Економетрія

̲ÆÐÅòÎÍÀËÜÍÀ ÀÊÀÄÅÌ²ß ÓÏÐÀÂ˲ÍÍß ÏÅÐÑÎÍÀËÎÌ

ÓÎ.

Ë. Ëåùèíñüêèé, Â. Â. Ðÿçàíöåâà, Î. Î. Þíüêîâà

ÅÊÎÍÎÌÅÒÐ²ß Ðåêîìåíäîâàíî ̳í³ñòåðñòâîì îñâ³òè ³ íàóêè Óêðà¿íè ÿê íàâ÷àëüíèé ïîñ³áíèê äëÿ ñòóäåíò³â âèùèõ íàâ÷àëüíèõ çàêëàä³â

Êè¿â 2003

72 ÁÁÊ 65â6ÿ73 Ç-46ÁÊ Ë54 72 46Ç-46 Ðåöåíçåíòè: Î. À. Êîðîëüîâ, ä-ð åêîí. íàóê, ïðîô. Þ. Â. Êðàê, ä-ð ô³ç.-ìàò. íàóê, ïðîô.

Ñõâàëåíî Â÷åíîþ ðàäîþ ̳æðåã³îíàëüíî¿ Àêàäå쳿 óïðàâë³ííÿ ïåðñîíàëîì (ïðîòîêîë ¹ 8 â³ä 28.11.02)

Ðåêîìåíäîâàíî ̳í³ñòåðñòâîì îñâ³òè ³ íàóêè Óêðà¿íè (ëèñò ¹ 14/18.2-1513 â³ä 22.09.03)

Ë54

Ëåùèíñüêèé Î. Ë. Åêîíîìåòð³ÿ: Íàâ÷. ïîñ³á. äëÿ ñòóä. âèù. íàâ÷. çàêë. / Î. Ë. Ëåùèíñüêèé, Â. Â. Ðÿçàíöåâà, Î. Î. Þíüêîâà. — Ê.: ÌÀÓÏ, 2003. — 208 ñ.: ³ë. — Á³áë³îãð.: ñ. 203–205. ISBN 966-608-292-6

Ó íàâ÷àëüíîìó ïîñ³áíèêó “Åêîíîìåòð³ÿ” ðîçãëÿäàþòüñÿ îñíîâí³ çàâäàííÿ åêîíîìåòðè÷íèõ äîñë³äæåíü ³ ìåòîäè ¿õ ðîçâ’ÿçàííÿ, âèçíà÷àºòüñÿ ì³ñöå òà çíà÷åííÿ ö³º¿ íàóêîâî¿ äèñöèïë³íè, ¿¿ çâ’ÿçîê ç åêîíîì³êîþ, ñòàòèñòèêîþ òà ìàòåìàòèêîþ. Îñíîâíèì ìåòîäîì îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ðåãðåñ³éíèõ ìîäåëåé îáðàíî ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â (ÌÍÊ). Ðîçãëÿíóòî îñîáëèâîñò³ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ó ðàç³ ïîðóøåííÿ îñíîâíèõ ïåðåäóìîâ çàñòîñóâàííÿ êëàñè÷íîãî ÌÍÊ. Îïèñàíî àëüòåðíàòèâí³ ìåòîäè îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ìîäåëåé (ìåòîä ãîëîâíèõ êîìïîíåíò³â, óçàãàëüíåíèé ÌÍÊ òîùî). Ìîäåëþâàííÿ äèíàì³êè åêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â ðîçãëÿíóòî íà ïðèêëàäàõ äèñòðèáóòèâíîëàãîâèõ ³ àâòîðåãðåñ³éíèõ ìîäåëåé. Äëÿ ìîäåëþâàííÿ åêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â ç ïðÿìèìè òà çâîðîòíèìè çâ’ÿçêàìè âèêîðèñòàíî ñèñòåìè îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü. Îïèñàíî ñïîñîáè äîñë³äæåííÿ òà çàñòîñóâàííÿ ìîäåëåé ç ÿê³ñíèìè íåçàëåæíèìè çì³ííèìè. Äëÿ ñòóäåíò³â åêîíîì³÷íèõ ñïåö³àëüíîñòåé, ÿê³ âèâ÷àëè âèùó ìàòåìàòèêó, ë³í³éíó àëãåáðó, òåîð³þ éìîâ³ðíîñòåé òà ìàòåìàòè÷íó ñòàòèñòèêó. ÁÁÊ 65â6ÿ73 72

4.01)ISBN 966-608-292-6

2

© Î. Ë. Ëåùèíñüêèé, Â. Â. Ðÿçàíöåâà, Î. Î. Þíüêîâà, 2003 © ̳æðåã³îíàëüíà Àêàäåì³ÿ 966-608-213-6© óïðàâë³ííÿ ïåðñîíàëîì (ÌÀÓÏ), 2003

ÂÑÒÓÏ

³äòîä³ ÿê åêîíîì³êà ñòàëà ñåðéîçíîþ ñàìîñò³éíîþ íàóêîþ, äîñë³äíèêè íàìàãàþòüñÿ ñïðîãíîçóâàòè òó ÷è ³íøó ñèòóàö³þ, ïåðåäáà÷èòè ìàéáóòí³ çíà÷åííÿ åêîíîì³÷íèõ ïîêàçíèê³â, çàïðîïîíóâàòè ³íñòðóìåíòè çì³íè ñèòóàö³¿ â áàæàíîìó íàïðÿìêó. Ïîë³òèêè àáî êåðóþ÷³ âèðîáíèöòâîì, îáèðàþ÷è îäíó ç ìîæëèâèõ ñòðàòåã³é, îòðèìóþòü ïåâíèé ðåçóëüòàò. Ïîãàíèé â³í ÷è ãàðíèé ³ ÷è ìîæíà áóëî äîñÿãòè êðàùîãî ðåçóëüòàòó, ïåðåâ³ðèòè äóæå âàæêî. Åêîíîì³÷íà ñèòóàö³ÿ ïðàêòè÷íî í³êîëè íå ïîâòîðþºòüñÿ â òî÷íîñò³, îòæå, íåìîæëèâî çàñòîñóâàòè äâ³ ñòðàòå㳿 çà òèõ ñàìèõ óìîâ ç ìåòîþ ïîð³âíÿííÿ ê³íöåâîãî ðåçóëüòàòó. Òîìó îäíèì ³ç îñíîâíèõ çàâäàíü åêîíîì³÷íîãî àíàë³çó º ìîäåëþâàííÿ ðîçâèòêó åêîíîì³÷íèõ ÿâèù ³ ïðîöåñ³â ïðè ñòâîðåíí³ òèõ ÷è ³íøèõ óìîâ. Çðîçóì³âøè ãëèáèíí³ ðóø³éí³ ñèëè äîñë³äæóâàíîãî ïðîöåñó, ìîæíà íàâ÷èòèñÿ ðàö³îíàëüíî êåðóâàòè íèì. Çàñòîñóâàííÿ ìàòåìàòè÷íèõ ìåòîä³â ó åêîíîì³ö³ äຠçìîãó âèîêðåìèòè òà ôîðìàëüíî îïèñàòè íàéâàæëèâ³ø³, íàéñóòòºâ³ø³ çâ’ÿçêè åêîíîì³÷íèõ çì³ííèõ ³ îᒺêò³â, à òàêîæ ³íäóêòèâíèì øëÿõîì îòðèìàòè íîâ³ çíàííÿ ïðî îᒺêò. Êð³ì òîãî, ìîâîþ ìàòåìàòèêè ìîæíà òî÷íî òà êîìïàêòíî â³äîáðàæàòè òâåðäæåííÿ åêîíîì³÷íî¿ òåîð³¿, ôîðìóëþâàòè ¿¿ ïîíÿòòÿ òà âèñíîâêè. Êðèòåð³ºì ³ñòèíè äëÿ áóäü-ÿêî¿ òåî𳿠º ïðàêòèêà. Çîêðåìà, ïðàêòèêà åêîíîì³÷íî¿ ä³ÿëüíîñò³ â³äîáðàæàºòüñÿ ó ñòàòèñòè÷í³é ³íôîðìàö³¿. Ïîºäíàííÿ åêîíîì³÷íî¿ òåî𳿠ç ïðàêòè÷íèìè ðåçóëüòàòàìè º íàð³æíèì êàìåíåì åêîíîìåòð³¿.

Åêîíîìåòð³ÿ ÿê íàóêîâà äèñöèïë³íà, ¿¿ çâ’ÿçîê ç ³íøèìè åêîíîì³÷íèìè äèñöèïë³íàìè Åêîíîìåòð³ÿ — öå ïîð³âíÿíî íîâèé íàïðÿìîê åêîíîì³÷íî¿ íàóêè, ùî óòâîðèâñÿ â³ä ïîºäíàííÿ òåîðåòè÷íî¿ åêîíîì³êè, ìàòåìàòèêè òà ñòàòèñòèêè. 3

Ñëîâî “åêîíîìåòð³ÿ” (ó äåÿêèõ äæåðåëàõ “åêîíîìåòðèêà”) áóêâàëüíî îçíà÷ຠ“âèì³ðþâàííÿ â åêîíîì³ö³”, ùî äຠï³äñòàâè ï³ä öèì òåðì³íîì ðîçóì³òè âñå, ùî ïîâ’ÿçàíî ç âèì³ðþâàííÿìè â åêîíîì³ö³. Îäíàê òàêå òëóìà÷åííÿ íàäçâè÷àéíî øèðîêå ³ íå â³äîáðàæຠîñîáëèâîñòåé ö³º¿ ãàëóç³ çíàíü. Ç ³íøîãî áîêó, ÷åðåç íåîáõ³äí³ñòü çàñòîñóâàííÿ ìàòåìàòèêî-ñòàòèñòè÷íèõ ìåòîä³â ³íêîëè åêîíîìåò𳿠äàþòü âóæ÷å òëóìà÷åííÿ, à ñàìå ðîçãëÿäàþòü ¿¿ ëèøå ÿê ïåâíèé íàá³ð ìàòåìàòèêî-ñòàòèñòè÷íèõ çàñîá³â, ÿêèìè ê³ëüê³ñíî äîñë³äæóþòü âçàºìîçâ’ÿçêè ïåâíèõ ðÿä³â ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ. Òîìó òî÷í³øèì º òàêå âèçíà÷åííÿ [1]: Åêîíîìåòð³ÿ — öå ñàìîñò³éíà íàóêîâà äèñöèïë³íà, ÿêà îᒺäíóº ñóêóïí³ñòü òåîðåòè÷íèõ ðåçóëüòàò³â, çàñîá³â, ïðèéîì³â, ìåòîä³â ³ ìîäåëåé, ïðèçíà÷åíèõ äëÿ òîãî, ùîá íà áàç³ åêîíîì³÷íî¿ òåîð³¿, åêîíîì³÷íî¿ ñòàòèñòèêè òà ìàòåìàòèêî-ñòàòèñòè÷íîãî ³íñòðóìåíòàð³þ íàäàâàòè êîíêðåòíèõ ê³ëüê³ñíèõ çíà÷åíü çàãàëüíèì (ÿê³ñíèì) çàêîíîì³ðíîñòÿì, îáãðóíòîâàíèì åêîíîì³÷íîþ òåîð³ºþ. Ñòîñîâíî äàíîãî âèçíà÷åííÿ ñë³ä ìàòè íà óâàç³, ùî çàâäàííÿ åêîíîì³÷íî¿ òåî𳿠â ìåæàõ åêîíîìåò𳿠ïîëÿãàþòü íå ëèøå â òîìó, ùîá âèÿâëÿòè çàêîíè òà çâ’ÿçêè, ÿê³ îᒺêòèâíî ³ñíóþòü â åêîíîì³ö³, à é îïèñóâàòè ¿õ ìàòåìàòè÷íèìè ìåòîäàìè. Åêîíîì³÷íà ñòàòèñòèêà àêóìóëþº âñþ ³íôîðìàö³þ ïðî åêîíîì³÷í³ ïðîöåñè, ùî â³äáóâàþòüñÿ â ðåàëüí³é åêîíîì³ö³, òà óîñîáëþº òîé ïðàêòè÷íèé äîñâ³ä, ÿêèé ìຠï³äòâåðäèòè ÷è ñïðîñòóâàòè â³äïîâ³äí³ åêîíîì³÷í³ òåîð³¿. À ï³ä ìàòåìàòèêî-ñòàòèñòè÷íèì ³íñòðóìåíòàð³ºì ðîçóì³þòü íå âñþ ìàòåìàòè÷íó ñòàòèñòèêó, à ëèøå îêðåì³ ¿¿ ðîçä³ëè: ë³í³éí³ ìîäåë³ ðåãðåñ³éíîãî àíàë³çó, àíàë³ç ÷àñîâèõ ðÿä³â, ïîáóäîâó òà àíàë³ç ñèñòåì îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü, ïåðåâ³ðêó ñòàòèñòè÷íèõ ã³ïîòåç. Ñàìå “ïðèçåìëåííÿ” åêîíîì³÷íî¿ òåî𳿠íà áàçó êîíêðåòíî¿ åêîíîì³÷íî¿ ñòàòèñòèêè òà îòðèìàííÿ çà äîïîìîãîþ â³äïîâ³äíèõ ìàòåìàòè÷íèõ ìåòîä³â ê³ëüê³ñíèõ âçàºìîçâ’ÿçê³â ì³æ åêîíîì³÷íèìè ïîêàçíèêàìè º ñóòí³ñòþ åêîíîìåòð³¿. Çàçíà÷åí³ â òàêèé ñïîñ³á êëþ÷îâ³ ìîìåíòè ó âèçíà÷åíí³ åêîíîìåò𳿠çàáåçïå÷óþòü ¿¿ ðîçìåæóâàííÿ ç òàêèìè äèñöèïë³íàìè, ÿê ìàòåìàòè÷íà åêîíîì³êà, îïèñîâà åêîíîì³÷íà ñòàòèñòèêà òà ìàòåìàòè÷íà ñòàòèñòèêà. Ìàòåìàòè÷íà åêîíîì³êà — öå ìàòåìàòè÷íî ñôîðìóëüîâàíà åêîíîì³÷íà òåîð³ÿ, ùî âèâ÷ຠçâ’ÿçêè ì³æ åêîíîì³÷íèìè çì³ííèìè íà çàãàëüíîìó (íåê³ëüê³ñíîìó) ð³âí³. Âîíà ñòຠåêîíîìåòð³ºþ, êîëè ñèìâîë³÷íî ïîäàí³ â ð³âíÿííÿõ êîåô³ö³ºíòè çàì³íþþòü êîíêðåòíèìè ÷èñëîâèìè îö³íêàìè, îòðèìàíèìè íà áàç³ â³äïîâ³äíèõ ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ (äàíèõ îïèñîâî¿ ñòàòèñòèêè) ìåòîäàìè ìàòåìàòè÷íî¿ ñòàòèñòèêè. 4

Îòæå, åêîíîìåòð³ÿ — öå ïðèêëàäíà åêîíîì³êî-ìàòåìàòè÷íà äèñöèïë³íà, ÿêà âèâ÷ຠìåòîäè ê³ëüê³ñíîãî âèì³ðþâàííÿ âçàºìîçâ’ÿçê³â ì³æ åêîíîì³÷íèìè ïîêàçíèêàìè òà íàïðÿìêè ¿õ çàñòîñóâàííÿ â åêîíîì³÷íèõ äîñë³äæåííÿõ ³ ïðàêòè÷í³é åêîíîì³÷í³é ä³ÿëüíîñò³ [17].

Îᒺêò, ïðåäìåò, ìåòà ³ çàâäàííÿ åêîíîìåò𳿠Îᒺêòîì åêîíîìåò𳿠º åêîíîì³÷í³ ñèñòåìè òà ïðîñòîðè ð³çíîãî ð³âíÿ ñêëàäíîñò³: â³ä îêðåìîãî ï³äïðèºìñòâà ÷è ô³ðìè äî åêîíîì³êè ãàëóçåé, ðåã³îí³â, äåðæàâè é ñâ³òó çàãàëîì. Ïðåäìåò åêîíîìåò𳿠— öå ìåòîäè ïîáóäîâè òà äîñë³äæåííÿ ìàòåìàòèêî-ñòàòèñòè÷íèõ ìîäåëåé åêîíîì³êè, ïðîâåäåííÿ ê³ëüê³ñíèõ äîñë³äæåíü åêîíîì³÷íèõ ÿâèù, ïîÿñíåííÿ òà ïðîãíîçóâàííÿ ðîçâèòêó åêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â. Ìåòîþ åêîíîìåòðè÷íîãî äîñë³äæåííÿ º àíàë³ç ðåàëüíèõ åêîíîì³÷íèõ ñèñòåì ³ ïðîöåñ³â, ùî â íèõ â³äáóâàþòüñÿ, çà äîïîìîãîþ åêîíîìåòðè÷íèõ ìåòîä³â ³ ìîäåëåé, ¿õ çàñòîñóâàííÿ ïðè ïðèéíÿòò³ íàóêîâî îáãðóíòîâàíèõ óïðàâë³íñüêèõ ð³øåíü. Îñíîâíå çàâäàííÿ åêîíîìåò𳿠— îö³íèòè ïàðàìåòðè ìîäåëåé ç óðàõóâàííÿì îñîáëèâîñòåé âõ³äíî¿ åêîíîì³÷íî¿ ³íôîðìàö³¿, ïåðåâ³ðèòè â³äïîâ³äí³ñòü ìîäåëåé äîñë³äæóâàíîìó ÿâèùó ³ ñïðîãíîçóâàòè ðîçâèòîê åêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â.

Îñíîâí³ åòàïè åêîíîìåòðè÷íîãî àíàë³çó Ïðîöåñ åêîíîìåòðè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ ñêëàäàºòüñÿ ç òàêèõ êðîê³â: 1) âèá³ð êîíêðåòíî¿ ôîðìè àíàë³òè÷íî¿ çàëåæíîñò³ ì³æ åêîíîì³÷íèìè ïîêàçíèêàìè (ñïåöèô³êàö³ÿ ìîäåë³) íà ï³äñòàâ³ â³äïîâ³äíî¿ åêîíîì³÷íî¿ òåîð³¿; 2) çáèðàííÿ òà ï³äãîòîâêà ñòàòèñòè÷íî¿ ³íôîðìàö³¿; 3) îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ìîäåëåé; 4) ïåðåâ³ðêà àäåêâàòíîñò³ ìîäåë³ òà äîñòîâ³ðíîñò³ ¿¿ ïàðàìåòð³â; 5) çàñòîñóâàííÿ ìîäåë³ äëÿ ïðîãíîçóâàííÿ ðîçâèòêó åêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â ç ìåòîþ ïîäàëüøîãî êåðóâàííÿ íèìè.

Åêîíîì³÷í³ çàäà÷³, ÿê³ ðîçâ’ÿçóþòü çà äîïîìîãîþ åêîíîìåòðè÷íèõ ìåòîä³â Çàñòîñóâàííÿ ð³çíîìàí³òíèõ åêîíîìåòðè÷íèõ ìîäåëåé íà ð³çíèõ ð³âíÿõ åêîíîì³÷íî¿ ä³ÿëüíîñò³ äຠçìîãó ðîçâ’ÿçóâàòè åêîíîì³÷í³ ïðîáëåìè ð³çíîãî ð³âíÿ ñêëàäíîñò³. 5

Íà ð³âí³ ìàêðîåêîíîì³êè åêîíîìåòðè÷íèìè çàñîáàìè äîñë³äæóþòü çàêîíîì³ðíîñò³ ó âèðîáíèöòâ³, ðîçïîä³ë³, ïåðåðîçïîä³ë³ òà ê³íöåâîìó âèêîðèñòàíí³ âàëîâîãî âíóòð³øíüîãî ïðîäóêòó, ó ÿêèõ ñóòòºâó ðîëü â³ä³ãðàþòü äåðæàâíèé áþäæåò, ïîäàòêîâà ïîë³òèêà, ñòðàõóâàííÿ, êðåäèò, îùàäíà ñïðàâà. Óçãîäæåí³ñòü óñ³õ ãàëóçåé ô³íàíñîâî-êðåäèòíî¿ ñèñòåìè âèçíà÷ຠåôåêòèâí³ñòü ðîçïîä³ëü÷èõ â³äíîñèí, çáàëàíñîâàí³ñòü äîõîä³â ³ âèòðàò ó íàðîäíîìó ãîñïîäàðñòâ³, çàáåçïå÷åííÿ ïðîöåñ³â â³äòâîðåííÿ ãðîøîâèõ ðåñóðñ³â, ô³íàíñîâî¿ çàõèùåíîñò³ äåðæàâíîãî, êîëåêòèâíîãî òà îñîáèñòîãî ìàéíà â³ä ³íôëÿö³¿ òà ³íøèõ íåãàòèâíèõ ÿâèù. Íà ì³êðîð³âí³ åêîíîìåòðè÷í³ äîñë³äæåííÿ ïåðåäáà÷àþòü íàóêîâå îáãðóíòóâàííÿ óïðàâë³íñüêèõ ð³øåíü, ùî ïðèéìàþòüñÿ íà ï³äïðèºìñòâàõ ð³çíèõ ôîðì âëàñíîñò³ é ìàþòü óðàõîâóâàòè ïîñò³éíèé âïëèâ çîâí³øíüîãî ñåðåäîâèùà. Ìîäåë³ ìîæóòü âèêîðèñòîâóâàòèñÿ äëÿ àíàë³çó åêîíîì³÷íèõ ³ ñîö³àëüíî-åêîíîì³÷íèõ ïîêàçíèê³â, ùî õàðàêòåðèçóþòü â³äïîâ³äíó åêîíîì³÷íó ñèñòåìó, äëÿ ïðîãíîçóâàííÿ ¿õ ïîäàëüøîãî çì³íþâàííÿ àáî äëÿ ³ì³òàö³¿ ìîæëèâèõ ñöåíàð³¿â ñîö³àëüíî-åêîíîì³÷íîãî ðîçâèòêó äîñë³äæóâàíî¿ ñèñòåìè çà óìîâè, ùî äåÿê³ ïîêàçíèêè ìîæíà çì³íþâàòè ö³ëåñïðÿìîâàíî. Çà ð³âíåì ³ºðàðõ³¿ âèîêðåìëþþòü: ìàêðîð³âåíü (êðà¿íà çàãàëîì), ìåçîð³âåíü (ðåã³îíè, ãàëóç³, êîðïîðàö³¿) òà ì³êðîð³âåíü (ñ³ì’ÿ, ï³äïðèºìñòâî, ô³ðìà). Çàñîáàìè åêîíîìåòðè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ âèâ÷àþòü ïðîáëåìè ðèíêó, ³íâåñòèö³é, ô³íàíñîâî¿ ÷è ñîö³àëüíî¿ ïîë³òèêè, ö³íîóòâîðåííÿ, ïîïèòó òà ïðîïîçèö³¿ òîùî. Îñîáëèâîãî çíà÷åííÿ åêîíîìåòðè÷í³ äîñë³äæåííÿ íàáóâàþòü â ìàêðîåêîíîì³ö³, äå âçàºìîçâ’ÿçêè âåëè÷èí ÷àñòî íåî÷åâèäí³ òà ì³íëèâ³. Íå âèêëþ÷åí³ ñèòóàö³¿, êîëè ìîäåëü ðàïòîì ïåðåñòຠ“ïðàöþâàòè” ÷åðåç ïîÿâó àáî àêòèâ³çàö³þ ÿêîãîñü ôàêòîðà. Ñàìå òàê³ ñèòóàö³¿ çóìîâëþþòü ðîçâèòîê ìàêðîåêîíîì³÷íî¿ òåîð³¿. Ç ³íøîãî áîêó, ñàìå åêîíîìåòðè÷íèé àíàë³ç äຠçìîãó îáãðóíòóâàòè òà óòî÷íèòè ôîðìó çàëåæíîñòåé â ìàêðîåêîíîì³÷íèõ ìîäåëÿõ, êðàùå çðîçóì³òè ìåõàí³çìè âçàºìîçâ’ÿçêó ìàêðîåêîíîì³÷íèõ ïîêàçíèê³â. Îòæå, ïîºäíóþ÷è â ñîá³ åêîíîì³÷íó òåîð³þ òà ìàòåìàòèêî-ñòàòèñòè÷í³ ìåòîäè, åêîíîìåòðè÷íå ìîäåëþâàííÿ øèðîêî çàñòîñîâóºòüñÿ ïðè ïðèéíÿòò³ ïðàêòè÷íèõ ð³øåíü â åêîíîì³÷í³é ä³ÿëüíîñò³ (ó á³çíåñ³, áàíê³âñüê³é ñïðàâ³, ïðîãíîçóâàíí³, äåðæàâíîìó ðåãóëþâàíí³ åêîíîì³êè), à òàêîæ º ïîòóæíîþ áàçîþ äëÿ îòðèìàííÿ íîâèõ çíàíü ç åêîíîì³êè. 6

̳ñöå êóðñó ñåðåä äèñöèïë³í ôóíäàìåíòàëüíî¿ ï³äãîòîâêè áàêàëàâð³â ç åêîíîì³÷íèõ ñïåö³àëüíîñòåé Åêîíîìåòð³ÿ — îäíà ç îñíîâíèõ äèñöèïë³í ó ï³äãîòîâö³ áàêàëàâð³â ç åêîíîì³÷íèõ ñïåö³àëüíîñòåé. Âîíà áóäóºòüñÿ íà îñíîâ³ ìàòåìàòè÷íèõ òà åêîíîì³÷íèõ çíàíü. Ìåòîäè åêîíîìåò𳿠º íàéñó÷àñí³øèìè çàñîáàìè àíàë³çó òà äîñë³äæåííÿ ð³çíèõ ñîö³àëüíî-åêîíîì³÷íèõ ñèñòåì. Çà äîïîìîãîþ åêîíîìåòðè÷íèõ ìåòîä³â ìîæíà â³äõèëèòè äåÿê³ åêîíîì³÷í³ ã³ïîòåçè àáî ïîêàçàòè íåìîæëèâ³ñòü çàñòîñîâóâàííÿ ¿õ ó êîíêðåòíèõ óìîâàõ. Õî÷à çàñîáè åêîíîìåò𳿠íå äàþòü çìîãè äîâåñòè òåîðåòè÷í³ òâåðäæåííÿ, àëå ç äîïîìîãîþ ¿¿ ìåòîä³â ìîæíà ïîêàçàòè, ùî òå ÷è ³íøå òâåðäæåííÿ íå ñóïåðå÷èòü äàíèì ñïîñòåðåæåíü. Îâîëîä³âøè åëåìåíòàðíèì ³íñòðóìåíòàð³ºì åêîíîìåòð³¿, ìîæíà îáãðóíòîâàíî ïðîãíîçóâàòè ðîçâèòîê öèõ ñèñòåì, îö³íþâàòè âïëèâ ð³øåíü ÷è óðÿäîâèõ ïîñòàíîâ ùîäî çì³íè ö³í, ïîäàòê³â òîùî íà ñòàí ñïðàâ áóäü-ÿêîãî ï³äïðèºìñòâà, ðîçðîáëÿòè øëÿõè åôåêòèâíîãî êåðóâàííÿ íèìè, ïðèéìàòè åôåêòèâí³ óïðàâë³íñüê³ ð³øåííÿ. Ìåòà âèâ÷åííÿ êóðñó “Åêîíîìåòð³ÿ” — íàâ÷èòèñÿ àíàë³çóâàòè ³íôîðìàö³éí³ ïîòîêè â ñîö³àëüíî-åêîíîì³÷íèõ ñèñòåìàõ, ïðîãíîçóâàòè ¿õ ïîâåä³íêó, îö³íþâàòè òà áóäóâàòè åêîíîìåòðè÷í³ ìîäåë³ ð³çíîãî ð³âíÿ. Âèâ÷åííÿ êóðñó ïåðåäáà÷ຠâ³äïîâ³äíó ìàòåìàòè÷íó òà åêîíîì³÷íó ï³äãîòîâêó. Ïðîòå äëÿ òîãî, ùîá îçíàéîìèòèñÿ ç ïðîáëåìàìè, ÿê³ âèâ÷ຠåêîíîìåòð³ÿ ³ ç ÿêèìè ñòèêàþòüñÿ ò³, õòî âèêîðèñòîâóº åêîíîìåòðè÷í³ ìåòîäè, íå ïîòð³áíî áóòè ñïåö³àë³ñòîì ç óñ³õ ðîçä³ë³â ìàòåìàòèêè òà åêîíîì³êè. Çíàííÿ ïåâíèõ ðîçä³ë³â ìàòåìàòèêè, çîêðåìà îñíîâ ë³í³éíî¿ àëãåáðè, òåî𳿠ìàòðèöü, òåî𳿠éìîâ³ðíîñòåé, ìàòåìàòè÷íî¿ ñòàòèñòèêè òà îñíîâ åêîíîì³êè, ìîæóòü âèÿâèòèñÿ äîñòàòí³ìè äëÿ âèâ÷åííÿ êóðñó åêîíîìåòð³¿.

Ñòðóêòóðà êóðñó Åêîíîìåòð³ÿ ïîä³ëÿºòüñÿ íà äâ³ ÷àñòèíè: åêîíîìåòðè÷í³ ìåòîäè òà åêîíîìåòðè÷í³ ìîäåë³ åêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â ³ ÿâèù. Ó öüîìó êóðñ³ âèâ÷àºòüñÿ çäåá³ëüøîãî ìàòåð³àë, ùî âõîäèòü äî ïåðøî¿ ÷àñòèíè, òîáòî åêîíîìåòðè÷í³ ìåòîäè. ¯õ ìîæíà óìîâíî ðîçáèòè íà ÷îòèðè ãðóïè. Ïåðøà ãðóïà — öå ìåòîäè îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â êëàñè÷íî¿ åêîíîìåòðè÷íî¿ ìîäåë³, íàñàìïåðåä ìåòîä íàéìåí7

øèõ êâàäðàò³â (ÌÍÊ). Äðóãà ãðóïà — öå ìåòîäè îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â óçàãàëüíåíî¿ ìîäåë³, êîëè ïîðóøóþòüñÿ äåÿê³ ïåðåäóìîâè âèêîðèñòàííÿ ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â. Äî òðåòüî¿ ãðóïè âõîäÿòü ìåòîäè îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â äèíàì³÷íèõ åêîíîìåòðè÷íèõ ìîäåëåé. ×åòâåðòà ãðóïà îõîïëþº ìåòîäè îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â åêîíîìåòðè÷íèõ ìîäåëåé, ÿê³ ïîáóäîâàí³ íà îñíîâ³ ñèñòåìè îäíî÷àñíèõ ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü.

Êîðîòêà ³ñòîðè÷íà äîâ³äêà Íà ïî÷àòêó XX ñò. ó äåÿêèõ êðà¿íàõ áóëè ñïðîáè ñêëàñòè òàê çâàí³ “áàðîìåòðè ðîçâèòêó”. Íàéâ³äîì³øèé ç íèõ “ãàðâàðäñüêèé áàðîìåòð”, çà äîïîìîãîþ ÿêîãî â 20-ò³ ðîêè íàìàãàëèñÿ ïåðåäáà÷èòè ïîâåä³íêó òîâàðíîãî ³ ãðîøîâîãî ðèíêó. Ãàðâàðäñüêà øêîëà ââàæàëàñÿ íà òîé ÷àñ öåíòðîì åêîíîì³÷íèõ äîñë³äæåíü. Òóò óïåðøå ïî÷àëè ñèñòåìíî âèâ÷àòè ðÿäè åêîíîì³÷íèõ ïîêàçíèê³â ç óðàõóâàííÿì âçàºìîçâ’ÿçêó ì³æ íèìè ³ íà îñíîâ³ öèõ ïîêàçíèê³â äîñë³äæóâàòè òåíäåíö³¿ òà öèêëè åêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â. Êðèçà 1929–1933 ðð. çìóñèëà êðèòè÷íî ïåðåãëÿíóòè ìåòîäè àíàë³çó, ÿê³ çàñòîñîâóâàëèñÿ íà òîé ÷àñ â åêîíîì³ö³. Ëèøå ï³ñëÿ òîãî ÿê â åêîíîì³÷íèõ äîñë³äæåííÿõ ïî÷àëè âðàõîâóâàòè âèïàäêîâ³ àñïåêòè åêîíîì³÷íèõ ÿâèù, ñòàëî ìîæëèâèì ôîðìóâàííÿ åêîíîìåò𳿠ÿê ãàëóç³ åêîíîì³÷íî¿ íàóêè. Ñó÷àñí³ ìåòîäè ìàòåìàòè÷íî¿ ñòàòèñòèêè ïî÷àëè çàñòîñîâóâàòè â á³îëî㳿. Íàïðèê³íö³ Õ²Õ ñò. àíãë³éñüêèé á³îëîã Ê. ϳðñîí äîñë³äæóâàâ êðèâ³ ðîçïîä³ëó äåÿêèõ ÷èñëîâèõ ïîêàçíèê³â ëþäñüêîãî îðãàí³çìó. ϳçí³øå â³í òà éîãî øêîëà ïî÷àëè âèâ÷àòè êîðåëÿö³¿ â á³îëî㳿 òà áóäóâàòè ë³í³éí³ ðåãðåñ³¿. ϳäõîäè, çàïðîïîíîâàí³ á³îëîãàìè, áóëè çàñòîñîâàí³ â åêîíîì³ö³. Ó 1897 ð. ç’ÿâèëàñÿ ïðàöÿ Â. Ïàðåòî, ó ÿê³é äîñë³äæóâàëèñÿ äîõîäè íàñåëåííÿ â ð³çíèõ êðà¿íàõ. Ó í³é âïåðøå áóëà çàñòîñîâàíà òàê çâàíà êðèâà Ïàðåòî, ïàðàìåòðè ÿêî¿ áóëî îòðèìàíî ñòàòèñòè÷íèìè ìåòîäàìè. Íà ïî÷àòêó ÕÕ ñò. âèéøëî ê³ëüêà ïðàöü àíãë³éñüêîãî ñòàòèñòèêà Ãóêåðà, ó ÿêèõ çà äîïîìîãîþ êîðåëÿö³éíî-ðåãðåñ³éíèõ ìåòîä³â, çàïî÷àòêîâàíèõ øêîëîþ ϳðñîíà, âèâ÷àëèñÿ âçàºìîçàëåæíîñò³ ì³æ åêîíîì³÷íèìè ïîêàçíèêàìè, çîêðåìà âïëèâ áàíêðóòñòâ íà òîâàðí³é á³ðæ³ íà ö³íó çåðíà. ϳçí³øå ç’ÿâèëîñÿ áàãàòî ïðàöü ÿê ç ðîçâèòêó òåî𳿠ìàòåìàòè÷íî¿ ñòàòèñòèêè òà ¿¿ ïðèêëàäíèõ åëåìåíò³â, òàê ³ ç ïðàêòè÷íîãî çàñòîñóâàííÿ öèõ ìåòîä³â â åêîíîì³÷íîìó àíàë³ç³. Íàñàìïåðåä, 8

ïðàö³ Ìóðà, ÿê³ âèéøëè äðóêîì ïðîòÿãîì 1914–1917 ðð. Ó 1928 ð. áóëî îïóáë³êîâàíî äîñë³äæåííÿ ×. Êîááà ³ Ï. Äóãëàñà ïðî âèðîáíè÷ó ôóíêö³þ, ÿêà ââ³éøëà â åêîíîìåòð³þ ÿê êëàñè÷íèé ïðèêëàä ³ äîñ³ º âàæëèâèì ³íñòðóìåíòîì åêîíîìåòðè÷íîãî àíàë³çó. Ñàìå ö³ ïðàö³ çàêëàëè ï³äâàëèíè ñó÷àñíî¿ åêîíîìåòð³¿. Åêîíîìåòð³ÿ ÿê îêðåìà ãàëóçü íàóêè â³äîìà ï³ä òàêîþ íàçâîþ ëèøå ç 1930 ð. Ñàìå òîä³ áóëî çàñíîâàíî åêîíîìåòðè÷íå òîâàðèñòâî, ÿêå âèçíà÷àëî ñåáå òàê: “̳æíàðîäíå òîâàðèñòâî äëÿ ðîçâèòêó åêîíîì³÷íî¿ òåî𳿠³ ¿¿ çâ’ÿçêó ç³ ñòàòèñòèêîþ òà ìàòåìàòèêîþ”. Çàóâàæèìî, ùî òåðì³í “åêîíîìåòð³ÿ” âïåðøå çàïðîâàäèâ ëüâ³âñüêèé ó÷åíèé Ï. ×îìïà, îïóáë³êóâàâøè ó Ëüâîâ³ â 1910 ð. êíèãó “Íàðèñè åêîíîìåò𳿠³ ïðèðîäíî¿ òåî𳿠áóõãàëòåð³¿, ÿêà ãðóíòóºòüñÿ íà ïîë³òè÷í³é åêîíî쳿”. Îäíàê öå ïîíÿòòÿ íå íàáóëî ïîøèðåííÿ, îñê³ëüêè íà òîé ÷àñ íå áóëî ôóíäàìåíòàëüíèõ ïðàöü ó ö³é ãàëóç³ íàóêè. Çàñíîâíèêàìè åêîíîìåò𳿠ââàæàþòü Ð. Ôð³øà, Å. Øóìïåòåðà, ß. Ò³íáåðãåíà — ïîñë³äîâíèê³â íåîêëàñè÷íî¿ åêîíîì³÷íî¿ øêîëè ³ êåéíñ³àíñòâà. Âîíè îäíèìè ç ïåðøèõ ö³ëåñïðÿìîâàíî íàìàãàëèñÿ ïîºäíàòè åêîíîì³÷íó òåîð³þ ç ìàòåìàòè÷íèìè òà ñòàòèñòè÷íèìè ìåòîäàìè. Ñïî÷àòêó â÷åí³ îáìåæóâàëèñÿ âèâ÷åííÿì äåÿêèõ ìîäåëåé ïîïèòó ³ ïðîïîçèö³¿. Ëèøå ï³ñëÿ Äðóãî¿ ñâ³òîâî¿ â³éíè âîíè ïî÷àëè âèâ÷àòè êîìïëåêñí³ åêîíîìåòðè÷í³ ìîäåë³ íà ìàêðîð³âí³, ó ÿêèõ îñíîâíà óâàãà ïðèä³ëÿëàñÿ ïîïèòó, ô³íàíñîâîìó ñòàíó é ïîäàòêàì, ïðèáóòêó, ö³íàì òîùî. Îñíîâíèì âíåñêîì öèõ ó÷åíèõ â åêîíîìåòðè÷íó íàóêó º ðîçðîáêà åêîíîìåòðè÷íèõ ìîäåëåé ïðèéíÿòòÿ ð³øåíü, çà ÿêó â 1969 ð. Ð. Ôð³ø òà ß. Ò³íáåðãåí áóëè â³äçíà÷åí³ Íîáåë³âñüêîþ ïðå쳺þ. ϳçí³øå Íîáåë³âñüêó ïðåì³þ â ãàëóç³ åêîíîì³êè îòðèìàëè Ò. Ê. Êóïìàíñ (1975) çà ðîçðîáêó ë³í³éíèõ åêîíîìåòðè÷íèõ ìîäåëåé ³ ðîçâèòîê ñòàòèñòè÷íèõ ìåòîä³â ó åêîíîìåòð³¿, Ë. Ð. Êëåéí (1980) çà ðîçðîáêó ñêëàäíèõ åêîíîìåòðè÷íèõ ìîäåëåé òà ¿õ çàñòîñóâàííÿ äëÿ àíàë³çó êîí’þíêòóðíèõ êîëèâàíü ³ åêîíîì³÷íî¿ ïîë³òèêè, Ò. Õààâåëìî (1989) çà ðîçðîáêó òà çàñòîñóâàííÿ òåîðåòèêî-³ìîâ³ðí³ñíèõ ìåòîä³â, îñîáëèâî äëÿ àíàë³çó âçàºìîçàëåæíèõ åêîíîìåòðè÷íèõ ñòðóêòóð. Çíà÷íèé âíåñîê ó ðîçðîáêó åêîíîì³÷íèõ ìîäåëåé çðîáèëè òàêîæ íîáåë³âñüê³ ëàóðåàòè Â. Ëåîíòüºâ (1973), ÿêîìó íàëåæàòü ðîçðîáêè â ãàëóç³ áàëàíñîâèõ ìîäåëåé äëÿ ìîäåëþâàííÿ âçàºìîçâ’ÿçê³â ç âåëèêîþ ê³ëüê³ñòþ çì³ííèõ, Ë. Êàíòîðîâè÷ (1975), ÿêèé äîñë³äæóâàâ âèðîáíè÷³ ìîäåë³, Ã. Äåáðþ (1983), ÿêèé ïðàöþâàâ ó ãàëóç³ ìàòåìàòèçàö³¿ åêîíîì³÷íî¿ òåîð³¿. Õî÷à ¿õí³ ïðàö³ áåçïîñåðåäíüî íå ïîâ’ÿçàí³ ç åêîíîìåòðè÷íèìè äîñë³äæåííÿìè, óñå æ âîíè çíà÷íîþ ì³ðîþ âïëè9

íóëè íà ïîäàëüøèé ðîçâèòîê íå ëèøå åêîíîìåòð³¿, à é åêîíîì³÷íî¿ íàóêè çàãàëîì. Ó 2000 ð. Äæ. Õåêìàí ³ Ä. Ìàêôåäåí â³äçíà÷åí³ Íîáåë³âñüêîþ ïðå쳺þ çà ðîçðîáêó ì³êðîåêîíîìåò𳿠òà ìåòîä³â ñòàòèñòè÷íîãî àíàë³çó. Êîíòðîëüí³ çàïèòàííÿ 1. Ó ÷îìó ïîëÿãຠîñíîâíèé çì³ñò ïðîáëåìàòèêè åêîíîìåòð³¿? 2. ßê ïîâ’ÿçàí³ ì³æ ñîáîþ ìàòåìàòè÷íà åêîíîì³êà, îïèñîâà ñòàòèñòèêà òà ìàòåìàòè÷íà ñòàòèñòèêà? 3. Âèçíà÷òå îñíîâíå çàâäàííÿ åêîíîìåòðè÷íîãî äîñë³äæåííÿ. 4. Ðîçêðèéòå çì³ñò îñíîâíèõ åòàï³â åêîíîìåòðè÷íîãî àíàë³çó.

Ðîçä³ë 1. Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ ÿê ìåòîä íàóêîâîãî ï³çíàííÿ åêîíîì³÷íèõ ÿâèù ³ ïðîöåñ³â 1.1. Çàãàëüí³ ïðèíöèïè ìîäåëþâàííÿ â åêîíîì³ö³ 1.1.1. Ïîíÿòòÿ ìàòåìàòè÷íî¿ ìîäåë³ Ïðè âèâ÷åíí³ ñêëàäíèõ åêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â òà ÿâèù ÷àñòî çàñòîñîâóºòüñÿ ìîäåëþâàííÿ. Ìîäåëü — öå ñïåö³àëüíî ñòâîðåíèé îᒺêò, íà ÿêîìó â³äòâîðþþòüñÿ ïåâí³ õàðàêòåðèñòèêè äîñë³äæóâàíîãî ÿâèùà, à ìîäåëþâàííÿ — öå êîíêðåòíå â³äòâîðåííÿ öèõ õàðàêòåðèñòèê, ùî äຠçìîãó âèâ÷àòè ìîæëèâó ïîâåä³íêó ÿâèùà áåç ïðîâåäåííÿ åêñïåðèìåíò³â íàä íèì. Ìîäåëþâàííÿ º âàæëèâèì ³íñòðóìåíòîì íàóêîâî¿ àáñòðàêö³¿, ùî äîïîìàãຠâèîêðåìèòè, óîñîáèòè òà ïðîàíàë³çóâàòè ñóòòºâ³ äëÿ äàíîãî îᒺêòà õàðàêòåðèñòèêè (âëàñòèâîñò³, âçàºìîçâ’ÿçêè, ñòðóêòóðí³ òà ôóíêö³îíàëüí³ ïàðàìåòðè). Äëÿ åêîíîì³êè, äå íåìîæëèâå áóäü-ÿêå åêñïåðèìåíòóâàííÿ, îñîáëèâîãî çíà÷åííÿ íàáóâຠìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ. Çàâäÿêè çàñòîñóâàííþ ïîòóæíîãî ìàòåìàòè÷íîãî àïàðàòó âîíî º íàéåôåêòèâí³øèì ³ íàéäîñêîíàë³øèì ìåòîäîì. Ó ñâîþ ÷åðãó, ìàòåìàòè÷í³ ìåòîäè íå ìîæóòü çàñòîñîâóâàòèñÿ áåçïîñåðåäíüî ùîäî ä³éñíîñò³, à ëèøå ùîäî ìàòåìàòè÷íèõ ìîäåëåé òîãî ÷è ³íøîãî êîëà ÿâèù. Ïðèêëàäàìè åêîíîì³÷íèõ ìîäåëåé º ìîäåë³ ñïîæèâ÷îãî âèáîðó, ìîäåë³ ô³ðìè, ìîäåë³ åêîíîì³÷íîãî çðîñòàííÿ, ìîäåë³ ð³âíîâàãè íà òîâàðíèõ, ôàêòîðíèõ ³ ô³íàíñîâèõ ðèíêàõ òîùî. Ïîâåä³íêà é çíà÷åííÿ áóäü-ÿêîãî åêîíîì³÷íîãî ïîêàçíèêà çàëåæàòü ïðàêòè÷íî â³ä áåçë³÷³ ôàêòîð³â, óñ³ ¿õ óðàõóâàòè íåðåàëüíî. Àëå â öüîìó é íåìຠïîòðåáè. Çâè÷àéíî ëèøå îáìåæåíà ê³ëüê³ñòü ôàê11

òîð³â íàñïðàâä³ ³ñòîòíî âïëèâຠíà äîñë³äæóâàíèé åêîíîì³÷íèé ïîêàçíèê. Âïëèâ ³íøèõ ôàêòîð³â íàñò³ëüêè íåçíà÷íèé, ùî ¿õ ³ãíîðóâàííÿ íå ìîæå ïðèçâåñòè äî ³ñòîòíèõ â³äõèëåíü ó ïîâåä³íö³ äîñë³äæóâàíîãî îᒺêòà. Âèîêðåìëåííÿ é óðàõóâàííÿ â ìîäåë³ ëèøå îáìåæåíî¿ ê³ëüêîñò³ ðåàëüíî äîì³íóþ÷èõ ôàêòîð³â ³ º âàæëèâîþ ïåðåäóìîâîþ ÿê³ñíîãî àíàë³çó, ïðîãíîçóâàííÿ é êåðóâàííÿ ñèòóàö³ºþ. Ìàòåìàòè÷íà ìîäåëü, àáè áóòè åôåêòèâíèì ³íñòðóìåíòîì âèâ÷åííÿ åêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â, íàñàìïåðåä ìຠâ³äïîâ³äàòè òàêèì âèìîãàì: áóäóâàòèñÿ íà îñíîâ³ åêîíîì³÷íî¿ òåî𳿠é â³äáèâàòè îᒺêòèâí³ çàêîíîì³ðíîñò³ ïðîöåñ³â; ïðàâèëüíî â³äòâîðþâàòè ôóíêö³þ òà (÷è) ñòðóêòóðó ðåàëüíî¿ åêîíîì³÷íî¿ ñèñòåìè; â³äïîâ³äàòè ïåâíèì ìàòåìàòè÷íèì óìîâàì (ìàòè ðîçâ’ÿçîê, óçãîäæåí³ ðîçì³ðíîñò³ òîùî). Ïðèðîäíî, ðåçóëüòàòè äîñë³äæåíü áóäü-ÿêî¿ ìîäåë³ ìîæóòü ìàòè ïðàêòè÷íó ö³íí³ñòü, ÿêùî ìîäåëü àäåêâàòíà ÿâèùó, ùî âèâ÷àºòüñÿ, òîáòî äîñèòü äîáðå â³äòâîðþº ðåàëüíó ñèòóàö³þ.

1.1.2. Åòàïè ïîáóäîâè åêîíîì³÷íî¿ ìîäåë³ Ïðîöåñ ïîáóäîâè ìîäåë³ ñêëàäàºòüñÿ ç òàêèõ åòàï³â: 1) ôîðìóëþþòüñÿ ïðåäìåò ³ ìåòà äîñë³äæåííÿ; 2) ó äîñë³äæóâàí³é åêîíîì³÷í³é ñèñòåì³ âèîêðåìëþþòüñÿ ñòðóêòóðí³ ÷è ôóíêö³îíàëüí³ åëåìåíòè, ùî â³äïîâ³äàþòü ïîñòàâëåí³é ìåò³, âèçíà÷àþòüñÿ íàéâàæëèâ³ø³ ÿê³ñí³ õàðàêòåðèñòèêè öèõ åëåìåíò³â; 3) ñëîâåñíî, ÿê³ñíî îïèñóþòüñÿ âçàºìîçâ’ÿçêè ì³æ åëåìåíòàìè ìîäåë³; 4) óâîäÿòüñÿ ñèìâîë³÷í³ ïîçíà÷åííÿ äëÿ â³äïîâ³äíèõ õàðàêòåðèñòèê åêîíîì³÷íîãî îᒺêòà òà ôîðìàë³çóþòüñÿ, íàñê³ëüêè ìîæëèâî, âçàºìîçâ’ÿçêè ì³æ íèìè, òèì ñàìèì ôîðìàë³çóºòüñÿ (îïèñóºòüñÿ ìîâîþ ìàòåìàòèêè) ìàòåìàòè÷íà ìîäåëü; 5) âèêîíóþòüñÿ ðîçðàõóíêè çà ìàòåìàòè÷íîþ ìîäåëëþ òà àíàë³çóþòüñÿ îòðèìàí³ ðåçóëüòàòè. Çàóâàæèìî, ùî ð³çí³ çà ïðèðîäîþ åêîíîì³÷í³ ÿâèùà ìîæóòü ìàòè îäíàêîâèé ìàòåìàòè÷íèé âèðàç, õî÷à åêîíîì³÷íà ³íòåðïðåòàö³ÿ ìîäåë³ òà ðåçóëüòàòè ðîçðàõóíê³â áóäóòü ð³çíèìè. Çà âèçíà÷åííÿì, áóäü-ÿêà åêîíîì³÷íà ìîäåëü º àáñòðàêòíîþ, à îòæå, íåïîâíîþ. Öå ïîâ’ÿçàíî ç òèì, ùî äëÿ âèîêðåìëåííÿ çàêîíîì³ðíîñòåé ôóíêö³îíóâàííÿ åêîíîì³÷íîãî îᒺêòà ïîòð³áíî àáñòðàãóâàòèñÿ 12

â³ä ³íøèõ ôàêòîð³â, ÿê³ õî÷ ³ ìàþòü íåçíà÷íèé âïëèâ, îäíàê ó ñóêóïíîñò³ ìîæóòü âèçíà÷àòè íå ëèøå â³äõèëåííÿ â ïîâåä³íö³ îᒺêòà, à é éîãî ïîâåä³íêó. Çâè÷àéíî ââàæàþòü, ùî âñ³ ôàêòîðè, íåâðàõîâàí³ ÿâíî â ìîäåë³, ìàþòü íåçíà÷íèé ðåçóëüòóþ÷èé âïëèâ íà ïðîöåñ ÷è ÿâèùå, ùî äîñë³äæóºòüñÿ. Ñêëàä óðàõîâàíèõ ôàêòîð³â ³ ¿õ ñòðóêòóðà êîðèãóþòüñÿ â ïðîöåñ³ âäîñêîíàëåííÿ ìîäåë³.

1.1.3. Êëàñèô³êàö³ÿ ìîäåëåé Ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³, ùî âèêîðèñòîâóþòüñÿ â åêîíîì³ö³, ìîæíà ïîä³ëèòè íà êëàñè çà ðÿäîì îçíàê. Çàëåæíî â³ä îñîáëèâîñòåé îᒺêòà ìîäåëþâàííÿ òà çàñòîñîâàíîãî ìàòåìàòè÷íîãî ³íñòðóìåíòàð³þ âèîêðåìëþþòü òàê³ ìîäåë³: ìàêðî- òà ì³êðîåêîíîì³÷í³, òåîðåòè÷í³ òà ïðèêëàäí³, ñòàòè÷í³ òà äèíàì³÷í³, äåòåðì³íîâàí³ òà ñòîõàñòè÷í³, îïòèì³çàö³éí³ òà ìîäåë³ ð³âíîâàãè òîùî. Ìàêðîåêîíîì³÷í³ ìîäåë³ îïèñóþòü åêîíîì³êó çàãàëîì, ïîâ’ÿçóþ÷è ì³æ ñîáîþ óçàãàëüíåí³ ìàòåð³àëüí³ òà ô³íàíñîâ³ ïîêàçíèêè: ÂÂÏ, ñïîæèâàííÿ, ³íâåñòèö³¿, çàéíÿò³ñòü, ïðîöåíòíó ñòàâêó, ê³ëüê³ñòü ãðîøåé òîùî. ̳êðîåêîíîì³÷í³ ìîäåë³ îïèñóþòü âçàºìîä³þ ñòðóêòóðíèõ ³ ôóíêö³îíàëüíèõ ñêëàäîâèõ åêîíîì³êè àáî ïîâåä³íêó îêðåìî¿ ñêëàäîâî¿ â ðèíêîâîìó ñåðåäîâèù³. Çàâäÿêè ð³çíîìàí³òòþ òèï³â åêîíîì³÷íèõ åëåìåíò³â ³ ôîðì ¿õ âçàºìî䳿 íà ðèíêó ì³êðîåêîíîì³÷íå ìîäåëþâàííÿ ñòàíîâèòü îñíîâíó ÷àñòèíó åêîíîì³êî-ìàòåìàòè÷íî¿ òåîð³¿. Îñòàíí³ìè ðîêàìè íàéñóòòºâ³ø³ òåîðåòè÷í³ ðåçóëüòàòè â ì³êðîåêîíîì³÷íîìó ìîäåëþâàíí³ îòðèìàíî â ïðîöåñ³ äîñë³äæåííÿ ñòðàòåã³÷íî¿ ïîâåä³íêè ô³ðì â óìîâàõ îë³ãîïî볿. Òåîðåòè÷í³ ìîäåë³ äàþòü çìîãó âèâ÷àòè çàãàëüí³ âëàñòèâîñò³ åêîíîì³êè òà ¿¿ õàðàêòåðíèõ åëåìåíò³â ³ îòðèìóâàòè íîâ³ ðåçóëüòàòè íà ï³äñòàâ³ ôîðìàëüíèõ ïðèïóùåíü. Çà äîïîìîãîþ ïðèêëàäíèõ ìîäåëåé ìîæíà îö³íèòè ïåâí³ åêîíîì³÷í³ ïîêàçíèêè, íàäàòè ¿ì êîíêðåòíèõ çíà÷åíü âèõîäÿ÷è ç â³äïîâ³äíî¿ ñòàòèñòè÷íî¿ ³íôîðìàö³¿. Ó ñòàòè÷íèõ ìîäåëÿõ îïèñóºòüñÿ ñòàí åêîíîì³÷íîãî îᒺêòà â ïåâíèé ìîìåíò ÷è ïåð³îä ÷àñó, à äèíàì³÷í³ ìîäåë³ âèâ÷àþòü âçàºìîçâ’ÿçêè åêîíîì³÷íèõ çì³ííèõ ó ÷àñ³. Çì³íí³, ùî âèâ÷àþòüñÿ â äèíàì³ö³, ó ñòàòè÷íèõ ìîäåëÿõ ìàþòü ô³êñîâàíå çíà÷åííÿ. Îäíàê äèíàì³÷íà ìîäåëü íå çâîäèòüñÿ äî ïðîñòî¿ ñóìè ñòàòè÷íèõ ìîäåëåé, à îïèñóº âçàºìîä³þ ñèë, ùî ðóõàþòü åêîíîì³êó. Äåòåðì³íîâàí³ ìîäåë³ ïåðåäáà÷àþòü æîðñòê³ ôóíêö³îíàëüí³ çâ’ÿçêè ì³æ çì³ííèìè ìîäåë³, à ñòîõàñòè÷í³ — ïðèïóñêàþòü íàÿâí³ñòü âèïàäêîâèõ âïëèâ³â íà äîñë³äæóâàí³ ïîêàçíèêè. 13

Ó ìîäåëþâàíí³ ðèíêîâî¿ åêîíîì³êè âàæëèâå ì³ñöå íàëåæèòü ìîäåëÿì ð³âíîâàãè. Âîíè îïèñóþòü òàêèé ñòàí åêîíîì³êè, êîëè âñ³ ñèëè, ùî íàìàãàþòüñÿ âèâåñòè ¿¿ ç ð³âíîâàãè, ìàþòü íóëüîâó ñóìàðíó ä³þ. Îïòèì³çàö³éí³ ìîäåë³ íàé÷àñò³øå çàñòîñîâóþòü íà ì³êðîð³âí³: âîíè äàþòü çìîãó âèçíà÷àòè íàéêðàù³ ð³øåííÿ â óìîâàõ îáìåæåíèõ ìîæëèâîñòåé. Ïðåäìåòîì åêîíîìåòðè÷íîãî äîñë³äæåííÿ º ïðèêëàäí³ ñòîõàñòè÷í³ åêîíîì³÷í³ ìîäåë³, òîáòî çàãàëüí³ åêîíîì³÷í³ ìîäåë³, ó ÿêèõ ìîäåëüí³ êîåô³ö³ºíòè íàáóâàþòü êîíêðåòíèõ ÷èñëîâèõ çíà÷åíü çàëåæíî â³ä âèêîðèñòàíî¿ ñòàòèñòè÷íî¿ ³íôîðìàö³¿.

1.2. Êîðåëÿö³éíî-ðåãðåñ³éíèé àíàë³ç â åêîíîì³ö³ Ó áàãàòüîõ çàäà÷àõ ïîòð³áíî âñòàíîâèòè òà îö³íèòè çàëåæí³ñòü äåÿêîãî åêîíîì³÷íîãî ïîêàçíèêà â³ä îäíîãî ÷è ê³ëüêîõ ³íøèõ ïîêàçíèê³â. Î÷åâèäíî, áóäü-ÿê³ åêîíîì³÷í³ ïîêàçíèêè, çàçâè÷àé, ïåðåáóâàþòü ï³ä âïëèâîì âèïàäêîâèõ ôàêòîð³â, à òîìó ç ìàòåìàòè÷íî¿ òî÷êè çîðó ³íòåðïðåòóþòüñÿ ÿê âèïàäêîâ³ âåëè÷èíè. Ç òåî𳿠éìîâ³ðíîñòåé â³äîìî, ùî âèïàäêîâ³ âåëè÷èíè ìîæóòü áóòè ïîâ’ÿçàí³ ôóíêö³îíàëüíîþ ÷è ñòàòèñòè÷íîþ çàëåæí³ñòþ àáî æ óçàãàë³ áóòè íåçàëåæíèìè. Çâè÷àéíî, ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ íåçàëåæíèìè çì³ííèìè òóò íå ðîçãëÿäàþòüñÿ. Ñòðîãà ôóíêö³îíàëüíà çàëåæí³ñòü ðåàë³çóºòüñÿ â åêîíîì³ö³ ð³äêî. ×àñò³øå ñïîñòåð³ãàºòüñÿ òàê çâàíà ñòàòèñòè÷íà çàëåæí³ñòü. Íàãàäàºìî, ùî ñòàòèñòè÷íîþ íàçèâàþòü çàëåæí³ñòü, êîëè ç³ çì³íþâàííÿì îäí³º¿ âèïàäêîâî¿ âåëè÷èíè çì³íþºòüñÿ çàêîí ðîçïîä³ëó éìîâ³ðíîñòåé ³íøî¿. Çîêðåìà, ñòàòèñòè÷íà çàëåæí³ñòü âèÿâëÿºòüñÿ â òîìó, ùî ç³ çì³íþâàííÿì îäí³º¿ âåëè÷èíè çì³íþºòüñÿ ñåðåäíº çíà÷åííÿ ³íøî¿. Òàêà çàëåæí³ñòü íàçèâàºòüñÿ êîðåëÿö³éíîþ. Íàïðèêëàä, ó çåìëåðîáñòâ³ ç îäíàêîâèõ çà ïëîùåþ ä³ëÿíîê çåìë³ ïðè ð³âíèõ ê³ëüêîñòÿõ âíåñåíèõ äîáðèâ çáèðàþòü ð³çíèé âðîæàé. Çâè÷àéíî, íåìຠñòðîãî¿ ôóíêö³îíàëüíî¿ çàëåæíîñò³ ì³æ óðîæàéí³ñòþ çåìë³ òà ê³ëüê³ñòþ âíåñåíèõ äîáðèâ. Öå ïîÿñíþºòüñÿ âïëèâîì âèïàäêîâèõ ôàêòîð³â (îïàäè, òåìïåðàòóðà ïîâ³òðÿ, ðîçòàøóâàííÿ ä³ëÿíêè òîùî). Âîäíî÷àñ, ÿê ïîêàçóº äîñâ³ä, ñåðåäí³é âðîæàé çàëåæèòü â³ä ê³ëüêîñò³ âíåñåíèõ äîáðèâ, òîáòî çàçíà÷åí³ ïîêàçíèêè, íàïåâíå, ïîâ’ÿçàí³ êîðåëÿö³éíîþ çàëåæí³ñòþ. Ìîæíà çàçíà÷èòè äâà òèïè âçàºìîçâ’ÿçêó çì³ííèõ.  îäíîìó âèïàäêó íåâ³äîìî, ÿêà ç³ çì³ííèõ íåçàëåæíà, à ÿêà — çàëåæíà, òîáòî âîíè 14

ð³âíîïðàâí³ é çâ’ÿçîê ìîæíà ðîçãëÿäàòè ÿê â îäèí, òàê ³ â ³íøèé á³ê. Ó äðóãîìó âèïàäêó çì³íí³ íåð³âíîïðàâí³, òîáòî çì³íþâàííÿ ëèøå îäí³º¿ ç íèõ âïëèâຠíà çì³íþâàííÿ ³íøî¿, à íå íàâïàêè. Ó öüîìó ðàç³ ïðè ðîçãëÿä³ çâ’ÿçêó ì³æ äâîìà çì³ííèìè âåëè÷èíàìè âàæëèâî âñòàíîâèòè íà îñíîâ³ ëîã³÷íîãî ì³ðêóâàííÿ, ÿêà ç îçíàê º ïðè÷èíîþ, à ÿêà — íàñë³äêîì. Íàïðèêëàä, óðîæàéí³ñòü çàëåæèòü â³ä ðîäþ÷îñò³ çåìë³, à íå íàâïàêè, òîáòî åêîíîì³÷íà îö³íêà çåìë³ º íåçàëåæíîþ çì³ííîþ, à âðîæàéí³ñòü — çàëåæíîþ. Âàðòî ìàòè íà óâàç³, ùî ñòàòèñòè÷íèé àíàë³ç çàëåæíîñòåé ñàì ïî ñîá³ íå ðîçêðèâຠñóòíîñò³ ïðè÷èííèõ çâ’ÿçê³â ì³æ ÿâèùàìè, òîáòî â³í íå âèð³øóº ïèòàííÿ, ç ÿêèõ ïðè÷èí îäíà çì³ííà âïëèâຠíà ³íøó. Ðîçâ’ÿçîê òàêî¿ çàäà÷³ º ðåçóëüòàòîì ÿê³ñíîãî (çì³ñòîâíîãî) âèâ÷åííÿ çâ’ÿçê³â, ùî îáîâ’ÿçêîâî ìຠàáî ïåðåäóâàòè ñòàòèñòè÷íîìó àíàë³çó, àáî ñóïðîâîäæóâàòè éîãî. Íåõàé ç ïåâíèõ åêîíîì³÷íèõ ì³ðêóâàíü âñòàíîâëåíî, ùî äåÿêèé åêîíîì³÷íèé ïîêàçíèê x º ïðè÷èíîþ çì³íþâàííÿ ³íøîãî ïîêàçíèêà y. Ñòàòèñòè÷í³ äàí³ ïî êîæíîìó ç ïîêàçíèê³â ³íòåðïðåòóþòüñÿ ÿê äåÿê³ ðåàë³çàö³¿ âèïàäêîâèõ âåëè÷èí Õ ³ Y. ßê â³äîìî ç êóðñó òåî𳿠éìîâ³ðíîñòåé, ìàòåìàòè÷íèì ñïîä³âàííÿì âèïàäêîâî¿ âåëè÷èíè íàçèâàºòüñÿ ¿¿ ñåðåäíº (àðèôìåòè÷íå ÷è çâàæåíå) çíà÷åííÿ. À çàëåæí³ñòü ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ â³ä ³íøî¿ âèïàäêîâî¿ âåëè÷èíè çîáðàæóºòüñÿ çà äîïîìîãîþ óìîâíîãî ìàòåìàòè÷íîãî ñïîä³âàííÿ. Êîðåëÿö³éíó çàëåæí³ñòü ì³æ íèìè àáî çàëåæí³ñòü â ñåðåäíüîìó â çàãàëüíîìó âèïàäêó ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿä³ ñï³ââ³äíîøåííÿ M (Y | x) = f ( x),

(1.1)

äå M (Y | x) — óìîâíå ìàòåìàòè÷íå ñïîä³âàííÿ. Ôóíêö³ÿ f ( x) íàçèâàºòüñÿ ôóíêö³ºþ ðåãðåñ³¿ Y íà X. Ïðè öüîìó X íàçèâàºòüñÿ íåçàëåæíîþ (ïîÿñíþþ÷îþ) çì³ííîþ (ðåãðåñîðîì), Y — çàëåæíîþ (ïîÿñíþâàíîþ) çì³ííîþ (ðåãðåñàíäîì). Ðîçãëÿäàþ÷è çàëåæí³ñòü äâîõ âèïàäêîâèõ âåëè÷èí, ãîâîðÿòü ïðî ïàðíó ðåãðåñ³þ. Çàëåæí³ñòü Y â³ä ê³ëüêîõ çì³ííèõ, ùî îïèñóºòüñÿ ôóíêö³ºþ M (Y | x1 , x2 , K , xm ) = F ( x1 , x2 , K , xm ),

(1.2)

íàçèâàþòü ìíîæèííîþ ðåãðåñ³ºþ. Òåðì³í “ðåãðåñ³ÿ” (ðóõ íàçàä, ïîâåðíåííÿ äî ïîïåðåäíüîãî ñòàíó) óâ³â Ôðåíñ³ñ Ãàëòîí íàïðèê³íö³ XIX ñò., ïðîàíàë³çóâàâøè çàëåæí³ñòü 15

ì³æ çðîñòîì áàòüê³â ³ çðîñòîì ä³òåé. ³í ïîì³òèâ, ùî çð³ñò ä³òåé ó äóæå âèñîêèõ áàòüê³â ó ñåðåäíüîìó ìåíøèé, í³æ ñåðåäí³é çð³ñò áàòüê³â. Ó äóæå íèçüêèõ áàòüê³â, íàâïàêè, ñåðåäí³é çð³ñò ä³òåé âèùèé.  îáîõ âèïàäêàõ ñåðåäí³é çð³ñò ä³òåé ïðÿìóº (ïîâåðòàºòüñÿ) äî ñåðåäíüîãî çðîñòó ëþäåé ó äàíîìó ðåã³îí³. Çâ³äñè é âèá³ð òåðì³íà, ùî â³äáèâຠòàêó çàëåæí³ñòü. Îäíàê ðåàëüí³ çíà÷åííÿ çàëåæíî¿ çì³ííî¿ íå çàâæäè çá³ãàþòüñÿ ç ¿¿ óìîâíèì ìàòåìàòè÷íèì ñïîä³âàííÿì, òîìó àíàë³òè÷íà çàëåæí³ñòü (ó âèãëÿä³ ôóíêö³¿ y = f ( x)) ìຠáóòè äîïîâíåíà âèïàäêîâîþ ñêëàäîâîþ u, ùî, âëàñíå, ³ âêàçóº íà ñòîõàñòè÷íó ñóòí³ñòü çàëåæíîñò³. Îçíà÷åííÿ 1.1. Çâ’ÿçêè ì³æ çàëåæíîþ òà íåçàëåæíîþ (íåçàëåæíèìè) çì³ííèìè, ùî îïèñóþòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿìè y = f ( x) + u,

(1.3)

y = F ( x1 , x2 , K , xm ) + u,

(1.4)

íàçèâàþòü ðåãðåñ³éíèìè ð³âíÿííÿìè (ìîäåëÿìè). Âèíèêຠïèòàííÿ ïðî ïðè÷èíè îáîâ’ÿçêîâî¿ ïðèñóòíîñò³ â ðåãðåñ³éíèõ ìîäåëÿõ âèïàäêîâîãî ôàêòîðà (â³äõèëåííÿ). Ñåðåä òàêèõ ïðè÷èí âèîêðåìèìî íàé³ñòîòí³ø³. 1. Óâåäåííÿ â ìîäåëü íå âñ³õ ïîÿñíþþ÷èõ çì³ííèõ. Áóäü-ÿêà ðåãðåñ³éíà (çîêðåìà, åêîíîìåòðè÷íà) ìîäåëü — öå ñïðîùåííÿ ðåàëüíî¿ ñèòóàö³¿. Îñòàííÿ çàâæäè º ñêëàäíîþ êîìïîçèö³ºþ ð³çíèõ ôàêòîð³â, áàãàòî ç ÿêèõ ó ìîäåë³ íå âðàõîâóþòüñÿ, ùî ïðèçâîäèòü äî â³äõèëåííÿ ðåàëüíèõ çíà÷åíü çàëåæíî¿ çì³ííî¿ â³ä ¿¿ ìîäåëüíèõ çíà÷åíü. Íàïðèêëàä, ïîïèò íà òîâàð âèçíà÷àºòüñÿ éîãî ö³íîþ, ö³íàìè íà òîâàðèçàì³ííèêè, íà òîâàðè, ùî éîãî äîïîâíþþòü, ïðèáóòêîì ñïîæèâà÷³â, ¿õí³ìè ñìàêàìè, óïîäîáàííÿìè òîùî. Áåçóìîâíî, ïåðåë³÷èòè âñ³ ïîÿñíþþ÷³ çì³íí³ ïðàêòè÷íî íåìîæëèâî. Çîêðåìà, íåìîæëèâî âðàõóâàòè òàê³ ôàêòîðè, ÿê òðàäèö³¿, íàö³îíàëüí³ ÷è ðåë³ã³éí³ îñîáëèâîñò³, ãåîãðàô³÷íå ïîëîæåííÿ ðàéîíó, ïîãîäó òà áàãàòî ³íøèõ, âïëèâ ÿêèõ ïðèçâîäèòü äî äåÿêèõ â³äõèëåíü ðåàëüíèõ ñïîñòåðåæåíü â³ä ìîäåëüíèõ. Ö³ â³äõèëåííÿ ìîæóòü áóòè îïèñàí³ ÿê âèïàäêîâà ñêëàäîâà ìîäåë³. Ó äåÿêèõ âèïàäêàõ çàçäàëåã³äü íåâ³äîìî, ÿê³ ôàêòîðè çà óìîâ, ùî ñêëàëèñÿ, íàñïðàâä³ º âèçíà÷àëüíèìè, à ÿêèìè ìîæíà çíåõòóâàòè. Êð³ì òîãî, ³íêîëè áåçïîñåðåäíüî âðàõóâàòè ÿêèéñü ôàêòîð íåìîæëèâî ÷åðåç â³äñóòí³ñòü ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ. Íàïðèêëàä, îáñÿã çàîùàäæåíü äîìîãîñïîäàðñòâ ìîæå âèçíà÷àòèñÿ íå ëèøå ïðèáóòêàìè ¿õ ÷ëåí³â, à é ñòàíîì çäîðîâ’ÿ îñòàíí³õ, ³íôîðìàö³ÿ ïðî ÿêå â öèâ³ë³16

çîâàíèõ êðà¿íàõ ñòàíîâèòü ë³êàðñüêó òàºìíèöþ. Ó äåÿêèõ ñèòóàö³ÿõ ðÿä ôàêòîð³â ìຠïðèíöèïîâî âèïàäêîâèé õàðàêòåð, ùî äîäຠíåîäíîçíà÷íîñò³ ïåâíèì ìîäåëÿì, íàïðèêëàä ïîãîäà â ìîäåëÿõ, ùî ïðîãíîçóþòü îáñÿã âðîæàþ. 2. Íåïðàâèëüíèé âèá³ð ôóíêö³îíàëüíî¿ ôîðìè ìîäåë³. ×åðåç ñëàáêó âèâ÷åí³ñòü äîñë³äæóâàíîãî ïðîöåñó àáî ÷åðåç éîãî ì³íëèâ³ñòü ìîæå áóòè íåïðàâèëüíî ä³áðàíî ôóíêö³þ, ùî éîãî ìîäåëþº. Öå, áåçóìîâíî, ñïðè÷èíèòü â³äõèëåííÿ ìîäåë³ â³ä ðåàëüíîñò³, ùî ïîçíà÷èòüñÿ íà âåëè÷èí³ âèïàäêîâî¿ ñêëàäîâî¿. Íàïðèêëàä, âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ (Y) îäíîãî ôàêòîðà (Õ) ìîæå ìîäåëþâàòèñÿ ôóíêö³ºþ Y = a + bX , õî÷à ìàëà á âèêîðèñòîâóâàòèñÿ ³íøà ìîäåëü: Y = aX b (0 < b < 1), ùî âðàõîâóº çàêîí ñïàäíî¿ åôåêòèâíîñò³. Êð³ì òîãî, íåïðàâèëüíèì ìîæå áóòè äîá³ð ïîÿñíþþ÷èõ çì³ííèõ. 3. Àãðåãóâàííÿ çì³ííèõ. Ó áàãàòüîõ ìîäåëÿõ ðîçãëÿäàþòüñÿ çàëåæíîñò³ ì³æ ôàêòîðàìè, ùî ñàì³ º ñêëàäíîþ êîìá³íàö³ºþ ³íøèõ, ïðîñò³øèõ çì³ííèõ. Íàïðèêëàä, ïðè âèâ÷åíí³ ñóêóïíîãî ïîïèòó àíàë³çóºòüñÿ çàëåæí³ñòü, ó ÿê³é ïîÿñíþâàíà çì³ííà (ñóêóïíèé ïîïèò) º ñêëàäíîþ êîìïîçèö³ºþ ³íäèâ³äóàëüíèõ ïîïèò³â, ùî òàêîæ ìîæå âèÿâèòèñÿ ïðè÷èíîþ â³äõèëåííÿ ðåàëüíèõ çíà÷åíü â³ä ìîäåëüíèõ. 4. Ïîìèëêè âèì³ðþâàíü. ßêîþ á ÿê³ñíîþ íå áóëà ìîäåëü, ïîìèëêè âèì³ðþâàííÿ çì³ííèõ âïëèâàòèìóòü íà ðîçá³æíîñò³ ì³æ ìîäåëüíèìè òà åìï³ðè÷íèìè äàíèìè, ùî òàêîæ ïîçíà÷èòüñÿ íà âåëè÷èí³ âèïàäêîâîãî ÷ëåíà. 5. Îáìåæåí³ñòü ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ. Íàé÷àñò³øå áóäóþòüñÿ ìîäåë³, ùî îïèñóþòüñÿ íåïåðåðâíèìè ôóíêö³ÿìè. À äëÿ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ìîäåë³ âèêîðèñòîâóºòüñÿ íàá³ð äàíèõ, ùî ìຠäèñêðåòíó ñòðóêòóðó. Öÿ íåâ³äïîâ³äí³ñòü çíàõîäèòü â³äîáðàæåííÿ ó âèïàäêîâîìó â³äõèëåíí³. 6. Íåïåðåäáà÷óâàí³ñòü ëþäñüêîãî ôàêòîðà. Öÿ ïðè÷èíà ìîæå “ç³ïñóâàòè” íàéÿê³ñí³øó ìîäåëü. ijéñíî, ïðè ïðàâèëüíîìó âèáîð³ ôîðìè ìîäåë³, ñêðóïóëüîçíîìó äîáîð³ ïîÿñíþþ÷èõ çì³ííèõ íåìîæëèâî ñïðîãíîçóâàòè ïîâåä³íêó êîæíîãî ³íäèâ³äóóìà. Ñóêóïí³ñòü ìåòîä³â, çà äîïîìîãîþ ÿêèõ äîñë³äæóþòüñÿ òà óçàãàëüíþþòüñÿ âçàºìîçâ’ÿçêè êîðåëÿö³éíî ïîâ’ÿçàíèõ çì³ííèõ, íàçèâàºòüñÿ êîðåëÿö³éíî-ðåãðåñ³éíèì àíàë³çîì. Çàçíà÷åíèìè ìåòîäàìè ðîçâ’ÿçóþòü äâ³ îñíîâí³ çàäà÷³: 1) çíàõîäæåííÿ çàãàëüíî¿ çàêîíîì³ðíîñò³, ùî õàðàêòåðèçóº çàëåæí³ñòü äâîõ (÷è á³ëüøå) êîðåëÿö³éíî ïîâ’ÿçàíèõ çì³ííèõ, òîáòî ðîçðîáêà ìàòåìàòè÷íî¿ ìîäåë³ çâ’ÿçêó (çàäà÷à ðåãðåñ³éíîãî àíàë³çó); 2) âèçíà÷åííÿ ò³ñíîòè çâ’ÿçêó (çàäà÷à êîðåëÿö³éíîãî àíàë³çó). 17

Çäåá³ëüøîãî ïðîöåäóðà àíàë³çó çâ’ÿçêó ì³æ çì³ííèìè äຠçìîãó âñòàíîâèòè éîãî ïðèðîäó, òîáòî âèçíà÷èòè ôîðìó çàëåæíîñò³ ì³æ çì³ííèìè. Ïîáóäîâà ÿê³ñíîãî ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿, ùî â³äïîâ³äຠåìï³ðè÷íèì äàíèì ³ ö³ëÿì äîñë³äæåíü, º äîñèòü ñêëàäíèì ïðîöåñîì. Éîãî ìîæíà ïîä³ëèòè íà òðè åòàïè: 1) âèá³ð ôîðìè ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿; 2) âèçíà÷åííÿ ïàðàìåòð³â îáðàíîãî ð³âíÿííÿ; 3) àíàë³ç ÿêîñò³ ð³âíÿííÿ òà ïåðåâ³ðêà àäåêâàòíîñò³ ð³âíÿííÿ åìï³ðè÷íèì äàíèì, óäîñêîíàëåííÿ ð³âíÿííÿ. Âèá³ð ôîðìè çâ’ÿçêó çì³ííèõ íàçèâàºòüñÿ ñïåöèô³êàö³ºþ ìîäåë³ ðåãðåñ³¿. Ó âèïàäêó ïàðíî¿ ðåãðåñ³¿ âèá³ð ôîðìóëè çâè÷àéíî çä³éñíþºòüñÿ çà ãðàô³÷íèì çîáðàæåííÿì ðåàëüíèõ ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ ó âèãëÿä³ òî÷îê ó äåêàðòîâ³é ñèñòåì³ êîîðäèíàò, ùî íàçèâàºòüñÿ êîðåëÿö³éíèì ïîëåì (ä³àãðàìîþ ðîçñ³þâàííÿ) (ðèñ. 1.1).

Ðèñ. 1.1

Íà ðèñ. 1.1 ïðî³ëþñòðîâàíî òðè ñèòóàö³¿. Íà ãðàô³êó 1.1, à âçàºìîçâ’ÿçîê ì³æ X ³ Y áëèçüêèé äî ë³í³éíîãî, ³ ïðÿìà 1 äîñèòü äîáðå óçãîäæóºòüñÿ ç åìï³ðè÷íèìè òî÷êàìè. Òîìó ùîá îïèñàòè çàëåæí³ñòü ì³æ X ³ Y, äîö³ëüíî âèáðàòè ë³í³éíó ôóíêö³þ Y = b0 + b1 X . Íà ãðàô³êó 1.1, á ðåàëüíèé âçàºìîçâ’ÿçîê ì³æ X ³ Y, íàé³ìîâ³ðí³øå, îïèñóºòüñÿ êâàäðàòè÷íîþ ôóíêö³ºþ Y = aX 2 + bX + c (ë³í³ÿ 2). Íà ãðàô³êó 1.1, â ÿâíèé âçàºìîçâ’ÿçîê ì³æ X ³ Y â³äñóòí³é. Òîìó ùîá êðàùå âèáðàòè ôîðìó çâ’ÿçêó, íåîáõ³äíî, ìîæëèâî, çá³ëüøèòè 18

ê³ëüê³ñòü ñïîñòåðåæåíü — òî÷îê êîðåëÿö³éíîãî ïîëÿ àáî ñêîðèñòàòèñÿ ³íøèìè ñïîñîáàìè âèì³ðþâàííÿ ïîêàçíèê³â. Ó âèïàäêó ìíîæèííî¿ ðåãðåñ³¿ âèçíà÷èòè ôîðìè çàëåæíîñò³ ùå ñêëàäí³øå. ßêùî ïðèðîäà çâ’ÿçêó íåâ³äîìà, òî ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ ïîêàçíèêàìè îïèñóþòü çà äîïîìîãîþ íàáëèæåíèõ ñïðîùåíèõ ôîðì çàëåæíîñòåé, íàñàìïåðåä ë³í³éíèõ. Íàïðèêëàä, Êåéíñ çàïðîïîíóâàâ ë³í³éíó ôîðìóëó çàëåæíîñò³ ³íäèâ³äóàëüíîãî ñïîæèâàííÿ C â³ä äîõîäó Y: C = c0 + bY , äå c0 > 0 — âåëè÷èíà àâòîíîìíîãî ñïîæèâàííÿ; b — ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî ñïîæèâàííÿ, 0 < b < 1. Îäíàê ïîêè íå îá÷èñëåíî ê³ëüê³ñí³ çíà÷åííÿ êîåô³ö³ºíò³â c0 ³ b é íå ïåðåâ³ðåíî íàä³éí³ñòü îòðèìàíèõ ðåçóëüòàò³â, çàçíà÷åíà ôîðìóëà çàëèøàºòüñÿ ëèøå ã³ïîòåçîþ.

