スポーツ基礎数理 ハ ンドブック 深代千之 著 柴山 明
朝倉書店
序
東 京大 学 で は新 入生 に対 して,「 文系 」 は教 科 書 と して めず ら し くベ ス トセ ラー に なった 『 知 の技法 』...
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スポーツ基礎数理 ハ ンドブック 深代千之 著 柴山 明
朝倉書店
序
東 京大 学 で は新 入生 に対 して,「 文系 」 は教 科 書 と して めず ら し くベ ス トセ ラー に なった 『 知 の技法 』(東京 大 学 出版 会)を 用 い て議論 の しか た を演 習 し,「理系 」 は生 物 ・物 理 ・化 学 ・身体 運動 科 学 とい う科 目の基礎 実 験 を行 い,そ れ ぞれ の学 生 が そ の後 希 望分 野 に進 ん だ と きに十 分 に力 を伸 ばせ る よ うに 「 学 問 の 基礎 」 をつ くる カ リキ ュ ラム が整 え られて い る.こ の よ うな基 礎 演 習 や基礎 実 験 で土 台 をつ くっ てお くと,例 え ば私 た ちの研 究室 の同僚 が つ い この 間行 っ た よ うに,短 期 間の留 学 で 摘 出筋 を用 い た詳細 な実 験 を行 い た い な ど とい う場合 に,通 常 は解剖 な どを行 っ てい な くとも学部 生 時代 の基礎 実 験 で の カエ ル の解 剖 の経 験 が 生 きて きて,解 剖 が それ ほ ど苦 にな らず 十分 な研 究成 果 を得 る こ とが で きる とい う こ とにな る ので あ る.一 見,当 面 の あい だ は 自分 の専 門 に直接 関係 の ない勉 強 にみ え て も,基 礎 と して の蓄 えが あ るか どうか は将 来 の発 展 に大 き く影 響 して くる とい え よ う. さて,私 た ちの 「ス ポー ツ科 学」 の分 野 の カ リキ ュ ラム は どうだ ろ うか.最 近 で は,ス ポー ツ科 学 関連 の 専 攻 を もつ大 学 には,運 動 生 理 学 や ス ポー ツバ イオ メ カニ クス とい っ た授 業 が用 意 され,そ れ ぞ れ教 科 書 を用 い て講 義 され る よう に な った. た だ私 自身 も経 験 し危 惧 して い る こ とで あ るが,授 業 で学 生 の興 味 を引 きつ づ け る ため に は,従 来 の研 究 成 果 の興 味 深 い部 分 を トピ ック ス的 に述 べ なが ら,ス ポ ー ツ 科 学専 攻 学 生 と して最 低 限 知 っ てい て ほ しい 内容 を,ト ピ ック ス に関連 させ て説 明 す る とい った こ と に終 始 せ ざる を得 な い場合 が 少 な くない こ とで あ る.こ の よ うな 授 業形 態 は,次 に述べ る よ うな陽 と陰 の両 面 を もって い る.陽 と して は,ス ポ ー ツ 界 で経 験 的 に信 じられ てい た こ とが研 究 成 果 に よ って覆 され た り,ス ポ ー ツ科 学 の 指 摘 を自分 自身 の記憶 や身体 の感 覚 とい った 身近 な こ とで 確 か め た りで きる こ とか ら,も とも とス ポー ツ好 きの学 生 や逆 にス ポ ー ツ に興味 の薄 か っ た学生 な ど,多 く の受 講 生 に,「 ス ポ ー ツ科 学」 に つい て興 味 を もたせ る こ とが で きる とい う点 で あ る.し か し,そ の一方 で陰 と して は,ト ピ ックス 的 な こ うい っ た授 業 だ けで は順 序 立 て た学 問 と しての 知識 の 構 築 に な りづ らい とい う危惧 であ る.簡 略化 され た カ リ キ ュラ ム の中 で育 って きた学 生 は,土 台 を十分 構築 せ ず に建 て た家 の よ うに極 め て 危 険 な要 素 を含 んで い る ので あ る.例 え ば,ス ポー ツ科 学 専 攻 の卒 業論 文 や修 士 論
文 の質 疑応 答 にお い て,数 学 や 力学 の基 礎 が 稀 薄 なた め に しば しば議論 が か み合 わ な い とい っ た こ とが生 じて しま う.残 念 なが ら これ は公 の研 究発 表 の場 であ る学 術 学 会 にお い て も時 々み られ る こ とで あ る. 本 書 は上 記 の トピ ックス的授 業 を補 完 す る もの と して,「堅 固 な土 台 は頂 上 を高 く す る」 とい う理念 の もと 「基礎 を中心 に」 ま とめ られ た もの で あ る.従 来,数 学 や 力 学 そ してス ポ ー ツ科 学 それ ぞ れ に焦 点 を当 て た本 は多 く出版 されて い るが,本 書 の よ うに 「ス ポ ー ツ科 学 の ため の数 学 と力 学」 を扱 って い る本 は ない.森 羅万 象 を 数 値 で 置 き換 える 「科学 知 」 を読 者 が 直視 す る よう に数式 も多数 で て くるが,そ れ らを初 め て発 見 した先 人 の感 動 や ときめ き も読者 に伝 え られ る よう に 「言 語 知」 と しての科 学 史 に も頁 を割 い た. 本 書 の第2章 以 降 は私 の研 究 室 で スポ ー ツバ イ オ メ カニ クス を専 攻 して い る柴 山 明君 が 主 に執 筆 した.彼 は物 理学 科 の大 学 院修 士 課程 を修 了 してか ら,身 体 運 動 を 研 究 した い と希望 して私 の も とを訪 ね,深 代 研 究 室 の第1期 生 となっ た とい う経 歴 を持 つ.ス ポー ツ科 学 の基 礎 と して必 要 な数 学,力 学 の 内容 の選 択 お よび構成 は彼 が 行 っ たが,本 書 執筆 に あた って は読者 に読 み やす くす るた め に,私 と彼 で何 度 も 見 直 しや書 き直 しを行 っ た.結 果 と して,本 書 はス ポ ー ツ科学 や ス ポ ー ツバ イ オメ カニ ク ス を真剣 に勉 強 しよ う とす る学生 に とっ て,十 分 に基礎 学 力 がつ く教 科 書 に な った と思 って い る.研 究 の最 先 端 を追 う こ と も大事 で あ るが,ス ポ ー ツ科 学 の 土 台 をい つ も確 認 で きる よう に,本 書 をハ ン ドブ ック と して携帯 して ほ しい と願 って い る.本 書 が 日本 の ス ポ ー ツ科学 界 の レベ ル ア ップに つ なが れ ば,こ れ 以上 の幸せ は ない. 末筆 なが ら,ス ポ ー ツ科 学 の基礎 を扱 った本 書 の 意味 を深 く理 解 し,出 版 に御 尽 力 頂 い た,朝 倉 書 店 の方 々 に感 謝す る次 第 で あ る. 2000年8月
深 代 千 之
本書 の特 長
こ こ数 年 の間,筆 者 は身体 運動 科 学教 室 の学生(大 部 分 は スポ ー ツバ イ オメ カニ ク ス を専攻 してい な い学 生)か ら数 学,あ る い は力 学 に関す る様 々 な 質問 を受 け て き た.そ れ らの質 問 の 中に は 「超音 波 の周 波 数 を表すMHzっ 長 を表すnmと
て何?」,「 近 赤外 線 の波
は?」 とい っ た よ うに一言 で答 え られ る ものか ら,「筋 形 状 と腱 張力
の 関係 を扱 った論 文 で 三角 関数 の加 法 定 理が 複雑 に応 用 されて い て よ くわ か ら ない の だが解 説 して も らい た い.」,「あ る論 文 で走 速度 の実 験 デ ー タをy=a(1-e-t/T) で 回帰 した とあ るが,eと
は何 だ?」,「 重 心 っ て何?」,「 トル ク,ト ル ク とい うけれ
ど,ト ル ク とは何 か?筋
力 と違 うの か?モ
ー メ ン トアー ム が何 だ って?」,「 仕事
とエ ネル ギ ー の関係 は?」 の よ うに,ど こか ら ど こまで答 え れ ば よい のか返 答 に窮 す る もの もあ る.質 問 して きた人 が高 校 課程 の数 学,力 学 をあ る程 度 身 につ け てい れ ば質 問 され た具 体例 に則 して手短 に答 え る こ とが で きる のだ が,そ うで な い場 合, 一 時 間や 二 時 間か け て もこれ らの質 問 に十 分 には答 え られ ない .「(数 式 を使 わず 言 葉 で)概 念 だ け でい い か ら この数 式 の意 味 を教 えて くれ.」 とい う人 もい るが,そ れ で は応 用 力 が つか ず,別 の論 文 を読 ん だ と き同 じ質 問 を繰 り返 す こ とに な る.そ も そ も,ス ポ ー ツ科学 を学 ぼ う とす る者(科 学 的方 法 に よっ て身 体 運動 を追 求 し よ う とす る者)に とって 基本 的 な数 学 や力 学 は必 須 の道 具 で あ り,敬 遠 して は な らな い もので あ る.学 ぶ必 要 の あ る こ とは学 ば ね ばな らない.そ
して,数 学,力 学 が不 得
手 な人 は遠 回 りの よ うで も数 学,力 学 の基 礎 を体 系 的 に学 習 した方 が よい.ス ポ ー ツ科 学 の テ キス トや 論 文 を読 ん で数 学,力 学 の わ か らな い ところ を調 べ る とい う学 習法 は,数 学 や力 学 が得 意 な人 に とって は効 率 的 だが,そ うで な い人 に とっ ては か え っ て効 率 が 悪 い ので あ る. しか し,体 系 的 に学 習 を しよ う と して も,一 般 的 な力 学 の テキ ス トは理 学系 ・工 学系 の学 生 を対 象 と して 書 かれ て お り,ス ポ ー ツ科 学 専攻 の学 生 が 自習 す る ため に は難 し く,不 要 な部 分 も多 い.ま た,高 校 の物 理 の参 考 書 は記 述 が不 正確 な場 合 が あ る上,身 体 運動 を考 察 す る際 に欠 かせ な い 回転運 動 を扱 っ てい な い.そ こで本 書 で は,筆 者が こ こ数 年 間 で筆 者 の所 属 す る 身体 運動 科 学教 室 の学 生 か ら受 け た質 問 の 中 か ら一般 的 な もの を題材 と して選 び,そ れ にス ポ ー ツバ イ オメ カ ニ クス の基 本
で あ る物体 の 重心 の運 動,(一 軸 性 関節 の)関 節 トル ク,お よび これ らを理 解す るた め に必 要 な数 学 を話 題 と して加 え,体 系 性 を重視 して解 説 した.体 系 的で あ るが ゆ え,目 次 だ け を見 る と一般 の 理工 学 書 と似 通 っ た もの に な って はい るが,内 容 的 に はか な り独 自の工 夫 が な されて い る と 自負 して い る.以 下 に本書 の特長 を示 す . ・ ス ポ ー ツ科 学 を研 究 す る上 で 最低 限要 求 され る数 学 お よ び力学 の基本 的知 識 ・ 手 法 を厳 選 し,独 学 で も学 べ る よ う に で き る 限 り丁 寧 に 解 説 し た.ま
た,実
験
をす る 際 の 諸 注 意 な ど,“ 科 学 の 方 法 ” に 関 す る 内 容 に も ペ ー ジ を さ い た. ・ 本 書 を読 む た め に必 要 な 数 学 上 の 知 識 は(中 学 生 レベ ル の 数 学 を 除 い て)す べ て 本 書 内 で 解 説 を し た(数 学 の 定 理 の 証 明 の い くつ か は 高 校 の 教 科 書 に 譲 っ た). そ の た め,本
書 で 学 習 す る に 際 して 他 の 参 考 書 は 基 本 的 に は 必 要 な い.し
か し,
本 書 で 取 り上 げ た こ と を よ り深 く学 習 して み た い とい う 読 者 も多 い こ と と思 う. そ の よ う な 読 者 の た め に 随 所 で 参 考 図 書 を 紹 介 し た. ・ 注 や 補 足 は 時 に は や や 高 い 立 場 か ら,ま を 解 説 す る た め に 用 い た.こ
た 時 に は最 も初 歩 的 な と こ ろ か ら本 文
れ は 本 文 の レ ベ ル を 一 定 に 保 ち つ つ も,本 書 全 体
と して は ハ ン ドブ ッ ク と して,あ
る い は 教 科 書 と し て,あ
るい は学 習用 参 考 書
と し て 幅 広 い 読 者 に役 立 て て も ら い た か っ た か ら で あ る.そ ス トに 比 べ る と注 釈 が 多 くな っ て し ま っ た が,適 ら い た い.特
に,初
宜,取
の た め,他
の テキ
捨 選 択 し て利 用 して も
読 の 際 に は 補 足 を と ば し て 学 習 し,再 読 の 際,あ
る い は発
展 的 な こ と を 知 りた い と き に 参 考 に す る と よ い. ・ 本 書 で は ヨ ハ ネ ス ・ケ プ ラ ー の “遺 産 ” を め ぐ る 人 々 の ドラ マ を 陰 に 陽 に 繰 り 返 し取 り上 げ る こ と に よ っ て,全 体 を 一 つ の 物 語 に 仕 立 て 上 げ た つ も りで あ る. こ の 試 み に よ り,こ れ ま で 数 学 や 力 学 を敬 遠 しが ち だ っ た 人 も楽 し く学 習 を進 め る こ と が で き る で あ ろ う. ・ 科 学 に せ よ,技 術 に せ よ,最
初 は ご く原 始 的 で 未 熟 だ っ た も の が 多 くの 人 々 の
絶 え 間 ざ る 工 夫 に よ り発 達 して き た も の で あ る.し あ ま りに も支 配 的 な た め に,新 去,幾
度 と な く あ っ た.科
か し,時
に は古 い考 え方 が
しい 考 え 方 ・技 術 の 発 達 が 妨 げ ら れ る こ と が 過
学 に 携 わ る 者 は 常 に 伝 統 的 な も の を 正 し く評 価 し て
そ の 長 所 と短 所 を 明 ら か に し,短 所 を克 服 し て い か な くて は な ら な い.そ め の 議 論 ・討 論 の き っ か け に少 しで も な れ ば と思 い,本
のた
書 で は筆者 の試論 や 私
的 考 察 を や や 多 め に と りあ げ た(試 論 ・私 的 考 察 の 部 分 は そ の 旨 を 明 示 し て あ る).こ
れ ら の 中 に は不 完 全 な もの や 誤 り を 含 む も の も多 々 あ る と思 うが,こ
れ
を た た き台 と し て 積 極 的 な 議 論 が 行 わ れ る こ と を 期 待 す る. ・ 本 書 で は コ ン ピ ュ ー タ を使 っ て 解 く課 題 を 多 く用 意 し た.こ
れ は,コ ン ピ ュ ー タ
を 一 切 用 い ず に研 究 を進 め る こ とが 実 質 上 不 可 能 と な っ て い る現 状 を 考 慮 した た め で あ る.生
デ ー タ(実 験 デ ー タ)を た だ グ ラ フ化 す る た め だ け に コ ン ピ ュ ー
タ を 用 い る の は も っ た い な い.コ
ン ピ ュ ー タ を研 究 に 十 分 活 用 す る た め の 練 習
と して 本 書 の 課 題 に 取 り組 ま れ る と よ い で あ ろ う*.た き方 は どの ソ フ トを 使 う か に依 存 す る の で,解 な お,数
だ し,課 題 の 具 体 的 な 解
説 に は 一 般 論 しか 示 さ な か っ た.
学 が 苦 手 な 人 に はWolframResearch案
土のMathematicaを
薦 め てお
く†. ・ 本 書 で は 和 文 索 引,欧
文 索 引 と も に 充 実 さ せ た.索
引 を辞 書 代 わ り に 利 用 す る
の も本 書 の 活 用 法 の 一 つ で あ る. ・ ス ポ ー ツ バ イ オ メ カ ニ ク ス を 専 攻 す る 学 生 は 第10章 と を 勧 め る.こ
こ で 取 り上 げ た の は,ス
ポ ー ツバ イ オ メ カニ クス の実 験 実習 で
よ く取 り上 げ ら れ る 実 験 と そ の 課 題 で あ る.力 し,自 分 の 実 力 を試 して み る と よ い.力 れ に 続 くS嬢 エ ネ ル ギ ー,仕
とN嬢 事,積
を最 初 に 読 ん で し ま う こ
学 に 自 信 の あ る 人 は 課 題 に挑 戦
学 を 学 ん だ こ と の な い 人 も,課 題 と そ
の 会 話 を ざ っ と読 ん で み よ う.「mg,運 分,…
」 と い っ た,何
動 量,力
積,運
動
と な く気 に な っ て い た 言 葉 が,ど
こか で聞 い た こ とが あ る よ うな ない ような文 脈 で使 われ て い るの が 目に飛 び込 ん で く る で あ ろ う.そ つ つ,今
れ で 十 分 で あ る.そ
こ で 得 た 「?」 と い う 気 持 ち を抱 き
度 は 本 書 を最 初 か ら読 ん で い け ば,意
外 な 発 見 が い ろ い ろ と あ り,効
果 的 な 学 習 が で き る で あ ろ う‡. ・ 力 学 は “身 近 な 学 問 ”,“実 感 で き る 学 問 ” と して 物 理 学 の 中 で は 最 も早 く建 設 が 進 め ら れ た.し
か し,こ の “ 実 感 ”が 逆 に 力 学 の 発 展 を 妨 げ た こ と も多 い.力
学 の 学 習 に お い て も同 様 の こ とが 言 え る.“ 力,仕
事,エ
ネ ル ギ ー,遠
い っ た 言 葉 は 確 か に我 々 の 感 覚 に 強 く訴 え か け る も の が あ る し,そ 日 常 用 語 と し て も用 い られ る わ け だ が,そ 理 解 す る こ と は で き な い.し に は 苦 痛 で あ ろ う.そ
か し,あ
こ で 本 書 で は,数
心 力” と れ が ゆ え,
こ か ら い っ た ん離 れ な くて は 力 学 を
ま り抽 象 的 に 力 学 を 学 習 す る の は 初 学 者 式 の 展 開 を重 視 す る一 方 で,力
学上の
諸 概 念 が どの よ う に構 築 さ れ て き た か を 概 観 す る こ と に よ り,初 学 者 が 正 確 に, か つ 楽 し く力 学 の 学 習 を 進 め られ る よ う に工 夫 した.と は 常 に ス ム ー ズ に構 築 さ れ て い っ た わ け で は な い.そ
は い え,力
学 の諸概 念
の 紆 余 曲 折 を忠 実 に 再 現
*コ ン ピュ ー タを使 う課 題 を とば して も本 書 の 内 容 を理 解 す る上 で は何 ら差 し障 り は ない の で ,コ ン ピ ュ ー タ を持 っ てい な い人 で も安 心 して本 書 で 学 習 を して 頂 き た い. †本 書 で 挙 げ た グ ラ フの 多 くはMathematicaで 描 い た.ま た,計 算(数 値 計 算 ・文 字 式 の 計 算 ・方 程 式 や 微 分 方 程 式 の求 解)の 多 く もMathematicaで 行 っ た. ‡第2章 か ら第14章 は,こ の 課 題 を力 学 の 予 備 知 識 の ない 高 校 一 年 生 に解 説 す るた め に は ど うす れ ば よ い か とい う こ と を考 え て,も と も と書 か れ た も ので あ る.
す る こ と は か え っ て 読 者 を混 乱 させ る こ と に な る.ま
た,力
学 の 建 設 に 最 も重
要 な 役 割 を 果 た し た ニ ュ ー トン の 思 考 法,証
明 法 を そ の ま ま学 習 す る の は 困 難
で あ る 上,あ
の た め,歴
ま り役 に 立 つ とは 思 え な い.そ
史 を概 観 す る とい っ て
も,初 学 者 に と っ て役 立 つ よ う に 筆 者 が 整 理 ・洗 練 させ た も の と な っ て い る こ と を お 断 り し て お く.例
え ば 「ニ ュ ー トン は 以 下 の よ う に 考 え た」 とあ っ て も,
そ れ は ニ ュ ー ト ンが 考 え た こ と に ニ ュ ー トン 以 降 得 ら れ た 知 見 を 加 え た 解 説 に な っ て い る こ と が あ る.し は な い し,ま
か し,こ
れ は 決 して 不 当 に歴 史 を歪 め て い る わ け で
た,“ 力 学 を 学 ぶ た め の 力 学 史 ” と し て 有 用 で あ る と信 じ る.
以 上 の 説 明 か ら わ か る よ う に,本 側 面 か ら 解 説 す る こ と よ り も,ス
書 は ス ポ ー ツ科 学 な い し身 体 運 動 科 学 を 力 学 的
ポ ー ツ科 学 な い し 身体 運 動 科 学 を 学 ぶ た め に必 要
と な る 数 学 と力 学 の 重 要 な定 理 ・公 式 ・法 則 を 網 羅 す る こ と を 重 視 し,加 学 と力 学 の 考 え 方 や,物 強 調 した.数
学 的 な い し力 学 的 な思 考 法 は 決 して 万 能 な も の で は な い し,自
を と ら え る 唯 一 無 二 の 方 法 で もな い.し
然現 象
か し,数 学 ・力 学 の 考 え 方 や 手 法 を ま っ た
く無 視 して の 自 然 科 学 は あ り え な い と思 う.本 超 え,読
え て,数
理 学 者 達 が ど の よ う に 力 学 の 諸 概 念 を形 成 して い っ た か を
書 が,単
に知 識 を 身 につ け る こ とを
者 が こ れ か ら の 研 究 の 過 程 で 遭 遇 す る で あ ろ う 困 難 を乗 り越 え て い く実 力
を 身 に つ け る た め に 役 立 た て ば,筆 な お,本
者 の 喜 び,こ
れ に ま さ る もの は な い.
書 は ス ポ ー ツ科 学 専 攻 の 学 生 の た め に 執 筆 さ れ た も の で は あ る が,内
容
と して は 数 学 ・力 学 の 基 礎 全 般 を扱 っ て お り,物 理 を選 択 して い る 高 校 生 の 発 展 学 習 に,あ
る い は 理 系 の 大 学 新 入 生 の 基 礎 確 認 に も役 立 つ と思 う.ス
ポ ー ツ科 学 に携
わ る 人 は も と よ り,高 校 で の 物 理 と大 学 で の 物 理 学 と をつ な ぐ副 読 本 な り参 考 資 料 と して,高 校 生,大
学 新 入 生,さ
も広 く読 ん で も ら い た い.日
ら に は 高 校 で 数 学 ・物 理 を指 導 さ れ て い る先 生 方 に
本 中 の 人 の ス ポ ー ツ 科 学 へ の 関 心 を 喚 起 す る こ と――
こ れ は筆 者 の さ さ や か な 野 望(の 一 つ)で あ る.
目
次
1.ス
ポ ー ツバ イ オ メカ ニ ク ス
1
1.1ス
ポ ー ツ と科学
1
1.2運
動 中 の力 発揮 を知 る
4
2.一
般 的心 得
9 9
2.1物
理学 の考 え方
2.2単
位の話
10
2.3オ
ー ダー の考 え方
14
2.4誤
差 と有 効 数 字
19
2.4.1有
効 数 字 の話
19
2.4.2実
験 誤 差 の 生 じる原 因
20
2.5実
験 デ ー タ の 取 り扱 い に つ い て
2.5.1難
問
24 24
2.5.2あ
りが ち な こ と
24
2.5.3再
び難 問 につ い て
30
3.数
の 拡 張
35
3.1自
然数
35
3.2四
則 演算 に よ る数 の拡 張
36
3.3方
程 式 に よる数 の拡 張
37
3.4演
算 の法則
38
3.5数
の視 覚 的表 現
41
4.三
角 比 ・三 角 関 数
47
4.1三
角 比
47
4.2三
角 関数
49
4.3弧
度法
51
4.4曲
線 の媒 介 変数 表 示
55
4.5加
法定理
56
4.6複
素 数 の積 の 再論
59
5.ベ
ク
ト ル
5.1ベ
ク トル と は
5.2ベ
ク トル の 和
63 63 ・差
・実 数 倍
64
5.3加
法 ・減 法 再 論
65
5.4ベ
ク トル の 成 分
68
5.5内
積
70
5.5.1内
積 の定義
70
5.5.2内
積 の性 質
71
5.5.3内
積 と成 分
71
5.6ベ
ク トル 積
74
5.6.1ベ
ク トル 積 の 定 義
74
5.6.2ベ
ク トル 積 の 性 質
75
5.7位
置 ベ ク トル
77
5.8行
列 と一 次 変 換
78
5.8.1行
列
79
5.8.2回
転 を表 す行 列
83
法
89
6.微
分
6.1関
数
89
6.2微
分 法 の概 念
90
6.3微
分法 の基 本法 則
93
6.4関
数 の グ ラ フの概 形
94
6.5空
間運 動
97
6.6相
対運動
99
6.7内
積 とベ ク トル 積 の 微 分
100
6.8微
分 の数値 計 算
100
7.積
分
法
103
7.1積
分 法 の誕 生
103
7.2定
積分
104
7.3定
積 分 と不 定 積 分
109
7.4積
分法 の基 本 法則
114
7.5積
分 の数 値 計算
115
くつ か の 関 数
117
8.1指
数 関数
117
8.2三
角 関数
119
8.3マ
ク ロ ー リ ン展 開
122
8.4指
数 関 数 と三 角 関 数 の ち ょ っ と い い 関 係
124
8.5対
数関数
126
8.い
8.5.1対
数 の 基礎
126
8.5.2対
数 の 応用
128
8.5.3対
数 関 数 の微 分
130
8.6逆
三 角 関数
132
8.7微
分 法 ・積 分 法 の 公 式
136
9.微
分 方 程式 気 分
139
9.1微
分 ・積 分 の 復 習
139
9.2微
分 方程 式 の概 念
142
9.3微
分 方程 式 の視 覚 的理 解
145
10.バ
イ メカ こ と は じめ
10.1問
149
題
10.2考
察 もどき
11.質
点 の 運動
11.1質
149
151 155 155
点
11.2運
動 方程 式
156
11.3物
体 の 直線 運 動
159
11.3.1等
速直 線 運動
159
11.3.2等
加 速 度 直線 運 動
160
11.3.3い
くつ か の 外 力 が 働 い て い る 物 体 の 直 線 運 動
162
11.3.4糸
で つ なが れ た物体 の運 動
169
11.3.5流
体 中 の物体 の運 動
174
11.3.6単
振 動
180
11.3.7減
衰振 動
183
体 の空 間運 動
187
11.4物
11.4.1放
物 体 の運 動
187
11.4.2等
速 円運 動
191
11.4.3惑
星 の運 動
197
11.4.4振
り子 の 運 動
11.5井
戸端会議
12.運
動
202 205
量
215
12.1運
動 量 の発 見
215
12.2運
動 量 と力積
218
12.3質
点系
220
12.4運
動 量 と力積 の単位
222
13.力
学 的 エ ネル ギ ー
227
13.1運
動 エ ネ ル ギ ー と仕 事
227
13.2力
学 的 エ ネ ルギ ー保 存 則
233
13.2.11次
元 の 場合
13.2.22次
元,3次
13.3A君
233 元 の場 合
の冬 休 み
237 240
13.4質
点 系 の運 動 エ ネ ルギ ー
241
13.52物
体 の衝 突 につ い て
248
13.5.11次
13.5.2跳
元 の 場合
ね 返 り係 数 に つ い て
13.5.32次 13.5.4分
元 空 間 で の 衝突 問 題 裂
249 251 255 256
13.6棒
高 跳 び に関 す る世 界 で最 も粗 い議 論
258
13.7エ
ネル ギ ーの単 位
261
13.8エ
ネル ギ ー保存 則
263
13.9社
会 問 題 に 目 を 向 け る2人
266
14.こ
れ ま での ま とめ
273
15.回
転運 動 の初 歩
281
15.1力
の モ ー メ ン ト
281
15.2質
点 の角 運 動量
284
15.3中
心 力
286
15.4質
点 系 の角 運 動 量
291
15.5力
の モ ー メ ン トと 角 運 動 量 の 単 位
296
16.剛
体の運動
301
16.1剛
体 とは
301
16.2剛
体 に 働 く力 の 合 成
302
16.2.1平
行 で な い二 つ の力 の合 成
302
16.2.2平
行 な二 つの 力 の合 成
304
16.3剛
体 の重 心
306
16.4剛
体 に作 用 す る力 の つ りあ い
308
16.5固
定 軸 ま わ りの 角 運 動 量 と慣 性 モ ー メ ン ト
311
16.6固
定 軸 の な い場合 の剛 体 の運 動
317
16.7具
体 的 な例
318
16.7.1ト
ル ク測 定器
318
16.7.2滑
車 の運 動
319
16.7.3実
体 振 り子
323
16.7.4衝
撃の 中心
325
16.7.5ス
ナ ップ の効 果
327
17.関
節 トル ク
335
17.1関
節 トル ク の 意 味
335
17.2関
節 トル ク の 求 め 方
338
17.2.1身
体 末 端 関 節 の トル ク の 計 算
339
17.2.2末
端 部 以 外 の 関 節 の トル ク の 計 算
342
17.3圧 18.慣
力 中心 性 系 ・非 慣 性 系
345 349
18.1慣
性系
349
18.2非
慣 性 系 か ら見 た物 体 の運動
354
18.2.1慣
性 力
354
18.2.2観
測 系 が 直 線 運 動 を し て い る場 合
356
18.2.3観
測 系 が 一 定 角 速 度 で 回 転 運 動 を して い る 場 合
359
18.3慣
性 力 に まつ わ る話
365
19.番
外 編:フ
369
19.1フ
ー リエ解析 の注 意 事項
369
19.2フ
ー リエ 解 析 の 直 感 的 理 解
373
19.3最
小 二 乗 法 につ い て一言
376
20.古
典 力 学小 史
20.1古
代
20.2近 20.3“
代 へ の 過渡 期 読 者 ”の 出 現
379 379 380 382
20.4彗
星の導 き
383
20.5ニ
ュー トンの力 学 の その後
386
20.6現
代 物 理学 の誕生
386
付
索
ー リエ解析 の怪
録
391
A.ギ
リ シ ャ文 字 ・単 位
391
B.本
書 で扱 っ た数 学公 式
393
引
403
1 ス ポ ー ツバ イ オ メ カ ニ クス
1.1ス
ポ ー ツ と科 学
陸 上 競 技 や 水 泳 競 技 に代 表 さ れ る ス ポ ー ツ の 記 録 が,年 ク や 世 界 選 手 権 を 重 ね る た び に 更 新 さ れ て い る の は,よ
と と も に,ま た オ リ ン ピ ッ く知 ら れ た 事 実 で あ る.現
在 の 競 技 レベ ル は 人 類 の 運 動 能 力 の 極 限 に 近 づ い た の で は な い か と 思 わ せ る ほ ど, 高 く な っ て い る.例
え ば,男 子100mの
初 め て の 公 認 世 界 記 録 は,20世
く ら れ た10秒6で
あ っ た.人
紀 を か け て9秒79に
す な わ ち,100年
で 約1秒(距
類 は1世
離 に して 約10m)短
縮 した わ け で あ る が,こ
在 の 世 界 の ト ッ プ ス プ リ ン タ ー が ゴ ー ル す る 時 に,100年 に い る こ と に な る.こ
れ は ほ ん の 一 例 で あ る が,様
紀初 頭 につ
ま で 縮 め た(図1.1). れ は現
前 の ト ッ プ は90m地
々 な 競 技 ス ポ ー ツ で,こ
点
の よう
な 劇 的 な 進 歩 が 認 め ら れ る. と こ ろ で,走
る ・跳 ぶ ・投 げ る あ る い は 泳 ぐ とい っ た 身 体 運 動 は,も
の 糧 を得 る た め,あ
る い は 自 ら を 守 る た め の 手 段 で あ っ た が,も
ま の 生 活 で あ れ ば,運 う.例
動 能 力 が 現 在 の よ う に 向 上 す る とい う こ と は な か っ た で あ ろ
え ば,100mを3秒
水 中 か ら3mも
で 走 る チ ー タ,ひ
と っ 跳 び で12mを
越 え る カ ン ガ ル ー,
跳 び 上 が る イ ル カ な ど,動 物 の 運 動 能 力 は す ご い が,こ
跳 そ し て 水 泳 の 名 手 で あ る 動 物 た ち が,年 い の で あ る.古
と も と生 活
し人 間 が 原 始 の ま
れ らの走 や
々 そ の能力 を向 上 させ る とい う こ とは な
代 ギ リ シ ャ 時 代 に始 ま っ た 「ス ポ ー ツ 」 の 競 技 レベ ル が(動 物 と異 な
り)徐 々 に 向 上 す る の は,ス
ポ ー ツが 「 競 争 と い う 文 化 」 に な っ た か ら な の だ.大
の 働 き に よ っ て 行 動 が 規 定 さ れ る 高 等 動 物 界 に あ っ て,そ た 人 間 の 知 恵 は,い
脳
の 闘 争 本 能 に 裏 づ け られ
つ しか 「走 ・跳 ・投 」 とい う行 為 を そ の 直 接 的 な 生 活 手 段 か ら
切 り離 し て,「 能 力 を 競 う」 とい う競 技 形 態 を生 み 出 して き た の で あ る.競 技 能 力 の 向 上 は,そ
れ ぞ れ の 種 目 に 遺 伝 的 に 適 した 人 が 選 択 さ れ,環
境 的 要 因 で あ る トレ ー
ニ ン グ や 栄 養 摂 取 が 洗 練 さ れ て き た 結 果 だ とい え る .現 在 の 一 流 ス ポ ー ツ選 手 の 動 作 は,ま
さ に優 れ た 芸 術 作 品 の よ う で あ る.図1.2に
世 界 記 録(8m95cm)で
男 子 走 幅 跳 の1999年
あ る パ ウ エ ル の 動 作 を示 し た.動
時点の
作 自 体 も美 しい が,道
路
図1.1上 図:第3回 世界 陸 上 選 手 権 大 会(東 京,1991)男 走 の世 界 記 録 と 日本 記 録 の 変 遷.
子100m走.下
図:男 子100m
図1.2走
で1歩1mと
して9歩
幅 跳 の パ ウエ ル の 動 作(深 代,1993)1)
進 み,9mと
い う 長 さ を 実 感 して み て ほ し い .人
こ ん な に も跳 べ る の か と感 嘆 す る は ず で あ る.と ん だ ろ う と不 思 議 に な る だ ろ う.こ
の
同 時 に ,ど
間 は1回
で
う して こ ん な に跳 べ る
「ど う して だ ろ う」 とい う 疑 問 か ら,自
然科
学 そ し て ス ポ ー ツ 科 学 は 始 ま っ た. 速 く走 る,高
くあ る い は 遠 くへ 跳 ぶ,ま
た 遠 くへ モ ノ を 投 げ る,こ
つ ま り メ カ ニ ズ ム を 明 らか に し よ う と い う 分 野 が,ス れ る 「ス ポ ー ツ バ イ オ メ カ ニ ク ス(SportsBiomechanics)」 物 を,mechanicsは
れ らの仕 組 み
ポ ー ツ 科 学 の 中 に位 置 づ け ら で あ る.bioは
生体 や 生
力 学 や メ カ ニ ズ ム を表 して お り,ス ポ ー ツ バ イ オ メ カ ニ ク ス は,
ス ポ ー ツ 中 の 人 間 や 物 体 の 運 動 を,筋 地 面 反 力 ・空 気 抵 抗 な どの
力 や 身 体 内 部 で 作 用 す る 「内 力 」 と,重
「 外 力 」 との 相 互 作 用 に よ る 現 象 と し て 理 解 し2),そ
力 ・ の
メ カ ニ ズ ム を 解 明 す る こ と を 目的 と し て い る. パ ウ エ ル の 連 続 写 真 は,ビ し た も の で,図
デ オ 撮 影 さ れ た 画 面 か ら身 体 だ け を 抜 き取 っ て 再 構 成
の 下 に あ る ス テ ィ ッ ク ピ ク チ ャ は大 腿 や 下 腿 と い っ た 身 体 の セ グ メ
ン トを 線 で 簡 略 化 して 横 と前 か ら表 した も の で あ る .現 在 は,ビ て 撮 影 さ れ た 画 像 を コ ン ピ ュ ー タ に と り込 め ば,誰 で き る 時 代 に な っ た.図1.2を
見 て わ か る こ と は,バ
各 部 分 の 「位 置 の 変 位 」 で あ り,ま
デ オ カ メ ラ を使 っ
で も こ の く ら い の こ と は容 易 に イ オ メ カニ カ ル にい えば 身体
た ビ デ オ を流 し て モ ニ タ ー を見 な が ら 読 み とれ
る こ と は 対 象 の 「速 度 」 の 情 報 で あ る.し
か し な が ら,動
の 場 合 は パ ウ エ ル)が 動 作 を つ く り出 す の は,手
作 を 行 っ て い る 本 人(こ
足 が どこ にあ る とい っ た位 置 の情
報 や 身 体 の どの 部 分 を速 く動 か す か とい っ た 速 度 の 情 報 で は な く,「力 の 出 し方 」 に よ っ て い る の で あ る. 興 味 深 い こ と に,人
間 は 経 験 か ら ま っ た く初 め て の 運 動 で も,そ
ど よ い 力 を発 揮 す る こ とが で き る.ご
飯 茶 碗 を持 ち 上 げ る の に10kgの
持 つ よ う な 力 を発 揮 す る 人 が い な い よ う に,人 運 動 を 起 こす.こ
れ を神 経 生 理 学 で は,フ
ダ ンベ ル を
間は適 切 な出力 を予 め設 定 してか ら
ィ ー ドフ ォ ワ ー ド制 御 と い う.す
人 間 は 筋 力 を発 揮 して 動 き を つ く りだ し て い る の で あ る が,外 (図1.2や
の運 動 に ち ょ う
ビ デ オ の モ ニ タ ー)を 見 て い る 人 に は,直
に 力 を 発 揮 し て い る の か は わ か らな い.こ
な わ ち,
か らパ ウ エ ル の 動 作
感 的 にパ ウエ ル本 人 が どの よ う
うい う時 に,「 力 学 を基 礎 」 と した ス ポ ー
ツ バ イ オ メ カ ニ ク ス が 威 力 を 発 揮 す る.図1.2の
ス テ ィ ッ ク ピ ク チ ャ と(地 面 に接
し て い る 時 は)地 面 反 力 を測 定 す る こ と に よ っ て,パ
ウエ ル 本 人 が どの よ う に 力 を
発 揮 し て こ の 動 作 を つ く り 出 して い る の か を 推 定 す る こ と が で き る の で あ る.
1.2運
動 中 の 力発 揮 を知 る
身 体 運 動 の 基 と な る 筋 力 を 知 る に は,間
接 的 な 手 法 が 必 要 と な る.運
動 中 に 身体
に加 わ る 「 外 力 」 は,重 力 と空 気 抵 抗 と地 面 反 力 で あ り,こ れ に対 して 身体 内 で 作 ら れ る 「内 力 」 は 主 に筋 に よ っ て い る.こ
れ らの 力 の 釣 り合 い か ら,直 接 測 定 で き な い
内 力(こ こ で は 関 節 トル ク)を 推 定 す る方 法 が 一 般 に 用 い られ て い る.詳 は 第17章
で 扱 う の で,こ
ビ デ オ カ メ ラ に よ っ て 動 作 を撮 影 す る(解 剖 学 的 モ デ ル).(2)セ テ ィ ッ ク で 表 す(リ ン ク セ グ メ ン トモ デ ル).(3)セ ダ イ ア グ ラ ム),そ い る場 合 は,外 る.す
ず(1)
グ メ ン トご と に ス
グ メ ン トを 分 け て(フ リ ー ボ デ ィ
こ に 加 わ る す べ て の 力4)を 考 え る.そ
力 と し て の 地 面 反 力 を測 定 し,(3)の
な わ ち,(1)∼(3)の
しい 求 め 方
こ で は 視 覚 的 に 示 す こ と に と ど め る(図1.3)が3),ま
して(4)足
が 地面 に接 して
セ グ メ ン トに か か る 力 に加 え
キ ネ マ テ ィ ク ス の デ ー タ と,(4)の
地 面 反 力 を定 量 化 し,
次 に ニ ュ ー ト ンの 法 則 を 応 用 す る こ と に よ リ動 作 の 原 因 と な る 身 体 内 の 力 を 推 定 す る の で あ る.下 トル ク,そ
肢 の 場 合 で あ れ ば,最
初 に足 関 節 トル ク を 求 め,そ
し て 股 関 節 トル ク とい う よ う に上 位 に 進 ん で い く.こ
揮 して 運 動 を つ く る とい う 「 運 動 生 成 の 順 序 」 と は 逆 方 向,つ
れ を基 に 膝 関 節
の 方 法 は,力
ま り動 作 の 分 析 か ら原
因 と な る 力 を推 定 す る とい う方 向 な の で 「逆 ダ イ ナ ミ ク ス(inversedynamics)」 呼 ば れ て い る5).こ
の 方 法 自体 は,20世
を発
紀 初 頭 に エ ル フ トマ ン(Elftman)に
と よって
図1.3身 体 の リン ク セ グ メ ン トモ デ ル(Winter1990).左 ク セ グ メ ン トモ デル,右 図:フ リー ボ デ ィ ダイ ア グ ラ ム.
提 示 され た も の6)を ウ ィ ン タ ー(Winter)が の研 究 に用 い ら れ て い る(図1.4).運
ダ イ ナ ミ クス,キ
使 い や す い 形 に ま とめ7),現
ン
在 で は多 く
動 中 の 関 節 トル ク を知 る こ とが で きれ ば
メ ン トア ー ム を考 慮 す る こ と に よ っ て,主
図1.4逆
図:解 剖 学 的 モ デ ル,中 央:リ
,モ ー 動 筋8)の 筋 力 そ れ 自体 も推 定 す る こ とが
ネマ テ ィ ッ ク なデ ー タか らキ ネ テ ィク ス を推 定 す る(Winter1990)
.
図1.5関 節 トル ク か ら筋力 を推 定 す る(Robertson1997).た だ し,逆 ダ イナ ミ クス に よ り 得 られ る トル ク は 着 目 して い る 関 節 まわ りの 全 筋 群 か ら生 み 出 され る トル クの 総 和 で あ る た め (第17章
参 照),こ
の 方法 を適 用 す る に は注 意 が 必 要 で あ る.
で き る(図1.5). 逆 ダ イ ナ ミ ク ス を,例
え ば ス プ リ ン ト走 に応 用 す る こ と に よ っ て,一
タ ー の 力 発 揮 の 仕 方 を 明 ら か に す る こ とが で き る(図1.6).そ は 次 の よ う に,従
流 スプリン
し て,分
析 した結 果
来 の 指 導 理 論 と は 異 な る 結 果 が 示 さ れ る と い っ た こ と も あ り,そ
れ が 日 本 陸 上 界 の 短 距 離 選 手 競 技 レ ベ ル を 大 き く向 上 させ る こ と に もつ な が っ た. 従 来 の コー チ ン グ で は,速 早 く抱 え 込 む,支
く走 る た め に,「 モ モ を 高 く上 げ る,キ
ッ ク の 後 に脚 を 素
持 脚 で 地 面 を し っ か りキ ッ クす る」 な ど の 視 点 で 指 導 さ れ て い た.
し か し,分 析 結 果 に よ る と,モ お らず(図1.6のF-1),む 股 関 節 トル ク は,キ
モ を 高 く上 げ る た め の 股 関 節 の 屈 曲 トル ク は 生 じ て
し ろ モ モ を上 げ な い トル クが 生 じて い る.脚
を 前 に運 ぶ
ッ ク 後 に 股 関 節 の 真 下 に 来 る ま で の 局 面 で 大 き な屈 曲 トル ク が
発 揮 さ れ て い る(B-2).ま
た,キ
ッ ク 後 に脚 を 抱 え 込 む 局 面 で は 膝 関 節 の屈 曲 トル
ク は 発 揮 さ れ て お らず,リ
ラ ッ ク ス さ れ て い る(C-3).で
は,な
ぜ 膝 が屈 曲 され る
か(脚 が 巻 き込 ま れ る か)と い う と,膝 や 足 関 節 が リ ラ ッ ク ス さ れ て い る と き に,股 関 節 が 勢 い よ く屈 曲 す る(脚 が 前 に振 り 出 さ れ る,B→C)と り,脚 が 巻 き込 ま れ て し ま う の で あ る.さ げ 伸 ば し を せ ず,し
「勝 手 に」 膝 が 曲 が
ら に 接 地 中 の 支 持 脚 は,膝
や 足 関節 の 曲
っ か り と した 一 本 の 棒 の よ う に し て 前 か ら後 に 引 き戻 す(D-4)
と い っ た こ と も わ か っ て き た.以
上 よ り,ス プ リ ン ト走 で 重 要 な の は,股
関節 を 中
図1.6疾
走 中の 下 肢 関 節 トル クの 概 略(深 代 ら,1999)10)
心 と した ス ウ ィ ン グ 運 動 だ っ た の で あ る. こ う した 動 作 の 研 究 結 果 か ら,短
距 離 選 手 は 身 体 の ど の 部 分 を鍛 え れ ば よい か と
い う ト レ ー ニ ン グ の 視 点 も 明 ら か に な っ た.そ 幹 の 強 化 で あ る.ひ
と 昔 前 ま で は,短
筋 を 鍛 え た 方 が よ い と 考 え られ,ト
れ は ,股
関 節 ま わ り を 中心 と した 体
距 離 選 手 で もボ デ ィ ビ ル ダ ー の よ う に 全 身 の レ ー ニ ン グ さ れ て き た.そ
の 結 果,ス
プリン ト
走 に 必 要 の な い 腕 や 脚 の 末 端 の 筋 ま で 鍛 え られ 「重 り」 に な っ て し ま う こ とが あ っ た.す
な わ ち,ス
ポ ー ツ バ イ オ メ カ ニ ク ス に よ る 動 作 分 析 の 結 果,短
筋 が 明 ら か に な り,そ こ こ で は,ス
距離 に必 要 な
こ だ け を ね ら っ て 鍛 え る こ とが よ い と わ か っ た の で あ る.
プ リ ン ト走 を例 に 説 明 し た が,他
メ カ ニ ク ス の 研 究 成 果 が 応 用 さ れ 始 め て い る.現
の 動 作 に つ い て もス ポ ー ツ バ イ オ 時 点 の 研 究 成 果 に つ い て は,本
で は な く,『 ス ポ ー ツ バ イ オ メ カ ニ ク ス 』(朝 倉 書 店)で 詳 し く述 べ た.そ ポ ー ツバ イ オ メ カ ニ ク ス の 研 究 法 に つ い て も 言 及 し て い る が,そ 礎 数 理 ” に つ い て は 頁 を 多 く割 い て い な い.動 す た め に は,力 て い れ ば,エ
た,十
論 を 引 き出
分 に力 学 を 理 解 し
ル フ トマ ンや ウ ィ ン タ ー の 従 来 の 方 法 を応 用 す る だ け で は な く,長 野
ら9)の よ う に,新 本書
の 背 景 に あ る “基
作 を 分 析 し て 論 議 し,結
学 を 十 分 理 解 し て い な け れ ば い け な い.ま
書
こで は ス
し い 出 力 推 定 法 を独 自 に提 示 す る こ と も で き る.
『ス ポ ー ツ 基 礎 数 理 ハ ン ドブ ッ ク 』 を土 台 に,そ
メ カ ニ ク ス 』 に 発 展 させ る,あ
の 知 識 を 『ス ポ ー ツバ イ オ
る い は 逆 に 『ス ポ ー ツ バ イ オ メ カ ニ ク ス 』 で わ か ら
な い 基 礎 的 な 部 分 を本 書 で 補 う とい っ た 使 い 方 を勧 め た い.こ 訓練 され た “ バ イ オ メ カ ニ シ ャ ン” に 育 つ で あ ろ う.
れ に よ っ て,読
者 は
注 1)深 代 千 之:コ ー チ ング に お け る[形]を 考 え る . Jpn. J. Sports Sci. 12 (5) 298-302, 1993. 2)あ る力 の み に 着 目 してそ れが 内 力 か 外力 か を論 じる こ とは で きな い .世 界 を “外 ” と “内” に ど う分 け るか に よ り,同 じ力 が 内 力 と呼 ばれ た り外 力 と呼 ば れ た りす る.身 体 全 体 に着 目 し,そ の 重 心 運 動 の み を論 じる と きに は,身 体 を構 成 す る各 粒 子(particle)あ るい は 各 セ グ メ ン ト間 で作 用 し合 う 力 はみ な内 力 で あ り,身 体 重 心 に関 す る運 動 方 程 式 に は現 わ れ な い.ま た,地 球 と身 体 とか ら な る 系 を一 つ の 力 学 系 と考 えれ ば,重 力 や 地 球 と 身体 の 接 触 面 で働 く抗 力 は内 力 と な り,系 の 重 心 運 動 に は影 響 しない.そ れ に対 し,身 体 を構 成 す る各 セ グ メ ン トの 運 動 に着 目す る場 合,例 え ば前 腕 の 運 動 に着 目す る な らば,上 腕 二 頭 筋 な どの 筋(の 付 着 部)か ら及 ぼ され る力 は外 力 で あ り,前 腕 に 関 す る運 動 方 程 式 に現 れ る.こ の 点 に関 して 詳 し くは11.2節,12.3節 を参 照 せ よ.し か し,力 学 用 語 と して の “内 力,外 力 ” と 日常 用 語 と して の “内 力,外 力 ” とで は意 味 が 異 な る こ とが あ る の で文 脈 に応 じて 意 味 を判 断 して も ら い たい.な お,“ 内 力 ” と “外 力 ”が 直 接 相 互 作 用 す る の で な く(力 学 にお い て は,力 と力 は相 互 作 用 し ない),筋 力 の 発揮 に よ っ て 身体 を構 成 す る各 セ グ メ ン トの運 動 が 変 化 し(各 セ グ メ ン トの 運 動 を論 じる と きに は,そ の セ グメ ン トを動 か す 筋 か らの 力 は外 力 と見 なす),あ る い は変 化 し よ う と し,そ れ に よっ て 身 体 の外 か ら身体 に作 用 す る力(地 面 反力 や 空気 抵 抗 な ど)が 変化 し,そ れ が再 び 身体 運 動 に変 化 を生 じさせ るの で あ る. 3)図1 .3で は,並 進 運 動(の 加 速 度)を 生 じさせ る力 と,回 転 運 動(セ グ メ ン トの角 運 動 量 変 化)を 生 じさせ る トル ク を理 想 的 に分 離 して考 え て い るが,実 際 に は セ グ メ ン トに付 着 す る筋 か ら作 用 す る 力 そ の もの が 並 進 運 動 に も 回転 運 動 に も同 時 に 関 わ っ て くる.こ の こ とを考 慮 して もこ こ で説 明す る 関節 トル クの 求 め方 に変 更 の 必 要 の ない こ とは 第17章 で示 さ れ る. 4)「 着 目す る セ グ メ ン トに加 わ る外 力 」 の 意 味 で ,セ グ メ ン トに付 着 す る 筋 か ら及 ぼ さ れ る力 も含 む. 5)こ の言 葉 遣 い は現 代 的 な もの で あ る .こ の点 に つ い て,山 本 義 隆 氏 の 『古 典 力 学 の 形 成 』(日 本 評 論 社)か
ら興 味 深 い 引 用 を 以 下 に紹 介 す る. 「理論 力学 は,ど の よ う な力 にせ よ―― それ か ら結 果 す る 運動 の 学 問,ま た どの よ う な運動 にせ よそ れ を生 ず るの に必 要 な力 の 学 問 で,そ れ を精 確 に提 示 し証 明 す る もの で あ る」 と力学 の課 題 を二 方 向 に 定 め たの はNewton本 人 で あ る(『 プ リンキ ピア 』初版 序 文).そ して,18世 紀 を とお して一 般 的 に 使 われ て い た用 語 で は,運 動 か ら力 を導 き出す の が 「順Newton問 題(DirectNewtonProblem)」 で あ り,そ れ に対 して力 か ら軌 道 を導 くの は 「逆Newton問 題(InverseNewtonProblem)」 と い わ れ る.Aitonに よる とこ の言 葉 遣 い は特 別 な もの で は な か っ た.今 世 紀 は じめ の1906年 出版 のLoveの 『理 論 力 学 』 で さ え も,先 に楕 円 軌 道 か ら逆2乗 の引 力 が 導 か れ,そ の 後 の 運 動 方程 式 を解 く問題 をinverseproblemと
記 して い る.
6) Elftman , H. (1939) Forces and energy changes in the leg during walking. Am. J. Physiol. 125, 339-356. 7)現 在 入 手 で き る 書 籍 と して は•g Biomechanics (Winter,
D.
A. ’˜,
John
Wiley
&
Sons.)
and
Motor
Control
of
Human
Movement.•h
が あ る.
8)対 立 筋 ま た は拮 抗 筋 に対 して ,収 縮状 態 に あ る筋 の こ と.“ 主 働 筋 ” と も書 くが,本 書 で は 『ス テ ッ ドマ ン医学 大 辞 典(第4版)』 に な らい “主 動 筋” と書 く.な お,同 辞 典 で は 同 じ機 能 を もつ2つ 以 上 の 筋 に対 して は “協 働 筋 ”の 表 記 を と って い る.
9) Nagano , A., Y. Ishige and S. Fukashiro (1998) Comparison of new approaches to estimate mechanical output of individual joints in vertical jumps. J. Biomechanics 31, 951-955. 10)深 代 千 之 ら:ス プ リ ン ト走 にお け る 脚 の ス ウ ィ ン グ動作 の 評 価 .バ イ オ メ カ ニ ク ス研 究 概 論.第14 回 日本 バ イ オ メ カ ニ ク ス 学 会大 会論 集.1999,204-207.
2 一 般 的心 得
本章 で は何 らか の形 で科 学 に携 わ る者 の心 構 え を述 べ る.所 々,後 の章 で説 明 す る 内容 を含 んで い る の で初 読 の 際 に は難 しい と感 じ られ るか も しれ な い.学 習 が あ る 程 度 進 んだ 後,必 要 に応 じて 読 み返 して理 解 を深 め て も らい た い.
2.1物
理 学 の 考 え方
ま ず 最 初 に,力 う.小
学 を含 む 物 理 学(physics)と
学 校 以 来,我
道 具 で あ る.こ
呼 ば れ る 学 問 に つ い て 簡 単 に触 れ よ
々 は 数 とそ の 演 算 につ い て 学 ん で き た.数
は元 々は個 数 を表 す
れ を 一 般 に も の の 量 を 表 す 道 具 とす る た め に は 何 ら か の 基 準 を定 め,
そ の 基 準 と もの の 持 つ 量 を 比 較 す る と い う作 業 が 必 要 に な っ て く る.例
え ば,あ
る
物 体 の “長 さ” とい う量 を数 で 表 した け れ ば あ る 特 定 の 長 さ を 基 準 と し,そ の 長 さ の 何 倍 に相 当 す る か とい う こ と で 物 体 の 長 さ を表 す の で あ る.基 の 長 さ で あ り さ え す れ ば な ん で も よ い.こ な る も の(概 念)を 生 み 出 した.長 て い る(尺,寸,メ
ー トル,フ
が 考 え られ る(重 さ,明
準 と な る もの は 一 定
の 基 準 を 設 け る と い う考 え が 単 位(unit)
さ の 単 位 に は世 界 中 で い ろ い ろ な もの が 用 い られ
ィ ー ト,ヤ ー ド,…).長
る さ,温 度,音
量,時
さ のほ か に もい ろい ろ な量
間,…).単
位 を定 め る こ と に よ りい
ろ い ろ な 量 を数 値 で 表 す こ と が で き る よ う に な り,定 量 的 な 議 論 が 可 能 と な る . さ て,こ
う して 定 量 化 さ れ た あ る 量 と あ る 量 と の 間 に 数 式 で 結 び 付 け ら れ る 特 定
の 関 係(法 則)が
あ っ た と した ら ど う で あ ろ う か.そ
れ ば も う 一 方 の 量 を知 る こ とが で き る.さ に よ り他 の 量 を 制 御 す る こ と もで き よ う.現 し,未
ら に,一
う す れ ば,一
方 の 量 を コ ン トロ ー ル す る こ と
在 の 量 を 知 る こ と に よ り,過 去 を 推 定
来 を 予 測 す る こ と す ら可 能 と な る か も しれ な い.も
化 や 数 式 化 を 自然 界 に 存 在 す る あ り とあ ら ゆ る も の,あ と は 不 可 能 で あ ろ う.し
か し,世
が 確 か に 存 在 す る の で あ る.そ い え,物
方 の量 を測 定 す
ち ろ ん,こ
の よう な数値
る い は現 象 に 対 し て 行 う こ
の 中に は この よう なア プ ロー チが 有 効 とな る現象
の よ う な 現 象 の 一 端 を扱 う の が 物 理 学 で あ る.と
理 学 と は 何 か と い う こ と を 明 確 に 定 義 す る こ と は 難 し い .こ
り と 「わ れ わ れ を 取 り囲 む 自 然 界 に 生 起 す る も ろ も ろ の 現 象― ―
は
こで はぼ ん や
た だ し主 と し て 無
生 物 に 関す る もの――の奥 に存在 す る法 則 を,観 察 事 実 に拠 り所 を求 めつ つ 追求 す る こ と」 を物理 学 だ と述 べ て お こ う1).
2.2単
位 の 話
「100」 だ け で は 意 味 が な い.数 の 棒 は100cmで
字 は 単 位 を 伴 っ て 初 め て 意 味 を お び て く る.「 こ
す 」 と言 う の と 「こ の棒 は100kgで
メ ー ジ が だ い ぶ 違 う.「 今 日 は100円
す 」 と言 う の と で は 伝 わ る イ
の お 菓 子 を 皆 で 分 け た 」 と 「今 日 は100kgの
お 菓 子 を皆 で 分 け た 」 とで は 幸 せ 度 が 非 常 に 異 な る.こ
の よう に単位 が 異 な る と情
報 の 質 が 異 な っ て し ま う の で あ る. よ く間 違 え る の がkgとkgw(キ
ロ グ ラ ム 重)と い う単 位 で あ る.kgとkgwと
ま っ た く異 質 の 単 位 で あ る.kgは 単 位 で あ る.ゲ
質 量(mass)の
単 位 で あ り,kgwは
ー ム セ ン タ ー な ど で パ ン チ 力 何kgと
思 議 な 気 分 に して くれ る2).同
は
力(force)の
か 出 る 機 械 が あ る が,非
常 に不
じ よ う な気 分 を か も し 出 して くれ る論 文 もあ る.日
常 会 話 な ん か な ら 別 に か ま わ な い の だ が,や
は り,学 術 論 文 な どで は 正 しい 言 葉 遣
い が 求 め ら れ よ う. (少 な く と も)物 理 学 で は “重 さ(重 量)” と “質 量 ” は 区 別 さ れ る 概 念 で あ る.地 球 上 の 質 量 を持 つ 物 体 は 重 力 に よ っ て 地 球 に 引 っ張 られ る.こ か 重 量(weight)と
呼 ぶ.あ
ろ うが ス ペ ー ス シ ャ トル の 中 だ ろ うが 変 わ ら な い.そ 所 に よ っ て 一般 に は 異 な る.同
れ に対 し,物 体 に働 く重 力 は 場
じ場 所 で 考 え る な ら,物 体 に作 用 す る重 力 の 大 き さ は
そ の 物 体 の 質 量 に な ぜ か 比 例 す る(本 節 補 足2お 質 量1kgの
の力 の こ とを重 さ と
る 物 体 の 質 量 は,空 気 中 だ ろ う が 水 中 だ ろ う が 月 面 上 だ
よ びp.163参
物 体 に働 く重 力 の 大 き さ を1kgwと
定 め た3).と
照).そ
こ で,地
こ ろ で,地
表で
球上 の物体
に 働 く重 力(gravity,gravitation,gravitationalforce,forceofgravity)は,地 と物 体 間 に 働 く万 有 引 力(universalgravitation)が (centrifugalforce)も て 異 な る.ま の で は1kgwは
加 わ る4).万
球
主 で あ る が,自
転 に 伴 う遠 心 力
有 引 力 は 地 球 の 構 造 的 な 非 対 称 性 か ら場 所 に よ っ
た遠 心 力 も緯 度 に よ っ て 異 な る.そ
の 結 果,地
球 の 重 力 を 基 準 に した
一 意 的 に 定 め る こ と が で きな く な っ て し ま う.そ
こで,標
準 とな る
重 力 加 速 度(accelerationduetogravity,accelerationofgravity)を9.80665m/s2 と し て5),質
量 が1kgの
与 え る 力 を1kgwと 突 然,加
物 体 に 作 用 し た と き そ の 方 向 に9.80665m/s2の
加速 度 を
定 義 して い る.
速 度 と力 を結 び 付 け て し ま っ た.こ
で 簡 単 に 説 明 し て お こ う.物 体 に 力Fが
れ に つ い て は 第11章
で 扱 うが,こ
作 用 した と き,物 体 は そ の 質 量mに
こ
反比
例 し,作 用 す る 力Fに
比 例 す る 加 速 度aを
な わ ち,、F=1/kmaと (kg),長
な る.kは
さ の 単 位 を メ ー トル(m),時
れ を式 で 書 く と,a=kF/m,す こ で,質 量 の 単 位 を キ ロ グ ラ ム
間 の 単 位 を 秒(s)で
単 位)と な る よ う に 力 の 単 位 を定 め よ う.ま ら “ 位 置 の 変 化[m]/変
持 つ.こ
比 例 定 数 で あ る.こ
ず,速
化 に 要 し た 時 間[s]” で 計 算 さ れ,単 位 はm/sと
度 は速 度 の 時 間 変 化 率 で あ る か ら “速 度 の 変 化[m/s]/変 さ れ,単 る.こ
表 し た と き に,k=1(無
度 は位 置 の 時 間変 化 率 で あ るか
位 はm/s2と
な る6).加
な る 。 す る と,F=m[kg]・a[m/s2]=ma[kg・m/s2]と
のkg・m/s2と
速
化 に 要 した 時 間[s]” で 計 算 な
い う単 位 を 改 め て ニ ュ ー トン(newton7))と
呼 び,記
号 でN
と表 す. 課 題 質 量 の単 位 をkg,長 さの 単位 をm,時 間の 単位 をs,力 の 単位 をkgwで a=k(F/m)中 の 比例 定 数kは い くつ にな る か.単 位 も含 め て答 え よ. 解 説k=ma/Fで あ る.1kgの の運 動 をす るの だ か ら,
と な る.kgwは
物 体 に重力1kgwが
働 いた とき,物体 は加 速度9.80665m/s2
一 つ の 単 位 で あ る か ら 「kg/kgwで1/wと
力 学 で は,長
さ,質
量,お
な る 」 な ど と思 わ な い こ と.
よ び 時 間 の 単 位 を 基 本 単 位(baseunit)と
て こ れ ま で 見 て き た よ う に,あ 位 を生 み 出 す.こ
い う.そ
呼 び,基 本
の 基 本 単 位 に基 づ く単 位 系(systemofunits)と
よ く用 い ら れ る 単 位 系 は,長
さ に メ ー トル(meter,記
号 はkg),時
間 に 秒(second,記
の 単 位 の 頭 文 字 を取 っ てMKS単
号 はm),質
号 はs)を
号 はK),お
呼 ぶ.
量 にキ ロ グ ラム
と っ た 単 位 系 で,そ
位 系(MKSsystemofunits)と
ら に 基 本 単 位 と し て 電 流 の 単 位 ア ン ペ ア(ampere,記 ン(kelvin,記
し
る 量 の 間 の 関 係 式 や 定 義 式 は 基 本 単 位 か ら新 た な 単
う して 生 み 出 さ れ た 単 位 を誘 導 単 位(derivedunit)と
単 位 と誘 導 単 位 の 集 合 を,そ
(kilogram,記
表 した と き,
呼 ぶ.こ
号 はA),温
よ び 光 度 の 単 位 カ ン デ ラ(candela,記
単 位 系 を 国 際 単 位 系(SystemeInternationald'Unites8),略
れぞ れ れ に,さ
度 の単 位 ケ ル ビ 号 はcd)を
称 はSI)と
加 えた
呼 ぶ.も
ち
ろ ん 単 位 系 に は い ろ い ろ な 流 儀 が あ り,国 際 単 位 系 を使 わ な け れ ば 罰 せ ら れ る わ け で は な い.ま
た,物
理 の 世 界 で も必 要 に 応 じ て(現 象 に 応 じ て 便 利 な)他 の 単 位 系 が
用 い ら れ る こ と は あ る.し
か し,さ
し た る 理 由 の な い 限 り,学 問 の 世 界 で は 国 際 単
位 系 が 推 奨 さ れ て い る.仮
に他 の 単 位 系 を 採 用 す る に し て も,そ
の 単位 系 の 中 で矛
盾 の な い 記 述 を し な くて は い け な い の は 当 然 で あ る. さ て,長
さL,質
量M,時
間Tを
基 本 量 とす る と き,あ
Q=kLαMβTγ,k:数
係 数
る物 理 量Qが,
と 表 せ る と き,物
理 量Qの
と 表 記 し,α,β,γ
次 元(dimension)を
を順 にQの
長 さ,質
量,時
間 に 関 す る次 元 とい う9).例
え ば,
力 と い う 物 理 量 は他 の 物 理 量 と “質 量 × 加 速 度 ” とい う 関 係 で 結 び つ い て い る.そ して 加 速 度 は “速 度/時 間 ”で あ り,速 度 は “長 さ/時 間 ” で あ る.結 [LMT-2]で
あ る こ とが わ か る.こ
こ と に 注 意 し て も ら い た い10).長 う と,力
こ で,L,M,Tは さL,質
は こ れ ら の 基 本 量 と数 係 数kを
量M,時
局,力
の 次元 は
物 理量 であ っ て単位 で は ない 間Tに
どん な単位 を採用 しよ
用 い て “力=kLMT-2”
と表 せ る と い う
こ とで あ る11). 数 が 単 な る抽 象 的 量 を 離 れ て 単 位 を 有 す る 具 体 的 量 と な る と12),必 可 能 で は な くな る.例
え ば “1m+5kg”
りす る こ と は で き な い.二
の よ う に単 位 の 異 な る 量 は 足 した り引 い た
つ の 量 を 足 し た り引 い た りで き る た め に は,二
間 の 単 位 が 等 しい こ と が 必 要 で あ る.足 と 同 じ単 位 を持 つ.二
ず し も演 算 が
つ の量 の
し算 ・引 き 算 の 結 果 得 られ る 量 は も と の 量
つ の 量 の 掛 け算 と割 り算(ベ キ 根 を含 む)に 関 し て は,も
れ らの 演 算 の 結 果 に 何 ら か の 合 理 的 な 意 味 を考 え る こ とが で き る な ら,い 量 の 間 で 演 算 を行 う こ と が で き る.そ
しそ
ろいろな
の と き,「 長 さ と長 さ の 積 は 面 積 に な る 」 と か
「 長 さ と面 積 の 積 は体 積 に な る 」 と い っ た 具 合 に,演 算 の 結 果 は も との 量 と質 的 に 異 な る(次 元 の 異 な る)量 と な る. な お,本
書 で は 物 理 量 を 表 す 記 号 に は イ タ リ ッ ク 体(例:「
す 」 な ど)を,単 を 用 い,式
位 を表 す 記 号 に は ロ ー マ ン体(例:「
物 体 の 質 量 をmで
棒 の 長 さ を1mと
な ど の 中 で 単 位 を 明 記 す る 場 合 に は 角 括 弧 “[]”で 囲 む こ と に し て い る
(ま ぎ ら わ し くな い と き は,特 慣 が 守 ら れ て い る.し
に “[]”を つ け な い).大
か し,ロ ー マ ン体,イ
結 果 と し て(か ど う か は 不 明 だ が),物
概 の 印刷物 で は この よう な習
タ リ ッ ク体 の 区 別 は 手 書 き で は 難 し い.
