ m − r. [Sugestao: ˜ considere a transformac¸ao ˜ linear com dimensao m (α1 , . . . , αm ) 7→ α1 v1 + · · · + αm vm , de R em E.]

6.44. Seja A : E → E um operador linear tal que Ak = 0 para algum ´ numero natural k. Prove que, para todo α 6= 0, o operador A − αI e´ invert´ıvel.

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N´ ucleo e Imagem

Se¸c˜ ao 6

6.45. Se, para algum αo 6= 0, tem-se αo I + α1 A + · · · + αm Am = 0, prove que o operador linear A e´ invert´ıvel. 6.46. Sem fazer hip´oteses sobre as dimens˜oes de E e F, sejam A : E → F e B : F → E transformac¸o˜ es lineares. Se AB e´ invert´ıvel, prove que ˜ invert´ıveis, prove que A e´ sobrejetiva e B e´ injetiva. Se AB e BA sao A e´ invert´ıvel. 6.47. Calcule (B−1 AB)m .

7 Soma Direta e Proje¸c˜ ao

Esta se¸cao ˜ trata da decomposi¸cao ˜ de um espa¸co vetorial como soma de subespa¸cos independentes, mostra que essa decomposi¸cao ˜ equivale a definir um operador idempotente no espa¸co e estabelece a conexao ˜ entre proje¸co˜ es e involu¸co˜ es, ou simetrias. ˜ 2, vimos que se F1 e F2 sao ˜ subespac¸os do espac¸o vetorial Na Sec¸ao ˜ F1 ∪ F2 e´ o conjunto E, o subespac¸o vetorial de E gerado pela reuniao F1 + F2 de todas as somas u + v, onde u ∈ F1 e v ∈ F2 . No caso particular em que F1 ∩ F2 = {0}, escreve-se F1 ⊕ F2 em vez de F1 + F2 , diz-se que F1 ⊕ F2 e´ a soma direta de F1 com F2 e prova-se (Teorema ˜ F1 ∩ F2 = {0} equivale a dizer que u + v = u′ + v′ , 2.1) que a condic¸ao com u, u′ ∈ F1 e v, v′ ∈ F2 , implica u = u′ e v = v′ . ˜ analoga ´ Existe uma noc¸ao a` de soma direta, que e´ o produto car˜ tesiano E1 × E2 de dois espac¸os vetoriais E1 e E2 . Aqui E1 e E2 nao precisam ser subespac¸os vetoriais do mesmo espac¸o E. Os elemen˜ os pares ordenados (u, v), onde u ∈ E1 tos do conjunto E1 × E2 sao ˜ e v ∈ E2 . As operac¸o˜ es que tornam E1 × E2 um espac¸o vetorial sao definidas por (u, v) + (u′ , v′ ) = (u + u′ , v + v′ ),

α(u, v) = (αu, αv),

para quaisquer u, u′ ∈ E1 , v, v′ ∈ E2 e α ∈ R. O vetor nulo de E1 × E2 e´ o par (0,0) e o inverso aditivo de (u, v) e´ (−u, −v). Se

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Soma Direta e Proje¸c˜ ao

Se¸c˜ ao 7

˜ bases, e´ imediato consta{u1 , . . . , um } ⊂ E1 e {v1 , . . . , vn } ⊂ E2 sao tar que {(u1 , 0), . . . , (um , 0), (0, v1 ), . . . , (0, vn )} ⊂ E1 × E2 e´ uma base, de modo que dim(E1 × E2 ) = dim E1 + dim E2 . ˜ subespac¸os vetoriais de E, com F1 ∩ F2 = {0}, entao ˜ Se F1 e F2 sao ˜ linear a transformac¸ao A : F1 × F2 → F1 ⊕ F 2 ,

definida por A(u, v) = u + v, u ∈ F1 , v ∈ F2 , e´ um isomorfismo, como se verifica facilmente. Se {u1 , . . . , um } ⊂ F1 e {v1 , . . . , vn } ⊂ F2 ˜ bases entao ˜ a base {(u1 , 0), . . . , (um , 0), (0, v1 ), . . . (0, vn )} de F1 × F2 sao e´ transformada por A no conjunto {u1 , . . . , um , v1 , . . . , vn } o qual e´ , por conseguinte, uma base de F1 ⊕ F2 . Segue-se que dim(F1 ⊕ F2 ) = dim F1 + dim F2 = m + n. ˜ F1 ∩ F2 dos dois subesNo caso mais geral, em que a intersec¸ao ˜ se reduz necessariamente ao vetor nulo, a soma pac¸os F1 , F2 ⊂ E nao ˜ ser uma soma direta mas, mesmo assim, esta´ bem F1 + F2 pode nao ˜ linear definida a transformac¸ao A : F1 × F2 −→ F1 + F2 , onde A(u, v) = u + v para u ∈ F1 e v ∈ F2 . Obviamente, A e´ sobreje´ tiva. Seu nucleo e´ formado pelos pares (u, v) tais que u + v = 0, isto e´ , v = −u, logo u e v pertencem ambos a F1 e a F2 . Noutras palavras, N (A) = {(u, −u); u ∈ F1 ∩ F2 }. A correspondˆencia u 7→ (u, −u) e´ um ´ isomorfismo evidente entre F1 ∩ F2 e N (A). Pelo Teorema do Nucleo e da Imagem, temos dim F1 + dim F2 = dim(F1 × F2 )

= dim N (A) + dim(F1 + F2 )

= dim(F1 ∩ F2 ) + dim(F1 + F2 ). Isto nos permite enunciar o Teorema 7.1. Sejam F1 e F2 subespa¸cos de dimensao ˜ finita de um espa¸co vetorial E. Tem-se dim F1 + dim F2 = dim(F1 ∩ F2 ) + dim(F1 + F2 ). ˜ de soma direta esta´ intimamente ligada a` noc¸ao ˜ de proA noc¸ao ˜ do espac¸o vetorial E como soma ˜ Se E = F1 ⊕F2 e´ a decomposic¸ao jec¸ao.

Se¸c˜ ao 7

Soma Direta e Proje¸c˜ ao

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direta dos subespac¸os F1 e F2 , define-se o operador linear P : E → E, proje¸cao ˜ de E sobre F1 , paralelamente a F2 , do seguinte modo: todo ´ vetor w ∈ E se escreve, de modo unico, como soma w = u + v de ˜ Pw = u. (Veja um vetor u ∈ F1 com um vetor v ∈ F2 . P˜oe-se entao Fig. 7.1.) F2

w

v

F1 O

u

Figura 7.1. O operador linear P : E → E assim definido tem imagem F1 e ´ nucleo F2 . Al´em disso, como se vˆe facilmente, P e´ idempotente, isto 2 e´ , P = P. O teorema seguinte mostra que, reciprocamente, todo ˜ operador linear idempotente e´ uma projec¸ao. ˜ para todo Preliminarmente, observemos que se P2 = P entao, w ∈ Im(P), tem-se Pw = w pois w ∈ Im(P) ⇒ w = Pv ⇒ Pw = PPv = Pv = w.

Teorema 7.2. Seja P : E → E um operador linear. Se P2 = P entao ˜ E e´ a soma direta do nucleo ´ com a imagem de P. Al´em disso, P e´ a proje¸cao ˜ sobre Im(P) paralelamente a N (P). ˜ Todo v ∈ E escreve-se como soma v = (v − Pv) + Pv, Demonstrac¸ao: onde Pv, evidentemente, pertence a Im(P) e, como P(v − Pv) = Pv − PPv = Pv − Pv = 0, vemos que v − Pv ∈ N (P). Portanto E = N (P) + Im(P). Se w ∈ N (P) ∩ Im(P), por um lado tem-se Pw = 0 e, por outro, Pw = w; logo w = 0. Assim N (P) ∩ Im(P) = {0} e tem-se a ´ ˜ do enunciado e´ soma direta E = N (P) ⊕ Im(P). A ultima afirmac¸ao o´ bvia.

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Soma Direta e Proje¸c˜ ao

Se¸c˜ ao 7

Exemplo 7.1. Para todo operador linear A : E → E num espac¸o ˜ finita vale a relac¸ao ˜ dim E = dim N (A) + vetorial de dimensao ˜ implica que se tenha sempre E = N (A)⊕ dim Im(A). Isto por´em nao Im(A). Por exemplo, se A : R2 → R2 e´ definido por A(x, y) = ˜ tomando w = (1, 1), temos w = Av, com v = (2, 1) (x − y, x − y) entao, ˜ e Aw = 0, logo N (A) ∩ Im(A) cont´em o vetor nao-nulo w. ˜ Outro exemplo de operador linear que esta´ ligado a` decomposic¸ao de um espac¸o vetorial como soma direta de dois subespac¸os e´ fornecido pelas involuc¸o˜ es. Uma involu¸cao ˜ e´ um operador linear S : E → E tal que S2 = I, ou seja, S(Sv) = v para todo v ∈ E. ˜ e´ um operador invert´ıvel, igual Noutras palavras, uma involuc¸ao ˜ e´ a reflexao ˜ (ortoao seu pr´oprio inverso. Um exemplo de involuc¸ao gonal) no plano em torno de uma reta que passa pela origem. ˜ e´ a reflexao ˜ em torno de um Veremos agora que toda involuc¸ao subespac¸o, paralelamente a outro. Teorema 7.3. Seja S : E → E uma involu¸cao. ˜ Os conjuntos F1 = {u ∈ E; Su = u} e F2 = {v ∈ E; Sv = −v} sao ˜ subespa¸cos vetoriais e E = F1 ⊕F2 . Para todo w = u+v, com u ∈ F1 e v ∈ F2 tem-se Sw = u−v. ˜ sobre F1 , paralelamente a F2 . Al´em disso, P = 12 (S + I) e´ a proje¸cao (Veja Fig. 7.2.) F2 w v

F1 u

0

-v

Sw

Figura 7.2.

Se¸c˜ ao 7

Soma Direta e Proje¸c˜ ao

79

˜ Para todo w ∈ E, podemos escrever w = u + v, onde Demonstrac¸ao: u = (w + Sw)/2 e v = (w − Sw)/2. Como S2 = I, e´ claro que Su = u e ´ claro tamb´em que F1 ∩ F2 = {0} e Sv = −v, ou seja, u ∈ F1 e v ∈ F2 . E que w = u + v ⇒ Sw = u − v se u ∈ F1 e v ∈ F2 . Finalmente, 1 1 P = (S + I) ⇒ P2 = (S2 + 2S + I) 2 4 1 = (2S + 2I) 4 1 = (S + I) = P. 2

´ Vˆe-se facilmente que o nucleo de P e´ F2 e a imagem de P e´ F1 . ˜ descrita pelo Teorema 7.3, diz-se que a involuc¸ao ˜ S e´ Na situac¸ao ˜ em torno do subespac¸o F1 , paralelamente a F2 . O caso mais a reflexao ˜ e´ aquele em que se tem dim E = n, dim F1 = n−1 comum de reflexao ˜ em torno do hiperplano F1 e dim F2 = 1, de modo que S e´ a reflexao paralelamente a` reta F2 .

Exerc´ıcios 7.1. No plano R2 , considere as retas F1 e F2 , definidas respectivamente pelas equac¸o˜ es y = ax e y = bx, com a 6= b. Em seguida: (1) Exprima cada vetor v = (x, y) ∈ R2 como soma de um vetor em F1 e um vetor em F2 . ˜ a` base canˆonica) da projec¸ao ˜ (2) Obtenha a matriz (em relac¸ao ´ P : R2 → R2 , que tem F1 como nucleo e F2 como imagem. ˜ S : R2 → R2 , em torno da reta F2 , (3) Ache a matriz da reflexao paralelamente a F1 .

˜ projec¸o˜ es e PQ = QP, prove que PQ e´ uma 7.2. Se P, Q : E → E sao ˜ cujo nucleo ´ projec¸ao e´ N (P) + N (Q) e cuja imagem e´ Im(P) ∩ Im(Q).

´ 7.3. Exprima um vetor arbitrario v = (x, y, z) ∈ R3 como soma de um ˜ e´ x + y − z = 0, com um vetor da reta vetor do plano F1 , cuja equac¸ao

80

Soma Direta e Proje¸c˜ ao

Se¸c˜ ao 7

F2 , gerada pelo vetor (1, 2, 1). Conclua que R3 = F1 ⊕ F2 . Determine ˜ P : R3 → R3 , que tem a matriz (relativa a` base canˆonica) da projec¸ao ´ imagem F1 e nucleo F2 . ´ dado um operador linear P : E → E. Assinale verdadeiro (V) 7.4. E ou falso (F): (

˜ P e´ uma projec¸ao. ˜ ) Se E = N (P) ⊕ Im(P) entao

(

˜ P e´ uma projec¸ao. ˜ ) Se E = N (P) + Im(P) entao

(

˜ entao ˜ I − P tamb´em e´ . ) Se P e´ uma projec¸ao

(

˜ entao ˜ Im(P) = N (I − P) e N (P) ) Se P e´ uma projec¸ao Im(I − P).

=

7.5. Se N (P) = Im(I − P), prove que o operador linear P : E → E e´ ˜ uma projec¸ao. 7.6. Mostre que



1 0  0 0

0 1 0 0

a c 0 0

 b d  0 0

˜ P : R4 → R4 . Escreva e´ a matriz (na base canˆonica) de uma projec¸ao ´ ˜ as equac¸o˜ es que definem o nucleo e a imagem dessa projec¸ao.

7.7. Prove que o operador P : R2 → R2 , dado por P(x, y) = (−2x − ˜ sobre uma reta. Determine o nucleo ´ 4y, 23 x + 3y) e´ a projec¸ao ea imagem de P. 7.8. Considere o operador linear A : R3 → R3 , dado por

A(x, y, z) = (40x + 18y − 6z, 18x + 13y + 12z, −6x + 12y + 45z).

1 ˜ que Im(P) e´ um plano e · A e´ uma projec¸ao, Mostre que P = 49 ˜ desse plano. determine a equac¸ao

7.9. Sejam F1 , F2 subespac¸os vetoriais de E, com dim F1 + dim F2 = dim E (dimens˜oes finitas). Prove que E = F1 ⊕ F2 se, e somente se, F1 ∩ F2 = {0}.

Se¸c˜ ao 7

Soma Direta e Proje¸c˜ ao

81

7.10. Seja A : E → E um operador linear num espac¸o vetorial de ˜ finita. Prove que E = N (A) ⊕ Im(A) se, e somente se, dimensao N (A) = N (A2 ). ˜ finita E admita 7.11. Suponha que o espac¸o vetorial de dimensao ˜ E = F1 ⊕ · · · ⊕ Fk , como soma direta de subespac¸os a decomposic¸ao vetoriais. (Vide Exerc´ıcio 2.33.) Para cada i = 1, . . . , k, escreva Gi = ˜ sobre F1 ⊕ · · · ⊕ Fi−1 ⊕ Fi+1 ⊕ · · · ⊕ Fk e chame de Pi : E → E a projec¸ao Fi , paralelamente a Gi . Prove que P1 + · · · + Pk = I e Pi Pj = 0 se i 6= j.

7.12. Sejam P1 , . . . , Pk : E → E operadores lineares tais que P1 + · · · + Pk = I e Pi Pj = 0 se i 6= j. Prove que esses operadores ˜ projec¸o˜ es. sao 7.13. Sejam P, Q : E → E projec¸o˜ es. Prove que as seguintes afirma˜ equivalentes: c¸o˜ es sao (a)

˜ P + Q e´ uma projec¸ao;

(b)

PQ + QP = 0;

(c)

PQ = QP = 0.

[Para provar que (b) ⇒ (c), multiplique a` esquerda, e depois a` direita, por P.]

˜ se, e 7.14. Prove que o produto de duas involuc¸o˜ es e´ uma involuc¸ao somente se, elas comutam. ˜ involuc¸o˜ es e 7.15. Mostre que os seguintes operadores sao ˜ correspondente na forma do determine, em cada caso, a projec¸ao Teorema 7.3. (a) (b) (c)

S : F(R2 ; R) → F(R2 ; R), Sf = f∗ , f∗ (x, y) = f(y, x).

^ f(x) ^ = f(1/x). U : F(R+ ; R) → F(R+ ; R), Uf = f,

V : Rn → Rn , V(x1 , . . . , xn ) = (−x1 , . . . , −xk , xk+1 , . . . , xn ).

˜ finita, prove que para 7.16. Se o espac¸o vetorial E tem dimensao todo subespac¸o F ⊂ E existe (pelo menos) um subespac¸o G ⊂ E tal que E = F ⊕ G.

82

Soma Direta e Proje¸c˜ ao

Se¸c˜ ao 7

˜ linear 7.17. Seja E = F1 ⊕ F2 . O grafico ´ de uma transformac¸ao A : F1 → F2 e´ o subconjunto G ⊂ E formado pelas somas v + Av, onde ˜ v ∈ F1 . Prove que G e´ um subespac¸o vetorial de E e que a projec¸ao P : E → F1 , restrita a G, define um isomorfismo entre G e F1 . Recipro˜ de P camente, se G ⊂ E e´ um subespac¸o vetorial tal que a restric¸ao ´ a G e´ um isomorfismo de G sobre F1 , prove que G e´ o grafico de uma ˜ linear A : F1 → F2 . transformac¸ao

7.18. Diz-se que X ∪ Y = Z e´ uma parti¸cao ˜ de Z quando X ∩ Y = ∅. Se ˜ prove que Rn = RJ ⊕ RK , onde RJ e J ∪ K = {1, . . . , n} e´ uma partic¸ao, ˜ os subespac¸os vetoriais de Rn gerados pelos vetores ej , j ∈ J e RK sao pelos vetores ek , k ∈ K respectivamente. Seja F ⊂ Rn um subespac¸o ˜ J ∪ K = {1, . . . , n} tal que F vetorial. Prove que existe uma partic¸ao ´ ˜ linear A : RJ → RK , onde dim F = e´ o grafico de uma transformac¸ao ´ numero de elementos de J.

˜ Prove que os vetores v e (1 − t)v + 7.19. Seja P : E → E uma projec¸ao. tPv, para todo v ∈ E e todo t ∈ R, tˆem a mesma imagem por P.

˜ 7.20. Sejam P, Q : E → E projec¸o˜ es. Se P + Q for ainda uma projec¸ao, prove que Im(P + Q) = Im(P) ⊕ Im(Q). Considerando as projec¸o˜ es P, Q : R2 → R2 , com P(x, y) = (x, 0) e Q(x, y) = 21 (x + y, x + y), mostre que a rec´ıproca e´ falsa. ˜ finita e´ soma di7.21. Prove que todo espac¸o vetorial de dimensao ˜ 1. reta de subespac¸os de dimensao

8 A Matriz de uma Transforma¸c˜ ao Linear A matriz de uma transforma¸cao ˜ linear e´ um objeto concreto, associado a essa transforma¸cao ˜ na presen¸ca de bases em seu dom´ınio e seu contra-dom´ınio. A matriz permite obter uma variedade ilimitada de exemplos de transforma¸co˜ es lineares, bem como calcular especificamente a imagem de um dado vetor por uma transforma¸cao. ˜ Nesta se¸cao ˜ sera´ estudada a rela¸cao ˜ entre uma transforma¸cao ˜ linear e sua matriz. Em particular, o produto de transforma¸co˜ es conduzira´ a uma prof´ıcua no¸cao ˜ de produto de matrizes. Veremos como se relacionam as matrizes da mesma transforma¸cao ˜ tomadas em bases diferentes e daremos uma demonstra¸cao ˜ direta da igualdade entre o posto-linha e o posto-coluna de uma matriz. ˜ 4 que uma transformac¸ao ˜ linear A : Rn → Rm Vimos na Sec¸ao fica inteiramente determinada pela matriz a = [aij ] ∈ M(m×n), cujo ij-´esimo termo aij e´ a i-´esima coordenada do vetor A · ej ∈ Rm . Com efeito, conhecendo essa matriz tem-se, para cada v = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , o valor A · v = (y1 , . . . , ym ) dado por yi = ai1 x1 + · · · + ain xn (i = 1, . . . , m). ˜ liEstenderemos agora essas considerac¸o˜ es a uma transformac¸ao ˜ finita. near entre dois quaisquer espac¸os vetoriais de dimensao ˜ finita e A : E → F uma Sejam E, F espac¸os vetoriais de dimensao ˜ linear. Fixadas bases V = {v1 , . . . , vn } ⊂ E e W = transformac¸ao

84

A Matriz de uma Transforma¸c˜ ao Linear

Se¸c˜ ao 8

{w1 , . . . , wm } ⊂ F, para cada j = 1, . . . , n o vetor Avj se exprime como ˜ linear dos vetores da base W: combinac¸ao Avj = a1j w1 + a2j w2 + · · · + amj wm =

m X

aij wi .

i=1

˜ linear A : E → F juntamente com as bases Assim, a transformac¸ao V ⊂ E e W ⊂ F determinam uma matriz a = [aij ] ∈ M(m × n), chamada a matriz de A relativamente a essas bases (ou nas bases V, W). ˜ a j-´esima coluna da matriz a e´ formada pelas coorPor definic¸ao, ˜ a` base W. denadas de Avj em relac¸ao ˜ seja mencionado explicitamente, conv´em salienEmbora isso nao ˜ dispostos numa ordem fixa, tar que os vetores nas bases V e W sao ˜ ficaria bem definida. sem o que a matriz a nao No caso em que A : E → E e´ um operador linear, a menos que seja ˜ expl´ıcita em contrario, ´ feita menc¸ao considera-se apenas uma base V = {v1 , . . . , vn } ⊂ E e a matriz a = [aij ] do operador A relativamente a` base V (ou na base V) e´ definida pelas n igualdades Avj =

n X

aij vi

(j = 1, . . . , n).

i=1

Neste caso, a ∈ M(n × n) e´ a matriz quadrada n × n cuja j-´esima coluna e´ formada pelas coordenadas do vetor Avj = a1j v1 + a2j v2 + · · · + anj vn na base V. ˜ linear A : Rn → Rm Quando considerarmos uma transformac¸ao e dissermos apenas a matriz de A, estaremos significando a matriz ` bases canˆonicas de Rn e Rm . Caso utilizemos de A relativamente as outras bases, isto sera´ dito explicitamente. ˜ Exemplo 8.1. Consideremos um espac¸o vetorial E, de dimensao finita. Dado α ∈ R, seja A : E → E o operador linear definido por Av = αv para todo v ∈ E. Relativamente a qualquer base V = {v1 , . . . , vn } ⊂ ´ E, a matriz a do operador A e´ sempre a mesma, com numeros α na

Se¸c˜ ao 8

A Matriz de uma Transforma¸c˜ ao Linear

85

diagonal e zeros fora dela: 

α 0 ··· 0 α · · ·  a = . . ..  .. .. . 0 0 ···

 0 0  ..  .

α

˜ α. O operador A = αI e´ o que se chama uma homotetia de razao ˜ os unicos ´ Estes sao operadores cujas matrizes independem da base dada. (Vide Exerc´ıcio 8.35.) ˜ sobre o subespac¸o F1 , paExemplo 8.2. Seja P : E → E a projec¸ao ralelamente ao subespac¸o F2 . Sejam ainda V1 ⊂ F1 e V2 ⊂ F2 bases ˜ V = V1 ∪ V2 e´ uma base de E, quaisquer desses subespac¸os. Entao relativamente a` qual a matriz p de P tem os k primeiros termos da diagonal iguais a 1 (k = dim F1 ) e todos os demais termos (sobre a diagonal ou fora dela) iguais a zero. Analogamente, se S : E → E e´ a ˜ em torno de F1 paralelamente a F2 , sua matriz s na base V reflexao tem os primeiros k termos da diagonal iguais a 1, os restantes iguais a −1 e todos os termos fora da diagonal iguais a zero. ˜ das bases V ⊂ E e W ⊂ F determina portanto uma A fixac¸ao ˜ transformac¸ao ϕ : L(E; F) → M(m × n),

que faz corresponder a cada A ∈ L(E; F) sua matriz a nas bases V, ˜ ϕ e´ linear, ou seja, se a, b ∈ M(m × n) sao ˜ W. A transformac¸ao ˜ numeros ´ as matrizes de A, B ∈ L(E; F) respectivamente e α, β sao ˜ a matriz de A + B e´ a + b, a matriz de αA e´ αa e, mais reais, entao geralmente, a matriz de αA + βB e´ αa + βb. Mais ainda, ϕ e´ um isomorfismo: a bijetividade de ϕ e´ assegurada pelo Teorema 4.1. Conv´em observar que, no caso de E = Rn e F = Rm , existe um par natural de bases (canˆonicas) nestes espac¸os, de modo que o isomorfismo ϕ : L(Rn ; Rm ) → M(m × n) pode ser definido sem depender ´ ˜ linear A : Rn → Rm de escolhas arbitrarias. A cada transformac¸ao corresponde a matriz ϕ(A) = [aij ] cujo j-´esimo vetor-coluna e´ A · ej = (a1j , . . . , amj ). Em particular, a cada funcional linear f : Rn → R corresponde, de modo natural, uma matriz [a1 , . . . , an ] ∈ M(1 × n) ou, o que e´ o mesmo, um vetor (a1 , . . . , an ). As correspondˆencias entre a matriz [a1 , . . . , an ] e o funcional f tal que f(ei ) = ai , e entre f e o vetor

86

A Matriz de uma Transforma¸c˜ ao Linear

Se¸c˜ ao 8

˜ isomorfismos entre M(1 × n), (Rn )∗ e Rn , determi(a1 , . . . , an ), sao nados pela base canˆonica de Rn . Entre transformac¸o˜ es lineares, al´em das operac¸o˜ es A + B e αA, ˜ BA. O isomorfismo ϕ faz corresponexiste tamb´em a multiplicac¸ao der ao produto BA o produto ba das matrizes de B e de A, segundo definiremos a seguir. Sejam u = (α1 , . . . , αn ) e v = (β1 , . . . , βn ) vetores em Rn . O pro´ duto interno de u por v e´ definido como o numero hu, vi = α1 β1 + · · · + αn βn . ˜ geral de produto interno, suas propriedades e aplicac¸o˜ es A noc¸ao ˜ estudadas na Sec¸ao ˜ 10. Um caso particular sera´ usado agora serao para introduzir o produto de duas matrizes. Sejam b = [bij ] ∈ M(m × n) e a = [aij ] ∈ M(n × p) matrizes ´ ´ tais que o numero de colunas de b e´ igual ao numero de linhas de a. O produto da matriz b pela matriz a (nesta ordem) e´ a matriz ba = c = [cij ] ∈ M(m × p), cujo ij-´esimo elemento cij = bi1 a1j + bi2 a2j + · · · + bin anj =

n X

bik akj

k=1

e´ o produto interno do i-´esimo vetor-linha de b pelo j-´esimo vetorcoluna de a. ˜ linear A : Rn → Rm pode ser Exemplo 8.3. Uma transformac¸ao ˜ de matrizes: em vez de A ∈ interpretada como uma multiplicac¸ao n m L(R ; R ) considera-se sua matriz a = [aij ] ∈ M(m × n). Em par˜ substitu´ıdos por maticular, os funcionais lineares f : Rn → R sao trizes 1 × n, ou seja, por vetores-linha. Al´em disso, os vetores x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn e b = (b1 , . . . , bm ) passam a ser considerados como matrizes n×1 e m×1 respectivamente, ou seja, como vetores-coluna. ˜ a igualdade Ax = b passa a ser escrita sob a forma ax = b, Entao isto e´ :      a11 · · · a1n x1 b1  a21 · · · a2n   x2   b2        .. ..   ..  =  ..  . ..  .    .   . . . am1 · · ·

amn

xn

bm

´ ´ Dentro deste ponto de vista, a Algebra Linear se reduz ao calculo de matrizes, o que traz vantagens sob o aspecto computacional mas

Se¸c˜ ao 8

A Matriz de uma Transforma¸c˜ ao Linear

87

˜ geom´etrica, da simplicidade conceitual, o custo e´ a perda da intuic¸ao ˜ infinita. al´em da impossibilidade de se tratar o caso de dimensao ˜ do produto de matrizes foi formulada de modo a torA definic¸ao ˜ nar verdadeiro o teorema seguinte. Nele, A : E → F e B : F → G sao transformac¸o˜ es lineares, U = {u1 , . . . , up } ⊂ E, V = {v1 , . . . , vn } ⊂ F e ˜ bases, a ∈ M(n × p) e´ a matriz de A nas W = {w1 , . . . , wm } ⊂ G sao bases U , V e b ∈ M(m × n) e´ a matriz de B nas bases V, W. Teorema 8.1. A matriz de BA : E → G nas bases U , W e´ o produto ba ∈ M(m × p) das matrizes b e a. ˜ temos ˜ Por definic¸ao, Demonstrac¸ao: Auj =

n X

akj vk

(j = 1, . . . , p)

k=1

e Bvk =

m X

bik wi

(k = 1, . . . , n).

i=1

Seja c = [cij ] ∈ M(m × p) a matriz de BA nas bases U , W. Por ˜ para cada j = 1, . . . , p, temos: definic¸ao, ! m n n X X X cij wi = BAuj = B akj Bvk = akj vk = i=1

k=1

k=1

=

m X k=1

akj

n X

bik wi

i=1

!

=

m n X X i=1

k=1



bik akj wi .

Igualando os coeficientes de cada wi , conclu´ımos que, para i=1, ..., m e j = 1, . . . , p, tem-se n X bik akj , cij = k=1

logo c = ba. Resulta imediatamente do teorema acima e do isomorfismo ϕ : L(E; F) → M(m × n) que as regras operacionais do produto de transformac¸o˜ es lineares se transferem diretamente para o produto de matrizes. No que se segue, indicaremos com o s´ımbolo In a matriz

88

A Matriz de uma Transforma¸c˜ ao Linear

Se¸c˜ ao 8

identidade n × n. Tem-se In = [δij ], onde δij e´ o s´ımbolo de Kronec˜ houver ambiguidade, ¨ ker: δij = 0 se i 6= j e δii = 1. Quando nao escreveremos simplesmente I em vez de In . As propriedades abaixo listadas se provam considerando, para ˜ linear A : Rn → Rm cuja matriz cada a ∈ M(m × n), a transformac¸ao e´ a e aplicando a propriedade correspondente para transformac¸o˜ es lineares, ja´ provada anteriormente. 1) (cb)a = c(ba); 2) c(a + b) = ca + cb; (b + c)a = ba + ca; 3) a · In = a, Im · a = a se a ∈ M(m × n);

4) b(αa) = α(ba).

Dada a ∈ M(m × n), diz-se que x ∈ M(n × m) e´ uma matriz inversa a` esquerda de a quando xa = In e que y ∈ M(n × m) e´ uma matriz inversa a` direita de a quando ay = Im . 5) Uma matriz m×n possui inversa a` esquerda se, e somente se, seus vetores-coluna sao ˜ L.I. e uma inversa a` direita se, e somente se, esses vetores-coluna geram Rm . Uma matriz a chama-se invert´ıvel quando e´ quadrada e existe uma matriz a−1 , chamada a inversa de a, tal que a−1 a = aa−1 = I. 6) Se uma matriz a possui uma inversa a` esquerda x e uma inversa a` direita y entao ˜ a e´ quadrada, e´ invert´ıvel e x = y = a−1 . 7) Uma matriz quadrada a admite uma inversa a` esquerda se, e somente se, admite uma inversa a` direita. Neste caso, a matriz a e´ invert´ıvel e cada uma dessas inversas laterais e´ igual a a−1 . A seguir, determinaremos como varia a matriz de uma transfor˜ linear A : E → F quando se mudam as bases em E e F. mac¸ao Sejam V = {v1 , . . . , vn } ⊂ E e W = {w1 , . . . , wm } ⊂ F bases, em ˜ as ` quais a matriz da transformac¸ao ˜ linear A : E → F e´ a = relac¸ao [aij ] ∈ M(m × n). Isto significa que Avj =

m X

aij wi

(j = 1, . . . , n).

i=1

Tomando novas bases V ′ = {v′1 , . . . , v′n } ⊂ E e W ′ = {w′1 , . . . , w′m } ⊂ F, ˜ linear A tem nova matriz a′ = [a′ij ] ∈ M(m × n), a transformac¸ao

Se¸c˜ ao 8

A Matriz de uma Transforma¸c˜ ao Linear

definida por: Av′j =

m X

a′rj w′r

(j = 1, . . . , n).

89

(*)

r=1

˜ entre as matrizes a e a′ , consideramos as Para obter a relac¸ao matrizes de passagem p = [pkj ] ∈ M(n × n) e q = [qir ] ∈ M(m × m), definidas pelas igualdades v′j =

n X

pkj vk

w′r =

e

k=1

m X

qir wi .

i=1

˜ p e´ a matriz de passagem da base V para a base V ′ e Por definic¸ao, q e´ a matriz de passagem da base W para a base W ′ . Cada um dos dois membros da igualdade (*) pode ser escrito separadamente, em termos da base W, assim: Av′j =

n X

pkj Avk =

k=1

=

n X

pkj

m X

aik wi

k=1 i=1 n m XX

pkj aik wi

k=1 i=1

=

m n X X i=1

m X

a′rj w′r

=

r=1

=

=

m X

a′rj

aik pkj

k=1

m X

qir wi i=1 r=1 m m X X a′rj qir wi r=1 i=1 ! m m X X ′ qir arj wi . r=1 i=1

Igualando os coeficientes de wi vem: n X k=1

isto e´ , ap = qa′ .

!

aik pkj =

m X r=1

qir a′rj ,

wi ,

90

A Matriz de uma Transforma¸c˜ ao Linear

Se¸c˜ ao 8

Observemos agora que toda matriz de passagem e´ invert´ıvel. Com efeito, se p e´ a matriz de passagem da base V para a base V ′ ˜ p e´ tamb´em a matriz (em relac¸ao ˜ a` base V) do operador linear entao P : E → E, tal que Pvj = v′j (j = 1, . . . , n), o qual e´ invert´ıvel porque leva uma base numa base. Assim, da igualdade ap = qa′ podemos concluir a′ = q−1 ap. Esta e´ a f´ormula que nos da´ a matriz a′ de A nas bases V ′ , W ′ em ˜ da matriz a de A nas bases V, W. No caso particular de um func¸ao ` bases V, V ′ , operador A : E → E e de suas matrizes a, a′ relativas as ´ temos uma unica matriz de passagem p, que nos da´ a′ = p−1 ap.

As duas matrizes quadradas a e p−1 ap dizem-se semelhantes. ˜ a bases diferentes Assim, as matrizes do mesmo operador em relac¸ao ˜ semelhantes. Vale tamb´em a rec´ıproca: se a e a′ = p−1 ap sao ˜ sao ˜ existe um operador A : Rn → Rn matrizes n × n semelhantes entao ˜ matrizes de A relativamente a bases distintas tal que a e a′ sao n de R . Com efeito, dadas a e a′ = p−1 ap, consideramos o operador A : Rn → Rn cuja matriz na base canˆonica E de Rn e´ a. Em seguida, consideramos a base E ′ ⊂ Rn , obtida da base canˆonica pela matriz ˜ a′ e´ a matriz de A na base E ′ . de passagem p. Entao ´ ´ observar que se V = {v1 , . . . , vn } e´ uma Para efeitos praticos e´ util ˜ a matriz de passagem da base canˆonica para V e´ base em Rn entao ˜ os vetores v1 , . . . , vn . aquela cujas n colunas sao Exemplo 8.4. Seja A : R2 → R2 o operador linear que consiste na ˜ em torno da reta y = ax. Como se viu no Exemplo 4.4, a reflexao matriz de A relativamente a` base canˆonica de R2 e´  2  1−a

2

 1+a a=

2a 1+a2

2a 1+a2

a2 −1 1+a2

 .

Seja V = {v1 , v2 } ⊂ R2 a base formada pelos vetores v1 = (1, a) e v2 = (−a, 1). Para todo vetor v = (x, y) ∈ R2 , temos   2a 2a a2 − 1 1 − a2 A(x, y) = x+ y, x+ y , 1 + a2 1 + a2 1 + a2 1 + a2

Se¸c˜ ao 8

A Matriz de uma Transforma¸c˜ ao Linear

91

˜ geometrilogo Av1 = v1 e Av2 = −v2 . (De resto, estas igualdades sao camente o´ bvias.) Portanto a matriz de A na base V e´   1 0 ′ a = . 0 −1 A matriz de passagem da base canˆonica de R2 para a base V e´   1 −a p= . a 1 Segue-se que a′ = p−1 · a · p. Neste caso, foi mais simples calcular a′ ˜ p−1 ap. diretamente do que determinar p−1 e efetuar a multiplicac¸ao  1 a 1 ˜ p−1 = 1+a (Observac¸ao: .) 2 −a 1 ˜ linear entre espac¸os vetoriSeja A : E → F uma transformac¸ao ˜ finita. O posto de A e´ a dimensao ˜ da sua imagem. ais de dimensao Evidentemente, dim Im(A) ≤ dim F. Al´em disso, pelo Teorema do ´ Nucleo e da Imagem, dim Im(A) ≤ dim E. Segue-se que o posto de ˜ ˜ A nao excede dim E nem dim F. O posto de A e´ igual a` dimensao ˜ de F se, e de E se, e somente se, A e´ injetiva. E e´ igual a` dimensao somente se, A e´ sobrejetiva. Se a ∈ M(m × n) e´ a matriz de A relativamente a um par qual˜ do subespac¸o quer de bases U ⊂ E, V ⊂ F, o posto de A e´ a dimensao ´ de Rm gerado pelas colunas de a. Logo, o posto de A e´ o numero ´ maximo de colunas linearmente independentes da matriz a. ˜ nos leva a definir o posto segundo colunas de Esta observac¸ao ´ ´ uma matriz a ∈ M(m × n) como o numero maximo de colunas line´ ˜ do armente independentes em a. Este numero e´ igual a` dimensao subespac¸o vetorial de Rm gerado pelos vetores-coluna de a. (Espa¸cocoluna de a.) ´ De maneira analoga, definimos o posto segundo linhas da matriz ´ ´ a ∈ M(m × n) como o numero maximo de linhas L.I. em a, ou seja, ˜ do subespac¸o vetorial de Rn gerado pelos vetorescomo a dimensao linha da matriz a. (Espa¸co-linha de a.) Embora o espac¸o-coluna e o espac¸o-linha da matriz a sejam subespac¸os de espac¸os vetoriais diferentes, vale o resultado seguinte: Teorema 8.2. Para toda matriz a ∈ M(m × n), o posto segundo linhas e o posto segundo colunas sao ˜ iguais.

92

A Matriz de uma Transforma¸c˜ ao Linear

Se¸c˜ ao 8

˜ Demonstrac¸ao: Seja p o posto segundo colunas da matriz a = ˜ existem p vetores wk = (b1k , . . . , bmk ) ∈ Rm [aij ] ∈ M(m × n). Entao tais que cada uma das colunas vj = (a1j , . . . , amj ), 1 ≤ j ≤ n, e´ ˜ linear de w1 , . . . , wp : combinac¸ao vj =

p X

ckj wk ,

k=1

1 ≤ j ≤ n.

(*)

Tomando a i-´esima coordenada de cada um dos membros de (*), vemos que p p X X aij = ckj bik = bik ckj , (**) k=1

k=1

para quaisquer i, j, com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. Considerando agora os vetores-linha ui = (ai1 , . . . , ain ) da matriz a, juntamente com os vetores zk = (ck1 , . . . , ckn ), 1 ≤ k ≤ p, observamos que a igualdade entre o primeiro e o terceiro membro de (**) significa que, para todo i = 1, . . . , m tem-se ui =

p X k=1

bik zk ,

1 ≤ i ≤ m.

˜ combinac¸o˜ es lineares de z1 , . . . , zp , Assim, os vetores-linha de a sao portanto o posto de a segundo linhas e´ ≤ p. Aplicando este resultado a` matriz aT (chamada a transposta de a), que tem como linhas as colunas de a e como colunas as linhas de a, conclu´ımos que o posto de a segundo colunas e´ menor do que ou igual ao posto segundo ˜ linhas. Isto conclui a demonstrac¸ao. ˜ definir o posto de uma matriz como o numero ´ Podemos entao ´ maximo de linhas, ou de colunas, L.I. dessa matriz. Mesmo quando a matriz e´ quadrada (em cujo caso suas linhas e colunas pertencem ao mesmo espac¸o Rn ) os subespac¸os gerados pelas linhas e pelas colunas, respectivamente, podem ser diferentes mas tˆem a mesma ˜ dimensao. ˜ do Teorema 8.2.) Sejam f1 , ..., fm :E → Exemplo 8.5 (Uma aplicac¸ao ˜ ˜ R funcionais lineares nao-nulos no espac¸o vetorial E, de dimensao ´ n. Vimos no Exemplo 6.10 que, para cada i = 1, . . . , m, o nucleo de ˜ n − 1, Hi = {v ∈ E; fi (v) = 0} fi e´ o subespac¸o vetorial, de dimensao

Se¸c˜ ao 8

A Matriz de uma Transforma¸c˜ ao Linear

93

˜ desses m hiperplanos e´ o subespac¸o (hiperplano em E). A intersec¸ao vetorial F = H1 ∩ . . . ∩ Hm , formado pelos vetores v ∈ E que cumprem simultaneamente as condic¸o˜ es f1 (v) = 0, . . . , fm (v) = 0. Qual ˜ do subespac¸o F ? Usando o Teorema 8.2 (juntamente e´ a dimensao ´ com o Teorema do Nucleo e da Imagem), mostraremos agora que ´ ´ dim F = n − r, onde r e´ o numero maximo de elementos linear˜ do mente independentes no conjunto {f1 , . . . , fm }, isto e´ , a dimensao ∗ subespac¸o de E gerado por estes funcionais. Com efeito, fixemos uma base V = {v1 , . . . , vn } ⊂ E e seja [ai1 , . . . , ain ] a matriz de fi nesta base (i = 1, . . . , m). Temos aij = fi (vj ). Isto nos da´ uma matriz a = [aij ] ∈ M(m × n), cuja i-´esima linha e´ a matriz de fi , logo o posto de a segundo linhas e´ r. Seguese do Teorema 8.2 que os vetores-coluna w1 , . . . , wn de a geram um ˜ r em Rm . Ora, o subespac¸o gerado em Rm subespac¸o de dimensao ˜ linear A : E → Rm , definida pelos wj e´ a imagem da transformac¸ao por Av = (f1 (v), . . . , fm (v)), para todo v ∈ E. De fato, Avj = (f1 (vj ), . . . , fm (vj ))

= (a1j , . . . , amj ) = wj , j = 1, 2, . . . , n. ´ ˜ do Evidentemente, o nucleo de A e´ o subespac¸o F. Resulta entao ´ Teorema do Nucleo e da Imagem que dim F = dim E − dim Im(A) = n − r. Exemplo 8.6. O espac¸o-linha e o espac¸o-coluna da matriz   1 1 2 2 ˜ duas retas distintas em R2 . sao

Exerc´ıcios 8.1. Determine a matriz do operador linear A : R2 → R2 , relativamente a` base canˆonica, sabendo que A(1, 1) = (2, 3) e A(−1, 1) = (4, 5). 8.2. O produto vetorial de dois vetores v = (x, y, z) e w = (x′ , y′ , z′ ) ˜ o vetor v × w = (yz′ − zy′ , zx′ − xz′ , xy′ − yx′ ). em R3 e´ , por definic¸ao,

94

A Matriz de uma Transforma¸c˜ ao Linear

Se¸c˜ ao 8

Fixado o vetor u = (a, b, c), determine a matriz, relativamente a` base canˆonica, do operador A : R3 → R3 , definido por A · v = v × ´ u. Descreva geometricamente o nucleo desse operador e obtenha a ˜ da sua imagem. equac¸ao ˜ D : Pn → Pn rela8.3. Determine a matriz do operador de derivac¸ao tivamente a` base {1, t, t2 , . . . , tn }.

8.4. Considere os subespac¸os vetoriais F e G do espac¸o C∞ (R), cujas ˜ respectivamente, os conjuntos {cos x, sen x} e bases sao, {ex cos x, ex sen x, e2x cos x, e2x sen x, e3x cos x, e3x sen x}. ˜ em cada um desses Determine a matriz do operador de derivac¸ao subespac¸os. ˜ linear de posto r entre 8.5. Seja A : E → F uma transformac¸ao ˜ finita. Prove que existem bases U = espac¸os vetoriais de dimensao ` quais a {u1 , . . . , un } ⊂ E e V = {v1 , . . . , vm } ⊂ F, relativamente as matriz a = [aij ] de A tem a11 = · · · = arr = 1 e os demais aij = 0.

8.6. Ache o valor de x para o qual operador P : R3 → R3 , cuja matriz na base canˆonica e´   1 − 21 12 2  −1 0 1  − 12 − 21 x

˜ seja uma projec¸ao.

8.7. Qual e´ a matriz, na base canˆonica, do operador A : R2 → R2 tal que A(2, 3) = (2, 3) e A(−3, 2) = 0 ?   1 a 8.8. Calcule a n-´esima potˆencia da matriz . 0 1 8.9. Seja E = F1 ⊕ F2 . Dado o operador linear A : E → E, defina transformac¸o˜ es lineares A11 : F1 → F1 , A21 : F1 → F2 , A12 : F2 → F1 e A22 : F2 → F2 tais que, para todo v = v1 + v2 ∈ E, com v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2 , seja Av = (A11 + A21 )v1 + (A12 + A22 )v2 . ˜ que Diz-se entao 

A11 A12 A21 A22



Se¸c˜ ao 8

A Matriz de uma Transforma¸c˜ ao Linear

95

˜ E = F 1 ⊕ F2 . e´ a matriz do operador A relativamente a` decomposic¸ao Dado outro operador linear B : E → E, determine a matriz de BA ˜ relativamente a` mesma decomposic¸ao.

˜ do exerc´ıcio anterior, sejam a e b as matrizes 8.10. Com a notac¸ao ˜ a uma base U1 ∪ U2 ⊂ E, onde de A e B respectivamente, em relac¸ao ˜ bases. Mostre que se U1 ⊂ F1 e U2 ⊂ F2 sao     a11 a12 b11 b12 a= e b= a21 a22 b21 b22 ˜ entao



b a + b12 a21 b11 a12 + b12 a22 ba = 11 11 b21 a11 + b22 a21 b21 a12 + b22 a22



˜ por blocos de matrizes.) (Multiplicac¸ao 8.11. Seja a uma matriz 5 × 5 cujos elementos sobre a diagonal e ˜ iguais a zero. Sem fazer nenhum calculo, ´ abaixo dela sao conclua que a5 = 0. 8.12. Sejam a uma matriz m × n, com m < n, e b uma matriz n × m. Podem ab e ba ser ambas invert´ıveis? Uma delas? Qual? Quando? 8.13. Assinale verdadeiro (V) ou falso (F): ( (

˜ operadores de mesmo posto r entao ˜ o pro) Se A, B : E → E sao duto BA tem posto r.

) Se as matrizes a, b ∈ M(m × n) tˆem o mesmo espac¸o-coluna ˜ elas sao ˜ matrizes da mesma transformac¸ao ˜ linear. entao

(

) A matriz do operador linear A : E→E na base {v1 , v2 , v3 , ..., vn } difere da matriz do mesmo operador na base {v2 , v1 , v3 , . . . , vn } ˜ das duas primeiras colunas. pela permutac¸ao

(

˜ ba = I3 . ) Sejam a ∈ M(2 × 3) e b ∈ M(3 × 2). Se ab = I2 entao

(

˜ de ) Se a matriz a′ se obt´em da matriz a por uma permutac¸ao ˜ a′ e a tˆem o mesmo posto. suas linhas entao

˜ ali fornecida, prove as propriedades 1) 8.14. Seguindo a orientac¸ao ˜ de matrizes listadas ap´os a demonstrac¸ao ˜ do a 7) da multiplicac¸ao

96

A Matriz de uma Transforma¸c˜ ao Linear

Se¸c˜ ao 8

˜ matrizes n × n Teorema 8.1. Em particular, prove que se a e b sao ˜ se tem tamb´em ab = In . (Cfr. Corolario ´ com ba = In entao do Teorema 6.7.) 8.15. Sejam dados os vetores v1 , . . . , vn ∈ Rn . Se, para cada j = 1, . . . , n, o j-´esimo vetor da base canˆonica de Rn se exprime como ej = x1j v1 + · · · + xnj vn , prove que x = [xij ] e´ a inversa da matriz que tem v1 , . . . , vn como vetores-coluna.   I 0 8.16. Determine a inversa da matriz r onde a ∈ M(s × r) e a Is 0 ∈ M(r × s).

8.17. Sejam a ∈ M(m × m) uma matriz de posto r e b ∈ M(n × n) uma matriz de posto s. Prove que a matriz (m + n) × (m + n) abaixo tem posto r + s:   a 0 0 b O s´ımbolo 0 na primeira linha significa a matriz nula m × n e, na segunda linha, 0 ∈ M(n × m).

8.18. Dadas a ∈ M(m × m), b ∈ M(n × n) e c ∈ M(m × n), com posto de a = r e posto de b = s, que postos pode ter a matriz abaixo?   a c 0 b 

 a b 8.19. Seja , com b 6= 0, a matriz de um operador A : R2 → R2 c d 2 na  base canˆonica.  Ache uma base de R na qual a matriz de A seja 0 1 . bc − ad a + d

˜ P : R2 → R2 , P(x, y) = (x, 0) 8.20. Determine a matriz da projec¸ao 2 relativamente a` base {u, v} ⊂ R , onde u = (1, 1) e v = (1, 2).

8.21. Sabendo que a matriz do operador A : R3 → R3 relativamente a` base {u, v, w} ⊂ R3 , onde u = (1, 1, 1), v = (1, 2, 1), w = (1, 1, 3), e´   3 1 3 1 0 2 0 , 2 −1 −1 −1

Se¸c˜ ao 8

A Matriz de uma Transforma¸c˜ ao Linear

97

determine a matriz de A relativamente a` base canˆonica de R3 . ` quais a 8.22. Obtenha bases U ⊂ R2 e V ⊂ R3 relativamente as ˜ linear A : R2 → R3 , dada por A(x, y) = (2x+ matriz da transformac¸ao y, 3x − 2y, x + 3y), tem as linhas (1, 0), (0, 1) e (0, 0).

8.23. Suponha que os operadores lineares A, B : E → E tˆem a mesma ˜ a duas bases U , V ⊂ E. Prove que existe matriz a = [aij ] em relac¸ao um isomorfismo C : E → E tal que B = CAC−1 .

8.24. Seja A : R2 → R2 o operador cuja matriz na base canˆonica e´ 

 0 1 . −1 0

Prove que se 

a a12 a = 11 a21 a22



˜ e´ a matriz de A relativamente a uma base qualquer de R2 entao a12 6= 0 ou a21 6= 0. (Noutras palavras, nenhuma matriz de A e´ diagonal.) 8.25. Considere as transformac¸o˜ es lineares A : Rn+1 → Pn , A(αo , α1 , . . . , αn ) = αo + α1 x + · · · + αn xn

B : Pn → Rn+1 , B.p(x) = (p(0), p(1), . . . , p(n)).

Determine a matriz de BA : Rn+1 → Rn+1 (na base canˆonica) e prove que e´ uma matriz invert´ıvel.

˜ os vetores v1 = (1, 2, . . . 8.26. Seja a a matriz n × n cujas linhas sao . . . , n), v2 = (n + 1, n + 2, . . . , 2n), etc. Prove que o posto de a e´ igual a 2 e que o subespac¸o de Rn gerado por suas linhas coincide com o subespac¸o gerado por suas colunas. 8.27. Prove que uma matriz c = [cij ] ∈ M(m × n) tem posto 1 se, ˜ e somente se, existem vetores nao-nulos a = (a1 , . . . , am ) ∈ Rm e b = (b1 , . . . , bn ) ∈ Rn tais que cij = ai .bj para todo i e todo j.

98

A Matriz de uma Transforma¸c˜ ao Linear

Se¸c˜ ao 8

8.28. Assinale V(erdadeiro) ou F(also): (

) Toda matriz e´ soma de matrizes de posto 1.

(

) O conjunto das matrizes de posto k em M(m×n) e´ um subespac¸o vetorial.

(

) A matriz 

x1 x2 . . . xn y1 y2 . . . yn



tem posto 2 se, e somente se, existem i, j tais que xi yj 6= xj yi . (

˜ E = N (A) ⊕ ) Se A : E → E e´ um operador linear de posto 1 entao Im(A).

8.29. Prove que uma matriz m × n tem posto r se, e somente se, e´ ˜ mais) de modo poss´ıvel selecionar r linhas e r colunas (por´em nao que os elementos comuns a elas formem uma matriz invert´ıvel r × r. ˜ reduza ao caso r = min{m, n} e aplique o Teorema 8.2.] [Sugestao: 8.30. Sejam f1 , . . . , fm : E → R funcionais lineares no espac¸o vetorial ˜ n. Suponha que estes funcionais gerem em E∗ = E de dimensao ˜ r. Prove que o conjunto F, L(E; R) uma variedade afim de dimensao formado pelos vetores v ∈ E tais que f1 (v) = f2 (v) = · · · = fm (v), ˜ n − r + 1. e´ um subespac¸o vetorial de dimensao 8.31. Uma matriz n × n chama-se um quadrado magico ´ quando a soma dos elementos de cada uma de suas linhas, de cada coluna, da diagonal principal e da outra diagonal (ao todo 2n + 2 somas) ˜ iguais. Prove que, se n≥3, o conjunto Qn dos quadrados magicos ´ sao 2 ˜ n −2n do espac¸o M(n×n). n×n e´ um subespac¸o vetorial de dimensao ˜ use os Exerc´ıcios 8.30, 3.32 e 3.33.] [Sugestao: 8.32. Em conformidade com o exerc´ıcio anterior, determine os 8 elementos restantes da matriz 4 × 4 abaixo, de modo a obter um qua´ drado magico   1 2 3 ∗ 4 5 6 ∗   7 8 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

Se¸c˜ ao 8

A Matriz de uma Transforma¸c˜ ao Linear

99

8.33. Calcule o posto da matriz  1 2 3 4 5 6  2 1 0 

e mostre que o subespac¸o gerado por suas linhas e´ diferente daquele gerado por suas colunas. ´ 8.34. Obtenha numeros a, b, c tais que ax + by + cz = 0 seja a ˜ do plano gerado pelas colunas da matriz equac¸ao  1 1 1 1 2 3  . 2 3 4 

8.35. Seja A : E → E um operador linear no espac¸o vetorial E, de ˜ finita. Supondo que A nao ˜ seja um multiplo ´ dimensao do operador identidade, mostre que existem bases de E do tipo {v, Av, . . .} e ˜ di{v, 2Av, . . .}. Relativamente a estas bases, as matrizes de A sao ˜ os unicos ´ ferentes. Conclua que os operadores αI sao cuja matriz ˜ depende da base escolhida e que as matrizes do tipo αIn sao ˜ as nao ´ unicas que comutam com todas as matrizes invert´ıveis n × n. 8.36. Seja a uma matriz triangular (isto e´ , aij = 0 se i < j) n×n cujos ˜ todos iguais a zero. Mostre que an = 0. elementos da diagonal sao ˜ considere o operador A : Rn → Rn cuja matriz na base [Sugestao: canˆonica e´ a.]

8.37. O tra¸co de uma matriz quadrada a = [aij ] ∈ M(n × n) e´ a soma tr a = a11 + · · · + ann dos elementos da sua diagonal. Prove que tr (ab) = tr (ba) e conclua que todas as matrizes do mesmo operador ˜ finita, tˆem o mesmo trac¸o, o A : E → E, num espac¸o E de dimensao ˜ tr A. qual se indica com a notac¸ao

8.38. Prove que o trac¸o de um operador linear idempotente P : E → E ´ e´ um numero inteiro, igual ao seu posto.

8.39. Seja c = [cij ] ∈ M(n × n) uma matriz de posto 1. Prove que c2 = (tr c).c e, mais geralmente, para todo n > 1, cn = (tr c)n−1 c.

100

A Matriz de uma Transforma¸c˜ ao Linear

Se¸c˜ ao 8

˜ 8.40. Sejam U , V e W bases finitas do espac¸o vetorial E. Se p e q sao respectivamente as matrizes de passagem de U para V e de V para W, prove que as matrizes de passagem de U para W e de V para U ˜ respectivamente pq e p−1 . sao ˜ linear BA e´ menor do que 8.41. Prove que o posto da transformac¸ao ou igual ao posto de A e ao posto de B. Dˆe um exemplo em que posto de A = posto de B > posto de BA. ˜ linear A : E → F, entre espac¸os de di8.42. Dada a transformac¸ao ˜ finita, sejam E1 ⊂ E e F1 ⊂ F subespac¸os tais que E = mensao N (A) ⊕ E1 e F = Im(A) ⊕ F1 . Tome bases U ⊂ E e V ⊂ F cujos primeiros elementos formam respectivamente uma base de N (A) e uma base de Im(A). Que forma tem a matriz de A relativamente a U e V? 8.43. Sejam A : E → F e B : F → G transformac¸o˜ es lineares entre

˜ finita. Se B e´ injetiva, prove que o espac¸os vetoriais de dimensao ˜ sobre A assegura posto de BA e´ igual ao posto de A. Que condic¸ao que o posto de BA seja igual ao de B? ˜ finita, prove que nao ˜ existem operadores 8.44. Se E tem dimensao lineares A, B : E → E tais que AB − BA = I ou tais que AB − BA seja ˜ (Use o trac¸o. Compare com o Exerc´ıcio 5.13.) uma projec¸ao.

8.45. Sejam V, V ′ ⊂ E, e W, W ′ ⊂ F bases finitas, e p, q as matrizes

de passagem de V para V ′ e de W para W ′ respectivamente. Dada ˜ linear A : E → F, sejam a e a ′ respectivamente as a transformac¸ao ` bases V, W e V ′ , W ′ . Mostre que p e´ matrizes de A relativamente as a matriz de IE nas bases V ′ , V e q e´ a matriz de IF nas bases W ′ , W. Use as igualdades A = AIE e A = IF A para provar que ap e qa ′ ˜ iguais a` matriz de A nas bases V ′ , W. Obtenha assim uma nova sao ˜ da f´ormula a ′ = q−1 ap. deduc¸ao 8.46. Prove que uma matriz quadrada de posto 1 e´ idempotente se,

e somente se, seu trac¸o e´ igual a 1 .

9 Elimina¸c˜ ao

Esta se¸cao ˜ trata de aspectos computacionais dos assuntos tratados at´e aqui. Do ponto de vista do encadeamento l´ogico, sua leitura nao ˜ e´ necessaria ´ para o entendimento das se¸co˜ es seguintes. (Salvo no que tange a` Se¸cao ˜ 17 que, por sua vez, quase nada influi nas que lhe seguem.) Entretanto seu valor educativo e´ inestimavel ´ pois exibe um processo simples e bem sucedido para responder a perguntas naturais sobre subespa¸cos, transforma¸co˜ es lineares, sistemas de equa¸co˜ es e matrizes. ´ Estudaremos a seguir algumas quest˜oes de natureza pratica que ˜ resolvidas com o uso do tradicional e eficiente m´etodo de eliserao ˜ minac¸ao.

˜ do subespac¸o gerado por m vetores 9.A. Dimensao ˜ que abordaremos e´ o problema de determinar A primeira questao ˜ do subespac¸o gerado por m vetores v1 , . . . , vm no espac¸o a dimensao vetorial E que, por simplicidade, (por´em sem perda de generalidade) suporemos ser o espac¸o euclidiano Rn . Noutras palavras, queremos ´ ˜ linearmente indeachar o numero r tal que r dos vetores dados sao ˜ combinac¸o˜ es lineares deles. pendentes por´em os demais sao ´ ˜ o´ bvia de que O princ´ıpio basico a ser utilizado e´ a observac¸ao se um dos vetores dados, digamos v1 , tem uma de suas coordena-

102

Elimina¸c˜ ao

Se¸c˜ ao 9

das, por exemplo a j-´esima, diferente de zero mas todos os demais ˜ v1 nao ˜ e´ vetores v2 , . . . , vm tˆem a j-´esima coordenada nula entao ˜ linear de v2 , . . . , vm . Resulta entao ˜ do Teorema 3.2 (ou combinac¸ao ˜ logo ap´os) que se cada um dos vetores nao˜ melhor, da observac¸ao nulos w1 , . . . , wr tem uma coordenada diferente de zero e a mesma coordenada e´ zero em todos os vetores seguintes a ele nesta lista ˜ {w1 , . . . , wr } e´ L.I. . entao Exemplo 9.1. Sejam v1 = (0, 1, 2, 3, 4), v2 = (0, 0, 1, 2, 3), e v3 = (0, 0, 0, 0, 1). Neste caso, a segunda coordenada de v1 e´ 1 mas as ˜ nulas. A terceira coordenada de segundas coordenadas de v2 e v3 sao v2 e´ 1 mas a terceira coordenada de v3 e´ zero. Logo {v1 , v2 , v3 } ⊂ R5 e´ um conjunto L.I. . O crit´erio acima enunciado, que garante a independˆencia linear dos vetores w1 , . . . , wr ∈ Rn , pode ser refraseado assim: a primeira ˜ coordenada nao-nula de cada wi tem ´ındice menor do que a primeira ˜ ¨ coordenada nao-nula dos vetores subsequentes wi+1 , . . . , wr . Se, para cada i = 1, . . . , r, escrevermos wi = (ai1 , . . . , ain ), te˜ remos uma matriz a = [aij ] ∈ M(r × n), cujos r vetores-linha sao w1 , . . . , wr . Diremos que essa matriz e´ escalonada quando o primeiro ˜ elemento nao-nulo de cada uma de suas linhas esta´ a` esquerda do ˜ ¨ primeiro elemento nao-nulo de cada uma das linhas subsequentes e, ˜ abaixo das demais. al´em disso, as linhas nulas (se houver) estao ˜ podemos dizer que as linhas nao-nulas ˜ Com esta definic¸ao, de ˜ vetores linearmente independentes, ou uma matriz escalonada sao seja, uma matriz escalonada r × n tem posto r se suas linhas forem todas diferentes de zero. ˜ escalonadas: Exemplo 9.2. As matrizes abaixo sao     0 1 2 3 1 1 3 7 2    0 2 5 1  0 0 4 5 2  . 0 0 0 6 3  0 0 0 3 0 0 0 0 0 Ambas tˆem posto 3. ´ Dados os vetores v1 , . . . , vm ∈ Rn , vamos altera-los passo a passo de tal modo que, em cada etapa, os vetores obtidos geram o mesmo subespac¸o que os da etapa anterior e, no final, os vetores resultantes ˜ formam as linhas de uma matriz escalonada. Os nao-nulos dentre

Se¸c˜ ao 9

Elimina¸c˜ ao

103

˜ uma base do subespac¸o gerado pelos vetores originaleles formarao mente dados. As seguintes modificac¸o˜ es, chamadas opera¸co˜ es elementares, levam os vetores v1 , . . . , vm ∈ Rn em vetores v′1 , . . . , v′m ∈ Rn que geram o mesmo subespac¸o: S(v′1 , . . . , v′m ) = S(v1 , . . . , vm ). ˜ de dois vetores vi , vj (i < j) na lista dada. Esta (1) Trocar a posic¸ao ˜ ´ operac¸ao e esquematizada como (v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vm ) 7→ (v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vm ).

´ (2) Somar a um dos vetores um multiplo de outro vetor da lista, ou seja, substituir vj por v′j = vj + αvi , i 6= j.

˜ (2), sejam V = (v1 , . . . , vm ) e V ′ = Para justificar a operac¸ao ′ (v1 , . . . , vj , . . . , vm ). Evidentemente S(V ′ ) ⊂ S(V). Al´em disso, como vj = v′j − αvi , segue-se que S(V) ⊂ S(V ′ ). Logo V e V ′ geram o mesmo subespac¸o: S(V) = S(V ′ ). ˜ os vetores dados, estas Em termos da matriz cujas linhas sao operac¸o˜ es elementares se exprimem assim: ˜ de duas linhas; (1) Trocar a posic¸ao ´ (2) Somar a uma linha um multiplo de outra linha. Portanto, o subespac¸o gerado pelas linhas (ou seja, o espac¸o˜ se altera quando essas duas operac¸o˜ es linha) de uma matriz nao ˜ aplicadas a essa matriz. elementares sao Descreveremos a seguir o processo de elimina¸cao ˜ (ou escalona˜ mento), o qual, mediante aplicac¸oes sucessivas das duas operac¸o˜ es ` linhas de uma matriz, produz uma matriz escaloelementares as nada. O procedimento e´ o seguinte: (a) Se a11 6= 0, o processo comec¸a deixando a primeira linha intacta e somando a cada linha Li , com i ≥ 2, a primeira linha multiplicada por −ai1 /a11 . Com isto se obt´em uma matriz cuja primeira coluna e´ (a11 , 0, . . . , 0). (b) Se a11 = 0, uma troca de linhas fornece uma matriz com a11 6= 0, ˜ seja nula. Se, por´em, todos os eledesde que a primeira coluna nao ˜ iguais a zero, passa-se para a sementos da primeira coluna sao gunda coluna ou, mais geralmente, para a coluna mais pr´oxima, a` ˜ direita da primeira, onde haja algum elemento nao-nulo e opera-se

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Elimina¸c˜ ao

Se¸c˜ ao 9

˜ como antes, de modo a obter uma matriz cuja primeira coluna nao˜ iguais a nula comec¸a com elemento 6= 0 mas todos os demais sao ˜ se mexe mais na primeira linha. Recomec¸a-se zero. A partir da´ı nao o processo, trabalhando com as linhas a partir da segunda, at´e obter uma matriz escalonada. Exemplo 9.3. Sejam os vetores v1 = (1, 2, 3, 4), v2 = (5, 6, 7, 8) e v3 = (9, 10, 11, 12)

¨ encia de operac¸o˜ es elementares efeem R4 . Indicamos abaixo a sequˆ ˜ estes vetores, conduzindo a tuadas sobre a matriz cujas linhas sao uma matriz escalonada  1 2 3 4 5 6 7 8  9 10 11 12 

 1 2 3 4 L −2L L2 −5L1 −→ 0 −4 −8 −12 3−→ 2 L3 −9L1 0 −8 −16 −24 

 1 2 3 4 L3 −2L2 −→ 0 −4 −8 −12 . 0 0 0 0 

Como a matriz escalonada final tem duas linhas diferentes de zero, ˜ 2 os trˆes vetores dados geram um subespac¸o vetorial de dimensao 4 em R e w1 = (1, 2, 3, 4), w2 = (0, −4, −8, −12) formam uma base desse subespac¸o. ˜ Li + αLj signiNo exemplo acima, como nos seguintes, a notac¸ao fica que a matriz a` direita foi obtida da matriz a` esquerda somando´ se a` i-´esima linha o multiplo αLj da j-´esima linha. Analogamente, ˜ Li ↔ Lj para indicar a troca da linha i pela liusaremos a notac¸ao nha j. Exemplo 9.4. Consideremos os vetores v1 = (0, 1, 2, 3), v2 = (2, 1, 3, 0), v3 = (3, 4, 2, 0) e v4 = (4, 2, 0, 1) em R4 . Indicamos abaixo a ¨ encia de operac¸o˜ es elementares efetuadas sobre a matriz que sequˆ

Se¸c˜ ao 9

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105

tem esses vetores como linhas a fim de obter uma matriz escalonada       2 1 3 0 2 1 3 0 0 1 2 3 2 1 3 0 L2 ↔L1 0 1 2 3 L3 − 23 L1 0 1 2 3       5 5 3 4 2 0 −→ 3 4 2 0 L4−→ −2L1 0 2 − 2 0 4 2 0 1 4 2 0 1 0 0 −6 1     2 1 3 0 2 1 3 0 L3 − 25 L2 0 1 L4 − 54 L3 0 1 2 3  2 3     −→  0 0 − 15 − 15  −→ 0 0 − 15 − 15  . 2 2 2 2 0 0 −6 1 0 0 0 7

˜ L.I., portanto constiConclu´ımos que os quatro vetores dados sao 4 tuem uma base de R . Al´em disso, vemos que os vetores w1 = 15 (2, 1, 3, 0), w2 = (0, 1, 2, 3), w3 = (0, 0, − 15 2 , − 2 ) e w4 = (0, 0, 0, 7) 4 tamb´em formam uma base de R .

´ ˜ linear 9.B. Calculo do posto de uma transformac¸ao ˜ 9.A permite determinar o posto de uma transA resposta a` questao ˜ linear A : Rn → Rm e at´e mesmo uma base para Im(A). formac¸ao ˜ Uma tal base pode ser formada pelas colunas nao-nulas de uma matriz escalonada, obtida da matriz de A por meio de operac¸o˜ es ele˜ podemos, como mentares efetuadas sobre suas colunas. Ou entao acima, operar sobre as linhas da transposta da matriz de A. (Pois ˜ as colunas da matriz dada.) Nao ˜ havera´ as linhas da transposta sao ˜ se lembrarmos que a base de Im(A) e´ formada por vetores confusao ˜ de Rn ! Quando m = n, e´ preciso ter cuidado, pois a imade Rm , nao ˜ pelos gem de A e´ gerada pelos vetores-coluna de sua matriz e nao vetores-linha. ˜ Exemplo 9.5. Obter uma base para a imagem da transformac¸ao linear A : R3 → R4 , definida por A(x, y, z) = (x + 5y + 9z, 2x + 6y + 10z, 3x + 7y + 11z, 4x + 8y + 12z).

Temos Ae1 = (1, 2, 3, 4), Ae2 = (5, 6, 7, 8) e Ae3 = (9, 10, 11, 12), de modo que a imagem de A e´ gerada pelos vetores v1 , v2 , v3 do Exemplo ˜ daquele exemplo que A tem posto 2 e os vetores 9.3. Resulta entao w1 = (1, 2, 3, 4), w2 = (0, −4, −8, −12) formam uma base de Im(A). ˜ e´ a matriz de A e Note que a matriz que ocorre no Exemplo 9.3 nao sim a sua transposta.

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˜ de sistemas lineares 9.C. Resoluc¸ao ˜ embora simples e ingˆenuo, e´ a maneira O m´etodo de eliminac¸ao, mais eficaz de resolver um sistema de m equac¸o˜ es lineares, com n inc´ognitas, apresentado sob a forma matricial ax = b, onde a ∈ M(m × n), x ∈ M(n × 1) e b ∈ M(m × 1). Resulta das noc¸o˜ es gerais at´e aqui estudadas que o sistema ax = ˜ se, e somente se, o vetor b ∈ Rm , correspondente a` b possui soluc¸ao ˜ linear A : Rn → Rm matriz b, pertence a` imagem da transformac¸ao cuja matriz (nas bases canˆonicas de Rn e Rm ) e´ a. ˜ se, e Dito de outra maneira, o sistema ax = b possui soluc¸ao m somente se, o vetor b ∈ R (correspondente a` matriz b) pertence ao subespac¸o gerado pelas colunas de a. Isto equivale a dizer que a matriz aumentada [a; b] ∈ M(m × (n + 1)) tem o mesmo posto que a matriz a do sistema. ˜ mais completa e´ a seguinte: o sistema Ax = b Uma afirmac¸ao ˜ possui soluc¸ao ˜ quando b ∈ ´ ˜ nao / Im(A), possui uma unica soluc¸ao quando b ∈ Im(A) e A e´ injetiva, e possui infinitas soluc¸o˜ es quando ˜ e´ injetiva. (Vide Teorema 6.4.) b ∈ Im(A) e A nao Em termos matriciais, o sistema ax = b, com a ∈ M(m × n), x ∈ M(n × 1) e b ∈ M(m × 1), admite as seguintes alternativas: ˜ possui soluc¸ao ˜ quando o posto da matriz aumentada [a; b] e´ (1) Nao maior do que o posto de a;

´ ˜ quando a matriz a e a matriz aumen(2) Possui uma unica soluc¸ao ´ tada [a; b] tˆem o mesmo posto, igual ao numero n de inc´ognitas; (3) possui infinitas soluc¸o˜ es quando se tem posto [a; b] = posto a = r < n. Neste caso, o conjunto das soluc¸o˜ es e´ uma variedade afim de ˜ n − r. dimensao O que acabamos de dizer e´ mais ou menos um resumo do que ˜ esclarecedora do ponto ja´ vimos antes. Trata-se de uma discussao ˜ ensina como reconhecer, na pratica, ´ de vista te´orico mas que nao em qual dos casos se enquadra um sistema dado e muito menos como obter suas soluc¸o˜ es, caso existam. Isto se faz com o m´etodo ˜ escalonando a matriz aumentada do sistema. de eliminac¸ao, ˜ se baseia na observac¸ao ˜ de que ao efeO processo de eliminac¸ao ˜ elementar sobre as linhas da matriz aumentada tuar uma operac¸ao [a; b] obt´em-se uma matriz [a′ ; b′ ] que e´ a matriz aumentada de um sistema a′ x = b′ , equivalente ao sistema original ax = b. (Dois sis-

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temas se dizem equivalentes quando possuem o mesmo conjunto de soluc¸o˜ es.) No final do processo, obt´em-se um sistema a′ x = b′ , equivalente ao sistema proposto ax = b, no qual a matriz [a′ ; b′ ] e´ escalonada. (Isto e´ o mesmo que dizer que a′ e´ escalonada.) O sistema a′ x = b′ e´ facilmente resolvido de baixo para cima: acha-se primeiro o valor da ´ ˜ anterior ultima inc´ognita, substituindo-a por esse valor na equac¸ao e assim por diante. Vejamos alguns exemplos. Exemplo 9.6. Consideremos o sistema y + 2z + 3t = 1 2x + y + 3z = 1 3x + 4y + 2z = 1 4x + 2y + t = 1 O escalonamento da matriz aumentada e´ feito abaixo:     2 1 3 0 1 0 1 2 3 1 0 1 2 3 1  2 1 3 0 1      3 4 2 0 1 −→ 3 4 2 0 1 −→ 4 2 0 1 1 4 2 0 1 1 

2 1 3 0 1 2 −→  0 5 − 5 2 2 0 0 −6

  2 0 1   0 3 1  −→  0 0 − 21  1 −1 0

1 3 1 2 0 − 15 2 0 0

0 3 − 15 2 7

Obt´em-se assim a matriz aumentada do sistema 2x + y + y + −

3z 2z + 15 2z −

 1 1 . −3 7 5

= 1 3t = 1 15 2 t = −3 7t = 75 .

Resolvendo este sistema de baixo para cima, vem: t = 51 , z = 15 , ´ ˜ do sistema dado. Como a matriz y = 0, x = 15 . Esta e´ a unica soluc¸ao ˜ existiria e seria unica, ´ do sistema tem posto 4, a soluc¸ao fosse qual fosse o segundo membro.

