分子運動30講 (物理学30講シリーズ)

５戸田盛和 著

物理学30講シリーズ

分子運動30講

朝倉書店

は

し

が

き

 物 質 の 性 質 は,そ れ を形 づ くって い る分 子,原 子 な どの配 列 と熱 運 動 か ら理 解 す る こ とが で きる.気 体 は気 体 の 種 類 に よ らな い性 質,す な わ ち ボ イ ル‐シ ャ ル ル の法 則 に従 う とい う性 質 を もつ.こ の 著 しい事 実 は,気 体 が きわ め て 小 さ い分 子 か らな り,気 体 の圧 力 は分 子 の運 動 に よ る衝 撃 の現 れで あ る とか,気 体 の もつ エ ネ ルギ ー は分子 の熱 運 動 のエ ネ ル ギ ー にほ か な らな い とい う気 体 分 子 運 動 論 を 芽 生 え させ た.こ れ は分 子 と い う実 在 が まだ 確 認 され て い ない 時 代 の こ とで あ る が,気 体 の 性 質 は 分子 が 小 さ な球 で あ り,こ れ が 激 し く熱 運 動 を して い る と い う 簡 単 なモ デ ル に よっ て理 解 で きる こ と を明 らか に した.  気 体 はわ ず か で は あ るが 粘 性 を もち,熱 を伝 え る性 質 もあ る.粘 性 は内 部 摩 擦 と も呼 ばれ る.熱 を伝 え る現 象 は熱 伝 導,異 種 の気 体 が 自然 に混 ざ り合 う現 象 は 拡 散 と呼 ば れ,こ れ らの現 象 は ま とめて 輸 送 現 象 と呼 ば れ る.気 体 の 輸 送 係 数 の 圧 力,温 度 変 化 も分子 を球 形 の 球,あ

る い は反 発 力 を及 ぼ し合 う弾 性 球 とす る簡

単 なモ デル に も とづ い て理 解 す る こ とが で き る.こ れ は マ ク ス ウ ェ ル,ボ ル ツマ ンな ど に よ って 精密 な数 学 的理 論 と して 完 成 され た気 体 分 子 運 動 論 で あ る.お お まか に い え ばすべ て の気 体 は共 通 で き わ だ った 違 い は な い.し か した と えば 熱 拡 散 とい う現 象 は 分子 の 質量 と分 子 間力 とが か らみ 合 い,分 子 の 個性 が微 妙 に現 れ る。 本 書 で は,こ こ まで立 ち入 る こ と はせ ず に， 気体 の共 通 的 な性 質 を説 明 す る 範 囲 に とどめ て,気 体 分 子 運 動 論 を解 説 した.  液 体 で は,分 子 が密 集 して い る ため に,分 子 の 形 な どの個 性 が 著 し く現 れ る場 合 もあ るが,分 子 が球 形 に近 い液 体 で は,液 体 の種 類 に よ らない 共 通 の 性 質 が 広 く認 め られ る.い わ ゆ る正 規 液 体 で あ る.固 体 で は分 子,あ

るい は原 子 の 間 の 力

の微 妙 な違 い が結 晶形 の違 い と い う著 しい性 質 の 差異 と して現 れ る.  分 子 が 実 在 の もの と して 認 め られ る よ う にな った の は ブ ラ ウ ン運 動 の研 究 か ら で あ っ た.こ の研 究 は確 率 過 程 とい う数 理 を物 理 学 に もち込 ん だ とい う点 で も画

期 的 な もの で あ った.ラ

ンジ ュバ ン方 程 式 は 分子 運動 に よる不 規則 な力 を直 観 的

に モデ ル化 して 取 り入 れ て い る.  分 子 運 動 は体 系 の 中 に起 こ る ゆ らぎの 原 因 で もあ る.熱 平 衡 で な い状 態 も体 系 の ゆ ら ぎに よ って 生 じる もの とみ る こ とが で きる.こ の考 え か ら非 平 衡 状 態 にあ る体 系 の性 質 を扱 うの が非 平 衡 状 態 の 熱 力学 で あ る.非 平 衡 状 態 は ゆ ら ぎす な わ ち揺動 に よ って生 じ,輸 送 現 象 に よる エ ネ ル ギ ー な どの 平 均 化,散 逸 に よ って平 衡状 態 へ 戻 ろ う とす る.本 書 で は この 分野 の基 本 的 事 柄 で あ る オ ンサ ー ガー の相 反 定理,ゆ

ら ぎの相 関関 数 と輸 送係 数 との関 係,い わ ゆ る線 形 応 答 の理 論,あ る

い は揺 動 散 逸 の定 理 な ど につ い て述 べ た.  平 衡 系 の統 計 力 学 に お い て は,体 系 の 構 造(ハ

ミル トン 関 数)が 与 え られ れ

ば,原 理 的 に はそ の 体 系 の すべ て の性 質 が 導 き出せ る.こ れ に対 して,将 来 は非 平 衡 系 にお いて も体 系 の ハ ミル トン関数 が与 え られ れ ば輸 送 係 数,あ る い は相 関 関 数 が 原 理 的 に導 き出 せ る よ うな統 計 力 学 が志 向 され る に違 い な い.  それ に して も,非 平 衡状 態 とい うもの は時 間 とい う次 元 が 加 わ る ため と もい え るが,平 衡状 態 に 比べ て は る か に多 彩 な現 象 が あ る よ うな気 が す る.本 書 で は こ の 多 彩 な 面 に つ い て 十 分触 れ る こ と はで きな か っ た,し か し取 り上 げ た テ ー マ は で きる だ け広 く,し か も基 本 的 で あ る よ うな もの を選 んだ つ も りで あ る. 1996年4月 著

者

目

次

第 １ 講  気 体 の 分子 運 動  TeaTime：

１

平 均 値 と 分 布  ６

第 ２ 講  気 体 の輸 送現 象  TeaTime：

８

気 体 の 粘 性  15

第 ３ 講  初等 的理 論 へ の 反 省  TeaTime：

17

平 均 寿 命  23

第 ４ 講  ボ ル ツマ ン方 程 式  TeaTime：

第 ５ 講  Ｈ

定

24

感 激 屋 の ボ ル ツ マ ン  27

理 

29

TeaTime：J.C.マ

ク ス ウ ェ ル 

34

第 ６ 講  気 体 の粘 性  TeaTime：

36 マ ク ス ウ ェ ル 分 子  43

第 ７ 講  マ ク ス ウ ェ ル 分 子  TeaTime：

45

マ ク ス ウ ェ ル の デ モ ン  52

第 ８ 講  拡 散 と熱拡 散  TeaTime：

54

ウ ラ ン の 分 離  58

第 ９ 講  電 気 伝 導 と熱 伝 導  TeaTime：

第10講 

60

電 流 の 電 子 の 平 均 速 度  66

熱 電 効 果  TeaTime：

68 １ 乗 と ２ 乗 

72

第11講 

相 反 定 理  TeaTime：

第12講 

第15講 

第16講 

光

の 散

乱 

119

砂 糖 と塩  124 125

試 験 の 成 績 分 布  130

１次 元 格 子 の 振 動  TeaTime：

113

水 と い う 不 思 議 な 物 質  117

ガ ウ ス の 正 規 分 布  TeaTime：

第20講 

空 の 青 ・日 の 出 ・日 の 入 り  111

強 電 解 質 溶 液  TeaTime：

第19講 

109

流 体 力 学 の 方 程 式  TeaTime：

第18講 

102 水 に 浮 く １円 玉  108

TeaTime： 第17講 

95

最 隣 接 分 子 数  100

表 面 張 力  TeaTime：

89

実 部 と虚 部  93

動 径 分 布 関 数  TeaTime：

81

鐘 を指 で ゆ らす  88

ク ラ マ ー ス ーク ロ ー ニ ッ ヒ の 関 係 式  TeaTime：

第14講 

相 反定 理 の例  79

振 動 電 場 に対 す る 応 答  TeaTime：

第13講 

74

金 平 糖  135

132

第21講 

重 い 原 子 の 運 動  TeaTime：

第22講 

防 波 堤 の パ ラ ド ッ ク ス  145

ブ ラ ウ ン 運 動  TeaTime：

第23講 

拡 散 方 程 式 

拡 散 率 と 易 動 度 

経

路

積

分 

ラ ン ジ ュ バ ン 方 程 式 

ガ ウ ス 過 程 

振 動 散 逸 定 理 

線

形

応

答 

193 ラ ン ダ ム  199

ウ イ ナ ー‐ ヒ ン チ ン の 定 理  TeaTime：

索

引 

187

心 の ゆ ら ぎ と 創 造  191

TeaTime： 第30講 

182 キ ツ ネ が 化 か す  185

TeaTime： 第29講 

173

ラ ン ジ ュ バ ン  180

TeaTime： 第28講 

166 波 の 干 渉  171

TeaTime： 第27講 

160

浸 透 圧  165

TeaTime： 第26講 

155 分 子 を 数 え る  158

TeaTime： 第25講 

146

ジ ャ ン ・ペ ラ ン と 分 子  153

TeaTime： 第24講 

137

200

白 い ス ペ ク トル  204

207

第１講

気体 の分子運動

―テー マ

 ◆ 分子 運動  ◆ 平 均 自 由距 離  ◆Tea

Time:平

均 値 と分 布

気体の圧力   気 体 の 圧 力 は,気 体 の 分子 が 容 器 の 壁 に 当 た っ て はね 返 る と きに壁 に及 ぼ す 力 に よ る もの で あ る.壁 は完 全 に なめ らか な平 面 で あ る と し,分 子 と壁 の 衝 突 は完 全 弾性 衝突 で あ る とす る と,壁 に力 を及 ぼす の は壁 に垂 直 な 速 度 成 分 の 変化 だ け で あ る.こ の 速 度 成 分 をｕと す る と,衝 突 に よ っ て はね 返 っ た と きの 速 度 成 分 は-ｕ

と な る.分 子 の 質 量 を ｍ とす る と,壁 に 垂 直 な運 動 量 の 変 化 は2muで

あ

る.こ の よ う な 分子 が 単 位 体 積 内 にnu個 あ る とす る と,壁 の単 位 面 積 に は １秒 間 にnuu個

の分 子 が 当 た る の で,１ 秒 間の 運 動 量 変 化 の 総 和 は2numu2で

壁 に 向 か う と きの 速 度 をu＞0と る の で,壁

し,壁 か ら離 れ る と き の 速 度 をu＜0と

あ る. して い

の 単 位 面 積 が １秒 間 に受 け る分 子 の 運 動 量 の 総 和 は2numu2をu＞0

の 分 子 につ い て すべ て加 え合 わせ た もの,す な わ ち (１)

で あ って,こ れ が 気 体 の圧 力 に ほ か な らな い.圧 力 は運 動 量muの

流 れ を表 す と

い う こ とが で き る.こ

こで

(２)

と書 け る.Ｎ は気 体 分 子 の 総 数,Ｖ

は気 体 の 体 積 で あ り,u2はu2の

２乗 平 均 で

あ る.ｕ は壁 の １つ に 垂 直 な速 度 成 分 で あ った か ら,ほ か の ２成 分 をｖ,ｗ とす れ ば,分 子 の 速 度 分布 は方 向 に よ ら な い こ とか ら (３)

で あ り,分 子 の 速 さを ｃとす る とそ の 平 均 は (４) あ る い はu2=c2/3で

あ る.し

た が っ て(１),(２),(４)か

ら (５)

が 得 ら れ る.こ

こで (６)

は気 体 分 子 の進 行 運 動 の エ ネル ギ ー の総 和 で あ る ． こ れ を用 い る と(５)は (７) と な る.(７)を

ベ ル ヌ ー イ(Bernoulli)の

式 と い う(こ

の 式 の 導 き方 か ら わ か

る よ う に ベ ル ヌ ー イ の 式 は 分 子 が ニ ュ ー ト ン力 学 に 従 う 場 合 に 限 ら ず,非

相対 論

的 な 量 子 力 学 に 従 う場 合 に も成 り立 つ).   気 体 分 子 が ニ ュ ー トン 力 学 に 従 う と き に,ボ 1mol(モ

ル)の

イ ル‐シ ャル ル の 法 則 が 成 り立 つ.

気 体 は ア ボ ガ ドロ 数 (８)

の分 子 を含 み,ボ

ル ッマ ン定 数 をｋ とす る とボ イ ル‐シ ャル ル の法 則 は (９)

と書 け る.Ｒ

は 気 体 定 数 と 呼 ば れ る.(６),(７),(９)か

ら 分 子 １個 の 平 均 の

エ ネル ギ ー は絶対 温度 Ｔ に比例 し

(10) で 与 え られ る こ とが わか る.分 子 の速 度 のめ やす は Ｍ を分子 量 と して

(11) で 与 え ら れ る.た

と え ば 酸 素 分 子 で はM=32な

を 用 い る と,T=300K(=27℃)に

の で,R=8.32J(ジ

ュ ー ル)/K

お け る分 子 の 速 さ は

(12) と な る.こ れ は空 気 中 の音 速 よ りも少 し大 きい.こ の こ とは音 の波 が 分 子 の運 動 に よ って 伝 え られ る こ とを考 えれ ば 当然 で あ る.

分子の速度分布   １種 類 の 分 子 か ら な る 気 体 を 考 え,分 のｘ,ｙ,ｚ

子 １個 の 質 量 をｍ と し よ う.分

方 向 の 成 分 が そ れ ぞ れu∼u+du,v∼v+dv,w∼w+dwの

よ う な 単 位 体 積 内 の 分 子 数 をf(u,v,w)dudvdwと

す る.ｘ,ｙ,ｚ

子の速度

範 囲 にあ る の ３方 向 が 同 等

で,３ 方 向 の 速 度 分 布 が 独 立 で あ る と す る と

(13) と書 け る.さ ら に速 度 分布 が分 子 の 運 動 エ ネル ギ ー

(14) の 関 数 で あ る とす る と

(15) と書 け る.こ

の ２つ の 仮 定 が 成 り立 つ とす る と

(16) が導 か れ る(上 の仮 定 は い わ ゆ る古 典 統 計 に対 して成 り立 つ が,量 子 統 計 で は ３ 方 向 の速 度 分 布 は独 立 で は な い ので(16)は

成 り立 た な い).(16)に

よれ ば

(17) と な る の で(10),(17)に

よ り

(18) で あ る.(16)を

マ ク ス ウ ェ ル の 速 度 分 布 則(マ

ク ス ウ ェ ル 分 布)と

い う(図

１).

 単位体積 内の分子数 を (19) とす る と

(20)

と な る ．f(u,v,w)dudvdw=fc(c)dcと

す る と

(21)

図 １ マ クス ウェ ル 分 布

図 ２ 分 子 の速 さの 分 布

fcが 最 大 に な る の は ｃが√2kT/mの

値 の と き で あ る(図

２).平 均 の 速 さ は

(22) と な る.

平均 自由行路   気 体 の 分 子 の 速 さ は秒 速 数 百 ｍ に 達 す るが,た お いが 拡 が って くる の に は,い

とえ ば ア ンモ ニ ア の 蒸 気 の に

くらか の 時 間 が か か る.こ れ は気 体 の 分子 が 大 き

さ を もつ た め に絶 えず ほか の 分 子 と衝 突 して進 行 方 向 を変 え ジ グザ グな運 動 をす る ため で あ る.あ る分 子 が 衝 突 して か ら次 に衝 突 す る まで に走 る距離 は もち ろ ん 一 定 で は ない が ,そ の平 均 を考 え て こ れ を気 体 分 子 の 平 均 自由 行 路 とい う.場 合 に よ って は任 意 の 時 間 か ら次 に衝 突 が起 こ る まで に走 る距 離 の 平均 を意 味 す る こ と もあ る.   平 均 自 由 行 路 を近 似 的 に 求 め る に は,ほ か の 分 子 はす べ て静 止 して い る と し て,こ れ らの １つ の分 子 が衝 突 す る運 動 を考 えれ ば よい ． この分 子 は相 次 ぐ衝 突 の 間 は直 進 し,ジ グザ グで はあ るが,１ 秒 間 にだ い た い 速 さ ｃの 距 離 を動 く.図 3aは こ の 様 子 を示 す.こ

のジ

グザ グの道 を真 直 ぐに延 ば した

(ａ)

と 考 え た の が 図 ｂで あ る.分 子 の 直 径 を σ とす る と,行 路 の 中心 線 を中心 とす る半 径 σ の 円筒 形 に ほ かの 分 子 が あ れ ば 衝 突 が起 こ る.単 位 体積 内 の分 (ｂ)

子 数 をｎ と す る と 図 ｂか ら わ か る よ う に,１ 秒 間 の 衝 突 数 は こ の 円筒 内 の分 子 数nπ σ2cに等 しい ．ｃは 分 子 が１ 秒 間 に 走 る 距 離 で あ る.し た が って相 次 ぐ 衝 突 間 の 距 離 はc/nπ σ2c,す な

図 ３ 平均 自由行路

わち

(23) とな る.こ れ が 平 均 自 由行 路 の 近 似 式 で あ る.分 子 密 度ｎ が 大 きい ほ ど,分 子 の 直径 σが 大 きい ほ ど,自 由行 路 は小 さい.分 子 が たが い に 運 動 して い る こ と を考 え,特 定 の分 子 が あ る瞬 間か ら次 の衝 突 を起 こす まで に 走 る距 離 の 平 均 を詳 し く計 算 す る と上 式 の代 わ りに

(24) を 得 る.

Tea

Time

平均値 と分布   速 度 の 平均 とい うの は わ か りやす い と して も,こ れ に比 べ る と速 度 の分 布 と い うの はず っ とわ か りに くい.一 般 に もの を考 え る と き平 均 はわ か りや す い が 分 布 は わ か りに くい.分 布 の代 わ りに い わ ゆ る偏差 値 な どを うん ぬ ん す る こ とが あ る が,こ れで は不 十 分 な場 合 が 多 い よ うで あ る.   初等 的 な 話 で は まず 平 均 値 を問 題 に し,日 常 的 な話 で は そ こ まで の こ とが 多 い.い

くらか 高 等 な 話 に な る と分 布 が 問 題 に され る.も

し も平 均 値 的 な人 間 だ け

しか い なか った な ら,社 会 は成 り立 た ない だ ろ う.若 い人 や 年 と っ た人 や,速 理 解 す る 人 や ゆ っ く り考 え る人 や,そ

く

うい うい ろ い ろ の 人 が い る の が 社 会 で あ

る.自 分 と違 う意 見 も認 め 合 うの が社 会 の 原 理 で な け れ ば な ら な い.   分布 が あ るの に平 均値 だ け です まそ うとす る と矛 盾 が 生 じる.そ う い う不 備 な 話 に お 目にか か る こ とが あ る.物 理 の理 論 の と き,こ れ は相 当 こみ い っ た話 な の で どこが 不 備 か わ か りに くい こ とが あ るが 簡単 な もの もあ る.   簡単 な １つ の例 をあ げ よ う.物 体 を真 上 へ投 げ上 げ る と重 力 の ため に物 体 の 速 さは だ ん だん 遅 くな る.初 速 度v0で 真 上へ 投 げ られ た物 体 の 速 さ が ０に な る高 さ を Ｈ とす る と エ ネ ル ギ ー の 関 係 式v02/2=gH(ｇ

は 重 力 の 加 速 度)か

らH=

v02/2gと な る.   他 方 で空 気 の 分 子 な ど は常 温 で 約400m/sの

速 さ を もって い る.し たが って こ

の分 子 が 真 上 へ 進 ん で い くとH=(400)2/(2×9.8)≒8000mで

速 さが ０に な る わ

けで あ る が,速 度 が ０の 分 子 の 集 ま りは絶 対 ０度 の 気 体 で あ る.そ

こで 約8000

mの 上空 の ジ ェ ッ ト機 か何 か に低 温 実験 室 をつ くっ て下 か ら上 が って くる気 体 分 子 を と らえ れ ば,低 温 装 置 を使 わ ず に絶 対 ０度 の実 験 をす る こ とがで きる こ とに な る.こ れ は本 当 だ ろ うか.   8000mの 円 筒 内 に た が い に 分子 衝 突 を しな い ほ ど希 薄 な気 体 を入 れ た装 置 を つ くれ ば,上 空 へ 上 が っ て きた気 体 分 子 を と ら え る こ とはで きる に違 い な い .し か し分 子 に は 速 い もの も遅 い もの もあ って,速 い もの は8000mを 上 空 へ 上 が る こ とが で き るが,遅 い もの は8000mに 8000m上

超 えて さらに

達 しな いで 落下 して しま う.

空 へ 達 す る 分 子 は ご くわ ず か に な る.地 上 か ら出 発 す る分 子 の 速 度 が

あ る温 度 の マ ク ス ウ ェル 分 布 を して い る とす る と,8000mの

上 空 に達 す る こ と

が で きた少 数 の分 子 の 速 度分 布 は,や は り同 じ速 度 の マ クス ウェ ル分 布 を して い るこ とを示 す こ とが で きる.こ の よ うに分 子 が たが い に衝 突 を しない よ う な仮 想 的 な状 況 で は空 気 の 温度 は上 空 へ い っ て も下 が らな い の で あ る.

第２ 講 気体 の輸送現象

―テー マ

  ◆ 粘 性 と熱 伝 導  ◆ 拡散   ◆Tea

Time:気

体の粘 性

輸送現象   静 止 した 容 器 内 の 気 体 に 運動 があ る と き,時 間が たつ につ れ て この 運 動 は しだ い に ゆ るや か にな り,つ い に は静 止 して しま う.こ の 場 合,気 体 と容 器 の 間 だ け で な く,速 度 の 違 う気 体 の 相互 の 間 に摩擦 力 が は た ら く.こ れ は異 な る部 分 の 間 で分 子 が 入 れ 替 わ って,分 子 の運 動 が しだ い に な らさ れて い くか らで あ る.こ の よ うに して,流 れ の 方 向 の 運動 量 を変 化 させ る よ うな流 れ の 方 向 の 面 力 が 生 じる の が 粘性 で あ る(運 動 の 法則 に よ れ ば,運 動 量 の 時 間 的 変 化 の 割 合 が 力 に等 し い).す で に述 べ た よ うに あ る方 向 に垂 直 な面 を通 して 移 動 す る運 動 量 の 流 れ は 圧 力 に ほか な らな い.こ れ に対 して 流 れ の方 向 に平 行 な面 を通 して 移 動 す る運 動 量 の流 れ が 粘 性 力 で あ る.こ れ は気 体 に限 らず 液 体 につ い て もい え る こ とで,流 体 の圧 力 と粘 性 力 と を合 わ せ て応 力 と考 える こ とが で きる.   また,気 体 の 中 に温 度 の 差 が あ る とき は分子 が エ ネ ルギ ー を運 ぶ ため に熱 伝 導 が起 こ り,混 合 気 体 に密 度 の差 が あ る と きは分 子 自身 の移 動,す こ る.こ れ らの 現 象 を ひ っ くる め て輸 送 現 象 とい う．

な わ ち拡 散 が 起

気体の粘性  ｘ 方 向 に 流 れ る気 体 が あ る と し,そ の 流 れ の 速 さはｘ に垂 直 な 方 向 の 座 標ｚ に 比 例 す る もの とす る(図

４).流 れ をｚ軸 に垂 直 な 薄 い 層 に分 け た と考 え る と,

各 層 で は気 体 が 一様 に流 れ て い る とみ る こ とが で きる.こ の 層 流 にお い て,流 れ の速 い 層 は これ に接 す る遅 い層 を引 きず って い こ う と し,遅 い 層 は速 い層 を引 き 止 め よ う と して た が い に 面 力 を 及 ぼ し合 う.単 位 面積 に つ い て の 面 力 Ｆ は 速 度 勾 配dU/dzに

比例 し (１)

と書 け る.比

例 定 数 η を 粘 性 率 と い う.こ

こ で は 粘 性 率 を略 算 す る こ と に す る .

  １つ の 面z=z0の

単 位 面 積Ａ

あ る と す る と,面

Ａ の 法 線 に 対 し て θ と θ+dθ の 間 の 力 向 に 運 動 し て い る 分 子

数 は 全 分 子 数 の2πsinθdθ/4π

を 考 え る(図

倍 で あ る.し

５).分 子 の 速 さ は す べ て 一 定 で ｃで

たが って この 角 度 で 面 Ａ を通 過 す

る 分 子 数 は １秒 間 に

(２)

で あ る(ｎ は単 位 体 積 内 の 分 子 数).平

均 自由 行 路 を Ｌ とす る と,面

ら通 過 す る分 子 は平 均 と してz=z0+Lcosθ

図 ４ 層

流

Ａ を上 方 か

の とこ ろ で他 分 子 と衝 突 し,こ の

図 ５  分 子 の 運 動 の 向 き

場 所 の流 れの 運 動 量(ｍ は 分子 の質 量) (３)

を も って Ａ を通 る.同 様 に 下 か ら くる分 子 に よっ て 運 ば れ る流 れ の 運 動 量 は 平 均 と してm〓

で あ る． した が って 単 位 時 間 に面 Ａ を上 か ら下

へ通 過 す る流 れの 運 動 量 は

(４) と な る.こ

れ が 面 力 Ｆ に ほ か な ら な い． 積 分 を 実 行 す れ ば1/3と

(４)を(１)と

な る か ら,

比 べ て粘 性 率 の 式 (５)

を得 る.平

均 自 由 行 路 と して 第 １講(24)を

用 いれば

(６)

を 得 る.こ

こ で σ は 分 子 の 直 径 で あ る.

  【密 度 と の 関 係 】(５)に す る が,平

均 自 由 行 路 が 分 子 密 度 に 反 比 例 す る の で,粘

い こ と に な る.こ こ と で あ る.た る が23.8気

よ れ ば 粘 性 率 は 分 子 密 度ｎ と平 均 自 由 行 路 Ｌ に 比 例

れ は1860年 と え ば40℃

性 率 は分 子 密 度 に よ らな

に マ ク ス ウ ェ ル に よ って 初 め て 理 論 的 に示 され た の 二 酸 化 炭 素 で は １気 体 で η=1.57×10-4cgsで

圧 に し て も η=1.69×10-4cgsで,ほ

と ん ど 変 化 が な い(も

あ ま り圧 力 を 大 き く す れ ば 気 体 の 粘 性 率 は 増 大 す る ．40℃ 100気 圧 に す る と η=4.183×10-4cgsと   【温 度 と の 関 係 】(６)に が っ て√Tに

た

れ は あ ま り よ く実 測 値 に 合 わ な い.気 り も もっ と大 き くな るの で あ

れ は 分 子 間 に は た ら く引 力 の た め で あ っ て,低

実 効 値 は 小 さ く な る.こ

の二 酸化 炭素で は

よ れ ば 気 体 の 粘 性 率 は 分 子 の 速 さｃ に 比 例 し,し

比 例 す る こ と に な る が,こ

有 効 な 直 径 は 大 き い が,高

ちろん

な る).

体 の 粘 性 率 は 温 度 と と も に 大 き く な る が,√Tよ る.こ

あ

温 で は引 力 の ため に分 子 の

温 に な る と 引 力 の 影 響 が 小 さ く な る の で,分

子 直径 の

の 効 果 を 取 り 入 れ た サ ザ ー ラ ン ド(Sutherland)の

式

(c＞0)

(７)

は実 測値 を よ く再 現 す る.

気体の熱伝導  熱 伝 導 も粘性 と ま った く同様 に して計 算 で きる.た だ分 子 衝 突 に よ って 手 渡 さ れ るの は運動 量 で は な く,分 子 のエ ネル ギ ー で あ る.気 体 の 比 熱 は一 定 で あ る. こ れ を1gに

つ きcvと す れ ば 質 量ｍ の 分 子１ 個 が 絶 対 温 度 Ｔの と きに もつ エ ネ

ルギ ーは

(８)

で あ る.気

体 の 温 度 勾 配 がｚ 方 向 に あ り,そ

前 節 と 同 様 の 計 算 を す れ ば,z=z0の

の 大 き さ がdT/dzで

あ る と し よ う.

単位面積 Ａ を通るエ ネルギーの流 れは単

位時 間に (９)

とな る.熱 伝 導 率 Ｋ の 定 義 は

(10) で あ る か ら,気 体 の 熱伝 導率 は

(11) で 与 え ら れ る こ と に な る.   (11)と(５)を

比 べ る と関係 式

(12) が 得 ら れ る.し 子(He,Neな

か し実 験 に よ れ ばK/ηcvの ど)の

場 合 は,こ

の 値 は2.5に

値 は １よ り も常 に 大 き い .単 近 い.こ

原 子分

の よ うな 実験 との 不 一 致

は,上

の 理 論 が 粗 雑 な た め で あ っ て,後

に よ れ ばK/ηcvの

値 は2.5で

計 算 は で き な い が,実

に述 べ る よ うな もっ と正確 な理 論 的 計 算

あ る こ と が 導 か れ る.多

測 に よ れ ばK/ηCv＜2.5で

原 子 分 子 に つ い て詳 しい

あ り,こ

れ に 分 子 が 衝 突 す る際

に 分子 内 の原 子 振 動 や 回 転 の エ ネ ル ギ ー は進 行 運 動 の エ ネル ギ ー の よ うに うま く 手 渡 し さ れ な い た め と 考 え ら れ る.比

熱 を 進 行 運 動 の エ ネ ル ギ ー の 部 分Cvtと 分

子 内 の エ ネ ル ギ ー の 部 分cviと に 分 け た 式

(13) が 考 え ら れ る.こ

こ で,分

子 量 を Ｍ,モ

ル 比 熱 をCp,Cvと

=γ と す る と〓 (13)を

し,比

熱 比 をCp/Cv

な どの 関 係 式 を 用 い て

書 き 直 した 式

(14) が実 測 値 とか な りよ く一 致 す る こ とが 確 か め られ る.

気体の拡散   混合 気 体 に お いて 軽 い 分子 と重 い分 子 が たが い に拡 散 して 混 じ り合 うと き,軽 い 分子 は速 さが 大 きい た め重 い分 子 か らな る気 体 の 濃 度 が 高 い と ころへ 速 く入 り 込 み,そ こ の圧 力 が 高 くな る の で気 体 の 流 れ が 生 じる.混 合 気 体 の拡 散 を考 え る と きに は こ の流 れ も同 時 に考 え な けれ ば な ら な い.  ｚ方 向 に濃 度 の勾 配 が あ る２種 類 の気 体 の 混 合 気 体 を考 え,単 位 体積 内 の そ れ ぞ れ の分 子 の個 数 をn1,n2と

す る.圧 力p=（n1+n2)kTは  一 定(場 所 に よ ら な い)

一定であるか ら   (15)

で な け れ ば な らな い.こ の条 件 を満 たす た め に上 述 の流 れがｚ 方 向 に生 じる.こ の流 れ の速 度 をU(z)と  z=z0の

しよ う.

単 位 面 積Ａ を１秒 間 に通 過 す る 種 類 １の 分 子 の 数 は 流 れ に よ る 部 分

Un1と 分 子 運 動 に よ る部 分 とか らな り(後 者 は粘 性 や熱 伝 導 と同様 に 計 算 され る)

(16) で 与 え られ る.こ

こ で,c1は

均 自 由 行 路 で あ り,こ

種 類 １の 分 子 の 速 さ(一

れ は 濃 度n1,n2に

定 と考 え る),L1は

依 存 す る ． 同 様 に,z=z0の

その平

面 Ａ を通 過

す る 種 類 ２の 分 子 の 流 れ は

(17) で 与 え ら れ る.(15)に

よ り

(18) で あ り,ま た 上 下 が容 器 に よっ て限 られ て い れ ば全 体 の流 れ は ない ので

(19) が 成 り立 つ.し

た が っ て(16),(17)を(19)に

代入 し

(20) を 得 る.こ

こで

(21) と書 く と分 子 １が 混 合 気 体 の 中 へ 拡 散 す る拡 散 率D12と

分 子 ２が 混 合 気 体 の 中

へ 拡 散 す る拡 散率D21は

(22)

で 与 え られ る こ とが わ か る.   ２種 類 の分 子 の 質量 が等 し く大 き さ も等 しい と きに は

(23) が 相 互 の 拡 散 係 数 を与 え,こ れ は濃 度 に よ らない.Ｄ は 自 己拡 散 率 と呼 ば れ る. 同位 体 はほ とん ど原子 量 が等 し く,分 子 の 直径 も等 しいか ら,同 位 体 ア イ ソ トー プ を用 い れ ば 自己 拡散 係 数 が測 定 され る.

分 子 の 速 さ,大 き さ と数   分 子 の 速 さ,大

き さや 分子 の数 な ど はマ ク ス ウ ェル の ころ に は お よそ の 見 当 が

つ い て い た(分

子 に 対 す る 確 証 で は な か っ た が).今

じ え な が ら,そ

の 当 時 の 推 定 方 法 を 考 え て み よ う.

  １. 分 子 の 速 さ を ｃ とす る と ベ ル ヌ ー イ の 式(第

日知 ら れ て い る デ ー タ を 混

１講(5)∼(6))に

よ り

(24) (n=N/vは

単 位 体 積 分 の 分 子 数,ρ

dyne/cm2(cgs単

位 系 を 使 う).標

は 密 度).こ

こ でP=1気

圧=1.014×106

準 状 態 で 窒 素 は ρ=1.250×10-3g/cm3.し

た

が って

分子の速 さは

と な る.   ２. 平 均 自 由 行 路 ． 粘 性 率 の 式(５)に

よ り

(25) 0℃

の 窒 素 で η=1.67×10-4ポ

ア ズ(cgs)．

こ れ か ら計 算 す れ ば

  ３. 分 子 の 大 き さ は 液 体 で 分 子 が ぎ っ し り つ ま っ て い る と 仮 定 して 推 定 す る か,フ

ァ ン ・デ ル ・ワ ー ル ス の 状 態 式 の 定 数 ｂが 分 子 の 実 体 積 の ４倍 で あ る こ と

か ら ア ボ ガ ドロ 数 と 関 係 づ け ら れ る(『 熱 現 象30講 NA,分

』p．166).ア

ボ ガ ドロ 数 を

子 の 直 径 を σとす る と

(26) 他 方 で 第 １講(24)に

お い て 気 体1molの

体 積 をV0と

す る とn=NA/V0で

あ り

(27)

よっ て

(28) 上 の ２式 か ら

(29)

(30) 窒 素 で はb=38.3cm3.ま 103cm3で

た 標 準 状 態 に お け る1molの

体 積 はV0=22.414×

あ る ． こ れ ら か ら窒 素 分 子 の 直 径 は

こ れ はだ い た い 正 しい 値 で あ る.こ の 値 と上式 か ら

を 得 る.こ

れ も実 際 の 値NA=6.022×1023に

Tea

比 べ て だ い た い 正 し い 値 で あ る.

Time

気体の粘性   バ タ ーや マ ー ガ リンな どは暖 か い と柔 らか くな り,冷 やせ ば 固 くな る.蜂 蜜 な どの よ う な液 体 は明 らか に温 度 を上 げ る と粘 ば こ さが少 な くな る.水 な どで は わ か りに くい が,一 般 に 液 体 は温 度 を上 げ る と粘 性 が小 さ くな る.   液 体 か らの 類 推 で,気 体 も温 度 を上 げ る と粘 性 が小 さ くな る と思 うか も しれ な いが,気 体 の 粘性 は温 度 と と もに大 き くな る の で あ る(本 文 参 照).こ の 点 で気 体 と液 体 は逆 で あ る とい うこ とが で き る.そ の 原 因 は液 体 の粘 性 が分 子 間 の 引 力 に よ る もの で あ るの に対 し,気 体 の 粘性 は気 体 分子 の衝 突 に よる もの で あ る とい う違 い に あ る.   なお この 違 い は 半 導体 と金 属 の 電 気抵 抗 の温 度 変 化 の差 違 に似 て い る.半 導体 は温 度 を上 げ る と電 気抵 抗 が 小 さ くな るの に対 し,金 属 で は温 度 を上 げ る と電気 抵 抗 が 大 き くな る.こ の違 い の原 因 は半 導 体 で は温度 を上 げ る と電 気 を運 ぶ キ ヤ

リヤ ー(電 子 と正 孔)の 数 が増 え る こ とに よ って 抵 抗 が 小 さ くな る の に対 し,金 属 で は キ ャ リヤ ー(電 子)の 数 は一 定 で あ るが,温 度 を上 げ る と金 属 イ オ ンの振 動 が激 し くな って 電子 を散 乱 す る た め に抵 抗 が 大 き くな る こ とで あ る.   気 体 の 粘 性 が ほ とん ど圧 力 に よ らな い事 実 もち ょっ と不 思 議 で あ るが,こ

れは

圧 力 を増 やす と分 子衝 突 は頻 繁 に な るが,平 均 自由 行路 が短 か くな るの で 遠 くの 分子 の運 動 量 が 運 ば れ て こ な くな る影 響 とが 打 ち消 し合 うた めで あ る.ボ イ ル の 法 則 の発 見 で 有 名 な ボ イ ル は気 体 の 中で 振 らせ た振 り子 の減 衰 を調 べ る こ と に よ り,気 体 の 粘 性 が気 体 の圧 力 に よ ら な い こ と を発 見 した.理 論 的 に この こ と を初 め て説 明 した の は マ クス ウ ェ ルで あ る.

第３ 講 初等的理 論への反省

―テー マ

 ◆ 輸 送 係 数 と次 元  ◆ ボ ル ツ マ ン方 程 式   ◆Tea

Time:平

均 寿命

次

元

  第 ２講 で は気 体 の 輸 送現 象,す なわ ち粘性,熱 伝 導,拡 散 につ い て初 等 的 な 説 明 を与 え た.こ

れ は これ ら の現 象 と分 子 運 動 の 関 係 を明 ら か に す る もの で あ る

が,厳 密 な 理 論 で は な く,粘 性 率,熱 伝 導,拡 散 率 な どの算 出 は いわ ば 次 元解 析 的 な 方 法 に近 い もの で あ る.こ

こで 次 元 解 析 の 方 法 と い うの は,あ る物 理 量 Ｑ

が これ に 関係 が あ る と思 わ れ る 少 数 の よ り簡 単 で 基 礎 的 な物 理 量Ａ ,Ｂ,Ｃ,… で表 せ る と仮 定 し,こ れ を (１)

と お い て 係 数(た

だ の 数)α,β,γ,…

を 決 め よ う と す る の で あ る .物

理量 と し

て た と え ば 体 積 Ｖ を 考 え れ ば こ れ は 立 方 体 の ３つ の 辺 の 長 さ で 決 ま る の で ,長 さ をＬ と書 け ばV∼L3で

あ り,こ

の と き の 係 数 は α=3と

量 Ｍ を 体 積Ｖ で わ っ た 量 な の で ρ=M/V∼ML-3と

な る． ま た密 度 ρは 質

な る.さ

す と 速 度ｖ は 長 さ Ｌ を 時 間 Ｔ で わ っ た も の な の でv∼LT-1と

ら に 時 間 を Ｔで 表 表 せ る し,加

速度

はLT-2,力

はMLT-2,エ

ネ ル ギ ー や 熱 量 はML2T-2と

  こ の よ う に 力 学 的 な 量 は,熱 さＬ,時

表 せ る.

的 な 量 を含 め て,基

間Ｔ の 組 み 合 わ せ で 表 せ る.こ

礎 的 な 量 で あ る 質 量 Ｍ,長

れ を (２)

な ど と書 き,こ

れ ら を 次 元 式 と い う.同

様 に[Q]=［MαLβTγ]と

書 く と(１)は (３)

を 意 味 す る こ と に な る ． も し も Ｑ が ３つ の 量Ａ,Ｂ,Ｃ

だ け で 決 ま る な ら ば,こ

れ か ら Ｑ の係 数 が (４) と し て 決 ま る こ と に な る.

気体の輸送現象   さて気 体 の粘 性 の問 題 で,気 体 中 のｘ 方 向 の流 れＵ が位 置ｚ に よっ て 異 な り, 流 れ の勾 配 ∂U/∂zがあ る と き,粘 性 率 を η とす る と (５)

で あ る,こ

こ で,Ｆ

は 単 位 面 積 当 り の 力 で あ る.そ

こで (６)

であ るか ら,粘 性 率 の次 元 は (７)

とな る.   粘 性 率 が 気体 の密 度 に よ らな い と い う実 験事 実 を既 知 の もの とす る と,粘 性 率 は分 子 の 質 量ｍ,分 子 の 直 径 σお よ び分子 の速 さ ｃで 決 まる と考 え られ る.そ こ で (８) と お い て み る と,そ

の次元 は

(９) と な る.こ

れ と(７)を

た が っ て(８)に

比 べ れ ば α=1,β=-2,γ=1で

あ る こ とが わ か る.し

よ り

(10) を 得 る.こ

れ は 第 ２講(６)の

式 η=mc/3√2π

σ2と 一 致 した 次 元 式 を 与 え る.

  同 様 な 考 察 は 熱 伝 導 率 や 拡 散 率 な ど に つ い て も い え る.こ

の よ うな方 法 を一 般

に 次 元 解 析 と い う.

  方 程 式 の 右 辺 と左 辺 の次 元 は も ち ろん等 し くな け れ ば な ら ない か ら,次 元 解 析 を利 用 して 理 論式 な どが 正 しい か 正 し くな い か をチ ェ ックす る方 法 の １つ に な り う る.ま た 次 元解 析 で 導 い た式 を手 が か りに して実 験 を企 画 した り,理 論 の 道 を 探 る こ と もで きる か も しれ ない.た

とえ ば 第 ２講 で行 った 粘性 に対 す る考 察 は い

く らか 不 確 か で あ るが,次 元解 析 で 導 い た式(10)と

一 致 す る結 果 が得 られ て い

るの で 真 実性 を含 む と思 わ れ る.し か し次 元 解 析 で 得 られ るの は比 例 式 で あ り, (10)を 等 式 に した と きに 右 辺 に か か るべ き数 値 係 数 が １な の か 上 記 の よ う に 1/3√2π な の か を決 め る こ とはで き な い.第

２講 の や や 不 確 か な理 論 も この 数 値

につ い て 大 きな 自信 を もて な い わ けで あ る.実 際,第 は実 験 と合 わ な い(第

２講(12))が,こ

２講 で 導 い た 式K/ηcv=1

れ は第 ２講 で 導 い た式 の数 値 係 数 が 不

確 か で あ った こ とを示 して い る.   気 体 の 輸 送現 象 に対 す る も っ と信 頼 で きる理 論 を考 える に は,分 子 運 動 と分 子 相 互 の衝 突 に対 す る も っ と正確 な取 り扱 い を しな けれ ば な らな い.   第 １講,第

２講 で 述 べ た 初等 的 な理 論 で は,流 れ や 温度 の勾 配 が あ って も気 体

の 分 子 の 速度 分 布 はそ れ に よっ て影 響 され ない か の よ うに扱 っ た.し か し速 度 分 布 が 厳密 に静 止 した気 体 の熱 平 衡 の分 布 か らず れ ない とす る と粘 性 率 な どの 輸 送 係 数 は ０に と ど ま る こ とが 示 され る(第

７講 と第 ８講参 照).し

たが っ て輸 送 現

象 を厳密 に扱 う に は速度 分 布 関 数 の 平 衡 分 布 か らの ず れ を考 慮 しな けれ ば な らな い.次 に こ れ を取 り入 れ た理 論 を紹 介 しよ う．

ボ ル ツ マ ン方 程 式  分 子 の速 度 分 布 ｆは速 度 ｃ,場 所 ｒお よび 時 間ｔの 関 数 で

(11) は 時 間ｔ に お い て 座 標 がx∼x+dx,y∼y+dy,z∼z+dzの がu∼u+du,v∼v+dv,w∼w+dwの

間dcに

間drに

あ り,速

度

あ る分 子 の 数 を意 味 す る もの とす

る.

