電磁気学30講 (物理学30講シリーズ)

物理学30講シリーズ６ 戸 田盛和 著

電磁気学30講

朝倉書店

は

し

が

き

  本 書 で は,電 気 と磁気 に 関 す る基 本 的 な現 象 か らは じめ て,で

きる だ け統 一 的

で簡 潔 な電 磁 気 学 の 解説 を試 み た.   電 流 の 磁 気 作 用 や 電 流 ど う しの相 互 作 用 を調 べ た ア ンペ ー ル は,こ れ らを遠 隔 作 用 と して 把 えた 数 学 的 理 論 を構 築 したが,そ の 後 間 もな くフ ァ ラデ ー は電 磁 誘 導 な どの 現 象 を発 見 し,電 磁 現 象 を広 く説 明 す る電 磁 場 の概 念 を導 入 した.電 磁 場 の理 論 はマ クス ウ ェル の 電磁 気 学 と して 完成 され,さ

らに ヘ ル ッ,ロ ー レン ッ

を経 て,ア イ ン シ ュ タ イ ンの特 殊 相 対 性 理 論 へ とつ な が る の で あ る.   本 書 は ３つ の 部 分 で構 成 す る考 え で執 筆 した.そ の 第 １の部 分 で は,主 に真 空 中 の 電 磁 現 象 を扱 う.電 磁 場 の基 本 的 な あ り方 は,物 質 の な い真 空 中 の 場 で あ り,電 場Ｅ と磁 場 Ｈ とで 記 述 さ れ る.複 雑 さ を避 け る た め,真 空 中 の 電 束密 度 D=ε0Eと

磁 束 密 度B=μ0Hと

は,原 則 と して 用 い な か っ た が,ロ

ー レ ン ツ力

の記 述 で は慣 用 に した が って 磁 束密 度 を使 った.磁 荷 や双 極 子 な どの説 明 も含 め た の で,こ の 第 １の 部 分 は 予 定 よ り も長 くな った き らい が あ る.   第14講

に は じま る 第 ２の部 分 で は,電 気 力線 と磁 気 力 線 の束,す

管 と磁 力 管 に よ る圧 力 と張 力(マ ら解 説 した.そ

クス ウ ェ ルの 応 力)を,具

な わ ち電 力

体 的 な例 を挙 げ なが

して 次 に,こ れ を用 い てマ クス ウ ェル の 電磁 場 の 方 程式 を導 入 す

る.こ の ときニ ュ ー トン力 学 の アナ ロ ジ ーか ら,運 動 量 の 時 間 的 変化 が力 に等 し い こ とを用 い る.   電 磁 場 の運 動 量 は,次 の よ う に量子 論 の簡 単 な知識 を援 用 す れ ば理 解 しやす い と思 う。 量 子 論 に よれ ば,光(電

磁 波)は 光 子 とい う粒 子 の 流 れ で あ り,光 子 の

運動 量 をｐ,光 速 度 を ｃとす る と,そ の エ ネル ギ ー はcpで あ る.光 の平 面 波 のエ ネ ル ギ ー 密 度 は(ε0E2+μ0H2)/2=ε0E2=μ0H2=√ε0μ0EHで

あ る か ら,光 の 運

動 量 密 度 をgemと す る と,比 例 関 係p:cp=gem:√ε0μ0EHが

成 り立 つ.こ

c=1/ε0μ0な

とＨ お よび光の進

の でgem=√ε0μ0EH/c=ε0μ0EHと

な る が,Ｅ

こで

行 方 向 は た が い に 垂 直 な の で,運

動 量 密 度 の ベ ク トル と してgem=ε0μ0E×H

を得 る.こ の式 を用 いて 第16講 で はマ ク ス ウ ェル の 方 程式 を導 き,次 の 第17講 で エ ネル ギ ー保 存 則 とエ ネル ギ ー の流 れ(ポ イ ンテ ィン グ ・ベ ク トル)を 扱 う.   第18講 以 下 の 第 ３の部 分 は,い わ ば 電磁 気 学 の 応 用 で あ る.こ こ で は物 質 内 の 電磁 場,誘 電 体,光 の圧 力,光

の反 射 と透 過,な

シ ャル,荷 電 粒 子 に よる 電磁 波 の 輻 射,ト

ど を扱 い,さ

らに遅 延 ポ テ ン

ム ソ ン散 乱 と レイ リー散 乱,電 磁 場 の

ゲ ー ジ 変換 な ど も解 説 した.   上 に も述 べ た よ う に,量 子 論 を援 用 す る と古 典 的 な事 柄 が か え って わ か りや す くな る こ とが しば しば あ る.古 典 物 理 学 の 面 白 さの １つ は,量 子 論 や 相対 論 との 間 に こ の よ うな関 係 が見 出 さ れ る こ とで あ る.さ らに電 磁 気 学 に は,高 速 で運 動 す る観 測 者 に対 す る光 の伝 播 や電 磁 場 の 変 換 則(ロ ー レ ンツ変 換)の

よ うに,相

対 性 理 論 に直 接 結 び つ く問題 もあ り,ま た,光 の放 出 ・吸 収 の 問 題 の よ うに量 子 力 学 の発 端 と な った もの もあ る.こ れ らは 本書 に続 く,こ の シ リーズ の テ ー マ で あ る.   な お本 書 の 執 筆 に あ た って は,い

くつ か の 本 を参 考 に させ て い た だ い た.こ

に今 井 功 著 『 電 磁 気 学 を考 え る』(サ イ エ ン ス社,1990)に

と

は,統 一 的 な 観 点 の

重 さ に関 して 教 え られ る こ とが 多 か った.   本 書 の 出 版 に 際 してい ろい ろ お 世話 に な った朝 倉 書 店 の 方 々 に厚 くお礼 を 申 し 上 げ た い.

1996年

９月

著

者

目

次

第

ｌ 講   電 荷 と静 電 場  

Tea Time:電

 １ 気 の正 と負   ７

第 ２ 講   電 荷 の保 存  Tea Time:電 第 ３ 講  電 場 と電 荷div  Tea Time:静

 ９ 子 はす べ て同 じ  14 E=ρ/ε0 

16

電 誘 導   20

第 ４ 講  電 荷 に は た ら く力  Tea Time:力 第 ５ 講  静  

電

 22

と電 磁 作 用   25

場 

Tea Time:キ

26 ャベ ン デ ィ ッシ ュ  34

第 ６ 講   静 電 場 は 渦 な し の 場rot  

Tea Time:微

E=0 

第 ７ 講   磁 場 とロ ー レ ンッ力  Tea Time:ロ

 49

ァラデ ー とゼ ーマ ン効 果   56

第 ９ 講   ビ オ-サ バ ー ル の 法 則   第10講

Tea Time:電

Tea Time:水

  59

気 と磁 気   61

  真 空 中 の 磁 場div  

  42

ー レン ツ   46

第 ８ 講   電 磁 場 の 中 の運 動  Tea Time:フ

35

分 法 則 と積 分 法 則   40

H=0 

の 流 れ の アナ ロ ジ ー  67

63

第11講 

静 電 場rot H=i    Tea Time:磁

第12講

磁

102

  111

存則   114   115

ーモアの反磁性 と原子 の大 きさ  122  124 石 の磁 力 線  127

  誘 電 体 と導体   Tea Time:分

96

クス ウ ェ ル  109

不 連 続 面   Tea Time:磁

第20講

 

動量   101

 物 質 中 の 電 磁場   Tea Time:ラ

第19講 

ァ ラデ ー の力 線   93

 エ ネ ル ギ ー保 存 則   Tea Time:保

第18講

 89

  マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式    Tea Time:マ

第17講

  82

ン ツの 法則  87

電 磁 場 のエ ネル ギ ー   Tea Time:運

第16講

石 の お もち ゃ  80

 電 気 力 線 の応 力   Tea Time:フ

第15講

76

  円 電 流 と磁 気 双 極 子   Tea Time:レ

第14講

気 と渦   74

荷

  Tea Time:磁 第13講

69

 128 極 率 と分 子 の 大 きさ  137

第21講

  分極 の具 体 例  Tea Time:誘

第22講

Tea Time:光

 165

波 の 発 見 と利 用  173   174

年   177  179 ェ レ ンコ フ放 射  183  184 質 中の 光 速  186   188 ー ジ不 変 性   194

  ラグ ラ ンジ ュ形 式   Tea Time:数

索

射 防 止 膜   164

 種々のゲージ  Tea Time:ゲ

第30講

 160

  電磁 波 の散 乱   Tea Time:物

第29講

の 圧 力   158

  電磁 波 の輻 射  Tea Time:チ

第28講

 152

  遅延 ポ テ ン シ ャ ル  Tea Time:光

第27講

単 な ラ ジ オ  150

導体 中の 電 磁 波  Tea Time:電

第26講

145

  反 射 と透 過  Tea Time:反

第25 

 

  光 と電 磁 波

  第24講

電 率 の カ タス トロフ ィー  143

コ ン デ ンサ ー と イ ン ダ ク タ ン ス  Tea Time:簡

第23講

  139

引

  196

学 的 実 在  201

 

203

 第 １ 講

 電 荷 と 静 電 場

―テー マ

◆ 電 流,電

気量 の単位

◆ 電 位差 ◆Tea

Time:電

気 の正 と 負

 電流の単位   基 本 単 位 は ｍ,kg,ｓ(秒)と

電 流 の 単 位 ア ンペ ア(Ａ)で

あ り,MKSA単

位

系 とい う.磁 場 も含 め て,電 磁 気 学 で 用 い られ る諸 単 位 はす べ て これ らか ら導 か れ る.   【 電 流 の単 位 ア ンペ ア 】 平 行 に 張 っ た ２本 の 導 線 に 平 行 な 電 流 を 流 す と,導 発 力(斥

線 の 間 に引 力 また は反

力)が

は た ら く(図

１).

電 流 の単 位 は こ の力 を も とに して 決 め ら れ て い る.1mの

間隔で真

空 中 に平 行 に張 っ た無 限 に長 い ２ 本 の 導 線 に 同 じ大 き さ の 電 流 が 流 れ て い て,こ

の 導 線 の1mあ

に は た ら く力 が2×10-7ニ

た り ュー ト

図 １  電 流 の 間 に は た ら く力

ン(Ｎ)で

あ る と き,こ

の 電 流 は １ア ンペ ア(Ａ)で

あ る.こ

れ が 電 流 の単 位 ア

ンペ ア の 定 義 で あ る.   実 際 に は,無 流 を 流 し,コ

限 に 長 い 導 線 は あ り得 な い か ら,平

行 に お い た ２つ の コ イ ル に 電

イ ル の 間 に は た ら く力 を 測 定 す る.な

お 電 流 の 間 に は た ら く力 に つ

い て は 第 ９講 で 詳 し く述 べ る.

 電荷 と電場   あ る 導 体 に1Aの (電気 量)を

電 流 が 流 れ て い る と き,１ 秒 の 間 に 導 体 の 断 面 積 を 通 る 電 荷

１ク ー ロ ン(Ｃ)と

い う.す

な わ ち １ク ー ロ ン=１

ア ン ペ ア ・秒,あ

るい は

(ｌ)

  【ク ー ロ ン の 法 則 】 真 空 中 に お い た ２つ の 電 荷 の 間 に は,そ q2の 積 に 比 例 し,電

れ ら の 電 気 量q1,

荷 の 間 の 距 離ｒ の ２乗 に 反 比 例 す る 力 が は た ら く.こ

れ を

ク ー ロ ン の 法 則 と い う。 こ の 力 の 大 き さ を Ｆ ニ ュ ー ト ン と す れ ば

(２)

こ こで (２')

で あ る.ま

た

(２")

と お く と き, (３)

これ を真 空 の 誘電 率 とい う(第20講

参照).

 電 荷 に はプ ラス とマ イ ナ ス の ２種 類 が あ る.同 符 号 の電 荷 の 間 に は反 発 力(斥 力)が は た ら くが,こ

れ は 上 式 でF＞0の

場 合 で あ る.異 符 号 の電 荷 の 間 に は引

力 が は た ら き,引 ＜0で

力 の 場 合 はF

あ る.F＞0は

２つ の 電 荷

の距 離 が 増 す 向 き に力 が は た ら く こ と を 意 味 し,F＜0は

この距離

が減 る向 き に力 が は た ら くこ とを 意 味 して い る(図

図 ２ 電荷 の 間 に は た ら く力 ２).

  【電場 】 静止 させ た電 荷 に力 が はた ら く場 所 を電場(電 界)と い い(いまは重 力 な ど の電 気 的 で な い力 は 考 え ない こ とにす る),こ の と きの 力 を静 電 的 な 力 と い う.一 般 的 に い う と,電 荷 を も ち込 め ば,ま わ りの物 体 の 中で 電 気 の 移 動 が 生 じて そ の た め に電 場 が 変 化 す る.し か し十 分小 さな電 荷 な らば,そ の よ うな 変 化 は無 視 で きる ので,十 分 小 さな 電 荷 を使 って電 場 の様 子 を調 べ る こ とが で きる. この た め に も ち込 む電 荷 を ｑクー ロ ン とす れ ば,ｑ は 十 分 小 さ くな けれ ば な らな い.こ の電 荷 に は た ら く電場 の 力 は ｑに比 例 し,電 荷 を移 動 させ る に要 す る仕 事 もｑに 比例 す る.   仮 に こ の 比 例 関 係 が,ｑ

を １ク ー ロ ン に し て も 保 た れ る と 考 え,以

下 で は １

ク ー ロ ンの 電 荷 の 単 位 に し て 電 場 の 強 さ な ど を 定 義 して い く こ と に し よ う.

 電   あ る 点 か ら他 の 点 へ1Cの あ る と き,こ (電位 差)が

電 荷(単

場 位 電 荷)を

運 ぶ 仕 事 が １ ジ ュ ー ル(Ｊ)で

れ ら の ２点 の 間 に は １ボ ル ト(Ｖ)の あ る と い う.電

圧,起

電 位(ポ

テ ン シ ャ ル)の

差

電 力 に つ い て も 同 じ定 義 が 用 い ら れ る.こ

れ

は, (４)

と書 く こ とが で き る.   【 電 子 ボ ル ト】 電 子 １個 の 電 荷 の 絶 対 値 を ｅ(電 荷 の 素 量)と

書 く.電

子 の電

荷 は マ イ ナ スで あ って (５)

で あ る.1Vの

電 位 差 の あ る ２点 の 間 に 電 子 を 運 ぶ 仕 事 を １電 子 ボ ル ト と い い,

leVと

書 く.そ

の 大 き さは (６)

で あ る.1Vの

電 圧 で 電 子 を加 速 す れ ば,電 子 の 運 動 エ ネ ル ギ ー は1eVだ

け増

す こ とに な る.   【電場(電

界)と 電 位 】 プ ラス の電 荷 は電 位 の低 い 方 へ 向 く力 を受 け る(マ イ

ナ ス の 電 荷 は電 位 の高 い方 へ 向 く力 を受 ける).プ

ラ ス の電 荷 に対 して電 位 は重

力 の場 の高 さ の よ うに考 えて よ く,場 所 に よ る電 位 の 変 化 の 割 合 は斜 面 の勾 配 に た と え る こ とが で きる(図3).電

位 の 勾 配 が あ る場 所 を電 場(電

界)と

い う.

電 場 にお い た電 荷 は電 場 の た め に 力 を 受 け る.距 2点 間 に1Vの

離lmの

電 位差 があ る

よ う な 一 様 な 電 場 に1Cの 荷 を お く と,こ

れ に は1Nの

力 が は た ら く.こ

の と き,電

場 の 強 さ は1V/mで い う.電

電

あ る と

場 の 強 さ がE(V/m)

の と こ ろ に 電 荷q(C)を

お く

図3  電位 差Vと 勾 配 と き,こ (N)と

れ に は た ら く力 をF

すれば (７)

と な る.こ   2点1,2の で あ る.ま

れ は 電 場 の 強 さEの

定 義 式 で も あ る.

電 位 を そ れ ぞ れ φ1,φ2と す れ ば,こ た,た

れ ば 電 場 の 強 さEは

と え ばx方

れ ら2点

間 の 電 位 差 は φ2―φ1

向 に 電 位 が 変 わ っ て い る と き,こ

れ を φ(x)と

す

φの勾 配 (８)

で 与 え ら れ る.位 は

置x、 とxzに

お け る 電 位 を そ れ ぞ れ φ1,φ2と す れ ば,電

位差

(９) と な る.   電 位 を ポ テ ン シ ャ ル と い う こ と も あ る.

  【ク ー ロ ン場 】 電 荷 の まわ りには 電 場 が あ る.１ つ の点 電 荷 ｑが 静 止 して い る と き,こ れ か らｒの 距離 に お け る 電場 の強 さは

(10) で あ る.こ

こ に 他 の 点 電 荷q'を

お け ば,こ

れ に は た ら く力 の 大 き さ は

(11) と な り,こ

れ は ク ー ロ ン の 法 則 に ほ か な ら な い.

 点 電 荷 の ま わ り の 電 位 は,無

限 遠 の 電 位 を ０ と して

(12) で 与 え ら れ る.な

ぜ な ら ば,こ

の 場 合,電

場 の 強 さは

(13) とな り,こ れ は上 に述 べ た ク ー ロ ン場 と一 致 す る か らで あ る.点 電 荷 の ま わ りに は球 対 称 の 電場 が あ る.こ れ を ２次 元 的 に表 す と図 ４の よ う に な る.こ の 図 で 高 さは電 位 を表 し,平 面 上 の点 は空 間の 位 置 を表 す.

正 の電 荷(q＞0)

負 の電 荷(q＜0)

図 ４  点 電 荷 に よ る電 位 の様 子

  【ベ ク トル場 と して の 電 場 】 多 くの 電 荷 が空 間 内 に分 布 し て い る よ うな と き は,電 場 の 向 き は各 点 に お い て異 な る.こ の場 合 に も電荷 ｑをお い た と きこ れ に

は た ら く力 の ベ ク トル を Ｆ と す る と き,電

場 の 強 さ(ベ

ク トル)Ｅ

は

(14) に よ って 定 め ら れ る.各 点 に お け る電 場 Ｅ の ベ ク トル を つ らね た線 を電 気 力 線 と い う.電

気 力 線 は+電

は 無 限 遠 か ら 来 て-電

荷 か ら 出 て-電 荷 に 入 る(図

（ ａ）

荷 に 入 る か,無

るい

５).

（ｂ）

q＞0

限 遠 へ 行 くか,あ

（ｃ）

q＜0

図 ５  点 電 荷 の まわ りの 電 場

 単 位 系 に つ い て   磁 石 の 近 くで 電 流 を 流 す と磁 石 は 電 流 に 垂 直 に な ろ う と し て 動 く.電 を つ く る か ら で あ る.こ

れ を も と に して 電 流 の 単 位 を決 め る こ とが 提 唱 さ れ,こ

れ が 発 展 して 現 在 の ア ン ペ ア の 定 義 に な っ た の で あ る.そ

して １ア ン ペ ア の 電 流

が １秒 間 に 運 ぶ 電 気 量 と し て 電 気 量 の 単 位 ク ー ロ ンが 定 め ら れ る.こ て い るMKSA単

流 が磁 場

位 系 は,し

の 本 で用 い

た が っ て 電 流 の 磁 気 作 用 を 基 礎 と して い る.

  他 方 で 静 電 的 な クー ロ ンの 法 則 を基 礎 と した単 位 系 を用 い た 本 が む か しは多 か っ た.こ

れ を 静 電 単 位(esu)系

用 い る.真

空 中 に 距 離1cmを

が １ ダ イ ン で あ る と き,こ

と い う 。 こ の 単 位 系 で はcm,ｇ,s(CGS)を

隔 て て お い た ２つ の 等 量 の 電 荷 の 間 に は た ら く力 の 電 荷 を1esuの

電 荷 と す る の で あ る.ク

ー ロ ン との

間には

(15) の 関 係 が あ る.   こ こ で3×109と

い う 数 値 は 光 の 速 さ と 関 係 が あ る.こ

さ れ る が,μ0=4π

×10-7N/A2と

い う量 を 用 い て,光

れ は 第23講

で 明 らか に

の 速 さ ｃ はc=1/√μ0ε0で

与

え ら れ る.ク =8

ー ロ ン の 法 則 に 現 れ たk0はk0=1/4π

.99×109の8.99はc=2.99…

ε0=10-7/μ0ε0な

×108m/sのc=2.99…

の で,数

値k0

の ２ 乗 で あ る.

(16) は,光

の 速 度c≒3×108m/sを

与 え る.い

距 離 に お い た と す る と,ク

ま1Cの

電 荷 を ２ 個,1cm=10-2mの

ー ロ ン 力 は(1N=105ダ

イ ン)

(17) こ れ は√8.99×109esuの い.し

た が っ て,１

  esuは,k0=1と ギ ー にesuを -e2/rと

電 荷 が1cmの

距 離 を隔 て て お か れ た と き の力 に等 し

ク ー ロ ン は√8.99×109esu=3×109esuで お い た 電 気 量 が 単 位 で あ る.量

用 い る こ と が 多 く,た

書 くが

,MKSA単

子 力学 な どで は静電 エ ネル

とえ ば 陽子 と電 子 の相 互 作 用 の エ ネ ルギ ー を

位 系 で 書 け ば-k0e2/rで

 

あ る.

Tea

あ る.

Time

 電 気 の 正 と負   電 気 に は 正(プ い.磁

イ ナ ス)の

２種 類 が あ る が,第

３の 種 類 は な

気 に も Ｎ 極 と Ｓ極 の ２種 類 が あ り,第

ラ ス)と

負(マ

３の 種 類 は な い.こ

れ は あ た り前

な よ う で 不 思 議 で も あ る.   異 な る 物 を こ す り合 わ せ る と,い は 引 き合 っ た り,反

わ ゆ る 電 気(静

電 気,摩

発 し合 っ た りす る こ と が あ る.ま

北 を 指 す 不 思 議 な 石 の 存 在 も 古 く知 ら れ て い た.電

擦 電 気)が

生 じて 物

た 鉄 を 引 きつ け る磁 石,南 気 と磁 気 と は 明 ら か に 異 な

る.   16世 紀 に イ ギ リ ス の エ リ ザ ベ ス １世 の 侍 医 で あ り,科 ト(W.Gilbert,1544−1603)は 象 を エ レ ク トロ ン と呼 ん だ.こ

コ ハ ク(琥

珀)な

学 者 で あ っ た ギ ルバ ー

ど を こ す る と物 を引 き つ け る 現

れ は ギ リ シ ャ語 で コ ハ ク を 意 味 す る 言 葉 で あ る.

18世 紀 に な る と フ ラ ン ス の 科 学 者 デ ュ フ ェ イ(C.F.C.Dufay,1698−1739)は, ガ ラ ス を絹 で こす っ た と き に ガ ラ ス に 生 じる 電 気 と コ ハ ク を 毛 布 で こ す っ た と き に コ ハ ク に 生 じ る 電 気 を 区 別 し,前

者 を ガ ラ ス 電 気,後

者 を 樹 脂 電 気 と 呼 ん だ.

電 気 の ２流 体 説 で あ る.こ

れ に 対 し ア メ リ カ の フ ラ ン ク リ ン(B.Franklin,

1706−1790)は 電 気 の １流 体説 を唱 え た.ち が う物 を こす った と き,一 方 の物 が もつ 電 気 が他 方 の物 へ 移 る こ と に よ って,一 方 の物 は電 気 を余 分 に もち,他 方 の 物 は電 気 が足 りな い状 態 に な る.電 気 を余 分 に もっ た物 ど う しや 電気 の足 りな い 物 ど う しは反 発 し合 い,電 気 を余 分 に もつ 物 と足 りな い物 と は引 き合 う とい う説 で あ る.こ れ も説 得 力 を も って い る.   電 気 に ２種 類 あ る と い う こ とが確 実 に わ か っ たの は,物 質 が負 の電 気 を もつ 電 子 と,正 の電 気 を もつ 陽 子(あ る い は原 子 の 中心 にあ る原 子核)の か らで きて い る こ とが 実 験 的 に 明 らか に な った 時 で,こ

２種 類 の粒 子

れ は19世 紀 の終 りか ら

20世 紀 の 初 め の 頃 の こ とで あ る.   フ ラ ンク リ ンは ガ ラス の摩 擦 電 気 は電 気 を余 分 に もつ状 態 で あ る と考 え,こ れ をプ ラ ス電 気 と呼 び,コ ハ クの摩 擦 電 気 は電気 の足 りな い状 態 で あ るか らマ イ ナ ス電 気 と呼 ん だ.こ の よ うに して 定 義 され た プ ラス 電気 とマ イ ナ ス電 気 と を陽子 と電 子 に あ て はめ たの で,電 子 は マ イ ナ ス,陽 子 は プ ラス の 電 気 とい う こ と に な っ た の で あ る(も

し も フ ラ ンク リ ンが プ ラ ス とマ イ ナ ス を逆 に定 義 して い た

ら,電 子 は プ ラス,陽 子 はマ イナ スの 電気 を もつ とい うこ とに な るが,こ れで も い っ こ う差 支 えな い).電 子 の電 気 が マ イナ ス と され た の は い わ ば偶 然 で あ る.  磁 気 に つ い て は,マ グ ネ シ ア とい う鉄 を引 きつ け る性 質 の あ る石 を吊 るす と, 地球 の北 極 を指 す こ とか ら,こ の 磁 極 を Ｎ 極 と呼 び,反 対 の 磁 極 を Ｓ極 と呼 ぶ よ うに な った の で あ る.静 電 気 と磁 石 とは似 た点 もあ るが,磁 気 の原 因 は む しろ 電 流 で あ る.

 第２ 講  電 荷 の 保 存

―テー マ ◆ 電 荷 の 保 存 の 式(連

続 の 方 程 式)

◆ ガ ウスの積 分定 理 ◆Tea

Time:電

子 はす べ て 同 じ

 電流と電荷の運動   時 間 的 に 変 化 し な い電 流 を定 常電 流 とい う.定 常 電 流 が 流 れ て い る部 分 の定 まった 領 域 に 単 位 時 間 に 入 り込 む電荷 の量,す

な わ ち電 流 の 総 量 は,こ こか ら出

て行 く電 流 の 総 量 に等 し くな けれ ばな らな い.定 常 電 流 の 流 れ て い る領域 の どの 部 分 にお い て も新 た に電 荷 が 生 じた り,消 え た りす る こ とが な い か らで あ る.こ れ は も と も と実験 的 に示 され た こ とで あ るが,電 流 が 電 子 な どの 電荷 を も った物 質粒 子 に よ る もの で あ る こ とを認 め れ ば 当然 の こ と とい え る.定 常 電 流 は定常 な 水の 流 れ の よ う に考 え る こ とがで き る.   電 流 の 向 き に垂 直 な 単 位 面積 を単 位 時 間 に通 過 す る電 荷 量 を電 流 密 度 とい う. これ は電 流 の 向 き に よ り,電 流 の大 き さに 比例 す る長 さを もっ たベ ク トル矢 と考 え る こ とが で き る.位 置χ に お け る電 流 をi(χ)で 表 し,そ のｘ,ｙ,ｚ成 分 を,ix （χ),iy(χ),iz(χ)とす る.   図 ６の よ うに小 さな 直方 体(x∼x+Δx,y∼y+Δy,z∼z+Δz)を

と り,単 位

時 間 に 出 入 りす る 電 荷 を 計 算 す る,ま

ず,直

体 の 位 置ｘ に あ る 面 積 はΔyΔzで あ り,こ 垂 直 な 電 荷 の 流 れ はix(x,y,z)△y△zで ま た,位

置x+Δxに

方 れに

あ る。

あ る面 を 通 っ て 直 方 体 か

ら 出 て 行 く電 荷 は 単 位 時 間 にix(x+Δx,y,z)

図 ６ 電流密度

Δ yΔzで あ る.し

た が っ てｘ 軸 に 垂 直 な ２つ の

面 に つ い て は,直

方 体 か ら 出 て 行 く電 荷 は 差 し

引 き (１)

で あ る,同

様 にｙ 軸 に 垂 直 な ２つ の 面 に つ い て は(∂iy/∂y)ΔxΔyΔzの

出 が あ り,ｚ 軸 に 垂 直 な ２つ の 面 に つ い て は(∂iz/∂z)ΔxΔyΔzの る.し

か し,定

常 電 流 で は 直 方 体ΔxΔyΔzか

で な け れ ば な ら な い.し

電荷 の流

電荷の流出があ

ら の 電 荷 の 流 出 は,全

体 と して ０

たが って (２)

で な け れ ば な ら な い.一

般 に ベ ク トル 場Ｘ

に対 して (３)

と 書 き,こ

れ をdiv(ダ

イ バ ー ジ ェ ン ス),あ

る い は 発 散 と呼 ぶ.こ

の記 号 を用

い れ ば 定常 電 流 の保 存 則 は (４)

と書 か れ る.

 連続の方程式   次 に,電 流 が 時 間 的 に変 わ る場 合 の 電 荷 の 保 存 則 に つ い て考 え よ う.前 節 と 同 様 に空 間 に定 まっ た小 さ な直 方 体 の 領 域(x∼x+Δx,y∼y+Δy,z∼z+Δz)を とる と,こ こに単 位 時 間 に入 り込 む電 荷 の 量 は (５)

で 与 え ら れ る.こ

こ で マ イ ナ ス記 号 を つ け た の は,こ

行 く電 荷 の 量 が,前

節 の 計 算 に よ り,divi・ΔxΔyΔzで

の 領 域 か ら単位 時 間 に 出て あ っ た の に 対 し,こ

は 逆 に 入 り込 む 電 荷 の 量 を 問 題 に し て い る か ら で あ る.ま は,電

流 は 時 間 に も よ る の でi(χ,t)と

く と,こ

な わ ち 電 荷 密 度 を ρ と す る と,領

の 電 荷 の 量 はρΔxΔyΔzと な る.電

ｘの 関 数 で あ る と 同 時 に,一

た 定常 電 流 で な い と き

書 い た.

  こ の 領 域 に お け る 単 位 体 積 の 電 荷 の 量,す 域ΔxΔyΔz内

こで

荷 密 度 は 領 域 の あ る 場 所ｘ,ｙ,

般 に 時 間ｔ の 関 数 で あ る か ら,こ

れ を ρ(χ,t)と 書

の領 域 内 の電 荷 の時 間 的増 加 の割 合 は (５')

で あ る.こ れ は こ の領 域 に単 位 時 間 に入 り込 む電 荷 に等 し くな け れ ば な らない か ら (５")

した が っ て

(６)

を得 る.こ れ が電 荷 の保 存 則 で あ る.電 流 を水 の 流 れ にた とえ れ ば,こ れ は水 量 の 保存 則 で あ り,途 中で 消 えた り生 じた り しない(湧

口や 吸 込 み 口 が な い)水 の

連 続 した流 れ を表 す ので,し ば しば連 続 の 方 程 式 と呼 ば れ る.

 ガ ウ スの積 分 定 理   電 磁 気 学 で は,電

場,磁

場,電

な わ ち ベ ク トル 場 を 扱 い,ベ

流 な ど の よ う に 各 点 で 与 え ら れ る ベ ク トル,す

ク トル 場 に つ い て の 積 分 が よ く用 い ら れ る.こ

しば し ば 使 わ れ る 積 分 定 理 に,ガ

ウ ス の 定 理 と ス トー ク ス の 定 理 と が あ る.ス

トー ク ス の 積 分 定 理 は 後 に 第 ６講 に お い て 述 べ る こ と と し,こ 分 定 理 に つ い て 述 べ よ う(な ３講 参 照),ま   い ま,位 Ｖ,表

の際

こで は ガ ウ スの 積

お 電 場 に 関 す る ガ ウ ス の 法 則 と い う の が あ っ て(第

ぎ ら わ し い か ら混 同 し な い よ う に 注 意 し な け れ ば な ら な い). 置χ の 関 数∫(χ)のｘ

面 積 Ｓの領 域 で積 分 す る と

に 関 数 す る 微 分 ∂f/∂xを 考 え て,こ

れ を体積

(７) と な る.こ

こ でａ,ｂ

は 図7(ａ)の

よ う に,(y,z)を

一 定 に 保 っ た と き の,領

域

Ｖに お け るｘ の 下 限 と上 限 で あ る.

(ａ)

(ｂ)

図 ７  ガ ウス の 積 分定 理

 ｘの上 限 にお い て 曲 面 Ｓの 法 線 を(領 域Ｖ の 外 へ 向 け て)立

て,こ れ がｘ 軸

とな す 角 を α とす れ ば (８) と な る.こ

こ でdSは

図 ７の よ う に 断 面 積dydzの

る.ｘ の 下 限 に つ い て はx=aの z)とf(a,y,z)は

場 合,α

曲 面 上 の 点ｘ,ｙ,ｚ

角 柱 が 曲面 Ｓ を切 る 面 積 で あ

＞ π/2, cosα ＜0と な る.ま に お け るfの 値 で あ る.こ

た,f(b,y, れ らの こ と を

考 慮 す れ ば(dV=dxdydz) (９)

と書 くこ とが で きる.こ の 式 は領 域Ｖ が 図7(ｂ)の よ うに 凹 凸 を もつ 場 合 で も成 立 す る.こ の 場 合 に も左 辺 は 全 領 域Ｖ に わ た る 体積 積 分 で あ り,右 辺 は この 領 域 を囲 む閉 曲面 全 体 にわ た る面 積 分 で あ る.

 f

 同 様 に して,閉 曲面 Ｓの 外 向 きの法 線 がｙ 軸 と なす 角 を β とす れ ば (９')

で あ り,法 線 がｚ 軸 とな す角 を γとす れ ば (９")

と な る.こ

れ らの公 式 を ガ ウス の 定 理 とい う。

(x,y,z)と

し て ベ ク トル Ｘ のｘ 成 分Xx,ｙ

記 の ３式 を書 き,こ

成 分Xy,ｚ

成 分Xzを

と って 上

れ らの 和 を つ く る と ガ ウ ス の 定 理 は

(10) と な る.こ

こ で 曲 面dSの

外 向 き の 法 線 をｎ と す る と き,ｎ

の 成 分 は(cosα,

cos β, cosγ)で あ る か ら

(11) で あ る.こ

こ でX・nは

ち Ｘ の 法 線 成 分Xnに

Ｘ とｎ の 内 積 で あ り,こ 等 し い.ま

れ はｎ 方 向 の Ｘ の 成 分,す

た 上 の 積 分 の 左 辺 はdivXの

なわ

積 分 で あ る.し

た

が って

(12) と な る.こ

れ も ガ ウ ス の 積 分 定 理 と呼 ば れ て い る.と

ク トル を と っ て そ の 大 き さ をf(x,y,z)と

くに Ｘ と し てｘ 方 向 の ベ

す れ ば(12)は(９)を

にｙ 方 向,ｚ 方 向 の ベ ク トル に 限 定 す れ ば(9'),(9")が

与 え,同

様

与 え ら れ る.

 ガ ウ スの定 理 と連 続 の方 程 式  ガ ウ ス の 定 理(12)に

お い て,ベ

ク トル Ｘ を電 流ｉ に と れ ば

(13) とな る.こ こ で ∫sindSは 領 域Ｖ か ら単 位 時 間 に外 へ 出 て 行 く電荷 に等 しい が, 領 域Ｖ の 電 荷 は∫ρdVで

あ るか ら

(14) した が って 電 荷 の保 存則 は

(15) と書 け る.こ こで 領 域Ｖ は任 意 で あ る か ら(微 小領 域 と して も よい),任 意 の位 置で

(16) が 成 立 す る こ と に な る.こ の よ う に ガ ウス の定 理 とい う数学 的 な 道具 を使 え ば, 直 観 にあ ま りた よ らず に電 荷 の 保存 則 を導 くこ とが で き る((６)を

導 い た方 法

と比べ て み る と よい).

 

Tea

Time

 電 子 は すべ て同 じ   古 代 ギ リ シ ャの原 子 論 で は,同 じ性 質 を もつ 元 素 の 原 子 は す べ て 同 じで あ る と い う考 えで あ っ た.電 子 が 発 見 され た と き,ど の よ うな 物 質 の 電 子 もす べ て 同 じ で あ る とい うこ とが す で に認 め られ た の は,こ の よ うな 原 子 論 の 歴 史 が そ の 底 に あ った か らであ ろ う.   電 子 が すべ て 同 じとい う こ とは,電 子 の電 荷,質 量,磁 気 モ ー メ ン トな どが, す べ て の電 子 につ い て 同 じで あ る とい うこ と に よ って認 め られ る.も

し も異 な る

性 質 を もつ 電 子 が 見 つ か った とす れ ば,電 子 は １種類 で は な い こ とに な っ て し ま うが,そ の よ う な こ とは 見 出 され て い な い とい うこ とで あ る.   考 え てみ れ ば 不 思 議 な こ とで あ る.世 の 中 に 同 じ人 は ２人 と い な い し,詳 し く 見 れ ば皿 で も椅 子 で も ま った く同 じ物 は ２つ と存 在 しな い.こ れ は世 の 中で 絶 対 的 な正 しさ を もつ真 理 で あ る.そ れ に もか か わ らず,電 子 は どの 電 子 もま った く 同 じで あ り,陽 子 は どの 陽子 も まっ た く同 じで あ る と され る,こ れ は,同

じ元 素

の原 子 はす べ て 同 じて あ る とす る古 代 か らの考 え方 の 流 れ に沿 う もの で あ る(し か し原 子 の 方 は 同位 体 が 一 般 に何 種 類 もあ る ので,古 代 か らの 考 え 方 は 正 し くは なか った).   電 子 は どの電 子 も同 じで ま った く区 別 がつ か ない とい う こ とは,量 子 論 的 な考

え方 に一 致 して い る.古 典 物 理 学 で は基 本 粒 子 ど う しで も,何 らか の 方 法 に よ っ て 区別 で きる と考 え て い る.こ こで も,古 典 物 理 学 と量 子 力 学 との 間 に は 大 き な 本 質 的 な違 い が あ る わ けで あ る.   しか しマ ク ロ的 な電 磁 気 学 で は,こ の ちが い は 問 題 に な ら ない よ うに思 え る.

 

第３講

 電 場 と電 荷divE=ρ/ε0

―テー マ ◆ 電場 とガ ウスの法 則 ◆ 微 分 形 の ガウスの 法則 ◆Tea

Time:静

電誘 導

 電場 と ガ ウス の法 則  真 空 中 に た だ １個 の 電 荷ｑ が あ る と き,そ の 位 置 を 原 点 に選 ぶ と,ｒ だ け 隔 た った 点 の 電場 の強 さは ク ー ロ ンの法 則 に よ り (１)

で 与 え ら れ,電

場 の ベ ク トル Ｅ は 原 点 か ら そ の 点 ｒへ 引 い た ベ ク トル の 向 き に あ る.そ と,放

こ で 各 点 の 電 場 を 表 す ベ ク トル を 描 く

射 状 の ベ ク トル 場 が で き る(図

８).

  原 点 の 電 荷 を 中 心 と す る 半 径ｒ の 球 面 の 面 積 4πr2を Ｅ に か け る と (２)

と な る.こ の 場 合,Ｅ は 球 面 の 法 線 方 向 の Ｅ の 成 分Enそ 図 ８ ガ ウ ス の法 則(１)

の もの で あ るか ら,上 式 を球 面 全

体S0に 対 す る積 分 と考 え て

(３)

と書 い て も よい.図

９の よ う に 電荷 を 囲 む任 意 の 閉 曲面 Ｓ上 の 点 Ｐの微 小 な面

積 をdSと す る.こ の 点 を通 り電荷 を中心 とす る球 面 の対 応 す る面 積 をdS0と dSの 法 線 とOPの

な す 角 を θ とす れ ば,電 場 Ｅ のdSの

し,

法 線 方 向 の 成 分En(外

向 き)は (４)

であ り (５)

の 関 係 が あ る.し

た が って (６)

で あ り,閉 曲 面 Ｓの 全 体 に わ た る積 分は

図 ９ ガ ウ スの 法 則(２)

(７)

こ れ は 球 面 Ｓ0に対 す る積 分 と同 じで あ り,電 荷 を囲 む 閉 曲面 の と り方 に よ ら な い.   【ガウ スの 法 則 】 上 に述 べ た こ と は多 数 の電 荷 が あ る と きに も成 り立 つ.す な わ ち,図10の え,そ

よ う に 任 意 の 閉 曲 面 Ｓ を考

の 中 に 含 ま れ る 電 荷 をq1,q2,…,qNと

し,Ｓ 上 の 電 場 の 法 線(外

向 き)成

分 をEn

とす れ ば

(８)

が成 り立 つ.こ れ をガ ウ ス の法 則 とい う.閉

図10  ガ ウス の 法 則(3)

曲 面 の 外 に あ る電 荷 は こ の 積 分 に 寄 与 し な い.と

くに閉 曲 面 Ｓの 中 に電 荷 が な け れ ば,そ の外 に多 数 の電 荷 が あ って も (９)

と な る.ガ ウ スの 法 則 は,対 称 性 のあ る電荷 分布 な どの と きに,そ の電 場 を求 め るの に役 立 つ.

 微 分 形 の ガ ウ ス の法 則   図11の ∼x+Δx

よ う に 小 さ な 直 方 体(x ,y∼y+Δy,z∼z+Δz)

が 電 場 の 中 に あ る と し,こ

の 直方 体

の 表 面 に つ い て ガ ウ ス の 法 則(積 形)を

分

適 用 し よ う.

図11

  位 置ｘ に あ る 面 の 面 積 はΔyΔzで

あ り,こ の 面 に対 す る積 分 ∫EndSは

(10) と書 け る,こ こでExは 電 場 Ｅ のｘ 成 分 で,こ の面 で 外 向 きの法 線 はｘ と逆 向 き なの で マ イナ ス をつ け た.ま た位 置x+Δxに

お け る積 分 は

(11) と書 け る.し たが って 十 分 小 さ なΔxに 対 して,こ れ ら ２つ の面 に対 す る積 分 を 合計す ると

(12) とな る.同 様 な寄 与 はｙ 軸,ｚ 軸 に垂 直 な面 につ い て もあ る ので,小

さな直 方 体

に対 す る積 分 は

(13) と な る.こ

の 直 方 体 内 に あ る 電 荷 の 総 量 をq1+q2+…+qNと

す れ ば,

(14) は この 位 置 に お け る電 荷 密 度 で あ る.こ れ を用 い る と ガ ウス の 法 則 は

(15)

と な る.こ

れ を微 分 形 の ガ ウ ス の 法 則 と い う.

