ベクトル解析30講 (数学30講シリーズ)

は

し

が

き

 ベ ク トル 解 析 とい う主 題 の も とで,ど の よ うな題 材 を 選 んで か い た ら よい の か とい う こ とは,私 に は予 想 してい た よ りは るか に難 しい 問題 とな った.前 景 にお くべ き素 材 に は い くつ か の候補 が あ ったが,背 景 の色 調 が 決 ま らな い の で あ る.   ベ ク トル解 析 とい う分 野 は,古 典 力学 や電 磁 気学 の理 論 の 中 か ら,3次

元ベ ク

トルの 解析 学 として,数 理 物理 学 の一 分 野 と して 誕生 して きた もの で あ る.そ れ は19世 紀 後 半 の こ と と思 う.こ の誕 生 の過 程 か ら生 じた 物理 的 雰 囲 気 の 中 には, 古 典的 な くす ん だ 色合 い が いつ まで も残 って い て,そ の こ とが ベ ク トル解 析 を 現 代 数学 の 明 るい 日差 しの中 に 取 り入 れ る のを,妨 げ て い た よ うに み え る.実 際, ふ つ うは,ベ ク トル解 析 の こ とは,い か に も取 り扱 い に くそ うに,微 積 分 の教 科 書 の 最 後 に付 録 の よ うにつ け 加 え られ てい る.   この 古典 的 な 色 合 い を脱 した ベ ク トル解 析 の理 論 を新 た に 求 め る とした ら,一 体,ど の よ うな 方 向 を 目指 す べ き で あ ろ うか.解 析学 の 中 で,ベ ク トル 解 析 とし て独 立 に 取 り上 げ る よ うな も のが あ る のだ ろ うか.本 書執 筆 に 際 して,私 が 考 え なけ れ ば な らなか った の は この問 題 で あ った.   20世 紀 にな って,物 理学 は相 対 性理 論 や場 の量 子 論 を 生 んだ が,こ れ らの 中 に 盛 られ る数学 的 な形 式 は,単 に運 動群 で不 変 な ベ ク トル で は な くて,も

っ と一 般

の 座標 変 換 で不 変 で あ る よ うな物 理 量 が 取 り扱 え る もの が 望 まれ る よ う に な っ た.一 方,現 代数 学 の 中で も,微 分 幾 何学 や トポ ロジ ー の進 展 の 中か ら,一 般 の 座 標変 換 で不 変 で あ る よ うな 数学 的 な 対 象を 取 り扱 う場―

多 様 体―

が 登場 し

て きた.こ の歴 史 の 流 れ を見 て い る と,ベ ク トル 解 析を 支 え る背 景 の世 界 が変 化 して きた と考 え る方 が よい よ うであ る.   現 在 の 視点 に立 つ な らば,ベ

ク トル解 析 の主 題 は,一 般 の座 標 変 換 で不 変 で あ

る よ うな 解 析学 が 展 開 で き る よ うな,数 学 的 な形 式 を 確立 す る こ と と,そ の広 い 応用 を示 す こと にあ る と思 う.微 分 ・積 分 の 中で 用 い られ る形 式 は,座 標変 換 で

不 変 で あ る よ うには な って いな い.微 分 とい う演 算 は,も

とも と変 数 の取 り方 に

密 着 して い る.こ れ を,一 般 の座 標変 換 で 不変 であ る よ うな形 にか き直 す に は ど うした ら よいか.   これ に対 す る現 代 数 学 の 与 えた 解答 は,多 様 体 や フ ァ イバ ー ・バ ソ ドル の理 論 構 成 の 中 に 見 出す ことが で き る.し か し,ベ ク トル 解 析 の中 に,こ の よ うな 広汎 な理 論 を 取 り込む の は適 当 で は ない.ベ

ク トル 解析 は,や は り微 分 ・積分 の延長

上 にあ るべ きだ ろ う.こ の 考え に立 ってみ た とき,現 代 数学 の視 点 と も合 致 す る もの として,微 分 形 式 の理 論 が あ る.私 は,本 書 の主 題 を,微 分 形 式 の初 等 的 な 入 門 にお い た の で あ る.   微分 形 式 の理 論 は,外 積 代 数,ま た は グラ スマ ン代 数 とよば れ て い る代数 的 構 造 の上 に構 成 さ れ て い る.こ の ため,一 般 の人 は な か なか 近 づ き に くい の であ る.私 は こ の外 積 代 数 の理 論 も,ま た そ の過 程 で 導 入 され る テ ン ソル代 数 の こと も,ベ ク トル解 析 の 一 部 と考 えて よい ので は ない か と思 い,本 書前 半 に,で き る だけ わ か りや す くか くこ とを試 み て みた.ま た 微 分 形 式 の導 入 も,古 典 的 な グ リ ー ンの公 式 や ガ ウスの 定理 の中 に ,す で に微 分 形 式 へ と移行 す る萌芽 が あ った と い うこ とを 示す よ うに表わ し てみ た.読 者 が,微 分 形 式 の 拠 って立 つ場 所 を一 望 の下 に見下 ろ す よ うな 地 点 に,少 しで も近 づ くこ とが で きれ ば よい が と望 ん でい る.   終 りに,本 書 の 出版 に際 し,い ろい ろ とお 世 話 に な った 朝倉 書 店 の方 々に,心 か らお礼 申 し上 げ ます. 1989年4月

著

者

目

次

第1講 

ベ ク トル とは 

1

第2講 

ベ ク トル空 間 

8

第3講 

双対 ベ ク トル空 間 

第4講

  ベ ク トル空 間 の双 対 性 

第5講 

双 線 形 関数 

16 23 30

第6講

  多重 線形 関数 とテ ン ソル空 間 

37

第7講

  テ ン ソル代 数 

45

第8講 

イ デ ヤ ル 

52

第9講 

外 積 代 数 

60

第10講 

外積 代 数 の 構造 

68

第11講   計 量 を もつ ベ ク トル空 間 

77

第12講 

正規 直 交 基 底 

84

第13講 

内積 と基 底 

91

第14講 

基底 の変 換 

99

第15講 

R3の ベ ク トル の外積 

107

第16講

 グ リー ンの公 式 

114

第17講

 微 分 形式 の導 入 

122

第18講

  グ リー ンの公 式 と微 分形 式 

130

第19講

  外 微 分 の不 変 性 

139

第20講

グ リー ンの 公式 の不 変 性 

148

第21講 

R3上 の微 分 形式 

156

第22講

  ガ ウスの 定理 

164

第23講

 微 分 形 式 の引 き戻 し 

172

第24講   ス トー クスの 定理 

180

第25講   曲面上 の局 所 座標 

188

第26講   曲面上 の微 分 形式 

196

第27講

203

 多 様 体 の定 義 

第28講   余接 空 間 と微分 形式 第29講  接

空

間 

第30講   リー マ ン計量 

索

引

 210 217 224

  231

第1講 ベ ク トル と は

テ ー マ

◆ 風 向 き を表 わ す 矢 印 ◆ 高 速 道 路 の 自動 車 の 流れ を 示す 矢 印 ◆ 磁 石 の働 きを示 す 矢 印 ◆ 力学 とベ ク トル ◆ ベ ク トル の 和 とス カ ラー積 ◆ 抽 象 数 学 の 中で の ベ ク トル―

加法 とス カ ラー積 の 演算 だけ に注 目

◆ 線 形 代 数 とベ ク トル解 析

風向きを表わす   最近 に な って,天 気 予 報 の テ レ ビ画 面 で は,と き ど き風 向 きや 波 の高 さ まで 図 示 す る よ うに な って き た.「 明 日は,東

京 地方 は南 風,房

総半 島 南 部 では 南 東 の

風 が 吹 くで し ょ う」 とい う予 報 が伝 え られ る と同時 に,テ レ ビ画 面 に は 関東 地方 の 地 図 を示 した画 面 が現 わ れ て,東 京 には 南 か ら北へ 向か う矢 印を お くこ とに ょ って,館 山 の あた りに は南 東 か ら北 西 へ 向か う矢 印 をお くこ とに よ って風 向 きが 示 され て い る.各 地 の風 向 きが 一 目瞭 然 として,な か なか よい と思 う.夏 の暑 い 宵 な ど,画 面 を見 なが ら,あ のあ た りは北 か ら風 が 吹 き渡 って涼 しそ うだ,な ど と感 じてい る.   しか し欲 を い え ば,風 向 き の強 さに よ って,矢 印 の長 さ も変 え てか か れ てい る な らば も っ と よい だ ろ う.風 速 に よ って矢 印 の長 さを調 節 す る.そ うす る と無 風 状 態 の と ころは,長 さ0の 矢 印―

点―

に よ っ て示 され る こ とに な るだ ろ う.

も っ とも テ レ ビを よ く観 察 したわ け で は な いか ら,あ る いは そ れ に近 い 工 夫 は, す で に な され てい るの か も しれ な い.   見 る方 の楽 しみ だ けか らい えば,雲 の流 れ を 人 工 衛 星か らの 画像 を 通 して動 的

図1

に見 せ て い る よ うに,1時

間 き ざみ で1日 の 風 の変 化 を,矢 印 の変 化 で示 して く

れ る とも っ と面 白 い と思 う.   いず れ に して も,あ る地 点 で どれ だ けの 強 さ の風 が,ど の方 向 か ら吹い て くる かを 示 す に は,そ の地 点 か ら風速 に 比例 した 長 さ の矢 印 を,風 向 きの方 向 に地 図 に記 す の が 一番 適 し てい る.   図1で,そ

の よ うな風 を 示す 図を 描 い てお い た.こ の 図 で,東 京 と水戸 で は,

同 じ方 向 に 同 じ長 さ の矢 印 が 引か れ て い る.し たが って東 京 と水 戸 で は,同 じ方 向 に,同 じ風 速 の風 が 吹 い て い る こ とがわ か る.ま た,横 浜 と館 山 で も,南 の 方 か ら同 じ風 が 吹 い て い る.熊 谷 では,ほ

とん ど風 の ない状 態 とな って い る.

高速道路の車の流れ 高 速 道 路 を走 って い るた くさん の 自動 車 を考 え よ う.あ る時 刻 に おけ る,こ れ らの 自動 車 の流 れ と動 きを見 や す く表 示 す るため に は,そ の時 刻 におけ る各 自動 車 の進 む 方 向 に 合わ せ た,速

さに比

例 した長 さを もつ 矢 印 を,各 自動 車 に付 す と よい.図2で

は,こ の よ う

に して片 側2車 線 の 高 速道 路 で の 自 動 車 の動 きを 図 示 して あ る.内 側車 図2

線 を走 ってい る車 に 比 べ る と,外 側 車線 を走 って い る車 の ス ピー ドは落 ちて い る.   この場 合 で も,2つ

の 自動 車 に対 して,同 じ長 さの 矢 印 が 同 じ方 向 に 向け て 引

か れ て い る とい うこ とは,そ の 時刻 で,2つ

の 自動 車 が,同 じ速 さ で,同 じ方 向

を 目指 して走 ってい る ことを意 味 して い る. 磁

力

線

  同 じ よ うに矢 印 で示 され る もの と して,電 場 や 磁場 の強 さが あ る.   砂 鉄 を集 め て きて,紙 の上 に撒 い て,下 か ら磁 石 を あ て る とど うな るか とい う こ とは,誰 し も一 度 くらいは,子 供 の と き確 か め た こ とが あ るだ ろ う.あ るい は 小学 校 の理 科 の実 験 の とき試 み た こ とが あ るか も しれ な い.砂 鉄 は,磁 力 の 向 く 方 向に した が って並 び,全 体 とし て,1つ

の極 か ら他 の極 へ 向け て の流 れ の よ う

な パ タ ー ンを 紙 の上 に描 く.こ の流 れ は,磁 力 に よ ってつ くられ た磁 場 を示 して い る.お の お の の 砂鉄 の粒 に,そ

こに働 く磁 石 の 力 の 大 き さ に比 例 した長 さを も

ち,流 れ の 方 向 に走 る矢 印を 付 与す る と,こ れ らの 矢 印 の分 布 は,全 体 として 磁 場 を表 わ す ことに な る.矢 印を 十分 短 くか い て,順 次 結 ん で い く と,し だい に1 つ の流 れ を表 わ す よ うに な っ て くる.こ れ が,砂 鉄 の示 す 磁 力 線 とな る.   この場 合,矢

印 は 砂鉄 に働 く磁 力を 示 してい る.

力 学 と ベ ク トル   この よ うに,物 理 現 象 と して生 ず る さ まざ まな運 動 や 力を 記 述す る には,そ れ らを矢 印で―

一層 正 確 に は,向 き と方 向 と長 さを もつ 量 に よ って―

表 現す る

の が適 当 であ る場合 が 多 い.   この よ うに,向 き と方 向 と長 さに よ って 決 ま る量 を ベ ク トル とい う.ベ ク トル の概 念 は まず 力学 の中 で誕 生 した.現 在,力 学 や 電磁 気 学 の教 科 書 を 見 る と,こ れ らの 理 論 は,ベ ク トル の概 念 を 積極 的 に用 い て展 開 され て い る こ とがわ か る. しか し,ベ ク トル 表 現が 力 学 に 用 い られ る よ うに な った の は,実 は そ う古 い こ と で は な く,歴 史 的 に は,1880年

頃 の ギ ブ ス(Willard

Gibbs)に

よる 力学 の 講 義

が は じめ ら しい とい う(『古 典 物 理学Ⅰ 』(岩 波講 座)).   ベ ク トルの 概念 の重 要 さは,ま ず 力学 の 中 で実 証 され,そ れ が数 理 物 理 学 を 経 由 して,数 学 の 中 に流 れ 込 ん で き たの だ ろ う.   力学 が 明 らか に した こ とに よる と,2つ それ ぞれ1辺

の ベ ク トルxとyの

和 は,xとyを

とす る平 行 四辺 形 の 対 角 線 の表 わ す ベ ク トル と して定 義 す るのが,

最 も自然 な こ とで あ る とい うこ とで あ った.実 際,xとyが,あ を表 わ して い る とす る と,xとyを

る質点 に働 く力

同時 に この 質点 に 働か せ た ときの 力 は,こ の

対 角 線 の 表わ すベ ク トル とし て表示 され る.   ま た ベ ク トルxを2倍,3倍,… る こ とは,こ

とす

の ベ ク トル の 向 き と方 向 を

保 っ た ま ま,長

さ だ け を2倍,3倍,…

と す る こ とが 最 も 自 然 の 解 釈 で あ り,ま た,−2倍,−3倍

と す る こ とは,ベ

トル の 向 き だ け 変 え て か ら,長 倍,3倍,…

とす る こ と が,最

ク

さ を2

図3

も 自 然 な 考 え で あ る こ と もわ か っ た.

抽 象 数 学 の 中 で の ベ ク トル   数 学 者 もは じめ の うちは,物 理学 者 と同 じ よ うに,平 面 の ベ ク トルや,空 間 の ベ ク トル を 考 え てい たが,や が て20世 紀 とな っ て,抽 象数 学,特 に抽 象代 数 学

の 考 え が 進 ん で く る と,ベ

ク トル とい う概 念 を,は

ま で 昇 華 し て し ま った の で あ る.数  加

学 者 は,ベ

るか に一 般 的 な数学 の対 象 に

ク トル の 中 に あ る 基 本 演 算

法:x+y

  ス カ ラ ー 積:実

数α に 対 し て,xをα

倍 し て,αxを

つ く る演 算

だ け に 注 目 し た.   そ し て,こ

れ ら の 基 本 演 算 が 図3の

象 も ひ と ま ず 忘 れ る こ と に した.こ で き る 演 算―

ス カ ラ ー 積―

よ う に 表 示 で き る と い う よ うな 直 観 的 な 表

の よ う に し て,加

法 と,実

数α に 対 し てα 倍

だ け が 許 さ れ る 抽 象 的 な 対 象 が 登 場 し て き た.こ

の 対 象 の 集 ま りを ベ ク トル 空 間 とい い,そ

の 元 を ベ ク トル と よぶ こ と に し た の で

あ る.も

くつ か の 関 係 が み た さ れ て い な くて は

ち ろ ん こ の 基 本 演 算 の 間 に は,い

な ら な い.こ

れ は 第2講

  こ の よ うに,図3の る 考 え 方 を,ベ

で 述 べ る こ と に し よ う. よ うな2次

元,3次

元 に お け る直 観 的 な 表 示 を 用 い て 考 え

ク トル の 概 念 の 中 か ら取 り去 った た め,た

組(x1,x2,…,xn)も1つ

と え ば,実

数 のn個

の

の ベ ク トル 空 間 を つ くる と考 え る こ と が で き る よ うに

な っ た. x=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn) に 対 し て,加

法は x+y=(x1+y1,x2+y2,…,xn+yn)

に よ り,ま た ス カ ラ ー 積 は,実

数α に 対 し て

α x=(αx1,αx2,…,αxn) と定 義 す る の で あ る.   ベ ク トル の 許 す2つ

の 基 本 演 算,加

言 葉 で 引 用 され る よ うに な り,線 と き の,広

法 とス カ ラ ー 積 は,現

在 では 線 形 性 とい う

形 性 とい う こ の 性 質 は,現

代 数学 の 対 象 を 見 る

い 視 点 を 与 え る こ と に な っ た.

線 形 代 数 とベ ク トル 解 析  線形 性 を基 本 的 な 性 質 として もつ ベ ク トル 空 間の構 造 を,代 数 的 な 立場 か ら詳 し く調 ベ るの が線 形 代 数 で あ る.線 形 代数 では,ベ

ク トル空 間 の構 造 や,ベ

ル空 間 か らべ ク トル空 間へ の写 像 で,線 形 性 を 保つ もの―

クト

線 形 写像― ーの性 質

を,行

列 表 示 を 用 い な が ら,徹

  一 方,た

底 し て 調 ベ て い く.

とえ ば 最 初 に 述 べ た 風 向 き を 示 す ベ ク トル の よ うな と き に も,時

々 と変 化 す る 風 向 き の 変 化 の 模 様 を 調 べ よ う と す る と,時 ク トルx(t)が 後3時

登 場 し て くる だ ろ う.正

か ら3時

ま で の 間 に,ど

の と き,東

ク トル の 変 化 を 調 べ る の は,ベ

  た と え ば,高

速 道 路 を 走 る1台

は,時

お く と,こ

間tに

の 自 動 車の 速 度 ベ ク トル を,時

な どを,日

間 の 関 数 として

微分

の 自動 車 の 加 速 度 を 示 し て い る.

Tea

質 問   nが4以

ク トル 解 析 の 分 野 で あ る.

の 変 化 の模 様 を 記 述 す るx(t)の

お け る,こ

京 の 風 向 き を 示 す ベ ク トル

の よ うに 変 化 し て い った の だ ろ うか.

こ の よ う な,ベ

x(t)と

関 数 とし ての ベ

午 に は 東 京 は 南 風 が 吹 い て い た の に,午

に は 東 風 に 変 わ っ て い た とす る.こ

x(t)は,tが0時

間tの

々刻

上 の と き も,n個

Time

の 実 数 の 組 か ら な る ベ ク トルx=(x1,x2,…,xn)

常 考え る こ と が あ る の で し ょ うか.

答   2次 元,3次

元 の ベ ク トル に は,背

後 に物 理 空 間 の イ メー ジがつ ね につ き ま

と うか ら,n個

の 実 数 の 組(x1,x2,…,xn)の

つ くる ベ ク トル 空 間―n次

ク トル 空 間―

に 対 し て も,何

うす る と,n次

元 ベ ク トル とい うの は い か に も神 秘 的 で,数

元べ

か 背 景 に 空 間 的 な イ メ ー ジ を 設 定 し た くな る.そ 学 者 しか 扱 え な い 対

象 に み え て く る.   だ が 実 際 は,数

学 は ベ ク トル の 概 念 の 中 に,加

い とい う立 場 を と った の だ か ら,空 ま っ た こ と に な る.そ

法 と ス カ ラ ー 積 しか 認 め て い な

間 的 な イ メ ー ジ とは ひ と ま ず 切 り離 され て し

の た め ご く 日常 的 な と こ ろ に も,n次

元 ベ ク トル の 考 え は

入 っ て き て い る の で あ る.   た と え ば,あ

る 商 店 が3個

の 商 品A,B,Cを

毎 日,売

上 高 か ら仕 入 値 を 引 い た 純 益 をA,B,Cの

わ し,こ

の 値 を 見 て,次

扱 っ て い る とす る.店

の 主 人 は,

順 に 並 べ て,(x1,x2,x3)と

の 日の 仕 入 れ を 考 え て い る.た

表

と え ば あ る 日の デ ー タ が

(−10000,20000,5000) とい う こ とは,Aに が あ り,Cに

つ い て は1万

つ い て は5千

円 の 欠 損 が で た が,Bに

円 の 利 益 が あ っ た こ と を 示 し て い る.し

の 日 の 純 益 は−10000+20000+5000=15000(円)で で は,こ

あ る が,商

円 の利 益

た が っ て,こ

品を 仕 入れ る立 場

の 値 だ け 知 れ ば よ い とい うわ け に は い か な い だ ろ う.店 の 主 人 に と っ て

関 心 の あ る の は,3次

元 の ベ ク トル(x1,x2,x3)の,日

  同 じ よ う に 考 え れ ば,n≧4の は,お

つ い て は2万

と き で も,n個

ご と の 変 化 の 模 様 で あ る. の 商 品 を 扱 う商 店 の 主 人 の 関 心

のお のの 商 品 の純 利 益 (x1,x2,…,xn)

の 毎 日 の 変 化 だ ろ う.こ

の 関 心 の あ る と こ ろ を 数 学 的 に 見 れ ば,主

n次 元 ベ ク トル 空 間 の 中 の,ベ

人 の 関 心 は,

ク トル の 変 化 に あ る と い っ て よ い だ ろ う.午 前 中

の 仕 入 れ に 対応 す る利 潤 が x=(x1,x2,…,xn) で あ り,午

後 の 仕 入 れ か ら得 た 利 潤 が, y=(y1,y2,…,yn)

な ら ば,1日

の 利 潤 を 表 わ す ベ ク トル はx+y=(x1+y1,x2+y2,…,xn+yn)と

る だ ろ う.こ

の ご く 日常 的 な 考 え の 中 に も,す

し て 表 わ さ れ る'と い の で あ る.

い う空 間 的 な 表 象 は,完

で に'和

な

は 平行 四辺形 の対 角 線 と

全 に 消 え て い る こ と に注 意 し て ほ し

第2講 ベ ク トル 空 間

テー マ

◆ これ か らの プ ラン ◆ ベ ク トル空 間 の 定義 ◆1次

独 立 と1次 従 属

◆ 有 限 次 元 の ベ ク トル空 間 ◆ 基底 ◆(Tea

Time)同

型 なベ ク トル空 間

これ か らの プ ラ ン   ベ ク トル解 析 を学 ぶた め に は,ま ず ベ ク トル空 間 の こ とを よ く知 ってお か な く て は な らな い.し た が って,ベ

ク トル 空 間 の こ とか ら話 を は じめ る こ とにす る.

しか し,ベ ク トル解 析 を 見通 し よ く進 め てい くた め には,単 にベ ク トル空 間 の 線 形 的 な性 質 だ け で は な くて,さ

らにベ ク トル空 間 の上 に構 成 され る外 積 代 数(グ

ラス マ ン代数 ともい う)の 知識 も必 要 とな る.実 際,こ の外積 代 数 とい う概 念 は, ベ ク トル解 析 にお け る最 も重 要 な 概念―

微分 形 式―

と密接 に 関係 して くる の

で あ る.   これ か ら第11講

までは,ベ

ク トル空 間 の一 般 的 な理 論 か らは じめ て,外

積代

数 を 構成 す る道 を進 む こ とに す る.次 に計量 を 入れ た ベ ク トル空 間 の 場 合 を論 ず る こ とにす る.こ の代 数 的 な 枠組 の中 で 述べ られ てい る理 論構 成 全 体 は,そ れ 自 身 興 味深 い ものが あ って,現 代数 学 にお け る考 え方 が,い ろ い ろ な面 で反 映 して い る と ころが あ る.   これ らの こ とを 述べ た 上 で,第16講 解 析 の主 題 に入 る こ とにす る.

か ら,舞 台 を 解 析へ と移 して,ベ ク トル

ベ ク トル 空 間 の 定 義   こ れ か ら は,Rと の 中 で は,四

か く とき に は,Rは

則 演 算 が 自 由 に で き る(た

【定 義 】  も の の 集 ま り(集 合)Vが,R上 対 し て,和

と よ ば れ る 演 算+が

に 対 し て,ス

実 数 全 体 の 集 ま りを 示 す こ と に す る.R だ し,0で

割 る こ と だ け は で き な い).

の ベ ク トル 空 間 で あ る と は,x,y∈Vに

あ っ てx+y∈Vが

決 ま り,ま た 実 数α とx∈V

カ ラ ー 積 と よ ば れ る 演 算 が あ っ てαx∈Vが

算 規 則 ① ∼ ⑧ を み た す と き で あ る.な お,Vの

元x,yな

決 ま り,こ れ らが 次 の 演 どを ベ ク トル とい う.

  ①   x+y=y+x   ②  (x+y)+z=x+(y+z)   ③   す べ て のxに

対 し,x+0=xを

成 り立 た せ る よ うな ベ ク トル0が

ただ

1つ 存 在 す る.   ④   お の お の のxに だ1つ

対 し,x+x′=0を

成 り立 た せ る よ うな ベ ク トルx′ が た

存 在 す る.

  ⑤   1x=x   ⑥ α(βx)=(α

β)x

  ⑦ α(x+y)=αx+αy   ⑧  (α+β)x=αx+βx   ③ で 存 在 を 要 請 し た0は,零

ベ ク トル と よば れ て い る.零

と は概 念 と し て は ま っ た く異 な る も の で あ る が,全 い.実

ベ ク トル と数 の0

然 無 関 係 とい うわ け で は な

際 0x=0 

(1)

が 成 り立 つ.   これ を 示 す に は,⑧

か ら 0x=(0+0)x=0x+0x

こ の 両 辺 に ④ で 存 在 が 保 証 さ れ て い る(0x)′

を 加 え て ② と③ を 用 い る と

0=0x+{0x+(0x)′}=0x+0=0x こ れ で(1)が

示 さ れ た.

  ④ で 存 在 を 要 請 し たx′ を−xと

か く.こ

こ で マ イ ナ ス 記 号 を 使 っ て も混 乱 が

生 じない の は (−1)x=−x が 成 り立 つ か らで あ る.   実 際,0=0x=(1−1)x=1x+(−1)x.こ   以 下 で は,R上

の 式 は(−1)x=−xを

の ベ ク トル 空 間 し か 取 り扱 わ な い の で,'R上

単 に ベ ク トル 空 間 とい う こ と に す る.ベ

ク トルxに

た ぶ ん 物 理 の 方 か ら 生 じ た よ び 方 で あ ろ うが),実 う こ と も あ る.αxを 【例1】

示 し て い る.

ス カ ラ ー積 とい うの は,こ

与 え られ た 自然 数nに

対 し て,n個

の'を

省 い て,

対 応 す る 言 葉 と し て(こ れ も 数α の こ とを ス カ ラ−α

とい

の 語 法 に 基 づ い て い る.

の 実数 の 組

(x1,x2,…,xn) の 全 体 は,前

講(5頁)で

と に よ り,ベ

ク トル 空 間 と な る.こ

い,Rnで 【例2】 C[0,1]と

述 べ た よ うな 仕 方 で,加

法 とス カ ラー積 を定 義 す る こ

の ベ ク トル 空 間 をn次

元 数 ベ ク トル 空 間 と い

表 わ す. 数 直 線 上 の 閉 区 間[0,1]上 す る.f,g∈C[0,1]に

で 定 義 され た 連 続 関 数 全 体 の つ くる 集 合 を 対 し

(f+g)(t)=f(t)+g(t),(αf)(t)=αf(t) とお い て,加

法f+gと,ス

カ ラ ー積αfを

定 義 す る.こ

の と きC[0,1]は

ベ クト

ル 空 間 と な る.

1次

  Vを ベ ク トル 空 間 とす る.Vの

独 立 と1次

従 属

有 限 個 の ベ ク トルx1,x2,…,xrが

与 え られた と

き, α1x1+α2x2+…+αrxr の 形 で 表 わ さ れ るベ ク トル を,x1,x2,…,xrの1次   y,zをx1,x2,…,xrの1次

結 合 で あ る と い う.

結 合 で あ る と し, y=α1x1+α2x2+…+αrxr z=β1x1+β2x2+…+βrxr

とす る.こ か し,そ

の と き,α1=β1,α2=β2,…,αr=βrな う で な く と もy=zと

らば,明

な る 場 合 も あ る.た

らか にy=zで

と え ば3つ

あ る.し

の ベ ク トルx1,x2,

x3を

とった とき x2=x1+x3

と な っ て い る と す る.こ

の と きx1,x2,x3の1次

結 合 と し て 表 わ さ れ る2つ

の ベ

ク トル y=x1+x2+x3 z=2x1+0x2+2x3 を 見 る と,y,zを  

表 わ すx1,x2,x3の

係 数 は 違 う が,y=zと

こ の よ う な こ と が 起 き る か 起 き な い か は,x1,x2,…,xrの

【定 義 】y,xをx1,x2,…,xrの1次

な っ て い る. と り 方 に よ っ て い る.

結 合 と し, y=α1x1+α2x2+…+αrxr z=β1x1+β2x2+…+βrxr

と す る.y=xと

な るの は α1=β1,α2=β2,…,αr=βr

の と き に 限 る と き,x1,x2,…,xrは1次   零 ベ ク ト ル はx1,x2,…,xrの1次

独 立 で あ る と い う. 結 合 と し て 表 わ す こ と が で き る.

0=0x1+0x2+…+0xr も し,x1,x2,…,xrが1次 だ か ら,ま

独 立 な ら ば,0を

表 わ す 表 わ し 方 は,こ

れ しか ない の

ず 次 の 命 題 の 必 要 性 が わ か る.

x1,x2,…,xrが1次

独 立 で あ るた め の 必 要 かつ 十 分 な 条 件 は 次の 性 質

が 成 り立 つ こ と で あ る. α1x1+α2x2+…+αrxr=0 と な る の は,α1=α2=…=αr=0と

  条 件 が 十 分 な こ と:い

な る と き に 限 る.

ま こ の 条 件 が 成 り立 っ て い る とす る.こ

の とき

α1x1+α2x2+…+αrxr=β1x1+β2x2+…+βrxr が 成 り立 て ば (α1−β1)x1+(α2− β2)x2+…+(αr− か ら,α1=β1,α2=β2,…,αr=βrと 【定 義 】x1,x2,…,xrが1次

な り,こ

βr)xr=0

れ で 条 件 が 十 分 な こ とが 示 され た.

独 立 で な い と き,1次

従 属 で あ る とい う.

x1,x2,…,xrが1次

従 属 と す る.こ

の と き,あ

るαi≠0で

0=α1x1+…+αi−1xi−1+αixi+αi+1xi+1+…+αrxr と い う 関 係 が 成 り 立 つ.し

たが って

す な わ ち,x1,x2,…,xrが1次 xi−1,xi+1,…,xrの1次 は,1xiと

従 属 な ら ば,こ 結 合 と し て 表 わ

い う 表 わ し 方 が あ る の に,一

さ れ る.逆

り のx1,…,

に こ の 性 質 が あ れ ば,xiに

方 で は,x1,…,xi−1,xi+1,…,xrの1次

結 合 と し て も 表 わ さ れ る こ と に な り,xiに x1,x2,…,xrは1次

の 中 の あ るxiは,残

は2通

り の 表 わ し 方 が 可 能 と な っ て,

独 立 で は な い こ と に な る.

有 限 次 元 の ベ ク トル空 間   ベ ク トル 空 間Vが 数rに

つ い て,次

与 え られ た と き,そ の 中 に 含 ま れ る1次 の2つ

  (ⅰ)  あ る 正 数Kが

独 立 な ベ ク トル の 個

の うち の ど ち らか の 場 合 が 生 ず る こ と に な る. あ っ て,1次

独 立 な 元{x1,x2,…,xr}に

対 し て,つ

ねに

r≦K.   (ⅱ)  ど ん な 大 き い 正 数Kを r≧Kと

と っ て も,あ

る1次

独 立 な 元{x,x2,…,xr}で,

な る も の が 存 在 す る.

  (ⅰ)の と き,ベ

ク トル 空 間Vは

有 限 次 元 で あ る と い い,(ⅱ)の

と き,Vは

無限

次 元 で あ る とい う.   有 限 次 元 の ベ ク トル 空 間 に 対 し て は,1次

独 立 な ベ ク トル{x1,x2,…,xr}を

い ろ い ろ と っ て み て も,ベ

一 定 数 を 越 え な い の だ か ら,rが

ク トル の 個 数rは

大 と な る よ う な も の が 必 ず 存 在 す る.そ

最

の と き 次 の こ と が 成 り立 つ こ と が 知 ら れ

て い る.

【定 理 】Vを と す る.こ

有 限 次 元 の ベ ク トル 空 間 と し,1次

独 立 な ベ ク トル の 最 大 個 数 をn

の と き 次 の こ とが 成 り立 っ て い る.

  (ⅰ)  {x1,x2,…,xn}をn個 ベ ク トルxは,た

だ1通

の1次 りに

独 立 な ベ ク トル と す る.こ

の と き,任

意の

と 表 わ さ れ る.   (ⅱ) 

{y1,y2,…,ys}(S≦n)を1次

る ベ ク トルys+1,…,ynか

独 立 な ベ ク トル と す る.こ

の と き,必

存 在 し て{y1,y2,…,ys,ys+1,…,yn}は1次

ず あ

独 立 と な

る.

【定 義 】

有 限 次 元 の ベ ク トル 空 間Vに

を,Vの

次 元 といい

お い て,1次

dim

独 立 な ベ ク トル の 最 大 個 数n

V=n

で 表 わ す. 【定 義 】Vをn次

元 の ベ ク トル 空 間 と す る.こ

ル{e1,e2,…,en}をVの   定 理 の(ⅰ)に し て た だ1通

の と き,n個

の1次

独立 なベ ク ト

基 底 と い う. よ っ て,Vの

任 意 の ベ ク トルxは,e1,e2,…,enの1次

り に 表 わ され る.こ

結合 と

れを

(2) の よ う に 表 わ す こ と に し よ う.   (2)の

よ う に 指 標 を 上 に つ け た り,下

に つ け た りす る こ とは,い

は わ ず らわ し い よ う に み え る か も し れ な い が,こ

の 記 法 の 有 効 性 は,お

まの段 階 で い おい わ

か っ て くる だ ろ う.   ベ ク トル 空 間 の 次 元nの

と る 値 は,自 然 数1,2,3,…

け か ら な る ベ ク トル 空 間 を0次   Rnは,n次

で あ る.ま た 便 宜 上,0だ

元 の ベ ク トル 空 間 と し て 考 え る こ と も あ る.

元 の ベ ク トル 空 間 で あ っ て,そ

の1つ

の基 底 は

e1=(1,0,0,…,0),e2=(0,1,0,…,0),…,en=(0,0,…,0,1) で 与 え られ る.こ   な お,C[0,1]は

の 基 底 をRnの

標 準 基 底 とい う.

無 限 次 元 で あ る.

Tea

Time

同型 な ベ ク トル空 間   ベ ク トル 空 間 と は,加 合 で あ る.い

法 とス カ ラー積 だ けが 基 本構 造 と して与 え られ てい る集

まVとWを2つ

の ベ ク トル 空 間 とす る.こ

法 と ス カ ラ ー 積 に 関 す る'設

計 仕 様'が

の と き,VとWで,加

ま っ た く 同 じ な らば,VとWは

私たち

の 前 に 同 じベ ク トル 空 間 を 提 示 し て い る とみ て も よい だ ろ う.こ の よ う な と きV とWは

同 型 な ベ ク トル 空 間 で あ る と い う(定 義 は す ぐ あ と で 述 べ る).建

と え で い え ば,同

じ設 計 仕 様 で つ く られ た 建 物 は,用

じ も の と考 え よ う とい うの で あ る.大 ち は,VとWに

対 し て,ど

切 な こ と は,ベ

い た 材料 は 違 って い て も同 ク トル 空 間 の 定 義 で,私

た

ん な 材 料 を 使 っ て ベ ク トル 空 間 を つ くる か ま で は 要

請 し て い な い とい う こ と で あ る.た

と え ば2次

元 の ベ ク トル 空 間 と い っ て も,平

面 の 中 で の ベ ク トル を 考 え て も よ い し,C[0,1]の てCOSt(0≦t≦1)を

物のた

中 で,e1と

し てsint,e2と

し

とって f(t)=x1sint+x2cost 

(x1,x2∈R)

と表 わ さ れ る 関 数 全 体 の つ くる ベ ク トル 空 間 を 考 え て も よ い わ け で あ る(sint, costはC[0,1]の

中 で1次

の 標 準 基 底(1,0),(0,1)を

独 立 で あ る).こ と り,他

の 場 合,素

方 で はsint,costと

材 と し て は ,一

方 で はR2

い う関 数 を 採 用 し て

い る こ と に な る.で き 上 が っ た 建 物 の 外 観 は 違 うが,加 法 と ス カ ラ ー積 に 関 す る '設計 仕 様'は 同 じ で あ る .こ の よ うな と き,2つ の ベ ク トル 空 間 は 同 型 で あ る とい うの で あ る.   一 般 的 な 同 型 の 定 義 は 次 の よ う に 述 べ られ る.ベ の1対1写

ク トル 空 間Vか

らWの

上へ

像 ψが あ っ て ψ(x+y)=ψ(x)+ψ(y),ψ(αx)=αψ(x)

が 成 り立 つ と き,VとWは   任 意 のn次

同 型 で あ る と い い,ψ を 同 型 写 像 とい う.

元 ベ ク トル 空 間VはRnと

{e1,e2,…,en}を

と っ て,任

同 型 で あ る.実

意 の ベ ク トルxを(2)の ψ(x)=(x1,x2,…,xn)

と お く と,ψ はVか

らRnへ

の 同 型 写 像 を 与 え て い る.

際,Vに1つ

の基底

よ うに 表 わ した と き,

質 問   記 号 は,そ

の と き ど き の 利 用 の 仕 方 に よ っ て,一

っ て も よい の で し ょ うが,(1)の

番 つ ご う の よい もの を 使

よ うに,x=x1e1+x2e2+…+xnenと

わ し 方 は 少 し 納 得 が い き ませ ん.な

ぜ か とい う と,x2,x3な

と区 別 が つ か な くな る か ら で す.xnはxのn乗

表 わ す表

ど は,xの2乗,3乗

を 表 わ し て い な い と い う こ とは,

ど うや っ て 判 定 す る の で し ょ うか. 答   確 か に,こ

の 記 号 の 使 い 方 に は 少 し 難 点 が あ る か も しれ な い.xnだ

離 し て か け ば,誰

で も こ れ はxのn乗

と思 うだ ろ う.し

ク トル 空 間 の 話 を 進 め て み る と,こ の 記 法 は,い で あ る こ と が わ か っ て く るだ ろ う.い は,xのn乗

で は な く て,enの

で 立 ち 止 ま らず に,も

か し,も

け切 り

う少 し 先 ま で ベ

ろ い ろな点 で非 常 に有用 な もの

ず れ に せ よ,前

後 の つ づ き 具 合 か ら,xn

係 数 で あ る とい う こ と が わ か る の で あ る.こ

う少 し 先 の 講 ま で 進 ん で み る こ と に し よ う.

こ

第3講 双 対 ベ ク トル空 間 テ ー マ

◆ 線形関数 ◆ 線 形 関 数 の和 とス カ ラー積 ◆ 双 対 ベ ク トル空 間V* ◆V*の

構 造―'座

標 成 分'を 対応 させ る線 形 関数

◆ 双対基底

  これ か ら取 り扱 うベ ク トル空 間 は,す べ て 有 限次 元 の ベ ク トル 空 間 とす る. 線 形 関 数   Vを ベ ク トル空 間 とす る.Vか

らRへ

の 写 像 ψで 線 形 な もの を考 え る.す

な

わち写像

で,線 形 性

(ⅰ) 

ψ(x+y)=ψ(x)+ψ(y)

(ⅱ) ψ(αx)=α

ψ(x)

を み た す も の を 考 え る.   (ⅰ)と(ⅱ)は1つ

に ま とめ て

ψ(αx+βy)=αψ(x)+βψ(y)

と表わ す こ とが で き る.   この よ うな ψをV上 に立 つ と きは,ψ はV上

の 線形 関 数 とい う こと に し よ う(も う少 し一 般 的 な 観点 の線形 汎 関数 とい うが,い まの 場 合,こ の い い方 は 多 少

大 げ さ の よ うに思 え る).   重 要 な こ とは,V上

の2つ の 線形 関数 ψ,ψが 与 え られ た とき,ψ と ψ の和 とよ

ばれ る新 しい線 形 関数ψ+ψ を 定義 で き る こ と と,実 数α に対 して,ス

カ ラー積

とよば れ る新 しい 線形 関数αψが定 義 で き る こ とであ る. 和 の 定 義:(ψ+ψ)(x)=ψ(x)+ψ(x) 

(1)

ス カ ラ ー 積 の 定 義:(αψ)(x)=α

ψ(x) 

  この よ うに 定 義 したψ+ψ とαψが 実 際V上 か め て おか な くて はな らない.和

(2)

の 線 形 関 数 とな って い る こ とは確

ψ+ψ に対 し てだ け,念 の ため,こ れ を確 か め

て お こ う. ((1)か

(ψ+ψ)(x+y)=ψ(x+y)+ψ(x+y) =ψ(x)+ψ(y)+ψ(x)+ψ(y)

ら)

(ψ,ψが(ⅰ)を

み た す か ら)

=ψ(x)+ψ(x)+ψ(y)+ψ(y) =(ψ+ψ)(x)+(ψ+ψ)(y) ((1)か

(ψ+ψ)(αx)=ψ(αx)+ψ(αx) =α ψ(x)+α

ψ(x)

ら)

(ψ,ψが(ⅱ)を

み た す か ら)

=α(ψ(x)+ψ(x)) =α(ψ+ψ)(x)

これ で,ψ+ψ が 線 形性 を もつ こ とが示 され た.  同様 に して,αψ も線 形 性 を もつ こ とが示 され る.

双 対 ベ ク トル 空 間   読 者 も す で に 予 想 され て い た で あ ろ うが,V上 に ょ っ て 加 法 と ス カ ラ ー 積 を 定 義 す る と,実 間 の 性 質 ① か ら ⑧(前 形 関 数 は,Vの て,一

講,9頁)ま

対 し て ψ(x)の

は,こ

の2つ

の 演 算 は,ベ

で を み た す の で あ る.零

す べ て の ベ ク トルxを,0に

ψ は,各xに

の 線 形 関 数 の 中 に,(1)と(2) ク トル 空

ベ ク トル を 与 え る 線

移 す 定 数 写 像 で あ る.ま

た ψに対 し

符 号 を 変 えた 値 を対 応 させ る線 形 関 数 と して

定 義 す る.   こ の よ うに 定 義 し て お く と,①

か ら ⑧ ま で み た す こ とは 容 易 に 確 か め られ る.

  た と え ば ⑦=α(ψ+ψ)=α

ψ+α ψ は

α(ψ+ψ)(x)=α(ψ(x)+ψ(x))=αψ(x)+α

ψ(x)

=(α ψ+α ψ)(x) が す べ て のx∈Vで

成 り立 つ こ と か らわ か り,ま た ⑧:(α+β)ψ=α

ψ+βψ は

(α+β)ψ(x)=ψ((α+β)x)=ψ(αx+βx) =α ψ(x)+β ψ(x)=(αψ+β

ψ)(x)

か ら わ か る.   した が っ て,V上 【定 義 】V上

の 線 形 関 数 全 体 の 集 合 は,1つ

の ベ ク トル 空 間 を つ くる.

の 線 形 関 数 全 体 の つ くる ベ ク トル 空 間 をVの

る い は 簡 単 に 双 対 空 間 と い い,V*に   読 者 は,V*に

双 対 ベ ク トル 空 間,あ

よ っ て 表 わ す.

対 し て 何 か ベ ク トル の 具 象 性 が 見 失 わ れ た よ うで 当 惑 され た 感

じ を も つ か も しれ な い.確

か に ベ ク トル と い う と,2次

描 か れ た 矢 印 だ け を 思 い 浮 か べ て い る と,V*の うに 想 像 し た ら よ い の か,わ

元,3次

元 の空 間 の中 に

ベ ク トル を 表 わ す 矢 印 を どの よ

か ら な くな っ て く る の で あ る.し

か し,私

た ちの 立

場 で は,ベ

ク トル は ひ と ま ず 空 間 的 な 表 象 を 失 っ た 対 象 とな っ て い る.そ

る の は,単

に 加 法 と ス カ ラ ー 積 だ け が 許 さ れ る 抽 象 的 な 対 象 だ け で あ る.こ

義 で は そ の 観 点 に,読 し か し,こ

れ に つ い て は,お

  こ こ ま で くる と,ベ と い う方 が,抽 Vの

体,何

い お い 明 らか に して い く こ とに し よ う.

ク トル 空 間 の 元 を い ち い ち ベ ク トル と い う よ りは,単

  Vの 双 対 空 間V*は

れ か ら は,

構 造

上 の よ うに 定 義 した が,V*の

元―V上

体 的 に は ど の よ うな も の か を 明 ら か に して お き た い.そ

1つ と り,そ た だ1通

の た め,こ

に元

元 と い う よ うな い い 方 を す る こ と に し よ う.

V*の

は,具

が 導 か れ る か と い う疑 問 も当 然 生

象 的 な 立 場 が は っ き りす る よ うに 思 う.そ

元 とか,V*の

の講

者 が し だ い に 慣 れ て い た だ く こ とを 望 ん で い る の で あ る.

の よ う な 抽 象 的 な 設 定 で,一

ず る で あ ろ う.こ

こに あ

れ を{e1,e2,…,en}と

す る:dimV=n.こ

の た めVの

の と き,Vの

りに x=x1e1+x2e2+…+xnen 

の 線 形 関 数―

(3)

基底を

元xは,

と表 わ さ れ る.も

う1つ 元yを

と って

y=y1e1+y2e2+…+ynen と 表 わ し て お くと,表

わ し 方 の 一 意 性 か ら,x+yは

必然的に

x+y=(x1+y1)e1+(x2+y2)e2+…+(xn+yn)en 

(4)

と表 わ さ れ て い る こ とに な る.   (3)の

表 現 で,e1,e2,…,enを

x1,x2…,xnは,座   さ て,xに

座 標 軸 方 向を 示 す 単 位 ベ ク トル の よ うに考 え る と,係 数

標 成 分 とい っ て よい だ ろ う. 対 し て,1番

目 の'座

標 成 分'x1を

対 応 さ せ る 写 像 ψ1はV上

の線

形 関 数 で あ る.   実 際,(4)か

ら ψ1(x+y)=x1+y1=ψ1(x)+ψ2(y)

同様に ψ1(αx)=αx1=α

ψ1(x)

も成 り立 つ.   一 般 に,xに

対 し て,i番

像 ψiは,V上

目 の'座

標 成 分'xi(i=1,2,…,n)を

の 線 形 関 数 と な る.

  線 形 関 数ψ1,ψ2,…,ψnは,ベ

ク トル 空 間V*の

トル ら し く表 記 を 変 え て お く こ と に し よ う.そ

元 と 考え て い る の だ か ら,ベ こで

e1=ψ1,e2=ψ2,…,en=ψn と お く(eに

対 応 させ る 写

つ け る 指 標 が,右

肩 へ 上 が っ た こ と に 注 意!).

  こ の定 義 か ら

ei(x1e1+x2e2+…+xnen)=xi 

(i=1,2,…,n)

特 に

(5)

が 成 り立 つ.'特

に'と

か い て あ る部 分 は

ej=0e1+…+0ej−1+1ej+0ej+1+…+0en と 表 わ し て,す

ぐ上 の 等 式 を 使 う の で あ る.

ク

  こ のe1,e2,…,enを る.そ

用 い て,V上

の任 意 の線 形 関 数 ψ をか き表 わ す こ とが で き

の た め, ψ(e1)=a1,ψ(e2)=a2,…,ψ(en)=an

と お く.   この とき

ψ=a1e1+a2e2+…+anen 

(6)

と 表 わ され る. 【証 明 】Vの

任 意 の 元xを

と り, 

と お く.こ の と き

(ψの 線形 性) (7) 

一方

,(6)の

右 辺 の 線 形 関 数 

がxで

(ψ(ej)=ajに

よ る)

と る値 を 求め てみ る:

(各eiの 線形 性) (8)  (7)と(8)を

((5)に

よ る)

見比べて

が す べ て のx∈Vで

成 り立 つ こ とが わ か っ た.こ

れ で(6)が

証 明 さ れ た.

双 対基 底   (6)は,ψ

がe1,e2,…,enの1次

こ の よ うな 表 わ し方 は 実 は た だ1通

と表 わ され た とす る と,両

辺 がeiで

結 合 と し て 表 わ さ れ る こ とを 示 し て い る が, りで あ る.な

ぜ な ら,も

と る 値 を考 え て,(5)を

し

用 いる と

と な っ て し ま うか ら で あ る.   任 意 の ψが,e1,e2,…,enの1次

結 合 と し て(6)の

よ うに 表 わ さ れ,か

の 表 わ し 方 が 一 意 的 で あ る と い う こ と は,e1,e2,…,enがV*の る こ とを 示 し て い る.す

つそ

基底を与えてい

なわち

{e1,e2,…en}は,V*の1つ

の 基 底 で あ る.し dim

た が って

V*=n

で あ る.

【定 義 】{e1,e2,…,en}を,{e1,e2,…,en}の   Vの

双 対 基 底 と い う.

基 底{e1,e2,…,en}とV*の

与 え ら れ て い る.Vの てV*の

双 対 基 底{e1,e2,…,en}と

基 底 を 別 の 基 底{e1′,e2′,…,en′}に

双 対 基 底 も{e1′,e2′,…,en′}に

Tea

質 問  ベ ク トル 空 間 の こ と は,ひ の こ とを お 聞 き し た ら,や

し て し ま う.そ

応 し

変 わ っ て く る.

Time

と まず 知 っ て い た と 思 っ た の で す が,双

対空間

こ は ど う考 え た ら よ い の で し ょ う.

意 識 の う ち に 矢 印 で 表 わ さ れ た ベ ク トル の こ と を 想 像

うす る と,V*を

表 わ す ベ ク トル は,ど

だ ろ う と思 っ て 混 乱 し て し ま うの で あ る.空 に くい か も しれ な い が,少

と り か え れ ば,対

は り急 に ベ ク トル の イ メ ー ジ が な くな っ た よ うで,少

し わ か りに く くな り ま した.こ 答  ベ ク トル と い う と,無

の 関 係 は(5)で

ん な 矢 印 で 表 わ され る の

間 的 な 表 象 を 離 れ た ベ ク トル は 考 え

し ず つ 抽 象 的 な 考 え に も慣 れ て い か な くて は な ら な い

だ ろ う.   も っ と も,線 は,1つ

形 代 数 の こ と を 知 っ て い る 人 は,n次

基 底{e1,e2,…en}を

と っ て お く と,た

元 の ベ ク トル 空 間Vの

て ベ ク トル

元

と 表 示 さ れ る こ とを 知 っ て い る だ ろ う.xはn行1列 き る.こ

の 行 列 と 考 え る こ とが で

の表 示 で は

と 表 わ さ れ て い る.   こ の と き,(6)で

与 え ら れ て い る よ う なV上

の 線 形 関 数 ψ は,1行n列

の 行列

ψ=(a1,a2,…,an) で 表 わ さ れ る.実

際,行

列 の 積 の規 則 か ら ψ(x)=a1x1+a2x2+…+anxn

が 成 り 立 つ.こ

の 行 列 表 示 で は,{e1,e2,…,en}の

ょ う ど,1行n列

双 対 基 底{e1,e2,…,en}が

ち

の行 列 (1,0,0,…,0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1)

に よ っ て 表 わ さ れ て い る こ と に な る.そ

し てV*の

元 は,1行n列

の行 列 を よ こ

ベ ク トル と み て, (a1,a2,…,an) と 表 わ さ れ て い る こ と に な る.こ る だ ろ う.

