微分・積分30講 (数学30講シリーズ)

は

し

が

き

  内 外 の一流 の数学 者 の 手 にな る 「解析 概論 」 や 「解 析教 程 」 か ら,毎 年新 し く 出版 され る大学 の 微積 分 の教科 書,そ れ に高等 学校 の 微積 分 の参 考書,一 般 向 け の解説 書 な どを加 え る と,微 積分 に 関す る書物 は,実 に多 種多 様 で,そ の数 は厖 大 な量 に達す る.   この よ うな現 象 は,一 方 で は,科 学技 術 の急 速 な発 展 の中 に あ る現 代社 会 に お いて,微 積分 とい う学 問が 一種 の教養 として 強 く求 め られ て い る こ とを物 語 って い る ので あ ろ うが,他 方 で は,日 常生 活か らかけ離 れ た微 積分 に,一 般 の人 が な かな か な じみ に くい とい う,あ る絶え ざるい らだ ちを 示 して い る と もいえ るだ ろ う.   は じめて 微 積 を学 ぶ人 に も,ま た以前 習 った こ とは あ るが 細 か い ところは忘 れ て し ま った とい う人 に も,微 積 を勉 強す る際,近 づ きやす く,役 に立 つ適 当 な本 とは どの よ うな も ので あ ろ うか.本 書執 筆 の動機 は,こ の解 答 を私 な りに模索 し てみ る こ とか ら始 ま った.   私は 数学 を 専 門 と して い るか ら,か え って この解 答 を数学 の 中 か ら見つ け るの は難 しい.専 門家 の眼 は狭 い ので あ る.私 自身,他 の分野 を学 んで み よ うとした 経験 が あ って,数

年前,生

物 学 の本 を少 し 読 んでみ た こ とが あ った.そ の と き

は,少 し読 み進 む につ れ て現 わ れて くる ご く簡単 な化 学式 や 生物 の術語 がわ か ら な くな り,す ぐに挫折 して し ま った.こ の とき,基 本 的 な こ とまで 含 んで書 いて あ る本 は,実 に少 ない こ とに気 がつ いた.高 等学 校 の教科 書 は,一 般 には よ くで きて い るが,通 読 に適 して い る とはい いがた い.参 考 書 は問 題 の解 法が 主 で あ る し,通 俗 的 な解説 書 は,明 確 な定義 に欠 け てい るか,ま た は定義 の適 用範 囲が は っき りし ない ことが多 い.   その よ うな経験 に照 ら して,改 めて本 屋 さん に並 ん でい る微 積分 の 本を 見て み る と,初 学 者 に はか な り難 しい ものが 多い し,ま た,苦 心 して 書 かれ たや さしい

解 説 書 の あ とに続 く適 当 な本 が乏 しい こ とに も気が つ いた.   この 本 は,微 積 分 の解 説 書 で は ない.微 積 分 とい う,日 常使 い なれ な い新 しい 言 語 に なれ 親 し ませ るた め の,い わ ば初 学 者 向 け の語 学 の 入 門書 の よ うな もの で あ る.も し,こ の本 の特 徴 は と聞か れれ ば,一 方 で は,微 積 分 の流 れ を重 ん じな が ら,最

も基 本的 な所 か ら筆 を 起 した点 に あ り,他 方 で は30講

と分 け る こ とに

よ って,そ れ ぞれ の講 義 に,多 少 中項 目的 な辞 書 の役 目を 果 させ た 点 に あ る.通 読 して 頂 くこ とが 望 ま しいが,い

くつ か の講 を 拾 って読 む とい う読 み 方 も可 能 で

あ る.   も と も と,項

目を30講

微 積 分 の 入 門部 分 が,ひ

と分け た の は,毎

日,1講

ず つ 読 み進 め ば,1ケ

月で

とまず,マ ス ターで き る こ とを意 図 して い る.

  い ず れ に して も,本 書 は,微 積 分 を学 ぶ 最 初 の手 が か りを与 え る本 であ る.さ らに進 ん だ 内容 を学 びた い 人 は,こ の本 を 読 み上 げた あ とに は,多

くの 良書 が待

ち うけ て い るだ ろ う.   終 りに,本 書 の 出版 に際 し,い ろい ろ とお世 話 に な った朝 倉 書 店 の方 々に,心 か らお 礼 申 し上 げ ます. 1988年2月 著

者

目

次

第1講 

数 と数直 線

 1

第2講 

数 直線 と実 数

 7

  座標 と直 線 の 式

 13

第3講 第4講 

2次 関数 と グ ラ フ

第5講 

2次 関数 の 最 大,最 小

第6講 

3次

第7講

関 数

  3次 関数 と微 分

第8講 

  19   26   33   40   47

  多項 式 関 数 の微 分

  53

第9講

3次 関数 の グ ラ フ

第10講   有理 関数 と簡単 な無 理 関数 の 微 分 第11講 

三角 関 数

第12講 

三角 関数 の微 分

  60  67   75

第13講  指 数 関 数 と対数 関 数

  81

第14講

  88

 合 成 関 数 の 微分 と逆 関数 の微 分

第15講  逆 三 角 関 数 の微 分

  95

第16講 

 101

第17講

不 定 積 分  不 定 積 分 の 公式

  108

第18講 

グラ フの つ くる 図形 の面 積

  115

第19講 

定

 122

第20講 

定 積 分 と不 定 積 分

積

分

 128

第21講

  円 の 面 積 と球 の 体 積

第22講 

関 数 の 例

第23講 

極 限概 念 につ い て

第24講 第25講  第26講 第27講  第28講 第29講  第30講

 

平 均 値 の定 理

テ イ ラーの 定理

引

  150

  162   168

  テ イ ラー展 開

  ウ ォ リス の 公 式

145

  156

 平 均 値 の定 理 とその 拡張

問題 の解 答 索

  139

  極 限 の 公 式 と連 続 関 数

テ イ ラ ー 展 開(つ

 133

 173 づ き) 

178   183

  187   198

第1講 数 と 数 直 線 テーマ ◆

自 然 数:1,2,3,…

◆

整

◆

有 理 数:n/m(m.nは整数,た

◆

数:…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…

有 理 数 は,直

だ しm≠0)

線 上 に 規 準 点0,1を

と る と,こ

の直 線上 の 点 に よ って

表 わ す こ とが で き る.

自

然

  自 然 数 の 話 か ら 出 発 し よ う.1,2,3,4,… で は 自然 数 と い う.1の に,自

次 に は2,2の

数

と い う 日常 よ く使 わ れ る 数 を,数

次 に は3,…,100の

然 数 に は い つ で も次 に く る 数 が あ って,そ

で も 続 く 自 然 数 の 系 列 を つ く り上 げ て い る.こ

次 に は101と

の こ と が,全

学

い うよ う

体 と して,ど

の 限 りな く続 く系 列 を1つ

こま のまと

ま った もの と考 えて {1,2,3,…,n,…} の よ うに 表 わ し,自   こ こ でnと

然 数 の 集 合 と い う.

か い た の は,こ

え て い る の で あ る.nの 数 はn+8で

れ に よ っ て あ る 自然 数 を 代 表 し て 表 わ し て い る と考

次 に はn+1が

ら8だ

け進 んだ ところに あ る

あ る.

  2つ の 自 然 数 は,た

とえ ば5+21=26の

しか し 引 き 算 は で き る と き と,で で き て 答 は80で で き な い.

くる.nか

あ るが,自

よ うに,い つ で も加え る こ と が で き る.

き な い と き が あ る.100か

然 数 し か 知 ら な い 人 に は,20か

ら20は

引 く こ とが

ら100は

引 く こ とが

整

数

  引 き 算 が い つ で も 自 由 に で き る よ うに す る た め に は,数 数 に ま で 広 げ て お く必 要 が あ る.整

数 は,自

マ イ ナ ス 記 号 を つ け た−1,−2,−3,…

の 範 囲 を 自 然 数 か ら整

然 数1,2,3,…

と,0と,自

か ら成 り立 って い る.整

然数に

数 の集 合 を

  {…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…} の よ うに 表 わ す.こ を 正 の 数,左

の よ うに 表 わ し た と き,0を

に あ る 数−1,−2,−3,…

  整 数 の 中 で,2つ

境 に し て 右 側 に あ る 数1,2,3,…

を 負 の 数 と い う.

の 数 の 引 き 算 は,た

と えば

3−5=−(5−3)=−2 −6−8=−(6+8)=−14 の よ うに い つ で も で き る.   2つ の 整 数 を 掛 け る こ と も で き る.た  

2×8=16, 

こ の 最 後 の 例 の よ うに,負

とえば

−3×7=−21, 

(−6)×(−5)=30

の 数 と 負 の 数 を か け る と 正 の 数 に な る と い う こ とに ,

何 か な じ め な い 感 じ を も っ て い る 人 が い る か も しれ な い.こ こ の 講 の 終 りのTea  Timeで   あ る整 数 を,別

の0で

触 れ る こ と に し よ う.

な い 整 数 で 割 っ て み る と,割

り き れ な い と き も あ る.た

100÷20=5 

(割 り きれ る)

(−100)÷20=−5 

(割 りき れ る)

3余

り10  (割 り き れ な い)

2÷5 

(割 り き れ な い)

数 の 中 だ け で は 割 り算 が 自 由 に 行 な え な い こ と を 示 し て い る.

有

理

数

  割 り算 が 自由 に 行 な え る よ うに す る た め に は,数 理 数 へ と広 げ て お く こ と が 必 要 に な る.有 と で あ る.こ

り きれ る と き も あ る し,割

とえば

100÷30 

こ の こ と は,整

の こ と に つ い て は,

こ でm,nは

整 数 で,た

の 範 囲 を,整

数 か らさ らに有

理 数 と は 分数n/mと表わ

だ しmは0で

は な い とす る.た

される数 の こ とえ ば

な どはす べ て 有理 数で あ る.整 数 −7や8は −7/1,8/1 と表 され るか ら,こ の こ と か ら,整 数 は有 理 数 とも考 え られ る こ とが わ か る. pとqを

有 理 数 とす る と

と 表 わ され る.こ

図1

の とき 和:

差:

積:

商: と な り,和,差,積,商 理 数 で あ る.こ

を と っ た 結 果 は,上

の 右 辺 か らわ か る よ う に,す

べ て有

の こ とを

有 理 数 の全 体 は 四則 演 算 に 関 して 閉 じて い る. と い い 表 わ す.   な お,上

の 式 の 右 辺 でmm′

記 号 × は,こ

の よ うに 書 い た の は,m×m′

の よ うに 省 略 し て し ま うか,ま

た はm・m′

の こ とで あ る.積

の

の よ うに 書 く こ と が 多

い.

  整 数 の全 体 は,一 列 に並 べ る ことが で きた が,有 理 数 の 全体 はそ の よ うにす る こ とが で きな い.有 理 数 は大 小 関係 に よって 一 列 に並 べ て,小 方 へ と1つ1つ

さい方 か ら大 きい

数 えて い くよ うな ことは で きな い の で あ る.た とえ ば0と1の

の有 理 数 を と って,こ の よ うに規 則正 し く一 列 に並 べ よ うと思 って も

間

(分 母 が2) (分 母 が4)

(分 母 が10) の よ う に,分

母 が 大 き な 有 理 数 が,い

つ ま で も'割

り こみ'を

続 け て き て,き

り

が な い か らで あ る.

数

  有 理 数 を 表 わ す に は,数

直

直 線 と い う も の を 用 意 し て お い た 方 が よい.

  数 直 線 とは,直 線 上 に 規 準 と な る0と1の うは0の

右 の 方 に と る),あ

… と 目盛 りを つ け,0か

線

と は,物

目盛 りを つ け て(1の

差 し の よ うに,右

図2

とえば有 理数4/7を どこに 目盛 りを つ けた ら よ い か も決 ま

っ て く る.4/7は,0と1の

の 長 さ で,0の

間 を7

か ら 数 え て4番

分 点 で あ る.−6/5の目盛

の 方 向 に 等 間 隔 に2,3,4,

と目盛

りを つ け た も の で あ る.

等 分 して,左

つ

ら左 の 方

に 等 間 隔 に−1,−2,−3,…

こ う しておくと,た

目盛 りは,ふ

目の

りは,1/5

図3

左 へ 目盛 りを 入 れ て い っ た と き,ち

ょ う ど6番

目 に く る点 に つ け

ら れ て い る.

問1  数 直 線 上で2/7,8/21,9/35,19/70は 問2  数 直線上 で−3/5と−4/7は

どの よ うな順序 で並 んで いるか.

どち らが 右に あ るか.

図4

問3  数 直線 上 で,2つ

の数 の和 と差 を 表わ す 点 は,前 ペ ージ の 図の よ うに表 わ

され る こ とを 確 か め よ.

Tea

Time

自然数の集合は無限集合   私 達 が 日常 出 会 う も の,た て い る 本 も,す

とえ ば,か

ご に 盛 ら れ て い る リ ン ゴ も,本

べ て 有 限 個 の も の か ら成 り立 って い る.ま

とは で き な い と し て も,海

の 砂 の 数 に も 限 りが あ る.な

空 間 に あ る 体 積 を 占 め,そ

の 占 め る 体 積 全 体 の 総 和 は,地

箱 に入 っ

た 実 際 に 数 え上 げ る こ

ぜ な ら 砂 の 一 粒,一

粒は

球 の 体積 を越 え る こ と

が で き な い か ら で あ る.   私 達 が 経 験 世 界 で 確 認 で き る も の は,す

べ て 有 限 集 合 を つ くっ て い る.そ

れに

反 し 自然 数 全 体 の 集 合 {1,2,3,…,n,…} は 無 限 集 合 を つ く っ て い る.私

達 の 認 識 の 中 に は,こ

の よ うな 無 限 集 合 も,1つ

の ま と ま った も の と して 認 め る 力 が 備 わ っ て い る よ うで あ る.私 こ の こ と を ご く 自 然 の こ と と 考 え て い る.し 古 代 ギ リシ ャ の 人 の 間 に は,'無

か し,数

限 へ の 畏 怖'の

達 は ふ つ うは,

学 と い う学 問 を 創 り出 し た

感 じが強 く支配 し て い た といわ

れ て い る.   有 限 集 合 と無 限 集 合 の1つ を 取 り出 した5個 で は,こ

の 違 い を 述 べ て お こ う.10個

の リ ン ゴ と を 比 べ る と,も

ち ろ ん10個

の リ ン ゴ と,そ の 半 分 の 方 が 多 い.有

限集 合

の よ う に,「 全 体 は 部 分 よ り大 き い 」 は 疑 う余 地 の な い と こ ろ で あ る.

し か し 自 然 数 全 体 と,そ

の よ うに,自

の一 部 分 で あ る偶 数全 体 の 集 合を 比 べ て み る と

然 数全 体 が偶 数全 体 と1対1に

対 応 して しま って,「 全 体は 部 分 よ

り大 きい」 は も う成 り立 た な くな って い る.い い換 えれ ば,偶 数全 体 は,自 然数 全 体 と同 じだ け の 元 を も って い る とい って も よい こ とにな り,こ れ は無 限 集合 の もつ 非 常 に 特徴 的 な性 質 を 表わ して い る.

(−1)×(−1)=1

負 の 数 と負 の 数 を 掛 け る と正 の 数 にな る とい うこ とは,ひ とまず 理 屈 の 上で は

わ か った つ も りで も,な か な か納 得 した 気持 に はな れ な い.負 の数 を 掛 け る とい うこ とは,正 の 数 を掛 け る とい うこ と とは 多少 意 味 が違 って い る.−1を

掛け る

とい うこ とは,正 の方 向 を 負 の方 向 に,負 の方 向 を正 の方 向 に 変 え る こ とで あ る.   この ことを も う少 し正確 に述 べ るた め に 数 直 線 を用 い る.数 直 線 上 で,右 へ 進 む方 向 を 正 の 向 き (す な わ ち,目 盛 りの増 加 す る方 向),左 へ 進 む 方 向 を負 の 向 き と い う.0を

中心 に して考 え る と,

図5

正 の 数 は 正 の 向 き を 指 し 示 し て い る し,負 の 数 は 負 の 向 きを 指 し 示 し て い る.−1 を 掛 け る と い う こ と は,0を る.そ

中心 に して この 向 きを逆 に す る こと で あ る と 考 え

うす る と(−1)×(−1)=1は,向

と を 示 し て い る.し

き を2度

逆 に す る と,元

に戻 る とい う こ

たが って ま た

(−2)×(−5)=(−1)×2×(−1)×5=(−1)×(−1)×2×5=10

質 問   自然数,整 数,有 理 数 と数 の範 囲 を 広 げて き ま したが,数 の範 囲を 広 げ る こと は これ で終 りで し ょ うか? 答   微積 分 の話 を す る た めに は,さ らに 実 数 まで 数 の範 囲を 広 げ る必 要 が あ る. しか し有 理 数 で は,四 則 演算 は 自 由に で きるの だ か ら,自 然 数か ら有理 数 まで 数 の範 囲を 広 げ て きた よ うな考 えで,も

う有 理 数 を広 げ るわ け に は いか な い.ど の

よ うな 考 え に立 って,有 理 数 の 範 囲 を さ ら に広 げて 実 数 とい う新 しい数 の範 囲 に 到 達 す るか,そ れ は次 の講 の主題 で あ る.

第2講 数 直 線 と実 数 テーマ

◆ 分数 と小数:循 環す る無限小数 ◆ 無理数 ◆ 実数 と数直線:実 数は数直線上 に表現 され る. ◆ 有理数か ら実数へ と数の範囲を広げ る必要性は どこにあったか.

分 数 と小 数   有 理 数 は,分 数 として表 わ され る数 で あ った.分 数 は また小 数展 開 して表 わ す こ と もで き る. 【例 】  3/4=0.75, 1/3=0.3333…

２3/5=4.6, 17/7=2.428571428… −3/8=−0 .375, −1/6=−0.16666…

  こ の例 で左 側 の分 数 は有 限小 数 で表 わ され て い るが,右 側 の分数 は 無 限小 数 で 表 わ され て い る.分 数 を小 数 で表 わ した と き,右 側 の よ うに無 限 小 数 と な る と き,こ の無 限 小数 は,あ る所 か ら先'竹 のふ し'の よ うな も のが 出て,こ れ が 繰 り返 され る とい う性質が あ る.1/3では,小数

点第1位 の3が'竹

の3が ど こまで も繰り返 され て い る.−1/6では,小数

のふ し'で,こ

点2位 の6が'竹の

ふ し'

で この6が ど こ まで も繰り 返 され て い る.17/7では,実 は

と な って,428571が1つ 循 環 小 数 とい う.

の'竹

の ふ し'と

な っ て い る.こ

の よ うな 無 限 小 数 を

  分 数 が 無 限 小 数 と し て 表 わ さ れ る と き,な

ぜ こ の よ うに 循 環 す る か に つ い て 触 れ て お く.

た と えば5/13の 割 り算 を 次 か ら 次 へ と 行 な っ て み る と,余 で ま た 最 初 の5を13で

割 る 状 況 が 生 じ て く る.こ

る 状 況 が 繰 り返 さ れ る.そ

りが11,6,8,2,7,5と

の た め 割 っ た 結 果 も繰 り返 さ れ て,結

と循 環す る.こ こで 見 るよ うに,13で

同 じ数 が 余 り とし て 出て,そ

こ

余 りが 出

局

割 った と き余 りに 出 る数 は,0(割

1,2,…,12だ け だ か ら,割 りきれ るか,多

出 て,こ

れ か ら 先 は,11,6,8,2,7,5と

りき れ る とき),

くと も12回 割 って い く と,前 に 一度 出た 余 り と

こか ら循 環が 始 まる の で あ る.'竹 のふ し'と か いた のは,数

学 では 循環 節 とよば れ て い る.   こ こ で 証 明 は し な い が,循 る こ と が 知 られ て い る.し

環 す る無 限 小 数 は,逆

に,必

ず 分 数 として表 わ され

た が って

有 理 数 は,有 限小 数 か,循 環 す る無 限 小数 で 表 わ され る数 で あ る. と い っ て も よ い こ と に な っ た.

無

理

数

な どは,無 限 小数 で あ るが,け っ して循 環 しな い こ とが知 られ て い る.し たが っ て これ らは有 理 数 で は な い.循 環 し ない無 限小 数 と して 表 わ され る数 を無 理 数 と い う.   有理 数 と無 理数 を合 わ せ て実 数 とい う.し た が って 実 数 は,有 限 小数 また は無 限 小数 として 表わ され る数 で あ る. 有理 数 …

有限小数 循環 す る無限小数

実数

無理 数 … 循環 し ない 無 限小 数

実 数 と数 直 線  前 講 で,有 理 数 を,数 直線 上 の 点 として 表わ した が,実 数 も この数 直 線 上 の点 と して表 わ して お きた い.た

とえば 

=1.4142…

は,直

線 上 の どの よ うな点

を 表 わ し て い る と 考え た ら よ い だ ろ うか.  

の 無 限小 数 展 開 に対

応 し て,数 りが1の

直 線 上 で,目

点 をP0,目

盛

盛 りが

1.4の 点 をP1,目

盛 りが

1.41の

盛 りが

1.414の

点 をP2,目 点 をP3,…

P1,P2,P3,…

の 目 盛 りは 有

理 数 だ か ら,こ

図6

れ ら の 点 を 目 盛 る 場 所 は 決 ま っ て い る.ど

P1,P2,P3,…,Pn,… 線 上 で,し

とす る.

は 先 に 進 む に し た が っ て,ど

ん ど ん 近 づ き 合 って き て,数

だ い に あ る 点 に 近 づ い て い く よ うな 様 子 を 示 す よ うに な る.こ

が 数 直 線 上 で 近 づ く究 極 の 点 が,    無 限 小 数 が1つ ま で,…,n位

こ ま で も 続 く この 点 列

与 え られ る と,こ ま で,…

直

の点 列

を 表 わ す 点 で あ る. の 無 限 小 数 展 開 の 小 数 点 以 下1位

ま で,2位

とと って得 られ る有 理 数 を表 わ す 点 列 P1,P2,P3,…,Pn,…

が 決 ま って くる.こ の点 列 の近 づ く先 の点 が,与 え られ た無 理 数 を 表わ す 点 で あ る と 考え る.   規 準点 として,0と1を

と った 直 線 上

無 限 小 数 展 開 をn位 まで とって 得 られ る 点 列 は も っ と密 で あ る.

に,こ の よ うに して,す べ て の実 数 を表 わ す 点 が 決 ま って くる.逆 に,0と1を

図7

規 準 点 に とった 直 線 上 の点 に は,た だ1つ

の 実数 が 対 応 して い る と考 え る ことにす る.   この よ うに して,す べ て の点 に,た だ1つ の実 数 が対 応 して い る と考 えた 直 線 を これ か らは 数 直 線 とい うこ とにす る.   数 直 線 上 の 点Pが い い,P(a)で

実 数aを

表 わ す.

目盛 り と し て も つ と き,点Pの

座 標 はaで

あ ると

有 理 数 か ら 実 数 へ

  有 理 数 は 四 則 演 算 で 閉 じ て い た.有 要 性 は 何 だ っ た の だ ろ うか.数 ら な い 人 が い た とす れ ば,上

理 数 か ら実 数へ 数 の世 界 を 広 げ る本 当 の必

直 線 上 で,数 に 述 べ た 

の 点 列 は 何 か に 近 づ く よ うに 見 え る が,実 こ と に な る だ ろ う(  先 を も た な い'と

を 表 わ した と き,も

に 近 づ く点 列P1,P2,…,Pn,…

は,こ

は 近 づ く先 は ど こ に も な い の だ と い う

は 無 理 数 だ か ら!).'近

づ くは ず の 点 列'が,'近

い う妙 な こ と が 起 き る こ と に な る.私

ら く る ご く 自 然 の 認 識 の 中 で も,近

し有理 数 しか 知

達 の 時 間 と か 空 間 とか か

づ く先 は 必 ず あ る,と

ら 実 数 ま で 数 の 範 囲 を 広 げ て お か な い と,数

づ く

思 っ て い る.有

理数か

の 世 界 の 中 で こ の 確 か と思 わ れ る 認

識 の 保 証 は 得 られ な か っ た の で あ る.   '近づ くはず の 点 列'と い うい い 方 は,は っき りしな い か も し れ な い.数 直 線 上 に点 列 P1,P2,…,Pn,… が あ って,こ れ が'近 づ くはず の 点列'で あ る とは,ど ん な に 目盛 りを 細 か くつ け て も,た とえば10万 す べ て の点 が この1つ

分 の1の 目盛 りをつ け て お いて も,こ の点 列 の十 分 先 か らは,

の 目盛 りと次 の 目盛 り(い ま の場 合 な ら,10万

分 の1の 長 さ)の 中

に,す べ て 収 まって し ま って い る状 況 を い って い る(先 へ 行 くほ ど密 集 の度 合 い が 進 む!).   数学 の用 語 で は,'近 づ くはず の 点 列'の こ とを,コ ーシ ー列 とい う.こ の 用 語 を使 えば 実 数 は,す べ て の コ ーシ ー列 が あ る点 に近 づ くこ とを 保 証 す る数 の世 界で あ る.

問1 

円周 率 π(=3.14159…)を

座 標 に も つ 点 は,数

直 線 上 の ど の あ た りに あ る

か.

問2 

数 直 線 上 の2点P,Qが

の 座 標 はa+b/2で 問3 

0.9999…

座 標a,bを

も つ とす る.こ

の と き,PとQの

中点

あ る こ と を示せ. が 数 直 線 上 で ど の よ うな 点 で

表 わ さ れ るか を 考 え て,そ

れ に よ って

0.9999…=1 を 示 せ.同

様 の 考 えで

図8

5.36=5.359999… が 成 り立 つ こ とを 確 か め よ.

(注:こ の よ うな こ とか ら,有 限 小数 は,実 は あ る所 か ら9の 並 ぶ 循環 す る無 限 小 数 に よ って もか き表 わ され る こ とが わ か るだ ろ う)

Tea

Time

な ど は,有 理数 で な い   一 般 に,2,3,5,7,11,13,… 数)に

対 し て, 

の よ う な 素 数p(1と

自分 自身 以 外 に は約 数 の ない

は 有 理 数 で な い こ とを 示 し て お こ う.そ

れ に は まず 次 の こ

とを 注 意 し て お く.   2つ の 整 数a,bの   な ぜ な ら,pは

積a・bがpで

割 り きれ れ ば,aかbか

これ 以 上分 解 で きな いか ら,aとbに

いか らで あ る(こ れ を さ らに 厳密 に示 そ うとす るな らば,aとbを   と くにa2=a・aがpで さ て, が有理

割 りき れ れ ば,aがpで 数 で あ り,n/mと分数

お い て,mとnに

はpで

割 り きれ る.

また が って わ か れ る こ とは で きな 素 因 数 分解 して示 す).

割 りき れ る.

で 表 わ さ れ た と す る.分

数 は 約 分 して

は 共 通 の 因 数 は な い と し て お く.

を2乗 して す なわち し た が っ てn2はpで に な る.n=pn′

割 りき れ るか ら,上

の 注 意 に よ りnもpで

と お く.pm2=(pn′)2=p2n′2,ゆ

再 び 上 の 注 意 か ら,mがpで

  と く に, 

は,無

え にm2=pn′2.し

割 り きれ る こ と に な る.こ

因 数 が な か っ た と し た こ と に 矛 盾 す る(背

割 りきれ る こ と た が っ て,

れ は,mとnに

共通 の

理 法!).

限 小 数 展 開 を す る と,こ

の 小 数 は け っ し て 循 環 しな い こ と

が 結 論 さ れ る.

質 問  問2か

ら数 直 線 上 で,2点P,Qの

座 標 が有理 数 な らば,P,Qの

中点Rも,

有理 数 を 座標 に も っ て い る はず です.こ の こ とか ら,有 理 数 を座 標 に もつ点 は, 数 直線 上 にす き間が な い よ うに,い っぱ いつ ま って い る と思 い ます が,ど こ こに無 理 数  答  実際は, 

うし て

… を表 わ す よ うな点が 入 るの で し う. (pは素数)の

よ うな数は無理数で,有理数n/mは

い っぱ い

あ るの だ か ら,無 理 数 を表 わ す 点 も,数 直 線 上 に,す き間 がな い よ うに,い

っぱ

いつ ま って い る.有 理 数 を 表 わ す点 と,無 理 数 を表 わす 点 が,お 互 い に ま じ り合 って,数 直 線上 に入 って い る状 況 は,ち

ょ うど水 の 中 に酸 素 原子 と水 素 原子 が ま

じ り合 って 入 って い る よ うな もの だ と思 うと よい.た だ し,点 に は大 きさが な い の で,原 子 模 型 の よ うな もの をつ くる こ とが で きず,誰 も,数 直 線上 で の点 の配 列 の 様 子 を思 い 描 くこ とが で きな い ので あ る.

第3講 座 標 と直 線の式 テー マ

◆ 座 標 平面,x座

標,y座

標

◆ 座 標 の 平行 移 動,座 標 変換 の公 式 ◆ 原点 を通 る直 線 の式:y=mx ◆ 点A(α,β)を 通 る,傾 きmの 直 線 の式:y=m(x−α)+β

  現実 には 限 りな いほ ど長 い直 線 を 引 くこ とは で きな いの だが,数 直 線 とい う考 え を導 入 す る こ とに よ って,私 達 は この直 線 上 のは るか 遠 くの右 の方 に,た とえ ば71653452と

い う座 標 を もつ 点 が あ る と認 め る ことが で き る よ う に な った.ま

た あ ま り目盛 りが 細 か くな りす ぎて,実 は そ の点 を正 確 に指 し示 す こ とな どで き ない の だが,0の

少 し左 に −0.00000058と い う座 標 を も つ点 が あ るとい うこと

も考 え る こ とが で きる よ うに な った.直 線 上 の点 は座 標 の導 入 に よ って,い わ ば 1点,1点

が 区別 され,遠

くにあ る点 も近 くにあ る点 も,す べ て 同 じよ うに取 り

扱 うことが で き る よ うに な った とい って よい. 座 標 平 面   平 面上 の点 も同 じ よ うな観点 か ら取 り扱 い たい.そ のため,平 面 上 に2本 の直 交 す る数 直 線 を,互 い の座標 原 点Oで 交 わ る よ うに 引 く.こ れ に よ って,平 面 上

図9

図10

の 各 点 に 座 標 を 考 え る こ と が で き る よ うに な る.図9で,点Pは も つ と い い,点Qは,座

標(−1,−2)を

座 標(5,3)を

もつ とい う.座 標 原 点Oの

座 標 は(0,0)

で あ る.   横 に 引 い て あ る 数 直 線 を ふ つ うx軸,縦

に 引 い て あ る 数 直 線 をy軸

とい う.x

軸 とy軸

と を 座 標 軸 と い う.座 標 軸 の 与 え ら れ た 平 面 を 座 標 平 面 とい う.

  点Pの

座 標 が(a,b)の

と き,P(a,b)と

か き,aをPのx座

標,bをPのy座

標 と い う(図10).

座 標

  1つ の 座 標 軸 だ け で は な くて,も こ と も あ る.た

都 の 町 の こ とを 話 す の に,自

を し て も,そ

宅

う不 便 で は な い だ ろ う

と え ば 東 京 駅 を 中 心 と して(東

京 駅 を座 標 原

し た 方 が ず っ と 便 利 だ ろ う.

  い ま,図11の 軸,y軸

宅 を 座 標 原 点 と し て)話

京 の 町 の こ と を 話 す に は,た

点 と し て)話

う1つ 別 の 座 標 軸 を と って お い た 方 が 便 利 な

と えば 京 都 に 住 ん で い る 人 は,京

を 中 心 に し て(自 が,東

変 換

よ う に,xy座

を 平 行 移 動 す る と,新

標 の 座 標 原 点 を,点A(α,β)に し い 座 標 軸X軸,Y軸

移 す よ う に,x

が 得 られ る.

図11   平 面 上 の 点Pは,xy座 Y)を

もつ.図11の

標 に 関 す る 座 標(x,  y)と,XY座

標 に 関 す る座 標(X,

右 の 図 を 見 る とわ か る よ うに(x,y)と(x,Y)の

(1) で 与 え られ て い る.こ れ を座 標 変 換 の公 式 とい う.

関係 は

  【例 】xy座

標 の 座 標 原 点 を(6,−8)ま

つ く る.xy座

標 で,(10,20)の

で 平 行 移 動 し て,新

座 標 を もつ 点Pは,(1)式

し いXY座

標を

か ら

X=10−6=4 Y=20−(−8)=28 に よ り,XY座   (1)式

標 に よ る新 し い 座 標(4,28)を

は,'古

い'座

標 でP(x,y)と

表 わ さ れ る 点 が,'新

よ うに 表 わ され る か を 示 し た 式 で あ る.'新 わ さ れ た と き,'古

い'座

標 でPが

も つ. しい'座

標 で どの

し い'座 標 で,点PがP(X,Y)と

表

ど の よ うに 表 わ さ れ る か は,(1)式

を 逆 に解

いた式

(2) で 与 え られ る. 直 線 の 式(原   座 標平 面 で,原 点Oを 通 る,y軸

点 を通 る場 合)

とは違 う直 線 を 考 え よ う.こ の 直 線の 傾 きは

(線 路 の傾 きな どを測 るの と同 じ よ うな考 えで),図12で b/ a で 与 え ら れ る.   こ の 値 は,相

似三角形の

考 え か ら わ か る よ うに,a (≠0)を

ど こ に と って も

一 定 し て い る .こ

の値 を

ｍ=b/a とか い て,直 た は,直 図12か こ のmの

線 の 傾 き,ま

線 の 勾 配 と い う. ら もわ か る よ うに, 値 は,x=1の

き の 直 線 上 の 点 のy座

と 標 の 値 と な って い る.x=1の

図12 と き,直

線 上 の 点 が,x軸

よ り上 にあ れ ばm>0で

あ る し,x軸

よ り下 に あ れ ばm<0で

あ る.直 線 をx

軸 か らy軸 の 方へ と,原 点 を とめ て 時計 の 針 と逆 向 きに回 して いけ ば,直 線 がy 軸 に近 づ くに つれmの   傾 きがmの

値 は どん どん大 き くな って い く.

直 線で は,直

線 上 の 点 のx座 標 がxの

(直 線 は水 平 方 向 に1進 ん だ とき,mだ

と き,y座

け 上 が る のだ か ら,xだ

標 はmxと

なる

け進 め ばmxだ

け 上 が る!!).   直 線上 で,x座

標 がxの

と き,y座

標がmxと

な る とい うこ とを

y=mx と表 わ し,こ

れ を 原 点 を 通 る 傾 きmの

  直 線 と,直

線 の 式 との 関 係 は,図13で

直 線 の 式 と い う. い くつ か 示 し て お い た.

図13

直 線 の 式(一 原 点 を通 る とは 限 らな い,傾 きがmの

般 の場 合) 直 線 の 式 は どの よ うに表 わ さ れ る だ ろ

うか. 点A(α,β)を

通 る,傾

y− β=m(x−

き がmの

α) 

直 線 の式 は (3)

す なわ ち y=m(x−

α)+β

 (3)'

で 与 え ら れ る.

  こ れ を 示 す に は,図14で 動 し て,新 っ て い る.し

し いXY座

示 し て あ る よ う に,xy座

標 を つ く っ て お く.XY座

た が っ てXY座

標 をA(α,β)ま

標 で は,A(α,β)は

標 で は この直 線 の式 は

で 平行 移 原点 とな

Y=mX で 表 わ され る.こ れ を 座 標 変 換 の 式(1) を 用 い て,xy座

標 の 式 と して か く と,

(3)式

と な る.

問1 

次 の 式 は,ど

表 わ し で い る か,座

の よ うな 直 線 の 式 を 標 平 面 に 図 示 せ よ.

1)  y=2(x−1)+3

図14

2)  y=−3(x+1)−4 問2 

y=mx+bは,傾

き がm,y軸

と 交 わ る点 のy座

で あ る 直 線 の 式 を 表 わ して い る こ と を 示 せ((3)'式 問3 

2直y=mx+1とy=nx−5が

標(y軸

でA(0,b)の

の 切 片!)がb と きを 考 え よ).

平 行 と な る た め の 条 件 は,m=nで

与え

ら れ る こ とを 示 せ.

Tea

Time

y軸 を表 わ す 直線 の 式   y軸 は,原 し か しy軸

点 を 通 る 直 線 で あ る が,y=mxの

式 の 形 に か くわ け に は い か な い.

上 の 点 は,(0,2),(0,5),(0,−1)の

点 か らな る.こ

の こ とか ら,y軸

よ うにx座

標 が0と

な って い る

を 表 わ す 直 線 の式 は x=0

で 与 え られ る こ とが わ か る.

質 問   xy座 標―

標 を 時 計 ま わ り と逆 方 向 に 直 角 だ け 回 し て,新

を つ く っ て み ま し た.こ

て し ま い ま し た.座

の と きY軸

標 変 換 の 公 式 は,図15か X=y,Y=−x 

とな る と推 論 し ま し た が,こ

し い 座 標―XY座

の 正 の 向 き がx軸 ら (4)

れ で 正 し い の で し ょ うか.

の 負 の 向 きにな っ

(こ の 座標 は,右 の方 か ら見 る と感 じ がわ か る)

図15

答   これ で 正 しい.せ っか く求 め た座 標 変 換 の公 式(4)を

用 い る1つ の応 用 例

を 述ベ てお こ う.  xy座 標 で,原

点 を通 る直 線l:y=mxを,時

計 と逆 方 向 に直 角 だ け 回す と,

最 初 の 直線 とち ょ うど直 交 す る 直線l′が得 られ る.xy座

標 も直線lも 一 緒 に直

角 だ け 回 した と考 え る とす ぐわ か る よ うに,XY座

標 で は,l′ の式 は前

と同 じ形 Y=mX とな って い る.(4)式 −x=my

を代 入 す る と

左辺 と右 辺 を取 り換 え て整 頓 す る と y=−1/mx 

す なわ ち,y=mxに 式 は(5)式 か った.