理 量 と そ れ を 表 す 単 位 と を概 念 的 に 区 別 で き
な い 人 が い る の で 注 意 し て も ら い た い13). 補 足1キ
表
す る」 な ど)
ロ グ ラ ム は元 々18世
紀 の終 わ り頃,最 大 密 度 時 の(約3.8℃
の)水1
立 法 デ シ メー トル(10cm×10cm×10cm=1000cm3)14)の 質 量 と して定 義 され た.そ して この 質量 を示 す ため に分 銅 が 作 られ た が,や が て,自 然 物 で あ る水 に基 礎 をお か ず に,こ の標 準分 銅 の質 量 を1kgと 改 め て定 義 す る こ と にな っ た.こ の分 銅 を “国際 キ ログ ラム 原器 ” とい う.現 在,水 の最 大 密度 時 に お ける1立 法 デ シメ ー トル の質 量 は0.999972kgと
測 定 され て い る15).で は,メ ー トル の 定義 は何 か.こ
れ も最 初 は 地球 の 子 午線 の北 極 か ら赤 道 ま で の長 さの千 万 分 の1と 定義 され16),次 に その 長 さを も とに “国 際 メー トル原 器”が 登場 し,こ れが 改 め て基 準 とさ れ る よう に な っ た.し か し,メ ー トル 原 器 は温 度 に よ って 長 さが 微 妙 に 変化 して し ま う.温 度 の定 義 は ま た難 しい 問題 で あ る.そ こで 現 在 で は299792458分
の1秒
間 に光 が
真空 中 を進 む 長 さ と して1メ ー トル を定 義 して い る.逆 に言 う と,真 空 中 の光 速 を 299792458m/secと 定義 した の で あ る17).現 在 で は地 球 の子 午 線 の 北 極 か ら赤 道 まで の長 さは10001.970kmと
測 定 され て い る18).で は,秒 の定 義 は何 か.こ れ も
最 初 は地 球 の 自転 に基 づ い て定 義 され て い た.す なわ ち,1平 均 太 陽 日の86400分 の1と して1秒 は 定義 され て い た19).し か し,地 球 の 自転 は一 定 で は な く,何 億 分 の1秒 の精 度 が要 求 され る精 密 科 学 の 場 で は こ の定 義 は役 に立 た な くな っ て しま っ た.現 在 で はセ シ ウム とい う原 子 が 放射 す るあ る波 長 の 光20)の9192631770周 期を 1秒 と して い る.単 位 の変 遷 には 科 学 の理 論 お よ び技 術 の発 展 の歴 史 が 隠 され て い る.こ こで は基 本 的 な話 だ け を したが,興 味 の あ る人 は さ らに 調べ てみ て ほ しい. 補 足2質 量(mass)と は何 か.こ れ は難 しい 問題 で あ る.質 量 は基 本 的 な物 理 量 の一 つ で,物 体 の力 学 的 性 質 を決 め る量 で あ る.中 学校 で 学 ん だ よ うに,「 天秤 で 測 定 され る のが 質 量 で単 位 はkg,ば ね ば か りなん か で測 定 され るの が 重量 で単位 は kgw」 とい う主 張 は 正 しい.天 秤 は重 力 を利用 した “質量 測 定 器”で あ る(無 重 力 状 態 で は天 秤 は使 え な い).天 秤 に よる質 量 の 測定 は 「 物 体 に作 用 す る重力 は物 体 の 質 量 に比例 し,物 体 に働 く重 力 を標 準 物 体 に働 く重 力 と比 較 す る こ とに よ り,重 力 場 の強 さ に依 存 す る こ と な く,そ の物 質 に固 有 な量 で あ る質 量 が 測定 で き る」 とい う こ とに基 づ い て い る21).“ 比 較 ” とい う作 業 に よ り,天 秤 で測 定 され る質量 は地 球 表 面 で 測 ろ うが 月 面 で測 ろ うが 等 し くな る とい うわ けで あ る22).と こ ろで,高 校 の物 理 の教 科 書 には 「 物 体 に は慣 性(inertia)と い う性 質(加 速,減 速 の しに くさ を示 す 性 質)が あ り,こ の慣 性 の 大 きさ を表 す のが 質量 で あ る」 とい う こ とが 書 い て あ る. この 主 張 も正 しい.し か し,こ の 質 量 の 定義 に は重 力 とい う言 葉 は出 て こな い.天 秤 測 定 に よる “ 質 量 ” と,こ の慣 性 を表 す “ 質 量 ”は まっ た く定 義 が 違 うの で あ る. 実 際,前 者 を重 力質 量(gravitationalmass),後 者 を慣 性 質 量(inertialmass)と 呼 ん で両 者 を区 別 す る こ と もあ る.こ れ ら二 つ の質 量 は 同 じで あ る必 然 性 は ま っ た くな い.し か し,実 験 に よ る と両 者 は 常 に一 致 した 振 る 舞 い を示 す.す な わ ち,前 者 が2倍,3倍 となれ ば,後 者 も2倍,3倍 とな るの で あ る23).そ の ため,両 者 を 同 一視 し,同 じ単位 で測 る こ とが で きる の で あ る.こ の事 実 は,ア イ ン シュ タ イ ン が 一般 相 対 性 理 論 を構 築 す る際 の 指 導原 理 と な った. 補 足3ス ポー ツ科 学 の 世界 で は “ 水 中体 重 ” とい う言葉 が よ く使 わ れ る.こ れ は, 簡 単 に言 え ば,水 の 中で 体 重 計(実 際 に は 防水 性 の フ ォー ス プ レー トな どが 使 わ れ る)に 乗 っ た と きに体 重計 の指 す 目盛 りの こ とで あ る.と ころ で,こ の水 中体重 は何 を表 して い るの で あ ろ うか.も ち ろん,水 中で の そ の人 の質 量(bodymass)を 表 し て い るの で は ない.水 中で そ の 人 に働 い て い る重 力(bodyweight)を 表 して い るの で もな い.水 中 にお い て,人 は 地球 か らの重 力 と水 か らの 浮力(浮 力 の説 明 は割 愛 す る)と 体 重 計(フ ォー ス プ レー ト)か らの 垂直 抗 力 と を受 け てい る.こ の三 つ の 力 が つ り合 っ て24)人 は加 速度 ゼ ロの 運動 状 態 にあ る ので あ る25).体 重 計(フ ォース プ レー ト)は あ くまで も,そ の 人 の足 の裏 と体 重計(フ ォー ス プ レー ト)と の 間の 垂 直 抗 力 を測 定 してい るの で あ る.単 位 はkgwも 計 で 体 重(bodyweight)が
し くはNで
示 す べ きで あ る26).体 重
測定 で きる(体 重 計 の 指 し示 す 目盛 りが 身体 に作 用 す る
重 力 の大 きさに等 し くな る)の は,あ る条 件 が 満 た され た場 合 の み で あ る こ とを知 っ てお か ね ば な らな い(11.2節 参 照).こ の こ と,お よ びbodyweightとbodymass の違 い が あ か らさ ま に効 い て くる例 は,力 学 を学 ぶ とい や とい うほ ど 出て くる . 補 足4補
足3で
フ ォー ス プ レー トと体 重 計 を列 記 した.フ ォ ース プ レー トの 本 質
的 な機 能 は ま さに体 重 計 その もの で あ る.フ ォー ス プ レー トに は い くつ か の タイ プ が あ るが,よ く用 い られ るの は ス イ ス の キス ラー社 製 の もの で,力 を測 るセ ンサ ー と して水 晶 を用 い た圧 電 素 子 が使 用 され てい る.圧 電素 子 とは,ひ ず み,ま た は応 力(p.184補 足2参 照)を 加 え る と電荷 が誘 起 され,ま た逆 に,電 圧 を加 え る とひず み,ま た は応 力 が 生 じる性 質 を持 っ た素 子 で あ る.ス ポ ー ツ科 学 の世 界 で は 筋形 状 や皮 下脂 肪 厚 を測 定 す る ため に超 音波 診 断 装 置 を用 い る手 法 が は や りだが,こ
こで
も圧 電 素 子 が超 音 波(媒 質 の 高周 波 数 の 力学 的振 動 波)を 発 生,ま たは 受信 す る素子 と して使 わ れ て い る(圧 電 素 子 を力 学 的振 動 と電 気 的振 動 の変 換 素 子 と して 用 い て い る). 補 足5圧 電 素子 の示 す 現 象,す な わ ち,あ る種 の結 晶 に 力 を加 える と応 力 に比例 した電 気 分 極 が発 生 す る現 象 を圧電 効 果(piezoelectriceffect)と 呼 ぶ が,圧 電 効 果 を発 見 した の は ジ ャ ック ・キ ュ リー(JacquesCurie)と ピエ ール ・キ ュ リー(Pierre Curie)と い う兄 弟 で,1880年 の こ とで あ った.ピ エ ー ル は謙 虚,温 厚 に して 非 常 に優 秀 な 若者 で あ った.そ の後 も結 晶 の対 称 性 や 成 長 に つ い ての研 究,物 質 の 磁 性 に関 す る研 究 な どで 数 々 の有 名 な業 績 をあ げ,彼 の 名 は 海外 に も知 れ 渡 っ たが,彼 は相 変 わ らず 謙 虚 で あ り,研 究 に没 頭 す る毎 日を送 って い た.そ んな彼 を一 躍 有 名 に した の は,夫 人(マ リー ・キ ュ リー:MarieCurie)と 共 同 で行 った ラジ ウ ム の発 見 で あ る.1903年,夫 妻 の 放 射 能 現 象 に 関 す る研 究 に対 して ノ ーベ ル賞 が 贈 られ た.そ して 翌年,ピ エ ー ル は ソ ル ボ ンヌ 大 学物 理 学 教授 に 就任 した.こ の昇 進 は ピ エ ー ル の 業績 を考 えれ ば 遅す ぎる もの で あ っ たが,そ れ は ひ とえ に ピエ ー ル の政 治 力(根 回 しす る能 力)の 無 さ に よる もの であ った. 1906年4月19日,大 学 か らの 帰 り道,車 道 を横 切 って 向 こ う側 の歩 道 に渡 ろ う と した ピエ ー ル は,馬 車 を引 く馬 にぶ つ か っ た.雨 で ぬ れ た地 面 に足 を滑 らせ 転 倒 した彼 の頭 の 上 を馬 車 の後 輪 が 通 過 した.1906年 とい え ば,相 対性 理 論 も量子 力 学 も産 声 を上 げ て 間 もない 頃 で あ る27).自 分 が研 究 の対 象 と した “ 放 射 能 ”が その 後,物 理 学 に とっ て,ま た,世 界 の歴 史 に とっ て どれ だけ 重 大 な意 義 を持 つ か を見 る こ とな く,ピ エ ー ル は 急 逝 した.享 年47歳 で あ っ た.夫 を亡 くした マ リー は悲 しみ を乗 り越 えて研 究 を続 け,1911年 に再度 ノー ベ ル賞 を獲 得 す る.そ の後 も数 々 の業 績 を残 した が,1934年 に 白血 病 の た め66歳 で 死 去 した.若 い 頃 か らの 無理 と 放射 線 の被 爆 が原 因 であ っ た28). フ ォー ス プ レー トか ら思 わ ぬ方 向 に話 が そ れて い っ て しま ったが,何 気 な く使 って い る一 つ の実 験 器 具 の 中 に は多 くの ドラマ が 隠 され て い る もの だ.フ ォ ース プ レー トを踏 みつ け るた び に,キ ュ リー 一族 の数 奇 な運命 が一 瞬,筆 者 の頭 を よ ぎる の で あ る.
2.3オ
ー ダ ー の 考 え方
人 に 身 長 を 聞 い て 「165」 とい う答 え が 返 っ て き た と き,「165mm」 と考 え る 人 は い ま い.こ が 「165cm」
と か 「165m」
れ は 人 の 身 長 に 対 す る 大 ざ っ ぱ な 理 解 が あ る か ら で,「165」
で あ る こ と は 明 白 で あ り,逆
に 「165cm」
さ か 」 と わ か る.「 人(成 人 男 性)の 身 長 が170cm前
と聞 け ば 「あ あ,あ
の大 き
後 で あ る 」 とい う よ う に,大
ざ っ ぱ に 大 き さ を 把 握 し て お く こ とは 意 外 に 大 切 で あ る.こ
の大 ざ っぱ な大 きさ の
概 念 を オ ー ダ ―(order,orderofmagnitude)と
い う 言 葉 で 表 す.特
に,自
分 が専
門 に 扱 っ て い る も の の オ ー ダ ー を 覚 え て お く こ と は 不 可 欠 で あ る. 非 常 に 大 き い 数 や 小 さ い 数 を表 す と き に,た だ し,紛
らわ し く,間 違 い の も と と な る.そ
く さ ん の 桁 を ズ ラ ズ ラ 書 くの は 面 倒
こ で,オ
か か っ て い る か を表 す 数)で 表 す と便 利 で あ る.例
ー ダ ー を10の
指 数(10が
何 回
え ば,5065632653と257658998
と は 大 き さが ど の く らい 違 う か は 瞬 間 的 に は わ か ら な い が,5.065632653×109と 2.57658998×108と
書 か れ て い れ ば,大
ざ っ ぱ に前 者 は 後 者 の20倍
大 きい とい う
こ とが た ち ど こ ろ に わ か る. てい
10進 法 を 日常 用 い る 我 々 に と っ て,10を る.さ
ら に 超 音 波 の 周 波 数 とか,可
も と(底)に
た もの に は,指 数 部 分 と基 本 単 位 を 一 緒 に し たMHz(メ ノ メ ー トル)と い っ た 単 位 を使 う と便 利 で あ る.メ す 記 号 を 表2.1に
し た 指 数 は 非 常 に便 利 で あ
視 光 線 の 波 長 な どの よ う に,オ
ー ダーが 決 まっ
ガ ヘ ル ツ29))と か,nm(ナ
ガ や ナ ノ と い っ た10の
指 数 を表
あ げ る.
表2.110の
指 数 と は 便 利 な 道 具 な の だ が,105は
指 数 を 表 す 記号
何 桁 の 数 か,と い う よ う な こ とが わ か っ て い
な い 人 は そ の 便 利 さ を 享 受 す る こ とが で き な い.結
構,105を5桁
の 数 と思 っ て い
る 人 は 多 い よ う だ.1(1桁)は100,10(2桁)は101,100(3桁)は10×10=102, 1000(4桁)は10×10×10=103と に0が5個 10n-1≦n桁 課題
考 え て い く と,105は6桁
付 い て い る)で あ る こ とが わ か る.一 の 数<10nと
同様 に小 数 点 以 下 第n位
解 説10-n≦
般 に,nを1以
な る.
小 数 点 以 下 第n位
の数 字 を表 してみ よ. の 数<10-(n-1)で
指 数 の 話 が 出 て き た と こ ろ で,指
あ る.
数 法 則 の 復 習 を し て お こ う.amは
の 数(1の
後 ろ
上 の 整 数 と し て,
の 意 味 で あ る.こ
れ よ り,
と な る.ま
た,
で あ る.こ
れ と 同 様 に 考 え て 一 般 に,
と な る.ま
た,
と な る.ま
た,
で あ る.指
数 法 則 を改 め て ま とめ る と
(1)aman=am+n (2)am/an=am-n (3)(am)n=amn (4)(ab)n=anbn と な る.こ
こ で,m,n,m-nは
こ れ が 一 般 に0や
暗 黙 の う ち に 自 然 数(1以
負 の 数 を 含 む 整 数 だ っ た ら ど うか.さ
上 の 整 数)と 仮 定 した .
ら に,整
数 以外 の一般 の実
数 な ら ど う か.結
論 か らい う と,こ
くの で あ る が,実
数 の 連 続 性 な ど が 絡 ん で 難 しい お 話 に な る30).と
の 指 数 法 則 が 成 り立 つ よ う に 指 数 を 拡 張 し て い り あ えず,a0が
い くつ に な る か だ け 考 え て お こ う.指 数 法 則 よ りam/am=am-m=a0と am/amは,あ
る 数 を 自分 自 身 で 割 っ て い る の で,当 然1に
と 定 め れ ば 指 数 法 則 が 乱 さ れ ず に す む.と
ま あ,こ
な るが ,
な る.こ
れ よ り,a0=1
ん な 感 じ で 指 数 の 拡 張 を行 っ て
い くの で あ る. 課 題163/4は
い くつ に な る か.
解 説163/4は
指 数 法 則 に よ っ て(161/4)3と
よ り(161/4)4=164/4=161=16と こ の よ う な 数 に は2と-2が は(161/4)3=23=8と n乗
な る.と
な る.つ
こ ろ で161/4を4乗
ま り,161/4は4乗
あ る31)が,161/4は2の な る.一
般 にnを
す る と,指
す る と16に
方 を 表 す こ と に な っ て い る .結
正 の 整 数 と す る と き ,n乗
し てaに
数 法則 に
な る 数 で あ る. 局,163/4
な る 数 をaの
根 と い う32).
次 に オ ー ダ ー を 素 早 く見 積 も る 練 習 を し て み よ う.例
と し て,0.1mmの
紙 を100
回 折 っ た と き の 厚 さ を見 積 も っ て み る.1回
折 る と倍 の0.2mm,2回
目で そ の倍
の0.4mm,3回
目 で そ の 倍 の1.6mm,…
とい う具合
に 倍,倍,倍
目 で そ の 倍 の0.8mm,4回 と増 え て い く.100回
折 る と,厚
さ は2×2×
…
×2 =2100倍
とな
100個
る.す か?そ
な わ ち 全 体 の 厚 さ は0.1×2100mmで れ と も1mく
あ る.こ
ら い に な る の だ ろ う か?2の
れ は,10cmく
22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256 210=1024=1.024×103と
な る.す
らい だ ろ う
累 乗 を 計 算 し て み よ う.21=2 ,29=512,
る と 求 め る 厚 さ は,
,
と な る.最
後 の と こ ろ で1.024
1と し て,(1.024)10
高 め る た め に は,(1.024)10=(1+0.024)10 そ1.24×1026mと 地 球7周
す れ ば よ い33).光
1と
した.も
1+10×0.024=1.24を は1秒
間 に お よ そ30万kmを
っ と近似 を 使 っ てお よ
進 む.ざ
っ と
り半 の 距 離 で あ る.30万km=30×104km=3×10×104×103m=
3×101+4+3m=3×108mで と に な る.で
あ る.1026mは
は,1026mと
こ の距 離 よ り もは る か に長 い こ
い う 距 離 を 光 が 進 む の に 何 年 か か る だ ろ う か.ま
ず,
光 が1年 間 に進 む 距 離(1光 年34))の オ ー ダ ー を 計 算 して み よ う.一 年 は365日, 一 日 は24時 間 ,1時 間 は3600秒 で,光 速 は3×108m/sで あ る か ら,計 算 式 は 3×108[m/s]×3600[s/h]×24[h/day]×365[day/year]×1[year]と を 先 ほ ど と同 じ よ う に計 算 して も らい た い.単 数 値 部 分 は,オ 10と
位 はmに
な る.こ
な る こ とが す ぐ に わ か る.
ー ダ ー だ け 考 え れ ば い い の だ か ら,3×3.6と
し て し ま え ば よ い.あ
っ と い う 間 に,光 が1年
す な わ ち1013km(10兆km)で せ て 考 え る と,紙
折 る と100億
か2.4×3.65と
かは
間 に 進 む 距 離 は お よ そ1016m,
あ る こ とが 計 算 で き よ う.先
を100回
れ
ほ ど の 計 算 結 果 と合 わ
光 年 の 厚 さ に な っ て し ま う の で あ る.力
自慢 の 人 は 挑 戦 し て み よ う(ど の く ら い の 面 積 の 紙 が 必 要 か も考 え て み よ う). 課 題 地 球 か ら月 まで の距 離 を光 は1.3秒 ほ どで 進 んで し ま う.同 じ距 離 を時速4kmで み な く歩 くと何 年 間 かか るか.オ ー ダ ーの み 素 早 く計 算 せ よ. 解説
光 速 は3.0×108m/s,1年
が,指
数 を う ま く使 っ て ほ しい.ま
は365日,1日 た,オ
は24時
休
間 で あ る こ とを用 い れ ば よい のだ
ー ダ ー の み 計 算 す れ ば い い の だ か ら,思
い切 った
近 似 を し よ う.
で あ る.分
子 の3・1.3と
見 な せ ば よ い.答 れ る).
分 子 の3.65は
え は お よ そ10年
ほ ぼ 等 し い と見 な せ ば よ い.分
母 の2.4・4は10と
と求 め ら れ る(丁 寧 に 計 算 す れ ば お よ そ11.1年
と求 め ら
2.4誤
差 と有 効 数 字
2.4.1有
効 数字 の話
測 定 値 が あ る不 確 か さ を持 っ て い る 以 上,む や み に 数 字 を何 桁 も並 べ て も意 味 が な く,測 定 の 精 度 に 応 じ て 有 限 個 の 数 字 で 示 す べ きで あ る.位 て,確
取 り に 用 い る0を
除い
か ら し さ を 考 え て 並 べ ら れ た 数 字 を 有 効 数 字(significantfigure,significant
digit)と
い う.最
後 か ら2桁
目 の 数 字 ま で は信 頼 で き,最
後 の桁 の数 字 が不 確 か さ
を持 つ よ う に す る の が 普 通 で あ る35). よ く見 ら れ る 間 違 い は,小
数 点 以 下 何 桁 ま で 示 され て い る か を も っ て有 効 数 字 何
桁 とす る もの で あ る.15.4cmも0.154mも0.000154kmも154mmも 字3桁
で あ る.そ
こ と に な る36).こ
れ に 対 し,例 え ば0.1540mは
に よ っ て,オ
効数
で,精 度 は 一 桁 上 が る
れ を は っ き り示 す た め に,有 効 数 字 が3桁
1.54×10-1m,1.54×10-4km,1.54×102mmと
字4桁
皆,有
有 効 数 字4桁
の場 合 は1.54×10cm,
書 く こ と が 多 い(こ
う書 く こ と
ー ダ ー が は っ き りす る と い う利 点 も あ る).1.540×10-1mは
有 効数
で あ る.
補足
整 数 に は 暗 黙 の う ち に “厳 密 数 ” と い う 意 味 が 含 ま れ る こ と が あ る.そ
め,“15400” 字 は3桁
と い う 数 字 は,「 最 後 の 二 つ の0は
で あ る(15350以
後 の 二 つ の0は
上15450未
上5.5未
い う数 値 で あ る(敢
満 の 数)で
お,例
のた 効数
で あ り,最
上15400.5未
え て 書 け ば15400.000…)」
満 とも
者 を 区 別 す る た め に は1.54×104,1.5400×104,15400と
を 徹 底 させ れ ば よ い.な (4.5以
満 の 数)」 と も 「有 効 数 字 は5桁
単 に 位 取 り を表 し て い る だ け で は な い(15399.5以
の 数)」 と も 「厳 密 に15400と と れ る37).三
桁 を 表 す だ け に 用 い て あ り,有
い う表 記
え ば “5”と い う数 が 厳 密 数 で な く有 効 数 字1桁
の数
あ る と い う こ と を 強 調 し た い と き に は “5.”と表 記 す る こ
と が あ る(“5.0” だ と有 効 数 字2桁
に な っ て し ま う)38).
以 上 の話 は測定 精 度 を記 述 す る上 で の形 式 に関す る もの で あ るが,実 際 に誤 差 の 程 度 を見 積 もる の は困 難 な場 合 が多 い.有 効 数字 や誤 差 の取 り扱 い に関 して は もっ と詳 し く述べ るべ きで あ ろ うが,本 書 の レベ ル を超 え るた め割 愛 す る.と は い え, で ん ぱ
足 し算 と引 き算 に よ り絶対 誤 差 が伝 播 し,掛 け算 と割 り算 にお い て は相対 誤 差 が伝 播 す る くらい の こ とは証 明抜 きで も知 っ てお い た方 が よい.こ の こ とは次 の よ う に 直 感 的 に理 解 で きる. あ る 二 つ の 量 を測 定 した と こ ろ,そ れ ぞ れ がa± εaa=(1± (1± εb)bと 得 ら れ た と し よ う39).こ 差 を表 し,εaa,εbbは
こ で,εa,εbは
εbb=
それ ぞ れの量 の相対 誤
そ れ ぞ れ の 量 の 絶 対 誤 差 を表 す.こ
足 し合 わ せ る と,全 体 は,a+b±
εa)aとb±
εaa± εbbと な る.εaaも
れ ら二 つ の 量 を εbbも 誤 差 の 程
度 を表 して お り,±
記 号 の 順 序 は 保 険 の た め 誤 差 が な る べ く大 き く な る よ
う に と る こ と に し よ う.す ら│εaa│+│εbb│の
と見 る こ と が で き る.同 ら│εaa│+│εbb│の
る と,足
し算 に よ る 誤 差 は-(│εaa│+│εbb│)か
範 囲 と な る40).こ
れ は 絶 対 誤 差 が 足 し算 に よ り伝 播 し た
様 に 引 き算 に お い て も誤 差 は-(│εaa│+│εbb│)か
範 囲 と な る こ と が す ぐ に わ か る だ ろ う.つ
に お い て も絶 対 誤 差 が 伝 播 す る こ と に な る.次 二 つ の 量 を 掛 け 合 わ せ る と,(1± と な る.こ
き算
に 掛 け 算 に つ い て考 え よ う.
εa)a・(1± εb)b=(1±
εa± εb± εaεb)ab
こ で も,± 記 号 の 順 序 は 誤 差 が な る べ く大 き く な る よ う に と る.
εaεbの 部 分 は,微
小 量 同 士 の 積 で あ り,非 常 に 小 さ い と考 え られ る の で 主
要 な 誤 差 で は な い.結
局,掛
け 算 に お い て は 相 対 誤 差 が-(│εa│+│εb│)か
ら│εa│+│εb│の 範 囲 と な る41).こ
れ は,掛
す る と見 なせ る こ と を 示 して い る.割 量 の と き1/(1± う に,相
ま り,引
け算 にお いて は相 対 誤差 が伝 播
り算 に お い て も,一 般 に,α
が微 小
α) 1 α で あ る42)こ と を使 え ば掛 け 算 の 場 合 と 同 じ よ
対 誤 差 が-(│εa│+│εb│)か
ら│εa│+│εb│の
範 囲 と な り,相
対誤 差
が 伝 播 す る こ とが わ か る. 以 上 の 説 明 は 多 少 不 正 確 な と こ ろ,あ 分 で あ ろ う.さ
ら に 詳 し く は,例
い ま い な と こ ろ が あ る が,当
えば 『 基 礎 実 験II』(東
面 の と ころ は十
京 大 学 出 版 会)な ど を参 照
し て も ら い た い. 課 題 有 効 数字 の桁 数 が 異 な る数 同士 を足 した り,引 い た り,掛 け た り,割 った り した 場 合 の有 効 数 字 の扱 い方 につ い て考 え よ.例 え ば,1967.1125と11.25と の和,差,積,商 を有 効 数 字 を考慮 して求 め よ. 解説
和,差
し,11.25の
で は 絶 対 誤 差 が 伝 播 す る.1967.1125の 絶 対 誤 差 は0.01程
度 で あ る.後
誤 差 は後 者 の 絶 対 誤 差 が 支 配 す る.有 あ る.積
1.749×102と
2.4.2実
効 数 字 を 考 え た 和,差
と 商 に 関 し て は 相 対 誤 差 が 伝 播 す る.有
11.25は4桁
で あ る.両
者 の 積,商
絶 対 誤 差 は0.0001程
度 で あ る の に対
者 の 誤 差 は 前 者 に 比 べ て 大 き い の で,和,差 効 数 字 の 桁 数 は1967.1125は8桁
の 有 効 数 字 の 桁 数 は4桁
と な り,そ
な る.
験 誤 差 の 生 じ る原 因
さて,測 定 に伴 う誤 差 が生 じる原 因は 大雑 把 に言 っ て, (1)測 定 原 理 の不 完全 さ に よる もの (2)測 定 装 置 の不 完全 さ に よる もの (3)測 定 環境,測 定 条 件 の 変動 に よる もの
の
は そ れ ぞ れ1978.36,1955.86で で あ り,
れ ぞ れ2.213×104,
(4)測 定 者 の技 術 に よる もの に分 類 で き よ う.授
業 と して 行 わ れ る 学 生 実 験 な ど に お い て は,と
に か く与 え られ
た こ と を こ な す こ とが 目 的 と な る の で,(2),(3),(4)の
項 目 に 注 意 は 行 っ て も,(1)
の 項 目 に は 気 が ま わ ら な い よ う で あ る.一
る 量 を測 定 す る と い っ て も,
般 的 に,あ
そ の 量 が 直 接 的 に測 られ る こ と は ま れ で あ る.例 温 度 計 は,温
え ば 温 度 を 測 る た め に用 い られ る
度 と い う 量 と ア ル コ ー ル な い し水 銀 の 体 積 と を 対 応 付 け て,間
接的に
温 度 を 測 定 す る.ば
ね ば か り も 力 とい う量 を バ ネ の 長 さ変 化 に対 応 付 け て 測 定 して
い る わ け で あ る.も
し,こ の よ う な対 応 付 け を支 え る原 理 が 誤 っ て い た り不 完 全 で
あ っ た りす る と,装
置 に 大 金 を 投 じ て そ の よ う な “対 応 量 ” を い く ら正 確 に 測 定 で
き る よ う に な っ て も,ま
た,測
定 条 件 に い く ら心 を 砕 い て も,ま
た再現 性 の チ ェ ッ
ク の 結 果 が 非 常 に 良 好 だ と して も,結 局 目 的 とす る 量 は 正 確 に は 測 れ な い こ と に な る.そ
の よ う な例 と して,体 脂 肪 率 を体 重(身 体 質 量)と 身 体 体 積 の み か ら推 定 す る
方 法 を 以 下 に あ げ る43). 話 を 簡 単 に す る た め,身 0.9g/cm3,そ
体 は 密 度 の 異 な る 三 つ の 成 分―― 骨:1.25g/cm3,脂
の ほ か の 組 織(筋 組 織 な ど):1.05g/cm3――
肪:
か ら な る と考 え る.も
ち
ろ ん,本 当 は も っ とい ろ い ろ な 成 分 が あ る し,ま た,こ れ らの 密 度 は 正 しい 値 で は な い(計 算 の 都 合 で き り の い い 数 値 を選 ん だ)が ,そ な 考 え 方)に は ま っ た く影 響 し な い44).今
れ ら は 以 下 の 議 論 の 本 質(根 本 的
は 体 脂 肪 量 に興 味 が あ る の で,脂
の 組 織 の 密 度 は 平 均 し て考 え て,1.1g/cm3と
肪 以外
す る(こ の 仮 定 に基 づ く計 算 法 を 本 節
で は “2成 分 法 ” と よ ぶ こ と に し,三 つ の 成 分 を 分 離 して 計 算 す る 方 法 を “3成 分 法 ” と呼 ぶ こ と にす る).こ
の 数 値 は,骨 体 積 をVb,骨
し た と き,Vb:Vr=1:3と を0.9g/cm3,そ (100kgw),体
以 外 の 非 脂 肪 組 織 の 体 積 をVrと
した こ と に 相 当 す る(確 か め よ) .さ
れ 以 外 の 組 織 の 密 度 を1.1g/cm3と 積 が95000cm3の
る 割 合)は,20.25%と
人 は45),体
計 算 さ れ る.し
て,体
脂 肪 の 密度
す る と ,例 え ば 体 重 が100kg
脂 肪 率(体 脂 肪 の 総 重 量 の 体 重 に対 す
か し,考
え て も ら い た い .こ の 値 は 骨 と骨 以
外 の 非 脂 肪 組 織 の 体 積 比 がVb:Vr=1:3,す
な わ ちVr/Vb=3で
しか 正 し くな い 数 値 で あ る.Vr/Vb=3は,人
の体 組 成 の平 均 値 と して は正 しいか
も し れ な い.し
か し,同
じ程 度 の 骨 格 を 持 つ 人 で も,筋
量 は トレ ー ニ ン グ を 十 分 に
つ ん だ 人 と 運 動 な ん か した こ とが な い と い う 人 と で は2∼3倍 す る と,Vr/Vbの て,改
値 は 人 に よ っ て2∼4く
め て 体 重 が100kg,体
ろ 変 え て 求 め た の が 図2.1で 20.25%は,下
積 が95000cm3の あ る.身
異 な る こ とが あ る .
らい の 幅 を 持 つ か も知 れ な い .こ 人 の体 脂 肪 率 をVr/Vbの
体 組 成 を2成
手 を す る と相 対 誤 差 が10%か
あ る 人 に対 し て
ら20%に
う考 え
値 をい ろい
分 に還 元 して 計 算 した 体 脂 肪 率 な っ て し ま う こ とが わ か る .
図2.1体 重 が100kg,体 積 が95000cm3の 人 の体 脂 肪 率 とVr/Vbの 関 係.図 の よ う に実 際 の 体 脂 肪 率 が 変 化 して も,2成 分 法 を用 い る と体 脂 肪 率 は一 定 値(20.25%)と 計 算 され て し ま う こ とが あ る.
図2.2骨
体 積(Vb)18000cm3,脂
肪 体 積22500cm3は
一 定 と し,そ の ほ か の 組 織 の 体 積
(Vr)を い ろ い ろ と変 え た場 合 の体 脂 肪 率 とVr/Vbの 関係.太 線 は 身体 組 成 を2成 た 場 合 の 計 算 値 を表 し,細 線 は3成 分 で 計 算 した もの で あ る.
見 方 を 変 え て,骨
体 積18000cm3,脂
肪 体 積22500cm3は
一 定 と し,そ の ほ か の
組 織 の 体 積 を い ろ い ろ と変 え た 場 合(今 度 は 体 重 は 一 定 で な い),そ
の体 脂肪 率 は ど
う な る か を グ ラ フ に した の が 図2.2で
あ る.図
し た 場 合 の 計 算 値 を 表 し,細
分 で 計 算 した も の で あ る.図2.2か
よ う に,2成
肪 体 積22500cm3で,筋
ヨ プ ヨ君(体 重90kg)が
総 量,お
線 は 身体 組 成 を2成
分 に還 元 らわ か る
分 に 還 元 す る方 法 で は 次 の よ う な こ と が 起 こ り得 る.
骨 体 積18000cm3,脂
た.そ
線 は3成
中,太
分 に還 元 し
れ か ら10年
肉が ほ とん どつい て ない プ
体 脂 肪 率 を 測 っ て も ら っ た と こ ろ20%程
間,プ
度 であ っ
ヨ プ ヨ君 は ト レ ー ニ ン グ を つ ん だ 結 果,脂
よ び 骨 体 積 は 変 化 しな か っ た が,筋
ム キ 君 に 変 化 して い た(体 重109kg).も
肉 が め ち ゃ くち ゃ つ い た ム キ
ち ろん ムキ ム キ君 自身 は脂肪 量 が
ど う な っ た か と か 筋 肉 が ど れ だ け 増 え た か は わ か ら な い の で,再 率 を 測 定 して も ら っ た と こ ろ,10年
肪の
前 か ら若 干 増 え て い た.そ
び体 脂 肪 し て,あ
り
が た い 講 評 を 受 け た.「 体 重 が19kg増
え た け ど,脂 肪 が そ の う ち20%を
占 め て い る ね.」
3成 分 で正 し く計算 す れ ば,こ の 人 はプ ヨプ ヨ君 時代 には体脂 肪率 は22.5%で たの に対 し,ム キム キ君 とな った今 で は体脂 肪 率 は18.6%で に して2割 程 度 減少 して い た ので あ る.2割
あっ
あ る こ とが わか る.率
の変 化 とい うの は決 して少 な くは ない
と思 うの だ が,そ れ が検 出 で きない場 合 が あ る とい う こ とだ. さて,2成
分 に還 元 した方 法 の まず い 点 は どこ にあ る のだ ろ うか.そ れ は もちろ
ん,未 知 数が3個
の もの を計 算 す る ため に は(独 立 な)方 程 式 が三 つ必 要 で あ るが,
そ の うち二 つ の方 程 式 は実 際 測定 してい る体重 と全 体 積 か ら導 い てい るの に対 し, 残 り一 つ の方程 式 を統 計 的平 均 値 に基 づ いて 立 てて い る点 にあ る46).こ れ は 身長 だ け を測 って体 重 を推 定 す る の と本 質的 に まっ た く変 わ らな い.密 度 を も とに した体 脂 肪 推定 法 に は,何 らか の方 法 で も う一本 独立 な方程 式 を立 て なけ れ ばい けな い47). この問題 に比べ れ ば,体 積 を測 るため に用 い る水 の密度 は温度 に よって変 化 す る(そ ん な の は微 々 た る量 だ),と か,非 脂 肪 成 分 の密 度 は1.1で な く1.08を 採 用 すべ き だ,と か,水 以外 で体 積 を測 る方 法 は ないか,と い った 問題 は二 義 的 な意味 しか持 た な い(た と えそ れ らの こ とが計 算 値 に大 きな影 響 を及 ぼ そ う と も).い ず れ にせ よ, 測 定原 理 を見 直 さな い限 り,「身体組 成 を調 べ る ため の計 算式 が,被 験 者 の 身体組 成 が変 化 す る こ とに よ り使 え な くな る」 とい う 自己矛 盾 は な くな らない の で あ る.以 上 の よ うな こ とを知 らな いで,ウ エ ー ト トレー ニ ン グに よ り体 脂 肪 量 や体 脂肪 率 が どう なる か を,身 体組 成 を2成 分 に還 元 した体 脂 肪 率推 定 法 を用 いて検 討 して は な らない48).な お,現 在 よ く行 わ れ てい る体 組成 の評価 法 をま とめ た参 考 図書 と して 『身体 組 成 の科 学 』(小 宮 秀一 著,不 昧堂 出版)を あ げ てお く. 課題
図2.1,図2.2を
自 分 で 描 い て み よ.
解 説 物体 が い くつ か の成 分 か ら な り,各 成 分 の密 度 と体積 が与 え られ た と き,物 体 の 全 質 量 に対 す る あ る一 つ の 成分 の質 量 の 割 合 を求 め る問 題 で あ る.計 算 式 を解 説 す る必 要 は特 に ない だ ろ う. 補 足 測 定精 度 を向 上 させ るた め に は一般 的 に言 って か な りの努 力(と 出費)が 必 要 だ.測 定 の 目的 と,そ れ に必 要 な 測 定精 度 を考 慮 した上 で,精 度 向 上 に どれ だ け努 力 をす るか 決 め る のが よか ろ う.あ る い は逆 に,測 定 デ ー タが 得 られ た と き,測 定 精 度 を考 えて もの を言 う よ う に しな くて はい けな い.も ち ろ ん,推 論 とは デ ー タ に の み直 接 基 づ く必 要 は ない の で,実 験 デ ー タが 語 る こ と以 上 の こ と を議論 す るの は か ま わ ない.し か しそ の場 合 で も,ど こ まで が デ ー タ で確 か め られ,そ れ以 外 の こ とは どの よ うな根 拠 に基 づ い て い る のか を は っ き りさせ な くて は い け な い .そ の た め に も,測 定装 置(や 測 定原 理)は 完 全 な ブ ラ ックボ ック ス で あ って は な らな い.
2.5実
験 デ ― タ の 取 り扱 い に つ い て
2.5.1難
問
突 然 だ が 難 問 を や っ て も ら お う.こ ろ い ろ な量 を 測 定 し た.そ
こ に6人
の 兄 弟 が い る.こ
君 は い ろ い ろ な量 の 組 み 合 わ せ を調 べ た と こ ろ,表2.2のaと
の 量 を 選 び 出 す た め に は 相 当 の 洞 察 力 が 必 要 だ.K君
い う量 とPと
解説 こ れ は,は い か ら で あ る.し
い う量
々 な 量 の 中 か ら特 定
の 苦 労 は並 大 抵 で は な か っ た
ん な こ と は 今 は 考 え な い で お こ う.
表2.2あ
課 題aと
に関 してい
い う量 とPと
の 関 係 に 興 味 を 持 っ た(三 男 の 値 を 用 い て 規 格 化 して あ る).様
と 思 わ れ る が,そ
の6人
れ ら の 量 の 間 に何 か 関 係 が あ る の で は な い か と思 っ たK
る 二 つ の 量 の 関 係(1)
い う量 の 間 に は どん な関係 が あ るか 考 え よ.
っ き り 言 っ て 難 問 で あ る.デ ー タ に 関 す る 予 備 知 識 が 何 も与 え ら れ て い な か し,デ ー タ解 析 ソ フ トの 普 及 に よ り,闇 雲 に で も,何 らかの 処 理 を行 う
こ と は 可 能 で あ ろ う.ま
あ,パ
ソ コ ン を使 い な れ る た め の ウ ォ ー ミ ン グ ア ッ プ と して,い
い ろ な こ と を 試 し て も ら い た い.そ
の あ と,2.5.2項,2.5.3項
ろ
を読 んで い た だ け れ ば得 る も
の が 多 い こ と と思 う.
2.5.2あ
りが ち な こ と
科 学 に お い て は 法 則 の 発 見,適
用 が 大 切 で あ る が,あ
を法 則(「 こ う い うモ ノ だ 」 と い う 主 張,な
い し仮 説,仮
る 意 味 で は,す 定,証
べ て の現 象
明 抜 きで 認 め て し ま
お う とい う も の)だ と い う こ とが で き る. リ ン ゴが 落 ち る,本
が 落 ち る,消
日 間 で 一 周 す る,地
球 が 太 陽 の 周 り を 約365日
し ゴ ム が 落 ち る,月
が 地 球 の 周 りを 約27
で 一周 す る …
しか し,科 学 者 は そ れぞ れ の現 象 をよ り根 元 的 な法 則 で説 明 で きるの で は ない か と や か ら
い う期 待(幻 想?)を
抱 く 輩 で あ る49).彼
らは そ の よ う な 法 則 を得 る 手 段 と して,
複 雑 怪 奇 な 自然 現 象 か らあ る 要 素 を抽 出 し,実 験 と推 論 を繰 り返 す と い う方 法 を 確 立 し て い っ た50).だ
が,こ
こ で 考 え な け れ ば な ら な い こ とが あ る.実
験 に よ り得 ら
れ た 結 果 は 一 つ の 事 実 で あ る.し
か し,そ
法 則 は 必 ず し も真 理 と は い え な い.そ で き る が,こ
こ か ら人 間 が(帰 納 的 に51))読 み 取 っ た
の 例 は 科 学 史 上 い く ら で も例 を挙 げ る こ とが
こで は 一 つ の た と え 話 を す る こ と に し よ う.
夏 休 み の 自 由研 究 で,A君
は 「物 を投 げ る と き の 条 件 を 変 え る と,飛
が どの よ う に 変 わ る か 」 と い う こ と を テ ー マ に選 び,初 速v0一 の 条 件 で,投 た.先
射 角 θ と飛 距 離lと
の 関 係 を調 べ,表2.3の
距離
定(10m/s)
よ う な 結 果 を得
程 も述 べ た よ う に,こ れ ら一 試 行 一 試 行 を皆 “ 法 則 ”とい う こ ともで
表2.3実
験結 果
つ たな
き よ うが,そ
れ で は あ ま り に も 拙 い し,発 展 性 もな い.こ
普 通 は 結 果 を グ ラ フ化 し て み る.グ る こ とが 多 い か らで あ る.測 あ る.傾
う い う と き は,
ラ フ 化 に よ り何 ら か の傾 向 が 見 え て く
定 さ れ た デ ー タ を プ ロ ッ ト した の が 図2.3で
向 が 見 え て く る と(傾 向 が 見 え な く て も),何
か数 式 で 回帰 した く とつ
な る の が 人 情 で あ る.A君
曰 く,「 こ の 場 合 は,上
に 凸 の 曲 線 だ か ら,2次
式 で フ ィ ッ テ ィ ン グ(曲 線 の 当 て は め)し て や れ ば よ い だ ろ う.そ 重 力 下 の 運 動 は2次
う に な か な か う ま くい く.A君
曰 く,「 よ し,う
l=-0.00507θ2+0.455θ-0.241か.次 して,v0軸,θ
うい え ば
式 に な る と 聞 い た こ と が あ る ぞ.」 結 果 は 図2.4の
軸,l軸
帰式 は
は 初 速 度 も変 化 させ て や ろ う.そ
を と っ て,3次
図2.3実
ま く い っ た ぞ.回
よ
元 プ ロ ッ トを して や ろ う … 」
験 デ ー タの プ ロ ッ ト
図2.42次
式 に よ る 回帰
筆 者 が こ の 自 由研 究 を 採 点 す る こ と に な っ た ら,(A君 る.正
しい,正
し くな い に か か わ ら ず,自
が 感 じ ら れ る し,科 学 の 歴 史 自体,こ
が 中 学 生 な ら)高 得 点 を 与 え
然 現 象 を理 解 して や ろ う とい う意 気 込 み
の よ う な プ ロ セ ス を繰 り返 して(後 の 世 か ら
見 る と 間 違 い を 含 む こ とが あ っ て も)発 達 して き た か ら で あ る52).も の 自 由 研 究 に は 明 ら か に ま ず い と こ ろ は あ る.し の 差 は あ れ,科
か し,笑
ち ろ ん,A君
う な か れ.そ
れ は,程
度
学 に 携 わ る 者 す べ て が(本 質 的 に)抱 え て い る 問 題 点 だ か ら で あ る.
そ の 一 つ は フ ィ ッ テ ィ ン グ の 考 え 方 で あ る.フ
ィ ッテ ィ ン グ の 動 機 に は 大 ざ っ ぱ に
い っ て, (1)単
な る補 間,補
外 式 を求 め る
(2)仮
定 した モ デ ル か ら 理 論 曲 線 を導 出 し,実 験 デ ー タ と比 較 す る こ と に よ っ て,
モ デ ル の 妥 当 性 を 検 証 し た り,あ (3)新
る い は パ ラ メ ー タ を 決 定 した りす る
しい 法 則 の発 見 の 手 が か り と す る
と い う こ とが 挙 げ られ よ う.し
か し,パ
ソ コ ン の 発 達 に よ り,誰 で も気 軽 に フ ィ ッ
テ ィ ン グ(曲 線 の 当 て は め)が 行 え る よ う に な っ た こ とで,動 る の で は な い か と思 わ れ て な ら な い.あ
機 が軽 視 され て きてい
る ソ フ トウ ェ ア ー の 解 説 書53)に 次 の よ う な
文 章 が 載 っ て い た の で 紹 介 す る. 悲 しい か な,非
常 に 多 くの 曲 線 の 当 て は め が 十 分 な考 察 な し に 行 わ れ て い
る.こ
れ は 統 計 の 場 合 と 同 じだ.一
く.読
者 は,少
部 の 知 識 だ け に頼 る と大 き な 誤 解 を 招
な く と も大 学 の 統 計 処 理 の 講 義 を2つ
読 む く ら い して 十 分 力 を つ け る ま で は,Fit54)は よい.
こ な す か,本
を3冊
な る べ く使 わ な い ほ う が
A君 の実験 で は,力 学 的 考察 の も と,
(2.1) と実 験 デ ー タ を 比 較 す べ きで あ っ た(g:重 較 した も の が 図2.5で
あ る.先
い と感 じ る か も しれ な い.確
ほ どの2次
力 加 速 度).理
式 で の フ ィ ッ テ ィ ン グ と 比 べ て,大
か に そ う だ が,先
ば っ た りの 偶 然 の 産 物 で あ り,ま
論 式 と実 験 デ ー タ と を 比
ほ ど の2次
式 は,い
差 な
わ ば行 き当 た り
っ た く応 用 が き か な い こ と に 注 意 し よ う55).こ
こ に 「デ ー タ が あ る 式 で う ま く回 帰 で き た(あ る モ デ ル 式 を 使 っ て,残 フ ィ ッ テ ィ ン グ が で き た)か ら と い っ て,何
差 の小 さな
か が 解 決 し た と考 え る の は 正 し くな い
場 合 が あ る(相 関 関 係 と 因 果 関 係 は 違 う)」 とい う教 訓 が 得 られ る.
図2.5理
論 曲線 と実 験 デ ー タ との 比 較
補 足1相 関関係 とは簡 単 に言 え ば 「 一 方 が増 え た ら他 方 も増 え る」 とか,あ る い は 「一 方 が増 え た ら他 方 は 減 る」 とい った よ うに,単 に量 的 な 関係 に過 ぎ ない.そ れ に対 し,因 果 関係 とはそ の名 の 通 り “原 因 と結 果 の 関係 ”で あ る.例 え ば,あ る小 学 校 で,学 年 を 問 わず 同 一 の 学力 テス トを一 斉 に行 った と し よ う.そ の と きの 生徒 の成 績 と身長 の 間 に は正 の相 関 が見 られ る に違 い な い.学 年 が 上 が る ほ ど成 績 も よ けれ ば,身 長 も高 くな るか らで あ る.し か し,成 績 が 良 い こ とが原 因 で 身長 が 高 く な るわ け で は な い し,背 丈 が伸 び る こ とが 原 因 とな って 成 績 が 良 くな る わ けで も な い.因 果 関係 を調 べ る ため には,一 つ の 現 象 に お け る量 的 関係 を調 べ る だ けで は 駄 目 なの で あ る.で は,ど うす れ ば よい か.こ れ は非 常 に難 しい 問題 で あ る.も ち ろ ん,巧 み な対 照実 験 の 設 定 とか,既 に知 られ た法 則 を使 って の 推論 とか,適 切 な統 計 的 手 法 に基 づ くデ ー タ解析 な どい くつ か の 有効 な方 法 はあ るが,残 念 な こ と に一 般 的 な解 決法 は な い.経 験 を積 み,自 然 現 象 を見 る 目 を養 って い く しか ない で あ ろ う.な お 「AとBと の 間 に統計 的 な 因果 関係 が存 在 す る」 と は,簡 単 に言 えば 「A がBの 一 部 を説 明 す る た め の,あ るい はBが 起 きる確 率 を高 め る ため の 十 分 条 件 に な って い る こ と」 で あ る.
補 足2ス ポー ツの競 技 力 向 上 に(ス ポ ー ツ)科 学 が 役 立 つ とす る根拠 は,「∼ す れ ば … とな る」 とい う因果 関係 を 明 らか にす る こ とが で きれ ば,原 因 を変化 させ た と きの 結果 の変化 を予 想 す る こ とが で き,ま た逆 に,結 果 か らそれ まで気 付 か なか っ た 問題 点 を発 見 す る こ とが で きる よ う に な るだ ろ う とい う と ころ に あ る.し か し,こ の因 果 関係 とい う もの は(哲 学 的 な もの を抜 きに して も)な か なか くせ 者 で あ る.同 じ現 象 を見 て い て も,何 を結 果 と見 な し,何 を そ の原 因 とす る か は見 方 に よ り異 な る こ とが あ る.と きに は,結 果 と原 因 を入 れ 替 え る こ とが で きる場 合 さえ あ る.そ の よ う な場合 に は こ こで は触 れず,例 えば 陸 上競 技 の よ うに結 果 が 限 定 で きる場 合 のみ を考 え よ う.し か し,そ の場 合 で も立場 に よる原 因の と らえ方 の差 は存在 す る. 例 えば56),普 段 健 康 な人 が 慣れ な い寒 中水 泳 を して 風 邪 を ひい た と しよ う.こ の人 は,寒 中水 泳(あ るい は寒 さ)が 風 邪 の原 因で あ る とい う.し か し,医 学 者 は感 染 病 の 真 の 原 因 は細 菌 ない し ウ ィル スで あ る と主張 す る だろ う.実 際,無 菌状 態 に限 り な く近 い 南極 で は,凍 死 は して も風 邪 は ひ か な い とい う.だ が も し 「条件 が 同 じな らば結 果 は同 じ」,あ る い はそ の対 偶 を取 って,「違 った結 果 が生 じる な らば,条 件 が 違 った か らだ」 とい う意味 で原 因 と結 果 の 関係 を と らえ る な らば,「風 邪 を ひ い た」 とい う普段 と違 った 状 態 に 陥 っ た と き,普 段 した こ との な い寒 中水 泳 に原 因 を求 め るの は あ なが ち 間違 い で は な い.細 菌 や ウ ィル ス に は,日 常 生 活 で も接 して い るか ら 「 違 った 条件 」 に 数 え ない の で あ る.「 い や,そ れ は 間接 的 な原 因 で あ って,直 接 の 原 因 は ウ ィ ル スで あ る」 と依 然 主 張 す る 人 は い るだ ろ う.し か し,そ うい う人 も 「病気 は生 体 内 の化 学 反応 が 円滑 に い か な くな る ため で,化 学反 応 の 条件,さ らには 分 子,原 子 レベ ルの 話 に直 接 の原 因 を求 め な くて はい け な い」 と言 わ れ た ら 「う る さい,ご ち ゃ ごち ゃ言 うな」 と思 うの で はな か ろ うか.要 は “ 原 因”に は見 る人 に よ り選択 基 準 が あ る とい うこ と だ.こ の 選択 基 準 の 違 い は,例 え ば力 学 的 因果 関 係 に こだ わ る ス ポ ー ツバ イ オ メ カ ニ クス の研 究 者 と現 場 に携 わ る人 との 意志 の疎 通 を阻 害 す る 要 因 と な り得 る.た だ この 問 題 は,も し研 究 者 が 柔軟 か つ 論 理 的思 考 力 を持 ち 合 わせ て いれ ば,自 分が 強 調 す る力 学 レベ ルで の 因 果 関係 と,競 技 現 場 の人 が 持 つ経 験,コ ツ,勘,と い っ た もの との 関係 を 明 らか に し,そ れ ら を補 強 した り,と きに は迷 信 と して 排 除 した りす る こ とに よ り解 決 で きる ので は ない か と思 われ る. さ て,今,我
々 は た ま た ま力 学 法 則 を 知 っ て い た の で 式(2.1)を
と比 較 す る と い う 作 業 が で き た.こ 強 調 す る ま で も な か ろ う.し
の よ う に,知
た,い
つ も適 切 な モ デ ル を 最 初 か ら思 い
の よ う な と き は や む を得 ず,適
テ ィ ン グ を 行 う こ と に な る.そ す な わ ち,採
の 場 合 は,フ
当 な式 を 与 え て フ ィ ッ
ィ ッ テ ィ ン グ 後 の 考 察 が 大 切 と な る.
用 した 式 の 意 味 を 改 め て 考 え な くて は 発 展 に つ な が ら な い の で あ る.
そ の と き,数 式 の 意 味 を 考 え る 力 が 必 要 に な る.例 ま く行 きそ う だ っ た ら 「こ の 量 は,自 る の か も しれ な い58).す
る と,変
え ば,指
数 関数 で当 て はめ が う
分 自 身 の 大 き さ と,そ
の 変 化 率 が 比 例 して い
化 の 原 因 は … 」 と い っ た 具 合 で あ る.
デ ー タ処 理 に お い て 数 式 を 読 む 力 が 必 要 に な る別 の 例 を挙 げ て お こ う.今,振 の 周 期 を調 べ る た め,振 ま で の10個
ータ
か し,科 学 の 最 先 端 を行 か ん とす る 者 に と っ て は そ の
よ う な 既 存 の 知 識 が な い こ と が 多 い し,ま つ け る もの で もあ る ま い.そ
導 き57),デ
識 とい う ものが 重 要で あ る こ とは
り子
り子 が 右 に 最 も振 れ た(折 り返 しの)時 刻tを 記 録 し,t0∼t9
の 数 値 を得 た とす る.そ
れ を 数 直 線 上 に プ ロ ッ ト した の が 図2.6で
あ る.
図2.6振
り子 の 周 期 の 測 定 例
周 期 は,T1=t1-t0,T2=t2-t1,T3=t3-t2,…,T9=t9-t8と こ れ らが 皆 同 じ な ら ば 問 題 は な い.し め,図2.6の
測 定 さ れ る.
か し,実 際 の 測 定 値 は 測 定 に ま つ わ る誤 差 の た
よ う に一 定 に な ら な い 場 合 が ほ と ん どで あ ろ う .こ の よ う に,一 定 に な る
と考 え られ る も の の 測 定 値 が 一 定 に な ら な い 場 合,正
しい 量(今 の 場 合 は周 期)を 求 め
る(決 定 す る)た め,測 定 値 の 平 均 値 を と りた くな る の が 人 情 で あ るが,そ れ をす る と, (T1+T2+T3+…+T9)/9={(t1-t0)+(t2-t1)+(t3-t2)+…+(t9-t8)}/9= (t9-t0)/9と
な り,途
中 のt1∼t8は,ど
ん な に正 確 に測 定 し よ う が そ の 努 力 は 報
わ れ な い し,逆 に ど ん な に い い 加 減 に測 定 し て も結 果 に影 響 は な い.t9とt0の の み が ひ た す ら 効 い て くる の で あ る59).実
際 に は,t0∼t9の
誤差
す べ て の値 の測 定 に
は 同 程 度 の 努 力 が そ そ ぎ込 ま れ て い る(同 程 度 の 誤 差 を含 ん で い る)の で,こ
れ らす
べ て の 値 を生 か せ る 方 法 を考 え た 方 が よ い .そ の 方 法 は 難 し く は な い の だ が こ こ で は 触 れ な い.興
味 の あ る 人 は,例
れ る と よ い だ ろ う.上
えば 『 基 礎 実 験II』(東
京 大 学 出 版 会)を 参 考 に さ
の 振 り子 の 例 も 同 書 か ら と っ た もの で あ る.
補 足 デ ー タ処 理 で 平 均値 を考 え る意 味 を初 等 的 に考 えて お こ う.同 じ量 を何 回 か 測 定 した とす る.そ して,得 られ た 数値 は本 来 真 の値rを 持 って い るが,そ れ に 測 定 誤差 εiが乗 って測 定 され た とす る60)(iはi番 目の 試行 の量 を表 す とす る).つ ま り,実 際 に測 定 され る量 はRi=r+εiで あ る.こ れ を足 し合 わせ て 平均 を取 る と,
と な る.こ
こ で1/ nΣr=rは
真 の 値 で あ る61).そ
れ に 対 し,1/nΣ
εiは 誤 差 の 平
均 値 で あ る.こ こで,こ の誤 差 が系 統 誤 差 を含 まず に完 全 に ラ ン ダム な もの と しよ う.す る と,εiの 中 に は正 の もの もあ れ ば負 の もの もあ り,足 し合 わ せ て い っ て も あ ま り大 き くは な らな い.そ の た め,nが
十 分 に大 きい と1/ nΣ
εiとい う値 は ど ん
どん0に 近 づ い て い くの で あ る.こ れ が 測定 を多 数 回 繰 り返 して平 均 値 を取 る こ と の(直 感 的 な)理 由で あ る.こ れ 以 上 の こ と は統計 の本 で勉 強 して ほ しいが ,と にか く,ラ ン ダム誤 差 はサ ンプ ルが 多 け れ ば(相 対 的 に)取 り除 くこ とが で き,真 の値 を 精 度 よ く推定 で き る とい うこ と だ.し か し,εiが この よ うな性 質 を持 っ て い ない 場 合 は平均 を取 る と まず い こ とが 起 こるの で あ る.上 に挙 げ た振 り子 の例 で は,tnの
誤差 が 正 だ と,そ れ はTnに 対 して は正 の 誤差 とな り,Tn+1に 対 して は負 の誤 差 と して働 き,“ ラ ン ダム な誤 差 ” と して振 る舞 わ ない の で あ る.な お,も し振 り子 の1 周期 を独 立 に何 回 も測 定 した な らば 単純 に平 均 を とれ ば 良い. 話 が 長 く な っ た が,本 力 の 重 要 性 で あ る.そ
項 で 言 い た か っ た こ と は,知 し て,デ
識 の 重 要 性 と 数 式 を読 解 す る
ー タ を処 理 す る 際 に,無
反 省 に デ ー タ解 析 ソ フ トを
使 う の は 危 険 で あ る と い う こ と を繰 り返 し て お こ う.
2.5.3再
び難 問 につ い て
2.5.1項 の 課 題 を 読 者 は ど う 処 理 さ れ た ろ う か.こ 識 を 与 え な か っ た の で,正 と思 っ て よ い.そ た.回
の デ ー タ に 関 して は 一 切 予 備 知
解 に た ど り着 け た の な ら,自 分 の こ と を 相 当 の 実 力 者 だ
れ で も 「私 は 多 項 式 で き れ い に フ ィ ッ テ ィ ン グ を す る こ と が で き
帰 式 と デ ー タ と の 誤 差(残 差)は 非 常 に小 さい.こ
れ は,正
しい 関 係 式 を見 出
し た と い っ て も よ い の で は な い か.」 と い う人 は 多 い か も し れ な い.そ い.も
し,話 が こ の6人
さ て,こ 表2.2に
の 兄 弟 に なぜ か 新 た に3人
加 え た も の が 表2.4で
ら っ た 関 係(式)が
あ る.こ
の3人
のa,Pの
値 を調 べ,
の 新 し い デ ー タ に 関 し て も,先 の 関 係(式)は
の 関 係 式 は ま ず か っ た,と
表2.4あ
課題
の 弟 が で きた.こ
成 り立 つ の な ら,そ
り立 た な い の な ら,そ
れ はそ れで よ
の 兄 弟 だ け に 限 ら れ る の な ら ….
に考 えて も
正 しい 可 能 性 が 高 い.も
し成
い う こ と に な ろ う.
る二 つ の 量 の 関 係(2)
上 の こ と を確 か め よ.
正 しい と思 わ れ る 関 係 式 を 見 出 せ た 人 は す ご い.称 るべ き こ と は 残 っ て い る.な い け な い.し
ぜ,そ
賛 に 値 す る.し
か し,ま
だや
の よ う な 関 係 式 が 成 り立 つ の か を 考 え な くて は
か し,そ れ を考 え る た め に は情 報 が 不 足 しす ぎ て い る.と
い う わ け で,
ひ と ま ず こ の 難 問 か ら 離 れ る こ と に し よ う(本 課 題 の 解 説 は 本 書 全 体 を 通 して 行 わ れ る). 補 足 何 や ら思 わせ ぶ りで わ ざ と ら しい デ ー タで あ っ た.し か し,読 者 の 中 には こ の デ ー タが 何 の デ ー タか に気 づ い た 人 もあ ろ う.そ う,こ の兄 弟 の 名前 は水 星,金
星,地 球,火 星,木 星,土 星,天 王 星,海 王 星,冥 王 星 で あ り,aは 径,Pは
公転軌道長半
公転 周期 であ る.こ れ らの量 の 間 にあ る正 しい関係 を見 出 した の はケ プ ラー
(Kepler,1571-1630)と い う天 文 学者 で あ り62),1619年 の こ とで あ った63).当 時, 情報,と い うよ り知 識 が ま っ た く不 足 してお り,ケ プ ラー に よ り見 出 され たaとP の 関係―― ケ プ ラー の 第3法 則――の “なぜ ”を見 出す こ とは誰 もで きな か っ た.物 体 の運 動 の一 般 論 は ま った く存 在 して い なか っ た し,天 体 運 動 を規 定 す る “作用 ” も まっ た く知 られ て い な か った.こ の 二つ の困 難 を克服 し,ケ プ ラー の 遺 産 を正 し く 受 け継 ぐ者 が 現 れ る の を人 々 は待 ち望 ん だ.そ して 数十 年 の歳 月 が 流 れ て い っ たの で あ る.ロ ン ドンでペ ス トが 流行 し,通 っ てい た 大 学が 閉鎖 され た た め 田舎 に戻 っ て来 て い た二 十 歳 そ こそ こ の青 年 ニ ュー トン(Newton,1642-1727)が 密 か に この 難問 題 を一気 に解決 して しま っ た(1666年 頃).彼 は,当 時 の数 学 に欠 けて い た運 動 を扱 う方 法――微 分 法 と積 分 法――を 開発 し,当 時 誰 も思 い も よ らな か っ た 「 物体の 運動 量 の 変化 率 は加 え られ た外力 に等 しい」 とい う運 動 の法 則 を見 出 し,さ らに物 体 間 に距 離 の2乗 に反 比 例 し,質 量 に比 例 す る 力が 働 くと仮定 す る(万 有 引 力 の 法則) こ とに よ りケ プ ラ ーの 第3法 則 を説 明 して しま っ たの で あ る.さ ら に彼 は運 動 の 法 則 と万 有 引 力 の 法則 を用 い て,木 か ら落 ち る りん ご と地 球 の周 りを回 る 月 の運 動 を 統 一 的,定 量 的 に 理解 す る こ と に も成 功 した64)(こ の 問題 は11.4.3項 で 扱 う).さ らに十 数 年 後,こ れ らの法 則 を用 い て,惑 星 の 軌 道 は太 陽 を焦 点 とす る楕 円 と な る こ とまで ニ ュ ー トンは計 算 して し まっ た65).惑 星 の軌 道 が 楕 円 とな る こ とは,や は りケ プ ラー が観 測 デー タか ら発 見 して い た(ケ プ ラ ーの 第1法 則).し か し,な ぜ 楕 円 に な るか は,や は り誰 も示 す こ とはで き なか った の で あ る.今 や数 十年 来 の難 問 がつ い に解決 した!し か し,ニ ュー トンはそ の すべ ての 業 績 を引 き出 しに しまい 込 み,公 に しよ う とは しな か っ た.そ して,数 年 が 過 ぎたあ る 日,一 人 の若 者 が ニ ュー トン の も と を訪 れ た.こ の 運 命 の 出会 い が なけ れ ば物 理 学 の発 展 は百 年 は遅 れ た こ とで あ ろ う. つづ く
注 1)こ の 引用 は 『物 理 学 と は何 だ ろ う か』(朝 永 振 一 郎 著
,岩 波 新 書)に よる. と表 示 され て も不 明 確 さ は残 るが ,ま だ 許 せ る. 3)“ キ ロ グ ラ ム 重 ” を “重 量 キ ロ グ ラ ム” と呼 ぶ こ と もあ る .な お,記 号 で はkgw,ま た はkgfを 使 う.こ れ らはkilogram-weight,kilogram-forceの 略 で あ る.ド イ ツで は キ ロ ポ ン ド(Kilopond) と も呼 び,kpで 表 し た こ と もあ っ た.こ の ポ ン ドは 質 量 の 単位 の ポ ン ド(pound,記 号 はlb)と は 別 物 で あ る.ち なみ に1lb=0.45359237kgで あ る.な お,poundは 質量 の 単位 で な く,重 量 の 2)“何kgw”
単 位 と して使 わ れ る こ と も多 い(つ ま り,1lb=0.45359237kgw). 4)“ 重 力 ” と “万 有 引 力 ” を 同義 で 使 う こ と も多 い . 5)北 緯45° の 地 点 の 平 均 海 水 面 にお け る 重 力 加 速 度 の 値 は こ うだ と され て い た こ とが あ った
. 6)“量 ” とは基 本 的 に “数 値 × 単位 ”で あ る こ と を常 に意 識 して お い て ほ しい . 7)人 名 と して のNewtonは 当 然 大 文字 で始 め るが ,単 位 と して のnewtonは 普 通名 詞 扱 い で あ り,文 中 で は小 文 字 で始 め る.本 書 で は ほ か に も人 名 に ち な ん だ 単 位 が 多 く出 て く るが,こ の 点 に 関 し て は皆 同 じで あ る. 8)こ れ は フ ラ ン ス語 で あ る .英 語 で はInternationalSystemofUnitsと い う.
9)数 学 で い う “次 元 ”(直 線 が1次
元であ り ,平 面 は2次 本 量 との 関係 を表 す)と は 意味 が異 な る こ とに注 意.
