群論への30講 (数学30講シリーズ)

は

し

が

き

  『群 論 へ の30講 』 を 著わ す に あた って,中 心 の主 題 とな るべ きも のが な かな か 決 ま らず,内 外 の群 論 の本 を あれ これ ひ も とい てみ た.そ れ らは,本 書 を書 くに あ た っ て大 変参 考 に な った の で あ るが,こ れ らの本 の中 に 多か れ 少 なかれ 共 通 に み られ る1つ の傾 向 に,い つ しか 注意 が 惹 か れ る よ うに な った.そ の傾 向 とは, 群 論 に関 す る本 が,主 に群論 の専 門 家 に よ って書 か れ て い るた め,本 の流 れ が進 む につ れ,主 題 が しだ い に群 の 構造 の解 明へ と移 って き て,同 時 に,群 の理 論全 体 が,何 か静 ま りか え った剛 体 の よ うな感 じを漂 わ せ て くる とい う こ と に あ っ た.   この 感 じは,も ち ろん群 の もつ1つ の 姿 を端 的 に 示 して い るのだ ろ うが,一 般 の 人 を対 象 とす る この30講 シ リー ズの よ う な 本 に,こ の よ うな 雰 囲気 を もち込 む の は適 当 で な い と思 った.群 とは どの よ うな ものか を まず 知 りた い人 た ち に と って,可 解 群や ベキ零 群 の こ とな ど,そ れ ほ ど関心 の あ る テ ーマ で は な い だ ろ う.   私 は,む しろ群 が他 の ものへ 働 くとき に示 す,ほ とば し り出 る よ うな動 的 な躍 動 感 の中 に,一 般 の人 が群 に興 味 を もつ 最 初 の動 機 が 隠 され て い るの で はな いか と思 った.群 が,あ る数学 的 対 象 に働 くと,や が て そ こか ら,群 の 働 き に対 して 不 変 で あ る よ うな,あ る種 の対 称 性 を もつ 幾 何 学 的 な形 や,数 学 の形 式 が浮 かび 上 が っ て くる.こ の よ うに して得 られ た形 や 形 式 は,数 学 の 中 に実 在感 を もった 対 象 とし て,深

く根 づ い てい くので あ る.群 の動 的 な働 きの 中か ら,静 的 な形 が

抽 出 され て くる この過 程 の 中 で,動 と静 の微 妙 な対 照 と調和 が 綾 を な し,そ こに 群 の生 命 感 が息 づ い て い るに違 い な い.   この よ うな群 本 来 の もつ 姿 を,ど の よ うに本 書 で 表 現 した ら よい のか,こ れ は 私 に とっ て難 しい問 題 で あ った.結 局,私 が 本 書 で試 み た ことは,た だ単 に,群 論 とい う主 題 を,で き るだけ 軽 く,の び や か に書 い てみ る とい うこ とにな った.

木 々 の梢 の間 を,爽 や か に風 が 渡 る よ うに著 わ して みた い とい うの が,漠 然 と し た希 望 で あ ったけ れ ど,も ち ろ ん この よ うな希 望 は 遠 く遙 か な と ころ にあ って達 せ らるべ くもない.し か し読者 が,群 の構 造 の上 を走 り抜 け て い く軽 や か な 調べ とで も い うべ き もの を,本 書 を通 して 察知 され た とす るな らば,そ れ は 同 時 に, 群 が,数 学 の豊 か さの中 に反 響 し,ど こま で も広 が って い くさ まの い くらか を感 知 され た こ とにな る だろ う.   本 書 は,有 限 群や 有 限 生成 的 な 群 だけ で は な くて,お し まい の方 で は 位相 群 に も触 れ て お いた.そ

うす る ことに よ って,群 が,現 代 数学 のい ろ いろ な 諸概 念 と

ご く自然 に結 び つ き,そ のた め に 群 は い まな お現 代 数学 の根 幹 にあ って,積 極 的 に働 き続 け て い る ことを感 じ と って もらお うと思 った の で あ る.   終 りに あた って,こ

の30講 シ リー ズ8冊 の刊 行 に際 し,多 大 の 労 を とって い

た だ いた 朝 倉 書 店 の方 々に,心 か らお礼 を 申 し述 べ た い.私 が,約1年

半 の間,

私 な りに 力を尽 くして この仕 事 を進 め る こ とが で きた の は,こ の方 々 の並 々な ら ぬ 御 努 力 に よ るも の であ った.  

1989年7月 著

者

目

次

第1講

 シ ン メ トリー

第2講 

シ ン メ トリー と群

第3講 

群 の定 義

第4講

  群 に 関す る基 本的 な概 念

 1  7   15   22

第5講 

対 称 群 と正6面 体 群

  29

第6講 

対称 群 と交 代群

  37

第7講 

正 多 面体 群

  45

第8講

  部 分 群 に よ る類 別 回

 53

第9講 

巡

群

 61

第10講 

整 数 と群

 68

第11講   整 数 の剰 余 類 のつ くる乗法 群 第12講 

群 と変 換

第13講 

軌

道

第14講 

軌

道(つ づ き) 

第15講 

位 数 の低 い 群

第16講 

共

第17講 

共役 な部 分 群 と正規 部 分 群

役

類 

  75   83  92 100  106 114   122

第18講   正 規 部分 群

  129

第19講   準 同型 定理

 137

第20講   有 限 生 成 的な アー ベル 群

 145

第21講 

アー ベ ル群 の基 本 定理 の 証明

第22講  基

本

群

第23講   生 成 元 と関 係 第24講

 自

由

群

  154   163   172   179

第25講   有 限 的 に表 示 され る群

 186

第26講 

 193

位

相

群

第27講   位相 群 の 様相

  200

第28講  不 変 測 度

  208

第29講  群

環

  216

第30講 

現 

索

表

引

224

 233

第1講 シ ン メ

ト リ ー

テ ーマ ◆ ◆

一 つ の詩 ワ イ ル の 『シ ン メ ト リー 』

◆

『シ ン メ ト リ ー 』 の 調 べ と ワ イ ル の 考 え

◆

シ ン メ トリーを もつ構 図

◆

日本 の紋 様

一 つ の 詩

神 よ,汝,偉

大 な る対称 性,調 和 性

そ は,我 に激 しき渇 望 の 想い を注 ぐ され どまた,湧 き上 る悲 しみ, 定 まれ る形 もな き ま まに過 ご し行 く この悩 み 多 き 日々に 願 わ くば,一 つ の完 全 な る ものを 与 え給 え (ワイル 『シンメ トリー』 よ り) ワ イ ル の 『シ ン メ ト リ ー 』   ヘル マ ン ・ワ イル(1885-1955)は,20世

紀 前 半 の数 学 の 中を,巨

人 の よ うに

堂 々 と歩 み 続 け た ドイ ツの大 数学 者 で あ る.ワ イル が関 心 を もち,ま た実 際 深 い 影 響 を与 え た 分野 は,全 数 学 を お お うよ うな広 い もの であ った が,さ

らに ワイル

は 相対 性 理 論,量 子 力学 の進 展 の過 程 で,数 理 物 理学 の立場 に立 って,哲 学 的 な 思索 を 背 景 とした新 しい 方 向を 指 示 し,そ こで も指 導的 な 役割 を 演 じ た の で あ る.ワ イルの数 学 にみ られ る独 特 な哲 学 的 な雰 囲気 は,い まは はや 過 ぎ去 った よ うに み え る,ヨ ー ロッ パ の学 問 の栄 光 と権威 を思 い起 こ させ,さ

らに さか のぼ っ

て ギ リシ ャへ と心 を 向 け さ せ る も の が あ る.   ワ イ ル は,最 本 に は,ギ

晩 年 の1952年

に,1冊

の 書 『シ ン メ ト リー 』 を 著 わ し た.こ

リシ ャ的 な 均 整 の とれ た 形 式 の 中 に 見 ら れ る シ ン メ ト リー(対

に 対 す る,彼

自身 の つ き せ ぬ'渇

  こ の 著 作 の 原 型 は,実

望'が

は す で に14年

前 の1938年

に,ワ

シ ン トンの哲学 会 に お イ ル に は,'シ

い う基 音 が 心 を 離 れ る こ と は な か っ た の だ ろ う.こ

に 上 述 の 詩 が 述 べ ら れ て い る.こ

の 詩 は,ワ

の講 演 の最 後

イルが 聞 い て いた 基音 の調べ が どの

よ う な も の で あ っ た か を,い

く らか 伝 え て い る.な

ク ハ ム(Ann

あ る と い う.

Wickham)で

称 性)

語 ら れ て い る.

い て な さ れ た 同 じ タ イ トル の 講 演 の 中 に 見 出 す こ とが で き る.ワ ン メ ト リ ー'と

の

お こ の 詩 の 作 者 は ア ン ・ウ ィ

『シ ン メ ト リ ー 』 の 調 べ

  『シ ン メ ト リー 』 の 中 に 述 べ られ て い る も の は,ワ よ り,思

イ ル の 思 想 そ の も の とい う

想 の 背 景 を 色 ど る 色 調 の よ うな も の で あ っ た と い う感 じ が す る.

  こ の 色 合 い は,次

の よ うな ワ イ ル の 考 え を 映 し 出 し て い る よ うで あ る.

  生 物 の 形 態 や 無 機 物 の 結 晶 な ど に み ら れ る,神 事 な 対 称 性 や,起

源 を は る か シ ュ メ ー ル や エ ジ プ トに ま で さ か の ぼ れ る多 くの 紋

様 や 芸 術 作 品 に み られ る 対 称 性,こ し て い る.対

の 創 造 と し か 思 え ぬ よ うな,見

れ ら の 対 称 性 は,つ

称 性 と は 何 か を 分 析 し,抽

の 概 念 が 現 わ れ て くる.プ

象 し,一

ね にあ る特 殊 な美 を 表 象

般 化 し て い く と,そ

こ に'群'

ラ ト ン的 な イ デ ヤ の 世 界 に 立 っ て い うな ら ば,対

称性

と は 群 そ の も の で あ る.   こ の 対 称 性 と群 と の か か わ り合 い が,数

学 の 中 で 最 初 に 明 確 に さ れ た の は,方

程 式 論 に お け る ガ ロ ア の 天 才 的 な 洞 察 力 に よ る も の で あ っ た.群 の 中 で 育 て ら れ て い っ た が,そ 幹 に 組 み 込 ま れ,や

が て 群 は,対

られ て い っ た の で あ る.実 中 に は,対

際,相

の概 念 は 代数学

の 後 ク ラ イ ン や リー の 仕 事 に よ っ て,幾 称 性 を も つ 働 き と し て,空

何学 の根

間 の認識 に まで高 め

対 性 理 論 や 量 子 力 学 の 表 現 す る物 理 的 世 界 像 の

称 性 が 組 み 込 ま れ て お り,こ

の 対 称 性 を 通 し て,群

が世 界像 の形 成 に

重 要 な 役 割 を 果 た して い る.   そ の 意 味 で は,群

は,数

学 と世 界 像 の 接 点 に あ り,こ

の2つ

の ものが 接 す る場

所 に は,シ

ン メ ト リー と い う形 を と っ た 美 が 現 わ れ て く る.

い くつ か の シ ン メ トリ ー

  ワ イル の

『シ ン メ ト リー 』 に 載 せ ら れ て い る 図 版 の い くつ か を 転 載 し て み よ

う.

図A   図Aは,エ

トル リア の 墓 に 描 か れ て い る 有 名 な 騎 士 の 像 で あ る.左

ン メ ト リー に 基 づ い て 構 図 が な さ れ て い る が,多

右対 称 の シ

少形 式 上 の逸 脱 がみ られ る と ワ

イ ル は 指 摘 し て い る.   図Bの

ギ リシ ャの 紋 様 に は,折

れ る が,図Cの

返 し に よ って 左 右 に 広 が っ て い く対 称 性 が み ら

紋 様 で は 折 返 し は 認 め ら れ な い で,平

行 移 動 に よ っ て,1つ

のパ

タ ー ンが 左 右 に 広 が っ て い く さ ま が み られ る.   図Dは

よ く知 られ た 雪 の 結 晶 で あ っ て,6角

い る.こ

れ ら の 結 晶 は,π/3(=60°)の

図B

形 の 見 事 な シ ン メ ト リー を 示 し て

回 転 に よ っ て,対

称 性 が 保 た れ て い る.

図C

図D

日本 の 紋 様 に み られ る シ ン メ トリー

  ワ イ ル の 本 の 引 用 だ け で は,読 様 の 手 帖 』(小 学 館)を

者 は 退 屈 され る か も しれ な い.こ

参 照 し な が ら,日

こで は,『 文

本 の 紋 様 の 中 に あ る シ ン メ ト リー を 見

て み よ う.   日本 の 家 紋 に は,よ シ ン メ ト リー は,あ

く知 ら れ た よ うに,シ

ン メ ト リー を も つ も の が 多 い.こ

る も の は 左 右 対 称 で あ り,あ

り,ま た あ る も の は,適

る も の は 左 右,上

当 な 角 の 回 転 に よ る 対 称 性 を 示 して い る.

  い くつ か の 例 を 図 示 し て お こ う.

の

下対 称 で あ

抱 き菫

向か い鳩

本多立 葵

二 つ 追 い 燕子 花

向か い 橘

四 つ 目結 車

また 着 物 の絣(か

連翹

三つ 鞠 挟 み

す り)の 柄 に も 美 し い シ ン メ ト リー が あ る.

矢絣

亀甲 絣

Tea

絵絣

Time

対 称性 を もつ パ タ ー ン   対 称 性 を も つ パ タ ー ン を 描 くに は,1つ し て,パ

タ ー ン を 広 げ て い く.も

い し,あ

る 点 を 中 心 に して

ー ン を 広 げ て い っ て も よ い .ま

の 型 を 切 り抜 い て,こ

れ を基 本 の形 と

ちろ ん あ る方 向 に等 間 隔 にず ら して い って も よ

π/3(=60°)と か た 型 を,裏

π/2(=90°)だ け 回 転 し な が ら パ タ

表,裏

表 と と りか えな が ら,等

間隔に

広 げ て い く よ うな パ タ ー ン の 広 げ 方 も あ る.   い ず れ に し て も 対 称 性 を も つ パ タ ー ン は,1つ 移 動 と か,反

転 と か,回

の 型 か ら 出 発 し て,規

転 の 繰 り返 し に よ って 生 成 さ れ る.こ

則立 った

の対 称 性 を 生成 す

る'運

動 の 原 理'を,数

学 的 に 定 式 化 す る と,群

の 概 念 が 生 ま れ て く る.こ

れは

次 講 か ら の 話 題 で あ る.

質 問   シ ン メ ト リ ー の 表 現 す る均 衡 の とれ た 美 し さ は 僕 に も よ くわ か り ます が, 正 直 に い う と,僕 図 形 よ りは,非

は 非 対 称 的 な も の の 方 に 一 層 心 が 惹 か れ ます.静

対 称 的 な も の の 方 が,季

節 や 風 や,僕

す る 世 界 を 写 し て い る よ うで 親 しみ が も て ま す.ワ

か で硬 い対 称

た ち の 心 の 動 き な ど,流

動

イ ル の 感 じ方 と僕 の 感 じ方 は

少 し違 うの で し ょ うか. 答   考 え て み る と,私

自身 も,シ

ン メ ト リー の も つ'神

の 完 全 さ'を

な 美 に,ワ

イ ル の よ うな 強 い 憧 憬 を も ち 得 る か ど うか,少

て くる.詩

に 謳 わ れ て い る よ うな 渇 望 は,ワ

表わす よう

し心 も と な い 感 じ が し

イル の 天 才 的 な 感 性 か ら く る も の な

の か,あ

る い は 私 た ち に は 理 解 で き な い 西 欧 文 化 の 根 源 か らや っ て くる も の な の

か は,私

に は わ か ら ぬ こ とで あ る.時

静 寂 さ の 中 に,ワ

を 止 め た よ うな,シ

イ ル は 永 遠 性 を 感 じ と っ た の か も しれ な い.い

デ ヤ の 世 界 で 数 学 が 完 全 な 形 式 を 求 め よ う とす る 以 上,世 る 揺 ぎ な い シ ン メ ト リー の 美 に 積 極 的 に 働 き か け,そ う と す る こ と は,数 は,私

ン メ ト リー の もつ あ る ず れ に せ よ,イ

界 像 の中 に現 わ れ て く

こか ら 群 の 概 念 を 抽 出 し よ

学 の 創 造 活 動 の 源 泉 に あ る もの で あ る と い う,ワ

イル の哲 学

に も 十 分 理 解 で き る の で あ る.

  な お,君

が シ ン メ ト リー の 美 学 と で も い うべ き も の に 接 し,世

い と 思 う な ら ば,宮

崎 興 二 『か た ち と空 間 』(朝 倉 書 店)を

い だ ろ う.こ の 不 思 議 な 魅 力 に あ ふ れ る 本 は,君 少 し変 え る か も し れ な い.

界 を 広 げ てみ た

ひ も とい て み る と よ

の シ ン メ ト リー に 対 す る 感 じを

第2講 シ ン メ ト リー と 群

テ ー マ

◆ 対 称変換 ◆ 直線上の平行移動 ◆ 平面上の平行移動 ◆ 回転 による対称性 ◆ 回転 と反転―

非可換性

左 右 対 称 シ ン メ トリー とい う とき最 初 に思 い浮 かべ る のは 左右 対称 の図形 で あ る.図1 で,右 側 の 図形 を 左側 に,ま た 左側 の図形 を右 側 に移 す 変 換 を考 え た い ので あ るが,こ の変 換 は,本 質 的 に は,図1の

下 に か い てあ る,直 線

上 で の基 点Oに 関 す る対 称 変 換Tに

よ って引

き起 こされ て い る と考 えて よい.   この対 称変 換Tは,PをP′

に移 して い るが,

同時 に またP′ をPに 移 し てい る.PとP′

はO

に関 して 互 い に対称 だ か らで あ る.す な わ ち 図1 こ の こ と をTT(P)=Pと

表 わ す.TTは,変

換Tを

続 け て二 度 行 な うこ とを意

味 し て い る.   同 じ こ と で あ る が,TTは,恒 明 に な る.そ え てTT=T2と

こで,TT=Iと

等 変 換Iに か くが,さ

か く こ と に す る.し

等 し い と い っ た 方 が,事

情 が 一 層鮮

ら に 変 換 の 繰 り返 し を,変

換 の 積 と考

た が って

TT=T2=I 

(1)

で あ る.   少 し別 の見 方 を す る と

と も か け る.こ こ とで あ る.逆

の 見 方 の 示 す こ とは,Tの 変 換 をT−1で

逆 変 換 が ま たTで

与 え られ る と い う

表わす と T=T−1

で あ る.(1)は

この と き T−1T=TT−l=I

と表 わ さ れ る こ と を 注 意 し て お こ う.

平 行 移 動   図2の よ うに,あ る方 向 に等 間隔 に同 じ型 が 並 ん で1つ の 対称 性 を 示 してい る デザ イ ンを考 え よ う.こ の デザ イ ンを 生成 す る変 換 は,左 下 か ら右 上 へ 向か う斜 め の直 線上 に,各 点 を 一 定 の距離 だけ 同 じ方 向 に(た

とえば 右 に)移 動す る変 換

で与 え られ る.こ れ を 真 横 の直 線 上 の変 換 とし て表 わ せ ば,図2の …,T(P

下の図で

−2)=P−1,T(P−1)=P0, T(P0)=P1,T(P1)=P2,…

で あ る.Tのn回

の 繰 り 返 し をTnと

表 わ す と

Tn(P0)=Pn,Tn(P1)=Pn+1 一般 に Tn(Pm)=Pm+n(m=0,±1,±2,…) 変 換Tnは,図

の 上 で は1つ

ず ら し て,n番

目 の パ タ ー ン に 重 ね る こ とに 対

応 し て い る.

の パ タ ー ン をn回

図2

  も っ と も,こ

の 変 換Tを

を 数 直 線 の 原 点 に,P1を

と 表 わ さ れ る.し

表 わ す に は,数 座 標1を

直 線 を 用 い た 方 が は っ き りす る.P0

表 わ す 点 と し て と る と,変

た が っ て,Tのn回

換Tは

の 繰 り返 し は

とな って

で あ る.   Tの 逆 変 換 をT−1で も の で 与 え られ る.し

表 わ す と,T−1は

図2で

は,Tの

矢 印 の 向 きを逆 に した

た が っ て 左 の 方 向 へ の 平 行 移 動 と な る.数

直線 上 で表 わ す

と

で あ る.T−nはxをx−nへ

移 す 変 換 とな る.

  Iに よ っ て 恒 等 変 換I(P)=Pを

表 わ す こ と に す る と,明

らか に

TT−1=T−1Ｔ=I が 成 り立 つ.   また

から

が 成 り立 つ.な

お,m≠nな

ら ばTm≠Tnで

あ る こ と を 注 意 し て お こ う.

平 面 上 の 平 行 移 動

  図3の

よ うに,平

面 上 の 格 子 の 上 に,同

じ パ タ ー ン が お か れ て 全 体 に 広 が って

い く よ うな デ ザ イ ン の 対 称 性 は,基 本 の 格 子 枠 を 与 え る2つ 向 へ の 平 行 移 動 か ら生 成 され て い る.す 移 動 さ せ る 平 行 移 動 をSと と,こ

の 対 称 性 は,SとTか

の ベ ク トルa,bの

な わ ち 平 面 の ベ ク トルxを,x+aだ

し,xをx+bだ

方 向 に 沿 っ て 一 区 画 ず ら す 変 換 で あ り,Tは

け

け 移 動 さ せ る平 行 移 動 をTと

ら生 成 さ れ て い る.sは,ベ

ク トルxを

方

す る

格 子 の横

縦 方 向 に 沿 っ て 一 区 画 ず らす 変 換 で

図4

図3

あ る(図4).ま

ず 横へ ず ら して 次 に縦 へず ら して も,最 初 に縦 にず ら して次 に

横 へ ず らして も結 果 は 変わ らな い.こ の こ とは ST=TS 

(2)

が 成 り立 つ こ とを示 して い る.   Sの 逆変 換S−1は,Sと

逆 向 きの平 行 移動 で あ り,Tの

逆 向 きの平 行 移動 で あ る.平 行 移 動Sを

逆 変 換T−1は,Tと

左右 へ 何 回か 繰 り返 して得 られ る平 行移

動は Sn  で 与 え られ,Tの

(n=0,±1,±2,…)

上 下 へ の 繰 り返 し で 得 られ る 平 行 移 動 は Tn(n=0,±1,±2,…)

で 与 え られ て い る.た =I(恒

等 写 像)と

  図3で,1つ 横 にm,縦

だ し こ こでS0=T0

お い て い る.

の 場 所 に あ る パ タ ー ン を, にnだ

け 格 子 点を 移 して移 動 さ

せ る変 換 は SmTn で 与 え られ る こ と は 明 ら か だ ろ う(図5). (2)か

ら,こ

の 変 換 はTnSmと

も 同 じ こ と で あ る.

表 わ して 図5

また,た

とな る.一

と え ばS2TとS2T3を

繰 り返 し て 行 な っ た も の は,

般 に はSmTnとSm′Tn′

を 繰 り返 して 行 な っ た 結 果 は

(3) とな る.   な お,こ こで暗 黙 の うち に結 合 則 とよばれ る (ST)S=S(TS) の よ うな 規 則 を用 い て い た こ とを注 意 して お こ う.

回 転 に よ る対 称 性 図6は,小

学 校 の校 庭 な どに み られ る回 旋塔 を上 か ら見 下 ろ した 図を,デ ザ イ

ン 化 し た も の で あ る.円 ろ に 把 手 が つ い て,そ っ て い る.そ

周 を12等

こ に 子 供 た ち が ぶ ら下 が

れ が 正 の 向 き に(時

と は 反 対 向 き に)ぐ

分 した と こ

計 の針 の動 き

る ぐ る ま わ っ て い る.こ

の デ ザ イ ン の も つ 対 称 性 は,2π/12(ラ

  向 き の 回 転Sに

の

ジ ア ン)

だ け の,軸 を 中心 とす る正 の よ っ て 与 え られ て い る.

  Sを 繰 り返 し て 適 用 す る こ と に よ っ て,1つ の 把 手 を も っ て い る子 供 の デ ザ イ ン は,次 次 へ と移 さ れ て い く.た

と え ばSを3回

だ け 回 転 す る こ と を 示 し て い る ．Sを12回

図6 か ら 繰 り返 し たS3は,1つ

繰 り返 し て 適 用 す る と も とへ 戻 る と

い う こ と は, S12=I(Iは

の デ ザ イ ンを

恒 等 変 換) 

(4)

で 表 わ さ れ る.   Sと 同 じ角 で 負 の 向 き に まわ す の をS−1と

表 わ す と,

SS−1=S−1S=I で あ っ て,S−1の

繰 り返 し,S−2,S−3,…

な ど も 考 え る こ と が で き る.S−12=I

で あ る.   図 か ら も明 らか に,正 は,結

の 向 き に9回

ま わ す こ と と,負

果 は 同 じ こ と に な って い る(把

ら まわ っ て も 同 じ配 置 に な る!).こ

の 向 き に3回

まわ す こ と

手 に つ か ま っ て い る子 供 た ち は,ど

ら らか

の こと は S9=S−3

と表 わ さ れ る.こ

れ は(4)を

用い て

と い う よ うな 計 算 で もわ か る.   (4)か

ら,た

とえば

の よ うな こ と も わ か る.一 般 に Sm・Sn=Sm+n(m,n=0,±1,±2,…) とい う規 則 は 成 り立 つ が,Sか

ら生 成 さ れ る 回 転 は,本

質的には

Ⅰ,S,S2,…,S10,S11 の12通

りの 回 転 に 帰 着 さ れ る の で あ る.

回 転 と反 転

  図7で

示 す よ うな,円

周 上 に 等 間 隔 に お か れ た10台

を 変 え て い る よ うな デ ザ イ ン の 対 称 性 に は,2つ   1つ の 見 方 は,互 れ が2π/5(＝72°)ず

つ 回 転 す る こ と に よ っ て,全

互に向き

の 見 方 が 可 能 で あ る.

い に 隣 り合 っ た 向 き の 違 う機 関 車2台

い る と い う見 方 で あ る.こ る.

の 機 関 車 が,交

を1セ

ッ ト に し て,こ

体 の デ ザ イ ン を つ く り上 げ て

の 見 方 を 支 え る 変 換Sは,S5=Iを

み たす 回 転 で あ

図7

図8

  しか し こ こ で は,説 に す る た め,図8の P5で 表 わ し,反

明 の 便 宜 上 も あ っ て,別

よ う に,正

の 見 方 を 採 用 し よ う.説

の 向 き に 向 い て い る機 関 車 を 記 号 でP1,P2,P3,P4,

対 向 き に 向 い て い る機 関 車 をQ1,Q2,Q3,Q4,Q5で

Qi(i=1,2,3,4,5)は,直

線Lに

表 わ す.Piと

関 し て 互 い に 対 称 の 位 置 に あ る.

  こ の と き,こ の デ ザ イ ン の 対 称 性 は,各PiをPi+1(P6=P1と 2π/ 5の 回 転Sと,各PiをQiに 移 す,直Lに 関 す る 反 転(鏡 さ れ た 平 面 の'運   Sに

動'に

明 を簡 単

お く)に

移す

映)Tか

ら生 成

よ っ て 何 回 か 反 転 を 繰 り返 し て も,デ

ザ イ ンの

よ っ て 得 ら れ て い る.

よ っ て 何 回 か 回 転 し,Tに

構 図 は そ の ま ま 保 た れ て い る.こ

の 保 存 され て い る 性 質,そ

れが 対 称 性を 表 わ し

て い る と私 た ち は 考 え る の で あ る.   明 らか に S5=I,T2=I で あ る.こ

こで注 意す る こ とは

ST≠TS とい う事 実 で あ る.す る こ と は,結

な わ ち 反 転 し て か ら 回 転 す る こ と と,回 転 し て か ら反 転 す

果 が 違 っ て く る の で あ る.実

際,図8を

ST(P1)=S(Q1)=Q5 で あ るが TS(P1)=T(P2)=Q2

参 照 す ると

と な っ て い る こ とが わ か る.   この こ と を,SとTは,互   回 転Sと

反 転Tと

い に 非 可 換 な 変 換 で あ る とい う.

の 関係 は STST=I

で 与 え られ て い る.こ

の こ と は,図8を

参 照 しな が ら 読 者 が 確 か め て み られ る と

よ い.

Tea

Time

変換の非可換性   働 き 方 の 違 う2つ が,む

の 変 換SとTに

行 列 で 与 え られ て い る が,2つ ば,ほ

互 い に 非 可 換 とな る 方

面 上 の 線 形 変 換 は,2次

のπ/6(=30°)の

回 転Sと,x軸

け の 平 行 移 動Tと れ は 図9を

は,互

成 り立 っ て い る.こ

の こ と は,A,Bの

面 上 で 原点 中 心 の正 の方 向へ い に非 可 換 で

み る と明 らか で あ ろ う.

の正則な

ま っ た く勝 手 に と っ て くれ

い に 非 可 換 な こ と を 示 し て い る.

  も う少 し見 や す い 例 で は,平

あ る.こ

と え ば,平

の 正 則 な 行 列A,Bを

と ん ど 間 違 い な くAB≠BAが

す 変 換 が,互

の1だ

対 し て は,SとTが

し ろ ふ つ うの こ とで あ る.た

図9

表わ

第3講 群

の

定

義

テ ーマ

◆ 続 け て変 換 を 行 な うこ とを変 換 の乗 法 とみ る. ◆ 群 の 定義 ◆ 群 の定 義 に対 す る コ メ ン ト ◆(ab)−1=b−1a−1 ◆ 変 換 を群 の立 場 か らみ る.

変換の性質 2つ の 変 換SとTが を 行 な う こ と を,前 て み る と,こ

与 え られ た とき,ま ずTの 講 の よ う にSTと

れ は,変

変 換 を 行 な っ て次 にSの 変 換

かい

換 の 集 ま りに1つ

の

乗法 の演 算 を 与 え て い る よ う に み え て く る.

図10

  そ こ で い ま,こ S,Tに

れ を 変 換 の 乗 法 と み る こ と に し よ う.そ

の と き3つ

の 変 換R,

対 し結合 則

(RS)T=R(ST) 

(1)

が 成 り立 つ(図10).   こ の よ う な 基 本 的 な 関 係 を 証 明 せ よ とい わ れ る と,何 多 い.こ

こ は 次 の よ う に 証 明 す る.

  T(P)=P1,S(P1)=P2,R(P2)=P3と P2.し

を 示 して よい のか 当惑 す る こ と が

お く と,RS(P1)=R(P2)=P3;ST(P)=S(P1)=

た が って (RS)T(P)=RS(P1)=P3 R(ST)(P)=R(P2)=P3

し た が っ て 変 換 と し て,(RS)TとR(ST)は

等 し い.

恒 等 変 換Iは 変 換 の 中 で最 も基 本 的な もので あ って,任 意 の変 換Sに SI=IS=S 

対 して

(2)

が成 り立 つ.   また変 換 が1対1の

こ とか ら逆 変 換が つ ね に存 在 す る.変 換Sの 逆 変 換 をS−1

で 表わ す こ とにす る と S−1S=SS−1=I 

(3)

が 成 り立 つ.

群

の

定 義

  変 換 の 集 ま りの 中 に あ る この 演 算 の 規 則 に 注 目 し て,さ 定 を 目 指 す た め,群

の 定 義 を 導 入 す る.

【定 義 】  も の の 集 ま りGが

次 の 条 件 を み た す と き,群

  (ⅰ)  Gの 任 意 の2つ

の 元a,bに

が 定 義 さ れ て い る.abは

ま たGの

  (ⅱ) 

らに も っ と一 般的 な設

3つ の 元a,b,cに

対 し て,乗

法,ま

と い う. た は 積 と よ ば れ る演 算ab

元 と な る.

対 して a(bc)=(ab)c 

  (ⅲ)  単 位 元 と よば れ る 元eが

(結 合 則)

あ っ て,す

べ ての 元 に対 して

ae=ea=a

が 成 り立 つ.   (ⅳ)  す べ て の 元aに

対 し て,aの

逆 元 と よば れ る元a−1が 存 在 し て

aa−1=a−1a=e

が 成 り立 つ.   注意   実 際 は,群 の公 理 とし て要 請 す る条 件 と しては,(ⅲ),(ⅳ)は aa−1=eで よい こ とが 知 られ てい る.

そ れ ぞ れae=a,

定 義 に 対 す る コ メ ン ト

  (ⅰ)は

特 に 問 題 な い だ ろ う.要

す る に,Gか

ら任 意 に2つ

の 元a,b(aとbは

等 し くて も よ い)を う こ と で あ る.こ て い る の が,次

と っ た と き,aとbの

積 と よ ば れ る 元abが1つ

の 積 の 演 算(a,b)→abが,ど

の(ⅱ),(ⅲ),(ⅳ)で

  (ⅱ) は,3つ

の 元 を'か

の よ うな 性 質 を もつ か を 規 定 し

あ る.

け る'と

る と い う こ と を い っ て い る.し

決 ま る とい

き に は,ど

た が っ て3つ

こか らか け て も結 果 は 同 じであ

の元 の積 を 単 に

dbc と表 わ し て も よ い こ と に な る ― 次 にCを

あ る 人 は こ の 並 び 方 を み て,aとbを

右 か ら か け る の だ と読 む だ ろ うが,別

と か らaを 左 か ら か け る と 読 む だ ろ う.ど て い る の が(ⅱ)で

の 人 は,先

にbとCを

か け て, か け て,あ

ち らで も構 わ な い と い う こ と を 主 張 し

あ る.

  こ の こ とか ら,n個

の 元a1,a2,…,anが

番 を 指 定 し な い で,単

に

与 え られ た と き,こ

の 積 を,か

け る順

a1a2…an

と か い て も よ い こ と が わ か る(こ

の 当 り前 そ うな こ と を 厳 密 に 証 明 す る に は,n

に つ い て の 帰 納 法 を 用 い て(ⅱ)を   (ⅲ) は,変

適 用 す る).

換 の 場 合 の 恒 等 変 換Iに

相 当 す る も の がeで

あ り,こ

の よ うなe

の 存 在 を 保 証 し て い る条 件 で あ る と思 っ て 読 め ば 特 に 問 題 は な い.た

だ1つ

注意

す る こ と は,こ

際,も

う1

つ(ⅲ)の

の よ う な 元eは

一 意 的 に 決 ま る と い う こ と で あ る.実

条 件 を み た す 元e′ が あ った と す る と ee′=e′e=e′

と な る が,こ

の式 は(ⅲ)を

  (ⅳ)  に対 し て も,aの る.実

際,(ⅳ)の

み る とeに 逆 元a−1は

も等 し くな っ て い る.ゆ

え にe=e′.

一 意 的 に 決 ま る こ とを 結 論 す る こ と が で き

条 件 を み た す も う1つ の 元a−1を

とる と

a−1a=e こ の 両 辺 にa−1を 右 か ら か け る と a−1aa−1=ea−1 こ の 左 辺 はa−1(aa−1)=a−1e=a−1,右 aの 逆 元 が た だ1つ   ま た(ⅳ)は,a−1の

辺 はea−1=a−1.こ

れ でa−1=a−1が

い え て,

の こ とが わ か っ た. 方 を 主 体 に 考 え る と,aがa−1の

逆 元 に な っ て い る とい

う こ とを 示 し て い る.す

なわ ち

(a−1)−1=a

(ab)−1=b−1a−1

abの

逆 元 は,b−1a−1と

な る.な

ぜ な ら

ab(b−1a−1)=a(bb−1)a−1=aea−1=aa−1=e (b−1a−1)ab=b−1(a−1a)b=b−1eb=b−1b=e とな り,定

義 の(ⅳ)を

み る と,こ

の2式

は

(ab)−1=b−1a−1

を 示 し て い る こ とが わ か る か らで あ る.   逆 元 を と る と き,積

の 順 序 が 逆 に な る の は,何

しれ な い.こ

換 の と き を 考 え る と よ くわ か る の で あ る.パ

れ は,変

換TでBに

移 り,変

で あ る.こ

の 逆 変 換 は,CをBに,BをAに

こ の こ と は,明

換Sで

さ ら に パ タ ー ンCに

変 換   前 講 で 述 べ た い くつ か の 変 換 の 例 を,群

は,変

み る と,一

の 立 場 か ら改 め て 見 直 し て み よ う.ま の 基 本 的 な 要 請(ⅱ),(ⅲ),(ⅳ)

の 条 件 を み た す な ら ば,Gは

S,T∈G⇒ST∈G I∈G S∈G⇒S−1∈G

なわ ち

と 群

般 的 に,群

が わ か る.

変

示 し て い る.

換 の 中 で は す べ て 成 り立 っ て い る こ と が わ か る.し

れ た 変 換 の 集 ま りGが,次

タ ー ンAが

移 った とす る と

と移 す こ と に な る.す

らか に(ST)−1=T−1S−1を

ず(1),(2),(3)を

か 妙 だ と思 わ れ る 人 も い る か も

たが って勝 手 に与 え ら 必 然 的 に群 とな る こ と

(Ⅰ)  左 右 対 称   左 右 対 称 を 与 え る 変 換 をTと

す ると G={I,T}

は2つ

の 元 か ら な る 群 を つ く る.T2=Iに

よ って

T=T−1 と な っ て い る こ と が わ か る(前

講 参 照).

(Ⅱ)  平 行 移 動   平 行 移 動 全 体 は,'最

初 の'平

行 移 動 を 与 え る 変 換 をTと

すると

G={…,T−n,…,T−1,I,T,T2,…,Tn,…} で 与 え られ る. TmTn=Tm+n(T0=Iと で あ り,Tnの

逆 元 はT−nで

お く)

与 え ら れ るか ら,Gは

群 に な る.

(Ⅲ)  平 面 上 の 平 行 移 動   平 面 上 の 平 行 移 動 を 生 成 す る,'最 方 向 の 平 行 移 動 をTと

す る と(前

初 の'横

方 向 の 平 行 移 動 をS,'最

初 の'縦

講 参 照)

G={SmTn￨m,n=0,±1,±2,…,±n,…} は,平

面 上 の 平 行 移 動 を 与 え る.こ

Sm,S0Tn=Tnで

お い て あ る.ま

たSmT0=

あ る.

  前 講 の(3)か TSだ

こ でS0T0=Iと

ら,Gの2つ

の 元 の 積 は ま たGに

か ら(SmTn)−1=S−mT−nと

含 まれ て い る.ま

な り,逆 元 もGに

た,ST=

含 ま れ て い る か ら,Gは

群

に な る. (Ⅳ)  回

転

あ る 点 を 中 心 に し て2π/12だ け 正 の 向 き に 回 転 す る 変 換 をSと

す る と,

G={I,S,S2S3,…,S11} は 群 と な る.こ

れ は 前 講 で 述 べ た こ と か ら 明 ら か で あ る が,形

式 的 に 述 べ る と次

の よ う に な る.   S12=Iに

よ っ て,た

に 考 え る と,Gの2つ   ま たSmの

と え ばS6S8=S14=S2,S10S10=S20=S8と の 元Sm,Snに

逆 元S−mは,m+n=12と

対 し て,SmSn∈Gの な るnを

な る.こ

の よう

こ と が わ か る.

と った と きSnで

与 え られ る:

Sm・Sn=Sm+n=S12=I.し   こ の2つ

た が っ てS−m=Sn∈G.

の こ とか ら,Gは

群 と な る こ とが 結 論 され る.

(Ⅴ)  回 転 と反 転 前 講 の よ うに,2π/5の

回 転 をS,反

転 をTと

し行 な っ て 得 られ る 変 換 全 体 は 群 とな る が,こ

す る.こ

の と きSとTを

繰 り返

の群 に 属す る変 換全 体 は どの よ う

に か き 表 わ さ れ る か を 考 え て み よ う.   ま ずS5=Iか

ら,回

転 の 全 体は {I,S,S2,S3,S4}

で あ る.ま

たT2=Iか

ら,反

転は {I,T}

だ け で あ る.こ   し か し,い

の そ れ ぞ れ は,前

に 述 べ た よ う に 群 を つ く っ て い る.

ま 考 え て い る変 換 に は,回

転 と反 転 を 繰 り返 し た

SSTSTSSSTS  の よ うな も の が 含 ま れ て い る(Tが わ れ て い な い の は,T2=Iだ 間 に は,基

(4)

続 け て 繰 り返 さ れ た 形 で,こ

か ら で あ る).し

の表 示 の 中 に現

か し 前 講 で 述 べ た よ うにSとTの

本的 な関 係 STST=I

が あ る.   こ の 式 は,両

辺 に(ST)−1を

か け て,(ST)−1=T−1S−1に ST=T−1S−1

あ る い は,T=T−1だ

か ら ST=TS−1

と か い て も よ い.し

た が っ て,た

とえば

SSTST=STS−1S=ST2=S STSTST=STTS−1ST=ST 同 じ よ う に 計 算 し て(4)は SSTSTSSSTS=STS−1STTS−1S−1S−1S =TS−3(=TS2) と な る.

注 意 す ると

こ の よ う に し て2π/5の

回 転Sと

反 転Tか

ら得 ら れ る群 は,結

局

{I,S,S2,S3,S4,T,TS,TS2,TS3,TS4} か ら な る こ と が わ か る.こ

れ は 図 形 の 上 か ら考 え て も 明 らか な こ と で あ る.

Tea

Time

質 問  群 とい う概 念 は 誰が 最 初 に考 え た ので すか. 答  ワ イルの い うよ うに,2つ

の 図形 が 対 称 で あ る とい う ことを 認識 す る背 景 に

は す で に群 の 概 念 が あ る とす る と,群 の概 念 の源 流 は,人 間 の文化 の発祥 のあ た りまで さか の ぼ れ るのか も しれ な い.そ れ に比 べ れ ば,こ 概 念 が数 学 の 中 で 確立 した のは,ご

く最 近 の こと―

こで述べ た よ うな群 の

い まか ら約160年 前 の こ と

―で あ る とい って よい.方 程 式 論 へ の18世 紀 後半 の強 い 関心,特 に カル ダ ノ, フ ェ ラ リに よ る4次 方 程 式 の解 法 の論 拠 を 求め て,5次

以 上 の 方程 式 の解 の公 式

を 求 め よ うとす る努 力が,深 い海 の 底 に じ っとひ そ ん で暗 黙 の うち に働 い てい た 群 の働 き を,数 学 の 明 るい 海面 へ と浮 上 させ る契 機 とな った ので あ る.   この方 向を 切 り拓 いた 先駆 者 と して,ラ グラ ンジ ュや ル フ ィニ(1765-1822), コ ーシ ー な どの 名 前 を あげ る こ とが で き る.ル フ ィニの仕 事 は,当 時 の数 学 者 か らは ど こか 疑わ しそ うだ とみ られ て,十 分 の評 価 は得 られ な か った よ うで あ る. ル フ ィニは,あ る こ とを 仮 定 した 上 で,5次

以上 の方 程 式 の 代 数的 解 法 は不 可能

で あ る こ とを 示 した ので あ るが,こ の結 果 を最 終 的 に完 全 に証 明 した の は ア ーベ ル で あ る.そ の 後 ル フ ィニの仕 事 は再 評 価 され,彼 の 仕事 の 中にす で に置 換 群 に 関 す るい くつ か の基 本 的 な概 念 が 存在 して い る ことが 知 られ る よ うにな った.   しか し,決 定 的 な一 歩 は,20才 と7ヶ 月で 決 闘 で この世 を去 った 天才 少 年 ガ ロア(1811-1832)に よ って踏 み 出 され た.ガ ロアは方 程 式 の ガ ロア群 を定 義 し た が,こ

こで 置 換群 が 前 面 に登 場 し,方 程 式論 の 全 容 を 明 らか に す る とい うこ と

に な った.こ れ 以来,群 が単 に さ まざ まな 芸術 作 品 の デザ イ ンの上 だ け では な く て,数 学 の諸 概 念 の上 に,積 極 的 に働 きか け て くる よ うにな った の であ る.

第4講 群 に関 す る基本 的 な概 念 テ ーマ

◆ 有 限群 と無 限群 ◆ 可換 群 ― ◆3つ

ア ーベ ル 群―

と,非 可 換 群

の もの の上 の置 換

◆ 置 換 の 表示 ◆3次

の対 称群S3

◆S3の

非可 換 性

有 限群 と無 限 群

左 右 対 称 の 変 換 が つ く る 群 や,2π/12だ け の 回 転 が つ く る群 は,前 に,元

の 数 が 有 限 個(前

で あ るが,平

の 群 は 元 の 数 が2,あ

行 移 動 の つ く る 群 は,そ

講 でみ た よ う

と の 群 は 元 の 数 が12)か

れ に 反 し て,元

らな る群

が 無 限 に あ る.

  元 の 個 数 が 有 限 個 で あ る よ うな 群 を 有 限 群 と い い,元

が無 限 に あ る よ うな群 を

無 限 群 とい う.   無 限 群 の 方 の 例 を 少 し あ げ て お こ う.   Z:整

数 全 体 の集 ま り Z={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}

は,加

法 の 演 算 に よ っ て 群 に な る(こ

a+bと

表 わ す こ と に な る).0は

の と き は,群

単 位 元 で あ る:n+0=n.ま

元 は −5で 与 え られ る:5+(−5)=0.Zは   R:実 元 は0で   R*:R*に

数 全 体 の 集 ま りRも あ り,実 数tの よ っ て0で

の 演 算 は,abで

は な くて,

た た と え ば5の

逆

無 限 群 で あ る.

加 法 の 演 算 に よ っ て 無 限 群 とな る.こ の 場 合 も単 位

逆 元 は −tで あ る. な い 実 数 全 体 の 集 ま りを 表 わ す こ と に す る.R*は,実

数 の 乗 法 の 演 算 に よ っ て 群 と な る.こ

の 群 の 単 位 元 は1で

あ る:t・1=t.ま

たt

の 逆 元 は1/tで 与 え ら れ る:t・1/t=1.R*は   な お,R自 ら,0に

身 は,乗

無 限 群 で あ る.

法 の 演 算 で は 群 と な らな い こ と を 注 意 し て お こ う.な ぜ な

は 逆 元 が な い か ら で あ る.

  行 列 の こ とを 知 っ てい る人 は,n次

の 正 則行 列Aの

全 体 が,行 列 のか け 算 で 群 に な る こ

とも,容 易 に確 か め る こ とが で き るだ ろ う.こ の とき単 位 元は,n次 れ る.Aの

逆 元 は,Aの

もので あ る と考 え る こ ともで き る(1次

の正 則 行列 は,0で

  有 理 数 の 全 体 は 加 法 に 関 し て 群 に な る.0で を つ くっ て い る.こ

の単 位 行 列 で与 え ら

逆 行 列A−1で あ る.こ れ も無 限群 で あ っ て,群R*を

一般 化 した

な い実 数 で あ る!).

な い 有理 数 全 体 は 乗法 に関 して群

れ ら も と も に 無 限 群 で あ る.

可換 群 と非 可 換 群

  群 の か け 算 の 性 質 に 注 目 す る こ と に よ っ て,群

を,大

き な2つ

の ク ラス にわ け

る こ と が で き る. 【定 義 】

群Gの

か け 算 が つね に ab=ba

を み た す と き,Gを

可 換 群 で あ る と い う.可 換 群 で な い 群 を 非 可 換 群 と い う.

  可 換 群 を ア ー ベ ル 群 と も い う.可

換 群 の と き,2つ

の 元 の 積 を,abと

か く代 り

に a+b とか く こ と も 多 い.し

た が っ て こ の 記 法 を 用 い る と きに は,特

に断 らな くと も

a+b=b+a が つ ね に 成 り立 っ て い るわ け で あ る.可 わ し た も の を,加   加 群 で は,単

換 群 で,乗

法 の 規 則 を こ の よ う に+で

表

群 と い う こ と も あ る. 位 元 を0(ゼ

ロ)と

表 わ す の が 慣 例 で あ る.し

た が って

a+0=0+a=a で あ る.ま

たaの

逆 元 を−aで

表 わ し,a+(−a)を

て a−a=0 で あ る.

単 にa−aと

か く.し た が っ

Z,R,R*は

可 換 群 で あ る.ま

た2π/12や2π/5の

つ く る群 も 可 換 群 で あ る.Z,R,R*は

回 転,一

般 に は2π/nの

無 限 可 換 群 で あ る し,回

回 転 の

転 のつ くる群 は

有 限 可 換 群 で あ る.   い ま ま で 述 べ て き た 群 の 例 の 中 で,非 ら 生 成 さ れ た 群(第3講(Ⅴ))だ る.そ

可 換 群 の 例 を 与 え る の は,回

け で あ る.し

転 と反 転 か

か し 非 可 換 群 は た くさ ん 存 在 す

れ に つ い て は これ か ら し だ い に 述 べ て い く こ と に し よ う.

 行 列 の こ とを 知 っ て い る人 は,た とえば2次 の行 列A,Bに

対 して,一 般 に はAB≠BA

で あ り,し たが って2次 の 正 則行 列全 体 は,非 可 換 群 を つ くっ てい る こ とが わ か るだ ろ う.

3つ

  3つ の も の を,い

の も の の 上 の 置 換

ろ い ろ に 移 しか え る こ とを 考 え て み よ う.3つ

b,cと す る と,aをbに

か え,bをcに

か え,Cをaに

の も の をa,

か え る と い う よ うな こ と

を 考 え て み よ う と い う の で あ る.   そ れ は3つ が1つ

の も の{a,b,c}の

お きか え―

置 換―

の 順 序 に し た が って 並 ん で い る と考 え れ ば,順

を 考 え る と い っ て も よ い.こ を 自 分 自身 の 上 に1対1に   こ の 写 像 は6通

と い っ て も よ い し,a,b,c 序 の 入れ か え―

の 節 で は も う少 し 改 ま っ た い い 方 で,集

順 列― 合{a,b,C}

移 す 写 像 を 考 え る と い う こ と に し よ う.

り(3!=6)あ

っ て,そ

れ は 次 の よ う に 表 わ され る.

(#)

こ の よ うに か い た だ け で は,少 て 竹,cと

し味 気 が な い か も し れ な い.aと

し て 梅 を と っ た と き,こ

変 わ る か を,デ

の 写 像 に よ っ て,松

ザ イ ン の 変 化 と し て 図11で

  こ の 写 像 の 合 成 を 考 え て み よ う.φiを の を,φi°φjと 表 わ す こ と にす る.た

し て 松,bと

し

竹 梅 の 配 列 が ど の よ うに

示 し て お い た. 行 な い 次 に 引 き 続 い てφjを 行 な っ た も

と え ば 上 のφ2,φ4を

参 照 す ると

図11

した が っ て

ま た 上 の φ6,φ3を 参 照 す る と

したが っ て

こ の 結 果 は(#)と

見 比べ る と φ4° φ2=φ5,φ3° φ6=φ4 

の こ と を 示 し て い る.同

じ よ うに し て,た

(1)

とえ ば

φ2° φ2=φ1,φ3° φ5=φ1 

(2)

の よ うな こ と も わ か る.   2つ の 写 像 φiと φjを 合 成 し た 結 果 も,{a,b,c}か 写 像 とな っ て い る の だ か ら,(#)の

中 の1つ,た

な ら な い;φj° φi=φk・ 写 像 の 合 成 φj° φiを,φiと み た し て い る(こ

れ に つ い て は,第3講,'変

  ま た φ1は 恒 等 写 像 だ か ら,す

ら 自分 自身 の 上 へ の1対1 とえ ば φkに な っ て い な くて は φjの 積 と考 え る と,結

換 の 性 質'を

合則を

参 照).

べ て の φiに 対 し て φ1° φi=φi°φ1

と な っ て い る.φiの

逆 写 像 を φi−1と表 わ す と φi−1° φi=φi°φi−1=φ1

で あ る.φi−1も{a,b,c}を

自分 自身 の 中 へ 移 す 写 像 な の だ か ら,や

は り(#)の

中 の1つ

に な っ て い る.た

と え ば,(2)は φ2− φ2,φ5−1=φ3

の こ と を 示 し て い る.   これ ら の こ とか ら,(#)に

現 わ れ た6個

規 則 とす る こ と に よ っ て,群

を つ く る こ とが わ か る.

  こ の 群 を,{a,b,c}上

の 置 換 群,ま

の写 像 全 体 が,写

た は3次

像 の 合成 を 積 の 演算

の 対 称 群 と い い,S3で

表 わ す.

置換 の 表 示

  S3の 元 は,φ1,φ2,φ3,φ4,φ5,φ6で あ る が,こ

こ の 記 号 は,写

像 φiに よ っ て,a,b,cが

れ ら を ふ つ う次 の よ う に表 わ す.

そ れ ぞ れ ど こへ 移 るか を 明 示 し て い る 点

に 特 徴 が あ る.   この 記 号 を 用 い る と,(1)は

そ れ ぞれ

(3)

とか くこ とが で き る.

S3の 非 可 換 性   (3)の

左 辺 で積 の順 序 を と りか え てみ る と

(4) し た が っ て(3)と(4)を

見比 べ て み る と

(5)

と な る こ とが わ か り,S3が   (5)を

非 可 換 で あ る こ と が わ か る.

よ くみ る と,aとbを

と りか え て か ら,bとcを

と りか え る こ と と,

と りか え て か ら,aとbと

を と りか え る こ と で

こ の 手 順 を 入 れ か え て,bとcを は,違

う結 果 に な る こ と を 示 し て い る.読

者 は,こ

ん な 簡 単 な 操 作 で も,操

手 順 を 変 え る と結 果 が 異 な る の に 驚 か れ た か も し れ な い.こ 合 成 と い う操 作 は,本 に,端

来 非 可 換 性 を もつ と い う事 実 が,こ

こ は む し ろ,写

作の 像の

の よ うな 簡 単 な 場 合

的 に 示 さ れ て い る と み た 方 が よ い.

  一 般 的 な 立 場 で い うな ら ば,2つ

の 異 な る 写 像 の 合 成 が 可 換 性 を 示 す の は,む

し ろ 例 外 的 な こ と で あ る と い っ て よ い の で あ る.   そ し て そ の こ とが,群

の 理 論 で,可

換 群 の 研 究 よ り は,非

は るか に 大 き な ウ エ イ トが あ る こ と の1つ

Tea

の 理 由 と な っ て い る.

Time

質 問  座 標 平 面 上 の 原 点 中 心 の 回 転 で,回

転 角 が2π/nの

も とへ 戻 る こ とは わ か り ます.点P(1,0)に,こ 点Pを1つ

の 頂 点 と し て,単

角 が2π÷5/7で

と え ば,原

が お 聞 き した い

点 中 心 で,回

た,回

転 角 が 

うな 回 転 を 繰 り 返 し て い く と,ど

転

の よ

んな 状態 にな っ

ん な 群 が で て く る の か とい う こ と で す.

答  2π÷5/7,す P(1,0)を

ほ ど こ し て い く と,

あ る よ うな 回 転 を 繰 り返 し て い く と

ど うな る の で し ょ うか.ま

図12の

の 回 転Sを

まわ っ て

分 数 や 無 理 数 の と き に は ど うな る の だ ろ

うか とい う こ と で す.た

て,ど

と き は,n回

位 円 に 内 接 す る 正n角

形 の 頂 点 が 順 次 得 られ て き ま す.僕 の は,nが

可換 群 の研 究 の方 に

な わ ち2π/5×7の

頂 点 と し,単

回 転 角 で ま わ る 回 転Sの

位 円 に 接 す る正5角

よ う にP0,P1,P2,P3,P4と

形 の 頂 点 を,Pか

す る.2π/5×7を,2π/5×(5+2)と

図12 場 合 を 考 え よ う.点 ら は じ め て,順

に,

か き 直 し

て み る とわ か る よ う に,Sに だ け まわ る.し

よ っ て,円

周 上 の 点 は,1周

し て,さ

ら に2π/5×2

たが って

とな る.し た が っ て この場 合 もS5=Iで

あ る.5回

まわ れ ば も とへ戻 る とい う性

質を 単 に,群 の乗 法 の性 質 と考 え れ ば,2π/5の 回転 も,2π/5×7の 回転 も,群 立 場 で は 同 じ もの と考 え て も よい ので あ る.両 方 と も,正5角

の

形 の 回転 に関 す る

対 称 性 を 示 して い る. それ に反 して回 転角 が  何 回Tを

の 回転 をTと

繰 り返 して行 な って も,Pに

す る と,円 周 上 の任 意 の 点Pに,

二 度 と戻 っ て くる ことは ない.す

なわ ち,

は,す べ て 円周 上 の異 な った 点 とな る.実 際 これ らの点 は,円 周上 に稠 密 に分 布 して い る こ とが 知 られ て い る.し た が って,Tは る.

無 限 可 換群 を生 成 す るの で あ

第5講 対 称 群 と正6面 体群 テーマ

◆n次

の対 称 群Sn

◆ 対 称群S1,S2,S3,S4 ◆ 正6面 体 群 ◆ 正6面 体 群 の元 の数 え 上 げ ◆ 群 の 同型 ◆ 正6面 体 群 は4次 の 対 称群 と同型 に な る.

n次

  一 般 にn個

の 対 称 群

の もの {a1,a2,…,an}

の 置 換 全 体 の つ くる 群 を,{a1,a2,…,an}上 い.Snで

表 わ す.Snの

の 置 換 群,ま

た はn次

の 対 称 群 とい

元 は一 般 に

(1) と 表 わ す こ と が で き る.こ

こ で ｉ1,i2,…,inは,1,2,…,nの

  写 像 と 考 え る と,(1)はa1,a2,…,anを

順 列 を 表 わ し て い る.