(5)

直交 す る直線 の

で 与 え られ る こ と が わ

(下 か ら見 て,xy座 標 とlの 位 置 関 係は 右か ら見 て, XY座 標 とl′の位 置関 係 と一 致 してい る)

図16

第4講 2次 関 数 と グ ラ フ

テ

ーマ

◆2次

関 数y=ax2+bx+c

◆y=x2の

グ ラフ

◆y=ax2の

グ ラフ

◆y=ax2+bx+cの

グ ラ フ(式

の 変 形 と 座 標 変 換 の 考 え を 用 い る)

1次

  直 線 の 式 は,前 こ の 式 はy軸 か け る.式

講 の(3)'式

講 の 問2で

の 形 だ け に 注 目 し な い で,こ

α)+β で 与 え ら れ る が,

み た よ うにy=mx+bの

の 式 で,xは

任 意 の 実 数 の 値 を と る―'変

形 にも

数 直 線 上 を 自 由 に 動 く― 数'と

み て,xの

値 に応

値 が 決 ま る と考 え た とき y=mx+b 

を(xの)1次

関 数 と い う.こ

は,(1)式 え る.こ

数

で 示 し た よ うにy=m(x−

の 切 片 に 注 目 す れ ば,前

同 じ こ とで あ るが,xは じ てyの

関

の と き,y=mx+bが

の 関 係 を 満 た す 点(x,y)の の よ うに 考 え た と き,直

の 関 係 が,x2とxに

関

あ る.aをx2の て お こ う.

係 数,bをxの

標 平 面 上 に表示 した も の と 考

の グ ラ フ で あ る と い う.

数

関 係 す る よ うな 形

y=ax2+bx+c(a≠0)  で 与 え ら れ る と き,yはxの2次

座 標 平 面 上 で 表 わ す 直 線l

全 体 を,座

線lは(1)式

2次

  xとyと

(1)

(2)

関 数 で あ る と い う.a,b,cは 係 数,cを

あ る決 ま った数 で

定 数 項 と い う.a≠0の

こ とに 注意 し

y=x2の

2次 関 数(2)式

グ ラ フ

の 中 で,最 も 簡 単 な も の は,a=1,b=c=0の

場 合,す

なわ ち

y=x2 の と きで あ る.   xと,対

応 す るy=x2の

い くつ か の 値 を と っ て み る と 次 の よ うに な る.

  手 許 に あ る電 卓 を 用 い て,も 点P(x,x2)を

う少 し い ろ い ろ なxの

座 標 平 面 に と っ て み る と,y=x2の

値 に 対 しx2の

グ ラ フが,見

値 を 調 べ,

な れ た 図17,18

の よ うな 形 と な る こ と が わ か る.

y=x2の

y=x2の

グラ フ

原 点 の近 くの グ ラ フ

図17   こ の グ ラ フ がx軸 フ がy軸

図18 よ り上 に あ る こ と は,y=x2≧0を

に 関 して 対 称 な こ とは(−x)2=x2と

い う こ と を 示 し て い る.グ

原 点 に 近 づ くに 従 っ て し だ い に 緩 い カ ーブ と な る.こ く な っ て0に

近 づ く と き,x2はxに

映 し て い る.ま く大 き く な る.グ 上 昇 し て い く.

たxが1を

示 し て い る し,こ

比 べ て,は

の こ とは,xが1よ

ラ フ は, り小 さ

る か に 早 く小 さ くな る こ と を 反

越 え て 大 き くな る と,x2はxに

ラ フ は し た が ってxが1を

のグラ

越 え て か ら,急

比 べ て,は

るか に早

に急 カ ー ブを描 いて

y=ax2の

グ ラ フ

次 に,図19で y=2x2とy=1/2x2 の グ ラ フ を 示 し て お こ う.図19に る.y=x2の

は 比 較 の た め に,y=x2の

グ ラ フ を 用 い て,こ

れ らの

グ ラ フ は 簡 単 に か く こ とが で き る.そ に は,図19で,同

じx座

フ上 の 点 のy座

グ ラ フもか いて あ

れ

標を もつ グ ラ

標 を比べ て み る と

AC=2AB,AD=1/2AB と な っ て い る こ と を 注 意 す る と よ い.   こ の こ とか ら,た フ は,y=x2の を2倍

とえ ば,y=2x2の

グ ラ フ を,縦

グ

方 向 に高 さ

に し て 得 ら れ る こ とが わ か る.

  y=−x2の

グ ラ フ はy=x2の

ラ フ と比 べ る と,ち

ょ う どy座

グ

図19

標

が マ イナ ス に な った だ け だ か ら y=x2の

グ ラ フ をx軸

に 関 して 対

称 に 移 し た も の と な っ て い る.   こ れ ら の こ とを 総 合 し て,い つ か のaに

く

対 し y=ax2

の グ ラ フ を か い て み る と,図20 の よ うに な る.

図20

公

式

(A+B)2=A2+2AB+B2 (A−B)2=A2−2AB+B2

  この式 の証 明に は,か

っこを はず す式 の 計算 を す る とよい.た

とえば 最 初 の公

式 は 次の よ うに示 され る.

式の 変形   一 般 の2次

関 数 の グ ラ フ の 形 を 知 る た め に,(2)式 y=ax2+bx+c 

で,変

を 変 形 し て お く.2次

関数

(2)

数xを x=X−b/2

a 

(3)

すなわち X=x+b/2a の 関 係を 満 たす 新 しい変 数Xに (2)式 は 次 の よ うに な る.

移項 して

お き換 え てみ よ う.こ

の と き上 の公 式 を使 うと

(4) 2次 関 数 の グ ラ フ  (4)式 の 形 を 見 て,さ らに変数yも 新 しい変 数

(5) に お き換 え て み る.こ

の と き(2)式

は,新

し い 変数X,Yに

Y=aX2  と 表 わ され る こ と が わ か っ た.第3講 で,変

数 を(x,y)か

ま で 平 行 移 動 し て,新 (2)式

が(6)式

ら(X,Y)へ

(6) で 述 べ た こ と に よ る と,(3)式

と 取 り換 え た こ と は,xy座

し い 座 標XYを

と(5)式

標 の原 点 を

と った こ と に 相 当 し て い る.そ

の とき

の グ ラ フ は 新 し い 座 標 で(6)式

で表 わ

に な っ た こ と は,(2)式

され る とい う こ と を 意 味 し て い る.(6)式 て(2)式

よ って

の グ ラ フ の 形 は 知 っ て い る.し

の グ ラ フ も か け る こ と に な っ た.す

なわ ち

y=ax2+bx+c の グ ラ フ は,新

しく

を 座 標 原 点 と 思 って,そ

こ にy=ax2と

図21

同 じ形 の グ ラ フ を か く と よい.

たがっ

  図21で,y=ax2+bx+cとy=ax2の

問1 

次 の2次

グ ラ フ と の 関 係 を 示 して お い た.

関 数 の グ ラ フ を か け.

1)  y=x2+2x+3 2)  y=2x2−5x+3 3)  y=−x2−x−1 問2 

2次 関 数y=x2+x+2の

つ の2次 問3 

グ ラ フ と,x軸

関 数 の グ ラ フ と な っ て い る.こ 2次 関数y=x2−5x+6の

の2次

に 関 して 対 称 な 曲 線 は,ま

た1

関 数 を 求 め よ.

グ ラ フ を か き,こ

の グ ラ フ はx軸

と2と3の

点

で 交 わ る こ とを 確 か め よ.

Tea

Time

2次 関 数 と2次 方 程式   2次 関 数 と2次

方 程 式 は,ど

い と思 うの で,そ

の こ と に つ い て 述 べ て お こ う.た

う違 うの か.こ

x2+5x−6=0  は2次

方 程 式 で あ る.こ

決 ま った 数'で あ る.因 '何か 決 ま っ た 数'が,実

の 場 合,xは 数 分 解,ま

こで は っ き り させ て お い た 方 が よ とえば

(7)

未 知 数 で あ っ て,こ

の 関 係 を 満 た す'何

か

た は 解 の 公 式 を 使 っ て 解 い て み る と,こ

の

はx=−6とx=1で

あ る こ と が わ か る―

これ が 方 程

式 を 解 く と い う こ と で あ る.   これ に 反 し,2次

関数 y=x2−5x+6

で は,xは とyと

い ろ い ろ な 値 を'動

き 回 り',そ

の 変 数 の 関 係 を 表 わ し て い る.な

ラ フ がx軸

と交 わ る場 所(そ

が 最 初 の2次   な お,念

れ に 応 じ てyの

お,グ

こ でy=0!)で

ラ フ で い え ば,こ

の,x座

標 が−6と1で

方 程 式 の 解 と な っ て い る.

の た め,2次

方 程 式 の 解 の 公 式 を か い て お こ う. 2次 方 程 式 ax2+bx+c=0 の解 は

値 が 決 ま る,こ の2次

のx

関数の グ あ り,こ

れ

で 与 え られ る.

質 問  学 校 で は,xy座 習 い ま したが,こ xy座 標 か らXY座

標 を そ の ま まに して,グ ラ フ の 方 を平 行 移 動す る こ とを

こで説 明 され た よ うに,グ

ラ フの方 は とめて お い て,座

標 へ と変 え る考 え方 とは,ど

標 を

う違 うので し ょ うか.

答   これ は よい 質問 で あ る.た とえ話 で説 明 してみ る.い ま,あ る劇 場 の舞 台が あ って(xy座

標!!),舞

台 中 央 に手 を 放 物線 の よ う な形 を して挙 げた 役者(y=

ax2の グ ラ フ!!)が 立 って い た とす る.幕 が 下 が り,次 に幕 が 上 が ってみ る と, 役 者 は 同 じ姿勢 で 舞 台 の 右 の方 に立 って い た.こ の と き,こ の役 者 自身 が,舞 台 中央 か ら舞 台 の右 へ と歩 い て行 った と考 え るの が,学 校 で習 った グ ラフ の平行 移 動 の考え で あ る.そ れ に 反 し,役 者 は 同 じ場 所 に じ っ と して い た が,舞 台全 体 が 回 って(xy座

標 か らXY座

動 いた と考 え る のが,こ

標 へ の 移 動),役 者 は こ の 舞 台 の 移動 と一 緒 に右 へ

こで 説 明 した考 え方 で あ る.こ の あ との場 合,役 者 と舞

台 との 位 置 関係 は 少 し も変 わ って い な い(Y=aX2!!).し

か し坐 ってい る観 客か

ら見 る と,役 者 の位 置 は前 と変 わ って しま った.こ の2つ の舞 台 の 位置 関 係 を示 す のが,座 標 変 換 で あ る.私 達 は最初 の舞 台(xy座 知 りた い ので,Y=aX2と

い う関 係 を,xy座

標!!)か

あ る.

座標が平行移動 する

グラフが平行移動する 図22

ら見 た状 況 を常 に

標 の 式 として 書 き直 して お くので

第5講 2次 関 数 の 最 大,最

小

テーマ ◆2次

関 数y=ax2+bx+cの

◆b2−4acの ◆

最 大,最

小

符 号 と グラ フの 関係

接 線:y=x2の

点(p,p2)に

お け る接 線 の傾 き

y=ax2+bx+cのx=pに

おけ る接 線 の 傾 き

放 物 線 の 頂 点 と,最 大 値,最 小 値  ま ず 図23で,2つ

の2次

関 数 の グ ラ フ を 与え て お こ う.2次

関数

y=ax2+bx+c で,a>0の い る.a<0の

場 合 が 図(Ⅰ)の 場 合 が 図(Ⅱ)で

場 合 で あ っ て,こ あ って,こ

(Ⅰ)

の と き グ ラ フは 上 向 き に 開 い て

の と き グ ラ フ は 下 向 き に 開 い て い る.

(Ⅱ)

図23   見 方 を 変 え て,a>0の

と き グ ラ フ は 下 に 凸 で あ る と い い,a<0の

と き,グ

ラ フ は 上 に 凸 で あ る と い う.   2次 関 数 の グ ラ フ と し て 表 わ され る 曲 線 を 放 物 線 とい う.(Ⅰ),(Ⅱ)い 場 合 も,点Pの

座標は

ずれ の

で 与 え られ て い る.点Pを

放 物 線 の 頂 点 と い う.

  y軸に 平 行 な直線x=−b/2aは,放

物 線 の 対 称 軸 とな っ て い る.こ

れを放 物

線 の 軸 と い う.   a>0の

場 合,グ

る.a<0の な る.こ

ラ フ は 点Pで

場 合,グ

最 下 点 に 達 す る.す

ラ フ は 点Pで

な わ ち,yの

最 高 点 に 達 す る.す

値 が 最 小 とな

な わ ち,yの

値が最大 と

れ を ま と め る と 次 の よ うに な る.

2次 関数y=ax2+bx+cは a>0の

と き,x=−b/2aで最

a<0の

と き, 

で最大値 

グ ラ フ の 上 り,下

  a>0の を1つ bx+cの

を とる.

小 値 

を と る.

り

と きを 考 え よ う.a とめ て お く と,y=ax2+ グ ラ フ の 原 形 はy=ax2

で あ っ て,b,cを の 原 形 が,適

変 え る と,こ

当 な と ころ まで 平

行 移 動 す る(第4講 明 の 便 宜 上,bも

参 照).説 ひ とまず とめ

て お く こ と に し よ う.こ

のとき

放 物 線 の軸x=−b/2aは

変わ ら

な い.し

た が っ て,a,bを

て,cを

い ろ い ろ に 変 え る と,

グ ラ フ は,上

とめ 図24

が っ た り,下 が っ た りの 上 下 の 移 動 を す る こ とに な る.

 yの 最 小 値 は 

で,a>0だ

か ら,次

の こ と が 成 り立 つ.

 (ⅰ)  最 小 値 は 正(図24(1),(2)の

場 合)

 

最 小 値 は0(図24(3)の

(ⅱ)    (ⅲ) 

最 小 値 は 負(図24(4),(5)の

(a<0の

と き,対

応 す る こ とは,ど

  図 か ら も 明 ら か な よ うに,(ⅰ)の (ⅱ)の

場 合)

場 合 に はx軸

と1点

場 合)

の よ うな 形 で 述 べ ら れ る か を 考 え て み よ.) 場 合 に は,グ

で 交 わ り,(ⅲ)の

ラ フ はx軸

場 合 に はx軸

と 交 わ ら な い し, と2点

で 交 わ る.

  2次 方 程 式ax2+bx+c=0に おい て,D=b2−4acを,こ の2次 方 程 式 の判 別 式 とい う. x軸 と グ ラフ と の交 点 の座 標が,解 を 与 え る こ とに注 意 す る と,上 に 述 べ た こ とは D<0な

らば,実 解 が な い

D=0な

らば,た だ1つ の 実解(重 解!)を

D>0な

らば,2つ

を 示 した こ とにな る(こ の 結論 はa<0の

y=x2の

  こ こ で 少 し 話 題 を 変 え て,2次

場 合 に も正 しい).

接 線 の傾 き

関 数 の 中 で 最 も基 本 的 なy=x2の

う少 し 詳 し く調 べ て み よ う.y=x2の る が,原

もつ

の 実 解 を もつ

グ ラ フ を,も

グ ラ フ は,第4講,図17,18で

示 され て い

点 の 近 くで は 緩 や か で あ り,原 点 を 遠 ざ か る に つ れ て,し

っ て い く.こ

の よ うな,各

き と い っ た も の を,何

点 に お け る グラ フの傾

か 正 し く表 わ せ な い も の で

あ ろ うか.   そ の た め 次 の よ うな こ と を 考 え る.x座 とp+hで をP,Qと

あ る よ う な,y=x2の

標 がp

グ ラ フ上 の2点

す る.し

た が って,P,Qの

P(p,p2), 

Q(p+h,(p+h)2)

座 標 は それ

ぞれ

で あ る,図25で, PR=h,

図25

QR=(p+h)2−p2=p2+2ph+h2−p2=2ph+h2

で あ る.し た が って直 線PQの

傾 きは す ぐに計 算 で きて

(1)

だ い に急 にな

と な る.こ

こでhが

どん どん0に

近 づ いて い く

様 子 を 想 像 し て み よ う.こ の と き,点Qは,グ ラ フ を 伝 わ って,ど

ん ど んPに

こ の と き 直 線PQは,し よ うに,Pを ろ う.こ

近 づ い て い く.

だ い に,図26で

見 る

通 る一 定 の 直 線 に 近 づ い て い くだ

の 直 線 の こ と を,y=x2の

点Pに

る 接 線 と い う(接 線 の こ とは,も な 立 場 か ら,あ

おけ

う少 し 一 般 的

とで 述 べ る(第7講Tea

Time

参 照)). (1)式 の 第2項

で,hが

ど ん どん0に

近 づ く と,右

図26

辺

は い く らで も小 さ くな って い く・ この こ とか ら,直

だ い に2pに

近 づ い て い く こ とが わ か る.し

点P(p,p2)に

お け るy=x2の

線PQの

傾 き は,し

たが って

接 線 の 傾 き は2pで

あ る.

こ と が 結 論 で き た.   た と え ば,x=4の

と き の,y=x2の

接

線 の 傾 き は2×4=8で,グ

ラ フ は か な り急

な 上 りで あ る.x=−1/3の

と き のy=x2の

接線 の 傾 き は,2×(−1/3)=−2/3で,こ

こ

で は か な り緩 い 下 りで あ る.   図27で,y=x2の

グラ フ の い くつか の

点 で の 接 線 の 傾 き を 示 し て お い た.

ｙ=ax2の

  x座 標 がpで め る に は,y=x2の 2ap+ahに

図27

接 線 の傾 き

あ る よ うな,y=ax2の

グ ラ フ 上 の 点Pに

と き と同 様 に 考 え る と よ い.(1)式

変 わ る.こ

の こ と か ら,hを0に

近 づ け る と,

お け る 接 線 の 傾 きを 求 に 対 応 す る式 の 右 辺 は

点(p,ap2)に

お け るy=ax2の

接 線 の 傾 き は2apで

あ る.

こ とが わ か る.

y=ax2+bx+c   y=ax2の

グ ラ フ の 性 質 が わ か る と,そ

て,y=ax2+bx+cの は,接

の こ とか ら,平

行移 動す る こ とに よっ

グ ラ フ の 性 質 も導 か れ る は ず で あ る.こ

の基 本 的 な考 え方

線 の 傾 き に 対 し て も適 用 さ れ る.

x座 標 がpで

あ る よ うな,y=ax2+bx+cの

の グ ラ フ の 接 線 の 傾 き は2ap+bで

  こ れ を 示 す た め に は,図28を 照 す る と よ い.新

グ ラ フ 上 の 点Pに

おけるこ

あ る.

参

し い 座 標XYを,

い つ も の よ うに 図 の よ うに と る と, 点PのX座

標 は,座

標 変換 の 公式

か ら

と な る.Y=aX2の 接 線 の 傾 きは,す

こ の点 に お け る ぐ前 に 述 べ た こ と

か ら

図28

で あ る.直

線 の 傾 き は,xy座

標 で 見 て も,XY座

る い は,直

線 の 傾 き は 平 行 移 動 で 変 わ ら な い か ら),こ

  接 線 の 傾 きが0と

い う こ と は,2次

で(上

り坂 で も な く て)最

り坂 で も,下

い う こ と で あ る.式

れ で 証 明 さ れ た.

関 数 の グ ラ フ で は ち ょ う ど,グ 小 値 か,最

期 した よ うに

ラ フが そ こ

大値 を とる点 に な って い る と

の 上 か ら 改 め て こ の こ とを 確 か め て み る と 2ap+b=0

か ら,予

標 で 見 て も変 わ ら な い か ら(あ

が 出 る.

問1 

次 の2次

関 数 の 最 大 値 ま た は 最 小 値 を 求 め よ.

1)  y=−x2+6x−3  問2 

直 角 を は さ む2辺

2)  y=2x2−3x+5 の 長 さ の 和 が12cmの

直 角 三 角 形 が あ る.こ

の 直角 三

角 形 の 面 積 の 最 大 値 を 求 め よ. 問3 

y=3x2−x−1の

点(−2,13),お

よ び 点(3,23)に

お け る接 線 の 傾 き を 求

め よ.

Tea

Time

2次 式 と 因数 分 解   た と え ば2次

式2x2−8x+6の

よ う に,すぐ因

数 分 解 で き る も の が あ る:

2x2−8x+6=2(x−1)(x−3) こ の と き,y=2x2−8x+6の を 通 るy軸

グ ラ フ とx軸

に 平 行 な 直 線 が こ の グ ラ フ の 軸 とな る.一 ａx2+bx+c=a(x−α)(x−

と 因 数 分 解 さ れ る と き,α の グ ラ フ とx軸

 

の交 点 は1と3で

あ り,こ

の 中 点2

般に

β)

と β は,y=ax2+bx+c

と の 交 点 の 座 標 で あ り,こ

を通 るy軸に 平行 な直線 

の 中点

が,こ の

放 物 線 の軸 とな る.し たが って す なわ ち

図29

(こ れ は解 と係 数 の 関 係 の一方 の関 係 を,グ ラ フ上 で 説 明 した こ とに な って い る)

質 問  接 線 の傾 きの 話 は,大 体理 解 で きた よ うに思 い ま した が,一 つ 不安 な感 じ が 残 りま した.そ れ は,動 点Qが どん どんPに 近づ い て い って,最 後 にQがPに

重 な っ て し ま う と,2点P,Qを

通 る 直 線 な ど意 味 が な く な っ て,接

線 な ど定義

で きな く な る の で は な い か と い う こ とで す. 答  こ の 質 問 は 極 限 概 念 に 関 す る こ と で あ っ て,こ い くつ も りで あ る.y=x2の

場 合 で い う と,講

れ か ら し だ い に 明 らか に して

義 で の 説 明 を よ く読 ん で み る と,

こ の 質 問 か ら く る難 点 を 注 意 深 く避 け る よ うに して い る こ と に 気 が つ くだ ろ う. Qが

ど ん な にPに

わ な い.し

近 くて も,Pと

た が っ て ま た,傾

こ こ で も し 万 一'h=0と とな り,質

異 な っ て い る 限 り,直 線PQを

き2p+h((1)式)を

す る'と

い う よ うな い い 方 を す る な らば,Q=Pの

問 に あ っ た 通 りお か し な こ と に な る.し

ん 小 さ く な る'と

い うい い 方 を し て,h=0と

な い い 回 し は,図26で,割 も の と な っ て い る.

考 え る こ とは 構

考 え る こ と に も 問 題 は な い.

線PQが

か し 講 義 で は,'hが

は し な か った の で あ る.こ

場 合 どん ど の微 妙

し だ い に 接 線 に 近 づ く様 子 を い い 表 わ した

第6講 3次

関

数

テーマ ◆3次

関 数y=x3とy=ax3の

グラ フ

◆y=ax3の

グ ラ フ とy=x3−x+1の

◆y=x3の

グラ フの 接 線 の傾 き

グ ラ フ との比 較

3次   xとyと

の 関 係 が,x3とx2とxで

関 数 表 わ され る式

y=ax3+bx2+cx+d 

(a≠0)

で 与 え られ る と き,yはxの3次

関 数 で あ る とい う.係 数a,b,c,dは

た 実 数 を 表 わ して い る.3次

関 数 の 中 で 最 も 簡 単 な も の は,a=1,b=c=d=0の

場 合,す

あ る決 ま っ

なわ ち y=x3

の と きで あ る.

y=x3の   ｘ の い くつ か の 値 と,そ

グ ラ フ

れ に 対 応 す るy=x3の

値 を と っ て み る と次 の よ うに な

る.

も っ と細 か くxの 値 を と り,そ れ に 対 応 す るyの 値 を と って グ ラ フ を か い て み る と,y=x3の

グ ラ フ は,図30の

  2次 関 数 の グ ラ フ と こ のy=x3の の2つ

の こ と で あ る.

よ うな 形 と な る こ とが わ か る. グ ラ フ を 見 比 べ て,す

ぐに 気 のつ く違 い は 次

 ⅰ)  y=x3の

グ ラ フ に は 対 称 軸 が な い.

 ⅱ)  y=x3の

グ ラ フ は,座 標 平 面 の 下 か ら 上 へ と

走 りぬ け る形 を し て,放

物 線 の 頂 点 の よ うな も の が

な い.  ⅰ)に

つ い て い う と,グ

が,(x,y)と −y)と

ラ フ に は 対 称 軸 は ない

い う 点 が グ ラ フ 上 に あ れ ば,(−x,

い う点 も グ ラ フ 上 に あ り,し

た が って グラ

フ は 原 点 に 関 し 点 対 称 とな っ て い る. 図30 y=ax3の

グ ラ フ

a>0の

と き,y=ax3の

グ ラ フ は 図31の

よ うな 形 とな る.

a<0の

と き,y=ax3の

グ ラ フ は 図32の

よ うな 形 と な る.

y=ax3とy=−ax3の

グ ラ フ は,y軸

に 関 し て 対 称 で あ る.

図31

図32

1つ 3次 関 数 y=x3−x+1

の 例

の グ ラフ の概 形 をか くこ とを試 み て み よ う.こ

の グ ラ フを か くに は, y1=x3 y2=−x+1

と い う2つ

の 関数 の グ ラ フ を か い

て,次 に,同 じxに

対 応 す るy1+y2の

点 を グ ラ フ 上 に 求 め て い く と よ い.   実 際 こ の こ と を 実 行 し て み る と, 図33が

得 られ る. 図33

こ の よ うに し て 得 ら れ たy=x3− x+1の

グ ラ フ を 眺 め て い る と,奇

か ら 上 っ て き て,あ

妙 な こ と に 気 が つ く.そ

る 所 へ く る と(実際はx= 

ま た し ば ら く進む と(実際

はx= 

度 上 り始 め る とい う こ と で あ る.こ

れ は グラ フが左 の方

の と こ ろ で)下

の と こ ろ に た ど りつ く と),今

が り出 し, 度 は も う一

の よ うに グ ラ フ が 波 打 つ こ と は,y=ax3の

グ ラ フ に は 起 きな か っ た こ とで あ る.   こ の 例 か ら,3次

関 数 の グ ラ フ が,1次

う一 つ の 様 相 が 明 ら か と な っ た.す 一般に

,3次

関 数,2次

関 数 の グ ラ フ と本 質 的 に 違

なわち

関 数y=ax3+bx2+cx+dの

グ ラ フ はy=ax3の

グラ フ を

適 当 に 平 行 移 動 し た も の と は な って い な い.

  こ の こ とは 次 の こ とか ら も推 察 され る.座 標 変 換 で は 座 標原 点 を あ る点P(α,β)に 移 す こ とを 問 題 とし た.し た が って座 標 変 換 を表 わ す 公 式 に は,任

意 定 数 が,α,β の2つ し か

出 て こな い.一 方,3次

外 の 項 に,任 意 定 数 が3つ,

関 数y=ax3+bx2+cx+dに

b,c,dが あ る.し た が ってb=c=d=0と

は,ax3以

な る よ うに,一 般 に は α,βを選 ぶ わ け には い か な

い の で あ る.   3次 関 数 の グ ラ フ の 性 質 を 調べ る こ と は,2次 い だ ろ う と 予 想 さ れ る.3次 と き に は,接

線 の 傾 き―

に な っ て くる.

関 数,あ 微 分―

関 数 の 場 合 よ り,は る か に難 し

る い は も っ と複雑 な関 数 の グ ラフ を調 べ る と い う考 え 方 が,本

質 的 な役 割 を に な うこ と

公

式

(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3 (A−B)3=A3−3A2B+3AB2−B3

どち ら も同 じだ か ら,上 の公 式 だけ 示 してお く.

y=x3の   y=x3の

グ ラ フ の 点P(p,p3)に

え る こ と が で き る.す 点Qを Qが

お け る 接 線 の 傾 き は,y=x2の

な わ ち,Pと

異な る

グ ラ フ 上 に と り,直 線PQを

考 え る.

どん ど んPへ

の 傾 き は,あ を,Pに

接 線の傾 き

近 づ い た と き,直

と き と同様 に 考

線PQ

る値 に 近 づ い て い く.こ の 値

お け るy=x3の

グ ラ フの接 線 の 傾

き と い う の で あ る.   前 と 同 じ よ うにQの

座標を

Q(p+h,(p+h)3) と お く と,直

線PQの

傾 きは

図34

で 与 え られ る.こ の 分子 は上 の 公式 を用 い て計 算す る ことが で きる:

hを0に

近 づ け る と,こ

の 右 辺 の2項

目 は い く ら で も小 さ くな る.し

た が って 直

線PQの

傾 き は,い

く らで も3p2に

点P(p,p3)に

近 づ い て い く.こ

お け るy=x3の

接 線 の 傾 き は3p2で

y=x3とy=3x2の

 点P(p,p3)で

のy=x3の

ラ フ と,y=3x2の

れ で 次 の こ と が 示 さ れ た.

あ る.

関 係

接 線 の 傾 きが3p2で

グ ラ フ と の 間 に 図35で

あ る と い う こ と は,y=x3の

グ

示す よ

うな 関 係 が あ る こ と を 示 して い る.   図35で で,下

上 に 図 示 し て あ る の がy=x3の

に 図 示 し て あ る の がy=3x2の

る.x= 

の とき,y=3x2値

の と き 上 のy=x3の の 傾 き が1に

き は2と

グラ フで あ

は1と

グ ラ フ を 見 る と,そ

な っ て い る.x= 

3x2の 値 は2で

あ る.こ

な る.こ こで接 線

の と き,y=

の と きy=x3の

接線の傾

な っ て い る.

  した が っ て,た

とえばx≠0の

と き,y=3x2の

値 が 正 で あ る とい う こ と は,y=x3の が,x≠0の

と き 正―

接 線 の傾 き

す な わ ち グ ラ フ は 上 り坂

で あ る こ とを 示 し て い る.下 がy軸

グ ラ フ

のy=3x2の

に 関 し て 対 称 で あ る と い う こ と は,上

ラ フ で は,xと−xで,y=x3の

グラフ のグ

接 線 の傾 きが 等

し い と い うこ と を 示 し て い る.

図35

  こ うや っ て よ く見 て い くと,下 の グ ラ フの彎 曲 して い く状 況 が,上 の グ ラフ の 接 線 の傾 き の変 化 して い く模 様 を,実 に 上手 に表 わ して い る こ とに気 が つ くだ ろ う.

問1 

3次 関 数 y=ax3+bx2+cx+d 

が与え られた と き,xy座

標 の原 点 を,x座

(1)

標 が−b/3aで

あ る グラ フ上 の点Pま

で 移 動 し て,新

し いXY座

標 を つ く る と,こ

Y=aX3+CX 

の グ ラ フは

(Cは 適 当 な 定 数)

の 形 に表 わ さ れ る こ とを 示 せ.こ

の こ と か ら,(1)式

の グ ラ フ は,点Pに

関 し点

対 称 と な って い る こ と を 示 せ. 問2 

y=x3−x+1の

グ ラ フ の 接 線 の 傾 きが,点P(p,p3−p+1)で

与 え ら れ る こ とを 確 か め よ.さ

ら にy=x3−x+1の

は3p2−1で

グ ラ フ と,y=3x2−1の

グラ

フ の 関 係 を 調 べ て み よ.

Tea

Time

接 線 の傾 き と,あ る時刻 にお け る 新幹 線 の 速 さ   3次 関 数y=x3の,0≦x≦1に

お け る グ ラ フ は,新

幹 線 が 東京 駅 を ゆ っ く りと

発 車 して徐 々に ス ピー ドを 上 げ てい く模様 を示 した 走行 グ ラ フに似 てい る.こ の とき出 発 後t分 か ら(t+h) 分 まで の間 の 平均 速 度 は,そ の間 の 走行 距 離 を,要 した 時 間hで 割 った もの,図 で い え ば (*)  で 与え

ら れ る.単

て お い た.こ あ る.出

(km/分) 位 はkm/分

れ は 直 線PQの

発 後,ち

ょ う どt分

に し 傾 きで 後の速

度 は と聞か れ た ら,速 度 計 を 見 て,t分

図36

後 に針 の指 し示 す 場 所 を見 るだ ろ う.だ

が,実 際 は,針 は 止 ま る こ とな く動 い て い る のだ か ら,こ れ は あ くまで近 似 的 な もの で あ る.数 学 的 に厳 密 にい うな らば,hが0に

近づ くと き,(*)の

値 の近

づ く先 を,時 刻tに おけ る速度 とい うこ とに な るだ ろ う.こ の よ うに して,時 刻 ｔに お け る速度 とい う考 え と,接 線 の 傾 き とい う考 え が対 応 して くる.

質 問  xが0か 合 は,微

ら大 き くな る と き,y=x2の

妙 に 違 う よ うで す が,こ

グ ラ フ と,y=x3の

の こ とを 接 線 の 傾 き か ら説 明 で き ま す か.

答   ひ と ま ず で き る と い っ て よ い だ ろ う.y=x2の か い て み る.0
満 た すpを

す る.Pで

グ ラ フ の 上 り具

グ ラ フ と,y=x3の

と り,x=pを

満 た すy=x2上

の 接 線 の 傾 き は2pで,Qで

グ ラ フを

の 点 をP,y=

の 接 線 の 傾 き は3p2で

あ

たが って 2p>3p2

の と き,す

なわ ち 0
で は,y=x2の y=x3の

方 が 急 勾 配 で,

方 が上 り方 が緩 や か で

あ る.P=2/3で2つ

のグ ラ フ の

傾 き は一致 す る.p=2/3を る と,y=x3の っ て,p=1の ち ろ ん,y=x3の 上 っ て い く.ス

過 ぎ

上 り方 が 急 に な と き,2つ

図37

の グ ラ フ は,点(1,1)で

グ ラ フ の 方 がy=x2の

グ ラ フ よ り,は

キ ー の 好 き な 人 は,点(1,1)に

滑 り下 りて い く と き,y=x2の

一 致 す る.こ

立 っ て,原

え で 表 わ され る 斜 面 の 傾 きを,少 か.い

わ ば,斜

傾 き で あ る.

るか に急 な 傾 き とな って 点 に向 か って ス キ ーで

グ ラ フ の 斜 面 を 選 ぶ か,y=x3の

選 ぶ か と い う よ うな こ と を 考 え て み て ほ し い.そ

れ か ら 先 は,も

グ ラ フの 斜 面 を

れ に よ っ て 接 線 の 傾 き と い う考

し は 身 近 に 感 ず る こ とが で き る の で は な か ろ う

面 で の ス キ ー の 傾 き が,(正

負 の 符 号 の 違 い は あ っ て も)接

線の

第7講 3次 関数 と微 分 テーマ

◆ 関 数 記 号:y=f(x) 

極 限 の 記 号:lim

◆ 微 分 の 定義:y=f(x)の

グ ラ フ の接線 の傾 き

◆微 分 の和 の 公式 ◆3次

関 数 の 微分

◆ 導関数

関 数記 号   3次 関 数y=ax3+bx2+cx+dが

与 え ら れ た と き,こ

の 式 がxとyの1つ

の関

係 を与 え る こ とに 注 目 して y=f(x) と か く.   も ち ろ ん,こ

の よ うな 記 法 は,3次

関 数 の と きだ け で な く,2次

関 数 や1次

関

数 の と き に も 用 い られ る.   あ とで見 る よ うに,y=f(x)と

い う記法 は,実

は一 般 に'関 数'を 示 す 記法 と して広 く

用 い られ て い る.   【例1】  y=f(x)=x3+2x−1の f(0)=−1, 

とき

f(1)=13+2×1−1=2, 

  【例2】  y=f(x)=−5x2+10の f(0)=10, 

とき

f(1)=−5+10=5, 

  こ れ か ら述べ る,関

f(−2)=−20+10=−10

数y=f(x)に

の 関 数 に 対 し て 成 り立 つ の だ が,こ ずf(x)は,3次 =c(定

数))と

関 数 か,2次 す る.

 f(−3)=(−3)3+2×(−3)−1=−34

対 す る 微 分 の 定 義 は,一 こ で は,y=f(x)と

関 数 か,1次

関 数 か,あ

般 的 な,広

い範 囲

か い た と き に は,ひ る い は,定

とま

数 関 数(f(x)

極 限limの  た と えば,hが (*) 

どん ど ん0に

2p+h→2p 

記号

近 づ く ときに

(近 づ く)

とな る こ とや (**) 3p2+h(3p+h)→3p2  こ とを 前 に 述 べ て き た.こ hが0に

近 づ く と き,2p+hの

と表 わ し,(**)の hが0に

(近 づ く) の よ うな と き,(*)の 極 限 値 は2pで

場合には あ る といい

と き に は,

近 づ く と き,3p2+h(3p+h)の

極 限 値 は3p2で

あ る とい い

とか く.   こ こ で 注 意 す る こ とは,  で あ る が,こ る.し

の と きhは

は,hが

け っ し て0に

近 づ く状 態 を 示 し て い る の

な る こ とは な い と 仮 定 し て い る こ と で あ

た が っ て た と えば

の よ うに 表 わ す こ と が で き る.な は,hで

ど ん ど ん0に

割 っ て,式

ぜ な ら,h≠0だ

と し て 常 に3+hに

 limの 記 号 は,

か ら,た

等 し い か らで あ る.

とい う使 い方 だ け では な くて,た と えば,hが

況を 示 す と きに も 

の よ うに使 う.limは

と え ば(3h+h2)/h

どん どん1に 近づ く状

英 語limitの 略 で あ る.

微分の定義

の 値 を,f′(p)と るfの

か き,x=pに

微 係 数 と い う.f′(p)を

お け るfの

微 係 数 と い う.ま た は 単 にpに

求 め る こ と を,f(x)をpで

おけ

微 分 す る とい う.

hが

どん ど ん0に

近 づ く と き,

の 近 づ く先 の 値 は,点(p,f(p))に

おけ

るy=f(x)の

グ ラ フ の 接 線 の 傾 き と して,

第5講,第6講

で 繰 り返 し述 べ て き た も の

で あ る.上

の 定 義 は,こ

う記 号 を 用 い て,一 の に す ぎ な い.こ

の こ と を 

般 的 に書 き表 わ した も のf′(p)と

い う記 号 に 多

少 で も な れ る た め に,第5講,第6講 と,次

とい

図38

で 述べ た こ と を,こ

の記 号 を 用 い てか く

の よ うに な る.

y=f(x)=x2の

と きf′(p)=2p

y=f(x)=ax2+bx+cの y=f(x)=x3の

【例 】y=f(x)=ax+bの

と きf′(p)=2ap+b と きf′(p)=3p2

と き,f′(p)を

こ の 最 後 の 等 号 が 成 り立 つ こ と は,aは 数 で あ っ て,hの か る.し

定 義 に 従 っ て 求 め て み よ う.