1.3. Åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü òà ¿¿ åëåìåíòè Åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü — öå ëîã³÷íèé (çâè÷àéíî ìàòåìàòè÷íèé) îïèñ òîãî, ùî åêîíîì³÷íà òåîð³ÿ ââàæຠîñîáëèâî âàæëèâèì ïðè äîñë³äæåíí³ ïåâíî¿ ïðîáëåìè. ßê ïðàâèëî, ìîäåëü ìຠôîðìó ð³âíÿííÿ ÷è ñèñòåìè ð³âíÿíü, ùî õàðàêòåðèçóþòü âèîêðåìëåí³ äîñë³äíèêîì âçàºìîçàëåæíîñò³ ì³æ åêîíîì³÷íèìè ïîêàçíèêàìè. Åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü, ùî ïîÿñíþº ïîâåä³íêó îäíîãî ïîêàçíèêà, ñêëàäàºòüñÿ ç îäíîãî ð³âíÿííÿ, à ìîäåëü, ùî õàðàêòåðèçóº çì³íó ê³ëüêîõ ïîêàçíèê³â, — ³ç òàêî¿ ñàìî¿ ê³ëüêîñò³ ð³âíÿíü. Ó ìîäåë³ ìîæóòü áóòè òàêîæ òîòîæíîñò³, ùî â³äáèâàþòü ôóíêö³îíàëüí³ çâ’ÿçêè â ïåâí³é åêîíîì³÷í³é ñèñòåì³. Îñê³ëüêè òàêà ìîäåëü ïîºäíóº íå ëèøå òåîðåòè÷íèé, ÿê³ñíèé àíàë³ç âçàºìîçâ’ÿçê³â, à é åìï³ðè÷íó ³íôîðìàö³þ, òî â í³é, íà â³äì³íó â³ä ïðîñòî åêîíîì³÷íî¿ ìîäåë³, çàâæäè ïðèñóòí³ ñòîõàñòè÷í³ çàëèøêè. Ñàìå éìîâ³ðí³ñí³ õàðàêòåðèñòèêè çàëèøê³â ìîäåë³ çóìîâëþþòü ÿê³ñòü ò³º¿ ÷è ³íøî¿ àíàë³òè÷íî¿ ôîðìè ìîäåë³. Îòæå, ñôîðìóëþºìî òàêå îçíà÷åííÿ åêîíîìåòðè÷íî¿ ìîäåë³. Îçíà÷åííÿ 1.2. Åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü — öå ôóíêö³ÿ ÷è ñèñòåìà ôóíêö³é, ùî îïèñóº êîðåëÿö³éíî-ðåãðåñ³éíèé çâ’ÿçîê ì³æ åêîíîì³÷íèìè ïîêàçíèêàìè, ïðè÷îìó çàëåæíî â³ä ïðè÷èííèõ çâ’ÿçê³â ì³æ íèìè îäèí ÷è ê³ëüêà ³ç öèõ ïîêàçíèê³â ðîçãëÿäàþòüñÿ ÿê çàëåæí³ çì³íí³, à ³íø³ — ÿê íåçàëåæí³. 19

Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó ð³âíÿííÿ â åêîíîìåòðè÷í³é ìîäåë³ ìຠâèãëÿä Y = f ( x1 , x2 , ..., xm , u),

äå Y — ðåçóëüòàò, àáî çàëåæíà çì³ííà, çì³íþâàííÿ ÿêî¿ îïèñóº äàíå ð³âíÿííÿ; x1 , x2 , ..., xm — ôàêòîðè, àáî íåçàëåæí³ çì³íí³, ùî âèçíà÷àþòü ïîâåä³íêó Y. Çì³ííà u ì³ñòèòü òó ÷àñòèíó ðóõó Y, ùî íå ïîÿñíþºòüñÿ çì³ííèìè x1 , x2 , ..., xm , ³ ìຠâèïàäêîâèé õàðàêòåð. Ñèìâîë f â³äîáðàæóº àíàë³òè÷íèé âèä çâ’ÿçêó ì³æ äîñë³äæóâàíèìè çì³ííèìè. Îçíà÷åííÿ 1.3. Ïðîöåñ îïèñó ÿâèùà ÷è ïðîöåñó, òîáòî âèá³ð àíàë³òè÷íî¿ ôîðìè ìîäåë³, íàçèâàºòüñÿ ñïåöèô³êàö³ºþ ìîäåë³. ²íøèìè ñëîâàìè, ñïåöèô³êàö³ÿ ìîäåë³ — öå àíàë³òè÷íà ôîðìà çàëåæíîñò³ ì³æ åêîíîì³÷íèìè ïîêàçíèêàìè. Íåçàëåæí³ çì³íí³ x1 , x2 , ..., xm , ùî çàäàí³ çàçäàëåã³äü ÷è çà ìåæàìè ìîäåë³, íàçèâàþòüñÿ åêçîãåííèìè çì³ííèìè (ðåãðåñîðàìè). Çàëåæíà çì³ííà Y, ùî âèçíà÷àºòüñÿ ÿê ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ, íàçèâàºòüñÿ åíäîãåííîþ çì³ííîþ (ðåãðåñàíäîì). Ôóíêö³ÿ f ó êîæíîìó êîíêðåòíîìó âèïàäêó îêð³ì çì³ííèõ x1 , x2 , ..., xm ³ u ì³ñòèòü ùå ùîíàéìåíøå äåÿê³ êîåô³ö³ºíòè, ùî ïîºäíóþòü çì³íí³ ó ïåâíèõ ñï³ââ³äíîøåííÿõ ³ âèçíà÷àþòü ñòðóêòóðó ð³âíÿííÿ. Ö³ êîåô³ö³ºíòè íàçèâàþòüñÿ ïàðàìåòðàìè ìîäåë³. Îçíà÷åííÿ 1.4. Âèçíà÷åííÿ çíà÷åíü êîåô³ö³ºíò³â (ïàðàìåòð³â) îáðàíî¿ ôîðìè ñòàòèñòè÷íîãî çâ’ÿçêó çì³ííèõ íà ï³äñòàâ³ â³äïîâ³äíèõ ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ íàçèâàºòüñÿ ïàðàìåòðèçàö³ºþ ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿ àáî îö³íþâàííÿì ïàðàìåòð³â. ²ñíóº â³äì³íí³ñòü ì³æ çì³ííèìè òà ïàðàìåòðàìè ìîäåë³. Çì³íí³ – öå åêîíîì³÷í³ âåëè÷èíè, ùî ìîæóòü íàáóâàòè ïåâíèõ çíà÷åíü ç äåÿêî¿ ìíîæèíè äîïóñòèìèõ âåëè÷èí. Ïàðàìåòðè — öå ñòàë³ êîåô³ö³ºíòè. Õî÷à âîíè íå çàâæäè â³äîì³, òà âñå æ ó áóäü-ÿê³é ñèòóàö³¿ âîíè ìàþòü ô³êñîâàíå çíà÷åííÿ. Ïàðàìåòðè ìîæíà íàçâàòè “íåçì³ííèìè” (³íêîëè â³äîìèìè, ³íêîëè íåâ³äîìèìè), ùî ïîâ’ÿçóþòü çì³íí³ â ð³âíÿííÿõ. Ö³ ð³âíÿííÿ, à îòæå, ³ ïàðàìåòðè âèçíà÷àþòü ñòðóêòóðó ìîäåë³: âîíè âêàçóþòü íà õàðàêòåð ïðèïóñòèìèõ ñï³ââ³äíîøåíü ì³æ çì³ííèìè. Ïàðàìåòðè ÷èìîñü ïîä³áí³ äî íåçàëåæíèõ (çàäàíèõ ççîâí³) çì³ííèõ, îäíàê ì³æ íèìè º âàæëèâ³ â³äì³ííîñò³. Ïðèïóñêàºòüñÿ, ùî ïàðàìåòðè çàëèøàþòüñÿ íåçì³ííèìè ïðîòÿãîì óñüîãî ïåð³îäó ñïîñòåðåæåííÿ, à åêçîãåíí³ çì³íí³, áåçóìîâíî, ìàþòü çì³íþâàòèñÿ ç ÷à20

ñîì. Ñàìå çì³íþâàííÿ åêçîãåííèõ çì³ííèõ ïðèâîäèòü ìîäåëü ó ðóõ, çóìîâëþº ïåðåõ³ä ñèñòåìè äî íîâîãî ñòàíó. Çàóâàæèìî, ùî â áàãàòüîõ åêîíîìåòðè÷íèõ ìîäåëÿõ º òàê³ åêçîãåíí³ çì³íí³, ÿê³ ìîæóòü áóòè çì³íåí³ êåð³âíèìè îðãàíàìè (äåðæàâíèì ðåãóëþâàííÿì ÷è êåð³âíèöòâîì ô³ðìè). Ö³ êåðîâàí³ çì³íí³, íàïðèêëàä äåðæàâí³ âèòðàòè òà ïîäàòêè, º ïîë³òè÷íèìè ³íñòðóìåíòàìè. ßêùî â³äîìî ñòðóêòóðó åêîíîì³÷íîãî ïðîöåñó, òî äåðæàâí³ îðãàíè, çì³íþþ÷è çíà÷åííÿ òàêèõ çì³ííèõ, ìîãëè á ðîáèòè çàäàíèìè åíäîãåíí³ çì³íí³, òîáòî âïëèâàòè íà ïîäàëüøèé ðîçâèòîê ïðîöåñó. Åêîíîìåòðè÷í³ ìîäåë³ ìîæóòü áóòè ñòàòè÷íèìè òà äèíàì³÷íèìè. Ó ñòàòè÷íèõ ìîäåëÿõ çâ’ÿçêè ðîçãëÿäàþòüñÿ ó ô³êñîâàíèé ìîìåíò ÷àñó ³ ÷àñîâ³ çì³íè â íèõ ðîë³ íå â³ä³ãðàþòü. Ó äèíàì³÷í³é ìîäåë³, íàâïàêè, âçàºìîçâ’ÿçêè âèâ÷àþòüñÿ â ðîçâèòêó é ÷àñ º íåîáõ³äíèì ôàêòîðîì çì³í. Ìîäåë³ ðîçð³çíÿþòü òàêîæ çà ð³âíåì àãðåãóâàííÿ çì³ííèõ (ì³êðî÷è ìàêðîåêîíîì³÷í³ ïîêàçíèêè), çà ñïîñîáîì â³äîáðàæåííÿ çì³ííèõ (ó ïîñò³éíèõ ÷è ïîòî÷íèõ ö³íàõ, ó àáñîëþòíèõ çíà÷åííÿõ ÷è ïðèðîñòàõ ïîêàçíèê³â), çà ê³ëüê³ñòþ çì³ííèõ (îäíî- ÷è áàãàòîôàêòîðí³ ìîäåë³), çà ê³ëüê³ñòþ ð³âíÿíü (îäíå ÷è ê³ëüêà), çà ÷àñîì ñïîñòåðåæåíü (ð³÷í³, êâàðòàëüí³ ÷è ì³ñÿ÷í³ äàí³). Êëàñèô³êóþòü ìîäåë³ òàêîæ çà ïðèçíà÷åííÿì òà ìåòîþ âèêîðèñòàííÿ (àíàë³òè÷í³, ³ì³òàö³éí³, ïðîãíîñòè÷í³).

1.4. Ñòàòèñòè÷íà áàçà åêîíîìåòðè÷íèõ äîñë³äæåíü Áóäü-ÿêå åêîíîìåòðè÷íå äîñë³äæåííÿ çàâæäè ïîºäíóº òåîð³þ (ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³) ³ ïðàêòèêó (ñòàòèñòè÷í³ äàí³). Çà äîïîìîãîþ ìîäåëåé îïèñóþòü ³ ïîÿñíþþòü ïðîöåñè, ùî âèâ÷àþòüñÿ, à ñòàòèñòè÷í³ äàí³ âèêîðèñòîâóþòü äëÿ ïîáóäîâè òà îáãðóíòóâàííÿ ìîäåëåé. Áåç êîíêðåòíèõ ê³ëüê³ñíèõ äàíèõ, ùî õàðàêòåðèçóþòü ôóíêö³îíóâàííÿ åêîíîì³÷íîãî îᒺêòà, íå çàâæäè ìîæíà âèçíà÷èòè ïðàêòè÷íó çíà÷óù³ñòü ïåâíî¿ ìîäåë³. Åêîíîì³÷í³ äàí³ çâè÷àéíî ïîä³ëÿþòü íà äâà âèäè: ïåðåõðåñí³ äàí³ òà ÷àñîâ³ ðÿäè. Ïåðåõðåñíèìè º äàí³ çà ÿêèìîñü åêîíîì³÷íèì ïîêàçíèêîì, ùî îòðèìàí³ äëÿ ð³çíèõ îäíîòèïíèõ îᒺêò³â (ô³ðì, ðåã³îí³â). Ïðè÷îìó äàí³ îòðèìàíî â îäèí ³ òîé ñàìèé ìîìåíò ÷àñó àáî ÷àñîâà ïðèíàëåæí³ñòü íåñóòòºâà. ×àñîâ³ ðÿäè õàðàêòåðèçóþòü îäèí ³ òîé 21

ñàìèé îᒺêò, àëå â ð³çí³ ìîìåíòè ÷àñó. Íàïðèêëàä, äàí³ áþäæåòíèõ äîñë³äæåíü íàñåëåííÿ â ïåâíèé ìîìåíò ÷àñó º ïåðåõðåñíèìè, à äèíàì³êà ð³âíÿ ³íôëÿö³¿ çà ïåâíèé ïåð³îä â³äîáðàæóºòüñÿ ÷àñîâèìè ðÿäàìè. Ïîñë³äîâí³ çíà÷åííÿ ÷àñîâèõ ðÿä³â ìîæóòü áóòè ïîâ’ÿçàí³ ì³æ ñîáîþ ïåâíèìè çàëåæíîñòÿìè: ñïîñòåð³ãàþòüñÿ äåÿê³ çàêîíîì³ðíîñò³ ó â³äõèëåííÿõ â³ä çàãàëüíî¿ òåíäåíö³¿ ðîçâèòêó ÷è âèÿâëÿþòüñÿ ÷àñîâ³ çñóâè ïîêàçíèê³â (÷àñîâ³ ëàãè). Òîìó ìåòîäè îáðîáêè òàêèõ äàíèõ äåùî â³äð³çíÿþòüñÿ â³ä ìåòîä³â, ùî çàñòîñîâóþòüñÿ äëÿ îáðîáêè ïåðåõðåñíèõ äàíèõ. Ìåòîþ çáèðàííÿ ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ º ïîáóäîâà ³íôîðìàö³éíî¿ áàçè äëÿ ïðèéíÿòòÿ ð³øåíü. Ïðèðîäíî, ùî àíàë³ç äàíèõ ³ ïðèéíÿòòÿ ð³øåíü çä³éñíþþòüñÿ íà ï³äñòàâ³ äåÿêî¿ ³íòó¿òèâíî¿ (íåÿâíî¿) àáî ê³ëüê³ñíî¿ (ÿâíî¿) åêîíîì³÷íî¿ ìîäåë³. Òîìó çáèðàþòü ñàìå äàí³, ùî ñòîñóþòüñÿ ïåâíî¿ ìîäåë³. ¯õ ìîæíà îòðèìàòè îïèòóâàííÿì, àíêåòóâàííÿì, ³íòåðâ’þâàííÿì àáî ³ç äæåðåë îô³ö³éíî¿ ñòàòèñòè÷íî¿ çâ³òíîñò³. Êîæíèé ïîêàçíèê, îòðèìàíèé îäíèì ³ç çàçíà÷åíèõ ñïîñîá³â, íàçèâàºòüñÿ ñïîñòåðåæåííÿì. Áóäü-ÿê³ åêîíîì³÷í³ äàí³ º ê³ëüê³ñíèìè õàðàêòåðèñòèêàìè åêîíîì³÷íèõ îᒺêò³â. Âîíè ôîðìóþòüñÿ ï³ä 䳺þ áàãàòüîõ ôàêòîð³â, ÿê³ íå çàâæäè ìîæíà ïðîêîíòðîëþâàòè ççîâí³. Íåêîíòðîëüîâàí³ ôàêòîðè ìîæóòü íàáóâàòè âèïàäêîâèõ çíà÷åíü ç äåÿêî¿ ìíîæèíè äîïóñòèìèõ çíà÷åíü ³ òèì ñàìèì çóìîâëþâàòè âèïàäêîâ³ñòü äàíèõ. Ñòîõàñòè÷íà ïðèðîäà åêîíîì³÷íèõ äàíèõ âèìàãຠçàñòîñóâàííÿ ñïåö³àëüíèõ àäåêâàòíèõ ¿ì ñòàòèñòè÷íèõ ìåòîä³â äëÿ ¿õ àíàë³çó òà îáðîáêè. Ïðè ï³äãîòîâö³ ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ äëÿ ðîáîòè ç ïåâíîþ ìîäåëëþ íåîáõ³äíî çàáåçïå÷èòè â³äïîâ³äí³ñòü öèõ äàíèõ ìîäåë³ òà ñï³ëüíó ìåòîäè÷íó áàçó äëÿ ¿õ îö³íþâàííÿ. Äàí³ ìàþòü óòâîðþâàòè âçàºìíî óçãîäæåíèé íàá³ð, òîáòî ÿêùî âèì³ðþâàííÿ çä³éñíþºòüñÿ â ãðîøîâèõ îäèíèöÿõ, òî öå ìàþòü áóòè ïîòî÷í³ àáî ô³êñîâàí³ (îäíîãî é òîãî ñàìîãî ðîêó) ö³íè. Ðåàëüíèì îᒺìíèì ïîêàçíèêàì (òîáòî ó ô³êñîâàíèõ ö³íàõ) ìàþòü â³äïîâ³äàòè ðåàëüí³ â³äíîñí³ ïîêàçíèêè (íàïðèêëàä, ïðîöåíòí³ ñòàâêè ñë³ä ñêîðèãóâàòè â³äíîñíî òåìïó ³íôëÿö³¿). Çàëåæíî â³ä ïîñòàâëåíèõ çàâäàíü âèáèðàþòü óçàãàëüíåí³ ïîêàçíèêè: âàëîâèé âíóòð³øí³é ïðîäóêò, âàëîâ³ âíóòð³øí³ çáåðåæåííÿ òîùî. ³äñóòí³ ñòàòèñòè÷í³ äàí³ çäåá³ëüøîãî ìîæóòü áóòè ðîçðàõîâàí³ çà ³íøèìè ïîêàçíèêàìè, ÿêùî ì³æ íèìè ³ñíóº ïåâíà ôóíêö³îíàëüíà çàëåæí³ñòü. Íàïðèêëàä, ³íôëÿö³ÿ ðîçðàõîâóºòüñÿ çà äàíèìè ïðî äåôëÿòîð, ³ íàâïàêè. 22

Îòæå, ôîðìóþ÷è ñóêóïí³ñòü ñïîñòåðåæåíü, ñë³ä çàáåçïå÷èòè ïîð³âíÿíí³ñòü äàíèõ ó ïðîñòîð³ òà ÷àñ³. Öå îçíà÷àº, ùî äàí³ âõ³äíî¿ ñóêóïíîñò³ ïîâèíí³ ìàòè: • îäíàêîâèé ñòóï³íü àãðåãóâàííÿ; • îäíîð³äíó ñòðóêòóðó îäèíèöü ñóêóïíîñò³; • îäí³ é ò³ ñàì³ ìåòîäè ðîçðàõóíêó ïîêàçíèê³â ó ÷àñ³ ÷è ïðîñòîð³; • îäíàêîâó ïåð³îäè÷í³ñòü îáë³êó îêðåìèõ çì³ííèõ; • ïîð³âíÿíí³ ö³íè òà îäíàêîâ³ ³íø³ çîâí³øí³ åêîíîì³÷í³ óìîâè. Âèñíîâêè, ÿê³ ìîæíà çðîáèòè â ðåçóëüòàò³ åêîíîìåòðè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ, ö³ëêîì çóìîâëåí³ ÿê³ñòþ âõ³äíèõ äàíèõ, à ñàìå ¿õ ïîâíîòîþ òà äîñòîâ³ðí³ñòþ.

1.5. Îñîáëèâîñò³ ìàòåìàòè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ åêîíîì³÷íèõ ñèñòåì  åêîíîì³êî-ìàòåìàòè÷íîìó àíàë³ç³ ³íôîðìàö³ÿ ôîðìóºòüñÿ, ÿê ïðàâèëî, ó ðåçóëüòàò³ ñïîñòåðåæåííÿ çà îᒺêòîì äîñë³äæåííÿ. Ïðè îòðèìóâàíí³, îö³íþâàíí³ òà âèêîðèñòàíí³ ö³º¿ ³íôîðìàö³¿ ñë³ä ìàòè íà óâàç³ âàæëèâ³ ñïåöèô³÷í³ ðèñè äæåðåëà äàíèõ. Ñóòòºâå çíà÷åííÿ ìàþòü ñòîõàñòè÷í³ (âèïàäêîâ³) ôàêòîðè, ÿê³ âèÿâëÿþòüñÿ ó âïëèâ³ íà åêîíîì³êó ÿê ç áîêó ïðèðîäè òà ñóñï³ëüñòâà, òàê ³ ó âíóòð³øíüîåêîíîì³÷íèõ çâ’ÿçêàõ. ×åðåç ñêëàäí³ñòü ³ äèíàì³÷í³ñòü òåõí³êî-åêîíîì³÷íèõ, îñîáëèâî ñîö³àëüíî-åêîíîì³÷íèõ, ïðîöåñ³â ïîïåðåäí³é ðîçðàõóíîê åêîíîì³÷íèõ ïîêàçíèê³â ìîæëèâèé ëèøå ç ïåâíèì ð³âíåì äîâ³ðè. Âîäíî÷àñ âåëè÷åçí³ ìàñøòàáè åêîíîì³÷íî¿ ñèñòåìè, ðîçãàëóæåí³ñòü çâ’ÿçê³â ì³æ ¿¿ åëåìåíòàìè òà â³äîìà ³íåðö³éí³ñòü çíà÷íîþ ì³ðîþ çóìîâëþþòü ìàéáóòí³é ¿¿ ñòàí ïîïåðåäí³ì. Òîìó ðîçâèòîê ñèñòåìè ìîæíà ïåðåäáà÷èòè ç âåëèêîþ ì³ðîþ âïåâíåíîñò³.  îçíà÷åí³é ñèòóàö³¿ íàéïðèéíÿòí³øèìè ìåòîäàìè äîñë³äæåííÿ º ìåòîäè ìàòåìàòè÷íî¿ ñòàòèñòèêè, àäàïòîâàí³ äî åêîíîì³÷íèõ ÿâèù. Ñàìå ö³ ìåòîäè äàþòü çìîãó áóäóâàòè åêîíîìåòðè÷í³ ìîäåë³ òà îö³íþâàòè ¿õ ïàðàìåòðè, ïåðåâ³ðÿòè ã³ïîòåçè ñòîñîâíî âëàñòèâîñòåé åêîíîì³÷íèõ ïîêàçíèê³â ³ ôîðì çâ’ÿçêó ì³æ íèìè. Îäíàê îñîáëèâ³ñòü åêîíîìåòðè÷íîãî ï³äõîäó äî ìîäåëþâàííÿ åêîíîì³÷íèõ îᒺêò³â ïîëÿãຠíå ó âèêîðèñòàíí³ åêîíîì³÷íî¿ òåðì³íîëî㳿, à íàñàìïåðåä ó äåòàëüíîìó äîñë³äæåíí³ â³äïîâ³äíîñò³ âèáðàíî¿ ìîäåë³ ÿâèùó, ùî âèâ÷àºòüñÿ, à òàêîæ â àíàë³ç³ ÿêîñò³ ñòàòèñòè÷íî¿ ³íôîðìàö³¿, ùî º îñíîâîþ ïàðàìåòðèçàö³¿ (îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â) ìîäåëåé. 23

Êîíòðîëüí³ çàïèòàííÿ 1. Ùî òàêå ìàòåìàòè÷íà ìîäåëü åêîíîì³÷íîãî îᒺêòà? 2. Íàçâ³òü òèïè ìàòåìàòè÷íèõ ìîäåëåé ³ â³äì³ííîñò³ ì³æ íèìè. 3. Äî ÿêîãî òèïó ìàòåìàòè÷íèõ ìîäåëåé íàëåæèòü åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü? 4. Ïîÿñí³òü ñóòí³ñòü êîðåëÿö³éíèõ çâ’ÿçê³â ì³æ åêîíîì³÷íèìè ïîêàçíèêàìè. 5. Ç ÿêèõ åëåìåíò³â ñêëàäàºòüñÿ åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü? 6. ßê³ âèìîãè âèñóâàþòüñÿ äî ñòàòèñòè÷íî¿ áàçè åêîíîìåòðè÷íèõ äîñë³äæåíü?

Ðîçä³ë 2. ÌÎÄÅ˲ ÏÀÐÍί ÐÅÃÐÅѲ¯ ÒÀ ¯Õ ÄÎÑ˲ÄÆÅÍÍß 2.1. Ïðèêëàäè ïàðíèõ çâ’ÿçê³â â åêîíîì³ö³ Åêîíîì³÷íà òåîð³ÿ âèÿâèëà é äîñë³äèëà çíà÷íó ê³ëüê³ñòü ñòàëèõ ³ ñòàá³ëüíèõ çâ’ÿçê³â ì³æ ð³çíèìè ïîêàçíèêàìè. Íàïðèêëàä, äîáðå âèâ÷åíî çàëåæíîñò³ ñïîæèâàííÿ â³ä ð³âíÿ äîõîäó, ïîïèòó — â³ä ö³í íà òîâàðè, çàëåæí³ñòü ì³æ ïðîöåíòíîþ ñòàâêîþ òà ³íâåñòèö³ÿìè, îáì³ííèì êóðñîì âàëþòè òà îáñÿãîì ÷èñòîãî åêñïîðòó, ì³æ ð³âíÿìè áåçðîá³òòÿ òà ³íôëÿö³¿, çàëåæí³ñòü îáñÿãó âèðîáíèöòâà â³ä îêðåìèõ ôàêòîð³â (ðîçì³ðó îñíîâíèõ ôîíä³â, ¿õ â³êó, ï³äãîòîâêè ïåðñîíàëó òîùî); çàëåæí³ñòü ì³æ ïðîäóêòèâí³ñòþ ïðàö³ òà ð³âíåì ìåõàí³çàö³¿, à òàêîæ áàãàòî ³íøèõ çàëåæíîñòåé. Çäåá³ëüøîãî çàëåæí³ñòü ì³æ ïîêàçíèêàìè ìîæíà â³äîáðàçèòè çà äîïîìîãîþ ë³í³éíèõ ñï³ââ³äíîøåíü. Íàïðèêëàä, äëÿ ìîäåëþâàííÿ çàëåæíîñò³ ³íäèâ³äóàëüíîãî ñïîæèâàííÿ Ñ â³ä íàÿâíîãî ïðèáóòêó Y Êåéíñ çàïðîïîíóâàâ ë³í³éíå ð³âíÿííÿ C = c0 + bY , äå c0 — âåëè÷èíà àâòîíîìíîãî ñïîæèâàííÿ; b — ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî ñïîæèâàííÿ (0 < b ≤ 1). Îäíàê ïðèïóùåííÿ ùîäî ë³í³éíî¿ çàëåæíîñò³ ì³æ ïåâíèìè ïîêàçíèêàìè åêîíîì³÷íîãî ÿâèùà ÷è ïðîöåñó ìîæå íå ï³äòâåðäæóâàòèñÿ äàíèìè ñïîñòåðåæåíü öèõ ïîêàçíèê³â. ² öå ïðèðîäíî, îñê³ëüêè â äåÿêèõ âèïàäêàõ çàëåæí³ñòü º ñóòòºâî íåë³í³éíîþ. Íàïðèêëàä, çàëåæí³ñòü ì³æ ð³âíåì áåçðîá³òòÿ x ³ ð³âíåì ³íôëÿö³¿ y â³äîáðàæàºòüñÿ òàê çâàíîþ êðèâîþ Ô³ë³ïñà: a y= , x−b 25

äå a > 0, b > 0 — ïàðàìåòðè ìîäåë³, à çì³íí³ x ³ y âèì³ðþþòüñÿ ó ïðîöåíòàõ. Ïðè íåçì³íí³é ð³÷í³é äèñêîíòí³é (îáë³êîâ³é) ñòàâö³ r ³ ïî÷àòêîâîìó âíåñêó a ÷åðåç x ðîê³â ó áàíêó íàÿâíà ñóìà ãðîøåé îá÷èñëþâàòèìåòüñÿ çà ôîðìóëîþ

y = a(1 + r ) x , äå a, y — ïàðàìåòðè ìîäåë³. Ïðè ìàðêåòèíãîâèõ ³ ðèíêîâèõ äîñë³äæåííÿõ, ïðè äîñë³äæåíí³ çáóòó ïðîäóêö³¿ òà â äåìîãðàô³¿ çàñòîñîâóþòü òàê çâàíó êðèâó Ãîìïåðöÿ: y = eab

x

+c

,

äå ïàðàìåòðè a òà c ìîæóòü íàáóâàòè áóäü-ÿêèõ çíà÷åíü, à b ïåðåáóâຠâ òàêèõ ìåæàõ: 0 < b < 1. Çâ’ÿçîê ì³æ îáñÿãîì âèðîáëåíî¿ ïðîäóêö³¿ y òà îñíîâíèìè âèðîáíè÷èìè ðåñóðñàìè, à ñàìå îáñÿãîì âèòðà÷åíîãî êàï³òàëó C ³ îáñÿãîì âèòðàò ïðàö³ L, òàêîæ ìຠíåë³í³éíèé õàðàêòåð:

y = dC a, y = cLb , a, b, c, d — ÷èñëîâ³ ïàðàìåòðè; c, d > 0, a, b ≥ 0. Íåë³í³éí³ çâ’ÿçêè, ÿê ïðàâèëî, ïåâíèìè ïåðåòâîðåííÿìè (çàì³íîþ çì³ííèõ ÷è ëîãàðèôìóâàííÿì) çâîäÿòü äî ë³í³éíîãî âèãëÿäó àáî àïðîêñèìóþòü (íàáëèæóþòü) ë³í³éíèìè ôóíêö³ÿìè. Îòæå, ìîäåëü ë³í³éíî¿ ðåãðåñ³¿ (ë³í³éíå ð³âíÿííÿ) º íàéïîøèðåí³øèì (³ íàéïðîñò³øèì) âèäîì çàëåæíîñò³ ì³æ åêîíîì³÷íèìè çì³ííèìè. Êð³ì òîãî, ïîáóäîâàíå ë³í³éíå ð³âíÿííÿ ìîæå ñëóãóâàòè ïî÷àòêîâîþ òî÷êîþ â ðàç³ ñêëàäíèõ (ñóòòºâî íåë³í³éíèõ) çàëåæíîñòåé.

2.2. ˳í³éíà ìîäåëü ç äâîìà çì³ííèìè Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó ïàðíà ë³í³éíà ðåãðåñ³ÿ º ë³í³éíîþ ôóíêö³ºþ ì³æ çàëåæíîþ çì³ííîþ Y ³ îäí³ºþ ïîÿñíþþ÷îþ çì³ííîþ Õ: Y = a0 + a1 X .

26

(2.1)

Ñï³ââ³äíîøåííÿ (2.1) íàçèâàºòüñÿ òåîðåòè÷íîþ ë³í³éíîþ ðåãðåñ³éíîþ ìîäåëëþ; a0 ³ a1 — òåîðåòè÷í³ ïàðàìåòðè (òåîðåòè÷í³ êîåô³ö³ºíòè) ðåãðåñ³¿. Çàçíà÷èìî, ùî ïðèíöèïîâîþ â öüîìó ðàç³ º ë³í³éí³ñòü çà ïàðàìåòðàìè a0 ³ a1 ð³âíÿííÿ (2.1). Ùîá âèçíà÷èòè çíà÷åííÿ òåîðåòè÷íèõ êîåô³ö³ºíò³â ðåãðåñ³¿, íåîáõ³äíî çíàòè é âèêîðèñòîâóâàòè âñ³ çíà÷åííÿ çì³ííèõ Õ ³ Y ãåíåðàëüíî¿ ñóêóïíîñò³, ùî ïðàêòè÷íî íåìîæëèâî. Òîìó çà âèá³ðêîþ îáìåæåíîãî îáñÿãó áóäóþòü òàê çâàíå åìï³ðè÷íå ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿, ó ÿêîìó êîåô³ö³ºíòàìè º îö³íêè òåîðåòè÷íèõ êîåô³ö³ºíò³â ðåãðåñ³¿: Yˆ = aˆ0 + aˆ1 X ,

(2.2)

äå aˆ0 ³ aˆ1 — îö³íêè íåâ³äîìèõ ïàðàìåòð³â a0 ³ a1 . ×åðåç ðîçá³æí³ñòü ñòàòèñòè÷íî¿ áàçè äëÿ ãåíåðàëüíî¿ ñóêóïíîñò³ òà âèá³ðêè îö³íêè aˆ0 ³ aˆ1 ïðàêòè÷íî çàâæäè â³äð³çíÿþòüñÿ â³ä ä³éñíèõ çíà÷åíü êîåô³ö³ºíò³â a0 ³ a1, ùî ïðèçâîäèòü äî ðîçá³æíîñò³ åìï³ðè÷íî¿ òà òåîðåòè÷íî¿ ë³í³é ðåãðåñ³¿. гçí³ âèá³ðêè ç îäí³º¿ é ò³º¿ ñàìî¿ ãåíåðàëüíî¿ ñóêóïíîñò³ çâè÷àéíî çóìîâëþþòü ð³çí³ îö³íêè. Ìîæëèâå ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ òåîðåòè÷íèì ³ åìï³ðè÷íèì ð³âíÿííÿìè ðåãðåñ³¿ ñõåìàòè÷íî çîáðàæåíî íà ðèñ. 2.1.

M (Y | X ) = a0 + a1 X

Yˆ = aˆ0 + aˆ1 X

Ðèñ. 2.1

27

Çàäà÷³ ë³í³éíîãî ðåãðåñ³éíîãî àíàë³çó ïîëÿãàþòü ó òîìó, ùîá çà íàÿâíèìè ñòàòèñòè÷íèìè äàíèìè ( xi , yi ), i = 1, 2, …, n, äëÿ çì³ííèõ Õ ³ Y: à) îòðèìàòè íàéêðàù³ îö³íêè aˆ0 , aˆ1 íåâ³äîìèõ ïàðàìåòð³â a0 ³ a1 : á) ïåðåâ³ðèòè ñòàòèñòè÷í³ ã³ïîòåçè ïðî ïàðàìåòðè ìîäåë³; â) ïåðåâ³ðèòè, ÷è äîñèòü äîáðå ìîäåëü óçãîäæóºòüñÿ ç³ ñòàòèñòè÷íèìè äàíèìè (àäåêâàòí³ñòü ìîäåë³ äàíèì ñïîñòåðåæåíü). Äëÿ â³äîáðàæåííÿ òîãî ôàêòó, ùî êîæíå ³íäèâ³äóàëüíå çíà÷åííÿ yi â³äõèëÿºòüñÿ â³ä â³äïîâ³äíîãî óìîâíîãî ìàòåìàòè÷íîãî ñïîä³âàííÿ, ó ìîäåëü óâîäÿòü âèïàäêîâèé äîäàíîê ui : yi = M (Y | X = xi ) + ui = a0 + a1 xi + ui .

Îòæå, ³íäèâ³äóàëüí³ çíà÷åííÿ yi ïîäàþòü ó âèãëÿä³ ñóìè äâîõ êîìïîíåíò — ñèñòåìàòè÷íî¿ (a0 + a1 xi ) ³ âèïàäêîâî¿ (ui ). Ïðè÷èíà ïîÿâè îñòàííüî¿ äîñèòü äîêëàäíî ðîçãëÿäàëàñÿ ðàí³øå. Òàêèì ÷èíîì, ðåãðåñ³éíå ð³âíÿííÿ íàáóâຠâèãëÿäó Y = a0 + a1 X + u .

(2.3)

Çàâäàííÿ ïîëÿãຠâ òîìó, ùîá çà êîíêðåòíîþ âèá³ðêîþ ( xi , yi ), i = 1, 2, K , n, çíàéòè òàê³ çíà÷åííÿ îö³íîê íåâ³äîìèõ ïàðàìåòð³â a0 ³ a1 , ùîá ïîáóäîâàíà ë³í³ÿ ðåãðåñ³¿ áóëà íàéêðàùîþ â ïåâíîìó ðîçóì³íí³ ñåðåä óñ³õ ³íøèõ ïðÿìèõ. ²íøèìè ñëîâàìè, ïîáóäîâàíà ïðÿìà ìຠáóòè “íàéáëèæ÷îþ” äî òî÷îê ñïîñòåðåæåíü çà ¿õ ñóêóïí³ñòþ. ̳ðîþ ÿêîñò³ çíàéäåíèõ îö³íîê ìîæóòü áóòè âèçíà÷åí³ êîìïîçèö³¿ â³äõèëåíü ui , i = 1, 2, … , n. Íàïðèêëàä, êîåô³ö³ºíòè a0 ³ a1 ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿ ìîæóòü áóòè îö³íåí³ çà óìîâè ì³í³ì³çàö³¿ îäí³º¿ ç òàêèõ ñóì: 1)

2)

n

n

n

i =1

i =1

i =1

∑ ui = ∑ ( yi − yˆi ) = ∑ ( yi − aˆ0 − aˆ1 xi ) ; n

∑ ui i =1

n

n

i =1

i =1

= ∑ yi − yˆi = ∑ yi − aˆ0 − aˆ1 xi ;

n

n

n

i =1

i =1

i =1

3) ∑ ui2 = ∑ ( yi − yˆi )2 = ∑ ( yi − aˆ0 − aˆ1 xi )2 .

28

(2.4)

(2.5)

(2.6)

Îäíàê ïåðøà ñóìà íå ìîæå áóòè ì³ðîþ ÿêîñò³ çíàéäåíèõ îö³íîê ÷åðåç òå, ùî ³ñíóº áåçë³÷ ïðÿìèõ (çîêðåìà, Y = y ), äëÿ ÿêèõ

n

∑ ui i =1

=0

(äîâåäåííÿ öüîãî òâåðäæåííÿ âèíîñèòüñÿ ÿê âïðàâà). Ìåòîä âèçíà÷åííÿ îö³íîê êîåô³ö³ºíò³â çà óìîâè ì³í³ì³çàö³¿ äðóãî¿ ñóìè íàçèâàºòüñÿ ìåòîäîì íàéìåíøèõ ìîäóë³â (ÌÍÌ). Íàéïîøèðåí³øèì ³ òåîðåòè÷íî îá´ðóíòîâàíèì º ìåòîä âèçíà÷åííÿ êîåô³ö³ºíò³â, ïðè ÿêîìó ì³í³ì³çóºòüñÿ òðåòÿ ñóìà. ³í ä³ñòàâ íàçâó ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â (ÌÍÊ). Îñòàíí³é ìåòîä îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â íàéïðîñò³øèé ç îá÷èñëþâàëüíî¿ òî÷êè çîðó. Êð³ì òîãî, îö³íêè êîåô³ö³ºíò³â ðåãðåñ³¿, çíàéäåí³ çà ÌÍÊ ïðè âèçíà÷åíèõ ïåðåäóìîâàõ, ìàþòü ðÿä îïòèìàëüíèõ âëàñòèâîñòåé (íåçì³ùåí³ñòü, åôåêòèâí³ñòü, îáãðóíòîâàí³ñòü). Ñåðåä ³íøèõ ìåòîä³â âèçíà÷åííÿ îö³íîê êîåô³ö³ºíò³â ðåãðåñ³¿ âèîêðåìèìî ìåòîä ìîìåíò³â (ÌÌ) ³ ìåòîä ìàêñèìàëüíî¿ ïðàâäîïîä³áíîñò³ (ÌÌÏ).

2.3. Ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â Íåõàé çà âèá³ðêîþ ( xi , yi ), i = 1, 2, K , n, ïîòð³áíî âèçíà÷èòè îö³íêè aˆ0 ³ aˆ1 åìï³ðè÷íîãî ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿ (2.2), òîáòî ï³ä³áðàòè òàê³ çíà÷åííÿ êîåô³ö³ºíò³â ð³âíÿííÿ, ùîá ñóìà êâàäðàò³â â³äõèëåíü áóëà ì³í³ìàëüíîþ (ðèñ. 2.2).

Ðèñ. 2.2

29

Ó öüîìó ðàç³

n

∑ ui2 i =1

º êâàäðàòè÷íîþ ôóíêö³ºþ äâîõ ïàðàìåòð³â aˆ0

³ aˆ1 , îñê³ëüêè xi , yi (i = 1, 2, K , n) — â³äîì³ äàí³ ñïîñòåðåæåíü: n

n

n

i =1

i =1

i =1

∑ ui2 = Q(aˆ0 , aˆ1 ) = ∑ ( yi − yˆi )2 = ∑ ( yi − aˆ0 − aˆ1 xi )2 . Íåâàæêî ïîì³òèòè, ùî êâàäðàòè÷íà ôóíêö³ÿ Q íåïåðåðâíà, îïóêëà òà îáìåæåíà çíèçó (Q ≥ 0), òîáòî ìຠì³í³ìóì. Íåîáõ³äíîþ óìîâîþ ³ñíóâàííÿ ì³í³ìóìó íåïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâàíî¿ ôóíêö³¿ äâîõ çì³ííèõ º ð³âí³ñòü íóëþ ¿¿ ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ:  ∂Q  ∂aˆ = −2∑ ( yi − aˆ0 − aˆ1 xi ) = 0;  0   ∂Q = −2∑ ( y − aˆ − aˆ x ) x = 0; 0 1 i i i  ∂aˆ1

⇒

(2.7)

 naˆ0 + aˆ1 ∑ xi = ∑ yi ;  2 aˆ0 ∑ xi + aˆ1 ∑ xi = ∑ xi yi .

(2.8)

Ïîä³ëèâøè îáèäâà ð³âíÿííÿ ñèñòåìè (2.8) íà n, îòðèìàºìî  xy − x ⋅ y aˆ0 + aˆ1 x = y; ; aˆ1 = 2 ⇒  x − x2 2  aˆ0 x + aˆ1 x = xy aˆ0 = y − aˆ1 x .

Òóò x =

(2.9)

1 1 1 1 ∑ xi , x 2 = n ∑ xi2 , y = n ∑ yi , xy = n ∑ xi yi . n n

Ó íàñòóïíèõ ôîðìóëàõ äëÿ ñïðîùåííÿ çíàêè ñóì ( ∑ ) çàïèn=1

ñóâàòèìåìî áåç ³íäåêñ³â, äîïóñêàþ÷è, ùî äîäàâàííÿ âèêîíóºòüñÿ â³ä ³ = 1 äî ³ = n. Òàêîæ äëÿ çì³ííèõ ç ³íäåêñîì ³ ðîçóì³òèìåìî, ùî i = 1, 2, K , n (ÿêùî íå çàçíà÷åíî ³íøå).

Îòæå, çã³äíî ç ÌÍÊ îö³íêè ïàðàìåòð³â aˆ0 òà aˆ1 âèçíà÷àþòüñÿ çà ôîðìóëàìè (2.9). 30

Íåâàæêî ïîì³òèòè, ùî aˆ1 ìîæíà îá÷èñëèòè çà ôîðìóëîþ aˆ1 =

∑ ( xi − x )( yi − y ) = Sxy , S x2 ∑ ( xi − x )2

(2.10)

1 ∑ ( x i − x )(y i − y ) — âèá³ðêîâèé êîðåëÿö³éíèé n 1 1 2 ìîìåíò âèïàäêîâèõ âåëè÷èí Õ ³ Y; S x2 = ∑ ( xi − x ) = ∑ x i2 − x 2 — n n âèá³ðêîâà äèñïåðñ³ÿ Õ; S x = S x2 — ñòàíäàðòíå â³äõèëåííÿ Õ. Òîä³

äå S xy = cov( x, y) =

aˆ1 =

Sxy Sx2

=

Sxy Sy Sx Sy Sx

= rxy

Sy Sx

,

(2.11)

äå rxy — âèá³ðêîâèé êîåô³ö³ºíò êîðåëÿö³¿; Sy — ñòàíäàðòíå â³äõèëåííÿ Y. Îòæå, êîåô³ö³ºíò ðåãðåñ³¿ ïðîïîðö³éíèé êîåô³ö³ºíòó êîðåëÿö³¿, à êîåô³ö³ºíòè ïðîïîðö³éíîñò³ âèêîðèñòîâóþòü äëÿ ç³ñòàâëåííÿ ð³çíèõ âåëè÷èí Õ ³ Y. Òàêèì ÷èíîì, ÿêùî êîåô³ö³ºíò êîðåëÿö³¿ rxy óæå ðîçðàõîâàíèé, òî çà ôîðìóëîþ (2.11) íåâàæêî çíàéòè êîåô³ö³ºíò aˆ1 ïàðíî¿ ðåãðåñ³¿. ) ßêùî îêð³ì ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿ Y íà Õ (Y = aˆ0 + aˆ1 X ) äëÿ òèõ ñàìèõ åìï³ðè÷íèõ äàíèõ çíàéäåíî ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿ Õ íà Y ) 2 (X = bˆ + bˆ Y ), òî äîáóòîê êîåô³ö³ºíò³â aˆ òà bˆ äîð³âíþº rxy : 0

1

1

1

Sy S 2 ⋅ rxy x = rxy aˆ1 ⋅ bˆ1 = rxy . Sx Sy Çàçíà÷èìî, ùî êîåô³ö³ºíòè bˆ0 ³ bˆ1 îá÷èñëþþòüñÿ çà ôîðìóëàìè, àíàëîã³÷íèìè ôîðìóëàì (2.9): ˆ xy − x ⋅ y ; b1 = 2 y − y2  ˆ b0 = x − bˆ1 y .

(2.12)

31

Âëàñòèâîñò³ îö³íîê ïàðàìåòð³â Îòðèìàí³ ðåçóëüòàòè, çîêðåìà ôîðìóëè (2.9) ³ (2.12), äàþòü çìîãó çðîáèòè ðÿä âèñíîâê³â. 1. Îö³íêè ÌÍÊ º ôóíêö³ÿìè â³ä âèá³ðêè. 2. Îö³íêè ÌÍÊ º òî÷êîâèìè îö³íêàìè òåîðåòè÷íèõ êîåô³ö³ºíò³â ðåãðåñ³¿. 3. ³äïîâ³äíî äî äðóãî¿ ôîðìóëè ñï³ââ³äíîøåííÿ (2.9) åìï³ðè÷íà ïðÿìà ðåãðåñ³¿ îáîâ’ÿçêîâî ïðîõîäèòü ÷åðåç òî÷êó ( x , y ). 4. Åìï³ðè÷íå ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿ ïîáóäîâàíå â òàêèé ñïîñ³á, ùî ñóìà â³äõèëåíü

n

∑ ui,

à òàêîæ ñåðåäíº çíà÷åííÿ â³äõèëåííÿ

i =1

1 n ∑ ui äîð³âíþþòü íóëþ (ïîêàçàòè ñàìîñò³éíî). n i =1 5. Âèïàäêîâ³ â³äõèëåííÿ ui íåêîðåëüîâàí³ ç³ ñïîñòåðåæåíèìè çíà÷åííÿìè yi çàëåæíî¿ çì³ííî¿ Y. Äëÿ ï³äòâåðäæåííÿ öüîãî âèñíîâêó íåîáõ³äíî ïîêàçàòè, ùî êîâàð³àö³ÿ ì³æ Y ³ u äîð³âíþº íóëþ, òîáòî Syu = 0. 6. Âèïàäêîâ³ â³äõèëåííÿ ui íåêîðåëüîâàí³ ç³ ñïîñòåðåæåíèìè çíà÷åííÿìè xi íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿ Õ ³ ç îö³íåíèìè çà ë³í³éíîþ ðåãðåñ³éíîþ ìîäåëëþ çíà÷åííÿìè çàëåæíî¿ çì³ííî¿ Yˆ. Ùîá ï³äòâåðäèòè äàíèé âèñíîâîê, íåîáõ³äíî ïîêàçàòè, ùî êîâàð³àö³ÿ ì³æ X ³ u äîð³âíþº íóëþ, òîáòî Sxu = 0, Syu ˆ = 0. (Äîâåäåííÿ ïï. 5 ³ 6 âèêîíàòè ñàìîñò³éíî.) Çàóâàæèìî, ùî â êëàñè÷í³é ë³í³éí³é åêîíîìåòðè÷í³é ìîäåë³ çì³ííà u ðîçãëÿäàºòüñÿ ÿê âèïàäêîâà çì³ííà ç íóëüîâèì ìàòåìàòè÷íèì ñïîä³âàííÿì ³ ñòàëîþ äèñïåðñ³ºþ. Îñê³ëüêè u îõîïëþº âïëèâ áàãàòüîõ íåâðàõîâàíèõ ôàêòîð³â, ÿê³ ìîæíà ââàæàòè íåçàëåæíèìè, òî íà ï³äñòàâ³ öåíòðàëüíî¿ ãðàíè÷íî¿ òåîðåìè òåî𳿠éìîâ³ðíîñòåé ðîáëÿòü âèñíîâîê, ùî öÿ âèïàäêîâà âåëè÷èíà ï³äïîðÿäêîâàíà íîðìàëüíîìó çàêîíó ðîçïîä³ëó (çàêîíó Ãàóññà). Äîâåäåíî (òåîðåìà Ãàóññà), ùî çàñòîñóâàííÿ ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â ìîæëèâå ëèøå òîä³, êîëè çàëèøêè ðîçïîä³ëåí³ íîðìàëüíî u=

ç ïàðàìåòðàìè M (U ) = 0, D [U ] = σ2u = const . Äëÿ ³ëþñòðàö³¿ ÌÍÊ ðîçãëÿíåìî òàêèé ïðèêëàä.

32

Ïðèêëàä. Äëÿ àíàë³çó çàëåæíîñò³ îáñÿãó ñïîæèâàííÿ Y (ó. î.) äîìîãîñïîäàðñòâà â³ä íàÿâíîãî ïðèáóòêó X (ó. î.) îáðàíî âèá³ðêó îáñÿãó n = 12 (ùîì³ñÿ÷íî âïðîäîâæ ðîêó), ðåçóëüòàòè ÿêî¿ íàâåäåí³ â òàáë. 2.1. Íåîáõ³äíî âèçíà÷èòè âèä çàëåæíîñò³; çà ÌÍÊ îö³íèòè ïàðàìåòðè ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿ Y ³ Õ; îö³íèòè ñèëó ë³í³éíî¿ çàëåæíîñò³ ì³æ Õ ³ Y ; à òàêîæ ñïðîãíîçóâàòè ñïîæèâàííÿ ïðè ïðèáóòêó X = 160. Òàáëèöÿ 2.1 i xi yi

1 107 102

2 109 105

3 110 108

4 113 110

5 120 115

6 122 117

7 123 119

8 128 125

9 136 132

10 140 130

11 145 141

12 150 144

Äëÿ âèçíà÷åííÿ âèäó çàëåæíîñò³ ïîáóäóºìî êîðåëÿö³éíå ïîëå (ðèñ. 2.3).

Ðèñ. 2.3

Çà ðîçì³ùåííÿì òî÷îê íà êîðåëÿö³éíîìó ïîë³ ïðèïóñêàºìî, ùî çàëåæí³ñòü ì³æ X ³ Y ë³í³éíà: Yˆ = aˆ0 + aˆ1 X ; aˆ0 , aˆ1 — îö³íêè íåâ³äîìèõ ïàðàìåòð³â ìîäåë³. Äëÿ íàî÷íîñò³ ðîçðàõóíê³â çà ÌÍÊ ñêëàäåìî òàáë. 2.2. Çã³äíî ç ÌÍÊ ìàºìî  xy − x ⋅ y 15298,08 − 125,25 ⋅ 120,67 184,1625 = = = 0,9339; aˆ1 = 2 197,1875 15884,75 − (125,25)2  x − x2  aˆ0 = y − b1 x = 120,67 = 0,9339 ⋅ 125,25 = 3,699.

33

Îòæå, ð³âíÿííÿ ïàðíî¿ ë³í³éíî¿ ðåãðåñ³¿ ìຠâèãëÿä Yˆ = 3,699 + 0,9339X . Çîáðàçèìî öþ ïðÿìó ðåãðåñ³¿ íà êîðåëÿö³éíîìó ïîë³. Çà íàâåäåíèì ð³âíÿííÿì ðîçðàõóºìî yˆi , à òàêîæ ui = yi − yˆi . Äëÿ àíàë³çó ñèëè ë³í³éíî¿ çàëåæíîñò³ îá÷èñëèìî êîåô³ö³ºíò êîðåëÿö³¿:

rxy =

xy − x ⋅ y x 2 − x 2 ⋅ y2 − y 2

=

184,1625 = 0,9914. 14,04 ⋅ 13,23

Îòðèìàíå çíà÷åííÿ êîåô³ö³ºíòà êîðåëÿö³¿ äຠçìîãó çðîáèòè âèñíîâîê ïðî ñèëüíó (ïðÿìó) ë³í³éíó çàëåæí³ñòü ì³æ çì³ííèìè X ³ Y. Öå òàêîæ ï³äòâåðäæóºòüñÿ ðîçì³ùåííÿì òî÷îê íà êîðåëÿö³éíîìó ïîë³. Òàáëèöÿ 2.2 xi2

yˆi

ei

ei2

10404

103,63

–1,36

2,66

11025

105,49

–0,49

0,24

11664

106,43

1,57

2,46

12100

109,23

0,77

0,59

13225

115,77

–0,77

0,59

14274

13689

117,63

–0,63

0,40

14637

14161

118,57

0,43

0,18

16000

15625

123,24

1,76

3,10

xi yi

yi2

i

xi

yi

1

107

102

11449

10914

2

109

105

11881

11445

3

110

108

12100

11880

4

113

110

12769

12430

5

120

115

14400

13800

6

122

117

14884

7

123

119

15129

8

128

125

16384

9

136

132

18496

17952

17424

130,71

1,29

10

140

130

19600

18200

16900

134,45

–4,45

11

145

141

21025

20445

19881

139,11

1,89

12

150

144

22500

21600

20736

143,78

0,22

Ñóìà

1503

1448

190617

183577

176834

—

Ñåðåäíº* 125,25 * **

≈ 0**

1,66 19,8 3,57 0,05 35,3

120,67 15884,75 15298,08 14736,17

Çíà÷åííÿ îêðóãëþþòüñÿ äî ñîòèõ. Óðàõîâóþòüñÿ ïîõèáêè îêðóãëåíü.

Ïðîãíîçîâàíå ñïîæèâàííÿ ïðè äîñòóïíîìó äîõîä³ Õ = 160 çà äàíîþ ìîäåëëþ ñòàíîâèòü yˆ(160) ≈ 153,12. Ïîáóäîâàíå ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿ â áóäü-ÿêîìó ðàç³ ïîòðåáóº ïåâíî¿ ³íòåðïðåòàö³¿ òà àíàë³çó. 34

²íòåðïðåòàö³ÿ, òîáòî ñëîâåñíèé îïèñ îòðèìàíèõ ðåçóëüòàò³â, íåîáõ³äíà äëÿ òîãî, ùîá ïîáóäîâàíà çàëåæí³ñòü íàáóëà ÿê³ñíîãî åêîíîì³÷íîãî çì³ñòó. Ó íàøîìó ïðèêëàä³ êîåô³ö³ºíò aˆ1 ìîæå ðîçãëÿäàòèñÿ ÿê ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî ñïîæèâàííÿ. Ôàêòè÷íî â³í ïîêàçóº, íà ÿêó âåëè÷èíó çì³íèòüñÿ îáñÿã ñïîæèâàííÿ, ÿêùî äîñòóïíèé äîõ³ä çá³ëüøèòüñÿ íà îäèíèöþ. Íà ãðàô³êó (ðèñ. 2.3) êîåô³ö³ºíò aˆ1 âèçíà÷ຠòàíãåíñ êóòà íàõèëó ïðÿìî¿ ðåãðåñ³¿ â³äíîñíî äîäàòíîãî íàïðÿìêó îñ³ àáñöèñ (ïîÿñíþþ÷î¿ çì³ííî¿). Òîìó ÷àñòî â³í íàçèâàºòüñÿ êóòîâèì êîåô³ö³ºíòîì. ³ëüíèé ÷ëåí aˆ0 ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿ âèçíà÷ຠïðîãíîçîâàíå çíà÷åííÿ Y ïðè âåëè÷èí³ íàÿâíîãî ïðèáóòêó Õ, ùî äîð³âíþº íóëþ (òîáòî àâòîíîìíå ñïîæèâàííÿ). Îäíàê òóò íåîáõ³äíà ïåâíà îáåðåæí³ñòü. Âàæëèâî, íàñê³ëüêè â³ääàëåí³ äàí³ ñïîñòåðåæåíü çà ïîÿñíþþ÷îþ çì³ííîþ â³ä îñ³ îðäèíàò (çàëåæíî¿ çì³ííî¿), òîìó ùî íàâ³òü ïðè âäàëîìó âèáîð³ ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿ äëÿ äîñë³äæóâàíîãî ³íòåðâàëó íåìຠãàðàíò³¿, ùî âîíà çàëèøèòüñÿ òàêîþ ñàìîþ é â³ääàë³ê â³ä âèá³ðêè. Ó íàøîìó âèïàäêó çíà÷åííÿ aˆ0 = 3,699 (ó. î.). Öåé ôàêò ìîæíà ïîÿñíèòè äëÿ îêðåìîãî äîìîãîñïîäàðñòâà (âîíî ìîæå âèòðà÷àòè íàêîïè÷åí³ àáî ïîçè÷åí³ êîøòè), îäíàê äëÿ êîìïëåêñó äîìîãîñïîäàðñòâ â³í âòðà÷ຠñåíñ. Ó áóäü-ÿêîìó ðàç³ çíà÷åííÿ êîåô³ö³ºíòà aˆ0 âèçíà÷ຠòî÷êó ïåðåòèíó ïðÿìî¿ ç â³ññþ îðäèíàò ³ õàðàêòåðèçóº çñóâ ë³í³¿ ðåãðåñ³¿ âçäîâæ îñ³ Y. Íåîáõ³äíî ïàì’ÿòàòè, ùî åìï³ðè÷í³ êîåô³ö³ºíòè ðåãðåñ³¿ aˆ0 ³ aˆ1 º ëèøå îö³íêàìè òåîðåòè÷íèõ êîåô³ö³ºíò³â a0 òà a1, à ñàìå ð³âíÿííÿ â³äîáðàæຠëèøå çàãàëüíó òåíäåíö³þ â ïîâåä³íö³ ðîçãëÿíóòèõ çì³ííèõ. ²íäèâ³äóàëüí³ çíà÷åííÿ çì³ííèõ ç ð³çíèõ ïðè÷èí ìîæóòü â³äõèëÿòèñÿ â³ä ìîäåëüíèõ çíà÷åíü. Ó íàøîìó ïðèêëàä³ ö³ â³äõèëåííÿ âèðàæåí³ ÷åðåç çíà÷åííÿ ui, ÿê³ º îö³íêàìè â³äïîâ³äíèõ â³äõèëåíü äëÿ ãåíåðàëüíî¿ ñóêóïíîñò³. Îäíàê çà ïåâíèõ óìîâ ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿ º íåçàì³ííèì ³ äóæå ÿê³ñíèì ³íñòðóìåíòîì àíàë³çó òà ïðîãíîçóâàííÿ. Ö³ òåìè îáãîâîðþâàòèìóòüñÿ â íàñòóïíèõ ðîçä³ëàõ. Êîíòðîëüí³ çàïèòàííÿ 1. Ùî òàêå ôóíêö³ÿ ðåãðåñ³¿? 2. ×èì ðåãðåñ³éíà ìîäåëü â³äð³çíÿºòüñÿ â³ä ôóíêö³¿ ðåãðåñ³¿? 35

3. Íàçâ³òü îñíîâí³ ïðè÷èíè íàÿâíîñò³ â ðåãðåñ³éí³é ìîäåë³ âèïàäêîâîãî â³äõèëåííÿ. 4. Íàçâ³òü îñíîâí³ åòàïè ðåãðåñ³éíîãî àíàë³çó. 5. Ó ÷îìó ïîëÿãຠâ³äì³íí³ñòü ì³æ òåîðåòè÷íèì òà åìï³ðè÷íèì ð³âíÿííÿìè ðåãðåñ³¿? 6. Äàéòå âèçíà÷åííÿ òåîðåòè÷íî¿ ðåãðåñ³éíî¿ ìîäåë³. 7. Ó ÷îìó ñóòü ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â? 8. Íàâåä³òü ôîðìóëè ðîçðàõóíêó êîåô³ö³ºíò³â åìï³ðè÷íîãî ïàðíîãî ë³í³éíîãî ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿ çà ÌÍÊ. 9. ßê ïîâ’ÿçàí³ åìï³ðè÷í³ êîåô³ö³ºíòè ë³í³éíî¿ ðåãðåñ³¿ ç âèá³ðêîâèì êîåô³ö³ºíòîì êîðåëÿö³¿ ì³æ çì³ííèìè ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿? 10. ßê³ âèñíîâêè ìîæíà çðîáèòè ïðî îö³íêè êîåô³ö³ºíò³â ðåãðåñ³¿ òà âèïàäêîâîãî â³äõèëåííÿ, îòðèìàíèõ çà ÌÍÊ? 11. Ïðî³íòåðïðåòóéòå êîåô³ö³ºíòè åìï³ðè÷íîãî ïàðíîãî ë³í³éíîãî ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿. Âïðàâè òà çàâäàííÿ 1. ×è ³ñíóº, íà âàøó äóìêó, çàëåæí³ñòü ì³æ òàêèìè ïîêàçíèêàìè: à) ÂÂÏ ³ îáñÿãîì ÷èñòîãî åêñïîðòó; á) îáñÿãîì ³íâåñòóâàíü ³ â³äñîòêîâîþ ñòàâêîþ; â) âèäàòêàìè íà îáîðîíó òà âèäàòêàìè íà îñâ³òó; ã) îö³íêàìè â øêîë³ òà îö³íêàìè â óí³âåðñèòåò³; ä) îáñÿãîì ³ìïîðòó òà ïðèáóòêîì íà äóøó íàñåëåííÿ; å) ö³íîþ íà êàâó òà ö³íîþ íà ÷àé? Ó ðàç³ ñòâåðäíî¿ â³äïîâ³ä³ îö³í³òü íàïðÿìîê çàëåæíîñò³ (ïðÿìà ÷è îáåðíåíà), à òàêîæ çàçíà÷òå, ÿêà ³ç çì³ííèõ áóäå ïîÿñíþþ÷îþ, à ÿêà — çàëåæíîþ. 2. Ó íàñòóïí³é âèá³ðö³ ïîäàíî äàí³ ùîäî ö³íè Ð äåÿêîãî áëàãà é ê³ëüêîñò³ Q öüîãî áëàãà, ÿêå äîìîãîñïîäàðñòâî êóïóº ùîì³ñÿöÿ âïðîäîâæ ðîêó. ̳ñÿöü 1 Ð 10 Q 110

2 20 75

3 15 100

4 25 80

5 30 60

6 35 55

7 40 40

8 35 80

9 25 60

10 40 30

11 45 40

12 40 30

à. Ïîáóäóéòå êîðåëÿö³éíå ïîëå ³ çà éîãî âèãëÿäîì âèçíà÷òå ôîðìóëó çàëåæíîñò³ ì³æ P ³ Q. á. Îö³í³òü çà ÌÍÊ ïàðàìåòðè ð³âíÿííÿ ë³í³éíî¿ ðåãðåñ³¿. â. Îö³í³òü âèá³ðêîâèé êîåô³ö³ºíò êîðåëÿö³¿ rpq . ã. Ïðî³íòåðïðåòóéòå ðåçóëüòàòè. 36

3. Äàíî òàáëèöþ òèæíåâîãî ïðèáóòêó (Õ) ³ òèæíåâîãî ñïîæèâàííÿ (Y) äëÿ 60 äîìàøí³õ ãîñïîäàðñòâ: X 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280

Y 60 70 90 100 110 120 120 150 140 180

65 70 95 110 120 125 140 160 160 210

75 80 95 115 120 130 145 170 180 230

85 85 100 120 130 135 145 190 210

90 90 100 125 135 140 155 200 220

100 120 125 140 150 165

130 150 160 180

150 165

à. Äëÿ êîæíîãî ð³âíÿ ïðèáóòêó ðîçðàõóéòå ñåðåäíº çíà÷åííÿ ñïîæèâàííÿ, ùî º îö³íêîþ óìîâíîãî ìàòåìàòè÷íîãî ñïîä³âàííÿ M (Y X = xi ). á. Ïîáóäóéòå êîðåëÿö³éíå ïîëå äëÿ äàíî¿ âèá³ðêè. â. Ñêëàä³òü åìï³ðè÷íå ë³í³éíå ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿, âèêîðèñòîâóþ÷è âñ³ äàí³. ã. Ñêëàä³òü åìï³ðè÷íå ë³í³éíå ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿, âèêîðèñòîâóþ÷è ò³ëüêè ñåðåäí³ çíà÷åííÿ ñïîæèâàííÿ äëÿ êîæíîãî ð³âíÿ ïðèáóòêó. ä. Ïîð³âíÿéòå ñêëàäåí³ ð³âíÿííÿ. ßêå ç íèõ, íà âàø ïîãëÿä, áëèæ÷å äî òåîðåòè÷íîãî? å. Ðîçðàõóéòå âèá³ðêîâèé êîåô³ö³ºíò êîðåëÿö³¿ äëÿ â) ³ ã). ×è áóäå ë³í³éíèé çâ’ÿçîê ì³æ äàíèìè çì³ííèìè ñóòòºâèì? ³äïîâ³äü îáãðóíòóéòå. 4. Çà 10 ïàðàìè ñïîñòåðåæåíü îòðèìàíî òàê³ ðåçóëüòàòè:

∑ xi

= 100;

∑ yi

= 200;

∑ xi yi

= 21000;

∑ xi2 = 12000; ∑ yi2 = 45000. Çà ÌÍÊ îö³í³òü êîåô³ö³ºíòè ð³âíÿíü ðåãðåñ³¿ Y íà Õ ³ Õ íà Y. Îö³í³òü êîåô³ö³ºíò êîðåëÿö³¿ rxy. 5. Äàíî òàêó åìï³ðè÷íó ðåãðåñ³éíó ìîäåëü, ïîáóäîâàíó çà ÌÍÊ: yt = b0 + b1 xt + et ,

t = 1, 2, K , T .

37

Äîâåä³òü, ùî

T

∑ et

t =1

= 0;

T

∑ et xt

t =1

= 0.

6. Äëÿ âèá³ðêè îáñÿãó n = 10 îòðèìàíî òàê³ äàí³:

∑ xi = 993,4; ∑ yi = 531,3; ∑ xi yi = 53196,61; ∑ xi2 = 105004,5;

rxy = 0,75.

Ðîçðàõóéòå îö³íêè êîåô³ö³ºíò³â ðåãðåñ³¿ Y íà Õ ³ Õ íà Y. 7. Äàíî äâ³ ðåãðåñ³¿, ðîçðàõîâàí³ çà 25 ð³÷íèìè ñïîñòåðåæåííÿìè: à) yt = −30 + 0,18 xt (ót — âèòðàòè íà æèòëî, õt — ïðèáóòîê); á) yt = 50 + 4,5t (ót — âèòðàòè íà æèòëî, t — ÷àñ). Äàéòå åêîíîì³÷íó ³íòåðïðåòàö³þ ïîáóäîâàíèõ ðåãðåñ³é. ×è âçàºìîïîâ’ÿçàí³ âîíè ì³æ ñîáîþ?

38

Ðîçä³ë 3. ÇÀÃÀËÜÍÀ ˲ͲÉÍÀ ÅÊÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÍÀ ÌÎÄÅËÜ 3.1. Áàãàòîôàêòîðí³ åêîíîìåòðè÷í³ ìîäåë³ òà ¿õ ñïåöèô³êàö³ÿ Ó áàãàòüîõ äîñë³äæåííÿõ âèÿâëÿºòüñÿ, ùî äåÿêà ðåçóëüòàòèâíà îçíàêà çì³íþºòüñÿ ï³ä âïëèâîì íå îäíîãî, à ê³ëüêîõ ôàêòîð³â. Çîêðåìà, àíàë³çóþ÷è åêîíîì³÷íó ä³ÿëüí³ñòü ï³äïðèºìñòâà òà ïðîãíîçóþ÷è éîãî ïîäàëüøèé ðîçâèòîê, äîñë³äæóþòü òàê³ ôóíêö³¿: 1) âèðîáíè÷ó ôóíêö³þ, ùî âèçíà÷ຠçàëåæí³ñòü ì³æ îáñÿãîì âèðîáëåíî¿ ïðîäóêö³¿ òà âèòðà÷åíèìè äëÿ öüîãî ðåñóðñàìè, íàïðèêëàä îñíîâíèì êàï³òàëîì ³ ïðàöåþ; 2) ôóíêö³þ ö³íè, ùî äຠçìîãó äîñë³äèòè, ÿê çì³íèòüñÿ ö³íà òîâàðó, ÿêùî çì³íèòüñÿ îáñÿã ïîñòàâîê òà ö³íè êîíêóðóþ÷èõ òîâàð³â; 3) ôóíêö³þ ïîïèòó, ùî äຠçìîãó âñòàíîâèòè, ÿê çì³íèòüñÿ ïîïèò íà ïðîäóêö³þ, ÿêùî çì³íþâàòèìóòüñÿ ö³íà òîâàðó, ö³íè òîâàð³â-êîíêóðåíò³â ³ äîõîäè ñïîæèâà÷³â; 4) ôóíêö³þ âèòðàò, ùî îïèñóº çàëåæí³ñòü ñåðåäí³õ âèòðàò íà âèðîáíèöòâ³ â³ä ö³íè òà ê³ëüêîñò³ âèðîáíè÷èõ ðåñóðñ³â; 5) ôóíêö³þ ÷óòëèâîñò³ ðèíêó, ÿêà âèçíà÷ຠçàëåæí³ñòü îáñÿãó çáóòó ïðîäóêö³¿ â³ä âèòðàò íà ðåêëàìó òà ³íäåêñó “÷èñòîòè” âèðîáëåíî¿ ïðîäóêö³¿ (“åêîëîã³÷íîãî ³íäèêàòîðà”); 6) ð³âíÿííÿ ñòðàòå㳿 ï³äïðèºìñòâà, ó ÿêîìó â³äîáðàæàºòüñÿ çàëåæí³ñòü ðåíòàáåëüíîñò³ ï³äïðèºìñòâà â³ä ïèòîìî¿ âàãè íà ðèíêó òîâàð³â, ïîä³áíèõ äî òèõ, ÿê³ âèðîáëÿº ï³äïðèºìñòâî, à òàêîæ â³ä ÿêîñò³ òîâàð³â, âèòðàò íà ìàðêåòèíã ³ íàóêîâ³ äîñë³äæåííÿ, â³ä ³íâåñòèö³éíèõ âèòðàò òîùî. Ðîçãëÿíåìî äåòàëüí³øå ïåðøó ç öèõ ôóíêö³é. Áóäü-ÿêà âèðîáíè÷à ñèñòåìà õàðàêòåðèçóºòüñÿ çàëåæí³ñòþ ì³æ ê³ëüê³ñòþ âèðîáëåíî¿ â í³é ïðîäóêö³¿ òà ñïîæèòèìè äëÿ öüîãî ðåñóð39

ñàìè. Ïðè÷îìó ïåâí³ ïîêàçíèêè ö³º¿ çàëåæíîñò³ ìàþòü äåÿê³ âèïàäêîâ³ êîëèâàííÿ. Çàëåæí³ñòü ì³æ íèìè, ôîðìàë³çîâàíó ó â³äïîâ³äíèé ñïîñ³á ó âèãëÿä³ ðåãðåñ³éíîãî ð³âíÿííÿ, íàçèâàþòü âèðîáíè÷îþ ôóíêö³ºþ. ßêùî âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ â³äîìà, òî çà ê³ëüê³ñòþ ñïîæèòèõ ñèñòåìîþ ðåñóðñ³â ìîæíà ïåðåäáà÷èòè ê³ëüê³ñòü âèðîáëåíî¿ ïðîäóêö³¿ ³, íàâïàêè, çà çàäàíîþ ê³ëüê³ñòþ âèðîáëåíî¿ ïðîäóêö³¿ ìîæíà ðîçðàõóâàòè íåîáõ³äíó ê³ëüê³ñòü â³äïîâ³äíèõ ðåñóðñ³â. Ó ðåàëüíèõ ñèñòåìàõ íåìîæëèâî âðàõóâàòè âñ³ ìîæëèâ³ ôàêòîðè, ùî âïëèâàþòü íà îáñÿãè ïðîäóêö³¿. Òîìó ðîçãëÿäàþòü íàéâèçíà÷í³ø³ ç íèõ ³ íà ï³äñòàâ³ ñïîñòåðåæåíü çà öèìè ôàêòîðàìè òà ðåçóëüòàòîì âèðîáíè÷î¿ ä³ÿëüíîñò³ áóäóþòü òàê çâàíó åìï³ðè÷íó âèðîáíè÷ó ôóíêö³þ. Îòæå, âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ – öå åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü, ÿêà ê³ëüê³ñíî îïèñóº çâ’ÿçîê îñíîâíèõ ðåçóëüòàòèâíèõ ïîêàçíèê³â âèðîáíè÷î-ãîñïîäàðñüêî¿ ä³ÿëüíîñò³ ç ôàêòîðàìè, ùî âèçíà÷àþòü ö³ ïîêàçíèêè. Âèðîáíè÷³ ôóíêö³¿ ìîæóòü ìàòè ð³çí³ ãàëóç³ çàñòîñóâàííÿ, îñê³ëüêè ïðèíöèï “âèòðàòè — âèïóñê”, ïîêëàäåíèé â îñíîâó çàëåæíîñò³, ìîæå áóòè ðåàë³çîâàíèé ÿê íà ì³êðîåêîíîì³÷íîìó, òàê ³ íà ìàêðîåêîíîì³÷íîìó ð³âí³. Íà ì³êðîåêîíîì³÷íîìó ð³âí³ çà äîïîìîãîþ òàêèõ ôóíêö³é, íàïðèêëàä, îïèñóþòü çâ’ÿçîê ì³æ âåëè÷èíîþ âèêîðèñòàíîãî ðåñóðñó ïðîòÿãîì ðîêó òà ð³÷íèì îáñÿãîì âèïóñêó ïðîäóêö³¿ îäíîãî ï³äïðèºìñòâà, îäí³º¿ ãàëóç³ ÷è ì³æãàëóçåâîãî âèðîáíè÷îãî êîìïëåêñó. ßêùî âèðîáíè÷îþ ñèñòåìîþ º ðåã³îí ÷è êðà¿íà çàãàëîì, òî ìàºìî âèðîáíè÷ó ôóíêö³þ äëÿ ìàêðîåêîíîì³÷íîãî ð³âíÿ. Ïðèêëàä. Íåõàé âèðîáíè÷ó ôóíêö³þ çàäàíî ó âèãëÿä³ f ( x) = ax b, äå x — âåëè÷èíà âèòðà÷åíîãî ðåñóðñó (íàïðèêëàä, ðîáî÷îãî ÷àñó), f ( x) — îáñÿã âèïóùåíî¿ ïðîäóêö³¿ (íàïðèêëàä, ê³ëüê³ñòü ãîòîâèõ âèðîá³â). Âåëè÷èíè a òà b — ïàðàìåòðè âèðîáíè÷î¿ ôóíêö³¿ f ( x) . Ïðè÷îìó a òà b — äîäàòí³ ÷èñëà, à b ≤ 1 . Çàäàíà ôóíêö³ÿ f ( x) çà ìàëèõ çíà÷åíü àðãóìåíòó äຠçíà÷íèé ïðèð³ñò, ÿêùî x çá³ëüøóºòüñÿ íà îäèíèöþ; çà âåëèêèõ çíà÷åíü àðãóìåíòó òàêå ñàìå çá³ëüøåííÿ àðãóìåíòó çóìîâëþº çíà÷íî ìåíøèé ïðèð³ñò ôóíêö³¿. Öÿ âëàñòèâ³ñòü f ( x) â³äáèâຠôóíäàìåíòàëüíå ïîëîæåííÿ åêîíîì³÷íî¿ òåîð³¿, ÿêå íàçèâàºòüñÿ çàêîíîì ñïàäíî¿ åôåêòèâíîñò³, à ñàìà ôóíêö³ÿ º òèïîâèì ïðåäñòàâíèêîì îäíîôàêòîðíèõ âèðîáíè÷èõ ôóíêö³é. Ó ðåàëüíèõ ñèòóàö³ÿõ îáñÿã âèïóñêó ïðîäóêö³¿ âèçíà÷àºòüñÿ, ÿê ïðàâèëî, íå îäíèì, à áàãàòüìà ôàêòîðàìè, òîìó ÷àñò³øå çàñòîñîâóþòü áàãàòîðåñóðñí³ àáî áàãàòîôàêòîðí³ âèðîáíè÷³ ôóíêö³¿. Íàéïîøèðå40

í³øîþ ñåðåä íèõ º âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ Êîááà — Äóãëàñà, ÿêà îïèñóº çàëåæí³ñòü ì³æ îáñÿãîì âèðîáëåíî¿ ïðîäóêö³¿ Y ³ âèòðàòàìè ïðàö³ L òà êàï³òàëó F :

Y = aF α Lβ . Ìíîæíèê a ³ ïîêàçíèêè ñòåïåíÿ α òà β — ïàðàìåòðè ö³º¿ ìîäåë³. Çàäàíà â òàêîìó âèãëÿä³ âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ º ìóëüòèïë³êàòèâíîþ (íåë³í³éíîþ â³äíîñíî ïàðàìåòð³â). Ëîãàðèôìóâàííÿì ¿¿ ìîæíà çâåñòè äî àäèòèâíîãî (ë³í³éíîãî â³äíîñíî ïàðàìåòð³â) âèãëÿäó: ln Y = a + α ln F + β ln L .

Çàçíà÷åíà ôóíêö³ÿ ìຠòàê³ âëàñòèâîñò³: 1) êîåô³ö³ºíò α ïîêàçóº, íà ñê³ëüêè â³äñîòê³â çì³íèòüñÿ îáñÿã âèïóñêó ïðîäóêö³¿, ÿêùî âèòðàòè ïðàö³ çì³íÿòüñÿ íà 1 %, à âèòðàòè êàï³òàëó çàëèøàòüñÿ íåçì³ííèìè. Òàêèé ïîêàçíèê íàçèâàºòüñÿ êîåô³ö³ºíòîì åëàñòè÷íîñò³ âèïóñêó çà âèòðàòàìè ïðàö³; 2) êîåô³ö³ºíò β º êîåô³ö³ºíòîì åëàñòè÷íîñò³ âèïóñêó çà âèòðàòàìè êàï³òàëó; 3) ñóìà ïàðàìåòð³â α + β îïèñóº ìàñøòàá âèðîáíèöòâà. ßêùî öÿ ñóìà äîð³âíþº îäèíèö³, ìàºìî ïîñò³éíèé ìàñøòàá âèðîáíèöòâà. À öå îçíà÷àº, ùî ç³ çá³ëüøåííÿì îáîõ âèðîáíè÷èõ ðåñóðñ³â íà îäèíèöþ îáñÿã ïðîäóêö³¿ òàêîæ çðîñòå íà îäèíèöþ. ßêùî ñóìà ìåíøà îäèíèö³, òî ìàñøòàá âèðîáíèöòâà ñïàäíèé, òîáòî òåìïè çðîñòàííÿ îáñÿãó ïðîäóêö³¿ íèæ÷³ çà òåìïè çðîñòàííÿ îáñÿãó ðåñóðñ³â. ßêùî ñóìà ïåðåâèùóº îäèíèöþ, ìàºìî çðîñòàþ÷èé ìàñøòàá: òåìïè çðîñòàííÿ îáñÿãó ïðîäóêö³¿ ïåðåâèùóþòü òåìïè çðîñòàííÿ îáñÿãó âèðîáíè÷èõ ðåñóðñ³â. Ïàðàìåòð a ó ôóíêö³¿ Êîááà — Äóãëàñà çàëåæèòü â³ä îäèíèöü âèì³ðþâàííÿ Y, F òà L ³ òàêîæ âèçíà÷àºòüñÿ åôåêòèâí³ñòþ âèðîáíè÷îãî ïðîöåñó. Îòæå, åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü âèðîáíè÷î¿ ôóíêö³¿ äຠçìîãó ïðîàíàë³çóâàòè âèðîáíè÷ó ä³ÿëüí³ñòü, ùîá âèçíà÷èòè øëÿõè ï³äâèùåííÿ ¿¿ åôåêòèâíîñò³. Îáãðóíòîâàí³ñòü òàêîãî àíàë³çó ö³ëêîâèòî çàëåæèòü â³ä äîñòîâ³ðíîñò³ ìîäåë³ òà ¿¿ àäåêâàòíîñò³ â³äïîâ³äíîìó ðåàëüíîìó ïðîöåñó. Âïëèâ áàãàòüîõ ÷èííèê³â íà ðåçóëüòàòèâíó çì³ííó ìîæå áóòè îïèñàíèé ë³í³éíîþ ìîäåëëþ (3.1) y = a0 + a1 x1 + a2 x2 + ... + am xm + u, 41

äå y — äîñë³äæóâàíà (çàëåæíà, ïîÿñíþâàíà) çì³ííà, àáî ðåãðåñàíä; x1 , x2 , ..., xm — íåçàëåæí³, ïîÿñíþþ÷³ çì³íí³, àáî ðåãðåñîðè; a1 , a2 , ..., am — ïàðàìåòðè ìîäåë³; u — âèïàäêîâà ñêëàäîâà ðåãðåñ³éíîãî ð³âíÿííÿ. Ôóíêö³ÿ (3.1) º ë³í³éíîþ â³äíîñíî íåçàëåæíèõ çì³ííèõ ³ ïàðàìåòð³â ìîäåë³, àëå ñàìå ë³í³éí³ñòü çà ïàðàìåòðàìè º á³ëüø ñóòòºâîþ, îñê³ëüêè öå ïîâ’ÿçàíî ç ìåòîäàìè îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â. Âèïàäêîâà ñêëàäîâà u º ðåçóëüòàòèâíîþ 䳺þ âñ³õ íåêîíòðîëüîâàíèõ âèïàäêîâèõ ôàêòîð³â, ùî çóìîâëþþòü â³äõèëåííÿ ðåàëüíèõ çíà÷åíü äîñë³äæóâàíîãî ïîêàçíèêà y â³ä àíàë³òè÷íèõ (îá÷èñëåíèõ íà ï³äñòàâ³ îáðàíî¿ ðåãðåñ³éíî¿ çàëåæíîñò³). Çðîçóì³ëî, ùî ë³í³éí³ çâ’ÿçêè íå âè÷åðïóþòü óñ³õ ìîæëèâèõ ôîðì çàëåæíîñò³ ì³æ ïîêàçíèêàìè. Òîìó ïðè äîñë³äæåíí³ êîíêðåòíîãî åêîíîì³÷íîãî ÿâèùà ïåðøî÷åðãîâèì çàâäàííÿì º ïîøóê íàéòî÷í³øî¿ àíàë³òè÷íî¿ ôîðìè îïèñó ñòàòèñòè÷íîãî çâ’ÿçêó ì³æ éîãî ïîêàçíèêàìè. Ïåâíà ôîðìà çàëåæíîñò³ ïîâèííà ìàòè â³äïîâ³äíå åêîíîì³÷íå îáãðóíòóâàííÿ. ßêùî âèãëÿä çàëåæíîñò³ âñòàíîâèòè âàæêî, òî çà ïåðøå íàáëèæåííÿ äî ìîäåë³ âñå æ îáèðàþòü ë³í³éíó çàëåæí³ñòü. Çâè÷àéíèì ìàòåìàòè÷íèì ï³äõîäîì äî ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷ º âèîêðåìëåííÿ ñïåöèô³÷íèõ êëàñ³â çàäà÷ àáî çâåäåííÿ çàäà÷ äî äåÿêîãî êëàñó ³ çàñòîñóâàííÿ â³äïîâ³äíèõ ìåòîä³â ðîçâ’ÿçóâàííÿ. Îñê³ëüêè äîñë³äæåííÿ ë³í³éíèõ ôóíêö³é ìຠíåçàïåðå÷í³ ïåðåâàãè ïåðåä ³íøèìè êëàñàìè ôóíêö³é, òî íåë³í³éí³ ôóíêö³¿ íàìàãàþòüñÿ ïåðåäóñ³ì çâåñòè äî ë³í³éíèõ. Íàïðèêëàä, ñòåïåíåâà ôóíêö³ÿ y = a0 x1a1 x2a2 ... xmam

ï³ñëÿ ëîãàðèôìóâàííÿ íàáèðຠâèãëÿäó ln y = ln a0 + a1 ln x1 + a2 ln x2 + … + am ln x m

³ ï³ñëÿ çàì³íè ln a0 = a º ë³í³éíîþ â³äíîñíî ïàðàìåòð³â a, a1 , ..., an. Ïîêàçíèêîâà ôóíêö³ÿ y = a0 a1x1 a2x2 ... amxm

ï³ñëÿ ëîãàðèôìóâàííÿ íàáèðຠâèãëÿäó ln y = ln a0 + x1 ln a1 + x2 ln a2 + … + x m ln am

42

³ ï³ñëÿ çàì³íè ln ai = bi , i = 0, 1, 2, ..., m, º ë³í³éíîþ â³äíîñíî ïàðàìåòð³â bi. óïåðáîë³÷íà y = a0 +

a1 a2 a + +…+ m x1 x2 xm

³ êâàäðàòè÷íà

y = a0 + a1 x12 + a2 x22 + … + am xm2 ôóíêö³¿ çàì³íîþ çì³ííèõ zi = äî ë³í³éíîãî âèãëÿäó:

1 àáî zi = xi2 , i = 1, 2, ..., m, çâîäÿòüñÿ xi

y = a0 + a1 z1 + a2 z2 + ... + am zm .

Çàóâàæèìî, ùî â ñó÷àñíîìó åêîíîì³÷íîìó àíàë³ç³ ³ñíóþòü çàëåæíîñò³, ÿê³ íå çâîäÿòüñÿ äî ë³í³éíèõ åëåìåíòàðíèìè ïåðåòâîðåííÿìè, îäíàê ¿õ ïàðàìåòðè ìîæíà ëåãêî ðîçðàõóâàòè ñïåö³àëüíèìè ñïðîùåíèìè ìåòîäàìè [13]. Îñê³ëüêè íàéïîøèðåí³øèìè â åêîíîìåòðè÷íîìó ìîäåëþâàíí³ º ë³í³éí³ ôóíêö³¿, îáãðóíòóâàííÿ åêîíîìåòðè÷íèõ ìåòîä³â ðîçãëÿäàþòü, ÿê ïðàâèëî, íà áàç³ ë³í³éíèõ ìîäåëåé. Îòæå, ïðåäìåòîì íàøèõ äîñë³äæåíü áóäå óçàãàëüíåíà áàãàòîôàêòîðíà ë³í³éíà ðåãðåñ³éíà ìîäåëü (3.1). ßê çàçíà÷àëîñÿ, óçàãàëüíåíà ðåãðåñ³éíà ìîäåëü ñïðàâäæóºòüñÿ äëÿ âñ³º¿ ãåíåðàëüíî¿ ñóêóïíîñò³, à ïîõèáêà ðåãðåñ³¿ ìຠïåâíèé çàêîí ðîçïîä³ëó. Íà ïðàêòèö³ ìàþòü ñïðàâó ç âèá³ðêîâîþ ìîäåëëþ, òîáòî ç òàêîþ, ÿêà ïîáóäîâàíà äëÿ äåÿêî¿ âèá³ðêè. Ïàðàìåòðè âèá³ðêîâî¿ ìîäåë³ º âèïàäêîâèìè âåëè÷èíàìè, à ¿õ ìàòåìàòè÷íå ñïîä³âàííÿ äîð³âíþº ïàðàìåòðàì óçàãàëüíåíî¿ ìîäåë³. Ùîá âèçíà÷èòè ïàðàìåòðè óçàãàëüíåíî¿ ìîäåë³, íåîáõ³äíî çà âèá³ðêîþ îòðèìàòè ÿêîìîãà êðàù³ ¿õ îö³íêè, òîáòî çíà÷åííÿ, íàéáëèæ÷³ äî ïàðàìåòð³â óçàãàëüíåíî¿ ìîäåë³. Ç ö³ºþ ìåòîþ âèêîðèñòîâóþòü ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â (ÌÍÊ).

43

3.2. Ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â 3.2.1. Îñíîâí³ ïðèïóùåííÿ Çàñòîñóâàííÿ ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â äî çàãàëüíî¿ ë³í³éíî¿ áàãàòîôàêòîðíî¿ ìîäåë³ (3.1) ïåðåäáà÷ຠíàÿâí³ñòü òàêèõ ïåðåäóìîâ: 1) êîæíå çíà÷åííÿ âèïàäêîâî¿ ñêëàäîâî¿ ð³âíÿííÿ ui , i = 1, 2, ..., n, º âèïàäêîâîþ âåëè÷èíîþ ³ ìàòåìàòè÷íå ñïîä³âàííÿ çàëèøê³â ui äîð³âíþº íóëþ: M (u) = 0;

2) êîìïîíåíòè âåêòîðà çàëèøê³â íåêîðåëüîâàí³ (ë³í³éíî íåçàëåæí³) ì³æ ñîáîþ ³ ìàþòü ñòàëó äèñïåðñ³þ:

M (uTu) = σ2E ; 3) ïîÿñíþþ÷³ çì³íí³ (ðåãðåñîðè, ôàêòîðè ìîäåë³) íåêîðåëüîâàí³ ³ç çàëèøêàìè; 4) ïîÿñíþþ÷³ çì³íí³ íåêîðåëüîâàí³ ì³æ ñîáîþ. Ïîðóøåííÿ ïåðøî¿ ïåðåäóìîâè îçíà÷àº, ùî ³ñíóº ñèñòåìàòè÷íèé âïëèâ íà çàëåæíó çì³ííó, ÿêèé íå âðàõîâàíî â ìîäåë³. Òàêó ñèòóàö³þ ìîæíà òðàêòóâàòè ÿê ïîìèëêó ñïåöèô³êàö³¿, îäíàê íàÿâí³ñòü â³ëüíîãî ÷ëåíà ìîäåë³ äຠçìîãó ñêîðèãóâàòè ìîäåëü òàê, ùîá çàáåçïå÷èòè âèêîíàííÿ ïåðøî¿ ïåðåäóìîâè. Äðóãà ïåðåäóìîâà îçíà÷àº, ùî çàëèøêè ìîäåë³ º ïîìèëêàìè âèì³ðþâàííÿ. ßêùî ì³æ êîìïîíåíòàìè âåêòîðà çàëèøê³â ³ñíóº êîðåëÿö³éíà çàëåæí³ñòü, òàêå ÿâèùå íàçèâàºòüñÿ àâòîêîðåëÿö³ºþ. Íàÿâí³ñòü àâòîêîðåëÿö³¿ â ìîäåë³ ñâ³ä÷èòü ïðî ³ñíóâàííÿ êîðåëÿö³¿ ì³æ ïîñë³äîâíèìè çíà÷åííÿìè äåÿêî¿ íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿ àáî ïðî íåâðàõîâàíèé ñóòòºâèé ôàêòîð, ùî âïëèâຠíà çàëåæíó çì³ííó ³ íå ìîæå áóòè óñóíåíèé çà ðàõóíîê â³ëüíîãî ÷ëåíà ìîäåë³. Çàãàëüíèé âïëèâ ïîÿñíþþ÷èõ çì³ííèõ, íå âðàõîâàíèõ ó ìîäåë³, ìîæå âèÿâèòèñÿ òàêîæ ó òîìó, ùî äèñïåðñ³ÿ çàëèøê³â äëÿ îêðåìèõ ãðóï ñïîñòåðåæåíü çì³íþâàòèìåòüñÿ. Òàêå ÿâèùå íàçèâàºòüñÿ ãåòåðîñêåäàñòè÷í³ñòþ. Ó áóäüÿêîìó ðàç³ ïîðóøåííÿ äðóãî¿ ïåðåäóìîâè âïëèâຠíà ìåòîäè îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ìîäåë³. Íàÿâí³ñòü çàëåæíîñò³ ì³æ çàëèøêàìè òà íåçàëåæíèìè çì³ííèìè íàé÷àñò³øå ïîâ’ÿçàíà ç òèì, ùî â ìîäåë³ ïðèñóòí³ ëàãîâ³ (çàòðèìàí³ â ÷àñ³) çì³íí³ àáî âîíà áóäóºòüñÿ íà áàç³ îäíî÷àñíèõ ñòðóêòóðíèõ 44

ð³âíÿíü. Äëÿ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ³ â öüîìó ðàç³ çàñòîñîâóþòü ³íø³ ìåòîäè. Çàëåæí³ñòü ì³æ íåçàëåæíèìè çì³ííèìè ìîæå çíà÷íîþ ì³ðîþ âïëèâàòè íà ÿê³ñòü îö³íîê, îòðèìàíèõ çà ÌÍÊ. ßêùî ì³æ íåçàëåæíèìè çì³ííèìè ìîäåë³ ³ñíóþòü ò³ñí³ ë³í³éí³ çâ’ÿçêè, öå ÿâèùå íàçèâàþòü ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòþ. Ìîäåë³, ó ÿêèõ ñïîñòåð³ãàºòüñÿ ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü, ñòàþòü íàäçâè÷àéíî ÷óòëèâèìè äî êîíêðåòíîãî íàáîðó äàíèõ, äî ñïåöèô³êàö³¿ ìîäåë³ é ìàþòü çíà÷í³ â³äõèëåííÿ â³ä ä³éñíèõ çíà÷åíü ïàðàìåòð³â óçàãàëüíåíî¿ ìîäåë³. Êð³ì ðîçãëÿíóòèõ ÷îòèðüîõ ïåðåäóìîâ âàæëèâå çíà÷åííÿ ìຠïðèïóùåííÿ ïðî íîðìàëüíèé ðîçïîä³ë çàëèøê³â ìîäåë³. Öå ïðèïóùåííÿ çàáåçïå÷óº íîðìàëüíèé ðîçïîä³ë êîåô³ö³ºíò³â ðåãðåñ³¿ é äຠçìîãó âèêîðèñòîâóâàòè â³äîì³ êðèòå𳿠äëÿ ïåðåâ³ðêè ñòàòèñòè÷íèõ ã³ïîòåç â³äíîñíî îòðèìàíèõ îö³íîê, à òàêîæ âèçíà÷àòè ¿õ äîâ³ð÷³ ³íòåðâàëè.