そ れ ぞれ

a1→ai1,a2→ai2,…,an→ain

へ と移 す 写 像 と 考 え て い る.   Snは,写

像 の 合 成 に よ っ て 群 を つ く っ て い る.Snの

の 順 列 のn!に

等 し い.も

っ と も,有

元 の 個 数 は,n個

限 群 の と き に は,元

の 個 数 に つ い て,ふ

つ う次 の よ うな 言 葉 づ か い に 関 す る 定 義 を お い て い る.   【定 義 】 有 限 群 の 元 の 個 数 を,こ   この い い 方 に した が え ば,Snは,位

の 群 の位 数 と い う. 数n!の

の もの

有 限 群 で あ る.

記 法 の 簡 易 化   {a1,a2,…,an}の わ ず ら わ し い.下

上 の 置 換 群 を 調 べ る の に,い の 添 数 だ け に注 目 し て,単

ち い ちa1,a2…,anと

に,1,2,…,nと

か くことは

か く こ と に し よ う.

そ うす る と(1)は

と表 わ さ れ る こ と に な り,(1)に   以 下 で は,n次

の 対 称 群Snを

比 べ れ ば ず っ と 簡 明 で あ る. 調 べ る と き に は,い

つ も この記 法 を採 用 す る こ

と に し よ う.

対 称 群S1,S2,S3,S4

S1:S1は

単 位 元 だ け か ら な る 位 数1の

S2:S2は

位 数2の

と,も

う1つ

群 で あ っ て,単

群 で あ る.

位元

の元

と か ら な る.

で あ っ て,し   g2=eの

た が っ てg=g−1で

よ う に,二

こ す 変 換 や,平

あ る.

度 か け る と 単 位 元 に な る よ うな 状 況 は,左

右 対 称 を 引 き起

面 上 で あ る 直 線 に 関 し て 反 転 を 引 き 起 こす よ うな 変 換 で 出 会 っ た

こ と を 読 者 は 思 い 出 さ れ る だ ろ う. S3:S3は

位 数6の

群 で あ っ て,前

講 で 述 べ た よ う に,S3は

置換

か ら な る.S3は   S4:S4は

非 可 換 群 で あ る.

位 数24(4!=24)の

の よ うな 元 か ら な る.こ

群 で あ る.S4は,た

の2つ

とえば

の元 の積 は

(2) で あ る.ま

た

と な る.S4も

非 可 換 群 で あ る.実

際,(2)の

左 辺 で 積 の 順 序 を と りか え る と,

結 果 が 違 っ て く る.   な お,一

般 にn≧3の

と き,Snは

非 可 換 群 で あ る.

正6面

  図13で

示 し て あ る よ う な,正6面

体 群

体 を 考 え よ う.正6面

の 正 方 形 を 面 とす る 立 方 体 の こ とで あ る.正6面 線 が あ る.図

で は これ ら を Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ

体 と は,合

体 に は 中 心Oを

に

よ っ て 示 し て あ る.   こ の 正6面

体 の 形 を そ の ま ま 保 つ よ うな

Oを 中 心 と す る 回 転 は,(す

な わ ち 正6面

体 の 対 称 性 を そ の ま ま 保 存 す る 回 転 は)以 下 で み る よ うに,全

体 で24個

あ っ て,そ

れ ら は,回

転 の 合 成 を 積 と して 群 を つ く っ

て い る.こ

の 群 を 正6面

体 群 と い い,P(6)

で 表 わ そ う.   まず,g∈P(6)な

らば,gは,正6面

体

図13

同 な6個

通 る4個

の 対角

を 正6面

体 に 移 し,し

た が っ て ま た 対 角 線 を 対 角 線 に 移 し て い る.し

gは 対 角 線 Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ   対 角線

Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ

の 置 換 を 引 き 起 こ して い る ． の 置 換 の 総 数 は24個

換 を 引 き 起 こ す よ うな,P(6)の   そ うす る と,P(6)の な る.こ

こ で,回

で あ る が,こ

の24個

のそ れ ぞれ の置

元 が あ る こ と を す ぐ以 下 で 示 そ う.

元 は,{Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ}の

転 を 繰 り返 し て 行 な う こ と は,置

上 の 置 換 と 同 一 視 され る こ と に 換 を 繰 り返 し て 行 な う こ と と

同 じ こ と に な る こ と を 注 意 し て お こ う.そ れ で 結 局,正6面 の 対 称 群S4と

た が っ て,

体 群P(6)は,4次

同 一 視 し て も よい と 結 論 さ れ る こ と に な る の で あ る.

正6面

体 群 の 元

  対 称 群 の 記 号 と 合 わ す た め に,図13の

対 角 線 Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ を1,2,3,4と

表わす

こ と に す る.   (ⅰ)  恒 等 変 換

恒等変換 は,恒 等置換(

1234

)

に 対 応 す る.

1234   (ⅱ)  中 心 軸 の ま わ りの,π/2,π,3/2π   図14(a)で,底

の回 転

面 を 通 る中 心 軸 の ま わ りの 回 転Tに

よ っ て,順

置換

(a)

(b) 図14

(c)

次 対 角線 の

が 引 き起 こされ る.   同様 に,側 面 を 通 る他 の2つ の 中心 軸 の まわ りで は,順 次 対 角 線 の置 換

お よび

が 引 き 起 こ さ れ る. (ⅲ)対

角 線 の ま わ り の2π/3,4π/3の

  図14(b)で,対

回転

角 線 Ⅰの まわ りの 回 転 に よ っ て,対

角線の置換

が 引 き起 こ され る.最 初 の置 換 が2π/3の 回転 に よる もの であ り,次 が も う 一 度 回 転 した,4π/3の 回転 に よる もので あ る.   同様 に他 の3本 の 対 角線 の まわ りで (Ⅱ の ま わ り)

(Ⅲ の ま わ り)

(Ⅳ の まわ り)

  (ⅳ)対

辺 の 中 点 を 結 ぶ 直 線 の ま わ り の πの 回 転

  こ の と き は,図14(c)で

示 し て あ る が,そ

対 角 線 の 置 換 が 引 き起 こ さ れ る.そ (1 2),(1 の6個

で あ る.こ

わ し て い る.た

3),(1

ずつ

れ らは全 体 で 4),(2

こで 記 号(ab)は,aとbだ とえば

れ ぞ れ の 直 線 の まわ り で1つ

3),(2

4),(3

4)

け の 入れ か え―

互換―

を表

で あ る.   これ らを 総 合 す る と,(ⅰ)の

場 合 か ら は 単 位 元 が1つ,(ⅱ)の

4つ の 対 角 線 を す べ て 入 れ か え る置 換 が9個,(ⅲ)の を 入 れ か え る置 換 が8個,(ⅳ)の 置 換 が6個

場 合 か ら は,

場 合 か らは3つ

場 合 か ら は,2つ

の 対角 線

の対 角 線だ け を入 れ か え る

登 場 し て い る.

  これ ら の 総 計 は 1+9+8+6=24 で あ っ て,4次

の 対 称 群S4の

位 数 と一 致 し て い る.

群

  正6面 正6面

体 群P(6)と,4次

方 は,4個

同 型

の 対 称 群S4は,働

体 群P(6)は,正6面

称 群S4の

の

く場 所 が ま っ た く違 っ て い る.

体 の 形 を 変 え な い よ うな 空 間 の 回 転 か らな る し,対 の も の{1,2,3,4}の

上 に 働 い て,こ

のす べ て の置 換 を引 き

起 こ して い る.し

た が っ て 群P(6)と

い う と き に は,私

べ て い る し,S4と

い う と き に は,4個

の も の の 集 ま りを まず 考 え にお い て い る.

  しか し,こ

の よ う に ま っ た く異 な る 様 相 を 示 し て い る2つ

が 引 き 起 こ す 対 角 線 の 置 換 に 注 目す れ ば,上 S4の

た ち は立 方体 を 思 い浮 か

元 と 見 な す こ と が で き る.回

の 群 も,P(6)の

に み て き た よ う に,P(6)の

転 を 引 き 続 い て 行 な う こ と は,置

い て 行 な う こ と に な っ て い る.し

た が っ て,正6面

の 上 に 引 き 起 こ さ れ る置 換 も,背

景 に あ っ て 支 配 し て い る の は,同

い う観 点 が 生 じ て く る.ワ {1,2,3,4}の

元 は, 換 を引 き 続

体 に 働 く回 転 も,{1,2,3,4}

イ ル の い い 方 に な ら うな らば,正6面

並 び 方 を 律 す る 規 則 性 も,イ

元

じ群 で あ る と

体 の 対 称 性 も,

デ ヤ の世 界 で 見 る と き には 同 じ群 の 働

き に よ っ て 統 合 さ れ て い る.   こ の よ うな 視 点 を,純

粋 に 数 学 の 立 場 に 立 っ て 定 式 化 し よ う と す る と,次

の定

義 が 生 ま れ て く る. 【定 義 】2つ

の 群G,G′

が 次 の 条 件 を み た す と き,GとG′

う:   Gか

らG′ の 上 へ の1対1写

像 φが存 在 して φ(ab)=φ(a)φ(b)

は 同型 で あ る と い

が 成 り立 つ.   群GとG′

が 同 型 の こ と を,記

号 G〓G′

で 表 わ す.ま

た,Gか

らG′

へ の 同型 を与

え る 写 像 φ を,Gか

らG′

へ の 同型 写

像 と い う.   G,G′

の 単 位 元 を そ れ ぞ れe,e′

と す る と,φ

φ(e)=e′ ま た,a(∈G)の

逆 元a−1は,φ

ea=a′

に よ っ て,φ(a)の

の よ う に し て わ か る.単

逆 元 へ と 移 る:

位 元eを

(4) 規 定 す る 条 件'す

が そ の ま ま φ に よ っ て,φ(a)φ(e)=φ(e)φ(a)=φ(a)とG′

φ(e)=e′

と な る.(4)も,逆

=φ(a−1)φ(a)=e′

に 移 す:

  (3)

φ(a−1)=φ(a)−1    (3)は,次

はeをe′

元 の 条 件aa−1=a−1a=eが

べ て のaに

対 し てae=

に 移 さ れ,し

た が って

そ の ま ま φ に よ っ て φ(a)φ(a−1)

とG′ に 移 さ れ る こ と に 注 目 す る と よ い.

  こ の 同 型 の 概 念 を 用 い る と,上

に 述 べ て き た こ と は,簡

単 に

P(6)〓S4

と 表 わ され る.こ

の 同 型 対 応 は,P(6)の

元 が,正6面

体 の対 角線 に引 き起 こす

置 換 に よ っ て 与 え られ る.   な お,一 般 に G〓G′ G〓G′,G′

 ⇒G′〓G 〓G"⇒G〓G"

が 成 り立 つ こ とは 容 易に 確か め られ る.実 際,上 の関 係 を確 か め るに は,同 型 写 像 の逆 写 像 を考 え る と よい し,下 の 関係 を 確 か め る には,同 型写 像 の 合成 を 考 え る と よい.

Tea

Time

左右対称の群   左 右 対 称 を与 え る群 は,単 か らな り,T2=Ⅰ

位 元 を与 え る恒 等 変換 Ⅰ と対 称 変 換 を与 え るTと

で あ る.対 称変 換 とい うと,私 た ち は,ま ず 何か 左 右対 称 の も

のを 考 え よ う とす るが,一 時 代 前 は こ うい う ときに は,神 社 の 鳥居 の 前 に左 右 に おか れ て い る狛 犬 な どが よ く引 き合 い に 出 され た.い ま な らば,ど ん な ものを思 い浮 かべ る のだ ろ うか.ジ

ェ ッ ト機 が 空港 に止 ま って い る と き,真 前 か ら 見 る

と,完 全 に左 右対 称 にな って い る.し か し,こ うした例 は,自 然 にす ぐ思 い つ く 例 な のだ ろ うか.  左 右 対 称 を与 え る群 は,2次

と し て,同

の対 称群S2と

同型 で あ る.実 際

型 対 応 を 与 え る こ とが で き る.

  ま た 次 の よ うな 群 と も同 型 に な る.い

ま0と1に

対 し て,加

義 し よ う. 0+0=0,0+1=1+0=1,1+1=0 そ うす る と,{0,1}は

群 に な る が,こ

の 群 も,対

I→0,T→1 に よ って,左

右 対 称 の 群 と 同 型 に な る.

応

法 を 次 の よ うに 定

第6講 対称群 と交代群 テ ーマ

◆ 正6面 体 群 の互 換 の相互 関係 ◆ 任 意 の置 換 は互 換 の積 とし て表 わ され る. ◆ 偶 置 換 と奇 置換 ◆n次

の 交 代群An

◆(Tea

Time)対

称 式 と交 代 式

正6面

  前 講 で み た よ うに,正6面 回転 は,2つ

体 群 の 回 転 の相 互 関 係

体 群 の 中で,対 辺 の 中 点を 結 ぶ 直線 の まわ りの πの

の 対 角 線 のお きか えを 引 き起 こ して い る.そ こで は,た とえば 対 角

線 Ⅰと Ⅱが 入 れ かわ るの を記 号 (12) で表 わ して い た.こ れ は,ふ つ うの置 換 の 記号 で か くと

で あ る.   い まP(6)の

元 を 任 意 に1つ

と ろ う.た

と え ば,底

面 を 通 る 中 心 軸 の まわ りの

3/2πだ け の 回 転 を 考 え る こ と に し よ う.前 講 の 結 果 を 参 照 す る と,こ 対 角線 の置 換

を 引 き 起 こ し て い る.一

方,す

ぐ確 か め られ る よ う に

(1)

の 回 転 は,

と な っ て い る.右

辺 に 現 わ れ る置 換 は,対

辺 の 中 点 を 結 ぶ 直 線 の ま わ りの 回 転 に

よ っ て 引 き 起 こ さ れ て い る.   さ て,対

角 線 の 移 り方 に よ っ て 回 転 は 完 全 に 決 ま る の だ か ら,こ

こ とを 示 し て い る.底 に は,(14),(23),(12)の

置 換 を 引 き 起 こす よ うな 対 辺 の 中 点 を 結 ぶ 直 線 を

3本 と っ て,そ

の まわ りで π だ け の 回 転 を3回

け を 考 え て,こ

の こ とを 推 論 す る こ と は,な

(1)の

続 け て 行 な う と よ い.正6面

体だ

か な か 大 変 な こ とで あ るが,そ

れが

表 示 か ら の 簡 明 な 結 論 と し て 得 ら れ る と こ ろ に,興

味 が あ る の で あ る.

  と こ ろ が 実 は こ の こ と は 一 般 に 成 り立 つ こ と で あ っ て,P(6)の 転 は,対

辺 の 中 点 を 結 ぶ 直 線 の ま わ りで の,π

3回)繰

り返 す こ と に よ っ て 必 ず 得 られ る の で あ る.

  しか し こ の こ と は,正6面 に一 般 的 な 形 ―

体 群P(6)か

対 称 群Snの

【定 義 】Snの

び 一 般 のn次

元 で,2つ

元を与える回

だ け の 回 転 を 何 回 か(実

ら,同

もつ 一 性 質 ―

互

  そ こ で 話 を,再

の こ とは次 の

面 の 中 心 を 通 る 中 心 軸 の ま わ りに3/2π だ け の 回 転 を 行 な う

型 な 群S4へ

際は高 々

と移 る と,は

るか

と し て 述 べ る こ とが で き る.

換

の 対 称 群Snへ

の 数 字i,jを

と 戻 す.以

下n≧2と

す る.

入 れ か え る置 換 を互 換 とい い,記

号(ij)

で 表 わ す.  す なわ ち

で あ る.   こ の と き,上

に 述 べ た こ と は,次

Snの

の 一 般 的 な 命 題 か ら の 系 と な る.

任 意 の 元 σは,互

換 の 積 と し て 表 わ さ れ る.

  こ の こ とは 実 は ほ と ん ど明 ら か な こ とな の だ が,一 る と,数

般 のnに

学 的 帰 納 法 を 用 い な け れ ば な ら な くな っ て,あ

し な くな っ て くる.こ

こ で はS6の1つ

の元

つ い て示 そ うとす

ま り 明 らか そ う な 感 じ が

を と り,σ が 互 換 の 積 と し て 表 わ さ れ る 過 程 を 調 べ る こ と に よ っ て,一

般 の場 合

に も 命 題 が 成 り立 つ こ と を 類 推 し て も ら う こ と に す る(一 般 の 場 合 の 証 明 は 特 に 述 べ な い).   そ の た め,単 2を4に

位 置 換eか

か え,次

ら 出 発 し て,σ を 見 な が ら,順

に3を2に

次1を5に

か える とい う よ うな こ とを,互

か え,次

に

換 に よ って行 な って

い っ て み よ う.

した が って σ=(3

6)(3

1)(3

2)(2

4)(1

5)e

=(3

6)(3

1)(3

2)(2

4)(1

5)

これ で σが 互 換 の 積 と し て 表 わ され た.   この 命 題 に よ っ て,Snの れ る こ と が わ か っ た(た

任 意 の 元 は 何 回 か 互 換 を 繰 り返 す こ と に よ っ て 得 ら と え ば 単 位 元eは,e=(12)(12)と

表 わ さ れ る!).

この状 況 を

Snは,互

換 に よ っ て 生 成 され る

と もい い表 わ す.   この命題 をS4の 場合 に適 用 す れ ば,最

初 に述 べ た,正6面

体群の回転の話と

結 び つ い て く る.   な お,任

意 の 互 換 は,自

分 自身 が そ の 逆 元 に な っ て い る こ とを 注 意 し て お こ

う: (ij)−1=(ij)  い い か え れ ば,iとjを に 戻 る.こ

入 れ か え て,次

(1) に も う一 度iとjを

入 れ か え れ ば,も

と

れ は 当 り前 の こ とで あ ろ う.

偶 置 換 と奇 置 換   Snの

任 意 の 元 σは,互

し方 は1通

換 の 積 と し て 表 わ され る こ と は わ か っ た が,こ

りで は な い の で あ る.た

と え ば,S4で

の表わ

は

(2) (3) な どが 成 り立 つ.   これ は 日常 的 な こ とか ら も明 らか な こ とで あ る.中 学 校 で,先 生 が整 列 してい る50人 の生 徒 を,あ

る別 の順 に並 びか え よ うとす る.先 生 が2人 ずつ 生 徒 を入

れ か え て これ を実 行 し よ うとす る と,手 際 の よい先 生 は 早 く済 むが(互 換 の回 数 が 少 な い),手

順 を 間違 った先 生 は,生

徒 の 入 れ か えを 何度 もや り直 しなが ら,

手 間 を か け て行 な って い くだ ろ う.こ の とき互換 の数 は 増 え る一方 であ る!   しか し次 の ことは成 り立 つ. Snの

元 σ を 互 換 の 積 と し て 表 わ す と き,現

か 奇 数 個 か と い う こ とは,σ

  (2)を

み る と,単

を み る と,互

位 元eを

換(13)を,別

ろ あ る と し て も,そ

に よ っ て 決 ま っ て い る.

表 わ す 互 換 の 数 は つ ね に 偶 数 で あ る.ま

た(3)

の 仕 方 で 互 換 の 積 と し て 表 わ す 表 わ し方 は い ろ い

こ に 登 場 す る 互 換 の 数 は つ ね に 奇 数 と な っ て い る.

  こ の よ う な 状 況 は,実 上 の 命 題 で あ る.こ

わ れ る互 換 が 偶 数 個

は い つ も成 り立 つ こ と で あ る.そ

の 証 明 の 考 え 方 は,Tea

Timeで

の こ とを保 証 す るのが

触 れ る こ と に し て,い

まは

この 命題 を認 め て,話 を進 め てい く ことにす る.   こ の命題 に よ って,次 の定義 が 可能 にな る. 【定義 】Snの

元 σが 偶 数個 の 互換 の積 と して表 わ され てい る と き σを 偶 置 換 と

い う.ま た σが 奇 数 個 の互換 の積 と して表 わ され て い る とき σを 奇置 換 とい う.   こ の と き次 の ことが成 り立 つ. (Ⅰ)  σ,τ が 偶 置 換 な らば

(Ⅱ)  σ,τ が 奇 置 換 な ら ば

(ⅰ)  στも偶 置 換

(ⅰ)  στは 偶 置 換

(ⅱ)  σ−1も 偶 置 換

(ⅱ)  σ−1は奇 置 換

  ど ち ら も 同 様 だ か ら,左

の 方 だ け を 示 し て お こ う. σ=(i1

j1)(i2

τ=(k1

l1)(k2

j2)…(i2s

j2s)

l2)…(k2t

l2t)

とす る と στ=(i1 と な り,こ

j1)…(i2s

j2s)(k1

l1)…(k2t

の 右 辺 に 現 わ れ る 互 換 の 数 は,2s+2tで

ま た(1)に

l2t)

あ っ て,こ

れ は 偶 数 で あ る.

注 意 す る と σ−1=(i2sj2s)…(i2j2)(i1j1)

と 表 わ さ れ る こ と が わ か る.し

た が っ て σ−1も 偶 置 換 で あ る.

 また

σが 偶 置 換,τ が 奇 置 換 な ら ば,σ τは 奇 置 換

が 成 り立 つ こ と も 注 意 し て お こ う.   これ ら の結 果 を簡 単 に記 述す るた め には,置 換 の符 号 とい うもの を導 入 し てお く とよい. 置 換σに対し

sgnσ

とお い て,sgnσ うだ が,そ ム)と

を,σ

1,σ −1 ,σ

が偶 置 換 の とき が奇 置 換 の とき

の 符 号 と い う の で あ る.(sgnは,sign(サ

うす る と 三 角 関 数 と 間 違 わ れ る お そ れ も あ る の で,ふ

よ む よ うで あ る.こ

れ は ラ テ ン 語 で あ る.)こ sgnσ

と ま と め る こ と が で き る.

τ=sgnσsgnτ,sgnσ−1=sgnσ

イ ン)と

よん で も よい よ

つ うはsignum(シ

の 記 号 を 用 い る と,上

グヌ

の結 果 は簡 明 に

交

  (Ⅰ)の

示 し て い る こ と は,Snの

代

中 で,偶

群

置 換 ど うし は,か

換 で あ り,ま た 逆 元 も偶 置 換 で あ る こ とを 示 し て い る.し っ て,σ −1σ=eと 表 わ し て み る と わ か る よ う に,単   こ の こ とは,Snの を 示 し て い る.こ

中 で,偶

位 元eも

置 換 全 体 を 集 め る と,こ

の 群 は 重 要 だ か ら,定

け 合わ せ て も偶置

た が っ て 偶 置 換 σを と 偶 置 換 で あ る.

れ が1つ

の 群 にな る こ と

義 の 形 で は っ き り述 べ て お く こ とに し よ

う. 【定 義 】Snの

中 で,偶

置 換 全 体 の つ く る群 をAnと

表 わ し,n次

の交 代 群 と い

う.

Anは

【証 明 】

σを 偶 置 換 とす る と,も

換 で あ る.し

位n!/2の

う一 度 互 換(12)を

ほ ど こ し た(12)σ

は 奇置

た が って対 応 σ

は,偶

群 で あ る.

→(12)σ

置 換 の 集 合 か ら奇 置 換 の 集 合 へ の 対 応 を 与 え て い る.σ ≠ τな ら ば(12)σ

≠(12)τ

で あ る.し

た が っ て こ の 対 応 は1対1で

あ り,こ

の こ とか ら

偶 置 換 の個 数 ≦奇 置 換 の個 数 が 結 論 で き る.次 える と

に,奇

置 換 の 集 合 か ら偶 置 換 の 集 合 へ の 対 応 τ →(12)τ

を考

,同 様 に し て 奇 置 換 の個 数 ≦偶 置 換 の個 数

が 得 られ る.し

た が っ て 偶 置 換 の 個 数 と奇 置 換 の 個 数 は 一 致 し て い る.

  Snの 位 数 はn!だ 分n!/2で 【例1】A3は

っ た か ら,こ

の こ とか ら,偶

な け れ ば な らな い こ とが わか る.

置 換 の 個 数 は,ち

ょ うど この半

の3つ

か ら な る.

【例2】A4は,単

位 元 と

(12)(13),(13)(12),(12)(24),(24)(12),(23)(34), (34)(23),(34)(14),(14)(34),(12)(34),(13)(24), (14)(23) の12個

の 置 換 か ら な る.

Tea

Time

対称式 と交代式   n次 の 対 称 群 は,n変 き る.一

般 のnで

で,nが3の

数x1,x2,…,xnの

整 式f(x1,x2,…,xn)に

こ の こ と を 説 明 す る の は,Tea

Timeに

働 く こ とが で

は ふ さわ し くな い の

と き に こ の こ とを 説 明 し て み よ う.

  た とえ ば 置 換

は,整

式f(x1,x2,x3)に

お い て 変 数x1をx2に,x2をx3に,x3をx1に

え る よ う に 働 く と 考 え る:た

お きか

とえ ば

σ:x1+5(x2)6(x3)2→x2+5(x3)6(x1)2 で あ る.3変

数x1,x2,x3の

整 式f(x1,x2,x3)に

得 ら れ た 整 式 を(σf)(x1,x2,x3)と

対 し て こ の よ うに σを 働 か し て

か く こ と に し よ う.要

す る に,σ

に よる変 数

の お きか え であ って (σf)(x1,x2,x3)=f(xσ(1),xσ(2),xσ(3)) で あ る.(σ(i)と   さ て,3次 3次

か い た の は,iが

置 換 σ で 移 っ た 先 を 示 す.)

の 整 式 に 対 し て,こ

の よ う に3次

の 整 式 の 中 で こ の 働 き に 関 し て 強 い'対

の 対 称 群S3が

称 性'を

働 く と 考 え る と,

示 す の は,す

べ ての σに対

し て, σf=f  を み た す も の で あ る.こ

(σ∈S3)

の 性 質 を も つ 整 式 を 対 称 式 と い う.た

x1+x2+x3,x1x2+x2x3+x3x1,x1x2x3 

と え ば, (*)

は対 称 式 で あ る.ま た

も対 称 式 で あ るが

と な っ て,(*)の

整 式 と し て 表 わ さ れ る.実

際,任

と し て か き 表 わ さ れ る こ とが 知 られ て い る.そ よ ば れ て い る の で あ る.い

わ ば,任

意 の 対 称 式 は,(*)の

の 意 味 で,(*)は

意 の 対 称 式 は,基

整式

基 本 対 称式 と

本対 称 式 に よっ て組 み立 て

られ て い る.   こ れ に 対 し,互

換 に よ っ て 符 号 が 変 わ る よ うな 整 式,す

f(x1,x2,x3)=−f(x2,x1,x3) 

を み た す 整 式 を,交

なわ ち

(互換(12)に

よ る)

=f(x2,x3,x1) 

(互換(13)に

よ る)

=−f(x1,x3,x2) 

(互 換(12)に

よ る)

代 式 と い う.交

代 式 の 中 で,最

も典 型 的な ものは

Δ(x1,x2,x3)=(x1−x2)(x1−x3)(x2−x3) で あ る.   こ の 交 代 式 Δ を 用 い る と,任 互 換 の 個 数 が 偶 数 か,奇

意 の σ∈S3を,互

換 の 積 と し て 表 わ す と き,そ

数 か 一 定 し て い る こ と が 証 明 で き る.そ

の

れ は次 の よ うに

考 え る の で あ る. (σΔ)(x1,x2,x3)=Δ(xσ(1),xσ(2),xσ(3)) は,Δ(x1,x2,x3)か,− 方 で,偶

Δ(x1,x2,x3)の

い ず れ か で あ る.も

数 回 の 互 換 の 積 と し て 表 わ さ れ た な ら ば,1回

変 わ る の だ か ら,最

し σが,あ

る表わ し

ご と の 互 換 で Δの 符 号 が

終 的 には σΔ=Δ

で あ る.σ を 互 換 の 積 と し て 表 わ す 別 の 表 わ し方 で,も 登 場 す る よ うな こ と が あ る な ら ば,今

し か り に,奇

数 回互 換 が

度は

σΔ=− Δ と な る だ ろ う.こ れ は 明 ら か に 矛 盾 で あ る.   し た が っ て,σ を 互 換 の 積 と し て 表 わ す と き,偶 質 は,表

わ し 方 に よ ら な い の で あ る.奇

数 回 互 換 が 現 わ れ る と い う性

置 換 の 場 合 も 同 様 で あ る.

第7講 正 多 面 体 群 テーマ

◆ 正 多面 体 ◆ 正 多面 体群 ◆ 部分 群 ◆ 正4面 体 群:P(4)=A4 ◆ 正6面 体 群 と正8面 体群:P(6)〓P(8)〓S4 ◆ 正12面 体 群 と正20面 体 群:P(12)〓P(20)〓A5 ◆(Tea

Time)正

多面 体 が5種 類 しかな い こ との証 明

正 多 面 体  お のお の の面 が 合 同 な正 多角 形 か らな り,各 頂 点で 同 じ数 の面 が 集 ま ってい る よ うな 凸多 面体 を,正 多面 体 とい う.  ギ リシ ャの哲 人 プ ラ トンは,正 多 面 体 は5種 類 しか な く,そ れ らは 正4面 体,

正4面 体

正6面 体=立 方体 正8面 体

正12面

正20面 体

体

図15

正6面

体,正8面

体,正12面

た.プ

ラ ト ン は,5種

体,正20面

の 正 多 面 体 と,当

風 地 と の 関 係 を 詳 し く考 察 し,そ   5種 類 の 正 多 面 体 は 図15で よ うに,そ

体 で 与 え られ る こ とを す で に 知 っ て い 時 信 じ られ て い た 世 界 の4大

要 素,火

水

れ を 『テ ィマ イ オ ス 』 に ま と め た の で あ る.

示 し て あ る.こ

れ ぞ れ の 正 多 面 体 の 頂 点,辺,面

の 図 か ら実 の 関 係 は 表1の

え て み る とわ か る よ うに な っ て い る.

表1

正 多 面 体 群

  第5講

で 正6面

体 群 を 詳 し く考 察 し て き た.同

じ よ う な 考 察 は,ほ

か の正 多面

体 に つ い て も 可 能 で あ る. 【定 義 】1つ

の 正 多 面 体 の 中 心 の ま わ りの 回 転 で,そ

の 全 体 は 群 を つ く る.こ   私 た ち は,正

正 多 面 体 の 種 類 に し た が っ て,正4面

体 群,正12面

群 とい うの で あ る.ま P(20)と

の 群 を 正 多 面 体 群 と い う.

多 面 体 の 対 称 性 を 保 つ 回 転 に 注 目 し よ う と し て い る の で あ る.も

う少 し 細 か く い え ば,各 群,正8面

の正 多面 体 を不 変 に保 つ も

体 群,正20面

体 群 と い い,こ

た これ ら の 群 を,そ

体 群,正6面

体

れ らを総 称 して正 多面 体

れ ぞ れP(4),P(6),P(8),P(12),

表 わ そ う.

  正 確 にいえ ば,正6面

体 に して も空 間 にお くお き方 は い ろい ろ あ っ て,こ

れ を 不 変 にす

る中 心 の まわ りの 回転 は もち ろん お き場 所 に よって 違 うが,そ れ ら のつ くる群 はす べ て 同 型 であ って,そ れ をP(6)と

お こ う とい うの であ る.

部

  前 講 で 述 べ た よ うに,n個

分

群

の もの の 置 換 の 中 で,偶

置 換 だ け 集 め て も群 を つ く

る.こ

の 状 況,す

う関 係 は,以

な わ ち 対 称 群Snの1部

下 で み る よ うに,正

分 と し て,交

多 面 体 の 形 状―

代 群Anが

対称性―

得 られ る と い

の相 互 関係 に も反

映 し て い る.   まず,SnとAnの 【定 義 】 群Gの

関 係 を 一 般 に し た 次 の 部 分 群 の 概 念 を 導 入 し て お こ う. 部 分 集 合Hが

次 の 条 件 を み た す と き,HをGの

部 分 群 とい う.

  (ⅰ)  a,b∈H⇒ab∈H   (ⅱ) 

a∈H⇒a−1∈H

  (ⅰ)と(ⅱ)が Hに

成 り立 って い る と,a∈H⇒aa−1∈Hに

属 し て い る.こ

の こ とか らH自

よ っ て,単

位 元eも

身 を 独 立 に と り出 し て 考 え て も 群 に な っ て

い る こ とが わ か る.   Gの

中 に 含 ま れ る 一 番 大 き い 部 分 群 はGそ

は,単

位 元eだ

の も の で あ り,一 番 小 さい 部 分 群

け か ら な る 部 分 群 で あ る.

正4面 正4面 体 群P(4)は,4次

体群

の交 代 群A4と

同 型 で あ る:

P(4)〓A4

  P(4)の

元 は,正4面

体 の4個

の 頂 点 の 置 換 を 引 き 起 こ す.こ の 置 換 に よ っ て,

4個 の 頂 点 の 偶 置 換 が す べ て 現 わ れ,こ

れ に よ っ て 上 の 同 型 が 成 り立 つ の で あ

る.   偶 置 換 が す べ て 現 わ れ る こ と は 次 の よ う に し て わ か る.4つ

の 頂 点 か ら,底

の 中 心 に 下 ろ した 軸 を 中 心 と す る2π/3(=120°),4π/3(=240°)の

回 転 は4×2=8

(個)の 偶 置 換 を 引 き起 こす.こ

れ らの 回

転 が 実 際 偶 置換 と な って い る こ とは,読 者 が 確 か め て み られ る と よい.そ の ほか に, 対 辺 の 中 点 を結 ぶ3個 の軸 の まわ りのπ(= 180°)の 回転 で,3個 され る(図16参

の偶 置 換が 引 き起 こ

照).こ れ に 単位 変 換 に相

当 す る単 位置 換 を 合わ せ て,結 局,総 計12

図16

辺

個 のす べ て の偶置 換 が,P(4)の  P(4)の 3=7(本)し

元 か ら導 かれ る こ とがわ か った.

元 が これ 以外 には な い こ とは,回

転 を与 え る回転 軸が 上 に述 べ た4+

か な い ことか らわか る. 正6面

  正6面 体群 は,第5講

体群

で 示 した よ うに,4次

の対 称S4と

同型 で あ る:

P(6)〓S4

正8面   表1を 見 るとわ か る よ うに,正6面

体群

体 と正8面 体 に は頂 点 と 面 の 個 数 と の間

に,き わ だ った 双 対 性 が あ る.こ の双 対 性 は,図 形 の上 で は も っ とは っ き りした 形 を とって 現わ れ て い る.図17(a)に (6個 あ る!)を

体 の面 の中 点

結 ぶ と,こ の正6面 体 の中 に正8面 体が 実 現 され る.逆

(b)で 示 して あ る よ うに,正8面 体 の中 に,正6面

示 して あ る よ うに,正6面

体 の面 の中 点(8個

あ る!)を

に図17

結 ぶ と,正8面

体 が 実 現 され て くる.

  した が って 正6面 体 と正8面 体 の この相 互 の位 置 関 係か ら,正6面 す る回 転 は,内 部 に あ る正8面 体 を 不変 と し,逆 に,正8面

体 を不 変 にす る 回転

は,内 部 にあ る正6面 体 を 不変 に して い る.し たが って 同型 対 応

(b)

(a) 図17

体 を不 変 に

P(8)〓P(6)〓S4

が 示 され た.

P(4)とP(6)の

 

P(4)は,4次 あ る.抽

の 交 代 群A4と

関 係

同 型 で あ り,P(6)は4次

象 的 な 群 と し て は,A4はS4の

  この ことか ら,正4面

の 対 称 群S4と

同型 で

部 分 群 と な っ て い る.

体 と,正6面

体 との 間 に,

次 の 性 質を もつ 相 互 の位置 関係 が あ るか も しれ な い と予 想 され て くる:正6面 ちで,ち

体 を不 変 にす る回転 の う

ょ うど対 角 線 の偶 置 換 を 与 え る ものが,正

4面 体を 不 変 にす る.   この よ うな正6面 体 と正4面 体 の 位置 関 係 は図18 で与 え てあ る.正6面

体 の 中 に,こ の性 質 をみ た す

よ うに正4面 体 を入 れ る入れ 方 は,2通 正12面   表1を 見 る と,正12面

図18

りあ る.

体 と 正20面

体

体 と正20面 体 の頂 点 と面 の個 数 の 間 に も,強 い双 対 性

が あ る.実 際,こ こで も正6面 体 と正8面 体 の間 に存 在 して いた 双 対 性 と,同 様 の こ とが 成 り立つ の で あ る.す なわ ち,正12面 20面 体 が 得 られ,逆 に,正20面

体 の面 の 中 点を 頂 点 と して,正

体 の面 の 中 点を 頂点 とす る こと に よ り,正12面

体 が 得 られ る.   こ の こ とか ら,正12面

体 群 と正20面 体 群 との 間 に同 型対 応

P(12)=P(20) が 存 在す る こ とが わ か る. 正20面   正20面

体 群 は,5次

の 交代 群A5と

体群

同型 であ る:

P(20)〓A5

  同 型 の 詳 細 は こ こ で は 述 べ な い が,P(20)の P(20)〓P(12)を

通 し て 正12面

元 を 与 え る 回 転 は,同

体 の 方 で い う と次 の4種

型対応

類 か らな っ て い る.

  (ⅰ)  恒 等 変 換   (ⅱ)  向 か い 合 っ て い る2つ

の 頂 点 を 結 ぶ 対 称 軸 が10個

軸 と す るπ/3,2π/3の 回 転 が あ る―   (ⅲ)  向 か い 合 っ て い る2つ

す る π の 回 転 が あ る―   結 局,P(20)の

の 軸 を 回転

こ の 総 数20個.

の 面 の 中 心 を 結 ぶ 対 称 軸 が6個

転 軸 と す るπ/5,2π/5,3π/5,4π/5の   (ⅳ)  向 か い 合 っ た2辺

あ り,こ

回 転が あ る―

あ り,こ の 軸 を 回

こ の 総 数24個.

の 中 点 を 結 ぶ 対 称 軸 が15個

あ り,こ

の軸 を 回転 軸 と

この 総 数15個.

位数 は 1+20+24+15=60

と な る.こ

れ は,A5の

位 数 と一 致 し て い る.

正6面 体 と正12面   正6面

体 は,図19で

示 し た よ うに,正12面

中 に 入 れ る こ と が で き る.こ う に,正12面

体 は 正6面

体の

の 図 を 見 る とわ か る よ

体 に屋 根 をか ぶ せ る こ と

に よ っ て 実 現 で き る の で あ る.こ 変 に す る,P(12)に

体の 関係

の 正12面

属 す る 回 転 は,も

あ る 正6面

体 を 不 変 に して い る.こ

て,正6面

体 群P(6)(〓S4)の

の も の,す

な わ ちA4に

体 を不

ち ろん 内部 に の 回転 に よ っ

中 で ち ょ う ど偶 置 換

属 す る 回 転 が 誘 導 さ れ る.

Tea

図19

Time

正多 面 体 と球 面  正 多 面 体 の 中心 か ら頂 点 まで の距離 を1に してお くと,各 正 多 面体 は,半 径1

の 球 に 内 接 さ せ る こ とが で き る.こ 正20面

体 に 応 じ て,球

個,…,12個 は,こ

の よ うに す る と,正4面

面 上 に 綺 麗 に 対 称 的 に 並 ぶ,こ

の 頂 点 が し る さ れ て い く こ と に な る.各

れ ら頂 点 を 頂 点 に 移 す よ うに,球

体,正6面

体,…,

れ ら正 多 面 体 の4個,8 正 多面 体 群 に属 す る 回 転

面 を 回 転 さ せ て い る.こ

の 回 転 は,ま

た

球 面 の 向 き を い つ も正 の 向 き に 保 つ よ う に と る こ とが で き る.   し た が っ て,正

多 面 体 群 は,球

3次 元 の 回 転 群 ―

を も っ て い る か ら,こ が,正

面 を 正 の 向 き に ま わ す 回 転 全 体 の つ くる 群 ―

の 部 分 群 と な っ て い る わ け で あ る.球

の 対 称 性 を 保 つ 回 転 は 非 常 に た くさ ん 存 在 す る.こ

多 面 体 群 は 有 限 群 だ っ た の に,3次

し て い る.球

面 を 球 面 に 移 す 回 転 は,球

列 式 が1で

あ る よ う な3次

orthogonal

さを保 つ空 間 の線形

の こ とか ら,線 形 写 像 の こ と を 知 っ て い

の直 交 行 列 全 体SO(3)が,ち

元 の 回 転 群 を 与え て い る こ と が わ か る だ ろ う.な 特 殊 直 交 群special

groupの

の事情

元 の 回 転 群 は 無 限 群 とな る こ と に 反 映 の 中 心 を とめ て,長

写 像 と し て 特 性 づ け る こ とが で き る.そ る 人 は,行

面 は最 も完全 な対 称性

お,こ

こでSOと

ょ う ど3次 か い た の は,

頭 文 字 で あ る.

質 問   正 多 面 体 が た っ た5種

類 し か な い と い う こ とは,僕

思 わ れ ま す.プ

の よ う に し て こ の こ とを 知 った の で し ょ うか.

ラ トン は,ど

答  プ ラ トン が こ の 事 実 を 知 っ て い た の は 確 か で あ る が,プ し て,こ

の こ と を 知 る よ うに な っ た か は,わ

  文 献 で は,ユ き る.そ

ー ク リ ッ ドの 『原 論 』 第13巻

の 考 え を 説 明 し て み よ う.正

っ て い る と し て み よ う.正p角

くべ き 事 実 に

ラ ト ンが ど の よ うに

か っ て い な い よ うで あ る. の 中 に そ の 証 明 を 見 出 す こ とが で

多 角 形 の1つ

形 の1つ

に は,驚

の 頂 点 に 正p角

形 がq個

集 ま

の 内角 は (*)

で あ る(こ こで は,角 度 の単 位 と して見 なれ て い る'度'を

用 い た).こ

こで多

少 唐 突 だが 日本 古来 の傘 を考え て み よ う.傘 の先 端 を 正 多角 形 の頂 点 に た とえて み る と,傘 の隣 り合 った 骨が 先 端 の と ころで つ くる角 度 が,い まの場 合(*)に な って い る.傘 を広 げ れ ば隣 り合 った骨 のつ くる角度 は 大 き くな るが,傘 をす ぼ め れ ば,こ の角度 は小 さ くな って い く.傘 が平 らにな るまで 広 げ き った とき,こ

の角 度 の総 計 は360° で あ る.し か し,傘 を 平 らに す る こ とは な いか ら,角 度 の 総 計 はつ ね に360° 以下 で あ る.   この た とえを,正 多 面 体 の頂 点 の場 合 に戻 して み る と,(*)か

ら

が成 り立つ ことがわ か る.こ の式 を整理 す る と

(**) とな る.p,q≧3だ

と な り,こ 5;p=4な は,正

から

れ か らp=3,4,5の ら ばq=3;p=5な

こ とが わ か る.(**)か らばq=3と

ら,p=3な

な る こ とが わ か る.い

ら ばq=3,4, ま 示 した こと

多 面 体 と し て 可 能 な 場 合 は これ だ け だ と い う こ と で あ る が,実

性 は 順 に 正4面 れ て い る.

体,正8面

体,正20面

体,正6面

体,正12面

際 この可能

体 に よ って実 現 さ

第8講 部 分群 によ る類 別 テ

ーマ

◆ 部 分 群 に よ る同値 関 係 ◆ 同値 類 に よ る類 別 ◆ 部 分 群 に よ る類 別 ◆ 有 限 群 とそ の部 分 群 の位 数 ―

ラ グ ラン ジ ュの 定 理

◆ 正6面 体 群 とそ の部 分 群 ◆ 一 般 の 正 多 面 体群 にお け る1つ の関 係 ◆(Tea

Time)左

剰 余 類 と右 剰 余 類

部 分 群 に よ る同 値 関 係   まず一 般 的 な 話 か らは じめ よ う.Gと,Gの し よ う.こ の とき,Gの

与え られ て い る と

元a,bに 対 し a―1b∈Hの

と お く こ と に よ り,Gに

部 分群Hが

と き,a∼b 

同 値 関 係 ∼ を 導 入 す る.同

(1)

値 関 係 と か い た の は,

(ⅰ)a∼a (ⅱ)a∼b⇒b∼a (ⅲ)a∼b,b∼c⇒a∼c が 成 り立 つ か ら で あ る. 【証 明 】(ⅰ):Hは

群 だ か ら,単

位 元eを

含 ん で い る.し

た が っ てa−1a=eに

り,a∼a.   (ⅱ):a∼bに

よ り,a−1b∈H.Hは

群 だ か ら,a−1bの

た が って (a−1b)−1=b−1(a−1)−1=b−1a∈H

逆 元 も含 ん で い る.し

よ

こ の こ と はb∼aを

示 し て い る.

  (ⅲ):a∼b,b∼cか

ら,a−1b∈H,b−1c∈Hと

は 群 だ か ら,a−1b,b−1cの

積 も ま たHに

い う関 係 が 成 り立 っ て い る.H

含 まれ て い る.し

たが って

(a−1b)(b−1c)=a−1(bb−1)c=a−1c∈H こ の こ とはa∼cを

示 して い る.

  な お,a∼bは,a−1b∈Hの て,a−1=hが 逆 に,Hの あ る.す

こ と だ か ら,a∼bな

成 り立 つ.あ 適 当 な元hを

る い は,両

と っ て,b=ahと

辺 にaを

ら ば,Hの か け て,b=ahと

あ る 元hが

存在 し

い っ て も よ い.

い う関 係 が 成 り立 つ な ら ば,a∼bで

なわ ち

a∼b⇔Hの

適 当 な元hが 存在 してb=ah(2)

同 値 類 に よる 類 別   一般 に,集 合 に 同値 関 係 が与 え られ る と,同 値 な ものをひ とま とめ に して 考 え る ことが でき る.こ れ を 同値 類 とい う.同 値 類 は,最 初 に与 え られ た集 合 の部 分 集合 とな って い る.2つ ってい る―

の 同値 類 は完全 に一 致 して い るか,あ るい は完 全 に異 な

すな わ ち両方 の同値 類 に,同 時 に含 まれ る元は存 在 しな い―

かの

いず れ か であ る.最 初 に与え られ てい る集 合 は,異 な る同値 類 に よ って分 割 され る.   こ うした こ とを 堅 苦 し くい って も,頭 に入 らない か も しれ な い.簡 単 な例 で, 事 情 を了 解 してお い た方 が よい.世 界 中 の人 全 体(た だ し無 国 籍者 お よび2重 国 籍 者 は除 く)の 集 合 を 考 え る.こ こに 同 値 関係 としてaと い う人 とbと い う人 が 同 値 で あ るのは,aとbが

同 じ国 の人 で あ ると きで あ る と して,同 値 関 係 を導 入

す る.こ の と き,同 値 類 とは,1つ の 国の 国民 全 体か らな る人 の集 ま りで あ る. 異 な る2つ の 同値 類(2つ

の国)に 同時 に属 して い る人 はい な い.各 国 の 国旗 を

用 意 して お い て,'国 旗 の と ころ に集 ま れ'と 号 令を か け る と,世 界 中 の人 は, 国 の数 だ け の集 団(同 値 類)に 完 全 にわ け られ る,一 般 的 ない い方 で は 同 値類 に よ って分 割 され た ので あ る.   集合 を この よ うに,同 値 類 にわ け る こ とを,同 値 類 に よる類別 とい う.

部 分 群 に よる 類 別

  群Gの ら,こ

部 分 群Hが

与 え られ る と,(1)に

れ に よ っ てGの

(2)に

よ っ て,aと

よ っ てGの

元 を 類 別 す る こ と が で き る.Gの 同 値 なv元ⅴ はah(h∈H)と

中 に 同 値 関 係 が 入 るか 元aが

与 え られ る と,

表 わ さ れ て い る.し

た が っ て,G

の 部 分 集 合aHを aH={ah￨h∈H} と 定 義 す る と,aHはaを   単 位 元eを

含 む 同 値 類 は,eH=Hに

る.aとbが aH∩bH=φ

含 む 同 値 類 を 与 え て い る こ と に な る. よ っ て,ち

同 値 で な け れ ば,aHとbHは

ょ う ど部 分 群Hそ

異 な る 同 値 類 と な り,し

に 含 まれ る元cが あ る.cはc=ah=bh1(h,h1∈H)と とな る.hh1−1∈Hに

注 意 す る と,こ の式 はaとbが

φ とす る と,aHとbHに

共通

表 わ さ れ,し た が っ てb=a(hh1−1) 同値 であ る こ とを 示 して お り,こ れ は

異 な る 同値 類 で あ った こ とに矛 盾 して い る.

  相 異 な る 同 値 類 全 体 に よ っ て,Gは

共 通 点 のな い 部分 集 合 の和 と して

G=∪aH  と 表 わ さ れ る― し て,H自

た が って

で あ る.

  この こ とを直 接 示 す に は次 の よ うにす る.も しaH∩bH≠

aHとbHが

の も ので あ

類 別 され る.こ

(3)

の 右 辺 の 和 の 中 に は,単

位 元eを

含む 同値類 と

身 が 現 わ れ て い る こ と を 注 意 し て お こ う.

記 法 に つ い て

  (3)の は,(3)の

表 わ し 方 は,現

代 数 学 の 立 場 で は,ご

論で

代 りに G=H+aH+…

と か く の が 慣 例 で あ る.(3)の わ れ て い る プ ラ ス 記 号 は,共 け で あ っ て,あ と き は,Hの

く 自然 な も の で あ るが,群

 (4)

こ と を(4)と

か い て い る の だ か ら,こ

通 点 の ない 和集 合 とな っ てい る ことを示 してい るだ

る特 別 な 代 数 的 な 演 算 を 示 し て い る わ け で は な い.Gが と り方 に よ っ て,(3)は

い る こ と も あ る が,対

こに 現

応 し て,こ

無限群の

無 限個 の 同値 類 に よる和 集合 を表 わ して

の と き は(4)の

表 わ し 方 で+…

とか い て あ る

と ころ に は,無 限 個 の 同値 類 が現 わ れ てい る こ とに な る.   な ぜ,(3)の

よ うに か けば よい も のを,(4)の

よ うにか いて,記 法 を 混乱 さ

せ た か に つ い て は,私 は詳 しい ことは知 らな い.私 の想 像 では,集 合 の和 の 演算 記 号 ∪ が,数 学 者 の 間 に定着 す る前 に,群 の理 論 が 進 ん で,使 い なれ て い る プ ラ ス記 号+を,同

値 類 の(集 合 と して の)和 に,流 用 して しま った ので は な いか

と思 う.そ の記 法 が,群 論 の 中 です っか り定 着 して し まい,い ま さ ら和 集 合 の記 号 に 改 め る こと もな い だ ろ うと数学 者 が 了承 して し ま った こ とに よる のだ ろ う.   また 同 じよ うな 伝統 的 な い い方 で,aHをaを は 同 値類 な のに,ど

うして'余

り'(剰余)な

含むHの

左 剰 余類 とい う.読 者

ど とい う言葉 を使 った のか と思 わ れ

るか も しれ ない が,こ れ につ い て は あ とで 触れ る ことに す る(第10講

参 照).

有 限 群 とそ の 部 分 群 の 位 数   この部 分群 に よる類 別 とい う考 えか ら,Gが 部 分群Hの

有 限群 の場合,Gの

位数 と,Gの

位 数 との 間 に,は っき りとした 関 係 があ る こ とが 示 され る.

【定理 】  Hの 位 数はGの

位 数 の約 数 であ る.

  こ の 定 理 を ラ グ ラ ン ジ ュ の 定 理 と し て 引 用 す る こ と も多 い. 【証 明 】GのHに

よ る類 別 を G=H+a2H+a3H+…+asH 

と 表 わ す(Gは 値 類aiHに Hの2元h,h′

有 限 群 だ か ら,異

(5)

な る 同 値 類 も 有 限 個 で あ る!).こ

含 ま れ る 元 の 個 数 はHの

こ で,各

元 の 個 数 に 等 し い こ と を 注 意 し よ う.実 際,

に対 して h=h′ ⇔aih=aih′

が 成 り立 っ て お り(〓

を み る に は,右

同

辺 の 式 の 両 辺 にai−1を か け る と よ い),し

図20

た が っ て,対

応h→aihは,Hか

っ て ま たHの

元 の 個 数(位

  (5)を

み る と,こ

らaiHへ

の1対1対

数)と,aiHの

応 と な っ て い る.し

たが

元 の 個 数 は 一 致 し て い る(図20).

の こ とは (Gの 位 数)=(Hの

を 意 味 し て い る こ とが わ か る.こ   一 般 に 有 限 群 の 場 合,群Gの

位 数)×s

れ で 証 明 され た. 位 数 を,￨G￨と

表 わ し て い る.こ

の記 号 を 用 い

る と定 理 は ￨ H￨は￨G￨の

約数 であ る

と も か く こ とが で き る.

正6面

  正6面

体 に は8つ

転 の 中 で,頂 =A1と

体 群 と部 分 群

の 頂 点A1,A2,…,A8が

点A1を

あ る.正6面

動 か さ な い も の を 考 え よ う.す

な る も の を 考 え よ う.こ

の よ うなgは,A1を

体 群P(6)に

属 す る回

な わ ち,g∈P(6)で,g(A1) 通 る対 角 線 を 軸 と す る 回 転

に よ っ て 与 え ら れ て い る. H={g￨g(A1)=A1} と お く と,HはP(6)の

部 分 群 に な っ て い る.実

=g(g1(A1))=g(A1)=A1と

な っ て,gg1∈Hで

際,g,g1∈Hな あ る.ま

らば(gg1)(A1)

たg−1(A1)=A1も

明ら

か で あ る.   Hは

位 数3の

に な る.A1を

群 で あ る こ と は す ぐに わ か る が,一 通 る 辺 は3本

称 性 か ら,Hに

あ る が,正6面

属 す る 回 転 は,こ

わ す 回 転 か ら な っ て い る.し

の3本

た が っ てHの

般 的 な立 場 で いえ ば次 の よ う

体 の対 の辺 を ま 位数は

3で あ る(図21).   さ て,P(6)の

元aとbが,Hに

入 る こ とは,a−1b∈Hの

と き,す

関 し て 同 じ類 に なわ ち

a−1b(A1)=A1 の と き で あ る.こ

の 関 係 はa(A1)=b(A1)と

もか け

図21

る.し

た が って a∼b⇔a(A1)=b(A1)

と な る.こ

の こ と は,同

値 類 と,同

頂 点 へ 移 るか が,1対1に   P(6)に

値 類 に 属 す る 回 転 に よ っ て,頂

点A1が

どの

移 す も の を,そ

れぞ

対 応 し て い る こ と を 示 し て い る.

属 す る 回 転 で,A1を

ほ か の 頂 点A2,A3,…,A8に

れ1つ

と っ て,そ

れ をg2,g3,…,g8と

正6面

体 の 対 称 性 か らわ か る).そ

す る(こ

の よ うな 回 転 が 存 在 す る こ と は,

うす る と,い

ま 述 べ た こ とか ら,P(6)のH

に よる類 別 は P(6)=H+g2H+g3H+…+g8H と 表 わ さ れ る こ とが わ か る.   す な わ ち,P(6)のHに

よ る 類 別 と,正6面

体 の 頂 点 とが,ち

ょ う ど1対1

に 対 応 し て い る の で あ る. 一 般 の 正 多 面 体 群

  い ま 述 べ た こ と は,正6面 立 つ こ と で あ る.正p多

体 群 だ け で な く,ほ か の 正 多 面 体 群 に つ い て も成 り 面 体(p=4,6,8,12,20)の1つ

転 全 体 は,正

多 面 体 群P(p)の

の 類 別 は,頂

点 と1対1に

部 分 群H(p)を

つ く り,こ

対 応 す る の で あ る.し

￨H(p)￨×(頂

の 頂 点 を 動 か さな い 回 の 部 分 群 に よ るP(p)

たが って特 に

点 の 数)=￨P(p)￨

と い う関 係 が 成 り立 つ.   前 と 同 じ推 論 で, ￨H(p)￨=(1つ と な る こ とが わ か るか ら,こ (1つ

の 頂 点 に 集 ま る 辺 の 数)

の関 係 は

の 頂 点 に 集 ま る 辺 の 数)×(頂

点 の 数)=￨P(p)￨

とか い て も よ い わ け で あ る.   実 際,こ

の 関 係 が 成 り立 っ て い る こ と を,次

面 体 の 辺 と頂 点 に 関 す る この 相 互 関 係 は,も か ら 生 じて い る.群

頁 の 表2で

確 か め て お こ う.正 多

と も とは 正 多 面 体 の もつ 強 い 対 称 性

論 を 用 い た こ の 関 係 の 説 明 は,私

た ち に改 め て群 と対 称性 の

深 い つ なが りを 感 じ させ る ものが あ る. 表2

Tea

Time

左剰余類と右剰余類   群Gの ∈Hの

部 分 群Hが と き,a∼bと

値 類 をaHと

与 え られ た と き,Hの

同 値 関 係 をa−1b

し て 導 入 し て 得 ら れ る 同 値 類 の こ とで あ っ た.aを

表 わ し た.同

義 す る こ と に よ り,Gの

じ よ う に 考 え て,今

中 に も う1つ

同 値 関 係 に よ る 同 値 類 をHの す.そ

左 剰 余 類 と は,Gの

うす る と,こ

度 はba−1∈Hの

含む 同

と き,a〓bと

定

の 同 値 関 係 を 導 入 す る こ とが で き る.こ

右 剰 余 類 と い い,aを

含 む 右 剰 余 類 をHaと

の

表わ

の 右 剰 余 類 に よ っ て も,Gは G=H+Ha+…

と 分 割 さ れ るわ け で あ る.   な お,a−1b∈Hな

ら ば,こ

(a−1b)−1=b−1a∈Hと

な る.こ

こ の 逆 の 関 係a−1〓b−1⇒a∼bも   こ の こ と か ら,Gが

の 左 辺 の 逆 元 も ま たHに の 式 はa∼b⇒a−1〓b−1を

含 ま れ る.し

たが って

示 し て い る.も

ちろん

成 り立 っ て い る.