定

値 に よ ら な い こ と か らわ

た が って

y=f(x)=ax+bの

と きf′(p)=a

図39

特に y=f(x)=xの

と きf′(p)=1

(接 線 の傾 き の意 味 を考 えれ ば,こ れ は ほ とん ど明 らか な結 果 で あ る)

 同 じ よ うに し て

y=f(x)=c(定

数)の

と きf′(p)=0

もわ か る.

公

式

(Ⅰ)  F(x)=f(x)+g(x)の

と き,任

意 のpで

F′(p)=f′(p)+g′(p) (Ⅱ)  F(x)=af(x)の

と き,任

意 のpで

F′(p)=af′(p)

  公 式(Ⅰ)で

い って い る こ とは,た

と え ば.

f(x)=x3, g(x)=x2 とす る と,F(x)=x3+x2のpに と,g'(p)=2pを

お け る微 係 数F′(p)を

求 め る に は,f′(p)=3p2

加 え る だ け で よい と い う こ とで あ る.し

た が って い まの場 合

F′(p)=3p2+2p とな る.   公 式(Ⅱ)で

い っ て い る こ と は,た

とえば

f(x)=x3,  とす る と,F(x)=−8x3のpに

a=−8

お け る微 係 数F′(p)は,−8とf′(p)の

積,す

なわ ち −8×3p2=−24p2 に 等 し い と い う こ とで あ る.   公 式(Ⅰ),(Ⅱ)が うに 見 え る が,厳 で は,公

成 り立 つ こ と は,上

密 な 証 明 は あ と の 講 義(第24講)に

式(Ⅰ),(Ⅱ)を

認 め た 上 で,こ 3次

  x3,x2,x,c(=定

の 結 果 や 前 講 の 問2か

数)のpに

ら も明 らか の よ

回 す こ と に す る.ま ず こ こ

の 使 い 方 に な れ る方 を 先 に し よ う.

関 数 の 微 分

お け る微 係 数 が,そ

れぞれ

3p2,2p,1,0 で あ る こ と は す で に 知 っ て い る.公 任 意 の3次 【例1】

関 数 のpに

式(Ⅰ),(Ⅱ)を

用 い る と,こ

の こ と か ら,

お け る微 係 数 を 直 ち に 求 め る こ と が で き る.

f(x)=3x3+x2−5x+1のpに

お け る 微 係 数f′(p)を

求 め よ.

 解

【例2】  f(x)=−7x3+6x2+10x−2のpに

お け る微 係 数f′(p)を

求 め よ.

 解

 一 般 に

のpに おけ る微 係 数 は

導   関数y=f(x)が

関

与 え られ る と,xの

を考 え る こ とが で き る.こ こでpを

数

お のお の の値pに 対 し て,微 い ろい ろ に変 えて み る.pを

係 数f′(p)

変 数 として 取 り

扱 いた い の で,記 号 をpか

らxに 代 え る.そ

は,点xに

微 係数 を対 応 させ る対 応 で あ る.こ の対 応 を

お け るf(x)の

と か き,f′(x)をf(x)の

導 関 数 とい う.た

あ り(こ の こ とを(x3)′=3x2と

も か く),xを

つ の 関 数 の 間 の 関 係 は,第6講

うす る と,対 応

と え ばy=x3の

い ろ い ろ に 動 か し た と き の こ の2

の 最 後 で 詳 し く述 べ て お い た.

  3次 関 数y=f(x)=ax3+bx2+cx+dの

導 関 数 は2次

f′(x)=3ax2+2bx+c で あ り,た

とえ ばx=1に

お け るf(x)の

微係数は

f′(1)=3a+2b+c で あ る.

導 関 数 はy=3x2で

関数

  2次 関 数y=f(x)=ax2+bx+cの

導 関 数 は,1次

関数

f′(x)=2ax+b で あ る.   特 に,次

の こ と は,基

本 的 で あ る.

(x)′=1, 

問1 

(x2)′=2x, (x3)′=3x2

次 の 関数 の導 関 数 を 求め よ.

1) 2) 問2 

y=f(x)は3次

関 数 で,

を 満 た す とす る.f(x)は

どん な3次

関 数 か.

Tea Time

接線の式   y=f(x)の

グ ラ フ 上 の 点P(p,q)(q=f(p))に

くわ か る 考 え だ と し て も,接 問 題 で あ る.接

お け る 接 線 は,直

観的 に は よ

線 を 表 わ す 直 線 の 式 を どの よ う に 表 わ す か は 一 つ の

線 の 傾 き と い う考 え を も と に し な が ら,pに

お け る 微 係 数f′(p)

と い う考 え に 導 か れ た.   今 度 は 逆 に,微 ｑ)を 通 っ て,傾

係 数 を 出 発 点 と し て,点Pに き がf′(p)の

義 に 従 え ば,第3講 き る.す

お け るy=f(x)の

を 思 い 出 す と,接

の定

線 を 表 わ す 直 線 の 式 は す ぐに か く こ と が で

なわち y=f′(p)(x−p)+q

あ るい は y=f′(p)(x−p)+f(p) こ の 式 を,点P(p,q)に

接 線 を 点P(p,

直 線 で あ る と 改 め て 定 義 す る こ と に す る.こ

お け る 接 線 の 式 と い う.

質 問   (x2)′=2x, 

y=x3も

(x3)′=3x2で

原 点 で 微 分 が0と

す か ら,x=0を

代 入 し て み る と,y=x2も,

な り ま す.

つ ま り,両 方 と も 接 線 の 傾 き が 原 点 で 0と な る.し が'谷

か し,y=x2の

底 の 点'(最

っ て い る の に,y=x3の は,原

方 は 原点

小 値 を と る点)と な グ ラ フの 方

点 を 通 っ て も 上 り続 け て い く の

は な ぜ で し ょ うか. 答   こ の 理 由 は,x2とx3の と3x2が

原点 を 通 る と きの符 号 の違 い

か ら 説 明 で き る.2xの の と き 負,x=0で 次 にx>0と

な っ て, のこ

グ ラ フが 原 点 を 通 る と

り坂 か ら上 り坂 に 転 ず る こ とを

意 味 し,し 点'と

符 号 は,x<0

一 度0と

な る と正 とな る.こ

と は,y=x2の き,下

導 関 数2x

た が っ て 原 点 は'谷

な る.こ

次 にx>0と と き,一瞬

れ に 反 し3x2の

底 の 符 号 は,x<0の

な る と再 び 正 と な る.こ 上 り坂 を 終 る が,す

  こ の 説 明 で わ か る よ うに,導 質 に 密 接 に 関 係 し て い る.こ

下 のグラフの正負 が上のグラフの傾き方に反映する 図40 と き正,x=0で

の こ とは,y=x3の

一 度0に

グ ラ フ は,原

な って 点 を通 る

ぐに ま た 上 り坂 が 始 ま る こ と を 意 味 し て い る. 関 数'f′(x)の

符 号'がy=f(x)の

の こ と は 次 の 講 で 詳 し く述 べ る.

グ ラフ の性

第8講 3次 関 数 の グ ラ フ

テーマ

◆ 増 加 の 状態 と減 少 の 状態 ◆ 増 加,減 少 の状 態 と導 関 数 の符 号 ◆ 極 大値,極 小 値 の 定 義 ◆ 極 値 を と る点 で,微 係数 は0と な る. ◆3次

関 数 の グラ フ

増 加 の 状 態,減 少 の 状 態   関 数y=f(x)が,x=pで と き,常

増 加 の 状 態 に あ る とは,十

分 小 さ い 正 数hを

とった

分 小 さ い 正hを

と った

に f(p−h)
が 成 り立 つ こ と で あ る.   関 数y=f(x)が,x=pで と き,常

減 少 の 状 態 に あ る と は,十

に f(p−h)>f(p)>f(p+h)

が 成 り立 つ こ と で あ る.   グ ラ フ との 関 係:x=pで

増 加 の 状 態 に あ る と は,pの

pで 増加の状態pで

近 くで 見 る 限 り,pの

減少の状態 図41

右 方 で は グ ラ フはf(p)よ

り高 く,pの

左 方 で は グ ラフはf(p)よ

り低 い とい う

こ とで あ る.減 少 の状 態 にあ る と きは,高 低が 逆 に な る.   【例 】y=x2で

は,x<0の

と き減 少 の状 態 に あ りx>0の

と き増 加 の 状 態 に

あ る.   す べ て の点xで 増 加 の状 態 に あ る関 数 を単 調 増 加 の関 数 で あ る とい い,す べ て の 点xで 減少 の 状態 に あ る関数 を単 調減 少 の関 数 で あ る とい う.   【例 】 y=x3は  

単 調 増 加 の関 数 で あ り,y=−x3は 増 加,減

 関 数y=f(x)に

少 の状 態 と導 関 数 の 符 号

お いて,

f′(p)>0⇒f(x)はpで

増 加 の状 態 にあ る

f′(p)<0⇒f(x)はpで

減 少 の状 態 に あ る

(記号 ⇒

は'な らば'と 読 む と よい)

  こ の こ と は,f′(p)の り坂 か 下 り坂 か―   f′(p)>0の

単 調 減 少 の関 数 で あ る.

符 号 が,y=f(x)の,x=pに

を 示 して い る こ とか ら,ほ

お け る 接 線 の 傾 き―

上

と ん ど明 らか で あ ろ う.

場 合 に 限 って 証 明を 試 み るな らば 次 の よ うに な る.

  a=f′(p)と

お く.仮 定 か らa>0で

で あ るが, 

の 意 味を 考 え る と,hが

あ る.f′(p)の

定義か ら

十 分 小 さ くな る と き(た とえ ば,−h0
範

囲 で)

とな らな くては な らな い.し た が って 00  −h 0
右 側 で グラ フはf(p)よ

り低 くな る こ とを示 して い る.f(x)はx=pで

(分母 が正 に 注意) (分母 が 負 に注 意)

り高 くな っ てお り,pの

左側 で グ ラフはf(p)よ

増 加 の状態 に あ る.

極 大 ・極 小 と 導 関 数 の 符 号 の 変 化

  関 数y=f(x)が,x=pで 常に

極 大 値 を と る と は,十 分 小 さ い 正 数hを

と っ た と き,

f(p−h)
f(p)>f(p+h)

が 成 り立 つ こ とで あ る.   関 数y=f(x)が,x=pで は,十

極小値を とると

分 小 さ い 正 数hを

と っ た と き,常

に

f(p−h)>f(p),f(p)
図42

  グ ラ フ との 関 係:x=pで

極 大 値 を と る と は,y=f(x)の

の 頂 き に な っ て い る こ と で あ り,x=pで

グ ラ フ がx=pで

極 小 値 を と る と は,グ

峠

ラ フが そ こで谷

底 の 形 を と る こ とで あ る.

y=f(x)が,x=pで,極

大 値,ま

た は 極 小値 を と るな らば

f′(p)=0 で あ る.

 こ の こ と は,図43を と,グ

ラ フ上 にPに

を と っ て み る と,直 PRの

見 る と わ か る.た 近 く左 に 点Q,右 線PQの

傾 き は 負,RがPに

近 づ く と き,こ の 値 は,正

と え ば,f(x)がx=pで

極 大値 を とる

に 点R

傾 き は 正,直

線

近 づ き,QがPに

の 極 限 と し て の 傾 き,f′(p)

と 負 の 境 の値0と

な らな くて は な

ら な い.   関 数y=f(x)のx=pの る た め,pの

近 くの模 様 を 調 べ

近 くで の 導 関 数 の 符 号 を 調 べ た

図43

と ころ

pの 左 側 で は  f′(x)>0 (Ⅰ) 

pの 右 側 で は  f′(x)<0 と な っ て い た とす る.こ

の と きf(x)はx=pで

  また

pの 左側 で は  ′'(x)<0 (Ⅱ) 

pの 右 側 で は  f′(x)>0

極 大 値 を と る.

と な っ て い た とす る.こ   この こ と は,ほ

の と きf(x)はx=pで

極 小 値 を と る.

と ん ど 明 らか で あ ろ う.

  (Ⅰ)と(Ⅱ)の

状 況 を 示 す の に,

(Ⅰ) 

(Ⅱ)

の よ うに 表 示 す る こ とが 多 い.

3次 関 数 の グ ラ フ   これ ら の こ と を 用 い て,3次

関 数 が 与 え ら れ た と き,グ

ラ フ の お お よそ の 形 を

か く こ とが で き る.   【例1】   y=2x3−9x2+12x−4の

グ ラ フ を か け.

  解y′=6x2−18x+12=6(x2−3x+2)=6(x−1)(x−2)   し た が ってx,y′,yの

関 係 は 右 の よ うに

な る.x=1の

と き,y=1;x=2の

y=0;x=0の

と きy=−4に

グ ラ フ は 図44の

と き, 注 意 す る と,

よ う に な る.

図44

図45

【例2】

  y=x3−x2+2x+1の

グ ラ フ を か け.

解  y′=3x2−2x+2

  2次 式3x2−2x+2の y′>0で,yは

判 別 式 は22−4×3×2=−20<0で

単 調 増 加 で あ る.x=−1,0,1の

あ る.し

た が っ て

と きyの 値 は −3,1,3で

あ る.

これ ら の こ とに 注 意 し て グ ラ フを か く と,図45の よ う に な る.  注 意  第6講,問1を

み る と,い ま の場 合x=1/3の と こ

ろ に あ る グ ラ フ 上 の 点P(1/3,43/27)を

中心 に し て,グ

フ は 点 対 称 に な っ て い る こ とが わ か る.こ で,グ

ラ フ の彎 曲 は,上

の 点Pの

に 凸 か ら下 に 凸 へ と,微

ラ

ところ 妙 に変 わ

っ て い る.   【例3】

  y=−x3−3x2+9x+5の

  解  y=f(x)と

グ ラ フ を か け.

お く.

 し た が っ て

図46

f(−3)=−22,f(0)=5 f(1)=10

  し た が っ て グ ラ フ は 図46の

よ うに な る(y座

標 は,x座

標 に比 べ,座

標 間の

目 盛 りを 少 し短 く し て あ る).

Tea

Time

3次 関 数y=f(x)と,f′(x)の

判別式

 3次 関数 y=ax3+bx2+cx+d を 微 分 す る と,導

関 数 と し て2次

式 3ax2+2bx+c

が得 られ る.こ

の 判 別 式D=4b2−4×3ac=4(b2−3ac)の

符 号 に よ っ て,y′ が 正

負 の 値 を と る か,一 反 映 す る.こ

定 の 符 号 を もつ か が 決 ま り,そ の こ と がyの

>0

D

<0

y′

正 の値 も負 の値 も とる

常 に 正か(a>0),常

y

極 大 値,極 小 値 を もつ

単調増加か単調減少

例  

D=0の

グラ フの様 子 に

の 関 係 は 次 の よ うで あ る.

例1,3

に 負(a<0)

例2

と き,3ax2+2bx+c=0は

重 解 α を も ち3ax2+2bx+c=3a(x−

な る.し

た が っ て,た

と え ばa>0の

ｙ′ の 符 号 変 化 は な く,yは

単 調 に 増 加 す る.た

の と き に グ ラ フ の 接 線 の 傾 き は0と も典 型 的 な 例 はy=x3で

α)2と

と き に,y′ ≧0で, だx=α

な る.こ の 場 合 の 最

あ る(第7講,Tea

Time質

問

の 項 参 照).

質 問  この講 義 の最 初 で述 べ られ た,'x=pに

お い て増 加 の状 態 に あ る'と い う

定 義に少 し疑 問 を感 じま した.こ の定義 で は,図47の

よ うな場 合 に もx=pに

お

い て増 加 の状態 とな り,こ れ で は増 加 し て い く感 じを十 分 示 してい な い よ うに 思 い ます. 答  その 通 りで あ る.増 加 の状 態 と よぶ 以 上,実 際 は グ ラ フが 本 当 に上 って い く よ うな状 況 を表わ した い の で あ る.し か しそ のた め には,pを1つ

とって定 義 し

た ので は不 十 分 で あ る.あ る区 間 のす べ て のxで

図47

増 加 の 状 態 に あ る と き,そ の 区 間 で 増 加 の 状 態 に あ る とい う定 義 に は じ

め か ら し て お い た 方 が よ い.だ に は,図47の

が,い

ま の よ うに,主

よ うな こ とは 起 き な い の で,x=pに

わ ば 中 間 的 な 定 義 か ら 出 発 し た の で あ る.

に3次

関 数 を 取 り扱 う場 合

お け る 増 加 の 状 態 とい う,い

第9講 多項式関数の微分 テ

ー マ

◆n次

の 多 項 式関 数

◆ 関 数 の積 を 微 分 す る公式 ◆y=xnの

導関 数

◆ 多項 式 の微 分 ◆y=xnの

グ ラフ

n次 の 多項 式 関 数   ｘ とyと

の 関 係 が,x4,x3,x2,xを

用 い て 表 わ され る 式

y=ax4+bx3+cx2+dx+e(a≠0) で 与 え ら れ る と き,yはxの4次   同 様 に し て,5次

関 数,6次

関 数 とい う. 関 数 な どを 定 義 す る こ とが で き る.一

般に

a0xn+a1xn−1+…+an(a0≠0) と い う式 をn次

の 多 項 式 とい う.こ

こ でxを

変 数 とみ て,こ

の 式 の 値 をyと

おい

て, y=a0xn+a1xn−1+…+an(a0≠0) を,xの

関 数 と 考 え た と き,yをxのn次

公

の 多 項 式 関 数 と い う.

式

  n次 の 多 項 式 関 数 の 導 関 数 を 求 め る た め に は,第7講 か に,さ

ら に,2つ

で述 べ た微 分 の公 式 のほ

の 関 数 の 積 を 微 分 す る 公 式 が 入 用 と な る.

(Ⅲ)  F(x)=f(x)g(x)の

とき

F′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)

この 公式 は簡 単 に

と 表 わ さ れ る こ とが 多 い.   公 式(Ⅲ)の 証 明の大 体 を 与 え て お こ う:

こ こ で 第1項

の 中 に あ るg(x+h)は,h→0の

と き,g(x)に

近 づ く こ とに 注 意 し よ う.し

た が って上 式 は

と な る.こ

れ で 証 明 さ れ た.

y=xnの   公 式(Ⅲ)を

用 い る と,す

導 関数

で に 知 っ て い る 結 果(x2)′=2x,(x3)′=3x2は,

(x)′=1と

い う結 果 か ら,実

は 直 ち に 導 く こ と が で き る.

 実 際,公

式(Ⅲ)でf(x)=g(x)=xと

お くと

ま た 公 式(Ⅲ)で,f(x)=x2,g(x)=xと

お き,い

ま 得 ら れ た 結 果(x2)′=2x

を す ぐに 使 っ て み る と

  以 前,こ

の 結 果 を 第5講,第6講

と に 簡 明 で あ る.こ

れ は 公 式(Ⅲ)の

 同 じ よ う に し て,x4,x5の

x4をx4=x2・x2と

で 求 め た と き に 比べ る と,こ

の導 き方 は ま こ

有 効 性 を 示 し て い る.

導 関 数 を 順 次 求 め て い くこ と が で き る.

考 え て 公 式(Ⅲ)を

使 っ て も,同じ

結 果 が 出 る だ ろ うか とち ょっ と考え

てみ る人 が い るか もしれ な い.念 のた め 計算 して み る と

  これ らの 結果 を 見 る と,誰

で も,xnの

導 関 数 につ い て 次 の公式 を予 想 す るだ

ろ う. (xn)′=nxn−1

  こ の 公 式 の 証 明:  知 っ て い る.い

こ の 公 式 がn=1,2,3,4,5で

成 り立 つ こ とは,す

ま こ の 公 式 が さ ら にn=6,7,…,k−1ま

でに 上で

で 成 り立 っ た と し よ う.

そ の とき

と な り,上

の 公 式 はn=kで

が 成 り立 つ よ うなnの

も成 り立 つ こ と が わ か る.こ

値kは,1か

ら 出 発 し て,途

で も 続 い て い く こ とが わ か る.し 成 り立 つ こ とが 証 明 さ れ た(数

た が っ て,上

の こ とか ら,上

の公 式

中 で 止 ま る こ と な く,ど

の 公 式 は す べ て のn=1,2,3,…

こま で

学 的 帰 納 法 の 考 え 方 に よ る 証 明 法).

多 項 式 関 数 の 微 分

  (xn)′=nxn−1が は,す

わ か る と,与え

られ た多 項 式 を 微分 して導 関 数 を 求 め る こ と

ぐに で き る よ う に な る.

 【例1】

 【例2】

  一 般 にy=a0xn+a1xn−1+a2xn−2+…+a

n−1x+anの

とき

y′=na0xn−1+(n−1)a1xn−2+(n−2)a2xn−3+…+an−1   特 に,n次

の 多 項 式 を 微 分 す る と,(n−1)次

の 多 項 式 と な る こ とが わ か る.

多 項 式 関 数 の グ ラ フ

  与 え ら れ た 多 項 式 関 数 の グ ラ フ の 概 形 を か く こ とは,多 な る と,特 殊 な も の は 別 と し て,一 い こ とに な る.こ

こ で は,ご

項 式 の 次数 が 少 し高 く

般 的 に は 非 常 に 難 し く,ほ

と ん ど不 可 能 に 近

く基 本 的 な こ と だ け 述 べ て お こ う.

  多 項 式 関 数 の 中 で最 も基本 的 な もの は y=xn,n=1,2,3,… で あ る.こ は,た

の グ ラ フ は,す

とえ ばy=3x2の

い う よ うに,次

べ て 原 点 と 点P(1,1)を

通 る.y′=nxn−1と

様 子 が わ か る と,y=x3の

数 の1つ

い う公 式

グ ラ フの 傾 く様 子 が わ か る と

低 い グ ラ フy=nxn−1が

か け る と,y=xnの

線 の 傾 き の 様 子 が か な り正 確 に わ か る こ と を 意 味 し て い る.し

グ ラ フの 接

か し こ こで の説 明

は そ こ ま で 立 ち 入 ら な い.  (Ⅰ)  nが 偶 数 の と き:    こ の と きy=xn=(xm)2≧0よ

n=2m り,グ

ラ フ は 原 点 以 外,x軸

た,(−x)2m=(−1)2mx2m=x2mよ

り,グ

  0<x<1で

だ か ら,y=x2の

はx2>x4>x6>…

フ が 下 方 を 走 り,そ

の 下 をx6の

ラ フ はy軸

よ り上 に あ る.ま

に 関 し て 対 称. グ ラ フ よ り,y=x4の

グ ラ フ が 走 り,以

下,次

グラ

か ら 次 へ と下 方 を 走 っ

て い く よ う に な る.   x>1で

は,x2<x4<x6<…

だ か ら,今

度 は グ ラ フ の上 下 の 関 係 が 逆 転 す る

(図48).   (Ⅱ)  nが 奇 数 の と き: 

n=2m+1

  こ の と きy=x2m+1=(xm)2・xで(xm)2≧0だ 致 し,x<0な

らばy<0,x>0な

単 調 増 加.ま

た 点(x,y)が

正 負 はxの

ら ばy>0.y′=nxn−1=nx2m≧0だ グ ラ フ上 に あ れば,(−x,−y)も

ら,  る.x>0の

か ら,yの

正負 と一 か らyは

グ ラフ上 に あ るか

グ ラ フは原 点 に関 し点対 称 で あ と き,x,x3,x5,x7,…

で あ る(図49).

の グ ラ フ の 上 下 関 係 は,x2,x4,x6,…

と 同様

図48

図49

 も う少 し 一 般 の 場 合 に つ い て は,Tea 問1 

Time参

照.

次 の 関 数 を 微 分 せ よ.

1)  y=−7x5+x3+2x−6 2) y=x100−8x50+x2 問2 

1)  3つ の 関 数f,g,hの

積 の微 分 は

(fgh)′=f′gh+fg′h+fgh′ で 与 え られ る こ と を 示 せ. 2) n個

の 関 数f1,f2,f3,…,fnの

積 の微 分 は

(f1f2f3…fn)′=f1′f2f3…fn+f1f2′f3…fn+f1f2f3′

…fn+…+f1f2f3…fn′

で 与 え ら れ る こ と を 示 せ. 3)  2)で

特 にf1=f2=f3=…=fn=xと

お く と(xn)′=nxn−1が

を 示 せ.

Tea

Time

n次 の 多項 式 関数 の グ ラフ の概 形   n次 の多 項式 関 数 の中 で,xnの

係数 が1で あ る関数

導 かれ る こ と

1)

y=xn+a1xn−1+a2xn−2+…+an

を 考 え る こ とに す る.こ

の 関数 を

2) とか き 直 し て み る.xの 上,右

絶 対 値 が どん ど ん 大 き く な る と(す

に 小 さ な 数 とな っ て い く.た 1/x ａ1,a2,…,anは (2)式

な わ ちxが

ま た は 左 へ ど ん ど ん 進 ん で い く と),1/x,1/x2,…,1/xnは1に比べ とえ ばx=100の

の 右 辺 の 括 弧 の 中 で,2項

大 体y=xnの か 奇 数 か で,ま

た が っ て,xの

の こ とは,xの

絶 対 値 が 大 き くな る と,

目以 下 か ら の 影 響 を ほ と ん ど 無 視 で き る こ と を 絶 対 値 が 十 分 大 き い 所 で は,(1)式

グ ラ フ の 形 に 近 くな る.し

た が っ て(1)式

の グ ラ フ は,

の グ ラ フ は,nが

偶数

っ た く違 っ た 形 とな る.

  一 方,y′ はn−1次 れ て い る.し

とき

=0.01,1/x2=0.0001,1/x3=0.000001,…

決 ま った 定 数 だ か ら,こ

意 味 し て い る.し

数直 線 て急 速

式 で,y′=0と

た が っ てyが

こ の こ と か ら(1)式

な るxは,高

々n−1個

極 大 値 か 極 小 値 を と る 場 所 は,高

の グ ラ フ の 概 形 は,図50の

的 に 多 項 式 が 与 え られ た と き,こ

し か な い こ とが 知 ら 々n−1個

の グ ラ フ が 波 打 つ 正 確 な 状 況 は,一

し に くい の で あ る.

偶数次の多項式のグラフ

しか な い.

よ うに な る こ とが わ か る.具

奇数次の多項式のグラフ

(最高 次の係 数1) 図50

体

般 に は把 握

質 問   異 な る2点

を 通 る直 線 は た だ1本 のxの

で す.こ

の こ と は グ ラ フで い え ば,1次

関 数 は,異

な る2つ

と で す.以

前 ど こ か で 聞 い た こ とが あ る の で す が,同

わ さ れ る 関 数 は,相

値α1,α2で と る値 が 決 ま れ ば,完

異 な るn+1個

完 全 に 決 ま る そ うで す.こ

のxの

相 異 な る β1,β2,…,βnで0と f(x)=a(x−

多 項 式P(x),Q(x)を

…,αnに 適 用 し て み る.そ

余 定 理 に よれ ば,高

と り,こ

々n次

の多項

なれ ば

ま α1,α2,…,αn+1の

も し れ な い) と き値 が 一 致 す る2つ

の こ と をf(x)=P(x)−Q(x)と

α1,α2,

の とき

P(x)−Q(x)=a(x−α1)(x−α2)…(x− と な る.仮

の多項 式 で 表

値 α1,α2,…,αn+1で と る値 が 決 ま れ ば,

β1)(x− β2)…(x− βn)(aは0か

と 表 わ さ れ る こ と が 知 られ て い る.い のn次

じ よ うにn次

れ は ど うい う こ とで し ょ うか.

答   これ は 剰 余 定 理 とい う も の か らわ か る.剰 式f(x)が

全 に決 ま る とい うこ

αn)

定か ら 0=P(αn+1)−Q(αn+1)=a(αn+1−α1)(αn+1−α2)…(αn+1−

α1,α2,…,αn+1は 相 異 な る か ら,こ

の こ と が 成 り立 つ の はa=0の

αn) と き,す

なわ ち

P(x)≡Q(x) の と き に 限 る.す て のxで

な わ ち,相

異 な るn+1個

の 値 で 同 じ値 を と るPとQは,すべ

完 全 に 一 致 して し ま う.こ れ で 質 問 に 答 え た こ とに な る.

第10講 有理関数 と簡単 な無理関数の微分 テーマ

◆ 有理関数 ◆ 関数 の商を微分す る公式 ◆ 有理関数 の微分 ◆y=

有理 関数  2つ の 多項 式 の商 として表 わ され る

の よ うな 関数 を 有理 関 数 とい う(多 項 式 は,分 母 が 定数 関数1で あ る よ うな 有理 関 数 の特 別 な場 合 であ る と考 え る).   有理 関 数 の一 般的 な 形 は次 の よ うに表わ され る.

な お,定 数 関数 も有理 関 数 と考 え る. 公  有 理 関 数 の導 関数 を 求め るた め に,2つ

式 の関 数 の商 として表 わ され る関数 の導

関 数 を求 め る,一 般 的 な 微分 の 公 式 を示 して お く.

(Ⅳ)

(Ⅴ)

これ らの公 式 は,簡 単 に

と表 わ さ れ る こ と が 多 い.   公 式(Ⅳ),(Ⅴ)は,第9講 (Ⅳ)の

証 明:恒

で 述 べ た 積 の 微 分 の 公 式(Ⅲ)か

ら導 か れ る.

等式

の 両 辺を 微分 す る.こ の とき右辺 には公 式(Ⅲ)を

適用 す る.

移項 して

両 辺 をg(x)で

割 って

これ で(Ⅳ)が

示 され た.

  (Ⅴ)の

証 明:(Ⅳ)の

これ で(Ⅴ)が

結果 を用 い て略 記 してか くと

示 され た.

有理関 数の微分  多項 式 の微 分 は知 ってい るか ら,公 式(Ⅴ)を

用 い る と任意 の 有理 関 数 を微 分

して 導 関数 を求 め る ことは,簡 単 に で き る よ うに な る.

  【例1】

 【例2】

 この例 か ら もわ か る よ うに 有 理 関 数 の導 関数 は有 理 関数 で あ る.

簡単な無理関数の微分  無 理 関数y= 

を微 分 す る ことを 考 え よ う. 

はx≧0の

ところで 定義

され て いて

で あ る.積 の微 分 公式(Ⅲ)を

用 い てx= 

の 両辺 を 微 分す る と

した が って

が 得 られ た.   この結 果 を グ ラ フの上 か ら説 明す る こ とを 試 み てみ よ う.ま ず  ら

の定 義か

が 成 り立 つ こ と に 注 意 し よ う.し

た が っ てy=

の グ ラ フ は,x座

標

とy座

標を 入 れ 換 えた 形

で,放

物 線x=y2の

分 をx軸

上半

の上 に か くとよ

い.   図51で

は,y= 

の

グ ラ フ と,y=x2の

図51 グラ

フ の 片 方 の 半 分 だ け か い て あ る.こ 対 称 の 位 置 に あ る.点Pに た め,lに

あ る(Qの

座 標 は(y,y2)に

な る.し

い う直 線lに

関し

お の傾

注 意).

ら わ か る よ うに,点Pに

け る 接 線 の 傾 き は1/2yと

の グ ラ フ は,y=xと

の 接 線 の 傾 きを 知 りた い の だ が,そ

接 線 の 傾 き に 注 目 す る.こ

こ の と き 図52か

y= 

お け るy= 

関 し て 対 称 な 位 置 に あ る 点Qに

け るy=x2の き は2yで

の2つ

お

た が って

に 注意 す る と

  点Pに お け る接 線 の傾 き=  とな り,こ れ は前 に 求 めた 結 果 と一 致 して い

Lの 傾 きb/ a

る.

L′傾 きa/b 互い に逆 数 の関 係 に あ る

  同 じよ うな考 えで

図52

の 導 関 数 を 求 め る こ と もで き る.こ の と きは

の 両 辺 を 微 分 す る(第9講,問21)参

とい う結 果 が得 られ,

照).そ

うす る と

の

と な る こ と が わ か っ た.こ

の 右 辺 は,指

数 を使 って

とかい て お い た方 が 簡 明 で あ る.   この結 果 を,前

と同 様 にy=x3の

グ ラ フの接 線 と見比 べ て 導 くこ とは,読 者 に

任 せ よ う.

問1  次 の 関数 を 微 分 せ よ.

1) 2) 3) 問2  次 の 関 数 の グラ フを かけ.

Tea

Time

有 理 関数 の グ ラ フ

 有理関数

の グ ラ フ に つ い て 少 し 述 べ て お こ う.一 し分 子 が そ こ で 同 時 に0に ば(す

な わ ち,分

近 づ く と き,分 な り,￨y￨の

で0に

な らな けれ

母 と分子 に共 通 因数

(x− β)が な け れ ば),グ の 近 くで 図53の

般 に 分 母 がx=β

ラ フ はx=β

よ うに な る.xが

βに

母 はい くらで も小 さ く

値 は 限 りな く大 き くな る.

図53

な る と き,も

正 ま た は負 の方 向に 限 りな く大 き くな る状 況 を∞ で 表わ せば,こ の状 態 は  =∞ と表 わ され る.こ の よ うな場 所 は,分 母 が0と な る場 所 だか ら,高 々分母 の 次数m個

しか な い.

  また

か ら,y′ の 分 子 は 高 々m+n−1次 調 べ られ る が,分 の 分 子 が0と

母 ≧0だ か ら,分

増 減 の 様 子 は,y′ の 符 号 か ら

子 の 符 号 の 変 化 す る 状 況 を 調 べ る と よ い.y′

な る 所 は 高々m+n−1個

変 わ る場 所 も 高 々m+n−1個 高m+n−1だ

式 で あ る.yの

の 点 だ か ら,y′ の 符 号 が+0−,−0+と

で あ る.し

た が っ てyの

グ ラ フ が 波打 つ場 所 も高

け で あ る. 

｜x￨が 大き くな る と き(こ

の 状 況 をx→∞

ⅰ )  m>nな

ら ば,x→∞

の と き,y→0.

ⅱ)  m=nな

ら ば,x→∞

の と き,y→1.

ⅲ )  m
ら ば,x→∞

子 に 近 づ い て く る.し

の と き,グ

た が っ てn−mが

と か く)の 模 様 は,

ラ フは し だ い にy=xn−mの 偶 数 か,奇

グラ フの様

数 か で 形 が 大 き く違 う.

図54  ⅰ),ⅱ)を xmで

見 る に は 分 母,分

割 っ て,x→

∞ の と き の,大

子 をxnで

割 り,ⅲ)を

見 る に は,分

き さ の 度 合 を 見 る と よ い(第9講,Tea

母,分

子を Time

参 照).

質 問  有 理 関 数 の グ ラ フにつ い て,上 の 説 明 を 聞 いて 思 った の です が,有 理 関数 の グ ラフが 波 打 つ場 所 は 有 限 個 で す か ら,ど こまで も波打 つ よ うな 図55の

よ

うな グラ フは,有 理 関 数 で は絶 対 表 わせ

図55

な い ので し ょ うか. 答   そ の 通 りで あ る.自 然 現 象 の 観測 な どか ら現 わ れ る関数 の 中 で,有 理 関数 で 表 わ され る よ うな もの は,ご

く特 別 な もの に 限 られ る.こ れ か らは,有 理 関数 で

は表 わ せ な い 関数 の 中 で,最 も基 本的 な,三 角 関数,指 数 関 数,対 数 関 数 な どに つ い て,微 分 の性 質 を調 べ て い きた い.

第11講 三

角

関

数

テー マ ◆

角 度 の 測 り方:弧

◆

角 の正 負

◆cosθ,sinθ

度(角

と 円 弧 と の 関 係)

の定義

◆y=cosθ,y=sinθ,y=tanθ

のグラフ

◆

角 度 の 単 位―弧度―   角 の 単 位 と し て は,ふ を と る が,考 い で,90°

え て み る と,直

三 角 形 の 頂 角 を60°,直

法 の 名 残 りで あ ろ う.こ の 目 標 と し て,こ

角 を90° とす る'度'

角 の よ うな き ち っ と した 角 を,角

の よ う な 中 途 半 端 な 数 を も っ て きた の は,妙

代 の60進 そ の1つ

つ うは,正

こで は 改 め て,角

度 の1単

な こ と で あ る.こ

位 と しな れ は古

の 単 位 を 新 し く導 入 した い.

の新 しい単 位で は

 (A)90°,180°,270°,360°,720°

な どが,あ

る単 位 の 基 準 と な っ て い る こ

と が 明 確 に な る.  (B)角  (B)の

の 単 位 が,円 要 請 は,角

の 中 に,円

に も関 係 す る よ うに し た い.

は 主 に 三 角 形 とか 多 角 形 に 関 係 す る の だ が,角

も 取 り込 ん で お く こ と に よ り,角

の単 位 の導 入

の 考 え の 適 用 範 囲 を さ ら に 円 に まで

広 げ て お きた い か ら で あ る.   こ の(A),(B)の 義 さ れ る.座

要 請 を 満 た す も の と し て弧 度 が あ る.弧

標 平 面 上 に,原 点 中 心,半 径1の

軸 の 正 の 部 分 と,点P(1,0)で

交 わ る.原

とす る.lとCと

す る.半

と は,点Pか

の 交 点 をQと ら点Qま

円Cを

度 は 次 の よ うに 定

描 い て お く.こ

点 を 起 点 とす る 半 直線lが

直 線lがx軸

の 円Cはx 与え ら れ た

の正 の向 き となす角 の弧度

で,時 計 と 逆 向 き の 方 向 に 回 っ た と き の 円 周Cの

長 さ であ

図57

図56 る と定 義 す る.   半 径1の

円 の 全 円 周 の 長 さ は2π で あ る.し

た が っ て 角 度 と弧 度 と の 対 応 は 次

の よ うに な る. 角 度(°)

弧度 π は 円 周 率3.1415…

を 表 わ し て い るが,π

180° が 弧 度 で は'1

unit'に

を1つ

の 記 号 の よ うに 見 て し ま え ば,

な っ て い る こ と が わ か る.そ

の 意 味 で,(A)の

要

請 は ひ と まず 満 た され た と 考 え る.   (B)に

つ い て は,弧

度 を 用 い る と,半

で 表 わ され る こ と が わ か る.こ   ま た,図59で,中 の2倍

が,中

か ら1辺

れ は 図58と

心 角 θ,半 径1の

心 角2θ の 図 形OPRの

が 円 弧 

と が 推 論 さ れ る(こ

図58

径rの

円 の 中 心 角 θの 円 弧 の 長 さ がrθ

相 似 の 考 え か ら 明 ら か で あ ろ う.