の よ う に 考 え る とV*も

大 分 具 体 的に な って く

第4講 ベ ク トル空 間 の双対 性 テーマ

◆ 視 点 を 変 え てみ る―Vの ◆Vか

ら(V*)*へ

◆(V*)*に

元 はV*上

の1対1対

の 線形 関 数

応

お け る双対 基 底

◆ 同型 対 応 Φ:V→(V*)* ◆ 双対 性 ◆ ベ ク トル の新 しい見 方 ◆1変

数 関数 か ら多変 数 関 数 へ の 拡 張

◆(Tea

Time)双

対原理

視 点を変 えてみ る   V*も

ベ ク トル 空 間 と な っ た の だ か ら,次

も の だ ろ うか と考 え て み る こ とは,ご を 考 え る と き,VとV*に

にV*の

双 対 空 間(V*)*は

く自 然 な 問 題 設 定 と な る.し

どんな

か し この問 題

関す る視 点 を転 換 して考 え る こ とが重 要 な こ とに な っ

て く る.   V*の

元 ψ は,V上

を 与 え て い た.ψ て い た.ま (2)で

たV*の

の 線 形 関 数 で,対

応

の 線 形 性 に つ い て の 定 義 は(ⅰ)と(ⅱ)(16頁)で 中 で の 演 算―

与 え られ て い た.そ

和 と ス カ ラ ー 積―

こ で は,xは'変

数'と

の 定 義 は 前 講 の(1)と し てVの

はV*の1つ

の 元 と 考 え て い た.

  し か し,い

ま は ま っ た く別 の 見 方 も可 能 に な っ て き た.そ

がV*の

中 を 自 由 に 動 き,xの

与 え られ

元 を 動 き,ψ

の方

の 見 方 と は,ψ

の方

方 が と ま っ て い る とみ る の で あ る.そ

うみ る と,

ψ はV*上

を 動 く'変 数'と

な り,xの

方 は,ψ

に 対 し て,ψ(x)の

値 を対 応 さ

せ る 写 像 と な る.   す なわ ち

ど ち らが 変 数 か を は っ き り させ る た め に,こ 考 え る と き に は,xの

代 り にxと

の 見 方 を 採 用 してxを

ひ と つ とめ て

お き,

と か くの が よ い か も しれ な い.こ

の と き,前

よ うに 異 な っ た 表 現 の 形 を と っ て,い

講 の(ⅰ),(ⅱ),(1),(2)は

次の

い 表 わ され る.

(ⅰ) (ⅱ) (1) (2) (1)′ と(2)′

は,xが,V*上

た が っ てx∈(V*)*で   一 方,(ⅰ)′ が,そ

の 線 形 関 数 と考え られ る こ と を 示 し て い る.し

あ る.

と(ⅱ)′ は,Vの

元 と考 え た と き の 加 法x+yと,ス

の ま ま上 に ナ ミを つ け る と,(V*)*の

元 の 加 法x+yと

カ ラ ー 積αx ス カ ラ ー 積αxと

し て 考 え られ る こ とを 意 味 し て い る.

1対1対 そ の 上,実

が成

は

り立 つ.

【証 明 】Vの と,x≠yか en}を

応V→(V*)*

基 底{e1,e2,…,en}を ら,あ

るjに

双 対 基 底 とす る と

と っ て, 

対 し て は,xj≠yjが

と 表 わ す 成 り 立 つ.し

た が っ て{e1,e2,…,

に よ り,xとyは,ejで (V*)*の

と る 値 が 異 な る こ と に な る.こ

の こ と は,xとyが,

元 と し て 異 な る 元 で あ る こ と を 示 し て い る.

  こ こ まで 述べ て きた こ とを ま とめ る と

は,Vか

ら(V*)*へ

と ス カ ラ ー 積―

の1対1対

応 と な っ て,Vの

は,(V*)*の

基 底{e1,e2,…,en}の

はV*の る.こ

お け る双 対 基 底

双 対 基 底 を{e1,e2,…,en}と

基 底 な の だ か ら,こ

加法

中 で も そ の ま ま 保 た れ て い る と い う こ と で あ る.

(V*)*に   Vの

ベ ク トル 空 間 の 構 造―

の((V*)*に

す る.{e1,e2,…,en}

お け る)双 対 基 底 を 考 え る こ とが で き

れ を 求 め て み よ う.双 対 基 底 の 関 係 を 与 え る前 講 の(5)を,'変

数'を

と

りか え て

とか き 直 し て み る と,こ

の 式 は ち ょ う ど{e1,e2,…,en}が{e1,e2,…,en}の

双対

基 底 と な っ て い る こ とを 示 し て い る.   こ の こ とは また Φ が

と表 わ され て い る こ と を 示 し て い る.   こ の 結 果 は,同

時 に,Φ が,Vか

ら(V*)*へ

参 照)を

与 え て い る こ と を 示 し て い る.す

【定 理 】

対 応 Φ:V→(V*)*は,ベ

の 同 型 対 応(第2講,Tea

Time

な わ ち 次 の 定 理 が 示 さ れ た.

ク トル 空 間 と し て の 同 型 対 応 を 与 え て い

る.

双   こ の よ うに し て,任

対

性

意 の ベ ク トル 空 間Vは,Vの

と Φ を 通 し て 同 型 と な っ た.Vの

元xと,Φ

双 対 空 間 の 双 対 空 間(V*)*

に よ るxの

像xを

同一 視 して重 ね

て し ま え ば, V=(V*)* とか い て も よい.こ をVの

の 同 一 視 は,簡

基 底{e1,e2,…,en}と

に 考 え る こ とが で き る.抽 を 考 え る こ とに よ っ て,Vか に,V*がVを

単 に い え ば(V*)*の

双 対 基 底{e1,e2,…en}

同 一 視 す る こ とで あ る.こ 象 的 な ベ ク トル 空 間Vが

の こ と は ま た,次

の よ う

与 え られ た と き,双

対空間

ら新 しい ベ ク トル 空 間V*が

生 ま れ た が,今

度 は逆

生 ん だ の で あ る!

 (矢印 は 双対 空 間へ移 る こ とを示 す) す な わ ち,双

対 空 間 へ 移 る とい う こ と は,ベ

ク トル 空 間 の 間 の 相 互 的 な 関 係 を 与

え て い る.   こ の 事 実 を,ベ   な お,こ

ク トル 空 間 に お い て 双 対 性 が 成 り立 つ とい い 表 わ す.

れ か らは(V*)*の

こ とを 簡 単 にV**と

か く こ と に し よ う.

ベ ク トル の 新 しい 見 方   V=V**と

考 え る こ と に し て,何

た だ け で は な い か,と 双 対 空 間'な

か よい こ とが あ る の か,た

だ事 態 を複 雑 に し

思 わ れ る 読 者 も多 い の で は な か ろ うか.実

ど と い う,抽

象 的 な 捉 え ど こ ろ の な い と こ ろ に,ベ

際'双

対空間の

ク トル 空 間 を 追

い や っ て し ま っ た に す ぎ な い よ うに み え る.   確 か に そ れ は そ うか も し れ な い が,別 的 で あ っ た ベ ク トル と い う概 念 に,多

の 見 方 も あ る.い

少 と も具 体 的 な 意 味 が つ け 加 え られ て き た

の で あ る.V=V**の

述 べ て い る こ とは,'ど

形 関 数 と 見 な せ る'と

い う こ と で あ る.ベ

は,そ

れ 自身,付

ん なVの

ベ ク トル も,V*上

の線

ク トル 空 間 の 定 義 に あ っ た ベ ク トル に

与 す べ き ど の よ うな イ メ ー ジ も属 性 も な く,た だ 単 に 加 法 と ス

カ ラ ー積 が で き る とい う概 念 が あ っ た だ け で あ る.そ つ1つ

ま ま で は ま った く抽 象

の ベ ク トル は,V*上

と い っ て よ い の で あ る.も

の 線 形 関 数 と し て,い ち ろ ん,こ

れ に 比 べ れ ば,い

わ ば1つ

ま は,1

の主 体 性 を 得 て き た

こ で も そ れ は 単 に 抽 象 概 念 か ら 出 発 し て,

論 理 を い た ず ら に 巡 ら し て い る だ け で は な い か とい う批 判 も あ るか も し れ な い. し か し,ベ

ク トル とい う概 念 が,新

し い 見 方―

線 形 関 数―

を克 ち とった こ と

は 間違 い ない こ とで あ って,数 学 で は この よ うな見 方 の 導入 が,新

しい方 向へ と

理 論 を 導 い て い く原 動 力 とな る こ と もあ るの であ る.   これ か ら述べ る こ とは,こ の よ うな見 方 に よって得 られ た ベ ク トル空 間 の概 念 の拡 張 で あ る. 1変 数 関 数 か ら 多 変 数 関 数 へ の 拡 張(挿   次 講へ の準 備 のた め もあ り,こ こで,少

記)

しわ き道 に 入 って,微 分 を学 んだ と き

の こ とを思 い 出 してみ よ う.   微 分 の概 念 は,ま y=f(x)が

ず1変

数 関 数 の場 合か ら ス ター トし て,導

入 され て い く.

微 分 可 能 で あ る とは

が 各 点 で 存 在 す る こ と で あ る.こ   一 般 に 数 学 で は1変

の 値 をf′(x)と

表 わ し た の で あ っ た.

数 で の 理 論 の 大 枠 が 完 成 す る と,ふ

や し た ら ど の よ うに な る か を 考 え る.実 数 に 従 属 し て 変 化 す る 量 よ り も,い

際,応

つ う,変

数 の 個数 を 増

用 に 現 わ れ る 関 数 で は,1つ

の変

くつ もの 変 数 に 従 属 し て 変 化 す る 量 を 取 り扱

う こ とが 多 い の で あ る.   微 分 学 で は,し

た が っ て,n変

数 の関 数 y=f(x1,x2,…,xn)

の 微 分 を ど の よ うに 考 え る か が,次 場 合 を 考 え る こ と に し,関

に 問 題 と な っ て く る.簡

の と き,最

自 由 に 動 か さ な い で,1つ い う こ と で あ る.た

数 の

数 z=f(x,y) 

を 考 察 す る.こ

単 の た め,2変

(1)

も近 づ き や す い 考 え は,2つ の 変 数 だ け 動 か し,他

と え ば,変

数yの

方 は,y0で

の 変 数x,yを,2つ

とも

の 変 数 を とめ て 考 え て み よ う と と め て し ま う と,(1)は

z=f(x,y0) と な る.こ

の 関 数 はxに

つ い て の1変

知 っ て い る理 論 が 適 用 で き る.し 微 分 が で き る と い う性 質,す

数 の 関 数 とな っ て い る!こ

た が っ て,変

なわち

数xに

こに は す で に

だ け 注 目 し て,xに

ついて

が 各点(x0,y0)で (1)は,xに

存 在 す る とい う性 質 が,ご

く 自然 に導 入 され る.こ

の とき,

つ い て偏 微 分 可能 であ る とい う.

  同様 に,変 数yだ け に 注 目して,微 分 可能 性 の性 質 を 付 与 し よ うとす る と,y につ い て 偏 微分 可 能 とい う性 質 が 導入 され て くる.   xとyに

つ い て,そ れ ぞれ 偏 微 分可 能 な とき,2変

数 の 関数(1)は,偏

微分

可 能 な 関 数 とい うので あ る.   もち ろ ん,多 変 数 の 微分 に つ い て よ く知 って お られ る読 者 は,こ の偏 微 分 可能 とい う概 念 は 中 間的 な もの であ って,全 微 分 可能 とい う概 念 の方 が 自然 な もの で あ る こ とを 想起 され た か もしれ な い.   こ こに 述べ たか った こ とは,そ の よ うに 立 ち 入 った こ とで はな くて,1変 数 に 関 す るあ る概 念,ま

た は性 質(P)が

数関

あ った とき,そ れ を 多変 数 関 数fへ

と

拡 張 し よ うとす る とき,ま ず 最 初 に考 え られ る最 も 自然 な 手が か りは,次 の よ う に す る とい うこ とで あ る. (ⅰ) 

1つ の 変 数 に だ け 注 目 し て,残

(ⅱ)  こ の 変 数 に つ い て,fを1変

りの 変 数 を とめ て し ま う.

数 関 数 と み た と き,性

質(P)を

み

た す か ど うか 確 か め る. (ⅲ)  各 変 数 に つ い て こ の こ と が 成 り立 つ と き,性 の 直 接 の 拡 張 が,fに

  こ の 考 え 方 は,い (P)が

わ ば,各

質(P)の

多変 数へ

対 し て 成 り立 っ て い る と み る.

変 数 を 分 離 し て,お

成 り立 つ か ど うか を み る,と

の お の の 変 数 に つ い て,性

質

い う考 え で あ る.

Tea

Time

双対 原理 につ い て   あ ま りは っき りした 定義 は ない の だが,数 学 の2つ の対 象 が あ って,互 いに 他 を 同 じ関 係 で 規定 し合 ってい る と き,こ の2つ の対 象 の 間に 双対 原 理 が成 り立 つ

とい う.英 語 で は,duality(∼ はdualで

あ る.dualと

が 成 り立 つ)と

い う単 語 を 用 い る.こ

の形 容 詞

い う単 語 は あ ま りお 目に か か らな い か も しれ な い.辞

を 引 く と,二

重 人 格 はdual

personalityと

い う ら しい.つ

表 で あ る.日

本 語 で は,裏

原 理 よ り,裏

表 原 理 の 方 が 実 感 が あ っ た か も し れ な い と思 う.抽

表 な ど と い う便 利 な い い まわ し が あ る の だ か ら,双

た と い う,単   な お,物

者 は,漢

対'と,'相

ち ら は,(少

な くとも特

対'の

ニ ュ ア ン ス の 違 い に 注 目す べ き か も し れ な い.

対 性 が は っ き り と した 形 を と っ て 現 わ れ た の は,射

幾 何 学 に お い て で あ っ た.こ 「相 異 な る2点

あ っ て,こ

間 と 空 間 が 互 い に 関 係 し 合 っ て い る こ とを 示 し て い る.読

  数 学 の 歴 史 の 上 で は,双

 

内 容 で あ る.

理 の 相 対 性 原 理 は,relativityで

字'双

め て ,も

対 空 間 の 双 対 空 間 は や は り も との ベ ク トル 空 間 で あ っ

純 な 驚 き が,V=V**の

殊 相 対 性 原 理 で は)時

対

象的なベ ク ト

ル 空 間 を 裏 返 し て み た ら,双 対 ベ ク トル 空 間 とい う概 念 が で て き た.改 う一 度 裏 返 し て み る と,双

書

ま り1つ の 人 格 の 裏

の 最 も簡 単 な 場 合 は,点

は 一 直 線 を 決 め る.相

異 な る2直

影

と直 線 との 双 対 性 で あ る.

線 は(交

点 と し て)1点

を決

め る.」   し か し,ふ は,平

行 な2直

つ う の 座 標 平 面 で 考 え る と き に は,相 線 を 除 い て お か な い と,上

2直 線 に 対 し て も,上

異 な る2直

の 命 題 の 後 半 は 成 り立 た な い.平

の 命 題 が 成 り立 ち,点 行 な2直

と よ い.平

た ち が ふ つ う見 て い る 経 験 で は,ず

行 な 光 線 は,私

近 法!).こ

ふ つ う の 座 標 平 面 で は な くて,平 の―

射 影 平面 ―

限 遠 点'で

行 な 直 線 の 先 に,'無

こ で は,双

交 わ っ て い る と考 え る っ と先 で 交 わ っ て

の 感 覚 を 幾 何 学 に と り入 れ よ う とす る と,

を 考 え な くて は な ら な い.こ

を射 影 幾 何 学 とい っ て,そ あ る.

線 は,'無

行な

と直 線 の 位 置 関 係 に 双 対 性 が 成 り立

っ よ う に す る た め に は,平

い る よ うに 感 じ て い る(遠

線 とい う と き に

対 性 が,基

限 遠 点'を

つ け 加 えた も

の よ うな 場 で 展 開 さ れ る幾 何 学 本原 理 と して登場 して くるの で

第5講 双 線 形 関 数 テーマ

◆ 双線形関数 ◆ 双 線 形 関 数 の つ くる空 間 ◆Vの

テ ン ソル 積V〓V

◆Vの

元 のテ ン ソル 積x〓y

◆V〓Vの

元 の表 示

◆V〓Vの

構 造:基 底 は 

で 与え られ る.

双線形関数   さ て,前

講 の 終 りで 述 べ た 考 え を,ベ

ク トル 空 間 上 の 線 形 関 数 に 適 用 し,同

時

に ベ ク トル 空 間 の 概 念 の 拡 張 を 目指 す こ と に し よ う.   ベ ク トル 空 間Vは,V*上 に い れ て,こ

の 概 念 を,ま

の 線 形 関 数 の つ くる ベ ク トル 空 間 で あ る こ と を 考 え ず'2変

  考 察 の 出 発 点 とな る の は,V*の

上 で定 義 され た,2変

数'の

とき 拡 張 す る こ とを 考 え よ う.

直積 集 合

数の関数 ψ(x,y)

と,'線

形 性'と

い う性 質 で あ る.

  こ の 線 形 性 とい う性 質 を(P)と

し て,前

な 方 法 を い ま の 場 合 に 適 用 し て み る と,次 【定 義 】V*×V*上 た す とき,V*上

講 で 述 べ た2変

数 へ の 拡 張 の一般 的

の 定 義 が 得 られ る.

で 定 義 さ れ た 実 数 値 を と る 関 数 ψ(x,y)が,次 の 双 線 形 関 数 とい う.

  (ⅰ)  ψ(αx+βx′,y)=α

ψ(x,y)+β

ψ(x′,y)

  (ⅱ)  ψ(x,αy+βy′)=α

ψ(x,y)+β

ψ(x,y′)

の性 質 をみ

す なわ ち,双 線 形 関 数 とは,各 変数 に関 して線 形 な 関数 で あ る.

双 線 形 関 数 の つ くる 空 間 次 の こ と が 成 り立 つ.

ψ,ψをV*上

の 双 線 形 関 数 とす る.そ ψ+ψ,α

もV*上

  こ こ で,ψ+ψ,αψ

の とき

ψ(α ∈R)

の 双 線 形 関 数 で あ る.

は そ れ ぞれ (ψ+ψ)(x,y)=ψ(x,y)+ψ(x,y) (αψ)(x,y)=αψ(x,y)

と し て 定 義 さ れ たV*上 は,第3講

で,(1),(2)が

の2変

数 の 関 数 で あ る.こ

れ らが双 線 形 関 数 とな る こ と

成 り立 つ こ と を 示 し た と 同 様 に し て 示 す こ と が で

き る.   こ の 命 題 で 与 え られ て い る ψ+ψ とαψ を,そ こ と に よ り,V*上

の 双 線 形 関 数 全 体 は,ベ

れ ぞ れ 和 とス カ ラー 積 と考 え る

ク トル 空 間 を つ く っ て い る.こ

こで

記 号 を 導 入 し て お こ う.   V*上

の 双 線 形 関 数 全 体 の つ くる ベ ク トル 空 間 をL2(V*)で

添 数2は,2変

あ る.今

合 に よ っ て は,L1(V*)と 度 は 添 数1は,変

  そ の と き,前

数 が1つ

の 線 形 関 数 全 体 の つ く る ベ ク トル 空 間 表 わ す こ ともあ る と してお い た 方が 便 利 で

の こ とを 意 味 し て い る.

講 で 述べ た 同一 視 に よ る と V=L1(V*) 

で あ っ た.L2(V*)は,L1(V*)か よ っ て,ご ば,こ

(1)

ら 出 発 し て 変 数 を1つ

か ら2つ

く 自然 に 得 ら れ た ベ ク トル 空 間 な の で あ る.(1)の

の こ と は,ベ

ク トル 空 間Vか

う概 念 を 媒 介 に し て,誕 【定 義 】

下の

数 とい う こ と を 意 味 し て い る.

  記 号 の 使 い 方 を 揃 え る た め に は,V*上 V**も,場

表 わ す.Lの

ら,新

へ 増 す こ とに

左 辺 に 注 目す れ

しい ベ ク トル 空 間 が,双1次

関 数 とい

生 し た こ とを 意 味 し て い る とみ て よ い だ ろ う. と お き,ベ

ク トル 空 間〓

をVの(2階

の)テ

ンソ

ル 積 とい う.   ま とめ て か い てお くと

(線形 関 数) 2変 数

(双線 形 関 数) と な る.

Vの 元 の テ ン ソ ル積   ベ ク トル 空 間Vの

テ ン ソ ル 積〓

うな 構 造 を も っ て い る の だ ろ うか.た も の が とれ る の だ ろ うか.そ   Vの2つ

の 元x,yに

は,そ

れ で は ベ ク トル 空 間 と し て ど の よ

と え ば〓

の 基 底 と し て は,ど

の よ うな

の よ うな こ とを 少 し調 べ て み よ う.

対 して

(2) と お く こ と に よ り,V*×V*か た と え ばx(x)と

らRへ

の 写 像〓

お い て あ る の は,x∈Vを,V**の

値 を か い て い る つ も りで あ る.も ち ろ ん こ れ はx(x)と

を 定 義 す る.こ

こ で 右 辺 で,

元 と思 っ て,xがxで

とる

か い て も 同 じ こ と で あ る.

  この と き

と な る. 【証 明 】 がV*上

に 注 意 す る と,証

明 す べ き こ と は,(2)で

の 双 線 形 関 数 とな っ て い る とい う こ とで あ る.と

定 義 され た こ ろ が,こ

とは

か ら明 らか であ る(変 数yに つ い て も線 形 性 は,同 様 に確 か め られ る).

のこ

 

を,xとyの

テ ン ソル 積 とい う.こ

定 義 さ れ た テ ン ソル 積 は,次

の よ うに し てVの2つ

の元 に対 し て

の 性 質 を もつ.

(3)   こ の 最 後 の 等 式(3)の の テ ン ソ ル 積 は, 

意 味 し て い る の は,Vの の 元 

元αxとy,ま

た はxとαy

のα 倍 に 等 し い と い う こ と で あ る.

【証 明 】 証 明 は どれ も 同 様 に で き る か ら,最

初 の 等 式 だ け を 示 し て お こ う.

この 式 は,最 初 の等 式 が成 り立 つ こ とを示 して い る.

 の 元 の 表 示   ベ ク トル 空 間 と し て の  そ れ を{e1,e2,…,en}と

す る.こ

の 構 造 を 調 べ る た め にVの の 基 底 に 対 す るV*の

  まず 補 助 的 な 次 の 命 題 を 示 し て お こ う.

ψ,ψ ∈L2(V*)が

を み た す な ら ば,ψ=ψ

【証 明 】

す べ て のx,y∈V*に

対 して

が 成 り立つ ことを示 す と よい.そ のた め

(i,j=1,2,…,n) で あ る.

と っ て,

双 対 基 底 を{e1,e2,…en}

とす る.

  ψ(ei,ej)=ψ(ei,ej) 

基 底 を1つ

とお く.ψ が 双 線 形 関数 であ る とい う性 質 を用 い る と

同 様 に して

が 成 り立 つ.し

ば,ψ=ψ

た が っ て ψ(Bi,ej)=ψ(ei,ej)(i,j=1,2,…,n)が

成 り立 っ て い れ

と な る.

  これ を 用 い て,次

の 結 果 が 成 り立 つ こ と を 示 そ う.  の 元 は,た

だ1通

りに

(4) と 表 わ さ れ る.

【証 明 】(=L2(V*))の

任 意 の 元 ψ を と り, ψ(ei,ej)=αij(i,j=1,2,…,n)

と お く.   そ こ で い ま 

こ こ で,第3講 か ら,前

と お い て,ψ(ei,ej)を

の(5)を

用 い た.こ

の 命 題 か ら ψ=ψ で あ る.し

と 表 わ さ れ る こ とが わ か っ た.

求 め て み よ う.

の 式 は,i,j=1,2,…,nに た が っ て,

対 し て成 り立 つ

  ψ∈L2(V*)が

与 え ら れ た と き,こ

上 の 証 明 か ら もわ か る よ う に, 

の よ うな 表 わ し 方 が1通 の 係 数 は,ψ(ei,ej)に

りで あ る こ と は, 等 し くな り,し

たが

っ てψ に よ っ て 表 示 が 一 意 的 に 決 ま る こ とか ら わ か る.

 の構造 こ の 結 果 と し て 次 の こ と が 示 さ れ た こ とに な る.

Vの

基 底{e1,e2,…,en}に

は, 

対 して

の 基 底 と な る.特

に

で あ る.

  Vの

基 底{e1,e2,…,en}を

固 定 し て と っ て お く と き は, 

も 固 定 され る こ と に な り,こ の 元 は'成

分'αij(i,j=1,2,…,n)で

の と き に は,(4)か

Time

あ る とそ の 双 対 空 間V*を

考 え る こ とに よ って,そ

双 対 原 理 が 成 り立 つ と い う こ と が,前 講 で の お 話 で した.こ て 考 え る と い う考 え 方 が,と 間  のTea

の 双 対 空 間  Timeで

答 

のVとV*を

て も新 鮮 で 印 象 的 だ っ た せ い か,今 は ど ん な も の な の か,知

の お 話 の よ う に い え ば 

対 とし

りた くな り ま した.前

の 元 は,ベ

こに

度 は テ ン ソル空

を 裏 返 し し た と き,ど

た ジ ョ ー カ ー が で る か 知 りた い の で す.  み た と き,ど

ら, 

与 え られ る と い っ て も よい こ と に な る.

Tea

質 問   ベ ク トル 空 間Vが

の 基 底 

講

んな 顔 を し

ク トル 空 間Vか

ら

の よ うな も の に な っ て い る の で し ょ うか. の 元 φ は,素

顔 の ま ま な ら ば 

か らRへ

しか し こ の Φ に 対 し て,  

(#)

の 線 形 関 数 で あ る.

と お い て み よ う.ψ はV×Vか と え ば,最

らRへ

の 写 像 で,双1次

関 数 と な っ て い る.た

初 の 変 数 に つ い て の 線 形 性 を 確 か め てみ る と

(Φの線 形 性)

  した が っ て,Φ

に ψ を 対 応 させ る こ と に よ り, 

関 数 の つ く る ベ ク トル 空 間L2(V)へ

の 対 応 が 得 られ た.こ

空 間 か らベ ク トル 空 間 へ の 写 像 と考 え て,線 か る.実

の 双1次

の 対 応 は,ベ

ク トル

形 写 像 と な っ て い る こ とは す ぐに わ

は 同型 対 応 と な っ て い る.

  念 の た め,そ

の こ とを み て お こ う.上

に 任 意 の ψ∈L2(V)に

対 し て,(#)に

の 対 応 をι とか く:ι(Φ)=ψ.さ よ っ て φ を 決 め る.Φ

した 元 の 上 で し か 値 が 与 え られ て い な い が,ψ 然 に 

か ら,V上

は, 

の 双 線 形 性 か ら,Φ

て,逆 の形 を

の定 義域 は 自

上 へ 一 意 的 に 拡 張 され る こ とが わ か る.ψ に Φ を 対 応 さ せ る 写 像 は,

ιの 逆 写 像 ι−1を与 え て い る.し

た が っ て ιは 同 型 写 像 で あ る.

  す な わ ち,ι を 通 し て 同 一 視 す る こ と に よ り

と考 え て よ い.   る.こ

を 裏 返 し て み た ら,何 の こ とは,V上

の 双1次

こ と を 意 味 して い る.双1次 い つ の 間 に か,線

と,V上

の 双1次

関 数 は, 

性 と い う,新

関 数 と い う顔 も で て き た の で あ

上 の 線 形 関 数 と考 え て よ い と い う し い 世 界 へ の扉 を 叩 く よ う な概 念 は,

形 性 と い う概 念 の 中 に 吸 収 され て し ま っ た. 

の 中 に 吸 収 さ れ て し ま っ た の で あ る!

と い う概 念

第6講 多重 線形 関数 とテ ン ソル空 間 テーマ

◆k重

線 形 関 数,多 重 線 形 関 数

◆kー テ ン ソル空 間 ◆ テ ン ソル積 をVの

元 の'か け 算'と 考 え る.

◆'か け 算'の 規 則 ◆ 多 項 式 の か け算 ◆k次

の単 項 式 のつ くる1次 元 ベ ク トル空 間Pk

◆ 多項 式 全 体 の つ くる空 間 

多重線形関数   私 た ち は,線 形 関 数 の 概念 を,2変

数 の場 合 に対 して 双線 形 関 数 とい う新 しい

考 えを 導 入 して拡 張 した.そ して,こ の 拡張 を 媒 介 とし て,ベ ク トル空 間Vか 新 しい ベ ク トル空 間 

を誕 生 させ た.一 度 こ の道 筋 がわ か れ ば,線 形 関 数 の

概 念 をk変 数 に まで拡 張 して,対 応 してVのk階 個!)を

ら

の テ ン ソル積 

(k

構 成 す る こ とは,容 易な こ とに な るだ ろ う.視 点を2変 数か らk変 数 に

まで 上 げれ ば よい の で あ る. 【定 義】V*のk個 … ,xk)が

  V*上

の 直積 集 合k個 

次 の 性 質 を み た す と き,ψ をV*上

のk重

上 で 定 義 さ れ た 関 数 ψ(x1,x2, のk重

線 形 関 数 と い う.

線 形 関 数 全 体 の つ く る 集 ま りをLk(V*)と

トル 空 間 と な る.こ 義 す る の で あ る.す

の 場 合,加

法 と ス カ ラ ー 積 は,双

な わ ち,ψ,ψ

∈Lk(V*)に

お く.Lk(V*)は

ベ ク

線 形 関 数 の とき と同様 に定

対 し て,加

法 ψ+ψ,ス

カ ラ ー積

αψ(α ∈R)を

次 の よ うに 定 義 す る:

kを 自然 数 の上 を 動か し てい くと,そ れ に応 じて,k重

線 形 関 数 のつ くるベ ク

トル空 間 の系 列

(1) が 得 ら れ る.こ

の どれ か に 属 す る 元 を,一

般 にV*上

の 多 重 線 形 関 数 と い う.

kーテ ン ソ ル 空 間 【定 義 】

ベ ク トル 空 間Lk(V*)を,Vのkー

テ ン ソ ル 空 間 と い いk個

と 表 わ す.   し た が っ て 系 列(1)は,新

し く導 入 さ れ た こ の 記 法 に よ る と,テ

ン ソル空 間

の 系列

(2) と し て 表 わ さ れ る こ と に な る.  

の ベ ク トル 空 間 と し て の 構 造 は,前

論 を 繰 り返 す こ と に よ っ て,kー

テ ン ソル 空 間 

  Vのk個

対 し て,そ

を,V*上

の 元x1,x2,…,xkに

のk重

講 で 明 ら か に し た.同

様 の推

の 構 造 も知 る こ と が で き る.

の テ ン ソル 積

線形 関数

で あ る と 定 義 す る.   Vの

基 底{e1,e2,…,en}を1つ

(i1,i2,…,ik=1,2,…,n)の が って

とる と

全 体 は, 

の 基 底 を つ く る こ と が 示 さ れ る.し

た

 の 元 は,た

だ1通

りに

(3) と 表 わ さ れ る.

実 際,任

意 の 元 

と 表 わ し た と き,係

を と って

数αi1i2...ikは

に よ っ て 一 意 的 に 決 ま っ て い る.こ

こ で{e1,e2,…,en}は,{e1,e2,…,en}の

双

対 基 底 で あ る.   (3)で,i1,i2,…,ikは

そ れ ぞ れ 独 立 に1か

らnま

での値 を とる こ とに注 意 す

る と

が 成 り立 つ こ と が わ か る.

テ ン ソ ル 積 をVの

元 の'か

  Vの 元 を 勝 手 にk個 と っ た と き,私 る.た

と え ばVの4個

け 算'と

た ち は そ の テ ン ソ ル 積 を 考 え る こ とが で き

の 元x1,x2,x3,x4が

を 考 え る こ とが で き る.別

に3個

して考 え る

与 え ら れ れ ば,テ

の 元x5,x6,x7が

ン ソル 積

与 ら れ て い れ ば,同

様 にテ ン

ソル積

を考 え る こ と が で き る.し

か し私 た ち は,さ

ら に ξ,ηの'積'

を 考 え る こ と も で き る の で あ る.   こ の よ うに,テ

ン ソル 積 の 概 念 は,Vの

元 に 対 す る'か

け 算'の

可能 性 を 与 え

て い る と み る こ と が で き る.た

だ し,か

け 算 を した 結 果 は,自

分 の 中に は お さ ま

ら な い で,ず

っ と 先 の テ ン ソ ル 空 間 の 中 で 捉 え られ る とい う よ うに な っ て い る.

た と え ば,上

の例 で は

で あ るが,結 果 は

で あ っ て,ξ の 入 っ て い る テ ン ソ ル 空 間  間 

か ら も,η の 入 っ て い る テ ン ソル 空

か ら も は み 出 し て い る.

  こ の よ うな 点 を も う少 し は っ き り さ せ な く て は,テ け 算 と し て 考 え る こ と は,少

し た め らわ れ る.だ

ン ソル 積 を こ こ で す ぐに か

か ら さ し あ た りは,'か

と 引 用 記 号 を つ け て お こ う.

'か け 算'の

に 対 し て,一

規則

般に

(4) と お くこ と に よ り

が 定義 され て,こ れ が 次 の性 質を もつ こ とを注 意 してお こ う. に対 して

(5)

こ の 式 が 成 り立 つ こ とは,(4)か ま た 前 講 の(3)の

ら容 易 に 確 か め ら れ る.

一 般 化 と し て,

に 対 して

(6) も 成 り立 つ.   (5)と(6)か

ら,た

とえば

け 算'

は,i1,…,ikに

つ い て1か

らnま

で の 和)

は,j1,…,jlに

つ い て1か

らnま

で の 和)

の と き,

と表 わ され る こ とが わ か る.   また に対 し て

が 成 り立 つ.こ

の 式 は,テ

ン ソル 積 は,ど

よ らな い こ と を 示 し て い る.し

の 順 で'か

け る'か

た が っ て こ の 式 を,単

に 

の 順 序 の と り方 に とか い て も,差

しつ か え な い こ と に な っ た.   な お,一 i≠jの

般 に は 

で あ る.た

と え ばVの

基 底{e1,e2,…,en}に

対 し,

ときつ ね に

で あ る.実

際,こ

の 両 辺 が(ei,ej)で

 で あ る(こ

と る 値 を み る と 

の こ とは,も

で あ る が,

ち ろ ん, 

が

 の 基 底 を つ く っ て い る こ とか ら も 明 ら か で あ る).

多項式のかけ算   Vの 元 を,テ ン ソル 積 に よって い くつ で も 自由に か け 合 わす こ とが で き る よ う に す るた め に は,(2)に

現 わ れ た ベ ク トル空 間 の 系 列 を,全

部 ま とめ た よ うな

空 間 を 考 え る こ とが 必 要 に な るだ ろ う.そ の考 え は,テ ン ソル代 数 とい う概 念 に 導 くの で あ る が,そ て,も

の話 は 次 講 に まわ す ことに して,こ

っ と考 えや す い 状 況―

多 項 式 のか け算 ―

こでは,そ

の準 備 とし

につ い て話 し てお こ う.

  0次 の 単 項 式 は 定 数 項 だ けか らな る もので あ って,そ

の全 体 はRで

あ る.1

次 の 単 項 式 は αx(α∈R)と 表 わ され る ものか らな り,一 般 にk次 の単 項 式 は αxk (α∈R)と

表 わ され る もの全 体か らな る.記 号 は少 し大 げ さだが,あ

明 に 役 立 つ こ と もあ っ て,k次

の単項 式 全 体 をpkと

お く:

とか らの 説

Pkは,対

応axk〓aに

よ っ て,Rと

同 型 な,し

た が っ て1次

に な っ て い る.こ

の とき

と な っ て い る.こ

こ で 右 辺 に 現 わ れ た 記 号  は,ベ

号 で あ っ て,い し て い る(正

ま の 場 合 は,左

ク トル 空 間 の 直 和 を 表 わ す 記

辺 の よ うな 表 わ し方 が た だ1通

確 に い う と,」P0,P1,…,Pkの

元 の ベ ク トル 空 間

元 が,互

い に1次

りで あ る こ と を 示 独 立 と 思 っ て,そ

れ ぞ れ に 属 す る 元 の 和 を と っ て 得 られ る ベ ク トル 全 体 の つ く る ベ ク トル 空 間 を, こ れ ら の 空 間 の 直 和 と い う の で あ る).   こ の よ うな 記 法 を 採 用 した と き,単

と表 わ さ れ る.こ の 式 の 意 味 は,Pkに と っ て か け 合 わ す と,px+lの

項 式 の積 の規 則 は

属 す るaxkとPlに

元 が,abxk+lの

属 す るbxlを

い ろい ろ

形 で す べ て 得 られ る と い う こ と で

あ る.

高 々k次 の多 項 式全 体 のつ くるベ ク トル空 間を

(7) と 表 わ す こ と に す る.こ

の とき

も 成 り立 つ こ と に な る.   さ ら に,多 1,2,…)を

項 式 全 体 の つ く る 集 合 をPと

す る.Pは

高 々k次

の 多 項 式(k=0,

す べ て合 わ せ た 集 合

(8) と な っ て い る.   Pは,も は,集

ち ろ ん,ベ

ク トル 空 間 の 構 造 を も つ.Pを

合 と し て は 同 じ も の で あ る が,(8)の

ベ ク トル 空 間 と み る と き に

記 法 を か え,む

し ろ(7)の

表わ

し方 に 合 わ す よ うに して

(9) と か く.   こ の(9)の

表 わ し方 で 注 意 す る こ とは,右

を し て い る が,集 は,有

合 と し て 意 味 し て い る も の は(8)で

限 個 のPk1,Pk2,…,〓(ki
f1+f2+…+fsと   Pは,多

度 はPの

と り,和

algebraと   algebraは,代

の よ うに 多 項 式 全 体 を と

中 で か け 算 が 自 由 に で き る の で あ る(4次 式 に な る が,7次

Tea

式 もPに

の 多項 式 と

含 ま れ て い る!).

Time

い う単 語 に つ い て

数 の こ と で あ る と い う こ と は,割

析 学 を 英 語 で 何 と い うか,と

合 よ く知 ら れ て い る.算

聞 か れ る と 少 し戸 惑 う人 で も,代

術

数 は英 語 で

とい う こ と を 知 っ て い る 人 は 多 い.

  algebraと

い う,独 特 な 響 き を もつ 単 語 の 起 源 は,9世

文 学 者 で あ り数 学 者 で あ った ア ル ・フ ァ リ ズ ミー(al 作

た が っ て(9)

らf1,f2,…,fsを

項 式 全 体 の つ く る ベ ク トル 空 間 で あ る が,こ

3次 の 多 項 式 を か け る と,7次

algebraだ

あ る.し

し て 表 わ さ れ る 元 全 体 か ら な っ て い る.

っ て お く と,今

や,解

辺 は 無 限 個 の 直 和 と い う表 わ し方

紀 前 半,イ

ス ラ ムの天

Khwarizmi)の

有 名 な著

『ア ル ・ジ ャ ブ ル ・ヴ ァ ル ・ム カ ー バ ラ』 の 標 題 か ら 由 来 し て い る.こ

の'jabr'は,負

の 項 を 除 くた め に,方

し,'muquabala'は,方

程 式 の 両 辺 か ら 同 じ量 を 引 く こ と に よ り,正 の 項 を 小

さ くす る こ と を 意 味 し て い た そ う で あ る.こ muquabala'は,も

の標 題

程 式 の 両 辺 に 同 じ項 を 加 え る こ と を 意 味

う少 し 一 般 的 に,代

ば 用 い られ て い た と い う(な

お,ア

の2つ

の 言 葉 の 結 合'a1-jabr

wal-

数 的 演 算 を す る と い う意 味 に ,し

ル ゴ リズ ム と い う言 葉 は,彼

ば し

の 名 前 ア ル ・フ

ァ リ ズ ミー か ら き て い る).   algebraと

い う言 葉 は,そ

り定 着 し た の で あ るが,20世

の 後,代

数 演 算 を 取 り扱 う学 問 の 総 称 と し て す っ か

紀 に な っ て,algebras,ま

葉 が も う少 し 狭 い 意 味 に も 使 わ れ る よ うに な っ て,事 て き た の で あ る.

た はalgebraと

い う言

態 が 少 し厄 介 な こ とに な っ

  た と え ば,上

の 多 項 式 全 体Pは,R上

算 もで き る.英 ル 空 間 で,か

の ベ ク トル 空 間 で あ る が,同

語 で はPをpolynomial

algebraと

い うの で あ る.一 般 に ベ ク ト

け 算 も で き る よ うな 対 象 をalgebraと

い う よ う に な り,こ

数 学 に お け る 重 要 な 研 究 対 象 と な っ て き た の で あ る.こ は,当

初 は,'hypercomplex

環'と

訳 さ れ た の で あ る が,日

algebraと

number

system'と

れが 代

の よ うな数学 的 な対 象

よば れ,日

本 語 で は'多

本 語 の 多 元 環 が 定 着 す る 頃 に は,あ

元

ち ら で は,

よ ぶ こ とが 主 流 と な っ て き た.

  私 た ち は,あ

ま りい ま ま で の 経 過 に こ だ わ らず に,Pを

項 式 代 数 と い う こ とに し よ う.ま exterior

時 にか け

algebraと

た,こ

れ か ら,英

語 で はtensor

よ ば れ て い る も の を 導 入 す る が,こ 者 が,い

英 語 の 直 訳 の 形 で,多 algebra,

れ も簡単 に そ の ま まテ ン

ソル 代 数,外

積 代 数 と い う こ と に し よ う.読

の 語 感 に,あ

ま り こ だ わ られ な い こ とを 望 む の で あ る.

ま ま で 知 っ て い るalgebra

第7講 テ ンソ ル代 数 テーマ

◆V上

の テ ン ソル 代数

◆ テ ン ソル 代数 にお け る 演算 の 定義 ◆ テ ン ソル 代数 の構 造 ◆ テ ン ソル代 数 の元 の 次数 ◆ テ ン ソル 代 数 と多項 式 代 数 との違 い―

乗 法 の 非可 換 性 と可 換性

◆ ベ ク トル空 間 か らテ ン ソル 代 数へ の道

テンソル代数   1つ1つ

の 多 項 式 を か け 合 わ せ て い く と,次

項 式 全 体Pを

考 え る と,Pの

ソ ル の 場 合 で も,k次 と,(k+l)次

中 で は,か

け 算 が 自 由 に で き る よ う に な る.テ

の テ ン ソ ル 

の テ ン ソル 

数 が ど ん ど ん 上 が っ て い くが,多

と,l次

の テ ン ソ ル η 

と な る が,こ

【定 義 】

をかける

こで もす べ て の次 数 の テ ン

ソ ル か ら生 成 さ れ た 大 き な ベ ク トル 空 間 を 考 え て お く と,多 成 り立 つ に 違 い な い.そ

ン

項 式 と同様 な 状 況が

こ で 次 の 定 義 を お く.

ベ ク トル 空 間Vに

対 し

(1) と お き,T(V)を,V上

の テ ン ソ ル 代 数 と い う.

  こ の 定 義 に 対 し て 説 明 を 加 え よ う.   記 号  つ.す

:こ れ は 直 和 の 記 号 で あ っ て,Pの

な わ ちT(V)の

とき用 いた もの と 同様 の意 味 を も

元 は,有 限 個 の ベ ク トル 空 間 

か ら ξ1,ξ2,…,ξsを と っ て

(2) と表 示 され る元全 体 か らな る.

 別 の 元 η∈T(V)を

と って

(3)

と表 わ した とき,ξ と ηがT(V)の

と約 束 し て あ る((2)と(3)の

同 じ元 を 表わ す の は

右 辺 に は0は

現 わ れ て い な い と し て い る).

  こ の よ うに 形 式 的 に か く とわ か り に くい か も し れ な い が,要 の 多 項 式 が 等 し い の は,次 と を,T(V)の   (1)の

す る にPで,2つ

数 が 等 し く,各 係 数 が 等 し い とい う内 容 に 対 応 す る こ

場 合 に 述 べ て い る だ け で あ る.

表 示 で,各 

  R,V:(1)の

を 直 和 因 子 と い っ て 引 用 す る こ と も あ る.

右 辺 に 直 和 因 子 と し てRとVも

ス カ ラ ー 積 と し て  っ て い る:1ξ=ξ. 

とか い て も よ い.記

加 え られ て い る.Rの

に か け る こ とが で き る.特

に1∈Rは

元 αは,

乗 法単 位 とな

とお く と,(1)は

号 

の 使 い 方 は,記

号 

の 使 い 方 と似 て い る.た

だ し,

 で は有 限個 の元 の和 だ けを と ってい る.

テ ン ソル 代 数 に お け る 演 算 の 定義 加 法 と ス カ ラ ー 積:(2)と(3)で

表 わ さ れ て い る ξ と ηに 対 し て

(4)

とお く.(4)は,た え る の で あ る.(1)の と ηjを 加 え て,次

と え ば 

な ら ば,ξ1+η1は, 

か き 方 に 揃 え る た め に は,同 に,直

べ て,加 法 の 形 で か く.こ

和因子の 順に―

の元 として 加

じ 直 和 因 子 に 入 っ て い る ξi

テ ン ソル の 次 数 に し た が っ て―

の よ うな,直 和 因 子 の 順 に し た が う順 序 の 入 れ か え は,

こ れ か らい ち い ち 断 らな い こ と に す る.   積:(2)と(3)で

並

表 わ さ れ て い る ξ と ηに 対 し,そ

の テ ン ソル積 を

(i=1,2,…,s;j=1,2,…,t)で

定 義 す る.

  こ の 積 の 定 義 も形 式 的 で わ か りに くい と い う人 は,多 に した が っ て,順

次 か け 合 わ せ て,そ

項 式 の か け 算 を,分

配則

の のち に 降 ベ キの順 に揃 え る こ とを 思 い 出

し て み る と よ い だ ろ う.   注意   これ か らは,T(V)の

零 元 は0で 表わ し,こ れ は 同 時に,ベ

ク トル 空間Vの

零元

を表わ し てい る と考 え る.

テ ンソル代数 の構造   T(V)をV上

の テ ン ソ ル 代 数 と す る.T(V)は

代 数 的 に は 次 の よ うな 構 造 を

もつ. (Ⅰ)  T(V)は,(R上 (Ⅱ)  T(V)に

の)ベ

は,か

ク トル 空 間 で あ る.

け 算  が 定 義 さ れ て い て,こ

(ⅰ) 

(結合 則)

(ⅱ) 

(分配 則)

(ⅲ)  α∈Rに

対 して

(ⅳ)  1∈Eに

対 して

  これ ら の 規 則 が 成 り立 つ こ と は,す   一 般 に,も

の の 集 ま りAが

算 が 定 義 さ れ て い て,こ の)多

元 環,ま

で に 前 項 で 示 し て あ る.

あ っ て,Aの

中 に 加 法,(Rと

れ が 上 の(Ⅰ),(Ⅱ)の

た は 前 講 のTea

れ は 次 の 性 質 を も つ.

Timeで

の)ス

カ ラ ー 積,か

け

性 質 を み た す と き,Aを(R上

の 術 語 の 使 い 方 の 了 承 に よ れ ば,代

数

と い う の で あ る.   一 般 の代 数Aに   な お,T(V)に 次数kを 数kの

対 して は,か け 算 は,x,y∈Aに は,多

項 式 代 数Pの

数lの

元 η と の 積 

記す のが ふ つ うで あ る.

場 合 と 同 じ よ う に, 

も つ と い う こ と に よ り,次 数(ま 元 ξ と,次

対 してxyと

た は 階 数)の は,次

数k+lを

の と き,ξ は

概 念 が 入 る.こ も つ.一

般に

の とき次

が 成 り立 つ.こ

の 式 で 包 含 関 係 ⊂ は 明 ら か で あ ろ うが,等

左 辺 の 空 間 の 次 元 がnk×nl=nk+lと

な っ て,右

号 が 成 り立 つ こ と は,

辺 の 空 間 の 次 元 と 等 し くな る こ と

か らわ か る.

テ ン ソ ル代 数 と 多 項 式 代 数 と の違 い   私 た ち の 関 心 は,V上 っ て,多

項 式 代 数Pの

の テ ン ソ ル 代 数T(V)に 類 似 を た ど りな が ら,い

あ る の だ が,こ

ま ま で 話 を 進 め て き た.

  類 似 し て い る 方 だ け を 強 調 し て い く と,T(V)とPに 違 い も な い よ うに みえ て く る.し

か し 実 は,か

の導 入 に あた

は,本

質 的 な点 に 何 の

け 算 の 規 則 に 関 し1つ

の点 で 本質

的 な違 い が あ る.

T(V)は

非 可 換 で あ り,Pは

  す な わ ち,ξ,η ∈T(V)に

対 し て,一

対 し て は つ ね にf・g=g・fが

成 り立 っ て い る.

可 換 で あ る.

般 に は 

で あ る が,f,g∈Pに

  こ の 違 い を も っ と は っ き り認 識 し て も ら うた め に,Vと つ2次

元 の ベ ク トル 空 間 を と り,多

項 式 代 数 と し て は,こ

い て の 多 項 式 全 体 の つ くる 多 項 式 代 数P[x,y]= の 元 は,た

し て,基

底e1,e2を

も

こ で は2変

数x,yに

つ

Pk[x,y]を

と る.P[x,y]

とえ ば f(x,y)=x−5x3y+2x2y2+6y8

の よ うに 表 わ さ れ て い る.   こ の と き,T(V)の

非 可 換 性 とP[x,y]の

可 換 性 を 対 比 し な が ら考 え て み る

と次 の よ うに な る. 。 で は,  。   P2[x,y]で ・ 

が 基 底 を つ く る.

はx2,xy(=yx),y2が

基 底 を つ くる.

で は, 

・   p3[x,y]で

は,xxy,xyx,yxxは

  こ の 非 可 換 性 と 可 換 性 は,次

は す べ て 異 な る元 と な る. 同 じ元x2yを

表 わ し て い る.

元 の 上 で も は っ き り現 わ れ る.い

ま の場合

で あ る が,

で あ る. 

は,pk[x,y]に

比 べ れ ば,は

ベ ク トル空 間Vか   こ の よ うに し て,長 て,テ

る か に 大 き い ベ ク トル 空 間 と な る!

ら テ ン ソ ル 代 数T(V)へ

い 道 の りで は あ った が,抽

ン ソ ル 代 数T(V)に

到 達 し た.(1)か

象 的 な ベ ク トル 空 間 か ら出 発 し ら

V⊂T(V) で あ る.し

た が っ て,T(V)は

ベ ク トル 空 間Vを

拡 張 した もので あ ると考 え る

こ と が で き る.   ベ ク トル 空 間Vの が,T(V)の

中 で は,加

法 と ス カ ラー積 が 定 義 され て いた だ け であ っ た

中 で 考 え る と,Vの

元 は い く ら で もか け 合 わ す こ と が で き る よ う

に な っ た.   だ が,Vに

比 べ れ ば,T(V)は

は 有 限 次 元 で,そ 次 元 で,そ

非 常 に 大 き い ベ ク トル 空 間 で あ る.実

の 基 底 は,{e1,e2,…,en}で

際,V

与 え ら れ て い る が,T(V)は

無 限

の基 底 は 無 限 個 の元

で 与 え ら れ て い る.こ

こ でi1,i2,…,ikは,{1,2,…,n}か

ら重 複 を 許 して と っ た

す べ て の 順 列 を わ た る.   ベ ク トル 空 間Vが

与 え られ た と き,Vを

広 げ て,Vの

こ と の で き る よ うな 対 象 を 考 え る こ と は,望 え は,数

元 を 自由に かけ 合 わ す

ま し い こ とだ し,ま

た そ の よ うな 考

学 の 中 に あ る 自 由 性 を 端 的 に 示 し て い る と もい え る だ ろ う.確 か に テ ン

ソ ル 代 数 Υ(V)は,そ

の 方 向 へ の1つ

の 答 を 与 え て い る.し

限 次 元 で,有

限 次 元 の ベ ク トル 空 間Vと

  何 か,Vを

含 む 有 限 次 元 の ベ ク トル 空 間 が あ っ て,そ

か し,T(V)は

の 隔 りが あ ま り に も 大 きす ぎ る. の 中 で は,か

け算 が 自由

に 行 な え る よ うな 対 象 を 構 成 す る こ とは で き な い だ ろ うか.   さ ら に,(こ

の 要 求 は 多 少 漠 然 と し て い る が)か

い 適 用 性 を もつ も の が 望 ま し い.た 対 して

無

け 算 の 規 則 が 意 味 が あ り,広

と え ば 極 端 な 場 合,Vの

任 意 の2元x,yに

x・y=0 と お い て,か

け 算 を 導 入 す る と,Vの

中 だ け で か け 算 が で き る よ うに な る が,こ

れ は い か に もつ ま ら な い.   次 講 で は,こ E(V)と

の 問 題 の1つ

よ ば れ る1つ

の 答 と して,ベ

ク トル 空 間Vに

の 代 数 を 構 成 し よ う.E(V)はVを

対 し て,外

積代 数

含む 有 限 次 元 のベ ク

トル 空 間 で あ っ て dimE(V)=2n  と な っ て い る.E(V)を

構 成 す る 道 は,テ

で あ る が,E(V)はT(V)よ 中で は ―

(n=dimV)

り も,現

ン ソ ル 代 数T(V)を

代 数 学 の 中 で は―

経 由 してい くの 殊 に ベ ク トル 解 析 の

は る か に 広 い 適 用 性 を も っ て い る.