有 限 群 の 場 合,Hの

右 剰 余 類 と 左 剰 余 類 の1つ

の 関 係:

G=H+a2H+a3H+…+asH な らば, G=H+Ha2−1+Ha3−1+…+Has−1 が 成 り立 つ こ とが わ か る.特 にHの

右 剰 余 類 の 個 数 と左 剰 余 類 の 個 数 が 一 致 す る

こ とが わ か る.上

の よ う に 表 わ した と き の こ の 個数sをGのHに

っ て,￨G:H￨で

表 わ す の が 慣 例 で あ る: ￨G:H￨=s

よる指 数 とい

質 問   幾何 学 的 な 正多 面 体 の頂 点 が,群 の概 念 に よっ て捉 え てみ る と正 多面 体群 の左 剰余 類 に対 応 す る もの として 浮 か び上 が って きた のに は驚 き ま した.表2で 示 され た対 応 も謎 が とかれ た よ うで興 味 が あ りま した.前 項 のTea

Timeで 球面

の こ とが 述べ られ てい ま したが,球 面 で もや は り似 た よ うな ことは あ る ので し ょ うか.僕 が お 聞 きした い の は,球 面上 の点 も,群 の剰 余類 の よ うに考 え られ るの か,と い う ことです. 答  球 面 の向 きを保 つ 回転 のつ くる群 は,SO(3)で

与 え られ て い た.い

ま北極

を 考 え てみ る と,北 極 を とめ る よ うな球 面 の回 転 は,北 極 と球 の 中心 を結 ぶ軸 の まわ りで,ぐ

る ぐる と球 面 を ま わ す 回転 とな って い る.こ

の回 転全 体 はSO(3)

の 部分 群 を つ くっ てい る.地 球 儀 を北 極 の真 上 か ら見 てい る こ とを想 像 して み る と,こ のHと

い う群 は,平 面 で原 点 中心 の回 転 cosθ −sinθ

(

sinθ

の つ く る 群 と 同 じ も の(同 回 転 で,球

型!)と

)

考 え て よ い こ と が わ か る.北

面 上 の ど の 点 に 移 る か を 調 べ る こ と は,ち

類 別 を 考 え る こ と に対 応 し て い る.球 る.こ

cosθ

の 状 況 は 正 多 面 体 群 の と き と,ま

答 え る い い 方 を す る な らば,具

面 上 の 点 は,剰

ょ う どSO(3)のHに 余 類gHと

っ た く同 様 で あ る.だ

体 的 な 球 面 が,回

の 集 ま り と し て 浮 か び 上 が っ て く る の で あ る.

極 が,SO(3)の

転 群SO(3)のHに

よる

して表 わ され

か ら,君

の 質問 に よ る剰 余 類

第9講 巡

回

群

テ ーマ

◆2π/nの 回転 か ら得 られ る群 ◆ 有 限 巡回 群,生 成 元 ◆ 有 限群 の中 の巡 回 部 分 群 ◆ 群 の 位数 と元 の位 数 ◆ 位 数 が素 数 の 群 ◆ 位 数4の 群 ◆(Tea

Time)無

限 巡 回群

2π /nの回 転

  nを 自 然 数 と し,円 る.gkは,gをk回

を,そ

の 中 心の まわ りに2π/nだ け 回 転 す る 変 換 をgと

繰 り返 し て 得 られ る 回 転 で あ っ て,し

の2πk/nだ け の 回 転 と な っ て い る.恒 等 変 換 をeと

す

たが って 中心 の まわ り

す ると

gn=e で あ る.い

ま

とお く と,第3講(Ⅳ)で2π/12の とが わ か る.k+l≦n−1の k+l=n+mと

と な る.た

回転 を 考 え た と 同 様 に し て,Rnは と き は,gkgl=gk+lで

表わ して お くと

だ しg0=eと

お い て あ る.ま

た

gkgn−k=gn=e に よ り

あ り,k+l>n−1の

群 とな る こ と き は,

図22 g−k=gn−k と な る こ と もわ か る.も

っ と も これ は 図22の

よ うな表 わ し方 を してみ て も明 ら

か な こ と で あ る.   Rnは,位数nの

可 換 群 で あ る.

有 限 巡 回 群

  回 転 と い う よ う な 具 体 的 な イ メ ー ジ を ひ と ま ず 捨 て て,Rnの

もつ群 の性 質 だ

け を 抽 象 す る こ と に よ り,次 の 定 義 が 得 られ る. 【定 義 】Rnに い まGを 回 転gに

同 型 な 群 を,位 位 数nの

数nの

有 限 巡 回 群 と い う.

有 限 巡 回 群 とす る と,Gの

対 応 す る 元aが

存 在 す る.こ

中 に は,Rnの

中 に あ る2π/nの

の と き 同 型 性 か ら,Gは

G={e,a,a2,…,ak,…,an−1} と表 わ さ れ る.こ

の とき

で あ る.aをGの

生 成 元 と い う.

  有 限 巡 回 群 は,可 と え ば,n≧3の

換 群 だ か ら,非

と き,対

か 取 り扱 わ な い か ら,巡 し よ う.

称 群Snは

可 換 群 は け っ し て 巡 回 群 に は な り得 な い.た 巡 回 群 で は な い.な

回 群 と い う と き に は,い

お,こ

の講で は有 限群 し

つ で も 有 限 巡 回 群 を 指 す こ とに

有 限 群 の 中 の 巡 回 部 分 群

  Gを

一 般 の 有 限 群 と し,Gの

数 は ち ょ う どnだ

位 数 をnと

け あ る.Gの

す る.し

任 意 の 元aを

と っ て,繰

a,a2,a3,…,a3,… と い う系 列 が 得 られ る.こ の は 高 々n個

わ れ て い る あ るatに

中 の 異 な る元 の

り返 し積 を と っ て い く と

  (1)

れ らは す べ てGの

し か な い.し

た が っ てGの

元 だ か ら,こ

た が っ てs≦n+1を

れ らの中 で異 な る も

み た すsで,asは,す

で に前 に現

一 致 し て い る よ うな も の が 存 在 す る: as=at,1≦t<s≦n+1

し た が っ て,両

辺 にatの

逆 元a−tを か け る こ とに よ り as−t=e

が 得 られ た.こ

こ で1≦s−t≦nで

を 左 か ら見 て い く と,anま

あ る こ と に 注 意 し よ う.こ

で の 間 に,必

ず1つ

の 式 は,系

列(1)

は単 位 元 とな る もの が存 在す る

こ と を 示 し て い る.   そ こで,こ

の よ う な 元 の 中 で 一 番 最 初 に 現 わ れ る も の,す ak=e 

を み た す 最 小 の 自然 数kを

と る.い

なわ ち

(2)

ま 述 べ た こ とか ら,k≦nで

あ る.

  いま H={e,a,a2,…,ak−1} とお く と,右 は,巡

辺 に 現 わ れ て い る元 は す べ て 相 異 な っ て お り,ま

回 群 と な っ て い る こ と も 明 らか で あ ろ う.Hは

【定 義 】Hをaか

ら生 成 さ れ たGの

  した が っ て,Gの

各 元 に は,位

の 元 は 単 位 元 に 限 る.ま

巡 回 群 で あ る.

巡 回 部 分 群 と い い,kをaの

位 数 ,とい う.

数 と い う 自 然 数 が 対 応 す る こ と に な る.位 数1

巡 回群 ⇔

際 こ の 位 数nの

る. 【例 】  3次 の 対 称 群S3の

ら,H

た 巡 回群 の 定 義か ら

Gが 位nの こ と も 明 らか だ ろ う.実

位 数kの

た(2)か

元 を 考え る.

位数nの 元 が 存 在 す る 元 は,Gの

生 成 元 に よ っ て 与 え られ て い

に対 して

とな る.し た が ってaは 位数3で あ り,bは

位 数2で あ る.S3は 非 可 換 で,し た

が って巡 回群 で は な いか ら,位 数6の 元 は存 在 しない. 群 の位数 と元の位数   有 限群 の 群 の位 数 と,元 の位 数 に つ い ては 次 の簡 明 な 結 果が 成 り立 つ. 群Gの

【証 明 】aか

位 数 は,￨G￨の

ら生 成 さ れ た 巡 回 部 分 群 をHと

一 致 し て い る.一

方,前

aの 位 数 は￨G￨の   た と え ばS3の 数3か

元aの

約 数 で あ る.

す る.Hの

講 の 定 理 か ら,￨H￨は￨G￨の

位 数￨H￨はaの 約 数 で あ る.し

位数 と たがって

約 数 と な る. 元 は,単

位 元 は 位 数1,互

換 は 位 数2,そ

れ 以 外 の元 は す べ て位

ら な る.

  こ の 結 果 に よれ ば,aの れ る.し

位 数 をkと

す る と,￨G￨=ks(sは

たがって a￨G￨=aks=(ak)s=es=e

す なわ ち

群Gの が 成 り立 つ.

任 意 の 元aに

対 し,a￨G￨=e

自 然 数)と

表わ さ

位 数 が 素 数 の 群   1よ り大 き い 自 然 数pが,1と と い う.100よ

自分 自 身 以 外 に 約 数 を も た な い と き,pを

素数

り小 さ い 素 数 は 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41, 43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97

の25個

で あ る.

【定 理 】 群Gの

位 数 は 素 数pで

あ る と す る.

  (ⅰ)  Gは 巡 回 群 で あ る.   (ⅱ)  単 位 元 以 外 の 元 は,す

べ て 位 数pを

【証 明 】(ⅰ),(ⅱ)を

合 わ せ て 証 明 す る.単

る と,aの

り大 で,か

位 数 は1よ

pで な くて は な ら な い.し

つpの

群 は,単

  位 数2,3の   位 数4の

た が っ てGは,aに

とな る.し

群 と し て は,ま

位数 は

群

の 群 は 具 体 的 に は,平

面 のπ/2の回

し て 実 現 さ れ て い る.

た が っ てGの

群 が あ るか ど うか を 調 べ て み よ う.い の と き,Gの

任 意 の 元xに x2=e,す

2だ か ら).し

素 数 だ か らaの

よ っ て 生 成 さ れ る巡 回 群 で あ る.

ず 巡 回 群 が あ る.こ

あ っ た と し よ う.こ

が 成 り立 つ(xが

任意にと

素 数 だ か ら巡 回 群 で あ る.

  巡 回 群 で な い よ うな 位 数4の うな 群Gが

元aを

位 元 だ け か らな る群 で あ る.

群 は,2,3が

転 の つ く る 群R4と

位 元 と異 な るGの

約 数 で あ る.pは

位 数4の

  位 数1の

もつ.

単 位 元 以 外 の 元 は,す

の よ

べ て 位 数2

対 して な わ ちx=x―1

単 位 元 の と き は 明 ら か で あ り,そ た が っ て,Gの2つ

ま,そ

の 元x,yの

すると xy=(xy)−1=y−1x−1=yx

うで な い と き は,xの

積xyに

対 し て,こ

位数 が

の ことを適 用

し た が っ てGは

可 換 群 で あ る.G={e,a,b,c}と

で な くて は な ら な い.な う し,ab=aな

ぜ な ら,た

らばb=eと

す る と,abはe,a,bと

と え ばab=eな

な っ て し ま う.し

らばb=a−1=aと

た が っ てab=cが

異 な る元 な って し ま

成 り立 た な くて

は な ら な い.   結 局,巡

回 群 で な い 位 数4の

群Gは,単

位 元 以 外 の 元 が す べ て 位 数2の

可換

群 で あ って ab=c,bc=a,ca=b を み た す も の で あ る.   こ の 群 を,ク

ラ イ ン の4元

群 と い う.

Tea

Time

無限巡 回群   位数nの 有 限巡 回群 とは,本 質的 には2π/nの回転 の つ くる群 と考 え て よい もの で あ る.そ anは

れ で は,あ

る 群Gの

元aを

と っ た と き,ど

も と に 戻 ら な い で,an≠a(n=2,3,4,…)と

ろ うか.こ

ん な 自 然 数nを

な る と き は,一

とって も

体 ど うな るのだ

の ときは {…,a−n,…,a−2,a−1,e,a,a2,…,an,…}

は す べ て 異 な る 元 か ら な り, aman=am+n(m,n=0,±1,±2,…) と な る.こ は,可

の と きaは,(Gの

換 な 無 限 群 で あ る が,対

中 で)無

限 巡 回 群 を 生 成 す る と い う.無

限 巡 回群

応 an〓n

に よ っ て,整

数 の つ くる 加 群Zと

の 群 と し て の タ イ プは た だ1つ

同 型 に な っ て い る.そ

の 意 味 で,無

限 巡 回群

で あ る.

質 問  ク ライ ンの4元 群 とい うもの を,も う少 し簡 単 に説 明 してい た だ くこ とは

で き ませ ん か. 答  Z2に

よ っ て0と1だ

け か ら な る 加 群 を 表 わ す こ と に し よ う.こ

こで演 算 規

則は 0+0=0,0+1=1,1+1=0 で あ る.Z2は,左

右 対 称 の 対 称 変 換 を 与 え る群 と 考え て も よ い(第3講

  そ こ で,Z2を1つ

の'座

参 照).

標 軸'と す る 群

Z2×Z2={(a1,a2)￨a1,a2∈Z2} を 考 え る.こ

こ で 演 算 規 則 は,そ

れ ぞ れ の 座 標 成 分 に 関 す る 演 算 で 与 え られ て い

る: (a1,a2)+(a1′,a2′)=(a1+a1′,a2+a2′) こ の 群 を,Z2の ×Z2と

直 積 と い う(第15講

同 型 で あ る.講

参 照).こ

義 の 中 で 述 べ たa,b,cに

の と き,ク

ラ イ ン の4元

対 し て,(1,0),(0,1),(1,1)を

群 はZ2 対

応 さ せ る と よい.   直 交 座 標 の 導 入 さ れ た 平 面 上 で,x軸 y軸 に 関 す る対 称 変 換 に(0,1)を

に 関 す る対 称 変 換 に(1,0)を

対 応 さ せ,

対 応 さ せ る と,Z2×Z2は,x軸,y軸

れ に 関 す る 平 面 の 対 称 変 換 か ら 生 成 さ れ た 群 と 同 型 で あ る こ とが わ か る.

それぞ

第10講 整

数

と

群

テ ー マ

◆ 整 数,整 数 の つ くる加 群Z ◆nを

法 とし て合 同

◆nに

つ い て の剰 余類

◆ 剰 余類 のつ くる加群Zn ◆Znと

平 面 の回 転

◆ 互 い に素 な数,ユ

ー ク リ ッ ドの互 除 法

整

数

  整数の集ま り {…,−n,…,−2,−1,0,1,2,…,n,…} は,数

学 の 中 で も 最 も基 本 的 な 対 象 で あ る.

  整 数 は,加

法 に 関 し て 加 群Zを

逆 元 は−nで

あ る.一

定 義 さ れ て い る.し 正 の 整 数nの

方,整

つ くっ て い る.Zの

数 の 中 に は,加

単 位 元 は0で

あ り,nの

法 だ け で は な くて か け 算(乗

か し こ の か け 算 に 関 し て は 群 を つ く っ て い な い.な

場 合,nが1で

な け れ ば,nの

逆 数―

法)も

ぜ な ら,

か け 算 に 関 す るnの

逆元

― は 整 数 で な い か ら で あ る.   こ の 加 法 と 乗 法 と い う2つ な し て 織 り込 ま れ,予 心 が,整

の 演 算 が,整

数 と い う無 限 集 合 の 中 に,複

想 も で き な い よ う な 深 い 世 界 を 展 開 す る.こ

雑 な綾 を

の世 界 へ の関

数 論 の 発 祥 で もあ り,ま た い ま で も整 数 論 の 最 も 基 本 的 な 主 題 を 形 づ く

っ て い る.

剰   nを1よ

り大 き い 整 数 と す る.こ

余

類

の と き 任 意 の 整 数aを,た

だ1通

りに

a=kn+q,q=0,1,2,…,n−1 

(1)

と表 わ す こ と が で き る(た と え ばn=3,a=−13の 表 わ さ れ る).q=0の り で あ る が,こ

と き は,aがnの

と き は−13=(−5)×3+2と

倍 数 の と き で あ る.qはaをnで

れ か ら は 少 し改 ま っ た い い 方 を し てqを

  そ こ で(1)の

剰 余qに

割 った 余

剰 余 と い う こ と に す る.

注 目して a≡q(modn)

で 表 わ す.a−q=knで,a−qはnの

倍 数 で あ る.

  よ り一 般 に 次 の 定 義 を お く. 【定 義 】a−a′

がnの

倍 数 の とき a≡a′(modn)

と表 わ し,aとa′

はnを

  modは 英 語modulusの 語 で あ っ てsmall

法 と し て 合 同 で あ る と い う.

略 であ る.も

measureの

っ とも このmodulusと

い う単語 は も とも とラテ ン

意 味 で あ った と,辞 書 に はか い て あ る.

  次 の 性 質 が 成 り立 つ.   (ⅰ)  a≡a(modn)   (ⅱ)  a≡b(modn)⇒b≡a(modn)   (ⅲ)  a≡b(modn),b≡c(modn)⇒a≡c(modn) 【証 明 】(ⅰ)は も ま たnの

明 らか で あ る.(ⅱ)はa−bがnの

倍 数 な ら ば,b−a=−(a−b)

倍 数 と な る こ とか ら わ か る.(ⅲ)は a−c=(a−b)+(b−c)

と か き直 し て み る と,a−b,b−cがnの

倍 数 な らば,a−cも

ま たnの

倍 数 とな

る こ と か らわ か る.   こ の(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)と

い う性 質 は,nを

法 と し て 合 同 で あ る とい う関 係 が 整

数 の 中 に 同 値 関 係 を 与 え て い る こ と を 示 し て い る(第8講 に よ る 類 別 に よ っ て 得 られ る 同 値 類 を,nに   2つ のa,a′

を,a=kn+q,a′=k′n+q′

a−a′=(k−k′)n+(q−q′)がnの し た が っ て,2つ の'剰

余'が

の 整 数 が,nに

等 し い こ と で あ る.

参 照).こ

の 同値 関係

つ い て の 剰 余 類 と い う. と表 わ し た と き, 倍 数 ⇔q=q′

関 す る 同 じ 剰 余 類 に 属 す る 条 件 は,nに

ついて

  た とえ ば7に …,6で

関 す る 剰 余 類 は,全

体 で7個

あ っ て,そ

れ ら は,'剰

余'0,1,2,

代 表 さ れ て い る: 0を 含 む 剰 余 類:{…,−14,−7,0,7,14,21,…} 1を 含 む 剰 余 類:{…,−13,−6,1,8,15,22,…} 2を 含 む 剰 余 類:{…,−12,−5,2,9,16,23,…}

6を 含 む 剰 余 類:{…,−8,−1,6,13,20,27,…}   一 般 にnに

関 す る 剰 余 類 は,0,1,2,…,n−1で

  な お,第8講

代 表 さ れ て い る.

の 観 点 に 合 わ せ た い い 方 を す る な ら ば,nに

関 す る 剰 余 類 は,次

の よ うに 述 べ る こ と も で き る.   加 群Zの

中 で,nの

倍 数 か ら な る 部 分 群 をHと

す る:

H={kn￨k=0,±1,±2,…} こ の と き,Zの

部 分 群Hに

左 の 区 別 は な い)を,nに

よ る類 別 か ら得 られ る剰 余 類(Zは

可 換 だ か ら,右,

関 す る 剰 余 類 とい う.

  これ は 私 の推 測 だが,こ の 事 実が,一

般 の群 に対 し て も部 分群 に よる類 別 を,日

本語 で

剰 余類 と よばせ る こ とに な った の で は ない か と思 う.英 語 で はcosetと 簡 明 で あ る.右 余類,左 剰 余 類 はright cosec,left

剰

cosetで あ る.

剰 余 類 の つ く る 加 群Zn

  nを1よ

り大 き い 自然 数 とす る.こ

の と きnに

関す る剰余 類 に対 して

a≡a′(modn),b≡b′(modn)⇒a+b…a′+b′(modn)

が 成 り立 つ. 【証 明 】a−a′=kn,b−b′=k′nな

らば

(a+b)−(a′+b′)=(a−a′)+(b−b′) =(k+k′)n とな り,a+b=a′+b′(modn)が   こ の こ とは,aを 結 果 はa+bを

成 り立 つ.

含 む 剰 余 類,bを

含 む 剰 余 類 か ら勝 手 に 数 を と っ て 加 え て も

含 む 剰 余 類 に 属 し て い る こ とを 示 し て い る.こ

の よ う に し て,'2

つ の 剰 余 類 を 加 え る'と

い う こ と に,は

っ き りと し た 意 味 が つ け ら れ る よ うに な

っ た の で あ る.   す な わ ち,aを

含 む 剰 余 類 を[a]と

表 わ す と き,[a]と[b]の

和を

[a]+[b]=[a+b] に よ っ て 定 義 す る.こ

の 加 法 を 群 の 演 算 と し て 採 用 す る こ とに よ り,nに

剰 余 類 全 体 に 加 群 の 構 造 が 入 る.単

位 元 は[0]で

あ り.[a]の

関す る

逆 元 は[−a]で

与 え られ る.   こ の 群 をZnで

表 わ し,nに

つ い て の 剰 余 類 群 と い う.Znは

位 数 がnの

可換 群

で あ る.   Znの

元 を,nに

る と,た

つ い て の'剰

余'0,1,2,…,n−1に

よ って代 表 す る ことに す

とえ ば

  Z2は{0,1}か

らな り 0+0=0,0+1=1,1+1=0

で あ る.   この よ うに 考 え る と,記 号Z2は,前

講 のTea

Timeで

導 入 した もの と整 合 して い る こ

とが わ か る.   ま たZ3は{0,1,2}か

らな り 0+0=0,0+1=1,0+2=2, 1+1=2,1+2=0,2+2=1

を み た す 群 と 考 え て よ い(最 が1で

後 の2+2=1は,4(=2+2)を3で

あ る こ と を 示 し て い る!).

Znと   Znに

割 った とき余 り

平 面 の 回 転

最 初 に 出 会 わ れ た 読 者 は,ま

るか も しれ な い.確

か に,Znを

き上 が っ て し ま え ば,Znは,実

っ た く新 し い 群 が 登 場 し て き た と感 じ ら れ

構 成 す る 過 程 は 新 しか っ た か も し れ な い が,で は,円

を 中 心 の ま わ りに2π/nだ け 回 転 す る 変 換

が 生 成 す る 有 限 巡 回 群 と 同 型 に な って い る.こ ち が 何 度 も 取 り扱 っ て き た,よ   こ の 同 型 を み る に は,文

の 後 者 の 群 は,第2講

以 来,私

た

く知 っ て い る群 で あ る.

章 で 説 明 す る よ りは,図

で わ か っ て も ら っ た 方 が よい

だ ろ う.図23で て い る.し

は,Z7が2π/7の

か し,整

回 転 の つ く る群 と 同 型 とな っ て い る こ と を 示 し

数 と い う と,飛

と い う イ メ ー ジ が 強 い と,図23は

び 石 の よ うに,一

直 線 上 に 点 々 と並 ん で い る

少 し な じ み に くい か も しれ な い.

図23

互 い に素 な 数 【定 義 】2つ

の 正 の整 数a,bが,共

通 な約 数 を1し か も た な い とき,aとbは

互 い に 素 で あ る とい う.   な お,負 の整数aに 対 しては,aの

符 号 をか えて 得 られ る正 の整 数−aに 対 し

て この定 義 を 適 用す る こ とにす る.た とえ ば−12と5は

互 い に素 で あ る.

  次 の結 果 は 最 も基本 的 な もので あ って,応 用 され る こ とが 多 い. aとbが

互いに素 ⇔

適 当 な 整 数x,yが

存在 して

ax+by=1 が 成 り立 つ. 【証 明 】〓:ax+by=1を が 存 在 す れ ば,こ

み た すx,yが

の 式 の 左 辺ax+byはkで

割 り き れ る こ と に な り,k=1が   ⇒:こ

れ は,有

存 在 し た とす る.aとbに 割 り き れ る.し

結 論 さ れ る.ゆ

え にaとbは

共 通 な 約 数k

た が っ て 右 辺 もkで 互 い に 素 で あ る.

名 な ユ ー ク リ ッ ドの 互 除 法 を 用 い て 証 明 さ れ る こ と で あ る.こ

の 一 般 的 な 証 明 を 行 な う の は こ こで は あ ま り適 当 で な い よ うに 思 え る の で,2つ の 互 い に 素 な 数 を と っ て,αx+by=1と

な るxとyを

求 め て み よ う.

  そ の よ うな 例 と し てa=65,b=19を

a=q0b+r1

19=2×8+3 

b=q1r1+r2

8=2×3+2 

r1=q2r2+r3

3=1×2+1 

r2=q3r3+r4

2=2×1 

r3=q4r4,r4=1

右 側 に か い て あ る の は,左 い に 素 の と き に は,必 な る(い

と る.

65=3×19+8 

側 の 数 字 を 文 字 に お きか え た も の で あ る.aとbが

ず こ の よ うな 計 算 を し て い く と,あ

ま の 場 合,r4=1).も

い く と,aとbがr4で

しr4>1な

ら ば,こ

のr4で

りが1と

下 の 方 か ら順 に 割 っ て

割 りき れ る と い う こ と に な っ て し ま う!

  今 度 は 右 の 方 を 見 る とわ か りや す い の だ が,右

の 式 を,下

と 1=r4=r2−q3r3=r2−q3(r1−q2r2) =(b−q1r1)−q3{r1−q2(b−q1r1)} こ の 式 に さ ら にr1=a−q0bを

代 入 す る と,最

後に

1=ax+by と い う式 が 得 ら れ る.明   実 際,左

る 段 階 で,余

互

らか にxとyは

整 数 で あ る.

側 の数 に対 して この計 算 を行 な ってみ る と x=−7,y=24

と な る こ と が わ か る.す

なわ ち 65×(−7)+19×24=1

が 得 られ た(65×(−7)=−455,19×24=456).   一 般 の 場 合 の 証 明 も,同

様 に 行 な わ れ る.

の 方 か ら追 っ て い く

Tea

Time

質 問   ユ ー ク リ ッ ドの 互 除 法 と い うの は,具 い る こ と に 驚 き ま し た.上 だ と 感 心 し ま し た.こ

体 的 な 数 値 ま で 求 め る方 法 を 示 し て

の 例 で も,−7と24と

い う数 が よ く見 つ か った も の

ん な す ば ら し い 方 法 が,本

て い た の で す か.ユ

当 に ユ ー ク リ ッ ドの 頃 に 知 られ

ー ク リ ッ ドは い ま か ら2300年

く らい 前 の ギ リシ ャ の 数 学 者

だ と 聞 い て い ま す が. 答  ユ ー ク リ ッ ドの 『原 論 』 第7巻 い る の で あ る.講 一般に

,正

義 で は,互

の 整 数a,bに

義 で は,4回

繰 り返 し た 後,rn=最

対 し て こ の 互 除 法 を 用 い た が,

対 して こ の 互 除 法 を 用 い て い く と,最

後 にa,bの

最大 公

の 整 数 が 互 い に 素 な と き に は 最 大 公 約 数 は1だ

目 にr4=1を

得 た の で あ る.一

大 公 約 数,rn+1=0と

  ユ ー ク リ ッ ドの 『原 論 』 で は,数

か

般 に は適 当 な 回数 の 互 除法 を

な っ て,互

除 法 が 終 る の で あ る.

は す べ て 線 分 で 表 わ さ れ て い た か ら,線 分 演

算 の 形 で こ の 互 除 法 が 述 べ られ て い る.君 の 時 代,そ

の 互 除 法 の こ と が は っ き り とか か れ て

い に 素 な 整 数a,bに

約 数 に 到 達 す る の で あ る.2つ ら,講

に,こ

が い う よ うに,い

の 頃 の 世 界 の 文 化 の レベ ル を 考 え る と,こ

ま か ら2300年

も前

の ギ リ シ ャ数 学 の 達 し た 高

さは 驚 くべ き も の が あ る.   な お,こ

の 互 除 法 の 考 え は,最

大 公 約 数 を 求 め る 方 法 を 与 え る だ け で は な く,

連 分 数 と い う考 え に 直 接 つ な が る の で あ る.こ る こ と は で き な い の だ が,65と19に

の こ とにつ い て詳 し くここで 述べ

対 し て 互 除 法 を 行 な った と き,右

に 割 り算 の 答 と し て 3,2,2,1,2 が 現 わ れ て い た.こ

の 数 に よ っ て,19/65は

と し て 表 わ さ れ て い る の で あ る.

実 は'連

分 数'

辺 第1項

第11講 整 数 の剰余 類 の つ くる乗法 群 テー マ

◆ 剰余類のかけ算 ◆ 剰 余 類 の 中 に乗 法 に よ って 群 の構 造 が 入 るか?― ◆nと

否定 的

素 な 剰余 類 の つ くる乗 法 群Zn*

◆ フ ェル マ の 小定 理 ◆ オ イ ラ ー の関 数 ψ(n) ◆￨Zn*￨=ψ(n) ◆(Tea

Time)ウ

ィル ソン の定理:(p−1)!≡−1(modp)

剰 余 類 の か け算 nを1よ

り大 きい 自然 数 とす る.こ の とき次 の ことが成 り立 つ. a≡a′(modn),b≡b′(modn) ⇒ab≡a′b′(modn)

【証 明 】a−a′=kn,b−b′=k′nと

す ると

ab−a′b′=(a−a′)b+a′(b−b′) =(kb+a′k′)n し た が っ てab−a′b′ もnの 倍 数 と な っ て,ab≡a′b′(modn)が   こ の こ と は,前

講 で 剰 余 類 の 加 法 に つ い て 述 べ た と 同 様 に 考 え る と,nに

る 剰 余 類 全 体 の 集 合 に,か

け 算 が 定 義 さ れ る こ と を 示 し て い る.

  前 講 の よ うに,nを1つ

と め た と き,nに

を[a]で

成 り立 つ.

表 わ す こ と に す る.こ

関 す る 剰 余 類 の 中 で,aを

含む もの

の とき

[a][b]=[b][a] 

(1)

[a][0]=[0],[a][1]=[a] 

(2)

は 明 ら か で あ ろ う.実

関す

際 これ ら の 関 係 は,ab=ba,a0=0,a1=aを

剰 余 類 に移 し

て か い て い る に す ぎ な い. 【例1】mod5で

は [2][3]=[1],[2][4]=[3],[3][4]=[2], [4][4]=[1]

も ち ろ ん,た

と え ば 最 後 の 等 式 は[4][4]=[16]と

か い て も[4][4]=[−4]と

か

い て も 同 じ こ と で あ る. 【例2】mod6で

は [2][3]=[0],[2][4]=[2],[4][5]=[2], [3][5]=[3]

な どが 成 り立 つ.

剰 余 類 の 中 に 乗 法 に よ っ て 群 の 構 造 が 入 る か?

  nに 関 す る 剰 余 類 全 体 の 集 ま りの 中 に,こ

のか け算 に よ って群 の 構造 が 入 るか

ど うか を 考 え て み よ う.   し か し,ど

ん なaを

と っ て も,(2)に

逆 元 な どけ っ し て 存 在 し な い(も け て,[a]=[1]が

よ っ て[a][0]=[0]だ

し[0]−1が

あ れ ば,こ

か ら,[0]に

は

の 式 の 両 辺 に[0]−1を

か

い つ も 成 り立 っ て し ま う こ と に な る!).

  し た が っ て,問

題 は

(〓)  [0]以

外 の 剰 余 類 全 体 の 集 ま りは,か

け算に関して

群 を つ くっ て い る か? と な る.   こ の 問 題 は い か に も も っ と も ら し い.(2)を

見 る と,も

しか け算 で群 を つ く

っ て い る とす る と,[1]が

単 位 元 と な る こ と も 明 らか で あ る.し

眺 め る と,こ

は そ の ま ま の 形 で は 成 り立 た な い こ と が わ か る.実

際,n=6の

の 問 題 も,実 と き,[2]と[3]を

か け る と0に

元 が あ る とす る と[2][4]=[2],[5][4]=[2]か か け る と,[2]=[5]に   (〓)の

形 で は,問

な っ て い る.ま ら,こ

か し 上 の 例2を

た も し[4]に

の 両 辺 に 右 か ら[4]−1を

な っ て し ま う.こ れ は お か し い. 題 は 一 般 に は 成 り立 た な い の で あ る.

逆

nと

素 な 剰 余 類 の つ く る 乗 法 群Zn*

  こ の 問 題 設 定 の正 し い 解 答 を 得 る 前 に,ま   aがnと

素 な ら ば,a+knもnと

  a+knとnが

ず 次 の こ とを 注 意 す る.

素 で あ る.

共 通 の 約数q>1を

もて ば, a+kn=ql,n=ql′

と表 わ され,し た が っ てa=ql−kn=q(l−kl′)も

約数qを

もち,aとnは

素 で な くな って

し ま う.   す な わ ち,aとnが ま たnと

互 い に 素 な ら ば,aの

素 と な っ て い る.し

剰余 類 に 含 まれ る す べ て の整 数 が

た が っ て こ の こ と か ら,剰

余 類 へ と移 っ て,[a]を

nと 素 な 剰 余 類 とい うい い 方 を し て も 差 しつ かえ な い こ と が わ か る.   nと 素 な剰 余類 を,nの

既 約 剰 余類 とい うのが ふ つ うだ が,こ

こで は この用 語 を 改 め て

用 い な い こ とに し よ う.   そ の と き,(〓)の

【定 理 】nに

問 題 は,多

少 訂 正 し た 次 の 形 で 成 り立 つ.

素 な 剰 余 類 全 体Zn*は,乗

【証 明 】a,bをnと

法 に よ っ て 群 を つ く る.

素 な 数 とす る と,abも

ま たnと

素 に な る.実

際,前

講 の結 果

か ら ax+ny=1,bx′+ny′=1 を み た す 整 数x,y;x′,y′

が 存 在 す る.こ

の両式 を辺 々かけ て整 頓 す る と

abx"+ny"=1 と い う式 が 得 られ る(x"=xx'，y"=axy′+bx′y+nyy′).x",y"は こ の 式 か らabとnが

素 で あ る こ とが わ か る.

  この ことは [a],[b]∈Zn*⇒[a][b]∈Zn* を 示 し て い る.   Zn*の

単 位 元 は,も

  任 意 に[a]∈Zn*を

ち ろ ん[1]で と る と,適

与 え ら れ る. 当 な 整 数x,yで

ax+ny=1 

(3)

整 数 で あ り,

と い う関 係 が 成 り立 つ が,こ

の 式 はaとxの

素 で あ る こ と も 同 時 に 示 して い る.し

役 目 を と りか え て み る と,xがnと

た が って[x]∈Zn*で

あ る.(3)は

剰余

類へ移 ると [a][x]=[1] と表 わ す こ とが で き る.し   これ でZn*が,乗   こ れ か らZn*と (1)か

た が っ て[a]は

か く と き に は,い

Zn*の

数 で,pと

も つ.

法 に よ っ て 群 を つ く る こ とが わ か っ た.

らわ か る よ うに,Zn*は

  nが 素 数pの

逆 元[x]を

と き,群Zp*の

つ で も こ の 群 を 表 わ し て い る こ と に す る.

可 換 群 で あ る.

位 数―nが

素 数pの

と き

位 数 は す ぐ に 求 め られ る.pよ

り小 さ い 正 の 整

互 い に素 な 数 は 1,2,3,…,p−1

で あ る.し

た が って Zp*={[1],[2],[3],…,[p−1]}

とな り,Zp*は

位 数p−1の

群 で あ る.

 す なわ ち

￨Zp*￨=p−1

  第9講 ら,Zp*の とを,剰

の'群

の 位 数 と元 の 位 数'の

任 意 の 元 をp−1乗

項 で 述 べ た 結 果 を 参 照 す る と,こ

す る と,単

位 元 に な る こ とが 結 論 で き る.こ

余 類 の か け 算 の 定 義 に 戻 っ て い い か え る と,次

【定 理 】aがpの

の こ とか のこ

の 定 理 と な る.

倍 数 で ない と きには ap−1≡1(modp)

が 成 り立 つ.

  これ を フ ェ ル マ の 小 定 理 とい う.   こ の 定 理 を 単 に こ の よ うに か い た だ け で は 何 の 味 気 も な い か も し れ な い.実

際,数

値 を い れ て 検 証 し て み よ う.

  p=11の

と き,こ

の 定 理 に よ って410≡1(mod11)が

成 り立 つ が,実

際

410−1=1048576−1=1048575 =11×95325   p=23の

と き,222≡1(mod23)が

成 り立 つ が,実

際

222−1=4194304−1=4194303 =23×182361 こ の よ うに か く と,多

少 神 秘 的 な 気 が し て く る.

Zn*の

  nが 素 数pの

位 数―nが

素数pの

べ キ の と き

べ キで n=pk

と表 わ され て い る と き に は,1≦a≦nで,nと 1か らpkま

で の 数 で,pの

互 い に 素 で あ る よ う な 数aは,

倍 数 と な る よ うな 数

p,2p,3p,…,(pk−1−1)p,pk  を 除 い た も の で あ る.(4)の

(4)

個 数 はpk−1個 で あ る.し

た が っ て1≦a≦nで,n

と素 と な る 数 の 個 数 は  pk−pk−1

で 与 え られ る.   し た が っ て ま たn=pkの

と き のZn*の

位数 は

pk−pk−1=pk(1−1/p)

で あ る こ とがわ か る.す なわ ち

Zn*の 一 般 の 場 合 に は,nを

位 数―一

般 の 場 合

相 異 な る 素 数 の べ キ と し て 表 わ し て お く: n=p1k1p2k2…psks

こ の と きZn*の

位 数 は,1≦a≦nを

数 の 個 数 と一 致 す る.こ え て,オ

み た す 整 数aで,nと

の 個 数 を ふ つ う ψ(n)で

互 い に 素 で あ る よ うな

表 わ し,ψ(n)をnの

関数 と考

イ ラ ー の 関 数 と い う.

  ψ(n)は

次 の 形 で 表 わ さ れ る こ と が 知 ら れ て い る.

(5)

す ぐ上 に述 べ た 結果 か ら

は 知 っ て い る.し

た が っ て ψ(n)を

表 わ す 右 辺 の 式 は ψ(p1k1)ψ(p2k2)…

ψ(psks)に

等 し い こ と が わ か る.   (5)の

証 明 は,初

例 で 述 べ て お こ う.い

等 整 数 論 か ら の 準 備 が い る の で,こ まnと

こ で は 省 略 す る.考

し て,n=504=23×32×7を

互 い に 素 で あ る.275の23,32,7に

え 方 だ け を,

と る.a=275=52×11は504と

関す る剰 余 類 を とっ てみ る と 275≡3(mod23) 275≡5(mod32) 275≡2(mod7)

とな り,こ

れ ら は そ れ ぞ れ の 剰 余 類 の 中 で 素 な 剰 余 類 と な っ て い る.そ

こで対 応

275→(3,5,2) が 得 ら れ る.こ

の よ うな 対 応 は,504に

の 対 応 の 行 く先 は,(3,5,2)の る.こ

の よ うな3つ

関 す る 素 な 剰 余 類 に 対 し て つ ね に 定 義 さ れ る.こ

よ うに,23,32,7に

つ い て の,そ

れ ぞ れ の 素 な剰 余類 で あ

の素 な 剰 余類 の組 の 総数 は ψ(23)ψ(32)ψ(7)

で あ る.   一方,こ

の 対 応 は1対1で

あ る こ とが 証 明 で き て,結

局

ψ(504)=ψ(23)ψ(32)ψ(7) で あ る こ とが 示 さ れ る の で あ る.   こ の 項 の 結 論 を も う一 度 ま とめ て い え ば

￨Zn*￨=ψ(n)

と な る.し

た が っ て,n=pの

任 意 の 整 数aに

対 して

と き 述 べ た の と同 様 の 推 論 でnと

素 であ る よ うな

aψ(n)≡1(modn)

が 成 り立 つ こ とが わ か る.

Tea

pが 素 数 の と き,Zp*は   pが 素 数 の と き,Zp*の か ど うか わ か ら な い.し ど,Zp*は

Time

巡 回群 とな る

位 数 はp−1で か し,こ

あ り,こ

巡 回 群 に な る こ とが 知 ら れ て い る(実

す る と,Zpk*も

巡 回 群 と な る).Zp*の

の 原 始 根 とい う.た と え ば,7を

の位数 を 見 た だけ で は巡 回 群

こ で 簡 単 に 証 明 す る こ とは で き な い の だ け れ 際 は,pを2よ

り大 き い 素 数 と

巡 回 群 と し て の 生 成 元 を,pを

法 と し て の1つ

の 原 始 根 は3で

法 として

与 え られ て い る.

確かめてみると 31≡3,32≡2,33≡6, 34≡4,35≡5,36≡1(mod7)  と な っ て,実

際,3の

ベ キ を1か

ら6ま

(*)

で と る と,7と

素 な すべ ての 剰余 類 が 現

わ れ て く る こ と が わ か る.   こ の 原 始 根 の 存 在 か ら,素数p(>2)に ら れ る.ウ

つ い て,有

名 な ウ ィル ソ ン の 定 理 が 得

ィル ソ ン の 定 理 とは (p−1)!≡−1(modp)

が 成 り立 つ,と

い う不 思 議 な 定 理 で あ る.pが

るべ き 大 き な 数 とな るか ら,実

少 し 大 き くな れ ば,(p−1)!は

際 数 値 で 確 か め られ る の は,精

々,pが20以

恐 下

の 素 数 の と き くら い で あ る.   つ い で だ か ら,こ p=7の

の 定 理 が 一般 に どの よ う に し て 証 明 され る か,そ

場 合 に 示 し て み よ う.す

の筋道 を

な わ ち 証 明 す べ き こ とは

(7−1)!=6!≡−1(mod7) で あ る.上

の(*)の

辺 々を すべ て か け合 わ せ る と 31+2+3+4+5+6=6!(mod7)

と な る.36≡1(mod7)に

注 意 す る と,31+5≡1,32+4≡1(mod7).し

式は 33≡6!(mod7)

た が って上

と な る.一

方,36=(33)2≡1に

(mod7)が

得 られ た.

 た と え ば,p=11の

と き,ウ

よ り,33≡−1(mod7)が

ィル ソ ン の 定 理 は 10!+1が11の

とな る こ とを 保 証 し て い る.実

倍数

際

10!+1=3628801=11×329891 とな っ て い る.

わ か り,結

局−1≡6!

第12講 群

と 変

換

テー マ

◆ 変 換 とい う視 点 ◆ 群 の働 き―

群Gが

集 合Mの

上 に働 く.

◆ 群 の,自 分 自身 の上 へ の左 か らの 働 き,右 か らの働 き,両 側 か らの働 き ◆ 準 同型 ◆ 位 数nの 有 限 群 は,対 称 群Snの

中 に1対1の

準 同型 写 像 で移 され る.

◆'表 現'と い う言 葉

変 換 と い う視 点 に 立 っ て   群 の 概 念 の根 底 には,変 換 の考 え があ る.こ の こ とは,抽 象 群 の理 論 が どれ ほ ど抽 象 的 な 構造 と枠 組 を 群 に与 えて み て も,変 わ らぬ こ との よ うに 思わ れ る.変 換 として 働 く場 所 は,正 多 面体 の よ うな具 体 的 な もの か ら,し だ い に数 学 的 な形 式 に よ って 整 え られ た 対 象 へ と高 め られ て い く.そ れ に した が って,変 換 で不 変 であ る よ うな形 は,正 多面 体 にみ られ るシ ン メ ト リーか ら,も っ と抽 象 的 な対 称 性 へ と高 め られ て い くだ ろ う.し か し,群 の働 きに よ って 不 変 で あ る よ うな もの の中 に,1つ

の数 学 的 実在 を感 ず る とい う感 じは,い つ まで も保 たれ 続 け てい く

よ うで あ る.   これ か ら しば ら くは,変 換 とい う視 点 を 中心 にお きな が ら,群 の話 を進 め て み よ う.

は じ め に   正 多面 体群 は,正 多面 体 の頂 点 の 変換 を 引 き起 こ して い る し,対 角 線 相 互 の変 換 も引 き起 こ して い る.ま た た とえば正20面 体群 は,20個 こ してい る.1つ

の面 の 変換 も引 き起

の群 で も,い ろ い ろ 異 な った 対 象 に 変換 群 と し て 働 い て い

る.   また,対 称 群Snや 交 代 群Anは,n個 び か え―

の も の の上 に働 い て,そ

の変 換 ―

並

を 引 き起 こして い る.

  2次 の正 則行 列(逆 行 列 を もつ もの)の 全 体 は,行 列 の 積で 群 をつ くるが,こ の群 は 座標 平 面 上 に働 い て,点 の 変 換 を引 き起 こ して い る.も ち ろ ん,点 の変 換 だけ で は な くて,平 面 上 の三 角形 全 体 の上 に も変換 を 引 き起 こ してい る.1つ 三 角 形△ は,正 則行 列Aに

よ って,別 の三 角形A(△)へ

の

と移 るの で あ る.

  2次 の正 則 行 列 の中 で

と 表 わ さ れ る 行 列 は,原

点 を 中 心 とす る 角 θ の 回 転 を 与 え て い る.Aθ

正 則 行 列 の 中 で 部 分 群 を つ くっ て い る が,こ

の 全 体 は,

の 群 で は三 角形 は合 同 な三 角 形へ と

移 っ て い る.

群

の 働

  こ の よ う な群 の 変 換 と し て の 働 き を,抽 め に は,群Gだ

け で は な くて,Gが

上 に み た よ う に,群

も な い し,ま

象的 な立 場 に立 って総 括 的 に述 べ るた

働 く対 象 を 設 定 し て お か な くて は な ら な い.

が 働 く対 象 は,場

関 係 す る あ る性 質 を,こ

き

合,場

合 に よ って 多 種 多 様 だ か ら,群Gに

の 対 象 に あ ら か じ め 付 し て お くよ うな こ と は,実

際的で

た で き そ うに な い こ とで あ る.

  そ こ で 次 の よ うな 非 常 に 一 般 的 な 定 義 を お く こ と に な る. 【定 義 】 群Gが 写 像(変

集 合Mの

上 に 働 く と は,Gの

各 元gに

対 し て,Mか

らMへ

の

換) x→g(x) 

が 決 ま っ て,次

の 性 質 を み た し て い る こ と で あ る.

  (ⅰ)  g1(g2(x))=g1g2(x)    (ⅱ)  Gの 単 位 元eに   す な わ ち,Gの

(x∈M,g∈G)

(x∈M,g∈G)

対 し てe(x)=x 

各 元gは,M上

っ き り さ せ る た め,Mの

元 をMの

(x∈M)

の 変 換 と し て 働 い て,Mの 点 とい う こ と に す る)を,Mの

点(イ

メー ジを は 別 の 点 に移

す.   (ⅰ)で

い っ て い る こ と は,Mの

ま ずg2に

よ っ てg2(x)へ

い てg1に

よ っ てg1(g2(x))へ

は,群Gの

方 でg1とg2の

g1g2に

よ っ て,xを

点xを,

と 移 し,引

き続

と移す こと 積 を と っ て,

一 度 にgig2(x)に

移す

こ と と 同 じ こ とで あ る と い っ て い る の で あ る(図24).g2とg1の

合 成 写 像 はg1og2と

図24

表 わ す と い う こ とを 知 っ て い る 人 に は,(ⅰ)はM上

の写 像 と して

g1og2=g1g2 が 成 り立 つ と表 わ した 方 が わ か りや す い か も し れ な い.   (ⅱ)は,Gの

単 位 元eは,Mの

恒 等 写 像 を 引 き起 こ し て い る,と

い うこ とを

い っ て い る.   (ⅰ)と(ⅱ)か

ら,gg−1=g−1g=eに

より

g(g−1(x))=g−1(g(x))=x  が 成 り立 つ.g(g−1(x))=xは,(右 か らMの

辺 のxがMの

(x∈M) 任 意 の 点 で よい か ら)gがM

上 へ の 写 像 で あ る こ と を 示 し て お り,ま たg−1(g(x))=xは,x≠x′

ら ばg(x)≠g(x′)の

こ と,す

な わ ち,gがMか

らMへ

の1対1写

な

像であ るこ

と を 示 し て い る.   こ の こ とは,同   な お,記

時 に,g−1がgの

逆 写 像 を 与 え て い る こ と も 示 し て い る(図25).

号 の 使 い 方 と し て,gの

わ し い と き も あ る.そ

働 きを 直 接g(x)と

の と き に は,gに

応 す る 変 換 を ψgと か き,ψgに

か くの は,か

対

よ っ て 点x

の 移 され る 先 を ψg(ｘ)と 表 わ す.た

と え

ば,整

数全

数 全 体 の つ く る加 群Zは,実

体 の つ く る集 合Rに ψn(x)=n+x  と し て 働 く.(ⅰ)に 合

(n∈Z,x∈R) 対 応 す る 式 は この場 図25

え っ て紛 ら

と な っ て い る.   な お これ も 細 か い 注 意 か も しれ な い が,(ⅱ)は,単

位 元eが

こ と は い っ て い るが,'eだ

般 に はe以

け が'と

等 変 換 を 与 え る こ と が あ る.た

は い っ て い な い.一

と え ば,Zは

実 数 の 集 合Rに,上

恒 等 変換 に な る 外 の 元 で も恒 の ψnと は 別

に ψn(x)=(−1)nx と し て も 働 い て い る.こ

の と き,nが

偶 数 な ら ば,ψnは

すべ て恒 等 変換 とな っ

て い る.

任 意 の 群 は,自

群Gは,G自

分 自身 の 上 に 働 く

身 の上 に

ψg(h)=gh 

(g,h∈G)

と お く こ と に よ り働 く.

  実際 ψg1(ψg2(h))=ψg1(g2h)=g1g2h=ψg1g2(h) φe(h)=hは   こ のGの

明 ら か で あ ろ う. 自 身 の 上 へ の 働 き を,Gの

左 か ら の 働 き と い う.

  対 応 し て

群Gは,G自

身の上に

ψ,(h)=hg−1 

(g,h∈G)

と お く こ と に よ り働 く. 実 際,

ψe(h)=hは

明 ら か.

  こ のGの

自身 の 上 へ の 働 き を,Gの

  ψgoψg(h)=ψgoψg(h)=ghg−1に

右 か ら の 働 き と い う.

注 意 す る と,こ

れ か ら ま た 次 の よ う なGの

働き

が あ る こ と も わ か る.

群Gは,G自

身 の上 に

λg(h)=ghg−1(g,h∈G) と お く こ と に よ り 働 く.

  こ のGの

自身 の 上 へ の 働 き を,Gの

両 側 か ら の 働 き とい う.

  これ ら の 最 も 基 本 的 な 例 で もわ か る よ う に,1つ 合 はGで

あ っ た が)に

働 く仕 方 は,い

有 限 群Gの

  有 限 群Gの

と す る.い

位 数 をnと

ま 群Gを

へ と 変 わ る.と

し,Gの

の 群Gが

集 合M(い

まの場

ろ い ろ あ る の で あ る.

置 換 と して の働 き

元 を適 当 な順 序 で 並 べて

h1,h2,h3,…,hn 

(1)

左 か ら 働 か せ る.こ

の と きg∈Gの

gh1,gh2,…,ghn 

(2)

働 き に よ っ て,(1)は

ころが hi≠hj⇒ghi≠ghj

だ か ら,(2)は(1)を

並 べ か え た も の に す ぎ な い.し

た が って

gh1=hi1,gh2=hi2,gh3=hi3,…,ghn=hin  とお く と,(i1,i2,…,in)は(1,2,…,n)の   こ の よ うに し て,gの た か に 注 目 し て,Gか

置 換 と な っ て い る.

左 か ら の 働 き に よ っ て,(1)が らn次

の 対 称 群Snの

Φ:g→(

1

2

系 列 に,も

で,hi1,hi2,…,hinのgに

ど の よ うに お き か わ っ

中へ の対 応 3…ni

1 i2 i3

が 得 られ た.(2)の

(3)

…

う一 度 左 か らgを

in

)

働 か せ る こ とは,(3)の

よ る置 換 を 行 な う こ と に な っ て い る.こ

の こ とは

Φ(gg)=Φ(g)Φ(g) を 示 し て い る.右

辺 は,2つ

の 置 換 Φ(g),Φ(g)の

積 を 表 わ し て い る.

系列

準

  こ の よ うな 対 応 を 取 り出 し て,は

同

型

っ き りし た 形 で 述 べ る に は,次

の概 念 を 導 入

し て お い た 方 が よ い. 【定 義 】 群Gか

ら,群G′

へ の対 応 Φが あ って Φ(gg)=Φ(g)Φ(g) 

を み た す と き,Φ をGか   Φ をGか

(g,g∈G)

らG′ へ の 準 同 型 写 像 で あ る とい う.

らG′ へ の 準 同 型 写 像 と す る と,Gの

単 位 元eに

対 し

Φ(e)=Φ(e2)=Φ(e)Φ(e) が 成 り立 つ か ら,こ

れ か ら(両

辺 にΦ(e)−1を か け る とわ か る こ と だ が)Φ(e)が

G′ の 単 位 元e′ に

し い こ とが わ か る.す

な わ ち 準 同 型 写 像 に よ っ て,単

位元 は

単 位 元 へ と移 る.   ま たg∈Gの

逆 元g−1に 対 し e′=Φ(e)=Φ(gg−1)=Φ(g)Φ(g−1)

が 成 り立 ち,こ

の こ と か ら Φ(g−1)=Φ(g)−1と

型 写 像 に よ っ て,逆

な る こ とが わ か る.す

なわ ち準 同

元 は 逆 元 へ と移 る.

  準 同 型 写 像 Φ が1対1で

あ っ て も,一

般 に は,GはG′

け で あ っ て,GとG′

が 同 型 で あ る と は 限 ら な い.こ

分 群 と 同 型 で あ る,と

い う こ とは で き る.

の一 部 分 に 移 さ れ るだ の 場 合,GはG′

の あ る部

有 限 群 か ら対 称 群 へ の 準 同 型 写 像

  この 概 念 を 用 い る と,前

に 述 べ た こ とは,簡

潔 に 次 の よ うに いい 表 わ す こ とが

で き る.

位 数nの 有 限群Gか

ら,n次

の 対称 群Snへ の準 同 型写

像 Φ が存 在す る.こ の準 同型 写像 Φは,Gの

左か らの

働 き に よ って引 き起 こされ る. 同 様 に,Gの らSnへ

自 身 の 上 へ の,右

か ら の 働 き ψgを 用 い る こ と に よ っ て も,Gか

の 準 同 型 写 像 Ψ が 得 ら れ る.

  Φ も Ψ も,Gか い え ば,系

らSnの

列(2)を

な り,(2)の

中 へ の1対1写

み る と,も

し,gと

系 列 は 入 れ か わ る.こ

る こ と を 意 味 し て い る.す

像 と な っ て い る.た 別 の 元g′ ∈Gを

の こ と は,gとg′

とえば Φ につ い て

と る と,ghi≠g′hiと

の 引 き 起 こす 置 換 が 異 な

なわ ち g≠g′ ⇒

Φ(g)≠ Φ(g′)

が 成 り立 つ.   Gの

両 側 か ら の 働 きg:λg(h)=ghg−1を

だ か ら,や

は り,各

λgは,系

用 い て も,h≠h′

列(1)の

な ら ば λg(h)≠ λg(h′)

置 換 を 引 き 起 こ し,し

た が っ て,こ

れ

か らも同 様 に準 同 型写 像 Λ:G→Sn が 得 られ る.   こ こ ま で は,Φ,Ψ あ っ た が,Λ

も Λ も 同 じ 状 況 で あ る が,1つ

は 一 般 に は1対1で

違 う こ とは Φ,Ψ は1対1で

は な い とい う こ とで あ る.実

際,た

と え ばGが

可 換群 の と きに は λg(h)=ghg−1=gg−1h=h と な り,す べ て の λgは系 列(1)を よ っ てGの

動 か さ な い.し

す べ て の 元 は,Snの

き に は も ち ろ ん Λ は1対1で

単 位 元 へ と移 され て し ま う.し

に

たが っ て この と

は な い. '表 現'と

  準 同 型 写 像 の 定 義 で は,2つ

た が っ て こ の と き に は,Λ

い う言 葉

の 群GとG′

が 抽 象 的 に お か れ て い て,そ

準 同 型 写 像 が 橋 渡 し を し て い る と い う よ う に 述 べ られ て い る.し

か し,準

の間を 同型 写

像 の例 として 述べ た Φ:G→Sn で は,こ て い る.そ

の 定 義 の 単 な る 適 用 と い う よ りは,多 れ は,Gは

次 の 対 称 群Snは

ま っ た く抽 象 的 な 概 念 に 支 え ら れ た 対 象 で あ っ た の に,n

具 体 的 な 群 と な っ て い る こ と で あ る.そ

抽 象 的 な 対 象Gを,具 際,Gの

少 別 の ニ ュ ア ン ス が 加 え られ て き

体 的 な 対 象Snの

Φ に よ る像 Φ(G)は,Snの

う思 っ て み る と,Φ は,

中 に 映 し 出 し て い る よ う に 見 え る.実 部 分 群 と な って い て,こ

の 部 分 群 はGを

Snの

中 で 捉 え た 形 に な っ て い る.Φ

は,抽

象性 か ら具 象性 へ の移 行 を示 して い

る!   こ の ニ ュ ア ン ス を 伝 え る た め に,数 い う言 葉 よ りは,表 え られ た'と

現 とい う言 葉 を 好 ん で 用 い る.'Gか

らSnへ

同 型写 像 と

の 表 現 Φが 与

い う の で あ る.