(12) は時刻ｔ,位 置 ｒに お け る単 位 体 積 内 の分 子 数 で あ る.   も し も分 子 衝 突 が な い な ら ばdt時 間 に 分 子 の 位 置 は ｒか らr'=r+cdtに る.ま た 外 力 Ｋ が 各 分 子 に は た ら け ば分 子 の 速 度 は ｃか ら〓 す る(ｍ 理).そ

は 分 子 の 質 量).こ

の と きdrdc=dr'dc'が

成 り 立 つ(り

し て 衝 突 が な け れ ば 分 子 数f(c,r,t)はf(c',r',t)に

の た め に 生 じ るｆ の 変 化 を〓

に変化 ゥヴィルの定

等 しい こ と に な る.

  し か し実 際 に は 分 子 衝 突 が 起 こ っ てｆ が 変 化 す る.こ 成 り立 つ の で,衝突

移

の と き もdrdc=dr'dcが

とお く と

(13) と な る ． こ こ で 左 辺 をdtに

つ い て 展 開 して,両

辺 をdtで

わ ると

(14) と な る.左

辺 のu∂f/∂x+v∂f/∂y+w∂f/∂zは

呼 ば れ る.(14)を と い う.衝

流 れ の 項,あ

ボ ル ッ マ ン方 程 式 と い う.(14)の

る い は ド リ フ ト項 と

右 辺 で[∂f/∂t］cは 衝 突 項

突 項 を 詳 し く計 算 す る 理 論 に つ い て は 後 の 講 で 述 べ る.

分布関数の緩和   分 子 の 分布 が平 衡 状 態 か らず れ た状 態 にあ る と き,こ れ を放 置 す れ ば,体 系 は 平 衡 状 態 へ と近 接 して い く.こ れ を緩 和 とい っ て お り,緩 和 に 要 す る 時 間 を

緩 和 時 間 とい う.分 子 衝 突 の 詳 細 に た ち入 ら な い で(14)の

衝 突 項[∂f/∂t]cを

処 理 す る 方法 は緩 和 時 間 τを導 入 して衝 突項 を

(15) と お く こ とで あ る.こ

こ で,f(0)は

平 衡 状 態 の 分 布 で あ る.

粘  衝 突 項 と して(15)を

性

率

用 い る と気 体 の 粘 性 率 η は (16)

と な る.こ

こ で,ｎ

  【証 明 】

気 体 の 中 に 重 力 な ど の 外 力 が は た ら か な い と す る ．ｚ 方 向 に 流 れ の 勾

配 が あ り,流 =Ky=Kz=0と

は 単 位 体 積 内 の 分 子 数 で あ る.

れ は 正 常 で あ る と す る と(14)で∂f/∂t=0,∂f/∂x=∂f/∂y=0,Kx して ,(15)を

用 い る とボ ル ツマ ン方程 式 は

(17) と な る.こ

こ で 平 衡 分 布f(0)と し て はｘ 方 向 に 流 れU=U(z)の

勾配

(18) が あ る と き の マ ク ス ウ ェ ル 分 布(第

１講(20)参

照)

(19) を採 用 す る.   平 衡 分 布f(0)か ら の ず れ が 小 さ い と して 分 布 ｆ を

(20) と お く.こ

れ を(17)に

代 入 す る と き,左

い と して 無 視 す る と(17)は

辺 で ∂f(0)/∂zに対 し て ∂f(1)/∂zは小 さ

(21) を与 え る(こ こ でf(0)が(19)の

形 で あ る こ とを利 用 してｚ に 関 す る微 分 をｕ に

関す る微 分 で 置 き換 えた).  ｚの 小 さな と こ ろか ら大 きな と ころ へ(x,y)面

の 単 位 面 積 を通 って 運 ば れ る

運 動 量 のｘ 成 分 は面 力Ｆ の符 号 を変 え た もの に等 し く

(22) で あ る.こ

こ でuwf(0)はｕ,ｗ

を 考 慮 す る と(21)に

に つ い て の 奇 関 数 な の で そ の 積 分 は ０で あ る こ と

よ り

(23) とな る.こ の 右 辺 をｕ につ い て 部分 積 分 す る とそ の結 果 は(μ2を 省 略)

(24) と 書 く こ と が で き る.こ

こ でエ ネル ギ ー等 分 配 の 法則 に よ り

(25) なので

(26) を得 る.こ

こ で μ=∂U/∂zは

流 れ の 勾 配 な の で(16)が

得 ら れ る.

  【コ メ ン ト】 こ こ で τ はL/c(ｃ は分 子 の速 さ,Ｌ は平 均 自 由行 路)の 程 度 と 考 え られ る.そ こ で τ=L/cと ２講(５)あ

る い は(６)と

お け ば(16)は

η=nmLcを

与 え る が,こ れ は 第

数 係 数 が異 な る.

  また緩 和 時 間 τは,分 子 間力 や 分子 密 度 な ど に よ って 決 まる は ず で あ るが,こ こで は この 関係 が何 も明 らか に され て い な い.分 子 間 力 か ら粘 性 率 な ど を導 くこ とは 第 ７講 と第 ８講 に お いて 考 察 す る.そ の 結 果 に よれ ば緩 和 時 間 に相 当す る量 は輸 送量 に よ っ て違 う値 を考 え な け れ ば な らな い こ とが わ か る.す な わ ち,粘 性 率,熱 伝 導,拡 散 な どそ れ ぞ れ の輸 送 係 数 に は 別 々 の緩 和 時 間 を仮 定 しなけ れ ば な らな い.言 い換 えれ ば単 一 の緩 和 時 間 で 平衡 へ の近 接 を特 徴 づ け るの は 無理 で

あ る とい うこ とで あ る.   そ こで 次 の 数 講 に お い て衝 突項 を詳 し く検 討 して,ボ ル ッ マ ン方 程 式 を厳 密 に 扱 うこ とに しよ う.

Tea

Time

平均寿命   生 ま れ た 人 が 何 歳 まで 生 き る か とい うの を単 純 に平 均 した の が 平 均 寿 命 で あ る.平 均寿 命 が 年 ご と に延 び るの は,赤 ん坊 と青 年 の 死 亡率 が減 るの が 主 な 原 因 で あ る.   平 均 寿 命 と,た と え ば80歳

にな った 人 が 何 歳 まで 生 き ら れ る か と い う平 均 と

は異 な る.赤 ん坊 や 青 年 と80歳 の 人 とが その の ち 同 じよ う に生 き続 け ら れ る こ とは な い.   あ る分 子 が 衝 突 して か ら次 の衝 突 をす る まで の 距 離 を平 均 自 由行 路 とい うが, あ る瞬 間 か ら次 の衝 突 まで の距 離 を平 均 自 由行 路 とい うこ と も多 い.こ れ らは明 らか に異 な る.分 子 に と って は,ど の瞬 間 も同 じで あ る.平 均 自 由行 路 が た とえ ば10-6cmで

あ る と して も,10-6cm以

上 を衝 突 しな い で 走 っ た分 子 は も うす ぐ

に衝 突 す る に違 い な い とは い え な い.ど の 瞬 間 で考 えて も,次 に衝 突 が 起 こ る ま で に走 る距 離 の平 均 は 同 じな ので あ る.   多 数 の分 子 の あ る 瞬 間 以 後 の 運 動 を考 え,10-7cmだ け 自由 に走 っ た分 子 の 数 が 初 め の 分 子 の 数 の1/10で あ る と しよ う.そ れ が さ ら に10-7cm自 由 に走 る 分 子 の 数 は1/10の1/10,す で,あ

な わ ち初 め の 分 子 の数 の1/100に

な る.そ

うい うわ け

る距 離 を 自由 に走 る分 子 の 数 はそ の 距離 に対 して 指 数 関 数 的 に 減 少 す る ．

  距 離 につ い て い っ た こ と は時 間 につ い て も同様 で あ る.た とえ ば 放射 線 を出 す 原 子核 に つ い て も同 様 で あ る.あ る放射 能 を もった 原 子核 が あ る瞬 間 か ら測 って 放 射 線 を出 す まで の 時 間 の平 均 が そ の 原 子核 の平 均 寿 命 で あ る.平 均 寿 命 が100 年 だ と した と き,100年

間 放 射 線 を 出 さな か った 原 子 核 は も うす ぐ に放 射 線 を 出

す に違 い な い と い う こ とは で きな い.そ の よ うな 原 子核 に と っ て も,こ れ か ら後 に放 射 線 を 出す まで の年 月 の平 均 は100年 で あ る.分 子 や原 子 核 は歳 を と る こ と が な い,と い って も よい.

第４ 講 ボル ツマ ン方 程 式

―テー マ

  ◆ ボ ル ッ マ ン方 程 式  ◆ 衝 突項  ◆Tea

Time:感

激 屋の ボ ルッマ ン

ボ ル ツ マ ン方 程 式   前 の 数 講 に お い て は 気 体 の 輸 送 現 象 に 対 す る 初 等 的 な 理 論 に つ い て 述 べ た.今 回 か ら第 ８講 まで は 気 体 分 子 運 動 論 の 正 統 的 な 扱 い を 述 べ,輸 り扱 い に も 触 れ る こ と に す る.気 よ っ て 樹 立 さ れ た.そ Chapman)な

送 現 象 の詳 しい取

体 分 子 運 動 論 は マ ク ス ウ ェル とボ ル ツマ ン に

の 後 エ ン ス コ ッ グ(D．Enskog)や

チ ャ ッ プ マ ン(S.

ど に よ っ て 発 展 さ せ ら れ て い る.

 

分 子 衝

突

  平 衡状 態 に お い て は,衝 突 に よ って あ る 速度 領 域 か ら出 て い く分 子 の 数 と,衝 突 に よ って この 領域 に入 っ て くる分 子 の 数 とは等 し くて常 に平 衡 が 保 たれ て い る と考 え られ る.こ れ を詳 細 釣 り合 い の 原理 とい う.こ れ は平 衡 状 態 の 十 分 条件 で あ る.   微 小 な 速 度 領 域 を考 え る と,こ え て こ の 領 域 か ら 出 て い く.dtの

の 領 域 の 分 子 は 一 度 衝 突 を す る と 必 ず 速 度 を変 間 に,速

度c1の

付 近 のdc1の

領 域 に あ る分 子

と衝 突 して,θ ∼θ+dθ の間 に散 乱(θ は 相対 的 な散 乱 角)さ れ る分 子 の 数 は

(１)

で 与 え ら れ る.こ

こで (２)

は 相 対 速 度 の 大 き さ で あ り,I(g,θ)は

微 分 断 面 積 と 呼 ば れ る ． な お(１)に

い て 衝 突 が 起 こ る 場 所 ｒ と 時 刻ｔ は 省 略 し て 書 い た .f=f(c)=f(c,r,t)で f1 =f(c1)=f(c1

,r,t)で

る 衝 突 し て く る 分 子(速 -C

あ る.ま

た 図 ６ で は,衝

突 さ れ る 分 子(速

あ り, 度c1)に

度 ｃ)の 相 対 的 な 運 動 が え が い て あ る が,こ

1は 相 対 速 度 で あ り,ｂ は 衝 突 パ ラ メ タ と 呼 ば れ る.衝

お

対す

こ でg=c

突 パ ラ メ タｂ が 小 さ け

れ ば 一 般 に 散 乱 角 θ は 大 き く な り,ｂ が 大 き け れ ば θ は 小 さ く な る.そ

して 図 ６

か らわ か る よ うに (３)

とい う関係 が 成 り立 つ.  【剛 体球 分子 】 分子 が 直径 σの剛 体球 で あ る と き は,微 分 断 面積 は (４)

であ り,全 断 面積 は (５)

図 ６ 衝 突 パ ラ メ タ

図 ７ 剛体 球の衝 突

で あ る．

  【 証 明】

図 ７か ら わ か る よ う に θ=π-2ψ, (６)

した が っ て (７)

よ っ て(３)に

よ りI(g,θ)=σ2/4で

あ る．

  【 逆 衝 突 】 分 子 衝 突 に よ っ て速 度 領 域dcに

入 って くる分 子 数 を求 め るの に, 次 の 事 実 に 注 意 す る.す (１),(２)で

なわち

考 え た衝 突 前 の

速 度 が ｃ とc1,散

乱 角 が θ,衝

突 後 の 速 度 がc'とc1'の

衝突 に

は 逆 衝 突 が 必 ず 存 在 す る.こ 図

逆 の衝 突 に お い て は衝 突 前 の 速

８  分 子 衝 突

ａ:順

衝 突.c→c',c1→c1'．

ｂ:逆

衝 突.c'→c,c1'→c1.

度 がc'とc1',散 が θ,衝

で あ る.図

の

乱 角 の絶 対 値

突 後 の 速 度 が ｃ とc1

８に こ の関 係 を示す.逆 の 衝 突 は順 衝 突 の 映画 に とって 逆 ま わ しに 映

写 した運 動 で は な く,分 子 の位 置 が 交 換 して い る点 を注意 しな け れ ば な らな い. 逆衝 突 で速 度 領 域 がdcdc1に 入 って くる 分 子 の対 の 数 は

(８) で あ る.こ

こ でg'=￨c'-c1'￨で

ら な い(図

８参 照)か

あ る が,相

対 速 度 の 大 き さ は衝 突 の前 後 で 変 わ

ら (９)

で あ る.ま

た

(10) が 成 り立 つ こ とが 示 され る(こ れ は位 相 空 間 の体 積 が 正 準 変 換 で 変 わ らな い とい

う リ ゥ ヴ ィ ル の 定 理 か ら 導 く こ と も で き る).(８)で

は これ らの こ と を考 慮 し

た.   【 衝突項】

第 ３講(14)に

か ら 順 衝 突(１)を

お け る 右 辺 の 衝 突 項[∂f/∂t］cは 分 子 の 逆 衝 突(８)

ひ き 去 っ た も の を 散 乱 角 θお よ び 相 手 分 子 の 速 度c1に

て 積 分 し た も の で 与 え ら れ る.た

つ い

だしｆ と し て 局 所 的 な 分 子 関 数 ｆ(ｃ,ｒ,ｔ)を用

い な け れ ば な ら な い.(３),(10)を

考 慮 す れ ば,衝

突 項 は(８)と(１)に

よ

り

(11) で 与 え ら れ る.(11)を

第 ３講(４)の

右 辺 に入 れ れ ば 衝 突 項 を具 体 的 に 書 い た

ボ ル ツマ ン方 程 式 に な る.

Tea

Time

感 激屋 の ボ ル ツ マ ン   ル ー ドヴ ィ ヒ ・ボ ル ツ マ ン(Ludwig 帝 国 の 首 都,華

Boltzmann,1844‐1906)は

た ． ウ ィ ー ン大 学 で 物 理 を 学 び,1867年 に 有 名 に な っ て い て,学

か ら 教 壇 に 立 ち,1875年

な ど で 知 ら れ る よ う に な っ た ネ ル ン ス ト(W.H.Nernst)な ィ ー ン,ミ

ュ ン ヘ ン,ウ

大 学 を頻 繁 に 移 っ て い る.こ

め で あ っ た ら しい.彼

ご ろ に はす で

生 の 中 に は 後 に 熱 力 学 の ネ ル ン ス トの 定 理(第

  ボ ル ツ マ ン は グ ラ ー ツ,ウ ウ ィ ー ン と,各

ハ プスブルグ

や か な 文 化 を も っ て い た ウ ィ ー ンで 生 ま れ た． 父 は 収 税 官 で あ っ

３法 則)

ど も い た. ィ ー ン,ラ

れ は 彼 の性格 や,か

イ プ チ ッ ヒ, らだ の不 調 の た

は 実 験 に もす ぐ れ て い た が 強 い 近 視 が ハ ン デ ィ に な っ た.

後 年 に は 喘 息 と頭 痛 に 悩 ま さ れ,そ

の う え 視 力 が 衰 え て,も

の を 読 む の に も人 を

雇 わ な け れ ば な ら な い ほ ど に な っ た.   彼 は 当 時 の も っ と もす ぐ れ た 学 者 の １人 に 数 え ら れ て い た が,自 世 界 か ら見 捨 て ら れ 孤 立 し て い る と思 い 込 む こ と が あ っ た.ふ れ,憂鬱

症 に ま で 進 む こ と もあ っ た.ラ

こ と が あ る が,こ

分 で は学 問 の

さ ぎ虫 に と りつ か

イ プ チ ッ ヒ に い た と き に 自殺 を は か っ た

の と き は 命 を と り と め た.そ

の 後1905年

に ア メ リカ の カ リ

フ ォ ル ニ ア へ 旅 を し た と き は ユ ー モ ア あ ふ れ る 旅 行 記 を 残 し て い る と い う.し

か

し1906年

に ト リ エ ス テ 近 く で 休 暇 を 過 ご し て い る と き に,つ

断 っ た.そ

い に み ず か ら命 を

の 原 因 は 彼 が 主 張 し た 原 子 論 に 対 す る マ ッ ハ(E.Mach)な

な 反 対 に 心 を 痛 め た た め で あ る と か,さ 説 も あ る が,本

ど の強 力

さい な 家庭 内の 行 き違 い で あ る とか い う

当 の と こ ろ は わ か ら な い.

  ボ ル ツ マ ン は 学 問 上 の 攻 撃 を受 け る と,大 闘 士 で も あ っ た.彼

い に 気 を 病 ん だ が,激

は 文 学 的 才 能 に も す ぐ れ,そ

し く反 論 す る

の 講 義 は 名 講 義 と し て 知 ら れ,

学 生 の ほ か に 一 般 の 人 に も た い へ ん 人 気 が あ っ た と い う こ と で あ る.ピ 手 で,音

楽 好 きで,ウ

ア ノが 上

ィ ー ン の 大 劇 場 に は 家 族 全 部 の た め の 席 を借 り切 っ て い た

そ う で あ る.   一 口 で い え ば,ボ

ル ツ マ ン は 複 雑 で 多 才 で 活 発 な 感 激 屋 で あ り,き

れ た 物 理 学 者 で あ っ た.彼 激 し,こ り,つ

わめ てす ぐ

は マ ク ス ウ ェ ル の 分 子 運 動 論 の 論 文(1868年)に

れ を 音 楽 の 一 大 傑 作 に た と え,一

感

生 を分 子 運 動 の研 究 に献 げ る よ うに な

い に は 統 計 力 学 の 基 礎 に ま で 到 達 し た の で あ る.さ

らに マ ク ス ウ ェ ルの 電

磁 気 学 の 方 程 式 を 知 っ て 感 激 し,「 こ れ は 神 の 手 の 書 い た も の か 」 と い っ た と い う.そ

れ ほ ど マ ク ス ウ ェ ル を 崇 拝 し た の で あ る.ボ

ル ツマ ンは電 磁 気 学 に関 す る

実 験 や 計 算 も して い る ．   マ ク ス ウ ェ ル も ボ ル ツ マ ン を 尊 敬 し た ． しか し こ の ２人 の 間 に は あ る 点 で 大 き な 違 い が あ っ た.マ

ク ス ウ ェ ル は 友 人 の テ イ ト(P．G．Tait,物

た 手 紙 で 次 の よ う に 書 い て い る.「 … 私 の(マ わ か ら な い と い う か も し れ ま せ ん が,私 が 長 す ぎ て つ ま ず き に な り ま す.私

理 学 者)に

ク ス ウ ェ ル の 論 文)は

に と っ て は 逆 に こ の 人(ボ

宛て

短 か す ぎて ル ツ マ ン)の

に は … い っ さ い を ６行 程 度 で 片 づ け る ほ う が

性 に合 って い ます …」   次 の 参 考 文 献 を あ げ て お く． Ｅ.プ ロ ー ダ(市

川 三 郎 ・恒 藤 敏 彦 訳)『 ボ ル ツ マ ン

人 間 ・物 理 学 者 ・哲 学 者 』

(み す ず 書 房) エ ミ リ オ ・セ グ レ(久 書 房)

保 亮 五 ・矢 崎 裕 二 訳)『 古 典 物 理 学 を創 っ た 人 々 』(み す ず

第５ 講 Ｈ

定

理

―テー マ  ◆

Ｈ定理

 ◆

ボ ル ツマ ンの原理

  ◆Tea

Time:J.C.マ

クス ウェル

Ｈ

定

理

 ボ ル ツマ ン方 程 式 を用 い て,平 衡状 態 へ の近 接 を示 そ う.簡 単 の ため気 体 の密 度 は 一 様 で あ り,外 力 は な い もの と す る.こ

の と きボ ル ツマ ン方 程 式 は (１)

とな る.こ こで 速 度 の 全領 域 に わた る積 分 (２)

を 定 義 し， こ れ を Ｈ 関 数 とい う.そ

の時 間微 分 は

(３)

で あ る.積

分 変 数 ｃ とclを

入 れ換 え て もよ いか ら上 式 は (４)

に 等 し く,さ

ら に 逆 衝 突 に つ い て 書 い た 式(dcdc1=dc'dc1') (５)

に も等 しい.し

たが って また (６)

で あ る.   一 般 にlog(x/y)とx-yと

は 任 意 の 正 の 値ｘ,ｙ

が っ て 上 式 の 被 積 分 は常 に 負 ま た は ０ で あ る.ゆ

に 対 して 符 号 が 等 しい.し

た

えに

(７) す な わ ち 関 数 Ｈ は 時 間 と と も に 減 少 し.最

後 に 一 定 値 に な る.こ

れ をボ ル ツマ

ン の Ｈ 定 理 と い う.

  【平 衡 状 態 】 平 衡 状 態 で はdH/dt=0で =f'f1' ,す

あ り,こ れ は 詳 細 釣 り合 い の 条 件ff1

な わ ち

(８) が 成 り立 つ と き に 達 せ ら れ る.し りで な く,必

要 条 件 で も あ る.そ

た が って これ は平 衡 状 態 の 十 分条 件 で あ る ば か し て 平 衡 状 態 で は 分 子 関 数f(c)は

に よ ら な い か らf(c)はc2=u2+v2+w2の f(c)f(c1)は ギ ー,運

衝 突 の 前 後 で 不 変 で あ る.衝

動 量 が あ る が,f(c)が

速 度の方 向

関 数 で な け れ ば な ら な い.し 突 の 前 後 で 不 変 な 量 と し て,エ

か も積 ネル

方 向 に よ らな い こ とを考 え る と (９)

で な け れ ば な らな い こ とに な る.こ れ は第 １講(16)で

与 えた マ ク ス ウ ェル 分 布

で あ り,平 衡状 態 に お け る速 度 分 布 が 外 力 の な い と きはマ クス ウ ェル 分 布 で あ る こ とが 示 され た わ けで あ る.単 位 体 積 内 の 分 子 数 をｎ とす れ ば

(10) と な る．

平衡 状態 の Ｈ 関 数 とエ ン トロ ピー   気 体 が 平 衡 状 態 に 近 づ くと き Ｈ 関 数 の 値 は減 少 す る こ と を知 った.他 方 で こ の と き気 体 の エ ン トロ ピー は増 大す る.し た が っ て Ｈ関 数 の値 とエ ン トロ ピー の間 に は関 係 が あ る と考 え られ る.   実 際,平 衡 状 態 にお い て,単 位 体 積 の 気 体 の エ ン トロ ピー を Ｓ とす れ ば Ｈ 関 数 の 値 Ｈ との 間 に

(11) の 関 係 が あ る こ とが 示 さ れ る.   【証 明 】 単 位 体 積 内 の 分 子 数 をn=N/Vと

す る と,熱

力 学 に よ りその エ ン トロ

ピー は

(12) で 与 え ら れ る(単 原 子 分子 か らな る 気体 とす る).他 方 で(２)お

よ び(９)に

よれ ば この 気体 の Ｈ関 数 の値 は

(13) で あ る.こ る.す

こ でmc2/2は

分 子 の エ ネ ル ギ ー で あ り,そ

の 平 均 値 は(3/2)kTで

あ

なわ ち

(14) ま た(10)に

より

(15) し た が っ て,logTとlognの

較 し て(11)が

得 ら れ る.

項 に 注 目 す れ ば(13),(14),(15)と(12)を

比

ボ ル ツ マ ンの 原 理   非 平 衡 状 態 を 含 め て Ｈ 関 数 と エ ン トロ ピ ー の 間 の 関 係 を 調 べ よ う.ま

ず気体

は 一 様 で あ る と し,単 位 体 積 の 気 体 の 分 子 の 速 度 分 布 が 非 平 衡 の 状 態 に あ る とす る.分

子 の 速 度 成 分ｕ,ｖ,ｗ

こ れ を小 さ な 部 屋(細 屋 に 番 号 を つ け,そ と し,分 をnjと

胞)に

を座 標 と す る ３次 元 の 空 間(速 分 け る.そ

度 空 間)を

の 大 き さ はdc=dudvdwで

の 大 き さ をgj(j=1,2,…,∞)と

す る.分

考 え,

あ る が,小

部

子 の 総 数 をｎ

子 を 小 部 屋 に 分 配 す る こ と を 考 え てｊ 番 目 の 小 部 屋 に 分 配 さ れ る 分 子 数 す る.ま

ずｎ 個 の 分 子 をn1,n2,…,nj,…

個 に分 け る 方 法 の 数 は

(16) で あ り,各nj個

の 分 子 を 大 き さgjの 部 屋 に 置 く方 法 はgjnjに 比 例 す る.し

た

が って全 分 子 を分 配 す る方 法 の 数 は

(17) に 比 例 す る.Ｗ

と が で き る.こ

は 分 配(n1,n2,…,nj,…)に

対 す る ミ ク ロ状 態 の 数 と い う こ

こで ス ター リ ン グの公 式

をnjお よびｎ に対 して用 い る と

を 得 る.し

た が って

とお くと

と な る.こ

こ で ｊに つ い て の 和 は ｃに つ い て の 積 分

(18)

を 意 味 す る.し

た が っ て(n1,n2,…,nj,…)に

よ って 指 定 され る状 態 の エ ン

トロ ピ ー を

(19) に よ って 定 義 す れ ば

(20) が 成 り立 つ.こ の よ う に非 平 衡 状 態 に お い て も気 体 のエ ン トロ ピー は Ｈ 関数 の 符 号 を変 えて ボ ル ツマ ン定数ｋ をか け た もの に等 しい(定 数 を除 き).(20)の

右

辺 の 定 数 は分 布 関数 ｆの 規格 化 の 仕 方 に よ って 異 な る.   関 係 式(20)は

気 体 の分 子 の分 布 が 一様 で な く場 所 に よって 異 な る場 合 に も成

立 す る.こ の 場 合 に は Ｈ関 数 は

(21) で 与 え られ る．   【ボ ル ツ マ ンの 原 理 】 エ ン ト ロ ピ ー の 定 義(19)は,気 系 に 拡 張 さ れ る.一 と も い う)を

体 に 限 ら ず,一

般 に あ る マ ク ロ状 態 に 属 す る ミ ク ロ 状 態 の 数(熱

Ｗ と す る と き,こ

般 の体

力学 的重 率

の 状 態 の エ ン トロ ピー Ｓ は

(22) に よ っ て 与 え ら れ る.こ

れ を ボ ル ツ マ ン の 原 理 と い う.こ

れ を原 理 と して認 め て

統 計 力 学 の 基礎 と して統 計 力 学 を構 成 す る こ とが で きる.き わ め て重 要 な原 理 で あ る． ふ つ うは平 衡 状 態 に対 して 用 い られ るが,非 平 衡 状 態 に対 して も(22)は 体 系 のエ ン トロ ピ ー を与 え る.な お情 報 理 論 で は 情 報 量 Ｗ の エ ン トロ ピー をS =logWで

定義する．

  体 系 の エ ネ ルギ ーが Ｅ とE+ΔEの 率 Ｗ はＥ とE+ΔEの

間 に限 られ た と き,こ の体 系 の 熱 力 学 的 重

間 の 位相 空 間 の 体 積 に 比 例 す る.こ れ は体 系 が 古 典 力 学

(ニ ュ ー トン力 学 と相 対 論 的 力 学)に 従 う場 合 で,古 典 統 計 と呼 ば れ る.体 系 の 自由 度 を ｆと した と き,位 相 空 間 の体 積 をhfで わ っ た値 を Ｗ とす る． こ こで ｈ

は プ ラ ン クの 定 数 で,hfで

わ る の は量 子 力 学 に従 う体 系 に 自然 に つ なが る よ う

にす るた め で あ る.  量 子 力 学 に従 う体 系 に お い て は,体 系 に 許 され る量 子 論 的 な固 有 状 態 の 数 が ミ ク ロ状 態 の数 Ｗ で あ る ． この 場 合 の ほ うが ミ クロ状 態 の"数"と か りやす い.エ ネ ル ギ ーE∼E+ΔEの

間 の 固 有状 態 の 数 を Ｗ と し,こ れ らの ミ

ク ロ状 態 がす べ て 同等 の重 率(先 験 的― fj

=1/W(j=1

w)で

,2,…,

い う点 で は わ

ア プ リオ リ―

確 率)を

もつ とす る と

あ る か ら〓

と な る.

Tea

J.C.マ

Time

ク ス ウ ェル

  世 間 一 般 に は あ ま り知 ら れ て い な い が,ジ (James

Clark

Maxwell,1831‐1879)は,ガ

ェ ー ム ズ ・ク ラ ー ク ・マ ク ス ウ ェ ル リ レ イ,ニ

イ ン と並 ぶ も っ と も偉 大 な 物 理 学 者 の １人 で あ る.彼 電 磁 気 学 理 論 の 完 成(マ ンの 力 学,力

ュ ー ト ン,ア

イ ンシュ タ

が な し遂 げ た 最 大 の 仕事 は

ク ス ウ ェ ル の 電 磁 場 の 方 程 式)で

あ る.こ

れ は ニ ュー ト

を 受 け て 運 動 す る 物 体 の 力 学 と い う粒 子 的 な 自然 像 に 対 し,電

と い う場 の 概 念 を 樹 立 し新 しい 物 理 学 を 開 い た.そ 力 を もつ こ と,電

磁 場 は 波 と して 伝 わ り,光

磁場

して この理 論 に従 って 光 が圧

は 電 磁 波 で あ る こ と な ど を予 言 し た

(こ れ ら の 予 言 が 正 し か っ た こ と は 彼 の 死 後 に 実 験 に よ っ て 確 か め ら れ た).こ

の

よ う に 電 磁 場 を 統 一 した 仕 事 だ け で も彼 は ニ ュ ー トン に 匹 敵 す る.さ

ク

ス ウ ェ ル の 電 磁 気 学 は 今 世 紀 の 電 気,電

波,エ

ら に,マ

レ ク トロ ニ ク ス へ の 道 を 開 い た と

も い え る だ ろ う．   マ ク ス ウ ェ ル は 気 体 分 子 運 動 の 研 究 で も 第 １級 の 物 理 学 者 で あ る こ と を証 明 し て い る.こ

の よ う に 偉 大 で あ る に も か か わ ら ず マ ク ス ウ ェ ル が そ れ ほ ど有 名 で な

い の に は い くつ か の 原 因 が あ る.マ りで な く,数

クス ウ ェル の 仕事 は 時代 に先 ん じて い る ば か

学 的 に む ず か しい ア カ デ ミ ッ ク な も の で あ っ た こ と,彼

の仕 事 が 十

分 認 め ら れ る 前 に 彼 が 若 死 した こ と(ガ ン の た め)な どが あ げ ら れ る で あ ろ う.彼 の 生 存 中 に 光 の 圧 力 や 電 磁 波 の 予 言 が 検 証 さ れ て い れ ば 彼 は も っ と有 名 に な っ た で あ ろ う ． ア イ ン シ ュ タ イ ン の 相 対 論(1905年)の

出 現 が ま ぶ しい 光 の よ う に

マ ク ス ウ ェ ル の 仕 事 を み え に く く し た の か も しれ な い.マ

ク ス ウ ェ ル の死 ん だ年

に ア イ ン シ ュ タ イ ンが 生 ま れ た と い う の も 不 思 議 な 偶 然 で あ る(ガ リ レ イ の 死 ん だ 年 に ニ ュ ー ト ンが 生 ま れ て い る の も ま た 不 思 議 で あ る).   マ ク ス ウ ェ ル は ス コ ッ ト ラ ン ドの 名 門 の 生 ま れ で あ る ． 好 奇 心 の 強 い 子 供 で あ っ た が,10歳

で 学 校 へ 行 っ た こ ろ は 言 葉 に な ま り が あ っ た し,着

は 父 親 が デ ザ イ ン した 妙 な 服 だ っ た.そ 名 で 呼 ば れ た り した が,間

の た め 初 め は"ま

も な く優 秀 な 成 績 を 示 す よ う に な っ た.詩

者 に な っ て か ら も折 に ふ れ て 多 く の 詩 を つ く っ て い る ．14歳 を 幾 何 学 的 に 作 図 す る 方 法 を 考 え 出 し,こ ジ ン バ ラ 王 立 協 会 で 発 表 さ れ,印 色 覚 の 研 究 を 行 い な が ら,電

刷 さ れ た.1850年

た.

を 好 み,学

の と きに 卵 形 曲 線

ケ ン ブ リ ッ ジ 大 学 に 入 学,

気 に つ い て 勉 強 し始 め た.1856年

に アバ デ ィー ン ロ ン ド ンの キ ング

に ケ ン ブ リ ッ ジ 大 学 に 移 り ,1874年

デ ィ ッ シ ュ 実 験 研 究 所 の 教 授 と な り,キ

いうあだ

れ は 父 親 が 学 問 好 き で 出 席 して い た エ

大 学 の 教 授 ． 土 星 の 環 の 研 究 で ア ダ ム ス 賞 を 得 る.1860年 ス ・ カ レ ッ ジ の 教 授,1871年

て い る もの

ぬ け 野 郎"と

キ ャベ ン

ャベ ン デ ィ ッ シ ュ の 遺 稿 の 整 理 に 従 事 し

第６ 講 気 体 の 粘 性

―テー マ

 ◆ 粘 性 率 の 計 算  ◆ 基 礎 的 な式  ◆Tea

Time:マ

ク ス ウ ェ ル分 子

ボル ツ マ ン方程 式  気 体 分 子 運 動 論 の 正統 的 な 方法 を やや 詳 しく述 べ る た め に,こ こ で は具 体 的 な 問題 と して 気 体 の粘 性 の 理 論 か ら始 め よ う.正 統 的 な方 法 は 第 ３講 で述 べ た ボ ル ツマ ン方 程 式 か ら出 発 す る.  外 か ら力 が は た らか な い と きの ボル ツマ ン方 程 式 は (１)

で あ る.こ

こ でc=(u,v,w)は

分 子 の 速 度,f=f(c,t)は

左 辺 のu∂f/∂x+v∂f/∂y+w∂f/∂zは

流 れ の 項(ド

右 辺 の[∂f/∂t]cは 分 子 衝 突 に よ るｆ の 変 化 で,衝 (collision)を

分 子 の 速 度 分 布 で あ り, リ フ ト項)と

突 項 と い う.添

呼 ば れ る． また え 字 ｃは 衝 突

表 す.

  【 平 衡 分 布 】 粘 性 の 問 題 に 入 る 前 に 温 度 と圧 力 が 一 様 な 気 体 がｘ 軸 に 平 行 に ど こ も 同 じ速 さu0で

流 れ て い る 場 合 を 考 え る と,分

ウ ェ ル の 分 布 則 で 分 子 の 速 度 成 分ｕ をu-u0で

子 の 速 度 分 布 は,マ

置 き換 え た 式

クス

(２)

で 与 え ら れ る こ と は 明 ら か で あ る.こ (１)に

の 場 合,流

れ は定常 で 一様 で あ るか ら

おいて (３)

で あ っ て,分

布 式(２)は

この 場合 (４)

の 特 解 で あ る(第

５講(８)参

照).

  【 層 流 】 次 に 粘 性 率 を 求 め る た め,気 がｚ

体 がｘ 軸 に 平 行 に 流 れ,流

標 の み の 関 数 で あ る よ う な 層 流(図

９)を 考 え る.流

れ の 速 さu0

れ の 勾 配du0(z)/dz

が 小 さ い と し,そ

の た め 分 子 の 速 度 分 布 は 平 衡 分 布(２)のf(0)(c)か

が 小 さ い と し,こ

れ を

らの偏 差

(５) と書 く.ボ

ル ツ マ ン 方 程 式(１)に

ら な い が,右

お い て 左 辺 はｆ をf(0)で 置 き 換 え て も ０ に な

辺 はｆ をf(0)で 置 き換 え る と ０ に な っ て し ま う.そ

f(0)で置 き換 えて 右 辺 は Φ を含 む(５)を

こ で 左 辺 のｆ を

用

い た 式 を用 い れ ば Φ を決 め る 第 １近 似 の 式 が得 られ る.   さ ら に(１)の

左 辺 でｆ を(２)のf(0)で

置 き換 え る と き,ｎ やＴ は時 間 に よ らな い と す る.す な わ ち 流 れ の勾 配 が 小 さい た め,粘 性摩 擦 に よる発熱 に よって気体 の温 度が 上 が った り膨 張 が 起 こ った りす るの を無 視 で き る と考 え る.   そ こで(１)の えて

左 辺 で は ｆをf(0)で置 き換 図 ９ 層

流

(６)

と す る.ま

た 流 れ はｘ,ｙ

(２)のf(0)で

方 向 に よ ら な い と し て い る の で(１)の

左 辺 の ｆを

置 き換 え (６')

と す る.し

た が っ て ボ ル ツ マ ン方 程 式(１)は

この 近似 で (７)

と な る.   こ こ で(２)に

よ り (８)

で あ る.し

た が っ て こ の 場 合,ボ

ル ツ マ ン 方 程 式(７)は (９)

と な る ． こ こ で,uoは

場 所ｚ に お け る 流 れ の 速 さ,du0/dzは

そ の 勾 配 で あ る.

 ｆあ る い は Φ は 次 の 条 件 を満 た さ な け れ ば な ら な い.

(10)

た だ し,こ

こ でE=(m/2)(u2+v2+w2)で

あ る.

 衝   ２個 の 分 子 の 衝 突 に お い て,一 と 都 合 が よ い.図10の

突

方 の 分 子 に 固 定 した 座 標 系 で 相 対 運 動 を 考 え る

よ う に,分

子 Ａ に 対 し て 分 子 Ｂ が 下 方 か ら衝 突 し て く

る.ｂ は 衝 突 パ ラ メ タ,ｇ は 相 対 速 度(ｇ Ｂ の 速 度 をc1と

す れ ばg=c1-cで

項

は そ の 大 き さ)で

あ る.ま

あ る.Ａ

の 速 度 を ｃ,

た 衝 突 後 の 相 対 速 度 をg'=c'1-

c'と す る.   図10の

よ う に ｇ の 方 向 に 単 位 ベ ク トルｋ を と り,空

間 に 固 定 した あ る 方 向

AXとｋ

を 含 む 面(図

に 対 して ｇ とg'を

で ベ ク トルｋ と ｈ を 含 む 面)

含 む 面 が な す 角 を〓 と す る.ま

ｋ とｈ に 垂 直 な 単 位 ベ ク トル ｉを と る.こ 角 をΘ と す る と 直 交 座 標 系ｈ,ｉ,ｋ(あ 対 し て ｇ'の 方 向 は 極 座 標Θ,〓 ら￨g'￨=gで

た

の と き散 乱 る い は ｇ)に

に よ って与 え られ る か

あ る こ とに 注意 す れ ば

(11) が 成 り立 つ こ と が わ か る.   さ て,衝

突 項(４)は

図10

(12) で あ る.こ

こで

(13) であ り

(14)

と お く.f(0),f1(0),f'(0),f1'(0)は る 量 で あ る.衝

そ れ ぞ れ の 平 衡 分 布 の 速 度 ｃ,c1,c',c1'に

対 す

突 に よ って エ ネル ギ ー は保 存 され るか ら

(14') で あ る.Φ Φ1な どの Φ の ２乗 の項 を無 視 す れ ば

(15) を得 る.こ れ を(９)の

右 辺 に入 れ れ ば,粘 性 率 の計 算 に 必要 な式 は

(16)

と な る.こ

れ は Φ がdu0/dzに

比 例 す る こ と を 示 し て い る.そ

こで

(17) と お こ う.Ｂ

は エ ネ ル ギ ー(m/2){(u-u0)2+v2+ω2}と

い る.(16)を

温 度Ｔ

の 関 数 と考 え て

み て

(18) とお き

(19) に よ っ て Φ に は た ら く線 形 の演 算 子Ｊ を定 義 す る と,解 くべ き方 程式(16)は

(20) と な る.こ

れ を 解 い て Ｂ を 求 め れ ば(17)に

よ っ て 速 度 分 布 が 決 ま り,運

動量

の 輸 送 が 定 ま る の で 粘 性 率 が 計 算 さ れ る こ と に な る.   しか し(20)を ら な い が,(19)か

解 くた め に は,左

辺 の 演 算 子 Ｊの 性 質 を詳 し く知 ら な け れ ば な

ら わ か る よ う にＪ は Φ の 変 化Δ(Φ)に

依 存 し,こ

れ は分 子 間

力 を 具 体 的 に 与 え て Φ の 変 化 を 求 め な け れ ば 定 ま ら な い.   【分 子 衝 突 】 気 体 の 流 れ と と も に 移 動 す る 系 で ２分 子 Ａ,Ｂ の 衝 突 を み て い る と し,こ

の ２分 子 の 重 心 座 標 を(Gx,Gy,Gz)と

対 速 度 をg=(gx,gy,gz)と

し,分

子 Ａ に対 す る分 子 Ｂの 相

す る.２ 分 子 の 質 量 は 同 じ で あ る と す る と,衝

突前 に

おいては

(21) した が って

(22) 同様 に

(22')

衝 突 後 の 相 対 速 度 をg'=(gx',gy',gz')と

す る と 同 様 に して

(22")

こ れ ら を 用 い て(18)か

ら

(23) さ ら に(14)に

お い てｈ

とｉ のｘ,ｙ,ｚ

成 分 を(hx,hy,hz)と(ix,iy,iz)と

す る

と

(24) で あ るか ら

(25) したが って

(26) ま たｘ 軸 とｚ 軸 がｈ,ｉ,ｋ (hz,iz,kz)で

と な す 角 のcos(方

向 余 弦)は そ れ ぞ れ(hx,ix,kx)と

あ る か らｘ 軸 とｚ 軸 が 垂 直 な こ と は

(27) で 表 さ れ,ｋ

の 向 き は ｇ と 一 致 して い る か ら

(28) で あ る ． したが って

(29) と な る.こ

こ でg=c1-cで

あ るの で

(30) ゆ えに

(31) と な る.   最 後 に(19),(23),(29),(27)を

用 い てJ[(u-u0)w]を

計 算 す る.散

Θは 衝 突 パ ラ メ タ ｂと 相 対 速 度 ｇ の 絶 対 値 ｇ に よ っ て 決 ま る.そ お い てc1で

積 分 す る と き,速

度 成 分(u-u0,w)の

子 Ｂ の 衝 突 と左 右 を 逆 に し た 衝 突(Θ ら,こ

こ で(19)に

分 子 Ａ と(u1-u0,w1)の

符号 が 異 な る か

第 １項 か ら(19)へ

の寄 与 は打 ち 消 し

た 上 下 を 逆 に し た 衝 突 で は ω1の 符 号 が 異 な る か ら(31)の

(19)へ

の 寄 与 も打 ち 消 し合 う(第

い).さ

ら に(31)の

分

と ｇ は 同 じ)はu1-u0の

れ ら を合 わ せ る こ と に よ り(31)の

合 う.ま

乱角

第 ２項 か ら

１項 も 同 じ 理 由 で 打 ち 消 し合 う とい っ て も よ

第 ３項 か ら の 寄 与 も 同 様 に 打 ち 消 し合 う.し

の う ち で 寄 与 が 残 る の は 第 ４項 だ け で あ る.そ

た が っ て(31)

の 結 果(19)は

(32) と な る.