3.2.2. ÌÍÊ-îö³íêè ïàðàìåòð³â ë³í³éíî¿ ðåãðåñ³¿ òà ¿õ îñíîâí³ âëàñòèâîñò³ Ç òåî𳿠éìîâ³ðíîñòåé â³äîìî (äîâåäåíî â òåîðåì³ Ãàóññà — Ìàðêîâà), ùî êîëè âèêîíóþòüñÿ ïåðåë³÷åí³ ïåðåäóìîâè, òî îòðèìàí³ çà äîïîìîãîþ ÌÍÊ îö³íêè ïàðàìåòð³â ðåãðåñ³éíîãî ð³âíÿííÿ º íåçì³ùåíèìè, îáãðóíòîâàíèìè, åôåêòèâíèìè òà ³íâàð³àíòíèìè. Íàÿâí³ñòü òàêèõ âëàñòèâîñòåé îö³íîê ãàðàíòóº, ùî îñòàíí³ íå ìàþòü ñèñòåìàòè÷íî¿ ïîõèáêè (íåçì³ùåí³ñòü), íàä³éí³ñòü ¿õ ï³äâèùóºòüñÿ ç³ çá³ëüøåííÿì îáñÿãó âèá³ðêè (îáãðóíòîâàí³ñòü), âîíè º íàéêðàùèìè ñåðåä ³íøèõ îö³íîê ïàðàìåòð³â, ë³í³éíèõ â³äíîñíî åíäîãåííî¿ çì³ííî¿ (åôåêòèâí³ñòü). Êð³ì òîãî, îö³íêà ïåðåòâîðåíèõ ïàðàìåòð³â (îö³íêà ôóíêö³¿ â³ä ïàðàìåòðà) ìîæå áóòè îòðèìàíà â ðåçóëüòàò³ àíàëîã³÷íîãî ïåðåòâîðåííÿ îö³íêè ïàðàìåòðà (³íâàð³àíòí³ñòü). Çîêðåìà, ÿêùî ïîðóøóºòüñÿ äðóãà ïåðåäóìîâà ÌÍÊ (çà íàÿâíîñò³ àâòîêîðåëÿö³¿ ÷è ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³), òî îòðèìàí³ çà öèì ìåòîäîì îö³íêè âòðà÷àþòü âëàñòèâ³ñòü åôåêòèâíîñò³, õî÷à çàëèøàþòüñÿ íåçì³ùåíèìè òà îáãðóíòîâàíèìè. ßêùî ïîðóøóºòüñÿ ÷åòâåðòà ïåðåäóìîâà, òîáòî ì³æ çì³ííèìè ³ñíóþòü ìóëüòèêîë³íåàðí³ çâ’ÿçêè, öå ïðèçâîäèòü äî çì³ùåííÿ ÌÍÊ-îö³íîê. Çàñòîñóâàííÿ ìîäåëåé, ùî ìàþòü çì³ùåí³ ÷è íååôåêòèâí³ îö³íêè, âòðà÷ຠñåíñ. 45

3.2.3. Îö³íþâàííÿ çà ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â òà ³íòåðïðåòàö³ÿ ðåçóëüòàò³â Íåõàé â³äîìî n ñïîñòåðåæåíü íåçàëåæíèõ çì³ííèõ x1 , x2 , ..., xm ³ n ñïîñòåðåæåíü çàëåæíî¿ çì³ííî¿ y. Íåîáõ³äíî çà ÌÍÊ îö³íèòè ïàðàìåòðè a0 , a1 , a2 , ..., am ë³í³éíî¿ ìîäåë³ (3.1). ßêùî âèêîíóþòüñÿ çàçíà÷åí³ ðàí³øå ïåðåäóìîâè, òî îö³íêè ïàðàìåòð³â ìîæíà îòðèìàòè çà òàêèì àëãîðèòìîì. 1. Íåçàëåæí³ çì³íí³ çàïèñàòè ó âèãëÿä³ ìàòðèö³

X = {x0 , x1 , x2 , ..., xm } , äå x0 — âåêòîð, ñêëàäåíèé ç n îäèíèöü; x1 , x2 , ..., xm — âåêòîðè ñïîñòåðåæåíü íåçàëåæíèõ çì³ííèõ. 2. Îá÷èñëèòè ìàòðèöþ X TX ³ âåêòîð X Ty , äå X T — òðàíñïîíîâàíà ìàòðèöÿ X, y — âåêòîð ñïîñòåðåæåíü çàëåæíî¿ çì³ííî¿. Çàóâàæåííÿ. Òðàíñïîíîâàíà ìàòðèöÿ óòâîðþºòüñÿ ç âèõ³äíî¿ ïåðåòâîðåííÿì ðÿäê³â ó ñòîâïö³. 3. Îá÷èñëèòè îáåðíåíó ìàòðèöþ ( X TX )−1 . −1 Çàóâàæåííÿ. Ìàòðèöÿ A íàçèâàºòüñÿ îáåðíåíîþ äî A, ÿêùî âèêîíóºòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿ A−1 A = AA−1 = E , äå E — îäèíè÷íà ìàòðèöÿ. 4. Îá÷èñëèòè ïàðàìåòðè ìîäåë³ çà ôîðìóëîþ

a = ( X TX )−1 ( X Ty),

(3.2)

äå a — âåêòîð ïàðàìåòð³â, a = (a0 , a1 , a2 , ..., am )T . Çàóâàæåííÿ. Äëÿ âèçíà÷åííÿ îö³íîê ïàðàìåòð³â ìîæíà ñêîðèñòàòèñÿ áóäü-ÿêèì ìåòîäîì ðîçâ’ÿçàííÿ ñèñòåìè ë³í³éíèõ ð³âíÿíü â³äíîñíî âåêòîðà íåâ³äîìèõ çì³ííèõ:

( X TX )a = X Ty . Ïðèêëàä [3]. ϳäïðèºìñòâî, ùî ñêëàäàºòüñÿ ç áàãàòüîõ ô³ë³é, äîñë³äæóº çàëåæí³ñòü ñâîãî ð³÷íîãî òîâàðîîá³ãó y (ìëí ó. î.) â³ä òîðãîâî¿ ïëîù³ ñâî¿õ ô³ë³é x1 (òèñ. êâ. ì) ³ ñåðåäíüîäåííî¿ ³íòåíñèâíîñò³ ïîòîêó ïîêóïö³â (òèñ. ÷îë./äåíü). Ïðîñòîðîâ³ äàí³ çà ô³ë³ÿìè íàâåäåíî â òàáë. 3.1. 46

Äëÿ â³äîáðàæåííÿ çàëåæíîñò³ ì³æ öèìè ïîêàçíèêàìè îáèðàþòü ë³í³éíó ðåãðåñ³éíó ìîäåëü y = a0 + a1 x1 + a2 x2 + u . Òàáëèöÿ 3.1 Íîìåð ô³ë³¿

Çíà÷åííÿ y ( yi )

Çíà÷åííÿ x1 ( x1i )

Çíà÷åííÿ x2 ( x2i )

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2,93 5,27 6,85 7,01 7,02 8,35 4,33 5,77 7,68 3,16 1,52 3,15

0,31 0,98 1,21 1,29 1,12 1,49 0,78 0,94 1,29 0,48 0,24 0,55

10,24 7,15 10,81 9,89 13,72 13,92 8,54 12,36 12,27 11,01 8,25 9,31

Ó ðåçóëüòàò³ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â çà ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â îòðèìàíî òàê³ îö³íêè: aˆ0 = −0,832; aˆ1 = 4,743; aˆ2 = 0,175. Îö³íêè ³íòåðïðåòóþòüñÿ òàêèì ÷èíîì. Êîåô³ö³ºíò a1 = 4,743 îçíà÷àº, ùî çà ³íøèõ íåçì³ííèõ óìîâ çì³ííà x1 çá³ëüøèòüñÿ (çìåíøèòüñÿ) íà îäèíèöþ, çàëåæíà çì³ííà y çá³ëüøèòüñÿ (çìåíøèòüñÿ) â³äïîâ³äíî íà 4,743 îäèíèö³. Çîêðåìà, ó íàâåäåíîìó ïðèêëàä³ çá³ëüøåííÿ (çìåíøåííÿ) òîðãîâî¿ ïëîù³ íà 1 òèñ. êâ. ì çá³ëüøèòü (çìåíøèòü) ð³÷íèé òîâàðîîá³ã íà 4,743 ìëí ó. î. Àíàëîã³÷íî, çá³ëüøåííÿ (çìåíøåííÿ) ñåðåäíüîäåííî¿ ³íòåíñèâíîñò³ ïîêóïö³â íà 1 òèñ. ÷îë./äåíü çá³ëüøèòü (çìåíøèòü) ð³÷íèé òîâàðîîá³ã íà 0,175 ìëí ó. î.

3.3. Âåðèô³êàö³ÿ ìîäåë³ 3.3.1. Ïîêàçíèêè ÿêîñò³ ìîäåë³ Ó êëàñè÷íîìó ðåãðåñ³éíîìó àíàë³ç³ ââàæàºòüñÿ, ùî ôóíêö³ÿ ðåãðåñ³¿ â³äîìà äî îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â, òîáòî ðåãðåñ³éíà ìîäåëü ñïåöèô³êîâàíà ïðàâèëüíî. Îäíàê â åìï³ðè÷íèõ åêîíîì³÷íèõ ³ ñîö³àëü47

íèõ äîñë³äæåííÿõ íå çàâæäè â³äîìî, ñê³ëüêè ôàêòîð³â ìຠáóòè ââåäåíî â ìîäåëü ³ ÿêà ôîðìà çàëåæíîñò³ êðàùå îïèñóº ðåàëüí³ çâ’ÿçêè. Ùîá çàáåçïå÷èòè íàéá³ëüø àäåêâàòíå â³äòâîðåííÿ äîñë³äæóâàíîãî ÿâèùà ÷è ïðîöåñó, íåîáõ³äíî âèáðàòè ðåãðåñ³éíó ôóíêö³þ ñåðåä áàãàòüîõ âàð³àíò³â, âèêîðèñòîâóþ÷è ñïåö³àëüí³ êðèòå𳿠ÿêîñò³ ìîäåë³. Äëÿ ïåðåâ³ðêè êîðåêòíîñò³ ïîáóäîâè ìîäåë³ âèçíà÷àþòü íàñàìïåðåä: • ñòàíäàðòíó ïîõèáêó ð³âíÿííÿ; • êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿; • êîåô³ö³ºíò ìíîæèííî¿ êîðåëÿö³¿; • ñòàíäàðòíó ïîõèáêó ïàðàìåòð³â. Çàóâàæèìî, ùî çàçíà÷åí³ ïîêàçíèêè îòðèìóþòü íà ï³äñòàâ³ êîíêðåòíèõ ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ, òîáòî êîæíà ç öèõ õàðàêòåðèñòèê º âèá³ðêîâîþ õàðàêòåðèñòèêîþ ³ òîìó ìຠáóòè ïåðåâ³ðåíà íà çíà÷óù³ñòü çà äîïîìîãîþ ñïåö³àëüíèõ ñòàòèñòè÷íèõ êðèòåð³¿â. Ñòàíäàðòíà ïîõèáêà ð³âíÿííÿ (òî÷êîâà îö³íêà åìï³ðè÷íî¿ äèñïåðñ³¿ çàëèøê³â) õàðàêòåðèçóº àáñîëþòíó âåëè÷èíó ðîçêèäó âèïàäêîâî¿ ñêëàäîâî¿ ð³âíÿííÿ ³ îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ Su2 =

1 n 2 ∑ ui . n i =1

Ïîïðàâêà íà ÷èñëî ñòóïåí³â ñâîáîäè äຠíåçì³ùåíó îö³íêó äèñïåðñ³¿ çàëèøê³â: n 1 ˆ u2 = ui2 . σ ∑ n − m − 1 i =1 Çðîçóì³ëî, ùî ïåðåâàãà â³ääàºòüñÿ ìîäåëÿì, ó ÿêèõ ñòàíäàðòíà ïîõèáêà ð³âíÿííÿ ìåíøà ïîð³âíÿíî ç ³íøèìè ìîäåëÿìè. Îäíàê òàêà îö³íêà ÿêîñò³ ìຠñóòòºâèé íåäîë³ê: ÷åðåç òå ùî äëÿ íå¿ íå âèçíà÷åíî âåðõíþ ìåæó, ïîð³âíÿííÿ ð³çíèõ ìîäåëåé çà öèì êðèòåð³ºì äîñèòü ïðîáëåìàòè÷íå. Êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿ R2 ïîêàçóº, ÿêà ÷àñòèíà ðóõó çàëåæíî¿ çì³ííî¿ îïèñóºòüñÿ äàíèì ðåãðåñ³éíèì ð³âíÿííÿì, ³ îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ R2 = 1 −

48

Su2 S y2

,

äå S y2 =

1 n ∑ ( yi − y )2 ; y — ñåðåäíº çíà÷åííÿ çàëåæíî¿ çì³ííî¿, n i =1 y=

1 n ∑ yi . n i =1

Íà çíà÷åííÿ êîåô³ö³ºíòà äåòåðì³íàö³¿ âïëèâຠê³ëüê³ñòü ôàêòîð³â, ùî âðàõîâàíî â ìîäåë³. Óâåäåííÿ â ìîäåëü êîæíî¿ íîâî¿ çì³ííî¿ çá³ëüøóº çíà÷åííÿ êîåô³ö³ºíòà äåòåðì³íàö³¿. Òîìó ùîá çàïîá³ãòè íåâèïðàâäàíîìó ðîçøèðåííþ ìîäåë³ é ìàòè çìîãó ïîð³âíþâàòè ìîäåë³ ç ð³çíîþ ê³ëüê³ñòþ ôàêòîð³â, óâîäÿòü ñïåö³àëüíèé îö³íåíèé êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿ R2 = 1 −

σ2u

σ2y

,

äå σ2u — íåçì³ùåíà îö³íêà äèñïåðñ³¿ çàëèøê³â; σ 2y — íåçì³ùåíà îö³í1 n êà äèñïåðñ³¿ çàëåæíî¿ çì³ííî¿, σ2y = ∑ ( yi − y )2. n − 1 i =1 Íåâàæêî ïîì³òèòè, ùî îáèäâà êîåô³ö³ºíòè ïîâ’ÿçàí³ òàêîþ çàëåæí³ñòþ: n −1 R 2 = 1 − (1 − R 2 ) . n − m −1 Îá÷èñëåíèé ó òàêèé ñïîñ³á êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿ íàçèâàºòüñÿ ñêîðèãîâàíèì çà Òåéëîì ³ ïîçíà÷àºòüñÿ RT2 . Êð³ì òîãî çàñòîñîâóþòü òàêîæ êîðèãóâàííÿ çà Àìå쳺þ, ÿêå âèêîíóºòüñÿ çà ôîðìóëîþ R 2 = 1 − (1 − R 2 )

n+m . n − m −1

Îá÷èñëåíèé ó òàêèé ñïîñ³á êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿ íàçèâàºòüñÿ ñêîðèãîâàíèì çà Àìå쳺þ ³ ïîçíà÷àºòüñÿ RA2 .

Îáèäâà êîåô³ö³ºíòè RT2 ³ RA2 âðàõîâóþòü òîé ôàêò, ùî óâåäåííÿ â ìîäåëü êîæíîãî íîâîãî ðåãðåñîðà çìåíøóº ÷èñëî ñòóïåí³â ñâîáîäè. À äëÿ çàñòîñóâàííÿ ñòàòèñòè÷íèõ êðèòåð³¿â ïåðåâ³ðêè ÿêîñò³ îòðèìàíèõ ðåçóëüòàò³â ñòóïåí³â ñâîáîäè áàæàíî ìàòè ÿêîìîãà á³ëüøå. 2 Î÷åâèäíî, äëÿ êîæíîãî RT ³ RA2 âèêîíóºòüñÿ íåð³âí³ñòü R 2 ≤ R2, òîáòî ç³ çá³ëüøåííÿì ê³ëüêîñò³ ôàêòîð³â ìîäåë³ îö³íåí³ êîåô³ö³ºíòè 49

äåòåðì³íàö³¿ çðîñòàþòü ïîâ³ëüí³øå, í³æ R 2. Êð³ì òîãî, ÿêùî R 2 = 1, òî ³ R2 = 1. ßêùî R2 ïðÿìóº äî íóëÿ, îö³íåí³ êîåô³ö³ºíòè ñòàþòü â³ä’ºìíèìè. Òàêà âëàñòèâ³ñòü ñêîðèãîâàíèõ êîåô³ö³ºíò³â äåòåðì³íàö³¿ äຠçìîãó á³ëüø îᒺêòèâíî îö³íþâàòè ÿê³ñòü ìîäåëåé ç ð³çíîþ ê³ëüê³ñòþ ôàêòîð³â, ïðè÷îìó â ðàç³ çàñòîñóâàííÿ êîåô³ö³ºíòà RA2 (ñêîðèãîâàíîãî çà Àìå쳺þ) ïåðåâàãà îäíîçíà÷íî â³ääàºòüñÿ ð³âíÿííþ ç ìåíøîþ ê³ëüê³ñòþ ðåãðåñîð³â. Çàóâàæåííÿ. Êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿ ìຠùå äâà ð³âíîö³ííèõ îçíà÷åííÿ. Çà ïåðøèì, êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿ R 2 äîð³âíþº êâàäðàòó åìï³ðè÷íîãî êîåô³ö³ºíòà êîðåëÿö³¿ ì³æ äâîìà ðÿäàìè ñïîñòåðåæåíü (òåîðåòè÷íèìè çíà÷åííÿìè ðåãðåñàíäà yi òà éîãî ðîçðàõóíêîâèìè çíà÷åííÿìè yˆi , i = 1, 2, ..., n) ³ îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ R2 =

(∑ ( yi − y )( yˆi − y ))2

∑ ( yi − y)2 ∑ ( yˆi − y)2

.

Çà äðóãèì, êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿ R2 äîð³âíþº â³äíîøåííþ ñóìè êâàäðàò³â â³äõèëåíü ðîçðàõóíêîâèõ çíà÷åíü ðåãðåñàíäà â³ä éîãî ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ äî ñóìè êâàäðàò³â â³äõèëåíü ñïîñòåðåæåíèõ çíà÷åíü ðåãðåñàíäà â³ä òîãî ñàìîãî ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ:

R2 = Â îáîõ âèïàäêàõ ñóìà ìè i = 1, 2, ..., n .

∑

∑ ( yˆi − y)2 ∑ ( yi − y)2

.

îá÷èñëþºòüñÿ çà âñ³ìà ñïîñòåðåæåííÿ-

Êîåô³ö³ºíò ìíîæèííî¿ êîðåëÿö³¿ R (R) âèçíà÷ຠì³ðó çâ’ÿçêó çàëåæíî¿ çì³ííî¿ ç óñ³ìà íåçàëåæíèìè ôàêòîðàìè ³ º êîðåíåì êâàäðàòíèì ç â³äïîâ³äíîãî êîåô³ö³ºíòà äåòåðì³íàö³¿: R = R 2 ( R = R 2 ). Ñòàíäàðòíà ïîõèáêà ð³âíÿííÿ, êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿ òà ìíîæèííî¿ êîðåëÿö³¿ º õàðàêòåðèñòèêàìè, çà ÿêèìè ïåðåâ³ðÿºòüñÿ ïðàâèëüí³ñòü âèáîðó íåçàëåæíèõ çì³ííèõ ìîäåë³. Ïðè ïîð³âíÿíí³ ðåãðåñ³éíèõ ð³âíÿíü ç ð³çíîþ ê³ëüê³ñòþ íåçàëåæíèõ çì³ííèõ âèð³øàëüíèìè êðèòåð³ÿìè º ñòàíäàðòíà ïîõèáêà ð³âíÿííÿ (íàéìåíøà) òà êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿ (ÿêîìîãà áëèæ÷èé äî îäèíèö³ ³ ç á³ëüøèì ÷èñëîì ñòóïåí³â ñâîáîäè). 50

3.3.2. Ïåðåâ³ðêà çíà÷óùîñò³ òà äîâ³ð÷³ ³íòåðâàëè Ðîçãëÿíóò³ ïîêàçíèêè ÿêîñò³ ìîäåë³ ïîáóäîâàí³ çà äàíèìè ñïîñòåðåæåíü, òîáòî º äåÿêèìè âèá³ðêîâèìè õàðàêòåðèñòèêàìè ãåíåðàëüíî¿ ñóêóïíîñò³. Ç ìàòåìàòè÷íî¿ ñòàòèñòèêè â³äîìî, ùî áóäü-ÿêà ñòàòèñòèêà (ôóíêö³ÿ â³ä åëåìåíò³â âèá³ðêè) ìຠáóòè ïåðåâ³ðåíà íà çíà÷óù³ñòü. ²íøèìè ñëîâàìè, çà äîïîìîãîþ ñïåö³àëüíèõ êðèòåð³¿â íåîáõ³äíî âñòàíîâèòè, ÷è çóìîâëåíî çíà÷åííÿ ö³º¿ ôóíêö³¿ ëèøå ïîõèáêàìè âèì³ðþâàííÿ, ÷è âîíà â³äîáðàæຠÿêóñü ñóòòºâó (çíà÷óùó) ³íôîðìàö³þ. Íåïåðåâ³ðåíèé ñòàòèñòè÷íèé ðåçóëüòàò º ëèøå äåÿêîþ ã³ïîòåçîþ, ÿêà ìîæå áóòè ïðèéíÿòà ÷è â³äõèëåíà. Íàãàäàºìî, ùî ïåðåâ³ðêà ã³ïîòåç ó çàãàëüíîìó âèïàäêó âèêîíóºòüñÿ â òàêîìó ïîðÿäêó: äëÿ êîæíî¿ çàäà÷³ äîáèðàºòüñÿ äåÿêà âèïàäêîâà âåëè÷èíà, ùî ìຠâ³äîìèé ÷è áëèçüêèé äî â³äîìîãî çàêîí ðîçïîä³ëó. Ôóíêö³ÿ â³ä åëåìåíò³â âèá³ðêè º êîíêðåòíîþ ðåàë³çàö³ºþ ö³º¿ âèïàäêîâî¿ âåëè÷èíè. Çàóâàæåííÿ. Ó çàäà÷àõ ðåãðåñ³éíîãî àíàë³çó âàæëèâå çíà÷åííÿ ìຠïðèïóùåííÿ ïðî íîðìàëüíèé ðîçïîä³ë âèïàäêîâèõ âåëè÷èí, ùî çàä³ÿí³ â äàí³é ìîäåë³. Ïåâí³ ïåðåòâîðåííÿ íîðìàëüíî ðîçïîä³ëåíèõ âåëè÷èí çàáåçïå÷óþòü ¿õ ðîçïîä³ë çà çàêîíîì Ñòüþäåíòà ÷è çà çàêîíîì Ô³øåðà: íà ï³äñòàâ³ ïåðøîãî ç íèõ âèçíà÷àþòüñÿ äîâ³ð÷³ ³íòåðâàëè, à äðóãèé äຠçìîãó îö³íþâàòè â³äíîøåííÿ äâîõ âèïàäêîâèõ âåëè÷èí. Ñòîñîâíî êîæíîãî ñòàòèñòè÷íîãî ðåçóëüòàòó âèñóâàºòüñÿ òàê çâàíà íóëüîâà ã³ïîòåçà (ïðî ð³âí³ñòü íóëþ äåÿêî¿ âèïàäêîâî¿ âåëè÷èíè) ³ àëüòåðíàòèâíà äî íå¿ ã³ïîòåçà (ïðî ¿¿ ñóòòºâó â³äì³íí³ñòü â³ä íóëÿ). Ó íóëüîâ³é ã³ïîòåç³ ôîðìóëþþòü ðåçóëüòàò, ÿêèé áàæàíî â³äõèëèòè, à â àëüòåðíàòèâí³é, ÿêà ³íàêøå íàçèâàºòüñÿ åêñïåðèìåíòàëüíîþ, — òîé, ùî éîãî íåîáõ³äíî ï³äòâåðäèòè. Çàóâàæåííÿ. гâí³ñòü äâîõ âåëè÷èí ó çàãàëüíîìó âèïàäêó ìîæå ðîçãëÿäàòèñÿ ÿê ð³âí³ñòü íóëþ ¿õ ð³çíèö³. Çà çàäàíèì ð³âíåì çíà÷óùîñò³ ìíîæèíà äîïóñòèìèõ çíà÷åíü ðîçáèâàºòüñÿ íà äâ³ íåïåðåòèíí³ ìíîæèíè: îäíà ì³ñòèòü çíà÷åííÿ âèïàäêîâî¿ âåëè÷èíè, ³ìîâ³ðí³ñòü äîñÿãíåííÿ ÿêèõ ïåðåâèùóº çàäàíèé ð³âåíü çíà÷óùîñò³, à ³íøà — êðèòè÷íà îáëàñòü — âèçíà÷ຠò³ çíà÷åííÿ, ùî äîñÿãàþòüñÿ ð³äêî (³ìîâ³ðí³ñòü ïîòðàïèòè äî òàêî¿ îáëàñò³ íèæ÷à â³ä çàäàíîãî ð³âíÿ), ³ ðîçòàøîâàíà âîíà, ÿê ïðàâèëî, íà “õâîñòàõ ðîçïîä³ëó”. Çàëåæíî â³ä àëüòåðíàòèâíî¿ ã³ïîòåçè êðèòè÷íà îáëàñòü ìîæå ñêëàäàòèñÿ ç îäíîãî ÷è äâîõ ïðîì³æê³â íà ÷èñëîâ³é îñ³. Öå áóäå îäèí ïðîì³æîê 51

(ïðàâèé ÷è ë³âèé “õâ³ñò” ðîçïîä³ëó), ÿêùî çàçíà÷àºòüñÿ íàïðÿìîê íåð³âíîñò³ (á³ëüøå àáî ìåíøå äåÿêî¿ âåëè÷èíè), ³ äâà ïðîì³æêè (îáèäâà “õâîñòè” ðîçïîä³ëó), ÿêùî âñòàíîâëþºòüñÿ íåð³âí³ñòü (íå äîð³âíþº ïåâí³é âåëè÷èí³). Çà äàíèìè ñïîñòåðåæåíü îá÷èñëþºòüñÿ çíà÷åííÿ â³äïîâ³äíî¿ ñòàòèñòèêè — ôóíêö³¿ â³ä åëåìåíò³â âèá³ðêè. ßêùî öÿ âåëè÷èíà ïîòðàïëÿº äî êðèòè÷íî¿ îáëàñò³, öå îçíà÷àº, ùî ñòàëàñÿ ïðàêòè÷íî íåìîæëèâà ïîä³ÿ, òîáòî ïîä³ÿ, ùî ìຠäóæå ìàëó éìîâ³ðí³ñòü, à îòæå, â³ä íóëüîâî¿ ã³ïîòåçè ñë³ä â³äìîâèòèñÿ ³ â³ääàòè ïåðåâàãó àëüòåðíàòèâí³é. ßêùî îá÷èñëåíå çíà÷åííÿ ñòàòèñòèêè íå ïîòðàïèëî äî êðèòè÷íî¿ îáëàñò³, ðîáëÿòü âèñíîâîê, ùî äàíà âèá³ðêà íå ñóïåðå÷èòü íóëüîâ³é ã³ïîòåç³, òîáòî íåïðàâèëüíîþ º åêñïåðèìåíòàëüíà ã³ïîòåçà. Ïðè ïåðåâ³ðö³ ã³ïîòåç ìîæå áóòè äîïóùåíà ïîìèëêà, íàïðèêëàä ìîæå áóòè â³äõèëåíà íóëüîâà ã³ïîòåçà, õî÷à íàñïðàâä³ âîíà ïðàâèëüíà (ïîìèëêà ïåðøîãî ðîäó), àáî æ, íàâïàêè, íóëüîâà ã³ïîòåçà ìîæå áóòè ïðèéíÿòà, õî÷à âîíà íåïðàâèëüíà (ïîìèëêà äðóãîãî ðîäó). Íà öå ñë³ä çâàæàòè ïðè ôîðìóëþâàíí³ ñòàòèñòè÷íîãî âèñíîâêó. ßêùî çíà÷åííÿ R2 “áëèçüêå” äî îäèíèö³, ââàæàºòüñÿ, ùî ðåãðåñ³éíå ð³âíÿííÿ äîñèòü ïðàâèëüíî â³äáèâຠíàÿâíèé çâ’ÿçîê ì³æ çàëåæíîþ òà íåçàëåæíèìè çì³ííèìè ìîäåë³. ßêùî çíà÷åííÿ R2 “áëèçüêå” äî íóëÿ, ðåãðåñ³éíà ìîäåëü íåïðàâèëüíà. Ïîñòຠïèòàííÿ, ÿê âèçíà÷èòè öþ “áëèçüê³ñòü”? Äëÿ öüîãî íåîáõ³äíî çàñòîñóâàòè â³äïîâ³äíèé ñòàòèñòè÷íèé êðèòåð³é, ÿêèé äàñòü çìîãó âñòàíîâèòè, ÷è ñóòòºâî â³äð³çíÿºòüñÿ R 2 â³ä íóëÿ, ÷è öÿ â³äì³íí³ñòü ïîâ’ÿçàíà ç îñîáëèâîñòÿìè êîíêðåòíèõ äàíèõ, òîáòî çóìîâëåíà ëèøå ïîõèáêàìè âèì³ðþâàíü. Äëÿ ïåðåâ³ðêè ñòàòèñòè÷íî¿ çíà÷óùîñò³ êîåô³ö³ºíòà äåòåðì³íàö³¿ R2 âèñóâàºòüñÿ íóëüîâà ã³ïîòåçà H0 : R2 = 0 . Öå îçíà÷àº, ùî äîñë³äæóâàíå ð³âíÿííÿ íå ïîÿñíþº çì³íþâàííÿ ðåãðåñàíäà ï³ä âïëèâîì â³äïîâ³äíèõ ðåãðåñîð³â. Ó òàêîìó ðàç³ âñ³ êîåô³ö³ºíòè ïðè íåçàëåæíèõ çì³ííèõ ìàþòü äîð³âíþâàòè íóëþ. Ïðè öüîìó íóëüîâó ã³ïîòåçó ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿä³ H 0 : a1 = a2 = … = an = 0.

Àëüòåðíàòèâíîþ äî íå¿ º HA: çíà÷åííÿ õî÷à á îäíîãî ïàðàìåòðà ìîäåë³ â³äì³ííå â³ä íóëÿ, òîáòî õî÷à á îäèí ³ç ôàêòîð³â âïëèâຠíà çì³íþâàííÿ çàëåæíî¿ çì³ííî¿. Äëÿ ïåðåâ³ðêè öèõ ã³ïîòåç çàñòîñîâóþòü F-êðèòåð³é Ô³øåðà ç m ³ n − m − 1 ñòóïåíÿìè ñâîáîäè. Çà îòðèìàíèìè â ìîäåë³ çíà÷åííÿìè 52

êîåô³ö³ºíòà äåòåðì³íàö³¿ R2 îá÷èñëþþòü åêñïåðèìåíòàëüíå çíà÷åííÿ F-ñòàòèñòèêè: Fåêñï =

R2 1− R

2

⋅

n − m −1 , m

ÿêå ïîð³âíþþòü ç òàáëè÷íèì çíà÷åííÿì ðîçïîä³ëó Ô³øåðà ïðè çàäàíîìó ð³âí³ çíà÷óùîñò³ α (ÿê ïðàâèëî, α = 0,05 àáî α = 0,01). ßêùî Fòàáë < Fåêñï , íóëüîâà ã³ïîòåçà â³äõèëÿºòüñÿ, òîáòî ³ñíóº òàêèé êîåô³ö³ºíò ó ðåãðåñ³éíîìó ð³âíÿíí³, ÿêèé ñóòòºâî â³äð³çíÿºòüñÿ â³ä íóëÿ, à â³äïîâ³äíèé ôàêòîð âïëèâຠíà äîñë³äæóâàíó çì³ííó. ³äõèëåííÿ íóëü-ã³ïîòåçè ñâ³ä÷èòü ïðî àäåêâàòí³ñòü ïîáóäîâàíî¿ ìîäåë³. Ó ïðîòèëåæíîìó âèïàäêó ìîäåëü ââàæàºòüñÿ íåàäåêâàòíîþ. Êîåô³ö³ºíò êîðåëÿö³¿, ÿê âèá³ðêîâà õàðàêòåðèñòèêà, ïåðåâ³ðÿºòüñÿ íà çíà÷óù³ñòü çà äîïîìîãîþ t-êðèòåð³þ Ñòüþäåíòà. Ôàêòè÷íå çíà÷åííÿ t-ñòàòèñòèêè îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ tåêñï =

R n − m −1 1 − R2

³ ïîð³âíþºòüñÿ ç òàáëè÷íèì çíà÷åííÿì t-ðîçïîä³ëó ç n − m − 1 ñòóïåíÿìè ñâîáîäè òà ïðè çàäàíîìó ð³âí³ çíà÷óùîñò³ α/2 (òàêèé ð³âåíü çóìîâëåíèé òèì, ùî êðèòè÷íà îáëàñòü ñêëàäàºòüñÿ ç äâîõ ïðîì³æê³â). ßêùî àáñîëþòíà âåëè÷èíà åêñïåðèìåíòàëüíîãî çíà÷åííÿ t-ñòàòèñòèêè ïåðåâèùóº òàáëè÷íå, òîáòî

t > tòàáë , ìîæíà çðîáèòè âèñíîâîê, ùî êîåô³ö³ºíò êîðåëÿö³¿ äîñòîâ³ðíèé (çíà÷óùèé), à çâ’ÿçîê ì³æ çàëåæíîþ çì³ííîþ òà âñ³ìà íåçàëåæíèìè ôàêòîðàìè ñóòòºâèé. Îêð³ì çàãàëüíèõ ïîêàçíèê³â àäåêâàòíîñò³ ìîäåë³ ³ñíóþòü òàêîæ îö³íêè, ùî äàþòü çìîãó âñòàíîâèòè ÿê³ñòü îêðåìèõ ÷àñòèí ð³âíÿííÿ, çîêðåìà îäíîãî ÷è ê³ëüêîõ êîåô³ö³ºíò³â ðåãðåñ³¿. ßê ³ â ïîïåðåäí³õ âèïàäêàõ, ð³øåííÿ â³äíîñíî ÿêîñò³ êîåô³ö³ºíò³â ïðèéìàþòü íà îñíîâ³ â³äïîâ³äíèõ ñòàòèñòè÷íèõ êðèòåð³¿â. Íà ï³äñòàâ³ îäíîãî ç íàéâàæëèâ³øèõ ïðèïóùåíü ÌÍÊ — ïðèïóùåííÿ ïðî íîðìàëüíèé ðîçïîä³ë âèïàäêîâî¿ ñêëàäîâî¿ ð³âíÿííÿ ç íóëüîâèì ìàòåìàòè÷íèì ñïîä³âàííÿì ³ ñòàëîþ äèñïåðñ³ºþ — äîâå53

äåíî, ùî êîæíèé ïàðàìåòð ë³í³éíî¿ ðåãðåñ³¿ òàêîæ ìຠíîðìàëüíèé ðîçïîä³ë. Ïðè÷îìó ìàòåìàòè÷íå ñïîä³âàííÿ ïàðàìåòðà äîð³âíþº çíà÷åííþ ïàðàìåòðà óçàãàëüíåíî¿ ðåãðåñ³¿, à äèñïåðñ³ÿ — íåçì³ùåí³é äèñïåðñ³¿ âèïàäêîâî¿ ñêëàäîâî¿ ð³âíÿííÿ, ïîìíîæåí³é íà â³äïîâ³äíèé ä³àãîíàëüíèé åëåìåíò îáåðíåíî¿ ìàòðèö³ ( X TX )−1 . Ñòàòèñòè÷íó çíà÷óù³ñòü êîæíîãî ïàðàìåòðà ìîäåë³ ìîæíà ïåðåâ³ðèòè çà äîïîìîãîþ t-êðèòåð³þ. Ïðè öüîìó íóëüîâà ã³ïîòåçà ìຠâèãëÿä àëüòåðíàòèâíà

H0 : a j = 0 , ÍA : a j ≠ 0 .

Åêñïåðèìåíòàëüíå çíà÷åííÿ t-ñòàòèñòèêè äëÿ êîæíîãî ïàðàìåòðà ìîäåë³ îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ tj =

ai σ2u c jj

=

aj Sa j

,

äå c jj — ä³àãîíàëüíèé åëåìåíò ìàòðèö³ ( X T X )−1 ; Sa — ñòàíäàðòèçîj âàíà ïîõèáêà îö³íêè ïàðàìåòðà ìîäåë³, Sa j = σu c jj . Åêñïåðèìåíòàëüíå çíà÷åííÿ t j -êðèòåð³þ ïîð³âíþºòüñÿ ç òàáëè÷íèì çíà÷åííÿì t òàáë ç n − m − 1 ñòóïåíÿìè ñâîáîäè ïðè çàäàíîìó ð³âí³ çíà÷óùîñò³ α/2 (êðèòè÷íà îáëàñòü ðîçáèâàºòüñÿ íà äâà ôðàãìåíòè, ìåæ³ ÿêèõ çàäàþòüñÿ êâàíòèëåì α/2). ßêùî çíà÷åííÿ t j -ñòàòèñòèêè ïîòðàïëÿº äî êðèòè÷íî¿ îáëàñò³ (çà àáñîëþòíèì çíà÷åííÿì ïåðåâèùóº t òàáë ), ïðèéìàºòüñÿ àëüòåðíàòèâíà ã³ïîòåçà ïðî çíà÷óù³ñòü â³äïîâ³äíîãî ïàðàìåòðà. ²íàêøå ðîáèòüñÿ âèñíîâîê ïðî ñòàòèñòè÷íó íåçíà÷óù³ñòü ïàðàìåòðà a j , à öå îçíà÷àº, ùî â³äïîâ³äíà íåçàëåæíà çì³ííà íå âïëèâຠñóòòºâî íà çì³íþâàííÿ ðåãðåñàíäà. Çàóâàæåííÿ. Îñê³ëüêè t j -ñòàòèñòèêà º â³äíîøåííÿì â³äïîâ³äíîãî ïàðàìåòðà ìîäåë³ äî éîãî ñòàíäàðòíî¿ ïîõèáêè (ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íîãî â³äõèëåííÿ), òî íà ïðàêòèö³ ÷àñò³øå çàñòîñîâóþòü ãðóá³øó îö³íêó, à ñàìå äîïóñêàþòü, ùîá ñòàíäàðòí³ ïîõèáêè ñòàíîâèëè 45–50 % çíà÷åííÿ ïàðàìåòðà, àáè ñòâåðäæóâàòè ïðî éîãî ñòàòèñòè÷íó çíà÷óù³ñòü. 54

Äîâ³ð÷³ ³íòåðâàëè äëÿ êîæíîãî îêðåìîãî ïàðàìåòðà a j îá÷èñëþþòüñÿ íà îñíîâ³ éîãî ñòàíäàðòíî¿ ïîõèáêè òà êðèòåð³þ Ñòüþäåíòà: (a j − tòàáë σ2u c jj ;

a j + t òàáë σ2u c jj ) .

Òàáëè÷íå çíà÷åííÿ t òàáë, ÿê ³ ðàí³øå, ìຠn − m − 1 ñòóïåí³â ñâîáîäè ³ ð³âåíü çíà÷óùîñò³ α/2 (tòàáë = tα/2 (n − m − 1)). Îá÷èñëåí³ çíà÷åííÿ t j -ñòàòèñòèê çàñòîñîâóþòü òàêîæ äëÿ ðîçðàõóíêó ÷àñòêîâèõ êîåô³ö³ºíò³â äåòåðì³íàö³¿ ∆R 2j , ÿê³ âèçíà÷àþòü ãðàíè÷íèé âíåñîê j-ãî ðåãðåñîðà â çàãàëüíèé êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿. Êîåô³ö³ºíò ∆R 2j ïîêàçóº, íà ÿêó âåëè÷èíó çìåíøèòüñÿ êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿ R 2 , ÿêùî j-é ðåãðåñîð (³ ëèøå â³í!) áóäå âèëó÷åíèé ç ãðóïè ðåãðåñîð³â. Ôîðìóëà äëÿ ðîçðàõóíêó ÷àñòêîâîãî êîåô³ö³ºíòà äåòåðì³íàö³¿ ìຠâèãëÿä

(1 − R ) t 2

∆R 2j =

n−m

2 j

,

äå R2 — êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿, îá÷èñëåíèé äëÿ ìîäåë³ ç m ðåãðåñîðàìè; t 2j — êâàäðàò îá÷èñëåíîãî çíà÷åííÿ t-ñòàòèñòèêè äëÿ j-ãî ðåãðåñ³éíîãî êîåô³ö³ºíòà; n — ê³ëüê³ñòü ñïîñòåðåæåíü, m — ê³ëüê³ñòü ðåãðåñîð³â. Çàóâàæåííÿ. ×àñòêîâ³ êîåô³ö³ºíòè äåòåðì³íàö³¿ ∆RÒ2 ³ ∆RA2 , îá÷èñëåí³ çà â³äïîâ³äíèìè çíà÷åííÿìè RT2 òà RA2 , ìîæóòü áóòè ÿê äîäàòíèìè, òàê ³ â³ä’ºìíèìè, ùî äຠçìîãó á³ëüø îᒺêòèâíî îö³íþâàòè ìîäåë³ ç ð³çíîþ ê³ëüê³ñòþ ðåãðåñîð³â.

3.4. Ïðîãíîçóâàííÿ çà ë³í³éíîþ ìîäåëëþ ßêùî ïîáóäîâàíà ìîäåëü àäåêâàòíà çà F-êðèòåð³ºì, òî ¿¿ çàñòîñîâóþòü äëÿ ïðîãíîçóâàííÿ çàëåæíî¿ çì³ííî¿. Ïðî ïðîãíîçóâàííÿ ðåãðåñàíäà ãîâîðÿòü òîä³, êîëè â ÷àñîâèõ ðÿäàõ ïðîãíîçíèé ïåð³îä íàñòຠï³çí³øå, í³æ áàçîâèé. ßêùî ðåãðåñ³ÿ ïîáóäîâàíà çà ïðîñòîðîâèìè äàíèìè, ïðîãíîç ñòîñóºòüñÿ òèõ åëåìåíò³â ãåíåðàëüíî¿ ñóêóïíîñò³, ùî ïåðåáóâàþòü çà ìåæàìè çàñòîñîâàíî¿ âèá³ðêè. 55

ßê³ñòü ïðîãíîçó òèì êðàùà, ÷èì ïîâí³øå âèêîíóþòüñÿ ïåðåäóìîâè ìîäåë³ â ïðîãíîçíèé ÷àñîâèé ïåð³îä, íàä³éí³øå (â³ðîã³äí³øå) îö³íåíî ïàðàìåòðè ìîäåë³ é á³ëüø òî÷íî âèçíà÷åíî ïðîãíîçí³ çíà÷åííÿ ðåãðåñîð³â. Çíà÷åííÿ yˆ p äëÿ ìàéáóòíüîãî ïåð³îäó ÷è äîäàòêîâîãî åëåìåíòà îá÷èñëþþòü çà ôîðìóëîþ (3.1) çà â³äîìèì âåêòîðîì îö³íåíèõ ïàðàìåòð³â aˆ = (aˆ0 , aˆ1 , aˆ2 , ..., aˆm ) ³ çà âåêòîðîì çíà÷åíü íåçàëåæíèõ çì³ííèõ x p = (1, x1 p , x2 p , ..., xmp ), ùî íå íàëåæàòü äî áàçîâîãî ïåð³îäó. Ðîçð³çíÿþòü ïðîãíîç ñåðåäí³é (îö³íêó ìàòåìàòè÷íîãî ñïîä³âàííÿ ðåãðåñàíäà) òà ³íäèâ³äóàëüíèé (îö³íêó ïåâíî¿ ðåàë³çàö³¿ ðåãðåñàíäà y p , ùî â³äïîâ³äຠìîìåíòó p). Ïåðøà ç íèõ áàçóºòüñÿ íà ïåðåäóìîâ³ ÌÍÊ ïðî íóëüîâå ìàòåìàòè÷íå ñïîä³âàííÿ âèïàäêîâî¿ ñêëàäîâî¿ ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿, à äðóãà çàñòîñîâóº îö³íåíå çíà÷åííÿ uˆ p . Îö³íåíó äèñïåðñ³þ ïðîãíîçó îá÷èñëþþòü â³äïîâ³äíî çà ôîðìóëàìè ˆ 2e = σ ˆ 2u x Tp ( X TX ) −1 x p ; σ

ˆ 2e ( i) = σ ˆ 2u + σ ˆ 2u x Tp ( X TX )−1 x p . σ Çðîçóì³ëî, ùî çäåá³ëüøîãî ðåàëüíå çíà÷åííÿ ïîêàçíèêà yt íå çá³ãàòèìåòüñÿ ç³ çíà÷åííÿì éîãî ìàòåìàòè÷íîãî ñïîä³âàííÿ, àëå ÿêùî ðîçãëÿäàòè âåëèêó ê³ëüê³ñòü âèá³ðîê, íà ï³äñòàâ³ ÿêèõ âèçíà÷àòèìåòüñÿ ïðîãíîç, òî ìîæíà ãàðàíòóâàòè, ùî ïðèáëèçíî (1 − α) ⋅ 100 % ðåçóëüòàò³â ïîòðàïëÿòü â³äïîâ³äíî äî ³íòåðâàë³â ˆ 2e ; ( yˆ p − tα/2 σ

ˆ 2e ( i) ; ( yˆ p − tα/2 σ

ˆ 2e ) ; yˆ p + tα/2 σ

ˆ 2e ( i) ) , yˆ p + tα/2 σ

äå tα / 2 — òàáëè÷íå çíà÷åííÿ êðèòåð³þ Ñòüþäåíòà ç n − m − 1 ñòóïåíÿìè ñâîáîäè òà ïðè çàäàíîìó ð³âí³ çíà÷óùîñò³ α/2. (Çíà÷åííÿ α/2 âèáèðàþòü, ÿê ³ ðàí³øå, ÷åðåç äâîñòîðîíí³ êðèòè÷í³ ìåæ³.) 56

Çàóâàæåííÿ. Î÷åâèäíî, ç â³ääàëåííÿì â³ä ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ âèá³ðêè ñïîñòåðåæåíü ïîõèáêà ïðîãíîçó çðîñòàòèìå, ùî ïðèçâåäå äî çá³ëüøåííÿ äîâ³ð÷îãî ³íòåðâàëó äëÿ ³íäèâ³äóàëüíîãî çíà÷åííÿ çàëåæíî¿ çì³ííî¿.

3.5. Ìåòîäè ïîáóäîâè áàãàòîôàêòîðíî¿ ðåãðåñ³éíî¿ ìîäåë³ Íà êîæíèé åêîíîì³÷íèé ïîêàçíèê âïëèâຠáåçë³÷ ôàêòîð³â. Ïðè ïîáóäîâ³ ðåãðåñ³éíîãî ð³âíÿííÿ âèíèêຠïèòàííÿ, ÿê³ ñàìå ç íèõ ñë³ä óâîäèòè â ìîäåëü. Ïðè÷îìó ïðè âèêîðèñòàíí³ ìîäåë³ äëÿ ïðîãíîçó áàæàíî âêëþ÷èòè ÿêîìîãà á³ëüøå ôàêòîð³â. Ç ³íøîãî áîêó, çáèðàííÿ òà îáðîáêà âåëèêî¿ ê³ëüêîñò³ ³íôîðìàö³¿ ïîòðåáóþòü çíà÷íèõ âèòðàò, òîáòî ê³ëüê³ñòü ôàêòîð³â äîö³ëüíî çìåíøèòè. Äëÿ âèáîðó êîìïðîì³ñíîãî ð³øåííÿ íå ³ñíóº ºäèíî¿ ïðîöåäóðè. Òîìó äëÿ ïîáóäîâè “íàéêðàùîãî” ð³âíÿííÿ çàñòîñîâóþòü îäèí ³ç òàêèõ ìåòîä³â. 1. Ìåòîä óñ³õ ìîæëèâèõ ðåãðåñ³é — ³ñòîðè÷íî îäèí ³ç ïåðøèõ ìåòîä³â ïîáóäîâè ðåãðåñ³éíî¿ ìîäåë³ — íàéá³ëüø ãðîì³çäêèé, òîìó ùî ïåðåäáà÷ຠïîáóäîâó ðåãðåñ³é, ÿê³ ì³ñòÿòü óñ³ ìîæëèâ³ êîìá³íàö³¿ âïëèâîâèõ ôàêòîð³â. ²íøèìè ñëîâàìè, ÿêùî ðîçãëÿäàºòüñÿ m ôàêòîð³â, òî äîñë³äæóºòüñÿ 2m ðåãðåñ³é, ÿê³ ïîð³âíþþòüñÿ ì³æ ñîáîþ çà çíà÷åííÿìè êîåô³ö³ºíòà äåòåðì³íàö³¿ òà ñòàíäàðòíîþ ïîõèáêîþ ð³âíÿííÿ. Õî÷à öåé ìåòîä ³ äຠçìîãó äîñë³äèòè óñ³ ìîæëèâ³ ð³âíÿííÿ, îäíàê ïðè âåëèê³é ê³ëüêîñò³ ôàêòîð³â â³í, çâè÷àéíî, íåïðèéíÿòíèé. 2. Ìåòîä âèêëþ÷åíü åêîíîìí³øèé ùîäî îá÷èñëåíü ³ áàçóºòüñÿ íà äîñë³äæåíí³ ÷àñòêîâèõ F-êðèòåð³¿â, ÿê³ äàþòü çìîãó âñòàíîâëþâàòè ñòàòèñòè÷íó çíà÷óù³ñòü ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ çàëèøêàìè ìîäåë³ ç íàéá³ëüøîþ ê³ëüê³ñòþ ôàêòîð³â ³ çàëèøêàìè ìîäåë³ ç îäíèì âèëó÷åíèì ôàêòîðîì. ßêùî äëÿ äåÿêîãî âèëó÷åíîãî ôàêòîðà òàêå ñï³ââ³äíîøåííÿ íå º çíà÷óùèì (ïðèéìàºòüñÿ íóëüîâà ã³ïîòåçà), òî â³í äî ìîäåë³ íå ïîâåðòàºòüñÿ. Òàêå äîñë³äæåííÿ ïðîâîäèòüñÿ òàêîæ äëÿ ð³âíÿííÿ ç ìåíøîþ ê³ëüê³ñòþ ôàêòîð³â, àëå ç á³ëüøèì ÷èñëîì ñòóïåí³â ñâîáîäè. 3. Ïîêðîêîâèé ðåãðåñ³éíèé ìåòîä 䳺 ó çâîðîòíîìó ïîðÿäêó ïîð³âíÿíî ç ïîïåðåäí³ì ìåòîäîì, òîáòî äî ìîäåë³ ïîñë³äîâíî âêëþ÷àþòüñÿ ôàêòîðè, ùî ìàþòü íàéá³ëüøèé êîåô³ö³ºíò êîðåëÿö³¿ ³ç çàëåæíîþ çì³ííîþ. Ìîäåëü àíàë³çóºòüñÿ çà çíà÷åííÿìè êîåô³ö³ºíòà äåòåðì³íàö³¿ òà ÷àñòêîâèìè F-êðèòåð³ÿìè. Ôàêòîðè, ùî íå çàäîâîëü57

íÿþòü êðèòåð³¿, ç ìîäåë³ âèëó÷àþòüñÿ. Ïðîöåñ ïðèïèíÿºòüñÿ, ÿêùî æîäåí ç ôàêòîð³â ð³âíÿííÿ âèëó÷èòè íå âäàºòüñÿ, à íîâèé ïðåòåíäåíò íà âêëþ÷åííÿ íå â³äïîâ³äຠ÷àñòêîâîìó F-êðèòåð³þ. Íà ïðàêòèö³ öåé ìåòîä íàéïîøèðåí³øèé.

3.6. Åòàïè äîñë³äæåííÿ çàãàëüíî¿ ë³í³éíî¿ ìîäåë³ ìíîæèííî¿ ðåãðåñ³¿ Ðîçãëÿäàºòüñÿ áàãàòîôàêòîðíà ë³í³éíà ðåãðåñ³éíà ìîäåëü y = a0 + a1 x1 + a2 x2 + … + am xm ,

ùî îïèñóº çàëåæí³ñòü ì³æ ðåçóëüòàòèâíîþ çì³ííîþ y òà äåÿêèìè âïëèâîâèìè ôàêòîðàìè x1 , x2 , ..., xm . ²íôîðìàö³ÿ ïðî çíà÷åííÿ y, x1 , x2 , ..., xm ì³ñòèòüñÿ ó â³äïîâ³äíèõ ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ — n ñïîñòåðåæåííÿõ (âèì³ðþâàííÿõ) êîæíîãî ïîêàçíèêà. Äëÿ äîñë³äæåííÿ çàçíà÷åíî¿ ìîäåë³ ñë³ä âèêîíàòè òàê³ êðîêè. 1. Çà äàíèìè ñïîñòåðåæåíü îö³íèòè ïàðàìåòðè a1 , a2 , ..., am . 2. Äëÿ ïåðåâ³ðêè àäåêâàòíîñò³ îòðèìàíî¿ ìîäåë³ îá÷èñëèòè: à) çàëèøêè ìîäåë³ — ðîçá³æíîñò³ ì³æ ñïîñòåðåæåíèìè òà ðîçðàõóíêîâèìè çíà÷åííÿìè çàëåæíî¿ çì³ííî¿ ui = yi − yˆi , i = 1, 2, ..., n; á) â³äíîñíó ïîõèáêó çàëèøê³â òà ¿¿ ñåðåäíº çíà÷åííÿ; â) çàëèøêîâó äèñïåðñ³þ; ã) êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿; ä) âèá³ðêîâèé êîåô³ö³ºíò ìíîæèííî¿ êîðåëÿö³¿. 3. Ïåðåâ³ðèòè ñòàòèñòè÷íó çíà÷óù³ñòü îòðèìàíèõ ðåçóëüòàò³â: à) ïåðåâ³ðèòè àäåêâàòí³ñòü ìîäåë³ çàãàëîì: çà äîïîìîãîþ F-êðèòåð³þ Ô³øåðà ïåðåâ³ðèòè ã³ïîòåçó H 0 : a1 = a2 = … = am = 0

ïðîòè àëüòåðíàòèâíî¿ H A : ³ñíóº õî÷à á îäèí êîåô³ö³ºíò a j ≠ 0 ; á) ïåðåâ³ðèòè çíà÷óù³ñòü êîåô³ö³ºíòà ìíîæèííî¿ êîðåëÿö³¿, òîáòî ðîçãëÿíóòè ã³ïîòåçó H 0 : R = 0; â) ïåðåâ³ðèòè ³ñòîòí³ñòü êîæíîãî êîåô³ö³ºíòà ðåãðåñ³¿: çà äîïîìîãîþ t-êðèòåð³þ Ñòüþäåíòà ïåðåâ³ðèòè ã³ïîòåçó

H 0 : a j = 0 äëÿ âñ³õ j = 1, 2, ..., m ïðîòè â³äïîâ³äíèõ àëüòåðíàòèâíèõ ã³ïîòåç

HA : a j ≠ 0 äëÿ âñ³õ j = 1, 2, ..., m; 58

ã) îö³íèòè âïëèâ êîæíîãî ðåãðåñîðà íà ÿê³ñòü ìîäåë³, òîáòî îá÷èñëèòè ÷àñòêîâ³ êîåô³ö³ºíòè äåòåðì³íàö³¿ ∆R 2j , ñêîðèãóâàòè ¿õ çà Òåéëîì ³ çà Àìå쳺þ òà äàòè ¿õ â³äïîâ³äíó ³íòåðïðåòàö³þ; ä) îö³íèòè âïëèâ îêðåìèõ ãðóï ðåãðåñîð³â íà çì³íþâàííÿ ðåãðåñàíäà, çàñòîñóâàâøè F-êðèòåð³é Ô³øåðà. 4. Îá÷èñëèòè òà ³íòåðïðåòóâàòè êîåô³ö³ºíòè åëàñòè÷íîñò³. 5. Âèçíà÷èòè äîâ³ð÷³ ³íòåðâàëè ðåãðåñ³¿ ïðè ð³âí³ çíà÷óùîñò³ α. 6. Ïîáóäóâàòè äîâ³ð÷³ ³íòåðâàëè äëÿ ïàðàìåòð³â ðåãðåñ³¿. 7. Îá÷èñëèòè ïðîãíîçí³ çíà÷åííÿ y p çà çíà÷åííÿìè x1 p , x2 p , ..., xmp , ùî ïåðåáóâàþòü çà ìåæàìè áàçîâîãî ïåð³îäó, ³ çíàéòè ìåæ³ äîâ³ð÷èõ ³íòåðâàë³â ³íäèâ³äóàëüíèõ ïðîãíîçîâàíèõ çíà÷åíü ³ ìåæ³ äîâ³ð÷èõ ³íòåðâàë³â ñåðåäíüîãî ïðîãíîçó. Ïðèêëàä ïàðàìåòðèçàö³¿ òà äîñë³äæåííÿ áàãàòîôàêòîðíî¿ ðåãðåñ³éíî¿ ìîäåë³ Ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó äîñë³äæåííÿ âïëèâó íà åêîíîì³÷íèé ïîêàçíèê y òðüîõ ôàêòîð³â x1, x2, x3, à ñàìå äîñë³äæóâàòèìåìî çàëåæí³ñòü ïðèáóòêó ï³äïðèºìñòâà y(i) â³ä ³íâåñòèö³é x1(i), âèòðàò íà ðåêëàìó x2(i) òà çàðîá³òíó ïëàòó x3(i). Âèõ³äí³ äàí³ â óìîâíèõ îäèíèöÿõ Íîìåð ñïîcòåðåæåííÿ

y(i)

x1(i)

x2(i)

x3(i)

1 2 3 4 5 6 7 8

15,70 17,34 21,57 33,50 32,30 37,90 40,78 48,02

17,37 18,24 22,47 18,47 16,82 17,60 17,12 19,81

5,28 6,47 6,98 7,05 7,94 8,12 8,69 9,31

1,42 1,58 1,98 2,04 2,38 3,48 3,07 3,84

9 10 11 12 13 14 15

43,30 49,57 52,14 55,17 59,18 62,22 77,58

18,67 20,83 22,84 28,85 29,61 35,67 47,87

10,45 10,47 13,48 15,78 17,65 18,47 19,64

4,28 4,67 5,98 6,51 7,82 8,58 9,47

59

Ïðèïóñòèìî, ùî ì³æ åêîíîì³÷íèì ïîêàçíèêîì y ³ ôàêòîðàìè x1, x2, x3 ³ñíóº ë³í³éíèé çâ’ÿçîê. Çàïèøåìî ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿ ó âèãëÿä³ y = a0 + a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + u,

(3.3)

yˆ = aˆ0 + aˆ1 x1 + aˆ2 x2 + aˆ3 x3 ,

(3.4)

äå y, yˆ — â³äïîâ³äíî ôàêòè÷í³ òà ðîçðàõóíêîâ³ çíà÷åííÿ ïðèáóòêó; x1 , x2 , x3 — â³äïîâ³äíî ³íâåñòèö³¿, âèòðàòè íà ðåêëàìó òà çàðîá³òíó ïëàòó; a0 , a1 , a2 , a3 òà aˆ0 , aˆ1 , aˆ2 , aˆ3 — â³äïîâ³äíî ïàðàìåòðè ìîäåë³, ÿê³ ïîòð³áíî îö³íèòè, òà ¿õ îö³íêè; u— ñòîõàñòè÷íà ñêëàäîâà. 1. Çíàéäåìî ÌÍÊ-îö³íêè ïàðàìåòð³â ìîäåë³ (3.3). Äëÿ öüîãî ñêëàäåìî âåêòîð-ñòîâïåöü Y ³ ìàòðèöþ X:

           Y =            

60

15, 7   17, 34  21, 57   33, 5  32, 3   37, 9  40, 78   48, 02  ;  43, 3  49, 57   52,14  55,17   59,18  62, 22  77, 58 

1  1 1  1 1  1 1  X = 1  1 1  1 1  1 1   1

17, 37

5, 28

18, 24

6, 47

22, 47

6, 98

18, 47

7, 05

16, 82

7, 94

17, 6

8,12

17,12

8, 69

19, 81

9, 31

18, 67

10, 45

20, 83 10, 47 22, 84 13, 48 28, 85 15, 78 29, 61

17, 65

35, 67

18, 47

47, 87 19, 64

1, 42   1, 58  1, 98   2, 04  2, 38   3, 48  3, 07   3, 84  .  4, 28  4, 67   5, 98  6, 51   7, 82  8, 58  9, 47 

Îá÷èñëèìî îö³íêè ðåãðåñ³éíèõ êîåô³ö³ºíò³â çà ôîðìóëîþ

aˆ = ( X ′X )−1 X ′Y , äå X ′ — òðàíñïîíîâàíà ìàòðèöÿ Õ, 1 1 1 L 1 1    17, 37 18, 24 22, 47 L 35, 67 47, 87   ′ X =  5, 28 6, 47 6, 98 L 18, 47 19, 64    1, 42 1, 58 1, 98 L 8, 58 9, 47  

15 352, 24 165, 78 67,1     352, 24 9335, 74 4404, 383 1858, 071  X ′X =  ;  165, 78 4404, 38 2147, 268 914, 9516     67,1 1858, 07 914, 9516 397, 2576 

( X ′X )−1

 2,14866  −0, 0276 =  −0, 5174   0, 95831

 646, 27    16861,1  X ′Y =  ;  8209, 78     3498,18 

−0, 0276 −0, 51745 0, 958316   0, 00428 −0, 0056 −0, 00245  ; −0, 0056 0,18797 −0, 31932   −0, 0024 −0, 31932 0, 58755 

 26,10789    −0,2518  aˆ =  .  −2,72767     11,85602 

61

Îòæå, ôóíêö³ÿ ðåãðåñ³¿ ç óðàõóâàííÿì çíàéäåíèõ îö³íîê êîåô³ö³ºíò³â ìîäåë³ íàáóâຠâèãëÿäó yˆ = 26,10789 − 0, 2518x1 − 2, 72767x2 + 11, 85602x3 .

(3.5)

2. Äëÿ ïåðåâ³ðêè àäåêâàòíîñò³ îòðèìàíî¿ ìîäåë³ îá÷èñëèìî: à) ¿¿ çàëèøêè ui = yi − yˆi , i = 1, 2, ..., n, äå yi — çàäàí³ ñïîñòåðåæåííÿ, à yˆi âèçíà÷åí³ çà ôîðìóëîþ (3.5) ïðè çàäàíèõ ñïîñòåðåæåííÿõ ôàêòîð³â x1 , x2 , x3. . Çàóâàæåííÿ. Îá÷èñëåííÿ çíà÷åíü yˆi ìîæíà âèêîíàòè ó ìàòðè÷íîìó âèãëÿä³ çà ôîðìóëîþ Yˆ = Xa, äå Yˆ — âåêòîð çíà÷åíü yˆ , i

i = 1, 2, … , n .  24,1675     22, 5995   24, 8857     26, 4133   28, 4322     40, 7864   34, 4915    Yˆ =  41, 2522  ;    43, 6463   47, 6718     54, 4867   52, 9835     63, 2227   68, 4707     72, 7592   

á) â³äíîñíó ïîõèáêó ðîçðàõóíêîâèõ çíà÷åíü ðåãðåñ³¿: δi =

62

uˆ i ⋅ 100 % ; yi

 −0, 53934     −0, 30332   −0,15372     0, 21154   0,11974     −0, 07616   0,15420    δi =  0,14093  ;    −0, 008   0, 03829     −0, 04501   0, 03963     −0, 06831   −0,10046     0, 06213   

ñåðåäíº çíà÷åííÿ â³äíîñíî¿ ïîõèáêè: n

δ=

∑ δi i =1

n

;

δ = −0,52783;

â) ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íó ïîõèáêó äèñïåðñ³¿ çàëèøê³â: n

ˆ u2 = Sˆu = σ

∑ ( yi − yˆi )2 i =1

n − m −1

n

=

∑ ui i =1

2

n − m −1

=

uT u n − m −1

(÷èì ìåíøà ñòàíäàðòíà ïîõèáêà S, òèì êðàùå ôóíêö³ÿ ðåãðåñ³¿ â³äïîâ³äຠäîñë³äíèì äàíèì); Sˆu = 5,7357;

63

ã) êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿, òîáòî ïåðåâ³ðèìî çàãàëüíèé âïëèâ íåçàëåæíèõ çì³ííèõ íà çàëåæíó çì³ííó: n

R2 = 1 −

∑ ui2 i =1

n

∑ ( yi − y)

2

,

i =1

R2 = 1 −

′ ′Y Y ′Y − BX B′X ′Y − ny 2 ; = Y ′Y − ny 2 Y ′Y − ny 2

R2 = 0,91436. Âèñíîâîê: îñê³ëüêè êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿ íàáëèæàºòüñÿ äî îäèíèö³, âàð³àö³ÿ çàëåæíî¿ çì³ííî¿ Y çíà÷íîþ ì³ðîþ âèçíà÷àºòüñÿ âàð³àö³ºþ íåçàëåæíèõ çì³ííèõ; ä) âèá³ðêîâèé êîåô³ö³ºíò ìíîæèííî¿ êîðåëÿö³¿: R = R2 ;

R = 0,956222.

Êîåô³ö³ºíò êîðåëÿö³¿ äîñèòü âåëèêèé, òîìó ³ñíóº ò³ñíèé ë³í³éíèé çâ’ÿçîê óñ³õ íåçàëåæíèõ ôàêòîð³â x1, x2, x3 ³ç çàëåæíîþ çì³ííîþ y. 3. Ïåðåâ³ðèìî ñòàòèñòè÷íó çíà÷óù³ñòü îòðèìàíèõ ðåçóëüòàò³â: à) îá÷èñëèìî F-ñòàòèñòèêó çà ôîðìóëîþ (ñïðîùåíèé âàð³àíò äëÿ ïåðåâ³ðêè íóëüîâî¿ ã³ïîòåçè: H 0 : a1 = a1 = a2 = ... = am = 0 ): Fåêñï =

R2

n − m −1 ; m 1− R 2

Fåêñï = 39,14827.

Çíàéäåìî òàáëè÷íå çíà÷åííÿ F-ñòàòèñòèêè F (m, n − m − 1, α) (äîä. 5): F (3; 11; 0,05) = 3,59 .

Ïîð³âíÿºìî éîãî ç îá÷èñëåíîþ F-còàòèñòèêîþ. 64

Îñê³ëüêè Fåêñï > F (3; 11; 0,05), íóëüîâà ã³ïîòåçà â³äõèëÿºòüñÿ, òîáòî êîåô³ö³ºíòè ðåãðåñ³¿ º çíà÷óùèìè; á) îá÷èñëèìî t-ñòàòèñòèêó: t=

R n − m −1 1 − R2

;

t = 37,03215. Çíàéäåìî â³äïîâ³äíå òàáëè÷íå çíà÷åííÿ t-ðîçïîä³ëó ç (n–m–1) = = 11 ñòóïåíÿìè ñâîáîäè ³ ð³âíåì çíà÷óùîñò³ α = 0,05 (äîä. 4): tòàáë(α/2, n–m–1); tòàáë(0,025; 11) = 2,593097. Îñê³ëüêè |t| > tòàáë(0,025; 11), ìîæíà çðîáèòè âèñíîâîê ïðî äîñòîâ³ðí³ñòü êîåô³ö³ºíòà êîðåëÿö³¿, ÿêèé õàðàêòåðèçóº ò³ñíîòó çâ’ÿçêó ì³æ çàëåæíîþ òà íåçàëåæíèìè çì³ííèìè ìîäåë³. Äëÿ âèáðàíîãî ð³âíÿ çíà÷óùîñò³ α = 0,05 ³ â³äïîâ³äíîãî ñòóïåíÿ ñâîáîäè k = n–ò–1 = 11 çàïèøåìî äîâ³ð÷³ ìåæ³ äëÿ ìíîæèííîãî êîåô³ö³ºíòà êîðåëÿö³¿ R:

(R − ∆R; äå ∆R = tα/2,k

R + ∆R ) ,

1− R ; n ∆R = 2,593(1 − 0,956222)/ 15 = 0,029311;

(R − ∆R;

R + ∆R ) = (0,926911; 0,985533);

â) ïåðåâ³ðèìî çíà÷óù³ñòü îêðåìèõ êîåô³ö³ºíò³â ðåãðåñ³¿. Âèçíà÷èìî t-ñòàòèñòèêó çà ôîðìóëîþ tj =

aj σ2u c jj

=

aj Sa j

( j = 0, 1, ..., m), m = 3,

65

äå c jj — ä³àãîíàëüíèé åëåìåíò ìàòðèö³

( X ′X )−1 ;

Sa j — ñòàíäàðòèçî-

âàíà ïîõèáêà îö³íêè ïàðàìåòðà ìîäåë³; t0 = 3,105278; t1 = –0,67081; t2 = –1,09688; t3 = 2,696681.

Çíà÷åííÿ t-êðèòåð³þ ïîð³âíþºìî ç òàáëè÷íèì ïðè k = n − m − 1 = 11 ñòóïåíÿõ ñâîáîäè ³ ð³âí³ çíà÷óùîñò³ α = 0, 05 : tòàáë.(0,025; 11) = 2,593097. Îñê³ëüêè |t0| > tα/2, k, |t1| < tα/2, k, |t2| < tα/2, k, |t3| > tα/2, k, â³äïîâ³äíî îö³íêè aˆ0 , aˆ3 º çíà÷óùèìè, à îö³íêè aˆ1 , aˆ2 íå º çíà÷óùèìè. Îá÷èñëèìî â³äíîøåííÿ δa j =

Sa j aj

⋅ 100 % ;

δa0 = 32 %; δa1 = 94 %; δa2 = 91 %; δa3 = 37 % (çíà÷åííÿ δ õàðàêòåðèçóþòü òîé ôàêò, ùî îö³íêè à0, à3 —íåçì³ùåí³, à îö³íêè à1, à2 —çì³ùåí³); ã) çíàéäåìî çíà÷åííÿ ãðàíè÷íîãî âíåñêó j-ãî ðåãðåñîðà â êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿ (òîáòî âèçíà÷èìî, íà ÿêó âåëè÷èíó çìåíøèòüñÿ ÷àñòêîâèé êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿, ÿêùî j-é ðåãðåñîð áóäå âèêëþ÷åíèé ç ð³âíÿííÿ):

(1 − R ) t 2

∆R 2j =

äå t j =

aj σ2u c j j

=

aj Sa j

2 j

n − m −1

,

;

∆R02 = 3,1053; ∆R12 = –0,6708; ∆R22 = –1,0969; ∆R32 = 2,6967; ä) âèçíà÷èìî êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿, ñêîðèãîâàíèé çà Òåéëîì:

(

RT2 = 1 − 1 − R 2

) n −n m− 1− 1 ;

RT2 = 0,88. 66

Îá÷èñëèìî êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿, ñêîðèãîâàíèé çà Àìå쳺þ:

(

RA2 = 1 − 1 − R 2

) nn +− mm +− 11 ;

RA2 = 0,83. Âèñíîâîê: ³ç âèêëþ÷åííÿì çì³ííî¿ ³ç ð³âíÿííÿ âòðà÷àºòüñÿ îäèí ñòóï³òü ñâîáîäè, òîä³ ç äâîõ âàð³àíò³â ð³âíÿíü, ÿê³ ìàþòü îäíàêîâ³ ³íø³ êðèòå𳿠ÿêîñò³, ïåðåâàãà â³ääàºòüñÿ ð³âíÿííþ ç á³ëüøèì çíà÷åííÿì ñêîðèãîâàíîãî êîåô³ö³ºíòà äåòåðì³íàö³¿ (ïðè âêëþ÷åíí³ äîäàòêîâîãî ðåãðåñîðà RT2 â³äîáðàæóº âòðàòó ñòóïåíÿ ñâîáîäè á³ëüø ÷³òêî, í³æ RA2 , òîáòî â öüîìó ðàç³ RT2 > RA2 ). 4. Îá÷èñëèìî êîåô³ö³ºíòè åëàñòè÷íîñò³: αi =

∂yˆ xi ⋅ ; ∂xi y

α1 = –0,13724; α2 = –0,6997; α3 = 1,23097. Êîåô³ö³ºíò åëàñòè÷íîñò³ º ïîêàçíèêîì âïëèâó çì³íè ïèòîìî¿ âàãè xi íà y ó ïðèïóùåíí³, ùî âïëèâ ³íøèõ ôàêòîð³â â³äñóòí³é: ó íàøîìó âèïàäêó â³í ïîêàçóº, ùî ïðèáóòîê ï³äïðèºìñòâà çìåíøèòüñÿ íà 0,14 %, ÿêùî âèòðàòè íà ðåêëàìó çðîñòóòü íà 1 %; ïðèáóòîê ï³äïðèºìñòâà çá³ëüøèòüñÿ íà 1,24 %, ÿêùî çàðîá³òíà ïëàòà çðîñòå íà 1 %. Çàãàëüíà åëàñòè÷í³ñòü Y â³ä óñ³õ ôàêòîð³â x1:

α=

m

∑ αi ;

i =1

α = 0,394033. Çàãàëüíà åëàñòè÷í³ñòü ïîêàçóº, ùî ïðèáóòîê ï³äïðèºìñòâà çá³ëüøèòüñÿ íà 0,39 %, ÿêùî îäíî÷àñíî çá³ëüøèòè íà 1 % óñ³ ôàêòîðè (³íâåñòèö³¿, âèòðàòè íà ðåêëàìó òà çàðîá³òíó ïëàòó). 5. Îá÷èñëèìî äîâ³ð÷³ ³íòåðâàëè äëÿ ìàòåìàòè÷íîãî ñïîä³âàííÿ yˆ ³ äëÿ êîæíîãî ñïîñòåðåæåííÿ X i = ( x1( i ) , x2( i ) , x3( i ) ) (áóäåìî íàçèâàòè ¿õ äîâ³ð÷èìè çîíàìè): 67

( yˆ − t i

ˆ

α/2, k Su

−1

X i′ ( X ′X ) X i ;

−1

)

yˆi + tα/2, k Sˆu X i′ ( X ′X ) X i ,

äå Sˆu — íåçì³ùåíà îö³íêà äèñïåðñ³¿ çàëèøê³â: Sˆu = 5,7357; tòàáë(α/2, k) — â³äïîâ³äíå òàáëè÷íå çíà÷åííÿ t-ðîçïîä³ëó ç k = n–m–1 = 11 ñòóïåíÿìè ñâîáîäè ³ ð³âíåì çíà÷óùîñò³ α = 0,05: tòàáë(0,025; 11) = 2,593097. Âèêîíàâøè íåîáõ³äí³ ðîçðàõóíêè, îòðèìàºìî äîâ³ð÷³ çîíè ðåãðåñ³¿: (23,430; 24,904) (22,594; 22,604) (24,730; 25,041) (26,253; 26,573) (28,241; 28,623) (40,457; 41,115) (34,374; 34,608) (41,109; 41,395) (43,501; 43,790) (47,430; 47,913) (54,290; 54,683) (52,642; 53,325) (62,887; 63,558) (68,229; 68,712) (71,961; 73,556) 6. Ïîáóäóºìî äîâ³ð÷³ ³íòåðâàëè äëÿ ïàðàìåòð³â ðåãðåñ³¿. Äîâ³ð÷³ ³íòåðâàëè äëÿ ïàðàìåòð³â a îá÷èñëþþòüñÿ òàê:

(aˆ

j

− tα/2, k σ2u c jj ;

)

aˆ j + tα/2, k σ2u c jj , −1

äå c jj — ä³àãîíàëüíèé åëåìåíò ìàòðèö³ ( X ′X ) ; σ2u =32,89835;

tα/2, k = tòàáë(0,025; 11) = 2,593097. Âèêîíàâøè íåîáõ³äí³ ðîçðàõóíêè, îòðèìàºìî

68

a0 ∈ (4,31; 47,91) ;

a1 ∈ ( −1,23; 0,72 ) ;

a2 ∈ (−9,17; 3,72 ) ;

a3 ∈ (0,46; 23,26 ).

7. Îá÷èñëèìî ïðîãíîçí³ çíà÷åííÿ ³ çíàéäåìî ìåæ³ äîâ³ð÷èõ ³íòåðâàë³â ³íäèâ³äóàëüíèõ ïðîãíîçíèõ çíà÷åíü ³ ìåæ³ äîâ³ð÷èõ ³íòåðâàë³â äëÿ ìàòåìàòè÷íîãî ñïîä³âàííÿ (òî÷êîâèé òà ³íòåðâàëüí³ ïðîãíîçè): à) äëÿ ðîçðàõóíêó ïðîãíîçíèõ çíà÷åíü ypi = Yïð ó ð³âíÿííÿ (3.5) yˆ = 26,10786 − 0,2518 x1 − 2,72767 x2 + 11,85602 x3

ï³äñòàâèìî ïðîãíîçí³ çíà÷åííÿ ôàêòîð³â x1ïð = 48,82, x2ïð = 20,04, x3ïð = 10,25, ùî ëåæàòü çà ìåæàìè áàçîâîãî ïåð³îäó (òî÷êîâèé ïðîãíîç): yïð = 80, 68; á) çíàéäåìî ìåæ³ ³íòåðâàëüíîãî ïðîãíîçó ³íäèâ³äóàëüíîãî çíà÷åííÿ (äëÿ k = n − m − 1 = 11 ñòóïåí³â ñâîáîäè òà âèáðàíîãî ð³âíÿ çíà÷óùîñò³ α = 0, 05 ) çà ôîðìóëîþ −1 ′ ( X ′X ) X ïð ≤ Yˆïð ≤ Yˆïð + Yˆïð − tα / 2σu 1 + X ïð −1

′ ( X ′X ) X ïð ; + tα / 2σu 1 + X ïð Yˆïð = 80,68;

σu = 5,7357; tα / 2 = tòàáë(0,025; 11) = 2,5931;

Xïð = (48,82; 20,04; 10,25); (58,72; 102,64) — ³íòåðâàëüíèé ïðîãíîç ³íäèâ³äóàëüíîãî çíà÷åííÿ; â) çíàéäåìî ìåæ³ äîâ³ð÷îãî ³íòåðâàëó äëÿ ìàòåìàòè÷íîãî ñïîä³âàííÿ çíà÷åííÿ yïð çà ôîðìóëîþ

( )

−1 ′ ( X ′X ) X ïð ≤ M Yïð ≤ Yˆïð + Yˆïð − tα/2 σu X ïð −1

′ ( X ′X ) + tα/2 σu X ïð

X ïð ;

Yˆïð = 80,68; σu = 5, 7357; tòàáë(0,025; 11) = 2,5931; (64,52; 96,83) — äîâ³ð÷èé ³íòåðâàë äëÿ ìàòåìàòè÷íîãî ñïîä³âàííÿ ïðîãíîçíîãî çíà÷åííÿ. 69

Êîíòðîëüí³ çàïèòàííÿ 1. Íàâåñòè ïðèêëàäè çàñòîñóâàííÿ áàãàòîôàêòîðíîãî ðåãðåñ³éíîãî àíàë³çó. 2. Äàòè âèçíà÷åííÿ ë³í³éíî¿ áàãàòîôàêòîðíî¿ ðåãðåñ³éíî¿ ìîäåë³. Ïðè ÿêèõ îñíîâíèõ ïðèïóùåííÿõ âîíà äîñë³äæóºòüñÿ? 3. Ïðîêîìåíòóâàòè îñíîâí³ åòàïè ïîáóäîâè ë³í³éíî¿ áàãàòîôàêòîðíî¿ ðåãðåñ³éíî¿ ìîäåë³. 4. ßê ðîçðàõîâóþòüñÿ íåâ³äîì³ ïàðàìåòðè ë³í³éíî¿ ìîäåë³ áàãàòîôàêòîðíî¿ ðåãðåñ³¿ çà ìåòîäîì ÌÍÊ? 5. ßê³ îñíîâí³ âëàñòèâîñò³ ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â ó âèïàäêó áàãàòîôàêòîðíî¿ ë³í³éíî¿ ðåãðåñ³¿? 6. ßê âèçíà÷àþòüñÿ êîåô³ö³ºíòè ìíîæèííî¿ êîðåëÿö³¿ òà äåòåðì³íàö³¿ â áàãàòîôàêòîðí³é ðåãðåñ³éí³é ìîäåë³? 7. ßê âèçíà÷àºòüñÿ îö³íåíèé êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿? Íàâåñòè éîãî îñíîâí³ âëàñòèâîñò³. 8. ßê ïîáóäóâàòè äîâ³ð÷³ ³íòåðâàëè ïàðàìåòð³â ë³í³éíî¿ ðåãðåñ³¿? 9. Ó ÷îìó â³äì³íí³ñòü ì³æ òî÷êîâèìè òà ³íòåðâàëüíèìè ïðîãíîçàìè? 10. ßê áóäóºòüñÿ ³íòåðâàëüíèé ïðîãíîç çíà÷åíü çàëåæíî¿ çì³ííî¿ â ìîäåë³ ë³í³éíî¿ ðåãðåñ³¿? Âïðàâè òà çàâäàííÿ 1. Íà îñíîâ³ äåñÿòè ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ: 1) âèçíà÷èòè ïàðàìåòðè ë³í³éíî¿ ìîäåë³ çàëåæíîñò³ âèòðàò íà ñïîæèâàííÿ (Ñ) â³ä ð³âíÿ äîõîä³â (D), çàîùàäæåíü (S) ³ çàðîá³òíî¿ ïëàòè (L); 2) îö³íèòè êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿; 3) îö³íèòè êîåô³ö³ºíò ìíîæèííî¿ êîðåëÿö³¿; 4) ïåðåâ³ðèòè ¿õ ñòàòèñòè÷íó çíà÷óù³ñòü.

70

i

C(i)

D(i)

S(i)

L(i)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

45,64 44,72 52,12 50,96 50,88 58,56 56,92 58,2 60,36 62,76

4,75 6,28 6,87 7,85 9,26 10,39 9,42 11,01 12,22 12,82

1,79 3,11 2,71 4,07 4,21 4,67 6,3 6 4,82 4,65

58,45 53,3 56,25 58,2 45,7 58,05 65,6 60,85 60,55 63,50

2. Çà ñòàòèñòè÷íèìè ïîêàçíèêàìè Y, K ³ L çà äåâ’ÿòü ðîê³â ïðîàíàë³çóâàòè êëàñè÷íó ìîäåëü âèðîáíè÷î¿ ôóíêö³¿ Êîááà — Äóãëàñà, ùî îïèñóº çàëåæí³ñòü ì³æ ïðîäóêòèâí³ñòþ ïðàö³ y = Y / L òà ôîíäîîçáðîºí³ñòþ x = K / L ç óðàõóâàííÿì âïëèâó òåõí³÷íîãî ïðîãðåñó ó âèðîáíèöòâ³ ðåã³îíó, îö³íèâøè: 1) ïàðàìåòðè íåë³í³éíî¿ ìîäåë³; 2) êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿; 3) êîåô³ö³ºíò ìíîæèííî¿ êîðåëÿö³¿. ³

Y(³)

K(i)

L(³)

1 2 3 4 5 6 7 8 9

65,04 54,27 78,22 82,06 79,14 90,48 85,69 76,26 82,05

4,03 5,25 7,57 7,99 8,91 10,67 11,51 10,23 10,84

7,45 8,68 9,55 10,67 11,68 13,31 14,27 13,01 15,05

71

Ðîçä³ë 4. Ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü 4.1. Ïîíÿòòÿ ïðî ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü òà ¿¿ âïëèâ íà îö³íêó ïàðàìåòð³â ìîäåë³ Îäíà ç ïåðåäóìîâ çàñòîñóâàííÿ ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â äî îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ë³í³éíèõ áàãàòîôàêòîðíèõ ìîäåëåé — â³äñóòí³ñòü ë³í³éíèõ çâ’ÿçê³â ì³æ íåçàëåæíèìè çì³ííèìè ìîäåë³. ßêùî òàê³ çâ’ÿçêè ³ñíóþòü, òî öå ÿâèùå íàçèâàþòü ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòþ. Îçíà÷åííÿ 4.1. Ñóòü ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³ ïîëÿãຠâ òîìó, ùî â áàãàòîôàêòîðí³é ðåãðåñ³éí³é ìîäåë³ äâ³ àáî á³ëüøå íåçàëåæíèõ çì³ííèõ ïîâ’ÿçàí³ ì³æ ñîáîþ ë³í³éíîþ çàëåæí³ñòþ àáî, ³íøèìè ñëîâàìè, ìàþòü âèñîêèé ñòóï³íü êîðåëÿö³¿: (rxi x j → 1, i ≠ j ).