  Φ が1対1で

あ る と い う こ と を 強 調 し た い と き に は,忠

う.表 現 は 英 語 でrepresentationで tionと

学 者 は こ の よ うな 場 合 に は,準

あ り,忠

実 な 表 現 で あ る とい

実 な 表 現 は,faithful

representa

い う.

  Φ も Ψ も,Gか

らSnへ

の2つ

一般 に は 異 な っ て い る.Λ

の 忠 実 な 表 現 と な って い る.こ

は,Gか

らSnへ

の2つ

の表 現 は

の 表 現 を 与 え て い る が,Λ

は一 般 に

は 忠 実 とは 限 ら な い.   な お,表

現 に つ い て,第30講

で,群

Tea

の 表 現 論 と い う観 点 に 立 っ て 述 べ て い る.

Time

置 換 は行 列 と して 表現 され る   n個 の も の の 置 換 全 体 の つ く る 対 称 群Snは,n次 際 はn次 n=3の

の 直 交 行 列 の つ く る群)に

の 正 則 行 列 の つ くる 群(実

よ っ て 忠 実 に 表 現 され て い る.こ

の こ とを

場 合 に 説 明 し て み よ う.

  3次 元 の 座 標 空 間R3の

を 考 え る.こ

の と き,置

標 準基 底

換

は,基

底 変 換e1→ei1,e2→ei2,e3→ei3を

は,基

底 変 換e1→e3,e2→e1,e3→e2を

変 換 は,次

頁 の 右 辺 の よ うな3次

与 え て い る と み る の で あ る.た

与 え て い る と 考 え る.と の 正 則 行 列(実

際 は 直 交 行 列)に

とえ ば

ころが この基 底 よ って表 わす

こ と が で き る.こ

が 得 られ る.互

の よ う に し て,対

換(13)に

は,行

応

列

が 対 応 す る ことに な る.こ の対 応 は,S3の3次

の正 則行 列の つ くる群 へ の忠 実 な

表 現 を 与 え てい るの であ る.   この よ うに して,こ の表 現 を通 して,一

般 にn次 の対 称 群 は,Rnの

線形 変 換

と して働 い てい る こ とがわ か る.表 現 を 通 して,群 は そ の働 く世 界 を 広 げ てい く の で あ る.

質 問   位 数nの

有 限 群 は,Snの

こ とで し た が,こ

の こ と は,有

て よ い の だ と思 い ます.有

中 へ1対1に

準 同型 に 移 す ことが で き る とい う

限 群 は対 称 群 の部 分群 に 同型 に な る とい い表 わ し

限 群 と は 限 ら な い 任 意 の 群 に対 して も 似 た よ うな 結 果

は あ る の で し ょ うか. 答  まず,ま 1対1写

像(集

っ た く任 意 の 集 合M(≠ 合 論 で い う1対1対

φ)が 与 え ら れ た と き,Mか 応)の

全 体 は,写

に よ っ て 群 と な っ て い る こ とを 注 意 し よ う.こ く こ と に す る.M={1,2,…,n}の 置 換 全 体 の つ く るn次

像 の 合 成 を 積 と考え る こ と

の 群 を か り にISO(M,M)と

の 対 称 群 で あ る.群GがMに らISO(M,M)へ

こ とで あ る と い い 直 す こ と が で き る.だ の 働 き は,Gか

応 を 与 え て い る と み る こ と が で き る.任 G)の

上へ の

か

と き に は,ISO(M,M)は,{1,2,…,n}の

改 め て 見 直 し て み る と,Gか

か らの 働 き を 考 え る と,こ

らMの

部 分 群 と 同 型 と な る.こ

働 く とい う こ と は,定 の 準 同 型 写 像 が1つ

か ら,特

にMと

らISO(G,G)へ 意 の 群Gは,こ

れ が 君 の 聞 い て い る'似

し てGを

義を

与 え られ た

と り,Gの

の1対1の

左

準 同型 対

の よ う に し て,ISO(G, た よ うな 結 果'で

あ る.

第13講 軌

道

テーマ

◆ 軌道 ◆G-軌

道 に よる分 解

◆ 固 定 部分 群 ◆1点x0のG-軌

道 の 点 と,x0の 固定 部 分 群Gx0に

◆ 有 限群 の場 合,軌 道 上 にあ る元 の 個数 は,Gの

よ る左 剰 余 類 との対 応 位 数 の 約数 とな る.

◆ コー シ ー の定 理

正6面   正6面 体群P(6)の

体群 と軌道

こ とか ら話 を は じめ よ う.P(6)の

心 を 通 る中 心軸 に関 す るπ/2の回転 は,位 群 はZ4と

中 で,相 対 す る面 の中

数 が4の 巡 回 群 を 生成 す る.こ

同 型で あ って,し た が って Z4⊂P(6)

と考 え て よい.   い ま こ の 群Z4が,正6面

体 の8個

の頂 点 の上 に

ど の よ う に 働 くか を 調 べ て み よ う.図26か ら か な よ う に,点Pは,Z4の P"′へ と 移 っ て 再 びPへ はQ′,Q",Q"′ 点Pは,Z4の

ら も明

働 き に よ っ てP′,P", 戻 っ て く る.同

へ と 移 っ て 再 びQへ

様 に,点Q

と戻 っ て く る.

働 き で は け っ し て 底 面 の 点Qへ

と移

っ て い か な い.   点P,ま

た は 点Qが,こ

の よ うにZ4の

働 きで 動

く様 子 を 考 え る と   点PのZ4に

よ る 軌 道={P,P′,P",P"′}

図20

の巡 回

点QのZ4に

よ る 軌 道={Q,Q′,Q",Q"′}

と い うい い 方 を 採 用 す る の は,ご る 軌 道 を,そ

く自 然 の こ と に 思 え る.点P,点QのZ4に

よ

れぞれ Z4(P),Z4(Q)

と表 わ す.

軌

  この よ うな い い 方 と,表

道

わ し方 は,次

の 一般 的 な 定義 に した が って い るの であ

る. 【定 義 】 群Gは

集 合M上

に 働 い て い る と す る.こ の と きMの

任 意 の 点xに

対 し

G(x)={g(x)￨g∈G} とお き,G(x)をxのGに

よ る 軌 道(ま

た はG-軌

道)と

い う.

  こ の と き 次 の 結 果 が 成 り立 つ.

【証 明 】

も しG(x)∩G(y)≠

φ な ら ばG(x)とG(y)に

が 存 在 す る.z∈G(x)だ

か らz=g(x)と

g′(y)と 表 わ さ れ る.し

共 通 に 含 まれ るMの

表 わ さ れ,ま

たz∈G(y)だ

点z

か ら,z=

た が って g(x)=g′(y)⇒g′−1g(x)=y

と な り,y∈G(x)と

な っ て し ま う.こ れ は 仮 定 

  こ の こ とか ら,G(x)に G(x)に

もG(y)に

属 さ な い 点yを

も 属 さ な い 点zが

に 矛 盾 す る.

と る と,G(x)∩G(y)=φ

あ れ ば,zの

で あ る.

軌 道 は,G(x)とG(y)と

通 点 を もた な い: G(x)∩G(y)∩G(z)=φ   Mの は,互

各 点 を 通 るG-軌

道 は,互

い に 共 通 点 の な いG-軌

M=∪

と 分 解 さ れ る こ と に な る.

い に け っ し て 共 通 点 を も た な い の だ か ら,M

道 に よ って

αG(xα) 

(共通 点 な し) 

(1)

共

  ま た 簡 単 な こ と で あ るが,x′ ∈G(x)に

対 しては

G(x)=G(x′) が 成 り立 つ こ と も注 意 し て お こ う.

固 定 部 分 群

  正6面

体 群P(6)の

中 で,正6面

体 の1つ

通 る対 角 線 の まわ りの 回 転 で あ っ て,こ

の 頂 点Pを

動 か さ な い 変 換 は,Pを

の 回 転 の 全 体 は,P(6)の

中 でZ3に

同

型 な 部 分 群 を つ くっ て い る.   一 般 に群Gが 全 体 は,Gの

集 合Mの

上 に 働 い て い る と き,Mの1点x0を

部 分 群 を つ く っ て い る.実

と め るg∈Gの

際

g(x0)=x0,h(x0)=x0 な らば (gh)(x0)=g(h(x0))=g(x0)=x0 で あ り,ま たg(x0)=x0か

らg−1(g(x0))=g−1(x0)と

な り,こ れ か ら

g−1(x0)=x0 もわ か る.単 位 元eは,も 【定 義 】Mの

点x0を

と め るGの

(ま た は 安 定 部 分 群)と   点x0の

ち ろ んx0を

元 全 体 の つ くるGの

部 分 群 を,x0の

固定 部 分群

い う.

固 定 部 分 群 をGx0で

 行 列式 が1の3次

と め て い る.

表 わ す.

の直 交 行列 全 体 のつ くる群SO(3)は,原

い てい る.こ の とき,点P(0,0,1)(北

点 中心,半 径1の 球 面 上 に働

極)の 固定 部 分群 は,北 極 の まわ りの回転

で 与 え られ てい る.

軌 道 と固 定 部 分 群

  群Gが

集 合Mの

G(x0)と,x0の

上 に 働 い て い る と き,Mの 固 定 部 分Gx0と

  説 明 の 簡 単 の た め,Gを

任 意 の 点x0に

対 し,x0の

の 間 に は 密 接 な 関 係 が あ る.

有 限 群 とす る.こ

の と き,x0のG-軌

道G(x0)は,

軌道

有 限 個 の 点 か ら な るMの

部 分 集 合 と な る.

G(x0)={x0,x1,x2,…,xs−1}  とお く.点x0をxiに

移 すGの

あ っ た と し て そ れ をgi,gi′

(2)

元 は 必 ず 存 在 す る が,い

まそ の よ う な 元 が2つ

とす る: xi=gi(ｘ0),xi=gi′(x0)

こ の と きx0=gi−1(xi)に

よ り, gi−1gi′(x0)=x0

が 得 られ る.す

なわ ち gi−1gi′ ∈Gx0 

(3)

と な る.   逆 にgiとgi′

が(3)の

関 係 を み た し て い れ ば, gi(x0)=gi′(x0)=xi

と な る.   (3)は gi′∈giGx0 とか き 直 し て み る とわ か る よ う に,giとgi′ こ とを 示 し て い る.し の 元giを1つ

た が っ て(2)の

各xiに

選 ん で お く と,GのGx0の G=Gx0+g1Gx0+g2Gx

がGx0の

同 じ左剰 余 類 に属 して い る

対 して,xi=gi(x0)を

み た すG

左 剰 余類 に よる分解 0+…+gs−1Gx0 

(4)

が 得 られ て g∈G0⇔g(x0)=x0 g∈g1Gx0⇔g(x0)=x1

g∈gs−1Gx0⇔g(x0)=xs−1 と対 応 す る こ とに な る.   こ の 意 味 でx0のG-軌

道 と,GのGx0に

よ る 左 剰 余 類 に よ る 集 合 とが1対1に

対 応 す る.   こ の こ と は,Gが わ か る.し

有 限 群 で な く と も,同

た が っ て 次 の 結 果 が 示 さ れ た.

様 の 議 論 で 任 意 の 群 で 成 り立 つ こ とが

群GがM上

に 働 く と き,Mの1点x0のG-軌

GのGx0に 特 にGが

よ る 左 剰 余 類 とが1対1に

有 限 群 の と き に は,(4)でG(x0)の

元 の 個sを￨G(x0)￨と

￨G￨=Gx0￨×￨G(x0)￨ 

と な り,し (#) 

道 と

対 応 す る. お くと

(5)

た が って G-軌

道G(x0)に

現 わ れ る 点 の 個 数 は,Gの

位 数 の 約 数 で あ る.

が 成 り立 つ.

1つ

  最 後 に 述 べ た(#)の

【定 理 】Gを で,位

の 応 用

興 味 あ る応 用 と し て 次 の 定 理 を 証 明 し よ う.

有 限 群 と し,素pはGの

数 がpの

の と きGの

元g

も の が 存 在 す る.

  す な わ ちg(≠e)で,gp=eと 生 成 さ れ た 位 数pの が,GはZpと

位 数 の 約 数 とす る.こ

な る も の が 存 在 す る.し

た が っ て,Gはgか

巡 回 群 を 部 分 群 と し て も っ て い る.あ

ら

るい は 同 じこ とであ る

同 型 な 群 を 含 む.

  この 定 理 を コー シ ーの 定理 と して引 用 す る こ とが あ る. 【証 明 】

順 序 づ け て 並 べ られ たp個

のGの

元

(h1,h2,…,hp) で h1h2…hp=e を み た す も の を 考 え る.h1,h2,…,hpの こ の よ うなp個   Mの

のGの

中 に は 同 じ も の が 含 まれ て い て も よ い.

元 全 体 の つ くる 集 合 をMと

す る.

元 の 個 数 を 求 め て お こ う.h1,h2,…,hp−1をGか (h1,h2,…,hp−1,hp) 

ら任 意 に と っ た と き (6)

がMに

属 す るため の 必要 十 分条 件 は hp=(h1h2…hp−1)−1

で 与え られ る.す 方 は￨G￨通 か ら,結

な わ ちhpは,h1,…,hp−1に

り,h2の 局,Mの

と り方 は￨G￨通

よ っ て 一 意 的 に 決 ま る.h1の り,…,hp−1の

とり

と り方 は￨G￨通

りあ る

元 の 総 数 もpで

割 りきれ

元 の 総数 は ￨G￨p−1個

で あ る.pは￨G￨を

割 りき る か ら,し

た が っ てMの

る.   位 数pの

巡 回 群ZpのMへ

0,1,2,…,p−1)に

の 働 き を,次

の よ うに 定 義 し よ う.m∈Zp(m=

対 し m(h1,h2,…,hp)=(hm+1,…,hp,h1,…,hm)

と お く.す な わ ち,Zpは(6)を   ￨Zp￨=pだ 1点 か,p個   (e,e,…,e)の

か ら,(#)に

よ り,こ

のZpの

働 き に 関 す るMの

らか に1点

か ら な る.も

各 点 の 軌 道 は,

の 点 か ら な る. 軌 道 は,明

軌 道 が す べ てp個 と,Mの

循 環 させ る よ うに 働 くの で あ る.

の 点 か ら な る な ら ば,(1)に

し,(e,e,…,e)以 よ って,Mを

外の点の

軌 道 に分解 す る

元 の個 数 は 1+p+p+…+p 

と な ら な け れ ば な ら な い こ とに な る.し   し た が っ て,(e,e,…,e)以

外 に,少

(7) か し,こ

れ はpで

割 り き れ な い.

な く と も1点

(g1,g2,…,gp) が 存 在 し て,こ

の 軌 道 は1点

か ら な る.こ

の こ とは,m=0,1,2,…,p−1に

て (g1,g2,…gp)=(gm+1,…,gp,g1,…,gm) が 成 り立 つ こ と を 意 味 し て い る.'成

分'を

比べ て

g1=g2=…=gp が 成 り立 つ こ とが わ か る.こ

の 元 をgと

お く と,g≠eで

あ っ て,

gp=1 が 成 り立 つ.こ

れ で 位 数pの

元gが

存 在 す る こ と が 証 明 さ れ た.

対 し

Tea

質 問   上 の 定 理 の 証 明 法 は,僕 ま で の 途 中 で は,ど

に は 思 い も つ か な い よ うな も の で す.結

う1つ

外 に,軌

変 わ るだ け で,p>2な

割 れ る よ う に な る く らい,軌

う こ とは,ど

道 が1点

な く て は い け な い と あ り ま す が,も

1+1+p+p+…+pと 数 がpで

論がでる

う し て こん な 推 論 で 証 明 さ れ る の か と思 っ て い ま し た.証

を 読 み 直 し て み る と,(e,e,…,e)以 も,も

Time

う1つ あ っ て も,(7)式

ら ば,ま

道 が1点

明

しか ない もの が 少 な くと

だpで

は

割 れ ませ ん.こ

の

か らな る ものが た くさんあ る とい

う し て わ か る の で す か.

答   数 学 の 証 明 は,一

般 に は,最

短 コ ー ス を 走 り抜 け る よ う に か くの で,こ

うな 疑 問 が 生 ず る の は 当 然 だ と思 う.し か し,gp=eと る と,p−1個

い う元 が1つ

のよ

で も見 つ か

の元 g,g2,g3,…,gp−1

のZp-軌

道 が や は り1点 か ら な る.し

か らな る元 が ない として も,(7)に っ てMの

た が っ て,こ

う軌 道 が1点

相 当す る 式 はp個 

とな

元 の 総数 はpで 割 りきれ るので あ る.

質 問   も う1つ 質 問 が あ る の で す が,第8講 は,￨G￨の

れ 以 外 に は,も

約 数 で あ る と あ り ま し た.い

の 逆 に 相 当 す る こ と,す れ ま し た が,も

な わ ち,約

っ と一 般 に,￨G￨の

を 見 ま す と,Gの ま,Gの

約 数 が 素数pの

数 に 対 応 し て 位pの 任 意 の 約数qに

任 意 の 元 の位 数 と き に は,こ

元 が あ る ことを証 明 さ

対 し,位

数qの

元 が 存在 す る

と い う こ とは い え な い の で す か. 答  一 般 に は,そ の 位 数 は12で 存 在 す る が,位 と,位 数2の3個

の よ うな こ と は い え な い の で あ る.た

あ り,12の 数4と6の

約 数 は1,2,3,4,6で

とえ ば4次

の 交 代 群A4

あ る.し

か し,位

数1,2,3の

元は

元 は 存 在 し な い の で あ る.実

際,A4の

元 は,単

位元

の元 (1 2)(3

4),(1

3)(2

4),(1

4)(2

3)

と,位

数3の8個

か ら な っ て い る.た

の元 (1

2 3),(1

3 2),(1

2

(1

3

4

3 4),(2

だ し,こ

4),(1

4),(1

こ で た と え ば 記 号(123)は'循

1

2

3

4

2

3

1

4

( を 表 わ し て い る.

3),(2

)

4

2),

4 3) 環 置 換'

第14講 軌

道(つ づ き)

テーマ

◆ 群の中心 ◆ 群 の 位 数が 素 数 のべ キ な らば,中 心 は単 位 元 以 外 の元 を 含 む. ◆ 有 限 群 の位 数 がpml(p:素

数;pとlは

素)の

と き,位 数pmの

部分

群 を 含 む. ◆ シ ロ ー群

  前 講 の 最 後 で 述 べ た 定 理 の 証 明 を み る と,軌 い て,目

を み は る よ う で あ る.こ

て い る よ う な,2つ

道 の考 え が 実 に巧 み に用 い られ て

の よ うな考 え 方が 証 明 の 中 には っ き りと現わ れ

の 基 本 的 な 結 果 を さ ら に こ こ で あ げ て,い

も い うべ き も の を,読

わ ば 群 論 の 味 とで

者 と 一 緒 に 味 わ っ て み る こ と に し よ う.

中

心

  ま ず 次 の 定 義 を 導 入 し よ う. 【定 義 】 群Gの な る.こ

元gで,Gの

の 部 分 群 をGの

す べ て の 元 と可 換 と な る も の 全 体 はGの 中 心 と い い,Zで

部分群 と

表 わ す.

  すなわち Z={g￨す   こ の 定 義 で,Zが

べ て のh∈Gに

対 しgh=hg}

部 分 群 と な る こ と だ け 確 か め な くて は な らな い が g1,g2∈Z⇒g1g2h=g1hg2=hg1g2(h∈G)

に よ りg1g2∈Z.ま

た g∈Z⇒gh=hg 

(h∈G)

⇒h−1g−1=g−1h−1 hがGの

元 を わ た る と き,h−1もGの

元 を わ た るか ら,こ

の 式 は,g−1∈Zを

示

し て い る.こ   Zが

れ でZが

単 位 元eだ

部 分 群 と な る こ と が わ か っ た.

け か ら な る こ と も 多 い.た

心 は 単 位 元 だ け か ら な る.一

方Gが

と え ばn>2な

ら ば,対

可 換 群 な ら ば,G=Zで

称群Snの

中

あ る.

群 の 位 数 と 中 心

  次 の 定 理 を 証 明 し て み よ う.

【定 理 】 有 限 群Gの

位 数 が 素 数 の べ キ な ら ば,Gの

中 心Zは

単 位 元 以 外 の元 を

含 む.

【証 明 】￨G￨=pm(pは

素 数)と

す る.群Gの

自身 の 上 へ の 両 側 か ら の 働 き

λg(x)=gxg−1 を 考 え よ う.以 下G-軌

道 と い う と き に は,す

べ て こ のGの

働 きに関 す る もので

あ る.   ま ず,x∈Zと

い う条 件 が,xのG-軌

れ る こ とを 注 意 し よ う.実 のg∈Gに と,い

  各 元 のG-軌 pmの

際,xのG-軌

対 し て,λg(x)=x,す

い かえ れ ばx∈Zと

道 がxだ 道 がxし

講 の(#)に

ベ キ で あ る.も

 

(m1,m2,…

とい う個 数 の 関 係 が 得 られ る こ と に な る.右

  ZはGの

成 り立 つ と い う こ

よ り,群Gの しZが

た が っ てZは

部 分 群 だ か ら,Zの

位数

単位 元 だ け か ら

分 解 を い ま の 場 合 に 適 用 し て み る と,上

pm=1+pm1+pm2+…

明 らか に 矛 盾 で あ る.し

べ て

い う こ と で あ る.

道 に 含 まれ て い る元 の 個 数 は,前

講(1)の

か な い とい う こ とは,す

な わ ちgxg−1=x,gx=xgが

約 数 で あ り,し た が って1か,pの

な る な ら ば,前

け か ら な る とい う こ と で 与 え ら

の 注 意か ら

は 正 の 整 数)

辺 はpで

割 り き れ な い か ら,こ

れは

単 位 元 以 外 の 元 を 含 む.

位 数 は,必

ずpの

べ キ とな る の で あ る.

シ ロー群 の 存 在   有 限 群Gが を 割 り き るpの

与 え ら れ た と き,Gの 最 大 ベ キ をpmと

位 数￨G￨を

す る.

割 り き る 素 数pに

注 目 し,￨G￨

  そ の と き 次 の 有 名 な 定 理 が 成 り立 つ.

【定 理 】 群Gに

は,位

  た とえ ば 位 数108の ず 位 数22=4の

数pmの

部 分 群 が 存 在 す る.

群 に こ の 定 理 を 適 用 し て み る と,108=22×33だ

部 分 群 と,位 数33=27の

か ら,必

部 分 群 が 存 在 す る こ と が 結 論 され る の で

あ る. 【証 明 】Gの

部 分 集 合 で,元

集 合 族!)をMと 場 合,p=2の Mと

す る(た

の 数 がpm個 とえ ば,上

と きは,22=4個

か ら な る も の 全 体 の つ く る集 合(部 の 位 数 が108の

分

群 に この証 明 を適 用 す る

の 元 か ら な る 部 分 集 合 を す べ て と っ て,そ

れを

す る の で あ る). ￨G￨=kpm 

(kとpは

互 い に素)

とす る と Mの

元 の 個 数=pm個

の 元 か らな るGの

部 分集 合 の 個数

(1) で あ る.   と こ ろ が,す (!) 

ぐあ と で 示 す よ うに

(1)はpと

  そ こで い ま,(!)を Mに

素 で あ る. ひ と まず 仮 定 し て 定 理 の 証 明 に 入 ろ う.Gの

働 か せ る こ と に よ り,GのMへ

の 働 きが 得 られ る.す

元 を 左か ら

な わ ちA∈Mに

対 し

て gA={gx￨x∈A} と お くの で あ る.対

応x→gxは1対1だ

部 分 集 合 と な っ て お り,し た が っ てgA∈Mで   Mを,Gの

ま た 元 の 数 がpmのGの

あ る.

この 働 き に よ っ て 軌 道 に 分 解 し て み よ う.こ

に 含 まれ る 元 の 個 数 が つ ね にpの ら,Mの

か ら,gAも

元 の 個 数(1)がpの

  し た が っ て,少

な く と も1つ

の と きすべ て の軌 道

倍 数 と な っ て し ま う こ と は な い.も

倍 数 と な っ て し ま い,(!)に のA∈Mが

存 在 して,Aを

し そ うな

反 す る こ と に な る. 含 むG-軌

道G(A)に

含 ま れ る(Mの)元

の 個 数 がpと

目 す る こ と に し よ う.Aの わ す と,前

素 で あ る よ う な も の が 存 在 す る.こ

固 定 部 分 群 をGA,G(A)の

講 の(5)か

のAに

元 の 個 数 を￨G(A)￨と

注 表

ら ￨G￨=￨GA￨×￨G(A)￨

と な る.￨G(A)￨はpと

素 だ か ら,両

くて は な ら な い こ と が わ か る.特

辺 を 見 比 べ て,￨GA￨はpmで

割 りきれ な

に

￨GA￨≧pm 

(2)

で あ る.   一 方,Aの

元x0を1つ

固定 して 対 応 GA∋g→gx0∈A

を 考 え て み る.右 か ら で あ る.ま

辺 でgx0∈Aと

たg≠g′

か い た の は,gがAの

な らば,gx0≠g′x0で ￨GA￨≦Aの

が 得 ら れ た.(2)と

固 定 部 分 群 に 属 して い る

あ る.し

た が っ て この こ とか ら

元 の 個 数=pm

合わ せ て ￨GA￨=pm

これ でGAが,位   も っ と も,証

数pmのGの

部 分 群 と な る こ とが 証 明 さ れ た.

明 が 終 っ た と い っ て も(!)の

証 明 が 残 っ て い る.そ

の証 明 を与

え て お こ う. 【(!)の

証明】

(3) 仮 定 か らkはpと   分 母,分

素 で あ る.こ

子 か らで て く るpの

の と き右 辺 がpと

べ キ を み て み よ う.pは

に 現 わ れ る 各 因 数 の 中 に 含 ま れ て い るpの ら,分

子 の 最 初 に あ るkか

pm−l,kpm−lの ら,こ

中 にpの

素 で あ る こ と を 示 す と よい.

ら はpの

素 数 だ か ら,分

ベ キ を み る と よ い.kはpと

ベ キ は で て こ な い.次

べ キ が 現 わ れ る の は(右

辺 最 初 のpmは

れ を 除 く と) l=psl′,1≦s<m,l′

の と き で あ っ て,こ

の と き 分 母 の 因 数pm−lは

に 分 母,分

はpと

素

母,分

子

素 だ か 子 の因 数

打 消 し合 うか

pm−l=ps(pm−s−l′) と な り,分

子 の 因 数kpm−lは kpm−l=ps(kpm−s−l′)

とな る.右

辺 の カ ッ コ の 中 は,pと

素 で あ る.し

に 打 消 し合 っ て 結 局 全 体 と し て,(3)の

た が っ て 分 母,分

子 のpsは

互い

右 辺 は 素 因 数pを

含 ま な い.こ

れ は証

素 数,pとlは

互 い に 素)と

す ると

明 す べ き こ と で あ っ た. 【定 義 】 有 限 群Gの き,位

数pmのGの

位 数 を￨G￨=pml(pは 部 分 群 を,Gの

  い ま証 明 し た こ と は,任

シ ロー 群(正

確 に はp-シ

ロー 群)と

い う.

意 の有 限 群 に は シ ロー群が 存 在す る と い う こ と で あ

る. p− シ ロ ー 群 は 一 般 に は1つ 数 は1+kpと

と は 限 らな い.も

し1つ

表 わ さ れ る こ とが 知 られ て い る.な

互 い に 共 役 で あ る と い う関 係 も あ る(2つ い て は,第17講

以 上 あ る と す れ ば,そ

お 異 な るp-シ

の個

ロー 群 の 間 に は

の 部 分 群 が 共 役 で あ る と い う関 係 に つ

参 照).

Tea

Time

シロー につ い て   シロー(Sylow)は

ノ ル ウ ェ イ の 数 学 者 の 名 前 で あ る.ノ

な 数 学 者 ア ー ベ ル(1802-1829)を 1872年

に,有

の 論 文 の 中 で シ ロー は,こ

式 の ガ ロ ア 群 の 位 数 が 素 数 の ベ キ な らば,こ

を,明

こ に 述 べ た シ ロー 群 に 関 す る

よび さ ら に一 般 的 な い くつ か の 定 理 を 証 明 し た.そ

し て い る.ガ

ル ウェ イ は か の 有 名

ロ ー(1832-1918)は,

限 群 の 構 造 論 に と っ て 記 念 す べ き論 文'置 換 群 に つ い て の い くつ か

の 定 理′ を 著 わ し た.こ 定 理,お

生 ん だ 国 で あ る.シ

数方程

の方 程 式 は代 数的 に解 け る こ とも示

ロ ア の 難 解 な 謎 め い た 論 文 を 読 ん で,ジ

る い 光 の 中 に と り 出 し た の は,1869年

の 中 に は,代

ョル ダ ン が 置 換 群 の 理 論

の こ とで あ った か ら,こ

の わ ず か3

年 後 に 発 表 さ れ た シ ロー の 仕 事 が い か に 先 駆 的 な も の で あ っ た か が わ か る.   シ ロ ー 自 身 は,置 の1887年

に,フ

換 群 の 形 で 一 連 の 定 理 を 述 べ て い た の で あ っ た が,15年

ロベ ニ ゥ ス が 論 文'シ

ロ ー の 定 理 の 新 し い 証 明'の

の 有 限 群 は 置 換 群 の 中 に 表 現 され る こ と を 注 意 し て,シ

中 で,任

ロー の 定 理 を,一

後 意

般の有

限 群 の 高 み に 上 げ た の で あ る.   つ い で に述 べ て お く と,群 ロ ネ ッ カ ー(1870)で

を 公 理 の 形 で 最 初 に 述 べ た の は,可

あ り,一

群 に 対 し て も ウ ェ ー バ ー(1893)で

換 群 の ときは ク

般 の 有 限 群 に 対 し て は ウ ェ ー バ ー(1882),無 あ っ た と さ れ て い る.

限

第15講 位 数 の 低 い群 テー マ ◆ 群 の直 積 ◆ 巡 回群 の直 積 ◆ 正2面 体 群Dn ◆ 位 数2pの

群(p:素

数 ≠2)

◆ 位 数p2の 群(p:素 ◆4元

数)

数 群Q

◆ 位 数8の 群 ◆(Tea

Time)位

数 ≦39ま で の異 な る群 の個 数

  ま っ た く抽 象 的 な 公 理 を 出 発 点 と し て ス タ ー トし た 群 が,一 に よ っ て 規 制 され,ど こ と で あ る.し 題 と な る.こ お こ う.そ

体,ど

ん な 群 が 現 実 に 登 場 し て く る か とい う こ とは,興

か し こ の よ うな こ とは,一

の程 度公 理 味のある

般 に は,見

当 もつ か ぬ よ うな難 しい 問

こで は 特 別 な 位 数 を も つ 群 に つ い て,こ

れ に関 連 す る ことを述 べ て

の 前 に 群 の 直 積 と,正2面

体 群 に つ い て 触 れ て お く.

群 の 直

  2つ の 群G,Hが

与 え られ た と き,集

積

合 として の直 積

G×H={(g,h)￨g∈G,h∈H} の 中 に,群

の演 算 を (g,h)・(g′,h′)=(gg′,hh′)

と し て 定 義 し た も の を,GとHの

直 積 とい い,や

の 単 位 元 を そ れ ぞ れe,e′ と す る と,G×Hの の 逆 元 は(g−1,h−1)で   G,Hが

表 わ す.GとH

単 位 元 は(e,e′)で あ り,ま た(g,h)

与 え られ る.

と も に 有 限 群 の と き は,位

は りG×Hで

数 につ い て は

￨G×H￨=￨G￨￨H￨ が 成 り立 つ.

巡回群 の直積

  位 数mの 巡 回 群Zmと

位 数nの 巡 回群Znの

に な らな い.Zm×Znが

再 び 巡 回群 とな る条 件 を 明 らか に して お こ う.

Zm×Znが

直 積Zm×Znは,一

般 には巡 回群

巡 回群 とな るため の必 要 か つ 十 分 な条 件 は,mとnが

互い

に 素 な整 数 とな っ てい る こ とで あ る. 【証 明 】Zm,Znは

い ま ま で 加 群 の 形 で か い て き た が,こ

法 群 の 形 で 表 わ す こ と に し よ う.Zm,Znの

こで は そ れ と同 型 な 乗

生 成 元 をa,bと

すると

Zn={e,a,a2,…,am−1},am=e Zn={e′,b,b2,…,bn−1},bn=e′ で あ る.   い ま,mとnを

互 い に 素 とす る.こ

の と き これ ら の 生 成 元a,bを'座

る 元C=(a,b)∈Zm×Znは,Zm×Znを mとnは

標'と

す

巡 回 群 と し て 生 成 す る こ と を 示 そ う.

素だか ら mk+nl=1

を み た す整数k,lが

存 在 す る.こ

の とき

cnl=(anl,bnl)=(a1−mk,e′)=(a,e′) Cmk=(amk,bmk)=(e,b1−nl)=(e,b) し た が っ て,cか

ら 生 成 さ れ るZm×Znの

し た が っ て ま たZm×{e′},{e}×Znを てZm×Znの

巡 回 部 分 群 は(a,e′),(e,b)を 含 む.こ

す べ て の 元 が 得 られ る の だ か ら,結

群 は,Zm×Znと

一 致 し な くて は な らな い.

  逆 に,mとnが

互 い に 素 で な い とす る.mとnの

の2つ 局,cか

と お く・ こ の と きZm×Znの

任 意 の 元(a,b)に

の 群 に属 す る元 の積 と し ら 生 成 さ れ る巡 回 部 分

共 通 の 約 数 をd(>1)と

m′=m/d′n′=n/d 対 し

含 み,

し

し た が っ て,Zm×Znの m′dn′<mnだ

任 意 の 元 の 位 数 は,m′dn′

か ら,Zm×Znは

とな る 元 の 位 数 はmnで

巡 回 群 に は な り得 な い(巡

た は 小 さ い.

回 群 な らば,生

成元

あ る!).

正2面

  平 面 上 の 正n角

に 等 し い か,ま

形 を,空

体 群Dn(n≧3)

間 の 中 に お い て,こ

の 正n角

形 の形 を 不 変 とす る よ う

な 空 間 の 回 転 全 体 の つ く る群 を 正2面

体 群 と い い,Dnで

る'と

い うい い 方 に 多 少 の注 が あ っ て も よ い か も

い うい い 方 と,'正2面

し れ な い.正n角 を 保 つ'と て,裏

を不 変 にす

形 を 空 間 に お く と,表 側 だ け で は な くて 裏 側 も見 え て くる.'形

か い た の は,正n角

形 を,対

称 軸 の ま わ り に ぐ る り と πだ け ま わ し

返 し にす る 変 換 も 含 まれ て い る と い う こ と で あ る(図27)・'正2面

か い た の は,厚 正n角

体'と

表 わ す.'形

さ は な い が,表

体'と

と裏 の 面 が あ る こ とを 示 唆 し て い る.

形 の 中 心 を 回 転 の 中 心 とする2π/nの 回 転 σか ら 生 成 さ れ た 巡 回 群(位

図27

数

n)は,明

らか にDnの

数 な ら ば,相

部 分 群 と な っ て い る.一

正n角 か,一

の2n個

返 し に す る に は,nが

対 す る 頂 点 を 結 ぶ 対 称 軸 の ま わ りに,nが

点 と辺 の 中 点 を 結ぶ 対 称 軸 の まわ りに,π の 回 転 の1つ

方,裏

奇 数 な ら ば,相

だ け 回 転 す る と よい(図27参

偶

対 す る頂 照).こ

を τ とす る.

形 の 形 を 保 つ 回 転 は,表

度 τで 裏 返 し て,同

と 裏 を そ の ま ま 保つ,2π/nの

様 の 回 転 を す る か だ け で あ る.そ

回転 の繰 り返 し の こ と か ら,Dnは

の 元 か ら な る 群 で あ る こ とが わ か る.σ と τは σn=e,τ2=e,σ

τστ=e

を み た し て い る.   D5と

実 質 的 に は 同 じ群 は,す

で に 第2講

の'回

転 と反 転'の

と ころで 登場 し

て い る こ と を 思 い 出 し て お こ う.

位 数 が14ま

  位 数1の   第9講

で の 群

群 は 単 位 元 だ け か ら な る群 で あ る. の 定 理 か ら,位

数 が 素 数 の群 は 巡 回 群 で あ る.し

た が っ て,位

数が

2,3,5,7,11,13 の 群 は 巡 回 群 で あ る.一

般 に 素 数pに

対 し て,同

型 を 除 け ば,位

数pの

群 はZp

だ け で あ る.   以 下 で,位

数6,10,14の

群 と,位 数4,9の

群 を,よ

り一 般 的 な 立 場 か ら決 定 し

よ う.   また,位

数8と

位 数12に

対 し て は,ど

述 べ る こ と に し よ う(位 数12の

の よ うな 群 が あ る か,そ

群 に つ い て は,Tea

位 数2pの

群(p≠2は

Timeで

の 結果 だ け を

述 べ る).

素 数)

  次 の 定 理 が 成 り立 つ.

【定 理 】p(≠2)が

素 数 の と き,位

数2pの

群 は,巡

回 群Z2pか,正2面

体 群D2p

で あ る.

  こ の 定 理 に よ って,位 =7の

と き)の

【証 明 】Gを

数6(p=3の

位2pの

の 中 に 位pの

群 と す る.第13講

元gと,位

群 をと

と き),位

数10(p=5の

と き),位

数14(p

群 が 決 定 さ れ た こ とに な る.

数2の

元hが

か く こ と に す る と,部

で 述 べ た コ ー シ ー の 定 理 に よ っ て,G 存 在 す る.gか

分 群に

た が っ てGの

の巡 回

よ る右剰 余類 へ の分解 に よ って

G=+h  と表 わ さ れ る.し

ら生 成 さ れ たp次

(1)

元 は

e,g,g2,…,gp−1,h,gh,g2h,…,gp−1h か ら な る こ とが わ か る.   ラ グ ラ ン ジ ュの 定 理(第8講)か っ て い ま の 場 合,2か2pかpで   (ⅰ)  ghの

位 数 が2の

ら,ghの あ る.そ

位 数 は￨G￨の

約 数 で あ り,し

たが

れ ぞ れ の 場 合 に わ け て 考 え て み よ う.

とき

  この とき は ghgh=e とな り,Gは

正2面

体郡D2pと

な る(正

確 に は 同 型 と な る.し

か し以下 で一 々

こ の こ と は 断 ら な い).   (ⅱ)  ghの 位 数 が2pの

とき

  こ の と き は,Gは,ghか   (ⅲ)  ghの   h〓だ

位 数 がpと か ら,Gは

ら生 成 さ れ た 巡 回 群Z2pと な る こ とは ない 左 剰余 類 に よ って G=+h 

と 表 わ さ れ る.(1)と

な る.

(2)

見比 べ て h=h 

が 成 り立 つ こ とが わ か る.す

な わ ち,集

(3) 合 として

{h,gh,g2h,…gp−1h}={h,hg,hg2,…,hqp−1} が 成 り立 つ.し だか ら

た が っ て,も

しghの

位 数 がpで

あ っ た と仮 定 す る と,(gh)p=e

=(gh)p=ghghgh…gh  =hghgh…gh 

(g=<ｇ>に

=hghgh…gh 

((3)に

=hhgh…gh 

(g=に

=h2gh…gh 

((3)に

=hp=h  (2)を

(ghはp個)

(pが

奇 数 で,hの

見 て もわ か る よ うに,とhに

矛 盾 で あ る.し

た が っ て,ghの

  (ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)に

よ る) よ る)

よ る)

位 数 が2)

は 共 通 な 元 が な い の だ か ら,こ

位 数 はpで

よ っ て,定

よ る)

れは

は な い.

理 は 完 全 に 証 明 さ れ た.

位 数p2の

群(pは

素 数)

  次 の 定 理 が 成 り立 つ.

【定 理 】pが

素 数 の と き,位p2の

  こ の 定 理 に よ っ て,位

群 は,巡

数4(p=2の

回 群Zp2か,Zp×Zpで

と き),位

数9(p=3の

あ る.

と き)の

群 が 決定

で も あ れ ば,Gは

巡回群

さ れ た こ と に な る. 【証 明 】 群Gの

位 数 をp2と

す る.位

数p2の

元 が1つ

と な る.   そ うで な い 場 合 を 考 え よ う.そ の と き に はGの pを

もつ こ と に な る.第14講

必 ず 含 む.そ

の 元 をgと

の 定 理 か ら,Gの

し,次

単 位 元e以 中 心Zは,単

外 の 元 はす べ て位 数 位 元e以

外 の元 を

に

={e,g,g2,…,gp−1} に 属 さ な い 元hを

と る.こ

の と き2つ

の 部 分 群との

共 通 元 はeだ

けで

あ る.   な ぜ な ら,も

し,gm=hn(1≦m,n
いに 素 だ か ら,sn+tp=1を ら,gsm=h1−tp=hが

成 り立 っ た とす る と,nとpは

み た す 整 数s,tが

得 ら れ る が,こ

存 在 す る.し

れ は,h〓に

互

た が っ てgsm=ksnか 矛 盾 す る.し

た が って

∩={e}で   g∈Zに

あ る.

よ っ て,gとhは

可 換 だ か ら,こ

の こ とか ら 容 易 に,Gの

元 は た だ1

通 りに gihj  と表 わ され る こ と が わ か る.こ

(1≦i,j≦p)

の こ とか ら,GはZp×Zpと

な る こ とが 結 論 され

る.

4元

  位 数8の

群 の 中 に は,4元

数 群Q

数 群 と よば れ る新 し い 群Qが

登 場 す る.こ の こ とを

ま ず 述 べ て お こ う.   4元 数 は,複

素 数 の 拡 張 と し て,ハ

ミル トン が 見 出 し た も の で あ る が,そ

a+bi+cj+dk 

(a,b,c,dは

れは

実 数)

と 表 わ さ れ る 数 で あ る. α=a+bi+cj+dk,α

′=a′+b′i+c′j+d′k

に 対 して加 法 は α+α ′=(a+a′)+(b+b′)i+(c+c′)j+(d+d′)k と し て 定 義 す る.乗

法は i2=j2=k2=−1,ij=−ji=k

と分 配 則 を 用 い て 定 義 す る.実

際は

αα′=(aa′−bb′−cc′−dd′)+(ab′+a′b+cd′−c′d)i +(ac′+a′c+d′b−db′)j+(ad′+a′d+bc′−c′b)k と い う よ うな 複 雑 な 式 と な る.   乗 法 単 位i,j,kの

相 互 の 積 の 規 則 だ け を 取 り出 し て か い て お く と ij=−ji=k,jk=−kj=i,ki=−ik=j

と な る. 【定 義 】

±1,±i,±j,±kは,4元

4元 数 群 と い っ て,Qで   Qは

位 数8の

な る.た

の群 を

表 わ す.

元 で あ っ て,位

とえ ばjの

数 の 乗 法 規 則 に よ っ て 群 を つ く る.こ

逆 元 は−jで

数2の

元 は−1,位

あ る.

数4の

元 は ±i,±j,±kか

ら

位 数8の 群   こ れ は 結 果 だ け 述 べ よ う.

【定 理 】

位 数8の

群 は 次 の5つ

の 群 の ど れ か1つ

巡 回 群Z8,Z4×Z2,Z2×Z2×Z2,正2面

と 同 型 に な る:

体 群D4,4元

Tea

数 群Q

Time

位 数12の 群   読 者 は,位 ろ うか,そ

数8の

群 が 上 の よ うに5つ

あ る こ とを 知 っ て,多

い と感 じられ ただ

れ と も 少 な い と 感 じ られ た だ ろ うか.

  位 数12の

群 も,5つ

Z6×Z2,正2面

の タ イ プ の 群 し か 現 わ れ て こ な い.そ

体 群D6,そ

4次 の 交 代 群A4で

れ か ら位 数12のdicyclic群

あ る.位

数12のdicyclic群

元 か ら 生 成 さ れ る非 可 換 群 で あ っ て,4元

れ は,巡

回 群Z12,

と よ ば れ る 群,そ

とは,位

数6の

元 と,位

れ に 数2の

数 群 の あ る意 味 で の 拡 張 と な っ て い る

群 で あ る.   な お,数

学 辞 典(岩

波 書 店)を

見 ると

位数n 位数nの 群 の個 数 と い う表 が,'有

限 群'の

  ま た 群 の 位 数nが2つ q)な

項 に 載 せ られ て い る. の 異 な る 素 数p,q(p>q)の

ら ば 巡 回 群 だ け,p≡1(modq)な

つ か らな る こ と が 知 ら れ て い る.講 を 合 わ せ る と,位 こ と に な る.

数 ≦39ま

らば,巡

積 の と き に は,p〓1(mod 回 群 と も う1つ

義 の 中 で 述 べ た こ と と,上

で の 群 に 対 し て は,同

の非 可 換 群 の2

の 表 と,こ

の結 果

型 で ない 群 の個 数 が わか った

第16講 共

役

類

テー マ

◆ 共 役類 と中 心 化群 ◆ 置換 を 巡 回置 換 の積 とし て表 わ す. ◆ 巡 回置 換 とし て の表 わ し方 ◆S7の

元 の共 役 類

◆(Tea

Time)Snの1つ

の元 の共 役 類 に 含 まれ る元 の個 数

共役類 と中心化群   この 講で は,群Gの

自分 自身 の上 へ の両 側 か らの働 き λg(h)=ghg−1

を考 え る こ とに し,G-軌

道 とい うとき にはす べ て この 働 きに 関す る も の と す る

(第12講 参 照). 【定義 】a∈Gに

対 し,aを

含むG-軌 道 に属 す る元 をaに 共 役 な元 とい う.aに

共 役 な元 全 体 のつ くる集 合 を,aの るに,aを

共 役 類 といい,C(a)で

表 わす.C(a)は

要す

含むG-軌 道 であ る.す なわ ち b∈C(a)⇔

あ るgが

あ っ てb=gag−1

で あ る.   C(a)の

一 般 的 な 性 質 は 軌 道 と し て の 性 質 か ら 導 か れ る の で あ る が,念

記 し て お こ う.b∈C(a)な

ら ば,a∈C(b)で

あ る こ とを 注 意 し て お こ う.実

b∈C(a)⇒b=gag−1⇒g−1bg=a ⇒g−1(g−1)−1=a⇒a∈C(b) ま たb∈C(a),c∈C(b)な

ら ば,c∈C(a)で

のた め

あ る.実

際,

b=gag−1,c=g′bg′−1⇒c=g′ga(g′g)−1

際,

とな る.   さ て,元aの

共 軛 類C(a)が,aだ

gに 対 し て,gag−1=aが

け か ら な る とい う こ とは,Gの

成 り立 つ と い う こ と,す

すべ ての 元

なわ ち

ga=ag,g∈G が 成 り立 つ とい う こ と で あ る.第14講

で 述 べ たGの

中 心Zの

定 義 を み る と,こ

の こ とは C(a)={a}⇔a∈Z

と い っ て も よ い.   共 役 類 はG-軌

道 そ の も の な の だ か ら,G-軌

道 に よ るGの

G=∪a∈Z{a}∪C′(b)∪C′(c)∪ の 形 と な る.こ

こ でC′(b),C′(c)な

ど は,少

分 解 は,い

まの場 合

…

な く と も2つ

の元 を含 む共 役 類 を

示 し て い る.   Gの

任 意 の 元 を と り,そ れ をaで

の 固 定 部 分Caは

λg(a)=aな

表 わ そ う.考 え て い るGの

る元g全

体,す

働 き λgに対 し,a

なわち

Ca={g;ga=ag} で 与 え られ る. 【定 義 】Caをaの   a≠eの

中 心 化 群 とい う.

と き,Caは

少 な く と もeとaは

含 ん で い るか ら￨Ca￨≧2で

あ る こ とを

注 意 し て お こ う.   Gが

有 限 群 の と き に は,軌

道 の一般 論 に したが え ば

￨G￨=￨Ca￨×(C(a)に

だ か ら,aの

含 ま れ る元 の 個 数) 

中心 化群 が 大 き くな る と,aの

合,中 心 化群 がGに

な る と,C(a)はaだ

の 中 心化 群 が小 さ くな る と,aの

(1)

共役 類 は 小 さ く な り― け とな り(a∈Zの

極 端 な場

とき)―,逆

にa

共 役類 は 大 き くな る.

置 換 を 巡 回置 換 の 積 と して 表 わ す   対 称群Snの

場 合 には,1つ

の元 の共 役類 が どの よ うな もので 与 え られ るか を,

明 示 す る こ と が で き る.以

下 で この こ とを 述 べ て み た い の で あ るが,こ

か ら共 役 類 と い う概 念 が どの よ うな 考 え 方 に 根 ざ し て い る か,も

の話 の 中

う少 し は っ き り

と し て く る の で は な い か と思 う.   Snの 元 は,{1,2,…,n}の

置 換 か ら な る.

  共 役 類 を 決 め る た め に は,置

換 を 巡 回 置 換 の 積 と し て 表 わ す と い う表 わ し 方 が

大 切 な 役 目を 演 ず る こ と に な る.し

か し,nが

一 般 の 場 合 に 述 べ る と,簡

と が か え っ て わ か りに く くな る か も しれ な い.こ 7}の

こ で はn=7の

単な こ

と き,{1,2,…,

任 意 の置 換

は巡 回 置 換 の積 と して表 わ され る ことを説 明 し よ う.   まず い くつか の 例 をか く.

(ⅰ)

(ⅱ)

(ⅲ)

(ⅳ)

  右 辺 に か い て あ る の が,巡

回 置 換 の 表 わ し方 で,(ⅰ)は,左

1→2→3→4→5→6→7→1  とい う順 で,す

な わ ち1を2に

お きか え,2を3に

辺 の置 換 が

(戻 る) お き か え,…

とい う よ うに,

進 行 す る こ とを 意 味 し て い る.   (ⅱ) は,左

辺 の 置 換 が,2つ

→2(戻

ら な る こ とを 意 味 して い る.7は,動

る)か

の サ イ ク ル1→3→6→4→1(戻

る)と2→5

か さ れ な い か ら,右

辺のサ

イ クル の 表 示 の 中 に は 記 し て い な い.   (ⅲ) の 置 換 は,3つ な る.

の サ イ ク ル1→3→1,2→4→2,5→6→7→5か

ら

  (ⅳ)の

置 換 は,2つ

の サ イ ク ル1→7→5→1,2→6→4→3→2か

らな

る.   S7に 属 す る ど の よ うな 置 換 も,こ こ と は 明 らか だ ろ う.1つ ろ で1つ

の サ イ ク ル―

の よ う に'巡

の 数 を,順

回 置 換'の

積 として 表わ され る

々 に お きかえ て い っ て,も

巡 回 置 換―

が 終 る の で あ る.次

な い 数 か ら 出 発 し て 同 じ こ とを 繰 り返 す.こ

とに戻 った と こ

に この サ イ クル に属 さ

の よ うに し て,任

意 の 置 換 は,ど

の

2つ も共 通 の 文 字 を も た な い 巡 回 置 換 の 積 と し て 表 わ さ れ る.   一 般 に,巡 い う.た

回 置 換 を(i1

i2…ik)と

とえ ば(ⅲ)は,2つ

表 わ し た と き,こ

の2次

の 巡 回 置 換 と,3次

れ をk次

の巡 回置 換 と

の 巡 回置 換 の積 として

表 わ さ れ て い る.

巡 回 置 換 と し て の 表 わ し方

  簡 単 な こ とだ が,次   (a)k次

の こ とを 注 意 し て お こ う.

の 巡 回 置 換 を 表 わ す 表 わ し 方 はk通

  こ こ で い っ て い る こ と は,た

と え ば4次

りあ る.

の 巡 回 置 換(1356)を

表わ す 表 わ

し方 は (1 3 5 6),(3 の4通

5 6 1),(5

り あ る と い う こ と で あ る.確

6→1の

6 1 3),(6

1 3 5)

か に こ の 表 わ し 方 の す べ て は,1→3→5→

置 換 の サ イ クル を 表 わ し て い る.

  一 般 に,k次

の巡 回置 換 は (i1 i2 i3…ik)=(i2 i3…ik

とk通

i1)=(i3…ik

i1 i2)=…

り に 表 わ さ れ る.

  (b) 

1つ の 置 換 を,巡

回 置 換 の 積 と し て 表 わ す と き,積

の 順 序 を と りか え て

も結 果 は 変 わ ら な い.   こ こ で い っ て い る こ と は,た

と え ば(ⅱ)で

(1 3 6 4)(2 が あ り,(ⅲ)で (1 3)(2 =(1

3)(5

は,6通 4)(5

5)=(2

は2通 5)(1

りの 表 わ し 方

3 6 4)

りの 表 わ し 方 6 7)=(2

6 7)(2

4)=(5

4)(1

3)(5

6 7)(1

6 7)=(2

3)(2

4)=(5

4)(5

6 7)(1

6 7)(2

4)(1

3) 3)

が あ る と い う こ と で あ る.   こ の こ と も,各 か ら,明

サ イ ク ル ご と の 置 換 が 指 示 さ れ れ ば,全

体 の置 換 が決 ま るの だ

らか な こ と で あ る.

  す ぐに 確 か め ら れ る こ と だ が,1つ し方 の 多 様 性 は,(a)と(b)だ   こ の こ とか ら,改

の 置 換 を 巡 回 置 換 の 積 と し て 表 わ す,表

わ

け か ら 生 じて い る.

め て(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ),(ⅳ)の

置 換 を み る と,

  (ⅰ) を 巡 回 置 換 と し て 表 わ す 表 わ し 方 は7通

り

  (ⅱ) を 巡 回 置 換 と し て 表 わ す 表 わ し 方 は 4×2×2=16通

り

  (ⅲ) は 22×3×3!通

り

3×4×2通

り

  (ⅳ) は

あ る こ と が わ か る.

S7の

元 の 共 役 類

  (ⅲ) の 置 換 σ=(1

3)(2

4)(5

6 7)

の共 役類 が どの よ うな 置 換 か らな るか考 え て み よ う.そ の ため τ∈S7を 任 意 に と って

と お く.   そ の と き,τ στ−1がどの よ うに 表 わ され る か み た い の で あ る が,そ よ うな 表 を か い て お く と よ い か も しれ な い.

れ に は次 の

  こ の 表 の1行

目 は た と え ば 次 の よ う に読 む.τ−1に よ っ て,i1,i3は

3に お き か わ る.次

に σ に よ っ て1,3は3,1へ

3はi3へ,1はi1へ

とお き か わ る.最

そ れ ぞ れ1,

後 に τに よ っ て

と巡 回 的 に お き か わ る.

  結 局 τστ−1は τ(13)(24)(567)τ−1=(i1

i3)(i2 i4)(i5 i6 i7)

で あ る こ と が わ か っ た.   す な わ ち,σ を τ に よ っ て 変 換 し た も の は,巡 にkをikに   逆 に2つ 換,た

回 置 換 と し て 表 わ し た と き,単

お き か え た も の に す ぎな い の で あ る. の2次

の 巡 回 置 換 と1つ

の3次

の巡 回 置 換 の積 と して表 わ さ れ る 置

とえば σ=(5

7)(6

4)(1

は,σ の 共 役 類 に 入 っ て い る こ と が わ か る.実

2 3) 際 τ と して

を と る と,τ στ−1=σで あ る.   こ の よ う に し て,S7の わ し 方 の1つ

共 役 類 は,巡

の タ イ プ と完 全 に1対1に

  (ⅰ):(1234567)の

回 置 換 の 積 と し て 表 わ し た と き,そ 対 応 す る こ と が わ か る.た

共役 類 は (i1i2i3i4i5i6i7)

と表 わ され る置 換 全 体 か らな る.   (ⅱ):(1364)(25)の

共役類は (i1i2i3i4)(i5i6)

と表 わ さ れ る 置 換 全 体 か ら な る.   (ⅲ):(175)(2643)の

共役類は (i1i2i3)(i4i5i6i7)

と表 わ さ れ る置 換 全 体 か ら な る.

とえば

の表

Tea

Snの1つ

Time

の 元 の共 役 類 に含 まれ る元 の個 数

  せ っか く こ こ ま で 話 し た の に,S7の に も 惜 し い の で,一

般 のSnの

場 合 だ け で 話 を と め て し ま う の は,い

場 合 に,1つ

の 置 換 σ(∈Sn)の

ん な 式 で 表 わ さ れ るか を 示 し て お こ う.σ を,異 回 置 換 の 積 と し て 表 わ す と き,そ の 順 序 は 関 係 し な い か ら,ま

な る文 字 だ け し か 現 わ れ な い 巡

れ ぞ れ の 巡 回 置 換 を ど こに お くか,す

ず2次

の 巡 回 置 換,次

に3次

の 巡 回 置 換,次

の 巡 回 置 換 と,順

次 この よ う に 積 が 現 わ れ る よ う に 並 べ か え て お く.ま

う は 記 さ な い,動

か さ れ な い 元(1次

  σの 共 役 類 は,巡

か

共 役 類 の個 数 が ど

の 巡 回 置 換!)も

なわ ち 積 に4次 た,ふ

つ

か い て お く こ と に す る.