ま

と

め

  長 い計 算 を して きた ので 以 上 の こ と を ま とめ て お こ う.粘 性 率 を求め る た め層 流 を考 え る と分 子 の 速 度 分 布 は(９)式

で 与 え られ る こ とに な り,f(0)を 平 衡 分

布 と して

(33)

と お き衝 突 項[∂f/∂t]cを わ ち

計 算 す る と,求

め る 量 Ｂ が 満 た す 式 は(20)式,す

な

(34) と な る.こ

こ でJ[…]は(19)で

に(32)に

よ り

与 え ら れ,Ｊ は 線 形 の 積 分 作 用 素 で あ る.と

く

(35) で あ る.(35)の

右 辺 に お い て散 乱 角Θ はパ ラ メ タ ｂの ほか に,剛 体 球 分 子 を除

い て 一 般 に相対速度g=￨c1-c￨の gb dbはc1(u1,v1,w1)の w)の

関 数 で あ る か ら,右

関 数 で あ る.そ

関 数 で あ っ て,(34)も

  【マ ク ス ウ ェ ル 分 子 】

して(34)の

辺 の 積 分 ∫(1-cos2Θ)

左 辺 の Ｂ も 一 般 にc(u,v,

Ｂ につ い て 解 く こ と は容 易 で は な い.

し か し特 別 な 場 合 と し て

(36) (第 ４講(３)参

照)に

お い て 微 分 断 面 積I(g,Θ)が

こ れ は 分 子 間 力 が 分 子 間 距 離 の ５乗(ポ あ る． こ れ は1886年 と い う.第

ｇ に 反 比 例 す る 場 合 が あ る.

テ ン シ ャル は ４乗)に

に マ ク ス ウ ェ ル が 発 見 し た も の な の で,マ

７講 に 述 べ る よ う に,こ

の 場 合(34)は

反 比例 す る場 合 で クス ウ ェ ル分 子

Ｂ に つ い て 解 け,一

般 の分

子 に 対 し て も マ ク ス ウ ェ ル 分 子 は 標 準 的 な 模 型 で あ る と い う こ と が で き る.

Tea

Time

マ ク ス ウ ェル 分 子   マ ク ス ウ ェル は気 体 の粘 性,熱 伝導 お よ び散 乱 を分 子 の 間 に は た ら く力 と関 係 づ け る計算 を進 め て い た.こ の 際 に分 子 と分 子 の 衝 突 に よる速 度 の変 化 な ど を詳 し く扱 う必 要 に遭 遇 した.分 子 衝 突 の 頻 度 は衝 突 す る ２分 子 の相 対 速 度 に比 例 し,散 乱角 は分 子 間 の相 互作 用 の力 に関 係 す る.こ れ らが組 み込 まれた 式 は きわ め て複 雑 に な る ので,分 子 間 の力 が 単 な る斥 力 で あ って も,大 きな数 学 的 困難 さ に 突 き当 た る(こ の 問 題 はボ ル ツマ ン方 程式 を用 い た 本文 の よ う な解析 で は マ ク ス ウ ェル が した 計 算 よ り もは る か に透 明 に な っ て い る).本 文 で は(20) ,(34) の積 分 方 程 式 を解 く問 題 で あ る.こ の 式 が簡 単 に解 け るの は分 子 間 に距 離 の ５乗

に反 比例 す る斥 力(ポ テ ンシ ャル で は距 離 の逆 ４乗 に比 例 す る力)が

はた らい て

い る場 合 で あ る こ と をマ ク ス ウ ェ ル はみ つ けた ので あ っ た． この と き計 算 は驚 ろ くほ ど簡単 に な って しま う.こ の よ う な仮 想 的 な分 子 をマ クス ウ ェル 分 子 とか マ ク ス ウ ェル斥 力 とか い う.   お そ ら く気 体 の性 質(粘 性 率 な ど)は 分子 間 の力 の 法 則 に あ ま り敏感 に依 存 し な い で あ ろ う.だ とす れ ば,マ

クス ウ ェル 分子 につ いて 計 算す れ ば気 体 の 一 般 的

な性 質 を理 解 す る こ とが で き るわ け で あ る(必 要 な らば 第 ７講 で述 べ る よ うに マ クス ウ ェ ル分 子 の 場 合 を基 準 に して摂 動 論 的 に分 子 間 力 を正 し く取 り入 れ れ ば よ い).   ボ ル ツマ ンは この よ うな分 子(マ

ク ス ウ ェ ル分 子)を 導 入 したマ ク ス ウ ェ ル の

機 智 に大 き な シ ョッ クを受 け,こ れ を壮 大 な楽 劇 に た とえ た.彼 は い う,   「… 突 然 『n=5と

せ よ』 とい う言 葉 が 響 きわ た る.す る と邪 悪 な デ ー モ ン は

か き消 す よ うに い な くな る… 」   実 は著 者 もマ クス ウ ェ ル分 子 とい う理 論 に と って た いへ ん都 合 の よ い仮 想 的 な モ デル を知 って 大 きな シ ョ ック を受 け た． 実 在 しな い モ デ ルで も,実 在 す る もの の もっ と も重要 な とこ ろ を簡 潔 に導 け るモ デ ル は す ば ら しい.   参 考 文 献 と して,カ ル ツ ェ フ著(早 川 光 雄 ・金 田一 真 訳)『 マ ク ス ウ ェ ル の 生 涯 』(東 京 図書,1976年)が

あ る.

第７ 講 マ ク ス ウ ェル 分 子

―テー マ

 ◆ 微 分 断 面 積  ◆ 粘 性 率 と熱 伝 導 率   ◆Tea

Time:マ

クス ウェルの デモ ン

分子衝突の相対運動   第 ６講 に続 いて 気 体 の粘 性 率 を計 算 し,さ らに 熱伝 導率 の計 算 に も触 れ よ う. そ の た め に まず ２分子 衝 突 を調 べ る.   ２分 子(１ と ２)の 質量 は等 し くｍ で あ る とす る.２ 分 子 の 位 置 をそ れ ぞ れr1, r2,相 互作 用 をf(r)と す る と衝 突 す る ２分 子 の 運 動 方 程 式 は

(１)

こ こで 相対 座標 は (２)

で あ り,相 対 運 動 の 方 程式 は (３) とな る． こ こで

(４)

は換 算 質量 で あ る.相 互 作 用 の ポ テ ン シ ャル をU(r)と

す ると (５)

で あ り,エ ネル ギ ー積 分 は極 座 標 を用 いて (６)

と書 け る.ま た 角運 動 量 保 存 則(面 積 速 度 の法 則)は (７) と な る.ゆ

え に軌 道 につ いて (８)

こ れ を(６)に

入れれば (９)

さ らに

(10) とお くと

(11)

した が っ て

(12)  と く に 斥 力 ポ テ ン シ ャ ル

(13) を採 用 しよ う.遠 方 で 相 対 速 度 が ｇで,衝 突 パ ラ メ タが ｇで あ る とす る とエ ネ ル ギ ー Ｅ と角 運動 量 を μで わ った値ｌ は

(14)

で あ る． こ こで

(15) と お く.ｒ → ∞ の と き の θが ０ と散 乱 角Θ で あ り,こ

れ は(12)か

ら

(16)

と な る.こ

こ でx'は

(17) の 最小 の正 の根 で あ る.

マ ク ス ウ ェル 分 子   (17)か

らx'は

α とｎ の 関 数 で あ っ て,(16)に

α の み の 関 数 で あ る.さ

ら に(15)に

よ り散 乱 角Θ

はｎ を与 え れ ば

よ り

(18) こ こ でb=0→

∞ に つ れ て α=0→

  と く にn=5(す

な わ ちr-4の

∞ で あ る. 斥 力 ポ テ ン シ ャ ル)

の と き を マ ク ス ウ ェ ル 分 子 と い う． こ の と き(18)は

(19) と な る.す

で に 第 ４講(３)で

述べ たように

(20) と お く とI(g,Θ)は

微 分 断 面 積 で あ る ． 他 方 で(16)

に よ り 散 乱 角 は α の み の 関 数 で あ る か ら,(19)に い て α=α(Θ)で

あ り,(18)と(19)と

お

か らn=5

のマ ク ス ウ ェル 分子 で は

(21) 図11  マ ク ス ウ ェ ル分 子

す な わ ち,微 分 断面 積 が 相対 速度 ｇに 反比 例 す る こ と

に よる散 乱

が わ か る(第

６講(36)と

 こ の と き,第

そ の 下 の 記 述 参 照).

６講(35)の

まず ∫f1(0)dc1=nと

右 辺 で 積 分 ∫(1-cos2Θ)gbdbは

分 離 さ れ る の で,第

ｇ あ る い はc1を

含

６講(35)は

(22) と な る.こ

れ と 第 ６講(34)を

比 べ れ ば(u-u0)wは

作 用 素Ｊ の 固 有 関 数 で あ

り,Ｂ は

(23) で 与 え ら れ る こ と が わ か る.

一 般 の分 子 の場 合

  マ ク ス ウ ェ ル 分 子 で は(u-u0)wは 照).一

作 用 素Ｊ の 固 有 関 数 で あ っ た((22)参

般 の 分 子 間 力 に 対 して は,(u-u0)wはＪ

形 作 用 素 で あ る こ と を利 用 す れ ば 第 ６講(34)の こ とが で き る.そ

の 固 有 関 数 で は な い が,Ｊ が 線 式 を Ｂ につ い て 形 式 的 に 解 く

れ には

(24) と お き,ψ(0)を

含 む 直 交 関 数 系 でm(u−u0)wB/2kTを

展 開 す れ ば よ い .そ

のため

にf(0)(c)を 重 み と す る 内 積

(25) を 定 義 す る.(ψ(0),ψ(0）)=1/4な

の で

(26) な る 直 交 関 数 系 ψ(0),ψ(1),ψ(2),… (24)と

す る と き,こ

を つ ぎ つ ぎ に つ く っ た と 考 え る.ψ(0)を

れ を ソ ニ ー ン(Sonine)の

多 項 式 と い う.と

く に ψ(1)を書

けば

(27)

で あ る． 展 開

(28) を仮 定 す れ ば Ｂ に対 す る式(第

６講(34))

(29) はJの 線形 性 を利 用 して

(30) と な る.こ

れ にf(0)ψ(s）(s=0,1,2,…)を

つ ぎつ ぎ に か け て 積 分 す れ ば

(31) を得 る.こ =…=0と

れ は 無 限 連 立 方 程 式 で あ る.マ なるか ら

,一

と 期 待 さ れ る か ら,連

ク ス ウ ェ ル 分 子 で はb0=B,b1=b2

般 の 分 子 で も ｒ を大 き くす る とbrは 急 激 に 小 さ く な る

立 方 程 式 は 近 似 的 に 解 け てbrが

求 ま り,Ｂ が 定 ま る こ と

に な る.   brがｒ と と も に 急 激 に ０に 近 づ く とす る と,近

似 と して

(32) と して も よ い で あ ろ う.こ

の近似で は

(33) と な る． こ こでJ[ψ(0)]は

(34) で あ る ． し た が っ て(ψ(0),J[ψ(0)])は を 重 心 座 標,相

ｃ,c1,ｂ

に つ い て の 積 分 に な る が ,こ

対 座 標 を 使 っ て 書 き 直 す こ と が で き る.こ

略 し結 果 だ け を 述 べ る こ と に し よ う.ま

ず

れ

の計 算 は複 雑 な の で省

(35)

とお く と

(36) と な る.し

たが って

(37) が 得 られ る.   【マ ク ス ウ ェ ル 分 子 の 場 合 】

こ の と き は(35)に

おいて

(38) ((21)参

照)は

ｇ あ る い はｖ を 含 ま な い 定 数 な の でΩ(2)(2)の

積 分 か ら分 離 され

て

(39) を 与 え る.こ

れ を(37)に

代入すれば

(40) を 得 る が,こ

れ は(23)に

ほ か な ら な い.

粘

性

率

 層 流 がｚ 軸 に垂 直 にｘ 方 向 に流 れ て い る と き,z=一

定 の 単位 面 積 を通 して単

位 時 間 に 運 ば れ る運 動 量 が面 力(粘 性 に よる単 位 面 積 当 りの力)で

あ る.し た

が って粘 性 率 η は

(41)

で 与 え ら れ る.こ

こ で 第 ６講 に よ り

(42)

で あ る.こ

れ を(41)に

入 れ て 少 し書 き直 す と

(43) を得 る.こ

の 計 算 か ら わ か る よ う に,粘

性(次

節 の 熱 伝 導 も)は

が 平 衡 分 布f(0)か ら ず れ る こ と に よ っ て 生 じ る.も 粘 性 率 は ０ に な っ て し ま う.こ

れ は 初 等 理 論(第

分子の速度分布

し もず れ Φ が な い と す れ ば, ２講)が

不 備 で あ る こ と を示 し

て い る.   マ ク ス ウ ェ ル 分 子 や 一 般 の 場 合 の 近 似 と し て 使 え る 式(33)で あ り,(37)に

よ っ て 与 え ら れ る.こ

れ を(43)に

は Ｂ は定 数 で

代 入 す れ ば ｃにつ い て簡 単 な

積 分 を 実 行 して

(44) が 得 ら れ る.

熱伝導率  計 算 は略す が,同 様 の 計 算 に よ り,気 体 の熱 伝 導 率 Ｋ は(44)と

同 じ近 似 で

(45) で 与 え られ る こ とが わか る.こ こで 気体 の比 熱

(46) (Ｍは 分 子量)を 用 いれ ばす で に述 べ た 関係 式

(47) が 導 か れ る.

剛体分子の場合  す で に 第 ３講(８)で

知 った よ う に剛 体 分 子 の 微 分 断 面 積 は定 数 で σ2/4に等

しい(σ は 分子 直径).し

たが って

(48) よ っ て(35)に

お い てg=√4kT/mvに

注意す れば

(49)

と な る.こ

こで 平 均 自由行 路

(50) を用 い れ ば ρ を気 体 の密 度,ｃ を分子 の速 さの平 均 と して

(51) を 得 る.こ 1.01600倍

れ が 第 １近 似 で あ る.ψ(4)ま さ れ,係

球 分 子 の 場 合,き   同 様 に,剛

数 は0.491の

で の 項 を全 部 計 算 す る とこ の値 は

代 わ りに0.499と

な る,高

次 の項 の収 束 は 剛体

わ め て よ い も の と思 わ れ る.

体 球 分 子 に対 して熱 伝 導 率 は

(52) と な る.

Tea

Time

マ ク ス ウ ェル の デ モ ン   こ の 章 の 本 文 と は 関 係 な い が,有 れ て お こ う.こ

れ は1871年

名 な 「マ ク ス ウ ェ ル の デ モ ン(魔

の 著 『熱 の 理 論 』に 述 べ て あ る そ う だ が,す

数 年 前 に 気 づ い て い た ら し い.1870年

物)」 に 触 でにその

に は レイ リー卿 に 送 った 手 紙 の 中で 次 の

よ う に 書 い て い る(エ

ク リ オ ・セ グ レ著(久

保 亮 五 ・失 崎 裕 二 訳)『 古 典 物 理 学

を創 っ た 人 々 』(み す ず 書 房,1992年)).  

「も し こ の 世 が 純 粋 に 力 学 的 な 体 系 と し て で き て い る な ら,そ の 粒 子 の 運 動 を,あ

る 同 じ 時 刻 に 全 部 正 確 に 逆 転 させ る と,あ

と は そ の 始 ま り に 向 か っ て 逆 行 し て い くで し ょ う.… る 可 能 性 は 疑 わ し い で す が,そ と に 比 べ れ ば,そ  

この 実験 を実 際 に や れ

れ に して も 熱 力 学 の 第 ２法 則 を くつ が え す こ

れ ほ ど の 離 れ 業 と も思 え ませ ん.

… 気 体 を ２室 に 分 か れ た 容 器 に 入 れ,Ａ

室 と Ｂ室 と の 間 の 壁 に ち ょう ど

分 子 が １つ 通 り抜 け ら れ る 大 き さ の 孔 を あ け ま す.… す.…

の １つ １つ らゆ る もの ご

そ こに 見 張 り を立 て ま

この 見 張 りは 大 き な速 度 を もつ 分 子 が Ａ か ら Ｂ に 向 か って くる と き

に は い つ も そ れ を 通 し,遅

い 分 子 が や っ て くる と き に は 通 し ま せ ん.ま

か ら Ａ に 向 け て は 遅 い 分 子 を 通 し,速

い 分 子 は 通 し ま せ ん.…

当然,見

た Ｂ 張

り は 目 ざ と く な くて は 困 り ま す.  

こ うす る と Ｂ の 温 度 は 上 が り,Ａ

の 温 度 は 下 が る こ と に な る で し ょ う が,

そ れ は ぜ ん ぜ ん 仕 事 を 消 費 した わ け で は な く,見 て 行 わ れ た わ け で す.…

こ こ で,判

張 りの 判 断 行 為 だ け に よ っ

断 を す る 知 力 の 助 け を 借 りず に,物

が 自動 的 に こ れ を や ら せ る よ う に で き て い な い の は な ぜ な の か,そ

自体

こ まで は

わ か り ませ ん が ．  

教 訓:コ

ッ プ の 水 を 海 に ぶ ち ま け た ら,も

こ と は で き な い.熱

う ２度 と 同 じ水 を コッ プに 戻 す

力 学 第 ２法 則 の 正 し さ の 度 合 い は,こ

の こ とが ら と同 じ

で あ る」   こ の パ ラ ド ッ ク ス に 「マ ク ス ウ ェ ル の デ モ ン」 と い う名 を与 え た の は Ｗ.ト ム ソ ン(ケ

ル ビ ン喞)で

あ る.

第８ 講 拡 散 と熱 拡 散

―テー マ

 ◆ 拡 散 率  ◆ 熱 拡 散 率  ◆Tea

Time:ウ

ラ ンの 分 離

濃度勾配 と温度勾配   ２種 類 の気 体 か らな る混 合 気 体 に お い て,各 成 分 の濃 度 が 場 所 に よ って 異 な る 場 合 は 拡散 して一 様 に な ろ う とす る.し か しま た温 度 勾 配 が あ る と温 度 差 に よ っ て 濃 度 に差 が生 じる こ とが 知 られ て い る(こ の現 象 は熱拡 散 と呼 ば れ,重 い 分 子 が低 温 部へ,軽

い分 子 が 高 温部 に集 まる傾 向 が 観 測 され る こ とが 多 いが,低 温 で

は 逆 の場 合 もあ りう る).   濃度 の勾 配 と温 度 勾 配 が と もにｚ 方 向 にあ る とす る.拡 散 速 度 の 差 の た め 流 れ がｚ 方 向 に起 こ る ので,こ れ をw0と す る と近 似 的 な ボル ツマ ン方 程 式 は

(１)

と書 け る.こ

こ で 添 え 字 １,２ は 気 体 の 種 類 を 表 し,f1(0),f2(0)は 平 衡 分 布

(２)

で あ る ． こ こ で,c=(us,vs,ws)は msは

分 子 の 速 度 成 分,nsは

単 位 体 積 内 の 分 子 数,

分 子 の 質 量 で あ る.

  混 合 気 体 の 圧 力P=(n1+n2)kTは

い た る と こ ろ 同 じで あ る と す る と (３)

(w0は こ れ か ら定 ま る が,今

は 必 要 で な い).こ

れ を 用 い て(１)の

左 辺 を計 算

す ると

(４) とな る ． た だ し ここ で (５)

また分 子 衝 突 は種 類 １と ２の 分子 間で 起 こ るの で(１)の

右辺 は

(６)

な どと書 け る.衝 突 前 と衝 突 後 の 分 布 ｆを

(７)

とす る と

(８) な ど と な る.   そ こ で(１)の

左 辺(４)の

形 を みて (９)

と お い て(１)に(４),(８),(９)を A2の 間 の 関 係 式 を 求 め る こ とが で き る.

入 れ,第

７講 と 同 様 に し てD1,D2,A1,

 さ ら にD1,D2,A1,A2の

間 の条 件 と して運 動 量 の保 存 則

(10) が 成 り立 た な け れ ば な ら な い.fs=fs(0)(1+Φs)で

あ りΦsは(９)で

与 えられる

の で(10)は

(11)

に よ っ て 満 た さ れ る.   こ う してD1,D2,A1,A2が

求 め ら れ る が,こ

こ で は 省 略 す る こ と に し よ う.

  ２成 分 の 平 均 速 度 の 差

(12) が ０で な い と き は 拡 散 が 起 こ っ て い る こ と に な る.書

き直 す と

(13)

拡   拡 散 率 は 温 度 勾 配 の な い と き,す

散

率

な わ ち ∂logT/∂z=0の

と きに

(14) に よ っ て 定 義 さ れ る.よ

って

(15) こ こ で 圧 力 一 定 の 式 か ら ∂n/∂T=∂(n1+n2)/∂T=0,あ -∂n1/∂zな

る い は ∂n2/∂z=

の で

(16)

し た が っ て 拡 散 率D12は(13)か

ら

(17)

熱

拡

散

を  温 度 勾 配 もあ る場 合 に(13)

(18) と お き,DTを

熱 拡 散 率 と い う.(13)に

よ って

(19) とな る.熱 拡 散 率 と拡 散率 の比

(20) を 熱 拡 散 比 と い う.

拡散率と熱拡散率の値   前 節 で は 拡 散 率D12と

熱 拡 散 率DTを

こ れ らの 係 数 は(１)の 積 分 す れ ば 得 ら れ る.こ い へ ん 複 雑 で あ る.こ   【 拡散率】

の 過 程 は 第 ６講,第

辺 に(８)と(９)を

よ っ て 表 し た. 代 入 した 式 を

７講 で 述 べ た の と 同 様 で あ っ て,た

こ で は そ の 計 算 は 略 し て 結 果 だ け を 記 して お こ う.

まず拡 散 率 は

こ こ で,m1,m2は ７講(35)で

係 数D1,D2,A1,A2に

左 辺 に(４)を,右

各 分 子 の 質 量,Ω12(1)(1)は

分 子 １と ２の 間 の 有 効 断 面 積 で 第

表 さ れ る よ う な もの で あ る .

  【熱 拡 散 比 】 熱 拡 散 は 同 位 体(同

位 元 素)の

分 離 に 利 用 さ れ て い る.同

分 子 は 質 量 が 異 な る が 分 子 間 力 は 同 じ で あ る.こ   剛 体 球 分 子 の 場 合,熱

拡散比は

位体 の

の 場 合 に つ い て 述 べ よ う.

一般 には

  マ ク ス ウ ェ ル 分 子 の 場 合 は Ω(1)(2)=(5/2)Ω(1)(1)な

ので 熱拡 散 は起 こ らな

い.

Tea

Time

ウ ラ ン の 分離   熱 拡 散 につ い て は 著 者 に １つ の思 い 出が あ る.   大学 の ３年 生(旧 制 で 大 学 は ３年 制 で あ った)の

と き,学 生 が論 文 を読 ん で き

て そ れ につ い て 先 生 と同 輩 の前 で しゃべ る時 間 が あ っ た.あ

る と き私 は(1939

年 ？)ア メ リカ の 「フ ィ ジカ ル ・レ ビ ュー」 とい う専 門雑 誌 の近 着 号 に載 って い た熱 拡 散 に よ る同 位 体 分 離 の 実験 の報 告 を紹 介 した.こ れ を理 解 す る に は熱 拡 散 の理 論 を知 らな け れ ば な らな か った が,チ ャ ップマ ンの気 体 分 子 運 動 論 の単 行 本 は まだ なか った か ら,図 書 室 で 「フ ィロ ゾ フ ィ カル ・トラ ンザ クシ ョ ン」 とい う 大 きな重 い 雑 誌 に 掲 載 され た チ ャ ップマ ンの 原 論 文 を読 ん だ(こ れ は た いへ ん む ず か しか った).紹

介 した 論 文 で は,非 常 に 細 く長 い 筒 を鉛 直 に 立 て,中

張 った針 金 に電 流 を流 して 熱 す る.こ

央に

うす る と中 の気 体 は対 流 を起 こ して針 金 に

沿 って上 昇 し,筒 の 壁 に 沿 って 降下 す る.こ う して お く と気 体 を構 成 す る同位 体 の 中で 温 度 差 に よる 拡 散(熱 拡 散)が 起 こ る.熱 拡散 は分 子 力 の形 に よ って異 な る(マ ク ス ウ ェル 分子 で は 起 こ らな い)が,だ

い た い軽 い もの は熱 い と ころ に集

まる． その 結 果,筒 の 上 の ほ うに軽 い 同位 体 が,下 の ほ うに重 い 同位 体 が濃 くな る とい うの で あ る.こ れ は 対 流 と熱 拡 散 の相 乗 効 果 で あ る.論 文 に は こ れ を流体 力 学 的 に扱 った 部 分 と得 られ た 同位 体 の分 離 効 果 とが述 べ られ て い た よ うに覚 え て い る．   １カ月 ほ どた って か ら,こ ん ど は先 生 方 が 交 代 で しゃべ る会 が あ っ た.学 生 も 出席 す る教 室 の 談 話 会 で あ る.こ の と き,原 子核 物 理学 が 専 門 の嵯 峨 根 遼吉 教 授 が私 の したの と同 じ主 題,す な わ ち 同位 体 の 熱 拡 散 に よる分 離 の話 を した(嵯 峨 根 先生 は １カ月 前 に 私 の 話 を最 前 例 に座 って 聞 い て い た).こ

ん な 縁 で,私 が 初

め て ア メ リカへ 渡 った と きに はバ ー ク レイの カ リフ ォル ニ ア大 学 の 教 授 を して い た 嵯 峨根 さ ん の家 に よば れ た の も楽 しい 思 い出 で あ る.   こ こ で述 べ た同 位体 の分 離 は,実 は原 子 爆 弾 の 開発 の １ペ ー ジ をな す もの で あ る.ア メ リカ は第 ２次 世 界 大 戦 が 始 ま って か ら原 子爆 弾 開 発 へ の 道 を進 む ． そ の と きに ウ ラ ンの 同位 体 を分 離 す る手 段 の 第 １段 階 と して熱 拡 散 に よ る濃 縮 を用 い,次 い で 質 量 分析 とい う方 法 で さ らに純 粋 な ウ ラ ン235を 得 て 原子 爆 弾 の材 料 と したの で あ る.   伏 見 康 治 さん に 「科 学 知 識 」1940年 が あ る(伏 見 康 治 著 『驢馬 電 子―

１月 号 に 「同位 元 素 分 離 」 と題 した 一 文

原 子 核 物 理 学21話 』(創 元 社,1942年,お

よ び,『 伏 見 康 治 著作 集 ４』(み す ず 書 房,1987年)).昭

和15年

の 当 時 こ れ を読

ん だ 覚 え もあ る.上 述 の 「フ ィジ カ ル ・レビ ュ ー」 の 論文 で は複 雑 な 流体 力学 の 式 を用 い て解 析 して い る た め た い へ ん わ か りに くい もの に な って い る分 離 機 構 を,伏 見 さん は １銭銅 貨 を並 べ る模 型 的 方 法 で 明快 に説 明 して い るの に感 心 した もの で あ る.   伏 見 さん は この話 を熱 力 学 第 ２法則,す な わ ち エ ン トロ ピー増 大 の定 理 の話 か ら始 め て い る.物 質 は混 ざ って 一様 に な る とい う 自然 の 大 法則 に逆 行 して 物 質 を 分 離 し純粋 な 形 で取 り出す の は,人 間 の根 元 的 な欲 望 で あ る と も述 べ てい る.   上 の 実験 で は熱 せ られ た細 い針 金 に よ っ て生 じた対 流 と熱 拡 散 の相 乗 効 果 に よ り,熱 平 衡 か ら遠 い状 況 で 同位 体 分 離 とい う一 種 の 組 織化 が行 わ れ る.ベ ル ギ ー の プ リゴ ジ ー ン(I.Prigogine,1917‐)は この よ うな熱 拡 散 の現 象 に触 発 さ れ て, 平衡 状 態 か ら遠 い 体 系 が 自己組 織 化 を行 う機構 の研 究 に入 っ た.彼 は この仕 事 に よ って ノーベ ル賞 を得 て い る．

第９ 講 電気伝導 と熱伝 導

―テー マ

 ◆ 金 属 の 自 由 電 子  ◆ 電 気 伝 導 と熱 伝 導  ◆ Tea Time:電

流 の 電 子 の平 均 速 度

初等的理論   金 属 や 半 導 体 に お い て 電 気 を伝 え る の は ほ と ん ど 自由 に運 動 を して い る電 子 (自 由電 子)で あ る.自 由電 子 は熱 も よ く伝 え るの で,金 属 の熱 伝 導 の 大 部 分 は 金属 自由電 子 に よ る もの で あ る.絶 縁 体 は原 子 や 分子 の振 動 に よ って熱 を伝 え る が,金 属 に比 べ れ ば は るか に 熱伝 導 率 が 小 さい.   自由 電 子 が まっ た く自 由 な ら ば電 子 は 電圧 に よ って い くら で も加 速 され るか ら,電 気 抵 抗 に対 す る オ ーム の法 則 は成 り立 た な い で あ ろ う.電 気 抵 抗 が生 じる の は結 晶格 子 を構 成 す る陽 イ オ ンな どが 自由 電子 の運 動 を妨 げ る か らで あ る.温 度 が あ ま り低 くな い と き,金 属 の電 気 抵 抗 は だ い た い絶 対 温 度 に比 例 す る.そ れ は 陽 イ オ ンの 熱振 動 の振 幅 の ２乗 が 絶対 温度 に比 例 す る ため で あ る.金 属 の 自由 電 子 の 数 は 温度 に よ らな い.半 導 体 で 電 気 を伝 え るの は電 子 と正 孔 で あ り,こ れ らはキ ャ リヤ ー(担 体)と 呼 ば れ る.温 度 が 上 が る と キ ャ リヤ ーの 数 は増 加 す る の で,半 導 体 の電 気 抵 抗 は温 度 が 上 が る と急 激 に減 少 す る.以 下 で は主 に金属 の 電 気伝 導 と熱 伝 導 を考 え る.

  金 属 に一 様 な 電 場 Ｅ を加 え た とす る.電 子 の 電 荷 を-eと ら く力 は-eEで

すれ ば電子 にはた

あ り,電 子 の 質 量 をｍ とす れ ば,電 子 の 加 速 度 は-eE/mと

な

る.電 子 は陽 イオ ンに衝 突 す る た び にあ らゆ る方 向へ 散 乱 され,平 均 と して 電 場 方 向 の速 度 を失 う もの とす る.散 乱 か ら散 乱 まで の 時 間 を2τ とす る と,そ の 間 に電 子 は ０か ら(-eE/m)2τ

に な るの で,電 子 の 電 場 方 向 へ の速 度 は平 均 と し

て (１)

と な る.単 位 体積 中 の 自 由 電 子 の 数 をｎ とす れ ば,電 場 に 垂 直 な単 位 面 積 を通 して 流 れ る電 流ｊ は (２)

した が っ て電 流 は電 場 の強 さ Ｅ に比 例 す る(オ ー ム の 法則).単

位の電場 があ る

と き単 位 断 面積 を流 れ る電 流 は

(３)

で与 え られ る.こ れ を比 電気 伝 導 度 とい う.比 抵 抗 の 逆 数 で あ る.   なお 電 子 が相 次 ぐ散 乱 の 間 に走 る距 離 の平 均(平 均 自由 行 路)をｌ と し電 子 の 平 均 の速 さをｃ とす る と (４) で あ り,(３)は

(５)

と書 かれ る.  金 属 の 熱 伝導 は ほ と ん ど 自由 電 子 に よる もの であ る.自 由電 子 を気 体 分 子 の よ うに考 え て,そ の平 均 自由 行 路 をｌ,速 さ をｃ,電 子 １個 当 りの 比 熱 をcvと す れ ば,金 属 の 熱伝 導 率 は (６)

と な る.   多 く の 金 属 に お い て κ/σTの 値 は だ い た い 温 度 に 無 関 係 で,物 な い.こ

れ を ヴ ィ ー デ マ ン‐フ ラ ン ツ(Wiedemann‐Franz)の

質の種類に よら

法 則 とい う.κ/σT

の実 測 値 は (７) で あ る.  【 古 典 統 計 】 上 述 の よ う な 計 算 を 初 め て 行 っ た の は ドル ー デ(P.K.L.Drude) で あ る.彼

は 電 子 を古 典 力 学 に 従 う粒 子 と考 え て,比

熱 と 速 さ と して

(８)

を 用 い た.こ

の とき (９)

と な る.こ

れ は(７)よ

り も 少 し小 さ い.

  【量 子 統 計 】 金 属 の 電 子 の 比 熱 は 古 典 値(８)に は 量 子 力 学 に よ っ て 明 ら か に さ れ た.ま 大 き い.こ あ っ た.量

比 べ て は る か に 小 さ い.こ

た 電 子 の 速 さ は(８)に

れ

比 べ て は るか に

れ ら の 点 を 修 正 し た の は ゾ ン マ ー フ ェ ル ト(A.J.Sommerfeld)で 子 統 計 に よれ ば金 属 自 由電 子 に対 し

(10)

と な り,ヴ

ィ ー デ マ ン‐フ ラ ン ツ の 定 数 は

(11) と な る.

ボル ツマ ン方程 式  金属 内 の 自由 電子 を考 え,領 域dxdydz,速

度 領 域dvxdvydvzに あ る電 子 の 個数

(12) と す る.電

子 は 速 度(vx,vy,vz),加

速 度(αx,αy,αz)を

も って位 相 空 間 の 中 を移

動 す る と 同 時 に 陽 イ オ ン な ど と衝 突 す る の で 、 分 布 関 数ｆ の 変 化 は

(13) と書 け る.[∂f/∂t]cは

陽 イ オ ン な ど と の 衝 突 に よ るｆ の 変 化 を 表 す.左

辺 を展 開

す る とボ ル ツマ ン方 程式

(14) を得 る.右 辺 の[∂f/∂t]cは 衝 突 の機 構 を詳 し く与 え な け れ ば 求 ま ら な い が,一 般 に 分布 関数ｆ を平 衡 値f0か らず ら して お い て か ら 自 由 に した とす る とｆは あ る 総 和 時 間 τでf0に 近 づ くと考 え られ る か ら

(15) と して よ いで あ ろ う.  ｘ方 向 に電 場 Ｆ と温 度 勾 配 ∂T/∂xを 加 えた場 合 は

(16) (-eは

電 子 の 電 荷,ｍ

は そ の 質 量)で

あ っ て,定

常 状 態∂f/∂t=0に

対 す るボ ル

ツマ ン方 程 式 は

(17) と な る.平

衡 分 布f0か

き換 え て よ い.こ

ら の 偏 差f-f0が

小 さ い と す る と上 式 の 左 辺 でｆ はf0で

置

う して

(18) が 得 ら れ る.さ

ら に こ こ でf0は 電 子 の エ ネ ル ギ ー

(19)

と化 学 ポ テ ン シ ャ ル ζと の 関 数 で,マ

ク ス ウ ェ ル 分 布(古

典 統 計)の

ときは

(電子 の ス ピ ンの正 負 を考 え て重 率 ２をつ け る)

(20) (ｎは 単 位 体 積 内 の 電 子 数)で あ り,フ

ェ ル ミ‐デ ィ ラ ッ ク 分 布(量

子 統 計)の

と

きは

(21) で あ る.し

た が っ て ど ち らの場 合 で も

(22) で あ る.さ

ら に 電 流Ｊ と熱 流Ｗ

は

(23)

で あ る.こ

れ ら は(22)を

用い ると

(24)

と 書 き 直 せ る.こ

こ でK1,K2,K3は

(25)

で 与 え ら れ る ． 最 後 の 式 で はvx2を1/3(vx2+vy2+vz2)=2E/3mで dvxdvydvz=2π(2/m)3/2√EdEを   ま た(24)に

置 き 換 え,

用 い た.

お い て 化 学 ポ テ ン シ ャ ル ζは 温 度 の 関 数 で あ る か ら

(26) を 意 味 す る.  電 気 伝 導 度 σ は(24)で

∂T/∂x=0と

おいて

(27) と な る.熱

伝 導 度 κ は(24)でJ=0と

お い て 求 め な け れ ば な ら な い.そ

の結 果

は

(28) と な る.

  【 古典統計】

マ ク ス ウ ェ ル 分 布(15)を

用 い て計 算 す る と τを定 数 と して

(29) した が って電 気 伝 導 率 σ と熱伝 導 率 κは

(30) と な る(σ

は(３)と

一 致 して い る が,κ

は(６)と

 【 量 子 統 計 】 証 明 は 省 くが フ ェ ル ミ分 布(21)を

少 し係 数 が 異 な る). 用 い て 近似 計 算 をす る と

(31) を 得 る.こ

こ で,τ(ζ)は

フ ェ ル ミ準 位 ζ に 対 す る 緩 和 時 間 で あ る.(31)を

い る と ヴ ィ ー デ マ ン‐フ ラ ン ツ の 定 数 は(11)の

値 に な る.

用

Tea

Time

電流の電子の平均速度  金 属 中 に は 自由 電子 が あ らゆ る方 向 に高 速 度 で 走 って い る.金 属 の 針 金 に 電 流 を流 す と き,自 由 電子 は全 体 と して 電 流 の 方 向(電 子 の電 荷 は負 だ か ら逆 向 き) に 流 れ る.こ の と きの 電 子 の 「平 均 の 速 さ」 は意 外 に 小 さ く １秒 に1/1000mm の程 度 で あ る.こ れ を検 討 して み よ う.   た と え ば銅 の針 金 を考 え よ う.原 子 の 直径 は だ い た い

の 程 度 で あ る(単

位 は 適 当 に 使 う こ と に し よ う).１

(銅 の 場 合 正 し い)が

あ る とす る と,1cm3中

と な る.断 面 積 Ｓの 針 金 を電 荷-eの

原 子 に つ き １個 の 自 由 電 子

の 自 由電 子 の 数 は

電 子 が 動 い て い る平 均 の 速 さ をｖ とす る

と,電 流Ｊ は

で 与 え ら れ る.し

た が って

(☆)   こ こ で 数 値 を 入 れ よ う.家 が 流 れ る.そ

庭 の 電 気 を 考 え る と,100Wの

こ で 電 流Ｊ は1Aと

し よ う.こ

秒 間 に 流 れ る と き の 電 流 で あ る.そ

と す る.導 う(電

電 球 で は1Aの ー ロ ン)の

線 の 断 面 積 を わ か り や す い 太 さ と して(1mm)2=(0.1cm)2と れ は い く ら で も修 正 で き る).そ

電 荷ｅ は

で あ る.こ れ らの数 値 を(☆)に

電 流

電気量 が １

こで

球 の た め に は 少 し太 す ぎ る が,こ

と す る.素

れ は1C(ク

代入す ると

しよ こで

導 線 が も う少 し細 い とす れ ば,だ い た い

と考 えて よい だ ろ う.   電 子個 々 の 速 さは た いへ ん大 きい.古 典 統 計 力 学 を用 い れ ば,電 子 の 「速 さの 平 均 」 をｖ,電 子 の 質 量 をｍ,ボ ル ツ マ ン定 数 をｋ,絶 対 温 度 を Ｔ とす る とエ ネ ルギ ー等 分 配 の 法則 に よ り

これ か ら計 算 す る と,電 子 の 速 さの平 均 は

とな る.電 子 は軽 い の で酸 素 分 子 な どに比 べ て ず っ と速 い の で あ る.   ほ ん と うは,金 属 自由電 子 は古典 統 計 力 学 で な く,量 子統 計 力学 に従 う.こ れ に よ れ ば 電 子 は(古 典 統 計 な ら)数 万 Ｋの 温 度 に 相 当 す るエ ネ ル ギ ー を もつ. 数 万 Ｋ とい うの は常 温 の約 百倍 で あ り,そ の 平 方 根 は約10で

あ る.し た が って

量 子 統計 に よれ ば電 子 の速 さの 平均 は上 の 値 の10倍 で,約1000km/sと

な る.

第10講 熱

電

効

果

―テー マ  ◆  ◆

トム ソ ン熱 ペ ル テ ィエ 効 果

 ◆Tea

Time:１

乗 と ２乗

電場 と温度勾配   導 体 に電 場(電 位 の 勾 配)Ｆ

と温 度 勾 配 ∂T/∂xを 同 じ方 向 に加 え て 電 流ｊ と

熱 流 Ｗ を流 す 場 合 を考 える.電 流 が 電場 に対 してす る仕 事 はjFで あ り,こ れ だ け のエ ネル ギ ー が単 位 体 積 の 導 線 にお い て 単 位 時 間 に熱 に変 わ るが,こ の 部 分 に 流 れ込 む熱 流 とこ こ か ら流 れ 出 る 流量 の 差 は-∂W/∂xで

あ る.し たが って 単位

体 積 内 で単 位 時 間 に発 生 す る熱 量 は (１)

で 与 え ら れ る.こ

こ で 電 流ｊ と 熱 流 Ｗ は 第 ９講(24)の

式

(２)

で 与 え ら れ る.こ ∂T/∂x=0,j=σFと

こ で,ζ

は 電 子 の 化 学 ポ テ ン シ ャ ル で あ る.(２)の

お け ば 電 気 伝 導 度 σ と して

第 １式 で

(３) が 与 え ら れ る.ま

た 第 ２式 でF=0,W=-κ

∂T/∂xと お け ば 熱 伝 導 率 κ と して (４)

を得 る.  そ こで(２)の

第 １式 を電 位 の勾 配 Ｆ につ い て解 い て書 き直 した 式 (５)

と第 ２式 を書 き直 した 式 (６) を(１)に

代入す ると

(７)

と 書 け る.さ

らに (８)

とお く と発 生 す る熱 量 に対 す る式

を得 る.こ れ か ら導 か れ る以 下 の よ うな効 果 を熱 電 効 果 とい う. トム ソ ン 熱   (９)に あ る.ま

お い て 第 １項j2/σ は 電 流 に よ る 発 熱,す た 第 ２項 ∂(κ∂T/∂x)/∂xは

そ し て 第 ３項 は〓と

な わ ちふ つ うの ジ ュー ル 熱 で

ふ つ う の 熱 伝 導 に よ っ て 現 れ る 熱 で あ る.