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Se¸c˜ ao 9

Exemplo 9.7. Seja o sistema x + 2y − 3z = 4 2x + 3y + 4z = 5 4x + 7y − 2z = 12. O escalonamento da sua matriz aumentada e´ o seguinte:       1 2 −3 4 1 2 −3 4 1 2 −3 4 2 3 4 5  −→ 0 −1 10 −3 −→ 0 −1 10 −3 . 4 7 −2 12 0 −1 10 −4 0 0 0 −1 Vemos portanto que o sistema dado e´ equivalente a: + 2y − 3z = 4 − y + 10z = −3 0x + 0y + 0z = −1, x

˜ tem soluc¸ao. ˜ o qual e´ obviamente imposs´ıvel. O sistema dado nao ˜ observando, na forma [Poder´ıamos ter chegado a` mesma conclusao do Exemplo 9.5, que a imagem do operador A : R3 → R3 , cuja matriz tem colunas v1 = (1, 2, 4), v2 = (2, 3, 7) e v3 = (−3, 4, −2), e´ um ˜ 2 em R3 do qual os vetores w1 = (1, 2, 4) e subespac¸o de dimensao w2 = (0, 1, 1) formam uma base e que o vetor b = (4, 5, 12) certa˜ e´ combinac¸ao ˜ linear de w1 e w2 .] mente nao Exemplo 9.8. Seja o sistema x + 2y + 3z + 4t = 1 5x + 6y + 7z + 8t = 2 9x + 10y + 11z + 12t = 3 O escalonamento da sua matriz aumentada segue o esquema:     1 2 3 4 1 1 2 3 4 1 5 6 7 8 2 −→ 0 −4 −8 −12 −3 −→ 0 −8 −16 −24 −6 9 10 11 12 3 −→

 1 2 3 4 1 0 −4 −8 −12 −3 . 0 0 0 0 0 

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109

´ A ultima matriz obtida e´ a matriz aumentada do sistema: x + 2y + 3z + 4t = 1 − 4y − 8z − 12t = −3 ou x + 2y = −3z − 4t + 1 − 4y = 8z + 12t − 3. Este sistema pode ser resolvido de baixo para cima (esquecendo que ˜ inc´ognitas) e nos da´ a soluc¸ao: ˜ z e t sao 3 y = −2z − 3t + , 4

1 x = z + 2t − . 2

(*)

O sistema dado possui portanto uma infinidade de soluc¸o˜ es, que po´ dem ser obtidas atribuindo-se valores arbitrarios a z e t e calcu˜ delas por meio destas duas ultimas ´ lando x e y em func¸ao igualda˜ as equac¸o˜ es da variedade des. Observe que as igualdades (*) sao ˜ 2 no espac¸o R4 , formada por todas as soluc¸o˜ es do afim de dimensao sistema dado. Escrevendo o sistema original sob a forma Av = b, ˜ linear cuja matriz tem as linhas onde A : R4 → R3 e´ a transformac¸ao (1,2,3,4), (5,6,7,8), (9,10,11,12) e b = (1, 2, 3), esta variedade afim, formada por todos os vetores 1 3 v = (z + 2t − , −2z − 3t + , z, t) ∈ R4 , 2 4 ˜ numeros ´ ´ onde z, t sao reais arbitrarios, e´ o conjunto de todos os 4 vetores v ∈ R tais que Av = b.

˜ Observac¸ao: O conjunto F = {(z + 2t, −2z − 3t, z, t) ∈ R4 ; z, t ∈ ´ ˜ linear R} e´ um subespac¸o vetorial de R4 , nucleo da transformac¸ao A : R4 → R3 acima considerada. Uma base de F e´ formada pelos vetores w1 = (1, −2, 1, 0) e w2 = (2, −3, 0, 1), obtidos fazendo z = 1, t = 0 ˜ dos vetores de F. De um modo gee depois z = 0, t = 1 na expressao ´ ral, para obter uma base para o nucleo de um operador A : Rn → Rm o que se tem a fazer e´ resolver por escalonamento o sistema Ax = 0.

´ ˜ liExemplo 9.9. Achar uma base para o nucleo da transformac¸ao 5 3 near A : R → R cuja matriz (nas bases canˆonicas) e´   1 2 3 1 2 a = 3 4 5 3 4  . 1 0 −1 1 0

110

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Se¸c˜ ao 9

´ O nucleo de A e´ o conjunto das soluc¸o˜ es x = (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) do sistema linear homogˆeneo x1 3x1 x1

+ +

2x2 4x2

+ + −

3x3 5x3 x3

+ + +

x4 3x4 x4

+ +

2x5 4x5

= = =

0 0 0.

˜ ha´ necessidade de considerar a maPara sistemas homogˆeneos, nao triz aumentada. O escalonamento da matriz a e´ feito segundo o esquema    1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 4 5 3 4 −→ 0 −2 −4 0 −2 −→ 0 −2 −4 0 −2 1 0 −1 1 0 



 1 2 3 1 2 −→ 0 −2 −4 0 −2 . 0 0 0 0 0 Portanto o sistema homogˆeneo inicial e´ equivalente ao sistema escalonado x1

+ −

2x2 2x2

+ −

3x3 4x3

+

x4

+ −

2x5 2x5

= =

0 0,

ou seja x1 + 2x2 = −3x3 − x4 − 2x5 − 2x2 = 4x3 + 2x5 . ´ Resolvendo o ultimo (considerando x3 , x4 e x5 como conhecidos), vem ˜ que o nucleo ´ x2 = −2x3 − x5 e x1 = x3 − x4 . Conclu´ımos entao da ˜ linear A e´ formado por todos os vetores x = (x3 − transformac¸ao ´ ˜ escolhidos x4 , −2x3 − x5 , x3 , x4 , x5 ), onde os numeros x3 , x4 e x5 sao ´ arbitrariamente. Uma base do nucleo e´ obtida quando se faz sucessivamente (x3 , x4 , x5 ) = (1, 0, 0), (x3 , x4 , x5 ) = (0, 1, 0) e (x3 , x4 , x5 ) = (0, 0, 1). Explicitamente, essa base e´ formada pelos vetores w1 = (1, −2, 1, 0, 0), w2 = (−1, 0, 0, 1, 0) e w3 = (0, −1, 0, 0, 1).

Se¸c˜ ao 9

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111

´ 9.D. O metodo de Gauss-Jordan ˜ que faremos do m´etodo de eliminac¸ao ˜ e´ o calculo ´ A quarta aplicac¸ao da inversa de uma matriz (invert´ıvel) a ∈ M(n×n). Antes por´em de˜ da inversa nao ˜ e´ necessaria ´ vemos advertir que a determinac¸ao para ˜ x = a−1 · b para a soluc¸ao ˜ resolver o sistema ax = b. A expressao ˆ desse sistema e´ de grande elegancia e significado te´orico por´em, na ´ ˜ expl´ıcita da inversa a−1 requer a soluc¸ao ˜ de n pratica, a obtenc¸ao sistemas lineares. Convenhamos que isto seria um modo pouco efi´ caz de resolver um unico sistema. Com efeito, examinando coluna por coluna cada membro da ˜ igualdade aa−1 = In , vemos que a j-´esima coluna de a−1 e´ a soluc¸ao −1 ´ do sistema ax = ej , portanto o calculo da inversa a equivale a resolver os n sistemas lineares ax = e1 , . . . , ax = en . ˜ que vimos utilizando e´ tamb´em chamado O m´etodo de eliminac¸ao “m´etodo de Gauss”. Existe ainda o “m´etodo de Gauss-Jordan”. ˜ iniciada pelo m´etodo de Gauss, cheEle continua a eliminac¸ao gando no final a uma matriz escalonada, com a propriedade adicio˜ nal de que, acima e abaixo do primeiro elemento nao-nulo de cada li˜ iguais a zero. Se a matriz for (quadrada nha, todos os elementos sao ˜ e) invert´ıvel, o primeiro elemento nao-nulo de cada linha da matriz escalonada esta´ sobre a diagonal. Portanto, neste caso, o m´etodo de ˜ Gauss-Jordan produz uma matriz cujos elementos nao-nulos constituem a diagonal. ˜ de Gauss-Jordan. Vejamos um exemplo da eliminac¸ao ˜ de Gauss Exemplo 9.10. No Exemplo 9.4, o m´etodo de eliminac¸ao ˜ por meio de operac¸o˜ es em resumo operou a seguinte transformac¸ao elementares sobre as linhas: 

0 2  3 4

1 1 4 2

2 3 2 0

 3 0  0 1

−→



2 0  0 0

1 3 1 2 0 − 15 2 0 0

 0 3    − 15 2 7

O m´etodo de Gauss-Jordan continua, aplicando as operac¸o˜ es elementares sobre as linhas, de modo a anular tamb´em os elementos de cada coluna situados acima da diagonal. Ele prossegue a partir

112

Elimina¸c˜ ao

Se¸c˜ ao 9

da´ı com as seguintes operac¸o˜ es elementares:    2 1 3 0 2 0 1 0 1  L1 −L2 0 1 2 3 2    −→ 0 0 − 15 − 15  0 0 − 15 2 2 2 0 0 0 7 0 0 0 2 L3 L1 + 15

−→

4 L3 L2 + 15



2 0  0 0

0 0 1 0 0 − 15 2 0 0

 −4 1    − 15 2 7

L1 + 74 L4

−→

L2 − 71 L4

L3 + 15 L4 14



 −3 3    − 15 2 7

2 0  0 0

2 L1 + 15 L3

−→

4 L2 + 15 L3

0 0 1 0 0 − 15 2 0 0

 0 0 . 0 7

´ Esta ultima matriz diagonal resulta portanto da matriz inicial ˜ sucessiva de operac¸o˜ es elementares sobre suas linhas. pela aplicac¸ao ˜ elementar, que nao ˜ tivemos Existe ainda uma terceira operac¸ao ˜ de mencionar porque nao ˜ foi necessaria ´ ainda ocasiao at´e agora, mas ` linhas de uma maque tem tamb´em a propriedade de, aplicada as ˜ alterar o seu espac¸o-linha. Ela e´ a seguinte: triz, nao ´ (3) Multiplicar uma linha por um numero 6= 0. ˜ as ` linhas da matriz final do exemplo Aplicando essa operac¸ao acima, obtemos a matriz identidade. (Multiplique a primeira linha por 1/2, a terceira por −2/15 e a quarta por 1/7.) ˜ do O m´etodo de Gauss-Jordan fornece imediatamente a soluc¸ao ˜ de sistema ax = b sem necessidade de, no final, efetuar a resoluc¸ao ¨ encia baixo para cima. Com efeito, depois de efetuada qualquer sequˆ de operac¸o˜ es elementares (inclusive a terceira) sobre as linhas da matriz aumentada obtemos sempre um sistema equivalente a′ x = b′ . Se a matriz a e´ invert´ıvel, o processo de Gauss leva a uma matriz escalonada com elementos todos 6= 0 na diagonal. Prosseguindo a partir da´ı com Gauss-Jordan, chegaremos finalmente a um sistema a′ x = b′ , equivalente ao original, com a′ = In , logo x = b′ , o que nos ˜ x diretamente. da´ a soluc¸ao ˜ do sistema ax = b e´ a ultima ´ Assim, a soluc¸ao coluna da ma′ ′ ˜ de Gauss-Jordan a` triz [a ; b ] que se obt´em aplicando a eliminac¸ao matriz aumentada [a; b] de modo a chegar com a′ = In . Em particular, tomando b = ej (j-´esimo vetor da base canˆonica de n ˜ x da equac¸ao ˜ ax = ej , que e´ a j-´esima coluna de a−1 , R ), a soluc¸ao se obt´em efetuando operac¸o˜ es elementares sobre as linhas da matriz aumentada [a; ej ] at´e reduz´ı-la a [In ; x]. Como essas operac¸o˜ es

Se¸c˜ ao 9

Elimina¸c˜ ao

113

˜ de j, isto sugere o t´opico dependem apenas da matriz a mas nao seguinte

´ ´ 9.E. Metodo pratico para calcular a inversa a−1 Acrescenta-se a matriz identidade In a` uma matriz aumentada n × 2n:  a11 a12 . . . a1n | 1  a21 a22 . . . a2n 0 |   .. .. .. .. | ..  . . . . . | an1 an2 . . . ann 0

direita de a, de modo a ter  0 ... 0 1 . . . 0  .. .. ..  . . . . 0 ... 1

` linhas dessa maEm seguida aplicam-se operac¸o˜ es elementares as triz aumentada de modo a reduzir a matriz a a` identidade In , chegando-se a:   1 0 . . . 0 | x11 x12 . . . x1n 0 1 . . . 0 x21 x22 . . . x2n  |    .. .. .. .. ..  . .. .. .  . . . . | .. .  . . | 0 0 . . . 1 xn1 xn2 . . . xnn A matriz [xij ] a` direita e´ a inversa de a.

Exemplo 9.11. Damos abaixo um exemplo de como obter a inversa de uma matriz segundo este m´etodo.     2 4 3 | 1 0 0 2 4 3 |1 0 0 0 1 −1 | 0 1 0 → 0 1 −1 | 0 1 0 → 3 5 7 |0 0 1 0 −1 25 | − 32 0 1     2 4 3 | 1 0 0 2 0 7 | 1 −4 0 0 1 −1 | 0 1 0 → 0 1 −1 | 0 1 0 → 3 3 3 3 0 0 2 | −2 1 1 0 0 2 | −2 1 1    14  26 − 73 2 0 0| 8 −3 −3 1 0 0 | 4 − 13 3 5 5 2  2  0 1 0 | −1 → 0 1 0 | −1 3 3 3 3 3 2 3 2 0 0 1 | −1 0 0 2 | −2 1 1 3 3

Portanto

−1 2 4 3 0 1 −1 3 5 7 

=

4 − 13 3 5 −1 3 2 −1 3 

− 73 2 3 2 3



 .

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Elimina¸c˜ ao

Se¸c˜ ao 9

˜ gaussiana no item final Retornaremos ao asssunto de eliminac¸ao ˜ 17. da sec¸ao

Exerc´ıcios 9.1. Determine o posto da matriz  1 2 3 4 5 6 7 8    9 10 11 12 . 13 14 15 17 

˜ P : R4 → R4 , 9.2. Ache a matriz, na base {u1 , u2 , u3 , u4 }, da projec¸ao P(x, y, z, t) = (x, y, 0, 0), sabendo que u1 = (2, 0, 3, 4), u2 = (1, 1, 4, 2), ˜ use eliminac¸ao ˜ gaussiu3 = (3, 2, 2, 0) e u4 = (0, 3, 0, 1). [Sugestao: ana para exprimir e1 , e2 , e3 e e4 como combinac¸o˜ es lineares de u1 , u2 , u3 e u4 .] 9.3. Exprima cada um dos vetores da base canˆonica de R3 como ˜ linear dos vetores v1 = (1, 1, 0), v2 = (−1, combinac¸ao  0, 2), v3 = 1 −1 4  (4, 2, −5) e, a partir da´ı, obtenha a inversa da matriz 1 0 2. 0 −2 5

˜ invert´ıveis ou nao. ˜ No caso 9.4. Decida se as matrizes abaixo sao afirmativo, determine a(s) inversa(s). Caso uma delas (digamos a) ˜ seja invert´ıvel, ache uma matriz x ∈ M(3 × 1) tal que ax = 0: nao  1 2 3  4 5 9 1 3 4 

e

 1 2 3 4 5 6  . 1 3 4 

˜ do subespac¸o vetorial de R5 gerado pelos 9.5. Calcule a dimensao vetores v1 = (2, 4, 8, −4, 7), v2 = (4, −2, −1, 3, 1), v3 = (3, 5, 2, −2, 4) e v4 = (−5, 1, 7, −6, 2). Decida se o vetor b = (6, 18, 1, −9, 8) pertence ou ˜ a esse subespac¸o. nao

Se¸c˜ ao 9

Elimina¸c˜ ao

115

˜ 9.6. A matriz a ∈ M(m×n) tem apenas uma linha e uma coluna nao˜ as dimens˜oes poss´ıveis para nulas. Dada b ∈ M(m × 1), quais sao a variedade afim formada pelas soluc¸o˜ es x ∈ M(n × 1) do sistema ax = b ? ˜ 9.7. Exprima cada vetor do conjunto {u, v, w, z} ⊂ E como combinac¸ao linear dos vetores {w, u + 3z, v − 2u + 3w, 5z}. 9.8. Obtenha uma base para o subespac¸o vetorial gerado por cada ¨ um dos seguintes conjuntos e, consequentemente, determine a di˜ daquele subespac¸o: mensao (a) {(1, 2, 3, 4), (3, 4, 7, 10), (2, 1, 3, 5)} (b) x3 + 2x2 + 3x + 4, 5x3 + 4x2 + 3x + 2, 4x3 − 2x2 + x, 7x3 + 2x2 − 3x − 8 (c) (1, 3, 5), (−1, 3, −1), (1, 21, 1) (d) (1, 2, 3), (1, 4, 9), (1, 8, 27).

˜ numeros ´ 9.9. Mostre que se 0, 1, a, b, c sao dois a dois diferentes ˜ os vetores (1, 1, 1, 1), (a, a2 , a3 , a4 ), (b, b2 , b3 , b4 ) e (c, c2 , c3 , c4 ) entao ˜ linearmente independentes. Generalize. sao 9.10. Exiba uma base para a imagem de cada uma das transformac¸o˜ es lineares abaixo e determine seu posto. (a) A : R4 → R3 , A(x, y, z, t) = (x + 2y − t, 2x − z + 2t, −2x + y + 3z)

(b) B : R4 → R5 , B(x, y, z, t) = (x + 2y + 2z − t, 2x + 4y + 3z + t, −3x + 2z + 3t, −3x + z + 6t, 10x + 2y + 5z + 5t) (c) C : R3 → R3 , C(x, y, z) = (x + 3y, 2y + 4z, x + y − 4z)

(d) D : Pn → Pn , Dp(x) = p′ (x).

9.11. Use escalonamento para resolver os seguintes sistemas linea-

116

Elimina¸c˜ ao

Se¸c˜ ao 9

res: x + 3y + z = 1 2x + 6y + 9z = 7 2x + 8y + 8z = 6 x + y x + 2y + z 3x + 3y + z y + 3z

+ t = 0 + t = 1 + 2t = −1 − t = 3

y − z + 2t = 0 3y − z + 3t = 0 2x − y − z + t = 0 x

+

˜ envolvendo a, b, c para que o sistema 9.12. Ache uma condic¸ao ˜ e encontre as soluc¸o˜ es no caso em que elas abaixo tenha soluc¸ao existam x + y + z + t = a 5y + 2z + 4t = b 3x − 2y + z − t = c ´ 9.13. Ache uma base para o nucleo de cada uma das transformac¸o˜ es lineares a seguir: (a) A : R3 → R3 , A(x, y, z) = (−3y + 4z, 3x − 5z, −4x + 5y).

(b) B : R4 → R5 , B(x, y, z, t) = (2x − 2z + 4t, x − 2z + 3t, 4y + 2z + t, 6x + 4y − 4z + 13t, 2x + 4y − 2z + 7t)

(c) C : R4 → R3 , C(x, y, z, t) = (2x+y−z+3t, x−4y+2z+t, 2y+4z−t).

(d) T : P → P, T · p(x) = p(x + m), m 6= 0.

9.14. Decida quais das matrizes abaixo possuem inversa e calcule a inversa quando existir.       1 1 1 1 1 2 3 4   4 2 3     1 2  4 5 6  5 6 7 8   2 3 2 1     3 1 1 2 9 10 11 12 3 4 7 8 8 1 2 1 3 4 3 2 1

Se¸c˜ ao 9

Elimina¸c˜ ao

117

9.15. Prove que o sistema x + 2y + 3z − 3t = a 2x − 5y − 3z + 12t = b 7x + y + 8z + 5t = c ˜ se, e somente se, 37a+13b = 9c. Ache a soluc¸ao ˜ geral admite soluc¸ao do sistema quando a = 2 e b = 4. ˜ 9.16. Prove que toda matriz anti-sim´etrica 3 × 3 nao-nula tem posto igual a dois. Dˆe exemplo de uma matriz anti-sim´etrica invert´ıvel 4 × 4. 9.17. Considere o sistema de n equac¸o˜ es lineares a n inc´ognitas: xi + xi+1 = ai

(i = 1, . . . , n − 1),

x1 + xn = an .

˜ unica, ´ (a) Se n e´ ´ımpar, prove que ele possui soluc¸ao sejam quais ˜ forem os ai . Explicite esta soluc¸ao. (b) Supondo n par, obtenha condic¸o˜ es sobre os ai que sejam ´ ˜ necessarias e suficientes para que o sistema possua soluc¸ao. Caso existam soluc¸o˜ es, determine a variedade afim por elas formada.

10 Produto Interno

O produto interno, que ja´ foi mencionado brevemente antes, na defini¸cao ˜ do produto de duas matrizes, sera´ apresentado formalmente nesta se¸cao ˜ e adotado sistematicamente a partir daqui. Trata-se de uma no¸cao ˜ que completa e enriquece a estrutura de um espa¸co vetorial, permitindo a utiliza¸cao ˜ de uma linguagem geom´etrica altamente sugestiva e o destaque de tipos especiais de operadores, os quais admitem uma analise ´ mais profunda de suas propriedades, como se vera´ a seguir. ˜ sao ˜ suficientes para abordar Os axiomas de espac¸o vetorial nao ˆ certas noc¸o˜ es geom´etricas como angulo, perpendicularismo, compriˆ ˜ de um mento, distancia, etc. Isto se torna poss´ıvel com a introduc¸ao produto interno. Um produto interno num espac¸o vetorial E e´ um funcional bilinear sim´etrico e positivo em E. Mais precisamente, um produto ˜ E × E → R, que associa a cada par de vetointerno e´ uma func¸ao ´ res u, v ∈ E um numero real hu, vi, chamado o produto interno de u ´ por v, de modo que sejam validas as seguintes propriedades, para quaisquer u, u′ , v, v′ ∈ E e α ∈ R:

Bilinearidade: hu + u′ , vi = hu, vi + hu′ , vi, hαu, vi = α hu, vi, hu, v + v′ i = hu, vi + hu, v′ i, hu, αvi = α hu, vi; Comutatividade (simetria): hu, vi = hv, ui;

Se¸c˜ ao 10

Produto Interno

119

Positividade: hu, ui > 0 se u 6= 0. Como h0, vi = h0 + 0, vi = h0, vi + h0, vi, segue-se que h0, vi = hv, 0i = 0 para todo v ∈ E. ˜ Resulta da positividade que se hu, vi = 0 para todo v ∈ E entao u = 0. Com efeito, se fosse u 6= 0 ter´ıamos hu, vi = 6 0 pelo menos quando v = u. ˜ que se u, u′ ∈ E sao ˜ vetores tais que Segue-se desta observac¸ao ′ ′ ˜ hu, vi = hu , vi para todo v ∈ E entao u = u . Com efeito, isto implica que hu − u′ , vi = 0 para todo v ∈ E, p logo u − u′ = 0 e u = u′ . ´ ˜ O numero nao-negativo |u| = hu, ui chama-se a norma ou o ˜ tem-se |u|2 = hu, ui e a comprimento do vetor u. Com esta notac¸ao, igualdade hu + v, u + vi = hu, ui + hu, vi + hv, ui + hv, vi lˆe-se: |u + v|2 = |u|2 + |v|2 + 2 hu, vi. Quando |u| = 1 diz-se que u ∈ E e´ um vetor unitario. ´ Todo vetor ′ ′ ´ Basta u 6= 0 se escreve como u = |u| · u , onde u e´ um vetor unitario. pˆor u′ = |u|−1 · u.

Exemplo 10.1. No espac¸o euclidiano Rn , o produto interno canˆonico dos vetores u = (α1 , . . . , αn ) e v = (β1 , . . . , βn ) e´ definido por hu, vi = α1 β1 + · · · + αn βn . Este e´ o produto interno que consideraremos em ´ Rn , salvo aviso em contrario.

Exemplo 10.2. Consideremos R2 como o modelo aritm´etico do plano euclidiano, no qual se introduziu um sistema de coordenadas carte´ sianas. Dados u = (α1 , α2 ) e v = (β1 , β2 ), os numeros q |u| = α21 + α22 e

|v| =

q β21 + β22

medem realmente os comprimentos das flechas que representam esˆ ses vetores. Suponhamos u 6= 0, v 6= 0 e chamemos de θ o angulo formado por essas flechas. Afirmamos que o produto interno hu, vi = α1 β1 + α2 β2 acima definido e´ igual a |u| |v| cos θ. Isto sera´ provado ˜ perpendiculares, entao ˜ em trˆes passos: 1o¯ ) Se os vetores u e v sao hu, vi = 0 = |u| |v| cos 90◦ . Com efeito, por um lado, |u + v|2 = hu + v, u + vi = |u|2 + |v|2 + 2 hu, vi

120

Produto Interno

Se¸c˜ ao 10

´ e por outro lado, pelo Teorema de Pitagoras, |u + v|2 = |u|2 + |v|2 .

Figura 10.1. ˜ hu, vi = cos θ. Com Logo hu, vi = 0. 2o¯ ) Se |u| = |v| = 1 entao ´ efeito, tomando o vetor unitario u∗ perpendicular a u temos, pela ˜ de seno e cosseno, v = cos θ · u + sen θ · u∗ . (Fig. 10.2.) definic¸ao

Figura 10.2.

Tomando o produto interno de ambos os membros desta igualdade por u vem hu, vi = cos θ · hu, ui + sen θ · hu, u∗ i. Como hu, ui = 1 e hu, u∗ i = 0 pelo primeiro passo, temos hu, vi = cos θ. 3o¯ ) Caso ge˜ ral: pomos u = |u| · u′ e v = |v| · v′ , onde u′ = (1/|u|)u e v′ = (1/|v|)v sao ´ ˜ hu, vi = |u| |v| hu′ , v′ i = |u| |v| cos θ. Vemos, vetores unitarios. Entao ˆ em particular, que os vetores u, v formam um angulo agudo quando ˆ ˆ hu, vi > 0, um angulo obtuso quando hu, vi < 0 e um angulo reto quando hu, vi = 0.

Se¸c˜ ao 10

Produto Interno

121

Exemplo 10.3. Seja E = Co ([a, b]) o espac¸o vetorial cujos elementos ˜ as func¸o˜ es cont´ınuas g, f : [a, b] → R. Um produto interno em E sao pode ser definido pondo hf, gi =

Zb

f(x)g(x) dx.

a

˜ f e´ Neste caso, a norma da func¸ao

|f| =

s

Zb

f(x)2 dx.

a

Este produto interno e´ utilizado no estudo das s´eries de Fourier. ˜ finita arbitra´ ˜ Seja E um espac¸o vetorial de dimensao Observac¸ao. rio. Dada uma base {u1 , . . . , un } ⊂ E, podemos definir um produto interno em E pondo, para u = Σαi ui e v = Σβi ui , hu, vi = Σαi βi , ˜ Isto mostra que todo espac¸o vetorial de dimensao ˜ fipor definic¸ao. nita pode ser munido de um produto interno. (Fato verdadeiro em ˜ entraregeral, pois qualquer espac¸o vetorial possui base, mas nao mos nesse terreno.) Assim, quando nos referirmos a um espac¸o mu˜ estaremos com isso atribuindo uma nido de um produto interno, nao propriedade especial a esse espac¸o mas apenas dizendo que, entre os poss´ıveis produtos internos que nele podem ser introduzidos, um particular foi escolhido e fixado. Seja E um espac¸o vetorial com produto interno. Dois vetores u, v ∈ E chamam-se ortogonais (ou perpendiculares) quando hu, vi = ˜ u ⊥ v. Em particular, 0 e´ ortogonal a qualquer 0. Escreve-se, entao, vetor de E. Um conjunto X ⊂ E diz-se ortogonal quando dois vetores ˜ ortogonais. Se, al´em disso, todos os vedistintos quaisquer em X sao ˜ unitarios ´ ˜ X chama-se um conjunto ortonormal. tores de X sao entao Portanto, o conjunto X ⊂ E e´ ortonormal se, e somente se, dados u, v ∈ X tem-se hu, vi = 0 se u 6= v e hu, vi = 1 se v = u. Uma base ortonormal e´ uma base de E que e´ um conjunto ortonormal. Teorema 10.1. Num espa¸co vetorial E com produto interno, todo conjunto ortogonal X de vetores nao-nulos ˜ e´ L.I. .

122

Produto Interno

Se¸c˜ ao 10

˜ Sejam v1 , . . . , vn ∈ X. Temos hvi , vj i = 0 se i 6= j. Se Demonstrac¸ao: ˜ linear nula desses vetores α1 v1 + · · · + αn vn = 0 e´ uma combinac¸ao ˜ para cada i = 1, 2, . . . , n, tomamos o produto interno de ambos entao, os membros desta igualdade por vi e temos α1 hv1 , vi i + · · · + αn hvn , vi i = 0, logo αi hvi , vi i = αi |vi |2 = 0 pois todos os produtos internos hvj , vi i, ˜ nulos em virtude da ortogonalidade de X. Al´em disso, com j 6= i, sao ˜ todos nao-nulos, ˜ como os vetores pertencentes ao conjunto X sao re2 ˜ sulta de αi |vi | = 0 que αi = 0. Assim, os coeficientes da combinac¸ao ˜ todos iguais a zero e os vetores do conjunto X linear Σαi vi = 0 sao ˜ portanto, linearmente independentes. sao, Exemplo 10.4. A base canˆonica {e1 , . . . , en } ⊂ Rn e´ ortonormal: temse hei , ej i = δij , onde δij = 0 se i 6= j e δij = 1 se i = j. No plano R2 os ˜ ortogonais. Pondo vetores u = (1, 1) e v = (−1, 1) sao

′

u =

√ ! 2 2 , 2 2

√

e

′

v =

√ √ ! 2 2 , − , 2 2

o conjunto {u′ , v′ } ⊂ R2 e´ uma base ortonormal. ˜ ortogonais, a igualdade |u + v|2 = |u|2 + |v|2 + Quando u e v sao ˜ do Teorema de 2 hu, vi se torna |u + v|2 = |u|2 + |v|2 . Esta e´ a versao Pitagoras ´ para um espac¸o vetorial com produto interno. Num espac¸o vetorial E com produto interno, seja u um vetor ´ unitario. Dado qualquer v ∈ E, o vetor hu, vi · u chama-se a proje¸cao ˜ ortogonal de v sobre o eixo que cont´em u. A justificativa para esta ˜ esta´ no fato de que, escrevendo w = v − hu, vi u, temdenominac¸ao se v = hu, vi u + w, onde w e´ perpendicular a u. Com efeito, tomando o produto interno de u por ambos os membros da igualdade w = v − hu, vi u tem-se hu, wi = hu, vi − hu, vi hu, ui = hu, vi − hu, vi = 0, pois hu, ui = 1. (Fig. 10.3)

Se¸c˜ ao 10

Produto Interno

123

Figura 10.3. Quando se tem apenas u 6= 0, o eixo que cont´em u e´ o mesmo ´ ˜ orque cont´em o vetor unitario u′ = u/|u| (= |u|−1 · u). A projec¸ao togonal de v sobre este eixo e´ , portanto, igual a hu′ , vi u′ , ou seja, ˜ (hu, vi / hu, ui) · u. Usaremos a notac¸ao pru (v) =

hu, vi ·u hu, ui

˜ ortogonal do vetor v sobre o eixo que cont´em para indicar a projec¸ao ˜ o vetor nao-nulo u. Se z = pru (v), tem-se v = z + w, com w ⊥ z. Pelo Teorema ´ de Pitagoras, |v|2 = |z|2 + |w|2 . Em particular vemos que |z| ≤ |v|, ˜ pru (v) e´ menor do que ou igual ao isto e´ , o comprimento da projec¸ao comprimento de v. ˜ Ora, a norma do vetor pru (v) e´ igual a | hu, vi |/|u|. Segue-se entao que, para quaisquer u, v ∈ E, tem-se | hu, vi |/|u| ≤ |v|, ou seja | hu, vi | ≤ |u| · |v|

(desigualdade de Schwarz).

A rigor, o argumento acima prova a desigualdade de Schwarz apenas no caso em que u 6= 0. Mas ela e´ o´ bvia no caso em que u = 0. Logo vale em geral. Um importante complemento da desigualdade de Schwarz e´ que vale a igualdade | hu, vi | = |u| |v| se, e somente se, um dos vetores ´ u, v e´ multiplo do outro. Isto resulta do racioc´ınio acima pois, no ´ Teorema de Pitagoras |v|2 = |z|2 + |w|2 , dizer |v| = |z| significa que ´ w = 0, isto e´ , que v e´ multiplo de u. Resulta da desigualdade de Schwarz que num espac¸o vetorial com produto interno a norma satisfaz a desigualdade triangular: |u + v| ≤ |u| + |v|.

124

Produto Interno

Se¸c˜ ao 10

´ ˜ Como se trata de numeros nao-negativos, para provar esta desigualdade basta mostrar que |u + v|2 ≤ (|u| + |v|)2 . Ora, |u + v|2 = hu + v, u + vi

= |u|2 + |v|2 + 2 hu, vi

≤ |u|2 + |v|2 + 2|u||v|

= (|u| + |v|)2 ,

pois hu, vi ≤ |u| |v| pela desigualdade de Schwarz. Vale a igualdade |u + v| = |u| + |v| somente quando um dos vetores ´ ˜ u, v e´ um multiplo nao-negativo do outro. Com efeito, pelo argumento acima, |u + v| = |u| + |v| ocorre quando hu, vi = |u| |v|, o que e´ o´ bvio quando u = 0 e implica v = αu quando u 6= 0. Neste caso, |u| |v| = hu, vi = α hu, ui = α|u|2 , logo α ≥ 0. Al´em da desigualdade triangular, a norma goza ainda das se˜ guintes propriedades, de imediata verificac¸ao: |u| > 0

se u 6= 0

e |α · u| = |α| |u|.

Em particular, | − u| = |u|. ˜ Observac¸ao. Em todo este livro, |α| significa o valor absoluto do ´ numero α e |u| representa tamb´em a norma do vetor u. Num espac¸o vetorial E munido de produto interno, a distancia ˆ ˜ d(u, v) = |u − v|. Tem-se entre os vetores u, v e´ , por definic¸ao, d(u, u) = 0, d(u, v) > 0 se u 6= v, d(u, v) = d(v, u) e d(u, w) ≤ d(u, v) + d(v, w). Mostraremos agora que existem bases ortonormais em todo es˜ finita provido de um produto interno. pac¸o vetorial de dimensao Mais precisamente, exporemos o processo de ortonormaliza¸cao ˜ de Gram-Schmidt, um algoritmo que ensina a passar de uma base qualquer {v1 , . . . , vn } ⊂ E para uma base ortonormal {u1 , . . . , un } ⊂ E, com a importante propriedade de que, para m = 1, . . . , n, os vetores u1 , . . . , um pertencem ao subespac¸o Fm , gerado por v1 , . . . , vm . Dada a base {v1 , . . . , vn } ⊂ E, obteremos primeiro uma base ortogonal {w1 , . . . , wn } ⊂ E e depois poremos u1 = w1 /|w1 |, . . . , un = wn /|wn | para chegar a` base ortonormalizada {u1 , . . . , un } ⊂ E. Comec¸amos o processo tomando w1 = v1 e prosseguimos por ˜ ˜ induc¸ao. Suponhamos ja´ obtidos os vetores nao-nulos w1 , . . . , wm ,

Se¸c˜ ao 10

Produto Interno

125

dois a dois ortogonais, gerando o subespac¸o Fm , o mesmo que e´ gerado por v1 , . . . , vm . Definimos wm+1 pondo wm+1 = vm+1 −

m X hwi , vm+1 i i=1

hwi , wi i

Figura 10.4. w3 = v3 − z3 , z3 =

wi .

hw1 ,v3 i hw1 ,w1 i w1

+

hw2 ,v3 i hw2 ,w2 i w2 .

´ Um calculo simples mostra que wm+1 e´ ortogonal a w1 , . . . , wm . ˜ pertence ao subespac¸o Fm Al´em disso, wm+1 6= 0 porque vm+1 nao gerado por w1 , . . . , wm (ou por v1 , . . . , vm ). E, finalmente, wm+1 pertence ao subespac¸o gerado por {w1 , . . . , wm , vm+1 }, o qual e´ igual a Fm+1 . Isto completa o processo. Observamos que se os primeiros m vetores da base {v1 , . . . , vn } ⊂ E ja´ formarem uma base ortonormal do subespac¸o por eles gerado ˜ o processo de Gram-Schmidt transforma essa base numa base entao ortonormal {u1 , . . . , un } ⊂ E na qual u1 = v1 , . . . , um = vm . Segue-se da´ı que, dado um subespac¸o vetorial F ⊂ E, toda base ortonormal de F estende-se a uma base ortonormal de E: basta estendˆe-la a uma base qualquer de E e depois ortonormalizar esta ´ ultima por Gram-Schmidt. O significado geom´etrico do processo de Gram-Schmidt e´ bastante simples e fica ilustrado na figura: se {w1 , . . . , wm } ⊂ F e´ uma ˜ para todo v ∈ E, o vetor base ortogonal entao, z=

m X hwi , vi wi ∈ F, hwi , wi i i=1

126

Produto Interno

Se¸c˜ ao 10

soma das projec¸o˜ es ortogonais de v sobre os eixos dos wi , tem a propriedade de que w = v − z e´ perpendicular aos vetores w1 , . . . , wm . Da´ı resulta imediatamente que w e´ perpendicular a todos os vetores ˜ combinac¸o˜ es lineares dos wi . O vetor z de F, pois esses vetores sao chama-se a proje¸cao ˜ ortogonal de v sobre o subespac¸o F. Escrevese z = prF (v). (Fig. 10.5.) [Para a f´ormula de prF (v) quando a base ˜ e´ ortogonal, veja os Corolarios ´ {w1 , . . . , wm } ⊂ F nao 1 e 2 do Teorema 16.1 ou o Exerc´ıcio 16.7.]

Figura 10.5. Se z′ e´ qualquer outro vetor em F, temos v − z′ = (v − z) + (z − z′ ). Como z − z′ ∈ F, segue-se que (v − z) ⊥ (z − z′ ). Do Teorema de ´ ˜ que |v−z′ |2 = |v−z|2 +|z−z′ |2 . Em particular, Pitagoras resulta entao ˆ ˜ |v − z′ | ≥ |v − z|. Isto mostra que a distancia de v a` sua projec¸ao ˆ z = prF (v) sobre o subespac¸o F e´ menor do que ou igual a` distancia ˜ de v a qualquer outro vetor z′ ∈ F. Noutras palavras, a projec¸ao z = prF (v) e´ o vetor mais pr´oximo de v no subespac¸o F. ˜ a projec¸ao ˜ ortoSe {u1 , . . . , um } ⊂ F e´ uma base ortonormal entao gonal de um vetor v ∈ E sobre o subespac¸o F se exprime, de forma mais simples, como prF (v) =

m X i=1

hui , vi ui .

˜ geral: Isto esta´ de acordo com a seguinte observac¸ao

Se¸c˜ ao 10

Produto Interno

127

Seja {u1 , . . . , un } ⊂ E uma base ortonormal. Para todo vetor v ∈ E tem-se n X hui , vi · ui . v= i=1

˜ linear Com efeito, v se exprime como combinac¸ao v = α1 u 1 + · · · + αn u n

em termos da base dada. Tomando o produto interno de ambos os membros desta igualdade por ui , temos hui , vi = αi (i = 1, . . . , n) pois hui , uj i = δij (= 1 se i = j e = 0 se i 6= j). Assim, as coordenadas de um vetor relativamente a uma base ˜ os produtos internos desse vetor pelos elementos daortonormal sao quela base. ˜ as express˜oes dos vetores u, v ∈ Se u = Σαi ui e v = Σβj uj sao E em termos de uma base ortonormal {u1 , . . . , un } ⊂ E, as relac¸o˜ es hui , uj i = δij implicam imediatamente que * n + n n n X X X X αi β i . hu, vi = αi βj hui , uj i = βj u j = αi u i , i=1

i,j=1

j=1

i=1

Portanto, quando se referem os vetores de E a uma base ortonormal ´ fixada, o produto interno assume a forma hu, vi = Σαi βi , analoga a` n do produto interno canˆonico de R . ´ Tomando, mais geralmente, uma base arbitraria {v1 , . . . , vn } ⊂ E e pondo hvi , vj i = gij , o produto interno dos vetores u=

n X

αi v i

e v=

n X

βj v j

j=1

i=1

se exprime como hu, vi =

n X

gij αi βj .

(*)

i,j=1

A matriz g = [gij ] ∈ M(n × n) e´ sim´etrica, isto e´ , gij = gji pois hvi , vj i = hvj , vi i. Mais ainda: a matriz g e´ positiva. Isto significa que, al´em de g ser sim´etrica, para qualquer lista (x1 , . . . , xn ) de n ´ ˜ todos nulos, tem-se numeros reais nao n X

i,j=1

gij xi xj > 0.

128

Produto Interno

Se¸c˜ ao 10

Reciprocamente, fixada uma base {v1 , . . . , vn } num espac¸o vetorial E (que pode ser, por exemplo, a base canˆonica em Rn ) e dada uma matriz sim´etrica positiva g = [gij ] ∈ M(n × n), a igualdade (*) acima define um produto interno em E.

Exerc´ıcios 10.1. Seja E um espac¸o vetorial com produto interno. Para quaisquer ˜ ortogonais. vetores u, v ∈ E, prove que |u|v + |v|u e |u|v − |v|u sao 10.2. Seja {u1 , . . . , un } ⊂ E uma base ortonormal. Prove que, para n P ´ v, w ∈ E arbitrarios, tem-se hv, wi = hv, ui i hw, ui i. i=1

10.3. Dado o vetor u = (2, 3, 6), seja P : R3 → R3 o operador linear definido por Pv = pru (v). Descreva I − 2P geometricamente, escreva ˜ H = I − 2P e determine o vetor que se obt´em de a matriz da reflexao ˜ em torno do plano perpendicular a u. w = (1, 1, 1) por reflexao 10.4. Considere a base V = {v1 , v2 , v3 } ⊂ R3 , formada pelos vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, −1, 1) e v3 = (1, −1, −1). Determine a matriz de passagem p, de V para a base ortonormal U = {u1 , u2 , u3 }, obtida de V pelo m´etodo de Gram-Schmidt. Observe que os elementos da ˜ numeros ´ ˜ diagonal de p sao positivos e abaixo da diagonal todos sao nulos. Generalize. 10.5. Seja V = {v1 , . . . , vn } ⊂ Rn uma base, com vj = . . . , αnj ), j = 1, . . . , n. Seja U a base ortonormal de Rn pelo processo de Gram-Schmidt. Prove que U e´ a base Rn se, e somente se, αij = 0 para todo i > j e αii > i = 1, . . . , n.

(α1j , α2j , . . ., obtida de V canˆonica de 0 para todo

´ ˜ as bases obtidas de 10.6. Sem fazer calculo algum, diga quais sao V = {v1 , v2 , v3 } pelo processo de Gram-Schmidt nos seguintes casos: (a) v1 = (3, 0, 0), v2 = (−1, 3, 0), v3 = (2, −5, 1); (b) v1 = (−1, 1, 0), v2 = (5, 0, 0), v3 = (2, −2, 3). ´ 10.7. Dado o vetor unitario u = (α1 , . . . , αn ) ∈ Rn , forme a matriz a = [αi · αj ] ∈ M(n × n). Seja H : Rn → Rn o operador cuja matriz

Se¸c˜ ao 10

Produto Interno

129

na base canˆonica e´ In − 2a. Mostre que para todo v ∈ Rn tem-se Hv = v − 2 hv, ui u e conclua que |Hv| = |v|. ˆ 10.8. Num espac¸o vetorial com produto interno, o angulo entre dois ˜ ˜ o angulo ˆ vetores nao-nulos u, v e´ , por definic¸ao, θ =< )(u, v), tal que 0 ≤ θ ≤ 180◦ e cos θ = hu, vi /|u| |v|. Dito isto, e dados os vetores u = (3, 4), v = (1, −1) e w = (−1, 1), ponha em ordem crescente os ˆ angulos < )(u, v), < )(u, w) e < )(v, w). 10.9. Sejam u, v ∈ R2 vetores L.I. . Prove que o vetor |u|v + |v|u esta´ ˆ contido na bissetriz do angulo formado por u e v. ´ 10.10. Seja u = (a, b, c) ∈ R3 um vetor unitario, com abc 6= 0. Determine t de modo que, pondo v = (−bt, at, 0) e w = (act, bct, −1/t), os ´ vetores u, v, w sejam unitarios e dois a dois ortogonais. 10.11. Para cada par de vetores u = (x, y), v = (x′ , y′ ) em R2 , ponha [u, v] = 2xx′ − xy′ − x′ y + 2yy′ . Prove que isto define um produto interno no espac¸o vetorial R2 . 10.12. Dado o produto interno hu, vi no espac¸o vetorial E, prove que se tem |u + v|2 + |u − v|2 = 2(|u|2 + |v|2 ) para quaisquer u, v ∈ E. Interprete esta igualdade geometricamente. 10.13. Seja X um conjunto de geradores do espac¸o vetorial E, onde ˜ tais que esta´ definido um produto interno. Se os vetores u, v ∈ E sao hu, wi = hv, wi para qualquer w ∈ X, prove que u = v. 10.14. Seja {v1 , . . . , vn } uma base no espac¸o vetorial E, munido de ´ ´ produto interno. Dados n numeros reais arbitrarios α1 , ..., αn , prove que existe um, e somente um, vetor w ∈ E tal que hw, v1 i = α1 , . . . , hw, vn i = αn . 10.15. Para toda base V = {v1 , . . . , vn } no espac¸o vetorial E, dotado de ´ produto interno, prove que existe uma unica base W = {w1 , . . . , wn } ⊂ E tal que hwi , vj i = δij (i, j = 1, 2, . . . , n). Se hvi , vj i = aij e ˜ inversas hwi , wj i = bij , prove que as matrizes a = [aij ] e b = [bij ] sao uma da outra. 10.16. Suponha que [u, v] =

n X

i,j=1

aij xi yj

130

Produto Interno

Se¸c˜ ao 10

defina, para u = (x1 , . . . , xn ) e v = (y1 , . . . , yn ), um produto interno em Rn . Prove que a11 > 0, . . . , ann > 0. 10.17. Calcule trˆes produtos internos entre os vetores u = (1, 0, −1), ˜ linearmente v = (4, 1, 4), w = (−3, 24, −3) e conclua que eles sao independentes. 10.18. Em cada um dos casos abaixo, determine se o conjunto {u, v, w} ⊂ R3 e´ ortonormal, apenas ortogonal ou nenhum dos dois. (a) u = (1, 2, 1), v = (1, −1, 1), w = (−1, 1, 2). (b) u = (a, b, c), v = (−b, a, 0), w = (−ac, −bc, a2 + b2 ). (c) u = 71 (2, 6, 3), v = 71 (3, 2, −6), w = 17 (6, −3, 2). 10.19. Seja h , i um produto interno no espac¸o vetorial F. Dado um isomorfismo A : E → F, ponha [u, v] = hAu, Avi para quaisquer u, v ∈ E. Prove que [ , ] e´ um produto interno em E.

10.20. Dados os vetores u = (2, −1, 2), v = (1, 2, 1) e w = (−2, 3, 3), ˜ ortogonal de w sobre o plano determine o vetor de R3 que e´ a projec¸ao gerado por u e v. 10.21. Qual e´ a base ortonormal de R3 obtida pelo processo de GramSchmidt a partir da base {u, v, w}, onde u = (2, 6, 3), v = (−5, 6, 24) e w = (9, −1, −4)? 10.22. Mesma pergunta do exerc´ıcio anterior para u = (3, 4, 12), v = (7, −8, 15) e w = (−15, 6, 44). ´ 10.23. Para todo numero natural n, prove que a norma do vetor ´ v = (n, n + 1, n(n + 1)) ∈ R3 e´ um numero natural. 10.24. Aplicando o processo de Gram-Schmidt a um conjunto de ˜ e´ conhecida, prove vetores v1 , . . . , vm cuja independˆencia linear nao ˜ L.I. que se obt´em o primeiro vetor wr+1 = 0 quando v1 , . . . , vr sao ˜ linear de v1 , . . . , vr . mas vr+1 e´ combinac¸ao ´ 10.25. Fixado o vetor unitario u = (a1 , . . . , an ) ∈ Rn , seja P : Rn → ˜ ortogonal Rn o operador linear definido por Pv = pru (v) = projec¸ao ´ de v sobre o eixo de u. Mostre que P2 = P, determine o nucleo de ˜ ortogonal H = I − 2P em P, as matrizes de P, de I − P e da reflexao

Se¸c˜ ao 10

Produto Interno

131

´ torno do nucleo de P. (A matriz de H e´ conhecida como uma matriz de Householder.) ˜ ˜ 10.26. Seja a um vetor nao-nulo no espac¸o vetorial E, de dimensao n, munido de produto interno. Para todo b ∈ R, prove que o conjunto ˜ n − 1. Dado V = {v ∈ E; hv, ai = b} e´ uma variedade afim de dimensao vo ∈ V, mostre que v ∈ V se, e somente se, v − vo e´ ortogonal a a. 10.27. Sejam u = (x1 , x2 , x3 ) e v = (y1 , y2 , y3 ) vetores em R3 . O produto vetorial de u por v e´ definido como o vetor u × v = (x2 y3 − x3 y2 , x3 y1 − x1 y3 , x1 y2 − x2 y1 ). Prove que valem as seguintes propriedades: (a) u × v = −v × u; (b) u × (v + v′ ) = u × v + u × v′ ; (c) u × (αv) = α(u × v); ˜ L.D.; (d) u × v = 0 se, e somente se, u e v sao (e) u × v e´ ortogonal a u e a v; (f) e1 × e2 = e3 , e2 × e3 = e1 , e3 × e1 = e2 . [Mais detalhes sobre o produto vetorial no livro “Coordenadas no Espac¸o”, do autor, publicado pela Soc. Bras. de Mat.] 10.28. Seja r = {(1 − t)u + tv; t ∈ R} a reta que liga u a v em E, com u 6= v. Dado w ∈ E, prove que, tomando t = hw − u, v − ui /|v − u|2 obt´em-se o ponto x = (1 − t)u + tv de r mais pr´oximo poss´ıvel de w, ou seja, tem-se |x − w| < |y − w| para qualquer outro ponto y ∈ r. 10.29. Seja U = {u1 , . . . , un } ⊂ E uma base no espac¸o vetorial E, munido de produto interno. Suponha que, para todo v = x1 u1 + · · · + xn un ∈ E se tenha |v|2 = x21 + · · · + x2n . Prove que a base U e´ ortonormal. 10.30. Complete os detalhes do seguinte argumento que prova a existˆencia de uma base ortonormal em qualquer espac¸o vetorial E, ˜ n, com produto interno: “Seja U = {u1 , . . . , ur } ⊂ E de dimensao

132

Produto Interno

Se¸c˜ ao 10

´ um conjunto ortonormal com o maior numero poss´ıvel de elementos. Para todo vetor v ∈ E, o vetor w=v−

r X i=1

hv, ui i ui

e´ ortogonal a u1 , . . . , ur . Pela maximalidade de U , tem-se w = 0, logo U gera E e e´ uma base ortonormal.” 10.31. Seja E um espac¸o vetorial com produto interno. Prove que, para quaisquer u, v ∈ E, tem-se | |u| − |v| | ≤ |u − v|. 10.32. Prove que um operador A : E → E, num espac¸o vetorial de ˜ finita com produto interno, tem posto 1 se, e somente se, dimensao ˜ existem vetores nao-nulos a, b ∈ E tais que Av = hv, ai b para todo v ∈ E. (Compare com o Exerc´ıcio 8.27.) 10.33. Num espac¸o vetorial E com produto interno, o cosseno do ˆ ˜ angulo entre dois vetores nao-nulos u, v e´ definido como cos(u, v) = ˜ ortogonais e nao-nulos ˜ ˜ hu, vi /|u| |v|. Prove que se u e v sao entao 2 2 cos (u, u−v)+cos (v, u−v) = 1. (A soma dos quadrados dos cossenos ˆ ˆ ˆ dos angulos agudos de um triangulo retangulo e´ igual a 1.) 10.34. Sejam E um espac¸o vetorial com produto interno, C ⊂ E um conjunto convexo e a ∈ E um ponto fora de C. Suponha que existam xo , x1 ∈ C com a seguinte propriedade: para todo x ∈ C tem-se |a − xo | ≤ |a − x| e |a − x1 | ≤ |a − x|. Prove que xo = x1 .

11 A Adjunta

Mostraremos, nesta se¸cao, ˜ como o produto interno nos permite associar a cada transforma¸cao ˜ linear A : E → F uma nova transforma¸cao ˜ ∗ A : F → E, chamada a adjunta de A. (Em espa¸cos sem produto interno tamb´em existe uma no¸cao ˜ de adjunta, mas a´ı se trata de uma transforma¸cao ˜ linear F∗ → E∗ , do dual de F no dual de E. O produto interno nos da´ condi¸cao ˜ de permanecer com E e F. Isto e´ particularmente interessante no caso de um operador linear A : E → E.) A adjunta nos da, ´ por assim dizer, uma visao ˜ da transforma¸cao ˜ A sob um novo angulo. ˆ Essa mudan¸ca de ponto de vista e´ reveladora, especialmente quando ocorre a existˆencia de rela¸co˜ es entre A e A∗ . ˜ 8 que a escolha Sejam dim E = n e dim F = m. Vimos na Sec¸ao de bases em E e F determina um isomorfismo ϕ : L(E; F) → M(m × n), portanto o espac¸o vetorial L(E; F) das transformac¸o˜ es lineares ˜ mn. Em particular, o espac¸o E∗ = L(E; R) de E em F tem dimensao ˜ os funcionais lineares f : E → R, chamado espa¸co cujos elementos sao ˜ n. Isto implica que E∗ e´ isomorfo a E. dual de E, tem dimensao Na realidade, dada uma base V = {v1 , . . . , vn } ⊂ E, existe uma base ˜ V ∗ = {v∗1 , . . . , v∗n } ⊂ E∗ , chamada base dual de V, onde, por definic¸ao, ˜ para cada vetor v = Σαi vi ∈ E, tem-se v∗i (v) = αi . (A verificac¸ao ∗ ∗ ˜ de que V ⊂ E e´ uma base pode ser feita diretamente ou entao ˜ de que ϕ(v∗i ) = ei = i-´esimo elemento da mediante a observac¸ao base canˆonica de Rn , onde ϕ : E∗ → M(1 × n) = Rn e´ o isomorfismo

134

A Adjunta

Se¸c˜ ao 11

acima mencionado.) Obt´em-se um isomorfismo A : E → E∗ impondo que Avi = v∗i (i = 1, . . . , n). Uma desvantagem dos isomorfismos entre E e E∗ obtidos medi˜ sao ˜ intr´ınsecos: dado um ante o emprego de uma base e´ que eles nao ˜ vetor v ∈ E, o funcional v∗ ∈ E∗ que a ele corresponde depende nao apenas de v mas tamb´em da base de E que se tomou. Esta dificuldade, entretanto, desaparece quando E esta´ munido de um produto interno, como veremos agora. ˜ finita, dotado de um proSeja E um espac¸o vetorial de dimensao ˜ linear ξ : E → E∗ faduto interno. Definimos uma transformac¸ao zendo corresponder a cada vetor v ∈ E o funcional linear ξ · v = v∗ , tal que v∗ (w) = hw, vi para todo w ∈ E. ˜ da linearidade de ξ e´ imediata: se u, v ∈ E, como A verificac¸ao (u + v)∗ (w) = hw, u + vi = hw, ui + hw, vi = u∗ (w) + v∗ (w) = [u∗ + v∗ ](w) para todo w ∈ E, temos (u + v)∗ = u∗ + v∗ . Analogamente, (αv)∗ = α · v∗ . ˜ Al´em disso, ξ e´ injetiva. Com efeito, dado v ∈ E, se v∗ = 0 entao, para todo w ∈ E tem-se hw, vi = v∗ (w) = 0(w) = 0. Em particular, hv, vi = 0, logo v = 0. Finalmente, ξ : E → E∗ e´ sobrejetiva pois e´ injetiva e os espac¸os ˜ E, E∗ tˆem, como vimos, a mesma dimensao. Assim, podemos enunciar o Teorema 11.1. Seja E um espa¸co vetorial de dimensao ˜ finita, com produto interno. A correspondˆencia ξ : E → E∗ que associa a cada v ∈ E o funcional linear ξ(v) = v∗ , tal que v∗ (w) = hw, vi para todo w ∈ E, e´ um isomorfismo. O teorema acima sera´ usado principalmente na medida em que assegura a existˆencia de ξ−1 . Mais explicitamente: a todo funcional ´ linear f : E → R corresponde um unico vetor v = vf ∈ E tal que hw, vi = f(w) para todo w ∈ E. Um tanto informalmente: para se conhecer um vetor v ∈ E basta que se conhec¸a o produto interno de

Se¸c˜ ao 11

A Adjunta

135

todos os vetores w ∈ E por v (desde que esses produtos dependam linearmente de w). ´ O Teorema 11.1 e´ responsavel pelo pouco (ou nenhum) uso que se faz de funcionais lineares em espac¸os, como Rn , onde ha´ um pro˜ substitu´ıdos por vetores e a ac¸ao ˜ de um duto interno: funcionais sao funcional sobre um vetor e´ substitu´ıda por um produto interno. De posse do Teorema 11.1, definiremos a adjunta de uma trans˜ linear A : E → F onde E, F sao ˜ espac¸os vetoriais de diformac¸ao ˜ finita, ambos munidos de produto interno. mensao ˜ linear A∗ : F → E tal A adjunta de A deve ser uma transformac¸ao que, para v ∈ E e w ∈ F quaisquer se tenha: hAv, wi = hv, A∗ wi .

(*)

´ Assim, a imagem A∗ w ∈ E de um vetor arbitrario w ∈ F e´ , por ˜ aquele vetor de E tal que o produto interno de qualquer definic¸ao, vetor v ∈ E por ele e´ igual a hAv, wi. Como, para cada w ∈ F, o ´ numero f(v) = hAv, wi depende linearmente de v (ou seja, f e´ um funcional linear), o Teorema 11.1 assegura que o vetor A∗ w ∈ E ´ existe e e´ unico de modo que valha (*) para quaisquer v ∈ E, w ∈ F. ˜ A correspondˆencia w 7→ A∗ w assim definida e´ uma transformac¸ao linear de F em E. Com efeito, dados w, w′ ∈ F tem-se, para todo v ∈ E:





 v, A∗ (w + w′ ) = Av, w + w′ = hAv, wi + Av, w′



 = hv, A∗ wi + v, A∗ w′ = v, A∗ w + A∗ w′ .

˜ vetores em E cujos produtos Assim, A∗ (w + w′ ) e A∗ w + A∗ w′ sao ˜ iguais. Portanto A∗ (w + w′ ) = internos por qualquer vetor v ∈ E sao ´ A∗ w + A∗ w′ . De modo analogo se verifica que A∗ (αw) = α · A∗ w. ∗ Assim, A ∈ L(F; E). A transposta de uma matriz a = [aij ] ∈ M(m × n) e´ a matriz T a = [aji ] ∈ M(n × m) que tem como linhas as colunas de a e como colunas as linhas de a, na mesma ordem.

Teorema 11.2. Sejam U = {u1 , . . . , un } ⊂ E e V = {v1 , . . . , vm } ⊂ F bases ortonormais. Se a = [aij ] ∈ M(m × n) e´ a matriz da transforma¸cao ˜ linear A : E → F nas bases U , V entao ˜ a matriz da adjunta A∗ : F → E nas bases V, U e´ a transposta aT = [aji ] ∈ M(n × m) de a.

136

A Adjunta

Se¸c˜ ao 11

˜ de matriz de uma transformac¸ao ˜ li˜ Por definic¸ao Demonstrac¸ao: near, temos m X Auj = aij vi (j = 1, . . . , n) i=1

e

A∗ v i =

n X

bri ur ,

r=1

onde b = [bri ] ∈ M(n × m) e´ a matriz de A∗ nas bases V, U , a ser ˜ ortonormais, temos, para determinada. Como ambas as bases sao cada i = 1, . . . , m e cada j = 1, . . . , n: bji = huj , A∗ vi i = hAuj , vi i = aij portanto, b = aT , transposta de a. ´ Corolario. Uma transforma¸cao ˜ linear A e sua adjunta A∗ tˆem o mesmo posto. (Vide Teorema 8.2.) ´ apresentada a seguir uma lista de propriedades operacionais E ˜ linear, as quais se traduzem em da adjunta de uma transformac¸ao propriedades da transposta de uma matriz, via Teorema 11.2. A va˜ de que duas translidez dessas propriedades decorre da observac¸ao ˜ iguais quando se tem hAu, vi = formac¸o˜ es lineares A, B : E → F sao hBu, vi para quaisquer u ∈ E, v ∈ F. I∗ = I (A + B)∗ = A∗ + B∗ (αA)∗ = αA∗ (BA)∗ = A∗ B∗ A∗∗ = A

(In )T = In (a + b)T = aT + bT (αa)T = αaT (ba)T = aT bT (aT )T = a

˜ linear injetiva entao ˜ existe Se A : E → F e´ uma transformac¸ao B : F → E tal que BA = IE (vide Teorema 6.5). Tomando a adjunta de ambos os membros desta igualdade, temos A∗ B∗ = IE . Assim A∗ : F → E possui uma inversa a` direita B∗ , logo e´ sobrejetiva. (Teorema 6.1.) Do mesmo modo se vˆe que A sobrejetiva implica A∗ injetiva. Portanto a adjunta de um isomorfismo A : E → F e´ um isomorfismo A∗ : F → E. Al´em disso, de A−1 A = IE resulta A∗ (A−1 )∗ = IE logo (A∗ )−1 = (A−1 )∗ .

Se¸c˜ ao 11

A Adjunta

137

Analogamente, uma matriz quadrada a e´ invert´ıvel se, e somente se, sua transposta aT e´ invert´ıvel e, no caso afirmativo, (aT )−1 = (a−1 )T . As noc¸o˜ es de retas e planos perpendiculares da Geometria Ele´ mentar se estendem em Algebra Linear ao conceito de complemento ortogonal, o qual ajuda a entender as relac¸o˜ es entre uma transfor˜ linear e sua adjunta. mac¸ao Seja E um espac¸o vetorial com produto interno. O complemento ˜ ortogonal de um conjunto nao-vazio X ⊂ E e´ o conjunto X⊥ formado ˜ ortogonais a todos os vetores x ∈ X. pelos vetores v ∈ E que sao Portanto v ∈ X⊥ ⇔ hv, xi = 0 para todo x ∈ X. • Dado X ⊂ E, temos h0, xi = 0 para todo x ∈ X, logo 0 ∈ X⊥ .

˜ hαv, xi = α hv, xi = 0 para todo x ∈ X, • Se v ∈ X⊥ e α ∈ R entao portanto αv ∈ X⊥ . ˜ para todo x ∈ X, tem-se hu + v, xi = • Se u ∈ X⊥ e v ∈ X⊥ entao, hu, xi + hv, xi = 0, logo u + v ∈ X⊥ . Segue-se das trˆes observac¸o˜ es acima que o complemento ortogo˜ nal de qualquer conjunto nao-vazio X ⊂ E e´ um subespac¸o vetorial de E. Evidentemente, X ⊂ Y ⇒ Y ⊥ ⊂ X⊥ e v ∈ X ∩ X⊥ ⇒ v = 0. ˜ v e´ ortoAl´em disso, se v e´ ortogonal aos vetores x1 , . . . , xm entao ˜ gonal a qualquer combinac¸ao linear Σαi xi , pois D X E X v, αi xi = αi hv, xi i = 0.

Da´ı resulta que o complemento ortogonal X⊥ do conjunto X coincide com o complemento ortogonal S(X)⊥ do subespac¸o vetorial S(X), gerado por X. Exemplo 11.1. Tem-se {0}⊥ = E e E⊥ = {0}. Se F ⊂ Rn e´ o subespac¸o ˜ nulo v = (a1 , . . . , an ) (reta que passa vetorial gerado pelo vetor nao pela origem), o complemento ortogonal F⊥ e´ o hiperplano definido ˜ a1 x1 + · · · + an xn = 0. pela equac¸ao

Teorema 11.3. Seja E um espa¸co vetorial de dimensao ˜ finita, munido de produto interno. Para todo subespa¸co vetorial F ⊂ E tem-se a decomposi¸cao ˜ em soma direta E = F ⊕ F⊥ .

138

A Adjunta

Se¸c˜ ao 11

˜ Demonstrac¸ao: Seja {u1 , . . . , un } ⊂ E uma base ortonormal cujos primeiros m elementos u1 , . . . , um formam uma base (ortonormal) de F. (Comec¸a-se com uma base qualquer de F, estende-se-a a uma base de E e depois aplica-se Gram-Schmidt.) Para todo vetor v ∈ E tem-se v = α1 u1 + · · · + αn un = z + w, onde z = α1 u1 + · · · + αm um ∈ F e w = αm+1 um+1 + · · · + αn un ∈ F⊥ . Portanto E = F + F⊥ . Como F ∩ F⊥ = {0}, segue-se que E = F ⊕ F⊥ . ´ Corolario 1. dim F + dim F⊥ = dim E. ´ Corolario 2. Para todo subespa¸co vetorial F⊂E, tem-se (F⊥ )⊥ = F. ˜ Com efeito, seja qual for o conjunto nao-vazio X ⊂ E, vale a in˜ X ⊂ (X⊥ )⊥ . Em particular, o subespac¸o F esta´ contido em clusao ´ (F⊥ )⊥ . Do Corolario 1 resulta que dim(F⊥ )⊥ = dim E − dim F⊥ = dim E − (dim E − dim F) = dim F. Logo F = (F⊥ )⊥ . ˜ 10 que a projec¸ao ˜ ortogonal de um vetor v ∈ E Vimos na Sec¸ao ˜ o vetor sobre um subespac¸o F ⊂ E e´ , por definic¸ao, m X hwi , vi wi , z = prF (v) = hwi , wi i i=1

onde {w1 , . . . , wm } ⊂ F e´ uma base ortogonal. Vimos ainda que, pondo w = v − z, temos v = z + w, com z ∈ F e w perpendicular a todos os ˜ de saber at´e wi (i = 1, . . . , m), logo w ∈ F⊥ . Ficou no ar a questao que ponto o vetor z = prF (v) depende da escolha da base ortogonal {w1 , . . . , wm } ⊂ F. A resposta e´ dada pelo Teorema 11.3. Como E = F ⊕ F⊥ , e´ unica ´ a maneira de escrever um vetor v ∈ E como soma v = z + w de um vetor z ∈ F com um vetor w ∈ F⊥ . Isto mostra que ˜ depende da escolha dos wi . (Veja tamb´em o Exerc´ız = prF (v) nao cio 11.5.) ˜ PF : E → E, ou De agora em diante, indicaremos com a notac¸ao ˜ houver perigo de confusao, ˜ a simplesmente P : E → E, quando nao ⊥ ˜ associada a` decomposic¸ao ˜ E = F ⊕ F , a qual chamaremos a projec¸ao proje¸cao ˜ ortogonal sobre F.

Se¸c˜ ao 11

A Adjunta

139

Teorema 11.4. Dada a transforma¸cao ˜ linear A : E→F, entre espa¸cos vetoriais de dimensao ˜ finita munidos de produto interno, tem-se N (A∗ ) = Im(A)⊥ ,

Im(A∗ ) = N (A)⊥ ,

N (A) = Im(A∗ )⊥

e

Im(A) = N (A∗ )⊥ .

˜ Basta provar a primeira dessas igualdades; as deDemonstrac¸ao: mais se seguem dela usando A∗∗ = A e F⊥⊥ = F. Ora, v ∈ N (A∗ ) ⇔ A∗ v = 0 ⇔ hu, A∗ vi = 0 q.q.s. u ∈ E ⇔

⇔ hAu, vi = 0 q.q.s. u ∈ E ⇔ v ∈ Im(A)⊥ .

´ Corolario 1. A fim de que o sistema de m equa¸co˜ es lineares com n inc´ognitas n X aij xj = bi (i = 1, . . . , m) j=1

possua solu¸cao ˜ e´ necessario ´ e suficiente que o vetor b = (b1 , . . . , bm ) ∈ Rm seja perpendicular a toda solu¸cao ˜ y = (y1 , . . . , ym ) do sistema homogˆeneo transposto m X

aji yj = 0

(i = 1, . . . , n).

j=1

´ Com efeito, pela ultima das igualdades do Teorema 11.4, o sis˜ se, e somente se, b e´ ortogonal ao nucleo ´ tema Ax = b tem soluc¸ao ∗ m de A , isto e´ , a todas as soluc¸o˜ es y ∈ R do sistema homogˆeneo A∗ y = 0. ´ O ponto do Corolario 1 e´ que ele permite concluir a existˆencia de ´ soluc¸o˜ es sem que seja necessario exibir uma delas. ´ Corolario 2. O posto de A∗ e´ igual ao posto de A.

140

A Adjunta

Se¸c˜ ao 11

˜ dim N (A) + dim Im(A) = n, logo Com efeito, se dim E = n entao dim Im(A∗ ) = n − dim N (A)

= n − [n − dim Im(A)] = dim Im(A).

´ ´ Esta prova do Corolario 2 e´ uma alternativa para o corolario do Teorema 11.2 sem o uso de matrizes. Na Fig. 11.1, os pares de retas perpendiculares representam pares de subespac¸os, cada um dos quais e´ o complemento ortogonal do outro.

Figura 11.1.

Exerc´ıcios ˜ linear entre espac¸os veto11.1. Seja A : E → F uma transformac¸ao ˜ finita, munidos de produto interno. Prove: riais de dimensao ˜ AA∗ : F → F e´ invert´ıvel e (a) Se A e´ sobrejetiva entao A∗ (AA∗ )−1 : F → E e´ uma inversa a` direita de A.

˜ A∗ A : E → E e´ invert´ıvel e (A∗ A)−1 A∗ e´ (b) Se A e´ injetiva entao uma inversa a` esquerda de A.

Se¸c˜ ao 11

A Adjunta

141

11.2. Use o exerc´ıcio anterior a fim de achar uma inversa a` direita ˜ linear A : R3 → R2 , dada por A(x, y, z) = (x + para a transformac¸ao ˜ 2y + 3z, 2x − y − z) e uma inversa a` esquerda para a transformac¸ao linear B : R2 → R4 , onde A(x, y) = (x + 2y, 2x − y, x + 3y, 4x + y).   1 1 1 11.3. Dada a matriz a = , calcule aaT e, a partir da´ı, en1 1 2 contre uma matriz b ∈ M(3 × 2) tal que ab = I2 . ˜ num espac¸o vetorial de dimensao ˜ 11.4. Seja P : E → E uma projec¸ao finita, munido de produto interno. Prove que P∗ tamb´em e´ uma ˜ Dˆe um exemplo em que P∗ 6= P. projec¸ao. 11.5. Seja U = {u1 , . . . , ur } uma base ortonormal do subespac¸o F, contido no espac¸o vetorial E, dotado de produto interno. Usando U , ˜ P : E → E, pondo, para todo v ∈ E, Pv = pru (v) = defina a aplicac¸ao r P hv, ui i ui . Prove que P e´ um operador linear com Im(P) = F, i=1

˜ de que N (P) = F⊥ e P2 = P. Obtenha assim outra demonstrac¸ao ⊥ E = F ⊕ F . (Vide Teorema 7.2.) 11.6. Considere, no espac¸o vetorial M(n × n), o produto interno definido por X ha, bi = aij bij , i,j

se a = [aij ] e b = [bij ]. (Vide Exerc´ıcio 11.17.) Mostre que o subespac¸o A das matrizes anti-sim´etricas e´ o complemento ortogonal do subespac¸o S das matrizes sim´etricas em M(n × n). 11.7. No espac¸o vetorial E das func¸o˜ es cont´ınuas f : [−1, 1] → R, sejam F, G ⊂ E os subespac¸os vetoriais formados pelas func¸o˜ es pares e pelas func¸o˜ es ´ımpares, respectivamente. Relativamente ao produto R1 interno hf, gi = −1 f(x)g(x) dx, em E, mostre que G e´ o complemento ortogonal de F. 11.8. Se os operadores lineares A, B : E → E comutam (isto e´ , AB = BA), prove que A∗ e B∗ tamb´em comutam.

11.9. Sejam {u1 , . . . , un } ⊂ E e {v1 , . . . , vm } ⊂ F conjuntos de geradores nesses espac¸os vetoriais com produto interno. Sejam ainda A : E → F e B : F → E transformac¸o˜ es lineares tais que hAuj , vi i = huj , Bvi i para i = 1, . . . , m e j = 1, . . . , n. Prove que B = A∗ .

142

A Adjunta

Se¸c˜ ao 11

11.10. Dada a matriz a ∈ M(m × n), prove que ou o sistema ax = b ˜ qualquer que seja b ∈ M(m×1) ou o sistema homogˆeneo tem soluc¸ao ˜ nao-trivial. ˜ transposto aT y = 0 admite uma soluc¸ao 11.11. No espac¸o M(n × n), munido do produto interno ha, bi = tr(aT b), (veja Exerc´ıcio 11.17) considere uma matriz fixa a e defina o operador linear Ta : M(n × n) → M(n × n) pondo Ta x = ax. Mostre ´ que a adjunta de Ta e´ Tb , onde b = aT . Prove um resultado analogo para o operador Sa : M(n × n) → M(n × n), onde Sa x = xa. (Obs. tr(ab) = tr(ba).)