Íàÿâí³ñòü ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³ ñòâîðþº ïåâí³ ïðîáëåìè ïðè ðîçðîáö³ ìîäåëåé. Íàñàìïåðåä, âèçíà÷íèê ìàòðèö³ ñïîñòåðåæåíü X T X íàáëèæàºòüñÿ äî íóëÿ, ³ îïåðàòîð îö³íþâàííÿ çà çâè÷àéíèì ÌÍÊ ñòຠíàäçâè÷àéíî ÷óòëèâèé äî ïîõèáîê âèì³ðþâàíü ³ ïîõèáîê îá÷èñëåíü. Ïðè öüîìó ÌÍÊ-îö³íêè ìîæóòü ìàòè çíà÷íå çì³ùåííÿ â³äíîñíî ä³éñíèõ îö³íîê óçàãàëüíåíî¿ ìîäåë³, à â äåÿêèõ âèïàäêàõ ìîæóòü ñòàòè âçàãàë³ áåççì³ñòîâíèìè. Ïåðåäóñ³ì ïîòð³áíî çðîçóì³òè ïðèðîäó ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³. Íàïðèêëàä, êîëè âèâ÷àºòüñÿ çàëåæí³ñòü ì³æ ö³íîþ àêö³¿, äèâ³äåíäàìè íà àêö³þ òà îòðèìàíèì ïðèáóòêîì íà àêö³þ, òî äèâ³äåíäè òà îòðèìàíèé ïðèáóòîê íà îäíó àêö³þ ìàþòü âèñîêèé ñòóï³íü êîðåëÿö³¿. ²íøèìè ñëîâàìè, âèíèêຠñèòóàö³ÿ, êîëè äâà êîë³íåàðíèõ ôàêòîðè çì³íþþòüñÿ â îäíîìó íàïðÿìêó. Ó òàêîìó ðàç³ ìàéæå íåìîæëèâî îö³íèòè âïëèâ êîæíîãî ç íèõ íà äîñë³äæóâàíèé ïîêàçíèê. 72

ǒÿñóºìî, äî ÿêèõ íàñë³äê³â ìîæå ïðèçâåñòè ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü. Öå îäíå ç íàéâàæëèâ³øèõ ïèòàíü, ÿêå ïîòð³áíî çðîçóì³òè ïðè ðîçðîáö³ åêîíîìåòðè÷íèõ ìîäåëåé. Ïðàêòè÷í³ íàñë³äêè ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³: • ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü íåçàëåæíèõ çì³ííèõ (ôàêòîð³â) ïðèçâîäèòü äî çì³ùåííÿ îö³íîê ïàðàìåòð³â ìîäåë³, ÿê³ ðîçðàõîâóþòüñÿ çà ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â. Íà îñíîâ³ öèõ îö³íîê íåìîæëèâî çðîáèòè êîíêðåòí³ âèñíîâêè ïðî ðåçóëüòàòè âçàºìîçâ’ÿçêó ì³æ ïîêàçíèêîì ³ ôàêòîðàìè; • çá³ëüøåííÿ äèñïåðñ³¿ òà êîâàð³àö³¿ îö³íîê ïàðàìåòð³â, îá÷èñëåíèõ çà ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â. Äëÿ ³ëþñòðàö³¿ ðîçãëÿíåìî äâîôàêòîðíó ðåãðåñ³éíó ìîäåëü y = a0 + a1 x1 + a2 x2 + u

òà ¿¿ âèá³ðêîâèé àíàëîã yˆ = aˆ0 + aˆ1 x1 + aˆ2 x2.

Äèñïåðñ³ÿ îö³íîê ïàðàìåòð³â aˆ1 ³ aˆ2 ìຠâèãëÿä

D(aˆ0 ) =

σ2ξ n

,

(4.1)

,

(4.2)

(1 − r )∑ ( x1i − x1 ) 2

2

i =1

D(aˆ0 ) =

σ2ξ n

(1 − r 2 )∑ ( x2i − x2 )2 i =1

−r σ2ξ

ñîv(aˆ1 , aˆ2 ) = 2

(1 − r )

n

n

,

(4.3)

∑ ( x1i − x1) ∑ ( x2i − x2 ) i =1

2

2

i =1

äå r — êîåô³ö³ºíò êîðåëÿö³¿ ì³æ õ1 ³ õ2. Ç (4.1), (4.2) âèïëèâàº, ùî ÿêùî r çðîñòàº, òî D(aˆ1 ), D(aˆ2 ) òàêîæ çðîñòàþòü. 73

Ç (4.3) âèïëèâàº, ùî ÿêùî r çá³ëüøóºòüñÿ, ñîv(aˆ1 , aˆ2 ) çðîñòຠçà àáñîëþòíîþ âåëè÷èíîþ. Ïðè÷îìó ïðè íàáëèæåíí³ äî ãðàíè÷íîãî çíà÷åííÿ öå çá³ëüøåííÿ ìຠåêñïîíåíö³àëüíèé õàðàêòåð. • çá³ëüøåííÿ äîâ³ð÷îãî ³íòåðâàëó (îñê³ëüêè çá³ëüøóºòüñÿ ñåðåäí³é êâàäðàò â³äõèëåííÿ ïàðàìåòð³â); • íåçíà÷óù³ñòü t-ñòàòèñòèê. aˆ (Îñê³ëüêè çíà÷åííÿ t-ñòàòèñòèêè Ñòüþäåíòà t = 1 , òî ó âèïàäσaˆi êó ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³ σaˆi → ∞, à îòæå, t → 0 ). Çàóâàæåííÿ. Ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü íå º ïðîáëåìîþ, ÿêùî ºäèíîþ ìåòîþ ðåãðåñ³éíîãî àíàë³çó º ïðîãíîç (îñê³ëüêè ÷èì á³ëüøå çíà÷åííÿ R2, òèì òî÷í³øèé ïðîãíîç). ßêùî ìåòîþ àíàë³çó º íå ïðîãíîç, à ä³éñíå çíà÷åííÿ ïàðàìåòð³â, òî ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü ïåðåòâîðþºòüñÿ íà ïðîáëåìó, îñê³ëüêè ¿¿ íàÿâí³ñòü ïðèçâîäèòü äî çíà÷íèõ ñòàíäàðòíèõ ïîõèáîê îö³íîê ïàðàìåòð³â.

4.2. Òåñòóâàííÿ íàÿâíîñò³ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³ ªäèíîãî ñïîñîáó âèçíà÷åííÿ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³, íà æàëü, íåìàº. Çîâí³øí³ îçíàêè íàÿâíîñò³ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³ òàê³: • âåëèêå çíà÷åííÿ R2 ³ íåçíà÷óù³ñòü t-ñòàòèñòèêè. Íàÿâí³ñòü öèõ äâîõ ôàêòîð³â îäíî÷àñíî º “êëàñè÷íîþ” îçíàêîþ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³. Ç îäíîãî áîêó, íåçíà÷óù³ñòü t-ñòàòèñòèêè Ñòüþäåíòà îçíà÷àº, ùî îäèí àáî á³ëüøå îö³íåíèõ ïàðàìåòð³â ñòàòèñòè÷íî íåçíà÷óùå â³äð³çíÿþòüñÿ â³ä íóëÿ. Ç ³íøîãî áîêó, ÿêùî çíà÷åííÿ R2 âåëèêå, ìè ïðèéìàºìî ç âåëèêîþ éìîâ³ðí³ñòþ F-êðèòåð³é Ô³øåðà, ÿêèé â³äêèäຠíóëüîâó ã³ïîòåçó (Í0 : a1 = a2 = … = am = 0). Ñóïåðå÷í³ñòü ñâ³ä÷èòü ïðî íàÿâí³ñòü ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³; • âåëèêå çíà÷åííÿ ïàðíèõ êîåô³ö³ºíò³â êîðåëÿö³¿. ßêùî çíà÷åííÿ õî÷à á îäíîãî êîåô³ö³ºíòà êîðåëÿö³¿ rxi x j > 0, 8,

i ≠ j, òî ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü º ñåðéîçíîþ ïðîáëåìîþ. Çàóâàæèìî, ùî âåëèêå çíà÷åííÿ ïàðíèõ êîåô³ö³ºíò³â êîðåëÿö³¿ — äîñòàòíÿ, àëå íå íåîáõ³äíà óìîâà íàÿâíîñò³ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³. Ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü ìîæå ìàòè ì³ñöå íàâ³òü ïðè â³äíîñíî íåâåëèêèõ çíà÷åííÿõ ïàðíèõ êîåô³ö³ºíòàõ êîðåëÿö³¿ ó á³ëüø í³æ äâîôàêòîðí³é ðåãðåñ³éí³é ìîäåë³.

74

Äëÿ âèçíà÷åííÿ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³ çäåá³ëüøîãî çàñòîñîâóþòü òàê³ òåñòè: • F-òåñò, çàïðîïîíîâàíèé Ãëîáåðîì ³ Ôàððàðîì (â³í ìàº é ³íøó íàçâó: ïîáóäîâà äîïîì³æíî¿ ðåãðåñ³¿); • õàðàêòåðèñòè÷í³ çíà÷åííÿ òà óìîâíèé ³íäåêñ. Ðîçãëÿíåìî ¿õ á³ëüø äåòàëüíî. Ïåðøèé ³ç íèõ áàçóºòüñÿ íà òîìó, ùî çà íàÿâíîñò³ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³ îäèí ÷è á³ëüøå ôàêòîð³â ïîâ’ÿçàí³ ì³æ ñîáîþ ë³í³éíîþ àáî ïðèáëèçíî ë³í³éíîþ çàëåæí³ñòþ. Îäíèì ³ç ñïîñîá³â âèçíà÷åííÿ ù³ëüíîñò³ ðåãðåñ³éíîãî çâ’ÿçêó º ïîáóäîâà ðåãðåñ³éíî¿ çàëåæíîñò³ êîæíîãî ôàêòîðà õ³ ç óñ³ìà ³íøèìè ôàêòîðàìè. Òîìó F-òåñò ìຠ³íøó íàçâó: ïîáóäîâà äîïîì³æíî¿ ðåãðåñ³¿. Îá÷èñëåííÿ â³äïîâ³äíîãî êîåô³ö³ºíòà äåòåðì³íàö³¿ äëÿ öüîãî äîïîì³æíîãî ðåãðåñ³éíîãî ð³âíÿííÿ òà éîãî ïåðåâ³ðêà çà äîïîìîãîþ F-êðèòåð³þ äàþòü çìîãó âèÿâèòè ë³í³éí³ çâ’ÿçêè ì³æ íåçàëåæíèìè çì³ííèìè. Íåõàé Rx2i x1x2 , K, x m — êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿ â ðåãðåñ³¿, ÿêà ïîâ’ÿçóº ôàêòîð õ³ ç ³íøèìè ôàêòîðàìè. Òîä³ F-òåñò âèêîíóºòüñÿ òàê: 1) äëÿ êîæíîãî êîåô³ö³ºíòà äåòåðì³íàö³¿ ðîçðàõîâóºìî Fi-â³äíîøåííÿ: Fi =

(Rx2 x x

i 1 2 , K, x m

) (m − 1)

(1 − Rx2 x x

i 1 2 , K, x m

) (n − m)

,

(4.4)

äå n – ê³ëüê³ñòü ñïîñòåðåæåíü; m – ê³ëüê³ñòü ôàêòîð³â. F-òåñò ïåðåâ³ðÿº ã³ïîòåçó H0: Rx2 , x K, x = 0 ïðîòè ã³ïîòåçè H1: i

1

m

Rx2 , x K, x ≠ 0 ; i

1

m

2) Fêð çíàõîäèìî çà òàáëèöåþ F-ðîçïîä³ëó Ô³øåðà ç (m–1) ³ (n–m) ñòóïåíÿìè ñâîáîäè ³ çàäàíèì ð³âíåì çíà÷óùîñò³; 3) ÿêùî Fi > Fêð, òî ã³ïîòåçó Í0 â³äêèäàºìî (õ³ — ìóëüòèêîë³íåàðíèé ôàêòîð), ÿêùî Fi < Fêð, òî ã³ïîòåçó Í0 ïðèéìàºìî (ôàêòîð õ³ íå º ìóëüòèêîë³íåàðíèì). Òåñò, ùî çàñòîñîâóº õàðàêòåðèñòè÷í³ çíà÷åííÿ (âëàñí³ ÷èñëà ìàòðèö³ ñïîñòåðåæåíü) òà óìîâíèé ³íäåêñ R (ùî îá÷èñëþºòüñÿ ÿê â³äíîøåííÿ ìàêñèìàëüíîãî âëàñíîãî ÷èñëà ìàòðèö³ äî ¿¿ ì³í³ìàëüíîãî âëàñíîãî ÷èñ75

ëà), âèêîðèñòîâóºòüñÿ â ñó÷àñíèõ ñòàòèñòè÷íèõ ïàêåòàõ. Ìè íå ðîçãëÿäàòèìåìî éîãî äåòàëüíî, áî öå ïîòðåáóº çàñòîñóâàííÿ àïàðàòó òåî𳿠ìàòðèöü. Çàçíà÷èìî ëèøå, ùî çà öèì òåñòîì ðîçðàõîâóºòüñÿ íå ò³ëüêè óìîâíå ÷èñëî R, à é óìîâíèé ³íäåêñ CI = R . ßêùî 100 ≤ R ≤ 1000 , ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü ïîì³ðíà, ÿêùî R > 1000 — âèñîêà. Àíàëîã³÷íî, ÿêùî 10 ≤ CI ≤ 30, ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü ïîì³ðíà, ÿêùî CI > 0 — âèñîêà. Ìè ðîçãëÿíóëè ëèøå îñíîâí³ ìåòîäè òåñòóâàííÿ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³. Æîäåí ç íèõ íå º óí³âåðñàëüíèì. Óñ³ âîíè ìàþòü îäèí ñï³ëüíèé íåäîë³ê: æîäåí ³ç íèõ íå ïðîâîäèòü ÷³òêî¿ ìåæ³ ì³æ òèì, ùî òðåáà ââàæàòè “ñóòòºâîþ” ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòþ, ÿêó íåîáõ³äíî âðàõîâóâàòè, ³ òèì, êîëè íåþ ìîæíà çíåõòóâàòè.

4.3. Àëãîðèòì Ôàððàðà — Ãëîáåðà Íàéïîâí³øå äîñë³äèòè ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü äຠçìîãó àëãîðèòì Ôàððàðà — Ãëîáåðà, ÿêèé çàñòîñîâóº òðè âèäè ñòàòèñòè÷íèõ êðèòåð³¿â äëÿ âèÿâëåííÿ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³: • óñüîãî ìàñèâó íåçàëåæíèõ çì³ííèõ (êðèòåð³é χ 2 ); • êîæíî¿ íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿ ç óñ³ìà ³íøèìè (F-êðèòåð³é); • êîæíî¿ ïàðè íåçàëåæíèõ çì³ííèõ (t-êðèòåð³é). Ïîð³âíÿâøè ö³ êðèòåð³¿ ç ¿õ êðèòè÷íèìè çíà÷åííÿìè, ìîæíà çðîáèòè êîíêðåòí³ âèñíîâêè ùîäî íàÿâíîñò³ ÷è â³äñóòíîñò³ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³ íåçàëåæíèõ çì³ííèõ. Îïèøåìî öåé àëãîðèòì. Ñêëàäåìî ïîêðîêîâèé àëãîðèòì Ôàððàðà — Ãëîáåðà. 1-é êðîê: íîðìàë³çóâàòè çì³íí³ õ1, õ2, …, õm åêîíîìåòðè÷íî¿ ìîäåë³, îá÷èñëèâøè

x*ij =

( xij − x j ) nσ2x

,

j

äå n — ê³ëüê³ñòü ñïîñòåðåæåíü (i = 1, 2, ..., n); m — ê³ëüê³ñòü íåçàëåæíèõ çì³ííèõ (j = 1, m); x j — ñåðåäíÿ àðèôìåòè÷íà j-¿ íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿; σ2 — äèñïåðñ³ÿ j-¿ íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿. xj 76

2-é êðîê: íà îñíîâ³ ìàòðèö³ X * , åëåìåíòàìè ÿêî¿ º íîðìàë³çîâàí³ íåçàëåæí³ çì³íí³ x *ij , îá÷èñëèòè êîðåëÿö³éíó ìàòðèöþ (ìàòðèöþ ìîìåíò³â íîðìàë³çîâàíî¿ ñèñòåìè íîðìàëüíèõ ð³âíÿíü):  1  r R = X *tr X * =  21  ...   rm1

r12 1 ... rm2

... r1m   ... r2 m  , ... ...   ... 1 

äå X *tr — òðàíñïîíîâàíà ìàòðèöÿ X * (åëåìåíòè ìàòðèö³ R õàðàêòåðèçóþòü ù³ëüí³ñòü çâ’ÿçêó îäí³º¿ íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿ ç ³íøîþ); rij = rxi x j — ïàðí³ êîåô³ö³ºíòè êîðåëÿö³¿. Îäíàê íà îñíîâ³ ö³º¿ çàëåæíîñò³ íå ìîæíà ñòâåðäæóâàòè, ùî îòðèìàíèé çâ’ÿçîê º ÿâèùåì ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³. ßêùî ä³àãîíàëüí³ åëåìåíòè ìàòðèö³ R íå äîð³âíþþòü îäèíèö³, òî íà ä³àãîíàë³ ö³º¿ ìàòðèö³ ìè ïðîñòàâëÿºìî îäèíèö³, à äî ðåøòè åëåìåíò³â äîäàºìî ð³çíèöþ ì³æ îäèíèöåþ é çíà÷åííÿì ä³àãîíàëüíîãî åëåìåíòà.

3-é êðîê: âèçíà÷èòè |R| — âèçíà÷íèê êîðåëÿö³éíî¿ ìàòðèö³ R; 2 îá÷èñëèòè êðèòåð³é χ : 1   χ2 = −  n − 1 − (2m + 5) ⋅ ln | R |;   6 1 m (m − 1) ñòóïåíÿõ ñâî2 2 2 áîäè ³ ð³âí³ çíà÷óùîñò³ α (ÿêùî χ > χ òàáë , òî â ìàñèâ³ íåçàëåæíèõ çì³ííèõ ³ñíóº ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü). 2 ïîð³âíÿòè çíà÷åííÿ χ ç òàáëè÷íèì ïðè

77

4-é êðîê: âèçíà÷èòè ìàòðèöþ ïîõèáîê:

C = R −1 = ( X *tr X * ) −1

 c11  c =  21  ...   cm1

c12 c22 ... cm2

c1m   ... c2 m  . ... ...   ... cmm  ...

5-é êðîê: ðîçðàõóâàòè F-êðèòåð³¿: (ñkk − 1)(n − m) , (m − 1)

Fk =

äå ñkk — ä³àãîíàëüí³ åëåìåíòè ìàòðèö³ Ñ; çíà÷åííÿ êðèòåð³¿â Fk ïîð³âíÿòè ç òàáëè÷íèì ïðè (n–m) ³ (m–1) ñòóïåíÿõ ñâîáîäè é ð³âí³ çíà÷óùîñò³ α (ÿêùî Fk > Fòàáë, òî â³äïîâ³äíà k-òà íåçàëåæíà çì³ííà ìóëüòèêîë³íåàðíà ç ³íøèìè); ðîçðàõóâàòè êîåô³ö³ºíòè äåòåðì³íàö³¿ äëÿ êîæíî¿ çì³ííî¿: Rk2 = 1 −

1 . ckk

6-é êðîê: çíàéòè ÷àñòêîâ³ êîåô³ö³ºíòè êîðåëÿö³¿, ÿê³ õàðàêòåðèçóþòü ù³ëüí³ñòü çâ’ÿçêó ì³æ äâîìà çì³ííèìè çà óìîâè, ùî ³íø³ çì³íí³ xl1, xl2, ... , xlm íå âïëèâàþòü íà öåé çâ’ÿçîê (³ñíóâàííÿ ïàðíî¿ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³):

r

kj

=

−ck j ckk c jj

äå ñkj — åëåìåíòè ìàòðèö³ Ñ, ùî ðîçì³ùåí³ â k-ìó ðÿäêó òà j-ìó ñòîâïö³, k = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., m; ñkk ³ ñjj — ä³àãîíàëüí³ åëåìåíòè ìàòðèö³ Ñ. Îäíàê ÿêùî ïîð³âíÿòè êîíêðåòí³ ÷èñëîâ³ çíà÷åííÿ ÷àñòêîâèõ ³ ïàðíèõ êîåô³ö³ºíò³â, òî ìîæíà ïîáà÷èòè, ùî ïåðø³ çíà÷íî ìåíø³, 78

í³æ îñòàíí³. Òîìó íà îñíîâ³ çíàííÿ ïàðíèõ êîåô³ö³ºíò³â êîðåëÿö³¿ âèñíîâîê ïðî ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü ðîáèòè íåìîæëèâî. Äëÿ öüîãî íåîáõ³äíî âèêîíàòè 7-é êðîê. 7-é êðîê: ðîçðàõóâàòè t-êðèòåð³¿:

t kj = r ⋅ kj

n−m 1 − rk2j

;

çíà÷åííÿ êðèòåð³¿â tkj ïîð³âíÿòè ç òàáëè÷íèìè ïðè (m–n) ñòóïåíÿõ ñâîáîäè òà ð³âí³ çíà÷óùîñò³ α ; ÿêùî tkj > tòàáë, òî ì³æ íåçàëåæíèìè çì³ííèìè õk ³ õj ³ñíóº ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü. Âèñíîâêè: 1. ̳æ íåçàëåæíèìè çì³ííèìè ìîæå ³ñíóâàòè ë³í³éíà çàëåæí³ñòü, îäíàê âîíà ìîæå é íå áóòè ÿâèùåì ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³ çì³ííèõ, à òîìó íå âïëèâàòèìå íà ê³ëüê³ñí³ îö³íêè ïàðàìåòð³â ìîäåë³, ðîçðàõîâàíèõ çà äîïîìîãîþ çâè÷àéíîãî ÌÍÊ. 2. ßêùî Fk > Fòàáë, òî õk çàëåæèòü â³ä óñ³õ ³íøèõ íåçàëåæíèõ çì³ííèõ ³ òðåáà âèð³øèòè ïèòàííÿ ïðî ¿¿ âèêëþ÷åííÿ ç ïåðåë³êó çì³ííèõ. 3. ßêùî tkj > tòàáë, òî õk ³ õj ù³ëüíî ïîâ’ÿçàí³ ì³æ ñîáîþ. 4. Àíàë³çóþ÷è F- i t-êðèòåð³¿, ðîáèìî âèñíîâîê, ÿêó ç³ çì³ííèõ òðåáà âèêëþ÷èòè ç ìîäåë³ (çðîçóì³ëî, ÿêùî öå ìîæëèâî ç åêîíîì³êîëîã³êî-òåîðåòè÷íèõ ì³ðêóâàíü). 5. ßêùî âèêîíàâøè ïï. 2–4, ìè íå äîñÿãëè ìåòè, òîáòî íå óñóíóëè ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü, îö³íêó ïàðàìåòð³â ìîäåë³ ñë³ä îá÷èñëþâàòè çà äîïîìîãîþ ³íøîãî ìåòîäó, íàïðèêëàä ìåòîäó ãîëîâíèõ êîìïîíåíò³â (àáî îäí³º¿ ç éîãî ìîäèô³êàö³é). Ïðèêëàä äîñë³äæåííÿ íàÿâíîñò³ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³ íà îñíîâ³ àëãîðèòìó Ôàððàðà — Ãëîáåðà Ðîçãëÿíåìî äîñë³äæåííÿ âïëèâó íà åêîíîì³÷íèé ïîêàçíèê y — ðåàëüíå ñïîæèâàííÿ êðà¿íè (ó ìëðä ãðí.) òðüîõ ôàêòîð³â: x1 — êóï³âë³ òà îïëàòè òîâàð³â ³ ïîñëóã (ó ìëðä ãðí.), x2 — óñ³õ çàîùàäæåíü â³ä çàãàëüíîãî ãðîøîâîãî äîõîäó (ó % â³ä çàãàëüíî¿ ñóìè äîõîäó), x3 — ð³âíÿ ñòàâêè ÏÄ (ó %). Íåîáõ³äíî ïåðåâ³ðèòè ôàêòîðè íà ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü. 79

¹ ï/ï

y(i)

x1 (i)

x2(i)

x3(i)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

25,74 25,34 31,26 33,50 32,30 38,90 41,58 48,02 43,30 51,78 52,14 54,94 59,18 62,22 63,62 65,01 67,78 71,45 75,24 77,38

4,69 5,64 6,26 6,99 6,36 7,60 7,12 6,81 8,67 7,83 7,84 8,85 9,61 10,67 11,04 11,85 12,94 14,24 15,67 16,33

11,97 13,43 12,92 14,74 14,64 17,10 15,63 15,35 15,85 18,05 17,24 20,52 19,18 19,03 21,45 22,25 24,75 25,03 27,87 30,486

29,23 29,35 33,40 30,97 32,92 37,27 30,97 33,58 35,62 34,99 39,34 41,50 45,58 41,08 40,54 42,75 43,89 41,95 44,06 46,77

Ðîçâ’ÿçàííÿ. 1-é êðîê: íîðìàë³çóºìî çì³íí³ õ1, õ2, õ3 åêîíîìåòðè÷íî¿ ìîäåë³, îá÷èñëèâøè

x*ij =

(xij − xj ) nσ2x

,

j

äå n = 20 — ê³ëüê³ñòü ñïîñòåðåæåíü (³ = 1, 2, ..., n); m = 3 — ê³ëüê³ñòü íåçàëåæíèõ çì³ííèõ (j = 1, m); x j — ñåðåäíÿ àðèôìåòè÷íà j-¿ íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿: x1 = 9,3505; σ2xj

x3 = 37,788;

— äèñïåðñ³ÿ j-¿ íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿: σ2x = 11,35297; 1

80

x2 = 18,874;

σ2x2 = 26,06648;

σ 2x

3

= 31,86169.

2-é êðîê: íà îñíîâ³ íîâî¿ ìàòðèö³ X*, åëåìåíòàìè ÿêî¿ º íîðìàë³çîâàí³ íåçàëåæí³ çì³íí³ x *ij ,  0,309287   0,246242  0,205096   0,156651  0,198460   0,116169   0,148024  0,168596   0,045160 * X =  −0,100905  −0,100242   −0,033215  0,017221   0,087566  0,112121   0,165875   0,238212  0,324485   0,419385

−0,302374 −0,238430 −0,260766 −0,181056 −0,185436 −0,077695 −0,142077 −0,154340 −0,132441 −0,036088 −0,071564 0,072089 0,013401 0,006832 0,112820 0,147858 0,257350 0,269613 0,393997

0,339018   0,334264  0,173826   0,270089  0,192841   0,020520   0,270089  0,166696   0,085883  0,110840  0,061481   0,147047  0,308673   0,130409  0,109018  0,196565   0,241725  0,164874   0,248460 

îá÷èñëèìî êîðåëÿö³éíó ìàòðèöþ (ìàòðèöþ ìîìåíò³â íîðìàë³çîâàíî¿ ñèñòåìè íîðìàëüíèõ ð³âíÿíü):  1  r R = X *tr X * =  21  ...   rm1

r12 1 ... rm2

... r1m   ... r2 m  , ... ...   ... 1 

81

äå Õ *tr — òðàíñïîíîâàíà ìàòðèöÿ Õ *; åëåìåíòè ìàòðèö³ R õàðàêòåðèçóþòü ù³ëüí³ñòü çâ’ÿçêó îäí³º¿ íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿ ç ³íøîþ ( rij = rxi x j — ïàðí³ êîåô³ö³ºíòè êîðåëÿö³¿);

0,92883 0,819534   0,95   0,831277  . R =  0,92883 0,95  0,81953 0,83127 0,95    3-é êðîê: âèçíà÷èìî |R| — âèçíà÷íèê êîðåëÿö³éíî¿ ìàòðèö³ R: |R| = 0,00881; îá÷èñëèìî çíà÷åííÿ êðèòåð³þ χ2 : 1   χ2 = −  n − 1 − (2m + 5 ) ln R ;   6

χ2 = 81,23005; 1 m (m − 1) = 3 ñòóïå2 íÿõ ñâîáîäè é ð³âí³ çíà÷óùîñò³ α = 0,05 (äîä. 3): 2 ïîð³âíÿºìî çíà÷åííÿ χ ç òàáëè÷íèì ïðè

χ2òàáë = 7,814724. 2 2 Îñê³ëüêè χ > χ òàáë, òî â ìàñèâ³ íåçàëåæíèõ çì³ííèõ ³ñíóº ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü ó ñóêóïíîñò³. 4-é êðîê: âèçíà÷èìî ìàòðèöþ ïîõèáîê:

C = R −1 = ( X *tr X * )−1

82

 c11 c12  c c22 =  21  ... ...   cm1 cm2

c1m   ... c2 m  ; ... ...   ... cmm  ...

 24,00377 −22,82912 −0,7311322    Ñ =  −22,82912 26,20416 −3,235457  .  0,731132 −3,235457 4,5144749   

5-é êðîê: ðîçðàõóºìî F-êðèòåð³¿:

Fk =

(ñkk − 1)(n − m) , k = 1, 2, 3, (m − 1)

äå ñkk — ä³àãîíàëüí³ åëåìåíòè ìàòðèö³ Ñ; F1 = 195,53205, F2 = 214,2354, F3 = 29,87303; çíà÷åííÿ êðèòåð³¿â Fk ïîð³âíÿºìî ç òàáëè÷íèì ïðè (n–m) = 17 ³ (m–1) = 2 ñòóïåíÿõ ñâîáîäè ³ ð³âí³ çíà÷óùîñò³ α = 0,05 (äîä. 5): Fòàáë = 19,43703. Îñê³ëüêè F1 > Fòàáë, F2 > Fòàáë, F3 > Fòàáë, ðîáèìî âèñíîâîê, ùî ïåðøà, äðóãà é òðåòÿ íåçàëåæí³ çì³íí³ ìóëüòèêîë³íåàðí³ ç ³íøèìè; âèçíà÷èìî êîåô³ö³ºíòè äåòåðì³íàö³¿ äëÿ êîæíî¿ çì³ííî¿: Rk2 = 1 −

1 ; ckk

2 R12 = 0,958339; R22 = 0,961838; R3 = 0,778490.

6-é êðîê: çíàéäåìî ÷àñòêîâ³ êîåô³ö³ºíòè êîðåëÿö³¿, ÿê³ õàðàêòåðèçóþòü ù³ëüí³ñòü çâ’ÿçêó ì³æ äâîìà çì³ííèìè çà óìîâè, ùî ³íø³ çì³íí³ xl1, xl2, ..., xlm íå âïëèâàþòü íà öåé çâ’ÿçîê (³ñíóâàííÿ ïàðíî¿ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³): rkj =

−ckj ckk c jj

,

83

äå ñkj — åëåìåíòè ìàòðèö³ Ñ, ùî ðîçì³ùåí³ â k-ìó ðÿäêó òà j-ìó ñòîâïö³, k = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., m; ñkk ³ ñjj — ä³àãîíàëüí³ åëåìåíòè ìàòðèö³ Ñ; r12 = 0,910257, r13 = 0,070234, r23 = 0,297472. Îäíàê ÿêùî ïîð³âíÿòè àáñîëþòí³ çíà÷åííÿ ÷àñòêîâèõ ïàðíèõ êîåô³ö³ºíò³â, òî ìîæíà ïîáà÷èòè, ùî ïåðø³ çíà÷íî ìåíø³, í³æ îñòàíí³. Òîìó íà îñíîâ³ çíàííÿ ïàðíèõ êîåô³ö³ºíò³â êîðåëÿö³¿ âèñíîâîê ïðî ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü ðîáèòè íåìîæëèâî. Äëÿ öüîãî íåîáõ³äíî ùå âèêîíàòè 7-é êðîê. 7-é êðîê: ðîçðàõóºìî t-êðèòåð³¿: t kj = | rk j |

n−m 1 − rk2j

;

t12 = 9,064506, t13 = 0,290302, t23 = 1,284666; çíà÷åííÿ êðèòåð³¿â tkj ïîð³âíÿºìî ç òàáëè÷íèìè ïðè (n–m) = 17 ñòóïåíÿõ ñâîáîäè é ð³âí³ çíà÷óùîñò³ α = 0,05 (äîä. 4): tòàáë = 2,109818. Îñê³ëüêè t12 > tòàáë, t13 < tòàáë, t23 < tòàáë, òî ì³æ ïåðøîþ òà äðóãîþ íåçàëåæíèìè çì³ííèìè ³ñíóº ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü. ßêùî F-êðèòåð³é ïåðåâèùóº òàáëè÷íå çíà÷åííÿ, à öå îçíà÷ຠùî k-òà çì³ííà çàëåæèòü â³ä ³íøèõ çì³ííèõ ó ìàñèâ³, íåîáõ³äíî âèð³øóâàòè ïèòàííÿ ïðî ¿¿ âèêëþ÷åííÿ ç ïåðåë³êó çì³ííèõ. ßêùî tkj-êðèòåð³é ïåðåâèùóº òàáëè÷íå çíà÷åííÿ, òî öÿ ïàðà çì³ííèõ (k i j) ò³ñíî âçàºìîïîâ’ÿçàíà. Çâ³äñè, àíàë³çóþ÷è ð³âåíü îáîõ âèä³â êðèòåð³¿â F i t, ìîæíà çðîáèòè îá´ðóíòîâàíèé âèñíîâîê ïðî òå, ÿêó ç³ çì³ííèõ íåîáõ³äíî âèêëþ÷èòè ³ç äîñë³äæåííÿ ÷è çàì³íèòè ¿¿ ³íøîþ. Àëå çàì³íà ìàñèâó íåçàëåæíèõ çì³ííèõ çàâæäè ìຠóçãîäæóâàòèñÿ ç åêîíîì³÷íîþ äîö³ëüí³ñòþ, ùî çóìîâëåíà ìåòîþ äîñë³äæåííÿ.

4.4. Çàñîáè óñóíåííÿ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³. Ìåòîä ãîëîâíèõ êîìïîíåíò³â Âèÿâëåííÿ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³ º ëèøå ÷àñòèíîþ ñïðàâè. ²íøà ÷àñòèíà — ÿê ¿¿ óñóíóòè. Áåçïîìèëêîâèõ ³ àáñîëþòíî ïðàâèëüíèõ ïîðàä íåìàº, îñê³ëüêè ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü º ïðèêëàäíîþ ïðîáëåìîþ. 84

Çâè÷àéíî, óñå çàëåæèòü â³ä ñòóïåíÿ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³, îäíàê ó áóäü-ÿêîìó ðàç³ ìîæíà çàïðîïîíóâàòè ê³ëüêà ïðîñòèõ ìåòîä³â óñóíåííÿ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³: 1) âèêîðèñòàííÿ äîäàòêîâî¿ àáî ïåðâèííî¿ ³íôîðìàö³¿; 2) îᒺäíàííÿ ³íôîðìàö³¿; 3) â³äêèäàííÿ çì³ííî¿ ç âèñîêîþ êîðåëÿö³ºþ; 4) ïåðåòâîðåííÿ äàíèõ (âèêîðèñòàííÿ ïåðøèõ ð³çíèöü); 5) çá³ëüøåííÿ ê³ëüêîñò³ ñïîñòåðåæåíü. ßê³ ïîðàäè ñïðàöþþòü íà ïðàêòèö³, çàëåæèòü â³ä ³ñòîòíîñò³ ïðîáëåìè òà ¿¿ õàðàêòåðó. ßêùî ïåðåë³÷åíèìè ìåòîäàìè íå âäàºòüñÿ óñóíóòè ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü, òî äëÿ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â áàãàòîâèì³ðíî¿ ìîäåë³ äîö³ëüíî çàñòîñóâàòè ìåòîä ãîëîâíèõ êîìïîíåíò³â. Àëãîðèòì ìåòîäó ãîëîâíèõ êîìïîíåíò³â Öåé àëãîðèòì âêëþ÷ຠäåâ’ÿòü êðîê³â. 1-é êðîê: íîðìàë³çóâàòè çì³íí³ õ1, õ2, … õm ðåãðåñ³éíî¿ ìîäåë³, îá÷èñëèâøè

x*ij =

xij − x j σ xj

,

äå n — ê³ëüê³ñòü ñïîñòåðåæåíü (³ = 1, n); m — ê³ëüê³ñòü ïîÿñíþþ÷èõ çì³ííèõ ó ìîäåë³ (j = 1, m); x j — ñåðåäíÿ àðèôìåòè÷íà j-¿ íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿;

σ xj — ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íå â³äõèëåííÿ j-¿ íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿. 2-é êðîê: ïîáóäóâàòè íîâó ìàòðèöþ Õ *, åëåìåíòàìè ÿêî¿ º íîðìàë³çîâàí³ íåçàëåæí³ çì³íí³. 3-é êðîê: îá÷èñëèòè êîðåëÿö³éíó ìàòðèöþ (ìàòðèöþ ìîìåíò³â íîðìàë³çîâàíî¿ ñèñòåìè íîðìàëüíèõ ð³âíÿíü) çà ôîðìóëîþ 1 *tr * (X X ) , n — òðàíñïîíîâàíà ìàòðèöÿ Õ *: r=

äå X *tr

85

 1   r21 R = X *tr X * =  L   rm1

r12 1 L rm2

K r1m   L r2 m   L  K 1 

(íåä³àãîíàëüí³ åëåìåíòè ìàòðèö³ R õàðàêòåðèçóþòü ù³ëüí³ñòü çâ’ÿçêó îäí³º¿ íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿ ç ³íøîþ ( rij = rxi x j ), òîáòî º ïàðíèìè êîåô³ö³ºíòàìè êîðåëÿö³¿). 4-é êðîê: çíàéòè õàðàêòåðèñòè÷í³ ÷èñëà ìàòðèö³ r, òîáòî âèçíà÷èòè êîðåí³ λ1 , λ 2 , ..., λ m ð³âíÿííÿ m-ãî ïîðÿäêó:

r – λE = 0, äå E — îäèíè÷íà ìàòðèöÿ ðîçì³ðíîñò³ m × m; λ j , j = 1, 2, ..., m — õàðàêòåðèñòè÷í³ ÷èñëà ìàòðèö³ r. 5-é êðîê: ðàíæóâàòè âëàñí³ çíà÷åííÿ λi , i = 1, 2, ..., m, çà àáñîëþòíèì ð³âíåì âíåñêó êîæíîãî ãîëîâíîãî êîìïîíåíòà â çàãàëüíó äèñïåðñ³þ. 6-é êðîê: ðîçâ’ÿçàòè ñèñòåìó ð³âíÿíü

r r – λE a = 0 ³ îá÷èñëèòè âëàñí³ âåêòîðè ai , ³ = 1, 2, ..., m, çà óìîâè, ùî âîíè â³äïîâ³äàþòü òàêèì ñï³ââ³äíîøåííÿì: 1, ÿêùî i = j , ai′a j =  0, ÿêùî i ≠ j .

7-é êðîê: çíàéòè ãîëîâí³ êîìïîíåíòè âåêòîð³â zi = xai , ³ = 1, 2, ..., m, ÿê³ çàäîâîëüíÿþòü óìîâè n

∑ zij = 0, j =1

86

1 zi′zi = λi , n

i = 1, 2, ..., m,

zi′z j = 0, i ≠ j , j = 1, 2, ..., m. 8-é êðîê: âèçíà÷èòè ïàðàìåòðè ìîäåë³ Yˆ = ZPˆ : Pˆ = Z −1Y .

9-é êðîê: çíàéòè ïàðàìåòðè ìîäåë³ Yˆ = XÀ: r À = aPˆ.

Çàóâàæèìî, ùî ìåòîä ãîëîâíèõ êîìïîíåíò³â äîö³ëüíî çàñòîñîâóâàòè, ïî-ïåðøå, äëÿ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ìîäåëåé ç âåëèêîþ ê³ëüê³ñòþ ôàêòîð³â, ïî-äðóãå, äëÿ ìîäåëåé, ó ÿêèõ íåçàëåæí³ çì³íí³ (ñòîâïö³ ìàòðèö³ ñïîñòåðåæåíü X) ìàþòü îäíàêîâ³ îäèíèö³ âèì³ðþâàííÿ. Êîíòðîëüí³ çàïèòàííÿ 1. Ùî îçíà÷ຠìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü çì³ííèõ? 2. Äî ÿêèõ íàñë³äê³â ïðèçâîäèòü ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü? 3. ßê âïëèâຠíàÿâí³ñòü ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³ íà îö³íêó ïàðàìåòð³â ìîäåë³? 4. Çà äîïîìîãîþ ÿêèõ ìåòîä³â âèçíà÷àþòü íàÿâí³ñòü ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³? 5. ßê³ ñòàòèñòè÷í³ êðèòå𳿠âêëþ÷ຠàëãîðèòì Ôàððàðà — Ãëîáåðà? 6. Îõàðàêòåðèçóéòå àëãîðèòì Ôàððàðà — Ãëîáåðà. 7. ßê³ âèñíîâêè ìîæíà çðîáèòè, äîñë³äèâøè ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü çà àëãîðèòìîì Ôàððàðà — Ãëîáåðà? 8. Ùî õàðàêòåðèçóþòü åëåìåíòè êîðåëÿö³éíî¿ ìàòðèö³ R? 9. ßê óñóíóòè ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü? Íàâåä³òü ìåòîäè ¿¿ óñóíåííÿ. 10. ßêèì ìåòîäîì ìîæóòü áóòè îö³íåí³ ïàðàìåòðè ìîäåë³ ç ìóëüòèêîë³íåàðíèìè çì³ííèìè? 87

11. ßê îá÷èñëèòè ãîëîâí³ êîìïîíåíòè? 12. ßê îö³íèòè ïàðàìåòðè ìîäåë³ íà îñíîâ³ ãîëîâíèõ êîìïîíåíò³â? 13. ßê³ óìîâè ìàþòü çàäîâîëüíÿòè ãîëîâí³ êîìïîíåíòè? 14. Êîëè äîö³ëüíî çàñòîñîâóâàòè ìåòîä ãîëîâíèõ êîìïîíåíò³â? Âïðàâè òà çàâäàííÿ 1. Íà áàç³ n = 11 ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ ïåâíîãî ðåã³îíó äîñë³äèòè ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü ì³æ ôàêòîðàìè. i

C(i)

D(i)

S(³)

L(i)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

5,25 11,24 16,27 18,75 21,78 24,58 27,09 31,76 35,94 38,57 41,47

9,11 13,57 14,01 17,29 19,58 21,07 22,47 24,68 25,75 27,05 30,87

7,05 8,68 9,57 10,10 11,55 13,31 15,37 17,01 19,67 21,92 25,08

16,05 18,68 20,06 29,67 31,55 34,01 35,34 36,01 38,54 41,92 43,27

2. Çàïðîïîíóâàòè ñïîñîáè óñóíåííÿ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³.

88

Ðîçä³ë 5. ÃÅÒÅÐÎÑÊÅÄÀÑÒÈ×ͲÑÒÜ 5.1. Âèÿâëåííÿ ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³ òà ¿¿ ïðèðîäà Ðîçãëÿíåìî êëàñè÷íó ë³í³éíó áàãàòîôàêòîðíó ìîäåëü y = a0 + a1 x1 + a2 x2 + ... + am x m + u.

(5.1)

ßê çàâæäè,

 y1    y =  M , y   n

 a0    a =  M , a   m

{

}

X = 1, x ij ,

 u1    u =  M , u   n

i = 1, n,

j = 1, m.

(5.2)

Äëÿ çàñòîñóâàííÿ ÌÍÊ ïðè îö³íþâàíí³ ïàðàìåòð³â ìîäåë³ ðàí³øå áóëî ñôîðìóëüîâàíî îñíîâí³ ïðèïóùåííÿ, ÿê³ íà ïðàêòèö³ ìîæóòü ïîðóøóâàòèñü. Ó ïîïåðåäíüîìó ðîçä³ë³ ðîçãëÿäàâñÿ îñîáëèâèé âèïàäîê áàãàòîôàêòîðíîãî ðåãðåñ³éíîãî àíàë³çó, ïîâ’ÿçàíèé ç ïðîáëåìîþ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³. Òåïåð ðîçãëÿíåìî ³íøèé îñîáëèâèé âèïàäîê, ùî ñòîñóºòüñÿ ñòàëîñò³ äèñïåðñ³¿ êîæíî¿ âèïàäêîâî¿ âåëè÷èíè u³ (ãîìîñêåäàñòè÷í³ñòü çàëèøê³â). Îçíà÷åííÿ 5.1. ßêùî äèñïåðñ³ÿ çàëèøê³â ñòàëà äëÿ êîæíîãî ñïîñòåðåæåííÿ, òî öå ÿâèùå íàçèâàºòüñÿ ãîìîñêåäàñòè÷í³ñòþ: Dui = M ( ui − Mui ) = σ2ui = const, 2

i = 1, n.

(5.3) 89

ßêùî öå ïðèïóùåííÿ íå çàäîâîëüíÿºòüñÿ â ÿêîìóñü îêðåìîìó âèïàäêó, òî ìàºìî ãåòåðîñêåäàñòè÷í³ñòü (ïîìèëêè u³ íåêîðåëüîâàí³, àëå ìàþòü íåñòàëó äèñïåðñ³þ). Îçíà÷åííÿ 5.2. ßêùî äèñïåðñ³ÿ çàëèøê³â çì³íþºòüñÿ äëÿ êîæíîãî ñïîñòåðåæåííÿ àáî ãðóïè ñïîñòåðåæåíü, òî öå ÿâèùå íàçèâàºòüñÿ ãåòåðîñêåäàñòè÷í³ñòþ: Dui = M ( ui − Mui ) = σ2ui ≠ const, 2

i = 1, n.

(5.4)

Ðîçãëÿíåìî ïèòàííÿ ïðî äîö³ëüí³ñòü ïðèïóùåííÿ (5.3) ³ ïðî òå, ùî â³äáóâàºòüñÿ, ÿêùî öå ïðèïóùåííÿ íå çàäîâîëüíÿºòüñÿ. Íàñàìïåðåä çàóâàæèìî, ùî ñóòí³ñòü ïðèïóùåííÿ ïðî ãîìîñêåäàñòè÷í³ñòü ïîëÿãຠâ òîìó, ùî âàð³àö³ÿ êîæíî¿ âèïàäêîâî¿ ñêëàäîâî¿ u³ íàâêîëî ¿¿ ìàòåìàòè÷íîãî ñïîä³âàííÿ íå çàëåæèòü â³ä çíà÷åííÿ ôàêòîð³â x: σ2ui ≠ f ( x1 , x2 , ..., x pi ).

Ôîðìà ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³ çàëåæèòü â³ä çíàê³â ³ çíà÷åíü êîåô³ö³ºíò³â ó çàëåæíîñò³ σ2ui = f ( x1 , x2 , ..., x pi ).

Îñê³ëüêè u³ — íå ñïîñòåðåæóâàíà âèïàäêîâà âåëè÷èíà, ìè íå çíàºìî ñïðàâæíüî¿ ôîðìè ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³. Ó ïðèêëàäíèõ äîñë³äæåííÿõ, ÿê ïðàâèëî, âèêîðèñòîâóþòü çðó÷íå ïðèïóùåííÿ, à ñàìå â ðàç³ ïðîñòî¿ ë³í³éíî¿ ðåãðåñ³¿ ãåòåðîñêåäàñòè÷í³ñòü ìຠôîðìó σ2ui = k 2 x 2

(k = const, ÿêó ïîòð³áíî îö³íèòè). Íàñë³äêè ïîðóøåííÿ ïðèïóùåííÿ ïðî ãîìîñêåäàñòè÷í³ñòü: 1) íåìîæëèâî çíàéòè ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íå â³äõèëåííÿ ïàðà2

ìåòð³â σ ài ðåãðåñ³¿, à îòæå, íåìîæëèâî îö³íèòè çíà÷óù³ñòü ïàðàìåòð³â; 2) íåìîæëèâî ïîáóäóâàòè äîâ³ð÷èé ³íòåðâàë äëÿ ïðîãíîçíèõ çíà÷åíü yïð; 3) îòðèìàí³ çà ÌÍÊ îö³íêè ïàðàìåòð³â ðåãðåñ³¿ íå º åôåêòèâíèìè (íå ìàþòü íàéìåíøî¿ äèñïåðñ³¿). Çàçíà÷èìî, ùî ÿêùî íåçâàæàþ÷è íà ãåòåðîñêåäàñòè÷í³ñòü ìè âèêîðèñòîâóâàòèìåìî çâè÷àéí³ ïðîöåäóðè ïåðåâ³ðêè ã³ïîòåç, òî âèñ90

íîâêè ìîæóòü áóòè íåïðàâèëüíèìè. Çðîçóì³ëî, ãåòåðîñêåäàñòè÷í³ñòü º ñóòòºâîþ ïðîáëåìîþ, à òîìó ïîòð³áíî âì³òè ç’ÿñîâóâàòè ¿¿ íàÿâí³ñòü.

5.2. Òåñòóâàííÿ íàÿâíîñò³ ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³ ßê ³ â ðàç³ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³, ºäèíèõ ïðàâèë âèÿâëåííÿ ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³ íåìàº, à º ð³çíîìàí³òí³ òåñòè (êðèòåð³¿): êðèòåð³é µ, ïàðàìåòðè÷íèé òà íåïàðàìåòðè÷íèé òåñòè Ãîëüäôåëüäà — Êâàíäòà, òåñò Ãëåéñåðà, òåñò ðàíãîâî¿ êîðåëÿö³¿ Ñï³ðìàíà òà ³í. Ðîçãëÿíåìî ëèøå äåÿê³ ç íèõ. Çàóâàæèìî, ùî ³íêîëè â õîä³ ïðîâåäåííÿ åêîíîìåòðè÷íèõ äîñë³äæåíü ãåòåðîñêåäàñòè÷í³ñòü âãàäóºòüñÿ ³íòó¿òèâíî àáî âèñóâàºòüñÿ ÿê àáñîëþòíå ïðèïóùåííÿ: σ2ui = f ( x1 , x2 , ..., x pi ).

Íàïðèêëàä, âèâ÷àþ÷è áþäæåò ñ³ì’¿, ìîæíà ïîì³òèòè, ùî äèñïåðñ³ÿ çàëèøê³â çðîñòຠâ³äïîâ³äíî äî çðîñòàííÿ äîõîäó. Îòæå, ïåðøèé êðîê äî âèÿâëåííÿ ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³ – ãëèáîêèé àíàë³ç çì³ñòó äîñë³äæóâàíî¿ ïðîáëåìè. Êð³ì òîãî, ³ñíóº ãðàô³÷íèé ìåòîä òåñòóâàííÿ íàÿâíîñò³ ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³, ùî ´ðóíòóºòüñÿ íà âñòàíîâëåíí³ íàÿâíîñò³ ñèñòåìàòè÷íîãî çâ’ÿçêó êâàäðàò³â çàëèøê³â ðåãðåñ³éíî¿ ìîäåë³, ïîáóäîâàíî¿ íà îñíîâ³ ïðèïóùåííÿ ïðî â³äñóòí³ñòü ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³ (ãðàô³÷íèé àíàë³ç).

5.2.1. Ïàðàìåòðè÷íèé òåñò Ãîëüäôåëüäà — Êâàíäòà Çàóâàæåííÿ. 1. Öåé òåñò çàñòîñîâóºòüñÿ äî âåëèêèõ âèá³ðîê. 2. Òåñò ïðèïóñêຠíîðìàëüíèé ðîçïîä³ë ³ íåçàëåæí³ñòü âèïàäêîâèõ âåëè÷èí u³ . 1-é êðîê: ñïîñòåðåæåííÿ (âèõ³äí³ äàí³) âïîðÿäêóâàòè â³äïîâ³äíî äî âåëè÷èíè åëåìåíò³â âåêòîðà xi , ÿêèé ìîæå ñïðè÷èíèòè çì³íó äèñïåðñ³¿ çàëèøê³â. 2-é êðîê: â³äêèíóòè ñ ñïîñòåðåæåíü, ÿê³ ðîçì³ùåí³ âñåðåäèí³ âåêòîð³â âèõ³ä4n íèõ äàíèõ, äå c = , n – ê³ëüê³ñòü åëåìåíò³â âåêòîðà xi. 15 91

3-é êðîê: ïîáóäóâàòè äâ³ ìîäåë³ íà îñíîâ³ çâè÷àéíîãî ÌÍÊ çà äâîìà ñòâîn−c ðåíèìè ñóêóïíîñòÿìè ñïîñòåðåæåíü îáñÿãîì çà óìîâè, ùî 2 n−c ≥ m, äå m — ê³ëüê³ñòü çì³ííèõ. 2 4-é êðîê: çíàéòè ñóìó êâàäðàò³â çàëèøê³â S1 ³ S2 çà ïåðøîþ ³ äðóãîþ ìîäåëÿìè: tr

tr

S1 = u1 u1 , S2 = u2 u2 ,

äå u1 ³ u2 — çàëèøêè â³äïîâ³äíî çà ïåðøîþ ³ äðóãîþ ìîäåëÿìè. 5-é êðîê:

S2 , ÿêèé ó ðàç³ âèêîíàííÿ ã³ïîòåçè S1 (n − c − 2m) ïðî ãîìîñêåäàñòè÷í³ñòü â³äïîâ³äàòèìå F-ðîçïîä³ëó ç γ1 = , 2 (n − c − 2m) γ2 = ñòóïåíÿìè ñâîáîäè; 2 çíà÷åííÿ êðèòåð³þ F * ïîð³âíÿòè ç òàáëè÷íèì çíà÷åííÿì F-êðèòåð³þ ïðè âèáðàíîìó ð³âí³ çíà÷óùîñò³ α ³ â³äïîâ³äíèõ ñòóïåíÿõ ñâîáîäè; ÿêùî F * ≤ Fòàáë , òî ãåòåðîñêåäàñòè÷í³ñòü â³äñóòíÿ. Çàóâàæåííÿ: ÷èì á³ëüøå çíà÷åííÿ F *, òèì á³ëüøà ãåòåðîñêåäàñòè÷í³ñòü çàëèøê³â.

ðîçðàõóâàòè êðèòåð³é F * =

5.2.2. Íåïàðàìåòðè÷íèé òåñò Ãîëüäôåëüäà — Êâàíäòà Öåé òåñò áàçóºòüñÿ íà âñòàíîâëåíí³ ê³ëüêîñò³ ï³ê³â çíà÷åíü çàëèøê³â ï³ñëÿ âïîðÿäêóâàííÿ (ðàíæóâàííÿ) ñïîñòåðåæåíü çà xij . ßêùî äëÿ âñ³õ çíà÷åíü çì³ííî¿ xij çàëèøêè ðîçïîä³ëÿþòüñÿ ïðèáëèçíî îäíàêîâî, òî äèñïåðñ³ÿ ¿õ îäíîð³äíà ³ ãåòåðîñêåäàñòè÷í³ñòü â³äñóòíÿ. ßêùî âîíà çì³íþºòüñÿ, òî ãåòåðîñêåäàñòè÷í³ñòü ïðèñóòíÿ. Çàçíà÷èìî, ùî öåé òåñò íå ö³ëêîì íàä³éíèé äëÿ ïåðåâ³ðêè íà ãåòåðîñêåäàñòè÷í³ñòü. Îäíàê â³í äóæå ïðîñòèé ³ ÷àñòî âèêîðèñòîâóºòüñÿ äëÿ ïåðøî¿ îö³íêè íàÿâíîñò³ ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³ ìíîæèíè ñïîñòåðåæåíü. 92

5.2.3. Òåñò Ãëåéñåðà Ïåðåâ³ðêà íà ãåòåðîñêåäàñòè÷í³ñòü áàçóºòüñÿ íà ïîáóäîâ³ ðåãðåñ³éíî¿ ôóíêö³¿, ùî õàðàêòåðèçóº çàëåæí³ñòü âåëè÷èíè çàëèøê³â çà ìîäóëåì â³ä ïîÿñíþþ÷î¿ çì³ííî¿ xj, ÿêà ìîæå çóìîâèòè çì³íó äèñïåðñ³¿ çàëèøê³â. Àíàë³òè÷íà ôîðìà ðåãðåñ³éíèõ ôóíêö³é ìîæå ìàòè âèãëÿä u = a0 +a1 xj, u = a0 +a1 xj-1, u = a0 +a1 xj1/2 ³ ò. ³í. гøåííÿ ïðî â³äñóòí³ñòü ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³ çàëèøê³â ïðèéìàºòüñÿ íà îñíîâ³ çíà÷óùîñò³ êîåô³ö³ºíò³â a0 ³ a1. Ïåðåâàãà öüîãî ìåòîäó ïîëÿãຠâ ìîæëèâîñò³ ðîçð³çíÿòè âèïàäîê ÷èñòî¿ (a0 = 0, a1 ≠ 0) ³ çì³øàíî¿ (a0 ≠ 0, a1 ≠ 0) ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³. Çàëåæíî â³ä öüîãî ïîòð³áíî âèêîðèñòîâóâàòè ð³çí³ ìàòðèö³ S. Îñê³ëüêè ÿâèùå ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³ ïîâ’ÿçàíå ç òèì, ùî çì³íþþòüñÿ äèñïåðñ³¿ çàëèøê³â, à êîâàð³àö³ÿ ì³æ íèìè â³äñóòíÿ, òî ìàòðèöÿ S ó ñï³ââ³äíîøåíí³ M (uu′) = σ2u S ìຠáóòè äîäàòíî âèçíà÷åíîþ é ä³àãîíàëüíîþ. Ïðèêëàä. Ïåðåâ³ðèòè ã³ïîòåçó ïðî â³äñóòí³ñòü ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³ äëÿ ïîáóäîâè ìîäåë³, ÿêà õàðàêòåðèçóº çàëåæí³ñòü çàîùàäæåíü â³ä äîõîä³â íàñåëåííÿ. Ñòàòèñòè÷í³ äàí³ íàâåäåíî â òàáëèö³. гê 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Çàîùàäæåííÿ 1,36 1,2 1,7 1,84 2,1 1,12 1,89 2,3 2,5 1,17 1,9 1,95 2,87 2,6 1,75 1,96 1,4 2,99

Äîõ³ä 14,87 14,4 13,8 15,6 15,94 16,9 17,7 18,67 18,04 19,5 21,4 22,7 25,7 27,18 28,9 29,45 30,07 30,2

93

Ðîçâ’ÿçàííÿ. ²äåíòèô³êóºìî çì³íí³: y — çàîùàäæåííÿ, x — äîõ³ä. Ñïåöèô³êóºìî ìîäåëü ó âèãëÿä³ y = a0 + a1 x + u, yˆ = aˆ0 + aˆ1 x ,

äå è — ñòîõàñòè÷íà ñêëàäîâà ìîäåë³. Äëÿ ïåðåâ³ðêè ã³ïîòåçè ïðî â³äñóòí³ñòü ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³ çàëèøê³â ìîäåë³ çàñòîñóºìî ïàðàìåòðè÷íèé òåñò Ãîëüäôåëüäà — Êâàíäòà. 1-é êðîê: ñïîñòåðåæåííÿ âïîðÿäêóºìî çà çðîñòàííÿì çà âåëè÷èíîþ äîõîäó (âåêòîð x) , ÿêèé ìîæå ñïðè÷èíèòè çì³íó äèñïåðñ³¿ çàëèøê³â. гê

Çàîùàäæåííÿ

Äîõ³ä

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1,7 1,2 1,36 1,84 2,1 1,12 1,89 2,5 2,3 1,17 1,9 1,95 2,87 2,6 1,75 1,96 1,4 2,99

13,8 14,4 14,87 15,6 15,94 16,9 17,7 18,04 18,67 19,5 21,4 22,7 25,7 27,18 28,9 29,45 30,07 30,2

2-é êðîê: â³äêèíåìî ñ ñïîñòåðåæåíü óñåðåäèí³ âåêòîðà âèõ³äíèõ äàíèõ, äå 4n c= , n — ê³ëüê³ñòü åëåìåíò³â âåêòîðà x. 15 Îòæå, c=

94

4 ⋅ 18 ≈ 4. 15

Îòðèìàºìî äâ³ ñóêóïíîñò³ ñïîñòåðåæåíü îáñÿãîì Ïåðøà ñóêóïí³ñòü ñïîñòåðåæåíü: 1 2 3 4 5 6 7

1,7 1,2 1,36 1,84 2,1 1,12 1,89

18 − 4 = 7. 2 13,8 14,4 14,87 15,6 15,94 16,9 17,7

Äðóãà ñóêóïí³ñòü ñïîñòåðåæåíü: 1 2 3 4 5 6 7

1,95 2,87 2,6 1,75 1,96 1,4 2,99

22,7 25,7 27,18 28,9 29,45 30,07 30,2

3-é êðîê: ïîáóäóºìî äâ³ ìîäåë³ íà îñíîâ³ çâè÷àéíîãî ÌÍÊ çà äâîìà ñòâîðåíèìè ñóêóïíîñòÿìè ñïîñòåðåæåíü: yˆ1 = 0,7411 + 0,05514 x,

yˆ2 = 2,9371 − 0,02595 x .

4-é êðîê: çíàéäåìî ñóìó êâàäðàò³â çàëèøê³â S1 ³ S2 çà ïåðøîþ ³ äðóãîþ ìîäåëÿìè: tr S1 = u1 u1 = 0,8149, S2 = u2tr u2 = 2,1628, äå u1 ³ u2 — çàëèøêè â³äïîâ³äíî çà ïåðøîþ ³ äðóãîþ ìîäåëÿìè. 5-é êðîê: S 2,1628 ðîçðàõóºìî êðèòåð³é F * = 2 = ≈ 2,654, ÿêèé ó ðàç³ âèêîS1 0,8149 íàííÿ ã³ïîòåçè ïðî ãîìîñêåäàñòè÷í³ñòü â³äïîâ³äàòèìå F-ðîçïîä³ëó 95

(n − c − 2m1) (n − c − 2m1 ) = 5, γ 2 = = 5 ñòóïåíÿìè ñâîáîäè; 2 2 m1 = m + 1; çíà÷åííÿ êðèòåð³þ F * ïîð³âíÿºìî ç òàáëè÷íèì çíà÷åííÿì F-êðèòåð³þ ïðè ð³âí³ çíà÷óùîñò³ α = 0,05 ³ â³äïîâ³äíèõ ñòóïåíÿõ ñâîáîäè:

ç γ1 =

Fòàáë = F(0,05; 5) = 5,05. Îñê³ëüêè F * ≤ Fòàáë , òî ãåòåðîñêåäàñòè÷í³ñòü â³äñóòíÿ. Îòæå, ÌÍÊ-îö³íêè ïàðàìåòð³â ðåãðåñ³éíî¿ ìîäåë³ ìîæóòü çàñòîñîâóâàòèñÿ äëÿ ïîäàëüøèõ äîñë³äæåíü.

5.3. Òðàíñôîðìóâàííÿ ïî÷àòêîâî¿ ìîäåë³ Ðîçãëÿíåìî ïèòàííÿ óñóíåííÿ ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³ òðàíñôîðìóâàííÿì ïî÷àòêîâî¿ ìîäåë³. Ïðèïóñòèìî, ùî çà ñòàòèñòè÷íèìè äàíèìè ïîáóäîâàíî ïî÷àòêîâó ðåãðåñ³éíó ìîäåëü y = f ( x , u)

³ íà áàç³ áóäü-ÿêîãî òåñòó âñòàíîâëåíî íàÿâí³ñòü ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³: Dui = σ2ui ≠ const.

Äëÿ óñóíåííÿ ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³ ïî÷àòêîâó ìîäåëü çì³íþþòü (òðàíñôîðìóþòü) òàê, ùîá ïîìèëêè ìàëè ñòàëó äèñïåðñ³þ: Dui = σ2ui = const.

Òðàíñôîðìàö³ÿ ìîäåë³ çâîäèòüñÿ äî çì³íè ïî÷àòêîâî¿ ôîðìè ìîäåë³ ìåòîäîì, ÿêèé çàëåæèòü â³ä ñïåöèô³÷íî¿ ôîðìè ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³, òîáòî â³ä ôîðìè çàëåæíîñò³ ì³æ äèñïåðñ³ÿìè çàëèøê³â ³ çíà÷åííÿìè íåçàëåæíèõ çì³ííèõ: σ2ui = ϕ( x i ).

(5.5)

Ðîçãëÿíåìî ìîæëèâ³ âèïàäêè òðàíñôîðìàö³¿ ìîäåë³ íà ïðèêëàä³ ïðîñòî¿ ë³í³éíî¿ ðåãðåñ³¿. Íåõàé ïî÷àòêîâà ìîäåëü y = a0 + a1 x + u ,

96

(5.6)

äå êîìïîíåíòè âèïàäêîâîãî âåêòîðà u ãåòåðîñêåäàñòè÷í³, àëå â³äïîâ³äàþòü ³íøèì êëàñè÷íèì ïðèïóùåííÿì ë³í³éíî¿ ðåãðåñ³¿. Ðîçãëÿíåìî òàê³ âèïàäêè. Âèïàäîê 1. Ïðèïóñòèìî, ùî ãåòåðîñêåäàñòè÷í³ñòü ìຠôîðìó σ2ui = Mui2 = k 2 x 2 ,

(5.7)

äå k = const (òîáòî äèñïåðñ³ÿ çàëèøê³â çðîñòຠïðîïîðö³éíî äî x2). ²ç ïðèïóùåííÿ (5.7) âèïëèâຠ2

k2 = σui x 2 . Öå îçíà÷àº, ùî òðàíñôîðìàö³ÿ ìîäåë³ ïîëÿãຠâ ä³ëåíí³ ïî÷àòêîâî¿ ìîäåë³ íà x 2 = x . Îòæå, òðàíñôîðìîâàíà ìîäåëü ìຠâèãëÿä yi a0 u = + a1 + i . xi xi xi

(5.8)

Çàçíà÷èìî, ùî ïàðàìåòð ïðè çì³íí³é 1/xi ó òðàíñôîðìîâàí³é ìîäåë³ º ïåðåòèíîì (â³ëüíèì ÷ëåíîì) ïî÷àòêîâî¿ ìîäåë³, òîä³ ÿê ïåðåòèí òðàíñôîðìîâàíî¿ ìîäåë³ º íàõèëîì ïî÷àòêîâî¿. Ðîçãëÿíåìî 2

u  1 1 2 M  i  = 2 Mui2 = 2 k2 xi = k2 . xi xi  xi 

Îòæå, íîâà âèïàäêîâà âåëè÷èíà ìîäåë³ (5.8) ìຠñê³í÷åííó ñòàëó äèñïåðñ³þ k2. Òàêèì ÷èíîì, ìîäåëü (5.8) ìຠãîìîñêåäàñòè÷íó âèïàäêîâó çì³ííó, ùî îçíà÷ຠïðàâîì³ðí³ñòü çàñòîñóâàííÿ êëàñè÷íîãî ÌÍÊ äëÿ ðîçðàõóíêó íåâ³äîìèõ ïàðàìåòð³â òðàíñôîðìîâàíî¿ ìîäåë³ (5.8). Âèïàäîê 2. Ïðèïóñòèìî, ùî ãåòåðîñêåäàñòè÷í³ñòü ìຠôîðìó σ2ui = Mui2 = k 2 x,

(5.9)

äå k = const (òîáòî äèñïåðñ³ÿ çàëèøê³â çðîñòຠïðîïîðö³éíî äî õ). ²ç ïðèïóùåííÿ (5.8) âèïëèâàº

k 2 = σ2ui x . 97

Öå îçíà÷àº, ùî äîïóñòèìà òðàíñôîðìàö³ÿ ïîëÿãຠâ ä³ëåíí³ ïî÷àòêîâî¿ ìîäåë³ íà x . Îòæå, òðàíñôîðìîâàíà ìîäåëü ìຠâèãëÿä

y a x u . = 0 + a1 + x x x x

(5.10)

Ðîçãëÿíåìî 2

 u  1 1 2 M i  = M (ui )2 = k xi = k 2 . xi xi  x

Îòæå, äëÿ òðàíñôîðìîâàíî¿ ìîäåë³ âèïàäêîâà âåëè÷èíà

u

ãîx ìîñêåäàñòè÷íà ç³ ñòàëîþ äèñïåðñ³ºþ k2 . Öå îçíà÷àº, ùî, âèêîíàâøè çàçíà÷åíå âèùå ïåðåòâîðåííÿ, ìè âèêëþ÷èëè ãåòåðîñêåäàñòè÷í³ñòü. Âèïàäîê 3. Ïðèïóñòèìî, ùî ãåòåðîñêåäàñòè÷í³ñòü ìຠôîðìó σ2ui = Mui2 = k 2 (b0 + b1 xi )2

(5.11)

(äèñïåðñ³ÿ çðîñòຠïðîïîðö³éíî äî êâàäðàòà ë³í³éíî¿ ôóíêö³¿ â³ä x). ²ç ïðèïóùåííÿ (5.11) âèïëèâàº

k 2 = σui

2

(b0 + b1 xi )2 .

(5.12)

Äîïóñòèìà òðàíñôîðìàö³ÿ ïîëÿãຠâ ä³ëåíí³ ïî÷àòêîâî¿ ìîäåë³ íà (b0 + b1 x i )2 = (b0 + b1 x i ).

Îòæå, òðàíñôîðìîâàíà ìîäåëü ìຠâèãëÿä yi xi ui 1 = a0 + a1 + . b0 + b1 xi b0 + b1 xi b0 + b1 xi b0 + b1 xi

Ðîçãëÿíåìî k2 (b0 + b1 xi )   ui 1 2 = = k2 . Ì Mu  = i 2 2  b0 + b1 xi  + + b b x b b x ( 0 1 i) ( 0 1 i) 2

98

2

(5.13)

Îòæå, íîâà âèïàäêîâà âåëè÷èíà

ui º ãîìîñêåäàñòè÷íîþ ³ç b0 + b1 xi

ñòàëîþ äèñïåðñ³ºþ k2. Çàãàëüíèé âèïàäîê. Ïðèïóñòèìî, ùî ãåòåðîñêåäàñòè÷í³ñòü ìຠôîðìó σ2ui = Mui2 = k 2 ϕ( xi ),

(5.14)

äå k = const, ϕ ( xi ) — ôóíêö³ÿ â³ä xi . Òðàíñôîðìàö³ÿ ïî÷àòêîâî¿ ìîäåë³ çä³éñíþºòüñÿ ä³ëåííÿì ¿¿ íà ϕ( xi ) . Çàçíà÷èìî, ùî òàêà òðàíñôîðìàö³ÿ åêâ³âàëåíòíà çàñòîñóâàííþ çâàæåíîãî ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â (ÇÌÍÊ), ÿêèé º îñîáëèâèì âèïàäêîì óçàãàëüíåíîãî ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â (ÓÌÍÊ). Ñóòü ÇÌÍÊ ïîëÿãຠâ ì³í³ì³çàö³¿ çâàæåíî¿ ñóìè êâàäðàòè÷íèõ â³äõèëåíü: n

∑ i =1

ui2 = σ2ui

n

∑σ i =1

1 2 ui

( yi − a0 − a1xi )2 → min .

(5.15)

Çàçíà÷èìî òàêîæ, ùî ÇÌÍÊ, çàñòîñîâàíèé äî ïî÷àòêîâî¿ ìîäåë³, äຠòàê³ ñàì³ ðåçóëüòàòè, ùî é ÌÍÊ, çàñòîñîâàíèé äî òðàíñôîðìîâàíî¿ ìîäåë³. Òâåðäæåííÿ. Îö³íêè òðàíñôîðìîâàíî¿ ìîäåë³ ìàþòü ìåíøó äèñïåðñ³þ (åôåêòèâí³ø³), í³æ îö³íêè, îòðèìàí³ ³ç çàñòîñóâàííÿì ÌÍÊ äî ïî÷àòêîâî¿ ìîäåë³. Íàðåøò³, ïîòð³áíî ïàì’ÿòàòè, ùî ãåòåðîñêåäàñòè÷í³ñòü ìîæå ³ñíóâàòè çà ðàõóíîê íåâðàõîâàíèõ ôàêòîð³â (ïîãàíî¿ ñïåöèô³êàö³¿ ìîäåë³). Ó öüîìó ðàç³ ìîæëèâèì ð³øåííÿì º âêëþ÷åííÿ íåâðàõîâàíèõ ôàêòîð³â ó ìîäåëü. Ñë³ïå çàñòîñóâàííÿ òðàíñôîðìàö³¿ (áåç àíàë³çó ïðè÷èí ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³) çðîáèòü ãîìîñêåäàñòè÷íîþ âèïàäêîâó çì³ííó, îäíàê îö³íêè ïàðàìåòð³â çàëèøàòüñÿ íåïðàâèëüíèìè ÷åðåç íåâðàõóâàííÿ âàæëèâèõ ôàêòîð³â.

99

5.4. Îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â áàãàòîôàêòîðíî¿ ðåãðåñ³éíî¿ ìîäåë³ íà îñíîâ³ óçàãàëüíåíîãî ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â Ðîçãëÿíåìî äåòàëüí³øå çàãàëüíèé âèïàäîê îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ìîäåë³ ç ãåòåðîñêåäàñòè÷íèìè çàëèøêàìè. Çàïèøåìî óçàãàëüíåíó áàãàòîôàêòîðíó ðåãðåñ³éíó ìîäåëü ó ìàòðè÷íîìó âèãëÿä³ y = Xa + u,

(5.16)

äå ó — âåêòîð-ñòîâïåöü çàëåæíî¿ çì³ííî¿ ðîçì³ðíîñò³ (n × 1); X — ìàòðèöÿ íåçàëåæíèõ çì³ííèõ ðîçì³ðíîñò³ (n × (m + 1)); a — âåêòîð-ñòîâïåöü íåâ³äîìèõ ïàðàìåòð³â ðîçì³ðíîñò³ ((m + 1) × 1); u — âåêòîð-ñòîâïåöü âèïàäêîâèõ ïîìèëîê ðîçì³ðíîñò³ (n × 1). Íåõàé âèêîíóþòüñÿ âñ³ ïðèïóùåííÿ êëàñè÷íî¿ ë³í³éíî¿ áàãàòîôàêòîðíî¿ ìîäåë³, çà âèíÿòêîì ïðèïóùåííÿ ïðî ãîìîñêåäàñòè÷í³ñòü ïîõèáîê. ßêùî äî ìîäåë³ (5.16) çàñòîñóâàòè çâè÷àéíèé ÌÍÊ, îòðèìàíà îö³íêà ïàðàìåòð³â áóäå íåçì³ùåíîþ, îáãðóíòîâàíîþ, îäíàê íå åôåêòèâíîþ (íå ìຠíàéìåíøî¿ äèñïåðñ³¿ ñåðåä íåçì³ùåíèõ îö³íîê). Çà íàÿâíîñò³ ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³ äëÿ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ìîäåë³ äîö³ëüíî çàñòîñóâàòè óçàãàëüíåíèé ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â (ìåòîä Åéòêåíà), âåêòîð îö³íþâàííÿ ÿêîãî ìຠâèãëÿä

a = ( X ′S −1 X )−1 X ′S −1Y .

(5.17)

Âåêòîð a ì³ñòèòü íåçì³ùåíó ë³í³éíó îö³íêó ïàðàìåòð³â ìîäåë³, ÿêà ìຠíàéìåíøó äèñïåðñ³þ ³ ìàòðèöþ êîâàð³àö³é:

σ2 (a) = σ2u ( X ′S −1 X )−1 . Çàóâàæåííÿ. Äëÿ îòðèìàííÿ ÓÌÍÊ-îö³íîê íåîáõ³äíî çíàòè êîâàð³àö³éíó ìàòðèöþ S âåêòîðà ïîõèáîê, ÿêà íà ïðàêòèö³ äóæå ð³äêî â³äîìà. Òîìó ïðèðîäíî ñïåðøó îö³íèòè ìàòðèöþ S, à ïîò³ì çàñòîñóâàòè ¿¿ îö³íêó ó ôîðìóë³ (5.17). Öåé ï³äõ³ä º ñóòü óçàãàëüíåíîãî ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â. Âèçíà÷åííÿ ìàòðèö³ S. Îñê³ëüêè ÿâèùå ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³ ïîâ’ÿçàíå ëèøå ç òèì, ùî çì³íþþòüñÿ äèñïåðñ³¿ çàëèøê³â, à êîâà100

ð³àö³ÿ ì³æ íèìè â³äñóòíÿ, òî ìàòðèöÿ S ìຠáóòè ä³àãîíàëüíîþ, à ñàìå

 1 λ  1   0 S= L   0  

 0    1 K 0  λ2 . L L L  1  0 K λ n  0

K

Çàçíà÷èìî, ùî ìàòðèöÿ S çàëåæèòü â³ä ñïåöèô³÷íî¿ ôîðìè ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³ é ìîæå áóòè ðîçðàõîâàíà âèõîäÿ÷è ç ïðèïóùåíü ïðî çàëåæí³ñòü ïîõèáîê â³ä îäí³º¿ ³ç íåçàëåæíèõ çì³ííèõ (âèïàäêè 1–3). Ó ìàòðèö³ S çíà÷åííÿ λi , ³ = 1, 2, ..., n, ìîæíà îá÷èñëèòè, êîðèñòóþ÷èñü ã³ïîòåçàìè: 1) M(uu′) = σ2u xij , òîáòî äèñïåðñ³ÿ çàëèøê³â ïðîïîðö³éíà äî çì³í ïîÿñíþþ÷î¿ çì³ííî¿ xij; 2) M(uu′) = σ2u xij2 , òîáòî çì³íà äèñïåðñ³¿ ïðîïîðö³éíà äî çì³íè êâàäðàòà ïîÿñíþþ÷î¿ çì³ííî¿ x ij2 ;

2 2 3) M (uu′) = σu {| u |} , òîáòî äèñïåðñ³ÿ çàëèøê³â ïðîïîðö³éíà äî çì³íè êâàäðàòà çàëèøê³â çà ìîäóëåì.

1 . xij

Äëÿ ïåðøî¿ ã³ïîòåçè λ i = Äëÿ äðóãî¿ ã³ïîòåçè

λi =

Äëÿ òðåòüî¿ ã³ïîòåçè λ i = (a0 − a1 xij−1 )2.

1

. xij2 λ i = {| u |}2 , àáî

λ i = (a0 − a1 xij )2 , àáî

Îñê³ëüêè ìàòðèöÿ S ñèìåòðè÷íà ³ äîäàòíî âèçíà÷åíà, òî ïðè S = PP −1 ìàòðèöÿ Ð ìຠâèãëÿä 101

     P =     

1 λ1 0

0 1 λ2

K K

L

L

L

0

0

K

 0    0  ,  L  1   λ n 

P −1

   =   

λ1

0

0 L

λ2

K

L

L

0

0

K

K

0   0  . L  λ n 

Çàóâàæåííÿ. Êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿ íå ìîæå áóòè çàäîâ³ëüíîþ ì³ðîþ ÿêîñò³ ìîäåë³ â ðàç³ çàñòîñóâàííÿ ÓÌÍÊ (íà â³äì³íó â³ä êëàñè÷íî¿ ìîäåë³). Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó çíà÷åííÿ êîåô³ö³ºíòà äåòåðì³íàö³¿ íàâ³òü íå ïîâèííî ïåðåáóâàòè â ³íòåðâàë³ [0,1], à äîäàâàííÿ ÷è âèëó÷åííÿ íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿ (ôàêòîðà) íå îáîâ’ÿçêîâî çóìîâëþº éîãî çá³ëüøåííÿ àáî çìåíøåííÿ. Îñíîâí³ âèñíîâêè ùîäî íàÿâíîñò³ ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³ â ðåãðåñ³éí³é ìîäåë³ 1. ßêùî âèÿâëåíî ãåòåðîñêåäàñòè÷í³ñòü, à äèñïåðñ³¿ íåâ³äîì³, íåîáõ³äíî òðàíñôîðìóâàòè ïî÷àòêîâó ìîäåëü ç ìåòîþ óñóíåííÿ ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³. 2 2. ßêùî σui â³äîì³ (ùî, âçàãàë³, ð³äê³ñòü), òî íåâ³äîì³ ïàðàìåòðè ðåãðåñ³éíî¿ ìîäåë³ ðîçðàõîâóþòüñÿ çà ÌÍÊ. 2 2 3. ßêùî σui íåâ³äîì³, àëå â³äîìèé âèãëÿä çàëåæíîñò³ ì³æ σui òà îäí³ºþ ³ç íåçàëåæíèõ çì³ííèõ xi , òî ïàðàìåòðè ðåãðåñ³éíî¿ ìîäåë³ ðîçðàõîâóþòüñÿ çà ÓÌÍÊ. 4. Âàæëèâèì º ïðèïóùåííÿ ïðî íîðìàëüíèé çàêîí ðîçïîä³ëó âèïàäêîâî¿ çì³ííî¿ u. ßêùî öå ïðèïóùåííÿ ïîðóøóºòüñÿ (àáî, ÿê ÷àñòî áóâຠíà ïðàêòèö³, ³ãíîðóºòüñÿ), òî îö³íêè ïàðàìåòð³â çàëèøàþòüñÿ íàéêðàùèìè, îäíàê ìè íå ìîæåìî âèçíà÷èòè ¿õ ñòàòèñòè÷íó çíà÷óù³ñòü (íàä³éí³ñòü) çà äîïîìîãîþ êëàñè÷íèõ òåñò³â çíà÷óùîñò³ (t, F òîùî), îñê³ëüêè ö³ òåñòè áàçóþòüñÿ íà íîðìàëüíîìó çàêîí³ ðîçïîä³ëó. Êîíòðîëüí³ çàïèòàííÿ 1. ßêå ÿâèùå íàçèâàºòüñÿ ãîìîñêåäàñòè÷í³ñòþ? 2. ßêå ÿâèùå íàçèâàºòüñÿ ãåòåðîñêåäàñòè÷í³ñòþ? 102

3. Ó ÷îìó ïîëÿãຠñóòü ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³? 4. ßêó ôîðìó çâè÷àéíî ìຠãåòåðîñêåäàñòè÷í³ñòü? 5. Äî ÿêèõ íàñë³äê³â ïðèçâîäèòü ïîðóøåííÿ ïðèïóùåííÿ ïðî ãîìîñêåäàñòè÷í³ñòü? 6. ßê âñòàíîâèòè íàÿâí³ñòü ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³? 7. Íàçâ³òü ìåòîäè âèçíà÷åííÿ ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³. 8. Çà ÿêèõ óìîâ çàñòîñîâóºòüñÿ ïàðàìåòðè÷íèé òåñò Ãîëüäôåëüäà – Êâàíäòà? 9. Ó ÷îìó ñóòü íåïàðàìåòðè÷íîãî òåñòó? 10. Íà ÷îìó áàçóºòüñÿ òåñò Ãëåéñåðà? 11. Ó ÷îìó ñóòü òðàíñôîðìàö³¿ ìîäåë³? 12. Íàâåä³òü ôîðìè ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³ â íàéïîøèðåí³øèõ âèïàäêàõ òðàíñôîðìàö³¿. 13. ßê³ âëàñòèâîñò³ ìàþòü îö³íêè ïàðàìåòð³â òðàíñôîðìîâàíî¿ ìîäåë³? 14. Çà ðàõóíîê ÷îãî ìîæå ³ñíóâàòè ãåòåðîñêåäàñòè÷í³ñòü? 15. Ó ÷îìó ñóòü óçàãàëüíåíîãî ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â?

103

Ðîçä³ë 6. ÀÂÒÎÊÎÐÅËßÖ²ß 6.1. Ïðèðîäà àâòîêîðåëÿö³¿ òà ¿¿ íàñë³äêè Ðîçãëÿíåìî êëàñè÷íó ë³í³éíó áàãàòîôàêòîðíó ìîäåëü y = a0 + a1 x1 + a2 x2 + ... + am xm + u

(6.1)

àáî â ìàòðè÷íîìó âèãëÿä³

Y = Xa + u,

(6.2)

äå ó — âåêòîð-ñòîâïåöü çàëåæíî¿ çì³ííî¿ ðîçì³ðíîñò³ (n × 1); X — ìàòðèöÿ íåçàëåæíèõ çì³ííèõ ðîçì³ðíîñò³ (n × (m + 1)); a — âåêòîð- ñòîâïåöü íåâ³äîìèõ ïàðàìåòð³â ðîçì³ðíîñò³ ((m + 1) × 1); u — âåêòîð-ñòîâïåöü âèïàäêîâèõ ïîìèëîê ðîçì³ðíîñò³ (n × 1);

ñîv(ui , u j ) = 0, i =/ j. Îäíèì ³ç ïðèïóùåíü êëàñè÷íîãî ðåãðåñ³éíîãî àíàë³çó º ïðèïóùåííÿ ïðî íåçàëåæí³ñòü âèïàäêîâèõ âåëè÷èí ui , ³ = 1, …, n, òîáòî ÿêùî öå ïðèïóùåííÿ ïîðóøóºòüñÿ (íåçâàæàþ÷è íà òå, ùî äèñïåðñ³ÿ çàëèøê³â º ñòàëîþ — íàÿâíà ãîìîñêåäàñòè÷í³ñòü), òî ìè ìàºìî ñïðàâó ç ÿâèùåì, ÿêå íàçèâàºòüñÿ àâòîêîðåëÿö³ºþ çàëèøê³â. Âàæëèâî çðîçóì³òè, ùî ñïðè÷èíþº àâòîêîðåëÿö³þ, ÿê³ ¿¿ ïðàêòè÷í³ òà òåîðåòè÷í³ íàñë³äêè, ÷è º åôåêòèâí³ ìåòîäè òåñòóâàííÿ íàÿâíîñò³ àâòîêîðåëÿö³¿, ÷è çì³íþþòüñÿ ìåòîäè çíàõîäæåííÿ íåâ³äîìèõ ïàðàìåòð³â ìîäåë³ â óìîâàõ àâòîêîðåëÿö³¿. Àâòîêîðåëÿö³ÿ çàëèøê³â âèíèêຠíàé÷àñò³øå òîä³, êîëè åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü áóäóºòüñÿ íà îñíîâ³ ÷àñîâèõ ðÿä³â. ßêùî ³ñíóº êîðåëÿö³ÿ ì³æ ïîñë³äîâíèìè çíà÷åííÿìè äåÿêî¿ íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿, òî ñïîñòåð³ãàòèìåòüñÿ é êîðåëÿö³ÿ ïîñë³äîâíèõ çíà÷åíü çàëèøê³â, òàê çâàí³ ëàãîâ³ çàòðèìêè (çàï³çíþâàííÿ) â åêîíîì³÷íèõ ïðîöåñàõ. 104

Àâòîêîðåëÿö³ÿ ìîæå âèíèêàòè ÷åðåç ³íåðö³éí³ñòü ³ öèêë³÷í³ñòü áàãàòüîõ åêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â. Ïðîâîêóâàòè àâòîêîðåëÿö³þ òàêîæ ìîæå íåïðàâèëüíî ñïåöèô³êîâàíà ôóíêö³îíàëüíà çàëåæí³ñòü ó ðåãðåñ³éíèõ ìîäåëÿõ. Ïðèïóñòèìî, ìîäåëü (6.1) ìຠàâòîêîðåëüîâàí³ çàëèøêè, òîáòî âèïàäêîâ³ âåëè÷èíè ui çàëåæí³ ì³æ ñîáîþ: M ( ui u j ) ≠ 0, i ≠ j. Îòæå, ÿê ³ ó âèïàäêó ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³, äèñïåðñ³ÿ çàëèøê³â M (uu′ ) ≠ σ2u I .