円 弧 に よ っ て つ く ら れ る 図 形OPQの

面 積 と な る こ と は 明 ら か で あ る.こ

で あ る よ うな 三 角 形OPQの

面 積 は,中

面積 の こ と

心 角 θに 比 例 す る こ

こで は 面 積 と は 何 か と い う議 論 に は 触 れ な い こ と に す る).

図59

した が って   半 径1の

円 の 面 積:2π(コ ド)=OPQの

と い う関 係 が 成 り立 つ.半 三 角 形'OPQの

径1の

面 積:θ(コド)

円 の 面 積 は も ち ろ ん πだ か ら,こ れ か ら'円

面 積 が 求 め られ る.す

弧

なわ ち

OPQの

面積=1/2θ

が得 られ た.   この よ うに して弧 度 を用 い る ことに よ って,円 弧 の長 さや,円 弧 三 角形 の面積 が 角 の 弧 度に よ って表わ され る ことに な った ので あ る.   以 後,角 の単 位 はす べ て弧 度 を 用 い る こ とに し,こ の こ とにつ い て は特 に 断 ら な い.な お,弧 度 は ラジア ンと もい う. 角 の 向 き   x軸 の正 の 向 きか ら 出発 して,原 点 を通 る半 直線 が 時計 の針 と逆 方 向に 回 る と き,こ の半 直線 の 決 め る角 は正 と し,時 計 の針 と同方 向 に 回 る ときは角 は 負 とす る.   x軸 の 正 の 向 き か ら 出 発 し て 正 の 向 き に 回 り出 し た 半 直 線 が1周

し た と き,こ

で あ り,2周

し た と き は4π,3周

と な る.ま

の 半 直 線 の 決 め る 角 は2π し た と き は6π,…

た 負 の 向 き に 回 り始 め た と きは,1周

と き−2π,2周

し た と き−4π,3周

… とな る.こ の よ うに して,角 よ っ て 決 ま る と考 え,半 と に よ っ て,角

した

した と き は−6π,

は 原 点 を通 る半直 線 に

直 線 が 正 ま た は 負 の 向 き に 何 回,回

度 の 範 囲 が,単

に0と2π

図60 転 す る か も考 え る こ

の 間 だ け で な く,実

数 全 体 へ と広 が っ

て い く.

cosθ,sinθ

  座 標 平 面 上 で,原

点 中 心,半

径1の

の 定 義

円 を 単 位 円 と い う.x軸

の 正 の 向 きか ら 出

発 し て,正 す る.こ

の 向 き に 角 θだ け 回 っ た 半 直 線lが,単

位 円 と交 わ る点 をP(x,y)と

のとき

cosθ=x, 

と定 義 す る(図61参

sinθ=y

照).

 定 義 か ら直 ち に cos(θ+2nπ)=cosθ, 

sin(θ+2nπ)=sinθ

(n=0,±1,±2,…)が

出 る(半

の ま わ りを 回 っ て も,点Pに

直 線が 何 回原 点

戻 りさ え す れ ば,

cｏs,sinの

値 は 等 し い!!).

  (x,y)が

単 位 円 周 上 に あ れ ば,こ

図61 の点 を さ らに π

だ け 回 し た 点 は,や

は り単 位 円 周 上 に あ っ て そ の 座

標 は(−x,−y)で

あ る(原

点 に関 し対 称 な所 にあ

る 点).   こ の こ とか ら 図62

cos(θ+π)=−cosθ, 

sin(θ+π)=−sinθ

が 成 り立 つ こ と が わ か る.   0と

π の 間 で,い

 ま た 図61を

くつ か の θ でcosθ,sinθ

見 て,ピ

の と る値 は 次 の よ うで あ る.

タ ゴ ラ ス の 定 理 を使 う と

cos2θ+sin2θ=1

が 成 り 立 つ こ と も わ か る.

  y=cosθ,y=sinθ

y=cosθ,y=sinθ

のグ

の グ ラ フ は,図63の

ラ フ

よ う に な る.

図63

y=tanθ  cosθ,sinθ

を 用 い て,tanθ

と定義 す る.0<θ<π/2の 図64でBQの   y=tanθ

の 定 義 と グ ラ フ を

と き,tanθ

は,sinθ:cosθ=tanθ:1に注意

長 さ と な っ て い る こ とが わ か る(△OAP∽ の グ ラ フ は 図65の

よ うに な る.

y=tanθ

図64

△OBQに

図65

の グ ラフ

す る と, 注 意!).

sinθ と θの1つ

の関係

 角 度 の単 位 として弧 度 を 用 いた こ とに よ り得 られ る最 も顕 著 な 結果 は,次 の事 実 で あ る.

(1)

  証 明:  ま ず(1)式

θが 正 の 方 か ら0に

近 づ く と き に,

を 示 し て お こ う.図66で,明

らか

に  

△OAPの

が 成 り立 つ.し

面 積
面 積
面積

たが って

1/ 2sinθ・cosθ<1/2θ<1/2tanθ 辺 々 を1/2sinθ

図66

で割 る と

逆 数 を とって

θ→0の

と き,cosθ

て ま た1/cosθ→1と

の グ ラ フか ら も 明 ら か な よ うに,cosθ な る.ゆえに,真

中 に 挾 ま れ たsinθ/θ も1に

  θが 負 の 方 か ら0に 近 づ く と き は,θ=− く.こ

たが っ

近 づ く.

θと お く とθ は 正 の 方 か ら0に

近づ

の とき

が 成 り立 つ か ら(問1参 が っ て ま た 右 辺 も1に

問1 

→1と な り,し

照),い

ま 証 明 し た こ とか ら θ→0の

近 づ く こ と が わ か る.こ れ で(1)式

cos(− θ)=cosθ,  sin(− θ)=−sinθ

を 示 せ.

と き,左

辺 が,し

が 証 明 され た.

た

を 示 せ.

問2  問3 

1)  y=3sinθ

の グ ラ フ を か け.

2)  y=cos2θ

の グ ラ フ を か け.

Tea

Time

最初 に出 会 った 三 角 関数   最 初 に三 角 関数 を 習 った と きは,こ こで定 義 した よ うな もの で はな く,直 角 三 角 形ABCを

図67の

よ うに書 い て,θ が 鋭 角 の とき

で 定 義 し た と思 う.こ る が,そ

の た め,θ

の 定義 は三 角 形 に密 着 して い

が 鈍 角 とな っ た り,θ

大 き な 角 に な る と,こ

がも っと

の ま ま の 形 で は,自

然 に定 義 図67

す る こ とが 難 し くな る.   相 似 三 角 形 の 考 え を 使え ば,こ あ る こ と が わ か る.そ

の 定 義 は,AC=1の

れ に 気 が つ い て,Aを

ろ い ろ の 角 度 に 回 し,Cのxy座

標 を,そ

ときに 与 え て お け ば十 分 で

と め て,ACをAを

れ ぞ れAB,BCの

こ こ で 与 え たcos,sinの

定 義 と な る.こ

三 角 形 で は な くて,む

し ろ 単 位 円 で あ る.そ

の 新 し い 定 義 で は,主

関 数 とい っ た 方 が よ い か も し れ な い.

質 問   sin0=0で

すか ら

は,y=sinθ

役 を 演ず るの は

の 意 味 で は,cos,sinは,三

と い う よ りは,円

とか い て も よいわ け で,そ

中 心 に し て,い 長 さ の 代 りに と る と,

角関数

うす る と講 義 の中 で の公 式

の グ ラ フの θ=0に

お け る 微 係 数 が1で

あ る とい うこ とを 示 し て い

る公 式 で し ょ うか. 答

ま った くそ の通 りで あ る.θ=0の

の加 法 定 理 とい うも のを 用 い て,こ て,い

と きの微 係 数 の 模様 が わ か る と,三 角 関数 の θ=0で の状 況を 任 意 の θの 場 所 まで 移 し

い表 わ す こ とが で き る.こ の と き,も ち ろ ん公 式(1)の

形 は変 わ るが,

そ れ が 実 は,sinθ の導 関 数 を与 え る式 とな る.こ れ は 次 の講 の主題 で あ る.

第12講 三 角関数の微分 テーマ ◆sin,cosの

加 法定 理

◆(sinx)′=cosx,(cosx)′=−sinx ◆(tanx)′=1/cos2x ◆sinx,cosxの

導 関 数 と高階 導 関 数

加 法 定 理  三 角 関 数 の加 法定 理 とは,通 常 次 の4つ の公 式 を 指す. (1) 

sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα

(2) 

sin(α−

(3) 

cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ

(4) 

cos(α−

 こ の 加 法 定 理 の 証 明 は,Tea 

β)=sinαcosβ−sinβcosα

β)=cosαcosβ+sinαsinβ

Timeの

と き に 与 え る.(1)式

と(2)式

で

α=x+h/2,β=h/2 と お くと,α+β=x+h,α−

β=xだ

か ら,(1)式

か ら(2)式

を 引 くと

(5) と な る((1)式 (3)式

と(4)式

く と,今

と(2)式 で,α,β

の 右 辺 の 第1項

は,互

い に 消 し 合 う こ と に 注 意 せ よ).

を 同 じ よ うに お き 換 え て か ら(3)式

か ら(4)式

度は

(6) が 得 ら れ る.

を引

sinx,

  (5)式,(6)式

と,第11講

cosxの

の 公 式(1)を

関 数 を す ぐに 求 め る こ とが で き る.実

こ こでh=h/2と

わ か る(読

導

の 公 式 が 成 り立 つ.

(cosx)′=−sinx

を 用 い る.

お く と,h→0の

し た が っ て 上 式 はcosxと   (6)式

用 い る と,y=sinx,y=cosxの

際,次

(sinx)′=cosx,

  【証 明 】  (5)式

微 分

を 用 い て,同

と きh→0で

な り,こ れ で(sinx)′=cosxが

示 さ れ た.

様 の 推 論 を 行 な う と(cosx)′=−sinxが

成 り立 つ こ と が

者 は 証 明 を 試 み られ る と よ い).

こ の 証明で,x=0で

のsinxの

ど の よ うに 任 意 の 点xで

挙 動 

のsinx,cosxの

が 加 法 定 理 に よ っ て, 挙 動 へ と 運 ば れ た か を よ く見 て ほ し

い.   こ の 結 果 は,sinxとcosxが(符

号 の 違 い を 除 け ば)互

う形 で 結 び 合 っ て い る こ と を 示 し た も の で,三

い に他 の 導関 数 とい

角 関 数 と 微 分 の 驚 くべ き整 合 性 を

示 し て い る と い え る.   sinxの

導 関 数 がcosxで

あ る こ とを 知 っ て,改

め て 第11講

のsinxとcosx

の グ ラ フを見 て み よ う.(sinx)′=cosxだか ラ フが,し cosxの

ら,0か

だ い に 緩 い 上 り坂 と な っ て い く様 子 が,こ

グ ラ フが1か

の と き,sinxは極大

値1を

と り,接線

の 傾 きcosxは0と

cosxの

符 号 は 負 とな る.逆

線 の 傾 き を 示 す−sinxの

に,cosxの

グ ラ フ はx軸

ぎて

の 下 へ と下 が っ て , の接

動 き に 反 映 し て い る.

微 分

導 関 数 は 次 の 式 で 与 え ら れ る.

 【証 明 】  第10講

の 微 分 の 公 式(Ⅴ)を

用 い る.

sinx,cosxと

  sinx,cosxの

高 階 導 関 数

微 分 の 規 則 か ら,右 下 の よ うな サ イ クル が あ る こ とが す ぐに わ

こ で 矢 印 は 微 分 す る こ と を 示 し て い る.た

えば (sinx)′=cosx ((sinx)′)′=(cosx)′=−sinx

の2階

な る.π/2を過

グ ラ フ の上 り下 りす る 様 子 が,そ

tanxの

  sinxを

の 接 線 の 傾 き を 示 すy=

と減 少 し て い く 状 況 と な っ て 反 映 し て い る.x=π/2

グ ラ フ が 下 り始 め る と き,y=cosxの

  y=tanxの

グ

ら0へ

sinxの

か る.こ

らπ/2ま で,y=sinxの

二 度 微 分 し て−sinxと の 導 関 数 は−sinxで

な る こ と を,sinx

あ る と い い, (sinx)"=−sinx

と

と 表 わ す.同

様 に,sinxの3階

の 導 関 数 は−cosxで

あ る といい

(sinx)"′=−cosx と 表 わ す.(sinx)""=sinxで   こ の よ うに,1つ こ と を,高

あ る.

の 関 数y=f(x)か

ら 出 発 し て,次

階 導 関 数 を 求 め る と い う.順

か ら 次 へ と導 関 数 を と る

次 得 ら れ て い く導 関 数 を

f′(x),f"(x),f"′(x),…,f(n)(x),… の よ うに 表 わ す.

【例 】

問1 

次 の 関 数 を 微 分 せ よ.

1)  y=2sinx・cosx+tanx

2) 問2 

x>0の

と きsinx<xを

0,x>0でF(x)が 問3 

示 せ(ヒ ン ト:F(x)=x−sinxと

お く とF(0)=

単 調 増 加 関 数 と な る こ と を 示 せ).

sinx,cosx,tanxは,有

理 関 数 と し て 表 わ さ れ な い こ と を 示せ.

Tea

Time

加法定理の証明の概略   加法 定 理 の 証 明を,最

も 自然 に行 な うの は,座 標 を 回 転 し て,新 しい座 標 をつ

くった ときの,座 標 変 換 の公 式 を用 い る こ とで あ る.   座標 を 平 行移 動 して 新 しい座 標 を つ くる こ とは,す で に第3講 で 説 明 し,こ の 座 標変 換 の公式 はす で に 何 度 も用 い て きた.こ を 角 αだ け 回転 して 新 しいXY座 と(X,Y)の

関 係―

い るが,図68を

標 を つ くった とき,点Pの2つ

座 標 変換 の 公 式―

み ると

こで は,原 点 を とめ て,xy座標 の座 標(x,y)

を求 め て お きた い.多 少,こ み 入 って

図68 x=Xcosα−Ysinα y=Xsinα+Ycosα

と い う新 し い 座 標(X,Y)か つ こ と が わ か る.xy座 ら,XY軸 と は,上

ら,古

い 座 標(x,y)へ

の 座 標 変 換 の 公 式 が 成 り立

標 の 座 標 軸 を α だ け 回 転 し て,XY軸

を− αだ け 回 転 す る と今 度 は 新 旧 逆 転 し てxy軸 の 座 標 変 換 の 式 で α→− α と お くと,左

yが 現 わ れ る こ と を 意 味 し て い る.cos(− す る と,し

が 得 られ た の だ か が 得 ら れ る.こ

辺 はX,Yで,右

α)=cosα,sin(−

辺 に は 逆 にx, α)=−sinα

た が って X=xcosα+ysinα

(Tα)

Y=−xsinα+ycosα

が得 られ た.  XY座

標 を さ らに角 βだけ 回 転 してXY座

標 をつ くる と,同 様 の座 標変 換 の公 式 X =Xcosβ+Ysinβ

(Tβ)

Y=−Xsinβ+Ycosβ

が 得 ら れ る.(Tα)の る こ とは,xy座

βだ け 回 転 し て,XY座 意 味 す る.も

式 を(Tβ)の

式 に代 入す

標 を 最 初 α だ け 回 転 し,次

に

標 に た ど りつ く こ と を

ち ろ ん こ の 結 果 は,xy座

標を一

のこ

図69

に 注意

度 に α+β だけ 回転 して,XY座

標 を つ くるの に等 しい.形 式的 にか け ば Ｔα+β=TβoTα

で あ る.Xの

座 標 変 換 だけ か い てみ る と

この 式 が

に 等 し い とい うの で あ る.こ (3),(1)が

の2つ

の 式 のxとyの

成 り立 つ こ とが わ か る.(1),(3)の

て み る と,(2),(4)が

成 り立 つ こ とが わ か る.

係 数 を 見 比 べ て,加

法定理の

式 で β の 代 りに− β を 入 れ

第13講 指数関数 と対数関数 テ ーマ

◆ 指 数 と指数 法 則 ◆ 指 数関 数 とそ の グ ラ フ ◆

自然対 数 の底e

◆y=exの

導関 数

◆ 対 数関 数y=logxと ◆y=logxの

そ の グラ フ

導関数

指

  指 数 関数axを

定 義 す る に は,aを1と

こ こ で は 特 にa>1の  

m=1,2,3,…

と定謝

に 対 し,aの

る.ま たa0=1と

巾amを

す る.正 の有 理 数m/nに

と え ば α の 小 数 展 開 のn位

く先 をaα と定 義 す る(例:   αが 負 の 数 の と き,aα=1/a−α   こ の よ うに し て,す い う.  指 数 法則

異 な る正 数 に と っ て お けば よ い の だ が,

場 合 だ け を 取 り扱 う.

で あ る よ うな 正 数 と し て 定 義 す る.正 列(た

数 関 数

対 して,am/nは

の 実 数 α に 対 して は,kn→

ま で をkn)を はa1.4,a1.42,…

と り,n→∞

α とな る有 理 数

の と き,aknが

近づ

の 極 限 と し て 定 義 す る).

と定 義 す る(例:a−2=1/a2).

べ て の 実 数xに

対 し て,巾axが

定 義 さ れ る.xを

指数 と

ax+y=axay

axy=(ax)y が 成 り立 つ.こ の証 明 は,巾 の定 義 に従 いな が ら,x,yが

自然 数 の と き,有 理 数

の とき,実 数 の とき と,順 次 この公式 が 成 り立 つ こ とを確 か め て い くことに よ り で きる.   xを 変 数 と見 て y=ax とお き,こ の 関数 を(aを

底 とす る)指 数 関 数 とい う.

指 数 関 数 のグ ラ フ   指 数 関数y=axの

グ ラ フ は 図70

の よ うに な る.aが

ど の よ うな 値 で

あ っ て も グ ラ フ は 点(0,1)を (a0=1!).ま

たx=1の

フ の 高 さ(y座 =a!).図70に るy=axの

と きの グ ラ

標)はaで は,4つ

通 る

あ る(a1 のaに

対す

グ ラ フを か い て あ る.

  グ ラ フ を 見 て も わ か る よ う に,y =axは

単 調 増 加 関 数 で あ る. 図70

ｙ=ex

  y軸 上 の 点Q(0,1)に

注 目 し よ う.aを

い ろ い ろ に 変 え て も,指

数 関 数y=ax

の グ ラ フ は す べ て こ の 点 を 通 る.指

数 関 数y=axの

か ら右 の 方 へ 見 て い く と,aが1に

近 い ほ ど 傾 き が 平 ら で あ り,aが1か

か っ て 大 き くな る ほ ど,傾   aが1か 点Qに

グ ラ フ を こ の 共 通 の 出 発 点Q

き が 急 に な っ て い く.

ら し だ い に 大 き くな っ て い く この よ うな 過 程 で,適

お け るy=axの

ら遠 ざ

接 線 の 傾 きが,ち ょ う ど1に

当 なaを

と る と,

な る も の が あ る と い う こ と は,

図71 容 易 に 推 測 さ れ る.実   こ のaを,eと

図72 際 こ の よ うなaは

表 わ し,自

た だ1つ

存 在 す る.

然 対 数 の 底 と い う,eは

解 析 学 に と っ て,最

も基 本

的 な 定 数 で あ る. eの 定 義: 

y=f(x)=axと

表 わ し た と き,eは,f′(0)=1と

な るa

の 値 で あ る.

  こ のeの

値 は,グ

ラ フ か ら2<e<3で

フ を 少 し 細 か くか い て み る と2.5<e<3も   実 際 はeの

小 数 展 開 は,ず

あ る こ と は,容

易 に 推 定 で き る.グ

わ か る.

っ と先 ま で 求 め ら れ て い て

e=2.7182818284590452353602… と な る こ と が 知 ら れ て い る.   上 のeの

定 義 を,f′(0)の

を 満 た す 数 で あ る(e0=1に

定 義 に 戻 っ て 式 で 表 わ せ ば,eは

注 意!).

  このeは

と表わ され る こ とが知 られ てい る.

ラ

y=exの

 

か ら,sinの

うに,exのx=0に 意 の 点xに

加 法定理 を用 い で,(sinx)′=cosxが

お け る 微 係 数 が1の

お け るexの

導関数

微 係 数(し

こ と と,指

た が っ てexの

導か れ た よ

数 法 則 を 用 い る こ と に よ り,任 導 関 数)を 求 め る こ とが で き る.

実 際,

この よ うに して重 要 な,し か し最 も簡 明な公 式 (ex)′=ex

が 得 ら れ た.   す な わ ち,y=exと い 関 数 で あ る.こ た 関 数,す

い う関 数 は,微

分 し て 導 関 数 を と っ て も,も

の よ うな 性 質 を も つ 関 数 は,exか,あ

な わ ちCexと

よ るxとyと

数 関 数

の 対 応 は,グ

ラ フか ら も わ か る よ うに,1対1に

実 数x  を 対 応 させ て い る.し

正 の 数y

た が っ て,正 の 数yに

対 し て,xが

x=logy と か く.さ

何倍か し

い う関 数 し か な い こ と が 知 られ て い る.

対

  関数y=exに

と と変 わ ら な

る い は,exを

ら に こ こで,xとyの

変 数 を 取 り換 え て, y=logx

と し た も の を 対 数 関 数 と い う.

y=logx⇔x=ey 

(1)

こ の 関 係 か ら, x=elogx 

(2)

た だ1つ

決 ま る.こ

れを

と な っ て い る こ とを 注 意 し て お こ う.  一 般 に,任 意 の正 数a(≠1)に

対 して y=logax⇔x=ay

として,底 がaの 対 数 を 定義 で き る.こ

の と きに は,こ の よ うに底aを 明 記す る.こ

のよ

うな一 般 的 な対 数 に 対 して,上 に定 義 した 対 数 を 自然 対数 とい う.  指 数 法 則 は,対

数 関 数 で は 次 の 規 則 に 翻 訳 さ れ る.

log(α ・β)=logα+logβ logα β=βlogα

  最 初 の 等 式 だ け 示 し て お こ う.logα=x,logβ=yと α・ β=exey=ex+y(指

お く.α=ex,β=eyよ

り

数 法 則 に よ る)

した が っ て log(α ・β)=x+y=logα+logβ

対 数 関 数 の 微 分

  y=logxの

グ ラ フは,y=ex

の グ ラ フ を,直 て,対

線y=xに

関し

称 に 折 り返 し た も の とな

って い る.こ

の こ と は,指

数関

数 と対 数 関 数 の 基 本 的 な 関 係 (1)を,グ

ラ フ で 示 す と,図

73の よ うに な っ て い る こ と か ら わ か る.   こ の こ と か ら,xに y=logxの が わ か る.そ 様 の 図74を

お け る,

グ ラ フの接 線 の 傾 き の た め 図73と

同

か い て み る.

  こ の と き,点Pに

図73

おけ る指数

関 数 の グ ラ フ の 接 線 の 傾 き は,eyで る と,点Qに

お け るy=logxの

あ る.し

接 線 の傾 きは

た が っ て,第10講

の 図52を

参照す

 

図74 1/ ey で あ る こ と が わ か る.y=logxだ

か ら,(2)式

の 傾 き は1/xで あ る.す

の 公 式 が 証 明 さ れ た.

な わ ち,次

を 用 い る と,点Qに

お け る 接線

(logx)′=1/x

問1 

次 の 関数 を 微分 せ よ

1)  y=3ex+5sinx 2)  y=logx6−3logx 問2 

x=eに

お け るy=logxの

接 線 の 方 程 式 を 求 め よ.

Tea

y=exとy=logxの (logx)′=1/xで い て,図75の に0に

増 加 の しか た

あ る が,y=1/xの

だ い にx軸

大 き くな る に つ れ,こ

い う こ と は,y=logxの

に 近 く な る こ と を 意 味 し,し は,し

グ ラ フ は,反 比 例 の グ ラ フ と し て よ く知 ら れ て

よ うに な っ て い る.xが

近 づ い て い く.と

Time

た が っ てxが

大き

に 平 行 に 近 い 傾 き を もつ,ゆ

の グ ラ フ は,急

速

グ ラ フの 接 線 の 傾 きが 急 速 に0 くな る と き,y=logxの

グ ラ フ

っ く り と上 昇 し て い くカ ー ブ に な

っ て い く.   直 線y=xに

関 し て 対 称 な 位 置 に あ る,y=ex

に つ い て い い 直 す と,y=exの

グ ラ フは,xが

大 き くな る と き,し

に 平 行 な傾 きに

だ い にy軸

近 い 傾 き を も つ よ うな,急

傾 斜 とな っ て 上 昇 を

続 け て い く.   実 際 は,y=logxの nに 対 し て 

接 線 の 傾 き と,任 意 の 自然 数 図75

の 接線 の傾 き が 比較 で き て,こ

の こ とか ら,y=logxの

グ ラ フ は, 

の グ ラ フ に 比 べ,は

ピ ー ドで 大 き く なっ て い く こ と が 推 論 で き る.こ に 移 し て い え ば,y=exの

グ ラ フ は,任

意 のnに

るか に ゆ っ く りとした ス

の こ とを 再 び,y=xに 対 し,y=xnの

関 し対 称 な グラ フ

グ ラ フ よ り,は

る かに 速 い

ス ピ ー ドで 大 き くな っ て い く こ とに な る.

質 問   一 般 の 指 数 関 数y=axと,一

般 の 対 数 関 数y=logaxの

導 関 数 は どん な 関

数 と な る の で し ょ うか. 答  y=logaxの導関数は,(logx)′=1/xで 求 め られ る.そ

れ は,底

あ る こ と が わ か って い る か ら,す

変 換 の 公 式 と よば れ て い る 関 係 logax=logae・logx 

が 成 り立 つ か らで あ る(こ と わ か る).こ

ぐに

の 公 式 は(2)式

(3) の 両 辺 の 対 数 を,logaで

と って み る

の式 を微 分 して

(logax)′=logae・1/x が 得 られ た.  こ の 結 果 を,  よ),直

線y=xに

数 と な り,し

の こ と に 注 意 し て((3)式 関 し て 対 称 な グ ラ フy=axの

た が っ て 関 係y=ax⇔x=logayを (ax)′=loga・ax

と な る こ とが わ か る.

でx=aと

おい

て み

結 果 へ と移 す と,接 線 の 傾 き は 逆 用い ると

第14講 合成関数の微分 と逆関数 の微分 テー マ

◆ 合成関数 ◆ 合成 関数の微分の公式 と例 ◆ 逆関数 ◆ 逆関数の微分の公式 と例

合 成   有 理 関 数 以 外 に,三 っ て くる と,こ

角 関 数 や,指

関 数

数 関 数 や 対 数 関 数 な どが 微 分 で き る よ うに な

れ らの関数 を 組み 合わ せ て得 られ る

a)sin(x2+x),

b)ex3−sinx, 

の よ うな 関 数 を,ど a)は,y=x2+xと

c)(logx)3−6(logx)2

の よ う に 微 分 す るか が 問 題 と な っ て くる. い う関 数 と,z=sinyと

b)は,y=x3−sinxと c)は,y=logxと

い う関 数 を 合 成 し て で きて い る.

い う関 数 と,z=eyと

い う関 数 を 合 成 し て で きて い る.

い う関 数 と,z=y3−6y2と

い う関 数 を 合 成 し て で き て い

る.  '合 成 す る'と ら れ た と き,こ

い うの は,こ の2つ

の よ うに し て,xの

を 組 み 合 わ せ て,新

し くxの

関 数yと,yの 関 数zを

関数zが

与え

つ くる こ とで あ る.

一般 的 な 定 義 は 次 の よ うに な る.   合 成 関 数 の 定 義:

y=f(x)と

い う関 数 と,z=g(y)と

い う関 数 が 与 え られ た

とき ｚ=F(x)=g(f(x)) を,fとgの

合 成 関 数 と い う.F=gofと

表 わ す こ と も あ る.

 合 成 関 数 の 微分 の公 式 合成関数の微分の公式は (Ⅵ)  F′(x)=g′(f(x))・f′(x) で 与 え られ る.   こ の 公 式 を 証 明 す る前 に,上 に 与 え た 合 成 関 数 の3つ 公 式(Ⅵ)を

の 例a),b),c)に

対 し,

実 際 に 使 って み よ う.

  a)  F(x)=sin(x2+x)   こ の と きg(y)=siny,f(x)=x2+x,ま た が って,公

式(Ⅵ)を

たg′(y)=cosy,f′(x)=2x+1.し

適 用 した 結 果 は 次 の よ うに な る. (1)

  b) 

F(x)=ex3−sinx

  こ の と きg(y)=ey,f(x)=x3−sinx.

ま たg′(y)=ey,f′(x)=3x2−cosx.

した が っ て

  c) 

F(x)=(logx)3−6(logx)2

 こ の と きg(y)=y3−6y2,f(x)=logx.

ま たg′(y)=3y2−12y,f′(x)=1/x.し

たが って

 合 成関 数 の微 分 の公 式(Ⅵ)は,(1)式 sin(x2+x)の(x2+x)の

の使 い方か らも わ か る よ う に,(1)で

部分 をい わば'知 らぬ顔'を してcos(x2+x)と

い,次 に…… の部分 を取 り出 し,改 め て(x2+x)′=2x+1と

微分 して,こ の2つ をか け合

わす こ とを示 唆 して い る.

合成 関 数 の 微 分 の公 式 の証 明

  関 数y=f(x),z=g(y)が

与 え ら れ て い る とす る.

まず

して微分 して しま

  変 数 の 変 動 に 注 目 し た い た め,xが,xか て⊿xと

か き,⊿xをxの

らx+hま

で 変 動 し た 分hを,改

め

差 分 と い う. ⊿x=(x+h)−x

こ こ でhは,し え て い る.さ

た が っ て ま た ⊿xは,い

ろ い ろ な 値 を と っ て 変 わ り得 る変 数 と考

ら に ⊿xに 対 し ⊿y=f(x+⊿x)−f(x) 

と お き,こ

(2)

の⊿yに 対 し て ⊿z=g(y+⊿y)−g(y)

と お く.⊿y,⊿zを  ⊿x→0の

そ れ ぞ れ,⊿x,⊿yに

と き,⊿y→0と

こ こ で は,fとgが

対 応 す るy,zの

差 分 と い う.

な り,し た が っ て ま た ⊿z→0と な る(厳

連 続 関 数 で あ る とい う性 質 を 用 い て い る).こ

密 に い え ば, こで

(3) で あ る.同

様 に

(4) で あ る.   こ こで厳 密 な議 論 を好 む 人 は,「(3)式

で は右 辺 の ⊿xは 分母 にあ る以上,も

≠0で か つ ⊿x→0と 考え て よい の であ ろ うが,(4)式 る以上,⊿yが

ど こま で小 さ くな っ て も,0と

か.そ の とき(4)式 な い.実 際,こ

では,⊿yは(2)式

ち ろ ん ⊿x

で与 え られ て い

な る状 況 が続 くこ とも あ るの で は な か ろ う

の 分母 は0と な って定 義 され な い だ ろ う」 と疑 問 を感 ず る か も し れ

の論 点 を 指摘 され る と,以 下 の 議論 は 多 少不 正 確 な もの とな るのだ が,こ

こで行 な う議 論 に は,実 は この点 も含 め て正確 な補 正 が可 能 で あ る こ とが 知 られ て い る の で,あ え て,こ の 論 点には これ 以 上立 ち入 らな い.   そ こ で,y=f(x)とz=g(y)の

合成 関 数 F(x)=g(f(x))

の,⊿Xに

対 応 す る差 分 ⊿zを 考 え る. ⊿z=F(x+⊿x)−F(x)=g(f(x+⊿x))−g(f(x)) =g(f(x)+⊿y)−g(f(x)) 

した が っ て

((2)に

よ る)

で あ る.ゆ

えに

これ で公 式(Ⅴ)が

証 明 され た.

逆

関

数

 合 成 関数 の微 分 の公 式 を適 用す る と,逆 関 数 の微 分 の公 式 が得 られ る.  関 数y=f(x)に

よ るxとyと

る値 が あ る範 囲Rを

動 き,そ

この とき,逆 に,yに

の対 応 で,xが こで,xとyの

あ る範 囲Dを

対 応 が1対1に

動 くとき,yの

と

な って いた とす る.

対 してxを 対 応 させ る こ とが で き る.こ の対 応 を,fの

逆

対 応(ま た は逆 写像)と い い,f−1で 表 わす.こ の関 係 を 見 や す く

と か い て お こ う.  

Dをfの

定 義 域,Rをfの

の 場 合 に は,逆

に,Rが

値 域 と い う こ とが あ る.こ 定 義 域 でDが

  f−1を 関 数 と見 る と き に は,ふ て,y=f−1(x)と

か く.こ

値 域 とな る.

つ うは,yをxに

こ で は,こ

の い い 方 を す れ ば,f−1

か き 換 え,xをyに

の 形 に か い た も の をfの

か き換 え

逆 関 数 とい う こ と

に す る.

  【例1】 y>0の

関 数y=xn(n=1,2,…)は,nが 範 囲Rに1対1に

の つ く る範 囲Dを,すべ し た が っ て,そ

偶 数 の と き に は,x>0の

対 応 さ せ て い る.nが て の 実 数yの

れ ぞ れ の 場 合 に,逆

奇 数 の と き は,すべ

つ くる 範 囲Rに1対1に

関 数f−1(x)を

範 囲Dを, て の 実 数x

対 応 させ て い る.

考 え る こ と が で き る.f−1(x)

で あ る.   【例2】 1対1に

関 数y=exは,す 対 応 さ せ て い る.し

が で き る.f−1(x)=logxで

べ て の 実 数xの た が っ て,Rか あ る.

つ く る範 囲Dを,y>0の らDへ

の 逆 関 数f−1を

範 囲Rに 考 えること

  y=f−1(x)の

グ ラ フ は,y=f(x)の

グ ラ フを,直

線y=xに

関 し て,対

称 に移

し た も の と な っ て い る.

逆 関 数 の 微 分   y=f(x)の

グ ラ フ とy=f−1(x)の

グ ラ フ と の 関 係 か ら,y= 

の 導 関 数 を 求 め た の と 同 じ考え で,逆   し か し こ こで は,合

やy=logx

関 数 の 導 関 数 を 求 め る こ と は で き る.

成 関 数 の 微 分 法 の 応 用 と し て,逆

関数 の導 関 数 を求 め て み

よ う. f−1(f(x))=x の 両 辺 を微 分 して {f−1(f(x))}′ ・f′(x)=1 ゆえに

(5) y=f(x)を る.し

例1で

改 め てxと

た が っ て(5)式

か き 直 す と,い

ま ま でxと

か い て い た も の はf−1(x)と

は も う一 度 か き直 さ れ て

はf(x)=xn,f′(x)=nxn-1,f-1(x)= 

したが って

を 指数 を 用 い てx1/nと表 わ して お くと,こ の結 果 は

(6) と 表 わ さ れ る.  例2で

はf(x)=ex,f−1(x)=logx.し

たがって

な

 な お,(6)の こ う.た

公 式 は,n=−1,−2,…

に 対 し て も成 り立 つ こ と を 注 意 し て お

とえば

一 般 の場 合 も同様 で あ る.す なわ ち,ま とめ て公 式

が 得 られ た. 問1  次 の関 数 を微 分 せ よ.

1) 2)  y=ecosx 3)  y=log(5x3+xsinx) 問2 

sinの 加 法 公 式 sin(x+α)=sinxcosα+sinαcosx

の 辺 々 をxで 問3 

f(x)>0の

を 示 せ.こ に,こ

微 分 し て,ど 関 数fに

の よ うな 式 が 導 か れ る か を 確 か め よ. 対 し

の 等 式 をf′(x)=f(x)・(logf(x))′

の 式 を 適 用 し て 

の 導 関 数 を 求 め て み よ.

Tea

dy/ dxの   を 

とか き直 し,f(x)= 

Time

記 号 に つ いて と も か く.し

た が って

で あ る.こ の 記号 を 用 い る と,合 成 関 数 の 微 分 の 規 則 は簡 単 に

と 表 わ さ れ る.   dxとdyは,そ

れ ぞ れ1つ1つ

独立 した

意 味 を も っ て い る と考 え る こ と も あ る.図 76で,AB=dx,BC=dyで 上 の 点A(x,f(x))を

あ る.グ と め て,dxを

ラフ いろ

い ろ に 変 え る と き,dyは

図76 dy=f′(x)dx

と い う関 係 を 保 ち な が ら変 化 す る.dx,dyを

そ れ ぞ れxとyの

微 分 と い う.

質 問   これ は 質 問 とい った もので は な いか も しれ ませ んが,合 成 関数 の例 として 出 され たa),b),c)の

どれ を 見 て も難 しそ うな形 を して い て,こ の 関数 の グ

ラ フが どん な形 に な るの か な ど予 想 もつ き ませ ん.そ れ な の に,こ の よ うな複雑 な 関 数 を 微 分す る こ とが,ご

く簡 単 にで きて しま う こ とに,驚

き と意 外性 を感 じ

ま した. 答  微 分 は,関 数 の グ ラ フを 解 析す る最 も重要 な手 段 で あ る.も し この手 段 が, 関 数 の 複雑 さ に比 例 して難 し くな った り,グ ラ フの 概 形 を 知 らなけ れば 計 算 で き な い よ うな も のだ った ら,こ れ ほ ど広 く,有 効 に使 わ れ る こ とはな か った ろ う. 微 分 の計 算 は,な れれ ば誰 に で もす ぐで き る.こ こに 微 分 の働 きが,数 学 を 越 え て,広 い 分野 に まで 浸透 して い った1つ の理 由が あ る.'微 分す る'と い う'演算' が,関 数 の複 雑 さにか か わ らず,比 較 的簡 単 にで き る理 由 は,微 分 が 関数 の 各点 ご との ご く近 くの 性 質 に しか よ らない か らで あ って,実 際,各 点 ご とで関 数 を微 分 す るに は,グ ラ フが 複雑 な様 子で 広 が って い くさ まを,全 部 見 通 さな くて も よ い の で あ る.