˜ em torno do plano z = 0, parale11.12. Seja S : R3 → R3 a reflexao ˜ lamente a` reta x = y = z. Determine a adjunta S∗ . Mesma questao ˜ P : R3 → R3 , sobre o mesmo plano, paralelamente a` para a projec¸ao mesma reta. 11.13. Sejam A, B : E → E operadores lineares num espac¸o vetorial ˜ finita, munido de produto interno. Prove que se B∗ A = de dimensao ˜ para todo v ∈ E, os vetores Av e Bv sao ˜ perpendiculares. Em 0 entao, ˜ A = 0. particular, se A∗ A = 0 entao

˜ 11.14. Para todo conjunto nao-vazio X num espac¸o vetorial munido ⊥⊥ de produto interno, prove que X = S(X) (subespac¸o vetorial gerado por X). 11.15. Sejam F1 , F2 subespac¸os do espac¸o E, munido de produto in⊥ ⊥ ⊥ ⊥ terno. Prove que (F1 + F2 )⊥ = F⊥ 1 ∩ F2 , (F1 ∩ F2 ) = F1 + F2 . ˜ de que A e A∗ tˆem o mesmo posto, 11.16. Dˆe mais uma demonstrac¸ao ˜ e´ verdadeira quando A : E → F e´ nas seguintes linhas: a afirmac¸ao injetiva ou sobrejetiva pois nestes casos A∗ e´ sobrejetiva ou injetiva, ˜ no caso geral, use o fato de que respectivamente. Para a conclusao ˜ linear se escreve como um produto BA, onde B e´ toda transformac¸ao injetiva e A e´ sobretiva. (Exerc´ıcio 6.29.) ˜ finita, munidos de 11.17. Sejam E, F espac¸os vetoriais de dimensao produto interno. Dadas as transformac¸o˜ es lineares A, B : E → F, ponha hA, Bi = tr(A∗ B) e prove que isto define um produto interno em ˜ as matrizes L(E; F). (Vide Exerc´ıcio 8.37.) Se a = [aij ] e b = [bij ] sao ˜Pa bases ortonormais de E e F respectivamente, de A e B em relac¸ao prove que hA, Bi = aij bij . i,j

Se¸c˜ ao 11

A Adjunta

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˜ P : E → E, num espac¸o com produto 11.18. Prove que uma projec¸ao interno, e´ ortogonal (isto e´ , N (P) = Im(P)⊥ ) se, e somente se, para todo v ∈ E tem-se hPv, v − Pvi = 0. ˜ 11.19. Use o exerc´ıcio anterior para provar que se uma projec¸ao ˜ P e´ ortogonal. P : E → E cumpre |Pv| ≤ |v| para todo v ∈ E entao ˜ suponha que, para algum v ∈ E, Pv nao ˜ fosse ortogonal [Sugestao: a v − Pv. Tome w = p´e da perpendicular baixada de 0 sobre a reta ˜ |w| < |Pv|. Mas todos os pontos desta reta que cont´em v e Pv. Entao tˆem a mesma imagem por P. Logo |Pv| = |Pw| e da´ı |w| < |Pw|, uma ˜ contradic¸ao.] 11.20. Ache uma base para o complemento ortogonal do subespac¸o (plano) de R3 gerado pelos vetores u = (3, −1, 2) e v = (−1, 2, 3). 11.21. Dado o operador A : R3 → R3 , definido por A(x, y, z) = (x + y + z, 3x − 2y − z, −2x + 3y + 2z), obtenha bases para os seguintes subespac¸os de R3 : Im(A), N (A), Im(A∗ ) e N (A∗ ). 11.22. Considere a base {u, v, w} ⊂ R3 onde u = (1, 1, 1), v = (1, 2, 3), w = (1, −2, 1). Determine as matrizes (na base canˆonica) dos funcionais lineares u∗ , v∗ , w∗ : R3 → R que formam a base dual de {u, v, w}. ˜ do exerc´ıcio anterior, a base {u, v, w} ⊂ R3 11.23. Com a notac¸ao determina um isomorfismo ψ : (R3 )∗ → R3 , que a cada funcional f ∈ (R3 )∗ faz corresponder sua matriz (do tipo 1 × 3) na base dada. Prove que ψ(f) = [a, b, c] ⇔ f = au∗ + bv∗ + cw∗ .

11.24. Demonstre que (AB)∗ = B∗ A∗ e A∗∗ = A.

˜ entre os Exerc´ıcios 4.20 e 10.15 por 11.25. Estabelec¸a uma conexao interm´edio do Teorema 11.1. ˜ linear entre espac¸os de 11.26. Seja A : E → F uma transformac¸ao ˜ finita, com produto interno. Se dim E < dim F, prove que dimensao ˜ e´ invert´ıvel mas se N (A) = {0} entao ˜ o operador AA∗ : F → F nao ∗ ˜ com E = R2 A A : E → E e´ invert´ıvel. Dˆe um exemplo desta situac¸ao 3 e F = R . Que se pode afirmar quando dim E > dim F ? 11.27. Num espac¸o vetorial E munido de produto interno, sejam V = {v1 , . . . , vn } e W = {w1 , . . . , wn } bases tais que hvi , wj i = δij . (Cfr. Exerc´ıcio 10.15.) Prove que a matriz do operador linear A∗ na base W e´ a transposta da matriz do operador A na base V.

144

A Adjunta

Se¸c˜ ao 11

11.28. Seja a uma matriz quadrada. Se o trac¸o (soma dos elementos da diagonal) de aT .a e´ zero, prove que a = 0. 11.29. Uma matriz quadrada a chama-se diagonalizavel ´ quando e´ semelhante a uma matriz d = [dij ] do tipo diagonal (dij = 0 se i 6= j), ou seja, quando existe p invert´ıvel tal que p−1 ap = d. Prove que ´ ˜ aT tamb´em o e´ . Se a matriz do operador se a e´ diagonalizavel entao ´ A : E → E relativamente a uma base de E e´ diagonalizavel, prove que ˜ a qualquer outra base e´ diagonalizavel. ´ a matriz de A em relac¸ao

11.30. Prove que a adjunta de A : E → E, onde Av = hv, ai b, e´ A∗ v = hv, bi a.

11.31. Seja f∗ : R → E a adjunta do funcional linear f : E → R. Prove que v = f∗ (1) e´ o vetor de E que corresponde a f pelo isomorfismo do Teorema 11.1. Prove ainda que f(f∗ (1)) = |v|2 e f∗ (f(w)) = hw, viv ∀w ∈ E. ˜ linear A : E → F, entre espac¸os de 11.32. Para toda transformac¸ao ˜ finita munidos de produto interno, prove que a restric¸ao ˜ dimensao de A a` imagem de A∗ define um isomorfismo A : Im(A∗ ) → Im(A). Analogamente, A∗ transforma o subespac¸o Im(A) isomorficamente ˜ estes isomorfismos um o inverso do outro? sobre Im(A∗ ). Sao 11.33. Seja {u1 , . . . , un } ⊂ E uma base ortonormal. Para todo operador linear A : E → E, prove que n X i=1

|Aui |2 =

n X

|A∗ ui |2 .

i=1

11.34. Seja J : F → E a inclusao ˜ do subespac¸o F ⊂ E, isto e´ , Jv = v ∗ para todo v ∈ F. Prove que J J : F → F e´ o operador identidade de ˜ de nucleo ´ F e que o operador JJ∗ : E → E e´ a projec¸ao F⊥ e imagem ∗ ˜ F. (Noutras palavras, a adjunta J : E → F e´ esta mesma projec¸ao, por´em considerada com contra-dom´ınio F.)

12 Subespa¸cos Invariantes

Quanto menor e´ a dimensao ˜ do espa¸co E, mais facil ´ e´ estudar os operadores lineares A : E → E. (Isto e´ especialmente verdadeiro quando dim E = 1 ou dim E = 2.) Por isso, quando se tem um operador A : E → E, e´ natural que se tente, de alguma maneira, “decompˆo-lo” em operadores definidos em subespa¸cos de dimens˜oes menores. O passo inicial nessa busca e´ a no¸cao ˜ de subespa¸co invariante por um operador, que estudaremos nesta se¸cao. ˜ E o caso de maior eˆ xito e´ o dos operadores auto-adjuntos; como veremos na se¸cao ˜ seguinte, todo operador daquele tipo se decomp˜oe em operadores uni-dimensionais. Outros exemplos de sucesso serao ˜ vistos nas Se¸co˜ es 14 e 15. As bases serao ˜ lan¸cadas agora. ˜ (Teorema 12.1) que, dado um operador Provaremos nesta sec¸ao ˜ finita, ou bem linear A : E → E num espac¸o vetorial de dimensao ˜ ˜ existem existe um vetor nao-nulo u ∈ E tal que Au = λu ou entao ˜ ambos u, v ∈ E linearmente independentes tais que Au e Av sao combinac¸o˜ es lineares de u e v: Au = αu + βv, Av = γu + δv. Este fato sera´ fundamental para o estudo de certos tipos particularmente importantes de operadores, como os auto-adjuntos e os ortogonais, que abordaremos nas sec¸o˜ es seguintes. Para demonstrar o Teorema 12.1, faremos uso do chamado Teo´ rema Fundamental da Algebra, do qual resulta que todo polinˆomio mˆonico real se decomp˜oe como produto de polinˆomios mˆonicos irre-

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Subespa¸cos Invariantes

Se¸c˜ ao 12

dut´ıveis do primeiro e do segundo graus. (Lembramos que se chama mˆonico um polinˆomio no qual o coeficiente do termo de mais alto ˜ grau e´ igual a 1 e que um polinˆomio irredut´ıvel do segundo grau nao admite raiz real.) O teorema a ser demonstrado significa que existe em E um sub˜ 1 ou 2, invariante por A de acordo com espac¸o vetorial de dimensao ˜ a seguinte definic¸ao. Diz-se que um subespac¸o vetorial F ⊂ E e´ invariante pelo operador linear A : E → E quando A(F) ⊂ F, isto e´ , quando a imagem Av de qualquer vetor v ∈ F e´ ainda um vetor em F. ˜ Se F e´ um subespac¸o invariante do operador A : E → E, a restric¸ao de A aos vetores de F define um operador que, salvo quando houver ˜ indicaremos com a mesma notac¸ao ˜ A : F → F. perigo de confusao, Assim, a existˆencia de um subespac¸o invariante permite o estudo de um operador mais simples, por estar definido num dom´ınio menor. ˜ invariantes por qualquer Exemplo 12.1. Os subespac¸os {0} e E sao ´ ˜ tamb´em operador A : E → E. O nucleo N (A) e a imagem Im(A) sao exemplos o´ bvios de subespac¸os invariantes. Um subespac¸o F de di˜ 1 (reta passando pela origem) e´ invariante por A se, e somensao ´ mente se, existe um numero λ tal que Av = λv para todo v ∈ F. [Com efeito, fixando um vetor u 6= 0 em F, todos os demais elementos de ˜ da forma αu, α ∈ R. Como Au ∈ F, tem-se Au = λu. Para F sao qualquer outro v ∈ F, vale v = αu logo Av = αAu = αλu = λαu, logo ˜ linearmente independenAv = λv, com o mesmo λ.] Se u, v ∈ E sao tes, o subespac¸o F gerado por u e v (plano contendo a origem) e´ invariante por A se, e somente se Au ∈ F e Av ∈ F, isto e´ , Au = αu + βv e Av = γu + δv. Um vetor v 6= 0 em E chama-se um autovetor do operador A : E → E quando existe λ ∈ R tal que Av = λv.

´ O numero λ ∈ R, por sua vez, chama-se um autovalor do operador ˜ A quando existe um vetor nao-nulo v ∈ E tal que Av = λv. Diz-se ˜ que o autovalor λ corresponde, ou pertence, ao autovetor v e, entao vice-versa, que o autovetor v tamb´em corresponde, ou pertence, ao ˜ para todo w = αv, tem-se Aw = λw. autovalor λ. Entao,

Se¸c˜ ao 12

Subespa¸cos Invariantes

147

Achar um autovetor (ou, o que e´ equivalente, um autovalor) do operador A e´ , portanto, o mesmo que achar um subespac¸o de di˜ 1 invariante por A. mensao ´ Analogamente, diz-se que o numero real λ e´ um autovalor da matriz a ∈ M(n × n) quando λ e´ um autovalor do operador A : Rn → Rn , cuja matriz na base canˆonica e´ a. Isto significa que existe um vetor x 6= 0 em Rn tal que Ax = λx ou, o que e´ , o mesmo, uma matriz ˜ nao-nula x ∈ M(n × 1) tal que ax = λx. ˜ R : R2 → R2 em torno da origem, de Exemplo 12.2. Uma rotac¸ao ˆ ˜ admite outros subespac¸os invariangulo diferente de 0◦ e 180◦ , nao ˜ antes al´em de {0} e R2 . Por outro lado, para todo α ∈ R, a rotac¸ao 3 3 ˆ A : R → R de angulo α em torno do eixo z, definida por A(x, y, z) = (x cos α − y sen α, x sen α + y cos α, z),

tem o eixo z e o plano z = 0 como subespac¸os invariantes. Para todo z 6= 0, o vetor v = (0, 0, z) e´ um autovetor de A, cujo autovalor cor˜ S : E → E em respondente e´ 1, pois Av = v. Ja´ no caso de uma reflexao torno do subespac¸o F1 , paralelamente a F2 (vide Teorema 7.3), todo ˜ vetor nao-nulo em F1 e´ um autovetor de S, com autovalor 1, enquanto ˜ ˜ autovetores correspondentes ao que os vetores nao-nulos em F2 sao ´ ˜ autovalor −1. Finalmente, se o operador A tem nucleo nao-trivial ˜ todo vetor nao-nulo ˜ entao v ∈ N (A) e´ um autovetor pois Av = 0 · v.

Exemplo 12.3. O operador A : R2 → R2 , definido por A(x, y) = ´ (x + αy, y), chama-se cisalhamento. Se α 6= 0, os unicos subespac¸os ˜ {0}, R2 e o eixo das abcissas. Com efeito, qualinvariantes por A sao ´ quer outro subespac¸o de R2 e´ uma reta F, formada pelos multiplos tv = (ta, tb) de um vetor v = (a, b), com b 6= 0. Se t 6= 0 tem-se tv ∈ F ˜ e´ invariante mas A(tv) = (ta + αtb, tb) = tv + (αtb, 0) ∈ / F logo F nao por A. Dados o polinˆomio p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn e o operador ˜ p(A) indica o operador A : E → E, a notac¸ao p(A) = a0 I + a1 A + · · · + an An .

Lema. Para todo operador linear A : E → E, num espa¸co vetorial de dimensao ˜ finita, existem um polinˆomio mˆonico irredut´ıvel p, de grau 1 ou 2, e um vetor nao-nulo ˜ v ∈ E, tais que p(A) · v = 0.

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Subespa¸cos Invariantes

Se¸c˜ ao 12

˜ Demonstrac¸ao: Seja n = dim E. Como dim L(E) = n2 , os 2 2 ˜ linearmente dependentes. Porn + 1 operadores I, A, . . . , An sao ´ ˜ todos nulos, tais que tanto existem numeros reais αo , . . . , αn2 , nao 2 ˜ de maior αo I + α1 A + · · · + αn2 An = 0. Seja αm o coeficiente nao-nulo ´ındice nesta expressao. ˜ Dividindo-a por αm , obtemos um polinˆomio mˆonico p(x) = βo + β1 x + · · · + βm−1 xm−1 + xm tal que p(A) = 0. ˜ p(x) = p1 (x) · p2 (x) · · · pk (x), onde Sabemos que existe uma fatorac¸ao cada pi e´ um polinˆomio mˆonico irredut´ıvel de grau 1 ou 2. Temos p1 (A) · p2 (A) · · · pk (A) = 0. Logo, pelo menos um dos operadores ˜ e´ invert´ıvel. Assim, existe um vetor nao-nulo ˜ pi (A) nao v ∈ E tal que pi (A) · v = 0. Teorema 12.1. Todo operador linear num espa¸co vetorial de dimensao ˜ finita possui um subespa¸co invariante de dimensao ˜ 1 ou 2. ˜ Dado A : E → E, sejam p o polinˆomio e v ∈ E o vetor Demonstrac¸ao: ˜ ˜ nao-nulo dados pelo lema, com p(A) · v = 0. Se p(x) = x − λ entao Av − λv = 0, donde Av = λv, logo a reta que passa pela origem e ˜ 1. Se p tem cont´em v e´ um subespac¸o invariante por A, de dimensao 2 2 ˜ A v + aAv + bv = p(A) · v = 0, logo grau 2, p(x) = x + ax + b, entao A(Av) = −aAv − bv. Isto mostra que o subespac¸o gerado por v e Av ˜ L.I. pois se tiv´essemos e´ invariante por A. Al´em disso, v e Av sao ˜ Av = λv entao 0 = A2 v + aAv + bv = λ2 v + aλv + bv = (λ2 + aλ + b)v, ˜ pois p(x) = x2 + ax + b nao ˜ donde λ2 + aλ + b = 0, uma contradic¸ao tem raiz real. Logo o subespac¸o invariante gerado por v e Av tem ˜ 2. dimensao ˜ n admite Um operador linear num espac¸o vetorial de dimensao ´ ¨ encia do no maximo n autovalores distintos. Isto e´ consequˆ Teorema 12.2. A autovalores diferentes do mesmo operador correspondem autovetores linearmente independentes. ˜ Dado o operador linear A : E → E, sejam v1 , . . . , vm Demonstrac¸ao: ˜ vetores nao-nulos em E tais que Av1 = λ1 v1 , . . . , Avm = λm vm , onde ´ ˜ dois a dois diferentes. Provaremos, os numeros reais λ1 , . . . , λm sao ˜ que esses vetores sao ˜ L.I. . A afirmac¸ao ˜ e´ o´ bvia quando por induc¸ao, m = 1. Supondo-a verdadeira para m − 1 vetores, inferiremos da´ı

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˜ linear nula sua validez para m. Dada a combinac¸ao α1 v1 + · · · + αm vm = 0,

(*)

aplicamos o operador A a ambos os membros desta igualdade, le˜ que vando em conta que Avi = λi vi . Resulta entao λ1 α1 v1 + · · · + λm αm vm = 0.

(**)

Multiplicando a igualdade (*) por λm e subtraindo de (**) vem: (λ1 − λm )α1 v1 + · · · + (λm−1 − λm )αm−1 vm−1 = 0. ˜ os vetores v1 , . . . , vm−1 sao ˜ L.I. . Logo Pela hip´otese de induc¸ao, (λ1 − λm )α1 = · · · = (λm−1 − λm )αm−1 = 0. ˜ todos diferentes, as m − 1 diferenc¸as nos Como os autovalores sao ˜ 6= 0, logo α1 = · · · = αm−1 = 0. Isto reduz parˆenteses acima sao a igualdade (*) a αm vm = 0. Como vm 6= 0, segue-se que αm = 0. Assim, a igualdade (*) s´o pode ocorrer quando todos os coeficientes ˜ nulos, o que prova o teorema. αi sao ´ Corolario. Seja dim E = n. Se um operador linear A : E → E possui n autovalores diferentes entao ˜ existe uma base {v1 , . . . , vn } ⊂ E em rela¸cao ˜ a` qual a matriz de A e´ diagonal (isto e´ , tem a forma [aij ] com aij = 0 se i 6= j). ˜ Com efeito, se Av1 = λ1 v1 , . . . , Avn = λn vn com os vi nao-nulos e ˜ {v1 , . . . , vn } e´ , em virtude do Teorema os λi dois a dois distintos entao 12.2, uma base de E. A matriz de A nesta base e´   λ1   λ2     ..   . λn

˜ aparecem sao ˜ iguais a zero. na qual os termos que nao

A igualdade Av = λv equivale a (A − λI)v = 0, logo v e´ um autovetor do operador A : E → E se, e somente se, e´ um elemento ˜ ´ nao-nulo do nucleo N (A − λI). Noutras palavras, a fim de que λ

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´ seja um autovalor de A e´ necessario e suficiente que o operador ˜ possua inverso. A − λI : E → E nao

Exemplo 12.4. Um caso particular importante ocorre quando dim E = 2. Vimos no Exemplo 2.6 que se {u, v} ⊂ E e´ uma base ˜ os vetores αu + βv e γu + δv sao ˜ linearmente dependentes se, entao e somente se, αδ − βγ = 0. Dados o operador A : E → E e a base {u, v} ⊂ E, sejam Au = au + cv e Av = bu + dv. Noutras palavras, a matriz do operador A na base {u, v} e´   a b . c d ˜ (A − λI)u = (a − λ)u + cv e (A − λI)v = bu + (d − λ)v. A fim de Entao ˜ seja invert´ıvel e´ necessario ´ que A − λI nao e suficiente que os vetores (A − λI)u e (A − λI)v sejam L.D., ou seja, que (a − λ)(d − λ) − bc = 0, ou ainda, que λ seja raiz do polinˆomio p(λ) = λ2 − (a + d)λ + ad − bc, chamado o polinˆomio caracter´ıstico do operador A. ´ Portanto, o numero real λ e´ um autovalor do operador A : E → E, onde dim E = 2, se, e somente se, e´ uma raiz do polinˆomio carac˜ e´ p(λ) = λ2 − (a + d)λ + ter´ıstico do operador A, o qual, por definic¸ao, ˜ tirados da matriz de A em relac¸ao ˜ ad−bc. Os coeficientes de p(λ) sao a uma base qualquer de E. ˜ Observac¸ao. A matriz do operador A muda quando se passa de uma base para outra. Mas o polinˆomio p(λ) (isto e´ , as express˜oes ˜ seus coeficientes) permanece (isto e´ , permaa + d e ad − bc, que sao ˜ Isto sera´ provado na Sec¸ao ˜ 20. No presente necem) sem alterac¸ao. caso (dim E = 2), e´ claro que a + d = trac¸o de A, logo independe da base escolhida. Quanto ao coeficiente ad − bc (o determinante da   a b matriz a = ), vide o Exerc´ıcio 12.7. c d ˜ R : R2 → R2 , R(x, y) = (x cos θ − Exemplo 12.5. No caso da rotac¸ao y sen θ, x sen θ + y cos θ), temos a = cos θ, b = − sen θ, c = sen θ, d = cos θ, logo o polinˆomio caracter´ıstico de R e´ p(λ) = λ2 − (2 cos θ)λ + 1.

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˜ possui raiz real pois neste Se θ 6= 0 e θ 6= 180◦ , o trinˆomio p(λ) nao ¨ caso seu discriminante ∆ = 4(cos2 θ − 1) e´ negativo. Consequente◦ mente R s´o possui autovalores (reais) se θ = 0 ou θ = 180 . Exemplo 12.6. Definamos o operador A : R2 → R2 pondo A(x, y) = (4x + 3y, x + 2y). Seu polinˆomio caracter´ıstico e´ p(λ) = λ2 − 6λ + 5, ˜ λ1 = 1 e λ2 = 5. Estes numeros ´ ˜ autovalores de A. cujas ra´ızes sao sao ˜ Existem, portanto, vetores nao-nulos v1 e v2 em R2 , tais que Av1 = v1 e Av2 = 5v2 . Pelo Teorema 12.2, v1 e v2 formam uma base de R2 , em ˜ a` qual a matriz do operador A tem a forma diagonal: relac¸ao   1 0 a= 0 5 A fim de determinar os vetores v1 = (x, y) e v2 = (r, s) exprimimos as igualdades Av1 = v1 e Av2 = 5v2 em termos de coordenadas, obtendo os sistemas lineares 4x + 3y = x x + 2y = y e 4r + 3s = 5r r + 2s = 5s. ˜ indeterminados, e tinham que ser Ambos os sistemas acima sao ´ assim pois se v e´ autovetor de A, todo multiplo αv tamb´em e´ . To˜ nao-nula ˜ mando uma soluc¸ao de cada um desses sistemas obtemos v1 = (1, −1), v2 = (3, 1) tais que {v1 , v2 } ⊂ R2 e´ uma base formada por autovetores de A.

Exerc´ıcios 12.1. Suponha que o operador linear A : E → E, num espac¸o vetorial ˜ n, admita um subespac¸o invariante F, de dimensao ˜ r. de dimensao Prove que existe uma base de E, relativamente a` qual a matriz de A tem a forma   a b , 0 c

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com a ∈ M(r × r), b ∈ M(r × (n − r)), 0 ∈ M((n − r) × r) e c ∈ M((n − r) × (n − r)). ´ 12.2. Enuncie e prove um resultado analogo ao do exerc´ıcio anterior, ˜ invariantes pelo operador A. supondo que E = F ⊕ G, onde F e G sao

12.3. Dˆe exemplo de um operador linear A : R3 → R3 que admite um subespac¸o invariante F ⊂ R3 com a seguinte propriedade: nenhum subespac¸o G ⊂ R3 tal que R3 = F ⊕ G e´ invariante por A.

˜ 12.4. Dado o vetor nao-nulo a ∈ R3 , determine os subespac¸os de 3 R invariantes pelo operador A : R3 → R3 , definido por Av = a × v (produto vetorial: veja Exerc´ıcio 10.27).

12.5. Sejam A, B : E → E operadores lineares. Se AB = BA, prove ˜ subespac¸os invariantes por A. que N (B) e Im(B) sao

12.6. Dado o operador linear A : E → E e o polinˆomio p(x), prove ˜ invariantes que os subespac¸os vetoriais N (p(A)) e Im(p(A)) sao por A.

12.7. Um operador A : E → E chama-se normal quando AA∗ = A∗ A. ˜ para todo v ∈ E, tem-se |Av| = |A∗ v| Prove que se A e´ normal entao, e conclua da´ı que todo auto-vetor de A e´ tamb´em auto-vetor de A∗ , ˜ se A e´ normal, A−λI tamb´em e´ .) com o mesmo auto-valor. (Sugestao: 12.8. Se o operador A e´ normal, prove que N (A)⊥ = Im(A).

˜ de posto 2. Prove que os unicos ´ 12.9. Seja P : R3 → R3 uma projec¸ao 3 ˜ contidos na imagem ou subespac¸os de R invariantes por P estao ´ contˆem o nucleo de P. E se o posto de P for igual a 1 ? 12.10. Mostre que os subespac¸os vetoriais de C∞ (R, R) gerados por ˜ invariantes pelo operador de decada um dos conjuntos abaixo sao ∞ ∞ ˜ D : C (R, R) → C (R, R). rivac¸ao (a) {cos x, sen x}; (b) {ex , xex , x2 ex }. ˜ 2, invariante pelo 12.11. Se F ⊂ R3 e´ um subespac¸o de dimensao 3 3 ˜ possui auto-vetores em F, operador linear A : R → R , e A nao ˜ 2, al´em de F, e´ invariante prove que nenhum subespac¸o de dimensao por A. 12.12. Dado o operador linear A : E → E num espac¸o vetorial de ˜ 3, prove que existe uma base de E relativamente a` qual a dimensao

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matriz de A tem uma das formas abaixo:     a b e a b 0 c d f .  c d 0 ou 0 0 g e f g ˜ Em qualquer caso, prove que existe um vetor nao-nulo v ∈ E tal que ˜ veremos na Sec¸ao ˜ 20 que, mais geralmente, Av = gv. [Observac¸ao: ˜ ´ımpar possui todo operador linear num espac¸o vetorial de dimensao pelo menos um auto-vetor.] ˜ subespac¸os invariantes pelo operador linear 12.13. Se F1 , F2 ⊂ E sao ˜ invariantes por A. A : E → E, prove que F1 ∩ F2 e F1 + F2 tamb´em sao

12.14. Seja A : E → E um operador invert´ıvel, com dim E finita. Se ˜ de A a o subespac¸o F ⊂ E e´ invariante por A, prove que a restric¸ao F e´ ainda um operador invert´ıvel F → F e conclua que F e´ tamb´em invariante por A−1 .

˜ os autovetores e autovalores do operador de deri12.15. Quais sao ˜ D: P → P ? vac¸ao

˜ n, prove que todo ope12.16. Num espac¸o vetorial E de dimensao ˜ n − 1 ou rador linear possui um subespac¸o invariante de dimensao ˜ aplique o Teorema 12.1 a` adjunta do operador dado, n−2. (Sugestao: tendo antes introduzido um produto interno em E.) ˜ respectivamente autovetores de A e A∗ , corres12.17. Se v e w sao pondentes a autovalores λ 6= µ, prove que hv, wi = 0. ˜ 12.18. Prove que um operador A e´ invert´ıvel se, e somente se, nao tem autovalor igual a 0. No caso afirmativo, prove que os autovetores de A e de A−1 coincidem. E os autovalores?   a b ˜ o e´ , por definic¸ao, 12.19. O determinante da matriz a = c d ´  det a = ad − bc. Mediante um calculo ´ numero direto, mostre que se p q ˜ det(am) = det a · det m. Prove ainda que det a 6= m= entao r s 0 se, e somente se, a e´ invert´ıvel. Conclua que, para toda matriz invert´ıvel m, tem-se det a = det(m−1 am), logo todas as matrizes do operador A : E → E, com dim E = 2, tˆem o mesmo determinante, o qual e´ chamado o determinante do operador A.

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Subespa¸cos Invariantes

Se¸c˜ ao 12

12.20. Dado o operador linear A : E → E, suponha que E = F1 ⊕ F2 , onde Av1 = λ1 v1 se v1 ∈ F1 e Av2 = λ2 v2 se v2 ∈ F2 , com λ1 6= λ2 . Prove ˜ os unicos ´ que λ1 e λ2 sao autovalores de A e que os autovetores de A ˜ em F1 ou em F2 . estao 12.21. Seja A : Rn → Rn o operador linear cuja matriz na base canˆonica tem todos os elementos iguais a 1. Prove que o posto de A e´ igual a 1 e que Rn = N (A) ⊕ Im(A). Conclua que os autovalores ˜ 0 e n e que seus autovetores pertencem a N (A) ou a Im(A). de A sao Exiba uma base de Rn na qual a matriz de A tem n2 − 1 zeros. ˜ 12.22. Se todo vetor nao-nulo de E for um autovetor do operador linear A : E → E, prove que A = λI.

12.23. Para todo autovalor λ do operador linear A : E → E, seja Eλ = {v ∈ E; Av = λv}. Prove que Eλ e´ um subespac¸o vetorial de E, invariante por A. (Eλ chama-se auto-subespa¸co correspondente ao autovalor λ.) ´ 12.24. Prove que um subespac¸o que cont´em o nucleo de uma proje˜ e´ invariante por essa projec¸ao. ˜ c¸ao 12.25. Se AB = BA, prove que a imagem por B de um subespac¸o invariante por A e´ ainda invariante por A.

12.26. Seja A : E → E um operador linear tal que A2 possui algum autovalor ≥ 0. Prove que A possui autovetor. Dˆe um exemplo em ˜ possui. que A2 possui autovetor mas A nao 12.27. Se os autovetores do operador linear A : E → E geram o espac¸o ˜ tamb´em invariE e, al´em disso, os subespac¸os invariantes por A sao antes por B, prove que AB = BA. 12.28. Seja dim E = n. Se o operador linear A : E → E possui n autovalores distintos, prove que existem no espac¸o E exatamente 2n subespac¸os invariantes por A. ˜ 12.29. Seja A : E → E um operador no espac¸o vetorial E, de dimensao finita, onde E = F1 ⊕ · · · ⊕ Fk e cada Fi e´ invariante por A. Tome uma ˜ de bases dos Fi . Determine a forma base V ⊂ E que seja uma uniao da matriz de A na base V.

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Subespa¸cos Invariantes

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12.30. Seja A : R2 → R2 o operador definido por A(x, y) = (y, 0).  0 1 ˜ os autovalores de A ? E os autovetores? Se a = Quais sao , 0 0 existe alguma matriz invert´ıvel p ∈ M(2×2) tal que p−1 ap seja uma matriz diagonal? 12.31. Seja A : R2 → R2 o operador definido por A(x, y) = (2x − ´ y, x + 4y). Mostre que A possui um autovalor unico igual a 3 e que o ˜ 1. Conclua que auto-subespac¸o E3 (v. Exerc´ıcio 12.23) tem dimensao se   2 −1 a= 1 4 ˜ nao ˜ existe uma matriz invert´ıvel b ∈ M(2 × 2) tal que b−1 ab entao seja diagonal. 12.32. Seja A : R2 → R2 o operador definido por A(x, y) = (3x + y, 2x + 2y). Mostre que A possui os autovalores 4 e 1. Ache uma base {u, v} ⊂ R2 tal que Au = 4u e Av = v. Dada a matriz   3 1 a= , 2 2 ache uma matriz invert´ıvel p ∈ M(2 × 2) tal que p−1 ap =



 4 0 . 0 1

12.33. Prove que todo operador linear de posto 1 em Rn possui um autovetor cujo autovalor correspondente e´ o trac¸o do operador dado. ˜ todas reais. Se 12.34. Seja p um polinˆomio 6= 0 cujas ra´ızes sao p(A) = 0, prove que pelo menos uma raiz de p e´ autovalor do operador A. 12.35. Se o espac¸o vetorial E possui uma base formada por autovetores do operador A : E → E, prove que existe tamb´em uma base de E formada por autovetores de A∗ : E → E. (Veja Exerc´ıcio 11.29.)

˜ 12.36. Sejam A : E → E um operador linear num espac¸o de dimensao finita, munido de produto interno e F ⊂ E um subespac¸o invariante por A. Defina o operador B : F → F pondo Bv = Av. Mostre que, para todo v ∈ F, se tem A∗ v = B∗ v + Cv, com Cv ∈ F⊥ .

13 Operadores Auto-Adjuntos

O Teorema Espectral para operadores auto-adjuntos, a ser provado ´ nesta se¸cao, ˜ e´ um dos resultados mais relevantes da Algebra Linear. Serao ˜ tamb´em demonstradas algumas de suas consequˆ ¨ encias, entre as quais se destaca o Teorema dos Valores Singulares. Um operador linear A : E → E, num espac¸o vetorial munido de produto interno, chama-se auto-adjunto quando A = A∗ , ou seja, quando hAu, vi = hu, Avi para quaisquer u, v ∈ E. ˜ operadores auto-adjuntos e α ∈ R entao ˜ Se A, B : E → E sao ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ (A + B) = A + B = A + B e (αA) = αA = αA, logo A + B e ˜ auto-adjuntos. αA sao O produto AB dos operadores auto-adjuntos A, B e´ auto-adjunto se, e somente se, A e B comutam, isto e´ , AB = BA. Com efeito, sendo A e B auto-adjuntos, temos (AB)∗ = B∗ A∗ = BA. Logo, AB e´ auto-adjunto se, e somente se, BA = AB. Exemplo 13.1. Sejam A, B : R2 → R2 os operadores lineares definidos por A(x, y) = (x, 2y) e B(x, y) = (y, x). Para todo v = (x, y) tem-se: he1 , A∗ vi = hAe1 , vi = he1 , vi = x

he2 , A∗ vi = hAe2 , vi = h2e2 , vi = 2y,

Se¸c˜ ao 13

Operadores Auto-Adjuntos

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portanto A∗ v = (x, 2y) = Av e A∗ = A. Analogamente se mostra que B∗ = B. Entretanto, como AB(x, y) = (y, 2x), vˆe-se que, para v = (x, y), he1 , (AB)∗ vi = hABe1 , vi = 2y, enquanto he1 , ABvi = y, logo (AB)∗ 6= AB, ou seja, o produto AB dos operadores auto-adjuntos ˜ e´ auto-adjunto. Isto se da´ porque AB 6= BA. Com efeito, A, B nao AB(x, y) = (y, 2x) e BA(x, y) = (2y, x). ˜ ortogonal P : E → E sobre um subespac¸o Exemplo 13.2. A projec¸ao F ⊂ E e´ um operador auto-adjunto. Com efeito, dados v = z + w, v′ = z′ + w′ , com z, z′ ∈ F e w, w′ ∈ F⊥ , temos









 Pv, v′ = z, v′ = z, z′ = v, z′ = v, Pv′ .

˜ P : E → E sobre o subespac¸o F1 , paraReciprocamente, se a projec¸ao ˜ lelamente a F2 , onde E = F1 ⊕ F2 , for um operador auto-adjunto entao para quaisquer v1 ∈ F1 , v2 ∈ F2 vale hv1 , v2 i = hPv1 , v2 i = hv1 , Pv2 i = hv1 , 0i = 0, ˜ P : E → E e´ um operador auto-adjunto logo F2 = F⊥ ¸ ao 1 . Assim, a projec ˜ ortogonal. se, e somente se, e´ uma projec¸ao Uma matriz quadrada a = [aij ] diz-se sim´etrica quando e´ igual a` sua transposta aT , isto e´ , quando aij = aji para todo i e todo j. No teorema 13.1 e´ dado um operador linear A : E → E, num ˜ finita, dotado de produto interno. espac¸o vetorial de dimensao Teorema 13.1. A : E → E e´ auto-adjunto se, e somente se, sua matriz a = [aij ] relativamente a uma (e portanto a qualquer) base ortonormal U = {u1 , . . . , un } ⊂ E e´ uma matriz sim´etrica.

˜ Demonstrac¸ao: hui , Auj i = [i-´esima coordenada do vetor Auj na base U ] = [i-´esimo elemento da j-´esima coluna de a] = aij . Portanto a matriz a e´ sim´etrica se, e somente se, hui , Auj i = hAui , uj i para quaisquer i, j = 1, . . . , n. Devido a` linearidade de A e a` bilinearidade do produto interno, isto equivale a dizer que hu, Avi = hAu, vi para quaisquer u, v ∈ E, ou seja, que A e´ auto-adjunto. Exemplo 13.3. As matrizes dos operadores A e B do Exemplo 13.1 ˜ respectivamente na base canˆonica de R2 sao     0 1 1 0 , e b= a= 1 0 0 2

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Operadores Auto-Adjuntos

Se¸c˜ ao 13

ambas sim´etricas. Quanto ao Exemplo 13.2, se tomarmos em E uma base ortonormal cujos primeiros m elementos formem uma base de ´ ˜ P nesta base F e os ultimos uma base de F⊥ , a matriz da projec¸ao tera´ os m primeiros termos da diagonal iguais a 1 e todos os demais elementos iguais a zero. Seu formato sera´            



1 1 ..

. 1 0 ..

. 0

      ,     

˜ indicados acima, sao ˜ todos zeonde os termos fora da diagonal, nao ˜ sim´etricas, refletindo o fato de que represenros. Essas matrizes sao tam operadores auto-adjuntos em bases ortonormais. Ja´ o operador ˜ e´ auto-adjunto pois na base canˆonica de R2 A no Exemplo  12.6 nao 4 3 sua matriz e´ . 1 2 Teorema 13.2 Seja A : E → E um operador auto-adjunto. Se o subespa¸co F ⊂ E e´ invariante por A, seu complemento ortogonal F⊥ tamb´em e´ . O Teorema 13.2 decorre imediatamente do Teorema 13.3 Se o subespa¸co F ⊂ E e´ invariante pelo operador linear A : E → E entao ˜ seu complemento ortogonal F⊥ e´ invariante pelo operador adjunto A∗ : E → E.

˜ Demonstrac¸ao: [u ∈ F, v ∈ F⊥ ] ⇒ Au ∈ F ⇒ hu, A∗ vi = hAu, vi = ∗ ⊥ 0 ⇒ A v ∈ F , logo F⊥ e´ invariante por A∗ .

Exemplo 13.4. No cisalhamento A : R2 → R2 , onde A(x, y) = (x + αy, y), com α 6= 0, o eixo x, das abcissas, e´ invariante mas ˜ e´ pois seu complemento ortogonal, o eixo y, das ordenadas, nao ˜ e´ vertical. Ae2 = (α, 1) nao No caso de um operador auto-adjunto, o Teorema 12.2 assume a forma mais precisa seguinte.

Se¸c˜ ao 13

Operadores Auto-Adjuntos

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Teorema 13.4. Se λ1 , . . . , λm sao ˜ autovalores dois a dois diferentes do operador auto-adjunto A : E → E, os autovetores correspondentes v1 , . . . , vm sao ˜ dois a dois ortogonais. ˜ Para i 6= j quaisquer: Demonstrac¸ao:

(λi − λj ) hvi , vj i = hλi vi , vj i − hvi , λj vj i = hAvi , vj i − hvi , Avj i

= hAvi , vj i − hAvi , vj i = 0 pois A e´ auto-adjunto.

Como λi − λj 6= 0, de (λi − λj ) hvi , vj i = 0 resulta hvi , vj i = 0. ˜ para todo multiplo ´ ˜ Observac¸ao. Se Av = λv entao, w = αv, tem˜ do Teorema 13.4, os vetores se ainda Aw = λw. Logo, na situac¸ao ´ v1 , . . . , vm podem ser tomados unitarios, caso haja conveniˆencia. Um problema importante sobre operadores num espac¸o vetorial ˜ finita e´ o de encontrar uma base em relac¸ao ˜ a` qual de dimensao a matriz desse operador seja a mais simples poss´ıvel. Mostrare˜ que, se A : E → E e´ um operador auto-adjunto num mos nesta sec¸ao ˜ finita com produto interno, existe uma espac¸o vetorial de dimensao base ortonormal em E, relativamente a` qual a matriz de A e´ uma ´ do matriz diagonal a = [aij ], isto e´ aij = 0 se i 6= j. Este e´ o conteudo Teorema Espectral. Existe um tipo de operador auto-adjunto para o qual o Teorema ˜ ortogonal sobre o Espectral e´ imediato: se P : E → E e´ a projec¸ao subespac¸o F, tomando uma base ortonormal {u1 , . . . , un } ⊂ E cujos primeiros vetores u1 , . . . , um formem uma base de F (portanto os ´ n − m ultimos formam uma base de F⊥ ), a matriz de P nesta base tem a forma diagonal vista no Exemplo 13.3. Quando se diz que a matriz do operador A : E → E na base {u1 , . . . , un } ⊂ E e´ uma matriz diagonal, isto significa que, para todo j = 1, . . . , n, tem-se Auj = λj uj , ou seja, que os vetores da base dada ˜ todos eles autovetores de A. sao ˜ ortogonal sobre o subespac¸o F, tem-se No caso da projec¸ao Puj = uj para j = 1, . . . , m e Puj = 0 se j = m + 1, . . . , n. Assim, a base ortonormal acima fixada e´ de fato formada por autovetores ˜ 1 e 0. de P. Os autovalores sao Comec¸amos com o caso particular do Teorema Espectral em que ˜ 2. espac¸o tem dimensao

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Operadores Auto-Adjuntos

Se¸c˜ ao 13

Teorema 13.5. Seja A : E → E um operador auto-adjunto num espa¸co vetorial de dimensao ˜ 2, munido de produto interno. Existe uma base ortonormal {u1 , u2 } ⊂ E formada por autovetores de A.

´ ˜ Demonstrac¸ao: Seja {v, w} ⊂ E uma base ortonormal arbitraria. Em virtude do Teorema 13.1, temos Av = av + bw, Aw = bv + ˜ cw. Como vimos antes no Exemplo 12.4, os autovalores de A sao as ra´ızes reais do polinˆomio caracter´ıstico p(λ) = λ2 − (a + c)λ + ac − b2 . O discriminante deste trinˆomio e´ ∆ = (a + c)2 − 4(ac − b2 ) = ˜ b = 0, a = c e A = aI, logo todo (a − c)2 + 4b2 ≥ 0. Se ∆ = 0 entao ˜ ˜ o trinˆomio p(λ) vetor nao-nulo em E e´ um autovetor. Se ∆ > 0 entao possui 2 ra´ızes reais distintas λ1 , λ2 . Isto, como sabemos, quer dizer ˜ ambos nao ˜ invert´ıveis, logo que os operadores A − λ1 I e A − λ2 I sao ˜ ´ existem vetores nao-nulos (que podemos supor unitarios) u1 , u2 ∈ E tais que (A − λ1 I)u1 = 0 e (A − λ2 I)u2 = 0, ou seja, Au1 = λ1 u1 e Au2 = λ2 u2 . Pelo Teorema 13.4, {u1 , u2 } ⊂ E e´ uma base ortonormal de autovetores de A.  ´ Corolario. Todo operador auto-adjunto A : E → E, num espa¸co vetorial de dimensao ˜ finita com produto interno, possui um autovetor.

Com efeito, pelo Teorema 12.1 existe um subespac¸o F ⊂ E, de ˜ 1 ou 2, invariante por A. Se dim F = 1 todo vetor nao-nulo ˜ dimensao ˜ aplicando o Teorema v ∈ F e´ um autovetor de A. Se dim F = 2 entao, ˜ A : F → F de A ao subespac¸o invariante F, obtemos 13.5 a` restric¸ao um autovetor v ∈ F. 

Teorema 13.6. (Teorema Espectral.) Para todo operador autoadjunto A : E → E, num espa¸co vetorial de dimensao ˜ finita munido de produto interno, existe uma base ortonormal {u1 , . . . , un } ⊂ E formada por autovetores de A.

˜ na dimensao ˜ de E. O teorema e´ ˜ Usaremos induc¸ao Demonstrac¸ao: ˜ n − 1, evidente se dim E = 1. Supondo-o verdadeiro em dimensao ´ seja dim E = n. Pelo Corolario do Teorema 13.5, existe um au´ ˜ tovetor unitario un , portanto um subespac¸o F ⊂ E, de dimensao 1, invariante por A. Pelo Teorema 13.2, o complemento ortogonal F⊥ tamb´em e´ invariante por A. Como dim F⊥ = n − 1, a hi˜ assegura a existˆencia de uma base ortonormal p´otese de induc¸ao ˜ A : F⊥ → {u1 , . . . , un−1 } ⊂ F⊥ formada por autovetores da restric¸ao ⊥ F . Segue-se que {u1 , . . . , un−1 , un } ⊂ E e´ uma base ortonormal formada por autovetores de A.

Se¸c˜ ao 13

Operadores Auto-Adjuntos

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˜ Vale a rec´ıproca do Teorema Espectral: se existe uma Observac¸ao. base ortonormal {u1 , . . . , un } ⊂ E formada por autovetores do opera˜ este operador e´ auto-adjunto. Com efeito, para dor A : E → E entao quaisquer i, j = 1, . . . , n, tem-se hAui , uj i = hλi ui , uj i = λi δij = λj δij = hui , λj uj i = hui , Auj i

e da´ı resulta que hAu, vi = hu, Avi para quaisquer u, v ∈ E. Diremos que o operador linear A : E → E e´ nao-negativo, ˜ e escreveremos A ≥ 0, quando A for auto-adjunto e, al´em disso, hAv, vi ≥ 0 para todo v ∈ E. No caso particular em que hAv, vi > 0 para todo v 6= 0, diremos que A e´ um operador positivo e escreveremos A > 0. Teorema 13.7. Um operador auto-adjunto A : E → E e´ nao-negativo ˜ se, e somente se, seus autovalores sao ˜ todos ≥ 0. A e´ positivo se, e somente se, todos os seus autovalores sao ˜ numeros ´ positivos. ˜ ˜ Se A ≥ 0 e Av = λv com v 6= 0 entao Demonstrac¸ao: λ hv, vi = hλv, vi = hAv, vi ≥ 0, ˜ ≥ 0, portanto λ ≥ 0. Reciprocamente, se os autovalores de A sao seja {u1 , . . . , un } ⊂ E uma base ortonormal formada por autovetores (a qual existe pelo Teorema Espectral), com Aui = λi ui . Para todo vetor v ∈ E, tem-se v = α1 u1 + · · · + αn un , logo hAv, vi = hΣαi Aui , Σαj uj i = hΣαi λi ui , Σαj uj i = Σλi α2i . Como λi ≥ 0 para i = 1, . . . , n, segue-se que hAv, vi ≥ 0, portanto ˜ sobre operadores positivos se prova da mesma A ≥ 0. A afirmac¸ao maneira. ´ Corolario 1. Seja A ≥ 0. Se, para um certo v ∈ E, vale hAv, vi = 0 entao ˜ Av = 0. ˜ ˜ Com efeito, sejam λ1 , ..., λk os autovalores nao-nulos de A. Entao, pondo v = α1 u1 + · · · + αn un , resulta que Av = λ1 α1 u1 + · · · + λk αk uk , donde 0 = hAv, vi = λ1 α21 + · · · + λk α2k . Como λ1 > 0, . . . , λk > 0, segue-se que α1 = · · · = αk = 0, portanto Av = 0.

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Operadores Auto-Adjuntos

Se¸c˜ ao 13

ˆ ˜ Geometricamente, A ≥ 0 significa que o angulo Observac¸ao. entre v e Av (caso estes vetores sejam 6= 0) e´ sempre agudo ou reto. O ´ ˆ Corolario 1 diz que, quando Av 6= 0, esse angulo e´ sempre agudo. ´ Corolario 2. Um operador e´ positivo se, e somente se, e´ nao-negativo ˜ e invert´ıvel. ˜ para todo v 6= 0 tem-se Com efeito, se A ≥ 0 e´ invert´ıvel entao, ´ Av 6= 0 logo, pelo Corolario 1, hAv, vi > 0. A rec´ıproca e´ o´ bvia. Uma matriz quadrada a = [aij ] ∈ M(n × n) diz-se nao-negativa, ˜ e escreve-se a ≥ 0, quando o operador A : Rn → Rn , cuja matriz na ˜ base canˆonica e´ a, e´ nao-negativo. Dado v = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , tem-se Av = (y1 , . . . , yn ) onde, para cada i = 1, . . . , n, yi = ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn . Logo hAv, vi =

n X i=1

xi y i =

n X

aij xi xj .

i,j=1

˜ Portanto a matriz a = [aij ] ∈ M(n × n) e´ nao-negativa se, e somente n se, e´ sim´etrica e, para todo v = (x1 , . . . , xn ) ∈ R tem-se n X

i,j=1

aij xi xj ≥ 0.

Analogamente, a matriz a diz-se positiva quando o operador A : Rn → Rn , que a ela corresponde, e´ positivo. Isto significa que a e´ sim´etrica e, para todo v = (x1 , . . . , xn ) 6= 0 em Rn , tem-se n X

aij xi xj > 0.

i,j=1

˜ Assim uma matriz sim´etrica e´ nao-negativa (respect. positiva) ˜ ≥ 0 (respect. positivos). se, e somente se, seus autovalores sao Exemplo  13.5. O polinˆomio caracter´ıstico da matriz sim´etrica a b e´ p(λ) = λ2 − (a + c)λ + ac − b2 . A soma de suas ra´ızes e´ a= b c ˜ ambas positivas se, e a+c e o produto e´ ac−b2 . As ra´ızes de p(λ) sao somente se ac−b2 > 0 e a > 0 (ou c > 0). Com efeito, ac−b2 > 0 (isto e´ , ac > b2 ) diz que essas ra´ızes tˆem o mesmo sinal. De a > 0 tiramos

Se¸c˜ ao 13

Operadores Auto-Adjuntos

163

c > b2 /a > 0, logo a + c > 0 e o sinal comum das ra´ızes e´ positivo. ˜ Portanto as condic¸o˜ es a > 0 e ac − b2 > 0 (ou c > 0 e ac − b2 > 0) sao ´ necessarias e suficientes para que a matriz sim´etrica a seja positiva. ´ Para que se tenha a ≥ 0 e´ necessario e suficiente queac − b2 ≥ 0,  1 −1 e´ positiva e a ≥ 0 e c ≥ 0. Assim, por exemplo, a matriz −1 2   1 1 ˜ e´ nao-negativa. 1 1 Um operador X : E → E chama-se raiz quadrada do operador A : E → E quando X2 = A. ˜ do Teorema 13.8, apresentaremos Para uso na demonstrac¸ao ˜ que tem outras aplicac¸o˜ es. uma noc¸ao Se λ e´ um autovalor do operador A : E → E, o conjunto Eλ = {v ∈ E; Av = λv}

e´ um subespac¸o vetorial de E, invariante por A, chamado um autosubespa¸co. Restrito a Eλ , o operador A e´ simplesmente a multiplica˜ por λ. Assim, todo vetor nao-nulo ˜ c¸ao em Eλ e´ um autovetor de A, com autovalor λ. ˜ seus autovalores distinQuando A e´ auto-adjunto e λ1 , . . . , λr sao ˜ pelo Teorema 13.4, para i 6= j, todo vetor em Eλi e´ ortotos entao, gonal a qualquer vetor em Eλj . Al´em disso, pelo Teorema Espectral, ´ todo vetor v ∈ E se escreve, de modo unico, como v = v1 + · · · + vr , onde v1 ∈ Eλ1 , . . . , vr ∈ Eλr , ou seja, E e´ soma direta dos subespac¸os Eλ1 , . . . , Eλr . Teorema 13.8. Todo operador nao-negativo ˜ A : E → E, num espa¸co vetorial de dimensao ˜ finita munido de produto interno, possui uma unica ´ raiz quadrada nao-negativa, ˜ a qual e´ positiva se, e somente se, A e´ positivo. ˜ Demonstrac¸ao: Sejam λ1 ≥ 0, . . . , λr ≥ 0 os autovalores distintos ´ de A. Todo vetor v ∈ E se escreve, de modo unico, como v = v1 + · · · + vr , onde v1 ∈ Eλ1 , . . . , vr ∈ Eλr , logo Av = λ1 v1 + · · · + λr vr . Definimos o operador linear B : E → E pondo p p Bv = λ1 · v1 + · · · + λr · vr . ˜ hvi , wj i = 0 Se w = w1 + · · · + wr com w1 ∈ Eλ1 , . . . , wr ∈ Eλr entao

164

Operadores Auto-Adjuntos

Se¸c˜ ao 13

para i 6= j, portanto hBv, wi =

r p X λi hvi , wi i = hv, Bwi i=1

e

hBv, vi =

r p X λi |vi |2 . i=1

˜ Logo B e´ um operador nao-negativo. Al´em disso, e´ claro que B2 v = Av para todo v ∈ E, logo B e´ uma raiz quadrada de A. Para provar que ´ ˜ e´ unica a raiz quadrada nao-negativa de A, comec¸amos observando que toda raiz quadrada de A comuta com A. Com efeito, se C2 = A ˜ AC = C2 C = CC2 = CA. A observac¸ao ˜ seguinte e´ que se C entao ˜ cada um dos auto-subespac¸os de A e´ invariante comuta com A entao por C. Com efeito, v ∈ Eλi ⇒ Av = λi v ⇒ A(Cv) = C(Av) = C(λi v) = λi (Cv),

logo Cv ∈ Eλi . ˜ se C e´ uma raiz quadrada nao-negativa ˜ Mais uma observac¸ao: ˜ ´ ˜ de de A entao, √ para cada i = 1, . . . , r, o unico autovalor da restric¸ao C a Eλi e´ λi . Com efeito, se w ∈ Eλi e´ autovetor de C, digamos √ com ˜ λi w = Aw = C2 w = γ2 · w, logo λi = γ2 e γ = λi . Cw = γ · w, entao ˜ Agora o argumento final: seja C uma raiz quadrada nao-negativa de A. Cada auto-subespac¸o Eλi e´ invariante pelo operador auto-adjunto √ √ ´ C e o unico autovalor de C em Eλi e´ λi . Logo Cw = λi · w para ˜ dado v = v1 + · · · + vr , com v1 ∈ Eλ1 , . . . , vr ∈ Eλr , todo w ∈ Eλi . Entao, tem-se p p Cv = λ1 · v1 + · · · + λr · vr ˜ portanto C coincide com o operador B acima definido. A afirmac¸ao sobre a positividade da raiz quadrada e´ o´ bvia.

˜ 1: Um dos argumentos acima usados permite mostrar Observac¸ao ˜ eles tˆem que se dois operadores auto-adjuntos A, B comutam entao um autovetor comum. Com efeito, seja λ1 um autovalor de A. Como vimos acima, a hip´otese AB = BA implica que o subespac¸o Eλ1 = ´ {v ∈ E; Av = λ1 v} e´ invariante por B. Pelo corolario do Teorema 13.5, o operador auto-adjunto B possui um autovetor w ∈ Eλ1 . Mas ˜ todo vetor nao-nulo em Eλ1 e´ autovetor de A. Logo w e´ autovetor comum de A e B. Usando repetidamente o Teorema 13.2 conclui-se ˜ que se dois operadores auto-adjuntos comutam entao ˜ existe entao uma base ortonormal formada por autovetores de ambos.

Se¸c˜ ao 13

Operadores Auto-Adjuntos

165

˜ ˜ 2: Somente operadores nao-negativos Observac¸ao possuem raiz ˜ de quadrada auto-adjunta, pois resulta imediatamente da definic¸ao ∗ ˜ A que o quadrado de um operador auto-adjunto e´ nao-negativo. Entretanto, o quadrado de um operador de outro tipo pode ser um ˜ de 90◦ no operador (auto-adjunto) negativo. Por exemplo, a rotac¸ao ˜ de 180◦ , que e´ igual a −I. Al´em plano tem quadrado igual a` rotac¸ao ˜ disso, um operador positivo pode ter uma raiz quadrada que nao ´e auto-adjunta. Por exemplo, o operador A : R2 → R2 , definido por A(x, y) = (2x − y, 3x − 2y) e´ uma raiz quadrada da identade IR2 , como se pode ver sem dificuldade. ˜ ˜ dados pelo teExemplos gerais de operadores nao-negativos sao orema seguinte. Teorema 13.9. Seja A : E → F uma transforma¸cao ˜ linear entre espa¸cos vetoriais de dimensao ˜ finita munidos de produto interno. Os operadores A∗ A : E → E e AA∗ : F → F sao ˜ nao-negativos ˜ e tˆem ambos o mesmo posto de A (e de A∗ ). Em particular, sao ˜ positivos se, e somente se, A e´ invert´ıvel. ˜ Demonstrac¸ao: Como (A∗ A)∗ = A∗ A∗∗ = A∗ A, vemos que A∗ A e´ auto-adjunto e, semelhantemente, AA∗ tamb´em. Al´em disso, para todo v ∈ E, tem-se hA∗ Av, vi = hAv, Avi = |Av|2 ≥ 0 logo A∗ A ≥ 0. Da mesma forma se vˆe que AA∗ ≥ 0. Para determinar o posto de ˜ A∗ A, mostraremos inicialmente que N (A∗ A) = N (A). A inclusao N (A) ⊂ N (A∗ A) e´ o´ bvia, pois N (A) ⊂ N (BA) seja qual for B : F → E. Por outro lado, v ∈ N (A∗ A) ⇒ A∗ Av = 0

⇒ Av ∈ N (A∗ ) = Im(A)⊥

⇒ Av ∈ Im(A) ∩ Im(A)⊥ ,

logo v ∈ N (A∗ A) ⇒ Av = 0, ou seja N (A∗ A) ⊂ N (A), que e´ a ˜ restante. Em seguida observemos que, pelo Teorema do inclusao ´ Nucleo e da Imagem: posto de A∗ A = dim E − dim N (A∗ A) = dim E − dim N (A) = posto de A.

˜ analoga ´ A afirmac¸ao sobre AA∗ se prova do mesmo modo.

166

Operadores Auto-Adjuntos

Se¸c˜ ao 13

´ Corolario. A transforma¸cao ˜ linear A : E → F e´ injetiva se, e somente se, A∗ A e´ invert´ıvel. A e´ sobrejetiva se, e somente se, AA∗ e´ invert´ıvel. Com efeito, A injetiva ⇔ posto de A = dim E ⇔ posto de A∗ A = dim E ⇔ A∗ A invert´ıvel. Mesmo argumento para AA∗ .

´ ˜ Observac¸ao: O Teorema 13.9 e seu corolario podem ser enunciados em termos de matrizes, substituindo-se A por a e A∗ por aT . ˜ dizer que A e´ injetiva equivale a afirmar que o Nesta formulac¸ao, posto da matriz a ∈ M(m × n) e´ igual a n. Analogamente, A ser sobrejetiva equivale a` matriz a ter posto m. Qualquer destas duas hip´oteses sobre A, quando formulada em termos de matrizes, pode ˜ unica ´ ser expressa na afirmac¸ao de que a tem posto maximo, ´ isto e´ , ´ o posto de a ∈ M(m × n) e´ o menor dos dois numeros m e n. Na ´ ˜ pratica, quando quisermos um exemplo de matriz positiva ou nao´ negativa, tomamos uma matriz a de posto maximo e consideramos as matrizes sim´etricas aaT e aT a. A maior delas e´ ≥ 0 e a menor e´ > 0.   1 2 3 ˜ as matrizes Exemplo 13.6. Seja a = . Entao 4 5 6 aaT =



14 32 32 77



e

 17 22 27 aT a = 22 29 36 , 27 36 45 

˜ positiva e nao-negativa, ˜ ambas de posto 2, sao respectivamente. ˜ do Teorema Espectral, valida ´ A seguir, uma extensao para transformac¸o˜ es lineares quaisquer. Teorema 13.10. (Teorema dos Valores Singulares.) Seja A : E→F uma transforma¸cao ˜ linear de posto r entre espa¸cos de dimensao ˜ finita com produto interno. Existem bases ortonormais {u1 , . . . , un } ⊂ E e {v1 , . . . , vm } ⊂ F tais que Aui = σi vi , A∗ vi = σi ui , com σi > 0 para i = 1, . . . , r e Aui = 0, A∗ vi = 0 se i > r. ˜ ˜ Pelo Teorema 13.9, o operador A∗ A : E → E e´ naoDemonstrac¸ao: negativo e tem posto r. O Teorema Espectral assegura a existˆencia de uma base ortonormal {u1 , . . . , un } ⊂ E tal que A∗ Aui = σ2i ui , com ˜ σi > 0 se 1 ≤ i ≤ r e σi = 0 se r + 1 ≤ i ≤ n. Entao hAui , Auj i = hui , A∗ Auj i = σ2j hui , uj i.

Se¸c˜ ao 13

Operadores Auto-Adjuntos

167

˜ dois a dois ortogonais, e nao˜ Assim, os vetores Au1 , . . . , Aur sao nulos pois |Aui |2 = σ2i |ui |2 , logo |Aui | = σi . (Na realidade, a prova do Teorema 13.9 mostra que ˜ N (A) = N (A∗ A), portanto Auj = 0 se r + 1 ≤ j ≤ n.) Podemos entao escrever, para i = 1, . . . , r, Aui = σi vi , onde {v1 , . . . , vr } ⊂ F e´ um conjunto ortonormal, de fato uma base ortonormal de Im(A), a qual pode ser completada a uma base ortonormal {v1 , . . . , vm } ⊂ F, onde {vr+1 , . . . , vm } e´ uma base ortonormal de N (A∗ ). Tem-se A∗ vi = 0 se i > r e, para i = 1, . . . , r: A∗ v i =

1 1 ∗ A Aui = σ2i ui = σi ui . σi σi



´ Os numeros positivos σ1 , . . . , σr chamam-se os valores singulares ˜ linear A : E → F, de posto r. da transformac¸ao No teorema acima, podemos observar que {v1 , . . . , vm } ⊂ F e´ uma base ortonormal de autovetores para o operador AA∗ : F → F, pois (AA∗ )vi = A(σi ui ) = σi Aui = σ2i vi .

Analogamente, {u1 , . . . , un } ⊂ E e´ uma base ortonormal de autovetores do operador A∗ A : E → E. Vemos ainda que {u1 , . . . , ur } e´ uma base ortonormal de Im(A∗ ), enquanto o conjunto ortonormal {v1 , . . . , vr } e´ uma base para Im(A). ˜ Ao mesmo tempo, {ur+1 , . . . , un } ⊂ N (A) e {vr+1 , . . . , vm } ⊂ N (A∗ ) sao ˜ sejam vazios. bases, desde que nao

Exerc´ıcios ˜ E e´ um espac¸o vetorial de diEm todos os exerc´ıcios desta sec¸ao ˜ finita, munido de produto interno. mensao ˜ iguais se, e somente 13.1. Prove que duas projec¸o˜ es P, Q : E → E sao se, tˆem os mesmos auto-vetores com os mesmos auto-valores. Con˜ P : E → E e´ auto-adjunta (portanto Im(P) = clua que uma projec¸ao ⊥ N (P) ) se, e somente se, e´ normal. (Veja Exerc. 12.7.)

13.2. Sejam A, B : E → E operadores auto-adjuntos tais que hAv, vi = hBv, vi para todo v ∈ E. Prove que A = B.

168

Operadores Auto-Adjuntos

Se¸c˜ ao 13

13.3. Se B e´ invert´ıvel e BAB∗ e´ auto-adjunto, prove que A e´ autoadjunto. ˜ ortogonal e α > 0. Exprima a raiz 13.4. Sejam P uma projec¸ao quadrada positiva de I + αP em termos de P. 13.5. Seja A auto-adjunto. Prove que Ak v = 0 implica Av = 0. 13.6. Assinale se cada um dos seguintes subconjuntos do espac¸o vetorial L(E) e´ um subespac¸o vetorial (S), um cone (C), um cone convexo (CC): (

)

operadores normais (Veja Exerc. 12.7.)

(

)

operadores auto-adjuntos

(

)

˜ operadores nao-negativos

(

)

homotetias.

13.7. Sejam S, T ∈ L(E) involuc¸o˜ es auto-adjuntas. Prove que ST e´ ˜ auto-adjunta se, e somente se, ST = TS. uma involuc¸ao 13.8. Dados os vetores v = (2, −1, −2), e w = (3, −6, −6), determine o operador auto-adjunto A : R3 → R3 tal que Av = (1, 1, 13) e Aw = (3, 21, 33), sabendo que o trac¸o de A e´ 5.

13.9. Dados os vetores u = (4, 4, −2), v = (4, −2, 4) e w = (1, −2, −2), seja A : R3 → R3 o operador linear tal que Au = (10, −2, −2), Av = (−2, 10, −2) e Aw = (1, 1, −5). Prove que A e´ auto-adjunto. 13.10. Dado o subespac¸o F ⊂ E, considere as transformac¸o˜ es lineares ˜ ortogonal (de nucleo ´ P : E → F e J : F → E, onde P e´ a projec¸ao F⊥ ) e Jv = v para todo v ∈ F. (J chama-se a inclusao ˜ de F em E.) Determine as adjuntas P∗ : F → E e J∗ : E → F.

13.11. Seja A : E → E o operador de posto 1 definido por Av = hv, ai b. ˜ finita, com produto interno, e (E e´ um espac¸o vetorial de dimensao ˜ vetores nao-nulos.) ˜ a, b ∈ E sao Prove que A e´ auto-adjunto se, e ´ ˜ somente se, b e´ multiplo de a. Al´em disso, A e´ nao-negativo se, e somente se, pode-se tomar b = a. Dada uma base ortonormal em E, ˜ das coordenadas de a e b nessa determine a matriz de A em func¸ao base. (Veja Exerc´ıcio 10.32.)

Se¸c˜ ao 13

Operadores Auto-Adjuntos

169

13.12. Se A∗ A = −A, prove que os autovalores de A pertencem ao conjunto {0, −1}. Dˆe exemplo de uma matriz a ∈ M(2 × 2), tal que a11 = − 13 e aT a = −a. Quantas dessas matrizes existem? 13.13. Seja A : E → E auto-adjunto. Para todo k ∈ N ´ımpar, mostre ´ que existe um unico operador auto-adjunto X : E → E tal que Xk = A. Se k e´ par, existe X auto-adjunto com Xk = A se, e somente se, A ≥ 0. ˜ e´ unico. ´ Neste caso, X pode ser escolhido ≥ 0 e entao 13.14. Assinale V(erdadeiro) ou F(also): (

˜ numeros ´ ) Se todos os elementos de uma matriz sim´etrica sao ˜ essa matriz e´ nao-negativa. ˜ positivos entao

(

˜ ˜ ) O produto de operadores nao-negativos e´ um operador nao-negativo.

(

˜ ) Um operador nao-negativo e´ positivo ou e´ zero.

(

˜ ) Uma matriz do tipo [ai · bj ] e´ nao-negativa se, e somente se, ai = bi (para todo i).

(

˜ ) O posto de uma matriz nao-negativa n × n pode ser qualquer ´ numero de 1 a n.

(

) O inverso de um operador auto-adjunto (invert´ıvel) tamb´em e´ auto-adjunto.

(

˜ ) Se existirem u, v ∈ R3 nao-nulos, com Au = 2u, Av = 3v ˜ existe uma base de autovetores para o operador linear entao A : R3 → R3 .

(

) Sejam h , i e [ , ] produtos internos definidos em R2 . Se um ˜ A tamoperador A e´ auto-adjunto relativamente a h , i entao ˜ a [ , ]. b´em e´ auto-adjunto em relac¸ao

13.15. Se o espac¸o vetorial E possui uma base formada por autovetores do operador A : E → E, prove que e´ poss´ıvel definir em E um ˜ ao qual A e´ auto-adjunto. produto interno em relac¸ao

˜ finita, seja A um opera13.16. Num espac¸o vetorial E, de dimensao ´ dor diagonalizavel (ou seja, E possui uma base formada por autovetores de A). Se F ⊂ E e´ um subespac¸o invariante por A, prove que

170

Operadores Auto-Adjuntos

Se¸c˜ ao 13

˜ de A ao subespac¸o F e´ um operador diagonalizavel ´ a restric¸ao em F. ˜ use o exerc´ıcio anterior.) (Sugestao: ´ 13.17. Seja A : E → E um operador diagonalizavel. Se o subespac¸o F1 ⊂ E e´ invariante por A, prove que existe um subespac¸o F2 ⊂ E, tamb´em invariante por A, tal que E = F1 ⊕ F2 . ˜ auto-adjuntos, prove que 13.18. Se os operadores A, B : E → E sao AB + BA e´ auto-adjunto. Que se pode dizer sobre AB − BA ?

13.19. Se A : E → E e´ auto-adjunto, prove que, para todo B ∈ L(E), o operador B∗ AB tamb´em e´ auto-adjunto. Se A ≥ 0, prove que B∗ AB ≥ 0. Se A > 0 e B e´ invert´ıvel, prove que B∗ AB > 0.

13.20. Se dois operadores auto-adjuntos A, B : E → E comutam, prove que o espac¸o E possui uma base ortonormal formada por autovetores comuns a A e B. Prove tamb´em a rec´ıproca. 13.21. Assinale V(erdadeiro) ou F(also): (

) O conjunto dos operadores positivos e´ um cone convexo no espac¸o vetorial L(E).

(

˜ ) O conjunto dos operadores nao-negativos e´ um subespac¸o vetorial de L(E).

(

˜ numeros ´ ) Os elementos da diagonal de uma matriz positiva sao positivos.

(

˜ B−1 AB e´ auto-adjunto. ) Se A e´ auto-adjunto e B e´ invert´ıvel entao

(

) Existe uma matriz positiva 2 × 2 com dois elementos negativos e dois positivos.

(

) Se A : Rn → Rn e´ um operador invert´ıvel qualquer, alguma base ortogonal de Rn e´ transformada por A numa base ortogonal.

(

˜ o trac¸o de A e´ igual a` ) Se o operador A e´ auto-adjunto entao soma dos seus autovalores.

˜ finita, com produto 13.22. Seja E um espac¸o vetorial de dimensao interno. Um subconjunto Σ ⊂ E chama-se um elips´oide quando

Se¸c˜ ao 13

Operadores Auto-Adjuntos

171

´ existem uma base ortonormal {u1 , . . . , un } ⊂ E e numeros positivos a1 , . . . , an tais que Σ e´ o conjunto dos vetores v = x1 u1 + · · · + xn un ˜ a1 x21 + · · · + an x2n = 1. cujas coordenadas xi satisfazem a equac¸ao Seja A : E → E um operador invert´ıvel. Prove que todo elips´oide Σ e´ transformado por A num elips´oide Σ′ . ˜ use o Teorema 13.10.) (Sugestao: ˜ 13.23. Seja Σ um subconjunto de um espac¸o vetorial de dimensao finita, com produto interno. Prove que Σ e´ um elips´oide se, e somente se, existe um operador positivo A : E → E tal que Σ = {v ∈ E; hAv, vi = 1}.

˜ finita, com produto in13.24. Num espac¸o vetorial E, de dimensao terno hu, vi, seja B um operador positivo. Prove que [u, v] = hBu, vi define um novo produto interno em E. Se A : E → E e´ auto-adjunto no sentido do produto interno original, prove que A e´ tamb´em autoadjunto no sentido do novo produto interno se, e somente se, AB = BA. 13.25. Sejam A : E → E auto-adjunto e B : E → E positivo. Prove:

˜ XAX e´ auto-adjunto. (a) Se X e´ a raiz quadrada positiva de B entao

(b) v e´ autovetor de XAX se, e somente se, Xv e´ autovetor de BA. ˜ necessariamente ortogonal) de autove(c) E possui uma base (nao ´ tores de BA. (Ou seja, BA e´ diagonalizavel.) 13.26. Se A : E → E e´ auto-adjunto e B : E → E e´ positivo, prove que E possui uma base V tal que, para todo v ∈ V, existe λ ∈ R com Av = λBv. (“Problema de autovalores generalizados”.) 13.27. Sejam A, B operadores auto-adjuntos no mesmo espac¸o veto´ ´ rial. Se BA e´ diagonalizavel, prove que AB tamb´em e´ diagonalizavel. (Veja Exerc´ıcio 12.35.) ˜ linear A : E → F, entre espac¸os veto13.28. Dada a transformac¸ao ˜ finita munidos de produto interno, seja σ2 o maior riais de dimensao autovalor do operador A∗ A : E → E (σ ≥ 0). Prove que σ e´ o maior ´ ´ dos numeros |Au|, onde u e´ qualquer vetor unitario em E. Escrevese ||A|| = σ = max{|Au|; u ∈ E, |u| = 1} e diz-se que ||A|| e´ a norma

172

Operadores Auto-Adjuntos

Se¸c˜ ao 13

p ˜ linear A. Seja |A| = tr(A∗ A) a norma espectral da transformac¸ao induzida pelo produto interno hA, Bi = tr(A∗ B), definido no Exerc´ıcio ˜ os autovalores de A∗ A, tem-se 11.17. Se σ21 , . . . , σ2n sao |A| =

q σ21 + · · · + σ2n

Conclua que ||A|| ≤ |A| ≤

√

e ||A|| = max σi .

n.||A||.

13.29. Prove que todo operador auto-adjunto A : E → E pode ser escrito como A = λ1 P1 + · · · + λm Pm onde: (1) λ1 < · · · < λm . ∗ 2 = P ´ uma projec¸ao ˜ (2) P12 = P1 = P1∗ , . . . , Pm m = Pm . (Cada Pi e ortogonal.)

(3) Pi Pj = 0 se i 6= j. (4) P1 + · · · + Pm = I. ˜ A = Σλi Pi com as propriedades Prove tamb´em que a expressao ´ ˜ λ1 < · · · < λm sao ˜ os autovalores (1) a (4) acima e´ unica. (Sugestao: ˜ ortogonal sobre o auto-espac¸o Eλi , distintos de A e Pi e´ a projec¸ao definido no Exerc´ıcio 12.23.) 13.30. Prove que todo operador auto-adjunto e´ soma de operadores ˜ auto-adjuntos de posto 1, os quais podem ser tomados nao-negativos ˜ ˜ Teorema Espectral.] se A for nao-negativo. [Sugestao: 13.31. Chama-se produto de Hadamard de duas matrizes a = [aij ], b = [bij ] ∈ M(m × n) a` matriz c = [cij ] ∈ M(m × n) com cij = aij · bij . ˜ Prove que o produto de Hadamard de duas matrizes nao-negativas ˜ ˜ e´ uma matriz nao-negativa. (Use o fato de que toda matriz naonegativa pode escrever-se como soma X a= a(r) r

˜ de matrizes nao-negativas de posto 1, cada uma das quais tem a (r) (r) (r) forma a = [ai · aj ].) (Veja o exerc´ıcio anterior.)