Tea

Time

質 問  1つ の こ とを 発 見 しま した.こ れ は僕 に と って 生 まれ て は じめ て の 数学 上 の発 見 で す.多 項 式 の場 合,Pま ク トル空 間P1の

で 広 げ な くと も,高 々1次 の 多項 式 の つ くるベ

中で も,ち ゃん とか け算 が で き る よ うな規 則 を 見つ け た ので す.

それは

(*) と して,か け 算 〓 を定 義す るの です.分 配則,結 合則 が 成 り立 つ こ と も確 か め て み ま した.結 合 則 を示 して み ま し ょ うか.そ れ に は

が成 り立 つ こ とをみ れ ば よい わ け で す.と こ ろが

左辺 右辺 で,左

辺=右

っ て,P1も'高

辺 と な り,結 々1次

答   発 見 の 喜 び は,大

合 則 が 成 り立 ち ます.僕

式 代 数'と

が 見つ け た このか け 算 〓 に よ

命 名 し て も よ い こ と に な った の で し ょ うか.

き い も の で,1つ

の 発 見 が 数 学 の 勉 強 へ 駈 りた て る 契 機 と

な る こ と も多 い.君

が 発 見 し た こ と は 正 しい こ と で あ る し,ま

式 代 数 とい っ て も構 わ な い わ け で あ る.(*)の っ と,ふ つ うの か け 算 を した 上 で,x2の

たP1を

高 々1次

か け 算 の 規 則 を 発 見 し た の は,き

項 を と っ て し ま っ た ら ど うな る か と考 え

て み た の だ ろ う と思 う.   しか し,こ 考 え で,高

の こ と は 数 学 者 が 実 は も う よ く知 っ て い る こ と な の で あ る.同 々k次

に は 高 々k次

の2つ

次 以 上 の 項 を0と

の 多 項 式 全 体Pkも,代 の 多 項 式f,gを

ふ つ う の よ うに か け 算 し て か ら,次

お くの で あ る.す

様 の

数 の 構 造 を い れ る こ と が で き る.そ

れ

にk+1

なわ ち

f(x)g(x)=(f g)(x)+xk+1G(x) (f gはk次

ま で の 部 分)と

  こ の と き 得 られ る'高

々k次

し て,か

け 算f gを

式 代 数'は,次

定 義 す る の で あ る.

講 で 述 べ る い い 方 に し た が え ば,P

をxk+1か

ら生 成 さ れ た イ デ ヤ ル で 割 っ て 得 ら れ た 代 数 と い う こ と に な る.君

見 は,も

っ と大 き な 考え へ と 発 展 し,そ

の発

こ に 吸 収 さ れ て い く こ と に な る だ ろ う.

第8講 イ

テ ー

ヤ

ル

マ

◆ 代 数Aの ◆

デ

イデ ヤル の一 般 的 な 定義

イデ ヤ ルIに よ る類 別―

同値 類

◆ 商 集 合A/I ◆ 商 集 合A/Iは,代

数 の 構造 を もつ.

◆ 商代数 ◆ 多 項 式 代 数 に お け る1つ の例

一 般 論―

 AをR上

イデヤルにつ いて

の代 数(多 元 環)と す る.Aか

ら新 しい 代 数 をつ くる 一 般 的 な方法

が あ る.そ の こ とを まず 述べ て お こ う.な おAの

元x,yに

対 して積 をxyで

表わ

す こ と にす る. 【定 義 】Aの

空 で な い部 分 集 合Iが 次 の条 件 をみ た す とき,イ デ ヤル とい う.

(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)

  こ こ で(ⅰ)と(ⅱ)の と い う条 件 で あ る.す 任 意 のx∈Iに

条 件 は,IがAの な わ ち,Iの

対 し(ⅱ)か

中 で 部 分 ベ ク トル 空 間 に な っ て い る

中 で 加 法 も ス カ ラ ー 積 も 自 由 に で き る.な

ら −x=(−1)x∈Iだ

か ら,(ⅰ)か

ら,Iの

お

中で 引

き 算 も 自 由 に で き る こ とが わ か る.   (ⅲ)は,特

徴 的 な 性 質 で あ っ て,単

にIの

元 を2つ

れ る とい う こ と を 保 証 し て い る だ け で は な く て,一 え す れ ば,Aの

ど ん な 元aを,xに(左

る と い う こ と を 保 証 して い る の で あ る.

か け 合 わ せ て もIに

方 の 元xがIに

ま た は 右 か ら)か

含 ま

含 まれ て い さ

け て もIに

含 まれ て い

  最 初 に こ の よ う な 話 を 聞 か れ た 読 者 は,イ か も しれ な い.前

デ ヤ ルIの

講 か ら の 話 の 続 き と し て は,次

例 を 知 りた い と思 わ れ る

の よ う な 例 を 述 べ て お くの が,

最 も適 切 で あ ろ う.   多 項 式 代 数Pを,上

の 定 義 のAに

と る.自

然 数kが

与 え ら れ た と き,Pの

部

分 集 合Ikを Ik={f￨f(x)=xk+1F(x),F(x)は と お く.す

任 意 の 多 項 式}

な わ ちIkは xk+1(a0+a1x+…+alxl)

の 形 を した 多 項 式 か ら な る集 合 で あ る.IkはPの

イ デ ヤ ル とな る.実

元 に,ど

含 まれ て い る こ とは 明 らか だ

ん なPの

元(多

項 式!)を

か け て もIkに

際,Ikの

ろ う.

イ デ ヤ ル に よ る 類 別―

  代 数Aの

中 に イ デ ヤ ルIが

が で き る.す

与 え られ る と,Aの

同 値 類

元 をIに

よ って 類別 す る こ と

なわ ち x−y∈Iの

と きx∼y

と お き,xとyは

同 じ類 に 入 っ て い る と い うの で あ る.こ

  (a) 

あ る

x∼xで

の とき

  な ぜ な らx−x=0∈I   (b)   

x∼yな

らばy∼x

な ぜ な らx−y∈Iな

  (c) 

x∼y,y∼zな

ら ば −(x−y)=y−x∈I ら ばx∼z

  な ぜ な らx−y∈I,y−z∈Iよ

り,x−z=(x−y)+(y−z)∈Iと

な るか ら

で あ る.   こ の(a),(b),(c)を

示 す に は,イ デヤ ル の 性質 の うち,(ⅰ)と,x∈Iな

らば−x∈I

とい う性 質 し か用 いて い な い こ とを注 意 して お こ う.   任 意 のa∈Aに

対 し,aと

分 集 合 が 得 られ る.こ に す る.a∈Aで

同 じ 類 に 入 っ て い るxを1ま

の 部 分 集 合 をaを

あ る が,[a]⊂Aで

と め に す る と,Aの

含 む 同 値 類 と い い,[a]で

あ る.こ

の と き(a)は,x∈[x]を

部

表 わす こ と 示 し,

(b)は,y∈[x]な   (c)か

ら ばx∈[y]を

示 して い る.

らは 次 の こ と が わ か る.2つ

[x]=[y]か,[x]∩[y]=φ(空   な ぜ な ら,も

集 合)の

し[x]∩[y]≠

た が っ てz∼y)か

す る と,x∼y,y∼y′

とは,[y]⊂[x]を

示 し て い る.同

結 局,[x]∩[y]≠

φ な ら ば,[x]=[y]が

[x]∩[y]=φ

か の,い

与 え ら れ た と き,

し か 起 き な い. 共 通 なAの

ら,x∼yと

か らx∼y′.し

元zが

な り,y∈[x)と

な る.

た が っ てy′ ∈[x].こ

様 に し て,[x]⊂[y]も 示 さ れ た.こ

い え る.し

の こ

た が っ て,

の こ と は,[x]=[y]か,

ず れ か 一 方 の 場 合 しか 起 き な い こ と を 示 し て い る.

  Aは,相

異 な る 同 値 類 に よ っ て,互

さ れ る.こ

れ を,イ

  同 値 類 を1つ

い ず れ か1つ

φ とす る と,[x]と[y]に

含 ま れ る.x∼z,y∼z(し そ こ てy′ ∈[y]と

の 同 値 類[x],[y]が

デ ヤ ルIに

の'も

の'と

い に 共 通 点 の な い 部 分 集 合 の 集 ま りに 分 割

よ るAの 思 っ て,相

類 別 と い う. 異 な る 同 値 類 全 体 を 集 め て 得 られ る集 合

を, A/I と 表 わ し,AのIに

よ る 商 集 合 と い う.A/Iの

元 は,相 異 な る 同 値 類[x],[y],…

か ら な っ て い るわ け で あ る.   こ れ か ら と き ど き,説 え,関

明 の 便 宜 さ も あ っ て,Aを

係x∼yは,xとyが

な た とえ を と る.こ

同 じ 世 帯 に 属 し て い る 関 係 を 示 し て い る とい う よ う の と き,各

同 値 類 は そ れ ぞ れ の 世 帯 と な り,日 本 の 人 を こ の

関 係 で 類 別 す る とい う こ と は,世 た と え で は,x−yな だ が,Aの

帯 別 に わ け る とい う こ とに な る.も

ど と い う 演 算 に 意 味 は な い し,イ

元xと,xを

含 む 同 値 類[x]と

る 世 帯 と い うた と え が,状

A/Iの'元'[x],[y]に

デ ヤ ルIも

い うと き,人

と,そ

登 場 しな い の の人 の 属 して い

代 数 に な る

加 法 と 乗 法 を 定 義 し,さ 定 義 す る こ と に よ っ て,A/Iに

ら に 任 意 の 実 数 α に 対 し て, 代数 の構 造 を与 え る こ とが で

き る.   結 論 か ら 先 に い う と,こ

ち ろん この

況 を 簡 明 に 説 明 す る こ と も 多 い の で あ る.

A/Iは

ス カ ラ ー 積 α[x]を

日 本 に 住 む 人 の 集 ま りに た と

れ ら は 次 の よ うに 定 義 す る の で あ る:

加

法:[x]+[y]=[x+y]

ス カ ラ ー 積:α[x]=[αx] 乗

(1)

法:[x][y]=[xy]

 この定 義 は 自明 な こ との よ うに み え るが,こ の よ うな定 義 が可 能 か ど うか とい うこ とは実 は 少 し も明 らか な こ とでは ない の であ る.   問 題 点 は す べ て 同 じ場 所 か ら 生 ず る の で あ る が,ま

ず 加 法 か ら 説 明 し よ う.上

[x]と[y]の

和 をx+yを

含 む 同値 類 と して

定 義 し よ う と い うの で あ る.と み る とわ か る よ うに,[x]か

こ ろ が,図4を ら別 のx′,[y]か

ら別 のy′ を と っ た と き,x′+y′

が や は りx+y

と 同 じ 同 値 類 に 移 っ て い な い と,こ 意 味 が な い の で あ る.世 [x]世 て,別 [y]世

帯 に い る 父 親 以 外 の 人 た ち が,父

揃 っ 帯 と 親の

帯へ 移 っ た か ど う か

らか な こ とで は な い の で あ る.

  つ ま り,こ は,次

帯 の 父 親yが

帯 へ 移 っ て も,[x]世

移 動 に 同 道 し て[z]世 は,明

の 定 義 には

帯 の た と え で い う と,

帯 の 父 親xと[y]世 の[z]世

の 定 義 は,

の加 法 の 定義 に意 味 が あ るた め に

図4

の こ とを 示 さ な くて は な ら な い.

x∼x′,y∼y′

な らばx+y∼x′+y′

  と こ ろ が こ の こ とは x−x′ ∈I,y−y′

∈I⇒(x+y)−(x′+y′) =(x−x′)+(y−y′)∈I

と な っ て 成 り立 つ の で あ る.こ

こ で は イ デ ヤ ル の 性 質(ⅰ)を

  ス カ ラ ー 積 の 定 義 に 対 し て も,図5を る.こ

の とき示 す べ き こ とは

用 い て い る.

み る とわ か る よ う に 同 じ 問 題 が 起 き て い

図6

図5

x∼x′

な らば

αx∼ αx′

で あ る.   こ の こ と はx−x′ デ ヤ ル の 性 質(ⅱ)を

∈I⇒

α(x−x′)∈I,αx−

αx′∈Iか

ら わ か る.こ

こでは イ

用 い て い る.

 乗 法 の 定 義 が妥 当 な もので あ るため に は

x∼x′,y∼y′

な ら ばxy∼x′y′

を 示 さ な くて は な ら な い(図6).   こ れ は,イ

デ ヤ ル の 性 質(ⅲ)か

  x−x′ ∈I,y−y′

ら 導 く こ とが で き る.す

なわ ち

∈I⇒xy−x′y′=(x−x′)y+x′(y−y′)∈I

こ こ で(x−x′)y∈I,x′(y−y′)∈Iを   こ れ ら の こ と が 示 さ れ て,は 定 義 が 確 定 し た の で あ る.一

用 い た の で あ る.

じめ て 最 初 に 述 べ た,加 度 確 定 し て み れ ば,Aの

法,ス 元xに

カ ラ ー 積,乗

法の

対 し て,A/Iの

元

[x]を

対 応 させ る対 応 は

を み た し て い る の だ か ら,Aで 則 へ と遺 伝 さ れ て い く.し

た が っ てA/Iは,代

  特 にA/Iの0は,Aの0と ら な る.す

成 り立 つ 演 算 規 則 は,そ

の ま まA/Iへ

数 の 構 造 を もつ の で あ る.

同 値 な 元 全 体 か ら な る 類,す

な わ ち,IがA/Iの1つ

の演 算 規

の 元 と な っ て,こ

な わ ちx−0=x∈Iか

れ がA/Iの

零 元 とな るの

で あ る. 【定 義 】A/Iを,Aの   な お,Aの 対 し て,そ

イ デ ヤ ルIに

元xに

対 し,xを

よ っ て 得 ら れ た 商 代 数 とい う.

含 む 同 値 類[x]を

対 応 さ せ る対 応―

の 属 し て い る世 帯 を 対 応 さ せ る 対 応―

を,Aか

らA/Iへ

各 個人 に の 標 準射 影

と い っ て πで 表 わ す: π(x)=[x] こ の 記 号 を 使 う と,(1)は((1)の

左 辺 と右 辺 は 逆 に な る が)

π(x+y)=π(x)+π(y) π(αx)=α

(2)

π(x)

π(xy)=π(x)π(y)

と 表 わ す こ とが で き る. 1つ

  多 項 式 代 数Pに

の 例

お い て,

Ik={f￨f(x)=xk+1F(x),F(x)は が イデ ヤ ル と な る こ と は,前

任 意 の 多 項 式} 

に 述 べ て あ る.そ

(k=1,2,…)

れ では 商 代数

P/Ik は どの よ うな も の に な っ て い る の だ ろ うか.   イ デ ヤ ルIkに

よ る類 別 を 考 え て み る と f(x)∼g(x) 

f(x)−g(x)∈Ik 

(3)

で あ る が, f(x)=a0+a1x+…+akxk+xk+1F(x) 

(4)

g(x)=b0+b1x+…+bkxk+xk+1G(x) (F(x),G(x)は

多 項 式)と,fとgをk次

け て み る と,(3)が

ま で の 部 分 とk+1次

以 上 の部 分 にわ

成 り立 つ 必 要 十 分 条 件 は a0=b0,a1=b1,…,ak=bk

が 成 り立 つ こ と で あ る こ と が わ か る.す ど うか は,k次 で あ る.こ

な わ ち,fとgが

同 じ類 に 入 っ て い る か

の 部 分 ま で が 等 し い か ど うか に よ っ て,完

の こ と は,(4)の

形 を したfに

全 に 決 ま っ て し ま うの

対 し

[f]∋a0+a1x+…+akxk で あ り,[f]に

属 す る ほ か の 元 は,こ

れ にxk+1次

以 上 の 項 を 任 意 に加 え た も の

か ら な っ て い る こ と を 示 して い る.   簡 単 に た と え で い え ば,世

帯[f]の'世

帯 主'と

し てつね に代 表

a0+a1x+…+akxk

を 選 ぶ こ とが で き る の で あ る.   し た が っ てP/Ikの の'世

帯 主'を

カ ラ ー 積,乗

  こ の こ と をP/I1に こ と に な る.こ

々1次

々k次

ね にそ の 多項

法 が 定 義 さ れ る こ とに な る.

適 用 す る と,高

々1次

れ が 実 は,前 講 のTea

の 項 を 捨 て た の は,こ

っ て,高

ど に 対 し て,つ

代 表 と し て 演 算 結 果 を 表 わ す こ と に し て お く と,高

式 全 体 に 加 法,ス

で2次

演 算[f]+[g],α[f],[f][g]な

Timeで

の多 項 式全 体 に も乗 法が 定 義 され る 述 べ た 乗 法  と な っ て い る.そ

こ で の 私 た ち の 立 場 か ら い え ば,そ

式 で 代 表 され る'世

帯 主'を

Tea

こ

うす る こ と に よ

選 ん だ こ とに な っ て い る.

Time

イデ ヤ ル につ い て   イデ ヤル は,日 本 語 に 訳 しきれ なか った数 学 の 術語 の1つ で あ っ て,英 語ideal を そ の ま ま訳 せば'理 想'に な って しま う.歴 史 的 な 経過 を無 視 す れ ば,い まこ こで 述 べ た イデ ヤル に対 す る 抽 象 的 な一 般概 念 に 対 して,'理

想'な ど とい う定

義 を 与 え て し ま っ て は,一

体,こ

ま うだ ろ う.も

メ リカ や イ ギ リス の 人 た ち が,数

っ と も,ア

の 概 念 の ど こに 理 想 が あ る の か と 面 食 ら っ て し 学 の 中 でidealと

い

う言 葉 に 最 初 に 出 会 った と き,ど の よ うに 感 ず る の か ま で は,私 に は わ か らな い.   歴 史 的 に は,ク

ン マ ー が 代 数 的 整 数 に 対 し て も,素

た せ る た め に は,数 想 数'と

い う概 念 を 導 入 し た の が 最 初 で あ っ た.こ

ヤ ル とい う立 場 で 見 直 さ れ た の は,大 ら に 抽 象 化 さ れ て,こ

体1870年

れ が デ デ キ ン トに よ り,イ デ

頃 の こ とで あ る.そ

こ で 述 べ た よ うな 形 に な っ た の は,20世

数 学 の 考え が 展 開 す る よ うに な っ て か ら で あ る.ク 葉 は,完

因 子 分 解 の 一 意 性 を 成 り立

の 概 念 を 拡 張 す る こ とが 必 要 で あ る とい う 着 想 を 得 て,'理

全 に 抽 象 化 さ れ て い く過 程 の 中 で も,イ

の概念 が さ

紀 に な って抽 象 代

ン マ ー の'理

想 数'と

い う言

デ ヤ ル と い う言 葉 の 中 に 残 り続

け た の で あ る.   も っ と も ク ン マ ー が,'理 と,抽

ど と い う も の を 考 え た の は,具

象 的 な イ デ ヤ ル 概 念 を 結 ぶ か け 橋 が あ った か ら で あ る.そ

の 整 数nに る.す

想 数'な

対 し て,nの

な わ ち,整

倍 数 か ら な る イ デ ヤ ルJnを

数 の つ く る代 数Zの

体 的 な整 数

の 橋 と は,任

意

対 応 させ る と い う考 え で あ

中で

Jn={x￨x=na,a∈Z} とお く と,JnはZの

イ デ ヤ ル で,対

応

n→Jn は1対1で   Z/Jnは,整 ら な り,そ

あ る(m≠nな 数 をnで

ら ば.Jm≠Jn). 割 った 余 りが 等 し い と き に 同 値 で あ る と考 え る 同 値 類 か

の 代 表 元 は{0,1,2,…,n−1}で

と の あ る 人 は,Jnに

よ る 類 別 関 係x∼yは,ふ

を 思 い 出 され る だ ろ う.

与え ら れ る.整

数 論 を 少 し学 ん だ こ

つ うはx≡y(mod

n)と

か くこ と

第9講 外

積

代

数

テーマ

◆ 目標:T(V)の

適 当 な イデ ヤ ルIを とって,有 限 次 元 代数T(V)/I

を つ くる. ◆x  x(x∈V)か

ら生 成 され る イデ ヤル

◆ 外積 代 数 の 定 義:外 積 代 数E(V)=T(V)/I ◆ 外 積 ω∧ω′ ◆E(V)の

部 分空 間∧kV

◆E(V)の

乗 法 の基 本 規 則:x∧x=0,x∧y=−y∧x

目   ベ ク トル 空 間Vが

標

与 え られ た と き,Vを

含 む 有 限 次 元 の ベ ク トル 空 間 で,代

数 の 構 造 を も つ も の を つ く る こ と が 目 標 で あ る.そ 数T(V)の

中 に 適 当 な イ デ ヤ ルIを

見 出 し て,商

T(V)/I  を 考 え る こ と に よ っ て,そ   勝 手 に イ デ ヤ ルIを そ れ で は,私

の た め に,V上

の テ ン ソル 代

代数

(1)

の 目 標 を 達 し た い の で あ る.

も っ て き て も,(1)は

一 般 に は 無 限 次 元 に な っ て し ま う.

た ち の 目標 に は 合 わ な い の で あ る.ど

の よ う な イ デ ヤ ルIを

とった

ら よ い で あ ろ うか.   これ を 考 え る ヒ ン トと し て,テ

ン ソル 代 数T(V)と

多 項 式 代 数Pと

を対 比 し

て み よ う: (2) (3) こ の よ うに か き 並 べ て み る と,す す る も の は,Pの

中 の 高 々1次

ぐわ か る こ と は,T(V)の 式 全 体 の つ くる 空 間R 

中 のR 

Vに

P1={a+bx￨a,b∈R}で

対応

あ る.Pの

中 で イ デ ヤ ルI1={x2F(x)￨F(x)は

講 の 終 り で 述 べ た よ うに(そ

任 意 の 多 項 式}を

こ で はP1=R 

P/I1〓R 

P1 

と な っ て い る.Pを,I1で'割

P1と

考 え る と,前

お い て あ る),

(ベ ク トル 空 間 と し て 同 型)

る'こ

と に よ っ て,2次

以 上 の 項 が,除

去 され て

し ま うの で あ る.   これ は,(3)の

方 で の 話 で あ る.な I1=P2 

お イ デ ヤ ル はI1,は

P3  …  Pk 

…

と表 わ され て い る こ と に 注 意 し て お こ う.   (2)の

方 で これ に 対 応 す る こ と を 考 え て み よ う と す る と,ま

当 す る  2Vと くて,私 は, 

い う空 間 に 目が い く.し

際 は,こ

2Vの

中 に 含 ま れ て い るx  デ ヤ ルIを x 

元xを

T(V)の

x(x∈V)か

れ ら の 元 か ら'生

成

ら 生 成 され る イデ ヤ ル

x∈ 2Vを

中 の 最 小 の イ デ ヤ ルIと

の 形 の 元 は,す

形 の 元 に 注 目 し,こ

成 へ の 道'

と る と こ ろ か ら ス タ ー トす る の で あ る.

と っ てx 

う な イ デ ヤ ルIが

xの

の項 に 相

の空 間 そ の もの では な

た ち に と っ て これ か ら重 要 な 役 目 を 果 た す 代 数 を つ く る'構

さ れ る'イ

  Vの

か し,実

ず2次

つ く る.こ

は ど の よ うな も の で あ ろ うか.ま

あ っ た とす る と,イ

べ てIに

の よ う な 元x 

デ ヤ ル の 性 質(ⅲ)(52頁)か

含 ま れ て い な くて は な ら な い.こ

任 意 の 元 を と っ て も よい と い う と こ ろ に,イ が っ て イ デ ヤ ル の 性 質(ⅰ)(52頁)か

ら,こ

x全 体 を 含 む ず,そ

のよ

ら

こ で ξ,ηがT(V)の

デ ヤ ル の 特 性 が 現 わ れ て い る.し

た

れ らの元 の有 限和 (4)

も ま たIに

属 さ な く て は な ら な い.

  逆 に,(4)でs=1,2,… ら れ る 元 全 体 は,イ

と動 か し,xi∈V,ξi,ηi∈T(V)を デ ヤ ル の 条 件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)(52頁)を

ぐ に 確 か め られ る.ま た(4)の の 形 の 元 も,(4)の   こ の こ と は,(4)の

表 現 でs=1,ξ1=η1=1(∈R)と

任 意 に とっ て得 み た す こ とは,す お く と,x1 x1

中 に 含 ま れ て い る こ と を 注 意 し よ う. 形 で 表 わ さ れ る 元 全 体 が,x x(x∈V)を

含 む,T(V)

の 中 の最 小 の イデ ヤル で あ る こ とを 示 してい る.す なわ ち,求 め る最小 の イデ ヤ ルIは

で 与 え られ る. 【定 義 】

イ デ ヤ ルIをx 

x(x∈V)か

ら生 成 さ れ た イ デ ヤ ル と い う.

  Iの あ る 場 所 を 明 示 して お くと

と な る.I∩(R 

V)={0}な

の で あ る.

外積代数の定義 【定 義 】 商 代 数 E(V)=T(V)/I を,V上

の 外 積 代 数(ま

  T(V)か

ら,E(V)へ

ξを 含 む 同 値 類[ξ]を 乗 法 は,π

た は グ ラ ス マ ン 代 数)と

い う.

の 標 準 射 影 を π とお く.π

はT(V)の

対 応 さ せ る写 像 で あ っ た.T(V)の

に よ っ て,E(V)へ

元 ξに 対 し て, 加 法,ス

と 自 然 に 移 さ れ て くる が,E(V)の

カ ラ ー 積, 乗 法 は,新

しい記 号

の よ うに,記

号∧

を 用 い て か く こ と に し よ う.す

な わ ち,こ

の 記号 の定 義 は

で 与 え ら れ る. 【定 義 】E(V)の   さ て,I∩(R 

元 ω と ω′に 対 し,そ V)={0}か

ら,次

π はR 

い い か え る と,Rの

の 積 ω∧ ω′を,ω

と ω′の 外 積 と い う.

の 重 要 な こ と が 導 か れ る.

V上

元 α,β,ま たVの

で は1対1で

元x,yに

あ る.

対 して

α≠β⇒

π(α)≠π(β)

x≠y⇒

π(x)≠ π(y)

が 成 り立 つ. 【証 明 】 た と え ばx,y∈Vでx≠yと x−y〓I(I∩V={0}!).し

す る と,x−y∈Vでx−y≠0だ

た が っ てIに

よ る 類 別 で,xとyは

か ら 異 な る同値 類 に

属 し て い る.   こ の 結 果 に 基 づ い て,こ れ か ら はR  記 号 で 表 わ す こ と に し よ う:π(α)=α(α

Vの

元 に 対 し て は,π

で 移 った 先 も 同 じ

∈R),π(x)=x(x∈V).

  こ こ は 少 し 注 意 を 加 え て お く必 要 が あ る か も し れ な い.R Vの の 属 す る 世 帯 の 世 帯 主 の よ うな 役 目 を して い る の で あ る.世 え ばx≠yな [x])を Ｒ Vの

ら ば),世

帯 も違 う(π(x)≠

考 え る 代 りに,世

帯 主 の 名 前xを

元 の 同 値 類 に 対 し て は,世

π(y)と

な る).だ

元 は,こ

の元

帯 主 が 違 え ば(た

と

か ら 世 帯(同

値類

考 え て す ま せ る こ と が で き る.今

後は

帯 主 の 名 前 だ け を か く こ と に す る と い うの

で あ る.   対 応 す る こ と をP/I1で の ま まa+bxで

い え ば,P/I1で,1次

式a+bxを

含 む 同 値 類 を,そ

表 わ し て お く こ と に 相 当 し て い る.

  した が って これ か らは R 

V⊂E(V) 

(5)

と 考 え る.

E(V)の

  (5)の

よ うに 考 え る こ と は,π(α)=α(α

分

解

∈R),π(x)=x(x∈V)と

考え る

こ とで あ り,し た が っ て π(R)=R,π(V)=V で あ る. 2Vの か ら, 

2Vの

元 は,x y(x,y∈V)の

形 の 元 の1次

結 合 で表 わ さ れ てい る

πに よ る 像 は

の形 の 元 の1次 結 合 で表 わ され てい る こ とに な る.こ の こ とを知 った上 で

π( 2V)=V∧V=∧2V と お こ う.∧2Vは,E(V)の

部 分 ベ ク トル 空 間 で あ る.同

様に

π( 3V)=V∧V∧V=∧3V 一般に k個

(k=2,3,…)

と お く.な お,k=0,1に

対 して は

とお く.   ∧kVはVのk次

の 外 積 空 間 と よ ば れ て い る.∧kVはE(V)の

部 分 ベ ク トル

空 間 で あ っ て, (xis∈V) の 形 の 元 の1次

結 合 と し て 表 わ され て い る.

  こ の よ う に し て,T(V)か

らE(V)へ

の 標準 射 影 πは

と分 解 さ れ る.   読 者 は こ こ で,T(V)の

右 辺 に は 直 和 記 号  が 用 い られ て い る の に,E(V)の

右 辺 に は, 

記 号 と が 混 じ り合 っ て い る の に 目 を とめ られ た か も し

の 記 号 と+の

れ な い.   私 た ち は,E(V)の

方 が,直

い な い の で あ る.た ら と っ た 元 の1次

和 分 解 と な っ て い る か ど うか,ま

と え ば∧2Vに

属 す る元(≠0)が,別

結 合 で 表 わ され るか も しれ な い.も

らば,E(V)は∧kVの

T(V)の

の い くつ か の∧kVか しそ う し た こ と が 起 き る な

直 和 と し て は 表 わ さ れ な い だ ろ う.

  こ の 段 階 で わ か っ て い る の は,E(V)の 元 の1次

元 は,∧kV(k=0,1,2,…)に

結 合 で 必 ず 表 わ さ れ て い る とい う こ と だ け で あ る.そ 元 が  kV(k=0,1,2,…)に

とか ら の 結 論 で あ る.

だ よ くわ か っ て

属 す る 元 の1次

属す る

し て こ の こ と は,

結合 で 表 わ され て い る こ

E(V)の

乗 法 の基 本 規 則

Vの 元xに 対 して x∧x=0 

(6)

が 成 り立 つ.

こ の こ と は,x 

x∈Iか

こ の こ とか ら,次

ら の 結 論 で あ る.

の 乗 法 規 則 が 導 か れ る.

x,y∈Vに

対 し

(7) 【証 明 】(6)に

と な る.こ

よ り(x+y)∧(x+y)=0.こ

れ に 再 び(6)を

用いて

す な わ ち,x∧y=−y∧xが

成 り立 つ.

  こ の こ とを 繰 り返 す と,た

と え ば∧3Vの

また∧4Vの

れ に 分 配 則 を 適 用 して

中で は (xとyの

と りか え)

(xとzの

と りか え)

元の中では

の よ うな こ と が 成 り立 つ.要

す る に,E(V)の

中 の 乗 法 規 則 は2つ

Vの 元 を 入 れ か え る と 符 号 が 変 わ る と い い 表 わ され る.   しか し,実

際 は も う少 し 強 く,次 の こ と が い え る.

隣 り合 った

 す なわ ち,必 ず しも隣 り合 っ てい な くとも,ど こか2つ のxiとxjを

入 れ かえ

る と,必 ず 符 号 が変 わ るの であ る. 【証 明】

  な お,大 は,Vの

切 な 注 意 で あ る が,積

の 順 序 を と りか え る と 符 号 が 変 わ る と い うの

元 の 積 の 場 合 で あ っ て,一

ω=x1∧x2,ω′=x3∧x4と

で あ っ て,こ

般 に は この こ とは 成 り立 た な い.た

とえ ば

す る と,

の 場 合 符 号 は 変 わ ら な い.

  一 般 に は,次

の こ と が 成 り立 つ.

とす る と

【証 明 】

この こ とを示 す に は  

ω=x1∧

… ∧xk,ω

の 場 合 を 考 え れ ば 十 分 で あ る.ω …,ylを

こ の 順 で,x1

体 と し てkl回

,…xkの

∧ ω'に お い て,1つ

  な お ω=x1∧x2+x3∧x4に れ は 一 般 に は0で

ず つ お き か え な が ら,y1

,

前 に も っ て き て,ω'∧ ω に 到 達 す る た め に は,全

の 手 数 が か か る.1つ

終 的 な 符 号 の 変 化 は(−1)klと

′=y1∧ … ∧yl

お き か え る た び に,符

号 が 変 わ るか ら,最

な る. 対 し て は,ω

は な い.x∧x=0と

も の で あ る こ と を 注 意 し て お こ う.

∧ ω=2x1∧x2∧x3∧x4で

い う乗 法 規 則 は,x∈Vに

あ っ て,こ 対 し て 成 り立 つ

Tea

Time

誰 が 外積 代 数 な ど考 え 出 した のか   外 積 代 数 の 中 に 現 わ れ るか け 算 の 規 則 な ど,本 当 に 妙 な も の で あ る.た だ が,小

学 校 で 九 九 を 習 っ た と き,ま

さ か 将 来2×3=6で

る よ うな か け 算 に め ぐ り会 う こ とが あ る な ど,思   外 積 代 数 を 最 初 に 考 え た の は,ド ま も,外

い る本

『線 形 拡 大 論,数

イ ツ の グ ラ ス マ ン と い う人 で あ る.だ

学 の 新 しい 分 野 』 の 中 で,そ の 本 の 難 し さ は,独

な 用 語 を 用 い た 点 に も あ っ た が,グ 価 し て い た ガ ウ ス さ え も,彼

ラ

の 特

ラスマ ンの仕事 を 評

考 え て い た よ うで あ

ラ ス マ ン 自身 に よ っ て,1862年

が か き 改 め られ て か ら,ハ

ン ケル や,物

に この本

理学 者 ギ ブスな

どの努 力 に よ って,し だい に 外積 代 数 の重要 性― ―

か らい

が あ ま りに も 普 遍 的 な 考 え

を 哲 学 的 抽 象 的 に か き す ぎ た,と か し,グ

な

に 著 し た 難 解 き わ ま りな い とい わ れ て

考え を は じめ て 明 らか に し た.こ

る.し

あ る が3×2=−6と

い も し な か っ た こ と で あ る.

積 代 数 の こ と を グ ラ ス マ ン 代 数 と も い う.グ

ス マ ンは,1844年

とえ話

H.G. 

グラス マ ン

特 に ベ ク トル解 析へ の重要 性

が 認識 され る よ うに な って きた.

  グ ラ ス マ ン は,一

生 を 中 学,高

校 の 教 師 と して 過 ご し た.な

ル ・ヴ ェル デ ンの 『代 数 の 歴 史 』 と い う本 に よ る と,n次 を 最 初 に 明 確 に と り出 し て 述 べ て あ る の は,1844年

お,フ

ァ ン ・デ

元 ベ ク トル 空 間 の 概 念

の 上 述 の グ ラ ス マ ンの 著 書 の

中 に お い て で あ る とい う.   そ の 後 の 数 学 の 流 れ を 見 る と,グ げ て い る.グ い.

ラ ス マ ン は,時

ラ スマ ンの 思想 は着 実 に数 学 の 大地 に 根 を広

代 の 流 れ よ り,少

し早 く生 ま れ す ぎ た の か も しれ な

第10講 外積代数 の構造 テ ーマ

◆Vの

基 底 に よる∧2Vの

◆Vの

基 底 に よる∧kV(k≧3)の

◆k>dimVな ◆E(V)の

元 の表現 元 の 表現

ら ば∧kV={0} 基底

Vの 基 底 を と る   ベ ク トル 空 間V上 Vの

の 外 積 代 数E(V)の

基 底{e1,e2,…,en}を1つ

  こ の と き,ま 1,2,…,n)で

ずVの2次 与 え られ,し

構 造 を 知 る た め に,dimV=nと

し,

と る. の テ ン ソル 積 2Vの た が っ て, 2Vの

基 底 はn2個

元 は た だ1通

の 元ei  ej(i,j=

りに

(1) と表 わ され て いた こ とを思 い 出 して お こ う.T(V)か

らE(V)の

上 へ の標 準 射

影 πに よ って

へ と 移 る.こ

へ と移 る が,前

の と き(1)は

講 の(6)に

よ り,こ

ei∧ei=0  で あ る.ま

た 前 講 の(7)に

こで

(i=1,2,…,n) 

よ っ て,i≠jに

(2)

対 して は

ei∧ej=−ej∧ei

が 成 り立 つ か ら,た つ に ま とめ られ て

と え ば(1)でe1 

e2の 項 とe2  e1の 項 は,π

で 移 す と1

と な る.   こ の こ と は,任

意 のi,j(i≠j)に

対 し て 成 り立 つ こ と で あ っ て,i<jに

対 して

とお くと

(3) と な る.   (2)と(3)か

ら,結 局,(1)の

πに よる像 は

と 表 わ さ れ る こ と が わ か っ た.  す な わ ち,∧2Vの

と表 わ さ れ る.こ

元は

こ に 現 わ れ た 項 の 数 は,(i,j)(i,j=1,2,…,n;i<j)と

な る

数 の 組 の 個 数 に 等 し く,そ れ は

で 与え られ る.

∧kV(k≧3)の 同 じ よ うに 考 え る と,∧3Vの

場合

元は

(4) と表 わ さ れ る こ と が わ か る.実 ばe1  e2  e1の よ う に,同

際,テ

じeiが2つ

の 中 で,た

ン ソ ル 積  以 上 現 わ れ る 項 は,外

とえ

積 代数 の方 へ移 る と

e1∧e2∧e1=−e1∧e1∧e2=0 に

よ っ て0と

な る し,ま

た e2 e1 e3,

な ど,相

異 な るe1,e2,e3を

方 へ 移 す と,す

べて

e3 

e2 e1, 

e3 

e1 

e2

適 当 な 順 序 で テ ン ソル 積 を と っ た も の は,外

積代数の

±e1∧e2∧e3

の 形 に ま とめ ら れ て し ま う.こ れ ら の こ とか ら(4)が

成 り立 つ こ とが わ か る.

 一 般 に k≦nの

と き,∧kVの

元 は

(5) と表 わ され る.

この項 の数,す なわ ち ei1∧ei2∧

…∧eik 

(i1
の 個数 は

で あ る.   こ の 結 果 が 成 り立 つ こ と は,上

と 同 様 の 推 論 で 導 か れ る か ら,も

返 さ な い が,注

ぜk≦nと

意 深 い 読 者 は,な

に 思 わ れ る か も し れ な い.し

か し,k≦nと

い う制 限 を つ け な い と,i1
と い う と り方 が 不 可 能 に な る の で あ る.な か と ら な い か らで あ る.k>nな 現 わ れ て く る だ ろ う.そ ろ うか.そ

ぜ な らi1,…,ikは,1,2,…,nの

らば,i1,i2,…,ikの

れ で はk>nの

う証 明 は 繰 り

い う制 限 を つ け た の だ ろ うか と不 審

と き,実

値 し

中 で どこか に 等 しい も のが 際 ど の よ うな 状 況 が 生 ず る の だ

れ に つ い て 次 の 結 果 が 成 り立 つ.

k>nな

【証 明 】k>nと

す る. 

で 表 わ さ れ るか ら,標

kVの

らば∧kV={0} 

(6)

元 は

準 射 影 π に よ っ て∧kVへ

移 す と,∧kVの

元は

(7) と表 わ さ れ る.い

ま こ の 中 の 任 意 の1つ

す ぐ上 に 述べ た よ う に,i1,i2,…,ikの is=itと

す る と,

の 項ai1i2…ikei1∧ei2∧…∧eikに 注 目す る. 中 に は 必 ず 等 し い も の が あ る.た

とえ ば

し た が っ て,(7)の

各 項 は0と

な り,結

局∧kVは0だ

け か らな る こ とがわ か

る.

1つ の注 意   E(V)の

元 が0に

な る と い うこ と は,対

に 含 ま れ て い る と い う こ と で あ っ た.し T(V)=R V 

2Vの

た が っ て(6)は,

…  ( nV) ( n+1V) … 

の 灰 色 の 部 分 が す べ て,イ ルIは, 

応 す る テ ン ソ ル 代 数 の 元 が イ デ ヤ ルI

デ ヤ ルIに

( kV) …

含 まれ て い る こ と を 意 味 し て い る.イ

一 部 分 で あ るx x(x∈V)の

形 の 元 に 注 目 し て,そ

デヤ

こ か ら生

成 され た イ デ ヤ ル と し て 定 義 し た の で あ っ た.こ

のIは

先 に あ る kV(k>n)を

ま うほ ど実 は十 分大 きい イデ ヤ

全 部'呑

み こ ん で'し

い ま み た よ う に,nか

ら

ル で あ っ た.

E(V)の

基底

(5)は ∧kVはei1∧ei2∧

…∧eik(i1
ら(ベ ク トル 空 間 と し て)生 成 さ れ

る こ と を 示 し て お り, (6)は E(V)=R  で あ る こ と を 示 し て い る.   実 は 次 の 定 理 が 成 り立 つ.

【定 理 】   (ⅰ)  k=1,2,…,nに

対 して

V+∧2V+∧3V+…+∧nV

{ei1∧ei2∧… ∧eik￨i1
基 底 を つ くる.

  (ⅱ)  こ れ ら ∧kVの て,こ

れ ら は,Rの

  (ⅰ)で

基 底 は,kを

基 底1と

動 か した と き,全

と も に,E(V)の

体 と し て1次

独立であ っ

基 底 を つ く る.

い っ て い る こ と は,∧kVの

元 は た だ1通

と表 わ さ れ る と い う こ と で あ り,し

たが っ て また

りに

dim∧kV=nCk で あ る.   (ⅱ)で

い っ て い る こ と は,E(V)が E(V)=R 

直和

V  ∧2V 

と 表 わ さ れ る と い うこ と で あ る.し

…  ∧kV 

…  ∧nV

たが って また

dimE(V)=dimR+dimV+dim∧2V+…+dim∧nV =1+n+nC2+…+

nCn

=2n で あ る.   注 意   二 項 定 理 に よ り2n=(1+1)n=1+nC1+nC2+…+nCnで

あ る(nC1=nに

注 意).

定 理 の 証 明(概 略)   定 理 を 示 す の に,こ る た め,一

こ で は 行 列 式 を 用 い る 証 明 を 行 な う.記 号 の 繁 雑 さ を 避 け

般 の 場 合 の 証 明 は 見 送 っ て,(ⅰ)はk=3の

る,(ⅱ)は

∧3Vの

元 が,R,V,∧2V,∧4V…

場 合 にだ け 示 す ことに す に 属 す る元 と1次

独 立 の こ とを

示 す.   Vの 双 対 空 間 をV*と は,x*,y*,z*の 意 に と る,と

し,V*か

ら3つ

の 元x*,y*,z*を

順 序 も 問 題 と な る の で,V*×V*×V*か

任 意 に と る(正 確 に ら元(x*,y*,z*)を

任

い った 方 が よい).

  こ の(x*,y*,z*)に て 次 の よ うに 定 義 す る.

対 し て,T(V)上

の 線 形 関 数 Φ(x*,y*,z*)を,行 列 式 を 用 い

x y 

z∈  3Vに

対 して は

(8)

ξ〓  3Vに

対 して は

と お く.   これ で す べ て の ξ∈T(V)に の 中 に は, 

3Vの

対 し て Φ(x*,y*,z*)(ξ)を 定 義 した の で あ る が,読

元 は 一般 に は Σxi yi ziの

の 元 に 対 し て は 値 を 定 義 し て い な い,と

と お くの で あ る(こ

よ う に な っ て い る の に,こ

の形

思 わ れ る方 も い る か も し れ な い.実

際は

の よ うに お い て も よい こ と は,テ

形 性 に よ る の で あ る が,い

ン ソ ル 積 と行 列 式 の 多 重 線

ま は そ こ ま で 立 ち 入 ら な い).

ま た ξ∈T(V)を ξ=ξ0+ξ1+ξ2+…+ξk+… と,T(V)= 

=0(  kV)に

  こ の と き 次 の こ と が 成 り立 つ.

【証 明】

と,直

和 分 解 し て お く.こ の と き

を 示 す と よ い.ξ − η∈Iに

の 形 と な る.

 

(有 限 個 以 外 は0)

し た が っ て 各 成 分 ξk∈ kVに

と な っ て い る こ と を 注 意 し よ う.

より

者

分 解 した とき

Φ(x*,y*,z*)が この 右 辺 で と る値 に注 目し てみ る と,

で あ る.な

ぜ な ら,(8)に

る か ら で あ る.こ

あ て は め て み る と,行

列 式 の2列

が 一 致 し て0と

な

れ に よって

が 示 さ れ た.   こ の こ と は,Φ(x*,y*,z*)は,Iに る.し

よ る 同 値 類 の 上 で 同 じ値 を と る こ とを 示 し て い

た が っ て Φ(x*,y*,z*)は,同 値 類 上 の 線 形 関 数,す

なわ ち

へ の 線 形 関 数 を 与 え て い る.   こ の よ う に し て 定 義 さ れ たE(V)上

の 線 形 関 数 Φ(x*,y*,z*)を 用 い る と,定

理 は

す ぐに 証 明 さ れ る.   (ⅰ)の

証 明(k=3の

と き)

  証 明 す る こと は  

αe1∧e2∧e3+βe1∧e3∧e4+…+γei∧ej∧ek+…=0 

と い う 関 係 が あ っ た と き,必

(i<j
(9)

ず α=β=…=γ=…=0

が 成 り立 つ と い う こ と で あ る.   {e1,e2,…,en}を{e1,e2,…,en}の

双 対 基 底 とす る.こ

の と きE(V)上

関数

を 考 え る と, (i,j,k)=(1,2,3) それ 以外 の と き と な る こ と が 容 易 に わ か る((8)と

  し た が っ て Φ(e1,e2,e3)を(9)に

第3講(5)参

適 用 し て み る と,

0=Φ(e1,e2,e3)(αe1∧e2∧e3+βe1∧e3∧e4+…)=α

照).

の線形

と な り,α=0が   (ⅱ)の ∧3Vに

得 られ た.同

様 に し て β=0,…,γ=0,…

が 示 され る.

証明 属 す る 元 がR,V,∧2V,∧4V,…

そ の た め,い

ま ξ∈ ∧3Vが,あ

に 属 す る 元 と1次 る η0∈R,η1∈V,η2∈

独 立 の 事 を 示 そ う.

∧2V,η4∈

∧4V,…

に

よ って

  ξ=η0+η1+η2+η4+…

  (右 辺 は 有 限 和 で,∧3Vの

と 表 わ さ れ る な ら ば,必

然 的 に ξ=0と

と 表 わ し た と き,aijk≠0と

元 は 含 ま な い) 

(10)

な る こ とを 示 そ う.ξ を 基 底 を 用 い て

仮 定 し て み る.こ

のとき

た が っ てaijk=0で

あ る.

一 方,

こ れ は(10)に

反 す る.し

i,j,k(i<j
任 意 で よか っ た か ら ξ=0が

結 論 さ れ た.こ

れ は証 明 すべ き

こ と で あ っ た.

Tea

Time

質 問   こ こ まで き て,外 積 代 数 の組 み立 て が お ぼ ろげ な が らわ か って き ま した. 外 積 代数 は,V上

の テ ン ソル代数T(V)の

成 され た イデ ヤ ルIに x x x(x∈V)の T(V)/I?を

中 でx  x(x∈V)の

注 目 して得 られ た ので す が,同

じ よ うに 考 え て,今 度 は

形 の 元 か ら 生成 され た イデ ヤ ルI?か

つ くる と,Vの

形 の元か ら生

元 を3乗 す る と0に な る代数,つ

ら 出発 して,代

数

ま りx∧?x∧?x=0

とな る代 数 が で き るわ け です ね. 答  確 か にT(V)/I?は,そ

の よ うな代 数 にな るが,dimV≧2の

と きは,こ

の

代数 は も う有 限 次 元 で は な くな って,そ の構 造 は大変 複 雑 で 捉 え に く くな って し ま う.外 積 代 数E(V)の

重 要 性 は,単

にそ の 代数 的 な 構 造 が 簡単 で あ る とい う

だ け で はな くて,有 限次 元 の ベ ク トル空 間 を つ くってい る とい う点 に あ る.な お

dimV=1の な る が,Vも  x3か

と き は 例 外 で あ っ て,こ 2VもRと

同 型 で,こ

の と き に は,T(V)/I?=R  の と き はT(V)/I?は,多

ら生 成 され た イ デ ヤ ル で 割 っ た も の と 同 型 に な っ て い る.

V  (  2V)と 項 式 代 数Pを,

第11講 計 量 を もつ ベ ク トル 空 間 テーマ

◆ 内 積 の 導 入,計 量 を もつベ ク トル空 間 ◆ 内 積 の性 質,シ ュ ワル ツ の不 等式 ◆ 角の定義 ◆ 直交性 ◆R3の

場合

内積の導入   抽 象 的 な ベ ク トル 空 間 に 与 え られ て い る 属 性 は,加 る.し

た が っ て,た

{f1,f2,f3}が

と え ば,3次

元 空 間 の 中 に3つ

与 え られ た と き,こ れ ら が と も に1次

法 と ス カ ラ ー積 だ け で あ

の ベ ク トル の 組{e1,e2,e3}と 独 立 な らば,こ

ベ ク トル 空 間 の 言 葉 で は も う こ れ 以 上 区 別 で き な い の で あ る.実 {f1,f2,f3}は

は,各eiをfiに

と も に 基 底 と な り,同

の2つ

の 組 を,

際{e1,e2,e3},

型対 応

移 して い る.

  こ の こ と は,図7で の 立 場 か ら だ け で は,本

示 した よ うな 空 間 の3つ

の ベ ク トル の 組 は,ベ

ク トル 空 間

質 的 に 区 別 す る こ と が で き な い こ と を 意 味 し て い る.

  私 た ち が ベ ク トル と い う も の を 考 え る と き,単

図7

に 加 法 と ス カ ラ ー 積 とい う よ う

な 代 数 的 な 骨 組 み だ け で は な くて,ベ 角 な ど に も注 意 を 向 け る こ とは,ご

ク トル の 長 さ と か,2つ く 自 然 な こ とで あ る.ベ

2つ の ベ ク トル の な す 角 な ど を 考 察 の 対 象 と す る こ と は,ベ 面 を 考 え る と い っ て よい だ ろ う.そ れ で は,抽

に,加

ク トル の 長 さ と か, ク トル の 幾 何 学 的 側

象 的 な ベ ク トル 空 間 で,こ

な 幾 何 学 的 側 面 も調 べ ら れ る よ うに す る に は,ど   現 代 数 学 の 立 場 で は,ベ

の ベ ク トル の な す

のよ う

う し た ら よ い の だ ろ うか.

ク トル 空 間 の 基 礎 構 造 は,い

ま まで述 べ て きた よ う

法 と ス カ ラ ー 積 と い う代 数 的 演 算 に よ っ て ま ず 与 え られ て い る と考 え る.