回 置 換 を 表 わ す タ イ プ だ け で 決 ま るか ら,σ

の タ イ プ を この

よ う に 整 理 し て 表 わ す と,σ の タ イ プ は

(*) と表 わ さ れ る.こ

こでa1,a2,…,anの

の 表 示 で,akの

部 分―k次

束 の も と で,上

の 表 示 は,置

中 に は0の

の 巡 回 置 換― 換 σは,a1個

も の もあ る.akが0な

は1つ

らば,上

も 現 わ れ な い とす る.そ

の 元 は 動 か さ ず,2次

の巡 回置 換 を

a2個,3次

の 巡 回 置 換 をa3個,…

含 ん で い る こ とを 意 味 し て い る.

  さ て,こ

の タ イ プ に 属 す るSnの

元 が ど れ だ け あ るか が わ か れ ば,そ

共 役 類 の 個 数 とい う こ と に な る.{1,2,…,n}を り―

そ の 順 で,(*)の

の約

れ が σの

い ろ い ろ に 並 び か え て―n!通

カ ッ コ の 中 に 配 置 す る と,σ と 同 じ タ イ プ を も つ 置 換 が

得 られ る.   た とえ ば'並

び か え'

に対 して は i1i2…ia1(ia1+1ia1+2)…(ia1+a2+1…)… と 配 置 す る の で あ る.   こ の と き,{1,2,…,n}の は.同

並 べ 方 と し て は 違 うけ れ ど,(*)に

じ置 換 を 表 わ す も の が い くつ あ る か を 調 べ て み る と よい.

配置 した とき に

  まず,最

初 のa1の

と ころ で,1つ

の 並 べ 方 をa1!通

り入 れ か え て も,置

換 と

し て は 変 わ ら な い.   次 に2次

の 巡 回 置 換 の と ころ で は,カ

a2個 の そ れ ぞ れ の カ ッ コ の 中 で(i1 り,全

体 と し て,1つ

ッ コ の 順 番 を と りか え る と こ ろ でa2!,

i2)を(i2

だ け 入 れ か え て も,置   同 様 に 考 え る と,3次 り,a3個

り

換 と し て は 変 わ らな い. の 巡 回 置 換 の と こ ろ で は,カ

の そ れ ぞ れ の カ ッ コ の 中 で{i1 i2

入 れ か え る こ と で3通

り,合

ッコの順 番 の 入れ か えか ら

i3)を{i2 i3 i1),(i3

i1 i2)と

わ せ て全 体 で 3a3a3!通

が,1つ

入 れ か え て よ い か ら2a2通

の並 べ 方 を 2a2a2!通

a3!通

i1)と

り

の 置 換 を 表 わ し て い る.

  この よ う に して 結 局,n!の

並 べ 方 を(*)に

a1!×2a2a2!×3a3a3!× だ け 重 複 し て,1つ は,ak!=0!=1と

配 置 し た と き,そ

れ ぞれ が

… ×nanan!

の 置 換 を 表 わ し て い る こ とが わ か る.こ

こでak=0の

ときに

お い て あ る.

  こ の 結 果 に よ っ て 私 た ち は,σ

の共 役類 に属 す る置 換 の総 数 が

とな る こ とが わ か った の で あ る.講 義 を参 照 してみ る と,こ の分 母 に 現わ れ た 数 は,ち

ょ うど σの 中心 化群Cσ の位数 を与 え て い る こ ともわ か る.

第17講 共役 な部分群 と正規部分群 テ ーマ

◆ 群 の部分群の集合の上への働 き ◆ 共役な部分群,正 規化群 ◆ 正規部分群 ◆ 正規部分群 による商群 ◆ 可換群 の場合

群 の部 分 群 の 集 合 の 上 へ の 働 き

  群 は,実

に い ろ い ろ な と こ ろ に 働 くの で あ る.

  い ま群Gが

与 え られ た と し,Gの

に 属 す る 元(Gの

部 分 群 全 体 のつ くる集 合 を 〓

部 分 群!)Hに

対 し,Gの

とす る.〓

働 きを

g:H→gHg−1 と定 義 す る と,Gは

〓

に 働 い て い る の で あ る.

  こ こ で,gHg−1と

か い た の は,も

ちろん

ghg−1  と表 わ され る,Gの 実 際Gの

〓

(h∈H)

元 全 体 か ら な る 部 分 集 合 を 表 わ し て い る.上

のgの

上 へ の 働 き とな っ て い る こ と を 示 す に は,gHg−1が,再

働 き が, びGの

部

分 群 とな っ て い る こ とを み る と よ い.   a1,a2∈gHg−1と

す る と,a1=gh1g−1,a2=gh2g−1と

表 わ さ れ,し

た が って

a1a2=gh1g−1gh2g−1=gh1h2g−1∈gHg−1   ま たa∈gHg−1と

す る と,a=ghg−1(h∈H)と

表 わ さ れ て い る.し

a−1=(ghg−1)−1=gh−1g−1∈gHg−1   こ の よ う に して 前 講 で 考 察 し た,G上

へ のGの

λg(h)=ghg−1

働 き

たがって

は,そ

の ま ま,部

が っ て,前

分 群 の つ くる 集 合 〓 上 へ の 働 き も与 え て い る の で あ る.し

講 で 述 べ た 概 念 の い くつ か は,同

た

様 な 形 で 部 分 群 に対 し て も成 り立 つ

こ と に な る.   Gの

元aに

対 し て 共 役 で あ る元,と

い う概 念 に 対 応 す る も の は 次 の よ う に な

る. 【定 義 】Gの

部 分 群Hに

分 群 を,Hに

共 役 な 部 分 群 で あ る とい う.

  Gの

対 し,適 当 なGの

〓 へ の 働 き に 対 し,Hの

元gを

軌 道 は,Hと

と る とgHg−1と

表 わ され る部

共 役 な 部 分群 全 体か らな っ て い

る.   Gの

元aの

中 心 化 群Caに

対 応 す る概 念 は 次 の よ うに な る.

【定 義 】N(H)={g￨gHg−1=H}と   N(H)は,Gの h∈Hな

お き,N(H)を,Hの

〓 へ の 働 き に 対 し,Hの

ら ば,hHh−1=Hは

N(H)に

属 し て い る.し

正 規 化 群 と い う.

固 定 部 分 群 と な っ て い る.ま

明 らか だ か ら(Hは

部 分 群!),Hの

た,

元 は す べ て

たが って H⊂N(H} 

(1)

で あ る.   Gが

有 限 群 な らば,N(H)は

も ち ろ ん 有 限 群 で あ っ て,前

講 の(1)に

対応

して ￨G￨=￨N(H)￨×(Hに

共 役 な 部 分 群 の 個 数) 

(2)

と い う関 係 が 成 り立 つ.   (1)と(2)に

よ り,次

{Hに

こ こで￨G:H￨はGのHに な ら(1)か

の 結 果 が 得 られ る.

共 役 な 部 分 群 の 個 数}≦￨G:H￨ 

よ る指 数 で あ る(第8講,Tea

ら ￨H￨≦￨N(H)￨

で あ り,一 方 ￨G￨=￨H￨×￨G:H￨

(3)

Time参

照).な

ぜ

が 成 り立 つ か ら,(2)と

見 比 べ て(3)が

成 り立 つ こ とが わ か る.

正 規 部 分 群

  Gの

〓 へ の 働 き で,特

に 軌 道 が1つ

の 元 か ら な る も の が 重 要 で あ る.そ

れは

次 の 定 義 で 述 べ られ て い る正 規 部 分 群 に ほ か な ら な い. 【定 義 】Gの

部 分 群Hで,す

べ て のg∈Gに

対 して

gHg−1=H が 成 り立 つ と き,HをGの

正 規 部 分 群 とい う.

  ま ず 簡 単 な 注 意 を 与 え て お こ う.一 般 にGの2つ

の 部 分 集 合A,Bが

あ った と

き Ag={ag￨a∈A},Bg={bg￨b∈B} とお く と, A⊂B⇒Ag⊂Bg,gA⊂gB で あ る.ま

た 明 らか に A=B⇒Ag=Bg,gA=Bg

  さ て,HをGの

正規 部 分 群 とす る と gHg−1=H 

が 成 り立 つ が,こ

の 両 辺 に 右 か らgを

(4) か けて

gH=Hg  と な る.逆

に(5)の

  (4)と(5)を

(5)

両 辺 に 右 か らg−1を か け る と(4)が

得 ら れ る.

合わせて

HがGの

正規 部 分 群 ⇔

すべ て のgに 対 して gH=Hg

が 得 られ た.   な お,正

規 部 分 群 の 定 義 は,見

か け 上 少 し 弱 く,す べ て のg∈Gに gHg−1⊂H

と か い て も よ い.な

ぜ な ら,こ

の 式 をg−1に 適 用 す る と g−1Hg⊂H

対 して

が 得 ら れ て,こ

れ か ら逆 の 包 含 関 係 H⊂gHg−1

も 得 られ る か らで あ る.

G/Hは

  上 の(5)で

述 べ た こ とは,HがGの

余 類 は,gを がGの

群 と な る

含 むHの

正 規 部 分 群 の と き,gを

含 むHの

右 剰 余 類 と 一 致 す る と い う こ とで あ る.し

正 規 部 分 群 の と き に は,右,左

左剰

た が っ て,H

を つ け な く て 単 に,GのHに

よる剰 余類

と い っ て も よ い こ と に な る.   さ て,こ

の ことか ら aHb=abH 

(6)

が 成 り立 つ.   この 式 を も う少 し丁 寧 に か く と次 の よ うに な る.Hbか か らあ るh′∈Hが aHb⊂abHと

存 在 し て,hb=bh′

な る.同

と な る.し

様 に し てaHb⊃abHも

ら 元hbを

と る と,(5)

た が っ てahb=abh′

いえ るか ら,こ

れ で(6)が

と な り, 成 り

立 つ こ とが わ か る.   一般 に Hが

部 分 群 な ら ば,H2=Hが

成 り立 つ.

  この 表 わ し 方 も簡 単 に す ぎ るか も し れ な い.H2と H2=HH={hh′￨h,h′ の 意 味 で あ っ て,H2はHか

ら と っ た2つ

か いた の は

∈H} の 元 の 積 と し て 表 わ され る,元

の集 合

で あ る. 【証 明 】 単 位 元eはHに

含 ま れ て い る か ら,h∈Hに

対 し

h=he∈H2 し た が っ てH⊂H2.逆 てH2⊂H.ゆ

え にH=H2.

に,Hは

群 だ か らh,h′ ∈Hに

対 し,hh′

∈H.し

たが っ

HをGの

正 規部 分 群 とす る と aHbH=abH

特 に aHa−1H=H

  実 際,H2=Hと(6)を

用いる と aHbH=abH2=abH

と な る.特

にaHa−1H=aa−1H=eH=Hで

  こ の こ と は,GのHに

あ る.

よ る 剰 余 類 の 集 合G/Hが,演

算

aHbH=abH に よ っ て 群 を つ く る こ と を 示 し て い る.   単 位 元 は,eを   aHの

逆 元 はa−1Hで

【定 義 】HがGの Hに

含 む 剰 余Hで

あ る.

あ る.

正 規 部 分 群 の と き,こ

の よ うに し て 得 られ た 群G/Hを,Gの

よ る商 群 とい う.

  G/Hは,Hに

よ るGの

数 に つ い て は,つ

ねに

剰 余 類 の つ く る群 な の だ か ら,Gが

有 限 群 の 場 合,位

￨G/H￨≦￨G￨ が 成 り立 つ わ け で あ っ て,さ

ら に ラ グ ラ ン ジ ュ の 定 理(第8講)か

ら,関

係式

￨G￨=￨H￨×￨G/H￨ が 成 り立 つ こ と も わ か る.特

に,群G/Hの

位 数 は,Gの

位 数 の 約 数 で あ る.

可 換 群 の と き

  Gが

可 換 群 の と き に は,群

だ か ら,Gの

任 意 の 部 分 群Hに

か で あ る.し

た が って

の 演 算 は,右

対 し,gH=Hg(g∈G)が

Gが 可 換 群 の ときに は,Gの 最 も簡 単 な,し

か らか け て も,左

か らか け て も よ い の 成 り立 つ こ と は 明 ら

任 意 の 部分 群 は 正規 部 分群 とな る.

か し最 も基 本 的 な 例 とし て,整

数 のつ くる加群Zを

考えてみ

よ う.   Zの 演 算 は,加

群 と し て,加 法+で

nの 倍 数 全 体 はZの

表 わ す こ とに す る.任 意 に 整 数nを

部 分 群 を つ くる.そ

れ をnZと

と る と,

表 わ す:

nZ={nk￨k=0,±1,±2,…} nZが

部 分 群 で あ る こ とは,nk+nk′=n(k+k′

  n=0の

と き は,nZは,単

位 元0だ

と変 わ ら な い.ま たn=1の とな る.こ

の2つ

） か ら容 易 に わ か る.

げ か ら な り,商

と き は,nZ=Zと

の 場 合 は,つ

  明 ら か に,nZ=(−n)Zだ

ま ら な い. か ら,n>1の

よ る剰 余 類 は,0を

余 類[0]と,1を

い っ て も,Z

な り,商 群Z/nZは,Z/Z={0}

と き を 考 え よ う.

商 群Z/nZは,Znに

【証 明 】ZのnZに

群Z/nZと

同 型 で あ る.

含む ―

一 般 に はnの

含 む 剰 余 類[1]と,…,n−1を

倍 数 を 含 む―

含 む 剰 余 類[n−1]と

剰 か ら

な る. Z=[0]+[1]+[2]+…+[n−1] で あ る.商

群 の 定 義 か ら,[k]+[l]は,k+lを

k+1をnで

割 っ てk+l=qn+r(0≦r
含 む 剰 余 類k+l+nZで

あ る.

お く と,

[k]+[l]=[k+l]=[qn+r]=[r] と な る. こ の 演 算 規 則 は,明 れ た 群!)と

らか にn次

同 型 で あ る.こ

の 巡 回 群Zn(平

面 上 の2π/nの

回転 か ら生成 さ

れ で 証 明 さ れ た.

Tea

Time

数 直 線 と円 周 数 直 線Rを,一

本 の 長 い 長 い 糸 と思 っ て,丸

い て い く様 子 を 想 像 し て み よ う.群 とが で き る.Rを

実 数 の つ く る 加 群 とす る と,整

群 と な っ て い る.商

群R/Zの

い 糸 巻 きに この 糸を ぐる ぐる巻

の 観 点 か らは,こ

元 は,x(∈R)を

の 状 況 を 次 の よ うに み る こ

数 の つ く る 加 群ZはRの

部分

含 む 同 値 類[x]=x+Zで

与 え

ら れ て い る.あ

る い は 少 し 見 方 を か え る と,…,x−2,x−1,x,x+1,x+2,…

す べ て 重 ね て1点

と し た も の が,同

こ れ は ち ょ う ど,半

径1/2π(こ

値 類[x]を

を

表 わ し て い る と 考 え て も よ い.

の 円 周 の 長 さ1)の

円 を 糸 巻 き と思 っ て,Rを

の 糸巻 き に ぐ る ぐ る重 ね て 巻 き つ け て い る感 じ と な っ て い る.R/Zは

こ

この場 合,

糸 巻 き の 円 周 上 の 回 転 群 と して 実 現 さ れ て い る とみ る こ と が で き る.

質 問   2つ の 整 数3と24を

比 べ る と,24は3に

24Zを

倍 数 は,3の

比 べ て み る と,24の

が 集 合 と し て24Zよ

比 べ て 大 き い の で す が,3Zと

倍 数 の 中 の 一 部 分 で す か ら ,3Zの

り大 き くな っ て い ま す.僕

と は い え な い の か も しれ ま せ ん が,3<24と 包 含 関 係 が 逆 に な っ た よ うで,何

の い い た い こ とは,こ

い う 大 小 関 係 と,3Z⊃24Zと

初 少 し 妙 な 気 が す る か も し れ な い.し

る と,3<13だ

け れ ど,3Zと13Zに

い.2つ

そ の ま ま,集

の 数,mとnが

の で あ る.む

か し,3と13を

考 え てみ

は 集 合 の 包 含 関 係 は な い.そ

の 意 味 で は,

合 の包 含 関 係 ⊃

あ っ て,nがmの

し ろ 倍 数,約

い う

だ か 妙 な 気 が す る と い う こ とで す.

答  確 か に,最

数 の 大 小 関 係<が

方

れ は 質問

数 の 関 係 が,集

に移 さ れ て い く わ け で は な

倍 数 の と き に 限 っ てmZ⊃nZと

なる

合 の包 含 関 係 ⊃ に翻 訳 され てい る と

考 え た 方 が よ い.   な お,6は3の

倍 数 で24は6の

と表 わ さ れ る.6Zは3Zの

倍 数 で あ る.こ

部 分 群 で,24Zは6Zの

とき 3Z/6Z〓Z2,6Z/24Z〓Z4 とい う同 型 対 応 が 成 り立 つ.

の 関 係 は3Z⊃6Z,6z⊃24Z 部 分 群 と な っ て い る.こ

の

第18講 正 規 部 分 群 テーマ

◆ 単純群 ◆ 正 規 部 分群 につ い て の簡 単 な結 果 ◆ 巡 回 群 が単 純 群 とな る のは,位 数 が 素 数 の ときに 限 る. ◆ 対 称 群 と交 代群 ◆ 組成列 ◆ ジ ョル ダ ン‐ ヘ ル ダー の定 理 ◆(Tea

Time)単

純 群 の分 類理 論

単   群Gと,そ

の部 分 群Hが

純

群

与 え られ た と き,HがGの

正 規部 分 群 とな って い る

か ど うか を 見定 め る こ とは,一 般 には なか な か 容 易 な ことで は な い.な ぜ か とい う と,定 義 に した が え ば,Gの1つ1つ

の元gに 対 して gHg−1=H

を 確 か め な くては い け な いか らであ る.   どん な群 で も,単 位元 だげ か らな る部分 群 と,G全 もの は,必 ずGの 外―

体 を1つ の部 分群 と考 え た

正 規 部 分群 とな って い る.こ れ 以 外 ―

す なわ ち{e}とG以

に は正 規 部 分 群を もた な い群 も存在 す る.そ の よ うな 群 を単 純 群 とい う.

  単純 群 は どんな もの があ るか とい うこ とは,有 限 群 論 の 歴史 の中 で,止 ま る こ とな く流 れ 続 け た 大 問題 であ った.実 際,有 限 群論 の発 祥 の 地 で あ った,方 程式 論 に おけ る ガ ロア理 論 にお い て,5次

以上 の方程 式 には べ キ 根 に よ る代数 的 解 法

は一 般 には 存 在 しな い こ とを 示 した 根 拠 は,n≧5の

とき,交 代群Anは

単純群で

あ る とい う事 実 で あ った.  単純群の歴史を語る ことは,有 限群論の歴史を語 るようなものであるが,有 限群論の専 門家で もない私 には,と て もその歴史を立ち入って述べ ることな どできない ことで あ る.

Tea Timeで

簡 単 に触 れ る こ とに し よ う.

記   HがGの

号

正 規 部 分 群 で あ る こ とを 表 わ す の に, H〓G,ま

た はG〓H

と い う記 号 を 用 い る の が 慣 例 の よ うで あ る.こ 定 着 し た も の か,私

の 少 し 奇 妙 な 記 号 が い つ 頃 か ら,

は 詳 し い こ と は 知 ら な い.

い くつ か の 簡 単 な 事 実

  (Ⅰ)群Gの

中 心Zは,Gの

  こ の こ と は,x∈Zに

正 規 部 分 群 で あ る.

対 し,gxg−1=xで

あ り,し た が っ てgZg−1=Zと

な るか

ら で あ る.   し た が っ て,第14講 は,非 可 換 群Gの

で 述 べ た 定 理,'Gの

位 数 が 素 数 の ベ キ な ら ば,Z≠{e}'

位 数 が 素 数 の べ キ の と き に は,Gは

単 純 群 でな い こ とを示 して

い る.   (Ⅱ)  部 分 群Hに

含 まれ る最大 の正 規部 分 群 は

で与 え られ る. 【証 明 】

とお く.

a,b∈H⇒a,b∈gHg−1⇒ab∈gHg−1gHg−1 ⇒ab∈gH2g−1⇒ab∈gHg−1 gは 任 意 で よか っ た か ら,ab∈

∩gHg−1=Hと

な る.ま

た

a∈H⇒a∈gHg−1⇒a−1∈g−H(g−1)−1 gは 任 意 で よ か っ た か ら,こ   こ の こ とか らHはGの 任 意 のg∈Gに

対 し

の こ と は 

を 示 して い る.

部 分 群 と な っ て い る こ と が わ か る.H〓Gの

こ と は,

が 成 り立 つ こ とか らわ か る.   し た が っ てHはHに

含 ま れ る 正 規 部 分 群 で あ る.HがHに

とは,H⊂eHe−1=Hに

よ る.

  HがHに Gの

含 まれ て い る こ

含 ま れ る 最 大 の 正 規 部 分 群 で あ る こ とを 示 す た め に,Hに

正 規 部 分 群Kを

と る.こ

の と きK⊂Hに

含 まれ る

より

K=gKg−1⊂gHg−1 こ の式 が す べ てg∈Gで

こ れ でHがHに

成 り立 つ か ら

含 ま れ る 最 大 の 正 規 部 分 群 で あ る こ とが 示 さ れ た.

  (Ⅲ)  HとKがGの

正 規 部 分 群 な らば,共

通 部 分H∩Kも,Gの

正 規 部 分群

で あ る. 【証 明 】H∩Kが

部 分 群 と な る こ とは,す

ぐ に わ か る.正 規 部 分 群 と な る こ とは

a∈H∩K⇒a∈H,a∈K し た が って,任

意 のg∈Gに

対 し

gag−1∈gHg−1=H,gag−1∈gKg−1=K ⇒gag−1∈H∩K これ か ら g(H∩K)g−1⊂H∩K が 得 ら れ る.こ

の 包 含 関 係 か ら ま たH∩K⊂g−1(H∩K)gも

任 意 だ っ た こ とに 注 意 す る と,結

局

g(H∩K)g−1=H∩K  と な り,H∩K〓Gが   (Ⅳ)  部 分 群Hに

得 ら れ て,g∈Gが

(g∈G)

示 さ れ た. 対 し,Hの

正 規 化 群 をN(H)と

す る.こ

の と きH〓

N(H).   こ の こ とは,正

規 化 群 の 定 義(123頁)か

らす ぐ に わ か る こ とで あ っ て,ま

正 規 化 群 とい う言 葉 の 由 来 も 明 らか に し て い る.

た

巡 位 数nの

巡 回 群Gが

の と き,か

【証 明 】nが

群

単 純 群 とな る の は,nが

部 分 群(Gは

  逆 にGの

位 数 がpな

素数

つ そ の と き に 限 る.

素 数 で な い と し て,n=pr(pは

数pのGの

っ てGの

回

素 数,r>1)と

可 換 だ か ら 当 然 正 規 部 分 群!)を らば,Gの

部 分 群 は,Gと{e}だ

任 意 の 元x(≠e)の

位

生 成 す る.

位 数 はpで

あ り,し

たが

け で あ る.

交

代

n次 の 交 代 群Anは,対

【証 明 】 交 代 群Anは,n次

表 わ す と,arは

群

称 群Snの

正 規 部 分 群 で あ る.

の 偶 置 換 全 体 の つ く る群 で あ っ た こ と を 思 い 出 し て

お こ う.任 意 に τ∈Snを

と る と,τ が 偶 置 換 か 奇 置 換 で あ る か に し た が っ て,τ −1

も偶 置 換 か 奇 置 換 とな り,し た が っ て σ∈Anに

対 して

τστ−1

の 偶,奇

は,(偶)×(偶)×(偶)か,(奇)×(偶)×(奇)と

も 偶 置 換 と な っ て い る.す

  商群Sn/Ａ

(τ∈Sn)

正 規 部 分 群 で あ る.

ｎは 位 数 が2の

剰 余 類(12)Anを1に

ず れ に して

なわ ち τAnτ−1⊂An 

と な っ て,AnはSnの

な っ て,い

巡 回 群Z2と

同 型 に な る.こ

の 対 応 は,Anを0に,

対 応 させ る こ と に よ り得 ら れ る((12)は

互換を 表 わ し

て い る).

組

  Gを

有 限 群 と し よ う.Gと

列

異 な る 正 規 部 分 群Hで,GとHの

規 部 分 群 は 存 在 し な い も の を と る.す G〓Kで 

成

な わ ちHは

条件

と な るKは

存 在 しな い

間 に は,Gの

正

をみ た すGの

正 規 部 分群 とす る.

  この よ うな正 規 部 分群Hが か な い こ とか らわ か る.た

存 在す る こ とは,Gの とえ ばHと

正規 部 分群 が 高 々有 限 個 し

して,Gと

異 な る正規 部 分 群 の 中で 最 大

位 数 を もつ ものを と る とよい.   この と き次 の こ とが成 り立 つ. (#)G/Hは

【証 明 】Gか

らG/Hへ

像(第12講

参 照)と

単 純 群 で あ る.

の 写 像 π を π(a)=aHで な っ て い る.実

定 義 す る.π

はGか

らG/Hへ

の準 同型 写

際

π(ab)=abH=aHbH=π(a)π(b) が 成 り立 つ.   も しG/Hが 群N′

単 純 群 で な い とす る と,群G/Hの

が 存 在 す る こ と に な る.こ

単 位 元 と も全 体 と も一 致 し な い 正 規 部 分

の とき N={x￨π(x)∈N′}

とお く と,NはGの π(x)π(y)∈N′ こ と は,任

正 規 部 分 群 とな る.ま

ず,部

⇒xy∈N;π(x−1)=π(x)−1∈N′

意 のg∈Gとx∈Nに

か ら,gxg−1∈Nが

分 群 と な る こ とは,x,y∈N⇒

⇒x−1∈Nと

π(xy)=

な る か ら で あ る.Nが

正規の

対 し,

得 ら れ るか ら で あ る.π(N)=Ｎ

規 部 分 群 で あ る こ と が わ か り,こ

れ はHの

′に よ り,Nは,HとGの

と り方 に 矛 盾 す る.し

間 にあ る正

た が っ てG/Hは

単純群

と な る.

  次 に,こ

の 群Hに

注 目 し,Hの

部 分 群 が な い よ う なKを あ る.も

と る.Kは,い

し この よ う なKが

(上 の(#)で

わ ばHの

単 位 元{e}し

も,H={e}な

な け れ ば,Kに

中 で,H〓K(で,HとKの

ら ば,G自

規 部 分 群 が{e}し

大'な

か な け れ ば,H自

か な い もの―

身 が単 純 群 で あ る

含 ま れ る'極

の 操 作 を 繰 り返 し て い くと,や 単 純 群―

大 な'Kの が て'極

に 突 き 当 っ て,そ

終 了 す る こ と に な る だ ろ う.   こ の よ うな 考 え に 導 か れ て 次 の 定 義 を お く. 【定 義 】 有 限 群Gの

相 異 な る部 分 群 の 系 列

G=H0⊃H1⊃H2⊃

… ⊃Hr−1⊃Hr={e} 

正規

正 規 部 分群 で

身 が 単 純 群 と な っ て い る!).そ

関 し て 同 じ考 え を 適 用 し て,Kに

部 分 群 を と る こ とが で き る.こ

中 の'極

間 に はHの

(1)

うで 正規

大 な'正

こで こ の 操 作 は

が 次 の 条 件(C)を   (C) 

み た す と き,こ

の 系 列 をGの

Hi−1〓Hi(i=1,2,…,r)で

組 成 列 と い う:

あ っ て,Hi−1とHiの

間 に はHiの

正 規部

分 群 は 存 在 し な い.   組 成 列 が 与 え られ る と,対

が 得 られ る.(#)か

応 して商 群 の 系列

ら,こ

れ ら は す べ て 単 純 群 で あ る.

  組 成 列 の 例 を 少 し あ げ て お こ う. 【例1】3次

の 対 称 群S3に

対 しては S3⊃A3⊃{e}

が 組 成 列 と な る.S3/A3は 【例2】4次

位 数 が2,A3は

の 対 称 群S4で

位 数 が3の

巡 回群 で,単

純 群 で あ る.

は

H={1,(1 

2)(3  4),(1  3)(2 4),(1  4)(2  3)}

K={1,(1 

2)(3 4)}

と お く と, S4⊃A4⊃H⊃K⊃{e} は 組 成 列 とな る．Hは,ク

ラ イ ン の4元

群 と 同 型 で あ る.

S4/A4,A4/H,H/K,K は,そ

れ ぞ れ,位

【例3】n≧5の

数2,3,2,2の と き,Anは

単 純 群 で あ る. 単 純 群 で あ り,し た が っ て Sn⊃An⊃{e}

が組 成 列 とな る 【例4】Gを

こ の 証 明 は 省 略 す る).

位 数nの

巡 回 群 と し,aを

そ の 生 成 元 と す る.nを

素数 の積 とし

て n=p1p2…pr と し て 表 わ す.こ をap1p2か 群,…

の と きH0=Gと

し,H1をap1か

ら生 成 さ れ る巡 回 部 分 群,…,Hiをap1p2…piか

ら 生 成 さ れ る巡 回 部 分

とす る と G=H0⊃H1⊃H2⊃

は,Gの

ら生 成 さ れ る巡 回 部 分 群,H2

組 成 列 と な る.Hi/Hi+1は

… ⊃Hr={e} 位 数piの

巡 回 群 で,し

たが って また 単純 群

に な っ て い る.

ジ ョ ル ダ ン-ヘ

  上 の 例4で,た

と え ばn=30の

ル ダ ー の 定 理

と き,30を 30=2・3・5

と表 わ す か 30=5・3・2 と表 わ す か に よ っ て,Gの に,群Gの

組 成 列 は1通

  これ に つ い て,有

組 成 列 は 変 わ っ て く る.こ りに 決 ま る とは 限 らな い.

名 な ジ ョル ダ ン-ヘ ル ダ ー の 定 理 が あ る.

【定 理 】 有 限 群Gの2つ

の組 成 列 を G=H0⊃H1⊃H2⊃

… ⊃Hr={e}

G=K0⊃K1⊃K2⊃

… ⊃Ks={e}

とす る と,r=sで

あ る.商

対 応 し 合 っ て,互

い に 同 型 とな る.

  す な わ ち,群Gの

の こ とか ら も わ か る よ う

群Hi−1/HiとKi−1/Kiと

は 適 当 な 順 序 で,1対1に

組 成 列 の 長 さは つ ね に 一 定 で あ っ て,組

成列 に対応 して 得

られ る商 群 の 系 列 H0/H1,H1/H2,…,Hr−1/Hr も,順

序 を 除 け ば た だ1通

りに 決 ま る の で あ る.

  こ の 定 理 の 証 明 は こ こで は 省 略 し よ う.

Tea

Time

単純 群 につ い て   組 成 列 の 定 義 の 中 に か い て あ る 系 列(1)を,右 各Hi−1/Hiは

単 純 群 だ か ら,単

純 群Hr−1か

の 単 位 元 の 方 か ら見 て い く と, ら出 発 し て,順

次,い わ ば 商 群 を 通

し て 積 み 重 ね て い く と,'単 が わ か る.単

純 群 は,そ

純 群 の 塔'と

て き た.し

うか とい う こ と は,実

か し,少

単 純 群 が,す

か ら,こ

れ ら は 実 際,完

全 に 分 類 され る よ うな も

紀 前 半 に は,そ

学 者 の興 味 を そ そ っ

の最終 的 な 解答 につ い て は ま

世 紀 に もわ た る懸 案 の 問 題 とな る だ ろ う と,漠

こ ろ が,1982年

に な っ て,す

べ て 求 め ら れ た の で あ る!こ

て 著 わ す と,優

最 後 に 得 られ る こ と

に深 い 問 題 で あ っ て,数

な く と も20世

だ 予 想 も立 て られ ず,何 ら れ て い た.と

限 群Gが

の 意 味 で は,有 限 群 を 形 づ く る石 材 の よ うな も の で あ る.

  単 純 群 に ど の よ うな も の が あ る か,そ の な の か,ど

し て,有

に5000頁

を 越 す と い う.ふ

の理 論 の 解 明 だ け に10数

数 学 が 営 々 と し て 築 き 上 げ た,壮

然 と考 え

べ て が 完 全 に解 決 さ れ て し ま っ た.

の 単 純 群 の 分 類 理 論 に全 部 証 明 を つ け つ うの 数 学 書 は 大 体300頁

く らい だ

巻 の 数 学 書 が 必 要 だ とい う こ と に な る.現 麗 な 演 繹 体 系 の 一 面 を うか が わ せ る,恐

代

るべ き

成 功 と い わ な くて は な らな い だ ろ う.   こ の よ う に し て 得 られ た,単 単 純 群 に は4つ   (1) 

純 群 の 分 類 の 結 果 に つ い て,ご

く常 識 的 に か く と

の タ イ プ が あ る.

素 数pの

巡 回群

  (2) 

n≧5の

  (3) 

有 限 体 上 の 線 形 群 か ら得 られ る リー 型 と よ ば れ る 単 純 群

と き の 交 代 群An

  (4) 

散 在 的 単 純 群26個

  この(4)の26個 中 に は,す

の 散 在 的 単 純 群 の 存 在 は,そ

で に マ シ ュ ー(Mathieu,1835-1890)が,1861年

の 中 で 与 え た 特 別 な 性 質 を も つ(4重 分 群1個

れ ぞ れ に 謎 め い て い る.そ

―

マシ ュ ー 群 ―

  い か に 散 在 的 か(!)と

可 遷,5重

と1873年

可 遷)置

換 群4個

の

の論文

お よび そ の 部

が 含 ま れ て い る. い う こ とは,こ

れ ら5個

の マ シ ュー 群 と よ ば れ る 単 純

群 の位 数 が 7920,95040,443520,10200960,244823040 で あ る こ とか ら も 推 察 さ れ る.   26個 の 散 在 的 単 純 群 の 中 で,最 て い る.そ

も 位 数 の 大 き い 群 はMonster

Groupと

よばれ

の位 数 は 241・313・56・72・11・13・19・23・31・47

で あ っ て,実 い 読 者 は,数

際 計 算 す る と54桁 学 辞 典(岩

の 数 と な る(な

波 書 店,第3版)'有

お,も

限 群'の

っ と詳 し い こ とを 知 りた 項 を 参 照 さ れ る と よい).

第19講 準 同 型 定 理 テ ー マ

◆ 準同型写像 ◆ 準同型写像の核 ◆ 逆像 ◆ 部分群 の対応 ◆ 準同型定理 ◆ 第1同 型定理,第2同 型定理

準 同 型 写 像

  群Gか

ら 群G′ へ の 準 同 型 写 像 の 定 義 は 第12講

写 像 Φ が 準 同 型 写 像 で あ る と は,a,b∈Gに

らG′ へ の

対 し

Φ(ab)=Φ(a)Φ(b)  が 成 り立 つ とい う こ とで あ っ た.こ

で 与 え て あ る.Gか

の と きGの

(1) 単 位 元eは,G′

の 単 位 元e′ へ と

移 っ て い る: Φ(e)=e′ ま た,aの

逆 元a−1は,Φ

に よ っ て,Φ(a)の

逆 元 Φ(a)−1へ と移 っ て い る:

Φ(a−1)=Φ(a)−1 

(2)

準 同 型 写 像 の 核   Gか

らG′ へ の 準 同 型 写 像 Φ が 与 え ら れ た と き,Φ

へ と移 され るGの 【定 義 】Gか

元 全 体 の 集 合 を 考 察 す る こ と が 大 切 な こ とに な る.

らG′ へ の 準 同 型 写 像 Φ に 対 し,Gの K={a￨Φ(a)=e′}

と お き,Kを

に よ っ て,G′

Φ の 核 とい う(図28).

部 分 集 合Kを

の 単 位 元e′

図28

Φ の 核Kは,Gの

【証 明 】a,b∈Kと

正 規 部 分 群 と な る.

す る と,(1)か

ら

Φ(ab)=Φ(a)Φ(b)=e′e′=e′ に よ り,ab∈K.ま はGの

た(2)か

らa∈Kな

  ((1)に ら ばa−1∈Kも

わ か る.し

た が っ てK

部 分 群 と な る.

  つ ぎ にKが

正 規 部 分 群 と な る こ とを 示 す た め に,任

と き,a∈Kに

意 にg∈Gを

こ の こ と は,gag−1∈Kを な り,Kは

示 し て い る.し

の

よ る)

た が っ て 任 意 のg∈Gに

対 しgKg−1⊂

正 規 部 分 群 で あ る.

逆

  Φ をGか

と る.こ

対 し ((1),(2)に

Kと

よ る)

像

らG′ へ の 準 同 型 写 像 と し Φ(a)=a′

で あ っ た とす る． この と き,Gの

部分集合

−1(a′)を

Φ−1(a′)={x￨Φ(x)=a′} とお い て,Φ −1(a′)をa′ の 逆像 と い う.明 Φ−1(e′)は Φ の 核Kに

等 し い が,一

般 に

Φ−1(a′)=aK=Ka

が 成 り立 つ.

らか に,Φ

−1(a′)∋aで あ る.ま

た,

実 際,

あ とはKは

正 規 部 分 群 だ か らaK=Kaに

注 意 す れ ば よ い.

部 分 群 の 対 応

  Gの

部 分 群 をHと

し Φ(H)=H′

と お く.こ

の と き,(1)と(2)か

ら,次

の こ とが 成 り立 つ こ と が わ か る.

H′ はG′ の 部 分 群 とな る.

逆 に,G′

の部 分 群H′

が 与 え られ た とき Φ−1(H′)={x￨Φ(x)∈H′}

と お き,Φ −1(H′)をH′

の 逆 像 と い う.こ

Φ−1(H′)はGの

の とき

部 分 群 で あ る.特

に Φ(H)=H′

の と きは

Φ−1(H′)=HK=KH

と表 わ さ れ る.Kは

Φ の 核 で あ る.ま

と表 わ さ れ る 元 の 集 合 を 表 わ す.こ

たHKと

の集 合 はHの

か い た の は,hk(h∈H,k∈K) 元 を 含 むKの

剰 余 類 か らな っ

て い る. 【証 明 】

Φ−1(H′)が 部 分 群 と な る こ と は 次 の よ う に し て わ か る.x,y∈

とす る と,Φ(x),Φ(y)∈H′

に よ り,Φ(xy)=Φ(x)Φ(y)∈H′,Φ(x−1)=Φ(x)−1

∈H′ と な り,こ れ か ら,xy,x−1∈   ま た,Φ −1(H′)は,h′

Φ−1(H′)

Φ−1(H′)と な る.

∈H′ の 逆 像 Φ−1(h′)全 体 か らな る が,H′=Φ(H)の

き は,Φ −1(h′)は,Φ(h)=h′ し た が っ て Φ−1(H′)=HK=KHと

を み た すhを な る.

と る と,hK=Khと

と

表 わ さ れ て い る.

H′ がG′ の 正 規 部 分 群 の と き に は,Φ −1(H′)はGの

【証 明 】H=Φ

−1(H′)と お く.任

意 のg∈G,x∈Hに

対 して

Φ(gxg−1)=Φ(g)Φ(x)Φ(g)−1∈H′(H′ こ の こ と はgxg−1∈Hを

正 規 部 分 群 とな る.

が 正 規 だ か ら)

示 し て い る.し た が っ てgHg−1⊂Hと

な り,HはGの

正 規 部 分 群 で あ る.

準 同 型 定理   一 般 に,Gか Gか

らG′ へ の 準 同 型 写 像 Φ が,Φ(G)=G′

らG′ の 上 へ の 準 同 型 写 像 と い う.次

とな っ て い る と き,Φ

の 定 理 は 準 同 型 定 理 と し て,よ

を

く用 い

ら れ る.

【定 理 】 Φ をGか

らG′ の 上 へ の 準 同 型 写 像 と す る.Kを

Φ の 核 とす る.こ

の と

き同型 対 応 G/K〓G′ が 成 り立 つ.

【証 明 】 Φ(a)の

逆 像 が,aを

含 む 剰 余 類aKで

aK=bK⇔ が 成 り立 つ.し

た が っ て,剰

さ せ る対 応 は,G/Kか

与 え られ て い る の だ か ら

Φ(a)=Φ(b)

余 類 の 集 合G/Kの

らG′ の 上 へ の1対1対

元aKに,G′

の 元 Φ(a)を

応 と な っ て い る.こ

対応

の対 応 を Φ と

お こ う: Φ:aK→   証 明 す べ き こ とは,Φ う こ とで あ る.そ

Φ(a) 

が,群G/Kか

(3)

ら 群G′ へ の 同 型 対 応 を 与 え て い る と い

れには Φ(aK・bK)=Φ(aK)Φ(bK) 

(4)

を 示 し さ え す れ ば よ い.   この左 辺 は Φ(aK・bK)=Φ(abK)=Φ(ab) 

((3)に

よ る)

この右 辺 は Φ(aK)Φ(bK)=Φ(a)Φ(b)  =Φ(ab)    し た が っ て 左 辺 と右 辺 が 等 し くな っ て(4)が   こ の 証 明 で は,意 れ な い.そ

よ る)

((1)に

よ る)

示 さ れ た.

味 す る も の が 少 しわ か りに く い と い う読 者 も お ら れ る か も し

の た め,同

  右 図 で,π

((3)に

じ こ とを 図 式 を 用 い て,い

は,Gか

らG/Kの

い 直 し て み よ う.

上へ の準 同型 写 像

π:a→aK を 表 わ し て い る.こ の 写 像 が 準 同 型 写 像 と な っ て い る こ とは, π(ab)=abK=aKbK=π(a)π(b) か ら 明 らか で あ る.   π の 核 も,Φ G/K,G′

の 核 も と も に 同 じKで

へ 移 し た と き の,単

し て い る.π

あ る.こ

位 元 へ の'つ

も Φ も 準 同 型 写 像 だ か ら,こ

G′の 元 Φ(a)に

移 す と き の,π

る こ とを 示 し て い る.同

と Φ の'つ

じ よ うに'つ

が 存 在 す る こ と に な る.こ

の こ とは,π

ぶ れ 方'が

ぶ れ た'の

も,そ れ ぞ れ

同 じ状 況 で あ る こ とを 示

の こ と は,Gの ぶ れ 方'も

も,Φ

元aをG/Kの

元aK,

や は り同 じ 状 況 と な っ て い

だ か ら,破

線 で 示 す1対1写

像

の 写 像 を Φ とお い た の で あ る.

準 同 型 定 理 の意 味 す る も の   上 の 図 式 が 示 す よ うに,同 うな らば ― 質 は,す は,正

型 対 応 Φ で,G/KとG′

これ は 抽 象 的 な 立 場 と い っ て よ い の だ が ―,準

べ て π:G→G/Kへ

規 部 分 群Kに

  す な わ ち,Gの

同型 写 像 Φ の 性

と移 行 さ れ て し ま う こ と に な る.と

ころが 写 像 π

よ っ て 完 全 に決 ま っ て し ま う.

外 の 世 界G′ へ と 向 け た 準 同 型 写 像 Φ の 性 質 は,Gの

界 に あ る 正 規 部 分 群Kに

内 な る世

よ っ て 完 全 に 規 定 さ れ て し ま うの で あ る.

同 型

  準 同 型 定 理 か ら ま ず 次 の 第1同 る.

を群 とし て同一 視 し て しま

定 理

型 定 理 と よ ば れ て い る定 理 を 導 く こ と が で き

【定 理(第1同 る.H′

型 定 理)】Gか

らG′ の 上 へ 準 同 型 対 応 Φ が 与 え ら れ て い る と す

をG′ の 正 規 部 分 群 と し,H=Φ

−1(H′)と お く.こ の と き 同 型 対 応

G/H〓G′/H′ が 成 り立 つ.

【証 明 】

π′に よ っ て,G′

と に す る.こ

を 考 え,こ

か らG′/H′ の 上 へ 準 同 型 対 応:a′

→a′H′ を 表 わ す こ

の とき準 同型 写 像 の系 列

の写 像 の合成 を Φ=π ′oΦ

とお く と,Φ

は,Gか

らG′/H′ の 上 へ の 準 同 型 写 像 とな っ て い る.

  この Φ に 対 し て 準 同 型 定 理 を 適 用 し よ う.Φ 位 元 へ 移 る も の,す

の 核 は,Φ

に よ っ てG′/H′ の 単

なわ ち Φ に よ っ て

H′ へ 移 る も の か ら な る:し

た が って 準

同型 定 理 に よっ て同 型対 応

単位元

G/H〓G′/H′

が成 り立 つ.   この証 明 を み て もわか る よ うに,第1同

型 定理 の背 景 に あ る考 えは,準 同型 定

理 で あ る.同 じ よ うに次 に述 べ る第2同 型 定理 も,準 同型 定 理 か ら直 接 導か れ る もの であ る. 【定 理(第2同

型 定 理)】HをGの

この ときH∩NはHの

部 分群 とし,NをGの

正 規 部 分群 で,同 型対 応 HN/N〓H/H∩N

が成 り立 つ.

【証 明 】 準 同 型 対応

正 規 部分 群 とす る.

に よ っ て,Hは,Hの

元 を 含 むNの

た が っ てHNはNを

剰 余 類 の 集 合 ∪h∈HhN=HNへ

含 む 群 で あ っ て,π

をHに

と 移 る.し

制 限 し て 考 え る こ と に よ り,準

同型 対 応 π:H→HN/N が 得 ら れ る.こ で あ る.し

の と き πの 核 は,Hの

た が っ てH∩NはHの

元 で,Nへ

と移 る も の,す

正 規 部 分 群 で あ っ て,準

な わ ちH∩N

同 型 定 理 に よ っ て,

同型対応 H/H∩N〓HN/N が 成 り立 つ.

Tea

Time

質 問   準 同 型 定 理 を み て 思 っ た の で す が,Gの き に は,こ

中 にた くさん 正規 部 分群 が あ る と

の 定 理 は 応 用 が 広 い こ とは 予 想 さ れ ま す が,Gが

を い っ て い る の で し ょ うか.こ

の と き は,Gの

正 規 部 分 群 は{e}とGし

ま せ ん.準

同 型 定 理 を 適 用 す る と い っ て も この2つ

写 像 は2つ

しか な い と い う こ と を い っ て い る の で す か.

答  2つ し か な い と は い っ て い な い.Gが て い る こ と は 次 の よ う に な る.Gか

ら な り,後

者 の 場 合 に は,準

者 の 場 合 に は,Gか

  同 型 写 像 は,た 対 し て,Gか て い る.ま

たpが

に 対 し て,Zpか く と,こ

同 型 写 像 はGの

かあ り 準同型

同 型定 理 の い っ

がGと

同 型 な群 の と き だ

元 を す べ て単 位 元 に移 す もの か

らG′ へ の 同 型 写 像 全 体 か ら な る.

の 写 像 をx→gxg−1で 素 数 の と き,Zpは

らZpへ

単 純 群 の と き に は,準

と き),G′

くさ ん存 在 し て い る.た

らGへ

の 場 合 だ け で す.Gの

らG′ の 上 へ の 準 同 型 写 像 が 存 在 す る の は,

G′ が 単 位 元 だ け か ら な る と き か(K=Gの け で あ る.前

単 純 群 の と き は,何

とえ ばG=G′

の と き,任 意 のg∈Gに

定 義 す る と,こ

単 純 群 で あ る が,任

の 対 応 を[k]→[ak]([]は

れ は 同 型 写 像 とな っ 意 のa=1,2,…,p−1

剰 余 類 を 表 わ す)と

お

の 対 応 は 同 型 写 像 と な っ て い る.

  講 義 の'準

同 型 定 理 の 意 味 す る もの'の

同 型 対 応 で 移 る もの を,(多

少 乱 暴 だ が)同

中 で い っ た こ とは,抽 じ も の と考 え れ ば,写

象 的 な 立 場 で, 像 は,本

質的

に は い ま の 場 合 恒 等 写 像 しか な く,そ の こ とが,写 ら な る と い う こ と を 反 映 し て い る,と

質 問   第2同

型 定 理 を 眺 め て い る と,何

気 が し て き ま し た.整 数Zの

像 の 核 が す べ て{e}だ

けか

い う こ と で あ っ た.

だ か 分 母,分

子 を'Nで

つ くる 加 群 の 場 合 に は,こ

割 っ た'よ

うな

れ は 割 り算 に 対 応 し て い

る の で す か. 答  直 接 対 応 し て い る と は い え な い.Zの

と き は,次

の よ うに,む

し ろ最大 公 約

数 と最 小 公 倍 数 に 関 係 す る こ とを 述 べ て い る と い っ た 方 が よ い.Hと 倍 数 の つ く る 加 群20Z,Nと と12の

最 大 公 約 数 は4だ

12y=4と

な る 整 数x,yが

20と12の

同 型 と な っ て い る.

倍 数 の つ く る 加 群12Zを

か ら,H+N=20Z+12Z=4Zと

な る(こ

存 在 す る こ と に よ る).ま

最 小 公 倍 数 で あ る).こ

型 対 応20Z/60Z〓4Z/12Zが Z3に

し て,12の

の と き 第2同

たH∩N=60Zと

れ は20x+ な る(60は

型 定 理H/H∩N≡HN/Nは

成 り 立 つ こ と を 述 べ て い る.実

し て20の と る と,20

際,こ

同 の 両辺 は

第20講 有限 生成 的 な アー ベル群 テ ーマ

◆ 有限生成的 ◆ 有 限 生 成 的 な ア ーベ ル群 の 基 本定 理 ◆ 巡 回 群 の 直積 に関 す る コ メ ン ト ◆ 基 本 定 理 の証 明へ の試 み ―

有 限 生 成性 と 準 同型 定 理 を用 い て,問 題

を行 列 の 問 題へ と定式 化 して い く. ◆ 線型 代 数 か ら

有 限 生 成 的

  一 般 に,群Gが   Gの

次 の 性 質 を も つ と き 有 限 生 成 的 で あ る と い う.

中 に 適 当 な 有 限 個 の 元g1,g2,…,gnが

中 か ら(繰

り返 し て と る こ と も 許 し て)取

存 在 し て,Gの

す べ て の 元 は,こ

っ た 有 限 個 のgi,gi2,…,gimに

の

よ って

gi±1gi2±1…gim±1 と 表 わ さ れ る.   記 号 は 少 し簡 略 に か い て し ま っ た.gi1±1は,gi1か,gi1−1か

の いず れ かを とる

と い う こ と で あ る.   要 す る に,Gの

任 意 の 元 は,g1,g2,…,gn,g1−1,g2−1,…,gn−1の

中 か ら,適

元 を と っ て 何 回 か か け 合 わ す と必 ず 得 られ る と い うの で あ る.g1,g2,…,gnを

当に 生

成 元 と い う.   も ち ろ んGが ら,明

ら か に,有

有 限 群 な ら ば,Gの

元 す べ て を 生 成 元 と し て と っ て よい の だ か

限 生 成 的 で あ る.

  非 可 換 な 場 合,有

限 生 成 的 とい うだ け で は,群

つ か ら な い の で あ る.有 ど とい う こ と も,事

を 調 べ る 手 が か りは な か な か 見

限 生 成 的 な 群 の 部 分 群 は,必

情 を 難 し く し て い る.

ず し も有 限 生成 的 で ない な

  最 後 に 述べ た こ とは,'有

限 ま たは 可 算 個 の元 か らな る任 意 の群 は,2つ

て生 成 され たあ る群 の部 分 群 と同型 にな る'と 的 でな い 可算 群 は,Z2 

Z3…Zn…

の よ うに,い

有 限 生 成 的 な アー

る.こ

可 換 な と き に は,有

の 定 理 を 述 べ る と き に は,ふ

ー ベ ル 群 と い う言 葉 の 方 を 好 ん で 使 う よ う

で あ る ． した が って 私 た ち もそ れ に な ら っ て,こ

  ま ずZnは

ー ベ ル 群'と

  次 の 定 理 を,有

【定 理 】Gを

限 生成

し た の で あ る. 際,Zn

生 成 さ れ て い る.

限 生 成 的 な ア ー ベ ル 群 の 基 本 定 理 と い う.

有 限 生 成 的 な ア ー ベ ル 群 と す る.そ

の と きGは,適

当 なd1,d2,…,

とると Zd1×Zd2×

と 同 型 で あ る.こ …

の 講 の タ イ トル を,'有

有 限 生 成 的 な ア ー ベ ル 群 で あ る こ とを 注 意 し て お こ う.実

は(1,0,…,0),…,(0,…,0,1)で

dk,sを

参照).

限生 成 的 な可 換群 は 簡 明 な構 造 を も っ て い

つ う,可 換 群 と い う言 葉 を 避 け て,ア

は し な い で,'ア

Timeも

の

ベ ル群

の こ と は す ぐ あ と で 詳 し く述 べ る の だ が,こ

的 な 可 換 群'と

限生 成

くらで も存 在 して い るか ら,こ

定理 で述 べ て い る こ とは少 し不 思 議 な こ とで あ る(な お,Tea

  しか し,Gが

の生 成 元 に よっ

い う一 般 的 な定 理 か ら もわ か る.有

,dk,sは

… ×Zdk×Zs 

こでdi>1で,di−1はdiの

(1)

約 数 で あ る.Gに

よ っ て,d1,d2,

一 意 的 に 決 ま る.

  少 し説 明 を 加 え て お こ う.ま

ず(1)に

おいて

Zdi=Z/diZ で あ っ て,Zdiは

位 数diの

巡 回 群 で あ る.し Zd1×Zd2×

たが って

… ×Zdk

は 巡 回 群 の 直 積 と し て 表 わ さ れ て い る 有 限 群 で あ る.   こ の 有 限 群 をGの Zsは,Zのs個

ね じれ 群 とい う.そ し てd1,d2,…,dkを の 直積 Z×Z×

… ×Z(ｓ

個)

ね じ れ 係 数 と い う.

を 表 わ し,無

限 巡 回 群 の 直 積 で あ る.ZsをGの

自 由部 分,sをGの階

数 とい う.

  Zsを 階 数sの 可 換 自 由群 として 引 用 す る こ と もあ る.   有 限生 成 的 な ア ー ベ ル群 は,ね 群 は英 語torsion

じれ 群 と自 由部 分 の直 積 とな って い るの で あ る.ね

groupの 略 で,英 和 辞典 を引 い て も,torsionは,や

じれ

は り,ね じ り,ね じ

れ と出 て い る.   な ぜ この よ うな 奇妙 な用 語 が 定着 す る よ うに な った か,私 Zは,直

は 知 らな い.私

の想 像 で は,

線 上 に 等 間隔 に並 ん で い る イ メ ージを もつ の に対 し,Zdは,0,1,2,…,d−1ま

同 じ よ うに真 直 ぐに並 ん でい るが,dの

で

と ころ で,こ の線 分 を'ね じ 曲げ て',出 発 点 の0

へ 戻 してつ なげ た よ うに な って い る.こ の 感 じを,'ね

じれ'と い う言 葉 で表 現 した の で は

な いか と思 う.   自 由 部 分 とい うの は,英

語free

partの

略 で あ っ て,'自

由'と

互 い の 元 の 間 に 関 係 が な い こ と を 示 唆 し て い る(た と え ばZdで とい う よ うな 関 係 が あ る!).こ 気 が す る か も し れ な い が,あ

の 自 由 とい う言 葉 も,は

は,Zに

はお

は,  じめ て 聞 く と 妙 な

と で 自 由 群 の こ とを 述 べ る よ う に な る と,少

しず つ

聞 きな れ て くる だ ろ う.

コ

  読 者 の 中 に は,た

メ ン

ト

とえ ば Z2×Z3×Z10

は,ア

ー ベ ル 群 な の に,定

理 で 述 べ て い る よ う に,巡

割 り きれ る形 に は な っ て い な い,こ れ な い.第15講

の'巡

の もの で

れ は 少 し お か し い と思 わ れ た 方 が い るか も し

回 群 の 直 積'の

と き に 限 っ て,Zm×Zn〓Zmnと

回 群 の 位 数 が,前

項 で 述 べ た よ う に,mとnが

な る.し

互 い に素 な

た が って

Z2×Z3×Z10〓Z2×Z30 とな り,定 理 で 述 べ て い るd1,d2は,い

ま の 場 合2,30と

な る の で あ る.

  同様 に Z2×Z3×Z3×Z5×Z7×Z21〓Z3×Z21×Z210 と な り,こ

の 場 合 は,(d1,d2,d3)=(3,21,210)で

  こ の 例 で 見 て も わ か る よ う に,巡 と は 限 らな い.し

か し,定

あ る.

回 群 を 直 積 と し て 表 わ す 表 わ し 方 は,1通

理 で 述 べ て あ る よ うに,お

の お の の 位 数 が,順

り

次前 の

も の の 倍 数 と な っ て い る よ う に 直 積 に よ る 表 わ し方 を 整 え る と,こ の 位 数(d1,d2, …,dk)は,一

意 的 に 決 ま る の で あ る.

証 明 の 試 み

  こ の 基 本 定 理 の 証 明 は い ろ い ろ あ る が,ど 大 体 の 証 明 は,証   こ こで は,定

れ も そ れ ほ ど簡 単 な も の で は な い.

明 の 途 中 で 帰 納 法 を 用 い な が ら,一

般 化 へ の 道 を 上 っ て い く.

理 の 後 半 に 述 べ て あ るd1,d2,…dk,sの

ら な い こ と にす る.定

理 の 重 点 は,も

れ る こ と に か か っ て い るか ら,以

一 意性 の証 明に は立 ち 入

ち ろ ん,Gが(1)の

下 で は,こ

よ うに 直 積 に 分 解 さ

の こ とだ けを 証 明す る こ と に し よ

う.   証 明 は,あ

ま り群 論 的 で は な い か も し れ な い が,証

―ただ し整 数 環 上 の―   読 者 の 中 には,上

明す べ き 内容 を線 形 代 数

の 言 葉 に 直 し て 証 明 す る よ うな 方 法 を 採 用 す る.