Se¸c˜ ao 13

Operadores Auto-Adjuntos

173

13.32. Prove que a norma espectral, definida no Exerc´ıcio 13.18, tem as propriedades ||A + B|| ≤ ||A|| + ||B|| e ||BA|| ≤ ||B|| ||A||. Dˆe exemplo de um operador A : R2 → R2 para o qual se tem ||A2 || < ||A||2 . p 13.33. Prove que a norma |A| = tr(A∗ A), proveniente do produto interno introduzido no Exerc´ıcio 11.17, cumpre a desigualdade |BA| ≤ |B| |A|. 13.34. Seja A : E → E auto-adjunto. Se u ∈ E e´ tal que Au 6= 0 e hAu, ui = 0, mostre que existem v, w ∈ E com hAv, vi > 0 e hAw, wi < 0. Deduza da´ı o Cor. 1 do Teor. 13.7 sem usar o Teorema Espectral. ˜ considere tu + Au para valores convenientes de t.) (Sugestao:

14 Operadores Ortogonais

Sob o ponto de vista da organiza¸cao ˜ geral da Matematica, ´ os operadores ortogonais sao ˜ os automorfismos da estrutura de espa¸co vetorial com produto interno, ou seja, sao ˜ as simetrias dessa estrutura. Do ponto de vista mais pedestre em que nos colocamos, os operadores ortogonais sao ˜ aqueles para os quais se podem obter as matrizes mais simples, depois dos auto-adjuntos. Eles possuem as propriedades geom´etricas mais marcantes, muitas das quais lhes sao ˜ exclusivas. (Vide Teorema 14.1.) Nesta se¸cao ˜ consideramos, mais geralmente, as transforma¸co˜ es lineares ortogonais de um espa¸co noutro e as matrizes ortogonais nao-quadradas. ˜ Obtemos a forma mais simples que pode assumir a matriz de um operador ortogonal e conclu´ımos demonstrando que todo operador e´ o produto de um nao˜ negativo por um ortogonal (forma polar). ˜ estenderemos para espac¸os vetoriais com produto Nesta sec¸ao, ˜ de congruˆencia entre figuras da Geometria Elemeninterno a noc¸ao tar. Lembramos que uma congruˆencia entre duas figuras X, Y e´ uma ˜ f : X → Y que preserva distancias, ˆ bijec¸ao isto e´ , tal que d(f(x), f(x′ )) = d(x, x′ ) para quaisquer x, x′ ∈ X. Note-se que, ˜ garanta a sobrejetividade, a propriedade de preservar embora nao ˆ distancias ja´ assegura que f e´ injetiva pois f(x) = f(x′ ) ⇒ d(x, x′ ) = d(f(x), f(x′ )) = 0 ⇒ x = x′ .

Se¸c˜ ao 14

Operadores Ortogonais

175

˜ a seguir, um papel central e´ desempenhado pelos Na discussao conjuntos ortonormais {u1 , . . . , un } ⊂ Rm . Uma matriz u ∈ M(m × n) cujas n colunas formam um conjunto ortonormal em Rm chama-se uma matriz ortogonal. ˜ as colunas da matriz u = [aij ] ∈ M(m×n), Se u1 , . . . , un ∈ Rm sao ˜ para que u seja ortogonal e´ que hui , uj i = 0 se i 6= j e a condic¸ao hui , ui i = 1, onde i, j = 1, . . . , n. Noutras palavras, deve-se ter m X

aki akj = δij .

(*)

k=1

(Estamos usando aqui, mais uma vez, o s´ımbolo δij , conhecido como “delta de Kronecker”, que vale 0 se i 6= j e 1 se i = j.) A igualdade (*) significa precisamente que o produto uT · u da transposta uT por u e´ igual a` matriz identidade n × n. uT

Portanto a matriz u ∈ M(m × n) e´ ortogonal se, e somente se, · u = In .

˜ seu posto e´ n (logo m ≥ n), Se u ∈ M(m × n) e´ ortogonal entao ˜ vetores L.I. no espac¸o Rm . Quando m = n e pois suas n colunas sao ˜ a igualdade u ∈ M(n × n) e´ uma matriz quadrada ortogonal entao T T T −1 ´ u · u = In implica u · u = In logo u = u . (Vide Corolario do ˜ 8.) Teorema 6.7 ou a propriedade 7) do produto de matrizes na Sec¸ao ˜ aquelas cuja transposta Assim, matrizes quadradas ortogonais sao e´ igual a` inversa. A igualdade u · uT = In significa que as linhas de u formam um conjunto de n vetores ortonormais em Rm . Portanto, para matrizes quadradas, colunas ortonormais equivale a linhas ortonormais. ˜ ortogonais entao ˜ (vu)T vu Se u ∈ M(n × p), v ∈ M(m × n) sao T T T T = u v vu = u In u = u u = Ip logo o produto vu e´ ortogonal. Se ˜ (uT )T · uT = u · uT = In logo uT = u−1 u ∈ M(n × n) e´ ortogonal entao tamb´em e´ ortogonal. Evidentemente, se m > n, as m linhas de uma matriz ortogonal ˜ podem formar um conjunto ortonormal pois sao ˜ u ∈ M(m × n) nao n T ˜ e´ ortogonal quando u nao ˜ e´ quadrada. vetores em R , logo u nao

176

Operadores Ortogonais

Se¸c˜ ao 14

˜ os vetores Exemplo 14.1. A matriz u, cujas colunas sao   1 2 2 u1 = − , , , 3 3 3   2 1 2 ,− , e u2 = 3 3 3   2 2 1 , ,− u3 = , 3 3 3 e´ ortogonal. Exemplo 14.2. (Matrizes ortogonais 2 × 2.) Seja   a b u= c d ´ uma matriz ortogonal 2 × 2. Como u1 = (a, c) e´ um vetor unitario em R2 , existe θ ∈ R tal que a = cos θ, c = sen θ. Sendo u2 = (b, d) ´ unitario e perpendicular a u1 , devemos ter u2 = ±(− sen θ, cos θ). Assim, ha´ duas possibilidades para a matriz u:     cos θ sen θ cos θ − sen θ . ou u= u= sen θ − cos θ sen θ cos θ No primeiro caso, tem-se ad − bc = 1 e no segundo ad − bc = −1. No primeiro caso, o polinˆomio caracter´ıstico de u, p(λ) = λ2 − ˜ tem ra´ızes reais salvo se θ = 0 ou θ = 180◦ , casos (2 cos θ)λ + 1, nao ˜ No segundo em que u = ±I2 . Trata-se da matriz de uma rotac¸ao. 2 ˜ o operador U : R2 → R2 cuja caso, p(λ) = λ − 1 tem ra´ızes ±1. Entao matriz (na base canˆonica) e´ u admite autovetores v1 , v2 , com Uv1 = v1 e Uv2 = −v2 . Observe que, neste caso, a matriz u e´ sim´etrica, o operador U e´ auto-adjunto, {v1 , v2 } ⊂ R2 e´ uma base ortonormal e U ˜ em torno do eixo que cont´em v1 , paralelamente a v2 . e´ a reflexao Exemplo 14.3. (Matriz de passagem ortogonal.) Sejam U = {u1 , . . . , un } ⊂ E e U ′ = {u′1 , . . . , u′n } ⊂ E bases ortonormais. A matriz de passagem p = [pij ] de U para U ′ e´ uma matriz ortogonal. Com efeito, para quaisquer i, j = 1, . . . , n, temos u′i =

n X k=1

pki uk e u′j =

n X k=1

pkj uk ,

Se¸c˜ ao 14

Operadores Ortogonais

logo

177

n

 X δij = u′i , u′j = pki pkj , k=1

pT

´ portanto · p = In . As ultimas 2 igualdades da linha acima mostram que, reciprocamente, se a matriz de passagem p e´ ortogonal, ˜ U ortonormal ⇒ U ′ ortonormal. entao

Teorema 14.1. As seguintes afirma¸co˜ es a respeito de uma transforma¸cao ˜ linear A : E → F, entre espa¸cos vetoriais de dimensao ˜ finita providos de produto interno, sao ˜ equivalentes: (1) A preserva norma: |Av| = |v| para todo v ∈ E;

(2) A preserva distancia: ˆ |Au−Av| = |u−v| para quaisquer u, v ∈ E; (3) A preserva produto interno: hAu, Avi = hu, vi para quaisquer u, v ∈ E; (4) A∗ A = IE ; (5) A matriz de A relativa a qualquer par de bases ortonormais U ⊂ E, V ⊂ F e´ uma matriz ortogonal; (6) A matriz de A relativa a um certo par de bases ortonormais U ⊂ E, V ⊂ F e´ uma matriz ortogonal. (7) A transforma uma certa base ortonormal U ⊂ E num conjunto ortonormal X ⊂ F. (Se dim E = dim F, X e´ uma base.) (8) A transforma toda base ortonormal W ⊂ E num conjunto ortonormal Z ⊂ F. ˜ |Au − Av| = |A(u − v)| = |u − v|, ˜ Se vale (1) entao Demonstrac¸ao: ˜ logo (1) ⇒ (2). Se vale (2) entao  1 |Au|2 + |Av|2 − |Au − Av|2 2  1 = |u|2 + |v|2 − |u − v|2 = hu, vi , 2

hAu, Avi =

˜ para quaisquer u, v ∈ E tem-se logo (2) ⇒ (3). Se vale (3) entao, ∗ hu, vi = hAu, Avi = hA Au, vi, portanto A∗ Au = u para todo u ∈ E,

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Operadores Ortogonais

Se¸c˜ ao 14

donde A∗ A = IE , logo (3) ⇒ (4). Se vale (4) e a e´ a matriz de A nas ˜ aT · a = In e a e´ uma matriz bases ortonormais U ⊂ E, V ⊂ F entao ortogonal, logo (4) ⇒ (5). Obviamente (5) ⇒ (6). Se vale (6), sejam U = {u1 , . . . , un }, V = {v1 , . . . , vm } e a = [aij ] a matriz ortogonal de A nessas bases. De Aui =

m X

e Auj =

aki vk

m X

akj vk

k=1

k=1

resulta hAui , Auj i =

m X

aki akj = δij ,

k=1

logo X = {x1 , . . . , xn } ⊂ F, com xi = Aui , e´ um conjunto ortonormal e (6) ⇒ (7). Se vale (7), seja W = {w1 , . . . , wn } ⊂ E uma base ortonormal qualquer. Para i, j = 1, . . . , n, temos X X wi = pki uk e wj = pkj uk , k

k

onde a matriz de passagem p = (pij ) e´ ortogonal, pelo Exemplo 14.3. Pondo Z = {z1 , . . . , zn }, onde zi = Awi , vem, para i, j = 1, . . . , n: zi =

n X

pki Auk =

n X

pki xk

e zj =

pkj xk .

k=1

k=1

k=1

n X

Como X = {x1 , . . . , xn } e´ ortonormal, resulta da´ı que hzi , zj i =

n X

pki pkj = δij ,

k=1

logo Z e´ ortonormal e (7) ⇒ (8). Finalmente, se vale (8), seja U = {u1 , . . . , un } ⊂ E uma base ortonormal. Para todo u = α1 u1 + · · · + αn un ∈ E tem-se |u|2 =

n X

α2i .

i=1

Como {Au1 , . . . , Aun } ⊂ F e´ um conjunto ortonormal, 2 n n X X 2 α2i = |u|2 , αi Aui = |Au| = i=1

i=1

Se¸c˜ ao 14

Operadores Ortogonais

179

logo |Au| = |u| e (8) ⇒ (1).

˜ O Teorema 14.1 confirma o dito: enunciado longo ⇒ Observac¸ao. ˜ facil. ´ ´ ˜ e generalidemonstrac¸ao (Dito valido com a mesma precisao dade com que costumam valer os prov´erbios.) ˜ linear A : E → F chama-se ortogonal quando Uma transformac¸ao cumpre uma das oito condic¸o˜ es do Teorema 14.1 (e portanto todas elas). Em particular, um operador linear A : E → E chama-se ortogonal quando A∗ = A−1 . Para que o operador linear A : E → E seja ˜ que AA∗ = IE . ortogonal, e´ suficiente que A∗ A = IE ou entao ´ De |Av| = |v| resulta que os unicos autovalores poss´ıveis para um ˜ +1 e −1. Com efeito, Av = λv com operador ortogonal A : E → E sao v 6= 0 implica |v| = |Av| = |λv| = |λ| |v|, logo |λ| = 1. ˜ autovetores do operador ortogonal A, com Au = u e Se u e v sao ˜ hu, vi = 0. Com efeito: Av = −v entao hu, vi = hAu, −Avi = hA∗ Au, −vi = hu, −vi = − hu, vi . Teorema 14.2. Se o operador ortogonal A : E → E deixa invariante o subespa¸co F ⊂ E entao ˜ A deixa invariante o complemento ortogo⊥ nal F . ˜ Demonstrac¸ao: Dado arbitrariamente w ∈ F⊥ , queremos provar ⊥ ˜ que Aw ∈ F , isto e´ , que hAw, vi = 0 para todo v ∈ F. Ora, a restric¸ao de A ao subespac¸o invariante F e´ um operador injetivo A : F → F, logo sobrejetivo. Assim, dado v ∈ F, existe u ∈ F tal que v = Au. Logo hAw, vi = hAw, Aui = hw, ui = 0, pois w ∈ F⊥ e u ∈ F. ˜ Parte do argumento acima mostra que se o operador Observac¸ao. ˜ F e´ invariante A : E → E e´ invertıvel e F ⊂ E e´ invariante por A, entao −1 por A .

Exemplo 14.4. Uma operador linear S : E → E que e´ ao mesmo tempo ortogonal e auto-adjunto cumpre S∗ S = I e S∗ = S, logo ˜ SS = I. Portanto ortogonal + auto-adjunto ⇒ involuc¸ao. Pelo Teorema 7.3, tem-se E = F1 ⊕ F2 , onde F1 = {v ∈ E; Sv = v} e F2 = {v ∈ ˜ ˜ os autovetoE; Sv = −v}. Assim, os elementos nao-nulos de F1 e F2 sao res de S correspondentes aos autovalores +1 e −1 respectivamente. ˜ que precede o Teorema 14.2 resulta que F2 = (F1 )⊥ . Da observac¸ao Juntando-se uma base ortonormal de F1 com uma base ortonormal

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Operadores Ortogonais

Se¸c˜ ao 14

˜ a` qual a made F2 obt´em-se uma base ortonormal de E em relac¸ao triz de S e´ diagonal, com a diagonal da forma (1, . . . , 1, −1, . . . , −1). ˜ ortogonal. O leitor pode verificar sem O operador S e´ uma reflexao dificuldade que duas quaisquer das seguintes propriedades de um operador linear S : E → E implicam a terceira: (a) SS = I; (b) S∗ = S; (c) S∗ = S−1 . Em seguida, examinaremos como pode ser um operador ortogonal A : E → E num espac¸o vetorial de dimensao ˜ 2, dotado de um produto interno. Segundo a natureza dos autovalores de A, ha´ quatro possibilidades: (1) A possui um unico ´ autovalor, o qual e´ igual a 1. Neste caso, A = I. ´ Com efeito, seja u ∈ E um vetor unitario tal que Au = u. Se v ∈ E ´ ˜ Av tamb´em e´ um e´ outro vetor unitario, perpendicular a u, entao ´ vetor unitario perpendicular a u, pelo Teorema 14.2, logo Av = ±v. ˜ admite o autovalor −1, deve ser Av = v. Mas {u, v} ⊂ E Como A nao e´ uma base, portanto A = I. ˜ A = −I. (2) A possui um unico ´ autovalor, o qual e´ igual a −1. Entao ´ O racioc´ınio e´ inteiramente analogo ao anterior. ˜ tomamos vetores unitarios ´ (3) A admite os autovalores 1 e −1. Entao u, v ∈ E com Au = u e Av = −v, logo {u, v} ⊂ E e´ uma base ortonormal, relativamente a` qual a matriz de A e´   1 0 . 0 −1 ˜ ortogonal em torno do eixo que cont´em o Neste caso, A e´ a reflexao vetor u. (4) A nao ˜ possui autovalores (reais). ˜ tomamos uma base ortonormal arbitraria ´ Entao {u, v} ⊂ E. A matriz de A nesta base, sendo ortogonal 2 × 2 sem autovalores, tem, segundo o Exemplo 14.2, a forma   cos θ − sen θ a= . sen θ cos θ Somos tentados a dizer que, neste caso, o operador A : E → E e´ a ˜ de angulo ˆ ´ ˜ rotac¸ao θ. Mas para isso e´ necessario verificar se θ nao

Se¸c˜ ao 14

Operadores Ortogonais

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depende da base ortonormal U = {u, v} ⊂ E escolhida. Ora, se tomarmos outra base ortonormal U ′ = {u′ , v′ } ⊂ E, a nova matriz de A sera´ a′ = p−1 ap, onde   a b p= , c d matriz de passagem de U para U ′ , e´ ortogonal, logo p−1 = pT . Assim, 

a c a = b d ′

 

   cos θ − sen θ a b . sen θ cos θ c d

Levando em conta a ortonormalidade das linhas e das colunas da ´ ´ mostra que se tem matriz p, um calculo facil 

cos θ − sen θ a = sen θ cos θ ′



ou 

cos θ sen θ a = − sen θ cos θ ′



=



cos(−θ) − sen(−θ) sen(−θ) cos(−θ)



conforme seja ad − bc = 1 ou ad − bc = −1 respectivamente. ˆ Noutras palavras, o angulo θ fica determinado a menos do sinal. ˜ 2, munido de Isto quer dizer que, num espac¸o vetorial de dimensao ˜ de angulo ˆ produto interno, faz sentido a noc¸ao apenas em valor absoˆ luto. Para que se possa falar no angulo dotado de sinal e´ preciso introduzir uma orienta¸cao ˜ em E, isto e´ , escolher uma base ortonormal ´ ˜ tamb´em positi{u, v} ⊂ E, chama-la de positiva e declarar que sao vas todas as bases ortonormais de E que se obtˆem a partir desta por meio de matrizes de passagem ortogonais cujo determinante ad − bc ˜ os operae´ igual a 1. De qualquer modo, com ou sem orientac¸ao, dores ortogonais sem autovalores (juntamente com ±I) num espac¸o ˜ 2 serao ˜ chamados rota¸co˜ es. (I e −I sao ˜ respecvetorial de dimensao ◦ ◦ ˆ tivamente as rotac¸o˜ es de angulo 0 e 180 respectivamente.) Teorema 14.3. Seja A : E → E um operador ortogonal num espa¸co vetorial de dimensao ˜ finita munido de produto interno. Existe uma

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Operadores Ortogonais

Se¸c˜ ao 14

base ortonormal de E relativamente a` qual a matriz de A tem a forma                     



1 ..

. 1 −1 ..

. −1 cos α1 − sen α1 sen α1 cos α1 .. . cos αk sen αk

           ,         − sen αk  cos αk

onde os termos nao ˜ aludidos sao ˜ iguais a zero. ˜ Demonstrac¸ao: Os conjuntos F1 = {v ∈ E; Av = v} e F2 = {v ∈ ˜ subespac¸os vetoriais invariantes por A, com F1 ∩ E; Av = −v} sao F2 = {0}. Logo F = F1 ⊕ F2 tamb´em e´ um subespac¸o invariante por A, o mesmo acontecendo com o complemento ortogonal F⊥ . Seja {u1 , . . . , ur } ⊂ F uma base ortonormal cujos primeiros vetores formam uma base de F1 e os restantes uma base de F2 . Nenhum su˜ 1 em F⊥ e´ invariante por A, logo existe um bespac¸o de dimensao ˜ 2. Seja {v1 , w1 } ⊂ G uma subespac¸o invariante G ⊂ F⊥ de dimensao base ortonormal. Como vimos acima, tem-se Av1 = cos α1 · v1 + sen α1 · w1 , Aw1 = − sen α1 · v1 + cos α1 · w1 . Novamente, o complemento ortogonal de G em F⊥ e´ um subespac¸o invariante por A, ˜ possui autovetores, logo cont´em um subespac¸o invariante que nao ˜ 2. Prosseguindo analogamente, chegaremos a uma de dimensao base ortonormal {v1 , w1 , . . . , vk , wk } ⊂ F⊥ tal que Avi = cos αi vi + ˜ sen αi vi e Awi = − sen αi vi + cos αi wi para i = 1, . . . , k. Entao {u1 , . . . , ur , v1 , w1 , . . . , vk , wk } ⊂ E e´ uma base ortonormal, relativamente a` qual a matriz de A tem a forma desejada. ˜ ˜ Observac¸ao. A matriz a que se refere o Teorema 14.3 pode nao ˜ conter possuir elementos iguais a 1, ou a −1, como pode tamb´em nao nenhum dos blocos 2×2, caracter´ısticos de rotac¸o˜ es. Al´em disso, caso seja conveniente, cada bloco igual a I2 ou a −I2 pode ser substitu´ıdo

Se¸c˜ ao 14

respectivamente pelos blocos   cos 0 − sen 0 sen 0 cos 0

Operadores Ortogonais

ou



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 cos π − sen π . sen π cos π

´ Corolario. Se E tem dimensao ˜ ´ımpar, todo operador ortogonal A : E → E possui um autovetor v, com Av = v ou Av = −v.

Exemplo 14.5. Seja A : R3 → R3 um operador ortogonal no espac¸o ˜ existe uma base ortoeuclidiano tri-dimensional. Se A 6= ±I entao ˜ a` qual a matriz de A tem uma normal {u1 , u2 , u3 } ⊂ R3 em relac¸ao das quatro formas abaixo:     1 0 0 1 0 0 0 1 0  , 0 −1 0  , 0 0 −1 0 0 −1     −1 0 0 1 0 0 0 cos α − sen α ,  0 cos α − sen α . 0 sen α cos α 0 sen α cos α

˜ em torno do plano que cont´em os No primeiro caso A e´ a reflexao ˜ vetores u1 , u2 (paralelamente a u3 ). No segundo caso, A e´ a reflexao ˜ de em torno do eixo que cont´em u1 ou, o que e´ o mesmo, a rotac¸ao ˜ de angulo ˆ 180◦ em torno desse eixo. No terceiro caso, A e´ a rotac¸ao ´ ˜ α em torno do eixo que cont´em u1 . No ultimo caso, A e´ essa rotac¸ao ˜ em torno do plano que cont´em u2 e u3 . Estas seguida da reflexao quatro possibilidades, mais A = I e A = −I, esgotam todos os tipos de operadores ortogonais em R3 .

Teorema 14.4. Seja E um espa¸co vetorial de dimensao ˜ finita, munido de produto interno. Todo operador linear A : E → E admite uma decomposi¸cao ˜ da forma A = PU, onde U : E → E e´ ortogonal e P : E → E e´ nao-negativo. ˜

˜ De acordo com o Teorema 13.10, existem bases orDemonstrac¸ao: ´ tonormais {u1 , . . . , un } ⊂ E, {v1 , . . . , vn } ⊂ E e numeros λi ≥ 0 tais que Aui = λi vi para i = 1, . . . , n. Definamos os operadores P, U : E → E impondo que Pvi = λi vi e Uui = vi . Evidentemente, P e´ auto-adjunto, ≥ 0, U e´ ortogonal e PU = A. ˜ A = PU chama-se uma decomposi¸cao A expressao ˜ polar do opeiθ ´ rador A, por analogia com a forma polar z = re de um numero

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Se¸c˜ ao 14

˜ univocamente determinados a partir complexo. Os fatores P e U sao ´ claro que de A, no caso em que A e´ invert´ıvel. Provemos isto. E A invert´ıvel obriga P a ser tamb´em invert´ıvel, donde positivo. De A = PU tiramos A∗ = U∗ P e, multiplicando membro a membro estas igualdades, vem AA∗ = PUU∗ P = P2 , portanto P e´ a raiz quadrada positiva do operador positivo AA∗ . (Vide Teorema 13.8.) Multipli−1 cando a igualdade A = PU por P−1 a` esquerda, vem √ U = P A. Isto mostra que, no caso em que A e´ invert´ıvel, P = AA∗ e U = P−1 A ˜ univocamente determinados a partir da igualdade A = PU. sao

Exerc´ıcios ˜ duas a duas orto14.1. Prove que as linhas de uma matriz a sao T gonais se, e somente se, aa = d, onde d e´ uma matriz diagonal. ´ Enuncie e prove um resultado analogo sobre a ortogonalidade das colunas de a. 14.2. Se as linhas de uma matriz quadrada forem duas a duas ortogonais e tiverem a mesma norma, prove que as colunas dessa matriz ˜ duas a duas ortogonais. tamb´em sao 14.3. Dˆe os seguintes exemplos: ˜ duas a duas ortogonais (a) Uma matriz invert´ıvel cujas linhas sao ˜ sao. ˜ mas as colunas nao ˜ ˜ ortogonais e tˆem (b) Uma matriz (nao-quadrada) cujas linhas sao ˜ sao ˜ ortogonais. a mesma norma mas as colunas nao ˜ duas a duas ortogonais (c) Uma matriz cujas linhas (e colunas) sao ˜ diferentes. mas as normas das linhas sao ˜ tal que f(0) = 0 e |f(u) − f(v)| = 14.4. Seja f : Rn → Rn uma func¸ao n |u − v| para quaisquer u, v ∈ R . (Ou seja: f deixa 0 fixo e preserva ˆ distancias.) Prove: (a) Para todo v ∈ Rn , tem-se |f(v)| = |v|. (b) Para quaisquer u, v ∈ Rn , tem-se hf(u), f(v)i = hu, vi. [Use a igualdade hu, vi = 21 (|u|2 + |v|2 − |u − v|2 ).]

Se¸c˜ ao 14

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(c) Os vetores u1 = f(e1 ), . . . , un = f(en ) formam uma base ortonormal em Rn . (d) Para todo v = x1 e1 + · · · + xn en ∈ Rn , tem-se hf(v), ui i = xi , logo f(v) = x1 u1 + · · · + xn un . (e) f : Rn → Rn e´ um operador linear, logo e´ ortogonal.

˜ g : Rn → Rn chama-se uma isometria quando |g(u) − Uma func¸ao g(v)| = |u − v| para quaisquer u, v ∈ Rn . Conclua que toda isometria tem a forma g(v) = A · v + b, onde A : Rn → Rn e´ um operador (linear) ortogonal e b ∈ Rn e´ um vetor constante (independente de v).

˜ finita, com produto 14.5. Seja E um espac¸o vetorial de dimensao ˜ linear ortogonal defiinterno. Se Ao : F → E e´ uma transformac¸ao nida num subespac¸o vetorial F ⊂ E, prove que existe um operador ortogonal A : E → E tal que A · v = Ao · v para todo v ∈ F.

14.6. Sejam A : F → G e B : F → H transformac¸o˜ es lineares in˜ espac¸os de dimensao ˜ finita, munidos de produto vert´ıveis. (G e H sao ˜ ortogonal (invert´ıvel) interno.) Prove que existe uma transformac¸ao C : G → H com B = CA se, e somente se, |Av| = |Bv| para todo v ∈ F.

˜ finita, com produto 14.7. Seja E um espac¸o vetorial de dimensao interno. Dados dois operadores A, B : E → E tais que |Av| = |Bv| para todo v ∈ E, prove que existe C : E → E ortogonal, com B = ˜ observe que N (A) = N (B). Considere F = N (A)⊥ CA. (Sugestao: e sejam Ao : F → Im(A), Bo : F → Im(B) os isomorfismos obtidos ˜ de A e B respectivamente. Use o exerc´ıcio anterior por restric¸ao para achar Co : Im(A) → Im(B), com Bo = Co Ao e obtenha C pelo Exerc´ıcio 14.5.)

14.8. Dada uma base ortonormal {u1 , u2 , u3 } ⊂ R3 , sejam n, p ∈ N tais que p = n2 + n + 1. Defina um operador A : R3 → R3 pondo Au1 = v1 , Au2 = v2 , Au3 = v3 , onde 1 [nu1 + (n + 1)u2 + n(n + 1)u3 ], p 1 v2 = [n(n + 1)u1 + nu2 − (n + 1)u3 ], p 1 v3 = [(n + 1)u1 − n(n + 1)u2 + nu3 ]. p

v1 =

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Operadores Ortogonais

Se¸c˜ ao 14

Prove que o operador A e´ ortogonal. 14.9. Para quaisquer duas bases ortonormais U = {u1 , . . . , un } ⊂ E e V = {v1 , . . . , vn } ⊂ E, prove que existe um operador ortogonal A : E → ˜ formadas E tal que Au1 = v1 , . . . , Aun = vn . Se as bases dadas sao pelos vetores 1 u1 = (1, 2, 2), 3 1 v1 = (2, 3, 6), 7

1 1 u2 = (2, 1, −2), u3 = (2, −2, 1) e 3 3 1 1 v2 = (6, 2, −3), v3 = (3, −6, 2) em R3 , 7 7

determine a matriz de A na base canˆonica de R3 . ´ 14.10. Dado o vetor unitario u ∈ Rn , prove que o operador Hu : Rn → n ˜ em torno R , definido por Hu · v = v − 2 hv, ui u, e´ ortogonal. (Reflexao de {u}⊥ .) Dados os vetores v 6= w em Rn , com |v| = |w|, mostre que, tomando u = (v − w)/|v − w|, tem-se Hu v = w. Determine a matriz ˜ das coordenadas de u (“matriz de Householder”). de Hu em func¸ao 14.11. Prove que todo operador A : E → E, num espac¸o vetorial de ˜ finita munido de produto interno se escreve como A = UP, dimensao ˜ ˜ polar onde U e´ ortogonal e P e´ nao-negativo. (Fac¸a a decomposic¸ao de A∗ .) ˜ do Exerc´ıcio 11.17, considere um operador 14.12. Com a notac¸ao ortogonal A ∈ L(E) e defina MA : L(E) → L(E) pondo MA · X = AX. Prove que MA e´ um operador ortogonal.

14.13. Se uma matriz ortogonal e´ triangular, prove que ela e´ diagonal e seu quadrado e´ igual a` matriz identidade. ˜ finita, com produto 14.14. Seja E um espac¸o vetorial de dimensao ˜ S : E → E chama-se uma semelhan¸ca quando interno. Uma func¸ao ´ existe um numero r > 0 (chamado a razao ˜ de semelhan¸ca) tal que |S(u)−S(v)| = r|u−v| para quaisquer u, v ∈ E. Se S e´ uma semelhanc¸a ˜ r, prove que existem um operador ortogonal A : E → E e um de razao vetor b ∈ E tais que S(v) = r.Av + b para todo v ∈ E. 14.15. Seja A : E → E um operador linear que transforma vetores ´ ´ unitarios em vetores unitarios. Prove que A e´ ortogonal. Deduza da´ı que se S : E → E e´ um operador linear invert´ıvel que transforma dois quaisquer vetores de mesmo comprimento em vetores de mesmo ˜ S e´ uma semelhanc¸a. comprimento entao

Se¸c˜ ao 14

Operadores Ortogonais

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14.16. Seja S : E → E um operador linear invert´ıvel que preserva ˆ angulos, isto e´ hu, vi hSu, Svi = |Su| |Sv| |u| |v| quando u 6= 0 e v 6= 0. Prove que S transforma vetores ortogonais de mesmo comprimento em vetores ortogonais de igual comprimento. Conclua que S e´ uma semelhanc¸a. 14.17. Com o produto interno introduzido no Exerc´ıcio 11.17, prove √ que os operadores ortogonais tˆem norma igual a n, onde n= dim E. ˜ polar de um operador e´ unica, ´ 14.18. Se a decomposic¸ao prove que esse operador e´ invert´ıvel. 14.19. Seja A : R3 → R3 dado por A(x, y, z) = (2x + 3y − 6z, 6x + ˜ 2y + 3z, −3x + 6y + 2z). Mostre que A e´ uma semelhanc¸a de razao 7. Sabe-se que ou existe v ∈ R3 com Av = 7v ou existe w ∈ R3 com Aw = −7w. Ache um autovetor de A, complete-o de modo a obter uma base ortonormal de R3 e determine a matriz do operador A nesta base. 14.20. Seja a = [a1 a2 . . . an ] ∈ M(1 × n) tal que a21 + · · · + a2n = 1. ˜ ortogonal. Prove que aT a ∈ M(n × n) e´ a matriz de uma projec¸ao ´ ˜ Determine a imagem e o nucleo dessa projec¸ao. 14.20. Pode uma matriz ortogonal ser anti-sim´etrica? 14.21. Seja a uma matriz ortogonal n × n. (a) Prove que A : M(n × n) → M(n × n), definida por Ax = axT + ˜ linear cuja imagem e´ o conjunto das xaT , e´ uma transformac¸ao matrizes sim´etricas. (b) Prove que, dada uma matriz sim´etrica s ∈ M(n×n), o conjunto das matrizes x tais que axT + xaT = s e´ uma variedade afim de ˜ n(n − 1)/2 no espac¸o vetorial M(n × n). dimensao ˜ todos 14.22. Ache uma matriz ortogonal 4 × 4 cujos elementos sao 1 da forma ± 2 .

188

Operadores Ortogonais

Se¸c˜ ao 14

´ 14.23. Seja v = (a, b, c) um vetor unitario diferente de ±e3 . Mostre que existe x tal que a matriz abaixo e´ ortogonal:   a b c  bx −ax 0 . acx bcx −1/x 14.24. Um operador auto-adjunto N : E → E chama-se negativo ´ quando hNv, vi < 0 para todo v 6= 0 em E. Determine a (unica) de˜ polar de um operador negativo N. composic¸ao 14.25. Prove que os elementos da diagonal de uma matriz negativa ˜ numeros ´ sao negativos.   −34 12 . 14.26. Prove que a matriz abaixo e´ negativa 12 −41   2 2 ˜ polar da matriz 14.27. Ache a decomposic¸ao . 2 −1 14.28. Sejam a ∈ M(r × r) e c ∈ M(s × s) matrizes ortogonais. Prove que a matriz (r + s) × (r + s) abaixo e´ ortogonal se, e somente se, b = 0:   a b . 0 c ˜ polar da matriz 14.29. Obtenha a decomposic¸ao √  √2 1 1 − 2 1 1  . 0 1 −1

15 Operadores Normais (Caso Real)

Estudaremos agora o tipo mais geral de operadores (num espa¸co vetorial de dimensao ˜ finita, munido de produto interno) para os quais vale um resultado analogo ´ ao do Teorema 14.3, ou seja: existe uma base ortonormal na qual a matriz do operador come¸ca na forma diagonal, seguida por uma s´erie de blocos 2 × 2 da forma 

 α β . −β α

Eles sao ˜ os operadores normais. Na Se¸cao ˜ 21 veremos que, nos espac¸ os vetoriais complexos, os operadores normais sao ˜ precisamente aqueles que admitem uma base ortonormal de autovetores. ˜ todos os espac¸os vetoriais tˆem dimensao ˜ finita e sao ˜ Nesta sec¸ao, munidos de produto interno. Um operador linear A : E → E chama-se normal quando comuta com seu adjunto, isto e´ , quando AA∗ = A∗ A. Uma matriz quadrada a diz-se normal quando comuta com sua transposta, isto e´ , quando aaT = aT a. Portanto um operador e´ normal se, e somente se, sua matriz relativamente a uma base ortonormal e´ uma matriz normal.

190

Operadores Normais (Caso Real)

Se¸c˜ ao 15

˜ Exemplo 15.1. Os operadores auto-adjuntos e os ortogonais sao normais. Analogamente, as matrizes sim´etricas e as ortogonais qua˜ normais. dradas sao   a c Exemplo 15.2. (Matrizes normais 2 × 2.) Seja a = uma b d matriz normal 2 × 2. Temos   2 a + c2 ab + cd T aa = ab + cd b2 + d2 e

 a2 + b2 ac + bd . a a= ac + bd c2 + d2 T



Logo a e´ normal se, e somente se, b2 = c2 (isto e´ , b = ±c) e ab + ´ cd = ac + bd. Se b = c, a matriz a e´ sim´etrica. Caso contrario, ˜ de ab + cd = ac + bd resulta temos c = −b (com b 6= 0). Entao, ´ b(a − d) = b(d − a), donde a = d. Portanto, as unicas matrizes ˜ as sim´etricas e as da forma normais 2 × 2 sao   a −b a= . b a √ ˜ 0 6= r = a2 + b2 . Logo existe θ ∈ R tal Observe que se a 6= 0 entao ˜ a matriz a se escreve como que cos θ = a/r e sen θ = b/r. Entao a=r



 cos θ − sen θ . sen θ cos θ

Isto nos permite concluir que uma matriz normal 2×2 ou e´ sim´etrica ou e´ a matriz de uma semelhanc¸a no plano. Um operador linear A : E → E chama-se anti-sim´etrico quando ∗ A = −A, ou seja, hAu, vi = −hu, Avi para u, v ∈ E quaisquer. Para ´ que A seja anti-sim´etrico e´ necessario e suficiente que sua matriz ˜ a uma base ortornormal de E seja anti-sim´etrica, isto [aij ] em relac¸ao e´ , aij = −aji para quaisquer i, j = 1, 2, . . . , n. Em particular, aii = 0. ˜ 1, todo operador anti-sim´etrico e´ igual a Num espac¸o de dimensao ´ zero; logo o unico autovalor poss´ıvel de um operador anti-sim´etrico e´ 0. Evidentemente, todo operador anti-sim´etrico e´ normal.

Se¸c˜ ao 15

Operadores Normais (Caso Real)

191

Teorema 15.1. Seja A : E → E um operador normal. Existe uma base ortonormal de E na qual a matriz de A tem a forma              



λ1 ..

. λr α1 −β1 β 1 α1 ..

. αs βs

            −βs  αs

onde os elementos nao ˜ expostos sao ˜ iguais a zero. ˜ Demonstrac¸ao: Sejam σ20 , σ21 , . . . , σ2k os autovalores distintos do ˜ operador nao-negativo AA∗ = A∗ A : E → E, com σ0 = 0 e σi > 0 se i ≥ 1. Para cada i = 0, 1, . . . , k, seja Ei = N (AA∗ − σ2i I) o autosubespac¸o correspondente ao autovalor σ2i . O Teorema Espectral nos afirma que E = E0 ⊕ E1 ⊕ · · · ⊕ Ek . Al´em disso, se u ∈ Ei e ˜ hu, vi = 0. Da igualdade AA∗ = A∗ A rev ∈ Ej com i 6= j entao sulta imediatamente que cada subespac¸o Ei e´ invariante por A e por ˜ AA∗ em Ei coincide com σ2i I. Logo o opeA∗ . Ora, por definic¸ao, rador Bi : Ei → Ei , definido para i = 1, 2, . . . , k por Bi v = (1/σi )Av, e´ ortogonal. Tomemos em E0 uma base ortonormal qualquer. (Observe que E0 = N (AA∗ ) = N (A) = N (A∗ ).) Tomemos ainda, em cada subespac¸o Ei (i = 1, . . . , k) uma base ortonormal na qual a matriz do operador Bi tenha a forma dada no Teorema 14.3. Juntando todas essas bases e ordenando seus elementos na forma adequada, obtemos uma base de E na qual a matriz do operador A e´ do tipo desejado. ˜ Observac¸oes: ´ ˜ os autovalores de A. Dentre eles, os 1. Os numeros λ1 , . . . , λr sao ˜ nao-nulos tˆem a forma λi = ±σj , onde σj e´ um q valor singular de A. ˜ σj = Os demais valores singulares de A sao

α2j + β2j (j = 1, . . . , s).

˜ possui autovetores, a matriz do Teorema 15.1 nao ˜ apre2. Se A nao senta a parte superior (diagonal). Por outro lado, se A e´ auto-adjunto ˜ existem os blocos 2 × 2 da parte inferior. nao

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Operadores Normais (Caso Real)

Se¸c˜ ao 15

´ Corolario. Seja A : E → E um operador anti-sim´etrico. Existe uma base ortonormal de E relativamente a` qual a matriz de A tem a forma   0   ..   .     0     0 −β 1     β1 0     ..   .    0 −βs  βs 0

Segue-se imediatamente que o posto de um operador anti-sim´e´ trico e´ um numero par. Exemplo 15.4. Seja A : R3 → R3 um operador anti-sim´etrico. Pelo ´ corolario acima, existe uma base ortonormal {u1 , u2 , u3 } ⊂ R3 tal que Au1 = 0, Au2 = −βu3 e Au3 = βu2 . Em termos do produto vetorial ´ classico de R3 , podemos escolher o sinal de u1 de modo que se tenha ˜ se pusermos w = βu1 , teremos u1 × u2 = u3 e u3 × u1 = u2 . Entao, 0 = Au1 = u1 × w, Au2 = −βu3 = β(u2 × u1 ) = u2 × w e Au3 = βu2 = β(u3 × u1 ) = u3 × w. Assim, A coincide com o operador linear ´ v 7→ v × w nos vetores basicos u1 , u2 , u3 . Conclu´ımos que, para todo v ∈ R3 , vale Av = v × w. Em resumo: todo operador anti-sim´etrico no espac¸o R3 consiste no produto vetorial por um vetor fixo w ∈ R3 .

Exerc´ıcios ˜ do operador A como soma do 15.1. Seja A = B + C a decomposic¸ao operador auto-adjunto B com o operador anti-sim´etrico C. Prove que A e´ normal se, e somente se, BC = CB. ˜ iguais 15.2. Prove que os operadores auto-adjuntos S, T : E → E sao se, e somente se, hSv, vi = hTv, vi para todo v ∈ E. Use este fato para provar que A : E → E e´ normal se, e somente se, |Av| = |A∗ v| para todo v ∈ E.

15.3. Se dim E = n e o operador normal A : E → E tem n autovalores distintos, prove que A e´ auto-adjunto.

Se¸c˜ ao 15

Operadores Normais (Caso Real)

193

15.4. Sejam u1 , . . . , un as linhas e v1 , . . . , vn as colunas de uma matriz a. Prove que hui , uj i = hvi , vj i para quaisquer i, j ⇔ a e´ normal. ˜ P : E → E e´ um operador normal se, e 15.5. Prove que uma projec¸ao ∗ ´ ˜ somente se, P = P . Resultado analogo para uma involuc¸ao. 15.6. Seja A : E → E um operador normal. Prove que N (A) = N (A∗ ) e conclua que N (A)⊥ = Im(A) = Im(A∗ ). ˜ normais. 15.7. Entre as matrizes abaixo, determine quais sao  9 −3 −6 6 a = 3 9 6 −6 9 

 1 2 3 b =  3 2 2 2 3 5 

 1 0 0 c = 0 −1 2  0 −2 −1 

15.8. Sejam A, B : E → E operadores normais. Supondo AB = 0, prove: ´ (a) A imagem de B esta´ contida no nucleo de A; ´ (b ) A imagem de B∗ esta´ contida no nucleo de A∗ ; ´ (c) A imagem de A esta´ contida no nucleo de B. ˜ que BA = 0. Conclua entao ˜ normais e AB = BA, prove que AB e´ normal. 15.9. Se A, B : E → E sao

˜ 15.10. Dˆe exemplos de operadores normais A, B tais que A + B nao ˜ e´ normal. Dˆe tamb´em um exemplo em que AB e´ e´ normal e AB nao normal mas AB 6= BA. ˜ 15.11. Seja A : E → E um operador linear no espac¸o E, de dimensao finita, com produto interno. Supondo I + A e I − A invert´ıveis, defina S = (I + A)(I − A)−1 . Prove que S e´ ortogonal se, e somente se, A e´ anti-sim´etrico. 15.12. Seja o operador A : R3 → R3 dado por A(x, y, z) = (y + 2z, −x + 3z, −2x − 3y). Escreva sua matriz na base canˆonica e veja que A e´ anti-sim´etrico. Por escalonamento, ache um vetor u ∈ R3 que e´ uma base de N (A). Obtenha ainda uma base {v, w} ⊂ N (A)⊥ e escreva a matriz de A na base {u, v, w} ⊂ R3 .

194

Operadores Normais (Caso Real)

Se¸c˜ ao 15

15.13. Seja A : R4 → R4 o operador linear definido por

A(x, y, z, t) = (y − z + t, −x − z + 2t, x + y − t, −x − 2y + z).

Mostre que A e´ anti-sim´etrico. Ache bases ortonormais {u, v} ⊂ N (A) e {u′ , v′ } ⊂ N (A)⊥ . Determine a matriz de A na base {u, v, u′ , v′ } ⊂ R4 . 15.14. Se o operador A : E → E e´ anti-sim´etrico, prove que todo vetor v ∈ E e´ perpendicular a` sua imagem Av. Se E = R2 , prove que A e´ ´ ˜ de 90◦ R : R2 → R2 . um multiplo αR da rotac¸ao

15.15. Seja

 0 c −b a a = −c 0 b −a 0 

a matriz do operador A : R3 → R3 . Mostre que, para todo v ∈ R3 tem-se Av = v × w, onde w = (a, b, c).

15.16. Seja A : E → E um operador normal. Se Au = λu e Av = µv com λ 6= µ, prove que hu, vi = 0.

15.17. Sejam  u1, ..., un os vetores-linha e v1 , ..., vn os vetores-coluna a b da matriz , onde a ∈ M(p × p). Se |ui | = |vi | para i = 1, . . . , n, 0 c prove que b = 0 ∈ M(p × (n − p)).

15.18. Se um subespac¸o F ⊂ E e´ invariante pelo operador normal A : E → E, prove que F tamb´em e´ invariante por A∗ e que o complemento ortogonal F⊥ e´ ainda invariante por A e A∗ .

15.19. Seja F ⊂ E um subespac¸o invariante pelo operador normal ˜ de A ao subespac¸o F e´ ainda um A : E → E. Prove que a restric¸ao operador normal.

16 Pseudo-inversa

A no¸cao ˜ de pseudo-inversa e o estudo de suas propriedades constituem uma maneira simples e atraente de aplicar alguns dos resultados obtidos nas se¸co˜ es anteriores. Do ponto de vista pratico, ´ esta no¸cao ˜ responde uma pergunta bastante natural, que ocorre de fato ´ em diferentes aplica¸co˜ es da Algebra Linear: dada A ∈ L(E; F) e dado b ∈ F, se e´ imposs´ıvel achar x ∈ E tal que Ax = b, qual e´ , ou melhor, quais sao ˜ os vetores x ∈ E tais que o erro |Ax − b| e´ o menor poss´ıvel e qual entre esses vetores x e´ a solu¸cao ˜ o´ tima, ou seja, tem a menor norma? Sabemos que um sistema de m equac¸o˜ es lineares com n inc´ognitas pode ser interpretado como o problema de achar um vetor x ∈ Rn ˜ linear cuja tal que Ax = b, onde A : Rn → Rm e´ a transformac¸ao matriz (nas bases canˆonicas de Rn e Rm ) e´ dada pelos coeficientes do ˜ os numeros ´ que sistema e b ∈ Rm e´ o vetor cujas coordenadas sao figuram nos segundos membros das equac¸o˜ es do sistema. ˜ pertence a` imagem de A, o sistema Ax = b evidenteSe b nao ˜ possui soluc¸ao. ˜ Faz sentido, entretanto, procurar em Rn mente nao um vetor x tal que Ax esteja o mais pr´oximo poss´ıvel de b e, dentre ˜ de esses vetores x, aquele de menor norma. Isto nos leva a` noc¸ao ˜ linear. pseudo-inversa de uma transformac¸ao ˜ linear entre espac¸os vetoriais Seja A : E → F uma transformac¸ao ˜ finita, munidos de produto interno. A pseudo-inversa de dimensao

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Pseudo-inversa

Se¸c˜ ao 16

de A e´ a correspondˆencia A+ : F → E que associa a cada y ∈ F o vetor A+ y = x ∈ E de menor norma entre todos os vetores x ∈ E que ˆ tornam m´ınima a distancia |y − Ax|. (Fig. 16.1.)

Figura 16.1. Descrevamos como opera a pseudo-inversa A+ : F → E. Dado ˜ ortogonal y ∈ F, o vetor de Im(A) mais pr´oximo de y e´ a projec¸ao yo de y sobre Im(A), caracterizada pelo fato de que yo ∈ Im(A) e y − yo e´ perpendicular a (todos os vetores de) Im(A), ou seja, y − yo ∈ N (A∗ ). Como yo ∈ Im(A), existem vetores x ∈ E tais ˜ da forma x + z, onde que Ax = yo . Se x e´ um deles, os demais sao z ∈ N (A), pelo Teorema 6.4. Dentre estes vetores x + z, o de me˜ ortogonal de x sobre N (A) nor norma e´ x − xo , onde xo e´ a projec¸ao ´ ´ para todo pois sendo x − xo perpendicular a N (A), Pitagoras nos da, z ∈ N (A): |x + z|2 = |x − xo + z + xo |2 = |x − xo |2 + |z + xo |2 ≥ |x − xo |2 . (pois z + xo ∈ N (A), logo e´ perpendicular a x − xo ). Portanto A+ y = x − xo . Note que, sendo ortogonal a N (A), A+ y pertence a Im(A∗ ). ´ Na realidade, A+ y e´ o unico vetor da imagem de A∗ tal que AA+ y = yo . (Com efeito, A, restrita a Im(A∗ ), e´ injetiva, visto que Im(A∗ ) ∩ N (A) = {0}.) ˜ da pseudo-inversa de uma transformac¸ao ˜ linear Esta definic¸ao ˜ bem definida A+ : F → E, A : E → F apresenta-a como uma func¸ao ˜ deixa claro com as propriedades geom´etricas procuradas, por´em nao + ˜ linear. Usando o Teorema 13.10, aprese A e´ uma transformac¸ao ˜ A′ : F → E, que certasentaremos em seguida uma transformac¸ao mente e´ linear mas que usa certas bases escolhidas em E e F, de

Se¸c˜ ao 16

Pseudo-inversa

197

˜ parece estar bem definida. Em seguida, provaremos modo que nao ˜ depende das escolhas de que A′ = A+ , logo A+ e´ linear e A′ nao bases. ˜ linear A : E → F. Pelo Teorema Seja r o posto da transformac¸ao 13.10, existem bases ortonormais {u1 , . . . , un } ⊂ E, {v1 , . . . , vm } ⊂ F e ´ numeros positivos σ1 , . . . , σr tais que Aui = σi vi , A∗ vi = σi ui para 1 ≤ i ≤ r e Aui = 0, A∗ vi = 0 para i > r. Pelo Teorema 4.1, existe ´ ˜ linear A′ : F → E tal que uma unica transformac¸ao A′ v i =

1 ui para 1 ≤ i ≤ r σi

e A′ vi = 0 quando i > r.

Teorema 16.1. A′ = A+ = pseudo-inversa de A. ˜ Devemos mostrar que, para todo y ∈ F, o vetor A′ y Demonstrac¸ao: e´ igual a A+ y, isto e´ , tem as seguintes propriedades: (1) AA′ y = yo e´ o vetor de Im(A) mais pr´oximo de y; (2) A′ y e´ o vetor de menor ˜ equivanorma em E cuja imagem por A e´ yo . Estas afirmac¸o˜ es sao ′ ′ ′ lentes a (1 ) (y − AA y) ⊥ Im(A), ou seja, y − AA y ∈ N (A∗ ), ou ainda, A∗ y = A∗ AA′ y; (2′ ) A′ y ∈ Im(A∗ ). Evidentemente, basta verificar a validez de (1′ ) e (2′ ) quando y e´ qualquer um dos vetores ´ basicos v1 , . . . , vm . Nestes casos, por´em, (1′ ) e (2′ ) resultam imedia˜ de A′ . tamente da definic¸ao ´ Corolario 1. AA+ : F → F e´ a proje¸cao ˜ ortogonal sobre Im(A) e + A A : E → E e´ a proje¸cao ˜ ortogonal sobre Im(A∗ ).

Com efeito, temos AA′ vi = vi se 1 ≤ i ≤ r, A′ vi = 0 se i > r, A′ = A+ e {v1 , . . . , vr } ⊂ Im(A) e´ uma base. Analogamente ´ ˜ para A+ A. (O Corolario 1 tamb´em resulta diretamente da definic¸ao + de A .) ´ Corolario 2. Se A : E → F e´ injetiva entao ˜ A+ = (A∗ A)−1 A∗ .

Com efeito, se A e´ injetiva, o operador A∗ A : E → E e´ invert´ıvel. ´ (Corolario do Teorema 13.9). A igualdade alegada significa que A∗ (AA+ ) = A∗ , o que foi estabelecido na prova do Teorema 16.1. ˜ (1′ ).) (Forma final da condic¸ao

´ Corolario 3. Se A : E → F e´ sobrejetiva entao ˜ A+ = A∗ (AA∗ )−1 .

´ Com efeito, ainda pelo Corolario do Teorema 13.9, A sobrejetiva ∗ implica que o operador AA : F → F e´ invert´ıvel e a igualdade alegada

198

Pseudo-inversa

Se¸c˜ ao 16

equivale a (A+ A)A∗ = A∗ . Isto e´ evidente se substituirmos A+ por A′ (vide prova do Teorema 16.1) e testarmos a igualdade em cada um dos vetores da base {v1 , . . . , vm } ⊂ F. ´ Corolario 4. Se A : E → F e´ invert´ıvel entao ˜ A+ = A−1 . Evidente.

´ ˜ A+ e´ uma Segue-se dos Corolarios 2 e 3 que se A e´ injetiva entao ˜ A+ e´ uma inversa inversa a` esquerda de A, e se A e´ sobrejetiva entao a` direita de A.

´ Corolario 5. Para toda transforma¸cao ˜ linear A : E → F, tem-se ∗ + + ∗ (A ) = (A ) : E → F.

Com efeito, as bases ortonormais fornecidas pelo Teorema 13.10 ˜ de A′ tanto servem para A como para A∗ . Se e usadas na definic¸ao as utilizarmos com A∗ em vez de A, obteremos (A∗ )′ ui = (1/σi )vi se 1 ≤ i ≤ r e (A∗ )′ ui = 0 se i ≥ r + 1. Mas e´ claro que (A′ )∗ opera ´ do mesmo modo sobre os vetores basicos ui . Logo (A′ )∗ = (A∗ )′ e da´ı ´ segue o corolario. ˜ e´ injetiva, logo Exemplo 16.1. Se A : E → F e´ ortogonal entao A+ = (A∗ A)−1 A∗ . Mas a ortogonalidade de A significa A∗ A = IE , logo A+ = A∗ . Exemplo 16.2. Seja A : R2 → R3 dada por A(x, y) = (x, y, 0). Como A e´ ortogonal, temos A+ = A∗ . A matriz de A tem colunas (1, 0, 0) e ˜ as linhas da matriz de A∗ , portanto A∗ (x, y, z) (0, 1, 0), logo estas sao = (x, y). Portanto a pseudo-inversa de A e´ A+ : R3 → R2 , dada por A+ (x, y, z) = (x, y).

Exemplo 16.3. Definamos A : R2 → R3 pondo A(x, y) = (x, y, x + y). Como A e´ injetiva, sua pseudo-inversa e´ A+ = (A∗ A)−1 A∗ . As ˜ (1, 0, 1) e (0, 1, 1), colunas da matriz de A (linhas da matriz de A∗ ) sao logo A∗ (x, y, z) = (x + z, y + z) e da´ı A∗ A(x, y) = (2x + y, x + 2y). Para determinar (A∗ A)−1 (x, y) = (s, t), resolvemos o sistema (A∗ A)(s, t) = (x, y), ou seja 2s+t = x, s+2t = y, no qual as inc´ognitas

Se¸c˜ ao 16

Pseudo-inversa

199

˜ s, t. Encontramos sao s=

(2x − y) 3

e

t=

(2y − x) . 3

Portanto

1 (A∗ A)−1 (x, y) = (2x − y, 2y − x). 3 3 Assim, para qualquer (x, y, z) ∈ R temos A+ (x, y, z) = [(A∗ A)−1 A∗ ](x, y, z) = (A∗ A)−1 (x + z, y + z) 1 = (2x − y + z, 2y − x + z). 3

Exemplo 16.4. Seja B : R3 → R2 dada por

1 B(x, y, z) = (2x − y + z, −x + 2y + z). 3

Temos as matrizes de posto 2:   2 −1 1 1  b=  3 −1 2 1

e

 2 −1 1 bT = −1 2  . 3 1 1 

Logo B e´ sobrejetiva e B+ = B∗ (BB∗ )−1 . Como a matriz de B∗ e´ bT , temos 1 B∗ (x, y) = (2x − y, −x + 2y, x + y) 3 2 para qualquer (x, y) ∈ R . Segue-se que BB∗ : R2 → R2 e´ dado por 1 BB∗ (x, y) = B(2x − y, −x + 2y, x + y) 3 1 = (6x − 3y, −3x + 6y) 9 1 = (2x − y, −x + 2y). 3

Para determinar (BB∗ )−1 (x, y) = (s, t), resolvemos o sistema BB∗ (s, t) = (x, y), isto e´ , 2s − t = 3x, −s + 2t = 3y, nas inc´ognitas s, t, e encontramos s = 2x + y, t = x + 2y, portanto (BB∗ )−1 (x, y) = (2x + y, x + 2y).

200

Pseudo-inversa

Se¸c˜ ao 16

´ finalmente: Isto nos da, B+ (x, y) = B∗ (BB∗ )−1 (x, y) = B∗ (2x + y, x + 2y) 1 = (3x, 3y, 3x + 3y), 3 ou seja, B+ (x, y) = (x, y, x + y). ˜ A do Exemplo 16.3, vemos que B = A+ Retomando a transformac¸ao + + e constatamos que (A ) = B+ = A. ˜ A++ = A, verificada no caso particular acima, e´ verdaA relac¸ao deira em geral. Isto pode ser visto facilmente examinando a defini˜ da transformac¸ao ˜ A′ e notando que (A′ )′ = A. Como A′ = A+ , o c¸ao resultado segue da´ı.

Exerc´ıcios 16.1. Determine a pseudo-inversa de cada uma das seguintes transformac¸o˜ es lineares: ˜ nula 0 : E → F; (a) A transformac¸ao

˜ ortogonal P : E → E sobre o subespac¸o F; (b) A projec¸ao

˜ acima, considerada como transformac¸ao ˜ li(c) A mesma projec¸ao near de E sobre F;

˜ (nao-ortogonal) ˜ (d) A projec¸ao P : R2 → R2 , sobre a reta F, paralelamente a` reta G. (Descreva P+ geometricamente.) ˜ linear A : E → F e todo α 6= 0, prove 16.2. Para toda transformac¸ao que (α · A)+ = α1 · A+ .

´ 16.3. Identifique o nucleo e a imagem da pseudo-inversa de uma ˜ linear A : E → F. transformac¸ao ˜ linear A : E → F, prove que, para todo 16.4. Dada a transformac¸ao + ∗ w ∈ F, tem-se A AA w = A∗ w.

Se¸c˜ ao 16

Pseudo-inversa

201

16.5. Sejam A : E → F e B : F → G transformac¸o˜ es lineares. Se Im(A) = Im(B∗ ), prove que (BA)+ = A+ B+ .

16.6. Dado o operador A : E → E, prove:

(a) Se A e´ auto-adjunto, A+ tamb´em e´ .

(b) Se A e´ normal, A+ tamb´em e´ . ˜ (c) Se A e´ nao-negativo, A+ tamb´em e´ . 16.7. Dados os vetores linearmente independentes v1 , . . . , vr ∈ Rn , seja a ∈ M(n × r) a matriz que os tem como colunas. Prove que a ˜ ortogonal de um vetor qualquer x ∈ Rn sobre o subespac¸o projec¸ao gerado por v1 , . . . , vr e´ Px = a(aT a)−1 aT x, onde identificamos o vetor ´ x ∈ Rn com a matriz x ∈ M(n × 1) cuja unica coluna e´ x. ˜ ortogonal do 16.8. Use a f´ormula acima para determinar a projec¸ao vetor (1, 2, 3) sobre o plano gerado pelos vetores (1, 1, 1) e (1, −1, 1). ˜ linear. Prove que, dado 16.9. Seja A : Rn → Rm uma transformac¸ao ˜ A∗ Ax = A∗ b sempre possui soluc¸ao. ˜ qualquer b ∈ Rm , a equac¸ao ∗ ˜ e´ invert´ıvel.) (Uma infinidade delas se A A nao 16.10. Prove as seguintes propriedades da pseudo-inversa de uma ˜ linear A : E → F: transformac¸ao (a)

AA+ A = A

(b)

A+ AA+ = A+

(c)

(AA+ )∗ = AA+

(d)

(A+ A)∗ = A+ A.

16.11. Seja A : R2 → R3 dada por A(x, y) = (x, y, 2x + 3y). Determine a pseudo-inversa A+ : R3 → R2 .

˜ linear A : R3 → R2 , 16.12. Ache a pseudo-inversa da transformac¸ao sabendo que A(x, y, z) = (x + y, y + z).

202

Pseudo-inversa

Se¸c˜ ao 16

16.13. Determine a pseudo-inversa de uma matriz diagonal d = [dij ] ∈ M(n × n). (Isto significa, naturalmente, a matriz de D+ , onde D : Rn → Rn e´ o operador linear cuja matriz na base canˆonica e´ d.) Considere explicitamente o caso em que a diagonal de d e´ (1, 0, −2, 0, 1/3). ˜ linear (nao ˜ necessariamente injetiva) 16.14. Dada a transformac¸ao A : E → F, sejam P : E → E e Q : F → F as projec¸o˜ es ortogonais sobre Im(A∗ ) e Im(A) respectivamente. Interprete e demonstre a igualdade A+ = PA−1 Q. 16.15. Defina o operador A : R2 → R2 pondo A(x, y) = (x − y, x − y). Determine a matriz de A+ : R2 → R2 na base canˆonica. Ache o vetor v ∈ R2 de menor norma tal que Av esta´ o mais pr´oximo poss´ıvel de w = (3, 5). ˜ ˜ linear 16.16. Dado o vetor nao-nulo a ∈ E, defina a transformac¸ao ∗ A : R → E pondo A · 1 = a. Mostre que A : E → R e´ definida por ˜ A+ = (A∗ A)−1 A∗ , conclua que A∗ · w = ha, wi e, usando a expressao + + A : E → R e´ dada por A · w = ha, wi /|a|2 . ˜ 16.17. Fixado o vetor nao-nulo b ∈ E, defina B : E → R pondo B · w = + ∗ hb, wi. Mostre que B = B (BB∗ )−1 para concluir que B+ : R → E cumpre B+ · 1 = b/|b|2 .

16.18. Sejam A : R → E e B : E → R definidas por A · 1 = a, B · w = ˜ vetores fixados de tal modo que ha, bi = hb, wi, onde a, b ∈ E sao 6 0. + + + Prove que as transformac¸o˜ es lineares (BA) : R → R e A B : R → R ˜ dadas por sao (BA)+ · 1 =

1 ha, bi

e (A+ B+ ) · 1 =

ha, bi . |a|2 · |b|2

Conclua que, em geral, se tem (BA)+ 6= A+ B+ . Dˆe um exemplo concreto desta desigualdade, com A : R → R2 e B : R2 → R.

˜ dos dois exerc´ıcios anteriores, prove que 16.19. Com a notac¸ao + + + (AB) = B A .

Se¸c˜ ao 16

Pseudo-inversa

203

˜ linear de posto 1 dada por 16.20. Seja A : E → F a transformac¸ao ˜ vetores 6= 0. Sabendo que Av = hv, ai b, onde a ∈ E e b ∈ F sao A∗ w = hw, bi a para todo w ∈ F (cfr. Exerc´ıcio 11.17), mostre que A+ w =

hw, bi ·a |a|2 |b|2

para todo w ∈ F.

16.21. Sejam A : Rm → Rn sobrejetiva e B : Rn → Rm injetiva. Prove ˜ do Exerc´ıcio 16.19.) que (BA)+ = A+ B+ . (Generalizac¸ao

˜ P : E → E e´ ortogonal se, e somente se, 16.22. Prove que a projec¸ao P+ = P.

16.23. Use o Exerc´ıcio 16.20 para calcular a pseudo-inversa da ˜ linear A : R2 → R3 que tem a matriz transformac¸ao   1 3 a = 4 12 . 1 3 16.24. Sejam v1 , v2 , v3 , v4 , v5 ∈ R4 as colunas de uma matriz [aij ] ∈ M(4 × 5). Suponha que v1 e v2 sejam L.I. e que v3 = b13 v1 + b23 v2 , v4 = b14 v1 + b24 v2 , v5 = b15 v1 + b25 v2 . Prove que     a11 a12  a11 a12 a13 a14 a15    a21 a22 a23 a24 a25   = a21 a22  1 0 b13 b14 b15 .  a31 a32  0 1 b23 b24 b25 a31 a32 a33 a34 a35  a41 a42 a41 a42 a43 a44 a45

Mostre que este e´ um m´etodo geral para exprimir toda matriz m × n de posto r como produto de uma matriz m × r por uma matriz r × n, ´ ambas de posto (maximo) igual a r. Compare com o Exerc´ıcio 6.29, ˜ matricial. Mostre que as matrizes 4 × do qual esta e´ uma versao ˜ natural daquele 2 e 2 × 5 acima foram obtidas a partir da soluc¸ao exerc´ıcio. Deduza da´ı (com aux´ılio do Exerc´ıcio 16.21) um processo para calcular a pseudo-inversa de qualquer matriz.

17 T´ opicos Matriciais

Salvo o item C e a observa¸cao ˜ final do item G, os assuntos tratados nesta se¸cao ˜ nao ˜ serao ˜ necessarios ´ para entender as seguintes. Alguns deles sao ˜ tradu¸co˜ es, para a linguagem das matrizes, de teoremas e m´etodos apresentados nas se¸co˜ es precedentes, outros sao ˜ t´opicos matriciais interessantes em si mesmos ou temas classicos ´ do calculo ´ matricial que se tˆem revelado uteis, ´ especialmente sob o ponto de vista computacional.

17.A Matrizes de Gram ˜ finita, munido de produto Seja E um espac¸o vetorial de dimensao interno. A matriz de Gram dos vetores v1 , . . . , vk ∈ E e´ a matriz g = [gij ] ∈ M(k × k), onde gij = hvi , vj i. Quando precisarmos ser mais expl´ıcitos, escreveremos g = g(v1 , . . . , vk ). Dada uma base U = {u1 , . . . , un } ⊂ E, seja a = [aij ] ∈ M(n × k) a ˜ a` base U , isto e´ : matriz das coordenadas dos vetores vj em relac¸ao vj = a1j u1 + · · · + anj un

para j = 1, . . . , k.

Seja ainda h = [hij ] ∈ M(n × n) a matriz de Gram da base U , isto e´ , ˜ para i, j = 1, . . . , k, temos (escrevendo mij para hij = hui , uj i. Entao,

Se¸c˜ ao 17

T´ opicos Matriciais

205

indicar o ij-´esimo elemento de uma matriz m): * n + n n X X X ari asj hrs gij = hvi , vj i = asj us = ari ur , =

ari

r=1

r,s=1

s=1

r=1

n X

n X

hrs asj

s=1

!

=

n X

(aT )ir (ha)rj = (aT ha)ij

r=1

portanto g = aT ha. Em particular, se tomarmos uma base ortonormal {u1 , . . . , un } ⊂ E, teremos h = In , portanto a matriz de Gram g se escreve como g = g(v1 , . . . , vk ) = aT · a, ˜ a uma onde a e´ a matriz das coordenadas dos vetores vj em relac¸ao base ortonormal de E. Da´ı resultam: 1) Toda matriz de Gram e´ nao-negativa; ˜ 2) A matriz de Gram g = g(v1 , . . . , vk ) e´ positiva (isto e´ , invert´ıvel) se, e somente se, os vetores v1 , . . . , vk sao ˜ L.I. . Reciprocamente, se uma matriz g = [gij ] ∈ M(k × k) admite uma ˜ do tipo g = aT · a, onde a = [aij ] ∈ M(n × k) entao, ˜ decomposic¸ao tomando uma base ortonormal {u1 , . . . , un } ⊂ E e escrevendo vj =

n X

aij ui

(j = 1, . . . , k),

i=1

obtemos vetores v1 , . . . , vk ∈ E tais que hvi , vj i =

n X k=1

aki akj = (aT · a)ij = gij ,

logo g = g(v1 , . . . , vk ) e´ a matriz de Gram dos vetores v1 , . . . , vk . Isto leva a mais uma propriedade das matrizes de Gram: 3) Toda matriz nao-negativa ˜ g = [gij ] ∈ M(k × k) e´ a matriz de Gram de uma lista de vetores v1 , . . . , vk ∈ E. ˜ Com efeito, existe a ∈ M(k×k) sim´etrica (e nao-negativa) tal que 2 T g = a = a · a (Teorema 13.8).

206

T´ opicos Matriciais

Se¸c˜ ao 17

17.B Matrizes Triangulares Uma matriz t = [tij ] ∈ M(n × n) diz-se triangular superior quando tij = 0 para i > j e triangular inferior quando tij = 0 para i < j. Trataremos primordialmente de matrizes triangulares superio˜ analogas ´ res. As propriedades das triangulares inferiores sao e se provam analogamente. Uma matriz triangular superior e´ a matriz de um operador linear T : Rn → Rn tal que hei , Tej i = 0 para i > j. Se chamarmos de Fi ⊂ Rn o subespac¸o vetorial formado pelos vetores (x1 , . . . , xi , . . . , 0) cujas ´ ˜ nulas, a matriz do operador T : Rn → ultimas n − i coordenadas sao Rn (na base canˆonica) e´ triangular superior se, e somente se, todos ˜ invariantes por T . os subespac¸os Fo ⊂ · · · ⊂ Fn sao ˜ hei , Tej i = 0 para i > j significa que, para Com efeito, a condic¸ao ´ ˜ nulas, ou seja, cada j, as ultimas n − j coordenadas do vetor Tej sao que Tej ∈ Fj para j = 1, . . . , n. Isto e´ o mesmo que dizer que T (Fj ) ⊂ Fj para todo j. Seguem-se algumas propriedades das matrizes triangulares superiores: 1) O produto de duas matrizes triangulares superiores e´ ainda uma matriz triangular superior. Com efeito, se o subespac¸o Fi ⊂ Rn e´ invariante por cada um dos ˜ Fi e´ invariante pelo produto ST . operadores S, T : Rn → Rn entao 2) Uma matriz triangular superior t = [tij ] e´ invert´ıvel se, e somente se, os elementos tii da sua diagonal sao ˜ todos diferentes de zero. No caso afirmativo, a inversa t−1 e´ triangular superior e os elementos de sua diagonal sao ˜ t−1 ii .

˜ 6= 0, dado um vetor nao-nulo ˜ Com efeito, se todos os tii sao v ∈ Rn n provemos que Tv 6= 0 (onde T e´ o operador de R cuja matriz na base canˆonica e´ t). Seja v = x1 e1 + · · · + xr er , com xr 6= 0. Como her , Tei i = 0 para i < r, temos X her , Tvi = her , xi Tei i = xr her , Ter i = xr trr , i≤r

portanto her , Tvi = 6 0, e da´ı Tv 6= 0. Assim t e´ invert´ıvel. ˜ para cada Reciprocamente, se t (ou seja, T ) e´ invert´ıvel entao, ˜ T : Fi → Fi , de T ao subespac¸o Fi , e´ tamb´em i = 1, . . . , n, a restric¸ao

Se¸c˜ ao 17

T´ opicos Matriciais

207

invert´ıvel, logo sobrejetiva. Se fosse tii = hei , Tei i = 0, ter´ıamos, como acabamos de ver, para todo v = x1 e1 + · · · + xi ei ∈ Fi , hei , Tvi = xi tii = 0, logo Tv ∈ Fi−1 . Isto significa que T (Fi ) ⊂ Fi−1 , contradizendo ˜ diferentes a sobrejetividade de T : Fi → Fi . Portanto todos os tii sao de zero. Se a matriz triangular superior t e´ invert´ıvel, o operador linear T : Rn → Rn tamb´em e´ . Cada um dos subespac¸os Fi = S(e1 , . . . , ei ) ⊂ Rn sendo invariante por T e´ tamb´em invariante por T −1 . (Com efeito, A(F) ⊂ F ⇒ A(F) = F ⇒ A−1 (F) = F.) Logo a matriz t−1 , do operador T −1 , e´ tamb´em triangular superior. Escrevendo t−1 = [sij ], ´ para cada i = 1, . . . , n: a igualdade t−1 t = In nos da, −1

1 = (t t)ii =

n X

sik tki = sii tii ,

k=1

pois sik = 0 se i > k e tki = 0 se k > i. Logo sii = 1/tii . 3) Os autovalores de uma matriz triangular superior t = [tij ] ∈ M(n × n) sao ˜ os elementos tii da sua diagonal. ˜ ˜ aqueles do operador Por definic¸ao, os autovalores de t sao n n T : R → R cuja matriz na base canˆonica e´ t. Em primeiro lugar, se λ e´ um autovalor de t, isto e´ , se existe n 6= 0 em Rn tal que Tv = λ · v, seja v = x1 e1 + · · · + xr er , com xr 6= 0. ˜ como her , Tei i = 0 se i < r, temos Entao, λxr = her , λvi = her , Tvi

= her , x1 Te1 + · · · + xr Ter i

= her , xr Ter i = trr xr .

´ Segue-se que λ = trr . Assim, somente os numeros tii podem ser autovalores de T . ˜ de fato, autovalores de t. Com Em segundo lugar, todos os tii sao, efeito, a matriz t − tii In e´ triangular superior e o i-´esimo elemento ˜ e´ invert´ıvel. Consequentemente, ¨ de sua diagonal e´ zero, logo nao tii e´ um autovalor de t. 4) Seja U = {u1 , . . . , un } ⊂ E uma base ortonormal, obtida pelo processo de Gram-Schmidt a partir da base V = {v1 , . . . , vn } ⊂ E. A matriz de passagem de V para U e´ triangular superior e seus autovalores sao ˜ todos positivos.

208

T´ opicos Matriciais

Se¸c˜ ao 17

Com efeito, escrevendo uj =

n X

pij vi ,

i=1

sabemos que cada uj pertence ao subespac¸o vetorial gerado por v1 , . . . , vj , logo uj = p1j v1 + · · · + pjj vj . Isto mostra que a matriz de passagem p = [pij ] ∈ M(n × n) e´ triangular superior. Al´em disso, como uj = |wj |−1 wj , onde o vetor wj tem a forma wj = vj −

X

αij vi ,

i<j

vemos que pjj = |wj |−1 e´ positivo, para cada j = 1, . . . , n. Como vimos ´ ˜ os autovalores da matriz p. acima, esses numeros pjj sao

˜ de Cholesky 17.C Decomposic¸ao Mostraremos que toda matriz positiva a = [aij ] ∈ M(n × n) pode ser expressa como o produto a = tT · t, onde t ∈ M(n × n) e´ uma matriz ˜ todos positivos. triangular superior cujos elementos da diagonal sao ˜ a = tT · t chama-se a decomposi¸cao A expressao ˜ de Cholesky da matriz a. Mais adiante (17.G) daremos outra prova da existˆencia da de˜ de Cholesky, por um m´etodo que permite obter a matriz composic¸ao t por escalonamento a partir de a. ˜ a = tT ·t Agora, demonstraremos a possibilidade da decomposic¸ao usando Gram-Schmidt e a existˆencia da raiz quadrada de a quando a > 0 (isto e´ , quando a e´ positiva). Como vimos acima (17.A) existem vetores v1 , . . . , vn ∈ Rn tais que aij = hvi , vj i, ou seja, a = g(v1 , . . . , vn ) e´ a matriz de Gram dos vetores v1 , . . . , vn , os quais formam uma base de Rn , pois a > 0. Pelo processo de Gram-Schmidt, obtemos uma base ortonormal {u1 , . . . , un } ⊂ Rn a partir de v1 , . . . , vn . Para i, j = 1, . . . , n, temos ui =

X r

pri vr ,

uj =

X

psj vs ,

s

onde a matriz de passagem p=[pij ] e´ triangular superior, com pii >0

Se¸c˜ ao 17

T´ opicos Matriciais

209

para todo i. (17.B.) Usando o s´ımbolo de Kronecker δij , temos δij = hui , uj i =

n X

r,s=1

pri psj hvr , vs i =

n X

pri ars psj ,

r,s=1

logo pT ap = In . Pondo t = p−1 , obtemos a = tT · t.