次 に,こ

の よ うな 観 点 で 構 成 さ れ た 抽 象 的 な ベ ク トル 空 間 の枠 組 に,幾

考 察 が 可 能 と な る よ う な,あ

何学的な

る 構 造 を 新 た に 加 え て い く.ふ つ う この 構 造 は,内

積 を 与 え る こ と に よ っ て 付 与 さ れ る. 【定 義 】Vを て,こ

ベ ク トル 空 間 とす る.V×Vか

れ が 次 の 性 質 を み た す と き,こ

  (ⅰ)  (x,x)≧0;等

らRへ

の 写 像(x,y)が

の 写 像 をVの

号 が 成 り立 つ の はx=0の

与 え られ

内 積 と い う. と き に 限 る.

  (ⅱ)  (αx+βx′,y)=α(x,y)+β(x′,y)   (ⅲ)  (x,y)=(y,x) 内 積 が1つ

与 え られ た ベ ク トル 空 間 を,計

量 を もつ ベ ク トル 空 間 とい う.

内積の性質   ま ず(ⅱ)と(ⅲ)か

ら

  (ⅳ)  (x,αy+βy′)=α(x,y)+β(x,y′) が 成 り立 つ こ とが わ か る.し れ ぞ れ の 変 数x,yに れ ば,内

積 はV上

つ い て 線 形 な 関 数 で あ る.あ

ら,内

積(x,y)は,そ

る い は 第5講

で の用 語 を 用い

の 双 線 形 関 数 で あ る とい っ て も よい.

【定 義 】   こ の と き,有

た が っ て(ⅱ)と(ⅳ)か

とお き,‖x‖

をxの

長 さ,ま

た はxの

ノル ム とい う.

名 な シ ュ ワ ル ツ の 不 等 式 が 成 り立 つ.

(1) 【証 明 】x=0な つ.

ら ば,こ

の 不 等 式 の 両 辺 は と も に0と

な っ て,明

ら か に 成 り立

  し た が っ てx≠0の

と き を 考 え る.x(≠0),yを

任 意 に と っ て,実

数tを

変数

とす る 式 φ(t)=(tx+y,tx+y)

を 考 え る.(ⅰ)か

らす べ て のtに

対 し て,φ(t)≧0.ま

た(ⅱ),(ⅲ),(ⅳ)か

ら

φ(t)=t2(x,x)+2t(x,y)+(y,y)

し た が っ て,φ(t)はtの2次

式 で あ っ て,負

次 式 の 判 別 式 は 負 ま た は0で

あ る:

の 値 を と ら な い.し た が っ て こ の2

(x,y)2−(x,x)(y,y)≦0

これ を か き 直 す と,(1)が   (1)か

得 られ る.

ら

(2) が 成 り立 つ こ と が わ か る.実

際,こ

負 と な る こ と は な い の だ か ら,辺

の 不 等 式 が 成 り立 つ こ と を み る に は,両 々2乗

を 示 す と よ い.あ

るい はか き直 して

を 示 す と よ い.と

こ ろ が 左 辺 を'展

な ら な い こ とが わ か る.こ

した 不等 式

開'し

れ で(2)が

辺が

て み る と,こ

の 不 等 式 は(1)に

ほか

示 さ れ た.

  また ノル ムにつ い て の基 本 的 な性 質 と して

が 成 り立 つ こ と も 注 意 し て お こ う.実

際,

ベ ク トル の な す 角

  シ ュ ワ ル ツの 不 等 式(1)を 角 θを 定 義 す る こ と が で き る.

用 い て,0と

異 な る2つ

の ベ ク トルx,yの

なす

【定 義 】x≠0,y≠0に

対 し て,x,yの

な す 角 θを,

(3) を み た す0≦ θ≦ π で あ る と 定 義 す る.   こ こ で2つ

の 注 意 を し て お く必 要 が あ る.ま

義 が 可 能 な た め に は,定

義 式 の 右 辺 が,−1と1の

か め て お か な くて は な ら な い.し (1)に

か し,こ

の定

間 の 値 しか と ら な い こ と を 確

の こ と を 保 証 す る も の が,ち

ょ うど

な っ て い る.

  y=cosθ

は,θ が0か

した が っ て(3)を yの

ず −1≦cosθ ≦1だ か ら,こ

ら π ま で 動 くと き,1か

み た す θ は,0と

ら 単 調 に 減 少 し て −1と な る.

πの 間 に た だ1つ

決 ま る.そ

の 値 を,xと

な す 角 と 定 義 し よ う と い うの で あ る.

直 θがπ/2(直 角!)の

交

と き,cosθ=0で

り立 つ の は,(x,y)=0の 【定 義 】(x,y)=0の

あ る.上

と き に 限 る.し と き,2つ

性

とyの

の ベ ク トルxとyは

直 交 す る と い う.

場 合 も含 め て い うの が 慣 例 の よ う

と き に は,xとyが

直 交 す る とい う こ と は,も

ち ろ んx

な す 角 が 直 角 で あ る と い う こ と で あ る.

R3の   この よ うな 抽 象 的 な 話 だ け で は,私 ル の と き,ベ

場 合 た ち の よ く知 っ て い る 平 面 や 空 間 の ベ ク ト

ク トル の 長 さ や 角 度 が,こ

る の か ど うか,気

の定 義 に よって 本 当 にい い 表わ され て い

に な る と こ ろ で あ る.も

ち ろ ん 実 際 は,上

間 に お け る 長 さ や 角 度 の 概 念 の 拡 張 に な っ て い る.こ 場 合 に,こ   R3の

の こ とが成

た が っ て 次 の 定 義 が 自 然 に 導 か れ る.

  こ の 直 交 の 定 義 の と き に は,x=0,y=0の で あ る.x≠0,y≠0の

の 定義を み る と,こ

の こ と を 説 明 し て み よ う.

ベ ク トル は,座

標 を用 い て

の 定 義 は,平

こ で は,3次

面 や空

元 空 間R3の

の よ うに 表 わ さ れ る.

は,各

座 標 軸 を 与 え る標 準 基 底 ベ ク トル で あ っ て,

長 さ は1,お

の お の は 直 交 し て い る(図8).

  こ の こ と を,'内

積'と

い う 言 葉 を 用い て 表 わ そ 図8

う とす る と (e1,e1)=(e2,e2)=(e3,e3)=1  (ei,ej)=0 

(i≠j) 

(長 さ が1) (互 い に 直 交)

と な る だ ろ う.   と こ ろ が こ の こ と だ け か ら,R3の い う こ と が,自 {e1,e2,e3}を

内 積 と し て ど の よ うな も の を と るべ き か と

然 に 決 ま っ て く る の で あ る.実

際,ベ

ク トルx,yを,標

準 基底

用いて

と表 わ し てお くと,内 積 が性 質(ⅱ)と(ⅳ)を

み たす とい う要 請 か ら必 然的 に

と な る.   こ の よ うに し て 導 か れ た(x,y)が る こ と は す ぐに わ か る が,こ

内 積 の 性 質(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を

みた して い

の 内 積 か ら 導 か れ た 長 さ と角 が,私

た ち が ふだ ん 使

っ て い る 長 さ と 角 に 一 致 し て い る こ とを 確 か め て お こ う.

か ら,(x,x)≧0で と が わ か る.ま

あ り,等 た

号 が 成 り立 つ の は,x1=x2=x3=0の

ときに 限 る こ

と な っ て,こ

れ は,ベ

ク トルxの

長 さ とな ってい

る.   次 に2つ

の0で

な い ベ ク トルx,yに

の な す 角 が,(3)の

対 し て,x,y

右 辺 で 表 わ さ れ て い る こ とを 図9

確 か め て お こ う.   そ の た め,図9で 適 用 す る.そ

示 した よ うな,x,y,x−yで

つ く られ る三 角 形 に 余 弦 法 則 を

うす る と

(4) 一方

だ か ら,(4)を

移項 して整 理す る と

と な り,(3)の

形 と一 致 す る.

Tea

質 問   R3の2つ

の ベ ク トルx,yの

ろ で 思 っ た の で す が,三 な り,角

ま る とい っ て よ い と思 い ま す.角 と で す.で

は,直

接,内

つ く る 角 θ と,内

角 形 は3辺

が 決 ま っ て し ま い ます.こ

Time

積 との関 係 を示 され た とこ

の 長 さ さ え 決 め れ ば,す

べ て合 同 な三 角形 と

の こ と は 簡 単 に い えば 長 さ に よ っ て,角 が 決 ま る とい う こ とは,内

が決

積 が決 ま る とい うこ

積 を 長 さ で 表 わ す こ とが で き る の で し ょ うか.

答  確 か に そ の 通 りで あ って

(*) の よ うに,内

積 は,ベ

と が で き る.こ

ク トルx+yとx−yの

の こ と に 注 意 す る と,次

な ベ ク トル 空 間 に,幾

長 さ の2乗

の差 を 用 い て表 わ す こ

の よ うな こ と も考 え られ て く る.抽

何 学 的 な 計 量 を 与 え る の に,内

象的

積 は多 少 間接 的 で わ か りに

く い.む

し ろ,ベ

ク トル の 長 さ‖x‖ を 与 え る と こ ろ を 出 発 点 と して,内

積 を上

の 式 で 与 え る と い っ た 道 を と る 方 が 自 然 で は な か ろ う か.   こ の 考 え は 一 理 あ る の だ が,ベ と,(*)の

式 で,内

件(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を い とか い た が,そ

ク トル の 長 さ‖x‖を 与え る と こ ろか ら出 発 す る

積 を 定 義 で き る か ど うか,た み た す か ど うか,よ

を み た す な ら ば,(*)で

さ(ノ

くわ か ら な ル ム)‖x‖

件

内 積 を 定 義 で き る と い うの で あ る.今

の 意 味 が 一 見 し た だ け で は わ か り難 い.そ

の で あ る.

くわ か らな い の で あ る.よ

れ に 対 す る 数 学 者 の答 は あ る の で あ っ て,長

が,‖ αx‖=￨α￨‖x‖ 以 外 に,条

内 積 を 経 由 して,角

と え 定 義 して み て も 内 積 の 条

し て 結 局,ベ

度 ま で 定 義 す る 道 は,遠

度 は,こ

の 条件

ク トル の 長 さ‖x‖ か ら,

い 曲 が り くね っ た 道 とな っ て し ま う

第12講 正規直交基底 テ ーマ

◆ 正規 直 交 基 底 ◆ 正規 直 交 基 底 の存 在―

ヒル ベ ル ト‐シ ュ ミッ トの 直交 法

◆ ヒル ベル ト‐シ ュ ミ ッ トの直 交 法 の幾 何学 的 説 明 ◆ 正 規 直 交基 底 と内積

正規直交基底   Vを,計

量 を も つn次

【定 義 】Vの

元 の ベ ク トル 空 間 とす る.

基 底{e1,e2,…,en}が

次 の 性 質 を み た す と き,正

規 直 交基 底 であ る

と い う.   (ⅰ) ‖ei‖=1 

(i=1,2,…,n)

  (ⅱ)  (ei,ej)=0    (ⅰ)の

条 件,す

(i≠j) な わ ち 基 底 ベ ク トル の 長 さ が1に

と よ ば れ て い る も の で あ り,(ⅱ)の う条 件 が,直

交 基 底 の'直

交'を

  計 量 を も つ ベ ク トル 空 間 に,正

条 件,す

し て,正

規 直 交 基 底{e1,e2,…,en}を

  第1段

階:ま

ず

な わ ち 各 基 底 が 直 交 し て い る とい

規 直 交 基 底 が 存 在 す るか ど うか と い う こ と は,

計 量 を も つ ベ ク トル 空 間Vに

【証 明 】{f1,f2,…,fn}をVの1つ

規'

示 し て い る.

あ ま り明 ら か と は い え な い だ ろ う.こ

【定 理 】

等 し い と い う条 件 が'正

れ に つ い て は,次

は,正

の 定 理 が あ る.

規 直 交 基 底 が 存 在 す る.

の 基 底 と す る.こ

の{f1,f2,…,fn}か

構 成 し て い こ う.

ら出発

と お く.明 第2段

らか に‖e1‖=1で

あ る.

階:

と お く.ま ずe2′ ≠0の

こ と に 注 意 し よ う.こ

が っ て ま たf2とe1(=f1の

ス カ ラ ー 倍!)が1次

に よ り,e1とe2′

の こ と はf2とf1が1次

独 立,し

た

独 立 の こ とか ら わ か る.

は 直 交 す る.

 そ こで

と お く こ と に よ り,e2′ を 正 規 化 す る(す

な わ ち,長

さ を1と

す る).こ

れ で 第2

段 階 は 終 っ た.   第3段

階:

と お く.f1,f2,f3の1次

独 立 性 か ら,e3′ ≠0で あ る こ と が わ か る.ま

た 容 易 な計

算か ら

と な る.そ

こで

と お く こ と に よ り,第3段   第3段

階 は 終 る.

階 が 終 っ た 時 点 で,長

さ が1で,互

い に 直 交 す る ベ ク トル{e1,e2,e3}を

得 た こ と に な る.   同 じ 操 作 を 順 次 繰 り返 し て い く と,n回

が 得 ら れ る.こ

れ ら は,長

さ が1で,互

底 を つ く っ て い る こ と を い うに は,あ

目に

い に 直 交 し て い る.こ と は,基

れ らが正 規 直交 基

底 で あ る こ とさ え確か め て お くと

よい.   そ れ を み る に は,1次

独 立 で あ る こ と さ え 示 せ ば よい(dimV=nだ

か ら!).

いま

と い う関 係 が 成 り立 っ て い る と す る.こ

の 式 の 両 辺 とe1の

内積 を と る と

とな り,こ こで正 規 直 交 性 を用 い る と

が 得 ら れ る.同

様 に し て α2=α3=…=αn=0が

示 さ れ て,{e1,e2,…,en}が1次

独 立 で あ る こ と が わ か る.

 これ で,{e1,e2,…,en}がVの

正 規 直 交 基 底 と な る こ と が 示 さ れ た.

与 え ら れ た 基 底{f1,f2,…,fn}か {e1,e2,…,en}を

ら,い

つ く る 手 続 き を,ヒ

ま 述 べ た よ うな 操 作 で 正 規 直 交 基 底

ル ベ ル ト‐シ ュ ミ ッ トの 直 交 法 とい う.

幾何学的な説明   ヒ ル ベ ル ト‐シ ュ ミ ッ トの 直 交 法 は,特

に 難 し い こ と は な く,読 者 は,内

性 質 が う ま く用 い ら れ て い る と 感 じ られ た の で は な か ろ うか.と な 空 間 の ベ ク トル の 場 合,直 と,上

の 証 明 は,必

こ ろ が,具

積 の 体的

交 法 と は ど の よ うな 操 作 で あ っ た か を 知 ろ う とす る

ず し もす ぐに そ の こ と を 教 え て くれ な い よ うで あ る.

  そ こ で 空 間 の ベ ク トル の 場 合 に,ヒ

ル ベ ル ト‐シ ュ ミッ トの 直 交 法 と は,幾

学 的 に ど の よ うな こ と を 行 な っ た こ とに な っ て い る の か,図

何

を使 って説 明 してみ

よ う.   図10で

示 した よ うな,空

f2,f3は 互 い に1次

間 の ベ ク トルf1,f2,f3が

独 立 だ か ら,3次

与 え られ て い る とす る.f1,

元 の ベ ク トル 空 間 の 中 で1つ

の 基 底 を与 え

て い る.   f1,f2の は る平 面 に ま ず 注 目す る.こ る が,そ トルf1を

の 平 面 を と り出 し て 図11の 長 さ1の

ベ ク トルe1と

操 作 で あ る.図11でOQの

の 平 面 は 図10で よ うに 表 わ す.直

な る よ うに,長

は カ ゲをつ け て 示 して あ 交 化 の 第1段

さ を 延 ば す(あ

長 さ は‖f2‖cosθ で あ る.し

階 は,ベ

ク

る い は 縮 小 す る)

た が っ てOQは,こ

の方

図11

図10 向 の 単 位 ベ ク トルe1に

で 与 え られ る.こ

と な る.こ

この長 さを かけ て

のcosθ

を,前

こ で‖e1‖=1を

と な る.QPは,f1に

用 い た.し

直 交 す るf2の

e2′ とか い た も の で あ る.こ を 正 規 化 し て,e2が れ が 第2段   第3段

講(3)を

用 い て 内積 で表 わ す と

た が って

成 分 と な っ て い る.QPは,上

のe2′

得 られ る.こ

階 で あ る. 階 は,図12を

み る と よ い.カ

参 照 して

ゲ のつ け られ て い

る 三 角 形 を 図11に と 考 え る と,f3のe1方

対 応 す る もの 向 へ の正

射影が 図12 で 与 え ら れ る こ と が わ か る.同

で 与 え られ て い る.

様 にf3のe2方

向へ の正 射 影 が

の証 明 で は

し た が っ て,f3の,e1,e2で

で 与 え られ る.f3か

ら こ の ベ ク トル を 引 く と,e1,e2で

方 向 に あ る,f3の'直 も の で あ る.こ

は ら れ る 平 面 へ の 正 射 影OQは

交 成 分'QPが

れ を 正 規 化 し てe3が

  こ の よ う に,ヒ

得 られ る.こ

は られ る 平 面 に 直交 す る れ が 第3段

階 でe3′ とか い た

得 られ る.

ル ベ ル ト‐シュ ミ ッ トの 直 交 法 は,空

間 の ベ ク トル に 対 し て は,

ご く 自 然 な 幾 何 学 的 操 作 に な っ て い る.

正規直交基底と内積   Vの

正 規 直 交 基 底 を{e1,e2,…,en}と

と 表 わ す.こ

の と き,x,yの

し,Vの

元x,yを

この基 底 を用 い て

内積 は

す なわ ち

と表 わ さ れ る.し

た が って また

と 表 わ さ れ る.   こ の 表 示 を 用 い る と,シ

は

ュ ワル ツ の 不 等 式 

と な る.

【定 義 】Rnの

ベ ク トル

に対 して 内積 を

で 与 え た も の を,n次

元 ユ ー ク リ ッ ド空 間 と い う.

n次 元 ユ ー ク リ ッ ド空 間 で は,標

底 を つ く っ て い る.も あ っ て,た

ち ろ ん,正

と え ば,R3の

は正 規 直交基

準 基 底 

規 直 交 基 底 は,こ

場 合,{e1,e2,e3}を

の 標 準 基 底 以 外 に も た くさ ん

原 点 の まわ りに 回 転 し た も の は,す

べ て 正 規 直 交 基 底 と な っ て い る.

Tea

Time

任 意 の ベ ク トル 空 間 に内 積 は導 入 で き る   計 量を もつ ベ ク トル 空 間 とい う概 念 は,抽 象 的 なベ ク トル空 間 の概 念 を どれ だ け 特 殊 化 した ものか,と い うことは,誰 な ベ ク トル空 間Vを

し も気 に な る こ とで あ る.実 際,抽 象 的

任 意 に とった とき,Vに

内積 を導 入 す る こ とは で き るの だ

ろ うか?   こ の 答 は 肯 定 的 で あ る.そ て,ベ

れ を 示 す に は,Vに1つ

基 底{e1,e2,…,en}を

とっ

ク トルx,yを

と表 わ した とき,xとyの

と定 義 す る と よ い.こ

内積 を

の と き,{e1,e2,…,en}は

この 内積 に 関 して 正規 直 交 基 底

と な っ て い る.   これ は 何 か お か し い と思 わ れ る 読 者 も お られ る か も しれ な い.も 正 し い とす る と,R2の

中 に 勝 手 に と っ た1次

交 わ っ て い る と 考 え られ る よ うな 内 積 が,R2に つ い て の 説 明 は 次 の よ うに な る.標 内 積 は,最 る.し

も 自然 で あ っ て,私

か し,R2を

た と き,{f1,f2}を,標 る.

独 立 な2つ

角で

導 入 さ れ る こ と に な る.こ

れに

準 基 底{e1,e2}を

た ち がR2を

正 規 直 交 基 底 とす るR2の

図 示 す る の は,こ

抽 象 的 な ベ ク トル 空 間 と考 え れば,別 準 基 底{e1,e2}と

し こ の こ とが

の ベ ク トル が,直

の計 量 に よっ てい

の 基 底{f1,f2}を

とっ

区 別 す る よ うな 性 質 は 何 も な い の で あ

  {e1,e2}を

正 規 直 交 系 とす る 内 積 を と る と,1つ

き る.{f1,f2}を

正 規 直 交 系 に と る と,ま

の 世 界 像 を 図 示 し よ う と す る と,f1,f2を y軸 上 の 長 さ1の

の 幾 何 学 的 な'世

た 別 の'世

界 像'が

そ れ ぞ れx軸

で き る.こ

上 の 長 さ1の

ベ ク トル と し て 表 わ す こ と に な る.こ

界 像'が

で

の後者

ベ ク トル,

こ で は 今 度 は,{e1,e2}

が 斜 め に 交 わ っ て 表 わ され る だ ろ う.   抽 象 的 な ベ ク トル 空 間 を 図 示 す る こ と な ど,あ 的 な 構 造 しか な い か ら で あ る.内 トル に 形―

長 さ,角

度―

的 な 姿 に 投 影 す る,投

積 を 与 え る とい う こ と は,い

を 与 え,そ

で 図 示 で き る道 を 与 え て い る.さ

ま り意 味 が な い.そ

れ に よ っ て,ベ

こに は代 数

わ ば抽 象 的 なベ ク

ク トル 空 間 を 具 象 的 な 姿

ま ざ ま な 内 積 の 与 え 方 は,ベ

影 の 仕 方 の 多 様 さ を 物 語 っ て い る.

ク トル 空 間 を 具 象

第13講 内 積 と 基 底 テーマ

◆ 基 底 と内積:gij=(ei,ej) ◆ 内 積 を与 え る と,VとV*の

間 の標 準 的 な 同型 対 応 が 決 まる.

◆ 標 準 的 な 同型 対 応 を 詳 し く調べ る. ◆ テ ン ソル記 号,ア

イン シ ュ タ イン の規 約

◆ 指 標 の上 げ下 げ

基底 と内積   Vを

計 量 を もつ ベ ク トル 空 間 とす る.Vに

き る.Vの

基 底 と計 量 と が,い

は,い

ろ い ろ な 基 底 を と る こ とが で

わ ば 整 合 し て い る と い う状 況 は,基

底 が ち ょ うど

正 規 直 交 基 底 と な る と き に 達 せ られ る.   し か し,任

意 のVの

で は な い し,ま

基 底{e1,e2,…,en}を

たi≠jの

{e1,e2,…,en}は

と き,eiとejが

と る と,一

般 に は,eiの

直 交 し て い る と も 限 ら な い.い

斜 交 座 標 系 を つ く っ て い る.こ

の よ う な と き,基

関 係 を 少 し調 べ て お こ う.   い ま{e1,e2,…,en}をVの

とお く.こ

任意 の基 底 と し

の と き 次 の こ とが 成 り立 つ.

(ⅰ) gij=gji (ⅱ)  任 意 のn個

の 実 数x1,x2,…,xnに

こ こ で 等 号 が 成 り立 つ の はx1=x2=…=xn=0の

対 して

と き に 限 る.

長 さ は1 わ ば,

底 と計 量 と の

【証 明 】(ⅰ) gij=(ei,ej) =(ej,ei)=gji    (ⅱ)与

え られ た 実 数x1,x2,…,xnに

と お く と,内 に 限 る.実

(内 積 の 性 質(ⅲ)に

積 の 性 質(ⅰ)か

よ る)

対 して

ら(x,x)≧0,等

号 が 成 り立 つ の はx=0の

とき

際 計算 す る と

し た が っ て 

で あ っ て,等 号 が 成 り立 つ の は,x1=x2=…=xn=0の

と き に 限 る. 逆 に(ⅰ)と(ⅱ)の られ る とす る.Vの

性 質 を み た すn2個

の 実 数{gij}(i,j=1,2,…,n)が

基 底{e1,e2,…,en}を1つ

与え

とって

に対 して

と定 義 す る こ と に よ り,Vに1つ

の 内 積 が 導 入 さ れ る.

  こ の 点 を も う少 し詳 し く述 べ る と次 の よ うに な る.Vの 1つ と っ て お こ う.Vに を 与 え,ま

たi≠jの

ま っ て く る.読

計 量 を 導 入 す る とい う こ と は,各eiに

と き,eiとejの

者 は,ベ

と い うこ と は,(ⅰ),(ⅱ)を 応 し て い る,と

伸 縮 可 能 な 物 質 か ら な っ て い る と し て, 計 量 を どの よ うに 導 入 す る か 考 え て い る

に 述 べ た こ と は,こ の よ うな 考え でVに み た す{gij}を

い う こ と で あ る.

どの よ うな 長 さ

角 度 を ど の よ うに 与 え る か と い う こ と で 決

ク トル 空 間Vを

そ れ を 伸 ば し た り縮 め た り し て,Vの 様 子 を 想 像 し て ほ しい.上

基 底{e1,e2,…,en}を

内積 を い れ る

ど の よ うに 選 ぶ か と い うこ と に 対

内積と双対空間   ベ ク トル 空 間Vに1つ

内 積 を 導 入 し て お く.こ の と き,任 意 のx∈Vに

対 して

φx(y)=(x,y) と お き,内

積 が 後 の 変 数yに

は,(y∈Vを

つ い て 線 形 で あ る とい う性 質 を 用 い て み る と,φx

変 数 と し て)V上

し た が っ て,φxはVの

の 線 形 関 数 と な る こ とが わ か る:

双 対 空 間V*の1つ

  こ の よ う に し て,対

の 元 を 与 え て い る.

応

が得 られ た.こ の対 応 を Φで 表 わ そ う:

  今 度 は,内

積(x,y)が

α(x1,y)+β(x2,y)が

前 の 変 数xに

つ い て 線 形,す

成 り立 つ こ と を 用 い る と,写

な わ ち(αx1+βx2,y)=

像 Φは 線 形 性

を もつ こ とが わ か る.   実 は次 の 命題 が 成 り立 つ. ΦはVか

【証 明 】dimV=dimV*だ に は Φ(x)=Φ(x1)な

らV*の

上 へ の 同型 対 応 を与 え る.

か ら,Φ が1対1で ら ばx=x1を

あ る こ と さ え 示 せ ば よ い.そ

示 す と よい.Φ(x)=Φ(x1)と

す べ て のyに

対 し て(x,y)=(x1,y)が

き 直 し て,す

べ て のyに

れ

い う 条 件 は,

成 り立 つ と い う こ と で あ る.あ

るい はか

対 して (x−x1,y)=0

が 成 り立 つ と い っ て も よ い.こ =0か

らx=x1が

得 られ る.し

の 式 で 特 にy=x−x1に た が っ て Φ は1対1と

  【定 義】 同 型 写 像 Φ に よる 同型V〓V*を,内 応 とい う.

と る と(x−x1,x−x1) な り,同

型 写 像 と な る.

積 か ら導 か れ た標 準 的 な 同型 対

標準的な同型対応による対応   い ま み た よ うに,ベ 空 間V*と と,抽

ク トル 空 間Vに

内 積 が 与 え ら れ る と,Vと

の 間 に 標 準 的 な 同 型 対 応 Φ が 存 在 す る.す

象 的 な2つ

の ベ ク トル 空 間VとV*を,Φ

なわ ち,内

を 通 して,重

双 対 ベ ク トル 積 が 与 え られ る ね合 わ せ て 見 る

こ とが で き る よ うに な る の で あ る.   こ の 同 型 対 応 が ど の よ うに な っ て い る か,も   そ の た めVの

基 底{e1,e2,…en}を1つ

基 底 を{e1,e2,…,en}と

す る.ま

う少 し 詳 し く調 べ て み よ う.

と っ て,こ

の 基 底 に 関 す るV*の

双対

た

(1) とお く.  Vの 任意 の元yを

(2) と表わ す と,双 対 基底 は

(3) と し て 定 義 さ れ たV上   さ て,Vの

の 線 形 関 数 で あ った こ と を 思 い 出 し て お こ う.

基 底ei(i=1,2,…,n)は,標

準 的 な 同 型 対 応 に よ っ て,V*の

どの

よ うな 元 へ 移 さ れ て い る の だ ろ うか. (1)と(2)か

ら

と な る.こ

こ で(3)を

とな る.こ

の 式 が す べ て のy∈Vで

結局

用い ると

成 り立 つ の だ か ら,Φ

の定 義 に戻 って み る と

が 成 り立 つ こ とが わ か っ た.Φ

は 線 形 写 像 だ った か ら,一

般 に,Φ

に よ って

(4)

と対 応 す る こ とがわ か る.

記号の簡約化(挿 記)   皆 の 了 承 が 得 ら れ る な ら ば,数 ベ ク トル 解 析,特

学 の 記 号 は で き る だ け 簡 単 の 方 が よ い だ ろ う.

に テ ン ソル 解 析 と よ ば れ る分 野 で は,い

わ ば数 学 者 の 間 に公 認

さ れ た 記 号 の 簡 約 化 が 行 な わ れ て い る.   ベ ク トル 空 間Vの

基 底{e1,e2,…,en}は,あ

れ を 固 定 し て 考え る こ と に す る.こ を と る も の と し て,こ

ら か じ め1つ

の と きV*の

れ も 固 定 し て お く.こ

と っ て お い て,こ

基 底 は 双 対 基 底{e1,e2,…,en}

の と き 次 の よ うに ベ ク トル の 記 法 を

ま ず 簡 単 に して し ま う の で あ る. 簡約化

Vの 元xi

簡約化

  こ の 簡 約 化 で は,Vの

元 とV*の

る か で 区 別 さ れ る こ と に な る.な

V*の

元xi

元 は 指 標 が 上 に つ い て い るか,下 おxiの

代 りに,た

と え ばxsと

につ い て い

か い て も,同

じ

こ と で あ る.   こ の と き,こ

の 記 法 で は 内 積 を 通 し て のVとV*の

同 型 対 応(4)は

簡単に

(5)

と表 わ さ れ る.   こ こ で さ らに,ア

イ ン シ ュ タ イ ン の 規 約 と よ ば れ る 大 胆 な 規 約 を 導 入 す る.

[規 約]  同 じ指 標 が1つ

の 式 に2つ

以 上 現 わ れ た と き は,こ

の 指 標 に 関 し て,1

か らnま

で の 和 を と る も の とす る.

  そ うす る と,(5)の

右辺 は単 に

と 表 わ し て も よい こ と に な る.す ろ に 二 度 現 わ れ て い る か ら,ア

な わ ち 同 じ指 標jがgijの

と こ ろ と,xjの

イ ン シ ュ タ イ ン の 規 約 に し た が え ば,こ

とこ

の式 は頭

に  を お い た 式 と 同 じ に な っ て い る の で あ る.

  そ うす る と,VとV*の

標準 的 な 同型 対 応 は,単 に (6)

と表 わ され る こ とに な る.  この逆 写 像 は (7) で 与 え ら れ る.こ

こ でgijは

を み たす 実数 を 表 わ す.こ の式 で も実 は ア イ ンシ ュタ インの規 約 を 使 って い るわ け で,ふ つ うのか き方 で は

(8) と な る.   (7)の

成 り立 つ こ とは,Vの

元gkjxjの 対 応 す る先 のV*の

元 が(6)か

らgikgkjxj=xi

で与 え られ て い る こ とか らわ か る(こ こで ア ィン シ ュ タ イン の規 約 と(8)を   要 す る に,内

積 を 通 し て のVとV*の

と表 わ さ れ る こ と に な った.

標 準 的 な 同 型 対 応 は,こ

用 いた).

の記 法 では

  こ の 表 記 の 仕 方 か ら,こ

の 同 型 対 応 を'指

標 の 上 げ 下 げ'と

い い 表 わ す こ とが

多 い.   な お,gij=(ei,ej)で V*の

あ っ た が,こ

内 積 へ と移 す と,実

こ と は,(7)と(8)か

の 同 型 対 応 に よ っ てVの

はgij=(ei,ej)と

ら 容 易 に わ か る の で,こ

Tea

内積 を そ の ま ま

な っ て い る こ と を 注 意 し よ う.こ

の

こ で は 証 明 は 省 略 す る.

Time

テ ンソ ル の記 号 につい て 微 分 幾 何学 の本,特 に リー マ ン幾 何 を 論 じた本 や,一 般 相 対 性 理 論 の教 科 書 な ど を開 い て み る と,テ ン ソル とい って

の よ うな,た

く さ ん の 指 標 の つ い た 量 が い た る と こ ろ 現 わ れ て い て,そ

も い か に も 深 遠 そ うで,近

づ き に くい 感 を 与 え る こ と が あ る.こ

れ だけ で

れ は テ ン ソル記

号 と よば れ る も の で あ る.   リー マ ン 幾 何 や 一 般 相 対 性 理 論 で は,空 る ベ ク トル 空 間(第29講 れ る の で あ る が,こ

参 照)と,そ

こ で は,そ

間 の 各 点 に 与 え られ た 接 空 間 と よば れ

の 基 底 の と り方 に よ ら な い 性 質 が 論 ぜ ら

こ ま で 立 ち 入 ら な い で,上

の記 法 につ い て の説 明

だ け を し て お こ う.   ベ ク トル 空 間Vに

基 底{e1,e2,…,en}を1つ

と っ て 固 定 し て お く.そ

うす る

とテ ン ソル積 s個

に も基 底

が 固 定 さ れ て く る.こ

の と き sVの

元 は,一

意的に

と表わ され るが,こ れ を'座 標成 分'だ け と り出 して

で 表 わ そ う とい う の が,テ   こ の 記 号 で,た

とV 

ン ソル 記 号 で あ る. Vの 元2e1 e3−5e2 

e2は ど の よ うに 表 わ す の だ ろ

うか と 不 審 に 思 わ れ る 読 者 も お られ る か も し れ な い が,そ

れは

それ 以外 の とき と表 わ せ ば よい の で あ る. s個

t個

また は, の元

を 表 わ し て い る(な

お,第6講

扱 わ な か っ た が,( sV)  が で き る こ と を,注

で は,1つ

( tV*)の

の ベ ク トル 空 間Vの

テ ン ソル 積 しか

よ う な テ ン ソル 積 も 同 様 に 定 義 す る こ と

意 し て お こ う).

質 問   ア イ ン シ ュ タ イ ン の 規 約 に 登 場 し た ア イ ン シ ュ タ イ ン は,相

対 性 理 論 を創

っ た あ の 人 な の で す か. 答   そ う で あ る.ア

イ ン シ ュ タ イ ン は一 般 相 対 性 理 論 を 創 る と き,そ

基 盤 と し て リー マ ン 幾 何 学 を 採 用 し,そ 対 性 理 論 の 考 え や,重

中 に,テ

こ に 多 くの テ ン ソル 式 を 用 い て,一

般相

力 場 の 考 え を 表 現 した の で あ る.

  ベ ク トル 解 析 と い う テ ー マ の 中 に,こ ど うか は,は

の 数学 的 な

の よ うな テ ン ソル の 取 扱 い も 含 め る の か

っ き り と し て い な い の だ が,ふ

つ うは,リ

ン ソル の こ とは か い て あ る よ うで あ る.

ー マ ン幾 何 学 の教 科 書 の

第14講 基 底 の 変 換 テーマ

◆ 基底変換,基 底変換の行列 ◆ 成分の変換 ◆ 互い に反変的な変換 ◆ 双対基底の基底変換 ◆ テン ソル積の基底変換 ◆ 外積 の基底変換 ◆ 変換則の行列式

基 底 変 換 とそ れ に よ って不 変 な 性 質   ベ ク トル空 間Vに

は,い

ろい ろな基 底 を とる こ とが で き る.ベ

ク トル空 間V

に 固有 な性 質 は,も ち ろん基 底 の と り方 に よ らな いで 表 わ され る よ うな もので あ る.た とえ て い えば,抽 象 的 なベ ク トル空 間 は,抽 象 性 の世 界 に姿 を 隠 し てい る が,そ れ が基 底 の と り方 に 応 じて,具 体 的 な 形 を とって,い ろ い ろな鏡 に映 され る.鏡 に映 ず る像 は多 様 と して も,ベ ク トル 空 間 の もつ 本来 の性 質 は,こ れ らす べ て の像 に共 有 してい る性 質―

すべ て の像 に不 変 な 性 質―

と して捉え られ る

ものだ ろ う.   この よ うな立 場 で,ベ

ク トル空 間 で は,基 底 変 換 が ベ ク トル の成 分 に どの よ う

な変 換 を 引 き起 こす か,ま た この 変換 に 際 して,不 変 な性 質 は何 か を調 べ る こ と が重 要 な こ とに な って くる.   この講 で は,基 底 変 換 に関 す る基本 的 な 事柄 を ま とめ て述 べ て お こ う.

基 底 変換  ベ ク トル 空 間Vに2つ

の基 底

が 与 え られ た と し,そ

れ に よ っ て,Vの

ベ ク トルxが

(1) と2通

り に 表 わ さ れ た とす る.ア

x=xiei=xieiと

イ ン シ ュ タ イ ン の 規 約 に した が え ば,こ

れ は,

表 わ し て も よ い わ け で あ る.

  各ei(i=1,2,…,n)は{e1,e2,…,en}を

用 い て 一 意 的 に 表 わ す こ とが で き る.

それを

(2)

と表 わ そ う.Ajiを ふ つ う はAjiを

基 底{ei}か

ら{ei}へ

の 基 底 変 換 の 係 数 と い う.も

行列

(*)

の 形 に か い て,Aを

基 底 変 換 の 行 列 とい う.

  逆 に 各ei(i=1,2,…,n)を{e1,e2,…,en}に

よ っ て 表 わ し て,

(3)

と お く と,Ajiは,基   (2)を(3)に

底{ei}か

ら{ei}へ

の 基 底 変 換 の 係 数 と な る.

代 入 して

が 得 られ るが,基 底 に よ る表 現 は一 意 的 だ か ら,こ れ か ら

(4) 同 様 に し て(3)を(2)に

代 入 す る こ とに よ り

っ と も,

が 成 り立 つ こ とがわ か る.   この こ とは行 列 でい え ば,基 底 変換 の行 列

と が,互

い に 逆 行 列 の 関 係 に あ る こ とを 示 し て い る.実

際,た

と え ば(4)は,

行 列 の乗 法 を 用 い る と AA=En(Enは と 表 わ さ れ る.し

単 位 行 列)

た が って

で あ る.

成分の変換   {ei}か ク トルxの

ら{ei}へ

の 基 底 変 換 が(2)で

与 え られ る と き,(1)に

戻 っ て,ベ

成 分 が ど の よ うに 変 換 さ れ る か を 調 べ て み よ う.

  (1)に(2)を

代入す ると

と い う関 係 が 得 られ る.右

と な る.{e1,e2,…,en}は

辺 で 指 標 をi→j,j→iに

基 底 で,し

変 え て移 項 す る と

た が っ て1次

れ か ら 成 分 に 関 す る変 換 則

(5)

が 成 り立 つ こ とがわ か る.   同様 に して 変 換則

独 立 な こ と に 注 意 す る と,こ

(6) が 成 り立 つ こ と が わ か る.   こ こ で(2)を

再記す ると

(2)   さ て,(2)と(5)を る と,成 Aijの

見比 べ

分 と基底 の変 換 で は

働 き が ち ょ うど入れ か わ

っ た よ うな 形 と な っ て い る.こ の と き変 換 則(2)と(5)は 互 い に 反 変 的 で あ る と い う.   同 様 に(3)と(6)は

図13

互い

に 反変 的 な変 換 を うけ て い る(図13).

双対基底の基底変換   Vの 基 底 を

と か え る と,対

応 し てV*の

双対基底は

(7) と変わ る.   Vの 基 底 の変 換 則 が(2):

で 与 え られ る と き,こ

の 双 対 基 底 の 変 換 則 は どの よ うに 表 わ さ れ る だ ろ うか.

  前 の よ う にA=(Aij)は,行

列A=(Aij)の

と き,双 対 基 底 の 変 換(7)の

変 換 則 は 簡 単 に い え ば,行

れ る の で あ る.詳

し くか く と

逆 行 列 を 表 わ す こ と に す る.こ 列tA=tA−1で

の

与 えら

双対 基 底 の変 換 則:

(8)

が 成 り立 つ. 【証 明 】{e1,…,en}は

関係

(9) に よ っ て 決 ま る.一

方

こ の 結 果 は(9)と

見 比 べ て(8)が

2式 か ら第3式

成 り立 つ こ とを 示 し て い る.な

へ 移 る と き,ej(el)はj=lの

と き 以 外,0と

お右 辺 の第

な る ことを 用 い て

い る.

テ ン ソ ル積 の 基 底 変 換  

Vの

基 底{e1,e2,…,en}が

が 決 ま る.し

た が っ てVの

与 え ら れ る と,テ

ン ソ ル 積 kVの

基 底 変 換{ei}→{ei}は kVの

基 底

基底変換

を 引 き起 こす.   Vの 基 底変 換 の 変 換則 が(2)で 底 の変 換 則 は

与 え られ て い る とき,こ

の kⅤ にお け る基

で 与 え られ る.

外積の基底変換   Vに お け る基 底 変 換{ei}→{ei}は,外

積 空 間 ∧kVの

{ei1∧ei2∧… ∧eik￨i1
… ∧eik￨i1
の 変 換 則 を 一 般 的 に か くこ と は,多

少 繁 雑 な の でVが3次

元

お け る変 換 則 が どの よ うに な る か だ け を 述 べ て お こ う. と き に は,(2)は

と 表 わ さ れ る.こ

と な る.一

基 底変 換

の と き,た

と え ばe1∧e2を

般 に こ の よ うな 形 の 式 が,外

計 算 し てみ る と

積 空 間 にお け る変 換則 を与 え る式 とな っ

て い る.

変換則の行列式 基 底変 換 の行 列(*)の

行列式

(**)

を 調 べ る こ と が 必 要 と な る こ と も あ る.   こ の 行 列 式 は,外

積 空 間∧nVに

に 現 わ れ る の で あ る.∧nVは1次

引 き 起 こ され た 基 底 変 換 の 公 式 に,ご 元 で あ っ て,そ

え られ て い た こ と を 思 い 出 し て お こ う.し が,∧nVに

引 き 起 こ す 基 底 変 換 は,単

に

の 基 底 はe1∧e2∧

た が っ てVの

く 自然

… ∧enで

基 底 変 換{ei}→{ei}

与

だ け と な る.こ

の と き,次

の 命 題 が 成 り立 つ.

【証 明 】

こ こ で,j1,j2,…,jnの … ∧ej

n=0と

あ る.そ

な る.し

こ で 順 列(置

中 に1か

らnま

で 同 じ 数 が 二 度 現 わ れ る と き は,ej1∧ej2∧

た が っ てj1,j2,…,jnは{1,2,…,n}の 換)を

順 列 を 動

くだ け で

一般 に

と表 わす と

こ こ でeσ(1)∧ … ∧eσ(n)を 適 当 に 順 番 を と りか え てe1∧e2∧

… ∧enの

形 に 直 す と,

上式は

とな る.sgnσ 号 で あ る.こ

は,σ が 偶 置 換 な ら ば+1,奇 の カ ッ コ の 中 は,det(A)の

置 換 な らば −1と し た,置

換 σの 符

定 義 式 そ の も の に な っ て い る.し

たが

って e1∧e2∧

… ∧en=det(A)e1∧e2∧

… ∧en

が 成 り立 つ.

Tea

Time

質 問   ベ ク トル の基 底 と成 分 の 変 換 則が 反 変 的 で あ る とい うこ との,も

う少 し見

通 し の よい 説 明 はな い で し ょ うか. 答  結 果 的 に は 同 じ こ とを述 べ て い るに し て も,記 号 を 上 手 に利 用 す る と,ず っ と見 や す くな る とい うこ とが あ る.変 換 則 が,基 底 と成 分 につ い て反 変 的 で あ る

こ とは,次 の よ うな記法 を採 用 す る と,わ か りや す くな る か も しれな い. 基 底 の 変 換(2)を

と か く こ と に す る.あ

る い は(*)の

よ う に,変

換 の 行 列 をAと

す る と,こ

の記

法は

(#) と表 わ さ れ る.ま

た

と 表 わ す こ と に し よ う.こ e2,…,en}を

の と き,ベ

ク トルxを,基

底{e1,e2,…,en}と{e1,

用 い て 表わ す と

と な る.   こ こ に(#)を

と な っ て,こ

代 入す る と

れか ら

(##)

が 導 か れ る.(#)と(##)を

見 比 べ る と,ご

入 れ か わ っ た こ とが わ か るだ ろ う.実

く 自 然 にAの

際(##)は,(5)に

働 き 方 が'反

変 的'に

ほ か な らな い.

第15講 R3の

ベ ク トル の 積

テ ー マ

◆x×yの

定 義 と基 本 性 質

◆xとyが1次

独立 の こ ととx×y≠0は

同値

◆ 基 底 ベ ク トル相 互 の 外積 ◆x×yの

幾 何学 的 性 質

◆ 一 般 に結 合 則 は成 り立 た な い.

幕あい―   前 講 ま で で,代

空間R3

数 的 な事 柄 に つ い て の 説 明 は ひ と ま ず 終 った こ とに し て,こ

か ら は 本 書 の 主 題 で あ る ベ ク トル 解 析 を 述 べ る こ と に す る.こ

の 講 は,そ

れ

の 間に

挾 ま れ た 幕 あ い の よ うな もの で あ る.   3次 元 ユ ー ク リ ッ ド空 間R3に 1つ の 特 徴 的 な 性 質 が あ る.そ ベ ク トルx×yを

は,ほ

か の 次 元 の ユ ー ク リ ッ ド空 間 に は な い,

れ は,R3の2つ

の ベ ク トルx,yに

対 し て,R3の

対応 させ る規則 が あ って x×y=−y×x

を み た す の で あ る.こ い て も,外

のx×yを

積 代 数 の と き のx∧yと

元 で あ っ て,R3の

や は り,xとyの

外 積 とい うが,同

は 異 な るの で あ る.実

際x∧yは

じ用 語 を 用 ∧2(R3)の

ベ ク トル で は な か っ た の で あ る.

x×yの 定 義 と基 本 性 質   R3の

ベ ク トルxを

=(x1,x2,x3)の 【定 義 】

成 分 を 用 い て 表 わ す の に,こ

こ で は 横 ベ ク トル を 用 い てx

よ う に 表 わ す こ と に し よ う.

ベ ク ト ルx=(x1,x2,x3),y=(y1,y2,y3)に x×y=(x2y3−x3y2,x3y1−x1y3,x1y2−x2y1)

対 して

 

と お き,x×yをxとyの

外 積 とい う.

  こ の 右 辺 の 成 分 は,行

列式

(1)

の 第1行

に 関 す る 展 開 の 余 因 子 と覚 え て お く と よい.こ

の こ とか ら,ま

ず次のこ

と が わ か る.

(ⅰ) 

αx×y=x×

αy=α(x×y)

(ⅱ) 

x×(y+z)=x×y+x×z

(ⅲ)  x×y=−y×x (ⅳ) 

x×x=0

【証 明 】(ⅰ),(ⅱ):x×yの

成 分 が,xの

1次 式 と し て 表 わ さ れ て い る こ と,す

成 分 とyの

な わ ち,双1次

(ⅰ)と(ⅱ)が

成 り立 つ こ と は 明 ら か で あ る.

  (ⅲ):y×xの

成 分 は,行

列 式(1)の2行

行 目 に つ い て 展 開 し た 余 因 子 で あ る.行 号 が 変 わ る.し

成 分 に つ い て,そ

目 と3行

目 を 入 れ か え て か ら,1

列 式 の 性 質 か ら,こ

た が っ てx×y=−y×x(も

れぞれ

と な っ て い る こ とか ら,

ち ろ ん,こ

の と き各余 因 子 の符

の こ とは 定 義 の式 か ら

も 直 接 確 か め られ る こ と で あ る). (ⅳ):(ⅲ)よ

り,x×x=−x×x.し

た が っ てx×x=0と

な る.

2つ の ベ ク トル の1次 独立 性 次 の命題 が成 り立 つ. xとyが1次

【証 明】〓:xとyが1次 x=βy)と

独 立 ⇔x×y≠0

独 立 で な い と す る.こ

表 わ され る.し

た が っ てx×y=x×

×y=β(y×y)=0)と

な る.ゆ

え に,x×y≠0な

  ⇒:xとyは1次

独 立 と す る.こ

の と きy=αx(あ

αx=α(x×x)=0(あ ら ばxとyは1次

の と きx≠0,y≠0で

る い は, る い はx 独 立 で あ る.

あ る こ とを まず注 意

す る.い

まx1≠0と

x1y2=x2y1が

す る.さ

成 り 立 ち,こ

が 導 か れ る.x1≠0だ

て,も

しx×y=0な

ら ばx2y3=x3y2,x3y1=x1y3,

れ か ら

か ら,こ れ はxとyが1次

独 立 で あ った こ と に 矛 盾 す る.

基 底 ベ ク トル と外 積 e1=(1,0,0),e2=(0,1,0),e3=(0,0,1)と トル で あ る.こ

す る.{e1,e2,e3}は

標 準基 底 ベ ク

の と き

(ⅴ) 

e1×e2=e3,e2×e3=e1,e3×e1=e2

が 成 り立 つ.   この こ とは,定 (ⅱ),(ⅲ)の

義 に 代 入 して す ぐに 確 か め られ る.な

性 質 が あ る と,必

お,こ

の(ⅴ)と(ⅰ),

然的 に

とな っ て,定 義 で 与 えた 式 が導 か れ る.

x×yの 幾 何 学 的 性 質 xとyは1次

独 立 とす る.

(ⅳ)  x×yは,xとyに

直 交 し て い る.

(ⅶ)  ‖x×y‖=(xとyを2辺 (ⅷ)  {x,y,x×y}は

【証 明 】(ⅳ):xとx×yの の 第1行

とす る 平 行 四 辺 形 の 面 積)

右 手 系 の1次

独 立 な ベ ク トル で あ る.

内 積(x,x×y)は,x×yの

目に 関 す る 余 因 子 で あ る こ と を 考 慮 す る と,ち

各 成 分 が 行 列 式(1) ょ うど行列 式

で 与 え ら れ る こ と が わ か る(こ を1行

目 に 関 し て 展 開 した 式 が,内

わ す 式 と な っ て い る).こ 目 と2行

積を表

の 行 列 式 は1行

目 が 一 致 し て い る か ら0で

し た が っ て(x,x×y)=0で x×yが

の行 列 式

あ る.

あ っ て,xと

直 交 し て い る こ と が わ か る.同

図14 様 にyとx×yが

直 交 して い る こ とが示

さ れ る(図14).   (ⅶ)  x×y=(z1,z2,z3)と

で あ る.一

す ると

方,z1,z2,z3は,行

列 式(1)の1行

目に 関 す る 余 因 子 で 与 え られ て

い る こ とに 注意 す る と

した が って

(2)

で あ る.特

に 右 辺 の 行 列 式 は(各

こ とに 注 意 す る と)正

行 が1次

の こ と の 証 明 は 省 略 す る.読

(こ の と きx3=y3=0),x×yが z2=0),行

た が っ て0で

は ない

で あ る.

  こ の と き こ の 行 列 式 は,x×y,x,yで い る.こ

独 立 で あ っ て,し

は ら れ る 平 行 六 面 体 の 体 積Vを 者 は,x,yがe1,e2の

し た が っ てe3軸

列 式 の 簡 単 な 計 算 か ら,こ

示 して

は る平 面 上 に あ り

の 上 に あ る と き(こ

の と きz1=

れ が平 行 六面 体 の 体積 を 表わ し てい る こ と

を 確 か め て み られ る と よい.   い ま こ こ でxとyで

は られ る 平 行 四 辺 形 を 底 面 と考 え る と,こ

の 平 行 六 面体

の 体 積Vは V=底

面積 ×高 さ

で 与 え られ る.(ⅳ)に

よ りx×yはxとyに

直交

し てい るの だか ら 高 さ=‖x×y‖ で あ る(図15).一

方,底

面 積 は,xとyを2辺

す る平 行 四 辺 形 の 面 積 だ か ら,結 局(2)か ‖x×y‖2=(xとyを2辺 が 得 られ る.こ

とす る 平 行 四 辺 形 の 面 積)× ‖x×y‖

る い は,x,y,x×yの

指,中

示 して あ る よ うに

指 の 方 向 に み る こ と が で き る とい う こ と で

方 向 を 連 続 的 に,し

な い よ うに 変 化 し て い っ た と き,xをe1軸

  さ て,(ⅷ)の

独 立 と仮 定 して い た か

右 手 系 で あ る と い う の は,図16で

右 手 の 親 指 人,差

に,x×yをe3軸

ら

成 り立 つ こ と が わ か る.