 記 号divを 用 い れ ば(９)は

(16) と表 され る.   電磁 波 の存 在 か ら もわ か る よ う に,電 磁 場 は光 速 度 で伝 播 す る.そ の た め,電 荷 が動 く場 合 に は電 磁 場 の 変動 が 瞬 間 的 に遠 方 へ 伝 わ る こ とは な い.し た が って 電荷 が運 動 す る と きは積 分 形 の ガ ウス の法 則 は一般 に成 り立 た な い わ け で あ る. しか し十 分 小 さな 領域 を とれ ば,電 場 の変 動 が 伝 わ る 時 間差 は考 え な くて よ い か ら,こ れ か ら導 か れ る微 分 形 の ガ ウ スの 法 則 は,電 荷 分 布 が 時 間 的 に変 動 す る場 合 に も成 立 す る.ρ(χ,t)を 時 刻ｔ に お け る電 荷 密 度 と し,電 場 をE（χ,t） とす れば,時 間 を含 む ガ ウ スの 法 則

(17) が成 り立 つ わ けで あ る.

 電 気 力 線   空 間 に １個 の正 電 荷 ｑだ け が あ る場 合,各 点 の 電 場 ベ ク トル Ｅ は 放 射 状 に外 へ 向 か う(負 電荷 な らば Ｅ は内 へ 向 か う).電 場 の強 さ は電 荷 か ら ｒの 距 離 で

(18) で あ る か ら,電 面 積 はS=4πr2な

荷ｑ を 中 心 と す る 半 径ｒ の 球 面 Ｓ の 上 で Ｅ を積 分 す る と ,球 の で,す

面の

で に述 べ た よ うに

(19) とな り,こ れ は球 面Ｓ の半 径ｒ に よ らな い.   そ こで 電 場 の 向 き に(放 射 状 に)線

を引 き,球 面 Ｓの 単 位 面 積 を貫 く本 数 を

電 場 の 強 さ Ｅ に比 例 す る よ うに す れ ば,こ れ ら の線 は電 荷 か ら と ぎれ る こ と な く放 射 状 に無 限遠 まで続 くこ とに な る.こ の よ うな線 が 電 気 力 線 で あ る,電 気 力 線 上 の す べ て の点 に お け る接 線 は電 場 の 方 向 と一 致 す る.ま た,電 気 力 線 は正 電

荷 か ら出 て 無 限 遠へ 向 か うか 負 電荷 へ 入 り,あ る い は無 限 遠 か ら きて負 電 荷 へ 入 る.途 中 で と ぎれ た り,途 中 か ら生 じた りす る こ とは な い.電 気 力 線 は 正 電荷 か ら出 て負 電荷 へ 入 る水 の流 れ の よ うな もの と考 え る こ とが で きる.   こ の こ とは電 荷 が た くさん存 在 す る と き,あ る い は電 荷 が 空 間 に分 布 して い る と き も成 立 す る.そ して,任 意 の 領 域 をＶ,こ れ を囲 む閉 曲面 をＳ と し,Ｓ を貫 く電 場 ベ ク トルＥ の面Ｓ に垂 直 な成 分 をEnと す る と き

(20) が 成 り立 つ.こ

こ で ρ は電荷 密 度,Ｑ は領 域Ｖ の 中 の全 電荷 で あ る.す な わ ち,

任 意 の 閉 曲 面Ｓ 上 でε0Enを 積 分 した もの は こ れ が 囲 む 全 電 荷Ｑ に等 しい.こ れ はす で に述 べ た積 分形 の ガ ウ ス の法 則 で あ るが,微 分 形(16)か

ら直 接(20)を

導 くこ と もで き る.  【 証 明 】 前講(13)の

ガ ウ スの 積 分 定 理 を電 場Ｅ に適 用 す る と

(21) こ の 左 辺 に(17)を

代入す ると

(22) す な わ ち(20)を

得 る.

 

Tea

Time

 静電誘導   空 気 が ひ ど く乾 燥 した と ころ で は,下 着 をぬ い だ と き静 電 気 が 起 こ り,壁 に下 着 がひっ つ い た りす る.こ の よ うに静 電 気 を帯 び た物 体 は,電 気 を帯 び て い な い 物 体 を引 きつ け る性 質 を も って い る.こ れ は帯 電 体 の静 電 気 に よ って 近 くの物 体 (誘電 体 また は 導 体)に 分 極 が 生 じる か らで あ る(第20講 気 が 正 電 気(負 電 気)で

参 照).帯

電体の静電

あ る とす る と,こ れ に引 き寄 せ られ て 物 体 内 の 負 電 気

(正電 気)が 帯 電 体 に 近 い側 に現 れ,物 体 内 の 正 電 気(負 電 気)は 帯 電 体 の 静 電 気 に反 発 され て遠 い側 に現 れ る.こ の よ う な現 象 を静 電 誘 導,あ

るい は静 電 感 応

とい う.   分 極 を起 こす には 物体 内 の 正負 の電 気 を分 離 させ る た め に エ ネ ル ギ ー が必 要 で あ る(エ ネル ギ ーが 高 ま る)が,帯

電 体 の 静 電気 に よる引 力 の た め に エ ネ ル ギ ー

が 下 が り,全 体 と して は 静電 誘導 に よ って エ ネ ル ギ ー は低 下 す る の で あ る.   静 電 誘 導 は静 電気 に よ っ て物 体 が 引 きつ け られ る現 象 で あ り,広 い 応 用 が あ る.粉 体 の 分 離,微 粒 子 の 除去,空 気 の 清 浄 な どに使 わ れ,サ

ン ドペ ー パ ー の製

造 な ど に も用 い られ る.高 電 圧 発 生 装 置 に も静電 誘 導 を用 い た ものが あ り,ヴ ァ ン ・デ ・グ ラー フ加 速 器 もそ の １つ で あ る.

 第４ 講  電荷 に は た ら く力

―テ ー マ ◆ 電 荷 に よ る力 ◆ 帯 電 体 に は た ら く力 ◆Tea

Time:力

と電 磁 作 用

 点 電 荷 に よ る力   位 置χ'に あ る 電 荷q'に た と き,こ

よ る 静 電 場 をE'(χ)と

す る と,電

荷ｑ を位 置χ に お い

れ に は た ら く力 は (１)

で 与 え ら れ る.こ

こ で 電 場E'(χ)の

大 きさは (２)

で あ る が,電

場 の ベ ク トル と して は (３)

と 書 け る.さ

ら に 電 荷q1',q2',…,qN'が

そ れ ぞ れχ1',χ2',…,χN'に

あ る と きの電 場

は

(４)

で あ る.電 荷 が連 続 的 に分 布 して い る と考 えて (５) とお く と ρ'(χ')は 位 置χ'に お け る 電 荷 密 度 で あ る.Δχ'→0と

した 極 限 で 上 式 の

静 電 場 は 積 分 の形 で

(６)

と書 け る.た

だ し,こ

こでV'は

電 荷 ρ'の あ る 領 域 で あ る.

  こ の 電 場 に 電 荷 密 度 ρp(χ)の 帯 電 体 Ｐ が あ る と き,こ

れ に は た ら く力 Ｆ は (７)

で 与 え ら れ る.こ

こ でＶ

占 め る 領 域 で,V'と

は帯 電 体 の

重 な る ところ は

な い もの と す る(図12).   (７)に

お い て,E'は

帯 電 体 Ｐの 電

荷 ρp以 外 の 電 荷 ρ'に よ る 電 場 で あ る.全

電荷密度は 図12  離 れ て い る 領域Ｖ とV' (８)

で あ り,帯 電 体 の 電荷 に よる電 場 (９)

を含 め た電 場 は

(10) で あ る.こ

こで

(11) は帯 電 体 Ｐの つ くる 電 場 Ｅp(χ)の た め に帯 電 体 自身 が 受 け る力,す 力 で あ る.(９)を(11)に

代入する と

なわち自己

と な る が,こ

こ でχ とχpを 入 れ か え る とFp=-Fpを

得 る.し

た が って

(12) 言 い か え れ ば,静 限,す

電 場 に お け る 自 己 力 は ０で あ る(帯

な わ ち 点 電 荷 で も,こ

わ り に 全 電 場E=Ep+E'を

の こ と は 成 立 す る).そ 用 い て,帯

電 体 の 体 積 を小 さ く し た 極 こ で(７)右

辺 でE'の

代

電 体 に は た ら く力 を

(13) と書 くこ とが で きる.   この よ う に静 電場 の場 合 に は,自 己 力 を含 め ない式(７)と

含 め た 式(13)は

同 じで あ る.し か し帯 電 体 が 運 動 す る場 合 は,こ れ らは 一 般 に異 な る値 を 与 え る.た とえ ば,帯 電 体 が 加 速 度 運 動 をす る場 合 は,ア

ンテナ の 中 で 振動 す る電 子

が 電 波 を出 す の と同 じよ う に,帯 電 体 の まわ りに は電 波 が 生 じるが,こ れ は 帯 電 体 自身 がつ くる電 磁 場 に よ る波 で あ る.電 波 が 出 る ため エ ネル ギ ー が 送 り出 され る わけ で あ る か ら,帯 電 体 は 当然 そ の 反動 力 を受 け る こ とに な る.こ の 力 は帯 電 体 には た ら く自 己力 で あ る.し た が って帯 電 体(あ は(７)で

るい は点 電荷)に

な く,そ の帯 電体 自身 のつ くる電 場 を と り入 れ た(13)で

は た ら く力 あ る.

 帯 電 体 に は た らく力   さ ら に,領

域Ｖ

を ρ=ρp+ρ'で

に お い て は ρ'=0で

あ る こ と を 考 慮 す れ ば,(13)の

右 辺 の ρp

お きか え て

(14) とす る こ とが で きる(時 間 的 変化 の あ る場 合 を含 め て時 間 変 数 を加 えた).ま

た

電 荷 密 度 ρ と電 場 Ｅ の 間 に は一 般 に

(15) が 成 り立つ.し

たが って 領 域Ｖ の 中 に あ る帯 電体 Ｐに はた ら く力 Ｆ は

(16) で 与 え ら れ る.

 

Tea

Time

 力 と電磁作用   電 場 Ｅ を単 位 電 荷 に は た ら く力 と して 定 義 す るの は,力

とい う力 学 的 な もの

を電 磁気 学 に導 入す る こ とに な り,電 磁 気 学 の基 礎 づ け に力 学 が 必 要 で あ る よ う で 気 持 が わ るい 点が あ る.学 問 の 分野 は力 学 を前 提 と して電 磁 気 学 が 立 つ とす る か,電 磁 気 学 は 力学 を前 提 と しな い で立 つ とす る か と考 え る と,後 者 の 方 が 本物 で あ る よ うな気 がす る.   力 学 で い う力 は物 体 と物 体 の 間 の作 用 で あ るが,物 体 を詳 し くみ れ ば,原 子 や 分 子 の 集 ま りで あ り,し たが って,物 体 の 間 に は た ら く力 も原 子 や 分 子 の 中 の電 子 や 原 子核 の 間 に は た ら く電 磁気 的 な力 で あ る.だ か ら力 と い う もの も,力 学 で な く電磁 気 学 で始 め な け れば 一 貫 しな い.そ

うい うふ うにみ れば,力 学 の概 念 な

しに 電磁 気 学 を構 成 しそ の あ とで 力学 を立 て る とい う順 序 が 考 え られ て よい.   も しも人 間 が もっ と小 さ く,ミ クロ の世 界 の住 人 で あ っ た とす れ ば,電 子 ど う しが は た ら き合 って,運 動 して い るの が 日常 茶 飯 事 なの で,電 磁 気 学 か ら始 め て 物 理 学 をつ くる か も知 れ ない.そ の住 人 に とっ て はマ ク ロの 世 界 は,わ れ わ れが 考 え る宇 宙 の よ うに大 き な世 界 の こ とで あ り,わ れ われ が 力 学 とい って い る もの は,宇 宙 の 力学 の よ うに大 きな 世 界 の物 理 学 と思 わ れ る に ちが い ない.   も しも,水 中 に だ け棲 む生 物 が物 理 学 をつ くっ た な ら ば,彼 等 は流 体 力学 か ら 始 め る だ ろ う か.も

し も砂 の 中 や 土 の 中 だ け で 生 活 して い る 生 物 が物 理 学 をつ

くった ら,粉 体 力学 か何 か か ら始 め る で あ ろ うか.   い ず れ に して も人 間の つ くった物 理 学 は,人 間の 大 き さ,知 性 の 程度,感 性 の 範 囲 な どに よ って,そ の 進 む道 が選 ば れ制 限 さ れて きた もの で あ る.

 第５ 講  静

電

場

―テー マ ◆

ラ プ ラ ス-ポ ア ソ ン方 程 式

◆ 電 気的 双極 子 ◆Tea

Time:キ

 

ャベ ンデ ィ ッシ ュ

静 電 場 の電 位

 空 間 に １個 の 正 電 荷 が 静 止 して い る と き,無 限遠 か ら単 位 電 荷 をは こぶ 仕事, す な わ ち電 位 は図13の

よ うに な る(第

１講 図 ４参 照).こ

の場 合,電

の に 要 す る仕 事 が 道 筋 に よ ら な い こ と はす ぐに わか る.た

とえ ば,図 で 無 限 遠

∞か ら まっす ぐに点 Ｐへ 近 づ く仕 事 と,∞ →P1→P2→P3→Pの

図13  電 位 をは こぶ 仕 事

荷 をは こぶ

よ うに途 中 で まわ

り道 を し た と き の 仕 事 と は 相 等 し い.な と こ ろ をP1→P2あ

る い はP3→Pの

ぜ な ら ば,中

よ う に 移 動 す る と き は,〓

は た ら く の で 仕 事 を 要 し な い か ら で あ る.こ る.し

た が っ て 静 電 場 の 場 合,単

(ポ テ ン シ ャ ル)は

心 の 電 荷〓

か ら等 距 離 の

に よ る力 に 垂 直 に

の こ と は任 意 の道 筋 につ い て い え

位 電 荷 を無 限 遠 か ら は こ ぶ 仕 事,す

道 筋 に よ ら ず に 一 義 的 に 定 ま る.実

は,そ

な わ ち電 位

のために電位 を山

の 高 さ に た と え て 図 示 す る こ と が で き た の で あ る.   空 間 に 多 数 の 電 荷 が 静 止 し て い る と き も 同 様 で あ っ て,電 の で,山

の 高 さ と して 図 示 す る こ と が で き る.山

と す る と き,電 で あ っ て,空

場 の 強 さ Ｅ は,山

位 は一 義 的 に定 ま る

の高 さに た とえ られ る電 位 を φ

の 斜 面 の 傾 き で 与 え ら れ る.電

間 の 位 置χ=(x,y,z)の

Δ xま で 移 っ た と き の φ の 変 化 は,Δxが

関 数 で あ る.そ

し て,ｘ

位 はスカ ラー

方 向 にｘ か らx+

十分小 さいとき (１)

で 与 え ら れ る.偏

微 分 ∂φ/∂xは 斜 面 中 のｘ 方 向 の 傾 き で あ る.同

方 向 の 傾 き ∂φ/∂y,ｚ方 向 の 傾 き ∂φ/∂zに つ い て も い え る.そ

様 な こ と はｙ

し てΔx,Δy,Δz

が十 分 小 さい と き

(２) と な る(図14).電

位 は単 位 の 正 の テ

ス ト電 荷 に は た ら く 力(電

場 Ｅ)に

さか ら っ て テ ス ト電 荷 を は こ ぶ の に 要 す る 仕 事 で あ る.し

たが って 電 場 は 電

位 の 傾 き ∂φ/∂x,∂ φ/∂y,∂ φ/∂zの 符 号 を 変 え た も の に 等 し い.し

た が って

電場の成分 は

(３) 図14  電 位 φ

ｘ

で あ る.こ れ ら を ま とめ て 静 電場 を (３')

と書 く こ と が で き る.あ

るい は (３")

と書 く.grad(グ

ラ ジ エ ン ト)は 勾 配 と 呼 ば れ,∇(ナ

ブ ラ)と

も書 く.こ

れは

,ｙ,ｚ 成 分 が

(４) で 与 え ら れ る ベ ク トル と み な す こ とが で き る.   【点 電 荷 に よ る ポ テ ン シ ャル 】 点 電 荷q1,q2,…,qNに

よ る ポ テ ンシ ャル は (５)

で あ る.   【証 明 】

こ こで (６)

な の で,

(７)

同様 な式 はｙ,ｚに関 す る微 分 係 数 につ い て成 り立 つ.   したが って (８) で あ り,(3')が

成 り 立 つ.

 ポ ア ソ ン方 程 式  電 位 φ と電 場 の 強 さ Ｅ との 間の 関係 は (９)

で あ っ た.こ

れ を ガ ウ ス の 法 則divE=ρ/ε0(第

３講(17))に

代入す る と

(10) と な る.こ

こで

(11) で あ るか ら

(12) こ こ で∇2は

ラ プ ラ ス 演 算 子(ラ

プ ラ シ ア ン)

(13) で あ る.し た が っ て電 位 の 満 た す 方 程 式 は

(14) と な る.こ

れ を ポ ア ソ ン(Poisson)方

程 式 と い う.

 と くに 電 荷 の な い と こ ろ で は

(15) と な る.こ

れ は ラ プ ラ ス 方 程 式 と呼 ば れ る.(14),(15)を

合 わ せ て ラ プ ラ ス-ポ

ア ソ ン 方 程 式 と い う こ と も あ る.

 ア ー ン シ ョ ウ の 定 理   空 間 に 電 荷 を含 ま な い 静 電 場 を 考 え る と,電

テ ン シ ャ ル)は

この 領 域 内

に お い て 極 大 値 を と る こ と も な く,ま

た 極 小 値 を と る こ と もな い.こ

れ をアーン

シ ョ ウ(Earnshaw)の

様 の こ と は 重 力 場 に つ い て も 成 り立 つ).

 【 証 明】

定 理 と い う(同

位(ポ

静 電場 φは電 荷 の な い領 域 に お いて ラ プ ラス方 程 式

(16) を 満 た す.仮 ∂φ/∂x=0と

に φ が 極 大 値 を も つ と す る と,た な り,そ

の 付 近 で φ は 図15の

と え ばｘ 方 向 の 微 分 は こ の 点 で

よ う に な って ∂2φ/∂x2＜0と な る.こ

の と き,同

様 に こ の 点 で ∂2φ/∂y2＜0,∂2φ/∂z2＜0,し

た が って

(17) とな り,こ れ は ラプ ラス 方程 式(15)と

矛 盾 す る.極 小 値 を とる点 があ る と して

も同様 に矛 盾 を生 じる.ゆ え に静 電 場 に は電 位 が 極 大 に な る点 も極 小 に な る点 も な い.

図15  極 値

図16  格 子 空 間

  こ の 定 理 に よ れ ば,電 い.簡

単 に い え ば,静

荷 の 群 が 静 電 気 力 だ けで 安 定 平 衡 を保 つ こ とは で き な

電 場 に は 安 定 位 置 が な い.ま

た,電

荷 の な い 領域 に お いて

こ の 領 域 を 囲 む 閉 曲 面 の い た る と こ ろ に お い て 電 位 が 一 定 の 値 φ0を と る な ら ば, 領 域 内 部 の 電 位 は い た る と こ ろ で φ0で あ る.   【 格 子 空 間 の ラ プ ラ ス 方 程 式 】 空 間 を 一 様 な 格 子 空 間 に す る φ(x,y,z)→ φl,m,nと し て(図16),ラ

プ ラ ス 方 程 式 は ２階 差 分 方 程 式

(18) と な る.こ

れ を書 き直 す と

(19) と な る.こ

れ は １つ の 格 子 点(l,m,n)に

お け る φ の 値 は こ れ を 囲 む ６個 の 格 子

点 に お け る φ の 値 の 平 均 値 に 等 し い こ と を 表 す.し と は あ り得 な い.こ

たが っ て φが 極 値 を と る こ

れ は 格 子 空 間 に お け る ア ー ン シ ョ ウ の 定 理 で あ る.

 静 電 遮 蔽   静電 場 の 中 に導 体 が お か れ る と,導 体 とそ の表 面 で は電 場 は ０に な る.そ れ は も しも電 場 が あ れ ば電 流 が 流 れ,電 場 が ０に な っ て電 流 が 止 ま るか らで あ る.し た が って静 電 場 にお か れ た １つ の 導 体 とそ の表 面 の電 位 は ど こで も同 じ(一 定) で あ る.   導 体 に 囲 まれ た空 間 の 中 に ま った く電荷 が な い とす る と,導 体 の と こ ろで は電 位 は 一定 で あ り,し か も ア ー ン シ ョウの 定理 に よ って この 空 間 内 に 電位 の極 大値 も極 小 値 もない か ら,結 局 この 空 間 内 の 電位 は ど こで も一 定 で あ り,電 場 は な い こ とに な る.外 の 電 場 が 変 わ って も導体 で 囲 ま れ た空 間 内 の電 場 は ０に と ど まる の で あ る.こ れ を静 電遮 蔽 と い う.こ れ は も と をた だ せ ば クー ロ ンカ がr2に 反 比例 す る こ とか ら き て い る.静 電 遮 蔽 を検 証 して クー ロ ンカ が 測 定 の 範 囲 内 で r-2に 厳 密 に比例 す る こ とが 示 され て い る.

 静電場の特異点   静 電 場 の 特 異 点 は 電 荷 に よ っ て 与 え ら れ る.ラ (15)は

線 形 で あ る か ら,静

プ ラ ス-ポ ア ソ ン方 程 式(14),

電場 は いろ い ろ な電 荷 の 分 布 に よ るポ テ ン シ ャル を

加 え合 わ せ て 与 え る こ とが で きる.場 合 に よ り,特 別 な電 荷 分 布 を考 え る の が便 利 な こ とが あ る.   【(ｉ) 独 立 した電 荷 】 原 点 に電 荷 ｑが あ る 場 合 の電 位 は

(20) で 与 え ら れ る.

図17  電気 双 極 子

  【(ⅱ)  双 極 子 】 る と き,Ｐ

図17の

よ う に ２つ の 電 荷 ±qが 距離ｌ を 隔 て て お か れ て い

に お け る電 位 は

(21) で 与 え ら れ る.-qか

ら+qへ

向 か う 方 向 にｚ 軸 を と り,点

Ｐがxz面

にあ ると

きは

(22) こ こで

(23) に 比 べｌ

が 十 分 小 さ い と き,O[(l/r)2]を(l/r)2の

程 度 の 量 と して

(24)

した が っ て,(l/r)2の

項 を無 視 す れ ば

(25) た だ し,こ

こ でl→0と

す る と,同

時 にq→

∞ と して

(26) を 有 限 に 保 つ.こ =qlを

の よ う な 接 近 し た 電 荷 ±qを 電 気 ２重 極(双

双 極 子 モ ー メ ン トと い う ,-qか

極 子 を 表 し,OPを

ら+qへ

極 子)と

呼 び,p

向 け た 長 さ ｐ の ベ ク トル ｐ で 双

ｒ と書 け ば

(27) と書 け る.ま

たｐ と ｒの 間 の な す 角 を θ とす れ ば,z/r=cosθ

な の で(25)か

ら

(28) で あ る.双

極 子 に よ る 電 場 は(25)か

ら

(29)

あ るい は

(29')

こ れ ら を合 わせ て

(30) と 書 け る.図18に

双 極 子 に よ る 電 気 力 線 を 示 す.

図18  双 極 子 の 電 気 力 線

 【４重 極 】 モ ー メ ン トが等 しく向 きが 反対 の 双 極子 が接 近 して存 在 して い る と き,こ れ を電 気 ４重 極 とい う.電 気 ４重 極 テ ン ソル

(31) を用 い る と ４重 極 に よる電 位 は

(32) と書 け る.   【多 重 極 】

同 様 に して,た

が い に 接 近 して 大 き さ の 等 し い 正 負 の 電 荷 が あ る 場

合 の 高 次 の 電 気 多 重 極 を 考 え る こ と が で き る.原 n)が

分 布 す る と き,r=(x,y,z)に

点 の 付 近 に 電 荷ei(i=1,2,…,

お け るポ テ ン シ ャル は

(33) と 書 け る.こ は,そ

こ で,α+β+γ=lの

れ ぞ れ2l重

項 で ξi,ηi,ζi→0,ei→

∞ と した 適 当 な極 限

極 を 与 え る.

 

Tea

Time

 キ ャ ベ ン デ ィ ッ シ ュ   キ ャベ ン デ ィ ッ シ ュ(H.Cavendish,1731−1810)は あ る.両

きわ め て 特 異 な 物 理 学 者 で

親 が と も に イ ギ リ ス の 公 爵 と い う貴 族 で あ っ た が,ケ

学 ん だ 後,主

に 私 邸 内 の 実 験 室 で,す

と ん ど他 人 と の 交 際 を しな か っ た.実 よ っ て 地 球 の 全 質 量,平

験 室 内 で 万 有 引 力 の 定 数 を 測 定 し,こ

の 他,電

気 に 関 す る 重 要 な 研 究,水 か し,彼

の他 に

素 の 発 見,水

の 組 成,

は 自 分 の 発 見 を外 へ 発 表 す る こ と

くの 研 究 が 知 ら れ ず に 埋 も れ て い た.キ

ャベ ンデ ィ ッシ ュ

家 の 寄 付 に よ っ て キ ャベ ン デ ィ ッシ ュ教 授 と い う席 が で き た と き,マ が 就 任 し,キ

れに

電 気 力 が 高 い 精 度 で 距 離 の ２乗 に 反 比 例 す る こ と を

空 気 の 組 成 な どの 研 究 も して い る.し も しな か っ た の で,多

ンブ リ ッジ大 学 で 涯 独 身 で 過 ご し,ほ

均 密 度 が 知 ら れ た 研 究 は き わ め て 有 名 で あ る.そ

同 心 の 球 形 導 体 を 用 い て,静 実 験 的 に 証 明 し た.そ

ぐ れ た 研 究 を し た.生

クス ウェ ル

ャベ ンデ ィ ッ シ ュ が 残 し た 研 究 記 録 を整 理 した こ と に よ っ て,彼

が

時 代 に 先 ん じ て 多 くの 発 見 を して い た こ と が 明 ら か に さ れ た.   科 学 者 に も い ろ い ろ な タ イ プ の 人 が い る.フ

ァ ラ デ ー,ギ

ブ ス,ロ

ー レ ンツ な

ど の 生 涯 に は 研 究 に 一 生 を さ さ げ た さ わ や か さ と あ こ が れ が 感 じ ら れ る が,キ

ャ

ベ ンデ ィ ッシ ュは む しろ人 間 界 をは な れ た研 究 心 の権 化 とで もい い た い よ うな気 が す る.

 第６ 講   静 電 場 は 渦 な しの 場rotＥ=0

―テ ー マ ◆ 静 電 場 は 渦 な しの 場 ◆ ス トー ク ス の 定 理 ◆Tea

Time:微

分 法 則 と積 分 法 則

 静 電 場 は渦 な し   静 電 場 は 渦 の な い 場 で あ る と い う性 質 が あ る.こ こ れ に つ い て 説 明 し よ う.電

れ はrotE=0と

書 か れ る.

流 が あ る と そ の ま わ り に あ る 種 の 渦 が 生 じ る.こ

れ

に対 し て 静 電 場 は 渦 な しで あ る と い う こ と に よ っ て 特 徴 づ け ら れ る の で あ る.   単 位 の テ ス ト電 荷 を 曲 線 Ｃ に 沿 っ てΔsだ

け 移 動 させ る の に 要 す る 仕 事 は

(１)

で あ る.た

だ しESは

トル,E・Δsは

Ｃ の 接 線 方 向 の Ｅ の 成 分,Δsは

Ｅ とΔsの ス カ ラ ー 積 で あ る.電

接 線 方 向 の 長 さΔsの ベ ク

荷 を あ る道 筋 Ｃ に沿 って Ｏ か ら

Ｐ ま で 移 動 させ る 仕 事 は(図19)

(２)

と書 か れ る.こ の積 分 を道 筋 Ｃ に沿 う線 積 分 とい う.線 積 分 は

(３) と書 い て も よ い が,こ Ez(x,y,z)は

こ でEx(x,y,z),Ey(x,y,z),

曲線 Ｃ上 の 値 を と らな け れ ば な らな

い(ｘ,ｙ,ｚ に 関 す る ３つ の 積 分 を 別 々 に 勝 手 に 行 っ て は な ら な い). 図19  線 積 分   出 発 点 Ｏ と 終 点 Ｐ と が 同 じ場 合,図20の Ｃ は 閉 曲 線 に な る.静 に 位 置(x,y,z.)に

電 場 の電 位 は 山 の高 さの よ う

よ っ て 決 ま る か ら,閉

曲線 に対

し て は φ(O)=φ(P)=0と

な る.す

中 に と っ た 閉 曲 線 をC0と

す る と き(図20),C0に

沿 っ て １周 す る 積 分 は ０ に な る.こ

図20  閉 曲線

よ うに

なわち静電場 の

れ を次 の よ う に

書 く.

(４)

これ も静 電 場 に対 す る式 で あ る(時 間 的 に変化 す る電 場 に は成 り立 た な い).

  静 電 場 でｚ 軸 に 垂 直 な 微 小 な 四 辺 形(x∼x+Δx,y∼y+Δy)を こ れ を １周 す る 閉 曲 線 をC0と が,ス

カ ラ ー 積E・dsを

す る と,こ

考 え(図21),

れ に 沿 う 線 積 分 は∫E・ds=0で

詳 し く書 い て み る と,Δx,Δyが

あ る

十分 小 さい と して

(５) したが って

(６)

を得 る.同

様 に,ｘ 軸 に 垂 直 な 領 域(y∼y+Δy,z∼z+Δz)の

積分は (６')

を 与 え,ｙ 軸 に 垂 直 な 領 域(z∼z+Δz,x∼x+Δx)か

らは (６")

を 得 る.そ

こで (７)

で 与 え られ るベ ク トル場 を考 えれ ば,静 電 場 に対 して

(８)

が 成 り立 つ こ と が わ か る. こ れ も静 電 場 を 特 徴 づ け る 重 要 な 式 で あ る.   一 般 の ベ ク トル 場 Ｘ に 対 し てrotXは ョ ン,あ

ロ ーテ ー シ

る い は 回 転 と呼 ば

れ る ベ ク トル 場 で あ る.こ 図21  微 小 な積 分 路 れ は (９)

を 用 い て,ベ

ク トル 積 の 形 で

(10) と書 い て も よ い.  ベ ク トル 場 Ｘ が ス カ ラ ーf(x ,y,z)を

用 いて

(11) と書 け る も の で あ れ ば,rotXのｘ

成分 は

(12) と な り,他

の 成 分 も ０に な る か ら,恒

等的 に

(13) が 成 り立 つ こ と が わ か る ． 逆 にrotX=0な X=gradfと

ら ば,ｆ を あ る １価 の ス カ ラ ー と し て

書 け る こ と が 示 さ れ る.

  静 電 場 が １価 の 電 位 φ を 用 い てE=-gradφ =0が

と書 け る こ と を 用 い れ ば,rotE

再 び導 か れ る .

  こ こ で,gradfやrotXが

ベ ク ト ル 場 で あ る と い っ た が,こ

トル で あ る こ と を 示 す に は,座

れ らが 本 当 にベ ク

標 変 換 に よ る 成 分 の 変 化 が ベ ク トル と し て の 条 件

を 満 た す こ と を 確 か め な け れ ば な ら な い.こ

の 証 明 は 略 す が,座

位 置 ベ ク トルχ と 同 様 な 変 化 を す る こ と と,rotX=∇ ル 積 で あ る こ と に 注 意 す れ ば,こ

×Xが∇

標 変 換 で∇

は

と Ｘ のベ ク ト

れ が 証 明 さ れ る こ と を つ け 加 え て お く.

 ス トー ク ス の 定 理   ベ ク トル 場X(χ)に

お け る 任 意 の 閉 曲 線 をC0と

面 を Ｓ,そ の 法 線 方 向 のrotXの

成 分 を(rotX)nと

し,こ

れ を端 とす る任 意 の 曲

する とき

(14) が 成 り立 つ.こ

れ を ス トー ク ス の 定 理 と い う.

  た と え ば,ｚ 軸 に 垂 直 な 微 小 領 域(x∼x+Δx,y∼y+Δy)を C0と

し,こ

れ を 含 む 微 小 な 面ΔxΔyを

ｓ とす れ ば,す

で に(14)の

１周 す る 道 筋 を 計 算 で 示 した

ように

(15) と な り,ス

トー ク ス の 定 理 が 成 り立 っ て い る.

  Ｘ と し て 電 場 Ｅ を と れ ば,任 対 し て∫E・dχ=0で

意 の 閉曲線 に

あ る か ら,rotE=0が

直

ち に 導 か れ る.   【 証 明 】 ３次 元 の 場 合 に ス トー ク ス の 定 理 の 略 証 を 述 べ よ う.図22の

よ う に 閉 曲 線C0を

境

界 と す る 面 を Ｓ とす る.Ｓ 上 の 微 小 部 分 に 接 し て ｘ軸 とｙ 軸 を と れ ば,微 て(５)を

小 領 域ΔxΔyに

対 し

図22 

ス トー ク ス の 定 理

適用 し

(16) を得 る.こ

こ でΔSは

面 積ΔxΔyと

で あ る.最

後 の 表 現 は ベ ク トルrotXとΔSと

ｘ,ｙ軸 に は よ ら な い.そ 式 を つ く り,こ

同 じ大 き さ を も ち,こ

の 面 に 垂 直 な ベ ク トル

の ス カ ラ ー 積 で あ り,仮

に と った

こ で 全 領 域 Ｓ を 小 さ な 面 に 分 割 して 各 微 小 面 に つ い て 上

れ ら を加 え 合 わ せ れ ば 微 小 面 が 重 な る と こ ろ で は 線 積 分 が 逆 向 き

の も の が 打 ち 消 す の で,C0に

対 す る 線 積 分 が 残 っ て ス トー ク ス の 定 理 が 得 ら れ

る.

  な お,面

Ｓ を ど の よ う に と っ て も∬(rotＸ)ndSは

  【証 明 】

こ れ は,C0を

際,ガ

境 界 と す る 閉 曲 面S0を

同 じ に な る. 考 え て 示 す こ と が で き る.実

ウ スの 定理 に よ り

(17) と な る.な

ぜ な らば

(18) すなわち

(19) は 恒 等 的 に 成 り 立 つ か ら で あ る.S0はC0を

境 界 と す る ２つ の 面S1とS2か

らな

る と み る こ と が で き る が,ガ とS2の

ウ ス の 定 理 で 法 線 に は 外 向 き に と っ て い る の で,S1

一 方 の 法 線 を逆 向 き に と る こ と に す れ ば

(20) と な る わ け で あ る.   【 静 電 場 は 渦 な し 】 あ る 場 Ｘ がrotX=0を と い う.渦

満 た す な ら ば,Ｘ

な し の 場 Ｘ は １価 の 関 数 φ を 用 い てX=-gradφ

は渦 な しで あ る と 書 け る.静

は 渦 な しの 場 で あ る の で,１ 価 の ポ テ ン シ ャ ル φ を 用 い てE=-gradφ

電場

と書 け る

の で あ る.

  Tea

Time

 微分法則 と積分法則   電 磁 気 学 の 特 徴 の １つ は,１ つ の 同 じこ と を表 す 法 則 と して微 分 法 則 と積 分 法 則 とが あ る こ とで あ る.た

と え ば,divE=ρ/ε0は

な積 分 法 則 と して ガ ウス の 法 則∫E・dS=Q/ε0が

微 分 法則 で あ り,こ れ と同等 あ る.こ の よ うに,電 磁 気 学 の

基 本 的 な法 則 に は微 分 形 の微 分 法 則 と積 分 形 の積 分 法則 とが あ り,一 方 か ら他 方 が 導 か れ,た が い に 同等 な内 容 を も って い る.見 た と ころ は 大 変 ちが うが,見 方 に よ って どち らかの 形 の 方 が わか りや す く,ま た場 合 に よ って ど ち らか の 形 の方 が 求 め る結 果 を導 き やす い.電 磁 気学 以外 で も微 分 法則 に は,こ れ と同等 な積 分 法則 が あ る こ とが 多 いの だが,電 磁気 学 で は これ が 目立 つ の で あ る.こ れ は電 磁 場 とい う 「場 」 に特 有 な こ とで あ る と考 え られ る.   た とえ ば,力 学 の 場 合,保 存 力 が は た ら く １次 元 の運 動 で は ニ ュー トンの運 動 方 程式d2x/dt2=-dU/dxは

微 分 法 則 で あ り,エ ネ ルギ ーの 法 則υ2/2+U=Eは

分 法 則 で あ る.１ 次 元 の 場 合,こ

積

の ２つ は まっ た く同 等 で あ る.２ 次 元,３ 次 元

の場 合 はそ う簡 単 で は な い が,エ ネ ル ギ ー保存 の法 則,運 動 量 保 存 の 法 則,角 運 動 量 保 存 の 法則 な どは,そ れ ぞ れ の制 限 の 下 で成 り立 つ 積 分 法 則 で あ る.   物 理 学 で よ く用 い ら れ る法 則 に変 分 法 則 とい うの もあ る.た と え ば,２ 点 を結 ぶ 最短 曲線 は直線 で あ る とい う よ うな法則 で あ る.こ れ は曲 線 に 少 しの 変 化(変 分)を 与 えた と きに,曲 線 の長 さが か な らず大 き くな って し ま う よ うな 曲 線 とい う意味 で あ る.変 分 法則 は変 分 原 理 と呼 ば れ る こ と も多 い.変 分 法 則 は多 分 に数

学 的 で あ るが 物 理 的 な 意 味,あ る い は形 而 上 学 的 な 意 味 をつ けて 考 え られ た こ と もあ っ た.た とえ ば 光線 は最 短 距 離 を通 っ て ２点 間 を結 ぶ.運 動 の 経 路 は作 用 と い う量 Ｌの積 分∫Ldtが 極 値 を とる とい う法 則 に よ って定 め られ る.こ の よ う な 変分 法 則 は 「自然 は む だ を しな い」 とい う よ う な意 味が こ じつ け られ て 考 え られ た こ と もあ る.

 第７ 講   磁 場 と ロ ー レン ツ 力

―テー マ ◆

磁 場

◆

ロー レンツ力

◆Tea

Time:ロ

ー レンツ

 磁

場

  磁 石 は 鉄 な ど を引 きつ け るの で,磁 石 の両 端 の まわ りの空 間 に は磁 気 の作 用 を もつ 場 が あ る こ とが わ か る.こ れ を磁 場(磁 界)と

い う.長 い棒 磁 石 の 両 端 に は

磁場 の 原 因 に な る もの が あ る と考 え られ,こ れ は磁 荷 と呼 ばれ て い る.磁 石 に は Ｎ 極 と Ｓ極 と が あ る か ら,磁

荷 も Ｎ と Ｓ と が あ る.電

荷 の 場 合 と 同 じ よ う に,

同 極 の 磁 荷 は 反 発 し合 い,異

極 ど う し は 引 き 合 う.磁

荷 の Ｎ極 が 受 け る力 の 向

き を そ の 磁 場 の 向 き と 定 義 す る.磁   磁 針(コ

ンパ ス)の

場 の 向 き を つ ら ね た 線 を 磁 力 線 と い う.

近 く に 導 線 を お い て 電 流 を 流 す と,磁

れ は エ ー ル ス テ ッ ド(H.Oersted,1777−1851)が1820年 電 流 は そ の ま わ り に 磁 場 を つ く る の で あ る.直 を 中 心 と す る 向 き を も ち,磁

針 は 力 を受 け る.こ

に 発 見 し た 現 象 で あ る.

線 電 流 が つ く る 磁 場 は,こ

力 線 は 電 流 を と り か こ む 同 心 円 で,電

の電 流

流 に 対 し右 ね

じの 進 む 向 き で あ る(図23).   電 流 が 磁 針 に 力 を 及 ぼ す な ら ば,磁 は ず で あ る.ま

た,磁

針 の まわ りの磁 場 は逆 に電 流 に力 を及 ぼ す

場 は 電 流 に よ っ て も つ く ら れ る か ら,２ つ の 電 流 は た が い

に相 手 のつ くる磁 場 に よ って 力 を受 け な け れ ば な ら な い.実 さ れ て,ア は,平

際,エ

ー ル ス テ ッ ドの 発 見 に 刺 激

ン ペ ー ル(A.Ampere,1775−1836)

行 で 同 方 向 の 電 流 の 間 に は 引 力 が,反

対

向 きの電 流 の 間 に は斥 力 が はた ら くこ とを示 し た.こ

図23  電 流 の磁 気作 用

の現 象 を用 い て 電 流 の 単位 が定 め られて

い る こ と は,す

で に 第 １講 で 述 べ た 通 りで あ る.

 磁場の単位   磁 場 の 中 に お い た 電 流 に は 力 が は た ら く.こ 現 象 を利 用 し,次

の よ う に して 磁 場 の 大 き さ,単

に よ っ て 電 流 に は た ら く 力 は,電 り,こ

れ を ア ンペ ー ル の 力 と い う.こ

の 力 の 向 き は,電

流 に 垂 直 で,磁

場

場 の 向 き に 対 し て も垂 直 で あ

流 の 向 き か ら磁 場 の 向 きへ 右 ね じ を 回 し た と き に 右 ね じ

が 進 む 向 き に あ る(図24).電

流 の 流 れ て い る 導 線 に 沿 っ て 長 さ ｓの 微 小 部 分 を

考 え,電

流 の 向 き に 長 さ ｓの ベ ク トル ｓ を

と る.こ

の 微 小 部 分 に は た ら く力 を Ｆ,電

流 の 大 き さ をＩ と し,そ

位 を決 め る こ と が で き る.磁

の

の 場 所 の 磁 場 を表

す量 Ｂ を

(１)

に よ っ て 定 義 す る.こ ル の 力 で あ る.こ

の 力 Ｆ が ア ンペ ー

こ で,s×Bは

ｓ と Ｂ と の ベ ク ト ル 積 で あ る.電 ＜π)と し,sinθ

す る と,力

流 の 向 き と 磁 場 の 向 き と の 間 の 角 を θ(0＜ θ

Ｆ の 大 き さ Ｆ はIsに

に 比 例 す る.す

図24  電 流 が 磁 場 か ら受 け る 力 ベ ク トル

比 例 し,磁

場 の 大 き さB=￨B￨に

比 例

なわち (１')

こ れ が 実 験 で 確 か め ら れ る の で,Ｆ る の で あ る.