˜ de Cholesky e´ unica. ´ A decomposic¸ao Noutras palavras, se s e t ˜ matrizes triangulares superiores n × n com diagonais positivas sao ˜ s = t. e sT · s = tT · t entao

Com efeito, de sT .s = tT .t resulta st−1 = (sT )−1 .tT . Como o pri´ meiro membro desta ultima igualdade e´ uma matriz triangular superior e o segundo e´ triangular inferior, conclu´ımos que d = st−1 = (sT )−1 .tT e´ uma matriz diagonal, com dii > 0 (e dij = 0 se i 6= j). Segue-se imediatamente das igualdades acima que s = dt e t = ds. Olhando para os elementos da diagonal, temos sii = dii tii e tii = dii sii . Como sii > 0 e tii > 0, isto implica dii = 1, logo d = In e s = t.

˜ qr 17.D A Decomposic¸ao ˜ matricial do processo de Gram-Schmidt. Esta e´ uma interpretac¸ao Segundo ela, toda matriz invert´ıvel a = [aij ] ∈ M(n × n) admite uma decomposi¸cao ˜ do tipo a = qr, onde q e´ ortogonal e r e´ triangular superior, com elementos positivos na diagonal. Para chegar a este resultado, chamemos de v1 , . . . , vn as colunas da matriz a e de U = {u1 , . . . , un } ⊂ Rn a base ortonormal obtida dos vi pelo processo de Gram-Schmidt. Como sabemos, a matriz p = [pij ] de passagem da base V = {v1 , . . . , vn } para a base U e´ triangular superior, com elementos positivos na diagonal. Al´em disso, a matriz ˜ os vetores uj = (q1j , q2j , . . . , qnj ), e´ ortoq = [qij ], cujas colunas sao gonal. Tomando a i-´esima P coordenada de ambos os membros da igualdade vetorial uj = pkj vk , obtemos k

qij =

n X k=1

pkj aik =

n X k=1

aik pkj = (ap)ij ,

210

T´ opicos Matriciais

Se¸c˜ ao 17

para quaisquer i, j = 1, . . . , n. Logo q = ap. A matriz r = p−1 e´ , como vimos acima, (17.B), triangular superior com elementos positivos na diagonal. De ap = q resulta imediatamente a = qr. ˜ unicas ´ ˜ Dada a matriz invert´ıvel a ∈ M(n × n), sao Observac¸ao as matrizes q, r tais que a = qr, q e´ ortogonal, r e´ triangular superior ˜ positivos. Com efeito, a = qr e os elementos de sua diagonal sao escreve-se tamb´em como ap = q, onde p = r−1 . Isto quer dizer que p e´ a matriz de passagem da base V = {v1 , . . . , vn } ⊂ Rn , formada pelas colunas de a, para a base ortonormal U = {u1 , . . . , un } ⊂ Rn , dada pelas colunas de q. Ora, as quatro condic¸o˜ es seguintes implicam que cada uj e´ determinado univocamente a partir de v1 , . . . , vj : 1) uj = p1j v1 + p2j v2 + · · · + pjj vj ; 2) uj e´ ortogonal a v1 , . . . , vj−1 ; 3) |uj | = 1; 4) pjj > 0. Com efeito, 1) diz que uj pertence ao subespac¸o F ⊂ Rn gerado por v1 , . . . , vj . 2) diz que uj pertence a reta R, complemento ortogonal de {v1 , . . . , vj−1 } no subespac¸o F. Ja´ 3) restringe uj a ser um dos 2 vetores ´ ´ unitarios da reta R. E, finalmente, 4) diz que uj e´ o vetor unitario de R tal que huj , vj i e´ positivo. ˜ 1) diz que a matriz p e´ triangular superior. 2) e 3) diA condic¸ao zem que a matriz q e´ ortogonal, enquanto 4) afirma que os elementos ˜ positivos. Juntas, elas garantem a unicidade da diagonal de p sao de q e portanto a unicidade de p = a−1 q. ˜ acima estabelece tamb´em a unicidade do processo A observac¸ao ˜ de que cada uj pertenc¸a ao subde Gram-Schmidt sob a condic¸ao espac¸o gerado por v1 , . . . , vj e cumpra huj , vj i > 0 (al´em, naturalmente, de serem u1 , . . . , uj ortonormais). Em resumo: a igualdade a = qr significa que as colunas de q formam a base ortonormal de Rn obtida das colunas de a por GramSchmidt e r e´ a matriz de passagem das colunas de q para as colunas de a.

Se¸c˜ ao 17

T´ opicos Matriciais

211

˜ ˜ Polar e Valores 17.E Diagonalizac¸ao, Decomposic¸ao Singulares ´ O Corolario do Teorema 12.2 e o Teorema Espectral 13.6, quando formulados em termos de matrizes, apresentam as seguintes vers˜oes: 1) Se a matriz quadrada a ∈ M(n × n) possui n autovalores diferentes entao ˜ existe uma matriz invert´ıvel p ∈ M(n × n) tal que p−1 ap = d e´ uma matriz diagonal. Os elementos da diagonal de d sao ˜ os autovalores de a. 2) Se a matriz a ∈ M(n × n) e´ sim´etrica entao ˜ existe uma matriz ortogonal q ∈ M(n × n) tal que qT aq = d e´ uma matriz diagonal. Os elementos da diagonal de d sao ˜ os autovalores de a. Ja´ o Teorema 14.4 assume a seguinte forma: 3) Toda matriz quadrada a ∈ M(n × n) se exprime como produto a = pu, onde p ∈ M(n × n) e´ uma matriz nao-negativa ˜ e u e´ ortogonal. ˜ matricial abaixo: Finalmente, o Teorema 13.10 tem a versao 4) Para toda matriz a ∈ M(m × n) existem matrizes ortogonais p ∈ M(m×m), q ∈ M(n×n), tais que paq = d, onde d ∈ M(m×n) e´ uma matriz diagonal, d = [dij ], isto e´ , dij = 0 se i 6= j. Para i = 1, . . . , r = posto de a, tem-se dii = σi > 0, σ2i e´ um autovalor de aT a (e de aaT ) e, para i > r, dii = 0. Equivalentemente, podemos escrever a = pT dqT ou, mudando ˜ a = pdq. Esta se chama a decomposi¸cao de notac¸ao, ˜ de a a valores ˜ singulares (singular value decomposition), pois os elementos nao˜ os valores singulares de a, ou seja, nulos σi da diagonal de d sao σi > 0 para todo i = 1, . . . , n e, al´em disso, σ21 , . . . , σ2r ˜ autovalores de aT a. sao Se a ∈ M(4 × 5) e tem posto 3 forma, com λ1 > 0, λ2 > 0 e λ3 > 0:  λ1 0  0 λ2 d= 0 0 0 0

˜ a matriz d tem a seguinte entao 0 0 λ3 0

0 0 0 0

 0 0  . 0 0

212

T´ opicos Matriciais

Se¸c˜ ao 17

˜ lu 17.F A Decomposic¸ao Cada uma das trˆes operac¸o˜ es elementares sobre as linhas de uma ˜ 9, pode ser interpretada como a mulmatriz, introduzidas na Sec¸ao ˜ a` esquerda por uma matriz invert´ıvel de tipo especial, chatiplicac¸ao mada uma matriz elementar. Mais precisamente, uma matriz elementar m × m e´ uma matriz ˜ de uma operac¸ao ˜ elementar a` matriz idenque resulta da aplicac¸ao tidade Im . Ha´ portanto 3 tipos de matrizes elementares. Vejamos alguns exemplos no caso 4 × 4: 

0 0  1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

 0 0  0 1

,



1 0  0 α

0 1 0 0

0 0 1 0

 0 0  0 1

,



1 0  0 0

0 α 0 0

0 0 1 0

 0 0  0 1

.

As matrizes acima se obtˆem a partir de I4 mediante as operac¸o˜ es L1 ↔ L3 , L4 + αL1 e αL2 respectivamente.

˜ elementar a uma matriz Afirmamos que aplicar uma operac¸ao ´ com m linhas e´ o mesmo que multiplica-la a` esquerda pela matriz ˜ as ` linhas de Im . que resulta de aplicar a mesma operac¸ao ˜ (cuja verificac¸ao ˜ deixamos Isto decorre da seguinte observac¸ao ′ ˜ a cargo do leitor): se a 7→ a simboliza uma determinada operac¸ao ˜ para toda b ∈ M(m × elementar sobre matrizes com m linhas entao, m), tem-se (ba)′ = b′ · a. Admitido este fato, tomamos m = I′m e vemos que, para toda matriz a com m linhas, vale a′ = (Im · a)′ = I′m · a = m · a. ˜ de Gauss para reduzir uma maPortanto o m´etodo de eliminac¸ao ´ triz de m linhas a` forma escalonada consiste em multiplica-la sucessivamente a` esquerda por matrizes elementares do tipo 1 (transposi˜ de duas linhas) ou do tipo 2 (subtrair de uma linha um multiplo ´ c¸ao de outra linha). Uma matriz elementar do tipo 2, que corresponda a`

Se¸c˜ ao 17

T´ opicos Matriciais

213

˜ Li − αLj , com j < i, tem a forma abaixo: operac¸ao   1   ..   .     1     .. ..   . .     −α . . . 1     ..   . 1

˜ indicados fora da diagonal sao ˜ nulos. O numero ´ Os elementos nao −α esta´ na linha i e na coluna j. A fim de tornar igual a zero o ˜ elemento aij da matriz a = [aij ] mediante essa pr´e-multiplicac¸ao, deve-se tomar α = aij /ajj . O elemento ajj , que se sup˜oe 6= 0, chamase o pivˆo. Para eliminar (tornar iguais a zero) todos os elementos ´ abaixo da diagonal na coluna j da matriz a, deve-se pr´e-multiplica-la pelo produto das m−j matrizes da forma acima que se obtˆem fazendo sucessivamente i = j + 1, . . . , m. Isto equivale a pr´e-multiplicar pela matriz   1  ..    .     1     −αj+1,j mj =  (*)        .. ..  .  . −αmj . . . 1 (com os α’s na j-´esima coluna), onde αrj = arj /ajj . m = 4 e j = 1, vemos facilmente que      1 1 0 0 0 1 0 0 0   0 −α2 1 0 0  0 1 0 0  ·   ·    0 0 1 0 −α3 0 1 0  0 −α4 0 0 0 1 0 0 0 1   1 0 0 0 −α2 1 0 0  =  −α3 0 1 0 . −α4 0 0 1

Por exemplo, se 0 1 0 0

0 0 1 0

 0 0  0 1

214

T´ opicos Matriciais

Se¸c˜ ao 17

Suponhamos que, durante o processo de escalonamento de uma ˜ de dada matriz, nunca haja necessidade de se efetuar transposic¸ao ˜ podemos assegurar que existem matrizes m1 , . . . , mm linhas. Entao do tipo (*) acima, tais que mm . . . m2 m1 a = u, onde u e´ uma matriz escalonada. Se a for uma matriz quadrada, ˜ u prov´em de upper trianu e´ triangular superior. (Da´ı a notac¸ao: ˜ requerer gular, em inglˆes.) Se u = [uij ] ∈ M(m × n) (al´em de nao ´ transposic¸o˜ es de linha em seu escalonamento) tem posto maximo (m ˜ o primeiro elemento nao-nulo ˜ ou n) entao de sua i-´esima linha e´ uii . ˜ os pivˆos, Portanto, neste caso, os elementos uii da diagonal de u sao ˜ diferentes de zero. logo sao Evidentemente, toda matriz elementar e´ invert´ıvel, logo toda matriz mj do tipo (*) acima possui uma inversa e e´ claro que 

m−1 j

    =    



1 ..

. 1 αj+1,j .. . αmj

..

. 1

        

˜ que toda matriz a cujo escalonamento nao ˜ requer Segue-se entao transposic¸o˜ es de linhas se escreve como −1 −1 a = m−1 1 m2 . . . mm u = lu

onde as mj tˆem a forma (*) e u e´ escalonada. ´ Agora ocorre um fato notavel. Embora o produto mm . . . m2 m1 ˜ tenha nenhuma expressao ˜ especial, vale a igualdade nao   1   α21 1     .. −1 −1 −1  ,  . l = m1 m2 . . . mm =  α31 α32    .. ..   . . 1 αm1 αm2 αm,m−1 1

Se¸c˜ ao 17

T´ opicos Matriciais (j)

215

(j)

˜ indicamos com a(j) = mj . . . m1 a onde αij = aij /ajj . Nesta notac¸ao, ˜ dos elementos abaixo da matriz que se obt´em depois da eliminac¸ao diagonal na j-´esima coluna. (Portanto j = 0, 1, . . . , m − 1, e a(0) = a.) ˜ houve necessidade de efetuar transEstamos admitindo que nao ˜ de linhas, ou seja, que em todas as etapas se tem o pivˆo posic¸ao (a(j) )jj 6= 0. ˜ que, mediante essa hip´otese, a matriz a se esConclu´ımos entao creve como um produto a = lu, onde l ∈ M(m × m) e´ uma matriz triangular inferior (lower triangular) com elementos diagonais todos iguais a 1 e u e´ uma matriz esca˜ u ∈ M(m × m) lonada. Se a for uma matriz quadrada m × m entao sera´ uma matriz triangular superior. Esta e´ a chamada decomposi¸cao ˜ lu da matriz a. ´ E importante observar os seguintes fatos a respeito da decompo˜ a = lu. sic¸ao ˜ fornece diretamente os ele1o¯ ) O m´etodo gaussiano de eliminac¸ao mentos das matrizes l e u. ˜ a = lu, a soluc¸ao ˜ do sistema 2o¯ ) Quando se disp˜oe da decomposic¸ao ax = b, com b ∈ M(m × 1), se reduz a resolver o sistema ly = b e, depois de obtida y, o sistema ux = y. O primeiro se resolve de cima para baixo e o segundo de baixo para cima, pois l e´ triangular inferior e u e´ escalonada. ˜ a=lu ocorre 3o¯ ) A maior vantagem computacional da decomposic¸ao ´ quando se tem de resolver um grande numero de equac¸o˜ es ax = b, com a mesma matriz a e muitos vetores b. Dispondo da decom˜ a = lu nao ˜ e´ preciso repetir muitas vezes o processo de posic¸ao ˜ gaussiana. eliminac¸ao ˜ se sabe quais sao ˜ (nem mesmo se vao ˜ ser ne4o¯ ) A priori, nao ´ cessarias) as transposic¸o˜ es de linhas durante o processo de escalonamento de uma matriz a. Entretanto, depois de efetuado o processo, ˜ de todas as transposic¸o˜ es feitas. Efetuando, na dispomos da relac¸ao mesma ordem em que foram feitas, todas essas transposic¸o˜ es nas linhas da matriz identidade, obtemos uma matriz p ∈ M(m × m), que se chama uma matriz de permuta¸cao. ˜ O produto pa corresponde a efetuar sobre a matriz a, antecipadamente, todas as transposic¸o˜ es ´ de linhas que seriam necessarias durante o escalonamento. Por-

216

T´ opicos Matriciais

Se¸c˜ ao 17

tanto a matriz pa pode ser escalonada usando apenas operac¸o˜ es ele˜ pa = lu. mentares do tipo Li − αLj . Assim, tem-se a decomposic¸ao o ˜ suficiente (mas nao ˜ necessaria) ´ para que uma 5 ¯ ) Uma condic¸ao matriz a ∈ M(m × n) possa ser escalonada sem transposic¸o˜ es de li˜ A = lu, e´ que suas submanhas, portanto admita uma decomposic¸ao ´ trizes principais sejam invert´ıveis. (Para todo numero natural r ≤ min{m, n}, a submatriz principal de ordem r da matriz a = [aij ] e´ a matriz ar ∈ M(r × r) formada pelos elementos aij com 1 ≤ i ≤ r e 1 ≤ j ≤ r.) Provemos este fato no caso de uma matriz a ∈ M(3 × 4). O argu˜ se torna mais complimento no caso geral e´ o mesmo mas a notac¸ao cada e pode obscurecer a id´eia, que e´ extremamente simples. Seja   a11 a12 a13 a14 a = a21 a22 a23 a24  . a31 a32 a33 a34

Como a matriz principal [a11 ] e´ invert´ıvel, temos a11 6= 0. Usando a11 como pivˆo, efetuamos as operac¸o˜ es elementares L2 −

a21 L1 a11

e L3 −

a31 L1 a11

sobre a matriz a, obtendo a nova matriz   a11 a12 a13 a14 a(1) =  0 b22 b23 b24  . 0 b32 b33 b34

A matriz



a11 a12 0 b22



resulta da matriz principal 

a a12 a2 = 11 a21 a22



˜ da operac¸ao ˜ elementar L2 − (a21 /a11 )L1 , logo e´ inpela aplicac¸ao vert´ıvel. Como e´ triangular, isto obriga b22 6= 0. Assim podemos (1) ˜ geral, seria a22 em vez de b22 .) tomar b22 como pivˆo. (Na notac¸ao

Se¸c˜ ao 17

T´ opicos Matriciais

˜ L2 − (b32 /b22 )L2 a` Aplicando a operac¸ao triz escalonada  a11 a12 (2)  a = u = 0 b22 0 0

217

matriz a(1) chegamos a` ma a13 a14 b23 b24  c33 c34

O mesmo racioc´ınio se aplica em geral. Exemplo 17.1. Considerando o escalonamento  1 2 3 4 5 6 7 8  9 10 12 12 

L2 −5L1 L3 −9L1

L3 −2L2

−→

˜ obtemos a decomposic¸ao

−→

 1 2 3 4 0 −4 −8 −12 0 −8 −15 −24 

L3 −2L2

−→

 1 2 3 4 0 −4 −8 −12 0 0 1 0 

     1 2 3 4 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8  = 5 1 0 0 −4 −8 −12 , 0 0 1 0 9 2 1 9 10 12 12 

que exprime a matriz do primeiro membro como um produto do tipo lu, de uma matriz triangular inferior com diagonal (1, 1, 1) por uma matriz escalonada com pivˆos 1, −4, 1. (Todos 6= 0 pois a matriz dada ´ tem posto maximo.) Exemplo 17.2. Examinando, no Exemplo 9.4, as operac¸o˜ es ele˜ ocorrem mais mentares efetuadas a partir da segunda, quando nao ˜ do tipo transposic¸o˜ es de linhas, obtemos a seguinte decomposic¸ao a = lu:       1 0 0 0 1 1 3 0 2 1 3 0  0 1 0 0  0 1  0 1 2 3 2 3        3 4 2 0 =  3 5 1 0 0 0 − 15 − 15  2 2 2 2 4 2 0 1 0 0 0 7 2 0 54 1

218

T´ opicos Matriciais

Se¸c˜ ao 17

17.G Matrizes Positivas: Cholesky versus lu Quando a matriz a = [aij ] ∈ M(m × m) e´ positiva, afirmamos que ˜ tamb´em todas as submatrizes principais ar = [aij ], 1 ≤ i, j ≤ r, sao ˜ positivas, portanto invert´ıveis. Com efeito, dado o vetor nao-nulo v = (x1 . . . , xr ), tomamos v = (x1 , . . . , xm ), com xi = xi para i = 1, . . . , r ˜ v e´ um vetor nao-nulo ˜ e xi = 0 para i = r + 1, . . . , m. Entao em Rm , logo m r X X aij xi xj > 0. aij xi xj = i,j=1

i,j=1

Portanto o processo de escalonamento, quando aplicado a uma ma˜ requer transposic¸o˜ es de linhas. Assim, tem-se a triz positiva a, nao ˜ a = lu. decomposic¸ao Vemos que toda matriz positiva possui duas decomposic¸o˜ es: Cho´ natural indagar qual a relac¸ao ˜ entre elas. Mostraremos lesky e lu. E ˜ muito pr´oximas: qualquer delas se obt´em a partir da outra que sao de modo simples. Antes por´em precisamos estabelecer a unicidade abaixo. ˜ existe uma unica ´ Se a matriz a e´ invert´ıvel entao maneira de escrevˆe-la como um produto a = lu, onde l e´ triangular inferior, com os elementos da diagonal todos iguais a 1, e u e´ triangular superior. Com efeito, sendo a invert´ıvel, a igualdade a = lu obriga l e u a serem invert´ıveis. Portanto −1 a = l1 u1 = l2 u2 ⇒ l−1 2 l1 = u2 u1 .

´ Ora, o primeiro membro da ultima igualdade e´ uma matriz triangular inferior e o segundo membro e´ triangular superior. Logo ambas ˜ matrizes diagonais. Como os elementos diagonais de l sao ˜ todos sao iguais a 1, segue-se que l1 = l2 = Im , portanto u1 = u2 e fica provada ˜ a = lu no caso de a ser invert´ıvel. a unicidade da decomposic¸ao Voltemos a` matriz positiva a ∈ M(m × m), que admite as decomposic¸o˜ es a = tT .t = l.u, onde l e´ triangular inferior com 1’s na dia˜ triangulares superiores e todos os elementos da diagonal, t e u sao ˜ positivos. Se indicarmos com d ∈ M(m × m) a matriz gonal de t sao ˜ a = (tT d−1 )(dt), onde tT d−1 e´ triangudiagonal com dii = tii , entao lar inferior com 1’s na diagonal e dt e´ triangular superior. Segue-se da unicidade acima provada que l = tT d−1 e u = dt, mostrando as-

Se¸c˜ ao 17

T´ opicos Matriciais

219

˜ a = lu a partir da decomposic¸ao ˜ de sim como obter a decomposic¸ao Cholesky a = tT .t. ˜ u = dt mostra, em particular que se a matriz a e´ A expressao ˜ em sua decomposic¸ao ˜ a = lu, os elementos uii da positiva entao, ˜ gaussiana) sao ˜ todos diagonal de u (isto e´ , os pivˆos da eliminac¸ao ˜ lu implica que esses pivˆos positivos. A unicidade da decomposic¸ao ˜ univocamente determinados a partir da matriz a. sao ˜ de Cholesky Mostremos agora como se pode obter a decomposic¸ao ˜ a = lu. de uma matriz positiva a partir de sua decomposic¸ao Como uii > 0 para i = 1, . . . , m, podemos formar uma matriz √ ˜ escrevediagonal d = [dij ] pondo dij = 0 se i 6= j e dii = uii . Entao mos t = d−1 u. Evidentemente, a = (ld)(d−1 u). Portanto teremos a ˜ de Cholesky a = tT .t desde que provemos que tT = ld, decomposic¸ao ou seja, que uT .d−1 = ld. Ora, se tomarmos a transposta de ambos os membros da igualdade a = lu obteremos a = aT = uT lT , logo podemos escrever a = uT .d−2 .d2 .lT . Mas uT .d−2 e´ triangular inferior com 1’s na diagonal. (Na realidade, d foi definida com esse prop´osito.) E d2 lT e´ tri˜ a = boldlu, vem angular superior. Pela unicidade da decomposic¸ao uT .d−2 = l (e d2 .lT = u). Da´ı resulta uT .d−1 = ld, como quer´ıamos provar. ˜ de uma matriz posiEm suma: se a = lu e´ a decomposic¸ao ˜ de Cholesky e´ a = (ld)(d−1 u), onde d e´ a tiva, sua decomposic¸ao matriz diagonal formada pelas ra´ızes quadradas dos elementos (necesssariamente positivos) da diagonal de u. Isto nos da´ um m´etodo ´ ˜ de Cholesky, como veremos no pratico para obter a decomposic¸ao Exemplo 17.3. ˜ O argumento acima prova, na realidade, que se a e´ Observac¸ao ˜ todos positivos entao ˜ existe uma matriz sim´etrica cujos pivˆos sao ˜ a = tT .t, logo a e´ uma matriz positiva. (Observe uma decomposic¸ao que, os pivˆos sendo positivos, a matriz a e´ invert´ıvel.) Exemplo 17.3. Como exemplo de matriz positiva, tomemos a matriz de Gram dos vetores u = (1, 2, 1), v = (2, 1, 2), w = (1, 1, 2). Escalonando-se, obtemos       6 6 5 6 6 5 6 6 5 2 L − L 3 3 2 2 −L1 6 9 7 L−→ 0 3 0 3 2  2  −→ 5 L3 − 6 L1 5 7 6 0 2 11/6 0 0 1/2

220

T´ opicos Matriciais

Se¸c˜ ao 17

˜ lu: Isto nos fornece a decomposic¸ao       1 0 0 6 6 5 6 6 5 6 9 7  =  1 1 0  0 3 2  . 2 5 0 0 1/2 5 7 6 6 3 1

˜ de Cholesky, tomamos a matriz diagonal Para obter a decomposic¸ao √  6 √0 0 d= 0 3 √0  0 0 2/2

e calculamos

 √ 6 √0 1 0 0  3 tT = ld =  1 1 0  0 2 5 0 0 6 3 1 

 √ 6 0 0   √6 √ 3 0 =  √  2 2

√5 6

√2 3

 0 0 √  . 2 2

˜ a decomposic¸ao ˜ de Cholesky da matriz dada e´ Entao √    √   √ √ 0 6 √6 5/√6 6 6 5 √0 √6 6 9 7  =  6  3 √0   0 3 2/ √ √ 3 . √ 5 7 6 5/ 6 2/ 3 0 0 2/2 2/2

Exerc´ıcios 17.1. Prove que os vetores v1 , . . . , vk ∈ E geram um subespac¸o veto˜ r se, e somente se, a matriz de Gram g(v1 , . . . , vk ) rial de dimensao tem posto r. ˜ linear 17.2. Se dim E ≤ dim F, prove que existe uma transformac¸ao ortogonal A : E → F tal que Av1 = w1 , . . . , Avk = wk se, e somente se, ˜ iguais. as matrizes de Gram g(v1 , . . . , vk ) e g(w1 , . . . , wk ) sao

17.3. Sejam a ∈ M(n × n) uma matriz positiva e b ∈ M(n × m) uma matriz de posto n. Ache vetores v1 , . . . , vm ∈ Rn tais que g(v1 , . . . , vm ) = bT ab. 17.4. Prove que aT a e´ a matriz de Gram dos vetores-coluna de a.

Se¸c˜ ao 17

T´ opicos Matriciais

221

17.5. Um operador T : E → E chama-se triangularizavel ´ quando o espac¸o vetorial E possui uma base, relativamente a` qual a matriz de T e´ triangular. Prove: ´ (a) T e´ triangularizavel se, e somente se, existe uma cadeia ascendente {0} = Fo ⊂ F1 ⊂ · · · ⊂ Fn = E, de subespac¸os invariantes por T , com dim Fi = i (i = 0, . . . , n). ´ (b) T e´ triangularizavel se, e somente se, existe uma cadeia descendente E = Gn ⊃ · · · ⊃ G1 ⊃ Go = {0} de subespac¸os invariantes por T tais que dim Gi = i para i = 0, 1, . . . , n. (c) Se existe uma base de E na qual a matriz de T e´ triangular superior, existe tamb´em uma base de E na qual a matriz de T e´ triangular inferior. ´ ´ (d) T e´ triangularizavel se, e somente se, T ∗ e´ triangularizavel. 17.6. Seja t = [tij ] ∈ M(n × n) uma matriz triangular. Prove que os ˜ autovalores do operador T : Rn → elementos tii da diagonal de t sao n ´ R cuja matriz na base canˆonica e´ t. Conclua que t e´ diagonalizavel ˜ possuir elementos repetidos. quando sua diagonal nao 17.7. Seja A : R3 → R3 o operador definido por A(x, y, z) = (x + 2y + 3z, y + 2z, 3z). Obtenha dois autovetores L.I. para A e prove que ´ qualquer outro autovetor de A e´ multiplo de um desses dois. Conclua ˜ e´ diagonalizavel, ´ que A nao embora sua matriz seja triangular. 17.8. Considere o operador B : R3 → R3 , dado por B(x, y, z) = (x + 2z, y+3z, 4z), cuja matriz e´ triangular. Ache uma base de R3 formada por autovetores de B. 17.9. Dada a matriz positiva 

 1 2 a= , 2 5 determine



x y t= 0 z



˜ de Cholesky a = tT .t. de modo que se tenha a decomposic¸ao

222

T´ opicos Matriciais

Se¸c˜ ao 17

17.10. Use o m´etodo do exerc´ıcio anterior, de modo a obter a decom˜ de Cholesky da matriz positiva posic¸ao  3 4 6 a = 4 6 9  . 6 9 14 

` colunas da matriz 17.11. Aplicando o processo de Gram-Schmidt as 

 1 2 2 a = 3 3 4  , 4 −1 3 ˜ a = qr, onde q e´ ortogonal e r e´ triangular obtenha a decomposic¸ao superior, com elementos positivos na diagonal. 17.12. Mostre como obter, a partir dos teoremas demonstrados nas sec¸o˜ es anteriores, cada uma das matrizes cuja existˆencia e´ assegurada nos ´ıtens 1), 2), 3) e 4) de 17.E (Por exemplo, no item 1), se A : Rn → Rn e´ o operador cuja matriz na base canˆonica E ⊂ Rn e´ a ˜ p e´ a matriz cujas colunas sao ˜ os vetores de uma base ortoentao n normal U = {u1 , . . . , un } ⊂ R , formada por autovetores de A e d e´ a matriz diagonal formada pelos autovalores correspondentes.) 17.13. Dada a matriz 

 1 1 a= , 2 1 ˜ a = pdq a valores singulares. obtenha sua decomposic¸ao 17.14. Assinale V(erdadeiro) ou F(also) (

) Toda matriz quadrada escalonada e´ triangular superior.

(

) Toda matriz (quadrada) triangular superior e´ escalonada.

(

˜ verdadeiras quando se trata ) As duas afirmac¸o˜ es anteriores sao de matrizes invert´ıveis.

(

˜ do tipo a = lu entao ˜ ) Se a matriz a admite uma decomposic¸ao ˜ invert´ıveis. todas as submatrizes principais de a sao

Se¸c˜ ao 17

T´ opicos Matriciais

223

17.15. Prove que a matriz a=



 0 a b c

˜ do tipo a = lu se, e somente se, b = 0. admite uma decomposic¸ao ˜ lu das matrizes 17.16. Obtenha a decomposic¸ao     2 1 0 4 1 2 2 1 7 . e b = 4 5 a =  3 3 4 2 −8 −1 12 4 −1 3 ´ 17.17. Seja a ∈ M(m × n) uma matriz de posto maximo que admite ′ ˜ do tipo a = lu , onde l ∈ M(m × m) e´ triangular uma decomposic¸ao inferior, com elementos da diagonal todos iguais a 1, e u′ ∈ M(m×n) e´ escalonada. Prove que existem uma matriz diagonal invert´ıvel d ∈ M(m × m) e uma matriz escalonada u ∈ M(m × n), com pivˆos todos igual a 1, tais que a = ldu. ˜ lu da matriz do Exemplo 9.3. 17.18. Obtenha a decomposic¸ao ˜ lu, obtenha a decomposic¸ao ˜ de 17.19. A partir da decomposic¸ao Cholesky das matrizes positivas a = matriz de Gram dos vetores u = (1, 2, 1), v = (1, 1, 2), w = (2, 1, 3) e b = produto da matriz   1 1 1 1 1 2 1 1   m= 2 1 2 2  2 2 1 3 por sua transposta.

˜ da matriz 17.20. Foi visto no texto que se a = lu e´ a decomposic¸ao positiva a e d e´ a matriz diagonal formada pelas ra´ızes quadradas √ ˜ a = (ld) · (d−1 u) e´ a decomposic¸ao ˜ de dii = uii dos pivˆos entao Cholesky de a. Modifique ligeiramente este argumento para provar ˜ de Cholesky a = tT .t para qualquer que existe uma decomposic¸ao ˜ ˜ ha´ unicidade.) matriz nao-negativa a. (Mas agora nao

18 Formas Quadr´ aticas

Uma forma quadratica ´ num espa¸co vetorial E e´ uma fun¸cao ˜ que, em termos das coordenadas de um vetor relativamente a uma base de E, se exprime como um polinˆomio homogˆeneo do segundo grau. As formas quadraticas ´ ocorrem com grande destaque em problemas de otimiza¸cao ˜ (maximos ´ e m´ınimos), no estudo das superf´ıcies quadricas, ´ na Geometria Diferencial, na Mecanica, ˆ etc. Em todas essas situac¸ o˜ es, e´ relevante o conhecimento do sinal (positivo ou negativo) que a forma pode assumir ou, mais precisamente, dos seus autovalores. Nesta se¸cao, ˜ e´ feito um estudo conciso, por´em abrangente, dos principais pontos basicos ´ referentes a essas fun¸co˜ es e de suas rela¸co˜ es com os operadores lineares, finalizando com o m´etodo de Lagrange para diagonaliza¸cao ˜ e a classifica¸cao ˜ das superf´ıcies quadricas. ´ Sejam E, F espac¸os vetoriais. Uma forma bilinear b : E × F → R ˜ b(u, v), linear em cada uma das duas variaveis ´ e´ uma func¸ao u ∈ E, v ∈ F. Mais precisamente, para quaisquer u, u′ ∈ E, v, v′ ∈ F e α ∈ R devem valer: b(u + u′ , v) = b(u, v) + b(u′ , v); ′

′

b(u, v + v ) = b(u, v) + b(u, v );

b(αu, v) = αb(u, v) b(u, αv) = αb(u, v).

´ As operac¸o˜ es evidentes de soma e produto por um numero fazem do conjunto B(E × F) das formas bilineares b : E × F → R um espac¸o vetorial.

Se¸c˜ ao 18

Formas Quadr´ aticas

225

Tomando bases U = {u1 , . . . , um } ⊂ E e V = {v1 , . . . , vn } ⊂ F, os ´ numeros bij = b(ui , vj ) definem uma matriz b = [bij ] ∈ M(m × n), chamada a matriz da forma bilinear b relativamente as ` bases U , V. Conhecidos os valores bij = b(ui , vj ), os quais podem ser tomados arbitrariamente, a forma bilinear b : E × F → R fica inteiramente determinada pois, para u = Σxi ui ∈ E e v = Σyj vj ∈ F quaisquer, tem-se b(u, v) =

X

xi yj b(ui , vj ) =

i,j

X

1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

bij xi yj ,

i,j

A correspondˆencia que associa a cada forma bilinear b : E × F → R ` bases U ⊂ E, V ⊂ F (supossua matriz b = [bij ] relativamente as tas fixadas) e´ um isomorfismo entre os espac¸os vetoriais B(E × F) e ˜ mn. M(m × n). Segue-se que B(E × F) tem dimensao ′ ′ ′ Dadas novas bases U = {u1 , . . . , um } ⊂ E e V ′ = {v′1 , . . . , v′n } ⊂ F sejam n m X X ′ ′ qij vi pij ui , vj = uj = i=1

i=1

` bases e b′ij = b(u′i , v′j ). A matriz da forma bilinear b relativamente as ′ ′ ′ ′ U e V e´ b = [bij ] ∈ M(m × n). O teorema abaixo exprime b′ em ˜ de b e das matrizes de passagem p = [pij ] ∈ M(m × m), func¸ao q = [qij ] ∈ M(n × n). Teorema 18.1. As matrizes b e b′ , da forma bilinear b nas bases U , V e U ′ , V ′ respectivamente, se relacionam pela igualdade b′ = pT bq, onde p e´ a matriz de passagem de U para U ′ e q e´ a matriz de passagem de V para V ′ . ˜ Para todo i = 1, . . . , m e todo j = 1, . . . , n, temos Demonstrac¸ao: b′ij

= =

b(u′i , v′j ) X

=b

m X r=1

pri qsj brs =

r,s

logo b′ = pT bq.

pri ur ,

X r,s

n X s=1

qsj vs

! T

=

X r,s

pri brs qsj = (p bq)ij ,

pri qsj b(ur , vs )

226

Formas Quadr´ aticas

Se¸c˜ ao 18

Embora transformac¸o˜ es lineares e formas bilineares sejam am´ ˜ fixadas bases), vemos bas representaveis por matrizes (quando sao que, ao mudarem essas bases, a matriz de uma forma bilinear se ˜ linear. altera de maneira diferente daquela de uma transformac¸ao ´ Quando E = F, nos referiremos sempre (salvo aviso em contrario) a` matriz de uma forma bilinear b : E × E → R relativamente a uma ´ unica base U = {u1 , . . . , um } ⊂ E. Essa matriz e´ b = [bij ] ∈ M(m×m), onde bij = b(ui , uj ). ˜ a outra base U ′ ⊂ E Se b′ e´ a matriz da mesma forma b em relac¸ao ˜ b′ = pT bp, onde p e´ a matriz de passagem da base U para entao a base U ′ . A correspondˆencia b 7→ b define um isomorfismo entre B(E × E) e M(m × m), estabelecido com ajuda da base U . Dados u = Σxi ui e v = Σyi ui em E, se a matriz de b na base U e´ b = [bij ], tem-se m X bij xi yj . b(u, v) = i,j=1

˜ Assim, b(u, v) e´ um polinˆomio homogˆeneo do 2o¯ grau em relac¸ao ` coordenadas de u e v. as Uma forma bilinear b : E × E → R chama-se sim´etrica quando b(u, v) = b(v, u) para quaisquer u, v ∈ E. Para que b seja sim´etrica ˜ a uma base U ⊂ E seja e´ suficiente que sua matriz em relac¸ao ´ ˜ a qualquer base sim´etrica e e´ necessario que sua matriz em relac¸ao ˜ de E seja sim´etrica. Com efeito, se bij = bji entao b(v, u) =

X

bij yi xj =

i,j

X

bij xj yi

i,j

=

X

bji xj yi =

i,j

X

bαβ xα yβ = b(u, v).

α,β

¨ encia acima faz ˜ Observac¸ao. O quarto sinal de igualdade na sequˆ ˜ que pode parecer desonesta mas e´ perfeiuso de uma manipulac¸ao tamente correta. O princ´ıpio e´ o seguinte: num somat´orio, o nome ˜ ˜ tem a menor imdo “´ındice de somac¸ao”, ou “´ındice mudo”, nao ˆ portancia: m m m X X X zi = zα = zr = z1 + · · · + zm . i=1

α=1

r=1

Se¸c˜ ao 18

Formas Quadr´ aticas

227

O que importa e´ que ao substituir o ´ındice mudo i por β (bem como ˜ se fac¸a em todos os lugares onde i ocorra j por α) essa substituic¸ao (assim como j) e somente nesses lugares. Analogamente, uma forma bilinear b : E × E → R chama-se anti-sim´etrica quando b(u, v) = −b(v, u) para u, v ∈ E quaisquer. Para que b seja anti-sim´etrica e´ suficiente que se tenha b(ui , uj ) = −b(uj , ui ) ou seja, bij = −bji numa base {u1 , . . . , um } ⊂ E. Uma forma bilinear b, ao mesmo tempo sim´etrica e anti-sim´etrica, deve ser nula. Este fato, juntamente com a igualdade 1 1 b(u, v) = [b(u, v) + b(v, u)] + [b(u, v) − b(v, u)], 2 2 mostra que o espac¸o B(E × E) das formas bilineares b : E × E → R e´ a soma direta de dois subespac¸os, um deles formado pelas formas sim´etricas e o outro pelas formas anti-sim´etricas. Exemplo 18.1. Dados os funcionais lineares f : E → R, g : F → R, a ˜ b : E × F → R, definida por b(u, v) = f(u)g(v), e´ uma forma func¸ao ˜ dotados bilinear, chamada o produto tensorial de f e g. Se E e F sao ˜ b: E × F → de produto interno, fixados uo ∈ E e vo ∈ F, a func¸ao R, onde b(u, v) = hu, uo i · hv, vo i, e´ uma forma bilinear. No caso particular em que E = F, dados f, g : E → R, funcionais lineares, ˜ as igualdades entao (f • g)(u, v) = f(u)g(v) + f(v)g(u)

e (f ∧ g)(u, v) = f(u)g(v) − f(v)g(u), definem formas bilineares f•g, f∧g : E×E → R, a primeira sim´etrica e a segunda anti-sim´etrica.

Teorema 18.2. Seja E um espa¸co vetorial de dimensao ˜ finita provido de produto interno. Para cada forma bilinear b : E × E → R existe um unico ´ operador linear B : E → E tal que hu, Bvi = b(u, v) para u, v ∈ E quaisquer.

A correspondˆencia b 7→ B, assim definida, e´ um isomorfismo entre os espa¸cos vetoriais B(E × E) e L(E). A forma bilinear b e´ sim´etrica (respect. anti-sim´etrica) se, e somente se, o operador B e´ auto-adjunto (respect. anti-sim´etrico).

228

Formas Quadr´ aticas

Se¸c˜ ao 18

˜ f : E → R, definida por ˜ Para cada vo ∈ E, a func¸ao Demonstrac¸ao: f(u) = b(u, vo ), e´ um funcional linear. Pelo Teorema 11.1, existe um ´ unico vetor em E, que indicaremos com Bvo , tal que f(u) = hu, Bvo i, ´ ou seja hu, Bvo i = b(u, vo ) para todo u ∈ E. Como vo ∈ E e´ arbitrario, ´ ˜ B : E → E tal que acabamos de mostrar que existe uma unica func¸ao hu, Bvi = b(u, v) para quaisquer u, v ∈ E. Dados v, v′ ∈ E, tem-se

 u, B(v + v′ ) = b(u, v + v′ ) = b(u, v) + b(u, v′ )

 = hu, Bvi + u, Bv′ 

= u, Bv + Bv′

´ para todo u ∈ E, logo B(v+v′ ) = Bv+Bv′ . De modo analogo se verifica que B(αv) = α(Bv) para α ∈ R e v ∈ E quaisquer, portanto B : E → E ˜ a uma base ortonormal U = {u1 , . . . , um } ⊂ E, e´ linear. Em relac¸ao o ij-´esimo elemento da matriz de B e´ hei , Bej i = b(ei , ej ) = ij-´esimo da matriz de b. Assim, a forma bilinear b e o operador B que a ela corresponde tˆem a mesma matriz na base U . Da´ı decorre que a correspondˆencia b 7→ B e´ um isomorfismo entre B(E × E) e L(E) e que B e´ auto-adjunto (respect. anti-sim´etrico) se,e somente se, b e´ sim´etrica (respect. anti-sim´etrica). ˜ ϕ : E → R chama-se uma forma quadratica Uma func¸ao ´ quando existe uma forma bilinear b : E × E → R tal que ϕ(v) = b(v, v) para todo v ∈ E. Se, em vez da forma bilinear b tomarmos a forma bilinear sim´etrica 1 b′ (u, v) = [b(u, v) + b(v, u)], 2 teremos ainda 1 ϕ(v) = b(v, v) = [b(v, v) + b(v, v)] = b′ (v, v). 2 ˜ ha´ perda de generalidade em se exigir que a forma Portanto, nao ´ quadratica ϕ(v) = b(v, v) provenha de uma forma bilinear sim´etrica b. Isto e´ o que faremos doravante. Com uma vantagem: se b e´ sim´etrica, todos os seus valores b(u, v) podem ser determinados a ´ partir dos valores b(v, v) = ϕ(v) da forma quadratica ϕ. Com efeito, tem-se a seguinte f´ormula de polariza¸cao: ˜ 1 b(u, v) = [b(u + v, u + v) − b(u, u) − b(v, v)]. 2

Se¸c˜ ao 18

Formas Quadr´ aticas

229

Se b = [bij ] e´ a matriz da forma bilinear b na base U = ˜ para v = Σxi ui , tem-se {u1 , . . . , um } ⊂ E entao, ϕ(v) =

m X

bij xi xj .

i,j=1

Note que, sendo b uma matriz sim´etrica (como sempre supore´ mos quando tratarmos de formas quadraticas), cada parcela com i 6= j aparece duas vezes na soma acima: uma vez como bij xi xj e outra vez como bji xj xi , o que e´ o mesmo. ˜ a A matriz da forma quadratica ´ ϕ na base U e´ , por definic¸ao, matriz b, nesta mesma base, da forma bilinear b tal que ϕ(v) = b(v, v). Se a matriz de passagem p levar a base U na base U ′ , a ´ matriz b′ da forma quadratica ϕ na base U ′ sera´ dada por b′ = pT bp. Note que se E possuir produto interno e as bases U , U ′ forem am˜ bas ortonormais, a matriz p sera´ ortogonal, logo pT = p−1 . Entao b′ = p−1 bp. Isto confirma o que foi visto no Teorema 18.1: relativamente a bases ortonormais a matriz da forma bilinear b coincide com a do operador B, que lhe corresponde de maneira intr´ınseca. Teorema 18.3. Seja E um espa¸co vetorial de dimensao ˜ finita munido de produto interno. Dada uma forma bilinear sim´etrica b : E×E → R, existe uma base ortonormal U = {u1 , . . . , um } ⊂ E tal que b(ui , uj ) = 0 se i 6= j. ˜ Pelo Teorema 18.2, existe um operador auto-adjunDemonstrac¸ao: to B : E → E tal que b(u, v) = hu, Bvi para quaisquer u, v ∈ E. O Teorema Espectral assegura a existˆencia de uma base ortonormal ˜ U = {u1 , . . . , um } ⊂ E tal que Bui = λi ui (i = 1, . . . , m). Entao i 6= j ⇒ b(ui , uj ) = hui , Buj i = hui , λj uj i = λj hui , uj i = 0.

˜ para formas bilineares, do Teorema O teorema acima e´ a versao, ˜ matricial do Teorema 18.3 e´ a seEspectral. Por sua vez a versao guinte: para toda matriz sim´etrica b = [bij ] ∈ M(m × m), existe uma matriz ortogonal p ∈ M(m × m) tal que pT bp = p−1 bp e´ uma matriz diagonal. A diagonal de d = pT bp e´ formada pelos autovalores de b, os quais se dizem tamb´em autovalores da forma bilinear b e da ´ forma quadratica ϕ(v) = b(v, v).

230

Formas Quadr´ aticas

Se¸c˜ ao 18

Em termos das coordenadas dos vetores u = Σxi ui e v = Σyj uj relativamente a` base U do Teorema 18.3 a forma bilinear b se exprime como b(u, v) = Σλi xi yi . ´ Em particular, a forma quadratica ϕ : E → R, ϕ(u) = b(u, u), ˜ relativa a` base U ) e´ dada por uma combipara v = Σyi ui (expressao ˜ linear de quadrados: nac¸ao ϕ(v) = Σλi y2i = λ1 y21 + · · · + λm y2m . ´ costume numerar os autovalores λi em ordem crescente: λ1 ≤ E λ2 ≤ · · · ≤ λm . ´ A forma quadratica ϕ : E → R diz-se nao-negativa ˜ quando ϕ(v) ≥ 0 para todo v ∈ E, positiva quando ϕ(v) > 0 para todo v 6= 0 em E, nao-positiva ˜ quando ϕ(v) ≤ 0 para todo v ∈ E, negativa quando ϕ(v) < 0 para todo v 6= 0 em E e indefinida quando existem u, v ∈ E tais que ϕ(u) > 0 e ϕ(v) < 0. ´ ˜ ˜ A forma quadratica ϕ : E → R e´ nao-negativa, positiva, naopositiva, negativa ou indefinida, respectivamente, conforme o operador auto-adjunto B : E → E, tal que ϕ(v) = hv, Bvi, tenha uma dessas propriedades, ou seja, conforme os autovalores λ1 , . . . , λm sejam todos ≥ 0, todos > 0, todos ≤ 0, todos < 0 ou λ1 < 0 < λm respectivamente. ˜ os autovalores da forma quadratica ´ ˜ Se λ1 ≤ · · · ≤ λm sao ϕ entao, ´ para todo vetor unitario u ∈ E tem-se λ1 ≤ ϕ(u) ≤ λm . Com efeito, ˜ Σx2i = 1, relativamente a` base U do Teorema 18.3, se u = Σxi ui entao portanto: X X X λ1 = λ1 x2i ≤ λi x2i = ϕ(u) ≤ λm x2i = λm . i

i

i

Al´em disso, ϕ(u1 ) = λ1 e ϕ(um ) = λm . Portanto, o menor au˜ tamb´em o valor m´ınimo e o tovalor λ1 e o maior autovalor λm sao ´ ´ valor maximo assumidos pela forma quadratica ϕ entre os vetores ´ unitarios de E. ´ ˜ Em Analise, quando se estudam os pontos cr´ıticos de uma func¸ao ´ diferenciavel, um papel crucial e´ desempenhado por uma forma qua´ ˜ classificadratica, chamada forma Hessiana. Os pontos cr´ıticos sao ´ dos de acordo com o numero de direc¸o˜ es independentes ao longo das

Se¸c˜ ao 18

Formas Quadr´ aticas

231

˜ tem um maximo ´ ´ quais a func¸ao relativo e esse numero coincide com o ´ındice da forma Hessiana, como definiremos a seguir. ´ ˜ O ´ındice de uma forma quadratica ϕ : E → R e´ a maior dimensao de um subespac¸o vetorial de E restrita ao qual a forma e´ negativa. Quando ϕ ≥ 0, diremos que o ´ındice de ϕ e´ zero. ´ Portanto, o ´ındice da forma quadratica ϕ : E → R e´ igual ao ´ numero i 6= 0 quando: 1) Existe um subespac¸o vetorial F ⊂ E, com ˜ dim F = i, tal que ϕ(v) < 0 para todo vetor nao-nulo v ∈ F; 2) Se ˜ maior do que i, existe G ⊂ E e´ um subespac¸o vetorial de dimensao ˜ algum vetor nao-nulo w ∈ G, tal que ϕ(w) ≥ 0. ˜ toda forma quadratica ´ Se dim E = m entao negativa ϕ : E → R tem ´ındice m. ´ ˜ Assim definido, o ´ındice de uma forma quadratica e´ uma noc¸ao ´ intr´ınseca, independente de escolhas ou construc¸o˜ es arbitrarias. ´ Outro invariante num´erico associado a uma forma quadratica ´ ϕ : E → R e´ o seu posto. Seja b : E × E → R a (unica) forma bilinear sim´etrica tal que ϕ(v) = b(v, v) para todo v ∈ E. Escolhendo uma base V = {v1 , . . . , vm } ⊂ E e pondo bij = b(vi , vj ), i, j = 1, . . . , m, sabemos que, para todo vetor X X v= xi vi , tem-se ϕ(v) = bij xi xj . i,j

˜ o posto de ϕ e´ o posto da matriz b = [bij ] ∈ M(m × m). Por definic¸ao, ˜ dePara provar que o posto de ϕ, definido desta maneira, nao pende da base escolhida, observemos que se tomarmos outra base V ′ = {v′1 , . . . , v′m } ⊂ E a forma ϕ sera´ representada pela matriz b′ = pT bp, onde p ∈ M(m × m) e´ a matriz de passagem de V para V ′ . ˜ invert´ıveis, e´ claro que b e b′ = pT bp tˆem o mesmo Como p e pT sao posto. Em particular, se existir uma base V = {v1 , . . . , vm } ⊂ E tal que ϕ(v) = λ1 x21 + · · · + λr x2r

(com λ1 6= 0, . . . , λr 6= 0)

˜ a matriz de ϕ na base V tem λ1 , . . . , λr para todo v = Σxi vi , entao na diagonal e os demais elementos iguais a zero, logo o posto de ϕ, igual ao posto desta matriz, e´ r. ˜ o posto Se E tem um produto interno e ϕ(v) = hv, Bvi entao ´ da forma quadratica ϕ e´ igual ao posto do operador auto-adjunto B : E → E.

232

Formas Quadr´ aticas

Se¸c˜ ao 18

´ Teorema 18.4. (Lei da inercia, de Sylvester.) Se existir uma base V = {v1 , . . . , vm } ⊂ E tal que, para todo v = Σxj vj ∈ E se tem ϕ(v) = −x21 − · · · − x2i + x2i+1 + · · · + x2r entao ˜ a forma quadratica ´ ϕ tem ´ındice i e posto r. ˜ Demonstrac¸ao: Ja´ vimos acima que o posto de ϕ e´ r. Quanto ao ´ındice, seja F ⊂ E um subespac¸o vetorial, restrito ao qual ϕ e´ nega˜ tiva. Mostremos que dim F ≤ i. Com efeito, se o vetor nao-nulo v=

m X

xj v j

j=1

˜ pertencer a F entao −x21 − · · · − x2i + x2i+1 + · · · + x2r < 0, logo x21 + · · · + x2i > 0 ˜ linear A : F → e da´ı (x1 , . . . , xi ) 6= 0. Isto mostra que a transformac¸ao Ri , definida por   m X Av = A  xj vj  = (x1 , . . . , xi ), j=1

e´ injetiva, portanto dim F ≤ i. Para finalizar, observamos que o ˜ i e, restrita a ele, subespac¸o gerado por v1 , . . . , vi tem dimensao ϕ(v) = −x21 − · · · − x2i ˜ de um subespac¸o de E, restrita e´ negativa, Logo i e´ a maior dimensao ao qual ϕ e´ negativa. Usualmente, a Lei da In´ercia de Sylvester e´ enunciada sob a seguinte forma equivalente: seja qual for a base V = {v1 , . . . , vm } ⊂ E tal que ϕ(v) = −x21 − · · · − x2i + x2i+1 + · · · + x2r (*) ´ ˜ os mesmos. para v = Σxj vj , os numeros i e r sao

Se¸c˜ ao 18

Formas Quadr´ aticas

233

Apresentaremos a seguir o m´etodo de Lagrange (de completar o quadrado) para obter uma base no espac¸o vetorial E, relativamente ´ a` qual uma dada forma quadratica ϕ : E → R tenha uma matriz ˜ ˜ iguais a 1 ou −1. Noutras diagonal cujos elementos nao-nulos sao ˜ do tipo (*) acima. palavras, nessa base, ϕ tem uma expressao Comecemos com uma base qualquer U = {u1 , . . . , um } ⊂ E, na qual se tem X ϕ(v) = bij xi xj , (**) i,j

para v = x1 u1 + · · · + xm um . Se a = [aij ] ∈ M(m × m) e´ a matriz de ˜ passagem da base U para a base V = {v1 , . . . , vm }, a nova expressao X ϕ(v) = cij yi yj , i,j

para v = y1 v1 + · · · + ym vm , se obt´em simplesmente efetuando em ˜ ou mudanc¸a de variaveis, ´ (**) a substituic¸ao, X X xi = aik yk , xj = ajk yk . k

k

De agora em diante, mencionaremos apenas cada mudanc¸a de ´ variaveis, deixando impl´ıcito que ela corresponde a` passagem de uma base para outra pois, em cada caso, a matriz a = [aij ] [ou o que e´ o mesmo, o operador (y1 , . . . , ym ) 7→ (x1 , . . . , xm )] e´ invert´ıvel. ˜ A partir da expressao X ϕ(v) = bij xi xj , i,j

´ ´ faremos, se necessario, uma mudanc¸a de variaveis para assegurar que algum elemento bii da diagonal seja diferente de zero. (Estamos ˜ seja identicamente nula, do contrario ´ supondo que ϕ nao nada haveria a fazer.) Pois se todos os elementos da diagonal fossem iguais a zero, escolher´ıamos um brs 6= 0, com r 6= s e far´ıamos a mudanc¸a ´ ˜ a de variavel xr = yr + ys , xs = yr − ys , xi = yi (se i ∈ / {r, s}). Entao parcela 2brs xr xs da soma ϕ(v) se transformaria em 2brs y2r − 2brs y2s e ´ ˜ de ϕ(v) cont´em ao menos agora, nas novas variaveis yi , a expressao ˜ ˜ nulos, crr y2r = 2brs y2r e css y2s = −2brs y2s , os quais nao dois termos nao se cancelam com nenhuma das outras parcelas.

234

Formas Quadr´ aticas

Se¸c˜ ao 18

˜ ϕ(v) = Σbij xi xj , onde podemos agora suVoltemos a` expressao ´ ˜ das por que algum bii 6= 0. Mudando, se necessario, a numerac¸ao ´ variaveis (o que equivale a mudar a ordem dos vetores da base), po˜ escrevemos demos admitir que b11 6= 0. Entao   X ϕ(v) = b11 x21 + 2x1 · cj xj  + ψ(v′ ), j≥2

onde cj = b1j /b11 e ψ(v′ ) depende apenas de v′ =

X

xj u j ,

j≥2

´ ou seja, ψ e´ uma forma quadratica definida no subespac¸o F ⊂ E, ˜ m − 1, gerado por u2 , . . . , um . A expressao ˜ dentro dos de dimensao parˆenteses acima e´ do tipo a2 + 2ab, logo e´ igual a (a + b)2 − b2 , onde X a = x1 e b = c j xj . j≥2

´ Assim, a mudanc¸a de variaveis X z 1 = x1 + c j xj ,

z 2 = x2 , . . . , z m = xm

j≥2

ou, equivalentemente, x1 = z 1 −

X

cj z j ,

x2 = z 2 , . . . , xm = z m ,

j≥2

˜ dentro dos parˆenteses acima e´ igual a mostra que a expressao 

portanto

z21 − 

X j≥2



ϕ(v) = b11 z21 − b11 

2

cj z j  , X j≥2

2

cj zj  + ψ(v′ )

Se¸c˜ ao 18

Formas Quadr´ aticas

235

´ ou seja, ϕ(v) = b11 z21 + ξ(v′ ) onde, outra vez, ξ e´ uma forma quadra˜ m − 1. Efetuando a nova mudanc¸a tica no subespac¸o F, de dimensao ´ de variaveis y1 z1 = p , zj = yj (j ≥ 2), |b11 | obtemos ϕ(v) = ±y21 + ξ(v′ ). Aplicando o mesmo m´etodo a ξ e prosseguindo analogamente, chegaremos no final a X ϕ(v) = ±y2i ou, mais explicitamente:

ϕ(v) = −y21 − · · · − y2i + y2i+1 + · · · + y2r , ´ ´ onde i e´ o ´ındice e r o posto da forma quadratica ϕ. Os numeros ˜ as coordenadas do vetor v na base de E obtida ap´os a ultima ´ yj sao mudanc¸a de coordenadas. ´ Exemplo 18.2. Seja ϕ : R3 → R a forma quadratica dada por ϕ(x, y, z) = 2x2 + 2y2 − 2z2 + 4xy − 4xz + 8yz.

Completando o quadrado, vemos que a soma das parcelas que contˆem o fator x se escreve como 2x2 + 4xy − 4xz = 2[x2 + 2x(y − z)] = 2[x2 + 2x(y − z) + (y − z)2 ] − 2(y − z)2 = 2(x + y − z)2 − 2(y − z)2 . ´ ˜ A mudanc¸a de variaveis s = x + y − z nos da´ entao ϕ(x, y, z) = 2s2 − 2(y − z)2 + 2y2 − 2z2 + 8yz = 2s2 − 4z2 + 12yz. Novamente completamos o quadrado, agora na soma das parcelas que contˆem z, e obtemos   3 2 2 −4z + 12yz = −4 z − 2z · y 2   3 9 2 2 = −4 z − 2z · y + y + 9y2 2 4 2  3 = −4 z − y + 9y2 . 2

236

Formas Quadr´ aticas

Se¸c˜ ao 18

´ A mudanc¸a de variaveis t = z − 32 y nos da´ portanto ϕ(x, y, z) = 2s2 − 4t2 + 9y2 . ´ Isto ja´ nos diz que a forma quadratica ϕ tem posto 3 e ´ındice 1, logo e´ indefinida. ´ Se quisermos, podemos fazer a mudanc¸a de variaveis y1 s= √ , 2

t=

y2 , 2

y=

y3 3

e teremos ϕ(x, y, z) = y21 − y22 + y23 . ˜ ha´ dificuldade em obter a expressao ˜ das vaEvidentemente, nao ´ ˜ de x, y, z e vice-versa. Mas, para efeito riaveis y1 , y2 e y3 em func¸ao ´ de conhecer o ´ındice e o posto de ϕ, isto e´ desnecessario.

´ Quadricas ´ ˜ interessante O estudo das formas quadraticas tem uma aplicac¸ao a` Geometria Anal´ıtica n-dimensional, que apresentaremos brevemente aqui. Um subconjunto Σ ⊂ Rn chama-se uma quadrica ´ central quando ´ existe uma forma quadratica ϕ : Rn → R tal que Σ e´ definido pela ˜ ϕ(v) = 1. equac¸ao Se X ϕ(v) = aij xi xj i,j

para v = (x1 , . . . , xn ), isto significa que Σ e´ o conjunto dos pontos (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn tais que n X

aij xi xj = 1.

i,j=1

´ Segue-se imediatamente do Teorema 18.3 que, dada uma quadrin ca central Σ ⊂ R , existe uma base ortonormal U = {u1 , . . . , un } em ˜ de Σ e´ Rn , relativamente a` qual a equac¸ao λ1 y21 + · · · + λn y2n = 1,

Se¸c˜ ao 18

Formas Quadr´ aticas

237

˜ os autovalores da matriz sim´etrica [aij ]. onde λ1 , . . . , λn sao Noutras palavras, quando se exprime o vetor v = y1 u1 +· · ·+yn un ˜ linear dos elementos da base U , tem-se v ∈ Σ se, e como combinac¸ao ˜ somente se, suas coordenadas y1 , . . . , yn satisfazem a equac¸ao X λi y2i = 1.

As retas que contˆem os vetores ui da base U chamam-se os eixos ´ principais da quadrica central Σ. Quando n = 2, Σ chama-se uma cˆonica. Portanto, a cˆonica defi˜ nida em R2 pela equac¸ao ax2 + 2bxy + cy2 = 1

pode, numa nova base ortonormal de R2 , ser representada pela e˜ quac¸ao λs2 + µt2 = 1,   a b ˜ os autovalores da matriz onde λ, µ sao . b c Segundo os sinais desses autovalores, as seguintes possibilidades podem ocorrer: 1o¯ ) Se λµ < 0 (isto e´ , ac < b2 ) tem-se uma hip´erbole. 2o¯ ) Se λ > 0 e µ > 0 (isto e´ , a > 0 e ac > b2 ) tem-se uma elipse. 3o¯ ) Se λ < 0 e µ < 0 (isto e´ , a < 0 e ac > b2 ) tem-se o conjunto vazio. 4o¯ ) Se λµ = 0 (isto e´ , ac = b2 ) tem-se um par de retas paralelas, ou o conjunto vazio, conforme seja a + c > 0 ou a + c ≤ 0. Evidentemente, quando λ = µ > 0 tem-se uma circunferˆencia. ´ claro que, em cada caso concreto, dada a equac¸ao ˜ ax2 + 2bxy + E ˜ imediata do m´etodo de Lagrange (de comple= 1, uma aplicac¸ao tar o quadrado) permite escrever o primeiro membro sob a forma b1 y21 + b2 y22 e da´ı constatar, conforme os sinais de b1 e b2 , se se trata de elipse, hip´erbole ou um par de retas. Conv´em ter em conta, por´em, que o m´etodo de Lagrange, embora eficiente (principalmente cy2

238

Formas Quadr´ aticas

Se¸c˜ ao 18

em dimens˜oes maiores do que 2, onde e´ muito dif´ıcil calcular os au˜ fornece bases ortonormais. Em particular, ele nao ˜ tovalores), nao permite distinguir uma elipse de uma circunferˆencia. ˜ 3, as superf´ıcies quadricas ´ Em dimensao centrais Σ ⊂ R3 tˆem, ˜ num sistema de coordenadas ortogonais conveniente, uma equac¸ao do tipo λ1 y21 + λ2 y22 + λ3 y23 = 1. ˜ as seguintes: As possibilidades sao 1o¯ ) Se λ1 > 0, λ2 > 0 e λ3 > 0, Σ e´ um elips´oide. ˜ 2o¯ ) Se λ1 > 0, λ2 > 0 e λ3 < 0, Σ e´ um hiperbol´oide de revolu¸cao. 3o¯ ) Se λ1 > 0, λ2 < 0 e λ3 < 0, Σ e´ um hiperbol´oide de duas folhas. ˜ ≤ 0, Σ e´ o conjunto vazio. 4o¯ ) Se λ1 , λ2 e λ3 sao

5o¯ ) Se λ3 = 0, Σ = C × R = {(v, t); v ∈ C, t ∈ R}, onde C ⊂ R2 e´ ˜ definido pela equac¸ao λ1 y21 + λ2 y22 = 1. Neste caso, Σ e´ um cilindro de base C.

˜ das coordenadas se necesObserve que, mudando a numerac¸ao ´ sario, podemos sempre supor λ1 > 0. ´ ˜ Ha´ outro tipo mais geral de quadricas, al´em das centrais. Sao n ˜ do tipo subconjuntos Σ ⊂ R definidos por uma equac¸ao n X

aij xi xj +

i,j=1

n X

bi xi = c.

i=1

A escolha de uma base ortonormal conveniente em Rn faz com ˜ assuma a forma que esta equac¸ao r X i=1

λi y2i +

n X

b′i yi = c,

i=1

onde r e´ o posto da matriz [aij ] e λ1 6= 0, . . . , λr 6= 0. Procurando eliminar o termo linear Σb′i yi mediante escolha de ˜ novas coordenadas, somos levados a efetuar uma translac¸ao. (At´e

Se¸c˜ ao 18

Formas Quadr´ aticas

239

agora nossas mudanc¸as de coordenadas eram feitas por meio de transformac¸o˜ es lineares, logo preservavam a origem.) Introduzindo as novas coordenadas b′i 2λi = yr+1 ,

zi = yi + zr+1 .. .

(i = 1, . . . , r),

zn = yn , ˜ acima se torna a equac¸ao λ1 z21 + · · · + λr z2r + b′r+1 zr+1 + · · · + b′n zn = c′ , na qual conseguimos eliminar os r primeiros termos lineares. Pode ocorrer que os coeficientes b′j sejam todos iguais a zero. ˜ da Neste caso, a forma simplificada que buscamos para a equac¸ao ´ quadrica Σ e´ : λ1 z21 + · · · + λr z2r = c′ . ´ Se r = n, Σ e´ simplesmente a figura que resulta de uma quadrica ˜ Se r < n entao ˜ as ultimas ´ central depois de uma translac¸ao. n−r coordenadas zr+1 , . . . , zn podem ser tomadas arbitrariamente, en´ quanto as r primeiras definem uma quadrica em Rr , logo Σ e´ um cilindro generalizado: produto cartesiano Σ = Σ′ × Rn−r onde Σ′ e´ ´ uma quadrica em Rr . ´ Se algum dos numeros b′j (r + 1 ≤ j ≤ n) for 6= 0, introduziremos novas coordenadas t1 , . . . , tn de tal modo que t1 = z1 , . . . , tr = zr e b′r+1 zr+1 + · · · + b′n zn − c′ = dtr+1 . ˜ de modo a eliminar c′ . Para isso Primeiro fazemos uma translac¸ao o escolhemos um ponto (zr+1 , . . . , zon ) tal que b′r+1 zor+1 + · · · + b′n zon = c′ e escrevemos s1 = z1 , . . . , sr = zr , sr+1 = zr+1 − zor+1 , . . . , sn = zn − zon .

240

Formas Quadr´ aticas

Se¸c˜ ao 18

˜ nas coordenadas si , a equac¸ao ˜ da quadrica ´ Entao, Σ se torna: λ1 s21 + · · · + λr s2r + b′r+1 sr+1 + · · · + b′n sn = 0. ˜ No espac¸o Rn−r , a expressao b′r+1 sr+1 + · · · + b′n sn e´ o produto interno hb, wi, onde b = (b′r+1 , . . . , b′n )

e w = (sr+1 , . . . , sn ).

Escolhamos nesse espac¸o uma base ortonormal cujo primeiro ele´ mento seja o vetor unitario u = b/|b|. Sejam (tr+1 , . . . , tn ) as coor˜ tr+1 = hu, wi, denadas do vetor w = (sr+1 , . . . , sn ) nesta base. Entao logo hb, wi = |b|tr+1 . Escrevendo t1 = s1 , . . . , tr = sr , vemos que, nas ˜ da quadrica ´ novas coordenadas ti a equac¸ao Σ assume a forma: λ1 t21 + · · · + λr t2r + dtr+1 = 0, onde d = |b|. Observemos que todas as mudanc¸as de coordenadas foram feitas mediante translac¸o˜ es e transformac¸o˜ es lineares ortogonais (ou, ˜ o que e´ o mesmo, escolhas de bases ortonormais). Podemos entao ´ concluir que, dada uma quadrica: Σ:

n X

aij xi xj +

i,j=1

n X

bi x i = c

(*)

i=1

em Rn , existe uma mudanc¸a de coordenadas xi =

n X

mij tj + ki

(i = 1, . . . , n)

j=1

tal que m = [mij ] e´ uma matriz ortogonal e, efetuando essa transfor˜ na equac¸ao ˜ (*) de Σ, ela se torna mac¸ao λ1 t21 + · · · + λr t2r + dtr+1 = 0, ou λ1 t21 + · · · + λr t2r = c′ ,

(d 6= 0)

Se¸c˜ ao 18

Formas Quadr´ aticas

241

˜ os seus autovalores onde r e´ o posto da matriz [aij ] e λ1 , . . . , λr sao ˜ ´ nao-nulos. No primeiro caso, supondo r = n − 1, a quadrica Σ pode ser definida por tn = α1 t21 + · · · + αn−1 t2n−1 (com αi = −λi /d) e chama-se um parabol´oide.

Exerc´ıcios 18.1. Determine a matriz de cada uma das formas bilineares abaixo, relativamente a` base especificada: (a) b : R4 × R4 → R, b(u, v) = hu, vi, base {v1 , v2 , v3 , v4 } ⊂ R4 , onde v1 =(−2, 0, 3, 1), v2 =(1, 2, 1, −1), v3 =(0, 1, 2, −1), v4 =(1, 2, 3, 1). (b) b : Rn × Rn → R, b(u, v) = hAu, vi, A ∈ L(Rn ), base canˆonica de Rn . (c) b : Rn ×Rn → R, b(u, v) = hAu, Bvi, A, B ∈ L(Rn ), base canˆonica de Rn .

(d) b : Rn × Rn → R, b(u, v) = hu, ai · hv, bi, a, b ∈ Rn , base canˆonica de Rn . ´ 18.2. Seja ϕ : R3 → R a forma quadratica dada por ϕ(x, y, z) = x2 + 2 2 y − z + 2xy − 3xz + yz. Qual e´ a matriz de ϕ na base {u, v, w} ⊂ R3 , onde u = (3, 0, 1), v = (1, −1, 2), w = (2, 1, 2) ? ´ 18.3. Prove que o conjunto das formas quadraticas no espac¸o vetorial E e´ um subespac¸o vetorial Q(E) ⊂ F(E; R). Se dim E = n, prove que dim Q(E) = n(n + 1)/2. 18.4. Assinale V(erdadeiro) ou F(also): (

´ ) O conjunto das formas quadraticas de ´ındice i no espac¸o vetorial E e´ um cone convexo em F(E; R).

(

) A matriz do operador B : E → E na base U e´ igual a` matriz da forma bilinear b(u, v) = hu, Bvi na mesma base.

242

Formas Quadr´ aticas

Se¸c˜ ao 18

(

) As formas bilineares b e b∗ , que correspondem aos operadores B e B∗ segundo o Teorema 18.2, definem a mesma forma ´ quadratica ϕ(v) = b(v, v) = b∗ (v, v).

(

) O operador auto-adjunto B : E → E e a forma bilinear sim´etrica b : E × E → R, que lhe corresponde conforme o Teorema 18.2, tˆem a mesma matriz relativamente a qualquer base de E.

18.5. A matriz de uma forma bilinear b : E×E na base U ={u1 , . . . , un } ´ ⊂ E e´ dada por bij = b(ui , uj ). Supondo conhecida a forma quadratica ϕ : E → R, como se pode obter a matriz de ϕ na base U a partir dos seus valores ϕ(v), v ∈ E ?

18.6. Sejam f, g : E → R funcionais lineares. Prove que a forma bilinear anti-sim´etrica f ∧ g : E → E, definida por (f ∧ g)(u, v) = f(u)g(v) − f(v)g(u), e´ identicamente nula se, e somente se, um dos ´ funcionais dados e´ multiplo do outro. 18.7. Seja b : E × E → R uma forma bilinear anti-sim´etrica no espac¸o ˜ finita. Prove que as seguintes afirmac¸o˜ es vetorial E, de dimensao ˜ equivalentes: sobre b sao (1) Tem-se b = f ∧ g, onde f, g ∈ E∗ . (2) Existe uma base V = {v1 , . . . , vn } ⊂ E tal que b(vi , vj ) = 0 se {i, j} 6= {1, 2}. Conclua que toda forma bilinear em R3 e´ do tipo b = f ∧ g. E em R4 ?

18.8. Seja b : R5 × R5 → R uma forma bilinear anti-sim´etrica. Prove ´ que existem numeros α, β e uma base {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 } ⊂ R5 tais que b(v1 , v2 ) = −b(v2 , v1 ) = α, b(v3 , v4 ) = −b(v4 , v3 ) = β e b(vi , vj ) = 0 nos demais casos. Conclua que existem funcionais lineares f1 , f2 , f3 , f4 : R5 → R tais que b = f1 ∧ f2 + f3 ∧ f4 .

˜ finita, com produto 18.9. Sejam E, F espac¸os vetoriais de dimensao interno. Estabelec¸a um isomorfismo natural entre B(E × F) e L(E; F). ˜ entre as matrizes de uma forma bilinear e da Determine a relac¸ao ˜ linear que lhe corresponde. transformac¸ao

Se¸c˜ ao 18

Formas Quadr´ aticas

243

18.10. Dados os funcionais lineares f, g : E → R, considere a forma bilinear f ⊗ g : E × E → R (produto tensorial de f e g) definida por (f ⊗ g)(u, v) = f(u) · g(v). Prove as seguintes afirmac¸o˜ es: (a) f ⊗ g = 0 ⇒ f = 0 ou g = 0.

´ (b) f ⊗ g = g ⊗ f ⇔ um dos funcionais f, g e´ multiplo do outro.

˜ as formas bilineares fi ⊗ fj (c) Se {f1 . . . , fn } ⊂ E∗ e´ uma base entao constituem uma base de B(E × E).