元 で あ る,な
ど)と,こ
こ で い う “次 元 ”(基
10)“ 物 理 量=数
値 × 単位 ” で あ る .同 じ大 きさ の物 理 量 で あ って も単位 が異 な れ ば数 値 の 部 分 は 異 な る こ とに な る.例:1フ ィー ト=30.48セ ンチ メ ー トル=0.3048メ ー トル 11)そ の た め ,力 の 単 位 は どの 単 位 系 にお い て も “[長さの 単位]×[質 量 の 単 位]×[時 間 の 単位]-2” と 表 せ る こ とに な る. 12)歴 史 的 に見 れ ば こ の説 明 は む しろ逆 で ,具 体 的 に もの の量(個 数)を 表 す た め に “数 ”が 登 場 し,そ れ が 数 学 の 世界 で 抽 象 化 さ れ て い っ た. 13)も ち ろ ん ,こ れ は比 喩 的 な用 法,例 え ば “円 ”で “お金 ” を表 す よう な用 法 を否 定す る もの で は な い. 14)デ シメ ー トル とは0 .1mの こ と で あ る. 15)実 は キ ロ グ ラム 原 器 に も問 題 が な い わ け で は ない .た とえ ば,世 界 に一 つ しか存 在 しな い もの に頼 っ て 単位 を決 め る の は 危 険 で あ る し,原 器 の 質 量 が 変 化 す る可 能 性 もあ る.そ もそ も原 器 の 質 量 を測 定 し よ う と した 場 合,実 際 には 原 器 表 面 に吸 着 して い る気 体 分 子,そ の 他 を一 緒 に測 定 す る こ と に な る.こ の 量 は 測 定 環 境 に よ って 変 化 し得 るだ ろ う.ま た,極 々 わ ず か とは い え,原 器 に含 まれ て い る放 射 性原 子 の壊 変(周 囲 か らの 放 射線 に よ る原 子 の壊 変 も含 む)も 原 器 の 質量 を変 化 させ る原 因 とな る.キ ロ グ ラ ム の 定 義 は 近 い将 来 変更 さ れ,キ ロ グ ラ ム原 器 は その 役 目 を終 え るで あ ろ う. 16)つ ま り ,子 午 線 に沿 った 地 球4分 の1周 を1000万m,す なわ ち1万kmと 定 義 した とい うこ と. 17)こ の 速 さは誰 か ら見 た速 さで あ ろ うか .動 い て い る人 か ら見 た ら変 わ っ て しま う ので はな か ろ うか. 実 は い か な る速 度 で動 い て い る慣 性 系(第18章
参 照)か ら見 て も真 空 中 の 光速 は一 定 で あ る!こ の
事 実 は 物 理 学 に深 く根 ざ して い た 絶 対 静 止 の 観 念 を否 定 す る もの で あ り,ア イ ン シ ュ タ イ ンが 特 殊 相 対 性 理 論 を生 み 出 す 際 の 指 導 原 理 とな っ た. 18)地 球 は 球 で な く回 転 楕 円 体 で ,赤 道 まわ りの 周 囲 の 方 が 子 午 線 に沿 った 周 囲 よ り長 い.こ れ は 地 球 の 自転 に伴 う遠 心 力 の せ い で あ る とい う.こ の こ と はニ ュー トン に よ り予 想 され,フ ラ ンス の 探 検 隊 に よ って 最 初 に確 認 され た.楕 円 とい って もそ の 長 軸 と短 軸 の 長 さの 差 は図 示 で きな い.コ ンパ ス で 円 を描 け ば,そ の線 の太 さの 中 に 完 全 に 収 ま って し ま う程 度 だか らで あ る(短 軸 半 径 は長 軸 半 径 よ り も1/300ほ ど短 い). 19)1日 は60[秒/分]×60[分/時
間]×24[時
間/日]×1[日]=86400[秒]で
ある.
20)正 確 に は
,セ シ ウム133原 子 の基 底 状 態 にお け る超 微 細 構造 準 位(F=4,M=0お M=0の 間 の遷 移)に 対 応 す る 放 射. 21)物 体 の まわ りの 気 体 な どに よる 浮 力 は 無視 で きる とい う前 提 が必 要 .
よびF=3,
22)ば ね ば か りで測 定 され る重 量(物 体 に作 用 す る 重 力 の 大 きさ)は 変 化 す る.月 面 で の 物体 の重 量 は地 球 表 面 で の お よそ6分 の1と な る. 23)自 由落 下 運 動 で ,同 じ重 力 場 の も とで はい か な る物 体 も 同 じ加 速 度 を持 つ の は この 性 質 に よ る.こ の 点 に関 して はp.163の 補 足 参 照. 24)合 力 が ゼ ロ とい う こ と. 25)今 の 場 合 は速 度 もゼ ロ.水 に 対 して 動 い て い る と きは 速 度 に応 じた抵 抗 力 を水 か ら受 け る. 26)通 常 の 身 体 測 定 で ,体 重 計 の 目盛 り を 「65kg」 の よ うに読 む の はそ ん な に悪 くは な い.人 も体 重 計 も(あ る適 当 な)慣 性系(第18章 参 照)に 対 して静 止 して い る と見 な して よい条 件 で 大 抵 は 測定 が 行 わ れ る し,一 般 に 要求 され る精 度 で は 場所 に よ る重 力 加 速 度 の 差 を気 に す る必 要 は ない か らで あ る. 27)こ の 二 つ の 理 論 に よ り原 子 の 持 つ 放 射 能 の 謎 が 解 き明 か され る こ とに な る . 28)キ ュ リー 夫 妻 に は二 人 の娘 が お り,長 女 イ レ ー ヌ は母 の主 宰 す る ラ ジ ウ ム研 究 所 の 助 手 と して 働 い て い る と き,同 僚 の フ レ ドリ ッ ク ・ジ ョ リオ と結 婚 した.こ の夫 妻 も ま た共 同で 研 究 を行 い,二 人 の 人 工 放 射 性元 素 生 成 の業 績 に対 しノ ー ベ ル 賞 が 授 与 され た(1935年).夫 妻 はそ の 後,第 二 次 大 戦 に巻 き込 ま れ波 瀾 万 丈 の生 涯 を送 る こ とに な る が,イ レー ヌ は1956年,母 と同 様 に放 射 線 被 爆 に起 因 す る 白血 病 で58歳 で 亡 くな り,フ レ ドリ ック も1958年 に同 じ く58歳 の 生 涯 を閉 じた.彼 の 病 気 の 原 因 も放 射 能 障 害 で はな い か と され て い る. 29)Hz(ヘ ル ツ)は 周 波 数(振 動 数)の 単位 で ,1秒 間 あ た り何 回振 動 が起 こ っ た か を表 す. 30)さ ら に複 素 数 の 指 数 を考 え る こ と もあ る(8 .4節 参 照). 31)た だ し ,実 数 の 範 囲 で.複 素 数 まで 数 を拡 張 した 場 合 は,±2iも4乗 32)2乗 根 ,3乗 根 の こ とを 特 に 平 方根,立 方根 とい う こ と もあ る.
す る と16に
な る数 で あ る.
33)h≪1の
と き(1+h)α 1+αhで あ る .実 際 に計 算 す る と(1.024)10=1.267656… とな り, 1.24と の 相 対 誤 差 は2%程 度 で あ る.こ こで 使 った 近 似 法 はxα の1の まわ りの テ ー ラ ー展 開 で , 1次 の項 ま で とっ た もの で あ る.テ ー ラ ー展 開 に つ い て は8.3節 参 照. 34)光 年 は距 離 の単 位 で あ る.時 間の 単 位 で は ない こ と に注 意 す る こ と. 35)普 通 ,棒 の 長 さlの 測 定値 が1.54mで あ る とす る と1.535m≦l<1.545mと 解 釈 さ れ る が,真 の長 さ と現 実 の測 定 値 が 必 ず そ う い う 関係 に な っ て い る か どう か の保 証 は な い と ころ が ,誤 差 の 誤 差 た る所 以 で あ る. 36)有 効 数 字 が3桁 の場 合 ,相 対 的 な誤 差 範 囲 は1%程 度 で あ る.そ れ に対 して,有 効 数字 が4桁 の 場 合,相 対 的 な誤 差 範 囲 は0.1%程 度 で あ る,な お,有 効 数 字 に よ る暗 示 的 な誤 差 範 囲 の 表 し方 の ほ か に,154±3の よ う な直 接 的 な誤 差 範 囲 の 表 し方 もあ る. 37)場 合 に よ って は有 効 数 字4桁 の数(15395以 上15405未 満 の 数)と も とれ る . 38)同 様 に “15400 .”と表 記 す れ ば 有 効 数 字 は5桁 と な る. 39)普 通 ,“5±3” は “8ま た は2” を 意味 す るが,こ こ で は誤 差 の 範 囲 と して “±” の 記 号 を使 っ て い る こ と に注 意.つ ま り,“5±3” は 「真 の値 は5を 中心 と して だ い た い2∼8の 範 囲 にあ る」 とい う こ とで あ る. 40)相 対 誤 差 は ±│εaa│+│εbb│/ a+bの 範 囲 で あ る. 41)絶 対 誤 差 は ±(│ε a│+│εb│)abの 程 度 で あ る. 42)こ の 近似 法 はx-1の1の ま わ りの テ ー ラー 展 開 で ,1次 の項 まで とっ た もの で あ る.テ ー ラ ー展 開 に つ い て は8.3節 参 照. 43)体 重 は体 重計 で 測 定 で きる し ,体 積 は例 えば水 に人 を沈 め た と きの 浮 力 か ら測 定 で き る.浮 力 は体 重 と “水 中 体 重 ”(p.13の 補 足3参 照)と の 差 と して 求 め られ る. 44)最 近 で はX線 を用 い た 骨密 度 ,骨 量 の 測 定 も行 わ れ る よ う に な っ て き てお り,骨 密度 自体 に もか な りの個 人差 が あ る こ とが わ か っ て きた.そ の こ と も考慮 す る と,本 節 で 取 り上 げ る テー マ は さ ら に 複 雑 な 問題 を含 む こ と に な る. 45)肺 ,そ の他 に残 っ て い る気 体 の体 積 は 無視 す る.な お,肺 に 残 っ て い る 気 体 の 体 積 は,あ る巧 み な 手 法 で推 定 す る こ とが で き るが,こ こで は触 れ な い. 46)異 な る 身体 組 成 を持 つ 人 の 身体 組 成 を測 りた い の に ,あ る い は 同 一 人 物 の 身 体 組 成 の 変 化 を測 りた い の に,計 算 の 途 中 に,あ る組 織 成 分 に関 して は体 積 比 一 定 と い う仮 定 が 入 り込 む の は 矛 盾 で あ る . 47)例 え ば ,骨 体 積 と強 い相 関 関係 が あ る量 を見 つ け られ れ ば,そ れ を 用 い た 式.た だ し,最 近 は 骨 密 度 の測 定 も行 わ れ る よ う に な っ て お り,骨 密 度 自体 に も個 人差 が あ る こ とが わ か って い る .そ れ ゆ え,話 は さ ら に複 雑 に な って し ま う. 48)こ の測 定 法 を採 用 す る 限 り ,筋 量 増 加 が 体 脂 肪 率 の過 大 評 価 に つ な が る の は,も う説 明 す る まで も なか ろ う. 49)も っ と も ,究 極 の 説 明 とい う もの は期 待 で き ま い.根 元 的 と い っ て も,た だ レベ ル が違 うだ け で あ る.法 則 とは所 詮,天 下 りなの で あ る.と は い え,少 数 の 仮 定(法 則)か ら多 くの 現 象 を説 明 す る こ とが で きれ ば,そ れ は確 か に価 値 の あ る こ とで あ ろ う.な ぜ な ら,新 しい 現 象 に 出 くわ した と き に, そ れ らの 法 則 は そ の 現 象 を考 察 す る ため の 手 が か りに な る と期 待 で き る し,未 知 の現 象 を予 測 す る の に も役 立 つ と考 え られ る か らで あ る. 50)こ の よ うな 自然 科 学 の 方 法 は ガ リ レイ(GalileoGalilei ,1564-1642)に よ り確 立 され た とい っ て よ い だ ろ う.ガ リ レイ 以 前 の 科 学 の 方 法 は,い わ ば 自然 をあ るが ま ま観 測 した.そ れ に対 しガ リ レイ は,あ る 目的 の も と意 識 的 に 自然 に働 きか け る こ と に よ り(つ ま り,何 ら か の条 件 設 定 をす る こ とに よ り),自 然 現 象 の奥 に潜 む法 則 を探 求 す る 方 法 を科 学 に導 入 した ので あ る.こ れ は,自 然科 学 の い わ ば “形 ・外 枠 ” に 関係 す る もの で あ る が,ガ リ レイの 発 見 した い くつ か の 重 要 な法 則(自 然科 学 の “内容 ・中 身” に 関 す る もの)に 勝 る と も劣 らぬ 自然 科 学 へ の 貢 献 で あ った とい え よ う. 51)い くつ か の具 体 的現 象 ,法 則 か らよ り一般 的 な法 則,原 理 を導 くよ う な推論 の方 法 を帰 納(induction) とい い,逆 に一 般 的 原 理 か ら具 体 的 な現 象,法 則 を導 く よ う な推 論 の 方 法 を演 繹(deduction)と いう. 52)今 現 在 正 しい と信 じら れ て い る こ と だ って ,後 に修 正 を迫 られ る こ と は十 分 あ り得 る. 53)『Mathematicaビ ギ ナ ー ズ ガ イ ド』(T .グ レ イ,J.グ リ ン 著,榊 原 進 訳,ト ッパ ン).
54)Fitは
この ソ フ ト(Mathematica)に お い て ,最 小2乗 法 に よ り線 形 回 帰 を行 う コマ ン ド. 55)初 速 度 と角 度 を同 時 に 変 化 させ た と きの飛 距離 は まっ た くわ か らな い,な ど. 56)こ の 例 は 『新 物 理 の 散 歩 道 第 四 集 』(ロ ゲ ル ギ ス ト 編 ,中 央 公 論 社)を 参 考 に した も ので あ る. 57)p .190の 式(11.72)参 照. 58)dy/ dt=kyな る微 分 方 程 式 の 一 般 解 と して 指 数 関 数 が 得 られ る こ とか ら.こ の 点 に関 して は8.1節, 第9章 で触 れ る. 59)つ ま り,こ の方 法 を採 用 す る な ら,単 にt9とt0と の 差 を と り9で 割 る だ けで よい.こ れ は,t1と t0と の 差 を と る よ りは よい.な ぜ な ら,絶 対 誤 差 は両 者 で 同 程 度 だ が,前 者 は全 体 の量 が9Tで り,後 者 はTで あ る か ら,相 対 誤 蓋 は前 者 の方 が 小 さ くな るか らで あ る. 60)“ 真 の値 ” とか “誤 差 ”の 意 味 に はあ ま り こだ わ っ て い な い . 61)∑aiはa1+a2+…+anの
意 味 で あ る .∑rは,ai-rで
あ
あ る(a1=r,a2=r,…,an=r)
か ら,r+r+…+rとrをn回 足 し合 わ せ た もの とな り,nrと な る. 62)aとPを 当 時 の 科 学水 準 か らす る と異 常 な ま で に正 確 に計 算 したの も ケ プ ラ ーで あ る. 63)ケ プ ラ ーの 時 代 に は ,惑 星 は土 星 まで の6つ しか発 見 され て い な か っ た.残 りの3つ の 惑 星 は暗 く, 肉 眼 で は ま っ た く見 え な い.望 遠 鏡 を 用 い て も全 天 の 中 か ら残 りの 惑 星 を 見 出 す の は 困 難 な こ とで あ る.で は,ど う や っ て こ れ らの惑 星 は発 見 さ れ たの か.そ れ につ い て は15.3節 に 譲 ろ う. 64)こ れ は 重 要 な こ とで あ る .一 つ の 現 象 を説 明 す る た め に導 入 され た 仮 説 が 他 の 現 象 を も説 明 した の で あ る.こ う した 過程 を経 て,仮 説 は法 則 へ と昇 華 す る ので あ る. 65)ニ ュ ー トンの証 明法 に 関 して難 が あ る とす る 人 が い る .そ の 問題 に関 して は 『 古 典 力 学 の形 成 』(山 本 義 隆 著,日
本 評 論 社)を 参 考 に して も らい た い.
3 数 の拡 張
本 章 か らい よい よ本 格 的 に数 学 ・力 学 の解 説 を始 め る.ま ず オ ー ソ ドッ クス に “数” の学 習 か ら始 め よ う.「 い ま さ ら」 と思 え る こ とで も,立 ち止 まっ て考 えて み る と見 過 ごせ ない 問 題 が あ る もの だ.数
とそ の演 算 法 は もの の量 を表 す 道 具 と して何 千 年
も前 に生 ま れ たが,や が て 演算 とい う操 作 は “ 量 を計 算 す る”とい う本 来 の 目的 を離 れ,数 を 自然 数 か ら複 素 数 まで拡 張 して い った.“ 抽 象 的 な量 ” と して生 まれ た複 素 数 に当 時 の数 学 者達 は難 色 を示 した が,現 代 で は さ まざ ま な “ 具 体 的 な量 ” を表 した り計 算 した りす る た め に複 素 数 は大 い に活 躍 して い る.そ こ には,複 素 数 と三 角 関 数 ・指 数 関 数 との切 っ て も切 れ な い 関係 が 隠 され て い る.
3.1自
然
数
離 散 的 な も の の 量(個 数)を 表 す 道 具 と し て 自 然 数(naturalnumber:1,2,3,4, …)が
生 ま れ た .す な わ ち,具
排 し,“1対1対
体 的 な い ろ い ろ な 事 物 の 集 合 か ら他 の 一 切 の 特 徴 を
応 す る ” と い う点 に お い て 共 通 性1)を 抽 出 し よ う,と
然 数 を 生 み 出 し た もの と思 わ れ る.そ す い.例 が1つ,一
え ば,2215は が5つ
千 の か た ま りが2つ,百
集 ま っ た も の を表 す.最
い う よ り そ う約 束 す る.位 表 記 法 の 発 想 だ.俗
い う思 い が 自
れ を表 す に は 算 用 数 字 に よ る 表 記 が わ か りや の か た ま りが2つ,十
のかた まり
初 の “2”と 次 の “2”と は 意 味 が 違 う,と
置 に よ っ て 数 字 の 表 す 意 味 を 変 え て い く と い うの が こ の
に い う “位 取 り” の 概 念 とい う わ け だ が,数
字 を並 べ た だ け で
けた
桁 を 表 す 表 記 は 偉 大 な 発 明 だ.な は “0”と い う数(?)の
お,こ
登 場 が 欠 か せ な い(例 え ば205な
明 示 す る―― こ れ ま た 偉 大 な発 明 だ.こ イ ン ドで 始 ま っ た.も 在 し た と思 う が,位
の よ う な 位 置 に よ る “位 取 り” の 表 記 法 に
ち ろ ん,ゼ
ど).な
の よ う な “0”の使 用 法 は6∼7世
ロ(零)の
取 り の 道 具 と し て の “0”の 歴 史 は 案 外 新 しい の で あ る(紀 元 前
の 合 理 的 に して 便 利 な 表 記 法 が 整 っ て い っ た.こ
か,“CXIか
紀ごろに
概 念 自体 は い ろ い ろ な 国 で 遥 か 昔 か ら存
に既 に 高 度 な 幾 何 学 の 体 系 が 発 達 し て い た こ と を 考 え る と).と
割 り算(四 則 演 算)が
い も の を積 極 的 に
に か く,こ う し て 数
れ に よ り足 し算 ,引
き算,掛
け算,
どれ だ け 楽 に な っ た こ と か.“ 一 万 三 百 五 た す 十 万 二 千 十 ” と
け るCCXVI”
な ど は 計 算 す る気 も起 こ ら な い.概
念 的 に 同 じこ とで
あ っ て も,表 記 とい う一 見,些
細 な こ と の 工 夫 だ け で ず い ぶ ん と進 歩 が 促 さ れ る も
の で あ る.
3.2四
則 演 算 に よ る数 の 拡 張
数 の 「量(個 数)を 表 す 」 と い う 性 質 か ら,足 算(乗 法,multiplication)の
き算x=b-aが x=b÷aが
概 念 や掛 け
概 念 が 生 ま れ て く る の は 至 極 も っ と も だ.そ
の 逆 演 算 と して 引 き算(減 法,subtraction)や る の も も っ と も だ.す
し算(加 法,addition)の
な わ ち,a+x=bを
生 ま れ,a×x=bを
割 り算(除 法,division)が 満 た すxを
満 た すxを
し て,そ
生 まれ て く
求 め よ う と い う 意 志 か ら引
求 め よ う とい う 意 志 か ら割 り算
生 ま れ た.
さて,自 に な る.こ
然 数(1,2,3,4,…)同
士 を足 し合 わ せ て も掛 け 合 わ せ て も結 果 は 自然 数
の こ と を 「自 然 数 は 加 法 お よ び 乗 法 に 関 し て 閉 じ て い る」 と い う.
補 足 例 えば,偶 数(evennumber)は 加 法 に 関 して も乗 法 に関 して も閉 じて い る. しか し,奇 数(oddnumber)は 乗 法 に 関 して は閉 じてい るが,加 法 に 関 して は 閉 じ て い ない.奇 数 と奇 数 を足 しあ わせ る と偶 数 に な っ て しま うか らであ る. しか し,自 然 数 は 減 法 に 関 し て は 閉 じ て い な い.つ と っ て は,3-5は
意 味 を 持 た な い の で あ る.こ
は 解 を 持 た な い 」 と言 っ て も よい.引 0や 負 の 数 が 生 ま れ た.こ …,-2,-1,0,1,2,…)が る).し
ま り,自 然 数 しか 知 ら な い 人 に
れ は,「xに
関 す る 方 程 式x+5=3
き 算 に 関 して も数 を 閉 じ させ て や ろ う と して
う し て 自 然 数 を拡 張 し た 整 数(integer,wholenumber: 生 ま れ た(自 然 数 の 集 合 は 整 数 の 集 合 の 部 分 集 合 で あ
か し,こ の 整 数 を も っ て して も 除 法 に 関 して は 閉 じ て い な い.つ
しか 知 ら な い 人 に と っ て は,5÷3は る 方 程 式3x=5は
意 味 を持 た な い の で あ る.こ
解 を持 た な い 」 と言 っ て も よい.割
せ て や ろ う と し て 有 理 数(rationalnumber)― に く る 整 数 は0以
外 とす る)―― が 生 ま れ た.整
ま り,整 数
れ は,「xに
関す
り算 に 関 し て も 数 を 閉 じ さ
― “整 数/整 数 ” の 形 で 表 せ る 数(分 母 数nは
“n/1” と表 さ れ る の で,整
数 の 集 合 は 有 理 数 の 集 合 の 部 分 集 合 に な っ て い る こ とが わ か る. 課題 有 理 数 は 四則 演 算 に関 して 閉 じてい る こ とを示 せ.た だ し,整 数 が 加 法 ・減 法 ・乗 法 に 関 して閉 じて い る こ と を使 用 して よい. 解 説2つ る.こ
の 有 理 数 の 和 はm/n+m'/n'=mn'+m'n/nn'と
な り,や
は り “整 数/整 数 ” の 形 で 表 せ
れ は 有 理 数 が 加 法 に 関 し て 閉 じ て い る こ と を意 味 す る.ほ
か の演 算 に関 して も同様 に
確 か め ら れ る.
補 足 有 理 数 は “整 数/整 数”の 形 で 表せ る数 とい っ た。 これ は これ で ま っ た く問題 な い よう だが,同 じ量 を表 す 数 で も,例 え ば2/3,4/6,6/9,… の よ う に無 限 の 表
記 の 仕 方 が あ る こ と に な る.こ (reduction)し
き っ た 形,す
れ は 時 に は 不 便 で あ る た め,分 な わ ち 分 母(denominator)と
大 公 約 数(thegreatestcommondivisor:G.C.D.)2)が1と 用 す る こ と が 多 い.た
3.3方
だ し,分
数(fraction)は
約分
分 子(numerator)の
最
な っ て い る も の3)を 使
母 に く る 整 数 は 正 とす る.
程 式 に よ る数 の 拡 張
前 節 で,四
則 演 算(fouroperations,fourrules)に
よ る 数 の 拡 張 を行 っ て い く と
き,「 方 程 式 に 解 を持 た せ る 」 と い う こ と も 考 え て き た.「 方 程 式 に 解 を持 た せ る 」 こ と に指 導 的 役 割 を 持 た せ る こ と に よ り,更 え ば,xに
関 す る 方 程 式x2=2は
な る 数 の 拡 張 を 行 う こ と が で き る.例
有 理 数 の 範 囲 で は 解 を 持 た な い こ とが 知 ら れ て
い る. 課 題xに
関す る方 程 式x2=2の
最 大 公 約 数 は1)と
解 が,有 理 数,す な わ ちm/n(た
だ し,m,nは
整数 で
表せ る と仮 定 す る と矛 盾 が 生 じる こ とを示 せ4).
解 説(m/n)2=2よ り,m2=2n2が 得 られ る.こ れ はm2が 偶 数 で あ る こ とを示 す が,こ れ よ りmは 偶 数 で あ る こ とが わ か る.な ぜ な ら ば,自 然 数 に は奇 数 と偶 数 しか な いが,奇 数 の2乗
は奇 数 とな るか らで あ る(証 明 せ よ).さ て,mは
偶 数 で あ る か らlを 整 数 と して
m=2lと 表 せ る.こ れ をm2=2n2に 代 入 して4l2=2n2,す よ って,先 ほ ど と同様 に考 えてnは 偶 数 と なる.す る とmとnは
なわ ち2l2=n2を と もに偶 数 で2と
得 る. い う公
約 数 を持 つ こ とに なる が,こ れ は 最大 公 約 数 が1と い う仮 定 に矛盾 す る.論 理 に誤 りが ない の に結論 が仮 定 に矛 盾 したの は,そ もそ も前 提 条件 「x2=2は 有 理数 の 解 を持 つ」 が誤 っ て い た こ とを意 味 す る. しか し,1.42=1.96で に な る 数 が1.4と1.5(と
あ り,1.52=2.25で
れ ば2
も に 有 理 数 で あ る)の 間 に あ る の で は な い か と思 わ れ る.
こ の 思 い は 「1.412=1.9881で
あ り,1.422=2.0164で
“は さ み う ち ”の 探 索 を続 け て い く と ず だ 」 と い う確 信 に 変 わ っ て い く.こ と し て 無 理 数(irrationalnumber)が ば,無
あ る こ と を考 え れ ば,2乗5)す
,「2乗
あ る か ら … 」 と い う感 じで
し て2に
う して,有
な る “数 ”は 確 か に 存 在 す る は
理数 で はな いが確 か に実在 す る数
発 見 さ れ た.“ は さみ う ち ” の 探 索 法 を考 え れ
理 数 は 有 理 数 と有 理 数 と の 間 を 埋 め る 数 で あ る と い う考 え 方 も で き よ う.そ
して,有
理 数 と無 理 数 と を(集 合 と して)合 わ せ て6),実
数(realnumber)と
呼 ぶ.
実 数 は 四 則 演 算 に 関 し て 閉 じ て い る こ とが 知 ら れ て い る(証 明 略). 補 足 無 理 数 を初 め て習 った 頃,筆 者 は無 理 数 は特 別 な数 で 少 し しか な いの で は な いか と思 っ た もの だ.し か し,自 然数 の集 合 も,整 数 の集 合 も,有 理 数 の 集合 も,無 理 数 の集 合 もみ な要 素 の 数 は無 限 に あ る.し か も,有 理 数 の集 合 は,要 素(個 々の 有 理 数)を うま く並べ る と通 し番 号1,2,3,4,… を付 け る こ とが で き る(自 然 数 に よ る対 応 付 けが 行 え る)の に対 し,無 理 数 には そ の よ うな番 号 付 けが で き ない こ とが
証 明 で きる(証 明 略).無 限 に 要素 を持 っ た集 合 は要 素 の個 数 で 大 きさ を比 べ る こ と は で きない が,対 応付 け に よっ て “大 き さ” を比 べ る こ とが で き る.有 理 数 の集 合 と自然 数 の 集合 の “ 大 きさ”は “等 しい”が7),無 理 数 の集 合 はそ れ らよ り圧倒 的 に “大 きい” とい う こ とに な る. 実 数 ま で 数 の 拡 張 を行 っ て も ま だ,x2=-1の
よ う な 方 程 式 の 解 は 求 め られ な い.
2乗 し て 負 に な る 実 数 は 存 在 し な い か らで あ る. 補足
これ は,実 数 の性 質
・ 正 × 正=正 ・ 負 × 負=正 を考 えれ ば 明 らか で あ ろ う.な お,負 しい」 とい う感 じで理 解 で き よ う. そ こ で,こ x2=2の す る.つ
×負=正
とい う概 念 は,「借 金 が減 る と うれ
の 方 程 式 に 解 を 持 た せ る た め に 再 び 数 の 拡 張 を行 わ な くて は な ら な い. 解 を ±√2と 書 く こ と に な らい,x2=-1の ま り,(√-1)2=-1で
数 単 位(imaginaryunit)と
あ り,ま 呼 び,iと
語 で はimaginarynumberと
い う.実
た,(-√-1)2=-1で
と表 さ れ る.q=0の
と き特 に 実 数 と呼 び,q≠0の
の 虚 部(imaginarypart)と
実 部(realpart)と
呼 び9)Imzと
虚
数 は英 素数
素数 は
と き特 に 虚 数 と呼 び,p=0か
と き 特 に 純 虚 数(purelyimaginarynumber)と
複 素 数zの
な み に,虚
数 と虚 数 を(集 合 と し て)合 わ せ て,複
呼 ぶ.一
と 書 い た と き,pを
書 くこ とに
あ る.√-1を
表 記 す る こ と が 多 い8).ち
(complexnumber)と
つq≠0の
般 に,複
解 を ±√-1と
呼 ぶ.
呼 びRezと
書 き,qを
複 素 数z
書 く.
補 足 しつ こい よ うだ が,演 算 と して “実 数 と虚 数 を足 し合 わ せ た もの”が 複 素 数 なの で は な い.上 の説 明 か ら明 らか な よ うに,実 数 の 集 合 も虚 数 の集 合 も複 素 数 の 集 合 の 部 分 集合 で あ る.
3.4演
算の 法則
実 数 の 演 算 に は い くつ か の 法 則 が あ る.そ
・交換則
れ を 並 べ て み よ う.
○a+b=b+a ○ab=ba
・結合則 ○a+(b+C)=(a+b)+c ○a(bc)=(ab)c
・ 分配 則 ○a(b+c)=ab+ac ○(a+b)c=ac+bc
こ れ らの 法 則 は 一 見 当 た り前 の こ と に 思 え る が,あ つ い た もの で あ る10).さ
る 意 味 で 実 数 の 性 質 に深 く結 び
て,こ れ ら の 法 則 が 複 素 数 の 世 界 で も成 り立 つ と仮 定 して,
複 素 数 間 の 演 算 を 定 め て み よ う. 二 つ の 複 素 数 を,z=p+qi,z'=p'+q'iと
表 す こ と に し よ う .す
る と,
と して,複 素 数 間 の加 法 と乗 法 が定 ま る.式 変 形 に は交換 則,結 合 則,分 配 則 をふ ん だ ん に使 って あ る. 課題
複 素 数 間 の減 法 と除 法 を定 め よ.
解説
減 法 は 簡単 に,
と求 め られ る.除 法 に関 して は
の形 に持 っ て い け ば よい の だ か ら,
と 求 め られ る.た
だ し,割
り算 が 定 義 さ れ る た め に はz'≠0,す
な わ ち ,p'とq'が
同 時 に0
で あ っ て は な ら な い.
こ の よ う に 四 則 演 算 を 定 め て や る と,先 立 つ こ とが 簡 単 に 証 明 で き る.す
に述 べ た 演 算 則 が 複 素 数 の 世 界 で も成 り
な わ ち,z1,z2,z3を
複 素 数 と し て,
・ 交換 則 ○z1+z2=z2+z1 ○z1z2=z2z1
・結合則 ○z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3 ○z1(z2z3)=(z1z2)z3
・ 分配 則 ○z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 ○(z1+z2)z3=z1z3+z2z3
が 成 り立 つ. 課 題 複 素数 の世 界 で も これ らの演 算 則 が 成 り立 つ こ と を示 せ.ま 関 して 閉 じて い る こ と を示せ. 解説
た,複 素数 は四 則 演算 に
定 義 に従 っ て計 算 す れ ば よ い.解 答 は略 す. 補 足 複 素数 の演 算 に関す る論 理 展 開 に,何 かお か しい と感 じた人 もい る か も しれ ない が,そ の人 は正 しい感 性 の持 ち主 で あ る.し か し と りあ えず,こ こで は これ で 我 慢 して お い て ほ しい.
例 え ば,和
に 関 す る 結 合 則a+(b+c)=(a+b)+cが
算 す る の に注 意 は い ら な い.し (a-b)-cとa-(b-c)と
で あ る.素
た,分
計
か し,こ れ に 引 き算 が 混 じ っ て くる と 注 意 が 必 要 だ.
で は 結 果 が 異 な る.a-b-cは
と い う よ り,そ う約 束 す る11).同 で あ る12).ま
あ る の で,a+b+cを
様 に,a÷b÷cはa÷(b÷c)で
前 者 の 計 算 順 序 に 従 う, は な く(a÷b)÷c
数 の 表 記 を 用 い る と,
手 で 書 く と き,こ こ ら辺 を ズ サ ン に や る とわ け が わ か ら な くな る.ま
複 数 の 演 算 記 号 の 混 じ っ た計 算 に は 注 意 が 必 要 と な る こ と が 多 い.つ
た,
ま り,結 合 則
が 成 り立 た な い 場 合 が あ る た め,計 算 の 順 序 が(習 慣 と し て)定 め ら れ て い る と い う こ と で あ る.例
え ば,a+b×cは,(a+b)×cで
は な くa+(b×c)で
あ る.
補足1た い て いの コ ン ピュ ー タ ソ フ トは 「 掛 け算 は足 し算 に優 先 す る」 とい う規 則 を知 っ てい るの で,a+b×cをa+(b×c)と 解 釈 して くれ る が,極 々 まれ に, 頭 か ら順 に計 算 して し ま うソ フ トもあ る(あ っ た)の で,優 先 的 に ま とめ て計 算 した
い と ころ は括 弧 を付 け る よ うにす る と よい だ ろ う.こ れ は,後 で 自分 の計 算 を見 直 す 際 に もわ か りやす くて よい.コ ン ピ ュー タで計 算 をす る と きに注 意 す べ き こ とは ほか に もい くつ か あ る.abす なわ ちa×bを 計 算 させ るつ も りでabと 入 力 して エ ラー が 出 て しま っ た,と い う経 験 はお そ ら くすべ て の人 が 一度 な らず 経 験 して い る こ とで あ ろ う.正 し くはa*bと 入 力 す る.ま た,abcを 計 算 す る つ も りで,a^b*c と入 力 す る と,(ab)×cが ろ う.正 し くはa^(b*c)と
計 算 さ れ て しま う.こ れ も多 くの 人 が経 験 す る失敗 で あ 入力 しな くて はい け な い.こ の手 の間 違 い は,や って し
ま う と間違 い で あ る こ とが見 つ け に くい.そ の た め,バ グ取 りに妙 に時 間 が か か っ て し ま うこ とが あ る(経 験 談). 補 足2無
限 項 か らな る足 し算 は,順 序 を勝 手 に変 え て は い け ない.例 え ば,
は,
と す れ ば0と
と考 え れ ば1と
な る.し
か し,
な る.ま
た
とす れ ば2S=1と な り,S=1/2と な る.ほ か の 計算 法 を考 えれ ば ,い く らで も い ろ い ろ な “和 ” を求 め る こ とが で きる.本 書 で は この よ うな無 限項 か ら な る足 し 算(無 限級 数,infiniteseries)に 関 しては こ れ以 上考 察 を しな い.た だ,以 上二 つ の 補 足 か ら,交 換則 や結 合 則 の よ うな取 りた てて 騒 ぐ必 要 もな さそ うな こ とで も実 は 軽 々 し くは扱 えな い,と い う こ とが わか って も らえ たで あ ろ うか.
3.5数
の視 覚的表 現
前 節 まで で,自 然 数 か ら複 素 数 に い た る “数 ”の 拡 張 を 行 っ て き た13).し
か し,こ
こ で 考 え込 ん で し ま う. 自然 数 は い い.個 に思 え る.ケ
数 や 順 序 を表 現 す る の に使 え る.整
数 もそ の素 直 な拡 張
ー キ を切 り分 け る と き に有 理 数 の考 え 方 は必 要 に な る(?)し,
風 呂 桶 に 溜 ま っ て い くお 湯 の 量 が 連 続 的 に 変 化 して い く様 子 を 見 る と,実 数 の 存 在 意 義 を 実 感 で き る.し そ れ こ そ,空
想 の(imaginary)世
と は 思 え な い.数 で は な い か.
か し,虚
数(imaginarynumber)は
界 に の み 存 在 す る も の で,何
何 だ. か役 に立 つ
を複 素 数 ま で 拡 張 す る の は 単 な る 知 的 遊 戯 に 過 ぎ な い の
図3.1数
直線
こ の 疑 問 に 対 して 高 校 の 先 生 は 「 複 素 数 を 導 入 す る と,今 ま で “解 な し” と し て 片 づ け ら れ て き た 方 程 式 が す べ て 解 け る こ と に な る 」 と か 説 明 し,後 せ る わ け で あ る.す 書 百 遍,意
は計 算練 習 をや ら
る と不 思 議 な もの で,複
素 数 に 対 す る 疑 問 が 薄 れ て く る(「 読
自 ず か ら通 ず 」 と い う よ り は,単
に わ か ら な い こ と に慣 れ た だ け で あ る
こ と が 多 い の だ が).最
後 ま で 疑 問 が 薄 れ な い 健 全 な 思 考 力 を 持 っ た 人 は,こ
学 を 学 ぶ こ と を 断 念 す る.し
か し,こ
れ で 話 を済 ま す わ け に は か な い の で,本
こで 数 節で
は 複 素 数 に 少 し実 体 感 を持 た せ る 試 み を 行 う.そ
の た め に ま ず,数
を視 覚 的 に表 す
道 具 と し て 数 直 線(numberline)を
直 線 と は 図3.1の
よ うな もので あ
る.こ
導 入 す る.数
れ に よ っ て 数 を 表 す た め に は,ち
ょ っ と し た 約 束 を しな くて は な ら な い.そ
れ は, ・ 正 の 向 き を 定 め る.通
常 は 右 向 き を 正 とす る.
・ 数 の 大 き さ(絶 対 値,absolutevalue)を で あ る.例
え ば,-3は
原 点 か ら の 距 離 で 表 す.
原 点 か ら負 の 向 き(左 向 き)に3と
存 在 す る 点 に よ っ て 表 す の で あ る.こ
い う距 離 進 ん だ と こ ろ に
の 数 直 線 を用 い て “数 ” の 性 質 を 簡 単 に 考 え
て み よ う.
・ 自然 数 も整 数 も数 直 線上 では とび とび の点 と して表 され る.ま た,区 間 を定 め れ ば,そ の 中 に存 在 す る 自然 数,あ るい は整 数 の個 数 は有 限 個定 ま る. ・ 数直 線 上 の どん な に狭 い 区間 を とって きて も,そ の 区 間の 中 に は無 限個 の有 理 数が 存在 す る.し か し,数 直線 は有 理数 に よ って埋 め尽 くされ てい る わけ で は ち ゅ うみ つせ い
な い(有 理 数 の 稠 密 性).有
理数 を示 す点 だ けで は,数 直線 はい た る と ころス
キ マ だ らけ であ る. ・ 有理 数 の ス キマ を埋 め る数 と して無 理 数 を導 入 す る.有 理 数 と無 理 数 を集合 と して合 わ せ て実 数 と呼 ぶ こ とは前 に述 べ た.実 数 に よっ て数 直線 は埋 め尽 くさ れ る(実 数 の連 続 性). 実 数 に よ り数直 線 は すべ て埋 め尽 くされ て しま った.虚 数 な どの存 在 す る余 地 は どこ に もない.や は り虚数 は空想 の産 物 な ので あ ろ うか.
こ の 問 題 を考 え る 前 に,四
則 演 算 とい う も の を数 直 線 を用 い て 考 え て み よ う.数
直 線 上 で ど の よ う に 加 法 や 減 法 が 表 さ れ る か は 説 明 す る ま で も あ る ま い.5+3な ら5を
表 す 点 か ら正 の 向 き に大 き さ3だ
な る.5-3な
け 進 ん だ 点 が こ の 足 し算 の 結 果 を 表 す 点 と
ら5を 表 す 点 か ら負 の 向 きに 大 き さ3だ
算 は ど う な る で あ ろ うか.そ き を そ の ま ま に し て,大
れ も 難 し くは な い.あ
ら ば,掛
け
る 数 に 正 の 数 を か け る な ら,向
き さ(原 点 か らの 距 離)を 拡 大(場 合 に よ っ て は 縮 小)し て
や れ ば よ い.負
の 数 を か け る な ら,大
や れ ば よ い.向
き を反 転 さ せ る と は,向
き さ を拡 大(縮 小)し た 後,向
き を反 転 させ て
き を180° 回 転 さ せ る とい っ て も よ い.
課 題2×3,2×(-3),(-2)×3,(-2)×(-3)を
解説
け 進 め ば よ い.な
計 算 し て,数
直 線 上 に 図 示 せ よ.
解 答 略.
次 に,虚 数 単 位iを
か け る とい う操 作 を 考 え て み よ う.準
備 と し て,-1を
かける
と い う操 作 は,数 直 線 上 で 点 を 原 点 か ら の 距 離 を 変 え ず に原 点 ま わ りに180° 回 転 さ せ る と い う操 作 に対 応 す る こ と を思 い 出 そ う.こ
れ よ り,i2=-1はiを2度
かける
操 作 が 原 点 ま わ りに180° 回 転 さ せ る 操 作 に対 応 す る こ と を 意 味 す る こ とが わ か る. こ の こ と か ら,(i=√-1で
定 義 され る)虚 数 単 位iを
か け る とい う演 算 は,点
を原
点 か らの 距 離 を 変 え ず に原 点 ま わ り に90° 回 転 さ せ る 操 作 に対 応 す る と考 え られ な い で あ ろ う か.こ
の こ と を考 察 す る た め に は,今
え る だ け で は 不 十 分 で あ る.そ る こ と に し よ う.そ
こ で,図3.2の
までの よ うな一 次元 の数 直線 を考 よ うに直交 す る二本 の数 直線 を考 え
し て横 軸 に は 実 軸 と 名 づ け て複 素 数 の 実 部 を 表 す こ と に し,縦
軸 に は 虚 軸 と名 づ け て 複 素 数 の 虚 部 を 表 す こ と に す る.そ 図3.2に 離rを
示 さ れ た 点 の よ う に表 す の で あ る.実
して 複 素 数z=p+qiを
数 の と き に な ら っ て,原
複 素 数 の 大 き さ(絶 対 値)と 定 義 す る こ とに し よ う.複 素 数zの
と書 く.│z│=r=√p2+q2で
点 か らの 距
絶 対 値 を,│z│
あ る こ とが 三 平 方 の 定 理(ピ タ ゴ ラ ス の 定 理)か
図3.2複
素 数 の幾 何 学 的表 示
ら
わ か る.な
お,こ
の よ う に複 素 数 を 図 示 す る た め に 実 軸 と虚 軸 に よ っ て 張 ら れ た 平
面 を複 素 平 面(complexplane)あ
る い は ガ ウ ス 平 面(Gaussianplane)と
呼 ぶ14).
課 題 適 当 な複 素 数(例 え ば3+2iな ど)を 図 示 せ よ.次 に,そ の複 素 数 にiを か け る こ と に よっ て得 られ る複 素数 を計 算 して 図示 せ よ. 解 説 複 素 平 面 に3+2iと,そ れ にiを か け る こ と に よ り得 られ る-2+3iを た だ し,実 軸 と虚 軸 の 目盛 りの間 隔 は等 し く しな くて は い け ない.
描 い て み よ.
上 の課題 を実行 す る こ とに よ り,確 か にiを か け る とい う演 算 は(原 点 か らの距離 を変 えず に)点 を原 点 まわ りに90° 回転 させ る操 作(回 転 の 向 きは反時 計 回 り)に 対 応 す る こ とが実 感 で きよ う.で は一 般 にp,qを
実 数 とす る と き,複 素数z=p+qi
をか け る とい う操 作 は複 素平 面 上 の あ る点(複 素数)を どの ような点 に移 す操 作 に対 応 す る で あ ろ うか.こ れ を考 え る ため には角 度 を解析 的 に扱 うた め の道 具――三 角 比 ・三角 関数――を用 い る のが 便利 で あ る.次 章 で は これ らにつ い て解 説 し,改 め て複素 数 の積 の意 味 を考 えて み たい. 課題
複 素数 の 加 法,減 法 は複 素 平 面 を用 い る と どの よ うに考 え られ る か.
解説
解 答 略. 補足 以 上,高 校 数 学課 程 に な らい,す なわ ち直 感 的 に,数 の拡 張 を行 って きた.大 学 数 学 レベ ル で “ 数 ” なる もの を考 え る とあ ま りの ギ ャ ップ に 驚 くこ と と思 う.整 数 は よ くわ か らない公 理 系 か ら始 まる し,実 数 な んか は有 理 数 の “切 断” と して と ら え られ た りす るの だ か ら.複 素 数 も,実 数 のペ ア と して導 入 し,そ れ に演 算 を定 義 して い く,と い う構 成 法(ハ ミル トンの 構成 法)が あ る.も っ と も,iと い う複 素 数 の 一 つ を もって 一般 の複 素数p+qiを 定 義 す る こ とに嫌 悪感 を覚 え る人 には,そ の 方 が 受 け入 れや す い か も しれ ない.し か し,本 書 で は深 入 り しな い こ とに しよ う.
注 1)み か ん を一 つ ず つ 人 に配 っ た と き,過 不 足 な く行 き渡 れ ば あ る点 にお い て “み か ん の集 合 ” と “人 の 集 合 ” は 共通 して い る.そ の共 通 性 の こ と. 2)最 小 公 倍 数 はtheleastcommonmultipleと い い ,L.C.M.と 略 す. 3)こ の よ う な分 数 を既 約 分 数(irreduciblefraction)と いう. 4)矛 盾 が 生 じる こ とを示 す こ とに よ り前 提 条 件 が 成 り立 た ない こ と を証 明す る方 法 を背理 法(reductio adabsurdum,reductiontoabsurdity)と い う. 5)2乗 の こ とを “自乗 ” と もい う. 6)演 算 と して の “足 し算 ” と混 同 しな い よ うに せ よ. 7)自 然 数 は有 理 数 の部 分 集 合 で あ る に もか か わ らず! 8)数 学 人 は虚 数 単 位 に√-1の
表 記 を ,電 気 関係 人 はjの 表 記 を,そ れ 以 外 の 人 はiの 表 記 を用 い る こ とが 多 い よ うだ.電 気 関係 人 が 虚 数 単 位 にjを 使 う の は,電 流 を表 す の に “I”ない し “i”を使 う た め だ とい う.「 電 気 関係 の 人 は電 流 を愛(ア イ)し て い る た め電 流 にi(ア イ)を 使 う」 とい う人 も い るが,こ の説 は 国際 的 に通 用 す る の だ ろ うか? 9)qiを 虚 部 と呼 ぶ の で は な い こ と に注 意 .
10)演 算 とは あ る意 味 で “操 作 ” で あ る とい え よ う.世 の 中 の 操作 は 必 ず し も交 換 可 能 とは 限 らな い. “靴 下 を は く” と “靴 をは く” とい う操 作 は 交 換 不 可 能 で あ る .す な わ ち,靴 下 を は い てか ら靴 を は くの は正 常 だ が,靴 を は い て か ら靴 下 を は くの は異 常 で あ る.な お,読 者 は5.6節 立 た な い演 算 で あ るベ ク トル 積 に 出会 う こ と に な る. 11)a-b-cをa+(-b)+(-c)と 足 し算 の形 に直 せ ば ,{a+(-b)}+(-c)=a+{(-b)+(-c)} とな る. 12)こ れ も,a÷b÷cをa×(1/b)×(1/c)と
で交 換 則 の成 り
掛 け 算 の形 に す れ ば,{a×(1/b)}×(1/c)=a×
{(1/b)×(1/c)}で あ る. 13)ク ロ ネ ッカ ー 曰 く,「 神 は 整 数 を作 り給 うた.残 りは す べ て 人 間 の 業 で あ る 」. 14)ガ ウ ス(Gauss ,1777-1855)は 史 上 最 も偉 大 な 数学 者 と称 え ら れ る.現 代 数 学 の 基 盤作 りは ガ ウ ス に よ っ て な され た と言 って も過 言 で はあ る まい.学 校 の 先 生 が怠 け よ う と して1か ら100ま で(100 以外 の 数 だ っ た とい う説 もあ る)の 数(整 数)の 和 を生 徒 に計 算 させ よ う と した ら,9歳 の ガ ウ スが 一 瞬 に して答 え を出 して し まっ た とい う話 は あ ま り に も有 名 で あ る.な お,ガ ウス は天 文 学 や物 理 学 の研 究 で も活 躍 して い る.某 磁 気 治 療 器具 “ピッ ○ エ レキバ ン”の 磁 力 が800ガ い っ た 宣伝 は彼 が い た れ ば こ そ の もの で あ る.
ウス で あ る,と
4 三 角 比 ・三 角 関 数
図形 の問 題 を扱 う には か な りの 図形 的直 感 力が 必 要 で あ る.し か し,三 角 比,座 標, ベ ク トル とい った 道 具 を用 い る こ とに よ り,図 形 をあ る程 度 機 械 的 に扱 え る よ う に な る.本 章 で は 三 角 比 と,そ の 拡 張 で あ る三 角 関 数 に つ い て説 明 す る.三 角 関数 は すべ て の周 期 関 数 の 基本 と な る大切 な 関数 で あ る.
4.1三
角
比
ま ず 三 角 形 を 考 え よ う.三 角 形 は三 つ の 角 が 決 ま る と形 が 決 ま る と い う性 質 を持 っ て い る(証 明 略).そ a':b':c'が
の 様 子 を 図4.1に
示 す.こ
の と き,辺 の 比 に 関 して,a:b:c=
成 り立 つ1).
図4.1相
似 な三 角 形 の例
実 際 に は,三 角 形 の 内 角 の 和 は180° だ か ら,2角 の 角 も決 ま る.さ
て,三
角 形 の 一 つ の 角 度 が90° で あ る と し よ う.す
角 の う ち 一 つ の 角(例 え ば 図4.2のA)の bと 対 辺aの
る と,残
りの
角 度 を α と決 め て し ま う と,斜 辺cと
隣辺
比 は 三 角 形 の 大 き さ に よ らず 決 ま っ て し ま う.も
度 β は90°-α の 値(例
が 決 ま っ て し ま え ば 残 りの 一 つ
え ばa/cな
と決 ま っ て し ま う.角
ち ろ ん 残 りの 角 の 角
度 α に よ っ て 決 ま っ て し ま う2組
ど)を 三 角 比(trigonometricratio)と
呼 ぶ.ど
の辺 の 比
の 辺 を ど ん な順
図4.2直
角 三角 形 の例
序 で 選 んで 比 を とるか に よ り三角 比 に もい ろい ろ名 が付 い て い るが,と
りあ えず 次
の三 つ は重 要 で あ る.
な お,そ
れ ぞ れ の 頭 文 字 の 筆 記 体 を利 用 した 図4.3の
よ う な 覚 え方 は 有 名 で あ る.
こ れ に つ い て は わ ざ わ ざ 説 明 す る ま で も な い で あ ろ う.た り返 っ て も,裏
返 し に な っ て も,正
だ,こ
の三 角形 が ひ っ く
し く三 角 比 を 求 め ら れ る よ う に 練 習 し て お か な
くて は い け な い.
図4.3三
角 比 の 覚 え方
課題
図4.2に
お い て,
と な る こ と を確 認 せ よ.
解説
解 答 略.こ の課 題 の結 果 と β=90°-α
であ る こ とを合 わせ て考 える と
で あ る こ と が わ か る.
課題
三 平 方 の定 理2)を 利用 して,
を 示 せ.な
お,cos2α
は(cosα)2の
意 味 で あ る.sinの
方 も 同 様 で あ る.ま
た,
と な る こ と も示 せ. 解説
三 平 方 の 定 理 よ りa2+b2=c2が
成 り立 つ.こ
れ とcosα=b/c,sinα=a/cを
使 え
ばcos2α+sin2α=1が 簡 単 に 示 せ る.ま た,こ の 式 の 両 辺 をcos2α で 割 れ ば1+tan2α= 1/ cos2α も 簡 単 に 得 られ る.こ こ でtanα=sinα/cosα を 使 っ た が,こ れ はcosα=b/c,sinα=a/c とtanα=a/bよ り た だ ち に 示 せ る.
4.2三 さ て,三
角 関 数 角 比 は直 角 三 角 形 の 直 角 で な い 角 に対 して 考 え 出 さ れ た わ け で あ る か ら,
鋭 角(0°<α<90°)に
対 し て 定 義 さ れ る3).こ
が 三 角 関 数(trigonometricfunction)で 図4.4の
よ う に単 位 円(unitcircle:半
の位 置(x,y)は,x軸 点Pのx座
標,y座
あ る.具 径1の
の 正 方 向 に対 す る 線 分OPの 標 を θ の 関 数 と見 て,
れ を,一 般 の 角 に も定 義 し直 した の 体 的 に は 以 下 の よ う に 定 義 す る. 円)を 描 く.こ
の 単 位 円 周 上 の 点P
角 θ を 定 め る と決 ま る.そ
こで,
と して 三角 関 数 を定 義 す る.
図4.4単
位 円 を用 い た三 角 関 数 の 定 義
課 題y=sinx,y=cosx,y=tanxの (degree)と
グ ラ フ を パ ソ コ ン を 使 っ て 描 け.角
の単 位 は度
す る. ひきす う
解 説 多 くの ソ フ トで は三 角 関 数 の 引数 と な る角 度 の 単位 は ラ ジ ア ン(4.3節 参 照)な の で, この課 題 は意 外 に難 しい か も しれ ない.ま た,tanxは ±∞ に発 散 す る とこ ろが あ るの で, そ こ で も注 意 が 必 要 で あ る.答 え は 図4.5の
図4.5左
図:y=sinx,y=cosx,右
よ うに な る.
図:y=tanx
課 題0°<θ<90° の 範 囲 で は三 角 関数 と三角 比 は一 致 す る こ と を確 か め よ.こ れ よ り, 三 角 関 数 は 三角 比 の 素 直 な拡 張 で あ る こ とが納 得 で き よ う.ま た,以 下 の式 を確 か め よ.た だ し,nは 整 数 とす る.
解説
単 位 円 を描 い て 調べ て み れば 明 らか で あ ろ う.
こ の 課 題 の 最 後 の 三 つ の 式 は,cosθ,sinθ function)で さ て,今
あ り,tanθ
は(基 本)周 期 が180°
は 単 位 円,す
い 場 合,Pの
は(基 本)周 期 が360° の 周 期 関 数(periodic
な わ ちOP=1の
の 周 期 関 数4)で あ る こ と を 示 す.
場 合 を考 え た.も
し,こ のOPが1で
座 標 は θ を 用 い て ど う表 さ れ る だ ろ う か .こ の 場 合,θ
の 位 置 を指 定 し き る こ と は で き な い.さ rと θ とが 与 え ら れ た と き点Pの
ら に 必 要 と な る の は,OPの
な
だ け で は 点P 長 さrで
座 標(x,y)は(rcosθ,rsinθ)と
あ る.
表 さ れ る.こ
の
こ と は 次 の よ う に 考 え る こ と もで き る. 平 面 内 の 点Pの
位 置 を 表 す た め に は基 準 が 必 要 で あ る.そ
い に直 交 す る 軸――x軸
とy軸――
を 用 意 す れ ば よ い .そ
ら そ れ ぞ れ の 軸 に 垂 線 を 下 す こ と に よ り得 ら れ るx,yを で き る.し 意 し,基
か し,別
前 者 のx,yを nates)に
も っ て 位 置 を指 定
の 方 法 で 位 置 を表 す こ とが で き る.ま
準 と な る 点Oを
ら の 距 離rと
の 基 準 と して 互
う す れ ば,点Pか
そ の 上 に と る.す
る と,点Pの
ず,軸
を1本
用
位 置 は原 点Oか
軸 に 対 して な す 角 度 θ に よ っ て 指 定 す る こ とが で き る.
組 み 合 わ せ た(x,y)と
よ る 表 示 と い い,後
(polarcoordinates)に
い う表 し方 を 直 交 座 標(orthogonalcoordi-
者 のr,θ
を 組 み 合 わ せ た(r,θ)と
い う 表 示 を極 座 標
よ る表 示 とい う.
補 足 直交 してい ない 軸 を もって きて も位 置 を表 す こ とが で きる.さ ら には,軸 そ の もの が くね くね 曲 が っ てい て も,適 当 な約 束 をす れ ば位 置 を指 定 す る こ とが で き る5).し か し,こ こ ら辺 の 話 は 本書 の レベ ル を超 え る の で割 愛 す る.
4.3弧 さ て,今
度
法
ま で は 角 度 を度(degree,記
う観 点 か ら考 え る と,約 数 の 多 い360を
号 で は °)で 表 し て き た.も
の を 分 け る とい
基 準 と考 え る 度 数 法 は便 利 で あ る.し
か し,
図4.6中
心 角 と弧 の 長 さ
解 析 学(微 積 分 を 主 体 と し た 数 学)の 立 場 で は,こ な い.で
は,角
う と,そ
れ は 弧 度(ラ
の ような恣 意 的 な単位 は便利 で は
度 を表 す の に ど ん な 単 位 を 用 い る と都 合 が よ い か.答 ジ ア ン:radian,単
位 記 号 はrad)で
合 が よ い か と い う こ と は お い お い 明 ら か に な ろ う.こ
あ る.こ
え か ら先 に 言
れ が ど う し て都
こ で は ラ ジ ア ンが どの よ う な
単 位 で あ る か だ け 説 明 す る. 円 に お い て は,中
心 角 の 大 き さ とそ れ に 対 す る 弧 の 長 さ は 比 例 す る.ま
角 の 大 き さ が 等 し け れ ば,対 の よ う に 円 の 半 径 をr,中
す る弧 の 長 さ は 円 の 半 径 に比 例 す る.そ
た,中
心
こ で,図4.6
心 角 の 大 き さ を θ,そ れ に対 す る弧 の 長 さ をlと す る と
(4.1) と い う 関 係 が 成 り立 つ こ と に な る.例
え ば 度 数 法 を用 い る と,比
と な る.た
と定 義 さ れ,円
だ し π は π=円
constant,Ludolphnumber)と
周/直 径
呼 ば れ る.で
例 定 数kは
は,円 周 率 π の 値 は い くつ か.小
は こ の 値 は 「3だ 」 とか 「3.14だ 」 と か 習 う.実
用 的 に は3.14で
米 で は 円 周 率 を 小 数 で な く分 数 の 形 で22/7(=3.14286…)と
π/180°
周 率(circleratio,circular
十 分 だ.な
学生 お,欧
教 え る こ とが 多 い よ う
で あ る. 補 足3.14に せ よ22/7にせ よ,円 周 率 の近 似 値 で あ る こ とに変 わ りは な い.と は い え,と もに相 対 誤 差 は0.05%程 度 で あ り,日 常 的 に は十 分 な 精度 で あ る.し か し, 円 とい うい わ ば “完全 な 図形6)” に現 れ る 中途 半端 な 数――円周 率―― は数 学 者 の心 を魅 了 し,そ の 探 求 が 続 け られ た.古 代 ギ リシ ャの 大数 学 者 アル キ メ デ ス は円 を正 96角 形 で近 似 す る こ とに よ り円周 率が310/71<π<31/7な る数 で あ る こ とを示 した. これ は 円周 率 を ±0.05%の 精度 で求 め た こ と に相 当す る.そ れ か らお よそ二 千 年 の 間,ア ル キ メデ ス の 方法(円 を正 多 角形 で近 似 す る方 法)に な らっ て 円周 率 の探 求 が 続 け られ,16世 紀 の 終 わ り頃 には 小 数点 以下30桁 ほ どが 求 め られ た.し か し,円 を正 多角 形 で近 似 す る方 法 で 円 周率 を計 算 す る には膨 大 な 手 間暇 が か か る7).円 周
率 を求 め る ま った く新 しい方 法 が 考案 され る の は17世 紀 後 半,微 積 分 学 が 誕生 す る の を待 た なけ れ ば な らなか った(8.6節 参 照). 課題
式(4.1)に
お い て 角 度 の 単 位 に 度 数 法 を 用 い る と,比
例 定 数kは
π/180° となることを
確 か め よ.
解説
中心 角360° の 扇形(円)の
ラ ジ ア ン と は 式(4.1)に あ る.こ
弧 の長 さ(円 周)は2πrで
お い て 比 例 定 数kが1と
れ よ り,た だ ち に π[rad]が180°
あ る こ とを使 え ば よい.
な る よ うに定 め た角 度 の単 位 で
で あ る こ と が わ か る.こ
の 関 係 を使 え ば
度 数 法 と 弧 度 法 の 変 換 は 容 易 で あ る. 課題
次 の表 を埋 め よ.
解説
比 の計 算 をす る だ けで あ る.
課 題y=sinx,y=cosx,y=tanxの
グ ラ フ をパ ソ コ ン を 使 っ て 描 け.角
の単 位 は ラジ
ア ン とす る.
解 説tanxに ±∞ に発 散 す る とこ ろが あ る こ と以外 は難 し くない で あ ろ う.答 え は 図4.7 の よ うに な る.
図4.7左
図:y=sinx,y=cosx,右
図:y=tanx
角 の 単 位 を ラ ジ ア ン と す る と,以 下 の 式 が 成 り立 つ.た
だ し,nは
整 数 とす る.
最 後 の 三 つ の 式 は,cosθ,sinθ
は(基 本)周 期2π
の 周 期 関 数 で あ り,tanθ
は(基
本)周 期 π の 周 期 関 数 で あ る こ と を 示 す. さ て,次 課題
にy=sinxの
グ ラ フ を い ろ い ろ と 変 形 す る こ と を 考 え よ う.
次 の 関 数 の グ ラ フ を パ ソ コ ン を使 っ て 描 け.角
の 単 位 は ラ ジ ア ン とす る.
(1)y=2sinx (2)y=sin2x (3)y=sin(x-π/4) (4)y=3sin(2x-π/2) 解説
コ ン ピ ュ ー タ を 使 え ば 簡 単 に グ ラ フ が 描 け る の で 解 答 は 省 略 す る が,次
の こ とは確 認
し て お い て ほ し い. (1)y=2sinxの
グ ラ フ はy=sinxの
グ ラ フ をy軸
y=±2の 間 を 行 っ た り来 た りす る.こ で あ る 」 と い う.一 般 にy=asinxの
方 向 に2倍
の と き,「y=2sinxの 振 幅 はaで あ る.
引 き伸 ば し た し た も の で, 振 幅(amplitude)は2
(2)sinの 中 身 が2π 変 化 す れ ばsinの 値 は 元 に 戻 る.と い う こ と は,sin2xはxが 化 す れ ば も と の 値 に戻 る と い う こ と で あ る.す な わ ち,sin2x=sin2(x+π)で y=sin2xの
周 期 は π とい う こ と に な る.一
(3)y=sin(x-π/4)は,y=sin0と はx=π/2の と き で あ る.一 こ れ は,y=sinxの
あ る.
方 向 に π/4平行 移 動 した の がy=sin(x-π/4)の
般 にy=sin(x-p)の
向 にp平
行 移 動 し た も の で あ る.グ
ment)に
関 し て は,さ
y=f(x-p)+qの
周 期 は2π/bで
な る の はx=π/4の と き で あ り,y=sinπ/4と なる の 般 に,y=sinXと な る の はx=X+π/4の と き で あ る.
グ ラ フ をx軸
フ と な る こ と を 示 す.一
般 にy=sinbxの
π変 あ り,
グ ラ フ はy=sinxの
グラ
グ ラ フ をx軸
方
ラ フ の 平 行 移 動(translation,paralleldisplace-
ら に 次 の こ と が 言 え る. グ ラ フ はy=f(x)の
グ ラ フ をx軸
方 向 にp,y軸
方向 に
q平 行 移 動 し た も の で あ る.も っ と 一 般 的 に 言 う と,f(x-p,y-q)=0の グ ラ フ はf(x,y)=0の グ ラ フ をx軸 方 向 にp,y軸 方 向 にq平 行 移 動 し た も の で あ る. こ れ の 証 明 は 高 校1年 (4)以
生 の 数 学 の 教 科 書 に 必 ず 出 て い る.確
認 して も ら い た い.
上 の こ と を 使 う と,y=3sin(2x-π/2)=3sin2(x-π/4)の グ ラ フ は 振 幅3,周 期 π のy=3sin2xの グ ラ フ をx軸 方 向 に π/4平行 移 動 した も の で あ る こ と が わ か る.π/2平 行 移 動 し た も の で は な い こ と に 注 意 し よ う.
4.4曲
線 の媒介 変 数表 示
例 え ば,方
程 式y=2xを
満 た す 実 数(x,y)の
組 は 無 数 に あ る.し
か し,ど
実 数 の 組 み 合 わ せ で も こ の 方 程 式 を満 足 す る わ け で は な い.y=2xを (x,y)をx-y座
標 に プ ロ ッ ト し た もの をy=2xの
フ トな ど で 描 くの は 容 易 で あ る8).ま め,そ
れ を2倍
し た デ ー タ を 求 め る.そ
満 た す実 数
グ ラ フ とい う.こ
ず,xの
値 を 適 当 な 範 囲,適
し て,そ
んな
れ を表計 算 ソ
当 な刻 み 幅 で決
れ ら を組 み 合 わ せ て プ ロ ッ トす れ
ば よ い. さ て,上
の 例 で は,実 数 の 組 を定 め る約 束 がy=f(x)と
場 合 を考 え た.こ 対 し,xがtの
れ は,あ
考 え よ う.す
る と,tの
で 定 め ら れ る 点Pは に な る.一
るxに
関 数 で 与 え ら れ,ま
対 し直 接yを
定 め よ う と い う も の で あ る.こ
た 同 時 にyもtの
値 が 変 化 す る に つ れ,x,yの
座 標 平 面 内 を 運 動 し,あ
般 に,「x=f(t),y=g(t)」
い う形 で 与 え ら れ て い る
値 が 次 々 と変 化 し,座 標(x,y)
る 曲 線(直 線 や 点 も含 む)を 描 くこ と
とい う形 で 曲線 を 表 す こ と を 曲 線 の 媒 介 変
数 表 示(parametricrepresentation)と
い う.そ
して,こ
の 場 合 のtの
yの 関 係 を 定 め て くれ る 変 数 の こ と を 媒 介 変 数(助 変 数,パ と い う.x=cosθ,y=sinθ 動 い た(4.2節).こ
れに
関 数 で 与 え ら れ て い る場 合 を
と し た 場 合,θ
よ う に,xと
ラ メ ー タ,parameter)
が 変 化 す る と 点P(x,y)は
単 位 円上 を
れ は,θ を 媒 介 変 数 に した 単 位 円 の 表 示 と い え る.媒
介変 数 表示
さ れ た 曲 線 の グ ラ フ を描 く の も 表 計 算 ソ フ トを用 い れ ば 楽 で あ る9). 課題
以 下 に 与 え ら れ た 曲 線 を パ ソ コ ン を用 い て 描 け.
(1)x=2t+1,y=t2+3t-6,-3≦t≦3 (2)x=cost,y=sint,0≦t≦2π (3)x=cost,y=cos(t+π/4),0≦t≦2π (4)x=cos5t,y=sin3t,0≦t≦2π (5)x=sin(3t/13)cost,y=sin(3t/13)sint,0≦t≦13π (6)x=sin(13t/4)cost,y=sin(13t/4)sint,0≦t≦8π
解 説 図4.8に グ ラ フ を並べ る.ど の グ ラ フが どの問 題 に対 応 してい るか 必 ず 自分 で グ ラ フ を描 い て確 か め て ほ しい. 補足
互 い に 垂 直 な 方 向(例
動10)を 合 成 し て 得 ら れ る2次 figures)と
い う11).上
え ばx-y座
標 平 面 に お け るx軸
方 向 とy軸
方 向)の 単 振
元 運 動 の 軌 道 の 示 す 図 形 を リ サ ー ジ ュ 図 形(Lissajous
の 課 題 の 第2,3,4問
が リ サ ー ジ ュ 図 形 の 例 で あ る.