は 上 の よ う にIsと

Ｂ と の ベ ク トル 積 で 書 け

  上 に 定 義 し た 磁 場 の 量 Ｂ は,磁 が 多 い.こ

束 密 度(磁

れ は 歴 史 的 な 事 情 に よ る こ と で あ る が,一

う意 味 の 磁 場 と 区 別 す る に は,磁

で 測 る と き,(１)に い い,Ｔ

般 に磁 力 の は た ら く場 と い

Ｆ,電

流 Ｉ,長 さ ｓ を そ れ ぞ れ の 単 位 Ｎ,Ａ,ｍ

よ り磁 束 密 度 Ｂ の 単 位 はN/A・mと で 表 す,す

呼ばれ るこ と

束 密 度 と い う 方 が よ い わ け で あ る,

  上 の 定 義 か ら わ か る よ う に,力

(tesla)と

気 誘 導 と も い う)と

な る が,こ

れ をテ ス ラ

なわ ち

(２)

  磁 束 密 度 の ベ ク トル Ｂ をあ る範 囲 で た ば ね て,そ

の全 体 を磁 束 と い う.狭 い ,.,.,.

範 囲 の Ｂ を た ば ね た と考 え,Ｂ

に垂 直 な面 積 を Ｓ とす る と き (３)

を 磁 束 と い う の で あ る,そ

の 密 度 Ｂ が 磁 束 密 度 と い う わ け で あ る.MKSA単

系 で 磁 束 の 単 位 を ウ ェ ー バ ー(Wb)と

位

い う.(Wb)=(T・m2)=(N・m/A),あ

る

い は (４)

で あ る.

 ロ ー レ ン ツ 力

 電 流 Ｉに よ って 流 れ る電 荷 の密 度 を ρ,そ の 速 さ をυ と し,導 線 の 断 面 積 を Ｓ とす れ ば (５)

で あ る.微

小 な 長 さ ｓの 中 の 電 荷 を １つ の か た ま り と考 え て,こ

こ こ で 導 線 の 微 小 部 分 に つ い てυs=υSで

これ を書 き直 せ ば

あ る か ら,こ

れ をｑ と す れ ば

の 部 分 に は た ら く力 Ｆ は

(６)

これ は 電 荷 ｑに は た ら く力 を表 す.電 子 の よ うな点 電 荷 に対 して磁 場 が 及 ぼす 力 は こ の式 で 与 え られ る.電 場 Ｅ も存 在 す る と き,速 度υ の 電 荷ｑ に は た ら く力 は

(７)

で 与 え ら れ る.こ

れ を ロ ー レ ン ツ(Lorentz)力

  ロ ー レ ン ツ カ の 式(７)に

と い う (図25).

お いて Ｅ と

Ｂは電荷ｑ に外 か ら与 え ら れた 電 場 と磁 場 で あ る と考 え る こ と が 多 い.言 ば,Ｅ

いか えれ

とＢ は電荷ｑ 自 身 が つ くる 電 場 と

磁 場 を含 まな い と考 え る こ とが 多 く,電 荷 の 速 度υ が 一 定 の と き,こ

の解 釈 は 正 し

い

図25  運 動 す る電 荷 には た ら く力

  しか し電 場 に関 して 第 ４講 で も注 意 した よ うに,電 荷ｑ が 加速 度 運 動 をす る と,そ の まわ りに電 磁 波 が 出 る.こ の 電磁 波 は そ の電 荷ｑ が つ くる電磁 場(自 己 場)か

らエ ネル ギ ー が送 り出 され る こ とを意

味 す る.こ の た め 電 荷 は 反 動 の 力 を受 け る.し た が って(７)の

Ｅ,Ｂ は 自己 場

を含 む もので な け れ ば な ら ない.  電 荷 密 度 ρ と電 流 密 度ｉ に は た ら く単位 体積 あ た りの力 は,(７)に

対 応 して

(８)

と書 け る.こ

れ を ア ンペ ー ル の 力 と い う こ とが あ る.

  磁 場 の強 さ   これ か ら しば ら く,真 空 中 に電 荷 や電 流 が あ る場 合 を と り扱 う こ と にす る(物 質 の 中の 電 場 や 磁 場 は後 に第18講 以 下 で扱 う).真 空中 の 電磁 場 だ け を扱 う と き は磁 束 密 度 Ｂ で な く

(９)

を 用 い る こ と に し よ う.Ｈ

は磁 場 の 強 さ と呼 ば れ る.真

空中では

(９')

で あ る(μ0の

単 位N/A2に

つ い て は 第12講

  物 質 中 の 電 磁 場 に 対 して は 電 気 変 位(電 用 い な け れ ば な ら な い が,そ

参 照). 束 密 度)D=εEと

磁 束 密 度B=μHも

れ ま で は 記 号 を 少 な くす る た めＤ,Ｂ

は用 い な い こ

と に す る.

 

Tea

Time

 ロ ー レ ン ツ   ロ ー レ ン ツ(H.A.Lorentz,1853−1928)は 世 紀 を 結 ぶ 大 御 所 で あ っ た.彼 経 営 者 の 息 子 と し て 生 ま れ た.子

理 論 物 理 学 の 歴 史 で は19世

紀 と20

は オ ラ ン ダ 東 部 の い な か 町 ア ル ン ヘ ム で,苗 供 の と き か ら異 例 の 秀 才 で あ っ た.ラ

木園

イ デ ン大

学 を 卒 業 して か ら い な か へ 帰 り,高 校 の 先 生 を し な が ら学 位 論 文 「光 の 反 射 と 屈 折 に つ い て 」 を 書 い た.1878年 数 人 の 子 供 に 恵 まれ,幸

に ラ イ デ ン 大 学 教 授 と な り,1881年

せ な 家 庭 生 活 を お く っ た.友

に 結 婚 して

人 や 同 輩 の 中 に は,気

体の

液 化 の 理 論 で 有 名 な フ ァ ン ・デ ル ・ワ ー ル ス や 低 温 の 実 験 研 究 で 有 名 な カ マ リ ン グ ・オ ネ ス な ど が い る.や 時 期 を 迎 え る の で あ る が,こ

が て オ ラ ン ダ は 低 温 物 理 学 の 研 究 で 世 界 を リ ー ドす る れ は ロ ー レン ツの偉 大 さ もあ ず か って い る と思 わ れ

る.   ロ ー レ ン ツ の 第 １の 業 績 は マ ク ス ウ ェ ル の 電 磁 気 学 を 美 し く仕 上 げ 発 展 させ た こ とで,そ

の仕事は

『 電 子 論 』 と して 知 ら れ て い る .若

ん だ ア イ ン シ ュ タ イ ン は 次 の よ う に 述 べ て い る(エ 学 を創 っ た 人 々 』 久 保 亮 五 ・矢 崎 裕 二 訳,み   「H.A.ロ

り,そ

『 古典物理

す ず 書 房,1992年).

ー レ ン ツ が 論 文 を書 き 出 し た 頃 に は,マ

知 ら れ て い た.と

い 頃 に こ れ を注 意 深 く読

ミ リ オ ・セ グ レ著

ク ス ウ ェ ル の 理 論 は も う広 く

こ ろ が この 理 論 に は 基 本 的 な 点 で 妙 に込 み 入 った と こ ろ が あ

の た め に 本 質 的 な 特 徴 が 明 瞭 に 浮 か び 上 が ら な い き ら い が あ っ た.…

考 え 方 で は 物 質 が 場 の 担 い 手 と み な さ れ て い る の で,電

場 や 磁 場 は,物

この

質の運動

状 態 に 対 して 独 立 な も の と は な り得 な い こ と に な っ て し ま う の で あ る.…H.A. ロ ー レ ン ツ が 知 性 の 解 放 を 図 っ た の は ま さ に こ の 点 で あ っ た.偉 合 性 の も と に,彼

は 以 下 の 仮 説 を そ の 研 究 の 土 台 に 据 え た.電

質 の な い 空 間 で あ る.こ つ あ る だ け で あ る.電

の 場 に は,電

大 な る論 理 と整

磁 場 の 在 り方 は 物

場 の ベ ク トル が １つ,磁

場 の ベ ク トル が １

磁 場 は 原 子 的 な 電 荷 に よ っ て 作 り 出 さ れ,ま

の 電 荷 に 作 用 して 動 き を 生 じ る.…

た電 磁 場 が こ

こ う い う 簡 明 化 し た 土 台 の 上 に,ロ

ーレンツ

は 当 時 知 ら れ て い た 電 磁 現 象 をす べ て お お い 尽 く す 完 壁 な 理 論 を 築 き上 げ た.そ の 中 に は 運 動 物 体 の 電 磁 気 学 も含 ま れ て い る.そ 一 貫 性 を も つ 美 しい 理 論 で あ り

,経

れ は稀 に見 る 明瞭 さ と論 理 的 な

験 に 基 づ く科 学 に お い て こ う い う も の が 作 り

上 げ られ た 例 しはめ った に な い… 」   ア イ ン シ ュ タ イ ン は ま た 次 の よ う に も 述 べ て い る(セ

グ レの上 に挙 げ た本 に よ

る).   「今 世 紀 へ の 変 り 目 の 頃 に は,理

論 物 理 学 者 な ら ば ど の 国 の 人 も 皆,H.A.ロ

レ ン ツ を 指 導 精 神 と し て 仰 い だ もの で あ る が,そ あ っ た の で あ る.と

こ ろ が,今

れ に は 十 分 もっ と も な理 由が

や 若 い 世 代 の 物 理 学 者 に は,H.A.ロ

理 論 物 理 学 の 基 本 的 な 法 則 の 形 成 に 果 た し た 決 定 的 な 役 割 を,よ 人 が 多 い.こ

の 奇 妙 な 事 実 の 原 因 は こ う い う と こ ろ に あ る.つ

ン ツ の 基 本 的 な 考 え 方 を す っ か り吸 収 し尽 し た た め に,か 胆 さや,そ

ー

ー レ ンツが くわ き ま え な い

ま り彼 ら は ロ ー レ

え っ て そ の 考 え方 の 大

れ が 物 理 学 と い う学 問 の 土 台 を い か に 簡 明 な もの に し た か と い う こ と

な ど が ピ ン と こ な くな っ て い る の で あ る 」   ロ ー レ ン ツ の 仕 事 の 重 大 さ を 簡 明 に よ く述 べ て い る と 思 う の で 少 し長 い 文 章 だ が 引 用 させ て も ら っ た.   相 対 論 の 前 ぶ れ と な っ た ロ ー レ ン ツ 変 換 は1895年 1896年

に 導 入 し て い る.ま

に は ラ イ デ ン で 発 見 さ れ た ゼ ー マ ン 効 果 に 説 明 を 与 え,こ

た,

れ に よって

ゼ ー マ ン と と も に ノ ー ベ ル 賞 を 得 て い る(1902年).   ロ ー レ ン ツ は 外 国 語 に お い て も 異 例 の 熟 達 ぶ り を 示 し,講

義 は 明 快 で あ り,す

ば ら し く ま た 沈 着 な 人 柄 に よ り国 際 会 議 の ま と め 役 に 選 ば れ,こ は じ ま る ソ ル ヴ ェ イ 会 議 で は 初 回 か ら1927年

と に1911年

に

ま で ロ ー レ ンツ は常 に主 宰 者 と し

て 活 躍 し た.   ロ ー レ ン ツ は オ ラ ン ダ の ゾ イ デ ル 海 を 横 切 る ダ ム の 建 設 に 際 し,オ の 人 と し て こ れ を指 導 し成 功 に 導 い た 仕 事 が あ る.果 を も つ オ ラ ン ダ に と っ て,北

ラ ンダ最 高

て し な く海 と た た か う運 命

海 の 暴 風 と荒 波 か ら ゾ イ デ ル 海 を ふ せ ぎ そ こ に 開 拓

地 を つ く る こ と は 重 大 な 国 家 的 仕 事 で あ っ た.ゾ 上 に 並 ん だ い くつ か の 島 が あ り,ゾ

イデ ル 海 の外 側 に は ほ ぼ一 直 線

イ デ ル海 を ダ ムで 仕切 った と き にそ の 島 との

間 に定 常 波 の よ うな もの が で きて ダム に損 害 を与 え る お そ れ が あ った よ うで あ

る.ロ

ー レ ン ツ は,こ

の よ う な 波 の 振 舞 い を詳 し く予 測 す る仕 事 な どで 著 し い 成

功 を お さ め た と い う こ と で あ る.   著 者 は こ の 話 を 朝 永 振 一 郎 先 生 か ら 聞 い て 大 き な 感 銘 を受 け た こ とが あ る.先 生 は い ろ い ろ な 点 で ロ ー レ ン ツ を思 わ せ る 人 柄 で あ る が,先 強 く惹 か れ る と こ ろ が あ っ た に ち が い な い.ゾ

生 自 身 ロ ー レ ンツ に

イ デ ル 海 を仕 切 っ た 際 の ロ ー レ ン

ツ の 仕 事 に つ い て 朝 永 先 生 が 書 い た 一 文 が あ る(「 ゾ イ デ ル 海 の 水 防 と ロ ー レ ン ツ」(1960)朝

永 振 一 郎 著 作 集 ４,み す ず 書 房,1982年).

 第８ 講  電磁場 の中の運動

―テー マ ◆ 電子 の運動 ◆ ゼ ー マ ン効 果 ◆Tea

Time:フ

ァ ラ デ ー とゼ ー マ ン効 果

 静 電場 に よ る加 速  電 子(質 量ｍ,電 荷-e)を

電 場 Ｅで 加 速 す る場 合,運 動 方 程式 を (１)

と す る.vdt=dxを

両 辺 に 掛 け て 積 分 す れ ば,エ

ネ ル ギ ーの 式 (２)

を 得 る.こ

こ でV0は

電 位 差,υ0は

初 速 度 で あ る.初

速 度υ0=0と

す る と (３)

  電 子 の 電 荷 の 絶 対 値 はe=1.603×10-19C  た と え ば 加 速 電 圧 をV0=10キ

質 量 はm=9.108×10-31kgで

ロ ボ ル ト とす る と,加

あ る.

速 に よ って得 られ る速 度 は

と な る.

 電 場 に よ る電 子 線 の 曲 げ   図26は,電

子 の 流 れ(電

子 線)を

その 進 行 方 向 に垂 直 な電 場 に よっ て 曲 げ る 実 験 を行 う た め の 装 置 で あ る(こ れ は,電

子 を 発 見 し たJ.J.ト

(J.J.Thomson)の あ る).電 図26  ブ ラ ウ ン管

の 電 圧 に よ っ て加 速 され,最

ム ソ ン

実験 装 置 の一 部 で

子 は 陰 極(加

ラ メ ン ト Ｃ)か

熱 され た フ ィ

ら 出 て,陽

極 Ａ まで

後 に は Ａ と同 じ電 位 の ス ク リー ン蛍 光 板 Ｓに到 達

す る.途 中 の Ｐ に は電 子 の 進 行 方 向 に平 行 な ２枚 の 電 極 Ｐが あ り,こ れ に加 え る電圧 に よって 電 子 は図 の 上 下 方 向 の速 度 成 分 を与 え られ る.   図27で,２

枚 の 電 極 Ｐの 間 の 電 場 の 強 さ を Ｅ と し,電 極 の 水 平 方 向 の 幅 をｌ

とす る.水 平 方 向 に 走 る 電 子 の 速 度 をυ と し,こ れ が 電 極 Ｐを 通 りす ぎ る時 間 をｔ,電 極 間の 電 場 に よ って 上 下 方 向 に与 え られ る速度 をυxとす る と (４)

した が っ て (５)

これ は 電極 間 を通 る こ とに よっ て電 子 線 の進 む 方 向 が ず れ た角 θのtan を表 す.電 図27  電 場 に よ る電 子 線 の 曲 げ

極 Ｐを 通 りす ぎ た 電 子

はそ の 後 直進 す る か ら (６)

ここ で Ｌ は電 極 Ｐか らス ク リー ン Ｓまで の距 離,ｚ はス ク リー ン上 の 電 子 の到 達 位 置 が上 下 方 向 に ず れ た長 さ を表 す.こ れ は (７)

で 与 え ら れ る.

 静磁場による電子線の曲げ   電 子 が 磁 場 の あ る と こ ろ を 通 る と, ロ ー レ ン ツ 力 を受 け て 曲 げ られ る.磁

場

Ｂ に垂 直 に電 子 が 進 む と きに加 わ る ロー レ ン ツ 力 の 大 き さ はeυB(υ 度)で

あ り,こ

は電 子 の速

の力 は絶 え ず電 子 の進 行

方 向 と磁 場 の 方 向 に 垂 直(ロ

ー レ ンツ力

F=eυ

様 な磁場 Ｂ

×B)で

あ る か ら,一

図28  磁 場 に よ る電 子 線 の 曲 げ

の 中 で 電 子 は 円 運 動 を す る(図28).そ の 半 径 をａ と す る と,向

心 力 が ロ ー レン

ツ力 に 等 しい こ と か ら (８) あ る い はυ=aω

と お く と ω は 角 周 波 数 で あ り,

(９)

と な る.こ

れ を サ イ ク ロ ト ン振 動 数 と い う.

 半 径ａ の円 周 上 の １点 Ｏ にお ける接 線 を ｘ軸 に とる と円 の方 程 式 は

(10) と な る.し

た が っ て 点 Ｏ の 近 くでx/aが

小 さい と きは

(10') で 近 似 さ れ る.y=x2/2aは

放 物 線 で あ り,接

線の方向は

(11) で 与 え ら れ る.   電 子 が 一 様 な 磁 場 Ｂ の 中 を ｘ方 向 にl1だ

け 進 ん で か ら こ の 磁 場 の 外 へ 出 て,

そ の 後 は Ｌ だ け 直 進 し て ス ク リ ー ン に 当 た る と す る と,ｙ 方 向 の ず れ はLtanφ

(x=l1,と

お く)に

等 しく

(12) で 与 え ら れ る.   【J.J.ト ム ソ ン の 実 験 】 電 場 と 磁 場 を た が い に 平 向 に か け て 電 子 線 を 曲 げ る. 電 場 の た め に 曲 が る 方 向 を ｚ方 向,磁

場 の た め に 曲 が る 方 向 をｙ 方 向 と す る.ｌ,

l1は そ れ ぞ れ 一 定 と み な して よ い か ら,(７)と(12）

か らυ を 消 去 す る と,い

ろ い ろ の 速 度 の電 子 が ス ク リ ー ン に 到 達 す る 点 は 放 物 線

(13) の 上 に乗 る こ とが わ か る.こ れ を測 定 して 電子 の比 電 荷e/mの

値 が 求 め られ た.

 ゼ ー マ ン効 果   ゼ ー マ ン(P.Zeeman,1865−1943)は

ナ ト リ ウ ム の ス ペ ク トル 線(Ｄ

源 を 磁 場 の 中 に お い た と き 数 本 に 分 か れ る こ と を 発 見 し た(1896年).こ な 現 象 を ゼ ー マ ン効 果 と い う.こ

線)が

光

の よう

れ は 原 子 の 中 で 電 子 が 振 動 して い る と い う模 型

を 用 い て ロ ー レ ン ツ に よ っ て 説 明 さ れ た.   こ の 模 型 に よ れ ば,磁

場 がｚ 方 向 に あ る と き,電

荷ｑ を も つ 粒 子 の 運 動 方 程 式

は

(14)

で 与 え られ る.ｚ 方 向 の 運 動 は独立 で単 振 動 で あ る.ｘ とｙ 方 向 に対 して は

(15) とす る と

(16)

こ こ でu∝eiωt,u∝e-iωtと

お く と 同 じ式

(17) に な り,こ

れか ら

(18) したが って振 動 数 は

(19) の ２つ に 分 か れ る.こ

れ が ゼ ー マ ン 効 果 の 説 明 で あ る.

  た だ しこ こで

(20)  ラ ー モア の 定 理  と く にqB/m≪

ω0の 場 合,(19)は

(21)

と な る.こ

の 近 似 で は,磁

場 を か け た と き の 運 動 は,磁

場 の な い と きの 運動 に

(22) だ け の 角 速 度 を 加 え 合 わ せ た もの で あ る こ と に な る.角 ア(Larmor)の

歳 差 運 動 と い い,ωLを

速 度 ωLの 回 転 を ラ ー モ

ラ ー モ ア の 角 速 度 と い う.

  【ラ ーモ アの 歳差 運 動 】 ラー モ ア の歳 差 運 動 に よ る回転 の電 流 は加 え た磁 場 に 対 して 反対 向 きの 磁 気 モ ー メ ン トを もつ.こ

れ は物 質 の 反磁 性 を説 明す る.ビ ス

マ スが 磁 極 か ら反 発 され る 反磁 性 の 現 象 は1836年

に フ ァラ デ ー に よ っ て 発 見 さ

れ て い る.磁 気 モ ー メ ン トを調 べ る た め電 子 の 運 動 方 程式 を

(23)

と しよ う.Ｆ は単 振 動 を させ る力 な ど を意 味 す る.角 速 度 ω で 回 転 す る座 標 系 に 移 る と運 動 方 程式 は

(24) と な る.右

辺 第 ３項 は コ リ オ リ カ,第

４項 は 遠 心 力 を 表 す.

(25) とお け ば,(24)右

辺 の 第 ２項 と第 ３項 は打 ち消 し合 う(υ ×B+B×υ=0).し

た が って 力 Ｆ に 比 べ て Ｂ の ２乗 の項 を無 視 した 近似 で,Ｂ 度 ωL=-qB/2mで

と反 対 の 向 きに 角 速

回転 す る座 標 系 で見 れ ば,体 系 の 運 動 は磁 場 の ない と き と同

じで あ る.こ れ を ラ ーモ アの定 理 とい う.   こ こ で電 子 の 電 荷 はq=-eで

あ る こ と を注 意 しな け れ ば な らな い.し た が っ

て 電 子 に対 して は

(26) が ラ ー モ ア の 角 速 度 で あ り,こ の 場 合,電

れ は 外 部 磁 場 Ｂ の 方 向 を 向 い て い る.し

子 の ラ ー モ ア 回 転 に よ る 電 流 は(ρ(r)は

か しこ

電 子 に よ る 電 荷 密 度 で,ρ

(r)＜0)

(27) で あ り,こ の 電 流 は 図29で

わか るよ

う に,外 部 電 場 Ｂ に対 して 反 対 向 き の 磁 気 モ ー メ ン トの 磁 場B'を

つ く

る.言 い か え れ ば外 部 磁 場 に よ って 生 じる ラー モ ア 回転 は,外 部 磁 場 に対 し て 反対 向 きの磁 気 モ ー メ ン トを誘 起 さ せ る.こ れ は一 般 的 に は物 質 に反磁 性 図29  円 電 流 の つ くる磁 場

を与 え るが,電 子 ス ピ ンな ど に よ る常

磁 性 の な い物 質(ビ ス マ ス な ど)に 限 って現 れ る.   原 子 内 の 電 子 が 半 径ａ の 円 軌 道 上 を動 い て い る と した場 合,電 荷 の線 密 度 は -e/2πa ,ラ ー モ ア 回転 に よ る速度 はωLaな の で,誘 起 され た電 流 は

(28) で あ り,ラ

ー モ ア 回 転 に よ る 磁 気 モ ー メ ン ト(第13講(３)参

照)は

(29) と な る.電 て,原

子 に よ る 電 荷 密 度 が ３次 元 的 に 広 が っ て 電 子 雲 を形 成 し て い る と考 え

子 の 中 心 か ら 測 っ た 電 子 の 位 置 を ｘ,ｙ,ｚと しx2+y2+z2=r2の

と す る.他

方 で 電 子 が 円 運 動 を し て い る と す る 模 型 で はa2=<x2+y2>な

平 均 を

a2=2/3.し

の で,

た が っ て(29)は

(30) と な る(第18講Tea

Time参

照).

 ホ ー ル 効 果  金 属 や 半 導体 は よ く電 気 を伝 え るの で,こ れ らの 導 体 の伝 導 電 子 は 自 由 に運 動 す る 自由 電子 で あ る と しよ う.導 体 に電 流 が 流 れ て い る と き,電 流 に垂 直 な方 向 の磁 場 を加 え る と,電 流 は ロ ー レ ンッ力 の た め に運 動 を 曲 げ られ,導 体 の 片 方 に 寄 せ ら れ て,そ

図30  ホ ー ル 効 果

の た め に 生 じ る 電 圧 を受 け る こ と に な る.こ

れ をホール

効 果 と い う.

 電 流Ixがx方

向 に流 れ て い る と し,ｚ 方 向 に 磁 場Bzを 加 え た と き,ｙ 方 向 に

生 じる電 場 をEyと す る(図30).

(31) を ホ ー ル 係 数 と い う.

 単 位 体 積 内 の 電 子 の 個 数 をｎ と し,ｘ 方 向 の 電 子 の 平 均 速 度 をυxと す る と, 電流 は

(32) で あ る(-eは

電 子 の 電 荷).磁

場 Ｂzに よ る ロ ー レ ン ッ 力 は 電 場Eyに

よる力 と

打 ち消 し合 う状 態 で 電流 が 流 れ るの で,こ の条 件 は

(33) と 書 け る,よ

って

(34)   １価 金 属 の場 合(34)は

実 験 とだ い た い 一 致 す る値 を与 え る.し か し半 導 体 で

は ホ ー ル係 数 の符 号 が ちが う こ とが あ る.電 気 を伝 え る粒 子,す な わ ち電 気 を運 ぶ粒 子(担 体,キ

ャ リ ヤ ー)が 電 子 の と きは ホ ー ル 係 数 は 負 で あ る が,キ

ャリ

ヤ ーが 正 孔 で あ る と きは ホ ー ル係 数 は正 で あ る.こ の よ うに ホ ー ル係 数 は その 導 体 の キ ャ リヤ ー の性 質,個 数 な どに関 す る情 報 を与 えて くれ る.   なお,ガ

ウ ス単 位 系 で は(34)は

(35) と な る.

 

Tea

Time

 フ ァ ラ デ ー と ゼ ー マ ン 効 果   マ イ ケ ル ・フ ァ ラ デ ー(Michael と い わ れ て い る.彼 1829)の

Faraday,1791-1867)は

最 大の実験物 理学者

は 製 本 職 人 で あ っ た が 化 学 者 デ イ ビ ー(H.Davy,1775-

講 演 を き い た の が 契 機 に な っ て,は

じめ デ イ ビ ー の 助 手 と な っ た が,間

も な くす ば ら し い 業 績 を 挙 げ る よ う に な っ た.ヘ の 最 大 の 物 理 学 者 の １人)に

ル ム ホ ル ツ(19世

か け ら を 使 う だ け で 最 大 級 の 発 見 を や っ て し ま う 人 」 で あ っ た.彼 (Royal

Institution)で

演 」 を 創 設 し,こ

紀 の ドイ ツ

よ れ ば フ ァ ラ デ ー は 「木 の 切 れ っ ぱ し や 針 金 や 鉄 の

最 後 ま で 研 究 生 活 を 送 っ た が,こ

れ は現 在 で も続 い て い る し,そ

こで

は王 立 研 究所

「金 曜 日 の 夜 の 講

の 他 に も子 供 た ち の た め に 「ク

リ ス マ ス 講 演 」(そ の １つ に 有 名 な 「ロ ー ソ ク の 科 学 」(岩 波 文 庫 に 訳 本 が あ る) が あ っ た)を

行 っ た.

  フ ァ ラデ ーは 化学 に お け る数 々の 発 見 や気 体 の 液化 な どのす ぐれ た研 究 を した が,何

と い っ て も 最 大 の 仕 事 は 電 磁 気 学 に 関 す る 研 究 で あ る.彼

は数 学 な どの学

問 を した 時期 が な く,学 術 用 語 に必 ず しも詳 し くな か っ たが,そ

の代 りす ば ら し

い 直 観 力 を も って電 磁 気 学 を切 り開い て い った とい え る だ ろ う.彼 は まだ用 語 す ら生 み 出 され て い な か っ た新 しい世 界 を進 んで い っ た と もい え る し,な ま じっか 数 学 の技 法 を知 らな か っ た た め に他 人 が まねで きな い方 法 で 実 験 か ら イ メ ー ジ を 膨 ら ませ る こ とがで きた ので もあ ろ う.マ ク ス ウ ェ ル は これ こそ 本 当 の 数 学 で あ る とい っ て い る.   フ ァラ デ ー の行 っ た最 大 級 の発 見 の 中 で最 大 の もの は,電 磁 誘 導 の 発 見 だ った とい わ れ て い る.こ れ は1831年

ご ろ に行 わ れ たが,電 磁 誘 導 に よ っ て電 流 を発

生 させ る ため に は,導 線 が 磁 力 線 を切 らね ば な らな い,と い う こ と を彼 は は っ き りとつ か ん だの で あ る.磁 力 線 とい う概 念 に生 命 を与 え,こ れ を活 用 して 電磁 現 象 を 明 白 に イ メ ー ジで き る よ うに した の は フ ァラデ ー の 大 きな 功 績 で あ る.彼 は こ う してモ ー タ ーだ けで な く発 電機 や変 圧 器 を発 明 した の で あ る.こ の 頃,あ る 政 治家 に,あ なた の 発 見 は何 の役 に立 つ か と きか れ て,フ

ァ ラデ ー は 「 今 はわか

り ませ んが,い ず れ そ れ に税 金 をか け られ る 日が くる で し ょ う」 と答 え た とい う 話 が あ る.研 究 と社 会 との 関 係 に つ い て考 え させ られ る話 で あ る.   フ ァラデ ーは 力 学 的 な 力,電 気 的 な力,磁 気 的 な力 な どが た が い に 関係 し合 っ て い る とい う イ メー ジ を も って い た.こ と に光 と電 磁 気 的 な力 との 関連 を実 証 し よ う と した.   は じめ に彼 は ガ ラス や結 晶 に電 場 をか け た と き,こ れ を通 る光 の偏 光 面 が 変 わ る か を調 べ た が 成 功 しな か った(1875年

に カ ー(Kerr)と

に よ って 電場 に よる偏 光 面 の 回転 を発 見 した―   つ いで1845年

い う人 が 精 密 な 実 験

カ ー効 果).

に彼 は 自分 で 発 明 した重 しガ ラ ス に磁 場 をか け た と き,こ れ を

通 る光 の偏 光面 が 回 る こ とを発 見 した.こ れ は フ ァラデ ー効 果 と呼 ば れて い る. さ らに彼 は磁 場 か ら反 発 され る物 質 を発 見 して い る(反 磁 性 の 発 見)．   1849年 か ら フ ァ ラデ ー は 重力 と電 気 の 相 互 作 用 を見 つ け 出 そ う とす る実 験 を 何 度 も行 っ て い る.彼 は 高 い と ころ か ら物 体 を 落 と して,こ れ が 電 気 を帯 び る か,と い う よ うな こ とを調 べ たが,結 果 は否 定 的 で あ った.   1862年 に フ ァ ラデ ー は最 後 の 実験 を行 った.そ れ は 光源 を磁 場 の 中 に お いて, そ こか ら出 る光 に磁 場 が 与 え る影 響 を見 つ け よ う とい う試 み で あ った が,こ れ は 成 功 しなか った.こ の で あ る.フ

の効 果 はそ れ か ら34年 た って ゼ ーマ ンに よ って 発 見 され た

ァラデ ーの 用 い た 実験 装 置 は精 度 が 不 十 分 だ った の で あ り,ゼ ー マ

ンは精 度 の 高 い 装 置 で この 効 果 を発見 す る こ とが で きた わ け で あ る.   フ ァラデ ー は彼 の 行 った 実 験 を詳 し く記 して い る.こ れ が 『電気 に 関 す る実 験 的研 究 』 とい う大 著 で あ る.若 き 日のゼ ーマ ンは こ れ を熱 心 に読 み,フ の遺 志 をつ い で ゼ ー マ ン効 果 を発 見 した.

ァラ デ ー

  も し も重 力 と電 気 との 間 に,フ

ァラ デ ーが 考 え た よ うな 関係 が 検 証 され る 日が

来 た とす れ ば,そ れ は アイ ンシ ュ タイ ンの一 般 相 対 性 理 論 や 大統 一 理 論 に と って また とな い有 力 な手 が か り とな る はず で あ る.   「自然 界 のす べ て の力 は 同 じ起 源 を もって 相 互 に依 存 し合 い,た

った １つ の 基

本 的 な力 が異 な った形 で現 れ た もの だ とす る信 念 を,私 は長 い こ と変 わ らず に も ちつ づ け て きた.そ こで,実 験 に よ って 重 力 と電 気 の 関係 を 明 ら か に し,磁 気, 化 学 的 な力,熱

を含 む 多様 な力 の 現 れ 方 を １つ の 関係 で結 びつ け る試 み の 中 に,

重 力 も一 緒 に組 み 込 め る ので は ない か と考 え て み た 」 とフ ァラデ ー は述べ て い る (小山 慶 太 著 『フ ァラデ ーが生 きた イ ギ リス」 日本 評 論 社,1993年).

 第９ 講  ビ オ ーサ バ ー ル の 法 則

―テ ー マ

◆

ビ オ-サ バ ー ル の 法 則

◆ 直 線 電 流,円 ◆Tea

電 流 の つ くる磁 場

Time：

電 気 と磁 気

 ビ オ-サ バ ー ルの 法 則   す で に 述 べ た よ う に,平

行 な 電 流 の 間 に は 引 力 が は た ら き,電

ア は こ の 現 象 を用 い て 定 義 さ れ て い る.電

流 の単 位 ア ンペ

流 間 に 力 が は た ら くの は,一

が つ く る 磁 場 に よ っ て も う 一 方 の 電 流 が 力 を 受 け る か ら で あ る.距 隔 て て 無 限 に 長 い ２本 の 定 常 電 流Ｉ,I'(A)が は,電

あ る場 合,こ

流 に 垂 直 で 電 流 を 含 む 面 内 に は た ら き,導

さ をF(N)と

方 の電 流

離R(m)を

れ ら の 間 に は た ら く力

線 のl(m)に

は た ら く力 の 大 き

す ると (１)

で あ る(第

１講 参 照).こ

の 場 合,電

=μ0HI'lの

力 を 受 け る(第

７講(１))

流I'は,電 .し

流Ｉ が つ く る 磁場 Ｈ に よ っ て Ｆ

た が っ て 電 流 ＩＩ が 距 離 Ｒの と こ ろ につ

くる磁 場 の大 き さは (２)

で あ る.こ

の磁 場 Ｈ の

向 きは電 流 に沿 っ て お い た右 ね じを 回す 向 きで, 磁 力 線 は電 流 を 中心 とす る 同心 円 を形 づ くる(図 31).   【ビ オ ーサ バ ー ル の 法 則 】 電 流 の つ く る磁 場

図31  電 流Ｉ の つ くる磁 場 Ｈ

は,電 流 の各 部 分 が つ く る磁 場 を合 わせ た もので あ る と考 え る こ とが で き る.こ の 考 え に よれ ば,電 流 Ｉ の微 小 部 分dsが

こ こか ら ｒの と こ ろ につ くる磁場 をdHと

する と (３)

で 与 え ら れ る.電 係 は 図32の

流 素 片Idsと

関

よ う に な る.

  こ れ を ビ オ-サ

バ ー ル(J.Biot,1774-1862,

F.Savart,1791-1841)の dHの

ｒ とdHの

法 則 と い う.磁

場

大 き さは

(４)

た だ し θ はdsと

ｒ と の 間 の 角 で あ る.す

な

わ ち 定 常 電 流 に 対 し て 成 立 す る.

 【 例 １ 直 線 電 流 の つ くる磁 場 】 ビ オ ーサ バ ール の 法 則 が正 しい結 果 を与 え る こ と を示 図32  ビオ ーサ バ ー ルの 法 則

す た め,直 線 電 流 の つ くる磁 場 を計 算 して み る.図33の う.図

よ う に 直 線 電 流 に 沿 っ て 長 さ ｓ を と り,点

Ｐに お け る磁 場 を 求 め よ

にお い て (５)

で あ り,

(6) こ の 場 合,電

流 素 片Idsが

つ く る 磁 場dHは

い て 紙 面 に 垂 直 で あ り,そ れ ば よ い.し

の 大 き さdHは

Ｐに お 単 に加 え

た が って Ｐに お け る磁 場 の 大 き さ を

Ｈ と す る と(4)か

ら

図33  直 線 電 流

(7) と な り,こ   【 例2 

れ は(2)と

一 致 し て い る.

円 電流 の中心軸上 の磁 場】

ル の 法 則(4)に

お い て,図34の

ビ オ ーサ バ ー

よ う に θ=π/2,

ds=adψ,r2=z2+a2.半

径ａ の 円 電 流 Ｉが 中 心 軸 に

つ く る磁 場 Ｈ は(4)を

ｓに つ い て 積 分 した も の で

(8) 図34  円電 流 のつ くる磁 場

とな る。

 

Tea

Time

 電気 と磁気   電 気 とい う もの は眼 に見 え ない の で,中 学校 や高 等 学 校 の物 理 の 中で あ ま り人 気 が な い よ うで あ るが,そ

う か と思 う と電 気 の 授 業 が 大 好 き な先 生 方 もお られ

る.   電 気 を使 って モ ー ター を使 う とい うの は,多

くの子 供 に とって １つ の夢 で あ る

ら しい.今 で はい ろ い ろの 材 料 が 手 に 入 る の で む か しほ ど むず か し くは な い と思 うが,子 供 の 頃 に モ ー ター をつ くろ う と して うま く回 らなか った 覚 えは私 に もあ

る.最 近 に な っ て,あ ち ら こ ち らで や さ しい 科 学 の話 な ど を た の まれ,簡

単な

モ ー タ ーや 電気 ブ ラ ンコ な ど を 自作 して演 示 実験 を してみ せ る こ とが あ る.ま た 簡 単 な磁 針(コ

ンパ ス)を つ くっ て見 せ る こ と もあ る.

  電 流 や磁 気 な ど,眼 に見 え な い もの が い ろい ろ の作 用 をす る.そ の 作 用 に よ り 予 期 しなか った よ うな大 きな動 き な どが 見 られ る と き,そ れ は 驚 き に変 わ る.   電 気 ブ ラ ンコ とい うの は,電 流 が 磁 場 か ら力 を受 け る こ と を利 用 す る.太 い 銅 の 針 金 で ブ ラ ンコの ２本 の 柱 に相 当 す る枠 をつ く り,そ の 間 に 同 じ針 金 で ぶ らぶ らゆ れ るブ ラ ンコ をか け,ブ ラ ン コの 座 る とこ ろ は強 い 馬蹄 形 磁 石 の 両極 の 間 に あ る よ うに す る.２ 本 の柱 を通 して 電池 の電 流 を流 せ ばブ ラ ン コ は磁 石 か らカ を 受 けて 一瞬 飛 び はね る よ うな 運 動 をす る.た あ い も ない よ うな もの だ が,針 金 を 太 くす る と大 きな力 が 出 て くるの で,ち

ょ っと び っ くりす る よ うな は げ しい運 動

が 見 られ る.   これ に類 す る電 気 の お もち ゃは い ろ い ろ あ る.少

し凝 れ ば相 当高 尚 な ものが つ

くれ る だ ろ う.   ア イ ンシ ュ タ イ ンは 子供 の と きに,お 父 さんが くれ た磁 石(コ

ンパ ス)の 動 き

に心 を奪 われ た そ うで あ る.磁 針 が 眼 に見 え ない 力 を受 け て南 北 の 方 向 を向 こ う と努 力 して い る様 子 は,彼 に とっ て 大 きな驚 きで あ った.空 間 を隔 てて 及 ぼ し合 う力 が 彼 の 一 生 の研 究 テ ー マ に な っ た １つ の 原 因 は,幼 か った と きの そ の 驚 きで あ ったの だ ろ う.

 第10講   真 空 中 の 磁 場div

H=0

―テー マ ◆

真 空 中 の 磁 場 div H=0

◆

ベ ク ト ル ・ポ テ ン シ ャ ル

◆Tea

Time: 

水の 流れ の アナ ロジー

 磁 場 は磁 荷 と電 流 に よ って生 じる.磁 荷 の 正 体 は電 子 の ス ピ ン(古 典 的 な モ デ ル で は 自転)と 電 子 の 運動 で あ るが,こ

れ を小 さ な永 久磁 石(分 子 磁 石 とい う)

の極 が そ の端 に現 れ た もの で あ る と考 え る の も便 利 で あ る(図35).永 Ｎ 極 と Ｓ極 と を も ち,こ

久磁 石 は

れ を ２つ に 切 っ て も

必 ず そ の 断 面 に 極 が 現 れ て,１ つ の 永 久 磁 石 の Ｎ の 磁 荷 と Ｓの 磁 荷 と は い つ も 大 き さ が 等 し い.分

子 磁 石 も そ の 両 端 に Ｎ 極 と Ｓ極

が あ り,こ

れ ら の 磁 荷 の 大 き さ は等 し い と考 図35  分 子 磁 石 と永 久 磁 石

え ら れ る.   した が っ て,ど

の よ う に 小 さ な 領 域 を と っ て も,そ

荷 密 度 は ０ で あ り,単

位 体 積 内 の 全 磁 荷,あ

の 中 の 全 磁 荷,あ

るい は磁

る い は 磁 荷 密 度 は 常 に ０で あ る.電

荷 に つ い て は 電 荷 密 度 を ρ と す る と き,divE=ρ/ε0が

成 り立 つ(第

３講).こ

れ に対 応 して,磁 荷 密 度 が ０で あ る こ とは

(１)

を意 味 す る.こ れ は磁 場 が 時 間 的 に変 わ る場 合 に も成 り立 つ.  ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル   磁 場Ｈ

に 対 し てdivH=0で

あ る こ と は,磁

場Ｈ

が あ る 場 の 量A(x,t)を

用

いて

(２)

と表 さ れ る こ と を 意 味 して い る.こ

こ でrotは

で 与 え ら れ る ベ ク トル で あ り, (３)

が 恒 等 的 に 成 り 立 つ.(２)に

お い てA(x,t)を

ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル と い

う.