  (ⅷ):{x,y,x×y}が

あ る.あ

図15

の 両 辺 を ‖x×y‖ で 割 る と(xとyが1次

ら ‖x×y‖ ≠0!),(ⅶ)が

x,y,x×yを

と

か し互 い の ベ ク トル は 重 な ら

の 正 の 方 向 に,yをe2軸

の正 の方 向

の 正 の 方 向 に 乗 せ る こ と が で き る とい う こ と で あ る. 証 明 は 次 の よ う に し て 行 な わ れ る.{x,y,x×y}は

手 系 の い ず れ か で あ る.も

し仮 に 左 手 系 とす る な ら ば,1次

独立 性 を 保 ち なが ら

連 続 的 に動 か し て

とで き る.対 応 して成 分 のつ くる行 列 式は

図16

右手 系 か左

図17

へ と変 化 す る.こ の過 程 で行 列 式 は0と な らない のだ か ら

の 符 号 は 負 で な くて は な らな い.一 る か ら((2)の1行

の 行 列 式 の 値 は,(2)と

目を 二 度 入 れ か え て も 符 号 は 変 わ ら な い!)正

れ は 矛 盾 で あ る.し   図17で

方,こ

た が っ て{x,y,x×y}は

は 左 手 系 の 場 合 を 示 し て お い た.読

一 致 し てい で あ る.こ

右 手 系 で あ る. 者 は,{x,y,z}が{e1,e2,−e3}へ

ど の よ う に 連 続 的 に 変 化 し て い くか 確 か め て み られ る と よ い.

コ

  xとyが1次 あ っ て,長

  実 際,多

ト

独 立 の と き,x×yは,xとyに さ はxとyの

て い る な ら ば,は は な い か,と

メ ン

直 交 す る右 手 系 を つ く る 方 向 に

つ くる 平 行 四 辺 形 の 面 積 で あ る ―

そのことが わ か っ

じめ か ら 外 積 を そ の よ うに 定 義 し た 方 が わ か りや す か っ た の で

考 え る の は ご く 自然 な こ と で あ る. くの 教 科 書 で は そ う し て い る が,こ

の 方法 で外 積 を 定義 す る と今度 は

x×(y+z)=x×y+x×z の 証 明 が,一

読 し て す ぐに わ か る とい う よ うに は か け な い の で あ る.こ

明 し て お か な い と,外 際,成

積x×yが

の 式 を証

成 分 で どの よ うに 表 わ さ れ る か が 示 せ な い.実

分 表 示 の 式 を 導 くた め に は

を計 算 しな くて はな らず,こ

こで分 配則 が本 質 的 に用 い られ るか らで あ る.

一 般 に結 合 則 は成 り立 た な い   外積 を 表 わ す の に,よ

く見慣 れ た かけ 算 の 記 号 ×を 用 い た の で,私 た ちは,外

積 に対 してふ つ うの 演算 規 則 は大 体成 り立 つ の だ ろ う と錯 覚 しが ち で あ る.し か

し 実 際 は,外

積 に 対 し て は,結

  す な わ ち,一

合 則 は 成 り立 た な い!

般 には x×(y×z)≠(x×y)×z

で あ る.た

と え ばx=e1,y=e1+e2,z=e3と

お くと

x×(y×z)=−e3 (x×y)×z=0

とな る.し た が っ て純粋 に代 数 的 な立 場 でみ れ ば,R3の

外積 とい うの は,何

か

中 間的 な感 じを 免れ 得 な い ので あ る.

Tea

質 問   R3の

Time

ベ ク トル の 外 積 はx×y=−y×xと

係 を 見 る 限 り,外 積 代 数 ∧R3に な り ま せ ん.講

い う性 質 が あ り ます が,こ

お け る 積x∧yへ

義 の 中 で は,ひ

の関

と関係 が あ る よ うな 気 が して

と ま ず 無 関 係 で あ る と い う よ うな お 話 で し た が,

本 当 に 何 の 関 係 も な い の で す か. 答   '外 積'と

い う用 語 で,x×yとx∧yを

そ の 点 の 違 い を 述 べ た の で あ っ て,全 E(R3)の

立 場 で,R3の

混 同 さ れ て は 困 る の で,講 義 で は 然 無 関 係 と い う わ け で は な い.外

積代数

ベ ク トル の 外 積 を 導 入 す る こ と は 可 能 で あ っ て,そ

れに

は x×y=*(x∧y) とお くの で あ る.こ

こ で*は,*-作

用 素 と よ ば れ る も の で あ っ て,い

まの場 合

*(e1∧e2)=e3,*(e2∧e3)=e1,*(e3∧e1)=e2

で定 義 さ れ る ∧2(R3)か

らR3へ

の 線 形 写 像 で あ る.

  この定 義 で は x×y=*(x∧y)=−*(y∧x)=−y×x と な っ て,積

の 順 序 を か え る と符 号 が 変 わ る と い う 性 質 が,x×yとx∧yで

く整 合 し て い る の で あ る.な か ら,*(x∧y)をxとyの 発 点 に と っ たx×yの

よ

お こ の 定 義 で は 分 配 則 が 成 り立 つ こ と は す ぐわ か る 成 分 で 表 わ す こ とが で き て,そ

定 義 と な っ て い る.

れ が この 講義 の 出

第16講 グ リー ンの 公 式

テーマ

◆ 微 分 ・積 分 の基 本 公 式 ◆

グ リー ン の公 式

◆ グ リーン の公 式 の 左 辺―

面 積分

◆ グ リー ン の公 式 の右 辺 ―

線積 分,周 の向 き

◆ グ リー ン の公 式 の 証 明

微 分 ・積 分 の基 本 公 式  1変 数 関 数 の とき,微 分 ・積 分 の基本 的 な 関係 は,連 続 関 数f(x)に

が成 り立 つ とい うこ と で あ る(カ わ し方 に,誤

ッコの中 は 

解 が 少 な いか も しれ ない).一 般にf(x)の

とか い た 方が変 数xの 表 不 定積 分 をF(x)と

ると

で あ り,し た が っ てF(x)と 

は 定 数 の 差 し か 違 わ な い.

と お く と,F(a)=C.   した が っ て

あ る い は,x=bと

対 して

お い て か き直 して

(1)

す

と な る.こ

れ は 微 分 ・積 分 の 基 本 公 式 と よ ば れ る も の で あ る.

この 式 の1つ の 見 方   数学 で は点 は0次 元 と思 っ てい る.線 分 や 円周 の よ うな 曲線 は1次 元 で あ る. 平 面 や 円 の 内部 は2次 元 で あ る.空 間や 立 方体 の 内部,球

の 内部 な どは3次 元 で

あ る. こ の よ うに 次 元 とい 観 を 積 分 し た 結 果 は,0次 とF(b)で

点か ら見 る と,(1)は1次 元 の 量,す

な わ ち 線 分 の 端 点a,bに

お け るFの

で  値F(a)

表 わ さ れ る とい う こ と で あ る.

  微 分 と 積 分 の 基 本 的 な 関 係 は,こ とFと

元 の 線 分[a,b]上

の よ う に,線

分 と 線 分 の 端 点 に お け る 

の 関 係 を 示 し て い る.

視点を平面上の領域に移す   この よ うな 見 方 に 立つ と,線 分 を平 面 上 の有 界 な領 域 にお きか え,線 分 の端 点 を この領 域 の境 界 に お きか え る こ とに よ っ て,(1)の 2次 元 版―

拡張―

いわ ば(1)の

を考 え る こ とがで き る.

  そ れ を 説 明 す るた め に,あ ま り一般 的 な 設 定 はせ ず に 平 面 の 有 界領 域 とし て は,図18で

示 し て あ る よ うな,

円を 少 し変 形 した よ うな領 域Dを

考 え る こ と に す る.

またDの

境 界Cは

滑 らか とす る.

 注意   一 般 的 な設 定 で は'Dは

有 界 な領 域 で,Dの

図18 境 界 は,区 分 的なC1− 曲線 か らな る'

とい う よ うに述 べ られ る.   Cが 滑 ら か で あ る と は,Cの

各 点 で 接 線 が 引 け て接 線 が 連 続 的 に 変 わ る こ と で

あ る.

グ リー ン の 公 式   閉 領 域Dを

含 む あ る 領 域 で 定 義 さ れ た,2変

数 の2つ

の関 数

P(x,y),Q(x,y) が 与 え られ た と す る.P(x,y),Q(x,y)はC1−

級 と仮 定 し よ う.す

なわち

が 存 在 し て,す

べ て 連 続 とす る.

  こ の と き,グ

リ ー ン の 公 式(ま

た は 平 面 上 の ガ ウ ス の 公 式)と

よば れ る 次 の 定

理 が 成 り立 つ.

【定理 】 こ の仮 定 の下 で

(2) が 成 り立つ.

  この 左 辺 と右 辺 の説 明 は あ と まわ しに して,ひ とまず この式 を 眺 め てみ る と, 左 辺 は,D全

体 に わ た って,PとQを

右 辺 は,境 界C上 PとQの

で のPとQの

変 動 の 模様 が,こ

分 の基 本 公 式(1)の2次

偏微 分 して つ くった 式 を積 分 してお り,

値 を 積分 し てい る.Dの

内部 と,境 界C上 で の

の よ うに対 応 し てい る状 況 を,私

た ち は,微

元 版 とみ る ので あ る.

左辺の説明   (2)の

左 辺 に 現 わ れ た 積 分 の 意 味 は 次 の よ うで あ る.

  x軸 上 に と っ た 分 点 x1<x2<…<xN y軸 上 に と っ た 分 点 y1
長方形

Δij={(x,y)￨xi≦x<xi+1, yj≦y
φ とな る

Δijだ け と り 出 す の で あ る(図19).   次 に,Δij∩Dに

含 ま れ て い る1点

(ξij,ηij)を と り,和

図19

分 ・積

(3) を つ く る.こ

こ で Σ は,Δij∩D≠

る こ と を 示 す.ま

は,長

φ とな る Δijす べ て に つ い て の 和 を と っ て い

た

方 形 Δijの 面 積 で あ る.

  分 点x1,x2,…,xN;y1,y2,…,yMの 0に

近 づ け る と き,(3)は

最 大 幅Max(xi+1−xi),Max(yj+1−yj)を あ る 一 定 の 極 限 値 に 近 づ く.こ

の値 を

と表 わ した ので あ る.こ の よ うな積 分 を面 積 分 とい うこ とが あ る.

右辺の説明   (2)に

現 わ れた 積 分 の意 味 は次 の よ うであ る.

 Dの 境 界Cに

向 きを 与 え る.C上

を動 く点 が,Dを

左 手 にみ る よ う に動 くと

き,正 の 向 き に まわ る とい うこ とにす る.時 計 の針 と反 対 方 向 に まわ る 向 きを 正 の 向 き とい うとい った方 が 簡 明 か もしれ な い.   C上 の 分 点 P1,P2,…,Pi,…,PN=P1

を,Cの

正 の 向 き に し た が っ て 順 次 と り,

と す る(図20).ま

た,Pi,Pi+1の

間 に あ るC上

の 点(ξi,ηi)を

の と き,和

は,分

点 を 細 か く し て,分

点の間

の 長 さPiPi+1:

が0に

近 づ く よ うに す る と,一

の 極 限 値 に 近 づ く.こ

の値 を

定 図20

任 意 に と る.こ

と 記 し た の で あ る.

1つ の注 意  右 辺 の積 分 ―C上

で の線 積分 ―

の定 義 で は,Cの

向 きは正 の 向き であ る と

きち ん と指 定 され て い る点 に注 意 を してお く必 要 があ る.こ で 示 し て あ る よ うに,積 に な り,∫Qdyを

分 ∫Pdxを

と る と き のxi+1−xiの

と る と き のyi+1−yiの

向 き は,右

の こ とか ら,図21 向 き は,上

と下 で 逆

と 左 で 逆 に な る.

定理の証明   定理 の証 明 で特 に 関 心 のあ るの は次 の2点 であ る.1つ 積 分 の基 本 公 式(1)と わ れ て い る の に, 

は公 式(2)と

の 関係 であ り,も う1つ は,左 辺 で 

微分 ・

は符 号+で 現

は符 号 −で現 わ れ て い る とい う特 徴 的 な 非 対 称性 で あ る.

  さて この2点 に 注 目しな が ら,証 明 の大 略 を 述べ よ う.

で あ る が,こ (変 数xに

の 右 辺 の 極 限 を と る 際 に,ま

つ い て の 積 分!),次

と が 知 られ て い る.こ

にyjに

関 す る和 を と っ て 極 限 に移 り

関 す る和 を と っ て 極 限 へ 移 っ て も よ い こ

れ は 重 積 分 の 累 次 積 分 へ の 還 元 と い う こ と で あ る が,こ

詳 細 に つ い て は 省 略 し よ う(『 解 析 入 門30講

図21

ずxiに

』 第29講

参 照).

図22

の

  こ の こ と を も う少 し 整 理 し て 述 べ る と,図22で て 変 数xに

つ い て 積 分 し,そ

と る と, 

の 結 果 を,y方

点Pか

らQま

向 に 分 点yjに

でx方

向 に沿 っ

関 して 加え て極 限を

が 得 られ る と い う こ と で あ る.

 すなわち

(4) と な る.   こ こ で 第1式

か ら第2式

へ 移 る と き,微

分 ・積 分 の 基 本 公 式(1)を

用 い てい

る.   次 に 図21と 向 き が,C上

図22を

見 比 べ て み る と,左

側 の 点P=(xk,yj)で

は,yj+1−yjの

で 線 積 分 を と る 向 き と は 逆 に な っ て い る こ とが わ か るだ ろ う.一

右 側 の 点Q=(xl,yj)で,yj+1−yjの

向 き は 正 の 向 き とな っ て お り,線

方

積分 を と

る 向 き と 合 致 し て い る.   し た が っ て,(4)の

第1項

Cの 右 側 で の 線 積 分 ∫Qdyに

ΣQ(xl,yj)(yj+1−yj)は,分 近 づ い て い く.第2項

点 を 細 か くす る と, も,Σ

の 前 の マ イナ ス記 号

C:右 を 中 に入 れ て

(yj−yj+1は

と す る と,分

点 を細 か くした と き

C:左

とか き直 され る ことが わ か る.こ れ で2つ 合 わ せ て

が 成 り立 つ こ とが わ か った.   同様 の 議 論 は

正 の 向 き!)

に も適 用 で き る のだ が,今 度 は(4)に

で,第1項P(xi,yl)(xi+1−xi)で −xiが

はxi+1

負 の 向 き と な り,第2項P(xi,yk)

(xi+1−xi)で (図23参

対応 す る式

はxi+1−xiは

照).し

正 の 向 き とな る

た が っ て線 積 分 の符 号 に

合 わ す た め に は,こ

の 式全 体 の 符号 を 逆 に

し な くて は な ら な い.こ

の こ と か ら,分

を 細 か く した と き に,こ

の和 は

点 図23

に 近 づ くこ とが わ か る.  すなわち

で あ る.こ

れ で グ リー ン の 定 理 が 証 明 さ れ た.

 証 明か らわ か る よ うに,(2)の

左 辺 の 符号 の違 い は,Cの

向 きが 反 映 し て い

た の であ る.

Tea

Time

面 積 を線 積分 で表 わ す こと グ リ ー ン の 公 式 で 特 にP(x,y)=0,Q(x,y)=xと

と な る.と

こ ろ が 左 辺 はDの

面 積 に 等 し い.こ

お くと

の よ うに し てDの

上 の 線 積 分 に よ っ て 表 わ され て し ま っ た.P(x,y)=y,Q(x,y)=0と 度は

が 得 られ る.こ の2式 を 加 え て2で 割 る と

面 積 が,周C お く と,今

Dの 面積 とい う公 式 も得 られ る こ とに な る.周 上 の値 だ け で,内 部 の面 積 が 求 め られ るの は,少

し不 思 議 な気 がす る.た とえば 琵琶 湖 の面積 の大 体 を知 るに は,座 標 平 面

上 に琵琶 湖 の 地 図 を写 し て,次 に琵 琶湖 の周 を 一周 す る道 に沿 って,上 の積 分 の 近 似 値 を求 め る と よい の であ る.

質 問  グ リー ンの公 式 で は,な ぜPとQを の基 本 公式(1)の

対 に して か くので し ょうか.微

積分

拡 張 と して は

と2つ の式 を 並べ てか く方 が 自然 だ と思 い ます.実 際,証 明を み ま して も,こ の 2式 を別 々に 証 明 してか ら,両 辺 を 加 え て グ リーンの 公 式を 導 い て い ます.な ぜ 1つ に ま とめ る必要 が あ った の で し ょ うか. 答   上 の よ うに グ リー ン の公式 を2つ に分 け てか くときに は,x座

標 とy座 標 の

役 目が あ ま りに もは っ き りしす ぎて い て,公 式 がxy座

標 に密 着 した 形 にな っ て

い る.実 際,座 標 軸 を と りか え て(た とえ ばx軸,y軸

を45° 回 転 した座 標 軸 を

と って),上

の積 分 を新 しい座 標 に か き直 して み る と,そ

れ ぞれ の 積 分 は グ リー

ンの 公式 の よ うな形 に変 わ って くる.い ろ い ろな座 標 の と り方 で 変 わ らな い 形 ―

座標 変 換 で不 変 な形 ―

に公 式 を 整 え て表 わ そ うとす る と,PとQを

対に

した グ リー ンの公 式 の表 示 の方 が 適 して い るの で あ る.   グ リー ンの 公式 の重 要 性 は,実 は,単 に 回転 の よ うな 座標 変 換 で 不 変 な形 を し て い るだ け で は な くて,も っ と一 般 の座標 変 換 ― す よ うな もの ―

直 交 座標 を'曲 線 座標'に 移

に対 して も不 変 な 形 を し てい る点に あ る.こ の不 変 性 は,次 の

講 か らの主 題 とな る もの で あ って,解 析学 に新 しい視 点 を 導入 して い く こ とに な るだ ろ う.

第17講 微分形式の導入 テーマ

◆ グ リー ン の公式 の新 しい定 式 化 へ 向 け て ◆ ベ ク トル空 間 に値 を とる 関数 ◆ 連 続 な ベ ク トル値 関 数 ◆C∞-級 の ベ ク トル値 関数 ◆dx,dyを ◆1次,2次

基 底 とす るベ ク トル空 間 の微 分形 式

◆ 外 微 分d

グ リー ンの 公 式 の 新 しい 定 式 化 へ 向 け て   グ リー ンの公 式 は,平 面 上 の領 域 の,内 部 と周 上 で の 関数 の 平均 的 な挙 動 が, まった く無 関係 では な く,互 い に 関係 し合 っ てい る とい うこ とを 明 らか に した 点 で,本 当 に興 味 のあ る結果 で あ る.グ

リー ン の公 式 は,2変

数 の微 分 ・積 分 の理

論が1変 数 の場 合 の単 な る形 式 的 な拡 張 で あ る とい う感 じを 打 ち破 る最初 の結 果 で あ る と い って よい のか も しれ な い.   微 分 ・積 分 の理 論 の方 は,変 数 の数 を 増 や して,3変 変数 の理 論 を つ くって い る.そ れ で は対 応 して,3次

数 か ら,さ らに一般 にn 元 の 図形,ま た は一 般 にn

次元 の 図形 の,内 部 と周上 で の 関数 の平 均 的 な挙 動 の 関 係 を明 らか に す る公 式 は な い だ ろ うか とい うこ とは,当 然 考 え られ る こ とであ る.   しか し,こ の よ うな 方 向で の グ リー ンの 公 式 の一 般 化 を 目指 す ため に は,微 分 形 式 とい う新 しい概 念 を導 入 す る方 が よい し,そ れ は 問題 の見 通 し よい 定式 化 に と って,絶 対 必要 で あ る とさえ い って よい もの で あ る.微 分 形 式 の理 論 は,使 い 慣 れ る と非 常 に有 用 な もの な のだ が,そ の実 体 は なか なか理 解 し に くい 面 を もっ て い る.こ こで は,グ

リー ン の公 式 を微 分 形 式 で か き表 わす とい う話 か らは じめ

て,徐 々に 微 分形 式 の理 論 の概要 を示 して い く道 を た どっ てみ よ う.

ベ ク トル空 間 に 値 を と る関 数   こ れ か ら は,単

に 実 数 値 の 関 数 を 考 え る だ け で は な くて,'ベ

数 を 考 え る こ と も 必 要 とな っ て くる.そ

の た め こ こ で は,平

ク トル'値

面R2上

た ベ ク トル 値 関 数 に つ い て の 一 般 的 な 事 柄 を 述 べ て お こ う(な お,実 き は,関

数 の 定 義 域 はR2全

義 域 はR2全

体 で な くて も よ い の だ が,簡

で 定義 され 際用 い る と

単 の た め,以

下 では 定

体 と し て お く).

  ベ ク トル 空 間Vが

与 え ら れ た とす る.ベ

有 限 次 元 性 を 仮 定 し て い る.Vの る.そ

の関

の と きVの

元aは

た だ1通

ク トル 空 間 と い う とき に は,い

基 底 を1つ

と り,そ

れ を{e1,e2,…,en}と

つ も す

りに

(1) と 表 わ さ れ る.   R2の

各 点Pに

対 し て,ベ

ク トル 空 間Vの

れ た と き,fをR2上

で 定 義 され た(Vに

た が っ てf(P)∈Vで

あ る(図24).

  Vの 元 を 基 底 を 用 い て(1)の

元 を1つ 値 を と る)ベ

対 応 させ る 規 則fが

与え ら

ク トル 値 関 数 と い う.し

よ うに 表 わ して お く と

f(P)=α1(P)e1+α2(P)e2+…+αn(P)en と表 わ さ れ る.各 【定 義 】

αi(P)(i=1,2,…,n)は

各 αi(P)が

実 数 値 関 数 で あ る.

連 続 な 実 数 値 関 数 の と き,fを

う.

図24

連 続 な ベ ク トル 値 関 数 と い

  こ の 定 義 に も1つ …,en}を

注 意 が い る.そ

用 い て い る.も

表 わ し た と き,fが

れ は こ の 連 続 性 の 定 義 に はVの

し別 の 基 底{e1,e2,…,en}を

連 続 で な くな っ て し ま う こ とは,起

  し か しそ の 心 配 は 無 用 な の で あ る.な い てfを

と っ て,こ

基 底{e1,e2, の 基 底 でfを

こ り得 な い だ ろ う か.

ぜ か と い う と,基

底{e1,e2,…,en}に

つ

表 わ した もの を

とす る と

と 表 わ さ れ る.こ

こ でaij(i,j=1,2,…,n)は,{e1,e2,…,en}か

へ の 基 底 変 換 の 行 列 の 逆 行 列 成 分 で あ る.こ (P),…,αn(P)の1次 (i=1,2,…,n)も

結 合 と な る の だ か

ら{e1,e2,…,en}

の よ うに 各

ら,各

αi(P)が

βi(P)は,α1(P),α2 連 続 な ら ば,βi(P)

ま た 連 続 と な る.

C∞-級 の ベ ク トル 値 関 数   まずR2上

で 定 義 され た 実数 値 連 続 関数f(x,y)がC∞-級

で あ る こ との定 義を

思 い 出 して お こ う.   各 階数 のfの 偏 導 関 数 が存 在 して,こ れ らがす べ て 連続 関数 とな る とき,fを C∞-級 の関 数 とい う.   各 階数 の偏 導 関 数 とかい て あ る のは,xとyに

つ い て い ろい ろな 順 序 で何 回 か

fを 偏 微 分 して得 られ る関 数 の こ とを い って い る ので,そ る とい うの が 上 のC∞-級 の定 義 で あ る.関

数fがC∞-級

れ らが す べ て連 続 とな の とき に は,各

偏 導関

数 は偏 微 分 す る順 序 に関 係 な くな って (s,t=1,2,…)

と 表 わ す こ とが で き る. fをVに って

と表 わ す.

値 を も つ 連 続 な ベ ク トル 値 関 数 と し,Vの

基 底{e1,e2,…,en}を

と

【定 義 】 各 αi(x,y)(i=1,2,…,n)がC∞-級

の 実 数 値 関 数 の と き,f(x,y)を

C∞-級 の ベ ク トル 値 関 数 とい う.   連 続 性 の と き と 同 様 に し て,こ を 示 す こ と が で き る.ベ

の 定 義 はVの

ク トル 値 関 数 と は,基

基 底 の と り方 に は よ ら な い こ と 底 を と れ ば,結

局n個

の実 数 値 関

れ か ら取 り扱 う ベ ク トル 空 間 で は,基

底を一定の

数 の組

で あ る と い っ て よい の だ が,こ

も の と し な い 見 方 が 必 要 に な る の で,ベ

ク トル 値 関 数 と い う考 え 方 が や は り有 用

と な る の で あ る.   な お,以

下 で ベ ク トル 値 関 数 と い う と き に は,つ

ね にC∞-級

の ベ ク トル 値 関 数

を 考 え る こ と に す る.

dx,dyを   R2に

は,座

基 底 と す る ベ ク トル 空 間

標 空 間 と し てxy-座

を 用 い て(x,y)と 定 義 の と き に も,断

標 が 入 っ て お り,し

表 わ され て い る.も

つ2次

っ と も こ の こ と は,上

元 の ベ ク トル 空 間V2を

元 の ベ ク トル 空 間 で あ る.し

た が っ てV2の

αdx+βdy(α,β

こでdx,dyは

い ら れ て い る 記 号dx,dyが,突

こ の 記 号 を 用 い な が ら,抽

者 は,微

も

りに

積 分 で,一

積 分 で 用 い ら れ る 記 号 と,し

般 に は 象徴 的 に 用

ク トル 空 間V2の1つ

の

異 の 感 を 抱 か れ る だ ろ う.私 た ち は,

象 的 な ベ ク トル 空 間V2の

で 定 義 さ れ たV2に

底dx,dyを

∈R)

い わ ば ラ イ トの 中 に,グ

ー ン の 公 式 を も う一 度 浮 か び 上 が らせ よ う と し て い る.そ

い う.

の関数の

導 入 す る.V2は,R2

元 は た だ1通

然 単 な る 記 号 と し て,ベ

基 底 を 表 わ す た め に 用 い ら れ た こ と に,奇

【定 義 】R2上

標

単 な る 記 号 と し て の 意 味 し か な い.

  こ の 定 義 の 仕 方 は い か に も 不 親 切 で,読

は,微

のC∞-級

標 に 付 随 し た 形 で 与 え ら れ る ベ ク トル 空 間 で あ っ て,基

と 表 わ され る.こ

点 は,座

りな し に 用 い て い た.

  こ こ で 多 少 唐 突 で あ る が,2次 のxy-座

た が っ てR2の

の 過 程 で,記

リ

号dx,dy

だ い に 整 合 性 を も っ て くる だ ろ う.

値 を もつ ベ ク トル 値 関 数 を,1次

の微 分 形 式 と

した が っ て,基

底{dx,dy}を

用 い る と,1次

の 微 分 形 式 ω(x,y)と

は

ω(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy

と表 わ され る も の で あ る.こ

こ でP(x,y),Q(x,y)はC∞-級

の 関 数 で あ る.

V2上 の 外 積 代 数 私 た ち は,単

にV2だ

け で は な くて,V2上 E(V2)=R 

の外積 代 数

V2  ∧2(V2) 

(2)

も考 える.   V2の

基 底{dx,dy}に

対 応 し て,∧2(V2)は

トル 空 間 と な る.dx∧dy=−dy∧dxで   さ て,(2)の

基 底dx∧dyを

値 関 数 で あ る.V2に

元のベ ク

あ っ た こ とを 思 い 出 し て お こ う.

右 辺 を み る と,E(V2)は3つ

の 直 和 に な っ て い る.Rに

も つ1次

の ベ ク トル 空 間,R,V2,∧2(V2)

値 を と る 関 数 は,ふ

値 を と る 関 数 は,1次

つ うの 意 味 で の(C∞-級

の 微 分 形 式 で あ る.そ

の)実

数

こで さ らに次

の 定 義 を お く. 【定 義 】R2上

で 定 義 さ れ た ∧2(V2)に

値 を もつ ベ ク トル 値 関 数 を,2次

の 微 分形

式 とい う.   した が っ て 基 底dx∧dyを

用 い る と,2次

の 微 分 形 式 η(x,y)は

η(x,y)=R(x,y)dx∧dy と表 わ され る.こ

こ でR(x,y)はC∞-級

の 関 数 で あ る.な

お

R(x,y)dx∧dy=−R(x,y)dy∧dx で あ る こ とを 注 意 して お こ う.   一 般 に,E(V2)に っ て(2)の

値 を もつ ベ ク トル 値 関 数 をR2上

分 解 に し た が っ て,R2上

の 微 分 形 式 と い う.し

の 微 分 形 式 は た だ1通

たが

りに

f(x,y)+ω(x,y)+η(x,y) と表 わ さ れ る わ け で あ る.こ V2,η(x,y)∈ と も あ る.

∧2(V2)で

こ で 各 点(x,y)に

あ る.実

対 し て,f(x,y)∈R,ω(x,y)∈

数 値 関 数f(x,y)は0次

の 微 分形 式 とい う こ

微 分 形 式 の つ くる 空 間   R2上

で 定 義 され た0次,1次,2次

の 微 分 形 式 全 体 の つ くる 空 間 を,そ

れ ぞれ

Ω0(R2),Ω1(R2),Ω2(R2) で 表 わ す. f,g∈ Ω0(R2)に

対 し て αf+βg∈ Ω0(R2)(α,β

  ま た ω,ω∈Ω1(R2)に

は 実 数)は

明 ら か で あ る.

対 し, ω(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy ω(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy

と お く と,実

数 α,βに 対 し て αω(x,y)+β

ω(x,y)

=(αP(x,y)+βP(x,y))dx+(αQ(x と な り,し

た が っ て αω+β ω∈ Ω1(R2)と

  η,η∈ Ω2(R2)に

,y)+βQ(x,y))dy な る.

対 し て も 同 様 に αη+βη∈ Ω2(R2)と

  し た が っ て Ω0(R2),Ω1(R2),Ω2(R2)は か し これ ら の ベ ク トル 空 間 は,無

定 義 し,dを

ベ ク トル 空 間 の 構 造 を も っ て い る.し

限 次 元 の ベ ク トル 空 間 で あ る.

外 【定 義 】 Ω0(R2)か

な る.

微

ら Ω1(R2),Ω1(R2)か

分 ら Ω2(R2)へ

の 線 形 写 像dを

次 の式 で

外 微 分 と い う.

(ⅰ)

(ⅱ)

  こ の 定 義 は 形 式 的 に 与 え た だ け だ か ら,も 定 義 の(ⅰ)で

はC∞-級

の 関 数f(x,y)に

う少 し説 明 を 加 えて お こ う. 対 して,微

'全 微 分'

(3)

分 法 で よ く知 ら れ たfの

の 形 に 注 目 し て い る.し

か し 実 際 は 記 号 を 流 用 し て,こ

を 表 わ し て い る と み て,こ 分dfを

れ を1次

のdx,dyはV2の

基底

の 微 分 形 式 と考 え る こ と に よ っ て,fの

外微

定 義 し た の で あ る: Ω0(R2)∋f→df∈

こ の よ う な 記 号 の 流 用 は,も 分 に 使 わ れ るdx,dyと,V2の

Ω1(R2)

ち ろ ん 一 般 に は 許 さ れ る こ と で は な い.し 基 底 と し て の 形 式 的 なdx,dyの

か し,微

記 号 の 使 い 方 は,

し だ い に 整 合 性 を 帯 び て くる の で あ る.   な お,fの

全微 分(3)に

x−x0,dy=y−y0で

現 わ れ るdx,dyは,微

分 積 分 の 教科 書 を 開 い てみ る と,dx=

あ って 高 位 の無 限 小を 無 視 し て得 られ る量,な

どの よ うにか か れ て い

るが,ふ つ うはわ か りに くい表 現 とな って い る.   定 義 の(ⅱ)で Q(x,y)に

は,(ⅰ)で

適 用 し て い る.し

定 義 した ば か りの 関 数 に 対 す る 外 微 分 を,P(x,y), た が っ て も う少 し詳 し くか く と 次 の よ う に な る.

(3) この最 後 の 式 に,グ

リー ンの公 式 の左 辺 の 積 分 記 号 の 中に 現わ れ た と同 じ式 が 登

場 して きた の に,読 者 は 驚か れ た ので は な か ろ うか.  号 が 現 わ れ た の は,上

の計 算 でdy∧dxを,dx∧dyに

の前 に,マ

イナ ス記

か き直 す と ころか ら生 じ

て い る.

Tea

dx,dyと   dxやdyの

い う記 号 に つ い て

記 号 は,ラ

イ プ ニ ッ ツ に は,適

Time

イ プ ニ ッ ツ(1646-1716)の

切 な 記 号 を 選 ぶ こ と は,私

こ と で あ る とい う考 え が あ っ た.こ

創 案 に な る もの で あ る.ラ

た ちの 数学 の思 考 に とっ て大 切 な

の よ うな 考 え が あ っ た た め,ラ

イ プ ニ ッツは

微 積 分 の 基 本 的 な考 え― の選 択 に,何

微 小差 と総 和 ―

を 得 たの ち,こ の理 論 に 適 した 記 号

度 か 試行 錯 誤 を繰 り返 した.そ

の上 で 最 小 の 差(微 分)をdx,dy

で表 わ す と決 め た の であ る.最 小 の差 とは,高 位 の無 限小 を無 視 した 差 の こ とで あ る.た

とえば1684年

の長 い 標題 の論 文 『無理 量 で も適用 可 能 な 極大,極

小,

お よび接 線 に 関す る新 しい 方 法』 の 中 で は,ラ イ プ ニ ッ ツは,微 分 の積 の公 式 を dxy=xdy+ydx,ま

たxnの

微分 の公 式 をdxn=nxn−1と

ラ ィ プ ニ ッ ツの 創 案 した 記 号 は,こ 多 分 これ ら の 記 号 は,そ

れ 自 身1つ

の ほ か に も 積 分 記 号 ∫ ・dxな ど が あ る が,

の 意 味 を 帯 び て,そ

い に 貢 献 し た の だ ろ う.だ が こ の 一 方 で は,記 な 無 限 小 の 雰 囲 気 を め ぐ って,多 こ と全 体 は,結 dyと

局 は,微

の後 の微 積 分 の展 開 に大

号dx,dyの

中 に ひ そ む,神

秘的

くの 議 論 と批 判 が 湧 き 上 が っ た の で あ る.そ

積 分 と い う学 問 が,ラ

い う記 号 の 導 入 に よ っ て,あ

表 わ してい る.

の

イ プ ニ ッ ツが 考 え た よ う に,dx,

る 不 思 議 な 力 を も ち,活

力 を得 る こ とにな っ

た と い っ て よ い の だ ろ う.   無 限 小 の 概 念 が,19世 確 立 し,そ

紀 に な っ て コ ー シ ー,ワ

れ に よ っ て 記 号dx,dyの

て し ま った.し

イエル シ ュ トラ スな どに よ り

中 か ら 呪 術 的 な も の は,ひ

と まず 消 え去 っ

か しや が て 台 頭 し て き た 微 分 幾 何 学 と い う分 野 の 中 で,解

適 用 し て 幾 何 学 的 な 考 察 を す る よ う に な る と,dxやdyと

い う記 号 が 幾 何学 的

な 意 味 合 い を 帯 び て 図 形 や 空 間 の 中 か ら 再 び 現 わ れ る よ う に な り,ま と よ ば れ るf(x,y)dx∧dyの の よ うに,記

号dx,dyの

析学 を

た微 分形 式

よ う な 式 が 有 効 に 用 い ら れ る よ うに な っ て き た.こ 適 用 範 囲 が は る か に 広 が っ て き て,現

解 釈 を す る よ う に 迫 ら れ た の で あ る.こ

代 数学 は 新 しい

の 解 釈 が どの よ うな も の で あ っ た か は,

これ か ら 講 義 の 中 で 少 し ず つ 述 べ て い こ う.

第18講 グ リー ンの 公 式 と微 分 形 式 テー マ

◆ 微 分形 式 の積 分 ◆ グ リー ン の公 式 を 微分 形 式 を用 いて 表わ す. ◆ 座 標変 換 に よ る不 変 性 ◆ 線 形 な座 標 変 換 ◆ 線形 な座 標 変 換 に よる不 変性 ◆C∞-級 の座 標変 換

微分形式の積分 R２ の 有 界 な領 域Dが

与 え られ た とす る.Dの

境界Cは

滑 ら か な 曲線 か らな

る とす る.   2次 の 微 分形 式 η(x,y)=R(x,y)dx∧dy 

が 与 え られ た と き,こ の微 分 形 式 のD上

(1)

の積 分 を

(2)

で定 義 す る.   この 定義 に は何 の 問 題 もない よ うであ るが,暗 黙 の うち に,Dはxy−

座標 平 面

上 に あ り,こ の座 標 平面 の正 の向 き が,時 計 の針 と逆 回転 の 向 き―x軸

の正 の

部 分 を 直 角 だ け まわ す とy軸 の正 の部 分 に重 な る よ うな回 転 の 向 き―

であると

決 め られ てい る こ とが 含 まれ てい る.こ の 向 き と,微 分 形 式 の 中 にか か れ て い る dx∧dyの

順 番,す なわ ちdxが

る と考 え て い る ので あ る.

最 初 に,次 にdyが 現 わ れ る順 番 とが 整 合 してい

  な ぜ こ の よ うな こ と を い うか と い う と,(1)は

また

η(x,y)=−R(x,y)dy∧dx と表 わ さ れ て い る か ら で あ る.し R(x,y)dy∧dxの

積 分 は,(2)の

として お か な くては, 

た が っ て(1)でdxとdyの

順 番 を と りか え た

符 号 を か えた もの

の定 義 が成 り立 た な くな る.

これ に対 す る解 釈 は,積 分 は 座標 平 面 の 向 きを 考 慮す る 必 要 が あ り,向 きの つ け方 に よ って符 号 が変 わ る とす る の で あ る.し た が って,こ こで積 分 に マ イナ ス記 号 が つ い た の は,dy∧dxと

い う表 わ し方 に よっ て 座標 平 面 の

向 きが 負 の 向 きに と られ てい る ことが 指示 され てい る と

図25

考 え るの で あ る(図25).   い い かえ る と,単 '微分 形 式'R(x

に'関

数'R(x,y)をD上

,y)dx∧dyのD上

で 積 分 す る こ と と は 少 し 違 っ て,

の 積 分 に は,dx∧dyの

表 わ し 方 に よ っ て,

積 分 す る 向 き ま で 指 定 さ れ て い る と 考 え る の で あ る.   ま た,1次

の 微 分形 式 ω(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy

の,Dの

周C上

で の積 分 は

に よっ て定 義す る.こ の 積 分 の 向 きは,図21(第16講)で

示 して あ る よ うに,

Dを 左 手 に見 な が らまわ る 向きを 正 の 向 き と して あ る. グ リー ン の 公 式 の 微 分 形 式 に よ る 表 わ し方   この よ うに微 分 形 式 の 積 分を 定 義 す る と,グ

リー ンの公 式 は 微 分形 式 に よ って

簡 明に い い表 わ す こ とが で き る.   DをR2の

有 界 な 領 域 とし,Dの

境 界Cは

滑 らか な 曲線 か ら な る とす る.グ

リー ンの公 式 の定 式 化 に は,考 え る関数 は,す べ てC1-級 で よい の だが,微

分形

式 で 話 を進 め るに は も う少 し微 分 可能 の ク ラスを 上 げ た方 が よ く,そ のた め,こ

こ で は す べ てC∞-級

の ク ラ ス の 中 で 考 え て い くこ と に す る.

[グ リー ン の公式 の微 分 形 式 に よ る定 式化] 1次 の微 分形 式 ω(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy

に対して

(3) が 成 り立 つ.

 実 際,前 講 の 最 後 にか い た(3)を

で あ る.し

た が っ て,微

み ると

分 形 式 の 積 分 の 定 義 を 参 照 す る と,(3)は

グ リー ン の

公 式 そ の も の に ほ か な ら な い こ と が わ か る.   こ の よ うに グ リー ン の 公 式 が,微 形 に ま とめ ら れ た の は,グ

の マ イナ ス符 号 が―

分形 式 を 用 い る こ とに よ ってす っ き りと した

リ ー ン の 公 式(第16講)の

左 辺 に現 わ れ る

この符 号 は 累 次 積分 を と る ときの 積 分 の 向 きか ら現 わ れ た

もの で あ っ たが ―,外

微 分dω の 中 で の代 数 的 な演 算 規則

の 中 に 吸 収 さ れ て し ま っ た こ と に よ っ て い る.   現 代 数 学 で は,代 る.こ

数 的 な 視 点 の 導 入 が,数

こ で 述 べ た こ と で も,そ

学 の視 点を 一 気 に 高 め る こ と が あ

の 一 端 が うか が え る か も し れ な い.

座標変換による不変性   グ リーン の公 式 の1つ の 重 要性 は,こ の 公 式 が座 標変 換 で 不 変 で あ る とい うこ とで あ る.こ の ことは,純 粋 に解 析 的 な立 場 で 調べ るに は,2変 変 数変 換 の 公 式 を,グ

数 の微 分 積 分 の

リー ンの 公 式 の 両 辺 に適 用 して実 際 どの よ うに両 辺 が 変 化

す るか,そ れ を どの よ うに不 変 性 と して 定 式 化す るか を み てい か な くて は な らな い.し か し この計 算 は 見通 しが 悪 く,た とえ結 果 は得 られ て も,一 体,ど の よ うな 山 道 を通 って き た のか 少 し もわ か らな い とい うよ うな気 分 に させ る もの であ る.   私 た ち は,グ

リー ンの 公式 が,さ

らに3次 元 か ら,一 般 のn次 元 に ま で拡 張 さ

れ る道 を 示 した い と思 って い るの であ るが,こ の 拡張 され た場 合 で も,座 標 変 換 に よ る不 変性 を 確 かめ る こ とは 重要 な こ とに な る.し たが って,グ

リー ン の公 式

が 座 標 変 換 で不 変 で あ る とい うこ とを示 す 道 は,で きるだ け 見通 し よ く,一 般 化 で き る よ うな も ので な くては な らな い.こ の よ うな とき に,微 分形 式 に よ る定式 化 が,最 も効 果 を示 す の で あ る.   以下 で は,座 標 変 換 の話 か らは じめ て,微 分形 式 が 座標 変 換 で どの よ うに 変わ るか を 述べ,そ の結 果 と して,グ

リー ン の公 式が 向 きを 保 つ座 標 変 換 に よって不

変 で あ る ことを 示す こ とに し よ う.

線形な座標変換 座 標 変 換 とい うと,ふ つ うは

(4) で 表 わ さ れ る よ うな,xy-座

標 か らuv-座

に 対 し て 上 の 関 係 で(u,v)が

た だ1通

標 へ の 線 形 変 換 を い う.各 点(x,y)

りに 決 ま る 条 件 は,よ

うに

(5) で与 え られ て い る.   この とき,正 の 向 きを正 の 向 きに保 つ 条 件 は,

で 与 え られ る.こ

の と き(4)は

向 き を 保 つ 座 標 変 換 とい う.

く知 られ て い る よ

線形な座標変換 による不変性   た とえ ば この場 合,グ

リー ンの 公式 が 向 きを 保 つ 座標 変 換 で不 変 であ る とい う

こ とは,次 の事 実 が 成 り立 つ とい うこ とであ る.   い ま向 きを 保 つ 座 標 変換(4)で,xy-座 の 有 界領 域Dに

移 った とす る.こ

標 平 面 の 有 界領 域Dは,uv-座

の ときDの

境 界Cは,Dの

標平面

境 界Cに

移 って

い る.   xy-平 面 上 の 関 数P(x,y),Q(x,y)と,uv-平

面 上 の 関 数P(u,v),Q(u,v)が

あ っ て,(4)の

対 し て,(4)に

関 係 を み た す(x,y),(u,v)に

対 して 反 変 的 に

(6) が 成 り立 っ て い る と す る.   P,QとP,Qが

こ の 一 見 奇 妙 な 等 式 で 結 ば れ て い る と,不

が 成 り立 っ て し ま うの で あ る.こ

の こ とは 座 標 変 換(4)に

公 式 に 現 わ れ る2つ

の 関 数P,Qが,反

変 的 な 関 係 式(6)で

る と す る な らば,グ

リ ー ン の 公 式 は,xy-平

面 で もuv-平

思 議 な こ とに

対 し て,グ

リー ンの

結 ば れ たP,Qへ

移

面 で も ま っ た く 同 じ形

で 成 り立 つ こ と を 示 し て い る.   しか し,ど 換(4)に

う し て(6)の

よ う な 関 係 式 で 結 ば れ るP,QとP,Qと

  こ の 謎 を 解 き 明 か す 鍵 は,実

は グ リー ン の 公 式 が(3)の

わ され て い る と い う事 実 に ひ そ ん で い る.こ に 対 し て,グ 者 は,微 合 うか,そ

が,座

標変

よ っ て グ リー ン の 公 式 が 変 わ ら な い と い う こ と を 示 した の だ ろ うか?

れ か ら は,一

よ うに 微 分 形 式 で 表 般 のC∞-級

の座 標 変 換

リー ン の 公 式 の 座 標 変 換 に よ る 不 変 性 を 示 し て い くの で あ る が

分 形 式 と い う鍵 が,ど

の よ うに'座

,読

標 変 換 に よ る 不 変 性'と い う鍵 穴 に

の 点 に 注 目 し て 議 論 を 追 っ て い た だ き た い.

C∞-級 の 座 標 変 換 私 た ちは,(4)の

よ うな線形 の座 標変 換 だ け で は な くて,た とえば

(7) の よ うな 座 標 変 換 も 考 え た い.こ −5

,y=2はu=0,v=6に

の と き,x=1,y=1はu=3,v=−2に,x=

移 っ て い る.こ

の よ うな 座 標 変 換 を ど の よ う な 描 像

で 捉 え る か は 一 定 し て い な い か も し れ な い が,私 くて,xy-座 (−5,2)な と に す る.こ

標 平 面 とuv-座 ど の 点 が,uv-座

標 平 面 の2つ

を 考 え て,xy-座

標 平 面 上 の(3,−2),(0,6)に

の 方 が,x,yとu,vを

2つ の 座 標 平 面 に,す

た ち は,1枚

の座 標 平 面 では な

標 平 面 上 の 点(1,1), 移 さ れ た と考 え る こ

対 等 に 考 え る こ とが で き る.1つ

な わ ちxy-座

標 平 面 とuv-座

の 平 面 が,

標平 面 に 同 時 に投 影 され た と

考え る の で あ る.   一 般 的 な 設 定 は 次 の よ う に な る.   xy-座 標 平 面 の 点 を,uv-座

標 平 面 の 上 へ と移 す1対1対

と 表 わ す と き,u(x,y),v(x,y)は(x,yの

応 φが 与 え られ て

関 数 と し て)C∞-級

ま た φ の 逆 写 像 φ−1を

図26

の 関 数 で あ り,

と 表 わ す と き,x(u,v),y(u,v)は(u,vの とす る.こ

の と き φ をxy-座

関 数 と し て)C∞-級

標 か らuv-座

標 へ のC∞-級

の 関数 で あ っ た

の 座標 変 換 で あ る と い

う.   これ か らは 座 標 変 換 と い う と き に は,つ も の と す る.す

ね にC∞-級

の 座 標 変 換 だ け を 取 り扱 う

なわ ち 簡 単 に い えば

C∞一級

(u,v)

(x,y) C∞一級

が 成 り立 つ と い う こ と で あ る.   図 で い え ば,図27で な 直 線x=aがuv一

示 し て あ る よ うに,x軸

に 平 行 な 直 線y=b,y軸

平 面 で は そ れ ぞ れC∞ 一級 の 曲 線

図27

に平 行

に 移 る とい う こ と で あ り,逆 aが,xy-平

(変 数xが

動 く と(u,v)は

曲 線 を 描 く)

(変 数yが

動 く と(u,v)は

曲 線 を 描 く)

に,u軸

面 で は そ れ ぞ れC∞-級

に 平 行 な 直 線v=b,v軸

に 平 行 な 直 線u=

の 曲線

(変 数uが

動 く と(x,y)は

曲 線 を 描 く)

(変数vが

動 く と(x,y)は

曲 線 を 描 く)

に 移 る とい う こ と で あ る.   (5)に

対 応 す る 条 件 は,こ

の 場 合 必 要 条 件 と し て 各 点(x,y)で

が 成 り立 つ と い う こ と で 与 え ら れ る.こ 表 わ した もの―

は,ヤ

コ ビ 行 列 式,ま

こ に 現 わ れ た 行 列 式 ―J(uv/xy)で た は ヤ コ ビア ン とよば れ て い るも ので あ

る.   注意   線 形 変 換 の場 合 と違 って,J(uv/xy)≠0が な る とは限 らな い.J(uv/xy)≠0が け で あ る.こ

各 点で 成 り立 っ て も,変 換 が1対1に

保証 す る のは,各

こで述 べ た こ とは,C∞-級

点 の十 分近 くで1対1と

の座 標 変 換 な らば,そ

い うこ とだ

の結 論 と してJ(uv/xy)≠0

が い え る とい う こ とで あ る.

Tea

Time

質 問   C∞-級 の 座 標 変 換 の こ と は わ か り ま し た が,僕 け だ と い っ て よ い の で す.な ぜ か とい う と,(7)の

にわ か った の は実 は 定義 だ よ うな 場 合 に も こ れ がC∞-級

の 座 標 変 換 で あ る と い う こ と が 確 か め られ な い の で す.僕

に す ぐわ か っ た の は,

u=x+y2+1とv=y3+2y−5がx,yの 1対1の

関 数 と し てC∞-級 だ と い う こ と だ け で す.

こ と は 少 し 考 え て み て わ か りま し た.(u,v)が

値 か らyが

決 ま り―v=y3+2y−5がyに

x+y2+1の

関 係 か ら,の

y=y(u,v)が

が た だ1つ

(6)がC∞-級

うし て,こ

か ど うか な ど

だ と い う こ と が わ か っ て,

具 体 的 に 式 に か くな ど と い う こ と

と ん ど不 可 能 に 近 い こ と に な る だ ろ う.い

にx=x(u,v)を

y7+2y−1で

にu=

写 像x=x(u,v),

の 座 標 変 換 を 与 え て い る と結 論 で き る の で し ょ うか.

ばy3+2y−1−v=0を3次 め,次

か し,逆

当 もつ か ず,C∞-級

れ がC∞-級

答  確 か に 逆 変 換,x=x(u,v),y=y(u,v)を は,ほ

ずvの

つ い て 増 加 関 数 な の で ―,次 決 ま り ま す.し

ど ん な 形 の 式 を し て い る の か,見

確 か め よ う も あ り ま せ ん,ど

与 え られ る と,ま

ま の 場 合 な らば,強

方 程 式 の 解 の 公 式 で と い て,ま 求 め る こ と に な る.し か しyとvの

与 え られ て い る と き に は,解

ずy=y(v)の 関 係 が,た

の 公 式 が な い か ら,も

引に行な え 式 を求 とえ ばv=

うこ うした強 引

な 方 法 も不 可 能 と な る.   一般 に はu=u(x,y),v=v(x,y)が =x(u,v),y=y(u,v)は

具 体 的 な 式 で 与 え られ て い た と し て も,x

具 体 的 な 式 で 与 え られ る と は 限 らな い の で あ る .こ

うな と き に は 数 学 の 一 般 的 定 理 が 役 に 立 つ.次

の よ う な一 般 的 な 定 理 が あ る の で

あ る.   u=u(x,y),v=v(x,y)がC∞-級 と き,も

しJ(uv/xy)≠0が

の 関 数 で,対

応(x,y)→(u,v)が1対1の

成 り立 っ て い る な ら ば,x=x(u,v),y=y(u,v)も

C∞-級 の 関 数 で 与 え られ る.   (6)の

場合

に よ っ て,こ

の 定 理 か ら,逆

のよ

変 換 もC∞-級 の こ と が わ か る の で あ る.