(d) Nas condic¸o˜ es do item (c), as formas fi • fj = fi ⊗ fj + fj ⊗ fi , com i ≤ j, constituem uma base para o espac¸o das formas bilineares sim´etricas. ˜ de (c), as formas fi ∧ fj = fi ⊗ fj − fj ⊗ fi , com (e) Com a notac¸ao i < j, constituem uma base para o espac¸o das formas bilineares anti-sim´etricas. ´ 18.11. Dada a forma quadratica ϕ : R2 → R, com ϕ(x, y) = 2x2 − y2 + ´ 3xy, ache uma base ortonormal {u, v} ⊂ R2 e numeros λ, µ tais que, 2 2 para todo vetor w = su + tv ∈ R se tenha ϕ(w) = λs + µt2 . 18.12. Dada a matriz sim´etrica 

 4 1 b= , 1 2 ache uma matriz ortogonal p tal que pT bp seja uma matriz diagonal. A partir da´ı obtenha uma base ortonormal {u, v} ⊂ R2 tal que a forma ´ quadratica ϕ : R2 → R, com ϕ(x, y) = 4x2 + 2xy + 2y2 se escreva como ϕ(w) = λs2 + µt2 para todo vetor w = su + tv. ´ 18.13. Dadas as formas quadraticas abaixo, use o m´etodo de Lagrange para exprimi-las como somas e diferenc¸as de quadrados e, a partir da´ı, determine o ´ındice e o posto de cada uma delas: (a)

ϕ(x, y) = x2 + 9y2 + 6xy

(b)

ψ(x, y) = x2 + 8y2 + 6xy

(c)

ξ(x, y, z) = x2 + 2xy + z2 − 3xz + y2 − 2yz

(d)

ζ(x, y, z) = 8x2 + 36yz − 6y2 − 27z2 − 24xy

244

Formas Quadr´ aticas

Se¸c˜ ao 18

´ 18.14. Dada a forma quadratica ϕ : R2 → R, com ϕ(x, y) = ax2 + 2 bxy + cy , escreva-a como   2    x x ϕ(x, y) = y a +b +c y y 2

= y2 [at2 + bt + c],

t = x/y,

e use o trinˆomio at2 + bt + c para obter condic¸o˜ es sobre a, b, c que ˜ caracterizam se ϕ e´ positiva, negativa, indefinida, nao-negativa ou ˜ nao-positiva. ˜ linear invert´ıvel. Para 18.15. Seja A : E → F uma transformac¸ao ´ toda forma quadratica ψ : F → R, prove que ϕ = ψ ◦ A : E → R e´ uma ´ forma quadratica em E, com o mesmo ´ındice e o mesmo posto que ψ. 18.16. Prove que todo operador linear invert´ıvel A : Rn → Rn trans´ ´ forma uma quadrica Σ ⊂ Rn noutra quadrica de mesmo tipo.

19 Determinantes

O determinante surgiu inicialmente nas f´ormulas que exprimem a solu¸cao ˜ de um sistema determinado de n equa¸co˜ es lineares a n inc´ognitas. Posteriormente, ele foi identificado como a area ´ de um paralelogramo ou o volume de um paralelep´ıpedo e depois, de forma definitiva, como a fun¸cao ˜ multilinear alternada da qual todas as outras se deduzem. Tradicionalmente se tem o determinante de uma matriz quadrada, ou de uma lista de vetores, que sao ˜ as colunas (ou linhas) dessa ´ matriz. Em Algebra Linear, e´ mais apropriado falar do determinante de um operador linear. Seu interesse aqui decorre principalmente do fato de que um operador e´ invert´ıvel se, e somente se, seu determinante e´ diferente de zero. A partir da´ı, o determinante fornece um polinˆomio de grau n cujas ra´ızes reais sao ˜ os autovalores de um operador num espa¸co vetorial n-dimensional (polinˆomio caracter´ıstico), polinˆomio esse que estudaremos na se¸cao ˜ seguinte. Faremos aqui uma breve apresenta¸cao ˜ do conceito de determinante e de suas principais propriedades. Nosso ponto de partida sao ˜ as fun¸co˜ es multilineares, mais especificamente as alternadas. ˜ E representa um espac¸o vetorial de dimensao ˜ Em toda esta sec¸ao, ˜ ordenadas. n, no qual todas as bases que tomaremos serao

246

Determinantes

Se¸c˜ ao 19

˜ Uma forma r-linear no espac¸o vetorial E e´ uma func¸ao f : E × · · · × E → R,

definida no produto cartesiano E × · · · × E = Er , que e´ linear em cada ´ uma das suas variaveis, isto e´ : f(v1 , . . . , vi + v′i , . . . , vr ) = f(v1 , . . . , vi , . . . , vr ) + f(v1 , . . . , v′i , . . . , vr ), f(v1 , . . . , αvi , . . . , vr ) = αf(v1 , . . . , vi , . . . , vr ), para v1 , . . . , vi , v′i . . . , vr ∈ E e α ∈ R quaisquer. ˜ Se f e´ r-linear e um dos vetores v1 , . . . , vr e´ igual a zero entao f(v1 , . . . , vr ) = 0, pois f(. . . , 0, . . .) = f(. . . , 0.0, . . .) = 0.f(. . . , 0, . . .) = 0. Teorema 19.1. Seja U = {u1 , . . . , un } ⊂ E uma base. Para cada uma das nr listas ordenadas J = (j1 , . . . , jr ) de inteiros compreendidos entre 1 e n, fixemos um numero ´ real aJ = aj1 j2 ...jr . Existe uma, e somente uma, forma r-linear f : E×· · ·×E → R tal que f(uj1 , . . . , ujr ) = aJ para todo J = (j1 , . . . , jr ).

Noutras palavras, uma forma r-linear f : Er → R fica inteiramente determinada quando se conhecem seus nr valores ´ e esses valores podem f(uj1 , . . . , ujr ) nas listas de elementos basicos, ser escolhidos arbitrariamente. ˜ Demonstrac¸ao: Para facilitar a escrita, tomemos r = 3. O caso geral se trata igualmente. Suponhamos dado, para cada lista (i, j, k) ´ ´ de numeros naturais compreendidos entre 1 e n, um numero real aijk . Definamos f : E × E × E → R pondo f(u, v, w) =

n X

aijk xi yj zk ,

i,j,k=1

se u=

X

xi u i ,

v=

X

y j uj

e

w=

X

z k uk .

Verifica-se facilmente que f, assim definida, e´ trilinear e que f(ui , uj , uk ) = aijk . Al´em disso, se g : E × E × E → R e´ trilinear e ˜ para g(ui , uj , uk ) = aijk para i, j, k = 1, . . . , n quaisquer, entao X X X u= xi u i , v = y j uj e w = z k uk .

Se¸c˜ ao 19

Determinantes

247

´ arbitrarios, tem-se

logo g = f.

X X X g(u, v, w) = g( xi u i , y j uj , z k uk ) X = xi yj zk g(ui , uj , uk ) X = aijk xi yj zk = f(u, v, w),

´ Corolario. O espa¸co vetorial Lr (E; R) das formas r-lineares f : E × · · · × E → R tem dimensao ˜ nr .

Com efeito, uma vez fixada a base U ⊂ E, o Teorema 19.1 faz ´ corresponder, biunivocamente, a cada f ∈ Lr (E; R) os nr numeros aJ . r Isto determina um isomorfismo entre Lr (E; R) e Rn .

Uma forma r-linear f : E×· · ·×E → R chama-se alternada quando f(v1 , . . . , vr ) = 0 sempre que a lista (v1 , . . . , vr ) tiver repetic¸o˜ es, ou seja, quando f(v1 , . . . , vi−1 , v, vi+1 , . . . , vj−1 , v, vj+1 , . . . , vr ) = 0 para quaisquer v, v1 , . . . , vr ∈ E. Teorema 19.2. Uma forma r-linear f : E × · · · × E → R e´ alternada se, e somente se, e´ anti-sim´etrica, isto e´ , f(v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vr ) = −f(v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vr )

para quaisquer v1 , . . . , vr ∈ E. ˜ Por simplicidade, escrevamos Demonstrac¸ao: f(v1 , . . . , u, . . . , v, . . . , vr ) = ϕ(u, v). ˜ f alternada implica ϕ(u, u) = ϕ(v, v) = ϕ(u + v, u + v) = 0, Entao, logo 0 = ϕ(u + v, u + v) = ϕ(u, u) + ϕ(u, v) + ϕ(v, u) + ϕ(v, v) = ϕ(u, v) + ϕ(v, u), portanto ϕ(u, v) = −ϕ(v, u), de modo que f e´ anti-sim´etrica. Re˜ ϕ(v, v) = −ϕ(v, v) logo ciprocamente, se f e´ anti-sim´etrica entao 2ϕ(v, v) = 0, ϕ(v, v) = 0 e f e´ alternada.

248

Determinantes

Se¸c˜ ao 19

´ Corolario. Seja f : E × · · · × E → R r-linear alternada. Para toda permuta¸cao ˜ σ dos inteiros 1, 2, . . . , r, e toda lista de vetores v1 , . . . , vr ∈ E tem-se f(vσ(1) , . . . , vσ(r) ) = εσ f(v1 , . . . , vr ), isto e´ , f(vσ(1) , . . . , vσ(r) ) = ±f(v1 , . . . , vr ),

onde o sinal e´ + se σ e´ uma permuta¸cao ˜ par e − se σ e´ uma permuta¸cao ˜ ´ımpar. (Vide Apˆendice.) ¨ encia (v1 , . . . , vr ) para (vσ(1) , ..., vσ(r) ) Com efeito, passa-se da sequˆ mediante k transposic¸o˜ es sucessivas, que correspondem a k mudan´ c¸as de sinal no valor de f. Como εσ = (−1)k , o corolario segue-se. ˜ Ar (E) indica o espac¸o vetorial das formas r-lineares A notac¸ao alternadas f : E × · · · × E → R.

Exemplo 19.1. Dados os funcionais lineares f1 , . . . , fr : E → R, a ˜ f : E × · · · × E → R, definida por func¸ao f(v1 , . . . , vr ) = f1 (v1 ) · f2 (v2 ) · · · fr (vr )

e´ uma forma r-linear, chamada o produto tensorial dos funcionais lineares f1 , . . . , fr . Exemplo 19.2. Todo funcional linear f : E → R e´ uma forma 1-linear ˜ e´ poss´ıvel violar a condic¸ao ˜ de anti-simetria. alternada, ja´ que nao Portanto A1 (E) = E∗ .

˜ r-linear f : R × · · · × R → R e´ do Exemplo 19.3. Qualquer aplicac¸ao tipo f(t1 , . . . , tr ) = a · t1 · t2 · · · tr , onde a = f(1, . . . , 1). (Vide Teorema 19.1.) Quando r > 1, f s´o pode ser alternada quando a = 0. Logo Ar (R) = {0} se r > 1.

Exemplo 19.4. A forma f : R2 × R2 → R, definida por f(u, v) = x1 y2 − x2 y1 quando u = (x1 , x2 ) e v = (y1 , y2 ), e´ bilinear alternada. Se g : R2 × R2 → R e´ qualquer outra forma bilinear alternada em R2 ˜ pondo c = g(e1 , e2 ), vem: entao, g(u, v) = g(x1 e1 + x2 e2 , y1 e1 + y2 e2 )

= x1 y1 g(e1 , e1 ) + x1 y2 g(e1 , e2 ) + x2 y1 g(e2 , e1 ) + x2 y2 g(e2 , e2 ) = (x1 y2 − x2 y1 )g(e1 , e2 ) = c · (x1 y2 − x2 y1 ) = c · f(u, v)

Se¸c˜ ao 19

Determinantes

249

pois g(e1 , e1 ) = g(e2 , e2 ) = 0 e g(e2 , e1 ) = −g(e1 , e2 ). Isto mos´ tra que toda forma bilinear alternada g e´ um multiplo de f, logo 2 dim A2 (R )=1. Teorema 19.3. Seja f : E × · · · × E → R r-linear alternada. Se os vetores v1 , . . . , vr forem L.D. entao ˜ f(v1 , . . . , vr ) = 0.

´ ˜ Demonstrac¸ao: Isto e´ claro se v1 = 0. Caso contrario, um dos ˜ linear dos anteriores: vetores, digamos vi , e´ combinac¸ao X vi = αj v j . j
˜ Entao f(v1 , . . . , vr ) = f(v1 , . . . , =

X

X

αj v j , . . . , v r )

j
αj f(v1 , . . . , vj , . . . , vj , . . . , vr ) = 0

j
pois f e´ alternada. ´ Corolario 1. Se existe uma forma r-linear alternada f : E × · · · × E → R tal que f(v1 , . . . , vr ) 6= 0 entao ˜ os vetores v1 , . . . , vr ∈ E sao ˜ linearmente independentes. ´ Corolario 2. Se r > dim E entao ˜ Ar (E) = {0}.

˜ Com efeito, sendo r > dim E, quaisquer r vetores v1 , . . . , vr sao linearmente dependentes, logo f(v1 , . . . , vr ) = 0 para todo f ∈ Ar e todos v1 , . . . , vr ∈ E. A partir de agora, concentraremos nosso interesse nas formas n-lineares alternadas, f ∈ An (E), onde n = dim E. O resultado fun´ damental e´ o teorema seguinte e, principalmente, seu Corolario 1. Teorema 19.4. Seja U = {u1 , . . . , un } uma base de E. Dado arbitrariamente um numero ´ real a, existe uma unica ´ forma n-linear alternada f : E × · · · × E → R tal que f(u1 , . . . , un ) = a.

˜ Suponhamos inicialmente que exista f ∈ An (E) tal Demonstrac¸ao: que f(u1 , . . . , un ) = a. Se g ∈ An (E) for tal que g(u1 , . . . , un ) tamb´em ˜ para toda lista de vetores ui1 , . . . , uin ∈ U tem-se: e´ igual a a, entao g(ui1 , . . . , uin ) = 0 = f(ui1 , . . . , uin ),

250

Determinantes

Se¸c˜ ao 19

se houve repetic¸o˜ es na lista; g(ui1 , . . . , uin ) = g(uσ(1) , . . . , uσ(n) ) = εσ g(u1 , . . . , un ) = εσ a = εσ f(u1 , . . . , un ) = f(ui1 , . . . , uin ) ˜ dos inteiros se (i1 , . . . , in ) = (σ(1), . . . , σ(n)) for uma permutac¸ao ˜ houver repetic¸o˜ es na lista. Segue-se entao ˜ (1, . . . , n), isto e´ , se nao do Teorema 19.1 que f = g. Portanto a forma n-linear alternada f fica determinada por seu valor f(u1 , . . . , un ). Isto nos indica como obter uma forma n-linear alternada f : E × · · · × E → R tal que f(u1 , . . . , un ) = a. Para toda lista ordenada (i1 , . . . , in ) de inteiros compreendidos entre 1 e n, poremos f(ui1 , . . . , uin ) = 0 se houver repetic¸o˜ es na lista, f(ui1 , . . . , uin ) = ˜ par dos numeros ´ a se (i1 , . . . , in ) for uma permutac¸ao 1, 2, . . . , n e ˜ ´ımpar f(ui1 , . . . , uin ) = −a se a lista i1 , . . . , in for uma permutac¸ao ´ ´ dos numeros 1, 2, . . . , n. Pelo Teorema 19.1, ha´ uma unica forma nlinear f : E×· · ·×E → R com estas propriedades. Resta provar que f e´ alternada. Com esse objetivo, tomamos um vetor v = Σxi ui qualquer. ˜ Entao: f(∗v ∗ v∗) = =

n X

i,j=1

X i

xi xj f(∗ui ∗ uj ∗)

xi xi f(∗ui ∗ ui ∗) +

+

X i>j

(1)

= 0+

X i<j

(2)

=

X i<j

(3)

=

X i<j

X i<j

xi xj f(∗ui ∗ uj ∗)

xi xj f(∗ui ∗ uj ∗) xi xj f(∗ui ∗ uj ∗) −

xi xj f(∗ui ∗ uj ∗) − xi xj f(∗ui ∗ uj ∗) −

X i<j

X i<j

X i>j

xi xj f(∗uj ∗ ui ∗)

xj xi f(∗ui ∗ uj ∗) xi xj f(∗ui ∗ uj ∗) = 0.

Se¸c˜ ao 19

Determinantes

251

˜ em lugar de n − 2 vetores que permaAcima, os asteriscos estao ˜ A igualdade (1) usa o fato de necem fixos durante a argumentac¸ao. ˜ (n − 2)-linear desses vetores, que satisque f(∗ui ∗ uj ∗) e´ uma func¸ao ˜ f(∗ui ∗ uj ∗) = −f(∗uj ∗ ui ∗) quando esses n − 2 vetores faz a condic¸ao pertencem a` base U logo, pelo Teorema 19.1, esta igualdade vale em geral. Segue-se que f(∗ui ∗ ui ∗) = 0. Na igualdade (2) foram trocados os nomes dos ´ındices mudos i, j. Finalmente, a igualdade (3) usa apenas que xi xj = xj xi . ´ Corolario 1. Se dim E = n entao ˜ dim An (E) = 1. Com efeito, fixada a base U = {u1 , . . . , un } ⊂ E, existe f ∈ An (E) ˜ para toda g∈An (E), se g(u1 , ..., un ) = a tal que f(u1 , ..., un )=1. Entao, tem-se tamb´em (af)(u1 , . . . , un ) = a, logo g = af. Portanto, {f} e´ uma base de An (E). ´ Corolario 2. Se {u1 , . . . , un } ⊂ E e´ uma base e 0 6= f ∈ An (E) entao ˜ f(u1 , . . . , un ) 6= 0. Com efeito, pelo Teorema 19.4 existe fo ∈ An (E) tal que ´ fo (u1 , . . . , un ) = 1. Pelo Corolario 1, f = afo , com a 6= 0. Logo f(u1 , . . . , un ) = afo (u1 , . . . , un ) = a 6= 0. ˜ linear A : E → F induz uma transformac¸ao ˜ Toda transformac¸ao linear A# : An (F) → An (E), a qual faz corresponder a cada forma nlinear alternada f : F × · · · × F → R a nova forma A# f : E × · · · × E → R, definida por (A# f)(v1 , . . . , vn ) = f(Av1 , . . . , Avn ), ´ facil ´ verificar que realmente A# f ∈ An (E), que onde v1 , . . . , vn ∈ E. E # # # # ´ (BA) = A B e I = I. Se A for um isomorfismo, A# tamb´em sera, # −1 −1 # com (A ) = (A ) . Seja agora A : E → E um operador linear. Como dim An (E) = 1, o operador linear A# : An (E) → An (E) con˜ por um numero ´ siste na multiplicac¸ao real, que chamaremos o deter˜ det A. minante do operador A : E → E e indicaremos com a notac¸ao # ˜ A f = det A · f, isto e´ , Assim, por definic¸ao, f(Av1 , . . . , Avn ) = det A · f(v1 , . . . , vn )

para toda f : E × · · · × E → R n-linear alternada e quaisquer v1 , . . . , vn ∈ E.

252

Determinantes

Se¸c˜ ao 19

Isto define o determinante de um operador de modo intr´ınseco, sem recurso a bases ou matrizes. A seguir mostraremos como obter, ˜ as formas classicas ´ a partir desta definic¸ao, de apresentar o determi´ provar duas propriedades nante. De imediato, veremos como e´ facil cruciais do determinante. Teorema 19.5. Se A, B : E → E sao ˜ operadores lineares entao ˜ det(BA) = det B · det A.

˜ Sejam {v1 , . . . , vn } ⊂ E uma base e 0 6= f ∈ An (E), Demonstrac¸ao: ˜ logo f(v1 , . . . , vn ) 6= 0. Entao det(BA).f(v1 , . . . , vn ) = f(BAv1 , . . . , BAvn ) = det B.f(Av1 , . . . , Avn ) = det B. det A.f(v1 , . . . , vn ), portanto det(BA) = det B · det A. ´ Corolario. Se A : E→E e´ um operador nao-negativo ˜ entao ˜ det A≥0.

Com efeito, existe B : E→E tal que A=B2 , logo det A=(det B)2 ≥0. O teorema abaixo mostra que det A > 0 quando A e´ positivo. Teorema 19.6. O operador linear A : E → E e´ invert´ıvel se, e somente se, det A 6= 0. No caso afirmativo, tem-se det(A−1 ) = (det A)−1 . ˜ de AA−1 = I resulta ˜ Se existe A−1 , entao Demonstrac¸ao: det A. det(A−1 ) = det(AA−1 ) = det I = 1, logo det A 6= 0 e det(A−1 ) = (det A)−1 . Reciprocamente, se det A 6= ˜ tomando uma base {v1 , . . . , vn } ⊂ E e uma forma n-linear 0 entao, ˜ alternada nao-nula f : E × · · · × E → R temos f(Av1 , . . . , Avn ) = det A.f(v1 , . . . , vn ) 6= 0,

´ logo, pelo Corolario 1 do Teorema 19.3, os vetores Av1 , . . . , Avn constituem uma base de E. Assim, A e´ invert´ıvel. ´ Corolario. O sistema de equa¸co˜ es lineares Ax = b, com A ∈ L(Rn ), possui uma unica ´ solu¸cao ˜ se, e somente se, det A 6= 0.

Se¸c˜ ao 19

Determinantes

253

Definamos, a seguir, o determinante de uma matriz quadrada. Dada a ∈ M(n × n), escreveremos, de agora em diante, a = ˜ os vetores-coluna da [v1 , . . . , vn ] para significar que v1 , . . . , vn sao matriz a. Seja A : Rn → Rn o operador linear cuja matriz na base canˆonica de Rn e´ a, ou seja, Ae1 = v1 , . . . , Aen = vn . ˜ o determinante da matriz a e´ igual a det A. Por definic¸ao, Assim, se fo ∈ An (Rn ) e´ a forma n-linear alternada tal que ˜ fo (e1 , . . . , en ) = 1 (vide Teorema 19.4) entao det a = det A = det A.fo (e1 , . . . , en ) = fo (Ae1 , . . . , Aen ), ou seja: det a = fo (v1 , . . . , vn ). Portanto det : M(n × n) → R e´ a unica ´ fun¸cao ˜ n-linear alternada das colunas da matriz a = [v1 , . . . , vn ] que assume o valor 1 na matriz identidade In . ˜ n-linear alternada f(a) = f(v1 , . . . , Para uma qualquer func¸ao vn ) das colunas da matriz a = [v1 , . . . , vn ], tem-se evidentemente f(a) = f(v1 , . . . , vn ) = c · det a, onde c = f(In ) = f(e1 , . . . , en ). Escrevemos det[v1 , . . . , vn ] para indicar o determinante da ma˜ os vetores v1 , . . . , vn ∈ Rn . A afirmac¸ao ˜ acima triz cujas colunas sao ˜ axiomatica ´ destacada e´ a caracterizac¸ao dos determinantes feita por Weierstrass. Segundo ela, todas as propriedades dos determinantes podem, em princ´ıpio, ser deduzidas das seguintes: 1) det[. . . , vi + wi , . . .] = det[. . . , vi , . . .] + det[. . . , wi , . . .]; 2) det[. . . , αvi , . . .] = α · det[. . . , vi , . . .]; 3) det[. . . , vi , . . . , vj , . . .] = − det[. . . , vj , . . . , vi , . . .]; 4) det[e1 , . . . , en ] = 1. Por exemplo, vale: 5) O determinante de uma matriz nao ˜ se altera quando se soma a uma de suas colunas uma combina¸cao ˜ linear das demais. Seja w=

X j6=i

αj v j .

254

Determinantes

Se¸c˜ ao 19

˜ acima significa que A afirmac¸ao det[v1 , . . . , vi + w, . . . , vn ] = det[v1 , . . . , vi , . . . , vn ], o que e´ claro pois a segunda parcela do segundo membro abaixo e´ zero, pelo Teorema 19.3: det[. . . , vi + w, . . . , ] = det[. . . , vi , . . .] + det[. . . , w, . . .]. ˜ de 5) temos o Como aplicac¸ao Exemplo 19.5. O determinante de uma matriz triangular e´ igual ao produto dos elementos de sua diagonal. Com efeito, seja t = [tij ] ∈ M(n × n) triangular superior. Escrevendo t = [v1 , . . . , vn ], temos v1 = t11 e1 , v2 = t12 e1 + t22 e2 , v3 = t13 e1 + t23 e2 + t33 e3 , etc. Portanto det t = det[t11 e1 , v2 , . . . , vn ] = t11 det[e1 , t12 e1 + t22 e2 , v3 , . . .] = t11 t22 det[e1 , e2 , t13 e1 + t23 e2 + t33 e3 , v4 , . . .] = t11 t22 t33 det[e1 , e2 , e3 , v4 , . . .]. Prosseguindo analogamente, chegamos a det t = t11 t22 . . . tnn . Dos Teoremas 19.5 e 19.6 resulta que det(ba) = det b · det a e que det a 6= 0 se, e somente se, existe a−1 . No caso afirmativo, det(a−1 ) = (det a)−1 . Exemplo 19.6. (Regra de Cramer.) Seja a ∈ M(n×n) uma matriz invert´ıvel. Dado b ∈ Rn , indiquemos com o s´ımbolo a[i; b] a matriz ˜ obtida de a quando se substitui sua i-´esima coluna por b. A soluc¸ao do sistema linear ax = b, de n equac¸o˜ es a n inc´ognitas e´ o vetor ˜ x = (x1 , . . . , xn ) cujas coordenadas sao xi =

det a[i; b] , det a

i = 1, . . . , n.

Se¸c˜ ao 19

Determinantes

255

Com efeito, se a = [v1 , . . . , vn ], a igualdade ax = b significa que b = x1 v1 + · · · + xn vn . Assim, para cada i de 1 at´e n, tem-se det a[i; b] = det[v1 , . . . , b, . . . , vn ] n X xk det[v1 , . . . , vk , . . . , vn ] = k=1

= xi · det[v1 , . . . , vn ] = xi · det a.

pois, quando k 6= i, a matriz [v1 , . . . , vk , . . . , vn ], com vk na i-´esima coluna, tem duas colunas iguais a vk , logo seu determinante e´ zero. ˜ que xi = det a[i; b]/ det a. Segue-se entao ˜ matrizes do mesmo operador A em relac¸ao ˜ a bases Se a e a′ sao ′ −1 ˜ a = p ap, onde p e´ a matriz de passagem de uma diferentes entao base para a outra. Portanto det a′ = (det p)−1 · det a · det p = det a. ˜ mostrando que o O teorema seguinte completa esta observac¸ao, determinante de todas essas matrizes e´ igual a det A. Teorema 19.7. O determinante do operador linear A : E → E e´ igual ao determinante de uma matriz de A numa base qualquer de E.

˜ Demonstrac¸ao: Seja a = [aij ] ∈ M(n × n) a matriz de A numa ˜ det a = det Ao , onde Ao : Rn → Rn e´ o base U ⊂ E. Por definic¸ao, operador cuja matriz na base canˆonica de Rn e´ a. Seja ϕ : E → Rn o isomorfismo que transforma U na base canˆonica de Rn . Para cada P uj ∈ U , tem-se Auj = i aij ui , logo X X ϕ(Auj ) = aij ϕ(ui ) = aij ei = Ao ej = Ao ϕ(uj ). i

i

Segue-se que ϕ · A = Ao · ϕ, ou seja, Ao = ϕ · A · ϕ−1 . Portanto, para cada f ∈ An (Rn ) tem-se det a · f = A#o f = (ϕ# )−1 A# ϕ# f = (ϕ# )−1 · det A · ϕ# f = = det A · (ϕ# )−1 ϕ# f = det A · f.

Assim, det a = det A.

256

Determinantes

Se¸c˜ ao 19

Tradicionalmente, o determinante de uma matriz a = [aij ] ∈ M(n × n) e´ definido como a soma de n! parcelas do tipo ±a1j1 a2j2 · · · anjn . ˜ produtos de n fatores que pertencem a linhas Essas parcelas sao ˜ dispostos e colunas diferentes de a. A ordem em que os fatores sao e´ a ordem crescente dos ´ındices 1, 2, . . . , n das linhas. Os segundos ´ındices (das colunas) exibem uma permutac¸ao ˜ σ = (j1 , . . . , jn ) dos inteiros 1, 2, . . . , n. O sinal que precede cada parcela e´ + ou −, ˜ σ seja par ou ´ımpar respectivamente. Nouconforme a permutac¸ao ˜ classica ´ tras palavras, a definic¸ao do determinante e´ X det a = εσ · a1σ(1) · a2σ(2) · . . . · anσ(n) , σ

o somat´orio sendo estendido a todas as permutac¸o˜ es σ dos inteiros 1, 2, . . . , n, com εσ = 1 se σ e´ par e εσ = −1 se σ e´ ´ımpar. ˜ consideremos mais uma vez a forma Para obter esta expressao, fo ∈ An (Rn ) tal que fo (e1 , . . . , en ) = 1, logo fo (eσ(1) , . . . , eσ(n) ) = εσ ˜ σ dos inteiros 1, 2, . . . , n. para toda permutac¸ao Dada a matriz a = [aij ] = [v1 , . . . , vn ] ∈ M(n × n), temos n X

v1 = v2 =

i1 =1 n X

ai1 1 ei1 , ai2 2 ei2 ,

i2 =1

.. . vn =

n X

ain n ein ,

in =1

logo

det a = fo (v1 , . . . , vn )   n n n X X X = fo  ain n ein  ai2 2 ei2 , . . . , ai1 1 ei1 , i1 =1

=

n X

i1 ,...,in =1

i2 =1

in =1

ai1 1 ai2 2 · . . . · ain n · fo (ei1 , ei2 , . . . , ein ).

Se¸c˜ ao 19

Determinantes

257

´ ˜ nulas as parcelas em que ha´ repetiNeste ultimo somat´orio, sao c¸o˜ es entre os ´ındices i1 , i2 , . . . , in , restando apenas aquelas em que (i1 , i2 , . . . , in ) = (ρ(1), ρ(2), . . . , ρ(n)) ˜ dos inteiros 1, 2, . . . , n. Neste caso, e´ uma permutac¸ao ai1 1 · ai2 2 · . . . · ain n = a1σ(1) · a2σ(2) · . . . · anσ(n) , onde σ = ρ−1 e a parcela correspondente e´ igual a a1σ(1) · a2σ(2) · . . . · anσ(n) f0 (eρ(1) , . . . , eρ(n) ). Por conseguinte, levando em conta que εσ = ερ , tem-se: det a =

X σ

εσ a1σ(1) · a2σ(2) · . . . · anσ(n) ,

(*)

o somat´orio sendo estendido a todas as permutac¸o˜ es σ dos inteiros 1, 2, . . . , n. ˜ anterior (*), podemos escrever Voltando a` expressao X det a = ερ aρ(1)1 · aρ(2)2 . . . aρ(n)n . ρ

Esta igualdade mostra que o determinante da matriz a e´ igual ao determinante da sua transposta aT . Se A : E → E e´ um operador num espac¸o vetorial munido de pro˜ duto interno e a e´ sua matriz numa base ortonormal entao det A = det a = det aT = det A∗ .

Resulta da igualdade det a = det aT que o determinante e´ ˜ n-linear alternada das linhas da matriz a ∈ M(n × n). uma func¸ao ´ (A unica tal que det In = 1.) Como no caso de colunas, uma qual˜ n-linear alternada f das linhas da matriz a e´ da forma quer func¸ao f(a) = c · det a, onde c = f(In ) = f(e1 , . . . , en ). ¨ encia da igualdade det A = det A∗ e´ que o deterOutra consequˆ minante de um operador ortogonal A e´ igual a ±1, pois (det A)2 = det A∗ · det A = det(A∗ A) = det I = 1.

258

Determinantes

Se¸c˜ ao 19

˜ a caracterizaO teorema seguinte utiliza, em sua demonstrac¸ao, ˜ do determinante de uma matriz como func¸ao ˜ multilinear alterc¸ao nada das linhas ou das colunas dessa matriz. Teorema 19.8. Se b ∈ M(r × r), c ∈ M(r × (n − r)), 0 ∈ M((n − r) × r) e d ∈ M((n − r) × (n − r)) entao ˜ o determinante da matriz   b c a= ∈ M(n × n) 0 d e´ igual a det b · det d. ˜ Para cada c fixa, Demonstrac¸ao: 

 b c f(b, d) = det 0 d ˜ r-linear alternada das colunas de b e (n − r)-linear e´ uma func¸ao alternada das linhas de d, logo   b c det = det b · f(Ir , d) 0 d = det b · det d · f(Ir , In−r ) = det b · det d,

pois 

 Ir c f(Ir , In−r ) = det = 1, 0 In−r ja´ que o determinante de uma matriz triangular e´ o produto dos elementos da sua diagonal. ˜ mais geO Teorema 19.8 implica imediatamente uma sua versao ral, onde se tem uma matriz triangular por blocos, por exemplo, do tipo   b c d e f . a= g

˜ matrizes quadradas (de ordens possivelmente diferenA´ı, b, e, g sao ´ tes) e b, c, d tˆem o mesmo numero de linhas, assim como e, f. Al´em ´ disso, d, f, g tˆem o mesmo numero de colunas, assim como c, e. Os ˜ ocupados por zeros. lugares em branco sao

Se¸c˜ ao 19

Determinantes

259

Nestas condic¸o˜ es, det a = det b · det e · det g. ˜ Mij Dada a = [aij ] ∈ M(n × n), indicaremos com a notac¸ao ˜ a matriz de ordem (n − 1) × (n − 1) obtida mediante a omissao da i-´esima linha e da j-´esima coluna da matriz a. O ij-´esimo me˜ o determinante det Mij o qual se chama nor de a e´ , por definic¸ao, tamb´em o menor relativo ao elemento aij . Resulta imediatamente do Teorema 19.8 que se a = [e1 , v2 , . . . , ˜ det a = vn ] e´ uma matriz cuja primeira coluna e´ (1, 0, . . . , 0) entao ˜ det M11 . Segue-se que se a = [ei , v2 , . . . , vn ] entao det a = (−1)i−1 det Mi1 = (−1)i+1 det Mi1 pois este caso se reduz ao anterior mediante i − 1 transposic¸o˜ es de linhas. Portanto, dada a = [aij ] = [v1 , . . . , vn ], com X v1 = ai1 ei , i

tem-se det a =

X

ai1 det[ei , v2 , . . . , vn ],

i

logo det a =

X (−1)i+1 ai1 det Mi1 . i

A f´ormula acima, chamada o desenvolvimento de det a segundo ´ a primeira coluna, reduz o calculo do determinante de sua matriz n × n ao de n determinantes de matrizes (n − 1) × (n − 1). ´ Mais geralmente, podemos fixar um inteiro arbitrario j, com 1 ≤ j ≤ n, e efetuar o desenvolvimento do determinante de a segundo a j-´esima coluna. Para isso, observamos que se a = [v1 , . . . , vj−1 , ei , vj+1 , . . . , vn ] ˜ det a = (−1)i+j det Mij , e´ uma matriz cuja j-´esima coluna e´ ei entao pois a pode ser transformada numa matriz cuja primeira coluna e´ e1 mediante i − 1 transposic¸o˜ es de linha e j − 1 transposic¸o˜ es de coluna, o que provoca i + j − 2 mudanc¸as de sinal em seu determinante, e ´ isto e´ o mesmo que multiplica-lo por (−1)i+j . Assim, dada a = [v1 , . . . , vn ], com X vj = aij ei , i

260

Determinantes

Se¸c˜ ao 19

temos det a =

X

aij det[v1 , . . . , vj−1 , ei , vj+1 , . . . , vn ],

i

o que fornece: det a =

n X

(−1)i+j aij det Mij .

i=1

Este e´ o desenvolvimento do determinante de a segundo a j-´esima coluna. Como o determinante de a e´ igual ao de sua transposta aT , vale ´ uma f´ormula analoga, que e´ o desenvolvimento segundo a i-´esima linha: n X (−1)i+j aij det Mij . (*) det a = j=1

˜ uteis ´ ´ Estas f´ormulas sao nos calculos, principalmente quando se escolhe uma linha ou uma coluna com diversos elementos iguais a zero. Elas tamb´em podem ser usadas como ponto de partida para ˜ indutiva do determinante de uma matriz. uma definic¸ao Resulta da f´ormula (*) que, para quaisquer i, j = 1, . . . , n, temos n X k=1

(−1)j+k aik det Mjk = (det a) · δij ,

(**)

ou seja, este somat´orio, e´ igual a det a quando i = j e igual a zero quando i 6= j. Com efeito, o caso i = j e´ simplesmente a f´ormula (*) e, para i 6= j, o somat´orio acima e´ o desenvolvimento, segundo a j-´esima linha, do determinante de uma matriz a na qual as linhas i ˜ iguais, portanto seu determinante e´ zero. e j sao O primeiro membro da igualdade (**) lembra um produto de matrizes. De fato, podemos introduzir uma matriz adj a, chamada a adjunta classica ´ de a, pondo, para i, j = 1, . . . , n, (adj a)ij = ˜ o primeiro membro da igualdade (**) e´ o ij(−1)i+j det Mji . Entao e´ simo elemento do produto a · adj a, enquanto o segundo membro e´ o ij-´esimo elemento da matriz (det a).In . Portanto, a igualdade (**) significa que a · adj a = (det a) · In .

Se¸c˜ ao 19

Determinantes

261

Segue-se da´ı que se a matriz a e´ invert´ıvel (isto e´ , se det a 6= 0) ˜ sua inversa se exprime como entao a−1 =

1 · adj a. det a

Esta f´ormula para a−1 tamb´em pode ser obtida com aux´ılio da Regra de Cramer. Com efeito, o problema de obter uma matriz a−1 = [w1 , . . . , wn ] tal que aa−1 = In pode ser considerado como n sistemas de equac¸o˜ es lineares a · wj = ej (j = 1, . . . , n). Pela Regra de Cramer, ˜ wj = (x1j , . . . , xnj ) de cada um desses sistemas e´ dada por a soluc¸ao xij =

det a[i; ej ] = (−1)i+j det Mji , det a

pois a[i; ej ] = [v1 , . . . , vi−1 , ej , vi+1 , . . . , vn ] se a = [v1 , . . . , vn ]. Uma submatriz da matriz a ∈ M(m × n) e´ uma matriz obtida a ˜ de algumas de suas linhas e/ou colunas. partir de a pela omissao Mais precisamente, dois subconjuntos R = {i1 < · · · < ir } ⊂ {1, 2, . . . , m} e S = {j1 < · · · < js } ⊂ {1, 2, . . . , n} determinam a submatriz aRS = [aiα jβ ] ∈ M(r × s) da matriz a, obtida ˜ das linhas de a cujos ´ındices nao ˜ pertencem a R e das pela omissao ˜ estao ˜ em S. colunas cujos ´ındices nao Teorema 19.9. O posto de uma matriz a ∈ M(m × n) e´ o maior numero ´ r tal que a possui uma submatriz aRS ∈ M(r × r), com det aRS 6= 0. ˜ Seja r o posto de a = [v1 , . . . , vn ]. Existe S = {j1 < Demonstrac¸ao: · · · < jr } ⊂ {1, 2, . . . , n} tal que {vj1 , . . . , vjr } e´ L.I., portanto a matriz [vj1 , . . . , vjr ] ∈ M(m × r) tem posto r. Como o posto segundo linhas e´ igual ao posto segundo colunas (Teorema 8.2), existe um subconjunto R = {i1 < · · · < ir } ⊂ {1, 2, . . . , m} tal que as linhas de [vj1 , . . . , vjr ] cujos ´ındices pertencem a R sao ˜ L.I. . Isto significa que a matriz quadrada aRS ∈ M(r × r) e´ invert´ıvel, logo det aRS 6= 0. Mas e´ claro que o posto de uma submatriz de a e´ menor do que ou igual ao posto de a. Portanto, nenhuma submatriz k × k de a, com k > r, pode ter determinante 6= 0.

262

Determinantes

Se¸c˜ ao 19

˜ 17 (vide Observac¸ao ˜ no final de 17.G) foi provado que Na Sec¸ao ˜ uma matriz sim´etrica e´ positiva se, e somente se, seus pivˆos sao todos positivos. Usaremos agora determinantes para provar outro crit´erio de positividade de uma matriz, o qual e´ tradicional e ele´ gante por´em em dimens˜oes mais altas e´ muito menos pratico do que o teste dos pivˆos. Para cada k = 1, . . . , n o menor principal de ordem k da matriz a = [aij ] ∈ M(n × n) e´ o determinante da submatriz principal ak = [aij ], 1 ≤ i, j ≤ k. Teorema 19.10. A fim de que uma matriz sim´etrica a = [aij ] ∈ M(n × n) seja positiva e´ necessario ´ e suficiente que seus menores principais sejam todos positivos. ˜ ˜ No in´ıcio de 17.G. viu-se que se a e´ positiva entao Demonstrac¸ao: ˜ positivas, logo det ak > 0 para suas submatrizes principais ak sao k = 1, . . . , n. Suponha, reciprocamente, que todos os menores prin˜ a = lu (veja item cipais sejam positivos. Tomando a decomposic¸ao 5o¯ em 17.F), resulta que ak = lk uk , para k = 1, . . . , n, lk e uk indicam as submatrizes principais k × k de l e u respectivamente. Segue-se do Exemplo 19.5 que det lk = 1, pois todos os elementos da diagonal ˜ iguais a 1. Logo det ak = det(lk uk ) = det uk = u11 u22 . . . ukk de lk sao (produto dos elementos da diagonal de uk ). Portanto u11 = det a1 > 0 e ukk = det ak / det ak−1 > 0 para k = 2, . . . , n. Assim todos os pivˆos ˜ a = lu sao ˜ positivos, logo a matriz sim´etrica a ukk da decomposic¸ao e´ positiva.

ˆ Apendice ˜ σ : Jn → Jn , Uma permuta¸cao ˜ dos inteiros 1, 2, . . . , n e´ uma bijec¸ao ˜ quanonde Jn = {1, 2, . . . , n}. Um exemplo particular de permutac¸ao, do n > 1, e´ dado pelas transposic¸o˜ es. Uma transposi¸cao ˜ τ : Jn → Jn e´ definida fixando-se dois elementos i 6= j em Jn , pondo τ(i) = j, τ(j) = i e τ(k) = k se k ∈ / {i, j}. ˜ permutac¸o˜ es entao ˜ a func¸ao ˜ composta σ ◦ Se σ, σ′ : Jn → Jn sao ˜ chamada o produto das σ′ : Jn → Jn tamb´em e´ uma permutac¸ao, ˜ σσ′ . A inversa σ−1 : Jn → permutac¸o˜ es σ e σ′ e indicada pela notac¸ao ˜ e´ ainda uma permutac¸ao, ˜ caracterizada pelo Jn de uma permutac¸ao −1 −1 ˜ identidade Jn → Jn . Se fato de que σσ = σ σ = ιn = permutac¸ao

Se¸c˜ ao 19

Determinantes

263

˜ entao ˜ ττ = ιn , ou seja, τ = τ−1 . τ e´ uma transposic¸ao ` vezes se representa uma permutac¸ao ˜ σ : Jn → Jn pela lista As ´ ordenada (σ(1), . . . , σ(n)) dos valores que ela assume nos numeros 1, 2, . . . , n. ´ O conjunto das permutac¸o˜ es dos n numeros 1, 2, . . . , n tem n! = 1 · 2 . . . n elementos.

˜ σ : Jn → Jn se escreve (de varias ´ Toda permutac¸ao maneiras diferentes) como produto de transposic¸o˜ es σ = τ1 · τ2 . . . τk .

˜ σ, o numero ´ Dada a permutac¸ao k de transposic¸o˜ es tais que ˜ a sua paridade. Noutras σ = τ1 · τ2 . . . τk pode variar, por´em nao ´ palavras, se σ puder ser expressa como produto de um numero par ˜ nao ˜ podera´ ser expressa como produto de um de transposic¸o˜ es entao ´ ´ımpar de transposic¸o˜ es. Ou ainda, se σ = τ1 ·τ2 . . . τk onde as numero ´ ˜ transposic¸o˜ es entao ˜ (−1)k e´ um numero que depende apenas τi sao ´ ˜ εσ . de σ. Este numero, igual a ±1, e´ representado pela notac¸ao Quando εσ = +1, diz-se que σ e´ uma permuta¸cao ˜ par. Se εσ = −1, diz-se que σ e´ uma permuta¸cao ˜ ´ımpar. Tem-se εσσ′ = εσ ·εσ′ , ou seja, o produto de permutac¸o˜ es pares e´ par, o produto de uma ˜ par por uma permutac¸ao ˜ ´ımpar e´ ´ımpar e o produto de permutac¸ao ´ duas permutac¸o˜ es ´ımpares e´ par. E claro tamb´em que εσ = εσ−1 .

Exerc´ıcios

19.1. Sejam E1 , . . . , Er espac¸os vetoriais de dimens˜oes n1 , . . . , nr res˜ r-linear f : E1 × · · · × Er → R e prove pectivamente. Defina func¸ao que o conjunto L(E1 , . . . , Er ; R) dessas func¸o˜ es e´ um espac¸o vetorial ˜ n1 · n2 · . . . · nr . de dimensao ˜ n e U = {u1 , . . . , un } ⊂ 19.2. Sejam E um espac¸o vetorial de dimensao ¨ encia crescente J = {j1 < j2 < · · · < jr } de E uma base. Para cada sequˆ ´ r inteiros de 1 at´e n, seja escolhido um numero aJ . Prove que existe ´ uma (unica) forma r-linear alternada f : E × · · · × E → R tal que ¨ encia J = {j1 < · ·
· < jr }. Conclua f(uj1 , . . . , ujr ) = aJ para toda sequˆ ˜ igual a nr . que o espac¸o vetorial Ar (E) tem dimensao

264

Determinantes

Se¸c˜ ao 19

19.3. Dados os funcionais lineares f1 , . . . , fr : E → R, defina a forma r-linear alternada f = f1 ∧. . .∧fr : E×· · ·×E → R pondo f(v1 , . . . , vr ) = det(fi (vj )). (“Produto exterior” dos funcionais f1 , . . . , fr .) Prove que ˜ L.I. . Prove tamb´em f1 ∧ . . . ∧ fr 6= 0 se, e somente se, f1 , . . . , fr sao ˜ as formas fJ = fj1 ∧ . . . ∧ fjr , que se {f1 , . . . , fn } ⊂ E∗ e´ uma base entao para todo J = {j1 < · · · < jr } ⊂ {1, 2, . . . , n}, constituem uma base para Ar (E). ´ 19.4. Chama-se gramiano dos vetores v1 , v2 , . . . , vk ∈ Rn ao numero γ(v1 , . . . , vk ) = det(hvi , vj i), determinante da matriz de Gram g(v1 , . . . , vk ). Prove: ˜ line(a) γ(v1 , . . . , vk ) > 0 se, e somente se, os vetores v1 , . . . , vk sao armente independentes. ˜ γ(v1 , . . . , vk ) = |v1 |2 · (b) Se v1 e´ perpendicular a v2 , . . . , vk entao γ(v2 , . . . , vk ). ˜ do exerc´ıcio anterior, sejam w1 a projec¸ao ˜ or19.5. Com a notac¸ao togonal do vetor v1 sobre o subespac¸o gerado por v2 , . . . , vr e h1 = v1 − w1 , logo h1 e´ perpendicular aos vj com 2 ≤ j ≤ r. Prove que γ(v1 , . . . , vr ) = |h1 |2 γ(v2 , . . . , vr ). 19.6. O paralelep´ıpedo gerado pelos vetores linearmente independentes v1 , . . . , vr ∈ Rn e´ o conjunto P[v1 , . . . , vr ] das combinac¸o˜ es lineares t1 v1 + · · · + tr vr , onde 0 ≤ ti ≤ 1. O volume (r-dimensional) do ˜ Se r = 1, ele se reduz ao segparalelep´ıpedo e´ definido por induc¸ao. ˜ mento de reta [0, v1 ], cujo “volume” uni-dimensional e´ , por definic¸ao, ˜ |v1 |. Supondo definido o volume de um paralelep´ıpedo de dimensao r − 1, p˜oe-se vol P[v1 , . . . , vr ] = |h1 | · vol P[v2 , . . . , vr ], onde |h1 | e´ a altura do paralelep´ıpedo, isto e´ , h1 = v1 − w1 e w1 e´ ˜ ortogonal de v1 sobre o subespac¸o gerado por v2 , . . . , vr . a projec¸ao Prove que q p vol P[v1 , . . . , vr ] = γ(v1 , . . . , vr ) = det(hvi , vj i).

Se¸c˜ ao 19

Determinantes

265

˜ os veto19.7. Seja a a matriz quadrada invert´ıvel cujas colunas sao res v1 , . . . , vn ∈ Rn . Prove que γ(v1 , . . . , vn ) = (det a)2 e conclua que o paralelep´ıpedo gerado pelos vetores v1 , . . . , vn tem volume igual a | det a|. 19.8. Seja A : Rn → Rn um operador linear invert´ıvel. Para todo paralelep´ıpedo n-dimensional X ⊂ Rn , prove que a imagem A(X) e´ um paralelep´ıpedo tal que vol A(X) = | det A| · vol X. 19.9. Calcule o determinante da matriz   0 0 0 a14  0 0 a23 a24     0 a32 a33 a34  a41 a42 a43 a44 e generalize o resultado para uma matriz [aij ] ∈ M(n × n) na qual aij = 0 quando i + j ≤ n. 19.10. Se a matriz triangular b resulta de a pelo processo gaussi˜ prove que det b = (−1)t det a, onde t e´ o numero ´ ano de eliminac¸ao, de transposic¸o˜ es de linhas feitas durante o escalonamento. (Escalonamento e´ o modo mais eficaz de calcular o determinante de uma matriz n × n quando n ≥ 4.) 19.11. Escalonando a matriz de Vandermonde  1 1 1 ... 1  x1 x x . . . x n 2 3   2 x22 x23 . . . x2n v =  x1  .. .. .. .. ..  . . . . .

x1n−1 x2n−1 x3n−1 . . . xnn−1

      

mostre que seu determinante e´ igual a Π (xi − xj ),

i>j

´ ˜ dois logo v e´ invert´ıvel se, e somente se, os numeros x1 , x2 , . . . , xn sao ˜ mostre que, dados n + 1 pares de a dois distintos. Como aplicac¸ao, ´ numeros (xo , yo ), . . . , (xn , yn ), onde xo <x1 < · · · <xn , existe um, e somente um, polinˆomio p de grau ≤n tal que p(xo )=yo , . . . , p(xn )=yn .

266

Determinantes

Se¸c˜ ao 19

˜ gaussiana (escalonamento) para calcular os 19.12. Use eliminac¸ao determinantes das seguintes matrizes:     2 1 3 2 1 −2 1 −1 3 0 1 5 −7 2  1 −2     e 1 −1 4 3 1 −5 3  3 2 2 −1 1 2 3 −6 0 19.13. Proponha e resolva um sistema linear com o uso da regra de Cramer e calcule pelo menos a inversa de uma matriz usando a ´ adjunta classica. 19.14. Calcule os determinantes das matrizes     1+a b c 0 Im  a  1+b c e In 0 a b 1+c onde os zeros representam matrizes de dimens˜oes adequadas. 19.15. Analise o seguinte argumento segundo o qual toda matriz anti-sim´etrica tem determinante igual a zero: “Tem-se aT = −a, logo det a = det aT = det(−a) = − det a, logo det a = 0. ” Contraste com   0 −1 det . 1 0 19.16. Defina o produto vetorial de n vetores v1 , . . . , vn ∈ Rn+1 como o vetor v = v1 × · · · × vn tal que, para todo w ∈ Rn+1 , temse hw, vi = det[v1 , . . . , vn , w] = determinante da matriz cujas colunas ˜ os vetores v1 , . . . , vn , w nesta ordem. Prove: sao (a) O vetor v = v1 × · · · × vn ∈ Rn+1 esta´ bem definido e e´ uma ˜ n-linear alternada dos vetores v1 , . . . , vn . func¸ao ˜ (b) Seja a = [v1 , . . . , vn ] a matriz (n + 1) × n cujas colunas sao v1 , . . . , vn . Para cada i = 1, . . . , n+1, seja ai ∈ M(n×n) a matriz ˜ da i-´esima linha. Prove que a i-´esima obtida de a pela omissao coordenada do vetor v = v1 × · · · × vn e´ igual a (−1)n+i+1 det ai . (c) O produto vetorial v = v1 × · · · × vn e´ ortogonal a v1 , . . . , vn .

Se¸c˜ ao 19

Determinantes

267

˜ L.D. . (d) Tem-se v = v1 ×· · ·×vn = 0 se, e somente se, v1 , . . . , vn sao (e) Quando v 6= 0, a norma |v| = |v1 × · · · × vn | e´ igual ao volume do paralelep´ıpedo n-dimensional P[v1 , . . . , vn ] ⊂ Rn+1 . ˜ calcule vol P[v, v1 , . . . , vn ], levando em conta (c).) [Sugestao:

˜ L.I., tem-se det[v1 , . . . , vn , v1 × (f) Quando os vetores v1 , . . . , vn sao · · · × vn ] > 0. ´ (g) O produto vetorial v = v1 × · · · × vn e´ o unico vetor de Rn+1 com as propriedades (c), (d), (e), (f) acima. 19.17. Para cada i = 1, . . . , n + 1, seja ai ∈ M(n × n) a matriz obtida omitindo a i-´esima linha de a ∈ M((n + 1) × n). Prove que det(aT a) =

n+1 X

(det ai )2 .

(Identidade de Lagrange.)

i=1

˜ use (e) acima e o Exerc´ıcio 19.6.] [Sugestao: 19.18. Prove que todo operador ortogonal com determinante positivo ´ possui uma raiz quadrada ortogonal. Ela e´ unica?

20 O Polinˆ omio Caracter´ıstico

´ Boa parte da importancia ˆ dos determinantes em Algebra Linear se deve ao polinˆomio caracter´ıstico, o qual ja´ tivemos ocasiao ˜ de utilizar em dimensao ˜ 2. Nesta se¸cao, ˜ ja´ de posse da no¸cao ˜ geral de determinante, vamos considerar esse polinˆomio em dimens˜oes arbitrarias. ´ Seja A : E → E um operador linear num espac¸o vetorial E, de ˜ finita. A fim de que um numero ´ dimensao real λ seja autovalor de A, ´e necessario ´ e suficiente que exista v 6= 0 em E tal que (A − λI)v = 0, ´ ˜ ou seja, que o operador A − λI : E → E tenha nucleo nao-trivial e ˜ seja invert´ıvel. Segundo o Teorema 19.6, isto acontece portanto nao se, e somente se, det(A − λI) = 0. ˜ ´ Conforme resulta da definic¸ao classica de determinante, det(A−λI) e´ um polinˆomio de grau n em λ, cujo termo l´ıder e´ (−1)n λn . Ele e´ chamado o polinˆomio caracter´ıstico do operador A e e´ representado por pA (λ). Assim, pA (λ) = det(A − λI). ˜ alg´ebrica pA (λ) = 0 sao ˜ As ra´ızes (reais ou complexas) da equac¸ao chamadas as ra´ızes caracter´ısticas do operador A. Do que foi dito ˜ suas acima, segue-se que os autovalores do operador linear A sao ra´ızes caracter´ısticas reais.

Se¸c˜ ao 20

O Polinˆ omio Caracter´ıstico

269

Se E possui produto interno, o polinˆomio caracter´ıstico do operador adjunto A∗ : E → E coincide com o do operador A pois pA∗ (λ) = det(A∗ − λI) = det(A − λI)∗ = det(A − λI) = pA (λ).

O polinˆomio caracter´ıstico de uma matriz quadrada a ∈ M(n×n) ˜ pa (λ) = det(a − λIn ), ou seja, e´ o polinˆomio carace´ , por definic¸ao, ter´ıstico pA (λ) do operador A : Rn → Rn cuja matriz na base canˆonica e´ igual a a. Mais geralmente, pa (λ) = pA (λ) para qualquer operador ´ linear A : E → E cuja matriz, relativamente a uma base arbitraria de E, seja a. (Vide Teorema 19.7.) ˜ semelhantes entao ˜ seus Se duas matrizes a e b = p−1 ap sao ˜ iguais. Com efeito, neste caso, a e polinˆomios caracter´ısticos sao ˜ matrizes do mesmo operador A : Rn → Rn relativamente a b sao bases diferentes, logo pa (λ) = pA (λ) = pb (λ). Analogamente, se A e ˜ operadores semelhantes no espac¸o vetorial E, existem B = P−1 AP sao ` quais A e B tˆem a mesma matriz duas bases de E relativamente as a, logo pA (λ) = pa (λ) = pB (λ). Exemplo 20.1. Se um dos operadores A, B : E → E (digamos, B) ˜ pAB (λ) = pBA (λ). Com efeito, neste caso, BA = e´ invert´ıvel entao ˜ operadores semelhantes. A igualdade B(AB)B−1 , logo BA e AB sao entre os polinˆomios caracter´ısticos de AB e BA prevalece, mesmo ˜ nao-invert´ ˜ quando ambos os operadores, A e B, sao ıveis. Isto se prova usando um argumento de continuidade, assim: como o opera´ ´ dor B tem no maximo um numero finito de autovalores positivos, ´ existe um numero real c > 0 tal que 0 < ε < c ⇒ B − εI invert´ıvel. Portanto, para todo ε positivo, menor do que c, os operadores (B − εI)A e A(B − εI) tˆem o mesmo polinˆomio caracter´ıstico. Como os coeficientes do polinˆomio caracter´ıstico do operador B − εI ˜ evidentemente func¸o˜ es cont´ınuas de ε, fazendo ε → 0 conclu´ımos sao que pAB = lim pA(B−εI) = lim p(B−εI)A = pBA . ε→0

ε→0

Exemplo 20.2. Um operador A : E→E diz-se triangularizavel ´ quan˜ a` qual a matriz de A e´ triando existe uma base U de E em relac¸ao gular. Se a matriz de A na base U = {u1 , . . . , un } e´ triangular inferior ˜ na base U ′ = {un , . . . , u1 }, a matriz de A e´ triangular superior. entao, Isto significa que existem subespac¸os Fo ⊂ F1 ⊂ · · · ⊂ Fn = E, in´ variantes por A, tais que dim Fi = i. Se A e´ triangularizavel e, na

270

O Polinˆ omio Caracter´ıstico

Se¸c˜ ao 20

˜ o polinˆomio base U , sua matriz a = [aij ] e´ triangular superior entao caracter´ıstico de A e´ pA (λ) =

n Y

(aii − λ).

i=1

Com efeito, a matriz de A − λI na base U tamb´em e´ triangular superior, com os elementos aii − λ na diagonal, logo seu determinante ´ e´ igual ao produto desses numeros. (Exemplo 19.5.) Portanto, as ´ ˜ todas rera´ızes caracter´ısticas de um operador triangularizavel sao ˜ autovalores desse operador. Em particular, sao ˜ reais ais, logo sao as ra´ızes do polinˆomio caracter´ıstico de uma matriz sim´etrica (ou, o que e´ o mesmo, de um operador auto-adjunto num espac¸o com produto interno) pois toda matriz sim´etrica e´ semelhante a uma matriz diagonal, que e´ certamente triangular. ˜ de polinˆomio caracter´ıstico permite concluir que se a A noc¸ao ˜ de E e´ um numero ´ ´ımpar entao ˜ todo operador linear dimensao A : E → E possui pelo menos um autovalor. Com efeito, o polinˆomio caracter´ıstico pA (λ), sendo um polinˆomio real de grau ´ımpar, possui pelo menos uma raiz real. Quando dim E = 2, sabemos que o polinˆomio caracter´ıstico do operador A : R2 → R2 , cuja matriz na base canˆonica tem linhas (a, b) e (c, d), e´ igual a λ2 − (a + d)λ + ad − bc, onde o coeficiente de λ e´ menos a soma a + d dos elementos da diagonal dessa matriz e o termo constante, ad − bc, e´ seu determinante. ˆ Em que pese a importancia dos autovalores de A, e´ uma tarefa ˜ dos coeficientes de pA quando seu grau complicada a determinac¸ao ´ e´ elevado (e muito mais complicado ainda o calculo de suas ra´ızes). ´ de calcular: o termo indeUm desses coeficientes e´ , entretanto, facil pendente de λ e´ igual a pA (0), logo e´ igual a det A. ˜ λ1 , . . . , λn , tem-se Por outro lado, se as ra´ızes de pA sao pA (λ) = (−1)n (λ − λ1 ) · · · (λ − λn ). Pondo λ = 0 vem det A = pA (0) = λ1 · · · · · λn . Portanto o determinante de A e´ igual ao produto das suas ra´ızes caracter´ısticas, mesmo ˜ numeros ´ quando algumas delas sao complexos. (Como pA e´ um polinˆomio real, suas ra´ızes complexas, caso existam, vˆem aos pares

Se¸c˜ ao 20

O Polinˆ omio Caracter´ıstico

271

conjugados, α + iβ e α − iβ, com produto α2 + β2 , logo o produto das ra´ızes de pA e´ real.) ´ ˜ no polinˆomio pA (λ) e´ o coeOutro termo de facil determinac¸ao n−1 ˜ classica ´ ficiente de λ . Na expressao de det(A − λI) em termos da matriz a = [aij ] de A numa certa base, as parcelas que cont´em a potˆencia λn−1 resultam do produto Π(aii − λ) dos termos da dia˜ todas da forma (−1)n−1 aii λn−1 . Portanto gonal dePa − λIn , logo sao n−1 (−1) aii e´ o coeficiente de λn−1 no polinˆomio pA (λ). ˜ Novamente, a expressao

pA (λ) = (−1)n

n Y (λ − λi ) i=1

mostra que o coeficiente de λn−1 e´ igual a (−1)n−1 vezes a soma das ra´ızes do polinˆomio pA . Isto nos leva a concluir que, seja qual for a base escolhida em E, a soma Σaii dos elementos da diagonal da matriz de A nessa base e´ a mesma, igual a` soma das ra´ızes caracter´ısticas de A, que e´ sempre ´ um numero real (mesmo que haja ra´ızes complexas) pois (α + iβ) + (α − iβ) = 2α. Esta soma Σaii chama-se o tra¸co do operador A e e´ designada ˜ tr A. com a notac¸ao Segue-se do Exemplo 20.1 que tr AB = tr BA sejam quais forem os operadores lineares A, B : E → E. (Isto tamb´em se vˆe diretamente, multiplicando as matrizes de A e B.) ˜ quando dim E = 2 o polinˆomio caracter´ıstico Com esta notac¸ao, de um operador A : E → E se escreve pA (λ) = λ2 − (tr A)λ + det A.

Vimos no Exemplo 20.2 que as ra´ızes caracter´ısticas de um ope´ ˜ todas numeros ´ rador triangularizavel sao reais. Mostraremos agora que vale a rec´ıproca. Para isso, faremos uso do seguinte Lema. Seja F ⊂ E um subespa¸co invariante pelo operador A : E → E. Se A′ : F → F representa a restri¸cao ˜ de A ao subespa¸co F, entao ˜ o ′ polinˆomio pA e´ um divisor de pA .

272

O Polinˆ omio Caracter´ıstico

Se¸c˜ ao 20

˜ Demonstrac¸ao: Sejam a′ a matriz de A′ numa base U ′ ⊂ F e a a ˜ matriz de A numa base U ⊃ U ′ . Entao    ′  ′ a − λIr b a b  ,  e a − λIn =  a= 0 c − λIn−r 0 c onde r = dim F e n = dim E. Pelo Teorema 19.8, temos pA (λ) = det(a − λIn ) = det(a′ − λIr ) · det(c − λIn−r )

= pA′ (λ) · q(λ), onde

q(λ) = det(c − λIn−r ). ´ Portanto pA (λ) e´ um multiplo de pA′ (λ). Teorema 20.1. Se as ra´ızes do polinˆomio caracter´ıstico pA sao ˜ todas reais entao ˜ o operador A : E → E e´ triangularizavel. ´

´ ˜ Demonstrac¸ao: O teorema e´ o´ bvio se dim E = 1. Para prova-lo ˜ suponhamo-lo valido ´ ˜ n − 1 e seja dim E = por induc¸ao, em dimensao ˜ exista ainda) um produto interno em n. Introduzamos (caso nao E. Como A e A∗ tˆem o mesmo polinˆomio caracter´ıstico, o operador A∗ : E → E tem autovalor logo existe um subespac¸o F ⊂ E, de di˜ 1, invariante por A∗ . O complemento ortogonal F⊥ = Fn−1 mensao ˜ n − 1 em E, invariante por A, e´ um subespac¸o vetorial de dimensao ∗ ∗ pois A = (A ) . (Vide Teorema 13.3.) Pelo Lema, se A′ : Fn−1 → Fn−1 ˜ de A ao subespac¸o Fn−1 , as ra´ızes do polinˆomio carace´ a restric¸ao ˜ tamb´em ra´ızes de pA , logo sao ˜ todas reais. Pela ter´ıstico pA′ sao ˜ existem subespac¸os Fo ⊂ F1 ⊂ · · · ⊂ Fn−1 , com hip´otese de induc¸ao, dim Fi = i, invariantes por A′ , logo invariantes por A, o que prova o teorema. ˜ Exemplo 20.3. Um operador num espac¸o vetorial de dimensao ´ 2 e´ triangularizavel se, e somente se, possui ao menos um auto˜ de angulo ˆ valor real. Por exemplo, uma rotac¸ao θ, com θ 6= 0 e ◦ ˜ e´ triangularizavel ´ ˜ θ 6= 180 , nao pois suas ra´ızes caracter´ısticas sao cos θ±i sen θ, ambas complexas. (Vide Exemplo 14.2.) Ja´ o operador A : R2 → R2 , A(x, y) = (7x−12y, 3x−5y), tem polinˆomio caracter´ıstico

Se¸c˜ ao 20

O Polinˆ omio Caracter´ıstico

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pA (λ) = λ2 − 2λ + 1 com uma raiz real dupla λ = 1, logo A e´ trian´ ˜ e´ diagonalizavel ´ gularizavel. Evidentemente, A nao pois se o fosse, ´ como seu unico autovalor e´ 1, seria igual ao operador identidade. Se quisermos achar uma base {u, v} ⊂ R2 na qual a matriz de A seja triangular superior, basta procurar um autovetor u = (x, y), com ˜ nao-trivial ˜ Au = u, ou seja, basta achar uma soluc¸ao u = (x, y) do sistema 7x − 12y = x, 3x − 5y = y. Uma dessas soluc¸o˜ es e´ u = (2, 1). Tomando,  por exemplo, v = (0, 1), a matriz de A na base {u, v} e´  1 −6 . Com efeito, Au = u e Av = −6u + v. 0 1 ˜ de angulo ˆ Exemplo 20.4. Seja A : R3 → R3 a rotac¸ao θ em torno do eixo z. Temos, para todo (x, y, z) ∈ R3 : A(x, y, z) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ, z).

Para evitar casos especiais o´ bvios, suponhamos 0 < θ < 180◦ . Chamando de a a matriz de A na base canˆonica de R3 , a matriz de A − λI e´   cos θ − λ − sen θ 0 cos θ − λ 0  a − λI3 =  sen θ 0 0 1−λ

logo det(A − λI) = (1 − λ)(λ2 − 2λ cos θ + 1) = pA (λ). Portanto o polinˆomio caracter´ıstico pA tem uma raiz real 1 e duas ˜ existe em R3 uma base ra´ızes complexas cos θ ± i sen θ. Assim, nao na qual a matriz de A seja triangular. ˜ do Teorema 20.1 vemos que, se o Examinando a demonstrac¸ao espac¸o E vem provido de um produto interno, ela fornece uma base ˜ a` qual a matriz do operador A : E → E (cujo ortonormal em relac¸ao polinˆomio caracter´ıstico tem apenas ra´ızes reais) e´ uma matriz tri˜ matricial para aquele angular. Isto fornece a seguinte interpretac¸ao teorema: se o polinˆomio caracter´ıstico da matriz a ∈ M(n × n) e´ um ˜ existe uma matriz produto de fatores reais do primeiro grau entao ortogonal q ∈ M(n × n) tal que t = qT aq (= q−1 aq) e´ uma matriz triangular. Dados um operador linear A : E → E e um polinˆomio p(λ) = ao + a1 λ + · · · + am λm ,

o s´ımbolo p(A) representara´ o operador

p(A) = ao I + a1 A + · · · + am Am ,

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O Polinˆ omio Caracter´ıstico

Se¸c˜ ao 20

obtido de p(λ) substituindo-se λi por Ai , tendo o cuidado de lembrar que Ao = I, logo λo = 1 deve ser substitu´ıdo por I. ´ Um resultado importante em Algebra Linear e´ o Teorema de Cayley-Hamilton, segundo o qual, se p = pA e´ o polinˆomio carac˜ p(A) = 0. Verifiquemos a veracidade ter´ıstico do operador A entao ˜ num caso particular. desta afirmac¸ao Exemplo 20.5. Seja A : R2 → R2 dado por

A(x, y) = (ax + by, cx + dy).

O polinˆomio caracter´ıstico de A e´ pA (λ) = λ2 − (a + d)λ + (ad − bc). Vamos mostrar que o operador B = pA (A) = A2 − (a + d)A + (ad − bc)I e´ igual a zero. Para isto, basta verificar que Be1 = Be2 = 0. Ora, temos Ae1 = (a, c), A2 e1 = (a2 + bc, ac + cd), e1 = (1, 0), logo Be1 = A2 e1 − (a + d)Ae1 + (ad − bc)e1 = (a2 + bc, ac + cd) − (a2 + ad, ac + cd) + (ad − bc, 0) = (0, 0). ´ De maneira analoga se vˆe que Be2 = 0. Portanto B = 0. Isto mostra ˜ 2. que o Teorema de Cayley-Hamilton vale em dimensao Provaremos, a seguir, o Teorema de Cayley-Hamilton para ope´ ˜ mostraremos que, num radores triangularizaveis. Na pr´oxima sec¸ao ´ espac¸o vetorial complexo, todo operador e´ triangularizavel. Da´ı deduziremos a validez do teorema para qualquer operador num espac¸o real. Teorema 20.2. Se o polinˆomio caracter´ıstico pA do operador A : E→E e´ o produto de fatores reais do primeiro grau entao ˜ pA (A)=0. ˜ Pelo Teorema 20.1 existe uma base {u1 , . . . , un } ⊂ E Demonstrac¸ao: relativamente a` qual a matriz a = [aij ] de A e´ triangular superior. Se escrevermos Fo = {0} e Fi = subespac¸o vetorial de E gerado por u1 , . . . , ui , teremos Fo ⊂ F1 ⊂ · · · ⊂ Fn = E e cada Fi e´ invariante

Se¸c˜ ao 20

O Polinˆ omio Caracter´ıstico

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por A, ou seja, A(Fi ) ⊂ Fi . Por hip´otese, temos pA (λ) = (−1)n (λ − λ1 ) . . . (λ − λn ). Escrevendo B = pA (A), resulta: B = (−1)n (A − a11 I)(A − a22 I) · · · (A − ann I) ˜ os elementos aii da diagonal pois as ra´ızes caracter´ısticas de A sao da matriz a. Para cada i = 1, . . . , n, temos Aui = z + aii ui , onde z ∈ Fi−1 , portanto (A − aii I)ui = z ∈ Fi−1 . Isto mostra que, para todo i = 1, . . . , n, o operador Bi = A − aii I transforma Fi em Fi−1 . Ora, temos pA (A) = B = B1 B2 . . . Bn , logo

pA (A) transforma E em {0}, isto e´ , pA (A) = 0. Seja λo um autovalor do operador A : E → E. A multiplicidade ˜ do subespac¸o vetorial Fλo = {v ∈ geom´etrica de λo e´ a dimensao E; Av = λo v}. A multiplicidade alg´ebrica de λo e´ sua multiplicidade como raiz do polinˆomio caracter´ıstico de A, isto e´ , e´ o maior inteiro m tal que pA (λ) = (λo − λ)m · q(λ), onde q(λ) e´ ainda um polinˆomio. Obviamente, Fλo e´ um subespac¸o invariante por A. Restrito a esse subespac¸o, A coincide com λo I, ou seja, e´ simplesmente a mul˜ por λo . Portanto, o polinˆomio caracter´ıstico do operador tiplicac¸ao ′ ˜ de A, e´ igual a (λo − λ)r , onde r e´ a dimensao ˜ A : Fλo → Fλo , restric¸ao de Fλo , ou seja, a multiplicidade geom´etrica do autovalor λo . Pelo Lema que antecede o Teorema 20.1, o polinˆomio caracter´ıstico de A ´ e´ um multiplo de (λo −λ)r , ou seja, pA (λ) = (λo −λ)r q(λ). Isto prova o Teorema 20.3. A multiplicidade geom´etrica de um autovalor e´ menor do que ou igual a` sua multiplicidade alg´ebrica. Exemplo 20.6. No operador A do Exemplo 20.3, a multiplicidade alg´ebrica do autovalor 1 e´ igual a 2 mas a sua multiplicidade geom´etrica e´ 1. Teorema 20.4. Se o operador A : E → E e´ auto-adjunto, ou ortogonal, as multiplicidades geom´etrica e alg´ebrica de qualquer autovalor coincidem.

276

O Polinˆ omio Caracter´ıstico

Se¸c˜ ao 20

˜ F e F⊥ ˜ Demonstrac¸ao: Seja F = Fλo = {v ∈ E; Av = λo · v}. Entao ˜ ambos subespac¸os invariantes por A. Como vimos no Lema que sao antecede o Teorema 20.1, se indicarmos respectivamente por A′ : F → F e A′′ : F⊥ → F⊥ as restric¸o˜ es de A a esses subespac¸os invariantes, teremos pA = pA′ · pA′′ , ou seja, pA (λ) = (λo − λ)r · pA′′ (λ), onde ˜ de F, nao ˜ pode existir em F⊥ (nem em r = dim F. Mas, pela definic¸ao lugar algum fora de F) um autovetor correspondente ao autovalor λo . ˜ e´ raiz de pA′′ . Assim, r e´ o maior inteiro tal que (λo − λ)r Logo λo nao divide pA , ou seja, e´ a multiplicidade alg´ebrica de λo .

Exerc´ıcios 20.1. Assinale V(erdadeiro) ou F(also): (

) Os operadores A e A∗ tˆem os mesmos autovetores.

(

) Sejam a a matriz do operador A : Rn → Rn na base canˆonica e ˜ autovetores L.I. de A. Entao ˜ p uma matriz cujas colunas sao p−1 ap e´ diagonal.

(

˜ λ−1 e´ autovalor ) Se λ e´ autovalor do operador invert´ıvel A entao −1 de A .

(

) O polinˆomio caracter´ıstico do operador A + B e´ a soma dos polinˆomios caracter´ısticos de A e B.

(

˜ v e´ ) Se v e´ um autovetor comum aos operadores A e B entao autovetor de A + B e de BA.

(

˜ iguais. ) Duas matrizes triangulares semelhantes sao

20.2. Determine os polinˆomios caracter´ısticos dos seguintes operadores: ´ (a) Um multiplo αI da identidade; ˜ P; (b) Uma projec¸ao ˜ (c) Uma involuc¸ao; ˜ D : Pn → Pn . (d) O operador de derivac¸ao

Se¸c˜ ao 20

O Polinˆ omio Caracter´ıstico

277

˜ finita, com produto interno, 20.3. No espac¸o vetorial E, de dimensao seja Av = hv, ai b um operador de posto 1. Escreva a matriz de A numa base ortonormal que comece com u1 = a/|a| e, a partir da´ı, determine o polinˆomio caracter´ıstico de A, seus autovetores e seus autovalores com as respectivas multiplicidades. 20.4. Qual o coeficiente de λ2 no polinˆomio caracter´ıstico pa (λ) de uma matriz a = [aij ] ∈ M(3 × 3) ? 20.5. Seja F1 ⊂ E um subespac¸o invariante pelo operador linear ˜ sobre F2 paralelamente a A : E → E. Se E = F1 ⊕ F2 , seja P a projec¸ao ˜ de A a F1 e com A2 : F2 → F2 F1 . Indique com A1 : F1 → F1 a restric¸ao o operador dado por A2 v = PAv, v ∈ F2 . Prove que pA (λ) = pA1 (λ) · pA2 (λ). Seja U uma base de E, formada por uma base de F1 seguida por outra de F2 . Mostre que a matriz de A na base U tem a forma   a1 b 0 a2 ˜ as matrizes de A1 e A2 respectivamente. Dˆe um onde a1 e a2 sao ˜ enunciado mais simples, em termos de matrizes, para a proposic¸ao cuja tese e´ pA (λ) = pA1 (λ) · pA2 (λ). 20.6. Determine o polinˆomio caracter´ıstico, ache os autovalores e exiba uma base de autovetores para a matriz   4 −3 1 1 2 −1 1 1   0 0 −4 3 0 0 2 1 20.7. Determine o polinˆomio triz  4 −3 2 −1  0 0  0 0  0 0 0 0

caracter´ıstico e os autovalores da ma a3 a4 a5 a6 b3 b4 b5 b6   −4 3 c5 c6   2 1 d5 d6   0 0 1 3 0 0 3 −1

˜ os autovetores do operador de derivac¸ao ˜ D : C∞ (R) → 20.8. Quais sao C∞ (R) ?