 電 流 が つ くる磁 場   前 節 で は,磁

荷 に よ っ て 磁 場 が 生 じ る と して 直 観 的 にdivH=0を

か し実 際 に は,磁

場 は 電 流 に よ っ て 生 じ る も の で あ る.定

磁 場 に 対 し て は 前 講(３)の   磁 荷 を 考 え ず,磁 み よ う.電

導 い た.し

常 電 流 に よ って 生 じる

ビ オ ーサ バ ー ル の 法 則 が 成 り立 つ.

場 は す べ て 電 流 に よ っ て つ く ら れ る と考 え て(２)を

流 に す こ し広 が り を も た せ,電

導いて

流素片 を (４)

と 書 き 直 す.こ dxdydzを

こ でｉ は 電 流 密 度,dxは

意 味 す る ． こ の 電 流 がx'に

バ ー ル の法 則 に よ り

３次 元 の 素 体 積(体

あ る と き,ｘ

積 要 素)dx=

に つ く ら れ る 磁 場 は ビ オ ーサ

(５)

で あ る か ら,こ れ を電 流 全 体 に わ た っ て積 分 す れ ば,電 流 が位 置ｘ に つ くる磁 場 と して ( ６) を得 る.た だ しＶ は電 流ｉ が存 在 す る全 空 間で あ る.  こ こで

(７)

な どに注 意 す れ ば,ｘ に 関す る演 算rotのｘ 成 分 と して

(８) を得 る.y,z成

分 に つ い て も 同 様 で あ る.

  した が っ て,(6)の

Ｈ は

(９)

電 流Ｉ が導 線 を流 れ る と きは (９')

と 書 け る.こ

れ が 定 常 電 流 に よ る ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル で あ る.こ

示 し た よ う に 一 般 にdiv

rot=0で

あ る か ら,電

こで す で に

流 に よる磁 場 につ い て

(10) が再 び導 か れ る.

  こ の 結 果 は,磁

荷 の 正 体 は 電 流 に あ る と して 導 い た.こ

法 則 を用 い た が,こ わ る と き は,こ

の 際 ビ オ ーサ バ ー ル の

れ は 定 常 電 流 の と き正 し い 式 で あ る.電

れ に よ る 磁 場 は 光 速 度 で 伝 わ る の で,ビ

の ま ま で は 正 し く な い.し あ る い はdivB=0を

流 が 時 間 と とも に変

オ ーサ バ ー ル の 法 則 は そ

た が っ て 上 の 計 算 は 変 動 す る 電 流 の 場 合 はdivH=0

証 明 し た こ と に な ら な い.し

か し,後

に示 す よ うに 電流 の

影 響 が 光 速 度 で 伝 播 す る こ と を 考 慮 し た 電 磁 場 で もdivB(x,t)=0で が っ て 磁 場 Ｂ は 時 間 を 含 む ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ルA(x,t)を

あ る.し

た

用 い てB=rotA

と 書 け る こ と に な る.

 ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャル の任 意性   ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル Ａ に は あ る 任 意 性 が あ る こ と を 注 意 し て お こ う。 こ れ は 次 の よ う な こ とで あ る.磁 き,す

場 Ｈ が あ る ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ルＡ を もつ と

なわち

(11) で あ る と き,ｆ を任 意 の ス カ ラ ー 関 数 と し て

(12) とお く と

(13) が 直等 的 に 成 立 す る た め,

(14) す な わ ちA'も

同 じ 磁 場 の ベ ク ト ル ・ポ テ ン シ ャ ル で あ る.変

rotA=rotA'の

と き こ の 変 換 を ゲ ー ジ 変 換 と い う.(12)は

換A→A'を

して も

ゲ ー ジ変 換 の一 例 で

あ る.

  一 般 に はdivAは

０ で は な い .し

か し,ゲ

ー ジ 変 換(12)を

行 うと

(15)

と な る.こ

こ で 静 磁 場 に 限 定 し,Ａ

が 時 間 に よ ら な い と して

(16) と い う 方 程 式 を 考 え る と,こ

れ は 電 荷 密 度 が ρ=ε0divAで

を 与 え るポ ア ソ ン の 式 で あ っ て,解

を もつ.こ

あ る 場 合 の 静 電 場ｆ

の 解ｆ を用 い れ ば

(17) と な る.言

い か え れ ば,ベ

divA=0と

す る こ と が で き る の で あ る.ど

あ る か ら,divA=0と

ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル の 任 意 性 を 利 用 し て 静 磁 場 で は の よ うな ゲ ー ジ を用 い て も よ い の で

した 方 が 理 論 的 に は 電 磁 場 の 方 程 式 が 簡 単 に な る わ け で

あ る．  な お,ゲ

ー ジ 変 換 に つ い て は 第29講

 

Tea

で 再 び 述 べ る こ と に す る.

Time

 水 の 流 れ の ア ナ ロ ジ ー   磁 石 の 力 は眼 に 見 えな い が,磁 石 の上 に紙 をお い て鉄 粉 を ふ りか け る と磁 石 の Ｎ極 と Ｓ極 の 間 をつ な ぐ鉄 粉 の模 様 が で き る.こ れ は磁 石 の力 が伝 わ る磁 力線 が 空 間 の中 にあ る こ と を示 して い る,電 気 につ い て も正電 気 と負 電 気 との 間 に電 気 の力 が 伝 わ る電気 力線 が考 え られ る(第14講

参 照).電 気 力 線 と磁 力 線 は電 気 力

や磁 気 力 を眼 に見 え る よ うに表 して くれ るの で,こ れ らを理 解 す る の に大 変 役 に 立 つ.   磁 力 線 は Ｎ 極 か ら出 て Ｓ極 に入 る(そ の よ う に向 き を定 め る).そ の パ タ ー ン は水 が 湧 き 口か ら出 て吸 口へ 入 る流 れ に似 て い る(実 際,磁 極 と磁 極 の 間 の空 間 で は磁 場 はdivH=0を

満 たす が,こ れ は縮 まな い流 体 の流 速ｖ がdivv=0を

満

たす の と まっ た く同 じで あ る).電 気 力線 に つ い て も同 様 で,正 電 気 と負 電 気 の 間の 電気 力線 は湧 き口 か ら 出て 吸 口へ 入 る水 の流 れ と ま った く同 様 で あ る.力 線 の様 子 を詳 し く計 算 す る の は大 変 で あ るが,水 の流 れの イ メ ー ジ を借 りれ ば力 線 の だ い た い の様 子 を知 る こ とが で き る.パ ソコ ンを使 い こなせ る人 は力 線 を描 く の に そ れ ほ ど苦 労 しない か も知 れ な い が.   マ クス ウェ ルが 書 い た論 文 に は電 荷 の 間 の力 線 や,コ

ンデ ンサ ー の 極板 の まわ

りの 力 線 の 様 子 を見 事 に描 い た図 が あ る.コ ン ピ ュー タの な い 時代 に どの よ う に して これ らの 図 を描 い た の だ ろ うか.筆 算 で詳 し く計 算 した の だ ろ うか.計 算 し て くれ る特 別 な 助手 が い たの だ ろ うか．

 第11講   静 磁 場rotH=ｉ

―テー マ

◆ ア ンペ ールの法 則 ◆ 磁位 ◆Tea

Time:  磁 気 と渦

 ア ンぺ ール の 法則   電 場 Ｅ に 対 して はdivE=ρ/ε0,rotE=0を 続 性 を 表 す も の で あ り,第

導 い た． 第 １の 式 は 電 気 力 線 の 連

２の 式 は 電 位 φ を 用 い てE=-gradφ

を 表 して い る． し た が っ て,こ

れ ら の 式 は 電 場 の 性 質 を 表 す 重 要 な 式 で あ る.

  同 様 な こ と は 磁 場 に つ い て も い え る だ ろ う か.す を 導 い た.こ

にrotHを

調 べ な け れ ば な ら な い.電

導 く前 に 閉 曲 線 に 沿 う線 積 分∫E/dsを 沿 う∫Hdsを   【 例 １】

で に 前 講 に お い てdivH=0

れ は 単 磁 極 が な い こ と を表 し て い る も の で,重

明 ら か で あ る.次

と書 け る こ と

調 べ た.そ

要 な 式 で あ る こ とは

場 の 場 合 はrotE=0を

こで 磁 場 の 場 合 に も閉 曲線 に

調 べ る こ と か ら は じめ よ う. 簡 単 な 場 合 と し て,直

は 電 流 を と り ま く向 き に あ り,そ

線 電 流 Ｉを 考 え る と,こ

れ か ら Ｒ の距 離 の磁 場

の大 きさ は (１)

で あ っ た.こ

の 電 流 を １周 す る 道 筋 Ｃ0に沿 っ て 積 分 す れ ば

(２)

を 得 る.こ ら,図36の

れ はＲ によ らない か よ う に,電

流 を １周

す る道 筋 な らば ど ん な形 の もの で あ っ て も∫Hsds=Iで

あ る.

  【 例 ２】 半 径ａ の 円 電 流 Ｉが 中 心 軸 上 に つ く る磁 場 は,第 図36 

ア ンペ ー ル の 法 則

(８)に

９講 の

よ り軸 の 方 向 を 向 き, (３)

で 与 え ら れ る(図37).軸

に 沿 っ てz=-∞

か ら ∞ まで

積分する と (４)

こ こ で,z=asinhζ

と お く とdz=acoshζdζ

な の で

(４')

したが って (４")

図37 と な る.こ

の 場 合,積

け 加 え て,閉

分 路 に 無 限 遠 でz=-∞

じた 曲 線 に して も よ い だ ろ う.こ

  上 の ２例 に 限 らず,閉

か ら∞

まで をつ な い だ 部 分 を つ

の 閉 曲 線 は 電 流Ｉ

曲 線 Ｃ0が用 む 電 流 をＩと す れ ば,Ｃ0に

囲 ん で い る. 沿 う線 積 分 につ

いて

(５)

が 成 り立 つ.こ

れ を ア ンペ ー ル の 法 則 と い う.次

に こ れ を 証 明 し よ う.

 ア ン ぺ ー ルの 法 則 の 証 明  平 面 上 の 閉 曲線 に沿 っ て電 流 が 流 れ て い る場 合 に つ い て証 明 す る.図38に

お

いて 平 面 閉 曲線 Ｌ を流 れ る電 流 を Ｉと し,任 意 の 点 Ｐに お け る磁 場 を Ｈ とす る. ビオーサ バ ー ル の法 則 に よ り (６) た だ し,dlは

曲 線 Ｌ の 線 分,ｒ

る,(５)でdｓ=￨⊿r￨と

はdlか

ら Ｐへ 引 い た ベ ク トル,ｒ は そ の 長 さ で あ

し てHsdSをH・Δrと

書 くと (７)

こ こ で,図38の

よ う に,Ｌ

を-⊿rだ

け 平 行 移 動 さ せ た も の をL'と

す る.図

か

図38

ら わ か る よ う に(dl×r)・⊿

ｒは ベ ク トルdl,ｒ,⊿rが

(⊿r×dl)・rと 書 け る 。⊿r×dlは⊿rとdlの

つ く る 平 行 ６面 体 の 体 積 で,

つ く る 平 行 ４辺 形 の 面 積 を も ち,こ

の 平 行 ４辺 形 に 垂 直 な ベ ク トル で,こ

れ と ｒ と の ス カ ラ ー 積 をr3で 割 っ た も の

を 閉 曲 線Ｌ に つ い て 積 分 す る と,P'と

Ｐ と か らＬ を 見 た と き の 立 体 角 の 差⊿Ω

に 等 しい.し

た が って (８)

と な る.   図39で

Ａ は 平 面 閉 曲 線 Ｌ の 面 上 の １点 で あ る,Ｐ

が Ａ か ら出 発 して 閉 曲線 Ｌ

の 中 を 通 過 し て Ａ に 戻 る と,Ｐ 立 体 角Ω

は ０か ら2π を 経 て4π に な る.し

が っ て,こ

の 曲 線C0に

・⊿r=Iと で あ る.さ

な る .こ

た

沿 う 積 分 に 対 し て〓H れ は ア ンペ ー ル の 定 理

ら に 電 流 が い くつ か あ る 場 合 に は,

各 電 流 に 対 す る∫H・⊿rを 図39  点 Ｐ にお け る磁 位 φm

か ら Ｌ を見 た

の 寄 与 が 得 ら れ る.そ

加 え合 わせ れ ば全 体

の 結 果,閉

通 す る 電 流 をI1,I2.…,Inと

曲 線 Ｃ0を 貫

す る と き,ア

ン

ペ ー ル の法 則 は (９)

とな る.   【磁 位 】 単 位 磁 荷 を無 限 遠 か ら点 Ｐ まで は こぶ の に 要 す る仕 事 を磁 位 とい う. 点 Ｐか ら電流 の流 れ る閉 曲 線 を見 た 立 体 角 をΩ(P)と

す れ ば磁位 φm(P)は

(10) で与 え られ る こ とが 示 され る.磁 位 と磁 場Ｈ の 間 に は

(11) の 関 係 が あ る.   ス トー ク ス の 定 理 を 用 い る と

(l2) を 得 る.こ i(x)を

こ で Ｓ は 閉 曲 線C0を

用 い れ ば,ア

ふ ち と す る 任 意 の 面 で あ る.他

方 で,電

流密度

ンペ ー ル の 法 則 は

(13) と書 け るか ら

(14) こ こ でC0,し

た が っ てＳ は 任 意 で あ る か ら

(15) を得 る.  ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル を 使 っ て こ れ を 直 接 証 明 し よ う.   【 証 明 】rotHを

ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル Ａ で 表 す と

(16) と な る が,一

般 の ベ ク トル 場 Ｘ に 対 し て,rotrotXのｘ

成 分 を計 算 す る と

(17) と な り,ｙ,ｚ 成 分 も 同 様 に 計 算 さ れ る.し

た が って 恒 等 式

(18) が 成 り立 つ.   上 の 恒 等 式 を ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル Ａ に つ い て 適 用 す れ ば

(19) を得 る.定 常 電 流 の 場 で は

(20) で あ る.こ の微 分 を書 き直 して部 分 積 分 を行 う と

(21)

を得 るか ら,定 常 電 流 に対 す る電 荷 の 保 存 の式

(22) を用 い る と

(23) を得 る.   次 に,よ

く知 ら れ た よ う に

(24) が ポ ア ソ ン方 程式

(25) の解 で あ るこ とか ら

(26) な の で(19),(20),(23)か

ら

(27) を得 る.

  Tea

Time

 磁気 と渦   地 球 を大 きな磁 石 だ と考 え たの は,磁 気 の学 問の 創 始 者 とい わ れ る ギ ル バ ー ト (イギ リス の エ リザ ベ ス １世 の 侍 医)で

あ っ た.地 球 の 中 に大 きな 永 久 磁 石 が あ

る と考 えた の で あ る.し か し,鉄 の磁 石 は強 磁 性 の α鉄 だ とす る と770℃(キ リー 温 度)以 上 で 磁 石 で な くな って しま う.地 球 内 部 の1000℃

ュ

以 上の ところに

永 久磁 石 が あ る と は思 え な い.   地磁 気 の原 因 は,地 球 の 内 部 の 電流 であ る と考 え られ て い る.地 球 内部 の熱 に よ って 対 流 が 起 こ る.こ こ に 弱 い 磁 場 が あ った とす る と対 流 に は 誘 導 電 流 が 生

じ,こ れ が磁 場 を強 め,そ れ が さ らに対 流 に誘 導 電 流 を生 じ させ る.こ う して あ る程 度 の 地磁 気 が つ くられ る とい うの で あ る.こ れ を地 磁気 の ダイ ナモ 理 論 とい う.地 磁気 は地 球 外 の 惑 星 で も存 在 す る.   電 流 はそ の まわ りに磁 気 を と もな う.そ の磁 力 線 は電 流 の まわ りを回 る渦 にた と え られ る(こ れ は rotH=iと

い う式 に そ の まま定 式 化 され て い る).

  電 流 が 円形 に 閉 じて 円 電流 に な る と,円 電 流 が つ くる磁 場 は そ の 円 を貫 く磁 束 を形 成 す る.円 電 流 を少 し遠 くで 見 る と,NS極

を もつ 磁 石 と 同 じ磁 場 が で きて

い るの で あ る.こ の と き,円 電 流 と い う回 転 が 磁 場 をつ くる とい う こ とが で き る.   常 磁 性 や 強磁 性 は電 子 の ス ピ ン磁 気 モ ー メ ン トに よ る もので,ス

ピ ン は角 運 動

量 を もつ とい う意 味 で 回転 で あ る.磁 性 体 を １つ の 回 転軸 の ま わ りに回 転 で き る よ うに 吊 る して お き,こ れ に鉛 直 方 向 の 磁 場 をか け る とス ピ ン回運 動 量 が そ の 方 向 を向 く と同時 に これ を打 ち消 す ため,磁 性 体 は反 対 の 向 きに 回転 を起 こす.こ れ を ア イ ン シ ュ タ イ ンード ・バ ー ス効 果 とい う.著 者 は高 校 生 の と きに大 学 生 向 きの テ キ ス トで これ を知 って大 い に感 銘 を受 けた 覚 えが あ る.こ の 効 果 は磁 気 回 転 効 果 と もい う.ま た逆 に,磁 性 体 を高 速 回 転 させ る とス ピ ン角 運 動 量 が 逆 向 き に な って 全 体 の 角 運 動 量 を打 ち 消 そ う とす る た め,磁 化 が 生 じる.こ ネ ッ ト効 果 とい う.

れはバー

 第12講  磁

荷

―テー マ ◆ 電 流 と磁荷 の相 互作 用 ◆ 磁 荷 ど う しの 力 ◆ 磁 荷,μ0な ◆Tea

どの次元

Time:  磁 石 の お も ち ゃ

 電流 と磁荷の相互作用  エ ルス テ ッ ドが示 した よ うに,電 流 は磁 針 に力 を及 ぼす .磁 針 はそ の 両 端 に磁 荷 を もち,電 流 が つ くる磁 場 が 磁 荷 に 力 を及 ぼす と考 え られ る.実 験 に よれ ば, 直線 電 流 Ｉが磁 荷qmに

及 ほす 力 は 図40

の よ う に,電 流 を と り囲 む 向 きで あ り, そ の 力 の 大 き さ Ｆ は電 流 と磁 荷 の 間 の 距 離 Ｒ に 反 比 例 す る.し

たが っ て こ の

力 の 大 き さは (１)

図40  電 流Ｉが 磁 荷qmに

及ぼす力 Ｆ

と書 く こ とが で きる(こ こで 右 辺 の 係 数 2π は,後

の 便 宜 の た め に つ け た もの で あ る〉.こ の 式 に よ っ て,磁

qmを 定 義 す る こ と に す る.

荷 の大 きさ

  直 線 電 流 Ｉが Ｒ だ け隔 た った と ころ に つ くる磁 場 は (２)

で あ った.し た が っ て電 流 が 磁 荷 に及 ぼ す 力 は (３)

と書 け る.こ れ は磁 場 Ｈ が 磁 荷 に及 ぼす 力 の 大 き さで あ る.   さて,ビ オーサ バ ー ルの 法 則 に よ り,電 流 のつ くる磁 場 Ｈ は,電 流 素 片 に よ る 磁 場dHを

加 え合 わ せ た もの で与 え ら れ,磁 場dHは

磁 荷 に対 してdHの

向 きに

力 (４) を 及 ぼ す(図41).電 サ バ ー ル の 法 則(第

流 素 片 か ら 磁 荷 へ 引 い た ベ ク トル を―rと ９講(３))に

す る と,ビ

オ-

よ り (５)

した が っ て (６)

 【 磁 荷 が 電 流 に 及 ぼす 力 】 電 流 が 磁荷 に力 を及 ぼす とき,磁 荷 は 電 流 に対 し反作 用 を及 ぼ さな けれ ば な らな い.も

し もこの 反 作 用 が

な けれ ば,電 流 と磁 荷 を合 わ せ た 体 系 全 体 は 電流 が磁 荷 に及 ぼ す 力 の 向 きに 加 速 さ れ る こ と に な る

図41  電流 素 片Idsと 磁 荷qm

が,こ れ は 外 力 が は た らか な い体 系 は,は

じめ 静止 して い れ ば いつ まで も静 止 して い る とい う慣 性 の 法 則,あ

るい

は運 動 量 保 存 の 法則 に反 す る.電 流 が 磁 荷 に力 を及 ぼす と きは,磁 荷 は大 きさが 等 し く向 きが 反 対 の 力 を電流 に及 ぼす わ け で あ る.こ の 力 をdF'と =−dFで

あり

す る と,dF'

(７)

こ れ が,磁

荷qmが

電 流 素 片Idsに

及 ぼす 力 で あ る.

  磁 荷 が 電 流 に 力 を 及 ぼ す と い う こ と は,磁 う こ と で あ る.磁 素 片Idsに

荷qmが

荷 が そ の ま わ りに 磁 場 をつ く る とい

そ の ま わ り に つ く る 磁 場 をHmと

及 ぼ す 力 は,第

７講(１)に

す る と,こ

れが電流

よ り (８)

で 与 え ら れ る 。 こ れ を(７)と

比 べ れ ば,磁

荷qmが

ｒだ け 隔 た っ た と こ ろ に つ

くる磁 場 は (９) で あ る こ とが わ か る.こ

れ は 電 場 の 式E=(q/4π

ε0)r/r3と 同 形 の 式 で あ る.

  【 磁 荷 ど う し の 力 】 磁 荷qmは

そ の ま わ り に(９)で

こ と が わ か っ た.こ

中 に 他 の 磁荷qm'を

の 磁 場Hmの

与 え ら れ る磁 場 をつ くる お く と,(３)よ

り力

(10) が は た ら く こ と に な る.し

た が っ て,磁

荷qmとqm'の

間 に は た ら く力 は

(12) で 与 え ら れ.そ

の 大 き さは

(13) と な る.す

な わ ち 磁 荷 の 間 に は た ら く力 は,磁

の 距 離ｒ の ２乗 に 反 比 例 す る.こ に は Ｎ と Ｓの ２種 類 が あ り,同

荷qm,qm'の

積 に 比 例 し,そ

の間

れ を磁 気 に 関 す る ク ー ロ ン の 法 則 と い う 。 磁 荷 種 の 磁 荷 ど う し は 反 発 し合 い,異

種の磁荷 は引

き合 う.

 磁 荷,μ0な どの 次 元 と単 位  こ こで,磁 荷 な どの 次 元 と単 位 を明 らか に して お こ う.第 した μ0も実 は次 元 を もつ 量 で あ る． 次 元 とMKSA単

７講(9')で

導入

位 系 に お け る次 元 と単 位 を

と も に 括 弧[]で  す で に 第7講 ア ンペ ア,m=メ

表 す こ と に す る. で 述 べ た よ う に,磁 ー トル)

磁 荷 に つ い て は(F=力,R=距

磁 束 φ は(J=エ

束 密 度 の 次 元 は(N=力(ニ

離,I=電

ネ ル ギ ー(ジ

流)

ュ ー ル),C=電

荷(ク

ー ロ ン)

磁 場 Ｈ につ い て は

したが って

電 場 に 関 す る 量 に つ い て はC=ク

ー ロ ン と して

電荷 ク ー ロ ンの 法 則F=(1/4π

ε0)qq'/γ2によ り,誘

電率の次元は

した が っ て

速度 実際

は 光速 度 で あ る こ とが示 され る, また電 荷qと 磁 荷2mの 積 の次 元 は

＝[作 用 量]

ュ ー ト ン),A=

と な り,こ

れ は 作 用 量 と呼 ば れ る 量 で あ る.こ

れ は ま た,

 [作用 量]=［ エ ネ ル ギ ー ・時 間]=［ 運 動 量 ・長 さ]

で あ る.量 子 力 学 の基 本 定 数 で あ る プ ラ ンク 定 数ｈ の 次 元 は作 用 量 で あ る． 作 用 量 は単 に作 用 と も呼 ばれ る.  磁 束 φ に つ い て は

 超 伝 導 体 の環 を貫 く磁 束 φ は,磁 束 量 子h/2eの プ ラ ン ク 定 数,-e=電

整 数 倍 に量 子 化 され る(h=

子 の 電 荷).

  Tea

Time

 磁 石 の お も ち ゃ   地 磁 気 の大 き さ は場 所 に よっ て ちが い,変 動 もあ る が磁 束 密 度 で 表 す とだ い た い10-4テ ス ラ(１ ガ ウ ス)程 度 で あ る.地 磁 気 の 中 で 針 金 を縄 飛 び の よ う に 回 せ ば誘 導 起 電 力 が 生 じる とい う話 で あ る.   ゼ ム ク リ ップな どの鉄 の 針 金 を真 直 ぐに して ガ ス の火 で 赤 熱 させ,南 北 方 向 に お い て 冷 やせ ば 地磁 気 に よ って 磁化 され て小 さ な コ ンパ ス磁 石 が で きる.こ れ を 中 央 で 支 え れ ば,簡 単 なお も ち ゃの磁 針 が で き る．   ね じ回 しな どの鉄 の 器 具 は,叩 い た りす る と地 磁 気 の た め に 自然 に磁 化 され る ら しい.強 い磁 場 に入 れ た り,強 い永 久 磁 石 で こす った りす れ ば磁 化 す るの は も ち ろ んで あ る.磁 化 され た ね じ回 しは鉄 の ね じ りな ど を磁 石 の 力 で保 持 す るこ と が で きる ので,工 作 に便 利 で あ る.   フ ェ ラ イ ト磁 石 は,メ モ な どを鉄 の 黒板 や 冷蔵 庫 に く っつ け た りす るの に広 く 用 い られ て い る。 石〓 に鉄 片 をつ けて,こ れ を磁 石 で洗 面 台 な ど に吊 る して お く 用 具 が あ るが,こ れ も大 変 便 利 で あ る.   磁 石 を利 用 した お もち ゃ は数 え切 れ な い ほ ど た く さん あ る.台 の 中 に か くれ て い る磁 石 か ら反発 力 を受 けて 空 中 に静 止 す る コマ は,最 近 の 傑作 お もち ゃで あ ろ う.た だ しう ま く空 中 に 浮 か ばせ る に は相 当 な練 習 が 必 要 で あ る.Top

secretと

い う永 久 に止 ま らな い(電 池 が な くな らな い 限 り)コ マ が あ るが,あ れ は コマ が 磁 石 で で きて い て,土 台 の 下 に は トラ ン ジス タの セ ンサ ー が あ り,コ マ が 近 づ く

と電 磁 石 に 瞬 間 的 な 電 流 が 流 れ て コ マ に シ ョ ッ ク を与 え て 加 速 す る よ う に な っ て い る の で あ る.同

様 に,振

り子 に シ ョ ッ ク を与 え る カ オ ス 的 振 子 や ブ ラ ン コ な ど

が イ ン テ リ ア の 店 な どで よ く見 か け ら れ る ．

 第1３ 講  円電流 と磁気 双極 子

―テ ー マ

◆円 月電 流 ◆ ボ ーア磁子 ◆Tea

Time: 

レ ン ツの 法 則

 円電 流 の 磁 気 モ ー メ ン ト  電 気 双 極子

〔第５講)で

メ ン トは かp=qsで ら り,これ

ば,電

荷 ±qが 距 離ｓ を隔 て て あ る と きの 双 極 子 モ ー

に よ っ て つ く ら れ る 電 場 は 十 分 遠 く(r≫s)に

おい て

(１)

で あ っ た.これ

と同じ よ う に,磁

荷 ±qmが距離

子 の 磁 気 モ ー メ ン トはpm=qmsであり,これ r≫s ,)に

おい

ｓ を隔 て て あ る と き の 磁 気 双 極

に よ って つ くられ る磁 場 は 十 分遠 く

て

(２)

で与 え られ る.  磁 気 双 極 子 の磁 場(２)は,半

径ａ の 円 電 流 Ｉが 十 分遠 く(r≫a)に

お い てつ

くる磁場 と同形 で あ り,こ の と き

(３)

と と れ ば,そ

の 磁 場 は(２)に

よ っ て 与 え ら れ る.

  【証 明 】 円 電 流 の 中 心 を 原 点 と し,円 電 流 が xy 面 に あ る と す る.対

称 性 か ら 磁 場 はｚ 軸 に

対 し て 軸 対 称 で あ る か ら,磁 (r,θ,ψ)はxz面 い.第11講

上(ψ=0)に

場 を求 め る点 Ｐ あ る と して よ

で 述 べ た 磁 位 φmを 用 い よ う.十

分 遠 方(r≫a)か

ら円 電 流 を見 た と きの立 体 角

をΩ とす る と,

(４)

とな る(図42参

照).し

に よ り,点P(r,θ)に

図42  円 電 流 と磁 気 双 極 子

た が っ て 第11講(10) お け る磁 位 φmは

(５)

よっ て

(６)

こ れ は(２),(３)と

一 致 して い る.

  【 ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル を 用 い た 証 明 】 内 に あ り,中

同 じ 円 電 流 に つ い て,こ

心 が 原 点 に あ る と す る と,第11講(20)の

ル の 式 に お い て 電 流i(x')はｚ す な わ ち 点P(r,θ,0)に

成 分 を も た な い の で ,そ

れ がxy面

ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ のｚ 成 分Azは

お け る ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル のｚ 成 分 は

Ｏで あ る.

(７) ま た,点

Ｐ はxz面

上 に あ る と し て よ く,こ

は そ のｒ 成 分irは る.す

反 対 称 な の で,ベ

の と きxz面

に 対 して 電 流ｉ,あ

るい

ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル Ａ のｒ 成 分 も ０で あ

なわち (８)

図43 

し た が っ て,ベ で あ る(図43)．

円 電 流 に よ る ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル

ク トル ・ポ テ ン シ ャ ルＡ はxy面 点(a,θ',ψ')に

内 に あ り,残

る 成 分 はAψ だ け

お け る電 流 の ψ 成 分 は (９)

よ っ て 点P(r,θ,0)に

お け る ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル の ψ 成 分 は

(10) た だ し,こ =rsinθ

こ で Ｒ は 円 電 流 上 の 点Q(x=acosψ',y=asinψ',z=0)と

,y=0,z=rcosθ)の

点P(x

間 の距 離 で

(11)

したが っ て

(12) を得 る.こ の 右 辺 の積 分 は楕 円積 分 で あ る ． r≫a とす る と

(13) と な る.た   こ こ で,極

だ し高 次 の 項 は 省 略 した. 座 標 に 対 す るgradの

公 式 を用 い れ ば

(14)

を 得 る.こ

れ ら の 式 は(２),(３)と

一 致 して い る.

 ボ ーア 磁 子  電 子(電 荷‐e,質

量me)が

半 径ａ の 円 軌 道 上 を速 さｖで 回 って い る と き,そ

の角 運 動 量 Ｌ は

(15) で あ る.こ

れ を 円 電 流 と み る と,電

荷 の 線 密 度 はe/2πaで

あ り,電 流 の 大 き さ は

(16) で あ る.さ

ら に,こ

の 円 電 流 を 遠 方 で み た と き の 磁 気 双 極 子 モ ー メ ン ト をpmと

す る と,(３),(10),(15)に

よ り,関

係式

(17) を 得 る.   【ボ ー ア 磁 子 】 量 子 論 的 な 考 え に よ れ ば,角 と し て,〓=h/2π

の 整 数 倍 に 等 しい.そ

こで

運 動 量Ｌ は,プ

ラ ン ク 定 数 をｈ

(18) は 磁 気 モ ー メ ン トの 単 位 と 考 え ら れ る 。

(19) を ボ ー ア磁 子 と い う.電 の 値 に ほ ぼ 等 し い.し よ り0.116%だ

子 の 磁 気 モ ー メ ン トは ス ピ ン に よ る も の で あ る が,(19)

か し,主

に 放 射 補 正(量

子 電 磁 力 学 的 効 果)に

よ り  (19)

け 大 き い.

  陽 子 な ど の 核 子 の 磁 気 モ ー メ ン ト は(19)でmeの た もの に等 し く は な い.こ

代 わ りに 核 子 の 質 量 を お い

れ は陽 子 な どが ク ォー クか ら構 成 され た 構 造 を もつ た

め と さ れ て い る.

 磁場の中の円電流 一 様 な磁 場 Ｈ の 中 にお い た 円電 流(半 径ａ,電 流 Ｉ)に は た ら く力 の モ ー メ ン トは(磁 場 と円電 流 の面 の法 線 の なす 角 を θと して)

(20) に 等 し い.こ

れ は 磁 気 双 極 子 モ ー メ ン トpm=μ0Iπa2の

で 受 け る 力 の モ ー メ ン トに 等 し い(図45参   【証 明 】 図44の 直 な 成 分Hcosθ

よ う に,円

れ ば よ い,電

照).

電 流 の １点 Ｐ に お け る 磁 場Ｈ

と こ の 面 内 の 成 分Hsinθ

メ ン ト は Ｐ とP'と

に 分 け て 考 え る.前

で 打 ち 消 し 合 う か ら,後

流 素 片Idsが

dsと 磁 場 の 成 分Hsinθ

磁気双極子 が磁場 Ｈ の中

を,円

電 流 の面 に垂

者 に よ る力 の モ ー

者 に よ る 力 の モ ー メ ン トだ け を 考 え

磁 場 の 成 分Hsinθ

か ら受 け る 力 をdFと

の な す 角 はψ な の で)

図44  磁 場 内 の 円 電 流 が受 け る 力

す る と(線

素

(21) し た が っ て 力 の モ ー メ ン トの 大 き さ は

図45  磁場内の磁気双極子

(22) と な る.こ

の モ ー メ ン ト は 図45の

  【 注意】

よ う な 磁 気 双 極 子 で も得 られ る.

コ イ ル がｘ 軸 の ま わ りに 自 由 に 回 転 で き る と し,そ

ト をIcと す る と,コ

の慣性 モー メン

イルは

(23) で表 され る振 動 をす る.そ の 周 期 を測 れ ば 磁 束 密 度 Ｂ を知 る こ とが で きる.

 

Tea

Time

 レンツ の 法則   コ イル(ソ

レノ イ ド)の 導線 の両 端 をつ な いで お い て棒 磁 石 をつ っ込 む と,コ

イ ル に 誘導 電 流 が 流 れ る.も

し も,こ の 電 流 が 棒 磁 石 を加 速 して吸 い込 む よ う な

もの で あ っ た とす る と,電 流 の エ ネ ルギ ー も棒 磁 石 の 運動 エ ネ ル ギ ー も増 加 して し ま う.こ れ はエ ネ ル ギ ー保 存 の法 則 に反 す る こ とで あ る.ゆ え に この と き コ イ ル に流 れ る電 流 は,棒 磁 石 がつ っ込 まれ るの に反 抗 しよ う とす る力 を及 ぼ す もの で な け れ ば な ら ない.   手 回 し発 電 機 で は,こ れ を豆 電 球 につ な い で発 電機 を手 で 回 して 豆 電球 を点灯 させ る と き は,手 に 大 きな反 抗 力 を感 じ る.豆 電 球 をつ け てお か な けれ ば そ の よ う な力 はな く,発 電 機 は軽 く回 る.自 転 車 を こ ぐ と点 灯 す る発 電機 で もラ ンプが つ くよ うに ス イ ッチ を入 れ れ ば,自 転 車 をこ ぐの に大 きな力 が い る よ うに な る.   この よ うに棒 磁 石 をつ っ こん だ り,発 電 機 を 回 した りす る仕 事 が 電流 に な る. した が って,誘 導 電 流 は外 か ら加 え る力 が こ の電 流 に よ って 反抗 力 を受 け る よ う な 向 きに 流 れ る.こ れ を述べ た のが レ ンツの 法 則(1834年)で

あ る.

  レ ンツ の 法 則 は,電 磁 誘 導 の 向 き に 関 す る 法 則 で あ り,次 の よ う に述 べ られ る.電 磁 誘 導 に よ って起 こ され る電 流 は,そ の原 因 と な る磁 石(あ の(相 対 的 な)運 動 を阻 止 す る よ う な 向 きに 流 れ る.ま た,磁 流)を,誘

るい は電 流)

石(あ

るいは電

導 電流 が減 少 す る 向 きに動 か す と きは,こ の 動 き を阻 止 す る力 が磁 石

(あ る い は電 流)に

はた ら く．

  い ず れ に して も,誘 導 電 流 は,こ れ を起 こす 原 因 にな る外 部 か らの 力 に 抵抗 す る.誘 導 電流 は あ る種 の慣 性 を もって い て,変 化 を少 な くす る よ うに 抵抗 す る の で あ る.   物 理法 則 に は レ ンツの 法 則 の よ うな,や や 擬 人 的 な述 べ 方 も許 され る.

 第1４ 講  電気力線 の応 力

―テー マ

◆ 電気 力線 ◆ 応力 テ ンソル ◆Tea

Time: 

フ ァラデ ーの力線

 電 気 力 線   す で に第 ３講 な どで述 べ た よ う に,電 場 の様 子 は電 気 力 線 に よ って 表 され る. 電 気 力 線 は正 電荷 か ら出 て無 限遠 へ 達 す るか負 電荷 に入 る.あ るい は 無 限 遠 か ら きて 負 電 荷 に入 る.こ れ は,縮

まな い 水 の よ うな 流 体 の 流線 の よ う な もの で あ

る.   例 と して,電 気 量 の等 しい ２つ の 電 荷 の まわ りの電 気 力 線 は図46(ａ)の よ う に な る.ま た,電 気 量 の 等 しい正 負 の 電 荷 の ま わ りの電 気 力 線 は 図46(ｂ)の よ う

(ｂ)

(ａ)

図 46

に な る.図46(ａ)の

場 合 に ２つ の電 荷 の 間 に は反

発 力 が は た ら くが,こ

れ は電 気 力 線 が 横 に押 す 力

(圧力)を 及 ぼ し合 うた め と解 釈 で きる.ま た 図 46(ｂ)の 場 合 に は 電 荷 の 間 に は引 力 が は た ら く が,こ れ は電 気 力 線 が 力 線 の 方 向 に縮 も う とす る 力(張 力)が 作 用 す るた め と解 釈 で き る,こ の よ うに,電 荷 の 間 の 力 は 電 場 を通 して は た ら く と考 図47  電 気 力 線 の 束 の応 力

え る こ とが で きる.

  【電力 管 の 及ぼす 力 】 電気 力 線 の 束 を電 力 管 と呼 べ ば,電 力管 の側 面 に は側 面 に垂 直 に 単位 面積 あ た り (１)

が は た ら く.ま た,電 力 管 に はそ の 断 面 に垂 直 に単 位 面 積 あ た り

(１')

が は た ら く.こ

れ は 次 の よ う に し て 確 か め ら れ る.   【 例(i)】

反 発 力 の 場 合.２

にｑ で あ る と す る.こ

つの電荷が と も

れ ら を結 ぶ 線 を点 Ｏ に

お い て ２等 分 す る 面 上 で Ｏ か らｒ の 距 離 に お け る2電 図48の

荷 に よ る 電 場 は こ の 面 Ｓ の 中 に あ る. 記 号 を 用 い れ ば,a/2=Rcosθ

な の で,

面 Ｓ 上 に お け る電 場 Ｅ の 大 き さ は (２) 図48

  電 力 管 の側 面方 向 に は た ら く圧 力 の大 きさ を ε0E2/2と仮 定 す る と,面

力(こ

れ が 電 荷 の 間 の 力 と考 え る)は(r=(a/2)tanθ,dr=(a/2)dθ 

Ｓ を 通 して 押 し合 う /cos2θ)

(２')

こ こ で 電 荷 間 の 距 離 はａ で あ る か ら,ｆ は 確 か に ２電 荷 間 の ク ー ロ ン反 発 力 に 等 し い.   【例(ⅱ)】

引 力 の 場 合.２

る.図49か

つ の 電 荷 を ±qと す

ら電 場 の 強 さ は

(３)

そ こ で 電 力 管 の張 力 の 大 き さ を ε02/2と 仮 定 す

図49

る と,全 体 の張 力 は

(３')

と な る.こ

れ は 確 か に ２電 荷 間 の ク ー ロ ン引 力 に 等 し い.

 

応 力 テ ン ソル

  媒 質(電 磁 場)の

中 に 図50の

よ う な小 さ

な面△Sを 考 え,こ れ に 垂 直 な単 位 ベ ク トル の 方 向余 弦 を (４)

と す る.△sを

通 し て は た ら く力 のｘ,ｙ,ｚ 成 図50  法線ｎ の 方 向 余 弦(α,β,γ)

分△Fx,△Fy,△Fzが

(５)

で 与 え ら れ る と す る と き,

(６)

と書 き,こ

れ を 応 力 テ ン ソ ル と い う.こ

れ を テ ン ソ ル と 呼 ぶ の は,座

標 系 を変換

(回転)し た と きに(Tik)が

(7)

と 同 じ変 換 を 受 け る と い う こ と で あ る.  【 マ ク ス ウ ェ ル の応 力 テ ン ソル】

電 場E=（Ex.Ey,Ez)に

おい て

(８)

ただ し

(8') を マ ク ス ウ ェ ル の 応 力 テ ン ソ ル(の

電 場 に よ る 部 分)と

  【 電 力 管 に は た ら く 力 】(５),(８)を

用 い れ ば,電

い う. 力 管 に は(１),(1')の

力 が は た ら く こ と を 証 明 で き る.   【証 明 】

電 力 管 の 縮 小 部 分 を 考 え,簡

単 の た め 電 場 Ｅ の 方 向 にｚ 軸 を と る.

こ の とき (９) で あ る． 応 力 テ ン ソ ル(８)は

この とき

(10)

図51

と な る.