第19講 外微分の不変性 テーマ

◆ 座 標 変 換 と関 数 の 変 数変 換 ◆ 全 微 分 の復習 ◆ ベ ク トル空 間V2の ◆V2の

基 底 の変 換 則

成 分 の変 換 則

◆ 外 微 分 の座 標変 換 に よ る不変 性

座標変換と関数の変数変換 R2のxy-座

標 か らuv-座

標 へ の 座標 変 換

(1) が 与 え られ た とす る.こ の 逆変 換 を 前 講 の よ うに

(2) に よ っ て 表 わ そ う.   R2上

で 定 義 さ れ た 関 数fを,xy-平

面 上 の 関 数 と考 え た も の をf(x,y),uv-平

面 上 の 関 数 と考 え た も の をf(u,v)と の 関 係 は,(1)と(2)か

表 わ そ う.し

た が っ てf(x,y)とf(u,v)と

ら

(3) (4) で 与 え ら れ て い る.   前 に 述 べ た よ うに,関

数f(x,y)はC∞-級

C∞-級 で あ る と し て い る か ら,し い てC∞-級

で あ る こ と が わ か る.

と仮 定 し て い る.ま

た が っ て(4)か

ら,f(u,v)も

た,座

標変 換 は

変 数u,vに

つ

全微分の復習 f(u,v)の

全微分は

(5) と 表 わ さ れ る.こ

の 意 味 は 次 の よ うな も の で あ っ た.関

ら(u+h,v+k)へ

と移 っ た と き,ど

に 注 目 す る.こ

の 式 に 対 し て,hとkに

視 し た 近 似 式 を つ く る.こ

で お き か え る と,全

数f(u,v)が

れ だ け 増 加 す る か,そ

つ い て,￨h￨+￨k￨よ

の 近 似 式 は 一 意 的 に 決 ま る.実

微 分 の 式(5)で

の増 分

り高位 の無 限小 を 無 際,こ

の近 似 式 は

与 え られ て い る.

  同 じ よ う に,f(x+h,y+k)−f(x,y)の,￨h￨+￨k￨よ た 近 似 式 で,h→dx,k→dyと

点(u,v)か

り高位 の無 限小 を 無 視 し

記 号 を お き か え る と,f(x,y)の

全微分

が 得 られ る.   実 は 次 の結 果 が成 り立 つ.

【証 明 】(概

略)(3)に

よ って

こ こで ∼ は高 位 の 無 限小 を 除 い て成 り立 つ こ とを示 し てい る.そ こで

(6) とお く と

と な る.￨h￨+￨k￨と￨h￨+￨k￨の

無 限 小 の 位 数 は 等 しい こ と に 注 意 す る と,こ

か ら近 似 式 へ と 移 っ て,さ

ら にh,kをdx,dyで

お きか え,h,kをdu,dvで

れ お き

かえて

が 成 り立 つ こ と が わ か る.   こ の 等 式 に 現 わ れ るdx,dy;du,dvに

つ い て は,(6)か

ら

(7)

とい う関係 が 成 立 して い る こ とがわ か った.私 た ち は こ の関 係 に注 目す る.

ベ ク トル 空 間V2の

基底 の変換 則

  微 分 形 式 を 定 義 す る と き に 導 入 し た ベ ク トル 空 間V2の 座 標 に 密 着 し て い た.新 V2に

し くuv-座 標 を 導 入 し た と き に は,こ の 座 標 に 付 随 し て,

は 新 し い 基 底{du,dv}が

  こ の と き,{dx,dy}か

基 底{dx,dy}は,xy-

入 る と考 え る.

ら{du,dv}へ

の 基 底 変 換 は 次 の 式 で 与 え られ る と 約 束

す る.

(8)

注意 深 い読 者 は,基 る行列

底変 換 の行 列 の成 分 は定 数 のは ず な の に,こ

こで は 関数 を成 分 とす

が 基底 変 換 の 行列 と して登 場 して い る こ とに気 づか れ た か もしれ ない.確 か に こ れ は 問 題 で あ る.こ の 点 に関 して,納 得 して も らえ る よ うに 答 え るた め に は,ベ ク トル空 間V2は

各

点 に付 随 して い る とい う考 えを 導 入す る必 要 が生 じ て くる.こ の こと につ い て は,次 講 で 少 し述 べ る こ とに し よ う.   (8)は (8)に る.私

見 か け 上,(7)と

ま った く等 し い 形 を し て い る.違

同 じ 記 号 を 用 い て 現 わ れ るdx,dy;du,dvの た ち は,こ

ク トル 空 間V2の に(7)と

の 同 じ記 号 の2通 基底―

うの は,(7)と

意 味が違 うとい う こ とで あ

りの使 いわ け ―

全 微 分 の 表 示 と,抽

を,し だ い に 融 和 さ せ て い こ う とす る.V2の

同 じ形 の 変 換 則(8)を

与 え た の は,こ

象的ベ

基 底 変換

の 融 和 へ 向 け て の,'着

地準

備'と い っ て よ い の で あ る.

V2の 成 分 の 変 換 則   V2の2つ

の 基 底{dx,dy},{du,dv}が

与 え られ る と,V2の

ベ ク トル ξは,

この それ ぞれ の基 底 に よ って

と表 わ さ れ る.(8)を

用 い て 右 辺 を{dx,dy}に

関 す る 式 に か き 直 す と,成

を比べて

(9)

が 得 られ る.(9)は

ベ ク トル の 成 分 の 間 の 変 換 則 を 表 わ し て い る.(8)と(9)

は 互 い に 反 変 的 な 変 換 と な っ て い る こ とを 注 意 し て お こ う(第14講

参 照).

外 微 分 の 座 標 変 換 に 関 す る不 変 性(Ⅰ)   関 数fを,f∈

Ω0(R2)と

考 え る.fの

変 数 をxy-座

標 を 用 い て 表 わ す か,uv-

座 標 を 用 い て 表 わ す か を 明 示 す る た め に,f(x,y),f(u,v)と (3),(4)の

表 わ す.fとfは

関 係 に よ っ て 結 ば れ て い る.

fの 外 微 分dfは,座

標 の と り方 に よ ら な い.す

な わ ち 次 の 結 果 が 成 り立 つ.

分

(Ⅰ)

【証 明】 合成 関数 の 微分 の規 則 か ら

こ の 式 を(8)と

見 比 べ る と,(Ⅰ)が

成 り立 つ こ と が わ か る.

外 微 分 の 座 標 変 換 に よ る不 変 性(Ⅱ) 1次 の微分 形式

の外微 分 は

で定義 した.こ れ もまた 座標 変 換 で不 変 なの であ る.す なわ ち次 の結 果が 成 り立 つ.

(Ⅱ)

な らば

こ こ で ま ず,P,QとP,Qと

の 間 に は,(9)か

ら

とい う関 係 が 成 り立 っ て い る こ と を 注 意 し よ う.こ の 関 係 は,座 講 の(4)の た'奇

よ うに,線

妙 な 等 式'と

形 変 換 で 与 え られ て い る と き に は,前

一 致 し て い る.そ

こ で の'奇

標 変 換 が特 に前

講 の(6)で

妙 な 等 式'は,微

示し

分 形 式Pdx

+QdyとPdu+Qdvが

同 じ も の で あ る こ と を 保 証 し て い る 条 件 で あ っ た!

  こ の 証 明 を 直 接 行 な う こ と は 大 変 で あ る(Tea 3つ の 命 題 を 示 し,そ

Time参

れ を 用 い る こ と に よ っ て,直

照).そ

Ω0(R2)に

対 し

【証 明 】 外 微 分 の 定 義か ら

に対 し

(10) 【証 明 】

ω(x,y)=g(x,y)dx+h(x,y)dyと

した が って,外 微 分 の 定義 と,す

お こ う.こ

の と き

ぐ上 に 述べ た 結 果 とか ら

に対 し

(11) 【証 明 】

ず

接 証 明す る こ との困 難 さ を 回

避 し よ う.

f,g∈

の た め,ま

この 外微 分 を とる と

こ こ で,fがC∞-級

の 関 数 で あ っ て,し

たが って そ の とき

が 成 り立 つ こ と を 用 い た.   こ の 準 備 の 下 で,(Ⅱ)の   ま ず(Ⅱ)の

証 明 に 入 ろ う.

右 辺 に 現 わ れ て い る 記 号du,dvは,関

微 分 と考 え て も よい こ と を 注 意 し よ う.な て は,外

数u(x,y),v(x,y)の

ぜ か と い う と,た

と え ば 関 数uに

外 つい

微 分す る と

と な り,こ

の 右 辺 は(8)の

右 辺 と 一致 し て い る か らで あ る.

 そ こで

の右辺を

と考 え て,両

(Ⅰ)の

辺 を(変

数(x,y)に

結 果 に よ っ て,関

て 右 辺 を,上

の(10)を

数P,Qの

で あ る.

よ り

微 分 す る.

外 微 分 は 変 数 の と り方 に よ ら な い.し

たが っ

用いて

と計 算 す る と き,dP,dQは,変 (11)に

つ い て)外

数(u,v)に

つ い て の 外 微 分 と思 っ て よい.ま

た

 した が っ て,結

局

が得 られ た.こ れ は証 明 すべ き結 果 に ほか な らない.こ れ で(Ⅱ)が

完 全 に証 明

さ れ た.   な お,(Ⅱ)の

結 果 は,か

き直す と

(12) が 成 り立 つ こ とを 示 し て い る.こ

こ ま で く る と,グ

よ らな い こ とを 示 す の は 容 易 な こ と とな る の だ が,そ

リー ン の 公 式 が,座

標変 換 に

れ は 次 講 へ 送 られ る こ とに

な っ た.

Tea

Time

質 問  グ リー ンの 公 式 の左 辺 の積 分 の中 に現 わ れ る式 が 座 標 変 換 に よ らな い とい う結果(12)の

証 明 は,大 体わ か りま した.し か し,変 数 変 換 の公 式 だ け で得 ら

れ そ うな こ とを,こ ん なに 大 げ さに微 分形 式 を 使 って証 明 した 理 由が まだ よ くわ か りませ ん.も

う少 し説 明 して いた だ け ませ んか.

答  微 分 形 式 を用 い て(12)を

導 い た理 由 は,も ち ろん 一 般 化 を 目指 す た め に,

まず足 場 を つ くると い うこ とに あ った の で あ るが,単 に そ れ だ け で はな くて,変 数 変 換 の 公 式 を使 っ て(12)を

証 明す る こ とは,大 変 厄 介 な こ とにな るの で,そ

れ を避 け た い とい う気 持 もあ ったの で あ る.   前 講 に戻 る よ うに な るが,こ の厄 介 さを納 得 して も ら うた め に,座 標 変換 が 線 形変換

で与 え られ て い る場 合(前 講(4)),変

数 変 換 の公 式 だ け を用 い て,(12)を

す ことを 試 み て み よ う.記 号 は前 講 の(6)を

で あ る.し

た が って

そ の ま ま使 うと

示

こ こで

を用い ると (*) 同様 に して

(**) し た が っ て,(*)か

と な る.一

ら(**)を

引 くと

方

した が っ て,結

局

が 得 られ て,(12)が   一 般 の 場 合 に は,こ

確 か め られ た の で あ る. れ よ りは る か に 厄 介 な 計 算 と な る.改

め て 考 え る と,(12)

の 形 の 式 が 成 り立 つ こ とを 最 初 に 発 見 し た 人 は,ど

の よ うな 道 を た ど っ て こ の 結

果 に 達 し た の だ ろ う か と思 わ れ て くる の で あ る.こ

の こ と に つ い て,私

こ と は 知 ら な い.

は詳 しい

第20講 グ リー ンの 公 式 の 不 変 性 テー マ

◆ 向 きを 保 つ座 標 変 換 ◆ グ リーン の公 式 は,向 きを 保 つ座 標 変 換 に よって あ る不 変 性 を もつ. ◆ この証 明 は,外 微 分 の座 標 変 換 に よる不 変 性 と,重 積 分 の変 数変 換 の公 式 に よる. ◆ 各点 に 付 随す るベ ク トル空 間V2―

余接 空 間

向きを保つ座標変換 xy-座 標 か らuv-座

標 へ の座 標 変 換 u=u(x,y)

(1) v=v(x,y) 

が与 え られ た とす る.こ

の とき,xy-座

標 で 正 の 向 きに まわ る曲 線が,uv-座

標

で も正 の 向 きに まわ る 曲線 に 移 るた め の条 件 は,各 点 で

(2)

が成 り立 つ こ とであ る.   この証 明 は こ こで は与 え ない が,簡 単 な場 合 だけ 確 か め てお こ う.原 点 を 中心 と して,座 標軸 を角 θだ け 回転 して も,正 の 向 き に まわ る 曲線 は,も ちろ ん 正 の 向 き に まわ る曲線 へ と移 ってい る.こ の ときヤ コ ビア ンは

と な っ て い る.一

方,x軸

とy軸

を と りか え て

図28 と す る と,xy-座 曲 線 と な る.こ

標 で 正 の 向 き に ま わ る 曲 線 は,uv-座

標 で は 負 の 向 きに ま わ る

の とき ヤ コ ビア ン は

と な っ て い る(図28). 【定 義 】 座 標 変 換(1)が,条

件(2)を

み た す と き,向

き を保 つ 座 標変 換 で あ

る と い う.

グ リー ンの 公 式 の 不 変 性   向 き を 保 つ 座 標 変 換(1)が P(x,y),Q(x,y)と,uv-座

与 え られ た と す る.xy-座 標 平 面 上 の2つ

標 平 面 上 の2つ

の 関 数P(u,v),Q(u,v)が

係 を み た して い る とす る:

(3)

こ こ でu=u(x,y),v=v(x,y)で

あ る.

の 関数 次の関

  ま たxy-座

標 平 面 に あ る 有 界 な 領 域Dは,uv-座

移 っ て い る と す る.こ

の と き,も

ち ろ ん,Dの

標 平 面 上 の 有 界 な 領 域Dに 境 界CはDの

境 界Cに

移 ってい

る.   こ の と き 次 の 関 係 が 成 り立 つ.

(4)

(5)

す な わ ち,グ て,そ

リー ンの 公式 の両 辺 に現 われ る積 分 は,向 き を保 つ 座標 変 換 に よっ

れ ぞ れ 不変 に保 たれ る ので あ る.こ

の こ とを簡 単 に 次 の よ う に い い表 わ

す.

【定 理 】

グ リ ー ン の 公 式 は,向

き を 保 つ 座 標 変 換 に よ っ て 不 変 で あ る.

(4)の  (3)の

関 係 か ら,xy-座

標,uv-座

証明

標 に よ っ て 表 わ され て い る微 分 形 式

が 定 義 で きる こ とを 注 意 して お こ う(前 講(9)参

照).

  前 講 で示 した よ うに

(6) が 成 り立 つ.   こ こで

(7)

で あ る.も

っ と も こ の よ う な 変 換 則 が 成 り立 つ こ と は,第14講

行 列 式'で

す で に 一 般 的 な 立 場 で 述 べ て あ る こ と を 思 い 出 し て お こ う.

  ま た,2変

数 の 積 分 の 変 換 公 式 か ら,一

般 に,任

の'基

底変換 の

意 の 連 続 関 数f(x,y)に

対 し

て

(8) が 成 り立 つ こ と が 知 ら れ て い る.こ

こ で 座 標 変 換 が 向 き を 保 つ こ と,し

J(uv/xy)>0で

あ る こ と が 用 い られ て い る(こ

『解 析 入 門30講

』 の 第30講

  さ て,(6)と(7)か

と な る.い

た が って

の 積 分 の 変 換 公 式 に つ い て は,

を参 照 し て い た だ き た い). ら

ま さ し あ た り,右

辺 の 式 はu=u(x,y),v=v(x,y)に

つ い て の 関 数 と考 え る こ と に し よ う.た と 考 え る の で あ る.こ

と え ば 

よ っ てx,yに

は (u(x,y),v(x,y))

の と き 微 分 形 式 の 積 分 の 定 義 に した が っ て

が 得 ら れ る.   こ の 右 辺 を 変 数(u,v)に

が 得 られ た.こ

れ で(4)が

変 換 す る と,(8)か

証 明 され た.

(5)の   (5)は,(4)が う と,xy-平

と,uv-平

ら

証 明 さ れ れ ば,改 面 上 で の グ リ ーン の 公 式

面 上 で の グ リーン の公 式

証明

め て 示 す こ と は な い の で あ る.な

ぜ か とい

を 見 比 べ る と,(4)は   し た が っ て,そ (5)に

こ の2式

の 左 辺 が 等 しい こ と を い っ て い る.

の 結 論 と し て 右 辺 も 等 し くな る.こ

れ は し か し,証

明す べ き式

ほ か な ら な い.

1つ の コ メ ン ト   これ で グ リーン の公 式 が 座標 変 換 に よって不 変 で あ る こ と が完 全 に証 明 され た.こ の事 実 を 簡 明 に表 わ す には グ リー ンの公 式 を,前 に述 べ た よ うに微 分 形 式 を用いて

と表 わ す の が 一番 適 してい る(第18講(3)参   さて,グ

照).

リーン の公 式 の座標 変 換 に よる不 変 性 を示す 上 の証 明 を見 て,次 の こ

とに 気 づ か れ た読 者 が お られ るか も しれ ない.  '(4)を

示 して,そ の結 論 と して(5)の

成 り立 つ こ とを示 した の な らば,逆

に(5)の

方 を 先 に示 して,そ の結 論 と して(4)が

成 り立 つ ことを示 す 証 明法

もあ りそ うで あ る.そ してそ の 方が 簡 単 では な い だ ろ うか.'  確 か に,線 積 分 に関 す る変 数 変 換が

で 与 え られ る こ と さ え 知 っ て い れ ば,(5)は っ て(4)も

示 さ れ た こ と に な る.確

こ れ か ら 直 ち に 示 さ れ て,し

か に こ の 道 の 方 が,証

  私 た ち が こ の 道 を と ら な か っ た の は,(4)が

の領 域Dで

成 り立 つ ことか ら,い わ ば(4)を'微

明 の 近 道 で あ る.

示 され て も,こ

が 各点 で 成 り立 つ こ とは結 論 で きない か らで あ る.も

たが

れ か らす ぐに は

ち ろん,(4)の 分 した もの'と

式 が任 意 して上 式 が

成 り立 つ こ とを示 す ことが で き る.し か し,私 た ちは,微 分 形 式 の立場 か ら,外 微 分 の座 標 変 換 に よる不 変性 とい う観 点 を,上 式 に付 して,そ こを 出発 点 とした

か っ た の で あ る.

微分形式について   最 初 に微 分 形 式 に 出会 った と きの感 想 は,多 分 率直 にい えば,妙 な もの が 微分 ・積分 に登 場 した とい うよ うな もの だ ろ う.こ の 講 義 で も,第17講

で微 分 形式

を 最初 に導 入 した とき,多 少戸 惑 い を感 じ られ た読 者 もお られ た の で はな い か と 思 う.し か し,こ こまで くる と,少 しず つ 微 分 形 式 の取 扱 い に慣 れ て き て,戸 惑 い も多少 は 消 え て き た ので は なか ろ うか.   微 分 形 式 とい う考 えの 最 も重 要 な 点は,座 標 変 換 で不 変 で あ る よ うな微 積 分 の 定 理 を,ど の よ うに定 式 化 し,ど の よ うに 証 明す るか の 道 を示 して くれ る こ とに あ る.ベ ク トル とは,も

とも と座 標 変 換 で 不 変 な量 で あ ったか ら,座 標 変 換 に 関

す る不 変 性 に深 くか か わ る 微分 形式 は,ベ ク トル 解 析 の 中心 に おか れ るの で あ る. 一般 に,関 数 を微 分 す る とき,変 数 を と りか え て微 分 す る と,異 な った 結 果 が得 られ る.そ れ は変 数 変 換 の公 式 が示 す 通 りで あ っ て,微 分 とい う演算 は 変 数 の と り方 に本 質 的 に よっ てい る.そ の点 を,ベ

ク トル解 析 の立 場 か ら取 り扱 い やす い

よ うに す るた め には,微 分 が変 数 の と り方 に よ らない よ うな新 しい形 式 を 導 入す る こ とが 必 要 で あ った.微 分 形式 は,こ の 目的 に適 う1つ の表 現形 式 で あ って, こ の表 現 に よ って,外 微 分 とい う,座 標 変 換 で不 変 な 微 分 演算 が 明確 に定 式化 さ れ た ので あ る.

各 点 に付 随 して い る ベ ク トル空 間V2   と こ ろ で,1次

の 微 分 形 式 は ベ ク トル 空 間V2に

し て 定 義 し た(一

般 の 微 分 形 式 はΛ(V2)に

値 を もつ,ベ

ク トル 値 関 数 と

値 を も つ ベ ク ト ル 値 関 数 で あ る).

し か し,こ

の 抽 象 的 な ベ ク トル 空 間V2は,座

に 座す'と

い うわ け で は な か っ た.xy-座

標 を と る と,基

底{dx,dy}が

れ,uv-座

標 を と る と,基

指 定 さ れ た.そ

し て,こ

底{du,dv}が

標 空 間 に ま った く無 関 係 に,'天

上

指定 さ

の間 に基 底 変

換 の 関係

(9)

が 成 り立 って い た.こ こで 注意 す るの は,基 底変 換 を 与 え る行 列

が,(x,y)の

関 数 と な っ て い る とい う こ と で あ る.す

xy-座 標,uv-座

な わ ち,基

底 変 換 は,単

標 の と り方 に 関 係 し て い る だ け で は な くて,R2の

各 点(x,y)の

に

と り方 に 従 属 して い る.   数 学 は,こ る.xy-座

の'変

し て 現 わ れ た 基 底 変 換 を 次 の よ うに 理 解 し よ う とす

標 平 面 の 各 点(x,y)に,基

が 付 随 し て い る.ま トル 空 間V2(u,v)が て,点(x,y)上

たuv-座

も つ ベ ク トル 空 間V2(x,y)

標 平 面 の 各 点(u,v)に,基

付 随 し て い る.そ

の 基 底 変 換(9)が

の 考 え 方 は,各

て は 第28講

底{dx,dy}を

底{du,dv}を

もつ ベ ク

し て 座 標 変 換(x,y)→(u,v)に

に あ る ベ ク トル 空 間V2(x,y)か

ル 空 間V2(u,v)へ 29).こ

量'と

ら,点(u,v)上

対応 し に あ るベ ク ト

与 え ら れ て い る と 考 え る の で あ る(図

点 に 付 随 し た 余 接 空 間 と い う考 え を 生 む が,こ

れについ

で 詳 し く述 べ る こ とに し よ う.

図29

Tea

Time

表 現 の 意 味 す る もの 数 学 で は,記 号 の 使 い方 が 研 究 の方 向を示 唆 す る こ とも あ る よ うで あ る.こ の

理 由 を は っ き り述 べ る こ と は 難 し い の だ ろ うが,数 思 考 の 像 を 結ぼ う とす る学 問 に と っ て,形

学 の よ うに,イ

式 が 思 考 を 導 き,イ

デ ヤ の世 界 に

デ ヤ の世 界 へ の道

を 指 し 示 す こ とが あ る の か も し れ な い と思 わ れ る. た とえば不 定 積 分 を∫f(x)dx=F(x)と 面 積―

と の 関 係 を 示 唆 す るが,同

程 式 の 観 点 が 生 じ て く る だ ろ う.グ 向 け る よ うな,記

じ式 を 

の 記 号 は 定 積 分―

と か く と,今

リー ン の 公 式 に 対 して も,新

度 は微 分 方

しい方 向 に光 を

号 の 導 入 が あ る の で あ る.

グ リー ン の 公 式  を,∂Dで

か く と き は,こ

で,左

表 わ す と,同

辺 の 積 分 を〈dω,D〉

じ 記 号 の 使 い 方 で,右

辺は

と か く.Dの

境 界C

〈 ω,∂D〉 と表 わ さ れ る.し

た

が っ て グ リー ン の 公 式 は

と か け る こ と に な っ た.微

分 す る記 号dと,境

た く異 質 な の に,同

じ よ うな'顔'を

同 じ よ うな'顔'と

か い た が,よ

と,幾

何 学 的 な 対 応D→

∂Dと の,あ

し て,こ く 見 れ ば,こ

界 へ と移 る 記 号 ∂と が,本

の 等 式 の 左 と右 に 納 ま っ て い る. の 等 式 は,解

析 的 な 演 算 ω→dω

る 双 対 性 を 示 し て い る と も み え て く る.こ

の 双 対 性 を 明 確 に 述 べ られ る よ うな 視 点 が 導 入 で き る な ら ば,こ 幾 何 と の 融 合 点 を 与 え る も の に な る か も し れ な い.実 ン トの 理 論 と し て,1940年 れ た の で あ る.

来 まっ

代 の 後 半,ド

際,こ

の視 点 は 解 析 と

の 種 の 視 点 は,カ

レ

・ラー ム とい う数 学 者 に よ っ て 与 え ら

第21講 R3上 の 微 分 形 式 テーマ

◆ ベ ク トル空 間V3 ◆R3上

の1次 の微 分形 式

◆R3上

の2次,3次

の微 分形 式

◆ 微 分形 式 のつ く る空 間 ◆ 外微分 ◆ 外 微 分 の性 質

ベ ク トル 空 間V3

  3次 元 空 間R3に ク トル 空 間V3を 間V3の

も 微 分 形 式 の 概 念 を 導 入 した い.そ 導 入 す る.R2の

基 底 は,R3の

ち,R3にxyz-座

の た め,ま

場 合 の ベ ク トル 空 間V2と

ず3次

同 様 に,ベ

元のベ ク トル 空

座 標 系 の と り方 に 従 属 し て と ら れ て い る とす る.す

標 を と っ た と き に は,V3の

なわ

基 底 として

{dx,dy,dz} を と る.し

た が っ て こ の と きV3の

元 は た だ1通

αdx+βdy+γdz 

りに

(α,β,γ∈R)

と 表 わ さ れ る.   い ま,x,y,zに あ っ て,変

関 す るC∞-級

数u,v,wを

の3つ

の 関数u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z)が

この関 数 を 用い て

u=u(x,y,z),v=v(x,y,z),w=w(x,y,z) とお い て導 入 した と き,対 応 (x,y,z)→(u,v,w)

は1対1で

あ る と す る.さ

ら に こ の 逆 写 像(u,v,w)→(x,y,z)もC∞-級

で 表 わ さ れ る と き,(u,v,w)に

よ っ て,R3に1つ

の 関数

の 座 標 が 入 っ た と考 え,こ

れ

をuvw-座

標 とい う.そ

し て 下 に 示 し て あ る(1)を,xyz-座

へ の 基 底 変 換 と い う.以 い にC∞-級

下 で 座 標 系 と い う と き に,い

標 か らuvw-座 つ で も,xyz-座

標

標 と,互

の 変 換 で 移 り合 う座 標 系 を考 え る こ と に し よ う.

  さ て,R3にuvw-座

標 が 導 入 さ れ た と き,こ

れ に 対 応 し てV3に

は基 底 として

{du,dv,dw} が と ら れ て い る とす る.  V3の2つ

の 基 底{dx,dy,dz}と{du,dv,dw}の

間 の 基 底 変 換 は,各

点で

(1)

と い う関 係 で 与 え られ て い る と す る. 基 底 変 換 の 係数∂u/∂xなどが,各 造 は,空

間R3に

点 で 変 化 す る こ と か ら,ベ

密 着 し て い る こ と が わ か り,ま

ク トル 空間V3の構

た 同 時 に 座 標 系 の と り方 に も 深

くか か わ っ て い る こ とが わ か る.

1次 の微 分 形 式   ベ ク トル 空 間V3に R3上

の1次

の微 分形 式

ω は,xyz-座

標 に関 しては

こ でf,g,hは,(x,y,z)に

(2) 関 しC∞-級

の 関 数 で あ る.ま

標 を と った と き に は ω=f(u,v,w)du+g(u,v,w)dv+h(u,v

と 表 わ さ れ る.こ

こでた とえば f(x,y,z)=f(u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z))

で あ る.

の ベ ク トル 値 関 数 を,

ω=f(x,y,z)dx+g(x,y,z)dy+h(x,y,z)dz 

と 表 わ さ れ る.こ uvw-座

で 定 義 さ れ たC∞-級

の 微 分 形 式 と い う.

  し た が っ て,1次  

値 を と る,R3上

,w)dw 

(3)

た,

  (2)に

お け る基 底{dx,dy,dz}と

に 反 変 的 な 変 換 を うけ る.し

係 数(f,g,h}は,(3)に

た が っ て(1)か

移 る と き,互

ら,{f,g,h}と{f,g,h}の

い

間に

は変換則

(4)

が 成 り立 っ て い る こ と が わ か る.

2次 お よび3次 の 微 分 形 式   ベ ク トル 空 間Λ2(V3),ま 級 の ベ ク トル 値 関 数 を,そ   xyz-座

た はΛ3(V3)に れ ぞ れR3上

標 を と っ た と き,Λ2(V3)の

で 与 え られ る.し

た が っ て2次

値 を と る,R3上

の2次,ま

た は3次

で 定 義 さ れ たC∞の 微 分 形 式 と い う.

基底は

の 微 分 形 式 ηは,次

の よ う に 表 わ さ れ る.

η=f(x,y,z)dxΛdy+g(x,y,z)dyΛdz+h(x,y,z)dzΛdx  Λ3(V3)は1次

元 の ベ ク トル 空 間 で あ っ て,xyz-座

標 を と っ た と き,基

底は

dxΛdyΛdz で 与 え られ る.し

た が っ て3次

の 微 分 形 式 ζは,こ

のとき

ζ=f(x,y,z)dxΛdyΛdz と表 わ さ れ る.uvw-座 る が,こ

標 を と っ た と き,Λ3(V3)の

の と き の 変 換 則 は(1)か

ら

基 底 はduΛdvΛdwと

変わ

で 与 え られ る こ とがわ か る(第14講

参 照).こ の 式 はヤ コビ ア ンの 記号 を用 い て

簡単 に duΛdvΛdw=J(uvw/xyz)dxΛdyΛdz と 表 わ さ れ る.   な お,実

数 値 関 数(C∞-級)fは,0次

の 微 分 形 式 と考 え る.

微 分 形 式 の つ くる 空 間   R3上

で 定 義 さ れ た,0次,1次,2次,3次

の 微 分 形 式 全 体 の つ くる 空 間 を

そ れ ぞ れ,Ω0(R3),Ω1(R3),Ω2(R3),Ω3(R3)と

とお い て,Ω(R3)を,R3上

表 わ す.ま

の 微 分 形 式 の つ く る空 間 と い う.Ω(R3)は,R3か

ら ベ ク トル 空 間

へ のC∞-級

の ベ ク トル 値 関 数 の 全 体 か ら な る.

  ω,η∈Ω(R3)に

対 し

  (ⅰ)  線 形 結 合:α ω+β η   (ⅱ)  外 積:ωΛ

  (α,β∈R)

η

  (ⅲ)  関 数 と の 積:fω を 考え る こ とが で き る.な   (ⅰ)と(ⅱ)は,各

お,(ⅲ)でf∈Ω0(R3)で

あ る.

点(x,y,z)で ω(x,y,z)∈E(V3),η(x,y,z)∈E(V3)

で あ り,し

た が っ て,E(V3)の

中 の演 算 規則 に よっ て

αω(x,y,z)+β

η(x,y,z)∈E(V3)

ω(x,y,z)Λ

η(x,y,z)∈E(V3)

と な る こ と か ら わ か る.   (ⅲ)は,た

た

と え ば2次

の 微 分 形 式 ωが

ω=fdxΛdy+gdyΛdz+hdzΛdx と表 わ さ れ る と き fω=(ff)dxΛdy+(fg)dyΛdz+(fh)dzΛdx

と な る.こ

こで

で あ り,fg,fhも

同 様 に 関 数 と し て の 積 を 表 わ し て い る.こ

の 形 か らfω も2次

の 微 分 形 式 で あ る こ と が わ か る.

外 【定 義 】Ωi(R3)か

微

らΩi+1(R3)(i=0,1,2)へ

分 の 外 微 分 と よ ば れ る 写 像dを

式 で 定 義 す る. (ⅰ) 

d:Ω0(R3)→Ω1(R3) f∈Ω0(R3)に

対 して

(5) (ⅱ) 

d:Ω1(R3)→Ω2(R3) ω=fdx+gdy+hdz∈Ω1(R3)に

対 し て

dω=dfΛdx+dgΛdy+dhΛdz  (ⅲ) 

(6)

d:Ω2(R3)→Ω3(R3) ω=fdxΛdy+gdyΛdz+hdzΛdxに

対 して

ｄω=dfΛdxΛdy+dgΛdyΛdz+dhΛdzΛdx 

  (ⅳ)  ω∈Ω3(R3)に

(7)

対 し て は   dω=0

  こ の 定 義 は 直 接 的 で,外

微 分 の 定 義 の 仕 方 は よ くわ か る の だ が,(6)と(7)

が 具 体 的 に ど ん な 形 の 式 に な る か は 判 然 と し な い.   (5)を

用 い て,(6)と(7)を

計 算 し た 結 果 は 次 の よ う に な る.

次の

これ を実 際 確か め る ことは 読者 に任 せ よ う.

外微分の性質 外徴 分 は次 の 性 質を もつ. (a) 

α,β∈Rに

対 して

d(α ω+β η)=αdω+βdη (b) 

f,g∈Ω0(R3)に

対 して

d(fg)=gdf+fdg (c) 

ω ∈Ωi(R3)(i=0,1,2),η d(ωΛ

(d) 

任 意 の

η)=dωΛ

∈Ω(R3)に

対 して

η+(−1)iωΛdη

ω ∈Ω(R3)に

対 して

d(dω)=0

【証 明 】(a)は

明 らか で あ ろ う.

(b):

(c):ω,η

∈Ω1(R3)の

と き,特

に

ω=fdx,η=gdy

の と き だ け 示 し て お こ う.こ

の と き ωΛη=fg dxΛdy.し

d(ωΛ η)=d(fg)ΛdxΛdy =(gdf+f =(dfΛdx)Λg

dy+dgΛfdxΛdy

=(dfΛdx)Λg

dy−(fdx)ΛdgΛdy

=dωΛ   (d):f∈Ω0(R3)に

dg)ΛdxΛdy

対 して

η−ωΛdη

た が って

こ の 最 後 の と こ ろ で,fはC∞-級 順 序 に よ ら な い,た

で あ り,し

た が っ て2階

の偏 導関 数 は 偏 微 分 の

とえ ば

の よ うな 等 式 が 成 り立 つ こ と を 用 い た.   ま た ω∈Ω1(R3)に

対 し てd(dω)=0と

な る こ と は,ω=fdxの

場 合 だ け示 し

て お こ う.

  ω∈Ω2(R3)の

と き は,dω

∈Ω3(R3)と

な る. ω ∈Ω3(R3)の

と き は,dω=0で

あ る.

な り,し た が っ て 必 然 的 にd(dω)=0と

Tea

質 問   僕 に は,こ よ うな 話 で,た い ま し た.こ

こで の お 話 は,R2の だ 変 数 が1つ

増 え,そ

う し た お 話 で し た ら,一

Time

と き 微 分 形 式 を 定 義 した と ま っ た く同 じ の 分,式 般 にRn上

が 長 くな っ た に す ぎ な い よ うに 思 の微 分 形式 も同 様 に定 義 で き る

と思 い ま す が. 答

確 か にRn上

と き に は,p次

の 微 分 形 式 も ま っ た く同 様 に 定 義 す る こ と が で き る.た の 微 分 形 式 と い っ て も,pは0,1,…,nの

こ と に な る.Rnに(x1,x2,…,xn)と の 一 般 の形 は

の よ うに な る.

だその

ど れ か の 値 を と り得 る

い う座 標 を 入 れ て お け ば,p次

の 微 分形 式

第22講 ガ ウスの 定 理 テ一マ

◆ 外微 分 の不 変 性 ◆ ガ ウス の定 理 ◆C∞-級 の曲面 ◆ 曲面Sの

向き

◆ 面 積分 ◆ ガ ウス の定 理 の 証 明 ◆ ガ ウス の定 理 の 不変 性

外微分の不変性   こ の 講 の 主 題 は,ガ 形 式 に 対 し て,外 し か し,R2の

ウ ス の 定 理 を 述 べ る こ とに あ る が,そ

の 前 にR3上

微 分 が 座 標 変 換 で 不 変 で あ る こ と を 示 し て お こ う.こ

場 合(第20講

参 照)と

同 様 な 考 え で 示 せ る の で,こ

の微 分 の こ とは

こで は証 明 の

ス ケ ッチ だ け を 与 え る こ と に し よ う.   い まxyz-座

標 か らuvw-座

標 へ の座 標変 換

u=u(x,y,z),  が 与 え られ た と し よ う.こ る た めf(u,v,w)=f(x,y,z)と

が 成 り立 つ.こ

の 式 は,前

v=v(x,y,z), 

の と き,任

意 の 関数fに

お く と,合

講 の(4),お

w=w(x,y,z) 対 し て,変

数 を は っき りさせ

成 関数 の微 分 の 規則 か ら

よ び(2),(3)を

参 照す る と

が 成 り立 つ こ と を 示 し て い る.す て 計 算 し て も,uvw-座 dfは

な わ ち,関数fの

外 微 分dfはxyz-座

標 に つ い て 計 算 し て も,同

じ結 果 と な る.い

標 につ い い か え る と,

座 標 系 の と り方 に よ ら な い.

  そ こ で 次 に1次

の微 分形 式

の 両 辺 を,xyz-座

標 に 関 し て 外 微 分 し て み る と,df=dfな

が 得 ら れ る(前

講,外

微 分 の 性 質(c),(d)参

照).こ

どに注 意 して

の 式 は,ω

の 外 微 分 が,

座 標 系 の と り方 に よ ら な い こ と を 示 し て い る.   同 様 に し て,2次

の 微 分 形 式 ω に 対 し て も,dω

が 座 標 系 の と り方 に よ らな い

こ と を 示 す こ と が で き る.

ガ ウス の 定 理   ガ ウ ス の 定 理 は,グ

リーン の 公 式 と 類 似 の 結 果 が,R3で

も 成 り立 つ こ とを 主

張 す る も の で あ る.   細 か い 定 義 は あ と ま わ しに し て,結

【ガ ウ ス の 定 理 】DをR3の っ て い る と す る.そ

果 を 先 に か く と 次 の よ うに な る.

有 界 な 領 域 と し,Dの

の と き2次

境 界Sは,C∞-級

の 曲 面に な

の 微 分形 式 ωに対 して

(1) が 成 り立 つ.

い ま,xyz-座

標 を用 い て ωを

(2) と 表 わ し て お く.こ

の とき

(3) で あ る.   した が っ て ガ ウ ス の 定 理 は,xyz-座

標 を用 いて 表わ す と

(4)

とな る.左 辺 は,D上

の 重積 分,右

辺 はS上 の面 積 分 で あ る.こ

の 面 積 分 の意

味 につ い て はす ぐあ とで 述べ る.   読 者は,グ

リーン の公 式 もガ ウ スの定 理 も,微 分 形式 を 用 い る と同 じ形 で か き

表 わ せ る こ とに注 意 して ほ しい. C∞-級 の 曲 面   領 域Dの

境 界Sが,C∞-級

の 曲面 とな って い る とい うこと の 意 味 か ら 説 明 し

よ う.   SがC∞-級

の 曲 面 で あ る と は,Sの

Pの 近 くに あ るS上

の 点 は,x,yに

任 意 の 点P=P(x0,y0,z0)を 関 す るC∞-級 関 数z(x,y)に

と っ た と き, よ って

(x,y,z(x,y)) と 表 わ さ れ る か,ま

た はx,zに

関 す るC∞-級 関 数y(x,z)に

よ って

(x,y(x,z),z) と 表 わ さ れ る か,あ

る い は ま た はy,zに

す るC∞-級 関 数x(y,z)に

関

よって

(x(y,z),y,z) と 表 わ さ れ る こ と で あ る.   こ の 定 義 は 少 し わ か りに くい か も し れ な い.点Pの

近 くで,曲

z(x,y)に

よ って

面SがC∞-級

の 関数

(x,y,z(x,y)) と表 わ さ れ る と い う こ と は,xy-座

標平面

図30

か ら測 った 曲面 へ の 高 さz(x,y)が,滑

らか に(C∞-級

に!)変

化 してい る と い

う こ と で あ る.   図30で 点Qや

示 し た よ うな 曲 面 で は,点Pの

点Rの

近 くで は こ の 状 況 が 成 り立 っ て い る が,

近 くで は こ の 状 況 は 成 り立 っ て い な い.点Qや

ｘ,yを 決 め て も,高

さ が1通

の 曲面 上 の 点 は,xz-平

りに は 決 ま ら な い の で あ る.し

点Rの

か し,Q,Rの

の と き に は,y(x,z)が

滑 らか に 変 化 す る こ とを 要 請 す

る の で あ る.

曲 面Sの

向き

  ガ ウ ス の 定 理 を 成 り立 た せ る た め に は,Dの 境 界 を つ くっ て い る 曲 面Sの,各

点 の まわ りの

向 き を 決 め て お か な くて は な ら な い. の1点Pを

と り,Pを

始 点 と し て,D

に 対 し て 外 向 き の 法 線 を 引 く.こ

の と き,こ

線 を 右 手 の 中 指 と す る右 手 系 の 向 き,す

の法

なわ ち こ

の と き親 指 か ら ひ と さ し指 へ と ま わ る 向 き を,P の ま わ りの 正 の 向 き とす る.   点P=P(x0,y0,z0)の

まわ りで 曲面 が(x,y,z(x,y))

で与 え られ て い る ときは,点Pに

お け る法線 の方 向余

図31

弦 は,± の符号 の差 を 除 け ば

で 与 え ら れ て い る.こ

こ で 関 数 の 値 は,す

面 S上 の面積 分

近 く

面 か らの 高 さ な らば 一 意 的 に 決 ま っ て,(x,y(x,z),z)の

形 で 表 わ され て い る.こ

  曲 面S上

近 くで は,

べ て(x0,y0,z0)で

積

分

の 値 で あ る.

の 意 味 は,xy-平

面 上 に ま ず 分 点x0<x1<x2<…<xn,y0
(x,y,z(x,y))と

表 わ され るS上

を 考 え,こ

と り,

の 部分 で

とした とき の 極 限 で

こ で,

あ る.   こ こ で 符 号 ± は,xy-座 ま わ りのSの

標 平 面 上 にSを

向 き が,xy-座

そ うで な い と き は−(マ

射 影 した と き,点(xi,yi,z(xi,yi))の

標 平 面 上 の 正 の 向 き と一 致 す る と き は+(プ

イナ ス)と

す る の で あ る(図32参

照;図

ラ ス),

では 面積 要 素

と い う言 葉 を 用 い て い る).

ガウスの定理の証 明   ガ ウ ス の 定 理 の 証 明 の 考 え 方 を 述 べ よ う.細 立 ち 入 らな い で,最

か い 吟 味 が 必 要 な よ うな 場 合 に は

も簡 単 な 場 合 だ け 考 え る こ と に し よ う.

  (4)の

証 明 を ま ず 行 な う.こ の と き も,グ

Q,R,Pそ

れ ぞれ に 対 して等 式

リー ン の 公 式 の 場 合 と 同 じ よ うに,

(5)

図32

図33

が 成 り立 っ て,こ

れ ら を 加 え た 式 と し て,ガ

れ も 同 じ だ か ら,(5)が 【等 式(5)の

証 明】

Sの 点 は,上

ウ ス の 公 式 が 得 られ る の で あ る.ど

成 り立 つ こ とを 示 す こ と に し よ う. 図33の

よ うに,xy-座

の 方 に1つ(x,y,z1(x,y)),下

標 平 面 上 の 点(x,y)に

射 影 され る

の 方 に1つ(x,y,z2(x,y))が

あ る

場 合 を 考 え よ う.   こ の と き,重

と な る.最

積 分 を累 次 積 分 に直 す 公 式 に よって

後 の 等 式 に 移 る と き に,−P(x,y,z2(x,y))の

分 の と き の,向

符 号 マ イ ナ ス は,面

き を 考 慮 し た 面 積 要 素 の 符 号 マ イ ナ ス と一 致 し て,最

結 局 マ イ ナ ス 符 号 は 消 え た 形 に な っ て ま とめ ら れ た の で あ る.こ

積

後の式では

れ で(5)が

証

明 さ れ た.   こ の よ うに 示 され た(4)を,外 (2),(3)に   (2)の

対 し て,積

微 分 の 形(1)に

お き 直 す に は,微

分形 式

お の お の にdx,dy,dzが

現わ

分 を 定 義 す る と よ い.

積分は

と 定 義 す る の で あ る.dxΛdy,dyΛdz,dzΛdxの れ る 順 序 は,x軸

⇒y軸

⇒z軸⇒x軸

が 正 の 向 きに まわ る向 き であ る ことを 示

唆 し て い る.   ま た(3)の

積分は

と 定 義 す る の で あ る.こ わ か る.

の よ う な 定 義 に よ っ て,ガ

ウ ス の 定 理 が 成 り立 つ こ とが

ガ ウス の 定 理 の 不 変 性   グ リーン の 公式 と同 じよ うに,ガ ウス の定理 の重 要 性 は,微 分形 式 で 表 わ され た(1)の

式 が,R3の

向 きを 保 つ座 標 変換 で 不変 な式 とな ってい る こ とであ る.

この こ とに つ い ては,第20講

と同様 の議 論を 繰 り返 す こ とに な る ので,こ

れ以

上 立 ち入 らな いが,こ の 背 後 にあ る事 実は,こ の講 の 最初 に述べ た外 微 分 が座 標 変 換 に よ って不 変 で あ る とい う性 質 であ る.

Tea

Time

質 問   面 積 分 の 定 義 に つ い て お 聞 き し た い の で す が,以 あ っ た 定 義 は,こ

こ で 話 さ れ た 定 義 と 少 し違 う よ うで し た.僕

面 積 要 素 とい う言 葉 を 用 い て,次 素 をdσ と し,Sの と き,面

前 僕 が読 んだ 本 で 述べ て の 読 ん だ 本 で は,

の よ うに か か れ て い ま し た.'曲

外 向 き の 法 線 の 方 向 余 弦 をcosα,cosβ,cos γ

面Sの

面積要

とす る.こ

の

積 分 に現 わ れ る面 積要 素 は dxdy=cos γ

で 与え ら れ る.'し

dσ,dydz=cos α

か し,こ

dσ,dzdx=cos,β

こ で の お 話 で は,法

面 積 分 の 定 義 に は 一 度 も 登 場 し ま せ ん で した.な 答   ま ず2つ

か に,私

た ち の 話 で は,面

て 得 ら れ る 面 積 要 素 と定 義 し た か ら,法 か し,君

の 面積 要 素 の 両 辺 に形 式 的 に しい値 に な る とい うこ と

積 要 素 は,座標

平 面 へ射 影 し

線 の 方 向 余 弦 な ど定 義 の 中 に は 登 場 し な

が 読 ん だ 本 の 中 に か い て あ っ た 定 義 と,こ

実 は 同 じ も の な の で あ る.そ 囲 で,xy-座

ぜ な の で し ょ うか.

る 範 囲 に わ た っ て 積 分 す る と,等

で あ る と 理 解 し よ う.確

か っ た.し

線 の 方 向 余 弦 な ど と い う こ と は,

の 面 積 要 素 が 等 しい と い う こ と は,こ

同 じ関 数 を か け て,あ

dσ

れ は 次 の よ う に し て わ か る.い

こで 与 え た定 義 は ま 曲 面Sが

あ る範

標 を 用 い る パ ラ メ ー タ ー表 示 で z=z(x,y)

と表 わ さ れ て い た と し よ う.こ の と き,z方

向 へ の 法 線 の 方 向 余 弦cosγ

は

で 与 え られ て い る.面

積 分 の 面 積 要 素'dxdy'を,cos γ

号 は プ ラ ス を と っ て い る.一

で 与 え ら れ て い る.こ

方,曲

dσ と か く と き に は,符

面 積 を 表 示 す る 積 分 公 式 か ら,

こでdxdyは,xy-座

標 平 面 へ 射 影 し た と き の 面 積 要 素,

した が っ て 私 た ち が こ こ で 与 え た 面 積 分 の 面 積 要 素 と な っ て い る.上 を 見 比 べ る と,cosγdσ=dxdyは,私

の2つ

の式

た ち の 定 義 と一 致 し て い る こ と が わ か る.

第23講 微 分形 式 の 引 き戻 し テー マ

◆ 問題 の提 起 ◆ 問題 の答 は肯 定 的―

ス トー クス の定理

◆ パ ラメ ー ター表 示 で き る曲面 ◆ 微分 形 式 の引 き戻 し ◆ 引 き戻 しに よる外 微 分 の不変 性

問題の提起   グ リー ンの 公式 に戻 ろ う.微 分 形 式 で表 わ され た グ リー ンの公式 は,R2の 標変 換 で は不変 な形 を してい た.そ の と き の 証 明(第20講 る よ うに,グ

リー ン の公 式 はR2全

け で(正 確 にはD上

参 照)を み る とわ か

体 で 定義 され た 座標 変 換 で な くと も,D上

で)定 義 され た 座 標 変 換―

変 数変 換 とい った 方 が よいか も しれ な いが―

座

だ

この ときはC∞-級 の1対1の

で 不 変 で あ る とい う性 質 を も っ て

いた.   さて,こ の よ うな観 点 に立 った とき,グ

リー ンの 公 式 の不変 性 は 次 の よ うな場

合 に も保 た れ るか とい う こ とが 問 題 に な る.   い ま簡 単 の ため,Dと

してR2の

この とき,Dの

単 位 円周 で あ る.そ

境 界Cは

単 位 円 の 内部 を とる:

こで考 察 の場 をR3へ

と移 し,R3

の座 標 変 換

を 考え る.こ れ たC∞-級

こ で ρは 図34の

グ ラ フ で 示 さ れ て い る よ うな,数

直 線上 で定 義 さ

の 関 数 で あ る.

  こ の 座 標 変 換 で,R2の

原 点 の 近 くは,高

さ1だ

け も ち 上 げ られ(図35(a)),

(a)

(b)

図34

図35

し た が っ て 単 位 円Dは,コ

ッ プ を 逆 さ に し て お い た よ う な 曲 面D(図35(b))

に な る.Dの

境 界Cは,や

は り単 位 円Cで

  問 題 は,こ

の'も

ち 上 げ'に

あ る.

よ っ て,D上

で 成 り立 つ グ リーン の 公 式 の 形

(1) は,そ

の ま ま保 た れ る か とい う こ と で あ る.も

ン の 公 式 の 不 変 性 が 成 り立 つ な ら ば,グ の 中 に あ る 単 位 円Dで て も変 わ ら な い,何

の よ うな 意 味 で も,グ

リー

リーン の 公 式 を 成 り立 た せ る も の は,R2

は な くて,Dを,空

か'Dの

し,こ

間 の 中 で ふ くら ま して も,へ

内 在 的 性 質'に

こま し

よ っ て い る と い うべ き だ ろ う.

問題の答は肯定的   この 問 題 の 答 は 肯 定 的 で あ る.私 R3上

の1次

た ち は 定 理 を 一 般 的 な 形 に 述 べ る た め に,

の微 分 形 式 ω=P(u,v,w)du+Q(u,v,w)dv+R(u,v,w)dw

が,D上 き,グ

に(一

般 に は 曲 面 上 に)与

リー ンの 公 式 を'も

え られ て い る とい う設 定 か ら 入 る.こ

ち 上 げ た'形

の定 理 と して

(2) が 成 り立 つ こ とを 示 し た い.(2)は

丁 寧 に か く と,外 微 分 の 定 義 か ら

の と

と表 わ さ れ て い る こ とを 注 意 し よ う.こ れ は ス トー ク ス の 定 理 と よ ば れ て い る も の で あ る.私 式 をR3に

た ち は こ の 定 理 を 次 講 で 与 え る こ とに し よ う.以 下 は グ リー ン の 公

ま で'も

ち 上 げ て い く'た め の 準 備 で あ る.

パ ラ メ ー ター 表 示 で き る 曲 面   R2の

有 界 な 領 域Dを1つ

と る.Dの

た め の 条 件 を み た して い る―   閉 領 域Dを

境 界Cは,グ

簡 単 の た めC∞-級

含 む あ る領 域 で 定 義 され た3つ

リ ーン の 公 式 が 成 り 立 つ

の 曲 線 か ら な る―

のC∞-級

とす る.