第15講 逆三角関数 の微分 テーマ ◆ 逆三角関数:

◆ 逆 三角 関数のグラフ ◆ 逆 三角 関数 の導関数

逆 三 角関 数

 ⅰ )y=sinxの

の間で,グ 1]の

グ ラ フ を 見 る と,

ラフは単 調 増 加で,x軸

上 に1対1に

上 の 区間[− π/2,π/2]を,y軸上 の 区間[−1,

移 し て い る.

  注 意   数 直 線 上 で 実数a
対 し,

[a,b]={x￨a≦x≦b} (a,b)={x￨a<x
れ ぞ れ 閉 区 間,開

  し た が っ て,こ

区 間 とい う.

の 範 囲 でy=sinxの

図77 逆 関 数 を 考 え る こ とが で き る.こ

数 を y=sin−1x と か く.こ

こで

の逆 関

で あ る.  ⅱ)y=cosxの

グ ラ フを見 る と 0≦x≦ π

の 間 で,グ

ラ フ は 単 調 減 少 で,x軸

の 上 に1対1に

上 の 区 間[0,π]を,y軸

上 の 区 間[−1,1]

移 し て い る.

  した が っ て,こ

の 範 囲 でy=cosxの

逆 関 数 を 考 え る こ と が で き る.こ

の逆 関

数 を y=cos−1x と か く.こ

こで

で あ る.  ⅲ)y=tanxを

見 ると

−π/2<x<π/2 の間で,グ

ラ フは単調 増加で,x軸上

の 区間(−π/2,π/2)を,y軸 全 体 の上 に1対

1に 移 し て い る.   し た が っ て,こ

の 範 囲 でy=tanxの

逆 関 数 を 考 え る こ と が で き る.こ

の逆 関

数を ｙ=tan−1x とか く.こ

こで

数直線

で あ る.   sin−1x,cos−1x,tan−1xは,Arcsinx,Arccosx,Arctanxと サ イ ンx,ア

ー ク ・コ サ イ ンx,ア

も か き,ふ

ー ク ・タ ン ジ ェ ン トxと

逆 三 角 関 数 のグ

  逆 三 角 関 数 の グ ラ フ は,y=sinx,y=cosx,y=tanxの

つ うア ー ク ・

読 む.

ラ フ

グラ フか ら容 易 にか

y=sin−1xの

グ ラフ

y=cos−1xの

図78

グ ラ フ

図79

y=tan−1xの

グ ラフ

図80

くこ とが で き る.こ れ らは図78,79,80で

示 して お いた.

逆三 角 関 数 の 微 分

(ⅰ)

(ⅱ)

(ⅲ)

が 成 り立 つ.   【(ⅰ)の 証 明 】(sinx)′=cosxだ

か ら,逆

関 数 の微 分 の公式 を 使 う と

(1) の こ と が わ か る.y=sin−1xと

お く. cos2y+sin2y=1

よ り cos2y=1−sin2y −π/2≦y≦π/2だ

か ら,cosy≧0.し

こ の 式 にy=sin−1xを

た が って

代 入 して sin(sin−1x)=x, sin2y=(siny)2=(sin(sin−1x))2=x2

に注 意す る と

が 得 られ た.   こ の 結 果 を(1)式

に 代 入 し て,公

  【(ⅱ)の 証 明 】(cosx)′=−sinxだ

で あ る.y=cos−1xと

式(ⅰ)が か ら,逆

示 され た. 関数 の微 分 の公 式か ら

お い て, cos2y+sin2y=1

と,こ

れか ら導か れ る

を 用 い る と,(i)と 【(ⅲ)の

証 明 】 

同 様 に し て 証 明 さ れ る.

から

(2)

で あ る.y=tan−1xと

お く と,tany=xで

あ る.

した が って

ゆ えに

す な わち

こ れ を(2)式

問1 

に 代 入 し て,(ⅲ)の

成 り立 つ こ とが わ か る.

次 の 関 数 を 微 分 せ よ.

1)  y=3sin−1xcos−1x 2)  y=x2tan−1x 問2 y=sin−1xとy=tan−1xの な る よ うなx(−1≦x≦1)は

グ ラ フ で,原

点 以 外 で は,接

線の 傾 き が 等 し く

存 在 し な い こ と を 示 せ.

Tea

Time

逆三 角関数の導関数  逆 三 角 関 数 の導 関 数 は,三 角 関 数 の導 関 数 と比 べ て み る と,大 分 様 子 が違 って い る こ とに 気 がつ く.三 角 関 数 の 導 関数 は,す べ て ま た三 角 関数 で表 わ され てい た.そ れ に 反 し,逆

三 角 関数 の導 関 数 は,も

や,有 理 関 数に な って い る.特

う三 角 関 数 で は な くて,無 理 関 数

にtan−1xの 導 関数 な ど,実

に簡 単 な1/1+x2と

い う有 理 関 数 とな って い る.   も っ とも同様 な状 況 は,logxの りexで,こ

導 関数 に も起 き てい る.exの

れ は 有理 関数 で は な い が,こ の逆 関数 で あ るlogxの

い う,最 も簡 単 な形 の関 数 とな って い る.

導 関 数 は,や は 導 関 数 は1/xと

  グ ラ フ の 上 で は,も

と の 関 数 と逆 関 数 の グ ラ フ は,y=xと

対 称 な 形 を と っ て い る に す ぎ な い の に,導 し た 違 い が 生 じ て く る.こ

れ は,一

い う直 線 に 関 し て

関 数 の 上 で は,こ

種 の'解

析 の 魔 術'と

の よ うな は っ き り と

で も い うべ き も の で あ

ろ う.

質 問   y=sin−1x+cos−1xを y′=0と

答  y′=0と はx軸

公 式 に 従 っ て 微 分 し て み ま し た ら,驚

な っ て し ま い ま し た.こ い う こ と は,ど

に 平 行,し

の 点 で も接 線 の 傾 き が0と

た が っ てyが

が ら,yは恒

は,y=sin−1xの

グ ラ フ と,y=cos−1xの

加え て み て も,大

体 察 す る こ と が で き る.

α=sin−1x,β=cos−1xと

=α+β=π/2と

な る.

グ ラフ ときを

等 的 にπ/2に等 し い.こ

グ ラ フ を 注 意 深 く見 て,グ

法 定 理 だ け を 用 い てyが お き,x=sinα, 

sinβ に 注 意 し て,cos(α+β)=0を

い う こ と で,yの

定 数 関 数 の こ とを 意 味 し て い る.x=0の

考 え る と,sin−10=0,cos−10=π/2だ

  導 関 数 を 使 わ な い で,加

い た こ と に,

れ は ど うい う こ と で し ょ う.

のこと

ラ フの上 で

定 数 で あ る こ と を 示 す に は, =cosα,x=cosβ, 

導 く と よい.こ れ が い えれ ば,sin−1x+cos−1x

第16講 不

定

積

分

テー マ

◆ 演算 と逆演算 ◆ 積分:微

分の逆演算 として

◆ 原始関数,積 分の定義 ◆ 不 定 積 分:∫f(x)dx+C

◆ 不定積分の公式

演 算 と逆 演算  整 数 全 体を 考え る.あ る数 に5を 加 える とい う演 算 に よって,そ れぞ れ の整数 は 3→8,22→27,−12→−7 の よ うに,別 の数 へ と移 され る.逆 に整数nが 与 え られ た とき,5を

加 え てnと

な る数,す なわ ち

？→n と な る 数?は,も

ち ろ んn−5で

あ る.5を

引 く と い う演 算 は,5を

加 え る とい

う演 算 の 逆 演 算 で あ る.   同 じ よ う に,有

理 数 の 中 で 考 え て,あ

る数 を10倍

す る と い う演 算 の 逆 演 算 は,

10で 割 る と い う演 算 で 与 え られ る.

「微 分 す る 」 こ と と

「積 分 す る 」 こ と

  関 数 を 微 分 し て 導 関 数 を 求 め る と い う こ とは, (1) の よ うに,1つ

の 関 数 を,別

の 関 数 へ 移 し て い る,一

種 の'演

算'で

あ る とみ る

こ とが で きる.そ の とき,こ の'演

算'の'逆

演算',す

なわ ち関 数f(x)が

与

え られ た とき

？→微分するf(x) と な る よ うな 関 数?を

求 め る こ とが,当

然 問 題 と な っ て く る.

  この よ うな'微 分す る'こ との逆 演 算 を'積 分す る'と い い,?に F(x)の

こ と を,f(x)の

入 る関 数

原 始 関 数 と い う. F(x)←積分するf(x)

  た と え ば,(1)式 い 方 と,原

の そ れ ぞ れ の 矢 印 の 向 き を 逆 に し て,'積

分 す る'と

い うい

始 関 数 と い う術 語 を 使 っ て い っ て み る と 次 の よ うに な る 2xを 積 分 す る とx2 

2xの

原 始 関 数 はx2

−1/ x2を 積 分 す る と1/x −1/x2の cosxを

積 分 す る とsinx 

原始 関 数 は1/x

cosxの

原 始 関 数 はsinx

も う少 し 例 を 挙 げ て お こ う.   【例 】5x4−3x2を

積 分 す る と  x5−x3 

あ る い はい い 直 す と  ６ex+x3を

⇔(x5−x3)′=5x4−3x2

5x4−3x2の

原 始 関 数 はx5−x3

積 分 す る と 

あ る い は い い 直 す と 

6ex+x3の

原 始 関 数 は6ex+1/4x4

 標 語 的 にか け ば

F(x)→微分するf(x) 原始関数←

積分する

積 分

導関数

定 数

  微 分 の 逆 演 算 と し て の 積 分 を も う少 し 詳 し く く調 べ て み る と,与 え られ たf(x) の 原 始 関 数 は1つ

で は な い こ とが わ か る.

  2xの 原 始 関 数 はx2で 2も,x2+100も   cosxの

あ る が,そ

す べ て2xの

の ほ か に もx2−15も,x2−1も,x2も,x2+

原 始 関 数 と な っ て い る.

原 始 関 数 も,sinx+C(Cは

定 数)の

形 の 関 数 が,す

べ て原 始関 数 と

な って い る.   一 般 に 次 の こ と が 成 り立 つ.

f(x)の

原 始 関 数 の1つ

をF(x)と

す る と,ほ

か の 原 始 関 数G(x)は,必

ず

G(x)=F(x)+C と表 わ さ れ る.こ

こ でCは

適 当 な 定 数 で あ る.

  【証 明 】  F(x),G(x)はf(x)の

原 始 関数 だ か ら F′(x)=G′(x)=f(x)

したが って (G(x)−F(x))′=G′(x)−F′(x)=f(x)−f(x)=0 こ の こ と は,関 グ ラ フ がx軸

数G(x)−F(x)の

接 線 の 傾 き が 至 る 所0で

に 平 行 な こ とを 示 して い る.し G(x)−F(x)=C 

あ る こ と,す

なわち

た が って

(Cは

あ る 定 数)

が成 り立 つ.移 項 す る と証 明す べ き式 とな って い る.   この 結果 か ら,f(x)の

原 始 関数 の一 般的 な形 は,1つ

の原 始 関 数F(x)を

と

った と き, F(x)+C と表わ され る こ とが わ か っ た.定 るの で あ るが,こ

のCの

数Cは,任

こ とを積 分 定 数 とい う. 不 定 積 分

 与 え られ た 関数f(x)の

意 に1つ の実 数 を とる こ とがで き

原 始関 数 の一 般 形 を

∫f(x)dx+C(Cは とか き,fの

積 分 定数)

不 定 積 分 とい う.あ るい は,1つ

の原 始 関数 を

∫f(x)dx とか くこ ともあ るが,上 に示 した よ うに,こ の 関数 は一 意 的 に決 ま らない の で, 任 意 定 数-積 分 定数-を 加 え るだ け の不 定 さが残 って い る ことに 注意 す る こ とが 必 要 で あ る. 不定積 分の例

∫1dx=x+C,∫xdx=1/2x2+C,∫x2dx=1/3x3+C 一般に

(Ⅰ)

が 成 り立 つ.右 辺 の関 数 を微 分 す る とxnに な る こ とを確 か め さ えす れ ば よい.

一般に

(Ⅱ)

 注意

 1/xnをx−nと表 わ して お く と,上 の2つ は ま とめ て

とか け る.n=−1の

とき だ け が 除か れ て い る こ とに注 意.

(Ⅲ)

 三 角 関数 の 不 定積 分 につ い ては 次 の公 式 が成 り立 つ.

∫sin

(Ⅳ) 

x dx=−cosx+C

∫cos x dx=sin x+C

 指 数 関数 と対 数 関数 の微 分 の公 式 か らは,次 の公 式 が導 か れ る.

（Ⅴ) 

∫ex dx=ex+C ∫1/xdx=log￨x￨+C

  下 の 公 式 に つ い て は,注 に 問 題 は な い.x<0と log￨x￨=log(−X)で

意 し て お く必 要 が あ る.x>0の

し よ う.こ

と き に は,￨x￨=xだ

の と き−x>0で,￨x￨=−xと

あ る.  xで 微 分 す る と,合

成 関 数 の 微 分 の公 式 か ら

これを不定積分 の形でか くと,公 式になる.  逆 三 角 関数 の微 分 の公 式 か ら,次 の公 式 が導 か れ る.

(Ⅵ)

問1 

1) dxを

求 め よ.

2) 

を 求 め よ.

3)  問2 

a>1の

を 示せ.

を 求 め よ. とき

表 わ せ る.し

か ら,特 た が って

Tea

Time

積 分 定数 に つ い てグラフ 上 の説 明  簡 単 の ため, ∫2x dx=x2+C の 場 合 に 限 っ て 説 明 し よ う.F′(x)=2xと は,微

分 の 意 味 か ら 考え る と,座

け が 与 え ら れ た と き,こ

求め る とい う こ と

標 平 面 上 の 各 点(x,y)に,接

線 の 傾 き2xだ

れ を 本 当 に 接 線 の 傾 き と す る よ うな 関 数y=F(x)を

め よ と い うこ と で あ る.接 示 され て い る 点(x,y)の

な る 関 数F(x)を

求

線 の傾 き として指

に お け る2xを,こ

の

傾 き を も つ 短 い 線 分 と し て 表 示 す る と 図81 の よ う に な る.た と え ば,y軸 と い う直 線 の 上 に は,傾

に 平 行 なx=1

き2の

短 い 線 分 が,

平 行 に 並 ん で い る.   これ は,ち

ょ うど,砂

鉄 を敷 いた 紙 の下 に

磁 石 を お い て 砂 鉄 の 向 き を 揃 え た よ うな 形 を し て い る.こ が,求

の と き,磁

力線 に相 当 す る の

め た い 関数y=F(x)の

グ ラ フ で あ る.

図 か ら も 明 ら か な よ うに,こ

図81

の よ うな 関 数 の グ ラ フ はy=x2の

く,そ れ を 上 下 に 平 行 移 動 し た も の,す

な わ ち,y=x2+Cの

グラ フだけ で はな グ ラ フ で 与 え られ

る.   こ れ が 積 分 定 数 の グ ラ フ の 上 で の 意 味 と な っ て い る.

質 問  た し算 よ りは,そ の逆演 算 で あ る引 き算 の方 が 難 しか った し,掛 け 算 よ り は,そ の逆 演 算 で あ る割 り算 の方 が 難 しか った と思 い ます.微 分 よ りは,不 定積 分 を 求 め る方 が,や は りず っ と難 しい こ とな ので し ょ うか. 答  冗 談 の よ うな い い方 をす れ ば,一 般 的 に は,生 む こ と よ りは,生 み の親 を 見 つ け る方 が難 しい.微 分す る とは,関 数fか

ら,新 し い関数f′ を 生 む こ とで あ

っ た.そ れ に反 し,積 分 で は,与 え られ た 関数fに 対 してF′=fと

な る関 数Fを

求 め る こ とを問 題 とす るが,こ の よ うなFが

生 ん だ親 が い

るの か,い な い のか―

あ るか な い か―fを

が,す で には っ き りしな い こ とが あ る.た とえ ば,平 面

上 に撤 かれ た 砂 鉄 の 向 きが,各xに

対 し,ま った くで た らめ な 方 向 に並 ん で いた

ら,そ れ を上 手 に つ な いで,'磁 力 線'y=F(x)を

か くこ とは ほ とん ど不 可 能 な

こ とに な る.も ち ろ んfが あ ま り意地 悪 で な いふ つ うの関 数 な らば,fの 数Fは

原始関

存 在 す る.

  しか し,今 度 は 存在 した と して も,そ

の関 数Fが,有

数 関 数 な どを 使 って か き表 わ され る 関数 な のか ど うか― だ んつ き合 って い る範 囲 の中 の人 な のか ど うか―

理 関 数 や三 角 関 数 や指 生 み の親 は,私 達 がふ

とい うこ とが,別 の 新 しい問

題 とな って くる.こ の こ とに つ い て は,昔 か ら多 くの 研 究が あ るが,一 般的 な理 論 は難 し くて,専 門 家以 外 に は,深 い 霧 の 中 にあ る とい って よい.

第17講 不定積分の公式 テーマ

◆ 不定積分の和 の公式 ◆ 部分積分の公式 ◆ 置換積分の公式

和 の公 式   指数 法 則 を逆 に見 直す と対 数 の公式 を 与え る よ うに,積 分 は微 分 の逆 演算 だか ら,微 分 法 の公 式 か ら,不 定積 分 の公 式 が導 かれ る.  第7講 で与 えた 公式(Ⅰ),(Ⅱ)は

導関 数 の形 で かけ ば

(f+g)′=f′+g′,(af)′=af′(aは

定数)

で あ る.こ の公式 か ら,不 定 積 分 の公 式

(Ⅰ)'

(Ⅱ)'

が 得 ら れ る. 【証 明 】(Ⅰ)':  に よ り,    した が って 積 分 の定 義 か ら

(Ⅱ)'

とお く. 

だ か ら(aF(x))′=af(x).積   注 意   (Ⅰ)',(Ⅱ)'と

分 の 定 義 か ら  も,積 分定 数 を 除 い て等 しい とい う意 味 であ る.

  【例1】

 【例2】

部分積分の公式   第9講 で 与 えた 積 の 微 分 の公 式(fg)′=f′g+fg′ は,部 分積 分 の公 式 とよばれ て い る次 の 公式 を導 く.

(Ⅲ)'

  【証 明】

を積 分す る と （1)

移 項 し て(Ⅲ)'が

得 られ る.

  注 意   (1)式 の表 わ し方 は実 は正 確 では ない.左

辺 が 決 ま った関 数 な の は,右 辺 は積 分

定 数 だ け 任 意性 が あ るか らで あ る.し か し移 項 して 公式(Ⅲ)'の 形 にか くと,両 辺 は積 分 定 数 の 任意 性が 認 め られ て い る とい う暗黙 の 了解 が あ って,意 味 のあ る式 とな る.   公 式(Ⅲ)'で

 

h(x)=g′(x)と

した が って(Ⅲ)'は

(Ⅲ)"

お く と,∫h(x)dx=g(x)

と も か け る.実

際 公 式 を 使 う と き に は,(Ⅲ)"の

【例3】∫xex

dxを

求 め よ.

公 式(Ⅲ)"でf(x)=x,h(x)=exと

【例4】∫x2exdxを

お く と∫h(x)dx=ex.し

た が って

求 め よ.

公 式(Ⅲ)"でf(x)=x,h(x)=xexと

【例5】  ∫logxdxを

方 が 使 い や す い.

お き,例3の

結 果 を 使 う.

求 め よ.

公 式(Ⅲ)"でf(x)=log

x, h(x)=1と

お く と ∫h(x)dx=x.し

たが って

置換 積 分 の 公 式  合 成 関数 の微 分 の公 式(Ⅵ)を  い ま変 数xが,も

不 定積 分 の公 式 に移 しかえ てみ よ う.

う1つ 別 の変 数tに よ って x=x(t)

と表 わ され て いた とす る.こ の と き

(Ⅴ)'

  【証 明 】F(x)=∫f(x)dxと

か,変tで

お く.F(x)=F(x(t))を

変 数xで

微 分 した もの

微分 した もの か を は っ き りさせ るため,前 者 をd/dxF(x),後

 

者を

で表わす.

  合 成 関数 の微 分 の 公式 か ら

した が って

ゆえに

  【例6】 ∫cos t=2xと

2x dxを

お く.x=1/2t.し

  【例7】∫(ax+b)ndx   t=ax+bと

求 め よ. た が ってx′(t)=1/2.公

(a≠0)を

お く.x=1/a(t−b)に

式か ら

求 め よ. よ り,x′(t)=1/

a.公

置 換 積 分 の 公 式 に 対 す る-注

  置換積 分 の 適用 に対 して は,第14講

式か ら

意

で述 べ た よ うな,dy/d xと い う 導 関数に対 す る記 号 の 微 分 の記 号 を用 い る こ とに よっ て,よ

の導 入 が 有 効 であ る.置 換 積 分 の 公式 自体 が,こ

り簡 明に か け る.

こ こで 記 号 の上 だけ であ るが,左 辺 と右 辺 を 見 比べ る と

と な って い て,形 式 的 に は右 辺 のdtが 消 し合 ってdxと に整 合 性 が あ る.dxと

な る よ うな,い

か ∫ の記 号は ラ イプ ニッ ツ(1646-1716)に

わ ば 記 号 の使 い方

よる

 い ま置換 積分 の公式 を用 いて

を 計 算 し よ う とす る.こ

の とき手 がか りと して t=sin

x

とお くの は 自然 な 発 想 であ るが,x′(t)が 求 めに くい.し か し

で あ る(こ の最 後 の 関 係は,第14講

で求 め て あ る.逆 関 数 の微 分 は,も

との関 数 の逆 数 で

あ る!).   を求 め るに は dt=(sin 

で よ い(第14講Tea 

Time参

照).し

x)′dx=cos 

x dx

た が って

とな り,

問1  次 の関 数 の不 定 積 分 を 求め よ.

1) 2) (3x−7)5+6(2x+7)2 3) 

x2sin

x

問2  部

分積分 の公 式(Ⅲ)"で,∫h(x)dxを1つ

原 始関数,た

とえば ∫h(x)dx+1を

と って くる代 りに,別

のhの

と って も,結果に 変 わ りの ない こ とを 確かめ

よ.

問3 

∫exsin

x dxに

お い て,f(x)=sin

x, g(x)=exお

いて部 分積 分 の 公式

を適用 せ よ.同 様に∫excos x dxに つい て も部分 積 分 の公 式適 式 を見 比 べ る こ とに よ り,∫exsin x  この結 果 を

用 せ よ.こ の2

dx,∫excos 求 め よ. x dxを

∫eaxsin bx dx,∫eaxcos 対 して一 bx 般化 dxにせ よ.

問4  ∫tan x dxを 求 め よ.

Tea

Time

多項式関数 と有理関数の不定積分  多項 式 で 与 え られ る関数

の不 定 積 分 は,公

式(Ⅰ)',(Ⅱ)'を

使 うだ け で

と求 め られ る.す なわ ち多 項 式 の不 定 積 分 は 多項 式 で あ る.  有理 関数 の不 定積 分 は,有 理 関数 とは 限 らない.そ の最 も典型 的 な 例 として

が あ る.こ の結 果 は有 理 関 数 の不 定積 分 が一 般 に は,難 しい もので あ る こ とを予 想 させ る.し か し,有 理 関 数 の不 定積 分 に 関す る一 般論 が あ って,有 理 関 数 の不 定 積 分 は,有 理 関 数 と,上 のlog￨x￨と,tan−1xを

適 当 に組 み合 わ せ て表 わ され

る こ とが知 られ て い る.

質 問   微分 の公 式 は,不 定積 分 の公 式 に翻 訳 され るはず な のに,ど 分 の公 式(Ⅳ),(Ⅴ)だ

けが,不

定積 分 の公 式(Ⅳ)',(Ⅴ)'と

なか った の で し ょ うか. 答  もち ろ ん(Ⅳ)を

読 み 直 した

うして商 の微

して 再 登 場 して こ

は1つ の公 式 とな るが,こ れ を不定 積 分 の公式 として一般 に 明記 しな い のは,左 辺 の関数 の 形 が,あ ま り特殊 す ぎて,適 用 す る機 会 が少 な い こと に よ る の だ ろ う.   む しろ不 定積 分 の公 式 としては,第14講 積 分 形が 有 用 で あ る.す なわ ち

こ の公式 は しば しば用 い られ る.た とえば

問3で 与 えた'対

数微 分'の 式 の,

第18講 グ ラ フの つ くる図 形 の 面 積 テー マ

◆y=f(x)の

グ ラフの つ くる図形

◆ グ ラフ を挾 む'上 の階段'→

外 か らの面 積

◆ グ ラ フを挾 む'下 の階段'→

内 か ら の面 積

◆ 面 積:外 か らの面 積=内 か らの面 積

グ ラ フの つ くる図 形

  関数y=f(x)が 図82の

よ うに,グ

の 図 形Sが か.こ

与 え られ た と し よ う.a≦x≦bで(a≠b),f(x)>0と ラ フ と,x軸

で き る.こ

の 講 の 主 題 は,Sの

  まずf(x)=c(定

とy軸

の 図 形 をSと

す る.

に 平 行 な 直 線x=a,x=bに

し よ う.こ

の 図 形Sの

よ っ て1つ

面 積 とは何 で あろ う

面 積 を 正 確 に 定 義 し て み る こ と で あ る.

数)の

と き,Sは

長 方 形 と な り,面 積 は(b−a)cと

な る.こ

れ を 面 積 概 念 の 出 発 点 と し よ う.

図82 グラフ

図83

を 挾 む'上

の 階 段','下

  話 を 進 め る た め,関数y=xの

グ ラ フが,x軸

図 形Sの

直 角 三 角 形 で,そ

考察 か ら 始 め よ う.Sは

の 階 段'

とx=0(y軸),x=1で の 面 積 は,1辺

つ くる が1の

正方 形

の面 積 の半分 だか ら,明 らか に

Sの 面積=1/2 (1) 面 積 の考 えを,一 般 の場合 へ 拡 張 し てい く手 がか りを得 るた め には,こ の三角 形 の面積1/2を,階

段状 の 図

形 の面 積 の極 限 として,改 め て得 て 図84

みた い.  そ の た め 区 間[0,1]をn等

分 し,そ

で あ る.各Ak−1Ak(k=1,2,…,  Ik, Ikを

つ く る.Ikの

n)上

高 さはk/nで

の 分 点 をA0, A1,…,Anと

に,  y=xの

あ り,Ikの

す る.

グ ラ フ を 挾 む,2つ

高 さ はk−1/nで

あ る.し

の長 方形 た が って

Ｉkの面積=1/n・k/n,Ikの面積=1/n・k−1/n そ こで,長

方 形I1,  I2,…,Inを

た 長 方 形I2,I3,…,Inを そ れ ぞ れSを

集 め て 得 られ る階 段 状 の 図 形 をSnと

集 め て 得 ら れ る 階 段 状 の 図 形 をSnと

お く.ま

お く(SnとSnは,

上 と 下 か ら挾 む 階 段 で あ る).

Ｓnの面 積

Snの 面 積

 注意 

で あ る.

 作 り方 か ら明 らか に Snの 面 積<Sの こ こでnを 段'Snも,'下

面 積<Snの

ど ん どん 大 き くし て,[0,1]の の 階 段'Snも

近 づ くだ ろ うか.nが

と も にSに

大 き くな る と

Snの 面 積

面積

  (2)

分 点 を 細 か くす る.こ 近 づ い て い く.面

の と き'上

の階

積 は ど の よ うな 値 に

同様に Ｓnの面積→1/2 した が って(2)式

か ら,サン

ド ウ ィ ッチ

の よ うに真 中 に挾ま れ て い るSの 面 積 は1/2 に 等 し く な くて は い け な い こ と が 結 論 され た.こ

れ で(1)式

  同 じ考 えで,放

が 再 び 確 認 さ れ た. 物 線y=x2の

x軸 とx=0,x=1で

グ ラ フが,

つ くる 図 形Sの

を 求 め て み よ う.こ

面積

の と き 区 間[0,1]の

n等 分 点(0=)A0,A1,…,Ak,…,An(=1) の 各Ak−1Akを

底 辺 と し て,y=x2の

フ を 挾 む2つ

の 長 方 形Ik,Ikを

 ,Ikの

高 さ .し

図85

グラ

つ く る こ と が で き る.こ た が っ て,I1,I2,…,In集

の 階 段'Snと,I2,I3,…,Inを

集 め て 得 ら れ る'下

の 階 段'Snの

与 え ら れ る.

Ｓnの 面 積

Snの 面 積

 注意12+22+32+…+n2=1/6n(n+1)(2n+1)で

あ る.

明 らか に Snの 面 積<Sの が 成 り立 ち,nが

際

面 積<Snの

大 き くな る と Sn,Sn面

と な る.実

の と きIkの

積→1/3

面積

高 さは

め て 得 ら れ る'上 面 積 は 次式 で

Snの

面 積=

同様 に Snの面積→1/3

この こ とか らSの 面 積が1/3で あ る こ とが結論 され た.

外 か ら の 面 積,内

  最 初 に 述べ た,y=f(x)の う.区

間[a,b]をn等

で あ る.前

グ ラ フ が 区 間[a,b]上 分 し て,そ

と 同 じ よ う に,長

の 線 分Ak−1Ak上

に2つ

を 立 て て,y=f(x)の

か らの 面 積

で つ く る図 形Sを

の 分 点 をA0,A1,…,Anと

考察 しよ

す る.

さb−a/n

の 長 方 形Ik,Ik グ ラ フ を 上 と下 か

ら挾 み た い の だ が,一 般 の 場 合 に は,y= ｘ,y=x2の

グ ラ フ と違 っ て 単 調 増 加 と

は 限 ら な い か ら,図86の

よ うにIk,  Ik

を つ く ら な くて は な ら な い.す Mk:区

間[Ak−1,Ak]に

f(x)の mk:区

最 大 値(こ

間[Ak−1,Ak]に

なわ ち お け る

図86

の 区 間 で の グ ラ フ の 山 の 頂 の 高 さ) お け るf(x)の

最 小 値(こ

の 区間 で の グラ フの谷

底 の 高 さ) とお い て,

とす る.

Ｉk:  Ak−1Ak上

の 高 さMkの

長方形

Ｉk:  Ak−1Ak上

の 高 さmkの

長方 形

Ikの 面 積 

Ikの 面 積

で あ る.  I1,I2,…,Inを f(x)の

併 せ て 得 ら れ る階 段 状 の 図 形Snは,区

つ くる 図 形Sに

対 す る'上

間[a,  b]に

お い てy=

の 階 段'

と な っ て い る.   同 様 にI1,I2,…,  Inを 併 せ て 得 られ る 階 段 状 の 図 形Snは, Sに

対 す る'下

の 階 段'

と な っ て い る.

Snの 面積 Snの 面積

図87

で あ って Snの

面 積 ≦Snの

面積

で あ る.   nを ど ん ど ん 大 き くす る と,Snは Aに,ま

たSnは

し だ い に 小 さ くな り な が らあ る 決 ま っ た 値

し だ い に 大 き くな りな が ら あ る 決 ま っ た 値Bに

られ て い る.B≦Aが

近 づ く こ とが 知

常 に 成 り立 つ.

  い わ ば,AはSの'外

か ら の 面 積'で

あ り,BはSの'内

か ら の 面 積'で

あ

る.

Sの

  関 数y=f(x)と 面 積'と

い っ て も,実

き,Sは

面 積 を もつ と い い,こ

  し か し,私

積

に 複 雑 な も の も あ る か ら,私

は どの よ うな も の か を,は

  【定 義 】 '外 か ら の 面 積'Aの

面

っ き り決 め て お い た 方 が,紛 れ が な くて よ い.

値 と,'内

か ら の 面 積'Bの

の 一 致 し た 値 をSの

達 が こ こで 取 り扱 う関 数 は,そ

の グ ラ フ の つ くる 図 形Sは い い 方 で 述べ れ ば,連

達 が 考 え る'Sの

値 とが一 致 す る と

面 積 と い う.

れ ほ ど 複 雑 な も の で は な い の で,そ

す べ て 面 積 を も っ て い る.も

う少 し は っ き り と し た

続 関 数 の グ ラ フ の つ く る 図 形Sは,必

ず面 積 を も ってい

る.

  これ か らは,面 積 とい うと きには,い ま まで述 べ て きた よ うな,グ ラ フを挾む 階 段 状 の 図形 の面積 の極 限 の値 として考 え る こ とにす る.

問1 y=x2の

グ ラ フ と,  x軸,直

線x=1, 

x=2で

囲 まれ る図 形 の面積 を求 め

よ. 問2 

13+23+33+…+n3=n2(n+1)2/4と

と,x軸, 

y軸,お

い う結 果 を 用 い て,y=x3の

よ び 直 線x=1に

グ ラ フ

よ っ て つ く ら れ る 図 形 の 面 積 を 求 め よ.

Tea

Time

グ ラフ が面 積 を もた な い関数 の例  ふ つ うの 関 数 の グ ラ フを か い て も,そ か ら,面

の つ くる 図 形 は す べ て 面 積 を も っ て い る

積 を も た な い よ うな 例 を つ くる に は,よ

(は い け な い だ ろ う.そ

ほ ど複 雑 な 関 数 を も って こ な く

の よ うな 複 雑 な 関 数 の 例 を1つ

与 え て お く.

 い ま

f(x)={ と 定 義 さ れ た 関数y=f(x)を

1,xが

無理数

0,xが

有理 数

考 え る.数

直 線 上 で,無

理 数 を 表 わ す 点 と,有

理

数 を 表 わ す 点 は,水

の 中 の 水 素 原 子 と 酸 素 原 子 の よ うに ま じ り合 って 存 在 し て い

る か ら,y=f(x)の

グ ラ フ は,無

い て み せ る わ け に は い か な い.し

限 に0と1と か し,ひ

積 と い う も の を 考 え る こ と が で き る.こ さ1で Mk=1と

あ る(ど

ん な 区 間Ak−1Akを

な る か ら).'下

と っ て も,そ 区 間[0,1]上 面 積'は0と

の 階 段'は

を 往 復 し て お り,こ れ を 現 実 に か

と ま ず(頭

の グ ラ フに 対 す る'上

常 に 高 さ0で

で 考 え た こ の グ ラ フの 場 合,'外 の2つ

ラ フ の つ く る面

の 階 段'は

常に高

と って も,そ の 中 に 無 理 数 を 表 わ す 点 が あ り, あ る.(ど

の 中 に 有 理 数 を 表 わ す 点 が あ り,mk=0と

な り,こ

の 中 で)グ

の 値 は 一 致 し な い.

ん な 区 間Ak−1Akを

な るか ら).し

か ら の 面 積'は1で,'内

た が って, か らの

質 問  面 積 な ど,疑 う余 地 の な い概 念 と思 って い ま した が,複 雑 な 曲 線 で囲 まれ た 図 形 を 考 え てみ る と,面 積 とい うも のを,実 は よ くわ か って い ない の だ とい う こ とを 感 じま した.こ

こで の 説 明 は,大 体理 解 した つ も りで す が,面 積 を こんな

に 難 し く定 義 して し ま って,こ れ で 本 当に 半 径rの 円 の面 積 が πr2であ る こ とが 示 され るの か と,心 配 に な りま した. 答  心 配 の点 は も っ と もな こ とで あ る.こ こで与 えた 面 積 の 定義 で は,分 点 の数 を増 や し て い くと,階 段 状 の 図形 は ます ま す細 か くな って,こ の面 積 は,求 め た い 図形 の面 積 に限 りな く近 づ い て い く.し たが って,コ 形 の面 積 を算 出 す る プ ログ ラ ムを入 れ て お けば,い

ン ピ ュー タに 階段状 の 図

くらで も よい 近似 値 を示 し て

くれ る だ ろ う.だ が,近 似値 の精 度 を い くら よ くしてみ て も,た とえば,円 の面 積 が ち ょ うど πr2であ る とい うこ とを証 明 した こ とに は な らな い.   与 え られ た 図形 の面 積 を厳 密 に 求 め る方 法 は別 に あ る.こ れ につ いて は,第20 講 で述 べ る.円 の面 積 が πr2であ る こ との 証 明は,第21講

で 与 え る.

第19講 定

積

分

テー マ

◆ 和 の記号:Σ ◆ 定積分∫ba  f(x)dxの定義 ◆ 定積分の符号 ◆ 定積分の和 の公式

和の記号 Σ   ある一 般的 な 規 則 で並 ん で い る数列 や,式 の系 列 を順 次加 え る とき,和 の記 号 Σ が よ く用 い られ る.   【例 】  (左辺 の式 はk=1か

ら始 め て,k=nま

で加 え る とい うこ とを意 味 して い る)

  【例 】  【例 】

定積分の定義   これ か ら 取 り扱 う関 数 は,す だ か ら,以

下,面

  区 間[a,b]で,  の 面 積 を,記

べ て,グ

ラ フのつ くる図形 が面 積 を もつ もの だけ

積 を もつ と い う こ と を 特 に 断 ら な い. f(x)≧0の

と き,[a,b]上

でy=f(x)の

号で

で 表 わ し,f(x)のaか  面 積 の定義 か ら

らbま

で の 定 積 分 と い う.