も ちろ ん,媒 介 変 数 表 示 は 空 間 図形 で も有 効 で あ る.例 えば,一 つ の媒 介変 数t を用 い て
図4.8曲
と して 点P(x,y,z)を と な る.例
線 の パ ラ メー タ表 示 の例(課 題 の 答 え)
定 め る と き,点Pの
軌 跡 は 空 間 内 の 曲 線(直 線,点
も 含 む)
え ば,
じょうらせ ん
で 表 さ れ る 図 形 は 図4.9の 補足
よ う に な る.こ
物 体 が 空 間 内 を 運 動 し て い る とす る と,そ
時 間 と と も に 変 化 して い く.そ g(t),z=h(t)と 5sint,z=tは
の た め,物
と に な る.
4.5加
法 定 理 で,
の 物 体 の 位 置(x,y,z)の
体 の 位 置 は 時 刻tに
各成分は
対 してx=f(t),y=
表 さ れ る こ と に な る.例 え ば,図4.9で 考 え たx=5cost,y= 時 刻tに お け る 点 の 位 置 を 表 す と し よ う.こ の 物 体 の 運 動 をx-y平
面 に 投 影 す れ ば 等 速 円 運 動 で あ り,z軸
4.1節
の よ う な 図 形 を 常 螺 旋 と い う.
に投 影 す れ ば等 速 直線 運 動 を行 って い る こ
図4.9x=5cost,y=5sint,z=tの
な る 関 係 式 を扱 っ た.こ の 三 角 関 数 を,も
グ ラ フ(0≦t≦7π)
の ほ か に も,角
を足 した り引 い た り し た と き に 得 ら れ る 角
と の 角 の 三 角 関 数 で 表 した く な る こ とは よ く あ る .こ の と き,基
本 とな る公式 は
(4.2) (4.3) で あ る.筆 い る.深
者 は こ れ を語 呂 合 わ せ で,「 サ イ ン最 高,交
い 意 味 は な い12).な
お,こ
こ こま い さい さい
際 」,「古 々 米 采 々 」 と覚 え て
れ ら の 式 は 図4.10のx,yを
求 め る こ とに よ り
証 明 で き る. 課題
式(4.2),式(4.3)を
を 示 せ.ま
を 示 せ.
実 際 に 示 し て み よ.さ
た,tan(α+β)=sin(α+β)/
cos(α+β)な
ら に,こ
ど を 利 用 し て,
れ ら の 公 式 を利 用 し て,
図4.10加
解説
法定理の公式の証明
図 形 問 題 に 習 熟 し て い な い と 難 し い が,こ
の 課 題 で 練 習 を 積 む こ と に よ り身 体 運 動 に
お け る各 セ グ メ ン トの 位 置 関 係 を 把 握 す る 下 地 が 出 来 上 が る と 思 っ て 頑 張 っ て ほ し い. 図4.10の よ う に 直 線OQにPか ろ した 垂 線 の 足 をB,Pか らx軸 線 の 足 をDと
す る.こ
る.△OPAに
ら 下 ろ した 垂 線 の 足 をAと に 下 ろ し た 垂 線 の 足 をC,Aか
こ で ∠OAD=α
で あ り,そ
で あ る.次
着 目 す れ ばPA=OPsinβ=sinβ に △PADに
に △OABに
れ ゆ え ∠APD=α で あ り,ま
で あ る こ と が わ か る.次 と求 め ら れ る.こ
標 は 線 分PCの
で あ る こ と に 気 づ け ばy=sinαcosβ+cosαsinβ
る.式(4.2),式(4.3)の
β に-β
で あ ろ う.な
課題
お,図4.7に
公 式 が 得 ら れ る.tanの
お い てy=cosxの
グ ラ フ に 重 な る の も,加
と求 め られ
を代 入 し,sin(-β)=-sinβ,cos(-β)=cosβ
こ と を 用 い れ ばsin(α-β),cos(α-β)の
グ ラ フ をx軸
である
加 法 定 理 は も はや 簡 単
方 向 に π/2だけ 平 行 移 動 す る と
法 定 理 を 用 い れ ば 容 易 に確 認 で き よ う.
加 法 定 理 の公 式 を利 用 して 以下 の 式 が 成 り立 つ こ と を示 してみ よ.
さ らに次 の式 も示 せ.
上 よ り,
れ は 点Pのx
長 さ で あ り,PD=cosαsinβ,
DC=AB=sinαcosβ
y=sinxの
であ る こ とが わ か
で あ る こ と が わ か る.以
OC=OB-BC=OB-AD=cosαcosβ-sinαsinβ 様 に,点Pのy座
らx軸 に下 下 ろ した垂
たOA=OPcosβ=cosβ
着 目 す れ ばAD=PAsinα=sinαsinβ
着 目 す れ ばOB=OAcosα=cosαcosβ
座 標 に ほ か な ら な い.同
す る.ま たAか ら 直 線PCに
さ ら に 次 の 式 も 示 せ.た
だ しa,bは
同 時 に0に
ここ で,α は座標 平 面 上 に点P(a,b)を は座 標 平 面 上 に点Q(b,a)を 解説
は な ら な い と す る.
とっ た と き,OPがx軸
とっ た と き,OQがx軸
の正 方 向 となす 角 で あ り,β
の 正方 向 と なす 角 で あ る.
三角 関数 の 加 法 定理 の公 式 を応 用 す る だ けで あ る の で解 答 は 省 略 す る.こ の課 題 で あ
げ た公 式 は今 後 しば しば現 れ る.暗 記 しな くて も よいが,そ れ ぞ れ を1分 程度 で導 け る よ う に して お くこ とが 望 ま しい(必 要 な と きに この ペ ー ジ を1分 程 度 で 開 け る よ う に して お け ば よい の か も しれ ない が).
4.6複
素 数 の積 の再 論
一 般 にp
,qを
実 数 とす る と き,複
の 点 と して 表 す こ とが で き る(3.5節 る と,こ
素 数z=p+qiを 参 照).こ
図4.11の
こ で,図4.11の
よ うに複 素平 面 上 よ う に 角 度 θ を定 め
の複 素 数 は
と 表 さ れ る こ と に な る.た │z│で あ る.ま
た,こ
だ し,r=√p2+q2で
あ り,こ れ は 複 素 数zの
こ で 定 め ら れ た 角 度 θ(p=rcosθ,q=rsinθ
満 た す θ)の こ と を,複
素 数zの
偏 角(argument)と
図4.11複
呼 び,argzと
素数の幾何学的表示
大 きさ
とい う関係 を 書 く.複 素 数 を
そ の 絶 対 値(大
き さ)と 偏 角 で 表 す,z=r(cosθ+isinθ)の
よ う な 表 記 を 複 素 数z
の 極 形 式 とい う13). こ こ で,p.44で
提 起 して お い た 「一 般 にp,qを
実 数 とす る と き,複 素 数z=p+qi
を か け る と い う操 作 は 複 素 平 面 上 の あ る点(複 素 数)を
どの よ う な 点 に移 す 操 作 に対
応 す る で あ ろ う か.」 とい う 問 題 に つ い て 考 え て み よ う.答 z=p+qiを 表 す.逆
か け る と い う操 作 は│z│=r=√p2+q2倍
え か ら 言 う と,複
の 拡 大 とargz=θ
素数
の回転 を
に,r倍 の 拡 大 お よ び角 度 θの 回転 はz=rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isinθ)
を か け る こ と に 対 応 す る. 次 に,こ し,こ
の 回 転 ・拡 大 が 行 わ れ る 様 子 を 示 し て み よ う.z'=r'(cosα+isinα)と
れ にz=r(cosθ+isinθ)を
こ れ は ま さ に,r倍
か け る.
の 拡 大 と角 度 θ の 回 転 を 表 し て い る.な
お,最
後 の式 変 形 に三
角 関 数 の 加 法 定 理 を使 っ た. さ て,r倍
の 拡 大 お よ び-θ の 回 転 を 表 す 複 素 数 が,z'=r{cos(-θ)+isin(-θ)}=
r(cosθ-isinθ)=rcosθ-irsinθ rcosθ,q=rsinθ 素 数zは,z=p+qiで 係 に あ る とい う.ま conjugate)と
と な る こ と は 直 ち に わ か る で あ ろ う.p=
とお く と,z'=p-qiと
な る.r倍
の 拡 大 お よ び θの 回 転 を 表 す 複
あ る が,こ れ らz=p+qiとz'=p-qiと た,複 素 数z'=p-qiを
い う.も
を互 い に複 素 共 役 の 関
複 素 数z=p+qiの
ち ろ ん,z'=p-qiの
共 役 複 素 数(complex
共 役 複 素 数 はz=p+qiで
あ る.共
バー
役 複 素 数 を 表 す た め に,複 の と き,z=p-qiの
素 数 の 上 に 棒 を付 け る の が
よ う に 書 く.z=zで
一般 的 だ.つ
ま り,z=p+qi
あ る こ と は 容 易 に 理 解 で き る で あ ろ う.
書 く ま で も な い こ と だ が,│z│=│z│,argz=-argz,Rez=Rez,Imz=-Imz で あ る.
補 足 こ れで 複 素 数 に対 して 図 形 的 な イ メ ー ジが 湧 き,多 少 は 違和 感 が 減 った の で は な か ろ うか.し か し,ま だ,複 素数 が 実 際 に役 立 つ か どうか につ い て は疑 問 を抱 く人 も多 か ろ う.本 書 で は複 素 数 の応 用 は ほ とん ど扱 わ な いが,複 素 数 はい ろい ろ
な方 面 で役 に立 つ の で あ る.微 分 方 程 式 を解 く際 に も よ く用 い られ る.複 雑 な実 数 関 数 を積 分 す るの に複 素数 を援 用 す る と楽 に処 理 で きる こ と もあ る.交 流 回路 の 問 題 は複 素 数 を用 い ない と計 算 が や た ら大 変 に なる14).デ ー タの ス ペ ク トル 解析 で用 い られ る フ ー リエ 変 換 を本 格 的 に学 ぶ た め に も複 素 数 の 知識 は欠 か せ な い.複 素 数 はほ か に もい ろい ろな場 で応 用 され るが,こ れ は複 素 数 が 三角 関数 と切 って も切 れ ない 関係 が あ る こ と に起 因す る.こ の こ とに 関 して は8.4節
で補 足 す る.
注 1)図4
.1に 示 され た 三角 形 の よ う に,拡 大 ・縮 小 ・回 転 ・反 転 ・平 行 移 動 とい う操作(の 組 合 わ せ)に よ って 重 ね 合 わ せ る こ とが で き る図 形 を 「互 い に相 似 形(similarfigures)で あ る」 と い う. 2)ピ タ ゴ ラ ス の 定 理 と も い う.英 語 で は “Pythagoreantheorem” ま た は “theoremofthree squares” とい う. 3)鋭 角 は英 語 で は “acuteangle” と い う .な お鈍 角 は “obtuseangle” で あ る. 4)一 般 に,0で ない あ る定 数pに 対 しf(x+p)=f(x)が 定 義 域 内 の任 意 のxに 対 して成 立 す る よ う な関 数f(x)を 周 期 関数 とい い,定 数pの こ とを 周期(period)と い う.周 期 は無 数 に あ る が,そ の うち 正 で 最小 の もの を特 に基 本 周 期(primitiveperiod)と い う.誤 解 が な けれ ば,基 本 周 期 の こ と を単 に周 期 と呼 ぶ こ と もあ る. 5)卑 近 な例 で は ,地 図 上 の3丁 目4番 地,な ど もそ うだ.道 は くね くね して い るが き ち ん と住 所 を指 定 で き る. 6)古 代 か らあ らゆ る国 で 円 は完 全 な もの の 象 徴 と考 え られ て きた . 7)ル ドル フ(Ludolph)は 円周 率 を小 数 点 以 下35桁 まで 計 算 す るの ため に正262角 形 の周 の 長 さ を 計 算 した とい う(『 円周 率 π の 不 思 議 』,堀 場 芳 数 著,講 談 社 ブ ル ーバ ッ クス). 8)込 み 入 っ た 関数 で 表 され た グ ラ フ は表 計 算 ソ フ トで な く ,し か るべ きソ フ トを使 っ た 方 が 簡 単 に描 け る. 9)式 とパ ラ メー タの 範 囲 を指 定 す るだ け で 曲 線 を描 い て くれ る ソ フ トもあ る. 10)asin(ωt+δ)の
形 で 表 せ る 運 動 .11.3.6項
11)リ サ ー ジ ュ(Lissajous
,1812-1880)は 12)こ れ は筆 者 オ リ ジナ ル の もの だ が(同
参 照.
フ ラ ンス の 物 理 学 者 で あ る. じ覚 え歌 を思 い つ い た 人 もい るか も しれ な い が)
,ほ か に 「咲 い た コス モ ス,コ ス モ ス 咲 い た」,「コ ス モ ス コ ス モ ス咲 い た 咲 い た」 の よう な ロ マ ンチ ッ クな もの もあ る よ うだ(校 正 を 引 き受 けて くれ たT氏 に教 わ っ た).最 後 の 覚 え歌 で は 自分 で マ イ ナス 符 号 を
補 う こ と. 13)複 素 数 の 偏 角 に は2nπ
の 不 定性 が あ る(n:整
数) .普 通 は,偏 角 と して0≦
θ<2π
を選 ぶ こ とが
多 い. 14)最 近 ,筋 肉 と体 脂 肪 の量 を推 定 す るた め に 身体 の イ ン ピー ダ ンス を用 い る方 法 が 注 目 され て い る が, イ ン ピー ダ ンスZと は 電 流Iと 電 圧Vを 複 素 数 で 表 した と き,V=ZIと い う 関係 式 で 定 義 され る量 で あ る.Zの 実 部 を “抵 抗 ”,虚 部 を “リア ク タ ンス” と呼 ぶ.な お,と りあ えず は,電 流 や 電 圧 が 複 素 数 とい う実 体 を持 つ と い う よ りは,そ の振 る舞 い を複 素 数 で 簡 潔 に 表 現 で きる と考 えれ ば よい で あ ろ う.
5 ベ ク
トル
ベ ク トル は図形 問題 を定性 的 ・定 量 的 に扱 う際 に非 常 に強力 な道 具 と して活 躍 す る. また,物 理量 の 中 には ベ ク トル と して振 る舞 う量 が 数 多 くあ り,力 学 をマ ス ターす るた め に も本 章 程 度 の こ とはぜ ひお さえ て お い て も らい た い1).
5.1ベ
ク トル と は
ベ ク トル(vector)を
ど の よ う に 導 入 す る か は 悩 ま し い.あ
ま り公 理 に こ だ わ っ
て 議 論 す る の は 初 心 者 に は 抽 象 的 で掴 み 所 が な く感 じる で あ ろ う.初 級 レベ ル で は 「大 き さ と向 き を 持 つ 量 を ベ ク トル と い う 」 と い っ た 感 じで 話 を 始 め る か,「 数 を並 べ た も の が ベ ク トル で あ る 」 と い っ た 感 じで 話 を 始 め る の が い い で あ ろ う.高 校 数 学 で は 前 者 を と っ て い る の で,本
節 で も そ れ に な ら お う.す
は 大 き さ と 向 き を もつ 量 で あ る 」 と す る2).大 し て は 等 し い と い う こ と に な る.例 が 運 動 し て い る と き,そ 10m(10m/s)と
き さ と向 き が 等 し け れ ば ベ ク トル と
え ば 速 度(velocity)と
ク トル 量 と見 な す の で あ る.そ
き さ だ け を 持 つ 量 を ス カ ラ ー(scalar)と
お,大
き さ ゼ ロ(0)の
か,秒
い う.例
え ば,質
ベ ク トル を ゼ ロ ベ ク トル と呼 び,0(太
ロ ベ ク トル の 向 き は特 に 定 め な い4). よ う な 有 向 線 分 を 用 い る こ とが 多 い5).こ
向 線 分 は 大 き さ と 向 き が 等 しい(平 行 移 動 す れ ば 重 な る).そ
の よ う に書 く こ とが あ る.さ
向 線 分ABに
ら に,「ABをaと
れ
量 は65kgと
ベ ク トル を表 す の に 図5.1の
お,有
速
こ で 質 量 は ス カ ラ ー 量 と考 え
の ゼ ロ)と 本 書 で は表 記 す る.ゼ
ベ ク トル は 等 しい と考 え る.な
体
の 向 き も指 示 し な くて は い け な い.そ
い う よ う に 大 き さ だ け を指 定 す れ ば こ と は 足 りる.そ る わ け で あ る3).な
い う量 を 考 え よ う.物
の 速 度 を 指 定 す る の に 時 速50km(50km/h)と
い う だ け で は 不 十 分 で,そ
こ で 速 度 を 「大 き さ と 向 き を 持 つ 量 」 と考 え,ベ に対 し,大
な わ ち,「 ベ ク トル と
の た め,こ
字
れ らの有 れ らの表 す
よ っ て 表 さ れ る ベ ク トル を,AB お く」 な ど とい っ て,ベ
ク トル を1
文 字 で 表 す こ と も あ る. 「ベ ク トル と し て 等 し い 」 こ と を 表 す た め に,普 通 の 数 の 場 合 と同 じ く “=” を 用 い る.図5.1の
場 合 は,AB=CD=EFで
あ る.
図5.1ベ
補足
ク トル と有 向 線 分
高校 で はベ ク トル を一文 字 で 表す と き,“a”
な どの よう に書 く.し か し,現
在 で はベ ク トルの概 念 は非 常 に拡 張 され て お り,“矢 印” とい う と らえ方 で は 誠 に不 十分 で あ る6).ま た,い ろい ろ な演 算 を考 え る と きに,表 記 上 の 都 合 で 文字 の上 の 矢 印 が 煩 わ しい こ と もあ る.そ こで,ベ ク トル を文 字 の上 に → を付 け ない で,ボ ー ル ド体 で 表 して み た り二 重 活 字 を使 った りして ス カ ラ ー量 と区別 す る こ とが数 学 や 物 理 の 世界 で は多 い.本 書 で も一 文 字 で ベ ク トル を表 す と きに は “a”の よ うな表 記 を用 い る こ とにす る.
5.2ベ
ク トル の 和 ・差 ・実 数 倍
「大 き さ と向 き を持 つ 量 」 と して ベ ク トル を と ら え る場 合,ベ を移 動 さ せ る ” と い う 観 点 か ら考 え る と わ か りや す い.す る 場 合,図5.2の aに
よ う に ま ずaの
よ っ て 点 がAか
らBに
え る.結
局,a+bは
し い,と
見 る の で あ る.こ
終 点(頭)とbの
運 ば れ,次
点 をAか
よ っ てBか
らCま
計算す して, 考
で 運 ぶ 操 作 に 対 応 し,そ れ は ベ ク トルcに
等
れ を,a+b=cと
図5.2ベ
始 点(し っ ぽ)を 重 ね る.そ
で 運 ば れ る,と
らCま
にbに
ク トル の 和 は “点
な わ ち,a+bを
書 く.こ れ が ベ ク トル の和 の 定 義 で
ク トル の 和
図5.3ベ
あ る,と
い い た い が,定
て お こ う7).ま
義 と呼 ぶ に は ち ょ っ と ツ タ ナ イ.ま
たa+b=cで
あ る か ら,c-a=bと
う に ベ ク トル の 差 を 定 義 す る.つ
ま り,cとaの
終 点 に 向 か っ て 矢 印 を 引 け ば,c-aを 他 の 作 図 法 もあ る が,そ 図5.3の
ク トル の整 数 倍
が 正 の と き に はaの
向 き に 等 し く,負
と もに
で 触 れ る8). ク トル の 整 数 倍 を 考 え る
れ を拡 張 す る 形 で ベ ク トル の 実 数 倍 が 定 義 で き る .す き さ はaの
の よ
終 点 か らcの
表 す ベ ク トル が 作 図 で き る.和,差
れ に 関 して は5.3節
を 実 数 と した と きkaは,大
る 」 と す る.以
図 法 と で もい っ
い う よ り,こ
始 点 を合 わ せ,aの
よ う に 自分 自 身 と の和 や 差 を 考 え て い く と,ベ
こ とが で き る.こ
あ,作
な る,と
大 き さ(│a│と
表 記 す る)のk倍
な わ ち,「k で,向
き はk
の 場 合 に は 逆 向 き で あ る よ う な ベ ク トル で あ
上 の よ う に ベ ク トル の 演 算 を 定 め た 場 合 ,次 の 性 質 が 成 り立 つ(k,l
は 実 数). (1)a+b=b+a (2)(a+b)+c=a+(b+c) (3)k(a±b)=ka±kb (4)(k±l)a=ka±la
な お,以
上 の 話 は2次
元 ベ ク トル(平 面 ベ ク トル)で
も,3次
元 ベ ク トル(空 間 ベ
ク トル)で も成 り立 つ.
5.3加
法 ・減 法 再 論
数 に 関 す る 四 則 演 算 に 関 して は 小 学 生 の 頃 か ら扱 っ て き た.そ い 人 は い な い だ ろ う.し 差 とは 何 か.差
を と る と き引 く順 序 に 意 味 が あ る の だ ろ うか.あ
四 則 演 算 は 常 に 可 能 な の だ ろ う か.掛 る の か.こ
こ で は,足
の計 算 法 を知 らな
か し,そ の 意 味 を考 え た こ と は あ る だ ろ う か .和
とは 何 か.
る 量 と別 の 量 と の
け 算 や 割 り算 は物 理 で は ど の よ う な 働 き をす
し算 と引 き算 に つ い て ち ょ っ と考 え て み よ う.
図5.4足
300+200=500と も知 れ な い.こ
し算 を動 的 に と ら え る.
い う 式 に つ い て 今 さ ら何 を い う こ と が あ る の だ ろ う と 思 う か の 計 算 は 小 学 校 一 年 生 の と き に 習 っ た.そ
る た め の 道 具 と して 導 入 さ れ た.「300個 個 」 とい っ た 感 じ で あ る.し 向 性 を 考 え て,足
か し,こ
こ で は,数
る の で あ る(図5.4).こ
こ か ら さ ら に 逆 の 方 向 に 新 た に200m進
い っ た 具 合 に,数
ん で,
い う も との 量 にbと い う
の 観 点 に 立 っ て,300-200=100と
い う何 の 変 哲 も な い 式 を300+(-200)=100と 進 ん で,そ
の 向 き とい っ た 方
あ る」 とい っ た 具 合 に考 え
い う数 式 を,aと
新 た な 量 が つ け 加 わ る と考 え る の で あ る.こ
わ せ て500
な わ ち,「 最 初 に300m進
ん だ 結 果 が500mで
の よ う に,a+bと
は もの を数 え
の りん ご,合
に 正 の 向 き,負
し算 とい う も の を考 え て み る.す
そ こ か ら さ ら に 同 じ方 向 に200m進
こ で は,数
の りん ご と200個
足 し算 で 考 え れ ば,「 最 初 に300m ん だ 結 果 が100mで
あ る」 と
式 か ら何 か 生 き生 き と した 状 況 が 目 に 浮 か ん で くる よ う で は な い
か9)(図5.5).
図5.5引
さ て,今,引
き算 を負 の量 を たす と とら え る.
き算 を 足 し算 の 拡 張 と と ら え る こ と に よ り計 算 を ダ イ ナ ミ ッ ク な イ
メ ー ジ で と ら え る こ と に 成 功 し た.次
に 引 き算 を 別 の 観 点 か ら考 え て み る こ と に し
図5.6引
よ う.“300-200=100”
き算 を基 準 の 変 更 と して と ら える.
とい う数 式 と “200-300=-100”
何 も違 わ な い よ う な 気 が す る.こ か ら見 る とA君
は100m高
君 か ら見 る とB君 す な わ ち,B君
は100m低
か ら見 る とB君
算 さ れ る.こ
の 事 実 は,引
式 は,bと
い う 量 をaを
き算 に は,基
は200[m]-300[m]=-100[m]の
い う数 の よ うに引
に 関 して も そ の ま ま 適 用 で き る.
を 作 図 し て 求 め る こ と を 考 え て み よ う .作 図 例 は 図5.7 こ でcをOか
い た る結 果OCと
ら 出 発 し,Aを
よ っ てAま
し た の で あ る.そ
考 え た こ と に な り,Oか
い た る 結 果OCと ら 出 発 し,Bを
で 進 み,そ
の 後 さ ら に-bと
れ に対 し,dを
得 る た め にBAを
眺 め る こ と で あ り,Bか
らAに
通っ
考 え,ま
い う 新 し い 量 だ け 進 ん でDに 作 図 し た 人 は,引
な わ ち,d=a-b=OA-OBと
し
考 え た こ と に な る.
作 図 し た 人 は,d=a-bをd=a+(-b)と
変 更 と と ら え た わ け で あ る.す
到着
き算 を 基 準 の
は,Bを
基準 に
矢 を 引 け ば よ い と と ら え た の で あ る.有
表 さ れ る ベ ク トル も有 向 線 分ODで
して は 同 じだ が,作
通 っ てCに
し て 得 られ た と考 え れ ば ,c=b+aと
得 る た め にODを
してAを
な わ ち,
基 準 に して み る こ と を示 し,b-aと
基 準 に し て み る こ と を示 して い る の で あ る.こ
て 得 ら れ た と考 え れ ば,c=a+bと
向 線 分BAで
位 置 に い る と計
き算 の 順 序 に は 意 味 が あ る こ と を 示 し て い る.す
き算 の概 念 は ベ ク トル の和,差
の よ う に な る が,こ
ずaに
位 置 に い る と計
準 の 変 更 とい う 意 味 が あ る の で あ る.
以 上 の 足 し算,引
ま た,dを
位 置 に い る)こ と に な る.
は300[m]-200[m]=100[m]の
い う量 をbを
c=a+bとd=a-bと
てCに
位 置 に い る)こ と に な り,A
い と こ ろ に い る(-100mの
か ら 見 る とA君
い う数 式 は,aと
とい う数 式 は 同値 で,
よ う な 状 況 を 考 え て み よ う.B君
い と こ ろ に い る(+100mの
算 さ れ,A君
a-bと
こ で,図5.6の
表 さ れ る ベ ク トル も,ベ
図 の際 の イ メ ー ジは だい ぶ違 うの で あ る.
ク トル と
図5.7ベ
補足
ま あ,上 の よ う に考 え な くて も,d=a-b=OA-OB=OA+BO=
BO+OA=BAと 逆 にBAを
い っ た具 合 に,あ る程度 機 械 的 に作 図法 を考 え る こ と もで きる. 見 た と き,任 意 の点Oを
と,お よ びBAはBか
5.4ベ 図5.8の 原 点Oに
ク トル の和 と差 の 作 図 法
ら見 たAの
持 って きてBA=OA-OBと
分 解 で きる こ
位 置 で あ る とイ メ ー ジで きる こ とは重 要 で あ る.
ク トル の 成 分 よ う に座 標 軸 を と る.あ と る と,有
き,例 え ばa=OAと
る与 え ら れ た ベ ク トル を 表 す 有 向 線 分 の 始 点 を
向 線 分 の 先 端(終 点)が 座 標 平 面 内 に1点 な り,Aの
座 標 が(a1,a2)な
図5.8ベ
だ け 決 ま る.そ
ら ば,a=(a1,a2)と
ク トル の成 分 表 示
の と
書 く.そ
し て,a1,a2を
そ れ ぞ れaのx成
す る と き,以
分,y成
分 と い う.a=(a1,a2),b=(b1,b2)と
下 が 成 り 立 つ こ と は 簡 単 に 確 か め ら れ よ う.
(1)a=b⇔a1=b1か
つa2=b2
(2)ka=(ka1,ka2) (3)a+b=(a1+b1,a2+b2) (4)a-b=(a1-b1,a2-b2) (5)│a│=√a12+a22
0=(0,0)で
あ り,ま た,x軸
軸 方 向 の 単 位 ベ ク トル をeyと
方 向 の 単 位 ベ ク トル(大
点Aの
ベ ク トル)をex,y
す る と,
と な る こ と は 重 要 で あ る(図5.8参 課題
き さ1の
照).
座 標 を(a1,a2),点Bの
座 標 を(b1,b2)と
し た 場 合,ABの
解 説AB=OB-OA=(b1,b2)-(a1,a2)=(b1-a1,b2-a2)と
成 分 を 求 め よ. す れ ば よ い.順
序を
間 違 え な い こ と.
二 つ の 成 分 だ け で 指 定 さ れ る ベ ク トル を2次 以 上 の 議 論 を3次
元 ベ ク トル(平 面 ベ ク トル)と い う.
元 ベ ク トル(空 間 ベ ク トル)に 拡 張 す る の は 簡 単 で あ る.つ
空 間 に直 交 す る 座 標 軸 を考 え,2次 え て い く の で あ る.そ
元 ベ ク トル と 同様 にx成
の 表 記 の 仕 方 は2次
分,y成
分,z成
ま り, 分 を考
元 ベ ク トル に な ら え ば よい .以 下 の こ と
が 成 り立 つ の も容 易 に確 認 で き る で あ ろ う. a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)と (1)a=b⇔a1=b1か
す る. つa2=b2か
つa3=b3
(2)ka=(ka1,ka2,ka3) (3)a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3) (4)a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) (5)│a│=√a12+a22+a32
な お,0=(0,0,0)で
あ る.
ベ ク トル の よ い と こ ろ は ,2次
元 ベ ク トル も3次
同 様 に扱 え る と い う こ と で あ る.力 式 化 を行 っ て か ら,必
元 ベ ク トル も形 式 的 に ま っ た く
学 の 問 題 を 解 く と き も,ま
ず ベ ク トル に よ る 定
要 に 応 じて 成 分 計 算 を して い く よ う に す る と よ い.
補 足1ベ
ク トル を多 次元 量 と して 導 入 し,ベ ク トルの 大 きさや ら和 や らを上 の箇
条書 きの よ うに定 め た 方が5.2節 よ りも定 義 ら しか ろ う.そ して,2次 元,3次 元 ベ ク トル は 図形 の 世 界 で も有 用 だ とい う脈 絡 で5.2節 の 内容 に持 って い く方 が,む し ふっ しょ く
ろベ ク トル に対 す る違和 感 を 払拭 で きる か も しれ な い.多 次 元 の 量(成 分 が た くさ んあ る量)は 別 に非 日常 的 な もの で は ない.「 み か ん,り ん ご,な し,桃,い ち ご」の 順 で 単価 を並 べ れ ば,“ 単 価 ベ ク トル”が で きる し,売 り上 げ 個 数 を並 べ れ ば “ 売 り 上 げ個 数 ベ ク トル”が で きあ が る.も っ と も,数 を並 べ れ ばベ ク トル に な る,と い うわ け で は な い.む しろ,あ る種 の 演算 を満 たす もの が ベ ク トルで あ り,そ の例 と して 平面 ベ ク トル もあれ ば,空 間 ベ ク トル もあれ ば,一 般 に多 次 元 ベ ク トル もあ る, と考 えた 方が よ い.た だ 力学 の範 囲 内 で ベ ク トル を使 う こ とだ け を考 え れ ば,本 書 の よ うな 導入 が わか りや す か ろ う と考 えた次 第で あ る. 補 足2本 節 で は ベ ク トル の 線形 独 立 性 な どの議 論 が 必 要 な と ころ で あ るが,直 感 的 に話 を済 ませ て しま った.こ れ で困 る こ とは あ ま りない と思 うが,必 要 に応 じて 高 校 の 教 科書 く らい は読 み 返 してお くと よい.
5.5内 5.5.1内
積 積 の定 義
ベ ク トル を 「大 き さ と 向 き を 持 つ 量 」 と し て 導 入 した の で,内 も大 き さ と 向 き の 観 点 か ら定 義 し よ う.す 0で
な い 二 つ の ベ ク トルa,bの
bの 内 積 と い い,a・bと
と い う こ と に な る.な
書 く.す
お,a,bの
な わ ち,
な す 角10)が θの と き,│a││b│cosθ
をaと
な わ ち,
少 な く と も 一 方 が0の
と 定 め る.
図5.9a=OA,b=OB,aとbと
積(innerproduct)
の な す 角=θ
と き は,a・b=0
こ れ は,図5.9で
い う と,a・b=OA・OBcosθ=OA・OB'と
な って い る こ とに
注 意 せ よ11).OB'は,OB(=b)のOA(=a)方 る.ま
向 成 分(符 号 付 き12))に な っ て い
た,OA・OBcosθ=OB・(OAcosθ)と
方 向 成 分 と な っ て い る.内 な る.仕
積 は,力
はOAのOB
学 に お い て は 仕 事 と い う 量 を考 え る と き重 要 に
事 を “力 × 変 位 ” と し て 覚 え て い る 人 も多 い と思 うが,正
位 方 向 成 分 × 変 位 ” で あ る13).す す る と,仕
事Wは,W=F・sと
あ る た め,内
な わ ち,力 な る.な
ベ ク トル をF,変 お,内
確 に は “力 の 変
位 ベ ク トル をsと
積 で 得 られ る量 は ス カ ラー量 で
積 の こ と を ス カ ラ ー 積 とい う こ と も あ る.
例a・a=│a││a│cos0°=│a│2で る こ と か ら,a・b=0で
5.5.2内
も 書 け る.OAcosθ
あ る.ま
た,a⊥bな
ら ば,cos90°=0で
あ
あ る.
積 の性 質
a・b=│a││b│cosθ=│b││a│cosθ=b・aよ
り,交
換 則 が 成 り 立 つ.ま
た,図5.10
か ら,a・(b+c)=OA・OC=OA・OCcosθ=OA・OC'=OA・(OB'+B'C')= OA・OB'+OA・B'C'=│a│(│b│cosα)+│a│(│c│cosβ)=a・b+a・cの
よ うに分
配 則 も成 り立 つ.
図5.10内
5.5.3内
積 と成 分
5.4節 の 図5.8の き さ1の
積 の性 質 を考 え る ため の 図
よ う に 座 標 を 定 め る.ex,eyは
ベ ク トル)で あ る か ら,
互 い に直 交 す る 単 位 ベ ク トル(大
で あ る.さ
て,今,a=(a1,a2)とb=(b1,b2)と
の 内 積 を 計 算 す る と,a・b=
(a1ex+a2ey)・(b1ex+b2ey)=a1b1+a2b2と
な る.
課 題(a1ex+a2ey)・(b1ex+b2ey)=a1b1+a2b2が 成 り立 つ こ と を確 か め よ(途 の 分 配 則 や,ベ ク トル とス カ ラ ー の 積 は 交 換 可 能 で あ る こ と な ど を 用 い る). 解説
た だ 計 算 を 実 行 す る だ け で あ る の で 解 答 は 略 す.こ
分 の 積 を 計 算 し た 後,足
と な る こ と を 確 か め よ う.図5.11に
れ よ り,a1b1+a2b2=│a││b│cosθ
こ こ で,θ=β-α
積 は対 応 す る成
し合 わ せ れ ば よ い こ と が わ か る.
逆 にa1b1+a2b2=│a││b│cosθ
で あ る.こ
の 課 題 に よ り,内
中内 積
お い て
と な る こ と が 容 易 に 確 か め ら れ る.
で あ る.
図5.11内
課 題a1b1+a2b2=│a││b│cosθ
積 と成 分
が 成 り 立 つ こ と を確 か め よ.
解 説(a1,a2)=│a│(cosα,sinα),(b1,b2)=│b│(cosβ,sinβ)と
三 角 関 数 の 加 法 定 理 を使
え ば よ い. 課題
原 点 を 中 心 とす る 半 径rの
わ か る.こ 解説
れ を,直
円 の 方 程 式 は 三 平 方 の 定 理 よ りx2+y2=r2で
径 に 対 す る 円 周 角 は90°
円 の 方 程 式 と は,円
周 上 に 乗 っ て い る 点Pの
座 標 を(x,y)と
す 方 程 式 の こ と で あ る.原
点 を 中 心 とす る 半 径rの
円 とx軸
と す る.直
径 に 対 す る 円 周 角 は90°
ば,(x+r,y)・(x-r,y)=0と
し た と き にx,yの
満た
と の 交 点 をQ(-r,0),R(r,0)
で あ る か ら,QP・RP=0と な る.こ
あ る こ とが
で あ る と い う性 質 を 内 積 で 表 す こ と に よ り導 け.
な る.こ
れ よ りた だ ち にx2+y2=r2を
れ を成 分 で 表 せ 得 る.
課 題x-y平 面 に お い て,直 線 の 方 程 式 はax+by+c=0と 表 さ れ る(た だ し,a,bの 少 な く と も一 方 は0で な い とす る)こ と は 中 学 校 で 習 っ た.と こ ろ で,こ の 式 は(a,b)・(x,y) =-cの よ う に,ベ ク トル(a,b)と ベ ク トル(x,y)の 内 積 が 定 数-cで あ る と も 見 る こ とが で き る.こ
の 意 味 を 考 え よ.
解 説a・b=│a│(│b│cosθ)はaの る こ と は 図5.9で a2+b2が
定 数 で あ る こ と を 考 え れ ば,ベ
で あ る こ と が わ か る.た ル(a,b)と
大 き さ│a│とbのa方
説 明 し た.(a,b)・(x,y)が
に垂 直 な 直 線l上
ベ ク トル(x,y)の
な す 角 で あ る.OP=(x,y)と
向 成 分 が 定 数 で あ る と い う こ と は,点Pが に あ る こ と を 意 味 す る.直
つ,ベ
線lと
との積 と見 なせ
ク トル(a,b)の
ク トル(x,y)の(a,b)方
だ し,r=√x2+y2は
ベ ク トル(x,y)の
ク トル(a,b)方
向 成 分│b│cosθ
定 数 で あ り,か
向 成 分rcosθ 大 き さ で14),θ
す る と,ベ 図5.12の
大 きさ が定数 √ はベ ク ト
ク トル(x,y)の
ベ
よ う に ベ ク トル(a,b)
原 点 と の 距 離 をdと
す る とd=│c│/√a2+b2
が成 り立 つ が,こ れ は以 上 の説 明 を も とに考 え れ ば容 易 に導 くこ とが で きるで あ ろ う.な お, 直線 の方 程 式 は次 の よ う に考 え て も導 け る.点(x0,y0)を 点(x,y)はtを 実 数 と して と表 せ る.こ の 式 の両 辺 とlに 垂 直 なベ ク トルnと
を 得 る(n・l=0を ax+by=-cが
の内 積 を考 え る と,
使 っ た).n=(a,b),n・(x0,y0)=-cと
お け ば,直
線 の方程式
得 ら れ る.
図5.12直
以 上 の 話 は 平 面 ベ ク トル(2次
線 の方 程 式 の ベ ク トル に よ る説 明
元 ベ ク トル)の 話 で あ っ た.話
次 元 ベ ク トル)に 拡 張 す る の は 簡 単 で あ る.以 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)と
で あ る.
通 りベ ク トルlに 平 行 な直 線 上 の
を 空 間 ベ ク トル(3
下 に 結 果 だ け 記 す.
し,aとbと
の な す 角 を θ と す る と,
補足 多 次 元 量 と し て ベ ク トル を 導 入 し た ら,内 積 の 定 義 は 「対 応 す る 成 分 の 積 を 計 算 し た 後,足 し合 わ せ た も の で あ る 」 と な る(出 発 点 が 逆 に な る).す な わ ち, a=(a1,a2,a3,…,an),b=(b1,b2,b3,…,bn)と
で あ る.卑 近 な例 をあ げ る と,5.4節
す る と,
の補 足 の 「みか ん,り ん ご,な し,桃,い
ち ご」
の “ 単 価 ベ ク トル ” と “売 り上 げ個 数 ベ ク トル ”の内 積 は売 り上 げ金 額 にな る.デ ー タの 処理 な どで 無 意 識 の うち にベ ク トル の 内積 を計算 して い る こ とは意 外 に多 い こ とで あ ろ う.そ して,2次 元,3次 元 ベ ク トル を平 面 ベ ク トル,空 間ベ ク トル に対応 させ る と,内 積 は│a││b│cosθ に 一 致 す る,と い う流 れ にな る15).な お,内 積 は さ らに 一般 化 され,「 内積 の公 理 な る もの を定 め,そ れ を満 た す演 算 を内積 と呼 ぶ」 と い うの が ち ょっ と レベ ル の高 い数 学 の 立場 だ.
5.6ベ
ク トル 積
5.6.1ベ
ク トル 積 の 定 義
内 積 が 二 つ の ベ ク トル か ら “あ る 約 束 ” に従 っ て ス カ ラ ー を 作 る 演 算 で あ る の に 対 し,ベ
ク トル 積(vectorproduct)は
トル を 作 る 演 算 で あ る.二
と 表 記 す る.で
は,ベ
二 つ の ベ ク トル か ら “あ る 約 束 ” に 従 っ て ベ ク
つ の ベ ク トルa,bの
ベ ク トル 積 の 結 果 がcで
ク トル 積 の 定 義 を 説 明 し よ う.
ベ ク トル積 の 結 果 は ベ ク トル で あ る,と い う の だ か ら,cの a,bの
大 き さ と 向 き か ら定 め る こ と に な る.大
が θの と き,│c│=│a││b│sinθ で17),aか
らbの
課 題│c│=│a││b│sinθ の 向 き を 考 え よ(a,bの か っ て 来 る 向 きか,そ 解説
とす る.向
大 き さ と向 き を
き さ は,a,bの
き は,aとbの
な す 角16)
張 る平面 に垂 直
向 き に 右 ネ ジ を 回 し た と き に 右 ネ ジ の 進 む 方 向 と す る. は,図5.13の 平 行 四 辺 形 の 面 積 を 表 す こ と を 示 せ.ま 両 方 に 垂 直 な の だ か ら,紙 面 に 対 して 垂 直 と な る.後
た,c=a×b は,手 前 に 向
れ と も 向 こ う に 行 く 向 き か を 判 断 せ よ).
平 行 四 辺 形 の 面 積 が “底 辺 × 高 さ” で あ る こ と を 思 い 出 せ ば 難 し く は な い.c=a×b
の 向 き は 紙 面 に 垂 直 で 手 前 に 向 か う 向 き で あ る.な cの
あ る 場 合,
大 き さ とc'の
大 き さ は 等 しい.
お,c'=b×aの
向 き は そ の 逆 で あ る.
図5.13二 つ のベ ク トル の ベ ク トル積 の 大 き さは,そ 積 に等 しい.
5.6.2ベ
れ らの ベ ク トルが 作 る平 行 四 辺 形 の 面
ク トル 積 の 性 質
ベ ク トル 積 で は 交 換 則 は 成 り立 た な い こ と に 注 意 し よ う.c=a×b,c'=b×a と す る と,c=-c'と
な る(図5.14参
照).そ
れ に対 し,分
配 則 は 成 り立 つ.す
な
わ ち,
が 成 り立 つ(証 明 略). 平 行 な ベ ク トル 同 士 の ベ ク トル 積 は ゼ ロ ベ ク トル に な る こ と は 明 ら か で あ ろ う. θ=0°
ま た は θ=180°
の と き はsinθ=0だ
か ら で あ る.
補 足 内積 で はcosが 主役 だ っ た.cosに は あ る方 向 に平行 な成 分 を選 び 出す 働 き が あ る.ベ ク トル積 で はsinが 主役 だ.sinに は あ る方 向 に垂 直 な成 分 を選 び出 す
図5.14ベ
ク トル 積 で は交 換 則 は 成 り立 た な い.
働 きが あ る.力 学 で は,内 積 は仕 事 を計 算 す る と きに役 に立 つ(第13章 ク トル積 は 回転 運 動 を扱 う と き に役 に立 つ(第15章 参 照). 内 積 の と き と同 様 に,ベ
ク トル 積 も成 分 計 算 が で き る.図5.15の
軸 方 向 に 単 位 ベ ク トルex,ey,ezを
と る.こ
参 照).ベ
よ う に,各 座 標
れ らの ベ ク トル の 間 の ベ ク トル 積 は
ex×ey=-ey×ex=ez,ey×ez=-ez×ey=ex,ez×ex=-ez×ex=ey
と な る こ と は 容 易 に 示 せ よ う.こ とb=(bx,by,bz)=bxex+byey+bzezと
れ か ら,a=(ax,ay,az)=axex+ayey+azez の ベ ク トル 積 は,
(5.1) と な る こ と が わ か る18).
図5.15互
い に 直 交 す る 三 つ の単 位 ベ ク トル
課 題a×b=(aybz-azby,azbx-axbz,axby-aybx)を 解説
計 算 を 実 行 す る だ け な の で 解 答 は 省 略 す る.ベ
示 せ. ク トル と ス カ ラ ー の 積 は 交 換 可 能 で あ
る こ と に 注 意. 補足
ベ ク トル の 成 分 を横 に 並 べ る の は 必 ず し も見 や す く な い.そ
に 並 べ て 書 い た,
こ で,成
分 を縦
の よ うな表 記 もよ く用 い られ る.な お,x軸 右 ネ ジの進 む向 きがz軸
か らy軸 の方 向 に右 ネ ジ を 回 した と き
の正 方 向 で あ る よ うな 直交 座 標 系 を右 手系(right-handed
system)と い う19).右 手系 で は ベ ク トル積 の成 分 表 示 は式(5.1)と な る の で あ る. z軸 の 向 きが逆 方 向 の左 手 系 で は式(5.1)は 成 り立 た な い.そ こ ら辺 の研 究 は 読 者 に任 せ よ う.本 書 で は特 に 断 らない 限 り右 手 系 を考 える.
5.7位
置 ベ ク トル
一 つ の ベ ク トル を 表 す た め に有 向 線 分 を 用 い る 場 合 す る.平
,そ の 有 向 線 分 は 無 数 に存 在
行 移 動 し て ぴ っ た り重 な れ ば み な 同 じ ベ ク トル を 表 す か ら だ.し
向 線 分 の 始 点 を1点
に定 め て し ま え ば,一
の 有 向 線 分)し か 定 ま ら な い.逆 れ を 終 点 と す る 有 向 線 分 が,す
つ の ベ ク トル に 対 して 一 つ の 終 点(一 つ
に,始 点 を 定 め れ ば 空 間 内 の 任 意 の 点 に対 し て,そ な わ ち ベ ク トル が 一 つ だ け 定 ま る.こ
点 を 定 め る こ と に よ り空 間 内 の 点 を ベ ク トル で 表 す こ とが で き る.空 た め に 用 い られ る ベ ク トル を 位 置 ベ ク トル(positionvector)と は 使 い こ な せ る よ う に な る と非 常 に 強 力 な 道 具 と な る.バ 動 中 の 各 関 節 角 度 を 求 め た い こ とが あ る.例 よ う.何
ら か の 方 法 で,あ
が わ か れ ば,そ ば よ い.肘
置 ベ ク トル
関 節 角 度 を 求 め る こ と を考 え 首(W)の
座標
す る)の 成 分 と考 え れ の なす 角 で あ る.こ
の角
内 積 や ベ ク トル 積 を 利 用 す れ ば 求 め ら
ら に θ を 求 め る た め に は 逆 三 角 関 数(8.6節
参 照)を 使 え ば よ い
れ は し か る べ きパ ソ コ ン ソ フ ト を用 い れ ば 容 易 で あ る.
課 題a=OA,b=OBと (1)線
は,ESとEWの
間 の 点 を表 す
い う.位
れ を,各 部 位 の 位 置 ベ ク トル(順 にs,e,wと
を θ と す れ ば,cosθ,sinθ
が,こ
え ば,肘
の よ う に,始
イ オ メ カ ニ ク ス で は,運
る 直 交 座 標 系 に お い て 肩(S),肘(E),手
関 節 角 度 と は,ES=s-eとEW=w-eと
れ る こ と に な る.さ
か し,有
分ABをm:nに
す る. 内 分 す る 点Cの
位 置 ベ ク トルcは,
(5.2) とな る こ と を示 せ. (2)線 分ABをm:nに
外 分 す る点Cの
位 置 ベ ク トルcは,
(5.3) と な る こ と を 示 せ.
図5.16内
分 点 と外 分 点
解説 (1)図5.16aよ
り明 ら か に
で あ る.こ
れ よ り,
と な る. (2)m>nと
す る.図5.16bよ
で あ る.こ
れ よ り,
とな る.m
とき も同 様 に考 え て 同 じ式 を得 る.
課 題a=OA,b=OBと な る こ と(余 解 説p.71の
す る.線
弦 定 理)を
5.8行
分ABの
長 さ の2乗
がAB2=│a│2+│b│2-2a・bと
示 せ.
例 を 思 い 出 そ う.AB2=AB・AB=(b-a)・(b-a)=│a│2+│b│2-2a・b
と し て 証 明 さ れ る.aとbと な る.こ
り明 ら か に
の な す 角 が90°
な ら ばa・b=0よ
り,AB2=│a│2+│b│2と
れ は ピ タ ゴ ラ ス の 定 理 に ほ か な ら な い.
列 と一 次 変 換
本 書 で は18.2.3項
に お い て 少 し ば か り座 標 変 換 の 知 識 が 必 要 とな る.本
こ で 必 要 と な る 事 項 を 簡 潔 に ま とめ る.
節 で はそ
5.8.1行
列
数 を 長 方 形 に並 べ て 括 弧 を つ け た も の を 行 列(matrix)と 要 で は な い).そ
して,そ
れ ぞ れ の 数 を 成 分,数
並 び を 列(列 ベ ク トル)と い う.ま
は 左 か ら そ れ ぞ れ1×4行 n列 行 列)は,や
と 書 く.行
た,例
列,2×1行
呼 ぶ(括 弧 そ の も の は重
の 横 の 並 び を行(行 ベ ク トル),縦
の
えば
列,2×3行
列 と い う20).m×n行
列(m行
や 略 して
列 の 成 分 を 表 す の に,上
の よ う に 添 え 字 を2つ
使 う と便 利 で あ る.最
の 添 え 字 で 行 の 番 号 を,次 の 添 え 字 で 列 の 番 号 を表 す 習 慣 に な っ て い る.な
初
お,a11
は 「エ イ-イ チ イ チ 」 と読 め ば よ い. さ て,数
を ま とめ た だ け で は 意 味 が な い.こ
つ よ う に し よ う.こ
れ に(合 理 的 な)演 算 を 与 え,役
こ で は 積 だ け を 考 え る21).ま
と書 け る こ と を 思 い 出 そ う.こ
ず,ベ
れ に な ら っ て,1×2行
に立
ク トル の 内 積 は
列 と2×1行
列 の積 を
(5.4) と 定 め る22).ま
た,
を ま と め た 形 と し て,2×2行
列 と2×1行
列 の積 を
(5.5)
と定 義 す る.こ
れ よ り,連 立 方 程 式
(5.6) は
(5.7) と ま と め て 書 く こ と が で き る.と
はa≠0の
場 合,両
辺 にaの
と 解 く こ と が で き る23).こ を 利 用 し て い る.同
ころ で方 程 式
逆 数a-1を
か け る こ とに よ り
れ は,a-1a=1で
様 に,も
し,行
あ る こ と と,1×x=xで
あ る こ と
列
に対 して,
な るA-1,Eが
存 在 す れ ば,式(5.7)の
両 辺 にA-1を
か け て,
(5.8) と し て 連 立 方 程 式(5.6)を な形 を して い る の か.以
解 く こ と が で きる.で
は,Eと
は何 か.A-1は
どの よ う
下 に答 え の み を 述 べ て お く.
行列
を2×2行 x,yに
列 の 単 位 行 列(unitmatrix,identitymatrix)と
い い,任
意 の
対 して
(5.9)
が 成 り立 つ.ま
た,行
に お い てad-bc≠0の
列
と き,
と す る と,
(5.10) が 成 り 立 つ24).A-1をAの
逆 行 列 と い う25).
課 題 式(5.9),式(5.10)が 成 り立 つ こ とを確 かめ よ.た だ し,2×2行 列 同 士 の積 は式(5.11) に よ って 定 義 され る もの とせ よ. 解説
行 列 の積 の定 義 に基 づ い て成 分 計 算 をす る だ けで あ る.解 答 は省 略 す る.
さ らに
を ま と め た 形 と し て2×2行
列 と2×2行
列 の 積 を,
(5.11) と定 め る. 課 題2×2行
列 の単 位 行 列 をEと
した と き,
が 成 り立 つ こ と を示 せ. 解説
行 列 の積 の 定 義 に基 づ い て成 分計 算 をす る だけ で あ る.解 答 は省 略 す る. 補 足1行 列 の 導 入 に よ り連 立 方程 式 の解 法 が 一 般 化 され る(も ち ろん,未 知 数 の 数 は2個 に 限 る必 要 は ない).こ こで は その 一般 論 は しな いが,多 くの現 象 が 多 数 の 未知 数 の連 立 方程 式 の形 で表 せ る こ とを考 えれ ば,行 列 の重 要 性 が 納得 で きよ う.
補 足2方 程 式 の 数が 未 知数 の 数 よ り少 ない と き,方 程 式 の解 は複数 存 在 す る(解 が 存 在 しな い とき もあ る).方 程 式 の 数が 未 知 数 の数 よ り多 い と き,解 は存 在 しない 可 能性 が あ る.カ メ ラ を用 い た動 作 解析26)に お い て,あ る点 の位 置 座 標(x,y,z)を 決 定 し よう とす る と き,未 知 数 は三 つ であ る.そ れ に対 し,一 つ の カ メ ラか ら得 られ る位 置 座 標x,y,zに 関 す る方 程 式 は二 つ で あ る27).そ の た め,一 つ の カメ ラ の映 像 だ けで は位 置座 標 は決 定 で きな い こ と にな る.適 切 に設 置 さ れ た複 数 の カ メ ラ に よる映 像 が あ る と きは,三 つ の未 知 数 に対 し四 つ以 上 の 方程 式 が得 られ,理 想 的 に は そ の連 立 方程 式 は 一つ の 解 を持 つ28).し か し,測 定 誤 差 に よ り,(厳 密 な)解 が 一 つ も存 在 しない 場 合 が ほ とん どで あ る.そ の場 合,す べ て の方 程 式 を “ほ どほ ど満 たす 解 ”―― 近 似 解―― を求 め,そ れ を実 際 の座 標 の 測定 値(計 算 値)と す る.こ の近 似 解 を求 め る方法 ――最 小 二 乗 法,一 般 逆行 列―― につ い て は本 書 で議 論 しな い29). 行 列 の 積 は2×2行
列 程 度 で ち ま ち ま考 え る よ り も,一 般 にl×m行
行 列 との 積 はl×n行
列 に な る と して,そ
見 通 しが い い.l×m行 Cと
す る.す
と 書 こ う.こ
で あ る.こ
列 で あ る 行 列Aとm×n行
な わ ち,C=ABと
の と き,行
す る.こ
列Cのj行k列
の 積ABは(Aの
め)実 行 で き る が,積BAはn=lで な け れ ば)実 行 で き な い こ と は,今 n×m行
列,行
はm×m行
列Bをm×n行
列 と な り,両
の 数 が 一 致 す る行 列)で,か ぞ れ 一 致 す る)場 合,例 な る が,や
は りAB=BAは
い30))の だ が,本
列 で あ る 行 列Bと
の 積 を行 列
の式 を成分 を明 示 して
成 分cjkは
れ が 行 列 の 積 の 定 義 で あ る.な
行 列 で あ る行 列Bと
列 とm×n
の 計 算 法 を一 気 に 定 義 して し ま っ た 方 が
お,l×m行
列 で あ る 行 列Aとm×n
列 の 数 とBの
行 の 数 がmで
一 致 して い る た
な け れ ば(Bの
列 の 数 とAの
行 の数 が 一 致 し
ま で の 説 明 か ら理 解 で き よ う.な
列 で あ る とす る と両 者 の 積ABはn×n行 者 は 一 般 に は 異 な る.ま
た,AもBも
お,行
列Aを 列,BA
正 方 行 列(行
と列
つ 両 者 の サ イ ズ が 一 致 す る(行 の 数 お よ び 列 の 数 が そ れ
え ば と も にn×n行
列 の 場 合,ABもBAもn×n行
列に
一 般 に は 成 り立 た な い(交 換 則 は 一 般 に は成 り立 た な
書 で は こ れ 以 上 は 触 れ な い.
5.8.2回 図5.17の
転 を表 す 行 列 よ う に,ベ
得 られ るベ ク トルbの
を原 点 ま わ りに θ だ け 回転 させ た と き
ク トル
成分
を 求 め よ う.そ
の 準 備 と し て,基
本 ベ ク トル
を θだ け 回転 させ たベ ク トル
(5.12) を 用 意 す る(図5.17参
と 表 せ る が,ex',ey'を
照).さ
て,ex,eyを
用 い てbを
用 い る と,a,bは
表 す と
(5.13)
図5.17ベ
ク トル の 回 転
と な る31).ex',ey'を
用 い たbの
表 式(5.13)に
式(5.12)を
代 入 し て,
(5.14) つ ま り,
(5.15) を得 る.た
だ し,
(5.16) と し た.こ
の 行 列 を 任 意 の(列)ベ
ク トルaに
左 か ら か け る とaを
ま わ り に)回 転 させ た ベ ク トル を 得 る こ とが で き る.こ 分 を 筆 者 は 「コ ミ ッ ク 満 載(cosθ,-sinθ),最
θ だ け(反 時 計
の 回 転 作 用 を持 つ 行 列 の 成
高(sinθ,cosθ)」
と覚 え て い る.深
い 意 味 は な い. 課題R(α+β)は
α+β の 回転 を表 す行 列 で あ る.と こ ろで,α+β
の 回転 は α の 回転 を
行 っ て か ら次 に β の 回転 を行 う こ とに よ って も得 られ る.つ ま り,R(β)R(α)とR(α+β) は 同 じ行 列 で な くて は い け ない.こ の こ と を用 い て三 角 関数 の 加 法定 理 を導 け.
解説
で あ り,E(β)R(α)は
地 道 に計 算 す る
と な る.両
者 を 等 置 す る と,
と,
三角 関数 の 加 法 定 理 で あ る式(4.2),式(4.3)が 課題R(θ)の 解説
得 られ る.
逆 行 列 を求 め よ. が 得 ら れ る.こ
公 式 に したが って計 算す れば
れ はR(-θ)
に等 しい(理 由 を考 え よ). さ て,上
で は 同 じ座 標 系 で ベ ク トル を 回 転 させ た と き に得 られ る ベ ク トル(も と
の ベ ク トル と は 別 の ベ ク トル)を 求 め た.今
度 は 趣 向 を変 え て,あ
る座 標 系 で の 成
分が
と な る ベ ク トル が,も ら 見 た と き,ど
との 座 標 系 を θ だ け 回 転 す る こ と に よ り得 ら れ る 座 標 系 か
の よ う に 成 分 表 示 さ れ る か(ど の よ う に 見 え る か)を 考 え て み よ う
(同 じベ ク トル を 別 の 座 標 系 か ら見 た と き の 成 分 を 求 め る).こ い てX,Yを
求 め る こ と に ほ か な ら な い.つ
れ は,図5.18に
お
ま り,
(5.17)
図5.18座
を 満 た すX,Yを がex',ey'を
与 え ら れ たx,y,θ
標系の回転
を 用 い て 表 す こ とが 目 的 と な る.こ
れ は,ex,ey
用 い て
(5.18) で あ る こ と に 気 づ け ば 簡 単 で あ る.式(5.18)を
と な る.こ
れ を 式(5.17)の
式(5.17)の
左 辺 に 代 入 す る と,
右 辺 と見 比 べ て,
(5.19) を得 る.最 右 辺 に現 れ る “座 標系 変 換”行 列 転 さ せ る “ベ ク トル 変 換 ” 行 列R(-θ)と
は ベ ク トル を-θ 回
一 致 す る(理 由 を考 え よ).
補 足1本
項 で は2次
元 平 面 内 で の 回 転 移 動 と そ れ を表 す 行 列 しか 扱 わ な か っ た が,
も っ と 一 般 に,行 列 に は ベ ク トル を 別 の ベ ク トル に 変 換 す る 作 用 や,あ るい は 同 じ ベ ク トル を 別 の 座 標 系 か ら見 た と き の 成 分32)を 求 め る 働 き を 持 つ.一 般 に,n次 元 の ベ ク トルp=(p1,p2,…,pn)か 第j成
らn次
と求 め られ る よ う な,ベ
ク トルpか
ら ベ ク トルqへ
formation,homographictransformation)と j行k列
元 の ベ ク トルq=(q1,q2,…,qn)の
分(1≦j≦n)が
成 分 に 持 つ 行 列Aを
の 変 換 を 一 次 変 換(lineartrans-
い う.変
用 い る と,上
換 に 用 い ら れ る 係 数ajkを
の一 次 変換 は
と表 せ る.一 次 変換 の本 質 は,基 底 ベ ク トルの 変 換 に あ る.こ こ ら辺 は か な りお も しろ い とこ ろ なの だ が,こ れ 以 上 深 入 りは しない.な お,本 項 で は 図形 的 な導 入 を した の で,一 次 変 換 に現 れ るベ ク トル は2次 元 ベ ク トルか,高 々3次 元 ベ ク トル に 限 られ る よ う な印 象 を与 え て しま った か も しれ な い が,一 次 変 換,さ らに はそ の 一 般化 で あ る線形 写 像 は もっ と高 次 のベ ク トル に 関 して も考 え られ る33).例 え ば乳児 の一 年 間の 身長 変 化 量uと,体 重 変化 量vに 影響 を与 え そ う な因子 と して1日 あ た りの炭 水 化 物 摂 取 量x,蛋
白 質摂 取 量y,脂
と い う 関 係 が あ る と 仮 定 す る35).こ
肪 摂 取 量z,睡
眠 時 間34)wを 選 び,
れ は,
と書 け る.行 列 に よ る表 記,計 算 の 簡潔 化(多 次 元量 を一 ま とめ に して表 し,そ の振 る舞 い を調 べ よ う とす る思 想)は 筆 算 の 上 で は もち ろ ん,コ ン ピュ ー タ上 で の デ ー タの 取 り扱 い を も容 易 に した.そ の よ うな 実用 面 だ けで な く,数 学 ・物 理学 の理 論 構 築 の 面 で も行 列 の果 た す役 割 は大 きい.本 書 を読 み こな す た め に必 要 な行 列 に関 す る知 識 は本 節 で取 り上 げ た事 項 だ けで 十 分 で あ るが,さ らに進 んだ 学 習 を望 む人 は線 型 代 数 を学 習 しな くて は い け ない. 補 足2複 素 数cosθ+isinθ に も複 素平 面 上 の 点 を θだ け回 転 させ る性 質 が あ っ た.回 転 を表 す行 列 と複 素 数 との 関係 も興 味 深 い とこ ろで は あ るが,本 書 で は こ れ 以上 触 れ ない.
注 1)ベ ク トルの 起 こ りも微 積 分 と 同様 に物 理 学 の要 請 に よ る .た だ,ベ ク トル解 析 が 本 格 的 に発 達 し始 め たの は19世 紀 と,そ の 歴 史 は 意外 に新 しい.古 典 物 理 学 の 基礎,特 に力 学 の基 礎 は この 時 代 まで に ほ と ん ど整 っ て い た こ と を考 え れ ば,ベ ク トル の知 識 は力 学 に絶 対 に必 要 な わ け で は な い か も知 れ ない.し か し,ベ ク トル を利 用 で き る よ う に な っ た今,ベ ク トル を一 切 用 い ず に力 学 を 学 習 す る の は非 能 率 的 で あ る. 2)“ 方 向 ” と “向 き” とい う言 葉 を使 い 分 け る 人 もい る が ,本 書 で は そ の 辺 に は あ ま りこ だ わ らな い. 3)“ ス カ ラー ,ベ ク トル” とい う語 は,数 学 の 世 界 で は 明確 に 定義 さ れ た抽 象 的 な量 で あ る.そ れ に対 し,自 然 現 象 の 中 に存 在 す る具 体 的 な量 が,ベ ク トル と して振 る舞 う と見 なせ た り,ス カ ラ ー と し て振 る舞 う と見 なせ た りす る と き,具 象 性 を持 た せ て,“ ベ ク トル 量,ス カラ ー 量 ” と呼 ぶ. 4)こ れ だ けだ とゼ ロベ ク トル な ん て考 え て も意 味 が な い よ う に思 え る か も しれ な い が ,ベ ク トル の 演 算 体 系 を整 え る ため にゼ ロベ ク トル は ど う して も必 要 とな る. 5)有 向 線 分(矢 印)そ の もの が ベ ク トル な の で は ない .有 向 線 分 は あ くま で もベ ク トル とい う抽 象 的 な 量 を表 す 道 具 で あ る. 6)こ の 点 に関 して は ,積 分 や フー リエ 解 析 の 章 で 少 し触 れ る. 7) こ の 場 合,AB+BC=ACと 書 く と わ か りや す い.一 般 に,OP1+P1P2+P2P3+… OPnが 成 り立 つ. 8)も ち ろ ん,結 果 と して 同 じベ ク トル が 得 られ る. 9)こ う見 て くる と ,数 が ベ ク トル の よ うに 見 え て くる か も しれ ない.そ しか し,こ こで は話 を これ 以 上 発 展 させ る こ とは しな い で お こ う. 10)通 常 ,0° ≦ θ≦180° の 方 の 角 を考 える. 11)OAは
線 分OAの
+Pn
-1Pn=
うい う人 は 大 した もの で あ る.
長 さ を表 す .
12)つ ま り,0° ≦ θ<90° 13)何 が何 に作 用 す る力 か
な ら正,90°<θ
≦180°
な ら負 の 量 で あ る.
,と か,何 の変 位 か,と い う こ と には今 は触 れ な い.し か し,こ れ は 非 常 に 重 こ ら辺 をず さ ん に扱 う人 が 多 い の で 注 意 して も ら い た い.こ の 問題 は 第13章
要 な こ とで あ る.こ で 取 り上 げ る. 14)点Pの 座 標 を(x ,y)と した と き の線 分OPの 長 さ で あ る. 15)数 学 者 達 は,n次 元 ベ ク トルの なす 角 とい う量 も内 積 の 式 か ら定 義 して い る. 16)通 常 ,0° ≦ θ≦180° の 方 の 角 を考 え る. 17)つ ま り ,cはa,bの 両 者 に直 交 す る. 18)こ れ は理 工 系 の 学 生 は必 ず 覚 え させ ら れ る公 式 であ る .と は い え,ス ポ ー ツ科 学 に お い て は こ の式 は回 転 運 動 を扱 う と き に しか 出 て こ な いの で,本 書 の読 者 は 当面 の と こ ろ こ の式 を 暗記 す る必 要 は ない.簡 単 な 覚 え方 もあ る の だ が,そ れ に も触 れ な い で お く. 19)右 手 を ひろ げ ,そ の掌 をx-y平 面 と見 な し,親 指 と人 差 し指 をそ れ ぞ れ をx軸,y軸 とす る.そ し て,中
指 を立 て た と き,中 指 がz軸
を表 す と考 える.こ
う して 得 られ る座 標 系 が 右 手系 で あ る.左
手 で 同 じ操 作 を した と きに 得 られ る 座標 系 を左 手系 とい う. 20)ほ か に も呼 び 方 は あ る .例 え ば,最 後 の行 列 は 「2行3列 行 列 」 と も呼 ば れ る. 21)行 列 の 和 ・差 は 型 が 同 じ もの 同 士 の み 許 され る.対 応 す る成 分 同士 の和 ・差 を計 算 す れ ば よ い.行 列 の 実 数 倍(複 素 数 倍)も 簡 単 で あ る.そ れ ぞ れ の 成 分 を,実 数倍(複 素 数 倍)す れ ば よい.こ れ ら の 演 算 で は 行 列 の 型 は 変 わ らな い こ とに 注 意せ よ. 22)行 列 の積 の基 本 は行 ベ ク トル と列 ベ ク トル の ,こ の 順 序(行 が 先 で 列 が 後)で の 内 積 で あ る.行 ベ ク トル の 成 分 数 と列 ベ ク トル の 成 分 数 が 一 致 して い な くて は積 を計 算 す る こ とが で きな い. 23)a=0の 場 合 ,p=0な らば与 え られ た方 程式ax=pは 任 意 の(複 素)数xで 成 り立 つ.こ の とき, 与 え られ た方 程 式 は 不 定(indefinite)で あ る とい う.a=0で,か つp≠0の 場 合 は この 方程 式 を 満 た す(複 素)数xは 存 在 しな い.こ の と き,与 え られ た 方程 式 は不 能(impossible,inconsistent) で あ る とい う.い ず れ にせ よ,解 は定 ま らな い.こ れ はa=0の と きはaの 逆 数 が 存 在 しな い こ と に 起 因 す る.