(6.3)

Àëå ïðè ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³ çì³íþþòüñÿ äèñïåðñ³¿ çàëèøê³â çà â³äñóòíîñò³ ¿õ êîâàð³àö³¿, à ïðè àâòîêîðåëÿö³¿ ³ñíóº êîâàð³àö³ÿ çàëèøê³â çà íåçì³ííî¿ äèñïåðñ³¿. Çàçíà÷èìî, ùî çà íàÿâíîñò³ àâòîêîðåëÿö³¿ çàëèøê³â, ÿê ³ çà íàÿâíîñò³ ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³, äèñïåðñ³ÿ çàëèøê³â ìຠâèãëÿä (6.4)

M (uu′ ) = σ2u Ω,

îäíàê ìàòðèöÿ Ω ìàòèìå òóò ³íøèé âèãëÿä:  1 ρ   ρ 1  2 Ω= ρ ρ  L L   ρn −1 ρn −2 

ρ2

ρ3

ρ

ρ2

1 L

ρ

ρ

n −3

L ρn −4

K ρn −1   K ρn −2   K ρn − 3  , L L   K 1 

(6.5)

äå ïàðàìåòð ρ õàðàêòåðèçóº êîâàð³àö³þ êîæíîãî íàñòóïíîãî çíà÷åííÿ çàëèøê³â ³ç ïîïåðåäí³ì. Òàê, ÿêùî äëÿ çàëèøê³â çàïèñàòè àâòîðåãðåñ³éíó ìîäåëü ïåðøîãî ïîðÿäêó ut = ρut −1 + νt ,

(6.6)

òî ρ õàðàêòåðèçóº ñèëó çâ’ÿçêó âåëè÷èí çàëèøê³â ó ïåð³îä t ç âåëè÷èíàìè çàëèøê³â ó ïåð³îä t–1. ßêùî ïðî³ãíîðóâàòè ìàòðèöþ Ω ïðè âèçíà÷åíí³ äèñïåðñ³¿ çàëèøê³â ³ äëÿ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ìîäåë³ çàñòîñóâàòè ÌÍÊ, òî ìîæëèâ³ òàê³ íàñë³äêè: 105

1. Îö³íêè ïàðàìåòð³â ìîäåë³ ìîæóòü áóòè íåçì³ùåíèìè, àëå íååôåêòèâíèìè, òîáòî âèá³ðêîâ³ äèñïåðñ³¿ âåêòîðà îö³íîê a ìîæóòü áóòè íåâèïðàâäàíî âåëèêèìè. 2. Ñòàòèñòè÷í³ êðèòå𳿠t- ³ F-ñòàòèñòèê, ÿê³ îòðèìàí³ äëÿ êëàñè÷íî¿ ë³í³éíî¿ ìîäåë³, íå ìîæóòü áóòè âèêîðèñòàí³ äëÿ äèñïåðñ³éíîãî àíàë³çó, áî ¿õ ðîçðàõóíîê íå âðàõîâóº íàÿâíîñò³ êîâàð³àö³¿ çàëèøê³â. 3. Íååôåêòèâí³ñòü îö³íîê ïàðàìåòð³â åêîíîìåòðè÷íî¿ ìîäåë³, ÿê ïðàâèëî, ïðèçâîäèòü äî íååôåêòèâíèõ ïðîãíîç³â, òîáòî ïðîãíîçí³ çíà÷åííÿ ìàòèìóòü âåëèêó âèá³ðêîâó äèñïåðñ³þ. Âèñíîâêè. Çà íàÿâíîñò³ àâòîêîðåëÿö³¿ ïîøèðåíèì ìåòîäîì îö³íþâàííÿ íåâ³äîìèõ ïàðàìåòð³â º óçàãàëüíåíèé ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â, ÿêèé áóëî ðîçãëÿíóòî â ïîïåðåäíüîìó ðîçä³ë³. Îòðèìàí³ çà äîïîìîãîþ ÓÌÍÊ îö³íêè º íåçì³ùåíèìè òà åôåêòèâíèìè.

6.2. Òåñòóâàííÿ íàÿâíîñò³ àâòîêîðåëÿö³¿ Òåñòóâàííÿ íàÿâíîñò³ àâòîêîðåëÿö³¿, ÿê ïðàâèëî, çä³éñíþºòüñÿ çà d-òåñòîì Äàðá³íà — Óîòñîíà, õî÷à ³ñíóþòü é ³íø³ íå ìåíø â³äîì³ òåñòè: êðèòåð³é ôîí Íåéìàíà, íåöèêë³÷íèé êîåô³ö³ºíò àâòîêîðåëÿö³¿, öèêë³÷íèé êîåô³ö³ºíò àâòîêîðåëÿö³¿.

6.2.1. Êðèòåð³é Äàðá³íà — Óîòñîíà (ñêëàäàºòüñÿ ç ê³ëüêîõ åòàï³â ³ âêëþ÷ຠçîíè íåâèçíà÷åíîñò³) Êðîê 1. Ðîçðàõîâóºòüñÿ çíà÷åííÿ d-ñòàòèñòèêè çà ôîðìóëîþ n

DW = d =

∑ (ut − ut −1 )

t =2

2

n

∑ ut2

.

(6.7)

t =1

Çàóâàæåííÿ. Äîâåäåíî, ùî çíà÷åííÿ d-ñòàòèñòèêè Äàðá³íà — Óîòñîíà ïåðåáóâຠâ ìåæàõ 0 ≤ DW ≤ 4. Êðîê 2. Çàäàºìî ð³âåíü çíà÷óùîñò³ α. Çà òàáëèöåþ Äàðá³íà — Óîòñîíà ïðè çàäàíîìó ð³âí³ çíà÷óùîñò³ α, ê³ëüêîñò³ ôàêòîð³â m ³ ê³ëüêîñò³ ñïîñòåðåæåíü n çíàõîäèìî äâà çíà÷åííÿ DW1 ³ DW2 : 106

• ßêùî 0< DW< DW1 , òî íàÿâíà äîäàòíà àâòîêîðåëÿö³ÿ. • ßêùî DW1 ≤ DW ≤ DW2 àáî 4 – DW2 ≤ DW ≤ 4 – DW1, ìè íå ìîæåìî çðîáèòè âèñíîâêè àí³ ïðî íàÿâí³ñòü, àí³ ïðî â³äñóòí³ñòü àâòîêîðåëÿö³¿ (DW ïîòðàïëÿº â çîíó íåâèçíà÷åíîñò³). • ßêùî 4–DW1 < DW < 4, ìàºìî â³ä’ºìíó àâòîêîðåëÿö³þ. • ßêùî DW2 < DW < 4–DW2, òî àâòîêîðåëÿö³ÿ â³äñóòíÿ. Ãðàô³÷íå çîáðàæåííÿ ðîçïîä³ëó ³ëþñòðóº ðèñ. 6.1.

Ðèñ. 6.1. Çîíè àâòîêîðåëÿö³éíîãî çâ’ÿçêó çà êðèòåð³ºì Äàðá³íà — Óîòñîíà

6.2.2. Êðèòåð³é ôîí Íåéìàíà Ðîçðàõîâóºòüñÿ n

Q = Qôàêò =

∑ (ut − ut −1)2

t =2

n

∑ ut2

n . n −1

(6.8)

t =1

n Çâ³äñè Q = DW . Îòæå, ïðè n → ∞ Q = DW. n −1 Ôàêòè÷íå çíà÷åííÿ êðèòåð³þ ôîí Íåéìàíà ïîð³âíþºòüñÿ ç òàáëè÷íèì ïðè âèáðàíîìó ð³âí³ çíà÷óùîñò³ α ³ çàäàí³é ê³ëüêîñò³ ñïîñòåðåæåíü: Q òàáë = Q (α,n) .

ßêùî Qôàêò < Qòàáë, òî ³ñíóº äîäàòíà àâòîêîðåëÿö³ÿ.

6.2.3. Êîåô³ö³ºíòè àâòîêîðåëÿö³¿ òà ¿õ çàñòîñóâàííÿ Îêð³ì ñòàòèñòèê Äàðá³íà — Óîòñîíà òà Íåéìàíà, äëÿ ïåðåâ³ðêè àâòîêîðåëÿö³¿ çàñòîñîâóþòü òàêîæ íåöèêë³÷íèé êîåô³ö³ºíò àâòîêîðå107

ëÿö³¿ r *, ÿêèé â³äîáðàæຠñòóï³íü âçàºìîçâ’ÿçêó ðÿä³â u1 , u2 , ..., un −1 ³ îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ 1 

n

r* =

n



n



∑ ut ut −1 − n − 1  ∑ ut   ∑ ut −1   t =2

t =2

2 n   1  n  ∑ ut2 − u ∑ t   n − 1  t =2    t =2  

1

2

  t =2



2 n   1  n  ∑ ut2−1 − u  ∑ t −1   n − 1  t =2  t =2   

1

2

.

Êîåô³ö³ºíò r * ìîæå íàáóâàòè çíà÷åíü â ³íòåðâàë³ (–1,1). Éîãî â³ä’ºìí³ çíà÷åííÿ ñâ³ä÷àòü ïðî â³ä’ºìíó àâòîêîðåëÿö³þ çàëèøê³â, à äîäàòí³ – ïðî äîäàòíó àâòîêîðåëÿö³þ. Çíà÷åííÿ, ùî ëåæàòü â äåÿê³é êðèòè÷í³é îáëàñò³ ïîáëèçó íóëÿ, ï³äòâåðäæóþòü íóëüîâó ã³ïîòåçó ïðî â³äñóòí³ñòü àâòîêîðåëÿö³¿ â çàëèøêàõ. Îñê³ëüêè éìîâ³ðíiñíèé ðîçïîä³ë r * âñòàíîâèòè âàæêî, òî íà ïðàêòèö³ çàì³ñòü r * îá÷èñëþþòü öèêë³÷íèé êîåô³ö³ºíò àâòîêîðåëÿö³¿ r 0. Çàãàëîì, ÿêùî ÷àñîâèé ðÿä ìຠöèêë³÷íèé õàðàêòåð, òîáòî ïðèïóñêàºòüñÿ, ùî ï³ñëÿ çíà÷åííÿ uτ çàãàëüíèé õàðàêòåð çì³íè ÷ëåí³â ðÿäó ïîâòîðþºòüñÿ, òî àâòîêîðåëÿö³þ âèçíà÷àþòü çà äîïîìîãîþ êîåô³ö³ºíòà r 0, çàïðîâàäæåíîãî Àíäåðñîíîì. Ó öüîìó ðàç³ àâòîêîðåëÿö³ÿ âèçíà÷àºòüñÿ ì³æ ïîñë³äîâíîñòÿìè, çñóíóòèìè íà ïåð³îä τ : u1 , u2 , ..., uτ ³ uτ+1 , uτ+ 2 , ..., u2τ u1 , u2 , ..., un ³ uτ+1 , ..., un , u1 , u2 , ..., uτ .

ßêùî ïåð³îä τ = 1, òî ìàºìî êîåô³ö³ºíò öèêë³÷íî¿ àâòîêîðåëÿö³¿ ïåðøîãî ïîðÿäêó, ÿêèé â³äáèâຠ³íòåíñèâí³ñòü âçàºìîçâ’ÿçêó ì³æ ïîñë³äîâíîñòÿìè òà

u1 , u2 , ..., un −1 , un u2 , u3 , ..., un , u1 .

Äëÿ äîñèòü äîâãèõ ðÿä³â âïëèâ öèêë³÷íèõ ÷ëåí³â ñòຠíåçíà÷íèì, òîìó éìîâ³ðí³ñíèé ðîçïîä³ë êîåô³ö³ºíòà r * íàáëèæàºòüñÿ äî éìîâ³ðí³ñíîãî ðîçïîä³ëó êîåô³ö³ºíòà öèêë³÷íî¿ àâòîêîðåëÿö³¿ r 0 , ÿêèé îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ 108

n

r0 =

∑ ut ut −1

t =2

1 n  + un u1 −  ∑ ut  n  t =1 

1 n  ∑ ut2 − n  ∑ ut  t =1  t =1  n

2

2

.

ßêùî îñòàíí³é ÷ëåí ðÿäó äîð³âíþº ïåðøîìó, òîáòî u1 = un , òî íåöèêë³÷íèé êîåô³ö³ºíò àâòîêîðåëÿö³¿ äîð³âíþº öèêë³÷íîìó. Î÷åâèäíî, ÿêùî çàëèøêè íå ì³ñòÿòü òðåíäà, òî ïðèïóùåííÿ ïðî ð³âí³ñòü u1 = un íåäàëåêå â³ä ä³éñíîñò³ é öèêë³÷íèé êîåô³ö³ºíò àâòîêîðåëÿö³¿ áëèçüêèé äî íåöèêë³÷íîãî. Êð³ì òîãî, ïðèïóñêàþ÷è, ùî ñåðåäíÿ çàëèøê³â äîð³âíþº íóëþ, òîáòî u = 0, à îòæå, n

n

t =2

t =2

∑ ut ≈ ∑ ut −1 ≈ 0 ,

îòðèìóºìî ïðèáëèçíó ôîðìóëó äëÿ îá÷èñëåííÿ öèêë³÷íîãî êîåô³ö³ºíòà àâòîêîðåëÿö³¿: n

r=

∑ ut ut −1

t =2 n

∑

t =1

ut2

,

ïðè÷îìó r ∈ ( −1,1) . Çíà÷åííÿ r âèêîðèñòîâóºòüñÿ ïðè îö³íþâàíí³ ïàðàìåòð³â ìîäåë³.

6.3. Ïàðàìåòðèçàö³ÿ ìîäåë³ ç àâòîêîðåëüîâàíèìè çàëèøêàìè Çàçíà÷èìî, ùî ïàðàìåòðè ìîäåë³ ç àâòîêîðåëüîâàíèìè çàëèøêàìè ìîæíà îö³íèòè íà îñíîâ³ ÷îòèðüîõ ìåòîä³â: 1) Åéòêåíà (ÓÌÍÊ); 2) ïåðåòâîðåííÿ âèõ³äíî¿ ³íôîðìàö³¿; 3) Êî÷ðåíà — Îðêàòòà; 4) Äàðá³íà. Ïåðø³ äâà ìåòîäè äîö³ëüíî çàñòîñîâóâàòè òîä³, êîëè çàëèøêè îïèñóþòüñÿ àâòîðåãðåñ³éíîþ ìîäåëëþ ïåðøîãî ïîðÿäêó (6.6): ut = ρut −1 + ν t .

109

²òåðàö³éí³ ìåòîäè Êî÷ðåíà — Îðêàòòà ³ Äàðá³íà ìîæíà çàñòîñîâóâàòè äëÿ îö³íêè ïàðàìåòð³â åêîíîìåòðè÷íî¿ ìîäåë³ é òîä³, êîëè çàëèøêè îïèñóþòüñÿ àâòîðåãðåñ³éíîþ ìîäåëëþ âèùîãî ïîðÿäêó:

ut = ρ1ut −1 + ρ2 ut −2 + νt , ut = ρ1ut −1 + ρ2 ut −2 + ρ3ut − 3 + νt .

6.3.1. Ìåòîä Åéòêåíà ßê çàçíà÷àëîñÿ, îïåðàòîð îö³íþâàííÿ ÓÌÍÊ ìîæíà çàïèñàòè òàê: àáî

aˆ = ( X ′Ω−1 X )−1 X ′Ω−1Y

(6.9)

aˆ = ( X ′S −1 X )−1 X ′S −1Y ,

(6.10)

äå Ω–1 — ìàòðèöÿ, îáåðíåíà äî äèñïåðñ³éíî-êîâàð³àö³éíî¿ ìàòðèö³ çàëèøê³â Ω; S–1 — ìàòðèöÿ, îáåðíåíà äî ìàòðèö³ S = σ2u Ω . s Îñê³ëüêè â Ω êîâàð³àö³ÿ çàëèøê³â ρ → 0 ïðè S > 2, òî ìàòðèöÿ Ω-1 ìàòèìå âèãëÿä

Ω

−1

−ρ 0  1  2 −ρ  −ρ 1 + ρ 1  = ⋅ 0 −ρ 1 + ρ2 1 − ρ2  L L L  0 0  0

0

0 K

0

0 K

−ρ

0 K L L L 0

0

K

0  0  0 . L  1 

(6.11)

Íà ïðàêòèö³ äëÿ ðîçðàõóíêó ρ âèêîðèñòîâóºòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿ n

ρ≈r ≈

∑ ut ut −1

t =2 n

∑ ut2 t =1

110

(6.12)

àáî n

ρ ≈ r′ ≈

∑ ut ut −1

t =2

n

∑

t =1

ut2

n . n −1

(6.13)

6.3.2. Ìåòîä Êî÷ðåíà – Îðêàòòà Çàóâàæåííÿ. Ìåòîä Êî÷ðåíà – Îðêàòòà º ³òåðàö³éíèì ìåòîäîì íàáëèæåíîãî ïîøóêó îö³íîê ïàðàìåòð³â ìîäåë³ ç àâòîêîðåëüîâàíèìè çàëèøêàìè, ÿêèé áàçóºòüñÿ íà ÌÍÊ. Êðîê 1. Äîâ³ëüíî âèáðàòè çíà÷åííÿ ïàðàìåòðà ρ, íàïðèêëàä ρ = r1 . ϳäñòàâèâøè éîãî ó n

n

t =2

t =2

∑ ε2t = ∑ [( yt

− ρyt −1 ) − a0 (1 − ρ) − a1 ( xt − ρxt −1 )]2 ,

(6.14)

îá÷èñëèòè aˆ0(1) ³ aˆ1(1). Êðîê 2. Ïîêëàñòè aˆ0 = aˆ0(1) ³ aˆ1 = aˆ1(1) ; ï³äñòàâèâøè ¿õ ó ð³âíÿííÿ (6.14), îá÷èñëèòè ρ = r1. Êðîê 3. ϳäñòàâèòè â ð³âíÿííÿ (6.14) çíà÷åííÿ ρ = r 2 , çíàéòè aˆ0(2) ³ aˆ1(2).

Êðîê 4. Âèêîðèñòàòè aˆ0 = aˆ0(2) ³ aˆ1 = aˆ1(2) äëÿ ì³í³ì³çàö³¿ ñóìè êâàäðàò³â çàëèøê³â (6.14) çà íåâ³äîìèì ïàðàìåòðîì ρ = r3. Ïðîöåäóðó ïîâòîðþâàòè äîòè, äîêè íàñòóïí³ çíà÷åííÿ ïàðàìåòð³â aˆ0 , aˆ1 ³ ρ íå â³äð³çíÿòèìóòüñÿ ìåíø ÿê íà çàäàíó âåëè÷èíó. Çàçíà÷èìî, ùî íàâåäåíèé ìåòîä çàâæäè çàáåçïå÷óº: • çíàõîäæåííÿ ãëîáàëüíîãî îïòèìóìó; • ïîð³âíÿíî äîáðó çá³æí³ñòü.

6.4. Ïðèêëàä îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ìîäåë³ ç àâòîêîðåëüîâàíèìè çàëèøêàìè Íà îñíîâ³ äâîõ âçàºìîïîâ’ÿçàíèõ ÷àñîâèõ ðÿä³â ïðî ðîçäð³áíèé òîâàðîîá³ã ³ äîõîäè íàñåëåííÿ ïîáóäóâàòè ìîäåëü, ùî õàðàêòåðèçóº çàëåæí³ñòü ðîçäð³áíîãî òîâàðîîá³ãó â³ä äîõîäó. 111

Âèõ³äí³ äàí³ íàâåäåíî â òàáëèö³. гê 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Òîâàðîîá³ã 25,5 26,4 27,9 28,1 28,8 29,3 29,8 30,7 31,5 32,4

Äîõ³ä 27,6 27,4 28,7 29,5 30,9 31,4 31,8 32,2 33,6 34,7

Ðîçâ’ÿçàííÿ. 1. ²äåíòèô³êóºìî çì³íí³ ìîäåë³: yt — ðîçäð³áíèé òîâàðîîá³ã ó ïåð³îä t, çàëåæíà çì³ííà; xt — äîõ³ä ó ïåð³îä t, ïîÿñíþþ÷à çì³ííà; yt = f (xt , ut ), äå ut — ñòîõàñòè÷íà ñêëàäîâà (çàëèøêè). 2. Ñïåöèô³êóºìî ìîäåëü ó ë³í³éí³é ôîðì³: yt = a0 + a1x1 + ut; yˆt = a0 +a1xt ; ut = yt – yt . 3. Âèçíà÷èìî aˆ0 , aˆ1 íà îñíîâ³ ÌÍÊ, ïðèïóñòèâøè, ùî çàëèøêè íåêîðåëüîâàí³: aˆ = (XTX)-1 XTy.

1  1 1  1 1 X = 1 1  1  1  1 

112

27,6   27,4  28,7   29,5  30,9  ; 31,4  31,8   32,2   33,6  34,7 

 10,0 307,8  XT X =  ;  307,8 9528,36 

 17,55538 ( X T X ) −1 =   −0,5671

−0,5671  ; 0,018424 

 290,4  XT y =  ;  8985,64 

 2,313641  aˆ =  .  0,868303 

Îòæå, ìîäåëü ìຠâèãëÿä yˆt = 2,313641 + 0,868303 xt .

4. Çíàéäåìî îö³íåí³ çíà÷åííÿ yˆt íà îñíîâ³ îòðèìàíî¿ ìîäåë³ òà âèçíà÷èìî çàëèøêè ut. ut2

ut

(ut–ut–1)2

ut ut–1

1,152747

–0,22964

0,294863 0,395381

–0,09846

гê

yt

1

25,5

26,2787973 –0,7788

2

26,4

26,1051367

3

26,9

27,2339303 –0,33393

0,111509

4

27,1

27,9285725 –0,82857

0,686532

–0,33393

0,244671

0,276685

5

27,8

29,1441963 –1,3442

1,806864

–0,82857

0,265868

1,113764

yˆ t

ut–1

0,606525

0,294863 0,086944

–0,7788

6

28,3

29,5783477 –1,27835

1,634173

–1,3442

0,004336

1,71835

7

29,4

29,9256688 –0,52567

0,276328

–1,27835

0,566526

0,671988

8

30,7

30,2729899

0,42701

0,182338

–0,52567

0,907597

9 10

31,5 33,4

31,4886138 32,4437468

0,011386 0,00013 0,956253 0,91442

Ñóìà 287

290,4

–3,4

6,305763

0,42701 0,172743 0,011386 0,892774 –4,35625

4,602643

–0,22447 0,004862 0,010888 3,243969

5. Îá÷èñëèìî îö³íêó d-ñòàòèñòèêè Äàðá³íà — Óîòñîíà: 10

DW =

∑ (ut

t =2

− ut −1 )2

10

∑ ut2

=

4,602643 ≈ 0,7299. 6,305763

t −1

Çàäàìî α = 0,05 ³ ïðè n = 10 òà m = 1 çíàéäåìî çà òàáëèöåþ d-ñòàòèñòèêè Äàðá³íà — Óîòñîíà (äîä. 4) êðèòè÷í³ çíà÷åííÿ êðèòåð³þ: DW1 = 0,604 — íèæíÿ ìåæà; DW2 = 1,001 — âåðõíÿ ìåæà. 113

Îñê³ëüêè DW1 < DW < DW2, òî ç ïîõèáêîþ ùîíàéá³ëüøå ó 5 % âèïàäê³â ìîæíà ñòâåðäæóâàòè, ùî àâòîêîðåëÿö³ÿ çàëèøê³â ut íåâèçíà÷åíà. Çàâäàííÿ äëÿ ñàìîñò³éíî¿ ðîáîòè: ïåðåâ³ðèòè àâòîêîðåëÿö³þ çàëèøê³â ìîäåë³ íà îñíîâ³ êðèòåð³þ ôîí Íåéìàíà. Ùîá îö³íèòè ïàðàìåòðè ìîäåë³ ç àâòîêîðåëüîâàíèìè çàëèøêàìè, âèêîðèñòàºìî ÓÌÍÊ. Îïåðàòîð îö³íþâàííÿ

aˆ = ( X ′Ω−1 X )−1 X ′Ω−1Y àáî aˆ = ( X ′S −1 X )−1 X ′S −1Y , äå Ω –äèñïåðñ³éíî-êîâàð³àö³éíà ìàòðèöÿ çàëèøê³â, ÿêà ìຠâèãëÿä  1 ρ ρ2  ρ 1 ρ  Ω =  ρ2 ρ 1 L L L   ρ 9 ρ8 ρ7 

ρ3 K ρ9   ρ2 K ρ8   ρ K ρ7  ; L L L  ρ6 K 1 

S = σ2u Ω.

Ùîá ñôîðìóâàòè Ω àáî S, íåîáõ³äíî çíàòè âåëè÷èíó ρ, ÿêà õàðàêòåðèçóº âçàºìîçâ’ÿçîê ì³æ ïîñë³äîâíèìè ÷ëåíàìè ðÿäó çàëèøê³â. Ïðèïóñòèìî, çàëèøêè îïèñóþòüñÿ àâòîêîðåëÿö³éíîþ ìîäåëëþ ïåðøîãî ïîðÿäêó (6.6): ut = ρut −1 + ν t ,

äå

n

ρ ≈ r′ ≈

∑ ut ut −1

t =2 n

∑ ut2

n m + 1 3,243969 10 2 + = ⋅ + ≈ 0,77. n −1 n 6,305763 9 10

t =1

Îòæå,

114

1   0,77 Ω =  0,5929   L  0,0951 

0,77 1 0,77 L 0,1235

0,5929 0,77 1 L 0,1604

0,4565 0,5929 0,77 L 0,2084

K K K L K

0,0951   0,1235  0,1604  ;  L   1 

 2,4564  −1,8914 Ω −1 =   L   −4,4657 E − 17

−1,8914

K 5,6E − 17   K 0 3,9128 .  L L L  −3,65E − 17 K 2,4564 

6. Ðîçðàõóºìî: 0,1041 K 0,5649   0,565 X tT Ω −1 =  ;  15,9715 −0,1246 K 21, 685  67,163   2,171  63,007  −1 T X tT Ω −1 X t =   ; X t Ω yt =  ; 67,157 2110,708    1976,647   3,20236   29,1312 −0,9269  ( X tT Ω−1X t )−1 =  .  ; aˆ =  − 0,9269 0,0299  0,834594   

Îòæå, yˆt = 3,20236 + 0,834594xt. 7. Çíàéäåìî îö³íåí³ çíà÷åííÿ yˆt íà îñíîâ³ ïîáóäîâàíî¿ ìîäåë³ òà âèçíà÷èìî ¿¿ çàëèøêè vi гê

yt

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

25,5 26,4 27,9 28,1 28,8 29,3 29,8 30,7 31,5 32,4

yˆt

vt

26,23716 –0,73716 26,07024 0,329755 27,15522 0,744783 27,82289 0,277107 28,99132 –0,19132 29,40862 –0,10862 29,74246 0,05754 30,0763 0,623702 31,24473 0,25527 32,16278 0,237217

Ñóìà 290,4 288,9117

vt2

vt–1

(vt– vt–1)2

vtvt–1

0,54341 — — — 0,108739 –0,73716 1,13831587 –0,24308 0,554701 0,329755 0,17224772 0,245596 0,076788 0,744783 0,21872034 0,206385 0,036605 0,277107 0,2194286 –0,05302 0,011799 –0,19132 0,00683976 0,020782 0,003311 –0,10862 0,0276099 –0,00625 0,389005 0,05754 0,32053971 0,035888 0,065163 0,623702 0,13574218 0,159213 0,056272 0,25527 0,00032594 0,060554

1,488264 1,845793

1,251048

2,23977001

0,426067

115

8. Ðîçðàõóºìî d-ñòàòèñòèêó Äàðá³íà — Óîòñîíà: 10

DW =

∑ (vt − vt −1 )2

t =2

10

∑ vt2

=

2,23977001 ≈ 1,2134. 1,845793

t −1

Ïîð³âíÿºìî d-ñòàòèñòèêó Äàðá³íà — Óîòñîíà ç êðèòè÷íèìè çíà÷åííÿìè ïðè α = 0,05, n = 10 òà m = 1. Îñê³ëüêè DW2 < DW < 4–DW2, ðîáèìî âèñíîâîê, ùî ìè óñóíóëè àâòîêîðåëÿö³þ çàëèøê³â. À öå â ñâîþ ÷åðãó îçíà÷àº, ùî äîòðèìóºòüñÿ ã³ïîòåçà ïðî òå, ùî çàëèøêè îïèñóþòüñÿ àâòîðåãðåñ³éíîþ ñõåìîþ ïåðøîãî ïîðÿäêó. ßêùî çàëèøêè îïèñóþòüñÿ àâòîðåãðåñ³éíîþ ñõåìîþ âèùîãî ïîðÿäêó, äîö³ëüíî îö³íèòè ïàðàìåòðè ìîäåë³ ìåòîäîì Êî÷ðåíà — Îðêàòòà àáî Äàðá³íà. 9. Ïðîãíîç: âèçíà÷èìî ïðîãíîçíèé ð³âåíü òîâàðîîá³ãó, ÿêùî äîõ³ä ñòàíîâèòèìå xn+1 = 35. Cï³ââ³äíîøåííÿ, ùî âèçíà÷ຠïðîãíîçíèé ð³âåíü çàëåæíî¿ çì³ííî¿, ìຠâèãëÿä: yˆn+1 = xn+1a. Îòæå, yˆn +1 = 3,20236 + 0,834594xt = 3,20236 +0,834594·55 = 49,105085.

Öå îçíà÷àº, ùî ïðîãíîçíèé ð³âåíü ðîçäð³áíîãî òîâàðîîá³ãó íà (n+1)-é ð³ê ñòàíîâèòü 49,105085. Êîíòðîëüí³ çàïèòàííÿ 1. Ùî îçíà÷ຠàâòîêîðåëÿö³ÿ çàëèøê³â? 2. ßê³ ïðè÷èíè âèíèêíåííÿ àâòîêîðåëÿö³¿? 3. ×èì â³äð³çíÿºòüñÿ ÓÌÍÊ ïðè àâòîêîðåëÿö³¿? 4. Äî ÿêèõ íàñë³äê³â ïðèçâîäèòü àâòîêîðåëÿö³ÿ çàëèøê³â? 5. ßê âïëèâຠàâòîêîðåëÿö³ÿ íà îö³íêó ïàðàìåòð³â ìîäåë³? 6. Íàâåä³òü òåñòè íàÿâíîñò³ àâòîêîðåëÿö³¿ çàëèøê³â. 7. Äàéòå ñòèñëó õàðàêòåðèñòèêó àëãîðèòìó ìåòîäó Äàðá³íà — Óîòñîíà. 8. Çîáðàç³òü ãðàô³÷íî çîíè àâòîêîðåëÿö³éíîãî çâ’ÿçêó çà êðèòåð³ºì Äàðá³íà — Óîòñîíà. 9. Îõàðàêòåðèçóéòå àëãîðèòì êðèòåð³þ ôîí Íåéìàíà. 116

10. Íà îñíîâ³ ÿêèõ ìåòîä³â ìîæíà îö³íèòè ïàðàìåòðè ìîäåë³ ç àâòîêîðåëüîâàíèìè çàëèøêàìè? 11. Ó ÿêèõ âèïàäêàõ äëÿ îö³íêè ïàðàìåòð³â åêîíîìåòðè÷íî¿ ìîäåë³ ç àâòîêîðåëüîâàíèìè çàëèøêàìè äîö³ëüíî çàñòîñîâóâàòè ³òåðàö³éí³ ìåòîäè Êî÷ðåíà — Îðêàòòà àáî Äàðá³íà? 12. Îõàðàêòåðèçóéòå ìåòîä Åéòêåíà îö³íêè ïàðàìåòð³â åêîíîìåòðè÷íî¿ ìîäåë³ ç àâòîêîðåëüîâàíèìè çàëèøêàìè. 13. Îõàðàêòåðèçóéòå àëãîðèòì ìåòîäó Êî÷ðåíà — Îðêàòòà. 14. ßê³ ïåðåâàãè çàáåçïå÷óº ìåòîä Êî÷ðåíà — Îðêàòòà?

Ðîçä³ë 7. ÌÎÄÅ˲ ÐÎÇÏÎIJËÅÍÎÃÎ ËÀÃÀ 7.1. Ïîíÿòòÿ ëàãà òà ëàãîâèõ ìîäåëåé â åêîíîì³ö³ Äëÿ áàãàòüîõ åêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â òèïîâî, ùî åôåêò â³ä âïëèâó äåÿêîãî ôàêòîðà íà ïîêàçíèê, ÿêèé õàðàêòåðèçóº ïðîöåñ, âèÿâëÿºòüñÿ íå îäðàçó, à ïîñòóïîâî, ÷åðåç äåÿêèé ÷àñ àáî ïðîòÿãîì äåÿêîãî ÷àñó. Òàêå ÿâèùå íàçèâàºòüñÿ çàï³çíþâàííÿì (çàòðèìêîþ), à ïðîì³æîê ÷àñó, ó ÿêèé ñïîñòåð³ãàºòüñÿ öå çàï³çíþâàííÿ, — ÷àñîâèì ëàãîì, àáî ïðîñòî ëàãîì. Íàïðèêëàä, ôóíêö³ÿ ñïîæèâàííÿ ï³ñëÿ ð³çêî¿ çì³íè äîõîäó òàêîæ çì³íþºòüñÿ, àëå íå ïðîïîðö³éíî äî äîõîäó. Çîêðåìà, ç³ çá³ëüøåííÿì äîõîäó âèòðàòè çíà÷íî çðîñòàþòü (çàäîâîëüíÿþòüñÿ íàãàëüí³ ïîòðåáè), à ïîò³ì ìîæóòü çìåíøóâàòèñÿ çà ðàõóíîê çá³ëüøåííÿ ³íâåñòèö³é (ïëàíóþòüñÿ âåëèê³ âèòðàòè ³ çðîñòàþòü íàãðîìàäæåííÿ, à ñïîæèâàííÿ çìåíøóºòüñÿ). Âêëàäàííÿ êîøò³â ó íàóêîâ³ äîñë³äæåííÿ íå îäðàçó âïëèâຠíà çðîñòàííÿ ïðîäóêòèâíîñò³ ïðàö³ — ìຠïðîéòè ïåâíèé ÷àñ â³ä âèíèêíåííÿ íàóêîâî¿ ³äå¿ äî ¿¿ âïðîâàäæåííÿ ó âèðîáíèöòâî. Êàï³òàëüíå áóä³âíèöòâî òàêîæ íå äຠìèòòºâèõ ïðèáóòê³â ³ ò. ³í. Îçíà÷åííÿ 7.1. Ìîäåë³, ó ÿêèõ äîñë³äæóâàíèé ïîêàçíèê ó ìîìåíò ÷àñó t âèçíà÷àºòüñÿ íå ëèøå ïîòî÷íèìè, à é ïîïåðåäí³ìè çíà÷åííÿìè íåçàëåæíèõ çì³ííèõ, íàçèâàþòüñÿ äèñòðèáóòèâíî-ëàãîâèìè:

yt = a + a0 xt + a 1 xt −1 + a 2 xt −2 + ... + ut . Îçíà÷åííÿ 7.2. Ìîäåë³, ó ÿêèõ äîñë³äæóâàíèé ïîêàçíèê ó ìîìåíò ÷àñó t âèçíà÷àºòüñÿ ñâî¿ìè ïîïåðåäí³ìè çíà÷åííÿìè, íàçèâàþòüñÿ àâòîðåãðåñ³éíèìè àáî äèíàì³÷íèìè ìîäåëÿìè. Íàïðèêëàä,

yt = a + a0 xt + b1 yt −1 + b2 yt −2 + ... + ut .

118

Çì³íí³ xt −τ ³ yt −τ ó ïåð³îä t − τ íàçèâàþòüñÿ ëàãîâèìè çì³ííèìè, à âåëè÷èíà τ — ïåð³îäîì çñóâó (ëàãîì). ßêùî â åêîíîìåòðè÷í³é ìîäåë³ íåçàëåæí³ çì³íí³ âèêîðèñòîâóþòü çà ê³ëüêà ïîïåðåäí³õ ïåð³îä³â, òî òàê³ ìîäåë³ íàçèâàþòü ìîäåëÿìè ç ê³íöåâèì ëàãîì (ñê³í÷åííèìè ìîäåëÿìè). ßêùî âïëèâ íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿ íå îáìåæóºòüñÿ ïåâíèì ïåð³îäîì, ðîçãëÿäàþòü íåñê³í÷åíí³ ëàãîâ³ ìîäåë³. Çâè÷àéíî, íåñê³í÷åííà ëàãîâà ìîäåëü á³ëüø çàãàëüíà, îäíàê ïðàêòè÷íå çàñòîñóâàííÿ òàêî¿ ìîäåë³ äîñèòü ïðîáëåìàòè÷íå ÷åðåç âåëèêó ê³ëüê³ñòü ôàêòîð³â, ñêëàäí³ñòü âíóòð³øíüî¿ ñòðóêòóðè òà îáìåæåí³ñòü ÷àñîâèõ ðÿä³â — ³íôîðìàö³éíî¿ áàçè ìîäåëåé. Êîåô³ö³ºíòè a j , j = 0, 1, 2, ..., íàçèâàþòüñÿ êîåô³ö³ºíòàìè ëàãà,

à ïîñë³äîâí³ñòü {a j , j = 0, 1, 2, ...} — ñòðóêòóðîþ ëàãà.

Êîåô³ö³ºíò a0 ïðè íåçàëåæí³é çì³íí³é xt , ùî â³äáèâຠ¿¿ âïëèâ íà çàëåæíó çì³ííó â ïîòî÷íèé ïåð³îä, íàçèâàºòüñÿ êîðîòêîñòðîêîâèì, àáî âïëèâîâèì, ìóëüòèïë³êàòîðîì. ×àñòêîâ³ ñóìè êîåô³ö³ºíò³â (a0 + a1 ), (a0 + a1 + a2 ), ... , ùî â³äîáðàæàþòü çì³íó yt â äðóãèé, òðåò³é ³ íàñòóïí³ ïåð³îäè, íàçèâàþòüñÿ ïðîì³æíèìè ³íòåðâàëàìè. Çàãàëüíà ñóìà ëàãîâèõ êîåô³ö³ºíò³â äëÿ âñ³º¿ ìîäåë³ íàçèâàºòüñÿ äîâãîñòðîêîâèì, àáî çàãàëüíèì, äèñòðèáóòèâíî-ëàãîâèì ìóëüòèïë³êàòîðîì. Îñòàííÿ ñóìà äëÿ ñê³í÷åííèõ ìîäåëåé, î÷åâèäíî, º ñê³í÷åííèì ÷èñëîì. Äëÿ íåñê³í÷åííî¿ ìîäåë³ ëàãîâ³ êîåô³ö³ºíòè çà ïåâíèõ óìîâ òàêîæ ìîæóòü óòâîðèòè ñê³í÷åííó ñóìó. ßêùî êîæåí ³ç êîåô³ö³ºíò³â ðîçä³ëèòè íà ¿õ ñóìó, îòðèìàºìî â³äïîâ³äíî íîðìîâàí³ êîåô³ö³ºíòè ëàãà òà íîðìîâàíó ñòðóêòóðó ëàãà. Óñ³ íîðìîâàí³ êîåô³ö³ºíòè ìåíø³ â³ä îäèíèö³, à ¿õ ñóìà äîð³âíþº îäèíèö³. Äèñòðèáóòèâíî-ëàãîâ³ ìîäåë³, ÿê³ ùå íàçèâàþòü ìîäåëÿìè ðîçïîä³ëåíîãî ëàãà, çàäîâ³ëüíî îïèñóþòü åêîíîì³÷í³ ïðîöåñè ëèøå â ñòàá³ëüíèõ (íåçì³ííèõ) óìîâàõ. Íåîáõ³äí³ñòü âðàõîâóâàòè ùå é ïîòî÷í³ óìîâè ôóíêö³îíóâàííÿ âèìàãຠçàñòîñóâàííÿ óçàãàëüíåíèõ ìîäåëåé. Îçíà÷åííÿ 7.3. ßêùî åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü ì³ñòèòü íå ëèøå ëàãîâ³ çì³íí³, à é çì³íí³, ùî áåçïîñåðåäíüî âïëèâàþòü íà äîñë³äæóâàíèé ïîêàçíèê (òîáòî ì³ñòèòü é ïîòî÷í³ óìîâè ôóíêö³îíóâàííÿ), òî òàêà ìîäåëü íàçèâàºòüñÿ óçàãàëüíåíîþ ìîäåëëþ ðîçïîä³ëåíîãî ëàãà:

119

yt =

m

∑ aτ xt −τ + ∑ bi xt ,i + ut .

τ≥0

i =1

Îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â òàêèõ ð³âíÿíü óñêëàäíþºòüñÿ îáìåæåííÿìè, ùî íàêëàäàþòüñÿ íà êîåô³ö³ºíòè ïðè ëàãîâèõ çì³ííèõ. Ïåðø í³æ áóäóâàòè åêîíîìåòðè÷íó ìîäåëü ç ëàãîâèìè çì³ííèìè, íåîáõ³äíî îáãðóíòóâàòè âåëè÷èíó ëàãà. Äëÿ öüîãî çàñòîñîâóþòü âçàºìíó êîðåëÿö³éíó ôóíêö³þ — ïîñë³äîâí³ñòü êîåô³ö³ºíò³â êîðåëÿö³¿, ÿê³ âèçíà÷àþòü ñòóï³íü çâ’ÿçêó êîæíîãî åëåìåíòà âåêòîðà çàëåæíî¿ çì³ííî¿ ç åëåìåíòîì âåêòîðà íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿, çñóíóòèìè îäèí â³äíîñíî îäíîãî íà ÷àñîâèé ëàã τ :

rτ =

n −τ

n −τ

n −τ

t =1

t =1

t =1

(n − τ) ∑ yt xt +τ −

∑ yt ∑ xt +τ

2 2  n −τ n −τ  n −τ     n −τ   (n − τ) ∑ yt2 −  ∑ yt   (n − τ) ∑ xt2+τ −  ∑ xt +τ     t =1     t =1   t =1 t =1 

. (7.1)

Ñåðåä îòðèìàíèõ êîåô³ö³ºíò³â êîðåëÿö³¿ âèáèðàþòü íàéá³ëüøèé çà ìîäóëåì, à â³äïîâ³äíå çíà÷åííÿ ÷àñîâîãî çñóâó ââàæàþòü ëàãîì. ßêùî òàêèõ êîåô³ö³ºíò³â ê³ëüêà, çàñòîñîâóþòü ìîäåëü ðîçïîä³ëåíîãî ëàãà. Ïðèêëàä [17]. Íà îñíîâ³ âçàºìîïîâ’ÿçàíèõ ÷àñîâèõ ðÿä³â, ÿê³ õàðàêòåðèçóþòü ÷èñòó ïðîäóêö³þ òà êàï³òàëüí³ âêëàäåííÿ Ðåñïóáë³êè Ñè𳿠çà 20 ðîê³â, ïîáóäóâàòè âçàºìíó êîðåëÿö³éíó ôóíêö³þ, âèêîðèñòàâøè äàí³ òàáë. 7.1. Ó ðåçóëüòàò³ ðîçðàõóíê³â, âèêîíàíèõ çà ôîðìóëîþ (7.1) äëÿ ð³çíèõ çíà÷åíü τ , îòðèìàíî çíà÷åííÿ êîåô³ö³ºíò³â êîðåëÿö³¿, ùî íàâåäåí³ â òàáë. 7.2. Ç òàáë. 7.2 âèäíî, ùî íàéá³ëüøå çíà÷åííÿ êîåô³ö³ºíòà êîðåëÿö³¿ rτ = 0, 92 . ³í â³äïîâ³äຠòðüîì çíà÷åííÿì τ = {3, 4, 5} . Öå îçíà÷àº, ùî íàéá³ëüøîãî âïëèâó êàï³òàëüíèõ âêëàäåíü íà îáñÿã ÷èñòî¿ ïðîäóêö³¿ ñë³ä î÷³êóâàòè âïðîäîâæ òðåòüîãî, ÷åòâåðòîãî òà ï’ÿòîãî ðîê³â. 120

Òàáëèöÿ 7.1

гê

Êàï³òàëüí³ âêëàäåííÿ, ìëí ñèð³éñüêèõ ë³ð

×èñòà ïðîäóêö³ÿ, ìëí ñèð³éñüêèõ ë³ð

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

3857 4686 5515 5209 7522 10390 13678 15976 13880 13949

24334 28678 33021 32432 40325 49334 54717 53818 55968 61517

гê

Êàï³òàëüí³ âêëàäåííÿ, ìëí ñèð³éñüêèõ ë³ð

×èñòà ïðîäóêö³ÿ, ìëí ñèð³éñüêèõ ë³ð

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

17006 17352 17838 18878 19090 20016 17736 11951 11469 9068

72165 78743 80381 82204 77833 81413 77484 75443 85038 75809

Òàáëèöÿ 7.2

τ rτ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,89

0,86

0,89

0,92

0,92

0,85

0,75

0,64

0,4

0,55

Äèíàì³÷íà ìîäåëü ðîçïîä³ëåíîãî ëàãà â òàêîìó ðàç³ ìຠâèãëÿä yt = a0 xt + a1 xt −3 + a2 xt − 4 + a3 xt −5 + ut ,

äå yt — ÷èñòà ïðîäóêö³ÿ â ïåð³îä t; a j , j = 0, 1, 2, 3 — âàãîâ³ êîåô³ö³ºíòè ëàãîâèõ çì³ííèõ; xt −τ (τ = 3, 4, 5) — êàï³òàëüí³ âêëàäåííÿ â ïåð³îä t − τ .

7.2. Îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â äèñòðèáóòèâíî-ëàãîâèõ ìîäåëåé Äëÿ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â äèñòðèáóòèâíî-ëàãîâèõ ìîäåëåé çâè÷àéíî çàñòîñîâóþòü äâà ìîæëèâèõ ï³äõîäè: ïîñë³äîâíå îö³íþâàííÿ ³ àïð³îðíå îö³íþâàííÿ. ²äåÿ ïåðøîãî ï³äõîäó ïîëÿãຠâ òîìó, ùîá ïîñòóïîâî äîñë³äæóâàòè âïëèâ çàï³çíåíèõ çì³ííèõ íà çàëåæíó çì³ííó. Äðóãèé ï³äõ³ä áàçóºòüñÿ íà ïðèïóùåíí³, ùî ïàðàìåòðè ìîäåë³ ìàþòü ïåâíó çàêîíîì³ðí³ñòü, òîáòî ïîâ’ÿçàí³ ì³æ ñîáîþ äåÿêèìè ñï³ââ³äíîøåííÿìè. 121

Ïîñë³äîâíå îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â âèêîíóºòüñÿ òàê: ñïî÷àòêó áóäóþòü ðåãðåñ³þ çàëåæíî¿ òà íåçàëåæíî¿ çì³ííèõ â îäèí ³ òîé ñàìèé ìîìåíò ÷àñó, ïîò³ì äî ìîäåë³ äîäàþòü ùå îäíó çì³ííó — íåçàëåæíó çì³ííó â ïîïåðåäí³é ìîìåíò ÷àñó, òîáòî ðîçãëÿäàþòü çàëåæí³ñòü ïîêàçíèêà â³ä äâîõ çì³ííèõ. Äàë³ â ðåãðåñ³þ ââîäèòüñÿ ùå îäíà çì³ííà — ó ìîìåíò ÷àñó, çñóíóòèé íà äâà ïîïåðåäí³õ ïðîì³æêè, ³ ò. ä. Êîæíà ç ìîäåëåé äîñë³äæóºòüñÿ íà àäåêâàòí³ñòü ³ çíà÷óù³ñòü ¿¿ ïàðàìåòð³â. Ïðîöåäóðà çàê³í÷óºòüñÿ, êîëè ïàðàìåòðè ïðè ëàãîâèõ çì³ííèõ ïî÷èíàþòü áóòè ñòàòèñòè÷íî íåçíà÷óùèìè òà (àáî) êîåô³ö³ºíò õî÷à á îäí³º¿ çì³ííî¿ çì³íþº ñâ³é çíàê. Òàêèé ìåòîä õî÷ ³ ïîâíèé, îäíàê ìຠïåâí³ íåäîë³êè. Ïî-ïåðøå, òå, ùî íåâ³äîìîþ º ìàêñèìàëüíà òðèâàë³ñòü ëàãà, à öå íå äຠçìîãè ïåðåäáà÷èòè, ñê³ëüêè çì³ííèõ óâ³éäå â ìîäåëü. Ïî-äðóãå, ì³æ ïîñë³äîâíèìè çíà÷åííÿìè çì³ííèõ çäåá³ëüøîãî ñïîñòåð³ãàºòüñÿ âèñîêà êîðåëÿö³ÿ, ùî ïîðîäæóº ïðîáëåìó ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³ â ìîäåë³. Êð³ì òîãî, ÷åðåç çìåíøåííÿ ñòóïåí³â ñâîáîäè â òàêèõ ìîäåëÿõ îö³íêè ñòàþòü äåùî íåïåâíèìè, ùî òàêîæ çíèæóº ¿õ ÿê³ñòü. Íàÿâí³ñòü ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³ ì³æ ëàãîâèìè çì³ííèìè óñêëàäíþº ïîáóäîâó ìîäåë³. Ùîá óñóíóòè ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü, íà êîåô³ö³ºíòè ïðè ëàãîâèõ çì³ííèõ íàêëàäàþòü äîäàòêîâ³ îáìåæåííÿ (àïð³îðíå îö³íþâàííÿ), à ñàìå âèáèðàþòü ¿õ òàê, ùîá âïëèâ ëàãà íà äîñë³äæóâàíèé ïîêàçíèê áó⠓îäíîñïðÿìîâàíèé” (òîáòî êîåô³ö³ºíòè áóëè á îäíàêîâîãî çíàêà) ³ çìåíøóâàâñÿ ç êîæíèì íàñòóïíèì êðîêîì ó ìèíóëå. Òàê³ ïðèïóùåííÿ ðåàë³çóþòü, ÿê ïðàâèëî, ó ìîäåëÿõ, äå ïàðàìåòðè çì³íþþòüñÿ â ãåîìåòðè÷í³é ïðîãðåñ³¿. Êð³ì òîãî, íåñê³í÷åííà ñóìà ÷ëåí³â ñïàäíî¿ ãåîìåòðè÷íî¿ ïðîãðåñ³¿ º ñê³í÷åííîþ âåëè÷èíîþ, ùî äຠçìîãó óçàãàëüíèòè ìîäåëü ç ê³íöåâèì ëàãîì ³ çàñòîñîâóâàòè îäíàêîâ³ ìåòîäè îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â. Îäíàê ³ â öüîìó ðàç³ çàëèøàºòüñÿ âåëèêà ê³ëüê³ñòü îö³íþâàíèõ ïàðàìåòð³â. Óâåäåííÿ â ìîäåëü ëàãîâî¿ çàëåæíî¿ çì³ííî¿ yt −1 (çàòðèìêà íà îäèí ïåð³îä), â³äîìå ÿê ïåðåòâîðåííÿ Êîéêà, çíà÷íî ñïðîùóº ìîäåëü: yt = w(1 − λ) xt + λyt −1 + (ut − λut −1 ) ,

äå w =

∞

∑ aj j =1

(7.2)

(ñê³í÷åííå ÷èñëî), 0 ≤ λ ≤ 1 .

Òàêà ìîäåëü ì³ñòèòü íå ëèøå ïîòî÷í³, à é ïîïåðåäí³ çíà÷åííÿ çàëåæíî¿ çì³ííî¿, òîáòî º àâòîðåãðåñ³éíîþ. 122

Çàì³íà íåçàëåæíèõ ëàãîâèõ çì³ííèõ xt −1 , xt −2 , ... îäí³ºþ çàëåæíîþ çì³ííîþ yt −1 çìåíøóº ê³ëüê³ñòü îö³íþâàíèõ ïàðàìåòð³â ³ óñóâຠïðîáëåìó ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³, îäíàê ïðèçâîäèòü äî íîâèõ òðóäíîù³â. Íàÿâí³ñòü ó ìîäåë³ ëàãîâî¿ çàëåæíî¿ çì³ííî¿ ïîòðåáóº ïåðåâ³ðêè ïåðåäóìîâè ïðî íåçàëåæí³ñòü çì³ííèõ ³ çàëèøê³â ïðè çàñòîñóâàíí³ çâè÷àéíîãî ÌÍÊ. Êð³ì òîãî, çàëèøêè ìîäåë³ vt = ut + λut −1 ÷àñòî âèÿâëÿþòüñÿ ñåð³éíî êîðåëüîâàíèìè, à òîìó ïðè äîñë³äæåíí³ ¿õ íà àâòîêîðåëÿö³þ íåîáõ³äíî âèêîðèñòàòè ñïåö³àëüí³ òåñòè. Îòðèìàíà àëãåáðà¿÷íèì ñïîñîáîì ìîäåëü Êîéêà ïîçáàâëåíà òåîðåòè÷íîãî îáãðóíòóâàííÿ ³ ôàêòè÷íî º ïîñë³äîâíîþ ìîäåëëþ. Ç ïåâíèõ åêîíîì³÷íèõ ì³ðêóâàíü ìîæíà îòðèìàòè ìîäåë³, ùî çîâí³ íàãàäóþòü ìîäåëü Êîéêà, àëå ç ³íøîþ ³íòåðïðåòàö³ºþ êîåô³ö³ºíò³â ëàãîâèõ çì³ííèõ. Òàêèìè ìîäåëÿìè º ìîäåëü àäàïòèâíèõ ñïîä³âàíü yt = α(1 − λ) + β(1 − λ) xt + λyt −1 + ut (1 − λut −1 )

(7.3)

òà ìîäåëü ÷àñòêîâîãî êîðèãóâàííÿ yt = αγ + βγxt + (1 − γ) yt −1 + ut ,

0 ≤ γ ≤ 1.

(7.4)

Ö³ ìîäåë³ â³äð³çíÿþòüñÿ â³ä ìîäåë³ Êîéêà íàÿâí³ñòþ â³ëüíîãî ÷ëåíà, àëå ïðè öüîìó ðåàë³çóþòü ð³çí³ ³äå¿ ùîäî åêîíîì³÷íî¿ ä³ÿëüíîñò³. Ó ïåðø³é ìîäåë³ â³äîáðàæåíî äóìêó ïðî òå, ùî ëþäè íàâ÷àþòüñÿ ç ïîïåðåäíüîãî äîñâ³äó, ïðè÷îìó íåùîäàâí³é äîñâ³ä ìຠá³ëüøèé âïëèâ, àí³æ ïîïåðåäí³é; äðóãà áàçóºòüñÿ íà òîìó, ùî ÷åðåç ³íåðòí³ñòü åêîíîì³÷íî¿ ñèñòåìè çì³íà îäíîãî åêîíîì³÷íîãî ïîêàçíèêà íå îäðàçó âïëèâຠíà çì³íó ³íøîãî ³ â³äïîâ³äíèé ð³âåíü çàëåæíî¿ çì³ííî¿ äîñÿãàºòüñÿ ÷åðåç ïåâíèé ÷àñ.

7.3. Îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â àâòîðåãðåñ³éíèõ ìîäåëåé Òðè àâòîðåãðåñ³éíèõ ìîäåë³ — Êîéêà (7.2), àäàïòèâíèõ ñïîä³âàíü (7.3) ³ ÷àñòêîâîãî êîðèãóâàííÿ (7.4) — ìîæíà ïîäàòè â çàãàëüí³é ôîðì³: yt = a0 + a1 xt + a2 yt −1 + vt .

(7.5)

Íàÿâí³ñòü ëàãîâèõ çàëåæíèõ çì³ííèõ ó äèíàì³÷íèõ ìîäåëÿõ ñòâîðþº ïåâí³ ïðîáëåìè ïðè îö³íþâàíí³ ïàðàìåòð³â: ñåðåä ïîÿñíþþ÷èõ 123

çì³ííèõ º ñòîõàñòè÷í³ (çàëåæí³ ëàãîâ³ çì³íí³), à òàêîæ ³ñíóº ïðîáëåìà ñåð³éíî¿ êîðåëÿö³¿ çàëèøê³â ìîäåë³ òà ëàãîâèõ çì³ííèõ. Çàëåæíî â³ä ã³ïîòåç ùîäî çàëèøê³â òàêèõ ìîäåëåé âèêîðèñòîâóþòü â³äïîâ³äí³ ìåòîäè îö³íþâàííÿ. óïîòåçà 1. Çàëèøêè º íîðìàëüíî ðîçïîä³ëåíèìè âèïàäêîâèìè âåëè÷èíàìè ç íóëüîâèì ìàòåìàòè÷íèì ñïîä³âàííÿì òà ñòàëîþ äèñïåðñ³ºþ. óïîòåçà 2. Çàëèøêè îïèñóþòüñÿ àâòîðåãðåñ³éíîþ ñõåìîþ ïåðøîãî ïîðÿäêó: vt = ut − λut −1 ,

0 ≤ λ ≤ 1.

óïîòåçà 3. Çàëèøêè àâòîêîðåëüîâàí³ òà îïèñóþòüñÿ àâòîðåãðåñ³éíîþ ñõåìîþ ïåðøîãî ïîðÿäêó: vt = ut + λut −1 ,

êð³ì òîãî, vt = ρvt −1 + ε t . Ïåðøà ã³ïîòåçà âèêîíóºòüñÿ ëèøå äëÿ ìîäåë³ ÷àñòêîâîãî êîðèãóâàííÿ (7.4); ñàìå äëÿ íå¿ ìîæëèâå çàñòîñóâàííÿ çâè÷àéíîãî ÌÍÊ. Îäíàê çàëåæí³ñòü çàëèøê³â â³ä ëàãîâî¿ çì³ííî¿ yt −1 ó ö³é ìîäåë³ ïðèçâîäèòü äî çì³ùåííÿ îö³íîê ïàðàìåòð³â. Òà õî÷à îö³íêè ïàðàìåòð³â áóäóòü çàâèùåíèìè, âîíè ìàòèìóòü íàéìåíøó ñåðåäíüîêâàäðàòè÷íó ïîõèáêó. ² ï³ñëÿ âèçíà÷åííÿ âåëè÷èíè çì³ùåííÿ ÌÍÊ-îö³íêè áóäóòü íàéïðèéíÿòí³øèìè. ßêùî çàëèøêè ìîäåë³ âèçíà÷àþòüñÿ ÷åðåç àâòîêîðåëüîâàí³ âèïàäêîâ³ âåëè÷èíè, òî ÌÍÊ-îö³íêè ïàðàìåòð³â ìîäåë³ òàêîæ ìàòèìóòü çì³ùåííÿ, äî òîãî æ çì³ùåííÿ ìàòèìå òàêîæ êðèòåð³é Äàðá³íà — Óîòñîíà. Òîìó äëÿ ïåðåâ³ðêè àâòîêîðåëÿö³¿ çàëèøê³â çàñòîñîâóþòü óçàãàëüíåíèé êðèòåð³é Äàðá³íà — Óîòñîíà. Îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â òàêèõ ìîäåëåé âèêîíóþòü óçàãàëüíåíèì ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â (ìåòîäîì Åéòêåíà), â îïåðàòîð³ îö³íþâàííÿ ÿêîãî

aˆ = ( X TV −1X )−1 X TV −1Y êîðèãóþ÷à ìàòðèöÿ ìຠâèãëÿä

124

1 + λ2 −λ 0  2  −λ −λ 1+ λ 2 V = σu  0 −λ 1 + λ2  L L L   0 0 0 

K K K L K

  0   0 . L   1 + λ2  0

ßêùî ëàãîâó ìîäåëü ìîæíà ïîäàòè ó âèãëÿä³ yt − λyt −1 = a0 + a1 xt + vt ,

òî äî ïåðåòâîðåíèõ ó òàêèé ñïîñ³á äàíèõ çàëåæíî¿ çì³ííî¿ çàñòîñîâóþòü çâè÷àéíèé ÌÍÊ. Ïðè÷îìó ïàðàìåòð λ âèáèðàþòü ç ³íòåðâàëó 0 ≤ λ ≤ 1 òàê, ùîá ì³í³ì³çóâàòè ñóìó êâàäðàò³â çàëèøê³â uV −1u . ßêùî â³äíîñíî çàëèøê³â ìîäåë³ ïðèéìàºòüñÿ òðåòÿ ã³ïîòåçà, òî ïàðàìåòðè îö³íþþòü çà äîïîìîãîþ òàêèõ ìåòîä³â: 1) êëàñè÷íîãî ÌÍÊ ï³ñëÿ ïîïåðåäíüîãî ïåðåòâîðåííÿ âõ³äíèõ äàíèõ; 2) ìåòîäó Åéòêåíà (óçàãàëüíåíîãî ÌÍÊ); 3) ³òåðàö³éíîãî ìåòîäó; 4) ìåòîäó ³íñòðóìåíòàëüíèõ çì³ííèõ; 5) àëãîðèòìó Óîëë³ñà. Êîíòðîëüí³ çàïèòàííÿ 1. Ùî â åêîíîì³ö³ íàçèâàºòüñÿ ëàãîì? 2. Ùî º ïðè÷èíîþ ëàãà? 3. ßê³ ðåãðåñ³éí³ ìîäåë³ íàçèâàþòü àâòîðåãðåñ³éíèìè òà äèñòðèáóòèâíî-ëàãîâèìè? 4. ßêîþ º ïðèðîäà àâòîðåãðåñ³éíèõ ìîäåëåé? 5. ßê³ ïðîáëåìè âèíèêàþòü ïðè îö³íþâàíí³ ïàðàìåòð³â äèñòðèáóòèâíî-ëàãîâèõ ³ àâòîðåãðåñ³éíèõ ìîäåëåé? 6. ßê³ ã³ïîòåçè âèñóâàþòüñÿ ùîäî çàëèøê³â ëàãîâèõ ìîäåëåé? 7. ßêèìè ìåòîäàìè îö³íþþòüñÿ ïàðàìåòðè äèñòðèáóòèâíî-ëàãîâèõ ³ àâòîðåãðåñ³éíèõ ìîäåëåé?

125

Ðîçä³ë 8. ÑÈÑÒÅÌÈ ÎÄÍÎ×ÀÑÍÈÕ Ð²ÂÍßÍÜ 8.1. Ïîíÿòòÿ ïðî ñèñòåìè îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü Áàãàòî åêîíîì³÷íèõ âçàºìîçâ’ÿçê³â äîïóñêàþòü ìîäåëþâàííÿ îäíèì ð³âíÿííÿì. Îäíàê äåÿê³ åêîíîì³÷í³ ïðîöåñè ìîäåëþþòüñÿ íå îäíèì, à ê³ëüêîìà ð³âíÿííÿìè. Ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ åêîíîì³÷íèìè ïîêàçíèêàìè ìîæóòü ìàòè ñòîõàñòè÷íèé ³ äåòåðì³íîâàíèé õàðàêòåð. Ñòîõàñòè÷í³ çâ’ÿçêè ì³æ çì³ííèìè îïèñóþòüñÿ ðåãðåñ³éíèìè ð³âíÿííÿìè, à äåòåðì³íîâàí³ âèçíà÷àþòüñÿ òîòîæíîñòÿìè é íå ì³ñòÿòü íåâ³äîìèõ ïàðàìåòð³â. Ó ñèñòåìàõ ð³âíÿíü ÷åðåç íàÿâí³ñòü ïðÿìèõ ³ çâîðîòíèõ çâ’ÿçê³â çàëåæíà çì³ííà îäíîãî ð³âíÿííÿ ìîæå áóòè íåçàëåæíîþ çì³ííîþ â ³íøèõ ð³âíÿííÿõ . Çì³íí³, ùî ñòîÿòü ó ë³â³é ÷àñòèí³ ð³âíÿíü, íàçèâàþòüñÿ åíäîãåííèìè, ïðè÷îìó ¿õ ê³ëüê³ñòü íå ïåðåâèùóº çàãàëüíî¿ ê³ëüêîñò³ âñ³õ ð³âíÿíü. ²íø³ çì³íí³, ùî âõîäÿòü äî ìîäåë³, íàçèâàþòüñÿ åêçîãåííèìè. Íàïðèêëàä, ïîâíà êåéíñ³àíñüêà ìîäåëü äîõîäó ñêëàäàºòüñÿ ç äâîõ ñï³ââ³äíîøåíü: Ct = a0 + a1Yt + ut ,

(8.1)

Yt = Ct + Z t ,

(8.2)

äå Ct — âèòðàòè íà ñïîæèâàííÿ; Yt — äîõ³ä; a0 , a1 — íåâ³äîì³ ïàðàìåòðè; ut — çàëèøêè ìîäåë³; Z t — íåñïîæèâ÷³ âèòðàòè (³íâåñòèö³¿). Ïåðøå ñï³ââ³äíîøåííÿ — öå ðåãðåñ³éíà ôóíêö³ÿ ñïîæèâàííÿ, à äðóãå – òîòîæí³ñòü äîõîäó. Âåëè÷èíà äîõîäó Yt äëÿ ïåðøîãî ð³âíÿííÿ º íåçàëåæíîþ çì³ííîþ, äëÿ äðóãîãî — çàëåæíîþ, à âåëè÷èíà Ct — 126

íàâïàêè: ó ïåðøîìó ð³âíÿíí³ âîíà º çàëåæíîþ çì³ííîþ, ó äðóãîìó — íåçàëåæíîþ. Äëÿ ñèñòåìè çàãàëîì çì³íí³ Yt ³ Ct º åíäîãåííèìè, à çì³ííà Z t — åêçîãåííîþ. Îçíà÷åííÿ 8.1. Äëÿ ñèñòåì îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü óñ³ çì³íí³, ùî ìîæóòü áóòè âèçíà÷åí³ ³ç ñèñòåìè ð³âíÿíü, íàçèâàþòüñÿ åíäîãåííèìè, ïðè÷îìó ¿õ ê³ëüê³ñòü íå ïåðåâèùóº çàãàëüíî¿ ê³ëüêîñò³ ð³âíÿíü. Îçíà÷åííÿ 8.2. Äëÿ ñèñòåì îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü óñ³ çì³íí³, ÿê³ çàäàþòüñÿ çà ìåæàìè ìîäåë³ àáî º çàçäàëåã³äü â³äîìèìè, íàçèâàþòüñÿ â³äïîâ³äíî åêçîãåííèìè àáî ïðåäåòåðì³íîâàíèìè. Ó ðîçãëÿíóò³é êåéíñ³àíñüê³é ìîäåë³ äîõîäó âåëè÷èíè Ct ³ Yt º åíäîãåííèìè çì³ííèìè, ùî âèçíà÷àþòüñÿ âñåðåäèí³ ìîäåë³. Çì³ííà Z t çàäàºòüñÿ (âèçíà÷àºòüñÿ) ïîçà ìîäåëëþ, îòæå, âîíà º åêçîãåííîþ. ²ç ïåðøîãî ñï³ââ³äíîøåííÿ ö³º¿ ìîäåë³ âèäíî, ùî çì³ííà Ct çàëåæèòü â³ä äîõîäó Yt ³ â³ä çàëèøê³â ut , à ç äðóãîãî ñï³ââ³äíîøåííÿ î÷åâèäíà çàëåæí³ñòü äîõîäó Yt â³ä ñïîæèâ÷èõ Ct ³ íåñïîæèâ÷èõ âèòðàò Z t . Íåâàæêî ïîì³òèòè, ùî îáèäâ³ çì³íí³ Ct ³ Yt ìîæóòü áóòè âèðàæåí³ ÷åðåç Z t ³ çàëèøêè ut .

8.2. Ïðèêëàäè ñèñòåì îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü 1. Ìîäåëü “ïîïèò — ïðîïîçèö³ÿ”. Îäíà ç íàéïðîñò³øèõ ñèñòåì îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü, ùî âèêîðèñòîâóºòüñÿ ïðè ìîäåëþâàíí³ ïîïèòó òà ïðîïîçèö³¿ â ðèíêîâ³é åêîíîì³ö³, ìຠâèãëÿä qtD = α 0 + α1 pt + ut 1 , α1 < 0,  S Ôóíêö³ÿ ïðîïîçèö³¿ qt = β0 + β1 pt + ut 2 , β1 < 0,  D S Ôóíêö³ÿ ð³âíîâàãè qt = qt . D S Ïðèïóñêàºòüñÿ, ùî îáñÿã ïîïèòó q ³ îáñÿã ïðîïîçèö³¿ q ïåâíîãî òîâàðó â ìîìåíò ÷àñó t º ë³í³éíèìè ðåãðåñ³éíèìè ôóíêö³ÿìè â³ä ö³íè öüîãî òîâàðó pt ó öåé ñàìèé ìîìåíò ÷àñó. Îñòàííº ñï³ââ³äíîøåííÿ â ö³é ìîäåë³ — ôóíêö³ÿ ð³âíîâàãè — º òîòîæí³ñòþ. Íàÿâí³ñòü âèïàäêîâèõ â³äõèëåíü ut1 ³ ut2 ó äàí³é ìîäåë³ ïîâ’ÿçàíà ïåðåäóñ³ì ç â³äñóòí³ñòþ ðÿäó âàæëèâèõ ïîÿñíþþ÷èõ çì³ííèõ (ïðèáóòêó ñïîæèâà÷³â, ö³í íà ñóïóòí³ òîâàðè, ö³í íà ðåñóðñè, ïîäàòê³â òîùî).

Ôóíêö³ÿ ïîïèòó

127

Çì³íà îäíîãî ç öèõ ôàêòîð³â ìîæå â³äáèòèñÿ íà ìîäåë³. Íàïðèêëàä, çðîñòàííÿ ïðèáóòêó ñïîæèâà÷³â ìîæå çñóíóòè ë³í³þ ïîïèòó âãîðó (ðèñ. 8.1). Öå ïðèçâåäå äî çì³íè ð³âíîâàæíî¿ ö³íè òà ð³âíîâàæíî¿ ê³ëüêîñò³.

Ðèñ. 8.1

Ìîäåëü “ïîïèò — ïðîïîçèö³ÿ” ìîæíà âäîñêîíàëèòè. Íàïðèêëàä, ÿêùî äî ôóíêö³¿ ïîïèòó äîäàòè ïðèáóòîê ñïîæèâà÷³â yt , ä³ñòàíåìî ñèñòåìó Ôóíêö³ÿ ïîïèòó Ôóíêö³ÿ ïðîïîçèö³¿ Ôóíêö³ÿ ð³âíîâàãè

qtD = α 0 + α1 pt + α2 yt + ut 1 , α < 0,  S qt = β0 + β1 pt + ut 2 , β1 < 0, q D = q S. t  t

2. Ìîäåëü ð³âíîâàãè íà ðèíêó òîâàð³â (ìîäåëü IS). Îäí³ºþ ç ìîæëèâèõ íåñòîõàñòè÷íèõ ôîðì ìîäåë³ IS (ð³âíîâàãè íà ðèíêó òîâàð³â) º òàêà ìîäåëü: Ôóíêö³ÿ ñïîæèâàííÿ Ôóíêö³ÿ ïîäàòê³â Ôóíêö³ÿ ³íâåñòèö³é Âèçíà÷åííÿ Äåðæàâí³ âèòðàòè Ìàêðîåêîíîì³÷íà òîòîæí³ñòü 128

ct = β0 + β1 yt , τ = α + α y , 0 1 t  t it = γ 0 + γ1rt ,   y (d )t = yt + τt , g = g,  t  yt = ct + it + gt ,

(8.3) (8.4) (8.5) (8.6) (8.7) (8.8)

äå ct , yt , τt , it, g t , rt , y ( d )t — â³äïîâ³äíî çíà÷åííÿ â ìîìåíò ÷àñó t ñïî-

æèâàííÿ (ct ), íàö³îíàëüíîãî äîõîäó ( yt ), îáñÿãó ïîäàòê³â ( τt ), áàæàíîãî îáñÿãó ÷èñòèõ ³íâåñòèö³é ( it ), ïðîöåíòíî¿ ñòàâêè ( rt ), ðîçì³ùåíîãî ïðèáóòêó ( y(d )t ), äåðæàâíèõ âèòðàò ( gt ) , ó äàíîìó ðàç³ gt = gt = const. Ùîá îòðèìàòè â ÿâíîìó âèãëÿä³ ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ ïðîöåíòíîþ ñòàâêîþ é ð³âíåì ïðèáóòêó, ïðè ÿêîìó ðèíîê òîâàð³â ïåðåáóâຠó ñòàí³ ð³âíîâàãè, íåîáõ³äíî ó (8.3) ï³äñòàâèòè (8.4) ³ (8.6). ϳäñòàâèâøè îòðèìàíå ñï³ââ³äíîøåííÿ, à òàêîæ (8.5) ³ (8.7) ó (8.8), ä³ñòàíåìî yt = π0 + π1rt ,

äå π0 =

β0 + α 0β1 + γ 0 + g ; 1 − β1 (1 − α1 )

π1 =

(8.9)

1 . 1 − β1 (1 − α1 )

3. Ìîäåëü ð³âíîâàãè íà ðèíêó ãðîøåé (ìîäåëü LM). гâíîâàãà íà ðèíêó ãðîøåé çàäàºòüñÿ òàêèì ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ ïðîöåíòíîþ ñòàâêîþ òà ð³âíåì äîõîäó, ïðè ÿêîìó ïîïèò íà ãðîø³ äîð³âíþº ¿õ ïðîïîçèö³¿. Íàâåäåìî îäíó ³ç íåñòîõàñòè÷íèõ ôîðì òàêî¿ ìîäåë³: Ôóíêö³ÿ ïîïèòó íà ãðîø³ Ôóíêö³ÿ ïðîïîçèö³¿ ãðîøåé Óìîâà ð³âíîâàãè

 M tD = a + byt − crt ,  S  M t = M,  D S  M t = M t .

(8.10) (8.11) (8.12)

Ñï³ââ³äíîøåííÿ (8.10) ìîæíà çàïèñàòè ó âèãëÿä³ yt = λ0 + λ1 M + λ2 rt ,

äå λ0 = −a / b,

λ1 = 1 / b,

(8.13)

λ2 = c / b.

Ñï³ââ³äíîøåííÿ (8.11) â³äîìå ÿê ð³âíÿííÿ LM. Ñï³ëüíó ìîäåëü IS–LM çîáðàæåíî íà ðèñ. 8.2.

129

Ðèñ. 8.2

Òî÷êà ïåðåòèíó ë³í³é IS ³ LM âèçíà÷ຠñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ ïðîöåíòíîþ ñòàâêîþ é ð³âíåì äîõîäó, ïðè ÿêîìó îáèäâà ðèíêè ïåðåáóâàþòü ó ñòàí³ ð³âíîâàãè. Öÿ òî÷êà âèçíà÷àºòüñÿ ÿê ðîçâ’ÿçîê ñèñòåìè ð³âíÿíü (8.1)–(8.6) ³ (8.8)–(8.10).

8.3. Ñòðóêòóðíà òà çâåäåíà (ïðîãíîçíà) ôîðìè ñèñòåìè ð³âíÿíü 1. Ñòðóêòóðíà ôîðìà åêîíîìåòðè÷íî¿ ìîäåë³. Ñòðóêòóðíà ôîðìà åêîíîìåòðè÷íî¿ ìîäåë³ îïèñóº îäíî- òà áàãàòîñòîðîíí³ ñòîõàñòè÷í³ ïðè÷èíí³ ñï³ââ³äíîøåííÿ ì³æ åêîíîì³÷íèìè âåëè÷èíàìè â ¿õ áåçïîñåðåäíüîìó âèãëÿä³. Âîíà ì³ñòèòü óñþ ñóòòºâó ³íôîðìàö³þ ïðî çàëåæíîñò³ ì³æ åêîíîì³÷íèìè ÿâèùàìè òà ïðîöåñàìè. Êîæíå ñï³ââ³äíîøåííÿ òàêî¿ ñèñòåìè (ð³âíÿííÿ ÷è òîòîæí³ñòü) ìຠïåâíó åêîíîì³÷íó ³íòåðïðåòàö³þ. Ñòðóêòóðí³ ð³âíÿííÿ ñèñòåìè îïèñóþòü îêðåìî åêîíîì³÷í³ ÿâèùà ç óðàõóâàííÿì åêîíîì³÷íèõ, òåõíîëîã³÷íèõ, äåìîãðàô³÷íèõ, ñîö³îëîã³÷íèõ òà ³íøèõ ôàêòîð³â, ùî ñïðè÷èíþþòü çì³íþâàííÿ çàëåæíèõ çì³ííèõ. Õàðàêòåðíîþ îñîáëèâ³ñòþ ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü º ¿õ ïåâíà àâòîíîìí³ñòü ùîäî âèçíà÷åíèõ çì³ííèõ, îñê³ëüêè çì³íà îñòàíí³õ â îäíîìó ñòðóêòóðíîìó ð³âíÿíí³ íå îáîâ’ÿçêîâî çóìîâëþº çì³íó çàëåæíèõ çì³ííèõ â ³íøèõ ð³âíÿííÿõ. Äëÿ àäåêâàòíîãî â³äîáðàæåííÿ ðåàëüíî¿ ä³éñíîñò³ òà ïîâíîãî îõîïëåííÿ åêîíîì³÷íèõ ïîêàçíèê³â îäíî÷àñíèìè ñï³ââ³äíîøåííÿìè â ñèñòåìàõ çàñòîñîâóþòü òàêîæ òîòîæíîñò³ — äåòåðì³íîâàí³ çàëåæíîñò³ åêîíîì³÷íèõ âåëè÷èí. Òîòîæíîñò³ íå ì³ñòÿòü âèïàäêîâèõ ñêëàäîâèõ, à ïàðàìåòðè ¿õ çàçäàëåã³äü â³äîì³ (íàé÷àñò³øå âîíè äîð³âíþþòü îäèíèö³), òîìó âîíè íå ï³äëÿãàþòü îö³íþâàííþ. Îòæå, ñïðàâåäëèâèì áóäå òàêå îçíà÷åííÿ. 130

Îçíà÷åííÿ 8.3. Åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü, ùî â³äîáðàæຠñòðóêòóðó çâ’ÿçê³â ì³æ çì³ííèìè, íàçèâàºòüñÿ ñòðóêòóðíîþ ôîðìîþ ìîäåë³. Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó ñòðóêòóðíà ôîðìà ìîäåë³ ìຠâèãëÿä Ayt = Bxt + ut ,

(8.14)

äå yt — âåêòîð çàëåæíèõ (åíäîãåííèõ ) çì³ííèõ; xt — âåêòîð íåçàëåæíèõ (åêçîãåííèõ ) çì³ííèõ; ut — âåêòîð çàëèøê³â, t = 1, 2, ..., T. 2. Ïîâíà åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü. Åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü íàçèâàºòüñÿ ïîâíîþ, ÿêùî: à) âîíà îõîïëþº çì³íí³, ùî ñóòòºâî âïëèâàþòü íà ñï³ëüíî çàëåæí³ çì³íí³, à âåêòîð çàëèøê³â ìຠâèïàäêîâèé õàðàêòåð; á) ì³ñòèòü ñò³ëüêè ð³âíÿíü, ñê³ëüêè â í³é º ñï³ëüíî çàëåæíèõ çì³ííèõ, òîáòî êîæíà çàëåæíà çì³ííà ïîÿñíþºòüñÿ îêðåìèì ð³âíÿííÿì; â) ñèñòåìà ð³âíÿíü ìຠîäíîçíà÷íèé ðîçâ’ÿçîê â³äíîñíî ñï³ëüíî çàëåæíèõ çì³ííèõ, òîáòî ìàòðèöÿ A â ìîäåë³ (8.14) íåâèðîäæåíà (ìຠâ³äì³ííèé â³ä íóëÿ âèçíà÷íèê): det A ≠ 0.

Ïîâíà ìîäåëü çàñòîñîâóºòüñÿ ó âèïàäêàõ, êîëè íåîáõ³äíî ê³ëüê³ñíî îïèñàòè åêîíîì³÷íå ÿâèùå ÷è ïðîöåñ àáî ñïðîãíîçóâàòè ¿õ ðîçâèòîê. 3. Çâåäåíà ôîðìà åêîíîìåòðè÷íî¿ ìîäåë³. ßêùî åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü çàñòîñîâóºòüñÿ íå äëÿ àíàë³çó ñèñòåìè, à äëÿ ïåðåäáà÷åííÿ ÷è îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â, ñòðóêòóðíà ôîðìà ìîäåë³ íåïðèéíÿòíà. Àëãåáðà¿÷íèìè ïåðåòâîðåííÿìè ñèñòåìó ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü çâîäÿòü äî ôîðìè, ó ÿê³é êîæíå ð³âíÿííÿ ì³ñòèòü ëèøå îäíó åíäîãåííó çì³ííó, ÿêà º ôóíêö³ºþ â³ä åêçîãåííèõ çì³ííèõ. Òàêà ôîðìà ð³âíÿíü íàçèâàºòüñÿ çâåäåíîþ. Çâåäåíó ôîðìó ð³âíÿíü ìîæíà íàçâàòè ñêîðî÷åíîþ. Öå ïîâ’ÿçàíî ç òèì, ùî ïðè ïåâíèõ ïåðåòâîðåííÿõ áàãàòî îêðåìèõ åêîíîì³÷íèõ çàëåæíîñòåé ìîæóòü áóòè âèêëþ÷åí³ ç ðîçãëÿäó, à îòæå, çàãàëüíà ê³ëüê³ñòü ð³âíÿíü ìîæå ñêîðîòèòèñÿ. Âíàñë³äîê òàêèõ ïåðåòâîðåíü çâåäåíà ôîðìà ð³âíÿíü, íà â³äì³íó â³ä ñòðóêòóðíî¿, íå ìàº í³ áåçïîñåðåäíüî¿, í³ áóäü-ÿêî¿ åêîíîì³÷íî¿ ³íòåðïðåòàö³¿. гâíÿííÿ ó çâåäåí³é ôîðì³ äàþòü çìîãó ïåðåäáà÷èòè, ÿê çì³íèòüñÿ çíà÷åííÿ åíäîãåííî¿ çì³ííî¿, ÿêùî çì³íþâàòèìóòüñÿ çíà÷åííÿ åêçîãåííèõ çì³ííèõ, îäíàê íà ï³äñòàâ³ öèõ ð³âíÿíü íåìîæëèâî ïîÿñíèòè, ÿê ³ ÷îìó öå â³äáóâàºòüñÿ. Ñàìå ÷åðåç öå çâåäåíó ôîðìó ð³âíÿíü íàçèâàþòü òàêîæ ïðîãíîçíîþ. 131

Îòæå, êîëè âèíèêຠïèòàííÿ ïðî êîíñóëüòàö³¿ ÷è ïðàêòè÷í³ ïîðàäè, ñèñòåìè ð³âíÿíü ó çâåäåí³é ôîðì³ îñîáëèâî êîðèñí³, îñê³ëüêè äàþòü çìîãó ôîðìàëüíó ìîäåëü çâåñòè äî ì³í³ìàëüíî¿ ê³ëüêîñò³ ñï³ââ³äíîøåíü. Çâè÷àéíî, çâåäåíà ìîäåëü ìàòèìå ö³íí³ñòü, ÿêùî ïðàâèëüíîþ º ïî÷àòêîâà ñòðóêòóðíà ìîäåëü. Çîêðåìà, ÿêùî åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü ïîâíà, òî ¿¿ çàëåæí³ çì³íí³ ìîæíà ïðåäñòàâèòè â ÿâíîìó âèãëÿä³ ÿê ôóíêö³¿ â³ä ñï³ëüíî íåçàëåæíèõ çì³ííèõ, ðîçâ’ÿçàâøè ¿¿ â³äíîñíî âåêòîðà çàëåæíèõ çì³ííèõ yt . Öå ìîæëèâî, îñê³ëüêè çà îçíà÷åííÿì ìàòðèöÿ A òàêî¿ ìîäåë³ º íå âèðîäæåíîþ; ï³ñëÿ ìíîæåííÿ ñèñòåìè (8.14) íà ¿¿ îáåðíåíó ìàòðèöþ îòðèìàºìî (8.15) yt = A−1Bxt + A−1ut . Ïðè òàêèõ ïåðåòâîðåííÿõ ïàðàìåòðè çâåäåíî¿ ôîðìè ñòàþòü ôóíêö³ÿìè â³ä ïàðàìåòð³â âèõ³äíèõ ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü ³ çàëèøêè òàêî¿ ìîäåë³, î÷åâèäíî, º ë³í³éíîþ êîìá³íàö³ºþ çàëèøê³â ñòðóêòóðíî¿ ìîäåë³. Óâ³âøè ïîçíà÷åííÿ vt = A−1ut , R = A−1B , îòðèìàºìî ñïðîùåíèé âèãëÿä ìîäåë³: yt = Rxt + vt . (8.16) Ó òàê³é ñèñòåì³ êîæíà çàëåæíà çì³ííà âèçíà÷àºòüñÿ ÷åðåç íåçàëåæí³ çì³íí³ ìîäåë³, òîáòî ñèñòåìà (8.16) º çâåäåíîþ ôîðìîþ åêîíîìåòðè÷íî¿ ìîäåë³.