 電 力 管 の 側 面 に 微 小 面 積△S1を と る と(図51),法

線 はｚ軸 に 垂 直 で あ る か

ら,そ の 法 線 の 方 向 余弦 の 中で

(11) で あ る.し たが って△S1に は た ら く力⊿Fは 単位 面積 あ た り

(12)

これ は,電 力 管 の 側 面ΔS1を 通 して

(13) の力(圧 力)が

はた ら くこ と を意 味 して い る.

 次 に,電 力 管 の 垂 直 断 面(等 電 位 面)上

に微 小 な面 積ΔS2を 考 え る と,そ の

法線 ベ ク トルの 方 向 余 弦 は

(14) で あ る.し

た が っ て,こ

の 面ΔS2に

は た ら く力⊿F2は

(15)

で あ る.こ れ は電 力 管 に沿 っ て単 位 面 積 あ た り

(16) の 張 力 が は た ら く こ と を 意 味 して い る.

  Tea

Time

 フ ァラデ ー の 力線   フ ァ ラ デ ー に つ い て は 第 ８講 のTea

Timeに

お い て す で に 述 べ た.こ

こ で は,

フ ァ ラ デ ー に よ っ て 活 用 さ れ た 電 磁 場 の 力 線 に つ い て 述 べ た い.   磁 石 の 上 に 紙 を お き,そ

の 上 に 鉄 粉 を ふ り か け る と,鉄

極 を 結 ぶ パ タ ー ン を つ く る.こ

粉 が 磁 石 の Ｎ極 と Ｓ

れ は よ く知 ら れ た 事 柄 で あ り,磁

場 の様 子 を わか

り や す く示 して くれ る 現 象 で あ る． しか し こ れ を重 大 に 受 け と め,こ 場 と い う概 念 を 誕 生 さ せ た の は フ ァ ラ デ ー(電 使 い は じ め た の か も し れ な い)で

あ っ た.理

こ か ら電 磁

磁 場 と い う用 語 は マ ク ス ウ ェ ル が 論 物 理 学 の 系 譜 か らみ れ ば フ ァラ

デ ー の 第 １の 業 績 は 場 の 概 念 の 樹 立 で あ ろ う が,こ

の大 きな業 績 が 理 論物 理 学 者

で な く実 験 物 理 学 者 に よ っ て な さ れ た と い う こ と も,自 え さ せ る 事 柄 で あ る.し

か も こ れ が,数

然 科 学 の 根底 につ いて 考

学 につ い て ほ とん ど無 知 で あ った フ ァラ

デ ー に よ っ て な さ れ た こ と も 興 味 深 い.   フ ァ ラ デ ー は まず 磁 力 線 に つ い て 考 え た が,こ

れ に つ い て 確 信 を も っ た の は,

電 磁 誘 導 な ど の 現 象 が 磁 力 線 と い う概 念 を 用 い て み ご と に説 明 で き る こ と を 知 っ た と きで は な か っ た だ ろ う か.磁

力 線 に 次 い で,彼

は 電 気 力 線 も考 え る よ う に

な っ た.   し か し,電 よ っ て)説

磁 気 の 現 象 は ア ン ペ ー ル な ど の 理 論 に よ っ て(遠

明 さ れ る 時 代 で あ っ た.こ

作 用 に よ っ て 電 磁 現 象 を説 明 す る もの で,彼 も の で あ っ た に ち が い な い.そ

隔作 用の考 えに

れ に対 しフ ァ ラデ ー の力 線 の考 え方 は近 接 以 外 の 人 に とっ て は思 い も よ らな い

の よ う な た め も あ っ た と思 う が,フ

ァ ラデ ー は 自

分 の 考 え を あ え て 公 表 し よ う と しな い で い た.   と こ ろ が1846年

に,ホ

イ ー トス トー ン と い う学 者 を フ ァ ラ デ ー は 王 立 研 究 所

の 金 曜 講 演 の 講 師 と し て 招 待 した.こ す る と き に な っ て,急

の と き,ホ

イ ー トス ト ー ン は 研 究 の 報 告 を

に お じけ つ い て こ っ そ り逃 げ 出 して し ま っ た(こ

のた め 金

曜 講 演 の 講 師 は 講 演 の 前 に 部 屋 に 閉 じ こ め られ る よ う に な っ て 今 ま で こ の 習 慣 が 続 い て い る).司 な っ た が,時

会 者 の フ ァ ラ デ ー は 仕 方 な く,自

間 が 余 っ て し ま っ た の で,彼

話 を持 ち 出 さ ざ る を 得 な くな っ た.そ

分 で 即 席 の 話 をす る は め に

は長 い 間 ひそ か に温 め て い た電磁 場 の

の と き 彼 が した 話 は プ リ ン トさ れ て 「光 線

の 振 動 に 関 す る 考 察 」 と い う短 い 論 文 に な っ た そ う で あ る が,こ

れ は彼 の電 磁 場

の 概 念 だ け で な く,電 磁 場 の 横 振 動 が 光 な の で あ ろ う と い う臆 説 ま で 含 む も の で あ る と い わ れ て い る.   フ ァ ラ デ ー は,光

が 電 磁 気 的 な 波 で あ る こ と を実 験 的 に 示 す と い う 点 に 強 い 執

念 を も っ て い た.1832年 ち 込 ん だ が,こ た.こ

に彼 は 王 立 協 会

れ は106年

後 の1938年

（Royal Society） に 封 印 し た 書 類 を も

に イギ リスの 科 学 者 た ち の 前 で 開 封 され

れ に は次 の よ う な こ と が 書 か れ て い た(カ

涯 』 早 川 光 雄 ・金 田 一 真 澄 訳,東   「私 は 次 の 結 論 に 達 した.つ

わ る と考 え て い る.私 る と考 え る.…

『マ ク ス ウ ェ ル の 生

京 図 書,1976年).

ま り,磁

か と わ か る 時 間 が 要 求 さ れ る.私

ル ツ ェ フ著

気 作 用 の 伝 播 に は 明 らか に きわ め て わ ず

は ま た,電

磁 誘 導 も ま っ た く 同 じ よ う に して 伝

は 磁 極 か ら の 磁 気 力 の 伝 播 は 波 立 っ た 水 面 の 振 動 に似 て い

こ の 発 見 を 一 定 の 日付 で 予 約 し,実 験 実 証 の 暁 に は,そ

私 の 発 見 の 日付 と して 声 明 す る 権 利 を 持 ち た い と 思 う.現

の 日付 を

在 私 の 知 る 限 りで は,

私 を 除 い て 誰 も同 じ よ う な 見 解 を も っ て い る も の は な い 」   こ う い う こ と は あ っ た け れ ど も,フ

ァ ラ デ ー は 清 貧 に 甘 ん じ,科

学 の研 究 に ひ

た む きで 高 潔 な 人 で あ った.彼 は国 か らの特 別 な年 金 を 固辞 した こ と もあ り,王 立研 究所 の所 長 や王 立 協 会 の 会 長 に押 され なが ら辞 退 して い る.「 私 は最 後 まで, た だ の マ イ ケ ル ・フ ァラ デ ーで い た い 」 とい うのが 彼 の言 葉 で あ った.

 第15講  電 磁 場 の エ ネ ル ギ ー

―テー マ

◆ 電荷 のエ ネ ルギー ◆ 磁場 のエ ネル ギー ◆Tea

Time:  運 動 量

 点電荷の相互作用   ２つ の 電 荷q1とq2が

位 置x1とx2に

お か れ て い る と き,こ

れ らの 相 互 作 用 に よ

るエ ネ ル ギ ー は

(１)

で あ る.こ

れ を 書 き直 す と

(２)

と 書 け る.こ 電 位 のx2に   一 般 に,電

こ で φ1は 電 荷 ２に よ る 電 位 のx1に

お け る 値,φ2は

電 荷 １に よ る

お け る 値 で あ る. 荷qi(i=1,2,…,N)が

そ れ ぞ れ 電 位 φi,にあ る と き の エ ネ ル ギ ー は (３)

で あ る.

  (２)に

お い て φ1はq2に

う に(３)に

よ る 電 位 で あ り,φ2はq1に

よ る 電 位 で あ る.同

お い て φiはqi以 外 の 電 荷 に よ る 電 位 で あ り,qiに

含 ま れ て い な い.し

か し 第 ４講 に も 注 意 した よ う に,時

よ る電 位 は φi,に

間 的 に 変 化 す る 電 場 を考

え る と き に は 自 己 の つ く る 電 場 の 影 響 も 考 慮 し な け れ ば な ら な い.さ 線 の 考 え 方 に よ れ ば,電

荷 ど う しの 相 互 作 用 の エ ネ ル ギ ー は,電

れ る と い っ て も よ い は ず で あ る,ま だ け が あ る場 合 に も,そ る.こ

じよ

た こ の 考 え に よ れ ば,空

ら に電気 力

場 に た くわ え ら

間 に た だ １個 の 電 荷

の 電 荷 が つ くる 電 場 の 空 間 が エ ネ ル ギ ー を も つ は ず で あ

れ ら の こ と を考 慮 す る た め,ま

  【 帯 電 導 体 球 のエ ネル ギ ー】

ず 少 し具 体 的 な 例 か ら始 め よ う.

電

荷ｑ を も つ 導 体 球 １個 だ け が あ る 場 合 を考 え る.導

体 内 部 で は電 場

は な い か ら(E=0),divE=ρ/ε =0で

あ り

荷)は

存 在 し な い.し

,自

由 な 電 荷(真

。 電

た が って導

図52  導 体 に与 え た電 荷 は表 面 だ け に分布 す る

体 に与 え られ た真 電 荷 は すべ て そ の表 面 だ け に 分布 す る(図52).空

間 に １個 の 導体 球 が あ る だ けの 場 合 は,対 称

性 か らわ か る よ うに電荷 は表 面 に一 様 に分 布 し,電 気 力 線 は 放射 状 に無 限 遠 まで ま っす ぐ広 が って い る.こ れ に ガ ウス の 法 則 を適 用 す れ ば,球 の外 で 球 の 中心 か らrの 距 離 の 電 場 は 全電 荷ｑ が 中心 に集 ま った と きの もの に等 し く,E=q/4π

ε0r2

で あ る こ と に な る.し た が っ て 球 の 外 部 の 電位 は φ=q/4π ε0rであ り,と くに導 体球の電位 は (４)

(ａは 導体 球 の 半径)で

あ る,

 い ま,無 限 遠 か ら微 小 電 荷dqを 導 体 球 まで は こぶ と き,そ の 仕事 は (５)

で あ る.し た が って,導 体 球 に電 荷 が な い 状 態(q=0)か 帯 電 させ る の に必 要 な仕 事 は

ら電 荷 がｑ に な る まで

(6) で あ る.多

数 の 導 体 が あ る 場 合 も同 様 で あ る.

  【 導 体 の 集 ま りの エ ネ ル ギ ー 】 導 体 が 多 数 あ る と き を 考 え よ う.各

導体の表面

が そ れ ぞ れ 一 定 の 電 位 に あ る こ と は 明 ら か で あ る.0＜

導体の電荷

が αq1,αq2,…,αqNで (αqN)と

す る.電

α＜1と

し,各

あ る と き の 電 位 を そ れ ぞ れ φ(αq1),φ2(αq2),…,φN

場 は線 形 で あ り (７)

が 成 り立 つ.い

ま,無

与 え る こ と に よ り,各

限 遠 か ら 電 荷q1dα,q2dα,…,qNdα

をはこんで各導 体 に

導 体 を 一 様 に 帯 電 さ せ る とす る と,こ

れ に要 す る仕 事 は

(８) で 与 え ら れ る.こ

の エ ネ ル ギ ー は 全 空 間 に た くわ え ら れ る と 考 え ら れ る.実

際,

これ は次 の よ うな書 きか え に よ って 示 す こ とが で きる．

 電 場 の エ ネル ギ ー   電 位 φ1の 導 体 表 面 の 微 小 部 分(面

積ΔS1)か

力 管 を 考 え,こ

ら出 る細 い 電 れ を 図53の

よ

う に 微 小 間 隔 の 等 電 位 面(面 ,ΔSA,ΔSB,…,電 φB,…)で

図53  静電場 の電気力線

積ΔS1

位 φ1,φA

細 分 割 す る.簡

単 の

た め等 電 位 面 間 の 間 隔 をす べ て

⊿xと す る と,等 電 位 面 上 の 電 場 の 強 さは (９)

とな る． 電 力 管 が 導 体 を切 る微 小 断 面 に あ る導 体 の表 面 電 荷 を⊿qと す れ ば,こ

れ を含 む微 小 な台 形(底 面 積△S1と△SA)に

お け る電場 は 導体 内部 で ０,外 部 で

E1で あ る か ら,こ の 台 形 に ガ ウ ス の法 則 を適 用 す る と

(10) を得 る.し

たがって

(11) これ を書 き直 す と

(12) と な る が,電

気 力 線 は△S1,△S2,…

を 貫 くか ら

(13) が成 り立 つ の で

(14) を得 る.た だ し,こ こで相 次 ぐ台 形 部 分 の 体 積 を

(15) と書 いた ．  最 後 に全 空 間 を電力 管 に分 割 して,総 和 を とれ ば(14)の

左 辺 の半 分 は(６)

の右 辺 を与 え るの で,全 エ ネル ギ ー は

(16) を得 る.   この よ う に して,電 場 の 存 在 す る 空 間 は単 位 体積 あ た り

(17) の エ ネ ル ギ ー を もつ こ とが わ か る.こ

れ は 次 の よ う に して 計 算 す れ ば 解 析 的 に 導

か れ る.   ま ず,電

荷 が 電 荷 密 度 ρ(x)で

分 布 して い る と す る.ρ(x)=ε0d

ivEな

の で,

φ(x)を 電 位 とす る と,任 意 の体 積Ｖ に対 して

(18) こ こで恒 等 式

(19) を用 い,さ ら に ガ ウ スの 積 分 定 理 を使 う と,任 意 の 体 積Ｖ に対 して

(20) (gradφ=-E)を   こ こ で,電

得 る.Ｓ

は 領 域Ｖ

を 囲 む 閉 曲 面 で あ る.

荷 は 有 限 の 領 域 に 存 在 し て い る と し,Ｓ

と して こ の 領 域 か ら き わ め

て 大 き な 距 離.ｒに あ る 球 面 を と れ ば

(21) の 程 度 な の で,r→ る 積 分 と な る.ま

∞ で(20)の た,こ

右 辺 第 １項 は ０ に な り,第

の と き(20)の

け に対 し て 積 分 す れ ば よ い.こ

左 辺 は 電 荷 ρ(x)の

２項 は 全 空 間 に 対 す 存 在 す る 空 間V0だ

う して 全 エ ネ ル ギ ー の 式 と して

(22) が 得 られ る．

 電磁 場 の エ ネル ギ ー  磁 場 の 存 在 す る空 間 に つ い て も同 様 で あ っ て,単 位 体 積 の もつ 磁 場 の エ ネ ル ギーは

(23) で あ る.電 場 と磁 場 とが 存 在 す れ ば,そ のエ ネ ル ギ ー は単位 体積 に つ き

(24) で あ る.

 

Tea

Time

 運動量   世 間で 運 動 量 とい う と,ジ ョギ ング とか,エ ア ロ ビ クス な どの運 動 を どの く ら い続 け るか とい う よ うな意 味 で使 わ れ る言 葉 で あ る.し か し,物 理 学 で い う運 動 量 は まっ た くちが う,こ れ は世 間 的 な用 語 と物 理 学 の 用 語 が 大 き くちが う例 の １ つ で あ る.   物 理 学 で い う運 動 量 とは 何 か,と い う問 い に ひ と こ とで答 え るの は む ず か し い.ニ ュー トン力 学 で は,運 動 量 は質 量 と速 度 の積 で 与 え られ る ベ ク トル量 で あ る.相 対 論 的力 学 で は,第 ４成 分 をエ ネル ギ ー とす る ４次 元 の ベ ク トル で あ り, 速 度 が小 さい極 限 で ニ ュー トン力 学 の運 動 量 に な る.   電磁 気 学 で は,力 学系 と電 磁 場 を合 わせ た体 系 で 力学 系 の運 動 量 と電 磁 場 の 運 動 量 の和 が 保 存 され る.そ の よ うな量 と して 電 磁場 の運 動 量 が あ る,電 磁 場 の 運 動 量 を も と にす れ ば,こ れ と合 わせ た もの が 保 存 され る のが 力 学 系 の 運 動 量 で あ る とい う こ とに な る。   電 磁場 の 運動 量 が 力 学 系 に吸 収 され る と きは,力 学 的 な衝 撃 と して現 れ る.運 動 量 とは,こ の意 味 で,衝 撃 を表 す ベ ク トル量 で あ る.

 第16講  マ ク ス ウ ェル の 方 程 式

―テー マ

◆ 応 力 と運 動 量 ◆ マ クス ウ ェルの方程 式 ◆Tea

Time:  マ クス ウ ェ ル

 応力と運動量  力学 に お い て は,運 動 量 Ｐ の増 加 の 割 合 は Ｆ に等 しい とい うこ と,す な わ ち (１)

が 基礎 に な る.こ こで 運 動 量 を (２)

と お け ば,ニ

ュ ー トン の 運 動 方 程 式 が 得 ら れ る.ま

た (３)

とお けば,相 対 論 的 な 運 動 方 程式 と な る.   電 磁 場 に荷 電粒 子 や そ の 流 れ(電 流)が あ る場 合 は,粒 子 の 力 学 的 な全 運動 量 GM(t)と 力F(t)に

電 磁 場 の 運 動 量Gem(t） の和 の増 加 の割 合 が,こ の 体 系 に外 か ら加 わ る 等 しい.す な わ ち

(８)

(４)

こ れ は こ の体 系 に 対 す る運 動 量 保存 の式 で あ る.   【力 学 的 運 動 量 】 粒 子ｉ の もつ 質 量 をmi,電

荷 をei,速 度 をviと す る.粒 子

は ニ ュ ー トン力学 に した が う と し,さ らに電 磁 場 か らロ ー レ ンツ力 を受 け る とす る。 粒 子ｊがｉ に及 ぼす 力 学 的 な力 をfijと す る と,粒 子ｉ の運 動 方 程 式 は (５)

で あ る.力 学 的 な全 運 動 量 は (６)

で あ る が,力 学 的 な力fijは 作 用 ・反 作 用 の 法則 (７)

に したが うか ら,電 磁 場 の作 用 の ほ か に外 力 が ない とす る と

と な る.た

だ し こ こ で,電

荷 密 度 ρ(x,t)と

電 流 密 度i(x,t)を

用 い た表 現 に改 め

た.  電 磁気 的 な力 はマ ク ス ウ ェ ルの 応 力 テ ン ソル

(９)

ただ し

(9')

を用 い て次 の よ うに表 され る：

(10) 書 き直す と

(11) こ こ で,divE=ρ/ε0,divH=0,(∂Ex/∂z-∂Ez/∂x)=(rotE)yな

ど を用 い る と

(12) を 得 る.

 電磁運動量密度   力学 的 な力 と運 動 量 お よび電 磁 気 的 な力 が わ か った か ら,こ こ で電 磁 気 的 な 運 動 量 を定 義 す れ ば,電 磁 場 が したが うべ き運動 方 程 式 が 得 られ る はず で あ る.そ こ で電 磁 運 動 量 密 度 と して(「 は しが き」 の記 述 参 照)

(13) を仮 定 す る.全 電磁 気 運 動 量 は

(14) で あ り,そ の 時 間 的 変化 は

(15) そ こ で(８),(15)と(12)を(４)に

代 入す る と

(16) と な る.書

き 直 す と(E×

∂H/∂t=-(∂H/∂t)×E)

(17) こ こで積 分領 域 は任 意 で あ る か ら

(18) が 成 り立 つ こ とが わ か る.   (18)は λ1,λ2を 定 数 と す る と き

(19) に よ っ て 満 足 さ れ る.し か め ら れ る.そ

か し,λ1,λ2〓0で

あ る よ うな 場 は 存 在 し な い こ と が 確

こ で わ れ わ れ は,λ1,λ2=0と

おい て次 に述 べ る マ クス ウ ェル の

方 程 式 を 得 る.

 真空 中 の マ ク ス ウ ェル の 方程 式  基 礎 方 程 式 を ま とめ る と

(20)

(20)に

お い て 第 ３式 は フ ァ ラ デ ー の 法 則(電

ウ ェ ル ーア ンペ ー ル の 法 則 と 呼 ば れ る.な ウ ェ ル に よ っ て 導 入 さ れ た 項 で,変

お,第

磁 誘 導 の 法 則 〉,第

４式 は マ ク ス

４式 で 右 辺 の ε0∂E/∂tは マ ク ス

位 電 流 と い う.ま

た,電

荷の保存 は

(21) で 表 さ れ る.   【 積 分 形 】(20)の

第 １式.第

２式 の 積 分 形 は

(22)

で あ る(ｑ はＶ

を 囲 む 閉 曲 面 Ｓ の 中 の 金 電 荷).(21)の

積分形は

(23) で あ る(こ

の 式 は 面 Ｓ が 動 い て も 成 り立 つ.Ｓ

が 動 く場 合 を 含 め てｔ 微 分 をd/dt

と 書 く).   (20)の

第 ３式 の 開 曲 面 Ｓ に 対 す る 積 分 形 は,ス

トー ク ス の 定 理 に よ り

(24) (Ｃ は 開 曲 面 Ｓの ふ ち の 曲 線)と

な る.こ

こで

(25) は Ｓ を 貫 く磁 束 で あ り,rotH=0で

あ る た め,φ(S)は

閉 曲 線 Ｃ で 決 ま る.(24)

に より

(26) が 成 り立 つ.   (20)の 第 ４式 は同様 に して積 分 形 で

(27) と な る.た

だ し,こ

こで

(28)

は 電 束 で あ る,φ(S)と 〓Ｃ の み な ら ず,こ

異 な り,(一

般 にrotE〓0で

あ る た め)Ψ(S)は

閉 曲線

れ を ふ ち と す る 開 曲 面 Ｓ の と り方 に 依 存 す る.(25),(27)は

開 曲 面 Ｓの ふ ち で あ る 閉 曲 線 Ｃ が 空 間 に 固 定 して い る場 合 に 成 り立 つ.   【 面 Ｓが 時 間 的 に 変 わ る 場 合 】 ル の 法 則(27)は

こ の 場 合 は フ ァ ラ デ ー の 法 則(26),ア

ンペ ー

面 の 移 動 速 度 をｖ と し て

(29)

と書 き か え ら れ る.   【証 明 】 Ｆ を空 間 ・時 間 に 対 し て 定 義 さ れ た ベ ク トル と す る と き,∫F・dSの

時 間 的 変 化 は,①

Ｆ の 時 間 的 変 化 ∂F/∂t,②

面 Ｓの 各 点 の 移 動

(速 度ｖ),③

Ｓ を 囲 む 閉 曲 線 Ｃ の 移 動 の ３つ の

原 因 で 生 じ る. 図54   ① は 単 に ∂F/∂tの 積 分 を 与 え る.  ②

Ｓ 上 の 点 の 移 動⊿rに

っ た と す る と(図54),S'の 体 の 流 れ の 速 度,F・dSを

よ っ て 面 Ｓ がS'に

移

上 の Ｆ の 積 分 と Ｓ の 上 の Ｆ の 積 分 の 差 は,Ｆ

を流

流 量 の よ うに み れ ば わ

か る よ うに

(30)  ③

開 曲 面 Ｓ の ふ ち Ｃ の 上 の 点 の 移 動 を⊿rと

す る.Ｃ

上 の 微 小 ベ ク ト ル を⊿sと

し,Ｆ

と⊿sで つ く ら れ る 微 小 な ６面 体(図55)を る と,そ

と⊿r 考え

図55

の 体 積 加⊿Ω は ベ ク トル の ３重 積

(31) で あ り,C'と

Ｃ の 間 の 全 領 域 の 体 積 が ふ ち の 移 動C→C'に

よ る∫F・dSの

変化

を 与 え る.   こ れ ら①,②,③

を 加 え 合 わ せ て⊿tで 割 り,v=⊿r/⊿tと

す れ ば,ベ

ク トル 公

式

(32) を 得 る.   Ｆ と し て μ0Hを div(μ0H)=0で (32)か

と れ ば,マ あ り,ス

ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 か ら ∂(μ0H)/∂t=-rotE,

ト ー ク ス の 定 理 に よ り∫rotE・dS=∫E・dsな

の で,

ら

(33) を 得 る.こ

れ は(29)の

  次 に,F=ε0Eと div(ε0E)=ρ (32)か

第

１式 で あ る.

す れ ば,マ で あ り,ス

ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 に よ り ∂(ε0E)/∂t=rotH-i,

ト ー ク ス の 定 理 に よ り∫rotH・dS=∫H・dsな

の で,

ら

(34) を得 る.こ

れ は(29)の

第 ２式 に ほ か な ら な い.

  【 動 く観 測 者 】(26）,(27)と(29)を 一 様 な 場 合 は観 測 者 Ｓに対 して Ｅ で 動 く面S',あ

る い は 観 測 者S'に

比 べ る と,静

止 した 面 Ｓ,あ る い はｖ が

,Ｈ で 与 え ら れ る 電 磁 場 は,こ

れ に 対 し速 度ｖ

対 して

(35)

で あ る こ とに な る.こ れ は観 測 者 の運 動 に よ る電 磁 場 の 変換 式 で あ るが,こ

の変

換 式 は￨v￨が 光 速 度ｃ に比 べ て 小 さい と き に正 しい式(非 相 対 論 的 な 近 似 式)で あ る.相 対 論 的 な電磁 場 の変 換 は ロ ー レ ンツ変 換 で 与 え られ る が こ こで は省 略 す る.

 

Tea

Time

 マ ク ス ウ ェ ル   フ ァ ラ デ ー は19世 ク ・マ ク ス ウ ェ ル

紀 最 大 の 実 験 物 理 学 者 で あ っ た が,ジ （James Clerk Maxwell,1831-1879）

ェー ム ス ・ク ラ ー

は ガ リ レ イ,ニ

ュ ー ト ン,

ア イ ン シ ュ タ イ ン と と も に 最 大 の 理 論 物 理 学 者 に 数 え ら れ る 人 で あ る.マ

クス

ウ ェ ル の 仕 事 で は 電 磁 気 学 の 創 立 が 第 一 で あ り,気 体 分 子 運 動 論 が 第 ２,熱 力 学 が 第 ３ の 貢 献 で あ っ た と い っ て よ い だ ろ う.そ

の ほ か に も 色 の 感 覚,土

コ マ の 運 動 な ど 彼 は い ろ い ろ の も の に 興 味 を も っ た.ま

星 の 環,

た晩 年 には キャベ ン

デ ィ ッ シ ュ の 仕 事 を 掘 り起 こ して い る.   彼 の 父 は エ ジ ン バ ラ の 名 門 の 一 族 で(そ 弁 護 士 で あ り,母

は 判 事 の 娘 で あ っ た.マ

コ ップ やそ の他 い ろ いろ の もの を集 め て は

の 兄 は 準 男 爵 で あ っ た),科

学 好 きの

ク ス ウ ェ ル は 子 供 の と き か ら,鍵

や

「こ れ は ど う や っ て つ くる の 」 と 父 に

説 明 を 求 め,少

し大 き くな っ て か ら も 偏 光 器(ニ

ら も ら っ た)や

自家 製 の磁 石 や電 池 な どの

コル の プ リズ ム をニ コ ル 自身 か

「ガ ラ ク タ 」 を 大 切 に し て い た し,父

が 出 席 して い た エ ジ ン バ ラ王 立 協 会 に 父 に つ れ ら れ て つ い て い っ た り し た.マ

ク

ス ウ ェ ル が 少 年 時 代 に卵 形 線 に 関 す る 論 文 を書 い て エ ジ ン バ ラ の 学 会 を お ど ろ か せ た と い う の も,こ

う い う育 ち だ っ た か ら で あ る．

  フ ァ ラ デ ー は1791年

生 ま れ だ か ら マ ク ス ウ ェ ル よ り40年 で あ る が,こ

上 で あ る.マ

ウ ェ ル が 生 ま れ た の は1831年

６月13日

デ ー は 彼 の 最 も偉 大 な 発 見,電

磁 誘 導 の 現 象 を 見 出 し て い る.マ

の 年 の ８月29日

にフ ァラ

ク ス ウ ェ ル は,

電 流 の 作 用 に 関 す る ア ン ペ ー ル の 遠 隔 作 用 の 理 論 に 満 足 し な い で,フ 力 線 の 考 え を発 展 させ て 電 磁 気 学 を樹 立 し た の で あ る が,こ (1864年)に

は フ ァ ラ デ ー は 老 齢 で,こ

ァラデ ー の

れ が 完 成 され た と き

れ を 理 解 す る こ と も で き な か っ た.マ

ス ウ ェ ル は ケ ン ブ リ ッ ジ で 学 ん で い た こ ろ に ７歳 上 の Ｗ.ト ム ソ ン(後 ン喞)と

知 り合 い,そ

ク

のケル ビ

の 後 マ ク ス ウ ェ ル は 読 書 や 研 究 に つ い て トム ソ ン に絶 え ず

手 紙 を 送 っ て そ の 意 見 を 求 め て い る.1854年 ツ ェフ 著

クス

に は 次 の よ う に 書 い て い る(カ

『マ ク ス ウ ェ ル の 生 涯 』 早 川 光 雄 ・金 田 一 真 澄 訳,東

ル

京 図 書,1976年,

に よ る).   「僕 は,電 を 読 み,ま

気 の 基 礎 原 理 を か な り容 易 に 呑 み 込 め ま した.… っ た く感 心 し ま した.…

導 入 し た 方 法 で,そ せ ん.で

も,僕

と は い え,ア

れ ら の 法 則 を発 見 し た と い う こ と は,僕

は,い

そ れ は フ ァ ラ デ ー が,ほ

ア ンペ ール の 研 究

ン ペ ー ル 自 身 が,そ

れ も自分 の

は 何 の 疑 い も持 ち ま

つ か 貴 方 か ら,『 磁 力 線 』 の 話 を 聞 い た こ と が あ り ま す. か の 者 た ち が 電 流 の エ レ メ ン トの 直 接 的 な 相 互 作 用 の 考

え を と って い る と き に,(フ

ァラ デ ー は力 線 の考 え方 を利 用 して)大

き な成 果 を

挙 げ た とい う,例 の あ れ で す.現 在,僕 は,各 電 流 は磁 力線 をつ く り出 し,そ の 磁 力 線 に指 令 され て い る とお りに作 用 す る と考 え てい ます … 」   トム ソ ンはマ ク ス ウ ェル に弾 性 体 の 力学 を手 本 に して 電磁 場 の理 論 を つ くる こ と を提 案 して い る． そ うい うわ け で,電 磁 気 学 の 創 立 には トム ソ ン も大 きな貢 献 を して い る といわ なけ れ ば な らな い.も

っ と もマ クス ウ ェル が こ う して電 磁 気 学

の研 究 に ス タ ー トした 頃 は,ト ム ソ ンは大 西 洋 に海 底 電線 を敷 設 す る仕 事 に熱 を 入 れ て い た(1858年

に完 成)の

で電 気 の技 術 的指 導 に忙 しか っ た こ とで あ ろ う.

彼 は この仕 事 に よ って ナ イ トの爵 位 を贈 られ て ケ ル ビ ン卿 とな っ たの で あ る.   電 磁気 学 に関 す るマ ク ス ウ ェ ル の 最 初 の 論 文 は1856年

に発 表 され た 「フ ァラ

デ ー の 力 線 につ い て」 で あ る． さ らに電 磁 誘 導 の現 象 を と り入 れ る た め,1861 年 に は奇 妙 な力学 的 な電 磁 場 の モ デ ル を考 察 して い る.し か し最 終 的 に は,彼 は 全 く抽 象 的 な 数学 的理 論 を構 成 して い る.

 第17講  エ ネル ギ ー保 存 則

―テー マ

◆ エ ネル ギー ◆ エ ネル ギーの保 存 ◆Tea

Time:  保 存 則

 電 磁 場 の エ ネル ギ ー  前 講 で電 磁 場 の運 動 方 程 式(マ ク ス ウ ェル の 方 程 式)が 得 られ た か ら,こ れ を 用 い て電 磁 場 に お け るエ ネル ギ ー保 存 の 法則 が どの よ うに な る か を調 べ よ う. UMを 力 学 的 エ ネ ル ギ ー,す なわ ち (１)

ただ し (１')

(φ(xi-xj)は

粒 子ｉ とｊ の 相 互 作 用 の ポ テ ン シ ャ ル)と

し,Uemを

電磁場のエ ネ

ルギー (２)

とす る.体 系 を 囲 む 閉 曲 面 を Ｓ と し,そ の 単 位 面 積 か ら流 出 す るエ ネル ギ ー の 流 れ をNn(ｎ は面 Ｓの法 線)と す れ ば,エ ネ ルギ ー保 存 の 法則 は

(３)

と 表 さ れ る.(１)か

ら (４)

こ こで純 粋 に力 学 的 な外 力 が な い とす る と,運 動 方 程 式 は (５) (gradiはχiに

関 す るgrad)で

あ り,ま

た

(６)

し た が っ て(５),(６)を(４)に

入 れ る とgradiの

項 は 打 ち 消 し合 い (７)

と な る が, (８) で あ り,υiとυi×Hと

は直交するか ら (９)

で あ る． したが って

(10) こ こで恒 等 式 とマ ク ス ウ ェ ルの 方 程 式(電 磁 誘 導 の 式)rotE=-μ0∂H/∂tよ

り

(11) な の で,

(12)

さ ら に マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式rotH=i+ε0∂E/∂tと(12)か

ら

(13) を 得 る.よ

っ て(10)と(２)に

よ り

(14) あ るい は

(15) を得 る.こ こで Ｓは積 分 領 域Ｖ を囲 む閉 曲面 で あ る．   (３)と(15)を

比べ れ ば,面

Ｓの 単 位 面 積 を流 した単 位 時 間 に流 れ出 るエ ネ ル

ギ ー(エ ネ ルギ ーの 流 れ)は

(16) で 与 え られ る こ とが わ か る.Ｎ

を ポ イ ンテ ィ ン グ(Poynting)・

ベ ク トル と い う.

 工 ネ ル ギ ー の保 存   (10)を 用 い て(15)を

書 きな お す と

(17) と な る.こ

の 式 で 左 辺 第 １項 は 電 磁 エ ネ ル ギ ー の 増 加,第

２項 は 電 流 に よ っ て な

さ れ る 仕 事 で あ り,右

辺 は こ の 領 域 へ 流 入 し て く る エ ネ ル ギ ー を 表 す.(17)は

こ れ ら の バ ラ ン ス,す

な わ ち エ ネ ル ギ ー の 保 存 を 与 え る 式 で あ る.電

な さ れ る 仕 事i・Eは

多 くの 場 合,電

て 発 生 す る 熱 に 変 化 す る(式(10)参

流 によって

流 が 導 体 の 正 イ オ ン と衝 突 す る こ と に よ っ 照)． 出 て 行 く電 磁 エ ネ ル ギ ー に 着 目 す れ ば

(17)は

(18)

と な る.こ

の 式 で,右

辺 は 体 系 内 に あ る エ ネ ル ギ ー の 減 少 に ほ か な ら な い.

  Tea

Time

 保存則   た とえ ば,１ 次 元 の 鎖(格 子)の 運 動 でｎ 番 目の 質 点 の 運 動 量 をPnと し,そ の時 間 的 変 化 がｎ 番 目の 質 点 の 座 標xnとn±1番 目の 質 点 の 座 標xn±1の 差 で 決 ま る と し,

で 与 え られ る場 合 を考 え よ う.運 動 が あ るｎ の 範 囲 だ け に 限 られ て い て

が有 限で あ る とす る と

とな る． した が っ て この 場 合,全

運 動 量 Ｐは 時 間 的 に変 わ らな い,す

な わ ち保

存 され る.   電 磁 場 にお け る運 動 量 や エ ネ ル ギ ーの 保存 則 もこ れ に似 た形 で 書 かれ る.た と え ば,密 度 や 電荷 密 度 ρの 時 間 的 変化 は

の よ う に書 か れ る． １次 元 化 す れ ば

で あ る.ｘ で 積 分 す れ ば

した が っ て 遠 方 でJn→ ∞ （n→± ∞ ） と す れ ば

は保 存 され る.Ｍ

は全 質 量 あ るい は全 電 荷 で あ り,Ｊ は そ の 流 れ と解釈 され る.

第18講 物質 中の電磁場

―テー マ

◆ 分極 ◆ マ クス ウ ェ ル の 方 程 式 ◆Tea

Time:ラ

ー モ ア の 反 磁 性 と原 子 の 大 き さ

 電 気分 極,磁 気 分 極  誘 電 体 に 電場 が 加 わ る と,誘 電 体 中 の正 負 の電 荷 が 移 動 す る.こ れ を分 極 す る とい う.分 子 の分 極 は分 子 の 中 に電 気 の 分 布 を正負 の ２つ の電 荷 ±qで 代 表 させ て 表 す こ と が で き る(図56).こ の と き,負

の 電 荷-qか

ら正 の 電

荷ｑ へ 引 い た ベ ク トル をｒ と した とき (１)

を 分 子 の 分 極(２

重 極 あ る い は双

極 子 の モ ー メ ン ト)と い う． 単 位 体 積 の 中 にｎ 個 の 分 子 が あ る と き,そ

れ ぞ れ の 分 極 をp1,p2,…,

pnと す る と き

図56  電 気 分 極

(２)

を電 気 分 極 とい う.模 型 的 に は図56の

よ うに な る.Ｐ は 単 位 面 積 を通 して 移 動

す る電 荷 に よ る分 極 と考 え る こ とが で き る.そ して分 極 に よ って現 れ た電 荷(分 極 電 荷)に

よ る電 気 力線 が電 場 に加 わ る.そ こで (３)

と 書 き,Ｄ

を 電 束 密 度(電

気 変 位)と

い い,こ

れ を 束 ね た も の を 電 束 と い う.

また

(４)

と書 き,ε をそ の 物 質 の 誘 電 率,χeを 電 気 感 受 率 とい う.誘 電 率 εと真 空 の 誘 電 率 ε0の比 (５)

を比 誘 電 率 とい う.ふ つ うの 物 質 の 光 あ るい は電 磁 場 の屈 折 率 は 誘 電 率 で 決 ま る.真 空 に対 す る屈 折 率 をｎ とす る と (６) の 関 係 が あ る.

  物 質 の 分 極 は,物 質 内 の 正 電 荷 が 負 電 荷 に対 してず れ る こ と に よっ て 起 こ る (図56参 照).物

質 内 に考 え た単 位 面積 を通 して 通 過 す る正 電 荷 の 大 き さ と方 向

が 分 極 ベ ク トル Ｐ なの で あ る.分 極 が な く,帯 電 して い な い 物 質 で は 物 質 中 の 電 気 は 中和 して い る.分 極 に よ って現 れ る電 荷 を分極 電荷 とい い,物 体 に加 え ら れ た帯 電 電 荷 を真 電 荷 とい う.   分 極 電荷 の 密 度 をρpと す る と,こ れ は分 極 Ｐ の 変 化 と と も に変 化 す るが,全 体 と して 電 荷 は保 存 され る.こ れ を式 に 書 く と,任 意 の 閉 曲 面 Ｓに よ って 囲 ま れ る体 積 をＶ と して (７)

とな る． ガ ウ ス の積 分 公 式 に よ り第 ２項 を書 き直 せ ば

(８)

これ は任 意 の体 積 につ い て成 り立 つ の で (９)

が 得 られ る．  誘 電 体 の 内 部 で は真 電 荷(密 度 ρ)と 分 極 電 荷ρpが あ る こ と を考 慮 す る と, 電 荷 に対 す る ガ ウ ス の法 則 は

(10) と な る.し

た が って

(11) そ こ で,(３)に

よ り 電 束 密 度D=ε0E+Pを

導 入 す れ ば,電

場 に対 して

(12) と い う 式 が 得 ら れ る.   (12)に

よ れ ば,真

る こ と が な い.電 来 る か,無 り,電

電 荷 が な い と こ ろ(ρ=0)で

束 密 度 Ｄ は連 続 で 消 え

束 密 度 は 正 の 真 電 荷 か ら 出 て 負 の 真 電 荷 で 終 る か,無

限 遠 へ 去 る か で あ る.誘

電 体 の 外 と 内 の 境 界 面 で も,真

限遠か ら

電 荷 が ない 限

束 密 度 は 連 続 で あ る.

  同 様 な こ と は 磁 気 に つ い て も い え る.各 pm)と

は,電

分 子 の 磁 気 ２重 極 モ ー メ ン ト をm(=

し,単 位 体 積 中 の 分 子 の 磁 気 モ ー メ ン トをm1,m2,…,mnと

す ると き

(13) を磁 気 分 極 とい う．

(14) を磁 束 密 度,こ れ を束 ね た もの を磁 束 とい う． また

(15)

と お き,μ

を 透 磁 率(μ0は

真 空 の 透 磁 率),χmを

磁 気 感 受 率 と い う.

 磁 気 に は真 電 荷 に相 当 す る もの は な い.し た が って(12)に

相 当す る式 は,磁

場 に対 して

(16) と な る.