関数

u=u(x,y),v=v(x,y),w=w(x,y) が 与 え られ,次

の 条 件 を み た す とす る.

  (ⅰ)  対 応(x,y)→(u,v,w)は1対1   (ⅱ)  行 列

の 階 数 は 各 点 で2に   こ の と き,対

等 し い.

応

(3) をDか

らR3の

と い う.ま

中 へ の 写 像 と考 え て,φ は,パ

たφ(D)=Sを,パ

ラ メ ー タ ー を もつ 曲 面,ま

さ れ る 曲 面 と い う.こ の と きDの す な わ ちSの

境 界Cは,Sの

はφ(a,b)=(u0,v0,w0)の

少 し わ か りに くい か も し れ な い.直 と き,R2上

の 直 線x=a,y=bの

移 る.な

おDの

観 的 に い え ば,こ 像 が,曲

面S上

近 くで は 妙 な 形 に つ ぶ れ て い な い と い う こ と で あ る(図36).妙

形 で つ ぶ れ て い な い と い う こ とは,こ uw-座

境 界Cへ

た は パ ラ メー タ ー 表 示 像,

内 部 を 開 曲 面 とい う.

  上 の 条 件(ⅱ)は

(u0,v0,w0)の

ラ メ ー タ ー を もつ 曲 面 を 定 義 す る

標 平 面 か に 射 影 し た と き,ど

の 曲 線 を,uv-座

標 平 面 かvw-座

れ か の 座 標 平 面 上 で は,独

の条 件 で, な

標 平 面 か,

立 な 方 向 へ 走 る2

図36 本 のC∞-級

図37

の 曲 線 と な っ て い る とい う こ と で あ る.こ の 述 べ 方 は わ か りに くい が,

こ の よ うな い い 方 が 必 要 とな る例 を 図 で 示 し て お こ う.図37で に 射 影 し た と き に は 独 立 な 方 向 へ と走 る2本 座 標 平 面 に 射 影 した と き に は,そ

は,uv-座

標平面

の 曲 線 と な っ て い る が,vw-,uw-

の よ うに は な っ て い な い よ うな,S上

の 曲線 の

例 を 示 し て お い た.

微分形式 の 引き戻 し   い ま ま で の 記 号 に 合 わ す た め に,R3に 関 数 や 微 分 形 式 は,ひ

と ま ずR3全

え る と き に は,点(u,v,w)は

はuvw-座

体 で 定 義 さ れ て い る と し て い る が,以

す べ てSの

の 関 数 やS上

の 微 分 形 式 と い うの は,そ

  さ て,S上

の 関 数 や 微 分 形 式 は,写

う に,D上

者 の 中 に は,φ

向 き に な っ て,S上

はDか

と 考え る 人 が い るか も しれ な い.し 自 然 な こ と な の で あ る.す   [関 数 の 引 き 戻 し]S上 φ*fを,次

の 意 味 とす る.

像φに

らSへ

の 微 分 形 式 が,D上

下 で考

上 だ け を 動 い て い る も の とす る.S上

の 関 数 や 微 分 形 式 を 定 義 す る.こ

あ る が,読

標 が 導 入 さ れ て い る と す る.

よ っ て,い

わ ば'引

き 戻 さ れ る'よ

れ をφ に よ る 引 き戻 し とい う の で

の 写 像 な の に,今

度 はSか

の 微 分 形 式 を 決 め る の は,何

か し,ま

ず 関 数 に 対 し て は,こ

らDへ

と逆

か お か しい の考 え は ご く

なわち の 関 数f(u,v,w)に

つ い て は,fのφに

よ る 引 き戻 し

の よ うに 定 義 す る. (φ*f)(x,y)=f(u(x,y),v(x,y),w(x,y))

  [1次

の 微 分 形 式 の 引 き 戻 し]  こ の 場 合,引

き 戻 し と い う操 作 を どの よ うに 定

義 す るか は,け

っ し て 自 明 と は い え な い が,少

な く と も任 意 の 関 数fに

φ*(df)=d(φ*f) 

対 して

(4)

が 成 り立 つ こ と を 要 請 し て お き た い.   こ の 要 請 を み た す よ うに す る に は,次

の よ うに 定 義 す る と よ い の で あ る.

  1次 の 微 分 形 式 ω=P(u,v,w)du+Q(u,v,w)dv+R(u,v,w)dw の φ に よ る 引 き 戻 し φ*ωは,関

数P,Q,Rの

い ま定 義 し た ば か り の 引 き 戻 し を

用 い て,

すなわち φ*ω=φ*P・d(φ*u)+φ*Q・d(φ*v)+φ*R・d(φ*w) に よ っ て 定 義 す る.な

お こ こ で,た

と え ばd(φ*u)は,関

数φ*uの

外 微分 を 表 わ

して い る.   こ の 定 義 で(4)が   [2次

成 り立 つ こ とは,す

ぐあ と で 示 す.

の 微 分 形 式 の 引 き 戻 し]  こ の 場 合 も1次

さ れ る の で あ っ て,た

の微 分形 式 の場 合 と同様 に定 義

と えば η=P(u,v,w)duΛdv

に 対 し て は,η

のφに

よ る 引 き戻 しを

と定 義 す る.φ*η は φ*η=φ*P・d(φ*u)Λd(φ*v) と も か け る.ま

た

(5) と 表 わ して も よ い こ とを 注 意 し て お こ う.

引 き戻 しに よ る外 微 分 の 不 変 性 次 の命 題 が成 り立 つ. 0次,1次

の微 分形 式 ωに対 して φ*(dω)=d(φ*ω) 

【証 明】0次

の微 分 形 式,す なわ ち ωが 関数fの

(6)

と きを まず 示 そ う.こ の と き,

合成 関数 の偏 微 分 の規 則 か ら

こ こ でφ* 

とかい て あ る と こ ろ は,ふ

あ る.φ*  な る.こ

と か く と,変 数が(x,y)で

れ で,0次

  ωが1次

つ うは 

とか く も ので

あ る こ とが強調

され た こ と に

の 微 分 形 式 の とき は 証 明 さ れ た.

の微 分 形 式 ω=Pdu+Qdv+Rdw

の と きは φ*(dw)=φ*(dPΛdu+dQΛdv+dRΛdw) =d(φ*P)Λd(φ*u)+d(φ*Q)Λd(φ*v)+d(φ*R)Λd(φ*w) こ こ で 引 き 戻 しの 定 義 か ら,φ*(dPΛdu)=φ*(dP)Λφ*(du)が よ うな こ と を 用 い て い る.ま

たduに

対 し て は,関

数uの

次 の 場 合 の 結 果 を 適 用 し て い る.   一 方, d(φ*ω)=d(φ*PΛd(φ*u)+φ*QΛd(φ*v)+φ*RΛd(φ*w)) =d(φ*P)Λd(φ*u)+d(φ*Q)Λd(φ*v)+d(φ*R)Λd(φ*w)

成 り立 つ と い う 外 微 分 と 考 え て 上 の0

(第21講,外 る.)両

微 分 の 性 質(c),(d)参

式 を 見 比 べ て,こ

照.こ

こ で,d(d(φ*u))=0を

用 い てい

の場 合 も φ*(dω)=d(φ*ω)

が 成 り立 つ こ とが 示 され た. 注 意  ωが2次 の微 分 形 式 の とき には,dω は3次 の微 分形 式 とな り,こ の と きはφ*(dω) もdφ*ω も0と な る.そ の意 味 でや は り,命 題 で述 べ た 式 は成 り立 つ とい って よい.

Tea

Time

穴 の あ いた 領域 と穴 の あ い た曲 面   い ま までは,簡

単 のた め にR2の 有 界 な領 域 とい うとき には,穴

のあ い て い な

い 領 域 だけ を 図示 して きた.し か し,領域 とい うといつ も この よ うな も のだ け を考 え るの はや は り少 し視 野 を 狭 め るか も しれ ない. 実 際 は領 域 とい うとき には,図38で

示 した よ う

に,円 板 にい くつ か の穴 が あい た もの も考 え てい る.グ

リーン の公 式 の証 明を 読 み 直 して み る とわ

か る よ うに,こ の とき も,境 界 に適 当 な 向 きを つ け て お くと,グ リーン の公 式 は そ の ま ま の形 で 成 り立 つ.適

当 な 向 き とは,内

の で あ る.図38で

図38

部 を左 手 に 見 な が ら まわ る 向 きを正 の 向 き とす る

い うと,外 側 の周 を まわ る と きは時 計 の 針 と逆 まわ りで あ り,

内 側 の周 を まわ る と きは時 計 の針 と同 じ向 き に まわ る こ とに な ってい る.

図39

  図38の

よ うな 領 域 の 中 を パ ラ メ ー タ ー が 動 く と き,こ

て 表 示 さ れ る 曲 面 の 中 に は,図39で ま れ て くる こ と に な る.こ

示 さ れ る よ うな,ズ ボン の 形 を し た 曲 面 も 含

の よ う な と き,グ

ス トー ク ス の 定 理 を 成 り立 た せ る た め に は,胴 は 別 に と っ て お か な く て は な ら な い.こ の ま わ り方 と比 べ る の は,は を 指 定 す る に は,周

ち 上 げ た'形

の

ま わ り と裾 まわ りを 回 転 す る 向 き

の よ う な と き,ま

わ る 向 き を,時

計 の針

っ き り し な い こ と に な っ て し ま う.周 を まわ る 向 き

に と っ た 接 線 の方 向 が 右 手 系―

る と よ い.

リ ー ン の 公 式 を'も

に 沿 う外 向 き の 法 線 を 考 え て,こ

軸 の 正 の 方 向 と 考 え る―

の パ ラ メ ー ター に よ っ

法 線 の 向 き をx軸

と な る よ うに,周

の 法 線 と,周

の 正 の 方 向,接

の 向 き を 決 め る,と

を まわ る 向 き 線 の 向 き をy

い うい い 方 を す

第24講 ス トー ク ス の 定 理

テー マ ◆

ス トー クス の定 理

◆

曲面 の向 き

◆

ス ト ー ク ス の 定 理 の 証 明 の 筋 道―

引 き戻 し に よ っ て グ リー ン の 公

式 に帰 着 させ る ◆

ス ト ー クス の 定 理 の 証 明

◆(Tea

Time)記

号:div,rot,grad

境 界につ いて   R2の

有 界 な 閉 領 域D上

を パ ラ メー タ ー(x,y)が

動 く と き,こ

の パ ラメ ー タ

ーによって

u=u(x,y),v=v(x,y),w=w(x,y) と し て 表 示 さ れ るR3の をSと

曲面

す る.

  DとSの

境界 を 明示 す る

た め に,Dの は ∂D,ま

境 界 を これ か ら

たSの

境 界 は ∂Sと

表 わ す こ と に し よ う(第20 講,Tea ∂Dと

Time参

図40

照).

∂Sの 向 き は,∂Dと

と る も の と す る(前

講Tea

∂Sに 沿 う外 向 き の 法 線 を 第1座 Time参

照).

ス トー ク ス の 定 理 R3上 の1次 の微 分 形 式

標 とす る 右 手 系 を

ω=P(u,v,w)du+Q(u,v,w)dv+R(u,v,w)dw が 与 え ら れ た と す る.こ

の と き 次 の ス ト ー ク ス の 定 理 が 成 り 立 つ.

【ス トー ク ス の 定 理 】

(1)

外 微 分 と,面 積 分,線 積 分 の定 義 に した が って こ の等式 を か き表 わ す と

と な る.

は,パ

も っ と も面 積 分 と か い た が, 

ラ メ ー タ ー表 示 に よ る 積 分 の 意

味 で あ る.   こ の 意 味 は,分

点x0<x1…<xn,y0
u(xi,yi),vi=v(xi,yi),wi=w(xi,yi)を

の極 限 を 

対 応 し て,S上

の 点ui=

考 え,和

と お くの で あ る.線

積 分 

の意味 も

同 様 で あ る.

曲面 の 向 き

  こ の 面 積 分 の 定 義 は ご く 自然 に み え る が,よ unの 並 び 方 は,パ

ラ メ ー タ ー(x,y)に

る か に 従 属 し て い る か ら,ふ

u0u1>…>un;v0
ど の よ うに 変 化 し て い

つ うの 積 分 と 少 し 違 う こ と に 気 が つ く.実 際,あ

場合には

と な る が,あ

く見 る とu0,u1,…,un;v0,v1,…,

よ っ て(u,v)が

る

  上 の 場 合 が(極 ら,f(u,v,w)>0に

限 の 状 況 で も)起き 対 し て,面

る と き に は,(ui+1−ui)(vi+1−vi)>0だ

積 分 

の 値 は 正 と な るが,後

の ま わ りで,パ

ラ メー ターが

か

の 場 合 が起

き る と き は 負 と な る.   一 般 に,同

じ 曲 面S上

の1点

を み た す よ うに 与 え られ て い る と き と,J(uv/xy)<0を い る と き は,互

い に 逆 の 向 き に な っ て い る と い う.

 J(uv/xy)>0の 対 し て面

み た す よ うに 与 え ら れ て

向 き に パ ラ メ ー タ ーu,vが

積 分 

の 値 は 正 と な るが,逆

  こ の こ とは 直 観 的 に い う と,曲 と に な っ て い る.も

与 え ら れ て い る と き に は,f>0に 向き の と き は 負 と な る.

面 を 表 側 か ら 見 るか,裏

ち ろ ん こ の と き も,表

側 か ら見 る か と い う こ

か 裏 か とい う こ と は 相 対 的 な い い 方 に

す ぎ な い(図41).

図41

ス トー ク ス の 定 理 の 証 明 の 筋 道   ス トー ク ス の 定 理 は,ω に よ っ て 証 明 さ れ る.そ

をD上

に 引き 戻 し,グ

の 証 明 に 入 る た め に,前

リーン の 公 式 に 還 元 す る こ と 講 の よ うに,Sの

パ ラ メー タ ー

表 示 を 引 き 起 こ す 写 像 をφ で 表 わ す こ と に す る.

こ の と きφ(D)=Sと

な る が,以

もφ(D)の

上 で と っ て も,積

  まず,証

明 す べ き 式(1)の

下 で 積 分 を と る と き に は,φ(D)の

上 で と って

分 の 値 は 変 わ ら な い こ と を 注 意 して お こ う. 左辺を

と か き 直 し,(1)の

右辺 を

と か き 直 し て お く.   こ の か き 直 し に よ っ て,(1)は

(1)'

と な る.私

た ち は,(1)'の

  こ の と き(1)'の

形 で ス トー ク ス の 定 理 を 証 明 す る こ と に し よ う.

証 明 は,(1)'の

左 辺 と 右 辺 に 対 し て,そ

れ ぞれ 次 の 等 式が

成 り立 つ こ と を 示 す こ とに 帰 着 す る.

(2) (3)

実 際,こ

の2つ

の 式 が 示 さ れ れ ば,φ*(dω)=d(φ*ω)(前 (2)の

と な る.こ

講(6))に

よ り,

右辺

こに グ リー ンの公 式 を 用 い る と

の 右辺! と な る.し

た が って(2)=(3)と

か な らな い.こ

な り,こ

れ で ス トー ク ス の 定 理 が 証 明 さ れ た こ とに な る.

(2)の そ こで(2)の

に対 して

れ は 左 辺 の 方 で み る と(1)'に

証 明 と な る が,一

証明

般 にR3上

の2次

の 微分 形 式

ほ

(4) が 成 り立 つ こ とを 示 す と よい.特

に η=dω

とお く と(2)で

あ る.

 簡単のため

の と き を 考 え る.こ

の と き,前

講 の(2)に

よって

で あ る.   し た が っ て(4)を

示す に は

が 成 り立 つ か ど うか を み る と よ い.し

か し

に 注 意 す る と,こ

れ は 重 積 分 の 変 数 変 換 の 公 式 に ほ か な ら な い こ と が わ か る.し

た が っ て(4)が

成 り立 つ.

  な お,こ

こ で1つ

コ メン トを 述 べ る こ と が 必 要 とな る.ふ

変 換 で は ヤ コ ビ ア ン の 絶 対 値 を と っ て い る が,こ

つ うは 重 積 分 の 変 数

こで は ヤ コ ビ ア ン そ の も の が 右

辺 に現 わ れ てい る.こ れ は∬ ・dudvの 定 義 は,面 積 そ の も の で は な くて,面 積 に(曲 面 の 向 きに した が って)符 号 を つ け た もの にな って い るか らであ る. (3)の この とき も,1次

証明

の微 分形 式 の特 別 な場 合

に 対 して (5) が 成 り立 つ こ とを示 す と よい.す なわ ち

が 成 り立 つ こ とを示 せ ば よい が,こ れ は 左 辺 の線 積 分 の定 義 と

(xi<xi<xi+1,yi
注 意 す る と,記

が 成 り立 つ こ と か らわ か る.こ

れ で(3)が

号 的 に

成 り立 つ こ と が 示 され た.

  もっ とも こ こでJ(uv/xy)の

正 負の 符 号 と,周 の向 きにつ い て 触 れ てお か な い と,(4)

と(5)と

とき に もは た し て結 び つ くか ど うか とい うこ とが 問題 と な

が,J(uv/xy)<0の

るだ ろ う.こ こは 直観 的 な説 明 です ます こ とに し よ う.(x,y)が とき,Sが

表 側―J(uv/xy)>0―

ｖ,w)は,∂Sを

と して 表わ され て い る と き に は,パ ラ メー ター(u,

正 の 向 き に まわ る.ま た,Sが

て い る とき には,(u,v,w)は お け る符 号 と,線 積分(5)の

∂Dを 正 の向 きに ま わ る

裏 側―J(uv/xy)<0―

と して 表 わ され

∂Sを 負 の 向 き に まわ る.し た が って,面 積 を測 る(4)に 長 さを 測 る符 号 が一 致 して,(4)と(5)の

符 号 の 整 合性

が 得 られ る の であ る.

結   (2)と(3)が

論

成 り立 つ こ とが 示 され て,ス

トー クスの定 理 が 完全 に 証 明 さ

れ た.   読 者 は,こ の 証 明 の過程 の 中で,グ

リー ンの 公 式 の背 景 とな って いた2次 元 の

平 面 が揺 れ 動 き出 して,何 か も っ と 自由 な世 界 へ と数 学 が 胎動 しは じめ た こ とを 感 じ られ た ので は な いだ ろ うか.微 分形 式 とい う媒 介 を 通 して,数 学 の展 開す る 場 が,平 面 とい う束 縛 を脱 しつつ あ るの で あ る.

Tea

Time

ベ ク トル 解析 にお け る慣用 の記 号 伝 統 的 な ベ ク トル 解 析 で は,R3の

ベ ク トル 値 関 数

に対 し

と お く.div ク ト ルfの

fは,ベ

ク ト ルfの

回 転(rotationま

発 散(divergence)と

た はcurl)と

い う.ま

い う.rot

fをcurl

たrot fと

fは,ベ

か い てあ る本

も あ る.   記 号 と して の 意 味 しか な い が

とお く と,R3の

ベ ク トル の 外 積(第16講)の

定 義 に 見 な ら っ て,ま

っ た く形 式

的ではあるが

とか く こ と もあ る. rotfは,fの

成 分 を 用 い て 微 分 形 式fを

に よ って定 義 した と き

に 対 し て,dyΛdz,dzΛdx,dxΛdyの の こ とか ら,微

成 分 を 対 応 さ せ た も の に な っ て い る.こ

分形 式 の公 式 d(dω)=0

は,

div rot f=0

とか き表 わ され る こ とがわ か る.

ま た関数fに

と お き,こ

対 して

の ベ ク トル をfの

の 係 数 と な っ て い る.こ

勾 配 ベ ク トル(gradient)と

い う.grad

fの 成 分 は

の こ とか らまた

d(df)=0 は,

rot grad f=0 と か い て も,実

質 的 に は 同 じ こ と を い っ て い る こ と が わ か る.

  こ の よ う にR3に

お け る ベ ク トル 解 析 の 慣 用 の 記 号 を,微

い 解 釈 を し て お く こ と に よ り,ベ

ク トル 解 析 の 舞 台 を,R3か

広 げ る 道 が し だ い に 見 え て く る の で あ る.

分形 式 を通 して新 し ら一般 のRnへ

と

第25講 曲面上の局所座標 テー

マ

◆ パ ラ メ ー タ ーで表 わ され な い 曲面 ◆ 曲面― ◆R3の

紙 を貼 り合 わ せ る とい う イ メー ジ

曲面 の定 義

◆ 局所座標 ◆ 局 所 座 標 の変 換 ◆C∞-級 の 曲面

パ ラ メー タ ー で 表 わ され な い 曲 面   パ ラ メ ー タ ー で 表 わ さ れ る 曲 面 に 対 し て は,ス る.し

か し一 般 に は,曲

トー ク ス の 定 理 は 成 り立 っ て い

面 は パ ラメ ー ター表 示 に よって表 わ す こ とは で きな い の

で あ る.   た と え ば,図42で る.な

与 え た 曲 面 は,パ

ぜ か と い う と,図43右

か く と,C1とC2は1点 断 的 に 交 わ っ て い る.と

ラメ ー ター では表 わ せ な い例 を 与 え て い

の よ う に,こ

の 曲面 上 に2つ

で しか 交 わ っ て い な い.こ

こ ろ が 平 面 の 領 域 の 中 で は,2つ

1点 で しか 横 断 的 に 交 わ ら な い と い うこ と は,け が っ て,平

面 の 領 域 か ら こ の 曲 面 へ の1対1のC∞-級

図42

の1点

の 閉 曲 線C1とC2を で は 十 字 路 の よ うに 横 の 閉 曲 線 が こ の よ うに

っ し て 生 じ な い の で あ る.し の 写 像―

図43

た

パ ラ メ ー タ ー表

示 を 与 え る写像―

は,け っ し

て存 在 しな い.   また,境 界 を 全 然 もた な い 曲 面―

閉 曲面―

図44

も,パ ラ メー

ター 表 示 に よ っ て 表 わ す こ と は で き な い(図44).な 必 ず 境 界 を も ち,し

有 界 な領 域 は

た が っ て ま た パ ラ メ ー タ ー 表 示 さ れ る 曲 面 は,必

た な け れ ば な ら な い か ら で あ る(174頁

曲 面―

い 浮 か べ て い る が,数

ず境 界 を も

参 照).

紙 を 貼 り合 わ せ る と い う イ メ ー ジ

  私 た ち が 曲 面 と い う と き に は,漠

た 方 が よい.風

ぜ な ら,R2の

然 と 空 間 の 一 部 を 囲 ん で い る よ うな も の を 思

学 的 に 述 べ る た め に は,も

船 で も 浮 輪 で も,私

ば 複 雑 に 曲 が っ た り,よ

う少 し 正 確 な 描 像 を 捉 え て お い

た ち が 曲 面 と考 え る も の は,全

じ れ た り して い る け れ ど,小

は 平 面 の 一部 を 少 し 曲 げ た よ うな 形 に な っ て い る.実 り合 わ せ て い く こ と に よ り,い

体 と してみ れ

さ い 部 分 だ け 見 る と,そ 際,私

こ

た ち は 小 さ な紙 を貼

ろ い ろ な 形 の 曲面 を 作 り上 げ て い く こ と が で き

る.別

の い い 方 を す れ ば,ど

ん な 曲 面 が 与 え ら れ て も,私

た ち は,紙

をちぎっ

て,曲

面 の 上 に 次 々 と貼 っ て い くこ と に よ り,最 後 に は 曲 面 全 体 を 貼 り合 わ せ た

紙 で お お う こ と が で き る(図45).  '紙

を ち ぎ る'と

か い た と こ ろ を,R2の

た,ち

ぎ っ た 紙 を'曲

面 に 貼 る'と

有 界 な 領 域 を 考 え る と い い 直 す.ま

か い た と こ ろ を,こ

の パ ラ メ ー タ ー 表 示 を 与え る写 像 が あ る と い い 直 す.そ ら れ た 部 分 は,パ

の有 界 な 領域 か ら曲面 へ うす る と,1つ

の紙 が 貼

ラ メ ー タ ー の つ け られ た 曲 面 上 の 領 域 と い っ て よ く,曲 面 は,

この よ うな 領 域 が'貼

り合 わ さ っ て'で

き て い る と考 え て よ くな る.

図45

曲面を定義する試み   す ぐ上 で は,紙 の貼 られ た部 分 を,曲 面 上 の 領域 とい ったが,一 般的 な 観 点 に 立 て ば,こ

こは(紙 の 内部 にだ け 注 目 して)曲 面 上 の開集 合 とい った方 が よい.

 一般 に,R3の な 開 集 合Wを

部 分集 合Sが 与 え られ た とき,Sの

開集 合Uと

は,R3の

適当

とると U=S∩W

と表わ され る もの であ る.開 集合 とい う概 念 に あ ま り慣 れ てい な い読 者 は,図46で, 破 線 で 囲 まれ た よ うなSの 部 分 を,Sの

開

集 合 と考 え て お い て も,こ れ か らの議 論 に 特 に困 る こ とはな い.   私 た ち の望 む 曲面Sと ラ メ ー タ ー を も つ(周 うな も の で あ る.す

は,R3の

図46

中 で,パ

を 含 まな い)開 な わ ち,SはR3の

曲 面 が い くつ か 貼 り合 わ さ っ て 得 ら れ る よ 部 分 集 合 で あ っ て,有

限個 の パ ラ メー タ

ー の つ い た 曲 面(周 を 含 ま な い)が 貼 り合 わ さ れ て で き て い る よ うな も の で あ る. こ の と きS上 ら,外

で は,微

分 形 式 も'貼

り合 わ され',ま

微 分 も 定 義 さ れ そ うに 思 え て くる.パ

立 つ こ とは,こ

の よ うに し てS上

た 座 標 変 換 に よ る不 変 性 か

ラ メ ー タ ー の つ け られ た 曲面 で 成 り

で も成 り立 つ こ と が 予 想 さ れ る.そ

の予 想 が 正

し い こ と を 確 か め る 道 を これ か ら歩 ん で い く こ と に し よ う.

R3の 曲 面 の 定 義 【定 義 】R3の  Sの

部 分 集 合Sが

次 の 条 件 を み た す と き,SをR3の

適 当 な 有 限 個 の 開 集 合U1,U2,…,Usが

  (ⅰ)  S=U1∪U2∪

曲 面 と い う:

あ って

…∪Us

  (ⅱ)  各Uα(α=1,2,…,s)は,パ

ラ メ ー タ ー を もつ 開 曲 面 とな っ て い る.

  注 意  (ⅰ)の 条 件 は,有 限 個 と限 る必 要 は 特 にな い の だ が,簡 単 のた め,こ

こで はUα

は 有 限個 とし てお い た.   第23講

で 述 べ た パ ラ メ ー タ ー を も つ 曲面 の 定 義 を 参 照 して み る と,Uα

上 で,

Sは

次 の よ うな 状 況 とな っ て 表 わ さ れ て い る こ と が わ か る. φα:Dα→Uα

を パ ラ メ ー タ ー を 与 え る 写像 とす る.Dα 点(u,v,w)は,こ

は,R2の

領 域 で あ る.こ

の と きUα

の

の パ ラ メ ー ター写 像 に よって u=u(x,y),v=v(x,y),w=w(x,y)

と 表 わ さ れ る.u,v,wは

変 数(x,y)に

つ い てC∞-級

の 関 数 で あ る.

  パ ラ メー タ ー写 像 に関 す る 条 件―

ヤ コビ ア ン は 各

点 で 階 数 が2(第23講 ―

か ら,実

参 照)

は 次 の ことが

成 り立 っ て い る.   (〓)Uの

点Pを

Pの 近 くで は,次

と る と, の3つ

場 合 の 少 な く と も1つ

の

が起 図47

き て い る(図47). Pの 近 くのUの

点 は

  (ⅰ)  w=w(u,v)と

表 わ さ れ る.

  (ⅱ)  v=v(u,w)と

表 わ さ れ る.

  (ⅲ)  u=u(v,w)と

表 わ さ れ る.

こ こ で,右 辺 に現 わ れ た 関数 は,そ れ ぞ れ の変 数 につ い て,C∞-級 の関 数 で あ る.   た とえ ば(ⅰ)が

成 り立 つ の は

の ときで あ る.   この結 果 か ら,Sは,局

所 的 に は,適 当 な 座標 平 面 か ら測 った高 さの 関数 と し

て表 わ され,こ の高 さは滑 らか に変 化 す る よ うにな って い る こ とが わ か る.

局 所座標 各Uα が パ ラ メ ー タ ー 表 示

を も つ とい う こ と を,も

う少 し 別 の 角 度 か ら み て み よ う.Uα

(xα,yα)のφα に よ る 像 と な っ て い る(図48).す '映写 機'に

よ

っ て,R2の

領 域Dα が 曲 面S上

の 点 は,Dα

の点

な わ ちUα の 点 は,φα と い う に そ っ く り映 し 出 さ れ た と 考 え る.

図48   そ の 意 味 で は,Dα

上 の 点 を 表 わ すR2の

座 標(xα,yα)は,そ

てUα 上 の 座 標 を 与 え て い る と考 え て も よ い.こ (xα,yα)は,パ

ラ メ ー タ ー で あ る と い う よ りは,Uα

の ま まφα を 通 し

の よ うな 見 方 を し て み る と, 上 の1つ

の 座 標 で あ る とい

う考 え 方 を と った 方 が は っ き り し て く る.   こ の よ うに,(xα,yα)にUα

を 考え て,こ

上 の 座 標 の 意 味 を も た す と き に は,φα の 逆 写 像

の 写 像 に よ っ て,Uα

と し て 局 所 座 標(xα,yα)が

の 点Pに

導 入 さ れ た と 考 え る の が ふ つ うで あ る(図49).

図49

  そ し て,こ

の よ うに し てUα 上 に 導 入 さ れ た 局 所 座 標 を ψαと 対 と して 考 え る

こ と に し て,{Uα,ψα}と   ま たSを

記 す.ψα を 局 所 座 標 写 像 と い う.

お お う局 所 座 標 全 体{Uα,ψα}(α=1,2,…,s)を,Sの1つ

の局 所 座

標 系 と い う.

1つ の 注 意 Sが 境 界 の な い 球 面 や,ド

ー ナ ツ面 の と き に は,い

ま の 定 義 で よ い の だ が,実

際 は 図42で 表わ した 曲 面 の よ う に 境 界が あ る と きに は,境 界 の と ころ で は,局 所 座標 の 写像 は,Dα で 定 義 され てい る だ け で は な く て,Dα

の境 界 の 一部 で も定義 さ

れ て い る 必 要 が あ る(図50).し 細 か くな る の で,読

図50

か し こ の よ うな 点 に 立 ち 入 る と,議

論が あ ま り

者 に は そ の よ うな 場 合 も考 慮 す べき だ と い うこ と を,留

て も ら う こ とに し て,上

意 し

の よ うな 設 定 で 話 を 進 め て い く.

局所座標の変換   Sの 局 所 座 標 系 を 与 え るSの

開 集 合U1,U2,…,Usは

い まUα ∩Uβ ≠ φ とす る と,Uα

∩Uβ に 属 す る 点Pは,2つ

を も つ こ と に な る.図

こ の とき,→ →

一 般 に は 重 な っ て い る. の局 所座 標

式 化 して か くと

で表 わ され る写 像 を,局 所 座 標 の変換則 とい う.写 像 の形 で この

の部 分 を 正 確 に か くと,ψαの逆 写 像 と ψβの合 成 写 像 と して

と表 わ され る.実 際

で あ る.   局 所 座 標 の 変 換 則 に よ っ て,xβ,yβ は,(xα,yα)の

関 数 と し て 表 わ され る.

xβ=xβ(xα,yα),yβ=yβ(xα,yα)    私 た ち が い ま 考 え て い る 場 合 は,P∈Uα

(1)

∩Uβ に 対 し て(1)はC∞-級

の 関数

と な っ て い る.   これ は(〓)の 結 果 な の で あ る.い ま点Pの

まわ りでSがw=w(u,v)と

表わ され てい

る と し よ う.こ の とき対応 (xα,yα)←→(u,v),(xβ,yβ)←

→(u,v)

は,C∞-級 の対 応 とな っ て,し た が っ て また (xα,yα)→(u,v)→(xβ,yβ) がC∞-級 の 対応 とな る.こ の こ とか ら(1)が,C∞-級

の関 数 とな る こ とが 結論 され る.

  局 所 座 標 の 変 換 則 がC∞-級 の 関 数 で 与 え ら れ て い る とい う意 味 で,SはC∞-級 の 曲 面 で あ る.

Tea

Time

曲面 の形  図51で 示 した よ うに,曲 面 を 少 しず つ 引 き 伸 ば した り曲げ た りして い くと, は じめ の形 か らは予 想 も つ か な い よ うな形 を した 曲面 が 生 まれ て くる.座 標 平 面上 で解 析学― 分 ・積分―

微

を展 開す る

と きに は,座 標平 面 が変 化 して い くこ とな ど考 え る こ ともな か った が,曲 面 上 で は状況 が 変わ って き て,い ろ い ろに変 化 し

図51

得 る 曲面 の形 を どの よ うに 考え るか が問 題 とな る.幾 何学 の一 分 野 で あ る微 分 幾 何 学 で は,曲 面 の形 そ の ものを 問 題 とす るが,曲 面 上 で解 析 学 を 展 開す る と きに は,基 本 的 な立 場 で は,形 に は よ らな い で 図51で 示 したす べ て の 曲 面 に共 通 に成

り立つ よ うな結 果 を 数 学 的 に まず 定式 化 し よ うとす る.   図51の よ うに,曲

面 の形 が どん どん 変 化 して い くのを 見 て い る と,こ の よ う

な 立場 は 容 認 しに くい よ うな気 分 に な るか も しれ な い.し か し,た とえば,平 面 上 で解 析 学 を展 開 す る と き,平 面 が 少 し くらい 曲が って い て も,同 じ形 で 解析 学 が成 り立 つ だ ろ うと私 た ち は思 って い る.そ れ は頭 の 中 で,標 準 的 な座 標 平 面 を 思 い浮 か べ て,曲 が った 平面 も この座 標 平 面へ 移 して考 え て い るか らであ る.曲 面 の場 合 で も,少 し変 え て も同様 な こ とが 成 り立 つ だ ろ うと思 うの は,標 準 的 な あ る形 へ と移 して 考 え て い るか らだ ろ う.少 しず つ,少

しず つ 変 え て も,同 様 の

こ とが成 り立 つだ ろ うと思 ってい る と,結 局,図51の

曲面 すべ て に共 通 に成 り

立 つ よ うな理 論が あ って も よいだ ろ うと思 われ て くる.こ の よ うな観 点 を支 え る もの と して,座 標 変 換 で不 変 で あ る よ うな 性 質が 浮 か び上 が って くる ので あ る.

第26講 曲面上の微分形式 テー マ

◆ 曲面 上 のC∞-級 関 数 ◆ 余 接空 間 ◆ 曲面 上 の1次 の微 分形 式 ◆ 曲面上 の2次 の 微分 形 式 ◆ 外 微分 ◆ ス トー クスの 定理 ◆(Tea

Time)ク

ラ インの壼

曲 面 上 のC∞-級 関数 曲 面S上

の 点Pは,P∈Uα

の と き局所 座 標 に よっ て

と表 わ され る.し た が って 曲面S上

で 定 義 され た 連 続 関数f(P)は

f(P)=f(xα,yα) 

(Uα上 で) 

(1)

と表わ す ことが で きる.こ の関 係 式 は正 確 に か くと

で あ る.し   各Uα S上

か し,(1)の

上 で(1)の

のC∞-級

よ うに か い て お い た 方 が ず っ とわ か りや す い. 右 辺 が(xα,yα)の

の 関 数 の と き,fを

の 関 数 と い う.

  こ の よ うな 定 義 が 可 能 な の は,SがC∞-級 級―

関 数 と し てC∞-級

の 曲 面―

局 所 座 標 の 変 換 則 がC∞-

で あ る と い う事 情 が 効 い て い る.

  な ぜ な ら,P∈Uα

∩Uβ の と き,fはUα

る か に よ っ て,2通

りの 表 現

の 座 標 を 用 い るか,Uβ

の座 標 を 用 い

を も つ.こ

の と き,f(xα,yα)はC∞-級

状 況 が 起 き て は 困 る の で あ る.関

な の に,f(xβ,yβ)はC∞-級

数fがC∞-級

で ない とい う

で あ る と い う 性 質 は,fがS上

で と る 値 だ け で 決 ま る性 質 で あ っ て ほ し い の で,座

標 の と り方 に は よ ら な い こ と

が 望 ま れ る!実

の 保 証 を 与 え る の が,曲

際 は こ の よ うな 状 況 は 起 き な い.そ

面が

C∞-級 で あ る と い う性 質 で あ る.   この ことを示 す には

と正 確 に表 わ し て おい た 方が よい.こ の とき

と な る が,右

辺 で ψαoψ β−1は局 所 座 標 の 変 換 則 でC∞-級,し

らば,foψβ−1もC∞-級

た が っ て,foψα−1がC∞-級

な

と な る.

余接 空 間   R2上

に 微 分 形 式 を 定 義 す る と き に は,ま ず ベ ク トル 空 間V2に

ル 値 関 数 を1次

の 微 分 形 式,Λ2(V2)に

値 を もつ ベ ク ト

値 を も つ ベ ク トル 値 関 数 を2次

の微 分 形

式 と よ ん だ の で あ った.   ベ ク トル 空 間V2で っ て い た.R2の が,別

のuv-座

は,R2の

座 標 の と り方 に し た が っ て 基 底 の と り方 が 決 ま

標 準 的 な 座 標 に 対 し て は,V2は 標 に 対 し て は,基

底{du,dv}を

基 底{dx,dy}を も っ て い た.そ

も ってい た し て これ らの 基

底 の 間 の変 換 則は

(2) で 与 え られ て い た.   曲面S上

に微 分 形 式 を導 入す るた め に,V2に

して,2次

元 の ベ ク トル空 間

代 って,今 度 はSの 各 点Pに

対

T*(S)P が 与 え ら れ て い る と考 え る.   T*(S)Pの

ベ ク トル 空 間 の 構 造―

加 法 と ス カ ラ ー 積―

は,点Pで

決 ま る が,

基 底 の と り方 は,Pの

ま わ りの 局 所 座 標 の と り方 に よ っ て 決 ま る と考 え る.

  点Pの

所 座 標{Uα,ψα}を

ま わ り に,局

と り,し

た が っ てPの

まわ りの局 所

図52 座 標 は(xα,yα)で

与 え ら れ る と き,T*(S)Pの

基底 は

(3) で 与 え ら れ る とす る.   い ま,同

じ 点PはUβ

に も属 して い る と す る.点Pの

て{Uβ,ψ β}を と る と,そ

れ に し た が っ て,T*(S)Pの

ま わ りの 局 所 座 標 と し 基底は

(4) を と る も の とす る(図52).   し た が っ て,Pの

まわ りの 局 所 座 標{Uα,ψα}を

属 す る ベ ク トル は,た

だ1通

りに,基

底{dxα,dyα}に

と っ た と き に は,  T*(S)Pに よって

と 表 わ さ れ る の で あ る.   P∈Uα ∩Uβ の と き,P∈Uα T*(S)Pに

は2つ

と(4)の

間 の 変 換 則 は,(2)と

わ ち,Uα

と 考 え る か,P∈Uβ

の 基 底(3)と(4)が

と考え る か に し た が っ て,

入 る こ と に な る.こ

の2つ

の 基 底(3)

同 様 の 形 で 与 え て お く こ と が 望 ま し い.す

上 の 局 所 座 標(xα,yα)とUβ

上 の 局 所 座 標(xβ,yβ)の

な

間 の変換 則 を

と表 わ す とき,基 底 変 換 の変 換 則 は

(5)

で 与 え られ る と す る の で あ る.   この よ うに し て 定 義 さ れ た,Sの を,点Pに

お け るSの

  ま たT*(S)Pに

各 点Pに

付 随 し て い る ベ ク トル 空 間T*(S)P

余 接 空 間 と い う.

属 す るベ ク トル を,点Pに

お け るSの

  記 号 が 新 し くな っ た が,T*(S)Pは,点Pに と考え て も よ い の で あ る.Pの

ベ ク トル 空 間V2が

付随 してい る

近 くで の 局 所 座 標 の と り方 が,同 時 にT*(S)Pの

基 底 を 指 定 す る と い う考 え は,V2の だ け 考 え て い る 限 りで は,基

余 接 ベ ク トル と い う.

場 合 と 同 様 で あ り,ま

底 変 換 の 関 係(5)も,V2の

たPの

ま わ りの 状 態

場 合 と 同 じで あ る.

S上 の1次 の 微 分 形 式 Sの 各 点Pに

対 し て,T*(S)Pに

属 す る 余 接 ベ ク トル を 対 応 さ せ る 対 応 ω(P)

が 与 え られ た と す る(図53).   P∈Uα

とす る と,Uα

よ っ てT*(S)Pの

上 の 局 所 座 標(xα,yα)に

基 底{dxα,dyα}が

決 ま る か ら,

  ω(P)=fα(xα,yα)dxα+gα(xα,yα)dyα(6) と表 わ さ れ る. 【定 義 】 ω を,各Uα た とす る.こ

上 で(6)の

の と き,fα,gα

関 数 と な る と き,ω をS上

よ うに 表 わ し

がUα 上 でC∞-級

の1次

の

の 微 分形 式 とい

図53

う. 第23講

と の 関 連 で 述 べ る と,私

た ち は,S上

の1次

タ ー空 間 へ 引 き 戻 し た 形 で 定 義 した こ とに な っ て い る.

の 微 分 形 式 を,パ

ラ メー

S上 の2次 の 微 分 形 式   同 様 に し て,S上 は,各

点Pに

の2次

の 微 分 形 式 を 考 え る こ と が で き る.2次

対 し て,Λ2T*(S)Pの

の 微 分形 式 と

ベ ク トル を 対 応 さ せ る対 応 ω で あ っ て,各

Ｕα上 で

と表 わ す と,hα

が,(xα,yα)に

つ い てC∞-級

の 関 数 と な っ て い る よ うな も の で

あ る.

外 S上 のC∞-級 の 関数f(P)が

微

分

与 え られ た と き,各Uα

上 でfの 外微 分

(7) を 考 え る こ とが で き る.第19講 ら,P∈Uα

で 示 し た よ うに,外

微 分 は 座 標 変 換 で不 変 だ か

∩Uβ の と き

が 成 り立 つ.   この こ と は,df(P)の

定 義 は, Pの

ま わ りの 局 所 座 標 の と り方 に よ らず

df(P)∈T*(S)P と な っ て い る こ と を 示 す.ま はC∞-級

た(7)の

の 関 数 だ か ら,dfはS上

の1次

右 辺 で,dxα,dyα

微 分 形 式 と な っ て い る.

dfを,fの

外 微 分 と い う.

S上 の1次

の 微 分 形 式 ωが 与 え られ た と き,同

こ とが で き る.す

な わ ち,Uα

の 係数

様 に ω の 外 微 分dω を 定 義 す る

上で

と表わ す と き

と お く.こ Λ2T*(S)Pと

の 式 の 右 辺 が,Pの

まわ りの 局 所 座 標 の と り方 に よ らず に, dω(P)∈

な っ て い る こ と は,外

微 分 の 座 標 変 換 に よ る 不 変 性 か らわ か る.

ス トー ク ス の 定 理  

Uα ∩Uβ ≠φ の と き,点P∈Uα

が 成 り立 つ と き,Sは

∩Uβ で つ ね に

向 き づ け られ た 曲面 で あ る と い う.

  S上 の 微 分 形 式 の 定 義 は 確 定 し た の だ か ら,第24講 理 は,任

意 の 向 き づ け られ た 曲 面 上 で も成 り立 ち そ うで あ る.実

正 し い の だ が,そ は,ス

で 述べ た ス トー クスの 定

の 証 明 に は こ こ で は立 ち 入 らな い(向

際,こ

の予 想 は

きづ け を 仮 定 し て い るの

トー ク ス の 定 理 の 積 分 に 現 わ れ る 符 号 の 整 合 性 を 保 証 す る た め で あ る).

パ ラ メ ー タ ー の つ い た 曲 面 に 対 し て は成 り立 っ た 第24講

の 結 果 を,あ

る 意 味 で,

つ な ぎ 合 わ し て い く と よ い の で あ る.   特 に,球

面 や ド ー ナ ツ面 の よ うにSの

の と き に は,ス

境 界 が な い と き に は,す

な わ ち ∂S=φ

トー ク ス の 定 理 は 簡 単 に 次 の よ うな 形 に な る.

Sが 境 界 の な い 向 きづ け られ た 曲面 の と き,任 意 の1次 の微 分 形 ωに対 して

が 成 り立 つ.

Tea

Time

ク ラ インの 壺   ク ラ イ ン の 壺 とい う と,何

か ア ラ ビ ア ン ・ナ イ トに で もで て く る よ うな 不 思 議

な 壺 の こ と を 思 っ て し ま う.実 際,こ の 壺 は 不 思 議 な 壺 な の で あ る.し か し, 'ク ラ イ ン'は この 壺 で 一 攫 千 金 の 金 持 ち に な った ア ラ ビア の 商 人 の 名 前 で は な くて,19世

紀 後 半 か ら20世

紀 に か け て 活 躍 した 高 名 な ドイ ツ の 数 学 者 の 名 前 で

(a)

(b) 図54

あ る.   長 方 形ABCDを

図54の(a)の

と な る が,(b)の っ て し ま っ て,ふ

よ うに 矢 印 に 沿 っ て 貼 り合 わ す と ドー ナ ツ 面

よ うに 矢 印 に 沿 っ て 貼 り合 わ そ う と す る と,ど つ うの よ うな 曲 面 に な ら な い の で あ る.こ

い て い く様 子 を 想 像 す る と,こ

の 曲面 の上 を虫 が 歩

の 虫 は 表 を 歩 い て い る つ も りが,歩

つ の 間 に か 裏 側 に まわ っ て し ま う こ と に な る.こ で あ る.ク

た が って また一 定 した 向 きを

曲 面 全 体 に 指 定 で き な い 壺 で あ る.ク

ラ イ ン の 壺 を,R3の

っ て も,必

ず 交 わ っ て し ま うか ら,前

講 と こ の 講 で 述 べ たR3の

い な い.し

か しR4の

中 で は 交 わ らず に(想

の 部 分 集 合 と か き 直 す と,R4の 味 でR4の

中 で 実 現 し よ うと 思

像 し に くい が)ふ

講 の 曲 面 の 定 義 で,R3の

中 の 曲 面 と な っ て い る の で あ る.も

曲面 とは な って つ うの 曲 面 の 形 と

部 分 集 合 とか い た と こ ろ を,R4

曲 面 の 定 義 が 得 ら れ る.ク

微 分 形 式 や 外 微 分 な ど を 考え る こ とが で き る.

き続 け る と い

の 曲 面 を ク ラ イ ン の 壺 と い うの

ラ イ ンの 壺 は 表 と裏 の 区 別 が つ か ず,し

な っ て 実 現 さ れ る.前

うして も交 わ

ち ろ ん,ク

ラ イン の壺 は そ の意 ラ イ ン の 壺 の 上 で も,

第27講 多様体の定義 テーマ

◆ 再 び抽象的設定へ ◆ 位相多様体 ◆ 局所座標 ◆ 局所座標の変換則 ◆C∞-級 の多様体(滑 らかな多様体) ◆ 多様体上のC∞-級関数

は じめ に   この30講

も,あ

と4講 を残 す だけ とな った.振

り返 ってみ る と,こ の講 義 の

前 半 は,抽 象 的 なn次 元 ベ ク トル空 間 か ら ス ター トして,テ ン ソル代 数,外 積 代 数 を構 成 す る道 を歩 ん で き た.こ の外 積 代 数 の概 念 は,後 半 に な っ て,グ の公 式,ガ

ウス の定 理,ス

リー ン

トー クス の定 理 な どを微 分形 式 に よ って表 現 す る手 段

を 与 え た.こ の表 現 に よっ て克 ち とった 最 も重 要 な こ とは,こ れ らの公式 や 定 理 が,座 標 変 換 で 不 変 で あ る とい う解 釈 を付 す こ とが で き る よ うに な った ことで あ る.   しか し,外 積 代数 の方 は,n次

元 ベ ク トル空 間 の上 に構成 され てい た のに,微

分形 式 の方 は,ま だ2次 元,3次

元 の場 合 しか導 入 して い な い.対 応 して,n次

元 の場 合 に,微 分 形 式 の理 論 を 展 開す る ため に は,い わ ば'n次

元 の 曲面'と い

っ た概 念 が まず必 要 とな る.   'n次 元 の 曲面'は,現 れ て,n次

代数 学 の中 で は,ま

った く抽 象的 な枠 組 の 中 で捉 え ら

元 の多 様 体 として 導 入 され て い る.

  これ か らは,前 半 の抽 象 的 な ベ ク トル空 間 の議 論 の進 め 方 に対 応 す る形 で,抽 象 的 な設 定 の中 で,多 様 体 の概 念 と,そ の上 の 微 分形 式 の こ とにつ い て述 べ る こ

とに し よ う.読 者 は,と ころ どころ で,曲 面 概 念 の ときに 見 た と同 じ よ うな 景 色 を,少 し高 度 の上 が った 山道 か ら見下 ろす よ うな 感 じを もた れ るか も しれ な い.

位相多様体   多 様 体 の 概 念 を 導 入 す る と き,R3の る.私

た ち は,背

っ た 考 え 方 で,多

景 と な るR3を

曲 面 は ま ず 点 の 集 ま り―

か,曲

面 だ け を,い

わ ば裸 で と り出す とい

様 体 を 定 義 した い.

  曲 面 そ の も の だ け を 見 て,そ

位 相―

曲面 の概 念 と多 少異 な る視点 か ら 出 発す

捨 て て,曲

こか ら 何 か 抽 象 的 な 概 念 を 抽 出 し よ う と す る と,

集合―

で あ っ て,ま

が 入 っ て い る と み る こ と が で き る.す

た この 集合 には 近 さの概 念―

な わ ち 曲 面 上 で は,1点

の 近傍 と

面 上 の 点 列 が 曲 面 上 の あ る 点 に 近 づ くな ど とい う こ と を 考 え る こ と が で き

る.   こ の2つ

の性 質―

点 の 集 ま り と近 さ

位 相 空 間 と い う概 念 が あ る.位 念 を 投 入 し な が ら,'近

さ'の

相 空 間 とは,開

集 合,閉

合)し 集 合,近

た もの と し て, 傍 な ど と い う概

性 質 を 付 与 し た 集 合 の こ と で あ る.位

う言 葉 に 慣 れ て お られ な い 読 者 は,以 ユ ー ク リ ッ ド空 間RNの

―を 抽 象 化(総

下 で 位 相 空 間 と い う と き,十

相 空 間 とい 分 高 い 次元 の

中 の 部 分 集 合 の こ と だ と 読 み 直 して 読 ん で い た だ い て も

差 し つ か え な い.   ベ ク トル 空 間 の 概 念 が'集 相 空 間'と

合'の

上 に 建 設 さ れ た よ うに,多

様 体 の 概 念 は'位

い う土 台 の 上 に つ くら れ て い く.

  も う1つ ハ ウス ドル フ空 間 の こ とだけ述 べ て お こ う.位 相 空 間Xが,ハ で あ る とは,任

意 の異 な る2点p,qに

対 し,pの

V(q)=φ

を み たす もの が存 在 す る こ とであ る.

【定 義 】

ハ ウ ス ドル フ 位 相 空 間Mが,次

近 傍V(p),qの

の 性 質(C)を

ウス ドル フ空 間

近傍V(q)でV(p)∩

も つ 開 集 合Uα の 集 ま り

{Uα}α∈Aに よ っ て

とお おわ れ て い る と き,Mをn次 (C)  Uαか らRnの

元位 相 多 様体 とい う:

開集 合 の上 へ の位 相 同型 写 像 ψαが 存 在 す る.

  多 様 体 の 点 は,こ

れ か らx,y,…

の よ うに 表 わ す こ とに し よ う.