書 き直 す と

(10) ただ し

(11)

(

と書 け る.QTは 熱 量(あ

電 流 ｊ と温 度 勾 配 ∂T/∂xが と も に 存 在 す る と き に の み 発 生 す る

る い は 吸 収 す る 熱 量)で

熱 流 の 相 対 的 な 向 き に 依 存 し,一 発 熱QTは

Ｗ.ト ム ソ ン(ケ

あ っ て,ト

ム ソ ン熱 と 呼 ば れ る.こ

方 を逆 向 き に す れ ばQTの

ル ビ ン 卿)に

れ は 電流 と

符 号 は 変 わ る.こ

よ っ て 発 見 さ れ た.μ

の

は トム ソ ン係 数

と呼 ば れ る.

ペ ル テ ィ エ効 果(冷 却 効 果)   種 類 の 違 う ２つ の 導 体 を接 続 させ て 一 定の 温 度 に 保 っ て お い て 電 流 を 流 す と 接 続 点 で 熱 の 吸 収 ま た は 放 出 が あ る.こ

れ を ペ ル テ ィ エ(Peltier)熱

と い う.こ

の

熱 は電 流 の強 さ に比 例 す る.  導 体 １と ２の接 続 点 で導 体 の性 質 が 連 続 的 に 変 わ って い る と考 え,温 度 は一 定 で あ る とす る と,(９)に

お い て 第 １項 の ジ ュ ール 熱 を除 い た発 熱 は

(12) したが って

(13) で 与 え ら れ る.こ は(９)の

こ で 電 流 は 導 体 １か ら 導 体 ２へ 向 か っ て 流 れ る と す る.(12)

第 ３項 の トム ソ ン熱 を 導 体 １ と ２ の 接 続 点 を 越 え て 積 分 し た の で あ

り,G1とG2は

そ れ ぞ れ 導 体 １ と ２ に お け る(８)の

Ｇ の 値 で あ る.(13)の

係

数

(14) を ペ ル テ ィ エ 係 数 と い う.電 な る.こ

流 の 向 き を 逆 に す る と発 熱 が 吸 熱(あ

る い は 逆)に

れ は

(15) で 表 す こ と が で き る.

 ペ ル テ ィ エ効 果(冷 却 効 果)の

吸 熱 を冷 凍 器 に利 用 す る こ とが 応 用 され て い

る.

ゼ ー ベ ック効 果(熱 電 対)   これ はペ ル テ ィエ 効 果 とは逆 の 効 果 で あ る.２ 種 類 の導 体 の 両 端 をそ れ ぞ れ 接 続 して １つ の 回路 をつ く り,２ つ の接 続 点 を違 う温 度 に保 つ と回路 に電 流 が 流 れ る.こ れ を熱 電 気 とい う.こ の 回路 で 接 続 点 以 外 の 任 意 の 点 を切 っ て電 流 が 流 れ な い よ う に す る と,切 が 生 じ る.こ

った点 の両 端 に電 位 差

れ を ゼ ー ベ ッ ク効 果 と い う.こ

の 電位 差 は ２つ の接 続 点 の温 度 差T'-T"が 小 さい と き この温 度 に比例 す る.   接 続 点 に お い て 導 体 の性 質 が 連 続 的 に 変 わ って い る と考 え る.ゼ ー ベ ック効 果 で はj =0と

す る か ら(５)に

よ り,導 体 の各 点 に 図12  ２種 類 の導 体 の接 続

お け る電位 の勾 配 Ｆ に対 して

(16) が 成 り立 つ.そ

こで

(17) と 書 い て,ε で,実

を 熱 伝 能 と い う.(８)に

お い て Ｇ に 定 数 だ けの 不 安 定 さが あ る の

験 で は あ る 物 質 を 基 準 に し て ε を求 め る.

  図12でT0は 温 度 で あ る.上

電 位 差 を測 る 点 の 温 度,T'とT"は

２種 類 の 導 体 を 接 続 した 点 の

式 の 電 場 Ｆ をT0→T'→T"→T0と

積 分 す れ ば ゼ ー ベ ック 電 圧

F1,2は

(18)

で 与 え られ る.こ れ を簡 略 化 す れ ば ゼ ーベ ック電圧 は

(19) で 与 え ら れ る こ と が わ か る.   も し もT'を

一 定 に し てT"を

に よ っ て 温 度T"を 器 で あ る.ゼ

変 数 と 変 え れ ば,ゼ

求 め る こ とが で き る.熱

ー ベ ッ ク 電 圧F1,２ を 測 る こ と

伝 対 は この 原 理 に基 づ い た 温 度 測 定

ー ベ ッ ク 電 圧 は 熱 電 対 の 起 電 力 で あ る.

  以 上 の ３つ の 効 果 は い ず れ も(８)の は た が い に 関 係 が あ る.た

Ｇ で 表 さ れ て い る か ら,こ

と え ば(11)と(12)に

れ らの 間 に

よ りペ ル テ ィエ 効 果 と ト ム ソ

ン係 数 の 間 に

(20) と い う関 係 が あ る.ま

た(14)と(19)と

か らペ ル テ ィエ 効 果 とゼ ー ベ ック効 果

の 間 に(T=T")

(21) と い う関 係 が あ る ．

Tea

Time

１乗 と ２乗   電 気 の 導 体 に 電 流 を流 す と発 生 す る の は 電 熱 器 な ど で お な じ み の 現 象 で, ジ ュ ール 熱 と呼 ば れ る.単 位 体 積 に発 生 す る ジ ュー ル熱 は電 流 の ２乗 に比 例 し, 比 電 導度 に反 比 例 す る.こ れ に対 し一様 で な い導 体 に電 流 を流 した と きに,電 流 に比 例 す る熱 の発 生,あ ン熱 と呼 ば れ,違

るい は吸 収 が 生 じる現 象 は お な じみが 少 な いが,ト

ムソ

う導 体 の 接 合 部 の 場 合 はペ ル テ ィエ 効 果 と呼 ば れ る(本 文 参

照).   ペ ル テ ィエ 効 果 を利 用 した 冷 却 装 置 が可 能 なわ け で あ るが,ジ 消 さ れ て は冷 却 で き な い.電

ュ ー ル熱 で 打 ち

流 をｊ と し,電 流 の ２乗 に比 例 す る ジ ュ ー ル熱 を

aj2,電 流 に比 例 す るペ ル テ ィエ 冷 却 を-bjと

す る と,発 熱 量 はQ=aj2-bjと

な

る.し た が って 電 流 がj0=b/aの 冷 却 に な る(a,b,jは

と きQ=0と

す べ て 正 と した).ゆ

な り,j＞j0な ら発 熱,j＜j0な

らば

え に,ペ ル テ ィエ冷 却 が 機 能 す る

よ う にす るた め に は電 流 をあ る 程 度小 さ く しな け れ ば な らな い.し か し電 流 を小 さ くす れ ば 冷却 効 果 は小 さ くな って しま うの で,十 分 な冷 却 効果 を得 る に は熱 電 効 果 の 十 分大 きな素 材 が 望 まれ る わ け で あ る.   一 般 に あ る量Ｑ が 量ｘ に比 例 す る部 分axと２

乗 以 上 の羃 に比 例 す る部 分bxn

(n〓2)の 和 で 与 え られ る と き,す な わ ちQ=ax+bxn(n〓2)の

と き は,ｘ が 十

分小 さけ れ ば 第１ 項 の ほ うが 第２ 項 よ り も寄 与 が 大 き く,ｘ が あ る程 度 よ り大 き けれ ば第２ 項 の寄 与 の ほ うが 大 き くな る.   た と え ば金 属 の低 温 にお け る比 熱 は 絶 対 温 度Ｔ に比 例 す る 自 由 電 子 の 比 熱 と Ｔの３ 乗 に比例 す る格 子 振 動 に よ る比 熱 の 和 で 与 え られ る(両 方 と も量 子 効 果). 十分 低 温 で は格 子 比 熱 が小 さ く,電 子 比 熱 が 測 定 で き る.

第11講 相

反

定

理

―テー マ

 ◆ 相反 定理   ◆ 電 流 と熱 流 の 場 合  ◆ Tea Time:相

反定理 の例

ゆ   断 熱 系 が 平 衡 状 態 に あ る と き は,そ の ゆ ら ぎ を 考 え,状

ら

ぎ

の エ ン ト ロ ピ ー は 極 大 値 を と る.こ

態 変 数 が 平 衡 値 か ら α1,α2,…

の体系

だ け ず れ る と き の エ ン トロ

ピー を

(１)

と す る.

  【ゆ ら ぎ 】

断 熱 孤 立 系 の ゆ ら ぎ に お い て α(α1,α2,…)が

α と α+dα

の間 に

あ る確 率 は

(２)

で与 え られ,物 理 量ｆ の平 均 値(集 団 平均)は

(３)

で 与 え られ る.   以 下 で 変 数 は α1と α2だ けで あ る と しよ う(変 数 が もっ と多 数 で も扱 い は 同 じ で あ る).変 数 が 可 逆 な運 動 方 程 式 に従 う量 で あ る とす る と時 間 的相 関 に対 して (４)

が 成 り立つ.ま

た ゆ らぎ は定 常 で あ る か らｔを τだけ ず ら して も上 の相 関 関 数 は

変 わ らな い.し たが って (５) よ っ て(４),(５)か

ら

(６) こ の 両 辺 か ら〈 α1(t)α2(t)〉 を ひ く と

(７)

を得 る.  さて

(８) は 体 系 を 駆 動 す る 一 般 化 さ れ た 力 と 考 え ら れ る.α1X1,α1X2な 求 め る と,部

どの集団平均 を

分積分 によ り

(９)

同様 に

(9') が 成 り立 つ.   【 不 可逆過程】

さ て,体

系 を 平 衡 状 態 か ら ず ら し て(α1,α2)で

衡 状 態 に し た 後 に 放 置 す る と,体 =0)へ

系 は 初 期 値(α1,α2)か

移 ろ う と す る 不 可 逆 変 化 を す る .そ

表 さ れ る非 平

ら 平 衡 状 態(α1=α2

の と き の α1,α2の 変 化 の 速 さ は

(10) で 表 さ れ る.た

と え ば,α1を

も の と す れ ば,J1は

体 系 の 中 の 内 部 エ ネ ル ギ ー 密 度 の勾 配 に 比 例 す る

そ の 変 化,す

な わ ち 熱 の 流 れ と す る こ と が で き る.ま

を 体 系 の 中 の 電 子 の 分 布 の 偏 差 と す れ ば,そ な る.こ

の よ う にJ1,J2は

で,(８)で

の 変 化,す

た α2

な わ ち 電 流 を表 す こ と に

一 般 に不 可 逆 過 程 に お け る 一 般 化 さ れ た 流 れ で あ る の

与 え ら れ る 一 般 化 さ れ たX1,X2と

の 間 に線 形 関係 式

(1l)

が 成 り 立 つ も の と す る.上 な る.こ 配,X2は

の 例 で はLijは

熱 伝 導 率 や 電 気 伝 導 度 に 関 係 した 量 と

の 場 合 α1,α2を 内 部 エ ネ ル ギ ー と電 子 分 布 の 偏 差 と す る とX1は 電 位 の 勾 配(電

い る よ う に,放 も 関 係 し,電

場 の 強 さ)に

相 当 す る も の に な る が,(11)で

置 さ れ た 不 可 逆 過 程 で,熱

温度 勾 表 され て

流 は 温 度 勾 配 だ け で な く電 場 の 強 さ に

流 は 電 場 だ け で な く温 度 勾 配 に も依 存 す る.

 【 相 反 定 理 】(11)に

お い て 一 般 化 さ れ た 力X1,X2は

同 じ も の で あ る と して よ い(不

ゆ ら ぎ の 駆 動 力(８)と

可 逆 過 程 の 初 期 値 を ゆ ら ぎ に よ っ て 生 じた 状 態 と

し て み る こ と が こ の 議 論 の 中 心 で あ る).ま

た(11)のdα1/dt,dα2/dtは

に お け る 変 化 率 と同 一 視 して よ い もの と す る.す

ゆ らぎ

なわち

(12)

と お い て よ い も の と仮 定 す る.こ

うす る と(７)は

(13) を 与 え,(11)を

用 い て書 き直せ ば

(14) と な る.こ

こ で(９)に

よ り

〈X1α2〉=〈 α1X2〉=0,〈X1α1〉=〈

α2X2〉

で あ る.し

た が って

(15) が 成 り立 つ.こ

れ を オ ン サ ー ガ ー(Onsager)の

相 反 定 理(1931年)と

い う.

電気伝導と熱伝導   前 節 で 注 意 した よ うに 上記 の相 反定 理 は内 部 エ ネ ル ギ ー と電圧 との勾 配 が 与 え られ て か ら放 置 され た 体 系 の 電 流 と熱 流 の 問 題 に 適 用 され る.こ の 問 題 は 第 ９講 で扱 っ た もので あ る.   図13の

図13

よ うに,２ つ の 金 属 と こ れ ら を結 ぶ

電 線 と か ら な る 体 系 を 考 え る.左 金 属 ２の 温 度 をT+ΔT,電 (フ ェ ル ミ準 位)を

ζ=ζ(T)と

方 の 金 属１ の 温 度 を Ｔ,電 位 を０ と し,右

位 をΔψ と す る.ま

方 の

た金 属 の化 学 ポ テ ン シ ャル

す る.

  非 平 衡 状 態 と し て,電 子 がｎ 個 だ け １か ら ２へ 移 っ て い て(Δn2=n,Δn1=-n), Δ Uだ =-ΔU)

け の 内 部 エ ネ ル ギ ー が １か ら ２へ 移 っ て い る と す る(ΔU2=ΔU,ΔU1 ． 一 般 に 熱 量 はΔQ=ΔU-ζΔn-eΔ〓Δnで

エ ン トロ ピ ーΔS1と

あ る か ら,上

記 の 状 態 で １の

２の エ ン ト ロ ピ ーΔS2は

(16)

した が って全 エ ン トロ ピ ー は高 次 の 項 を無視 す る と き

(17) と な る.こ

こ でΔTとΔψ

はΔUとenの

関 数 と考 え て よ い か ら独 立 変 数 と して

(18) と す る こ と が で き る.こ

のとき

(19)

であ り

(20)

と な る.こ

こ で 電 線 の 長 さ をlと す る と

(21)

で あ り,第

９講(24)を

書 き直 せ ば

(22)

と な る.こ

れ と(20)と

を比 べ る と

(23)

を 得 る.し

た が っ て 相 反 定 理L12=L21が

成 り立 っ て い る こ と が 確 か め られ る.

Tea

Time

相反定理の例   相 反 定 理 の 例 と し て,本 が,ほ

文 で は 電 流 と 熱 流 が 同 時 に 存 在 す る 体 系 を と り上 げ た

か に 典 型 的 な 例 と して あ げ ら れ る 体 系 に,異

ヌ ー ドセ ン(Knudsen)効

方性の ある結晶 の分極 やク

果 が あ る.

  異 方 性 の あ る 結 晶 で 分 極 を(Px,Py,Pz)と

し,外

部 電 場 をEx,Ey,Ezと

す る.

これ らの間 に関 係

が あ る とす る.こ の場 合,磁 場 が な い とす る と任 意 の軸 の まわ りに結 晶 を2π だ け 回転 す る と きに な され る仕 事 が ０で あ る こ とか ら,感 受 率 テ ンソ ルχ が 対 称 で あ る こ と,す な わ ち

が 導 か れ る.あ る い は熱 力 学 の 第 ２法則 に よ り可 逆 変 化 に対 して単 位 体積 当 り

と な る ． 自 由 エ ネ ル ギ ーF=U-TSに

対 し

よ って

で あ り,感 受 率 は

す な わ ち 相 反 定 理 が 導 か れ る.   次 に ク ヌ ー ドセ ン 効 果 と い う の は,圧 つ の 容 器 に 気 体 を 入 れ,こ

ル ギ ー の 流 れ Ｗ とが 生 じ る.こ

と書 け る.こ

力(P1,P2)と

温 度(T1,T2)が

れ を 毛 細 管 で 結 ん だ と き,分

異な る ２

子 の 流 れＪ と 内 部 エ ネ

れ は

こ で 分 子 の 流 れ は 化 学 ポ テ ン シ ャ ル の 勾 配 で 生 じ,内

部 エネルギー

の 流 れ は温 度 の勾 配 で 生 じるの で

で あ る.相

反 定 理Lij=Ljiを

が 導 か れ る(テ ルハ ール,ヴ 店,1979年)).

使 う と ク ヌ ー ドセ ン の 関 係 式

ェル ゲ ラ ン ド(柏 村 昌 平 訳)『 基 礎 熱 力 学』(岩 波 書

第12講 振動電場 に対 す る応答

―テー マ

 ◆ 電 気 伝 導  ◆ 誘 電 率  ◆Tea

Time:鐘

を 指 で ゆ らす

電 気伝導   金属 の電 気 伝 導 につ いて は,す で に 第 ９講 で 述 べ た が,そ の と き は一 定 の電 場 が加 わ っ て い る と した場 合 で あ った.今 回 は周 期 電 場 や パ ル ス 的 電場 の場 合 を考 える.  電 子 は抵 抗 を受 け な が ら導 体 の 中 を流 れ る の で,そ

の平 均 の 速 さ(流 れ の 速

さ,ド リフ ト速 度 とい う)ｖ が電 場 Ｅ に よ って加 速 され る こ とは方 程 式 (１)

に よって 表 す こ とがで きる(ｍ は電 子 の 質量,ｅ は電 荷,τ は 抵 抗 の 緩 和 時 間). 単位 体 積 内の 自 由電 子 の 個 数 をｎ とす る と電 流ｊ は (２)

で与 え ら れ るか ら(１)は (３)

と 書 け る.   と くに 一 定 の 電 場E0が でdj/dt=0(j=j0)と

加 わ っ て い て 定 常 電 流j0が

流 れ て い る とす れ ば(３)

お くと (４)

と な り,σ0は 定 常 電 流 の 電 気 伝 導 度 で あ る(第  【 振 動 電 場 】 電 場 Ｅ が 周 期 的 に 変 わ り,そ

９講(３))

.

の 振 幅 は １で あ っ て (５)

で 与 え ら れ る と す る.(３)は

この と き

(６)

と な る.こ

れ を解 くの に は(５)の

代 わ りに複 素 電 場 (７)

を考 え (８) を 解 くの が よ い.こ

の式 の解 は (９)

で あ る こ と が す ぐ に 確 か め ら れ る.   (８)に で 表 す)で

お い てeiωt=cosωt+isinωtな あ る ．(６)あ

の 解 は(８)の

る い は(３)は

の で(６)の

右 辺 はeiωtの 実 部(Re

Ｅ に つ い て 線 形 な 方 程 式 な の で(６)

解 の 実 部 に よ っ て 与 え ら れ る .こ

こで

(10) な の で この実 部 を とれ ば(６)の

解 と して

(11)

が 与 え ら れ る.   な お(９)を

(12)  (E=E(ω)eiωt)と

書 き

(13) を 複 素 電 導 魔 と い う.こ

こ で そ の 実 部σ'(ω)と

虚 部σ"(ω)は(９),(10)に

よ

り

(14) で あ る.   【τ→ ∞ の 極 限 】(13),(14)に

お い て τ→ ∞ の 極 限 を と る と

(15) と な る.

  【 証 明 】(14)の

σ'(ω)の 因 子 は ω〓

0の と き

さ らに

(16) で あ る.し

図14 y(ω)=τ/1+(ωτ)

(ω2+ε2)は

た が っ て ε=1/τ と お け ば ε/ εが 小 さ い と き ω=0で

鋭

τが 大 きい ほ ど山 は 鋭 い が,面 積 は 変 わ ら な い.

い 山 を も ち そ の 両 側 で 急 激 に ０に な る が,そ

の 面 積 は πに 等 し い(図14).τ

→

∞ の極 限 で

(17)

したが って

(18) で あ る ． こ れ を 用 い れ ば(14)か (15)の

ら(15)の

実 部 が 導 か れ る.(14)の

虚部 が

虚 数 部 に な る の は 明 ら か で あ る.

電気双極の配向   前項 の取 り扱 い は電気 双極(ダ

イポ ー ル,双 極 子)を

ん どそ の ま ま適 用 さ れ る.電 気 双 極 はHCl分 い る分 子(こ

の場 合 はH+-Cl-)の

電 荷 が 分 か れ て い な い分 子(た

もつ 分子 の配 向 に もほ と

子 の よ う に正 負 の 電 荷 が 分 か れ て

こ と で,有 極 性 分 子(極 性 分 子)と とえ ば酸 素(O2),四

も い う.

塩 化 炭 素(CCl4)な

ど)は

無 極 性 分 子 とい う.   極 性 分 子 の気 体,あ

る い は極 性 分 子 を無 極 性 分子 か らな る液 体 に溶 か した希 薄

溶 液 に 電 場 を加 え る と極 性 分子 は ほ とん ど独 立 に外 部 電 場 の ほ う を向 こ う とす る.こ れ を配 向 とい い,こ の ため の電 荷 の 移動 を配 向分 極 とい う.分 子 は相 互 の 衝 突 に よ って そ の 向 きが 一 様 に な ろ う とす るが,電 場 の ため にい くらか そ の 向 き に配 向 す る の で あ る.外 部 電 場 の 振 動 数 が 大 きい と配 向 分 極 は小 さ くな る.配 向 分 極 の ほ か に,無 極 性 分 子 で も,外 部 電場 の た め に原 子 や 分 子 に 誘 起 され る電 荷 の 変 位 が あ り,こ れ を特 徴 づ け る の は 原 子 や 分 子 の 分極 率 α で あ る.物

質の

誘 電率 εは誘起 分極 と配 分 分 極 に左 右 され る.   分子 ど う しの 相 互作 用 の小 さい場 合 を考 え よ う.  【 高 い 周 波 数 ω→ ∞ の と き】 外 部 電 場 の 周 波 数 が 十 分 高 い と き は配 向分 極 は 起 こ らず,誘 起 分極 だ けが 生 じ る.外 場 Ｅ の た め に １個 の 分 子 に 生 じ る誘 起 双 極 モ ー メ ン トをｐ誘 と し,分 極 率 を α とす る と

(19) で あ る(双 極 モ ー メ ン トは正 負 の 電 荷 の大 き さｑ とそ れ らの 間 の距 離ｌ の 積 で あ る).単 位 体 積 内 の 分子 の 数 をｎ とす る と,電 磁 気 学 に よ り気体 の誘 電率 ε∞は

(20)

に よ って 与 え られ る.こ れ は外 部 電 場Ｅ の周 波 数 が 十 分 高 い と きに,有 極 性 と 無極 性 を問 わ ず,気 体 に対 して成 立 す る.液 体 で は分 子 は まわ りの他 分 子 の 分 極 に よ る電 場 の 影 響 を受 け るの で,実 際 に分 子 に は た ら く有効 電 場 Ｅ有効 は外 部 電 場 Ｅ の(ε+2)/3倍

にな る,す な わ ち

(21) こ れ を ロ ー レ ン ツ(Lorentz)場

と い う.こ

れ を用 い る と

(22) と な る.無

極 性 物 質 で は 静 電 場 で も こ の 式 が 成 立 し,こ

ク ラ ウ ジ ウ ス‐モ ソ ッテ ィ(Mossotti)の   【 低 い 周 波 数 ω →0の

式 と い う.

と き】 外 部 電 場 の 周 波 数 が 十 分 低

け れ ば極 性 分 子 は た え ず 外 部 電 場 に 追 随 す る.極 久 双 極 モ ー メ ン トを μ と し,こ す る と(図15),分 は μEsinθ

れを

性分子の永

れ が電 場 Ｅ と な す 角 を θと

子 を 配 向 させ よ う とす る 力 の モ ー メ ン ト

と な り,そ

の た め の ポ テ ン シ ャル エ ネル ギ ーは

(23) と な る.そ e-u/kTを

の た め 双 極 子 が θ∼ θ+dθ

図15

の 間 の 向 き を と る確 率 は ボ ル ツマ ン因子

用 い て

(24) で 与 え ら れ る.こ

の と き の 分 子 の 双 極 モ ー メ ン トの 電 場 方 向 の 成 分 μcosθ が 配

向 分 極 で あ る か ら,１ 分 子 当 りの ω →0の

と き の 配 向 分 極 の 平 均 値 をｐ配(0)とす

る と

(25)

と な る.ふ

つ う の 条 件 で は￨μE￨≪kTな

の で展 開

(26)

とお い て 最低 次 の項 を とる と

(27) を 得 る.し

た が っ て ω →0の

と きの 気 体 の 誘 電 率 を ε0と お く と

(28) あるいは

(29) と な る.液

体 に対 して は

(30) と な る ． こ れ を デ バ イ(Debye)の

式 と い う.

  【中 間の 周 波 数 の と き】 配 向 分 極 の 時 間変 化 に対 して な か ば現 象 論 的 な式

(31) に よ っ て 緩 和 さ れ る と 仮 定 す る(τ (20)の

は こ の 場 合 の 緩 和 時 間).こ

こ で(29)と

差 をつ く る と

(32) を 得 る の で(31)は

(33) と な る.(33)は(３)と

同 形 の 式 で あ る.そ

こ で Ｅ,ｐ 配∼eiωtと お く と(９)

と同様 に

(34) 電 率 ε=ε(ω)

は

を 得 る.誘

((28)参

照)

(35) で 与 え ら れ る の で(20)と

の 差 を つ く っ て α を消 去 す る と

(36)

と な る.し

た が っ て 誘 電 率 ε(ω)の 実 部 と虚 部 は そ れ ぞ れ

(37)

と な る.誘

電 率 の 式(36),(37)を

電 導 率 の(13),(14)と

１式 で 右 辺 に 定 数 ε∞が 余 分 に つ い て い る が,こ く同 形 で あ る こ と が 注 意 さ れ る.(37)は

比 べ る と(37)の

第

れ を除 け ば こ れ らの 式 は まっ た

デ バ イ 型 の 分 散 式 と呼 ば れ て い る.

 な お,誘 電 率 と電 磁波 に対 す る屈 折 率ｎ の 間 に は

(38) の 関 係 が あ る.(22)の (Lorentz‐Lorens)の

式

ε∞をn2で と い

置 き 換 え た 式 を ロ ー レ ン ツ‐ ロ ー レ ン ス

う.

誘電率の分散   実 は ω→ ∞ にす る途 中で,電

場 の 周 波 数 ω が 原子 の 中 の 電 子 の 振 動 数 程 度

に な る付 近 で 紫 外 線 の分 散 が 起 こ る.周 波 数 を低 くす る と原 子 や 分 子 の 分極 率 α が 誘電 率 に寄 与 す る領域 が あ り,そ れ か ら分 子 内 の イ オ ンの移 動 に よ る分 極 の 寄与,さ

ら に低 周 波数 の領 域 で 配 向

分極 が起 こ る.そ の た め誘 電 率(あ

る

い は屈 折 率)の 周 波 数 に対 す る 曲線 は 図16の

よ うに な る.

図16  誘 電 率 の 分 散

Tea

Time

鐘 を 指 で ゆ らす   鐘 つ き堂 に 吊 られ た重 い鐘 を指 １本 で ゆ らせ る とい う話 が あ る.指 で 押 して も 眼 にみ え るほ どに は動 か な い.し か し鐘 が ゆ れ る周 期 に合 わ せ て 指 で 鐘 を押 す こ と を繰 り返せ ば,そ の うち に鐘 は しだ い に ゆ れ始 め る.こ の と き鐘 が 向 こ うへ ゆ れ るの に タイ ミング を合 わせ て指 で 押 さな け れ ば な らな い.言 い 換 え れ ば 鐘 が ゆ れ る振 動 の位 相 と指 で力 を繰 り返 し与 え る位 相 と を一 致 させ れ ば,鐘 の ゆ れ は成 長 す る の で あ る.   これ に対 して 鐘 が こ ち らへ ゆれ て くる と きに指 で 向 こ うへ 押 す よ うに す れ ば鐘 の ゆ れ は しだ い に と ま って しま う.言 い換 えれ ば鐘 の ゆ れ る振 動 の位 相 と指 で 力 を繰 り返 し与 え る位 相 が180゜ 違 えば,鐘 の ゆれ は減 衰 す る の で あ る.   こ の よ う に振 動 す る体 系 に 外 力 を周 期 的 に与 え る場 合,振 動 と外 力 の位 相 が 合 え ば振 動 が 励 起 され る し,位 相 が180゜ 違 え ば振 動 は抑 え られ 減衰 す る.   重 りに ひ も をつ け て ぶ ら さげ,ひ もの 上 端 を手 で もっ て水 平 に ゆ らす.振 り子 の支 点 を水 平 に ゆ らす の で あ る.す る と水 平 に ゆ らす 周 波 数 が 小 さい 間 は重 りは 手 の運 動 に つ れ て右 へ左 へ と動 く.周 波 数 が振 り子 の 固 有 振 動 に近 くな る と振 り 子 は大 き く振 れ る よ うに な る.さ

らにゆ らす周 波 数 を速 め る と手 が 右 へ い くと き

重 りは左 へ 動 き,手 が左 へ い くと き重 りは右 へ 動 く.位 相 が 逆 に な るの で あ る.   振 動体 と外 力 の振 動 の 間の この よ うな 関係 は,電 荷 を も った 振 動 体 が 電場 の振 動 につ れ て動 く場 合 に も まっ た く同様 に成 り立 つ.電 波 や 光 な どの振 動 電場 で物 体 内部 の イ オ ンな どが ゆ す られ る場合,周 波 数 が 近 け れ ば エ ネ ル ギ ー の 吸収 が起 こ り,周 波 数 が 大 き く違 えば 反 射 され る.

第13講 ク ラ マ ー ス‐ク ロ ー ニ ッ ヒ の 関 係 式

―テー マ

 ◆ 分 散 式 の実 部 と虚 部  ◆ ク ラ マ ー ス‐ク ロ ー ニ ッ ヒの 関 係 式  ◆Tea

Time:実

部 と虚 部

電気伝導度の分散   第12講

にお い て 周 期 電 場 に対 す る 金 属 自由 電 子 の 応 答(電 気 伝 導 度)と

性 分 子 の 応 答(誘 電 率)が

有極

まっ た く同 型 の 式 で 与 え ら れ る こ とが 明 らか に され

た.電 気 伝 導 度 につ い て 書 け ば,電 流 をj(ω),電 気 伝 導 度 を σ(ω),電 場 をE= E(ω)eiωtと す る と き (１)

(２)

と して

(３)

で あ る.   【実 部 と 虚 部 】(３)の

実 部 σ'(ω)と 虚 部σ"(ω)は,次

の式 で 関 係 づ け ら れ

る.

(４)

  【 証 明 】(３)に

より

(５)

した が っ て(４)の

第 １式 が 成 り立 つ.次

に

(5') した が っ て(４)の

第 ２式 も成 り立 つ.

ク ラ マ ー ス‐ク ロ ー ニ ッ ヒ の 関 係 式   (４)は 答M(ω)が

も う少 し拡 張 で き る.一 あ る と き,そ

般 に 周 波 数 ω の 外 場H=H(ω)eiωtに

対 す る応

の関係 を

(６)

と す る(x'(ω)は

実 部,X"(ω)は

を と る と き Ｍ は 電 流,誘

虚 部).た

と え ば Ｈ と して 電 場 あ る い は磁 場

電 率 あ る い は 磁 化 な ど と な る.こ

の と き関係 式

(７)

が 成 り 立 つ.こ

う.前

れ を ク ラ マ ー ス‐ ク ロ ー ニ ッ ヒ(Kramers‐Kronig)の

項 の 電 気 伝 導 度 で は σ'(∞)=0で

=ε ∞〓0で あ っ た.誘 つ.な

お(９)の

  (６)は

あ っ た が,第12講

電 率 の 場 合(第12講(37))に

関係 式 と い

の 誘 電 率 で は ε'(∞)

対 し て も(７)は

成 り立

右 辺 の 積 分 は 主 値 を と る も の とす る.

時 間 的 な 応 答 の 式(χ(t-t')は

余 効 関 数 と い う) (８)

を フ ー リエ 分 解 し た 成 分 で あ る.ク

ラ マ ー ス‐ク ロ ー ニ ッ ヒ の 関 係 式(７)は

に 示 す よ う に 因 果 律 に よ りχ(t)=0(t＜0)で 変 換 の 性 質 と して 導 か れ る.な

あ る こ と を 考 慮 す れ ば,フ

お こ の と きχ"(∞)=0と

次 ー リエ

い う 性 質 も 導 か れ る が,

こ れ に つ い て は 説 明 を 省 略 す る.   ク ラ マ ー ス‐ク ロ ー ニ ッ ヒ の 関 係 式(７)が

因 果 律 と結 びつ い て い る こ とは 次

に 示 す 方 法 で も明 ら か に さ れ る.

因 果 律 との 関 係  具 体 的 な 話 と して 電 気 伝 導 の 場 合 を 考 え よ う.こ

の と き は(１),(２),(３)

が成 り立 つ.電 場 の 周 期 的 変 化 の 複 素 表現 (９)

に 対 す る 応 答 で あ る 電 流 の 複 素 表 現 は(１),(２),(９)に

よ り(Reは

実 部,

Imは虚 部)

(10)

と な る.

 い ま時 刻t=0で

δ関 数 的 な パ ル ス を 加 え る.δ

関数は

(11) と書 け る.こ E(t)=δ(t)は

れ は 成 分 波eiωtを す べ て1/2π 実 数 で あ る か ら,こ

の 振 幅 で 重 ね 合 わ せ た も の で あ る.

の パ ル ス に よ る 電 流 ｊは 各 ω 成 分 のRej(ω)

を 振 幅1/2π

で 重 ね 合 わ せ た もの と し て 与 え ら れ る.(３)に

偶 関 数,σ"(ω)は 0に

よ りσ'(ω)は

ωの

奇 関 数 で あ る こ と を考 慮 す れ ば ω に つ い て の積 分領 域 を ω ＞

して

(12) と 書 く こ と が で き る.   こ の 場 合t=0で よ れ ば,そ

パ ル スE(t)=δ(t)を

れ 以 前(t＜0)で

初 め て 与 え た と して い る の で,因

は 電 流 は ０で な け れ ば な ら な い.こ

果律 に

の条件は

(13) あるいは

(14) と表 せ る.こ こでｔの 符 号 を変 え れ ば

(15) を 得 る.   さ ら に(15)の

左 辺 を 参 照 して

(16) を定義 し,こ れ をσ'(ω)の フー リエ 余 弦 変 換 とみ る とそ の 逆 変換 は

(17) と な る.他

方 で(16)を

用 い て(15)の

右 辺 を書 き改 め る と

(18) を 得 る の で,こ

れ を(17)に

代入すれ ば

(19) と い う 式 が 得 ら れ る.   こ こで

(20) した が っ て

(21) こ れ を 用 い て(19)を

書 き直 す と

(22) を 得 る.こ

れ は ク ラ マ ー ス‐ク ロ ー ニ ッ ヒ の 関 係 式 の 第 １式 で あ る.同

様 に第 ２

式 (23) も導 か れ る.

Tea

Time

実部 と虚部   複 素 数z=x+iyは

２つ の 数ｘ とｙ と で つ く ら れ た も の で あ る.ｘ

ま っ た く 関 係 が な け れ ば こ れ は ２つ の 変 数ｘ とｙ の 結 合 で あ る.水 こ れ に 垂 直 にｙ 軸 を と れ ば,(x,y)平 表 さ れ る.こ

ウ ス 平 面)の

中 でｚ は １つ の 点 で

こ ま で は わ か りや す い.

  さ ら に 進 ん で,複 ばf(z)=z2と

面(ガ

とｙ と が

平 にｘ 軸,

する と

素 数ｚ の 関 数f(z)を

考 え る と話 は や や こ し く な る.た

とえ

(１)

と な る.こ あ り,虚

の よ う にｚ の 関 数f(z)も

部 は2xyで

で き な い.こ

あ る.こ

複 素 数 で あ る.f(z)=z2の

のf(z)をｚ

実 部 はx2-y2で

と 同 じ複 素 平 面 の上 で 図 示 す る こ と は

の た め 複 素 数 は 考 え に く い と い う こ と に な る.

  複 素 数z=x+iyの

関 数f(z)をｚ

か も し れ な い.f(z)=z2をｚ

で微 分 す る と い う こ と の意 味 は わ か りに くい

で 微 分 す る と2zに

な る とす るの が つ じつ まが 合 う

のでこれは (２)

と書 け る.他 方 で(１)をｘ

お よ びiyで 微 分 す る と

したが って

が 成 り立 つ.こ れ で み る とｚの 関数f(z)をｘ 軸 方 向 に 微分 した もの とiy方 向 に微 分 した もの はf(z)をｚ で 微 分 した もの に等 しい.微 分係 数(導 関 数)は

どの 方 向

に微 分 して も同 じ もの に なる とい うこ とで あ る.こ れ が成 り立 つ と きf(z)は 微 分 可 能 で あ る とい い,微 分 可 能 な複 素 関 数 を正 則 関 数 とい う.導 関数 はf＇(z)と書 け る.   正 則 関 数 の導 関 数f'(z)も 正 則 関 数 で あ る こ とが 示 され る.す な わ ち ２階 微 分 f"(z)も 正則 関 数 で あ り,こ れ を続 け れ ば 正則 関数f(z)は 任 意 の 高 階 導 関 数 を も つ こ とに な る.こ の た め 正 則 関 数f(z)はｚ の テ イ ラ ー級 数 に 展 開 で き る.テ イ ラ ー展 開 可 能 な関 数 を解 析 関 数 と い うの で 正 則 関 数 は解 析 関 数 で あ る こ と に な る.し た が って複 素 関数 で は 正則 関数 と解 析 関 数 を 区別 す る必 要 は な い.

第14講 動 径分 布 関 数

―テー マ

 ◆ Ｘ 線 の 散 乱  ◆ 動 径 分 布 関 数  ◆Tea

Time:最

隣接 分子 数

分子の分布   古 典 的 な 理 想 気 体 で は 分子 は たが い に無 関係 に 運動 して い る の で 分子 の配 置 に 相 関 は ない.し か し実 際 に は分 子 に は大 き さが あ り,分 子 間 の 力 もは た らい て い るか ら気 体 や 液 体 で 分子 の配 置 に相 関 が 生 じる.   今 回 は 一 様 な気 体 や 液 体 を考 え,体 系 は Ｎ 個 の 同種 類 の分 子 か ら成 る もの と す る.分 子 の座 標 をrj(j=1,2,…,N)と

す れ ば場 所 ｒに お け る分 子 数 密 度 は (１)

と 書 け る.こ

こ で,〈

１体 分 布 密 度 と も い う.こ

〉 は 平 均 値(あ

る い は 期 待 値)を

表 す.n(1)(r)は

れ に対 し (２)

を ２体 分 布 密 度 と い う.こ

れ は 位 置 ｒ とr'に お け る 密 度 の 相 関 を 表 し て い る. (３)

と 書 き,g(r,r'-r)を n(1)(r)は

分 子 対 分 布 関 数 と い う.一

場 所 に よ ら ず,容

様 な 物 質 で は 分 子 数 密 度n=

器 の壁 の近 くを 除 け ば (４)

と書 け る.g(R)を

動 径 分 布 関 数 と い う.

Ｘ線 回 折   気 体 や 液 体 中 の 分 子 の 分布 は Ｘ線 回 折 法 に よ って 知 る こ とが で きる.以 下 で は １原 子 分 子 か らな る 簡単 な物 質 の 動径 分布 関g(R)を

Ｘ線 回折 か ら求 め る方

法 につ い て述 べ る こ と にす る.   波 長 の 決 まっ た Ｘ 線(単 色 Ｘ線)を

物 質 に 当 て る と,Ｘ 線 の 電 場 が 物 質 中 の

電 子 に強 制 振 動 を起 こ し,そ の た め に ２次 波 が 送 り出 され る.入 射 Ｘ線 の 強 さ をI0と す る と原 点 にあ る １個 の 電 子 に よる散 乱 波 の点 Ｐに お け る強 度 は (５)

で 与 え ら れ る.こ

こ で,￨rp￨は

電 子 か ら 点 Ｐ ま で の 距 離,φ

向 と の 間 の 角 で あ る(ｅ は 電 子 の 電 荷,ｍ れ を トム ソ ン(Thomson)散

n0,散

原 子 の 中 心 をr0と

位 置 をr0+rjと

す る.ま

乱 波 の 方 向 の 単 位 ベ ク トル をｎ,波

図17

は 光 速 度;図17).こ

乱 と い う.

  【 １個 の 原 子 に よ る 散 乱 波 】 (j =1 ,2,…,n)の

は そ の 質 量,ｃ

は 入 射 波 と散 乱 方

し,こ

の 原 子 に 属 す る 電 子ｊ

た 入 射 波 の 方 向 の 単 位 ベ ク トル を

長 を λ とす る と,散

乱波は原点で散乱

図18

され た場 合 に 比 べ て (６)

だ け の位 相 の差 が あ る.た だ しこ こで (７)

で あ る(図18)．

した が っ て 電 子 ブ に よ る 電 荷 密 度 を ρj(rj)と す る と,原

(中 心 の 位 置r0)に 度Ieに

子 １個

よ る散 乱 波 はす べ て の 電 子 が 原 点 に 集 ま っ た と した と きの強

比べ て

) (

で 与 え られ る.こ

こ でf(s)は (９)

を表 し,原 子 の 形状 因子 と呼 ばれ る.１ 原子 分子 の電 子 分 布 は球 対 称 で あ るか ら ｆは

(10) た だ し(７)に

よ り

(11) と な る(図18).   【 分 子 の 集 ま り に よ る 散 乱 】(８)に

お い て 分 子 の 位 置 はr0で

分 子 α の 位 置rα で 置 き 換 え た 式 を 分 子 α=１,２,…,Ｎ と散 乱 波 は(す

あ る が,こ

れを

につ い て重 ね 合 わ せ る

べ て の 電 子 が 原 点 に 集 ま っ た と した と き に 比 べ て)

(12) で 与 え ら れ る.

８

  電子 １個 に よ る散 乱 強 度 がIeで あ る こ と を考 慮 す れ ば,Ｎ 個 の 分 子 に よ る Ｘ 線 の散 乱 強 度 は 試 料 か ら十 分離 れ た場 所 に お いて

(13) と な る.こ  α=β

こ で,〈

〉 は 分 子 の 位 置rα,rβ に 関 す る平 均 で あ る.

の項 は

(14) を 与 え る ． α〓 β の 項 は

(15) を 与 え る.こ

こで

(16) を(15)の

右 辺 の 積 分 か ら ひ き去 れ ば

(17) とな る.た だ し こ こ で∫ndrα=Nは -r

α=R,drβ=dRと

 し た が っ てs〓0に

散 乱 に寄 与 す る全 分 子 数 で あ る.またrβ

書 い た.

対 しI=I'+I"は

(18) と な る.