 電気力線と磁力線   誘 電 体 が 固体 で あ れ ば,弾 性 や 剛性 な ど の よ う な 固 体 固 有 の 力 が は た ら くの で,物 質 内 の 電 気 力線 や磁 力 線 の 力 が そ の ま ま現 れ る こ とは少 な い.し か し,水 な どの 誘 電 液 体 で は静 電 場 あ るい は 静磁 場 に お い て,電 気 力 線 や磁 力線 の力 が 認 め られ る.種 々 の例 につ い て は 後 に も説 明す る こ と にす るが,こ

こで は い くつ か

の場 合 に つ い て触 れ る こ と に した い.  電 気 力 線 の 束(電 力 管)は 側 面 方 向 に単 位 面 積 あ た り

(17) を及 ぼ す.ま

た,電 力 管 は電 力 線 の 方 向 に垂 直 な単 位 面 積 あ た り

(17') を及 ぼ す.   【例① 】 一様 な 誘 電 液体 中 に ２つ の点 電荷(等

しい 電 荷ｑ)を お い た場 合(距

離ａ).点 電 荷 の まわ りに は誘 電 分 極 に よ る 反対 符 号 の 電荷 が 現 れ て 点電 荷 の 電 荷 を一 部 打 ち消 す.そ の 結 果,点 電荷 は あ た か も(ε0/ε)ｑ の電 荷 を もつ よ うな 電 場 を つ くる.そ の た め ２つ の 電 荷 を結 ぶ 線 分 を ２等 分 す る 平 面 上 に お け る電 場 は,第

４講(２)の

代 わ りに

(18) とな り,こ の 面上 の電 束 の 大 き さは

(18')

した が っ て こ の 面 上 で 圧 力 を 計 算 す れ ば,第14講(2')の

代 わ り に,

(19) を得 る． こ れが,誘 電 体 中 にお い た ２つ の点 電 荷 の 間 に は た ら く反発 力 で あ る. ε＞ε0なの で,誘 電 体 中 で は ク ー ロ ン力 は弱 くなる.  【 例②】 引 力 の場 合.誘 電 分 極 の た め,点 電 荷ｑ は あ た か も電 荷(ε0/ε)qを も つ よ うな電 場 を つ く る.２ つ の 点電 荷±qを 結 ぶ線 分 を ２等 分 した 面 上 で は た ら く張 力 を例① と同 様 に 計 算 す れ ば,２ 点 電 荷 の 間 に は た ら く引 力 と して

(20) を得 る.  【 例 ③ 】 平 行 平 板 コ ン デ ンサ ー(平 板 コ ンデ ンサ ー)の 場 合(図57)．

これも

後 に説 明す るが,平 板 コ ンデ ンサ ーの 極板 に単位 面 積 あ た り ±σの 電 荷 を与 え た と き,極 板 の 間 に 生 じる電 場 は

(21) で 与 え ら れ る.

図57 

平 板 コ ンデ ンサ ー

極 板 の 間 に誘 電 率 εの誘 電流 体 を入 れ た と きの電 場 は

(22) とな る.極 板 の 間 に は電 荷 の ため の 引力 が は た ら くが,こ の力 は単 位 面 積 に つ き

(23) と な る．

 この 引 力 に抗 して 極板 を距 離 ｄだ け引 きは なす 仕 事 は

(24) と な る.こ の 仕 事 は エ ネ ル ギ ー と して,極 板 の 間 の 空 間 に蓄 え ら れ る と考 え られ る.極 板 の 距 離 は ｄで あ り,こ の 仕 事 Ｗ は単 位 面 積 の 極板 に つ い て の値 であ る． した が って,単 位 体 積 の空 間 に蓄 え られ る静 電 エ ネ ル ギ ー は

(25) で 与 え ら れ る こ と に な る.

 電磁 場 の エ ネル ギ ー  電 磁 場 の エ ネ ルギ ー密 度 は

(26) で あ る.電 磁 運 動 量 密度 は

(27) ポ イ ン テ ィ ン グ ・ベ ク トル は

(28)   これ ら を も とに して,真 空 中 の場 合 と同様 に,物 質 内 を含 む電 磁 場 の 基礎 方 程 式(マ

クス ウ ェル の方 程 式)を 導 くこ とが で きる.

 物 質 中 の マ ク ス ウ ェル の 方 程 式  マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 を ま と め て 書 い て お こ う.

(29)

(30) こ こで ρは物 体 に 与 え た 電 荷(真 電荷)の

電荷 密 度,ｉ は伝 導 電 流 密 度 で あ る.

また

(31)

 エ ネ ル ギ ー密 度 と電 磁 運 動 量 密度 は

(32) (33)

ま た,ポ

イ ン テ ィ ン グ ・ベ ク トル と応 力 テ ン ソ ル は

(34) (35)

で 与 え ら れ る.

【 基 礎 方 程式 の積 分 形 】 上 の基 礎 方 程 式 を積 分 形 で表 せ ば

(36) (37) (38) 磁束 は

(39) で あ り,フ

ァラデ ーの 電磁 誘 導 の法 則 は

(40) 電束 は

(41)

ア ンペ ー ル の 法 則 は

(42) と な る．   さ ら に 開 曲 面Ｓ,し

た が っ て そ の ふ ちＣ の 各 点 が 運 動 す る 速 度 をυ と す れ ば,

(41)と(42)は

(43) と な る.

 

Tea

Time

 ラ ー モ アの 反 磁 性 と原 子 の 大 き さ   磁 化 Ｍ が 原子 の誘 起 磁 気 双 極 子pmに の 原 子 の 数)

で あ る(χmは

よ る もの で あ る とす る と(Ｎ は体 積Ｖ 内

磁 気 感 受 率).

  ビ ス マ ス で は 原 子 内 の 電 子 ス ピ ン が 対 に な っ て い て,ス 打 ち 消 さ れ て い る.ビ 回 転 を 起 こ し,そ

ス マ ス に 磁 場 が か か る と原 子 内 の 電 子(Ｚ

個)が

ラー モ ア

れ に よ る 誘 起 双 極 子 モ ー メ ン トは(〈r2〉 は 電 子 の 軌 道 半 径 の ２

乗 の 平 均)

で 与 え ら れ る(第

ピ ン 磁 気 モ ー メ ン トは

８講(30)参

照).

  した が っ て

 ビス マ ス の 原子 番 号 は

また,ビ ス マ ス の結 晶 の単 位 体 積 中 の 原 子 の 数 は

で あ る.し

たが って

とな る.ビ ス マ ス の磁 気 感 受 率 の 実 測値 は

で あ る． した が って上 式 と比 べ て

これ は原子 内 電子 の軌 道 半 径 と して もっ と もら しい 値 で あ る.

 第19講  不

連

続

面

―テー マ ◆ 不 連続面 の条 件式 ◆Tea

Time:磁

石 の磁 力 線

 不連続面の条件   誘 電 率 と 透 磁 率 が(ε1,μ1)の

物 質 ① と(ε2,

μ2)の 物 質 ② の 境 界 面 を 考 え る.こ 包 む き わ め て うす い 扁 平 な 領 域Ｖ,こ 閉 曲 面 Ｓ を と り,第18講(36)を 図58

の境 界 面 を れ を囲 む

用 い る と,不

連 続 面 の 法 線 をｎ と し て(図58)

(１)

を得 る． こ こ で,σ

は 不 連 続 面 の 真 電 荷 の 密 度 で あ る.第18講(38)か

らは

(２)

を得 る.  不 連 続 面 の任 意 の接 続 方 向ｔ(図59)に

対 して は,境 界 面 に ま たが る微 小 な 長

方 形 の 閉 曲線 Ｃ を考 え る． ス トー ク ス の定 理 に よ り

(３)

で あ る が,Ｃ を限 りな く平 た くす れ ば右 辺 は ０に な

図59

るか ら (４) を得 る(Ｃ

の 長 さ を2lと

し た).し

た が って接 線 成 分 に対 し

(５)

が 成 り立 つ． 同様 に

(６)

こ こ で,閉

曲 線 Ｃの 幅 を 限 りな く小

さ くす れ ば,上 式 の右 辺 第 ２項 は ０に な る.し たが って,表 面 に集 中 した 表 面 電 流 が な い とき は (７)

図60

とな る.  導 体 で は表 面 電 流 が あ りうる.こ の と きは表 面 電 流 をJsと す る と (８)

こ こ で 図60の

よ う にｔ,Js,ｎ は 右 手 座 標 系 を つ く る 向 き に あ る.

Ｅ

とＤ

 誘 電 体 の 中 に電 場 に 沿 って 細 い 針 状 の 空 洞 をつ くる.誘 電 体 内 の 電 場 を Ｅ,

空 洞 内 の 電 場 をE'と

す る と,(５)に

よ り(図

61) (９)

で あ る.す な わ ち,電 場 方 向 の 針 状 の 空 洞 の 電 場 は 誘 電 体 内 の 電 場 Ｅ に等 しい.こ

こ で,誘

電 体 内 を ミク ロ的 にみ る と,原 子 な どが つ くる 電 場 が重 な っ てつ くられ る ジ グザ グな もの で あ る(図62).誘

図61

電 体 内 の 電 場 Ｅ は,こ

の ミク

ロ的 な電 場 を その 平 均 的 な方 向(縦 方 向)に 平 均 した もので あ る.   次 に,電 場 に垂 直 な 薄 い板 状 の 空洞 をつ くる (図63).誘

図62  ミク ロな 電 場 と  マ ク ロな 電 場

電 体 内 の 電 束 密 度 を Ｄ と して,空

洞 内 の 電 束 密 度 をD'と

す る と,空 洞 表 面 に真

電荷 は な いの で(１)に

より

(10) とな る.す なわ ち,電 束 密度 に垂 直 な板 状 空 洞 内 の電 束 密 度 は,誘 電 体 内 の 電 束 密 度 と等 しい.ミ

ク ロ的 に み れ ば板 状 空 洞 の 表 面 に は 分極 電 荷 σが 現 れ る.こ れ を 囲 ん で 図63の

よ う に単 位 面 積 の 底

面 を も つ 閉 曲 面Ｓ を と り,誘 電 体 内 の 電 場 を Ｅ,板 状 空 洞 の 中 の 電 場 をE"と する と

(11) と な る.誘

電 分 極 を Ｐ と す る と σ=-

Ｐ な の で, 図63

(12) こ れ か ら わ か る よ う に,電

束 密 度 Ｄ は 板 状 空 洞 内 の ε0E"に 等 し い.

 

Tea

Time

 磁石の磁 力線    一 様 に 磁 化 し た 磁 性 体 に つ い て,Ｍ,Ｈ， う に な る.た な い.こ

だ し,こ

Ｂ の 関 係 を模 式 的 に 描 く と 図64の

よ

の 図 は あ く ま で も模 式 的 な 概 念 図 で あ っ て 正 確 な も の で は

れ ら の 量 はB=μ0H+Mで

結 ば れ,μ0は

次 元 を もつ の で Ｂ お よ び Ｍ は

同 じ次 元 の 量 で あ る が,Ｈ

は 次 元 の ち が う 量 で あ っ て,こ

で 表 す こ と は で き な い.そ

こ で,Ｍ

と μ0Hと

れ ら を 同 じ矢 印 な ど

Ｂ を 図 示 した も の と考 え て ほ し

い.

  (ａ)一 様 に 磁化 した棒 で は,磁 化 の 方 向 の上 と下 に磁 荷 Ｎ と Ｓ とが 現 れ る. 磁 気 モ ー メ ン ト(磁 化)Ｍ

は,Ｓ か ら出 て Ｎ に入 る一 様 な密 度 の線 で 表 され る.

(ｂ)磁 力 線Ｈ は磁 荷 Ｎ か ら 出 て,磁 荷 Ｓで 終 わ る か,Ｎ か ら 出 て 無 限 遠 で 終 わ るか,無

限 遠 か ら き て Ｓで終 わ る か で あ る.Ｈ の 密 度 は磁 性 体 と外 の 境 界

面 で 不 連 続 で あ る.Ｈ の様 子 は,平 板 コ ンデ ンサ ー の 端 の 部 分 に お け る電 気 力 線 の様 子 に似 て い る.   (ｃ)磁 束 密 度 Ｂ は Ｍ とＨ をベ ク トル 的 に重 ね た もの で,端 が な く,不 連 続 な とこ ろの ない,閉

じた 曲線 の 群 れ に な る.

(ａ)

(ｂ)

図  64

(ｃ)

  第20講  誘 電 体 と導 体

―テー マ

◆ 分極電 荷 ◆

コンデ ンサ ー

◆Tea

Time:分

極 率 と分 子 の 大 き さ

 分 極 によ り現 れ る電 荷   誘 電 分 極 に 関 す る 事 項 を ま とめ,こ 電 荷 に は た ら く力,エ   分 極 は 第18講

ネ ル ギ ー な ど を 考 察 す る こ と に し た い.

で も 扱 っ た が,今

け る 分 極 をP(χ)と あ っ てdV=dxdydz内 お け る 電 位 は(1/4π

れ を も と に して い くつ か の 場 合 に つ い て,

す る.Ｐ

回 は 分 極 に よ る 電 位 を考 え よ う.位

置χ に お

は 単 位 体 積 内 の 分 極 に よ る電 気 双 極 子 モ ー メ ン トで

の 分 極 はP(x)dVで ε0)P・Rdv/R3で

て 空 間 に 分 極 が 広 が っ て い る と き,位

あ る.こ

与 え ら れ る(第

こか らＲ だけはな れた点に ５講(27)参

照).し

たが っ

置χ に お け る 電 位 は

で 与 え られ る.こ の式 の右 辺 の積 分 を書 き直 す と,ガ ウ スの 定 理 を用 い て

(１)

と な る.Ｓ

は 体 積 Ｖ を 囲 む 閉 曲 面 で あ り,dS'は

の 単 位 ベ ク トル で あ る.こ

そ の 面 積 要 素,ｎ

はそ の外 向 き

こで (２) (２')

とお くと,σpは 分 極 に よ っ て現 れ た 表 面 電 荷, ρpは分 極 に よ っ て現 れ た空 間 電 荷(分 極 電 荷)を 意 味 す る こ とが わ か る(第18講

参照).

  ガウ ス の定 理 に よ り (３) した が っ て(2')に

よ り (４)

こ こで,Qpは

閉極 面 Ｓ で囲 まれ る領 域 内 の分 極 電荷 で あ る.

  また,閉 曲 面 Ｓで 囲 まれ る領 域 に あ る真 電 荷 を Ｑ,分 極 電荷 をQpと

す れ ば,

ガ ウス の法 則 は (５) と な る.こ

れ と(４)と

か ら (６)

これ は基 本 法 則

(6') (ρは真 電 荷 密 度)の 積 分 形 で あ る.   【P/E=一

定 の 場 合 】P/Eが

場 所 に よ らず 一 定 の場 合,真

電荷 のない領域 の

内 部 に分 極 電 荷 が 生 じる こ とは な い.  【 証 明 】 この 領 域 で(５)に よ りQ=0の

とき (７)

他 方 でP=ε0χE,χ=一

定 とす る と(４)に

より (８)

こ れ らの 式 が 両 立 す る ため (９) で あ る(ま

た 逆 に,ε=一

定 の 領 域 で は Ｐ は Ｅ に 比 例 す る).

 【 Ｄ の 連 続 性 】 誘 電 率 ε=ε0 (1+χ)=一

定 の 領 域 で は,前

項 に述 べ た よ うに分 極 電 荷 は生 じな い.分 極 電 荷 が 現 れ るの は 不 連 続 面 あ るい は境 界面 で あ る.   【例:平 板 コ ンデ ンサ ー 】 極 板 に 与 えた 単 位 面 積 の電 荷 を σ

図65

とす る と(図65)  極板 の 間 の真 空 中 の電 場 は  誘 電 体 の 中 の 電場 は

(10)

 誘 電 体 の 中 の 分極 は

 

分 極 電荷 の密 度 は(２)に

より

で あ る.

 帯 電 導 体 球 の まわ りの分 極   半 径ａ の 導 体 の もつ 電 荷 を Ｑ とす る.こ

れ だ け が 誘 電 体 中 に あ る と き(図

66),電 気 力 線 は放 射 状 に外 へ 向 か い,分 極 Ｐ もこ れ と同様 に放 射 状 にな る.   この場 合 の 分極 電荷 を求 め よ う.誘 電率 は一 定 と して い る か ら,導 体 を囲 む誘 電 体 の 中 に分 極 電荷 は 生 じな い.分 極 電荷 は導 体 に接 す る面 だ け に生 じるの で あ る.そ こで,分 極 電 荷 をQpと す る と外 か らみ た と き導体 はQ+Qpの

電荷 を もつ

よ う にみ え るの で,電 場 は

(11) で 与 え られ る．

  D=εE=ε0E+Pで

あ る か ら,分

極 に

よ る 表 面 電 荷 密 度 は こ の 場 合(２)で

Ｐ

とｎ が 逆 向 き なａ で

(12) したが って 図66

(13) こ れ をQpに

つ い て解 く と

(14) と な る.こ

れ を(11)に

入れる と

(15) こ れか ら

(16) を 得 る.  【 ２個 の 電 荷 の 間 の ク ー ロ ン力 】 て 与 え ら れ る か ら,こ

１つ の 帯 電 導 体 球 の つ く る 電 場 は(15)に

の 球 か ら 距 離 γの 場 所 に お い た 電 荷Q'に

よっ

は

(17) の ク ー ロ ン力 が は た ら く.

 導体表面の電荷   導 体 中 で は静 電 場 は存 在 しない.そ れ は,も

しも存 在 す る とす る と電 流 が 流 れ

て電 場 の な い状 態 に お ちつ くか らで あ る.こ の た め 帯 電 した導 体 で は,電 荷 は た が い に 反発 して 導 体 の 表 面 に集 ま り,導 体 内 部 の 電場 を打 ち消 す よ うに 分 布 す る.導 体表 面 の電 荷 に よ る電 場 を考 察 しよ う.   まず真 空 中 に １つ の平 面 を考 え,こ れ に一 様 な電荷 分 布 を与 え た と しよ う.こ

の場 合,対 称 性 か らわ か る よ うに,電 気 力 線 は この 平 面 か ら 垂 直 に 左 右 に 出 る(図67).こ

の 電場 をE1と

し,電 荷 の 面

密 度 を σと して単 位 面 積 に対 して ガ ウ ス の 法 則 を適 用 す る と

(18) した が って 図67

電 荷 と電 場

(19) と な る.

  次 に,導 体 表 面 に 同 じ面 密 度 σで,電 荷 が 分 布 して い る と しよ う.こ の場 合 も,こ の 表 面 電 荷 の た め に左 右 に電 気 力 線E1が 導 体 内 部(図68で

左 側)に

生 じ るが,

は電 場 は な くな る

はず で あ る か ら,導 体 内 でE1を

打 ち消 す 電 場

E2が 存 在 す る こ と に な る． こ の電 場 は,平 板 コ ンデ ンサ ー で は も う ｌ枚 の極 板 の 電荷 に よ る 図68

電場 で あ っ た りす るが,ど の よ うな 体系 で も他 の場 所 の 電 荷 分 布 が こ の よ うな 電 場E2を

る は ず で あ る.こ

の電 場 は 導 体 内 部 でE1を

打 ち消 し,導 体 の 外 で はE1と

生じ 重な

り合 っ て

(20) の 電 場 と な る.こ

れ が 導 体 の外 の 電 場 で あ

る.  E1に よ る 力 は左 右 で 打 ち 消 す の で,表 電 荷 に は 電 場E2=σ/2ε0に

面

よ り単 位 面 積 あ

たり

(21) 図69  導体 の球 殻 内 の電 場 は な い

の力 が 外 向 きに は た ら く． この 場 合,電 気 力

線 は導 体 表 面 に垂 直 なの で,こ の 力ｆ は電 気 力線 に よ るマ ク ス ウ ェル の 応 力(こ の場 合 は 張 力)

(22) に ほか な らな い.  【 球 殻 】 導 体 の 球 殻 に電 荷 を与 え た と き,電 荷 は球殻 の外 面 に 一様 に分 布 し,球 殻 内 の 電場 は ０に な る(図69).   【同 心 球 コ ン デ ンサ ー】 球 Ａ に電 荷QA を与 え る.同 心 の 球 殻 に は 分極 が 生 じて 球 殻 内面 に生 ず る 電 荷Q'は,球

殻 の導体内

部 の電 場 を打 ち消 す もの で あ るが,こ の 電 場 はQAとQ'が

中 心 に 集 ま っ た と考 え た

と きの 電 場 に 等 しい か ら,Q'=-QAで る(図70).球

殻 に外 か ら電 荷QBを

る と,球 殻 の 外 面 にQA+QBの

あ 与え

図70  同 心球 コ ンデ ンサ ー QA,QBは 外 か ら与 え た 電荷.

電荷が分布

す る.

 同心 球 コ ンデ ンサ ー  平 板 コ ンデ ンサ ー は一 番 簡 単 に み え るが,末 端 の 効果 を無 視 した り,こ れ を消 す た め に無 限 大 の 板 を考 え るな どの た め に取 扱 い が い くらか不 便 で あ る.そ れ に 比べ,同 心 球 コ ン デ ンサ ーで は この よう な心 配 りは 必要 で な く,取 扱 い は一 貫 し た もの に な る.コ

ンデ ンサ ーに 蓄 え られ るエ ネル ギ ーの 意味 を明 らか に す る た め

に,３ つ の 方 法 で扱 って み る．   (１)  まず,真 空 中 に導 体 球,お

よび これ と同心 の 導体 球 殻 と を考 え る.導 体

球 の半 径 をａ,球 殻 の半 径 をｂ と しよ う.   これ らが 別 々 に あれ ば  導 体 球 に 電荷Q1を 与 え る仕 事

(23)  球 殻 に電 荷Q2を 与 え る仕 事

で あ る.し

か し,実 際 に は 球 の 電 荷Q1と

よ る 相 互 作 用 の エ ネ ル ギ ー が あ る.球 の 位 置r=bに Q2と

お い てQ1/4π

球 殻 の 電 荷Q2と

の 間 に は ク ー ロ ン力 に

の 電 荷 が つ くる 場 の ポ テ ン シ ャ ル は,球

ε0bで あ る.し

た が っ て,球

の 電 荷Q1と

殻

球殻の電荷

の 相 互作 用 のエ ネ ルギ ーは

(24) で あ る.こ

れ ら を加 え 合 わ せ れ ば,こ

の 体 系 の 全 エ ネ ル ギ ー Ｕ と して

(25) と な る.

 (２)  他 方 で,こ

の エ ネ ル ギ ー は 球 の 電 位 をV1,球

殻 の 電 位 をV2と

して,電

荷 を与 え る仕 事

(26) と して 求 め ら れ る.実   【 証 明】

際W=Uで

ま ず(26)を

あ る こ と を 示 そ う.

導 い て お く.一

般 にｎ 個 の 導 体 が あ る と き,こ

間 に 固 定 し て お い て,い

っせ い に 蓄 電 す る 過 程 を考 え る.各

の 電 荷 を与 え た と き,こ

れ ら の 電 位 が(無

に な っ た とす る と,各

そ れ ぞ れαV1,αV2,…,αVnと

な る(線

導 体 にQ1,Q2,…,Qn

限 遠 で 電 位 は ０ とす る)V1

導 体 にαQ1,αQ2,…,αQnの

れ ら を空

,V2,…,Vn

電 荷 を 与 え た と き の 電 位 は,

形 性)． そ こ で α=0か

ら １ま で 蓄 電 す る

仕 事 は各 導 体 につ き

(27) これ を加 え合 わせ れ ば

(28) とな る．n=2の

場 合 が(26)で

あ る.

  半 径ａ の 導体 球 に電 荷Q1を 与 え,同 心 球 殻 に電 荷Q2を 与 え た とす る． 球 殻 の 電 位 は静 電 力 に抗 して 単 位 電荷 を無 限 遠 か ら球 殻(半 径 ｂ)ま で運 ぶ の に要 す る 仕 事 と して 求 め ら れ る.こ の単 位 電 荷 には,原 点 にQ1+Q2の

電荷 が あ る と き の

ク ー ロ ン 力 が は た ら くか ら,球

殻 の 電 位V2は

(29) で あ る.次 び(こ

に,原

点 に あ る 球 の 電 位V1を

の 仕 事 はV2),さ

て 求 め ら れ る.r=bか

求 め る に は,単

ら に 球 殻 を 通 っ てr=aま ら γ=aま

で の 間 に は,導

位 電 荷 をr=bま

で はこ

で は こぶ の に要 す る仕 事 と し 体 球 の 電 荷Q1に

よ る ク ー ロ ン力

が は た ら くか ら

(30) よ っ て,こ

の 体 系 の エ ネル ギ ー は

(31) と な る.こ

れ と(25)を

比 べ れ ば,U=W.

  (３)  導 体 球(半 径ａ)の 電荷Q1と エ ネ ル ギ ーUemを

球 殻(半 径ｂ)の 電 荷Q2に

よ る電 磁 場 の

直接 計 算 す る.

 a＜r＜bの 間 の電 場 は

(32) した が っ て,こ の領 域 の 電 磁 場 の エ ネ ルギ ーU(1)emは

(33) 次 に,b＜

γ＜∞ の 間 の 電 場 は

(34) した が っ て,こ の領 域 の電 磁 場 の エ ネ ルギ ーU(2)emは

(35) これ ら を加 え合 わせ れ ば,電 磁 場 のエ ネ ル ギ ー は

(36) こ れ は(25)のＵ

と 等 し く,(33)のＷ

  こ れ か ら わ か る よ う に,電

と も等 しい .

磁 場 の エ ネ ル ギ ーUemは

導 体 を蓄 電 す る 仕 事 と導

体 ど う しの 静 電 力 の エ ネ ル ギ ー を 含 め た 全 体 の エ ネ ル ギ ー で あ る.

 コ ンデ ン サ ー の容 量  導 体 球 に 電 荷 Ｑ を 与 え,同 (25)に

心 球 殻 に 電 荷-Qを

与 え た と き の エ ネ ル ギ ー は,

より

(37) で あ る.こ

の と き の 球 と 球 殻 の 間 の 電 位 差 は(30)に

より

(38) した が っ て,同

心 球 コ ンデ ンサ ー の 電気 容 量 は

(39) で あ る.   【平 板 コ ン デ ン サ ー 】 (37),(38),(39)は

b-a=d,4πa2=S,Q/S=σ

平 板 コ ン デ ン サ ー の エ ネ ル ギ ー,電

と お き,a,b→ 位 差,電

場,容

∞

と す る と, 量 と して

(40)

を与 え る.   平 板 コ ン デ ンサ ー の 極 板 の 間 に い っ ぱ い 誘 電 体(誘

電 率 ε)を つ め た と き の コ

ン デ ンサ ー の エ ネ ル ギ ー は

(41)

と な る.ε ＞ ε0な の で,電

荷 σ を一 定 に して お け ばU＜U0,す

れ た 方 が エ ネ ル ギ ー は低 くな る.そ

の た め,コ

な わ ち誘 電 体 を 入

ンデ ンサ ー は 誘 電 体 を 極 板 の 間 へ

引 き込 も う とす る 力 を 及 ぼ す.   同 じ よ う な こ と は 常 磁 性 体 で も起 こ る.た

と え ば,電

流 の流 れ て い る ソ レノ イ

ドは 鉄 の 棒 な ど を 引 き込 む は た ら き が あ る.   極 板 の 間 に 誘 電 体 を入 れ る と,エ

ネル ギ ーが

(42) だ け低 下 す るが,こ れ は ミク ロ的 にみ れ ば 分子 が 分極 して,分 極 電 荷 が 極板 の電 荷 と引 き合 うた め で る.

 

Tea

Time

 分 極 率 と分 子 の 大 き さ 無極 性 の 分 子 か らな る 気体(た と す る と,比

とえ ば 空気)の

誘 電 率 を ε,真 空 の 誘 電 率 を ε0

誘 電 率 εrは

と な る.こ

こ で α は 分 子 １個 の 分 極 率 で,Ｎ

と え ば,酸

素 で は(空

は 体 積Ｖ

中 の 分 子 の 数 で あ る.た

気 で も だ い た い 同 じ)

標準状態で分子数密度は

したが って

と な るが,こ れ は だ い た い分 子 の 大 き さに等 しい.  α/ε0がだ いた い分 子 の大 き さ に等 しい こ と を証 明 し よ う.  分 子 の 模 型 と して 半 径ａ の球 に一 様 に負 電 荷-Zeが

分 布 した もの を考 え る

(中心 にはZeの 正 電 荷 の 原 子 核 が あ る もの とす る)． 負 電 荷 が 正 電 荷 に対 してｘ

だ け ず ら し た と き,も

と 計 算 され る.こ

とへ 戻 ろ う とす る力 は

の ず れ に よ る 双 極 子 モ ー メ ン ト はp=Zeⅹ

で あ り,こ

れ が電 場

Ｅ に よ って起 こ され た もの で あ る とす る と

これ らの式 か ら

した が って

こ の 場 合,分 で あ る.上

子 の 体 積 は(4π/3)a3で の 数値 を用 い る と

これから

こ れ は分 子 の半 径 に ほ ぼ等 しい.

あ る か ら,α/ε0は ほ ぼ 分 子 の 大 き さ の ３倍

 第21講  分 極 の 具 体 例

―テー マ

◆ 一様 な分極 ◆ ロ ー レ ン ツの 分 子 場 ◆Tea

Time:誘

電 率 の カ タ ス トロ フ ィー

 一 様 な 電荷 を も つ球   半 径ａ の 球(誘

電 率 ε)が 一 様 な 電 荷 密 度 ρ を も つ と き(図71),中

の と こ ろ の 球 の 内 部(0≦

γ≦a)に

心 か らｒ

お け る電 場 は

(１)

で あ る.ま

た,球

の外 部 の電 場 は (２)

  【 証 明 】 球 の 中 心 ０ を 中 心 とす る 半 径 γの 球 面 を 考 え る と,こ れ る 電 荷 は4πr3ρ/3で

れ に含 ま

あ る.こ

れ に

ガ ウ ス の 法 則 を適 用 す る と(r≦a)の 図71  一 様 な 電 荷 密度 を もつ球(半 径ａ) とき (３)

し た が っ て,E=ρr/3ε(r≦a).次

に,球

れ る 電 荷 は(4π/3)a3ρ

ウス の 法則 に よ り

な の で,ガ

の 外 部(r≧a)で

は 半 径ｒ の 球 面 に 含 ま

(４) し た が っ て,E=ρa3/3ε0r2.

 一 様 に分 極 した球

  半 径ａ の 球(誘 と す る(図72).球 も ち,０'は

電 率 ε)を

２つ 考 え,Ｏ,O'

Ｏ は 一 様 な 電 荷 密 度-ρ

一 様 な 電 荷 密 度+ρ

こ れ ら を 距 離χ0だ

を

を も つ と し,

け 離 し て お い た と き,こ

れ

らの球 が 重 な る部分 に お け る 電場 Ｅ は (５) こ こ で,｜χ0｜ →0,ρ 図72  空 洞 内 に現 れ る分 極 電 荷

→ ∞,ρ｜χ｜=有 限 と す れ ば,

Ｅ に 一 様 な 電 場 と な り, (６)

は分 極 を表 す.こ の と き,表 面 に 現 れ る分 極 電 荷 の 密 度 は 図72か

らわ か る よ う

に (７) と な る.こ

こ で,P=χ0ρ

は 分 極 で あ り,分

極電荷の表面密度は (８)

 この分 極 電 荷 に よ る電 位 を計 算 す れ ば,球 の 内 部 で は (９)

また,球 の外 部 で は

(10) と な る.外 あ る.

部 で は,(4πa3/3)ρx0=(4πa3/3)Pの

双 極 子 モ ー メ ン トに よ る 電 位 で

  こ の 場 合 の電 場 は図73の

よ う に な る．

電 場 を計 算 す る とP=ρx0と

して,球 の 内

部 で は一様 な電 場

(11) と な り,球

の外 部 で は原 点 に お い た 双極 子

モ ー メ ン ト(4πa3/3)Pを

お い た と きの 電

場

(12) 図73  一 様 に分 極 した誘 電 体 球   (球の 内 と外 の 電 場E)

と な る.球 の表 面 に お け る表 面 電 荷 の た め,内 部 と外 部 に お け る Ｅ は連 続 につ なが らな い.  【 一 様 な 真 空 電 場E0内

の 誘 電 体 】 外 部 電 場E0

の た め誘 電体 は一 様 に分 極 す る(図74).分

極は

(13) とな る こ とが 示 され る.球 の 内部 の電 場 は一 様 で

(14) と な る.外

部 に対 し て は 球 の 中 心 に お か れ た モ ー メ

図74  一 様 な電 場 内 の 誘 電 体 ン ト

(15) に よ る電荷 がE0に 重 な る とみて よい． 外 部 の電 場 は

(16)

とな る.  【一 様 な 電 場 内 の 導 体 球】 外 部 か ら加 え た 電 場 をE0と

す る.導 体 の 表 面 に

は,球

内 の 電 場 を打 ち 消 す よ う な 電 荷 が 現 れ る(こ

れ は 一 様 な 電 場-E0を な い(図75)).こ

つ く る も ので な け れ ば な ら

の 表 面 電 荷 は(７),(11)に

よ り

(17)   【分 子 場 】 外 部 電 場 Ｅ を加 え た と き,誘 電 率 ε 図75  一 様 な電 場 内 の導 体 球

の無 極 性 誘 電体 中 に お い た分 子 に は た ら く電場 は, 分 子 を球 とみ な した と き

(18) で あ る.こ

れ を ロ ー レ ン ツ の 分 子 電 場 と い う.

 【 説 明 】 外 か ら加 え た電 場 は,平 板 コ ン デ ンサ ー の電 極 に よ る もので あ る と し よ う (図76).極

板 は電 荷 密 度 ± σの 電 荷 を与

え られ,こ

れ は一 定 で あ る とす る． 誘 電 体

が な い とき の電 場 は

(19) で あ る.誘 電 体 を極 板 の 間 に入 れ る と,誘 電 体 に は 分 極 電 荷 ±σpが生 じ,そ の 面 密 図76  分 子 場

度は

(20) とな る.こ

こで Ｅ は 誘電 体 内 の電 場 で

(21) の 関係 が あ る.   さて,誘 電 体 中 の分 子 に はた ら く電 場 を考 え るた め,こ の 分 子 を囲 む分 子 よ り 少 し大 きな球 を誘 電 体 か ら切 りとる と,そ の 空 洞 の 中 に は分極 電荷 が現 れ る.分 子 に は た ら く電 場 は 電 極 の と ころ の ±(σ-σ0)の

電 荷 に よ る電 場 Ｅ と この 空 洞

の 分 極 電 荷 σp=Pに よ る電 場 との和 で あ る.後 者 は 図75の

よ うな 分 極 電 荷 に よ

る も の で,(11)に した が っ て,分

お い て Ｐ を σp,ε を 空 洞 の 誘 電 率 ε0で お き か え た も の で あ る. 子 に は た ら く電 場 の 大 き さ をELと

する と

(22)

  Tea

Time

 誘 電 率 の カ タ ス トロ フ ィー ロ ー レ ンツ は物 質 の 中 の 分子 に は た ら く電場ELは  は比 誘 電 率 で 与 え られ る と考 え た(Ｅ

は外 か ら加 えた 電 場).こ

れ は無 極 性 の 分 子 か ら な る

液 体 や気 体 に対 して は よ い近 似 で あ る と考 え られ る.こ の と き,分 子 の 分 極 率 を α とす る と

が 得 ら れ る.こ 2乗nzで

れ は ク ラ ウ ジ ウ ス ーモ ソ ッ テ イ の 式 で あ る.ま

た ε,を 屈 折 率nの

お き か え た 式 は ロ ー レ ン ッ ーロ ー レ ン ス の 式 で あ る.

  有 極 性 の 分 子 の 場 合 で も,気

体 で は 分 子 間 の 距 離 が 大 き い の で 双 極 子 ど う しの

相 互 作 用 は 無 視 で き る の で,分

子 の 電 気 双 極 子 モ ー メ ン トをpと

し て,静

電場 に

対 す る式

(kは ボ ル ッマ ン定 数,Tは

絶 対 温 度)が 成 り立 つ.こ

れ はデ バ イ(Ｐ.Debye)の

式 と呼 ばれ て い る.   デ バ イ の 式 は無 極 性 液 体 に 有 極 性 分 子 を溶 か した稀 薄 溶 液 に対 して も,溶 媒 (p=0)と

溶 質 と か ら の別 々の 寄 与 の 中 の溶 質部 分 に対 して も用 い られ て い る.

 しか し,デ バ イ の式 は純 粋 な有 極 性液 体 に用 い る こ と はで き ない.そ れ は双 極 子 ど う しの静 電 的 相 互 作 用 が 無 視 で きな い か らで あ る.実 際,上 の デ バ イの 式 で

を 満 た す 温 度Tcに

お い て は εr=∞

の 矛 盾 を ヴ ァ ン ・ヴ レ ッ ク

と な っ て し ま う.こ

（Van Vleck）

れ は 実 験 と 矛 盾 す る.こ

は カ タ ス ト ロ フ ィ ー と 呼 ん だ.こ

れ は

永 久 双 極 子 を もつ 液 体 に は ロ ー レ ン ツ の 電 場 が 正 し く な い こ と を意 味 し,有

極性

液 体 を扱 う に は 双 極 子 ど う し の 相 互 作 用 を ロ ー レ ン ツ の 電 場 よ り も く わ し く考 慮 し な け れ ば な ら な い こ と を物 語 っ て い る.   オ ンサ ガ ー

（L.Onsager）

を 考 慮 す れ ば,こ

は,双

極 子 が 分 子 の ま わ りの 液 体 を分 極 さ せ る こ と

の カ タ ス トロ フ ィ ー が な く な る こ と を示 し た.

  第22講 コ ンデ ンサ ー とイ ン ダ ク タ ン ス

―テー マ ◆

平 板 コ ンデ ンサ ー

◆

ソ レノイ ド

◆Tea

Time:簡

単 なラ ジオ

 平 板 コ ン デ ン サ ー   平 板 コ ン デ ンサ ー(平 サ ー)は,平

行 平 板 コ ンデ ン

板 の導 体 電 極 ２枚 を平 行 にお い

た もの で あ る.こ れ が真 空 中 に あ って,周 囲 か ら絶 縁 さ れ て い る と し,電 荷 に そ れ ぞ れ ±Qの 電 荷 を 与 え た と す る.電 場 Ｅ は電 極 か ら垂 直 に 出 て プ ラス電 極 か らマ イナ ス 電極 に 向 か う(図77)．

図77  真 空 平板 コ ンデ ンサ ー

電 極 の面 積 を Ｓ と し,電

極 を囲 む図 に破 線 で示 して あ る 閉 曲面 にガ ウ ス の法 則 を適 用 す る こ と に よ り (１)

を 得 る.た

だ し真 空 中 の 電 束 密 度 をD0,電

場 をE0と

書 い た.電

場 は(ｌ)か

ら (２)

で 与 え られ る.電 極 の 間隔 を ｄ とす る と,電 位 の 差 は (３)

で あ るか ら (４)

C0は

こ の 場 合 の コ ン デ ン サ ー の 容 量 で あ る.蓄

2で あ る か ら,全

え ら れ た エ ネ ル ギ ー 密 度 は ε02E2/

エ ネル ギ ー は (５)

で 与 え ら れ る.   【フ ァ ラ ッ ド】 一 般 に,コ

ン デ ン サ ー の 電 荷 を Ｑ,電 圧 をＶ と す る と き,そ

の 容 量 を Ｃ と す る と,Ｃ が 定 数 の と き (６) で あ る． コ ン デ ンサ ー の 容 量(コ

ン ダ ク タ ン ス,キ

ャパ シ タ ン ス)の

単位 はフ ァ

ラ ッ ドとい い (７) で あ る.し

か し,こ

ド と い い,こ い,1pFと

れ は 大 き す ぎ る の で10-6フ

れ を1μFと

表 す.ま

た10-12フ

ァ ラ ッ ド を １マ イ ク ロ フ ァ ラ ッ ァラ ッ ド を １ピ コ フ ァ ラ ッ ドと い

表 す.

 誘

電

  図78の

体 よ うに,平 板 コ ンデ ンサ ーの 電 極 の

間 に誘 電 体 をい っぱ い入 れ る と,誘 電 体 は分 極 し,電 極 に接 す る誘 電体 の表 面 に は分 極 に よ る 電 荷 が 現 れ,こ

れ が 電 極 に与 え られ た 電 荷 Ｑ

の 作 用 の 一 部 を打 ち消 す.分 極 に よ り誘 電 体 の プ ラ ス電 荷 が マ イナ ス 電 荷 か らｘだ け 離 れ る と 図78 

平 板 コ ンデ ンサ ー

し,そ の た め 誘 電体 の両 面 に現 れ る表 面 電 荷 を

単 位 面 積 に つ き σ と し,プ

ラ ス と マ イ ナ ス の 電 荷 の 密 度 を ρ'と す る と (８)

とな る.誘 電 体 を模 型 的 に考 え,単 位 面 積 内 の 分 子 数 をｎ,各 分 子 が ±qの 電 荷 か らな る とす る とnq=ρ'な の で (９)

こ こで,qxは

分 極 に よっ て 各分 子 に生 じた誘 導 双 極 子 モ ー メ ン トで あ りP=nqx

は単 位 体 積 あ た りの分 極 を表す.  分 極 の た め 電 極 の 電 場 を Ｅ とす る と,電 極 の 電 荷 はPSだ ら,(２)の

け 打 ち消 さ れ る か

代 わ りに(Ｑ は電 極 の もつ真 電荷)

(10) が 成 り立 つ． した が って

(11) とお けば

(12) とな るが,こ れ は この場 合 の ガ ウス の法 則

を 表 し て い る.こ   こ の 場 合,電

こ で Ｑ は 閉 曲 面 Ｓ で 囲 ま れ る 領 域 内 の 真 電 荷 で あ る.

位 はV=Edで

あ り

(13) し た が っ て,誘

電 体 コ ン デ ンサ ー の 容 量 Ｃ

と真 空 コ ン デ ンサ ー の 容 量C0の

比 は

(14) で あ る.ε を こ の 誘 電 体 の 誘 電 率 と い う.

  この場 合 に コ ンデ ンサ ー に蓄 え られ る エ ネ ルギ ー は,遠 方 か ら電 荷 を は こん で 充電

図79 

コ ン デ ンサ ーの 蓄 電

す る仕 事 と して 求 め る こ と が で き る.問 ス して お く(図79).他 (α)は,無

限 遠(あ

題 を 簡 単 化 す る た め,電

方 の 電 極 に αQ(0＜ α＜1)の る い は ア ー ス)の

極 の一 方 をア ー

電 荷 を 与 え た と き の 電 位V

電 位 を ０ と して

(15) で あ る.こ

こ へd(αQ)=Qdα

の 電 荷 を無 限 遠 か ら もっ て くる仕 事 は

(16)

(17) こ れ が コ ンデ ン サ ー に 蓄 え ら れ た エ ネ ル ギ ー で あ る.書

き直 す と

(18) と な る.電

気 的 エ ネ ル ギ ー が 単 位 体 積 に つ き(1/2)EDで

あ る こ とが これ で 確 か

め ら れ た.