グ ラ フ の つ くる 図 形

(1)

で あ る.こ

こ で 右 辺 のlimの

右 側 の 点Akに

お け るfの

中 は,[a,  b]をn等

分 し た と き,各

分 点Ak−1Akの

高 さ を と っ て つ く った 長 方 形 の 面 積 の 和 を 表 わ して い

る.   注意 深 い 読 者 は,前 講 では,長 方 形 の高 さは,mk,Mkと 思 うか も しれ な い が(図87参

い う特 別 な ものを と った の に と

照),面 積 を もつ と仮 定 し て おい た か ら,1/nΣmkも1/nΣMk

も同 じ値 に近 づ く.し たが って 間 に 挾 まれ て い る

も同 じ値 に 近 づ き,上 の定 義 で さしつ か え な い の であ る.   こ こで,f(x)≧0,a
い う制 限 も は ず して,任

で の 定 積 分 を 定 義 し た い.そ

辺 の 式 を 見 る 限 り,ひ

の た め(1)式

意 の 関 数f(x)に

と ま ず 面 積 の 概 念 は 消 え て,fと, 

表 わ さ れ る 式 と な って い る.し

た が っ て,こ

対 し て,

の 右 辺 に 注 目 し た い.右 a,bだ

け与 えれ ば か き

れ を新 し い定 義 の 出発 点 として採 用

す る こ とが で き る.   【定 義 】

任 意 の 関 数f(x),お

よ び 任 意 のa,bに

対 し て, f(x)のaか

らbま

で

な る.し

た

の 定積 分 を

(2) に よ り定 義 す る.

定積分 の符号 a=bの

とき,定 積 分 の定義 の 右辺 の式 はb−a/n=0に

が って

(3)  次 に

よ り,0と

(4)

を 示 し て お こ う. 

を定義に

従 っ て がか くと

(5) で あ る.こ

の 右 辺 と(2)式

の右辺 を 見

比 べ る と,a−b/nとb−a/nは

符 号 だ け

が 違 っ て い る.Σ

の 中 は,aとbの

のn等

方 か らaの

分 点 を,bの

で い くか,aか

らbの

方 形'を

方 へ読 ん

方 へ 読 ん で い くか

の 違 い に す ぎ な い(も Ak−1,Akの

ち ろ ん,分

つ く る 線 分Ak−1Ak上 立 て る場 合,(2)式

で は 右 端 のfの

間

点

で'長

と(5)式

値 を と るか,左

端 のfの

図88

値 を とるか の違 い は生 ず る.こ れ が 極 限 を と った と きの値 に影響 しな い こ とは, 前 に述 べた注 意を参 照 の こ と).し たが って と dxと が異 な るだ け で あ る.こ れ で(4)式

 上 の関 係 は定 義(2)か

ら,下

が 証 明 され た.

の関 係 は,こ

の結 果 と(4)式

る.

定 積 分 の 和 の公 式

 次 の公 式 が 成 り立つ.

は符 号

か らす ぐにわ か

(α,βは 定 数) 

(6)

(7)

  公 式(6)は,(2)式

を 用 いて

が 成 り立 つ か らで あ る.  厳 密 にい う と,2番 して よい ことや,Σ

目の 等式 か ら3番 目の等式 に移 る とき,limの を 分 け てlimを

外 に,定

この よ うな こ とが許 され る ことは,実 は証 明す る こ とが で きる(第24講   公 式(7)が ばa
成 り立 つ こ と は,た と き に は,直

の よ うに して わ か る.区 等 分 点 の,各 （y=f(x)の

と え

観 的 に は次

間[a,c]のn

線分 上 に 立 て られ た 長方 形 グ ラ フ の 階 段!)を,[a,b]

上 に 底 辺 が あ る も の と,[b,c]上 が あ る も の と の2つ

に 分 け る.そ

に 底辺 こで

n→ ∞ と す る と,分

点 の 間 の幅 は 一 斉 に

細 くな り,結 局,極

限∫ca  f(x)dxの

値 は

2つ に 分 け ら れ て

と な る.   し か し,こ

こ で も 厳密に い え ば,た

数 α,βを 出

とって も よい こ とな どを,暗 黙 の うちに 使 ってい る.

とえば

図89

参 照).

を い ま述 べ た よ うに 証 明 し よ う と す る と,区 と き,必

間[0,2]のn等

分 点A0,A1,…,Anを

とった

ず あ るkで

とな り,線 分Ak−1 Ak上に 立 て た 長方 形 の底 辺 は,[0, ]と[

,2]の 両 方 に また

が って,こ の長 方 形 を どち らの組 に 入 れ て よい かわ か らな くな る.実 際 は,nを

どん どん

大 き くし て い く と,こ の よ うに両 方 の 区間 に また が っ て い る長 方 形 の面 積 は い くらで も小 さ くな り,結 果 に影 響 しな くな って くる.

を 示 せ.

問1  問2  前 講 の 結果 を用 い て

を 求 め よ.

Tea

Time

定 積 分 に 関 す る1つ の不 等 式   い ま 関 数y=f(x)が,区

間[a,b]で

を満 た して い る とす る.こ の とき不等 式

が成 り立 つ.   この不 等 式 は,グ

ラフ の上 か らは ほ と

ん ど明 らか で あ ろ う(図90参  証 明 をす る とす れ ば,定

照).

義 式(2)に

戻 らな くて は な らな い.仮 定 に よ り

だか ら

した が って

図90

両 端 に あ る 式 は,nに

よ ら な い こ とに 注 意 してn→

∞ とす る と

が 得 ら れ る.

質 問  定 積 分 の記 号∫baf(x)dxは,いつ

の ま にか見 なれ て しまい ま したが,改 め

て 見 直 す と,僕 な ど には とて も思 いつ きそ うもな い記 号 です.誰 が この記 号 を考 えた の で す か. 答  この 記 号 を創 案 したのは,ラ 和 の 記 号 Σ,も

イプニッ ツで あ る といわ

て い る.記 号∫は,

う少 し詳 し くい うと,ラ テン 語 の '和',summaの

頭 文 字Sに

相 当 す るギ リシ ャ文 字 Σ(シ グマ)を 変形 した もの で あ る とい う.し た が って記 号∫baf(x)dxは,高さf(x)と,微

小 な長 さ'dx'(も

ちろん,こ

の い い方 に正

確 な 意 味 は な いが)を かけ て,加 え合 わ せ る こ とを示 唆 して い る.ラ イ プニ ッツ とい う数 学者 は,'数 学 の秘 密 はそ の記 号 に あ り'と い う言葉 を 残 して い る こ と か らもわ か る よ うに,数 学 にお け る記号 の もつ 意 味 を よ く知 って いた.

第20講 定積分 と不 定積分 テー マ

◆ 定 積 分 に よ って表

され る関数G(x)=∫xaf(x)dx

◆G′(x)=f(x) ◆ 定 積 分 と不 定 積 分 の関 係 ◆ 微 分 ・積 分 法 の基 本 定 理

定 積 分 に よ って表 わ され る関 数   関 数y=f(x)が

与 え ら れ た と き,aを1つ

とめて

(1) と お くこ と に よ り,新 し い 関 数G(x)が 得 られ る.前 講(3)式

により

G(a)=0 

(2)

で あ る.   図91で 示 す よ うに,f(x)>0な xがaか G(x)はaか 示 し,こ 方,x
らば,

ら 出 発 し て 大 き く な る と き, らxま め 値 はxと

で の グ ラ フ の面 積 を と も に増 加 す る.他

ら ばG(x)<0と

図91

な って い る こ とに 注 意 し よ う(第19講,(4)式

参 照).

定 積 分 に よ って 表 わ さ れ る 関 数 の 微 分

  (1)式

に よ っ て 定 義 さ れ た 関 数G(x)を

微 分 す る こ と を 試 み よ う.

い ま,区 M,最

間[x,x+h]に

小 値 をmと

が 成 り立 つ(前

h→0と

す る.こ

m→f(x)と

な る.ゆ

の 両 辺 はf(x)に

照).し

間[x,x+h]は

近 づ く.し

最 大 値 を

の と き不 等 式

講Tea  Time参

す る と,区

な って1点xに

お け るf(x)の

た が って

しだ い に小 さ く

た が っ て ま たM→f(x),

え にh→0の

近 づ き,結

と き,上

図92

の不 等 式

局 G′(x)=f(x) 

(3)

が 示 され た.   す な わ ち,関(1)を

微 分 す る と,も

と の 関 数 に 戻 る.

定 積 分 と不 定 積 分

  f(x)の

原 始 関 数F(x)を

任 意 に1つ

1つ の 原 始 関 数 と な っ て い る.し

と る.(3)式

に よ り,G(x)もf(x)の

た が っ てF(x)とG(x)の

だ け で あ る. G(x)=F(x)+C (2)式

に よ りG(a)=0.し

た が って F(a)+C=0,C=−F(a)

ゆえに G(x)=F(x)−F(a) x=bと

お い て,G(x)の

定 義 式(1)に

戻 る と,結

局

違 い は,積

分定 数

(4) が得 られ た.(4)式

の 右辺 を 

  【例1】y=xn(n=1,2,…)を

xnの

上 のf(x)に

原 始 関 数 をF(x)と

特 にa=0,b=1を

と表 わ す こ と もあ る.

し て 

と る.こ

を と り,(4)式

の とき

を適用 す る と

とる と

こ の 式 は,y=xnグ

ラ フ が 区 間[0,1]で

と を 示 して い る.n=1,2の

場 合 が,第18講

つ くる 図 形 の 面 積 が1/ n+1で

あるこ

で 計 算 し た もの と な って い る.

例1例2例3 図93  【例2】y=sin 

xの

グ ラ フ が,0≦x≦

π で,  x軸 とつ く る図 形 の 面 積 を 求 め

よ.  求 め る 面 積 は

で 与 え ら れ る.∫sinxdx=−cosxだ

がか ら,(4)式

によ り

  【例3】 y=1/xの

グ ラ フが,1≦x≦eでx軸

と囲む図 形 の面積 を 求 め よ.

したが って求 め る面積 は

微 分 ・積 分 法 の 基 本 定 理   公 式(4)を,微

分 ・積 分 法 の基 本公 式,ま た は基 本定 理 とい う.

  この基 本定 理 の示 して い る こ とは,上 の例 で も示 した よ うに,関 数 の グラ フが つ くる図形 の面 積―

定 積 分―

を,微 分 の逆 演算―

不 定 積分―

に よ って 求

め る こ とが で き る とい うこ とで あ る.   定積 分 を生 ん だ母 胎 は,面 積 の考 えで あ る.一 方,不 定 積分 を生 ん だ母 胎 は, 微 分 の概念 で あ って,そ れ は さか のぼ れば,グ ラ フの1点 に おけ る接 線 の傾 きで あ る.グ ラ フの面 積 は,関 数 の大域 的(global)な に反 し,微 分 は,関 数 の 局所 的(local)な

挙動 に かか わ って い る.そ れ

性 質 だけ に 注 目 して い る.微

分 ・積

分 法 の基本 公式 は,関 数 の この よ うな大域 的 な様 相 と,局 所 的 な様 相 とが,こ の 公 式 に よ って結 ばれ て い る こ とを 示 して い る.   また,面 積 の考 え は,エ ジ プ トの測 量 術 に までそ の源 をた どれ る よ うな,古

く

か らあ った 基 本的 な考 えで あ る.し か し,与 え られた 面積 を 具体 的 に計 算す る こ とは,非 常 に難 しい問 題 で あ った.他 方,不 定積 分 は,微 分 の逆 演 算 として比 較 的計 算 は簡 単 であ るが,グ

ラフの性 質 と,ど の よ うに関係 してい るか は,あ ま り

明 らか な ことでは なか った.す なわ ち,定 積 分 の考 えは,明 快 で あ るが,計 算 し に く く,不 定積 分 の方 は計 算 は しや す いが,そ の グラ フに対す る意味 は,判 然 と しなか った.微 分 ・積 分法 の基 本公 式 は,い わ ば そ れ ぞ れ の もつ長 所 と短 所 と を,互 い に補 うよ うな形 で,2つ

の ものを 等 号で結 んで い る.

  この定理 の もつ 意味 は,ま こ とに深 い もの が あ る.

問1  y=x2−6x+5の

グ ラ フがx軸

と囲 む 図形 の面積 を 求 め よ.

問2  原点 を通 る直 線y=(e−1)xとy=ex−1の

グラ フに よ って囲 まれ る図形 の

面 積 を 求 め よ. 問3 

y=cosxとy=sinxの

グ ラ フ に よ っ て 囲 ま れ る 図94の

部 分 の面積 を求 め

よ.

図94

Tea

質 問   微 分,積 が,そ

分 は,ニ

ュ ー トン と ラ イ プ ニ ッ ツ に よ り創 始 さ れ た と 聞 き ま し た

れ は い つ 頃 の こ と だ っ た の で し ょ うか.

答  ニ ュ ー トン は1642年 ジ に い た1665年 た.ニ

Time

に 英 国 に 生 ま れ た.ニ

か ら1666年

ュ ー トン が ト リニ テ ィ ・カ レ ッ

は ペ ス トが 流 行 し,カ

レッ

ュ ー トン は 田 舎 に 帰 っ て 思 索 に 耽 る よ うに な っ た が,微

着 想 は す で に こ の と き 得 て い た と い う.1670年 つ か の 論 文 を か い た.し す る 大 き な 仕 事 を,解

の 物 理 学,天

文学 に関

析 的 な 方 法 に よ っ て 総 合 し た 不 朽 の 著 作 『プ リ ン キ ピ ア

  ラ イ プ ニ ッ ツ は,1646年 ン に お くれ る こ と約10年 達 し,1676年

積 分学 の基 本的 な

代 にな って 微積 分 に 関す る い く

か し これ ら の 成 果 に 基 づ い て,彼

(自 然 哲 学 の 数 学 的 原 理)』 が 公 刊 さ れ た の は1687年 ラ イ プ ツ ィ ヒ に 生 ま れ た.ラ で,ニ

ま で に は,ニ

ど 同 じ 成 果 を 得 て い た.1686年 を,明

ジは 閉鎖 され て し ま っ

確 な 形 で 述 べ て い る.

の こ とで あ った. イ プ ニッ ツは,ニ

ュー ト

ュ ー トン と は ま っ た く独 立 に 微 積 分 の 考 え に 到

ュ ー トン が そ の 数 年 前 ま で に 得 て い た もの と ほ と ん の 論 文 で は こ こ に 述 べ た 微 分 ・積 分 の 基 本 定 理

第21講 円の面積 と球 の体積 テー マ

◆ 円 の面積 と定積分 ◆ 不定積 分  ◆ 回転体 の体積 ◆ 球 の体積

円の面積 と定積分   半 径rの 円 の面 積 が πr2に等 しい こ とを,定 積 分 を用 い て示 してみ た い.も っ と も,半 径rの 円 は,半 径1の 円をr倍 相 似 拡大 す る こ とに よって得 られ,面 積 比 は相 似比 の2乗 だか ら,半 径1の 円の面 積 が πで あ る こ とを示 せ ば よい.し た が っ て以 下 では 「半 径1の

円 の面 積 は π で あ る 」

こ とを,定

積 分 を 用 い て 証 明 す る.

  さ て,原

点 中 心,半

径1の

x2+y2=1  で 与 え られ る(x=cosθ,y=sinθ 出 し て お こ う).こ

部)は,円

円 の方 程 式 は (1) の ことを 思 い

の 円 の 右 上 半 部(図95の

斜線

図95

全 体 の1/4を 占め て い るか ら,こ の 面積 がπ/4であ る ことを示 そ う.こ

の 右上 半 部 の グ ラ フは,(1)式

をy≧0で

解いて

で 与え られ て い る.   したが って,求

め た い 面積 は,0か

ら1ま で の この関 数 の定 積 分 の値 に等 し

い.結 局,私 達 が 証明 した いの は次 の 事 実 で あ る.

(?)

不定積分   微 分 ・積 分 法 の基 本 定理 に よれ ば,(?)を が 求 め られ れば よい.こ

の不 定積 分 は,部

示す には,不

定 積分 

分積 分 を用 い て次 の よ うに 求 め られ

る.

(部分積 分) (合成 関数 の 微分)

(式の 変形)

この最 後 に得 られ た式 の2項 目を左 辺 に移 項す る こ とに よ り,

私 達 は, 

で あ る こ と は す で に 知 っ て い る(第16講(Ⅵ)).

した が っ て

(2) が 得 られ た.   注 意  実 際 は,こ の式 を 用 いて 定 積分 を 計算 す る ときx=1で の値 が入 用 とな り,し た が って上 の 計算 で  で割 って い る所 に,は っ き り と した意 味― 極 限 と して の意 味 ―

をつ け ない とい けな い のだ が

,そ の よ うな論点 の 細部 に は立 ち 入 らない.

(?)の 証 明  (2)式 を用 い れ ば,(?)の

これ で(?)が

証 明 は簡 単 で あ る.

証 明 さ れ た.

 つ い で なが ら図96で,∠AOC=π/4と

す る と,弧 状 三 角形OBCの

面積 は,1/2×π/4=π/8であ る.一 方 この面積は と弧状 三 角 形ABCの

△OACの面積(=1/4)

面 積 を 加 え て得 られ るは ず で あ る.す

なわ ち

次 の等 式 が 成 り立 つ は ず で あ る.

これを実際確かめ てみ ることは1つ の演習問題 になる.

図96

回転体 の体積

  半 径1の 球 の体 積 が4/3π で あ る こ とを 示 した い の だ が,球 と し て 回 転 し て 得 られ る 立 体 で あ る.し

は,円

を 直径 を 軸

た が っ て こ こ で は 問 題 を 一 般 に し て,ま

ず 回 転 体 の 体 積 を 求 め る 公 式 を つ く っ て お こ う.   関 数y=f(x)は,区

間[a,b]でf(x)≧0を

を,x軸

間 の 中 で1回

を 軸 と し て,空

満 た す と す る.い

転 す る と,回

転 体Vが

ま この グ ラフ

得 ら れ る.Vの2

つ の 底 面 は 円 で あ っ て,両 端 の 線 分x=a,0≦y≦f(a)と,x=b,0≦y≦f(b) を 回 転 し た も の と な っ て い る(図97).   区 間[a,b]をn等

分 し て,そ

の分 点 の座 標 を

(a=)x0,x1, x2,…,xk,…,xn(=b) と す る.こ

こで

(3) で あ る.   図98の え る.

よ う に,xk−1,xkの

間 に あ る 回 転 体Vの

部 分 を 薄 い 円 板Wkで

お き換

 

図97 Wkは,厚さb−a/ い てWkの

n,底面

図98

は 半 径f(xk)の

円 で あ る.し

た が っ て(3)式

を用

体積 は

で 与 え られ る.   W1,W2,…,Wnを

集 め て 得 られ る立 体Wは,円

よ うな形 を してい るが,Wは る とい って よい.Wの

いわば,立

体Vを

板 を 横 に並 べ て貼 り合 わ せ た 近 似 す る'円 板状 の階 段'で あ

体積は

で あ る.   nを 大 き く し て,分

点 の 個 数 を 増 や し て い く と,Wは

しだ い に 回 転 体Vに

近

づ い て い くだ ろ う.し た が って

Vの 体 積= と な る.こ 関 数 の,aか

の 右 辺 を,第19講(1)式 らbま

  した が って公 式

と 見 比 べ る と,右

で の 定 積 分 の 値 とな っ て い る.

辺 は,π{f(x)}2と

い う

Vの 体 積=

が 証 明 され た. 球 の 体 積   原点 を中 心 とす る半 径1の 円 の上 半 部 は

の グ ラブで 与 え られ る.こ れ をx軸 を軸 として 回転 す る と,半 径1の 球 が得 られ る.し た が って上 の公 式 か ら,半 径1の 球 の体積 は

これ は よ く知 ら れ た 結 果 と な っ て い る.

Tea

グ ラフ をy軸

Time

を軸 と して 回 す と―

  こ こ で は 例 題 を 示 し て お こ う.y=x2の

グ ラ フ の0≦x≦1/2の

と して 回転 して 得 られ る回 転 体 をV1,y軸 をV2と

す る.V1とV2は,ど

部 分 をx軸

を軸

を軸 と し て 回 転 して 得 られ る 回転 体

ち ら の体 積 が どれ だ け大 きい だ ろ うか.

  図 で 見 る とわ か る よ う に,V1に

比 べ てV2は,底

を して い る.公 式 か ら V1の 体 積=

図99

が 浅 く広 い 水盤 の よ うな 形

V2の 体 積 を 求 め るに は,  y軸 の方 か ら グ ラフ を 眺 め る必 要 が あ る.す x= 

なわ ち

に対 して公 式 を 使 う. V2の 体 積

した が ってV1の

体 積はV2の

杯 分 の水 が,水 盤V2に

入 る.

体積 の1/5で あ り,い い換え れ ば,コッ

プV1の5

第22講 関

数

の

例

テー マ

◆ 連続関数 ◆ 定義 域 と連 続性 ◆y=sin1/xの

グラフ

◆y=x sin1/xの

グ ラフ

  この 講 は,幕 間 の よ うな講 で あ って,い

くつか の 関 数 の例 を示 す こ とに よ り,

関 数 概 念 を も う少 し豊 か な もの とした い とい う意 図 を もっ てい る. 連 続 関 数   関 数y=f(x)が

連続 で あ る とは,直

観 的 には グ ラフ が つ な が ってい る こ とで

あ る と考 えて ほ しい.グ ラ フが つ な が って い る とい う感 じを,数 学 では 次 の よ う に い い表 わ す. 変 数x(≠a)がaに る.こ

近 づ くと き,f(x)の

の と き,f(x)は,x=aで

f(x)は

値 がf(a)に

限 り な く近 づ く とす

連 続 で あ る と い う.各 点aで

連 続 関 数 で あ る と い う.

  こ の 定 義 で,グ

ラフのつ な が ってい る

感 じ が か な り よ く表 わ さ れ て い る と い う こ と は,た

と え ば,グ

ラ フが つ な が っ て

い な い と き の 例(図100)を こ の グ ラ フ で,xが き,f(x)の fの 値 は,こ

値 は1に

見 る と よい.

左 か らaに

近 づ くと

近 づ くが,実

際 の

こ で ジ ャ ン プ し てf(a)=2

図100

連 続 の と き,

と な っ て い る か ら,こ

の 近 づ く値 はf(a)

の 値 と 一 致 し な い.す x=aで

な わ ち,f(x)は

連 続 で な い.

 注意   1点x=aだ うだ け では,aの

け でf(x)が

連 続 とい

近 くで グ ラ フがち ぎれ ち ぎ

れ に な りなが ら,f(x)の

値 はf(a)に 近 づ い

てい くとい うこ ともあ る(図101).こ

の とき 図101

グラフ は もち論 つ なが っ てい ない.上 の連 続 性 の定 義 で,「 各点aで 」 とか い た と ころが大 切 なの であ る.   y=2x2+5やy=x3+3x2+6x−5な 関 数― logxも

ど の 関 数―

一 般 には 多項式 で 表わ され る

は す べ て 連 続 で あ る.y=ex,sinx,cosxも 連 続 で あ る が,こ

連 続 な 関 数 で あ る.y=

の 場 合 関 数 の 定 義 さ れ て い る 場 所 はx>0で

あ る.

定 義 域 と連 続性

 y=tanxは,x≠

±π/2,±3/2π,… の と ころで定義 され て お り定義 域 では連続関

数で あ るが,た とえばxが 左 か らπ/2に近 づ くときのyの 挙 動 を

と表 わ し,ま た 右 か らπ/2に近 づ くと きのyの 挙動 を

図102

図103

 

の よ うに表わ し,こ の 状 況 をy=tan

xはx=π/2で 不 連 続で あ る とい う(図102).

  多少違 った状 況 で あ るが,

は,x≠2の

と き は,y=x+2と

yは 定 義 さ れ て い な い.yの いx=2に

お い て,新

な る.し

か しx=2の

と き は,分

定 義 域 はx<2と2<xで

し く 値4を

母 が0だ

あ る.定

か ら,

義 され て いな

お

いて

と 関 数 を 定 義 す る と,f(x)は

至 る

と ころ 連 続 な 関 数 と な る(図103).

y=sin1/xは,x≠0の

と ころで 定

義 さ れ て い て 連 続 で あ る.y=0と

な 図104

るxは

に あ っ て,x=0に 近 くで は,限

密 集 し て い く.グ

りな く波 打 っ て,そ

い な いx=0に,ど

ラ フは 図104の

よ う に表 わ さ れ る. x=0の

の グ ラ フ を 描 くわ け に は い か な い.定

の よ うな値 を お い て み て も,こ

の 関 数 をx=0で

義 され て

連 続 とす る

こ と は で き な い.

 こ の グ ラ フ は,い

わ ばy=sin1/xの

っ た 様 相 を 呈 し て,波 は0と

波 頭 が,y=xと,y=−xで

長 が 短 くな りな が ら,原

定 義 し て 新 し く関 数

押 え られ てしま

点 へ と近 づ く.x=0の

と きの値

図105

を 考 え る と,f(x)は

図106

至 る所 連 続 な関 数 で あ る(図105).

  同 様 な関 数 で あ るが,

を 考 え る こ と もで き る.y=g(x)の

グ ラ フ は, y=x2とy=−x2の

間 を波 打 ち な

が ら 原 点 へ と近 づ い て い く(図106).   念 の た め,関 数y=f(x)とy=g(x)が,x=0で

微 係数 を もつか ど うか,定

義 に 戻 って

調 べ て お こ う.  f(x)に

つ い て:  fがx=0で

微 係 数 を もつ か ど うか は,極 限値

が存 在 す るか ど うか を見 る とよい.し か しy=sin1/xの

グ ラ フ を見 て もわ か る よ うに,こ の

右 辺 の極 限値 は 存 在 し な い.し た が っ てf(x)は,原

点 にお い て微 分不 可 能 であ って,微

係数 を もた な い.  g(x)に

つ いて:

した が って,g(x)は

原 点 に おい て 微 分可 能 であ って

  注 意y=g(x)の

よ うな複 雑 な形 を した グ ラフ に な って くる と,g′(0)が

g′(0)=0 接線の傾きを

与 え る とい って も,ふ つ うの 意 味 で考 え る接 線 の感 じ とは必 ず し も対 応 し な くな って き て, 直 観 的 な感 じ と,数 学 の定 義 が 少 し分 か れ て くる. 問1 1,x>0 0,x=0

sgn  x={

−1 ,x<0

の グ ラ フ を か け. 問2 

y=1/xsin1/xの

グ ラ フ は ど ん な 形 に な るか.

Tea

Time

2変 数 の 関数   座 標 平 面 上 の 各 点(x,y)に

対 し て,1つ

の 実 数 を 対 応 さ せ る 規 則 は,

z=f(x,y) と2変

数 の 関 数 と し て 表 わ さ れ る.こ

を,平

面 上 の 点(x,Y)に,'高

れ て い る と考 え る と,こ く こ と が で き る.グ

の対 応

さ'が 与 え ら

の 関数 の グ ラ フをか

ラ フ は 曲 面 の よ うな 形 に

な る.   た と え ば,z=x2+y2は2変 こ の グ ラ フは,図107の

数 の 関 数 で, よ うな曲 面 で表 わ さ

れ る.   関 数z=f(x,y)で,yを

定 数 と 思 って,

xで 微分 して 得 られ る 関 数 を∂z/∂xと か き,zのxに た とえば z=x3+5xy+y6 の場 合

図107

関す る偏 導 関数 とい う.

で あ る.同

様 に し て,zのyに

関 す る 偏 導 関 数 を 考 え る こ とが で き る.こ

の例 で

は

で あ る.

質 問   xが0に

が

近 づ く と き,xに

比 べ てx2の

方 が 速 く0に

速 く0に 近づ いて い きます.た とえばxが1/100の

り ま す し,x3な

ど1/000000の

近 づ き, x2よ

りx3の

と き,x2は1/10000と

よ うに 小 さ くな っ て し ます.し

な

た が って,0

に 速 く近 づ い て い く レ ー ス で は x,x2, x3, x4,…,xn…

と並べ る と,nが

大 き くな る ほ ど,前

す ご い ス ピ ー ドで0に

の も の を 引 き離 し て,後

近 づ い て い く こ と に な りま す.僕

に あ る関 数 の方 が

が お 聞 き し た い の は,こ

の どれ よ り も っ と 速 く0に 近 づ い て い く よ う な 関 数 が あ る か とい う こ と で す. 答   そ の よ うな 関 数 は 存 在 し て い る.た

と い う関 数 は,x→0(x>0)の にnを

大 き く と っ て も,xnよ

と き,ど

とえば

ん な

り も速 く0に 近

づ く こ と が 知 られ て い る.す

なわち

が 成 り立 つ.こ

常 な ス ピ ー ドで0

の よ うな,異

に 近 づ く関 数 が 存 在 す る こ とが,一 を 豊 か に し,ま

方 で は数 学

た 一方 で は数 学 を複 雑 な もの と

して い る の で あ る.

図108

第23講 極 限概 念 につ いて テー マ

◆'近 づ く'と い うこ と―

小 鳥 が 巣 へ近 づ く―

◆ 極 限概 念の数 学 的定 式 化 へ ◆ 極 限値 の定 義:ε-δに よ る定 式 化

'近 づ く'と い う こ と

  小 鳥が 巣 へ 戻 る様 子 を観 察 し よ う.大 空 の遠 くか ら飛 んで きた 小 鳥 は,巣 へ 向 か って一 直 線 に戻 って くるが,警 戒 してか,巣 の近 くへ くる と,す ぐに巣 に は 入 らな いで,巣 を通 り越 して も う少 し向 こ うまで 飛 ぶ.そ して適 当 な所 で引 き返 し て再 び巣 へ 向か うが,ま た巣 を 通 り越 して,も

う少 し先 まで 行 っ て引 き返 す.こ

の よ うに 巣を 行 き過 ぎて は戻 り,行 き過 ぎては戻 りとい う動作 を 繰 り返 し な が ら,し だ いに,巣 に近 づい て い く.   この小 鳥 の様 子 を,遠

くか らバ ー ド ・ウ ォッチン グして い る人 が い る.か な り

視 野 の広 い 望遠 レン ズを 通 して 眺 め てい て も,は じめ の うち は,小 鳥 は レンズ を 右 か ら左 へ 横切 って姿 を 消 し,し ば ら くして,今 度は 左か ら右へ と現わ れ て 姿 を 消 す.何 回か そ の よ うな ことを繰 り返 し てい る うち に,や が て小 鳥 の動 作 は完 全 に レン ズの視 界 の 中 に捕 え られ て,小 鳥 が行 きつ 戻 りつ しな が ら巣へ 近 づ く様 子 が わ か る よ うにな る.   も っ と巣 に近 い所 でバ ー ド ・ウ ォッ チン グ して い る 人は,標 準 レン ズの カ メ ラ で,同

じ小 鳥 の動 作 を観 察 してい る.い つ までた って も,小 鳥 は レン ズの視 界 を

右 か ら左,左 か ら右 へ と横切 って い る よ うで あ るが,じ っ と待 ってい る と,あ る 時 間が た った あ とで は,や は り小 鳥 の動 作 は レン ズの視 界 の 中 に完全 に入 って, せ わ し く往 復 しなが ら巣 へ 近 づ く模様 が わ か る.   す なわ ち,小 鳥 が 巣へ 近 づ くとい うこ とは,ど ん な に巣 の近 くに観 察 の焦 点 を

絞 って お いた とし て も,あ る時間 の のち に は,小 鳥 の動 作 は そ の視 界 の 中で完 全 に キ ャ ッチ され る とい うこ とで あ る. 1つ の 数 学 モ デ ル   い ま,観 測 し始 め てか ら,ち ょ うど3分 後 に巣 に 入 った この小鳥 の 飛翔 動作 の 数 学 的 モ デル として

(1)

で 与 え ら れ る 関 数 を 考 え よ う.こ を 示 す 変 数 で あ る.yは  (1)式

こ でxは

巣 箱 か ら何m離

の グ ラ フは,y=xsin1/xの

観 測 を 始 め た と き か ら,何 分 た った か れ て い るか を 示 す 変 数 で あ る.

グ ラ フ を,3だ

け 右 に 平 行移動

した もの で

あ る.

図109

数 学 的 な 定式 化   小鳥 の 観測 を始 め てか ら,時 間が3分 に近 づ くにつれ,小 鳥 が しだい に巣 に近 づ くとい う状 況 は,こ の 数学 モ デ ルで は,xが3よ に近 づ い て い くと き,y→0に

り小 さい方 か ら,し だい に3

な る こ とに対 応 して い る.上 に述べ た ことは,レ

ン ズの視 界 を十 分 小 さ くとって も(そ れ を 巣 を中 心 としてεmと す る),時

間が

3分 に近 くな る と(そ れ を3分 の δ秒前 か ら とす る),小 鳥 は この 視 界 の中 だ け を 動 くよ うに な る とい うこ とであ る.  す なわ ち

3−x<δ/60の

とき−ε
が成 り立 つ とい うこ とで あ る(δ/60とした のは単 位 を分 に と っ て い る か ら で あ

る).   こ こ で 正 数 εを ど ん な に 小 さ く と っ て も(視 も),正

数 δを 十 分 小 さ く とれ ば(観

界 半径 を ど ん な に 小 さ くと って

測 後 の 時 間 が3分

に 近 くな れば),必

ず(2)

式 が 成 り立 つ と い う論 点 が 重 要 で あ る.   い ま,小

鳥 の 話 か ら離 れ て,関

く右 か ら も3に

近 づ く と す る.そ

数(1)だ

け に 注 目 し,xは

うす る と,xが3か

左 か らだけ で は な

ら δ以 内 に あ る と い う こ と

は ｜3−x￨<δ と表 わ さ れ る(も

う δ/60に は こ だ わ ら な い!!).ま

た− ε
は,￨y￨<ε

と か い て も 同 じ こ と で あ る.   い ま ま で の 説 明 に よ り,関 数(1)に

正 数 εを 任 意 に1つ

お い てx→3の

と き,y→0と

い う状 況 は,

と っ た と き,

｜3−x￨<δ  の と き  ￨y￨<ε を 成 り立 た せ る よ うな 正 数 δが 必 ず 存 在 す る.

  注意  上 のい い 方 を も う少 し簡 略 化 して,「任 意 の正 数 εに対 して,あ る正 数 δが 存在 して￨ 3−x￨<δ  の とき  ￨y￨<ε が 成 り立 つ 」 とい うい い方 を す る こ とが 多 い.し

か し この慣 例 化 したい い 方 は,少

しわ か

りに くい 点 が あ るの で は ない か と思 う.

極 限 値 の 定 義

  関数y=f(x)が Aに

与 え ら れ た とす る.xがaに

近 づ く と き,関

近 づ く こ と を 次 の よ うに 定 義 す る.

正 数 εを 任 意 に1つ 0<￨x−a￨<δ 

と っ た と き, の と き ￨f(x)−A￨<δ

数 の 値f(x)が

を成 り立 た せ る よ うな 正数 δが 必ず 存 在す る. この ことが成 り立 つ とき

と表 わ し,xがaに

近 づ く と き のf(x)の

  こ の 左 辺 で0<￨x−a￨と

極 限 値 はAで

か い た の は,変

数xがa以

あ る と い う. 外 の値 を と りな が ら,aに

近 づ い て い く こ とを 要 求 し て い る の で あ る.

 【例1】 .実

際,こ の ときは,任意に 正数εが与 え られ た とき,

上 の条 件 を満 たす δと して εそ の も のを とる こ とが で き る.な ぜ な ら

と な る か ら で あ る.   【例2】 .実

際,こ

δ と してε/3を と っ て お く と よ い.な

の と き は 任 意 に 正 数ε が 与 え られ た と き,

ぜなら

とな るか らで あ る.  もち ろ ん.こ の左 辺 でε/3を とらな くとも,も っ と小 さいε/5やε/100をδと し て と る ことがで き る.な ぜ な ら,小鳥 の例 で いえば,時間 がε/3以内 に な る と, い ま 目にあ てて い る レンズ の視 界 εの 中 に小鳥 の姿が 全 部 入 って くるな らば,小 鳥 が もっ と巣 に近 づ いた時 間,ε/5(分)以 内かε/100(分)以 内 を とれ ば,当 然 この 時 間内 の小 鳥 の 姿 は全 部 レ ンズの 視 界 εの中 に 入 って い るか らで あ る.極 限 値 の 定 義 で,「 εに 対 して,δ が 存 在 す る」 とか い たが,こ あ り得 る こ とに注意 して お こ う.

の δの と り方 は,い ろ いろ

Tea

Time

質 問   前 か ら 聞 い て い た ε-δ論 法 の 最 初 の 部 分 を こ こ で 習 い ま し た が,半 解 で きた が,半

分 は ま だ よ くわ か ら な い と い っ た 気 分 で す.わ

分 の 中 に は,x→aな

ら ば, f(x)→Aと

分 は理

か ら な い と い う気

い えば 簡 明 に 済 む こ と を,ど

うし て ε-δ

式 の い い 方 に す る 必 要 が あ る の か とい う疑 問 が あ り ま す. 答  x→aな

ら ば,f(x)→Aと

か い た だ け で は,単

矢 印 → に お き換え た に す ぎな い.も は,私 ら,'近

達 の 空 間,時

ち ろ ん,あ

に,近

づ く と い うい い 方 を,

る も の が 何 か に 近 づ く と い う感 じ

間 の 中 の 行 動 の 中 に あ っ て,は

っ き り と把 え られ る も の だ か

づ く'と い う感 じ か ら 出 発 し た 推 論 が 誤 りを 導 く と い う こ と は,ふ つ うは

あ ま りな い の で あ る.し

か し,数

学 が 無 限 級 数 とか,複

積 分 し た りす る よ う に な って くる と,'近

づ く'と

雑 な 関 数 を 微 分 し た り,

い う概 念 を 明 確 に 定 義 し な く

て は 間 違 っ た 推 論 に 導 く とい う こ と も 起 き て く る.こ れ を 正 す 必 要 も あ っ て,ε-δ 論 法 は 前 世 紀 の 半ば 頃 か ら登 場 し て きた も の で あ る.   特 に,'近

づ く'と い う私 達 の 感 覚 は,数 学 の 中 に あ る 四 則 演 算 と は,ま っ た く

独 立 な 場 所 に あ る こ と を 注 意 し な くて は な ら な い.た →A,g(x)→Bな 問 に 対 し て,私 与 え る が,そ

ら ば,x→aの 達 の 直 観 は,あ

と え ばx→aの

と き, f(x)+g(x)はA+Bに ま り適 切 に 働 い て くれ な い.こ

と き,f(x)

近 づ くか と い う の 証 明 は,次

の 証 明 を 見 て も わ か る よ うに,ε-δ 式 の 極 限 の 表 現 法 は,私

講で

達 の近

づ く と い う感 覚 と数 学 の 形 式 を 融 和 さ せ る一 つ の か け 橋 と し て の 役 目 も果 し て い る の で あ る.