 【 散 乱 の相 対 強 度 】 Ｎ個 の分 子 が独 立 に Ｘ線 を散乱 した と きの 散 乱 強 度 はI'= Ief2(s)Nで あ るか ら,分 子 の 相 関 に よる散 乱 の相 対 強 度 をi(s)と 書 く と

(19) (20) あ る い は((９),(10)と

同 様 の 計 算 に よ り)

(21)

が 成 り立 つ こ と に な る.   【 逆変換】

フ ー リエ 変 換 の 公 式 に よ れ ば

(22) の とき

(22') で あ る.そ

こ で,si(s)=f(s),4πn{g(R)-1}R=√2/πF(R)と

す れ ば(21)

の逆 変 換 は

(23) と な る.書

き換 え る と

(24)

図20a  液 体 ア ル ゴ ンの 分布 関 数

図19  Ｘ線 散 乱 強 度I(s) 単 調 な 曲線 はf(s)2を 示 す.

図20b 

液 体 ア ル ゴ ン の 動 径 分 布 関 数

A:84.4K,0.8atm, C:149.3K,43.8atm.圧 度 の 飽 和 蒸 気 圧.

B:126.7

K,18.3 atm,

力 はす べ て その 温

を 得 る.こ

れ は Ｘ 線 の 回 折i(s)か

4πR2ng(R)dRは

ら 動 径 分 布 関g(R)を

１つ の 分 子 か らR∼R+dRの

求 め る 式 で あ る.

間 に あ る他 分 子 の 分 布 密 度 を 表 し

て い る.

動径分布関数   (18)の る.実

よ うに 与 え ら れ る Ｘ線 の 散 乱 強 度 は い わ ゆ る干 渉 波 に よ る 散 乱 で あ

際 に 観 測 さ れ る 散 乱 強 度 は 非 干 渉 散 乱 を 含 む の で,こ

I(s)を 求 め る.(18)の

右 辺 に お い て 原 子 の 形 状 因 子f(s)は

に よ っ て 求 め ら れ て い る.(20)に が っ てI(s)→Ief2(s)Nと

よ り,十

な る の で,こ

れ を ひ き去 っ て

気 体 に よ る Ｘ線 散 乱

分 大 き な ｓに 対 し てi(s)→0,し

た

れ に よ って 規 格 化 の係 数 Ｎ を定 め る こ と

が で き る．   散 乱 強 度i(s)か

ら(24)に

よ り動 径 分 布 関 数g(R)が

ン に 対 す る 散 乱 強 度I(s)とIef(s)Nを 布4πR2ng(R)とg(R)を

図20に

図19に

示 し,こ

求 め ら れ る.液

体 アルゴ

れ か ら得 ら れ る 分 子 の分

示 して お く.

Tea

Time

最隣接分子数   机 の上 に10円 玉 をた くさん 置 い て,重 な らな い よ うに しな が らで きる だ け 密 に並 ぶ よ う にす る と,１ つ の10円 玉 は ６個 の10円 玉 で 囲 まれ た並 び方 に な る. こ れが 同 じ大 き さの 円板 を並 べ た と きの 最密 充〓 で あ って,こ の場 合 の 最 隣接 円 板 数 は ６で あ る.   ビー玉 か パ チ ン コ玉 の よ うな 同 じ大 き さの 玉 をで き るだ け 密 に積 め込 む と,１ つ の 玉 は12個 の玉 で 囲 まれ る.球 形 の 分 子 が ぎっ し りと積 まっ た と き に こ れ と 同 じよ うな配 列 に な り,こ の と き最 隣 接 分 子 数 は12で あ る.簡 単 な 分 子 の 結 晶 で は この よ うな配 列 にな る.   液体 で は密 度 は固 体 とあ ま り変 わ らな いの で 分 子 が や は り最 密 充〓 に近 い配 列 に な る.こ の 場 合,１ 個 の 分 子 か らｒ とr+drの 4πr2drg(r)と

した と きのg(r)は

間の距離 にあ る他分 子 の数 を

動 径 分 布 関 数 で あ る.動 径 分 布 関 数 は本 文 図

20の よ うにｒの 比 較 的 小 さい と こ ろ で い くつ か の は っ き り した 山 を もち,こ れ らは そ れ ぞれ 最 隣 接分 子,第２

隣 接 分 子,…

に相 当 す る.第１

の 山の と こ ろで,

4πr2drg(r)を 積 分 した もの は最 隣 接 分子 数 で あ り,ア ル ゴ ンの よ うな球 形 分 子 の 液体 で は,最 隣接 分子 数 は約10で で きたた め 最 隣接 分子 数 が12か   満 員,あ

あ る.こ れ は 最密 充〓 が 少 し乱 れ て 隙 間 が

ら10に 減 った もの と解 釈 で き る.

るい は超 満 員 と もい うべ き電 車 に 乗 り合 わせ る と液 体 の 中 の 分子 の 配

列 が よ くわ か る よ うな気 が す る.こ うい う と き他 人 との接 触 をで きる だ け少 な く す るた め,な ん とか都 合 した 配 列 に な ろ う とす る の で秩 序 あ る配 列 に 近 くな る. ラ ッシ ュ時 に慣 れ たサ ラ リー マ ン の列 や,こ

の時 間 帯 の 自動 車 の 列 が わ りと ス

ム ーズ に 流 れ る の は この よ うな秩 序 に よる もの と思 われ る.   引 力 を もた な い剛 体 球 分子 の 集 ま りは現 実 の物 質 に は ない が,計 算 機 で は実 現 で き る.こ の よ うな剛 体 球 分 子 の 集 ま りが 熱 運 動 してい る状 況 は液 体 に よ く以 て い る.こ れ に圧 力 を加 え る と,あ る圧 力 を超 え た と き に配列 に秩 序 が 生 じ,固 体 の状 態へ 相 転 移 す る.引 力 の な い 剛体 分 子 の集 ま りで も液体 か ら固体 へ の相 転 移 が 起 こ るの で あ る.こ れ は ア ル ダー(B.J.Alder)ら 明 らか に な っ た こ とで あ るが,こ

に よっ て数 値 計 算 に よ って

れが 示 さ れ る まで は この相 変 化 の 有 無 につ い て

盛 ん に議 論 され た もの で あ る.以 前 に は,固 体 へ の 相転 移 は分 子 間 の 引 力 が な け れ ば生 じない と考 える 人 が多 か っ たが,計 算 機 実験 以 後 は引 力 が な くて も固体 へ の相 転 移 が 生 じる と考 え られ る よ う に な った の で あ る.こ れ も計 算機 が常 識 を く つ が え した １つ の例 で あ る.し か しア ル ダ ー転 移 は わ れ われ が 満 員 電 車 の 中 で す で に体 験 ず み だ った とい え るの で はな い だ ろ うか.

第15講 表

面

張

力

―テー マ

 ◆ 表 面 張 力 の 統 計 力 学  ◆ 分 子 間 力 と表 面 張 力  ◆Tea

Time:水

に 浮 く １円 玉

実 験

式

  表 面 張力 や こ れ に よ っ て起 こ され る毛細 管 現 象 は液 体 に も っ と も特徴 的 な現 象 で あ る.液 体 の 表 面 や液 体 と ほか の 液体 との間 の 境 界 に 溶 質 な どが 吸着 され た り した と きの 界 面 張 力 の 現 象 も界 面 化学 や生 体 の 種 々 の は た ら き,あ る い は洗 濯 な どの 日常 生 活 に と って きわ め て 重 要 で あ る.今 回 は純 粋 液 体 の表 面 張 力 を熱 力 学 と統 計 力 学 の 立 場 か ら考 え る こ とにす る.   い うまで もな く,表 面 張 力 は 液体 の表 面 の 単位 長 さを通 して そ の両 側 が 引 き合 う力 で あ る.表 面 張 力 は 温度 が上 が る につ れ て小 さ くな る.圧 力 を加 え て臨 界 点 まで もって い け ば表 面張 力 は 臨界 温 度 で ０に な る.い ろ い ろの 実 験 式 が 提 出 され て い る.  表 面 張 力 を γ,絶 対 温 度 を Ｔ,臨 界 温度 をTcと す る と き,多 くの 液 体 に つ い てエ トヴェ ッシ ュ(Eotvos)の

式 (１)

(Ｖ は 液 体1molの

体 積,分

を 用 い る と α〓2.1と

子 容)が

相 当 よ く成 り立 つ.α

位 系

な る.

  一 見 し た と こ ろ 上 式 右 辺 の 第 １項 αTc/V2/3は -αT/V2/3は

は 定 数 でcgs単

液 体 の 凝 集 力 を 表 し,第

２項

分 子 運動 に よる圧 力 の た め の 表 面 張 力 の 減少 を表 す よ うに 思 わ れ る

か も し れ な い が,事

情 は そ れ ほ ど 簡 単 で は な い ら し い.

  液 体 の 表 面 上 に は 飽 和 蒸 気 が あ り,液 体 の 密 度 と 飽 和 蒸 気 の 密 度 の 差 は 温 度 と と も に 小 さ く な る.液

体 の 密 度 を ρl,飽 和 蒸 気 の 密 度 を ρgと す る と き,片

山の

式(1916年) (２)

(Ｍ は 分 子 量)が(１)よ

り も よ く成 り立 つ. (３)

は マ ク レ オ ド(McLeod)の -T)6/5を

式 と い う.(２)と(３)を

組 み 合 わせ れ ば

γ∝(Tc

得 る.

熱力学的関係式   表 面 張 力 を考 慮 す る と液 体 の表 面 積 をＡ と す る と き,内 部 エ ネル ギ ーＵ の 変 化は (４)

と な る.自

由 エ ネ ル ギ ーF=U-TSの

変化 は (５)

した が っ て

(６)

で あ り,自

由 エ ネ ル ギ ー は 単 位 面 積 当 り の 自 由 エ ネ ル ギ ー で あ る.(６)と(５)

か ら体 系 の 全 体 積Ｖ ＝ 一 定 の も とで

(７)

こ れ は 単 位 面 積 当 りの エ ン トロ ピ ー で あ る ． ま た(４)と(７)か

ら (８)

した が って 単 位 面 積 当 りの 内部 エ ネ ル ギ ー,す な わ ち表 面 エ ネル ギ ー をUAと

す

れば (９)

と い う 関 係 が 得 ら れ る.

分子の分布関数   (６)に よ り,表 面 張 力 γは 液 体 の 表 面積 を変 化 させ た と きの 自 由エ ネ ル ギ ー の変 化 の割 合 で あ る.分 子 の 配 列 を格 子 点 にお か れ た 分 子 と空 孔 で 近似 す る格 子 模 型 を使 い,分 子 の多 い液 相 部 分 と空 孔 の多 い 気 相 部 分 とか ら成 る体 系 を扱 って み る と,液

相 と気 相 の 境 界 で は 分 子 の 密 度 が 数 分

子 層 の 間 に 連 続 的 に 変 化 して い る こ と が わ か る.   ２相 の 境 界 面 が 平 ら でｚ 軸 に 垂 直 で あ る と す る と,１ つ の 分 子 がz1に r2-r1だ

け 離 れ た 点 に お け るz2に

度 はn(z2)g(z1,r12)と 図21

あ る と き,こ

書 か れ る.分

れ か らr12= お け る分 子 密 子 間力 に よ

る位 置 エ ネル ギ ー を

(10) と す る と き,２ 体 分 布 関 数 は,n(z1),n(z2)をz1とz2に

お け る 平 均 の分 子 数 密

度 と して

(11) と な る.   (11)を

用 い る と表 面 張 力 は

(12) で 与 え ら れ る.た

だ し,x12,z12はr12のｘ

成 分 とｚ 成 分 で あ る.

 【 証 明 】 液 相 と気 相 とか ら な る体 系 を変形 した と きの 自 由エ ネル ギ ーの 変 化 を計算 す れ ば よい ので あ るが,こ の と き液相 や気 相 の体 積 が 変 わ る と液体 が蒸 発 した り,気 体 が 凝 縮 した りす るか ら,こ れ らの体 積 をそ れぞ れ 一 定 に保 つ 変形 で あ る こ とが 要 請 され る.   こ の 要 請 に合 う変 形 を原 島 鮮(1953年) に従 っ て 図22の

よ うに と る の が よ い.こ の 図22

場 合,１ 辺 の 長 さａ の 正 立 方 体 の 中央 にｚ軸 に垂 直 に 液 体 の 膜ABが

あ る と し,そ

にｚ 方 向 にaε(ε≪1)だ

け 縮 め,ｘ

2a2か

ら2a2(1+ε)に

体 積 はa2(a-1)か

の 厚 さ をｌ と す る.こ

方 向 に はaε だ け 伸 ば す.膜

な る の で 変 化 は2a2ε で あ り,こ

の両面 の面積 は

れ は εに 比 例 す る.気

らa(1+ε)a(a-l)(1-ε)=a2(a-l)(1-ε2)に

そ の 変 化 は ε2の程 度 な の で 無 視 で き る.液 ε)=a2l(1-ε2)に

の容 器 を体 系 と と も

な る が,こ

相 の 体 積 はa2lか

相 の

変 わ る が, らa(1+ε)al(1-

の 変 化 も ε2の程 度 な の で 無 視 で き る.

  な お こ の 変 形 で 気 相 と 液 相 の 間 の 面 積 は2a2ε だ け 増 加 す る.   さて分 配 関 数 の 分 子 配 置 に よ る部 分 Ｑ は

(13) で あ る.

(14)

とお くと

(15) と な る.

 変形 後 の 分配 関数 をQ'と す る と,こ れ に対 して は

(16) と お く と き,ε2の 程 度 の 量 を 無 視 す る と

(17) と な る.た

だ しこ の場 合 は

(18)

と お い た.ε が 小 さ い と し て Φ'を 展 開 す る と

(19) と な る.こ

こで

(20) で あ る.   εの １次 ま で と れ ば

(21) したが っ て

(22) と な る.さ

らに

(23) を 用 い れ ば(12)を

得 る.た

貫 い て 行 う の に 対 し,(12)のz1の

だ し(22)でz1に

関 す る積 分 は 液 体 の 膜 の上 下 を

積 分 は 膜 の 内 部 の 点 か ら上 方(ま

た は 下 方)

だ け を と る.

近   (12)は

厳 密 で あ る が,分

式

布 関g(z1,r12)が

面 張 力 を 求 め る こ と は で き な い.そ き り した 幾 何 学 的 な 面 で,蒸

似

正 確 に わ か らな い と数 値 的 に表

こ でg(z1,r12)が

方 向 に よ ら ず,液

面が はっ

気 の 密 度 は 無 視 で き る と し て 近 似 式 を 求 め よ う.こ

のとき

(24)

この 近似 の もとで,極 座 標

(25) を 使 い,r12=r,z1=zと

お

く と

(26) と な る.部

分 積 分 し てr→

∞ でdφ/drが

急 速 に ０に な る とす る と

(27) と な る.最

後 に は 積 分 の 順 序 を 入 れ 換 え た(図23参

照).こ

う して 近似 式

(28) を 得 る.   分 子 間 力 の ポ テ ン シ ャ ル を φ(r)と ポ テ ンシ ャ ル

して,気

体 の 第 ２ ビ リア ル係 数 か ら求 め た

(29) と Ｘ 線 回 折 に よ るg(r)と え ば ア ル ゴ ン のT=83.4Kの は γ=15.06cgsを は γ=13.2cgsで (28)は 図23

与 え,こ あ る.こ

を 用 い る と,た

と

場 合,(28) れ に対 し実 測 値 の よ うに近似 式

実 測 値 に 対 しか な りよ い一 致 を与 え

る.

Tea

Time

水 に浮 く １円玉   １円 玉 を水平 に して 静 か に水 の表 面 に置 く と,１ 円 玉 をた やす く水 に 浮 かべ る こ とが で きる(昔 は １円 玉 は な か った が,鉄 の 針 を水 の 表 面 に浮 か べ る こ とが で き た).   １円玉 は アル ミで で きて い る の で,水

よ り も比 重 が 大 き く,水 面 に 浮 い た １円

玉 も ち ょっ とつ つ け ば 沈 ん で しま う.１ 円玉(鉄

の 針 も)が 水 面 に浮 くの は 水 の

表 面 張 力 に助 け られ ての こ とで あ る.   水 の 分子 は 引力 の ため にた が い に 引 き合 っ て い るが,水

の表 面 で は水 の外 側 に

分 子 が な い か ら,表 面 の 分 子 は 引 力 が満 足 されず,欲 求 不 満 の 状 態 にあ って,そ の た め た が い に引 っ張 り合 って 水 の 表 面 積 を で き る だ け小 さ く しよ う と して い る.こ れが 表 面 張 力 で あ る.   １円玉 は(油 が 少 しつ い て い る た め で あ ろ うが),水 を は じ く.そ の た め 水 面 に １円玉 を置 く と水 面 は １円 玉 の重 さ に よ っ て押 し下 げ られ る.押 し下 げ られ る と １円玉 に 浮力 が は た ら く.１ 円 玉 は この 浮 力 と表 面 張 力 の ２つ の 力 に よ っ て支 え られ て水 に浮 くの で あ る.浮 力 を計 算 し表 面 張 力 を計 算 して み る と １円玉 を支 え る力 の ほ ぼ半 分 は 浮 力 で あ り,残 りの 半 分 は表 面 張 力 で あ る こ とが わ か る.   １円玉 が 水 に浮 くの は表 面張 力 のた め で あ る と一 口 に い う こ とが あ る が,実 は も う ち ょっ と複 雑 なの で あ る(戸 田盛 和 『 お もち ゃの科 学』 第 ６巻,日 本 評論 社).

第16講 光

の

散

乱

―テー マ

 ◆

レ イ リ ー散 乱

 ◆ 臨 界 蛋 白光  ◆Tea

Time:空

の 青 ・日の 出 ・日の 入 り

レイ リー散 乱  気 体 や液 体 に は密 度 の ゆ ら ぎが あ り,こ の ため に光 を散 乱 す る.密 度 の ゆ ら ぎ は圧 縮 率 κTに 比 例 す るが,ふ つ うの 液 体 で は密 度 の ゆ ら ぎ は小 さ い ので 散 乱 は 認 め に くい.し か し臨 界 点 付 近 で は圧 縮 率 は非 常 に大 き くな るの で,散 乱光 は極 度 に 強 くな り,い わ ゆ る臨 界 蛋 白光 が み られ る.   レイ リー(Rayleigh)〓 積v0(波

に よ れ ば,波 長 λの 光 が 屈 折 率n0の 媒 質 中 に あ る体

長 に比 べ て 小 さい とす る),屈 折 率ｎ の 部 分 に よ り単 位 立 体 角 内 に散 乱

され る強 さixは,光

の 波 長 を λと して (１)

で与 え ら れ る.こ れ を レ イ リー 散乱 とい う.た だ し,単 位 断面 積 に 入射 す る光 の 強度 を Ｉと し,散 乱 光 が 入 射 光 と なす 角 をχ とす る.(１)の

右 辺 の 第 １項 は入

射 光 と散 乱光 を含 む面 に垂 直 に偏 光 した 散 乱 光 の 強 度 で あ り,cos2χ に比 例 す る 第 ２項 は この 面 に平 行 に偏 光 した散 乱 光 の 強度 で あ る.こ の よ うに散 乱 光 は方 向

に よ って異 な る強 度 で 偏 光 して い る.こ

とに入 射 光 と直 角 の 方 向(χ=π/2)の

散 乱 光 は完 全 に偏 光 して い る.こ れ は太 陽 の 光 を散 乱 した空 の光 を偏 光板 で み れ ば わ か る こ とで あ る.   屈 折 率ｎ と密 度 ρの 間 の 関 係 は ロー レ ンツ ーロ ー レ ンス の式 (２)

で 与 え られ る.ゆ ら ぎに よる密 度 の変 化 を (３)

と す る と(２)か

ら

(４)

を得 る.  任 意 に と った散 乱 体 は単位 体積 内 に1/v0個 あ る.そ の体 積ｖ の ゆ ら ぎは (５)

で 与 え ら れ る((11)参

照).し

たが っ て散 乱 光 の 相対 的 な 強度 は

(６)

こ こ で,-(1/v0)(∂v0/∂p0)Tは

等 温 圧 縮 率 κTで あ る .(５)は

v0に よ ら な い こ と を 注 意 し て お こ う.気 (６)を

勝 手 に と った 体 積

体 で はn0〓1,-v0∂ｐ0/∂v0=ｐ

用 い て ボ ル ツ マ ン 定 数ｋ を 求 め,こ

で あ り,

れ か ら ア ボ ガ ドロ 数 を 求 め る こ と も

で き る.   透 過 光 の 強 さ も た だ ち に 求 め ら れ る.媒 dIと

質ｐ をdxだ

け 進 ん だ と きの減 光 量 を

して (７)

とお け ば,消 散 係 数 は(６)を

全 方 向 につ い て積 分 して 得 られ る.す な わ ち

(

)

臨 界 点付 近 の ゆ らぎ   臨 界 点 で は ∂p0/∂v0=0と

な り,(６)や(８)は

づ く に つ れ て ゆ ら ぎ は い く ら で も大 き くな る.光 レ イ リ ー の 散 乱 式(１)も

使 え な く な る.臨

界点 に近

の 波 長 程 度 の ゆ ら ぎ に 対 して は

使 え な い.

  ゆ ら ぎ を 熱 力 学 的 に 考 え れ ば,ゆ

ら ぎ γが 生 じ る 確 率 をW(γ)dγ

とす る と き (９)

(Ａ は 定 数)で

あ る.こ

こで

(10) と 展 開 して(９)に

入 れ て ３項 ま で と れ ば

(11) と な る.臨

界 点 で は ∂p0/∂v0=∂2p0/∂v02=0な

の で ゆ らぎ の確 率 は

(12) と な る.

Tea

Time

空 の 青 ・日 の 出 ・日 の 入 り

  月 の 世 界 で は 太 陽 が み えて いて も空 は真 暗 で あ る ら しい.こ れ はア ポ ロ の飛 行 士 が と った 写真 な どで も明 らか で あ る.地 球 の 上 で,空 が 青 いの は空気 が あ る か らで あ り,空 気 の 中 に小 さな ゴ ミな どが浮 か んで い る ため で もあ る.太 陽 の光 は 空 気 の 密 度 の ゆ ら ぎや ゴ ミに よ って散 乱 さ れ る.レ イ リー散 乱 と呼 ば れ る散 乱 で あ る.こ の 散 乱 は 波長 の ４乗 に反 比例 し,波 長 の短 い光 は強 く散 乱 され る.青 い

８

光,紫 色 の 光 は黄 色 や赤 の 光 よ り も強 く散 乱 され る ので あ る.そ の た め 空 は青 が 勝 った色 に み え る.山 の 上 な どの 空 気 の きれ い な とこ ろで は む しろ紫 が か って み え るが,都 会 の きた ない 空 は す べ て の 光 を反射 す るや や 大 きな ゴ ミな どの た め に 黄 色 っぽ くな った り,白 っぽ くな った りして い る.   日の 出や 日の 入 りの太 陽 の 光 は 地面 にす れす れ に空 気 中 の長 い距 離 を通 って く る ので,青 や 紫 な どの光 は途 中 で全 部 散 乱 され て しま って,赤 い光 だ け が や っ て くる.そ の た め 日の 出 や 日の入 りの太 陽 は赤 い の で あ る.   この よ うな こ とを い う と,文 豪 ゲ ー テの よ うに,物 理 学 者 は 自然 の美 し さを だ い な しに して し まう な ど と批 難 す る人 もあ るが,物 理 学 的 な分 析 を理 解 した う え で も,日 の 出 や 日の 入 りの 太 陽,あ

るい は 虹 な どが美 しい こ と に変 わ りは な い. む しろ理 解 した う えで,こ の よ う な美 しさが あ る の を不 思 議 に 思 う気 持 ち は さ ら に 大 き くな る とい うの が ほ ん と うで あ る.

第17講 流体 力学 の方程式

―テー マ

  ◆ 流 体 と分 子  ◆ 応 力  ◆Tea

Time:水

と い う不 思 議 な物 質

流

体

  流 体 を分 子 の 集 ま りと考 え,流 体 力 学 の基 礎 方 程 式 を導 い て み よ う．流 体 中の 応 力 テ ン ソル や輸 送 係 数 な ど と分 子 の分 布 関 数 との 関 係 も形式 的 に導 か れ る.   質 量,運 動量,エ

ネル ギ ー な ど,体 系 の 一 般 の 物 理 量 を α と し,そ の平 均 を

(１)

(1') と書 こ う.こ

こ で,f(r,p,t)はＮ

個 の 分 子 を 含 む 体 系 の 分 子 関 数,ｒ

とｐ は Ｎ

個 の 分 子 の 位 置 と運 動 量 を 表 し

(２)

で あ る.

 α は時 間 を陽 に含 まな い量 で あ る とす る と 〈 α〉 の時 間的 変 化 は

(３) こ こで

(４)

と 書 く,全

エ ネルギーを (５)

と す る と,ｆ の 時 間 変 化 は (６)

を 満 た す.し

た が っ て α がｔ を 陽 に 含 ま な い と す る と

(７)

こ こ で ガ ウ ス の 積 分 定 理 を 使 っ た.  α を (８)

と す る と(こ

こ で,pkpｌ,はxy成

分 がpkxplyで

与 え ら れ る テ ン ソ ル)

(９)

よ っ て,一

般 に

〈G;f〉 を 略 して

〈Ｇ〉と書 く と

(10)

連続方程式  位 置r=(x,y,z)に

お け る 密 度 は,

(11)

で あ る ． 平 均 の 密 度 を ρ(r,t)と す る と

(12)  位 置 ｒに お け る運 動 量 は

(13) で あ り,そ

の 平 均 の 流 れ の 速 度 をu(r,t)と

す ると

(14) で あ る.(10)に

お い て α を(11)の

αdと す れ ば

(15) こ れ は連 続 方 程 式 で あ る.

運動方程式   分 子 間 力 の ポ テ ン シ ャ ル を φjkと し,外

力 が な い とす る と

(16) で あ る.(10)に

お い て α を(13)の

αm,と す れ ば(14)に

よ り

(17) を 得 る.こ

こ で 右 辺 の 第 １項 に お い て

(18) した が っ て

(19) た だ しこ こで

(20) は 流 れ に 相 対 的 な 運 動 量 ρj/m-uに

よ る応 力 テ ン ソ ル で あ る.ま

た(17)の

右辺

の第 ２項 にお い てｘ 成 分 は

(21) した が っ て

(22) ただ し

(23) こ こで ２体 密 度

(24) を 用 い る とr21=R,R=￨R￨と

して

(25) と書 け る.  運動 方 程 式 は結 局

(26) と な る.こ

こで

(27)

は 応 力 テ ン ソ ル で あ る.

粘  流 体 に 流 れu=(ux,uy,uz)が

性

あ る と き,ひ

率 ず み の速 さ を表 す テ ン ソ ル を

(28) とす る． ふつ うの液 体 で は粘 性 率 η と体 積 粘性 率 ψ を用 い て応 力 テ ン ソル σは

(29) で 与 え ら れ る わ け で あ る(ｐ は 圧 力,１

は 単 位 行 列).し

か し(20)と(25)か

ら

液 体 の粘 性 を導 き出 す厳 密 な 方 法 は得 られ て い ない.

Tea

Time

水 とい う不 思議 な物 質   第16講 のTea

Time欄 で 自然 の不 思 議 さに 感 嘆 す る と述 べ た が,水

とい う物

質 が あ るの も自然 の 大 きな不 思 議 さの １つ で あ る．   水 は 比 較 的 簡 単 な物 質 で あ る.そ れ はH20で

あ り,水 素 Ｈ は もっ と も簡 単 な

原子,酸 素 Ｏ も ８番 目に 簡単 な 原 子(原 子 番 号 ８)で あ る ．H20は

２つ の 原 子 核

と ８個 の 電 子 か らで きて い る簡 単 な分 子 の 代 表 の よ うな もので あ る.そ れが あ ら ゆ る生 物 の 生 命 を支 え て い る.水 が な か っ た ら この 地球 に生 物 は発 生 しなか っ た し,水 な しには 現在 の生 物 はす べ て生 き永 らえな い.水 は重 要 で あ る ば か りで な く,ほ か の 物 質 にな い多 くの不 思 議 な性 質 を もつ こ とで も知 ら れて い る.   よ く知 られ た 不思 議 な性 質 の １つ は,水 の 比 熱 が ほ かの 物 質 に比 べ て 大 き い こ と,氷 が 融 けて 水 に な る と体 積 が 小 さ くな り4℃ で密 度 が 最 大 に な る こ と な どが あ る.ふ つ うの物 質で は 固体 が 融 けて 液 体 にな る と体 積 が 増 え る し,温 度 を上 げ れ ば常 に膨 張 す る ので 水 は例 外 なの で あ る． 水 が塩 類 を よ く溶 か す こ と もほ か の 液 体 と違 う点 で あ る.   これ らの 水 の異 常 な性 質 の 多 くは,水 に 水 素結 合 とい う特殊 な結 合 が あ る こ と で 説 明 され る.水H2Oの 中 で 電 子 は Ｈ よ り も Ｏ に引 きつ け られ て い るの で,Ｈ はい くらか プ ラ ス イ オ ンに,Ｏ は マ イ ナ ス イ オ ン に近 い状 態 に な って い る.そ

し

て Ｏ は 隣 りの 水 分 子 の Ｈ を引 きつ けH20…OH2と

い う よ うな 結 合 をつ くる.こ

れ が 水素 結 合 で あ る.こ の 結 合 の た め氷 の 水 分 子 は まわ りに ４個 の 水分 子 を引 き つ け ダイ ヤモ ン ドな ど に似 た結 晶構 造 をつ くって い る． これ は 隙 間 の多 い構 造 で あ り,融 けて 水 に な る と,こ の構 造 が 崩 れ る と同 時 に 隙 間 に分 子 が入 り込 むの で 体 積 が 小 さ くな る.さ らに 温度 を上 げて も水素 結 合 が切 れ続 け る の で体 積 が縮 み 続 け る.他 方 で ふ つ うの 液 体 と同様 に熱膨 張 も起 こ る の で,こ れ らの変 化 が と も に起 こ る ため に結 果 と して4℃ で 密 度 が 最 大 にな るの で あ る.4℃

を超 え て も温

度 を上 げ る につ れ て 水 素 結合 は切 れ続 け,こ れ はエ ネ ル ギ ー を要 す る変 化 で あ る か ら,温 度 を上 げ るの に 余分 のエ ネ ルギ ー が必 要 とな る． こ れが ほか の 物 質 に比 べ て 水 の 比 熱 が 大 きい 原 因 で あ る.   水 はす で に 述 べ た よ う に部 分 的 に イ オ ン性 の性 質 を もつ の で イ オ ン性 の 食 塩 (Na+Cl-)な

ど とな じみ や す い.そ の た め 食塩 中 の イオ ンNa+とCl-は

食塩 と し

て結 合 して い る よ りも水 の分 子 と結 合 して ば らば ら に水 中 へ 散 らば ろ う とす る傾 向 が あ る.も

ちろ ん 食塩 と して固 ま って い た ほ うが エ ネル ギ ーは 低 い が,水 中 に

溶 け て 散 らば った ほ うが エ ン トロ ピー 的 に は得 なの で,食 塩 は あ る程度 まで 水 に よ く溶 け る とい う こ とに な るの で あ る.   水 が 重要 な物 質 な の に 水の 物 理 学 的 な研 究 が そ れ ほ ど進 ん で い な い の は,な ん とい っ て も水 の性 質 が きわ め て デ リケ ー トで あ る た め で あ ろ う． 水 の分 子H20 は分子 式 か らみ て もわ か る よ うに ３角形 の よ う な異 方性 が あ り,球 形 で は ない. 電 場 に よ る分 極 率 が 大 きい し,こ れ も異 方 性 が あ る.水 素 結 合 は 剛体 的 な イ オ ン 性 の構 造 で は な く,い わ ば感 じや す い構 造 で あ る と思 わ れ る.こ の よ うな水 分子 の性 質 を よ く取 り入 れて 理 論 をつ くっ た り,計 算機 実験 を行 った りす るの はた い へ ん むず か しい こ とで あ るに 違 い な い.デ リケ ー トで あ れ ば こ そ,水 は生 命 を生 み 育 て る こ とが で きるの で あ ろ う.   わ れ われ の科 学,技 術 は生 物 ほ ど うま く水 の性 質 を理 解 し利 用 して はい な い. いつ の 日か 水 を利 用 した エ レ ク トロニ クス が発 達 す る可 能 性 が あ るの で は な い か と思 う.

第18講 強 電解 質溶 液

―テー マ

 ◆ イ オ ン雰 囲 気  ◆ デ バ イ ーヒ ュ ッ ケ ル の 理 論   ◆Tea

Time:砂

糖 と塩

イ オ ン雰 囲気   た と え ば 食 塩NaClを オ ンNa+と

水 に 溶 か す と,濃

負 イ オ ンCl-と

度 が あ ま り高 く な い と き,NaClは

正 イ

に 完 全 に解 離 す る． この よ うに 完 全 に解 離 す る電 解

質 を 強 電 解 質 と い う ． デ バ イ(P.Debye)と

ヒ ュ ッ ケ ル(E.Huckel)は

強電 解 質

に お け る イ オ ン 間 の 相 互 作 用 効 果 を 巧 み に 取 り入 れ た 理 論 を つ く っ た(1923 年).こ

の 方 法 は 相 互 作 用 が ク ー ロ ン 力 の と き だ け 使 え る も の で あ り,直

も の で あ る が,現

感的 な

象 の 物 理 的 な 面 を 明 ら か に して くれ る 特 徴 が あ る.

  同 種 イ オ ン は た が い に 反 発 し,異

種 の イ オ ン は た が い に 引 き 合 う か ら,平

均的

に み て 各 イ オ ン の 周 囲 は 主 に 反 対 の 符 号 の 電 荷 の イ オ ン に よ っ て 囲 まれ,同

種の

イ オ ン は 遠 ざ け ら れ て い る で あ ろ う.こ い う.イ

の よ う な イ オ ンの 分 布 を イ オ ン 雰 囲 気 と

オ ン雰 囲 気 は 中 央 の 電 荷 を 遮 蔽 す る.

  種 類ｊ(電

荷ej)の

イ オ ン の １つ に 着 目 す る と,こ

気 と に よ る 電 位 ψjが そ の ま わ り に で き て い る.外 ば,イ

オ ン が 球 対 称 の と き,平

の イ オ ン とそ の 周 囲 の雰 囲

か ら電 場 が か か って い な け れ

均 の 電 位 ψjも 球 対 称 で あ る.イ

オ ン雰 囲 気 に よ

る電 荷 密 度 を ρjとす れ ば,ポ ア ソ ン方 程 式 (１)

が 成 り 立 つ.た

だ し溶 液 の 誘 電 率 を ε と して い る.単

ン が 平 均 と してnj個

あ る と し よ う.電

イオ

位 ψjの と こ ろ に お け る 種類ｉ の イ オ ン の

密 度 は ボ ル ツ マ ン 分 布niexp(-eiψj/kT)に はｉ 種 イ オ ン の 数 密 度).し

位 体 積 内 に 電 荷ejの

よ っ て 与 え ら れ る と し て よ い(ni

た が っ て ｊ種 イ オ ン の ま わ り の 雰 囲 気 の 電 荷 密 度 は (２)

で あ る.こ

れ を(１)の

右 辺 に代入 す れ ば (３)

とな る．   (３)は

非 線 形 で あ る が,着

と し て よ い.平

目 す る イ オ ン か ら 少 し離 れ た と こ ろ で はeiψj≪kT

均 と して 電 荷 が 打 ち 消 し合 う とす る と (４)

で あ る か ら,(３)を

線 形 化 す る とexp(-eiψj/kT)=1-eψj/kT+…

に より (５)

ただ し (６)

を得 る.雰 囲 気 が 球対 称 で あ る とす る と,着 目す る イ オ ンの位 置 を原 点 に とる と き(５)は (７)

と な る.  r→

∞ で ψj=0と

と す る.r→aで

し,ま

た 簡 単 の た め イ オ ン は す べ て 半 径ａ の 剛 体 球 で あ る

ψjが つ く る 電 場-dψj/drが

ク ー ロ ン 力 の 場ej/εr2に な る と 考

え られ る か ら (８)

こ の 境 界 条 件 の も とで(７)を

解 くと (９)

と な る.1/κ

は 長 さ の 次 元 を も ち デ バ イ の 長 さ(遮

蔽 距 離)と

呼 ば れ る.

熱 力 学 ポ テ ン シ ャル   も し もす べ て の イ オ ンが 電 荷 を失 った と した ら,溶 液 は 単 な る分 子性 の 希 薄溶 液 で あ る.こ の 状 態 か ら出 発 して 少 しず つ 帯 電 させ て 強 電 解 質 溶 液 に す る仕 事 Ｗ を求 め よ う.こ

の仕事 は イオ ンの電荷 に よる電気 的 な熱力 学 ポ テ ンシャル

(ギ ブ スの 自 由エ ネ ル ギ ー)に 等 しい.こ れ をGe(添

え字 ｅは電 荷 を意 味 す る)

とす る と

(10) で あ る.   イ オ ン の 電 荷 が λej(λ=0∼1)の る こ と に す る.雰

と き,さ

ら に 微 小 電 荷d(λej)=ejdλ

囲 気 に よ っ て イ オ ン の 表 面 に つ く ら れ る 電 位 は,ψjか

ン 自 身 に よ る 電 位 を ひ き 去 っ た も の,す

を添 加 す らイオ

なわ ち

(11) で 与 え ら れ る.し ら,電

か し,す

べ て の 電 荷ejが

λejで あ る と き に は κ も λ倍 さ れ る か

荷 を つ け 加 え て い く仕 事 は

(12) と な る.十

分 希 薄 な と き は κa≪1な

の で電 気 的 な仕 事 は

(13) で 与 え ら れ る.(13)に

お い てej2/(ε/κ)は

正 負 イ オ ン が デ バ イ の 長 さ1/κ を 格

子 間 隔 と す る 格 子 をつ く っ た と考 え た と き の イ オ ン 間 の 引 力 ポ テ ン シ ャ ル に 相 当 す る こ と を 注 意 し て お こ う.

浸

透

圧

  強 電 解 質 溶 液 は イ オ ンの電 荷 の 間の 相 互 作 用 の た め,イ

オ ンが 中 性 分 子 で あ る と き と異 な る浸 透圧 を

示 す.こ の 差 を求 め る た め,溶 質 は溶 媒 を通 し溶 質 を通 さな い 半 透 膜 で で きた ピス トンの 下 に 入 って い て,ピ

ス ト ン を下 げ れ ば 溶 液 は濃 厚 に な る とす る

(図24).ピ

ス トンを準 静 的(可 逆 的),等 温 的 に押

し下 げ る仕 事 は初 め の状 態 と終 わ りの状 態 だ け に よ り,途 中 の 過 程 に よ らな い.２ 通 りの 過 程 を 考 え る．   ま ず,強

図24

電 解 質 溶 液 の 浸 透 圧 を Ｐ(強)と

と,ピ ス トンで 強 電 解 質 溶 液 の 体 積 をV0か

する らＶ ま

で 等 温 的 に圧 縮 す る 仕事 は

(14) で あ る.   次 に,ま ず イ オ ンの電 荷 をす べ て 取 り去 って 中性 の分 子 に した と きの浸 透 圧 を P0と し,こ の 分 子性 溶 液 を半 透 膜 の ピ ス トンで 体 積V0か 後 に電 荷 を与 え る.電 荷 を与 え る仕 事 は(13)の

らＶ まで圧 縮 し,そ の

Ｗ で あ る.

  この ２つ の過 程 に要 す る仕事 は等 しい か ら

(15) とな る.こ れ をＶ で 微 分 す れ ば

(16) とな る.  イ オ ンの電 荷 を取 り去 っ て 中性 分 子 に した と きの 浸 透圧 は

(17) で あ る.ま

た(６)に

より

(18) と書 け るか ら

(19) したが って

(20) よ っ て(13)か

ら

(21) した が って 浸 透 圧 は

(22) とな る.こ の 右 辺 の 第 １項 は 分子 性 の 浸 透圧 で あ る.第

２項 は正 負 イ オ ン間 の 引

力 に よ る項 で あ る. 電 子 ガ ス の状 態方 程 式   前 節 で 扱 った 対 象 は 荷 電粒 子 の集 ま りで あ る プ ラ ズ マ や電 子 ガ ス と考 え る こ と もで き,こ れ らの 体 系 に も前 節 の計 算 や結 果 を適用 す る こ とが で きる.   電 子 ガス の 場 合 は前 節 の扱 い にお い て 正 イ オ ンは 一様 に塗 りつ ぶ し,負 イオ ン を電 子 と考 え れ ば よい.各 電 子 の近 くには電 子 が い く らか押 しの け られ て そ の密 度 が 薄 くな っ た雰 囲 気 が で き る こ とに な る.こ れ を特 徴 づ け る κは(６)の

代

わ りに(ε=1)

(23) と な る.こ

こ で,電

子 の 電 荷 は-eと

し て い る.(23)を(22)に

代 入 す れ ば,

希 薄 な電 子 ガス の状 態 方 程式 と して

(24) が 得 ら れ る.

Tea

Time

砂糖 と塩   水 ほ ど物 を よ く溶 か す 物 質 は な い ら しい． こ とに 砂 糖 を よ く溶 か す.砂 (シ ョ糖)は

炭 素 と水 素 と酸 素 の 化 合 物 で あ る.水 素 と酸 素 と は水H20と

あ る ため もあ って,水

と砂 糖 は たが い に よ くな じむ.水

糖

共通で

１に対 して砂 糖 ３ ぐらい

は平 気 で 溶 け る が,こ れ ほ ど砂 糖 が 多 くな る と水 に砂 糖 が とけ た の か,砂 糖 に 水 が 溶 けた の か,ど ち ら と もい え ない くらい で あ る.和 菓 子 の あ ん こな どの 甘 い 菓 子 類 は この よ うな水 と砂 糖 の 混 合 液 に 近 い.   水 に溶 け る とき,砂 糖 の 分 子 は そ の ま まで壊 れ な い.砂 糖 水 は代 表 的 な 分子 性 溶 液 で あ る.   食塩 水 もわ れ われ に と って な じみ深 い溶 液 で あ るが,食 塩 は塩 素 と ナ トリウ ム の 化 合物(塩 化 ナ トリ ウ ム)で あ って,水 と共 通 の 成 分 原子 は な い,水 に よ く溶 け る よ うに思 われ るが,砂 糖 に比 べ る と溶 け に くい し,温 度 を上 げ て も溶 け る量 (溶解 度)は あ ま り増 加 しな い.食 塩 の 水 溶 液 は分 子 性 で は な く,水 に 溶 け る と き食塩NaClは

ナ トリ ウム イ オ ンNa+と

塩 素 イ オ ンCl-と に分 か れ る.食 塩 水 は

代 表 的 な強 電 解 質 溶 液 で あ る.わ れわ れが 代 表 的 な分 子 性 溶 液(砂 糖 水)と 代 表 的 な電 解 質 溶 液 を と もに 日常 の調 味 料 と して い るの は お も しろ い こ とで あ る.   それ はわ れ わ れ の か らだが 糖 分 や 塩 類 を常 に必 要 と して い る こ と と関 係 が あ る の だ ろ う.血 液 の 中で は これ らが 流 れ て い る し,こ れ らが 足 りな くな れ ば 重 大 な 障 害 が 生 じ る.そ こで か らだ は糖 分 や 塩 分 を要 求す る し,こ とに甘 党 に と って糖 分 は魅 力(味 力?)が

あ る． しか し良 薬 口 に に が しの逆 で,糖 分 を と りす ぎる と

糖 尿 病 な どの こ わい 病 気 にな る.塩 分 も と りす ぎる と動 脈 硬化 な どの こ わ い病 気 に な る の で １日10g程

度 に き び し くお さ え.られ て い る.な ぜ,う

が あ る の か,と い う問 い は重 く受 け止 め な け れ ばな らな い.