8.4. Ïîíÿòòÿ ³äåíòèô³êàö³¿ (îòîòîæíåííÿ) ñèñòåìè ð³âíÿíü Ìàþ÷è äâ³ ôîðìè ñèñòåìè îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü, íåîáõ³äíî âèçíà÷èòè, ÿêà ç íèõ êðàùå ï³äõîäèòü äëÿ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ìîäåë³. Ïåðåäóñ³ì íåîáõ³äíî äîñë³äèòè ìîæëèâîñò³ çàñòîñóâàííÿ çâè÷àéíîãî ÌÍÊ äî îêðåìèõ ð³âíÿíü ñèñòåìè. ßê çàçíà÷àëîñÿ (òåìà 3), äëÿ îòðèìàííÿ íåçì³ùåíèõ ³ îáãðóíòîâàíèõ îö³íîê ïàðàìåòð³â ðåãðåñ³éíîãî ð³âíÿííÿ çà çâè÷àéíèì ÌÍÊ íåîáõ³äíî âèêîíàòè ðÿä ïåðåäóìîâ: çàëèøêè ìîäåë³ ìàþòü áóòè âèïàäêîâèìè âåëè÷èíàìè ç íóëüîâèì ìàòåìàòè÷íèì ñïîä³âàííÿì, ç³ ñòàëèìè äèñïåðñ³ÿìè, íåêîðåëüîâàíèìè ì³æ ñîáîþ òà íåçàëåæíèìè â³äíîñíî åíäîãåííèõ çì³ííèõ ìîäåë³. ǒÿñóºìî, ÿê âèêîíóþòüñÿ ö³ ïåðåäóìîâè äëÿ êåéíñ³àíñüêî¿ ìîäåë³ (8.1)–(8.2). 132

Íåõàé çàëèøêè ìîäåë³ ut º âèïàäêîâèìè, ç íóëüîâèì ìàòåìàòè÷íèì ñïîä³âàííÿì, íåêîðåëüîâàí³ ì³æ ñîáîþ, ìàþòü îäíàêîâ³ äèñïåðñ³¿ äëÿ âñ³õ ñïîñòåðåæåíü, òîáòî çàäîâîëüíÿþòü ïåðø³ äâ³ ïåðåäóìîâè çàñòîñóâàííÿ ÌÍÊ. Ïåðåâ³ðèìî ïåðåäóìîâó â³äíîñíî íåçàëåæíîñò³ åíäîãåííèõ çì³ííèõ ³ çàëèøê³â ìîäåë³, òîáòî ïåðåêîíàºìîñÿ, ùî cov(Yt , ut ) = 0 äëÿ áóäü-ÿêèõ â³äõèëåíü. ϳäñòàâèâøè çíà÷åííÿ Ct ç ïåðøîãî ð³âíÿííÿ (8.1) ìîäåë³ â äðóãå (8.2), îòðèìàºìî ñï³ââ³äíîøåííÿ Yt = a0 + a1Yt + Z t + ut ,

ðîçâ’ÿçàâøè ÿêå â³äíîñíî Yt , ìàòèìåìî Yt =

a0 ut 1 . + Zt + 1 − a1 1 − a1 1 − a1

(8.17)

1 â îñòàííüîìó ñï³ââ³äíîøåíí³ 1 − a1 º ãðîøîâèì ìóëüòèïë³êàòîðîì, ùî âèçíà÷àº, íà ÿêó âåëè÷èíó çðîñòຠñóêóïíèé ïðèáóòîê ç³ çá³ëüøåííÿì îáñÿãó ³íâåñòèö³é íà îäèíèöþ. 1 Íàÿâí³ñòü êîåô³ö³ºíòà ïðè ut ñâ³ä÷èòü ïðî çàëåæí³ñòü ì³æ 1 − a1 çì³ííîþ Yt ³ çàëèøêàìè ìîäåë³. ijéñíî, ç (8.17) ìàºìî

Çàçíà÷èìî, ùî êîåô³ö³ºíò

M (Yt ) =

a0 1 + Zt . 1 − a1 1 − a1

(8.18)

 îñòàííüîìó ñï³ââ³äíîøåíí³ âðàõîâàíî òå, ùî M (ut ) = 0, à òàêîæ òå, ùî çì³ííà Z t º åêçîãåííîþ (íåçàëåæíîþ) äëÿ äàíî¿ ìîäåë³. Òîä³ ð³çíèöÿ ì³æ (8.17) ³ (8.18) ñòàíîâèòü Yt − M (Yt ) =

Îòæå,

ut . 1 − a1

cov(Yt , ut ) = M ((Yt − M (Yt ))(ut − M (ut ))) =  u  σ2 1 = M  t ut  = > 0. M ut2 = 1 − a1  1 − a1  1 − a1

( )

133

Òóò ìè ñêîðèñòàëèñÿ òâåðäæåííÿì åêîíîì³÷íî¿ òåî𳿠ïðî òå, ùî ãðàíè÷íà ñõèëüí³ñòü äî ñïîæèâàííÿ a1 ïåðåáóâຠâ ìåæàõ 0 < a1 < 1. Îòæå, çàëèøêè ìîäåë³ êîðåëþþòü ³ç çàëåæíîþ çì³ííîþ, òîìó çàñòîñóâàííÿ çâè÷àéíîãî ÌÍÊ äàñòü çì³ùåí³ òà íåîá´ðóíòîâàí³ îö³íêè ïàðàìåòð³â ìîäåë³.  îñòàííüîìó ìîæíà ïåðåêîíàòèñÿ, ïðîàíàë³çóâàâøè îö³íêó aˆ1 ïàðàìåòðà a1 ð³âíÿííÿ (8.1), îòðèìàíó çà ÌÍÊ. Ùîá çàáåçïå÷èòè íåîáõ³äíó ÿê³ñòü îö³íîê ïàðàìåòð³â (íåçì³ùåí³ñòü, åôåêòèâí³ñòü ³ îá´ðóíòîâàí³ñòü), íàìàãàþòüñÿ íà ï³äñòàâ³ îö³íåíèõ ïàðàìåòð³â ñêîðî÷åíî¿ (çâåäåíî¿) ôîðìè ñèñòåìè ð³âíÿíü îòðèìàòè îö³íêè ïàðàìåòð³â ñòðóêòóðíî¿ ôîðìè. Îäíàê òóò âèíèêຠïðîáëåìà îäíîçíà÷íèõ çàëåæíîñòåé ì³æ ïàðàìåòðàìè: ïðè ïîâåðíåíí³ â³ä ñêîðî÷åíî¿ ôîðìè ìîäåë³ äî ñòðóêòóðíî¿ (îáåðíåí³ ïåðåòâîðåííÿ) ìîæíà îòðèìàòè ºäèíå çíà÷åííÿ øóêàíîãî ïàðàìåòðà ÷è ê³ëüêà ð³çíèõ çíà÷åíü àáî âçàãàë³ íå ìàòè çìîãè îòðèìàòè æîäíîãî. Ùîá ïåðåäáà÷èòè ìîæëèâ³ âàð³àíòè ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷³ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ñèñòåìè îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü, íåîáõ³äíî ïîïåðåäíüî äîñë³äèòè ìîäåëü, à ñàìå ïåðåâ³ðèòè ³äåíòèô³êîâàí³ñòü ñèñòåìè. ϳä ïðîáëåìîþ ³äåíòèô³êàö³¿ ðîçóì³þòü ìîæëèâ³ñòü ÷èñåëüíî¿ îö³íêè ïàðàìåòð³â ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü çà îö³íêàìè êîåô³ö³ºíò³â çâåäåíèõ ð³âíÿíü. Îçíà÷åííÿ 8.4. Åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü, çàäàíà ñèñòåìîþ îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü, íàçèâàºòüñÿ òî÷íî (ñòðîãî) ³äåíòèô³êîâàíîþ (îòîòîæíåíîþ), ÿêùî îäíîçíà÷íî ìîæíà îòðèìàòè îö³íêè ¿¿ ïàðàìåòð³â íà îñíîâ³ îö³íåíèõ ïàðàìåòð³â çâåäåíî¿ ìîäåë³. Îçíà÷åííÿ 8.5. Íàä³äåíòèô³êîâàíîþ (ïåðåîòîòîæíåíîþ) íàçèâàºòüñÿ òàêà ìîäåëü, ùî äëÿ äåÿêèõ ¿¿ ïàðàìåòð³â ìîæíà îòðèìàòè ê³ëüêà ê³ëüê³ñíèõ çíà÷åíü íà ï³äñòàâ³ ïàðàìåòð³â çâåäåíî¿ ôîðìè. Êð³ì òîãî, ìîäåëü ìîæå áóòè íå³äåíòèô³êîâàíîþ (íåîòîòîæíåíîþ). Öå òðàïëÿºòüñÿ â òîìó ðàç³, ÿêùî ê³ëüê³ñòü íåâ³äîìèõ ïàðàìåòð³â íàáàãàòî ïåðåâèùóº ê³ëüê³ñòü ð³âíÿíü, ÷åðåç ÿê³ ¿õ òðåáà îö³íèòè. Îòæå, ïåðåõ³ä â³ä ñòðóêòóðíî¿ äî çâåäåíî¿ ôîðìè ñèñòåìè ð³âíÿíü õî÷à é äຠçìîãó óñóíóòè ïðîáëåìó êîðåëüîâàíîñò³ ïîÿñíþþ÷î¿ çì³ííî¿ òà âèïàäêîâîãî â³äõèëåííÿ, îäíàê ïðèçâîäèòü äî ³íøî¿ íå ìåíø ñåðéîçíî¿ ïðîáëåìè — ïðîáëåìè ³äåíòèô³êîâàíîñò³. Ùîá çðîçóì³òè ïðîáëåìó ³äåíòèô³êîâàíîñò³, íåîáõ³äíî óñâ³äîìèòè ñóòü ïðèíöèïîâèõ ðîçá³æíîñòåé ì³æ ñòðóêòóðíèìè òà çâåäåíèìè 134

ð³âíÿííÿìè. Íàïðèêëàä, ó ìîäåë³ “ïîïèò — ïðîïîçèö³ÿ” qtD = α0 + α1 pt + u1t, α1 < 0,  S qt = β0 + β1 pt + u2t , β1 < 0,  D S qt = qt

îö³íêè êîåô³ö³ºíò³â ïîâåä³íêîâèõ ð³âíÿíü âèçíà÷àþòü ôóíêö³¿ ïîïèòó òà ïðîïîçèö³¿. Îö³íþþ÷è êîåô³ö³ºíòè çâåäåíèõ ð³âíÿíü, ìè âèçíà÷àºìî òî÷êó ïåðåòèíó êðèâèõ ïîïèòó òà ïðîïîçèö³¿, òîáòî ð³âíîâàæíó ö³íó òîâàðó òà éîãî ð³âíîâàæíó ê³ëüê³ñòü. Î÷åâèäíî, îá÷èñëèâøè ö³ çíà÷åííÿ, íåìîæëèâî â³äíîâèòè ôóíêö³¿ ïîïèòó òà ïðîïîçèö³¿, òîìó ùî ÷åðåç îäíó òî÷êó íà ïëîùèí³ ìîæíà ïðîâåñòè íåñê³í÷åííî áàãàòî ë³í³é. Ïîáóäóºìî çâåäåí³ ð³âíÿííÿ äëÿ ö³º¿ ìîäåë³. Âèêîðèñòàâøè óìîâó ð³âíîâàãè, îòðèìàºìî α 0 + α1 pt + u1t = β0 + β1 pt + u2t .

Îñòàííº ð³âíÿííÿ, ðîçâ’ÿçàíå â³äíîñíî pt , ìຠâèãëÿä pt = λ0

äå λ0 =

β0 − α0 , α1 − β1

ut =

+

ut ,

(8.19)

u2t − u1t — âèïàäêîâà ñêëàäîâà. α1 − β1

ϳäñòàâëÿþ÷è çíàéäåíå çíà÷åííÿ pt ó ïî÷àòêîâ³ ð³âíÿííÿ, îòðèìóºìî qt = λ1 + vt ,

äå λ1 =

α1β0 − α0β1 , α1 − β1

vt =

(8.20)

α1u2t − α1u1t — âèïàäêîâèé ÷ëåí. α1 − β1

гâíÿííÿ (8.19) ³ (8.20) óòâîðÿòü ñèñòåìó çâåäåíèõ ð³âíÿíü. Îäíàê ñèñòåìà ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü ìຠ÷îòèðè íåâ³äîìèõ êîåô³ö³ºíòè: α 0 , α1 , β0 , β1 . ²ç êóðñó àëãåáðè â³äîìî, ùî äëÿ îäíîçíà÷íîãî âèçíà÷åííÿ k íåâ³äîìèõ íåîáõ³äíî ìàòè ùîíàéìåíøå k (íåçàëåæíèõ) ð³âíÿíü. Îòæå, ìè íå çìîæåìî îäíîçíà÷íî âèçíà÷èòè ÷îòèðè êîåô³ö³ºíòè, ìàþ÷è ëèøå ñèñòåìó ç äâîõ ð³âíÿíü: 135

β0 − α0  λ0 = α − β ,  1 1  λ = α1β0 − α 0β1 .  1 α1 − β1

Íåâàæêî ïîì³òèòè, ùî, â³äêèíóâøè âèïàäêîâ³ çàëèøêè ó çâåäåíèõ ð³âíÿííÿõ (8.19) ³ (8.20), ìîæíà âñòàíîâèòè çíà÷åííÿ pt = λ0 òà qt = λ1 , ÿêå ôàêòè÷íî âèçíà÷ຠòî÷êó ïåðåòèíó êðèâèõ ïîïèòó òà ïðîïîçèö³¿ (òî÷êó ðèíêîâî¿ ð³âíîâàãè). Àëå ÷åðåç îäíó òî÷êó ìîæíà ïðîâåñòè ÿê çàâãîäíî áàãàòî ë³í³é (ðèñ. 8.3, à). Òîìó äëÿ âèçíà÷åííÿ êîíêðåòíèõ ïðÿìèõ íåîáõ³äíà äîäàòêîâà ³íôîðìàö³ÿ, ÿêó ìîæíà îòðèìàòè çà ðàõóíîê åêçîãåííèõ çì³ííèõ, ùî âõîäÿòü äî ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü.

à

á

â

Ðèñ. 8.3

Íàïðèêëàä, íåõàé äî ôóíêö³¿ ïîïèòó äîäàíî ùå îäíó ïîÿñíþþ÷ó (åêçîãåííó) çì³ííó yt — ïðèáóòîê ñïîæèâà÷³â. Òîä³ ìîäåëü “ïîïèò — ïðîïîçèö³ÿ” ìàòèìå âèãëÿä: qtD = α 0 + α 4 pt + α 2 yt + u1t  S qt = β0 + β1 pt + u2t .

(α1 < 0, α 2 > 0),

(8.21)

Òàêå äîïîâíåííÿ äî ìîäåë³ äຠäåÿêó äîäàòêîâó ³íôîðìàö³þ ïðî ïîâåä³íêó ñïîæèâà÷à. Çã³äíî ç åêîíîì³÷íîþ òåîð³ºþ, äëÿ íîðìàëüíèõ òîâàð³â a2 > 0 . 136

Ïðèð³âíÿâøè îáñÿã ïîïèòó ³ îáñÿã ïðîïîçèö³¿, ìàòèìåìî àáî

α 0 + α1 pt + α 2 yt + ε1t = β0 + β1 pt + ε2t pt = λ 0 + λ1 yt + vt ,

äå λ0 =

β0 − α 0 , α1 − β1

λ1 = −

α2 , α1 − β1

vt =

(8.22)

ε2t − ε1t . α1 − β1

Ïðèð³âíÿâøè ö³íó ïîïèòó òà ö³íó ïðîïîçèö³¿ â òî÷ö³ ð³âíîâàãè, îòðèìàºìî qt = λ2 + λ3 yt + wt ,

äå λ2 =

α1β0 − α 0β1 , α1 − β1

λ3 = −

α2β1 , α1 − β1

wt =

(8.23) α1ε2t − β1ε1t . α1 − β1

гâíÿííÿ (8.22) ³ (8.23) º çâåäåíèìè. Çàñòîñóâàâøè ÌÍÊ, íåâàæêî çíàéòè îö³íêè ¿õ ïàðàìåòð³â λ0 , λ1 , λ2 , λ 3 . Îäíàê öüîãî íåäîñòàòíüî äëÿ òîãî, ùîá îö³íèòè ï’ÿòü ïàðàìåòð³â α0 , α1, α2 , β0 , β1 ïî÷àòêîâî¿ ñèñòåìè ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü. Ìè ìîæåìî âèçíà÷èòè ïàðàìåòðè β0 ³ β1 ôóíêö³¿ ïðîïîçèö³¿ ñèñòåìè (8.21):

λ3  , β1 = λ1  β = λ − β λ . 2 1 0  0

(8.24) (8.25)

Àëå α 0 , α1 , α 2 âèçíà÷èòè îäíîçíà÷íî íå ìîæíà. Îòæå, ïîòð³áíî äåÿêå äîâèçíà÷åííÿ. Çàóâàæèìî, ùî ââåäåííÿì ïîÿñíþþ÷î¿ çì³ííî¿ ó ôóíêö³þ ïîïèòó (ïåðøå ð³âíÿííÿ ñèñòåìè (8.21) ìè âèçíà÷èëè ôóíêö³þ ïðîïîçèö³¿ (äðóãå ð³âíÿííÿ ö³º¿ ñàìî¿ ìîäåë³) (ðèñ. 8.3). ßêùî ó ôóíêö³þ ïðîïîçèö³¿ ââåñòè ïîÿñíþþ÷ó çì³ííó (íàïðèêëàä, çàçäàëåã³äü âèçíà÷åíó çì³ííó pt −1 ), âèêëþ÷èâøè ïðè öüîìó ç ôóíêö³¿ ïîïèòó çì³ííó, ùî âèçíà÷ຠïðèáóòîê, ìîæíà îòðèìàòè êîíêðåòíó ôóíêö³þ ïîïèòó ïðè íåâèçíà÷åí³é ôóíêö³¿ ïðîïîçèö³¿ (ðèñ. 8.3). Öåé âèñíîâîê îáãðóíòîâóºòüñÿ çà àíàëî㳺þ ç ïîïåðåäíüî îïèñàíîþ ñõåìîþ òà ðåêîìåíäóºòüñÿ ÿê âïðàâà äëÿ ñàìîñò³éíî¿ ðîáîòè. 137

Çàçíà÷èìî, ùî ÿêùî â êîæíå ç³ ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü ìîäåë³ “ïîïèò — ïðîïîçèö³ÿ” ïîðÿä ³ç ö³íîþ òîâàðó áóäå ââåäåíî ïî îäí³é ïîÿñíþþ÷³é (åêçîãåííî âèçíà÷åí³é) çì³íí³é (íàïðèêëàä, yt ó ôóíêö³þ ïîïèòó é pt −1 ó ôóíêö³þ ïðîïîçèö³¿), òî êîåô³ö³ºíòè ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü ìîæóòü áóòè îö³íåí³ îäíîçíà÷íî. Ó öüîìó ðàç³ ìîäåëü áóäå îäíîçíà÷íî âèçíà÷åíîþ, òîáòî ³äåíòèô³êîâàíîþ. Ðîçãëÿíåìî ìîäåëü “ïîïèò — ïðîïîçèö³ÿ” ç ê³ëüê³ñòþ åêçîãåííèõ çì³ííèõ, ùî ïåðåâèùóº ê³ëüê³ñòü ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü: qtD = α 0 + α1 pt + α 2 yt + α 3 st + ε1t ,  S qt = β0 + β1 pt + β2 pt −1 + ε2t ,

äå çì³ííà st — îáñÿã çàîùàäæåíü äî ìîìåíòó ÷àñó t. Ç óìîâè ðèíêîâî¿ ð³âíîâàãè íåñêëàäíî îòðèìàòè òàê³ çâåäåí³ ð³âíÿííÿ:  pt = λ 0 + λ1 yt + λ2 st + λ 3 pt −1 + vt ,  qt = λ 4 + λ 5 yt + λ 6 st + λ 7 pt −1 + wt , äå

 β0 − α0 α2 α3 ; λ1 = − ; λ2 = − ; λ0 = α1 − β1 α1 − β1 α1 − β1  β2 α β − α0β1  (8.26) ; λ4 = 1 0 ; λ3 = α1 − β1 α1 − β1   αβ αβ αβ λ5 = − 2 1 ; λ6 = − 3 1 ; λ7 = − 1 2 ; α1 − β1 α1 − β1 α1 − β1  vt =

α1ε2t − β1ε1t ; α1 − β1

wt =

ε2t − ε1t . α1 − β1

Äëÿ îö³íêè ñåìè ñòðóêòóðíèõ êîåô³ö³ºíò³â α0 , α1 , α2 , α 3 , β0 , β1 , β2 ó öüîìó ðàç³ îòðèìàíî â³ñ³ì ð³âíÿíü (8.26). ßê íàñë³äîê, îäíîçíà÷íå âèçíà÷åííÿ ñòðóêòóðíèõ êîåô³ö³ºíò³â íåìîæëèâå ÷åðåç ñóïåðå÷ëèâ³ñòü ñï³ââ³äíîøåíü. Íàïðèêëàä, ç (8.26) âèïëèâຠíåìîæëèâ³ñòü âèçíà÷åííÿ β1 . ijéñíî, β1 = λ 6 λ2 ³ β1 = λ 5 λ1 . Àëå öå 138

ìîæëèâî ëèøå çà óìîâè λ6 λ2 = λ5 λ1 , ùî íåðåàëüíî, îñê³ëüêè êîåô³ö³ºíò β1 , ÿêèé ì³ñòèòüñÿ â óñ³õ ð³âíÿííÿõ äëÿ îö³íêè çâåäåíèõ êîåô³ö³ºíò³â, òàêîæ íåäîñêîíàëèé. Ó öüîìó ðàç³ ìàºìî ñèòóàö³þ ïåðåâèçíà÷åíîñò³ àáî íàä³äåíòèô³êîâàíîñò³, òîáòî “çàíàäòî áàãàòî” ³íôîðìàö³¿ (îáìåæåíü) äëÿ âèçíà÷åííÿ ë³í³¿ äîõîäó. ×åðåç ñóïåðå÷ëèâ³ñòü ³íôîðìàö³¿ íåìîæëèâî îòðèìàòè øóêàíèé ðîçâ’ÿçîê. Ó ñèòóàö³¿ íå³äåíòèô³êîâàíîñò³ “çàíàäòî ìàëî” ³íôîðìàö³¿, à òîìó ³ñíóº ê³ëüêà ð³çíèõ ë³í³é, ùî çàäîâîëüíÿþòü îáìåæåííÿ ìîäåë³. Íåîáõ³äí³ é äîñòàòí³ óìîâè ³äåíòèô³êîâàíîñò³ Ùîá øâèäøå ôîðìàëüíî âèçíà÷èòè ³äåíòèô³êîâàí³ñòü ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü, çàñòîñîâóþòü òàê³ íåîáõ³äí³ é äîñòàòí³ óìîâè. Íåõàé ñèñòåìà îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü ì³ñòèòü N ð³âíÿíü â³äíîñíî N åíäîãåííèõ çì³ííèõ, à òàêîæ M åêçîãåííèõ àáî çàçäàëåã³äü âèçíà÷åíèõ çì³ííèõ. Êð³ì òîãî, äëÿ äåÿêîãî ð³âíÿííÿ ê³ëüê³ñòü åíäîãåííèõ ³ åêçîãåííèõ çì³ííèõ ó ïåðåâ³ðö³ íà ³äåíòèô³êîâàí³ñòü äîð³âíþº â³äïîâ³äíî n ³ m. Çì³íí³, ùî íå âõîäÿòü ó äàíå ð³âíÿííÿ, àëå âõîäÿòü â ³íø³ ð³âíÿííÿ ñèñòåìè, íàçâåìî âèêëþ÷åíèìè çì³ííèìè (ç äàíîãî ð³âíÿííÿ). ¯õ ê³ëüê³ñòü äîð³âíþº N–n äëÿ åíäîãåííèõ ³ M–m äëÿ åêçîãåííèõ çì³ííèõ. Ïåðøà íåîáõ³äíà óìîâà. гâíÿííÿ ³äåíòèô³êîâàíå, ÿêùî âîíî âèêëþ÷ຠïðèíàéìí³ N–1 çì³ííó (åíäîãåííó ÷è åêçîãåííó), ùî ïðèñóòíÿ â ìîäåë³: ( N − n) + ( M − m) ≥ N − 1.

Äðóãà íåîáõ³äíà óìîâà. гâíÿííÿ ³äåíòèô³êîâàíå, ÿêùî ê³ëüê³ñòü âèêëþ÷åíèõ ç íüîãî åêçîãåííèõ çì³ííèõ íå ìåíøå ê³ëüêîñò³ åíäîãåííèõ çì³ííèõ ó öüîìó ð³âíÿíí³, çìåíøåíî¿ íà îäèíèöþ: M − m ≥ n − 1. Çíàêè ð³âíîñò³ â îáîõ íåîáõ³äíèõ óìîâàõ â³äïîâ³äàþòü òî÷í³é ³äåíòèô³êîâàíîñò³ ð³âíÿííÿ. Íàâåäåìî ïðèêëàäè âèêîðèñòàííÿ çàçíà÷åíèõ óìîâ äëÿ âèçíà÷åííÿ ³äåíòèô³êîâàíîñò³ ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü. Ó ïðîñò³é ìîäåë³ “ïîïèò — ïðîïîçèö³ÿ” qtD = α 0 + α1 pt + ε1t ,  S qt = β0 + β1 pt + ε 2 t

139

N = 2 , M = 0 . Äëÿ êîæíîãî ç ð³âíÿíü n = 2, m = 0. Îòæå, ïåðøà íåîáõ³äíà óìîâà, à ñàìå ( N − n) + ( M − m) ≥ N − 1, íå âèêîíóºòüñÿ äëÿ îáîõ ð³âíÿíü, òîìó ùî â öüîìó ðàç³ ( N − n) + ( M − m) = 0 < N − 1 = 1. Öå îçíà÷àº, ùî âîíè îáèäâà íå³äåíòèô³êîâàí³. 2. Ó ìîäåë³ (8.21) äî ôóíêö³¿ ïîïèòó äîäàíî åêçîãåííó çì³ííó yt (ïðèáóòîê ñïîæèâà÷³â): qtD = α0 + α1 pt + α 2 yt + ε1t (α1 < 0, α2 > 0),  S qt = β0 + β1 pt + ε2t (β1 > 0), N = 2 , M = 1 . Äëÿ êîæíîãî ç ð³âíÿíü n = 2 . Äëÿ ïåðøîãî ð³âíÿííÿ m = 1 , äëÿ äðóãîãî m = 0 . Òîä³ äëÿ ïåðøîãî ð³âíÿííÿ ( N − n) + ( M − m) = 0 < 1 = N − 1 . À öå îçíà÷àº, ùî ïåðøà íåîáõ³äíà óìîâà íå âèêîíóºòüñÿ ³ äàíå ð³âíÿííÿ íå³äåíòèô³êîâàíå. Äëÿ äðóãîãî ð³âíÿííÿ ö³º¿ ñèñòåìè ( N − n) + ( M − m) = 1 = N − 1, òîáòî äàíå ð³âíÿííÿ òî÷íî ³äåíòèô³êîâàíå. Îòæå, ôóíêö³ÿ ïðîïîçèö³¿ ìîæå áóòè âèçíà÷åíà îäíîçíà÷íî. 3. Ó ìîäåë³ qtD = α 0 + α1 pt + α 2 yt + ε1t ,  S qt = β0 + β1 pt + β2 pt −1 + ε2 t N = 2 , M = 2 . Äëÿ êîæíîãî ð³âíÿííÿ n = 2, m = 1. Ó öüîìó ðàç³ äëÿ êîæíîãî ç ð³âíÿíü âèêîíóºòüñÿ óìîâà ( N − n) + ( M − m) = 1 = N − 1 . Îòæå, îáèäâà ð³âíÿííÿ ö³º¿ ñèñòåìè òî÷íî ³äåíòèô³êîâàí³. 3. Ó ìîäåë³ “ïîïèò — ïðîïîçèö³ÿ”, äå âðàõîâàíî òðè åêçîãåíí³ çì³íí³: qtD = α0 + α1 pt + α 2 yt + α 3 st + ε1t ,  S qt = β0 + β1 pt + β2 pt −1 + ε2t , N = 2 , M = 3 . Äëÿ êîæíîãî ð³âíÿííÿ ñèñòåìè n = 2 . ʳëüê³ñòü âèêëþ÷åíèõ çì³ííèõ ó ïåðøîìó ð³âíÿíí³ m = 2 . Òîä³ ïåðøå ð³âíÿííÿ òî÷íî ³äåíòèô³êîâàíå, òîìó ùî äëÿ íüîãî ( N − n) + ( M − m) = = 1 = N − 1. Äëÿ äðóãîãî ð³âíÿííÿ m = 1. Îòæå, äëÿ íüîãî ( N − n) + ( M − m) = 2 > 1 = N − 1. Öå ð³âíÿííÿ º ïåðåâèçíà÷åíèì.

140

Äëÿ îäíîçíà÷íî¿ îö³íêè êîåô³ö³ºíò³â ôóíêö³¿ ïðîïîçèö³¿ â öüîìó ðàç³ íåîáõ³äíî âèêîðèñòîâóâàòè ³íø³ ñïåö³àëüí³ ìåòîäè îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â. Íåîáõ³äíà ³ äîñòàòíÿ óìîâà ³äåíòèô³êîâàíîñò³ Ó ìîäåë³, ùî ì³ñòèòü N ð³âíÿíü â³äíîñíî N åíäîãåííèõ çì³ííèõ, óìîâà ³äåíòèô³êîâàíîñò³ âèêîíóºòüñÿ òîä³ ³ ò³ëüêè òîä³, êîëè ðàíã ìàòðèö³, ñêëàäåíî¿ ç âèêëþ÷åíèõ ç äàíèõ ð³âíÿíü çì³ííèõ, àëå òàêèõ, ùî ì³ñòÿòüñÿ â ³íøèõ ð³âíÿííÿõ ñèñòåìè, äîð³âíþº N − 1.

8.5. Ìåòîäè îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ñèñòåì ð³âíÿíü ßê çàçíà÷àëîñÿ, çàñòîñóâàííÿ çâè÷àéíîãî ÌÍÊ äî ð³âíÿíü ñòðóêòóðíî¿ ôîðìè ñèñòåìè ð³âíÿíü ïðèçâîäèòü äî îòðèìàííÿ çì³ùåíèõ îö³íîê ïàðàìåòð³â ÷åðåç êîðåëüîâàí³ñòü (çàëåæí³ñòü) çì³ííèõ ³ çàëèøê³â ìîäåë³, ùî º ïîðóøåííÿì îäí³º¿ ç ïåðåäóìîâ çàñòîñóâàííÿ ÌÍÊ. Ïåðåõ³ä â³ä ñòðóêòóðíî¿ ôîðìè ìîäåë³ äî ñêîðî÷åíî¿ º îäíèì ³ç ñïîñîá³â, ùî óñóâຠïðîáëåìó êîðåëüîâàíîñò³, îäíàê ïîðîäæóº ³íøó, à ñàìå ïðîáëåìó ³äåíòèô³êîâàíîñò³ îêðåìèõ ð³âíÿíü ñèñòåìè, à òàêîæ ñèñòåìè çàãàëîì. Çàëåæíî â³ä ðîçâ’ÿçàííÿ ö³º¿ ïðîáëåìè, òîáòî ï³ñëÿ ïåðåâ³ðêè óìîâè ³äåíòèô³êîâàíîñò³ êîæíîãî ð³âíÿííÿ ñèñòåìè, çàñòîñîâóþòü òàê³ ìåòîäè: 1) ÿêùî êîæíå ð³âíÿííÿ ñèñòåìè òî÷íî ³äåíòèô³êîâàíå, òî ïàðàìåòðè çâåäåíî¿ ìîäåë³ îö³íþþòü íåïðÿìèì ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â (ÍÌÍÊ); ³äåÿ ìåòîäó ïîëÿãຠâ òîìó, ùîá â³ä ñòðóêòóðíî¿ ôîðìè ïåðåéòè äî çâåäåíî¿, çâè÷àéíèì ÌÍÊ îö³íèòè ïàðàìåòðè îñòàííüî¿ é îáåðíåíèì ïåðåòâîðåííÿì îòðèìàòè îö³íêè ïàðàìåòð³â ñòðóêòóðíî¿ ôîðìè; 2) óñóíóòè êîðåëÿö³þ ì³æ çì³ííèìè òà çàëèøêàìè ìîäåë³ ìîæíà òàêîæ çà äîïîìîãîþ ìåòîäó ³íñòðóìåíòàëüíèõ çì³ííèõ, ³äåÿ ÿêîãî ïîëÿãຠâ òîìó, ùîá çì³íí³, ùî êîðåëþþòü ³ç çàëèøêàìè, çàì³íèòè ³íøèìè – ³íñòðóìåíòàëüíèìè, ÿê³ ò³ñíî ïîâ’ÿçàí³ ç íåçàëåæíèìè çì³ííèìè ìîäåë³, àëå çîâñ³ì íå ïîâ’ÿçàí³ ç ¿¿ çàëèøêàìè; 3) ÿêùî ð³âíÿííÿ ñòðóêòóðíî¿ ôîðìè ìîäåë³ íàä³äåíòèô³êîâàí³, òî ïàðàìåòðè ìîäåë³ îö³íþþòü çà äîïîìîãîþ äâîêðîêîâîãî ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â (2ÌÍÊ), ùî ïåðåäáà÷ຠâèêîíàííÿ äâîõ åòàï³â: à) ïåðøèé – åíäîãåíí³ çì³íí³ “çâ³ëüíÿþòü” â³ä ñòîõàñòè÷íèõ çàëèøê³â; 141

á) äðóãèé – îö³íåí³ ð³âíÿííÿ ï³äñòàâëÿþòü ó ñòðóêòóðíó ñèñòåìó ð³âíÿíü, äî ÿêèõ ïîò³ì çàñòîñîâóþòü çâè÷àéíèé ÌÍÊ; 4) òðèêðîêîâèé ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â äëÿ îäíî÷àñíîãî îö³íþâàííÿ âñ³õ ð³âíÿíü ñèñòåìè çà ïåâíèõ îáñòàâèí åôåêòèâí³øèé ïîð³âíÿíî ç íåïðÿìèì ³ äâîêðîêîâèì ÌÍÊ.

8.5.1. Íåïðÿìèé ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â òî÷íî ³äåíòèô³êîâàíèõ ñèñòåì Îñê³ëüêè íà îñíîâ³ çâè÷àéíîãî ÌÍÊ íåìîæëèâî îòðèìàòè ÿê³ñí³ îö³íêè ïàðàìåòð³â ñèñòåìè îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü, âàðòî ñêîðèñòàòèñÿ ³íøèìè ìåòîäàìè îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â. Îäíèì ³ç íèõ º íåïðÿìèé ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â, ùî ãðóíòóºòüñÿ íà âèêîðèñòàíí³ çâåäåíèõ ð³âíÿíü. Äëÿ ³ëþñòðàö³¿ ÍÌÍÊ ðîçãëÿíåìî êåéíñ³àíñüêó ìîäåëü ôîðìóâàííÿ ïðèáóòê³â: Ct = a0 + a1Yt + ut , Yt = Ct + Z t .

Ó çâåäåí³é ôîðì³ öÿ ìîäåëü ìຠâèãëÿä Yt =

a0 ut 1 + Zt + , 1 − a1 1 − a1 1 − a1

(8.27)

Ct =

a0 a ut + 1 Zt + . 1 − a1 1 − a1 1 − a1

(8.28)

Ïîçíà÷èìî a0 = λ10 , 1− a

a1 = λ 21 , 1 − a1

1 = λ11 , 1 − a1

a0 = λ20 , 1 − a1

 ut σ2  = vt ~ N  0,  . 1 − a1  1 − a1 

Òîä³ çàì³ñòü îñòàíí³õ ñï³ââ³äíîøåíü îòðèìàºìî 142

Yt = λ10 + λ11 Z t + vt ,  Ct = λ 20 + λ 21 Z t + vt .

×åðåç òå, ùî îáñÿã ³íâåñòèö³é Z t º åêçîãåííîþ çì³ííîþ ìîäåë³, öÿ çì³ííà íå êîðåëþº ç âèïàäêîâèì çàëèøêîì vt ó çâåäåí³é ôîðì³ ñèñòåìè ð³âíÿíü (8.27), (8.28), à îòæå, ³ ç çàëèøêàìè vt îñòàííüî¿ ñèñòåìè. Öå îçíà÷àº, ùî äëÿ âèïàäêîâîãî ÷ëåíà vt âèêîíóþòüñÿ ïåðåäóìîâè ÌÍÊ. Òîìó îö³íêè λˆ 10 , λˆ 11 , λˆ 20 , λˆ 21 ïàðàìåòð³â λ10 , λ11 , λ 20 , λ21 , îòðèìàí³ çà ÌÍÊ, áóäóòü íåçì³ùåíèìè, îáãðóíòîâàíèìè ³ åôåêòèâíèìè. Çíàþ÷è ö³ îö³íêè, íåñêëàäíî âèçíà÷èòè îö³íêè aˆ0 ³ aˆ1 êîåô³ö³ºíò³â a0 ³ a1 ð³âíÿííÿ ïî÷àòêîâî¿ ñòðóêòóðíî¿ ñèñòåìè: λˆ λˆ aˆ1 = 21 ; aˆ0 = 20 . λˆ11 λˆ11 Âèçíà÷åííÿ îö³íîê çà çàçíà÷åíîþ ñõåìîþ íàçèâàºòüñÿ íåïðÿìèì ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â. Çì³ñò òàêî¿ íàçâè î÷åâèäíèé: ïåðø í³æ çàñòîñóâàòè çâè÷àéíèé ÌÍÊ, ïî÷àòêîâó ñèñòåìó ïåðåòâîðèëè äî çâåäåíî¿ ôîðìè, çà ÌÍÊ-îö³íêàìè ÿêî¿ âèçíà÷èëè îö³íêè ïî÷àòêîâî¿ ñèñòåìè. Îö³íêè ïàðàìåòð³â a0 òà a1, îòðèìàí³ çà ÍÌÍÊ, º îáãðóíòîâàíèìè, à òîìó ïðè âåëèêèõ âèá³ðêàõ ³ñíóº âèñîêà éìîâ³ðí³ñòü, ùî âîíè íàáëèæàòèìóòüñÿ äî ³ñòèííèõ çíà÷åíü ïàðàìåòð³â. Çàçíà÷èìî, ùî â öüîìó ðàç³ îö³íêè âèçíà÷àþòüñÿ òî÷íî, à ðåãðåñ³éíå ð³âíÿííÿ â ðîçãëÿíóò³é ìîäåë³ äîõîäó º ³äåíòèô³êîâàíèì (îäíîçíà÷íî âèçíà÷åíèì). Îòæå, ïðè íåïðÿìîìó ÌÍÊ âèêîíóþòüñÿ òàê³ êðîêè: 1) ïåðåâ³ðÿºòüñÿ óìîâà ³äåíòèô³êîâàíîñò³ äëÿ êîæíîãî ð³âíÿííÿ ñòðóêòóðíî¿ ôîðìè. ßêùî âñ³ ð³âíÿííÿ òî÷íî ³äåíòèô³êîâàí³, òî âèêîíóºòüñÿ íàñòóïíèé êðîê, ³íàêøå çàñòîñîâóºòüñÿ ³íøèé ìåòîä; 2) âèõ³äíà ñòðóêòóðíà ñèñòåìà ð³âíÿíü ïåðåòâîðþºòüñÿ äî çâåäåíî¿ ôîðìè; 3) îö³íþþòüñÿ çà ÌÍÊ ïàðàìåòðè ð³âíÿíü ó çâåäåí³é ôîðì³; 4) íà îñíîâ³ îö³íîê, çíàéäåíèõ äëÿ çâåäåíî¿ ôîðìè, îá÷èñëþþòüñÿ ïàðàìåòðè ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü çà äîïîìîãîþ îáåðíåíèõ ïåðåòâîðåíü. Ïðèêëàä. Ðîçãëÿäàºòüñÿ ìîäåëü “ïîïèò — ïðîïîçèö³ÿ”: Ïðîïîçèö³ÿ Ïîïèò

qt = β0 + β1 pt + ε1t ,  qt = α 0 + α1 pt + α2 yt + ε2 t ,

143

äå qt , pt — åíäîãåíí³ çì³íí³ (ê³ëüê³ñòü òîâàðó ³ ö³íà â ðîö³ t); ε1t , ε2t — âèïàäêîâ³ â³äõèëåííÿ; yt – åêçîãåííà çì³ííà (ïðèáóòîê ñïîæèâà÷³â). Íà ï³äñòàâ³ íàñòóïíèõ ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ íåîáõ³äíî îö³íèòè êîåô³ö³ºíòè ôóíêö³¿ ïðîïîçèö³¿, âèêîðèñòîâóþ÷è ÌÍÊ ³ ÍÌÍÊ. Ïîð³âíÿòè ðåçóëüòàòè. pt

qt

yt

pt2

yt2

1 2 3 4 5 15 3

8 10 7 5 1 31 6,2

2 4 3 5 2 16 3,2

1 4 9 16 25 55 11

4 16 9 25 4 58 11,6

pt qt

pt yt

8 20 21 20 5 74 14,8

2 8 9 20 10 49 9,8

qt y t

16 40 21 25 2 104 Ñóìà 20,8 Ñåðåäíº

Ïîáóäóºìî çâåäåí³ ð³âíÿííÿ çàçíà÷åíî¿ ñèñòåìè, â³äíÿâøè â³ä ôóíêö³¿ ïðîïîçèö³¿ ôóíêö³þ ïîïèòó. Îòðèìàºìî (β0 − α 0 ) + (β1 − α1 ) pt − α 2 yt + (ε1t − ε2t ) = 0,

çâ³äêè pt = π10 + π11 yt + v1t , qt = π20 + π21 yt + v2 t ,

äå

π10 =

α 0 − β0 , β1 − α1

π11 =

π20 = β0 + β1π10 ,

α2 , β1 − α1

v1t =

π21 = β1π11 ,

ε2t − ε1t ; β1 − α1

v2t = β1v1t + ε1t .

Íåâàæêî ïîì³òèòè, ùî ôóíêö³ÿ ïðîïîçèö³¿ òî÷íî ³äåíòèô³êîâàíà. Îö³íêè b1 ³ b0 ïàðàìåòð³â β1 ³ β0 ìîæóòü áóòè âèçíà÷åí³ íà îñíîâ³ îö³íîê êîåô³ö³ºíò³â òàêèõ ð³âíÿíü: π21 π , β0 = π20 − β1π10 ⇒ β1 = 21 , b0 = π20 − b1π10 . π11 π11 Çà íàÿâíèìè ñòàòèñòè÷íèìè äàíèìè îö³íèìî êîåô³ö³ºíòè çâåäåíèõ ð³âíÿíü: β1 =

144

yp − y ⋅ p

π11 =

2

y −y

2

=

0,2 = 0,1471, 1,36

π10 = p − π11 y = 3 − 0,147 ⋅ 3,2 = 2,5293,

yq − y ⋅ q

π 21 =

π

2

y −y

20

2

=

0,96 = 0,9411, 1,36

= q − π y = 3,9411. 21

Îö³íêè êîåô³ö³ºíò³â ôóíêö³¿ ïðîïîçèö³¿ çà ÌÍÊ áóäóòü òàê³: b1 = 0,7059 / 0,1471 = − 4,7988, b0 = 3,9411 − 4,7988 ⋅ 2,5293 = − 8,1965.

Îòæå, ôóíêö³ÿ ïðîïîçèö³¿ ìຠâèãëÿä qt = −8,1965 + 4,7988 pt .

Âîäíî÷àñ ðîçðàõîâàí³ áåçïîñåðåäíüî çà ÌÍÊ îö³íêè äàíîãî ð³âíÿííÿ ñòàíîâèòèìóòü:

b1 =

pq − p ⋅ q 2

p −p

2

=

−3,8 = −1,9, 2

b0 = q − b1 p = 11,9,

òîáòî ôóíêö³ÿ ïðîïîçèö³¿ ìຠâèãëÿä

qt = 11,9 − 1,9 pt . Çà îòðèìàíèìè ðåçóëüòàòàìè ìîæíà çðîáèòè âèñíîâîê ïðî òå, ùî çàñòîñóâàííÿ ÌÍÊ ó íåâ³äïîâ³äíèõ ñèòóàö³ÿõ ìîæå ³ñòîòíî ñïîòâîðèòè êàðòèíó çàëåæíîñò³.

8.5.2. Ìåòîä ³íñòðóìåíòàëüíèõ çì³ííèõ ²ùå îäíèì ñïîñîáîì óñóíåííÿ êîðåëþâàííÿ ïîÿñíþþ÷î¿ çì³ííî¿ ç âèïàäêîâèì â³äõèëåííÿì º ìåòîä ³íñòðóìåíòàëüíèõ çì³ííèõ. 145

Ñóòí³ñòü öüîãî ìåòîäó ïîëÿãຠâ çàì³í³ çì³ííî¿, ùî êîðåëþº ³ç çàëèøêàìè, ³íñòðóìåíòàëüíîþ çì³ííîþ (²Ç), ÿêà ïîâèííà ìàòè òàê³ âëàñòèâîñò³: • êîðåëþâàòè (áàæàíî çíà÷íîþ ì³ðîþ) ³ç çàì³íåíîþ ïîÿñíþþ÷îþ çì³ííîþ; • íå êîðåëþâàòè ç âèïàäêîâèì â³äõèëåííÿì. Îïèøåìî ñõåìó âèêîðèñòàííÿ ²Ç íà ïðèêëàä³ ïàðíî¿ ðåãðåñ³¿, ó ÿê³é Y = β0 + β1 X + ε.

Çì³ííó X çàì³íþþòü çì³ííîþ Z òàêîþ, ùî cov( Z ; X ) ≠ 0 ³ cov( Z , ε) = 0. Ïðèíöèïè âèêîðèñòàííÿ ²Ç ïåðåäáà÷àþòü âèêîíàííÿ òàêèõ óìîâ: M (ε t ) = 0, cov( zt , ε t ).

³äïîâ³äí³ âèá³ðêîâ³ îö³íêè äàíèõ óìîâ òàê³: 1  T  1  T

∑ et

= 0,

∑ zt et

= 0.

Ó ðîçãîðíåíîìó âèãëÿä³ îñòàííÿ ñèñòåìà ìຠâèãëÿä ∑ ( yt − b0³ç − b1³ç xt ) = 0,  ³ç ³ç ∑ zt ( yt − b0 − b1 xt ) = 0,

çâ³äêè

 ³ç ∑ (zt − z )( yt − y) , b1 = ∑ (zt − z )(xt − x)   ³ç ³ç b0 = y − b1 x . Íåõàé ç³ çá³ëüøåííÿì îáñÿãó âèá³ðêè D( X ) ïðÿìóº äî äåÿêî¿ ñê³í÷åííî¿ ìåæ³ σ2x , à êîâàð³àö³ÿ cov( Z , X ) — äî ñê³í÷åííî¿ ìåæ³ σ zx ≠ 0.

146

Ïîêàæåìî, ùî â öüîìó ðàç³ b1 ïðÿìóº äî ³ñòèííîãî çíà÷åííÿ β1 . Ç îñòàííüî¿ ñèñòåìè ìàºìî b1³ç =

=

cov( Z , Y ) cov(Z , β0 + β1 X + ε) = = cov( Z , X ) cov( Z , X )

cov( Z , β0 ) cov( Z , β1 X ) cov(Z , ε) + + = cov(Z , X ) cov(Z , X ) cov(Z , X )

= β1 +

cov( Z , ε) 0  → β1 + = β1. n →∞ σ zx cov(Z , X )

Òóò ìè ñêîðèñòàëèñÿ òàêèìè ñï³ââ³äíîøåííÿìè: cov( Z , β0 ) = 0, òîìó ùî β0 = const; cov( Z , β1 X ) = β1 cov( Z , X ). Ïðè âåëèêèõ îáñÿãàõ âèá³ðêè ðîçïîä³ë b1³ç ïðÿìóº äî íîðìàëüíîãî:

b1³ç ~ N (β1 , S 2 (b1³ç )), äå S 2 (b1³ç ) =

S 2 ∑ ( zt − z )

 ∑ ( zt − z )( xt − x ) 

2

;

S2 =

1 T

∑ et2 ;

et = yt − b0³ç − b1³ç xt .

8.5.3. Äâîêðîêîâèé ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â íàä³äåíòèô³êîâàíèõ ñèñòåì Îïèñ öüîãî ìåòîäó ñóïðîâîäèìî ïðèêëàäîì éîãî âèêîðèñòàííÿ äëÿ ìîäåë³ ð³âíîâàãè íà ðèíêàõ òîâàð³â ³ ãðîøåé (²S–LÌ) äëÿ çàêðèòî¿ åêîíîì³êè ïðè ô³êñîâàí³é ïîäàòêîâ³é ñòàâö³ t:

Y = α0 + α1r + α2G + α3 t + ε1 (α1 < 0) ,  Y = β0 + β1r + β2 M + ε2 (β1 > 0) .

(8.29)

147

Ïåðøå ð³âíÿííÿ ñèñòåìè º ïåðåâèçíà÷åíèì (ùîäî çì³ííî¿ r). Ùîá îö³íèòè éîãî êîåô³ö³ºíòè, ðåêîìåíäóºòüñÿ ñêîðèñòàòèñÿ äâîêðîêîâèì ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â (2ÌÍÊ), ñóòü ÿêîãî ïîëÿãຠó âèêîðèñòàíí³ ÿê ²Ç îö³íêè ïåðåâèçíà÷åíî¿ çì³ííî¿, îòðèìàíî¿ íà áàç³ åêçîãåííèõ (÷è çàçäàëåã³äü âèçíà÷åíèõ) çì³ííèõ ìîäåë³. Êðîê 1. Ó ïåðøîìó ð³âíÿíí³ ö³º¿ ñèñòåìè ïåðåâèçíà÷åíîþ çì³ííîþ º ïðîöåíòíà ñòàâêà r. ¯¿ ìîæíà îö³íèòè, ñïèðàþ÷èñü ëèøå íà åêçîãåíí³ çì³íí³ (íàïðèêëàä, â³äí³ìàþ÷è â³ä äðóãîãî ñï³ââ³äíîøåííÿ ïåðøå): r = λ 0 + λ1M + λ 2G + λ 3t + v.

(8.30)

(ßê âïðàâó ïðîïîíóºòüñÿ çíàéòè êîåô³ö³ºíòè λ0 , λ1 , λ2 , λ 3 ³ v.) Çàñòîñîâóþ÷è äëÿ (8.30) ÌÍÊ, îòðèìóºìî îö³íêó rˆ çì³ííî¿ r : rˆ = λˆ 0 + λˆ1 M + λˆ 2G + λˆ 3 t ,

(8.31)

äå rˆ — óìîâíà ñåðåäíÿ ïðè ô³êñîâàíèõ .çíà÷åííÿõ M, G, t. Êðîê 2. ϳäñòàâëÿþ÷è îö³íêó (8.31) ó äðóãå ð³âíÿííÿ ñèñòåìè (8.29), ìàºìî Y = β0 + β1rˆ + β2 M + ε2 .

(8.32)

Öÿ çàì³íà äຠçìîãó ðîçâ’ÿçàòè òàêó ³ñòîòíó ïðîáëåìó ïåðåâèçíà÷åíèõ ìîäåëåé, ÿê êîðåëüîâàí³ñòü ïîÿñíþþ÷î¿ çì³ííî¿ ç âèïàäêîâèì ÷ëåíîì (íàãàäàºìî, ùî òàêà êîðåëüîâàí³ñòü ïðèçâîäèòü äî îòðèìàííÿ çì³ùåíèõ ³ íåîáãðóíòîâàíèõ îö³íîê). ijéñíî, îö³íêà rˆ âèðàæàºòüñÿ ëèøå ÷åðåç åêçîãåíí³ çì³íí³, à îòæå, íå êîðåëþº ç âèïàäêîâèì â³äõèëåííÿì. Ôàêòè÷íî ¿¿ ìîæíà ðîçãëÿäàòè ÿê íîâó åêçîãåííó çì³ííó. Çàì³íèâøè â ìîäåë³ (8.29) äðóãå ð³âíÿííÿ íà (8.32), îòðèìàºìî ñèñòåìó, ÿêó ìîæíà îö³íèòè çà äîïîìîãîþ ÌÍÊ. ßêùî ìîäåëü ì³ñòèòü á³ëüø ÿê îäíó ïåðåâèçíà÷åíó çì³ííó, íà ïåðøîìó åòàï³ íåîáõ³äíî îö³íèòè âñ³ òàê³ çì³íí³. 2ÌÍÊ ìຠïåâí³ âëàñòèâîñò³, ùî çóìîâëþþòü éîãî øèðîêå ïðàêòè÷íå çàñòîñóâàííÿ. 1. Ó äàíîìó ìåòîä³ ïåðøèé åòàï (åòàï ïîáóäîâè çâåäåíèõ ð³âíÿíü) âèêîíóºòüñÿ äëÿ ÷àñòèíè ïåðåâèçíà÷åíèõ ð³âíÿíü, íå çà148

÷³ïàþ÷è ³íø³ ð³âíÿííÿ ìîäåë³. Öå äຠçìîãó ì³í³ì³çóâàòè îáñÿã îá÷èñëåíü. 2. Çà íàÿâíîñò³ ïåðåâèçíà÷åíèõ ð³âíÿíü 2ÌÍÊ íà â³äì³íó â³ä ÌÍÊ âèçíà÷ຠºäèí³ îö³íêè ïàðàìåòð³â ìîäåë³. 3. Çàñòîñîâóþ÷è äàíèé ìåòîä, äîñòàòíüî âèêîðèñòîâóâàòè ëèøå åêçîãåíí³ é âèçíà÷åí³ çì³íí³ ìîäåë³. 4. Çàñòîñóâàííÿ 2ÌÍÊ åôåêòèâíå ëèøå â òîìó ðàç³, ÿêùî êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿ R 2 äëÿ çâåäåíèõ ð³âíÿíü, ïîáóäîâàíèõ íà ïåðøîìó åòàï³, áóäå äîñèòü âåëèêèé. Ïðè öüîìó ²Ç (ó íàøîìó ïðèêëàä³ öå çì³ííà rˆ ) íåçíà÷íîþ ì³ðîþ êîðåëþº ç âèïàäêîâèì â³äõèëåííÿì ³ íàáëèæàºòüñÿ äî ³ñòèííîãî çíà÷åííÿ ( rˆ ) çàì³íåíî¿ çì³ííî¿. Ïðè íåâåëèêîìó çíà÷åíí³ R2 âèêîðèñòàííÿ 2ÌÍÊ ìàëîïðîäóêòèâíå, òîìó ùî â öüîìó ðàç³ ²Ç ìàëî â³äïîâ³äຠ³ñòèííîìó çíà÷åííþ çàì³íåíî¿ çì³ííî¿. Çàçíà÷èìî, ùî çà äîïîìîãîþ ìåòîäó ³íñòðóìåíòàëüíèõ çì³ííèõ ÿê ñêëàäîâî¿ 2ÌÍÊ ìîæíà îòðèìóâàòè îáãðóíòîâàí³ îö³íêè é îö³íêè ñòàíäàðòíèõ â³äõèëåíü äëÿ âèá³ðîê âåëèêèõ îáñÿã³â. Îäíàê äëÿ ìàëèõ âèá³ðîê âèñíîâêè áóäóòü íå íàñò³ëüêè êîíêðåòíèìè.

8.5.4. Òðèêðîêîâèé ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â Ðîçãëÿíóò³ ìåòîäè äàþòü çìîãó îö³íþâàòè ïàðàìåòðè îêðåìèõ ð³âíÿíü ñèñòåìè. Êîæåí ç íèõ ìຠïåðåâàãè òà íåäîë³êè, îäíàê ¿õ îᒺäíóº ñï³ëüíà ðèñà — çíà÷íèé îáñÿã ðîçðàõóíê³â ïðè ðîáîò³ ³ç ñèñòåìàìè âåëèêî¿ ðîçì³ðíîñò³, òîáòî ³ç òàêèìè, ùî ì³ñòÿòü âåëèêó ê³ëüê³ñòü ð³âíÿíü, à îòæå, âåëèêó ê³ëüê³ñòü çì³ííèõ ³ ïàðàìåòð³â. Ñêîðî÷åííÿ îáñÿãó ðîçðàõóíê³â ñòຠîñîáëèâî àêòóàëüíèì ó ïðîöåñ³ âèâ÷åííÿ øâèäêîïëèííèõ ïðîöåñ³â, à òàêîæ ó òîìó ðàç³, ÿêùî çì³íþºòüñÿ ïð³îðèòåòí³ñòü îêðåìèõ íåçàëåæíèõ çì³ííèõ ìîäåë³. Ó öèõ âèïàäêàõ êðàùå ñêîðèñòàòèñÿ ìåòîäîì, ùî îäíî÷àñíî îö³íþº ïàðàìåòðè âñ³õ ð³âíÿíü ñèñòåìè, çîêðåìà òðèêðîêîâèì ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â (3ÌÍÊ). Îñîáëèâ³ñòþ 3ÌÍÊ º òå, ùî ïðè îö³íþâàíí³ ïàðàìåòð³â ñèñòåìè çàãàëîì ñë³ä çâàæàòè íà çàëåæíîñò³ ì³æ îêðåìèìè ð³âíÿííÿìè. Ö³ çàëåæíîñò³ âèÿâëÿþòüñÿ â òîìó, ùî çàëèøêè îêðåìèõ ð³âíÿíü êîðåëþþòü ì³æ ñîáîþ, òîáòî çàãàëüíà ìàòðèöÿ êîâàð³àö³é ñèñòåìè º íåä³àãîíàëüíîþ. Ó òàê³é ñèòóàö³¿ íàéêðàùèì ìåòîäîì îö³íþâàííÿ º óçàãàëüíåíèé ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â (ìåòîä Åéòêåíà). Îäíàê ó öüîìó ðàç³ íåîáõ³äíî çíàòè ïåðøå íàáëèæåííÿ ìàòðèö³ êîâàð³àö³é. Äëÿ ð³âíÿíü ìíîæèííî¿ 149

ðåãðåñ³¿ ç àâòîêîðåëüîâàíèìè çàëèøêàìè öþ ìàòðèöþ îòðèìóþòü íà ï³äñòàâ³ çàëèøê³â ìîäåë³, ïàðàìåòðè ÿêî¿ îö³íåíî çà çâè÷àéíèì ÌÍÊ, ³ âæå ï³ñëÿ îá÷èñëåííÿ êîåô³ö³ºíòà êîðåëÿö³¿ êîðèãóþòü çàãàëüíèé îïåðàòîð îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ð³âíÿííÿ. Äëÿ ñèñòåì ð³âíÿíü, îñîáëèâî â ðàç³ íàä³äåíòèô³êîâàíîñò³ îêðåìèõ ð³âíÿíü, êðàùå ïî÷àòêîâå íàáëèæåííÿ ìàòðèö³ êîâàð³àö³é âèçíà÷àþòü çà çàëèøêàìè, ÿê³ îòðèìàíî â ðåçóëüòàò³ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ð³âíÿíü çà äâîêðîêîâèì ÌÍÊ. Îòæå, ñà′ ìå ïîºäíàííÿ 2ÌÍÊ ³ ìåòîäó Åéòêåíà äàëî íàçâó öüîìó ìåòîäó. Äëÿ ïðàêòè÷íîãî çàñòîñóâàííÿ 3ÌÍÊ ïîòð³áíî âèêîíàòè òàê³ âèìîãè [17]: 1) óñ³ òîòîæíîñò³, ÿê³ âõîäÿòü äî ñèñòåìè ð³âíÿíü, âèêëþ÷àþòü ç ðîçãëÿäó, òîìó ùî âîíè íå ì³ñòÿòü íåâ³äîìèõ ïàðàìåòð³â ³ íå ïàðàìåòðèçóþòüñÿ; 2) êîæíå íå³äåíòèô³êîâàíå ð³âíÿííÿ òàêîæ âèêëþ÷àþòü ³ç ñèñòåìè, îñê³ëüêè îö³íèòè ¿õ ïàðàìåòðè â ïðèíöèï³ íåìîæëèâî; 3) òî÷íî ³äåíòèô³êîâàí³ òà íàä³äåíòèô³êîâàí³ ð³âíÿííÿ ïîä³ëÿþòü íà äâ³ ð³çí³ ãðóïè ³ 3ÌÍÊ çàñòîñîâóþòü äî êîæíî¿ ç íèõ îêðåìî; 4) ÿêùî ãðóïà íàä³äåíòèô³êîâàíèõ ð³âíÿíü ñêëàäàºòüñÿ ëèøå ç îäíîãî ð³âíÿííÿ, òî 3ÌÍÊ ïåðåòâîðþºòüñÿ íà 2ÌÍÊ; 5) êîðåëÿö³ÿ çàëèøê³â îêðåìèõ ð³âíÿíü ñèñòåìè ïðèçâîäèòü äî òîãî, ùî çàãàëüíà ìàòðèöÿ êîâàð³àö³é ñèñòåìè º íåä³àãîíàëüíîþ, îäíàê âîäíî÷àñ íå ì³æ óñ³ìà ð³âíÿííÿìè ñèñòåìè ³ñíóº çàëåæí³ñòü, òîìó ìàòðèöÿ êîâàð³àö³¿ ÷àñòî áóâຠáëî÷íî-ä³àãîíàëüíîþ, òîä³ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â íà îñíîâ³ 3ÌÍÊ âèêîíóþòü îêðåìî äëÿ êîæíî¿ ãðóïè ð³âíÿíü, ùî â³äïîâ³äàþòü îäíîìó áëîêó.

8.5.5. ÌÍÊ äëÿ ðåêóðñèâíèõ ìîäåëåé Îäíèì ³ç âèïàäê³â óñï³øíîãî çàñòîñóâàííÿ ÌÍÊ äëÿ îö³íþâàííÿ ñòðóêòóðíèõ êîåô³ö³ºíò³â ìîäåë³ º ðåêóðñèâí³ (òðèêóòí³) ìîäåë³, ó ÿêèõ åíäîãåíí³ çì³íí³ ïîñë³äîâíî (ðåêóðñèâíî) ïîâ’ÿçàí³ îäíà ç îäíîþ. Ïåðøà åíäîãåííà çì³ííà Y1 çàëåæèòü ëèøå â³ä åêçîãåííèõ çì³ííèõ X i , i = 1, 2, …, m, ³ âèïàäêîâîãî â³äõèëåííÿ ε1 . Äðóãà åíäîãåííà çì³ííà Y2 âèçíà÷àºòüñÿ ëèøå çíà÷åííÿìè åêçîãåííèõ çì³ííèõ X i , i = 1, 2, …, m, âèïàäêîâèì â³äõèëåííÿì ε2 , à òàêîæ åíäîãåííîþ çì³ííîþY1. Òðåòÿ åíäîãåííà çì³ííà Y3 çàëåæèòü â³ä òèõ ñàìèõ çì³ííèõ, ùî ³ Y2, âèïàäêîâîãî â³äõèëåííÿ ε 3 , à òàêîæ â³ä ïîïåðåäí³õ åíäîãåííèõ çì³ííèõ ( Y1 , Y2 ) ³ ò. ä. 150

Ó öèõ ìîäåëÿõ ñòðóêòóðí³ ð³âíÿííÿ îö³íþþòüñÿ ïîåòàïíî ( Y1 → Y2 → Y3 → ... → YN ). Çàñòîñîâóþ÷è ÌÍÊ äëÿ òàêèõ ìîäåëåé, ìîæíà îòðèìàòè íåçì³ùåí³ òà îáãðóíòîâàí³ îö³íêè. Îäíàê ìîäåë³ äàíîãî òèïó òðàïëÿþòüñÿ äîñèòü ð³äêî. Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó äëÿ îö³íêè ñòðóêòóðíèõ êîåô³ö³ºíò³â ñïî÷àòêó íåîáõ³äíî ïåðåòâîðèòè âèõ³äí³ ð³âíÿííÿ äî çâåäåíî¿ ôîðìè, à ïîò³ì çàñòîñîâóâàòè çâè÷àéíèé ÌÍÊ.

8.6. Ïðîãíîç ³ çàãàëüí³ äîâ³ð÷³ ³íòåðâàëè Òî÷êîâèé ïðîãíîç çàëåæíèõ çì³ííèõ âèçíà÷àºòüñÿ íà ï³äñòàâ³ çâåäåíî¿ (ïðîãíîçíî¿) ôîðìè åêîíîìåòðè÷íî¿ ìîäåë³, çàäàíî¿ ñèñòåìîþ îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü. Âèçíà÷åííÿ äîâ³ð÷èõ ³íòåðâàë³â äëÿ öüîãî ïðîãíîçó çàëåæèòü â³ä ñïîñîáó, ÿêèì áóëî îòðèìàíî çâåäåíó ôîðìó ìîäåë³. Ó çàãàëüíîìó âèïàäêó äîâ³ð÷³ ³íòåðâàëè äëÿ êîæíî¿ åíäîãåííî¿ çì³ííî¿ çàäàþòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿì (Yˆi − tα2/2 Sii2 ,

Yˆi + tα2/2 Sii2 ),

i = 1, 2, ..., r ,

äå t 2α / 2 = Fα — òàáëè÷íå çíà÷åííÿ êðèòåð³þ Ô³øåðà ç äîâ³ð÷èì ð³âíåì α ïðè ( r , n − k − r + 1) ñòóïåíÿõ ñâîáîäè, äå r — ê³ëüê³ñòü ð³âíÿíü ñèñòåìè, n — çàãàëüíà ê³ëüê³ñòü ñïîñòåðåæåíü, k — ê³ëüê³ñòü åêçîãåííèõ çì³ííèõ i-ãî ð³âíÿííÿ ñèñòåìè; Sii2 — äèñïåðñ³ÿ çàëèøê³â i-ãî ð³âíÿííÿ ìîäåë³. Äîâ³ð÷³ ³íòåðâàëè äëÿ âñ³õ åíäîãåííèõ çì³ííèõ âèçíà÷àþòü çà ôîðìóëàìè  [1 + X Tj ( X T X ) −1 X j ](n − k) r 2  Yˆ − Sii ,  i n − k − r +1 

Yˆi +

[1 + X Tj ( X T X )−1 X j ](n − k)r n − k − r +1

 Sii2  , 

äå X j — ìàòðèöÿ ñïîñòåðåæåíü k åêçîãåííèõ çì³ííèõ, ùî ââ³éøëè

â i-òå ð³âíÿííÿ ñèñòåìè, ðîçì³ðîì n × k; X — çàãàëüíà ìàòðèöÿ ñïîñòåðåæåíü ðîçì³ðîì n × r ; r — çàãàëüíà ê³ëüê³ñòü ð³âíÿíü ñèñòåìè.

151

Êîíòðîëüí³ çàïèòàííÿ 1. ßê³ îñíîâí³ ïðè÷èíè âèêîðèñòàííÿ ñèñòåì îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü? 2. Ó ÷îìó ïîëÿãຠîñíîâíà ðîçá³æí³ñòü ì³æ ñòðóêòóðíèìè ð³âíÿííÿìè ñèñòåìè ³ ð³âíÿííÿìè ó çâåäåí³é ôîðì³? 3. ×îìó çâè÷àéíèé ÌÍÊ ïðàêòè÷íî íå âèêîðèñòîâóºòüñÿ äëÿ îö³íþâàííÿ ñèñòåì îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü? 4. Ó ÷îìó ïîëÿãຠñóòü íåïðÿìîãî ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â? 5. ßêà ïðîáëåìà ÷àñòî âèíèêຠâ ïðîöåñ³ ÷èñåëüíîãî îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü çà îö³íêàìè êîåô³ö³ºíò³â çâåäåíèõ ð³âíÿíü? 6. Íàçâ³òü ïðè÷èíè íå³äåíòèô³êîâàíîñò³ é íàä³äåíòèô³êîâàíîñò³ ñèñòåì ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü. 7. Íàâåä³òü íåîáõ³äí³ é äîñòàòí³ óìîâè ³äåíòèô³êîâàíîñò³ ñèñòåì. 8. ßê³ ñèñòåìè ìîæíà îö³íþâàòè çâè÷àéíèì ÌÍÊ? 9. Ó ÷îìó ïîëÿãຠñóòü äâîêðîêîâîãî ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â (2ÌÍÊ)? 10. ßê³ ç íàñòóïíèõ òâåðäæåíü º ³ñòèííèìè, ïîìèëêîâèìè ÷è íåâèçíà÷åíèìè? ³äïîâ³äü ïîÿñí³òü. à. Çâè÷àéíèé ÌÍÊ íåçàñòîñîâíèé äëÿ îö³íþâàííÿ êîåô³ö³ºíò³â ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü ñèñòåì îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü. á. ÌÍÊ ð³äêî âèêîðèñòîâóºòüñÿ äëÿ îö³íþâàííÿ êîåô³ö³ºíò³â ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü ñèñòåì îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü, òîìó ùî ³ñíóþòü ìåòîäè îòðèìàííÿ á³ëüø ÿê³ñíèõ îö³íîê. â. Åêçîãåíí³ òà âèçíà÷åí³ çì³íí³ ìîäåë³ ïî ñóò³ îäíå é òå ñàìå. ã. ²íñòðóìåíòàëüí³ çì³íí³ äàþòü çìîãó ðîçâ’ÿçàòè îäíó ³ç ñåðéîçíèõ ïðîáëåì ñèñòåì îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü — ïðîáëåìó êîðåëüîâàíîñò³ ïîÿñíþþ÷î¿ çì³ííî¿ ç âèïàäêîâèì â³äõèëåííÿì. ä. Ïðîáëåìà íå³äåíòèô³êîâàíîñò³ ïåðåäóñ³ì ïîâ’ÿçàíà ç íåìîæëèâ³ñòþ îòðèìàííÿ îö³íîê êîåô³ö³ºíò³â ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü. å. Íå ³ñíóº ºäèíîãî êðèòåð³þ äëÿ îö³íþâàííÿ çàãàëüíî¿ ÿêîñò³ âñ³º¿ ñèñòåìè îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü. º. ßêùî ð³âíÿííÿ òî÷íî ³äåíòèô³êîâàí³, òî îö³íêè, îòðèìàí³ çà ìåòîäîì ³íñòðóìåíòàëüíèõ çì³ííèõ, ³ îö³íêè, îòðèìàí³ çà 2ÌÍÊ, áóäóòü ³äåíòè÷í³. æ. Îö³íêè, îòðèìàí³ çà 2ÌÍÊ, ìàþòü áàæàí³ âëàñòèâîñò³ ëèøå ïðè âåëèêèõ âèá³ðêàõ. ç. Äëÿ òî÷íî ³äåíòèô³êîâàíèõ ñèñòåì 2ÌÍÊ íå âèêîðèñòîâóºòüñÿ. 152

11. Íåõàé ìàêðîåêîíîì³÷íà ìîäåëü çàêðèòî¿ åêîíîì³êè ìຠòàêèé ñïðîùåíèé âèãëÿä:

 ct = β0 + β1 yt + εt ,   it = γ 0 + γ1rt + vt , y = c + i + g , t t t  t äå ct — îáñÿã ñïîæèâàííÿ â ðîö³ t; yt — ÂÍÏ ó ðîö³ t; it — îáñÿã ³íâåñòèö³é ó ðîö³ t; rt — ïðîöåíòíà ñòàâêà â ðîö³ t; gt — îáñÿã äåðæàâíèõ âèòðàò â ðîö³ t. à. ßê³ ³ç çàçíà÷åíèõ çì³ííèõ äàíî¿ ìîäåë³ º åêçîãåííèìè, à ÿê³ — åíäîãåííèìè? á. ×è º ìîäåëü òî÷íî ³äåíòèô³êîâàíîþ? â. ßê ìîæíà îö³íèòè ïàðàìåòðè ìîäåë³? 12. Ïîÿñí³òü íà ïðèêëàä³ ñèñòåìè òðüîõ ð³âíÿíü, ùî â³äêèäàííÿ â³ä êîæíîãî ð³âíÿííÿ ñèñòåìè ïî îäí³é çì³íí³é íå ìîæå ãàðàíòóâàòè ³äåíòèô³êîâàíîñò³ êîæíîãî ç ðîçãëÿíóòèõ ð³âíÿíü. Âïðàâè òà çàâäàííÿ 1. Ðîçãëÿäàºòüñÿ ìîäåëü

 ct = β0 + β1 yt + εt ,   it = γ 0 + γ1 yt + γ 2 gt −1 + vt , y = c + i + g , t t t  t äå ñt — îáñÿã ñïîæèâàííÿ; it— îáñÿã ³íâåñòèö³é; yt — ïðèáóòîê; gt — îáñÿã äåðæàâíèõ âèòðàò. à. Ïîäàéòå äàíó ñèñòåìó ó çâåäåí³é ôîðì³. á. Ùî ìîæíà ñêàçàòè â³äíîñíî ³äåíòèô³êîâàíîñò³ ôóíêö³¿ ñïîæèâàííÿ òà ôóíêö³¿ ³íâåñòèö³é? â. Ùî ìîæíà áóëî á ñêàçàòè ùîäî îö³íêè ãðàíè÷íî¿ ñõèëüíîñò³ äî ñïîæèâàííÿ, ÿêáè âîíà áóëà âèçíà÷åíà çâè÷àéíèì ÌÍÊ íà îñíîâ³ ð³âíÿííÿ ct = β0 + β1 yt + εt ? 2. Ðîçãëÿäàºòüñÿ ìîäåëü

 ct = β0 + β1 yt + εt ,   it = γ0 + γ1 yt + γ2 yt −1 + vt , y = c + i + g , t t t  t 153

äå ct — îáñÿã ñïîæèâàííÿ; it — îáñÿã ³íâåñòèö³é; yt — ïðèáóòîê; gt — îáñÿã äåðæàâíèõ âèòðàò. à. Ïîäàéòå äàíó ñèñòåìó ó çâåäåí³é ôîðì³. á. Âèçíà÷òå, ÿê³ ç³ ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü ³äåíòèô³êîâàí³. â. ßêèé ìåòîä ìîæíà âèêîðèñòîâóâàòè äëÿ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ðîçãëÿíóòî¿ ìîäåë³? 3. Ðîçãëÿäàºòüñÿ ìîäåëü “ïîïèò — ïðîïîçèö³ÿ”  qtD = α 0 + α1 pt + α 2 yt + α 3 pt −1 + εt ,  S  qt = β0 + β1 pt + vt ,  D S  qt = qt ,

σ(ε i , ε j ) = 0 σ(vi , v j ) = 0

ïðè i ≠ j .

à. ×è áóäóòü ³äåíòèô³êîâàí³ ð³âíÿííÿ äàíî¿ ñèñòåìè? á. ßê³ îö³íêè ïàðàìåòð³â ìîæíà îòðèìàòè ïðè âèêîðèñòàíí³ ÌÍÊ? â. ßê ìîæíà îö³íèòè ð³âíÿííÿ ïðîïîçèö³¿ çà äîïîìîãîþ ìåòîäó ³íñòðóìåíòàëüíèõ çì³ííèõ? ã. ßê ìîæíà îö³íèòè ð³âíÿííÿ ïðîïîçèö³¿ çà äîïîìîãîþ 2ÌÍÊ? ä. ßê ïîâ’ÿçàí³ ì³æ ñîáîþ îö³íêè, îòðèìàí³ â ïóíêòàõ (â) ³ (ã)? å. ×è ìîæíà îö³íèòè ð³âíÿííÿ ïîïèòó íà îñíîâ³ íåïðÿìîãî ÌÍÊ? 4. Ðîçãëÿäàºòüñÿ ìîäåëü “ïîïèò — ïðîïîçèö³ÿ”  Q D = α 0 + α1P + ε,  S  Q = β0 + β1P + β2W + v,  D S  Q = Q ,

Ïîïèò Ïðîïîçèö³ÿ

äå Q — ê³ëüê³ñòü òîâàðó; P — ö³íà òîâàðó; ε, v — âèïàäêîâ³ â³äõèëåííÿ, ùî çàäîâîëüíÿþòü ïåðåäóìîâè ÌÍÊ; W — çàðîá³òíà ïëàòà. Íåõàé º òàê³ ñïîñòåðåæåííÿ: P Q W

10 6 2

15 6 6

5 18 2

8 12 7

4 8 4

à. ßê³ ç³ çì³ííèõ ó äàí³é ìîäåë³ º åêçîãåííèìè, à ÿê³ — åíäîãåííèìè? 154

ëèâî).

á. Ïîäàéòå äàíó ñèñòåìó ó çâåäåíîìó âèãëÿä³. â. Âèçíà÷òå çà ÌÍÊ êîåô³ö³ºíòè çâåäåíèõ ð³âíÿíü (ÿêùî ìîæ-

ã. ×è çá³ãàþòüñÿ çíàêè çíàéäåíèõ êîåô³ö³ºíò³â ç ïåðåäáà÷óâàíèìè òåîðåòè÷íî? ä. Íà îñíîâ³ çíàéäåíèõ çâåäåíèõ êîåô³ö³ºíò³â çà ÍÌÍÊ âèçíà÷òå ñòðóêòóðí³ êîåô³ö³ºíòè äëÿ ôóíêö³¿ ïîïèòó. å. ×è ìîæíà çà ÍÌÍÊ îö³íèòè ñòðóêòóðí³ êîåô³ö³ºíòè äëÿ ôóíêö³¿ ïðîïîçèö³¿? ßêùî òàê, òî ÿê öå çðîáèòè? 5. Íåõàé ìîäåëü “ïðèáóòîê — ñïîæèâàííÿ” ìຠòàêèé âèãëÿä:

ct = β0 + β1 yt + εt ,  it = γ 0 + γ1rt + vt , y = c + i + g , t t t  t äå ct — îáñÿã ñïîæèâàííÿ â ðîö³ t; yt — ÂÍÏ ó ðîö³ t ; it — îáñÿã ³íâåñòèö³é ó ðîö³ t ; rt — ïðîöåíòíà ñòàâêà â ðîö³ t; gt — îáñÿã äåðæàâíèõ âèòðàò ó ðîö³ t. à. ßê³ ³ç çàçíà÷åíèõ çì³ííèõ äàíî¿ ìîäåë³ º åêçîãåííèìè, à ÿê³ — åíäîãåííèìè? á. Ïîÿñí³òü, ÿê³ çíàêè êîåô³ö³ºíò³â î÷³êóþòüñÿ ç ïîãëÿäó åêîíîì³÷íî¿ òåîð³¿. â. Íàâåä³òü ôîðìóëè ðîçðàõóíêó êîåô³ö³ºíò³â òàêèõ ð³âíÿíü:

 yt = π10 + π11rt + π12 gt + v1t ,  ct = π20 + π21rt + π22 gt + v2t , i = π + π r + π g + v . 30 31 t 32 t 2t t ã. ßê³ ç ïàðàìåòð³â ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü ³äåíòèô³êîâàí³? ä. Âèçíà÷òå íà îñíîâ³ ÍÌÍÊ ïàðàìåòðè β0 ³ β1 . 6. Íåõàé ìîäåëü “ïðèáóòîê — ñïîæèâàííÿ” ìຠòàêèé âèãëÿä:

ct = β0 + β1 yt + β1ct −1 + εt ,  it = γ 0 + γ1rt + vt , y = c + i + g , t t t  t äå ct , ct −1 — îáñÿã ñïîæèâàííÿ â ðîêàõ â³äïîâ³äíî t ³ t–1; yt — ÂÍÏ ó ðîö³ t; it — îáñÿã ³íâåñòèö³é ó ðîö³ t; rt — ïðîöåíòíà ñòàâêà â ðîö³ t; gt — îáñÿã äåðæàâíèõ âèòðàò ó ðîö³ t. 155

à. ßê³ ³ç çàçíà÷åíèõ çì³ííèõ äàíî¿ ìîäåë³ º åêçîãåííèìè, åíäîãåííèìè, à ÿê³ — âèçíà÷åíèìè? á. Ïîÿñí³òü, ÿê³ çíàêè êîåô³ö³ºíò³â î÷³êóþòüñÿ ç ïîãëÿäó åêîíîì³÷íî¿ òåîð³¿. â. Âèçíà÷òå ³äåíòèô³êîâàí³ñòü ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü íà îñíîâ³ íåîáõ³äíèõ ³ äîñòàòí³õ óìîâ ³äåíòèô³êàö³¿. ã. Íàâåä³òü ôîðìóëè ðîçðàõóíêó êîåô³ö³ºíò³â â³äïîâ³äíèõ çâåäåíèõ ð³âíÿíü:

 yt = π10 + π11rt + π12 gt + π13ct −1 + v1t ,  ct = π20 + π21rt + π22 gt + π23ct −1 + v2t , i = π + π r + π g + π c + v . 30 31 t 32 t 33 t −1 2t t ä. ßê³ ç ïàðàìåòð³â ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü ³äåíòèô³êîâàí³? å. Îïèø³òü ñõåìó âèêîðèñòàííÿ 2ÌÍÊ äëÿ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü. 7. Ðîçãëÿäàºòüñÿ ñèñòåìà îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü: qt = β0 + β1 pt + β2 it + ε t ,  qt = y1 pt + vt .

à. ßê³ ç³ çì³ííèõ ó äàí³é ìîäåë³ º åêçîãåííèìè, à ÿê³ — åíäîãåííèìè? á. Íåõàé çà ñòàòèñòè÷íèìè äàíèìè îòðèìàíî òàê³ ðåçóëüòàòè:

∑ qt2 = 110, ∑ pt2 = 50, ∑ it2 = 100, ∑ qt pt ∑ qt it

= 90,

∑ pt it

= 100,

= 100.

Çíàéä³òü íà îñíîâ³ ÌÍÊ îö³íêó ïàðàìåòðà γ t . â. Çíàéä³òü îö³íêó öüîãî ñàìîãî ïàðàìåòðà íà îñíîâ³ ÍÌÍÊ ³ 2ÌÍÊ. ã. Ïîð³âíÿéòå çíàéäåí³ îö³íêè. ßêó á ç íèõ âè îáðàëè é ÷îìó? 8. Ðîçãëÿäàºòüñÿ ñèñòåìà îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü  y1t = β0 + β1 y2t + β2 xt + ε t ,   y2t = γ 0 + γ1 y1t + vt .

156

Íåõàé äàíà ñèñòåìà ó çâåäåíîìó âèãëÿä³ âèðàæåíà òàêèìè ñï³ââ³äíîøåííÿìè:  y1t = 2 + 5 xt ,   y2t = 1 + 10 xt .

à. Îö³í³òü ³äåíòèô³êîâàí³ ïàðàìåòðè ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü. á. Îö³í³òü ³äåíòèô³êîâàí³ ïàðàìåòðè ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü ó ïðèïóùåí³, ùî β1 = 0. â. Îö³í³òü ³äåíòèô³êîâàí³ ïàðàìåòðè ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü ó ïðîïîçèö³¿, ÿêùî β0 = 0 . 9. Íàâåäåíî äàí³ ùîäî ÂÂÏ (Y), ñïîæèâàííÿ (C) òà ³íâåñòèö³é (I) äëÿ óìîâíî¿ åêîíîì³êè çà 20 ðîê³â: Y

95,75

98,55

103,55

109,00

108,25

C

60,45

I

14,30

62,45

65,90

68,90

68,45

15,85

17,75

19,70

18,10

Y

107,40

112,70

117,75

123,45

126,55

C

70,00

73,55

I

14,60

17,35

76,55

79,70

81,60

20,00

22,15

22,30

Y

125,85

128,10

125,35

130,25

138,30

C

81,55

I

19,80

82,55

83,45

87,35

91,55

21,00

18,00

20,00

25,25

Y

142,65

146,80

151,30

157,40

161,25

C

95,50

99,00

101,75

105,40

107,45

I

24,85

24,50

25,00

25,80

26,15

à. Ó ïðèïóùåíí³, ùî ñïîæèâàííÿ çàëåæèòü ë³í³éíî â³ä ïðèáóòêó çà ñõåìîþ íàéïðîñò³øî¿ êåéíñ³àíñüêî¿ ìîäåë³ ôîðìóâàííÿ ïðèáóòê³â c t = β 0 + β1 y t + ε t (äèâ. ñ. 126), îö³í³òü çà ÌÍÊ ïàðàìåòðè β0 ³ β1 ôóíêö³¿ ñïîæèâàííÿ. á. Îö³í³òü ò³ ñàì³ ïàðàìåòðè íà îñíîâ³ ÍÌÍÊ. â. Ïîð³âíÿéòå îòðèìàí³ ðåçóëüòàòè. Çðîá³òü âèñíîâêè ùîäî ÿêîñò³ îö³íîê. 157

10. Ðîçãëÿäàºòüñÿ êåéíñ³àíñüêà ìîäåëü ct = β0 + β1 yt + β2Tt + εt ,   it = α 0 + α1 yt −1 + vt ,  Tt = γ 0 + γ1 yt + wt ,  yt = ct + it + gt ,

äå yt — âåëè÷èíà ïðèáóòêó; ct — ñïîæèâàííÿ; it — ³íâåñòèö³¿; Tt — ðîçì³ð ïîäàòê³â; ε, v, w — âèïàäêîâ³ ÷ëåíè. à. ßê³ çì³íí³ â äàí³é ìîäåë³ º åíäîãåííèìè, ÿê³ — åêçîãåííèìè, à ÿê³ — âèçíà÷åíèìè? á. Íà ï³äñòàâ³ íåîáõ³äíèõ ³ äîñòàòí³õ óìîâ ³äåíòèô³êîâàíîñò³ âèçíà÷òå, ÿê³ ç ð³âíÿíü ³äåíòèô³êîâàí³. â. ×è áóäå ³äåíòèô³êîâàíà ñèñòåìà çàãàëîì? ã. Ùî çì³íèòüñÿ, ÿêùî äî ôóíêö³¿ ³íâåñòèö³é äîäàòè åêçîãåííó çì³ííó rt — ïðîöåíòíó ñòàâêó â ðîö³ t? 11. Ðîçãëÿäàºòüñÿ ìîäåëü  rt = β0 + β1 yt + β2 mt + εt ,   yt = α 0 + α1 rt + vt ,

äå rt — ïðîöåíòíà ñòàâêà â ðîö³ t; yt — ÂÂÏ ó ðîö³ t; mt — ãðîøîâà ìàñà â ðîö³ t. à. ×è ìîæíà ³äåíòèô³êóâàòè ð³âíÿííÿ ðîçãëÿíóòî¿ ìîäåë³? á. ßêèé ìåòîä âèçíà÷åííÿ îö³íîê ïàðàìåòð³â äîö³ëüíèé äëÿ ðîçãëÿíóòî¿ ìîäåë³? â. Íà ï³äñòàâ³ íàâåäåíèõ äàë³ ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ îö³í³òü ïàðàìåòðè ³äåíòèô³êîâàíèõ ð³âíÿíü. ×è çá³ãàþòüñÿ çíàêè çíàéäåíèõ îö³íîê ç ïåðåäáà÷óâàíèìè òåîðåòè÷íî? rt yt mt

4,45

7,00

7,50

95,75

98,5

103,55

109,00

108,25

58,30

60,00

60,55

64,50

65,00

rt

8,75

9,70

10,00

11,50

7,75

107,40

112,70

117,75

23,45

126,55

63,45

67,60

70,50

74,00

76,50

yt mt

158

6,55

4,55

rt yt mt rt yt mt

6,00

6,10

5,90

9,80

8,00

125,85

128,10

125,35

130,25

138,30

75,00

77,25

74,00

78,45

85,50

7,50

7,00

6,50

7,40

5,50

142,65

146,80

151,30

157,40

161,25

87,00

88,00

90,50

94,40

96,50

12. Ðîçãëÿäàºòüñÿ ìàêðîåêîíîì³÷íà ìîäåëü ct = β0 + β1 yt + β2 rt + ε1t ,   rt = α 0 + α1it + α 2 mt + ε2 t ,   it = γ 0 + γ1rt + γ 2 ( y t − y t −1) + ε3t ,  yt = ct + it + gt ,

äå ct — îáñÿã ñïîæèâàííÿ â ðîö³ t; yt — ÂÂÏ ó ðîö³ t ; rt — ïðîöåíòíà ñòàâêà â ðîö³ t; it — îáñÿã ³íâåñòèö³é ó ðîö³ t ; mt — ãðîøîâà ìàñà M t â ðîö³ t; gt — îáñÿã äåðæàâíèõ âèòðàò ó ðîö³ t. à. ßê³ ç ðîçãëÿíóòèõ ð³âíÿíü ³äåíòèô³êîâàí³? á. ßêèì ìåòîäîì ìîæóòü áóòè îö³íåí³ ïàðàìåòðè ³äåíòèô³êîâàíèõ ð³âíÿíü? 13. Ðîçãëÿäàºòüñÿ ìîäåëü, ùî ñêëàäàºòüñÿ ç äâîõ ð³âíÿíü:  yt = α 0 + α1 xt + ε1t ,   zt = β0 + β1 yt + ε2t ,

σ(ε1 , ε2 ) = 0.