第24講 極限の公式 と連続関数 テー マ

◆ 極 限 の 公 式:和,差,積,商

とlimの 関 係

◆ 連 続 関 数 の定 義   fとgが

連 続 関 数 な らば,f±g,f・gな

どは連 続 関 数 とな る.

◆ 連 続 関 数 と,最 大 値,最 小値 ◆ 微分の公式の証明

極限の公式 とす る.こ

の と き 次 の 公 式 が 成 り立 つ.

(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) (Ⅳ)

公 式 の証 明

  (Ⅰ)と(Ⅲ)だ

け を 証 明 して お こ う.

  【(Ⅰ)の 証 明 】  に対

し て,

に よ り,任 意 に 与 え られ た 正数s

を 成 り立 た せ る よ うな 正 数 δ1,δ2が 存 在 す る(ε で は な く ε/2を と っ た の は,証 明 の 便 宜 の た め で あ る).δ1,δ2の

とな る か ら,し

小 さ い方 を δ とす る.そ

た が って

0<￨x−a￨<δ

の とき

εは任 意 の 正 数 で よか っ た の だ か ら,こ

を 示 し て い る.こ   【(Ⅲ)の

の とき

れ で(Ⅰ)が

の こ とは

証 明 さ れ た.

証 明】

  まず ε=1と して,

が 成 り立 つ よ う な 正 数 δ0を と る.し

たがって

0<￨x−a￨<δ0の が 成 り立 つ(こ

と き￨f(x)￨≦￨A￨+1 

こ で￨f(x)￨−￨A￨≦￨f(x)−A￨<1と

  εを 任 意 に 与 え ら れ た 正 数 とす る.こ

(*)

い う不 等 式 を 用 い た).

の とき

(**) を 満 たす 正 数 δ1と,

(***) を 満 た す 正 数 δ2を と る. δ と し て,δ0,δ1,δ2の 中 で 最 小 の も の を と る.そ   0<￨x−a￨<δ 0<￨x−a￨<δ

⇒(*),(**),(***)が のと き

の とき

同 時 に 成 り立 つ.し

たがって

<ε/2+ε/2=ε

εは任 意 の 正数 で よか ったか ら,こ の不 等 式 は

の ことを示 して い る,こ れ で(Ⅲ)が   (Ⅰ),(Ⅲ)の

証 明 され た.

上 の よ うな 証 明 が,ε−δ論 法 とい わ れ る も の で あ る が,こ の よ う な

論 法 を 強 調 す る と,微 分 ・積 分 へ の 関 心 を 減 じ さ せ る こ と に も な りか ね な い.読 者 は,証 明 の 大 体 の 輪 郭 を 理 解 す れ ば よ い の で あ っ て,む し ろ こ こで は,'近 づ く' とい う感 覚 的 な も の が,ε−δ式 の 定 式 化 を 通 し て,数

学 の 加 法 とか 乗 法 の 演 算 に,

い か に な じ ん で くる か に 意 を は ら っ て ほ し い の で あ る(前

講,Tea

Time参

照).

連 続 関 数 と そ の性 質

  連 続 関 数 に つ い て は,す

で に 第22講

で 述 べ た が,そ

こで は,ま

い う こ と に 対 す る 明 確 な 定 義 が 与 え られ て い な か っ た.極 で,改

だ'近

づ く'と

限 概 念 が 確 立 した 上

め て 連 続 関 数 の 定 義 を 述 べ る と次 の よ うに な る.

f(x)の f(x)は

定 義 域 に あ る 各 点x=aで, 

が 成 り立 つ と き,

連 続 関 数 で あ る とい う.

  極 限 の 公 式(Ⅰ),(Ⅱ),(Ⅲ),(Ⅳ)と

f(x)とg(x)が(同

この 定 義 か ら

じ定 義 域 を も つ)連

続 関 数 な らば,

f(x)+g(x),f(x)−g(x),f(x)・g(x) も 連 続 関 数 で あ る.ま

たg(x)≠0な

らば

f(x) /g(x) も 連 続 関 数 で あ る.

 さて,連 続 関数 に関 す る最 も基 本 的 な定 理 は 次の定 理 であ る.

  定理   区間[a,b]上 最 小値 を とる.

で 定 義 され た連 続 関数f(x)は,必

ず 最 大値 と

  この 定 理 は 簡 潔 に 述 べ られ て い るか ら,い 区 間[a,b]と

はa≦x≦bを

満 た すx全

くつ か の 注 意 を つ け 加 え て お こ う.

体 か ら な っ て い る.こ

も,考

え て い る 区 間 に 含 ま れ て い る こ と に 注 意 し よ う.ま

は,あ

るx0と

に あ って(こ た はbで

い う 点 がaとbの の 場 合,x0は

こ で 端 点aとb

た 「最 大 値 を と る 」 と

間

端 点aま

あ る 可 能 性 も 含 む)

f(x)≦f(x0) 

(a≦x0≦b)

が 成 り立 つ と い う こ と で あ り,「 最 小 値 を と る 」 と は,あ がaとbの

るx1と い う点

図110

間 に あ っ て(a≦x1≦b), f(x1)≦f(x)

が 成 り立 つ とい うこ と で あ る.   こ の と きf(x0)は に お け るfの

区 間[a,b]に

お け るfの

  こ の い か に も 当 り前 そ うな 定 理 も,厳 と,関

数fの

最 大 値 で あ り,f(x1)は

区 間[a,b]

最 小 値 で あ る. 密 に 証 明 し よ う とす る と,実

数 の連 続 性

連 続 性 を 巧 み に 組 み 合 わ せ て 証 明 し な け れ ば な らな い.こ

与 え る こ と は,こ

の 証 明を

こ で は 省 略 し よ う.

微 分 法 の公 式 の証 明

  極 限 の 公 式 が 得 られ る と,微   た と え ば 第7講

分 法 の 公 式 の 厳 密 な 証 明 が で き る よ うに な る.

で 与 え た 公 式(多

少 そ こで の 表 し方 と は 違 うが)

(Ⅰ)  (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x) は,次

の よ うに 証 明 され る.

  証 明:

(式 の変 形) (極 限の 公式(Ⅰ))

=f′(x)+g′(x)   極 限 の 公 式(Ⅲ)で,g(x)=定

数 と お く と,定

の 外 に 出 して よ い こ と が わ か る.こ

数 を か け る こ と は,limの

の こ と か ら,第7講

で 述 べ た も う1つ

記号 の微 分

の公式 (Ⅱ) (af(x))′=af′(x) を 証 明 す る こ と が で き る.   第9講

で 与 え た微 分 の公 式

(Ⅲ) 

f(x)g(x))′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)

は,す

で に そ こ で 大 体 の 証 明 を 与 え て お い た が,そ

が,極

限 の 公 式(Ⅰ)と(Ⅲ)で

あ っ た.極

の証 明 の 中で 暗 に使 った の

限 の 公 式 が 証 明 さ れ た の で,第9講

で の 証 明 が は じ め て 正 当 化 さ れ た の で あ る.

問1 

f(x),g(x)が

連 続 関 数 な ら ば,f(x)+g(x)も,f(x)g(x)も

また 連 続

関 数 と な る こ と を 示 せ. 問2 

y=f(x)が

な ら ば,合

連 続 関 数 で,z=g(y)が

成 関 数z=gof(x)も

実数 全 体 の上 で 定義 さ れ た 連 続 関 数

連 続 関 数 とな る こ と を 示 せ.

Tea

Time

質 問  極 限 の公 式 を 見 て思 った の で すが,関 数 を微 分 す る と きに は,f(x+h)− f(x)と,hで

割 る とい う演 算 が主 で,こ れ は四 則 演 算 で す.第1講,第2講

で

の話 を 思 い 出 して み る と,そ れ な らば微 積 分 は,有 理 数 の 範 囲で で きたの で は な い か と思 い ま した.微 積 分 を展 開 す るた め に実 数 が 必 要 で あ った 理 由 は ど こに あ った の で し ょ うか. 答   質 問 は,本 質 的 な 点 をつ い て い る.微 分 の定 義

で,重

要 な こ とは, 

あ る.定

積 分 で も,重

の 式 に あ る の で は な くて  要 な こ と は,階

を とった 点 に

段 状 の 面 積 を 考 え る こ と で は な くて,そ

の

極 限 を と った値 を考 え る こ とに あ る.微 積 分 を支 え る世 界 は,有 限 の量 を 四 則 演 算 して 得 られ る世 界 だ けで は な くて,極 限操 作 へ と移 って い って 得 られ る,い わ ば 無 限 の世 界 で あ る.し た が って,微 積 分 とい う学 問 の体 系 が 成 り立 つ た め に は,極 限操 作 が 自 由に で き る よ うな数 の世 界,第2講 づ くは ず の 数列(コ

ー シー列!)が,必

で の い い方 に な ら えば,近

ず 極 限値 を もつ よ うな数 の世 界 を 設定 し

て お くこ とが必 要 だ った ので あ る.実 数 は そ の要 求 を 満 たす 数 の体 系 で あ った. した が って実 数 の 上 で,微 積 分 を建 設 す る こ とが で きた ので あ る.有 理 数 の上 だ け だ った ら 

とか い て も,値 が あ る こ とも あ り,な い こ ともあ り,limを

公 式 を形 式 的 にか い てみ て もそれ は ほ とん ど意 味 の な い も ので あ った ろ う.

含む

第25講 平 均値 の定理 テーマ

◆ 連続性 と微分 性 ◆ ロルの定理 ◆ 平 均値の定理

連続性と微分性   y=f(x)が い.図111の

連 続 な 関 数 で あ って も,必 ず し も 微 分 で き る 関 数 で あ る と は 限 らな グ ラ フ は そ の よ うな 関 数 の例 を 与 え て い る.

(C)

(B)

(A)

図111

  図 の(A)は,y=￨x￨の い(hが

右 か ら0に

と −1と な り,一 て,こ

グ ラ フ で あ って,こ 近 づ く と,(f(h)−f(0))/hの 致 し な い).(B)は,グ

こで 接 線 の 傾 き は(有

な グ ラ フが つ な が っ て,そ

お く)が

値 は 常 に1,左

ラ フ が とが っ た 点(尖

限 の 値 と して)存

か ら0に 点)を

在 し な い.(C)は,2つ

近づ く もって い

の滑 らか

こ で 接 線 の 傾 きが 一 致 し て い な い 例 で あ る.

 も っ と複 雑 な 例 と し て は,第23講 と き はy=0と

の場 合原 点 で の微 係数 は存在 しな

あ る.こ

で 述 べ た 関 数y=xsin1/x(た の 関 数 は連 続 で あ る が,原

だ しx=0の

点 で微 分 不可 能 で あ

る.  注 意  (B)の

よ うな 例 で,さ らに尖 点 を グラ フ上 につけ 加 え てい くと,微 分 の で きない

点 を 多 くもつ 連続 関数 の例 を,い

くらで もつ くる こ とが で き る.実 は 尖 点 を どん どん と増

や し てい った とき の極 限の 状 況 に あ る連 続 関 数 を 考 え る こ と もで き る の で あ る.こ の よ う な連 続 関 数 の グ ラフを か くわ け に もい か ない し,ま た 想 像す る こ とも難 しい.こ

の よ うな

奇 妙 な連 続 関 数 は,各 点 で微 分 が で きな い'病 的 な'連 続 関 数 の例 を 与 え る.   しか し,

微 分 で き る関数 は,連 続 な 関数 で あ る. こ の こ と を 証 明 し て み よ う.   y=f(x)を

微 分 で き る関 数 とす る.こ

各 点x=aで

連 続 の こ とを 示 す と よ い.す

の 関 数f(x)が

連 続 の こ と を 示 す に は,

なわち

(1) が 成 り立 つ こ とを 示 す と よい.

に よ り,極

限 の 定 義 か ら,正

宜 上 εと して1を

数 εを 任 意 に 与 え た と き

と っ て お く―,必

― い ま の 場 合,証

ず あ る 正 数 δで,0<￨h￨<δ

明 の便

の とき

を 成 り立 たせ る もの が あ る.分 母 をはず して

この 式 か ら

こ こ でh→0と

す る と,f(a+h)−f(a)→0と

な る こ と が 得 ら れ,(1)式

が 示 され

た.

ロ ル の 定 理

  こ の 講 で は,以

下 微 分 で き る 関 数 だ け 取 り扱 うこ と に し,特

す る.   次 の 定 理 は,ふ

定 理   a
つ う ロ ル の 定 理 と し て 述 べ られ て い る.

し,関

数y=f(x)は

に 断 らな い こ とに

f(a)=f(b)=0 を 満 た す と す る.そ

の と き,a<x0
満 た す あ る点x0が

存 在 して

f′(x0)=0 が 成 り立 つ.

  【証 明 】y=f(x)は,微

分 で き る 関 数 だ か ら,連

等 的 に0―

し た が っ て グ ラ フ はx軸

だ か ら,x0と

し て,a,bの

[a,b]で   f(x)は

恒 等 的 に0で 恒 等 的 に0で

に 一 致 す る―

続 な 関 数 で あ る.f(x)が の 場 合 は,常

間 に あ る ど の 点 を と って も よ い.し

恒

にf′(x)=0

た が っ てf(x)は,

な い 場 合 に 限 っ て 証 明 す れ ば よ い. な い か ら,f(x)は[a,b]で

あ る い は 負 の 値 を と る 点 が あ る(も

正 の 値 を と る 点 が あ る か,

ち ろ ん 両 方 の 場 合 も 同 時 に 起 こ り得 る).い

ず れ の場 合 も 同 様 だ か ら,f(x)は[a,b]で 正 の 値 を と る 点 が あ る とい う場 合 を 考 え る こ と に し よ う.こ

の と き,第24講

る と,f(x)は,[a,b]の 値 を と るが,こ

あ る 点x0で

最大

の 仮 定 か ら,f(X0)>0と

り,し た が っ てx0≠a,≠bで   ま た,最

の定理 に よ

大 値 を と る 点x0で

図112

な

あ る. はf′(x0)=0と

  以 下 こ の こ と の 証 明:f(x0)はf(x)の

な る.

区 間[a,b]に

お け る 最 大 値 だ か ら,h>0に

対 し

f(x0−h)≦f(x0),f(x0)≧f(x0+h) が 成 り立 つ.こ

の左 辺 の不 等 式 か ら

ま た この右 辺 の不 等 式 か ら

この2式 を見 比 べ て,f′(x0)=0.   a<x0
か ら,こ

れ で 定 理 が 証 明 さ れ た.

 注 意   ロルの 定理 は f(a)=f(b)=A で あ って も,も ち ろ ん成 り立 つ(f(x)−Aに   ロ ル の 定 理 に つ い て の 解 説 は,Tea 

ロル の定 理 を適 用 す る と よい). Timeに

ゆ ず る こ とに す る が,図112を

見

て もわ か る よ うに,定 は,直

理 の述 べ て い る こ と

観 的 に は 簡 明 な こ とで あ る.

平 均値 の 定 理   ロ ル の 定 理 で の 最 初 の 条 件f(a)=f(b)=0 を 取 り除 くた め に は,図112か

ら 図113へ

と

移 行 す る と よ い.す

意 に 関数y=

図113

f(x)が こ の2点

なわ ち,任

与 え られ た と き,グ

ラ フ上 の2点A(a,f(a))とB(b,f(b))が

決 ま るが,

を通 る直 線の 方程 式 は

で あ る.そ

こで

(2) と お く と,F(x)は,直

線ABか

ら,y軸

に 平 行 な 方 向 で,f(x)の

グ ラ フの高

さ を 測 った も の に な っ て い る.   特 にF(a)=F(b)=0で

あ っ て,ロ

し た が ってa<x0
ル の 定 理 をF(x)に

適 用 す る こ と が で き る.

満 た す あ る 点x0で F′(x0)=0

が 成 り立 つ.(2)式

を 実際 微分 して

これで 次 の定 理 が証 明 され た ことに な る. a
す る.そ

の と きa<x0
満 た す あ る 点x0が

存在 して

が 成 り立 つ ．

  これ を 平 均 値 の 定 理 と い う.図113か ラ フの 上 で 主 張 し て い る こ と は,割 す る と い う こ と で あ る.

ら も 明 ら か な よ うに,平

線ABに

平 行 な 接 線 が,a,bの

均 値 の定 理 が グ 間 に必 ず存 在

  aとbの

間 に あ る 点x0は,適

当 な0<θ<1

に よって x0=a+θ(b−a)  と か け る.た

(3)

と え ば,x0がaか

の1/3の 場 所 に あ る と き に は,θ=1/3で

 したが って 平 均値 の定 理 に(3)式 0<θ<1を

図114

ら見 て,[a,b]

満 た す,適

あ る.

を代 入 し,分 母 を 払 って,移 項 す る と, 当 な θを と る と

f(b)=f(a)+(b−a)f′(a+θ(b−a)) 

(4)

と い う式 が 得 ら れ る.

Tea

Time

ロル の定 理 に つ いて   大 体,ど の微 積 分 の教科 書 を 広 げ てみ て も,ロ ルの 定理 は比 較 的 中心 的 な場 所 に おか れ て い て,そ の 重要 性 を 暗 示す る形 を とっ てい る.し か し,ど うして ロル の定 理 の よ うな簡 明な 定理 が,微 分学 に と って そ んな に重要 な のだ ろ うか.   それ を 知 るに は,微 分 の最 初 の 出発 点 に戻 って考 えて み る とよい.微 分 は,1 点 の ご く近 くの グ ラフの 模様 を,接 線 の 傾 き具 合 にお き換 えて,グ

ラ フの 様 子 を

調 べ よ うとす る.し か し,局 所 的 な様 子 を い くら詳 し く調べ て み て も,グ ラ フが 大 域 的 につ な が って い く模 様 は,原 理 的 に はわ か らぬ こ とだ ろ う.   '微分'と い う考 えが,効

果 的 に,い

に は,こ の 微 分 の もつ'局 所 性'を'大

ろ い ろ な問 題 の 解 決へ と働 いて い くため 域的'な

もの へ と変 えて い く転 回 点 が必

要 で あ る.こ の転 回点 の,最 初 の最 も基 本的 な形 が ロル の定 理 に よ って 与 え られ て い る.ロ ル の 定理 の条 件f(a)=f(b)=0は,aとbと

が い くら離れ て い て も よ

い の だか ら,大 域 的 な 条 件 であ る.こ の大域 的 な条 件 か ら,微 分 に 関す るあ る性 質 が導 か れ て い く点 が 重 要 な ので あ る.   もち ろん,得

られ た 結 果 は 「あ るx0が あ って,f′(x0)=0」

とい う漠 然 と した

形 で あ る.だ が,こ の 漠 然 とした形 で述 べ られ た点 に,'微 分'の もつ局 所 性 が反 映 し て い るの で あ って,そ れ はち ょ うど,近 づ いて 拡 大 して対 象を撮 影 す る よ う に焦 点 距 離 を 合 わ せた レンズで,遠

く離 れ た対 象物 を 写 す の に似 て い る.そ の と

き,ど こか に あ る こ と くらい はわ か るで あ ろ うが,ど こ にあ るか まで は,は っ き りと写 らな い だ ろ う.ロ ル の定 理 を 平均 値 の定理 の形 に書 き直 した場 合,こ の た と えで の像 の漠 然 と した姿 は,(4)式

で 「0<θ<1を

と」 とい う独 特 な 表現 で,い い表 わ され てい る.

満 たす,適

当 な θを とる

第26講 平 均値 の定理 とその拡 張 テーマ

◆ 平均値の定理 と関数 の増加,減 少の状態 ◆2階

の導関数

◆ 平均値の定理 の2階 の導関数までの拡張 ◆ テイ ラーの定理(2階 ◆ 極値 とf"(x)の

までの場合)

符号

◆ 近次式の観点か ら

平 均 値 の 定 理 と関 数 の 増 加,減 少   前 講 の 話 を 続 け て い く.ま ず 平 均 値 の 定 理 の(4)式 が,b
で,a
も 同 様 の 式 が 成 り立 つ こ と を 注 意 し て お こ う.(そ

の 場 合 に も 同 様 の 証 明 が 成 り立 つ こ と を 確 か め て も よい し,あ aとbを

仮 定 して いた れ を 見 る に は,こ る い は,(4)式

で

取 り換 え て,θ を1− θに 取 り換 え て み て も よ い.)

  した が っ てb=a+hと

お く と,hの

正 負 にか かわ らず

(1) と い う関 係 が 成 り立 つ.平 均 値 の 定 理 は,こ の 形 に か い て お い た 方 が 使 い や す い.   第8講

で 述 べ た こ と を 繰 り返 す こ と に な るが,関

で 増 加 の 状 態 に あ る と はc
数y=f(x)が,区

満 た す 任 意 のaとa+hに

間(c,d) 対 し

f(a)
間(c,d)でy=f(x)が

対 し f(a)>f(a+h)

が 成 り立 つ こ と で あ る.

減 少 の 状 態 に あ る とは,c<

  (1)式

でa
こ とに 注 意 す る と,次

の 結 果 が 成 り立 つ こ とが

わ か る.

区 間(c,d)でf′(x)>0な

ら ば,f(x)は(c,d)で

増 加 の 状 態 に あ る.

区 間(c,d)でf′(x)<0な

ら ば,f(x)は(c,d)で

減 少 の状 態 に あ る.

  た と え ば 上 の 結 果 は,仮 (1)式

定f′(x)>0か

か らf(a+h)>f(a)と

と 変 わ る と き に は,aでyは

極 大 値 を と る こ と が わ か る.実

加 の 状 態 か ら,減

通 り過 ぎ る と き,符

号 を − か ら+へ

を よ く見 る と,左

際y=f(x)はaを

少 の 状 態 へ と変 わ っ て い く,y′ がx=aを

と変 え る な ら ば,yはaで

2階

(1)式

た が って

近 くで

通 り過 ぎ る と き,増

あ る こ とが わ か る.し

にf′(a+θh)>0.し

な る か らで あ る.

  この こ とか ら,y′ の 符 号 が 点x=aの

  (1)式

ら,特

極 小 値 を と る.

の 導 関 数

辺 に あ るf(a+h)と

た が っ てf′(a+θh)に

よ く似 た 式f′(a+θh)が

右辺に

も う一 度 平 均 値 の 定 理 を 使 った ら,

は ど の よ うに な るか を 考 え て み る こ と は,自

然 な こ とで あ る.そ

れ に は,

f′(x)の 導 関 数 を 考 え る必 要 が あ る.   f′(x)が

導 関 数 を も つ と き,そ

導 関 数 と い う(第12講

とf′(a+θh)と

で 与 え ら れ る.こ

表 わ し,f(x)の2階

の

参 照).

  以 下 で は,f(x)が2階 の 代 り に,f′(x)を

の 導 関 数 をf"(x)で

の導 関 数 を も つ 場 合 だ け を 取 り扱 う.こ の と き,f(x) と っ て も 平 均 値 の 定 理 を 適 用 す る こ と が で き る.特

にf′(a)

の関 係 は

こ で θ1は,0<θ1<1を

満 た す 適 当 な 数 で あ る.こ の 式 を(1)

式 の右 辺 に代 入 して (2)

が 得 ら れ た.   この よ うな 式 の 意 味 は あ と で 述 べ る と し て も,さ の 式 で,あ

ま り性 格 の は っ き り し な い 数 ―

とで あ る.で

き る こ とな ら ば,こ

が 望 ま し い.上

の 結 果 は,平

る.そ

θ と θ1―

の よ うな 数 は,式

も登場 し て くる こ

の 中 に1つ

だけ現 わ れ る こ と

ル の 定 理 に戻 っ て,も

れ に よ って,(2)式

二度

う少 し 直 接 的 な 議 論 を

を も っ と簡 明 な 形 に ま と め る こ と が で き

れ を こ れ か ら 述 べ る こ とに し よ う.

テ イ ラ ー の 定 理(2階

  前 講 で,ロ (2)式

が2つ

均 値 の 定 理(1)を,y=f(x)とy=f′(x)に

適 用 し て 得 ら れ た も の で あ るが,ロ す る こ とが で き,そ

し あ た り問 題 と な る の は,こ

ま で の 場 合)

ル の 定 理 か ら 平 均 値 の 定 理 を 導 い た の と 同 様 の 議 論 を 行 な っ て,

と 同 様 な 性 格 を も つ 式 を 求 め た い が,今

い の で,多

度 は グ ラ フを 用 い る こ と が で き な

少 の 工 夫 は 必 要 で あ る.

  再 び,h>0と

しb=a+hと

お き直 す.そ

こ で 定 数Aを

f(b)=f(a)+f′(a)(b−a)+(b−a)2A  が 成 り立 つ よ うに 決 め て お く.こ

のAを

用 い て,新

G(x)=f(x)+f′(x)・(b−x)+(b−x)2A  に よ り定 義 す る.明

(3) しい 関 数G(x)を (4)

らか に G(a)=G(b)=f(b)

が 成 り立 つ.し a<x0
た が っ て ロ ル の 定 理(そ 満 た す,あ

の あ と の 注 意 も参 照)が

るx0で G′(x0)=0

が 成 り立 つ.   実 際(4)式

を 微 分 し てみ る と

した が って G′(x0)=(b−x0)(f"(x0)−2A)=0

ゆえに

適 用 で き て,

が 得 られ た.   これ を(3)式

に代 入 して公 式

が 得 られ た.   こ こ でb=a+h,x0=a+θh(0<θ<1)と

お くと

(5) が 成 り立 つ こ とが わ か る.   これ は 次 講 で 述 べ る テ イ ラ ー の 定 理 を,2階 っ て い る.こ

の 式 は,hの

べ る と,(5)式

は,実

  い ま,f′(a)=0が と え ば(a−

と な る.こ

正 負 に か か わ らず 成 り立 つ.(5)式

を(2)式

と見 比

に 簡 明 な 形 に な っ て い る こ と に 気 が つ くだ ろ う.

極 値 とf"(x)の

符 号

成 り立 っ た とす る.こ

の と き,さ

ε,a+ε)の

  a
まで の導 関 数 に適 用 した も のに な

範 囲 で,f"(x)>0で

の と き,(5)式

ら に,aの

あ る と仮 定 す る.

を 適 用 す る と,f′(a)=0に

こ で,a
十 分 近 くで,た

注 意 して

た が っ て 仮 定 に よ り,f"(a+θh)>0が

成 り立 って い る こ と を 用 い た.   a− ε
と きも同 様 の式 で f(a+h)>f(a)

が 成 り立 つ こ とが わ か る.し   も し,(a−

た が っ てf(x)はx=aで

ε,a+ε)でf"(x)<0な

大 値 を と る こ とが わ か る.す

な わ ち,次

関 数y=f(x)が,f′(a)=0を

ら ば,同

極 小 値 を と る. 様 の 議 論 で,f(x)はx=aで

の 結 果 が 示 さ れ た.

満 た す と す る.も

しaの

近 くで

極

f"(x)>0な

ら ば,f(x)はx=aで

極 小 値 を と る.

f"(x)<0な

ら ば,f(x)はx=aで

極 大 値 を と る.

近似式の観点から   hが0に

十 分 近 い と き,h2は

も っ と ず っ と0に

点 か ら見 て み よ う.説 明 の 便 宜 上,hと

近 くな る.(1)と(5)を

し て1/100を

と っ て み る.(1)式

この観 は この とき

(1)' と な り,(5)式

は

(5)' と な る.   た と え ぱ,aの

近 く の あ る 範 囲 で￨f′(x)￨<M,￨f"(x)￨<Mが

を 知 っ て い れ ば,(1)′

は,f(a+1/100)の

近 似 値 と し てf(a)を

差 はM/100以

下 で あ る こ と を 示 し て い る.(5)′

を と る と,誤

差 は1M/20000で

る と,近

は,こ

と っ た ら よ い か,ま

問1 

え ら れ る こ と を 示 し て い る.前

近 似 値 として

の 誤 差 と比 べ て み

近 似値 として どの よ う な も の を

た そ の と き 誤 差 の 範 囲 は ど れ 位 か を 教 え て くれ る.(1)′

へ 移 る と,近

f"(x)の

の よ う にf(a+1/100)の

似 値 と し て 用 い る精 度 は ず っ と よ くな る の で あ る.

符 号 を調 べ る こ とに よ り f(x)=3x4−16x3+18x2+7

の 極 大 値 と極 小 値 を 求 め よ. 問2 

と った と き,誤

似 の 精 度 は 非 常 に よ くな っ て い る.

 (1)′ と(5)′

ら(5)′

は,f(a+1/100)の

成 り立 つ こ と

1)

が 成 り立 つ こ とを示 せ

か

2)  a=4,h=0.1と

を用 いて 

と,ど

し,近

似式

を 計算 し,こ れ が正 確 な値

の 程 度 違 っ て い るか を み よ.

Tea

f"(x)の

Time

符号 とグ ラ フの 凹 凸

  あ る 範 囲 で,f"(x)>0が

成 り立 つ こ と は,こ

し て い く こ とを 示 し,し た が っ て,y=f(x)の っ て い く.こ

の と きy=f(x)の

接 線 の 傾 き は,し

グ ラ フは 図115の(A)で

接 線 の 上 側 に グ ラ フが 走 っ て い く.グ   あ る範 囲 でf"(x)<0な

の 範 囲 で,f′(x)が

だ い に大 き くな

示 す よ う に な っ て,

ラ フ は こ の 範 囲 で 下 に 凸 の 形 状 を と る.

ら ば,y=f(x)の

グ ラ フ は,図115の(B)で

うに 下 に 凹 の 形 状 を と る.

(A)

(B) 図115

  直 観 的 に こ の こ と は,大 ろ うが,厳

立 ち,か

体 認 め られ る こ とであ

密 な 証 明 を 与 え る こ と は,こ

略 す る こ と に す る.あ つx
きf"(x)>0が

こで は省

る 点aでf"(a)=0が

成 り

と き はf"(x)<0,x>aの

と

成 り立 っ て い る と す る.こ

の とき

グ ラ フ はx=aの

と こ ろ で,下

に 凸 の 形 へ と,彎

曲す る 形 が 変 わ って く る.グ

フ 上 の こ の よ うな 点 を,変

単 調 に増 加

に 凹 の 形 か ら,下

曲 点 と い う(図116).

ラ

図116

示すよ

第27講 テ イ ラーの 定 理

テー マ

◆ 高 階 導関 数 ◆ 関 数 の クラ ス:Cn-級 ◆ テ イ ラ ーの 定理 ◆ マ ク ロー ラ ンの定 理   例ex,sinx,cosx

高階導関数   関 数y=f(x)が

各 点 で 微 分 で き る と き,導

さ らに 各 点 で 微 分 で き る と き に は,f′(x)を よ うに,順

関 数f′(x)が

得 られ る.f′(x)が

微 分 し て,f"(x)が

得 られ る.こ

次 微 分 して 得 られ る 導 関 数 が 再 び 微 分 可 能 の と き に は,こ

こ ま で も繰 り返 され て,関

が 得 られ る.f(n)(x)をfのn階

の

の操 作 が ど

数 の系列

の 導 関 数 と い う.

関 数 の ク ラス   関 数y=f(x)が

各 点 で 微 分 可 能 の と き,fはC1-級

  関 数y=f(x)が2階   一 般 に,関

ま で 微 分 可 能 の と き,fはC2-級

数y=f(x)がn階

の 関 数 とい う. の 関 数 で あ る と い う.

ま で 微 分 可 能 の と き,fはCn-級

の関 数 で あ る

と い う.  注 意   も う少 し広 い観 点 に 立つ と きに は,Cn-級

の定 義 の 中 に,f(n)(x)の

るべ きか も しれ な い が,こ こで は,上 の よ うな形 の定 義 を採 用 し て お く.

連 続 性 も加 え

【例1】とおく.x>0ならば ,x<0 な ら ば 

で あ る.定

分 で き て,f′(x)=￨x￨.し ￨x￨を

積 分 と 微 分 の 関 係 か ら,f(x)は

た が って,f(x)はC1-級

も う 一 度 微 分 す る こ と は で き な い.し

  【例2】  例1の

関 数f(x)を

で あ る.し

微

か し,f′(x)=

た が っ て,f(x)はC2-級

で は な い.

定 積 分 す る こ と に よ り得 ら れ る 関 数 をg(x)と

お く.

g′(x)=f(x),g"(x)=f′(x)=￨x￨.g(x)は g(x)はC2-級

これ 以 上 微 分 で き な い.し

の 関 数 で あ る が,C3-級

た が って

の 関 数 で は な い.

テ イ ラ ーの 定理

  関 数 の 定 義 域 に つ い て 特 に 触 れ て い な い が,以 (c,d)で

定 義 さ れ て い る と し,変

下 で 考 え て い る関数 はあ る 区間

数 の 動 く範 囲 な ど は そ の 中 だ け で 考 え て い る

こ と に し て い る.   平 均 値 の 定 理 は,Cn-級

の 関 数 に ま で 拡 張 し て 述 べ る こ とが で き る.

y=f(x)をCn-級

の 関 数 とす る.こ

が 成 り立 つ.こ

  こ こ で 記 号n!は,nの

こで θは,0<θ<1を

 

満 た す 数 で あ る.

階乗 とよばれ n!=1・2・3・

で 定 義 さ れ て い る.た

の とき

…

・n

とえ ば

2!=1・2=2,3!=1・2・3=6,4!=1・2・3・4=24,5!=120,6!=720,7!=5040,等

  こ の 定 理 を,テ   n=1の n=2の

々.

イ ラ ー の 定 理 と い う.

と き は 平 均 値 の 定 理 で あ り,n=2の と き の 証 明 は,実

は,一

般 のnの

と き は す で に 前 講 で 証 明 し て あ る. 場 合 の 証 明 に も適 用 で きる方 法 な ので

あ る が,こ

こ で は,そ

の 証 明 を 述 べ る こ と は 省 略 し よ う. マ ク ロー ラ ンの 定 理

  テ イ ラ ー の 定 理 で,特 る こ とが 多 い.テ

にa=0の

場 合 を,マ

ク ロー ラ ンの定 理 とい って 引 用す

イ ラ ー の 公 式 でa=0,hをxと

し て 表 わ す と,マ

ク ロー ラ ンの

定 理 は 次 の よ う に な る.

y=f(x)をCn-級

の 関 数 とす る.そ

の とき

が 成 り立 つ.

 この右 辺 に 現わ れ た最 後 の項 を 剰 余項 とい い,Rnで

表 わ す こ とに し よ う.

い くつ か の 例

  マ ク ロ ー ラ ン の 定 理 を,い

くつ か の 関 数 の 場 合 に 実 際 適 用 し て み て,右

辺 が具

体 的 に ど の よ うな 形 に な る の か 確 か め て み よ う. (Ⅰ)f(x)がm次

の 多項 式 f(x)=a0+a1x+…+amxm 

(1)

の場 合   (a) 

m≦nの

とき

  この とき  

f(0)=a0,f′(0)=a1,f"(0)=2!a2,f"(0)=3!a3,…,f(m)(0)=m!am

で あ り,m+1階 (=定

数).し

以 上 の 導 関 数 は0と

な る.ま

たm=nの

と き,f(n)(x)=n!an

た が っ てf(n)(θx)=n!an.

  こ れ ら の こ と に 注 意 す る と,fに

マ ク ロ ー ラ ン の 公 式 を 適 用 し た 結 果 は(1)式

に 一 致 す る こ と が わ か る(予   (b)m>nの

とき

  こ の と き,マ

ク ロー ラ ン の 公 式 を 適 用 し た 結 果 は

  た だ しRn=anxn×{θxに  

Rnの

想 さ れ る 結 果!!).

つ い て のm−n次

式}

具 体 的 な 形 に は 特 に 興 味 が な い の で,こ

  (Ⅱ) 

こ で は 記 さ な い.

f(x)=ex

 こ の と き,f′(x)=f"(x)=…=f(n)(x)=ex.  し た が っ て,f′(0)=f"(0)=…=f(n−1)(0)=1,f(n)(θx)=eθx.  ゆ え に

(1)  

(Ⅲ)  f(x)=sinx

  こ の と き,高 階 導 関 数 に は 周 期 性 が あ り,右 図 の よ うに4回 参 照).し −1→0を

導 関 数 を と る と,も た が っ て θ=0の

と へ 戻 る(第12講

と き の 値 は,0→1→0→

繰 り返 す.

  この こ と か ら,n=2m+1の

場 合 に,マ

ク ロー ラ

ン の 公 式 を 適 用 した 結 果 は 次 の よ う に な る.

(2)  こ こで

  (Ⅳ)f(x)=cosx   n=2mの

 こ こで

と き に,マ

ク ロー ラ ン の 公 式 を 適 用 した 結 果 は 次 の よ うに な る.

(3)

Tea

質 問   以 前,ど

Time

こか で 聞 い た こ とが あ る の で す が,f(x)が

無 限級 数 で

(*)f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn+… と 表 わ さ れ た と仮 定 す る と,x=0と

お い てf(0)=a0.両

辺 を一 度 微分 して

f′(x)=a1+2a2x+…+nanxn−1+…, こ こ でx=0と が1つ

お く と,f′(0)=a1.以

下 同 様 に,一

度 微 分 す る た び に,右

辺 の項

ず つ 前 へ 送 り 出 され て き て, f(n)(x)=n!an+(n+1)…3・2・an+1x+…

と な り,し

た が っ て こ こ でx=0と

が 成 り立 ち ま す.し

お く とf(n)(0)=n!an,す

た が って(*)の

式 は,マ

なわ ち

ク ロ ー ラ ン の 公 式 でn→ ∞ と し た

よ うな

と な る と い う の で す が,こ 答  こ の 推 論 は,(*)が

れ は 正 し い の で す か. 成 り立 つ とい う仮 定 の 下 で 成 り立 っ て い る が,こ の(*)

が 成 り立 つ と い う仮 定 は 一 般 に は 正 し くな い.し 根 拠 が な い と い っ て よ い.し

た が っ て こ の 推 論 は,ひ

か し,exや,sinx,cosxな

級 数 で 表 わ さ れ る こ と が 知 られ て い る.そ

ど は,こ

の 場 合 で も,無

とまず

の よ うな 無 限

限 級 数 を,上

の よ うに

あ た か も 多 項 式 の よ うに 微 分 し て よ い か ど うか に は 問 題 が あ る.   だ が,こ が,多

の よ うな 発 見 的 推 論 に よ っ て,マ

少 と も 明 らか と な る とい う長 所 は あ る.数

論 が ま ず あ っ て,次 あ る.発

ク ロー ラ ンの公 式 の意味 す る もの 学 で は,多

くの 場 合,発

に そ れ を い か に 論 証 す る か と い う よ うに,進

見 的 推 論 とい う考 え 方 は,も

見 的推

ん で い る よ うで

っ と 尊 重 さ れ て も よ い の で は な か ろ うか.