ま い もの は害

第19講 ガ ウス の正規 分 布

―テー マ

 ◆ 線 形 格 子 の 振 動  ◆ 中 央 極 限 定 理  ◆Tea

Time:試

験 の成 績分布

線形格 子   一 様 な １次 元 格 子 を 考 え,左 Ｎ個 の 原 子(固 …

,N)が

端 は 固 定 さ れ て い る と す る.固

定 端 の 原 子 をn=0と

し,こ

定 端 か ら右 へ 順 に

れ か ら右 へ 順 に Ｎ 個 の 原 子n=1,2,

並 ん で い て,ｎ 番 目 の 原 子 の 座 標 をxn(x0=0)と

す る.隣

接 原子 間

に は 線 形 の 力 が は た ら く と し,そ の ポ テ ン シ ャ ル を

(１)

ただ し

(1') とす る.rは

い わ ゆ るバ ネ の 自然 の 長 さで あ る.

  こ の体 系 の 右 端 の 原 子n=Nが ル ツ マ ン因子 に比 例 し(β=1/kT)

圧 力 を受 け て い な い とす る と,原 子 の分 布 は ボ

(２)

で 与 え ら れ る(分

母 の 積 分 領 域 は す べ て のxjに

  と く に右 端 の 分 子n=Nの

つ い て,-∞

か ら+∞

ま で).

分布 は

(３)

で 与 え ら れ る.こ

こ で 積 分 変 数 をx1,x2,…,xNか

らr1,r2,…,rNに

変 え る.

この と き

(４)

と お く と ヤ コ ビ ア ンＪ は

(５)

と な る.し

た が っ て(３)の

分母 は

(６) と な る.   (３)の こ で(３)の 換)す

分 子 の 積 分 で はxNは

固 定 さ れ て い る の で 積 分 は や や 求 め に くい.そ

分 子 の 積 分 にe-r（xN-Nr）を か け てxNに

る とxN=r1+r2+…+rNに

よ り

つ い て も積 分(ラ

プラス変

(７) と な る.他

方で

(８) した が っ て(７)と(８)を

比 べ れ ば(３)の

分子 は (９)

で あ る こ とが わ か る.ゆ えに(３)か

らＮ 番 目の 原 子 の分 布 確 率 密 度 は

(10) で 与 え ら れ る こ と が わ か る.   【ブ ラ ウ ン 運 動 と の 関 係 】r=0,N∼tと

し

(11) と お け ば(10)は

(12) と な り,こ

れ は ブ ラ ウ ン 運 動 の 式(後

の 第22講(16)参

れ はｘ がＮ 個 の 偶 然 量 の 和x=xN=r1+r2+…+rNで

照)と

同 じで あ る.こ

あ るので当然 な ことであ

る.   【0＜j＜N番 度)も

目 の 原 子 の 分 布 】 上 述 の 格 子 上 のｊ 番 目 の 原 子 の 分 布(確

ま っ た く 同 様 に して 求 め ら れ る.こ

れ は(10)でＮ

率 密

をｊ で 置 き換 え た 式

(13)

で 与 え られ る. 誤 差 の和 の確 率 分 布  前 節 の取 り扱 い にお い てr=0と

す る と原 子 間 距 離ｒ は ガ ウ ス分 布(正 規 分 布)

(14) を も っ た 偶 然 量 で あ る(σ

は 分 散 と 呼 ば れ る)． 正 規 分 布 を す る 量 の 和 が や は り

正 規 分 布 をす る こ と は 容 易 に 示 され る.な

おg1(x)=g(x),σ2=1/β

α と して

(15) が 成 り立 つ.   これ らの問 題 で,原 子 間 距 離 や ス テ ップの 間 隔 は偶 然 量 で あ り,誤 差 も一般 に 偶 然 量 で あ る.常 識 的 に 考 え れ ば個 々 の 誤 差 の 分 布 が どの よ うな もの で あ っ て も,多 くの 誤 差 を加 え た もの の 分布 は ガ ウス の 正規 分 布 に近 づ くで あ ろ うと思 わ れ る.こ の 点 を少 し詳 し く扱 ってみ よ う.

特性関係   誤 差 あ る い は ス テ ッ プ がｘ とx+dxの の ス テ ッ プ でｘ とx+dx移 プ に よ る 移 動 がx2∼x2+dx2の

間 に あ る 確 率 をf(x)dxと

動 す る 確 率 をg(x)dxと

す る と,相

す る.２

回 目

次 ぐ ２つ の ス テ ッ

間 に あ る確 率 は

(16) で 与 え ら れ る.こ

こ で 現 れ た 積 分 をｇ とｆ の た た み 込 み と い い,g*fと

書 く.す

なわち

(17) g＊f=f＊gが   (17)の

成 り立 つ. フ ー リ エ 変 換 をつ く る と

(18)

す な わ ち た た み 込 みg＊fの

フ ー リ エ 変 換 は ｇ と ｆの フ ー リエ 変 換 の 積 で 与 え ら

れ る.   さ て,ラ つ 場 合,ｎ

ン ダ ム ウ ォ ー ク の 各 ス テ ッ プ の 移 動 が す べ て 同 じ確 率 密 度f(x)を ス テ ップ でｘ とx+dxへ

粒 子 が 移 動 す る 確 率 をW(x

,n)と

も

す る と

(19) と な り,そ

の フ ー リエ 変 換 は

(20) で 与 え ら れ る.

(21) を特 性 関 数 と い う.こ

こ で 各 ス テ ッ プ は だ い た い ±aの

歩 み を も つ と して

(22) とす る と

(23) した が っ て(20)に

より

(24) と な る.こ

れ か ら逆変 換 は

(25) を 与 え る こ と が 確 か め ら れ る.こ ウ ス の 正 規 分 布)で

れ は す で に 述 べ た ブ ラ ウ ン 運 動 の 確 率 分 布(ガ

あ る.

  こ の よ う に,ｎ 個 の 偶 然 量 の 和 はｎ を 大 き くす る に つ れ て ガ ウ ス 分 布 に 近 づ く こ と が 期 待 さ れ る.こ

れ を 中 央 極 限 定 理 と い っ て い る.

  し か し こ の 定 理 が 成 り 立 つ の は(23)で+… 場 合 だ け で あ る.こ ら れ る が,こ

と書 い た級 数 が 十 分 小 さ くな る

れ は リ ン デ ベ ル ク(Lindeberg)の

こ で は 省 略 す る こ と に した い.

条 件 と呼 ば れ る 式 で 与 え

 な お正 規 分 布

(26) の特 性 関 数 は

(27) で あ るが,平 均値 をｘ だ けず ら した

(28) の特 性 関 数 は

(29) で あ る.

Tea

Time

試験 の成績分布   弓 の 上 手 な 人 が射 た矢 は標 的 の 中心 の 近 くに 当 た る.多 数 の 矢 を射 て 統 計 を と れ ば矢 は中心 の まわ りに分 布 す る だ ろ う.中 心 を はず れ る の は ち ょっ と した 矢 を 放 つ タ イ ミン グや風 な どの偶 然 に よ る もの と解 釈 で きる.一 般 に偶 然 が 重 な った 結 果 は平 均値 の 近 くで 大 き く,平 均 値 か ら離 れ た とこ ろで 小 さ い頻 度 曲線,い わ ゆ る ガ ウ ス分布(吊

り鐘 型 の分 布)を す る と思 うのが 常 識 で あ る.確 率 論 で は こ

の こ と を中央 極 限 定理 とい うむず か しい 言葉 で表 す.   テ ス トや 試 験 の成 績 も ガ ウ ス 分 布 をす る こ と を期 待 す る 場 面 が 多 い よ うで あ る.ガ ウ ス分布 をす る と仮 定 して平 均 値 と分 布 の 幅(分 散)を 計 算 し,い ろい ろ な成 績 が 同 じ よ うな分 布 に な る よ う に採 点 を修 正 す る とい うこ とが 行 わ れ る こ と もあ る ら しい.   この よ うな 修正 は成 績 が そ れ ぞれ ガ ウス分 布 に似 た もの で あ る と きに 限 って 意 味 が あ る.   た とえ ば 数学 の先 生 が む ず か しい 問 題 を出 して 厳 正 に採 点 した とす る と,ほ と ん どの生 徒 が０ 点 か ０点 に 近 い点 を と る.こ の成 績 を棒 グ ラ フで 表 す と,ほ とん どが ０点 で あ る か ら Ｌ型 の グ ラ フが得 られ る．

 逆 にた い へ ん や さ しい問 題 を 出す 先 生 が あ まい採 点 を した とす る と,ほ とん ど の生 徒 が100点

に近 い点 を と るの で,棒

グ ラフ は Ｊ型 に な る.

 Ｌ型 や Ｊ型 は ガ ウス 分 布 に ほ ど遠 い もので あ る.こ の よ う な成 績 が 出 る よ うな 出題 はわ るい とい う人 もあ るが,よ

くで きる学 生,あ

るい は極 端 に で きな い学 生

を選 び出 す 方法 と して は都 合 が い い か も しれ な い.  物 理 の 成績 は う っか りす る と Ｌ型 に な る が,化 学 や 生 物 の成 績 は ガ ウ ス型 に な りや す い.そ の ため 入 試 に物 理 は き らわ れ る の だ とい う説 もあ る.

第20講 １次元 格 子 の 振 動

―テー マ

 ◆ 剛 体 球 の 気 体  ◆ 非 線 形 格 子  ◆Tea

Time:金

平糖

剛体球の気体   第19講

に引 き続 い て １次 元 物 質 に お け る原

子 の 分布 密 度 を考 察 す る.ま ず 原 子 は 隣接 原 子 間 に引 力 が は た ら く剛 体 球 で あ る と し,そ の 相 互作 用 の ポテ ン シ ャル を(図25) (１)

とす る.第19講 図25  剛 体 球 ポ テ ン シ ャル

に な ら い,体 系 に右 か ら圧 力

ｐ を加 え た とす る と,右 端 の 原子 の分 布 密 度 は

(２)

ただ し

(2')

そ こで特 性 関 数(上 式 右 辺 の分 母)は

(３) と な る.他

方で

(４)

し た が っ て(３)と(４)を

比 べ れ ば(２)の

分子 は (５)

で あ り,こ

れ を(３)で

われば (６)

を 得 る.   図26に

原子 の確率 分 布 を

示 した.

  簡 単 の た めp=0,σ=0, cβ=1と

お く と

図26  １次 元 格子 の動 径 分 布 関 数

(７) と な る.n=0とn=Nの

中 間 の原 子 につ い て は

(7') こ れ は ポ ア ソ ン(Poisson)分

布 で あ る.

(８) で あ っ てgj(x)は

た た み 込 み に 対 して 閉 じて い る.

指 数格子  隣接 粒 子 間 に(図27) (９)

を もつ 非 線 形 格 子(指 数 格 子,戸 田格 子)を 考 え る.特 性 関 数 は

(10) こ こ でr=p/kTと

し,y=e-br 

とお く と

(10') ただ し

(10") は ガ ン マ 関 数 で あ る.   【線 形 格 子 】b→0(ab=α=有 図27  指 数 型 ポ テ ン シ ャル

限)

の極 限 で

(11) で あ る か らス ター リ ング の公 式 に よ り

(12) し た が っ て(10')は

(13) こ こ でb→0,a→

∞,ab=有

限 の極 限 で

(14) を用 い れ ば

(15) と な る.こ

れ は α=abと

  【剛 体 球 分 子 】b→

お け ば 第19講(７)(N=1)と ∞ の 極 限 で はz≪1で

同 じ結 果 で あ る.

あ り,

(16) したが って

(17) こ れ は(３)で

σ=0と

お い た も の と同 じで あ る.

Tea

Time

金平糖   金 平糖(金 米糖)は 直 径1∼2cmぐ らい の,で こぼ この 角 の あ る砂 糖 菓 子 で あ る.こ の 菓 子 は16世 紀 半 ば に鉄 砲 の 伝 来 とほ とん ど時 を同 じ く して ポ ル トガ ル か ら伝 来 した.ル イ ス ・フ ロ イ ス とい う宣教 師が ギ ヤ マ ン(ガ ラス)の 容 器 に入 れ て 織 田信 長 に献 上 した のが 始 ま りで あ る とい う.そ の 形 の 不 思 議 さ にお どろ い た 日本 人 が宣 教 師 な ど に製 法 を聞 い た が わ か ら なか った の で 日本 人 は 苦心 して独 自に 製法 を発 見 した.明 治 ・大 正 の ころ まで 貴 重 な 菓子 で あ り,金 平 糖 をつ くる 特 別 な職 人が あ っ た と い う こ とで あ る.井 原 西 鶴 の 著 『日本永 代 蔵 』 に西 鶴 が 聞

い た 金 平糖 の 製 法が 書 か れ て い る し,寺 田 寅 彦 の 随筆 に も聞 い た話 と して 製 法 が 書 か れ て い る.こ れ らの 叙 述 に よれ ば,ゴ マ か ケ シ の種 子 に砂 糖 をつ け た もの を 多 数 な べ に 入 れ て,そ れ に砂糖 水 を と きお りか け な が ら火 の上 で か き まわ して 水 分 を蒸 発 させ る． こ れ を長 い 時 間 繰 り返 す と金平 糖 の角 が 育 って 立 派 な 菓子 が で き る.   あ る と き大 学 の 同僚 と語 ら って 実 際 に金 平 糖 を つ くっ て み た.平 た い なべ を 30゜ ぐ らい傾 けて １分 に １回 ぐ らい 回転 させ て 上 述 の よ うな方 法 で や っ て み た と ころ わ りに 簡単 に金 平 糖 をつ くる こ とが で きた.   そ の 後,放 送 大 学 の 仕事 で 金平 糖 の工 場 へ 行 き実 地 に製 造工 程 をみせ て も ら う 機 会 を得 た.   金平 糖 が で きる過 程 で は何 千 とい う粒 が い っせ い に育 って 金 平糖 に な る.多 数 の粒 は なべ の 中で ごろ ご ろ とこ ろが りな が ら砂 糖 を たが い に取 り合 い なが らい っ せ い に大 き くな るの で あ る.金 平 糖 の角 は 出 っ張 って い るの で砂 糖 が くっつ く確 率 が大 き く,そ こは 水 分 が蒸 発 しやす い か ら速 く固 ま る.そ の た め に角 は ど ん ど ん成 長 す る,と い うわ け で あ ろ う.   こ れ は一 種 の 拡 散 過 程 と して理 論,あ

る い はパ ソ コ ンで取 り扱 うこ とが で きる

だ ろ う.し か し金 平糖 の粒 が たが い に砂 糖 水 を取 り合 う多体 問 題 的 な過 程 はそ う い う計 算 で は扱 えそ う もな い.   金 平 糖 の 成 長 を実験 的 に直 接 調 べ るの に は ３次 元 的 な金 平 糖 で な く,次 元 数 を 低 く した実 験 が で きる とい い と思 う.ち

くわ か何 か の よ うな形 の金 平糖 はつ くれ

な いか,と い う こ とで あ る． そ の よ う に次 元 を低 くす る こ とが で きれ ば,金 平糖 が 成 長 す る過 程 を逐次 調 べ るの が 容 易 に な る と思 う し,金 平 糖 の思 い が けな い 応 用 も開 け るか も しれ な い と思 うの で あ る.

第21講 重 い原 子 の運 動

―テー マ

  ◆ １次 元 格 子 の振 動   ◆ ブ ラ ウ ン運 動 との 関係  ◆Tea

Time:防

波 堤 の パ ラ ド ック ス

格子 振動   １次 元 結 晶 の 格 子 点 の １つ に質 量 の 大 き な不 純物 原 子 が あ る と,こ の原 子 は ま わ りの軽 い 原 子 に よ る振 動 力 を受 け る た め に ブ ラ ウ ン運 動(第22講

参 照)に 似

た運 動 をす る.こ れ を明 らか に し,不 純 物 原子 の 質量 を非 常 に大 き く した 極 限 で の運 動 が 実 際 にブ ラ ウ ン運 動 とな る こ と を示 そ う.   まず 一 般 的 に結 晶格 子 の 振 動 を扱 うた め,原 子 に番 号 づ け を して お き,ｊ 番 目 の原 子 の 変化 をｊ成 分 とす るベ ク トル をu(t)と ｊの 質 量mjで

す る.Ｍ

をｊ番 目の 成 分 が原 子

あ る よ うな 対 角 行 列 と し,Ｋ を原 子 間 の 力 を 表 す 対 称 行 列 とす る

と,運 動 方 程 式 は (１)

と書 け る.こ

こで 変 換

(２)

を行 え ば(１)は (３) と な る.さ

ら にｘ の 変 化 速 度 を (４)

で 導 入 しよ う.  ∧ を対 角 行 列 にす る 主軸 変 換(x,p)→(X,P)を

(５)

と し,ｎ 番 目の 固 有振 動(モ

ー ド)の 振 動 数 を Ωnと 書 け ば,運 動 方 程 式 は (６)

と な る の で,そ

の解 は

(７)

で 与 え られ る.   固 有 振 動 の初 期 値 は 温 度 Ｔ の 正 準 分 布 を して い て,た が い に独 立 で あ る とす る と,平 均 値(集 団 平均)は

(８)

で 与 え ら れ る.こ

の と き と く に ０番 目 の 原 子(j=0)に

着 目 して

(９)

とす る と

(10)

と な り,t=t'と

おけば

(11)

ただ し

(12) と な る.し

た が って相 関 関係 は

(13)

と書 け る ． た だ し こ こ で

(14) と お い た.   【 初 期 条 件 】(５)に

お い て す べ て のｎ に 対 しXn(0)=0,Pn(0)=c0nと

お く

と

(15) と な る.こ の で,j=0に

の と き は(７)に 対 して

よ りXn(t)=c0nsinΩnt/Ωn

,Pn(t)=c0ncosΩntな

(16)

した が っ て(14)のX(t)はt=0に =0だ

け がp(0)=1の

お い て す べ て の 原 子 が 静 止 して い て,原

速 度 を与 え ら れ た と き の 原 子j=0の

運 動(変

位)を

子 ｊ

意味す

る.

１個 の 重 い 原 子 の あ る １ 次 元 格 子

  2N+1個

の 原 子 か ら な る １次 元 格 子 を 考 え,原

… ,0,1,2,…,Nと

す る.中

央 の 原 子j=0だ

子 の 質 量 は す べ てｍ で あ る と し,相 る と す る.j番

目 の 原 子 の 変 位 をujと

子 の 番 号 をj=-N,-N+1, け が 質 量 Ｍ を も ち,ほ

隣 る 原 子 間 の 力 の 定 数Ｋ

かの原

は す べ て 同 じで あ

し

(17) とお くと運 動 方 程式 は

(18)

と 書 け る.こ

こ で∧'は

(19)

た だ し Ｋ を力 の 定 数 と して

(20)

とお い た．   こ こ で∧'の 一 部 を対 角 化 す る 変 換

(21)

を行 う と,運 動 方 程 式(18)は

(22) と な る．(22)を(３)と

考 え て(５)を

適 用 す る.た

だ しこ こで

(22')

で あ る.(22)は

図28の

  初 期 条 件(15),(16)を

よ う な 体 系 を 表 して い る. 与 え た と き,重

で 与 え ら れ る． こ こ でC0nとΩnは(22)に

図28

い 原 子(j=0)の

運 動 は(14)のX(t)

よ り定 め ら れ る.す

図29

な わ ち,モ

ー ド

ｎに 対 して(22)は

(23)

を与 え,さ

ら に(５)に

より

(23') で あ る,(23),(23')か

らΩnとc0nは

(24)

で 与 え ら れ る(図29参   (24)の

第 １式 の 右 辺 はΩn2→

式 に よ り,ωs=0と か らΩnも

照).

ωs=ωL=4γ

こ の 間 で 準 連 続 で,そ

た が っ てN≫lの

ωs2と す る と 無 限 大 に な る.ωsは(22')の の 間 で(N≫1の

と き)ほ

第 １

とん ど連 続 で あ る

の 値 は ωsに よ っ て 与 え ら れ る と し て よ い.し

とき

(25) であ り

(26) あ るい は

(27) ゆ え にΩ ∼Ω+dΩ の 間 にあ る固 有振 動 の数 は

(28)

で 与 え られ る.  他 方 で次 の節 で 示 す よ うに(24)の

第 ２式 か らはN≫1の

とき

(29) を 得 る.し

た が っ て 重 い 原 子 の 運 動(変

位)は(14)に

よ り

(30) で 与 え ら れ,(28),(29)を

用 いて

(31) と な る.た

だ し

(31') と お い た(Q＞0と Rubin),武

し て い る).(31)は

野 正 三,戸

ヘ ン マ ー(C.Hemmer),ル

田 に よ り少 し ず つ 違 う 方 法 で 導 か れ た.こ

ビ ン(R.J. こ で述 べ た の

は 戸 田 に よ る 方 法 で あ る.   ここで

とお け ばQ≫1の

場合

(32) を 得 る.さ

ら にν は ０ に な る こ と が 示 さ れ る.す

なわち

(32')  (10),

(14)に

よ り

(33) し た が っ て と くにQ≫1の

と き は(32)に

よ り

(34) と な る.こ

れ はQ≫1の

と き に 中 央 の 重 い 原 子 は マ ル コ フ 的(第25講

ブ ラ ウ ン 運 動 を す る こ と を 示 して い る.

参 照)な

(29)の   【 証 明 】(22')に

証明

よ り

(35) し た が っ て(24)に

お いて

(36)

(37)

で あ る.こ れ を書 き直 す た め に恒 等 式

(38) の対 数 をｘ で 微 分 す れ ば

(39) この 場 合

を得 る.

(40) な の でN≫1の

とき

(41) 他 方 で(24)の

第 １式 で ω02=2γm/Mな

の で(24),(41)か

ら

(42) ま た(41)を

Ω2で 微 分 す る と

こ

(43) (42),(43)を

用 い て(24)の

第 ２式 を 書 き 直 せ ば(29)が

Tea

得 ら れ る.

Time

防波 堤 の パ ラ ドッ ク ス   ２つ の物 体 を触 れ させ て お く と,や が て 等 しい温 度 に な る.こ の と き,温 度 が 高 い ほ うの物 体 の分 子 運 動 が 温 度 の低 い物 体 の分 子 運 動 よ り も激 しい の で,前 者 が 後 者 を刺 激 して しだい に同 じ激 し さに な る わ けで あ る.   さて 海 の波 が 激 しい と き,船 を守 る た め に防 波 堤 が つ く られ る.防 波 堤 の 内部 は波 が静 か に な るの で あ る.し か し波 の激 しさ を熱 運動 の激 しさ にた と え れ ば わ か る よう に,も

し長 い 間,防 波 堤 の外 の波 の 激 しさが続 くな らば,防 波 堤 の 中の

波 は しだ い に 激 し くな っ て,そ の う ち に 防 波 堤 の 外 も内 部 も同 じ波 の 激 し さ に な っ て しま うだ ろ う.し か し実 際 に は防 波 堤 は け っこ う役 に立 って い る.   この パ ラ ド ックス は,防 波 堤 の 外 の 波 の 激 し さが 十 分 長 くは 続 か な い こ と と, 防波 堤 の 中 の 海 の浅 い と こ ろで 波 の エ ネル ギ ー が吸 収 され る こ と,さ らに テ トラ ポ ッ トな どが こ の 目的 の ため に置 か れ て い る こ とな どが あ げ られ る で あ ろ う.防 波 堤 で 囲 まれ た港 の 領 域 は常 に外 部 に 比べ て い わ ば低 温 に 保 た れ て い る わ け で あ る.   防 波堤 に 限 らず,防 壁 にた とえ られ る もの は これ に似 た機 構 の ものが 大 部 分 で あ ろ う.関 税 の 防 壁 な どが こ れ で あ る.

第22講 ブ ラ ウ ン運 動

―テー マ  ◆

ラ ン ダ ム ウ ォー ク

 ◆

拡 散

 ◆Tea

Time:ジ

ャ ン ・ペ ラ ン と 分 子

ブ ラ ウ ン運 動   Ｒ.ブ ラ ウ ン(Robert 1858)は

Brown,1773-

ス コ ッ トラ ン ドの 植 物 学 者 で 細 胞

核 の 発 見 で も 有 名 で あ る が,1827年

に液

体 中 の 花 粉 を顕 微 鏡 で 観 察 して い た と き に,花

粉 か ら 出た 微 粒 子 が 不 規 則 な ジグザ

グ 運 動 を して い る こ と を 発 見 した.こ ブ ラ ウ ン 運 動 の 発 見 で あ る(図30).彼

れが は

こ れ は 花 粉 が 生 き て い る た め と 考 え た が, 液 体 中 の 炭 の 微 粒 子 な ど の 無 機 物 質 も同 様 の 運 動 を す る こ と や,光

の 当 た らぬ 暗 い と

ころ に置 い て もこ の運 動 は衰 え な い こ と も わ か っ た.気 図30  ブ ラ ウ ン運 動

体 中 の タバ コ の 煙 な ど もブ ラ

ウ ン 運 動 をす る.ブ

ラ ウ ン運 動 は 微 粒 子 が

小 さ い ほ ど 激 し く,温 度 が 高 い ほ ど 激 しい.ま 小 さ い ほ ど激 し い.1905年 フ ス キ ー(M.von

た液 体 や 気体 な どの 媒 質 の 粘性 が

に は ア イ ン シ ュ タ イ ン に よ り,1906年

Smoluchowski)に

よ っ て 理 論 的 に 扱 わ れ,ブ

にはスモル コ ラ ウ ン運 動 は 媒

質 の 分 子 が 微 粒 子 に 衝 突 し て 起 こ す 現 象 で あ る こ と が 明 ら か に さ れ た.こ

こで は

まず 模 型 的 に ブ ラ ウ ン運 動 を 扱 う こ と に す る.

１次 元 の ラ ン ダ ム ウ ォ ー ク   １次 元 の 一 様 な 格 子 を 考 え,そ

の 格 子 点 の 上 に １個 の 粒 子 が あ る と す る.粒

は １ス テ ッ プ ご と に 右 隣 りか 左 隣 りへ,そ 不 規 則 な 移 動 を ラ ン ダ ム ウ ォー ク(不 格 子 点 に あ っ た 粒 子 が,ｎ

れ ぞ れ1/2の

規 則 な 歩 き,酔

確 率 で 移 る.こ 歩)と

い う.初

子

の よ うな め に原 点 の

ス テ ッ プ の 後 に 格 子 点ｌ に く る 確 率 をW(l,n)と

す る

と

(１)

で 与 え ら れ る.l,n≫1と

す れ ば,こ

れ はｌ に 対 す る ガ ウ ス 分 布 (２)

で 近 似 で き る.(１)を

２項 分 布 あ る い は ベ ル ヌ ー イ(Bernoulli)分

  【証 明 】ｎ ス テ ッ プ の 中 で 右 へ 進 む ス テ ッ プ の 回 数 を ｓと し,左

布 と い う. へ 進 む ステ ッ

プ の 回 数 をs'と す る と (３)

で あ り,こ の と き粒 子 が右 へｌ格 子 点 移 動 した とす る と (４) こ れ は ｓ(あ る い はs')を

決 め れ ば 定 ま る.し

た が って初 め に 原 点 にあ っ た粒 子

がｎ ス テ ッ プ の 後 に 格 子 点ｌ に く る確 率 は,ｎ

ス テ ッ プ の 中 か ら ｓ(あ る い はs')

を選 ぶ 方 法 の 数(ns)に

比 例 す る ． す な わ ちＡ を 定 数 と して (５)

た だ し こ こ で(３),(４)に

より (６)

で あ る ．(ns)は(1+x)nを

展 開 した と き に 現 れ る ２項係 数 で あ る ． す な わ ち (７)

し た が っ てx=1と

お くと (８)

よっ て全 確 率 を １に規格 化 す る と(４)を

参照 して (９)

ゆ え に(５),(６),(９)か

ら(１)が

得 ら れ る.

 次 に ス ター リン グの公 式

(10) を 使 う とs→

∞,￨l￨≪nと

して(１)か

ら

(11)

を 得 る.さ

ら に￨l￨≪nと

して い る の で

(12) こ れ を(11)に

入 れ て整 理 す る と

(13) と な る の で(２)が

得 ら れ る.

分布確率  相 隣 る 格 子 点 の 間 の 距 離(１ 時 間 間 隔 を τ と す る.こ

こで

ス テ ッ プ の 長 さ)をａ

と し,相

次 ぐス テ ップ 間 の

(14) (14') と お き,さ

らに

(15) と お い て Ｄ を拡 散 率 と い う.こ

れ を 用 い る と(２)は

(16) と書 け る.こ

れ は 初 め にx=0に

あ っ た 粒 子 が 時 間ｔ の 後 にｘ とx+Δxの

間 にあ

る確 率 を 与 え る.   【証 明 】(２)に

お い てｎ が 偶 数 か 奇 数 か に よ っ て,ｌ

した が っ て ス テ ッ プ ｓを 決 め た と き,範 点 の 数 はΔx/2aで

あ る(Δxはａ

に く る 確 率 密 度 をW(x,n)と

囲Δx内

も偶 数 か 奇 数 で あ る.

に粒 子 が くる こ とが で き る格子

は 比 べ て 十 分 大 き い とす る)． そ こ で 粒 子 がｘ

す る と関係

(17) が 成 り立 つ.し

た が っ て(２)に

よ り

(18) を 得 る.こ

こ で(15)を

用 い れ ば(16)が

得 ら れ る.な

お(16)は

た しか に規 格

化 され て い る． なぜ な ら ば

(19) こ れ に よ り(17)を

導 い た 考 察 の 正 しか っ た こ と も確 か め ら れ る.

  【 特 性 関 数 】 １ス テ ップ(長

さａ)の 確 率 分 布 は

(20) で あ る か ら特性 関 数 は

(21) と な る.(18)に

よ れ ばｎ ス テ ッ プ に 対 し

(22) し た が っ て ２項 ま で と る と き

(23) が確 か め られ た.

３次 元 の 場合   初 め 原 点 に あ っ た 粒 子 が 時 間ｔ の 後 に 領 域x∼x+Δx,y∼y+Δy,z∼z+Δz 内 に あ る確 率 は

(24) で 与 え ら れ る ． こ こ で １ス テ ップ の 長 さ の ２乗 平 均 をa2,１

秒 間 の ス テ ップ数 を

1/τ と す る と き

(25) で あ る.Ｄ

は こ の 場 合 の 拡 散 率 で あ る.

  【 証 明 】(16)を

３次 元 的 に 重 ね れ ば よ い.す

な わ ち(15)を

参 照 して

(26) こ の 場 合 は １ス テ ッ プ で 各 方 向 へ い け る の で １ス テ ッ プ の 成 分 をｘ，ｙ,ｚ と し, 各 成 分 の ２乗 平 均 をx2,y2,z2と

す れ ば,１ 次 元 の ス テ ッ プａ との 関 係 は

(27)

で あ る ． し た が っ て ３次 元 的 な １ス テ ッ プ の 長 さ の ２乗 平 均 は

(28) これ をa2と 置 き直 せ ば よい． す なわ ち

(29) したが っ て

(30) と書 き直 せ ば(15)か

ら(25)が,(26)か

ら(24)が

得 ら れ る.

平均到達距離   【１次 元 の 場 合 】 初 め 原 点 に あ った 粒 子 がｋ ス テ ップ の 後 に きた 格 子 点 をxk と し,最 後 にｎ ステ ップの 後 に きた格 子 点 をxnと す る.

(31) ただ し

(31') した が っ て 到 達 点xjの

２乗 の 平 均 をxj2と す る と

(32) こ こで 各 ス テ ップ の長 さ はａ で あ る か ら

(33)

ま たk〓k'の

と きxk-xk-1,xk'-xk'-1そ

れ ぞ れ 独 立 に ±aの 値 を と る か ら

(34) したが って

(35)

で あ る．   (２)を

使 っ て も 同 じ結 果 を 得 る.こ

の とき は

(36) で あ る.(２)に

よ り

(37)

こ こ で α=1/2nと

お くと

(38) α=1/2nに

よ り,1/2α=nで

あ る か ら

(39) と な り,(35)と

一 致 す る.

 さ ら に(14),(15)に

く と(39)は

よ りt=nτ,D=a2/2τ

と お き,到

達 距 離xnをｘ

と書

１次 元 の と き

(40) と な る.   【２次 元 の 場 合 】 各 ス テ ッ プ が ２次 元(x,y)平

面 内 で 任 意 の 方 向 を 向 く と し,

ｋ 番 目 の ス テ ッ プ がｘ 軸 と な す 角 を θkと す る と,ｎ ス テ ッ プ で 達 す る 位 置 のｘ 座 標xnは(図31)

(41) と な る.た

だ し各 ス テ ップ の 長 さ は 等 し く,ａ で あ る と し た.各

は任 意 で あ る か ら,平

均値 は

ス テ ップ の方 向

 

(42) した が っ て

(43)   ス テ ッ プ の 長 さａ が ま ち ま ち で あ っ て も,上

式 のa2を

よ い.ｙ

平 均 値a2で

置 き換 え れ ば

方 向 につ い て も同様 で あ る か ら

(44) 【３ 次 元の場 合】 場 合,ｎ

同 様 に して,３

図31

次元 の

ス テ ップ に よ る 変 位 を(xn,yn,zn)と

す る と

(45) と な る． こ こ で(26)に

よ り

(46) で あ り,変

位xn,yn,znをｘ,ｙ,ｚ

と 書 け ばt=nτ

に よ り(45)か

ら

(47) を 得 る.

Tea

Time

ジ ャ ン ・ぺ ラ ン と 分 子

  ブ ラ ウ ン運 動 を発 見(1827年)し

た の は イ ギ リ ス の植 物 学 者 ロバ ー ト ・ブ ラ

ウ ンで あ る.彼 は顕微 鏡 を使 っ て花 粉 の 中 か ら出 て くる小 さな粉 を観 察 して い た とい う.花 粉 自体 で は な い ら しい,そ の小 さ な粉 が 活 発 に ジ グザ グな 不規 則 運 動

を す る の を み た の で あ る.   花 粉 は 生 命 を もつ 植 物 の も の で あ る か ら,花

粉 か ら 出 た 小 さ な 粒 も生 命 を も っ

て い る の で 動 き ま わ る の だ と考 え る 人 も 多 か っ た.ま

た 液 体 中 の 小 さな 対 流 に

よ っ て 動 く と も考 え ら れ た.し

か し暗 い と こ ろ に 長 い 間 放 置 し て も そ の 運 動 は 衰

え な か っ た.ま

物 の 粉,煙

わ か り,生 れ,ブ

た 化 石 の 粉,鉱

の 粒 子 ま で も 同 様 の 運 動 をす る こ とが

命 の ない 小 さな粒 子 で も一 般 に こ の よ うな 運 動 をす る こ とが 認 め ら

ラ ウ ン運 動 と 呼 ば れ る よ う に な っ た.

  ブ ラ ウ ン運 動 を す る 微 粒 子 の エ ネ ル ギ ー が,分 配 の 法 則 を 満 た す で あ ろ う と 考 え て,粒

子 と同 じ よ うに エ ネ ル ギ ー等 分

子 の時 々刻 々の位 置 を観測 して そ の エ ネ

ル ギ ー を 求 め よ う と す る 試 み も あ っ た が,微

粒 子 の 運 動 は い く ら細 か く 観 察 して

も ジ グ ザ グ 運 動 で あ る(い わ ゆ る フ ラ ク タ ル で あ る)の で,こ   ア イ ン シ ュ タ イ ン は,微 し,変

の 試 み は 失 敗 し た.

粒 子 の 運 動 エ ネ ル キ ー で な く,微

粒 子 の 変 位 に着 目

位 の ２乗 の 平 均 が 時 間 に 比 例 す る こ と を 導 い た(1905年).そ

は 微 粒 子 の 大 き さ,ま 数 で 与 え ら れ る.微

わ りの 媒 質 の 粘 性 率,お

の比 例 係 数

よ び微 粒 子 の運 動 エ ネル ギ ー の 関

粒 子 が エ ネ ル ギ ー 等 分 配 の 法 則 に 従 う と す る と， そ れ は 気 体

定 数 と ア ボ ガ ドロ 数(1molの

分 子 数)の

比(ボ

ル ツ マ ン 定 数)に

比 例 し,絶

対

グ ッ タペ ル カ 樹 脂(ガ

ン

温 度 に 比 例 す る.   ジ ャ ン ・ペ ラ ン(Jean ボ ー ジ 樹 脂(乳

Baptiste Perrin,1870-1942)は

香 樹 脂)と

書 い た 本 も あ る)の

シ ュ タ イ ン の 理 論 を 確 か め て,こ Tea Time欄

参 照).彼

球 を微 粒 子 と して使 っ て ア イ ン

れ か ら ア ボ ガ ド ロ 数 を 推 定 し た(第23講

は ま た 微 粒 子 の 沈 降 平 衡(水

ど の 濃 度 が 下 の ほ う ほ ど 大 き く な る こ と)か

よ り も比 重 の 大 き い 微 粒 子 な

ら も ア ボ ガ ドロ 数 を 算 出 した.こ

ら の 別 々 の 方 法 に よ る ア ボ ガ ドロ 数 が 一 致 した こ と は,熱 い う説 の 証 拠 と考 え ら れ,分

に 加 わ り,亡

れ

が エ ネル ギ ー で あ る と

子 の 存 在 に 対 す る 強 い 支 持 を 与 え る も の と な っ た.

  ジ ャ ン ・ペ ラ ン は こ れ よ り前 に,陰 行 っ た こ と(1895年)で

の

極 線 が 負 の 電 荷 を もつ こ と を 示 す 実 験 を

も 有 名 で あ る.後

年 彼 は 急 進 的 な 左 翼 と して 政 治 運 動

命 先 の ニ ュ ー ヨ ー ク で 死 ん だ.

  ジ ャ ン ・ペ ラ ン の 息 子 フ ラ ン シ ス ・ペ ラ ン も物 理 学 者 で 陽 電 子 の 研 究 な ど で 知 ら れ て い る.

第23講 拡 散 方 程 式

―テー マ

 ◆ 確 率 分 布  ◆ 拡 散 方 程 式  ◆Tea

Time:分

子 を数 え る

ラ ン ダ ム ウ ォー クの確 率 密 度   １次 元 の ラ ン ダム ウ ォー ク をす る １個 の粒 子 の 場 合,粒 子 が 右 隣 りお よ び左 隣 りの格 子 点 へ 移 る確 率 が それ ぞれ1/2で ｌに あ る確 率 をW(l,n)と

あ る と し,ｎ ス テ ップ 後 に粒 子 が格 子 点

す れ ば,こ れ は差 分 方 程 式 (１)

を満 た す.こ こ で初 期 条 件 と して粒 子 が 初 めs=0の

と き原 点 にあ った とす れ ば (２)

で あ る． こ の初 期 条 件 の も とに(１)の

解は

(３)

で 与 え ら れ る(こ   【 証 明 】(３)か

れ は す で に 第22講 ら

で 与 え た も の で あ る).

(４)

こ れ ら を ２で わ っ て 加 え れ ばW(l,n)と

な る.

拡散方程式  (１)を

書 き直 す と (５)

と な る.こ

こ で １秒 間 の ス テ ッ プ 数 をn=1/τ,格

子 点 の 間 隔 をａ と し

(６)

と書 き直 す と

(７) し た が っ て τ→0,a→0の

極限で (８)

を 得 る.た

だ し (９)

で あ る.   独 立 に運 動 す る Ｎ 個 の 粒 子 が そ れ ぞ れ ラ ンダ ム ウ ォー ク をす る場 合

(10) と お け ば,ρ(x,t)は

粒 子 数 の 確 率 密 度,す

な わ ち 濃 度 で あ る.(８)か

ら その 変

化 を表す式 (11) を得 る.こ の 形 の方 程 式 を拡 散 方 程 式,あ

るい は 熱伝 導 方 程 式 と い う.

３次元 の 場 合  ３次 元 に拡 張 す れ ば単 一格 子 を考 え る と き(５)の

代 わ りに

(12) を 得 る.こ

こ で 格 子 点 の 間 隔 をａ と し て

(13) と 書 く.τ →0,a→0の

極 限 を とる と

(14) を得 る.こ

こで

(15) で あ る.こ

の 場 合,各

２乗 の 平 均 をa2と

ス テ ッ プ の 長 さ は か な ら ずａ な の で,１

ス テ ップ の長 さの

す ると

(16) で あ る.し

た が っ て,拡

散率 は

(17)

と書 け る.   独 立 なＮ 個 の 粒 子 の 濃 度 を ρ(x,y,z,t)と

す る と,３ 次 元 の 拡 散 方 程 式 は

(18) と な る.

Tea

Time

分 子 を数 え る   す で に第22講 のTea Timeで 述 べ た よ うに ア イ ンシ ュ タ イ ン ら に よ る ブ ラ ウ ン運動 の 理 論 を実 験 的 に検 証 した の はペ ラ ンで あ った.彼 は樹 脂 の微 粒 子 をつ く って遠 心 分 離 器 で 大 き さ をそ ろ え て 液体 中 に懸 濁 させ て,２ 種 類 の実 験 を行 っ た(1908年).  １つ は 懸 濁 粒 子 の数 の重 力 下 に お け る分 布 は下 ほ ど濃 厚 で あ る が,こ れが ボ ル ツ マ ン分 布

で 与 え ら れ る こ と で あ る.た 絶 対 温 度,ｇ ひ い た"有

は 重 力 加 速 度,ｚ 効 質 量"で

1.6×10-16erg/℃ NAと

す る とNA=R/kで

だ し こ こ で,ρ0は

定 数,ｋ

は 高 さ で あ り,m'は

は ボ ル ツ マ ン 定 数,Ｔ

は

微 粒 子 の質 量 か ら浮 力 を差 し

あ る． ペ ラ ン は こ の 実 験 か ら ボ ル ツ マ ン 定 数 と し てk=

を 得 た.気

体 定 数 をＲ,ア

あ る か ら,既

ボ ガ ドロ 数(1mo1中

知 の 値R=8.317×107erg/℃

の 分 子 数)を を用 い る と ア

ボ ガ ド ロ 数 と して

を 得 る.

  第２ の方 法 は,粒 子 の変 位 と時 間 との 関係

を用 い る.微 粒 子 の 半 径ｒ(液 中 を微 粒 子 が 落 ち る速 さか ら求 め た)と 媒 質 の粘 性 率 η を測 れ ば 多 数 のx2とｔ の 観 測 値 か らボ ル ツマ ン定数ｋ が 求 め ら れ,上 同様 に して ア ボ ガ ドロ数NA=R/kが

算 出で きる.こ の 方 法 でペ ラ ンが得 た値 は

と

で あ っ た.   こ の よ う に ま っ た く違 う 方 法 で 求 め た ア ボ ガ ドロ 数 の 値 が よ く 一 致 し た こ と は,ア

イ ン シ ュ タ イ ン ら の 理 論 が 正 し い こ と の 有 力 な 証 拠 で あ り,分

多 くの 人 に 納 得 させ る もの で あ っ た.ペ

ラ ンが書 い た

あ る.   現 在,い

ろ い ろ な 実 験 か ら,ア

と さ れ て い る.