24)ad
-bc=0の 場 合 ,与 え られ た 連 立 方 程 式 は不 定 の と き(例:x+2y=1,2x+4y=2)と 不能 の と き(例:x+2y=1,2x+4y=0)が あ る.い ず れ に せ よ,解 が定 ま らな い(方 程 式 を満 た す
x,yが 定 ま らな い).こ こ ら辺 は重 要 な と こ ろで もあ りお も しろ い と こ ろで もあ る の だが,本 書 で は こ れ 以 上 は触 れ な い こ とにす る. 25)ad -bc=0の 場 合 ,行 列Aの 逆 行列 は存 在 し ない.な お,ad-bcを 行 列Aの 行 列 式 とい う.一 般 にn×n行 列 の行 列 式 も定 義 さ れ るが,こ こ で は扱 わ ない. 26)最 近 で は カ メ ラ を用 い な い動 作 解 析 も行 わ れ る よ う に な って きた . 27)詳 細 は 略 す が ,カ メ ラ が3次 28)独 立 な 方 程式 の 数 は 三 つ .
元 空 間 内 の 点 を2次
元 平 面 内の 点 に変 換 す る装 置 で あ る こ とに よる.
29)し か る べ き数値 計算 ラ イ ブ ラ リー を調 べ れ ば適 切 なサ ブ ルー チ ン を見 出 す こ とが で き よ う. 30)交 換 則 が 成 り立 つ場 合 もあ る . 31)e x,eyに 対 す るaの 関 係 とex',ey'に 対 す るbの 関係 とは 同 じで あ る. 32)同 じベ ク トル が 基底 ベ ク トル を変 え た と き ど う見 え る か . 33)無 限 次 元 の ベ ク トル を 考 え る こ と もあ る . 34)寝 る 子 は 育 つ . 35)モ デ ル の “表 し方 ”の 例 を説 明 す る もの で あ り,こ の モ デ ル そ の もの に は 意味 が な い.
6 微
分
法
16世 紀 まで の数 学 は静 的 な現 象 を記 述 す る こ とが 目的 であ った.し か し,時 代 は や が て刻 一 刻 と変化 す る 自然 現象 を探 求 す る手段 を も数 学 に求 め 始 め る.こ う して 生 まれ た の が微 分 法 と積 分 法 で あ る.本 章 で は微 分 法 の概 念 を解説 す る.複 雑 怪 奇 な 変 化 を見せ る現 象 を局所 的 に一 次 式 で 表 し(関 数 を局 所 的 に接 線 で近 似 し),そ の 瞬 間の傾 向 を見 よ う とい うの が微 分 法 の 本 質 で あ る.
6.1関
数
力 学 は物 体 の運 動 につ いて の学 問 で あ る.運 動 とは,時 間 が たつ につ れ て物体 の 位 置 が変 化 す る現 象 で あ る.こ れ を きち ん と扱 う ため に は時刻 と位 置 を指 定 す る方 法 を確 立 し,両 者 の対 応 をは っ き りさせ る こ とが 大切 であ る.時 刻 を指 定 す る ため に は時計 を用 い る.場 所 を指定 す る には,空 間 に番 地 を割 り振 れ ば よい.空 間 に割 り振 られ た番 地 を座標(空 間座 標)と 呼 ぶ.座 標 は空 間 の位 置 を完全 に指定 で きる も の で あれ ば何 で もよい わ けだが,よ
く使 わ れ るの は 直交座 標 と極 座 標 で あ る(4 .2節
参 照).直 交 座標 につ い ては と くに説 明 は い らない だ ろ う.た だ,扱 う現 象 に よって は座 標 軸 の 向 きな どに工 夫 が い る ものが あ る.極 座 標 はあ る点 か らの距 離 が重 要 な 役 目を持 つ 問題(円 運動 な ど)で よ く使 わ れ る.そ の ほか に物 体 の位 置 を記 述 す る道 具 に は位 置 ベ ク トルが あ る(5.7節 参 照). さて,時 間 と位 置 を表 す道 具 が整 った ら,次 にす べ き こ とは物体 の位 置 が時 間 と と もに どの よ うに変 わ って い くか を記 述 す る こ とで あ る.時 間 と位 置 に限 らず,物 理 で はあ る量 とあ る量 の 関係 を定量 的 に扱 う.そ して,あ る量 が変 化 した と きに も う一 方 の量 は ど う変 わる の か,と い うの が物 理 の 問題 の典 型 で あ る.こ の 「あ る量 とあ る量 の 関係 」,あ る い は 「あ る量 が 変 化 した と きに他 の 量 は どの よ う に変化 す るか」 を表 す道 具 が 関数(function)で
あ る.例 え ば,物 体 がx軸 上 を運 動 してい る
とき に,任 意 の時 刻 に対 す る位 置 を克 明 に調 べ 上 げ れ ば物体 の位 置xを
時刻tの 関
数 と して表 せ た こ と にな る.変 化 の様 子 を一 目で わか る よう にす る ため には,時 刻 に対 して 物体 の位 置 を グラ フ に して表 す と よい(例 え ば図6.1).別
の例 を挙 げ よ う.
空 間 に電 場(電 界 と もい う)が 存 在 す る と き,そ の 強 さ は 一 般 に位 置 に依 存 す る.こ の と き 電 場 は 位 置 の 関 数 で あ る と い う こ とが で き る.さ
らにそ の電 場 が時 間 と とも
に変 化 す る と き,電 場 は 位 置 と 時 間 の 関 数 で あ る と い う.位 な じみ 深 い の は 波 動 で あ ろ う.波
動 とは,あ
に従 っ て 周 囲 に伝 わ っ て い く現 象 で あ る.こ を 時 刻 と位 置 で 表 さ な くて は い け な い.つ
置 と時 間 の 関 数 と して
る位 置 で の あ る量 の 変 化 が 時 間 が た つ れ を記 述 す る た め に は,そ
の変化 の量
ま り平 衡 点 か ら の ず れ(変 位)は 時 間 と位
置 の 関 数 で あ る. 関 数 は 変 化 を 表 す 道 具 で あ る と 述 べ た.し
か し,関 数 を ぼ ん や り眺 め た り,単
に
グ ラ フ を描 い て み た だ け で は,ま だ “変 化 そ の も の ” を扱 っ て い る とは い え な い.関 数 に対 し,そ の微 分 ・積 分 を 考 え る こ と に よ り,変 化 に 対 す る 考 察 は 一 気 に深 ま る.
6.2微
分法 の概 念
例 え ば 物 体 の 運 動 を考 え よ う.簡 る.図6.1は
物 体 の 時 刻tと
位 置xの
単 の ため に運 動 は直 線 的 に行 なわれ る もの とす 関 係 を グ ラ フ に した もの で あ る.こ
の よ う に,
物 体 の 位 置 が 全 時 刻 に対 して 完 全 に わ か っ て い る こ と は 大 変 に あ りが た い こ とで あ る.さ がt1か
て,時 らt2に
刻t1に
は 物 体 はx1に
な る 間(す な わ ちt2-t1と
わ っ た(位 置 の 変 化 量 はx2-x1で 間t3-t2)に
い る.t2に
物 体 はx3-x2だ
に もか か わ ら ずx2-x1>x3-x2で 体 の 位 置 の 変 化 の 様 子2)はt2か
図6.1直
はx2に
い う 時 間1))に,位
あ る)こ と に な る.同 け 動 い た こ と に な る.図 あ る.そ らt3の
い る.と
い う こ と は,時
置 がx1か
らx2に
様 に 時 刻t2とt3の
刻 変
間(時
を 見 る とt2-t1=t3-t2
れ ゆ え,時 刻t1か
ら時 刻t2の
間 の物
間 の 位 置 変 化 の 様 子 よ り激 し い とい え よ う.
線 運動 をす る物 体 のx-tグ
ラフ
次 に 時 刻t3か
らt4の
間(t4-t3で,こ
の 大 き さ はt2-t1やt3-t2と
す る)の 位 置 の 変 化 を 見 る と,x4-x3=0で て,こ
あ る.こ
等 しい と 程 と 同 様 に考 え
の 間 の 位 置 変 化 の 様 子 は 前 二 者 に 比 べ て 激 し くな い(と い う よ り位 置 変 化 は
ま っ た くな か っ た)と い っ て よ い の だ ろ う か.な
る ほ ど,確
ら し て 考 え れ ば3)位 置 の 変 化 は な か っ た と い え よ う.し ば,位
の と き,先
か にそ の 時 間全体 をな
か し,も
っ と 局 所 的 に見 れ
置 の 変 化 の 様 子 は 前 二 者 よ り激 しい と き も あ っ た よ う で あ る.
さ て,位
置 の 変 化 の 様 子 と は,直
感 的 に い っ て 位 置 の 変 化 量 を変 化 に 要 した 時 間
(“時 間 の 変 化 量 ” と い っ て も よ い4))で 割 っ た もの とい え よ う.つ
ま り,上 の 例 で い
え ば,x2-x1/t 2-t1,x3-x2/t3-t2,x4-x3/t4-t3で あ る.こ れ は そ の 時 間(時 刻 と時 刻 の 間5))の 平 均 的 な 位 置 変 化 の 様 子 とい え る.こ の よ う に,
位 置 の 変化 量/ 時 間の 変化 量 で 表 さ れ る 量6)を 速 度(velocity)と
い う.“ 位 置 の 変 化 の 様 子 ” と は こ の 速 度 の こ
と を い っ て い た の で あ る.そ
し て,x2-x1/t 2-t1と
(averagevelocity)と
の 平 均 の 速 度 と い う量 も大 切 で あ る が,先 程 も考 え た
よ う に,も
い う.こ
い っ た 量 を,そ
の 時 間 の平 均 の速 度
っ と局 所 的 な 位 置 変 化 の 様 子(速 度)を 考 え る 必 要 が あ る こ と も多 い.こ
れ は,“ 位 置 の 変 化 量/時 間 の 変 化 量 ”に お い て 時 間 の 変 化 量 を 限 りな く小 さ く して い く こ と に相 当 す る(そ の と き は 位 置 の 変 化 量 も小 さ く な っ て い くだ ろ う).時 化 量 を Δt,位
置 の 変 化 量 を Δx=x(t+Δt)-x(t)と
限 り な く近 づ く と き(Δt→0と
あ る 一 定 の 値 に 近 付 く8)と き こ の 値9)を,そ velocity)と
い う.こ
れ は Δtが0に
求 め る こ と に な る.こ
れが
の 時 刻 で の 瞬 間 の 速 度(instantaneous
こ で は 運 動 ・変 化 を 細 か く分 析 し,関 数 の 瞬 間 的 ・局 所 的 な 性
質 を調 べ た わ け で あ る が,こ 時 刻tに
す る と7),こ
表 記 す る)の Δx/Δtを
間の変
の 方 法 を微 分 法(differential)と
お け る 速 度 をv(t)と
呼 ぶ.そ
して,例
えば
して,
とい う表 記 を用 い る.な
お,微
が,今
の 表 記 は 独 立 変 数 が 時 間 の と き に の み 用 い る(時 間 に 関 す
の 世 の 中 で は,こ
分 を ド ッ トで 表 す 最 後 の 表 記 は ニ ュ ー ト ン の もの だ
る 微 分 を表 す と き に の み 用 い る)こ とが 多 い よ う だ10). さ て,こ
う し て 求 め ら れ たx'(t)はtと
x'(t)をx(t)か そ して,あ
共 に 変 化 す る で あ ろ う11).そ
ら導 か れ た 関 数 とい う こ とで,x(t)の
る 関 数x(t)か
こ で,v(t)=
導 関 数(derivative)と
ら そ の 導 関 数 を 求 め る操 作 を “関 数x(t)をtで
呼 ぶ12). 微 分 す る”
とい う.さ
ら に,導
関 数 の 導 関 数 を 考 え る 場 合 も あ る.記
の よ う に 表 す13).x''(t)をx(t)の2階
導 関 数,あ
号 は,
る い は2次 導 関 数 と呼 ぶ.さ
高 階(高 次)の 導 関 数(derivativeofhigherorder)を
らに
考 え る こ と も 当 然 で き る.そ
の と き は 記 号 “'” で 微 分 を 表 す の は わ か りに くい.そ
こ で,n階
導 関 数(n次
導関
数)を
の よ う に 表 記 す る. 補 足 平 均 の 速 度 とは,図6.1の よ うなx-tグ ラフ で は数 学 で い う平 均 の傾 き に相 当す る.瞬 間 の速 度 と は数学 で い う,グ ラ フの あ る点 に お け る接 線 の傾 き14)に相 当 す る.こ れ は,そ の 瞬 間 で の 関 数 の 変化 率(そ の 点 で の 関数 の変 化 の様 子 が そ の ま ま続 い た と した ら,単 位 時 間 あ た り どの く らいの 変 化 が 起 こる か を示 す 量)と い う こ とが で きる.位 置 の 時 間 に対 す る変化 率 を速 度(velocity)と い う.さ らに,速 度 の時 間 に対 す る変 化 率 を加 速 度(acceleration)と
い う.平 均 の傾 き と接 線 の 関係 は
図6.2を 見 て 考 え て ほ しい.
図6.2曲 線y=f(x)上 の 点P,Qを 結 ぶ直 線 の傾 きは,QをPに る 接 線(図 の太 線)の 傾 きに近 づ く.と い う よ りむ しろ,QをPに り得 られ る直 線 が 接 線 で あ る.
例y=x2をxで
微 分 し て み よ う.f(x)=x2と
近 づ け た と き,Pを 通 極 限 的 に近 づ け る こ と に よ
し て,
(6.1) 一 般 に α を 実 数 と し て15)
,(xα)'=αxα-1が
成 り立 つ が,そ
の 証 明 は 割 愛 す る.
補足 式(6.1)の 最 後 か ら二番 目 の イ コー ル は,Δxを0で ない もの と して割 り算 を実行 してい る(0で の 割 り算 は数 学 で は禁 じ られ て い る).そ れ に対 し,最 後 の イ コー ル の と ころ で は Δxを0と 見 な して い る.こ の よう な極 限 に ま つ わ る不 明確 さ は,微 積 分学 誕 生 時(17世 紀 中頃)に は猛 烈 な反発 を受 けた.し か し,新 しい 立場 に 立 つ 数学 者 達 は,理 論 に多 少 の難 点 が あ る に して も直感 的 に は も っ と も ら し く,実 際 問題 と して役 に立 つ とい う こ とで微 積 分法 を使 用 し,発 展 させ て い っ た.し か し, 厳 密 な基 礎 付 け無 しに発 展 しつ づ けた微 積 分 学 も18世 紀 末 に は い ろ い ろ な 困難 に 直 面 した.こ う した流 れ の 中,19世 紀 の初 め に,つ い に極 限 につ い ての 正確 な定 義 と取 り扱 い 方 が 開発 され た(ε-δ論 法).そ して,18世 紀 に発 見 され た多 くの こ とが 厳 密 に検 証 され,さ らに微 積 分 学 の新 分 野 が 展 開 され て い っ たの で あ る.な お,本 書 で は17,18世 紀 的 な,い わ ば “古風 な”微 積 分 学 しか 扱 わ な いが,基 本 的 に は十 分 な はず で あ る.
6.3微
分法 の基 本 法則
こ こに,微 分 法 の基 本 法則 を略 記 してお く.高 校 の教 科 書 レベ ル の証 明 と問題 演 習 で十 分 なの で,自 ら積 極 的 に補 い,使 い こなせ る よ うに して も らいた い. (1){f(x)±g(x)}'=f'(x)±g'(x)(複
号 同 順)
例 え ば,(x2)'=2x,(x3)'=3x2で
あ る か ら,(x2+x3)'=2x+3x2で
(2){cf(x)}'=cf'(x)(cは
あ る.
定 数)
例 え ば,(3x2)'=3・(x2)'=6xで
あ る.
(3){f(x)g(x)}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) 例 え ば,f(x)=2x+3,g(x)=4x+1と
(4)
す る と
と な る.こ
れ に 対 しf'(x)g(x)+f(x)g'(x)を
と な り,同
じ結 果 を得 る.
計算す ると
f'(x)g(x)-f(x)g'(x)/
g(x)2 (f(x)/g(x))'=
(5)y=f(u),u=g(x)に
お い て,f(u),g(x)が
これ を 合 成 関 数 の微 分 法 と す る と,y=(3x+1)2=9x2+6x+1で
と い う.例
と も に 微 分 可 能 な ら ば,
え ば,y=f(u)=u2,u=g(x)=3x+1 あ る か ら,dy/d x=18x+6で
あ る.
これ を合 成 関数 の微 分 法 を使 っ て計 算 してみ よう.
と な り,同
じ結 果 が 得 ら れ る.ま
が 成 り立 つ.こ
の 式 は 第13章
た 別 の 例 と し て,vをtの
関 数 とす る と,
で 運 動 エ ネ ル ギ ー を考 え る と き に 頻 繁 に 顔 を
出 す. (6)y=f(x)が
あ る 区 間 で 逆 関 数16)を 持 ち,f'(x)≠0な
らば,
が 成 り立 つ.
6.4関
数 の グ ラ フの 概 形
関 数 の グ ラ フ の 概 形 と,そ
の 関 数 の 導 関 数 との 関 係 を考 え て み よ う.導
も との 関 数 の 傾 き を 表 す と考 え ら れ る.と な らば,そ
y=x2と
し導 関 数 が あ る 区 間 で
の 区 間 に お け る も と の 関 数 の 傾 き は 負 で あ る こ と が わ か る.ま な る と き に は,グ
そ の 導 関 数y'=2xの
ラ フ の 傾 き は0(x軸
関 数 は,
し導 関 数 が あ る 区 間 で 正
の 区 間 に お け る も と の 関 数 の 傾 き は 正 で あ り,も
負 な ら ば,そ 関 数 が0と
い う こ と は,も
と平 行)と
関 係 を 考 え て み よ う.y'=2xは
な る.例
た,導
え ば,関
明 ら か に,x<0
で 負 の 値 を 取 り,x>0で
正 の 値 を取 る.そ
して,x=0でy'=0と
え,も
グ ラ フ はx<0の
と き の 傾 きは 負(右 下 が り)で,x=0
と の 関 数y=x2の
で 一 瞬 傾 き が0に
な り,そ
数 の 振 る舞 い は 表6.1よ
してx>0で
表6.1関
な る.そ
傾 きが 正(右 上 が り)に な る.こ
う に書 く と わ か りや す い.こ
数f(x)=x2の
数
れゆ
の ような関
の よ う な 表 を増 減 表 と い う.
増減表
次 に,関 数y=x3と ら か に,x<0で 取 る.そ
正 の 値 を 取 り,x=0で
れ ゆ え,も
り)で,x=0で な る.増
そ の 導 関 数y'=3x2の
一 瞬 傾 きが0に
な る が,x>0で
グ ラ フ はx<0の
な り,そ
してx>0で
明
再 び正 の値 を
と き の 傾 き は 正(右 上 が 再 び傾 きが 正(右 上 が り)に
よ う に な る.
表6.2関
こ れ ら の 関 数y=x2とy=x3の い た の が 図6.3で
一 瞬0に
と の 関 数y=x3の
減 表 は 表6.2の
関 係 を考 え て み よ う.y'=3x2は
あ る.こ
数f(x)=x3の
増減表
グ ラ フ を そ れ ぞ れ の 導 関 数 の グ ラ フ と並 べ て 描 れ らの グ ラ フ と,そ
れ ぞ れ の 関 数 の 増 減 表 を よ く見 比 べ
て も ら い た い17).
図6.3関
数y=x2とy=x3,お
よ び,そ れ ぞ れ の 導 関 数 の グ ラ フ
以 上 の 議 論 か ら,導 関 数 が 負 か ら正 に 転 じ る と こ ろ で は 関 数 の 概 形 に “ 谷18)” が 現 れ る こ とが わ か る.こ 小 値(localminimum)と
の と きの 谷 の 頂 点(vertex)で 呼 ぶ.逆
に,導
関 数が 取 る値 の こ とを関数 の極
関 数 が 正 か ら負 に転 じる と こ ろ で は 関 数 の
概 形 に “山 ”が 現 れ る こ と が わ か る.こ 数 の 極 大 値(localmaximum)と る もの が あ る.ま
の と き の 山 の 頂 点 で 関 数 が 取 る値 の こ と を 関
呼 ぶ.関
数 に よ っ て は 極 大 値 ・極 小 値 が 何 度 も現 れ
た,(局 所 的 な最 大 値 ・最 小 値 で あ る)極 大 値 ・極 小 値 と関 数 の(全 領
域 で の)最 大 値(maximum)・ 意 す る ま で も な か ろ う.以
最 小 値(minimum)は
とそ の 導 関 数y'=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2)の 増 減 表6.3と
見 比 べ,各
表6.3関
図6.4関
一 般 に は 無 関係 で あ る こ と は 注
上 の こ と を確 認 す る た め,関 数y=2x3-3x2-12x+10 グ ラ フ を 図6.4に
自 よ く考 察 して ほ しい.
数f(x)=2x3-3x2-12x+10の
数y=2x3-3x2-12x+10と
増 減 表
そ の 導 関 数 の グ ラ フ
示 した.
6.5空
間 運 動
運 動 は 直 線 上 の み で 起 こ る と は 限 ら な い.平 体 の 位 置 を表 した 場 合,成
に 加 速 度 ベ ク トルa(t)も,速
で あ る.こ な お,ベ
交座 標 で物
ま り,物 体 の 位 置 ベ ク ト
す る と き ,速 度 ベ ク トルv(t)は
次 の よ う に な る.
ク トル の 差 を成 分 で 考 え る と き は 成 分 ご と の 差 を 考 え れ ば よ く
ベ ク トル の 実 数 倍(1/Δt倍)は
れ る.す
間 で の 運 動 は,直
分 ご と に 考 え て い け ば よ い.つ
ル をr(t)=(x(t),y(t),z(t))と
こ こ で,ベ
面,空
,ま た, 各 成 分 の 実 数 倍 に 等 し い こ と を使 っ た .こ れ と 同 様
度 ベ ク トル の 各 成 分 を微 分 して や る こ と に よ り求 め ら
な わ ち,
こ で,vx(t),vy(t),vz(t)は
速 度 ベ ク トル のx,y,z成
分 をそれ ぞ れ表 す .
ク トル の 成 分 を横 に 並 べ る の は 必 ず し も見 や す くは な い.そ
こ で ,ベ
ク ト
ル の 成 分 を縦 に 並 べ た,
の よ う な 表 記 も よ く用 い ら れ る.時
間 の 関 数 で あ る こ と を 示 す “(t)”は ,明
らか な
と き は省 略 して も よい. 補足
物 理 学 の 世 界 で は,“ 速 度(velocity)”
とい う言葉 は大 き さ と向 きを含 ん だ量
で あ る.す な わ ち 速 度 は も と も と ベ ク トル 量 な の だ が,そ れ を強 調 す るた め に速 度 ベ ク トル と い う 言 葉 も使 う .速 度 の 大 き さ の み を い い た い と き は “速 さ(speed)” と い う 言 葉 を 使 う.そ れ に対 し,“ 加 速 度(acceleration)” と い う言 葉 は ,“ 加 速 度 ベ ク トル ” の 意 味 で も,ま た,そ の 大 き さ の 意 味 で も使 う.言 葉 が 同 じ で も,文 脈 に よ っ て ど ち ら の 意 味 で 使 わ れ て い る か 区 別 し な くて は い け な い. 課題 物 体 の 位 置 が(rcosωt,rsinωt)で 表 さ れ る と き,こ の 物 体 の 速 度 ベ ク トル と加 速 度 ベ ク トル を 求 め よ.た だ し,ω は 定 数 とす る .ま た,(sinx)'=cosx,(cosx)'=-sinxで
あ る.な お,こ の よ う な 運 動 は,半 径rの 等 速 円 運 動 と呼 ば れ る.ま と読 む)の こ と を 円 運 動 の 角 速 度(angularvelocity)と 呼 ぶ. 解説
が 成
θ=ωtと
お く.合
成 関 数 の 微 分 法(6.3節
り 立 つ.dcosθ/dθ=-sinθ,dθ/dt=ω
と 求 め ら れ る.同
sinωt)が
の ω(“ オ メ ガ ”
り,
で あ る こ と よ り,
様 にdsinωt/dt=ωcosωtも
rω(-sinωt,cosωt)で
参 照)よ
た,こ
あ る こ とが わ か る.こ
求 め ら れ る.こ
れ よ り物 体 の 速 度vは,v=
れ を さ ら にtで 微 分 し て加 速 度a=-rω2(cosωt,
求 め ら れ る.
さ て,時 r(t+Δt)と
刻tに
お け る 物 体 の 位 置 をr(t),時
刻t+Δtに
お け る物 体 の位 置 を
する と
は こ の 時 間 の 平 均 の 速 度(ベ の 向 き に 等 し い.こ
ク トル)を 表 し,そ の 向 き は 当 然19)r(t+Δt)-r(t)
れ を 押 し進 め て 考 え る と,瞬
間の速 度
(6.2) は 常 に 物 体 が 描 く軌 跡 の 接 線 方 向 を 向 い て い る こ と が 納 得 で き る で あ ろ う20).図 6.5の よ う に 物 体 の 速 度 ベ ク トル の 向 き を 運 動 の 軌 跡 の 接 線 方 向 と違 っ た 図 を描 い て も変 に 思 わ な い 人 が 多 い が,注
意 し て も ら い た い.
図6.5物 体 の 運 動 の 軌 跡 と,あ る瞬 間 にお け る物 体 の 位 置Pと 速 度vの 作 図.こ 度(ベ ク トル)vが 運 動 の 軌 跡 の接 線 方 向 を 明 らか に 向 い て い な い た め誤 りで あ る.
の 図 は速
補 足 慣 性 の 法 則 とい う もの が あ る.こ れ は,物 体 に外 力 が作 用 して い な けれ ば, 物 体 は一 定 の速 度(ベ ク トル)で 運 動 し続 ける(速 度 ゼ ロ も含 む)と い う もの で あ る. 逆 に考 え る と,物 体 が 曲線 運 動 してい る とい うこ とは,何 らか の力 が作 用 して い る と い う こ とで あ る.例 え ば,糸 の先 に お も りをつ け て糸 の他 端 を持 って ク ル ク ル振 り 回す と き,糸 の張 力 に よ って 物体 は速 度 の 向 きを変 え てい るの で あ る.突 然 糸 が 切 れ る と,外 力 の作 用 の な くな っ た物 体 は,そ の と きの速 度 の ま ま運動 を続 け る.す なわ ち,物 体 は描 い て い た 曲線 の(そ の瞬 間 の)接 線 方 向 に飛 んで い く(慣 性 系 か ら 見 れ ば21)).
6.6相
対 運 動
物 体1,2の 体2の
位 置 ベ ク トル を そ れ ぞ れr1(t),r2(t)と
速 度―― 物 体1に
よ う.ま
ず,物
ん,物 体2の な る.こ
体1か
対 す る物 体2の ら見 た 物 体2の
位 置 を 物 体1を
れ をr(t)と
す る と き,物 体1か
ら見 た物
相 対 速 度(relativevelocity)――
を求 め て み
位 置 は ど う表 せ る で あ ろ うか .そ
れ は もち ろ
基 準 に して 記 述 す れ ば よ い の だ か ら,r2(t)-r1(t)と
お こ う.す
な わ ち,
(6.3) と い う ベ ク トル が,物 よ び5.3節
参 照).さ
体1か
ら見 た 物 体2の
て,式(6.3)を
対 速 度(ベ ク トル)v(t)が
位 置 を 表 す ベ ク トル で あ る(図6
時 間 で 微 分 す れ ば,物 体1に
得 ら れ る こ と に な る.す
.6お
対 す る 物 体2の
相
な わ ち,
(6.4)
図6.6物
体1か
ら見 た 物体2の
位置
と して 相 対 速 度 が 得 られ る.v1(t)=r1,v2(t)=r2が を 表 す こ と に 注 意 す れ ば,二 物 体2の
つ の 物 体 の 速 度 の 差v2(t)-v1(t)が
そ れ ぞれ の速度 物 体1に
対する
相 対 速 度 を表 す こ とが わ か る(引 き算 の 順 序 に 注 意 せ よ).
課題
物体1か
解説
式(6.4)を 微 分 す る だ けで あ る.
6.7内
物 体1,2の
ら見 た物 体2の 加 速 度(物 体1に
対 す る物 体2の
相 対 加速 度)を 求 め よ.
積 とベ ク トル 積 の 微 分
二 つ の ベ ク トル の 内 積 を と る と一 つ の ス カ ラ ー が 得 ら れ る(5.5節
参 照).ま
つ の ベ ク トル の ベ ク トル 積 を と る と 一 つ の ベ ク トル が 得 ら れ る(5.6節 ら を微 分 した 結 果 は ど う な る か.内 しか 出 て こ な い の で,普
た,二
参 照).こ
れ
積 もベ ク トル 積 も成 分 計 算 す れ ば,和,差,積
通 の 関 数 の 微 分 と似 た 性 質 を持 つ こ とが 予 想 さ れ る.実
際
に 成 分 計 算 した 結 果 を丹 念 に微 分 して や れ ば,
(6.5) (6.6) と な る こ とが わ か る(6.3節 事 率(パ ワ ー),運
の 積 の 微 分 法 に対 応 し て い る).こ
動 エ ネ ル ギ ー,位
置 エ ネ ル ギ ー,角
れ ら の公 式 は 仕 事,仕
運 動 量 な ど を考 え る 際 に 非 常
に 活 躍 を す る. 課題
式(6.5),式(6.6)が
解説
成分 計 算 だ け なの で,解 答 は省 略 す る.
6.8微
成 り立 つ こ とを,成 分 計算 を実 行 す る こ とに よ り証 明 せ よ.
分 の数値 計 算
関 数 が 例 え ばf(t)=sintの
よ う に た ち の よい 関 数 で 表 され る の な ら,f'(t)=cost
の よ う に微 分 で き る(既 知 の 関 数 で 導 関 数 を 明 示 で き る).こ 的 に微 分 し た ” と い う.し
か し,実 験 デ ー タ な どで は そ れ が で き な い.そ
験 で 得 られ た デ ー タ は 飛 び 飛 び(離 散 的)で,Δt→0と よ う な 場 合 は,デ
の よ う な 場 合,“ 解 析 もそ も実
い う操 作 が で き な い.こ
ー タ を う ま く利 用 し て 近 似 的 に 微 分 を行 う こ とが 必 要 と な る.
さ て,実 験 で は 飛 び 飛 び の 時 刻t1,t2,t3,… が あ る だ け で あ る.そ
こ で,え
い や ー っ,と
に対 して デ ー タf(t1),f(t2),f(t3),… 時 刻tnに
お け る 微 分(係 数)を
の
と して し ま う.こ
れ は 実 際 に は 時 刻tn-1と
る に過 ぎ な い が,tn-1とtnと の 代 用 と な る,と て くる.鉄
時 刻tnと
の 間 の 平 均 の 傾 き を求 め て い
の 間 隔 が 十 分 に 小 さ け れ ば,こ
考 え る の で あ る22).扱
球 の 衝 突 を扱 う場 合,0.1秒
れ が “瞬 間 の 変 化 率 ”
う現 象 に よ って “ 十 分 短 い”時 間 は変 わ っ は 長 す ぎ る.恒
星 の 相 対 運 動 を 扱 う 場 合,1
年 は 短 す ぎ る. も し,tn-1とtnと
の 間 隔 が 長 く,こ
粗 す ぎ る と い う 場 合 に は 工 夫 が 必 要 だ.例 し,そ
の 間 の 変 化 率 を 瞬 間 の 変 化 率 と見 な す に は え ば,離
散 デ ー タ を何 ら か の 形 で 補 間23)
の 補 間 デ ー タ を用 い て 数 値 的 に微 分 す る24)の で あ る(こ の 方 法 が い つ も有 効
と は 限 ら な い). 以 上 の よ う に 離 散 デ ー タ を用 い た微 分 を 数 値 微 分 と 呼 ぶ. 補 足 実 験 で 得 られ た デ ー タ を微 分 す る際 に はい ろ い ろ と難 しい こ とが あ る.た と え ば仮 に実 験 デ ー タ その もの の相 対 誤 差,絶 対 誤 差 は小 さい と し よ う(p.19参 照). 数値 微 分 で は まず,デ ー タ 間の差 を取 る.こ の と き,デ ー タの 持 つ 絶対 誤 差 が 結 果 に伝 わ る.と ころ で,得 られ た差 そ の もの は非 常 に小 さ い か ら,結 果 と して相 対 誤 差 が 大 き くなる.次 に,そ の 差 を短 い時 間で 割 る わ け だが,割
り算 で は相 対 誤 差 が
結 果 に伝 わ る.つ ま り,大 き な相 対 誤 差 が 数 値微 分 の結 果 に伝 わ って しま う.実 験 デ ー タ を微 分 す る必 要 が 生 じた場 合 に は,適 当 な書 物 で学 習 して か ら処 理 法 を考 え て もらい た い.な お,p.376の
補 足3も 参 照 せ よ.
注 1)引 き算 で は順 序 に 注 意 し よう .今 は変 化 した 量 が 知 りた い の だ か ら,変 化 後 の 量 か ら元 の 量,つ ま り変 化 す る前 の量 を引 か ね ば な らな い.す な わ ち,“ 変 化 前+変 化 量=変 化 後 ”で あ るか ら “変 化 量=変 化 後-変 化 前” とい う わ け だ.こ の概 念 は 非常 に 大切 で あ る.な お,5.3節 の 考 え方 を用 い れ ば,“ 変 化 量 ” とは “変 化 後 の 量 ” を “変 化 前 の量 ” を基 準 に して見 た もの で あ る とい え る. 2)わ ざ と あ い ま い な言 葉 を使 っ てお く. 3)言 葉 を換 えて
,“ 平 均 化 し て考 えれ ば” とい っ て もよ い. 4)“ 時 刻 の 変 化 量 ” と い っ た方 が よ い か も しれ な いが ,あ ま りこ だ わ ら な くて も よ か ろ う. 5)こ こで は “時 刻 ” と “時 間 ” を区 別 して い る .な お,本 書 の ほ か の 箇 所 で は “時 間 ” と い う言 葉 で こ こで い う “時刻 ” を 表 す こ と もあ る が,誤 解 は生 じな い と思 う. 6)こ れ はそ の 時 間 にお け る位 置 変 化 の様 子 が 保 た れ た と した ら ,単 位 時 間 あ た りに どれ だ け の 距 離 を 進 むか を表 して い る こ と にな る. 7)Δ はデ ル タ と読 む(ギ リ シ ャ文 字 “デ ル タ”の 大 文 字 が Δ で ,小 文 字 は δで あ る).Δ は この よ う に変 化 量 を表 す の に よ く用 い られ る. 8)数 学 で は 収束 す る(動 詞 形 はconvergent ,名 詞形 はconvergence)と い う.収 束 しな い と きの 話 は こ こで は しな い. 9)数 学 で は 極 限値(limitvalue
,limitingvalue)と い う. 明 らか な と き ,“(t)” な ど は省 略 され る こ とが あ る. 11)変 化 の様 子 が 時 間 と共 に 変化 す る とい うこ と 10)独 立 変 数(こ こで はt)が 12)具 体 的 なt
,例 え ばt=aに
係 数 と呼 び,x'(a)と
お け る 関 数x(t)の
表 記 す る.も
変 化 率 の こ とを,関 数x(t)のt=aに
ち ろ ん,x'(a)はx'(a)=limx(a+Δt)-x(a)/ Δtと
お け る微 分 定義さ
れ る.aが 変 化 す れ ば微 分 係 数 も変 化 す る で あ ろ う.そ こで,あ ら ため てaを 独 立 変 数 と見 な し, 独 立 変 数 ら し くtと 書 き改 め,新 た に得 ら れ た関 数x'(t)を 関 数x(t)の 導 関 数 とい うの で あ る. 13)こ れ は記 号 で あ り,d2やt2を,dやtと い う量 が2乗 され て い る と勘 違 い しな い こ と. 14)直 線 をy=mx+nと
表 した と き,mを
直 線 の 傾 き とい う.
15)実 は複 素 数 で も よ い. 16)逆 関数 に関 して は8 .5.1項 参 照. 17)さ ら に導 関 数 の変 化 の様 子 が わか れ ば ,す なわ ち 導 関数 の 導 関 数(2階
の導 関 数)が わ か れ ば,さ らに
詳 し く関 数 の 概 形 が 描 け る こ とに な るが,本 書 で は そ の議 論 は し ない.必 要 に応 じて調 べ て ほ しい. 18)あ ま りよ い言 葉 で は な いが ,ま あ,気 分 は 出 て い る で あ ろ う.も ち ろ ん こ こ ら辺 を数 学 的 に厳 密 に 表 現 す る こ と もで きる が,初 心 者 に は か え っ て 難 しい と思 わ れ る の で,あ え て 日常 的言 葉 を使 っ て お く. 19)実 数 Δtで ベ ク トル を割 っ て も方 向 は変 わ ら な い . 20)数 学 的 に は ,接 線 方 向 を式(6.2)で 定 義 して い る. 21)「 糸 に つ な が れ た 物体 が 円 運動 を して い る 場 合 ,糸 が切 れ る と物 体 は 遠 心力 で 中 心 か ら遠 ざか る 向 き,す なわ ち,物 体 が 描 い て い た 円軌 道 に対 して直 角 に飛 び 出す の で は な いか.」 と思 う人 もい るか も しれ な い.大 抵 の 物 理 の参 考 書 で はそ の 考 え方 は む げ に否 定 され る.し
か し,も し “遠 心 力 ” とい う
言 葉 を 正確 に理 解 した上 で 上 記 の 主 張 をす る な らば,「 その 主 張 は 物 体 が飛 び 出す 瞬 間 にお い て は正 しい 」 と答 え るべ きで あ る.“ 遠 心 力” とい う言 葉 を 正 し く使 っ て い る人 は,観 測 系 と して 慣 性 系 を 採 用 して い ない の で あ る.こ の 点 に 関 しては18.2.3項 22)時 刻t nに お け る微 分係 数 を 求 め る た め に 時 刻tn-1と
お よびp.364の
課 題 を参 照 して も らい た い.
時刻tn+1の
間 の平 均 の傾 きを 計 算 す る こ
と もあ る. 23)適 当 な 関 数 を使 っ て デ ー タを 補 うこ と. 24)局 所 的 に 求 め た補 間式 を直 接 微 分 す る(解 析 的 に微 分 す る)と い う手 もあ る.例 y=ax2+bx+cで
フ ィ ッテ ィ ング を行 い,そ
の 部 分 の微 分係 数 を2ax+bか
え ば,局 所 的 に 関数 ら求 め る.
7 積
分
法
局 所 的 な変 化 を足 し合 わせ て い けば 大域 的 な(ト ー タル の)変 化 とな る.局 所 的 な変 化 の様 子 を求 め る のが 分析 の 方法 で あ る微 分 法 の役 目 とす れ ば,局 所 的 な変 化 か ら 全 変 化 量 を 求 め るの が総 合 の 方 法 で あ る積 分法 の役 目で あ る.本 章 で は とい う数 式 に込 め られ た 思想 を理 解 す る こ とが 目的 で あ る.
7.1積
分 法 の誕生
積 分(integration,integral)は
難 し い と い う人 が 多 い.確
は 多 い し,解 が 解 析 的 に 求 め られ な い こ と もあ る.し 難 し くな い.積
分 は も と も と平 面 図 形 の 面 積 や,立
求 積 法 と して 発 達 した.そ る と き,ま
の 方 法 は,例
体 図 形 の 体 積 ・表 面 積 を 求 め る
え ば 曲 線 で 囲 ま れ た 平 面 図 形 の 面 積 を求 め
ず 図 形 を 面 積 が 求 め や す い 長 方 形 か 三 角 形 に 分 割 し,そ
せ る と い う も の で あ る.こ
れ ら を 足 し合 わ
の よ う な 求 積 法 は古 代 ギ リ シ ャ の 時 代 か ら個 々 の 問 題 ご
と に巧 妙 な や り方 が 考 え 出 さ れ て き た.こ 発 見 され,積
か に計 算 が 厄 介 な 場 合
か し,積 分 の 考 え 方 そ の もの は
の 求 積 法 が 微 分 法 の 逆 演 算 で あ る こ とが
分 法 と して 系 統 的 に研 究 さ れ る よ う に な っ た の は17世
ン,ラ イ プ ニ ッ ツ ら に よ る.分
紀 で,ニ
ュー ト
割 と総 合 の 方 法 で あ る微 分 法 ・積 分 法 は そ の 後,数
学
の 大 き な 分 野 と して 発 展 し,他 の 学 問 領 域 に も多 大 な 影 響 を与 え る こ と と な っ た . 補 足 古 代 に お け る こ の求 積 法 の 達 人 は何 と言 っ て もア ル キ メ デ ス(Archimedes, 287?-212B.C.)で あ る.彼 は 放 物 線 で 囲 ま れ た図 形 の 面積 を 求 め,回 転2次 曲線 体 の体積 を求 め,球 の 表面 積 まで求 め た.球 の 表面 積 は,高 校 で学 ぶ程 度 の 積分 法 で は求 め る こ とが で きな い.こ れ だ け で も彼 の 偉 大 さは十 分 に示 され る が,ほ か に も 彼 の 業 績 を挙 げ れ ば,浮 力 に関 す る アル キ メ デス の原 理,て こ の原 理,円 周 率 を正 多 角 形 を用 い て計 算 す る方 法 の 発見 な ど,枚 挙 にい とまが な い.こ れ らは いず れ も高 度 な数 学 力,論 理 力 が 必 要 と され る もの ばか りで あ る.彼 が 到 達 した数 学 の高 み を 超 え る数 学 者 は ニ ュー トン(17世 紀)が 現 れ る まで,一 人 もい なか った とい っ て も過 言 で はあ る まい1).そ れ は もち ろ ん,ア ル キ メデ ス が あ ま りに も偉 大 で あ った せ い もあ るが,時 代 が アル キ メデ ス の後 継 者 が 育 つ の を妨 げ た こ と も理 由 に あ る.ロ ー マ軍 が アル キ メ デス の 住 む シチ リア 島の シュ ラクサ イ に攻 め て きた と き,彼 はて こ の原 理 を用 い た 投 石 器 や滑 車 を用 い た ク レー ンな どの 兵器 を 開発 し(ア ル キ メデ ス
は優 れ た技 師 で もあ った),数 で 圧倒 す る ロー マ軍 の 攻 め を再 三 に わ た って し りぞ け た.さ らに多 数 の 鏡 を使 っ て太 陽 の 光 を集 め,ロ ー マ 軍 の船 を焼 き払 っ た と も伝 え られ て い る.し か し,ロ ー マ軍 は三 年 もの年 月 をか け て つ い に シ ュ ラクサ イ侵 略 に 成 功 した.ロ ー マ 軍が 町 を略奪 して まわ る 中,75歳
の アル キ メデ ス は 一人,図 形 の
問 題 の研 究 に没 頭 して い た.ロ ーマ 兵 の 一人 が アル キ メ デ ス を捕 らえ よ うと した と きア ル キ メデ ス は叫 んだ.「 私 の円 に触 る な!」 ア ル キ メデ ス は殺 され,彼 の書 物 の 多 くは焼 か れ た2).も し,ア ル キ メデ スが 彼 の後 継 者 を育 て る こ と に(た とえ直 接 的 で な く,間 接 的 にで も)成 功 して い れ ば,数 学,物 理 学 の発 達 は数 百年 早 まっ たか も しれ ない.ア ル キ メデ ス の 時代 か らニ ュ ー トンの時 代 まで の二 千 年 間,科 学 の進 歩 は きわ め て遅 々 た る もの で あ っ た.
7.2定
積
第6章
で,速
れ ば,1秒
分
度 は 位 置 の 時 間 変 化 率 で あ る と述 べ た.例
え ば 時 間 の 単 位 を秒 とす
間 あ た り位 置 が どの く ら い 変 化 す る か を表 わ した 量 が 速 度 で あ る.逆
考 え る と,速
度vが
一 定 な ら ば,時
間tの
間 に 物 体 が 動 く距 離 はvtで
しか し,速 度 が 刻 一 刻 と変 わ っ て い く場 合 に は,ど
に
表 わ さ れ る.
うや っ て物体 が あ る時 間内 に進
む 距 離 を 求 め た ら よ い だ ろ う か. 図7.1の
よ う な 場 合,す
な わ ち,適
な る場 合 は 簡 単 で あ る.図7.1aは る.こ
実 質 的 に(正 味)進 ん だ 距 離 を示 して い る.
各 区 間 の傾 きの 比,す
で あ る(そ う な る よ う に し た).す 2:3:1:2:4:-3:1:4と
な わ ち速 度 の 比 は,2:3:1:2:4:-3:1:4
な わ ち,v1:v2:v3:v4:v5:v6:v7:v8=
な っ て い る.こ
れ を も と に,図7.1aと
v-tグ ラ フ に した もの が 図7.1bで
あ る.図
区 間 で は 位 置 の 変 化 率 は 一 定,つ
ま り速 度 は 一 定 で あ り,そ
れぞ れ の 区間 の速 度 は
して 求 め ら れ る.そ
移 動 す る の に 要 し た 時 間 をt1-t0=Δt1,t2-t1=Δt2,…
れ ぞれ の 区 間 を
とす る と,時 刻t=t0
で に物 体 の 正 味 動 い た 距 離lは,
で 求 め る こ とが で き る3).こ で あ ろ う.
同 じ運 動 を
に 示 す よ う な 区 間 に 区 切 っ て や れ ば,各
v1=x1-x0/t 1-t0,v2=x2-x1/t2-t1,…,v8=x8-x7/t8-t7と か らt=t8ま
区 間で 速度 が 一 定 と
位 置 の 変 化 を 時 間 に対 して グ ラ フ に し た も の で あ
こ で,l=x8-x0は,t0∼t8に
ま た,図7.1aの
当 な 区 間 に 分 け る と,各
れ は 次 の よ う に 縦 書 き の 計 算 式 で 書 く と わ か りや す い
図7.1直
目 のx2が
ラフ
(b)v-tグ
ラフ
線上 をある区間毎に等速度 で運動 する場 合
足 し合 わ せ る こ と に よ り,例 え ば,1行 目 のx2と3行
(a)x-tグ
目 のx1と2行
打 ち消 し合 い,…
目 のx1が
打 ち消 し合 い,2行
と い う感 じで,最 終 的 にx8-x0だ
けが
残 る.図7.1aか 時 刻t0(そ
ら もl=x8-x0で
の と き,物 体 はx0に
あ る こ と は 明 ら か で あ ろ う.繰 い た)か らt8(そ
物 体 が 実 質 的 に(正 味)進 ん だ 距 離 で あ る.こ で あ る こ と に 注 意 せ よ.も
り返 す が,lは
の と き,物 体 はx8に
い る)の 間 に
こ で,v6<0,x6-x5=v6Δt6<0
し,実 際 に 動 い た 全 道 の り を 求 め た い な ら,∑│vk│Δtk
と す る4).
次 に,速 速 度 はtの a≦t≦bの
度 が 図7.2の
よ う にtと
と も に刻 一 刻 と 変 わ っ て い く場 合 を考 え よ う.
関 数 と見 る こ と が で き る か ら,こ 間 に 進 ん だ 距 離 を 考 え る.ま
(k=1,2,…,n;T0=a,Tn=b)に 幅Tk-Tk-1を
で あ る と す る と,Δtkを
の 区 間 に あ るtの
満 た す な ら,ど
書 く こ と に す る.そ
ず 区 間[a,b]をn個
分 け る(図7.3a参
Δtk,こ
りTk-1≦tk≦Tkを
れ をv(t)と
照5)).k番
小 さ くす れ ば,tkを
小 区 間[Tk-1,Tk]内
一 定 で あ る と み な し,図7.1bと
進 ん だ 距 離 を近 似 計 算 す る.す
の よ う に近 似 値 が 求 め ら れ る.こ を作 り,そ
な わ ち,距
目の小 区 間の お く.つ
して も よい.v(t)は
v(tk)は そ う大 き く は変 化 しな い と考 え る こ とが で き る.そ 度 はv(tk)で
の 小 区 間[Tk-1,Tk]
値 を ど れ で も よ い か らtkと
ん な値 をtkと
して
ま
連 続 関数
の ど こ に とっ て も
こ で,各 小 区 間 で は,速
同 じ よ う に 考 え て,a≦t≦bの
間に
離 をlと す る と,
れ は,図7.3の
よ うに各小 区 間で長 方形 の た ん ざ く
の 面 積6)の 合 計 を求 め て い る こ と に 相 当 す る(図 で はtk=Tkと
し た).
近 似 を よ くす る た め に は,小 区 間 の 幅 を も っ と小 さ く し,個 数 を増 や せ ば よか ろ う.
図7.2直
線 上 を速 度 を変 え なが ら運 動 す る場 合
(a)粗 く分 割 した 場合
(b)細 か く分 割 した 場 合
図7.3v-tグ
ラ フ か ら物 体 の変 位 を求 め る方 法
す る と こ の 値 は だ ん だ ん 真 の 値 に近 付 い て き て,そ の 極 限 値 は,時 刻a,b間 進 ん だ 距 離 に な る と考 え ら れ る7).こ aか
らbま
で の 定 積 分(definiteintegral)」
の 極 限 値lim∑v(tk)Δtkを と 呼 び,
に物 体 が
「関 数v(t)の と 書 く.繰
り返 す と,
(7.1) で 定 積 分 を 定 義 す る の で あ る. 補 足1式(7.1)は,
(7.2)
と書 く こ と が で き る8).式(7.2)は,
(7.3) と書 き直 す こ と もで きる.式(7.2)は
分割 した差 を足 し合 わせ て合 計 の差 を求 め た
形 で あ り,式(7.3)は,出 発 点x(a)か ら少 しず つ進 んで 最 終値x(b)に 到 達 す る と い う意 味 に な って い る.も ち ろん 数式 と して は 同値 だが,数 式 の 意味 を考 える 習慣 を身 につ け て ほ しい.な お,和 の 記号 ∑ は ギ リシ ャ文字 で,シ グマ と読 む9)が,ア ル フ ァベ ッ トのSに 対 応 す る.∫ もSを デ ザ イ ン化 した もの だ.こ れ は,和 とか合 計 を表 す 単 語 がsumと
かsummationと
か い うの に対 応 して い る.
の 意味 は
補 足2
(7.4) で あ る.計 算 法 は と もか く,意 味 そ の もの は難 し くあ る ま い.こ の 意味 を視 覚 的 に 掴 み た い な らば次 の よ う にす れ ば よい.ま ずv-tグ
ラフ を描 き,も しv(t)が 負 にな
る と ころ(t軸 よ り下 に な る と こ ろ)が あれ ば,そ の部 分 をt軸 に関 し折 り返 す.こ れ に よ り│v(t)│を 表す グ ラ フが 得 られ る.こ れ を定 積 分 す る こ とは,│v(t)│の
グラ
フ とt軸 とで 囲 まれ た部 分 の 面 積 を求 め る こ と にほ か な ら ない. と積 分 範 囲 をひ っ く り返 した
補足3
との 関係 は ど うな るで
あ ろ うか.積 分 の 基 本 は
(7.5) で あ っ た.式(7.5)の
右 辺 の Δtkは
何 だ っ た か と い う と,tの
小 区 間[Tk-1,Tk](k=1,2,…,n;T0=a,Tn=b)に 小 区 間 の 幅Tk-Tk-1で の でT0=a,Tn=b,そ
あ っ た.こ の と き,積 分 区 間 がaか ら始 ま りbで し てTkはTk-1か ら1ス テ ッ プ だ けaか らbに
方 向 に 進 ん だ も の で あ る.そ 量 と い う こ と に な る(kが1か 区 間 を[b,a],す
な わ ちbか
あ り,TkはTk-1か そ の た め,も 1か a>bだ
らnの
ら1ス しa
ら 始 ま りaで
終 わる 向か う
終 わ る よ う に す る と,T0=b,Tn=aで
テ ッ プ だ けbか
らaに
向 か う方 向 に 進 ん だ も の で あ る.
ら ば Δtk=Tk-Tk-1は
負 の 量 と い う こ と に な る(kが
う い っ た 事 情 を 考 え れ ば,a
ろ うが
な る.
の 目の
の た め,も しa
う ち の どの 値 で あ っ て も).こ
と な る こ と が わ か る.な は0と
区 間[a,b]をn個
分 け た も の の,k番
お,当
然 の こ と な が らa=bの
場 合,す
なわ ち
ろ うが
補 足4積 分 の基 本 は “ 和 ”(足 し算)で あ る.足 こ とを考 えれ ば,
し算 で は結 合 則 が 成 り立 つ.そ の
で あ る こ と は明 らか で あ ろ う(cは 任 意 の実 数).
例
を上 の 定 義 に 従 っ て 計 算 す る.区
間 の 幅 は Δxk=1/nに
な る.そ
して,k番
間0≦x≦1をn等
分 す る と,小 区
目 の 小 区 間 の 右 端 の 値k/nをxkと
す る と,
(7.6) た だ し途 中 で
(7.7) な る 公 式 を用 い た.
7.3定
積 分 と不 定 積 分
以 上 見 て きた よ うに,微 分 が 変化 の状 態 を無 限小 に分 け い って詳 し く調べ る こ と だ とす る と,積 分 は分 け られ た もの をつ な ぎ合 わせ て全体 をつ か む こ とで あ る,と い え よ う.微 分 の本 質 が分 析 で あ る とす る な らば,積 分 の本 質 は総 合 で あ る.し か し,前 節最 後 に挙 げ た例 に見 られ る よ うに,積 分 計算 は この ま まで は非常 に難 しい. そ こで 次 に定 積 分 の計 算 法 につ い て考 えて み よ う. 今 まで の例 で い う と,
で あ る.こ
れ は そ もそ も
と定 義 さ れ て い た の で 当 然 で あ る.そ
して,
図7.4xとvと
と な る.こ よ う.明
の 関 係 は 前 に 図7.1に
の 関 係
示 し て お い た が,改
め て 図7.4の
よ う に考 え て み
らか に
と い う 量 は,xn-x0と
い う 量 に な っ て い る.そ
と い う 関 係 に あ る の で あ る.逆 を計 算 す る の に,vkΔtk=Δxkと 最 初 の 値 を 引 い た も のxn-x0を こ れ を 一 般 化 し よ う.何
く な っ た と し よ う11).こ
し て,xと
い う 量 はvと
に い え ば,v1Δt1+v2Δt2+…+vnΔtnと な る よ う なxを
い う量 と
い う量
持 っ て き て,xの
最 後 の値 か ら
計 算 す れ ば よ い の で あ る10).
ら か の 理 由 でlim∑f(xk)Δxkと
こ でx0=a,xn=bと
す る.こ
い う 量 を計 算 し た
の と き,
(7.8) と な る よ う なF(x)を
で あ る.も
も っ て くる の で あ る.こ
ち ろ ん,式(7.8)は
こで
極 限 的 な もの を 意 味 し て い る.つ
ま り,
(7.9)
と して,極 限的 な意 味 で
が 成 り立 っ て い る と い う こ と で あ る.す こ と は ΔF(x)を
る と,f(x)Δxを
加 え合 わせ て い くとい う
加 え 合 わ せ て い く,と い う こ と に な る.す
化 を 加 え 合 わ せ て い く とい う こ と に な り,こ れ は 結 局F(x)の に等 し くな る.ま
と な る12).左 く,式(7.9),す
全 変 化 量F(b)-F(a)
辺 の 量 を計 算 す る の に,す べ て の 項 を 一 つ ず つ 丁 寧 に 計 算 す る の で な なわ ち
を満 た す よ う なF(x)を
と表 記 す る.こ
微小変
と め る と,
持 っ て き て,そ
わ け で あ る13).F'(x)=f(x)と function),あ
な わ ち,F(x)の
の 最 初 と最 後 の 値 の 差 を と っ て や れ ば よい
な る よ う なF(x)をf(x)の
る い は 不 定 積 分(indefiniteintegral)と
のF(x)とf(x)の
関 係 は 次 の 図7.5の
い だ ろ う.
図7.5積
分 の計 算 法 概 念 図
い う.そ
原 始 関 数(primitive し て,
よ う に書 く と さ ら に わ か りや
原 始 関 数 に は任 意 の 定 数 分 の 不 定 性 が あ る.す る か ら,F(x)がf(x)の
と な り,F(x)+Cも
原 始 関 数 と な る14).こ を 求 め よ う.微
例1 か る.こ
原 始 関 数 な ら,Cを
分 し てx2に
な わ ち,定
数 は微 分 す る と0で
あ
定 数 と して,
の 定 数Cを
積 分 定 数 と 呼 ぶ.
な る 関 数 は1/3x3で あ る こ と が す ぐに わ
れ を 用 い る と,
と な る.原
始 関 数 の 積 分 定 数 は ど う選 ん で も,定 積 分 を 求 め る た め に 差 を と る こ と
に よ り消 え て し ま う. 例2半
径Rの
円 の 面 積 を 求 め て み よ う.ま
に 分 け る15).そ な る.さ
ず,図7.6の
よ うに円 を多 数 の 同心 円
れ ぞ れ の “ドー ナ ッ ツ ” の 面 積 を 足 し合 わ せ れ ば,求
て,半 径rk,幅
Δrkの
め たい 面積 に
ドー ナ ッ ツ の 面 積 は ど う な る で あ ろ う か.ま
ず 円周
率 π を 直 径 と 円 周 の 長 さ の 比 と し て 定 義 す る.π の 値 そ の も の は わ か ら な く て よ い (8.6節 参 照).と
に か く,こ
rkの 円 の 円 周 は2πrkで え ら れ る.こ
の π を 使 っ て 面 積 を 表 す こ と を 考 え よ う.さ
あ る.ド
れ を 伸 ば せ ば,大
長 方 形 に な ろ う.Δrkが
ー ナ ッ ツ は,こ
雑 把 に い っ て,底
の 長 さで 幅 Δrkの
て,半
径
辺 の 長 さが2πrk,高
帯 か ら 成 る と考 さ が Δrkの
十 分 小 さ け れ ば こ の 近 似 の 精 度 は相 当 よ く な り,ド ー ナ ッ
図7.6円
の面 積 を 求 め る
ツ の 面 積 は ΔSk
と な る.こ
2πrkΔrkと
な る.結
局,面
積Sは,
の 極 限 を と っ て(分 割 を無 限 に細 か くす る こ と に よ り),
と な る.∫rdr=1/2r2で す ぐに わ か る.以
あ る こ と を知 っ て い れ ば,こ の 定 積 分 は πR2と
上 の 議 論 か ら,半 径rの
に な り,ま た,半 径rの
円 の 面 積 πr2をrで
球 の体 積4πr3/3をrで
な る こ とが
微 分 す る と 円 周2πr
微 分 す る と球 の 表 面 積4πr2に
なる
こ と が 直 感 的 に 納 得 で き た で あ ろ う か. 補 足1例1に
対 し,式(7.6)で
を計 算 した と き用 い た方 法 は途 中の 項
を じっ く り考 え て積 分 の本 来 の 定義 に従 って 計算 した よ うで あ るが,途 中 で数 列 の 和 の公 式(7.7)を 使 っ て い る.こ の 和 の公 式 は,実 は,積 分 の計 算 を原 始 関 数 の 差 で計 算 す る とい う考 え方 と同 じ よ うな考 え 方 で導 か れ た もので あ る16).数 列 の 和 を 求 め る こ と と関 数 の定 積 分 を求 め る こ と との 間 に は密 接 な関係 が あ る.同 様 に,数 列 の階 差 を求 め る こ と と,関 数 の微 分 を求 め る こ とに も密 接 な つ なが りが ある.数 列 の和 を求 め る一 般 論 を少 しだ け考 えて み よ う.
に お い て,n≧2の
と き,an=Sn-Sn-1が
と書 く こ と が で き る.こ
成 り立 つ.こ
れは
の式 は
に お い て,Δx=1と した もの に相 当す る.数 列 の階 差 は実 数 関 数 の微 分 に相 当 す る の で あ る.微 分 の逆 演 算 と して積 分 が 求 め られ る の で あ るか ら,数 列 の階 差 の 逆 演 算 と して数 列 の和 が 求 め られ る ので あ る.k2の 和 の公 式 は こ うい う考 え方 か ら求 め る こ とが で きる(こ こ で は,実 際 の求 め 方 の 説 明 は割 愛 す る).そ の ほ か に も,階 差 を利用 した数 列 の和 の 問題 を受験 勉 強 で 解 い た こ とが あ る人 は 多 い こ とで あ ろ う. 以 下 に例 を挙 げ る.
上 の 例 で,数
列bn=-1/nは,数
当 す る.bn+1-b1は,定
補 足2積
列1/n(n+1)を
階 差 数 列 に 持 つ 数 列 で,原
積 分 に お い て 計 算 し たF(b)-F(a)に
分 の原 形 は ∑f(xk)Δxkで
始 関 数 に相
相 当 す る.
あ る.こ れ を見 た だ け で,対 応 す る成 分 を
か けて 足 す,と い うベ ク トル の 内積 を思 い 出 した人 はめ ち ゃ くち ゃ鋭 い.数 学 科 で や って い け る(か も しれ な い). 補 足3積 分 法 の 応 用 問題 と して,面 積,体 積,曲 線 の長 さ を求 め る問 題 な どが あ る.本 来,こ れ らの 問題 を取 り上 げ,積 分 法 の 習熟 に努 め るべ きで あ ろ うが,こ れ らにつ い て は本 書 で は取 り上 げ な い.必 要 に応 じて高 校 の教 科 書 な どで 確 認 して お い て もらい た い.な お,本 書 で は力学 を学 習す る際 に詳 し く積分 の計 算法 を説 明 し, 演 習 の不 足 を補 う こ とにす る.
7.4積 こ こ に,積
分 法 の基 本 法則 分 法 の 基 本 法 則 を 略 記 して お く.高 校 の 教 科 書 レベ ル の 証 明 と 問 題 演
習 で 十 分 な の で,自
ら積 極 的 に 補 い,使
(1)∫{f(x)±g(x)}dx=∫f(x)dx± (2)∫cf(x)dx=c∫f(x)dx(cは
い こ な せ る よ う に し て も ら い た い. ∫g(x)dx(複 定 数)
(3)∫f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)-∫f(x)g'(x)dx(部 (4)x=φ(t)の
号 同 順)
分 積 分)
と き,
∫f(x)dx=∫f(φ(t))dx/dtdt=∫f(φ(t))φ'(t)dt(置
換 積 分)
7.5積
分 の数値 計 算
関数 を解析 的 に積 分 で きな くて も,数 値 的 に は定積 分 を求 め る こ とが で きる.関 数 を適 当 な区 間 に分 け て,極 限 を とらず に単 に,
を 計 算 す れ ば よ い.近
似 を 高 め る た め に は 区 間 分 け を 細 か くす れ ば よ い.し
そ れ で は 計 算 に 時 間 が か か っ て し ま う,と や れ ば い い の だ が,そ
い う と き に は,何
の 方 法 に は 触 れ な い.必
か し,
らか の 補 間 式 を使 っ て
要 に 応 じ て 調 べ て も らい た い.
実 験 デ ー タ の 定 積 分 に も以 上 の 考 え 方 を 応 用 す れ ば よ い. 課 題 関 数 を解 析 的 に微 分,積 分 す るの は非 常 に難 しい こ とが あ る.し か し,な め らか な関 数 の 微 分,積 分 を数 値 的 に行 うこ と は,精 度 を求 め な けれ ば 簡単 で あ る.例 え ば,
な る 式 を,数 (1)y=f(x)の
値 的 に 微 分,積
分 す る こ と を 考 え よ う17).
グ ラ フ を-3≦x≦3の
(2)y=f'(x),y=f″(x)の 微 分 法 を 用 い よ.ま
範 囲 で 描 け.
グ ラ フ を-3≦x≦3の た,グ ラ フ か らf″(x)=0と
(3)f(x)は も ち ろ ん,正 規 分 布N(0,1)―― の 密 度 関 数 で あ る.前 問 に よ っ て,標 与 え る こ と が わ か る.こ
範 囲 で 描 け.た だ し,計 算 に は 数 値 な るxの 値 を予 想 せ よ.
平 均 値m=0,標 準 偏 差 σ=1の 正 規 分 布 ―― 準 偏 差 σ=1がy=f(x)の 変 曲 点(説 明 略)を
こ で,y=f(x)を-1≦x≦1の
そ の 値 を手 元 の 正 規 分 布 表18)か
範 囲 で 数 値 的 に 定 積 分 せ よ.
ら得 ら れ る 値 と比 較 せ よ.
解 説 この計 算 は筆算 で解 析 的に行 うこ とが で きる(高 校3年 生程度 の数学).し か し,こ こで は パ ソコ ンを用い て数値 的計 算 で行 って ほ しい.手 順 は,-3か ら3ま で の数値 を適 当 な刻 み 幅 Δx (例えば0.01)で 用 意 し,そ れ に対 す るf(xn)の 値 を求 め る.あ とは{f(xn)-f(xn-1)}/Δx を次 々 に計 算 して,そ れ をf'(xn)と す れ ば よ い.同 様 にf″(xn)も 求 め られ る.積 分 は f(xn)Δxを 足 し合 わせ て い け ば よい.本 課 題 は読 者 の 自由課 題 とす る.な お,実 験 デ ー タ の 分 析 で統 計 的 手法 を用 い よ う とい う人 は,少 な く と も,本 課 題 の 内容 を よ く理 解 して お く必 要が あ る. 課 題f(x)=sinx,g(x)=sin2xと 分 法,数
す る.以
下 の 設 問 に答 え よ.た
だ し,計
算 には 数値 微
値 積 分 法 を 用 い よ.
(1)y=f(x),y=f'(x),y=f″(x)の (2)y=g(x),y=g'(x),y=g″(x)の
(3)
グ ラ フ を-5≦x≦10の
範 囲 で 描 い て 比 べ よ.
グ ラ フ を-5≦x≦10の 範 囲 で 描 い て 比 べ よ. と す る.y=f(x),y=F(x)の グ ラ フ を-5≦x≦10の 範囲で
描 い て 比 べ よ.
(4)
と す る.y=g(x),y=G(x)の 描 い て 比 べ よ.
グ ラ フ を-5≦x≦10の
範 囲で
解 説 数値 的 な微 積 分 は(精 度 を追 求 しな けれ ば)そ れ ほ ど難 し くない と思 うが 、 この 課題 を 実 行 す る こ とに よ り、
と な りそ うだ と予 想 が 立 て られ たで あ ろ うか.こ の 予 想 は次 章 で 解 析 的 に確 か め る こ とに し よ う.
注 1)ア ル キ メ デ ス ,ニ ュ ー トン,ガ ウ ス は 世界 の三 大 数 学 者 と い わ れ る. 2)焼 か れ た の は もち ろ ん ア ル キ メ デ ス の 著 作 だ け で は な い .古 代 ギ リ シ ャ にお い て 一 つ の 極 に達 した 学 問,文 化 の 多 くが ロ ー マ 軍 の侵 略 に よ り失 わ れ た. 3)こ れ はv -t図 の 面 積 にほ か な らな い .こ の こ とは 重 要 で あ る. 4)こ こ ら辺 の 関係 は , と との 関係 に対 応 す る. 5)図7 .3で はn等 分 して い る が,何 も等分 す る必 要 は な い. 6)t軸 の 下 に で きる た ん ざ くの 面積 は 負 の量 と考 え る . 7)こ の様 子 は 図7 .3を 見 れ ば直 感 的 に明 ら かで あ ろ うが,き ち ん と示 す た め には 大 学 教 養 課 程 レベ ル の 数学 が必 要 とな る. 8)v(t)=dx(t)/ dtで あ る.そ して,x:x(a)→x(b)に 対 して,t:a→bで あ る.賢 明 な 読 者 は,式 (7.2)の 下 線 部 が 置 換 積 分 その も の に な って い る こ と に気 付 い た で あ ろ う. 9)Σ は 大文 字 で あ り ,小 文 字 は σ で あ る. 10)vkΔtkがxの 微 小変 化 量 Δxkを 表 して い る よ うな,そ ん なxを 探 して持 って くるの であ る.vkΔtk を足 し合 わせ る と い う こ と はxの 微 小 変 化 量 Δxkを 足 し合 わせ る とい う こ とで あ る.xの 変化量 Δxkの 総 和 は 当然xの 総 変 化 量 に な る.xの 総 変 化 量 とは す な わ ちxn-x0で あ る. 11)物 理 で は こ う い う こ とが 非 常 に多 い. 12)定 積 分 計 算 にお け る原 始 関 数 の差F(b)
-F(a)を
と書 く.