第28講 テ イ ラ ー 展 開

テー マ ◆C∞-級 ◆

の 関数

テ イ ラ ー展開

◆ex,sinx,cosxの ◆

テ イ ラ ー展 開

二項 級 数

◆log(1+x)の

  こ の 講 で は,考

テ イ ラー展 開

え て い る 関 数 は,す

べ て 原 点 を 含 む あ る範 囲 で 定 義 され て い る

と す る.

C∞-級

  関 数y=f(x)が,何

の 関 数

回 で も 微 分 可 能 で あ り,し

た が っ てfの

高階導 関 数 の無

限系 列 f,f′,f",f"′,…,f(n),… が 存 在 す る と き,fをC∞-級

の 関 数 と い う.fは

滑 らか な 関 数 で あ る とい うこ と

も あ る.   多 項 式,有

理 関 数,三

角 関 数,指

数 関 数 な ど,す

べ てC∞-級 の 関 数 で あ る.ふ

つ う出 て くる 関 数 は,C∞-級

の 関 数 で あ る.

  C∞-級 関 数 の 例 の 中 で,し

ば し ば 引 き合 い に 出 され る の は 次 の関 数 で あ る.

同 様 の 関 数 に つ い て は,第22講 で も 触 れ て お い た.xが き は,恒

等 的 に0の

のTea

左 か ら0に

Time

近 づ くと

状 態 を 保 っ て い る が,x

が 右 か ら0に 近 づ く と き は,φ(x)の

値 は急

図117

速 に 小 さ くな り,こ

の こ と か ら,φ(x)は,原

点 で も何 回 で も 微 分 が で き る こ と

にな り φ(0)=φ ′(0)=φ"(0)=…=φ(n)(0)=…=0 と な る こ と が 示 さ れ る.

テ イ ラ ー展 開

  原 点 を 中心 とす るテ イラ ー展 開 に つい て 述べ る.こ と もあ るが,言

の場 合,マ

葉 の一 般 的 な使 い 方 の方 を 尊 重 して,こ

ク ロー ラ ン展 開 とい うこ

こで は テ イ ラー展 開 とい うこ とに

す る.   C∞-級 の 関 数y=f(x)が

は,nを

与 え られ た と す る.こ

大 き く と る こ と に よ り,い

こ で 剰 余 項 に で て きた θは,xの

の と き,マ

ク ロー ラ ンの公 式

く らで も 先 ま で か い て い く こ と が で き る.こ

と り方 やnの

と り方 に よ っ て,変

動 してい る こ

と に 注 意 し て お こ う.   い ま,も

し 考 え て い る 範 囲 の ど のxを

とって も

(#)  ￨Rn￨→0

が成 り立 つ な らば,

したが って

が 成 り立 つ.こ

の こ とを

(2) と表 わ し,f(x)は(原 (2)式

の 右 辺 をf(x)の(原

点 を 中 心 と し た)テ

イ ラ ー 展 開 が 可 能 で あ る と い い,

点 を 中 心 と し た)テ

イ ラ ー展 開 と い う.

ex,sinx,cosxの  ex,sinx,cosxの

テ イ ラ ー展 開

マ ク ロ ー ラ ン の 公 式 に よ る,n階

(1),(2),(3)式

ま で の 展 開 は,前

講の

で 与 え られ て い る.

  exの 場 合,剰

余項 は

で あ る.(#)の

条 件 を 確 か め て み よ う.い

  す べ て のxに

対 し,￨Rn￨→0

ま の 場 合,

が 成 り立 つ.   以下 そ の証 明:xを1つ

とめて 考 え る.十 分 大 き い 自然kを

と って,￨x￨≦kが

成 り

立 つ よ うに す る.

で あ る.ま

たn>2kに

とると

最 後 の と ころ で 

を 用 い た.

 し たが って

こ の右 辺 は,n→

∞ の と き,→0と

  した が っ て 前 講 の(1)式

な る.

を 参 照 す る と,exは,す

べ て のxに

対 して

(3)

と テ イ ラ ー 展 開 さ れ る こ とが わ か る.特

と な り,こ れ に よ っ て,eの   同 様 に し て,前 対 し て,条

件(#)を

にx=1と

お くと

値 が 計 算 で き る よ う に な っ た.

講 の(2),(3)式

を 用 い る と,sinx,cosxも,す

満 た す こ とが 証 明 で き る.し

た が っ て,す

べ て のxに べ て のxに

対 して

(4)

と テ イ ラ ー 展 開 さ れ る こ と が わ か る.   このsinx,cosxの cosxの

方 に はxの

テ イ ラ ー 展 開 で,sinxの

方 に はxの

偶 数 乗 し か 現 わ れ な い の は,sin,cosの

奇 数 乗 しか 現 わ れ ず, もつ

sin(−x)=−sinx,cos(−x)=cosx と い う性 質 を 反 映 し て い る.こ

の 性 質 を,sinは

奇 関 数,cosは

偶 関数 で あ る と

い い 表 わ す.

二 項 級 数 とlog(1+x)

  こ こ で 証 明 を 与 え る こ と は で き な い が,(1+x)α(α x)は,￨x￨<1で,次

  (1+x)α

の 上 の 展 開 を,一

な ら ば,x4以

は 任 意 の 実 数)とlog(1+

の よ うな 形 で テ イ ラ ー 展 開 され る こ とが 知 られ て い る.

般 の 二 項 級 数 と い う.α が 自然 数,た

上 の 係 数 は す べ て0と

な っ て,よ

(1+x)3=1+3x+3x2+x3 と な って い る こ と に 注 意 し よ う.

く知 られ た 公 式

とえ ば α が3

Tea

Time

オ イ ラー の公 式   exの 展 開 式(3)と,sinx,cosxの

展 開 式(4)と

を 見 比 べ る と,こ

関 数 の 間 に 何 か 隠 さ れ た 関 係 が あ る か も し れ な い と思 え て く る.こ

の3つ

の

の 関 係 は,18

世 紀 の 大 数 学 者 オ イ ラ ー に よ っ て 見 出 さ れ た が,驚 くべ き こ と は,こ の 隠 さ れ た 関 係 は,実 て,は

数 の 中 で は 見 出 さ れ る も の で は な く,数 の 範 囲 を さ ら に 複 素 数 ま で 広 げ じ め て 明 ら か に な る と い う も の で あ っ た.複

素 数 とは実 数 に さ らに虚 数単

位i: i2=−1 を つ け 加 え て で き る 数 の 体 系 で あ る.   i2=−1だ あ る.す

か ら,i3=i・i2=−i,i4=i2・i2=(−1)2=1で

な わ ち,iを

か け る 演 算 は,右

図 の よ うに4周

期

で 回 る.   い ま,exの

展 開 公 式(3)の

xの 代 りに,ixを ら,そ

掛 け算 の 規 則 か

の結 果 は 次 の よ うに な る.

とな る.こ sinxに

右 辺 の 係数 に現 わ れ る 変 数

代 入 し て み よ う.iの

の 式 を(4)式

と 見 比 べ る と,2つ

の 括 弧 の 中 は,そ

れ ぞ れcosxと

な っ て い る こ とが わ か る.

  こ の こ とか ら オ イ ラ ー は eix=cosx+isinx とい う公 式 が 成 り立 つ こ とを 発 見 し た.も は,こ

の 段 階 で は,は

っ き りし た こ とで は な い.し

え ば 指 数 法 則eixeiy=ei(x+y)が っ て 確 か め て み る と,こ の で あ る.こ

っ と も,eのix乗

の よ うな,複

か し,不

成 り立 つ か ど うか を,オ

の 法 則 は,ち

とは何 か とい うこ と 思 議 な こ と に,た

ょ う ど三 角 関 数 の 加 法 定 理 に 対 応 し て い る

素 数 を 導 入 し た 場 合 に も 保 た れ て い る,関

係 の 不 思 議 な 整 合 性 に つ い て は,19世

と

イ ラ ーの公 式 の 右 辺を使

数 の 間 の関

紀 に な っ て,関 数 論 と い う研 究 分 野 の 確 立

に よ っ て は じめ て 明 らか に さ れ た こ とで あ った.

第29講 テ イ ラ ー 展 開(つ づき)

テ ーマ

◆ テ イ ラー展 開 の右 辺:1点 ◆ テ イ ラー展 開 の 左辺:関

の ご く近 くでの 関 数 の局 所 的 性 質 数 の 大 域 的 な性 質

◆ テ イ ラー展 開 の 左辺=右 辺:大

域 性 と局 所 性

◆ テ イ ラ ー展 開 の で きな いC∞-級 の関 数

テ イ ラ ー展 開 の 右 辺   C∞-級 の 関 数y=f(x)が,原

点 を 含 む あ る 範 囲 で テ イ ラ ー 展 開 され た とす る.

(1) 説 明 の 簡 単 の た め,こ   右 辺 を 見 る と,平 た,性

こで は こ の 式 は,す 均 値 の 定 理 や,テ

べ て のxに

対 し て 成 り立 つ とす る.

イ ラ ー の 公 式 な ど で,い

格 の あ ま りは っ き り し な い 数 θ(0<θ<1)は,い

か か れ た … の 彼 方 に 消 え て し ま っ た.し よ うに,い

か し,第25講

わ ば右 辺 の式 の 最後 に のTea

ろ い ろ の 公 式 に θ の よ うな 数 が 現 わ れ る こ と は,微

る 局 所 性 か ら くる,本 た よ うな 関 数 ―

質 的 な こ と で あ っ た.し

た が って,こ

テ イ ラ ー展 開 が で き る 関 数 ―

に は,あ

つ も登場 して き

Timeで

述べ た

分 の考 えの 中 にあ の θが 消 え て し ま っ

る 独 特 な,こ

の よ うな

関 数 固 有 な 性 質 が 現 わ れ て くる に 違 い な い.   (1)式

の 右 辺 を 見 る と,右 辺 の 係 数 を 決 め る の は f(0),f′(0),f"(0),…,f(n)(0),…

の 値 だ け で あ る.   f(0)の

値 は,も

うは い か な い.し つ とる と

ち ろ んf(x)のx=0の か し,い

ま 十 分 小 さ い(ど

値 だ け 知 れ ば よ い が,f′(0)の ん な に 小 さ くて も よ い)正

値はそ 数 εを1

  (*) 

(− ε,ε)の 範 囲 でf(x)の

と す る.す る.こ

な わ ち,(−

値 が わ か って い る

ε,ε)の 範 囲 で のf(x)の

挙 動 が 完全 にわ か って いた とす

の と き,

の 値 を 求 め る こ と が で き る.   し か し,(*)を

仮 定 して い る と,単

に あ る 任 意 のxに

対 して,f′(x)を

にf′(0)だ

計 算 で き る.し

け で は な くて,(− た が っ て(*)の

ε,ε)の 中 仮 定 の下 で

は  

(**)  (− ε,ε)の 範 囲 で,f′(x)の

こ の こ と か ら,f"(0)を な っ て,(−

値 を 知 る ことが で き る

計 算 で き る.し

ε,ε)の 範 囲 で,f"(x)の

か し こ こで も ま た 上 と 同 じ 推 論 が 可 能 と

値 が わ か り,し

た が っ て ま た,f"′(0)を

計

算 で き る.   以 下 同 様 に し て,結   (*)の

局

仮 定 の 下 で,f(0),f′(0),…,f(n)(0),…

をすべ て 求 め る こ とが で き る

こ とが わか った.  すなわち

(*)の

仮 定 の 下 で,(1)式

の 右 辺 は 完 全 に 決 定 す る.

テ イ ラ ー 展 開 の左 辺 と右 辺

  テ イ ラ ー 展 開 の 左 辺 に あ るf(x)の よ い.た

と え ば,宇

  と こ ろ が,こ

宙 の 涯 に あ る よ うな 大 き なxの

の よ う な 所 で のf(x)の

右 辺 の 値 が 求 め ら れ れ ば よ い.し い(−

ε,ε)の 範 囲 の 所 で のf(x)の

  す な わ ち,(1)式 て い く模 様(左

中 に あ るxに

イ ラ ー 展 開(1)の

か し上 に 述 べ た こ と に よ る と,右 辺 は 十 分 小 さ 挙 動 が わ か る とわ か っ て し ま う.

は,f(x)の(−

制 さ れ て い る と い う こ と で あ る.

値 を 入 れ て も よ い.

挙 動 を 知 る に も,テ

の 述 べ て い る こ と は,y=f(x)の

辺!!)は,実

は どん な 大 き い 値 を 入 れ て も

グ ラ フが ど ん ど ん 広 が っ

ε,ε)の 間 の 動 き に よ っ て 完 全 に 規

  い い 方 を 変 え て 次 の よ う に い っ て も よい.   す べ て のxに

対 し て テ イ ラ ー展 開 が 成 り立 つ も う1つ 別 の 関数g(x)を

(〓)  も し十 分 小 さ い 正 数 εを と っ て,(− り立 て ば,実   なぜ な ら,こ

は す べ て のxに

ε,ε)の 範 囲 でf(x)=g(x)が

対 し てf(x)=g(x)が

左 辺 は,関

微 分 と い う考 え を 用 い て,原 し た も の と な っ て い る.左 性 質 で あ る.こ

の2つ

辺 は,関

数fの

情 報 を,で

数fで

は,完

イ ラ ー 展 開(1)が

常 に 特 別 な も の で あ っ て,ほ

階

き る だ け 取 り出

全 に結 び合 っ てい る と

イ ラ ー 展 開 の 意 味 で あ る.

テ イ ラ ー 展 開 の で き な いC∞-級

  上 の 説 明 に よ っ て,テ

辺 は,高

大 域 的 な 性 質 で あ り,右 辺 は 局 所 的 な

の 相 反 す る性 質 が,関

い う こ と を 主 張 す る の が,テ

と な り,f

な って し ま うか らで あ る.

数 が 広 が っ て い く模 様 を 示 し,右

点 の ご く近 くのf(x)の

成

成 り立 つ.

の と きf(0)=g(0),f′(0)=g′(0),…,f(n)(0)=g(n)(0),…

とgの テ イ ラー展 開 が 一致 し,し たが って また,f(x)=g(x)と   テ イ ラ ー 展 開(1)の

と る.

の 関 数

成 り立 つ よ う なC∞-級 の 関 数 は ， 非

と ん どす べ て のC∞-級

関 数 は,テ

イ ラー展 開 がで き

な い こ とが 推 論 で き る.   た と え ば,図118で, 3つ の グ ラ フ が か か れ て い る.1つ

はy=sinxの

グ ラ フで あ る.点

線で グ

ラ フのか か れ て い る関 数 y=g(x)も,鎖

線で グラ

図118

フ の か か れ て い る 関 数y =h(x)もC∞-級

の 関 数 とす る.g(x)もh(x)も

値 が 一 致 し て い る.こ 値 が 異 な る範 囲(グ

の こ と か ら,(〓)に

ラ フがsinxと

原 点 の 十 分 近 くで は ,sinxと よ り,g(x)も,h(x)も,sinxと

わ か れ て し ま っ た 範 囲)ま

で 成 り立 つ よ うな,

テ イ ラ ー 展 開 は も つ こ とが で き な い こ と が 結 論 され て し ま うの で あ る.   す な わ ち,原 の だ か ら,(1)式

点 の 近 くで は,g(x)とh(x)はsinxと の 右 辺 を 計 算 す る と,3つ

全 く 同 じ値 を と っ て い る

の関数 はす べ て 同 じ もの とな って し

ま う.そ れ に も か か わ ら ず,g(x),h(x)の う こ と は,xが あ る.こ と,す

大 き くな る と(1)式

の こ と は,g(x),h(x)に

な わ ち,グ

g(x)とh(x)に

グ ラ フ がsinxの

の 左 辺 は 互 い に 異 な る値 を と る と い う こ とで 対 し て は,も

ラ フ がsinxと

う(1)の

等 式 が 成 り立 た な い こ

枝 分 か れ す る と こ ろ か ら,テ

イ ラ ー 展 開(1)は

対 して は 成 り立 た な い こ と を 示 し て い る.

  前 講 で さ りげ な くか か れ て い る 剰 余 項 が0に 件 をf(x)に

グ ラ フ と違 う と い

収 束 す る 条 件 は,ま

こ とに 強 い 条

課 し て い る こ と が わ か る.

グ ラ フ が 枝 分 か れ す る 所

  図118で,y=sinxの

グ ラ フ と,y=g(x)の

少 し 大 き くか く と,図119の

グ ラ フ の 枝 分 か れ す る 所 を,も

う

よ うに な る.

  こ の 枝 分 か れ す る 点 で の,y=sinxとy= g(x)の

グ ラ フ は,単

に そ こ で,2つ

のグラ

フ の 接 線 の 傾 きが 一 致 し て い る だ け で は な く,す

べ て の 高階 導 関 数 の値 が 一 致 し て い

る.な

ぜ な ら,2つ

る 点 の 左 側 で は,完

の グ ラ フ は,枝

分か れ す

全 に 一 致 し て い るか ら で

あ る(g(x)はC∞-級

と 仮 定 し て い る か ら,

高 階 導 関 数 の 値 は,左

側 の値 だけ か らで計 算

で き る).こ

図119

の よ うな と き,y=sinxとy=g(x)は,枝

分 か れ す る 点 で,無

限次

の 接 触 を し て い る とい う.   無 限 次 の 接 触 を し て い る最 も 典 型 的 な 例 は,前

の グ ラ フ と,x軸(y=0の グ ラ フ は,負 め て,つ ず,感

グ ラ フ!)と

に述 べ た

の 原 点 に お け る 状 況 で あ る.y=φ(x)の

の 方 か ら きて 原 点 を 通 り過 ぎ る と,ご

い に は っ き り とx軸

と 分 か れ て い く.こ

じ と って も ら う し か な い(第22講,Tea

  φ(0)=φ′(0)=…=φ(n)(0)=…=0だ

か ら,

く微 少 な 量 だ け 高 さ を 増 し 始

の 微 妙 な 状 況 は 描 くわ け に い か Time参

照).

は,恒 等的 に0で あ り,こ の式 は,x軸

の方 を 表 わ して い るが,枝 分 か れ を始 め た φ(x)の

方 は 表わ して い ない の で あ る.

Tea

質 問  C∞-級 の 関 数 の 中 で,テ

Time

イ ラ ー 展 開 が で き る よ うな 関 数 は,む

な も の だ と い う こ と は よ くわ か り ま し た.し に,私

か し な ぜ,こ

しろ例 外 的

の例 外的 な 関数 の方

達 が ふ だ ん よ く使 っ て お り,ま た 自然 現 象 の 数 学 的 記 述 の 中 に もふ つ うに

で て く る,exやsinx,cosx,な

ど が 含 ま れ て い た の で し ょ うか.

答  理 由 は わ か ら な い.God

knowsと

開 の よ うな 定 式 化 に よ っ て,関

い うべ きで あ ろ う.し

か し,テ

イ ラー展

数 の も つ 大 域 的 な 性 質 と,局

所 的 な性 質が は っ き

り と表 現 で き た こ とは,ま

こ と に 驚 くべ き こ と で あ っ た.大

域 的 な 観 点 と局 所 的

な 観 点 の 織 りな す 綾 は,微

積 分 全 体 の 中 を 流 れ る基 調 の よ うな も の で あ るが,こ

の 調 べ は,ど で あ る.

こ か で ニ ュ ー トン 力 学 の 因 果 法 則 の 調 べ と,重

な り合 っ て い る よ う

第30講 ウォリスの 公 式

テー マ

◆sinxの

定積分

◆ ウ ォ リス の公 式 ◆ ◆tan-1xの

  さ て,こ

展開

の 講 で 本 書 は 終 わ る こ と に な っ た.こ

最 後 に 定 積 分 の 話 に 戻 っ て,円 1616-1703)の

の 所,微

周 率 πを 表 わ す,古

分 の 話 が 続 い た の で,

典 的 な ウ ォ リス(Wallis,

公 式 を 主 題 と し て 述 べ て 終 わ り と し よ う.

sinnxの

定 積 分

 nを 自然 数 と して

を 計 算 し て み よ う.sinnx=sinn−1x・sinx,∫sinxdx=−cosxだ 積 分 の 公 式(第17講(Ⅲ)")に

こ こ でcos2x=1−sin2xを

か ら,部

よ り

用 い た.す

なわ ち

Sn=(n−1)Sn−2−(n−1)Sn

移 項 し て,n≧2の

とき

(1) とい う関 係 が得 られ た.

分

 ま た

で あ る.   (1)を

繰 り返 し て 用 い る と,nが

偶 数 の と き と,奇 数 の と き と を 区 別 し て

(2) (3) が 得 ら れ る.   注 意   自 然 数nか

ら 始 め て,1つ

お き に 小 さ い 方 へ か け て い っ た も の をn!!と

と が あ る. n!!=n(n−2)(n−4)… で あ る.こ

の記法 を 用 いれ ば

で あ る.

ウ ォ リス の 公 式

 (2)式

と(3)式

に より

(4) 0<x<π/2で

は,0<sinx<1だ

か ら

0<sin2n+1x<sin2nx<sin2n−1x

し た が っ て,0か

ら π/2ま で の 定 積 分 で も こ の 大 小 関 係 は保 た れ て 0<S2n+1<S2n<S2n−1

と な る.  ゆ え に

表わ す こ

した が って

し た が っ て,(4)式

でn→

∞ とす る と

が 得 られ た.こ れ を ウ ォ リス の公 式 とい う.   円周 率 πが,無 限積 の形 では あ るが,こ の よ うには じめ ては っ き り と表 わ され た ので あ る. tan−1xの

展開

  以下 で述 べ る こ とは,数 学 的 準 備 が なお 不十 分 で あ って,全 部 に証 明 をつ け る わ け に は いか な いが,円 周 率 πを 無 限級 数 で表 わ す 古典 的 な結 果 な の で,つ い で に ここ で触 れ て お く.   等比 数 列 の 公式 か ら￨x￨<1で

が成 り立 つ.両 辺 を0か

と な る.左

らxま で 積 分 して

辺 はtan−1xで

あ る.右 辺 は 項 別 に 積 分 し て よ い こ と が 知 られ て い て,

した が って

が 成 り立 つ.   こ の 式 は￨x￨<1の

と こ ろ で 成 り立 つ 式 で あ るが,x=1と

収 束 す る こ とが 知 られ て お り,そ あ る(ア

ー ベ ル の 定 理).そ

の と き に は,上

こ でx=1と

お い た と き,右 辺 は

の 式 はx=1で

お いて み る と

も 成 り立 つ の で

が 成 り立 つ こ とが わ か る.こ

の 級 数 を,ラ

Tea

イ プ ニ ッ ツ の 級 数 と い う.

Time

質 問   これ か ら どん な ことを 勉強 した ら よいの で し ょ うか. 答  この30講 で述 べ て きた こ とは,ご

く基 本 的 な こ とで,力

学へ の応 用 とか,

最大,最 小 のい ろい ろ な問 題 な ども取 り扱 うこ とが で きなか った.微 積 分 に は, 実 に 多種,多 様 な 問題 が あ る.微 積 分 に一 層 近 づ くた め には,こ れ ら の問題 を解 く力 を養 成 す る こ とが必 要 とな って くるだ ろ う.   ま た,微 分 方程 式や,多 変 数 の微 積 分 につ い て もほ とん ど一 言 も触 れ る こ とが で きなか った.こ れ らは,ま た新 し く勉 強す る主 題 とな るだ ろ う.テ イ ラー展 開 に よ って表 わ され る関数 ―

解 析関 数 ―

の性 質 を よ りよ く理 解 す るた め に は,

数 の 範 囲 を さ ら に実 数か ら複 素 数へ と広 げ な くては な らな い.そ こに は関 数論 の 透 明 な理 論が 展 開 して い る.   こ こで の勉 強 が,微 積 分 を 身近 に感 じさせ,さ

らに も う少 し数学 を学 ん でみ よ

うか とい う気持 を起 こ させた な らば,嬉 しい こ とで あ る.

問題の解答

第1講 問1  左 か ら順 に9/35,19/70,2/7,8/21の

順 で 並 ん でい る(分 数 で表 わ さ れ て い る数 の

大 小 関 係 を 調 べ る に は,分 母 を通 分 した上 で,分

子 の大 小 関 係 を調 べ る と よい.実

際 は,

小 数 で 表 わ して か ら,大 小 を調 べ るのが ふ つ うで あ る). 問2 −4/7の 方 が右 に あ る.

第2講 問2  a
た が ってPか ら中 点 ま で の長 さ は とな る.

第3講

2)

問1  1)

図A 問3 

図B

2直 線 が 平 行 とな る条 件 は傾 きが等 し い こ とで あ る.y=mx+1の

y=nx−5の

傾 き はnで あ る.し た が っ て平 行 とな る条 件 はm=nで

第4講 問1  1)2)3)

図C図D図E

傾 きはmで あ り, あ る.

問2 

点P(x,y)とx軸

に 関 し て 対 称 な 点Qの

関 数 は 点Qがy=x2+x+2の

座 標 は(x,−y)で

与 え ら れ る.求

上 に あ る よ うな 関 係 を 満 た す(x,y)と

わち −y=x2+x+2 書 き直 して y＝ −x2−x−2 問3 y=x2の

グ ラ フ は,x=±1/2の

か ら,高

さ が1/4上

と き,x軸

が る こ と に 注 意 せ よ.

図F

第5講 問1 

1)最

大 値62)最

問2 

直 角 を 挾 む2辺

小 値31/8 の 長 さ をx,y(cm)と

し,面

積 をS(cm2)と

x+y=12,x≧0,y≧0 S=1/2xyに

代 入 して S=1/2x(12−x)

と な る.Sはx=6の 問3 

と き 最 大 値 を と り,最

大 値 は18で

あ る.

−13,17

第6講 問1 

xとXの

座 標変 換 は

で与 え られ て い る.こ れ を与 え られ た関 数(1)に

代 入 して

め る2次

し て 求 め ら れ る.す

す る.仮

定か ら

な

こ こで

で あ る.β

は,x=−b/3aの

と き のyの

値 と な っ て い る こ と に 注 意 し よ う. Y=y−

β

と お く と, Y=aX3+CX と な る.   (X,Y)が

こ の グ ラ フ 上 に あ れ ば,Y=aX3+CXで −Y=−aX3−CX=a(−X)3+C(−X)

だ か ら,(−X,−Y)も 関 し,点

こ の グ ラ フ 上 に あ る.こ

あ り,し

たがって

の こ と は,(1)は,XY座

標 の 原 点Pに

対 称 で あ る こ とを 示 し て い る.

問2 

{(p+h)3−(p+h)+1}−(p3−p+1)=(3p2−1)h+3ph2+h3

か ら,こ

の 式 をhで

割 っ て,hを0に

近 づ け る と,点Pに

る こ と が わ か る.

第7講 問1 

1)y′=9x2−4x+5 

問2 

y=f(x)=ax3+bx2+cx+dと

2)y′=−18x2−7 お くと f′(x)=3ax2+2bx+c=2x2−6x+1

したが って 3a=2,2b=−6,c=1 これか ら a=2/3,b=−3,c=1 が わ か る.ま

たf(0)=5か

らd=5.ゆ

えに

f(x)=2/3x3−3x2+x+5

第9講 問1 

1)y′=−35x4+3x2+2 

問2 

1)公

式(Ⅲ)を

2)y′=100x99−400x49+2x 繰 り返 し て 使 う:

お け る 接 線 の 傾 き は3p2−1と

な

  2)帰

納 法 の 考 え に よ る.n=1,2,3の

で 成 り立 っ た と す る.こ

と な り,nの

と き 成 り 立 つ こ とは 知 っ て い る.n−1の

の と き公 式(Ⅲ)か

とき ま

ら

と き に も 成 り立 つ こ と が わ か る.

3)  f1=f2=…=fn=xと

お く と,

第10講 問1 

1)

2)

3)

問2

xが2,ま

た は3に

近 づ く),し

近 づ くと き,yの

た が っ て￨y￨は

分 母 は い く ら で も小 さ くな り(分

ど ん ど ん 大 き くな る.ま

た￨x￨が

近 づ く(Tea

Time参

子 は2,ま

た は3に

大 き くな る と き,￨y￨は0に 照).y′

の 符号 の変 化 は 左 の

よ うに な る.  と して  の と き のyの

値 を 求め ると

y≒−0.11,−9.9

こ れ ら の こ とか ら,グ xが

負 の と き,yは

ラ フ は,図Gの

負 と な るが,そ

よ うに な る. の 値 は −0.11よ

り小 さ くな らな い か ら,グ

ラ フ は,

図G 実際 はx軸 の下 を 走 っ て い るの で あ るが,見 かけ 上 は,x軸

上 にの って い る よ うに な る.

第11講 問1 

単 位 円 上 に あ る 点P(x,y)の,x軸

Qの

座 標 は(x,−y)で

ば,Qは

か ら θの 方 向 に あ れ

− θの 方 向 に あ る.

し た が っ て,cos,sinの

定義か ら

cos(− θ)=cosθ,sin(− 問2 

に 関 し て対 称 な 点

あ る.Pがx軸

図Hか

θ)=−sinθ

ら 明 ら か で あ ろ う.

図I

図H 問3 

1)y=3sinθ

の グ ラ フ は,y=

sinθ の グ ラ フ を,y軸

の 方 向 に3倍

した

も の で あ る.  2)y=cos2θ グ ラ フ をy軸

の グ ラ フ は,y=cosθ

の

の 方 向 ヘ1/2だ け 引 き 寄 せ た

よ う な 形 と な る.

図J

第12講 問1  1)

2) 問2 

F(x)=x−sinxと

お く.F(0)=0で

成 り立 つ の はx=2nπ(n=1,2,…)の に ｘ>0でF(x)>F(0).こ 問3 

第10講,Tea

あ る.一

れ でx>sinxが Time参

方F′(x)=1−

と きだ け で あ る.し

ｃosx≧0.こ

た が っ てF(x)は

こで 等号 が 単 調 増 加,特

示 さ れ た.

照.

第13講 問1 

1)y′=3ex+5cosx 

問2 

Tea

x=eに

Timeを

お け るlogxの

2)y′=6/x−3/x=3/x(logx6=6logxに 微 係 数 は1/eで

あ る.ま

たloge=1で

参 照す る と,求 め る接 線 の式 は

と な る.

第14講 問1 

1)

2)

3) 問2

この両 辺 を等 しい とお くと,cosの 加 法定 理 とな って い る. 問3  合成 関 数 の 微分 の公 式 か ら

で あ る.

注 意) あ る.し た が っ て 第7講,

した が って

よ って

第15講 問1  1)

2) だ か ら,接 線 の傾 きが等 しい 場所 が あ

問2  れ ば,

とな る.す なわ ち,  辺>1だ

が成 り立 た な くて は な らない が,x>0で

か ら,こ の よ うな正 数xは 存 在 しな い.

第16講 問1  1)

(第14講,問3参

2)

3)  n=−1の n≠ −1の

と きは

とき は

問2  第13講,質

問 参照.

照)

左 辺<1,右

第17講

2)

問1  1)

3)

問2  ∫h(x)dxの

代 りに ∫h(x)dx+1を

この右辺 の 最 後 の項 はf(x)+Cで

と る と,(Ⅲ)"の

右辺 は

あ る こ とに注 意す る と,こ の式 は(Ⅲ)"の

右 辺 に等 しい

こ とが わか る. 問3

この2式 か ら

と な る.

 も同様 に して求 め られ る.結 果 だ け 記 して お く.

問4 

とお く と −sinxdx=dt.し

第18講 問1  x=1と=2をn等

分 す る分点 は

たが って

で あ る.対 応 す る上 の 階段 の面 積Snは

 同 様 に して,下

か らの 階 段 の面Snも,nが

大 き くな る とき7/3へ近 づ くこ とが わか る.

した が って 求め る面 積 は7/3であ る. 問2 

1/4

第19講 問1

グ ラ フか ら 明 らか に

ゆ え に 

同 様 に考 え て 

問2

第20講 問1

した が って

図K

した が っ て求 め る面 積 は32/3 問2

問3  グ ラフ の対 称性 か ら,求 め る面 積Sは

第22講 問1

図M 問2

図N

図L

第24講 問1  f(x),g(x)が

連 続 関 数 で あ る とい うこ とは,各 点x=aで

が 成 り立 つ こ とで あ り,し た が っ て,公 式(Ⅰ)か

とな る.こ の式 は,f+gが   同様 に して,公 式(Ⅲ)か 問2  b=f(a)と

ら

連 続 関数 で あ る こ とを示 して い る. ら,f・gが 連続 関数 とな る こ とが わ か る.

お く.ε>0が 与 え られ た とき,gのbに

おけ る連 続 性 か ら

(1) とな る よ うな 正 数 δ1が存在 す る.こ の δ1に対 してfのaに

と な る よ うな 正 数 δが 存在 す る.し た が っ て(1)か

とな る.こ の式 は,合 成 関 数gofがx=aで か ら,gofは

おけ る連続 性 か ら

ら

連 続 の こ とを 示 して い る.aは

任 意 で よか った

連 続 関 数 で あ る.

第26講 問1

f′(x)=0と と3で

な るxは0,1,3;f"(0)>0,f"(1)<0,f"(3)>0.し

極 小 値,x=1で

極 大 値 を と る.

極 小 値:f(0)=7,f(3)=−20 極 大 値:f(1)=12.

た が っ てf(x)はx=0

索

引 グ ラ フの 凹 凸  167

ア

行

e 83

原 始 関 数  102

exの テ イ ラー展 開  175

減 少 の 状態   47

1次 関数   19 高 階 導 関 数  168 上 に 凸  26

合 成 関 数  88

ウ ォ リス の公 式   184

cos x

内 か ら の面 積   119

―

の テ イラー 展 開  175

―

の 微分   76

cosθ  69

ε −δ論 法   152

コ ー シ ー列  10

円 の面 積   133

弧

度  67

オ イ ラ ーの 公式   177 カ 階

サ 行

sin  x

乗   169

回 転 体 の 体積  135

―

の テ イ ラ ー展 開  175

―

の微 分  76

角 の 向 き  69

sinθ  69

加 法定 理  75,78

座

関 数 の ク ラス  168

座 標 平 面   14

標   14

座 標 変 換   14 逆 関数   91 逆 三 角 関 数  95

行

3次 関 数   33 ― の グ ラフ  50

逆 写 像   91 逆 対 応  91

Cn-級 の関 数  168

球 の体 積   137

C∞-級 の 関 数  173

極 限 値  41,148

指 数 関 数  81,82

極 限 の 公式   150

自然 数   1

極 小 値  49

自然 対数 の底   83

極 大 値  48

下 に 凸  26 実

数 8

剰 余項   170 ナ 数 直 線  4

滑 らかな 関数   173

整

二項 級 数   176

数 2

2次 関 数  19 ― の グ ラ フ  23

積 分す る  102 積 分定 数   103 接

行

線   29,36,42,45

―

の最 小 値  27

―

の最 大値  27

2次 方程 式 の 解 の公 式  24

増 加 の状 態  47

2変 数 の関 数  143

外 か らの 面 積  119

ニ ュー トン  132 タ

行 ハ

対 数 関 数  84 多 項 式 関数   53 tanxの

判 別式  28

微分   77

tanθ  71

微 係数  41

単調 減 少の 関数  48

微

単調 増 加の 関 数  48

置換 積 分 の公 式   110 直

―

の 傾 き  15

―

の 勾配   15

―

の式   16

分  94 の公 式   43 ,53,60,89

微 分 ・積分 法 ― の基 本 公式  131 ―

線 ―

の基 本 定理   131

微 分 法 の公 式  153

不 定積 分   104 ― の 公式   108

定 義 域   140

部分 積 分 の 公式   109

定 積 分  122 ― の符 号   123

平均 値 の 定理   159

―

行

の 和 の公 式   124

変 曲点   167

底 変 換 の公 式  87 テ イ ラー展 開  174,178 テ イ ラーの 定理   164,169

放 物 線  26 ― の軸   27 ―

導 関 数  44 2階 の―

  163

の頂 点  27 マ

行

マ ク ロー ラ ンの定理   170

無 理 関数   62 ラ

無 理 数  8

ラ イ プ ニ ッ ツ   132

面

―

積  119 ヤ

有 理 関 数   60

行

連

の 級 数   186

続   139

連 続 関 数   139,152

有 理 数  2 ロル の 定 理   157

行

著

者

志

賀

浩

二

1930年  新 潟市 に生 まれる 1955年   東京大 学大学 院数物 系数 学科 修士 課程修 了 現 在  東京工 業大学 名誉教授 理 学博 士

数 学30講 微 分

シ リー ズ1

・積 分30講

1988年3月20日  2007年10月10日

定価 はカ バー に表 示 初 版 第1刷

 

第21刷

著

者  志

賀

浩

二

発行 者  朝

倉

邦

造

発 行 所  株式会社  朝

978-4-254-11476-8 

店

中 央 印 刷 ・渡 辺 製 本

1988〈 無 断 複 写 ・転 載 を 禁 ず 〉

ISBN 

書

東京都 新宿 区新 小 川 町6-29 郵 便 番 号162-8707 電 話  03(3260)0141 FAX  03(3260)0180 http://www.asakura.co.jp

〈検 印 省 略 〉 C

倉

C

3341

Printed

in

Japan