  Uα と ψαを 対 に して,{Uα,ψ

α}を 局 所 座 標 と い い,こ

をMの

に 属 す る 点xは,ψ

局 所 座 標 系 とい う.Uα

れ ら の 全 体{Uα,ψ α}α ∈A

αに よ っ て

(1) と 表 わ さ れ る.(xα1,xα2,…,xαn)をUα 漂 近 傍 とい う.ま

た(1)を

上 のxの

局 所 座 標 と い い,Uα

を 局 所座

簡単に

と表 わ す.

局所座標の変換   Mの

点xがUα

に もUβ に も属 して い る とす る(図55).こ

の と き,x∈Uα

と

考 え る と局 所座 標 は

と な り,x∈Uβ

と な る.こ

と考 え る と局 所 座 標 は

の とき写 像

(2) を局 所 座標 の変 換 則 とい う.   局 所座 標 の変 換 則 は,抽 象 的 な位 相 空 間 か ら抽 象的 な 位 相空 間へ の写 像 で は な くて,Rnの

開集 合 か らRnの

開

集合 へ の写 像

図55

と な っ て い る こ とを 注 意 し よ う.

C∞-級 の 多様 体   局 所 座 標 の 変 換 則(2)は,Uα (xα1,xα2,…,xαn)の

∩Uβ 上 で は,xβ1,xβ2,…,xβnがn個

関 数 と し て 表 わ さ れ る こ と を 示 し て い る:

の 変 数

これ ら の 関 数 が,ψ α(Uα∩Uβ)上 な っ て い る と き,局

で,(xα1,xα2,…,xαn)に

所 座 標 の変 換 則 はC∞-級

【定 義 】 局 所 座 標 の 変 換 則 がC∞-級

関 し てC∞-級

の 関数 と

で あ る と い う.

で あ る よ うな 位 相 多 様 体 を,C∞-級

の多 様 体

ま た は 滑 らか な 多 様 体 と い う.   これ か らは,C∞-級

の 多 様 体 の こ と を,単

C∞-級

  Mをn次

元 の 多 様 体 と す る.M上

と お く こ と に よ り,Rnの 【定 義 】

の 関数

の 連 続 関 数f(x)に

のC∞-級

  こ の 定 義 が,局 換 則 がC∞-級

対 し て,各Uα

上 で

開 集 合 ψα(Uα)上 で 定 義 さ れ た 連 続 関 数 が 得 ら れ る.

各 α に 対 し て,f(xα1,xα2,…,xαn)が

と き,fをM上

数'を

に 多 様 体 と い う こ と に す る.

ψα(Uα)上 でC∞-級

の 関 数 とな る

関 数 と い う.

所 座 標 系 の と り方 に よ ら な い 整 合 性 を も つ の は,局

だ か らで あ る(こ

の こ と に つ い て は,前

講 の'曲

所座標の変

面 上 のC∞-級

関

参 照).

コ メ ン ト(Ⅰ)

  抽 象 的 な 設 定 とい っ て も,や

は り い ろ い ろ な 配 慮 は 必 要 で あ る.曲

考 え て み よ う.与 え られ た 曲 面 に,座 も,紙

標 近 傍 に相 当 す る紙 を 貼 る と 考 え て み て

の貼 り方 に は い ろ い ろ あ っ て,大

る し,小

さ くき れ い に 整 え た 紙 を,重

面 の 場合 を

き な 紙 を 無 雑 作 に 貼 りつ け て い く人 も い な り 目 が な る べ く目 立 た な い よ うに 丹 念 に

貼 る 人 も い る.   こ の こ とを 考 え て み る と,多 と し て,1つ で,窮

だ け 決 め て お く と い う こ とは,紙

屈 す ぎ る よ うで あ る.多

と っ て,M=∪Vλ

様 体 の 定 義 で,M上

α}α ∈A

の 貼 り方 ま で 指 定 し て し ま う よ う

様 体 の 定 義 で は,別

と表 わ して も よ い,と

の 局 所 座 標 系 を{Uα,ψ

の 局 所 座 標 系{Vλ,ψ λ}λ ∈Λを

し て お い た 方 が よい.

  し か し,曲

面 の と き と違 うの は,Mは

の 局 所 座 標 系{Uα,ψ α}α ∈Aと,{Vλ,ψ ―C∞-級

の構造 ―

の た め,Uα

ま っ た く抽 象 的 な 対 象 な の だ か ら,2つ λ}λ ∈Λ とが,ど

を 与え る か を,は

∩Vλ ≠ φ の と き,x∈Uα

の よ うな と き,Mに

同 じ属 性

っ き り さ せ て お か な くて は な ら な い.そ

∩Vλ に 対 し て

と お き,局 所 座標 の変 換

が 互 い にC∞-級 の と き に,2つ

の 局 所 座 標 系{Uα,ψ α}α ∈Λ と{Vλ,ψ λ}λ ∈Λは 同 値 で

あ る と い う.   そ し てC∞-級 も,変 M上

の 多 様 体Mの

構 造 と い う の は,同

値 な 局 所 座 標 の どれ を と っ て

わ らな い よ うな 性 質 と し て 与 え られ て い る と考 え る の で あ る.た の あ る 関 数 がC∞-級

の 関 数 で あ る とい う性 質 は 同 値 な,ど

と え ば,

の局 所座 標 系 を と

っ て も変 わ らな い 性 質 で あ る.

コ メ ン ト(Ⅱ)   多 様 体M上

にC∞-級

存 在 し な くて は,何

の 関 数 を 定 義 し て も,C∞-級

構造―

  実 際,多

る基 本 的 な概 念 を 最初 に導 入 し,そ

を 積 み重 ね てい く.し か し,あ

れ は空 し い概 念 とな る こ と もあ る.た (x,y)を 半 径−1の

に'た

く さ ん'

を 考 え て い る の か は っ き り し な くな る だ ろ う.

  数学 を 抽 象 的 に構 成す る とき には,あ 概念―

の 関 数 がM上

の上に層 々と

る場 合 に よっ ては 概 念 を導 入 して も,そ

とえ ば 実数 とい う 概 念 の 上 に,x2+y2=−1と

なる

円 とい うとい っ て も,空 し い概 念 に な って しま うだ ろ う.

様 体 に 何 の 条 件 も つ け な け れ ば,た

て 進 ん で い く よ うなC∞-級

関 数(波

と え ばM上

に どこ まで も波 打 っ

の 高 さ を 示 す 関 数!)が

存 在 す る と い う保 証

は 得 られ な い.   こ の た め に は,多

様 体 の定 義 で

[可 算 性 の 条 件]  Mは

高 々可 算 個 の 局 所 座 標 近 傍U1,U2,…,Un,…

で お お え る.

を つ け 加 え る と よ い.   こ の 条 件 を つ け 加 え る と,多 ん 存 在 す る よ う に な る.私

様 体 は 急 に 活 き 活 き と してC∞-級

た ち は,n変

数 の 関 数 と し てRn上

関 数 は た くさ

で 出会 うよ うな

C∞-関 数 に 対 す る イ メ ー ジ を,M上   これ か ら考 え る 多 様 体 は,い

で も も っ て も よ い よ うに な る.

つ も この 可 算 性 の 条 件 を み た し て い る とす る.

Tea

Time

多様体の例   多 様 体 と な る よ うな 数 学 的 な 対 象 は 実 に た く さ ん あ る.R3の ろ ん 多 様 体 だ が,n次 様 体 で あ る.ま

たRnの

原 点 を 通 るr次

元(1≦r
を もつ ベ ク トル 空 間Vが 体 を つ く る.行

中 の曲 面は もち

元 の球 面{(x1,x2,…,xn+1)￨x12+x22+…+xn+12=1}も

多

原 点 を 通 る 直 線 全 体 の 集 合 に も 多 様 体 の 構 造 が 入 る し, 平 面 全 体 の 集 合 に も 多 様 体 の 構 造 が 入 る.計

与 え られ た と き,Vの

列 を 知 っ て い る 読 者 に は,直

量

正 規 直 交基 底 全 体 の集 合 も 多様 交 行 列 の 全 体 も,ユ

ニ タ リ行 列 の 全

体 も 多 様 体 の 構 造 を もつ こ と を 述 べ て お こ う.

質 問   僕 は ま だ 抽 象 的 な 概 念 に慣 れ て い な い もの で す か ら,こ も,抽

こで の多様 体 の 話

象 的 な ベ ク トル 空 間 の 話 を 思 い 出 し な が ら 聞 い て い ま し た.そ

の で す が,抽

象 的 な ベ ク トル空 間 とい っ て も,基

トル 空 間Rnと ょ うか.つ

し て 実 現 さ れ ま した.同

ま り,抽

底 を1つ

と る と,具

こで思 った 象的 な ベ ク

じ よ うな こ と は 多 様 体 で も起 き る の で し

象 的 な 多 様 体 も,何

か あ る 具 体 的 な もの に よ っ て 実 現 さ れ る

と い う よ う な こ と が あ る の で し ょ うか. 答  ま った く一 般 的 な 多 様 体 で は,抽

象 性 と 具 象 性 を 結 ぶ 道 は な い よ うで あ る.

し か し,可

元 の 多 様 体 は,必

算 性 の 条 件 を お く と,n次

リ ッ ド空 間RNの る.'n次

中 に あ る,n次

元 の 曲 面'と

元 の 曲 面 と し て,実

ず あ る高 い 次元 の ユ ー ク

現 され る こ とが知 られ てい

い うい い 方 は は っ き り し な い が,要

す る にRNの

中 で,

局 所的 には

の よ うな 形 で 表 わ さ れ る集 合 の こ と で あ る((x1,…,xn)-平

面 か ら測 っ て,高

さ

がfn+1,…,fNで Mか

ら,RNの

与 え られ て い る!).こ 中 の あ る'n次

写 像 もC∞-級)が,必

上 へ の,C∞-級

の1対1写

ク トル 空 間 の と き と同 じ よ うに,多

元 曲 面'に

す ぎ な い な ら ば,抽

様 体 と い っ て も,RNの

象 的 な 多 様 体 の 概 念 を,わ

す こ と は な か っ た の で は な い か と い う疑 問 が で る か も しれ な い.し で み た よ うに,多

様 体 に は 実 に い ろ い ろ な も の が あ り,そ

ざ ま な 相 を 示 し て い る.そ は,そ

様体 像(逆

ず 存 在 す る の で あ る.

  そ うす る と,ベ の'n次

の 詳 しい 内 容 は 述 べ られ な い が,多

元 の 曲 面'Mの

れ ら を わ ざ わ ざ'n次

中

ざわ ざ も ち 出 か し,す

ぐ上

れ らは 数 学 の 中 で さ ま

元 の 曲 面'と

して実現 す る よ り

の も つ 性 質 を そ の ま ま 抽 象 した 多 様 体 の 観 点 か ら調 べ る方 が は るか に 見 通

し が よ い の で あ る.

第28講 余接空間と微分形式 テ ー マ

◆ 余接 空 間 ◆1次

の微 分 形 式

◆k次

の 微 分形 式

◆k次

の微 分 形式 の つ くる空 間 Ωk(M)

◆ 外 微 分: ◆ 余接 バ ン ドル の考 え

余接 空 間   Mをn次

元 の多 様 体 とす る.Mの

各点xに 対 して,xに

おける余接空間 とよ

ば れ るn次 元 ベ ク トル空 間

T*(M)x を 付 随 さ せ る.   T*(M)xの x∈Uα

基 底 の と り方 は,xを

の と き,T*(M)xの

含 む 局 所 座 標 の と り方 に よ っ て 決 ま る.

基 底 と して は

(1) を と る.xが

同 時 にUβ に も 属 し て い る と き に は,x∈Uβ

と考 え る と,T*(M)x

の 基 底 と して は

(2) を と る.   こ の 考 え 方 は,次

の よ うに 考 え て み る とわ か りや す い.局

開 集 合Uα か ら,Rnの こ のUα か らRnへ 方―

開 集 合 へ の1対1写

像 ψαに よ っ て 与 え ら れ た も の で あ る.

の 写 像 に 伴 っ て,T*(M)xを

基 底 の と り方 ―

所 座 標 と は,Mの

が 決 ま っ て く る.い

ベ ク トル 空 間Rnに わ ば,Uα

をRnの

写像する仕

開 集 合へ 投影 す

る と き,そ

れ に 寄 り添 う よ うにT*(M)xが(ベ

ク トル 空 間 と して)Rnの

上 へ,

と 投 影 さ れ て く る の で あ る.   (1)と(2)で

与 え られ る,T*(M)xの2つ

(xα1,…,xαn)か 義 す る.実

ら(xβ1,…,xβn)へ

際,(1)と(2)の

の 基 底 の 間 の 変 換 則 も,や

は り

の 局 所座 標 の変 換 則 に 同伴 してい る よ うに定

変 換 則 は,

(3) (i=1,2,…,n)

とす るの で あ る.す なわ ち,見 か け上 は関 数 (i=1,2,…,n)

を,全

微 分 し た 式 を,そ

の ま ま 借 用 し て,基

底 変 換 の変 換 則 を 与 え る式 とす るの

で あ る.   も っ と も 読 者 は,こ

の 式 は,V2,V3の

基 底 変 換 則 で す で に 見 慣 れ た も の だ と感

じ られ る だ ろ う.   この よ うに 定 義 さ れ た ベ ク トル 空 間T*(M)xを,xに と い う.ま x∈Uα

た,T*(M)xの

元(ベ

の と き,T*(M)xの

お け るMの

ク トル!)をxに

元 は,た

だ1通

余接 空 間

お け る 余 接 ベ ク トル と い う.

りに

と表 わ さ れ る.

1次 の 微 分 形 式   Mの

各 点xに

対 し て,T*(M)xの

元 を 対 応 さ せ る対 応 ω(x)が

あ っ て,各Uα

上 で

と表 わ し た と き,ξ1α(x),ξ2α(x),…,ξnα(x)がUα ω(x)をM上

の1次

の 微 分 形 式 と い う.

上 でC∞-級

の 関 数 と な る と き,

k次 の微 分 形 式   一 般 に,1≦k≦nを う.Mの

各 点xに

み た す 整 数kに

対 し て,M上

対 し て,∧kT*(M)xの

各Uα 上 で,∧kT*(M)xの

のk次

の微分 形 式 を定 義 し よ

元 を 対 応 させ る 対 応 ω(x)が

あ っ て,

基底

を 用 い て,

(4) と表わ した とき,右 辺 に現 わ れ る

が,Uα

上 でC∞-級

  k=1の

の 関 数 と な る と き,ω

と き は,す

ぐ上 に 定 義 し た1次

をM上

のk次

の 微 分形 式 と い う.

の 微 分 形 式 の 定 義 と 一 致 し て い る.

微 分 形 式 の つ くる空 間   M上

のk次

関 数 は0次

の 微 分 形 式 全 体 の つ くる 空 間 を Ωk(M)で

の 微 分 形 式 と考 え,こ

  Ωk(M)(k=0,1,2,…,n)で Ωk(M)は

たC∞-級

表 わ す.

あ り,し

際,ω,η

∈ Ωk(M)な

ら ば,各

点xで

ω(x),

た が っ て 任 意 の 実 数 α,βに 対 し て

た が って

と 定 義 す る と,α ω+β η∈Ωk(M)と

な る こ と が わ か る.

実際は

こ れ は,(4)式

の

は 加 法 と ス カ ラ ー 積 の 演 算 が で き る と い う意 味 で,

ベ ク トル 空 間 とな る.実

η(x)∈ ∧kT*(M)xで

と な る.し

の 全 体 を Ω0(M)と

表 わ す.ま

の 両 辺 にf(x)を

か け て も,右

ξαi1…ik(x)がf(x)ξ αi1…ik(x)に変 わ る ―

辺 は 同様 の形 とな っ てい る―

こ と さ え 確 か め れ ば よい.

外 f∈ Ω0(M)に

対 し,x∈Uα

微

分

の と きT*(M)xの

元

(5) を 対 応 させ る こ と を 考 え る.し 対 し てT*(M)xの

た が っ てx∈Uβ

の と き に は,こ

の 規 約 で は,fに

元

(6) を 対 応 さ せ る こ と に な る.   x∈Uα ∩Uβ の と き,基

底 の 変 換 則(3)か

の 元 を 表 わ し て い る こ とが 確 か め られ る.し に よ ら な い こ とが わ か って,各Uα

と お く と,dfはM上 す な わ ち,対

の1次

ら,(5)と(6)は

同 じT*(M)x

た が っ て(5)は

局 所 座 標 の と り方

上で

の 微 分 形 式 と な る.

応

が 得 られ た.   dfをfの   一 般 にk次

外微 分 とい う の微 分 形 式 ω に 対 し て,そ の 外 微 分dω を,Uα

上 で の ω の 表 現(4)

を用いて

と定 義 す る.こ の定義 が 意 味 を もつ た め に は,右 辺 が局 所 座標 の と り方 に よ らな い表 現 で あ る ことを 確 かめ な くて はな らな い が,こ 議 論(177頁   外微 分dは

の ことは,第19講

で用 い た

も参 照)と 同 じ よ うに して 示せ る ので,こ こ では省 略す る.

へ の 写 像 と 考 え ら れ る(た て 第21講

で 述 べ た'外

だ し Ωn+1(M)={0}と

お く).R3の

微分 形 式 につ い

微 分 の 性 質'(a),(b),(c),(d)は,Mの

対 す る 外 微 分 に 対 し て も 同 様 に 成 り立 つ 性 質 で あ る.特

微分 形 式 に にdは

線形 写 像 で あ って

が 成 り立 つ.

余 接 バ ン ドル の考 え   多 様 体Mの

各 点xに は,余

接 空 聞T*(M)xが

付 随 し てい る.こ れ らをす べ

て 集 め た集 合

を 考 え,こ

れ をT*(M)と

お く.Mの

各 点xに

あ るT*(M)xを,点xの

上に

立 っ て い る ベ ク トル 空 間 で あ る と い う よ うに 想 像 を 働 か し て み る と,T*(M)は, これ を す べ て 束 ね て1つ

に し た 空 間 で あ る と い う イ メ ー ジ が 湧 く.

  こ の 束 ね た 集 合T*(M)に,こ

れ か ら 構 造 を い れ る の だ が,そ

られ た 空 間 を 余 接 バ ン ドル と い うの は,バ of straw,わ

ら の 束)と

ン ドル(日

の よ うに して 得

本 語 の 訳 は 束.例:bundle

い う言 葉 の 中 に や は り束 ね る と い う語 感 が 入 っ て い る か

ら で あ る.   局 所 座 標 近 傍Uα

を1つ

と る.x∈Uα

の と き のT*(M)xを

す べ て束 ね て得 ら

れ る集合

を 考 え て み よ う.局

所 座 標(xα1,…,xαn)がUα

に 応 じ て,各T*(M)x(x∈Uα)は   い ま ξ∈T*(M)x(x∈Uα)を1つ

と 表 わ し た と き,ξ

こ の 対 応 は,1対1写

上 で 指 定 さ れ て い るか ら,そ

基 底{dxα1,…,dxαn}を とっ て

に 対 し て,(x;ξ1α,ξ2α,…,ξnα)を

像

も っ て い る.

対 応 さ せ る:

れ

(7) を 導 く.そ

し て こ の 対 応 で ベ ク トル 空 間T*(M)x(x∈Uα)は{x}×Rnへ

っ て い る({x}×RnはRnと   (7)の

と移

同 じ で あ る と考 え て よ い).

対 応 を簡 単 に

と記 す こ と に し よ う.こ の こ と は,各 整 然 と 並 べ た 形 で,束

座 標 近 傍Uα 上 で は,T*(M)xは,Rnを

ね られ る こ と を 意 味 し て い る.

  い まUα ∩Uβ ≠ φ とす る.こ

の と きUα 上 の 束 ね 方

(8) と,Uβ

上 の束 ね 方

(9) は,Uα

∩Uβ 上 で 見 た と き に,一

致 し て い る とは 限 ら な い.

  こ の 束 ね 方 の 違 い は どの よ うに な っ て い る だ ろ うか.い と る.ξ ∈T*(M)xに

まx∈Uα

∩Uβ を1つ

対 し,(8)は (8)′

と み て 束 ね た も の で あ り,(9)は (9)′ と み て 束 ね た も の で あ る.(ξ1α,ξ2α,…,ξnα)と,(ξ1β,ξ2β,…,ξnβ)と 反 変的 な関 係

(10) (i=1,2,…,n)で

結 ばれ て い

る.   (8)と(9),し

たが って

ま た(8)′

は,x∈

と(9)′

Uα∩Uβ の と き,(10)の

関係

が 成 り立 つ と き に は,同

じも

の と 考 え て1つ

に して し ま

う.   この よ うに し て,各Uα

上

図56

は(3)と

で,余 (10)の

接 空 間 を 束 ね て で き たT*(Uα)を

今 度 は,局

所 座 標 近 傍 の 重 な り で は,

関 係 が 成 り立 つ も の を 同 じ も の と 思 って 同 一 視 す る(図56).こ

で,各T*(Uα)は,M上

全 体 で1つ

に 束 ね ら れ る.こ

の操作

の よ う に し て 束 ね られ て

得 られ た 空 間 が

T*(M) に ほ か な ら な い.T*(M)をMの

余 接 バ ン ドル と い う の で あ る.

Tea

Time

質 問   多様 体 上 に微 分 形 式 を定 義 す る方 法 はわ か りま したが,僕 は まだ 数学 の形 式 で整 え られ た 高 い建 物 の 外 に立 って い る よ うな気 が してい ます.こ の建 物 の 中 に は 何が あ るの で し ょ うか.微 分形 式 とい うのは,本 当 に役 立 つ の で し ょ うか. 答   微分 形 式 は現 代 数 学 の 中 で,最 も基 本 的 な概 念 の1つ とい って よ く,実 に有 効 に用い られ て い る.そ れ よ りも まず,前 講 のTea 様 体 は,単 純 な 曲面 概 念 で は律 し きれ な い よ うな,多 を 思 い 出 して お こ う.た

とえ ばRnの

Timeで

も述べ た よ うに,多

くの対 象 を含 んで い た こと

原 点 を通 るr次 元(1≦r
平 面全 体

の 集 ま りも多様 体 の構 造 を も っ てい る.こ の よ うな と ころ に も微 分 形 式 が 定 義 さ れ,外 微 分 を通 して 解析 学 を 展 開す る道 が 開け て きた ことを 注意 す べ きだ ろ う.   一般 の 多様 体 上 で も,ス

トー クス の定 理 を定 式 化 で き る.ス

トー クス の 定理 の

中 か ら,解 析 学 と幾 何学 との深 い接 点 を 読み とって 創 ら れ た ド ・ラー ムの理 論 は,現 代 数学 の 中で 基 本 的 な役 目を演 じて い るが,こ れ も,全 体 と して微 分形 式 の 中 でつ くられ てい る.ま た,曲 面 の微 分幾 何 で よ く知 られ て い る ガ ウ ス 曲率 も,高 次 元 へ拡 張 し よ うとす る と,微 分 形式 の考 え が導 入 され て くるの で あ る.

第29講 接

空

間

テ ー マ

◆ 接 空 間 の 定義:余 接 空 間 の双対 空 間 ◆ 接 ベ ク トル ◆ 接 空 間 に お け る基 底 の変 換 則 ◆ 接 ベ ク トル の成 分 の変 換 則 ◆ 曲 線 の 定義 す る接 ベ ク トル ◆ ベ ク トル場

余接空間と接空間   微 分 形 式 の 話 を 中 心 と し て き た の で,余 な っ た が,'余

接'と

が 別 に あ る.接 gent

spaceと

接 空 間 が舞 台 の前 面 に登 場 す る こ とに

い う 妙 な 言 葉 が 示 し て い る よ うに,実

空 間 は,英

語 でtangent

い う.接 空 間 は,接

spaceと

は 接 空 間 と い う概 念

い い,余 接 空 間 は 英 語 でcotan

線 方 向 の ベ ク トル の つ く る空 間 に 注 目 し て 得

られ た 概 念 で あ る.   接 空 間 の 方 か ら見 る と,余 トル 空 間 ―

双対 空 間 ―

  私 た ち は,ベ

接 空 間 は,接

空 間上 の線 形 関 数 の全 体 のつ くるベ ク

と し て 捉 え る こ と が で き る.

ク トル 空 間 の 双 対 性 に 注 目 し て,逆

に,接

空 間 は余 接 空 間 の双 対

空 間 で あ る と い う定 義 か ら 出 発 す る こ とに し よ う.

接空間の定義   n次 元 の 多 様 体Mを 【定 義 】T*(M)xの

考 え る.Mの

点xに

双 対 空 間 をT(M)xと お け るMの

お け る 余 接 空 間 をT*(M)xと 表 わ し て,xに

い う.T(M)xの

元 を,xに

  T(M)xはn次

元 の ベ ク トル 空 間 で あ る.x∈Uα

お け るMの

す る. 接空間 と

接 ベ ク トル と い う. の と きT*(M)xは

基 底

を も つ.T(M)xに

おけ る この双 対 基 底 を

に よ っ て 表 わ す.し

た が っ てx∈Uα

の と き,T(M)xの

元 は,た

だ1通

りに

と 表 わ さ れ る.   T(M)xと,T*(M)xと

は 互 い に 双 対 空 間 の 関 係 に あ る の だ か ら,xに

おけ る

接 ベ ク トル

と,xに

お け る 余 接 ベ ク トル

の 間 に は,互 い に他 の 線形 関 数 に な って い る とい う関係 が あ り,そ れ は

と表 わ さ れ る(右

辺 は ア イ ン シ ュ タ イ ン の 規 約(第13講)を

用 い れ ば μiξiとか

い て も よ い).

接空間における基底の変換則 T*(M)xに

お い て,x∈Uα

∩Uβ の と き,2つ

の基 底

(1) の間 に は,変 換 則 (i=1,2,…,n)

が 成 り立 つ.右 辺 に現 われ る変 換 は ヤ コ ビ行 列

に よ っ て 引 き起 こ され て い る こ と を 注 意 し よ う.す 列 はJ(xβ/xα)で

なわ ち(1)の

基 底変 換 の行

あ る.

  ヤ コビ行 列 には

単位行列 とい う関 係が あ るか ら

で あ る.こ

の こ とか ら,第14講'双

対 応 す るT(M)xの2つ

対 基 底 の 基 底 変 換'を

参 照 す る と,(1)に

の基 底

(2) の 間 に,変

換則

(i=1,2,…,n) 

(3)

が 成 り立 つ こ と が わ か る.

接 ベ ク トルの 成 分 の 変 換 則 Mの (2)を

点xが,x∈Uα 用 い て2通

  こ の2つ

∩Uβ と な っ て い る と き,xに りに 表 わ され る.

の 成 分{μ1,…,μn},{v1,…,vn}の

的 で あ っ て(第14講

お け る 接 ベ ク トル μ は,

変 換 則 は,(3)の

参 照), (i=1,2,…,n) 

(4)

で 与 え られ て い る.

曲 線 の 定 義 す る接 ベ ク トル  い ま,数

直 線 上 の 区 間[−1,1]か

らMの

中へ の連 続 写像

変 換則 とは反 変

図57 が 与 え られ た と し,x(0)=x0と い と き に は,x(t)は

お く(図57),x0∈Uα

とす る と,tが0に

十 分近

や は りUα に 属 し て お り,し た が っ て 局 所 座 標 系 を 用 い て

と 表 わ す こ と が で き る.こ

の 右 辺 に 現 わ れ るtの

分 可 能 な 関 数 の と き,x(t)を(t=0の

関 数xαi(t)(i=1,2,…,n)が

近 くで)微

分 可 能 な 曲 線 とい う.以

微 下で

は 微 分 可 能 な 曲 線 だ け を 考 え る こ と に し よ う.   こ の と き,t=0に

お け るx(t)の

接 ベ ク トル を

(5) と 定 義 し よ う と 考 え る の は,自

然 な こ と で あ る.し

と り方 に よ っ て い る.実

しx(0)がUβ

標 を 用 い て,同 き る.そ

際,も

じ 考 え でt=0に

うす る と(5)に

お け るx(t)の

か し こ の 定 義 は,局

に も 属 し て い れ ば,Uβ

所 座標 の

上 の 局所 座

接 ベ ク トル を 求 め て み る こ と が で

代 って

(6) が 得 られ るだ ろ う.   (5)と(6)は

ま った く違 う成 分を もつ ベ ク トル で あ る.し

か し 関 係 が ない

わ け で は ない.そ れ をみ るた め には,座 標 変 換 の式 を用 い て

(i=1,2,…,n)と

で あ る.こ

表 わ し,tに

の 式 は,(5)か

つ い て 微 分 し て み る と よ い.結

ら(6)へ

移 る 変 換 則 が,接

果は

ベ ク トル の 成 分 の 変 換

則(4)と

ま っ た く同 じ 形 に な っ て い る.

  こ の こ と は,(5)も(6)もT(M)x0に

お け る1つ

の 接 ベ ク トル

の 成 分 を 表 わ し て い る と 考え る こ とが で き る. 【定 義 】T(M)x0に

を,曲

お け る 接 ベ ク トル

線x(t)のt=0に

お け る 接 ベ ク トル と い う.

 こ の 接 ベ ク トルdx/dt(0)は,抽 的 な ベ ク トル で あ る.読

象 的 な ベ ク トル 空 間T(M)x0の

者 の 中 に は,図57を

見 て,曲

中 にあ る 抽象

線x(t)の

接 ベ ク トル は,

ち ゃ ん と 図 示 で き て い る の に と 思 わ れ る 方 が い る か も し れ な い.し な 図 に よ っ て 示 され て い る も の は,1つ Rnへ

写 し 出 し た 像 で あ る.別

っ た ろ う.こ

か し この よ う

の 局 所 座 標 を と っ て,Mの

あ る部 分 を

の 局 所 座 標 を と っ て 図 示 す れ ば,全

然別 の 図 とな

の よ う な 図 示 の 仕 方 に よ らな い'接

る と私 た ち は 考 え た い の で あ る が,こ

ベ ク トル'と

い う概 念 は 存 在 す

の 概 念 を い わ ば 定 着 さ せ る の は,T(M)x

と い う抽 象 的 な ベ ク トル 空 間 の 中 に お い て で あ っ た の で あ る.

ベ ク トル 場 Mの

各 点xに

ら れ た と し て,そ

対 し て,xに れ をX(x)と

お け る1つ お く.し

の 接 ベ ク トル を 対 応 さ せ る 対 応 が 与 え たが って

X(x)∈T(M)x で あ る.  

Uα 上 で のT(M)xの

X(x)は,

と表 わ さ れ る. 【定 義 】

各Uα 上 で

基 底 

を 用 い る と,x∈Uα

の と き

がC∞-級 の 関 数 の と き,XをM上   ベ ク トル 場Xが え て み よ う.Uα る と,こ

与 え られ た と し,Mの を,局

局 所 座 標 近 傍Uα

上 で,Xの

所 座 標 を 用 い た 写 像 に よ っ て,Rnの

の 開 集 合 上 で は ベ ク トル 場Xは,各

と い うベ ク トル で 表 わ さ れ る.長 え られ た 砂 鉄 と 考 え る と,Xが き が,滑

の ベ ク トル 場 とい う. 模様を考

開 集 合 上 へ移 してみ

点xで

短 は あ る と し て も,こ

れ を 各 点x(∈Uα)に

ベ ク トル 場 とな る 条 件 は,こ

与

の砂 鉄 の 長 さ と 向

らか に 変 わ っ て い く こ と を 示 し て い る.

  そ うす る と,ベ

ク トル 場Xが

が 当 然 湧 い て く る.こ

与 え られ た と き,'磁

力 線'を

求 め る と い う考 え

れ は ベ ク トル 場 の 積 分 曲 線 を 求 め る と い う問 題 で あ っ て,

局 所 座 標 を 用 い な い 抽 象 的 な 表 現 で は,'微

を 解 く問 題 と な る の で あ る が,こ

分 方 程 式'

れ に つ い て 述 べ る こ とは,こ

こでは 省 略 す る こ

とに し よ う.

Tea

Time

ベ ク トル場 は 微分 作 用 素 に も な ってい る M上

に ベ ク トル 場Xが

と表 わ し て お く.い か っ た が,い

与 え ら れ て い る と し よ う.XをUα

ま ま で は,記 号 

ま仮 に,こ

は,ま

上 で

っ た く記 号 と し て の 意 味 し か な

れ を 偏 微 分 の 記 号 と思 っ て,M上

のC∞-級

関 数 に対 し

て (Uα 上 で)  を 考 え て み る.こ が,こ き

こ でfは(xα1,…,xαn)の

(*)

関 数 と 思 っ て い る の で あ る.と

の 値 は 局 所 座 標 の と り方 に よ ら な い の で あ る.す

な わ ちx∈Uα

ころ

∩Uβ の と

が 成 り立 つ(こ

の こ と は 読 者 が 確 か め て み られ る と よい).

  し た が っ て,各Uα

上 で(*)を,Xfと

お く と,Xfは,M上

のC∞-級

関数

と な っ て い る.   こ の 意 味 で,ベ T(M)xの

ク トル 場 は,1階

基 底 と し て の 記 号 

し て く る の で あ る.

の 微 分 作 用 素 と 考 え て よ く,そ と,微

分 作 用 素 と し て の 記 号 

こ で は, が 整合

第30講 リ ー マ ン 計 量

テーマ

◆ 接 空間 へ の内 積 の導 入 の 問 題 点 ◆ 内 積 に つ いて の復 習 ◆

リーマ ン計 量

◆ 曲線 の 長 さ ◆

リーマ ン計 量 の 存在

◆

リーマ ン計 量 の表 わ し方gij dxidxj

◆ テ ン ソル計 算

接 空 間 へ の 内 積 の導 入   Mの

各 点xに

空 間 で あ る.こ   T(M)xに

のn次

付 随 し て い る.T(M)xはn次

元 の ベ ク トル

元 の ベ ク トル 空 間 に 内 積 を 入 れ る こ とを 考 え た い.

内 積 を 入 れ る とい っ て も,xが

内 積 が,ま る.た

は 接 空 間T(M)xが

変 わ るた び にT(M)xに

っ た くア ト ・ラ ン ダ ム に 変 わ る よ うな も の で は,や

とえ ば,あ

ク トル を,xの

る 点xでT(M)xの ご く近 くの 点yま

く不 連 続 な 変 わ り方 を し て,yに

内 積 で 測 っ た と こ ろ,長

は り困 るの で あ さ1で

で 連 続 的 に 動 か した と こ ろ,長 つ い た と き,T(M)yの

導 入 され た

あ った接 ベ

さ の方 は まっ た

内 積 で 測 った ら,長

が 突 然10000に

な っ て し ま っ た な ど とい う こ と が あ って は 困 る の で あ る.

  も っ と も,こ

の 説 明 で,接

ベ ク トル を 動 か す な ど と い うい い 方 は は っ き り し な

い と 指 摘 さ れ る 読 者 もお ら れ る か も し れ な い.そ て,も

さ

の た め に は,次

の よ うに い っ

っ と論 点 を 明 ら か に して お い た 方 が よ い だ ろ う.

  い ま,区

間[−1,1]か

前 講 で 述 べ た よ うに,各tに

らMへ

の 微 分 可 能 な 曲 線x(t)が

対 して

与 え られ た と す る.

で あ る(も

っ と も前 講 で はt=0の

場 合 し か 述 べ な か っ た).も

内 積 が 与 え られ て い れ ば,こ

の内

を 考 え る こ と が で き る が,こ

れ が 少 な く と も連 続 的 に 変 化 す る よ う に な っ て い な

くて は,数

の長 さ

学 的 に も 直 観 的 に も 不 自 然 な こ と に な っ て し ま う.

  私 た ち の 望 む の は,あ に)変

に よ っ て 

し 各T(M)x(t)に

る 意 味 で,xの

化 して い く よ うに,T(M)xに

変 化 に つ れ て 連 続 的 に(で 内 積 を 導 入 し た い,と

き れ ばC∞-級

い う こ とで あ る.

内 積 につ い て の 復 習   内 積 に つ い て は,第11講,第12講 が え ば,ベ

ク トル 空 間 に1つ

で 詳 し く述 べ て き た.そ

内 積 を 与 え る こ と は,正

こで の議 論 に した

規 直 交 系 を1つ

指定す るこ

で 述 べ た よ う な 観 点 に 立 つ 方 が よ い.そ

れ に した が

と で あ る と い って も よい.   しか し こ こ で は,第13講 え ば,ベ

ク トル 空 間Vに,い

ま1つ

内 積(,)が

き あ らか じ め 存 在 し て い た 基 底{e1,e2,…,en}に

与 え られ た と す る.こ

のと

対 して

(i,j=1,2,…,n)

と お く と,gij=gjiで,任

意 の 実 数x1,x2,…,xnに

(等 号 はx1=…=xn=0の

対 し

と き に 限 る)

が 成 り立 つ.   逆 に 上 の 条 件 を み た す{gij}(i,j=1,2,…,n)が =gijを

与 え られ れ ば,Vに,(ei,ej)

み た す 内 積 が 導 入 さ れ る.

リー マ ン 計 量   い ま,Mの

各 点xに

対 し,接

空 間T(M)xに,内

る とす る.   局 所 座 標 近 傍Uα 上 でT(M)xの

基底

積(,)xが

与 え られ て い

を 考 え,各

点x∈Uα

に対 して

(1)

とお く. 【定 義 】

各 点xに

み た す と き,Mに   (R)各Uα   Mに

対 しT(M)xに

与 え ら れ た 内 積(,)xが,次

の 条 件(R)を

リー マ ン計 量 が 与 え られ た と い う: 上 で,gijα(x)はC∞-級

の 関 数 で あ る.

リー マ ン 計 量 が 与 え られ た と き,T(M)x(x∈Uα)の2つ

の 接 ベ ク トル

の 内積 は

と表 わ さ れ る.(μ,v)xは,xの い る.ま

関 数 と考 え る と,Uα

上 でC∞-級

の 関 数 と な って

た μ の 長 さ ‖μ‖xは

(2)

で 与 え られ る.

曲線の長 さ  

Mに

リ ー マ ン計 量 が 与 え られ て い る とす る.M上

(−1≦t≦1)を (2)か

考 え よ う.x(t)∈Uα

とす る と,x(t)の

の 微 分 可 能 な 曲 線x=x(t) 接 ベ ク トル の 長 さ は,

ら

と な り,右 辺 はtに

つ い て の 連 続 関 数 と な る.し

た が って積 分

を 考 え る こ と が で き る.こ   読 者 は,各

の 値 を0か

ら1ま

で の 曲 線x(t)の

長 さ と い う.

接 空 間 上 に 内 積 を 通 し て 与 え られ た ベ ク トル の 長 さ の 概 念 が,積

の 概 念 を 用 い る こ と に よ っ て,M全

分

体 へ と広 が っ て い く こ とに 注 目 して ほ し い.

リー マ ン 計 量 の 存 在   で は,任 意 の 多様 体M上

に リー マ ン計量 は 存 在 す る のだ ろ うか とい うこ とが

問 題 とな る.こ れ に つ い ては 次 の定 理 が成 り立 つ.

【定 理 】 多様 体Mに

は,必 ず リー マ ン計量 が 存 在 す る.

  これ につ い て の証 明 は こ こで は与 えな いが,考 え 方 は次 の よ うで あ る.各 局 所 座 標 近傍 で は,T(M)xの

が と れ るか ら,こ T(M)xに

の 基 底 を 通 し てRnと

条 件(R)を

をM=∪Uα

基 底 と して

同 一 視 し て お け ば,x∈Uα

み た す 内 積 が 入 る こ とは 明 らか な の で あ る.問

と局 所 座 標 近 傍 で お お っ た と き,各Uα

る か に か か っ て い る.こ

の 貼 り合 わ せ の 操 作 に,1の

に 存 在 し て い る こ と が,本

題 は,M

上 で こ の よ うに 独 立 で 与 え

ら れ た リ ー マ ン 計 量 を,い か に 上 手 に 貼 り合 わ せ て,M上

の 集 ま りが,M上

で あ る 限 り,

の リーマ ン計 量を つ く

分 解 と よ ば れ るC∞-級 関 数

質 的 に 用 い られ て くる の で あ る.

  Mが 局 所座 標 近 傍 の 有 限 個 に よ って

とお お わ れ て い る と き,1の M上

分 解 とは どの よ うな も のか だ け説 明 して お こ う.

のC∞-級 の 関 数 の集 ま り{f1,f2,…,fs}で

次 の 性 質 を みた す もの を,1の

分解 とい

うの であ る. (a)  (b) 

fi(x)≧0 

(i=1,2,…,s)

な ら ばfi(x)=0 

(i=1,2,…,s)

(c)   1の 分 解 は 必 ず 存在 す る こ とが証 明 され る.一 般 には,'局 所 有 限 な'座 標 近 傍 にお お わ れ て い る と き,こ の座 標 近 傍 に 付随 した1の 分 解 は 必 ず 存在 す るの で あ る.

リ ー マ ン 計 量 の 表 わ し方   一 般 に,ベ あ っ て,し

ク トル 空 間Vの

内 積(x,y)は,xとyに

た が っ て,V×V上

考 え る と,内 積 は,双

つ い て,そ

の 双 線 形 関 数 と 考 え る こ とが で き る.そ

線 形 関 数 の つ く る 空 間 

み る こ とが で き る.{e1,e2,…,en}をVの け る こ の 双 対 基 底 とす る.こ

れ ぞれ 線 形 で

の 元 を1つ

の よ うに

与 え てい る と

基 底 と し,{e1,e2,…,en}をV*に

の と き,内

お

積が

で 与 え られ てい る とき,こ の 内積 を表 わす 双 線形 関 数 は 

の元 と して

(3) で 表 わ さ れ る.実

際,こ

と な っ て,esとetの   こ の こ と を(1)で 接 空 間T(M)xに

の,T*(M)xに

の 双1次

関 数 が(es,et)で

内 積(es,et)に

とる値 をみ てみ る と

一 致 す る.

与 え られ て い る,M上

の リ ー マ ン 計 量 に 適 用 し て み よ う.

お け る基 底

お け る双 対基 底 は

で 与 え られ て い る こ と を 思 い 出 し て お こ う.   した が っ て(1)の

表 わ し 方 で,(3)を

か き表 わ し て み る と

とな る.  こ こで,記 号  も省略 し,ま た 局 所座 標 近傍 を示 す 添数 αも省略 す る と

と な る.ア

イ ン シ ュ タ イ ン の 規 約 を 用 い れ ば,さ

らに

と か い て も よ い こ とに な る.リ うの こ と に な っ て い る が,こ

ー マ ン計 量 を こ の よ うに 表 わ す こ とは,ご

の 意 味 は,上

くふ つ

に 述 べ た よ う な も の で あ る とい う こ と

は 知 っ て お い た 方 が よ い か も し れ な い.

テ ン ソ ル計 算   ベ ク トル空 間Vに

内積 を 与 え る と,第13講

で 述べ た よ うに,Vと

双対空間

V*の 間 に 標準 的 な 同型 対 応 が存 在 す る.   この こ とは,Mに

リー マ ン計 量 が与 え られ ると,各

点xで 接 空 間T(M)xと

余 接 空 間T*(M)xの

間 に 標 準的 な 同型対 応 が 存 在す る こ とを意 味 して い る.し

た が って また,こ れ らの空 間 の テ ン ソル 積 の 間 に も標準 的 な 同型対 応 が 存 在 す る こ とに な る.   第13講 で 述べ た指 標 の上 げ 下 げの よ うな規 約 に よる,こ の 同型 対 応 の表 示 は, 今 度 は,接

空 間 と余接 空 間の 同型 対 応 を 示す 規 約 と して,M全

体へ と広 が って

い く.こ れ は リー マ ン 幾 何 学 で の テ ン ソル 計算 と して知 られ てい る もの であ る が,こ

こでは,こ れ 以上 述べ ない.

  本書 の 前 半 で与 えた 線 形 空 間の 理 論 が こ の よ うに して,し

だ い しだ い に 多様 体

の 上 へ と広 が って きて,そ こ で解析 学 と幾 何 学 との 接 合 を示 す よ うな 役 目を演 じ て くる よ うにな る.こ れ は ベ ク トル解 析 が 示 した新 しい 展 望 で あ る.読 者が これ まで の話 で,現 代 数学 の こ の方 向へ の強 い 志 向 に,少 しで も 関心 を抱 かれ れ ば よ い が と望 ん でい る.

Tea

Time

質 問  これ まで の30講 で 学 ん だ ベ ク トル解 析 の 内容 に沿 って,も 勉 強 したい と思 った ら,ど ん な本 で学 ぶ のが よい で し ょ うか.

う少 し先 まで

答  この講義 で は,物 理 的 な事 柄 を少 し も述べ なか った.質 問 の趣 旨 とは 少 しず れ るが,も

し,物 理的 な 応用 も知 りたい とい う人 は,本 屋 さんへ 行 って,数 学 書

と物 理 学 書 の並 ん でい る棚 をみ る と,そ の種 の テ ー マを 扱 った本 を,何 冊 か 見つ け る こ とが で き るだ ろ う.こ の場 合 で も,数 学 者 のか い た ベ ク トル 解析 の本 と, 物 理 学 者 のか い た ベ ク トル解 析 の本 は,少 し ニ ュア ンス が違 うよ うで あ る.   さて,こ の 本 で 述べ て きた よ うな,純 粋数 学 の方 向を さ らに押 し進 め る と,多 様 体 の 一般 論 が 眼前 に 広が って くる とい うこ とに な る.こ の講義 では,多 様体 の 導 入 を,微 分 形 式 の道 を た ど って行 な ったが,現 代 数学 の 中で,多 様 体は も っ と 広 い 視 野 で捉 え られて い る.こ れ につ い て は,志 賀浩 二 『現 代数 学 へ の招 待 ― 多 様 体 とは何 か 』(岩 波 書店)が

読 みや す い の では な いか と思 う.多 様 体 に 関す

る本 も,最 近 は 数学 書 の棚 に 見 出す こ とが で き る よ うに な った.微 分形 式 の応 用 は 多 方面 に わ た るが,た とえ ば,古 典 的 な 曲面 の微 分幾 何 で も,微 分形 式 は 有効 に 用 い られ るの であ って,そ れ につ い て は小 林 昭 七 『曲線 と 曲面 の 微分 幾 何』(裳 華 房)を 参 照 され る と よい.

索

ア

引

基

行

―

底   13 と内 積  91

E(V)の

ア イン シ ュ タ イン の規 約  95

―71

基 底変 換   99 ― の行 列  100

位相 空 間  204

―

位 相 多 様 体  204

の係 数  100

1次 結 合   10

外積 の―

1次 従 属   11

双対 基 底 の―

1次 独 立   11

テ ン ソル積 の―

1の 分 解   227

局所 座 標 系  193,205

イデ ヤ ル 52,58   62

 103

局所 座 標 の 変換 則  193,205 曲

n次 元 ユ ー ク リ ッ ド空 間  89

― ―

カ

行

の 向 き  167 ,181

C∞-級 の―

  166,194

向 きづ け られ た ―

積  62,107 R3の ベ ク トル の―

面   190 の開 集 合  190

パ ラ メ ー ターを もつ―

数  47

外

  102

局所 座標 写 像  193

 か ら生 成 され た ―

階

  104

クラ インの 壺  201

外 積 代数  62

グ ラス マ ン  67

回

グ ラス マ ン代数   62

転  186

外 微 分  127,160,200,213 ― の 引 き戻 し に よ る不 変 性  177 ―

グ リー ンの公 式   116,132 ―

の不 変性   150

の座 標 変 換 に 関す る不 変 性   142 , 164

勾 配 ベ ク トル  187

ガ ウス の定 理   165 ― の不 変 性   170 可

 201

 108

外 積 空 間  64

換  48

サ

行

座標 変換

可 算 性 の条 件   207

C∞-級 の

―  136

カレン ト   155

線形な―

  133

向 き を保 つ ―

 174

  149

C∞-級

内積 と―

―

の 関 数   124

双対 原 理   28

 93

―

の 関 数(曲 面 上 の)  196

双対 性   26

―

の 関 数(多 様 体上 の) 206

双対 ベ ク トル空 間  18

―

の 曲面   166 ,194

外 向 きの 法 線  167

―

の 座標 変換  136

―

の 多様 体   206

―

の ベ ク トル値 関 数   125

タ 代

数  47

次

元  13

多 元 環  47

次

数  47

多 重 線形 関 数  37

指 標 の上 げ 下 げ  97 シ ュ ワル ツ の不 等式  78

行

多 様 体  206 ― の例   208

商 集合   54

C∞-級 の ―

 206

商 代 数   57

滑 らか な ―

  206

乗 法(E(Vの))65 磁 力線   3

直 交 す る  80

ス カ ラ ー  10

テ ン ソル 記号   97

ス カ ラ ー積  9

テ ン ソル空 間   38

線形 関数 の―

  17

双線 形 関 数 の―

テ ン ソル計 算   229

 31

*-(ス タ ー)作 用 素   113

テ ン ソル積  31,32 テ ン ソル代 数   45

ス トー クス の定 理   181 同

型   14

正規 直 交 基 底  84

同型 写像   14

成 分 の変 換   101

同値(局 所 座標 系 の)  207

接 ベ ク トル   217,221 曲線 の 定義 す る―

同値 類   53   219

ド ・ラ ー ムの理 論   216

零 ベ ク トル  9 ナ

線 形 関数   16 線 形 性  5

内

線 積 分  118

―

全 微 分  140

― 長

積  78,88,89,91 か ら導 か れ た 同型 対 応   93 と双対 空 間  93 さ

双線 形 関 数  30

曲線 の―227

双 対 基 底   21

ベ ク トルの ―

双 対 空 間   18

行

  78

連 続 関 数 の つ くる ―

  10

ベ ク トル 値 関 数   123

ハ

行

C∞-級 の ―

ハ ウス ドル フ空 間   204 発

連 続 な―

  125   123

ベ ク トル 場  222

散   186

変 換 則 の 行 列 式   104

反 変 的   102,105

マ

行

非 可換   48 右 手 系   109

微 分形 式   153 ―

の積 分   130

― ―

のつ くる空 間   159 の引 き戻 し  175

R2上 の―

 126

R3上 の ―

 157

向

き 曲 面 の― 正 の―

  107,181   117,167

1次 の―

  125

面

2次 の―

  126

面 積 分   117,167

曲面 上 の1次 の―

  199

曲面 上 の2次 の―

 200

多様 体上 の1次 の ―

  211

多 様 体上 のk次 の ―

 212

積   120

面 積 要 素   170 ヤ

行

ヤ コ ビ ア ン   137 ヤ コ ビ 行 列   137

微 分作 用素  222 微 分 ・積分 の基 本 公 式   115 標 準 基 底   13

余 接 空 間   154,199,211

標 準 射 影  57

余 接 バ ン ドル   216

ヒルベ ル トーシ ュ ミッ トの直 交法   86

余 接 ベ ク トル   199,211 ラ

行

平 面 上 の ガ ウス の公 式  116 ベ ク トル  9,26 ―

ラ イ プ ニ ッ ツ   128

の なす 角  79

力学 と―

力 学 と ベ ク トル   4

 4

ベ ク トル空 間  9 n次 元 ―

リ ー マ ン 計 量   226

  10

計 量 を もつ ―

多項 式 のつ くる― 同型 な―

類

 78  42

別   53 イデ ヤル に よ る―

  14

ワ

無 限次 元 の―

  12

有 限次 元 の ―

 12

和  9

  54 行

線形関数の―  17

双線形 関数 の―  31

著 者 志

賀

浩

二

1930年  新潟 市に生 まれ る 1955年  東京 大学大 学院数物 系数 学科修士 課程修 了 現 在  東京工 業大 学名誉教 授 理学博 士

数学30講 シリー ズ7 ベ ク トル 解 析30講 1989年5月25日

 

2008年8月30日

 

定価 はカバ ーに表 示

初 版 第1刷 第16刷

著 者 志

賀

浩

二

発行者 朝

倉

邦

造

株式 発行所  会社 朝

倉

書

店

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町 6-29 郵便番 号 電 FAX 

〈検 印 省 略 〉 C1989〈 ISBN

  162-8707

 03(3260)0141 03(3260)0180

http://www.asakura.co.jp

無 断 複 写 ・転 載 を 禁 ず 〉 978-4-254-11482-9

話

C3341

中 央 印 刷 ・渡 辺 製 本 Printed

in

Japan