の基 本 定理 の 述べ 方 の 中 に,行

列 の ジ ョル ダン標 準 形 を思 い出 させ る

もの が あ る と感 じ られ た 方 もお られ るか も しれ ない.実 際,こ 台―

正確 に はmoduleの

  い まGを

理論―

有 限 生 成 的 な ア ー ベ ル 群 とす る.群

成 元 を{u1,u2,…,um}と え も決 ま らな い が,何

の2つ は,線

形 性 の 同 じ舞

の上 にあ る とい って よい の であ る.

す る.Gの

の 演 算 は 加 法 で 表 わ す.Gの

生 成 元 の と り方 は い ろ い ろ あ って,個

で も よ い か ら1つ

と っ て,そ

れ を{u1,u2,…,um}と

生 数 さ す る

の で あ る.   こ の と きZmか

が 決 ま る.'上 Φ の 核 をKと

らGの

へ の'と

上 へ の準 同 型写 像

か い た の は,u1,u2,…,umがGの

す る.KはZmの

部 分 群 で あ る.準 Zm/K〓G 

が 成 り立 つ.

(2)

生 成 元 だ か ら で あ る. 同型 定理 に よ って

1つ の 定 理   ここで1つ の 重要 な定理 を 用 い る.

【定理 】 有 限 生成 的な アー ベル 群 の部 分群 は,有 限 生成 的で あ る.

  この定理 は当 り前 そ うにみ え るが,前 に注 意 した よ うに非 可 換 の場 合 に は 一般 に は成 り立 たな い の だか ら,け っ して 自明で は な い ので あ る.証 明 も少 し手 間 が か か る.こ の定理 の証 明 は こ こで は 省 略 し よ う.こ の定理 の証 明 は,大 体 どの群 論 の 教科 書 に も載せ られ て い るが,た

とえば 永尾 汎 『群 論 の基 礎』(朝 倉書 店)

を 参 照 され る とよい.

問題 を行列で いい直 す   この 定理 か ら,(2)の

左 辺 に現 わ れ たZmの

とな る こ とがわ か る.そ こでKの か らKの

部 分 群 で あ る核Kも

生 成 元 を{v1,v2,…,vn}と

す る と,今 度 はZn

上へ の準 同型 対応

(3)

が 決 ま る.v1,v2,…,vnは

も ち ろ んZmの

元 で あ る.

(4)

と 表 わ し て お く.   こ の と き,(2)と(3)と(4)か

ら

有 限 生成 的

がv1,v2,…,vnに

(〓) 

Znの ⇔

よ っ て は られ た

部分 空 間 に属 して い る

適 当 な 整 数 β1,β2,…,βnを と る と

と表 わ され る. この右 辺 に現 わ れ た最 後 の 式 は,行 列 の記 号を 用 い て

(5)

と表 わ し て お い た 方 が 見 や す い.

線 形 代 数 か ら

  行 列 が 登 場 し た と こ ろ で,話

の 流 れ を 少 し切 る よ うだ が,線

とを 少 し 思 い 出 し て お こ う.線 形 代 数 で は,ベ し て 用 い る 数 は,実数Rか,複素数Cで る よ うな こ と は し て い な い.こ

形 代 数 で学 ん だ こ

ク トル 空 間 の 係 数(ス

あ っ て,整

数Zだ

け に 限 って 話 を進 め

の 場 合 ， 基 本 的 な 違 い は,RとCで

い 数 で 自 由 に 割 る こ と は で き る が,Zで

は,一

カ ラ ー)と

は,0で

な

般 に 割 り算 が で き な い とい う こ と

で あ る.   し か し,Zの

上 に 限 っ て も,線

る 場 所 が あ る か も しれ な い.実

形 代 数 に お け る考 え 方 の 類 似 を 追 う こ とが で き

際,私

た ち は,(5)の

表 示 に,そ

の考 え を使 お

う と い う の で あ る.   さ て,準

備 的 な 考 察 を 展 開 す る た め に,考

ひ と ま ず 移 し て,Rnか う に,Tを

行 列Cで

らRmへ 表 わ して

え る場 所 を 整 数Zか

の 線 形 写 像Tが

ら 実 数Rへ

与 え ら れ た と す る.い

と

つ もの よ

(6)

とす る.こ の行 列 表 示 は,Rnの

が,Tに

よ っ て,Rmの

標準基底

ど の ベ ク トル に 移 さ れ る か を 表 わ し た もの と な っ て い る.

す な わ ち,(6)の

列 ベ ク トル が,そ

し た が っ て,Rmの

標 準基 底 を

れ ぞ れTe1,Te2,…,Tenの

成 分 を 表 わ し,

e1,e2,…,em

とす る と, Te1=c11e1+c21e2+…+cm1em

Ten=c1ne1+c2ne2+…+cmnem と な っ て い る.   し か し,考

え て み る と,Rn,Rmの

だ わ ら な く と も,別 と え ば 平 面 な らば,直

ベ ク トル を 表 わ す の に,何

も標 準基 底 に こ

の 基 底 を と っ て ベ ク トル を 表 わ し て も よ い の で は な い か.た 交 座 標 を 適 当 な 角 度 だ け 回 転 し た も の を,新

し て と っ て も よ い だ ろ う し,あ

しい座標 軸 と

るいは 斜交 座 標 を新 しい 座 標軸 として とって もよ

い だ ろ う.   こ の よ う に 新 し い 座 標 軸 を と る と,Tを

表 わ す 行 列Cの

形 も 当 然 変わ って く

る.   そ れ で は,'よ

い 座 標 軸(基

底!)'を

で 簡 単 に す る こ とが で き るか.そ して

と っ た と き,Tを

表 わ す 行 列 は,ど

れ に 対 す る 線 形 代 数 の 答 は,Tを

こま

表 わ す行 列 と

の形 ま で 簡 単 にす る こ とが で き る とい うこ とで あ る.Rnの 基 底 に と りか え る基 底 変 換 の行 列 をQと か え る基 底 変換 の行 列 をPと

と 表 わ され る.こ   この 講 は,未

し,Rmの

標準 基 底 を,新

しい

標準 基 底 を新 しい基 底 に と り

す る と,こ の操 作 は,行 列 に よって

れ に つ い て は,次

講 で も う少 し 述 べ よ う.

完 とな っ て し ま っ た.基

本 定理 の証 明 は次 講 へ まわ す こ とに し よ

う.

Tea

Time

対称 群 は2つ の元 か ら生 成 され る   基本 定 理 の 証 明 の 方 が ま だ 中 途 だ か ら,こ のTea

Timeで

は,こ の 講 の 最 初 に

述 べ た 有 限 生 成 的 とい う性 質 を 話 題 と し よ う.対 称 群Snは,nが 数 がn!で

増 加 し て い く大 き な 群 で あ る.と

こ ろ がSnは

大 き くな る と 位

実 は2つ

の置 換

σ=(12),τ=(12…n) に よ っ て 生 成 さ れ て い る(σ は 互 換,τ は 巡 回 置 換 で あ る).な

ぜ か とい う と,ま

ず τ στ−1=(2

3),τ(2

τ(n−2n−1)τ に よ っ て,σ

と τか ら(k

k+1)の

σκ=(k が す べ て 生 成 さ れ る.と し て 表 わ さ れ る.た

k+1) 

3)τ−1=(3

4),…,

−1=(n−1n) 形 の互 換 (k=1,2,…,n−1)

こ ろ が 任 意 の 互 換(kl)(k
とえ ば (1 4)=σ2σ1σ2σ1σ3σ2σ1

形 の互 換 の 積 と

で あ る.と

こ ろ が 任 意 の 置 換 は 互 換 か ら 生 成 さ れ る か ら,結

局,Snは,2つ

の

置 換 σ と τだ け で 生 成 さ れ て し ま う の で あ る.   第12講

で 示 し た よ うに,任

れ て い る.し

た が っ て,任

て い る の で あ る.一

に は,少

意 の 位 数nの

有 限 群 は,snの

部 分群 として 実現 さ

意 の 有 限 群 は,2つ

の 生成 元 を もつ群 の部 分群 とな っ

Z2×Z2×

(n個)

方,

な く と もn個

… ×Z2 

の 生 成 元 は 必 要 だ か ら,あ

る 群 の 生 成 元 の 個 数 と,そ

も っ と 大 き な 群 の 部 分 群 と し て 含 ま れ て い る か ど うか と い う こ とは,ま 関 係 な の で あ る.

れが

っ た く無

第21講 ア ー ベ ル群 の 基 本 定 理 の 証 明

テー マ

◆ 線 形 代 数 に おけ る,行 列 の基本 変 形 の過 程 ◆Z上

の基 本 変形

◆Z上

で許 され る基 本 変 形

◆Z上

の基 本 変形 の結 果得 られ る行列 の標 準 形

◆ 基 本 定 理―

有 限 生成 的 な ア ー ベル 群 が,ね

分 解 され る―

じれ群 と自 由部 分 に 直 積

の証 明

線形 代数に おける基本変 形   この講 は,行 列 の基 本 変形 の こ とを思 い 出 しな が ら読 まれ る と よい と思 う.行 列 の基 本 変 形 につ い て は,こ の シ リー ズの るが,こ

『線 形 代数30講 』 で詳 し く述べ て あ

の こ とを あ ま り学 ん でお られ な い読 者 は,こ

の 講 は軽 く読 まれ る と よ

い.   さて,前

講 か らのつ づ きで,私

え て い る.Tを

た ち は まだRnか

表 わ す 行 列Cは,Rmの

の 基 底変 換 を 適 当 な 行列Qで

らRmへ

の線形 写 像Tを

基 底 変 換 を 適 当 な行 列Pで

考

行 な い,Rn

行 な う と,前 講 の終 りで 述べ た よ うに

と 表 わ さ れ る.   こ こ で 次 の こ とが 知 られ て い る.   (★)  P,Qに

つ い て:P,Qは

い く こ と に よ り得 られ る.ど と き はmをnに

か え る).

次 の3つ

の タ イ プ の 基 底 変 換 を 順 次 繰 り返 し て

ち ら も 同 じだ か ら,Pに

つ い て 述 べ て お こ う(Qの

  (ⅰ) Rmの

基 底{f1,…,fi,…,fj,…,fm}を,{f1,…,fj,…,fi,…,fm}に

か

え る.   (ⅱ)  Rmの

基 底{f1,…,fi,…,fj,…,fm}を,適

fi+μfj,…,fj,…,fm}に

か え る.

  (ⅲ)  Rmの

基 底{f1,…,fi,…,fm}を

νfi,…,fm}に

か え る.

  (★ ★)  任 意 の(m,n)行   (ⅰ)'(ⅰ)に

当 な 実 数 μ を と っ て{f1,…,

列Cの

適 当 な0で

な い 実 数ν を と っ て{f1,…,

こ の 基 底 変 換 に 対 応 す る 変 わ り方

対 応 す る基 底 変 換 の 行 列P,QをP(i,j),Q(i,j)と

表 わ してお

く と, P(i,j)−1Cは,Cのi行

とj行 を と りか え る.

CQ(i,j)は,Cのi列   (ⅱ)'(ⅱ)に

とj列 を と りか え る.

対 応 す る 基 底 変 換 の 行 列P,Qを,P(i,j;μ),Q(i,j;μ)と

表 わ し て お く と, P(i,j;μ)−1Cは,Cのi行

にj行

CQ(i,j;μ)は,Cのi列 (ⅲ)'(ⅲ)に

にj列

の− μ倍 を 加 え た も の とな る. の μ 倍 を 加え た も の とな る.

対 応 す る 基 底 変 換 の 行 列P,Qを,P(i;ν),Q(i;ν)と

表わ し

て お く と, P(i;ν)−1Cは,Cのi行

を1/ν 倍 し た も の とな る.

CQ(i;ν)は,Cのi列   こ の(ⅰ)',(ⅱ)',(ⅲ)'に

をν 倍 し た も の と な る. 述 べ られ て い る操 作 をCに

行 な っ て い く こ と を,

Cに 基 本 変 形 を 行 な う と い う.

定 理 の証 明 に 戻 って

  基 本 定 理 の 証 明 に 戻 ろ う.前

講(2)か

ら

Zm/K〓G で あ る.一

方,Zmの

こ の 条 件 は,前

講(5)に

元 が,Kに

属 す る条 件 は 前 講 の(〓)で

現わ れ た 行列 を

与 え ら れ て い る.

(1)

とお く と,(〓)は

い い直 され て

(2)

と な る.A(Zn)は,ZnのAに   行 列Aは,'生

よ る 像 で あ る.

成 元 の 変 換',す

な わ ち,Kの

生 成 元 をGの

生成 元 で表 わ す 変

換

と し て 与 え られ て い た こ とを 思 い 出 し て お こ う.   こ こでGの

生 成 元u1,u2,…,um,Kの

と っ て,Aを

も っ と簡 単 な 形 に で き な い か と い う こ とが 問 題 と な る.こ

列 の 基 本 変 形 に 相 当 す る こ とを,こ

生 成 元v1,v2,…,vnを

で き るだけ 上 手 に

こ で も 行 な って み た ら ど う な るか,と

こ に,行 い う着

想 が 浮 か ぶ の で あ る.

Z上

の 基 本 変 形

  しか し 線 形 代 数 で 用 い て よい 数 は 実 数Rで こ で 用 い て よ い の は 整 数Zだ

実 数R上

た ち が現 在 こ

け で あ る.

  基 底 の 変 換 に 相 当 す る の は,Gの い く こ と と,Kの

あ っ た の に 比 べ,私

生 成 元 を 同 じ個 数 の 別 の 生 成 元 に と りか え て

生 成 元 を 同 じ 個 数 の 別 の 生 成 元 に と りか え て い く こ とで あ る.

の ベ ク トル 空 間 の と き に は,基

つ の タ イ プ に わ け られ て い た.対

底 の 変 換 は,(★)で

応 す る こ とは,生

述 べ た よ う に,3

成 元 の と りか え で は ど う な る

だ ろ うか.   Gで

も,Kで

も,ど

に し よ う.ま ず(ⅰ)に

ち ら で 考 え て も同 じ こ とた か ら,Gの 対応すること

生 成元 で考 え る こ と

  (ⅰ)  Gの

生 成 元{w1,…,wi,…,wj,…,wm}を{w1,…,wj,…,wi,…,wm}に

か え る.   これ は生 成 元 の 順 番 を単 に と りか え ただ け の変 換 で あ る.   (ⅱ)  Gの

生 成 元{w1,…,wi,…,wj,…,wm}を,適

…,wi+qwj,…,wj,…,wm}に   {w1,…,wi+qwj,…,wj,…,wm}が らな いが,こ

当 な 整 数qを

と っ て{w1,

か え る. またGの

の こ とは,生 成元w1,w2,…,wmを

生 成元 とな って い る こ とを 示 さな くては な 用 い て 表わ した 元 が

α1w1+…+αiwi+…+αjwj+…+αmwm  

=α1w1+…+αi(wi+qwj)+…+(αj−qαi)wj+…+αmwm

とか き直 され る こ とか らわ か る.   (ⅲ)  Gの

生 成 元{w1,…,wi,…,wm}を{w1,…,−wi,…,wm}で

お きか え

る.   た とえ ば,{w1,…,wi,…,wm}を{w1,…,2wi,…,wm}と の生 成元 とな る とは 限 らな い.実 数Rの 単 に 表わ せ た が,整 数Zの

お き直 して も,こ れ は 一般 にG

と きには,wi=1/2(2wi)と

上 で考 え る と,2で

して,wiを2wiで

簡

割 る とい うこ とが一 般 には 意 味 を失 って し

ま うので あ る.許 され るの は,上 に述 べ て あ る よ うな −1を か け る だけ で あ る.   R上

の ベ ク トル 空 間 で は,自

由 に で き た 基 底 変 換(ⅲ)に

上 で 考 え て い る生 成 元 の 上 で は,−1を の で あ る.こ

か け る こ と 以 外,で

相 当 す る こ と が,Z き な くな っ て し ま う

の 制 約 は き び し い!

許 され る 基 本 変 形

  し た が っ て,Gの

生 成 元 とKの

与 え られ て い る行 列Aを,簡 形 に 相 当 す る 操 作― 作 は 右か ら,行   (ⅰ)'i行

生 成 元 とを と りか え る こ とに よ っ て,(1)で

単 に し て い く操 作―(★

は,次

の3つ

★)で

の タ イ プ とな る(行

述 べ て あ る基 本変

の 操 作 は 左 か ら,列

の操

列 を か け て い く こ と に よ り得 ら れ る). とj行 を と りか え る.

i列 とj列 を と りか え る.   (ⅱ)'i行

にj行

の −q倍(q∈Z)を

とで あ る). i列 にj列

のq倍

を 加 え る.

加 え る(q倍

を 加 え る とか い て も 同 じ こ

  (ⅲ)'i行

に −1を か け る.

j列 に−1を

か け る.

Z上

の 基 本 変 形 の 結 果

  そ こで,(ⅰ)',(ⅱ)',(ⅲ)'だ 単 な 形 に で き る か,と

け を 用 い て,(1)の

行 列Aが,ど

こ まで簡

い う こ と が 問 題 の 核 心 と な っ て き た.

結 果 を 先 に 述 べ て お こ う.

(〓)  (ⅰ)',(ⅱ)',(ⅲ)'を Aは

繰 り返 し 適 用 す る こ と に よ り,

次 の 形 の 行 列 ま で 変 形 で き る.

(3)

こ こ でdi>1で,di−1はdiの

約 数 で あ る.

基 本 定 理 の 証 明

  こ の 結 果 を ひ と まず 認 め る と,基

本定 理 は この結 果 か らの直 接 の帰 結 とな っ て

く る.   実 際,GとKの Aが(3)の 数 をt,0の

生 成 元 を{u1′,u2′

…,um′},{v1′,v2′,…,vn′}に

形 に ま で 変 形 さ れ た とす る.い 個 数 をsと

  こ の と き(2)か

ま,Aの

取 り直 し て,

対 角 線 上 に 現 わ れ る1の

す る.

ら,Kの

の 成 分 と して表 わ した とき

元 を,{u1′,u2′,…,um′}に

対 応 す る 基 底 に よ るZm

個

 

適 当 な 整 数

β1,β2,…,βmに

よ っ て

α1=β1,α2=β2,…,αt=βt,

αt+1=βt+1d1,αt+2=βt+2d2,…,αt+k=βt+kdk, αt+k+1=0,αt+k+2=0,…,αt+k+s=0

(m=t+k+s)が

成 り立 つ こ と に な る.

  す な わ ち,1≦i≦tに り,t+1≦i≦t+kに

対 し て は,任

意 の αiをi-成 分 に と っ て もKに

対 し て は,αiがdiの

ま たt+k+1≦i≦t+k+sに

倍 数 の と き に 限 っ てKに

対 し て は,αi=0の

  出 発 点 と な っ た 準 同 型 対 応(前

講(2)参

と きだ けKに

属 して お

属 し て お り,

属 し て い る.

照)

Zm/K〓G を み る と,こ

の ことは G={0}×

… ×{0}×Zd1×Zd2×

… ×Zdk

×Z× … ×Z 〓Zd1×Zd2× を 示 し て い る.こ   これ で,任

こ でdi>1,か

… ×Zdk×Z×

つdi−1はdiの

… ×Z 約 数 で,Zの

意 の 有 限 生 成 的 な ア ー ベ ル 群 が,定

個 数 はsで

あ る.

理 で 述 べ て あ る よ うな 形 で,有

限 巡 回 群 と無 限 巡 回 群 の 直 積 と し て 表 わ さ れ る こ と が わ か っ た. 一 意 性 の証 明 は こ こで は特 に触 れ な いが ,こ れ も行 列Aを(3)の は,基 本変 形 の と り方 に よ らず,一

よ うに表 現 す る仕 方

意 的 に 決 ま る とい うこ とを 示 す こ とで,証

明す る こ と

がで きる.

(〓)の

  い ま,Aか

証

ら 出 発 し て,(ⅰ)',(ⅱ)',(ⅲ)'の

記 号 Σ で 表 わ し,こ AΣ の 成 分 が す べて0か

の 操 作 に よ っ てAか

基 本 変 形 を 有 限 回 行 な う操 作 を, ら 得 ら れ た 行 列 をAΣ

ら な っ て い る な らば,AΣ

る の た か ら,も

う証 明 す べ き こ と は な い(実

な っ て い る).だ

か ら,AΣ

よ う.こ

明

の と き,AΣ

し

形 にな って い

際 は この と き は,A自

は い つ も零 行 列 で は な い と し て,考

の 行 列 成 分 の0で

で 表 わ す.も

が す で に(3)の

身 が零 行 列 と

え てい くこ とに し

な い もの の 中で 絶対 値 が 最 小 な もの が あ

る.そ

れ をd(AΣ)と

表 わ そ う.す

な わ ち,AΣ

の0で

な い 行 列 成 分 をaijと

す る

と 1≦￨d(AΣ)￨≦￨aij￨ が 成 り立 つ.￨d(AΣ)￨は   さ て こ こ で,(ⅲ)'の る.そ

正 の 整 数 で あ る こ と を 注 意 し て お こ う. 操 作 の'乏

の 数 学 的 な 設 定 と は,い

し さ'を

補 うた め に1つ

ろ い ろ な 基 本 変 形 をAに

の数 学 的 な設 定 をす

ほ ど こ す こ とに よ っ て,

行列の集合 {AΣ￨Σ は 任 意 の 基 本 変 形} が 得 ら れ る が,こ

れ に 対 応 し て,正 {￨d(AΣ)￨￨Σ

が 得 られ る.こ

の あ る成 分 に￨d1￨か,−￨d1￨が

が 存 在 す る が,(ⅲ)'の

操 作 が あ る か ら,必

す る. 現 わ れ る よ うな 基 本 変 形 Σ

要 な ら あ る 行 に −1を か け る こ と に

仮 定 し て よ い.

  こ の よ うに し て,適

当 な 基 本 変 形 Σ1を と る と

と な る こ とが わ か っ た.(ⅰ)'の

とす る こ と が で き る.と

操 作 を 行 な う こ と に よ っ て,さ

こ ろ が,こ

1列 目に あ る成 分)は,す 目 の 成 分a12を

は 任 意 の 基 本 変 形}

の 集 合 に 含 ま れ る 最 小 の 整 数 をd1と

  し た が っ て,AΣ

よ っ て,d1>0と

の整 数 の 集合

と っ て,d1で

べ てd1の

こで*で

らに

表 わ し た 場 所 に あ る成 分(1行

倍 数 で あ る.な

ぜ な ら,た

目と

とえ ば1行2列

割 り a12=qd1+r,0≦r
と し,r>0と

仮 定 し て み る.そ

うす る と,(ⅱ)'の

か け て,2列

目 か ら 引 く と,A∑2は

操 作 に よ っ て,1列

目 にqを

(4)

と な る.Aを は,d1の

基 本 変 形 し た 行 列 の 中 に,d1よ

と り方 に 矛 盾 し て い る.こ

り小 さ い 正 の整数rが

れ でr=0,し

現わ れ る こ と

た が っ てa12はd1の

倍 数 であ

る こ と が わ か っ た.   (4)でr=0だ

か ら,(4)は

す る こ と に よ っ て0と

同 時 に,1行2列

の 成 分 は,A∑2か

す る こ とが で き る こ と を 示 し て い る.1行

か の 成 分 に つ い て も 同 様 だ か ら,結 局,適

ら基 本 変 形

目,1列

目のほ

当 な基 本 変 形 に よ って

と な る こ とが わ か っ た.   Aの

成 分 が す べ て0な

列 で な か っ た ら,い

れ で(〓)は

ま と同 じ操 作 をAに

  こ の よ うに し て,Aか り,対

らば,こ

証 明 さ れ た こ と に な る.Aが

零行

行 な っ て い く.

ら出発 して適 当 に 基本 変 形 を ほ ど こして い く こ と に よ

角型の行列

(5) が 得 られ る こ と が わ か っ た.   最 後 にd1はd2の (5)を

約 数 とな っ て い る こ とを 確 か め て お こ う.そ れ を み る に は,

も う一 度 基 本 変 形 し て2行

行 目 は(d1,d2,…)と る.同

様 に し て,各di−1はdiの

  d1,d2,… (3)の

か わ り,前

の うち,最

形 に な る.こ

目 を1行

の 議 論 か ら,d2はd1で

の と き1

割 りきれ る ことがわ か

約 数 で あ る.

初 に 現 わ れ る1だ

れ で(〓)が

目 に 加 え て み る と よ い.そ

け を取 り出 して 別 にか くこ とに す る と

完 全 に 証 明 され た.

Tea

Time

質 問   2つ の 有 限 生 成 的 な ア ー ベ ル 群 が あ っ た と き,ね じれ 群 の 位 数(d1,d2,…, dk)と,自

由部 分 の 階数sが

一 致 し て い れ ば,こ

る と結 論 で き る わ け で し ょ うか.そ

うす る と,ア

割 り きれ る よ うな 系 列d1,d2,…dkと,負 と に な り,結 局,簡

の ア ーベ ル群 は 同 型 で あ

ー ベ ル 群 と い うの は,前

で な い 整 数sだ

の数 で

け で決 ま って し ま うこ

単 な 構 造 を も つ も の だ っ た と い う こ とに な る の で し ょ うか.

答  そ の 通 りで あ る.実数Rも は,Zだ

の2つ

加 法 で ア ー ベ ル 群 に な っ て い る の に,こ の2講

で

け が 主 役 と し て 登 場 し て きた.な ぜ か と思 わ れ るか も し れ な い が,Rは,

有 限 生 成 的 で は な い か ら で あ る.有 理 数 全 体 の つ くる 加 群 も 有 限 生 成 的 で は な い.有

限 生 成 的 な ア ー ベ ル 群 と は,空

間 的 な 感 じ で は 格 子 の 点 の よ うに,群

が 配 列 し て い る と考 え ら れ る よ うな も の で あ る.こ 加 え る こ と は,格

子 点 を1つ

遠 くへ ま わ り道 し て 行 け ば,必

とを,こ

成 元 を1つ

進 む こ と で あ り,ア ー ベ ル 群 の 可 換 性 とは,1つ

格 子 点 か ら別 の 点 へ 行 くの に,ど

い う こ とを 述 べ て い る.有

の た とえ で は,生

の元

の 格 子 に 沿 う道 を と っ て も,結

果 は 同 じ だ―

ず ま た 同 じ だ け 戻 っ て こ な くて は な ら な い―

限 生 成 的 な ア ー ベ ル 群 が,ど

と

の よ うな も の か と い う こ

の よ うに 直 観 的 に 大 体 感 じ と る こ とが で き る と い う こ とは,構

さ を 示 し て い る と も い え る だ ろ う.

の

造 の簡 単

第22講 基

本

群

テー マ

◆ 曲面 上 の閉 曲線 ◆ ホ モ トー プ ◆ ホ モ トピ ー類 の 積 と逆 元 ◆ 曲面 上 の基 本 群 ◆

ドーナ ツ面 の基 本群

◆2つ

穴 のあ い た面 の基 本 群

3つ

の 曲 面

  可 換 群 の 話 は ひ と ま ず 終 っ た の で,ま の 講 は,い

わ ば 幕 あ い の 講 で あ る.群

へ 席 を 移 し,そ の 講 全 体 がTea   さ て,話 (a)は

こ か ら群 の 例 を1つ Timeの

は 図29で

穴 の あ い た 曲 面 で あ る.お

(a)

論 の 席 を 少 し の 間 外 し て,ト も っ て きて,話

ポ ロジー の 方

を し て み る こ と に し よ う.こ

よ う な も の に な っ て し ま うか も し れ な い.

示 し て あ る よ う な,3つ

球 面 で あ り,(b)は

戻 る 閉 曲 線 が1つ

た 一 般 の 群 の 話 へ と戻 る の で あ る が,こ

の 曲 面 の 上 の'出

ドー ナ ツ面 で あ り,(c)は の お の の 曲 面 の 上 に は,点Pと,Pか

描 か れ て い る.こ

れ ら の 曲 線 は す べ て1つ

(b) 図29

来 事'で

あ る.

ドー ナ ツ 面 に も う1つ ら 出 発 してPに の共 通 な性 質 を も っ

(c)

て い る.そ れ は,こ れ らの 曲線 は,出 発点 (終 点)Pを

とめ て お い て,曲 面 上 で 少 し

ず つ 連続 的 に変 形 してい くと,点Pに'つ ぶ す'こ

とが で きる とい う性 質 で あ る.'つ

ぶ す'と い ういい方 で 何 を いお う として い るか は,図30を

見 て い ただ い た方 が 早 わ

か りす る.い わ ば輪 ゴムが連 続 的 に1点 に 収 縮 し て い く よ うな 状 況 で あ る.こ

図30

の よ うな と き,閉

曲 線 は,点Pに

ホ モ トー プ

で あ る と い う.

ホ モ

トー プ

  し か し,曲

面 上 の 閉 曲 線 が,い

つ も1点Pに

ホ モ トー プ と は 限 ら な い.複

曲 線 で もPに

ホ モ トー プ に な る こ と も あ る し,簡

単 な 曲 線 で もPに

雑 な

ホ モ トー プ に

な ら な い こ と も あ る.   た と え ば,図31で,球 れ は 点Pに

面 上 に か い て あ る 閉 曲 線 は 複 雑 な 形 を し て い る が,こ

ホ モ トー プ で あ る.テ

複 雑 に 巻 き つ け て,さ て し ま う―1点

ニ ス ボ ー ル の 上 に 糸 を 巻 き つ け る と き,か

て 結 ぼ う と 思 っ た 途 端 に,糸

に 集 ま っ て し ま う―

  一 方 ドー ナ ツ 面 に か い て あ る2つ Pに ホ モ トー プ で は な い.そ

こ と は,誰

の 閉 曲 線C,C′

れ は 直 観 的 に は,ほ

が 球 面 を 滑 っ て 糸 玉 とな っ で も経 験 し た こ と だ ろ う.

は 曲 線 と して は 簡 単 だ が,点 と ん ど 明 らか な こ とで あ ろ う.

C′ で い え ば ど ん な に 連 続 的 にC′ を 変 形 し て み て も,穴 う性 質 は 保 た れ て い な くて は な ら な い.1点Pに

図31

な り

の まわ りを 一 周 す る と い

ま で 縮 ま らな い の で あ る.

  そ れ で は,Cを

連 続 的 に変 形 して い って,C′ に達 す る こ とが で き るだ ろ うか.

この 答 も否 定 的 で あ る.否 定 的 で あ る ことは,Cを

どの よ うに変 形 して も,C′ と

必ず 交わ る とい う性 質 を と り除 くこ とが で きな い こ とか らわ か る(C′ 自身 は,少 し動 かす とC′ と交 わ らな い よ うに で き る).   一 般 の 曲面 上 で は,互 い に連 続 的 に移 り合 え る閉 曲線 と,そ うで な い閉 曲線 が 存 在 す る.そ こで 次 の定 義 を お く. 【定 義 】 曲面 上 に2つ の 閉 曲線CとC′

が 与 え られ た とす る.Cを

して い って,C′ が 得 られ る とき,CとC′   前 に は,閉

曲線Cが1点Pに

も,点 で はな くて,Pで

連続 的 に変 形

は ホモ トー プで あ る とい う.

ホ モ トー プで あ る とい うい い方 を した が,点P

じっ として い る曲線(定 数 曲線)と 考 え て おけ ば,上 の

定 義 に 加 え てお い て も よい.

閉

曲

線

  い ま ま で 簡 単 に 閉 曲 線 と い っ て き た が,定

義 だ け は,き

ち ん と 与え て お い た 方

が よ い か も し れ な い.   数 直 線 上 の 単 位 区 間[0,1]か

ら曲面 へ の連 続 写 像 C:[0,1]→

が あ っ て,C(0)=C(1)=Pを

曲面

み た す と き,Cの

こ と を,Pを

基 点 とす る 閉 曲 線

とい う.   特 に す べ て のt(0≦t≦1)に で じ っ と し て い る'曲   Cが

対 し て,C(t)=Pの

と き が,す

ぐ上 に 述 べ た'P

線 で あ る.

閉 曲 線 の と き, C(t)=C(1−t),0≦t≦1

とお く と,Cも

ま た 閉 曲 線 と な る.Cは,Cと

逆 向 き に 進 む 閉 曲 線 で あ る.Cを

C−1と か く こ と に し よ う.   な お,こ

の よ う に 曲 線 を 定 義 し て お く と,CとC′

こ とは,[0,1]×[0,1]か

が ホ モ トー プで あ る と い う

ら 曲 面 へ の 連 続 写 像(s,t)→Cs(t)が

Cs(1)=P(0≦s≦1),C0(t)=C(t),C1(t)=C′(t)と

あ っ て,Cs(0)=

な る こ と で あ る.

ホ モ トピ ー 類

  曲面 上 の 点Pを の と き,CとC′

基 点 と す る2つ

の 閉 曲 線CとC′

が,(Pを

と め て)ホ モ トー プ

は 同 じ ホ モ ト ピー 類 に属 す る と い い,C∼C′

で 表 わ す.

  この と き 次 の 性 質 が 成 り立 つ. C∼C;C∼C′

⇒C′

∼C;

C∼C′,C′ ∼C"⇒C∼C"   こ の こ とは,同

じ ホ モ ト ピ ー 類 に 属 す る と い う性 質 が 同 値 関 係 とな っ て い る こ

と を 示 して お り,し

た が っ て 同 値 な も の を ひ と ま と め に す る こ と に よ り,Pを

点 とす る 閉 曲 線 全 体 の 集 合 が 類 別 さ れ る.1つ1つ い,閉

曲 線Cを

  図32で

は,ド

含 む ホ モ トピ ー 類 を[C]で ー ナ ツ 面 上 で,同

基

の 同 値 類 を ホ モ ト ピー 類 と い

表 わ す.

じ ホ モ ト ピー 類 に 属 す る 閉 曲 線 を,上

の図 と

下 の 図 に 描 い て お い た.   注意 深 い読 者 は,閉

曲 線 の定 義 で パ ラ メ ー タを導 入 す る と,同

じ道 で も,ス

ピ ー ドを変

え て車 が 走 る と きに はす べ て区別 し なけ れ ば な らず,煩 わ し い こ と だ と感 じられ た か もし れ な い.実 際,C(t)とC(t)=C(t2)(0≦t≦1)は,同 tとt2で,異

じ道 を 走 るの だ が,ス

な っ た 閉 曲線 を 定 義す る こ と とな って い る.し

動 車 もス ピ ー ドを 徐 々 に調 整 し て,速 この こ とはC∼Cを

か し,速

ピ ー ドが,

度t2で 走 って い る 自

度tで 走 って い る 自動 車 に 並 んで 走 る こ とが で きる.

示 し てお り,し たが って[C]=[C]で

あ る.し た が って,ホ モ トピー

類 へ と移 れ ば,パ ラ メ ー タの考 慮 は,あ ま り必 要 な くな って く るので あ る.

図32

ホ モ

  こ の よ うな,Pを'基

点'と

トピ ー 類 の 演 算

す る 閉 曲 線 の ホ モ ト ピー 類 に,'積'を

定義 す る

こ と が で き る.   積:2つ

の 閉 曲 線C1,C2が

Pに 戻 っ て,次

にC1に

と に よ っ て,い

わ ばC2とC1を

与 え ら れ た と き,Pか

らC2に

沿 っ て も う一 度 出 発 し て,Pに

沿 って 出 発 し,一

戻 る.こ

つ な い だ 閉 曲 線 が 得 られ る.こ

度

の よ うに す る こ れ をC1C2と

表わ

す. C∼C1′,C2∼C2′ は す ぐ に 確 か め ら れ る.こ て[C1C2]が

⇒C1C2∼C1′C2′

の こ とは,ホ

モ ト ピ ー 類 と して,[C1],[C2]に

確 定 す る こ とを 意 味 し て い る.そ

ょっ

こで

[C1][C2]=[C1C2] と お き,[C1][C2]を,ホ

モ ト ピ ー 類[C1]と[C2]の

  図33で,[C1][C2]に

積 と い う.

含 ま れ る 閉 曲 線 の 例 を 示 し て お い た.

図33   単 位 元:こ

の 積 で,単

位 元 の 役 目 を す る の は,点P(定

な 閉 曲 線 の つ く る ホ モ ト ピ ー 類[P]で   実 際,[P]に る と,Cの CC∼Cで

属 す る 閉 曲 線 をCと

方 は,基 あ る.こ

点Pへ

数 曲 線)に

ホ モ トー プ

あ る. し,任

と連 続 的 に'つ

意 の 閉 曲 線Cと ぶ し て い く'こ

の こ と は[C][C]=[P][C]=[C]を

積CCを

つ くってみ

と が で き る の だ か ら,

示 し て い る.同

様 に考 え

て[C][P]=[C].   逆 元:閉

曲 線Cに

対 し,逆

向 き に ま わ るC−1を

含 む ホ モ トピ ー 類[C−1]を

考

え, [C]−1=[C−1] とお く.そ

し て[C]−1を[C]の

逆 元 と い う.

基

本

群

  この 演 算 に よ っ て,点Pを

基 点 と す る 曲 面 上 の 閉 曲 線 全 体 の つ くる ホ モ ト ピ ー

類 の 集 合 は,群

の 群 を,曲

  図34で

を つ く る.こ

は,[C]−1[C]=[P](=単

  以 下,[P]を

面 の 基 本 群 と い う.

位 元)と

基 本 群 の 単 位 元 と し てeで

な る こ と を 示 し て お い た.

表 わ す.

図34

球 面 の基 本 群 球 面上 の,Pを

基 点 とす る閉 曲線 は,す べ てPに ホ モ トー プな の だか ら, 球面 の基 本 群 は単 位 元 だ けか らな る.

ドー ナ ツ面 の 基 本 群   図35で

示 した よ う な,Pを

の 閉 曲 線 をC,C′ 類 をa,bで

と し,そ

表 わ す.a,bは

基 点 とす る2つ

れぞ れ の ホ モ トピー 基 本 群 の元 で あ る.

a=[C],b=[C′]   た と え ば,基

本 群 の 中 で,a3bは,ま

沿 っ て1回,次

にCに

沿 っ て3回

ずC′ に ぐ る ぐる ま

わ る 閉 曲 線 の ホ モ ト ピー 類 を 示 し て い る.aとbは,基 っ て い る が,abとbaは,等 し,実

はab=baが

し い の か,違

成 り立 つ(Tea

Time参

図35 本 群 の 中 で 異 な る元 と な

うの か は 気 に な る と こ ろ で あ る.し 照).

か

ドー ナ ツ面 の基 本 群 は,aか

ら生成 され た無 限巡 回群 とbか ら生 成 さ

れ た無 限巡 回群 の 直 積 とし て表 わ され る可換 群 で あ る.   す な わ ち,aにZ×Zの

元(1,0),bにZ×Zの

この 対 応 で,基

本 群 とZ×Zが

の 元(m,n)が

対 応 す る.

元(0,1)を

同 型 に な る の で あ る.こ

  同 じ結 果 を 次 の よ うに も い う(第23講

対 応 さ せ る と,

の と きambnに

はZ×Z

参 照).

ドー ナ ツ 面 の 基 本 群 は,aとbか

ら生 成 さ れ る.aとbの

aba−1b−1=e 

関係 は

(1)

だ け で あ る.

2つ 穴 の あ い た 面 の基 本 群 2つ 穴 の あ い た 曲 面 上 で,図36で 閉 曲 線C,C′,C,C′

を と る.こ

が 表 わ す ホ モ ト ピー類,し の 元 を,a1,b1,a2,b2で

示 し て あ る よ うな,Pを

基 点 と す る4つ

の

の それ ぞ れ

た が って基 本群

表 わ す:

a1=[C],b1=[C′], a2=[C],b2=[C′]   この と き,次

の 結 果 が 知 ら れ て い る. 2つ

図36

穴 の あ い た 曲 面 の 基 本 群 は,a1,b1,a2,b2か

生 成 さ れ る.a1,b1,a2,b2の

ら

間 に 成 り立 つ 関 係 は

a1b1a1−1b1−1a2b2a2−1b2−1=e 

(2)

だ け で あ る.

  こ こで い っ て い る こ と は,こ

の 場 合,基

本 群 の元 は

a13b1−6a2a12やa2−7a1b2−1b13b25a2 の よ うに 表 わ さ れ る と い う こ と で あ る.こ す る こ と が で き な い.こ 式(2)が

れ ら は,あ

る 意 味 で,こ

れ 以 上 簡 約化

の よ う な 表 示 が 本 当 に 簡 単 に な る の は,表

示 の 中 に 関係

直 接 現 わ れ る よ う な と き だ け で あ る.特

に

a1b1≠b1a1,a2b2≠b2a2 で あ っ て,基

本 群 は 非 可 換 で あ り,複 雑 な 構 造 を し て い る.

  2つ 穴 の あ い た 曲面 な ど は,よ 面 に,非

く見 な れ た ご くふ つ うの 曲 面 で あ る が,こ

常 に 複 雑 な か け 算 の 規 則 を もつ 群―

こ と は,や

は り1つ

基 本 群―

の曲

が 隠 され てい た とい う

の 驚 き で あ る.

Tea

Time

質 問   この講 義 で の お話 は,群 が 具 体 的な 対 象か ら構成 され てい く様 子 が実 に鮮 や か で 面 白 い と思 い ま した.非 可 換群 な ど,簡 単 な 図形 な どか らは あ ま り登場 す る もの で は な い と思 って い ま したが,そ

うで はな い こ とを知 って,少 しび っ く り

しま した.と ころで(1)と(2)の 関 係式 です が,証 明 し てみ よ うと思 って ド ー ナ ツ面 と,2つ 穴 のあ い た 曲面上 で 曲線 を か い て,い ろ い ろ変形 し てみ た ので す が,曲 線 が か らみ合 って,う ま く証 明 で き ませ ん で した.何 か,僕 に もす ぐわ か る証 明法 は あ るの で し ょうか. 答   ドーナ ツ面 に対 す る(1)の

関係 は,次 の よ うに簡 単 に 示す こ とがで き る.

図37で 示 してあ る よ うに,ド ー ナ ツ面 は,長

方形 の相 対す る辺 を,同

一視 す る

図37 (糊 で 貼 り合 わ せ る)こ 貼 り合 わ せ る と,ド る.長

とに よ って 得 ら れ る.こ

ー ナ ツ面 上 で,基

本 群 の 元a,bを

方 形 の 辺 上 に 記 し て あ る基 点Pか

線 は,向

き に 注 意 す る と,ド

か い て あ る 辺 が,

代表す る曲線 とな っ て い

ら 出 発 し て,長

ー ナ ツ 面 に 移 す と,ち

を 表 わ し て い る こ と が わ か る.し か に,点Pに

の と き,a,bと

方 形 の 辺上 を 一 周す る曲

ょ う ど 基 本 群 の 元a−1b−1ab

か し この 閉 曲 線 は,長

方形 の 方 で考 え れ ば 明 ら

ま で 連 続 的 に 変 形 し て い く こ と が で き る(図38).こ

a−1b−1ab=e(aba−1b−1=eと

か い て も 同 じ!)が

の ことは

成 り立 つ こ と を 示 し て い る.

図38

  穴 が2つ あい た 曲面 に 対 して も,同 様 の考 えを 適用 して(2)が

成 り立 つ こ と

を 示す こ とが で き るのだ が,少 し トポ ロジ ー の準 備 が い るの で,こ こで は省 略 し よ う.

第23講 生 成 元 と関 係 テ ー マ

◆ 基 本 群 の 生成 元 と関 係 ◆ 生成 元 の間 に関 係 が ない 例―3つ

の 円 周を1点 で つ ない だ 図 形 の 基

本群 ◆ 自由 群F3 ◆ 自由 群F3に

関 係 を導 入 して み る.

基 本 群 の 生 成 元 と関 係   前 講 の基 本群 で み た よ うに,数 学 の さ ま ざ まな対 象の 中か ら,群 を 抽 出 し よ う とす る ときに は,ま ず 群 を 生 成す る生 成元 を み つ け て,そ れ か ら次 に,こ の生 成 元 の間 に成 り立 つ 関 係 を 見 出す とい うプ ロセ スを と る こ とが 多 い.生 成 元 と,生 成元 の 間 に成 り立 つ 関 係 に よって,調 べ よ うとす る数学 的な 対 象 の中 に あ る性 質 が,群 の性 質 とし て浮 か び上 が り,対 象 の 中 に 複雑 に絡 み合 って い る様相 を 代数 的 な手 段 で調 べ る道 が 拓 かれ て くるので あ る.   ドーナ ツ面 の ときで も,2つ

穴 の 曲面 の とき で も,ぐ る ぐる と曲 面上 を まわ る

道 を想 像 した とき,ド ー ナ ツ面 上 で は,生 成元 が2つ,2つ

穴 の 曲 面 の ときは4

つ あ る とい う こ とは,大 体直 観 的 に察 しが つ くので あ る.要 す るに 穴 の まわ りを まわ るか,穴 と ク ロスす る方 向で まわ るか で あ る.   難 しい の は,む しろ これ ら生成 元 の 関 係 を見 出す こ とで あ って,ド ーナ ツ面 の と き,基 本群 が 可 換 とな り,2つ う ことは,2つ

穴 の 曲面 の と きは基 本 群 が非 可 換 にな った とい

穴 の 曲面 の方 が ドーナ ツ面 に比 べ,道 の まわ り方 の様 相 がず っ と

複 雑 に な った こ とを示 し てい る.   な お,つ い で に 述べ てお くと,q個 え る こ とがで き るが,こ

の穴 のあ い た 曲面 で も,や は り基 本群 を 考

の とき基 本群 の生 成 元 は,i番

目の穴 の まわ りを 一 周す

る 閉 曲 線 が 代 表 す るaiと,i番

目 の 穴 を ク ロス す る 方 向 で 外 側 か ら 内 側 へ と一 周

す る 閉 曲 線 が 代 表 す るbi,合

わ せ て2q個 a1,b1,a2,b2,…,aq,bq

か ら な る.こ

れ ら の 生 成 元 の 間 に 成 り立 つ 基 本 関 係 は a1b1a1−1b1−1a2b2a2−1b2−1…aqbqaq−1bq−1=e

だ け で あ る.   穴 の 数が 増 え るにつ れ て,基 本 群 の構 造 は ます ます 複 雑 とな り,非 可 換 の様 相 を 強 め て い くこ とが推 察 され る だろ う. 関係 を も た な い生 成 元   しか し,場 合 に よっ ては 具体 的 な 例 で も,群 を生 成 す る生 成 元 ど うしの 間 に, 何 の 関 係 もな い と き も あ る.   い ま,図39で

示 し た よ うに,1点Pか

バ の 葉 の よ う に 出 る3つ

の 円 周 を 考 え る.Pか

発 し て そ れ ぞ れ の 円 周 を 一 周 し てPに a,b,cと

す る.も

ら ク ロー

ち ろ ん,一

ら出

戻 る曲 線 を

周 す る とい っ て も,速

く ま わ る 人 も い る し,お

そ く ま わ る人 も い る.だ

ら,曲

確 に は,曲

線 と か い た が,正

か 図39

線 の 定義 す るホ

モ ト ピ ー 類 の 意 味 で あ る.ホ

モ ト ピ ー 類 に し て お くな らば,速

メ ー タ の と り方―

係 な い.

  a,b,cと

逆 向 き に まわ る 曲 線 をa−1,b−1,c−1と す る.ま

え て これ をeと

で き る.Pか

位 元eと

た 点Pを

パラ

定 数 曲線 と考

お く.

  そ うす る と,曲

る.と

に は,関

い お そ い―

面 の と き と 同 様 に し て,Pを

らPに

こ ろ が,1つ

基 点 とす る基 本 群 を 考 え る こ とが

戻 る 曲 線 の ホ モ ト ピ ー 類 の 全 体 の つ くる 群 を 考 え る わ け で あ の 円 周 を まわ り き ら な い で,も

ホ モ トー プ とな る.こ

と に 戻 っ て し ま う 曲 線 は,単

の こ と に 注 意 す る と,こ

当 に 円 周 を 一 周 し て し ま う曲 線,a,b,cで

の 基 本 群 の 生 成 元 は,本

与 え られ る こ と が わ か る.

  た とえば c2ab−2a3c5

は,cを5回

ま わ り,aを3回

り,cを2回

ま わ る閉 曲 線 が 定 義 す る,基

  この 場 合,ab≠baの ホ モ ト ピー 類abに 発 し てbの

ま わ り,bを

よ うな こ と は,直

逆 方 向 に2回

本 群 の 元 を 示 し て い る. 観 的 に も 明 ら か な こ と だ ろ う.た と え ば

戻 り,次

にaの

道 を 一 周 してPに

よ う.出 発 点 と 終 点 は 固 定 さ れ て お り,道

面 のとき

の 制 限 の 中 で 動 く 自動 車 は,

し 引 き返 して ま た 進 む か し て,abの

ー 類 の 中 を 変 化 し て み る だ け で あ る .し

ら出

戻 る 自動 車を 想 像 し

も 決 ま っ て い る の だ か ら(曲

線 を 動 か し て 形 を 変 え ら れ な い!)こ

せ い ぜ い ス ピ ー ドを 変 え るか,少

にbを,と

まわ

含 ま れ る 曲 線 と は ど の よ うな も の か を 知 る た め に,Pか

道 を 通 っ てPへ

の よ うに,曲

ま わ り,aを1回

た が っ て,こ

の 自 動 車 が,aを

い う逆 順 の 道 を と れ る よ うな こ と は 絶 対 に な い.す

ホ モ トピ 先 に,次

な わ ちab≠baで

あ る.   こ の こ と か ら,い

ま の 場 合,基

本 群 の 元 のa,b,cの

間 に は,aa−1=eの

関 係 以 外 に は 何 の 関 係 も な く て,a,b,c(とa−1,b−1,c−1)を

よ うな

使 ってか いた 任 意 の

配 列―'語'(word!)― aabca−1bbbc−1c−1 や, cccbbbbba−1ba−1b な ど は す べ て 基 本 群 の 異 な っ た 元 を 表 わ し て い る こ と が わ か る.   こ の よ うに,元a,b,cの ―と い う意 味 で,い

間 に は 何 の 関 係 も な い―

ま 述べ て き た こ と を 次 の よ うに ま と め て お く.

3つ の 円 周 を1点 元a,b,cか

一 切 の束 縛 か ら 自由 で あ る

で つ な い だ 図 形 の 基 本 群 は,3つ

の

ら生 成 さ れ る 自 由 群 で あ る.

  自由群 の 一般 的 な 定義 は次 講 で 与 え る こ とに し よ う.

自 由 群F3   図 形 を離 れ て,群 の構 造 だけ に注 目して,い 元a,b,cか

ら生成 され る 自由群―

  F3に は,群

を,F3と

として の最 小 の 基 本 関係

ま得 られ たば か りの群―3つ 表 わ す こ とに し よ う.

の

aa−1=a−1a=e

(1)

bb−1=b−1b=e cc−1=c−1c=e

し か な い.   F3の 元 は,単 な っ て い る(次 こ の6文

位 元eと,a,b,c,a−1,b−1,c−1を

適 当 に 並 べ て 得 ら れ る'語'か

講 で 厳 密 な 定 義 を 与 え る).'語'と

字 しか な い 国 の,す

い う の は,ア

べ て の 可 能 な ス ペ ル がF3の

ら

ル フ ァベッ トが

元 と して現 わ れ て くる

とい うことで あ る   語 を つ く る ル ー ル は,a,b,c,a−1,b−1,c−1を 度 も と っ て,そ

勝 手 な 順 序 で,繰

れ を 並 べ る とい うだ け で あ る.た

合 っ て 並 ん で い る と き だ け,(1)に

り返 し を 許 し て 何

だ,a,a−1;b,b−1;c,c−1が

し た が っ て,単

隣 り

位 元 に す る.

  た とえば x=bba−1ccacca−1 

(2)

y=bc−1ab−1b−1 

(3)

や

は,F3の

元 で あ っ て,こ

の2つ

の 元 の 積xyは

xy=bba−1ccacca−1bc−1ab−1b−1 とな る.ま

た yx=bc−1ab−1b−1bba−1ccacca−1 =bcacca−1

と な る.し

た が っ てxy≠yx.xの

逆 元x−1は

x−1=ac−1c−1a−1c−1c−1ab−1b−1 で 与 え られ る.   F3は,ど

ん な 長 い'語'も

含 む か ら,F3は

非 可 換 な 無 限 群 で あ る.

関 係 の導 入

  自 由群 の 中 に,関

係 を 導 入 し て,新

詳 し く述べ る が,た

と え ば,F3の

し い 群 を 構 成 し て い く こ とは,第25講

生 成 元a,b,cに

対 し て,新

たに

で

a2=e,b2=e,c2=e  と い う 関 係(束

縛 条 件!)を

(4)

課 し て み る と,(2)と(3)は

x=b2a−1c2ac2a−1=a−1aa−1=a−1=a y=bcab2=bca と な っ て し ま う.こ   ま た,も

こ で 関 係(4)か

し,a,b,cの

らa=a−1,b=b−1と

な る こ と を 用 い た.

間 に 関係

aba−1b−1=e,bcb−1c−1=e,aca−1c−1=e  を 導 入 し て み る と,生

(5)

成 元 の 間 に 可 換 則ab=ba,bc=cb,ac=caが

と に な っ て,(2)と(3)は

成

り立 つ こ

今度 は x=a−1b2c4

y=ab−1c−1 と な る(ab=baの

両 辺 に 両 側 か らb−1を か け る と,b−1a=ab−1,す

な わ ちaと

b−1も 可 換 で あ る と い う関 係 が 得 ら れ る こ と に 注 意).   非 可 換 群F3は,関

係(5)を

導 入 す る と可 換 群 へ 転 換 さ れ る.こ

て 得 られ た 可 換 群 は 実 際 はZ×Z×Zに bに(0,1,0),cに(0,0,1)を xは,Z×Z×Zの

同 型 で あ る.こ

の 同 型 はaに(1,0,0),

対 応 さ せ て 得 られ る か ら,こ

元(−1,2,4)に,yは(1,−1,−1)に

の よ うに し

の 同 型 に よ っ て, 対 応 してい る ことに

な る.   (5)に

さ らに関 係 a5=e,b3=e

と い う関 係 を 加 え る と,F3か

ら今 度 は Z5×Z3×Z

に 同 型 な 群 が 生 ま れ て くる.

Tea

Time

群 の 元 の個 数,有 限群 と 自由群 の 違 い  群Gが

有 限 群 の ときに は,Gの

部 分集 合Sに

いつ で も数 え る こ と が で き る.ま た,Gの

含 まれ て い る元 の 個数￨S￨は,

任 意 の元gに 対 して,対 応a→ga

(a∈G)は,Gか

らGの

も,も

ち ろ んSと

同 じ個 数 の 元 か ら な っ て い る:￨gS￨=￨S￨.

上 へ の1対1対

応 だ か ら,こ

  Gが

無 限 群 で あ っ て も,対 応a→ga(a∈G)が,Gか

応 で あ る と い う事 情 は 少 し も変 わ ら な い.だ Sに 対 し て,Sの は,や

の 対 応 でSの

らGの

か ら,私

移 った 先gS

上 へ の1対1対

た ち は,Gの

無 限部 分 集 合

元 の 個 数 とい う も の を 考 え る こ と が で き な い と し て も,SとgS

は り い つ で も大 体 同 じ大 き さ に な っ て い る だ ろ う と,漠

然 と想 像 し が ち で

あ る.   と ころ が,自

由 群 で み る 限 り,こ

の 単 純 な,し

か しい か に も も っ とも ら しい想

像 は ど う も 正 し くな い と い っ て よい よ うで あ る.こ

れ か らそ の ことを少 し説 明 し

て み よ う.い

ら 生 成 さ れ た 自 由群F2を

る.F2の

ま群Gと

元 は,単

が く る か,b−1が

し て,2つ

位 元e以

の 生 成 元a,bか

外 は,'語'の

く る か の4通

最 初 に,aが

く る か,bが

りの 表 わ し 方 の い ず れ か で 表 わ さ れ る.そ

W(a)={最

初 にaが

と お く.同 様 にW(b),W(a−1),W(b−1)を

通 元 の な い5つ

  い ま,W(a)に

こで

く る 語 の 全 体} 定 義 す る.こ

の と き,F2は

F2={e}∪W(a)∪W(b)∪W(a−1)∪W(b−1)  と,共

と

く るか,a−1

(*)

の 部 分 集 合 に 分 解 さ れ る.

属 さ な い 任 意 の 元xを

と って

x=a(a−1x) とか き 直 し て み る.xの て お り,し

語 頭 はaで

は な い か ら,a−1xの

語 頭 はa−1か ら は じ ま っ

た が って x∈aW(a−1)

で あ る.xはW(a)に

属 さ な い 任 意 の 元 で よか っ た の だ か ら,こ F2=W(a)∪aW(a−1) 

を 示 し て い る.同  

(**)

様に

F2=W(b)∪bW(b−1) 

(***)

と な る.   も し前 の 想 像 が 正 し け れ ば,aW(a−1)と W(a−1)が

同 じ'大

き さ'を

る か ら,(**)はF2がW(a)と さ'の2つ

も つ こ とに な 同 じ'大 き

の 集 合 に わ け られ た こ とを 示 し

て い る.(***)も

似 た よ うな こ とをい って

い る.   し た が っ て 想 像 が 正 し か っ た と し て,

図40

の こ とは

(*),(**),(***)を も お か しい,こ うな 考 え が,自 は,第28講

概 念 的 に 図 示 す る と.図40の の こ と は,有 由 群F2に

のTea

Timeで

限 群 の と き の よ うに,個

よ うに な る.こ

れ は いか に

数 を数 え て大 き さを測 る よ

は 導 入 で き な い こ と を 示 し て い る.こ も う一 度 と り上 げ る こ と に し よ う.