278

O Polinˆ omio Caracter´ıstico

Se¸c˜ ao 20

20.9. Assinale V(erdadeiro) ou F(also): (

´ ) Se um operador e´ diagonalizavel, todas as suas matrizes trian˜ diagonais. gulares sao

(

˜ ) Seja a uma matriz triangular nao-diagonal. Se todos os ele˜ e´ diagonalizavel. ´ mentos da diagonal de a forem iguais, a nao

(

) Uma matriz 3 × 3 que tem dois autovalores distintos e´ triangu´ larizavel.

20.10. Sejam A, B : E → E operadores cujas ra´ızes caracter´ısticas ˜ todas reais. Se AB = BA, prove que existe uma base na qual as sao ˜ ambas triangulares. matrizes de A e B sao 20.11. Ache uma base de R3 na qual o operador A(x, y, z) = (x + 2y + 3z, 4y + 6z, −y − z) tem uma matriz triangular. Exiba essa matriz. 20.12. Determine o polinˆomio caracter´ıtico da matriz   0 1 0 ... 0  0 0 1 ... 0     .. ..  .. .. ..  . . . . .    0 0 0 ... 1  an−1 an−2 an−3 . . . ao 20.13. Obtenha o polinˆomio caracter´ıstico e os autovalores (com as respectivas multiplicidades, alg´ebricas e geom´etricas) do operador A : Rn → Rn cuja matriz na base canˆonica tem todos os elementos iguais a 1. ˜ use o Exerc´ıcio 20.3.] [Sugestao: 20.14. Prove que o m´odulo do determinante de um operador invert´ıvel e´ igual ao produto dos seus valores singulares. ˜ 20.15. Sejam A, B : E → E operadores lineares nao-negativos eXa ˜ raiz quadrada nao-negativa de A. Prove: (a) AB e XBX tˆem o mesmo polinˆomio caracter´ıstico, logo det(I + AB) = det(I + XBX).

Se¸c˜ ao 20

O Polinˆ omio Caracter´ıstico

279

˜ (b) O operador XBX e´ nao-negativo e det(I + XBX) =

n Y

(1 + λi ),

i=1

˜ os autovalores de XBX. onde λ1 , . . . , λn sao (c) Conclua que det(I+AB) ≥ 1. Em particular, I+AB e´ invert´ıvel.

21 Espa¸cos Vetoriais Complexos

Embora a no¸cao ˜ de espa¸co vetorial tenha sentido (e interesse) sobre um corpo qualquer, neste livro os vetores (pelo menos at´e agora) vˆem sendo multiplicados apenas por numeros ´ reais. Esta op¸cao ˜ foi feita por uma s´erie de raz˜oes, das quais destacaremos duas. Em primeiro lugar, ao nos limitarmos aos numeros ´ reais, nao ˜ temos que nos preocupar com as peculiaridades dos varios ´ corpos poss´ıveis o que, num livro introdut´orio, traria o risco de focalizar a aten¸cao ˜ no acidental. Assim ficou mais facil ´ nos concentrarmos em quest˜oes realmente essenciais, sem maior perda de tempo. Em segundo lugar, porque o caso real e´ , sem duvida, ´ o mais importante. Entretanto, o corpo dos numeros ´ reais nao ˜ e´ algebricamente completo: nem todo polinˆomio com coeficientes reais possui raiz real. O corpo dos numeros ´ complexos nao ˜ sofre dessa deficiˆencia. Isto torna necessario ´ que alguns teoremas referentes a espa¸cos vetoriais reais utilizem numeros ´ complexos em sua demonstra¸cao ˜ (como foi feito, um tanto disfar¸cadamente, no Teorema 12.1). Na presente se¸cao, ˜ e´ introduzido o conceito de espa¸co vetorial complexo e e´ mostrado explicitamente como ele pode ser util ´ para demonstrar teoremas sobre espa¸cos vetoriais reais. ˜ os espac¸os vetoriais que viemos estudando at´e agora Nesta sec¸ao, ˜ chamados espa¸cos vetoriais reais e as transformac¸o˜ es lineares serao

Se¸c˜ ao 21

Espa¸cos Vetoriais Complexos

281

˜ chamadas R-lineares. Analogamente, as maneles definidas serao ˜ matrizes reais. A razao ˜ trizes at´e agora consideradas chamar-se-ao ˜ e´ que introduziremos aqui os espac¸os vetoripara essa qualificac¸ao ais complexos. Um espa¸co vetorial complexo e´ um conjunto E, cujos elementos ˜ chamados vetores, no qual estao ˜ definidas duas operac¸o˜ es: a sao adi¸cao, ˜ que faz corresponder a cada par de vetores u, v ∈ E um vetor u + v, chamado a soma de u e v, e a multiplica¸cao ˜ por um numero ´ ´ complexo, que a cada numero complexo ζ e a cada vetor v ∈ E faz corresponder um vetor ζ · v = ζv, chamado o produto de ζ por v. Essas ˜ 1 operac¸o˜ es devem cumprir as mesmas condic¸o˜ es impostas na Sec¸ao para os espac¸os vetoriais reais. Em particular, se v ∈ E e ζ = α + iβ ˜ ζv = αv + iβv = αv + β(iv). entao Exemplo 21.1. O conjunto Cn de todas as listas u = (ξ1 , . . . , ξn ), ´ v = (ζ1 , . . . , ζn ) de n numeros complexos, com as definic¸o˜ es u + v = (ξ1 + ζ1 , . . . , ξn + ζn ), ζ · u = (ζ · ξ1 , . . . , ζ · ξn ), e´ um espac¸o vetorial complexo. Tamb´em o conjunto F(X; C) de todas as func¸o˜ es f : X → C, ´ definidas num conjunto arbitrario X, com valores complexos, e´ um espac¸o vetorial complexo quando munido das definic¸o˜ es o´ bvias para f + g e ζ · f. O conjunto M(m × n; C) das matrizes complexas m × n tamb´em e´ um espac¸o vetorial complexo. As definic¸o˜ es de dependˆencia linear, geradores, subespac¸o, base, ˜ etc. se fazem para os espac¸os vetoriais complexos da dimensao, mesma maneira como foram feitas para os reais. Na realidade, tudo o que foi dito e demonstrado nas Sec¸o˜ es 1 a 9 vale para espac¸os vetoriais complexos e as transformac¸o˜ es lineares entre eles, as quais chamaremos C-lineares. ` vezes, uma base do espac¸o vetorial complexo E sera´ chamada As uma C-base. Um espac¸o vetorial complexo E pode, de modo natural, ser considerado como um espac¸o vetorial real: basta que se considere apenas ˜ dos vetores de E por numeros ´ a multiplicac¸ao reais. Analogamente, ˜ C-linear A : E → F entre espac¸os vetoriais comtoda transformac¸ao plexos e´ , a fortiori, R-linear. Quando for conveniente, usaremos a ˜ Ar : E → F para indicar essa transformac¸ao ˜ R-linear, que se notac¸ao chama a descomplexificada de A. ´ Exemplo 21.2. O conjunto C dos numeros complexos e´ um espac¸o ˜ 1, logo todo numero ´ vetorial complexo de dimensao complexo

282

Espa¸cos Vetoriais Complexos

Se¸c˜ ao 21

α+iβ 6= 0 fornece uma base para C. Em particular, {1} e´ uma C-base. Considerando C como espac¸o vetorial real, o conjunto {1, i} ⊂ C e´ L.I. pois α · 1 + β · i = 0, com α, β ∈ R implica α = β = 0. Na realidade, ´ {1, i} e´ uma R-base pois todo numero complexo α + iβ = α · 1 + β · i e´ ˜ linear real de 1 e i. Em virtude da unidimensionauma combinac¸ao lidade, os operadores C-lineares A : C → C consistem simplesmente ˜ por um numero ´ na multiplicac¸ao complexo fixado α + iβ. Assim, para todo v = x + iy ∈ C, tem-se Av = (α + iβ)v = (α + iβ)(x + iy) = αx − βy + i(βx + αy). A correspondˆencia x+iy ↔ (x, y) e´ um isomorfismo natural entre os espac¸os vetoriais reais C e R2 . Pelo que acabamos de ver, esse isomorfismo faz corresponder a cada operador C-linear A : C → C, um operador R-linear Ar : R2 → R2 , dado por Ar (x, y) = (αx − βy, βx + αy),

cuja matriz na base canˆonica e´   α −β . β α Excetuemos o caso trivial A = 0. Escrevamos p ρ = α2 + β 2

˜ a matriz e tomemos θ ∈ R tal que cos θ = α/ρ, sen θ = β/ρ. Entao de Ar tem a forma   cos θ − sen θ ρ . sen θ cos θ Isto mostra que o operador Ar e´ uma semelhan¸ca, composta da ro˜ de angulo ˆ ˜ ρ > 0. As semelhanc¸as tac¸ao θ com a homotetia de razao ˜ portanto, os operadores de R2 que correspondem aos operadores sao, ˜ C-lineares nao-nulos A : C → C. Guiados pelo Exemplo 21.2, observamos que se U = {u1 , . . . , un } ˜ o conjunto ⊂ E for uma base do espac¸o vetorial complexo E entao ′ U = {u1 , . . . , un , iu1 , . . . , iun } ⊂ E e´ uma R-base, ou seja, e´ L.I. sobre ˜ linear dos os reais e, al´em disso, todo vetor v ∈ E e´ uma combinac¸ao uj e dos iuj (j = 1, . . . , n) com coeficientes reais. ˜ Com efeito, se α1 , . . . , αn , β1 , . . . , βn ∈ R entao α1 u1 + · · · + αn un + β1 iu1 + · · · + βn iun = 0

Se¸c˜ ao 21

Espa¸cos Vetoriais Complexos

283

implica (α1 + iβ1 )u1 + · · · + (αn + iβn )un = 0, logo α1 + iβ1 = · · · = αn + iβn = 0 pois U e´ L.I. sobre os complexos. Da´ı resulta que α1 = · · · = αn = β1 = · · · = βn = 0, portanto U ′ e´ L.I. ´ sobre os reais. Al´em disso, dado qualquer v ∈ E, existem numeros complexos α1 + iβ1 , . . . , αn + iβn tais que n n n X X X βj (iuj ). αj u j + (αj + iβj )uj = v= j=1

j=1

j=1

Assim, U ′ e´ uma R-base para E. ˜ de significado evidente, podemos portanto conCom uma notac¸ao ˜ dimR E = 2n. cluir que se dimC E = n entao ˜ Seja [akj + ibkj ] ∈ M(m × n; C) a matriz da transformac¸ao ` bases U = {u1 , . . . , un } ⊂ E e C-linear A : E → F relativamente as V = {v1 , . . . , vm } ⊂ F. Considerando E e F como espac¸os vetoriais ˜ R-linear Ar : E → F, reais, A pode ser vista como uma transformac¸ao ` bases a descomplexificada de A. Relativamente as U ′ = {u1 , . . . , un , iu1 , . . . , iun } ⊂ E

e V ′ = {v1 , . . . , vm , iv1 , . . . , ivm } ⊂ F, vejamos qual e´ a matriz de Ar . Temos, para j = 1, . . . , n: Ar uj = Auj =

m X

(akj + ibkj )vk =

k=1

Ar (iuj ) = A(iuj ) = i · Auj =

m X

akj vk +

k=1

m X k=1

(−bkj )vk +

m X

bkj (ivk ),

k=1 m X

akj (ivk ),

k=1

Portanto a matriz procurada e´   a −b c= ∈ M(2m × 2n), b a onde a = [akj ] ∈ M(m × n) e b = [bkj ] ∈ M(m × n). Esta matriz 2m × 2n chama-se a descomplexificada da matriz [akj +ibkj ] ∈ M(m×n; C). Mostraremos logo mais que, quando m = n, tem-se det c ≥ 0, e que det c = 0 se, e somente se, det A = 0.

284

Espa¸cos Vetoriais Complexos

Se¸c˜ ao 21

˜ par 2n pode (de infiTodo espac¸o vetorial real E de dimensao nitas maneiras) ser considerado como espac¸o vetorial complexo de ˜ n de tal forma que a nova multiplicac¸ao ˜ de um numero ´ dimensao ˜ anterior quando complexo por um vetor coincida com a multiplicac¸ao ´ esse numero complexo e´ real. Para isso, basta considerar um opera´ dor R-linear J : E → E tal que J2 = −I e definir, para cada numero complexo ζ = α + iβ e cada vetor v ∈ E, o produto ζ · v como ζ · v = ˜ de vetores continua a mesma.) αv + βJv. (A adic¸ao ˜ de que esta definic¸ao ˜ atende as ` exigˆencias sobre as A verificac¸ao regras operacionais e´ imediata. Resta apenas mostrar como se acha um tal operador J. Para isso, fixamos uma base de E, a qual nu´ meramos da forma {u1 , . . . , un , v1 , . . . , vn }. Existe um unico operador R-linear J : E → E tal que Ju1 = v1 , . . . , Jun = vn , Jv1 = −u1 , . . . , Jvn = ˜ de E como espac¸o vetorial complexo, o ope−un . Nesta concepc¸ao ˜ pelo numero ´ rador J e´ simplesmente a multiplicac¸ao i, logo v1 = iu1 , . . . , vn = iun e {u1 , . . . , un } ⊂ E e´ uma C-base. ˜ de espac¸o vetorial complexo foi introduzida aqui a fim de A noc¸ao servir como instrumento para obter resultados referentes a espac¸os vetoriais reais. A esse prop´osito, a principal vantagem dos espac¸os vetoriais complexos sobre os reais e´ a seguinte: todo operador linear A : E→E ˜ finita possui pelo menum espac¸o vetorial complexo de dimensao nos um autovalor (complexo). Antes, por´em, de estabelecermos e ˜ anterior, seexplorarmos este fato, vamos retomar uma afirmac¸ao ˜ 9 sobre espac¸os vetorigundo a qual tudo o que foi feito at´e a Sec¸ao ˜ foi inclu´ıda a ais reais vale igualmente para complexos. Por que nao ˜ 10? Sec¸ao ´ que se faz necessario ´ E modificar o conceito de produto interno quando se trata de um espac¸o vetorial complexo E. Se o produto ˜ hiv, ivi = i2 hv, vi = −hv, vi, logo nao ˜ pode interno for bilinear entao ser positivo. ˜ de produto interno herO impasse e´ resolvido mediante a noc¸ao ˜ uma func¸ao ˜ E × E → C que associa a mitiano. Este e´ , por definic¸ao, cada par ordenado de vetores u, v no espac¸o vetorial complexo E um ´ ˜ hu, vi, de tal modo que numero complexo, representado pela notac¸ao sejam cumpridas as condic¸o˜ es seguintes, para quaisquer u, v, u′ ∈ E, ´ ζ ∈ C, onde uma barra sobre um numero complexo ζ = α + iβ significa seu conjugado ζ = α − iβ:

Se¸c˜ ao 21

Espa¸cos Vetoriais Complexos

1.

hu, vi = hv, ui;

2.

hu + u′ , vi = hu, vi + hu′ , vi;

3.

hζu, vi = ζ hu, vi;

4.

hu, ui > 0, se u 6= 0.

285

Das propriedades 1. e 2. segue-se que hu, v + v′ i = hu, vi + hu, v′ i. Com efeito,

 u, v + v′ = hv + v′ , ui = hv, ui + hv′ , ui = hv, ui + hv′ , ui

 = hu, vi + u, v′ .

Analogamente se mostra que 1. e 3. implicam que hu, ζvi = ζ hu, vi. Assim, o produto interno hermitiano e´ sesqui-linear, ou seja, ´ linear na primeira variavel e anti-linear na segunda. Segue-se de 1. que hu, vi = hv, ui ⇔ hu, vi ∈ R.

Exemplo 21.3. No espac¸o Cn , o produto interno canˆonico e´ definido, para u = (ξ1 , . . . , ξn ) e v = (ζ1 , . . . , ζn ), como hu, vi = ξ1 ζ1 + · · · + ξn ζn .

˜ imediatamente verificadas de modo que As 4 propriedades acima sao se trata de um produto interno hermitiano. Exemplo 21.4. Seja E = C0 ([a, b]; C) o espac¸o vetorial complexo formado pelas func¸o˜ es cont´ınuas f : [a, b] → C, definidas no intervalo [a, b] e tomando valores complexos. Um produto interno hermitiano em E pode ser definido pondo Zb hf, gi = f(x)g(x) dx, a

para f, g ∈ E quaisquer. ˜ Exemplo 21.5. Em todo espac¸o vetorial complexo E, de dimensao finita, pode-se introduzir um produto interno hermitiano. (Na realidade, uma infinidade deles.) Basta tomar uma base {u1 , . . . , un } ⊂ E e, para dois vetores X X u= ξk uk , v = ζk u k

286

Espa¸cos Vetoriais Complexos

quaisquer em E, pˆor hu, vi =

Se¸c˜ ao 21

X

ξk ζk .

Isto mostra que, como no caso real, a existˆencia de um produto in˜ finita terno hermitiano num espac¸o vetorial complexo de dimensao ˜ e´ uma propriedade adicional desse espac¸o mas apenas uma esnao colha que se fez dentre infinitas possibilidades. ˜ de produto interno hermitiano ha´ poucas A partir da definic¸ao adaptac¸o˜ es a fazer a fim de que as restantes sec¸o˜ es, de 10 a 20, tenham seus resultados validados (e alguns fortalecidos, como veremos logo mais). ¨ encia da sesqui-lineUma das modificac¸o˜ es a fazer como consequˆ aridade do produto interno hermitiano diz respeito ao Teorema 11.1, que passa a ter o seguinte enunciado: Teorema 21.1. Seja E um espa¸co vetorial complexo de dimensao ˜ finita, munido de um produto interno hermitiano. A correspondˆencia que associa a cada vetor v ∈ E o funcional linear φ(v) = v∗ : E → C, tal que v∗ (w) = hw, vi para todo w ∈ E, e´ uma bije¸cao ˜ φ : E → E∗ tal que (u + v)∗ = u∗ + v∗ e (ζv)∗ = ζ · v∗ para quaisquer u, v ∈ E e ζ ∈ C.

Acima, E∗ e´ , como antes, o dual de E, ou seja, o espac¸o vetorial ˜ os funcionais C-lineares f : E → C. complexo cujos elementos sao ´ A diferenc¸a entre os Teoremas 11.1 e 21.1 e´ que, neste ultimo, a ˜ e´ um isomorfismo entre E e E∗ , pois falha correspondˆencia v 7→ v∗ nao ˜ (ζv)∗ = ζv∗ , em vez da qual se tem apenas (ζv)∗ = ζv∗ . a condic¸ao Com efeito, para todo w ∈ E, tem-se (ζv)∗ (w) = hw, ζvi = ζ hw, vi = ζv∗ (w), portanto (ζv)∗ = ζv∗ .

Por isso, ela se chama um anti-isomorfismo. ˜ ser refraseado dizendo-se que a bijeO Teorema 21.1 pode entao ∗ ˜ φ : E → E nele definida e´ um anti-isomorfismo. c¸ao ˜ impede de maneira nenhuma que se defina a adjunta Isto nao ∗ ˜ C-linear A : E → F, entre espac¸os A : F → E de uma transformac¸ao vetoriais complexos munidos de produto interno hermitiano, como a ´ ˜ C-linear A∗ : F → E tal que unica transformac¸ao hAv, wi = hv, A∗ wi

para v ∈ E, w ∈ F quaisquer. Valem as propriedades (A + B)∗ = A∗ + B∗ , (BA)∗ = A∗ B∗ , I∗ = I, (A∗ )∗ = A e (A∗ )−1 = (A−1 )∗ , nesta

Se¸c˜ ao 21

Espa¸cos Vetoriais Complexos

287

´ ultima entendendo-se (como antes) que A∗ e´ invert´ıvel se, e somente ´ se, A e´ . A unica diferenc¸a diz respeito a` adjunta de ζA. Tem-se ∗ ∗ ´ (ζA) = ζA quando ζ e´ um numero complexo. Outra mudanc¸a ocorre no Teorema 11.2, que passa a ter o enun˜ espac¸os vetoriais complexos, com produto ciado abaixo. E e F sao interno hermitiano. Teorema 21.2. Se a matriz da transforma¸cao ˜ C-linear A : E→F relativamente a bases ortonormais U = {u1 , . . . , un } ⊂ E e V = {v1 , . . . , vm } ⊂ F e´ a = [akj ] ∈ M(m × n) entao ˜ a matriz da trans∗ forma¸cao ˜ adjunta A : F → E relativamente as ` bases V, U e´ a matriz a∗ = aT , transposta da conjugada de a.

A matriz conjugada de a = [akj ] ∈ M(m × n; C) e´ a matriz a = ´ [akj ] ∈ M(m × n; C) onde cada elemento akj e´ o numero complexo conjugado do elemento correspondente akj da matriz a. Um operador C-linear A : E → E chama-se hermitiano quando A = A∗ , ou seja, quando hAu, vi = hu, Avi para quaisquer u, v ∈ E. Em particular, quando u = v, temos hAv, vi = hv, Avi. Portanto, ´ quando A e´ hermitiano, a forma quadratica ϕ(v) = hv, Avi s´o assume valores reais. Uma matriz a = [akj ] ∈ M(n×n; C) chama-se hermitiana quando a = a∗ , isto e´ , quando ajk = akj para k, j = 1, . . . , n. Em particular, ajj = ajj para todo j = 1, . . . , n portanto a diagonal de uma matriz ´ hermitiana s´o possui numeros reais. Para matrizes reais, hermitiana e´ o mesmo que sim´etrica. Um operador C-linear A : E → E e´ hermitiano se, e somente se, sua matriz relativamente a uma (e portanto a qualquer) base ortonormal de E e´ uma matriz hermitiana. Um operador C-linear U : E → E chama-se unitario ´ quando U∗ = U−1 . Isto equivale a dizer que hUv, Uwi = hv, wi para quaisquer v, w ∈ E. ´ ˜ para todo v ∈ E tem-se Se U : E → E e´ um operador unitario entao, ´ |Uv| = |v|. Vale tamb´em a rec´ıproca. Para prova-la, usa-se a identidade de polariza¸cao ˜ 1 hu, vi = [|u + v|2 − |u − v|2 + i|u + iv|2 − i|u − iv|2 ], 4 ˜ e´ imediata. Sua forma e´ mais complicada do que a cuja verificac¸ao ´ ˜ analoga real, devido ao fato de que o produto interno hermitiano nao

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e´ sim´etrico. Uma matriz u ∈ M(n×n; C) chama-se unitaria ´ quando u∗ = u−1 . Para que isto acontec¸a basta que u∗ u = In , ou que uu∗ = In . A primeira destas igualdades significa que as colunas de u formam uma base ortonormal de Cn (relativamente ao produto interno hermitiano). A segunda assegura a mesma propriedade para as linhas de ´ ˜ as ortogonais. u. As matrizes unitarias reais sao ´ Feitas essas observac¸o˜ es de carater geral, passemos a tirar proveito da estrutura complexa. ˜ tˆem nada O determinante e o polinˆomio caracter´ıstico, como nao ´ a ver com produto interno, se definem de modo analogo ao caso real. ´ Segundo o Teorema Fundamental da Algebra, todo polinˆomio p(λ) = ao + a1 λ + · · · + an λn com coeficientes complexos ao , . . . , an (em particular, com coeficientes reais), com an = (−1)n , se decomp˜oe como produto p(λ) =

n Y

(λk − λ)

k=1

´ ˜ de fatores do primeiro grau. Os numeros complexos λ1 , . . . , λn , nao ˜ as ra´ızes do polinˆomio p, cada um necessariamente distintos, sao ´ deles comparecendo na lista λ1 , . . . , λn um numero de vezes chamado sua multiplicidade como raiz do polinˆomio. A multiplicidade de λk e´ m se, e somente se, m e´ o maior inteiro tal que p(λ) e´ divis´ıvel por (λk − λ)m . Seja pA (λ) = det(A − λI) o polinˆomio caracter´ıstico do operador ´ C-linear A : E → E. O numero complexo λo e´ uma raiz de pA se, e ˜ somente se, o operador A − λo I e´ nao-invert´ ıvel, ou seja, existe v 6= 0 em E tal que Av = λo v. Portanto, para espac¸os vetoriais complexos, as ra´ızes caracter´ısticas de um operador A : E → E coincidem com os autovalores desse operador. Como as primeiras sempre existem, segue-se que todo operador C-linear possui autovalores (que podem ser reais ou complexos). A existˆencia de autovetores nos espac¸os vetoriais complexos im˜ fortalecida do Teorema 20.1, da qual decorplica a seguinte versao ˜ todas as conclus˜oes a que chegaremos nesta sec¸ao. ˜ rerao

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Teorema 21.3. Todo operador C-linear A : E → E e´ triangularizavel. ´

˜ e´ a mesma do Teorema 20.1. S´o que agora nao ˜ A demonstrac¸ao ´ e´ necessario fazer hip´otese adicional sobre A porque todo operador linear complexo tem autovetor. ˜ de que se E Como anteriormente, vale a importante observac¸ao possui produto interno hermitiano, o enunciado acima pode ser tornado mais preciso: existe uma base ortonormal U ⊂ E na qual a matriz de A e´ triangular superior (ou inferior, se assim o quisermos). ˜ matricial desse teorema e´ : para toda matriz complexa A versao ´ a existe uma matriz unitaria u tal que u∗ au = u−1 au = t e´ uma matriz triangular. ¨ encias do Teorema 21.3. Na Vejamos, a seguir, algumas consequˆ primeira delas, temos um operador linear A : E → E num espac¸o vetorial complexo E.

Teorema de Cayley-Hamilton. Se pA e´ o polinˆomio caracter´ıstico do operador C-linear A : E → E entao ˜ pA (A) = 0.

˜ do Te˜ segue exatamente a linha da demonstrac¸ao Demonstrac¸ao: orema 20.2 pois, em virtude do Teorema 21.3, todo operador C-linear ´ e´ triangularizavel. ˜ matricial de Cayley-Hamilton. Evidentemente, vale uma versao Para toda matriz a ∈ M(n × n; C), o polinˆomio caracter´ıstico pa (λ) e´ exatamente o polinˆomio pA (λ), onde A : Cn → Cn e´ o operador Clinear que tem matriz a na base canˆonica. Tem-se tamb´em pa = pA para qualquer operador C-linear A : E → E cuja matriz, relativa´ mente a uma base arbitraria em E, seja igual a a. Qualquer que seja o polinˆomio q(λ), vemos que q(a) ∈ M(n × n; C) e´ a matriz do operador q(A) na mesma base relativamente a` qual a e´ a matriz de A. Portanto, se pa e´ o polinˆomio caracter´ıstico da matriz a ∈ M(n × n; C), tem-se pa (a) = 0. Se acontecer de a matriz a ser real, seu polinˆomio caracter´ıstico pa e´ um polinˆomio real e ainda assim se tem pa (a) = 0, pois todo ´ numero real e´ complexo. Segue-se da´ı o Teorema de Cayley-Hamilton para operadores reais. Seja A : E → E um operador linear num espa¸co vetorial real E. Se pA e´ seu polinˆomio caracter´ıstico, tem-se pA (A) = 0.

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˜ Seja a ∈ M(n × n) a matriz de A relativamente a Demonstrac¸ao: ˜ pa (a) = 0. Como pa (a) e´ a matriz do uma certa base de E. Entao operador pA (A) nessa mesma base, segue-se que pA (A) = 0. ¨ encias do Teorema 21.3. Continuemos apresentando consequˆ Sejam a = [akj ], b = [bkj ] matrizes n × n triangulares superiores, de modo que akj = bkj =P 0 se k > j. O j-´esimo elemento da diagonal do produto ab e´ (ab)jj = ajr brj = ajj bjj pois ajr = 0 se j > r e brj = 0 r

se j < r. Segue-se imediatamente que os elementos da diagonal de ´ qualquer am tˆem a forma am jj . Da´ı resulta, mais geralmente, se p(λ) e ˜ p(a) e´ uma matriz triangular superior cuja diagonal polinˆomio entao ´ e´ formada pelos numeros p(ajj ), onde ajj percorre a diagonal de a. Se A : E → E e´ um operador C-linear, suas ra´ızes caracter´ısticas, ˜ (contando multiplicidades) os elemenou seja, seus autovalores, sao tos da diagonal de uma matriz triangular que representa A relativamente a uma base conveniente de E. Segue-se do que foi dito acima que, se p(λ) e´ qualquer polinˆomio, os autovalores do opera˜ os numeros ´ dor p(A), incluindo suas multiplicidades alg´ebricas, sao ˜ os autovalores de A. p(λj ), onde λ1 , . . . , λn sao Um caso particular interessante e´ o de um operador nilpotente A : E → E. Isto significa, como se sabe, que existe um inteiro m > 0 tal que Am = 0. Neste caso, se n = dim E afirmamos que o polinˆomio caracter´ıstico de A e´ pA (λ) = (−1)n λn . Consideremos inicialmente o caso em que A e´ C-linear. Seja U ⊂ E uma base relativamente a` qual a matriz a = [akj ] do operador ˜ os A e´ triangular superior. Os elementos ajj da diagonal de a sao autovalores de A, contados com suas multiplicidades. O polinˆomio caracter´ıstico de A e´ portanto n

pA (λ) = Π (ajj − λ). j=1

m ˜ am Os elementos da diagonal de am sao jj , j = 1, . . . , n. Como a = 0, ˜ nulos, logo o polinˆomio caracter´ıstico de segue-se que todos os ajj sao n n A e´ pA (λ) = (−1) λ . Do ponto de vista matricial, podemos afirmar que se a e´ uma matriz n × n (real ou complexa, tanto faz) com am = 0 para algum ˜ seu polinˆomio caracter´ıstico e´ pa (λ) = (−1)n λn . m inteiro > 0 entao Da´ı resulta que, dado o operador R-linear A : E → E no espac¸o vetorial real E, com dim E = n, se tivermos Am = 0 para algum inteiro

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˜ o polinˆomio caracter´ıstico de A e´ pA (λ) = (−1)n λn . Com m > 0 entao efeito, este e´ o polinˆomio caracter´ıstico da matriz a do operador A numa base qualquer de E, a qual cumpre am = 0. Em seguida, usaremos a forma triangular para provar que o determinante do operador Ar : E → E, descomplexificado de um operador C-linear A : E → E, e´ sempre ≥ 0. Com efeito, seja U = {u1 , . . . , un } ⊂ E uma base na qual a matriz m = [akj + ibkj ] de A e´ triangular superior: akj = bkj = 0 se k > j. Para todo j = 1, . . . , n, temos n X (akj + ibkj )uk . Auj = k=1

Consideremos agora a base U ′ = {u1 , iu1 , . . . , un , iun } do espac¸o vetorial real E. Para obter a matriz c do descomplexificado Ar : E → E na base U ′ , observamos que Ar · u j =

X k

(akj uj + bkj · iuj )

e Ar · iuj =

X k

(−bkj uj + akj · iuj ).

Da´ı resulta que a matriz c tem uma forma “triangular por blocos”. Mostramos abaixo esta matriz no caso n = 3:   a11 −b11 a12 −b12 a13 −b13 b11 a11 b12 a12 b13 a13     0 0 a22 −b22 a23 −b23  .  c= 0 b22 a22 b23 a23    0  0 0 0 0 a33 −b33  0

0

0

0

b33

a33

Segue-se imediatamente do Teorema 19.8 que o determinante da matriz c e´ dado por: det c =

n Y j=1

det



 Y n ajj −bjj (a2jj + b2jj ). = bjj ajj

(*)

j=1

´ Sendo a matriz m = [akj + ibkj ] triangular,Q os numeros complexos ˜ seus autovaloresQ λj = ajj + ibjj sao e det m = λj . Por outro lado, a igualdade (*) mostra que det c = |λj |2 .

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˜ que det Ar = det c ≥ 0, valendo det Ar = 0 se, Vemos entao e somente se, det A = det m = 0. Vemos tamb´em que det Ar = | det A|2 . Noutras palavras, dada a matriz n × n complexa m = [akj + ibkj ], formamos as matrizes reais a = [akj ], b = [bkj ] ∈ M(n × n) e 

 a −b c= ∈ M(2n × 2n). b a ˜ det c = | det m|2 . Vale entao ˜ de forc¸a do Teorema 21.3 e´ o seu uso para Mais uma exibic¸ao ˜ geral do Teorema Espectral para operadores demonstrar a versao complexos, conforme faremos agora. Um operador C-linear A : E → E num espac¸o vetorial complexo, ˜ finita, chama-se normal quando comuta com seu adde dimensao ˜ AA∗ = A∗ A. Analogamente, junto, isto e´ , quando cumpre a condic¸ao uma matriz quadrada a chama-se normal quando aa∗ = a∗ a. Evidentemente um operador e´ normal se, e somente se, sua matriz relativamente a uma (e portanto a qualquer) base ortonormal e´ uma matriz normal. Teorema Espectral para operadores complexos. Seja E um espa¸co vetorial complexo, munido de um produto interno hermitiano. Um operador C-linear A : E → E e´ normal se, e somente se, existe em E uma base ortonormal formada por autovetores de A.

˜ matricial do Teorema Espectral. Seja a matriz a ∈ Versao M(n × n; C). A fim de que exista uma matriz unitaria ´ u tal que ∗ ∗ d = u au e´ diagonal e´ necessario ´ e suficiente que a a = aa∗ .

˜ Continuando com a veia matricial que tem predoDemonstrac¸ao: ´ ´ ˜ claminado nestas ultimas paginas, provaremos a segunda versao, ´ ramente equivalente a` primeira. Seja u uma matriz unitaria tal que t = u∗ au seja triangular. Tomando adjuntas, vem t∗ = u∗ a∗ u. Multiplicando membro a membro: tt∗ = u∗ auu∗ a∗ u = u∗ aa∗ u. ˜ na ordem inversa: t∗ t = u∗ a∗ au. Fazendo a mesma multiplicac¸ao ∗ ∗ Como aa = a a, conclu´ımos que t∗ t = tt∗ . Ora, sendo triangular e normal, t deve ser diagonal. (compare (tt∗ )ii com (t∗ t)ii para i = 1, depois i = 2, etc.) Assim u∗ au e´ diagonal. Reciprocamente, se ˜ dd∗ = d∗ d, o que nos da´ imediatamente d = u∗ au e´ diagonal entao

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u∗ a∗ au = u∗ aa∗ u. Multiplicando esta igualdade a` esquerda por u e a` direita por u∗ obtemos a∗ a = aa∗ logo a e´ normal. ´ Corolario. Se A : E → E e´ um operador hermitiano, existe uma base ortonormal de E formada por autovetores de A.

A matriz de A nesta base e´ diagonal e, sendo hermitiana, os ele˜ numeros ´ mentos da diagonal sao reais. Segue-se que os autovalores ˜ todos reais. de um operador hermitiano sao ´ Outro caso particular de operador normal e´ um operador unitario o qual tamb´em admite uma base ortonormal formada por auto-veto´ ˜ numeros ´ res. Os autovalores de um operador unitario sao complexos de m´odulo 1.

Exerc´ıcios 21.1. Seja E um espac¸o vetorial real. O complexificado de E e´ o ˜ as express˜oes formais u + iv, com conjunto Ec cujos √ elementos sao u, v ∈ E e i = −1. Em Ec , a igualdade u + iv = u′ + iv′ significa, ˜ que u = u′ e v = v′ . A soma e´ definida por (u + iv) + por definic¸ao, ′ ′ ´ (u + iv ) = (u + u′ ) + i(v + v′ ) e o produto por um numero complexo ˜ (α + iβ)(u + iv) = (αu − βv) + i(βu + αv). e´ , ainda por definic¸ao, Para todo u ∈ E, escreve-se u + i0 = u e com isso tem-se E ⊂ Ec . O complexificado de um operador linear A : E → E e´ Ac : Ec → Ec , definido por Ac (u + iv) = Au + iAv. Prove: (a) Ec e´ um espac¸o vetorial complexo e Ac : Ec → Ec e´ um operador ˜ e´ um C-linear. O complexificado de Rn e´ Cn . E ⊂ Ec mas E nao subespac¸o vetorial (complexo) de Ec . (b) Toda R-base {u1 , . . . , un } ⊂ E e´ uma C-base de Ec . Em particular, dimC Ec = dimR E. A matriz de Ac : Ec → Ec relativamente a` base {u1 , . . . , un } ⊂ E coincide com a matriz de A na mesma ˜ iguais. base. Os polinˆomios caracter´ısticos de Ac e de A sao (c) Se λ=α+iβ, com β6=0, e´ autovalor de Ac , correspondente ao au˜ {u, v} e´ a base de um subespac¸o vetorial tovetor u+iv∈Ec , entao

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˜ A : F → F e´ F ⊂ E, invariante por A, e a matriz da restric¸ao   α β . −β α 21.2. Seja A : E → E um operador linear, com dim E = n. Considere o conjunto M de todos os polinˆomios p(λ) tais que p(A) = 0. Prove: ˜ numeros ´ ˜ α1 p1 (λ) + (a) Se p1 (λ), p2 (λ) ∈ M e α1 , α2 sao entao α2 p2 (λ) ∈ M.

˜ p(λ)q(λ) ∈ M. (b) Se p(λ) ∈ M e q(λ) e´ qualquer polinˆomio entao ´ (c) Existe um unico polinˆomio mˆonico mA (λ) ∈ M tal que todos ˜ multiplos ´ os outros p(λ) ∈ M sao de mA (λ). [Considere o polinˆomio mˆonico de menor grau poss´ıvel em M. Chame-o de mA (λ). Para todo p(λ) ∈ M tem-se p(λ) = q(λ) · mA (λ) + r(λ), com gr ·r(λ) < gr ·mA (λ). Segue-se de (a) e (b) que r(λ) ∈ M, logo r(λ) = 0.] (d) O polinˆomio mA (λ) chama-se o polinˆomio m´ınimo do operador A. Ele e´ o polinˆomio mˆonico de menor grau tal que mA (A) = 0. As conclus˜oes acima valem igualmente para espac¸os vetoriais reais ou complexos. ˜ para todo polinˆomio p(λ), tem(e) Se B : E → E e´ invert´ıvel entao, se p(B−1 AB) = B−1 · p(A) · B. Segue-se que os operadores A e B−1 AB tˆem o mesmo polinˆomio m´ınimo. (f) Para toda matriz a do operador A, mA (λ) e´ o polinˆomio mˆonico de menor grau tal que mA (a) = 0. 21.3. Determine o polinˆomio m´ınimo dos seguintes operadores: (a) O operador zero. (b) O operador αI, com α 6= 0. ˜ (c) Uma projec¸ao. ˜ (d) Uma involuc¸ao.

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˜ D : Pn → Pn . (e) O operador de derivac¸ao

(f) O operador A : R2 → R2 , A(x, y) = (x + 2y, 2x + y).

(g) Qualquer operador A : R2 → R2 .

Em todos estes casos, compare com o polinˆomio caracter´ıstico.

21.4. Prove que um operador e´ invert´ıvel se, e somente se, o termo constante do seu polinˆomio m´ınimo e´ 6= 0. 21.5. Seja p(λ) um polinˆomio tal que p(A) = 0. Prove que todo autovalor λ1 do operador A e´ raiz do polinˆomio p(λ). Conclua da´ı que toda raiz do polinˆomio caracter´ıstico pA (λ) e´ tamb´em raiz do polinˆomio m´ınimo mA . (A rec´ıproca e´ evidente porque mA divide pA .) 21.6. Determine o polinˆomio m´ınimo do operador dado por Av = hv, ai b. ˜ 21.7. Seja A : E → E um operador num espac¸o vetorial de dimensao ˜ An = 0. n. Prove: se Ak = 0 para algum k > n entao ˜ Teorema 21.3.] [Sugestao: 21.8. Prove que um operador e´ nilpotente (isto e´ Ak = 0 para algum ˜ iguais a zero. k ∈ N) se, e somente se, todos os seus autovalores sao ´ ˜ seus auto21.9. Se o operador A e´ diagonalizavel e λ1 , . . . , λk sao valores distintos dois a dois, prove que o polinˆomio m´ınimo de A e´ mA = (λ − λ1 )(λ − λ2 ) · · · (λ − λk ). 21.10. Se o operador A : E → E (num espac¸o vetorial complexo) e´ ´ diagonalizavel, prove que existe um produto interno hermitiano em E que torna A normal. 21.11. Seja E um espac¸o vetorial (complexo) munido de um produto interno hermitiano. Prove que todo operador linear A : E → E se ´ ˜ escreve, de modo unico, como A = H + iK, onde H, K : E → E sao operadores hermitianos e que A e´ normal se, e somente se, H e K comutam.

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´ 21.12. Sem fazer calculo algum, conclua que o produto de duas matrizes 2n × 2n do tipo   a −b b a e´ ainda deste mesmo tipo. 21.13. Assinale V(erdadeiro) ou F(also): (

´ ) O determinante de um operador hermitiano e´ um numero real.

(

´ ˜ iguais a ±1. ) Os autovalores de um operador unitario sao

(

˜ do tipo ) Os autovalores de um operador real anti-sim´etrico sao ±iβ, onde β e´ real.

(

) Se 

 cos θ − sen θ a= , sen θ cos θ existe uma matriz (complexa) 2×2 invert´ıvel p tal que p−1 ap = d, onde d e´ diagonal (complexa). 21.14. Prove que todo operador num espac¸o vetorial (complexo) de ˜ n possui um subespac¸o invariante de dimensao ˜ n − 1. dimensao 21.15. Sejam λ1 , . . . , λn os autovalores do operador A : E → E (repetidos de acordo com suas multiplicidades alg´ebricas). Dado um polinˆomio qualquer p(λ), prove que os autovalores do operador p(A) ˜ os numeros ´ ˜ Teorema 21.3.] sao p(λ1 ), . . . , p(λn ). [Sugestao: 21.16. Prove que as seguintes afirmac¸o˜ es acerca dos operadores li˜ equivalentes: neares A, B : E → E sao (a) pA (B) e´ invert´ıvel. (Onde pA e´ o polinˆomio caracter´ıstico de A.) ˜ tˆem autovalores em comum. (b) A e B nao (c) pB (A) e´ invert´ıvel. ˜ os polinˆomios m´ınimos de A e B entao ˜ mA (B) (d) Se mA e mB sao ˜ invert´ıveis. [Sugestao: ˜ use o exerc´ıcio anterior.] e mB (A) sao

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21.17. Suponha que o polinˆomio m´ınimo mA (λ) = (λ − λ1 ) · · · (λ − λk ) do operador linear A : E → E seja um produto de fatores distintos do primeiro grau (λi 6= λj se i 6= j). Prove:

(a) Escrevendo mA (λ) = pi (λ)(λ − λi ) e Bi = pi (A), tem-se A(Bi v) = λi Bi v (i = 1, . . . , k) para todo v ∈ E. ˜ primos entre si, logo existem (b) Os polinˆomios p1 (λ), . . . , pk (λ) sao q1 (λ), . . . , qk (λ) tais que k X

qi (λ)pi (λ) = 1.

i=1

(c) Seja Ci = qi (A). Para todo v ∈ E tem-se v = ΣBi (Ci v), logo os autovetores de A geram E. ´ (d) O operador A e´ diagonalizavel. 21.18. Sejam A, B, X operadores lineares no espac¸o vetorial E. Prove: ˜ A2 X = XB2 e, mais geralmente, p(A)X = (a) Se AX − XB = 0 entao Xp(B) para todo polinˆomio p. ˜ tˆem autovalores em comum entao ˜ AX = XB se, e (b) Se A e B nao somente se, X = 0. ˜ tˆem autovalores em comum entao ˜ para todo ope(c) Se A e B nao ´ rador linear C : E → E existe um unico X ∈ L(E) tal que AX − XB = C. 21.19. Sejam λ1 , . . . , λn os autovalores da matriz a, repetidos de acordo com suas multiplicidades alg´ebricas. Prove que X λ21 + · · · + λ2n = aij aji . i,j

21.20. Se existir algum k ∈ N tal que Ak = I, prove que o operador ´ ˜ Exerc´ıcio 21.17.] A : E → E e´ diagonalizavel. [Sugestao:

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21.21. Sejam F1 ⊂ F2 subespac¸os invariantes do operador A : E → E. Se dim F2 − dim F1 ≥ 2, prove que existe um subespac¸o F, diferente de F1 e F2 , invariante por A, tal que F1 ⊂ F ⊂ F2 . 21.22. Seja A : E → E um operador nilpotente no espac¸o vetorial E ˜ n. Tome k, o menor numero ´ (real ou complexo) de dimensao natural k tal que A = 0. Prove sucessivamente: (a) {0} ⊂ N (A) ⊂ N (A2 ) ⊂ . . . ⊂ N (Ak ) = E; ˜ N (Ai+1 ) = N (Ai+2 ); (b) Se N (Ai ) = N (Ai+1 ) entao (c) Nenhuma das inclus˜oes em (a) se reduz a uma igualdade; (d) k ≤ n.

22 Equa¸co ˜es a Diferen¸cas Finitas Em muitas aplica¸co˜ es da Matematica ´ o tempo e´ discreto. Isto significa que, ao contrario ´ da Cinematica, ´ na qual o tempo flui continuamente, nestas situa¸co˜ es que temos em mente (Economia, por exemplo) as grandezas sao ˜ medidas em instantes isolados, formando uma sequˆ ¨ encia. Nestes casos, as equa¸co˜ es diferenciais nao ˜ sao ˜ o instrumento adequado para exprimir a evolu¸cao ˜ dos fenˆomenos, sendo substitu´ıdas pelas equa¸co˜ es a diferen¸cas finitas. Nesta se¸cao, ˜ estudaremos os tipos mais simples dessas equa¸co˜ es, como aplica¸cao ˜ de alguns dos resultados obtidos nas se¸co˜ es anteriores. ˜ a diferenc¸as finitas, a inc´ognita e´ uma sequˆ ¨ encia Numa equac¸ao ˜ dada. (x0 , x1 , . . . , xk , . . . ), cujos termos devem satisfazer uma relac¸ao ˜ e´ do tipo xk+1 = f(xk ), onde f e´ uma func¸ao ˜ determiSe a relac¸ao ˜ de primeira ordem. Se e´ do tipo xk+2 = nada, tem-se uma equac¸ao ˜ de segunda ordem, e assim por dif(xk , xk+1 ), tem-se uma equac¸ao ante. ´ ˜ de primeira Fixado arbitrariamente um numero x0 , toda equac¸ao ´ ˜ (x0 , x1 , . . . , xk , . . . ) ordem xk+1 = f(xk ) admite uma unica soluc¸ao com valor inicial x0 . Basta tomar sucessivamente x1 = f(x0 ), x2 = ´ f(x1 ), etc. De modo analogo, fixados arbitrariamente x0 e x1 , toda ˜ de segunda ordem xk+2 = f(xk , xk+1 ) admite uma unica ´ equac¸ao ˜ (x0 , x1 , x2 , . . . , xk , . . . ) cujos dois valores iniciais sao ˜ os nume´ soluc¸ao

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Se¸c˜ ao 22

ros dados. Basta tomar sucessivamente x2 = f(x0 , x1 ), x3 = f(x1 , x2 ), ˜ de ordem n possui uma unica ´ etc. E assim por diante: toda equac¸ao ˜ cujos n valores iniciais sao ˜ fixados arbitrariamente. soluc¸ao ˜ o primeiro termo de toda sequˆ ¨ encia tem ˜ Nesta sec¸ao, Observac¸ao. ´ındice 0, em vez de 1. ˜ da equac¸ao ˜ de primeira ordem xk+1 = Exemplo 22.1. A soluc¸ao ¨ encia (xo , xo + b, xo + 2b, . . .), de xk + b com valor inicial xo e´ a sequˆ ˜ b). termo geral xk = xo + kb (progressao ˜ aritm´etica de razao ˜ xk+1 = axk (linear, homogˆenea, de priExemplo 22.2. A equac¸ao ˜ com valor meira ordem, com coeficiente constante) tem para soluc¸ao, 2 k ¨ encia (xo , axo , a xo , . . . , a xo , . . .) cujo termo geral e´ inicial xo , a sequˆ ˜ a). xk = ak .xo (progressao ˜ geom´etrica de razao Exemplo 22.3. Combinando os exemplos anteriores, seja xk+1 = ˜ linear, nao-homogˆ ˜ axk +b a equac¸ao enea, de primeira ordem, com co˜ desta equac¸ao ˜ eficientes constantes. Se (xo , x1 , . . . , xk . . .) e´ a soluc¸ao ˜ temos sucessivamente: com valor inicial xo , entao x1 = axo + b, x2 = ax1 + b = a2 xo + (1 + a)b, x3 = ax2 + b = a3 xo + (1 + a + a2 )b, .. . xk = axk−1 + b = ak .xo + (1 + a + · · · + ak−1 )b ˜ geral da equac¸ao ˜ xk+1 = axk + b e´ Portanto a soluc¸ao 1 − ak · b, se a 6= 1 1−a xk = xo + k · b, se a = 1. xk = ak .xo +

˜ xk+1 = axk + b pode ser olhada sob o Exemplo 22.4. A equac¸ao ponto de vista de um operador linear A : R∞ → R∞ , no espac¸o R∞ , ˜ as sequˆ ¨ encias x = (xo , x1 , . . . , xk , . . .). O operacujos elementos sao ¨ encia x a nova sequˆ ¨ encia y = Ax, onde dor A associa a cada sequˆ ˜ dada equivale ao problema de achar yk = xk+1 − axk . A equac¸ao ^ onde b ^ = (b, b, . . .) e´ uma os elementos x ∈ R∞ tais que Ax = b, ¨ encia constante de termos todos iguais a b. Como vimos no sequˆ

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Equa¸c˜ oes a Diferen¸cas Finitas

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^ e´ a soma de um ˜ geral da equac¸ao ˜ Ax = b Teorema 6.4, a soluc¸ao ´ ˜ geral da equac¸ao ˜ hoelemento qualquer do nucleo de A (soluc¸ao ^ ˜ particular da equac¸ao ˜ Ax=b dada. mogˆenea Ax=0) com uma soluc¸ao ˜ Para obter uma dessas soluc¸o˜ es particulares, tentamos a soluc¸ao ´ constante c^ = (c, c, . . .). O numero c deve cumprir c = ac + b, isto e´ , (1 − a)c = b. Como no caso a = 1 ja´ foi visto no Exemplo 22.1, supo˜ gemos aqui a 6= 1 e obtemos c = (1 − a)−1 .b. Por sua vez, a soluc¸ao ˜ ´ ˜ ral de Ax = 0 (equac¸ao equivalente a xk+1 = axk ) e uma progressao 2 ´ geom´etrica (p, ap, a p, . . .) cujo primeiro termo p e´ arbitrario. As˜ geral da equac¸ao ˜ xk+1 = axk + b, para a 6= 1, e´ dada sim, a soluc¸ao por xk = ak .p + (1 − a)−1 .b. Note que xo = p + (1 − a)−1 .b, donde ˜ vem: p = xo − (1 − a)−1 .b e, por substituic¸ao, xk = ak .xo − ak (1 − a)−1 .b + (1 − a)−1 b = ak xo +

1 − ak · b, 1−a

reobtendo o resultado do Exemplo 22.3.

22.A. Sistemas Lineares Generalizando o Exemplo 22.2, podemos considerar, num espac¸o ve¨ encia de torial E, um operador linear A : E → E e procurar uma sequˆ vetores vk ∈ E tais que vk+1 = A.vk

(k = 0, 1, 2, . . .).

Isto se chama um sistema linear homogˆeneo de primeira ordem, de equac¸o˜ es a diferenc¸as finitas com coeficientes constantes. Evidentemente, dado arbitrariamente um vetor inicial vo ∈ E, ´ ¨ encia (vo , v1 , . . . , vk , . . .) de vetores em E, coexiste uma unica sequˆ ˜ vk+1 = Avk para todo k ≥ 0. mec¸ando com vo e cumprindo a condic¸ao Basta tomar vk = Ak .vo . ´ O problema pratico de resolver o sistema vk+1 = Avk reduz-se ´ portanto ao calculo das potˆencias sucessivas Ak do operador A. Em ˜ e´ uma tarefa simples. Ha, ´ entretanto, casos pargeral, isto nao ticulares em que ela e´ fact´ıvel. Por exemplo, se existir uma base U ⊂ E formada por autovetores de A (o que se da´ quando dim E = n e o polinˆomio caracter´ıstico de A tem n ra´ızes reais distintas, ou ˜ quando A e´ auto-adjunto), o vetor inicial vo exprime-se como entao ˜ linear combinac¸ao v o = x1 u 1 + · · · + xn u n

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Se¸c˜ ao 22

de vetores ui ∈ U , com Aui = λi ui (i = 1, 2, . . . , n). Segue-se que Ak .vo = x1 λk1 u1 + · · · + xn λkn un

(k = 0, 1, . . .).

Exemplo 22.5. Seja A : R2 → R2 o operador linear definido por A(x, y) = (2x + 2y, 2x − y). O sistema de equac¸o˜ es a diferenc¸as finitas vk+1 = Avk , com vk = (xk , yk ), escreve-se explicitamente como xk+1 = 2xk + 2yk yk+1 = 2xk − yk . O polinˆomio caracter´ıstico do operador A e´ p(λ) = λ2 − λ − 6, cujas ˜ 3 e −2. Para obter uma base de autovetores {u, v} ⊂ R2 , ra´ızes sao com u = (α, β) e v = (γ, δ), escrevemos as igualdades Au = 3u, Av = −2v em termos de coordenadas, obtendo os sistemas 2α + 2β = 3α 2α − β = 3β 2γ + 2δ = −2γ 2γ − δ = −2δ ˜ indeterminados. Tˆem que ser indeterminados Estes sistemas sao ´ pois os numeros 3 e −2 foram obtidos de forma que fosse assim. Tomemos as soluc¸o˜ es α = 2, β = 1, logo u = (2, 1), e γ = 1, δ = −2, ˜ para todo k = 0, 1, 2, 3, . . . temos logo v = (1, −2). Entao, Ak .u = 3k .u = (3k .2, 3k ) e

  Ak .v = (−2)k .v = (−2)k , (−2)k+1 .

˜ do sistema vk+1 = Avk cujo vetor Para obter, digamos, a soluc¸ao inicial e´ vo = (xo , yo ), com xo = 1, yo = 1, exprimimos o vetor ˜ linear dos vetores basicos ´ vo = (1, 1) como combinac¸ao u = (2, 1) e v = (1, −2), obtendo 3 1 vo = u − v. 5 5 ˜ procurada e´ , portanto: A soluc¸ao 3 1 3k+1 (−2)k vk = Ak .vo = Ak u − Ak v = u− v. 5 5 5 5

Se¸c˜ ao 22

Equa¸c˜ oes a Diferen¸cas Finitas

303

Em termos das coordenadas vk = (xk , yk ), temos 2 xk = [3k+1 + (−2)k−1 ] 5

1 e yk = [3k+1 − (−2)k+1 ]. 5

No caso em que dim E = 2, o problema de calcular efetivamente a ˜ do sistema vk+1 = Avk pode ser resolvido em todos os casos, soluc¸ao como mostraremos agora. Tendo visto o caso em que o espac¸o E possui uma base de autovetores do operador A : E→E, vamos agora (supondo sempre dim E=2) ˜ existe. Ha´ duas possibilidaexaminar os casos em que tal base nao ˜ as seguintes: des, que sao Primeira. O polinˆomio caracter´ıstico de A possui uma raiz real dupla λ, mas A 6= λI. (Evidentemente, quando A = λI todo vetor ˜ nao-nulo em E e´ autovetor de A, logo este caso ja´ foi visto.) Segunda. O polinˆomio √ caracter´ıstico de A possui ra´ızes complexas λ + iµ e λ − iµ (com i = −1 e µ 6= 0). Consideremos o primeiro destes dois casos. ˜ Existe um vetor nao-nulo u ∈ E tal que Au = λu. Al´em disso, ´ somente os multiplos de u podem ser autovetores de A. (Com efeito, ´ ˜ sendo λ o unico autovalor de A, se existisse um autovetor v nao ´ multiplo de u, ter´ıamos uma base {u, v} ⊂ E com Au = λu, Av = λv, donde A = λI.) ˜ Tomemos um vetor v tal que {u, v} ⊂ E seja uma base. Entao ˜ e´ autovetor. Se fˆor α 6= 1, Av = αu + βv com α 6= 0 pois v nao substitu´ımos v por w = α−1 v e obtemos uma nova base {u, w} ⊂ E tal que Au = λu, Aw = u + γw. Na base {u, w}, A tem a matriz triangular   λ 1 , 0 γ ˜ λ, γ. Segue-se que γ = λ. Assim, temos cujos autovalores sao  Au = λu Aw = u + λw  λ 1 . e a matriz de A na base {u, w} e´ m = 0 λ 

(*)

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Se¸c˜ ao 22

Das igualdades (*) resulta que para k = 0, 1, 2, . . ., tem-se  Ak u = λ k u Ak w = kλk−1 u + λk w, logo  λk kλk−1 . m = 0 λk k



Exemplo 22.6. O operador A : R2 → R2 , dado por A(x, y) = (3x − y, x + y), tem o polinˆomio caracter´ıstico p(λ) = λ2 − 4λ + 4,

o qual admite a raiz dupla λ=2, sendo u=(1, 1) um autovetor de A. Portanto {u, e2 } ⊂ R2 e´ uma base, com Au = 2u e Ae2 = (−1, 1) = −1·u+2·e2 . Tomando w = −e2 = (0, −1), obtemos a base {u, w} ⊂ R2 , com Au = 2u e Aw = u + 2w, logo a matriz de A na base {u, w} e´   2 1 m= . 0 2 ˜ vk = (xk , yk ) = Ak .vo do Pelo que foi dito acima, para obter a soluc¸ao sistema xk+1 = 3xk − yk , yk+1 = xk + yk , com vetor inicial vo = (3, 5), primeiro exprimimos vo como combina˜ linear de u e w, obtendo vo = 3u − 2w. Da´ı resulta que, para todo c¸ao k = 0, 1, 2, . . ., tem-se vk = 3.Ak u − 2.Ak w. Como vimos acima, Ak u = 2k u e Ak w = k2k−1 u + 2k w. Logo vk = 2k [(3 − k)u − 2w] = 2k (3 − k, 5 − k). Em termos das coordenadas, isto significa que xk = 2k (3 − k)

e yk = 2k (5 − k).

Se¸c˜ ao 22

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Para completar o estudo de sistemas lineares de equac¸o˜ es a diferenc¸as finitas no caso 2 × 2, trataremos agora o caso de um operador ˜ linear A : E → E, (com dim E = 2) cujas ra´ızes caracter´ısticas sao ´ numeros complexos λ + iµ,λ − iµ, com µ 6= 0. Sera´ conveniente considerar o complexificado de E, que e´ o espac¸o ˜ (complexa) 2, cujos elementos tˆem vetorial complexo Ec , de dimensao ˜ dadas por a forma u + iv, onde u, v ∈ E. As operac¸o˜ es em Ec sao (u + iv) + (u′ + iv′ ) = (u + u′ ) + i(v + v′ ) e (α + iβ)(u + iv) = (αu − βv) + i(αv + βµ). Tem-se E⊂Ec de modo natural, pois u=u+i.0. O operador A : E→E estende-se a um operador Ac : Ec → Ec , chamado o complexificado de ˜ Ac (u + iv) = Au + iAv. Toda base de E A, pondo-se, por definic¸ao, e´ tamb´em uma base de Ec , relativamente a` qual a matriz de Ac e´ a mesma matriz de A. Em particular, os polinˆomios caracter´ısticos de ˜ autovalores distintos do A e Ac coincidem, logo λ + iµ e λ − iµ sao operador C-linear Ac : Ec → Ec . Para nossos efeitos, basta considerar o autovalor λ + iµ. Seja u + iv ∈ Ec um autovetor de Ac correspondente ao autovalor ˜ u, v ∈ E sao ˜ vetores nao ˜ simultaneamente nulos, com λ + iµ. Entao Ac (u + iv) = (λ + iµ)(u + iv), ou seja: Au + iAv = (λu − µv) + i(µu + λv), logo Au = λu − µv e

Av = µu + λv.

(*)

˜ linearmente independenAfirmamos que os vetores u, v ∈ E sao ˜ ambos 6= 0 pois se um deles fosse tes. Em primeiro lugar, u e v sao nulo o outro seria 6= 0 e, pelas equac¸o˜ es (*), este seria um autovetor do operador A : E → E. Em seguida, se u e v fossem L.D. ter´ıamos v = αu, logo Au = λu − µv = (λ − αµ)u e u seria um autovetor de A. Portanto, {u, v} ⊂ E e´ uma base, relativamente a` qual a matriz do operador A : E → E tem a forma   λ µ . a= −µ λ

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Equa¸c˜ oes a Diferen¸cas Finitas

Se¸c˜ ao 22

´ O calculo das potˆencias do operador A ou, equivalentemente, da ˜ de que as matrizes da forma matriz a se baseia na observac¸ao   λ µ −µ λ ˜ a` adic¸ao ˜ e a` multiplicac¸ao, ˜ do mesmo se comportam, em relac¸ao ´ modo que os numeros complexos λ + iµ. ´ Mais precisamente, se associarmos a cada numero complexo z = x + iy a matriz   x y ϕ(z) = −y x teremos uma correspondˆencia injetiva ϕ tal que ϕ(z + w) = ϕ(z) + ˜ as operac¸o˜ es ϕ(w) e ϕ(z.w) = ϕ(z).ϕ(w), onde z + w e z.w sao ˜ e multiplicac¸ao ˜ de numeros ´ de adic¸ao complexos e ϕ(z) + ϕ(w) e ˜ as operac¸o˜ es correspondentes com matrizes. ϕ(z).ϕ(w) sao Assim, se quisermos calcular a k-´esima potˆencia da matriz   λ µ −µ λ basta calcular (λ + iµ)k = x + iy e teremos 

λ µ −µ λ

k

=



 x y . −y x

´ Ora, as potˆencias de um numero complexo se calculam facilmente com a f´ormula de De Moivre: basta escrevˆe-lo sob a forma tri˜ (λ+iµ)k = ρk (cos kθ+ gonom´etrica λ+iµp = ρ(cos θ+i sen θ) e entao 2 2 i sen k θ). A´ı, ρ = λ + µ , cos θ = λ/ρ e sen θ = µ/ρ. Portanto: 

λ µ −µ λ

k

=

k

ρ



 cos k θ sen k θ . − sen k θ cos k θ

Se temos, por exemplo, um operador A : R2 → R2 , dado por ˜ os nu´ A(x, y) = (ax + by, cx + dy), cujas ra´ızes caracter´ısticas sao ˜ acima que existe uma meros complexos λ ± iµ, segue-se da discussao ˜ a` qual a matriz de Ak tem a forma base {u, v} ⊂ R2 em relac¸ao   cos k θ sen k θ k , ρ − sen k θ cos k θ

Se¸c˜ ao 22

Equa¸c˜ oes a Diferen¸cas Finitas

307

onde ρ=

p λ2 + µ2 ,

cos θ = λ/ρ,

sen θ = µ/ρ.

Depois de obtidos λ, µ, a base {u, v} se determina resolvendo o sistema Au = λu − µv, Av = µu + λv, de 4 equac¸o˜ es com 4 inc´ognitas ˜ as coordenadas dos vetores u = (x, y) e v = (s, t). Em termos que sao dessas coordenadas, o sistema se escreve como ax + by cx + dy as + bt cs + dt

= = = =

λx − µs λy − µt µx + λs µy + λt

ou (a − λ)x cx −µx

+by +(d − λ)y

+µs +(a − λ)s +cs

−µy

+µt +bt +(d − λ)t

=0 =0 =0 = 0.

Exemplo 22.7. Consideremos o sistema xk+1 = 3xk − yk , yk+1 = 2xk + yk , com vetor inicial vo = (1, 1). Ele nos fornece o operador A : R2 → R2 , A(x, y) = (3x − y, 2x + y), cuja matriz na base canˆonica e´   3 −1 , 2 1 ˜ logo o polinˆomio caracter´ıstico e´ p(λ) = λ2 − 4λ + 5, cujas ra´ızes sao 2 2 ± i. Existe uma base {u, v} ⊂ R , com u = (x, y), v = (s, t), tal que Au = 2u − v, Av = u + 2v. Para obter esta base, devemos achar uma ˜ nao-nula ˜ soluc¸ao do sistema 3x − y 2x + y 3s − t 2s + t

= = = =

2x − s 2y − t x + 2s y + 2t

ou seja x − y +s =0 2x − y +t = 0 −x +s −t = 0 −y +2s −t = 0.

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Equa¸c˜ oes a Diferen¸cas Finitas

Se¸c˜ ao 22

˜ Por escalonamento, encontramos x = s − t, y = 2s − t, onde s, t sao ´ arbitrarios. Tomamos s = 1, t = 0 e obtemos x = 1, y = 2. Logo u = (1, 2) e v = (1, 0) formam uma base de R2 , relativamente a` qual o operador A tem a matriz   2 1 . a= −1 2 √ ´ ˆ O numero complexo 2 + i tem m´odulo ρ = 5. Um angulo θ tal que √ ˜ para cos θ = 2/ 5 e´ θ = 26◦ 33 ′ 54 ′′ ou seja, θ = 0, 463 rad. Entao, todo k = 0, 1, 2 . . ., temos    k √ k cos k θ sen k θ 2 1 k . a = = ( 5) − sen k θ cos k θ −1 2 ˜ do sistema vk+1 = Avk com vetor inicial vo = (1, 1) e´ A soluc¸ao dada por vk = Ak .vo . Para obtˆe-la explicitamente, devemos comec¸ar ˜ linear dos vetores basicos ´ exprimindo vo como combinac¸ao u = (1, 2) e v = (1, 0). Temos vo = 21 u + 21 v. Portanto 1 1 vk = Ak u + Ak v. 2 2 k k Ora, a e´ a matriz de A na base {u, v}. Logo Ak u = 5k/2 (cos k θ · u − sen k θ · v) e Ak v = 5k/2 (sen k θ · u + cos k θ · v).

Noutras palavras:

Ak u = 5k/2 (cos k θ − sen k θ, 2 cos k θ) e Ak v = 5k/2 (sen k θ + cos k θ, 2 sen k θ). Portanto 1 1 vk = Ak u + Ak v = 5k/2 (cos k θ, cos k θ + sen k θ). 2 2 ˜ que Conclu´ımos entao xk = 5k/2 cos k θ; yk = 5k/2 (cos k θ + sen k θ), ˜ do sistema xk+1 = 3xk −yk , com θ = 26◦ 33′ 54′′ = 0,463 rad, e´ a soluc¸ao yk+1 = 2xk + yk que cumpre xo = 1, yo = 1.

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˜ do Teorema de Cayley-Hamilton 22.B. Uma Aplicac¸ao Uma forma alternativa de calcular as potˆencias sucessivas Ak do operador linear A : E → E com dim E = n, consiste em observar ¨ encia do Teorema de Cayley-Hamilton, basta que se que, em consequˆ considerem os expoentes k ≤ n − 1. Com efeito, se pA (λ) = (−1)n λn + an−1 λn−1 + · · · + a1 λ + ao e´ o polinˆomio caracter´ıstico do operador linear A, segue-se de pA (A) = 0 que An = ±(an−1 An−1 + · · · + a1 A + ao I). Usaremos este fato para calcular as potˆencias Ak de um operador linear A : E → E, onde dim E = 2. Neste caso, o grau do polinˆomio ca˜ de racter´ıstico pA (λ) sendo igual a 2, segue-se que o resto da divisao λk por pA (λ), para todo k ≥ 2, tem a forma αλ + β. (Por simplicidade, escrevemos α, β em vez de αk , βk .) Podemos portanto escrever λk = pA (λ) · q(λ) + αλ + β, donde Ak = pA (A) · q(A) + αA + βI.

Como pA (A) = 0, segue-se que Ak = αA + βI. Para encontrar α e β, suponhamos inicialmente que as ra´ızes ˜ temos pA (λ1 ) = caracter´ısticas λ1 e λ2 sejam distintas. Por definic¸ao, k pA (λ2 ) = 0 logo da identidade λ = pA (λ) · q(λ) + αλ + β resultam as igualdades: αλ1 + β = λk1 αλ2 + β = λk2 . Como estamos supondo λ1 6= λ2 , temos acima um sistema determi´ nado, que nos permite obter valores unicos para α e β. Observe que este argumento vale, inclusive, quando as ra´ızes caracter´ısticas ˜ numeros ´ λ1 e λ2 sao complexos. Neste caso, usa-se a forma trigonom´etrica para calcular as potˆencias λk1 e λk2 e vˆe-se que as soluc¸o˜ es ˜ numeros ´ α, β do sistema acima sao reais. Consideremos agora o caso em que o polinˆomio caracter´ıstico ˜ pA (λ) do operador linear A possui uma raiz (real) dupla λ1 . Entao

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Se¸c˜ ao 22

sabemos que λ1 , al´em de raiz do polinˆomio pA (λ), e´ tamb´em raiz de sua derivada p′A (λ). Portanto a identidade λk = pA (λ) · q(λ) + αλ + β ˜ αλ1 + β = λk1 enquanto que sua derivada fornece a equac¸ao kλk−1 = p′A (λ) · q(λ) + pA (λ) · q′ (λ) + α fornece, em virtude das relac¸o˜ es p′A (λ1 ) = 0 e pA (λ1 ) = 0, a igualdade k α = k · λk−1 1 , logo β = λ1 (1 − k).

˜ 22.C. Equac¸oes Lineares de Segunda Ordem Estudaremos apenas as que tˆem coeficientes constantes. Primeiro as homogˆeneas: xk+2 + axk+1 + bxk = 0. (*) ˜ acima ao sistema linear de Podemos reduzir o estudo da equac¸ao primeira ordem: xk+1 = yk (**) yk+1 = −bxk − ayk , onde foi introduzida a inc´ognita auxiliar yk = xk+1 . (Em particular, ¨ encias yo = x1 .) Usando os m´etodos do item 22.A, obtemos as sequˆ (xk ) e (yk ), com valores iniciais xo , yo dados. Isto significa que a ˜ (*), quando sao ˜ fixados os valores iniciais xo , x1 , tem por equac¸ao ˜ a sequˆ ¨ encia (xk ) que responde ao sistema (**). Com efeito, soluc¸ao temos: xk+2 = yk+1 = −bxk − ayk = −bxk − axk+1 . Portanto xk+2 + axk+1 + bxk = 0. Observe que o polinˆomio caracter´ıstico do sistema (**) e´ p(λ) = 2 ˜ (*), nao ˜ e´ λ + aλ + b. Isto sugere que, a fim de estudar a equac¸ao ´ necessario ter feito anteriormente o estudo dos sistemas lineares. ˜ (*), independenA seguir, mostraremos como resolver a equac¸ao temente de sistemas lineares. ˜ a fazer e´ que o subconjunto S ⊂ R∞ , forA primeira observac¸ao ¨ encias x = (xo , x1 , . . . , xk , . . .) que sao ˜ soluc¸o˜ es da mado pelas sequˆ ˜ xk+2 + axk+1 + bxk = 0, e´ um subespac¸o vetorial de dimenequac¸ao ˜ 2. sao

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˜ imediO fato de que S e´ um subespac¸o vetorial e´ de verificac¸ao ´ ata. (S e´ o nucleo do operador linear A : R∞ → R∞ , definido por ´ Ax = y, onde yk = xk+2 + axk+1 + bxk .) Al´em disso, o comentario feito ˜ sobre a existˆencia e unicidade da soluc¸ao ˜ de no in´ıcio desta sec¸ao ˜ de segunda ordem xk+2 = f(xk , xk+1 ), com valores iniciuma equac¸ao ais xo , x1 pr´e-fixados, significa precisamente que a correspondˆencia ˜ x = (xk ) da equac¸ao ˜ (*) seus dois S → R2 , que associa a cada soluc¸ao ´ primeiros termos (xo , x1 ), nesta ordem, e um isomorfismo entre S e ˜ 2. R2 . Portanto o espac¸o vetorial S tem dimensao ˜ Este argumento mostra ainda que se x = (xk ) e x′ = (x′k ) sao ˜ xk+2 + axk+1 + bxk = 0 tais que os vetores duas soluc¸o˜ es da equac¸ao ˜ linearmente independentes entao ˜ toda soluc¸ao ˜ (xo , x1 ) e (x′o , x′1 ) sao ˜ se exprime, de modo unico, ´ ˜ linear desta equac¸ao como combinac¸ao αx + βx′ . ˜ e´ que se r e´ uma raiz do polinˆomio caracA segunda observac¸ao 2 ˜ a sequˆ ¨ encia r∗ = (1, r, r2 , . . . , rk , . . .) e´ ter´ıstico λ + aλ + b = 0 entao ˜ da equac¸ao ˜ xk+2 + axk+1 + bxk = 0. uma soluc¸ao Com efeito, de r2 + ar + b = 0 segue-se que rk+2 + ark+1 + brk = rk (r2 + ar + b) = rk × 0 = 0. Resulta dessas duas observac¸o˜ es que, para determinar todas as ˜ xk+2 + axk+1 + bxk = 0, devemos usar as ra´ızes soluc¸o˜ es da equac¸ao do seu polinˆomio caracter´ıstico a fim de obter duas soluc¸o˜ es linear˜ combinac¸o˜ es mente independentes. Todas as demais soluc¸o˜ es serao lineares destas. Ha´ 3 casos a considerar. Primeiro caso. O polinˆomio caracter´ıstico λ2 + aλ + b tem duas ra´ızes reais distintas r, s. ˜ as sequˆ ¨ encias Entao r∗ = (1, r, r2 , . . . , rk , . . .)

e s∗ = (1, s, s2 , . . . , sk , . . .)

˜ soluc¸o˜ es e, como r 6= s, os vetores inicias (1, r) e (1, s) sao ˜ L.I. em sao ˜ linearmente independentes em R∞ . A soluc¸ao ˜ R2 , logo r∗ e s∗ sao ˜ xk+2 + axk+1 + bxk = 0 e´ , portanto, geral da equac¸ao xk = αrk + βsk , onde as constantes α e β podem ser determinadas de modo que xo e x1 tenham valores pr´e-fixados.