ボ ガ ドロ数 は

子の存在 を

『 分 子 』 と い う 本 も有 名 で

第24講 拡散率 と易動度

―テー マ

 ◆ ア イ ン シ ュ タ イ ンの 関 係 式  ◆ 流 れ の あ る 拡 散  ◆Tea

Time:浸

透圧

外 力 が は た ら く場 合 の拡 散   液体 中 に広 が っ た粒 子 の濃 度 ρが 位 置ｘ に依 存 す る と き,ｘ 軸 に垂直 な単 位 面 積 を通 してｘ 方 向 に移 動 す る粒 子 の個 数 をＪ(x,t)と す る.位 置x+Δxに

お ける

Ｊは (１)

で あ る か ら,領 域x∼x+Δx内

にあ る粒 子 数 の 増 加 は単 位 時 間 当 り

(２)

した が っ て (３)

が成 り立 つ.粒 子 の移 動 が 拡散 に よ って 生 じ る と きは拡 散 方 程 式

(４)

も成 り立 つ か ら (５)

し た が っ て 粒 子 の 移 動 は 濃 度 勾 配 ∂ρ/∂xに 比 例 す る． こ れ を フ ィ ッ ク(Fick) の 法 則 と い う.

  さ らに外 力 が粒 子 に は た ら く場 合 は,粒 子 は粘 性 抵 抗 な どの た め に外 力 に 比例 した流 れ を生 じ る.外 力F(x)がｘ

方 向 には た ら くと し,そ の た め に粒 子 が (６)

の 速 さでｘ 方 向 に 移 動 す る と考 え,β を易動 度 と呼 ぶ.拡 散 と外 力 に よ る移 動 を 加えて (７)

を得 る.こ れ を(３)に

代 入 す れ ば拡 散 方 程 式 は この場 合 (８)

と なる ．   ３次 元 の 場 合 に は,粒

子 密 度 の 流 れ は ベ ク トルJ=(Jx,Jy,Jz)で

表 さ れ,(３)

は (９)

と な る.外

力 Ｆ が は た ら く とき は

(10) とな り,拡 散 方 程式 は

(11) と な る.

ア イ ン シ ュ タ イ ンの 関係 式   １次 元 の場 合 に戻 って(８)を 衡 分 布(沈 降 平 衡)に =0で

考 え よ う.液 体 が 長 時 間放 置 され る と粒 子 は平

お ちつ く.こ の と き は平 均 と して粒 子 の 移 動 は ない か らJ

あ る． したが って(７)に

より

(12) あるいは

(13) こ こ でU(x)を

外 力 の ポ テ ンシ ャル とす る と

(14) な の で平 衡 分 布 は ρ0を定 数 と して

(15) と書 か れ る.こ の と き粒 子 は分 子 と同 じ振 舞 い をす る と考 え られ るか ら,平 衡 分 布 はマ ク ス ウ ェル-ボ ル ツマ ンの分 布

(16) で な け れ ば な ら な い.た る.そ

こ で(15)と(16)を

だ し,こ

こ で,ｋ

は ボ ル ッ マ ン 定 数,Ｔ

は絶 対 温 度 で あ

比 べ る と拡 散 率 Ｄ と 易 動 度 β の 間 に は 関 係 式

(17) が あ る こ とが わ か る.こ れ は ア イ ン シ ュ タイ ンの 関係 式 と呼 ばれ る重 要 な式 で あ る.運 動 が 等 方 的 で あ れ ば,こ の 関係 式 は ２次 元 で も,３ 次 元 で も成立 す る.   粒 子 が 半径 ｒの球 であ り,こ れ が粘 性 率 ηの 液 体 内で 運 動 す る場 合 に は,粒 子 は ス トー クス の粘 性 抵 抗 を受 ける.こ の と き易 動 度 は

(18) で あ る か ら,拡 散 率 Ｄ は

(19) し た が っ て,第22講(40)の

平 均 到 達 距 離 の式 は

(20) を与 え る.

流 れ の あ る拡 散

  一 直 線 上 の ブ ラ ウ ン 運 動 で ス テ ップ が 非 対 称 で あ る と き を 考 え る.簡 粒 子 の 位 置ｘ の 飛 躍rn=xn+1-xnが １で あ る 確 率 はp(q+p=1)で あ る 確 率 は(初

め 原 点l=0に

０ と １に 限 ら れ,rn=0の

単のため

確 率 は ｑ,rn=

あ る と す る.ｎ ス テ ッ プ の 後 に 粒 子 が 位 置ｌ に あ っ た と し て)，ｎ 回 試 行 の 中 で 飛 躍rn=1がｌ

回起 こ る確 率 で あ って

(21) で 与 え ら れ る.こ

れ を ２項 分 布 と い う.第22講(10)以

リ ングの 公 式 を使 って1≪l≪nの

下 と同 じ よ う に ス ター

場 合 の評 価 をす る と

(22) したが って

(23) と お く と0＜

θ ＜1で

あ る.そ

して(22)は

(24) を与 え る.た

だ し

(25) ここで

(26) は θ=pで

０ に な り,φ(p)=0.そ

こで

(27) と お き,ξ に つ い て 展 開 す る た め ２次 の 微 係 数 を つ く る と

(28) な ので

(29) と な る.   (24)の

右 辺 にお い て

(30) はn≫1の

と き ξ２と と も に 急 激 に 減 少 す る か ら,(24)の

似 値√p(1-p)=√pqで /nに

置 き 換 え て よ い.し

分 母 の√ θ(1-θ)は

近

た が っ てnξ2=n(l/n-p)2=(l-np)2

よ り

(31) を与 え る.  こ こで

(32) と置 き換 え る と,(31)は

粒 子 が速 度ｖ で 流 れ な が ら拡 散 す る の を表 す 式

(33) とな る.こ れ が 一定 外 力 のあ る拡散 方 程 式((８)参

照)

(34) を満 た す こ とは容 易 に示 され る.

Tea

Time

浸透圧  圧 力 は単 位 面 積 の平 面 に はた ら く力 で あ る とい う よ う に中 学 や 高校 の 教科 書 な どに書 か れ て い るが,水

中 の １点 で は どの 向 き の平 面 に も同 じ圧 力 が はた ら くこ

とか ら もわ か る よ うに圧 力 は単 な る圧 力で は な い.  応 力 につ い て学 ぶ と,圧 力 は応 力 テ ン ソルの 成 分 と関 係 づ け られ る.ま た流 体 力 学,分 子 運 動 論,電 磁 気 学 な ど を学 ぶ と圧 力 は 運 動 量 の流 れ と関 係 づ け られ る.理 解 の段 階 に応 じて い ろい ろ な圧 力 の定 義 が 用 い られ るの で あ る.い っぺ ん に普遍 的 な高 い定 義 を して も理 解 で きな い.中 学 や 高 校 の 物 理 で はい くらか不 正 確 な定 義 で もが まん しな け れ ばな らな い と思 う.子 供 に は年 相 応 の 話 しか 通 じな い わ けで あ る.し か しだ ん だん 成 長 す る につ れ て 世 の 中 をみ る眼 も成 長 す る よ う に物 理 学 の理 解 も変 わ り,抽 象 的 な定 義 もわか る よ う に な る.各 段 階 で 定義 が違 うの も仕 方 が な い と思 う.   さて,少

し話 は変 わ るが,気 体 の圧 力 は気 体 の分 子 が 容 器 の 壁 に衝 突 す る こ と

に よ って生 じる． しか し容 器 の 壁 か ら離 れ た内 部 で も気 体 の 圧 力 は存 在 す る.内 部 の １点 に小 さな壁 を置 け ば,そ の壁 に は気 体 の 圧 力 が はた ら くが,壁

を置 か な

くて も気 体 の圧 力 は存 在 す る と考 え る.こ の圧 力 は気 体 の 分 子 に よ る運 動量 の流 れ と関係 づ け られ る もので,壁 が な くて も存 在 す る し,も っ と極 端 に い えば分 子 ど う しの衝 突 が な くて も存 在 す る圧 力 で あ る.  浸 透 圧 につ い て も同 じよ うな こ とが い え る.浸 透 圧 は半 透 膜 に加 わ る圧 力 で あ るが,半 透 膜 が な くて も浸 透 圧 は存在 す る.水 中 に半 透 膜 を通 ら ない よ うな 巨 大 分子 が あ る と き,巨 大 分 子 に よ る圧 力 が浸 透 圧 で あ るが,こ れ は 巨 大 分 子 の群 れ を拡 散 させ る圧 力 で あ る とみ る こ とが で きる.巨 大 分 子 の 濃 度 の 高 い と ころ は浸 透圧 も大 き く,こ の浸 透 圧 に よ って 巨 大分 子 の 群 れ は濃 度 の低 い ほ うへ押 され て 拡散 す る とい う見 方 が 可 能 で あ る.こ れ は 巨大 分 子 ど う しが 衝 突 す るた め に濃 度 が低 い ほ うへ 押 され る とい う見 方 で あ る.   しか し巨大 分 子 ど う しが 衝 突 しな くて も,個 々の 巨 大 分 子 が独 立 に左 へ,右 へ と勝 手 な運 動 を して い る と して も結 果 と して は濃 度 の 高 い と ころ か ら低 い とこ ろ へ と拡 散 の流 れが 生 じる こ とにな る.こ の 見 方 で は拡 散 は独 立 な確 率 過 程 の結 果 で あ る.

第25講 経

路

積

分

―テー マ

 ◆ ス モ ル コ フス キ ー 方 程 式  ◆ 経路 積分   ◆Tea

Time:波

の 干渉

ス モル コ フ ス キ ー方 程 式

  １次 元 の ラ ン ダ ム ウ ォ ー ク に お い て,初 x1∼x1+dx1に

め 原 点 に あ っ た 粒 子 が,時

間t1後

に

くる確 率 を (１)

と す る と,さ

ら に 時 間t−t1後

に こ の 粒 子 がx∼x+dxに

くる確率 は

(２)

と な る.こ

れ はt1以

後 の 分 布 はt1に

係 な い 過 程 で あ る こ と を 意 味 し,こ は ス モ ル コ フ ス キ ー(Smoluchowski)方

 さて(２)は

お け る 分 布 で 決 ま り,t1以 れ をマ ル コ フ(Markoff)過

前 の分布 に は関 程 と い う.(２)

程 式 と呼 ば れ る ．

第19講 で 述 べ た た た み込 みで あ る か ら (３)

とお くと

(４) と な る.こ

こ でW(x,t)の

初 期 条 件 は 粒 子 が 原 点 に あ る こ と,す

なわ ち (５)

で あ る か ら,W(k,t)は (６)

を満 た す.  関数 方 程 式(４)の

解 に初 期 条件(６)を

満 た す もの は適 当 な条件 の も とで  (Ｄ は 定 数) 

で あ り,こ

(７)

の フ ー リエ 逆 変 換 は

(８) で 与 え られ る.こ

こ で Ｄ はx2の

平均 と (９)

で 関 係 づ け ら れ る.

経 路 積 分

  初 めt=0の

と き に 粒 子 がx0に

に お け る 確 率 密 度 ρ(x1,tl)は(２)に

あ る 確 率 密 度 が ρ(x0,0)で

あ る と き,時

刻t1

よ り

(10) で 与 え られ る.た だ しこ こで

(11) で あ る.   さ ら に 時 刻t(t〓t1〓0)に

お け る 確 率 密 度 を ρ(x,t)と

す る と(図32)

(12)

図33

図32

と な る.し

た が って

(13) を 得 る.   こ の よ う にt=0とｔ t0=0とt=tnの

の 間 に 中 間 の 時 間t1を

間 をｎ 等 分 した 間 隔 をΔt=〓

挿 入 す る操 作 を さ ら に 進 め て,t= と し(図33)

(14) と す る.こ

のとき

(15) こ こ で(11)に

より

(16) で あ る か ら,(15)を

具体 的 に書 く と

(17) と な る.こ

こで

(18)

と 書 く.最

後 の 式 で は〓=Δtを

分 の 形 で 書 い た.(17)は

十 分 小 さ い と して,ｋ

に 関 す る 和 をｔ に 関 す る 積

形式的 に

(19) と書 け る.こ

の 形 の 線 分 を経 路 積 分 とい う.こ

ン(R.Faynman)が

れ は 量 子 力 学 に お い て フ ァイ ン マ

導 入 し た も の で あ る.

拡散方程式   (17)は

(20) を 繰 り返 し た も の で あ る.〓 →0と

し た と き(20)は

拡散方程式

(21) を満 た す.   【証 明 】

(22) とお く と

(23) こ こ で〓 →0に

対 し

(24) を 考 慮 す れ ば(21)を

得 る.

拡  (22)を

張

少 し拡 張 し て

(25) た だ しx=dx/dtと

して

(26) と お こ う.(20)の

形 で 書 け ばＡ を あ る 規 格 化 の 関 数 と して

(27) あ る い は(22)を

参 照 して

(28) こ れ か ら〓 を十分 小 さ い とす る と (29) ただ し

(29') 具体的 には

(30)

したが って

(31)

と して〓→0の 極 限 を とれ ば

(32) と な る.ゆ

えに

(33) とお くと

(34) と な り,(32)は

(35) と な る.さ

ら に,Ｄ,β

を定 数 と して

(36)

とす れ ば(35)は

(37) を与 える.こ れ はす で に述べ た外 力 Ｆ を受 け た粒 子 の拡 散 方 程 式 で あ る.

Tea

Time

波の干渉   本 書 の テ ー マ か ら 少 し は ず れ る が,経 つ い て 述 べ よ う.ホ

イ ヘ ン ス(C

路 積 分 とい くらか関 係 が あ る 波 の干 渉 に

.Huygens,1629―1695)は,光

は波 で あ る とい う

波 動 説 を 唱 え た こ と で 有 名 で あ る.彼

の 書 い た 本 を み る と,彼

デ ル で 考 え て い た よ う に 思 わ れ る.そ

の １つ は 無 数 の 小 さ な 球 が 並 ん だ 媒 質 で,

は 波 動 を ２様 の モ

そ の 一 部 に シ ョ ッ ク を 与 え れ ば シ ョ ッ ク は 球 か ら球 へ と伝 播 す る.も 続 的 な 媒 質 で 波 が く れ ば 波 間 の 各 部 分 は ２次 波 を 出 し,そ 波 面 で あ る と い う.い

わ ゆ る ホ イ ヘ ン ス の 原 理 で あ る.

う １つ は 連

の 包絡 線 が次 の 瞬 間 の

  第 １のモ デ ル は波 が 進 行 方 向 へ 進 み続 け るの は シ ョッ クが 一 方 向 きに伝 播 す る た め と して 無 理 な く理 解 で き る.し か しこ の ま まで は屈 折 な どの現 象 を説 明 しに くい.   第 ２のモ デ ル は屈 折 な どの 現 象 が簡 単 に説 明 で きる.こ れ は よ く知 られ た こ と で あ る.し か しホ イヘ ンス の 原 理 は波 が 一 方 向 に 進 む だ け で逆 向 きに進 む波 は存 在 しな い こ と を説 明 で きな い(こ れ を説 明 す るに は フ レネ ル や キ ル ヒ ホ ッフ に よ る よ り高 度 な数 学 的 表現 をホ イヘ ンス の原 理 に与 え な け れ ば な ら な か っ た).   おそ ら くホ イヘ ンス の頭 の 中 で は上 述 の ２つ の モ デ ルが 共 存 して い たの で あ ろ う.こ の モ デ ル を純 化 す る段 階 で ２次 波 とい う概 念 が つ くられ,ホ

イヘ ン スの 原

理 が 生 まれ た.こ の と き第 １の モ デ ル に よ る波 の運 動 量 の よ う な概 念 が 落 と され た ので,ホ

イヘ ンス に よる波 の記 述 は不 完 全 に な っ た わ けで あ る.

  ち なみ に,拡 散 方 程 式(21)で

拡 散 率 Ｄ を純 虚 数 とす れ ば,(21)は

に対 す る量 子力 学 の波 動 方 程 式 とな り,干 渉性 は 明 らか に な る.

自由 粒 子

第26講 ラ ン ジ ュバ ン方 程 式

―テー マ

 ◆ 揺 動 力  ◆ ラ ン ジ ュバ ン方 程 式  ◆Tea

Time:ラ

ン ジ ュバ ン

慣性を無視できる粒子の運動  初 め に媒 質 内 の 自由粒 子 に対 す る方 程 式 (１)

か ら考 え よ う.こ こで,ζ は抵 抗 係 数,f(t)は

粒 子 の まわ りの媒 質 の 分子 の衝 突

に よ る不 規則 な力(揺 動 力)で あ る.多 数 の粒 子 の集 団 に対 す るあ る 時刻 の平 均 を<…>で

表 す.不 規 則 力 の 平均 は ０で あ る とす る と (２)

さ らに不 規 則 力f(t)は 異 な る時 刻ｔ とt'で は統 計 的 に独 立 で あ る と考 え られ る か ら (３)

とす る.Ａ は揺 動 力 の 強 さを表 す 定 数 で あ る.

 粒 子 はt=0に

お い て 原 点x=0に

と す る と(１)か

ら

あった

(４)

したが って (５)

さ らに 図34

(６) と な る(図34参

照).

 こ こ で 粒 子 の 分 布 密 度 をW(x,t)と 率 を ψ(Δx;Δt)と

し,時

間Δtの

間 にｘ がΔxだ

け増 え る確

す ると

(７)

が 成 り立 つ.Δt,Δxが

小 さい と して両 辺 を展 開す る と

(８)

(９) で あ り,(５),(６)に

よ り

(10)

した が っ て

(11)

こ

と お き,(８)でΔt→0と

す れ ば 拡 散 方 程式

(12) が 得 られ る.   【 外 力 が は た ら く場 合 】 粘 性 抵 抗 が 大 き く,慣 性 項 が 無 視 で き る と き,外 力 F(x)を

受 け る粒 子 の運 動 方 程 式 は

(13) とな る.ここ で

(14)

と す る.(12)か

ら

(15) した が っ て

(16) であ り

(17) さ ら に<(Δx)3>以

上 の 高 次 の モ ー メ ン トはΔtの(Δt)2以

  こ の 場 合 の 分 布 密 度 をW(x,t)と を ψ(Δx;Δt)と (17)に

す る と,こ

し,時

上 の 高 次 に な る.

間Δtの 間 にｘ がΔxだ

の 場 合 に も(７),(８)が

成 り立 つ.そ

け増 え る確 率 し て(16),

よ り

(18)

こ こ で(８)か

ら

(19)

(20) と お け ば(19)は

(21) と な る.こ

れ は 外 力 の あ る と きの 拡 散 方 程 式(第23講(８))で

あ る.

ラ ン ジ ュバ ン方 程 式   媒 質 中 の 粒 子 が(重 力 な ど の外 力 が な い)自 由 な ブ ラ ウ ン運 動 を して い る場 合,た

とえ ばｘ 方 向 の運 動 方 程式 は(簡 単 の た め 粒 子 の 質 量 をm=1と

す る)

(22) と書 け る.こ 力)で

こ で,ζ

は 抵 抗 係 数,f(x)は

あ る.(22)は1908年

て 考 え 出 さ れ た 方 程 式 で,ラ

る平 均(集 団 平 均)を<…>で

媒 質 の 分 子 に よ る 不 規 則 な 力(揺

に ラ ン ジ ュ バ ン(P.Langevin,1872―1946)に ン ジ ュ バ ン 方 程 式 と い う.多

動 よっ

数 の 同様 な粒 子 に対 す

表 す と,揺 動 力 の平 均 は ０な の で

(23) と考 え られ る.ま た 粒 子 がｘ にあ る と き,媒 質粒 子 が これ に及 ぼす 力 の 平 均 も ０ で あ り,こ

れは

(24) と考 え る.   さ て ラ ン ジ ュ バ ン 方 程 式(22)の

両 辺 にｘ を か け る と

(25) と な り,さ

ら に書 き直 す と

こ

(26) を得 る.こ

こ で 集 団 平 均 を と る と(24)に

よ り

(27) と な る.   (27)の

右辺で

(28) は 粒 子 の 速 度 で あ る.(27)の

右 辺 の 量を

計 算 す る た め(22)を

(29) と書 き,微 分方 程式 の解 法 に従 っ て これ を積分 す る と

(30) を 得 る.体

系 は 十 分 長 い 間,放

置 さ れ て い る と 考 え る か らt0→-∞

と して よ い

の で(９)は

(31) を 与 え る.   【 速 度 の 相 関 】(31)を

用 い て 相 関や

ど を 求 め る こ とが で き る.ま

ず(23)に

エ ネ ル ギ ー の 平 均/2な

よ り

(32) で あ る.ま た ラ ン ダム な力f(t)は 異 な る 時 刻ｔ とt'で は統 計 的 に 独 立 で あ る か ら

(33) と お く.Ａ   (31)か

は 揺 動 力 の 強 さ を 表 す 定 数 で あ る. ら

(34) を 得 る.こ   (31)に

こ で(33)を

用 い,t-ξ=s,t'-ζ=s'と

お い てはt＞t'と

お い た.

し て もt＜t'と

よ う.s'に

し て も よ い か らt＞t'と

つ い て の 積 分 はs'=s-(t-t')の

し

と

こ ろ だ け で 寄 与 を 与 え,ｓ に つ い て の 積 分 は 図 35で

わ か る よ う にt-t'か

な る.し

ら∞

まで の 積 分 に

た が っ て(34)は

(35)

図35 と な る.と

く にt=t'と

すれば

(36) が得 ら れ る.   他 方 で 媒 質 の 中の微 粒 子 は 巨大 な不 純 物 分 子 と考 え る こ とが で きる.そ 典 統 計 力 学 に よれ ばエ ネル ギ ー等 分 配 の 法則 が 成 り立 つ が,い の質 量 は1(m=1)に

して い るの で,エ

して 古

まの場 合,微 粒 子

ネル ギ ー 等 分 配 の法 則 は

(37) を 与 え る.し

た が っ て(36)に

よ り係 数 Ａ と ζ は

(38) で 関係 づ け られ る こ とが わ か る.   【平 均 到 達 距 離 】 次 に(27)の

左 辺 に(33)を

代入す ると

(39) を得 る.こ れ を積 分 す れ ば

(40) こ こ でx(0)=0と

お き,さ

ら に積 分 す れ ば

(41) を得 る.し

た が っ てt≫1/ζ

の と きは

(42) とな る.こ れ をす で に何 度 も出 て きた式

(43) と 比 べ れ ば,再

び ア イ ンシ ュ タイ ンの 関係 式

(44) が 得 ら れ る.   な お(29)は(13)と ば(13)は(29)に

同 じ形 を し て い て,(13)で な る.し

た が っ て(21)に

ζx→v,F(x)→

ζvと お け

よ りｖ に 対 す る 確 率 分 布w(v,t)

は

(45) と な る.こ

れ は 後 の(49)と

比 べ ら れ る.

  【外 力 が あ る と き 】 粘 性 抵 抗 − ζdx/dtと

外 力F(x)を

取 り入 れ た ラ ン ジ ュバ

ン方 程 式 は

(46)

ただ し

(47)

で あ る.こ  Δtの

の 場 合 は 位 相 空 間 に お け る ブ ラ ウ ン 運 動 に な る.

１次 ま で と る と(46),(47)か

ら

(48)

とな る.前 節 と同様 な計 算 を(x,v)の

空 間で 行 え ば

(49) が 得 ら れ る.こ

の 式 を フ ォ ッ カ ー− プ ラ ン ク(Fokker-Planck)方

ク ラ マ ー ス(Kramers)方

程 式 と い う.拡

式 と い う こ と も あ る.(49)でF=0と

程 式,あ

る い は

張 さ れ た リ ゥ ヴ ィ ル(Liouvil1e)方

程

お き,ｘ に つ い て 積 分 す れ ば(45)に

な

る.

Tea

Time

ラ ン ジ ュバ ン   ポ ー ル ・ラ ン ジ ュ バ ン は 一 時 代 の フ ラ ン ス を 代 表 す る 物 理 学 者 で あ る.磁 研 究,ブ

ラ ウ ン 運 動 の 研 究 な ど で 有 名.第

的 な 問 題 に 取 り組 み,ま

た 水 晶 の 電 気 振 動 子 の 開 発 も手 が け て い る(水

は ク ォ ー ツ 時 計 に 利 用 さ れ て い る).ア

イ ン シ ュ タ イ ンが1905年

論 を 発 表 す る と い ち は や く こ れ に つ い て の 講 義 を行 い,ア を と り合 っ た.1914年 た が,第

性 の

１次 大 戦 中 は 潜 水 艦 の 探 知 と い う 実 用 晶 の振 動

に特 殊相 対 性 理

イ ン シ ュ タ イ ン と連 絡

に ラ ン ジ ュバ ン は ア イ ン シ ュ タ イ ン をパ リへ招 こ う と し

１次 大 戦 が 起 こ っ た た め に こ の 計 画 は 実 ら な か っ た.1915年

に アイ ン

シ ュ タ イ ン は 一 般 相 対 性 理 論 を 完 成 し,1918年

に は彼 が 予 言 した よ う に光 が 太

陽 の 重 力 に よ っ て 曲 げ ら れ る こ と が 示 さ れ た.第

１次 大 戦 が 終 わ る と ラ ン ジ ュ バ

ン は 再 び ア イ ン シ ュ タ イ ン を パ リ に 招 き,1922年

に ア イ ン シ ュ タ イ ン は 約 ２週

間 パ リ に 滞 在 し て 一 連 の 講 義 を 行 っ た.フ つ く っ た 相 対 性 理 論 と い う わ け で,パ

ラ ン ス の 敵 国 で あ っ た ドイ ツ の 学 者 の

リで は ア イ ン シ ュ タ イ ン に 対 す る 反 対 と 賛

成 が 沸 騰 し た と い う 話 で あ る.   第 ２次 大 戦 中,ラ し,レ

ン ジ ュバ ンは ナ チ ス の た め 自宅 軟 禁 さ れ た が ス イ ス に脱 出

ジ ス タ ン ス 運 動 に 加 わ っ た.

第27講 ガ ウ ス 過 程

―テー マ

 ◆ マ ク ス ウ ェ ル 分 布 へ の 近 接  ◆ 粒 子 の 拡 散  ◆Tea

Time:キ

ツネが化 かす

確率 分布  ラ ンジ ュバ ン方 程 式 を少 し別 の観 点 で扱 お う.こ れ を (１)

と す る.こ

れ を 積 分 す る とt=0でu=u0と

して (２)

と な る.こ

こ で,f(t)は

揺 動 力 で あ る が,実

は い く らで も細 か く揺 れ て い る.こ

れ に対 し

(３)

は短 い 時 間Δtの 間 に粒 子 に与 え ら れ る速 度 の増 加 で あ る.B(Δt)は

微細 な力の

作用 の結 果 で あ るか ら,そ の分 布 は ガ ウ スの 正 規 分布 (４)

を し て い る と考 え ら れ る.こ

こ で,ｑ は あ る 定 数 で あ る.

 い ま

(５)

と い う 量 を 定 義 す る と Ｒ の 確 率 分 布 はt=0でW(R)=ζ(R)と

して

(６)

で 与 え ら れ る.   【 証 明 】 時 間ｔ を 微 小 時 間Δtに 分 け てt'=jΔtと

し (７)

と お く と(５)は

(８)

ただ し (９)

と な る.(４)に

よ りrjの 確 率 分 布 は(wdB=τdrj)

(10)

で与 え られ る.R=〓rjに

対 す る分 布 は 中央 極 限 定 理 に よ り

(11)

(12)

こ

した が っ て(11)は(６)を

与 え る.

マ ク ス ウ ェル分 布 への 近 接  (２)を

(13)

と書 く と

(14) と な る.し

た が っ てt=0でW(u)=δ(u-u0)と

分 布 は(６)と(４)に

し て,時

刻ｔ に お け る 速 度ｕ の

よ り

(15) で与 え られ る.そ こで 粒 子 の質 量 をｍ と して

(16) とす れ ばt→

∞ で 分 布(17)は

マ クス ウェ ル分 布

(17) と な る.

位置の分布  u

=dx/dtと

お い て(２)を

さ ら に 積 分 す れ ばt=0でx=x0と

して

(18)

と な る.

(19) よ っ て(６)に

よ り,t=0でx=x0,u=u0の

場 合,時

刻ｔ に お け る 分 布 は

W(x,t:x0,u0) (20) で 与 え られ る.t≫

ζ-1に 対 して こ れ は

(21)

と な る.(21)は

よ く知 られ た ブ ラ ウ ン 運 動 す る 粒 子 の 分 布 で あ る .

Tea

Time

キ ツ ネが 化 かす   夜 の 広 い 野 原 で,方

向 が わ か ら な く な っ て,こ

た ら め に 長 い 時 間 歩 き ま わ り,ふ

む か し は そ う い う こ と が よ く あ っ た ら し く,キ と 聞 い た 覚 え が あ る.落

っ ちか しら とで

ツ ネに化 か された とい った り した

語 に も あ る よ う に キ ツ ネ は い ろ い ろ な や り方 で 人 間 を 化

か す と さ れ て い た． あ る 落 語 で は,人 気 を つ け る ん だ よ,と

っ ち か し ら,あ

と気 が つ くと も と と同 じ とこ ろ に戻 って い た .

間 は ず る い か ら人 間 に化 か され な い よ うに

人 間の た め に ひ どい 目に あ っ た キ ツ ネが子 ギ ツ ネ に さと し

て い る 場 面 も 出 て く る.   そ れ は と も か く,知 て,は

ら な い 町 で い い か げ ん に 歩 い て い る と も とへ 戻 っ て し ま っ

っ と気 が つ く こ と が あ る.こ

れ は キ ツ ネ の せ い で な く ,ブ

ラ ウ ン運 動 に 似

た 現 象 で あ る よ う に 思 う.   仮 に1m歩

い て は 方 向 を で た ら め に 変 え る と い う こ と を 繰 り 返 し た と す る とｎ

歩 進 ん で も,平 い.こ

均 と し て 出 発 点 か ら√nm離

れ は ブ ラ ウ ン 運 動 と 同 じ こ と で あ る .真

に で た ら め に 方 向 を 変 え て 歩 け ば,平 い.こ

れ た とこ ろ に到 達 で き る に す ぎ な 直 ぐ100歩

進 め ば100m行

均 と し て 出 発 点 か ら10mし

けるの

か 離 れ られ な

れ で は 出 発 点 の ご く近 くへ 戻 る 確 率 は た い へ ん 大 き い わ け で あ る .

  で た らめ に方 向 を変 えて 進 ん だ と き,出 発 点 を囲 む 有 限 の領 域 に戻 る確 率 に つ い て書 い た論 文 を読 ん だ覚 え が あ る.こ の確 率 は次 元 数 に 関 係 す る.た しか,１ 次 元 や２ 次 元 の 場 合 は で た らめ に歩 い て い る と いつ か は 出発 点 に戻 る.し か し ３ 次 元 以 上 の 空 間 で は 出発 点 に戻 る確 率 は０ で あ る,と い うよ うな こ とだ っ た と覚 え て い るが,記 憶 違 い で あ る か も しれ な い.

第28講 揺動散逸定理

―テー マ

 ◆ 電 場 の ゆ ら ぎ  ◆ 揺動 散逸定 理   ◆Tea

Time:心

の ゆ ら ぎ と創 造

電場の ゆらぎ  ラ ン ジ ュ バ ン 方 程 式 (１)

を 考 え る.f(t)は

揺動力で

(２)

とす る と 速 度 の 時 間 相 関は (３)

で 与 え ら れ る(第26講(35)).   こ の と き易 動 度 (４)

は速 度 の時 間相 関 関数(３)を

用いて

(５)

と書 け,抵 抗 係 数 は揺 動 力f(t)の 時 間 相 関 関数 を用 いて (６)

と 書 け る.   【 証 明 】(３)でt=t'と

お くと (７)

と な る が,エ

ネ ル ギ ー等 分 配 の法 則 に よ り (８)

で あ る(第26講(37)).し

たがって (９)

(第26講(38)).し

た が っ て(３)は

(10) とな る.こ れ をｔに つ い て積 分す れば

(11) と な り,β=1/ζ   ま た(９)に

を 考 慮 す れ ば(５)が よ り(２)か

得 られ る.

ら

(12) で あ る か ら(12)を

積 分 して

(13) し た が っ て(６)を

得 る.

電

流

 電 気 の導 体 の模 型 と して,電 子(質 量ｍ)が

抵 抗 力-mζvと

外 部 電 場 Ｅ を受

け て運 動 す る と し,速 度 の 集 団 平 均 を<ｖ>と す る と,運 動 方 程 式 は

(14) と な る.こ こ で単 位 体 積 内 の 電 子 の個 数 をｎ,電 子 の 電 荷 をｅ とす れ ば

(15) は 電 流 を表 す.こ

こ で0は<ｖ>の

定 常 値 で(14)か

ら

(16) した が っ て

(17) よ って電 気 伝 導度 σは

(18) で与 え られ,比 抵 抗 は

(19) で 与 え ら れ る.

 さ て外 部 電場 Ｅ が な い と き(E=0)を

考 え る と電 子 の 運動 方 程 式 は

(20) と な る.こ

こ で ε(t)は 揺 動 電 場 を 表 し,こ

  こ の と き電 気 伝 導 度 は 揺 動 電 流j(t)の

れ に よ る 揺 動 電 流 をj(t)と

時 間 相 関 関 数<j(t)j(0)>を

す る. 用 いて

(21) で 与 え ら れ,比

抵 抗R=1/σ

は 揺 動 電 場 の 時 間 相 関 関 数<ε(t)ε(0)>を

用 いて

(22)

で 与 え られ る.   【 証 明 】 電 流 密 度j(t)は

(23) で あ り,(20)は

(24) と 書 け る.こ

こ で 第26講(14)に

な ら って

(25)

と す る.(24)を

積分すれば

(26) こ れ か ら(第26講(34),(35)参

照)

(27) を得 る.他

方で

(28) に よ り(23)か

ら

(29) こ こで 古 典 統 計 力 学 が 適用 で きる とす れ ば,エ ネ ル ギ ー等 分 配 の 法 則 に よ り

(30) が 成 り 立 つ.し

た が っ て(27),(29),(18)か

ら

(31)

を 得 る.ゆ

え に(27)は

(32)

とな り

(33) す な わ ち(21)が

得 られ る.ま た 平均 の揺 動 電 場

(34) に 対 し て(25)は

(35) を 与 え る か ら,こ

れ を 積 分 して(32)を

用 いれば

(36) す な わ ち(22)を

得 る.

揺動散逸定理   (5)式

の易 動 度 βや(21)式

の 電 気 伝 導 度 σな どは単 位 の 外 力 や 電 場 が は た

らい た と きの応 答 を与 え る もので 一 般 に輸 送係 数 と呼 ばれ る.こ れ ら は揺 動 力 に よ っ て生 じる粒 子 の 速 度v(t)や 電 流j(t)の 時 間相 関 に よっ て 表 され る.こ れ に 対 し,(6)の

抵 抗 や(22)の

比 抵 抗 は揺 動 力 そ の もの の 時 間 相 関 で 表 され る こ

とが 示 され た わ け で あ る.こ れ らの こ と を一般 に揺 動 散 逸 定 理 とい う.揺 動 力 に よ って な され る仕 事(エ

ネ ル ギ ー)が 体 系 の 中 の抵 抗 に よ って 散 逸 され る機 構 が

輸 送 係 数 な ど を与 え る の で あ る.

Tea

Time

心 の ゆ らぎ と創 造   雑 音,あ

る い は 騒 音 の 激 し い と こ ろ は 一 般 に 好 ま し く な い が,あ

も気 持 ち が よ くな い も の ら し い.わ ら,そ

れ と関 係 な い 仕 事 を す る 人 を 「な が ら 族 」 な ど と い う が,そ

と っ て は,仕

ま り静 か な の

ざ とラ ジオ や テ レ ビをか け っ ぱ な しに しなが うい う人 に

事 の エ ネ ル ギ ー を か きた て るた め に ラジ オ な どの 刺 激 が あ っ た ほ う

が い い の で あ る.創

造 的 な 仕 事 で も そ う い う場 合 が あ る か も し れ な い.

  理 論 物 理 学 や 数 学 の 仕 事 を,紙 る が,紙

とエ ン ピ ツが あ れ ば で きる仕 事 とい う こ とが あ

と エ ン ピ ツ だ け で な く頭 も な け れ ば で き な い,な

ど と い うの は ち ょ っ と

辛 辣 す ぎ る よ う な 気 もす る.   そ ば 屋 へ 入 っ て,う

ど ん に す る か そ ば に す る か 迷 う こ とが あ る.ど

い と き に １つ を 選 択 す る の は 脳 の は た ら き か,お か ほ か の 影 響 な の だ ろ うか.そ

な か の は た ら きか,そ

れ は 何 か の は ず み,心

ち らで もい れ と も何

の ゆ ら ぎ とい っ た も の が 決

定 す る の だ ろ う か.   創 造 的 な 仕 事 で も,ひ

ら め き,思

い つ き,ブ

レイ ク ス ル ー な ど は心 の 中 の あ る

種 の ゆ ら ぎ か ら生 じ る こ と が 多 い よ う な 気 が す る.エ 99の 汗(パ る.そ

ー ス ピ レ ー シ ョ ン)に

１の イ ン ス ピ レ ー シ ョ ン が 発 明 に は 必 要 で あ

の イ ン ス ピ レ ー シ ョ ン は,何

  学 問 的,あ ボ ー ル(Dennis

ジ ソ ンが い っ て い る よ う に

か の 心 の ゆ ら ぎ に 違 い な い.

る い は 技 術 的 な発 見 物 語,発 Gabor,1900―1979)は

明 物 語 が い ろ い ろ あ る が,た

とえ ば ガ

芝生 に す わ っ て テ ニ ス を み て い た と き に

ホ ロ グ ラ フ ィ ー の ア イ デ ィ ア が 浮 か ん だ と い う.99の

勉 学 も必 要 だ が,残

る １

の イ ン ス ピ レ ー シ ョ ン を 心 の ゆ ら ぎ の 中 か ら す くい 上 げ た い も の で あ る.   な お ビ ュ リ ダ ン の ロ バ と い う話 が あ る.ロ つ の 干 し草 を 置 い て お く と,ロ い た め に,ど あ る.理

バ の前 方 の左 右等 間 隔 の とこ ろ に ２

バ は ど ち らの 干 し草 を 先 に 食 べ る と い う理 由 が な

ち ら も食 べ る こ と が で き な くて 飢 え 死 して し ま う は ず だ と い う話 で

由 が な い か ら こ う な る と い うの は 法 則 に な ら な い.こ

か ら こ う な る と い わ な け れ ば な ら な い(充

足 律,充

ツが 初 め て 唱 え た 思 考 の 原 理 の １つ だ そ うで,金 く な る と い う の は 事 実 に も 反 す る.丸

足 理 由).こ

うい う理 由が あ る れ は ラ イ プニ ッ

平 糖 は とが る理 由 が な い か ら丸

薬 は 丸 くな る 理 由 が あ る か ら 丸 く な る と い

うふ う に い わ な け れ ば な ら な い.   実 際 に は ロ バ の 心 に ゆ ら ぎが あ る の で,ど う.ゆ

ち ら か の 干 し草 を 先 に 食 べ る の だ ろ

ら ぎが な か っ た ら動 物 も生 き て い け な い わ け で あ る.

  な お ビ ュ リ ダ ン は15世

紀 フ ラ ン ス の ス コ ラ 哲 学 者 で あ る.彼

た 二 律 背 反 に つ い て ど う考 え て い た か は わ か ら な い(青 (平 凡 社)).

木靖 三

が ロバ の 直 面 し 『ガ リ レ イ の 道 』

第29講 線

形

応

答

―テー マ

 ◆

リ ゥ ヴ ィル 方 程 式

 ◆ 久 保 公 式  ◆Tea

Time:ラ

ンダム

リ ゥヴ ィル 方程 式   熱 的 な平 衡状 態 に あ る体 系 に外 部 か ら力(摂 動)を 加 え る と,体 系 は これ に応 じた変 化 を起 こす.外 部 か ら加 え た摂 動 を Ａ で 表 し,こ れ に よ って 体 系 の 物 理 量 Ｂ に生 じた 変 化ΔBと

して 摂 動Ａ に比 例 す る部 分 を考 え る と き,こ れ を線 形

応 答 と い う.   体 系 の微 視 的 状 態 は体 系 を構 成 す る要 素 の座 標q1,q2,…,qfと 運 動 量p1,p2,…,pfか

これ に共 役 な

らな る位 相 空 間 内 の 点 で表 され る.体 系 の 集 団 を考 え,

こ れ を表 す 代 表 点 の 規 格 化 され た 密 度 を ρ=ρ(q,p)と す る と き,そ の 時 間 的 変 化 は リ ゥヴ ィル 方 程 式

(１)

で 与 え ら れ る.こ 弧 式 は一 般 に

こ で,〓

は 体 系 の ハ ミ ル トニ ア ン(エ

ネ ル ギ ー)で

あ り,括

(２)

を 表 す.   摂 動 の な い と き の ハ ミ ル トニ ア ン を Ｈ と し,平

衡 状 態 の 代 表 点 の 密 度 を ρ0と

す ると (３)

で あ る.無

限 の 過 去 に お い て 体 系 は 平 衡 状 態 ρ0に あ り,こ

を徐 々 に 加 え る(Ａ

はｑ,ｐ の 関 数).ハ

れ に 摂 動-AF(t)

ミル トニ ア ン は

(４)

で あ り,代 表 点 の密 度

(５)

は(１)に

従 って 変 化 す る ．初 め に規 格 化 して お けば,リ

ゥヴ ィル の定 理 に よ っ

て,時 間が た って も規格 化 は破 られ ない か ら,位 相 空 間全 体 に わ た る積 分 は 常 に 規格化 され (６) で あ る.た

だ し こ こで (７)

は位 相 空 間 の 素 体 積 を 表 す.   (５)を(１)に

入 れ て(４)を

考 慮 し,Δ ρ とAF(t)の

１次 の 項 だ け を と れ

ば リ ゥヴ ィル方 程 式 は (８) と な る.   こ こ で 演 算 子Ｌ(リ

ゥ ヴ ィル 演 算 子) (９)

を導 入 す る(こ の式 の 左 辺 のi=√-1は を考 え つ け て お くこ とに す る).こ

つ け な くて もよ いが,量 子 論 との 対 応

れ を 用 い る と(８)をΔρ

に つ い て解 い た 式

は形 式 的 に

(10) と書 け る.   【証 明 】(10)をｔ

で 微 分 す れ ば,(９)に

よ り

(11) こ の 右 辺 は(９)に

よ り(８)の

右 辺 を 与 え る.