の こ とにつ い て

第24講 自

由

群

テ ー マ

◆ 語,簡 約 化 され た 語 ◆ 簡 約 化 され た語 の積 ◆ 集 合X上

の 自由群F(X)

◆ 階 数nの 自由 群Fn ◆ 任 意 の群 は 自由群 の商 群 とな る.

語(ワ

  前 の2講

で の 話 で,読

ー ド)

者 は 自 由 群 と は ど の よ うな も の か,ま

た,自

由群 の 生 成

元 の 間 に 関 係 を 与 え る こ と に よ っ て 新 し い 群 が 誕 生 し て く る状 況 と は ど の よ うな もの か,と

い う こ とを 大 体 察 知 され た の で は な い か と思 う.そ

こ こで は,自   Xを

由 群 に つ い て の 一 般 論 を 少 し述 べ て み よ う.

空 で な い 集 合 とす る.Xを'ア

か ら 有 限 個 の 元(繰

ル フ ァ ベ ッ ト'の 集 合 と 考 え て,Xの

り返 し て と っ て も よい)x1,x2,…,xsを ｘ1m1x2m2…xsms 

を つ く る.こ   も し,こ

の理 解 の も とで,

こでmiは

と っ て,語(ワ

中 ー ド)

(1)

す べ て 整 数 で あ る.

の語 で xi≠xi+1(i=1,2,…s−1);各mi≠0

が 成 り立 つ と き,簡   語(1)の 字'が

約 化 さ れ て い る と い う.

配 列 を,積

と思 い,m1,m2,…msを

ベ キ の 指 数 と思 っ て,同

隣 り合 っ て 並 ん で い る と き に は 指 数 法 則 の よ う に,指

め に して し ま い,mi=0の

と き に は,そ

  た と え ば,X={x,y,z}と

し

数 を加 え てひ とま と

の 文 字 を 省 い て し ま う と,ど

簡 約 化 さ れ た 語 に お きかえ る こ と が で き る.

じ'文

ん な 語 も,

w=x7x−5yz3z−3x−2x2xy3z 

(2)

と す る と,wは

と簡 約 化 され る.   語 を 簡 約化 した 結果,指数miが

す べ て0と な る ときが あ る.こ の と き は,語

は'空 な る語'と な る.'空 な る語'は,単

位 元1を 表 わ す と考 え る こ とにす る.

い くつ か の 結 果   次 の ことを注 意 してお こ う. 与 え られ た 語wを 簡 約 化 してい く手続 きは,一 意 的 には 決 ま らな いが,簡 約 化 され た 結 果 は,つ ね に一 意 的 に決 ま る. こ こ で 述 べ て い る こ と は,(2)のwを

簡 約 化 す る場 合 で も

と し て も,

と して も同 じ結果 に到達 す る とい うこ とで あ る.こ の当 り前 そ うな 結果 で も,や は りきちん と証 明 して,正 しい こ とを 数学 的 に確 か め る ことが必 要 で あ り,そ し てそ れ が で き る とい うので あ る.   この結 果 に よ って,語wに

対 して簡 約化 され た 語 を対 応 させ る対 応 w→w

が 確 定 し た こ と に な る.明   2つ の 語v,wが

ら か に,w=wで

与 え ら れ た と き,vとwのvwと

あ る. は,vの

語 の配 列 の あ とに

wの 語 の 配 列 を 続 け て お く こ と に よ り得 られ る 語 を 表 わ す も の と す る.   この とき

vw=vw 

が 成 り立 つ(た

(3)

と え ばv=xy−2,w=y2zは,そ

xy−2y2zは 簡 約 化 さ れ て い な い.そ   こ の こ とか ら,簡

れ ぞ れ 簡 約 化 さ れ て い る が,vw=

の た め,こ

約 化 さ れ た2つ

の よ うな 式 が 必 要 に な る).

の 語v,wの

v・w=vw  で 定 義 す る と,v・wは

積を (4)

簡 約 化 さ れ た 語 で あ っ て,さ

ら に結合 則

u・(v・w)=(u・v)・w (5)

が 成 り立 つ.   実 際,(4)に

よ って

同 様 に し て(u・v).w=uvwと

な る.し

自

【定 義 】 空 で な い 集 合Xが た 語 の 全 体 に,'空

よ る)

((3)に

よ る)

た が っ て 結 合 則(5)が

由

成 り立 つ.

群

与 え られ た と き,Xの

な る 語'1を

((3)に

元 か ら つ く られ る 簡 約 化 さ れ

つ け 加 え る こ と に よ り群 が 得 られ る.積

は,(4)

と 1・w=w・1=w で 定 義 す る.こ

の よ うに し て 得 ら れ た 群 を,X上

表 わ す.   F(X)の

単 位 元 は1で

あ り, w=x1m1x2m2…xsms

の逆元は w−1=xs−ms…x2−m2x1−m1

で 与 え られ る.

の 自 由群 と い いF(X)に

より

  以 下,自

由 群F(X)の

積 を 表 わ す の に,単

  特 に,n個

の 元x1,x2,…xnか

自 由 群 を,個

数nだ

にvwの

よ うに か く こ と に す る.

ら な る 集 合 の 上 の 自 由 群 をFnと

表 わ す.こ

け で 決 ま る よ うな 記 法 で 表 わ し て よい の は,次

の

の結 果が あ る

か ら で あ る. FmとFnが

同 型 な 群 と な る の は,m=nの

と き だ け で あ る.

【証 明】 この 証 明 に は,次 講 で述 べ る交換 子 群 の概 念 を 用 い る.し

た が って ここは,次

講

を読 まれ てか ら,改 め て戻 って読 み 直 され る と よい.   FmとFnが

同型 で あ った とす る.こ

交 換 子 群[Fn,Fn]へ

の 同型 対 応 でFmの

交換 子 群[Fm,Fm]は,Fnの

と同 型 に移 る.し た が って Fm/[Fm,Fm]〓Fn/[Fn,Fn]

とな るが,こ の左 辺 はZmに,右 m=nが

辺 はZnに

同型 で あ る.し た が ってZm〓Znと

な るか ら,

成 り立 たな くて は な らな い.

  Fnを

階数nの

自 由 群 とい う.

任 意 の群 は 自 由群 の 商 群 と な る

  群Gの Snの の2つ

生 成 元 と い っ て も,い

場 合,第20講

のTea

ろ い ろ な と り方 が あ る.た

Timeで

を 生 成 元 と し て と っ て も よ い し,あ る い はnC2個

体 を 生 成 元 と し て と っ て も よ い.最 元―

と え ば,n次

の 対称 群

も 述 べ た よ う に,σ=(12),τ=(12…n) の 互 換(ij)(i<j)の

も極 端 な 場 合 に は,Snの

を 生 成 元 と し て と っ て も よい.要

す る に,一

れ ら の 元 と 逆 元 を 適 当 に と っ て か け 合 わ せ る と,Gの

元 全 体―n!個

般 に 群Gの

全 の

生 成 元 と は,そ

す べ て の 元 が 得 られ る よ う

な も の な ら よ い の で あ る.   ど ん な 群Gに ば よ い.し

も 生 成 元 は 存 在 す る.た

か し,一

般 的 な 観 点 で は,群

と えば 生 成 元 と し てGの

元 全 体 を とれ

の 生 成 元 は な る べ く少 な め に と っ て,こ

の 生 成 元 の 相 互 の 間 に 成 り立 つ 関 係 に よ っ て,群

全 体 の構 造 を推 測 したい とい う

希 望 が あ る.   さ て,群Gが と お く.し って

与 え られ た と き,生

た が っ てGの

成 元 の 集 ま りを1つ

任 意 の 元aは,Sか

と り,こ

の 集 ま りをS

ら と っ た 有 限 個 のx1,x2,…,xsに

よ

a=x1m1x2m2…xsms  と表 わ さ れ る.こ は,単

こ でm1,m2,…,msは

(6)

整 数 で あ っ てm1=m2=…=ms=0の

とき

位 元 を 表 わ す と し て あ る.

  Sの 上 の 自 由 群F(S)を

考 え よ う.(1)と(6)を

見 比 べ る と,F(S)の

元で

あ る簡 約 化 され た語

に 対 し,Gの

w=x1m1x2m2…xsms 

(1)

a=x1m1x2m2…xsms 

(6)

元

を 対 応 さ せ る こ と に よ り,F(S)か

らGの

  上 の(1)と(6)の

っ た く同 じ 式 と な っ て い る か ら,区 別 が 少 し

右 辺 は,ま

上 へ の 写 像 Φ が 得 られ る.

わ か り に くい か も し れ な い.(1)は,Sの 語 を 表 わ し,(6)はGの

元 と し て の 積 を 表 わ し て い る.

  た と え ば,群GがZ2×Z3の =0)を

元 を ア ル フ ァベ ッ ト と し て つ く っ た

と き,Z2の

生 成 元a(2a=0),Z3の

と り,(a ,0)∈Z2×Z3と(0,b)∈Z2×Z3を,そ

同 じ 記 号 で 表 わ せ ば,{a,b}はZ2×Z3の

生 成 元b(3b

れ ぞ れa,bと

生 成 元 と な っ て い る.一

な る ア ル フ ァ ベ ッ トと考 え て,S={a,b}と

お く とF(S)=F2で

同一 視 して 方,a,bを

あ る.対

単

応 Φに

よ って   F2の

語:abb,bab,a3b,aba2,ab3a3b,…

は   Z2×Z3の

元:a+2b

へ と 移 っ て い る.Z2×Z3の し れ な い が,(6)の

元 を 加 群 の 形 で か い た か ら,少

しわ か りに くい か も

よ う に 乗 法 の 形 で か けばa+2bはab2で

  この こ とか ら,(1)と(6)は

あ る.

本 質 的 に 違 う も の を 表 現 して い る こ と が わ か

る だ ろ う.   Φ は,F(S)か

らGの

わ さ れ る 元 を も う1つ

上 へ の 準 同 型 写 像 を 与え て い る.実 と っ て,そ

て 並 べ て 語 を つ く り,そ っ て,a=Φ(w),a′=Φ(w′)の でxx−1を1に

れ をw′ とす る と,積ww′

れ を 簡 約 化 し た も の で あ る が,そ 積 へ と移 され て い る(簡

お き か え る こ とは,Φ

で 移 せ ば,Gの

際(1)の

よ うに 表

は,wとw′

を続 け

れ は ち ょ う ど,Φ に よ 約 化 の 操 作:F(S)の

中

中 で は 自動 的 に 成 り立 っ て

い る性 質 で あ る).   したが って,第19講

の準 同 型定 理 が 適 用 され て,次

の定理 が成 り立 つ こ とが

わ か った.

【定理 】F(S)の

適 当 な正 規 部 分群Nを

とる と,同 型 対応

F(S)/N〓G が 成 り立つ.

  す な わ ち,任 群―

意 の 群Gは,必

ず あ る 自由 群―Gの

の商 群 として得 られ るの で あ る.

Tea

Time

質 問   自 由 群 と い う も の は ど う い う も の か,も で,階

生成 元 の 集合 の上 の 自由

数2の

自 由 群F2の

う少 し 知 り た い と 思 っ て,自

こ とを 考 え て み ま し た.生

成 元 をa,bと

分

す る と,

abaabbba,bbaaaababaab な どは,逆

元a−1,b−1を

い ま す.こ

こで はa3をaaaな

気 が つ き ま し た.aの

含 ん で い ませ ん か ら,すべ

て 簡約 化 され た 表 現 に な って

ど と並 べ て か い て お き ま し た.す

代 りに0と

お き,bの

代 りに1と

01001110,110000101001 

お く と,上

よ む と,[0,1]区

開 し た 有 限 小 数 が す べ て 現 わ れ て く る こ と に な り ます.こ

思 議 に 思 う の は,こ の よ うに,わ うに,Z2×Z3は

 答   F2も

れ で も,F2の

規 部 分 群Nで

生 成 元a,bを

も っ て い ま す か ら(a,bの

大 き い 群 だ が,F2を

展

元 の一 が不

割 る とF2/N〓Z2×Z3

小 さ な 群 と な っ て し ま う こ と で す.講

こ の 結 果 は 正 し い と 思 い ま す.な

間 に あ る2進

た くさ ん の 元 か ら な る群 とな りま す.僕

ん な 大 き い 群 で も,正

ず か 位 数6の

の語は

(*)

とな り,こ れ を0.01001110,0.110000101001と

部 分 に す ぎな い の で す か ら,F2は

る と妙 な こ と に

代 りa,bと

義で示されたよ し ま し た が),

ぜ こ ん な こ とが 起 き る の で し ょ う. 割 る 正 規 部 分 群Nも

大 き な も の を 大 き な も の で 割 っ て い る か ら,結

ま た 大 き な 群 な の で あ る.

果 は 小 さ な 群Z2×Z3が

現われた

の で あ る.た ば,答

は2と

と え ば,100000は

大 き な 数 だ が,大

き な 数50000で

な る.

  い まの 場 合,対

応 Φ を 具 体 的 に 考 え て み る と,Z2の

生 成 元 は3b=0を

み た し て い る.こ

よ っ て,Z2×Z3のa+a,し し,111と1が3つ

割 って しま え

た が っ て(加 並 ん だ も の も0へ

移 し て し ま え ば,aとbは

生 成 元aは2a=0,Z3の

の こ と は,00と0が2つ

並 ん だ も の は,Φ に

群 と し て の 単 位 元)0へ

移 る こ とを 示 し て い る.ま

可 換 とな っ て い る.し 0100111に

移 る こ とを示 た0と1を

Φで

た が って

はa+b

が 対 応 し, 110000101001に が 対 応 す る こ と に な る.た せ,次

にa,bの

使 う と,a+2bと

と えば2番

可 換 性 を 使 う と,7a+5bと な る の で あ る.

はa+2b

目 の 対 応 は,0にaを,1にbを な る が,さ

ら に 関 係2a=0,3b=0を

対応さ

第25講 有 限的 に表 示 され る群 テ

ーマ

◆ 自由群 と関 係 ◆ 階数nの

自由可 換 群 はFn/[Fn,Fn]と

表 わ され る.

◆ 有 限的 に表 示 され る群 ◆ 例 ◆ 対 称 群Snの ◆(Tea

有 限 表示

Time)交

換子群

自 由群 と関 係

  前 講 の 最 後 に 述 べ た 定 理 は,ど と い う定 理 で あ っ た が,自 フ ァベ ッ ト'の 中 に,た よ,と

か,uvwと

ん な 群 で も,自

由 群 の 方 か ら い え ば,自 と え ばaが3つ

並 ん で い る と き はxと

―関 係 を お く―

由 群 の 商 群 と し て 表 わ さ れ る,

と,自

由 に 語 を つ くっ て い た'ア

並 ん でaaaと せ よ,と

由 群 は す っ か り'不

あ る と き は,aaaは

か,い

自 由'に

ル

削除 せ

ろい ろ の条 件 をつ け る な っ て し ま い,そ

の結 果

そ こに さ ま ざ ま な 群 が 登 場 し て く る と い う こ と に な る.   具 体 的 な 群Gに

対 し て,同

型対 応 F(S)/N〓G

を 与 え るNが,ど

の よ うな 形 と な っ て で て くる の か を,有

限 表 示 とよば れ る場

合 に つ き少 し 調 べ て み た い と思 う.   そ れ に 関 し て は,私

たちは 'Gが 有 限 生 成 的 で あ る'

場 合 に 限 っ て,話

を 進 め て い く こ とに な る.Gの

と し, S={x1,x2,…,xn}

有 限 個 の 生 成 元 をx1,x2,…,xn

と お く と,F(S)はx1,x2,…,xnか

ら 生 成 さ れ た 階数nの

Gが

  Gが

階 数nの

階 数nの

の と き,Gの

な る.

可 換 群 の と き

可 換 自 由 群 の と き,す G=Z×Z×

自 由 群Fnと

なわ ち … ×Z 

(n個)

生成 元 として a1=(1,0,…,0),a2=(0,1,0,…,0),…, an=(0,…,0,1)

を と る.こ

の と き,Fnの

適 当 な 正 規 部 分 群Nを

と る と,同

Φ=Fn/N〓G  とな る が,こ

のNは

(1)

ど の よ うな 群 で あ る か を 調 べ た い.

  そ の た め 準 同 型 写 像 Φ:  で あ る.Fnのn個

型写 像 Φ に よ って

を 考 え る.Fnは,階

の 生 成 元 をx1,x2,…,xnで Φ(xi)=ai 

数nの

自 由群

表 わ し,

(i=1,2,…,n)

とす る.   任 意 のi,j(i≠j)に

で あ る(Gは

対 し

加 群 と し て あ る).こ

の こ と は(1)に

xixjxi−1xj−1∈N 

よって (2)

と な る こ とを 示 し て い る.   こ こで 次 の 記 号 を 導 入 し て お こ う. [xi,xj]=xixjxi−1xj−1 と お き,[xi,xj]をxiとxjの   そ の と き,(2)に

交 換 子 とい う.

よ り,[xi,xj]∈Nで

あ り,Nは

部 分 群 だ か ら,[xi,xj]の

形 を した 元 の任 意 の有 限個 の積 [xi1,xi2][xj1,xj2]…[xk1,xk2]  もNに 合 をNと

属 し て い な くて は な ら な い.そ す る.い

ま 述 べ た こ とか ら

こで(3)の

(3) 形 で 表わ され る元全 体 の集

N⊂N で あ る.   NはFnの

正 規 部 分 群 とな っ て い る こ と を 証 明 し よ う.以 下 の(ⅰ)か

ら(ⅳ)

は そ の 証 明 で あ る.   (ⅰ)  v,w∈N⇒vw∈N   この こ と はv,wを 交 換 子 と,wに

そ れ ぞ れ(3)の

形 に か い て お け ば,vwは,vに

現われる

現 わ れ る交 換 子 を 並 べ て 積 を と っ た だ け だ か ら,明 らか にvw〓N.

  (ⅱ)  w∈N⇒w−1∈N   この こ と は,各 [xj,xi]が

交 換 子 に 対 し[xi,xj]−1=(xixjxi−1xj−1)一1=xjxixj−1xi−1=

成 り立 つ こ とか ら わ か る.

  (ⅲ)  (ⅰ)と(ⅱ)か   (ⅳ)  NはFnの

こ の2つ

,(3)の

部 分 群 とな っ て い る.

正 規 部 分 群 で あ る.

  まず 任 意 のu∈Fnに

一方

ら,NはFnの

対 し

左 か らu,右

か らu−1を 適 用 す る と

の ことか ら uNu−1⊂N

が わ か り,こ れ でNがFnの

正 規 部 分 群 とな る こ とが 示 さ れ た.

  そ こで 最 後 に N=N

とな る こ とを証 明 し よ う. 【証 明】 商群Fn/Nを

考 え,Fnか

らFn/Nの

る: Φ:Fn→Fn/N

上 へ の 自然 な準 同型 写 像 をΦ とす

Fnの

生 成 元x1,x2,…,xnに

=Φ(xj)Φ(xi)が

対 し て,[xi,xj]∈Nに

成 り立 っ て い る.し

か ら 生 成 さ れ た 可 換 群 で あ る.以   も し,N〓Nと と に な る.こ る と,少

下 でFn/Nを

仮 定 す る と,w∈Nで の こ と は,wを

な く と も1つ

よ っ て,つ

加 群 で 表 わ す.

あ る が,w〓Nと

Φ,Φ に よ っ て,そ

は0で

ね にΦ(xi)Φ(xj)

た が っ てFn/Nは,Φ(x1),Φ(x2),…,Φ(xn)

な い よ うな,適

な る元wが

れ ぞ れFn/N,Fn/Nへ

当 な整数miに

存 在す る こ 移 してみ

よって

で あ るが,

とな る こ と を 示 し て い る(こ

こ で,Φ,Φ

が そ れぞ れ の 剰 余類 へ の 自然 な対 応 で あ

る こ と を 用 い て い る).a1,a2,…,anはZ×Z×

… ×Zの

生 成 元 で あ っ た か ら,下

の式 は m1=m2=…=mn=0 を 示 し て い る.こ 【定 義 】NをFnの

れ は 矛 盾 で あ る.し

た が っ てN=Nが

証 明 され た.

交 換 子 群 とい い [Fn,Fn]

で 表 わ す.   この 定 義 を 用 い る と,い

ま示 した こ とは

Fn/[Fn,Fn]〓Z×Z×

… ×Z=Zn

を 示 し て い る.   これ で,前 講 でFm〓Fnな

らばm=nで

表

  上 に 述 べ た こ と は,Zn=Z×Z× (i,j=1,2,…,n;i≠j)を1と し て い る.[Fn,Fn]は,こ

あ る とき用 い た 事 実 が証 明 され た こ とに な る.

示

… ×Zは,Fnか

ら,有 限 個 の 語xixjxi−1xj−1

す る と い う関 係 の 導 入 に よ っ て 得 られ る こ とを 示 れ ら の 語 を 含 むFnの

最 小 の 正 規 部 分 群 で あ っ た.

  こ の こ とを Zn={x1,x2,…,xn￨xixjxi−1xj−1(i,j=1,2,…,n;i≠j)}

と表 わ し,Znの う.カ

有 限 表 示 と い う.あ

る い は,Znは

ッ コの 中 の 左 に か い て あ るx1,x2,…,xnは

xixjxi−1xj−1は,い

わ ば'つ

有 限 的に 表 示 さ れ た と い

生 成 元 で あ り,右

ぶ し て し ま っ た'語

にか いて あ る

で あ る.

  有 限表示 は,英 語 で はfinite presentationと い う.presentationの

語 感 は,表

示 とい う

日本語 で は十 分 映 し きれ て いな い よ うに思 う.   一 般 に,群Gが,有 て,有

限 集 合{x1,x2,…,xn}の

上 の,階数nの

自 由群Fに

おい

限 個 の語 w1,w2,…,wk

を1と

お く とい う関 係 に よ っ て 群Gが

得 られ る と き

G={x1,x2,…,xn￨w1,w2,…,wk} と表 わ し,Gは

有 限 的 に 表 示 さ れ た とい う.

  この と き,w1,w2,…wkを

含 むFの

最 小 の 正 規 部 分 群 をNと

F/N=G 

お くと

(4)

と な る.   群Gは,有

限 的 に表 示 さ れ る 群 と い う.簡 単 に い え ば,生

生 成 元 の 間 に 成 り立 つ 関 係 も有 限 で あ る よ うな 群 を,こ   (4)の

証 明 は 改 め て こ こで は 述べな い が,読

明 か ら,(4)が

成 り立 つ こ と は,大

者 は,交

成 元 も有 限 で あ り,

の よ う に い うの で あ る. 換子 群 を導 い た上 の 証

体 推 察 す る こ とが で き る だ ろ う.

例

  有 限 的 に 表 示 さ れ る群 の 例 を い くつ か あ げ て お こ う. 【例1】n次

の 巡 回 群Zn Zn={x￨xn}

【例2】

正2面

体 群Dn(第15講

参 照) Dn={x,y￨xn,y2,xyxy}

【例3】

ク ラ イ ン の4元

群(第9講

参 照)

K={x,y￨x2,y2,xyx−1y−1} 【例4】1つ

の 群 で も,い

ろ い ろ な 異 な っ た 表 示 が 可 能 で あ る.た

Z6={x￨x6}={x,y￨x3,y2,xyx−1y−1}

とえば

こ こで,2番

目 の 表 示 は,Z6をZ3×Z2と

【例5】4元

数 群Q(第15講

表 わ し た こ と に 対 応 し て い る.

参 照) Q={x,y￨x4,xy−1xy,x2y−2}

対 称 群Snの

  対 称 群Snは

有 限 表 示

次 の よ うに 有 限 表 示 さ れ る こ とが 知 られ て い る.

実 際,Snを Fn−1/N〓Sn と 表 わ し た と き,Fn−1の (n−1n)が

生 成 元x1,x2,…,xn−1に

対 し,Snの

元(12),(23),…,

対 応 す る.

  こ の 証 明 は 省 略 し よ う.

Tea

Time

交 換 子 群 に つ いて   講 義 で は 自 由 群 の 場 合 し か 述 べ な か っ た が,一 群[G,G]を

考 え る こ とが で き る.交

の 交 換 子[x,y]=xyx−1y−1を

般 の 群Gに

換 子 群[G,G]と

す べ て 含 む,Gの

べ た の と 同 じ よ うな 考 え で,[G,G]はGの

対 し て も,交

は,Gの

換子

任 意 の2元x,y

最 小 の 部 分 群 で あ る.講 正 規 部 分 群 で あ っ て,商

義で述

群

G/[G,G] は,可

換 群 とな る こ と を 示 す こ と が で き る.交

群Nで,G/Nが る.特

にGが

  n≧5の

可 換 群 な ら ば,[G,G]={e}で

と き,対

称 群Snの

交 換 子 群[Sn,sn]は

て Sn/An〓Z2 とな る.

換 子 群[G,G]は,Gの

正 規部 分

可 換 群 とな る よ うな 最 小 の も の と し て 特 性 づ け る こ とが で き あ る. 交 代Anと

一 致 す る.そ

し

  穴 がp個 あ い た 曲面 の基 本群 をΠpと す る と,Πpは2p個 雑 な 構造 を もつ 非 可 換群 で あ ったが, Πp/[Πp,Πp]〓Z2p とな る.

の 生成 元 を もつ,複

第26講 位

相

群

テーマ

◆ 実 数 の 加群 と近 さ―

数 直線 の イ メー ジ

◆ 演 算 が 連続 性 を もつ群 ―

行 列 のつ くる群

◆ 位相群へ ◆ 距 離 を もつ 位 相 群 ◆ 位相 群 で は,群 の演算 は基 底空 間 の位相 同型 写像 を 引 き起 こす.

実 数 の 加群 と近 さ   この ところず っ と続 い て きた話 で,読 者 は 群 とい うと,有 限群 か,有 限 生成 的 な 群 を 思 い浮か べ る よ うに な られ たか もしれ な い.し か し,も う一度 は じめ に戻 って 視点 を ず っ と高 めて,数 学全 体 を俯瞰 す る よ うな 気分 に な ってみ る と,た と えば,座 標 平面 上 で,グ ラフを 平行 移 動す る とい うよ うな ご くあ りふ れ た ことに も,群 の概 念 が働 い てい る ことに気 が つ く.こ こで働 く群 は,本 質的 には実 数 の つ くる加 群Rで

あ る.

  実数 のつ くる加群Rは,整

数 の つ くる加群Zと

的 な群 であ る と考 え て よい もので あ るが,私 Zの

よ うに,1つ1つ

並 ん で,数 学 の中 で最 も基 本

たち が,実

数Rを

取 り扱 うときは

の元 が ま った く独立 に あ って,そ れ ぞれ が別 々に存在 して

い る とは考え て いな い.R全

体 は,私 たち の空 間 表 象の 中 に し っか りと捉 え られ

て い て,Rは

数 直線 上 の点 と して表 現 され て い る.実 数 を 数直 線上 の 点 とみ る と

きには,1つ

の孤 立 した点 と して注 視 す る よ りは,そ の近 くに ある点 の集 ま りの

中 に うめ 込 まれ てい る1点 とい う見 方 を 強 め た方 が よい よ うで あ る.   そ うす る と,Rの

中 で定 義 され て い る加 法 とい う演 算 も,単 に2つ の実数a,b

に対 して,a+bと

い う実 数 を対 応 させ るだ けで は な くて,aの

bの 近 くにあ る点 が,や

は りこの加 法 に よ って,a+bの

近 くにあ る点,

近 くに運 ば れて い るだ

ろ うか とい う こ とに関 心 が 湧 い て くる.   この 関心 に答 え る のが,加 法 の連 続性 と よば れて い る もので あ って,解 析 の本 を開 くと an→a,bn→b(n→

∞)な

らば

an+bn→a+b

と い う形 で か か れ て い る(た

と え ば,こ

の シ リー ズ の

『解 析 入 門30講

元'−aを

対 応 さ せ る連 続 性

』 の 第6

講 参 照).   同 様に,a∈Rに

対 し,'逆 an→a(n→

∞)な

ら ば,−an→

−a

に も注 意 を 向 け て お いた方 が よいか も しれ な い.も っ と も この こ とは,aに−a を対 応 させ る ことは,数 直 線 を原 点 に 関 して 対称 に移す ことだ か ら,明 らか な こ とで あ る. 演算が連続性 をもつ群  平 面 上 で,原 点 を 中心 とす る角 θの 回転

全 体 も,回 転 の合 成 に よっ て群 をつ くって い るが,こ

こで も,私 たち の 直 観 と直

接 結び つ い て い るの は,群 の演 算 そ の もの だけ で は な くて,群 演算 の連 続 性

であ る.  一 般 に,実 数 を成 分 とす るn次 の正 則行 列(逆 行 列 を もつ 行 列)

の 全 体 を,GL(n;R)と

表 わ す と,GL(n;R)は,行

列 の積 に よ って群 をつ く

る.単

位 元 は 単 位 行 列 で,逆

元 は 逆 行 列 で 与 え られ て い る.GL(n;R)はn次

の 一 般 線 形 群 と よ ば れ て い る.   GL(n;R)の

部 分 群 の 中 に は,特

殊 線 形群 とよばれ てい る

SL(n;R)={A￨A∈GL(n;R),det(A)=1} (det(A)=1は,Aの

行 列 式 が1の

こ とを 示 し て い る)や,直

O(n;R)={O￨O∈GL(n;R),Oは が 含 ま れ て い る.直

交 行 列 と は,ベ

応 す る行 列 の こ と で あ る.2次 x軸

交群 とよば れ る

直 交 行 列}

ク トル の 長 さ を 変 え な い よ うな 線 形 変 換 に 対

の 直 交 群O(2;R)は,回

転Tθ(0≦

θ<2π)と,

に 関 す る折 り返 しを 示 す 行 列

か ら生 成 さ れ て い る.   記 法 につ い て一 言 述べ て お く と,GLと たSLはspecial

か い た の は,general linearの

linearの 頭 文 字 で あ る.行 列式 が1で あ る とい うこ とを 特定 す る とき に,

specialと い う形 容 詞 を使 う よ うで あ る.直 交群 にOを 容 詞orthogonalの

頭 文 字 で あ る.ま

用 い た の は,直 交 し て い る とい う形

頭 文字 に 由来 して い る.

  これ ら の 群 は,現

代 数 学 の 各 分 野 に 登 場 し て い る 最 も重 要 な 群 で あ る が,こ

で も 群 演 算 の 連 続 性:   行 列AとA′

の 各 成 分 が 十 分 近 く,BとB′

A′B′ の 成 分 は ま た 十 分 近 い.ま

たA−1とA′

の 各 成 分 が 十 分 近 け れ ば,ABと −1の成 分 も 十 分 近 い,

を 考 慮 す る こ と が 重 要 な こ と に な っ て い る.   この 連 続 性 の 性 質 を 前 の よ うに 述 べ た い と き に は,2つ

の 行 列A,B

に対 して,距 離 を

で 与 え て お く と よ い.こ

の と き,GL(n;R)の

中 で の群 演 算 の 連 続 性 は

な らば

こ

とい い表 わ す ことが で き る. 位 相 群 へ   この よ うな,数 学 の 広い 分 野 の 中 に おけ る群 の背 景 を考 えて み る と,群 の演 算 が 連 続性 を もつ よ うな もの は,重 要 な数学 の研 究 対 象 とな って くるに違 い ない と 予 想 され て くる.   しか し,群 の最 初 の 出発 点 が 抽 象的 な 集 合 とそ の上 での 演算 規 則 とい う ところ に あ っ た か ら,こ

こにすぐ に 連続 性 の考 え を も ち込む わ け に はい か ない ので あ

る.現 代数 学 の 枠 組 が明 らか に した こ とに よ る と,近 づ くとか,連 続性 とい った よ うな こ とを 論 ず る ため に は,集 合 か ら,位 相 空 間 へ と,舞 台 を移 してい か な く て は な らない.   したが って こ こで も,そ の方 向 に したが って進 む な らば,上 に述べ た よ うな研 究対 象を 設 定す るた め に は,'位 相 空 間上 の各 点 に対 して 群演 算 が定 義 され て い る よ うな もの'か らは じめ な くては な らな い.   そ こで 私 た ちが 望 んで い る設 定 は 次 の よ うにな る.以 下 で述 べ るのは 位相 群 の 定 義 で あ る.   位 相空 間Xの

点 の間 に,演 算 規 則 (x,y)→xy 

が 与 え られ,こ れ が群 の公理 を み たす とす る.す 単位 元eを 与 え る点が 存 在 してxe=ex=x;xの

(1) な わ ち結 合 則(xy)z=x(yz); 逆 元x−1を 与 え る点 が存 在 して

xx−1=x−1x=e.

  次 に これ らの演算 の連 続性 を要 請 しな けれ ば な らな いが,そ を,積 空 間x×xか

らXへ

の写 像 と考 え る.そ して写 像

が 連 続 で あ る とい う条 件 をつ け る.   次 に逆 元 を とる演 算 をXか

らXへ

の写 像 と考 えて,写 像

のた め ま ず(1)

も連 続 で あ る とい う条 件 も つ け る.   この 連 続 性 の 条 件 を み た す,位 うの で あ る.XをGの

相 空 間X上

で 定 義 さ れ た 群Gを,位

相 群 とい

基 底 空 間 とい う.

距 離 を もつ 位 相 群

  しか し,位

相 空 間 は,開

集 合 や 閉 集 合 な ど と い う概 念 で 規 定 され る よ うな,非

常 に 抽 象 的 な も の で あ っ て,数

学 の 一 般 概 念 が しば しば そ うで あ る よ うに,ふ

うの 人 が な か な か 近 づ け な い よ うに な っ て い る.私 目指 し て い る わ け で は な い の だ か ら,以 下 で,位 を 与 え る位 相 空 間Xに

は,距離

ρ(x,y)が

  距離 ρ と は,Xの2点x,yに っ て,条

た ち は,何

つ

も極 端 な 抽 象 化 を

相 群 とい う と き に は,基

底空 間

導 入 され て い る も の と し て お く.

対 し て,実

数 値 ρ(x,y)を

対 応 させ る対応 であ

件

  (ⅰ)ρ(x,y)≧0;等

号 が 成 り立 つ の は,x=yの

と き に 限 る.

  (ⅱ)ρ(x,y)=ρ(y,x)   (ⅲ)ρ(x,z)≦

ρ(x,y)+ρ(y,z)

を み た す も の で あ る.   この と き,Xの

点 列{xn}(n=1,2,…)がxに

収 束 す る(近 づ く)と い う こ と

は, ρ(xn,x)→0 

(n→∞)

が 成 り立 つ こ とで あ る と定 義 さ れ る.な お,こ

の と きxn→x(n→∞)と

か く.

  距 離 を 用 い る と,群 演 算 の 連 続 性 は xn→x,yn→y(n→∞)⇒xnyn→xy (2) xn→x(n→∞)⇒xn−1→x−1 

(3)

と い い 表 わ さ れ る.   実 際 は,位

相 群 の 一 般 的 な 定 義 で は,基

そ れ な りの 理 由 が あ る の で あ る.そ を もつ と して も,商

群G/Hを

底 空 間 に 距 離 を 仮 定 し な い.そ

の理 由 と は,Gを

位 相 群 と し,G自

で は,そ

身 は距 離

位 相 群 と し て 考 え よ う とす る と き,よ

つ 適 当 な 距 離 が ど う し て も 入 ら な い よ うな こ とが あ るか ら で あ る.し こ ま で 立 ち 入 っ た 議 論 は しな い の で,位

れ には

い性 質 を も か し,こ

相 群 の 定 義 の 中 に,基

こ

底 空 間X

は 距 離 を も つ こ と を 仮 定 す る こ と に し た.

群 の 演 算 と位 相 同 型 写 像

  位 相 群Gが

与 え られ た と し よ う.Gの

左 か ら か け る 演 算 は,Gか

らGの

元aを1つ

任 意 に と る.Gの

上 へ の 対 応 を 与 え る が,こ

元 にaを

の 対 応 を φaで 表 わ

そ う. φa:x→ax φaは,Gか

らGの

上 へ の1対1写

像 と な っ て い る.実

際,φaの

逆 写 像 は φa−1で

与え られ て い る.   φaは,も

ち ろ ん,Gの

基 底 空 間Xか

らXの

上 へ の1対1写像

で あ る が,(2)

に よって xn→x(n→ で あ る.し

た が って φaは,位

∞)⇒φa(xn)→φa(x) 相 空 間Xか

らXへ

逆 写 像 φa−1も,同 じ理 由 で 連 続 写 像 で あ る.こ

の 連 続 写 像 で あ る.ま の こ と は,φaがXか

位 相 同 型 写 像 と な る こ とを 示 し て い る.   同 様 に し て,右

か らの乗 法 x→xa

も,ま

た(3)に

よ っ て,逆

元 を 対 応 さ せ る対 応 x→x−1

もXか

らXへ

の 位 相 同型 写 像 と な っ て い る こ と が わ か る.

  こ の こ とを 次 の よ う に い い 表 わ し て お こ う.

左 か らの乗 法,右 か らの乗 法,逆 元 を とる演 算 は, す べ て基 底 空 間の 位 相 同型写 像 を 与 え て い る.

た φaの らXへ

の

Tea

質 問   実 数Rを,ま

Time

っ た く抽 象 的 な 加 群 と考 え て み よ う と思 っ て,ま

部 分 群 と し て どん な も の が あ る か を 考 え て み ま し た.任 と,α

ず,Rの

意 の正 の 実数 αを とる

の 整 数 倍 と し て 表 わ さ れ る 実 数 の 集 合A: A={…,−nα,…,0,α,2α,…,nα,…}

が 部 分 群 と な る こ と は す ぐ気 が つ き ま し た.そ

れ か ら有 理 数 全 体 の 集 合Qも,R

の 部 分 群 とな る こ と も す ぐに わ か りま し た.次

に これ ら の 商 群 を 考 え て み よ う と

思 い ま し た.R/Aは,一

周 す る と α と な る 円 柱 に,数

きつ け る よ うな こ と を 想 像 す れ ば よ い,こ て い る よ う に 考 え れ ば,明 ジ が 湧 き ま せ ん.正

ん.R/Qは

直 線を ぐる ぐる重 ね て巻 のTea

か し,R/Qの

Timeで

述 べ られ

方 に は全 然 イ メー

く らで も 小 さ い も の が あ っ て,最

小 の もの

柱 に 巻 き つ け る よ うな イ メ ー ジ を 考 え る わ け に は い き ま せ

ど ん な も の と思 っ た ら よ い の で し ょ うか.

答  実 数Rも,有

理 数Qも

イ メ ー ジ も 湧 か な い,ま ー ジか ら

らか な こ と で し た.し

の 有 理数 に は,い

が あ り ま せ ん か ら,円

れ は 第17講

,R/Qの

よ く知 っ て い る 数 な の に,商

群R/Qは,私

っ た く 扱 い に 困 る 厄 介 な 対 象 で あ る.数

イ メ ー ジ を 何 か 捉 え よ う と思 っ て も,数

に も何 の 直 線Rの

イメ

直 線 の 中 に,隙

間が

な い とみ え る ほ ど稠 密 に 詰 ま って い る 有 理 数 の 全 体 を ひ と ま とめ に して,1つ 剰 余 類 と し て 考 え る こ と が まず 難 し い.し と表 わ さ れ る よ うな 数 の 全 体― は な ら な い.こ さ れ,私

の

を 含 む 剰 余 類―

も ひ と ま とめ に し て 考 え て い か な く て

の よ うな 考 え を 進 め て い く と,数

直 線 の イ メ ー ジ は,完

全 に 寸断

た ち に 考 え る手 が か りを 与 え る よ うな も の は す べ て 消 え て し ま う.集 合

論 を 学 ん だ 人 な らば 加 群R/Qは,実 こ と は,す

か し 実 際 は, 

数 と 同 じ 濃 度―

ぐ に わ か る だ ろ うが,こ

の 加 群 を,実

に 生 み 落 と され た と こ ろ に,数 る と い っ て よ い だ ろ う.

を もつ

数 を 数 直 線 に 並 べ た よ う に,何

か 眼 に 見 え る よ うな 形 に 並 べ る こ と は で き な い.R/Qは,空 欠 い た 連 続 体 の 濃 度 を もつ 加 群 で あ っ て,こ

連 続 体 の 濃 度―

間的 な表 象を 一 切

の よ うな も の が 商 群 の 概 念 か ら 自 然

学 の 概 念 構 成 の 中 に ひ そ む 魔 力 の よ うな も の が あ

第27講 位 相 群 の様 相 テ

ーマ

◆ 代 数 的 な もの―

群―

と,位 相 的 な もの―

位 相 空 間―

◆ 閉 部 分群 ◆ 連結 成分:単 位 元 を 含む 連 結 成分 は正 規 部 分群 とな る. ◆ 近 傍 系:単 位元 の近 傍 系 と各 点 の近 傍 系 ◆ シ ュラ イエル の 第1,第2定 ◆(Tea

Time)位

理

相 群 に対す る準 同 型 定理

代 数 的 な も の と位 相 的 な も の   位 相群Gを

考 え る こ とに し よ う.前 講 では,位

る基 底空 間 を 区別 し て,基

底空 間をXと

相 群Gと,Gが

表わ した が,状

定 義 され て い

況 が理 解 されれば,記

号は な るべ く少 な い方 が よい.こ れか らは,基 底空 間 も群 と同 じ記号 で表 わ す こ とに す る.し たが って 位 相群Gと

い うときに は,記

号Gの

中 に は,一

方 には群

の概 念 が含 まれ,他 方 には 位相 空 間の 概念 が 含 まれ て い る こと にな る.こ の2つ の概 念が 群 演算(代 数 的!)の

連 続 性(位 相 的!)に

よって 結 びつ くので あ る.

  この代 数 的 な もの―

と,位 相 的な もの―

位相 空 間―

群―

とが,位 相群

論 の 中で どの よ うな 形 で 結 びつ くの か は,誰 に も興 味 の あ る ことで あ る.こ こで はそ の 様相 のい くつか を 述 べ て み よ う. 閉 部 分 群   次 の結 果 が成 り立 つ. Gを 位 相群 とし,SをGの Sの 閉 包Sも Sの閉包Sと

またGの

部 分 群 とす る.こ の とき

部 分 群 とな る.

は,位 相空 間 にお け る概 念 で あ って,Sの

点 は,Sの

点 と,Sの

点列によ

って 近づ け る点 か らな る. 【証 明 】Sの

点aは,特

に{a,a,…,a,…}と

こ と に す れ ば,Sは,Sの x,y∈Sと

す る.こ

xyで

あ る.こ

の と きxn∈S(n=1,2,…)でxn→x(n→

あ っ て,群

演 算 の 連 続 性(前

か ら,群

た が っ てSはGの

前 講 のTea Q=Rと

Timeで

講 の(2))に

講 の(3))か

含 む 部 分 群Sが

ぐ に 左 剰 余 類 の 集 合S/Sを

れ ほ ど扱 い に くい も の で あ る か と い う こ とは,Tea

らばx−1∈S

存 在 す る ことがわ か ったの だ 考 え て み た くな る.し

部 分 群 と は,閉

か し,

と っ て み る と, な る が,こ

Timeで

の対 象 が ど

述 べ た 通 りで あ る.

群 を 考 え る こ と は 難 し い.

  位 相 群 の 部 分 群 の 中 で,比 る.閉

らx∈Sな

た が っ て この 場 合,S/S=R/Qと

相 群 の 中 で,商

群

よ っ て,xnyn→

述 べ た 場 合 で 考 え て み る と,G=R,S=Qに

な っ て い る.し

一 般 に は ,位

存 在 す る.Sは

部 分 群 と な る.

対 し て,sを

の 立 場 で は,す

な る点 列

示 して い る.

  同 様 に し て 逆 元 を と る 対 応 の 連 続 性(前

  任 意 の 部 分 群Sに

∞)と

な る 点 列{yn}が

の こ と はxy∈Sを

も 成 り立 つ.し

点 列 で近 づ け る と考 え る

点 列 に よ っ て 近 づ け る 点 か ら な る とい っ て よ い.さ て,

{xｎ}と,yn∈S(n=1,2,…)で,yn→yと だ か らxnyn∈Sで

い うSの

較 的'性

質 の 穏 や か な'部

集 合 で あ っ て,か

命 題 の 記 号 を 用 い れ ばS=Sが

部 分群 で あ

つ 部 分 群 とな っ て い る も の で あ る.上

成 り立 つ 部 分 群 で あ る.閉

規 部 分 群 と な って い る と き に は,商

分 群 は,閉

群G/Sは,位

の

部 分 群Sが,さ

らに正

相 群 と 考 え て も,割

合 自然 に

振 舞 う群 と な る.

連

  次 の 定 理 は,位

結 成

相 群 論 の 様 相 を 示 す,1つ

【定 理 】 位 相 群Gの

単 位 元eを

分

の 定 理 と い っ て よ い だ ろ う.

含 む 連 結 成 分 をG0と

す る.こ

の と きG0はGの

正 規 部 分 群 とな る.

  連 結 成 分 の こ と を 思 い 出 し て お こ う(『 位 相 へ の30講 空 間Xの

部 分 集 合Sが,共

通 点 を もた な い(Sの)閉

』 の 第18講 集 合F0(≠

参 照).位

φ),F1(≠

相

φ)に

よ っ て,S=F0∪F1と

表 わ さ れ な い と き,Sを

の 点xを

と った と き,xを

ち,xを

含 む 任 意 の 連 結 な 部 分 集 合Sを

連 結 と い う.位

含 む 最 大 の 連 結 な 部 分 集 合C(x)が

で あ る.C(x)を,xの(ま

た はxを

と る と,必

含 む)連

相 空 間Xの

任意

存 在 す る.す

なわ

ずS⊂C(x)と

な っ てい るの

結 成 分 とい う.C(x)は

必 ず 閉集

合 と な っ て い る. 【証 明 】 前 講 の 最 後 で 注 意 し た よ うに,Gの 対 応 は,Gか

らGへ

の逆 元x−1を

の 位 相 同 型 写 像 を 与 え て い る.位

集 合 は 連 結 集 合 へ と 移 る か ら,G0の で あ る.G0−1と

元xに,そ

か い た の は,も

対 応 させ る

相 同 型 写 像 に よ っ て,連

こ の 写 像 に よ る 像G0−1は,や

結

は り連 結 集 合

ち ろん 集合 G0−1={x−1￨x∈G0}

の こ と で あ る.e∈G0に

よ っ て,e∈G0−1.し

た が っ て,G0−1は,eを

含む 連 結

集 合 と な っ て い る.   連 結 成 分G0は,eを

含 む 最 大 の 連 結 集 合 だ っ た か ら,こ

れか ら

G0−1⊂G0 が 得 られ る.こ

の 両 辺 に,も

う一度 写 像x→x−1を

適 用 す る と,

G0⊂G0−1 が 得 ら れ る.し

たが って G0=G0−1 

(1)

で あ る.   G0の

任 意 の 元aを

と る.対

ら,aG0={aｘ￨x∈G0}も

応x→axは,Gの

位 相 同型 写像 を 与 え て い る か

連 結 集 合 で あ る.(1)に

よって

aG0=aG0−1 し た が っ てaG0∋aa−1=eの

こ とが わ か る.再

びG0の,eを

含 む連 結 集 合 と して

の最 大 性 か ら aG0⊂G0 が 得 られ た.こ   こ れ で(1)と   次 に,任

の こ と は,任

意 のa,b∈G0に

合 わ せ て,GoがGの

意 の 元g∈Gを1つ

対 し てab∈G0を

示 し て い る.

部 分 群 と な る こ とが わ か っ た.

と っ て,位 x→gxg−1

相 同型 写 像

を 考 え る.こ の写 像 は,単 位 元eを 単 位元eへ るG0の 像gG0g−1は,eを

と移 して い るか ら,こ の 写像 に よ

含 む連 結 集 合 で あ る.し たが って,前

と同 じ推論 に よ

って gG0g−1⊂G0 が 得 られ た.し たが って,G0はGの

正 規部 分 群 で あ る.こ れ で 定理 が 証 明 され

た.   連 結 成 分 は,つ

ね に閉 集 合 だか ら,Goは,Gの

閉部 分 群 で あ る.商 群G/G0

は,位 相 空 間 として は,各 点 の連 結 成 分 が1点 か らな る空 間― 間―

完全 非 連 結 な空

とな って い る.

近   私 たち は,前

講 で,位

相群Gに

傍

は,距

系 離 ρが入 って い る と仮 定 して おい た.

この とき

と お く と,Unは わ ち,eの

開 集 合 で あ っ て,単

任 意 の 近 傍Uを

{Un;n=1,2,…}は,い

位 元eの

近 傍 系 の 基 を つ く っ て い る.す

と る と 必 ず 十 分 大 き いnに わ ば,eに

対 し て,Un⊂Uと

な

な る.

ど こ ま で も 近 づ い て い く近 傍 の 列 で あ る.そ

こで (2) と お く.写 像x→x−1は

位 相 同 型 写 像 だ か ら,Un−1もeを

含 む 開集 合 とな っ て

い る.Vn⊂Unで (3) と な っ て い る.{Vn;n=1,2,…}も

ま たeの

近 傍 系 の 基 で あ る.(2)か

(4) が成 り立 つ こ とを 注意 し てお こ う.   い ま,Gの

任 意 の元aに 対 し,位 相 同型 写像 x→ax

ら

に よ っ て,(3)の う.そ

状 況 を,単

位 元eの

まわ りか ら,aの

まわ りへ と 移 し て み よ

うす る と

と な っ て,{aVn;n=1,2,…}は,aの

近 傍 系 を つ く る こ と が わ か る.

任意 の部分 集 合Sに 対 して

が 成 り立 つ.

【証 明 】x∈Sを (i→ ∞)と はxの

と る.こ

な る.し

近 傍xVnに

の と きSの

た が っ て,与

点 列{xi}(i=1,2,…)が

存 在 し てxi→x

え られ た ｎ に 対 し て,iを

十 分 大 き く と る とxi

含 ま れ る:

こ の 関 係 は,x∈xiVn−1と

か い て も 同 じ こ とで あ る.(4)か

ら さ ら に,x∈xiＶn

と あ らわ して も よ い こ と が わ か る.し た が っ てx∈SＶn.xはSの か っ た の だ か ら,s⊂SＶ

任 意 の点 で よ

ｎが い え た.

シ ュ ラ イエ ル の 定 理

  次 に 述 べ る2つ と も あ る.こ

の 定 理 は,シ

の 定 理 は,位

ュ ラ イ エ ル の 第1,第2定

相 群 の 理 論 が 誕 生 し て 間 も な い 頃(1920年

シ ュ ラ イエ ル に よ っ て 見 出 され た も の で あ っ た が,群 働 き 合 い を 示 す もの と し て,発

【定 理 】Gを

理 として引 用 され る こ 代 半 ば),

と 位 相 との い き い き と し た

表 当 初 か ら注 目 さ れ た も の で あ っ た.

連 結 な 位 相 群 とす る.そ

の と きGは,単

位 元 の 任 意 の 近 傍 か ら生

成 さ れ る.

  定 理 で 述 べ て い る こ と は,単 を と っ た と き,開

を 考 え る と 

位 元 の 任 意 の 近 傍(簡

単 の た め 開 近 傍 と す る)U

集 合 の増 加 系列

と な る とい う こ とで あ る(図41;こ

こ で た と え ばU2が

開

集 合 と な る こ と は,U2=UxU(x∈U)の よ う に,U2が

開 集 合 の和 集 合 と し て 表わ

され て い る こ とか らわ か る). 【証 明 】nを

十 分 大 き く とれ ば,(3)の

列 に 含 ま れ る あ るVnに

系

対 して

U⊃Vn と な る.し

た が っ て,GがVnか

ら生成 さ

図 41

れ る こ とを 示 し さえす れ ば十 分 で あ る.nは1つ

と お く.上

固 定 して お き

に も注 意 し た よ うに,各Vnk(k=1,2,…)は

一 方,前

開 集 合 で あ る.

講 の 結果 か ら

し た が っ て,H=Hと

な り,Hは

閉 集 合 で も あ る.

  Gは

連 結 だ か ら,空

で な い 開 か つ 閉 な 集 合 は,G全

い.し

た が っ てG=Hと

な り,GがVｎ

か ら,し

体 と一 致 し な くて は な ら な た が っ て ま たUか

ら生成 され

る こ と が わ か っ た.

【定 理 】Gを

連 結 な 位 相 群 と し,Nを,次

  (#)任

意 のa∈Nに

こ の と き,NはGの

  (#)の 中 に'ま

中 心zに

条 件 は,Nに ば ら'に

対 し て,aの

の 性 質 を も つGの 適 当 な 近 傍Wを

正 規 部 分 群 とす る.

と る と,N∩W={a}

含 ま れ る.

属 す る点 が,Gの

入 っ て い る こ とを 述 べ て

い る(図42). 【証 明 】Nに

属 し て い る 点aを,任

つ と っ て 固 定 し て 考 え る.ま し て,(#)を

成 り立 た せ るaの

1つ と っ て お く.Gか

らGへ

意 に1

た このaに

対

近 傍Wを

の対応

図 42

は 連 続 で あ っ て,単

位 元eを,aに

移 し て い る.し

た が っ て,単

位 元 の 近 傍Uを

十 分 小 さ くと る と (5) が 成 り立 つ(ε δ-論法!).   Uの 点uを

任 意 に と る と,Nは

仮 定か ら正 規部 分 群 だか ら (6)

で あ る.   (5)と(6)か

ら,条

件(#)を

が 得 られ る.す

な わ ち,Uの

に よ って,Gの

任 意 の 元gは,有

参 照す る と

任 意 の 元uとaは

可 換 で あ る:ua=au.前

限 個 のUの

元ui(i=1,2,…,k)を

の定理 適 当 に とる

こ とに よって

と表 わ さ れ る.し

た が って

こ の こ と は,Nの

元aは,Gの

し て い る.こ

任 意 の 元gと

可 換 な こ と,す

な わ ち,N⊂Zを

示

れ で 証 明 され た.

Tea

質 問  2つ の位 相 群GとG′

Time

に対 して,Gか

らG′ へ の写 像 φが,同

型対 応 で あ

る とい うこ とを定 義 す るに は,φ が まず 群 として 同型 対 応 を与 えて い て,同 時 に, 基 底 とな っ てい る位 相 空 間 に対 し て,Gか

らG′ へ の位 相 同 型対 応 とな って い る

とす るの が 自然 だ とい う こ とは,僕 に も推 察す る こ とが で き ます.し か し,Gか らG′ へ の準 同型 写像 ψ は ど う定 義 した ら よいの で し ょ うか.ψ が 群 と して準 同

型対 応 を与 えて,さ

らに連 続 写 像 とな って い る と定義 す る こ とが,僕 に は最 も 自

然 な こ とに思 え るの です が. 答   まず君 の考 え た,位 相 群 に対 す る同 型対 応 の定 義 は,私 た ち が 使 って い る も の と一 致 して い る.そ の 意 味 で正 しい 定義 を 与 え てい る.準 同型 対 応 の君 の 定 義 も,自 然 な もの で あ って,そ れ で よい の だけ れ ど,こ の 定義 で は,位 相 群 の レベ ルで,準 同型 定理 G/N〓G′(Nは

ψ の核) 

(*)

  が 一 般 には 成 り立 た な くな っ て し ま う ことは注 意 して お く必 要 が あ る.成 り立 た な い,と い う とび っ く りす るか もしれ な い が,も ち ろん,群

としてG/NとG′

は同 型 なの で あ る.問 題 は 位相 の方 に あ る.   私 た ちは,講 義 の 中で 述 べ て こなか っ たが,商 うた め には,G/Nに1つ か らG/Nの

群G/Nを

位相 群 と して と り扱

位 相 を入 れ て お くこ とが必 要 とな る.こ

上 へ の 自然 な準 同型 対応 π:x→xNが,連

相 を入 れ るの で あ る.具 体 的 には,G/Nの

集 合Oが

の 位 相 は,G

続 写 像 とな る最 強 の位 開集 合 で あ るの は,π−1(O)

が 開集 合 の とき で あ る と決 め る ので あ る.   そ うす る と,π は,Gか を 開集 合 に移 す―

らG/Nへ

開 写像―

の 連 続写 像 とい うだけ で は な くて,開

集合

とい う性 質 を もって くる.し た が って(*)の

同

型 が,基 底 とな って い る位 相 空 間 として の 同型 を示 す こ と も要 請 す る以上,G′ も 同 じ性 質,す な わ ち,準

同 型対 応 ψ:G→G′

は,開

集 合 を 開 集 合 に移 す とい う

性 質を もつ こ とが,望 まれ て くるので あ る.   そ のた め,位 相 群 で は,準 同 型 定理 を 述べ る と きに は,Gか 続 な準 同型対 応 で,か

らG′ の上 へ の連

つ 開 写像 とな る ものが 与 え られ た と き,準 同 型 定理(*)

が成 り立つ と述べ るの で あ る.

第28講 不

変

測

度

テ ーマ

◆ 数 直 線 上 の長 さ と加群R―

長 さの不 変 性

◆ 正 の実 数 のつ くる乗 法群R+の ◆R+上

不変測度

の不 変 測 度 と積分

◆ 有 限 群 上 の不 変 測 度―

平均値

◆ 任意 の抽 象 群 上 では,一 般 には'不 変 測 度'は 存 在 し ない. ◆ 位 相 群上 の不 変 測 度 につ い て ◆(Tea

Time)amenable群

数 直 線 上 の 長 さ と 加 群R

  数 直 線 上 で 線 分 の 長 さを 測 る こ と は,あ

ま り当 り前 の こ とす ぎ て,こ

の 加 群 と し て の 構 造 が 働 い て い る こ と は,つ   数 直 線 上 の 閉 区 間I=[α,β]を る.あ

m(I)=β− と か く こ と に し よ う.こ

の と き,こ

分 の 長 さ は 変 わ ら な い.す a+I=[a+α,a+β]と

い 見 す ご さ れ て し ま う.