à. ßêèì ìåòîäîì ìîæíà îö³íèòè ðîçãëÿíóòó ñèñòåìó? ×è ìîæå áóòè äëÿ öüîãî âèêîðèñòàíèé çâè÷àéíèé ÌÍÊ? á. ×è áóäóòü îö³íêè, îòðèìàí³ çà ÌÍÊ, çá³ãàòèñÿ ç îö³íêàìè 2ÌÍÊ? â. ßê ìîæíà îö³íèòè äàíó ñèñòåìó, ÿêùî â ¿¿ äðóãå ð³âíÿííÿ ÿê ïîÿñíþþ÷ó çì³ííó áóäå ââåäåíî çì³ííó X? 14. Ðîçãëÿäàºòüñÿ ìîäåëü ïîïèòó òà ïðîïîçèö³¿ äëÿ ãðîøåé:  mtD = α0 + α1 yt + α2 rt −1 + α 3 pt −1 + ε1t ,  S  mt = β0 + β1 yt + ε2t ,

159

äå mtD — îáñÿã ïîïèòó íà ãðîø³; mtS — îáñÿã ïðîïîçèö³¿ ãðîøåé ó ðîö³ t; yt — ïðèáóòîê; rt −1 — ïðîöåíòíà ñòàâêà; pt −1 — ³íäåêñ ö³í ó ðîö³ (t − 1). à. ×è áóäóòü ³äåíòèô³êîâàí³ îáèäâ³ ôóíêö³¿? á. ßêèì ìåòîäîì ìîæóòü áóòè çíàéäåí³ îö³íêè ³äåíòèô³êîâàíèõ ïàðàìåòð³â? â. Ùî â³äáóäåòüñÿ ç ³äåíòèô³êîâàíîþ ñèñòåìîþ, ÿêùî äî ôóíêö³¿ ïðîïîçèö³¿ äîäàòè ÿê ïîÿñíþþ÷³ çì³íí³ yt −1 ³ mt −1? ã. ßêèé ìåòîä âèçíà÷åííÿ îö³íîê äîö³ëüíèé ïðè âèêîíàíí³ ïîïåðåäíüîãî ïóíêòó?

Ðîçä³ë 9. ÌÅÒÎÄÈ ÄÎÑ˲ÄÆÅÍÍß ßʲÑÍÈÕ ÅÊÎÍÎ̲×ÍÈÕ ÏÎÊÀÇÍÈʲ 9.1. ßê³ñí³ åêîíîì³÷í³ ïîêàçíèêè Çâè÷àéíî íåçàëåæí³ çì³íí³ â ðåãðåñ³éíèõ ìîäåëÿõ ìàþòü “íåïåðåðâí³” îáëàñò³ çì³íþâàííÿ (íàö³îíàëüíèé äîõ³ä, îáñÿãè âèðîáíèöòâà, ðîçì³ð çàðîá³òíî¿ ïëàòè òîùî), òîáòî º ìåòðè÷íî (ê³ëüê³ñíî) âèì³ðÿíèìè âåëè÷èíàìè. Ó ðåàëüíèõ ñèòóàö³ÿõ åêîíîì³÷í³ ÿâèùà á³ëüø ð³çíîìàí³òí³. Íà çàëåæíó çì³ííó êð³ì ê³ëüê³ñíèõ ôàêòîð³â âïëèâàþòü ³ ÿê³ñí³: ÿê³ñòü ïðîäóêö³¿, ð³âåíü ïðîôåñ³éíî¿ ï³äãîòîâêè ïðàö³âíèê³â, ¿õíÿ ñòàòü, ñòðàéêè, çì³íè â åêîíîì³÷í³é ïîë³òèö³ òîùî. ×àñòî çì³íí³, ùî â³äîáðàæàþòü ÿê³ñí³ õàðàêòåðèñòèêè îᒺêòà, íàáóâàþòü ëèøå äâîõ çíà÷åíü: 1 — ÿêùî ïåâíà îçíàêà ïðèñóòíÿ; 0 — ÿêùî âîíà â³äñóòíÿ. Òàê³ çì³íí³ íàçèâàþòü á³íàðíèìè, äèõîòîìíèìè àáî dummyçì³ííèìè. Ó ïåðåêëàä³ ç àíãë³éñüêî¿ ìîâè dummy variables îçíà÷ຠ“ô³êòèâí³ çì³íí³”, õî÷à íàñïðàâä³ ¿õ “ô³êòèâí³ñòü” ïîëÿãຠëèøå â òîìó, ùî âîíè ê³ëüê³ñíî îïèñóþòü äåÿêó ÿê³ñíó îçíàêó. Äèõîòîìí³ çì³íí³ âèêîðèñòîâóþòü ó ðåãðåñ³éíèõ ìîäåëÿõ ïîðÿä ç ê³ëüê³ñíèìè çì³ííèìè àáî óòâîðþþòü ðåãðåñ³éí³ ìîäåë³, ó ÿêèõ âñ³ ôàêòîð³ º ÿê³ñíèìè (á³íàðíèìè) çì³ííèìè. Ïîºäíàííÿ â ìîäåë³ ê³ëüê³ñíèõ òà ÿê³ñíèõ ôàêòîð³â çíà÷íî ðîçøèðþº ìîæëèâîñò³ ðåãðåñ³éíîãî àíàë³çó, à îòæå, ìîæëèâîñò³ ïðîãíîçóâàííÿ òà ï³äãîòîâêè ïðèéíÿòòÿ ð³øåíü. Íàïðèêëàä, ïðè äîñë³äæåíí³ çàðîá³òíî¿ ïëàòè ìîæå âèíèêíóòè ïèòàííÿ çàëåæíîñò³ ¿¿ â³ä ð³âíÿ îñâ³òè, â³ä ñòàò³ ïðàö³âíèêà òîùî. Çà ïåâíèìè ÿê³ñíèìè îçíàêàìè, çâè÷àéíî, äàí³ ìîæíà ïîä³ëèòè çà êàòåãîð³ÿìè é âèâ÷àòè êîæíó çàëåæí³ñòü îêðåìî, à âæå ïîò³ì øóêàòè â³äì³ííîñò³ ì³æ íèìè. Àëå ââåäåííÿ äîäàòêîâî¿ á³íàðíî¿ çì³ííî¿ äຠ161

çìîãó îö³íþâàòè îäíå ð³âíÿííÿ, ó ÿêîìó ð³çí³ êëàñè ñïîñòåðåæåíü ðîçä³ëÿþòüñÿ çà äîïîìîãîþ ö³º¿ çì³ííî¿. Ïðèêëàä 9.1. Íåõàé ðåãðåñ³éíà ìîäåëü çàëåæíîñò³ çàðîá³òíî¿ ïëàòè y â³ä äåÿêèõ ê³ëüê³ñíèõ ôàêòîð³â x1 , x2 , ..., xm ìຠâèãëÿä y = a0 + a1 x1 + a2 x2 + ... + am xm + u.

Òîä³ äëÿ âèâ÷åííÿ âïëèâó âèùî¿ îñâ³òè íà ð³âåíü îïëàòè ïðàö³ ââîäÿòü íîâó çì³ííó d, ÿêà ìîæå íàáóâàòè äâîõ çíà÷åíü: d = 1, ÿêùî ðîá³òíèê ìຠâèùó îñâ³òó, òà d = 0 , ÿêùî íå ìàº. Ìîäåëü, ùî âðàõîâóº öåé ôàêòîð, ìàòèìå âèãëÿä y = a0 + a1 x1 + a2 x2 + ... + am xm + δd + u,

òîáòî çà íàÿâíîñò³ âèùî¿ îñâ³òè çàðîá³òíà ïëàòà â ñåðåäíüîìó ñòàíîâèòü

y = a0 + a1 x1 + a2 x2 + ... + am xm + δ, à çà ¿¿ â³äñóòíîñò³

y = a0 + a1 x1 + a2 x2 + ... + am xm . Ó òàêîìó ðàç³ êîåô³ö³ºíò δ ìຠâ³äîáðàæàòè çì³íè â çàðïëàò³ ïðè ïåðåõîä³ ðîá³òíèê³â ç îäí³º¿ êàòåãî𳿠(áåç âèùî¿ îñâ³òè) â ³íøó (ç âèùîþ îñâ³òîþ). Ïàðàìåòðè òàêî¿ ìîäåë³ îö³íþþòüñÿ çà äîïîìîãîþ ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â, à çíà÷óù³ñòü ïàðàìåòðà δ, âñòàíîâëåíà â ïðîöåñ³ ïåðåâ³ðêè íóëüîâî¿ ã³ïîòåçè H 0 : δ = 0, îçíà÷ຠíàÿâí³ñòü ñóòòºâèõ â³äì³ííîñòåé ó çàðîá³òí³é ïëàò³ ðîá³òíèê³â äâîõ çàçíà÷åíèõ êàòåãîð³é. ßêùî ÿê³ñíà îçíàêà ìຠíå äâà, à á³ëüøå çíà÷åíü, òî âèêîðèñòîâóþòü ê³ëüêà á³íàðíèõ çì³ííèõ. Ïðè÷îìó ¿õ ê³ëüê³ñòü íà îäèíèöþ ìåíøà, í³æ ê³ëüê³ñòü ðîçãëÿíóòèõ êàòåãîð³é. Öå ïîâ’ÿçàíî ç òèì, ùî ñóìà á³íàðíèõ çì³ííèõ, ÿê³ â³äïîâ³äàþòü ð³çíèì êàòåãîð³ÿì, çàâæäè äîð³âíþâàòèìå îäèíèö³ äëÿ âñ³õ ñïîñòåðåæåíü (òîáòî êîæíå ñïîñòåðåæåííÿ, íàïåâíî, ïîòðàïëÿº äî ÿêî¿ñü îäí³º¿ êàòåãîð³¿). À òàêå ñï³ââ³äíîøåííÿ îçíà÷ຠíàÿâí³ñòü ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³ ì³æ íåçàëåæíèìè çì³ííèìè ³ óíåìîæëèâëþº îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ìîäåë³ çà ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â. 162

9.2. Ðåãðåñ³éí³ ìîäåë³ ç á³íàðíèìè íåçàëåæíèìè çì³ííèìè Îäí³ºþ ³ç ñôåð çàñòîñóâàííÿ á³íàðíèõ çì³ííèõ º àíàë³ç ñåçîííèõ êîëèâàíü. Çà äîïîìîãîþ öèõ çì³ííèõ ìîæíà óñóíóòè ñåçîíí³ êîëèâàííÿ ç ìåòîþ âèçíà÷åííÿ ãîëîâíèõ òåíäåíö³é ðîçâèòêó ïåâíîãî åêîíîì³÷íîãî ïðîöåñó. Ïðèêëàä 9.2. Íåõàé y — îáñÿã ñïîæèâàííÿ ïåâíîãî ïðîäóêòó, ÿêèé çàëåæèòü â³ä ïîðè ðîêó. Äëÿ âèÿâëåííÿ ñåçîííîñò³ ìîæíà ââåñòè á³íàðí³ çì³íí³ d1, d2 , d3 : d1 = 1, ÿêùî ì³ñÿöü ðîêó çèìîâèé, d1 = 0 — â ³íøèõ âèïàäêàõ; d2 = 1, ÿêùî ì³ñÿöü ðîêó âåñíÿíèé, d2 = 0 — â ³íøèõ âèïàäêàõ; d3 = 1, ÿêùî ì³ñÿöü ðîêó ë³òí³é, d3 = 0 — â ³íøèõ âèïàäêàõ. Íà áàç³ â³äïîâ³äíèõ ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â ìîæíà îö³íèòè ïàðàìåòðè a0 , a1 , a2 , a3 ë³í³éíîãî ðåãðåñ³éíîãî ð³âíÿííÿ

y = a0 + a1 d1 + a2 d2 + a3d3 + u. Îòðèìàí³ ðåçóëüòàòè ìàþòü òàêèé çì³ñò: êîåô³ö³ºíò a0 âèçíà÷ຠñåðåäíüîì³ñÿ÷íèé îáñÿã ñïîæèâàííÿ äîñë³äæóâàíîãî ïðîäóêòó; ñóìè êîåô³ö³ºíò³â a0 + a1 , a0 + a2 , a0 + a3 — îáñÿã ñïîæèâàííÿ â³äïîâ³äíî âçèìêó, íàâåñí³ òà âë³òêó. Îòæå, ïàðàìåòðè a1 , a2 , a3 âêàçóþòü íà ñåçîíí³ â³äõèëåííÿ â îáñÿãàõ ñïîæèâàííÿ ïðîäóêòó â³äíîñíî îñ³íí³õ ì³ñÿö³â. Ïåðåâ³ðêà ñòàòèñòè÷íî¿ çíà÷óùîñò³ êîæíîãî ç êîåô³ö³ºíò³â ðåãðåñ³¿ âèêîíóºòüñÿ çà äîïîìîãîþ òðàäèö³éíîãî t-òåñòó. Ïðèéíÿòòÿ ã³ïîòåçè ïðî ð³âí³ñòü íóëþ êîæíîãî ç ïàðàìåòð³â îçíà÷ຠíåñóòòºâó ð³çíèöþ ì³æ ñïîæèâàííÿì â îñ³íí³é ïåð³îä ³ ñïîæèâàííÿì â ³íøèé ñåçîí. Êîìïëåêñíà ã³ïîòåçà a1 = a2 = a3 = 0 ïåðåâ³ðÿºòüñÿ çà äîïîìîãîþ F-òåñòó. Çîêðåìà, ÿêùî ïðèéìàºòüñÿ ïðèïóùåííÿ a1 = a2, òî öå îçíà÷àº, ùî ñïîæèâàííÿ âçèìêó òà âåñíîþ íå â³äð³çíÿþòüñÿ ì³æ ñîáîþ ³ ò. ³í. Ïðèêëàä 9.3. Ðîçãëÿíåìî ùå îäèí ïðèêëàä çàñòîñóâàííÿ ô³êòèâíèõ çì³ííèõ. Íåõàé y — ñåðåäíüîì³ñÿ÷íèé îáñÿã ñïîæèâàííÿ äåÿêîãî ³íäèâ³äà, à I — éîãî ñåðåäíüîì³ñÿ÷íèé äîõ³ä. Ó ë³í³éí³é ðåãðåñ³éí³é ìîäåë³ çàëåæíîñò³ ñïîæèâàííÿ â³ä äîõîäó 163

y = a0 + a1 I + u

êîåô³ö³ºíò a1 íàçèâàºòüñÿ “ñõèëüí³ñòþ äî ñïîæèâàííÿ”. Ùîá âèçíà÷èòè âïëèâ ñåçîíó íà ñõèëüí³ñòü äî ñïîæèâàííÿ, ÿê ³ â ïîïåðåäíüîìó ïðèêëàä³, çàñòîñîâóþòü á³íàðí³ çì³íí³ d1 , d2 , d3 , à ìîäåëü ïðè öüîìó íàáèðຠâèãëÿäó

y = a0 + a1 d1 + a2 d2 + a3d3 + a4 d1I + a5 d2 I + a6 d3 I + a7 I + u. Êîåô³ö³ºíòè ö³º¿ ìîäåë³ a7 , a4 + a7 , a5 + a7, a6 + a7 âèçíà÷àþòü ñõèëüí³ñòü äî ñïîæèâàííÿ â³äïîâ³äíî âîñåíè, çèìîþ, âåñíîþ òà âë³òêó. ßê ³ â ïîïåðåäí³é ìîäåë³ ïåðåâ³ðÿþòüñÿ ã³ïîòåçè ïðî â³äñóòí³ñòü ñåçîííèõ âïëèâ³â íà ñõèëüí³ñòü äî ñïîæèâàííÿ. Êð³ì òîãî, á³íàðí³ çì³íí³ âèêîðèñòîâóþòü òàêîæ ïðè äîñë³äæåíí³ ìîäåëåé, ÿê³ îïèñóþòü ñòðóêòóðí³ çì³íè â åêîíîì³ö³. Ðîçãëÿíåìî òàêèé ïðèêëàä. Ïðèêëàä 9.4. Íåõàé äîñë³äæóºòüñÿ çàëåæí³ñòü îáñÿãó âèïóùåíî¿ ï³äïðèºìñòâîì ïðîäóêö³¿ y â³ä îáñÿãó éîãî îñíîâíîãî ôîíäó x. Ïðèïóñêàºòüñÿ, ùî ï³ñëÿ äîñÿãíåííÿ îñíîâíèì ôîíäîì ï³äïðèºìñòâà ðîçì³ðó x â³äáóâàºòüñÿ ïåâíà ñòðóêòóðíà ïåðåáóäîâà ï³äïðèºìñòâà. Çàëåæí³ñòü âèïóñêó ïðîäóêö³¿ â³ä îñíîâíîãî ôîíäó â ðåçóëüòàò³ ïåðåáóäîâè çì³íþºòüñÿ, àëå çàãàëîì çàëèøàºòüñÿ íåïåðåðâíîþ. Ó òàêîìó ðàç³ ôóíêö³ÿ çàëåæíîñò³ ìàòèìå êóñêîâî-ë³í³éíèé ãðàô³ê, ÿêèé â³äîáðàæຠòàêà ðåãðåñ³éíà ìîäåëü: y = a0 + a1 x + a2 ( x − x )d + u ,

äå á³íàðíà çì³ííà d = 0 , ÿêùî x ≤ x , ³ d = 1, ÿêùî x > x . ßêùî â ðåçóëüòàò³ òåñòóâàííÿ çíà÷óùîñò³ ïàðàìåòð³â ìîäåë³ ïðèéìàºòüñÿ íóëüîâà ã³ïîòåçà H 0 : a2 = 0, òî öå îçíà÷àº, ùî ñòðóêòóðíà çì³íà íà ï³äïðèºìñòâ³ íå â³äáóëàñÿ. Çàóâàæèìî, ùî ñïîñ³á óâåäåííÿ â ìîäåëü á³íàðíèõ çì³ííèõ çàëåæèòü â³ä àïð³îðíî¿ ³íôîðìàö³¿ ùîäî âïëèâó ÿê³ñíèõ ôàêòîð³â íà çàëåæíó çì³ííó ³ â³ä ã³ïîòåç, ÿê³ íåîáõ³äíî ïåðåâ³ðèòè íà ï³äñòàâ³ ö³º¿ ³íôîðìàö³¿. Ó ñâîþ ÷åðãó öåé ñàìèé ñïîñ³á âèçíà÷àº, ÿê áóäóòü ³íòåðïðåòîâàí³ îòðèìàí³ îö³íêè ïàðàìåòð³â ìîäåë³.

164

9.3. Ðåãðåñ³éí³ ìîäåë³ ç á³íàðíèìè çàëåæíèìè çì³ííèìè Á³íàðíèìè (äèõîòîìíèìè) ìîæóòü áóòè íå ëèøå íåçàëåæí³, à é çàëåæí³ çì³íí³. Òàê³ äàí³ îòðèìóþòü, ÿê ïðàâèëî, ï³ä ÷àñ îïèòóâàííÿ íàñåëåííÿ, ïåðåïèñó òîùî. Äàí³ îïèòóâàíü çàçâè÷àé ÿê³ñí³, òîáòî â³äòâîðþþòü ïåâíèé ÿê³ñíèé ñòàí äîñë³äæóâàíîãî îᒺêòà. Çàëåæíà çì³ííà ïðè öüîìó íàáóâຠäâîõ çíà÷åíü: yi = 1, ÿêùî i-é åëåìåíò îᒺêòà ïåðåõîäèòü ó ïåâíèé ñòàí ÷è ìຠïåâíó âëàñòèâ³ñòü (îçíàêó), yi = 0 — â ³íøèõ âèïàäêàõ. Íàïðèêëàä, yi = 1, ÿêùî ïîêóïåöü (i-é ðåñïîíäåíò) êóïèâ ïåâíèé òîâàð, yi = 0 , ÿêùî íå êóïèâ; áåçðîá³òíèé çíàéøîâ ( yi = 1) ÷è íå çíàéøîâ ( yi = 0 ) ðîáî÷å ì³ñöå; ñ³ì’ÿ êóïèëà ( yi = 1) ÷è íå êóïèëà ( yi = 0) âëàñíó êâàðòèðó ³ ò. ³í. Ôàêòîðè, ùî âïëèâàþòü íà òîé ÷è ³íøèé ñòàí îᒺêòà, çâè÷àéíî ìîæóòü áóòè ê³ëüê³ñíèìè. Çì³íþâàííÿ çàëåæíî¿ çì³ííî¿ â öüîìó ðàç³ ìîæíà ³íòåðïðåòóâàòè ÿê ³ìîâ³ðí³ñòü ïåâíî¿ ïî䳿. Íàïðèêëàä, êóï³âëÿ äåÿêîãî òîâàðó çàëåæèòü â³ä ð³âíÿ äîõîäó ïåâíî¿ îñîáè ÷è ñ³ì’¿, àëå ÿêùî îñîáà ÷è ñ³ì’ÿ öåé òîâàð ìàº, òî íàâðÿä ÷è íàéáëèæ÷èì ÷àñîì áóäå çä³éñíåíî ùå òàêó ñàìó ïîêóïêó. ijàãðàìà ðîçñ³þâàííÿ çàëåæíîñò³ öèõ äâîõ ïîêàçíèê³â òàêà: íåçàëåæíà çì³ííà (äîõ³ä) íàáóâຠïåâíèõ çíà÷åíü íà ÷èñëîâ³é îñ³ x, à äàí³ ñïîñòåðåæåííÿ çàëåæíî¿ çì³ííî¿ y ðîçì³ùåí³ ëèøå íà äâîõ ïàðàëåëüíèõ ïðÿìèõ y = 0 ³ y = 1. Çàñòîñóâàííÿ êëàñè÷íî¿ ðåãðåñ³éíî¿ çàëåæíîñò³ â òàêèõ âèïàäêàõ íå äຠáàæàíèõ ðåçóëüòàò³â: íà ê³íöÿõ ïðîì³æêó ñïîñòåðåæåíü ðåãðåñ³éíà ïðÿìà çíà÷íî â³äõèëÿºòüñÿ â³ä òî÷îê ñïîñòåðåæåííÿ. Çîêðåìà, íà ïî÷àòêîâîìó åòàï³ âîíà íàáóâàòèìå â³ä’ºìíèõ çíà÷åíü, à íà ê³íöåâîìó — çíà÷åíü, á³ëüøèõ â³ä îäèíèö³ (ðèñ. 9.1). ßêùî çàëåæíà çì³ííà ³íòåðïðåòóºòüñÿ ÿê ³ìîâ³ðí³ñòü êóï³âë³, òàê³ ðåçóëüòàòè âçàãàë³ àáñóðäí³. Ó òàêèõ âèïàäêàõ äîö³ëüí³øå ïðèïóñòèòè, ùî çàëåæí³ñòü ì³æ ðîçãëÿíóòèìè ïîêàçíèêàìè íåë³í³éíà. ijéñíî, äëÿ ñ³ìåé (îñ³á) ç íèçüêèì ð³âíåì äîõîäó ïðèð³ñò ∆x ìàëî çì³íþº éìîâ³ðí³ñòü äîäàòêîâèõ âèòðàò, à ïðè çíà÷íîìó ï³äâèùåíí³ ð³âíÿ äîõîäó òîé ñàìèé ïðèð³ñò ∆x çíà÷íî çá³ëüøóº éìîâ³ðí³ñòü íîâèõ ïðèäáàíü. ßêùî ñ³ì’ÿ âæå ìຠäîñèòü âèñîêèé ð³âåíü äîõîäó ³ çàáåçïå÷èëà ñåáå íåîáõ³äíèìè òîâàðàìè, ìàðíî ñïîä³âàòèñÿ íà íîâ³ ïîêóïêè.

165

Ðèñ. 9.1

Ëîã³÷íî ïðèïóñòèòè, ùî ðåãðåñ³éíà ôóíêö³ÿ, ÿê ³ ôóíêö³ÿ ðîçïîä³ëó âèïàäêîâî¿ âåëè÷èíè, ìຠS-ïîä³áíó òðàºêòîð³þ ðîçâèòêó (ðèñ. 9.2). Ïðàêòèêîþ ïåðåâ³ðåíî, ùî ôóíêö³¿ ðîçïîä³ëó äîõîä³â ìîæóòü áóòè ï³äïîðÿäêîâàí³ íîðìàëüíîìó ÷è ëîã³ñòè÷íîìó çàêîíó ðîçïîä³ëó.

x Ðèñ. 9.2

Îçíà÷åííÿ 9.1. Ðåãðåñ³éíà ìîäåëü ç á³íàðíîþ (äèõîòîìíîþ) çàëåæíîþ çì³ííîþ, ùî ìຠíîðìàëüíèé ðîçïîä³ë, íàçèâàºòüñÿ ïðîá³òìîäåëëþ. Îçíà÷åííÿ 9.2. Ðåãðåñ³éíà ìîäåëü, ó ÿê³é çàëåæíà çì³ííà ï³äïîðÿäêîâàíà ëîã³ñòè÷íîìó çàêîíó ðîçïîä³ëó, íàçèâàºòüñÿ ëîã³ò-ìîäåëëþ. Âèâ÷åííÿ âçàºìîçâ’ÿçêó ðåãðåñ³¿ ç á³íàðíîþ çàëåæíîþ çì³ííîþ äຠï³äñòàâó äëÿ âèáîðó äîö³ëüíî¿ ôîðìè ðåãðåñ³éíîãî ñï³ââ³äíîøåííÿ, 166

â³äì³ííî¿ â³ä çâè÷àéíî¿ ë³í³éíî¿ ðåãðåñ³¿, ÷èì ðîçøèðþº ìîæëèâîñò³ ìîäåëþâàííÿ òà ïðîãíîçóâàííÿ ñïåöèô³÷íèõ çàëåæíîñòåé ì³æ åêîíîì³÷íèìè ïîêàçíèêàìè (ê³ëüê³ñíèìè òà ÿê³ñíèìè). Ïðîãíîçè éìîâ³ðíîñòåé çà ïåðåòâîðåíèìè ìîäåëÿìè ðåãðåñ³¿ (çîêðåìà, çà ëîã³ò- ³ ïðîá³ò-ìîäåëÿìè) çàñòîñîâóþòüñÿ â áàãàòüîõ ãàëóçÿõ ëþäñüêî¿ ä³ÿëüíîñò³, â åêîíîì³÷íèõ ³ ñîö³àëüíèõ äîñë³äæåííÿõ. Àíàëîã³÷í³ ï³äõîäè ìîæóòü çàñòîñîâóâàòèñü ³ äëÿ ³íøèõ ÿê³ñíèõ çì³ííèõ òà óçàãàëüíåíèõ ìîäåëåé ðåãðåñ³¿. Êîíòðîëüí³ çàïèòàííÿ 1. ßê³ îñîáëèâîñò³ åêîíîì³÷íîãî ÿâèùà ìîæíà äîñë³äèòè, âèêîðèñòîâóþ÷è á³íàðí³ çì³íí³? 2. Íàâåä³òü ïðèêëàäè âèêîðèñòàííÿ á³íàðíèõ íåçàëåæíèõ çì³ííèõ. 3. Íàâåä³òü ïðèêëàäè âèêîðèñòàííÿ á³íàðíèõ çàëåæíèõ çì³ííèõ. 4. ßê íàçèâàþòüñÿ ìîäåë³, ùî ì³ñòÿòü á³íàðí³ çàëåæí³ çì³íí³? 5. ßêèìè º â³äì³ííîñò³ ì³æ ìîäåëÿìè, ùî ì³ñòÿòü á³íàðí³ çàëåæí³ çì³íí³?

167

ÒÅÑÒβ ÇÀÂÄÀÍÍß Ç ÅÊÎÍÎÌÅÒв¯ Âàð³àíò 1 1. Äàéòå âèçíà÷åííÿ åêîíîìåòð³¿: 1) íàóêà, ùî âèâ÷ຠâèì³ðí³ñòü çâ’ÿçê³â ó â³äïîâ³äíîìó åêîíîì³÷íîìó àíàë³ç³; 2) íàóêà, ùî çàñòîñîâóº ìàòåìàòè÷í³ òà ìàòåìàòèêî-ñòàòèñòè÷í³ ìåòîäè â åêîíîì³ö³; 3) íàóêà, ùî âèâ÷ຠìåòîäè îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ìîäåëåé, ÿê³ õàðàêòåðèçóþòü ê³ëüê³ñí³ âçàºìîçâ’ÿçêè ì³æ åêîíîì³÷íèìè ïîêàçíèêàìè. 2. Ñòðóêòóðó åêîíîìåòðè÷íî¿ ìîäåë³ âèçíà÷àþòü: 1) íåçàëåæí³ çì³íí³; 2) çàëåæí³ çì³íí³; 3) ïàðàìåòðè. 3. Âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ — öå: 1) ä³ÿëüí³ñòü äåÿêîãî ï³äïðèºìñòâà, ñïðÿìîâàíà íà âèðîáíèöòâî ïåâíîãî âèäó ïðîäóêö³¿; 2) ñèñòåìà âçàºìîçâ’ÿçê³â, ÿê³ âñòàíîâëþþòüñÿ ì³æ âèðîáíè÷èìè îäèíèöÿìè (ï³äðîçä³ëàìè ï³äïðèºìñòâà) ó ïðîöåñ³ ¿õ ôóíêö³îíóâàííÿ; 3) çàëåæí³ñòü ì³æ îáñÿãîì âèðîáëåíî¿ ïðîäóêö³¿ òà ñïîæèòèìè äëÿ öüîãî ïåâíèìè ðåñóðñàìè. 4. Åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü º: 1) ñòîõàñòè÷íîþ; 2) äåòåðì³íîâàíîþ; 3) ñòðóêòóðíîþ. 5. Ïîêàçíèê, ùî õàðàêòåðèçóº âåëè÷èíó ðîçêèäó âèïàäêîâî¿ ñêëàäîâî¿ ð³âíÿííÿ ðåãðåñ³¿, íàçèâàºòüñÿ: 1) êîåô³ö³ºíòîì êîðåëÿö³¿; 2) ñòàíäàðòíîþ ïîõèáêîþ ïàðàìåòðà; 3) ñòàíäàðòíîþ ïîõèáêîþ ð³âíÿííÿ. 168

6. Êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿ âèçíà÷àºòüñÿ çà ôîðìóëîþ: n

2

1) R =

∑ ( yˆi − y )2 i =1 n

∑ ( yi − yˆi )

2

n

2

2) R =

;

i =1

∑ ( yi − yˆi )2 i =1 n

∑ ( yi − y )2

;

i =1

n

3) R 2 =

∑ ( yi − y)2 i =1 n

∑ ( yi − yˆi )

2

.

i =1

7. Êðèòåð³é Ô³øåðà çàñòîñîâóºòüñÿ äëÿ ïåðåâ³ðêè çíà÷óùîñò³: 1) îö³íîê ïàðàìåòð³â ìîäåë³; 2) åêîíîìåòðè÷íî¿ ìîäåë³; 3) êîåô³ö³ºíòà ìíîæèííî¿ êîðåëÿö³¿. 8. ßêùî ³ñíóº âçàºìîçàëåæí³ñòü ïîñë³äîâíèõ ÷ëåí³â ÷àñîâîãî ÷è ïðîñòîðîâîãî ðÿäó, òî ìàºìî ÿâèùå: 1) ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³; 2) àâòîêîðåëÿö³¿; 3) ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³. 9. Âèì³ðþâàííÿ çâ’ÿçêó ì³æ åêîíîì³÷íèìè ïîêàçíèêàìè ç óðàõóâàííÿì ÷àñîâèõ çñóâ³â âèêîíóºòüñÿ íà îñíîâ³: 1) äèíàì³÷íèõ ìîäåëåé; 2) ìîäåëåé ðîçïîä³ëåíîãî ëàãà; 3) ñèñòåì ñòðóêòóðíèõ ð³âíÿíü. 10. Äëÿ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ñèñòåì îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü çàñòîñîâóºòüñÿ: 1) çâàæåíèé ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â; 2) óçàãàëüíåíèé ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â; 3) íåïðÿìèé ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â. Âàð³àíò 2 1. Çàçíà÷òå íàéñóòòºâ³øó çàäà÷ó åêîíîìåòðè÷íîãî äîñë³äæåííÿ: 1) ïîáóäîâà åêîíîìåòðè÷íèõ ìîäåëåé; 2) îö³íêà òà ïåðåâ³ðêà åêîíîìåòðè÷íèõ ìîäåëåé; 3) ïðîãíîçóâàííÿ åêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â íà îñíîâ³ åêîíîìåòðè÷íèõ ìîäåëåé. 169

2. Ïðè ïîáóäîâ³ åêîíîìåòðè÷íî¿ ìîäåë³ íåîáõ³äíî: 1) ðîçãëÿäàòè âñ³ áåç âèíÿòêó åëåìåíòè, ùî âïëèâàþòü íà ðåçóëüòàò ïðîöåñó; 2) âèêëþ÷àòè ò³ åëåìåíòè, ùî âèäàþòüñÿ íåòèïîâèìè ñòîñîâíî äàíî¿ ïðîáëåìè; 3) âèêîðèñòîâóâàòè âñþ ìîæëèâó ³íôîðìàö³þ, ùî ñòîñóºòüñÿ äàíîãî äîñë³äæåííÿ. 3. Äëÿ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â åêîíîìåòðè÷íî¿ ìîäåë³ çàñòîñîâóþòü: 1) çàêîí íîðìàëüíîãî ðîçïîä³ëó Ãàóññà; 2) êðèòåð³é Ñòüþäåíòà; 3) ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â. 4. Ïîêàçíèê, ùî âèçíà÷ຠì³ðó çâ’ÿçêó çàëåæíî¿ çì³ííî¿ ç óñ³ìà íåçàëåæíèìè çì³ííèìè, íàçèâàºòüñÿ: 1) êîåô³ö³ºíòîì êîðåëÿö³¿; 2) ñòàíäàðòíîþ ïîõèáêîþ ð³âíÿííÿ; 3) êîåô³ö³ºíòîì äåòåðì³íàö³¿. 5. Êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿ îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ: 1) R 2 = 1 −

σ u2 ; σ y2

2) R 2 =

σ u2 ; σ y2

3) R 2 = 1 −

σ y2 σ u2

.

6. Êðèòåð³é Ô³øåðà çàñòîñîâóþòü äëÿ ïåðåâ³ðêè çíà÷óùîñò³: 1) îö³íîê ïàðàìåòð³â ìîäåë³; 2) åêîíîìåòðè÷íî¿ ìîäåë³; 3) êîåô³ö³ºíòà êîðåëÿö³¿. 7. ßêùî äèñïåðñ³ÿ çàëèøê³â çì³íþºòüñÿ äëÿ êîæíîãî ñïîñòåðåæåííÿ ÷è ãðóïè ñïîñòåðåæåíü, òî ìàºìî ÿâèùå: 1) àâòîêîðåëÿö³¿; 2) ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³; 3) ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³. 8. Ó ðàç³ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³ ïðè âèçíà÷åíí³ çàëåæíîñò³ ì³æ ïàðàìè íåçàëåæíèõ çì³ííèõ çàñòîñîâóºòüñÿ: 1) F-êðèòåð³é Ô³øåðà; 2) t-êðèòåð³é Ñòüþäåíòà; 2 3) êðèòåð³é χ . 9. Äëÿ îáãðóíòóâàííÿ âåëè÷èíè ëàãà â äèñòðèáóòèâíî-ëàãîâèõ ìîäåëÿõ çàñòîñîâóþòü: 1) êîðåëÿö³éíó ìàòðèöþ;

170

2) êîâàð³àö³éíó ìàòðèöþ; 3) âçàºìíó êîðåëÿö³éíó ôóíêö³þ. 10. Ñèñòåìè îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü ìîæóòü ì³ñòèòè: 1) ðåãðåñ³éí³ òà ôóíêö³îíàëüí³ ð³âíÿííÿ; 2) ðåãðåñ³éí³ ð³âíÿííÿ òà òîòîæíîñò³; 3) ôóíêö³îíàëüí³ ð³âíÿííÿ òà òîòîæíîñò³. Âàð³àíò 3 1. Ðåãðåñ³éí³ ð³âíÿííÿ îïèñóþòü: 1) ñòðóêòóðíèé çâ’ÿçîê ì³æ ïîêàçíèêàìè åêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â; 2) ôóíêö³îíàëüíèé çâ’ÿçîê ì³æ ñóᒺêòàìè åêîíîì³÷íî¿ ä³ÿëüíîñò³; 3) êîðåëÿö³éíèé çâ’ÿçîê ì³æ åêîíîì³÷íèìè ïîêàçíèêàìè. 2. Åêçîãåíí³ çì³íí³: 1) âèçíà÷àþòüñÿ ÿê ðîçâ’ÿçîê ñèñòåìè ð³âíÿíü; 2) çàëèøàþòüñÿ íåçì³ííèìè ïðîòÿãîì óñüîãî ïåð³îäó ñïîñòåðåæåíü; 3) çàäàþòüñÿ çà ìåæàìè åêîíîìåòðè÷íî¿ ìîäåë³. 3. Îäí³ºþ ç ïåðåäóìîâ çàñòîñóâàííÿ ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â º: 1) ìàòåìàòè÷íå ñïîä³âàííÿ çàëèøê³â ìîäåë³ º ñòàëîþ âåëè÷èíîþ; 2) ñóìà çàëèøê³â ìîäåë³ â³äì³ííà â³ä íóëÿ; 3) ìàòåìàòè÷íå ñïîä³âàííÿ çàëèøê³â ìîäåë³ äîð³âíþº íóëþ. 4. Ïîêàçíèê, ùî âèçíà÷àº, ÿêà ÷àñòèíà ðóõó çàëåæíî¿ çì³ííî¿ îïèñóºòüñÿ äàíèì ðåãðåñ³éíèì ð³âíÿííÿì, íàçèâàºòüñÿ: 1) êîåô³ö³ºíòîì äåòåðì³íàö³¿; 2) êîåô³ö³ºíòîì êîðåëÿö³¿; 3) îö³íêîþ óçãîäæåíîñò³ (êîíêîðäàö³¿). 5. Êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿ îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ: 1) R 2 =

cov( x, y) ; var( x) var( y)

3) R 2 =

2) R 2 =

cov 2 ( x, y) ; var( x) var( y)

cov( x, y) . var( x) var( y)

171

6. ßêùî äèñïåðñ³ÿ çàëèøê³â ñòàëà äëÿ êîæíîãî ñïîñòåðåæåííÿ, òî ìàºìî ÿâèùå: 1) àâòîêîðåëÿö³¿; 2) ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³; 3) ãîìîñêåäàñòè÷íîñò³. 7. Íàÿâí³ñòü ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³ ïåðåâ³ðÿºòüñÿ çà äîïîìîãîþ: 1) µ-êðèòåð³þ; 2) àëãîðèòìó Ôàððàðà — Ãëîáåðà; 3) ìåòîäó Äàðá³íà. 8. Ó ðàç³ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³ äëÿ âèÿâëåííÿ çàëåæíî¿ çì³ííî¿ â³ä ñóêóïíîñò³ ³íøèõ íåçàëåæíèõ çì³ííèõ çàñòîñîâóþòü: 1) F-êðèòåð³é Ô³øåðà; 2) t-êðèòåð³é Ñòüþäåíòà; 3) êðèòåð³é ϳðñîíà. 9. Ìîäåë³, ó ÿêèõ íà çàëåæí³ çì³íí³ âïëèâàþòü çíà÷åííÿ íåçàëåæíèõ çì³ííèõ ó ïîïåðåäí³ ïåð³îäè, íàçèâàþòüñÿ: 1) äèíàì³÷íèìè; 2) äèñòðèáóòèâíî-ëàãîâèìè; 3) ñòðóêòóðíèìè. 10. Äëÿ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ñèñòåì îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü çàñòîñîâóþòü: 1) óçàãàëüíåíèé ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â; 2) äâîêðîêîâèé ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â; 3) ìåòîä ãîëîâíèõ êîìïîíåíò³â. Âàð³àíò 4 1. Íàéïîøèðåí³øèìè ôóíêö³ÿìè â åêîíîìåòðè÷íîìó ìîäåëþâàíí³ º: 1) ïîêàçíèêîâ³; 2) ë³í³éí³; 3) ëîãàðèôì³÷í³. 2. Åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü, ÿêà ê³ëüê³ñíî îïèñóº çâ’ÿçîê îñíîâíèõ ðåçóëüòàòèâíèõ ïîêàçíèê³â âèðîáíè÷î-ãîñïîäàðñüêî¿ ä³ÿëüíîñò³ ç ôàêòîðàìè, ùî âèçíà÷àþòü ö³ ïîêàçíèêè, íàçèâàºòüñÿ: 1) ïîêàçíèêîâîþ ôóíêö³ºþ; 2) âèðîáíè÷îþ ôóíêö³ºþ; 3) ìîäåëëþ ðîçïîä³ëåíîãî ëàãà. 3. Îö³íêà ïàðàìåòðà íàçèâàºòüñÿ åôåêòèâíîþ, ÿêùî: 1) çàäîâîëüíÿº çàêîí âåëèêèõ ÷èñåë; 2) ìຠíàéìåíøó äèñïåðñ³þ; 3) ìàòåìàòè÷íå ñïîä³âàííÿ ¿¿ äîð³âíþº çíà÷åííþ ïàðàìåòðà. 172

4. Äèñïåðñ³éíî-êîâàð³àö³éíà ìàòðèöÿ âèçíà÷àºòüñÿ íà ï³äñòàâ³: 1) ìàòðèö³ ñïîñòåðåæåíü íåçàëåæíèõ çì³ííèõ; 2) ìàòðèö³ íîðìàë³çîâàíèõ çì³ííèõ ìîäåë³; 3) ñèñòåìè íîðìàëüíèõ ð³âíÿíü. 5. Çâ’ÿçîê ì³æ åêîíîì³÷íèìè õàðàêòåðèñòèêàìè âèïóñêó ïðîäóêö³¿ òà ñïîæèòèìè äëÿ öüîãî ðåñóðñàìè âèçíà÷àºòüñÿ åêîíîì³êîìàòåìàòè÷íèì ñï³ââ³äíîøåííÿì: 1) Y = α(1 + r ) x ;

2) Y = αF α Lβ ;

3) Y = eαβ

x

+γ

.

6. Äîâ³ð÷³ ³íòåðâàëè ôóíêö³¿ ðåãðåñ³¿ âèçíà÷àþòüñÿ çà äîïîìîãîþ: 1) t-êðèòåð³þ Ñòüþäåíòà òà çàëèøêîâî¿ äèñïåðñ³¿; 2) ñòàíäàðòíî¿ ïîõèáêè ð³âíÿííÿ; 3) ñòàíäàðòíî¿ ïîõèáêè ïàðàìåòð³â. 7. Êðèòåð³é Äàðá³íà – Óîòñîíà çàñòîñîâóºòüñÿ äëÿ âèÿâëåííÿ: 1) àâòîêîðåëÿö³¿; 2) ãîìîñêåäàñòè÷íîñò³; 3) ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³. 8. Çà íàÿâíîñò³ ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³ ïàðàìåòðè ìîäåë³ îö³íþþòüñÿ çà: 1) óìîâíèì ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â: 2) óçàãàëüíåíèì ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â; 3) äâîêðîêîâèì ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â. 9. Ìîäåë³, ùî ì³ñòÿòü ëàãîâ³ çíà÷åííÿ çàëåæíî¿ çì³ííî¿, íàçèâàþòüñÿ: 1) ìîäåëÿìè ðîçïîä³ëåíîãî ëàãà; 2) àâòîðåãðåñ³éíèìè ìîäåëÿìè; 3) ìîäåëÿìè ñåçîííèõ êîëèâàíü. 10. Ñèñòåìà îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü íàçèâàºòüñÿ ³äåíòèô³êîâàíîþ, ÿêùî: 1) ïàðàìåòðè ñòðóêòóðíî¿ ôîðìè ìîäåë³ îäíîçíà÷íî âèçíà÷àþòüñÿ ÷åðåç ïàðàìåòðè çâåäåíî¿ ôîðìè; 2) ê³ëüê³ñòü çì³ííèõ, âèêëþ÷åíèõ ç êîæíîãî ð³âíÿííÿ ñèñòåìè, äîð³âíþº ê³ëüêîñò³ ð³âíÿíü ìîäåë³; 3) ïàðàìåòðè çâåäåíî¿ ôîðìè ìîäåë³ âèçíà÷àþòüñÿ ÷åðåç ïàðàìåòðè ñòðóêòóðíî¿ ôîðìè.

173

Âàð³àíò 5 1. Çàëåæí³ñòü ì³æ âåëè÷èíàìè x òà y íàçèâàºòüñÿ ñòàòèñòè÷íîþ, ÿêùî: 1) êîæíîìó çíà÷åííþ x â³äïîâ³äຠëèøå îäíå çíà÷åííÿ y, ÿêå îá÷èñëþºòüñÿ çà â³äîìîþ ôîðìóëîþ; 2) çì³íþâàííÿ îäí³º¿ âåëè÷èíè çóìîâëþº çì³íþâàííÿ ðîçïîä³ëó ³íøî¿; 3) çì³íþâàííÿ âåëè÷èíè x çóìîâëþº çì³íþâàííÿ y çà çàäàíèì çàêîíîì. 2. Êîðåëÿö³éíà ìàòðèöÿ: 1) º ìàòðèöåþ ïàðíèõ êîåô³ö³ºíò³â êîðåëÿö³¿; 2) õàðàêòåðèçóº ù³ëüí³ñòü çâ’ÿçêó âñ³õ íåçàëåæíèõ çì³ííèõ ³ç çàëåæíîþ çì³ííîþ; 3) îïèñóº êîðåëÿö³éí³ çâ’ÿçêè ì³æ íåçàëåæíèìè çì³ííèìè ìîäåë³. 3. Îö³íêà ïàðàìåòðà íàçèâàºòüñÿ îáãðóíòîâàíîþ, ÿêùî: 1) çàäîâîëüíÿº çàêîí âåëèêèõ ÷èñåë; 2) îòðèìàíà çà ìåòîäîì íàéìåíøèõ êâàäðàò³â; 3) ìຠíàéìåíøó äèñïåðñ³þ. 4. Òî÷êîâèé ïðîãíîç – öå: 1) ïîáóäîâà ðåãðåñ³éíî¿ çàëåæíîñò³ çà çàäàíèìè òî÷êàìè; 2) çíà÷åííÿ çàëåæíî¿ çì³ííî¿, îá÷èñëåíå çà ìîäåëëþ ïðè çàäàíîìó çíà÷åíí³ ïîÿñíþþ÷èõ çì³ííèõ; 3) âèçíà÷åííÿ êðàéí³õ òî÷îê äîâ³ð÷îãî ³íòåðâàëó äëÿ ïðîãíîçíîãî çíà÷åííÿ çàëåæíî¿ çì³ííî¿. 5. Ñòàòèñòè÷íà çíà÷óù³ñòü ïàðàìåòð³â ìîäåë³ âèçíà÷àºòüñÿ çà äîïîìîãîþ: 1) ñòàíäàðòíî¿ ïîõèáêè ð³âíÿííÿ; 2) t-êðèòåð³þ Ñòüþäåíòà; 3) F-êðèòåð³þ Ô³øåðà. 6. ßêùî âèíèêຠÿâèùå ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³, òî îö³íêè ïàðàìåòð³â ìîäåë³, îòðèìàí³ çà 1ÌÍÊ, áóäóòü: 1) íåîáãðóíòîâàíèìè; 2) çì³ùåíèìè; 3) íååôåêòèâíèìè. 7. Çà íàÿâíîñò³ àâòîêîðåëÿö³¿ äëÿ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â çàñòîñîâóºòüñÿ: 1) íåïðÿìèé ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â; 174

2) ìåòîä Ôàððàðà — Ãëîáåðà; 3) óçàãàëüíåíèé ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â. 8. Äëÿ âèÿâëåííÿ íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿, ùî çàëåæèòü â³ä óñ³õ ³íøèõ íåçàëåæíèõ çì³ííèõ, ó ðàç³ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³ çàñòîñîâóºòüñÿ: 1) F-êðèòåð³é; 2) t-êðèòåð³é; 2 3) êðèòåð³é χ . 9. Óìîâà ³äåíòèô³êîâàíîñò³ ð³âíÿííÿ ñòðóêòóðíî¿ ôîðìè ìຠâèãëÿä: 1) ks − 1 < m − ms ;

2) ks − 1 = m − ms ;

3) ks − 1 ≤ m − ms ,

äå ks , ms — â³äïîâ³äíî ê³ëüê³ñòü çàëåæíèõ ³ íåçàëåæíèõ çì³ííèõ, ùî âõîäÿòü äî s-ãî ð³âíÿííÿ ñòðóêòóðíî¿ ôîðìè, m — çàãàëüíà ê³ëüê³ñòü åêçîãåííèõ çì³ííèõ ìîäåë³. 10. Äëÿ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ðåêóðñèâíèõ ñèñòåì ð³âíÿíü çàñòîñîâóºòüñÿ: 1) ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â; 2) äâîêðîêîâèé ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â; 3) ìåòîä ãîëîâíèõ êîìïîíåíò³â. Âàð³àíò 6 1. Åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü — öå: 1) ð³âíÿííÿ ÷è ñèñòåìà ð³âíÿíü, ùî îïèñóþòü ñòðîã³ ôóíêö³îíàëüí³ çàëåæíîñò³ ì³æ åêîíîì³÷íèìè ïîêàçíèêàìè; 2) ôóíêö³ÿ ÷è ñèñòåìà ôóíêö³é, ùî îïèñóº êîðåëÿö³éíî-ðåãðåñ³éí³é çâ’ÿçîê ì³æ åêîíîì³÷íèìè ïîêàçíèêàìè; 3) ñèñòåìà ð³âíÿíü ³ òîòîæíîñòåé, ùî îïèñóº ³ñíóþ÷³ çâ’ÿçêè ì³æ ïîêàçíèêàìè åêîíîì³÷íèõ ïðîöåñ³â. 2. Çàñòîñóâàííÿ ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â ìîæëèâå, ÿêùî íåçàëåæí³ çì³íí³: 1) ì³ñòÿòü ñòîõàñòè÷íó ñêëàäîâó; 2) íå ïîâ’ÿçàí³ ³ç çàëèøêàìè; 3) ìàþòü ñòàëó äèñïåðñ³þ. 3. Îö³íêà ïàðàìåòðà íàçèâàºòüñÿ íåçì³ùåíîþ, ÿêùî: 1) çàäîâîëüíÿº çàêîí âåëèêèõ ÷èñåë; 2) ìàòåìàòè÷íå ñïîä³âàííÿ ¿¿ íå çàëåæèòü â³ä âèá³ðêè ³ áëèçüêå äî çíà÷åííÿ ïàðàìåòðà; 3) ìຠíàéìåíøó äèñïåðñ³þ. 175

4. Äèñïåðñ³ÿ ïðîãíîçó äëÿ ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ çàëåæíî¿ çì³ííî¿ îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ: 1) σ 2 = σ u2 X 0′ ( X ′X )−1 X 0 ; 2) σ 2 = σ u X 0′ ( X ′X )−1 X 0 ; 3) σ 2 = σ u2 (1 + X 0′ ( X ′X ) X 0 . 5. ßâèùå ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³ âèíèêàº, ÿêùî: 1) ³ñíóº ë³í³éíèé çâ’ÿçîê ì³æ íåçàëåæíèìè çì³ííèìè; 2) äèñïåðñ³ÿ çàëèøê³â ñòàëà äëÿ êîæíîãî ñïîñòåðåæåííÿ; 3) ³ñíóº ë³í³éíà çàëåæí³ñòü ì³æ ïîñë³äîâíèìè ÷ëåíàìè ðÿäó çàëèøê³â. 6. Êðèòåð³é ôîí Íåéìàíà çàñòîñîâóºòüñÿ äëÿ âèÿâëåííÿ: 1) àâòîêîðåëÿö³¿; 2) ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³; 3) ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³. 7. Êîðåëÿö³éíà ìàòðèöÿ îá÷èñëþºòüñÿ íà ï³äñòàâ³: 1) ìàòðèö³ ñïîñòåðåæåíü íåçàëåæíèõ çì³ííèõ; 2) ìàòðèö³ íîðìàë³çîâàíèõ çì³ííèõ; 3) ñèñòåìè íîðìàëüíèõ ð³âíÿíü. 8. Çà íàÿâíîñò³ ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³ äëÿ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â çàñòîñîâóþòü ìåòîä: 1) Äàðá³íà; 2) Åéòêåíà; 3) Ôàððàðà — Ãëîáåðà. 9. Ïîáóäîâà ìîäåëåé ðîçïîä³ëåíîãî ëàãà óñêëàäíåíà ÷åðåç íàÿâí³ñòü: 1) àâòîêîðåëÿö³¿; 2) ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³; 3) ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³. 10. Ñèñòåìà ð³âíÿíü, ðîçâ’ÿçàíà â³äíîñíî åíäîãåííèõ çì³ííèõ, íàçèâàºòüñÿ: 1) ñòðóêòóðíîþ ôîðìîþ ìîäåë³; 2) íîðìàëüíîþ ñèñòåìîþ ð³âíÿíü; 3) çâåäåíîþ ôîðìîþ ìîäåë³. 176

Âàð³àíò 7 1. Âèðîáíè÷à ôóíêö³ÿ — öå: 1) ä³ÿëüí³ñòü äåÿêîãî ï³äïðèºìñòâà, ñïðÿìîâàíà íà âèðîáíèöòâî ïåâíîãî âèäó ïðîäóêö³¿; 2) ñèñòåìà âçàºìîçâ’ÿçê³â, ùî âñòàíîâëþþòüñÿ ì³æ âèðîáíè÷èìè îäèíèöÿìè (ï³äðîçä³ëàìè ï³äïðèºìñòâà) ó ïðîöåñ³ ¿õ ôóíêö³îíóâàííÿ; 3) çàëåæí³ñòü ì³æ îáñÿãîì âèðîáëåíî¿ ïðîäóêö³¿ òà ñïîæèòèìè äëÿ öüîãî ïåâíèìè ðåñóðñàìè. 2. Íåçàëåæí³ çì³íí³ ìîäåë³: 1) âèçíà÷àþòüñÿ ÿê ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ ÷è ñèñòåìè ð³âíÿíü; 2) çàäàþòüñÿ çà ìåæàìè åêîíîìåòðè÷íî¿ ìîäåë³; 3) çàëèøàþòüñÿ íåçì³ííèìè ïðîòÿãîì óñüîãî ïåð³îäó ñïîñòåðåæåííÿ. 3. Çàñòîñóâàííÿ ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â ìîæëèâå, ÿêùî íåçàëåæí³ çì³íí³ ìîäåë³ óòâîðþþòü: 1) ñèñòåìó íîðìàëüíèõ ð³âíÿíü; 2) ë³í³éíî íåçàëåæíó ñèñòåìó âåêòîð³â; 3) îäíîð³äíó ñèñòåìó ð³âíÿíü. 4. Êîåô³ö³ºíò äåòåðì³íàö³¿: 1) õàðàêòåðèçóº àáñîëþòíó âåëè÷èíó ðîçêèäó âèïàäêîâî¿ ñêëàäîâî¿ ð³âíÿííÿ; 2) ïîêàçóº, ÿêà ÷àñòèíà ðóõó çàëåæíî¿ çì³ííî¿ îïèñóºòüñÿ äàíèì ðåãðåñ³éíèì ð³âíÿííÿì; 3) âèçíà÷ຠì³ðó çâ’ÿçêó çàëåæíî¿ çì³ííî¿ ç óñ³ìà íåçàëåæíèìè ôàêòîðàìè. 5. Ïðè âèçíà÷åíí³ çàãàëüíî¿ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³ ìàñèâó íåçàëåæíèõ çì³ííèõ çàñòîñîâóþòü: 1) F-êðèòåð³é Ô³øåðà; 2) t-êðèòåð³é Ñòüþäåíòà; 2 3) êðèòåð³é ϳðñîíà χ . 6. ßâèùå ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³ âèíèêàº, ÿêùî: 1) ³ñíóº âçàºìîçàëåæí³ñòü ïîñë³äîâíèõ ÷ëåí³â ÷àñîâîãî ðÿäó; 2) äèñïåðñ³ÿ çàëèøê³â çì³íþºòüñÿ äëÿ êîæíîãî ñïîñòåðåæåííÿ ÷è ãðóïè ñïîñòåðåæåíü; 3) ³ñíóº ë³í³éíèé çâ’ÿçîê ì³æ íåçàëåæíèìè çì³ííèìè ìîäåë³. 177

7. Ñòàíäàðòíà ïîõèáêà ð³âíÿííÿ îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ: 1) Su2 =

1 n 2 ∑ ui ; n i =1

2

2) Su =

n 1 2 ui ; ∑ n − m − 1 i =1

3) Su = R 2.

8. Êðèòåð³é Ãëåéñåðà çàñòîñîâóºòüñÿ äëÿ âèÿâëåííÿ: 1) àâòîêîðåëÿö³¿; 2) ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³; 3) ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³. 9. ßêùî åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü êð³ì ëàãîâèõ çì³ííèõ ì³ñòèòü çì³íí³, ùî õàðàêòåðèçóþòü ïîòî÷í³ óìîâè ôóíêö³îíóâàííÿ åêîíîì³÷íî¿ ñèñòåìè, òî ìàºìî: 1) ìîäåëü àäàïòèâíèõ ñïîä³âàíü; 2) óçàãàëüíåíó ìîäåëü ðîçïîä³ëåíîãî ëàãà; 3) ìîäåëü ÷àñòêîâîãî êîðèãóâàííÿ. 10. ßêùî ð³âíÿííÿ ñòðóêòóðíî¿ ôîðìè ìîäåë³ íàä³äåíòèô³êîâàí³, òî äëÿ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ð³âíÿíü çàñòîñîâóþòü: 1) íåïðÿìèé ÌÍÊ; 2) äâîêðîêîâèé ÌÍÊ; 3) òðèêðîêîâèé ÌÍÊ. Âàð³àíò 8 1. Çàëåæí³ çì³íí³ ìîäåë³: 1) âèçíà÷àþòüñÿ ÿê ðîçâ’ÿçîê ð³âíÿííÿ ÷è ñèñòåìè ð³âíÿíü; 2) çì³íþþòü ñâî¿ çíà÷åííÿ çàëåæíî â³ä ïåð³îäó ñïîñòåðåæåííÿ; 3) çàäàþòüñÿ çà ìåæàìè åêîíîìåòðè÷íî¿ ìîäåë³. 2. Çàñòîñóâàííÿ ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â ìîæëèâå, ÿêùî âèêîíóþòüñÿ ïåðåäóìîâè ïðî â³äñóòí³ñòü: 1) àâòîêîðåëÿö³¿ çì³ííèõ; 2) àâòîêîðåëÿö³¿ çàëèøê³â; 3) ãîìîñêåäàñòè÷íîñò³. 3. Ñòàíäàðòíà ïîõèáêà ð³âíÿííÿ: 1) ïîêàçóº, ÿêà ÷àñòèíà ðóõó çàëåæíî¿ çì³ííî¿ îïèñóºòüñÿ äàíèì ðåãðåñ³éíèì ð³âíÿííÿì; 2) õàðàêòåðèçóº âåëè÷èíó ðîçêèäó âèïàäêîâî¿ ñêëàäîâî¿ ð³âíÿííÿ; 3) âèçíà÷ຠì³ðó çâ’ÿçêó çàëåæíî¿ çì³ííî¿ ç óñ³ìà íåçàëåæíèìè ôàêòîðàìè. 178

4. Ïðè âèçíà÷åíí³ çàëåæíîñò³ ì³æ ïàðàìè íåçàëåæíèõ çì³ííèõ ó ðàç³ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³ çàñòîñîâóþòü: 1) F-êðèòåð³é Ô³øåðà; 2) t-êðèòåð³é Ñòüþäåíòà; 2 3) êðèòåð³é ϳðñîíà χ . 5. ßâèùå àâòîêîðåëÿö³¿ âèíèêàº, ÿêùî: 1) äèñïåðñ³ÿ çàëèøê³â çì³íþºòüñÿ äëÿ êîæíîãî ñïîñòåðåæåííÿ; 2) ³ñíóº íåë³í³éíèé çâ’ÿçîê ì³æ íåçàëåæíèìè çì³ííèìè; 3) ³ñíóº âçàºìîçàëåæí³ñòü ïîñë³äîâíèõ åëåìåíò³â ðÿäó çàëèøê³â. 6. Ìåòîä Ôàððàðà — Ãëîáåðà çàñòîñîâóºòüñÿ äëÿ âèÿâëåííÿ: 1) àâòîêîðåëÿö³¿; 2) ãîìîñêåäàñòè÷íîñò³; 3) ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³. 7. Çà íàÿâíîñò³ ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³ äëÿ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â çàñòîñîâóþòü: 1) íåïðÿìèé ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â; 2) óìîâíèé ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â; 3) óçàãàëüíåíèé ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â. 8. Ñòàíäàðòíà ïîõèáêà ³íòåðâàëüíîãî ïðîãíîçó îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ: 1) Sïð = σ2u X0′ (X ′X )−1 X0 ; 2) Sïð = σu X 0′ ( X ′X )−1 X 0 ; 3) Sïð = σ2u (1 + X0′ (X ′X)X0 . 9. Äëÿ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ìîäåëåé ðîçïîä³ëåíîãî ëàãà çàñòîñîâóþòü: 1) íåïðÿìèé ÌÍÊ; 2) òðèêðîêîâèé ÌÍÊ; 3) ³òåðàö³éíèé ìåòîä. 10. Ñèñòåìà îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü íàçèâàºòüñÿ íàä³äåíòèô³êîâàíîþ, ÿêùî âèêîíóºòüñÿ óìîâà: 1) ks − 1 < m − ms ;

2) ks − 1 = m − ms ;

3) ks − 1 ≤ m − ms ,

äå ks , ms — â³äïîâ³äíî ê³ëüê³ñòü çàëåæíèõ ³ íåçàëåæíèõ çì³ííèõ, ùî âõîäÿòü äî s-ãî ð³âíÿííÿ ñòðóêòóðíî¿ ôîðìè, m — çàãàëüíà ê³ëüê³ñòü åêçîãåííèõ çì³ííèõ ìîäåë³. 179

Âàð³àíò 9 1. Åêîíîì³êî-ìàòåìàòè÷íå ñï³ââ³äíîøåííÿ, ùî âèçíà÷ຠâ àíàë³òè÷í³é ôîðì³ çâ’ÿçîê ì³æ åêîíîì³÷íèìè õàðàêòåðèñòèêàìè âèïóñêó ïðîäóêö³¿ òà âèêîðèñòàíèìè äëÿ öüîãî ðåñóðñàìè, íàçèâàºòüñÿ: 1) ñòðóêòóðíîþ ôîðìîþ ìîäåë³; 2) âèðîáíè÷îþ ôóíêö³ºþ; 3) ìîäåëëþ “âèòðàòè — âèïóñê”. 2. Ïàðàìåòðè ìîäåë³: 1) çàäàþòüñÿ çà ìåæàìè åêîíîìåòðè÷íî¿ ìîäåë³; 2) âèçíà÷àþòüñÿ íà îñíîâ³ ñòàòèñòè÷íèõ äàíèõ; 3) çì³íþþòüñÿ ïðîòÿãîì óñüîãî ïåð³îäó ñïîñòåðåæåíü. 3. Êîåô³ö³ºíò ìíîæèííî¿ êîðåëÿö³¿: 1) ïîêàçóº, ÿêà ÷àñòèíà ðóõó çàëåæíî¿ çì³ííî¿ îïèñóºòüñÿ äàíèì ðåãðåñ³éíèì ð³âíÿííÿì; 2) âèçíà÷ຠì³ðó çâ’ÿçêó çàëåæíî¿ çì³ííî¿ ç óñ³ìà íåçàëåæíèìè ôàêòîðàìè; 3) âèçíà÷ຠâíåñîê êîæíî¿ íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿ â äèñïåðñ³þ ðåçóëüòàòèâíî¿ çì³ííî¿. 4. Äëÿ ïåðåâ³ðêè çíà÷óùîñò³ ìîäåë³ çàñòîñîâóþòü: 1) F-êðèòåð³é Ô³øåðà; 2) t-êðèòåð³é Ñòüþäåíòà; 3) êðèòåð³é ϳðñîíà. 5. Òî÷êîâèé ïðîãíîç — öå: 1) ïîáóäîâà ðåãðåñ³éíî¿ çàëåæíîñò³ çà çàäàíèìè òî÷êàìè; 2) çíà÷åííÿ çàëåæíî¿ çì³ííî¿, îá÷èñëåíå çà ìîäåëëþ ïðè çàäàíîìó çíà÷åíí³ ïîÿñíþþ÷èõ çì³ííèõ; 3) âèçíà÷åííÿ êðàéí³õ òî÷îê äîâ³ð÷îãî ³íòåðâàëó äëÿ ïðîãíîçíîãî çíà÷åííÿ çàëåæíî¿ çì³ííî¿. 6. ßâèùå ãîìîñêåäàñòè÷íîñò³ ìຠì³ñöå, ÿêùî: 1) ³ñíóº íåë³í³éíèé çâ’ÿçîê ì³æ íåçàëåæíèìè çì³ííèìè; 2) äèñïåðñ³ÿ çàëèøê³â ñòàëà äëÿ êîæíîãî ñïîñòåðåæåííÿ; 3) ³ñíóº âçàºìîçàëåæí³ñòü ïîñë³äîâíèõ ÷ëåí³â ÷àñîâîãî ðÿäó. 7. Çà íàÿâíîñò³ àâòîêîðåëÿö³¿ ïàðàìåòðè ìîäåë³ îö³íþþòüñÿ çà ìåòîäîì: 1) íàéìåíøèõ êâàäðàò³â; 2) Åéòêåíà; 3) Ôàððàðà — Ãëîáåðà. 180

8. Ìîäåë³, ùî ì³ñòÿòü ëàãîâ³ çíà÷åííÿ çàëåæíî¿ çì³ííî¿, íàçèâàþòüñÿ: 1) àâòîðåãðåñ³éíèìè ìîäåëÿìè; 2) ìîäåëÿìè àäàïòèâíèõ ñïîä³âàíü; 3) ìîäåëÿìè ñåçîííèõ êîëèâàíü. 9. Äëÿ îáãðóíòóâàííÿ âåëè÷èíè ëàãà â äèñòðèáóòèâíî-ëàãîâèõ ìîäåëÿõ çàñòîñîâóþòü: 1) êîðåëÿö³éíó ìàòðèöþ; 2) êîâàð³àö³éíó ìàòðèöþ; 3) âçàºìíó êîðåëÿö³éíó ôóíêö³þ. 10. Íåïðÿìèé ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â çàñòîñîâóþòü ïðè îö³íþâàíí³: 1) ëàãîâèõ êîåô³ö³ºíò³â áàãàòîôàêòîðíî¿ ìîäåë³; 2) ïàðàìåòð³â ñèñòåì îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü; 3) ïàðàìåòð³â ìîäåëåé, ùî ì³ñòÿòü àâòîêîðåëÿö³þ. Âàð³àíò 10 1. Äàéòå âèçíà÷åííÿ åêîíîìåòð³¿: 1) íàóêà, ùî âèâ÷ຠâèì³ðí³ñòü çâ’ÿçê³â ó â³äïîâ³äíîìó åêîíîì³÷íîìó àíàë³ç³; 2) íàóêà, ùî çàñòîñîâóº ìàòåìàòè÷í³ òà ìàòåìàòèêî-ñòàòèñòè÷í³ ìåòîäè â åêîíîì³ö³; 3) íàóêà, ùî âèâ÷ຠìåòîäè îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ìîäåëåé, ÿê³ õàðàêòåðèçóþòü ê³ëüê³ñí³ âçàºìîçâ’ÿçêè ì³æ åêîíîì³÷íèìè ïîêàçíèêàìè. 2. Ïðè ïîáóäîâ³ åêîíîìåòðè÷íî¿ ìîäåë³ íåîáõ³äíî: 1) ðîçãëÿäàòè âñ³ áåç âèíÿòêó åëåìåíòè, ùî âïëèâàþòü íà ðåçóëüòàò ïðîöåñó; 2) âèêëþ÷àòè åëåìåíòè, ùî âèäàþòüñÿ íåòèïîâèìè ñòîñîâíî äàíî¿ ïðîáëåìè; 3) âèêîðèñòîâóâàòè âñþ ìîæëèâó ³íôîðìàö³þ, ùî ñòîñóºòüñÿ äàíîãî äîñë³äæåííÿ. 3. Äëÿ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â åêîíîìåòðè÷íî¿ ìîäåë³ çàñòîñîâóþòü: 1) çàêîí íîðìàëüíîãî ðîçïîä³ëó Ãàóññà; 2) ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â; 3) ìåòîä âèêëþ÷åííÿ Æîðäàíà — Ãàóññà. 4. Ñòàíäàðòí³ ïîõèáêè ïàðàìåòð³â: 1) âèçíà÷àþòü âíåñîê êîæíî¿ íåçàëåæíî¿ çì³ííî¿ â äèñïåðñ³þ ðåçóëüòàòèâíîãî ôàêòîðà; 181

2) ïîêàçóþòü ñòàòèñòè÷íó çíà÷óù³ñòü ïàðàìåòð³â; 3) âèçíà÷àþòü ì³ðó çâ’ÿçêó êîæíîãî íåçàëåæíîãî ôàêòîðà ³ç çàëåæíîþ çì³ííîþ. 5. Êðèòåð³é Ô³øåðà çàñòîñîâóþòü äëÿ ïåðåâ³ðêè çíà÷óùîñò³: 1) îö³íîê ïàðàìåòð³â ìîäåë³; 2) åêîíîìåòðè÷íî¿ ìîäåë³; 3) êîåô³ö³ºíòà ìíîæèííî¿ êîðåëÿö³¿. 6. Äèñïåðñ³ÿ ïðîãíîçó îá÷èñëþºòüñÿ çà ôîðìóëîþ: 1) σ 2 = σ u2 X0′ (X ′X)−1 X0 ; 2) σ 2 = σ u X0′ (X ′X )−1 X0 ; 3) σ 2 = σ u2 (1 + X0′ (X ′X)X0 ). 7. ßêùî ³ñíóº ë³í³éíèé çâ’ÿçîê ì³æ íåçàëåæíèìè çì³ííèìè, òî öå ÿâèùå íàçèâàºòüñÿ: 1) àâòîêîðåëÿö³ºþ; 2) ãîìîñêåäàñòè÷í³ñòþ; 3) ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòþ. 8. Çà íàÿâíîñò³ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³ äëÿ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ìîäåë³ çàñòîñîâóþòü: 1) óçàãàëüíåíèé ÌÍÊ; 2) ìåòîä ãîëîâíèõ êîìïîíåíò³â; 3) íåïðÿìèé ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â. 9. ²òåðàö³éíèé ìåòîä çàñòîñîâóþòü ïðè îö³íþâàíí³: 1) ïàðàìåòð³â áàãàòîôàêòîðíèõ ìîäåëåé; 2) ïàðàìåòð³â ìîäåëåé, ó ÿêèõ ñïîñòåð³ãàºòüñÿ ÿâèùå ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³; 3) ëàãîâèõ êîåô³ö³ºíò³â áàãàòîôàêòîðíèõ äèíàì³÷íèõ ìîäåëåé. 10. ßêùî ð³âíÿííÿ ñòðóêòóðíî¿ ôîðìè ìîäåë³ íàä³äåíòèô³êîâàí³, òî äëÿ îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ð³âíÿíü çàñòîñîâóþòü: 1) íåïðÿìèé ÌÍÊ; 2) äâîêðîêîâèé ÌÍÊ; 3) óçàãàëüíåíèé ÌÍÊ.

182

ÄÎÄÀÒÊÈ ÐÎÁÎÒÀ Ç ÒÀÁËÈÖßÌÈ ÑÒÀÍÄÀÐÒÈÇÎÂÀÍÎÃÎ ÍÎÐÌÀËÜÍÎÃÎ ÐÎÇÏÎIJËÓ Ïðè ïðîâåäåíí³ ñòàòèñòè÷íîãî àíàë³çó äóæå ÷àñòî âèêîðèñòîâóºòüñÿ òàáëèöÿ çíà÷åíü ôóíêö³¿ Ëàïëàñà Ô (u ) =

1 2π

2

u -t e 2

∫

dt = P (0 ≤ U < u) = F (u ) − 0, 5,

0

ùî âèçíà÷ຠéìîâ³ðí³ñòü ïîòðàïëÿííÿ âèïàäêîâî¿ âåëè÷èíè (ÂÂ) U â ³íòåðâàë [0, u). Ó ë³âîìó ñòîâïö³ òàáë. 1 íàâåäåíî çíà÷åííÿ U ç òî÷í³ñòþ äî äåñÿòèõ, ó âåðõíüîìó ðÿäêó — ñîò³ ÷àñòêè U (çíà÷åííÿ U âèçíà÷àþòüñÿ ç òî÷í³ñòþ äî ñîòèõ). Çíà÷åííÿ Ô(u) âèçíà÷àºòüñÿ íà ïåðåòèí³ â³äïîâ³äíèõ äàíîìó çíà÷åííþ u ðÿäêà ³ ñòîâïöÿ (Ô (u) âèçíà÷àºòüñÿ ç òî÷í³ñòþ äî ÷åòâåðòîãî çíàêà ï³ñëÿ êîìè). Íàïðèêëàä, Ô(0,17) = 0,0675, òîáòî Ð (0 ≤ U < 0,17) = 0,0675. Òàáëèöÿ 1 U 0,0 0,1 … 3,0 …

0,00 0,0000 0,0398 … 0,4987 …

0,01 0,0040 0,0438 … 0,4987 …

5,0

0,49999997

0,02 0,0080 0,0478 … 0,4987 …

0,03 0,0120 0,0517 … 0,4988 …

0,04 0,0160 0,0557 … 0,4988 …

0,05 0,0199 0,0596 … 0,4989 …

0,06 0,0239 0,0636 … 0,4989 …

0,07 0,0279 0,0675 … 0,4989 …

0,08 0,319 0,0714 … 0,4990 …

0,09 0,0359 0,0753 … 0,4990 …

183

Ñóòü ôóíêö³¿ Ëàïëàñà Ô(u) ³ ¿¿ çâ’ÿçîê ç ôóíêö³ºþ ðîçïîä³ëó F(u) ñòàíäàðòèçîâàíî¿ íîðìàëüíî¿ Â ³ëþñòðóº ðèñ. 1.

Ðèñ. 1

Çàçíà÷èìî, ùî êîæíå çíà÷åííÿ F(u) ïåðåâèùóº â³äïîâ³äíå çíà÷åííÿ Ô(u) íà 0,5. Òîìó òàáëèö³ äëÿ F(u) ìàþòü àíàëîã³÷íèé âèãëÿä.

ÐÎÁÎÒÀ Ç ÒÀÁËÈÖßÌÈ t-ÐÎÇÏÎIJËÓ ÑÒÜÞÄÅÍÒÀ Òàáëèöÿ êðèòè÷íèõ òî÷îê ðîçïîä³ëó Ñòüþäåíòà ìຠòàêèé âèãëÿä: Òàáëèöÿ 2 α k 1 … 10 … 30 … ∞

0,40 0,325 … 0,260 … 0,256 … 0,253

0,25 1,000 … 0,700 … 0,683 … 0,674

0,10 3,078 … 1,372 … 1,310 … 1,282

0,05 6,314 … 1,812 … 1,697 … 1,645

0,025 12,706 … 2,228 … 2,042 … 1,960

0,01 31,821 … 2,764 … 2,457 … 2,326

… … … … … … … …

Ó òàáë. 2 ó ïåðøîìó ñòîâïö³ íàâåäåíî ÷èñëà ñòóïåí³â ñâîáîäè k, ó âåðõíüîìó ðÿäêó – éìîâ³ðíîñò³ (ð³âí³ çíà÷óùîñò³) α. Êðèòè÷íà òî÷êà tα, k âèçíà÷àºòüñÿ ïåðåòèíîì ñòîâïöÿ ³ç çàäàíîþ éìîâ³ðí³ñòþ α ³ ðÿäêà, ùî â³äïîâ³äຠ÷èñëó ñòóïåí³â ñâîáîäè k. Íàïðèêëàä, t0,05; 10 = = 1,812. ²íøèìè ñëîâàìè, Ð(t10 > 1,812) = 0,05. ²íîä³ òàáëèö³ ðîçïîä³ëó Ñòüþäåíòà íàâîäÿòüñÿ äëÿ äâîõ êðèòè÷íèõ òî÷îê t*α, k, ùî âèçíà÷àþòüñÿ ç óìîâè P (|t| > t*α, k) = α (ðèñ. 2). 184

Ðèñ. 2

ÐÎÁÎÒÀ Ç ÒÀÁËÈÖßÌÈ χ -ÐÎÇÏÎIJËÓ Íèæ÷å íàâåäåíî òàáëèöþ êðèòè÷íèõ òî÷îê χ -ðîçïîä³ëó. 2

Òàáëèöÿ 3 k 1 … 10 … 30 …

… … … … … … …

α 0,975 10 – 5 … 3,25 … 16,79 …

0,950 4⋅10 – 4 … 3,94 … 18,49 …

0,900 0,016 … 4,87 … 20,60 …

… … … … … … …

0,100 2,71 … 15,99 … 40,26 …

0,050 3,84 … 18,31 … 43,77 …

0,025 5,02 … 20,48 … 46,98 …

… … … … … … …

Ó òàáë. 3 ó ë³âîìó ñòîâïö³ íàâåäåíî ð³çí³ ÷èñëà ñòóïåí³â ñâîáîäè k. Ó âåðõíüîìó ðÿäêó çàçíà÷åíî éìîâ³ðíîñò³ (ð³âí³ çíà÷óùîñò³) α ïîòðàïëÿííÿ âåëè÷èíè, ùî ðîçãëÿäàºòüñÿ, ó “ïðàâèé õâ³ñò” ðîçïî2 ä³ëó χ (ðèñ. 3, à).

Ðèñ. 3

Êðèòè÷íà òî÷êà χ α, k ðîçì³ùåíà íà ïåðåòèí³ ñòîâïöÿ ³ç çàäàíîþ éìîâ³ðí³ñòþ α ³ ðÿäêà, ùî â³äïîâ³äຠ÷èñëó ñòóïåí³â ñâîáîäè k. Íà2

185

2 2 ïðèêëàä, χ 0,025; 10 = 20,48. ²íøèìè ñëîâàìè, Ð (χ 10 > 20,48) = 0,025. Çà2 çíà÷èìî, ùî ÷àñòî òàáëèö³ χ -ðîçïîä³ëó íàâîäÿòüñÿ äëÿ äâîõ êðèòè÷2 2 íèõ òî÷îê χ 1−α/2, k ³ χ α/2, k. Ó öüîìó ðàç³ ïðèïóñêàºòüñÿ, ùî éìîâ³ðíîñò³ ïîòðàïëÿííÿ ÂÂ, ùî ðîçãëÿäàºòüñÿ, â îáèäâà “õâîñòè” ðîçïîä³ëó îäíàêîâ³ é äîð³âíþþòü ïîëîâèí³ ð³âíÿ çíà÷óùîñò³ α, òîáòî α/2 (ðèñ. 3, á).

ÐÎÁÎÒÀ Ç ÒÀÁËÈÖßÌÈ F-ÐÎÇÏÎIJËÓ Ô²ØÅÐÀ

χ2 α, ν

Òàáëèö³ êðèòè÷íèõ òî÷îê ðîçïîä³ëó Ô³øåðà çâè÷àéíî íàâîäÿòüñÿ äëÿ ð³çíèõ çíà÷åíü ³ìîâ³ðíîñò³ (ð³âíÿ çíà÷óùîñò³) α ïîòðàïëÿííÿ ó “õâ³ñò” ðîçïîä³ëó (ðèñ. 4). Íàïðèêëàä, äëÿ α = 0,05 òàáëèöÿ ìຠòàêèé âèãëÿä: Òàáëèöÿ 4

k1 1

…

10

…

100

…

∞

1 …

161 …

… …

242 …

… …

253 …

… …

254 …

10 …

4,96 …

… …

2,98 …

… …

2,59 …

… …

2,54 …

100 …

3,94 …

… …

1,92 …

… …

1,39 …

… …

1,28 …

∞

3,84

…

1,83

…

1,24

…

1,00

k2

Íà ïåðåòèí³ ñòîâïöÿ ³ ðÿäêà (òàáë. 4), ùî â³äïîâ³äàþòü ÷èñëàì ñòóïåí³â ñâîáîäè k1 ³ k2, ðîçì³ùåíà êðèòè÷íà òî÷êà F(α, k1, k2). Íàïðèêëàä, F0,05; 1; 10 = 4,96 (P (F1, 10 > 4,96) = 0,05).

Ðèñ. 4

186

ÄÎÄÀÒÎÊ 1 Òàáëèöÿ ñòàíäàðòèçîâàíîãî íîðìàëüíîãî ðîçïîä³ëó A(Z) z 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0

0,00

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,5000 0,5398 0,5703 0,6179 0,6554 0,6915 0,7257 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413 0,8643 0,6849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9772 0,9821 0,9861 0,9893 0,9918 0,9938 0,9953 0,9965 0,9974 0,9981 0,9987

0,5040 0,5438 0,5832 0, 6217 0,6591 0,6950 0,7291 0,7611 0,7910 0,8186 0,8438 0,8665 0,8869 0,9049 0,9207 0,9345 0,9463 0,9564 0,9649 0,9719 0,9778 0,9826 0,9864 0,9896 0, 9920 0,9940 0,9955 0,9966 0,9975 0,9982

0,5080 0,5478 0,5871 0,6255 0,6628 0,6985 0,7324 0,7642 0,7939 0,8212 0,8461 0,8686 0,8888 0,9066 0,9222 0,9357 0,9474 0,9573 0,9656 0,9726 0,9783 0,9830 0,9868 0,9898 0,9922 0,9941 0,9956 0,9967 0,9976 0,9982

0,5120 0,5517 0,5910 0,6293 0,6664 0,7019 0,7357 0,7673 0,7967 0,8238 0,8485 0,8708 0,8907 0,9082 0,9236 0,9370 0,9484 0,9582 0,9664 0,9732 0,9788 0,9834 0,9871 0,9901 0,9925 0,9943 0,9957 0,9968 0,9977 0,9983

0,5160 0,5557 0,5948 0,6331 0,6700 0,7054 0,7389 0,7704 0,7995 0,8264 0,8508 0,8729 0,8925 0,9099 0,9251 0,9382 0,9495 0,9591 0,9671 0,9738 0,9793 0,9838 0,9875 0,9904 0,9927 0,9945 0,9959 0,9969 0,9977 0,9984

0,5199 0,5596 0,5987 0,6368 0,6736 0,7088 0,7422 0,7734 0,8023 0,8289 0,8531 0,8749 0,8944 0,9115 0,9265 0,9394 0,9505 0,9599 0,9678 0,9744 0,9798 0,9842 0,9878 0,9906 0,9929 0,9946 0,9960 0,9970 0,9978 0,9984

0,5239 0,5636 0,6026 0,6406 0,6772 0,7123 0,7454 0,7764 0,8051 0,8315 0,8554 0,8770 0,8962 0,9131 0,9279 0,9406 0,9515 0,9608 0,9686 0,9750 0,9803 0,9846 0,9881 0,9909 0,9931 0,9948 0,9961 0,9971 0,9979 0,9985

0,5279 0,5675 0,6064 0,6443 0,6808 0,7157 0,7486 0,7794 0,8078 0,8340 0, 8577 0,8790 0,8980 0,9147 0,9292 0,9418 0,9525 0,9616 0,9693 0,9756 0,9808 0,9850 0,9884 0,991 1 0,9932 0,9949 0,9962 0,9972 0,9979 0,9985

0,5319 0,5714 0,6103 0,6480 0,6844 0,7190 0,7517 0,7823 0,8106 0,8365 0,8599 0,8810 0,8997 0,9162 0,9306 0,9429 0,9535 0,9625 0,9700 0,9761 0,9812 0,9854 0,9887 0,9913 0,9934 0,9951 0,9963 0,9973 0,9980 0,9986

0,5359 0,5753 0,6141 0,6517 0,6879 0,7224 0,7549 0,7852 0,8133 0,8389 0,8621 0,8830 0,9015 0,9177 0,9319 0,9441 0,9545 0,9533 0,9706 0,9767 0,9817 0,9857 0,9890 0,9916 0,9936 0,9952 0,9964 0,9974 0,9981 0,9986

Äæåðåëî: Äîóãåðòè Ê. Ââåäåíèå â ýêîíîìåòðèêó: Ïåð. ñ àíãë. – Ì.: ÈÍÔÐÀ-Ì, 1997. – Ñ. 367. A(z) – öå ³íòåãðàë ù³ëüíîñò³ éìîâ³ðíîñò³ ñòàíäàðòèçîâàíîãî íîðìàëüíîãî ðîçïîä³ëó â³ä -∞ äî z (ïëîùà ï³ä êðèâîþ çë³âà â³ä z), ÿêèé º ³ìîâ³ðí³ñòü òîãî, ùî âåëè÷èíà íîðìàëüíî ðîçïîä³ëåíî¿ âèïàäêîâî¿ çì³ííî¿ íå ïåðåâèùóº ñåðåäíüîãî çíà÷åííÿ á³ëüø ÿê íà z ñòàíäàðòíèõ â³äõèëåíü.