自然 運 動   摂 動 が な い と き の 変 化 を 自 然 運 動 と い う.t=0に と し,時

刻ｔ に お け るｑ,ｐ

をq(t),p(t)と

書 く.ま

お け るｑ,ｐ をq(0),p(0) たq(t),p(t)の

関数 Ｐ を

(12) と書 くと Ｐの 自然 運動 は

(13) あるいは

(14) [H,P]=-[P,H]を

考 慮 す れ ば

(15) で 与 え ら れ る こ と が 示 さ れ る.   【証 明 】 簡 単 の た め(q(t),p(t))の

集 ま り を(qj,pj)と

書 くと 自然 運動 は

(16)

同 様 にP(t)を

単 に Ｐ と書 くと

(17)

応答 関数  物 理 量 Ｂ の平 衡 状 態 に お け る値 か らの偏 差 を<ΔB>と

する と

(18) で あ る.摂

動-AF(t)をt=-∞

か ら徐 々 に 加 え た と き

(19) と 書 き,φBAを

応 答 関 数 と い う.こ

れ は

(20) あ るい は

(21) で 与 え られ る こ とを次 に 証 明 しよ う.た だ しB(t)は 物 理 量 Ｂ の 自然 運 動 を表 し

(22)

で あ る.  【 証 明 】 位 相 空 間 の 素 体 積dГ の 大 き さ は 自然 運 動 に よ っ て 変 化 し な い(リ ヴ ィ ル の 定 理).こ

の こ と は(τ

ゥ

は 任 意 の 時 刻)

(23) と書 け る.た

だ しPt=(q(t),p(t))は

を 表 し て い る.Ｃ

位 相 空 間 に お け るdГ の 位 置 の 自 然 運 動

を 任 意 の 量 と し て,B(t)=B(Pt),C(t)=C(Pt)な

ど と書 く

と,位 相 空 間 全 体 の 積 分 を 自然 運 動 につ い て 書 き直 す と(図36参 (P0),B=B(P0),C=C(P0)と

書 く),(23)を

照;dГ=dГ

用 い て

(24) こ こ で τ=t-t'と

す る とB(Pτ)=B(t-t')に

よ り(18)と(10)か

ら

(25) こ れ を(19)と

比 べ れ ば(20)を

得 る.さ

らに

(26) な の で(２)に

よ り

(27) と な る.こ

こで

(28)

よ っ てt=0と

おけば

(29) した が っ て(27)か

ら

図36  リ ゥヴ ィル の定 理 dГ(Pt)=dГ(P0).

(30) と な る.位 相 空 間 の積 分 は

(31) を 意 味 す る か ら(20)と(30)か

ら(21)が

得 ら れ る.

振動する外力  周 波 数 ω の外 力 を無 限 過 去 か ら入 れ る こ とは

(32) で あ る が,こ

れ を 簡 単 にF0eiωt,あ

るい は

(33) と書 こ う.こ

の と き(19)に

より

(34) と な る(Reは

実 部 を 表 す).し

たが って

(35) と お く と,複

素 感 受 率χBAは

(36) で 与 え ら れ る.

 例 と して Ａ を電 子 の 位 置ｘ と し,Ｂ を速 度ｘ あ る い は 電 流Ｊ に対 応 させ て, 自由運 動 を

(37) と し(詳

し く書 く とA(t)=eΣxi(t),B(t)=eΣvi(t)=A(t))

(38) と お け ば σ(ω)=χBA(ω)で

あ り,(36),(21)に

よ り

(39) と な る.Ｊ を 電 流,F0を

電 場 と す れ ば(39)は

電 気 伝 導 度 で あ り,ω=0の

とき

(39)は

第28講(21)に

相 当 す る こ と に な る.

  こ の よ う に 線 形 応 答 は 平 衡 系 の 時 間 相 関な

ど に よ っ て 表 さ れ る.

こ の 扱 い は 久 保 亮 五 に よ っ て 量 子 力 学 を 用 い て 展 開 さ れ て い て,(21)な

どに相

当 す る 式 は 久 保 公 式 と 呼 ば れ て い る.

Tea

Time

ラ ン ダム   増 山 元 三 郎 さ んが 書 い た る.そ

『デ タ ラ メ の 世 界 』 と い う,や

や古 い岩波新書 があ

れ に よ る と デ タ ラ メ と い う の は 「サ イ コ ロ を 振 っ て 出 た 目次 第 」 とい う の

が も と も と の 意 味 だ っ た と い わ れ て い る.「 出 た ら 目」 で あ る.   デ タ ラ メ と い う言 葉 を 使 っ て も い い と思 うの だ が,も

っ と 数 学 的,あ

るい は物

理 的 な 用 語 を使 お う とす る と 適 当 な 日本 語 が 案 外 な い の に 気 が つ く.そ

こで 外 国

語 を使 っ て ラ ン ダ ム とい っ た りす る.ラ す る.ス

ンダ ム ウ ォー ク は酔 歩 の 問 題 とい った り

ト カ ス テ ィ ッ ク とい う言 葉 も あ る が 長 す ぎ る の で 日 本 語 の 代 用 と して な

じ ま な い.ラ

ン ダ ム を 日本 語 に し て 乱 だ む と書 く と い い か も しれ な い.乱

数 とい

う の は す で に 定 着 し て い る.   乱 数 は サ イ コ ロ を振 っ て つ くる こ と もで き る が,乱 い る し,パ る.た

ソ コ ン で つ く る こ と も容 易 で あ ろ う.無

と え ば 円 周 率 π=3.14159

26535

89793

23846

数 表 と い う の も用 意 さ れ て 理 数 を そ の ま ま 使 う手 も あ 26433

83279

50288…

あ る

い は こ の 数 列 の 一 部 分 を と っ て き て 乱 数 表 と し て 使 う こ と も で き る だ ろ う.   π の 数 列 を み る と ０ は31桁

ま で 現 れ て い な い.し

調 べ て み る と ０ は ８回 現 れ る.多

か し こ の 数 列 を100桁

まで

くの 桁 を と れ ば ０ か ら ９ ま で の 数 字 は 同 じ確 率

で 現 れ る に 違 い な い.   何 ら か の 方 法 で つ く ら れ た 有 限 の 長 さ の 数 列 を み せ ら れ た と き,こ あ る か ど う か を 判 定 す る 方 法 は な い.そ か を 判 定 す る こ と も で き な い.数 こ れ は 有 理 数 な の だ が,有

の 数 列 が 有 理 数(自

れ が乱 数 で

然 数 の 比)か

無理数

列 が ず っ と先 の ほ う に な っ て 循 環 小 数 に な れ ば

限 の 長 さ の 数 列 で は 何 と も い え な い か ら で あ る.

第30講 ウ ィナ ー‐ヒ ン チ ンの 定 理

―テー マ  ◆

パ ワ ー ス ペ ク トル

 ◆

ナ イ キ ス トの 定 理

  ◆Tea

Time:白

い ス ペ ク トル

パ ワ ー ス ペ ク トル   雑 音 の よ うな ラ ンダ ム な現 象 を記 録 す ると,た

と え ば 図37の

よ う に な る.こ

の 過 程 が 時 間 の原 点 をず ら して も不 変 な と き,こ れ を定 常 ラ ン ダ ム過 程 とい う. 図37は

同 じ長 さの 時 間 Ｔで 記 録 を切 っ

て 積 み重 ね た もの で あ る.こ れ を横 に み れ ば 時 間平 均 が 得 られ,縦 に み れ ば 集 団 平 均 が 得 られ る. 図37  ラ ン ダ ム過 程

  記 録x(t)(0＜t＜T)を

フー リエ級

数 に展 開 して (１)

とす る.こ こでｎ 成 分 の周 波 数 を

(２)

と書 け ば(１)は (３)

と な る.  x (t)を あ る 抵 抗 を流 れ る 電 流 と し よ う.時

間 的 な 消 費 電 力 はx(t)2に

比例す

る.ｎ 集 団 の フ ー リ エ 成 分 の 瞬 間 的 な 電 力 を (４)

とす る.時 間 平均 を￣ で表 す と

(５)

で あ るか ら (６)   集 団 を 考 え,an,bnは

ガ ウ ス 分 布(σ

は 分 散) (７)

を して い る と す る.集

団 平 均 を<>で

表 し

(８)

とす る と (９)

た だ し,Δfnは 隣 り合 った周 波 数 の 間 隔 で

(10) を 意 味 す る.G(f)を

パ ワ ー ス ペ ク トル,あ

る い は ス ペ ク トル 密 度 と い う.

(11) す なわ ちG(f)の

積 分 は全 電 力 の集 団 平 均 を与 え る.

相関関数  定 常 ラ ンダ ム過 程x(t)に

おいて

(12) を相 関 関 数(自 己相 関 関数)と も 結 果 は 変 わ ら な い.そ

い う.時 間平 均 の う え に さ ら に集 団 平均 を と って

こで

(13) こ の 式 の σn2に(10)を

代入すれば

(14) あ るい は

(15) この 逆 変換 は

(16) と な る.(16),(17)を

ウ ィ ナ ー‐ ヒ ン チ ン(Wiener‐Khintchine)の

定 理 と い う.

パ ワ ー ス ペ ク トル と相 関 関 数 を 結 び つ け る式 で あ る.   【 例 】 た と え ば 緩 和 時 間 を τcと し て 相 関 関 係 を

(17) と す る と パ ワ ー ス ペ ク トル は

(18)

こ れ はf=0∼1/2π こ ろ で1/f2の

τcの範 囲 で ほ と ん ど 平 ら(白

い 雑 音)で

あ り,そ

れ以 上の と

形 で 減 少 す る ス ペ ク トル で あ る.

  【コ メ ン ト】

１次 元 ガ ウ ス 過 程 は,相

関 関 数 がC(τ)=e-τ/τcで 表 さ れ る 場 合 に

の み マ ル コ フ 的 で あ る こ とが 示 さ れ る.こ

れ を ドー ブ(Doob)の

定 理 と い う.

ナ イ キ ス トの 定 理  電 線 の 両端 の電 位 差 をＶ と し,電 線 の 抵 抗 を Ｒ とす る とV=V(t)と

熱 雑音 と

考 え る と,周 波 数 幅Δfに 対 して

(19) が 成 り立 つ.こ

れ を ナ イ キ ス ト(Nyquist)の

  【略 証 】 電 線 の 長 さ をｌ,断 面 積 をＡ

定 理 と い う.

と す る.電 流 は 電 子 に よ っ て 運 ば れ る も の

と し,２ 番 目の 電 子 の 電 線 に 沿 う ド リ フ ト速 さ をujと 個 の 電 子 が つ く る 電 流 はuje/lと

す る.電

考 え る こ と が で き る の で,こ

荷 をｅ と す る と １ れ に よ る電 位 差 は

(20) で あ る.u(t)=Σujあ

る い はV(t)=ΣVjを

ラ ンダ ム 過 程 とみ て 相 関 関 係 の緩 和

時 間 は τcであ る と仮 定 す る と

(21) こ こ で,Ｎ

は 電 子 の 総 数 で あ る.ウ

ィ ナ ー‐ ヒ ン チ ン の 定 理 に よ りパ ワ ー ス ペ ク

トル は

(22) 室 温 の 金 属 で は τc＜10-12秒 １に 比 べ て 無 視 で き る.ま

な の で,直

流 か ら マ イ ク ロ 波 領 域 ま で(2πf/τc)2は

た 抵 抗 Ｒ を 電 気 伝 導 度 σで 書 く と

(23) で あ る.ま た古 典統 計 を使 う と

(24) した が っ て

(25) こ こ で(13)に

より

(26) こ れ を(25)に

代入 すれば

(27) す なわ ちナ イ キ ス トの定 理 を得 る.

Tea

Time

白 い スペ ク トル   い ろい ろ の周 波 数 の振 動 を重 ね合 わ せ る と複 雑 な振 動,乱 雑 な振 動,あ

るいは

で た らめ の振 動 に な る.逆 に複 雑,あ るい は で た らめ にみ え る振 動 を そ れぞ れ が 一 定 の 周 波 数 を もつ い ろ い ろ な周 波 数 の 振動 の重 ね合 わせ で表 す のが フ ー リエ 分 解 で あ り,そ の振 動 が含 む周 波数 が スペ ク トル で あ る.   あ る ラ ン ダム 量x(t)を

と し集 団 平 均 を ラ ン ダム 過 程 に対 し

とす る と相 関 関 数 は

と な る.   こ こ でfnをｆ

と書 き パ ワ ー ス ペ ク トル σn2を (１)

とす る と相 関 関 数 は

と な る.こ

れ は 相 関 が 時 間 τcで減 少 す る 場 合 で あ る.(１)は0＜f＜1/2π

間 ス ペ ク トル が ほ と ん ど 一 定 で,f＞1/2π

τcの

τcで σnは 急 激 に 減 少 す る.

  次 に パ ワ ー ス ペ ク トル を (２)

とす る と

と な る.(２)は こ の 場 合,相

い わ ゆ る 白 い ス ペ ク トル(周 関 関 数 はt＞0で

波 数 に よ ら な い ス ペ ク トル)で,

た ち ま ち ０に な る こ と が わ か る.完

全 に 白 い スペ

ク トル は 理 想 的 な もの で 現 実 に は あ り え な い.   ブ ラ ウ ン運動 で揺 動 力 の相 関 関 数 を

と した(第26講)が,こ

れ も ブ ラ ウ ン運 動 をす る微 粒 子 が ま わ りの媒 質 の 分 子

に比 べ て 大 きい と した極 限で 理 想 化 され た もの で あ る.

索

ア 

行

応 答 関 数   196

逆 衝 突   26

応 力 テ ン ソル   116

キ ャベ ン デ ィ ッシ ュ実 験 研 究 所   35

ア イ ソ トー プ  13

オ ー ム の 法則  60

キ ャ リヤ ー  16

ア イ ンシ ュ タ イ ン  147,154,158,

重 い 原子 の運 動   137

吸

オ ンサ ー ガ ー の相 反 定 理  77

強 電 解 質   119

温度 勾 配  54,68

強 電 解 質 溶 液   119

180 ―の 関係 式  162,179 圧

力  １

  気 体 の―

極 性 分 子   84

カ 行

１

着   102

ア プ リオ リ確 率   34

解 析 関 数  94

偶 然 量 の 和   127

アボ ガ ドロ数  ２,14,154,158,159

界 面 化学  102

駆 動 力   76

ア ルダ ー転 移   101

ガ ウ ス 過程  182

ク ヌー ドセ ン効 果   79

ガ ウ ス(の 正 規)分 布   125,128,182

久 保 公 式   199 ク ラ ウ ジ ウス‐モ ソ ッテ ィの式  85

イ オ ン  119

化 学 ポ テ ン シ ャ ル  64,77

イ オン雰 囲 気   119

拡

イ オ ン分 極  87

  外 力 の は た ら く場 合 の― 

位 相 空 間  194

  気 体 の― 

１次 元格 子   140

  混 合 気 体 の― 

12

  流 れ の あ る― 

163

―の振 動   132

ク ラマ ース‐ク ロ ーニ ッヒ の(関 係)

散 160

式   90,91 ク ラマ ー ス 方 程 式   180

12

形 状 因 子   97

１体 分 布 密度   95

拡 散 方 程式   156,157,161,169,171

経 路 積 分   167,169

一 般化 され た 力   75

拡 散 率   13,56,149,162

ケ ル ビ ン  70

一 般 化 され た 流 れ   76

片 山 の式   103

易 動度  161,162

干 渉(波 の)  171

因 果律   91

緩  和   20

格 子振 動   137 ―に よ る 比 熱  73

  分 布 関数 の―  ヴ ィーデ マ ン‐フ ラ ン ツの 法 則  62

20

緩 和 時 間   21,63,81

ウ ィナ ー‐ヒンチ ンの 定 理   202

剛 体 球 の 気 体   132 剛体 球 分子   25 古 典統 計   33,64

ウ ラ ンの 分 離   58

基 礎 方 程 式(流 体 力 学 の)  113

固 有振 動   138

運 動(重 い 原子 の)  137

気

体

混 合 気 体 の拡 散   12

運 動 方 程 式   115

―の 圧 力   １

金平 糖   135

運動量の変化 １

―の エ ン トロ ピー  31

サ 行

―の 拡 散   12 液 体 アル ゴ ン  99

―の 熱 伝 導   11

最 隣接 分 子 数  100

Ｘ 線 回折   96

―の 粘性  ９,15,36

サ ザ ー ラ ン ドの 式  10

Ｈ 定 理  29,30

―の 輸 送現 象  ８,18

雑

音   200

エ トヴ ェ ッ シ ュの 式   102

  剛 体 球 の― 

エ ン ス コ ッグ  24

気 体 定 数  ２

散 乱(光 の)  109

エ ン トロ ピー(気 体 の)  31

気 体 分 子 運動 論  58

散 乱 強 度   98

132

ギ ブス の 自 由エ ネ ル ギ ー  121

砂 糖 水   124

引

磁  化  90

正 規 分 布  128

時間相関

正  孔  16

 速度 の― 

187

正 則 関 数  94

 電流 の― 

189

摂  動  194

 揺動 電 場 の―   揺 動 力 の― 

190 188,205

時 間的 な応 答  91

電  子 ―の 速 さ  67 ―の 平 均 速 度  66 電 子 ガス

ゼ ー ベ ック効 果  71

―の 消 散係 数  143

線形 応 答  193

―の状 態 方 程 式  123

線 形 格 子  125

電 子 分 極  87

次 元 解 析  17,19

電  場  68

次 元 式  18

相 関 関 数  75,202

自己 拡 散 率  13

双 極 子  84

自己 相 関 関 数  202

相 対 速 度  25

指 数 格子  134

相 反 定 理  76,79

自然 運動  195

―のゆ ら ぎ  187 電  流  64,66 ―の 時 間 相 関  189

 オ ンサ ー ガ ーの― 

77

同 位 体 の 分 離  58

遮 蔽距 離  121

層  流  37

自 由 エ ネ ルギ ー(ギ ブ ス の)  121

速 度 の時 間 相 関  187

導 関 数  94

集 団平 均  75

速 度 分 布  ３,30

動 径 分 布 関数  96,100

自 由電 子

組 織 化  59

特 性 関 数  129

ソニ ー ンの 多項 式  48

戸 田格 子  134

―の 比 熱  73  金 属 の― 

60

主 軸 変換  138

透 過 光  110

空 の 青  111

ドー ブの 定 理  203

ゾ ン マ ー フ ェ ル ト  62

トム ソ ン  70

ジ ュー ル熱  69

タ 行

順 衝 突  26

トム ソ ン係 数  70 トム ソ ン散 乱  96

詳細 釣 り合 い の 原 理  24

体 積 粘 性 率  117

トム ソ ン熱  69,70

消 散 係 数  110

ダ イ ポ ー ル  84

ドリフ ト速 度  81

 電 子 ガス の― 

123

状 態 方 程 式(電 子 ガ スの)  123

た たみ 込 み  128

ナ 行

断 熱 孤 立 系 の ゆ ら ぎ 74

衝 突 項  20,27,36,38

ナ イ キ ス トの 定 理  203

衝 突 パ ラメ タ  25

力(一 般 化 され た)  75

流 れ(一 般 化 さ れ た)  76 波 の 干 渉  171

消 費 電 力  201

チ ャ ップ マ ン  24,58

情 報量  33

中 央極 限定 理  129

情 報 理 論  33

直径(分 子 の)  ５

食塩 水  124

２体 分 布 密 度  95

白 い スペ ク トル  204

抵 抗 係 数  173

振  動  198   １次 元 格 子 の― 

２項 分 布  147,163

132

浸 透圧  122,165 振 動 電場  82

定 常 ラ ン ダ ム過 程  200

熱拡 散  54

テ イ ラー 級 数  94

熱 拡 散 比  57

デ バ イ  119

熱 拡 散 率  57

―の 式  86

熱 電 気  71

―の長 さ 121

熱 電 効 果  69

酔  歩  147

デ バ イ型 の分 散 式  87

熱 電 対  71

ス トー ク スの 粘 性 抵 抗  162

δ関数  91

熱 伝 導  77

スペ ク トル密 度  201

電 気 双 極  84

 気体 の― 

11

スモ ル コ フス キ ー  147

電 気 抵 抗 の 温 度 変化  15

 金属 の― 

61

スモ ル コ フス キ ー 方 程 式  166

電 気 伝 導  60,77,81

熱 伝 導 方 程 式  157

電 気 伝 導 度  89,189,198

熱伝 導 率  11,51

熱 伝能  71

フォ ッカ ー‐プ ラ ン ク方 程式   180

ポ ア ソ ン 方 程 式   120

熱平 衡   59

不 可 逆 過 程   76

ホ イ ヘ ン ス   171

熱 力学 的 関 係 式   103

複 素 感 受 率   198

熱 力学 的 重 率   33

複 素 数  93

ボ イ ル   16

熱 力学 ポテ ン シ ャル   121

複 素 電 導 度   83

ボ イ ル‐ シ ャ ル ル の 法 則   ２

熱  流   64

複 素 電 場   82

ポ テ ン シ ャ ル(分 子 間 力 の) 

粘 性(気 体 の)  ９,15,36

ブ ラ ウ ン  146,153

ボ ル ツ マ ン   24,27,44

粘 性 抵 抗(ス トー クス の)  162

ブ ラ ウ ン運 動   127,143,146,153,

ボ ル ツ マ ン 因 子   85,125

分 極 率   84

ボ ル ツ マ ン 定 数   ２,110,154 ボ ル ツ マ ン 方 程 式   20,24,36,62,63

  誘 電 率 の― 

配  向   84

分

87

―の 相 関  98

ハ ミル トニ ア ン  193

―の 直 径  ５

速

―の 速 さ  ３

  電 子 の― 

67

  ひず み の―    分 子 の― 

117 ３

マ  行

子

配 向分 極   84

さ

―の Ｈ 定 理   30

プ リ ゴ ジー ン 59

分  散   128

ハ  行

マ ク ス ウ ェ ル   14,16,24,28,34 ―の 速 度 分 布 則   ４ ―の デ モ ン  52

―の 速 さの 分布   ４

マ ク ス ウ ェ ル 分 子   43,45,47

―の 分 布  95

マ ク ス ウ ェ ル 分 布   ４,30,64,184

―の 分 布 関 数  104,113

マ ク レ オ ドの 式   103

原 島鮮   105

分子運動 １

マ ル コ フ 過 程   166

パ ワ ー スペ ク トル  201

分 子 間 力 の ポ テ ンシ ャ ル  107

マ ル コ フ 的  203

半 透 膜   165

分 子 衝 突   24,40

光 の 散 乱   109

分 子 数 密 度  95

水  117 密 度 の ゆ ら ぎ  109

―の 相 対 運動   45

ひず み の 速 さ  117

分 子 対 分 布 関 数  96

非 線 形 格 子   134

分 布(分 子 の)  95

比 抵 抗   61,189

分 布 確 率   148

比 電 気 伝 導 度  61

分 布 確 率 密 度  127

比

熱

  自由 電 子 の― 

73

73

ミク ロ状 態 の 数  32,33

無極性分子  84 毛細 管 現 象  102

分布関数

  格 子 振 動 に よ る― 

―の 緩 和  20   分 子 の― 

ヤ 行

104,113

日 の入 り  111

有極 性 分 子  84 誘 電 率  84,87

日の 出   111

平 均 自由 行路  ５,14

微 分 断 面積  25

平 均 速 度(電 子 の)  66

ヒ ュ ッケル  119

平 均 到 達 距 離  151,178

輸 送 係 数   113,191

表 面 張 力   102

平 衡 状 態 へ の 近接  29

輸 送 現 象(気 体 の)  ８,18

―の分 散  87

ペ ラ ン  154,158

ゆ ら ぎ  74,191

フ ァ イ ン マ ン   169

ペ ル テ ィエ係 数  70

  断 熱 孤 立 系 の― 

フ ァ ン ・デ ル ・ワ ー ル ス の 状 態 式

ペ ル テ ィエ効 果   70,72

  電 場 の― 

187

 

ベ ル ヌー イ の式  ２

 密度 の― 

109

ベ ル ヌ ー イ 分布  147

  臨 界 点 付 近 の― 

ポ ア ソ ン分布   133

揺 動 散 逸 定 理   191

14

フ ィ ッ ク の 法 則   161 フ ェ ル ミ準 位  77 フ ェ ル ミ-デ ィ ラ ッ ク 分 布   64

107

―の 原 理   32,33

176,185,205

粘 性 率  ９,14,21,37,50,117

濃 度 勾 配   12,54,161

―の 原 理   172

74

111

揺 動 電 場 の 時 間 相 関   189

ラ ン ダ ム現 象   200

臨 界 点 付 近 の ゆ ら ぎ  111 リン デベ ル クの 条 件   129

揺 動 力   173,176,187 ―の 時 間 相 関   188

リ ゥ ヴ ィル 演 算 子   194

―の 相 関 関 数  205

リ ゥ ヴ ィル の 定 理   194

レ イ リ ー  109

リ ゥ ヴ ィル 方 程 式   193

レ イ リ ー散 乱   109

流  体   113

連 続 方 程 式   114

余効 関 数   91

ラ  行

流 体 力 学 の 基礎 方 程 式   113

ラ ン ジ ュ バ ン   176,180

量 子 統 計  64

ロ ー レ ン ツ 場  85

ラ ン ジ ュ バ ン 方 程 式   176,182,187

臨 界 蛋 白 光   109

ロ ー レ ン ツ‐ロ ー レ ン ス の 式   87,

ラ ン ダ ム  199

臨 界 点   109

ラ ン ダ ム ウ ォ ー ク   147,155

110

MEMO

MEMO

著 者 戸田

盛

和

1917年  東 京 に生 まれ る 1940年  東 京大 学理学 部物 理学 科卒 業

現 在 東京教育大学名誉教授  ノル ウェ ー王 立科 学 アカデ ミー会 員  理 学博 士

物理学30講 シ リーズ ５ 定 価 は カ バ ー に 表 示.

分 子 運 動30講 1996年

６ 月20日

  初 版 第 １刷

2003年

９ 月10日

 

第 ４刷

著 者 戸

田

盛

和

発行者 朝

倉

邦

造

 株式 発行所 会社 朝

倉

書

店

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町6‐29 郵

便

番

号 

162‐8707

電  話   03(3260)0141

<検印 省 略> 〓1996<無

ISBN

FAX 

断 複 写 ・転 載 を 禁 ず>

4‐254‐13635‐8

C3342

03(3260)0180

シ ョウ ワ ドウ ・イー プ レス ・渡 辺 製 本

Printed in Japan

戸 田盛 和 ・宮 島龍 興 ・長 谷 田泰一 郎 ・小 林澈 郎 編 著

物 理 学 ハ ン ド ブ ッ ク(第

２版)

本 書 は 旧 版 以 来 の 「高 校 程 度 の 物 理 の 知 識 を も と に して これ を補 い発 展 させ て物 理 学 の 知 識 ・基 礎 お よび 実 際 的 な応 用 例 な ど を,く わ し く興 味 あ る 解 説 をほ ど こす 」とい う趣 旨 を徹 底 し,新 た な最 近 の 物 理 学 の 進 歩― ソ リ トン,カ オ ス,超 伝 導,ゲ ー ジ変 換 ,素 粒 子,形 状 記 憶 合 金,レ ー ザ ー 等― を大 幅 に 加 筆 ・訂 正 した 。 〔内容 〕力 学 ／ 変 形 す る

 

13053‐8 C3042

A5判 

物体 の 力 学 ／ 熱 と熱 力 学 ／ 電 気 と磁 気 ／ 光 ／ 電 子 と原 子／ 物 質 の 電 気 ・磁 気 的 性 質 ／ 電 子 の 利 用 ／

648頁  本 体15000円

素 粒 子 の世 界 ／ 宇 宙 ／ 学 者 年 表,物

H．J.グ レイ ／Ａ.ア イザ ッ ク ス  編 山口東理大  清 水 忠雄 ・上智大  清水文子監訳

本 書 は 第 ３版 で あ る。物理 学 の 源 流 は イ ギ リス に あ り,そ の 歴 史 を感 じ させ る用 語 ・解 説 が べー ス と な り,物 理 工 学 ・電 子 工 学 の 領 域 で重 要 語 と な っ

ロング マ ン

 物 理 学 辞 典(原 書３版) A5判 

13072‐4 C3542 

理 定数等

定 評 あ るLongman社 の"Dictionary of Physics" の 完 訳版 。原 著 の 第 １版 は1958年 で あ り,版 を重 ね

て い る最 近 の 用 語 も増補 され て い る。 解 説 も定 義 だ け の もの か ら,１ペ ー ジ を費 や し詳 解 した もの も 含 む 。 ま た 人 名 用 語 も数 多 く含 み,資 料 的 価 値 も 認 め られ る。 物 理 学 だ け に と ど ま ら ず工 学 系 の 研

824頁  本体27000円

究 者 ・技術 者 の座 右 の 書 と して 最 適 の 辞典

日中英用語辞典編集委員会編

日中英 対 照 物 理 用 語 辞 典 A5判 

13075‐9 C3542 

528頁 本 体12000円

神奈川大  桜 井邦朋著

物

理

学

の

考

え

方

―物理的発想 の原点 を探 る― 13060‐0 C3042 

A5判 

256頁 本 体4800円

物 A5判 

理

学

養

13032‐5  C3042 

の A5判 

物

理

学

144頁 本 体2500円

前阪大  大塚 頴三著

リ フ

レ ッ シ ュ 物 理 学

13064‐3  C3042 

A5判 

184頁 本 体3600円

代物理学 形成の経

緯 を歴 史的 な実 験 装 置や 数 値 も出 し なが ら具 象 的 に描 き 出す テ キ ス ト。 数 式 も出 て く るが,そ の場 所 で丁 寧 に説 明 して い る の で,予 備 知 識 は不 要 。 この一 冊 で 力学 か ら統一 理 論 に まで 辿 りつ け る ！

584頁 本 体7000円

前阪大  大塚頴三著

教

究者 の思 考 過 程 を も開 示 す る

理 論 物 理 学 界 の 第一 人者 が,現

代

13068‐6 C3042 

あ らゆ る 自然科 学 分 野 を と り入 れ る ま で に 発展 し た物 理 学 につ い て,そ の考 え 方,特 に 物 理 的発 想 とは どの よ うな ものか を,物 理 学 の 歴 史 の 中 か ら 種 々 の題 材 を選 び語 る。 物 理 学 史 と し て の側 面 を もつ と と もに,研

学習院大  江 沢  洋 著

現

日本 ・中国 ・欧米の物理 を学ぶ人々 および物理工 学 に関係 する人々に役 立つ よう,頻 繁 に使 われ る 物理 用語約5000語 を選 び,日 中英,中 日英,英 日 中の順 に配列 し,ど こか らで も用語が探 し出せ る よ う図った。 〔 内容〕 物理一般 ／力学／ 電磁 気／物 理数 学／相体論／ 連続体物理 ／光学／ 量子論／振 動,波 動／素粒 子／ 原子核 ／宇宙 ・地球物理 ／放 射線／電 子工学／ 計算機／ 熱力学／統計 力学／物 性物理／磁性体／ 半導体／ 結晶／超伝導／ 表面物 理／ Ｘ線／ 量子エレ ク トロニ クス／ その他

文 科 系 大 学 初 学 年 を主 対 象 に著 者独 特 の イ ラ ス ト を用 いて や さ し く解 説 。 〔内容 〕ニ ュ ー トン の ど う ど うめ ぐ り と慣 性 の法 則 ／ 壇 ノ浦合 戦 とガ リレ オ 変 換 ／ エ ネル ギー 保 存 則 が 破 れ る ？／ オー ム の 法 則 は雨 だ れ とと もに／ 電 子 が振 子 に な る話 ／ 他

永年 にわ た り物理教育 ・研究 に携わ り従来 の物理 教育の脱皮 を願 う著者が,豊 富な経 験 を基 に物理 学のエ レメン トを熱意 を込め て解 説。 〔 内容 〕 物理 通則 としての運動 の法則／流体 ・弾性体 ・剛体／ 静電界か らマ ックスウェルの 方程 式 まで／他

前日大  兼松和 男編著

物

理   A5判 

学

13030‐9  C3042

他)／ 電 磁 気 学(導 体,誘 電体,磁 性 体,他)／ 波 動 ・ 音 ・光 ／ 近 代 物 理 学(量 子 力 学,他)

192頁 本 体3400円

千葉工大  大 沼   甫 ・千葉工大  相 川文 弘 ・

千葉工大  鈴木 進著

は じ め か ら の 物 理 学   A5判 

13089‐9  C3042

216頁 本 体2900円

阪大  廣 岡正彦 著

物

理

学

序

説

―質 点 力 学 ・熱 力 学―   A5判 

13059‐7  C3042

208頁 本 体3400円

山口大  嶋 村 修 二 ・山口大  萩 原 千 聡 編著

基

礎

物 ― 波 動 ・光

  A5判 

13071‐6  C3042

理

学

・熱―

212頁 本 体3500円

東大  小 柳 義 夫 監 訳   法大  狩 野   覚 ・法大  春 日  隆 ・ 住友化学工業  善 甫康 成 訳

計 算 物 理 学― 13086‐4  C3042

  A5判 

基 礎 編

320頁 本 体4600円

東大  小 柳 義 夫 監 訳   法大  狩 野   覚 ・法大  春 日  隆 ・ 住友化学工業  善甫康成 訳

計 算 物 理 学― 13087‐2  C3042

  A5判 

物 理 量,法 則 な どの 定 式 化 とそ の 数 学 的 取 扱 い に 重 点 をお い て解 説。 〔内容 〕力 学(運 動,仕 事 とエ ネ ル ギー,剛 体,他)／ 熱 力 学(第 １法則,第 ２法 則,

応 用 編

212頁 本 体4400円

大学理工系の初学年生 のために高校物 理か らの連 続性に配慮 した教科書。 〔 内容〕 物体 の運動／力 と 運動の法則／運動 とエ ネルギー／ 気体 の性質 と温 度,熱 ／ 静電場 ／静磁 場／ 電磁 誘導 と交 流／付 録:次 元 と単位／微分／ ラジアン と三角 関数／他 理科 系教 養課程の教科書 〔 内容 〕 ベ ク トル／ ニュー トンの運 動法則／ガ レ リイの相対性原理／ 重力場 のなかの質 点の運動／仕事 とエ ネルギー／ 中心 力 と角運動保 存則／非慣性系／調和振動／連成振動 ／熱 力学 第 １,第 ２法則／熱力学 ポテンシャル 物理学 の基礎 としての「波動」「 光」 「熱」 の入 門テキ ス ト。 〔 内容〕波／波の反射,固 有振動／分散 と群 速度／電子波／光 と波動 ／幾何光学／光子／熱 と 熱力学／熱 力学 第 １法則／理想気体 ／熱力学第 ２ 法則／熱平衡状 態／ ミクロの世界 と熱力学 各 モデル を課題→理論→ 手法→プ ログラ ミング→ 検討の順 を追 って丁寧 に解 説。 〔内容〕数値 計算の 誤差 と不確実 さ／積分／ デー タ解析／ 決定理論世 界の ランダム現象／ モンテカルロ法／微分 方程式 と振動／量子力学 の固有値 問題／非調和振 動／他 〔内容 〕メモ リー とCPU／ 並 列 計 算 とPVM／ オブ ジ ェ ク ト指 向 プ ロ グ ラ ミン グ／ 熱 力 学 シ ミュ レ ー シ ョ ン／ 量 子 経 路 上 の 汎 関 数 積 分 ／ フ ラ クタ ル／ 静 電 ポ テ ン シ ャル ／ 熱 流 ／ 弦 を伝 わ る波 動 ／ ソ リ トン,KdV／ 閉 じ込 め られ た 電 子 波 束 ／ 他

矢部  孝 ・川 田重 夫 ・福 田 昌宏 著

パ ソ コン を使 っ た 物 理 の シ ミュ レー シ ョン を,代

シ ミ ュ レ ー シ ョ ン物 理 入 門

表 的 な"超 粒 子 モデ ル"を 用 い 理 論 か ら応 用 ま で解

―超粒 子モデルの世 界― 13044‐9  C3042

  A5判 

176頁 本 体3500円

動 力 学 ／ 天 体 物 理 ／ 核 融合 ／ 他

比企  能 夫 ・仁 平  猛・小澤 哲 ・高橋東之著

物

理

実

13054‐6  C3042

験

コ

  A5判 

ー

大 学 ・高 専 学 生 向 け の平 易 な解 説 の物 理 実 験 書 。 実 験 心 得,基 礎 測 定 〔実 験 技 術 の 習 得 〕,テ ー マ 別

ス

184頁 本体2900円

東京理科大学サ イエンス夢工房 編

楽

し

む

物

  B5判 

13090‐2  C3042

英国 クイー ン ズ カ レ ッジ Ｋ.ギ

前上智大  笠

理

実

験

144頁 本 体2900円

ッブ ス著

 耐訳

ゆ か 13084‐8  C3042

い

な 物 理

  A5判 

実

288頁 本 体3900円

説 。 〔内容 〕物 理 と コン ピュ ー タ／ 格 子 力 学 ／ 量 子 モ ン テ カ ル ロ／ 格 子 ガ ス セ ル オ ー トマ トン／ 分 子

験

実験 〔 実 験 を通 して 物 理 を理 解 す る〕で 構 成 。 とか く無 味 乾 燥 に陥 りや す い物 理 実 験 を,学 生 が 自発 的 か つ 目的 を明 確 に して学 べ る よ う工 夫 実 験 って 面 白 い ！身近 な道 具 や さ ま ざ まな工 夫 で 不 思 議 な 物 理 ワー ル ドを体 験 す る。 イ ラ ス ト多 数 〔内容 〕力 とエ ネ ル ギー を実 験 で確 かめ よ う／ 熱 っ て な あ に ？／ 静 電 気 で驚 こ う／ 単 振 動 ／ 磁 界／ 光 の 干 渉 ・屈 折 ／ 電 磁 誘 導 ／ 交 流 と電 波 ／ 電 流 ／ 他

30人 の生徒 を物理 の授業に惹 きつけ る秘訣 は ？ 「ゆかい な物理実験」を使 うこと。30年間の物理 の 授業 で体得 した興味深 く楽 しい600のア イデア を すべ ての現場教 師に贈 る。 〔 内容〕一般物理学／力 学／波 と光／熱物理 学／電磁 気学／現代物理学

  物 理 学30講

シ リー ズ<全10巻>

 著者 自 らの 言葉 と表現 で 語 りか ける大好評 シ リー ズ 戸田盛和著 物理 学30講 シ リー ズ１

一

般

力

学30講

A5判 

13631‐5  C3342 

208頁 本 体3600円

戸田盛和著 物 理 学30講 シ リー ズ２

流

体

力

学30講

A5判 

13632‐3  C3342 

216頁 本 体3600円

戸 田盛 和著 物 理 学30講 シ リー ズ３

波 動 と 非 線 形 問 題30講 A5判 

13633‐1  C3342 

232頁 本 体3700円

戸 田盛和著 物 理 学30講 シ リー ズ４

熱

現

象30講 A5判 

13634‐X  C3342 

240頁  本 体3700円

戸 田盛和著 物 理 学30講 シ リー ズ６

電

磁

気

学30講

A5判 

13636‐6  C3342 

216頁  本体3400円

戸田盛和著 物理 学30講 シ リー ズ７

相

対

13637‐4  C3342 

性

理 A5判 

論30講

244頁 本 体3800円

戸田盛和著 物理 学30講 シ リー ズ８

量

子

13638‐2  C3342 

力 A5判 

学30講 208頁 本 体3800円

戸 田盛和著 物 理 学30講 シ リー ズ９

物

性

13639‐0  C3342 

物 A5判 

理30講 240頁  本 体3500円

戸 田盛和著 物 理 学30講 シ リー ズ10

宇 宙 と 素 粒 子30講 13640‐4  C3342 

A5判 

212頁  本体3400円

力 学 の 最 も基 本 的 な と こ ろ か ら問 い か け る。 〔内 容 〕力の 釣 り合 い／ 力 学 的 エ ネ ル ギー ／ 単 振 動／ ぶ らん こ の 力 学／ 単 振 り子／ 衝 突／ 惑 星 の 運 動／ ラ グ ラ ン ジュ の 運 動 方 程 式／ 最 小 作 用 の 原 理／ 正 準変 換／ 断 熱定 理／ ハ ミル トン‐ヤ コ ビ の 方 程 式

多 くの親 しみや すい話題 と有名 なパ ラ ドッ クスに 富む流体 力学を縮 まな い完全 流体 か ら粘性流体 に 至 るまで解 説。 〔内容〕 球 形渦／ 渦糸／渦列／粘性 流体 の運動 方程 式／ポアズ イユ の流れ／ ス トー ク スの抵抗／ ず りの流れ／境界層／他 流 体 力 学 に続 くシ リー ズ第３ 巻 で は,波 と非 線 形 問 題 を,著 者 自身 の 発 見 の 戸 田格 子 を 中心 に解 説 。 〔内 容 〕ロ トカ ーヴ ォ ル テ ラの 方 程 式／ 逆 散 乱法／ 双 対 格 子／ 格 子 のＮ ソ リ トン解／２ 次 元KdV方 程 式／ 非 対 称 な剛 体 の 運 動／ 他 熱 の 伝 導,放 射,凝 縮 等 熱 を と りま く熱 現 象 を熱 力 学 か ら て いね い に展 開 して い く。 〔内 容 〕熱 力 学 の 第１,２ 法 則／ エ ン トロ ピー／ 熱 平 衡 の 条 件／ ミ ク ロ状 態 とエ ン トロ ピー／ 希 薄 溶 液／ ゆ ら ぎの 一 般 式／ 分 子 の 分 布 関 数／ 液 体 の 臨 界 点／ 他

〔内容〕電荷 と静電場／電場 と電荷／電荷 に働 く力 ／磁場 とロー レンツ力／磁場 の中の運動／電 気力 線の応力／電磁場のエネ ルギー／ 物質中の電磁 場 ／分極 の具体例／光 と電磁波／ 反射 と透過／ 電磁 波の散 乱／種々のゲー ジ／ラ グランジュ形式／他 〔 内容〕 光 の速さ／時間／ ロー レンツ変換／運動 量 の保 存 と質量／特殊相 対論的力学／ 保存法則／ 電 磁場 の変 換／テン ソル／一般相対 性理論の 出発 点 ／アインシュタインの テンソル／シュ ワル ツシル トの時空／光 線の湾曲／相対性理論 の検証／他 〔 内容〕 量 子／粒子 と波動／ シュレーデ ィンガー方 程式／古典 的な極 限／不確定性原理／ トンネ ル効 果／非線形振動／水素 原子／角運動 量／電磁 場 と 局所 ゲー ジ変換／散乱 問題／ ヴ リアル定理／ 量子 条件 とポアソン括弧／ 経路積分／調和 振動子他 〔 内容 〕 水素分子／元素 の周期律／ 分子性物質／ ウ ィグナー分布関数／理想気体／ 自由電 子気体／ 自 由電子の磁性 とホー ル効 果／フ ォ トン／ス ピン波 ／フェル ミ振子 とボー ス振子／低温 の電気抵抗／ 近藤効 果／超伝導／超伝導 トンネル効果／他 〔 内容〕宇宙 と時間／曲面 と超 曲面／閉 じた空間 ・ 開いた空間／重力場の方程 式／膨張宇宙 モデル／ 球 対称 な星／相対性理論 と量子力学／ 自由粒 子／ 水素類似 原子／電磁 場の量 子化／ くり込み理論／ ラム ・シフ ト／超 多時間理論／ 中間子の質量／他  上 記 価格(税 別)は2003年８

月現 在