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˜ xk+2 − 3xk+1 + 2xk = 0 tem o polinˆomio Exemplo 22.8. A equac¸ao ˜ r = 1, s = 2. A soluc¸ao ˜ caracter´ıstico λ2 − 3λ + 2, cujas ra´ızes sao k ˜ tem a forma xk = α + 2 .β. Se quisermos, por geral desta equac¸ao ˜ com xo = 1 e x1 = 0, temos que achar α, β tais exemplo, a soluc¸ao ˜ que α + β = 1 e α + 2β = 0, o que nos da´ α = 2, β = −1, logo a soluc¸ao k procurada tem a forma xk = 2 − 2 . Segundo caso. O polinˆomio caracter´ıstico λ2 + aλ + b tem uma raiz real dupla r 6= 0. ˜ da Tem-se r = −a/2, logo 2r+a = 0. Ja´ sabemos que uma soluc¸ao ∗ k ˜ xk+2 +axk+1 +bxk = 0 e´ r = (1, r, . . . , r , . . .). Afirmamos que equac¸ao ˜ Com efeito, se xk = krk r∗∗ = (0, r, 2r2 , . . . , krk , . . .) e´ outra soluc¸ao. ˜ entao xk+2 + axk+1 + bxk = (k + 2)rk+2 + a(k + 1)rk+1 + bkrk = rk [k(r2 + ar + b) + r(2r + a)] = 0. ˜ L.I. em R2 , segue-se que Al´em disso, como os vetores (1, r) e (0, r) sao ˜ soluc¸o˜ es linearmente independentes, logo a soluc¸ao ˜ geral r∗ e r∗∗ sao ˜ dada tem a forma da equac¸ao xk = αrk + βkrk = rk (α + βk), onde as constantes α e β podem ser determinadas de maneira a fazer com que xo e x1 assumam os valores iniciais pr´e-estabelecidos. ˜ xk+2 − 6xk+1 + 9xk = 0. Seu polinˆomio Exemplo 22.9. Seja a equac¸ao ˜ geral desta equac¸ao ˜ caracter´ıstico tem a raiz dupla r = 3. A soluc¸ao e´ xk = 3k (α + βk). Se impusermos os valores iniciais xo = −1, x1 = 1 ˜ que tem esses valores obteremos α = −1, β = 4/3, logo a soluc¸ao iniciais e´ xk = 3k (−1 + 4k/3). ˜ aritm´etica pode tamb´em ser conExemplo 22.10. Uma progressao ˜ de uma equac¸ao ˜ a diferenc¸as finitas de sesiderada como soluc¸ao ˜ xk+2 −xk+1 = xk+1 −xk . Escrevendo-a gunda ordem, a saber, a equac¸ao sob a forma xk+2 − 2xk+1 + xk = 0, vemos que seu polinˆomio carac˜ geral e´ xk = ter´ıstico possui a raiz dupla r = 1, logo sua soluc¸ao ˜ aritm´etica de primeiro termo α e α + βk, ou seja, e´ a progressao ˜ β. razao 2 ˜ Terceiro caso. As ra´ızes do polinˆomio caracter´ √ ıstico λ + aλ + b sao ´ os numeros complexos α ± iβ com β 6= 0, i = −1.

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Equa¸c˜ oes a Diferen¸cas Finitas

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´ Escrevemos o numero complexo r = α + iβ sob a forma trigonom´etrica r = ρ(cos θ + i sen θ). Exatamente como no caso real, ¨ encia de numeros ´ verificamos que a sequˆ complexos rk = ρk (cos k θ + ˜ da equac¸ao ˜ dada. Mas e´ o´ bvio que i sen k θ), k = 0, 1, 2, . . ., e´ soluc¸ao ˜ numeros ´ ¨ encia complexa (zo , z1 , . . . , zk , . . .), se a, b sao reais e a sequˆ ˜ da equac¸ao ˜ zk+2 + azk+1 + bzk = 0 entao ˜ com zk = xk + iyk , e´ soluc¸ao ´ sua parte real xk e sua parte imaginaria yk cumprem xk+2 + axk+1 + bxk = 0 e yk+2 + ayk+1 + byk = 0 respectivamente. ¨ encias xk = ρk cos k θ e yk = ρk sen k θ sao ˜ soluc¸o˜ es Logo as sequˆ ˜ dada. Al´em disso, como (xo , x1 ) = (1, ρ cos θ), (yo , y1 ) = da equac¸ao ´ ˜ e´ real), vemos que (0, ρ sen θ) e sen θ 6= 0 (pois o numero r nao (xo , x1 ) e (yo , y1 ) formam uma base de R2 , logo as soluc¸o˜ es xk = ˜ linearmente independentes. ρk cos k θ e yk = ρk sen k θ sao ˜ geral da equac¸ao ˜ xk+2 + axk+1 + bxk = 0, Segue-se que a soluc¸ao quando a2 < 4b, e´ dada por xk = ρk [α cos k θ + β sen k θ], onde as constantes α, β podem ser determinadas de modo que xo e x1 assumam valores arbitrariamente pr´e-fixados. ˜ xk+2 −2xk+1 Exemplo 22.11. O polinˆomio caracter´ıstico √ da equac¸ao √+ 4xk = 0 tem as ra´ızes complexas 1 ± 1+i 3 √ i 3. Escrevendo ◦ + i sen 60◦ ) = 3 = 2(cos 60 sob forma trigonom´ e trica, temos, 1 + i
˜ geral da equac¸ao ˜ dada e´ 2 cos π3 + i sen π3 . A soluc¸ao   kπ kπ k xk = 2 α cos + β sen . 3 3 ˜ tal que xo = 5, Se quisermos, por exemplo, obter a soluc¸ao √ x1 = 7, os ´ numeros α, β devem satisfazer as condic¸o˜ es α = 5, β = 2 3/3. ˜ direta das equac¸o˜ es de segunda ordem Como se vˆe, a discussao (lineares homogˆeneas, com coeficientes constantes) e´ bem mais sim˜ casos particulaples do que o estudo dos sistemas dos quais elas sao res.

˜ 22.D. Equac¸oes com Segundo Membro Constante ˜ as do tipo As equac¸o˜ es de que vamos tratar sao xk+2 + axk+1 + bxk = c.

314

Equa¸c˜ oes a Diferen¸cas Finitas

Se¸c˜ ao 22

˜ geral desta equac¸ao ˜ e´ a soma de uma Como se sabe, a soluc¸ao ˜ particular, que obtenhamos por qualquer processo, com a sosoluc¸ao ˜ geral da equac¸ao ˜ homogˆenea xk+2 + axk+1 + bxk = 0. Como ja´ luc¸ao ´ aprendemos a determinar esta ultima, basta-nos explicar como se ˜ particular. pode conseguir uma soluc¸ao ˜ constante xk = d. Devemos Comec¸amos tentando uma soluc¸ao ter d + ad + bd = c, ou seja (1 + a + b)d = c. Portanto, se 1 + a + b 6= 0, ´ ˜ constante poss´ıvel para a equac¸ao ˜ dada e´ xk = d = a unica soluc¸ao −1 (1 + a + b) .c. ˜ dada (com c 6= 0) nao ˜ pode ter soluc¸ao ˜ Se 1 + a + b = 0, a equac¸ao ˜ do tipo xk = k.d. Substituindo, na constante. Tentamos uma soluc¸ao ˜ dada, xk por kd vem equac¸ao (k + 2)d + a(k + 1)d + bkd = c ou (1 + a + b)kd + (a + 2)d = c. Como 1+a+b = 0, obtemos (a+2)d = c. Portanto, quando 1+a+b = 0 ¨ encia xk = kc.(a + 2)−1 e´ uma soluc¸ao ˜ particular. e a 6= −2, a sequˆ ˜ b = 1 e a equac¸ao ˜ dada Finalmente, se 1+a+b = 0 e a = −2 entao ˜ possui soluc¸ao ˜ constante se torna xk+2 − 2xk+1 + xk = c, a qual nao ˜ da forma xk = k2 .d. nem do tipo xk = k.d. Tentemos uma soluc¸ao ˜ obtemos Substituindo xk por este valor na equac¸ao, (k2 + 4k + 4)d − 2(k2 + 2k + 1)d + k2 d = c, ˜ imediata mostra ou seja, 2d = c, donde d = c/2. Uma verificac¸ao 2 ˜ particular da equac¸ao ˜ que, realmente, xk = k c/2 e´ uma soluc¸ao xk+2 − 2xk+1 + xk = c. ˜ vimos que a equac¸ao ˜ de se˜ Observac¸ao. No in´ıcio desta sec¸ao, gunda ordem xk+2 + axk+1 + bxk = 0 pode ser resolvida considerandose o sistema xk+1 = yk yk+1 = −bxk − ayk . Mostraremos agora que, reciprocamente, se quisermos resolver o sistema xk+1 = axk + byk (*) yk+1 = cxk + dyk

Se¸c˜ ao 22

Equa¸c˜ oes a Diferen¸cas Finitas

315

˜ de com vetor inicial v0 = (x0 , y0 ), podemos reduzi-lo a uma equac¸ao ˜ pelo m´etodo que acabamos de segunda ordem, resolver essa equac¸ao ˜ do sistema. expor e, a partir da´ı, obter a soluc¸ao ´ Evidentemente, um dos numeros a, b, c, d e´ diferente de zero. ˜ as soluc¸o˜ es Para fixar id´eias, suporemos que b 6= 0. Se (xk ) e (yk ) sao ˜ do sistema (∗) entao xk+2 = axk+1 + byk+1 = axk+1 + bcxk + bdyk = axk+1 + bcxk + dxk+1 − adxk , logo, xk+2 − (a + d)xk+1 + (ad − bc)xk = 0.

(**)

Para resolver o sistema (∗) com vetor inicial v0 = (x0 , y0 ), toma˜ (xk ) da equac¸ao ˜ (∗∗) com os valores iniciais x0 (dado) mos a soluc¸ao e x1 = ax0 + by0 (com y0 tamb´em dado). Em seguida, definimos a ¨ encia (yk ) pondo yk = (xk+1 − axk )/b. Isto da´ imediatamente sequˆ xk+1 = axk + byk . Al´em disso, o valor y0 obtido nesta f´ormula coincide com o valor inicial y0 anteriormente estipulado. Tem-se ainda 1 [xk+2 − axk+1 ] b 1 = [(a + d)xk+1 + (bc − ad)xk − axk+1 ] b 1 = [(a + d)(axk + byk ) + (bc − ad)xk − axk+1 ]. b

yk+1 =

¨ encias (xk ) e (yk ) Simplificando, vem yk+1 = cxk + dyk , logo as sequˆ ˜ procurada do sistema (∗). formam a soluc¸ao

Exerc´ıcios ˜ que 22.1. Para cada uma das equac¸o˜ es abaixo, determine a soluc¸ao tem o valor inicial indicado (a)

xk+1 = xk − 7, xo = 0.

(b)

xk+1 = 6xk , xo = 1.

316

Equa¸c˜ oes a Diferen¸cas Finitas

(c)

xk+1 = 2xk + 5, xo = 3.

(d)

xk+1 = xk + k, xo = 2.

(e)

xk+1 =

k+1 k+2

Se¸c˜ ao 22

· xk , xo = xo .

˜ do tipo 22.2. Prove que o conjunto das soluc¸o˜ es de uma equac¸ao ˜ com xk+1 = ak xk + bk (linear, de primeira ordem, homogˆenea ou nao, ´ ˜ 1 em R∞ . coeficientes variaveis) e´ uma variedade afim de dimensao Em que condic¸o˜ es e´ um subespac¸o vetorial? ˜ do sistema 22.3. Uma soluc¸ao xk+1 = ak xk + bk yk + pk yk+1 = ck xk + dk yk + qk ¨ encias pode ser considerada como um par (s, t) de sequˆ s = (xo , . . . , xk , . . .), t = (yo , . . . , yk , . . .), portanto um elemento de R∞ × R∞ . Prove que o conjunto S des˜ 2 no espac¸o vetorial sas soluc¸o˜ es e´ uma variedade afim de dimensao ∞ ∞ R × R . Em que condic¸o˜ es S e´ um subespac¸o vetorial? ˜ 22.4. Para cada um dos sistemas abaixo, determine a soluc¸ao (vo , . . . , vk , . . .), vk = (xk , yk ), que tem o valor inicial vo = (xo , yo ) indicado. xk+1 = 2xk + 9yk

xk+1 = 3xk + 16yk

xk+1 = xk + 3yk

yk+1 = xk + 2yk

yk+1 = −4xk − 13yk

yk+1 = −2xk + yk

(xo , yo ) = (3, −2)

(xo , yo ) = (3, 2)

(xo , yo ) = (−2, 3)

˜ do sistema 22.5. Seja vk = (xk , yk ) uma soluc¸ao xk+1 = 2xk − yk yk+1 = 4xk − 2yk . Prove que, seja qual for o vetor inicial vo = (xo , yo ), tem-se xk = yk = 0 para todo k ≥ 2.

Se¸c˜ ao 22

Equa¸c˜ oes a Diferen¸cas Finitas

317

22.6. Sejam λ e µ as ra´ızes caracter´ısticas (reais ou complexas) do operador A : R2 → R2 . Suponha que |λ| < 1 e |µ| < 1. Seja qual ˜ vk = (xk , yk ) do for o valor inicial vo = (xo , yo ), prove que a soluc¸ao sistema vk+1 = Avk cumpre lim xk = 0, lim yk = 0. 22.7. Sejam r = (xo , . . . , xk , . . .) e s = (yo , . . . , yk , . . .) soluc¸o˜ es da ˜ zk+2 + azk+1 + bzk = 0. Assinale V(erdadeiro) ou F(also): equac¸ao (

˜ L.I. entao, ˜ para quaisquer ´ındices k 6= ℓ, os vetores ) Se r e s sao ˜ L.I. u = (xk , xℓ ) e v = (yk , yℓ ) sao

(

) Se existirem k 6= ℓ tais que os vetores u = (xk , xℓ ) e v = (yk , yℓ ) ˜ L.I. entao ˜ as soluc¸o˜ es r e s sao ˜ L.I. sao

(

) Se, para todo k ≥ 0, os vetores u = (xk , xk+1 ) e v = (yk , yk+1 ) ˜ r e s sao ˜ L.D. forem L.D. entao

(

˜ L.D. entao ˜ u = (xk , xℓ ) e v = (yk , yℓ ) sao ˜ L.D., sejam ) Se r e s sao quais forem k e ℓ.

22.8. Sejam r=(xo , . . . , xk , . . .), s=(yo , . . . , yk , . . .), t=(zo , . . . , zk , . . .) ˜ wk+3 + awk+2 + bwk+1 + ck wk = 0. Prove: soluc¸o˜ es da equac¸ao (a) Se existirem k < ℓ < m tais que os vetores v = (xk , xℓ , xm ), ˜ L.I. entao ˜ as sequˆ ¨ encias v′ = (yk , yℓ , ym ) e v′′ = (zk , zℓ , zm ) sao ˜ L.I. . r, s e t sao ˜ L.I. entao ˜ existe k ≥ 0 tal que os vetores (b) Se r, s e t sao v=(xk , xk+1 , xk+2 ), v′ =(yk , yk+1 , yk+2 ) e v′′ =(zk , zk+1 , zk+2 ) ˜ L.I. . sao ¨ encias r = (1, 2, 3, 4, 0, 0, . . .), s = (1, 2, 3, 1, 22.9. Prove que as sequˆ ˜ podem ser soluc¸o˜ es da mesma 0, 0, . . .) e t = (1, 0, 0, 3, 0, 0, . . .) nao ˜ xk+3 +axk+2 +bxk+1 +cxk = 0. [Sugestao: ˜ item (b) do exerc´ıcio equac¸ao anterior.] 22.10. Seja E : R∞ → R∞ o operador linear definido por E(xo , x1 , . . . , xk , . . .) = (x1 , x2 , . . . , xk+1 , . . .).

318

Equa¸c˜ oes a Diferen¸cas Finitas

Se¸c˜ ao 22

Prove que um subespac¸o vetorial S ⊂ R∞ e´ o conjunto das soluc¸o˜ es ˜ linear homogˆenea de ordem n com coeficientes consde uma equac¸ao tantes, xk+n + a1 xk+n−1 + · · · + an xk = 0, se, e somente se, cumpre as condic¸o˜ es seguintes: (1) S e´ invariante por E; ˜ finita, igual a n. (2) S tem dimensao 22.11. O m´etodo apresentado em 22.B para calcular as potˆencias Ak mediante o uso do Teorema de Cayley-Hamilton da´ f´ormulas expl´ıcitas para essas potˆencias como combinac¸o˜ es lineares de I, A, . . . , An−1 , mas faz uso das ra´ızes caracter´ısticas do operador A, ˜ facilmente calculaveis ´ ˜ 2 por´em dif´ıceis de obque sao em dimensao ˜ a f´ormula geral ter em dimens˜oes superiores. Caso se deseje, nao ´ para Ak , mas apenas o calculo expl´ıcito de uma dessas potˆencias, ´ como A10 por exemplo, a alternativa seguinte utiliza apenas o calculo do polinˆomio caracter´ıstico pA (λ), o que e´ bem mais fact´ıvel: Usa˜ para escrever λk = pA (λ) · q(λ) + r(λ), onde se o algoritmo da divisao ˜ do espac¸o E. Tem-se o grau do resto r(λ) e´ menor do que a dimensao ˜ Ak = r(A). Usando este m´etodo, mostre que, dado o operador entao A : R3 → R3 , onde A(x, y, z) = (x+2y+3z, 3x+y+2z, x−y+z), tem-se A5 = 40A2 + 19A − 143 · I e A10 = 14281 · A2 + 2246 · A − 49071 · I.

˜ que 22.12. Para cada uma das equac¸o˜ es abaixo, determine a soluc¸ao tem os valores iniciais indicados. (a)

xk+2 = xk+1 + 20xk , xo = −3, x1 = 2.

(b)

1 5 xk+2

(c)

xk+2 − 6xk+1 + 25xk = 0, xo = 1, x2 = 3.

= 2xk+1 − 5xk , xo = 2, x1 = −1.

22.13. A sequˆ ¨ encia de Fibonacci (xo , x1 , . . . , xk , . . .) e´ definida pelas ˜ condic¸oes xo = 0, x1 = 1 e xk+2 = xk+1 + xk . Obtenha a f´ormula geral ˜ de k, prove que xk+2 = 1 + x1 + · · · + xk e que para xk em func¸ao √ xk+1 1+ 5 lim (o numero ´ de ouro). = k→∞ xk 2

Se¸c˜ ao 22

Equa¸c˜ oes a Diferen¸cas Finitas

319

˜ de xo , x1 e k, 22.14. Qual a f´ormula que exprime xk em func¸ao sabendo-se que 1 xk+2 = (xk+1 + xk ) 2 para todo k ≥ 0 ? ˜ xk+3 − 6xk+2 + 11xk+1 − 6xk = 0. 22.15. Resolva a equac¸ao ˜ vk = (xk , yk ) do sistema 22.16. Ache a soluc¸ao xk+1 = xk − α(xk − yk ) yk+1 = yk + β(xk − yk ), com vetor inicial vo = (xo , yo ), com yo < xo , 0 < α < 1 e 0 < β < 1. Mostre que lim xk = lim yk = (βxo + αyo )/(α + β), logo este limite esta´ mais pr´oximo de xo do que de yo se, e somente se, α < β. Mostre que se tem xk < yk para todo k se, e somente se, α + β < 1, em cujo ¨ encia (xk ) e´ decrescente e (yk ) e´ crescente. caso a sequˆ ˜ sim˜ [Observac¸ao: este sistema e´ um modelo para uma situac¸ao ples de barganha. Cada xk e´ o prec¸o do vendedor e yk e´ a proposta do comprador. Em cada etapa, o vendedor oferece um desconto proporcional a` diferenc¸a de prec¸os na etapa anterior e o comprador, por ´ sua vez, aumenta sua proposta de modo analogo. Se a soma α + β, da constante do vendedor com a do comprador, for maior do que 1, ja´ na primeira etapa tem-se x1 < y1 , o que daria o chamado “neg´ocio de pai para filho”...] ˜ cujas ra´ızes carac22.17. Seja xk+2 + axk+1 + bxk = 0 uma equac¸ao ˜ os complexos conjugados r e r. Escreva r = ρ(cos θ + ter´ısticas sao i sen θ) como xk = αρk cos(β + kθ), onde as constantes α e β podem ser determinadas de modo a fazer com que xo e x1 assumam os va˜ a equac¸ao ˜ dada admite a lores iniciais pr´e-estabelecidos. [Sugestao: ˜ arbitrarios. ´ ˜ geral complexa xk = ζrk + ηrk , onde ζ, η ∈ C sao soluc¸ao k ˜ real xk = 2 Re (ζr ). Escreva Tomando η = ζ, obt´em-se a soluc¸ao ζ = α2 (cos β + i sen β) e use a f´ormula cos(x + y) = cos x · cos y − sen x · sen y.]

320

Equa¸c˜ oes a Diferen¸cas Finitas

Se¸c˜ ao 22

˜ xk+2 + axk+1 + bxk = ck , onde c nao ˜ e´ raiz 22.18. Dada a equac¸ao caracter´ıstica, prove que existe M ∈ R tal que xk = M · ck e´ uma ˜ particular. Se c e´ uma raiz caracter´ıstica diferente de −a/2, soluc¸ao ˜ particular. E se prove que existe N tal que xk = Nkck e´ uma soluc¸ao c = −a/2 e´ raiz caracter´ıstica prove que existe P tal que xk = Pk2 ck ˜ particular. e´ uma soluc¸ao 22.19. Se vk+1 = αvk + wk , onde |α| < 1 e lim wk = 0, prove que k→∞

lim vk = 0

k→∞

22.20. Seja A : E → E um operador linear cujos autovalores cumprem |λ1 | < 1, . . . , |λn | < 1. Prove que, para todo v ∈ E, tem-se ˜ Tome uma base {u1 , . . . , un } ⊂ E na qual lim Ak v = 0. [Sugestao:

k→∞

a matriz de A seja diagonal superior. Observe que Aui = w + λi ui , onde w ∈ S(u1 , . . . , ui−1 ) se i > 1 e Au1 = λ1 u1 . Logo Ak+1 ui = Ak w + λi Ak ui . Ponha vk = Ak ui , wk = Ak w, α = λi e tenha vk+1 = ˜ em i e o exerc´ıcio anterior para concluir que αvk + wk . Use induc¸ao k lim A ui = 0 (i = 1, . . . , n), e da´ı lim Ak v = 0 para todo v ∈ E.]

k→∞

k→∞

Apˆ endice A Forma Canˆ onica de Jordan O objetivo deste apˆendice e´ provar que, dado um operador linear A : E → E num espa¸co vetorial complexo de dimensao ˜ finita, existe uma base de E na qual a matriz a de A e´ formada por uma s´erie de “blocos de Jordan” ao longo da diagonal. Um bloco de Jordan e´ uma matriz triangular inferior cujos elementos diagonais sao ˜ todos iguais a um mesmo auto-valor de A e os elementos imediatamente abaixo da diagonal sao ˜ iguais a 1. Diz-se entao ˜ que a matriz a esta´ na forma canˆonica de Jordan. Quando E possui uma base formada por auto-vetores de A, os blocos de Jordan sao ˜ todos 1×1, e neste caso a forma canˆonica de Jordan para A e´ uma matriz diagonal. A forma canˆonica de Jordan exibe a matriz mais simples que se pode obter para o operador A. Ela se mostra util ´ no estudo de quest˜oes que envolvem potˆencias sucessivas do operador A, como as equa¸co˜ es diferenciais lineares e as equa¸co˜ es a diferen¸cas finitas lineares.

A1. Operadores Nilpotentes ˜ estudaremos mais um tipo de operadores que podem Nesta sec¸ao, ser representados por matrizes especialmente simples, a saber, os

322

A Forma Canˆ onica de Jordan

Apˆ endice

operadores nilpotentes. Os espac¸os vetoriais aqui considerados po˜ faz diferenc¸a. Tampouco se nedem ser reais ou complexos; nao cessita de um produto interno. Veremos que, mesmo no caso real, os operadores nilpotentes possuem matrizes triangulares. O estudo ˜ para a sec¸ao ˜ seguinte. aqui feito serve de preparac¸ao Um operador linear A : E → E diz-se nilpotente quando se tem Ak = 0 para algum k ∈ N. O ´ındice de um operador nilpotente e´ o ´ menor numero k ∈ N tal que Ak = 0. Isto significa que Ak−1 6= 0 e k A = 0. Analogamente, uma matriz quadrada a chama-se nilpotente quando se tem ak = 0 para algum k ∈ N. Se ak−1 6= 0 e ak = 0, diz-se que a matriz nilpotente a tem ´ındice k. ˜ D : Pn → Pn e´ nilpotente, Exemplo A1.1. O operador de derivac¸ao com ´ındice n + 1.

Exemplo A1.2. Um exemplo simples de matriz nilpotente e´ dado pela matriz k × k cuja k-´esima coluna e´ o vetor nulo e, para 1 ≤ j ≤ k − 1, sua j-´esima coluna e´ ej+1 ∈ Rk . Para k = 4 essa matriz tem a forma abaixo:   0 0 0 0 1 0 0 0   a= 0 1 0 0  . 0 0 1 0

A matriz deste exemplo prov´em do operador A : Rk → Rk , definido por Ae1 = e2 , . . . , Aek−1 = ek , Aek = 0. Evidentemente, tem-se Ak = 0 e Ak−1 6= 0. Logo o ´ındice do operador A (e da matriz a) e´ igual a k.

Teorema A1.1. Dado o operador A : E → E, seja u ∈ E um vetor tal que Ak−1 u 6= 0 e Ak u = 0. Entao ˜ os vetores u, Au, . . . , Ak−1 u sao ˜ linearmente independentes. ˜ Seja Demonstrac¸ao: α1 u + α2 Au + · · · + αk Ak−1 u = 0. Aplicando o operador Ak−1 a ambos os membros desta igualdade, obtemos α1 Ak−1 u = 0. Como Ak−1 u 6= 0, conclu´ımos que α1 = 0. ˜ linear inicial se reduz a Logo a combinac¸ao α2 Au + · · · + αk Ak−1 u = 0.

Apˆ endice

A Forma Canˆ onica de Jordan

323

Aplicando o operador Ak−2 , obtemos agora α2 Ak−1 u = 0, logo α2 = 0. Prosseguindo analogamente, tem-se α1 = α2 = · · · = αk = 0.  ´ Corolario 1. Num espa¸co vetorial de dimensao ˜ n, o ´ındice de um operador nilpotente e´ ≤ n. ´ Corolario 2. Seja A : E → E um operador nilpotente de ´ındice n num espa¸co vetorial E, de dimensao ˜ n. Existe uma base de E na qual a matriz de A tem a forma abaixo:   0 0 0 ··· 0 0  1 0 0 · · · 0 0    0 1 0 · · · 0 0    .. .. .. . .  . . . · · · .. ..  0 0 0 ···

1 0

´ Vale, evidentemente, a rec´ıproca do Corolario 2 acima: se alguma matriz do operador A : E → E (onde dim E = n) tem a forma acima ˜ A e´ um operador nilpotente de ´ındice n. entao Se o ´ındice do operador nilpotente A : E → E for menor do que a ˜ do espac¸o E, mostraremos a seguir que existe uma base de dimensao E na qual a matriz de A e´ formada por blocos do tipo acima, dispostos ao longo da diagonal. ˜ e´ extremamente simples, mas a notac¸ao ˜ A id´eia da demonstrac¸ao ´ pode tornar-se longa. A fim de evitar complicac¸o˜ es tipograficas, trataremos os casos de ´ındices mais baixos, deixando claro o processo indutivo que leva ao caso geral. O argumento se baseia no seguinte fato, que foi estabelecido na ˜ do Teorema do Nucleo ´ demonstrac¸ao e da Imagem, e que destacaremos aqui como um lema: Lema. Se {Au1 , . . . , Aup } e´ uma base da imagem do operador A : E → E e {v1 , . . . , vq } e´ uma base do nucleo ´ de A entao ˜ {u1 , . . . , up , v1 , . . . , vq } e´ uma base de E. Seja inicialmente o operador nilpotente A : E → E, de ´ındice 2: A 6= 0 e A2 = 0. ˜ Tomemos uma base {Au1 , . . . , Aup } da imagem de A. A condic¸ao 2 A = 0 significa que Im(A) ⊂ N (A), logo existem vetores v1 , . . . , vq tais que U = {Au1 , . . . , Aup , v1 , . . . , vq }

324

A Forma Canˆ onica de Jordan

Apˆ endice

e´ uma base de N (A). Pelo Lema, o conjunto V = {u1 , Au1 , . . . , up , Aup , v1 , . . . , vq } e´ uma base de E. ˜ a esta base V, a matriz do operador nilpotente Em relac¸ao A : E → E, de ´ındice 2, e´ formada por p blocos de matrizes 2 × 2 do tipo   0 0 1 0 ao longo da diagonal (onde p e´ o posto de A), seguidos de q colunas nulas, onde 2p + q = dim E. Por exemplo, se A : R5 → R5 e´ nilpotente de ´ındice 2, sua matriz na base V tem uma das formas abaixo, conforme seu posto seja 2 ou 1:     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  1 0 0 0 0 1 0 0 0 0       0 0 0 0 0 0 0 0 0 0       0 0 0 0 0 0 0 1 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Em seguida, consideremos um operador nilpotente A : E → E de ´ındice 3. ˜ de A ao subespac¸o invariante Im(A) e´ um operador A restric¸ao ˜ nilpotente de ´ındice 2. Lembrando que os elementos de Im(A) sao todos da forma Au, resulta do que vimos acima que existe uma base de Im(A) do tipo {Au1 , A2 u1 , . . . , Aup , A2 up , Av1 , . . . , Avq },

com A2 v1 = · · · = A2 vq = 0. Os vetores linearmente independentes ´ A2 u1 , . . . , A2 up , Av1 , . . . , Avq pertencem ao nucleo de A, logo podem ser inclu´ıdos numa base: U = {A2 u1 , . . . , A2 up , Av1 , . . . , Avq , w1 , . . . , wr } ⊂ N (A). Segue do Lema que o conjunto V = {u1 , Au1 , A2 u1 , . . . ,

up , Aup , A2 up , v1 , Av1 , . . . , vq , Avq , w1 , . . . , wr }

Apˆ endice

A Forma Canˆ onica de Jordan

e´ uma base de E. ˜ a esta base V, a Em relac¸ao A : E → E, de ´ındice 3, e´ formada da forma  0 0 1 0 0 1

325

matriz do operador nilpotente por p blocos de matrizes 3 × 3  0 0 0

ao longo da diagonal, seguidos por q blocos de matrizes 2×2 da forma   0 0 , 1 0 ainda ao longo da diagonal, e por r colunas de zeros. (Aqui, p e´ o ˜ de N (A).) posto de A2 , 2p + q e´ o posto de A e p + q + r e´ a dimensao Eventualmente, pode-se ter q = 0 ou r = 0 (ou ambos). Mas as trˆes primeiras colunas do operador nilpotente A, de ´ındice 3, na base V, devem ser e2 , e3 e 0. ˜ acima assegura, para um operador nilpotente A discussao 5 5 A : R → R de ´ındice 3, uma base V na qual sua matriz tem uma das formas seguintes 

0 1  0  0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 1

 0 0  0  0 0

ou



0 1  0  0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

 0 0  0  , 0 0

conforme o posto de A seja 3 ou 2. O caso geral se trata da mesma maneira. A fim de dar mais ˜ e clareza ao seu enunciado, vamos introduzir uma definic¸ao. ˜ precisao Dado um operador nilpotente A : E → E, dizemos que um su˜ a A) quando existe um bespac¸o vetorial F ⊂ E e´ c´ıclico (em relac¸ao vetor u ∈ F tal que Am u = 0 e {u, Au, . . . , Am−1 u} e´ uma base de ˜ F. Isto significa que F ⊂ E e´ um subespac¸o vetorial de dimensao ˜ de A ao subespac¸o F e´ um m, invariante por A, e que a restric¸ao operador nilpotente de ´ındice m. Por exemplo, na base V, acima obtida quando analisamos um operador nilpotente de ´ındice 3, cada um dos vetores u1 , . . . , up gera ˜ 3, cada vj (j = 1, . . . , q) gera um um subespac¸o c´ıclico de dimensao

326

A Forma Canˆ onica de Jordan

Apˆ endice

˜ 2 e cada wℓ (ℓ = 1, . . . , r) gera um subespac¸o c´ıclico de dimensao ˜ 1 (o que significa Aw1 = · · · =Awℓ =0). subespac¸o c´ıclico de dimensao O resultado fundamental sobre operadores nilpotentes e´ o Teorema A1.2. Seja A : E → E um operador nilpotente de ´ındice k num espa¸co vetorial de dimensao ˜ n. Existem inteiros k1 = k ≥ k2 ≥ · · · ≥ kr > 0, tais que E = F1 ⊕ · · · ⊕ Fr , onde cada Fi e´ um subespa¸co c´ıclico de dimensao ˜ ki . Evidentemente, k1 + · · · + kr = n. Tomando em cada Fi (i = 1, . . . , r) uma base Vi = {ui , Aui , . . . , ˜ a` qual Aki −1 ui }, obtemos uma base V = V1 ∪ . . . ∪ Vr , em relac¸ao a matriz de A e´ formada por r blocos ai ∈ M(ki × ki ), ao longo da diagonal. Cada bloco ai tem a forma vista no Exemplo 2: para j < ki sua j-´esima coluna e´ ej+1 ∈ Rki enquanto sua ki -´esima coluna e´ zero.

ˆ ˆ A2. Existencia da Forma Canonica de Jordan. Dado um operador linear A : E → E num espac¸o vetorial complexo ˜ finita, provaremos que existe uma base em E na qual a de dimensao matriz de A tem a forma canˆonica de Jordan: e´ triangular inferior, ˜ repetidos consecutivaos auto-valores que formam sua diagonal sao mente de acordo com suas multiplicidades alg´ebricas e, al´em disso, ˜ iguais a 0 ou 1; os elementos imediatamente abaixo da diagonal sao ˜ nulos. todos os demais elementos sao Teorema A2.1. Seja A : E → E um operador linear num espa¸co vetorial (real ou complexo) de dimensao ˜ finita. Existe uma decomposi¸cao ˜ E = F ⊕ G, como soma direta de subespa¸cos invariantes F, G tais que A e´ nilpotente em F e invert´ıvel em G. ˜ de E e´ finita, a sequˆ ¨ encia de su˜ Como a dimensao Demonstrac¸ao: bespac¸os invariantes E ⊃ Im(A) ⊃ Im(A2 ) ⊃ . . . ˜ pode ser estritamente decrescente para sempre. Seja entao ˜ ko nao k k+1 ´ menor numero natural tal que Im(A ) = Im(A ). Afirmamos que ˜ Im(Ak+1 ) = Im(Ak+2 ). Com efeito, entao Im(Ak+2 ) = A[Im(Ak+1 )] = A[Im(Ak )] = Im(Ak+1 ).

Apˆ endice

A Forma Canˆ onica de Jordan

327

Segue-se que Im(Ak+2 ) = Im(Ak+3 ), etc. Note-se que vale N (A) ⊂ N (A2 ) ⊂ · · · ⊂ N (Ak ) = N (Ak+1 ) = N (Ak+2 ) = · · · . ´ Com efeito, pelo Teorema do Nucleo e da Imagem, temos dim N (Ak+1 ) = dim E − dim Im(Ak+1 )

= dim E − dim Im(Ak ) = dim N (Ak ).

˜ invarianSejam F = N (Ak ) e G = Im(Ak ). Evidentemente, F e G sao ˜ A : F → F e´ nilpotente. Al´em disso, a restric¸ao ˜ tes por A e a restric¸ao A : G → G e´ um operador sobrejetivo pois A(G) = A[Im(Ak )] = Im(Ak+1 ) = Im(Ak ) = G.

Logo A : G → G e´ invert´ıvel. Mostremos agora que E = F + G. Dado v ∈ E, como Im(Ak ) = Im(A2k ), existe x ∈ E tal que Ak v = A2k x. ˜ se escrevermos Entao, v = (v − Ak x) + Ak x, veremos que Ak (v − Ak x) = Ak v − A2k x = 0, logo v − Ak x ∈ F e, obviamente, Ak x ∈ G. Assim, todo elemento v ∈ E e´ soma de um vetor de F com um vetor de G, ou seja, E = F + G. Para concluir que E = F ⊕ G, resta apenas mostrar que F ∩ G = {0}. Ora, sabemos que dim F + dim G = dim(F + G) + dim(F ∩ G) = dim E + dim(F ∩ G).

´ Por outro lado, o Teorema do Nucleo e da Imagem, aplicado ao ope˜ que rador Ak : E → E, nos da´ dim E = dim F + dim G. Segue-se entao dim(F ∩ G) = 0, isto e´ , F ∩ G = {0}. 

Teorema A2.2. Seja E = F ⊕ G como no Teorema A2.1. Se n0 e´ a multiplicidade alg´ebrica do autovalor 0 do operador A : E → E entao ˜ a dimensao ˜ do subespa¸co F e´ igual a n0 . Al´em disso, F e´ o nucleo ´ e G e´ ˜ E = F⊕G, a imagem de An0 : E → E. Segue-se da´ı que a decomposi¸cao com as propriedades enunciadas naquele teorema, e´ unica. ´

˜ Demonstrac¸ao: Sejam A′ : F → F e A′′ : G → G as restric¸o˜ es do operador A aos subespac¸os invariantes F e G. Como A′ e´ nilpotente e A′′ e´ invert´ıvel, o polinˆomio caracter´ıstico de A′ e´ pA′ (λ) = (−λ)n ,

328

A Forma Canˆ onica de Jordan

Apˆ endice

˜ pA′′ (0) 6= 0. A prova do lema n = dim F, e o de A′′ cumpre a condic¸ao que antecede o Teorema 20.1 nos da´ pA = pA′ · pA′′ . Por outro lado, pA (λ) = λn0 · q(λ), com q(0) 6= 0. Assim, λn · pA′′ (λ) = λn0 · q(λ), com pA′′ (0) 6= 0 e q(0) 6= 0. Segue-se que n = n0 . Sendo A nilpotente no ˜ n0 , tem-se F ⊂ N (An0 ). Reciprocamente, subespac¸o F de dimensao se u ∈ N (An0 ), escrevemos u = v + w, com v ∈ F (logo An0 v = 0) e ˜ 0 = An0 v + An0 w = An0 w. Sendo A invert´ıvel em G, de w ∈ G. Entao An0 w = 0 conclui-se que w = 0, logo u = v ∈ F. Assim, F = N (An0 ). Para provar que G = Im(An0 ), observamos primeiro que, sendo A invert´ıvel em G, o operador An0 : G → G tamb´em e´ invert´ıvel, logo G ⊂ Im(An0 ). Por outro lado, para todo u ∈ E, escrevendo u = v + w com v ∈ F e w ∈ G, temos An0 u = An0 w ∈ G (pois G e´ invariante por  A) logo Im(An0 ) ⊂ G. Assim, Im(An0 ) = G. ˜ do pr´oximo teorema, note˜ Para uso na demonstrac¸ao Observac¸ao. ˜ mos aqui que se E = F1 + · · · + Fr e dim E ≥ dim F1 + · · · + dim Fr entao E = F1 ⊕ · · · ⊕ Fr . Com efeito, tomando em cada subespac¸o Fi uma ´ base Vi (i = 1, . . . , r), o conjunto V = V1 ∪ . . . ∪ Vr gera E e o numero de elementos de V e´ ≤ dim E, logo V e´ uma base de E. Assim, todo ´ vetor v ∈ E se exprime, de modo unico, como soma v = v1 + · · · + vr , com v1 ∈ F1 , . . . , vr ∈ Fr . Noutras palavras, E = F1 ⊕ · · · ⊕ F1 . Teorema A2.3. Sejam λ1 , . . . , λr os auto-valores distintos do operador A : E → E, num espa¸co vetorial complexo de dimensao ˜ finita. Para cada i = 1, . . . , r, sejam ni a multiplicidade alg´ebrica de λi e ˜ dim Ei = ni e E = E1 ⊕ · · · ⊕ Er . Ei = N [(A − λi I)ni ]. Entao ˜ Mostremos inicialmente que ni e´ tamb´em a multiDemonstrac¸ao: plicidade alg´ebrica do auto-valor 0 do operador Ai = A − λi I. Com efeito, pAi (λ) = det[(A−λi I)−λI] = det[A−(λ+λi )I] = pA (λ+λi ). Temos pA (λ) = (λ − λi )ni q(λ) com q(λi ) 6= 0. Logo pAi (λ) = pA (λ + λi ) = λni · r(λ), onde r(λ) = q(λ + λi ), portanto r(0) 6= 0. Isto posto, o Teorema A2.2 nos assegura que dim Ei = ni . Em particular, ˜ que precede este dim E1 + · · · + dim Er = dim E. Pela observac¸ao teorema, resta-nos apenas provar que E = E1 + · · · + Er . Ora, o polinˆomio caracter´ıstico do operador A se decomp˜oe na forma pA (λ) =

r Y j=1

(λ − λj )nj .

Apˆ endice

A Forma Canˆ onica de Jordan

Se pusermos qi (λ) =

Y

329

(λ − λj )nj ,

j6=i

obteremos os polinˆomios q1 (λ), . . . , qr (λ), primos entre si. Por um ´ conhecido teorema de Algebra, existem polinˆomios m1 (λ), . . . , mr (λ) tais que m1 (λ)q1 (λ) + · · · + mr (λ)qr (λ) = 1. Segue-se que m1 (A)q1 (A) + · · · + mr (A)qr (A) = I. Assim, para todo v ∈ E, tem-se v = v1 + · · · + vr , vi = mi (A)qi (A)v. Pelo Teorema de Cayley-Hamilton, temos Y (A − λj I)nj Ani i · qi (A) = (A − λi I)ni · j6=i

=

r Y

(A − λj I)nj = pA (A) = 0.

j=1

Logo Ani i vi = 0, ou seja vi ∈ Ei para todo i = 1, . . . , r. Isto conclui a ˜ do teorema. demonstrac¸ao  Teorema A2.4. Os subespa¸cos Ei = N [(A − λi I)ni ] definidos no Teorema A2.3 sao ˜ invariantes por qualquer operador B : E → E que comute com A.

˜ Demonstrac¸ao: AB = BA ⇒ (A − λi I)B = B(A − λi I) ⇒ ⇒ (A − λi I)ni B = B(A − λi I)ni . Logo v ∈ Ei ⇒ (A − λi I)ni Bv =  B(A − λi I)ni v = B · 0 = 0 ⇒ Bv ∈ Ei .

´ Corolario. Os subespa¸cos E1 , . . . , Er sao ˜ invariantes por A. Um bloco de Jordan n × n e´ uma matriz triangular inferior da forma   λ  1 λ     ..   . B(λ; n) =  1    ..  . λ  1 λ

330

A Forma Canˆ onica de Jordan

Apˆ endice

˜ todos iguais, os elementos imeonde os elementos da diagonal sao ˜ todos iguais a 1 e os demais elediatamente abaixo da diagonal sao ˜ zeros. mentos sao Diz-se que uma matriz esta´ na forma canˆonica de Jordan quando ela e´ triangular inferior, com blocos de Jordan ao longo da diagonal e os demais elementos iguais a zero. Os blocos de Jordan devem estar agrupados consecutivamente em listas do tipo B(λi ; k1 ), B(λi ; k2 ), . . . , B(λi ; ksi ), onde k1 + k2 + · · · + ksi = ni = multiplicidade alg´ebrica do auto-valor λi da matriz dada. Por exemplo, dispondo os blocos B(λ1 ; 3), B(λ1 ; 1) e B(λ2 ; 2) ao longo da diagonal, obtemos uma matriz 6 × 6 na forma canˆonica de Jordan:   λ1 0 0 0 0 0  1 λ1 0 0 0 0     0 1 λ1 0 0 0     0 0 0 λ1 0 0     0 0 0 0 λ2 0  0

0

0

0

1

λ2

Teorema A2.5. Para todo operador A : E → E num espa¸co vetorial complexo de dimensao ˜ finita, existe uma base na qual a matriz de A tem a forma canˆonica de Jordan. ˜ assegurada ˜ Seja E = E1 ⊕ · · · ⊕ Er a decomposic¸ao Demonstrac¸ao: pelo Teorema A2.3. O Teorema A1.2 prova a existˆencia da forma canˆonica de Jordan para operadores nilpotentes. Ora, para cada ˜ A − λi I : Ei → Ei e´ nilpotente. Logo existe i = 1, . . . , r, a restric¸ao uma base Vi ⊂ Ei na qual a matriz de A − λi I : Ei → Ei tem a forma canˆonica de Jordan (com zeros na diagonal). Logo a matriz ˜ A = (A − λi I) + λi I : Ei → Ei tem a forma canˆonica de da restric¸ao Jordan (com os elementos da diagonal todos iguais a λi ). Segue-se que V = V1 ∪ . . . ∪ Vr e´ uma base de E na qual a matriz de A tem a forma canˆonica de Jordan.  Do ponto de vista matricial, o resultado que acabamos de provar significa que, para toda matriz quadrada complexa a, existe uma matriz (complexa) invert´ıvel p tal que p−1 ap esta´ na forma canˆonica de Jordan.

Apˆ endice

A Forma Canˆ onica de Jordan

331

Exemplo A2.1. Vamos usar a forma canˆonica de Jordan para provar que toda matriz invert´ıvel possui uma raiz quadrada (complexa). Preliminarmente observamos que se x e´ uma raiz quadrada de ˜ pxp−1 e´ uma raiz quadrada de a, pois p−1 ap entao (pxp−1 )2 = pxp−1 pxp−1 = px2 p−1 = p(p−1 ap)p−1 = a. Portanto, ao provar a existˆencia da raiz quadrada de uma matriz ˜ ha´ perda de generalidade em supor que essa mainvert´ıvel, nao triz esta´ na forma canˆonica de Jordan, que e´ uma forma triangular particular. Em virtude da invertibilidade, os elementos da diagonal ˜ todos diferentes de zero. (auto-valores) sao Trataremos explicitamente do caso 4 × 4, deixando para o leitor o caso 3 × 3 (mais simples) e o caso geral (mais complicado, por´em suscet´ıvel da mesma abordagem). ˜ uma matriz da forma Temos entao   a 0 0 0 b c 0 0   a=  0 d e 0 , 0 0 f g

com a, c, e, g diferentes de zero, e procuramos uma matriz   x 0 0 0  y z 0 0  x=  m n p 0 q r s t

´ tal que x2 = a. Ora, um calculo simples nos da´   x2 0 0 0  y(x + z) z2 0 0 . x2 =  2  m(x + p) + ny n(z + p) p 0 q(x + t) + ry + ms r(z + t) + ns s(p + t) t2

Portanto as inc´ognitas x, y, z, m, n, p, q, r, s e t devem satisfazer as condic¸o˜ es (1)

x2 = a, z2 = c, p2 = e, t2 = g,

(2)

y(x + z) = b, n(z + p) = d, s(p + t) = f,

332

A Forma Canˆ onica de Jordan

(3)

m(x + p) + ny = 0, r(z + t) + ns = 0,

(4)

q(x + t) + ry + ms = 0.

Apˆ endice

˜ diferentes de zero, podemos escolher x, z, p, Como a, c, e, g sao t tais que as igualdades (1) sejam satisfeitas e, al´em disso, se tenha x + z 6= 0, z + p 6= 0, p + t 6= 0, x + p 6= 0, z + t 6= 0 e x + t 6= 0. Isto nos permite determinar y, n, s de modo a satisfazer as igualdades (2), ´ em seguida obter m, r de modo que as igualdades (3) sejam validas e, finalmente, usar (4) para determinar q. ˜ ˜ possuir raiz qua˜ Uma matriz nao-invert´ Observac¸ao: ıvel pode nao drada. Este e´ o caso, por exemplo, da matriz   0 0 a= . 1 0 ´ facil ´ ˜ existem numeros ´ E ver que complexos x, y, z, t tais que a  nao  x y matriz x = cumpra x2 = a. z t

˜ A = N+D A3. A Decomposic¸ao ˜ mostraremos como visualizar a forma canˆonica de JorNesta sec¸ao, dan de modo intr´ınseco, exprimindo-a sob o ponto-de-vista de operadores, em vez de matrizes. ˜ anterior, mosA forma canˆonica de Jordan, estabelecida na sec¸ao tra que, dado um operador A : E → E num espac¸o vetorial complexo ˜ finita, existe uma base V ⊂ E na qual a matriz a de A e´ de dimensao formada por blocos de Jordan ao longo da diagonal, sendo os blocos que correspondem ao mesmo auto-valor de A agrupados consecutivamente. Segue-se que a = n + d, onde d e´ uma matriz diagonal, os elementos dessa diagonal sendo os auto-valores de A repetidos de acordo com sua multiplicidade, e n e´ uma matriz triangular in˜ todos iguais ferior nilpotente (logo os elementos de sua diagonal sao ˜ a zero) na qual os elementos imediatamente abaixo da diagonal sao ˜ nulos. iguais a 1 ou a 0 e os demais elementos sao ˜ A = N + D, onde Resulta imediatamente da´ı a decomposic¸ao D : E → E e´ o operador cuja matriz na base V e´ d e N : E → E e´ o operador nilpotente do qual n e´ a matriz na mesma base V.

Apˆ endice

A Forma Canˆ onica de Jordan

333

Um operador D : E → E chama-se diagonalizavel ´ quando existe alguma base de E na qual a matriz de D e´ diagonal. Isto equivale a dizer que a referida base de E e´ formada por auto-vetores do operador D. Assim, acabamos de mostrar que, num espac¸o vetorial complexo ˜ finita, todo operador A : E → E pode escrever-se como de dimensao ´ soma A = N + D de um operador nilpotente com um diagonalizavel. ˜ do Teorema A2.3, N e´ o operador cuja restric¸ao ˜ a cada Na notac¸ao subespac¸o Ei coincide com A−λi I, enquanto D restrito a cada um dos Ei ’s e´ igual a λi I. Como A − λi I e λi I comutam para todo i = 1, . . . , r, segue-se que ND = DN. ´ Provaremos a seguir que esta e´ a unica maneira de se escrever ´ A = N + D com N nilpotente, D diagonalizavel e ND = DN. Para maior clareza, destacaremos sob a forma de lemas dois fatos ˜ dessa unicidade. elementares que usaremos na demonstrac¸ao Lema 1. A restri¸cao ˜ de um operador diagonalizavel ´ D: E → E a um subespa¸co invariante F ⊂ E e´ ainda um operador diagonalizavel ´ D : F → F. ˜ Seja V ⊂ E uma base formada por auto-vetores de Demonstrac¸ao: D. Introduzimos em E um produto interno hermitiano, impondo que a base V seja ortonormal. Relativamente a esse produto interno, D ˜ D : F → F e´ um operador hermitiano, e´ normal. Portanto a restric¸ao ´ logo diagonalizavel. (V. Exerc´ıcio 15.19).  Lema 2. A soma de dois operadores nilpotentes que comutam e´ ainda um operador nilpotente. ˜ Sejam M, N : E → E com Mp = 0, Nq = 0 e MN = Demonstrac¸ao: NM. Esta comutatividade assegura que vale o binˆomio de Newton: (M + N)

p+q

 p+q  X p+q = Mi Np+q−i . i i=0

˜ nulas porque, neste No somat´orio acima, as parcelas com i ≥ p sao i ˜ p + q − i > q, caso, M = 0. Se, entretanto, tem-se i < p entao ˜ nulas e logo Np+q−i = 0. Assim as parcelas com i < p tamb´em sao p+q conclu´ımos que (M + N) = 0. 

334

A Forma Canˆ onica de Jordan

Apˆ endice

Teorema A3.1. Seja E um espa¸co vetorial complexo de dimensao ˜ finita. Para todo operador linear A : E → E, existe uma unica ´ decomposi¸cao ˜ A = N+D com N : E → E nilpotente, D : E → E diagonalizavel ´ e ND = DN. ˜ Demonstrac¸ao: Evidentemente, N e D comutam com A. Pelo Teorema A2.4, cada subespac¸o Ei = N [(A − λi I)ni ] e´ invariante por N e por D. Para i = 1, . . . , r, sejam Ai , Ni , Di : Ei → Ei as restric¸o˜ es de A, N e D ao subespac¸o Ei . A igualdade Ai = Ni + Di pode ser escrita como (Ai − λi I) + λi I = Ni + Di ou, ainda, como (Ai − λi I) − Ni = Di − λi I.

(*)

Pelo Lema 2, o operador (Ai −λi I)−Ni e´ nilpotente e pelo Lema 1, Di ´ ´ e´ diagonalizavel, logo Di − λi I e´ diagonalizavel (pois qualquer vetor ˜ nao-nulo e´ auto-vetor de λi I). Pela igualdade (*), esses operadores ˜ ao mesmo tempo, nilpotentes e diagonalizaveis, ´ sao, logo iguais a zero. Portanto vale Ni = Ai − λi I e Di = λi I para i = 1, . . . , r. Segue˜ os operadores anteriormente obtidos a partir do se que N e D sao Teorema A2.3. 

Indica¸co ˜es Bibliogr´ aficas ¨ encia usual das disciplinas matematicas ´ Na sequˆ que se estudam na ´ ´ universidade, a Algebra Linear e´ pr´e-requisito para a Analise das ´ ´ ´ func¸o˜ es de varias variaveis e para as Equac¸o˜ es Diferenciais Ordinarias. Seguem-se duas referˆencias: ´ de se esperar que vetores, matrizes, transformac¸o˜ es lineares, etc constituam “E ´ a linguagem natural para tratar o Calculo Diferencial pois, afinal de contas, este se baseia na id´eia de aproximar, na vizinhanc¸a de cada ponto do seu dom´ınio, uma ˜ “arbitraria” ´ ˜ linear (chamada sua derivada) e, a partir das func¸ao por uma func¸ao ´ propriedades desta (presumivelmente mais faceis de constatar) obter informac¸o˜ es sobre aquela”.

E. L. Lima ˜ ˜ Projeto Colec¸ao [1] E. L. Lima, Curso de Analise, ´ vol. 2 (3a¯ edic¸ao.) Euclides, IMPA, 1989. ´ A Algebra Linear esta´ presente em toda parte do estudo das ´ ´ func¸o˜ es reais de varias variaveis: na teoria das func¸o˜ es impl´ıcitas, ˜ dos pontos cr´ıticos (na qual nas integrais curvil´ıneas, na discussao ´ as formas quadraticas desempenham o papel principal) e nas integrais de superf´ıcie, onde e´ reforc¸ada por seu prolongamento natural, ´ a Algebra Multilinear. [2] M. Hirsch e S. Smale, Differential Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra. Academic Press, 1974. ´ Nestes ultimos 20 anos, o texto de Hirsch/Smale firmou-se como ˜ moderna ao esuma das principais referˆencias para uma introduc¸ao ´ ˜ para tudo das equac¸o˜ es diferenciais ordinarias e uma preparac¸ao ´ ˆ a importante area dos sistemas dinamicos. Ele pressup˜oe conheci´ mento de Analise a n´ıvel dos cap´ıtulos iniciais da referˆencia 1 acima

336

Indica¸c˜ oes Bibliogr´ aficas

´ e de Algebra Linear a n´ıvel do presente livro. Mais de um terc¸o ` equac¸o˜ es diferenciais lineares, o que leva do texto e´ dedicado as os autores a desenvolver, de forma convincente, todo material de ´ ˜ tratado neste nosso livro. Na realidade, os auAlgebra Linear nao tores afirmam que o estudo dos sistemas de equac¸o˜ es diferenciais lineares com coeficientes constantes praticamente se identifica com ´ um cap´ıtulo da Algebra Linear. ´ Vejamos agora algumas referˆencias de livros sobre Algebra Linear. Ha´ poucas d´ecadas eram raros, muito raros mesmo, os livros de ´ ˜ Hoje em dia Algebra Linear destinados a estudantes de graduac¸ao. ˜ do ensino desta ha´ centenas deles, refletindo a enorme expansao ´ disciplina aos mais variados cursos universitarios. (Ver, a respeito, ˜ de I. Kaplansky abaixo.) a citac¸ao Aqueles que mencionarei representam uma amostra, extremamente restrita, de trˆes tipos: os livros onde aprendi a mat´eria, os que podem servir de leitura colateral e os que oferecem alternativas ˜ de parcialidade para estudos posteriores. A priori, aceito a acusac¸ao nas escolhas. Afinal, de gustibus et coloribus...

“It is desirable to have at hand not merely the formal operations with matrices, but also the (often neglected) interpretation of the matrices by linear transformations”. G. Birkhoff e S. MacLane

[3] Garrett Birkhoff e Saunders MacLane, A Survey of Modern Algebra. (Macmillan, 1941. Revised edition 1953.)

Birkhoff/MacLane e´ uma das mais bem sucedidas introduc¸o˜ es a` ´ Algebra Moderna ja´ escritas. Trinta e oito por cento do livro e´ de´ ˜ seja feita a partir dos dicado a` Algebra Linear. Embora a exposic¸ao ˜ linear, a eˆ nfase domiconceitos de espac¸o vetorial e transformac¸ao nante e´ posta nas matrizes e suas “formas canˆonicas”, especialmente ´ matrizes de formas quadraticas. O estilo e´ ameno e ligeiro, bastante ´ ˜ vA, em vez de agradavel. O leitor logo se acostumara´ com a notac¸ao Av, usada pelos autores.

Indica¸c˜ oes Bibliogr´ aficas

337

“That Hilbert space theory and elementary matrix theory are intimately associated came as a surprise to me and to many colleagues of my generation only after studying the two subjects separately. This is deplorable... I present this little book in an attempt to remedy the situation.” Paul R. Halmos

[4] Paul R. Halmos, Finite Dimensional Vector Spaces. (Princeton ˜ Univ. Press 1942. Revised edition: Van Nostrand, 1958. Traduc¸ao brasileira: Editora Campus, 1978.)

O livro de Halmos e´ outro best-seller. Nele, o autor conversa com o leitor e procura motivar, com analogias, os conceitos e as proposic¸o˜ es, tudo isso feito com clareza e coerˆencia l´ogica. Ha´ uma ˜ em dar definic¸o˜ es e demonstrac¸o˜ es sem utilizar grande preocupac¸ao coordenadas. Isto e´ feito com o prop´osito admitido de preparar a ca˜ infinita, estudados em Analise ´ minho para os espac¸os de dimensao Funcional. S´o que muitas vezes esse purismo se torna artificial. Al´em disso, com vistas a diversas aplicac¸o˜ es, a familiaridade do estudante com bases e coordenadas seria de grande utilidade. Os livros acima, na ordem citada, me serviram de cartilhas de ´ ´ Algebra Linear, como a tantos estudantes de varias gerac¸o˜ es por todo o mundo. Eles contˆem vis˜oes complementares sobre o assunto ´ e sobre a maneira de ensina-lo. “Dealing with vector spaces in the abstract also saves effort. The general theory of vector spaces includes not only the vectors and matrices discussed in Chapters 1 and 2 but also sets of real- and complex-valued functions of a real variable and other more exotic mathematical objects. A fact which has been proved once and for all in the general theory applies to a wide range of particular cases. That is why it is worth investing some intellectual effort in understanding abstract linear algebra”. D. H. Griffel

[5] D. H. Griffel, Linear Algebra: A First Course and Applications (2 vols). (Ellis Horwood Limited, 1989.) ˜ ´ O livro de Griffel e´ escrito para estudantes nao-matem aticos que ´ ˜ usar Algebra Linear em suas carreiras. Ele emprega predodeverao

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Indica¸c˜ oes Bibliogr´ aficas

minantemente matrizes e Rn em vez de transformac¸o˜ es lineares e espac¸os vetoriais por´em, conforme a advertˆencia acima citada, ocasionalmente se rende a` conveniˆencia de adotar uma atitude mais adequada. Trata-se de um livro de grande simplicidade, muito claro e bem organizado, com um sabor nitidamente “aplicado”. Cont´em ´ alguns erros matematicos engrac¸ados (como, por exemplo, “provar” que toda matriz anti-sim´etrica tem determinante zero ou afirmar que, pelo Teorema de Cayley-Hamilton, a exponencial de qualquer ˜ poumatriz reduz-se a um polinˆomio nessa matriz). Tais erros sao ˜ interferem no m´erito geral e deverao ˜ ser corrigidos em pr´ocos, nao ˜ at´e instrutivos, inclusive para mostrar ao leitor o ximas edic¸o˜ es. Sao ´ que pode esperar no futuro ao ler alguns livros de Matematica Aplicada. “The solution to each problem immediately follows the statement of the problem. However, you may wish to try to solve the problem yourself before reading the given solution. In fact, even after reading the solution, you should try to resolve the problem without consulting the text. Used thus, ‘3000 Solved Problems in Linear Algebra’ can serve as a supplement to any course in linear algebra, or even as an independent refresher course”. S. Lipschutz

[6] Seymour Lipschutz, Schaum’s solved problems series: 3000 solved problems in Linear Algebra. McGraw-Hill Book Company, 1989. A bem-sucedida s´erie Schaum de livros de problemas se baseia ˜ connuma id´eia tipo ovo-de-Colombo: em vez de disputar sua adoc¸ao ˜ fortes competidores, esses livros-texto se disfarc¸am tra tantos e tao em colec¸o˜ es de problemas e assim convivem pacificamente com seus ˜ recorivais, sendo adquiridos pelos estudantes, mesmo quando nao mendados pelos professores, como fontes suplementares de exerc´ıcios. De um modo geral (e isto se aplica ao livro de Lipschutz) eles ˜ exigem grancontˆem uma boa lista de problemas rotineiros, que nao ˜ Mas, principalmente porque sao ˜ acompades rasgos de imaginac¸ao. ˜ esses exerc´ıcios sao ˜ uma ajuda valiosa para os nhados de soluc¸ao, alunos que necessitam um esforc¸o adicional a fim de acompanhar o ´ curso. Existe um livro analogo, tamb´em de Lipschutz, chamado “Linear Algebra”, que foi traduzido para o portuguˆes e publicado pela McGraw-Hill do Brasil, em 1972.

Indica¸c˜ oes Bibliogr´ aficas

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Os livros [5]. e [6]. acima se enquadram na categoria de leitura colateral. Seguem-se trˆes referˆencias a livros que constituem opc¸o˜ es ˜ deste texto. para a continuac¸ao “Matrix theory can be studied with no mention of linear spaces and most of the results in this book are of such a nature. However, the introduction of linear spaces and the role of matrices in defining or representing linear transformations on such spaces add considerably to our insight. Most important, perhaps, the notions of linear spaces and linear transformations give a geometrical basis to matrix theory, which aids both in understanding, as well as in suggesting proofs and new results. J. Ortega

[7] James Ortega, Matrix Theory. A Second Course. Plenum Press, 1987. ˜ bem como a riqueza imaA economia de pensamento e notac¸ao, ginativa que prov´em do uso da linguagem geom´etrica resultam do ˜ liemprego judicioso das noc¸o˜ es de espac¸o vetorial e transformac¸ao near. Ortega tira grande proveito desse ponto de vista intr´ınseco ´ e consegue escrever um livro que, em meras 250 paginas, faz uma ´ ˜ dos princ´ıpios basicos ´ revisao da Algebra Linear e desenvolve, com ´ ˜ sobre t´opicos avanc¸ados da algebra ´ notavel eficiˆencia, uma exposic¸ao ´ tanto para o matematico ´ das matrizes, que pode ser util puro como ´ para aqueles que se interessam de modo inteligente pelo calculo num´erico matricial. “Linear Algebra, like motherhood, has become a sacred cow. It is taught everywhere; it is reaching down into the high schools; it is jostling calculus for the right to be taught first”. I. Kaplansky

[8] Irving Kaplansky, Linear Algebra and Geometry. Chelsea, 1969. Kaplansky e´ um consagrado expositor. Na Universidade de Chicago (onde era colega de MacLane e Halmos) suas aulas eram faˆ ´ mosas pela elegancia das demonstrac¸o˜ es e pelo notavel poder de ˜ presentes neste livro. Nele, o autor s´ıntese. Estas qualidades estao ´ oferece uma alternativa para um segundo curso de Algebra Linear, ´ ´ como fundamento basico da Geometria, esta ultima vista em toda a sua generalidade.

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Indica¸c˜ oes Bibliogr´ aficas

“As a very simple example the reader should think of the principal axis theorem (spectral theorem) for Rn which says that given a self-adjoint transformation, one can choose an orthonormal basis in Rn so that the matrix of that transformation in that basis is diagonal. That is, if one chooses the right isomorphic copy of Rn (change of basis) then the operator becomes especially simple. As the reader will see, this example is the first note of a rather long simphony”. M. Reed e B. Simon

[9] M. Reed/B. Simon, Methods of Mathematical Physics, vol. I: Functional Analysis. (Revised Edition, Academic Press, 1980.) Ao mencionar o bem conhecido texto de Reed/Simon, minha in˜ e´ apresentar um livro de Analise ´ ´ tenc¸ao Funcional, uma area da Ma´ tematica onde tudo se passa dentro de espac¸os vetoriais. Ha´ muitos ˜ e´ o excelente bons livros sobre este assunto. (Um exemplo a` mao “Operadores Auto-Adjuntos e Equac¸o˜ es Diferenciais Parciais”, de Javier Thayer, publicado no Projeto Euclides do IMPA.) A escolha de ˜ apenas as ` suas boas qualidades intr´ınsecas Reed/Simon se deve nao ´ como tamb´em ao fato de que exibe a Analise Funcional (portanto os ´ espac¸os vetoriais) como porta de entrada para a F´ısica Matematica. Uma palavra sobre pr´e-requisitos: o livro de Ortega esta´ ao alcance imediato de quem leu o presente texto. Kaplansky requer um conhecimento elementar de corpos, a n´ıvel de um curso introdut´orio ´ ´ de Algebra. Reed/Simon (ou qualquer outro livro de Analise Fun´ ´ cional) pressup˜oe noc¸o˜ es basicas de Analise, Teoria da Integral e Equac¸o˜ es Diferenciais.

´ [10] Ralph Costa Teixeira, Algebra Linear, exerc´ıcios e soluc¸o˜ es . ˜ Matematica ´ ´ (Colec¸ao Universitaria, IMPA, 2009.) O livro de Ralph Costa Teixeira cont´em as soluc¸o˜ es dos 594 exerc´ıcios propostos no presente texto. Na verdade, o total e´ bem maior ´ ˜ multiplos. ´ do que seiscentos, pois varios desses exerc´ıcios sao Al´em das soluc¸o˜ es, todas completas e elegantemente apresentadas, cada ˜ dos conceitos a serem tratados, a cap´ıtulo tem in´ıcio com a revisao ˜ de simples exemplos adicionais e o destaque de algumas discussao proposic¸o˜ es referentes ao tema estudado.

Lista de S´ımbolos Rn , R∞ M(m × n) F(X; R), F(X; E) Ck (R) C0 (R), C∞ (R) P, Pn S(X) F1 + F 2 F1 ⊕ F 2 R(∞) L(E; F), L(E) ∗ E IE Im(A) N (A) In δij hu, vi u⊥v pru (v) prF (v) A∗ aT X⊥ Lr (E; R) Ar (E) det A L(E1 , . . . , Er ; R) pA Cn a∗

3 3 3 9 10 10 11 13 13 27 39 39 39 58 61 88 88 118 121 123 126 133 135 137 247 248 251 263 268 285 287

´Indice Remissivo

´Indice Remissivo ´ Adjunta classica ˜ lide uma transformac¸ao near, 135 Anti-isomorfismo, 286 Auto-subespac¸o, 154, 163 Autovalor, 146, 147 generalizado, 171 Autovetor, 146

ortonormal, 121 Coordenadas de um vetor, 26 ˆ Cosseno do angulo entre dois vetores, 132 ˜ a valores singuDecomposic¸ao lares, 211 ldu, 223 lu, 212, 218 qr, 209 de Cholesky, 208, 218 polar, 183, 211 Descomplexificada, 281, 283 Desenvolvimento de um determinante, 260 Desigualdade de Schwarz triangular, 123 Determinante de ordem 2, 153 ˜ axiomatica), ´ (caracterizac¸ao 253 de um operador, 251 de uma matriz, 253 do operador descomplexificado, 291 ˜ 211 Diagonalizac¸ao, ˜ Dimensao de um espac¸o vetorial, 27 de uma variedade afim, 32 finita, 29 infinita, 30

Base canˆonica, 26 complexa, 281 de um espac¸o vetorial, 26 dual, 49, 133 ortonormal, 121 Bi-dual, 72 ˜ convexa, 7 Combinac¸ao Complemento ortogonal, 137 Completamento do quadrado, 232 ˜ de um espac¸o Complexificac¸ao vetorial, 293, 305 Comprimento de um vetor, 119 Cone, 8 Cˆonica, 237 Conjunto convexo linearmente dependente, 26 linearmente independente, 24 Conjunto ortogonal, 121 344

´Indice Remissivo

ˆ Distancia entre vetores, 124

Gramiano, 264

Eixos principais, 237 El´ıpse, 237 ˜ de Gauss-Jordan, 111 Eliminac¸ao gaussiana, 103, 212 Elips´oide, 170, 238 Envolt´oria convexa, 8 Equac¸o˜ es (a diferenc¸as finitas) lineares, 299 Escalonamento, 103 Espac¸o dual, 39, 286 complexo, 280 euclidiano, 2 vetorial, 1 Espac¸o-coluna e espac¸o-linha, 91

Hip´erbole, 237 Hiperbol´oide, 238 Hiperplano, 10 Homotetia, 85

Forma alternada, 247 Forma anti-sim´etrica, 247 Forma bilinear, 224 anti-sim´etrica, 227 indefinida, 230 ˜ nao-negativa, 230 ˜ nao-positiva, 230 negativa, 230 positiva, 230 ´ quadratica, 228 r-linear, 245 sim´etrica, 226 Forma sesqui-linear, 285 ˜ ´ımpar, 21 Func¸ao limitada, 21 par, 21 Funcional linear, 39 Geradores, 11 ´ ˜ Grafico de uma transformac¸ao linear, 81

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Identidade de Lagrange, 267 Imagem de um vetor, 38 ˜ lide uma transformac¸ao near, 58 ´ Indice mudo, 226 ´ de uma forma quadratica, 231 Inversa, 64 a` direita, 59 a` esquerda, 88 Inverso aditivo de um vetor, 1 ˜ 78 Involuc¸ao, Isometria, 185 Isomorfismo, 64 L.D., 26 L.I., 24 Lei da in´ercia, 232 Matriz, 3 anti-sim´etrica, 20, 190 aumentada, 106 conjugada, 287 de forma bilinear, 224 ´ quadratica, 229 de Gram, 204 de Householder, 131, 186 de passagem, 89 ˜ 215 de permutac¸ao, ´ de posto maximo, 166 de Vandermonde, 265 diagonal, 159 ´ diagonalizavel, 144, 162

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´Indice Remissivo

elementar, 212 escalonada, 102 hermitiana, 287 identidade, 88 invert´ıvel, 88 ˜ nao-negativa, 162 normal, 189, 292 orgotonal, 175 por blocos, 291 positiva, 128, 162, 232 quadrada, 3 sim´etrica, 20, 162 ˜ linear, 35, 70 transformac¸ao triangular, 34, 206 ´ unitaria, 288 Matrizes semelhantes, 90 Menor (determinante), 259 principal, 262 M´etodo de Lagrange, 232 Multiplicidade de um auto-vetor, 275 de uma raiz, 288 Neg´ocio de pai para filho, 319 Norma de um vetor, 119 aspectral, 171 ´ Nucleo, 60 ´ Numero de ouro, 318 ˜ elementar, 103, 111, Operac¸ao 212 Operador anti-sim´etrico, 190 auto-adjunto, 156 hermitiano, 287, 293 idempotente, 77 identidade, 39 linear, 39 ˜ nao-negativo, 161 nilpotente, 53, 290, 319

normal, 189, 292 positivo, 161 ´ triangularizavel, 221, 269 ´ unitario, 287 ˜ 181 Orientac¸ao, Parabol´oide, 241 Paralelep´ıpedo, 264 ˜ 262, 263 Permutac¸ao, Pivˆo, 213, 219 Plano, 21 ˜ 228 Polarizac¸ao, Polinˆomio caracter´ıstico, 150, 268 mˆonico, 145 m´ınimo, 294 Posto de uma ´ forma quadratica, 231 matriz, 91, 92 ˜ linear, 91 transformac¸ao Processo de Gram-Schmidt, 124 Produto cartesiano, 75 de Hadamard, 172 de matrizes, 86 ´ de numero por transforma˜ 38 c¸ao, ´ de numero por vetor, 1 de permutac¸o˜ es, 262 de transformac¸o˜ es lineares, 51 exterior de funcionais lineares, 264 hermitiano, 284 interno, 118 tensorial de funcionais lineares, 214, 218, 227, 242, 248 vetorial, 131, 192, 266

´Indice Remissivo

˜ aritm´etica e geom´eProgressao trica, 300 ˜ 76 Projec¸ao, ortogonal, 43, 122, 138, 172 Pseudo-inversa, 195 ´ Quadrado magico, 98 ´ Quadrica, 238 central, 236 Raiz caracter´ıstica, 268 quadrada de um operador, 163 ˜ no plano, 45 Reflexao Regra de Cramer, 254 Reta, 9, 14 ˜ 42, 181 Rotac¸ao, Segmento da reta, 7 Semelhanc¸a, 186 ¨ encia de Fibonacci, 318 Sequˆ S´ımbolo de Kronecker, 88 Sistema de equac¸o˜ es a diferenc¸as finitas linear homogˆeneo, 27 Sistemas lineares equivalentes, 106 ˜ trivial, 27 Soluc¸ao Soma de transformac¸o˜ es lineares, 38 de vetores, 1 direta, 13, 21, 75 Subconjunto sim´etrico, 20 Subespac¸o vetorial, 9 gerado por um conjunto, 10 invariante, 146 paralelo, 15 Submatriz principal, 216

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Teorema de Cayley-Hamilton, 274, 289, 309 ´ de Pitagoras, 122 ´ do nucleo e da imagem, 65 espectral, 160 para operador complexo, 292 ´ fundamental da Algebra, 145 Trac¸o, 36, 99 ˜ Transformac¸ao afim, 50 C-linear, 281 injetiva, 60 invert´ıvel, 64 linear, 38 ortogonal, 179 sobrejetiva, 58 ˜ 239 Translac¸ao, ˜ 262 Transposic¸ao, Transposta de uma matriz, 135 Valor singular, 166 Variedade afim, 14 Vetor-coluna e vetor-linha, 3 ´ unitario, 119 Vetores linearmente dependente, 26, 264 linearmente independentes, 24 ortogonais, 121 Volume, 264