13)こ の “途 中 を考 えず に
,あ る量 の 最 初 と最 後 の値 の 差 だ け を とる” とい うや り方 は,物 理 で は エ ネ ル ギ ー保 存 則 と か,運 動 量 保 存 則 を思 い 出 させ る.そ れ もそ の は ず で,力 学 的 エ ネ ル ギ ー とか運 動 量 と い う量 は,あ る量 の 積 分 量 に な っ てい るの で あ る. 14)と に か く,微 分 してf(x)に な る もの は何 で もf(x)の 原 始 関 数 と呼 ぶ の で あ る. 15)図7
.6を 見 なが ら本 書 を グル グル 回 す と 目が 回 っ て 危 険 で あ る.注 意 して もら い た い. 16)す な わ ち ,途 中 を じっ く り考 えて い るつ も りで,ち ゃ っか り横 着 を して い た の で あ る. 17)eは 自然 対 数 の 底 でで あ り,値 と し て はe=2.718… で あ る.詳 し くは8.1節 で解 説 す る. 18)高 校 の 教 科 書 を参 照 せ よ.大 抵 の 統 計 学 の 本 に も載 っ て い る.
8 い くつ か の 関数
第6,7章 にお い て微 分 法 ・積 分 法 の一 般 論 を述べ た.本 章 で は具 体 的 な 関数 の性 質 を主 に微 分 法 を用 い て解 説 す る.取 り上 げ た 関数 はい ず れ も科 学 的研 究 をす る 上 で 重 要 な もの ば か りなの で,し っ か り身 につ け て ほ しい.な お ,一 般 の テ キス トで は 必 ず 関 数 の グ ラ フが た くさん あ げ られ て い る が,本 章 には グ ラ フ をつ けず,代 わ り に グ ラ フ を描 く課 題 を多数 用 意 した.こ れ は読 者 が コ ン ピュ ー タ を使 って グ ラ フを 描 く こ とが で きる こ と を前提 と した か らで あ る1).課 題 に従 って グ ラフ を描 い た り, 数 値 計算 を した りす る練 習 を行 う こ とに よ り培 われ る 能力 は,将 来 必 ず 役 に立 つ は ず で あ る.積 極 的 な学 習 を期 待 す る.
8.1指 y=axと と い う.指
数 関 数 てい 底 に した 指 数 関 数(exponentialfunction)
い う 形 で 表 され る 関 数 をaを 数 関 数 を微 分 して み よ う.微
分 の 定 義 に従 い 計 算 す る と
← 微 分 の定 義
←ax+h=axah(指
←axで
の く く り出 し
axはhと ←
数 法 則)
関 係 ない の で定 数 と
見 な してlimの
外 に 出 した
つ ま り,
(8.1) と計 算 され る.こ
れ よ り,指 数 関 数 の 変 化 率 は ,そ の 点 に お け る 自分 の 大 き さaxに
比例 し,limah-1/hが(収
束 し て 極 限 値 を 持 つ な ら2))そ の 比 例 定 数 と な る こ と が
わ か る.こ
のlimah-1/hと
と書 き 換 え ら れ る.こ し て い る.aが
い う量 は,1=a0で
あ る(23節
れ は ま さ に,y=axと
大 き くな れ ば な る ほ ど,こ
課 題y=2x,y=3xの
参 照)こ と を 考 え れ ば,
い う 曲 線 のx=0に
お け る傾 きを表
の 傾 き は 大 き く な る.
グ ラ フ を描 い てx=0に
お け る傾 きを 目 で比 較 し,後 者 の 方 が傾
きが 大 き くな る こ とを確 認 せ よ. 解 説 解 答 略.グ ラ フ を二 つ,三 つ描 い て もy=axと い う曲線 のx=0に お け る傾 きはa が 大 き くな れ ば な る ほ ど大 き くな る こ とは 証 明 した こ と には もち ろ ん な らな い.キ チ ン と し た証 明 は8.5.3項 で 行 う. こ の 傾 き(limah-1/h)が1に
な る よ う なaの
に 近 づ く に つ れ てah-1/hが
限 り な く1に
こ れ は,hが
近 い と き,ah-1/h=1,す
限 り な く0に
ah=1+h,す
な わ ち,a=(1+h)1/hと
こ の よ う なaを
改 め てeと
と定 義 す る4).こ y=exの
のeを
な わ ち,hが0
ん なaを
考 え る3).
な わ ち,ah-1=h,す
な る よ う なaを
な わ ち,
求 め れ ば よ い.こ
あ る と お り,y'=exと
値 は ど の く ら い で あ ろ う か.ち
な る.さ
底 とす る 指 数 関 数 て,こ
の よ うに
ょっ と計 算 機 で 計 算 し て み よ う(自
して 計 算 す る と(1+1/100)100=2.7048…,
して 計 算 す る と(1+1/1000)1000=2.7169…,h=1/5000と
計 算 す る と(1+1/5000)5000=2.7180… 収 束 しそ う で あ る.実
こ で,
ま り,eを
自 然 対 数 の 底 と か ネ ピ ア の 数 と呼 ぶ.eを
分 で や っ て み る こ と).h=1/100と h=1/1000と
近 づ い て い く よ う な,そ
書 く こ と に し よ う.つ
導 関 数 は 本 章 末 の 注3に
定 義 さ れ たeの
値 を 考 え よ う.す
と な っ て,2.7よ
際 にeはe=2.71828182845904…
して
りち ょ っ と大 きい 値 に と い う無 理 数 に な る こ と
が 知 ら れ て い る. 次 に,exを
整 関 数5)で 表 す こ と を 考 え よ う.す
な わ ち,
(8.2) と表 せ る と仮 定 し,そ の係 数a0,a1,a2,… にx=0を (8.2)をxで
代 入 す れ ばa0=1と 微 分 す る と(exは
を求 め る こ と を 考 え る の で あ る.式(8.2)
求 め ら れ る(e0=1で 微 分 し て もexで
あ る こ と に 注 意).ま
た,式
あ る か ら),
(8.3)
と な る.こ
の 式 にx=0を
代 入 す れ ばa1=1と
求 め られ る.さ
ら に微 分 し て得 ら
れ る式
にx=0を
代 入 す れ ばa2=1/2と
を代 入 してa3,a4,…
求 め ら れ る.同
を 求 め て も との 式(8.2)に
様 に微 分 を 繰 り返 し て はx=0
代 入 す る と,
が 得 られ る.こ の式 の 妥 当性 に 関 して は検 討 が 必 要 で あ る が,実 際 に任 意 のxに 対 し,
(8.4) で 表 さ れ る こ と が 知 られ て い る6). 課題
式(8.4)に
お い て,x=1を
代 入 す れ ば,
(8.5) で計 算 され る こ とが わか る.kに0か ら10く らい まで を代 入 して,eの 近似 値 を求 め よ.ま た,グ ラ フ を描 い て,指 数 関数 が 整 関 数 で どの よ う に近似 され て い くか確 か め よ. 解説
前 半 は 電 卓 で も 簡 単 に 実 行 で き る.∑1/k!=2.718281801…
と な る.こ
ダ ー ラ イ ン の 桁 ま で 正 し い.y=exとy=1,y=1+x,y=1+x+1/2x2,… の 比 較 は 各 自試 し て ほ し い.整
との グ ラ フ
関 数 と 指 数 関 数 と い う 一 見 つ な が りの な い 関 数 らが 歩 み 寄 っ
て い く さ ま を実 感 す る こ と が で き よ う.
8.2三 y=sinxの
れは アン
角 関 数 導 関 数 を 求 め て み よ う.
(4.5節
参 照)
h/2 =θ と置 き換 えた
←
(h→0な
ら θ→0)
xは θ と関係 な い ので 定 数 と見 な し ← limcos(x+θ)=cosx
cosxは
←
θ と関係 ない の で定 数 と
見 な してlimの
外 に出 した
つ ま り,
(8.6) と な る.さ
て,こ
の 式 で 現 れ る,limsinθ/θ
に つ い て 考 え よ う.sin0=0で
あ る こ
と を 考 え れ ば,
で あ り,こ れ はy=sinxと
い う 曲 線 のx=0に
こ の値 は い く ら で あ ろ う か.こ
れ は,角
お け る 傾 き に ほ か な ら な い.で
ま り,θ は 角 の 大 き さ を 表 す 数 値 で あ る か ら,角 数 値 は 異 な っ て し ま う7).そ
れ に 対 し,sinθ
位 に よ らず 一 定 の 値 と な る8).よ が 違 っ て く る の で あ る.そ
ン に つ い て は4.3節 課 題cosx,tanxの 解説
の大 きさが 同 じで も単位 に よっ て
の 方 は,角
の大 きさが決 まれ ば角 の単
っ て,sinθ/θの 値 は,角
の単 位 を どう とる かで 数値
こ で,
と な る よ う な 角 度 の 単 位 を採 用 し よ う.そ
と な っ て 便 利 で あ る.こ
う す れ ば,式(8.6)よ
り,
の よ う な 角 の 単 位 が ま さ に ラ ジ ア ン な の で あ る9)(ラ
ジア
参 照). 導 関 数 は そ れ ぞ れ-sinx,1/cos2xで
微 分 の 定 義 ど お り計 算 す る よ り も,(sinx)'=cosxと
し よ う.加
は,
度 の 単 位 を ど う と る か で 異 な っ て く る.つ
法 定 理 よ りsin(π/2-x)=cosxで
あ る か ら,
あ る こ と を 示 せ. 微 分 の 基 本 法 則(6.3節)を
利用
と 求 め ら れ る.途
中,合
成 関 数 の 微 分 法 とcos(π/2-x)=sinxを
使 っ た.(tanx)'の
方 は商
の 微 分 法 を 使 え ば よ い.
と求 め られ る. 次 に,8.1節
で や っ た よ う にsinx,cosxを
整 関 数 で 表 す こ と を 考 え よ う.す
な
わ ち,
(8.7) と表 せ る と仮 定 し,そ 式 にx=0を をxで
の係 数a0,a1,a2,…
代 入 す れ ばa0=0と
微 分 す る と(sinxは
を 求 め る こ と を 考 え る の で あ る.こ
求 め ら れ る(sin0=0で
微 分 す る とcosxで
あ る).ま
の
た,式(8.7)
あ る か ら)
(8.8) とな る.こ
の 式 にx=0を
代 入 す れ ばa1=1と
求 め ら れ る(cos0=1で
あ る).さ
ら に微 分 して 得 られ る 式
にx=0を
代 入 す れ ばa2=0と
同 様 に 微 分 を 繰 り返 し て はx=0を
求 め られ る(cosxは 代 入 してa3,a4,…
微 分 す る と-sinxで
あ る).
を求 め て も との 式(8.2)に
代 入 す る と,
が得 られ る.こ の 式 の妥 当性 に 関 して は検 討 が必 要 で あ るが,実 際 に任 意 のxに 対 し,
(8.9) で 表 さ れ る こ とが 知 ら れ て い る.
課 題cosxは,
(8.10) と表 せ る こ と を 示 せ. 解 説sinの
展 開 に な ら っ て 実 行 して も らい た い.式(8.9)の
両 辺 をxで
微 分 して も式(8.10)
が 得 ら れ る.
8.3マ 8.1節
ク ロ ー リ ン展 開 と8.2節
に お い て,指
れ を一 般 化 し よ う.xの
数 関 数 や 三 角 関 数 を整 関 数 で 表 す こ と を 考 え た.こ
関 数f(x)が
(8.11) の よ う な 無 限 級 数(無 限 の 項 か ら な る 和)で 表 せ る と仮 定 す る(こ の よ う な こ と が 実 際 に で き る か ど うか は 当 分 お い て お く10)).こ 分 し て はx=0を
の 式 を8.1節
代 入 す る と い う 作 業 を繰 り返 す.す
が 得 ら れ る(確 か め よ).こ
や8.2節
に な ら っ て,微
る と,
こ で,f(n)(x)はf(x)のn階
の 導 関 数 を表 す.結
局,
(8.12) と表 せ る こ と に な る.た
だ し,こ れ は あ く ま で も,関 数f(x)が
さ れ る とす れ ば こ う な る は ず だ,と い う こ とで あ る.関 が 不 可 能 な こ とが あ る.ま
た,あ
式(8.11)の
よ うに表
数 に よって は この ような展 開
る 条 件 の も と で こ の よ う な展 開 が 可 能 な 関 数 もあ
る.関 数 を こ の よ う に 整 関 数(ベ キ級 数)で 表 す 方 法 を マ ク ロ ー リ ン 展 開(Maclaurin expansion)と
い う11).さ
と な る(証 明 略).こ
ら に,関
数f(x)をx=aの
ま わ りに 展 開 す る と
れ を テ ー ラ ー 展 開(Taylorexpansion)と
は 場 合 に 応 じ て 様 々 な 手 法 が 用 い ら れ る.
い う.実
際 の計 算 に
課 題xが 解説
十 分小 さい と きに,(1+x)α
1+αxと
な る こ とを示 せ.
本 書 で は主 にマ ク ロー リ ン展 開,テ ー ラ ー展 開 を関 数 の近 似 法 と して 用 い る.様 々 な
関数 を扱 いや す い1次 関 数,な い し2次 関数 で近 似 的 に表 そ う とい うので あ る12).マ ク ロ ー リン展 開 に つ い て は指 数 関 数 と三 角 関 数 に対 して練 習 した の で,こ こで は テ ー ラ ー展 開 の 練 習 を して み よ う.f(X)=Xα
と な る.f'(X)=αXα-1で α(α-1)Xα-2で
あ る か らf'(1)=α
あ る か らf″(1)=α(α-1)で
と な る.こ
こ で,x=X-1,す
と な る.こ
こ で,x≪1と
と な る.も
し,xが
お,本
とす る.こ れ をX=1の
で あ る(1は あ る.こ
な わ ちX=1+xと
し てxの2次
まわ り にテ ー ラ ー展 開 す る と,
何 乗 して も1).ま
た,f″(X)=
れ よ り,
お く と,f(X)=(1+x)α
で あ り,
以 上 の 項 が 無 視 で き る と す る と,
十 分 小 さ く な い と き は さ ら に 高 次 の 項 ま で と ら な くて は い け な い13).な
課 題 はg(x)=(1+x)α
を 素 直 に マ ク ロ ー リ ン 展 開 し てxの1次
よ っ て も 簡 単 に 解 決 す る.g'(x)=α(1+x)α-1で
の項 まで とる こ とに
あ る か ら14),
と な る. 補足
高 校 の と き,等
比 数 列 の 和,す
な わ ち 等 比 級 数 な る も の を考 え た.例
項 か ら な る 等 比 数 列{1,r,r2,r3,…,rn-1}の
和Snを
え ばn
求めるためには次の よう
に した.
これ よ りた だ ち に
で あ る こ と が わ か る.も で あ る(こ
し,rが-1
れ は 認 め て ほ し い).そ
れ ゆ え,
あ る な ら ば,n→
∞ の と きrn→0
と な る.ま
と め る と,も
し,-1
あ る な ら ば,
(8.13) で あ る こ と が わ か る.こ
の 式 は 高 校3年
生 の 数 学 で “無 限 等 比 級 数 が 収 束 す る 場
合 の 和 ” と し て 必 ず 習 う式 で あ る が,見 き(-1
が ら,無
限 項 か ら な る 整 関 数(ベ
し て い る.式(8.13)は,実 f(r)=1/1-rと
方 を 変 え る と,分
は1/1-rの
し て,f(r)をrで
数 関 数1/1 -rが,制
キ 級 数)で
限付
表 され る こ と を示
マ ク ロ ー リ ン展 開 に な っ て い る の で あ る15).
微 分 し て い き,式(8.12)に
代 入 して確 か め て ほ
しい.
8.4指
数 関 数 と三 角 関 数 の ち ょ っ とい い 関 係
指 数 関 数y=exと う に 思 わ れ る.し
三 角 関 数y=sinx,y=cosxと
に は な ん ら つ な が りが な い よ
か し 微 分 を 繰 り 返 す と,指
ex=y,y'''=ex=y,y''''=ex=yで
数 関 数 に 関 し て はy'=ex=y,y″=
あ り,三
角 関 数 に 関 し て は,例
え ばy=sinx
な ら ば,y'=cosx,y″=-sinx=-y,y'''=-cosx,y''''=sinx=yと
な り,
両 者 の 間 に 少 し類 似 性 が 出 て く る. 課 題y=cosx,さ (た だ しa,bは 解説
ら に はy=asinx+bcosxもy″=-y,y''''=yと
な る こ と を示 せ
定 数 と す る).
解 答 略.
こ こ で,y=ekxな
る 関 数 を考 え る.こ
れ は 合 成 関 数 の 微 分 法 を 用 い る と,y'=
kekx=ky,y″=k2ekx=k2y,y'''=k3ekx=k3y,y''''=k4ekx=k4yと とが す ぐ に わ か る.三 kの 値 を 定 め る.こ
なるこ
角 関 数 との 類 似 性 を考 え,y″=-y,y''''=yと
れ はk2=-1と
す れ ば よ い.す
な わ ち,k=iと
な る よ うに し たy=eix
と三 角 関 数 は 微 分 に 関 し て(す な わ ち 積 分 に 関 し て も)完 全 に 対 応 した 性 質 を持 つ こ と に な る(iは
虚 数 単 位).こ
れ は 偶 然 で あ ろ う か.こ
数 関 数 と三 角 関 数 の マ ク ロ ー リ ン展 開 式
の 点 に つ い て,前
に考 えた指
を使 っ て 検 討 して み よ う.exの
式 のxに
改 め てixを
代 入 し,i2=-1で
あること
を使 え ば,
とい う式 を得 る16).こ
れ は 指 数 関 数 と三 角 関 数 と の 密 接 な 関 係 を 示 す 式 で あ り,実
用 的 に も非 常 に 役 に 立 つ も の で あ る.そ る.そ
う,4.6節
し て,こ
の式 に は見 覚 えが あ る はず で あ
で こ の 式 の 最 右 辺 を扱 っ た の で あ る.そ
r(cosθ+isinθ)はr倍
数 法 則 を用 い る とr0eiα ・reiθ=rr0ei(α+θ)と (eiθ)n=einθ
の と きの 議 論 よ り,reiθ=
の 拡 大 と角 θ の 回 転 を表 す こ と が わ か る.こ
の こ と は,指
な る こ と か ら も納 得 で き る.ま
で あ る こ と を 使 え ば,(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ
と も わ か る で あ ろ う(ド 課 題x3=1の
た,
とな る こ
・モ ア ブ ル の 定 理).
解 を 次 の2つ
の 方 法 を 使 っ て 求 め よ(複
(1)x3-1=(x-1)(x2+x+1)を
素 数 の 範 囲 で).
利 用 して 解 け.
(2)1=cos2nπ+isin2nπ=e2nπiで
あ る こ と を利 用 し て 解 け.た
だ し,nは
整 数 で あ る.
解 説 (1)x3=1よ 0.こ
り,x3-1=0.x3-1=(x-1)(x2+x+1)で れ よ り,x-1=0ま
あ る か ら,(x-1)(x2+x+1)=
た はx2+x+1=0.前
た 方 程 式 の 解 で あ る こ と が わ か る.後 x=-1±√1-4/2=-1±√3i/2が
者 か ら はx=1が
者 か ら は,2次
求 め ら れ る.以
与 え ら れ
方 程 式 の 解 の 公 式17)を
上 よ りx3=1の
使 っ て
,
解 は,x=1,-1/2±√3/2i
で あ る. (2)1=cos2nπ+isin2nπ=e2nπiで x=e2nπ/3iで
あ る か ら,x3=1と
あ る.よ
はx3=e2nπi,す
っ て,x=e0,e2π/3i,e4π/3iと
cos2π/3+isin2π/3,cos4π/3+isin4π/3,す
求 め ら れ る18).こ
な わ ち,x=1,-1/2±√3/
な わ ち, れ よ り,x=1
2iが
得 ら れ る.
補足
指 数 関 数 と三 角 関 数 が 複 素 数 の 世 界 で 親 戚 関 係 に あ る とす る 式,eiθ=cosθ+
isinθ
を オ イ ラ ー の 公 式 と い う19).こ
の 式 に よ る と,θ
が 変 化 す る に 従 いeiθ で 表
さ れ る 複 素 数 は 複 素 平 面 内 で 半 径1の
円 を ぐ る ぐ る 描 く.reiθ
る.こ
ず,複
れ は 次 の よ う に 考 え ら れ る.ま
と し てreitで な る20).こ
表 さ れ る と し よ う.こ れ は,そ
れ をtで
の 瞬 間 の 位 置reitに,原
iを か け た も の で あ る.こ
方 向 を 向 い て い る,と
運 動 を す る こ と を 表 し て い る21).t=0で,rei0=rで あ る(絶 対 値 を 素 直 に 計 算 し て も よ い).iを き は 変 わ る),常
円とな 関数
微 分 し て 速 度 を 求 め る と ,i×reitと 点 ま わ り に90° 回 転 させ る 働 き を 持 つ
れ が 任 意 の 時 刻 で 成 り 立 つ の で あ る.す
速 度 は 原 点 方 向 に 対 して 常 に90°
速 度 の 大 き さ は 一 定 で(向
な ら半 径rの
素 平 面 上 で 粒 子 の 位 置 が 時 刻tの
な わ ち,粒
い う こ と は,こ あ る か ら,円
子の
の粒 子 が 円
の 半 径 はrで
か け て も大 きさ は変 わ ら ない の だ か ら にrで
あ る22).円
周 は2πrで
あ る か ら,
,
一 周 す る の に 要 す る 時 間 は2π
で あ る こ とが わ か る .そ
して 時 刻 がt=π
の と き,
粒 子 は 円 を 半 周 して い る こ と に な る.こ れ は 複 素 平 面 で 表 す と-rと い う 点 に な る. こ の こ と は,実 際,reiπ=r(cosπ+isinπ)=-rと な る こ と か ら確 か め ら れ る. r=1と
す れ ば,eiπ=-1と
な る.e(=2.718…),i(=√-1),π(=3.141…)
と い う何 の 関 連 性 も な く,ま
っ た く別 々 に 発 見 さ れ た “数 ” を 組 み 合 わ せ る と-1と
い う き りが い い 数 字 が 出 て く る こ と に は 感 慨 深 い も の が あ る.な 理 数 学 の 直 感 的 方 法 』(長 沼 伸 一 郎 著,通
8.5対
数 関 数
8.5.1対
数 の基礎
b=apは,pを
与 え る と(aを
も と に し て)bが
に 「bが与 え ら れ た と き,b=apを で き る23).bを 考 え る.関
変 え る とpも 変 わ る.そ
と 書 く.pを
“aを 底(base)と
と は 同 値 で あ る.例 bはb=apで
し たbの
え ば,23=8で
の 補 足 は 『物
こ でpを(定
れ は逆
一)決 ま る 」 と見 る こ と も
数aを
も と に した)bの
書 い て も い い し,定 数aを
書 く こ と も で き よ う が,一
お,こ
参 考 に し た.
決 ま る こ と を 意 味 す る.こ
満 た す よ う なpが(唯
数 ら し くp=f(b)と
強 調 し てp=fa(b)と
商 産 業 研 究 社)を
関数 と
もと に して い る こ とを
般には
対 数 ” と 厳 め し く呼 ぶ.b=apとp=logab
あ る か らlog28=3で
あ る.p=logabの
式 の
あ る か ら,
(8.14) で あ る.当 特 に,底
た り前 の 話 で あ る(定 義 そ の も の). がeの
と き,logeを
単 にlog,あ
然 対 数(naturallogarithm)と し た 対 数log10も 略 し てlogと
便 利 だ.こ
に,こ
と 表 す24).こ
れ は,yか
属 変 数 をyと
書 こ う.こ
(inversefunction)と function)と
い う26).
書 く こ とが 多 い.こ
従 っ てyが らxを
則fに
従 っ てyを
得 られ る よ う なxを
定 め る 関 数 と 見 な せ る.改
う して 得 ら れ る 関 数y=f-1(x)を
い う25).指
れを自 底 に
い う.log10も
意 が 必 要 だ.
与 え た と き,規
の 規 則fに
る い はlnと
法 の 世 界 で もの を 考 え る な ら,10を
れ を 常 用 対 数(commonlogarithm)と
表 記 す る こ と が あ る.注
さ て,y=f(x)はxを る.逆
い う.10進
数 関 数y=axの
求 め る操 作 を表 してい
求 め る操 作 をx=f-1(y) め て,独
立 変 数 をx,従
関 数y=f(x)の
逆 関数
逆 関 数 を 対 数 関 数(logarithmic
で あ る27). 課題
対 数 関数y=logaxの
(実数)で な くて は な らず,xは 解説
グ ラ フ を底 を色 々 変 えて描 け.た だ し,aは1以
外 の正 の数
正 の 実 数 で な くて は な らな い(説 明 略).
解 答 略.
次 に,対
数 法 則 に 関 し て 説 明 す る が,そ
お こ う(p.15参
一 般 にm
,nが
の前 に指 数 法則 に関 して簡 単 に復 習 して
照).
自然 数 で な く て も
(8.15) で あ る(よ
う に 決 め た).例
と な る.amにa0を で は,い
え ば,n=0と
か け る とamに
す る と,式(8.15)よ
な る こ と よ り,a0=1と
り,
よ い よ対 数 法 則 の 話 に進 も う.指
定 ま る.
数 法 則 を示 す 式(8.15)の
両辺 の対 数 を
と る と(等 しい 数 の 対 数 は 当 然 等 しい か ら)
で あ る.右 き る.よ
辺 は 式(8.14)よ
り,す
な わ ち 定 義 よ り,logaam+n=m+nと
っ て,
こ こ で,m=logaam,n=logaanで
あ る こ と を 利 用 す る と,
変 形 で
で あ る こ と が わ か る.A=am,B=anと
お く と,
(8.16) と な る.m,nが
任 意 の 実 数 で よい こ と を考 え る と,式(8.16)は
に 対 して 成 り立 つ.も 課題
ち ろ ん 対 数 の 底aは(1以
以 下 の式 を示 せ.た だ し,a,b,cは1以
り,pは
任 意 の 正 の 実 数A,B
外 の 正 の 実 数 な ら)な ん で も よ い.
外 の正 の実 数 で あ り,A,Bは
正の実数であ
任 意 の実 数 で あ る.
(8.17) (8.18) (8.19) 解説
式(8.16)の
8.5.2対
導 き方 を参 考 に取 り組 んで も らい たい.解 答 は省 略 す る.
数 の応用
現在 で は,大 きい数 の計算 は コ ンピュー タを使 えば簡 単 に行 え る.し か し,手 計算 に頼 る昔 は,大 きい数 の計 算 や計 算結 果 の比 較 はや た ら大変 で あ った ことで あ ろ う. 天文 学 者達 は星 の運 動 を考 え るた め機械 的計算 に追 わ れ る 日々 を送 っ てい た.ち ょ う どケ プ ラ ーの 時代 の 頃,対 数 の概 念 が見 出 され,常 用対 数 表が 作 られた28).こ の 対 数 を用 い る こ とに よ り大 きな数 の計算 が か な り楽 にな った.数 の積 を計 算 す る際, そ の対 数 を式(8.16)で 簡単 な和 の形 に直 し,常 用対 数 表 を用 い て計 算 した後 に改 め て常 用 対 数表 を用 い て普通 の数 に戻 す,と い った具 合 だ.掛 け算,割
り算 が よ り簡
単 な足 し算,引 き算 の形 で計 算 で きる よう にな った ので あ る.ケ プ ラー 曰 く,「対 数 の発 見 によ り天文 学 者 の寿命 は2倍 に な った」29).こ の よ うな計算 は コ ンピュ ー タ 時代 に はあ ま り意味 が ない とも考 え られ るが,次 の よ うな高校 数 学 の 問題 に この時 代 の計 算 の名 残 が見 られ る. 課 題log102=0.3010,log103=0.4771と (1)240は (2)18-5を
小 数 で 表 す と,小
(3)1516と1615の 解説
し て30),次
の 問 い に 答 え よ.
何 桁 の 整 数 か. 数 第 何 位 で は じ め て0で
な い 数 が 現 れ る か.
大 小 を 比 較 せ よ.
対 数 関 数 は 単 調 増 加 関 数31)で あ る こ と を 利 用 す る.
(1)log10240=40log102=40×0.3010=12.04で log101013,す な わ ち1012<240<1013で る こ と が わ か る(p.15参
照).
あ る か らlog101012
(2)log1018-5=-5log1018=-5log10(2×32)=-5(log102+2log103)=-5(0.3010 +2×0.4771)=-6.276で
あ る こ と よ り,log1010-7
な わ ち10-7<18-5<10-6で
あ る.こ
な い 数 が 現 れ る(p.15参
れ よ り,18-5は
小 数 第7位
で は じ め て0で
照).
(3)log101516-16(log103+log105)-16(log103+log1010/2)=16(log103+log1010log102)=16(0.4771+1-0.3010)=18
.8176で
15×4log102=15×4×0.3010=18.06で れ で い い の だ が,実
あ り,log101615=15log1024=
あ る こ と よ り1516>1615.答
際 に1516と1615は
えはこ
ど の く ら い 違 う か 想 像 し て み よ.「 そ れ ぞ れ の
常 用 対 数 が18.8と18.1程 度 で 大 差 な い か ら,1516と1615も 大 差 な い」 と考 え て は い け な い.対 数 関 数y=log10xの グ ラ フ を描 い て み れ ば ,xが 大 き くな る につ れ て log10xの 伸 び が 減 少 す る(傾 き が 小 さ く な る)こ と が わ か る(8.5.3項 参 照).つ ま り, xが
大 き い と き に はlog10xが
わ け で あ る.実
少 し違 っ て も,xは
大 き く異 な る と い う こ と が あ り得 る
際,1516-1615=5415486851106043649と
お,1516/1615
5.7で
あ る が,こ
,非 常 に 大 き く な る.な れ は 対 数 表 が 手 元 に あ れ ば 筆 算 で 確 か め ら れ る.す
な わ ち,log101516/1615=log101516-log101615=0.7576か な る 数(100.7576)を
ら,常
用 対 数 が0.7576と
探 せ ば よ い.
補足 対 数 は案 外,日 常 生活 に浸 透 してい る.地 震 の 規模(エ ネル ギ ー)を 表 す マ グ ニ チ ュー ドは底 を√1000 32と した対 数 で あ る.マ グ ニ チ ュー ドが1違 え ば発 生 エ ネ ルギ ー は32倍 ,マ グ ニチ ュー ドが2違 え ば発 生 エ ネル ギ ー は1000倍 違 うの で あ る.マ グニ チ ュ ー ドが5ぐ らい の地 震 が 数 十 回起 こ っ て も,マ グ ニ チ ュ ー ドが7 を超 す 大 地 震 に よっ て解 放 され る エ ネル ギ ー に は か な わ ない.星 の見 か けの 明 る さ を表 す に も対 数 は使 わ れ て い る.2等 星(等 級)よ り1等 星 は 約2.5倍32)明 る く,0 等 星 は1等 星 よ り約2.5倍 明 る く,-1等 星 は0等 星 よ り約2.5倍 明 る い.北 極 星, シ リ ウス,満 月,太 陽 の等級(実 視 等級)は そ れぞ れ2 .0,-1.5,-12.6,-26.8で あ る.明 る さが それ ぞ れ何 倍 違 うか 比べ てみ よ.ほ か に も音 楽 で1オ ク ター ブ 音程 が 違 う と き,振 動 数 は倍 違 う.音 の 大 き さの “ホ ン” もエ ネル ギ ー を対 数 で 表 して い る し,温 度 もそ うだ.ほ か に もまだ まだ あ るが,こ れ らの こ とを考 え る と,あ る物 理 量 を感 知 す る 人 間(生 物)の 感 覚 の 多 くは ど うや ら対 数 的 であ る ら しい.こ の こ と は生物 の環 境 に対 す る適 応 力 の 大 き さにつ なが るの で あ ろ う. 対 数 は こ の よ う な計 算 の ほ か に も 実 験 デ ー タ を 解 析 す る と き,変 関 係 を見 出 す の に役 立 つ こ と が あ る.実 関 係 が 指 数 関 数(y=cax)ぽ い.ま
た,ベ
と よ い.し
が示す
か っ た ら試 し に 片 対 数 方 眼 紙 に プ ロ ッ ト して み る と よ
キ 関 数(y=cxp)ぽ
か し,パ
数 間の 隠 された
験 デ ー タ(xk,yk),k=1,2,3,…
か っ た ら試 し に両 対 数 方 眼 紙 に プ ロ ッ ト し て み る
ソ コ ン が あ る な ら,直 接 対 数 を 計 算 し て プ ロ ッ トす る と よ い だ
ろ う. 課題
上 に 述 べ た こ と は ど う い う こ とか 考 え よ.
解 説 指 数 関 数y=caxの logc+xlogaと な る.そ た と き,も な る.そ
対 数 を と る と,式(8.18)よ の た め,実 験 デ ー タ(xk,yk)に
し 直 線 に 乗 る な ら,実 して 直 線 の 傾 き がlogaと
りlogcax=logc+logax= 対 して(xk ,logyk)を プロ ッ トし 験 デ ー タは指 数 関数 で フ ィ ッテ ィ ングで き る とい うこ と に な る と な る こ と か らaを
決 定 し,y切
片 がlogcと
なる
こ と よ りcを
決 定 す れ ば よ い33).ま
logcxp=logc+logxp=logc+plogxと
た,ベ
キ 関 数y=cxpの な る.そ
対 数 を と る と,式(8.18)よ
の た め,実
験 デ ー タ(xk,yk)に
り 対 して
(logxk,logyk)を プ ロ ッ ト し た と き,も し 直 線 に 乗 る な ら,実 験 デ ー タ は ベ キ 関 数 で フ ィ ッ テ ィ ン グ で き る と い う こ と に な る.そ し て 直 線 の 傾 きがpと な り,y切 片 がlogcと な る. 課題
再 び2.5節
道 長 半 径)とP(公
解説
で 取 り上 げ た 惑 星 の デ ー タ に つ い て 考 え て み よ う.以 転 周 期)と
下 の 表 で,a(公
転軌
の 問 に 存 在 す る 関 係 を 考 え よ.
「惑 星 が太 陽 の まわ りを 回 る周 期 の2乗
は楕 円 軌 道 の長 半 径 の3乗
に比 例 す る(P∝
a3/2)」とい うケ プ ラ ー の第3法 則 を見 出す こ とが で きた で あ ろ うか.あ る意 味 で この 問題 は 歴 史 的 な難 問 とい っ て よい と思 うの だ が,「対 数 を用 い て デー タ を解 析 す る」 とい う概念 が発 達 した今 日 にお い て は,こ の 法則 を見 出 す の は こ の よ う に容易 で あ る.し か し,ケ プ ラー の 時代 は まだ 対 数が 十 分 に発 達 して い なか った.ケ プ ラ ーが この よう な法 則 を見 出す こ とが で きたの は奇跡 と しか い い よ うが な い.そ もそ も,こ の 時代(天 動説 優 位 の 時代)に 惑 星 の 軌道 を正 確 に計 算 で きた こ と事 体 が奇 跡 とい え よ う.な お,ケ プ ラー は こ の第3法 則 を音 楽 の和 音(和 声)の 考 え(振 動 数 比)を ヒ ン トに して導 き出 した と もい わ れて い る.つ ま り,類 を見 な い実 証 主 義 精神 と,そ れ を支 え る数 学 能 力,そ して,宇 宙 は神 秘 的 な美 し さ(調 和)を 持 た な くて は い け ない とい う神 秘 主 義 精神 とが 一 人 の 人 間 の 中 に結 集 した とき,物 理学 史上 希 に 見 る偉 大 な発 見 が な さ れ たの で あ る.ケ プ ラ ー は この 法則 と以前 に発 見 して い た法 則(ケ プ ラー の 第1,第2法 則)か ら,太 陽 か らの距 離 の2乗 に反 比例 す る力 の 存 在 を不 明確 なが ら も予 言 し,そ れ はや が て ニ ュ ー トンに よっ て裏 付 け られ る こ とに な っ た.
8.5.3対
数 関数の微 分
対 数 関数 を微 分 す るの は,指 数 関 数 の微 分 と逆 関 数 の微 分法 を知 っ てい れ ば簡単 にで きる34).し か し,こ こで は多少 や っか い だが定義 に基 づ い て微 分 を実行 しよ う.
←
式(8.17)
x+h/
←
←
x
=1
式(8.18)
← 1/ h=x/h・1/x
+h/x
←
式(8.18)
←xはhに
←
こ の 式 よ り,a=lim(1+η)1/η
な るaを
η=h/xと
無 関係
おいた
対 数 の 底 に選 べ ば,
と な る の で,
と な る.こ
こ で,lim(1+η)1/η
と い う 極 限 値 は8.1節
数 の 底 に す る と微 分 が 楽 に な る とい う こ とで,eの あ る.以
は,底 がe以
を 使 え ば 簡 単 で あ る.す
な るpを
あ る .こ れ を 対
こ と を自然 対 数 の底 と呼 ぶ ので
上 を ま と め る と,
で あ る.で
で あ る.つ
で 扱 っ たeで
い で に,y=axの
外 の対 数 の 微 分 は ど う な る か .こ れ は,底 の 変 換 公 式(8.19) な わ ち,
微 分 も 計 算 し て お こ う .p=logea,す
使 う と,
←
pxを
ま とめ て の
合成 関数 の微分法
な わ ちep=a
と な る.式(8.1)と
見 比 べ る と,
で あ る こ と が わ か る.logexが どlimah-1/hの
単 調 増 加 関 数 で あ る こ と を 考 え れ ば,aが
値 は 大 き くな る こ とが 納 得 で き よ う(8.1節
て,y=axを
微 分 す る 方 法 を も う一 つ あ げ て お こ う.こ
大 きい ほ
の 最 初 の 課 題 参 照).さ
の式 の両 辺 の 自然対 数 を と
る と,
(8.20) と な る.式(8.20)の
で あ る(y=axで す る とlogeaと
最 左 辺 をxで
微 分 す る と,合
あ る こ と を最 後 に使 っ た).ま な る.こ
成 関 数 の 微 分 法 よ り,
た,式(8.20)の
最 右 辺 をxで
微分
れ らの 結 果 よ り,
と な り,
が得 られ る.こ の よ うに,あ る関数 を微 分 す る際 に対数 を利用 す る方 法 を対数微 分 と い うの だが,そ の一般 論 は割愛 す る.
8.6逆
三 角関 数
ビ デ オ で 肘 な ど の 関 節 を撮 影 し,そ 析 な ど で 得 ら れ る デ ー タ は(x,y,z)座
の 角 度 θ を 求 め る こ と を 考 え る.ビ
標 で あ り,こ れ か ら直 接 計 算 さ れ る 量35)は
sinθ で あ り,あ る い はcosθ で あ り,あ る い はtanθ た と き に 角 度 θ を 求 め る 関 数,す
デ オ解
な わ ち,三
で あ る.こ
れ ら の値 が 与 え ら れ
角 関 数 の 逆 関 数 を 逆 三 角 関 数(inverse
trigonometricfunction)と ま れ て い る の で,計 で あ る た め,一
い う.多
算 法 を 難 し く考 え る 必 要 は な い.た
整 数).そ
こ で,角
と え ば,cosx=1を
満 た すxは,x=2nπ
と無 数 に あ
度 の 範 囲 を定 め て 逆 三 角 関 数 を 用 い る こ と が 多 い.こ
を 逆 三 角 関 数 の 主 値 とい う.sin,cos,tanに Arcsin,Arccos,Arctanと
で あ る37).こ
だ し,三 角 関 数 は 周 期 関 数
つ の 三 角 関 数 の 値 に対 応 す る 角 度 は 一 つ だ け で は な い こ と に 注 意
し な く て は な ら な い.た る(nは
くの パ ソ コ ン ソ フ トに は 逆 三 角 関 数 が 組 み 込
れ
対 す る 逆 三 角 関 数 の 主値 を そ れぞ れ
書 く(Sin-1な
どの 表 記 法 も あ る)36).す
の と き,y=sin(Arcsiny)(た
だ し,-1≦y≦1)な
な わ ち,
ど の 関 係 が あ る.
実 際 問 題 と し て 注 意 せ ね ば な ら な い の は 角 度 の 範 囲 で あ る.角
度 を求 め る プ ロ グ ラ
ム を下 手 に作 る と,角
な 結 果 が 得 られ る こ
度 が 定 義 さ れ た 範 囲 を 超 え て し ま い ,妙
と が あ る(ソ フ ト に よ っ て 角 度 の 範 囲 が 違 う も の もあ り,さ ば,原
点Oに
対 し点Pの
座 標 が(x,y)と
グ ル グ ル と 回 転 せ ず(θ と θ+2nπ
え
得 ら れ た か ら と い っ て,OPとx軸
な す 角 θ を求 め る た め に 単 純 に θ=Arctany/ OPが
ら に 注 意 が 必 要).例
との
x,と で き な い 場 合 が あ る.も し,動 径 を 区 別 す る必 要 が な く),-π ≦ θ<π の
間 で 角 度 を 考 え れ ば よ い の な ら,
とす れ ば よ い(x≠0).こ
こ で,signxと
0を 与 え る 関 数 で あ る(sinxで デ ー タ か ら-π
≦ θ<π
は,x>0で1を,x<0で-1を
は な い こ と に 注 意).な
お,ソ
,x=0で フ トに よ っ て は(x,y)
の 間 で θ を求 め て くれ る 関 数 を持 っ て い る もの も あ る .
補 足1セ グ メ ン トが 回転 す る と き,(空 間 に 固定 され た)基 準 軸 とセ グメ ン トの な す角,お よ びそ の 時 間変 化率(角 速度)を 求 め たい こ とが あ る.セ グ メ ン トが 基 準 軸 に対 して グル グル 回転 す る場 合,逆 三角 関数 を用 い て角 度 を求 め よ う と して も う ま くい か な い こ とが あ る38).そ の 場 合,同 一 セ グ メ ン トの時 刻tn,tn+1に
お け る角
度 差 を直 接39)計算 し,そ れ を足 し合 わせ た り,微 分 した りす る こ と を考 え れ ば よか ろ う. 補 足2動 作 解 析 にお い て,角 度 θを逆 三 角 関数 を使 って 求 め な くて も,θ を次 の よ う に して求 め る こ とが で きる.ま ず,内 積 を利 用 しcosθ(tn)を 求 め る.次 に そ れ を数 値 的 に微 分 す る.こ こで,
が 成 り立 つ の で,こ の式 のsinθ にベ ク トル積 を計 算 す る こ とに よ り得 られ る値 を代 入 して や れ ば θが 得 られ る.逆 に,ベ ク トル積 を利 用 してsinθ を求 め,
のcosθ に内 積 を計 算 す る こ とに よ り得 られ る値 を代 入 して や って も よい. 課 題Arcsin√3/2,Arccos1/√2を
求 め よ.
解 説Arcsin√3/2=π/3,Arccos1/√2=π/4で
さ て,tanπ/4=1で
あ る.
あ る か らArctan1=π/4で
あ る.と
こ ろ で,こ
のArctanxも
指 数 関 数 や 三 角 関 数 と 同様 に マ ク ロ ー リ ン展 開 が で き な い だ ろ う か.答 る」 で あ る.し
か し,こ
れ を求 め る の は か な り難 し い.結
え は 「で き
果 の み 書 い て お く と,
(8.21) で あ る.す
る と,Arctan1=π/4で
と な る.す
な わ ち,小
き た 円 周 率 π を,な
学 校 以 来,円
あ る こ と よ り,上 式 にx=1を
周 の 長 さ と直 径 の 長 さ の 比 と し て 慣 れ 親 しん で
ん と
と い う 足 し算(無 限 級 数)に よ っ て 計 算 で き る こ と に な る!さ て 計 算 して み よ う(自 分 で や る こ と).第3項 100項
ま で で,3.13159…
見 慣 れ た3.14が
で あ る.1000項
出 て くる.5000項
は ま だ 小 数 点 以 下3桁
あ,パ
ソ コ ンを使 っ
ま で 計 算 す る と,3.46666… ま で 計 算 して や っ と3.14059…
ま で 計 算 す る と3.14139…
ま で し か 正 し く な い40).上
も う少 し早 く収 束 させ る 計 算 法 は な い か.い こ う.そ
代 入 してや れ ば
と な る. と な り,
と な る が,こ
れで
の 級 数 は 収 束 が 遅 い の で あ る41).
くつ か あ る の だ が,一
つ だ けあ げ てお
れ は,
(8.22) とい う式 を利 用 す る の で あ る.
課題
式(8.22)が
成 り 立 つ こ と を 証 明 せ よ.
解 説Arctan1/2=α
と お く と,与
は,1/3=tan(π/4-α)を 法 定 理,お
よ び,tanα=1/2で
さ て,式(8.22)よ
式 はArctan1/3=π/4-α
意 味 す る.こ
の式
度 はx=1/2とx=1/3な
を 用 い て 計 算 して み よ.第3項
れ に 式(8.21)に の で,こ
示 したArctanxの
級 数 表 示 を使
の ベ キ 乗 は か な り早 く0に
ま で 計 算 す る だ け で,3.14557…
項 ま で 計 算 す る と,3.141592579…
が 得 ら れ,こ
収 束 す る.
際 にパ ソ コ ン
が 得 られ る .第10
れ は 小 数 点 以 下6桁
ま で 正 しい.
ま で 計 算 す る と3.1415926535897932384626433832795028841971
693993751058209749445873443732…
が 得 ら れ,こ
れ は 小 数 点 以 下61桁(ア
ン ダ ー ラ イ ン の 数 字)ま で 正 しい. 補足
この よ うに,コ ン ピュ ー タ を使 え ば円 周率 の計 算 は そ ん なに大 変 で は な いが,
筆 算 で は め ち ゃ くち ゃ大 変 で あ る.計 算 法 は少 し違 うが,似 た方 法 で シ ャ ン クス は 1874年 に707桁 まで計 算 して大 い に 自慢 した ら しい43).墓 に まで そ の結 果 を彫 り つ け たそ う だ.も っ と も,そ の計 算 は528桁 以 降 は正 し くな い こ とが 後 に コ ン ピュー タを使 って発 見 され た.今 や ス ーパ ー コ ンピ ュー タを使 用 す る こ と に よ り,2000億 桁 以上 の 円周 率 の値 が 求 め られ てい る.な お,円 周率 を求 め る プロ グ ラム を使 っ てパ ソ コ ンの計 算 速 度 を あ る程 度 比 較 す る こ とが で きる.円 周 率 を同 じ桁 だ け計 算 させ る の に どの くらい 時 間が か か るか を比 べ るの で あ る.暇 な人 はや って み よ う.筆 者 が 円周 率 をパ ソ コ ンで計 算 させ た と ころ44),CPUが486DX2,66MHzで メ モ リが 12MBの もの(1994年 暮 れ に購 入 した 当時 の デ ス ク トップ型 パ ソ コ ンの 最新 機 種) で13800桁 をお よそ63秒 で 計算 した.CPUがMMX-Pentium,166MHzで メモ リが32MBの もの(1998年3月 に購 入 した 当 時 の ノ ー ト型 パ ソ コ ン の標 準 機)だ とお よそ11.3秒 で あ り,研 究 室 のパ ソ コ ン(Celeron400MHz ,メ モ リー128MB, 1999年9月
加
り,
よ っ て,π の 値 もか な り早 く,い い 精 度 で 求 め られ る で あ ろ う42).実
第100項
し て,こ れ はtanの
あ る こ と使 え ば あ っ と い う ま に で き る.
で 計 算 で き る こ と が わ か っ た.こ う.今
と 変 形 で き る.そ
の 式 を 証 明 す れ ば よ い こ と に な る が,こ
に購 入 した標 準 機)で は お よそ1.15秒
で あ った45).1989年
に書 か れ た
『MS-FORTRAN入 門 』(黒瀬 能 聿 著,啓 学 出版)に よ る と,CPUがV30,8MHz で数 値演 算 専 用 プ ロセ ッサ8087つ きのパ ソコ ンで 約1時 間24分 か った とい う.筆 者 が 利 用 した もの と プ ロ グ ラ ム(お よ び出 力 法)自 体 が 違 うの で 単純 な 比 較 は で き ない が,パ ソ コ ンの進 歩 の様 子 が伺 え る.ち な み に,コ ン ピュー タで 円周 率 π が最 初 に計 算 され たの は1949年 で あ り,当 時 世界 最 高 の 性 能 を誇 った そ の マ シ ー ンは, 2037桁 まで の π の値 を70時 間か け て 求め た とい う.
8.7微
分 法 ・積 分 法 の 公 式
代 表 的 な 関数 の微 分 公 式 を あげ て お こ う.
積 分 法 の公 式 は この逆 読 み で あ る.
自 ら問題 演 習 を行 って これ らの公 式 の使 い方 を身 につ け てほ しい.
注 1)コ ン ピ ュー タ を利 用 で きず ,グ ラ フ を描 け ない 人 は,高 校 の教 科 書 な ど で グ ラ フの 形 を確 か め る よ う に して ほ しい. 2)こ れが 収 束 し極 限 値 を持 つ こ との 証 明 は 大 学 教 養 課程 の 数 学 の最 初 の レポ ー ト問題 . 3)そ うす れ ば,式(8.1)よ りy=axに 対 し,y'=ax・1=axと な り,導 関 数 が 自分 自 身 に な る こ とが わ か る.こ の場 合,あ る点 にお け る グ ラ フ の傾 きが そ の点 で の 自分 自身 の 大 き さ に等 しい こ と に な る. 4)普 通 は も う少 し違 う定 義 をす る こ とが 多 い . 5)“ ベ キ級 数 ” とい う言葉 を使 っ た 方が よ い か も しれ な い. 6)∑
はlim∑
の意 味 で あ る .ま た,n!(nの
階 乗)はn・(n-1)・
…
・2・1の 意味 で あ る.
た だ し,0!=1と 定 め る. 7)同 じ金1gで も ドル と 円 とで 額 面 が 異 な る. 8)金1gと
金2gと の値 段 の比 は ドル で 考 えて も円 で 考 え て も同 じ. 9)こ の こ との 証 明 は難 しい の で 割 愛す る.む しろ,こ の よ う に定 め られ た単 位 が ラジ ア ンで あ る と思 っ て くれ て も支 障 は な い. 10)と い う よ り ,本 書 で は収 束 性 の議論 は しな い. 11)有 限 項 まで の和 と剰余 項 で 関 数 を 表 した もの を マ クロ ー リ ン展 開 ,無 限 級 数 で 表 した もの マ ク ロ ー リ ン級 数 とい うこ と もあ る. 12)1次 式 ,2次 式 に よ る 回帰 と は ま った く別 物 で あ る.混 同 しな い よ うに. 13)「 十 分小 さ い とは どの く らい小 さ いの か 」 と疑 問 に思 う読 者 もい よ う.「 そ れ は場 合 に よる」 と しか 答 え られ な い.ど の く らい の精 度 を 求 め る か に依 存 す る と い う わ けで あ る. 14)合 成 関 数 の 微 分 法 を使 っ た . 15)こ の 場 合 「収 束 半 径 は1で あ る」 とい うの だ が ,収 束 半 径 に 関 す る 説 明 は 割愛 す る. 16)無 限 級 数 の 項 の 順 序 を変 え た り,適 当 にい くつ か ま とめ た りして 計 算 す る こ とは 必 ず し も許 され る こ とで は な い が,今 の 場 合 は 問題 な い とだ け言 っ て お こ う.
17)xの2次
方 程 式ax2+bx+c=0の
解 はx=-b±√b2-4ac/ 2aで あ る. ,1,2を 代 入 した こ と に よ り得 られ た もの で あ る.そ の ほ か の整 数nを 代 入 す る とど うな る か試 して ほ しい.三 角 関 数(sin,cos)の 周期 が2π で あ る こ とに気 付 き,ほ か のnは 試 す 必
18)こ れ はn=0
要 は な い と思 え た 人 は 立 派 で あ る. 19)自 然 対 数 の底 をeと 表 記 す る の は オ イ ラ ー(Euler
,1707-1783)が 自分 の頭 文字 を採 用 した た め で あ る,と 聞 い た こ とが あ る.オ イ ラ ー は超 人 で あ る.彼 は,生 涯,900冊 近 い本 や 研 究 報 告 を 出 して お り,そ の ほ とん どす べ て が 高 い 評 価 を受 け て い る.研 究 の しす ぎで か ど うか は知 ら な いが,彼 は
晩 年 視 力 を失 っ た.し か し,視 力 を失 っ た 後 も研 究 ・出 版 の ペ ー ス は落 ちな か っ た とい う.ニ ュ ー トンの残 した 難 解 な 力 学 を,時 をお か ず,今 日我 々 が 学 ぶ よ うな す っ き りし た形 に ま とめ あ げ た の も彼 で あ る.彼 は,質 点系 の 運動,剛 体 の運 動 の分 野 で も た だ な らぬ 業 績 を上 げ てい る. 20)合 成 関 数 の微 分 法 を用 い た . 21)こ の 点 に 関 して はp .97の 課 題 参 照. 22)単 位 に つ い て は適 当 に考 え て ほ しい 23)「 唯 一」 と敢 え て書 い た が,指 数 関 数 の グ ラ フ を見 れ ば2つ 以 上 な い こ とは 明 らか で あ ろ う. 24)f-1を1/fと 勘 違 い し ない よ う に .な お,f-1は “エ フ-イ ンバ ース ” と で も読 め ば よか ろ う. 25)本 当 は ,逆 関数 を考 え る ため に は定 義 域 な ど,も う少 し考 え な くて は い け ない こ とが あ る が 省 く. 26)本 書 で は議 論 を実 数 の範 囲 に 限 る. 27)記 号 “⇔ ” は 同値 で あ る こ と を表 す . 28)今 で こ そ ,log101125な ど はパ ソ コ ン ない し関数 電卓 な どで あ っ とい う間 に求 め られ る.し か し, ち ょっ と前 ま で は常 用 対 数 表 が 重宝 さ れ て い た の で あ る.こ こ ら辺 の事 情 は 統計 学 にお け る 正 規 分 布 表 やt分 布 表 な どの 運 命 に似 て い る. 29)煩 わ しい計 算 か ら解 放 さ れ る こ とに よ り い う意 味 か,煩
,よ り多 くの こ とに取 り組 む こ とが で きる よ うに な っ た と わ しい計 算 が 実 際 に寿 命 を短 く して い た とい う意 味 か は 知 らな い .ま あ,両 方 の 意
味 を含 む の であ ろ う. 30)も ち ろ ん これ ら は近 似 値 で あ る. 31)定 義 域 内 でx1<x2の と きf(x1)
な る関 数 .
2 .512倍.
33)a=eloga
,c=elogcで あ る. 34)こ れ は 高校3年 生 の 数学 の教 科 書 に必 ず 載 っ て い る こ とな の で興 味 の あ る人 は 確 認 して も らい たい 35)ベ ク トル 積 や 内 積 を応 用 す る .
.
36)主 値 に こだ わ ら ない と き にはarcsinやsin-1の よ うな表 記 を す る . 37)Arcsinx ,Arccosxの 定義 域 は-1≦x≦1で あ る.ま た,Arctanxの 定義 域 は-∞<x<∞ で あ る. 38)例 えば ,角 度 が177°,178°,179° と増 えて い き,次 は180° の は ず な の に,-180° と計 算 さ れ て し ま うな ど.こ の 結 果 か ら角 速度 を 求 め よ う とす る と,奇 妙 な結 果 が 得 ら れ て しま う. 39)基 準 軸 に 対 して な す 角 を 計算 しな い で ,と い う意味. 40)正 しい 値 を小 数 点以 下100桁 まで示 す と ,3.1415926535897932384626433832795028841971 693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679… である. 41)実 際 に計 算 しな くて も ,見 た だ け で わ か る で あ ろ う. 42)(1/ 2)kや(1/3)kはkが 大 き くな る と急 速 に0に 近 づ く.と い う こ とは,式(8.21)に おい て数 項 の 計 算 を す れ ば,も う和 の値 は そ れ ほ ど変 化 しな くな る. 43)な お ,円 を多 角形 で近 似 す る こ とに よ って 円周 率 を求 め る方 法 は アル キ メ デス に よ り見 出 され た(4.3 節 参 照).そ れ に対 し,円 周 率 を本 項 で 示 した よ うな 無 限 級 数(無 限項 か らな る数 列 の足 し算)に よ り求 め る方 法 を最 初 に見 出 し たの はニ ュ ー トンで あ る(計 算 式 は本 項 の もの と違 う).円 周 率 その も の が何 十桁 も必 要 とな る こ とは な い か も しれ な い.し か し,円 周 率 が 無 限 級 数 に よ って 表 され る と い う事 実,そ して そ の発 見 に は新 し く生 まれ た 微 積 分 法 が 応用 さ れ てい た とい う こ とは 重 要 で あ る . ま た,円 周 率 を効 率 的 に計 算 しよ う とす る試 み が あ る種 の ア ル ゴ リズ ム(計 算 手 順)の 発 展 に寄 与 し て きた こ と も見 過 ご して は な ら ない. 44)筆 者 は プ ロ グ ラ ム を書 か ず に ,Mathematicaで “N[Pi,13800]” と入 力 し ただ けで あ るが.
45)計 算 時 間 を 測 る の にMathematicaの
“Timing” とい う コマ ン ドを使 っ た.そ れ に して も今 や,年
だけ で な く月 まで 言 わ な くて は な らな い ほ どパ ソ コ ンは 日進 月歩 だ!
9 微分方程式気分
自然 現 象,社 会 現 象 を問 わず,世 は複 雑 怪 奇 で 遠 い未 来 の こ と なぞ な か なか 予 想 は で きな い.し か し,ほ ん の わず か,極 々近 い未 来 の こ とな ら ば,今 現 在 の状 況 と変 化 の傾 向が(完 全 に)わ か っ てい れ ば予 想 で き る.そ れ に よ り予想 され た 未 来 と(そ の 未来 での)変 化 の傾 向 に よ り,ま た少 し先 の未 来 を予 想 す る こ とが で きる.こ の作 業 を繰 り返 せ ば遠 い 未 来 まで見 通 す こ とが 原 理 的 に はで き る はず で あ る1).微 分 方 程 式 とは,微 分 係 数 に関す る方程 式,す な わ ち,“ 変化 の傾 向 ”を記 述 す る言 語 であ る.そ して,あ る瞬 間 の状 況(初 期 条 件)に 基 づ き,過 去 を知 り,未 来 を知 る こ と こ そ,微 分 方 程 式 の 役 目な の であ る.と は い え,与 え られ た微 分 方 程式 か ら過 去 を知 り未 来 を知 る こ と――微 分 方程 式 を解 くこ と―― は一 般 に容 易 で は な い2).し か し, 微 分 方程 式 そ の もの が何 を語 って い る か に耳 を傾 け る こ とはで きる.逆 に,具 体 的 な現 象 が どの よ うな 原 理 に基 づ い て 変化 してい る か が わ か れ ば,そ の現 象 を記 述 す る微 分 方程 式 を立 て る こ とが で き る.本 章 で は微 分 方程 式 を解 くこ と よ り も,微 分 方 程 式 とは ど ん な もの で あ るか,そ の気 分 を味 わ うこ と に し よ う.
9.1微
分 ・積 分 の復 習
微 分方 程 式 の気 分 を味 わ うた め には微 分 法 と積 分法 に関 す る知 識 が あ る程 度 必 要 だ.こ れ ら に関 して は第6,7章 かす
で 学習 したが,微 分 ・積分 は確 か に難 しく,昔 か ら
つ
「 微 か に 分 か る 」,「分 か っ た 積 も り に な る」 と よ く言 わ れ る と こ ろ で あ る.以
下 に,
特 に 重 要 な こ と だ け 繰 り返 す. 今,時
間 と 共 に 変 化 す る あ る 量,例
お け る物 体 の 位 置 をx(t)と
(平均 の)変 化 率=変
え ば 運 動 す る 物 体 の 位 置 を考 え る.時
刻tに
す る と,
化 量/変 化 に要 した時 間=Δx/Δt(=x(t+Δt)-x(t)/Δt)
であ るが,(こ の極 限 と して)瞬 間的 な変 化 率 を扱 うのが 微 分法 で あ り,
と い う よ う な 記 号 を 用 い る.も 得 ら れ る.こ
と の 関 数x(t)を
れ を も との 関 数 の 導 関 数 と い う.こ
を最 初 の 関 数 に対 す る2階 導 関 数,あ
の よ う に 表 す.今,物 呼 ば れ,x″(t)は の 関 数x=x(t)の さ て,変
微 分 した 結 果,新
た な 関 数x'(t)が
れ を さ ら に微 分 して 得 ら れ る 関 数
る い は2次 導 関 数 と い う.記
号では
体 の 運 動 の こ と を話 して い る の で,変 化 率x'(t)は
加 速 度 と呼 ば れ る.な 時 刻tに
お,x-tグ
特 に速 度 と
ラ フ に描 い た 場 合,x'(t)は
もと
お け る接 線 の 傾 き を 表 す こ と に な る3).
化 率 が わ か っ て い れ ば 逆 に 変 化 量 は,
変化 量=変
化 率 × 変 化 に要 す る時 間
す な わ ち,
で 求 め られ る.最 初 の 量 が わ か っ てい れ ば,こ の “変化 量(最 初 と比べ て変 わ った 分)”を足 して や る こ とに よ り変化 後 の 量が 求 め られ る.変 化 率 が刻 一 刻 と変化 して い く ときに は,短 い 時 間内 で の変化 量(変 化 量=変
化 率 × 変化 に要 す る時 間)を 求
め て は足 し合 わせ てい く,と す れ ば よい.こ れ が積 分 の考 え方 であ る.こ こ ら辺 を 大雑 把 な数式 で 書 くと, 全 変化 量=短
時 間変化 量 の和=∑(変
化 率 × 短 い時 間)=∑x'(t)Δt
で あ り,こ の 極 限 を と っ た も の が 積 分 で あ る と い う こ と だ.時
刻t0か
ら時 刻tま
で
の 全 変 化 量x(t)-x(t0)は,
と な る4).こ
の式 は
と も書 け る が,こ と 読 め る.こ
れ は,初
の よ う に,微
期 値x(t0)に
次 々 と変 化 が 積 み 重 な っ てx(t)が
分 と積 分 は逆 演 算 で あ る.初
得 られ た
期 条 件 が 特 に指 定 さ れ て い
な い と き,
C:任 意 の定 数
(9.1)
と書 く.こ
れ は,微
分 す る とx'(t)に
な る 関 数―― 原 始 関 数―― を求 め る 演 算 を 表 す .
原 始 関 数 は 一 つ に 定 ま ら な い.定
数 が 加 わ っ て も依 然 と して 原 始 関 数 の 資 格 を 持 つ.
そ こ で 原 始 関 数 の 表 記 と して,代
表 と な る も の 一 つ に 定 数(不 定 定 数,積
加 え た 式(9.1)の
よ う な 形 を用 い る.詳
し くは 第7章
化 量 か ら変 化 率 を求 め る の が 微 分 で,変
を見 て ほ し い が,と
分 定 数)を に か く,変
化 率 か ら変 化 量 を求 め る の が 積 分 で あ る と
い う こ と は お さ え て お い て も らい た い . 例
物 体 の 位 置 が 時 間tの
関 数 と してx(t)=t2で
表 さ れ る 場 合,そ
の 速 度v(t)を
求 め て み よ う.
(9.2) な お,一
般 に α を 実 数 と し て,(tα)'=αtα-1で
あ る.こ
の 証 明 は 難 しい の で 割 愛
す る. さ て,(tα)'=αtα-1の な る.す
α に α+1を
改 め て 代 入 す る と,(tα+1)'=(α+1)tα
と
な わ ち,
で あ る.こ
れはさらに
(9.3) と 書 け る.さ
で あ る.こ
て,式(9.1)よ
り,
の 式 の 左 辺 に 式(9.3)を
代 入 す る こ と に よ り,
(9.4) を 得 る.式(9.2)と
逆 に,x'(t)=2tと
与 え ら れ れ ば,式(9.4)よ
りx(t)は
と 求 め られ る.Cは
初 期 条 件 か ら決 め れ ば よ い.時
と な る の で,x(t)=t2と
定 ま る.こ
の部 分 は,時 刻0か
とす る の と 同 じで あ る.
刻0でx(0)=0な
ら ばC=0
れは
(正味 の)距 離(変 位)で あ り,そ れ を も との 量x(0)に
ら時 刻tま で に物 体 が 動 い た 足 し合 わ せ れ ば 移 動 後 の 位 置
x(t)が 求 め ら れ る と い う わ け で あ る.
9.2微
分方 程 式 の概念
最 初 に 一 般 的 な 数 学 の 本 に あ が っ て い る よ う な 微 分 方 程 式(differentialequation) の 説 明 を述 べ る. 一つ
,あ
る い は い くつ か の 変 数 に 関 す る 一 つ,あ
る い は い くつ か の 関 数 と,
そ の 導 関 数 と の 間 の 方 程 式 の 形 で 書 か れ た 関 係 を,微
分 方 程 式 と い う.独
立 変 数 の 数 が 一 つ の と き,特
に 常 微 分 方 程 式 とい う5).微
分 方程 式 中 に現
れ る 導 関 数 の 最 高 階 数 を,そ
の 微 分 方 程 式 の 階 数 とい う.
こ れ で 微 分 方 程 式 と は ど う い う も の か わ か る 人 は 大 した もの で あ る.具 し よ う.x'(t)=tは,1階 い 関 数 はx(t)で い い,求
常 微 分 方 程 式 の 簡 単 な例 だ.独
あ る.微
体 的 に説 明
立 変 数 はtで あ り,求 め た
分 方 程 式 か ら 関 数 の 形 を 求 め る こ と を微 分 方 程 式 を解 く と
め ら れ た 関 数 を 微 分 方 程 式 の 解 と い う.微 分 方 程 式x'(t)=tを
解 くと
とい う解 が 得 ら れ る.Cは
定 数 で あ り さ え す れ ば ど ん な 値 で も も と の微 分 方 程 式 は
満 足 さ れ る(確 か め よ).こ
の よ う に,任 意 定 数(積 分 定 数)を 一 つ 含 む 解 を1階
分 方 程 式 の 一 般 解 と呼 び,一 解 と呼 ぶ6).n階
常微
般 解 の 任 意 定 数 の 値 を指 定 した と き に 得 ら れ る 解 を特
常 微 分 方 程 式 の 一 般 解 はn個
の 任 意 定 数 を 含 む の だ が,そ
れ は証
明 抜 き で 認 め て し ま う こ と に す る. さ て,x'(t)=tか た が).単
らx(t)=1/2t2+Cを
純 に 積 分 す れ ば よい7).次
求 め る こ と は 前 節 で も や っ た(係 数 は 違 っ に,も
う少 し難 しい1階
常 微 分 方程 式 と して
を扱 って み よ う.こ の微 分方 程 式 を解 くた め に両 辺 をtで 積分 す る と,
す な わ ち,
と な る.し い8).微
か し,x(t)が
わ か っ て い な い の で,右
分 方 程 式x'(t)=x(t)を
辺 の積 分 を計算 す る こ とはで きな
解 く た め に は ち ょ っ と した テ ク ニ ッ ク が 必 要 だ .