 イ ンダ ク タ ンス   長 い ソ レ ノ イ ド(ら せ ん 状 の コ イ ル)に が 流 れ た と き に は,ソ 磁 場 が で き る.単 Iと し て,図80の 電 流 はnIな 図80  ソ レノ イ ド内 の 磁 場

電流

レ ノ イ ドの 内 部 に 一 様 な

位 長 さ の 巻 き 数 をｎ,電

流 を

単 位 長 さ の 閉 曲 線ｓ を 貫 く

の で,ソ

レ ノ イ ド内 の 磁 場 の 大 き

さ を Ｈ とす る と

(19) した が っ て,ソ

レ ノ イ ドの 中 の 磁 場 は

(20) で 与 え られ る.   電流 が 時 間 的 に変 化 す る と きは,電 磁 誘 導 に よ り(ソ レ ノ イ ドの 長 さ をｌ とす る とnl巻 きなの で)

(21) の 電 位 差(起

電 力)を

生 じ る(S'は

ソ レ ノ イ ドの 断 面)． こ れ を

(22) と書 けば

(23) と な る.Lを

ソ レ ノ イ ドの 自 己 イ ン ダ ク タ ン ス と い う.

  【イ ン ダ ク タ ン ス の 単 位 】MKSA単 と い う.長

さ を メ ー

位 系 で イ ン ダ ク タ ンス の単 位 は ヘ ン リ ー

ト ル で 測 る と き 自 己 イ ン ダ ク タ ン ス は4π

・10-7n2lS'ヘ

リ ー で あ る.

ン

  【LC回 路 】

イ ン ダ ク タ ン スＬ と

コ ン ダ ク タ ン ス Ｃ と す る と,図81 の よ うな回路 で振 動 的電流 が あ る と,イ

ンダ ク タ ンス の起 電 力 が コ ン

ダ ク タ ンス の電 位差 に等 しい こ とか

図81 

LC回

路

ら

(24) こ こで

(25) で あ るか ら

(26) と な る． この 回路 の 固有 振 動 数 は

(27) と な る.こ

れ に ア ン テ ナ,ア

を つ け,レ

シーバ ー をつ けれ ば 簡

単 な ラ ジ オ に な る(図82).放

ース

送

図82  簡単 な ラジ オ

電 波 が 強 け れ ば これ で 放 送 な ど を聴 くこ とが で きる.   (26)は 力 学 的 な単 振 動 の式

(28) と 同 じ形 で あ る.こ

の こ とか ら,イ

の 慣 性 抵 抗 の 係 数 で あ る.ま

ン ダ ク タ ン ス は 質 量 に 相 当 す る.こ

た,コ

ン ダ ク タ ン ス の 逆 数1/Cは

れ は電 流

バ ネ 定数ｋ に 相

当 す る.

 

Tea

Time

 簡単 な ラ ジ オ   銅 の 針 金 で 腕 ぐ ら い の 大 き さ の コ イ ル をつ く り,金 よ う な 大 き さ の コ ン デ ンサ ー を つ く っ て,ラ る こ と が で き る.こ

の 場 合,590kHz(キ

で き る よ う に す る に は,た

属板 で 人 形 ケ ース の 引 戸 の

ジ オが 聴 け る よ うな もの を組 み 立 て

ロ ヘ ル ツ)ぐ

らい の放 送 を聴 くこ とが

と え ば 次 の よ う な コ イ ル や コ ン デ ン サ ー を用 い れ ば よ

い.   【コ イ ル 】

半 径ａ,長

でS'=πa2,nl=Nと

さｌ,巻

き 数 Ｎ の ソ レ ノ イ ド の イ ン ダ ク タ ン ス は,(23)

お い て

例 と して

とす る と

  【 平 板 コ ン デ ン サ ー 】 面 積 Ｓ,極 板 の 間 隔ｄ とす る と, 電 気 容 量 は(13)に

例 と して

とす る と

よ り

と な る.

  【LC回 路 の 固 有振 動 】 上 の例 の数 値 を用 い る と

そ こ で 図81の

と な る.こ て 図82の

よ う なLC回

れ に ア ー ス,ア

路 を つ く っ た と す る と,そ

ン テ ナ を つ け,ダ

よ う な ラ ジ オ を つ く れ ば,近

の 固 有 振 動 は(27)か

ら

イ オ ー ドの 整 流 子 と イ ヤ ホ ン を つ け

く のAM放

送 を聴 くこ とが で き る だ ろ

う.   ち な み に,東 ま た,NHKのFM放

京 でNHKのAM第 送 は82.5MHz(メ

ｌ放 送 は594kHz=594×103ヘ ガ ヘ ル ツ)=82.5×106ヘ

ル ツ で あ る. ル ツ で あ る.

  第23講  光 と 電 磁 波

―テーマ ◆ 電磁 波 ◆ ポ イ ン テ ィ ン グ ・ベ ク トル ◆Tea

Time:光

の圧 力

 自由空間の電磁波   真 空 中,あ る い は 空気 中 の よ うに,電 荷 も電 流 もない 一 様 な 空 間 を伝 播 す る電 磁 波 を調 べ よ う.誘 電 率 を ε,誘 磁 率 を μ とす る と き,電 荷 も電 流 もな い場 合 の マ クス ウェ ル の方 程 式 は (１)

(２)

(３)

と な る．(１)のrotを

と り,(２)を

用 い る と

(４)

とな るが,恒 等 式

(５)

に お い て(３)に

よ りdivE=0な

の で,(４)は (６)

とな る． こ れ は波動 方程 式 で,波 の伝 わ る速 さ は (７) で あ る.同

様 に (８)

で あ り,電 場 も磁場 も速 さｃで伝 わ る こ とが わか る.  ｘ方 向 の電 場 を もちｚ 方 向 に進 む波E=(Ex,Ey,Ez)(図83),

(９)

図83  電 磁 波

(波長 λ と振 幅E0は 定 数， δは位 相 定 数)は 明 らか に(６)を 満 た す.こ の と き, 磁場Ｈ はｙ 方 向 を向 い て い て(図83)

(10)

で あ る.(10)は

明 ら か に(８)を

満 た す が,さ

ら に こ れ は(１),(２)を

こ と が 次 の よ う に して 確 か め ら れ る.   【 証 明 】(１)の

左 辺,(９),お

よ び(10)か

ら

満 たす

(11) し た が っ て(１)が (７)か

満 た さ れ る.同

ら得 ら れ る 関 係 式1/λc=εcに

様 に(２)の

左 辺 は,(10),(９),お

よび

よ り

(12) と な り(２)も

満 た さ れ る.

 な なめ に進 む平 面 波   (９),(10)はｚ

方 向 に 進 む 電 磁 波 で あ り,Ｅ

直 交 す る． 任 意 の 時 刻 に お い てxy面 と 呼 ば れ る.(９)，(10)は

とＨ はxy面

に あ って た が い に

上 の 場 Ｅ と Ｈ は 同 じ で あ り,こ

れ は波 面

波 面 が 進 行 方 向 に 垂 直 な 平 面 で あ る の で,平

面波 を

表 す こ と に な る.

(13) は長 さ2π の 中 にい くつ 波 長 が あ る か を表 し,波 数 と呼 ば れ る．  任 意 の方 向 に進 む平 面 波 は (14) と お い て み る.こ 向 を与 え る.(14)を

こ で,eEは

電 場 の 方 向 を 表 す 単 位 ベ ク ト ル で,波

波 動 方 程 式(６)に

の 偏 りの 方

入れ ると

(15) とす れ ば,(６)が

満 足 さ れ る こ と が わ か る.

(16) は振 動 数 で あ る.

 1. 

(14)の

位 相kxx+kyy+kzz-ωtは

各 時 刻tに,平

面

 (δ=定 の 上 で 同 じ値 を もつ.す

な わ ち(14)は(17)を

数) 

(17)

波 面 と す る 平 面 波 で あ り,ベ

ク ト

ル

(18) の方 向 に 進 み,そ の波 長 を λ とす る と波 数 は

(19) で 与 え ら れ る.kを

波 数 ベ ク トル と い う.

  2.  偏 りeEはkに

垂 直 で あ る.す

なわち

(20) で あ り,し たが って この 波 は横 波 で あ る.自 由 な空 間 で進 む電 磁 波 は横 波 な の で あ る.  3.  電 場 が(14)で

与 え られ る波 に付 随 す る磁 場 は

(21) で 与 え ら れ る.こ

こ で,eEは

磁 場 の 方 向(偏

表 す 単 位 ベ ク トル で あ り,kとeEと す な わ ち,eE,eH,K/kは

り)を

に 垂 直 で あ る.

た が い に 直 交 す る右 手 座 標

図84

系 を な す(図84).   【証 明 】   1.  各 時 刻 に 対 し て 平 面  一 定   (22)

は 波 面 を 与 え る(図85).こ y,z） を 定 ベ ク トルKの kと の 積 で あ り,こ

こ でK・rはr=（x, 方 向 に射 影 した 長 さ と

れ が 一 定 と い う こ と はkが

波 面 に 垂 直 で あ る こ と,す

な わ ちkは

方 向 を 与 え る こ と を 意 味 す る.そ

波 の 進行

こ でkの

方向

図85

に軸 ξを とれ ば

(23) と な る の で,ξ が2π/k乃 だ け 進 む と 位 相 は2π だ け 変 わ る． し た が っ て2π/k=λ は 波 長 で あ る.こ

れ は(19)に

 ２.  divE=0に(４)を

ほ か な ら な い.

代 入 す る と

(24) こ れ が 任 意 の 点,任

意 の 時 刻 で 成 り立 つ た め に はeE.K=0で

 ３． divH=0に(21)を

代 入 す る と,(24)と

また,rotE=-μ(∂H/∂t)に(14),(21)を

な け れ ば な ら な い.

同 様 に してeH．ｋ=0が

代 入 す る と,そ

導 か れ る．

のｘ 成 分 か ら

(25) を得 る の で

(26) 同様 に

(26') したが って

(27) を考 慮 す れ ば

(28) を 得 る.ゆ

え に,eE,eH,K/kは

右 手 座 標 系 を な す.

 電磁 工 ネ ル ギ ー (９),(10)を

用 い て,平

面 波 の単 位 体 積 あ た りの電 磁 エ ネ ル ギ ー

(29) を 求 め よ う.

(30)

こ こ で,1/c2=ε

μ を用 い る と

(31) を得 る.し

た が っ て,電

場 に よ る エ ネ ル ギ ー と 磁 場 に よ る エ ネ ル ギ ー は 等 し く,

全 工 ネ ル ギ ー密 度 は

(32)   【 エ ネ ル ギ ー の 流 れ 】 ポ イ ン テ ィ ン グ ・ベ ク トル は

(33) こ こ で,1/ｃμ=εcを

用 い る と

(34) す な わ ち,単 位 体積 の エ ネ ルギ ーuemが 電 磁 波 の 速 度ｃ で移 動 す るの が 電 磁 波 の エ ネ ルギ ー流 で あ る.   【運動 量 密 度 】 電磁 波 の 運動 量 密 度ｇ は

(35) す な わ ち,電 磁 波 に 垂 直 な単 位 面 積 を単 位 時 間 に流 れ る運 動 量 はuem/cに 等 し い.

  【光 の圧 力】 光(電 磁 波)が そ の進 行 方 向 に垂 直 な面 に 当 た っ て吸 収 され る と

きは,運 動 量 の流 れ に等 しい圧 力 を受 け る.光 が 面 に 当 た って 完 全 に 正 反射 され る と き はそ の ２倍 の圧 力,す な わ ち

(36) の 圧 力 を 受 け る こ と に な る.こ ア の レ ベ デ フ(Lebedev)に

れ が 光 の 圧 力 で あ る． 光 の 圧 力 は1899年

よ っ て は じめ て 観 測 さ れ た.い

にロシ

まで は 強 い レ ーザ ー

光 を使 っ て 光 の 圧 力 の 応 用 が い ろ い ろ 試 み ら れ て い る.   【光 子 】 光 が 運 動 量ｐ の 粒(光 ギ ー は,電

子,光

量 子)か

ら な る と す る と,そ

磁 波 の 運 動 量 とエ ネ ル ギ ー の 関 係 式(35)に

のエ ネル

よ り

(37) あ るい は

(38) で 与 え ら れ る こ と に な る.相

対 性 理 論 や 量 子 力 学 で は,光

子 はcpの

エネルギ ー

を も つ と考 え ら れ て い る.

 

Tea

Time

 光 の圧力   海 岸 に打 ち寄 せ る波 は,防 波堤 な どに大 きな 力 を及 ぼす.打 ち寄せ る 波 の エ ネ ル ギ ー は海 岸 に 当 た って 大 きな仕 事 をす る こ とがで きるの で あ る． 一般 にエ ネ ル ギ ーの 流 れ が壁 な ど に当 た り,進 む方 向 を 曲げ られ た りす る と きに は力 が 作 用 す る.エ ネ ル ギ ー の流 れ は空気 や水 の流 れ だ けで な く,波 が 進 む場 合 に は その 進 む 向 きに エ ネ ル ギ ーが 運 ば れ る.   光 が 当 た っ た と こ ろは あ た たか くな る こ とか ら も,光 は エ ネ ル ギ ーの 流 れ で あ る こ とが わ か る.ま た 光 が 波 で あ る こ と もホ イヘ ンス の 時 代 か ら想 像 さ れ て い た.し か し,光 が 当 た っ た と きに圧 力 が は た ら くこ と を理 論 的 に は っ き り予 言 し た の はマ ク ス ウ ェル で あ っ た.彼 は,電 磁場 が圧 力 を及 ぼす こ と,光 が 電磁 波 で あ る こ と を理 論 的 に示 したの で あ った.実 際 に光 の圧 力が 実 験 的 に示 され た の は マ クス ウ ェル の 死後 で あ り,こ れ は ロ シ ア の レベ デ フ に よ る実 験 で あ った(1899

年).   夏 目漱 石 の 小 説

『 三 四 郎 』 の 中 に,野

を 試 み て い る 話 が で て く る.こ と り入 れ た の で あ っ て,当 な い(ち

なみに

の 間 で あ る).野

々宮 宗 八 と い う理 学 士 が 光 の 圧 力 の 実 験

れ は漱 石 が 弟子 で あ っ た寺 田寅 彦 か ら きいた 話 を

時 日本 で そ の よ う な 実 験 が さ れ て い た と い う こ と で は

『 三 四 郎 』 が 書 か れ た の は,明

治41(1908)年

の ９月 か ら12月

々 宮 宗 八 の モ デ ル は も ち ろ ん 寺 田 寅 彦 で あ る.

  『三 四 郎 』 の 始 め の 部 分 に 実 験 室 で の や り と りが あ る.  

「… そ の と き 野 々 宮 君 は 三 四 郎 に 「覗 い て 御 覧 な さ い 」 と す す め た … や が て 度 盛 りが 明 る い 中 で 動 き 出 し た.２ が 消 え た.あ

と い っ た 具 合 で あ る.ま

た

と か ら ３が 出 る … 」

『 三 四 郎 』 の 終 り に 近 い 方 で も,あ

る博 士 を中心 に し

た 会 合 の 中 で 光 の 圧 力 の 話 が で て く る.  

「… そ れ か ら あ ら た ま っ て 野 々 宮 さ ん に,光 ど う して 実 験 す る の か と 聞 き 出 した.野 母 か 何 か で,薄

い 円 板 を 作 っ て,水

線 に 圧 力 が あ る も の か,あ

れば

々 宮 さ ん の 答 は 面 白 か っ た.―

雲

晶 の 糸 で つ る して,真

こ の 円 板 の 面 ヘ ア ー ク燈 の 光 を 直 角 に あ て る と,こ く,と  

空 の 中 に お い て,

の 円板 が 光 にお され て動

い うの で あ る …」

「ど う も 物 理 学 者 は 自 然 派 ぢ ゃ 駄 目 の よ う だ ね 」,「 し か し ロ ー マ ン 派 で も な い で し ょう… 」

と い う よ う な や り と り が い く ら か 長 く続 く.こ 『三 四 郎 』 か ら の 引 用 は,正

の 部 分 も な か な か 面 白 い(上

確 で は な い こ と を 断 っ て お き た い).

の

  第24講  反 射 と 透 過

―テーマ ◆ 電 磁 波 の 反 射 と透 過 ◆ 屈折 率 ◆Tea

Time:反

射 防止 膜

 境界面に当たる電磁波  ２つ の 誘導 体 １と ２の 境 界 面 に お け る電 磁 波 の反 射 と透 過 を調 べ よ う．電 磁 波 は平 面 波 は境 界 面z=0に

垂 直 に,１ の 側 か ら ２の 側 へ 入 射 す る と す る.マ

クス

ウ ェル の 方程 式 は (１)

(２) こ こ で 誘 導 体 ｌで は ε=ε1,μ=μ1,誘 =0に

お け る 条 件 は ,第19講

導 体 ２で は ε=ε2,μ=ε2で

あ る.境

界 面z

に よ り

法線成分: (３)

接 線 成 分: (４)

で あ る.   入 射 波 はｘ 方 向 の 偏 り を も つ と す る と,Ey=Ez=0でEx成

分 は複 素 表示 で (５)

と 書 け る(添

字inは

入 射 波 を 表 す).こ

の と き,(２)に

よ り入 射 波 の 磁 場 は ｙ

方 向 に あ っ て(Bx=Bz=0) (６)

と な る(こ れ は(２)か

ら容 易 に確 か め ら れ る).

  この と き反射 波 も透 過 波 も入 射 波 は 同 じ偏 り を もつ.こ

れ らは

反射 波:

(７)

透過波：

(８)

の 形 を も つ(こ

れ も(２)か

  こ こ で,El',E2は

ら 容 易 に 確 か め ら れ る).

境 界 条 件(４)に

E1t=E1+E1',E2t=E2,H1ｔ=(E1-E1')/c1μ1, 

よ っ て 定 ま る．

す な わ ちz=0と

H2ｔ＝E2/c2μ2な

お く と,

ので

(９)

入 射 波 のE1が

与 え ら れ て い る と す る の で,E1'とE2をE1で

表せ ば

(10) と な る.

 工 ネ ル ギ ー の流 れ  エ ネ ル ギ ー の 流 れ は ポ イ ン テ ィ ン グ ・ベ ク トル

(11) に よ り与 え られ,こ れ は 複 素 表示 を用 い る と時 間 的 平 均 に対 して

(12) と な る(こ

の 式 は 伝 導 性 媒 質 に 対 して も通 用 す る).

  【証 明 】E1,E2,H1,H2を

実 数 と し て 複 素 表 示 に∧

をつ けて

(13)

と 書 こ う.

(14) なの で

(15) 他 方 で,複

素 表 示(13)は

実 数 で 書 い た 式((13)の

実 部)

(16) を意味 す る.こ れ ら を掛 け て 時 間平 均 を とる と

(17) こ の 関 係 を ベ ク トル Ｅ と Ｈ に あ て は め れ ば(12)と

な る.

 反射率と透過率   (５)と(12)を

用 い れ ば,入

射 波 の エ ネ ル ギ ー 流 はz=0に

おいて

(18) 反 射 波 に つ い て は(７)よ

り

(19) よ って 反射 率 は

(20) を得 る.   透 過 波 に つ い て は,(８)に

より

(21) した が っ て透 過 率 は

(22)  (20)と(22)を

み ると

(23) す な わ ち,反 い.こ

射 波 と透 過 波 の エ ネル ギ ー の 和 は入 射 波 の エ ネ ル ギ ー の 和 に等 し

れ は エ ネ ル ギ ー の 保 存 を 表 して い る.な

お,(20),(22),(23)な

係 式 は 誘 電 体 １ と ２ を と りか え て も 変 わ ら な い.た ス に 入 る と き の 透 過 率 は,ガ

と え ば,光

どの 関

が 空 気 中 か らガ ラ

ラ ス か ら 空 気 中 に 入 る と き の 透 過 率 に 等 しい.

  【 屈 折 率 】 真 空 の 誘 電 率 を ε0,透 磁 率 を μ0と す る と,真

空 中 の 光 の速 さは

(24) で あ り,

(25) はそ れ ぞ れ誘 電 体 １と ２の 光 速 と真 空 中の 光 速 の比 で あ って,屈 折 率 を表 す.  ふ つ う の 物 質 の 透 磁 率 は 真 空 の 透 磁 率 に ほ と ん ど等 し い.そ

こ で μ1=μ2=μ0

とお く と

(26) と な る.

 

Tea

Time

 反射防止膜   ガ ラス に垂 直 に光 が 入 る と き,約4%は (n+1)]2で

反 射 す る.そ れ は反 射 率 が[(n-1)/

与 え られ る か ら で あ る． た とえ ば,ガ

とす る と,反 射 率 は約0.04,す

な わ ち4%と

空 気 中へ 出 る と き も同 じ く約4%が は,外 か ら きた 光 の8%は ば,眼 鏡 をか け る と約8%だ

ラ ス の屈 折 率 をn=1.5=3/2

な るか らで あ る． 光 が ガ ラ ス か ら

反 射 す るか ら,ガ ラ スで つ くら れ た 眼 鏡 で

反 射 の た め に 眼 まで 来 な い こ と に な る.言 い か え れ け世 の 中 が暗 くな る.

  これ で は具 合 が わ るい か ら,ふ つ うの眼 鏡 で は ガ ラス表 面 の 反射 率 が小 さ くな る よ うな くふ うが され て い る.反 射 防止 膜 とい うの が そ れ で あ る.ガ に きわ め て うす い膜 をつ け る.膜 の 表 で反 射 され た 光 の 波が,膜

ラス の表 面

の裏 で 反射 され

た 波 と干渉 で 打 ち消 し合 う よ う に膜 の厚 さを選 ぶ． これ に は,膜 の厚 さ を光 の 波 長 の1/4に す れ ば よ い.す べ て の 波 長 の光 の反 射 をな くす こ とは で きな い の で, 赤 と紫 との 中間 の 黄 色 の 光 の 反 射 を打 ち消 す よ う にす る.そ の た め,反 射 防止 膜 をつ け た ガ ラ ス は黄 色 の 補 色 の 紫 が か った色 に見 え る.   写真 機 の レン ズ も同 じ理 由 で,う す い膜 が つ けて あ る.   反射 防止 膜 の 厚 さ を波 長 の1/4に

す る わ け は,光 が疎 な媒 質(空 気)か

ら密 な

物 質(ガ ラ ス)へ 入 る と きの 反 射 と,密 な物 質 か ら疎 な物 質へ 入 る と きの 反射 で は,位 相 に1/2波 長 だ け差 が で き るた めで あ る.   ガ ラス の表 面 に ガ ラ ス よ りも屈 折 率 が小 さい膜 をつ け れ ば,膜 の厚 さに か か わ らず 反射 率 は小 さ くな る こ とが 示 され る.こ の こ と も考 慮 し,反 射 率 をで きる だ け小 さ くす る に は,膜 の 厚 さ を1/4波

長 に す る だ け で な く,膜 の 屈 折 率 がn1=√ｎ

(ｎは ガ ラ スの 屈 折 率)に な る もの を選 んで つ け る.

  第25講  導体 中の電磁波

―テー マ

◆ 導体 ◆ 導体 に当た る電磁波 ◆Tea

Time：

電波 の発 見 と利用

 導体に対する基礎方程式  電 気伝 導 度ｇ の 導 体 にお い て,電 場 Ｅ は電 流i=gEを

生 じる と考 え て(オ

ムの 法則),基 礎 方 程 式 を

(１)

と す る.空

間 電 荷 が な い と して (２)

と お こ う.こ

の と き Ｅ とＨ に 対 し て 電 信 方 程 式

(３)

ー

が 成 り立 つ.   【証 明 】 ベ ク トル 公 式 (４) を用 い る.左

辺 は(１)に

よ り

(５)

(４)の

右 辺 は(２)に

よ り (６)

(５),(６)を(４)に

入 れ れ ば Ｅ に対 す る(３)を

得 る．Ｈ

につ い て も 同様 で あ

る.

 導体中の電磁波の伝播  電 磁 波 はｚ方 向 に進 み,そ の 電 場 Ｅ はｘ 方 向 にあ る とす る と,磁 場 はｙ 方 向 にあ る． そ こ で こ れ らを複 素 表 示(i=√-1)で

(７)

と お き, (８)

と書 く と,(１)の

第 １式 と 第 ２式 か ら

(９)

を 得 る． さ ら に(１)の

第 ３式 か らｉ はｘ 方 向 に あ っ て,(９)に

よ り

(10) と な り,こ

れ か らｒ は

(11)

の 根 と し て 定 ま る(こ

の と き 電 信 方 程 式(3)は

自 然 に 満 た さ れ る)。(11)か

ら

(12) の 関係 が あ る.   電気 伝 導 度9が 小 さけ れ ば

伝播速度  (13)

 振幅減衰率 と な る.電

気 伝 導 度9が

大 き け れ ば,g》

ωεの と き

 伝播速度

 (14)

 波長 と な る,波 の振 幅 は 距 離

(15) だ け 進 む ご と にe-1に

な る の で,1波

を 表 皮 効 果 と い い,δ

を表 皮 深 さ と い う.9→

合,電

長 進 め ばe-2π に 減 衰 す る.こ

磁 波 は 導 体 内 に 侵 入 で き な い で,表

∞ の と き は δ→0と

面 で 完 全 反 射 す る.9→

の よ う な効 果 な る.こ

の場

∞ の 導 体 は完

全 導体 と呼 ばれ る.  

エ ネ ル ギ ー の 流 れ と発 熱

  導 体 中 を伝 わ る電 磁 波 のエ ネ ルギ ー は電 流 をひ き起 こ し,電 気 抵 抗 の た め に熱 に変 換 され る.こ れ を確 か め よ う.   【証 明 】 電 磁波 は,(7)で

与 え られ る.こ の 式 の 実 部 を と る と(8),(9)を

使 って

(16)

と な る.エ

ネ ル ギ ー の 流 れ を 表 す ポ イ ン テ ィ ン グ ・ベ ク ト ル の 大 き さＮ は,こ

の場 合

(17) と な る が,時

間 平 均 を とる と

(18) で あ り,エ

ネ ル ギ ー の 流 れ はｚ 方 向 に

(19) と な る.一

方 で,ジ

ュ ー ル熱 に よ る発 熱 は単 位 時 間 につ き

(20) と な る.  ｚ 軸 に 垂 直 な 単 位 断 面 積 の 面z1とz2(図 86)を

と り,こ

え る と,こ

れ ら を 含 む 閉 曲 面Ｓ を 考

の 中 に 流 れ 込 む エ ネ ル ギ ー と,

こ こ を 出 て 行 くエ ネ ル ギ ー の 差 は,単

位時 図86  エ ネ ル ギ ーの 流 れ

間 に

(21) で 与 え られ る． 他 方 で,こ こ にお け る単 位 時 間 の 発 熱 量 は

(22) で 与 え ら れ る．し か る に,(12)に

よ り α=ω μg/2β と い う 関 係 が あ る か ら

(23) と な る.こ

れ はｚ 方 向 に 進 む 電 磁 波 の エ ネ ル ギ ー の 減 少 が,こ

の 区 間(z1∼z2)

で 発 生 す る ジ ュ ー ル 熱 に 等 し い こ と を 示 す エ ネ ル ギ ー 保 存 の 式 で あ る(こ な 場 合 に は,電

磁 場 の エ ネ ル ギ ー(εEx2+μHy2)/2の

時 間 的 変 化 は な い).

の 定常

導体面での反射 と透過   z<0の

媒 質 は 誘 電 体 で,z>0は

(１)か に,磁

ら 導 体(２)の

導 体 で あ る と き,境

界 面z=0に

電 磁 波 が 入 射 す る と き を 考 え る.電

場 はｙ 方 向 に あ る と す る.こ

垂 直に誘電体

磁 波 の 電 場 はｘ 方 向

の とき

 入 射波:

(24)

と 書 け る(添

字 １ は 媒 質 １ を 表 す).

 反射 波:

(25)

と お き,

 透 過 波:

(26) と す る.こ

こ で(11)に

よ り導 体(z≧0)に

おいて

(27) で あ る.  【 境 界 条 件】 (７),  (２)に

境 界 面z=0に

電 荷 が な い と す る と 第19講(５),(１)(σ=0),

よ り

(28)

で あ る.い

まの 場 合,法

線ｎ 方 向 の 成 分 は ０で あ る か ら,(24)∼

（28)に よ り

(29)

これ か ら

(30)

を得 る.   【反 射 率 】

ポ イ ン テ ィ ン グ ・ベ ク トル Ｎ の 平 均 は 第24講(12)に

よ り

(31) ここ で

(32)

し た が っ て,反

射率 Ｒは

(33)

と な る.ま

た,透

過 率 Ｔ はReγ=α

を考慮 して

(34)

と な る.こ

れか らわか る よ う に

(35) で あ る が,こ

れ は反 射 波 と透 過 波 の エ ネ ルギ ー流 の和 が 入射 波 の エ ネル ギ ー流 に

等 し い こ と,す   な お,媒 T=0,す

な わ ち 境 界 面 に お け る エ ネ ル ギ ー の 保 存 を 表 し て い る.

質 ２が 完 全 導 体g→

∞ の と き は(14)に

よ り α=β=∞

な の でR=1,

な わ ち 完 全 反 射 に な る.

  ま た,g→0の

と きは

(36) で あ る こ と に 注 意 す れ ば,反 透 過)(20)に

な り,透

射 率(33)は

過 率(34)は

前 講(誘

前 講(22)に

電 体１ と ２ の 境 界 面 の 反 射 と

な る こ と が 確 か め ら れ る.

 完全導体面での反射 g→

∞

と す る と,(30)に

よ り

(37) す な わ ち,完

全 導 体 の 面 で 電 場 は 逆 転 して 反 射 す る.こ

の と き(24),(25)の

係

数 に対 して

(38) す な わ ち,こ

の 面 で 磁 場 の 位 相 は 変 わ ら な い.さ

ら に こ の と き(30)に

よ り

(39) す な わ ち,透 で あ る.さ

過 波 の 振 幅 は ０に な る.完 ら に(24),(27)を

全 導 体 中 で は電 場 は な い か らこ れ は 当然

用 い る と,こ

の 場 合(26)の

係数

(40) す な わ ち,磁 場 の 波 も透 過 しな い こ とが わ か る.   【境 界面 の 影響 】 媒 質1(z<0)が

真 空 で あ る と き,z>0の

側の完全導体の存

在 は 表 面 電 流Jsで 置 き換 え る こ とが で き る.こ れ らは境 界 面 の 両 側 に次 の よ う な電 磁 波(表 面 波)を 放 出 す る.こ れ はz<0に

対し

(41)

z>0に

対 し

(41')

で あ る.   【証 明 】(41)が

z<0で

入 射 波,Ein,Hin((24)でc1=c,μ1=μ0と

お く)と

重 な っ て,

は

(42)

z>0で

は

(42')

と な る.す

な わ ち,電

流 に よ っ て 放 出 さ れ る 波 はz<0で

は 反 射 波 と な り,z>0

で は 入射 波 を打 ち消 して完 全導 体 と同 じ状 況 をつ くる.   【 表 面 電 流 】 表 面 電 流 の 大 き さ は,完 19講(8))で

で 与 え ら れ る.

決 ま る.こ

全 導 体 の 表 面(z=0)に

れ は(24),(41),(42)に

よ り

お け る 条 件(第

 

Tea

Time

 電 波の発見 と利用   ヘ ルツ

（H.R. Hertz,1857-1894）

で 有 名 で あ る が,短

は,電

磁 波 の 存 在 を 証 明 した 実 験(1888年)

い 生 涯 の 間 に い くつ か の 著 し い 研 究 を 成 し遂 げ た す ば ら し い

学 者 で あ っ た ら しい.彼

は 初 め 技 師 に な ろ う と し た が,物

動 か ら 電 磁 波 が 発 生 す る こ と を 確 か め,こ 質 を も つ こ と を 示 し た.理

論 的 分 野 で も い くつ か の 仕 事 が あ る.弾

押 しつ け た と き の 接 触 面 の 大 き さ,変 的 と い え る 研 究 で あ る.力 概 念 を と り さ り,質

気振

形 を 計 算 し て い る が,こ

性 体 ど う しを

れ は技術 的 に基 礎

学 にお い て は力 や ポ テ ンシ ャル と い った 観 察 で きな い

量 問 の 関 係 に よ っ て 運 動 が 定 ま る と い う 力 学 原 理 か ら力 学 を

構 築 し よ う と し た.ま い た の を改 め て,現

理 学 に 転 じた.電

れが 光 と まっ た く同様 に反 射 な どの性

た,マ

ク ス ウ ェ ル の 電 磁 気 学 は 大 変 わ か り に く く書 か れ て

在 わ れ わ れ が マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 と呼 ん で い る も の に 近 い

形 を 与 え た.   ヘ ル ツ は 裕 福 な 家 に 生 まれ,若 ム ホ ル ツ に 見 出 さ れ て,並 な っ た.し

か し,残

い と き か ら 当 時 ドイ ツ 第 一 の 学 者 で あ っ た ヘ ル

み はず れ た解 析 力 と抜 群 の 実 験 能 力 を発 揮 す る よ うに

念 な こ と に 悪 性 の 骨 腫 瘍 の た め に 早 く亡 く な っ た の で あ る.

電 磁 気 学 に つ い て い え ば ヘ ル ツ は,マ

ク ス ウ ェ ル の 電 磁 気 学 を 不 動 の も の と し,

さ ら に ロ ー レ ン ツ や ア イ ン シ ュ タ イ ンへ の 橋 渡 し を し た 人 物 で あ る と い う こ とが で き る.   ヘ ル ツ は,電

波 の 実 用 的 な 重 要 さ ま で は 考 え な か っ た よ う で あ る,し

タ リ アの マ ル コ ーニ 実 験 を 拡 張 し て,電

（G.Marconi,1874-1937）

は ヘ ル ツ の 研 究 を 読 み,ヘ

波 を 通 信 に 用 い る こ と に 成 功 し た.彼

海 峡 を 隔 て て 無 線 通 信 に 成 功 し,1901年 (マ ル コ ー ニ は こ の 功 績 に よ っ て1909年 ノ ー ベ ル 物 理 学 賞 を 受 け て い る).こ

か し,イ

は1899年

ルツの

に イ ギ リス

に は 太 西 洋 を隔 て て の 通信 に成 功 した に ブ ラ ウ ン

（K．F. Braun）

とと もに

れ が 現 在 の 電 波 時 代 の 幕 明 け で あ る.

  第26講  遅 延 ポ テ ン シ ャル

―テー マ

◆ 電 磁ポ テ ンシ ャル ◆ 遅 延ポ テ ンシ ャル ◆Tea

Time:光

年

 電磁 ポ テ ン シ ャル  静 電場,静 磁 場 に対 す るマ ク ス ウ ェル の 方程 式

(１)

に お い て 電 磁 ポ テ ン シ ャ ル(φ,A)を (２)

に よ っ て 導 入 す る と,こ

れ らは

(３)

に よ っ て 与 え ら れ る((１)と(３)は

等 価 で あ る).(３)の

解 は

(４)

と書 け る.こ

れ を 合 わ せ て 電 磁 ポ テ ン シ ャ ル と い う.

 時 間 的 に変 わ る電 磁場 に対 して,マ ク ス ウ ェ ルの 方 程 式 は

(５)

で あ り,さ

らに (６)

と お く と,電

磁 ポ テ ン シ ャ ル(φ,A)は

(７)

を満足 す る.こ れ らの 方 程 式 の解 は

(８)

で 与 え ら れ る.右

辺 の 積 分 で,ρ(x',t-￨x-x'￨/c)はx'か

らｘ ま で 光 速 度 で 変 動

が 伝 わ る 時 間 だ け 前 の 時 刻 に お け る 電 荷 密 度 を 表 して い る.i(x',t-￨x-x'￨/c) も 同 様 で あ る.(８)を   (８)に

遅 延 ポ テ ン シ ャ ル と い う.

お い て,ρ(x',t-￨x-x'￨/c),i(x',t-￨x-x'￨/c)を

￨x-x'￨/c ),i(x',t+￨x-x'￨/c)で 先 進 ポ テ ン シ ャ ル と い う.こ 現 在(ｔ)の

置 き 換 え た も の も,(７)を れ は 未 来(t+￨x-x'￨/c)の

そ れ ぞ れ ρ(x',t+ 満 足 す る.こ

れ を

φ,Ａ を 与 え た 場 合,

φ,Ａ を い か に と る べ き か と い う 問 題 の 解 を 与 え る.

 双極子近似  電 荷 密 度 ρの 時 間 変 化 が 小 さな 領 域ｖ 内 に限 られ た 場 合 の近 似 を求 め よ う. この領 域x'は 原 点 の 近 くに あ る とす る と

(９)

と近 似 で き る.た

だ し ここ で

(9') で あ る.電 荷 密 度 に対 して は

(10) た だ しこ こで

(11) とお い た,   (９),(10)を(８)に

代入 する と

(12) と な る.こ

こ で 右 辺 第 １項 の

(13) は ρが 変 動 す る全 領 域ｖ 内 の電 荷 で,一 定 値 を保 つ.第

２項 で

(14) は 電 荷 分 布 ρ に よ る 双 極 子 モ ー メ ン ト を 意 味 す る ． ま た,第

３項 で(t0=t-

r/c ) (15)

は 双 極 子 モ ー メ ン トの 時 間 変 化 を 与 え る.   した が っ て,p=dp/dtと

書 くと き

(1６)

と な る.こ

の 近 似 で ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル は

(17) で 与 え ら れ る こ と が 示 さ れ る.   (16),(17)は

この近 似 で ロ ー レ ンツ の条 件

(18) を 満 た す.   【 証 明 】 ｐ がｚ 方 向 に あ る と し,z/r=∂r/∂z=cosθ

を 用 い れ ば,(17)に

よ り

また

し た が っ て,divA+ε0μ0∂

φ/∂t=0.

 

Tea

Time

 光年   光 が １年 間(365．2422日)に

旅 す る 距 離 を １光 年 と い う が,光

距 離 を １光 秒 と い う こ と も あ る． 光 の 速 さ は

で あ る か ら,

 1光 秒=約30万km  1光

年=0.94605×1013km

が １秒 間 に 進 む

で あ る.   光 秒,光

年 の ほ か に 光 分,光

時 な ど を 考 え る と次 の よ う に な る.

 

地 球 か ら 月 ま で の 距 離=約1.27光

 

太 陽 か ら 地 球 ま で の 距 離=１

秒

 

太 陽 か ら 木 星 ま で の 距 離=5.20天

文 単 位=約0.7光

時

 

太 陽 か ら 土 星 ま で の 距 離=9.54天

文 単 位=約1.3光

時

 

太 陽 か ら 天 王 星 ま で の 距 離=19.19天

 

太 陽 系 に 最 も 近 い 恒 星 ま で の 距 離=約

 

宇 宙 の 半 径=100∼150億

天 文 単 位=1.496×108km=約8.3光

光年

文 単 位=約2.7光 ４光 年

分

時

 第27講  電 磁 波 の 輻 射

―テー マ

◆ 電気双 極子 輻射 ◆ 輻射 に よる減衰 ◆Tea

Time:チ

ェ レ ン コ フ放 射

 電気双極子輻射   荷 電粒 子 が加 速 度 運 動 をす る と,そ の 粒 子 の周 囲 に付 随 す る 電 磁 場 が 変 動 し, 変 動 はマ クス ウェ ルの 方 程 式 に した が って 電磁 波 と して 広 が る,こ れ が 電 磁 波 の 放 射 で あ る.ラ ジ オや テ レ ビな どの 送信 ア ンテ ナか ら電 波 が放 射 され る の も,ア ンテ ナ の 中 の電 子 の 加 速度 運 動 に よる の で あ る.  ２つ の 電 荷-qが

原点 にあ り,+qがz=z(t)に

あ る と きの 電 気 双 極 子 モ ー メ

ン トの大 きさ は (１)

で あ る.双

極 子 が 原 点 付 近 に あ る と き,こ

お け る ポ テ ン シ ャ ル は 前 講(16),(17)に

れ か ら遠 く は な れ た 点x=(x よ り(t0=t-r/c,z/r=cosθ)

,y,z)に

(２)

で 与 え ら れ る.   簡 単 の た め,双 極 子 モ ー メ ン トは単 振 動 をす る と して,そ の複 素表 示 を (３)

とお くと (４)

した が っ て (５) と な る.ベ

ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル は (６)

とな るが,こ

れ を極 座 標 表 示 をす る と

(７)

と な る.  電 場 Ｅ と磁 束 密 度 Ｂ の 成分 はベ ク トル 公 式 に よ り

(８)

で 与 え られ るが,具 体 的 に 書 く とkr≫1の 領 域(輻 射 領 域 とい う)で はr-1の 低 次 の項 を ひ ろ って

(９)

と な る.   そ こ で,エ

ネ ル ギ ー の 流 れ を み る た め ポ イ ン テ ィ ン グ ・ベ ク トル Ｎ の 時 間 的

平 均 を 求 め る と,双

極 子 か ら ｒの 距 離 の 単 位 面 積 を 通 し て θ方 向 に 流 れ る 輻 射 エ

ネ ル ギ ー と して

(10) を 得 る.輻

射 の エ ネ ル ギ ー はｒ 方 向 に 流 れ,輻

射 の全 エ ネ ルギ ー は

(11) と な る.

 加 速 に よ る輻 射   こ こ で 得 た(10),(11)は る.荷

電 粒 子 の 位 置 をz(t)と

荷 電 粒 子 が 単 振 動 を して い る と し た と き の 輻 射 で あ す る と(１),(３)に

よ り

(12) (z0は 振 幅).し

た が って

(13) で あ る,さ ら,輻

ら に,時

射 と して

間 平 均 は=1/2を

与 え る こ と を 考 慮 す れ ば(10)か

(14) を 得 る.同

様 に,(11)か

ら は 全 輻 射 強 度 と して

(15) が 得 ら れ る.(15)を

ラ一 モ ア(Larmor)の

公 式 と い う.(15)は,荷

電粒子が加

速度 運動 をす る と きに成 り立 つ 式 で あ る(単 振 動 に限 らない).