187

ÄÎÄÀÒÎÊ 2 Òàáëèöÿ t-ðîçïîä³ëó Ñòüþäåíòà α, k)) (êðèòè÷í³ çíà÷åííÿ t (α Òåñò Äâîñòîðîíí³é Îäíîñòîðîíí³é k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 60 120 ∞

гâåíü çíà÷óùîñò³ α 50 %

20 %

10 %

5%

2%

1%

0,2 %

0,1 %

25 %

10 %

5%

2,5 %

1%

0,5 %

0,1 %

0,05 %

1,000 0,861 0,765 0,741 0,727 0,718 0,711 0,706 0,703 0,700 0,697 0,695 0,694 0,692 0,691 0,690 0,689 0,688 0,688 0,687 0,686 0,686 0,685 0,685 0,684 0,684 0,684 0,683 0,683 0,683 0,681 0,679 0,677 0,674

3,078 1,886 1,638 1,533 1,476 1,440 1,415 1,397 1,383 1,372 1,363 1,356 1,350 1,345 1,341 1,337 1,333 1,330 1,328 1,325 1,323 1,321 1,319 1,318 1,316 1,315 1,314 1,313 1,311 1,310 1,303 1,296 1,289 1,282

6,314 2,920 2,353 2,132 2,015 1,943 1,895 1,860 1,833 1,812 1,796 1,782 1,771 1,761 1,753 1,746 1,740 1,734 1,729 1,725 1,721 1,717 1,714 1,711 1,708 1,706 1,703 1,701 1,699 1,697 1,684 1,671 1,658 1,645

31,821 6,965 4,541 3,747 3,365 3,143 2,998 2,896 2,821 2,764 2,718 2,681 2,650 2,624 2,602 2,583 2,567 2,552 2,539 2,528 2,518 2,508 2,500 2,492 2,485 2,479 2,473 2,467 2,462 2,457 2,423 2,390 2,358 2,326

63,657 9,925 5,841 4,604 4,032 3,707 3,499 3,355 3,250 3,169 3,106 3,055 3,012 2,977 2,947 2,921 2,898 2,878 2,861 2,845 2,831 2,819 2,807 2,797 2,787 2,779 2,771 2,763 2,756 2,750 2,704 2,660 2,617 2,576

318,31 22,327 10,214 7,173 5,893 5,208 4,785 4,501 4,297 4,144 4,025 3,930 3,852 3,787 3,733 3,686 3,646 3,610 3,579 3,552 3,527 3,505 3,485 3,467 3,450 3,435 3,421 3,408 3,396 3,385 3,307 3,232 3,160 3,090

636,62 31,598 12,924 8,610 6,869 5,959 5,408 5,041 4,781 4,587 4,437 4,318 4,221 4,140 4,073 4,015 3,965 3,922 3,883 3,850 3,819 3,792 3,767 3,745 3,725 3,707 3,690 3,674 3,659 3,646 3,551 3,460 3,373 3,291

12,706 4,303 3,182 2,776 2,571 2,447 2,365 2,306 2,262 2,228 2,201 2,179 2,160 2,145 2,131 2,120 2,110 2,101 2,093 2,086 2,080 2,074 2,069 2,064 2,060 2,056 2,052 2,048 2,045 2,042 2,021 2,000 1,980 1,960

Äæåðåëà: Äîóãåðòè Ê. Ââåäåíèå â ýêîíîìåòðèêó: Ïåð. ñ àíãë. — Ì.: ÈÍÔÐÀ-Ì, 1997. — Ñ. 368. Ëóê’ÿíåíêî ². Ã., Êðàñí³êîâà Ë. ². Åêîíîìåòðèêà. — Ê.: Ò-âî “Çíàííÿ”, ÊÎÎ, 1998. — Ñ. 484.

188

ÄÎÄÀÒÎÊ 3 α, k1, k2) ðîçïîä³ëó Ô³øåðà Òàáëèöÿ F(α äëÿ ð³âíÿ çíà÷óùîñò³ α = 0,05 (5 %) k2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 120 140 160 180 200 ∞

k1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

161 18,5 10,1 7,71 6,61 5,99 5,59 5,32 5,12 4,96 4,84 4,75 4,67 4,60 4,54 4,49 4,45 4,41 4,38 4,35 4,32 4,30 4,48 4,26 4,24 4,23 4,21 4,20 4,18 4,17 4,08 4,03 4,00 3,98 3,96 3,95 3,94 3,92 3,91 3,90 3,89 3,88 3,84

200 19,0 9,55 6,94 5,79 5,14 4,74 4,46 4,26 4,10 3,98 3,89 3,81 3,74 3,68 3,63 3,59 3,55 3,52 3,49 3,47 3,44 3,42 3,40 3,39 3,37 3,35 3,34 3,33 3,32 3,23 3,18 3,15 3,13 3,11 3,10 3,09 3,07 3,06 3,05 3,05 3,04 3,00

216 19,2 9,28 6,59 5,41 4,76 4,35 4,07 3,68 3,71 3,59 3,49 3,41 3,34 3,29 3,24 3,20 3,16 3,13 3,10 3,07 3,05 3,03 3,01 2,99 2,98 2,96 2,95 2,93 2,92 2,84 2,79 2,76 2,74 2,72 2,71 2,70 2,68 2,67 2,66 2,65 2,65 2,60

225 19,2 9,20 6,39 5,19 4,53 4,12 3,84 3,63 3,48 3,36 3,26 3,18 3,11 3,06 3,01 2,96 2,93 2,90 2,87 2,84 2,82 2,80 2,78 2,76 2,74 2,73 2,71 2,70 2,69 2,61 2,56 2,53 2,50 2,49 2,47 2,46 2,45 2,44 2,43 2,42 2,42 2,37

230 19,3 9,01 6,26 5,05 4,39 3,97 3,69 3,48 3,33 3,20 3,11 3,03 2,96 2,90 2,85 2,81 2,77 2,74 2,71 2,68 2,66 2,64 2,62 2,60 2,59 2,57 2,56 2,55 2,53 2,45 2,40 2,37 2,35 2,33 2,32 2,31 2,29 2,28 2,27 2,26 2,26 2,21

234 19,3 8,94 6,16 4,95 4,28 3,87 3,58 3,37 3,22 3,09 3,00 2,92 2,85 2,79 2,74 2,70 2,66 2,63 2,60 2,57 2,55 2,53 2,51 2,49 2,47 2,46 2,45 2,43 2,42 2,34 2,29 2,25 2,23 2,21 2,20 2,19 2,18 2,16 2,16 2,15 2,14 2,10

237 19,4 8,89 6,09 4,88 4,21 3,79 3,50 3,29 3,14 3,01 2,91 2,83 2,76 2,71 2,66 2,61 2,58 2,54 2,51 2,49 2,46 2,44 2,42 2,40 2,39 2,37 2,36 2,35 2,33 2,25 2,20 2,17 2,14 2,13 2,11 2,10 2,09 2,08 2,07 2,06 2,06 2,01

239 19,4 8,85 6,04 4,82 4,15 3,73 3,44 3,23 3,07 2,95 2,85 2,77 2,70 2,64 2,59 2,55 2,51 2,48 2,45 2,42 2,40 2,37 2,36 2,34 2,32 2,31 2,29 2,28 2,27 2,18 2,13 2,10 2,07 2,06 2,04 2,03 2,02 2,01 2,00 1,99 1,98 1,94

241 19,4 8,81 6,00 4,77 4,10 3,68 3,39 3,18 3,02 2,90 2,80 2,71 2,65 2,59 2,54 2,49 2,46 2,42 2,39 2,37 2,34 2,32 2,30 2,28 2,27 2,25 2,24 2,22 2,21 212 2,07 2,04 2,02 2,00 1,99 1,97 1,96 1,95 1,94 1,93 1,93 1,88

242 19,4 8,79 5,96 4,74 4,06 3,64 3,35 3,14 2,98 2,85 2,75 2,67 2,60 2,54 2,49 2,45 2,41 2,38 2,35 2,32 2,30 2,27 2,25 224 2,22 2,20 2,19 2,18 2,16 2,08 2,03 1,99 1,97 1,95 1,94 1,93 1,91 1,90 1,89 1,88 1,88 1,83

243 19,4 8,76 5,94 4,70 4,03 3,60 3,31 3,10 2,94 2,82 2,72 2,63 2,57 2,51 2,46 2,41 2,37 2,34 2,31 2,28 2,26 2,24 2,22 2,20 2,18 2,17 2,15 2,14 2,13 2,04 1,99 1,95 1,93 1,91 1,90 1,89 1,87 1,86 1,85 1,84 1,84 1,79

244 19,4 8,74 5,91 4,,68 4,00 3,57 3,28 3,07 2,91 2,79 2,69 2,60 2,53 2,48 2,42 2,38 2,34 2,31 2,28 2,25 2,23 2,20 2,18 2,16 2,15 2,13 2,12 2,10 2,09 2,00 1,95 1,92 1,89 1,88 1,86 1,85 1,83 1,82 1,81 1,81 1,80 1,75

245 19,4 8,73 5,89 4,66 3,98 3,55 3,26 3,05 2,98 2,76 2,66 2,58 2,51 2,45 2,40 2,35 2,31 2,28 2,25 2,22 2,20 2,18 2,15 2,14 2,12 2,10 1,09 2,08 2,06 1,97 1,92 1,89 1,86 1,84 1,83 1,82 1,80 1,79 1,78 1,77 1,77 1,72

189

Ïðîäîâæåííÿ äîä. 3 α, k1, k2) ðîçïîä³ëó Ô³øåðà Òàáëèöÿ F(α äëÿ ð³âíÿ çíà÷óùîñò³ α = 0,05 (5 %) k2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 120 140 160 180 200 ∞

190

k1 14

15

16

17

18

19

20

30

40

50

100

200

∞

245 19,4 8,71 5,87 4,64 3,96 3,53 3,24 3,03 2,86 2,74 2,64 2,55 2,48 2,42 2,37 2,33 2,29 2,26 2,22 2,20 2,17 2,15 2,13 2,11 2,09 2,08 2,06 2,05 2,04 1,95 1,89 1,86 1,84 1,82 1,80 1,79 1,78 1,76 1,75 1,75 1,74 1,69

246 19,4 8,70 5,86 4,62 3,94 3,51 3,22 3,01 2,85 2,72 2,62 2,53 2,46 2,40 2,35 2,31 2,27 2,23 2,20 2,18 2,15 2,13 2,11 2,09 2,07 2,06 2,04 2,03 2,01 1,92 1,87 1,84 1,81 1,79 1,78 1,77 1,75 1,74 1,73 1,72 1,72 1,67

246 19,4 8,69 5,84 4,60 3,92 3,49 3,20 2,99 2,83 2,70 2,60 2,51 2,44 2,38 2,33 2,29 2,25 2,21 2,18 2,16 2,13 2,11 1,09 2,07 2,05 2,04 2,02 2,01 1,99 1,90 1,85 1,82 1,79 1,77 1,76 1,75 1,73 1,72 1,71 1,70 1,69 1,64

247 19,4 8,68 5,83 4,59 3,91 3,48 3,19 2,97 2,81 2,68 2,58 2,50 2,43 2,37 2,32 2,27 2,23 2,00 2,17 2,14 2,11 2,09 2,07 2,05 2,03 2,02 2,00 1,99 1,98 1,89 1,83 1,80 1,77 1,75 1,74 1,73 1,71 1,70 1,69 1,68 1,67 1,62

247 19,4 8,67 5,82 4,58 3,90 3,47 3,17 2,96 2,80 2,67 2,57 2,48 2,41 2,35 2,30 2,26 2,22 2,18 2,15 2,12 2,10 1,08 2,05 2,04 2,02 2,00 1,99 1,97 1,96 1,87 1,81 1,78 1,75 1,73 1,72 1,71 1,69 1,68 1,67 1,66 1,66 1,60

248 19,4 8,67 5,81 4,57 3,88 3,46 3,16 2,95 2,79 2,66 2,56 2,47 2,40 2,34 2,29 2,24 2,20 2,17 2,14 2,11 2,08 2,06 2,04 2,02 2,00 1,99 1,97 1,96 1,95 1,85 1,80 1,76 1,74 1,72 1,70 1,69 1,67 1,66 1,65 1,64 1,64 1,59

248 19,4 8,66 5,80 4,56 3,87 3,44 3,15 2,94 2,77 2,65 2,54 2,46 2,39 2,33 2,28 2,23 2,19 2,16 2,12 2,10 2,07 2,05 2,03 2,01 1,99 1,97 1,96 1,94 1,93 1,84 1,78 1,75 1,72 1,70 1,69 1,68 1,66 1,65 1,64 1,63 1,62 1,57

250 19,5 8,62 5,75 4,50 3,81 3,38 3,08 2,86 2,70 2,57 2,47 2,38 2,31 2,25 2,19 2,15 2,11 2,07 2,04 2,01 1,98 1,96 1,94 1,92 1,90 1,88 1,87 1,85 1,84 1,74 1,69 1,65 1,62 1,60 1,59 1,57 1,55 1,54 1,53 1,52 1,52 1,46

251 19,5 8,60 5,72 4,46 3,77 3,34 3,04 2,83 2,66 2,53 2,43 2,34 2,27 2,20 2,15 2,10 2,10 2,03 1,99 1,96 1,94 1,91 1,89 1,87 1,85 1,84 1,82 1,81 1,79 1,69 1,63 1,59 1,57 1,54 1,53 1,52 1,50 1,48 1,47 1,46 1,46 1,39

252 19,5 8,58 5,70 4,44 3,75 3,32 3,02 2,80 2,64 2,51 2,40 2,31 2,24 2,18 2,12 2,08 2,08 2,00 1,97 1,94 1,91 1,88 1,86 1,84 1,82 1,81 1,79 1,77 1,76 1,66 1,60 1,56 1,53 1,51 1,49 1,48 1,46 1,44 1,43 1,42 1,41 1,35

253 19,5 8,55 5,66 4,41 3,71 3,27 2,97 2,76 2,59 2,46 2,36 2,26 2,19 2,12 2,07 2,02 1,98 1,94 1,91 1,88 1,85 1,82 1,80 1,78 1,76 1,74 1,73 1,71 1,70 1,63 1,59 1,48 1,45 1,43 1,41 1,39 1,37 1,35 1,34 1,33 1,32 1,24

254 19,5 8,54 5,65 4,39 3,69 3,25 2,95 2,73 2,56 2,43 2,32 2,23 2,16 2,10 2,04 1,99 1,95 1,91 1,88 1,84 1,82 1,79 1,77 1,50 1,73 1,71 1,69 1,57 1,66 1,60 1,55 1,44 1,40 1,38 1,36 1,34 1,32 1,30 1,28 1,27 1,26 1,17

254 19,5 8,53 5,63 4,37 3,67 3,23 2,93 2,71 2,54 2,40 2,30 2,21 2,13 2,07 2,01 1,96 1,92 1,88 1,84 1,81 1,78 1,76 1,73 1,71 1,69 1,67 1,65 1,64 1,62 1,51 1,44 1,39 1,35 1,32 1,30 1,28 1,25 1,23 1,21 1,20 1,19 1,00

Ïðîäîâæåííÿ äîä. 3 α, k1, k2) ðîçïîä³ëó Ô³øåðà Òàáëèöÿ F(α äëÿ ð³âíÿ çíà÷óùîñò³ α = 0,01 (1 %) k2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 120 140 160 180 200 ∞

k1 1

2

4052 98,5 34,1 21,2 16,3 13,7 12,2 11,3 10,6 10,0 9,64 9,33 9,07 8,86 8,68 8,53 8,40 8,29 8,18 8,10 8,02 7,95 7,88 7,82 7,77 7,72 7,68 7,64 7,60 7,56 7,31 7,17 7,07 7,01 6,96 6,92 6,88 6,84 6,81 6,79 6,77 6,75 6,63

4999 99,0 30,8 18,0 13,3 10,9 9,55 8,65 8,02 7,56 7,20 6,93 6,70 6,51 6,36 6,23 6,11 6,01 5,93 5,85 5,78 5,72 5,66 5,64 5,57 5,53 5,49 5,45 5,42 5,39 5,18 5,06 4,98 4,92 4,88 4,85 4,82 4,79 4,76 4,74 4,72 4,71 4,61

3

4

5

6

5403 5625 5764 5859 99,2 99,3 99,3 99,3 29,4 28,7 28,2 27,9 16,7 16,0 15,5 15,2 12,1 11,4 11,0 10,7 9,78 9,15 8,75 8,47 8,45 7,85 7,46 7,19 7,59 7,01 6,63 6,37 6,99 6,42 6,06 5,80 6,55 5,99 5,64 5,39 6,21 5,67 5,31 5,07 5,95 5,41 5,06 4,82 5,74 5,21 4,86 4,62 5,56 5,04 4,69 4,46 5,42 4,89 4,56 4,32 5,29 4,77 4,44 4,20 5,18 4,67 4,34 4,10 5,09 4,58 4,25 4,01 5,01 4,50 4,17 3,94 4,94 4,43 4,10 3,87 4,87 4,37 4,04 3,81 4,82 4,31 3,99 3,76 4,76 4,26 3,94 3,71 4,72 4,22 3,90 3,67 4,68 4,18 3,85 3,83 4,64 4,14 3,82 3,59 4,60 4,11 3,78 3,56 4,57 4,07 3,75 3,53 4,54 4,04 3,73 3,50 4,51 4,02 3,70 3,47 4,31 3,83 3,51 3,29 4,20 3,72 3,41 3,19 4,13 3,65 3,34 3,12 4,07 3,60 3,29 3,07 4,04 3,56 3,25 3,04 4,01 3,53 3,23 3,01 3,98 3,51 3,21 2,99 3,95 3,48 3,17 2,96 3,92 3,46 3,15 2,93 3,90 3,44 3,13 2,92 3,89 3,43 3,12 2,90 3,88 3,41 3,11 2,89 3,78 3,32 3,02 2,80

7 5928 99,4 27,7 15,0 10,5 8,26 6,99 6,18 5,61 5,20 4,88 4,64 4,44 4,28 4,14 4,03 3,93 3,84 3,77 3,70 3,64 3,59 3,54 3,50 3,46 3,42 3,39 3,36 3,33 3,30 3,12 3,02 2,95 2,91 2,87 2,84 2,82 2,79 2,77 2,75 2,74 2,73 2,64

8

9

10

11

12

13

5981 6023 6056 6083 6106 612 6 99,4 99,4 99,4 99,4 99,4 99,4 27,5 27,3 27,2 27,1 27,1 27,0 14,8 14,7 14,5 14,5 14,4 14,3 10,3 10,2 10,1 9,96 9,89 9,82 8,10 7,98 7,87 7,79 7,72 7,66 6,84 6,72 6,62 6,54 6,47 6,41 6,03 5,91 5,81 5,73 5,67 5,61 5,47 5,35 5,26 5,18 5,11 5,05 5,06 4,94 4,85 4,77 4,71 4,65 4,74 4,63 4,54 4,46 4,39 4,34 4,50 4,39 4,30 4,22 4,16 4,10 4,30 4,19 4,10 4,02 3,96 3,90 4,14 4,03 3,94 3,86 3,80 3,75 4,00 3,89 3,80 3,73 3,67 3,61 3,89 3,78 3,69 3,62 3,55 3,50 3,79 3,68 3,59 3,52 3,46 3,40 3,71 3,60 3,51 3,43 3,37 3,32 3,63 3,52 3,43 3,36 3,30 3,24 3,56 3,46 3,37 3,29 3,23 3,18 3,51 3,40 3,31 3,24 3,17 3,12 3,45 3,35 3,26 3,18 3,12 3,07 3,41 3,30 3,21 3,14 3,07 3,02 3,36 3,26 3,17 3,09 3,03 2,98 3,32 3,22 3,13 3,06 2,99 2,94 3,29 3,18 3,09 3,02 2,96 2,90 3,26 3,15 3,06 2,99 2,93 2,87 3,23 3,12 3,03 2,96 2,90 2,84 3,20 3,09 3,00 2,93 2,87 2,81 3,17 3,07 2,98 2,91 2,84 2,79 2,99 2,89 2,80 2,73 2,66 2,61 2,89 2,78 2,70 2,62 2,56 2,51 2,82 2,72 2,63 2,56 2,50 2,44 2,78 2,67 2,59 2,51 2,45 2,40 2,74 2,64 2,55 2,48 2,42 2,36 2,72 2,61 2,52 2,45 2,39 2,33 2,69 2,59 2,50 2,43 2,37 2,31 2,66 2,56 2,47 2,40 2,34 2,28 2,64 2,54 2,45 2,38 2,31 2,26 2,62 2,52 2,43 2,36 2,30 2,24 2,61 2,51 2,42 2,35 2,28 2,23 2,60 2,50 2,41 2,34 2,27 2,22 2,51 2,41 2,32 2,25 2,18 2,13

191

Çàê³í÷åííÿ äîä. 3 α, k1, k2) ðîçïîä³ëó Ô³øåðà Òàáëèöÿ F(α, äëÿ ð³âíÿ çíà÷óùîñò³ α = 0,01 (1 %) k1 k2

14

15

16

17

18

19

20

30

40

50

100

200

∞

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40 50 60 70 80 90 100 120 140 160 180 200 ∞

6143 99,4 26,9 14,2 9,77 7,60 6,36 5,56 5,01 4,60 4,29 4,05 3,86 3,70 3,56 3,45 3,35 3,27 3,19 3,13 3,07 3,02 2,97 2,93 2,89 2,86 2,82 2,79 2,77 2,74 2,56 2,46 2,39 2,35 2,31 2,29 2,27 2,23 2,21 2,20 2,18 2,17 2,08

6157 99,4 26,9 14,2 9,72 7,56 6,31 5,52 4,96 4,56 4,25 4,01 3,82 3,66 3,52 3,41 3,31 3,23 3,15 3,09 3,03 2,98 2,93 2,89 2,85 2,81 2,78 2,75 2,73 2,70 2,52 2,42 2,35 2,31 2,27 2,24 2,22 2,19 2,17 2,15 2,14 2,13 2,04

6169 99,4 26,8 14,2 9,68 7,52 6,28 5,48 4,92 4,52 4,21 3,97 3,78 3,62 3,49 3,37 3,27 3,19 3,12 3,05 2,99 2,94 2,89 2,85 2,81 2,73 2,75 2,72 2,69 2,66 2,48 2,38 2,31 2,27 2,23 2,21 2,19 2,15 2,13 2,11 2,10 2,09 2,00

6182 99,4 26,8 14,1 9,64 7,48 6,24 5,44 4,89 4,49 4,18 3,94 3,74 3,59 3,45 3,34 3,24 3,16 3,08 3,02 2,96 2,91 2,86 2,82 2,78 2,75 2,71 2,68 2,66 2,63 2,45 2,35 2,28 2,23 2,20 2,17 2,15 2,12 2,10 2,08 2,07 2,06 1,97

6192 99,4 26,8 14,1 9,61 7,45 6,21 5,41 4,86 4,46 4,15 3,91 3,72 3,56 3,42 3,31 3,21 3,13 3,05 2,99 2,93 2,88 2,83 2,79 2,75 2,72 2,68 2,65 2,63 2,60 2,42 2,32 2,25 2,20 2,17 2,14 2,12 2,09 2,07 2,05 2,04 2,03 1,93

6201 99,4 26,7 14,0 9,58 7,42 6,18 5,38 4,83 4,43 4,12 3,88 3,69 3,53 3,40 3,28 3,19 3,10 3,03 2,96 2,90 2,85 2,80 2,76 2,72 2,69 2,66 2,63 2,60 2,57 2,39 2,29 2,22 2,18 2,14 2,11 2,08 2,06 2,04 2,02 2,01 2,00 1,90

6209 99,5 26,7 14,0 9,55 7,40 6,16 5,36 4,81 4,41 4,10 3,86 3,66 3,51 3,37 3,26 3,16 3,08 3,00 2,94 2,88 2,83 2,78 2,74 2,70 2,66 2,63 2,60 2,57 2,55 2,37 2,27 2,20 2,15 2,12 2,09 2,07 2,03 2,01 1,99 1,98 1,97 1,88

6261 99,5 26,5 13,8 9,38 7,23 5,99 5,20 4,65 4,25 3,94 3,70 3,51 3,35 3,21 3,10 3,00 2,92 2,84 2,78 2,72 2,67 2,62 2,58 2,54 2,60 2,47 2,44 2,41 2,39 2,20 2,10 2,03 1,98 1,94 1,92 1,89 1,86 1,84 1,82 1,81 1,79 1,70

6287 99,5 26,4 13,7 9,29 7,14 5,91 5,12 4,57 4,17 3,86 3,62 3,42 3,27 3,13 3,02 2,92 2,84 2,76 2,69 2,64 2,58 2,54 2,49 2,45 2,42 2,38 2,35 2,33 2,30 2,11 2,01 1,94 1,89 1,85 1,82 1,80 1,76 1,74 1,72 1,71 1,69 1,59

6303 99,5 26,4 13,7 9,24 7,09 5,86 5,07 4,52 4,12 3,81 3,57 3,37 3,22 3,08 2,97 2,87 2,78 2,71 2,64 2,58 2,53 2,48 2,44 2,40 2,36 2,33 2,30 2,27 2,25 2,06 1,95 1,88 1,83 1,79 1,76 1,74 1,70 1,67 1,66 1,64 1,63 1,52

6335 99,5 26,2 13,6 9,13 6,99 5,75 4,96 4,41 4,01 3,70 3,47 3,27 3,11 2,98 2,86 2,76 2,68 2,60 2,54 2,48 2,42 2,37 2,33 2,29 2,25 2,22 2,19 2,16 2,13 2,02 1,94 1,75 1,70 1,65 1,62 1,60 1,56 1,53 1,51 1,49 1,48 1,36

6350 99,5 26,2 13,5 9,08 6,93 5,70 4,91 4,36 3,96 3,65 3,41 3,22 3,06 2,92 2,81 2,71 2,62 2,55 2,48 2,42 2,36 2,32 2,27 2,23 2,19 2,16 2,13 2,10 2,07 1,96 1,87 1,68 1,62 1,58 1,55 1,52 1,48 1,45 1,42 1,41 1,39 1,25

6366 99,5 26,1 13,5 9,02 6,88 5,65 4,86 4,31 3,91 3,60 3,36 3,17 3,00 2,87 2,75 2,65 2,57 2,49 2,42 2,36 2,31 2,26 2,21 2,17 2,13 2,10 2,06 2,03 2,01 1,80 1,68 1,60 1,54 1,49 1,46 1,43 1,38 1,35 1,32 1,30 1,28 1,00

Äæåðåëî. Áðîíøòåéí È. Í., Ñåìåíîâ Ê. À. Ñïðàâî÷íèê ïî ìàòåìàòèêå: äëÿ èíæåíåðîâ è ó÷àùèõñÿ ÂÒÓÇîâ. — Ì.: Íàóêà, 1981. — Ñ. 82–87.

192

ÄÎÄÀÒÎÊ 4 d-ñòàòèñòèêà Äàðá³íà — Óîòñîíà: dí ³ d0 ïðè ð³âí³ çíà÷óùîñò³ α = 0,05 (5 %); n — ê³ëüê³ñòü ñïîñòåðåæåíü ʳëüê³ñòü ôàêòîð³â m=1 n 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 180 200

m=2

m=3

m=4

m=5

dí

dî

dí

dî

dí

dî

dí

dî

dí

dî

0,61 0,70 0,76 0,82 0,88 0,93 0,97 1,01 1,05 1,08 1,11 1,13 1,16 1,18 1,20 1,22 1,24 1,26 1,27 1,29 1,30 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,44 1,43 1,50 1,53 1,55 1,57 1,58 1,60 1,61 1,62 1,64 1,65 1,65 1,72 1,76

1,40 1,36 1,33 1,32 1,32 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,45 1,46 1,47 1,48 1,48 1,49 1,50 1,50 1,51 1,51 1,52 1,53 1,53 1,54 1,54 1,54 1,57 1,59 1,60 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,69 1,75 1,78

0,47 0,56 0,63 0,70 0,76 0,81 0,86 0,91 0,95 0,98 1,02 1,05 1,07 1,10 1,13 1,15 1,17 1,19 1,21 1,23 1,24 1,26 1,27 1,28 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,43 1,46 1,49 1,51 1,54 1,55 1,57 1,59 1,60 1,61 1,62 1,63 1,71 1,75

1,90 1,78 1,70 1,64 1,60 1,58 1,56 1,55 1,54 1,54 1,54 1,54 1,54 1,54 1,54 1,54 1,54 1,55 1,55 1,55 1,56 1,56 1,56 1,57 1,57 1,57 1,58 1,58 1,58 1,59 I,59 1,59 1,60 1,60 1,62 1,63 1,64 1,65 1,66 1,67 1,68 1,69 1,70 1,70 1,71 1,72 1,76 1,79

0,37 0,46 0,53 0,60 0,66 0,72 0,77 0,81 0,86 0,90 0,93 0,97 1,00 1,03 1,05 1,08 1,10 1,12 1,14 1,16 1,18 1,20 1,21 1,23 1,24 1,26 1,27 1,28 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,38 1,42 1,45 1,48 1,50 1,53 1,54 1,56 1,58 1,59 1,60 1,61 1,69 1,74

2,29 2,13 2,02 1,93 1,86 1,82 1,78 1,75 1,73 1,71 1,70 1,69 1,68 1,67 1,66 1,66 1,66 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,65 1,66 1,66 1,66 1,66 1,67 1,67 1,68 1,69 1,70 1,70 1,71 1,72 1,72 1,73 1,73 1,74 1,77 1,90

0,30 0,38 0,44 0,51 0,57 0,63 0,69 0,73 0,78 0,82 0,96 0,89 0,93 0,96 0,99 1,01 1,04 1,06 1,08 1,10 1,12 1,14 1,16 1,18 1,19 1,21 1,22 1,24 1,25 1,26 1,37 1,29 1,34 1,38 1,41 1,44 1,47 1,49 1,52 1,53 1,55 1,57 1,58 1,59 1,68 1,73

2,59 2,41 2,28 2,18 2,09 2,03 1,96 1,94 1,90 1,87 1,85 1,83 1,81 1,80 1,79 1,78 1,77 1,76 1,75 1,75 1,74 1,74 1,74 1,73 1,73 1,73 1,73 1,72 1,72 1,72 1,72 1,72 1,72 1,72 1,72 1,73 1,73 1,74 1,79 1,74 1,75 1,75 1,76 1,76 1,79 1,81

0,24 0,32 0,38 0,45 0,51 0,56 0,62 0,66 0,71 0,75 0,79 0,83 0,86 0,90 0,93 0,95 0,98 1,00 1,03 1,05 1,07 1,09 1,11 1,13 1,14 1,16 1,18 1,19 1,20 1,22 1,23 1,29 1,34 1,37 1,41 1,44 1,46 1,49 1,51 1,53 1,54 1,56 1,57 1,67 1,72

2,82 2,65 2,51 2,39 2,30 2,22 2,16 2,10 2,06 2,02 1,99 1,96 1,94 1,92 1,90 1,89 1,87 1,86 1,85 1,84 1,83 1,83 1,82 1,81 1,81 1,80 1,80 1,80 1,79 1,79 1,79 1,78 1,77 1,77 1,77 1,77 1,77 1,77 1,77 1,77 1,78 1,78 1,78 1,80 1,82

193

Ïðîäîâæåííÿ äîä. 4 d-ñòàòèñòèêà Äàðá³íà — Óîòñîíà: dí ³ d0 ïðè ð³âí³ çíà÷óùîñò³ α = 0,05 (5 %); n — ê³ëüê³ñòü ñïîñòåðåæåíü ʳëüê³ñòü ôàêòîð³â m=6 n 11 12 13 14 I5 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 150 200

194

m=7

m=8

m=9

m = 10

dí

dî

dí

dî

dí

dî

dí

dî

dí

dî

0,12 0,16 0,21 0,26 0,30 0,35 0,39 0,44 0,48 0,52 1,55 1,57 1,62 1,65 1,68 0,71 0,74 0,76 0,79 0,81 0,83 0,86 0,88 0,90 0,91 0,93 0,95 0,97 0,98 1,00 1,07 1,12 1,17 1,21 1,25 1,28 1,31 1,34 1,36 1,38 1,40 1,42 1,54 1,61

2,89 2,67 2,49 2,35 2,24 2,15 2,08 2,02 1,96 1,92 1,88 1,85 1,82 1,79 1,78 1,76 1,74 1,73 1,72 1,71 1,70 1,69 1,68 1,68 1,67 1,67 1,66 1,66 1,66 1,65 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,65 1,65 1,65 1,66 1,66 1,67 1,67 1,71 1,74

0,11 0,14 0,18 0,23 0,27 0,31 0,37 0,40 0,44 0,47 0,51 0,55 0,58 0,61 0,64 0,67 0,70 0,72 0,76 0,77 0,79 0,82 0,84 0,86 0,88 0,90 0,91 0,93 0,95 1,02 1,06 1,13 1,18 1,22 1,25 1,28 1,31 1,34 1,36 1,38 1,40 1,53 1,60

3,06 2,64 2,67 2,53 2,42 2,31 2,24 2,17 2,11 2,06 2,02 1,98 1,94 1,92 1,89 1,87 1,85 1,83 1,82 1,80 1,78 1,78 1,77 1,76 1,75 1,74 1,74 1,73 1,72 1,71 1,69 1,69 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,69 1,69 1,69 1,69 1,72 1,75

0,09 0,12 0,16 0,20 0,24 0,28 0,32 0,36 0,40 0,44 0,47 0,51 0,54 0,57 0,60 0,66 0,69 0,69 0,71 0,73 0,76 0,78 0,80 0,82 0,84 0,86 0,88 0,90 0,97 1,04 1,10 1,14 1,19 1,22 1,26 1,29 1,31 1,34 1,36 1,38 1,52 1,59

3,18 2,96 2,82 2,68 2,57 2,47 2,36 2,31 2,24 2,19 2,14 2,10 2,06 2,03 2,00 1,97 1,95 1,93 1,91 1,89 1,87 1,86 1,85 1,84 1,83 1,82 1,81 1,80 1,77 1,75 1,73 1,73 1,72 1,72 1,72 1,71 1,71 1,71 1,72 1,72 1,74 1,76

0,08 0,11 0,14 0,18 0,22 0,26 0,29 0,33 0,37 0,40 0,44 0,47 0,51 0,54 0,57 0,60 0,62 0,65 0,67 0,70 0,72 0,74 0,77 0,79 0,81 0,83 0,84 0,93 1,00 1,06 1,11 1,15 1,19 1,23 1,26 1,29 1,31 1,34 1,36 1,50 1,58

3,29 3,10 2,94 2,81 2,70 2,60 2,51 2,43 2,37 2,31 2,26 2,21 2,17 2,13 2,10 2,07 2,04 2,02 2,00 1,98 1,96 1,94 1,93 1,91 1,90 1,89 1,88 1,83 1,81 1,79 1,77 1,76 1,75 1,75 1,75 1,74 1,74 1,74 1,74 1,75 1,77

0,07 0,09 0,13 0,16 0,20 0,23 0,27 0,30 0,34 0,38 0,41 0,44 0,47 0,50 0,53 0,56 0,59 0,62 0,64 0,67 0,69 0,71 0,73 0,75 0,77 0,79 0,86 0,96 1,02 1,07 1,12 1,16 1,20 1,23 1,26 1,29 1,31 1,34 1,49 1,57

3,37 3,20 3,05 2,93 2,81 2,71 2,63 2,55 2,48 2,42 2,37 2,31 2,27 2,23 2,19 2,16 2,13 2,10 2,00 2,06 2,04 2,01 2,00 1,99 1,98 1,96 1,90 1,96 1,84 1,82 1,80 1,79 1,79 1,78 1,77 1,77 1,77 1,77 1,77 1,78

Ïðîäîâæåííÿ äîä. 4 d-ñòàòèñòèêà Äàðá³íà — Óîòñîíà: dí ³ d0 ïðè ð³âí³ çíà÷óùîñò³ α = 0,05 (5 %); n — ê³ëüê³ñòü ñïîñòåðåæåíü ʳëüê³ñòü ôàêòîð³â m = 11 n 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 150 200

m = 12

m = 13

m = 14

m = 15

dí

dî

dí

dî

dí

dî

dí

dî

dí

dî

0,06 0,08 0,11 0,15 0,18 0,21 0,25 0,28 0,32 0,35 0,38 0,41 0,44 0,48 0,50 0,53 0,56 0,59 0,61 0,63 0,66 0,68 0,70 0,72 0,74 0,84 0,94 0,98 1,04 1,09 1,13 1,17 1,21 1,23 1,26 1,29 1,31 1,47 1,56

3,45 3,29 3,15 3,02 2,91 2,82 2,73 2,65 2,58 2,52 2,46 2,41 2,36 2,32 2,28 2,25 2,22 2,19 2,16 2,14 2,11 2,09 2,07 2,06 2,04 1,97 1,93 1,89 1,86 1,85 1,83 1,82 1,81 1,80 1,80 1,79 1,79 1,78 1,79

0,05 0,08 0,10 0,13 0,16 0,19 0,23 0,26 0,29 0,32 0,36 0,39 0,42 0,45 0,48 0,50 0,53 0,56 0,58 0,61 0,63 0,65 0,67 0,07 0,79 0,87 0,94 1,00 1,05 1,10 1,14 1,18 1,21 1,24 1,27 1,29 1,46 1,55

3,51 3,36 3,23 3,11 3,00 2,91 2,82 2,74 2,67 2,61 2,55 2,50 2,45 2,41 2,37 2,33 2,30 2,27 2,24 2,21 2,19 2,16 2,14 2,12 2,04 1,99 1,95 1,95 1,89 1,87 1,86 1,84 1,83 1,83 1,82 1,82 1,80 1,80

0,05 0,07 0,09 0,12 0,15 0,18 0,21 0,24 0,27 0,30 0,33 0,36 0,39 0,42 0,45 0,48 0,50 0,53 0,55 0,58 0,60 0,62 0,65 0,74 0,83 0,90 0,97 1,02 1,07 1,11 1,15 1,18 1,22 1,24 1,27 1,44 1,54

3,56 3,42 3,30 3,19 3,08 2,99 2,91 2,83 2,76 2,69 2,64 2,58 2,53 2,49 2,45 2,41 2,37 2,34 2,31 2,28 2,26 2,23 2,21 2,12 2,05 2,00 1,96 1,93 1,91 1,89 1,88 1,87 1,86 1,85 1,84 1,81 1,81

0,04 0,61 0,08 0,11 0,14 0,17 0,19 0,22 0,25 0,28 0,31 0,34 0,37 0,40 0,43 0,45 0,48 0,50 0,53 0,55 0,58 0,60 0,70 0,87 0,86 0,93 0,99 1,04 1,08 1,12 1,16 1,19 1,22 1,25 1,43 1,53

3,60 3,47 3,36 3,25 3,16 3,07 2,98 2,91 2,84 2,77 2,71 2,66 2,61 2,56 2,52 2,48 2,44 2,41 2,38 2,35 2,32 2,30 2,19 2,12 2,06 2,02 1,98 1,95 1,93 1,91 1,90 1,89 1,88 1,87 1,83 1,82

0,04 0,06 0,08 0,10 0,13 0,15 0,18 0,21 0,24 0,27 0,29 0,32 0,35 0,38 0,40 0,43 0,46 0,48 0,50 0,53 0,55 0,66 0,75 0,83 0,89 0,95 1,01 1,05 1,09 1,13 1,17 1,20 1,23 1,41 1,52

3,64 3,52 3,41 3,31 3,22 3,13 3,05 2,98 2,91 2,84 2,79 2,73 2,68 2,63 2,59 2,55 2,51 2,48 2,45 2,41 2,39 2,27 2,18 2,12 2,07 2,03 2,00 1,97 1,95 1,93 1,92 1,91 1,90 1,85 1,84

195

Ïðîäîâæåííÿ äîä. 4 d-ñòàòèñòèêà Äàðá³íà — Óîòñîíà: dí ³ d0 ïðè ð³âí³ çíà÷óùîñò³ α = 0,05 (5 %); n — ê³ëüê³ñòü ñïîñòåðåæåíü ʳëüê³ñòü ôàêòîð³â m = 16 n 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 150 200

196

m = 17

m = 18

m = 19

m = 20

dí

dî

dí

dî

dí

dî

dí

dî

dí

dî

0,04 0,05 0,07 0,09 0,12 0,14 0,17 0,19 0,22 0,25 0,28 0,30 0,33 0,36 0,38 0,41 0,43 0,46 0,48 0,51 0,61 0,71 0,79 0,86 0,92 0,97 1,02 1,07 1,11 1,14 1,17 1,20 1,40 1,51

3,67 3,56 3,46 3,36 3,27 3,19 3,11 3,04 2,97 2,91 2,85 2,80 2,75 2,70 2,66 2,61 2,58 2,54 2,51 2,48 2,35 2,25 2,18 2,12 2,08 2,04 2,01 1,96 1,97 1,95 1,93 1,92 186 185

0,03 0,05 0,07 0,09 0,11 0,13 0,16 0,18 0,21 0,23 0,26 0,29 0,31 0,34 0,36 0,39 0,41 0,44 0,46 0,57 0,67 0,75 0,82 0,89 0,94 0,99 1,04 1,08 1,12 1,15 1,18 1,39 1,50

3,70 3,60 3,50 3,41 3,33 3,25 3,17 3,10 3,03 2,97 2,91 2,86 2,81 2,76 2,72 2,68 2,64 2,60 2,57 2,42 2,32 2,24 2,17 2,12 2,06 2,05 2,02 2,00 1,48 1,96 1,95 1,86 1,86

0,03 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,15 0,17 0,20 0,22 0,25 0,27 0,30 0,32 0,35 0,37 0,40 0,42 0,53 0,63 0,71 0,79 0,85 0,91 0,96 1,01 1,05 1,09 1,13 1,16 1,37 1,48

3,73 3,63 3,54 3,45 3,37 3,30 3,22 3,15 3,09 3,03 2,97 2,92 2,87 2,82 2,77 2,73 2,69 2,66 2,50 2,39 2,30 2,23 2,17 2,13 2,09 2,06 2,03 2,01 1,99 1,98 1,90 1,87

0,03 0,04 0,06 0,07 0,93 0,11 0,14 0,16 0,18 0,21 0,23 0,26 0,28 0,31 0,33 0,35 0,38 0,49 0,59 0,67 0,75 0,82 0,88 0,93 0,99 1,03 1,07 1,10 1,14 1,36 1,47

3,75 3,66 3,57 3,49 3,41 3,34 3,27 3,20 3,14 3,08 3,02 2,97 2,92 2,87 2,83 2,79 2,75 2,58 2,46 2,36 2,28 2,22 2,17 2,13 2,10 2,07 2,04 2,02 2,01 1,91 1,88

0,03 0,04 0,05 0,07 0,09 0,11 0,13 0,15 0,17 0,20 0,22 0,24 0,27 0,29 0,32 0,34 0,45 0,55 0,64 0,72 0,79 0,85 0,91 0,96 1,01 1,04 1,08 1,11 1,35 1,46

3,77 3,68 3,60 3,52 3,45 3,38 3,31 3,25 3,14 3,13 3,07 3,02 2,97 2,92 2,88 2,84 2,66 2,53 2,42 2,34 2,27 2,22 2,17 2,14 2,10 2,08 2,05 2,03 1,93 1,90

Ïðîäîâæåííÿ äîä. 4 d-ñòàòèñòèêà Äàðá³íà — Óîòñîíà: dí ³ d0 ïðè ð³âí³ çíà÷óùîñò³ α = 0,01 (1 %); n — ê³ëüê³ñòü ñïîñòåðåæåíü ʳëüê³ñòü ôàêòîð³â m=1

m=2

m=3

m=4

m=5

n

dí

dî

dí

dî

dí

dî

dí

dî

dí

dî

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 150 200

0,39 0,44 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,74 0,78 0,81 0,84 0,87 0,90 0,93 0,95 0,98 1,00 1,02 1,04 1,06 1,07 1,09 1,10 1,12 1,13 1,15 1,16 1,17 1,18 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,21 1,29 1,32 1,36 1,38 1,41 1,43 1,45 1,47 1,48 1,50 1,51 1,52 1,61 1,66

1,14 1,04 1,00 1,00 1,00 1,01 1,02 1,04 1,05 1,07 1,09 1,11 1,12 1,13 1,15 1,16 1,17 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,32 1,33 1,34 1,34 1,38 1,40 1,43 1,45 1,47 1,49 1,50 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,64 1,68

0,29 0,35 0,41 0,47 0,52 0,57 0,62 0,66 0,70 0,74 0,77 0,81 0,84 0,87 0,89 0,92 0,94 0,96 0,98 1,00 1,02 1,04 1,05 1,07 1,09 1,10 1,11 1,13 1,14 1,15 1,17 1,18 1,19 1,20 1,25 1,29 1,32 1,35 1,38 1,40 1,42 1,44 1,46 1,47 1,49 1,50 1,60 1,65

1,68 1,49 1,39 1,33 1,29 1,27 1,26 1,25 1,25 1,25 1,26 1,26 1,27 1,27 1,28 1,28 1,29 1,30 1,31 1,31 1,32 1,33 1,33 1,34 1,35 1,35 1,36 1,36 1,37 1,38 1,38 1,39 1,39 1,40 1,42 1,45 1,47 1,48 1,50 1,52 1,53 1,54 1,55 1,65 1,57 1,58 1,65 1,69

0,23 0,28 0,34 0,40 0,45 0,50 0,55 0,59 0,63 0,67 0,71 0,74 0,77 0,80 0,83 0,86 0,88 0,91 0,93 0,95 0,97 0,99 1,01 1,02 1,04 1,06 1,07 1,09 1,10 1,11 1,13 1,14 1,15 1,20 1,25 1,28 1,32 1,35 1,37 1,40 1,42 1,44 1,45 1,47 1,48 1,58 1,64

2,10 1,88 1,73 1,64 1,58 1,53 1,49 1,46 1,45 1,43 1,42 1,42 1,41 1,41 1,41 1,41 1,41 1,41 1,41 1,41 1,42 1,42 1,42 1,43 1,43 1,43 1,44 1,44 1,44 1,45 1,45 1,45 1,46 1,47 1,49 1,51 1,52 1,53 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,60 1,67 1,70

0,18 0,23 0,29 0,34 0,39 0,46 0,49 0,53 0,57 0,61 0,65 0,69 0,72 0,75 0,78 0,81 0,83 0,86 0,88 0,90 0,92 0,94 0,96 0,98 1,00 1,01 1,03 1,04 1,06 1,07 1,09 1,10 1,16 1,21 1,25 1,28 1,32 1,34 1,37 1,39 1,41 1,43 1,45 1,46 1,57 1,63

2,43 2,19 2,03 1,91 1,83 1,76 1,70 1,66 1,63 1,60 1,58 1,57 1,55 1,54 1,53 1,53 1,52 1,52 1,52 1,51 1,51 1,51 1,51 1,51 1,51 1,51 1,51 1,51 1,51 1,52 1,52 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,60 1,61 1,62 1,63 1,68 1,72

0,15 0,19 0,24 0,29 0,34 0,39 0,44 0,48 0,52 0,56 0,60 0,63 0,67 0,70 0,73 0,76 0,78 0,81 0,83 0,86 0,88 0,90 0,92 0,94 0,95 0,97 0,99 1,00 1,02 1,03 1,04 1,11 1,16 1,21 1,25 1,26 1,31 1,34 1,36 1,39 1,41 1,43 1,44 1,56 1,62

2,69 2,45 2,28 2,15 2,05 1,97 1,90 1,85 1,80 1,77 1,74 1,71 1,69 1,67 1,66 1,65 1,64 1,63 1,62 1,61 1,61 1,60 1,60 1,59 1,59 1,59 1,59 1,59 1,59 1,58 1,59 1,59 1,59 1,59 1,60 1,60 1,61 1,62 1,62 1,63 1,64 1,64 1,65 1,69 1,73

197

Ïðîäîâæåííÿ äîä. 4 d-ñòàòèñòèêà Äàðá³íà — Óîòñîíà: dí ³ d0 ïðè ð³âí³ çíà÷óùîñò³ α = 0,01 (1 %); n — ê³ëüê³ñòü ñïîñòåðåæåíü ʳëüê³ñòü ôàêòîð³â m=6

m=7

m=8

m=9

m = 10

n

dí

dî

dí

dî

dí

dî

dí

dî

dí

dî

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 150 200

0,12 0,16 0,21 0,26 0,30 0,35 0,39 0,44 0,48 0,52 1,55 1,57 1,62 1,65 1,68 0,71 0,74 0,76 0,79 0,81 0,83 0,86 0,88 0,90 0,91 0,93 0,95 0,97 0,98 1,00 1,07 1,12 1,17 1,21 1,25 1,28 1,31 1,34 1,36 1,38 1,40 1,42 1,54 1,61

2,89 2,67 2,49 2,35 2,24 2,15 2,08 2,02 1,96 1,92 1,88 1,85 1,82 1,79 1,78 1,76 1,74 1,73 1,72 1,71 1,70 1,69 1,68 1,68 1,67 1,67 1,66 1,66 1,66 1,65 1,64 1,64 1,64 1,64 1,64 1,65 1,65 1,65 1,66 1,66 1,67 1,67 1,71 1,74

0,11 0,14 0,18 0,23 0,27 0,31 0,37 0,40 0,44 0,47 0,51 0,55 0,58 0,61 0,64 0,67 0,70 0,72 0,76 0,77 0,79 0,82 0,84 0,86 0,88 0,90 0,91 0,93 0,95 1,02 1,06 1,13 1,18 1,22 1,25 1,28 1,31 1,34 1,36 1,38 1,40 1,53 1,60

3,06 2,64 2,67 2,53 2,42 2,31 2,24 2,17 2,11 2,06 2,02 1,98 1,94 1,92 1,89 1,87 1,85 1,83 1,82 1,80 1,78 1,78 1,77 1,76 1,75 1,74 1,74 1,73 1,72 1,71 1,69 1,69 1,68 1,68 1,68 1,68 1,68 1,69 1,69 1,69 1,69 1,72 1,75

0,09 0,12 0,16 0,20 0,24 0,28 0,32 0,36 0,40 0,44 0,47 0,51 0,54 0,57 0,60 0,66 0,69 0,69 0,71 0,73 0,76 0,78 0,80 0,82 0,84 0,86 0,88 0,90 0,97 1,04 1,10 1,14 1,19 1,22 1,26 1,29 1,31 1,34 1,36 1,38 1,52 1,59

3,18 2,96 2,82 2,68 2,57 2,47 2,36 2,31 2,24 2,19 2,14 2,10 2,06 2,03 2,00 1,97 1,95 1,93 1,91 1,89 1,87 1,86 1,85 1,84 1,83 1,82 1,81 1,80 1,77 1,75 1,73 1,73 1,72 1,72 1,72 1,71 1,71 1,71 1,72 1,72 1,74 1,76

0,08 0,11 0,14 0,18 0,22 0,26 0,29 0,33 0,37 0,40 0,44 0,47 0,51 0,54 0,57 0,60 0,62 0,65 0,67 0,70 0,72 0,74 0,77 0,79 0,81 0,83 0,84 0,93 1,00 1,06 1,11 1,15 1,19 1,23 1,26 1,29 1,31 1,34 1,36 1,50 1,58

3,29 3,10 2,94 2,81 2,70 2,60 2,51 2,43 2,37 2,31 2,26 2,21 2,17 2,13 2,10 2,07 2,04 2,02 2,00 1,98 1,96 1,94 1,93 1,91 1,90 1,89 1,88 1,83 1,81 1,79 1,77 1,76 1,75 1,75 1,75 1,74 1,74 1,74 1,74 1,75 1,77

0,07 0,09 0,13 0,16 0,20 0,23 0,27 0,30 0,34 0,38 0,41 0,44 0,47 0,50 0,53 0,56 0,59 0,62 0,64 0,67 0,69 0,71 0,73 0,75 0,77 0,79 0,86 0,96 1,02 1,07 1,12 1,16 1,20 1,23 1,26 1,29 1,31 1,34 1,49 1,57

3,37 3,20 3,05 2,93 2,81 2,71 2,63 2,55 2,48 2,42 2,37 2,31 2,27 2,23 2,19 2,16 2,13 2,10 2,00 2,06 2,04 2,01 2,00 1,99 1,98 1,96 1,90 1,96 1,84 1,82 1,80 1,79 1,79 1,78 1,77 1,77 1,77 1,77 1,77 1,78

198

Ïðîäîâæåííÿ äîä. 4 d-ñòàòèñòèêà Äàðá³íà — Óîòñîíà: dí ³ d0 ïðè ð³âí³ çíà÷óùîñò³ α = 0,01 (1 %); n — ê³ëüê³ñòü ñïîñòåðåæåíü ʳëüê³ñòü ôàêòîð³â m = 11 n 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 150 200

m = 12

m = 13

m = 14

m = 15

dí

dî

dí

dî

dí

dî

dí

dî

dí

dî

0,06 0,08 0,11 0,15 0,18 0,21 0,25 0,28 0,32 0,35 0,38 0,41 0,44 0,48 0,50 0,53 0,56 0,59 0,61 0,63 0,66 0,68 0,70 0,72 0,74 0,84 0,94 0,98 1,04 1,09 1,13 1,17 1,21 1,23 1,26 1,29 1,31 1,47 1,56

3,45 3,29 3,15 3,02 2,91 2,82 2,73 2,65 2,58 2,52 2,46 2,41 2,36 2,32 2,28 2,25 2,22 2,19 2,16 2,14 2,11 2,09 2,07 2,06 2,04 1,97 1,93 1,89 1,86 1,85 1,83 1,82 1,81 1,80 1,80 1,79 1,79 1,78 1,79

0,05 0,08 0,10 0,13 0,16 0,19 0,23 0,26 0,29 0,32 0,36 0,39 0,42 0,45 0,48 0,50 0,53 0,56 0,58 0,61 0,63 0,65 0,67 0,07 0,79 0,87 0,94 1,00 1,05 1,10 1,14 1,18 1,21 1,24 1,27 1,29 1,46 1,55

3,51 3,36 3,23 3,11 3,00 2,91 2,82 2,74 2,67 2,61 2,55 2,50 2,45 2,41 2,37 2,33 2,30 2,27 2,24 2,21 2,19 2,16 2,14 2,12 2,04 1,99 1,95 1,95 1,89 1,87 1,86 1,84 1,83 1,83 1,82 1,82 1,80 1,80

0,05 0,07 0,09 0,12 0,15 0,18 0,21 0,24 0,27 0,30 0,33 0,36 0,39 0,42 0,45 0,48 0,50 0,53 0,55 0,58 0,60 0,62 0,65 0,74 0,83 0,90 0,97 1,02 1,07 1,11 1,15 1,18 1,22 1,24 1,27 1,44 1,54

3,56 3,42 3,30 3,19 3,08 2,99 2,91 2,83 2,76 2,69 2,64 2,58 2,53 2,49 2,45 2,41 2,37 2,34 2,31 2,28 2,26 2,23 2,21 2,12 2,05 2,00 1,96 1,93 1,91 1,89 1,88 1,87 1,86 1,85 1,84 1,81 1,81

0,04 0,61 0,08 0,11 0,14 0,17 0,19 0,22 0,25 0,28 0,31 0,34 0,37 0,40 0,43 0,45 0,48 0,50 0,53 0,55 0,58 0,60 0,70 0,87 0,86 0,93 0,99 1,04 1,08 1,12 1,16 1,19 1,22 1,25 1,43 1,53

3,60 3,47 3,36 3,25 3,16 3,07 2,98 2,91 2,84 2,77 2,71 2,66 2,61 2,56 2,52 2,48 2,44 2,41 2,38 2,35 2,32 2,30 2,19 2,12 2,06 2,02 1,98 1,95 1,93 1,91 1,90 1,89 1,88 1,87 1,83 1,82

0,04 0,06 0,08 0,10 0,13 0,15 0,18 0,21 0,24 0,27 0,29 0,32 0,35 0,38 0,40 0,43 0,46 0,48 0,50 0,53 0,55 0,66 0,75 0,83 0,89 0,95 1,01 1,05 1,09 1,13 1,17 1,20 1,23 1,41 1,52

3,54 3,52 3,41 3,31 3,22 3,13 3,05 2,98 2,91 2,84 2,79 2,73 2,68 2,63 2,59 2,55 2,51 2,48 2,45 2,41 2,39 2,27 2,18 2,12 2,07 2,03 2,00 1,97 1,95 1,93 1,92 1,91 1,90 1,85 1,84

199

Çàê³í÷åííÿ äîä. 4 d-ñòàòèñòèêà Äàðá³íà — Óîòñîíà: dí ³ d0 ïðè ð³âí³ çíà÷óùîñò³ α = 0,01 (1 %); n — ê³ëüê³ñòü ñïîñòåðåæåíü ʳëüê³ñòü ôàêòîð³â m = 16 n 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 200

m = 17

m = 18

m = 19

m = 20

dí

dî

dí

dî

dí

dî

dí

dî

dí

dî

0,04 0,05 0,07 0,09 0,12 0,14 0,17 0,19 0,22 0,25 0,28 0,30 0,33 0,36 0,38 0,41 0,43 0,46 0,48 0,51 0,61 0,71 0,79 0,86 0,92 0,97 1,02 1,07 1,11 1,14 1,17 1,20 1,51

3,67 3,56 3,46 3,36 3,27 3,19 3,11 3,04 2,97 2,91 2,85 2,80 2,75 2,70 2,66 2,61 2,58 2,54 2,51 2,48 2,35 2,25 2,18 2,12 2,08 2,04 2,01 1,96 1,97 1,95 1,93 1,92 1,85

0,03 0,05 0,07 0,09 0,11 0,13 0,16 0,18 0,21 0,23 0,26 0,29 0,31 0,34 0,36 0,39 0,41 0,44 0,46 0,57 0,67 0,75 0,82 0,89 0,94 0,99 1,04 1,08 1,12 1,15 1,18 1,50

3,70 3,60 3,50 3,41 3,33 3,25 3,17 3,10 3,03 2,97 2,91 2,86 2,81 2,76 2,72 2,68 2,64 2,60 2,57 2,42 2,32 2,24 2,17 2,12 2,06 2,05 2,02 2,00 1,48 1,96 1,95 1,86

0,03 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,15 0,17 0,20 0,22 0,25 0,27 0,30 0,32 0,35 0,37 0,40 0,42 0,53 0,63 0,71 0,79 0,85 0,91 0,96 1,01 1,05 1,09 1,13 1,16 1,48

3,73 3,63 3,54 3,45 3,37 3,30 3,22 3,15 3,09 3,03 2,97 2,92 2,87 2,82 2,77 2,73 2,69 2,66 2,50 2,39 2,30 2,23 2,17 2,13 2,09 2,06 2,03 2,01 1,99 1,98 1,87

0,03 0,04 0,06 0,07 0,93 0,11 0,14 0,16 0,18 0,21 0,23 0,26 0,28 0,31 0,33 0,35 0,38 0,49 0,59 0,67 0,75 0,82 0,88 0,93 0,99 1,03 1,07 1,10 1,14 1,47

3,75 3,66 3,57 3,49 3,41 3,34 3,27 3,20 3,14 3,08 3,02 2,,97 2,92 2,87 2,83 2,79 2,75 2,58 2,46 2,36 2,28 2,22 2,17 2,13 2,10 2,07 2,04 2,02 2,01 1,88

0,03 0,04 0,05 0,07 0,09 0,11 0,13 0,15 0,17 0,20 0,22 0,24 0,27 0,29 0,32 0,34 0,45 0,55 0,64 0,72 0,79 0,85 0,91 0,96 1,01 1,04 1,08 1,11 1,46

3,77 3,68 3,60 3,52 3,45 3,38 3,31 3,25 3,14 3,13 3,,07 3,02 2,97 2,92 2,88 2,84 2,66 2,53 2,42 2,34 2,27 2,22 2,17 2,14 2,10 2,08 2,05 2,03 1,90

Äæåðåëî. Òîëáàòîâ Þ. À. Åêîíîìåòðèêà. — Ê.: ×åòâåðòà õâèëÿ, 1997. — Ñ. 293–300.

200

ÄÎÄÀÒÎÊ 5 ÒÀÁËÈÖß ÊÐÈÒÈ×ÍÈÕ ÇÍÀ×ÅÍÜ ÄËß Â²ÄÍÎØÅÍÍß ÔÎÍ ÍÅÉÌÀÍÀ

δ 2  k δ 2  δ 2  p  2 < k = ∫ ω 2  d  2   s  0  s   s 

n k

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0,25

0,00001 0,00001 0,00001 0,00001

0,30

0,00007 0,00007 0,00005 0,00004 0,00002 0,00003

0,00001

0,35

0,00006 0,00027 0,00021 0,00014 0,00009 0,00005 0,00007

0,40

0,00047 0,00065 0,00047 0,00031 0,00019 0,00012 0,00016

0,45

0,00126 0,00126 0,00088 0,00059 0,00038 0,00025 0,00031

0,50

0,00038 0,00246 0,00214 0,00150 0,00103 0,00069 0,00046 0,00055

0,55

0,00223 0,00409 0,00333 0,00237 0,00168 0,00116 0,00080 0,00094

0,60

0,00493 0,00615 0,00486 0,00355 0,00259 0,00185 0,00132 0,00152

0,65

0,00830 0,00865 0,00678 0,00511 0,00382 0,00282 0,00208 0,00235

0,70

0,01225 0,01161 0,00913 0,00710 0,00544 0,00414 0,00313 0,00351

0,75

0,01673 0,01505 0,01197 0,00958 0,00753 0,00587 0,00455 0,00508

0,80 0,00356 0,02171 0,01900 0,01534 0,01263 0,01015 0,00809 0,00642 0,00714 0,85 0,01302 0,02717 0,02348 0,01932 0,01631 0,01338 0,01089 0,00883 0,00980 0,90 0,02257 0,03310 0,02851 0,02403 0,02068 0,01729 0,01436 0,01188 0,01316 0,95 0,03223 0,03949 0,03412 0,02957 0,02579 0,02196 0,01858 0,01565 0,01733 1,00 0,04199 0,04634 0,04035 0,03598 0,03171 0,02745 0,02363 0,02025 0,02241 1,05 0,05186 0,05364 0,04728 0,04325 0,03849 0,03384 0,02959 0,02578 0,02852 1,10 0,06184 0,06140 0,05500 0,05137 0,04618 0,04120 0,03655 0,03232 0,03577 1,15 0,07194 0,069630,063610,06036 0,05482 0,04957 0,04458 0,03997 0,04425 1,20

0,07323 0,07020 0,06445 0,05901 0,05375 0,04882 0,05407

1,25

0,06956 0,06412 0,05894 0,06531

1,30

0,07040

201

Çàê³í÷åííÿ äîä. 5 n k

15

0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70

0,00001 0,00002 0,00004 0,00009 0,00018 0,00033 0,00059 0,00100 0,00161 0,00250 0,00375 0,00547 0,00778 0,01079 0,01465 0,01950 0,02550 0,03280 0,04155 0,05189 0,06396 0,07787

20

0,00001 0,00002 0,00005 0,00012 0,00024 0,00044 0,00076 0,00127 0,00206 0,00323 0,00489 0,00720 0,01033 0,01448 0,01986 0,02670 0,03524 0,04571 0,05834 0,07333

25

0,00001 0,00002 0,00005 0,00011 0,00023 0,00044 0,00079 0,00135 0,00222 0,00355 0,00550 0,00826 0,01208 0,01723 0,02402 0,03276 0,04379 0,05743 0,07398

4

5

6

0,00001 0,00003 0,00007 0,00015 0,00030 0,00057 0,00102 0,00176 0,00294 0,00474 0,00738 0,01117 0,01644 0,02357 0,03298 0,04511 0,06038 0,07920

40

0,00001 0,00002 0,00004 0,00010 0,00022 0,00044 0,00085 0,00158 0,00280 0,00476 0,00780 0,01235 0,01892 0,02810 0,04055 0,05696 0,07797

50

60

0,00001 0,00002 0,00005 0,00012 0,00026 0,00054 0,00108 0,00206 0,00376 0,00656 0,01098 0,01769 0,02750 0,04131 0,06006 0,08465

0,00001 0,00003 0,00008 0,00019 0,00043 0,00092 0,00185 0,00355 0,00649 0,01133 0,01893 0,03034 0,04675 0,06942 0,09949

δ 2  p  2 < k  = 0.  s   

Çíà÷åííÿ k, äëÿ ÿêèõ n

30

7

8

9

10

11

12

15

k 0,7811 0,4775 0,3215 0,2311 0,1740 0,1357 0,1088 0,0891 0,0743 0,0468 n

20

25

30

40

50

60

k 0,0259 0,0164 0,0113 0,0063 0,0040 0,0028 Äæåðåëî. Íàêîíå÷íèé Ñ. ²., Òåðåùåíêî Ò. Î., Ðîìàíþê Ò. Ï. Åêîíîìåòð³ÿ: Íàâ÷. ïîñ³á. — Ê.: ÊÍÅÓ, 1997. — Ñ. 345–346.

202

ÑÏÈÑÎÊ ÂÈÊÎÐÈÑÒÀÍί ÒÀ ÐÅÊÎÌÅÍÄÎÂÀÍί ˲ÒÅÐÀÒÓÐÈ Îñíîâíà 1. Àéâàçÿí Ñ. À., Ìõèòàðÿí Â. Ñ. Ïðèêëàäíàÿ ñòàòèñòèêà è îñíîâû ýêîíîìåòðèêè: Ó÷åáíèê äëÿ âóçîâ. — Ì.: ÞÍÈÒÈ, 1998. — 1022 ñ. 2. Áîðîäè÷ Ñ. À. Ýêîíîìåòðèêà: Ó÷åá. ïîñîáèå. — Ìèíñê: Íîâîå çíàíèå, 2001. – 408 ñ. 3. Ãðóáåð É. Åêîíîìåòð³ÿ: Âñòóï äî ìíîæèííî¿ ðåãðåñ³¿ òà åêîíîìåòð³¿: Ó 2 ò. — Ê.: ͳ÷ëàâà, 1998–1999. 4. Äæîíñòîí Äæ. Ýêîíîìåòðè÷åñêèå ìåòîäû. — Ì.: Ñòàòèñòèêà, 1980. — 444 ñ. 5. Äîóãåðòè Ê. Ââåäåíèå â ýêîíîìåòðèêó: Ïåð. ñ àíãë. — Ì.: ÈÍÔÐÀ-Ì, 1997. — 402 ñ. 6. Äðåéïåð Í., Ñìèò Ã. Ïðèêëàäíîé ðåãðåññèîííûé àíàëèç. — Ì.: Ôèíàíñû è ñòàòèñòèêà, 1986. — Ò. 1 — 365 ñ.; Ò. 2 — 379 ñ. 7. Åìåëüÿíîâ À. Ñ. Ýêîíîìåòðèÿ è ïðîãíîçèðîâàíèå. — Ì.: Ýêîíîìèêà, 1985. — Ñ. 82–89. 8. ªëåéêî Â. Îñíîâè åêîíîìåòð³¿. — Ëüâ³â: “Ìàðêà Ëòä”, 1995. — 191ñ. 9. Çàìêîâ Î. Î., Òîëñòîïÿòåíêî À. Â., ×åðåìíûõ Þ. Í. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû â ýêîíîìèêå: Ó÷åáíèê / Ïîä îáù. ðåä. À. Â. Ñèäîðîâè÷à. — 3-å èçä., ïåðåðàá. — Ì.: Äåëî è Ñåðâèñ, 2001. — 368 ñ. – (Ñåð. “Ó÷åáíèêè ÌÃÓ èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà”). 10. Êåéí Ý. Ýêîíîìè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà è ýêîíîìåòðèÿ. Ââåäåíèå â êîëè÷åñòâåííûé ýêîíîìè÷åñêèé àíàëèç. — Ì.: Ñòàòèñòèêà, 1977. — 254 ñ. 11. Êîðîëüîâ Î. À. Åêîíîìåòð³ÿ: Íàâ÷. ïîñ³á. — Ê.: ªâðîïåéñüêèé óí-ò, 2002. — 660 ñ. 12. Ëàíãå Î. Ââåäåíèå â ýêîíîìåòðèþ. — Ì.: Ïðîãðåññ, 1964. — 360 ñ. 13. Ëåîíåíêî Ì. Ì., ̳øóðà Þ. Ñ., Ïàðõîìåíêî Â. Ì., ßäðåíêî Ì. É. Òåîðåòèêî-éìîâ³ðí³ñí³ òà ñòàòèñòè÷í³ ìåòîäè â åêîíîìåòðèö³ òà ô³íàíñîâ³é ìàòåìàòèö³. — Ê.: ²íôîðìòåõí³êà, 1995. — 380 ñ. 14. Ëóê’ÿíåíêî ². Ã., Êðàñí³êîâà Ë. ². Åêîíîìåòðèêà: ϳäðó÷íèê. — Ê.: Ò-âî “Çíàííÿ”, ÊÎÎ, 1998. — 494 ñ. 15. Ìàãíóñ ß. Ð., Êàòûøåâ Ï. Ê., Ïåðåñåöêèé À. À. Ýêîíîìåòðèêà: Íàâ÷. êóðñ. — Ì.: Äåëî, 1997. — 248 ñ. 16. Ìàëåíâî Ý. Ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû ýêîíîìåòðèè. — Ì.: Ñòàòèñòèêà, 1975. — 423 ñ. 17. Íàêîíå÷íèé Ñ. ²., Òåðåùåíêî Ò .Î., Ðîìàíþê Ò. Ï. Åêîíîìåòð³ÿ: Íàâ÷. ïîñ³á. — Ê.: ÊÍÅÓ, 1997. — 352 ñ. 18. Òèíòíåð Ã. Ââåäåíèå â ýêîíîìåòðèþ. — Ì.: Ñòàòèñòèêà, 1965. — 368 ñ.

203

19. Òîëáàòîâ Þ. À. Åêîíîìåòðèêà: ϳäðó÷. äëÿ ñòóä. åêîí. ñïåö. âèù. íàâ÷. çàêë. — Ê.: ×åòâåðòà õâèëÿ, 1997. — 320 ñ. 20. Ôèøåð Ô. Ïðîáëåìà èäåíòèôèêàöèè â ýêîíîìåòðèè. — Ì.: Ñòàòèñòèêà, 1978. — 224 ñ. 21. Õåéñ Ä. Ïðè÷èííûé àíàëèç â ñòàòèñòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ. — Ì.: Ôèíàíñû è ñòàòèñòèêà, 1981. — 224 ñ.

Äîäàòêîâà 22. Âåíåöêèé È. Ã., Âåíåöêàÿ Â. È. Îñíîâíûå ìàòåìàòèêî-ñòàòèñòè÷åñêèå ïîíÿòèÿ è ôîðìóëû â ýêîíîìè÷åñêîì àíàëèçå: Ñïðàâî÷íèê. — 2-å èçä., ïåðåðàá. è äîï. — Ì.: Ñòàòèñòèêà, 1979. — 448 ñ. 23. Âèíí Ð., Õîëäåí Ê. Ââåäåíèå â ïðèêëàäíîé ýêîíîìåòðè÷åñêèé àíàëèç. — Ì.: Ôèíàíñû è ñòàòèñòèêà, 1981. — 294 ñ. 24. Ãååö Â. Ì. Îòðàñëåâîå ïðîãíîçèðîâàíèå: ìåòîäîëîãè÷åñêèé è îðãàíèçàöèîííûé àñïåêòû. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1990. — 120 ñ. 25. Ãðàíáåðã À. Ã. Äèíàìè÷åñêèå ìîäåëè íàðîäíîãî õîçÿéñòâà. — Ì.: Ýêîíîìèêà, 1985. — 204 ñ. 26. Ãðàíáåðã À. Ã. Ñòàòèñòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå è ïðîãíîçèðîâàíèå. — Ì.: Ôèíàíñû è ñòàòèñòèêà, 1990. — 378 ñ. 27. Äàäàÿí Â. Ñ. Ìîäåëèðîâàíèå ãëîáàëüíûõ ýêîíîìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ. — Ì.: Ýêîíîìèêà, 1984. — 278 ñ. 28. Äåìèäåíêî Å. Ç. Ëèíåéíàÿ è íåëèíåéíàÿ ðåãðåññèè. — Ì.: Ôèíàíñû è ñòàòèñòèêà, 1981. — 302 ñ. 29. Äðóæèíèí Â. Â., Êîíòîðîâ Ä. Ñ. Ïðîáëåìû ñèñòåìîëîãèè. Ïðîáëåìû òåîðèè ñëîæíûõ ñèñòåì. — Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1986. — 296 ñ. 30. Äðóæèíèí Â. Â., Êîíòîðîâ Ä. Ñ. Ñèñòåìîòåõíèêà. — Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1985. — 200 ñ. 31. Äþðàí Á., Îäåë Ï. Êëàñòåðíûé àíàëèç. — Ì.: Ñòàòèñòèêà, 1977. — 128 ñ. 32. Åìåëüÿíîâ À. Ñ. Îáùåñòâåííîå ïðîèçâîäñòâî: Äèíàìèêà, òåíäåíöèè, ìîäåëè. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1980. — Ñ. 347–409. 33. Åìåëüÿíîâ À. Ñ., Êóçüìåíêî Â. Ï. Ìíîãîðåãèîíàëüíàÿ ýêîíîìåòðè÷åñêàÿ ìîäåëü ÓÊÐ-3: Ïëàíîâîå óïðàâëåíèå ýêîíîìèêîé ðàçâèòîãî ñîöèàëèçìà:  5 ò. — Ê.: Íàóê. äóìêà, 1985. — Ò. 1. Íàðîäíîõîçÿéñòâåííûå ïðîöåññû, èõ ïëàíèðîâàíèå è ïðîãíîçèðîâàíèå. — Ñ. 285–289. 34. Èâàíîâà Â. Ì. Ýêîíîìè÷åñêàÿ òåîðèÿ. Îñíîâû áèçíåñà / Ðåä. ñîâåò: À. Ä. Ñìèðíîâ, Â. Ô. Ìàêñèìîâà è äð. — Ì.: ÑÎÌÈÍÒÝÊ, 1991. — ×. IV. Ýêîíîìåòðèêà. 35. Èâàõíåíêî À. Ã. Äîëãîñðî÷íîå ïðîãíîçèðîâàíèå è óïðàâëåíèå ñëîæíûìè ñèñòåìàìè. — Ê.: Òýõíèêà, 1975. — 312 ñ. 36. Èâàõíåíêî À. Ã. Àëãîðèòìû ìåòîäà ãðóïïîâîãî ó÷åòà àðãóìåíòîâ (ÌÃÓÀ) ïðè íåïðåðûâíûõ è áèíàðíûõ ïðèçíàêàõ. — Ê.: ÈÊ ÍÀÍÓ, 1992. — 52 ñ.

204

37. Èâàõíåíêî À. Ã., Þðà÷êîâñêèé Þ. Ï. Ìîäåëèðîâàíèå ñëîæíûõ ñèñòåì ïî ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì. — Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1987. — 116 ñ. 38. Êîëåê Þ., Øóÿí È. Ýêîíîìåòðè÷åñêèå ìîäåëè â ñîöèàëèñòè÷åñêèõ ñòðàíàõ: Ïåð. ñî ñëîâàö. — Ì.: Ýêîíîìèêà, 1978. — 152 c . 39. Êîðîëåâ Î. À. Ïðîáëåìû êîíñòðóèðîâàíèÿ è èñïîëüçîâàíèÿ ìàêðîýêîíîìè÷åñêèõ ýêîíîìåòðè÷åñêèõ ìîäåëåé ïåðåõîäíîé ýêîíîìèêè: íà ïðèìåðå Óêðàèíû. — Ê.: ÒΠ“Ì³æíàð. ô³í. àãåíö³ÿ”, 1997. — 224 ñ. 40. Êîðîëüîâ Î. À. Åêîíîìåòð³ÿ â çàäà÷àõ, ñèòóàö³ÿõ òà ïðîáëåìàõ äëÿ ñòóäåíò³â ñïåö³àëüíîñò³ «Ô³íàíñè ³ êðåäèò»: Êîíñïåêò ëåêö³é ³ ïðàêòèêóì: Ó 3 ÷. — Ê.: ÊÄÒÅÓ, 1996–1997. 41. Êîðîëüîâ Î. À., Ðÿçàíöåâà Â. Â. Ïðàêòèêóì ç åêîíîìåòð³¿. Íàâ÷. ïîñ³á. — Ê.: Êè¿â. íàö. òîðã.-åêîí. óí-ò, 2000. — 249 ñ. 42. Êóëèíè÷ Î. ². Åêîíîìåòð³ÿ: Íàâ÷. ïîñ³á. — Õìåëüíèöüêèé: Ïîä³ëëÿ, 1997. — 120 ñ. 43. Ìàðòûøþñ Ñ. Ìåòîäîëîãè÷åñêèå ïðîáëåìû ïîñòðîåíèÿ è ïðèìåíåíèÿ ýêîíîìåòðè÷åñêèõ ìîäåëåé. — Âèëüíþñ: Ìàêñëàñ, 1979. — 170 ñ. 44. Ìèõàëåâè÷ Ì. Â., ×èæåâñêàÿ À. Þ. Äèíàìè÷åñêèå ìàêðîìîäåëè íåñòàáèëüíûõ ïðîöåññîâ ïðè ïåðåõîäå ê ðûíî÷íîé ýêîíîìèêå //Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1993. — ¹ 4. — Ñ. 81–88. 45. Ìèõàëåâè÷ Â. Ñ., Ìèõàëåâè÷ Ì. Â. Äèíàìè÷åñêèå ìàêðîìîäåëè ïðîöåññîâ öåíîîáðàçîâàíèÿ â ïåðåõîäíîé ýêîíîìèêå // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 1995. — ¹ 3. — Ñ. 116–129. 46. Íîâèöêèé Ï. Â., Çîãðàô È. À. Îöåíêà ïîãðåøíîñòåé ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé. — Ë.: Ýíåðãîàòîìèçäàò, 1991. — 304 ñ. 47. Ïåòðîâ À. À., Ïîñïåëîâ È. Ã. Ñèñòåìíûé àíàëèç ðàçâèâàþùåéñÿ ýêîíîìèêè: Ìíîãîñåêòîðíàÿ ìîäåëü è ó÷åò ïðèðîäíûõ ðåñóðñîâ / Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Òåõíè÷åñêàÿ êèáåðíåòèêà. — 1979. — ¹ 4. — Ñ. 11–23. 48. Ïóàðüå Ä. Ýêîíîìåòðèÿ ñòðóêòóðíûõ èçìåíåíèé (ñ ïðèìåíåíèåì ñïëàéíôóíêöèé). — Ì.: Ôèíàíñû è ñòàòèñòèêà, 1981. — 184 ñ. 49. Ñåãàë Â. Â. Àíàëèç è ñèíòåç ñëîæíûõ ñèñòåì: Îïûò ñèñòåìíîãî èññëåäîâàíèÿ. — Ê.: ÖÝÌÈ “Òðèäåíòà”, 1994. — Ñ. 59 –153. 50. Óñòîé÷èâûå ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû îöåíêè äàííûõ: Ïåð. ñ àíãë. / Ïîä ðåä. Ð. Ë. Ëîíåðà, Ã. Í. Óèëêèíñîíà. — Ì.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1984. — 232 ñ. 51. Ôîìèí Á. Ñ. Ýêîíîìåòðè÷åñêèå òåîðèè è ìîäåëè ìåæäóíàðîäíûõ ýêîíîìè÷åñêèõ îòíîøåíèé. — Ì.: Ìûñëü, 1970. — 268 ñ.

205

Çì³ñò Âñòóï ....................................................................................................................................... 3 Ðîçä³ë 1. Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ ÿê ìåòîä íàóêîâîãî ï³çíàííÿ åêîíîì³÷íèõ ÿâèù ³ ïðîöåñ³â ....................... 11 1.1. Çàãàëüí³ ïðèíöèïè ìîäåëþâàííÿ â åêîíîì³ö³ .................................................................................................................. 11 1.2. Êîðåëÿö³éíî-ðåãðåñ³éíèé àíàë³ç â åêîíîì³ö³ ........................................ 14 1.3. Åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü òà ¿¿ åëåìåíòè ........................................................ 19 1.4. Ñòàòèñòè÷íà áàçà åêîíîìåòðè÷íèõ äîñë³äæåíü ....................................... 21 1.5. Îñîáëèâîñò³ ìàòåìàòè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ åêîíîì³÷íèõ ñèñòåì .................................................................................................. 23 Ðîçä³ë 2. Ìîäåë³ ïàðíî¿ ðåãðåñ³¿ òà ¿õ äîñë³äæåííÿ ............................................................................... 2 5 2.1. Ïðèêëàäè ïàðíèõ çâ’ÿçê³â â åêîíîì³ö³ ................................................... 2 5 2.2. ˳í³éíà ìîäåëü ç äâîìà çì³ííèìè ............................................................. 2 6 2.3. Ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â ........................................................................ 29 Ðîçä³ë 3. Çàãàëüíà ë³í³éíà åêîíîìåòðè÷íà ìîäåëü ............................................ 39 3.1. Áàãàòîôàêòîðí³ åêîíîìåòðè÷í³ ìîäåë³ òà ¿õ ñïåöèô³êàö³ÿ. .................................................................................................... 39 3.2. Ìåòîä íàéìåíøèõ êâàäðàò³â ........................................................................ 44 3.3. Âåðèô³êàö³ÿ ìîäåë³ .......................................................................................... 47 3.4. Ïðîãíîçóâàííÿ çà ë³í³éíîþ ìîäåëëþ ....................................................... 5 5 3.5. Ìåòîäè ïîáóäîâè áàãàòîôàêòîðíî¿ ðåãðåñ³éíî¿ ìîäåë³ ....................... 5 7 3.6. Åòàïè äîñë³äæåííÿ çàãàëüíî¿ ë³í³éíî¿ ìîäåë³ ìíîæèííî¿ ðåãðåñ³¿ ................................................................................................... 58 Ðîçä³ë 4. Ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü ................................................................................... 7 2 4.1. Ïîíÿòòÿ ïðî ìóëüòèêîë³íåàðí³ñòü òà ¿¿ âïëèâ íà îö³íêó ïàðàìåòð³â ìîäåë³ ................................................................................. 7 2 4.2. Òåñòóâàííÿ íàÿâíîñò³ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³ ............................................. 74 4.3. Àëãîðèòì Ôàððàðà — Ãëîáåðà ................................................................ 7 6 4.4. Çàñîáè óñóíåííÿ ìóëüòèêîë³íåàðíîñò³. Ìåòîä ãîëîâíèõ êîìïîíåíò³â ................................................................................................................. 84 Ðîçä³ë 5. Ãåòåðîñêåäàñòè÷í³ñòü ..................................................................................... 89 5.1. Âèÿâëåííÿ ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³ òà ¿¿ ïðèðîäà ....................................... 89 5.2. Òåñòóâàííÿ íàÿâíîñò³ ãåòåðîñêåäàñòè÷íîñò³ ............................................ 91 5.3. Òðàíñôîðìóâàííÿ ïî÷àòêîâî¿ ìîäåë³ ....................................................... 96 5.4. Îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â áàãàòîôàêòîðíî¿ ðåãðåñ³éíî¿ ìîäåë³ íà îñíîâ³ óçàãàëüíåíîãî ìåòîäó íàéìåíøèõ êâàäðàò³â ............................ 100

206

Ðîçä³ë 6. Àâòîêîðåëÿö³ÿ ............................................................................................. 104 6.1. Ïðèðîäà àâòîêîðåëÿö³¿ òà ¿¿ íàñë³äêè ...................................................... 104 6.2. Òåñòóâàííÿ íàÿâíîñò³ àâòîêîðåëÿö³¿ ....................................................... 106 6.3. Ïàðàìåòðèçàö³ÿ ìîäåë³ ç àâòîêîðåëüîâàíèìè çàëèøêàìè ............... 109 6.4. Ïðèêëàä îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ìîäåë³ ç àâòîêîðåëüîâàíèìè çàëèøêàìè ...................................................................... 111 Ðîçä³ë 7. Ìîäåë³ ðîçïîä³ëåíîãî ëàãà ....................................................................... 118 7.1. Ïîíÿòòÿ ëàãà òà ëàãîâèõ ìîäåëåé â åêîíîì³ö³ ................................................................................................................. 118 7.2. Îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â äèñòðèáóòèâíî-ëàãîâèõ ìîäåëåé ............ 121 7.3. Îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â àâòîðåãðåñ³éíèõ ìîäåëåé ............................ 123 Ðîçä³ë 8. Ñèñòåìè îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü ................................................................ 126 8.1. Ïîíÿòòÿ ïðî ñèñòåìè îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü ........................................... 126 8.2. Ïðèêëàäè ñèñòåì îäíî÷àñíèõ ð³âíÿíü ................................................... 127 8.3. Ñòðóêòóðíà òà çâåäåíà (ïðîãíîçíà) ôîðìè ñèñòåìè ð³âíÿíü ........ 130 8.4. Ïîíÿòòÿ ³äåíòèô³êàö³¿ (îòîòîæíåííÿ) ñèñòåìè ð³âíÿíü .................... 132 8.5. Ìåòîäè îö³íþâàííÿ ïàðàìåòð³â ñèñòåì ð³âíÿíü ................................. 141 8.6. Ïðîãíîç ³ çàãàëüí³ äîâ³ð÷³ ³íòåðâàëè ...................................................... 151 Ðîçä³ë 9. Ìåòîäè äîñë³äæåííÿ ÿê³ñíèõ åêîíîì³÷íèõ ïîêàçíèê³â .............. 161 9.1. ßê³ñí³ åêîíîì³÷í³ ïîêàçíèêè ...................................................................... 161 9.2. Ðåãðåñ³éí³ ìîäåë³ ç á³íàðíèìè íåçàëåæíèìè çì³ííèìè .................. 163 9.3. Ðåãðåñ³éí³ ìîäåë³ ç á³íàðíèìè çàëåæíèìè çì³ííèìè ...................... 165 Òåñòîâ³ çàâäàííÿ ç åêîíîìåò𳿠................................................................................ 168 Äîäàòêè .............................................................................................................................. 183 Ñïèñîê âèêîðèñòàíî¿ òà ðåêîìåíäîâàíî¿ ë³òåðàòóðè ............................................................................. 203

207

Educational manual “Econometrics” covers main tasks of econometric investigations and methods of their solving, place and significance of this scientific branch, its connection with economics, statistics and mathematics. Least-squares method (LSM) was chosen as the main method of estimating regressive models parameters. The manual contains peculiarities of parameters estimation in case of violating main suppositions of classical LSM use. Alternative methods of estimating models parameters (main components method, generalized LSM etc.) are described here. Modelling of economic processes dynamics is considered by the examples of distributive-lag and autoregressive models. Systems of simultaneous equations were used to model economic processes with direct and feedback coupling. Means of investigation and use of models with qualitative independent variables are described in the manual. For students of economic specialties who studied higher mathematics, algebra, probability theory and mathematical statistics.

Íàâ÷àëüíå âèäàííÿ Ëåùèíñüêèé Îëåã Ëüâîâè÷ Ðÿçàíöåâà Âàëåíòèíà Âàñèë³âíà Þíüêîâà Îëåíà Îëåêñàíäð³âíà ÅÊÎÍÎÌÅÒÐ²ß Íàâ÷àëüíèé ïîñ³áíèê Educational edition Leschynsky, Oleg L. Ryazantseva, Valentyna V. Yunjkova, Olena O. ECONOMETRICS Educational manual ³äïîâ³äàëüíèé ðåäàêòîð Ñ. Ã. Ðîãóçüêî Ðåäàêòîð Ë. Â. Ëîãâèíåíêî Êîðåêòîð Ë. Ã. Áóðëàê³íà Êîìï’þòåðíå âåðñòàííÿ Ì. ². Ôà人âà, Ñ. Â. Ôà人â Îôîðìëåííÿ îáêëàäèíêè Î. Î. Ñòåöåíêî ϳäï. äî äðóêó 07.10.03. Ôîðìàò 60×84/16. Ãàðí³òóðà PeterburgCTT. Ïàï³ð îôñåòíèé. Äðóê îôñåòíèé. Óì. äðóê. àðê. 12,10. Îáë.-âèä. àðê. 14,04. Òèðàæ 5000 ïð. Çàì. ¹ 128-Ê 00 ̳æðåã³îíàëüíà Àêàäåì³ÿ óïðàâë³ííÿ ïåðñîíàëîì (ÌÀÓÏ) 03039 Êè¿â-39, âóë. Ôðîìåò³âñüêà, 2, ÌÀÓÏ Ñâ³äîöòâî ïðî âíåñåííÿ äî Äåðæàâíîãî ðåºñòðó ñóᒺêò³â âèäàâíè÷î¿ ñïðàâè ÄÊ ¹ 8 â³ä 23.02.2000 Àãåíö³ÿ “Ìåä³àóí³âåðñàë” 01042 Êè¿â-42, âóë. ×èãîð³íà, 12