線 分 と思 う と,こ

と で 用 い る 記 号 と合 わ せ る た め に,こ

の 線 分 の 長 さ は,β−

αであ

こで は 少 し 大 げ さ だ が α

の 線 分 を 数 直 線 上 で 平 行 移 動 し て も,こ

な わ ち,Iをaだ

な る が,明

こに 実 数

け 平 行 移 動 す る と,得

の線

られ た 線 分 は

らか に

ｍ(a+I)=m(I) 

(1)

す なわ ち,線 分 の長 さは,加 法 に対 して不 変 で あ る とい う性 質 を もって い る.   この 性 質か ら,連 続 関数 の積 分 に 関 す る次 の よ うな性 質が 導か れ る こ とを 注 意 して お こ う.い

まy=f(x)を

数直 線 上 で 定 義 された 連 続 関数 と し,￨x￨が

大 きい と ころで は  恒 等 的 に0に な っ てい る とす る.こ の とき

十分

図43

(2)

が 成 り立 っ て い る.   これ は,図43を

見 な が ら 説 明 し た 方 が よ い.y=f(a+x)の

の グ ラ フ を,x軸

の 方 向 に−aだ

グ ラ フ は,y=f(x)

け 平 行 移 動 し て 得 られ る.い

f(x)≧0の

と き を 描 い て い る か ら,(2)の

f(a+x)の

グ ラ フがx軸

両 辺 は そ れ ぞ れ,y=f(x)と,y=

と囲 む 図形 の 面 積 を 表 わ して い る.グ

移 動 さ れ て い る だ け だ か ら,も

ま グ ラ フ で は,

ち ろ ん 面 積 は 変 わ らな い.こ

ラ フ 自 身 が,平

れ が(2)の

行

内容 で

あ る.   積 分 の 定 義 に 戻 っ て(2)を す る.そ

確 か め よ う とす る と,(1)と

れ ぞ れ の 定 積 分 は,図43で,斜

の 極 限 と し て 得 られ て い る.こ が(1)に

の関係 が は っ き り

線 部 分 の 長 方 形 の 面 積 の 和 を と り,そ

の と き,平

行 移 動 で 対 応 す る長 方 形 の 底 辺 の 長 さ

よ っ て 等 し い と い う事 実 が,本

質 的 に は(2)を

成 り立 た せ て い る理

由 とな っ て い る.

正 の 実 数 の つ くる 乗 法 群

  こ の よ うに,わ

か りき っ た こ と を,詳

し くか い た の は,加

乗 法 の つ くる 群 へ と観 点 を 移 し た と き,長 で,混

さ の 感 じ が す っか り変 わ っ て く る の

乱 し な い た め で あ る.

  正 の 実 数 全 体 の つ く る集 合 をR+と く っ て い る.単

位 元 は1で

  そ こ で 問 題 は,数 m(I)を

法 の つ くる 群 か ら,

あ り,aの

表 わ す.R+は

逆 元 は1/aで あ る.

直 線 の 正 の 部 分 に あ る 区 間Iに

導 入 した ら,R+の

実 数 の 乗 法 につ い て 群 を つ

乗 法 に 対 して,(1)に

対 し て,ど 対応 す る式

の よ うな'長

さ'

m(aI)=m(I) 

(3)

が 成 り立 つ だ ろ うか,と

い う こ とで あ る.こ

こで も ち ろ んaI=[aα,aβ]で

  も し,こ

さ'mが

の長 さで 区間 の 長 さを測 った積 分 を

の よ うな'長

∫ ・dxと 表 わ せ ば,(2)に

あ れ ば,こ

あ る.

対応 して

(4) も 成 り立 つ に 違 い な い.こ 連 続 関 数 で,あ

こでf(x)は,数

る 正数m,Mに

直 線 の 正 の 部 分R+上

対 し て,区

間[m,M]の

で 定 義 され た

外 で は,恒

等 的 に0と

な っ て い る よ う な も の で あ る.   答 を い っ て し ま う と,(3)を 間I=[α,β](0＜

成 り立 た せ る よ うな,新

し い'長

さ'mは,区

α＜ β)に 対 し て

(5) と お く こ と に よ っ て 得 ら れ る. 実際

とお い た

で あ る.   この 乗 法 で不 変 な'長 さ'で 区間 を測 る と

と な る か ら,私

た ち の よ く知 っ て い る 線 分 の 長 さ と は,全

然 違 う も の とな っ て い

る.   (4)の

積 分 の 定 義 は,ま

で 与 え ら れ て い る.こ

だ 述 べ て い な か っ た が,た

の と き,(3)か

ら(4)が

とえ ば左 辺 に 対 しては

導 け る こ と は,a=2の

場 合,

図 44

図44を

参 照 し て み る と わ か る.y=f(x)の

は,x=aで

のfの

値 を,x=a/2に

形 は 横 の 方 に1/2だ

グ ラ フ に 対 し,y=f(2ｘ)の

移 し た も の,し

た が っ て 全 体 と し て,グ

け 縮 小 し た も の と な っ て い る.(4)の

長 方 形 の 面 積 は,底

辺 の 長 さ をmで

等 し くな っ て い る の で あ る(読

図44を,見

ラフの

両 辺 の積 分を 近 似す る

測 っ て お く と,図44で

者 は,図43と

グラ フ

斜 線 をつ け た面 積 が 比 べ られ る と よ い か も

し れ な い).   (4)の

積 分 に 現 わ れ たdｘ は,(5)の

積 分 記 号 の 中 を 見 る と,記

号的 に

dx=1/xdx と 表 わ し て お い て も 誤 解 の な い こ とが わ か る.   mを,乗 は,加

法 群R+の

法 群Rの

不 変 測 度 と い う.こ

の い い 方 で は,ふ つ うの 線 分 の 長 さm

不 変 測 度 とい う こ とに な る.

  測 度 とい う言 葉 を 最初 に聞 かれ た読 者 は,こ 度 は 英語 のmeasureの

の言 葉 に少 し戸惑 わ れ るか も しれ な い.測

訳 で あ る.メ ジ ャーな らば,洋 服 の 寸 法 を測 る と きの あ の メジ ャ ー

か と納 得 され るだ ろ う.

有 限 群 上 の 不 変 測 度

  Gを

有 限 群 とす る.Gの

部 分 集 合S(≠

m(S)=1/￨G￨×(Sの とお く.こ

の と き,m(S)は (i) 

φ)に 対 し て 元 の 個 数)

次 の 性 質 を もつ. S1∩S2=φ

な らば

m(S1∪S2)=m(S1)+m(S2)

(6)

  す べ て(6)か らGの

(ⅱ) 

m(gS)=m(S)

(ⅲ) 

m(G)=1

ら 明 らか で あ ろ う.た

上 へ の1対1対

て も,有

と え ば(ⅱ)は,対

応x→gxが,Gか

応 で あ る こ と に 注 意 す る と よ い.1対1対

限 集 合 の 元 の 個 数 は 変 わ らな い.実

際 はm(Sg)=m(S)も

応で 移 し てみ 成 り立 っ て

い る.   (6)の

定 義 式 で,￨G￨で

あ る((ⅲ)は   mは,有

割 って あ る の は,(ⅲ)を

成 り立 た せ た か っ た か ら で

正 規 化 の 条 件 と い う こ と もあ る). 限 群G上

  有 限 群Gの

の 不 変 測 度 を 与 え て い る と考 え られ る.

位 数 をnと

し G={a1,a2,…,an}

と お く と,G上 で あ る.こ

の 実 数 値 関 数 と は,各ai(i=1,2,…,n)に

の とき,Gの

各 点aiに

実 数 を 対 応 さ せ る対 応

対 して m(ai)=1/n

が成 り立 つ こ とに 注意 す る と,関 数fのG上

と な る こ とが わ か る.す ま た は(4)に

な わ ち,fの

対 応 す る 式 は,い

と な る.aai(i=1,2,…,n)も

の積 分 と考 え られ る もの は

平 均 値 で あ る.積

分 の 不 変 性 を 示 す,(2)

まの場 合

結 局Gの

元 全 体 を わ た っ て い る の だ か ら,こ

の式

が 成 り立 つ こ と は 明 ら か で あ る.

一 般 の 群 に 対 して

  そ れ で は,任 (≧0)を

意 に 群Gを

対 応 さ せ て,有

と っ た と き,Gの

各 部 分 集 合Sに,'測

限 群 の と き と同 様 の 条 件

度'm(S)

  (ⅰ)  S1∩S2=φ

⇒m(S1∪S2)=m(S1)+m(S2)

  (ⅱ)  m(gS)=m(S)   (ⅲ)  m(G)=1 を み た す よ うに で き る だ ろ うか.   し か し,こ と え ば,自

の よ う な 不 変 測 度 は,一

由 群F2に

は,こ

的 な ア ー ベ ル 群 に は,こ 無 限 群 の 中 で は,そ

般 に は 存 在 し な い こ とが 知 ら れ て い る.た

の よ うな 測 度 は 存 在 し な い(Tea

Time).有

限 生成

の よ うな 測 度 が 存 在 す る こ とが 知 られ て い る が,一

般の

れ は や は り特 殊 な 状 況 で あ る と考 え て よ い よ う で あ る.

位 相 群 に 対 して

  最 初 に 述 べ たRと た が,こ

かR+は

の 測 度 で は,区

で 十 分 だ っ た の だ が,長

位 相 群 で あ っ た.そ

の と き に は,不

間 の 長 さ は い つ も測 れ て,連

変 測度 は存 在 し

続 関数 を 積 分す る には それ

さ が 測 れ な い よ うな 集 合 はRに

も,R+に

も存 在 してい

る.   ジ ョル ダ ン測 度(リ ーマ ン積 分 に対 応す る)で 考 え ていれ ば,区 間[0,1]に 理 数全 体 の 集合 には,長

さを考 え る こ とが で きな い.ル

含 まれ る有

ベ − グ測 度(ル ベ ー グ積 分 に対 応

す る)で 考 え てみ て も,非 可 測 集 合 が 存在 す る こ とが 知 られ てい る.   した が っ て,RやR+に

存 在 し た よ うな,群

続 関 数f(x)(≧0)が も 定 義 し て,一

の 演 算 に 対 し て 不 変 に 保 た れ,連

い つ で も 積 分 で き る よ うな 測 度 を,一

般 化 し て 考 え よ う とす る と,ま

般 の位 相群 に対 して

ず 部 分 集 合 の 大 き さ を 測 る とい う

こ とが,ど

の よ うな こ とか を 明 ら か に し な くて は い け な くな る.そ

れ を 明確 に し

た 上 で,次

に,群

ら に この 不 変

の 演 算 で 不 変 で あ る よ う な 測 度 が 存 在 す る か,さ

測 度 は 群 の 位 相 と か,関

数 の 連 続 性 に 対 し て 自 然 に 適 合 し て い る か,と

が 問 題 と な る だ ろ う.こ

の 問 題 は,群

合 う,難

し い 問 題 で あ っ た が,1930年

と,位

相 と,測

い うこ と

度 とが互 い に複 雑 に 関 係 し

代 の 終 り頃 ま で に は,完

全 に解 決 を み た

の で あ る.   こ こ で は,測

度 論 と位 相 空 間 の こ と を 知 っ て い る 読 者 の た め に,結

べ て お こ う.任 意 の 局 所 コ ン パ ク トな 位 相 群Gに 不 変 で あ る よ うな,完

全 加 法 的 な 測 度mが

は,Gの

存 在 す る.こ

果だけを述

左 か らの働 き に対 して の 測 度mに

関 し て は,G

の 任 意 の 開 集 合U,任 m(F)を

意 の 閉 集 合Fに

測 る こ とが で き る.Gに

対 し て,そ

の 大 き さ(測

よ る不 変 性 は,こ

度!)m(U),

の場 合

m(gU)=m(U),m(gF)=m(F) と表 わ され る.Gの

コ ン パ ク ト集 合Cに

また 空 で な い 開 集 合Uに   こ の 不 変 測 度 をG上 前 で あ る.ハ   Gが

対 し て は,つ

対 し て は,m(U)＞0で

ー ル(1885-1933)は

の 定 数 倍 を 除 い て,Gに

コ ン パ ク トな 位 相 群 の とき,次

で あ る.

あ る.

の ハ ー ル 測 度 とい う.ハ

ー ル 測 度 は,正

ね にm(C)＜+∞

数学 者 の名

対 し て 一 意 的 に 決 ま る.

講 で も う少 し,こ

の 不 変 測 度 の こ とを 述 べ

る こ と に し よ う.

Tea

amenable群   まずamenableと く した が う,従

につ いて

い うの は,あ 順 な,す

こで 用 い て い る の は,こ

ま り見 な れ な い 単 語 で あ る.辞 書 を 引 く と,'快

な お な'と

般 の 群 に 対 し て'の

す 不 変 測 度mを

もつ 抽 象 群Gの

う条 件 と,Gの る.も る.な

あ る.ほ

か に も 意 味 が あ る よ うで あ る が,こ

の よ うな 意 味 だ ろ う と推 測 さ れ る.amenable群

講 義 の 中 で'一

要 求 し て い な い が,'す

Time

項 目 で 述 べ た 条 件(ⅰ),(ⅱ)(ⅲ)を

こ と で あ る.こ

べ て の 部 分 集 合Sに

の 測 度 は,有

対 し て'大

っ と も(ⅲ)のm(G)=1と

1と な っ て,m(S)=∞

みた

限 加 法 性(ⅰ)し

き さm(S)が

働 き に 対 し て 不 変 で あ る とい う性 質(ⅱ)が

ぜ か と い う と,こ

と は,

か

測 れ る とい

強 い条件 とな って い

い う条 件 も見 か け よ りは 強 い 条 件 と な っ て い

の と き,Gの

どん な 部 分 集 合Sを

の よ うに,大

と っ て も0≦m(S)≦

き な 部 分 集 合 を 大 き く測 る こ とを 拒 否 し て

い るか らで あ る.   こ の よ うに 条 件 を 検 討 し て み る と,無 は,あ

よ う に,群G全

体 に わ た っ て,個

無 限 群 だ け が,amenable群 able群

限 群 でamenable群

ま りな い の で は な い か と い う気 が し て く る.何

の 真 の 正 体 は,現

  こ こで は,階

数2の

か,有

とな る よ う な も の 限 群 の とき 行 な った

数 の 平 均 が とれ る よ うな 操 作 が 可 能 な よ う な

と な りそ うな 気 もす る.し

か し,実

は ま だamen

在 の 数 学 の 段 階 で は 十 分 わ か っ て い な い の で あ る.

自 由群F2がamenable群

で な い こ とを 示 し て み よ う.そ

れ に は,第23講

のTea

Timeで

述 べ たF2の

分解

F2={e}∪W(a)∪W(b)∪W(a−1)∪W(b−1) 

(*)

=W(a)∪aW(a−1) 

(**)

=W(b)∪bW(b−1) 

(***)

を 用 い る.   い ま,F2がamenable群

で あ った と し て,(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を

存 在 し た と し て み よ う.こ の 元gに

対 し,ま ずmの

が わ か る.F2は g2,…,gkが

の と き ま ずm({e})=0で

ぜ な らF2の

不 変 性 か らm({g})=m(g{e})=m({e})と

無 限 群 だ か ら,任

存 在 す る,そ

あ る.な

み た す 測 度mが

意 の 自 然 数kに

こ でS={g1,g2,…,gｋ}と

任意

なること

対 し て,F2の

相 異 な る元g1,

お くと

m(S)=m({g1})+…+m({gk})=km({e}) kは 任 意 に 大 き な 自然 数 を と っ て よ い の にm(S)≦1な m({e})=0が

導 か れ る.

  m(F2)=1で

あ るが,(*),(**),(***)を

と,m({e})=0だ

の だ か ら,こ

の式か ら

用 い て この 大 き さ を 測 っ て み る

か ら 1=m(W(a)+m(W(b))+m(W(a−1))+m(W(b−1)) =m(W(a))+m(a−1W(a−1)) =m(W(b))+m(b-1W(b−1))

mの

不 変 性(ⅱ)に

m(W(b−1)).し 起 こ り得 な い.し

よ って,m(a−1W(a−1))=m(W(a−1)),m(b−1W(b−1))= た が っ て この3つ

の 式 が 同 時 に 成 り立 つ と い う こ とは,け

た が っ て,F2はamenableで

な い.

っ して

第29講 群

環

テ ーマ

◆ コン パ ク ト群 ◆ コ ン パ ク ト群 の例 ◆

コン パ ク ト群 の不 変 測 度

◆ 有限 群Gの

群 環K[G]

◆ 群 環 か ら関 数 の見 方 へ の移 行 ◆ コ ンパ ク ト群 の群 環

コ ン パ ク ト群

  この 講 の テ ー マ は,上

の タ イ トル に か い て あ る よ うに'群

あ と で す ぐ参 照 し た い こ と も あ る し,ま て,位

相 群 の 中 で も,特

測 度―

環'な

の で あ る が,

た 前 講 か ら 引 き 継 ぐ とい う 意 味 も あ っ

に コ ン パ ク ト群 に つ い て,そ

の 上 の 不 変 測 度―

ハ ール

に つ い て ま ず 述 べ て お こ う.

  コ ン パ ク ト群 とは,位

相 群 で あ っ て,そ

の基 底 とな っ てい る位 相 空 間 が コンパ

ク トに な っ て い る よ う な も の で あ る.   位 相 空 間Xが

コ ン パ ク トで あ る と い う性 質 は,私

と仮 定 し て お い た か ら(第27講 x2,…,xｎ,…}は

必 ず 集 積 点 を もつ'と

の 開 集 合O1,O2,…,On,… な ら ば,こ

参 照),'Xの

で に こ の 有 限 個 に よ っ てX=Oｉ1∪Oi2∪

中 に あ る 相 異 な る 無 限 点 列{x1,

い い 表 わ さ れ る.あ

に よ っ てX=O1∪O2∪

れ ら の 開 集 合 の 中 か ら,適

たち の場 合 は最 初 に距 離 空 間

る い は,'Xが

… ∪On∪ …

可算 個

とお おわ れ て い る

当 な 有 限 個 のOi1,Oi2,…,Oisを … ∪Oiｓ とお お わ れ て い る'と

と る と,す もい い表 わ

され る.   Rnの

中 の 有 界 な 閉 集 合 は,コ

ン パ ク トで あ る.だ

か ら,3次

球 や 球 面 や ドー ナ ツ面 な ど は す べ て コ ン パ ク トで あ る.

元 空 間 の 中 の,

  一方,数 る と,こ

直 線 や,平

面 全 体 は コ ン パ ク トで は な い.ま

れ は 開 集 合 とな っ て,コ

た,球

の 内部 だ けを 考 え

ン パ ク トで は な い.

コ ン パ ク ト群 の 例   有 限 群 は,有 ト群 に な る.距

限 個 の 点 か ら な る 集 合 で あ っ て,(離

散 位 相 に よ っ て)コ

ンパ ク

離 を ど の よ うに 入 れ る の か と い う質 問 が で る か も しれ な い が,そ

れは 0,a=b ρ(a,b)=  1,a≠b

とお い て,距

離 ρを 定 義 す る と よ い の で あ る.

  座 標 平 面 上 で,原 る が,こ

点 中 心,半

の 点 全 体 は,回

径1の

円 周 上 の 点 は,(cosθ,sinθ)で

転 に よ っ て,コ

ン パ ク トな 位 相 群 と な る.積

表 わ され の 演算 は

(COSθ,sinθ)・(COSθ1,Sinθ1)=(COS(θ+θ1),Sin(θ+θ1)) で 表 わ さ れ る.こ   円 周 群 のn個

の 群 は 円 周 群 と い っ てS1で

の直 積 Sn=S1×S1×

も,コ

表 わ す.

ン パ ク トな 位 相 群 と な る.こ

… ×S1

の群 をn次

  n次 の 直 交 行 列 の 全 体O(n)は,行

元 の トー ラ ス 群 と い う.

列 の 積 に よ っ て コ ン パ ク トな 位 相 群 と な

る.   n次 の ユ ニ タ リ行 列 の 全 体U(n)も,行

列 の 積 に よ っ て コ ン パ ク トな 位 相 群 と

な る.   n次 の ユ ニ タ リ行 列 とは,n次

の複 素 数 を成 分 とす る行 列 であ って,ｔUU=Iｎ(単

列)を み たす も の であ る.あ る いは,n次

元 複 素ベ ク トル空 間Cnに

位行

お い て,ベ ク トル の長

さを 保 つ 線形 写像 を表 わ す 行 列 であ る とい っ て も よい.

コ ン パ ク ト群 の 不 変 測 度

  Gを

コ ン パ ク ト位 相 群 と す る.こ

の と きGに

は,次

の 性 質 を も つ 測 度mが

存

在 す る こ とが 知 ら れ て い る.   (ⅰ)  任 意 の 開 集 合O,任

意 の 閉 集 合Fは,mに

よ っ て'測

度'を

測 ること

が で き る.つ

ねに 0＜m(O)≦1,0≦m(F)≦1

が 成 り立 つ(た

だ しO≠

  (ⅱ)  任 意 のg∈Gに

φ とす る). 対 し,こ

の 測 度 は,gの

左 か ら の 働 き,右

か らの 働 きに

対 し て 不 変 で あ る: m{gO)=m(Og)=m(O) m(gF)=m(Fg)=m(F)   (ⅲ)  m(G)=1.   こ の 測 度mを

用 い て,G上

の 任 意 の 連 続 関 数f(x)を

積 分 す る こ と が で き る:

∫Gf(x)dm(x)

測 度 の もつ不 変 性 は,こ の積 分 に対 して は,等 式

(1) が 成 り立 つ と い う こ と で 反 映 し て い る.

群

  さ て,こ   Gを

環

の 講 の 主 題 で あ る群 環 の 話 を は じ め よ う.

有 限 群 と し,Gの

元 を並 べ て G={e,a,b,c,…,g,h} 

の よ うに 表 わ し て お こ う.eは こ の 文 字 の 数 は,ち   そ こ で,本 (2)に

ょ う どn個

単 位 元 で あ る.Gの

位 数 はnと

のとき

あ る.

った く抽 象 的 な 意 味 で の ベ ク トル {e,a,b,c,…,g,h} 

(3)

れ か ら 生 成 さ れ た ベ ク トル αee+α ａ ａ+αbb+…+αgg+αhh 

を 考 え る.こ

す る が,そ

講 の テ ー マ で あ っ た 群 環 の 概 念 を 導 入 す る こ と に し よ う.Gの

対 応 し て,ま

を 対 応 せ さ,こ

(2)

こで 係数 αe,αａ,… αhは 実 数 とす る(注

数 は む し ろ 複 素 数 に と る 方 が ふ つ う で あ る).

(4) 意:一

般 的 な 立 場 で は,係

元

  (3)は,こ

の よ う な ベ ク トル 全 体 の 中 で,1次

が っ て,(4)の

独 立 で あ る と 仮 定 す る.し

よ う に 表 わ さ れ る ベ ク トル 全 体 は,n次

ル 空 間K[G]を

つ く り,そ の 基 底 が,ち

ょ う ど,ベ

た

元 の実 数 体 上 のベ ク ト

ク トル(3)で

与 え られ て

い る と い う こ と に な る.   こ こ ま で の 話 な ら ば,群Gの

元(2)に,ベ

ク トル(3)を

次 数 を 次 元 とす る ベ ク トル 空 間 を つ く っ た と い うだ け で,特

対 応 さ せ て,群

の

に 目新 し い こ と は な

い.   さ て,こ

の ベ ク トル 空 間K[G]に,群Gの

れ た,’ か け 算'の   そ れ に は,ま

元(2)の

規 則 を 導 入 し よ う.

ず αaaと

αbbの 積,αaa・ αbbを

αaa・αbb=αaαbab 

と 定 義 し,あ

間 の 演 算 規 則 か ら導 か

(5)

とは 分 配 則 を 適 用 す る の で あ る.

  こ うか い て もわ か りに く い か も しれ な い.例 次 の 巡 回 群 を と り,Gの

生 成 元 をaと

で 示 し て み よ う.い まGと

し,a2=bと

お く.し

し て3

た が って

G={e,a,b} と な る.a3=eで 元x,yを

あ り,し

た が っ てab=ba=e,b2=aで

あ る.K[G]の2つ

の

とって x=αe+βa+γb y=α′e+β′a+γ′b

とす る.こ

の と き,規

則(5)と,分

配 則 を 使 っ て,x・yを

定 義 す る と い うこ と

は 次 の よ うな こ と に な る. x・y=(αe+βa+γb)・(α′e+β′

ａ+γ′b)

=(α α′+βγ′+γ β′)e+(α β′+βα′+γγ′)a +(α γ′+ββ′+γα′)b た とえ ば,右

辺 第2項

の 式 のaの

係 数 として αβ′+βα′+γγ′

が 現 わ れ て い る の は,群

の演 算 の規 則 ea=a,ae=a,bb=a

と,(5)か

ら の 帰 結 で あ る.

 一 般 の 場 合 に 戻 って,K[G]の の 元x,yを(4)の

元 の 積 に つ い て,も

う少 し 考 察 し よ う.K[G]

よ うに 表 わ し て x=αee+αaa+αbb+…+α y=βee+β

ｈh

ａa+βbb+…+βhh

と し, x・y=γee+γaa+γbb+…+γhh と お く.   この とき

と な る.実

際 分 配 則 を 適 用 してxとyを

とす る と,αaaに

か け 合 わ せ,e-成

対 し て は αa− １a−1をか け,αbbに

分 だ け を と り出 そ う

対 して は αb−1b−1を かけて い く

と い う こ とに な るだ ろ う.   同 様 に 考 え る と,一 般 に

(6) が 成 り立 つ こ と が わ か る.こ

の式 は

(7) と か い て も 同 じ こ とで あ る.(6)の 成 分 に 対 し て,yのh−1a−

成 分 を 求 め る の に,xのh−

成 分 を か け て い っ た も の で あ り,(7)の

h−成 分 に 対 し て,xのah−1-成 【定 義 】n次

方 は,x・yのa−

方 は,yの

分 を か け て い った も の で あ る.

元 ベ ク トル 空 間K[G]に,こ

の よ う に 積 を 導 入 した も の を,Gの

群 環 と い う.   群 環 の 元x,yに

対 し て,

結 合 則:(x・y)・z=x・(y・z) が 成 り立 つ こ と は,群

の 結 合 則 か ら導 か れ る.分

配 則x・(y+z)=x・y+x・zや,

ス カ ラ ー 積 に 対 し て(α β)x=α(β ｘ),(α+β)x=αx+βxが

成 り立 つ こ と,e・x

=x・e=x(eはK[G]の   し か し,G自

乗 法 単 位!)が

成 り立 つ こ と もわ か る.

身 が 可 換 で な け れ ば,K[G]は

可 換 で は な い.

関 数 の 見 方 へ の 移 行

  群 環K[G]は,ま

った く別 の 観 点 か ら も見 る こ とが で き る.

  今 度 は,群Gの

元(2)に

対 し て,数

直 線 上 の 相 異 な るn個

{Pe,Pa,Pb,…,Pg,Ph}  を 考 え る.こ

の と きK[G]の

元(4)に

の点

(8)

対 し て,(8)の

上 で定 義 され た 実数 値

関 数fが f(Pe)=αe,f(Pa)=α

ａ,f(Pb)=αb,…,

f(Pg)=αg,f(Ph)=αh  に よ っ て 決 ま る.す

な わ ち,fは,K[G]の

元 の 成 分 を 対 応 さ せ る 対 応 を,関 現 し た も の と な る(図45参   逆 に,n個 数fが

の 点(8)の

数 と して表

照). 上 で定 義 された 関

考 え られ れ ば,(9)に

の 元 が1つ

(9)

よ っ て,K[G]

決 ま る.

  この対 応 で 図 45

x(∈K[G])〓f y(∈K[G])〓g とす る と αx+βy〓 で あ り,ま

た(6)と(7)に

αf+βg

よっ て x・y〓f*g

が 対 応 す る.こ

こ でf*gは

(10)

で 定義 され て い る関数 で あ る.

コ ン パ ク ト群 の 群 環

  こ の よ う に,有

限 群Gに

対 す る群 環K[G]の

ラ フ と し て 表 示 され る の を 見 て い る と,誰

元 が,図45で

で も,図45の

示 し た よ うに,グ

グ ラフを連 続 関 数の グ

ラ フ に し た ら ど う な る だ ろ うか と,考

え て み た くな る.連

は,有

然 と頭 の 中 で 考 え て い る こ と に な る.

限 群 か ら 位 相 群 へ の 移 行 を,漠

  こ こで は,コ 張 さ れ て,導

ン パ ク ト群 の 場 合 に 限 っ て,群

概 念 が ご く 自然 に拡

入 さ れ て い る こ とを 示 し て お こ う.

  そ の た め,Gを C(G)と

環K[G]の

続 関 数 と考 え る と き に

コ ン パ ク ト群 と し,G上

お く.f,g∈C(G)と

の 実 数 値 連 続 関 数 全 体 の つ く る集 合 を

す る と,任 意 の 実 数 α,βに対 し て αf+βg

を 考 え る こ と が で き る か ら,C(G)は,実 Gが

無 限 群 な ら ば,C(G)は

  f,g∈C(G)に

に,積

無 限 次 元 の ベ ク トル 空 間 で あ る.

対 し て,(10)に

ん 和 を と っ て,(10)と

数 体 上 の ベ ク トル 空 間 と な っ て い る.

見 な ら っ て,'積'f*gを

定 義 し た い.も

同 じ式 で 定 義 す る と い うわ け に は い か な い が,和

分 を と る と い う考 えが あ る(積

ちろ

の代 り

分 は有限 和 の極 限 で あ った ことを思 い 出 し

て お こ う).   そ こで,コ

ン パ ク ト群G上

に(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ)を

f*g(x)=∫Gf(y)g(y−1x)dm(y) 

と 定 義 す る の で あ る.も

ち ろ ん,こ

み た す 不 変 測 度mを

と って

(11)

の 定 義 が 妥 当 の た め に は,(10)の

右辺 の第

2式 に 相 当 す る 式 f*g(x)=∫Gf(xy−1)g(y)dm(y)  が 成 り立 つ こ と も確 か め て お か な くて は な らな い.し お く とy=xz−1と

な り,こ

こ に,積

分 の 不 変 性(1)を

(12) か し,(11)でy−1x=zと 用 い る と,(12)が

成 り

立 つ こ とが す ぐ に 確 か め ら れ る の で あ る. 【定 義 】G上

の 連 続 関 数f,gに

対 し,f*gを,fとgの

積 とい う.ベ

ク トル 空 間C(G)に,た

パ ク ト群Gの

群 環 と い う.

た た み 込 み,ま

た は合成

た み 込 み を 積 と し て 導 入 し た も の を,コ

ン

  た た み 込 み は,英 語 でconvolutionの 訳 で あ る.辞 書 を 引 い て み る と,convolutionは, 'く る く る 巻 い た 状 態'と か い て あ る.積 分 の 中 の 変 数 の 配 置 は,分 配 則 の'無 限 次 版'を 表 わ し て い る の だ が,こ

の 用 語 は,変数yがGの

中を走 りまわ る状 況 を想 定 してい るのか

も しれ な い.

Tea

質 問   こ の 講 義 で は,最

初 に コ ンパ ク ト群 の 不 変 測 度 の 話 が あ っ て,次

に 戻 っ て 群 環 の 話 を さ れ た の で,ど 思 っ て い ま し た.最 し て,急

Time

後 に き て,コ

ん な風 に,こ

の2つ

に有限群

の 話 題 が 結 び つ くの か と

ン パ ク ト空 間 上 の 連 続 関 数 の つ く る群 環 が 登 場

に 世 界 が 広 が っ た よ う な 気 が し ま し た.こ

の 点 を も う少 し お 話 し て い た

だ け ま す か. 答  有 限 群 に は,代

数 的 な 演 算 しか な い か ら,有

限 群 の 研 究 は,必

然 的 に,代

数

的 な 手 法 を 用 い て 群 の 構 造 を 調 べ る と い う方 向 へ と深 入 り し て い く こ と に な る. しか し い まみ た よ う に,位 群 の 上 の'関

相 群 へ と 移 る と,群 環 の 考 え を 経 由 し て,ご

数 空 間'が,群

論 の 檜 舞 台 に 登 場 し て く る の で あ る.関

と を 結 ぶ 接 点 に は,不 変 測 度 が あ っ た.こ 位 相 群 上 で は,有 群 の 働 き が,行

く自然 に

数 空 間 と群

の よ う な 道 を た ど っ て い く と,や が て,

限 群 論 に は な か っ た テ ー マ,群

の 上 の 関 数 空 間 と,そ

の上 へ の

く手 に そ び え る大 き な 山 の よ うな 研 究 課 題 と し て 見 え て く る の で

あ る.   関 数 空 間 に 展 開 す る 数 学 を 支 え て い る の は,解 相 群 と 不 変 測 度 の 基 礎 理 論 が 確 立 し て か ら,1940年 群 の 上 の 調 和 解 析 と し て,大

析 学 で あ る.1930年 以 降,位

代 に,位

相 群 上 の 解 析 学 が,

き な 理 論 を 形 成 して 発 展 し 続 け て き た.そ

れ は,単

に 古 典 解 析 の 世 界 に ラ イ トを あ て た だ け で は な く,数 学 の い ろ い ろ な 分 野 や 理 論 物 理 学 に深 い 影 響 を 与 え た の で あ る.

第30講 表

現

テー マ

◆'表 現'と い うこ と ◆ 群の表現 ◆ 同値 な 表現 ◆ 不 変 部 分空 間,既 約 性 ◆ 有 限群 の表 現 は,ユ ニ タ リ行 列 に よ る表 現 と同値 で あ る. ◆ 有 限群 の表 現 の 完 全 可 約性 ◆ コ ンパ ク ト群 の 場 合

'表 現'と   19世 紀 の 終 り頃か ら,フ

い うこと

ロベ ニ ゥスを 中心 として,し

だい に 創 り上 げ ら れ て

きた 有 限群 の 表現 論 は,有 限 群 の構 造 の解 明 に 重要 な 役 目を 演 じた だけ で は な く て,た ぶ ん フ ロベ ニ ゥスが 予 想 もし なか った よ うな 大 きな 数学 的思 想 に まで育 っ て,20世

紀 の数 学 を 縦断 して い くよ うにな った.こ の思 想 とは,抽 象 的 な構 造 に

よって 与 え られ た 数学 は,具 体 的な もの に働 きか け る ことに よって 自 らの もつ 抽 象 性 を表 現 し,逆 に具 体 的 な数 学 的 対 象 は,外 か らの働 き―

た とえば 群 に よる

働 き― に よって,そ の働 きに 関 し て不 変 な ものへ と分解 され る.そ し て こ の '不変 な る もの'は ,は っ き りと した数 学 的 実在 として 認識 され る とい う こ とに あ った.20世 くと,今

紀 に な って 抽 象数 学 の 波 が湧 き 上が り,や が てそ の潮 騒が 少 し遠 の

度 は それ に拮 抗 す る よ うに,'表

現'と い う考 え が数 学 の 中 に広 く浸 透

して きた の で あ る.   この最 後 の 講 で は,こ の よ うな 思想 を 育 て る母 体 とな った 群 の 表 現 論 に 関 し て,ご

く基 本 的 な事柄 を 述 べ る こ とに し よ う.

群

の

表 現

  こ こ で は 実 数 体 上 の ベ ク トル空 間 で は な くて,複 え る こ と に し よ う.し は,す

た が っ て,こ

素 数 体 上 の ベ ク トル 空 間 を 考

れ か ら 現 わ れ る ス カ ラ ー や,行

列 の成 分 な ど

べ て 複 素 数 で あ る.

  k次 元 複 素 ベ ク トル 空 間Ckか

ら,Ckへ

の1対1の

線 形 写 像 は,k次

の正則な

行 列 に よって

(1)

の よ う に 表 わ され る.正 と い っ てGL(k;C)と 【定 義 】 のk次

群Gか

表 わ す.GL(k;C)は ら,GL(k;C)へ

の 線 形 表 現,あ

  群Gが のk次

則 な 行 列 全 体 は 群 を つ く る.こ

の 群 をk次

の一 般 線 形 群

位 相 群 と な っ て い る(第26講

の 準 同 型 写 像 Φ が 与 え られ た と き,Φ

る い は 簡 単 にk次

位 相 群 の と き に は,Gか

参 照). を,G

の 表 現 と い う.

らGL(k;C)へ

の 連 続 な 準 同 型 写 像 Φ を,G

の 表 現 と い う.

  Gのk次 はk次

の 表 現 Φ が 与 え ら れ た と し よ う.こ

の 行 列 な の だ か ら,Φ(a)はCkか

らCkへ

の と きGの

各 元aに

対 し,Φ(ａ)

の線形 写像 を 与 え て い る こ とに

な る. Φ(a):Ck→Ck  Gの

単 位 元eに

は,恒

(a∈G)

等 写 像 が 対 応 し,ま

たaの

逆 元a−1に は,Φ(a)の

逆写像

Φ(a)−1が 対 応 し て い る.

同 値 な 表 現

  群Gの (1)の

表 現 Φ は,単

にCkか

らCkへ

の 線 形 写 像 と し て で は な く,k次

の行 列

よ うな 形 で 具 体 的 に 与 え ら れ て い る.

  同 じ線 形 写 像 で も,Ckの

基 底 を,標

0),…,ek=(0,0,…,0,1)か

ら,新

準 基 底e1=(1,0,…,0),e2=(0,1,0,…,

し い 基 底e1,e2,…,ekに

と りか える と,行

列 に

よ る 表 わ し方 は 変 わ っ て く る.線

形 代 数 に よ る と,こ

の 関 係 は 次 の よ うに い い 表

わ され る.

線 形 写 像Tを

表 わす 行 列Aを,基

底 変換 して 新 しい基 底 を

用 い て行 列 で表 わ す と P−1AP とな る.こ こでPは   Pの

成 分 が つ く るk個

基 底 変 換 の行 列 で あ る.

の 縦 ベ ク トル が,新

し い 基 底 ベ ク トルe1,e2,…,ekと

な

っ て い る.   こ の 結 果 を 参 照 し て 次 の 定 義 を お く. 【定 義 】 群Gの,2つ 正 則 行 列Pを

のk次

と る と,す

の 表 現 Φ,Ψ が 与 え られ た とす る.適

べ て のa∈Gに

当 なk次

の

対して

Ψ(a)=P−1Φ(ａ)P が 成 り立 つ と き,Φ

と Ψ は 同値 な 表 現 で あ る と い う.

不 変 部 分 空 間

  群Gの

表 現 Φ が 与 え ら れ た と し よ う.

【定 義 】Ckの

部 分 ベ ク トル 空 間Vが,す

べ て のa∈Gに

対 して

Φ(a)V⊂V と い う性 質 を も つ と き,Vを   線 形 写 像 は,0(-ベ 分 空 間{0}は

Φ の 不 変 部 分 空 間 と い う.

ク トル)を

つ ね に0に

不 変 部 分 空 間 で あ る.ま

移 し て い る か ら,0だ

た,Ckも

け か らな る部

も ち ろ ん 不 変 部 分 空 間 で あ る.

既 約 性 と完 全 可 約 性

【定 義 】 群Gのk次

の表 現 Φ の 不 変 部 分 空 間 が{0}とCkに

限 る と き,Φ

を

既 約 な 表 現 と い う.   読 者 の 中 に は,群Gが

有 限 群 の と き に は,{Φ(a)￨a∈G}は,有

限 個 の行 列 に

す ぎ な い の だ か ら,こ れ ら で 不 変 な 部 分 空 間 な ど い く らで も あ りそ うだ と思 わ れ る 人 も い る か も し れ な い.し

か し,群Gの

表 現 Φ が 与 え ら れ る と,Φ

は 自 然 に,

Gの

群 環K[G]の

て い る.Φ

表 現 Φ を 導 くの で あ る.K[G]は

は,前

講 の(4)で

ここで は複素 数 体上 で考 え

表 わ さ れ て い るK(G)の

元 に 対 し て,行

列

αeΦ(e)+αaΦ(a)+αbΦ(b)+…+αgΦ(g)+αhΦ(h) を 対 応 さ せ る こ と に よ り得 ら れ る.こ ラ ー積 と和 で あ る.こ

こで ス カ ラ ー 積 と和 は,行

の と き群環K[G]の

元x,yに

列 とし ての ス カ

対 して

Φ(x+y)=Φ(x)+Φ(y),Φ(αx)=α

Φ(x),

Φ(x・y)=Φ(x)Φ(y) が 成 り立 っ て お り,そ て い る.Gの

の意 味 で,Φ

位 数 をnと

Φ(x)(x∈K[G])の

はK[G]か

らk次

行 列 全 体へ の表 現 とな っ

す る と,ベ ク トル 空 間 と し てK[G]は,n次

形 の 行 列 は た くさ ん あ る か ら,今

元 で あ る.

度 は 既 約 と い う定 義 を,

実 感 と し て 納 得 し て も ら え る だ ろ う. 【定 義 】 Φ をGのk次

の 表 現 とす る.Ckが Ck=V1 

と表 わ さ れ,各Vｉ

Φ の不 変部 分空 間 の 直和 として

V2  …  Vｓ

上 で は,Φ

は 既 約 と な る よ うに で き る と き,Φ

をV1,V2,…,Vs上

に 制 限 し て 得 られ る 表 現 が,そ

を 完全 可約 で

あ る と い う.   す な わ ち,Φ で 既 約,V2上

で 既 約,…,Vｓ

れ ぞ れ,V1上

上 で 既 約 と な っ て い る の で あ る.

ユ ニ タ リ行 列 に よ る 表 現

  Ckの

標 準 的 な 内 積 を(x,y)で

(y1,y2,…,yk)に

表 わ そ う.す

な わ ち,x=(x1,x2…,xk),y=

対 して (yiはyiの

共 役 複 素 数 で あ る)

と お い て あ る.   い ま,有

限 群G={a1,a2,…,an}のk次

の表 現 Φが 与 え られた とき

(2)

と お く.す い る.

ぐ に 確 か め られ る よ うに,(x,y)Gも,Ck上

の,1つ

の 内積 とな って

こ の とき

任 意 のa∈Gに

対 し

(Φ(a)x,Φ(a)y)G=(x,y)G が 成 り立 つ.

【証 明】

(bｊ=ajaと

  こ の 結 果 は,Φ(ａ)(a∋G)が,す

べ て 内 積(x,y)Gを

お い た)

不 変 に保 つ こ とを示 し

て い る.   線 形 代 数 の 結 果 に よ る と,こ {e1,e2,…,ek}と

して,こ

こ の 基 底 に 関 し て,す 基 底 変 換 の 行 列 をPと

の と き,内

れ をCkの

積(x,y)Gに

新 し い 基 底 と し て 選 ぶ と,Φ(a)(a∈G)は

べ て ユ ニ タ リ行 列 とな る.す

な わ ち,{e1,e2,…,eｋ}へ

の

し, Ψ(a)=P−1Φ(a)P 

と お く と,Ψ(a)は

関す る正 規 直交 基 底 を

(a∈G)

ユ ニ タ リ行 列 と な る.

  表 現 の 同 値 性 の 定 義 を 見 る と,こ

の 結 果 は,次

の 定 理 の 形 に 述 べ る こ とが で き

る.

【定 理 】 有 限 群Gの

任 意 の 線 形 表 現 は,ユ

ニ タ リ行 列 に よ る 表 現 と 同 値 で あ る.

完 全 可 約 性   次 の 定 理 も示 し て お こ う.

【定 理 】 有 限 群Gの

表 現 は 完 全 可 約 で あ る.

【証 明 】

ま ず 完 全 可 約 性 の 定 義 を み る と,次

可 約 で あ る と い う性 質 は,Ckの

の こ と が わ か る.Gの

表 現 Φ が完 全

基 底 を と り直 し て,Φ と 同 値 な 表 現 に お き か え て

も変 わ ら な い.   し た が っ て,す 対 し て,Ψ

ぐ上 の 定 理 で 示 した,Φ

が 完 全 可 約 で あ る こ と を 示 そ う.

  Ψ に よ っ て 不 変 で あ る よ うなCkの 異 な る不 変 部 分 空 間 の 中 で,次 の1つ

を と っ てV1と

  V1は,既

元 が 最 小 と な る も の が あ る.そ

の よ うな もの の中

あ る.

ぜ な らV1が

既 約 で な い と す る と,{0}〓W〓V1を

で 不 変 な も の が あ る こ と に な る.明

れ はV1の

  そ こ で,内

部 分 空 間 全 体 の 集 ま りを 考 え る と,{0}と

お く.V1≠{0}で

約 で あ る.な

た すWで,Ψ ら,こ

と 同 値 な ユ ニ タ リ行 列 に よ る表 現 Ψ に

み

ら か にdimW＜dimV1だ

か

と り方 に 反 す る.

積(x,y)Gに

関 し てV1の

直 交 補 空 間V1⊥

を 考 え る.V1⊥

は,Ck

の部 分 空 間 で V1⊥={x￨す に よ っ て 定 義 され て い る.線

ベ て のy∈V1に

対 し て(x,y)G=0}

形 代 数 に お け る ベ ク トル 空 間 の 議 論 か ら,よ

く知 ら

れ て い る よ うに Ck=V1 

V1⊥

  (3)

が 成 り立 つ.   も し,V1⊥={0}な

ら ば,V1=Ckで

あ っ て,こ

の 場 合Ψ

自 身 が 既 約 で あ り,

Ψ は 完 全 可 約 で あ る.   次 にV1⊥ ≠{0}の っ て い る.な

場 合 を 考 え よ う.こ の と きV1⊥

ぜ な らy∈V1な

ら ば Ψ(a−1)y∈V1で

は,Ψ

の不 変 部 分空 間 とな

あ り,し た が っ て

(内積 の不 変 性) (Ψが表 現 だ か ら)

こ の 最 後 の 式 は,Ψ(a)x∈V1⊥(a∈G)を

示 し て い る.こ

れ でV1⊥

が不 変 部 分空

間 で あ る こ と が 示 さ れ た.   Ckか

ら 出 発 し て,分

解(3)を

得 た と同 様 に し て,V1⊥

に含 まれ る Ψ の不 変

部 分 空 間(≠{0})を

と り,そ

れ をV2と

す る.同

じ議 論 で,Ψ

はV2上

で 既約

であ って (4) とな る こ とが わ か る.(4)を(3)に

と な る.こ

代 入 して

の 操 作 を 繰 り返 し て い く と,結

間Vi(i=1,2,…,s)の

局CkはΨ

につ い て既 約 な 不 変 部分 空

直和 と して

と表 わ さ れ る こ と が わ か っ た.こ

れ で Ψ が,し

た が って また Φが 完全 可約 で あ

る こ と が 証 明 さ れ た.

コ ン パ ク

  上 の2つ Gで

ト群 の 表 現 に つ い て

の 定 理 の 証 明 に 対 し て,表

不 変 な 内 積(1)が

現 Φ を 通 し てCkに

  い ま,Gを

コ ン パ ク ト群 と し,G上

GL(k;C)へ

の 連 続 な 表 現 Φ が 与 え ら れ た とす る.こ ((x,y))G=∫

とお く と,((x,y))Gは の 中 の 内 積 は,G上

群Gを

働 か せ た と き,

存 在 す る こ と が 本 質 的 で あ っ た.

や は りGの

の 不 変 測 度mを1つ

と っ て お く.Gか

の と き(2)の

ら

代 りに

G(Φ(a)x,Φ(a)y)dm(a)

働 き で 不 変 な,Ck上

の 内 積 と な る.積

分記 号

の 連 続 関 数 と な っ て い る こ とを 注 意 し よ う.

  こ の 内 積 を 用 い て,上

と同 様 の 議 論 を 行 な う と,次

の2つ

が 定 理 が 成 り立 つ こ

とが わ か る.

【定 理 】

コ ン パ ク ト群 の連 続 な 線 形 表 現 は,ユ

ニ タ リ行 列 に よ る 表 現 と 同 値 で あ

コ ン パ ク ト群 の連 続 な 線 形 表 現 は,完

全 可 約 で あ る.

る.

【定 理 】

Tea

Time

正 則 表現 につ い て   抽 象 的 に 群 の 表 現 の 話 を し て み て も,一

体,表

つ く ら れ る も の な の か を 述 べ て お か な くて は,片 一 番 基 本 的 な 表 現 は,正

現 と い うの は,ど

の よ うに して

手 落 ち と な っ て し ま う だ ろ う.

則 表 現 と よ ば れ る表 現 で あ っ て,こ

れ につ い て 少 し 説 明

し て お こ う.   まず,Gを

有 限 群 とす る.Gは

gx(x∈G).し

か し,こ

の 働 き はGの

左 か ら 自 分 自 身 の 上 に 自 然 に 働 い て い る:x→

の 働 き は,線

形 性 とは ま った く無 関 係 で あ る.だ

上 に 働 くだ け で は な くて,自

引 き 起 こ し て い る こ と に 注 意 し よ う.Gの を 引 き 起 こ し て い る.と は,Gの

然 にGの

群 環K[G]の

左 か らの 働 き は,K[G]の

こ ろ が,K[G]は,ベ

が,こ

上 へ の働 きを 基 底 の変 換

ク トル 空 間 で あ る!こ

の変 換

線 形 表 現 と し て 行 列 に よ っ て 表 わ さ れ る だ ろ う.こ の 表 現 をGの

左か ら

の 正 則 表 現 と い う.   群 環 とい う考 え を 導 入 す る こ と に よ って 得 ら れ た 新 し い 観 点 は,こ 群 の 働 き が,群

環 を 通 し て,線

の 考 えを 背 景 に し て,表   そ れ で は,と

の よ うに,

形 性 と い う性 質 を か ち と った 点 に あ る.実

際,こ

現 論 が 育 っ て き た と も い え る の で あ る.

読 者 は 質 問 さ れ る だ ろ う.コ

体 の つ く る空 間C(G)を,群

ンパ ク ト群Gに

環 と 考 えた が,G上

対 し て,連

の 連 続 関 数f(x)に

続 関数 全

対 し て,新

しく fｇ(x)=f(gx) とお く と,対 は,C(G)か

応f→fgは,や らC(G)へ

トル 空 間 で あ る!し は 可 能 で あ っ て,実 し て の 深 み は,こ る こ とは,ま

は り表 現 と考 え て よ い の か?確 の 線 形 写 像 と な っ て い る.だ

か し,こ 際,こ

がC(G)は

か に,こ

の対 応

無 限 次元 のベ ク

の よ うな ところ まで 表 現論 の 世 界を 展 開す る こと

の 講 の 最 初 に 述 べ た 表 現 論 の 現 代 数 学 に お け る思 想 と

の 方 向 へ 進 む こ と に よ っ て 育 て られ た の で あ る が,そ

れ を述 べ

た 別 の 主 題 と な っ て く る だ ろ う.

  こ の こ と に つ い て も う少 し 学 ん で み た い 読 者 は,た 『連 続 群 論 入 門 』(培 風 館 新 数 学 シ リー ズ)か,岡 (紀 伊 國 屋 数 学 叢 書)を

参 照 し て み ら れ る と よ い.

と え ば 山 内 恭 彦 ・杉 浦 光 夫

本 清 郷 『等 質 空 間 上 の 解 析 学 』

索

引 ―

ア

行

ア ーベ ル 群  23

回転 群   51 可 換 群  23

有 限 生 成 的 な― amenable群 

と反転   12,20

  146

214

核   137 完 全 加法 的 な測 度  213

安 定 部 分 群  94

完 全 可 約  227,228

位

奇 置 換   41

―

数  29,63 が2,3の 群  65

―

が4の 群  65

軌

―

が8の 群  113

基 本 群   168

―

が12の 群   113

球 面 の―

―

が14ま で の群  109

ドーナ ツ面 の―

―

が 素数 の群  65

2つ 穴 の あい た ―

―

が2pの

―

がp2の 群   111

基 底 空 間   197

群   109

距 離 を もつ ― 連 結 な―

  168  169

基 本 変 形  154

  203

局 所 コン パ ク トな ―

  168

基 本 対 称式   43

位 相 群   196,197 ― の 準 同 型定 理   207 完 全 非 連結 な―

道  93

  213

Z上 の― 元   16

逆

像  138,139

逆 変 換   16 共

  197

  202

位 相 同 型 写像   198 一 般 線 形 群  195

  156

逆

役 ―

な 元  114

―

な 部分 群   123

共 役 類   114

ウ ィル ソン の 定理   81

S7の 元 の―

  118

Snの 元 の―

 120

近 傍 系 の 基  203 円周 群   217 偶 置 換   41 クラ イ ンの4元 群   66,190

オ イラ ーの 関 数  80 カ 回  転  11,19,27

行

群   16 ― の働 き  84 群

環   220

コン パ ク ト群 の ―

 222

剰

余   69

剰 余類   69 ― のか け算   75

結 合 則  16

―

原 始根   81

の加 法  70

nと 素 な ―

  77

剰 余類 群   71

語  174,175,179 簡 約化 され た―

  179

ジ ョル ダ ンーヘ ル ダーの 定理   135 シ ロー群   104

交 換 子  187 交 換 子群   189,191 合 成 積  222

正 規 化群   123

交 代 群  42,132

正 規 部分 群   124

交 代 式  43

整

合

正 則表 現   231

同  69

数  68

恒 等 変換  15

正 多 面体   45

互

正4面 体   45

換  38

コ ー シー の定 理  96

正6面 体   46

固 定 部 分群   94

正8面 体   46

コ ンパ ク ト群  216

正12面 体   46

サ

行

左 右 対 称  7,18,36

正20面 体  46 正 多 面 体群   46,58 正2面 体群   108,190 正4面 体群   47

指

数  59

自由群  174,181 ― と関 係   186 階数nの ―

  182

収 束 す る  197 シ ュラ イエ ルの 定理   204 巡 回群   132 ― の 生成 元   62 ―

の 直積   107

n次 の―

正6面 体群   31,48 ― と部分 群  57 正8面 体群   48 正12面 体群   49 正20面 体群   49 積  16 線形 表 現  225 組 成列   134

  190 タ

巡 回置 換   117 巡 回部 分群   63

第1同 型 定 理   142

準 同型 写 像  88

第2同 型 定 理   142

準 同型 定 理   140

対 称 群  152 ― の有 限 表 示  191

商

群   126

乗

法   16

3次 の―

  26

行

n次 の―

  29

表

対 称 式  43

現  90,225

対 称 変 換  7

既 約 な ―   226 コンパ ク ト群 の― 

互 い に 素  72

忠実な―

 90

た た み込 み  222

同値 な ―

 226

単 位 元   16

ユ ニ タ リ行列 に よる―

単 純 群   129,135 ― の 分類   136

連続な―

230

 227

  225

フ ェルマ の 小定 理   78 置 換 群  26,29

符号(置 換 の)  41

中

部分 群  47

心   100

共 役 な―

中 心 化 群   115 直

  123

不変 測 度

積   106 巡 回 群 の―

 107

直 交 群   195

位相 群 の ―

  213

加法 群 の ―

  211

コン パ ク ト群 の―  同

型  34

乗法 群 の ―

217

 211

同型 写 像  35

有 限群 上 の―

同値 類   54,55

不 変 部分 空 間  226

  212

特 殊 線 形群   195 閉 曲 線  165

特 殊 直 交 群  51

平 均値   212

トー ラ ス群  217 ハ 働

行

平 行 移動  8,19   平 面上 の ―

左 か らの ―

 86

変

右 か らの ―

 87

 ―

両 側 か らの ―

換  18,83 の乗 法   15

  87

ハ ール 測 度   214 反

 9,19

閉 部 分群   201

き  84

転   12,20

ホ モ トピー類  166 ―

の演 算   167

ホ モ トー プ  164,165 非 可 換   14

マ

非 可 換 群  23 非可換性 S3の ― 変換の―

右 剰 余類   59   26   14

p−シ ロー群  104 左剰 余類   56,59

無 限 群  22 無 限巡 回 群  66

行

4元 数群  112,191 ヤ

行 ラ

有 限群   22 有 限巡 回群   62

行

ラ グ ラ ンジ ュの 定理   56

有 限生 成 的   145 有 限生 成 的 な アー ベル 群  146 ― の階 数   146

類

別 同値 類 に よる―

  54

部 分群 に よる―

  55

―

の基 本 定理   146

―

の 自 由部分   146

―

のね じれ群  146

連

―

のね じれ係 数  146

連 結 成 分  201,202

―

の部 分 群   149

有 限 的 に表 示 され る群   190 ユ ー ク リ ッ ドの互 除法   72

結  202

連 分数  74

著 者 志

賀

浩

二

1930年  新 潟市 に生 まれ る 1955年  東 京大学 大学院 数物 系数学 科修士 課程修 了 現

在 東 京工業大 学名 誉教授 理学 博士

数 学30講 シ リー ズ8 群 論

へ の30講

1989年8月25日 2008年1月20日

定価はカバーに表示

  初 版 第1刷  

第15刷

著 者 志

賀

浩

二

発行者 朝

倉

邦

造

発行所  株式 会社 

朝 倉 書 店

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町  6−29 郵 便 番 号  162−8707 電 〈検 印 省 略 〉 Ｃ1989〈 無 断 複 写 ・転載 を禁 ず〉 ISBN

978−4−254−11483−6

話 03(3260)0141

FAX 03(3260)0180 http://www.asakura.co.jp 新 日本 印刷 ・渡 辺 製 本 C3341

Printed

in Japan