 減

衰

力

  荷 電 粒 子 が 輻 射 を出 す と きは エ ネ ルギ ー を失 うが,こ れ は粒 子 が減 衰 力 を受 け る こ と を意 味 す る.こ の力 をK(t)と

し よ う.時 刻t1とt2の 間 に減 衰 力 が す る仕

事 は粒 子 のエ ネ ル ギ ーの 減少 に等 し く,こ れ は(15)を 用 いて

(16) と計 算 さ れ る(v(t)=z(t)は

速 度).さ

ら に こ の 右 辺 の 積 分 は,部

分積分 によ り

(17) こ こ でv cosωtと る よ う に,一 き る.し

お く と,右

辺 の 第 １項 は 平 均 と し て ０ に な る こ と か ら も わ か

般 に 第 １項 は 第 ２項 に 比 べ て(t2-t1,を

十 分 大 き く とれ ば)無

視 で

た が っ て(16)は

(18) と な る.こ

の 両 辺 を比 較 す る こ と に よ り,減

衰 力 と して

(19) を 得 る 。 た だ し,こ

こ で ε0μ0=1/c2(ｃ

は 光 速 度)を

用 い た.

  Tea

Time

 チ ェ レ ン コ フ放 射   音 よ り も速 い 物 体 が 空 気 中 に飛 ぶ と き,た き に は,い

わ ゆ る 衝 撃 波 が 現 れ る.こ

と え ば 超 音 速 機 や 弾 丸 な どが 飛 ぶ と

れ は,圧

力 や 温度 な どが急 激 に変 化 す る不

連 続 面 で あ る.   真 空 中 の 光 速 は 実 現 さ れ る 最 高 の 速 度 で あ る が,物 さ い.荷 は,光

電 粒 子 が 物 質 中 を,そ

を 放 つ 衝 撃 波 が 認 め ら れ る.こ

連 の チ ェ レ ン コ フ(P.A. 測 さ れ る.こ と も に1958年

質 中 の 光 速 は こ れ よ り も小

の 物 質 中 の 光 速 よ り も 速 い ス ピ ー ドで 走 る と き

Cherenkov)に

れ を チ ェ レ ン コ フ 放 射 と い う.1937年 よ っ て 発 見 さ れ た.原

の 現 象 を 説 明 し た タ ム(I.E.Tamm)と に ノ ー ベ ル 物 理 学 賞 を 受 け た.

フ ランク

ソ

子 炉 な ど で も観 （I.M.Frank）

と

  第28講  電 磁 波 の 散 乱

―テー マ

◆

トム ソ ン散 乱

◆

レイ リ ー 散 乱

◆Tea

Time:物

質中の光 速

  トム ソ ン散 乱  Ｘ線 回 折 で は,結 晶 内 の 原 子 の そ れ ぞ れ が Ｘ 線 を散 乱 す る,こ の と きの よ う な場 合,電 磁 波 は 自由電 子 に よ って散 乱 され る と考 えて よ く,こ れ を トム ソ ン散 乱 と い う.

 入 射 す る電 磁 波 を (１)

とす る と,自 由電 子 の 運 動 方 程式 は (２)

と 書 け る.こ

の 加 速 度 に よ り,電

子 は ２次 的 な 電 磁 波 を 出 す.入

射波の エネ ル

ギ ー の時 間平 均 は (３)

で あ る.こ

れ に 対 し,単

位 立 体 角 に 散 乱 さ れ る エ ネ ル ギ ー は(Einの

方 向 と散 乱

方 向 と の な す 角 を θ と す る)前

講(14)か

ら

(４)

で与 え られ る.し たが って 単 位 強 度 の 電磁 波 が 入 射 す る と き,単 位 時 間 に単 位 立 体 角 に散 乱 され る電 磁 波 の強 度 を(dσ/dΩ)Tと 書 くと,こ れ は (５) で 与 え ら れ る.こ の 方 向OPと

の 式 で,θ

は 図87の

よ うに点 Ｐ

図87  電 磁 波 の散 乱(ｌ)

Ｅ の 偏 りの 方 向 とが な す 角 で あ る.

  入 射 波 の 進 行 方 向 と 点 Ｐ の 方 向OPの を散 乱 角 と い う.こ

こ で Ｅ がOPと

な す 角

入 射 波 を含 む

面 内 に あ る と き の 散 乱 角 をΘpと す る と,θ=90。― Θpで あ る.し E'がOPと

か し 図88の

=90° で あ る .入 か ら,こ

よ う に,入

射 波 の電 場

入 射 波 の 方 向 を含 む 面 に 垂 直 な と き は θ 射 波 の Ｅ の方 向 は ま ち ま ちで あ る

れ ら ２つ の 場 合 を 平 均 す る と 自 由 電 子 の 散

乱 強 度 と して

図88  電 磁 波 の 散 乱(２) (６)

を得 る.こ

れ が トム ソ ン 散 乱 の 式 で あ る.dσ/dΩ

は トム ソ ン散 乱 の 微 分 断 面 積

と い う.

 レ イ リ ー 散 乱  電 荷ｅ が弾 性 的 に束 縛 され て い て,そ の 角 周 波 数 は ω0で あ る と しよ う.こ れ に角 周 波 数 ω の電 磁 波 が入 射 す る と き,電 荷 の運 動 方 程 式 は (７)

とな る.こ れ は強 制 振 動 の 方 程式 で あ って,そ の 解 (８)

か ら,加

速度 は (９)

と な る.こ

れ と(２)を

比 べ る と,こ

ソ ン 散 乱 の 強 度(dσ/dΩ)Tを

の 振 動 子 に よ る 散 乱 強 度(dσ/dΩ)Rは

トム

用 いて

(10) と書 か れ る こ と が わ か る.ω0≫

ω の と きは

(11) と な る(λ リ ー(Lord

は 入 射 波 の 波 長).こ Rayleigh)に

の よ う に 波 長 の ４乗 に 反 比 例 す る 散 乱 は レ イ

よ っ て 研 究 さ れ た の で,レ

イ リ ー 散 乱 と い う.

  原 子 内 部 の電 子 の振 動 数 は紫 外 線 の 領域 に あ り,こ れ に比 べ て 可視 光 の振 動 数 は は るか に 小 さい.空 が 青 い の は,空 気 の 分子 に よ って 青 い 光 が赤 い光 よ りも強 く散 乱 され る か らで あ る,も ちろ ん 空 の色 は,空 気 の密 度 の ゆ ら ぎに よる散 乱 や ゴ ミな どに よる散 乱 に よ って も影 響 され る,日 の 出や 日の 入 りの太 陽 の光 が赤 い の は,途 中 で青 い光 が 散 乱 され,波 長 の長 い光 が 空 気 中 を よ く通 過 して くる た め で あ る.   レ イ リーの 計 算 に よ れ ば,波 長 λの光 が屈 折 率n0の 媒 質 内 の 体 積v0,屈

折率

ｎの 部 分 に よ り,単 位 立体 角 内 に散 乱 され る強 さｉは

(12) で 与 え られ る.た だ し単 位 断 面積 に対 す る入 射 光 の 強 さ をⅠと し,散 乱 光 が 入 射 光 となす 角 をΘ とす る.

 

Tea

Time

 物 質中の光速   物 質 中 の 光速 は真 空 中 の 光 速 よ りも小 さい.こ れ は光 が 物 質 中 を進 む と き,物 質 の 電 子 な どを ゆ り動 か す の に少 し余 分 に時 間が か か るか らで あ る とい うこ と も

で きる.し か し,ミ ク ロ的 にみ る と電 子 な どは 小 さな粒 子 で あ っ て,電 子 や 原子 核 の 間 は真 空 であ る.物 質 は電 子 な どが 点在 す る が,ほ

とん ど どこ も真 空 な の で

あ る.光 が 通 る と き,物 質 内 の真 空 部 分 を通 る光 は真 空 中 の光 速 で 進 むの で は な いか,し たが って 物 質 中 の光 速 が 真 空 中 の 光 速 よ りも小 さい の は おか しい,と も 考 え られ る.   物 質 中 の光 速 は,電 子 な どに よ って 散 乱 され な が ら進 む光 や まっす ぐ進 む光 の 波 な どが たが い に干 渉 し合 ってで き る光 の 波 面 が進 む速 さで あ る.干 渉 し合 って で きる波 面 が 進 む速 さが物 質 中 の光 速 な の で あ って,こ れ は真 空 中の 光 速 よ りも 小 さい.   物 質 中 の電 磁 波(光

も含 め て)が 真 空 中 の 電 磁 波 と異 な る も う １つ の 特 徴 は,

分散 が あ る こ とで あ る.す な わ ち真 空 中 の 電磁 波 の 速 度 は波 長 に よ ら ない が,物 質 中 の電 磁 波 の速 さ は波長,あ

るい は振 動 数 に よ って異 な る.無 限 に高 い 振動 数

の光 は,物 質 中で も,真 空 中 の速 度 で 伝 わ る.   あ る瞬 間 か ら光 が 物 質 内 を進 み出 した とす る と,光 の振 幅 は そ の瞬 間 に０ か ら あ る値 に,階 段 状 に変 わ る.こ れ を光 の 波 と して 表 せ ば,多

くの波 長 の波(成 分

波)の 重 ね合 わせ で 表 す こ とに な る.各 成 分 波 の 速 度 は 異 な る の で,先 端 の形 は しだ い に 階段 状 か ら くず れ た形 に な って くるが,先 端 の 速度(先 端 速 度)は 真 空 中 の光 速 に等 しい こ とが 示 され る.こ れ はい わ ば,物 質 中 の真 空 部 分 を通 り抜 け た 波 に よ る 光 の 速 度 で あ る.こ の よ う な先 端 速 度 は ゾ ンマ ー フ ェ ル ト(A.T. Sommerfeld)や

ブ リュ ア ン(Brillouin)に

  な お,電 磁 波 を金 属 の 管 で 導 く装 置(導

よ っ て詳 し く計 算 され て い る. 波 管 とい う)で は電 磁 波 の 干 渉 の結

果,光 の波 面 が伝 わ る速 度 が真 空 中 の光 速 を超 え る こ とが あ る.

  第29講  種 々 の ゲ ー ジ

―テー マ ◆

ロ ー レ ン ツ ・ゲ ー ジ

◆

放射 ゲ ー ジ

◆

ク ー ロ ン ・ゲ ー ジ

◆Tea

Time:ゲ

ー ジ不 変 性

 電 磁 ポ テ ン シ ャル  マ ク ス ウ ェル の方 程 式 の うちで

(１)

の ２式 は

(２)

と お く こ と に よ っ て 自 動 的 に 満 た さ れ る.(φ,A)は る.こ

れ ら は 真 空 中 の 場 合,マ

電 磁 ポ テ ン シ ャル と呼 ば れ

ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 の 残 りの 式

(３)

を満 た す よ うに定 め なけ れ ば な らな い.恒 等 式

(４)

に よ り,(３)に(２)を

代入す ると

(５)

と な る が,こ

れ を少 し整 理 して 書 く と

(６)

と な る.電

磁 ポ テ ン シ ャ ル の 時 間 の 空 間 的 な 変 化 は,マ

の ２式,す

な わ ち(３)を(φ,A)で

書 い た(６)に

クス ウ ェル の方 程式 の 中

よっ て 決 定 さ れ るべ き もの で

あ る.   しか し,も

と も と(３)に

電 磁 ポ テ ン シ ャ ル(φ,Ａ)は 与 え る(φ,Ａ)は

よ っ て 電 磁 場 Ｅ,Ｂ を 与 え る も の と して 定 義 さ れ る 一 義 的 に 定 ま ら な い.言

い か え れ ば,同

じ Ｅ,Ａ を

無 限 に 存 在 す る.

 ゲ ー ジ変 換  (φ,Ａ)と(φ',A')が

同 じ Ｅ,Ｂ

を 与 え る と き,す

な わ ち

(７)

で あ る と き,変

換(φ,A)→(φ',A')を

に つ い て は す で に 第10講 こ と は,次

で 述 べ た).電

の よ う な 変 換 が(１)を

  い ま,(φ,Ａ)が(１)を

ゲ ー ジ 変 換 と い う(時

間 を含 ま な い場 合

磁 ポ テ ン シ ャ ル(φ,Ａ)に

任意性があ る

変 化 さ せ な い こ とか ら も わ か る.

満 た す と き Ｘ を 任 意 の ス カ ラ ー 関 数 と し て,

(８)

と お く と,(φ',A')も(１)を

満 足 す る.

  【 証 明】

(９)

とお くと

(10) こ こで,右 辺 第 ２項 と第 ４項 とは打 ち消 し合 うか ら

(11) ま た,(９)の

第 ２式 と(８)の

第 ２式 か ら

(12) と な る が,恒

等 式rotgradX=0に

よ り

(13) し た が っ てE'=E,B'=Bと

な り,(７)が

成 り立 つ.

 ロ ー レ ン ツ ・ゲ ー ジ

  電 磁 ポ テ ン シ ャ ル(φ,Ａ)は る(６)を

一 義 的 に 決 ま ら な い こ と を 利 用 し,(φ,Ａ)を

簡 単 化 す る こ とが で き る.有

名 な の は ロ ー レ ン ツ ・ゲ ー ジ で,こ

定め れは

(14) で 条 件 づ け ら れ る.こ

の と きALと

φLは(６),(14)か

ら

(15)

を満 た す こ と に な る ．(14),(15)を

両 立 さ せ れ ば,(２)で

マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式(１)と(３)を る.つ

ま り,(14),(15)は

与 え ら れ る Ｅ,Ｂ は

満 足 す る こ と を直 接 証 明 す る こ とが で き

マ ク ス ウ ェ ル の 方 程 式 と 等 価 な の で あ る.(14)

を ロ ー レ ン ツ条 件 と い い,こ

の 条 件 を 満 た す 電 磁 ポ テ ン シ ャ ル(φ,Ａ)を

ン ツ ・ゲ ー ジ の 電 磁 ポ テ ン シ ャ ル と い う.こ

ロー レ

れ は 最 も広 く用 い ら れ る ゲ ー ジ で あ

る.   ロ ー レ ン ツ ・ゲ ー ジ の 電 磁 ポ テ ン シ ャ ル は ま だ 一 義 的 に 決 ま ら な い.こ の よ う に して 示 さ れ る.い

れ は次

ま

(16) を満 たす 任 意 の関 数x0を 用 い て

(17) と お く.こ

の と き(φL,AL)が(14),(15)を

満 た す な ら ば,(φL,AL')も

同形 の

式

(18)

を 満 た し,し

た が っ て(φL,AL)と(φL',AL')は

同 じ電 磁 場 Ｅ と Ｂ を 与 え る こ と

が示 され る．

 放 射 ゲ ー ジ 電 荷 と電 流 が な い と き,す な わ ち

(19)

の と き,(17)のX0を

と くに

(20) とす る と,新

しい ゲ ー ジ は

(21) と な り,Arの

満 た す べ き方 程式 は

(22) と な る.こ

の よ う な 電 磁 ポ テ ン シ ャ ル(０,Ar)を

の な い 真 空 の 場 で は φ=0の  【 例:平

面波】

ゲ ー ジ で よ く,こ

放 射 ゲ ー ジ と い う.電

荷,電

流

れ が 放 射 ゲ ー ジ で あ る.

放 射 ゲ ー ジ を とっ て平 面 波 を

(23) と お く(ａ

は 振 幅,ｅ

は 偏 りの 方 向 の 単 位 ベ ク トル).こ

の と き(22)第

１式 よ り

(24) した が っ て

(25) ま た,(22)第

２式 に よ り

(26) したが っ て

(27) こ れ はe⊥k,す

な わ ち平 面 波 の偏 りの方 向が 波 の 進 行 方 向ｋ に垂 直 で あ る こ と,

あ るい は横 波 で あ る こ と を表 して い る.な お,こ の と き φr=0な の で平 面 波 の 場 は

(28) と な る.こ

こ で,e'は

ｅ とｋ に 垂 直 な 方 向 の 単 位 ベ ク トル で あ る.す

場 と磁 場 は た が い に 垂 直 で,波

なわち電

の 進 行 方 向 に垂 直 で あ る.

 ク ー ロ ン ・ゲ ー ジ

(５)は

(29) と書 け る ． こ こ で,条

件Ａ

と して

(30) を満 た す も の を と る こ と が で き る.こ

の と き の φ を φcと し,Ａ

をAcと

書 こ う.

Acは

(31) に し た が う こ と に な る が,(29),(30)に

よ り φcに 対 し て は 単 純 に

(32) を得 る,そ

の た め,こ

れ は ク ー ロ ン ・ゲ ー ジ と呼 ば れ る.(32)か

ら,φcは

(33) と求 め られ る．  な お,(31)のdivを

と る と(30),(32)に

よ り

(34) と な る が,ε0μ0=c-2な

の で

(35) を得 る.こ

れ は 電 荷 の 保 存 を 表 す 式 で あ る.

  【注 意 】

同 じ磁 場 を 与 え る ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャ ル Ａ は 一 義 的 で な い(い

ろ

い う な ゲ ー ジ が あ る)が,１ る.そ

つ の 閉 曲 線 Ｃ に つ い て の 線 複 合∮A・dsは

同 じで あ

の値 は

た だ し,Ｓ は Ｃ を 周 辺 と す る 面 で あ る.   【 証 明 】B=rot

Aで

あ る か ら,ス

 

Tea

トー ク ス の 定 理 を 用 い て

Time

 ゲ ー ジ不 変 性   ゲ ー ジ と い う の は 尺 度,あ ゲ ー ジ 不 変 性,ゲ

る い は 物 差 し の こ と で あ る が,ゲ

ー ジ 理 論 な ど と い う と き に は,も

ー ジ 変 換 と か,

っ と広 い 意 味 で 用 い られ る言

葉 で あ る.   一 般 に,あ

る 方 程 式(ux=∂u/∂n,uxy=∂2u/∂x∂yな

を 考 え る.こ

こ で変 換

ど)

を行 っ た と き,ｖ に つ い て 同 じ方 程 式

が 成 り立 つ な ら ば,こ

の 方 程 式 は ゲ ー ジ 変 換v=F(n)に

の よ う な 理 論 を ゲ ー ジ 理 論 と い う.た

はｕ の ゲ ー ジ(尺 度)を 変 え る変換,す

に 対 し て 不 変 で あ る.   ま た,た

とえば

対 し て 不 変 で あ る.こ

とえ ば

な わ ち ゲ ー ジ変 換

と し,ｕ に対 して あ る方 程 式

が 成 り立 つ とす れ ば,こ の方 程式 は ψ の ゲ ー ジ変 換

に対 して不 変 で あ る.   この よ うに い ろ い ろ の場 合 が考 え られ るが,ゲ ー ジ不 変 性 を要 求 す れ ば,そ れ に よ って そ の方 程式 の性 質が 制 限 され る こ とに な る.

  第30講  ラ グ ラ ン ジ ュ形 式

―テー マ

◆

ラ グ ラ ン ジ ュ関 数

◆ ハ ミル トン 関 数 ◆Tea

Time:数

学的 実在

 ラ グラ ン ジ ュ 関数  電 場 と磁 場 が あ る空 間 にお け る荷 電粒 子 の運 動 を力 学 の原 理 に沿 って扱 っ て み よ う.粒

子(電

荷ｅ)に

は ロ ー レ ンツ カ (１)

が 作 用 す る とす る.ニ

ュー トンの運 動 方 程 式 は (２)

で あ る ．

 解 析 力 学 で は ラ グ ラ ンジ ュの運 動 方 程 式 (３)

を 使 う.(３)が

関 数 と い う.

運 動 方 程 式 を 与 え る よ う なL(x,y,z,x,y,z,t)を

ラグ ラ ン ジ ュ

(２)に

対 す る ラ グ ラ ン ジ ュ関 数 は

(４)

で あ る こ と を 証 明 し よ う.た テ ン シ ャ ル で あ る.す

だ し,φ=φ(x,y,z,t),A=A(x,y,z,t)は

電 磁 ポ

な わ ち (５)

  【証 明 】 まず (６)

ゆえに

(７)

他方で (８) した が っ て,ラ

グ ラ ン ジ ュ の 方 程 式(３)は

(９)

移項す れば (10) こ れ は ニ ュ ー ト ン の 運 動 方 程 式(２)のｘ

成 分 で あ る,ｙ

成 分,ｚ

成 分 につ い て

 ｘ

も同様  ハ ミル トン関数 ,ｙ,ｚ に 正 準 共 役 な 運 動 量(一

般 化 さ れ た 運 動 量)px,py,pzは

(11) で 定 義 さ れ る ．(４)に

よ り

(12) ま と め て 書 く と,運

動 量p=(px,py,pz)は

(13) したが って 速度 は

(14) と な る.  【 ハ ミ ル トン 関 数 】

(15) をつ くる と,運 動方 程 式(２)は

い わ ゆ る正 準 運動 方程 式

(16)

で 与 え ら れ る.た

だ し,ハ

ミル ト ン 関 数 は

(17) で あ る.   【証 明 】

ま ず(17)を

証 明 す る.(15),(14),(４)に

よ り

(18) こ れ で(17)は

導 か れ た ． 次 に,(16)の

第 １式 か ら

(19) こ れ は(14)を

与 え る.さ

ら に(16)の

第 ２式 か ら

(20) こ れ を 使 い,(19)か

ら

(21) こ れ は(２)を

与 え て くれ る.

 電磁 場 の ラ グ ラ ン ジ ュ関 数 真 空 中 の 電 磁 ポ テ ン シ ャ ル に 対 す る 運 動 方 程 式(ロ

ー レ ン ツ ・ゲ ー ジ,第29

講(15))

(22) (c-2=ε0μ0)は

ラ グ ラ ン ジ ュ関数

(23) か ら 導 か れ る(Ｌ  【 証 明】 る)は

は φ,Ａ,∂φ/∂x,∂A/∂x,∂A/∂tの 関 数).

ラ グ ラ ン ジ ュ の 方 程 式((３)を

拡 張 し てｘ,ｙ,ｚ,ｔ を 独 立 変 数 と す

φ成分 につ いて

(24) と な る が,ロ

ー レ ン ツ 条 件divA+c-2∂

φ/∂t=0は

(25) な の で(24)は

(26) を与 え る.こ  次 にAx成

れ は(22)の

第 １式 で あ る.

分 につ い て は

(27) を得 る が,ロ

ー レ ン ツ 条 件(25)に

よ り,こ

れは

(28) を 与 え る.こ る.

れ は(22)の

第 ２式 のｘ 成 分 で あ る.ｙ,ｚ 成 分 に つ い て も 同 様 で あ

 

Tea

Time

 数学的実在   科 学 で は,自 然 界 に おけ る存在 と現 象 を調 べ,こ

れ に よ く対 応 す る 論理 的構 築

物 をつ く り上 げ る.こ の 論 理 的構 築物 は,物 理 学 に お い て は数 学 的 な もの で あ る とき に き わめ て有 効 に機 能 す る.数 学 の論 理 に乗 せ れ ば,論 理 を間 違 え な く進 め る こ とが で き るか らで あ る.   数 学 は完 全 に抽 象 的 な もの もあ るが,お そ ら く多 くの場 合,な

ん らか の意 味 で

の心 象 に導 か れ て 理解 され る もの で あ ろ う.そ の よ うな心 象,あ

るい はイ メ ー ジ

な しに数 式 を変形 す る作 業 を して も,そ の結 果 に は ほ とん ど意 味 が ない.   導 き手 に な る心 象 は,ト ポ ロ ジ カル な もの か ら力 学 的,機 械 的 な もの まで さ ま ざ まな ものが あ りうる.普 遍 的 を認 め て い る もの,あ る い はす で に慣 れ 親 しん で よ く知 っ て い る と思 って い る もの が,こ の よ うな心 象 とな り うる.力 学 的 な もの で い え ば,質 点 の 運 動,渦,波 車,ベ

ル ト,鎖,ひ

の運 動 な どが こ れ で あ り,機 械 的 な もの で は 歯

も,て こ な どが これ で あ る.こ れ ら を組 み合 わせ た心 象 をつ

くる と きに,た と えば 万有 引 力 の法 則,逆 う遠 隔作 用,あ

２乗 法則,電

気 力線,磁 力 線 な ど とい

るい は近接 作 用 とい った 抽 象 的 な概 念 も参 画 す る.

  こ う して ニ ュー トンは太 陽系 の模 型 をつ く り上 げ た.模 型,あ る い はモ デ ル と は,主 に 力学 的,機 械 的 な心 象 で あ る.マ ク ス ウ ェル も電磁 気 学 を構 築 す る にあ た って,電 流 に よ る磁 場 を歯 車 の 回転,あ

るい は渦 糸 の よ うに と らえ た機 械 的 な

モ デ ル を最初 に は考 えて い る.彼 は そ こか ら 出発 して ま った く数学 的,抽 象 的 な 電磁 場 の 理論 へ と飛 躍 した の で あ る.   理 論 に 使 わ れ る モデ ル は 自然 そ の もので は ない.こ れ らの 間 の対 応 は結 局 の と こ ろ心 象 で あ り,比 喩 にす ぎな い.し たが っ て理 論 的 モ デ ルの 各 部分,概 念 が, そ の ま ま 自然 の 中 に見 出 され る とは 限 らな い.古 典 的 な電 磁 場 の 波 は電 磁 波 と し て 観 測 され る実在 で あ るが,量 子 力 学 に お け る波 動 関 数 はそ の ま ま波 と して観 測 され るわ けで な く,こ れ にあ る演算 を行 っ た ものが 観 測 され る量 を与 え る.   観 測 され る量 だ け を実 在 と して,こ れ だ け を用 い た理 論 を構 築 しよ う とす る の は行 きす ぎで あ る.観 測 され な い量 をす べ て排 除 しよ うと した 試 み は挫 折 す る, と い うの は歴 史 の教 え る と こ ろ ら しい.自 然 は そ れ ほ どナ イ ー ブで な く,ア イ ン シ ェ タ イ ンが い う よ う に 「神 は老獪 で あ る(subtle)が,い

じわ るで は な い 」.

次 の よ うに 言 い か え て もい い だ ろ う.「 自然 は と ら え難 いが,絶 学 的 モ デ ル に対 して ほ ほ えみ を見 せ る」

えず す ぐれ た 数

索 

  ア  行

引

エ ー ル ス テ ッ ド 42

ゲ ー ジ変 換   66,189

円電 流

減 衰 力   182

―が つ くる磁 場  61

ア イ ン シ ュ タ イ ン  62

―の磁 気 モ ー メ ン ト 82

ア イ ン シ ュ タ イ ン −ド ・ハ ー ス 効 果   75 圧

応 力 テ ン ソ ル  91

力   90 光 の―

マ ク ス ウ ェ ルの― 

  157,158

ア ー ン シ ョ ウ の 定 理   29

92,103

光

子   158

光

年   177

勾

配   28

光 量 子   158 コ ン デ ンサ ー  119,133,145

オ ンサ ガ ー  144

―の 容 量   136

ア ンペ ア  １

  力  行

ア ン ペ ー ル   43 ―の 力   43

回

―の 法 則   70

ガウス

一 般 化 さ れ た運 動 量   198 イ ン ダク タ ンス   148

コ ンパ ス  42

転  37

  サ 行

―の 定 理  13

サ イ ク ロ トン振動 数   51

―の 法 則  17

作

微 分 形 の―

の 法 則  19

用   80

作 用 量   79

加 速 に よ る輻 射  181 CGS  ６

動 く観 測者   108

偏

り 154

渦 な しの場  35

完 全 導 体  167

ウ エー バ ー  44

完 全 導 体 面 で の 反 射  171

J.J.ト

磁

運 動 方 程式 相 対 論 的 な― 

102

ニ ュー トンの― 

102

運 動 量  101,102 一 般 化 さ れ た―198 正 準 共役 な―198

ム ソ ン  50

―の 実 験  52 荷   63 ―が 電 流 に 及 ぼ す 力  77

起電力 ３ キ ャベ ンデ ィ ッ シ ュ  34

磁 荷 ど う しの 力  78

キ ャ リヤ ー  56

磁

キ ュ リ ー温 度  74

磁 気 感 受 率   118,122

ギ ルバ ー ト  ８,74

磁 気 作 用(電 流 の)  42

界   42

磁 気 双 極 子   83

運 動 量保 存 の式  103 屈 折 率   116,163

磁 気 に関 す る ク ー ロ ンの 法則   78

ク ラ ウ ジ ウス ーモ ソ ッテ ィの 式  143

磁 気 ２重 極 モ ー メ ン ト  117

永 久 磁 石  63

グ ラ ジエ ン ト  28

磁 気 分 極   115,117

エネルギー

ク ー ロ ン  ２

磁 気 誘 導  44

運 動量 密 度  157

―の流 れ  157 帯伝 導 体 球 の―97

―の 法 則   ２ 磁 気 に関 す る―

次 元 と単 位   78 の 法 則  78

自己 イ ン ダ ク タ ンス   149

電磁 場 の―100

ク ー ロ ン ・ゲ ー ジ  193

自己 力  23

電場 の― 

ク ー ロ ン場   ５

磁

石   42

磁

針  42

系  ６

磁

束  44,106,117

ゲ ー ジ不 変 性   194

磁 束 密 度  44,46,87,117

98

エ ネ ル ギ ー保 存 則  111 MKSA単

位 系  １

LC回 路  149 ―の固 有 振 動  151

―の磁 力 線   127

クー ロ ン力   131

磁 束量 子  80

電 流 が 磁場 か ら受 け る― 

磁

電流 が磁 荷 に 及 ぼ す―

場  42,43 ―の 強 さ  46 円電 流 が つ くる―

  61

直線 電 流 の つ くる― 電流 が つ くる― 

 60 60,65

43

電

 77

場 ３ ―内 の 導 体 球   141

地 磁 気  74

―内 の 誘 電 体   141

遅 滞 ポ テ ン シ ャル   175

―の エ ネ ルギ ー  98

張

―の 強 さ  ４

力   90

直線 電 流 の つ くる 磁場  60

電

流

ジ ュー ル熱  168

チ ェ レン コ フ  183

―が 磁 場 か ら受 け る力  43

磁 力線(磁 石 の)  127

チ ェ レン コ フ放 射   183

―が つ くる磁 場   60,65

真 空 中の マ クス ウ ェ ル の 方 程式  105

―が 磁 荷 に及ほす 力   77 ―の 磁 気 作 用  43

定 常 電 流  ９

―の 単 位   １

真 空 の誘 電 率  ２

テ ス ラ  44

真 電 荷  97,116,121,129

デバ イの 式   143

電流密度 ９

デ ュ フ ェ イ  ７

電 力 管   90

ス トー クス の定 理  38

電

圧 ３

電

位  ３,26

透 過 波   161,169

正 準 運 動 方 程式   198

電 位 差  ３

透 過 率   163,170

正 準 共 役 な 運動 量   198

電

透 磁 率   118

静 電 感 応  20

荷 ２ ―の 保 存 則  11

静 電 気  ７

電 子 の―

導 体 中 の 電 磁 波   166

 ３

導 波 管   187

静 電 遮 蔽  31

電

静電単位 ６

電 気 感 受 率   116

静 電 場   26

電 気 双 極 子  31

静 電 誘 導  20

電 気 双 極 子 輻射   179

積 分 法 則  40

電 気 ２重 極  32

ゼ ーマ ン  52

電 気 の 正 と負  ７

ゼ ーマ ン効 果  52

電 気 分 極   115,116

先 進 ポ テ ンシ ャ ル  175

電 気 変位  46,116

線 積 分  35

電 気 ４重極  33

先 端 速 度   187

電 気 力線  ６,19,89

波

数   154

電磁 運動 量 密 度   104

発

散   10

双 極 子  32

電 子 の電 荷   ３

波 数ベ ク トル   155

双 極 子 モ ー メ ン ト  32,115

電磁 波   152

波 動 方 程 式   153

相 対 論 的 な運 動 方 程 式   102

界 ３

トム ソ ン散 乱   184 ―の微 分 断 面積   185

ナ ブ ラ  28

ニ ュ ー トンの 運動 方 程式   102  ハ 

導 体 中 の―

  166

電磁 場

  タ  行 帯 伝 導体 球 の エ ネ ル ギ ー  97

ハ ミル トン 関 数  198 反 磁 性   53,54,122

―のエ ネ ルギ ー   100

反 射(完 全 導 体 面 で の)  171

―の ラ グ ラ ン ジ ュ関 数  199

反 射 波   161,169

ダ イナ モ理 論  75

電磁 ポ テ ン シ ャル   175,188

反 射 防 止 膜   164

ダイ バ ー ジ ェ ンス   10

電子 ボ ル ト  ３

反 射 率   163,170

多 重極   33

電 磁 誘 導 の 法 則   105

半 導 体  56

担

電 信 方 程 式   165

体  56

電 力  25 ア ンペ ー ルの― 

束   107

ビ オーサ バ ー ル の法 則   60,64

電 束 密 度   46,116,126 43

行

バ ー ネ ッ ト効 果  75

―の輻 射  179

ソ レ ノイ ド  148

  ナ  行

誘 電 体 内 の― 

126

光 の 圧 力   157,158 ビス マ ス  122

微 分形 の ガ ウス の 法 則  19

変 位 電 流  105

真 空 の― 

微 分 断面 積(ト ム ソ ン散 乱 の)  185

変分 法 則   40

誘 電 流 体  119

微 分法 則  40

ヘ ン リー  149 横

比 誘電 率  116 表 皮効 果   167

ボ ー ア磁 子   86

表 皮深 さ  167

ポ ア ソ ン方 程 式   29 ポイ ンテ ィ ング ・ベ ク トル   113,157

表 面 電 流  172

輻

電 荷 の―

射 加 速 に よ る―  電 磁 波 の― 

180 178

ラ グ ラ ン ジ ュ関 数  196

ラ プ ラ ス演 算 子 （ラプ ラ シア ン）   29

  11

ポ テ ンシ ャ ル  ３

ラ プ ラ ス−ボ ア ソ ン方 程 式   29

ホ ー ル効 果   55

ラ プ ラ ス方 程 式   29

ボ ル ト  ３

ラーモア

輻 射 領 域   181

 マ  行

物 質 中 の マ ク ス ウ ェ ルの 方 程 式  120

  ラ 行

ラ グ ラ ン ジ ュの 運 動 方 程 式   196

保 存 則   114

―の法 則   105

波  155

電 磁 場 の―199

放 射 ゲ ー ジ  191 フ ァ ラデ ー  56,93

２

マ クス ウ ェ ル  109 ―の 応 力 テ ン ソル  92,103

プ ラ ン ク定 数  80,85

―の角 速 度   53 ―の公 式  182 ―の定 理  54 ―の歳 差 運 動   53

―の 方 程式   105

フ ラ ン ク リ ン  ８ 不 連 続 面 の 条件   124

真 空 中 の―

の 方 程式   105

分

物 質 中 の―

の 方 程 式  120

極   115

量 子 化  80

マ クス ウェ ル−ア ンペ ール の 法 則

レイ リー   186

分 極 した 球   140

 

レイ リー 散 乱  186

分 極 電 荷   129

摩 擦 電 気  ７

レベ デ フ  158

分 極 率   137

マ ル コー 二  173

連 続 の 方 程 式   11

―に よ り現 れ る電 荷  128

分

105

レ ンツ の 法 則  87

散   187

分 子 磁 石   63 分子 電 場(ロ ー レン ツの)  142

平 行 平 板 コ ンデ ンサ ー  119 平 面 波  154 ベ ク トル ・ポ テ ン シ ャル  64 ―の 任 意 性   66 ヘ ル ツ  173

無 線 通 信   173 ロ ー テ ー シ ョ ン   37

  ヤ  行

ロ ー レ ン ツ  46 ― の 分 子 電 場   142

誘 電 体   146 ―内 の 電 束 密 度   126

ロ ー レ ン ツ ・ゲ ー ジ   190

―内 の 電 場 Ｅ  126

ロ ー レ ン ツ 条 件   191

電 場 内 の―  誘 電 率   116,147

141

ロ ー レ ン ツ 力   44 ロ ー レ ン ツ ーロ ー レ ン ス の 式   143

著 者 戸

田 盛

和

1917年  東京 に生 まれ る 1940年  東京大 学理 学 部物理 学科 卒業 現

在  東京教 育 大学 名誉教 授  ノル ウ ェー王立 科学 ア カデ ミー会員  理学博 士

物 理 学30講

シ リーズ ６

電磁 気学30講

定価 は カバ ーに表 示

1996年11月15日   初 版 第 １刷 2004年 ４ 月20日  第 ５刷

著 者 戸

田

盛

和

発行者 朝

倉

邦

造

発行所  株式

会社 朝

倉

書

店

東 京 都 新 宿 区 新 小 川 町 6-29

〈 検 印省 略〉 〓1996〈

ISBN

便

電

話 

FAX 

無 断 複 写 ・転 載 を 禁 ず 〉

4‐254‐13636-6

郵

C3342

番

号 162‐8707

03(3260)Ol41 03(3260)0180

シ ョウ ワ ドウ ・ イ ー プ レス／ 渡 辺 製 本

Printed in Japan

  物 理 学30講

シ リー ズ 〈 全10巻 〉

 著者 自 らの言葉 と表 現で 語 りか け る大 好評 シ リー ズ 戸 田盛和著 物理学30講 シ リーズ １

一

般

力

13631-5 C3342 

学30講

A5判 

208頁 本 体3600円

戸 田盛和著 物理学30講 シ リーズ ２

流

体

力

13632-3  C3342 

学30講

A5判 

216頁  本 体3600円

戸 田盛 和 著 物 理 学30講 シ リー ズ ３

波 動 と 非 線 形 問 題30講 13633-1  C3342 

A5判 

232頁  本 体3700円

戸田盛和著 物理 学30講 シ リー ズ ４

熱

現

象30講

13634-X  C3342 

A5判 

240頁  本 体3700円

戸田盛和著 物理 学30講 シ リー ズ ５

分

子

運

13635-8  C3342 

動30講

A5判 

224頁  本 体3600円

戸田盛和著 物理学30講 シリー ズ ７

相

対

性

13637-4  C3342 

理 A5判 

論30講

244頁  本 体3800円

戸 田盛和著 物理学30講 シ リーズ ８

量

子

力

13638-2  C3342 

A5判 

学30講 208頁  本 体3800円

戸 田盛和著 物理学30講 シ リー ズ ９

物

性

物

13639-0  C3342 

A5判 

理30講 240頁  本 体3500円

戸田盛和著 物 理 学30講 シ リー ズ10

宇

宙

13640-4  C3342 

と

素 A5判 

粒

・ 子30講

212頁  本 体3800円

力 学 の 最 も基 本 的 な と こ ろ か ら問 い か け る。 〔内 容 〕力 の 釣 り合 い／ 力 学 的 エ ネ ル ギ ー ／ 単 振 動 ／ ぶ らん こ の 力学 ／ 単 振 り子 ／ 衝 突 ／ 惑星 の運 動 ／ ラ グ ラ ン ジ ュ の運 動 方 程 式 ／ 最 小 作 用 の 原理 ／ 正 準 変 換 ／ 断 熱定 理 ／ ハ ミル トン−ヤ コ ビの 方 程 式

多 くの親 しみや すい話題 と有名 なパ ラ ドックスに 富む流体 力学 を縮 まな い完全流体か ら粘性 流体 に 至 るまで解 説。 〔内容〕球形渦／渦糸／渦列／粘性 流体 の運動方程 式／ ポア ズイユの流 れ／ ス トー ク スの抵抗／ず りの流れ／境界層／他 流体 力学に続 くシ リー ズ第 ３巻 では,波 と非線 形 問題 を,著者 自身の発見の戸 田格子 を中心 に解説。 〔内容〕ロ トか ヴ ォルテ ラの方程 式／逆散 乱法／ 双対格子 ／格子 のＮ ソ リ トン解／ ２次元KdV方 程 式／ 非対称 な剛体 の運動／他 熱 の伝 導,放 射,凝 縮 等 熱 を と り ま く熱 現 象 を熱 力学 か らて いね い に展 開 して い く。 〔内容 〕熱 力 学 の 第 ｌ,２ 法 則 ／ エ ン トロ ピー ／ 熱 平 衡 の 条 件 ／ ミ クロ状 態 とエ ン トロ ピー／ 希 薄 溶 液 ／ ゆ ら ぎの 一 般 式 ／ 分 子 の 分 布 関 数 ／ 液体 の 臨 界 点 ／ 他

〔 内容〕気体 の分子運動／初等 的理 論への反省／気 体の粘性／ 拡散 と熱伝導／熱 電効 果／光の散乱／ 流体力学 の方程式／重 い原子 の運動 ／ブ ラウン運 動／拡散 方程 式／拡散率 と易動度／ ガウス過程 ／ 揺動散逸定理 ／ ウィナー ・ヒンチンの定理／ 他 〔 内容 〕 光 の速さ／時間／ ロー レンツ変換／運 動量 の保存 と質 量／特殊 相対論的 力学／保 存法則／電 磁場の変換／ テ ンソル／一般相対性理 論の出発点 ／ア インシュタイ ンの テンソル／ シュワルツ シル トの時空／光 線の湾曲／相対性理論 の検証／他 〔 内容 〕 量子／粒 子 と波動／ シュレー ディンガー方 程式／古典的 な極 限／不確定性原理／ トンネル効 果／非線形振動／水 素原子／角運動量／電磁場 と 局所ゲー ジ変換／散 乱問題／ ヴ リアル定理／ 量子 条件 とボア ソン括弧／ 経路積分／調和振動子他 〔内容〕水素分子／ 元素 の周期律／分子性物質／ ウ ィグナー分布関数／理 想気体／ 自由電子気体／ 自 由電子の磁性 とホー ル効 果／ フォ トン／ スピン波 ／ フェル ミ振子 とボース振子／低温の電気抵抗／ 近 藤効 果／超伝導／超伝 導 トンネル効果／他 〔 内容〕宇宙 と時間／ 曲面 と超曲面／閉 じた空間 ・ 開いた空間／重力場 の方程 式／膨張宇宙モデ ル／ 球対称 な星／相対性理論 と量子力学／ 自由粒子／ 水素類似 原子／電磁場 の量子化 ／ く り込み理論／ ラム ・シフ ト／超 多時 間理 論／ 中間子の質量／他  上 記 価 格(税 別)は2004年

３月 現 在