と りあ え ず 計 算 法 だ け 示 し て お く と,
よ り,
と変 形 で き,両 辺 をtで 積 分 して,
が 得 ら れ る.こ
こ で,∫dt=∫1dtの
こ と で あ る.積
積 分 の 公 式 よ り ∫1/xdxと な り9),こ れ はlog│x│と tと な る.積
分 定 数 をC'と
が 得 ら れ る.こ
分 を 実 行 す る と,左
な る(8.7節
参 照).ま
辺 は置 換
た,右
辺は
す れ ば,
こ で 対 数 は 自然 対 数 で あ り,定 義 か ら,
(9.5) と な る.こ
れ は 指 数 法 則 よ り,
と 変 形 で き る.こ
の 式 は さ ら にx=±eC'etと
数 部 分 を ま と め てCと
書 く と,結
変 形 で き る が,etに
か か っ てい る定
局 求 め たい微 分 方 程式 の解 は
(9.6) と表 せ る こ とに な る.こ
の 例 で は 任 意 定 数Cは
期 条 件 に よ っ て 決 定 す る こ とが で き る.例
積 の 形 で 一 般 解 の 中 に 現 れ て お り,初
え ば,t=0でx(0)=x0な
ら ばC=x0
と な り,微 分 方 程 式 の 特 解 はx(t)=x0etと
な る こ とが 簡 単 に確 か め ら れ よ う.こ
こ で 紹 介 した テ ク ニ ッ ク は 変 数 分 離 形 と呼 ば れ る微 分 方 程 式10)の 解 法 と して 一般 化 で き る の だ が,そ
こ ら辺 に 関 し て は 必 要 に 応 じ て 他 書 で 勉 強 し て ほ しい.ど
う して
も勉 強 せ ず し て微 分 方 程 式 を解 きた け れ ば,数 式 処 理 ソ フ トを使 う と よい で あ ろ う. 例 え ば.Mathematicaを
使 う な ら,
DSolve[微
め た い 関 数,独 立 変 数]
分 方 程 式,求
と入 力 す れ ば よ い.今
の 場 合,
DSolve[x'[t]==x[t],x[t],t] と 入 力 す る こ と に よ り,x(t)=C[1]・etと が 任 意 定 数 で あ る が,別 ば よ い.こ
こ で,指
と い う こ と,そ
い う 一 般 解 が 得 ら れ る11).な
にMathematicaの
数 関 数 の 特 徴 と して,変
し て,底
と し てeを
な り,変 化 率 が 自 え られ た 微
ま さ に こ の 性 質 を う た っ て い た の で あ る.こ
微 分 方 程 式 は 曲 線 の 性 質 を微 分 係 数(傾 補 足x'(t)=x(t)と
の よ う に,
き)の 立 場 か ら表 して い る の で あ る.
い う微 分 方 程 式 を 更 にtで
な る が,x'(t)=x(t)で x(n)(t)=x(t)が
書 け
化 率 が 自分 自 身 の 大 き さ に 比 例 す る
選 べ ば そ の 比 例 係 数 が1と
分 自 身 に な る と い う性 質 を思 い 出 し て お く こ と は 非 常 に よ ろ し い.与 分 方 程 式x'(t)=x(t)は
お,C[1]
表 記 に な ら わ ず,x(t)=Cetと
あ る か らx″(t)=x(t)と 成 り立 つ こ と が 容 易 に わ か る.さ
微 分 す る とx″(t)=x'(t)と な る.こ て,こ
の 操 作 を 繰 り返 せ ば,
の こ と を 利 用 し てx(t)を
マ ク ロ ー リ ン 展 開 す る と,
と な る.指
数 関 数etの
マ ク ロ ー リ ン展 開 式(8.4)を
思 い 出 せ ば,
で あ る こ とが わか る. 課題
微 分 方 程 式x'(t)=-x(t)の
一 般 解 を求 め よ.答 え はx(t)=Ce-tと
な る.微 分 方
程 式 が 解 け な くて も,こ の解 が与 え られ た微 分 方 程 式 を満 たす こ と を示 せ. 解説
解答略
課題 原 点 を 中心 とす る半 径rの 円 の 方定 式x2+y2=r2の 両 辺 をxで 微 分す る こ とに よ り微 分 方程 式 を作 れ.ま た,そ の微 分 方 程式 は 曲線 の どん な性 質 を表 して い るか を考 え よ.
解説
合 成 関 数 の 微 分 法 を利 用 す る とdy2/dx=dy2/dy・dy/d x=2yy'と
な の でxで
微 分 す る と0に
2x+2yy'=0と
な る.こ
得 ら れ る.y'は 心)と は
お け る 円 の 接 線 の 傾 き を 表 し,ま
い う 性 質 を 表 し て い る こ と に な る.こ
の 式 よ りy'=-x/
yが
た-x/
点 と接 点 を結 ぶ 直 線 に直交 す る」 と
れ は ま さ に 原 点 を 中 心 とす る 円 の 特 徴 で あ る .
分方 程 式 の視覚 的理 解
再 び 微 分 方 程 式x'(t)=tを 軸 にxを
x'(t)=tは,「 軸(t軸)の
考 え よ う.x'(t),す
取 っ た と き,x=x(t)と ま だx(t)の
座 標 がtの
な わ ちdx/dtは,x-tグ
形 は わ か ら な い が,x=x(t)の
と きの 接 線 の 傾 きがtで
グ ラ フ を描 い た と き,横
あ る 」 とい う こ と を言 い 表 し て い る.
面 上 の 座 標(t,x)に
tで あ る と規 定 す る 式 で あ る 」 とい え る.具
体 的 に は,t=0の
あ る の で 傾 きが0で
と き は 傾 き が1で
傾 き が2で
あ り,同 様 に,t=1の
あ り,t=-1の
よ っ て,接 線 の 傾 き,す れ る.後
と き は 傾 き が-1で な わ ち 曲線 の 方 向,言
は ど こ か ら 出 発 す る か(特 定 のtに
曲 線(特 解 を表 す 曲 線)が 得 ら れ る.こ 意 定 数 が 入 る 理 由 だ.微
う こ と だ.す
な わ ち,与
接 線 の 傾 きがxで で あ り,x=1の
座 標 がxの
ど ん な値 を 取 る か14))で 解
あ り,x=2の
あ る と い う こ と だ.こ
示 す.
形 は ま だ わ か らぬ が,x=x(t)
と き の接 線 の 傾 きがxで
え ら れ た微 分 方 程 式 は,x-t平
課題 微 分 方 程 式x'(t)=-x(t)に い て,上 と 同様 の 説 明 を せ よ.
と きは 分 方程 式 に
よ り座 標 平 面 に “傾 き” が 定 め ら れ,
あ る と規 定 す る 式 で あ る.具
の と き は傾 きが-1で
あ り,t=2の
こ ら辺 の 不 定 性 が,微 分 方 程 式 の 一 般 解 に 任
考 え よ う.x(t)の
と き は 傾 きが1で
と き はx'(0)=0で
い 換 え れ ば 平 面 上 の “流 れ ” が 定 め ら
対 し てxは
分 方 程 式x'(t)=tに
同様 に微 分 方 程 式x'(t)=x(t)を
お ける接 線 の傾 きが
あ る と い う こ と だ.微
初 期 条 件 に よ り解 曲 線 が ど の よ う に 決 ま る か を 図9.1に
の グ ラ フ を描 い た と き,縦 軸(x軸)の
ラ フ(横 軸
い う関 数13)を 表 す グ ラ フ)の 傾 き を 表 す .
す な わ ち,「 与 え ら れ た微 分 方 程 式 はx-t平
解説
定数
微分する と
yと い う 値 は 原 点(円 の 中 結 ぶ 直 線 に 直 交 す る 直 線,の 傾 き を表 し て い る12)こ と よ り,こ の 微 分 方 程 式
点(x,y)を
にt,縦
た,r2は
両 辺 をxで
れ が 求 め た か っ た 微 分 方 程 式 で あ る が,こ
点(x,y)に
「こ の 微 分 方 程 式 の 解 と な る 曲 線 の 任 意 の 接 線 は,原
9.3微
計 算 さ れ,ま
な る こ と を 考 慮 す れ ば,x2+y2=r2の
あ る とい
面 上 の 座 標(t,x)に
体 的 に は,x=0の
おける
と き は 傾 き が0
と き は 傾 きが2で
あ り,x=-1
こ ら辺 の 様 子 を 図9 .2に 示 す.
関 し て も 同 様 の 図 が 描 け る.そ
れ が 図9.3だ.こ
れにつ
解 答 略.
さ て,以
上 は1階
の 微 分 方 程 式 に つ い て の 話 で あ っ た.2階
て は,(初 期 条 件 に よ り)2階
の 導 関 数x″(t)が
の微 分 方程 式 に関 し
ま ず 決 定 さ れ る.す
な わ ち,1階
の導
図9.1微 分 方 程 式x'(t)=tに よ り座 標 平 面 に “傾 き” が 定 め られ る.初 期 条件(解 曲線 が 通 る一 点)を 与 え れ ば解 曲線 が 定 ま る.一 般 解 はx(t)=1/2t2+Cで あ る.
図9.2微 分 方 程 式x'(t)=x(t)に 線 が 定 ま る.一 般 解 はx(t)=Cetで
図9.3微 分 方 程 式x'(t)=-x(t)に 曲 線 が 定 まる.一 般解 はx(t)=Ce-tで
よ り座 標 平 面 に “傾 き”が 定 め られ,初 期 条 件 に よ り解 曲 あ る.
よ り座 標 平 面 に “傾 き”が 定 め られ,初 期 条 件 に よ り解 あ る.
関 数x'(t)の(局
所 的 な)変 化 率 が 決 ま る とい う こ とだ.そ
化 量 が 決 ま り,次 の 瞬 間 のx'(t)が そ れ に よ り 関 数x(t)の そ の 瞬 間 の2階
定 ま る.す
変 化 量 が 決 ま り,次
の 導 関 数 の 値 を 決 め る.後
す る の は 難 し い.た
な わ ち,関
れ に よ り 関 数x'(t)の 数x(t)の
の 瞬 間 のx(t)が
定 ま る.そ
は そ の 繰 り返 し で あ る.こ
だ 本 節 の 話 を使 う と,解
変
変 化 率 が 定 ま り, れ らが再 び
の様 子 を図示
析 的 に微 分 方 程 式 が 解 け な くて も(関
数 の 形 を あ か ら さ ま に 求 め られ な い と き で も),解
曲 線(微 分 方 程 式 を満 た すxとt
と の 関 係 を表 す グ ラ フ)は コ ン ピ ュ ー タ に繰 り返 し計 算 を さ せ れ ば 求 め ら れ る こ と が 納 得 で き よ う.こ と は い え,コ
れ を微 分 方 程 式 の 数 値 的 解 法 とい う.
ン ピ ュ ー タ に 計 算 さ せ る以 上,刻
み の 幅 が 有 限 と な り15),求
る解 曲線 は あ くまで も “ 近 似 解 の グ ラ フ ” に 過 ぎ な い.な る た め に は,微
め られ
る べ く正 確 な 解 曲 線 を 得
分 方 程 式 に 応 じ て い ろ い ろ 工 夫 し な くて は な ら な い.そ
の辺 の事 情
に つ い て は 数 値 計 算 の 本 を 見 て も らい た い.
注 1)少 な くと も古 典 力 学 的 系 の範 囲 で は.も
ち ろ ん古 典 力 学 に範 囲 を 限 っ て も,現 実 問 題 と して は,現 在 の 状 況 を完 全 に把 握 し,か つ,そ の 瞬 間 の変 化 の傾 向 を完 全 に把 握 す る知 的 存 在(ラ プ ラ ス の魔) は あ ろ う はず もな い が. 2)微 分 方 程 式 の 解 を求 め る一 般 的 手 法(公 式)は ない .解 析 的 に解 くこ とので き ない 微 分 方程 式 も無 数 にあ る. 3)本 来 ,x=f(t)な わ す),文
ど と書 く と ころ だ が(tが 独 立 変 数,xが 従 属 変 数 を表 し,f( )は 関数 形 を あ ら 字 が 多 くな る の を避 け て,本 文 の よ うに 略 記 す る こ とが 物 理 で は多 い.
4)こ の よ うな 式 の 書 き方 は広 く行 わ れ て い るが
,
のtとx'(t)dtのtと
は 意味 す る ものが 違 う こ
と に注 意 せ よ.前 者 は(と りあ え ず は)あ る特 定 の 時刻 を表 して い る の に 対 し(そ の意 味 で はTな ど と した 方 が わ か りや す いか も しれ な い が,一 般 性 を持 たせ た い た めtと
して い る),後 者 は積 分 変
数 を示 す. 5)変 数 が 複 数 あ り
,未 知 関 数 の偏 導 関 数 を含 む微 分 方 程 式 を偏 微 分 方 程 式 とい うが,本 書 で は これ に は まっ た く触 れ な い. 6)微 分 方程 式 の 解 に つ い て は こ れ だ け で は不 十 分 な の だ が ,当 面 の と こ ろ は これ で 満 足 し て よい. 7)事 実 ,微 分 方程 式 を解 くこ と を 「微 分 方 程 式 を積 分 す る」 と い う こ とが あ る. 8)前 の例 で はtと い う既 知 の 関 数 だ か ら積 分 が で きた . 9)dtと い う記 号 を あ た か も一 つ の数 と見 な して 約 分 した 形 に な っ て い る こ とに注 意 .微 積 分 に用 い ら れ る 記 号 の い い と ころ は,こ の よ うな 機 械 的 操 作 が 許 され る 場 合 が あ る,と い う と こ ろで あ る.こ の辺 は大 学 の数 学 で “全 微 分 ” とい う もの を学 べ ば す っ き りす る が,こ こ で は 深 入 りを しな い . 10)dy/ dx=f(x)・g(y)と い う形 に帰 着 で き る微 分 方 程 式. 11)イ コ ー ル記 号 を2つ 重 ね て い る こ と に注 意 .一 つ だ と,Mathematicaで は “代 入” を 表 す. 12)直 交 す る2直 線 の 傾 きは -1と なる(こ れ は ベ ク トル を用 い て 簡 単 に証 明 で き る) .原 点 と点(x,y) を結 ぶ 直 線 の傾 き はy/xで あ るか ら,こ れ に直 交 す る 直 線 の傾 きは-x/yと 13)わ か りに くい表 記 だが ,多 く使 われ るの で 慣 れ て ほ しい. 14)初 期 条 件 と い う.
な る.
15)「 無 限 小 にで き ない 」 とい う こ と.
10 バ イ メ カ こ と は じめ
これ まで初 等 的 な力 学 を学 ぶ た め に必 要 な数 学 を 学 んで きた.本 章 か らい よい よ力 学 の 学 習 に入 ろ う.ま ず,高 校 レベ ルの 力 学 の 知識 で ど ん な こ とが垂 直 跳 び動 作 時 の 地面 反力(床 反 力)波 形1)か ら読 み取 れ るか を課題 を通 して考 え てみ よ う.地 面 反 力 か ら身体 重 心 が どの よ うな運 動 をす るか を読 み取 る こ と はス ポ ー ツバ イ オ メ カ ニ クス の 最 も基 本 的 作 業 で あ り,実 験 実 習 な どで課 題 の よ う な実 験 を行 っ て重 心 速 度 や 重 心 変位 を計 算 して み た こ との あ る読 者 も多 い こ と と思 う.課 題 と,続 くS嬢, N嬢 の 会話2)を 読 み,そ こ で何 が 問 題 とな って い た か を思 い 出 して も らい たい.な お,こ の よ うな実 験 実 習 を行 った こ との ない読 者 は第13章 まで 学 習 してか ら本 章 に 取 り組 ん で もよい が,と りあ えず 力 学 的 な雰 囲 気 を味 わ う こ とが 本 章 の 目的 で あ る の で,ざ っ とで い い か ら目 を通 して み る こ と を勧 め る.ニ ュ ー トン前 後(近 代 的 な 力 学 建 設前 後)で 人類 の 自然 観 は劇 的 に変 化 した と言 わ れ る.力 学 を学 ぶ 前 後 で 本 章 に取 り組 む こ と に よ り,そ の人 類 の歴 史 を追体 験 してみ るの もお も しろか ろ う.
10.1問
題
フ ォ ー ス プ レ ー ト(2.2節 補 足3,補 る よ う な動 作 で 垂 直 跳 び を 行 っ た.す
図10.1垂
足4,補
足5参
な わ ち,ま
照)の 上 で 図10.1に
示 され て い
ず フ ォ ー ス プ レ ー ト上 に真 っ 直 ぐ
直 跳 び の 様 子(そ れ ぞ れ の 図 は 必 ず し も等 時 間 間 隔 で は な い)
立 っ て 静 止 し,そ こか ら い っ た ん か が み 込 ん で 反 動 を つ け て跳 び あ が り,再 び フ ォ ー ス プ レ ー ト上 に着 地 した.着 な ど を 曲 げ た が,す
地 の 際 に は衝 撃 を 弱 め る た め に多 少,足,膝,股
ぐに も と の 立 位 に 戻 り,静 止 し た.な
お,腕
関節
を振 ら な い よ う に
手 は腰 に 当 て た ま ま 動 作 を 行 っ た.フ 向 成 分F(t)を
図10.2垂
図10.2に
ォ ー ス プ レ ー トで 得 ら れ た 地 面 反 力 の 鉛 直 方
示 す.
直 跳 び動 作 時 の フ ォー ス プ レー トか らの 垂 直抗 力Fと
時 刻tと
の 関係
課題 図10.2を 見 て次 の問 に答 え よ.た だ し重 力 加 速 度 の 大 きさ をg=9.8m/s2と また,点A(時 刻0)に お け る地 面 反力 はF0=621Nで あ っ た.
す る.
(1)被 験 者 の 質 量 を 求 め よ. (2)か が み 始 め た 瞬 間 の地 面 反 力 は どの点 で 示 され る か. (3)点Aか ら点Hの の点 か.
うち,身 体 重 心 の位 置 が 最 も低 くな った と きの 地 面 反力 を示 す の は ど
(4)点Aか ら点Hの うち,身 体 重 心 の 下 降速 度 の大 きさが 最 も大 き くな っ た と きの 地面 反 力 を示 す の は どの点 か. (5)足 が ま さ に離 地 す る瞬 間 を表 す 点 は 当 然Iで あ る.こ の と きの 身体 重 心 の 持 つ 加 速 度 は い くらか.向 き も含 め て 答 え よ.も し,こ の問 題 の条 件 だ け で は決 め られ ない とき は 「 不 定 」 と答 え れ ば よい.た だ し,範 囲 が わ か る な らそ の 範 囲 を答 え よ. (6)足 が 離 地す る まで の地 面 反 力 の ピー クは今 回の 測定 で は 点Gに 現 れ,そ の値 は1379N で あ りF0の 倍 以上 で あ った.こ の よ うに,垂 直 跳 び に よ り身体 重 心が 立 位 時 よ りも高 い位 置 に到 達 す る よ うに跳 躍 す るた め に は,跳 躍 動作 時 の 地 面反 力 が体 重 の 倍 以上 に な る点 が 現 れ る の は必 然 的 な こ とか ど うか 答 え よ. (7)点Iの 時刻 をt1と す る.時 刻t=0か らt=t1ま 力 を0と した と き得 られ る直線)と の 間 の面 積
で の地 面 反 力 曲線 と時 間 軸(地 面 反 をSと
す る(単 位 はN・s).
時 刻t1に 身体 重 心 の持 つ 速 度v1(鉛 直 上 向 き を正 方 向 とす る)をg,F0,S,t1で 表 せ. た だ し,こ の 中 に使 用 しな くて も よい 文 字 が あ る か も知 れ な い.逆 に,こ れ だ けで は (原理 的 に)表 せ な い場 合 には,ほ か に ど んな 数値 な り条 件 が 必 要 か述 べ よ.
(8)点Iと 点Jの 時 刻 に お け る被 験 者 の姿 勢 は 向 き も含 め て完全 に 同 じだ っ た とす る.点J の 時刻 をt2と して,v1をg,t1,t2で 表 せ. (9)点J以
降 の 地 面反 力 曲線 とt軸 との 間の 面積 がSに
わ ち,t3>t2と
して
等 し くな る時 刻 をt3と す る.す な
とい う こ とで あ る.こ
の 時 刻t3をt1,t2を
用い
て 表せ.た だ し,前 問 と同 じ く,点Iと 点Jの 時刻 にお け る被 験 者 の姿 勢 は向 き も含 め て完 全 に同 じだ っ た とす る.な お,こ れ だ けで はt3をt1,t2を 用 い て(原 理 的 に)表 せ な い場 合 に は,ほ か に どん な数 値 な り条件 が 必 要 か述 べ よ.
10.2考
察 もど き
S嬢
最 初 の6問
N嬢
そ うね,常 識 よ ね.F0っ
は 簡 単 ね.
F0=mgの
て 結 局 静 止 時 に 働 い て い る 重 力 よ ね.な
関 係 が あ る か ら,mが
求 め ら れ る わ.だ
か ら,え
キ ー を た た き な が ら),m=621/9.8=63.367346… S嬢
そ し て,か
が み 込 む 瞬 間 は,エ
状 態 に 近 く な っ て,体 は ず.そ
し て 点Dで
ら質 量mと
え っ と(電 卓 の
ね.
レ ベ ー タ ー で 下 降 す る と き と 同 じで,無
重 が 減 る の よ ね.だ
か ら か が み 込 み 始 め は 点Bで
一 番 深 くか が み 込 ん で,そ
重力 いい
こ か ら力 を 入 れ て 重 心 が 上 昇
し て い くん だ わ. N嬢
そ う ね.だ
S嬢5番
か ら 点Bと
点Dの
間 の 点Cで
下 降 速 度 が 一 番 大 き く な る の ね.
の 離 地 の 瞬 間 の 重 心 の 加 速 度 っ て の は,ジ あ る ん だ ろ う け ど,地
球 の重 力 に逆 らって上 に跳 ん で い か な き ゃい け ない ん
だ か ら,身
体 重 心 の 加 速 度 は 上 向 き にg以
そ して,身
体 重 心 を押 し上 げ て い るDか
加 速 度gに
打 ち 勝 ち,さ
N嬢
ャン プの仕 方 に よっ てい ろい ろ
上 と な る. らHの
間 で は,重
力 に よる下 向 きの
ら に そ の 離 地 の 瞬 間 の 上 向 きの 加 速 度gを
生み出 さ
な き ゃ い け な い ん だ か ら,地 面 反 力 の ピ ー ク は 自 分 の 体 重 の 倍 以 上 に な ら な き ゃ い け な い の は 当 然 ね. S嬢7番
は ち ょ っ と ム ズ カ シ イ わ.力 た 量 っ て 確 か 仕 事 よ ね.物
曲 線 で 囲 ま れ た 面 積,す
な わ ち 力 を積 分 し
体 の 運 動 エ ネ ル ギ ー は 確 か1/2mv2で,こ
られ た 仕 事 に等 し くな る の だ か ら1/2mv12=Sで,v1=√2S/mと
れが 加 え 求 め られ
る わ. N嬢
あ ら,で
も力 を積 分 した もの っ て 力 積 の 場 合 もあ る じ ゃ な い.力
運 動 量mvと S嬢
う ー ん,ど
結 び つ くん だ か ら,mv1=Sで,v1=S/mに っ ち だ ろ う.あ
で 表 せ とあ る わ.mを N嬢mは
っ,ち
ょ っ と待 っ て.問
積 の 場 合 は,
な る ん じ ゃ な い? 題 に はv1をg,F0,S,t1
使 っ ち ゃ い け な い の よ.
最 初 にgとF0でm=F0/gと
表 した じ ゃ な い.そ
れ を使 え ば い い の よ.
S嬢
そ っ か.じ
ゃ あ,そ れ は い い と して,本 当 に ど っ ち な ん だ ろ う.ど
カ っ て は っ き り し な い の よ ね.力 り.ど
積 っ て 言 っ て み た り,仕 事 っ て 言 っ て み た
っ ち も力 を積 分 した 量 な ん じ ゃ な い の?あ
て い い か わ か ら な い とい う こ と は,何 ら,こ N嬢
う もバ イ メ
っ,わ
か っ た.ど
っ ち使 っ
か 条 件 が 欠 け て い る っ て こ と よ.だ
か
の 問 題 は 「答 え が 求 め ら れ な い 」 が 正 解 な の よ.
き っ とそ う ね.じ
ゃ あ,8番
は ど う な る の か し ら.こ
れ っ て,滞
空 時 間 か ら跳
躍 高 を求 め る 問 題 と 同 じ よ ね. S嬢
私,公
式 を 覚 え て い る わ.滞
の よ.こ
空 時 間 を ΔTと
し て,跳
躍 高 は1/8gΔT2に
なる
れ は 先 生 に 「覚 え て お き な さ い 」 っ て 言 わ れ た も の だ か ら 間 違 い な
い わ. N嬢
じ ゃ あ,速 t2-t1を
S嬢
度 は 距 離 を 時 間 で 割 れ ば い い か らv1=1/8gΔTね.そ
調 子 出 て き た わ ね.で,最 に,跳
後 は.う
ー ん.何
こ れ?こ
び 上 が ら せ る た め の 面 積 が あ っ て,空
け る わ け じ ゃ な い.そ 着 地 後,い
ン ト,よ
等 し く な る か な ん て,t1,t2だ
初
ん で い る と き腰 に き ち ゃ っ た.本
け
く わ か ん な い 問 題 ね.
そ れ に,今 回 実 験 で 使 っ た フ ォ ー ス プ レー ト.重
S嬢
ん な の で き る の?最
中 にい る 間は 下 向 きに重力 を受
れ らが 合 わ さ っ て 着 地 後 の 地 面 反 力 が 決 ま る ん だ か ら,
つ 力 曲線 とt軸 の 囲 む 面 積 がSと
で 表 せ る わ け な い じ ゃ な い.ホ N嬢
して ΔT=
代 入 し て お し ま い ね.
くて 嫌 に な っ ち ゃ う.私,運
当 に バ イ メ カ っ て ろ くで も な い わ ね.
そ れ は ち ょ っ と ス ジ が 違 う ん じ ゃ ….
彼 女 た ち と 同 じ よ う な 議 論 が 学 生 の 間 で さ れ て い る の を耳 に す る こ とが あ る が, 読 者 諸 氏 は,彼
女 た ち が 物 理 の 初 心 者 に よ く見 ら れ る 間 違 い を こ と ご と く犯 して い
る こ と に 気 づ か れ た で あ ろ う か.次 つ,力
章 以 降,こ
こ で 問 題 と な っ て い る 点 を 指 摘 しつ
学 の 考 え 方 ・手 法 を詳 し く解 説 して い く.な お,本
章 の 課 題 は 第14章
で改 め
て 取 り上 げ る. 補 足1S,Nと か ら 取 っ た.こ
い う イ ニ シ ャ ル はSN比(signal-to-noiseratio:信 れ は,希
望 と す る 信 号 の 大 き さ と,そ
比 を 表 し た も の で あ る.つ
ま り,力
妙 な 思 い 込 み が 乗 る こ と に よ り,正 あ る(そ
れ に して は,ど
号 対 雑 音 比)
れ に混 入 す る雑 音 の大 き さの
学 的 に キ チ ン と 考 え れ ば 問 題 な い の に,そ
れに
しい推 論 が 行 えな くな る様 を表 そ うと した の で
っ ち もnoisyに
な っ て し ま っ た が).な
お,彼
女 た ち は今後
も本 書 の 所 々 で 出 演 し て く れ る こ と に な っ て い る.
補 足2人 が 身体 運 動 を意識 的 に行 お う とす る と きに は何 らか の 目的 が存 在 す るは ず で あ る.そ の 目的 を達成 す る ため に効 果 的 な動 作 は何 か.そ の よ うな動 作 を生 み 出す た め には どうす れば よいか.そ の手 がか りを得 るた め に,物 体 の運動 を扱 う学 問 で あ る 力 学 は大 い に役 立 つ と思 われ る.実 際,ス ポ ー ツ科 学 の分 野 で も身体 運 動 を
力 学 的観 点 か ら考 察 し よ うとい う試 み が行 わ れ る よ うに な っ て久 しく,そ の よ う な 学 問領 域 はス ポ ー ツバ イ オ メ カニ クス と呼 ばれ て い る3).そ の成 果 を学 び,応 用 し, 発 展 させ る ため には力 学 の基 礎 を身 に つ け る必 要 が あ る.し か し,こ の よう な直 接 的 な理 由 の ほか に もス ポ ー ツ科 学 を専 攻 す る者 が 力 学 を学 ば な けれ ば な らない 理 由 が あ る.そ れ は,ス ポ ー ツ科学 を学 ぶ 際 に よ く目にす る “力” とか “ エ ネル ギ ー” と い っ た言 葉 は 力 学 を学 んで 初 め て 理解 で き る もの で あ り,ま た,ト レー ニ ン グ実 験 を行 う際,運 動 方程 式 を書 い て初 め て思 った とお りの負 荷 が 目的 とす る部 位 に正 し くか か っ てい る か どうか を判 断 す る こ とが で きる とい う事 実 で あ る.た と えス ポ ー ツバ イ オ メカ ニ ク ス を専 門 と して い な くて も,最 低 限の 力 学 を身 に つ けて お く必 要 が あ る.本 書 で は次 章 以 降,第19章 を 除 くすべ ての 章 が力 学 の解 説 に当 て られ て い る わ けだ が,ス ポ ー ツバ イ オ メ カ ニ クス を専攻 して い ない 読 者 も,自 分 には不 要 と 決 め つ け ず に,積 極 的 に学 習 して も らい た い(あ る程 度 の取 捨 選 択 は構 わ な い) .
注 1)地 面 反 力(groundreactio
nforce),あ る い は床 反 力(floorreactionforce)は ス ポ ー ツバ イ オ メ カニ クス で よ く使 わ れ る言 葉 で あ る .そ の 意 味 に 関 して は11.2節 で解 説 す る. 2)実 際 に実 習 を行 った 学 生 の 反 応 を も とに して書 き下 ろ した . 3)バ イオ メ カニ クス とは 細 胞 ,組 織,器 官,器 官 系,個 体 とい う様 々 な階 層 の 生 体 構 造 と そ の機 能 を 主 に力 学 的 観 点 か ら解 明 す る学 問 分 野 で あ り,そ の 対 象 と して ,生 体 軟 組 織 ・硬 組 織 に 関す る材 料 力 学,血 液 ・気 体 に関 す る 流体 力 学,熱 ・物 質 の 移動 現 象,関 節 の運 動 や そ の 複 合 と して の 身体 運 動 に か か わ る 機 械 力 学 とい っ た もの が あ げ られ る.ス ポ ー ツバ イ オメ カニ クス は これ らの 分 野 の 複 合 的,総 合 的応 用 分野 の 一 つ で あ る.
11 質点 の運動
昔 の 人 は(今 の 人で も力学 を知 らな い人 の 多 くは)力 と速 度 を直 接 結 び つ け て議論 を した. 馬 車 を 引 くの に,馬 一頭 よ り馬 二 頭 の 方 が速 く引 け るの は馬 車 に加 え られ る力 が大 きいか らだ.床 の上 にあ る物体 を押 し離 す と,最 初 は勢 い よ く動 き出 す が やが て止 まる.こ れ は,押 す こ とに よ って 与 え られ た力 が 物 体 が 進 む に つ れ て減 少 し,や が て な くな っ た とき に止 まる とい う こ とだ. 日常 的 な経験,体 感 に基 づ くこ の よ うな 単純 で誤 っ た議 論 か ら脱 却 し,力 を加速 度 (運動 量 の変 化 率)の 原 因 と して と らえ る こ とに人 間 が成 功 した と き,近 代 的 な 意味 での 物 理 学 が始 ま った.こ の発 想 の 転 換 は ニ ュ ー トン に よる.そ して,物 体 の運 動 はニ ュー トンの運 動 方 程 式 と して正 し く定 式 化 され た1).本 章 で は科 学 史 上 最大 の 発 見 と言 わ れ るニ ュー トンの運 動 方 程 式 の説 明 を しよ う.
11.1質
点
運 動 とは物 体 の位 置 が刻 一 刻 と変 化 す る現 象 で あ る.し か し,物 体 に大 きさが あ る以 上,そ の位 置 を指定 す る の は(実 験 上 の困 難 を除 い て も)結 構難 しい.特 に,物 体 が 変形 した り,(自 転 の よ うな)回 転 運動 を行 ってい る と きは や っか い で あ る.そ こで しば ら くの間 は物体 の変形 や(自 転 の よう な)回 転 が起 こっ てい ない 運動 の み を き ょうぎ
扱 う2).言 い換 えれ ば,物 体 上 の各 点 が常 に同 じ位 置 変化 を被 る よ うな運動 (狭義 で の 並 進 運 動3):translationalmotion)の
み を扱 う と い う こ と で あ る.こ
の 場 合,物
体 上 の ど こ か 一 つ の 点 の 位 置 を定 め れ ば 物 体 の 位 置 は 定 め ら れ る こ と に な る.つ
ま
り,物 体 の 大 き さ を無 視 し て 運 動 を論 じ る こ とが で き る.「 物 体 は 質 量 を持 つ が,そ の 位 置 の 変 化 は 点 の 運 動 と して 扱 お う」 と い う わ け で あ る.こ こ とを 「 物 体 を 質 点(particle,masspoint4))と 補足
の よ う に物 体 を扱 う
して 扱 う」 とい う よ う に 表 現 す る.
質 点 とは運 動 を扱 う ため の 一つ の 理想 モデ ル で,“ 質量 を持 つ が大 き さ を持 た
ない点 ”の ことで あ るが,現 実 に “質 点” なる ものが 存 在 す る わ けで は ない.く どい よ うだが,「 物 体 の位 置 の 変化 を点 の 運動 と して扱 う」 とは 「 物 体 の位 置 をた だ1点 の座 標(x,y,z)で 表 し5),そ の位 置 変 化 の み を扱 う」 とい う こ とで あ る.そ して,
物 体 が 純粋 に並 進 運動 のみ を行 って い る 限 りにお い て は,(ど んな に物 体 が 大 き くて も)こ れで 十 分 で あ る(完 全 に運 動 が 記述 され る)と い う こ とだ.つ ま り,「大 きさ を 無 視 す る」 とは 「 大 き さ とい う物体 の持 つ 属性 を考 えな い」 とい う こ とで,「物 体 を 小 さ な小 さな,そ う,あ た か も大 き さを持 た な い点 と見 な す」 とか,さ らに は,「物 体 の 大 き さは今,運 動 が行 われ て い る空 間 に比 べ て 十分 小 さい の で無 視 す る」 とか, そ う い う こ とで は な い の で あ る6).「 質点 の密 度 は どの く らいで す か 」 とか,「 質 点 の大 き さは原 子 よ り小 さい の です か 」 とい う質 問 はナ ンセ ンス で あ る.さ らに,「質 点 は非 常 に小 さい の だか ら,そ の運 動 を扱 うた め に は量 子 力学 を使 わ な くて は な ら な いの で は な か ろ うか 」 とか 「質点 は高 密 度 だ か らブ ラ ッ クホ ー ル化 しな い ので あ ろ うか」 と悩 む の も馬 鹿 げ て い る.“ 質 点” とい う実 在 の もの が あ って,物 体 を その 実 在 す る “質 点” と同一 視 す る ので は ない.質 点 とは運 動 を考 える た め の モ デ ル の 一 つ なの で あ る .
物 体 が並 進 運 動 の み を行 っ てい る な らば物 体 の位 置 を指 定 す る座 標 は物 体 内 の ど の 点 の座標 で も よ く7),別 に物体 の 質量 中心(重 心)の 座 標 を もって物 体 の位 置 を表 す必 要 はな い8).た だ,物 体 が 回転 運動(自 転 の よ うに物体 が 向 きを変 え る運動)や 変形 運 動 を と もな って空 間内 を運 動 す る と きに は,物 体 内 の あ る1点9)が 空 間 内 を 並進 運 動 し,物 体 内 の ほか の点 は その点 の まわ りを運 動す る と見 なす と扱 い やす い. この とき,も し物体 が 固 定軸 や 固定 点 を持 た ない場 合 は,物 体 の質 量 中心 を運動 の かなめ
“要 の 点 ” に選 ぶ と非 常 に都 合 が よい10) 運 動 を 論 じ る 際 に は,特
.そ の た め,今 後,物
体 を質 点 とみ な し て
に 断 ら な い 限 り,そ の 位 置 は 物 体 の 質 量 中 心(重 心)の 位 置
と す る. 補 足 この よう な説 明 をす る と,な ぜ か 「質点=重 心」 と勘 違 い して しま う人が い る.そ の よ うな 人 は上 の説 明 を よ く読 み 直 して ほ しい.質 点 は物 体 の運 動 を扱 うた め の一 つ の モ デ ルで あ る.そ れ に対 し,質 量 中心 や 重 心 は物 体(物 体 系)に 対 して あ る数 式 に よ って 明確 に定 義 さ れた “ 位 置 ”で あ る11).「 物 体 を質 点 と見 なす(近 似 す る)」 と言 えて も,「物体 を 質量 中心(重 心)と 見 なす(近 似 す る)」 とは言 え な い12). 「 物 体 の位 置 を その 質量 中心(重 心)の 座 標 で 表 す」 とは言 えて も,「物 体 の 位 置 を そ の 質点 の座 標 で 表す 」 とか 「 物 体 の 質点 の座 標 を(x,y,z)と お く」 とは言 えな い の で あ る.力 学 の 本 の 中 に は 「重 心 は 質点 の 一 種 で あ る」 とい う よ うな説 明 を して い る ものが あ るが,誤 解 を生 じや す い ので そ の よ うな表 現 は 避 け た方 が よい.
11.2運
動 方程 式
物 体13)に 力Fが
作 用 した と き14),物 体 は そ の 質 量mに
に比 例 す る加 速 度aを とな る.kは 単 位 を秒(s)で
持 つ.こ
比 例 定 数 で あ る.そ
こ で,質
表 した と き にk=1(無
と,F=m[kg]・a[m/s2]=ma[kg・m/s2]と
反 比 例 し,作 用 す る 力F
れ を式 で 書 く と,a=kF/m,あ
る い は,F=ma/k
量 の 単 位 をkg,長
さ の 単 位 をm,時
間の
単 位)に な る よ う に 力 の 単 位 を 定 め る.す な る.こ
のkg・m/s2と
る
い う単 位 を
改 め て “N”(ニ ュ ー ト ン)と 表 す(2.2節 量mと
加 速 度a,お
参 照).こ
れ ら の 単 位 を 用 い る と,物 体 の 質
よ び 物 体 に作 用 す る力Fと
の関 係 は
(11.1) と な る.こ
れ が 運 動 方 程 式 で あ る.運
動 方 程 式(11.1)の
着 目 して い る 物 体 自 身 の 量 で あ る.mは 度 だ.そ
れ に対 し,右
辺 の 力Fは,着
つ ま り,物 体 が 受 け る 力―― で あ る.
複 数 の 力 が 一 つ の 物 体 に働 い て い る と き に は,そ
今,人
力 の 求 め 方 は,力 が 歩 い て い る.こ
こ な い.地
そ の 物 体 の加 速
目 して い る物 体 以外 の もの か ら着 目 して い
る 物 体 に作 用 す る 力(外 力:externalforce)――
ば よい.合
左 辺 は,運 動 を 考 え よ う と
そ の 物 体 の 質 量 だ し,aは
の 合 力(resultantforce)を
考 えれ
を ベ ク トル と見 な して 足 し合 わ せ れ ば よ い. の人 に関す る運動 方 程 式 に 人が 地面 を蹴 る力 は 入 っ て
面 が 人 を押 す 力 と,地 球 が 人 を 引 っ 張 る 力(重 力)と
(空 気 抵 抗)の み が 入 っ て く る.人
は な ぜ 前 に 進 む か.人
空 気 が 人 を押 す力
が 地 面 を 押 す か ら だ,と
い
う の は 別 に 間 違 い で は な い が,力
学 的 な 立 場 か ら す る と,直 接 的 に は 地 面 が 人 に力
を及 ぼ す か ら な の で あ る15).人
が 地面 を蹴 る力 は 地球 に関 す る運 動 方程 式 に入 っ
て く る.人
が 地 面 を 蹴 る 力 と 地 面 が 人 を 押 す 力 は,作
作 用 点 を通 り力 の 方 向 に 平 行 な 直 線)は 一 致 し,大
用 線(lineofaction:力
き さ も等 し い が 向 き は 正 反 対 だ.
こ れ を作 用 反 作 用 の 法 則(lawofactionandreaction)と 人 を 引 っ 張 っ て い る16).そ 返 して い る.こ
れ と 同 時 に,人
の
い う.地
球 は重 力 に よ り
は 重 力 に よ り地 球 を 同 じ強 さ で 引 っ張 り
こ で も,作 用 反 作 用 の 法 則 が 成 り立 っ て い る17).人
が 地 球 を 引 っ張
る 重 力 は 地 球 に 関 す る 運 動 方 程 式 に 入 っ て く る18). 補足
地 面 と人 の 足 の 裏 と の 相 互 作 用 は,地
を構 成 す る 原 子 と の 静 電 気 力 で あ る.た は煩 わ しい の で,現
面 の 表 面 を 構成 す る 原 子 と 足 の 裏 の 表 面
だ,い
ちい ち 原子 や静 電 気 力 を意識 す る の
象 論 的 に,「 人 は 地 面 か ら 抗 力(reaction)を
の 抗 力 の 面 に 対 す る 平 行 成 分 を 摩 擦 力(friction)と 直 抗 力(normalforce)と
呼 ぶ19).p.13で
呼 び,面
受 け る 」 と い う.そ に対 す る垂 直成 分 を垂
も指 摘 し た こ と だ が,体
重 計 とは ま さ に
体 重 計 の 上 面 に働 く垂 直 抗 力 を 測 定 す る も の だ っ た わ け で あ る20).さ 垂 直 抗 力 な ど を “現 象 論 的 ” と い っ た が,そ
ら な い 」 と い う 立 場 を 表 した か っ た の で あ る.自 用)は
重 力(gravitationalinteraction)と
て,摩
れ は,「 よ り基 本 的 な 力(相
擦力や
互 作 用)に
然 界 に 存 在 す る 基 本 的 な 力(相
戻
互作
電 磁 気 力(electromagneticinteraction)
の 二 つ を 考 え て お け ば よ い21).
物 体 に 作 用 す る 力 が 刻 一 刻 と変 化 す れ ば 加 速 度 も刻 一 刻 と 変 化 す る.こ 強 調 す る た め に,F,aを 程式は
時 間 の 関 数 と し てF(t),a(t)と
書 こ う.す
の こ とを
る と,運
動方
と な る.と
こ ろ で,加
速 度 は 物 体 の 位 置r(t)を
時 間 で2回
微 分 し た も の で あ っ た.
これ を強調 す る場合 は
あ るい は
と書 く.明
らか に 時 間 の 関 数 で あ る こ と が わ か っ て い る と き は,
の よう に “(t)” を省 略 す る とき もあ る.こ れ らの 式 を見 れ ば わか る よう に,運 動 方 程 式 は 時 間 を(独 立)変 数 とす る関数r(t)の2階
の微 分方 程式(第9章
参照)で あ る.
F(t)が わか れ ば,す な わち,ど の よう な力が 物体 に働 くか が刻 一刻 とわ かれ ば運 動 方程 式 が立 て られ,後 は微 分 方程 式 の 問題 と して時刻tに お け る物 体 の位 置r(t)が (適当 な初 期 条 件 の もと)求 め られ る. 補足
運 動 方程 式 とい う言 葉 が 出 て きた が,そ
もそ も方 程 式 とは何 か.何 か と何 か
が イ コー ル で結 ばれ て い れ ば方 程式 に な る とい うわ けで は な い.例 えば(a+b)2= a2+2ab+b2の よ うに,aとbが い か なる値 で も成 立 す る よ うな式 は 恒等 式 とい う. そ れ に対 し,例 え ばxに 関す る式5x=3は あ る特 定 の 値 に対 して しか 成 り立 た な い.ま た,f'(x)=kf(x)と い う式 は どん な関 数 に対 して も成 り立 つ式 で は な く,指 数 関数 に対 して のみ 成 り立 つ 式 で あ る22).こ の よ うに,あ る変 数 の 取 る値 や あ る 関 数 の形 を制 限 す る働 きを持 つ 等式 を方 程 式 と呼 ぶ.運 動 方 程式 は,あ る力 を与 え た と き特 定 の 加 速 度運 動 のみ が 現 れ る とい う こ とを表 して い る.そ うい う意 味 で,方 程 式 と い う名 を冠す る こ とが で きる ので あ る.ま た,加 速 度 は速 度 の時 間微 分 で あ り,速 度 は位 置 の時 間微 分 で あ る.そ の ため,加 速 度 を規 定 す る こ と に よ り,速 度, 位 置 が 規 定 され る こ とに な る.つ ま り,運 動 方程 式 は位 置 の微 分 方 程 式 にな っ て い る.と こ ろで,加 速 度aは 速 度vの 時 間微 分 で あ る とい った.こ れ は約 束 で あ る. 約束 を示 す 等 式 を定 義 式 とい う.つ ま り,a(t)=dv(t)/dtは 定 義 式 の例 であ る.定 義 式 で あ る こ とを 明示 す る ため にa(t)≡dv(t)/dtと 表 記 す る こ とが あ る.と にか く,運 動 方程 式 は “ 方 程 式 ”で あ る.「 質 量 に加 速 度 をか け た ものが 力 で あ る」 とか,「 力 とは 質量 か け る加 速 度 で あ る」 と読 ま ない こ と23).「 力 を加 え る こ と に よ り加 速 度 が決 定 され る」 と読 む.そ して,「加 速 度 が決 定 され る こ とに よ り速 度 や位 置 に制 限 が加 わ り,そ れ らは初 期 条 件 に よっ て決 定 され る」 と考 え るの で あ る.で は なぜ 運 動方 程 式 が 成 り立 つ の か.そ れ は 「自然が そ うな っ てい るか ら」,す なわ ち 「そ れが 自然 の法 則 な の だ」 と しか答 え られ な い.方 程 式 には様 々 な ものが 考 え られ るの に, 自然 は この特 定 の方 程 式 しか 選 ば な か っ た の であ る.そ こで,運 動 方 程 式(で 運 動 が 記述 さ れ る こ と)を 運 動 の法 則 と呼 ぶ ので あ る.な お,本 補 足 は 『 力 学 の考 え 方』 (砂川 重 信 著,岩 波 書 店)を 参考 に した.
運動 方程 式ma=Fは
極 めて単 純 な形 を して い て,誰 で もす ぐに覚 え られ る.し
か し,実 際 に運 動 方程 式 を立 て るた め に は相 当 の訓練 が 必 要 だ.ま た,運 動 方 程 式
を立 て た後,そ の運動 方 程式 を解 い た り変 形 した りす る の は数 学 の 問題 か も しれ な いが,そ れ は場 合 に よっ て はか な り難 しい こ とが あ る.ま た,運 動 方程 式 を解 い た 結 果 を “読 む”素 養 もそ う簡 単 に身 につ くもの で は ない.本 書 で は以 降(第19章
を
除 く),運 動 方 程 式 の使 い方 をい ろい ろ な角 度 か ら解 説 す る.鉛 筆 と紙 を用 意 して しっか り と演 習 を行 って も らい た い.
11.3物
体 の直線 運 動
本 節 で は物 体 が直 線 上 の み を運動 す る場 合 を扱 う.つ ま り,物 体 の位 置 を,例 え ばx座 標 の み で記 述 で きる場合 を扱 う.
11.3.1等
速直線 運 動
質量mの
物体 に力 が働 い て い ない と き,そ の物 体 の運 動 方程 式 は,
(11.2) と な る.両
辺 をmで
割 る と,
と な り,こ れ を一 回,時
間 に関 して積分 す る と
(11.3) が 得 ら れ,速 度v(t)=dx(t)/dtは
定 数 と な る こ とが わ か る24).ま
た,式(11.3)を
さら
に 時 間 に 関 して 積 分 す る と,
(11.4) と な り,物 体 の 位 置 は 時 間 の1次 定 数 で あ っ た.つ 置 が 時 間 の1次
式 に な る こ とが わ か る.さ
ま り,運 動 方 程 式(11.2)が
与 え ら れ て も,単
式 に な る こ と しか わ か ら な い.微
C1=v0,C2=x0と
置 をx(0)=x0と
与 え て や る.す
任 意の
に 速 度 が 定 数 で,位
分 方 程 式 の 章 で も 述 べ た が,初
期 条 件 を 与 え て 初 め て こ れ らの 定 数 が 決 定 さ れ る.例 v(0)=v0,位
て,C1,C2は
え ば,t=0に
お け る速 度 を
る と,式(11.3),式(11.4)よ
な り,初 期 条 件 を加 味 す る こ と に よ り運 動 方 程 式(11.2)は,
り
と解 け た こ と に な る.こ
の よ う な 運 動 を 等 速 直 線 運 動(linearuniformmotion),ま
た は 等 速 度 運 動(uniformmotion)と
い う25).
さ て,運 動 方 程 式 の 右 辺 に 現 れ る 力 は 物 体 に か か っ て い る全 外 力 の合 力 で あ っ た. そ れ ゆ え,運
動 方 程 式(11.2)は
物 体 に ま っ た く力 が 作 用 して い な い 場 合 の ほ か に,
物 体 に い くつ か 力 が 作 用 し て い て そ の 合 力 が ゼ ロ(ゼ ロ ベ ク トル)の 場 合 で も成 り立 つ.そ
して,そ
の と きの 方 程 式 の 解 は 当 然 ,力
が ま っ た く作 用 して い な い 場 合 と同
じで あ り,物 体 は 等 速 直 線 運 動 を す る こ と に な る26).
11.3.2等
加 速度 直線 運動
今 度 は 図11.1の 続 け,か
よ う に,質 量mの
物 体 に一 定 の 大 き さ の 力Fが
つ 物 体 が そ の 方 向 に 運 動 す る 場 合 を 考 え よ う.運
体 の 位 置 をx(t)と
す る と,物
一定 方 向 に働 き
動 の 方 向 をx軸
と して 物
体 の 運動 方程 式 は
(11.5) と な る.こ
れ よ り,
(11.6) と な る が,m,Fは
一 定 で あ る か ら 加 速 度d2x(t)/dt2=F/
mは
一 定 に な る.そ
こ で,こ
の
一 定 値F/ mをaと
お こ う.す
な わ ち,a=F/mと
す る27).す
る と,
(11.7) と な り,こ
れ を 時 間 に 関 して 積 分 す る と速 度v(t)=dx(t)/dtは
(11.8)
図11.1質
量mの
物 体 に一 定 の 大 き さの 力Fがx軸
方 向 に働 い て い る場 合.
と な る.C1は がv0な
積 分 定 数 で,初
ら ば,す
期 条 件 に よ っ て 決 ま る.例
な わ ち,v(0)=v0で
え ば,時 刻t=0で
あ る な ら ば,C1=v0で
の速 度
あ る こ とが わ か る.
こ れ よ り,速 度 は 時 間 の 関 数 と し て
(11.9) と 表 せ る こ とが わ か る.式(11.9)を
さ ら に 時 間 に 関 し て積 分 す る と ,
(11.10) と な る.C2は がx0な
積 分 定 数 で,初
ら ば,す
期 条 件 に よ っ て決 ま る.例
な わ ち,x(0)=x0で
え ば,時
あ る な ら ば,C2=x0で
刻t=0で
の位 置
あ る こ とが わ か る .
す る と,位 置 は 時 間 の 関 数 と して
(11.11) と な る.こ tion)と
の よ う な 運 動 を 等 加 速 度 直 線 運 動(linearmotionofuniformaccelera-
い う.微
積 分 をあ か らさ ま には使 って は い け ない こ とに な っ てい る高校 物 はな
理 に お い て は,こ
の 等 加 速 度 直 線 運 動 は 直 線 運 動 の 華 だ.そ
に お い て の み 成 り立 つ 式(11.9),式(11.11),お
の た め,等
加 速 度運 動
よ び こ れ ら の 式 か らtを 消 去 して 得
られ る
(11.12) を む や み や た ら に 崇 め 奉 り(丸 暗 記 し),等 (11.11)を
ま ね て,加
速 度a(t)が
加 速 度 運 動 で な くて も ,式(11.9),式
与 え ら れ た と きの 速 度v(t)や
a(t)・t+v0,x(t)=1/2a(t)・t2+v0t+x0と
位 置x(t)をv(t)=
して し ま う 人 が い る.注
意 して も らい
た い. 補足
式(11.12)を
無反省に
(11.13) と覚 え てい る人 が 多 い が,vは 何 か,xは 何 か,と い うこ とを意 識 しな くて は い け な い.「 そ ん な の,xは 距離 じゃ ない の」 とか 「xは位 置 だ よ」 とい う人 が い るか も しれ ない が,こ の式 を も っ と丁寧 に書 けば,
で あ る.つ
ま り,式(11.13)のxは(時
して 使 っ て も ら い た い.も だ け で あ る.
ち ろ ん,こ
刻t0か ら の)変 位(符 号 込 み)で あ る .注 意 の 式 が 成 り立 つ の は 等 加 速 度 直 線 運 動 の と き
課題
質 量m[kg]の
物 体 が 直 線 上(x軸
とす る)を 運 動 して い る.こ
関 数.F(t)=t2[N]と い う大 き さ の 力 がx軸 の 速 度,位 置 を そ れ ぞ れv0[m/S],x0[m]と
の 物 体 に は 時 刻t[s]の
正 方 向 に 加 え ら れ て い る.t=0に お け る物 体 して,こ の 物 体 の 時 刻t[s]に お け る位 置 を求 め
よ28). 解説
力 がF(t)=t2[N]だ
か ら 加 速 度 はa(t)[m/s2]=F(t)/m[m/s2]=t2/m[m/s2].よ
式(11.9),式(11.11)よ る,と
っ て,
り,v(t)=t2/m・t+v0[m/s],x(t)=1/2t2/m・t2+v0t+x0[m]で
し て は い け な い.式(11.9),式(11.11)はa(t)を
こ とが 大 切 な の に,そ
こ を 見 落 と し て,結
あ
積 分 し て 導 か れ た もの で あ る と い う
果 だ け 覚 え て も し ょ う が な い.正
し く は,
で あ る(後 は 単位 を つ け て答 え とす れ ば よい)29).
11.3.3い
くつ か の 外 力 が 働 い て い る物 体 の 直 線 運 動
図11.2は,水
平 な30)床 の 上 に 置 か れ た 箱(質 量m)を
う か は わ か ら な い が)押 て み よ う.そ 箱 をF1で
し て い る 様 子 を 表 し て い る.箱
人 が 力F1で
一 生 懸 命(か
に関 す る運 動 方程 式 を立 て
の た め に は,箱 に働 く力 を す べ て 数 え 上 げ な くて は い け な い31).さ
押 す と,そ
の 反 作 用 と して,人
図11.2床
ど
は 箱 か ら 力F2を
の 上 の 箱 を人 が 押 して い る様 子
受 け る.作
て,
用 反 作用 の
法 則 よ り,F1=-F2で つ 式 で あ る.箱
あ る.こ
れ は 箱 が 止 ま っ て い よ うが 動 い て い よ う が 成 り立
が 動 い て い る と き,特 に 加 速 度 運 動 して い る と き に は,「F1=-F2
が 成 り立 た ず,F1とF2と
の 大 き さ の 差 が 物 体 の 加 速 度 運 動 を生 み 出 す 」 と考 え る
人 が い る の で 注 意 し よ う.そ
れ は 完 全 な 誤 りで あ る.そ
も そ も,F2は
人が 受 け る
力 で あ り,箱 の 運 動 方 程 式 に は ま っ た く入 っ て こ な い の で あ る. 次 に,箱 に作 用 す る 重 力 を考 え て み よ う.本 て い る.す をF3と
な わ ち,箱
す る と,こ
来,重 力 は 箱 の あ ら ゆ る場 所 に か か っ
の す べ て の 部 分 は 地 球 に 引 っ 張 ら れ て い る の だ が,そ
のF3の
大 き さ は 箱 の 質 量mに
地 球 上(地 表 近 辺)に お け る そ の 比 例 係 数 をgと あ る.さ
ら に,向
る い はgは
き を 考 え て 比 例 係 数 をgと
比 例 す る こ とが 知 ら れ て い る.
普 通 書 く.す
な わ ち,│F3│=mgで
お き,F3=mgと
単 位 質 量 に作 用 す る重 力 を表 す.言
い 換 え れ ば,地
し て も よ い.gあ 球上 での 重力 場 の強
さ(お よ び 向 き)を 表 す 役 割 を果 た し て い る.単 位 の 次 元 と して は[力/質 単 位 系 な らN/kgと
表 し た い と こ ろ だ.し
で あ り,そ れ ゆ えgの 当 然 だ が,加
か し,Nは
速 度 と 同 じ単 位 を持 つ こ と に な る.し
量],MKS
基 本 単 位 で 表 せ ばkg・m/s2
単 位 は 基 本 単 位 で 表 せ ばm/s2と
ま で 単 位 質 量 に作 用 す る 重 力 を表 し,そ
の 合力
な る.ま
あ,当
か し,本 来 のgな
然 とい え ば
い しgは
あ く
の 限 りに お い て は 加 速 度 と い う意 味 は 持 っ
て い な い とい う こ と に 注 意 して も らい た い. 補 足 質量mの 物 体 に この 重 力 しか 作 用 して い な い と きで も,物 体 の運 動 方程 式 “ 質 量 × 加 速度 =力 ” を立 て る際 に,gを 左 辺 の “ 加 速 度 ”の と ころ に入 れ て はい けな い.右 辺 の “力” の と ころ に,“物 体 に作 用 す る重 力 の比例 係 数 ” と して 入 れ る. す な わ ち,物 体 の 加速 度 をaと す る と運動 方 程 式 はma=mgと な る32)(鉛直 下 向 きを正 方 向 と した).そ れ に対 し,こ の方 程 式 を解 くこ とに よっ て得 られ るa=gと い う式 にお い て は,gは “ 重 力 を表 す 比例 係 数 ” とい う意 味 合 い を失 い,単 に量 だ け を表 す 文 字 に成 り下 が る.つ ま り,「物 体 に重 力mgの
み が働 くと き物 体 は加 速度g
で運 動 す る」 とい う と き,二 つ のgの 意 味 は 違 うと い う こ とだ(値 は 同 じで も).重 力 の 強 さを示 すgを 知 る た め に(自 由)落 下 中 の 物体 の持 つ加 速 度 を測 定 して上 の a=gと い う関 係 式 を利 用 す る こ とが で きる に して も,gの 持 つ本 来 の意 味 を忘 れ な い で もらい た い. 上 の 補 足 で 述 べ た よ う に,「 物 体 に重 力mgの す る」 た め,gの gravity)と
み が 働 く と き物 体 は 加 速 度gで
運動
こ と を 重 力 加 速 度(accelerationduetogravity,accelerationof
呼 び,gを
重 力 加 速 度 ベ ク トル と 呼 ぶ.ご
か くこ の 名 前 に 振 り回 さ れ て,「gは
ち ゃ ご ち ゃ 説 明 した が,と
に
加速 度 の 一種 で … 」 の よ うな議 論 を しない よ
う に し よ う33). さ て,話
を 戻 そ う.箱
力 の 合 力F3の
の 各 場 所 に働 く重 力 の 合 力 はF3=mgで
作 用 点 は ど こ に 定 め れ ば よ い か.箱
そ ん な こ と は ま っ た く気 に し な くて よ ろ し い.し
あ る.で
は,重
の 並 進 運 動 の み を 考 え る な ら,
か し,箱 の 回 転 運 動34)を 扱 う 際 に
は,箱
の 重 心35)にF3が
作 用 す る と 考 え る と よ い こ と が 知 ら れ て い る.
補 足 とこ ろで,こ の重 力F3と 作 用 反作 用 の 関係 にあ る力 は何 か.「 重 力 は地 球 か ら受 け る.だ か ら箱 が 受 け る重 力 の反作 用 は,箱 が 地 球,す な わ ち地 面 に及 ぼす 力 F7で あ り,作 用 反 作 用 の 法則 か ら│F3│=│F7│の 関係 が成 り立 つ.向 きは こ の場 合 は同 方向 にな って しま うが,そ うい う こ と もあ る もの だ.」 と して しま う人 が い る. p.157で も説 明 したが,“ 地 球 が重 力 に よ り箱 を引 っ張 る力 ”と作 用 反作 用 の 関係 に あ る力 は “箱 が 重 力 に よ り地 球 を引 っ張 る力 ” で あ る36).こ の 力 は ち ゃ ん と-F3 とな り,作 用 反作 用 の 法 則 に したが って い る.繰 り返 す がF7はF3と は作 用 反 作 用 の関 係 には な い.そ
して,大
きさ も一 般 に はF3と
箱 が 床 か ら受 け る 力 の 合 力37)をF6と と,床
に 平 行 な ベ ク トルF5に
直 抗 力,F5を F5は
あ く ま でF6を
に 平 行 な ベ ク トルF8に
加 え て は い け な い.箱
お,F9を
た,F4
が 床 か ら受 れ をF9
どい よ う だ が,F9を
箱
床 に 垂 直 な ベ ク トルF7と,床
便 宜 的 に 分 解 し た と き,F7を
床 が 箱 か ら受 け る 垂 直 抗 力,
呼 ぶ こ とは い う ま で も な か ろ う.
ろ い ろ と 説 明 した の で 話 の 流 れ が わ か ら な く な っ て し ま っ た か も しれ な 々 は 箱 に 関 す る 運 動 方 程 式 を 立 て る た め に,箱
え 上 げ て い た の で あ っ た.そ (抗 力)F6と
加 え て は い け な い.ま
作 用 反 作 用 の 法 則 か ら成 り立 つ.く
床 が 箱 か ら受 け る 摩 擦 力,と
さ て,い
足 参 照).F4と
作 用 反 作 用 の 関 係 に あ る 力 は 床 が 箱 か ら 受 け る 力 で あ り,そ
の 運 動 方 程 式 に加 え て は い け な い39).な
い.今,我
箱 が床 か ら受 け る垂
分 解 し た 結 果 得 られ た ベ ク トル で あ る か ら,箱 の 運 動 方 程 式 を 力 の 項 に 加 え る な らF4とF5は
と お く とF6=-F9が
F8を
に 垂 直 な ベ ク トルF4
便 宜 的 に 分 解 し た と き,F4を
運 動 方 程 式 の 力 の 項 に 加 え る な らF6は
け る 力F6と
れ を,床
箱 が 床 か ら 受 け る 摩 擦 力 と呼 ぶ の で あ っ た(p.157補
考 え る と き にF6を とF5を
す る38).こ
は異 な る.
れ ら は 結 局,人
が 箱 を 押 す 力F1と
地 球 が 箱 を 引 く力(重 力)F3=mgで
と考 え ら れ る の で,F3は
以 後mgと
に作 用 す る力 すべ て を数
あ る.箱
床 が 箱 に及 ぼ す 力
に作 用 す る重 力 は一 定
書 く.
次 に こ れ らの 力 を も ら さ ず す べ て 数 え 上 げ る た め の コ ツ を紹 介 し よ う.ま
ず着 目
し て い る 物 体―― 今 の 場 合 は 箱―― の 周 囲 を な ぞ り,接 触 し て い る もの か ら働 く力 を 数 え 上 げ る の で あ る.今
の 場 合,物
見 出 す こ とが で き る.箱
は ほ か に空 気 に も接 触 し て い る.空
体(箱)は
人 と床 に 接 触 し て お り,F1とF6を
力 を 無 視 で き な い と き は こ れ も 数 え 上 げ る が,今 して 働 く力 を数 え 上 げ た ら,次
気 抵 抗 や空 気 に よる浮
は 無 視 し よ う.さ
は まず 考 え る 必 要 は あ る ま い.以
触 面 を通
に 物 体 と接 触 せ ず に 働 く力 で あ る 重 力 を 加 え る40).
重 力 の ほ か に 電 磁 気 力41)を 考 え る 必 要 の あ る こ と も あ る が,ス
べ,次
て,接
ポ ー ツ科学 の範 囲で
上 の よ うに 「 接 触 して い る も の か ら受 け る力 を 調
に 重 力 を 考 え る 」 こ と に よ り,物 体 に 作 用 す る 力 を も ら さず 数 え 上 げ る こ と
が で き る.
力 を数 え上 げ た ら運 動 方程 式 を立 て るの は簡 単 で あ る.箱 の加 速 度 をaと
して,
(11.14) とす れ ば よ い.こ
れ で 方 程 式 と し て は 完 壁 な の だ が,実
算 をす る こ と に な る.図11.2の ル のx成
分,y成
よ う に座 標 軸 を と る こ と に し よ う.そ
分 は 添 え 字 で 表 す こ と にす る.例
え ば,F1=(F1x
各 成 分 は 正 の 量 の こ と もあ れ ば 負 の 量 の こ と も あ る.各 の 量 とす る.文
字 を0以
多 い か らで あ る42).し
際 に計 算 す る と き は 成 分 計
上 と して,正 か し,重
して 各 ベ ク ト ,F1y)と
す る.
成 分 を表 す 文 字 は 符 号 込 み
負 を 表 す 符 号 を外 に 出 す の は 煩 わ しい こ とが
力 だ け は 向 きが 決 ま っ て い る の でgを
向 き(正 負)を 表 す 符 号 を 外 に 出 し てmg=(0,-mg)と
正 の 量 と し,
書 こ う43).す
る と各 成 分
の運動 方 程 式 は
(11.15) (11.16) と な る.こ
れ ら の 力(の 成 分)が す べ て わ か れ ば 加 速 度 が わ か り,後 は 微 分 方 程 式 を
解 く問 題 と な る.逆
に,す
さ ら に 加 速 度 が わ か れ ば,残
べ て の 力 は わ か ら な い が い くつ か の 力 が わ か っ て お り, りの 力 を 求 め る こ とが で き る こ と も あ る.例
が 箱 を 押 して い る に も か か わ らず 箱 は 動 か な い と し よ う.す
え ば,人
る とax=0,ay=0
で あ る か ら,式(11.15),式(11.16)は
(11.17) (11.18) と な る.式(11.17)よ しい.軽
り摩 擦 力 はF6x=-F1xで
く押 し て も,も
は 動 か な い で あ ろ う.動 擦 力F6xも
あ る44) .実 験 状 況 を 思 い 描 い て ほ
う少 し強 く押 して も,つ か な い 以 上,F6x=-F1xは
ま りF1xを
多 少 変 化 させ て も,箱
成 り立 っ て い る の だ か ら,摩
、F1xに合 わ せ て 変 化 して い る は ず で あ る 。 接 触 面 に対 し て 静 止 して い る
物 体 に 働 い て い る 摩 擦 力 を 静 止 摩 擦 力(staticfriction)と
い う.一
般 に,静
止摩擦
力 以 外 の 物 体 に か か る 力 を変 化 さ せ る と静 止 摩 擦 力 も(物 体 が 接 触 面 に対 し て 静 止 し続 け ら れ る よ う に)変 化 す る.静
止 摩 擦 力 の 大 き さ は 摩 擦 力 以 外 の 外 力(の 合 力)
の 面 に 対 す る 平 行 成 分 の 大 き さ に等 し く,向 て,F1xを
き は 反 対(180°
さ ら に 大 き くす る と,つ い に は 箱 は 滑 り出 す .つ
さ に は 限 界 が あ る とい う こ と だ.一
の 方 向)で あ る45) .さ ま り,静 止 摩 擦 力 の 大 き
般 に 静 止 摩 擦 力 の 大 き さf(今
と,摩 擦 力 が 働 い て い る面 と の 間 の 垂 直 抗 力N(今
の 場 合 はF6y
の 場 合 は│F6x│)
.た だ し,F6y>0
の場 合 の み考 え る)と の 間 には次 の関係 が か な りの精 度 で 成 り立 って い る こ とが経 験 的 に知 られ て い る.
(11.19) こ こ で,μ0は
接 触 し合 う面 に よ っ て 決 ま る 定 数 で,静
係 数(coefficientofstaticfriction)と
い う.そ
の と き の 最 大 静 止 摩 擦 力 とい う.こ た い の だ が,こ
直 抗 力 がN
れ で静 止 摩擦 力 に関す る説 明 は ひ とまず終 わ り
の と き の 垂 直 抗 力 をNと
と 求 め ら れ る 」 と 間 違 う 人 が 多 い46).気
が0だ
して,f0=μ0Nを,垂
るい は静 摩擦
の よ う な 説 明 を す る と なぜ か,「 接 触 し合 う面 が 決 ま れ ば,す
静 摩 擦 係 数 μ0が 決 ま れ ば,そ
さ て,垂
止 摩 擦 係 数,あ
直 抗 力F6yと
とF6y=-mgと
重 力mgと な り,大
して,静
なわち
止 摩 擦 力 は μ0N
を付 け て も ら い た い.
は,式(11.18)よ
り一 般 に は 等 し く な い.F1y
き さ が 等 し く な る.も
し,床
が鉛 直 方 向 に加速 度
運 動 を し て い た ら ど う か(例 え ば 実 験 系 が エ レ ベ ー タ ー の 中 に 設 定 さ れ て い る 場 合 な ど を考 え よ).そ
の 場 合 は 箱 が 加 速 度 を持 つ た めF1y=0で
る こ と は 式(11.15)か 補足
こ こでp.13の
もF6y≠-mgと
な
ら 明 らか で あ ろ う47). 補 足3で
述べ た こ と を思 い 出 して もらい た い.体 重 計 は 上 に
乗 っ てい る もの との 間 に働 く垂 直抗 力(今 の場 合 はF6y)を 測 定 す る器 具 で あ る.上 に乗 っ て い る もの に作 用 す る重 力(今 の場 合 はmg)を 測 定 して い るの で は ない.物 体 との垂 直 抗 力 と物 体 に作 用 す る重力 が 等 しくな る条 件 で使 えば,“ 体 重 計 ”と して まっ と
の 機 能 を 全 うで きる とい う だ けの 話 で あ る. 次 に箱 が 動 い て い る 場 合 を 少 し考 え よ う.接
触 面 が 滑 り合 っ て い る と き に二 つ の
面 間 に 働 く摩 擦 力 ―― 動 摩 擦 力(kineticfriction)――
に 関 し て 次 の こ とが 知 ら れ て
い る. 動 摩 擦 力 の 大 き さ は,そ
の と き接 触 面 間 に 働 い て い る 垂 直 抗 力 に 比 例 し,
速 度 の 大 き さ や 加 速 度 の 大 き さ に は ほ と ん ど よ ら な い.つ をf,垂
直 抗 力 をNと
して,
が か な り の 精 度 で 成 り立 つ.μ
は接 触 し合 う面 に よ っ て 決 ま る 定 数 で 動 摩
擦 係 数(coefficientofkineticfriction)と
呼 ば れ る.動
接 触 面 間 の 静 摩 擦 係 数 よ り一 般 に は 小 さ い.な 方 向 は,接
ま り,動 摩 擦 力
お,物
摩 擦 係 数 は,同
じ
体 に働 く動 摩 擦 力 の
触 して い る 面 に対 して 物 体 が 持 つ 相 対 速 度 と 逆 向 きで あ る.
今 の 場 合 だ と,動
摩 擦 係 数 を μ と して,│F6x│=μ│F6y│が
成 り立 つ こ と に な る.
課題
箱 を押 す 人 の 重 心 に 関す る運 動 方程 式 を立 て よ.
解説
解 答 略.
課 題 図11.3の よ う に,板 に 質量mの 物 体 を乗 せ,板 をゆ っ く り傾 けて い っ た と き,板 が 水 平面 と θ0の角 をな した と き物 体 は滑 り始 め た.重 力加 速 度 の大 きさ をg,物 体 と板 との 間 の 動摩 擦 係 数 を μ と して以 下 の 問 い に答 え よ. (1)物 体 と板 との 間 の静 摩 擦 係 数 μ0を 求 め よ. (2)板 が 水 平 面 と なす 角 を θ とす る.物 体 を板 の上 に摩 擦 力 の み で 静 止 させ る こ とが で き る よ う な角 度 θが θ0<θ<90° の範 囲 に存在 す るか ど うか論 ぜ よ. (3)板 と水 平 面 との なす 角 を θ1と した.物 体 を は じい て斜 面 に沿 って 下 向 きに滑 らせ た と き,物 体 の持 つ加 速 度 を求 め よ. (4)同 じ く板 と水 平 面 との なす 角 を θ1と した.物 体 をは じい て斜 面 に 沿 っ て上 向 きに滑 ら せ た と き,物 体 の持 つ 加 速度 を求 め よ.
図11.3斜
面 上 の 物 体 の 運 動(1)
解 説 物 体 の運 動 方程 式 を まず考 え る.物 体 は斜 面 に しか接 触 して い な いの で ,“接 触 して働 く力 ” と して は斜 面 か らの抗 力Rだ け を考 え れ ば よ い.あ と は重 力mgを 忘 れないように して, と運 動 方程 式 が 求 め られ る(図11 .4参 照).あ とは,ベ ク トル を適 当 な成 分 に分 けて 計算 す れ ば よい が,こ こで は斜 面 に対 す る平 行 成 分 と斜 面 に対 す る垂 直成 分 に分 け て考 える のが よい . 斜 面 に垂 直方 向 には 物体 は運 動 しな い た め,そ の 方 向 の加 速 度 の成 分 を0と して しま う こ と が で きる か らで あ る.図11.4を 参 考 にす れ ば,運 動 方 程 式 の斜 面 に平 行 な成 分(x成 分)は
(11.20) 運動 方程 式 の 斜 面 に垂 直 な成 分(y成
分)は
(11.21) と な る.た
だ し,fは
物 体 に働 く摩 擦 力 の 大 き さ で あ り,Nは
で あ る.式(11.20),式(11.21)は 成 り立 つ 式 で あ る.式(11.21)よ
斜 面 上 に 物 体 が あ る 限 り,物 りN=mgcosθ
物 体 に 働 く垂 直 抗 力 の 大 き さ
体 が 動 い て い よ うが い ま い が で あ る こ と が わ か る.
図11.4斜
面 上 の 物 体 の 運動(2)
(1)滑
り出 す 直 前48),加 速 度aは0で あ る か ら,式(11.20)に お い てa=0で あ り,摩 擦 力fは そ の と き の 垂 直 抗 力Nに 対 す る 最 大 値(最 大 静 止 摩 擦 力)μ0Nで あ っ た と考 え られ る.こ の と き の 角 度 が θ0で あ る こ と よ り,μ0=tanθ0で あ る こ とが た だ ち に計 算 で き る.
(2)a=0の
と き,μ0>f/Nを
問 題 で あ る.こ
満 た す よ う な θ が θ0<θ<90°
れ はf=mgsinθ,N=mgcosθ
が θ0<θ<90°
の 範 囲 に存 在 す る か とい う
で あ る こ と よ り,μ0>tanθ
な る角
の 範 囲 に 存 在 す る か ど う か とい う問 題 に 書 き換 え ら れ る.μ0=tanθ0
で あ る こ と と,tanθ
が0°<θ<90°
在 し な い 」 が 答 え と な る.つ
ま り,あ
の 範 囲 で θ の 単 調 増 加 関 数 で あ る こ とか ら 「存 る 角 度 を 越 え る と,物
体 は摩 擦 力 だ け で は斜 面 上
に 静 止 す る こ と が で き な く な る の で あ る. (3)物
体 が 動 い て い る と き に物 体 に 作 用 す る 摩 擦 力(動 摩 擦 力)fの 大 き さ は,動 摩 擦 係 数 を μ と し て│f│=μN=μmgcosθ1と な る.動 摩 擦 力 の 向 き は(斜 面 に対 す る 相 対) 速 度 と逆 向 き で あ る が,今
の 場 合 は 速 度 が 斜 面 に 沿 っ て 下 向 き な の で,摩
斜 面 に 沿 っ て 上 向 き と な る.そ と な る.式(11.20)よ 値 に よ っ て,正
の た め,図11.4の
よ う にfを
りaはa=(sinθ1-μcosθ1)gと
に も負 に も0に
も な り得 る.今,加
擦 力 の向 きは
とれ ばf=μmgcosθ1
求 め ら れ る.こ
の 量 は θ1の
速 度 の正 の 向 き を斜 面 に沿 っ て 下
向 き に と っ て お り,物 体 が 斜 面 に 沿 っ て 下 向 き に 運 動 して い る こ と を考 え る と,aが 正 の 場 合 は こ の 物 体 は “加 速 中 ” で あ る こ と に な り,aが 負 の 場 合 は こ の 物 体 は “減 速 中 ” で あ る こ と に な り,aが0の
場 合 は こ の 物 体 は 等 速 度 で 動 い て い る こ と に な る.
(4)摩
擦 力 の 大 き さ は 前 問 と 同 じ く│f│=μN=μmgcosθ1で あ る.今 度 は 速 度 が 斜 面 に 沿 っ て 上 向 き な の で,摩 擦 力 の 向 き は 斜 面 に 沿 っ て 下 向 き と な る.そ の た め,図11.4 の よ う にfを
と れ ばf=-μmgcosθ1と
な る.式(11.20)よ
りaは
と求 め られ る.加 速 度 の 正 の 向 きを斜 面 に沿 っ て下 向 きに とっ てい る こ と,aは θ1に よ らず常 に正 で あ る こ と,お よび,今 は物 体 が斜 面 に沿 っ て上 向 きに運 動 して い る こ と を考 え る と,こ の 物 体 は “ 減 速 中” であ る こ とが わ か る.
補 足 実 験 に は摩 擦 が つ き もの で あ る.ト レー ニ ン グ実 験 をす る と き,設 定 した負 荷(計 画 した負 荷)と は異 なる負 荷 で トレー ニ ング が行 われ て しま う こ とが あ る.お も りが 摩擦 の あ る レー ル の 上 を往 復 す る と き,上 の課 題 の よ うに,往 路 と復 路 で負 荷 が 変 わ っ て しま う こ と もあ る.つ ま り,コ ンセ ン トリ ッ ク トレーニ ン グ とエ ク セ ン トリ ック トレーニ ン グで負 荷 を合 わ せ た つ も りが 違 って しま う とい う こ と もあ り うる とい う こ とだ49).こ の 点 に 関 して はp.172,p.173の 課 題 も参考 に して も らい たい.こ の よ うな摩 擦 の振 る舞 い を理 解 して い な い と,奇 妙 な “大発 見” を して し ま う こ とが あ るの で 注 意 しよ う.
11.3.4糸 図11.5の 体2に
でつ なが れた物体 の運 動 よ う に,質 量m1の
つ な が っ て い る.摩
は 無 視 して,物
体1の
物 体1が
擦 力,糸
は 重 力m2gが
よ っ て,物
体1の
が 成 り立 つ.こ
でつ なが れ た物 体 の 運 動
働 い て い て,そ
加 速 度 をaと
れ よ り,a=m2/
して,運
m1gと
れ が 糸 に よ っ て 物 体1に
伝 わ る.
動 方程 式
な る.
上 の よ う に 考 え た 人 は い な い で あ ろ う か.こ る.11.3.3項
物
車 の 質 量(慣 性 モ ー メ ン ト50))な ど
加 速 度 を 求 め て み よ う.
図11.5糸
物 体2に
伸 縮 しな い 糸 で 滑 車 を 介 し て 質 量m2の
の 質 量,滑
れ は 実 は よ く見 か け る 間 違 い な の で あ
で 示 した 「 着 目 して い る 物 体 の 周 囲 を な ぞ り,接 触 し て い る も の か ら
受 け る力 を 書 き 出 し,次 に 素 直 に従 っ て ほ しい.
に そ の 物 体 自 身 に 働 い て い る 重 力 を 書 き足 す 」 と い う 方 針
素 直 に従 ったつ も りなの だが,物 体1は 糸 につ なが って お り,糸 か ら張 力 m2gを
受 け て い る.床 か らの抗 力 は,摩 擦 力 を考 えな くて よい の だか ら垂
直抗 力 だけ で,そ れ は運動 方 向 に垂 直 だ か ら関係 ない.物 体1が 受 け る重 力 も運 動 方 向 に垂 直 だ か ら関係 ない.や は り,結 局 は上 の答 えで正 しい は ず だ. 糸 は重力 を伝 える道 具で もなんで もない.糸 の張力 を無 反省 にm2gと
す るの は,「体
重 計 とは上 に乗 って い る物体 に作用 す る重力 を測定 す る ものだ」 とす る の と同 じ誤 りを犯 して い る こ とにな る.論 よ り証 拠.ま ず 糸 の張 力 をTと の運動 方 程式 を立 て てみ よ う.物 体1に
お いて,改 め て物 体
関 して は,水 平 方 向 に関 して は右 向 き を正
方 向 に と り,鉛 直 方 向 に関 しては上 向 き を正 に とる.物 体1の 水平 方 向 の加 速 度 を a1,物 体1が 床 か ら受 け る垂 直抗 力 をNと
す る と,物 体1に 関 す る運動 方程 式 は,
(11.22) (11.23) と な る.式(11.23)は,物 加 速 度 を0と
体1は
鉛 直 方 向 に は 運 動 して い な い の だ か ら,そ の 方 向 の
した わ け で あ る.次
に 物 体2を
向 は 敢 え て 考 え る ま で もな い の で51),鉛 速 度 をa2す
る と,物 体2の
考 え よ う.物
体2に
関 して は,水
直 方 向 に 関 して の み 考 え よ う.物 体2の
平方 加
鉛 直 方 向 に 関 す る 運 動 方 程 式 は鉛 直 下 向 き を 正 に して,
(11.24) と な る.鉛
直 下 向 き を正 に し た と き,右
か ろ う.さ
て,こ
れ で 方 程 式 が 三 つ 得 ら れ た.そ
の 四 つ で あ る.連 に な る.後,も
辺 の各 力 の項 の符 号 が こ うな るの は問題 な
立 方 程 式 の 理 論 に よ れ ば,こ
う 一 つ 条 件 が 必 要 で あ る.そ
伸 縮 し な い と 考 え て い る の で あ っ た.そ
れ よ り第4の
こ で よ くよ く考 え て み る と,今,糸
の た め,物
下 へ 進 む 距 離 は 常 に等 し く,そ れ ゆ え,物 い こ と に な る.こ
れ に対 し,未 知 数 はa1,a2,N,T
れ で は方程 式 の 解 が定 ま らない こ と
体1と
体1が
物 体2の
は
右 に 進 む 距 離 と物 体2が 速 度,加
速 度 は常 に等 し
式
(11.25) が 得 ら れ る.こ
れ で 未 知 数 の 数 と(独 立 な)方 程 式 の 数 が 一 致 した の で,こ
程 式 を 解 く こ とが で き る.必
ず 自 分 で 解 い て み て ほ し い.結
果 は,
の連 立 方
と な る.張
力 がm2gと
は な ら ず,そ
れ ゆ え 加 速 度 もm2/ m1gと
は な らない こ とに注意
し て ほ し い. 補 足1物
体1,2の
ま ず 物 体1か
加 速 度 が 等 し い こ と は 次 の よ う に 機 械 的 に 導 く こ と が で き る.
ら糸 が 滑 車 に 接 して い る部 分 の 左 上 端 ま で の 距 離 をxと
接 し て い る 部 分 の 右 下 端 か ら物 体2ま を 正 方 向 と す る と,v1=-xと で あ る.ま て,物
た 物 体2の
体2の
表 せ る.た
っ て,物
す る.物 体1の
体1の
あ る.さ
て,今,糸
し,糸 が 滑 車 に 速 度 は右 向 き
加 速 度 はa1=v1=-x
速 度 は 鉛 直 下 向 き を 正 方 向 とす る と,v2=yと
だ しlは
たlも
が 得 ら れ,さ
な る52).よ
加 速 度 はa2=v2=yで
な る53).よ
な る が,糸
定 数 な の で こ れ ら をtで ら にtで
時 間 で微
は 伸 縮 を し な い と 考 え て い る の でLは 微 分 し た も の は0と
微 分 す る と0=x+yが
v1=-x,v2=y,a1=-x,a2=yを
な る.よ
得 ら れ る.こ 使 え ば,た
っ
の 長 さ はL=x+y+lと
糸 が 滑 車 に接 し て い る 部 分 の 長 さ で 定 数 で あ る.Lを
分 す る と,L=x+y+lと あ り,ま
で の 距 離 をyと
定数 で
っ て0=x+y
れ ら と,先
に得 ら れ た
だ ち にv1=v2,a1=a2が
得
ら れ る.
補足2糸
の張力 も,床 面か らの抗 力 も,糸 や 床 を構 成 す る分子 間力(静 電 気 力)が
原 因 とな っ て生 じる.し か し,そ れ らの大 きさ を前 もっ て知 る こ とは で きず,そ れ ゆ え,こ れ らの力 は運 動 方程 式 の 中 で は未 知 数 と して扱 わ ざ る を得 ない.し か し, これ らの力 に よ り物 体 の運 動 にあ る 自明 な制 限 が 生 じる こ とが 多 い .つ ま り,力 は わ か らない が,そ の力 が 働 い た結 果 と しての 物体 の運 動 は(あ る程度)予 想 で きる と い うこ とだ.例 えば今 の場 合,糸 に生 じる張 力 の 大 きさ こ そわ か らな い が,そ の 張 力 の結 果,物 体1と
物体2の
加 速度 の大 き さが 一致 す る,言 い 換 え れ ば 「 物 体1と
物体2の 加 速 度 の大 きさが 一 致 す る よ う に糸 の張 力 は働 い て い る」 と考 え る.同 様 に,物 体1は 面 か らの垂 直抗 力 の結 果 鉛 直 方 向 に は運 動 で きな い わ けだ が,視 点 を 変えて 「 鉛 直 方 向 の加 速 度 はゼ ロに な る よ う に垂 直抗 力 が 働 い て い る はず だ」 と考 え る ので あ る.先 に述 べ た よう に,こ れ らの加 速 度 に関す る制 限 は “力”が 規定 して い る わ け だが,実 際 的 に は,力 か らこ の加 速 度 の 制 限 を求 め る よ りは,物 体 の加 速 度 の制 限 を運 動 条 件(環 境)か ら見 抜 い て方 程式 と して 表 し,運 動 方 程 式 と連 立 させ て,加 速 度 と未 知 の力 を決 定す る,と い う流 れ にな る.こ の よ うな 運動 条 件(環 境) か ら生 じる物体 の加 速 度 に 加 わ る制 限 の こ とを拘 束 条 件 とか束 縛 条 件(constraint) と呼 ぶ. 補 足3物
体1に
関 して は座 標 軸 を右 向 き に,物 体2に
関 して は座 標 軸 を下 向 き
に と っ たが,こ の 問題 を解 くため に は座 標 軸 の 向 きや 方 向 は ど う と って も よい54). 例 え ば,物 体1の 運 動 を記 述す るx軸 は右 向 きの ま ま だが,物 体2を 記 述 す るy 軸 は鉛 直 上 向 き と し よ う.こ の と き は,物 体1に 関 す る運 動 方 程 式 は 変 わ ら ない が,物 体2に 関す る運動 方 程 式 はbを 物 体2の 鉛 直 上 向 きの 加 速度 と して(b=y), Mb=-Mg+Tと な る.そ して,aとbと の 関係(束 縛 条件)はa=-bと な る. これ らの 方程 式 を連 立 させ れ ば,ま った く同 じ結 果 が 得 られ る .も ち ろ ん,座 標 軸 の向 き を変 え れ ば答 えの 符 号 が異 な る こ と もあ る か も しれ ない.し か し,自 然 現 象 と して は まっ た く同 じもの で あ る こ とが わ か る はず だ.例 えば,自 由落 下 す る物 体 の加 速 度 は鉛 直 上 向 き に座 標軸 を取 る人 に とっ て は-gと,鉛 直 下 向 きに座 標 軸 を
取 る人 に と って は+gと 記 述 され る が,両 者 は現 象 と して は ま っ た く同 じで あ る. 仮 に傾 い たx-y座 標 系 を用 い る人 が い て,加 速 度 にx成 分 とy成 分 が現 れ て も,正 しい 記述 を してい れ ば,そ れ はそ れ で構 わ な い.座 標軸 の選 び方 は,問 題 を解 く人 が 解 きやす い よ う に選べ ば よい の で あ る. 補 足4糸 の張 力55)は 物 体1に 対 して も物 体2に 対 して も等 しい大 きさで 作 用 す る と して問 題 を解 い た.こ の仮 定 は正 しい の だ ろ うか.答 えは,「 あ る理想 的 な条 件 にお い て の み正 しい 」 で あ る.そ の 条件 と は,(1)糸
の 質量 が 無 視 で き,か つ,(2)
滑 車 の 回転 軸 で の摩 擦 が無 視 で き,か つ,(3)滑 車 の慣 性 モ ー メ ン トが 無 視 で きる場 合 で あ る.「(2)か つ(3)」 の代 わ りに,「滑 車 と糸 との 間 の摩 擦 力 が無 視 で きる」 こ と を条件 に して も よい56).も ちろ ん,厳 密 に 質量 や摩 擦 力 や 慣性 モ ー メ ン トが ゼ ロ に な る こ とは ない.し か し,扱 って い る ほか の 量 に対 して 十分 無 視 で きる57)こ とは 結 構 あ る もの だ.も ちろ ん,無 視 で きな い こ とも あ るわ け で,実 際 に実験 を行 う と き に はそ こ ら辺 の検 討 を行 う必 要 が あ る.ス ポ ー ツ科 学 の世 界 で は “ 筋 張力 ” とい う言 葉 が 出 て くる.研 究 に よっ て は,一 つ の筋 に対 して そ の張 力 が 筋 の どの部 分 で も等 しい と して よ いの か ど うか が 問題 と な る場 合 もあ る.上 に述べ た(1),(2),(3) の条 件 の 意 味 を よ く検 討 し,そ の応 用 問 題 と して筋 張 力 の 問題 を考 え る と よい で あ ろ う.な お,p.179の 課題
図11.5で,床
補 足2も
体1に
速
さv0(>0)で 左 向 きに初 速 度 を与 え た とす る.糸 は伸 び も縮 み もた るみ もせ ず,物 体1も 体2も 途 中何 に もぶ つ か ら ない と して以 下 の 問 い に答 え よ.
物
(1)物 体1の め よ.
速 度 が0に
(2)そ の後,物 体1は 範 囲 を示 せ. (3)物 体1が 解説
と物 体1と
参 考 に して も らい た い.
の 間 の動 摩擦 係 数 を μ とす る.時 刻t=0に,物
な る瞬 間 の 時刻 を求 め よ.ま た,そ の と き まで に滑 っ た距 離 を求
右 向 きに滑 り始 め た.床 と物 体1と
の 間の 静摩 擦 係 数 μ0の 大 きさの
右 向 きに滑 っ てい る と きの加 速 度 を求 め よ.
まず,実 験 の 状 況 を把 握 す る こ と.次 に,自 分 が着 目 して い る物 体 は何 か をは っ き り
させ,そ の物 体 に作 用 す る外 力 を数 え 上 げ,運 動 方程 式 を立 て る こ と.そ うす れ ば 物体 の加 速 度 が 求 め られ,そ れ を初 期 条 件 を考 慮 して積 分 す れ ば(微 分 方程 式 を解 け ば)速 度,位 置 が 求 め られ る.物 体 が 床 に対 して動 い て い る とき,物 体 に は動 摩 擦 力 が働 く.そ の 大 き さは物 体 の 速度 に よ らず μN(N:物 体 と床 との 間の 垂 直抗 力)で あ るが,向 き は速度 と逆 向 きで あ る.す な わ ち,水 平 右 方 向 を正方 向 とす れ ば,物 体1が 左 向 きに動 い てい る と きに物体1に 働 く動 摩 擦 力 は μNで あ り,物 体1が 右 向 きに動 い て い る と き に物体1に 働 く動摩 擦 力 は -μNで あ る.物 体1が 静 止 して い る と きは 物体1に は静 止摩 擦 力 が 働 く.こ の大 き さは わ か ら ない.た だ,最 大 値 は μ0Nで あ る.物 体1は 折 り返 しの 瞬 間 に 静止 す る.し か し,そ の直 後,動 き出 して し ま う.物 体1を 静 止 させ て お こ う とす る静 止 摩 擦 力 の 限界 を超 えて糸 が 物 体1を 引 くか らで あ る.つ ま り,こ の実 験 か ら物 体1に る値 ” よ り小 さ い こ とが わ か る.
働 き得 る最 大 静 止摩 擦 力 は “あ
(1)物 体1が 左 向 きに動 い て い る と きの 運動 方 程 式 は (右 向 きを正 方 向 とす る) (上向 き を正 方 向 とす る)
(11.26) (11.27)
物体2に 関する鉛直方向の運動方程式は (下向 き を正方 向 とす る)
(11.28)
と な る.式(11.26)と
式(11.28)のaは
等 しい.式(11.26)∼
式(11.28)よ
と な り,等 加 速 度 で 運 動 す る こ と が わ か る.初 期 条 件 と し て,t=0の -v0(左 向 き にv0)で あ っ た わ け だ か ら ,速 度 が0に な る の は0=-v0+atよ
と な る.こ
の と き ま で の 変 位xは,式(11.13)か
で あ る.す
な わ ち,物
体1は
働 く.こ
の 式 と 式(11.27),式(11.28)か
が 得 ら れ る.物
体1が
わ ち,m2g-fmax>0,す
と きに速 度 が り,
成 り 立 つ の で,
左 向 き に(m1+m2)v02/2(μm1+m2)gだ け 進 む こ とが わ か る.
(2)静 止 し た 瞬 間58),物 体1に は 静 止 摩 擦 力fが 動 方 程 式 は 式(11.26)の 代 わ りに
と な る59).こ
ら02-v02=2axが
り
の と き の 物 体1の
水平方向の運
ら
折 り返 し て 運 動 す る た め に はa>0で な わ ちfmax=μ0m1g<m2gで
な くて は い け な い.す あ る.こ
な
れ よ り,
で あ る こ とが わか る. (3)物 体1が 右 向 きに滑 っ て い る と きは 動摩 擦 力 が 左 向 き に働 く.こ の と きの物 体1の 平 方 向 の運 動 方 程 式 は 式(11.26)の 代 わ りに
と な る.こ
の 式 と 式(11.27),式(11.28)か
が 得 られ る.な お,(1)と(3)で
水
ら
糸 の張 力 が 異 な る こ とを確 かめ よ.
課題 図11.6は イ ン ク ライ ン ・ス ク ワ ッ トマ シー ンで 人 が トレー ニ ン グ して い る様 子 を示 し て い る.足 の 下 の 台 に は フ ォー ス プ レ ー トが 置 か れ て い る.人 と背 も たれ の 質 量 の和 をm, 重力 加 速 度 の 大 き さはgと し,滑 車 は きわ め て軽 くま わ る(滑 車 の慣 性 モ ー メ ン トは 無視 で きる)と す る.ま た,お も りWの 質 量M,お よ びス ク ワ ッ トマ シ ー ンが 水 平 面 と なす 角 θ は任 意 に変 え る こ とが で き,お も りは鉛 直 方 向 にの み 運動 す る とす る.お も りと背 もた れ を 結 ぶ紐 は伸 縮 をせ ず,ま た,ス クワ ッ ト動 作 の 間 た る む こ と は ない とす る.
(1)滑 車 に働 く摩擦 力 や 背 もたれが レー ルか ら受 け る摩 擦力 を無視 して以 下 の問 い に答 えよ. (a)人,背 も たれ,お も りのす べ て が 図 の状 態 で 静 止 して い る と き,フ ォー ス プ レー ト で 測定 され る垂 直抗 力 を求 め よ. (b)人 と背 もた れ を合 わせ た 系 の重 心Gの 速 度 の斜 面 方 向 成分(斜 面 に沿 っ て上 向 きを 正 方向 とす る)と,お も りの鉛 直 方 向速 度(下 向 き を正 方 向 とす る)と は一 般 に は一 致 しない.し か し,こ こで は両 者 は 一致 す る と見 な そ う.こ の仮 定 の も と,Gが 斜 面 に平 行 方 向 に加 速 度aの 運動 を行 って い る とき,フ ォース プ レー トで 測 定 さ れ る 垂 直 抗 力 を求 め よ60). (2)摩 擦 が 無 視 で きな い場 合 につ い て も同様 の こ とを考 察 せ よ.
図11.6イ
ン ク ラ イ ン ・ス ク ワ ッ トマ シ ー ン
解説 トレー ニ ン グ実験 を行 う と きに,生 理 学 的考 察 を加 え る前 に,力 学 的 な考 察 を行 って, そ の負 荷 が 設 定通 りに被 験 者 にか か っ てい るか どうか を調 べ な くて は い け ない61).こ の課 題 は そ の よ う な注 意 を 喚起 す るた め に作 っ てみ た.設 問 を も と に して 自 由 に考 察 して もらい た い62).解 答 は省 略 す る.
11.3.5流
体 中 の物体 の運 動
図11.7に 示 す よ うに,流 体(気 体 や液 体)中 を質量mの
物 体 が水 平 方 向の速 度 成
分 が0で 落 下す る と きの運動 を考 え よ う.流 体 中 を物 体 が運 動 す る と き,物 体 は流 体 か ら速 度 に応 じた抗 力(drag)を
受 け る.物 体 の速 度 が そ れ ほ ど速 くな い とき に
は その よ うな抗力 と して,速 度 に比例 す る粘性 抵 抗 と,速 度 の2乗 に比 例 す る慣性 抵抗 の2種 類 を考 えてお け ば よか ろ う63).こ れ らの抵抗 は速度 と逆 向 きに働 く.本 項 で は粘性 抵 抗 の みが働 い てい る と考 え て物体 の運 動方 程 式 を立 て よ う.ま ず,鉛 直方 向 にx軸
を と り,鉛 直 下 向 き を正 方 向 と しよ う.粘 性 抵 抗 の大 きさ は速度 の 大
きさ に比例 し,向 きは速 度 の向 き と逆 向 きで あ る か ら,粘 性 抵 抗 は速 度 をv=dx/dt と して-kvと
表せ る.こ こで,kは
物 体 の形状 と流体 の性 質 か ら決 ま る正 の 定数 で
図11.7流
あ る.ま
た,物
体 中 の 落 下 運動
体 に作 用 す る 重 力 は+mgで
あ る.以
上 よ り運 動 方 程 式 は
(11.29) と な る.こ
れ は む しろ
(11.30) と書 い た方 が見 や す か ろ う.こ の微 分 方 程式 を解 くの は ひ と まず お い てお い て,こ の方程 式 か ら何 が 読 み取 れ るか を考 え てみ よ う.と りあ えず 話 を速 度vが 正 の とき, す なわ ち物 体 が鉛 直 下 向 き に運 動 して い る と きの み を考 え よ う.速 度 の大 き さが 十 分 小 さ い と き に はmg-kv>0で
あ る.す
な わ ち,加
速 度 霧 は 正 で あ り,速 度 の
か し,速
度 が あ る程 度 大 き く な っ て,
大 き さ は 大 き く な っ て い く こ とが わ か る.し mg-kv=0と
な っ た と き,す
大 き くな れ ず,一 考 え よ う.速
定 に な る.次
な わ ち,加 に,物
速 度dv/dtが0に
な る と,速 度 は そ れ 以 上
体 を 大 き な 速 度 で 投 げ 下 ろ した と きの こ と を
度 の 大 き さが 十 分 大 き い と き に はmg-kv<0で
あ る.す
な わ ち,加
速 度dv/dtは 負 で あ り,速 度 の 大 き さ は 小 さ くな っ て い く こ とが わ か る.し 度 が あ る 程 度 小 さ く な っ て,mg-kv=0と
な っ た と き,す な わ ち,加
に な る と,速 度 は そ れ 以 上 小 さ く な れ ず,一
定 に な る.結
れ 加 速 度 が0と
な る 条 件,す
速 度 は 落 ち 着 く こ と に な る.こ
な わ ちmg-kv=0が
局,初
か し,速
速 度dv/dtが0
期 条件 が ど うで あ
満 た さ れ る速 度mg/kに
物体 の
の 速 度 の こ と を物 体 の 終 端 速 度(terminalvelocity)
と呼 ぶ. 補足
もち ろ ん,上 で 求 め た終 端 速 度mg/kが 大 きす ぎる と,終 端速 度 に達 す る前 に
慣 性抵 抗(速 度 の2乗 に比 例 して効 い て くる)が 無 視 で きな くな り,そ の た め運 動 方 程 式(11.30)が 成 り立 た な くなる.そ の よ うな場 合,終 端 速 度 はmg/kで は な くなる.
さ て,次
に 運 動 方 程 式(11.30)を
解 く こ と を 考 え よ う.ま ず 式(11.30)を
(11.31) と変 形 す る.次
に
(11.32) とお く.式(11.32)の
両 辺 を時 間 で 微 分 す る こ と に よ り
(11.33) が 得 ら れ る.式(11.32),式(11.33)を
式(11.31)に
代 入 す る こ と に よ り,
(11.34) が 得 ら れ る.こ
の 形 の 微 分 方 程 式 は 既 に,p.143,p.144,p.145で
下 簡 単 に 説 明 す る.ま
触 れ た の で,以
ず
(11.35) と し,両 辺 を 時 間 で 積 分 す る と,
(11.36) と な る.左
辺 に 置 換 積 分 の 公 式 を 用 い る と,式(11.36)は
(11.37) と な る.両
辺 の 積 分 を実 行 す る と,
(11.38) と な る.こ
こ でC1は
積 分 定 数 で あ る.さ
て,対
数 関数 の 定義 よ り
(11.39) と な る が,こ
れ はp.143に
お い て 式(9.5)を
式(9.6)と
変 形 した とき と同様 に
(11.40)
と 変 形 で き る.式(11.40)と
式(11.32)よ
り,求 め た い 速 度vが
(11.41) と 求 め られ る.式(11.41)の
第1項
は 時 間 が た て ば0に
収束 す る こ とは説 明 す る ま
で も な い で あ ろ う.結 局,初 期 条 件 が ど う で あ れ,速 度vは 時 間が 十分 経 過 す れ ば mg/ kに 収 束 す る こ とが わ か る.こ れ は 先 ほ ど述 べ た 終 端 速 度 に ほ か な ら な い. こ の 辺 の 事 情 を も う少 し考 え る た め,一
般 に
(11.42) とい う 関 数 のC1,C2,γ
をい ろ い ろ変 化 させ た と きの グ ラ フ を考 え よ う.ま ずf(0)=
0と な る 場 合 の グ ラ フ を考 え よ う.
で あ る か ら,f(0)=0と C1=-1,C2=1と あ る.す
な る 条 件 はC1=-C2で し よ う.そ
べ てt→
収 束 す る が,そ れ は,t=γ
と な る こ と か ら わ か る よ う に,時 (極 限 値)の63%程
を簡 単 にす る ため
して γ を い ろ い ろ 変 え た と き の グ ラ フが 図11.8で
∞ で1(=C2)に
遅 くな る 様 子 が 見 て 取 れ る.こ
あ る.話
の収束 の 速 さは γが大 きい ほ ど
の と き,
間 が γ だ け 経 過 す る と(こ の 場 合 は)収 束 目標 値
度 ま で 関 数 の 値 が 迫 る こ とか ら納 得 で き よ う.一
般 に 式(11.42)
の よ う な 形 で 関 数 が 与 え ら れ た と き は,γ が 収 束 の 速 さ を表 して い る と考 え ら れ る の で あ る. 課 題 図11.7に お け る物 体 の位 置xを 時 間tの 関 数 と して求 め よ.ま た,具 体 的 にm,k,g の値 や初 期 条件 を設 定 し,速 度 と位 置 の 時 間 に対 す る関 数 の グ ラ フ をそ れ ぞ れ描 け. 解説
式(11.41)を
課 題x軸 解説
積 分 す る だ けで あ る.解 答 は略 す.
を鉛 直上 向 きに と って,図11.7に
示 され た 物体 の運 動 を論 じ よ.
座標 軸 の向 き を変 え れ ば,式 の 中 に現 れ る い くつ か の符 号 が 変 わ り得 る.し か し,自
然 現 象 と して は 同 じもの を表す はず で あ る.こ れ まで 説 明 して きた こ と を も とに考 察 して も らい た い. 次 に 図11.9に
お け る 物 体 の 運 動 を調 べ よ う.図
る 装 置 で あ り,Dは
粘 性 係 数kの,す
中 のCは
な わ ち物 体 の 速 度vに
一 定 の 張 力Fを
発揮 す
対 し粘 性 抵 抗-kvを
与
図11.8y=f(t)=-e-t/γ+1に の グ ラ フ はt=γ,す
え る装置 で あ り,Wは
お い て γ=2,4,6,8と な わ ちt=2,4,6,8に
お い てy=-1/
変 え た と き の グ ラ フ.そ e+1=0.632121…
れ ぞ れ
を 横 切 る.
一 定 の張 力fを 発 揮す る装 置 で あ る.こ れ は,筋 の一 定負荷
fの も とにお け る64)伸張 性 ・短 縮性 運動 を考 察す るた め に適 当 に考 えた(大 雑把 な) モ デル で あ る.こ の物 体 の質 量 をm(運 動 して い るセ グ メ ン トの質 量 に対応 す る と 考 えれ ば よい),位 置 をxと す る と(x軸 は左 向 きを正 とす る),物 体 の運動 方程 式 は
(11.43)
図11.9筋
の 短 縮 ・伸 張 性 活 動 の不 完 全 なモ デ ル
と な る.こ
の 物 体 の 終 端 速 度v∞
は
と な る こ と は も う説 明 す る ま で も あ る ま い.こ
の式 を変 形 す る と
(11.44) が 得 ら れ る.v∞ な る.実
とfと
の 関 係 を グ ラ フ に す る と(f-v∞
際 の 筋 が 最 大 努 力 で 活 動 し て い る 時 のf-vグ
に お い て は 直 角 双 曲 線(漸 近 線 はv軸,f軸
グ ラ フ)右 下 が りの 直 線 に ラ フ65)は,短
に 平 行)で 近 似 で き,伸
縮 時(v∞>0) 張 時(v∞<0)
にお い ては ゆ るや か な “ 左 ”上 が りの 曲 線 と な る こ とが 知 ら れ て い る66)(運 動 生 理 学 の テ キ ス トを見 よ).「 モ デ ル は 現 実 を ま あ ま あ よ く記 述 で き て い る」 とす る か ど う か は 微 妙 な と こ ろ だ.こ
の モ デ ル に 不 満 足 な 人 は 次 の よ う に 考 え る だ ろ う.
上 の 考 察 で は,図11.9の
モ デ ル 中 のC(収
縮 要 素:ア
ク チ ン,ミ オ シ ン フ ィ
ラ メ ン トが ス ラ イ デ ィ ン グ を 起 こ す 機 能 を モ デ ル 化 した 部 分)が 最 大 活 動 時 に 一 定 の 力Fを D(粘
発 揮 す る と し た の が ま ず か っ た の か も し れ な い.ま
た,
性 抵 抗 部 分)の 特 性 が 現 実 の 筋 の 特 性 を 表 して い な か っ た の か も し れ
な い.い
や,こ
の モ デ ル 自 体 が 現 実 の 筋 の 特 性 を 論 じ る に は最 初 か ら不 適
当 な も の な の か も しれ な い.そ 分(組 織,細 謎 は 多 い が,こ
胞,分
も そ も,モ
デ ル 中 のCやDは
筋 の どの部
子)に 相 当 す る(ど の 部 分 が 担 っ て い る)の か?
の 現 象 論 的 モ デ ル に様 々 な 修 正 を 加 え て よ り現 実 に 近 い 筋 活 動 を
再 現 し よ う とい う試 み は よ く行 わ れ て お り,バ イ オ メ カ ニ ク ス の 一 つ の テ ー マ と な っ て い る.そ
の 目 的 の 一 つ は,現 実 に 近 い 活 動(機 能)が 再 現 で き た と き,そ の モ デ ル
は 実 際 の 筋 の 構造 を 十 分 に反 映 して い る 可 能 性 が あ り,そ し い 知 見 が 得 られ る か も し れ な い と い う こ と だ.ま 構 造 と の 対 応 関 係 は と も か く,筋
れ に よ っ て 筋 に つ い て新
た 別 の 目 的 と し て,実
の 活 動 さ え 再 現 で きれ ば,そ
れ を使 って 身体 運動
の シ ミ ュ レ ー シ ョ ンの 精 度 を 上 げ る こ と が で き る と い う こ と もあ る.な 弾 性 モ デ ル に 関 し て はp.184の 補 足1式(11.43)に
補 足1,補
お い てv=0の
足2も
際 の筋 の
お,筋
の粘
参 考 に し て も ら い た い.
とき,す な わち 筋 が等 尺 性 の(isometric)活
動 を してい る と き,粘 性 抵 抗 は効 い て こ ない.つ ま り,こ の モ デ ル に従 え ば,C(収 縮 要 素)の 等 尺 性 活 動 の特 性 が 測 定 で きる とい うこ とで あ る.も ち ろん,あ くまで も この モ デ ルが 正 しい とい う仮 定 の も とで の話 で あ る. 補足2筋
のモ デ ル とい うこ とを少 しは なれ て 図11.9に
単 の た め,粘 性 抵 抗 も考 え ない(k=0と
つ いて考 察 を進 め よ う.簡
す る).式(11.43)に
お い てm=0の
と
き,F=fが
常 に成 り立 つ.こ こ ら辺 の こ とが,p.172で
「糸 の質 量 が無 視 で きる
な ら糸 の張 力 は ど こ も一 定 で あ る」 こ との 理 由で あ る67).ま た,vが
一定 な ら糸 に
質 量 が あ って も(重 力 の 影 響 を考 慮 す る必 要 の ない 状 況 な ら),や は り糸 の張 力 は ど こで も一定 に な る.直 列 要素 の 張 力 が 共通 であ る とす る理 由 も同 じで あ る68).
11.3.6単
振 動
図11.10の す る)は,平
よ う に バ ネ(質 量 は無 視 で き る とす る)に つ な が れ た 物 体(質 量 をmと 衡 点(つ
りあ い の 位 置)か
向 き に バ ネ か ら 受 け る69).す
と書 く こ とが で き,kを
らの 変 位x(t)に
比 例 す る 力Fを
変 位xと
逆
な わ ち,
ば ね 定 数 と呼 ぶ.こ
れ よ り,運 動 方 程 式 は
(11.45) と な る.こ
の運 動 方程 式 の 一般 解 は
(11.46) と な る こ と が 知 ら れ て い る.こ
れは
(11.47) と 書 い て も 同 じで あ る.た 上 に 点P(A,B)を 照).こ
だ し,ω0=√k/m,a=√A3+B2で,δ
と っ た と きOPとx軸(の
はx-y平
面
正 方 向)と の な す 角 で あ る(4.5節
参
の 三 角 関 数 の 周 期TはT=2π/ω0=2π√m/kと
図11.10バ
ネ に つ な が れ た お も りの 運動
な る こ と は も う大 丈 夫 で
あ ろ う.sinの
周 期 は2π で あ る か ら,ω0tが2π
変 化 す れ ば,す
変 化 す れ ば も と の 値 に 戻 る か ら で あ る(p.54の frequency)はf=1/Tで ω0=2πfな 定 ま る71).結
た,A,B,a,δ
動 方 程 式(11.45)が
動 数(周 波 数,
が 積 分 定 数 で あ り,初 期 条 件 に よ り
与 え ら れ る と,す
の 質 量 が 与 え ら れ る と振 動 の 周 期 は 定 ま る が,初 よ っ て 決 定 さ れ る.な
お,式(11.46)や
harmonicoscillation)と
課題
お,振
あ り70),角 振 動 数(角 周 波 数,angularfrequency)ω0と
る 関 係 に あ る.ま 局,運
課 題 参 照).な
な わ ちtが2π/ω0
式(11.47)で
な わ ち,ば
ね 定 数 と物 体
期位 相 や 振 幅 は不 定 で初 期 条件 に 表 さ れ る 運 動 を 単 振 動(simple
呼 ぶ.
一般 に微分方程式
(11.48) の一 般 解 は
(11.49) とな る こ とが 知 られ て い るが,こ れ を直接 導 く(微 分 方 程式 を解 く)の は難 しい.し か し,式 (11.49)が 式(11.48)を 解説
満 た す こ とは簡 単 に確 か め られ る.実 際 に確 か めて み よ.
代 入 して微 分 を実 行 す る だ けで あ る.
次 に,図11.11の 方 程 式 を考 え よ う.鉛
よ う に バ ネ を 鉛 直 方 向 に設 置 して 物 体 を つ り下 げ た と き の 運 動 直 下 向 き にx軸
を と り,バ ネ が 自然 長(お
図11.11バ ネ に よっ て鉛 直 方 向 に つ る され た お も りの 運 動.原 の お も りの 位 置 を表 す.x0=mg/kは つ りあ い の位 置 を表 す.
点0は
も りが つ る さ れ て
バ ネ が 自然 長 の と き
い ない 時 の長 さ)に あ る と きの物 体 の位 置 を原 点 とす る と,物 体 の運 動 方程 式 は
(11.50)
と な る.こ
の式は
(11.51) と変 形 で き る.こ
こ で,
(11.52) とお こ う.こ
の 式 の 両 辺 をtで 微 分 す る と
(11.53) と な り,さ
ら にtで 微 分 す る と
(11.54) と な る.式(11.52),式(11.54)を
式(11.51)に
代 入 す る と
(11.55) が 得 ら れ る.こ
れ は 式(11.45)と
ま っ た く同 じで あ る.そ
れ ゆ え,
(11.56) と解 く こ とが で き る.式(11.56)と
式(11.52)よ
り,物 体 の 位 置 は
(11.57) と な る こ とが わ か る.こ
れ は,振
動 が 起 こ っ て い な い と き の つ りあ い の 位 置
(11.58) を 中 心 に,周
期2π/ω0=2π√m/kの
と お も りが 同 じで あ る 限 り,図11.10の
単 振 動 を 物 体 が 行 う こ と を示 し て い る.バ 場 合 と 図11.11の
期 は 等 し い. 補 足 単振 動 を引 き起 こす力 がF=-kx,す な わち 変位 と逆 相(位 相 が180° ず れ て い る とい う こ と)で あ る こ と は,歩 行,走 運動 な ど の周 期 運 動 にお い て,互 い に 拮 抗 す る筋群 が い か な る タイ ミ ングで 活 動 すべ きか を考 え る上 で非 常 に示 唆 的で あ る.も ち ろん,周 期 的 な身体 運動 は単 振 動 そ の もので はな い が,す べ て の周 期 運 動 の第 一 近似 が 単振 動 で あ る こ と を考 え る と(第19章 参 照),単 振 動 に対す る理 解 の 重 要 性 が納 得 で きるで あ ろ う72).
ネ
場 合 で お も りの 振 動 の 周
11.3.7減
衰振 動
図11.12の
よ う に物 体 に バ ネ か ら の 弾 性 力-kxの
に 比 例 す る 粘 性 抵 抗-βdx/dtも 同 時 に 働 く場 合,こ
ほ か に,速
度 と逆 向 き に 速 度
の 物 体 に 関 す る運 動 方 程 式 は
(11.59) と な る.た
だ し,m,k,β
は そ れ ぞ れ 物 体 の 質 量,バ
ネ の ば ね 定 数,ダ
ンパ ー の粘
性 係 数73)で あ る.
図11.12ダ ンパ ー とバ ネ が並 列 につ な が っ て い る場 合(上 図).こ の 場 合 の お も りの運 動 は 下 図 の 場 合 と同 じで あ る.ダ ンパ ー とバ ネが 直 接 直 列 に つ なが っ て い る場 合 は 違 った 運動 に な る.
とお く と,ω0>γ
の と き74),こ
の 方程 式 の 一般 解 は
(11.60) と な る こ と が 知 ら れ て い る.式(11.60)で lation)と
呼 ぶ.た
だ し,Aお
表 され る運 動 を減 衰 振 動(dampedoscil-
よ び δ は 初 期 条 件 に よ っ て 決 ま る 任 意 定 数 で あ る.
な お,式(11.60)は
(11.61)
と変 形 す る こ とが で きる.も を と っ た と き 動 径OPがx軸 よ,式(11.59)は2階
ち ろ ん,a=√A2+B2で,δ
はx-y平
の 正 方 向 と の な す 角 で あ る(4.5節
面 上 に 点P(A,B) 参 照).い
ず れ にせ
の 微 分 方 程 式 だ か ら,積 分 定 数 は 一 般 解 に 二 つ 含 ま れ て い て,
こ れ ら の 定 数 は 初 期 条 件 か ら 決 定 で き る.な
お,減
衰 振 動 を表 す 式 の 中 に 現 れ るパ
ラ メ ー タ75)を 適 当 に定 め て グ ラ フ に した の が 図11.13で
あ る.参
考 に して も らい た
い76).
図11.13太
線:y=e-t/2sin,3πt,細
線:y=±e-t/2
さて,素 手 で減 衰振 動 の微 分方 程 式 を解 くた め には,三 角 関数,指 数 関数 の微 分 法,合 成 関数 の微 分 法,指 数 関 数 と三角 関数 の つ なが りを知 らな くては な らない. これ らに 関 して は,本 章 以 前 で解 説 した.本 書 で は 実際 に微 分 方程 式 を解 く方 法 は 示 さ ないが,該 当箇所 をマ ス ター した後,必 要 に応 じて,よ り進 ん だ力 学 の本 で学 習 して も らい た い. 課題
運 動 方 程 式(11.59)を
動 方 程 式(11.45)を 解説
直 接 解 く こ と は 難 しい.し
か し,式(11.60),式(11.61)が,運
満 た す こ と は 簡 単 に 確 か め ら れ る.実
際 に 確 か め て み よ.
解 答 略.
補 足1単
振 動,減 衰振 動,そ
して 本 書 で は扱 わ なか っ たが 強 制 振 動(を 表 す 微 分
方 程 式)は,力 学 に 限 らず 物 理 学 の あ らゆ る分 野 で現 れ る.ス ポ ー ツ科 学 の 世 界 で も,筋 や腱 組 織 を粘弾 性 体(補 足2参 照)と して モ デル 化 した議 論 が な され る こ とが あ る.粘 弾性 体 の研 究 の手 段 の も っ と も直接 的 な もの は 粘弾 性 体 に振 動 を誘 発 して その 振 動 波形 を観 測 し,そ こ か ら,粘 弾性 体 を特 徴 づ け るパ ラ メー タを推 定 す る と い う もの だ.も ち ろん ほ か に もい ろい ろ な方 法 が あ るが,こ れ 以 上 は あ ま りに も専 門的 にな りす ぎて しま う.各 自必 要 に応 じて勉 強 して い た だ き たい. 補 足2弾 性,粘 性,塑 性 と は,変 形 す る 固体 の 力学 的 挙 動 を,特 にそ の 応力 とひ ず み との 間 の関 係 に重 点 を置 い て調 べ る た め の代 表 的 な概 念 で あ る.一 般 に物 体 が
外 力 を受 け る と形 や体 積 にひ ず み(strain:変
形 量 と初 期 形 状 との 比)が 生 じ,物 体
内部 に は この ひず み を戻 そ う とす る応 力(stress:単
位 面積 あ た り の 面 積力77))が
現 れ る.こ の ひ ず み を戻 そ う とす る性 質 を弾 性(elasticity)と 呼 び,応 力 とひ ず み とが 常 に1対1に 対 応 し,応 力 が な くな れ ばひ ずみ も 瞬 時 に な くな る と き(ひ ず み が な くなる の に要 す る時 間 を無 視 で き る と き),こ の物 体 を弾 性 体 とい う. ただ し,現 実 に存 在 す る物 質 の 中 に この よ うな性 質 を持 っ た物 体 が あ るか ど うか を 問題 と して い る わ け で は ない.あ る物 体 の 力 学 的挙 動 を弾 性 体 と い う一 つ の理 想 的 なモ デ ル と近 似 して 説 明す る こ とが で きる か ど うか が 問
ち また
題 な ので あ る.筆 者 が まだ幼 か った 頃,ゴ ム粘 土 とい う ものが 巷 で はや っ た.こ れ は,丸 め て勢 い よ く床 にぶ つ け る と よ く弾 み,形 も変 わ らな いが, ゆ っ く り伸 ばす とウニ ョウニ ョと よ く伸 び,変 形 が戻 らない とい う もの だ っ た.床 に弾 ませ る と きに は,こ の 物 体 を弾 性 体 と して 扱 え ば そ の挙 動 を よ く説 明 す る こ とが で きる.ゆ っ く り伸 ば す とき は この 物体 を粘 性 体 と して 扱 う こと に よ りその 挙動 を説 明 す る こ とが で きる.つ ま り,同 じ物 体 で も, 状 況 に よっ て は 「弾 性体 と して当 面 の と ころ扱 う こ と に しま し ょう」 とか 「粘性 体 と して 当面 の と ころ扱 い ま し ょう」 とい うこ とだ.も ち ろ ん,こ の 物 体 を粘 弾 性 体 と して,色 々 な状 況 で の挙 動 を あ る程 度統 一 的 に扱 う こ と もで きよ う.し か し,結 局 どの よ うなモ デ ル を採 用 して も,モ デル に は適 用 限 界 とい う ものが あ る.そ れ は それ で いい.所 詮,科 学 とは “なぜ ”を知 る 学 問 で な く,“ ど う した ら ど う な る” を知 る学 問 で あ る.扱 っ てい る環 境, 状 況,条 件 内 で,「 こう した らこ うな る はず だ」 と予想 を立 て る こ とがで き, そ れ が現 実 に起 こ る現 象 と(そ の と きに)必 要 な精 度 で 一 致 す れ ば,そ の モ デ ル に は存 在 価 値 が あ る の で あ る.も ち ろ ん,そ の モ デ ル を さ らに,基 本 的 な モ デ ル に よ って説 明す る,と い う作 業 も大 切 だ.少 数 の モ デル(仮 定) もろ もろ
で 諸 々 の現 象 を説 明 し尽 くそ う とい うのが 人 間の 美 的感 覚 だか らで あ る. 特 に,応
力 と ひ ず み が 互 い に 比 例 す る,す
を 線 形 弾 性 体 ま た は フ ッ ク 弾 性 体 とい う.応 ク 弾 性 体 に お い て,σ=κ elasticmodulus)と
な わ ち フ ッ クの 法 則 に従 う よ うな 弾性 体 力 σ と ひ ず み εが 互 い に 比 例 す る フ ッ
ε と書 い た と き,κ
呼 び(ヤ
を 弾 性 率(modulusofelasticity,
ン グ率:Young'smodulusな
数 を 弾 性 コ ン プ ラ イ ア ン ス(elasticcompliance)と
ど は そ の 例78)),そ 呼 ぶ.な
お,弾
性 係 数(定
の逆 数)
(elasticcoefficient)と い う言 葉 は 普 通 は 弾 性 率(規 格 化 さ れ た 量)を 意 味 す る が,広 義 に は 外 力 に対 す る 弾 性 体 の 変 形 の し に く さ を 表 す の に 使 わ れ る こ と も あ る(ば ね 定 数:springconstantな
ど).
例 え ば細 長 い ゴム の棒 を引 っ張 る と き,ゴ ム棒 の 断 面積,全 長 をそ れ ぞ れ S,lと す る と,応 力(単 位 面積 あ た りの 力)σ お よび ひず み(変 形 量 と初 期 形 状 の比)ε は ゴム の張力Fと
伸 張量xを 用 い てそ れ ぞれ σ=F/S,ε=x/l
と表 さ れ る.そ の た め,ば ね定 数kは
と 表 せ る(“ ≡ ” は
弾 性 率79)κ を用 い て,
「定 義 」 を 表 す).
応 力(外 力)-ひ ず み(変 形)関 係 が 線 形 で な い場 合80)も,応 力 と ひず み の比 を もっ て 弾性 率 とコ ン プ ラ イア ンス を定 義 す る場合 が工 学 で は多 い よ うで あ る.ま た,外 力
と変 形 の 関係 を グ ラ フに した ときの 接 線 の傾 きを も って ス テ ィ ッフ ネス(stiffness) を定 義 して い る場 合 もあ る.応 力 が あ る一 定 限 度(弾 性 限度,elasticlimit)を 超え る と,応 力 を取 り去 っ て も(あ る程 度 以上)ひ ず み が 消 え ない 場 合が あ る.応 力 を取 り去 って もひず み が消 え ない性 質 を塑 性(plasticity81))と いい,残 った ひず み を永 久 ひず み とい う.こ の 際,応 力,ひ ず み の増 加,減 少 に 時 間的 ず れ を示 さ ない 物体 を塑 性 体 とい う.一 つ の物 体 が 弾 性 体 と して の性 質 を持 ち なが ら,完 全 に は変 形 が 戻 らず に 塑性 を も示 す と き,強 調 的 に弾 塑性 体 とい う言葉 を使 う こ とが あ る.実 際 の物 体 で は多 か れ 少 な か れ 応 力 とひ ず み との 間 に時 間 的ず れ が 生 じ る こ とが 多 い. この よ うな緩 和 現 象(relaxationphenomenon)82)は,高
分 子物 質 に お いて 特 に著
しい が,そ の原 因 は物 体 の 粘性(viscosity)に よ る もの と考 え られ83),こ の種 の物体 を粘 弾 性体 と呼 ぶ.粘 弾性 体 は力 学 的 エ ネ ル ギー を貯 蔵 す る性 質 と散 逸 す る性 質 を 合 わ せ持 って お り,そ の最 も簡単 な現 象論 的 モ デ ルは バ ネ と ダ ッシ ュポ ッ ト(ニ ュー トン粘 性84)を示 す 流 体 と,そ の 中で 動 く ピス トンか らな る系)を 直 列,あ る い は並 列 に組 み合 わ せ た もの で あ る.前 者 をマ クス ウ ェル(Maxwell)模 型,後 者 をフ ォー ク ト(Voigt)模 型 と い う.し か し,高 分 子物 質 な どの 粘 弾性 は これ らの 簡単 なモ デ ルで は 十 分 に表 せ ない こ とが多 い.そ こで,一 つ の 方 法 と して これ らの モ デ ル を複 数 並 列,あ る い は直 列接 続 したモ デル を用 い る場 合 が あ る.そ
して,そ れ ぞれ の 弾
性 要 素,粘 性 要 素 に異 な っ た弾 性 率,粘 性 率,温 度 特 性 な どを与 える の で あ る.こ れ は ま さに現 象 論 的 なモ デ ルで あ る. 何 回 か,“ 現 象 論” とい う言 葉 を使 った.現 象 論 と は,“ なぜ ”に は 一切 こ だ わ らず,問 題 とす る現 象 を記 述 す る に は ど うい う量 を用 い る のが 適 当 か, そ れ らの量 は ど うい う関係 に あ って,変 化 に際 して どの よ う に関 連 しあ う か,を 扱 う学 問 で あ る.あ る意 味 で は 科学 と はす べ て現 象 論 だ とい うこ と が で きるか も しれ ない.そ う はい っ て も,「熱湯 に さわ る とや け どす る」 と い う よ り も,「熱 湯 は,運 動 エ ネ ルギ ー(の 平 均 値)が 大 き な水 分 子 の集 合 体 で あ り,手 を入 れ る と,水 分 子 と手 を構 成 す る分 子 が衝 突 し,水 分子 の うん ぬん
持 つ 大 きな運 動 エ ネル ギ ーが 手 を構 成 す る分 子 に伝 わ る結 果,云 々 」 とす るの で はや は り レベ ル が違 うで あ ろ う.そ こで,日 常 的 な(マ クロ な)現 象 を分 子,原 子 レベ ル の 現象 に還 元 して論 じる場 合,分 子 論 とか 原 子 論 とい うの で あ る.ゴ ム弾 性 に つ い て も,単 に,伸 張 量 と張 力が 比 例 す る,程 度 か ら,弾 性 率 の振 る舞 い を熱 力 学 的 立 場 か ら考 えて み た り,さ ら には,分 子 の 配列,運 動 とい う立場 か ら弾 性 率 の ル ー ツ を考 察 して み た り,と い っ た具 合 に議 論 を進 め て い くこ とが で きる. 現 象 論 的議 論 をす る と,「で は,モ デ ル の この 要 素 は現 実 の物 体 の どこ に存在 す るの か」 と聞 か れ る で あ ろ う.も ち ろ ん,モ デ ル の各 要 素 は 現 実 の物 体 の 構 造 を意 識 し て作 られ た場 合 も多 い.し か し,そ れ が 明 らか で な い場 合 も少 なか らず あ る.た だ, そ の場 合 で も,モ デ ルが か な り精 度 よ く現 象 を説 明す る こ とが で き,か つ そ の適 用 範 囲が 広 い場 合,そ の モ デル は何 らか の 本質 をつ い てい る と期 待 で きる.す な わ ち, さ らに分 子論 的考 察 に進 む 際 の指 針 を提 供 す る役 割 を現 象論 は持 つ.ま た,現 実 問 題 と して は 「 何 をす れ ば ど うな る か」 とい う こ とが 重 要 で あ る か ら,適 用 限界 さ え 誤 らな けれ ば,現 象 論 は大 い に役 立 つ の で あ る.そ れ は,ニ ュ ー トンの 運動 方 程 式 に だ って 同 じこ とがい える.「 なぜ 運動 量 の 変化 率 は 力 に比例 す るの だ ろ う.そ れが わ か ら な き ゃ この方 程 式 は 使 って や らん.」 とい う人 はい まい.な お,「 筋 の弾 性 要 素 とか 粘性 要 素 って何?」
と聞か れ た ら,「筋 肉の 長 さが変 わ る と き,フ ィラ メ ン ト
(ア クチ ン,ミ オ シ ンか らな る フ ィラ メ ン ト)間 の ス ライ デ ィ ング に よ る変形 の ほか に,応 力 に よ る変形 が 考 え られ る.そ の変 形 を現 象論 的 に扱 っ てい るの だ.」 と答 え れ ば よい85).さ ら に,「 そ んな こ と してい い の か?」 とたず ね られ た ら,「高分 子 物 質 が粘 弾 性 体 と して振 る舞 うの は 一 般 的 に よ く知 られ た こ とで あ り,筋 や腱 を粘 弾 性体 と して扱 うの は とっ ぴ な こ とで は な い.そ して,実 験 的 に,筋 や腱 が実 際 に粘 弾性 体 と して振 る舞 う と して記 述 で きる場合 は確 か に あ る.」 とい うこ と くらい を答 えて お け ば よい だ ろ う.粘 弾 性 の 分 子論 は専 門家 で も難 しい の だか ら,こ れ で 当面 の と ころ勘 弁 して も ら うこ とにす れ ば よい.
11.4物
体 の空 間運動
11.3節 で は物 体 が直 線上 を運動 す る場 合 を扱 っ たが,本 節 で は物 体 が 曲線 的 に運 動 す る場 合 を考 え る.と は い っ て も,「 物 体 に作 用 す る外 力 を数 え上 げて 運 動 方程 式 を立 て る」 とい う基本 姿 勢 は ま った く変 わ らな い.た だ,外 力 お よび初 期 条件 に よって様 々 な運動 が 生 じる とい う こ とを本 節 で しっ か り学 ん で もらい たい.
11.4.1放 図11.14の
物 体 の運動 よ うに水平 面 に対 し角 度 θをなす 方 向 に質 量mの
物体 を初 速v0で 射
出 した と きの物体 の運 動 を考 え よ う.ま ず,物 体 の運 動 を記 述 す る ため の座 標 系 を 選 ぶ.こ れ は もち ろ ん ど う選 んで も構 わ な いの だ が,で きるだ け運 動 が 単純 に記 述 で きる もの を選 ぶ のが お得 だ.今 は図11.14の
図11.14放
物 体 の 運動.y軸
よう にz軸 を鉛 直 方 向 に定 め る.簡
は紙 面 に垂 直 で 紙 面 裏 側 に向 か う方 向 を正 方 向 とす る.
単 の た め,射 出 され た後 の物 体 に は重力mgの
み が作 用 し,空 気 抵 抗 は無 視 で きる
と しよ う.す る と物体 の運動 方 程 式 は物 体 の位 置 ベ ク トル をrと
して,
(11.62) と な る.こ
れ は座 標 系 の 取 り方 に よ ら な い.こ
系 を 意 識 す る こ と な く,ま
の よ う に,ベ
際 の 計 算 で は 成 分 に 分 け て 考 え る こ と に な る が,ま 動 方 程 式 を立 て,し
ク トル を用 い る と座 標
っ た く形 式 的 に 運 動 方 程 式 が 立 て ら れ て 便 利 で あ る.実 ず ベ ク トル を 用 い て 形 式 的 に 運
か る 後 に 自分 の 選 ん だ 座 標 系 に お け る 成 分 を 考 え て い く と 間 違
い が 少 な く な る. さ て,我
々 の 選 ん だ 座 標 系 で はg=(0,0,-g)と
な る の で,式(11.62)は
(11.63) の よ う に成 分 を用 い て 表 せ る.両
辺 をm(≠0)で
割 っ た 後,成
分 ご とに時 間 に関 し
て 積 分 し て い け ば,
(11.64) が 得 ら れ る こ と は も う説 明 す る ま で もあ る ま い(11.3.1,11.3.2項 中 の積 分 定 数C□ 速 度,位
は 初 期 条 件 に よ っ て 決 定 され る.初
参 照).式(11.64)
期 条 件 と してt=0に
お ける
置 を
(11.65) と与 え る と86),時
刻tに
お け る 速 度,位
置が
(11.66) と求 め られ る.x-z平 しか ろ う.4.4節
面 上 に 物 体 の 運 動 の 軌 跡 を 描 くの は パ ソ コ ン を用 い れ ば や さ
で 触 れ た よ う に,tを
媒 介変 数 と して
(11.67)
(11.68) を 描 け ば よ い. 課 題v0=10m/sと た ら重 ね て描 け).
して,θ=30°,45°,60°
の と きの物 体 の 軌 跡 をそ れ ぞ れ描 け(で き
解 説 図11.15に 解答 を示 す.投 射 時 と同 じ高 さ にな る まで の 飛 距離 は投 射 角が45° の場 合 が 最 も大 き く,投 射 角 が30° の 場合 と60° の場 合 で等 しい.し か し,物 体 の着 地 点 が投 射 時 の高 さ よ りあ る程 度以 上 低 い と,投 射 角 が30° の場 合 の方 が 投 射角 が45° の場 合 よ り も飛 距 離 が 大 き くな る.
図11.15太
次 に,zを 使 っ てtをxで
直 接xの
線:投 射 角45°,細
線:投 射 角60°,破
線:投 射 角30°
関 数 と して 表 す こ と を考 え よ う.そ
表 し,そ れ を 式(11.68)に
の た め に は 式(11.67)を
代 入 し て や れ ば よ い(媒 介 変 数 で あ るtを
消 去 す る とい う考 え 方). 課題
上 の こ とを実 行 し,zを
直 接xの
解説
多少 計 算 は面倒 く さいが,
関 数 と して表 せ.
(11.69) が 得 られ る.こ れ は もち ろ ん 三角 関 数 の性 質(4.1節 参 照)
を用 い て
(11.70) と 書 き直 し て も よ い.
補足
式(11.69),式(11.70)はxの2次
関 数 に な っ て い る.一
般 に2次
関数 の 表
す 曲 線 を 放 物 線 と呼 ぶ の は こ こ ら 辺 か ら 来 て い る の で あ る.
次 に,投 よ う.こ
射 した 物 体 が 再 び も との 高 さ(z=0)に
れ は,式(11.69)に
お い てz=0と
戻 っ て くる と き のx座
標 を求 め
して や れ ば よ い.
よ り,簡 単 に
が 得 ら れ る.こ
れ らの 解 はz=0に
し た と き のx座
標 を表 し,
対 応 す るxを
求 め た も の で あ り,x=0は
投射
(11.71) の 方 が,物
体 が 再 び も と の 高 さ(z=0)に
2sinθcosθ=sin2θ
戻 っ て く る と き のx座
標 で あ る.こ
れ は,
で あ る87)こ と を 利 用 す れ ば,
(11.72) と変 形 す る こ と が で き る.と さ(z=0)に
こ ろ で,x=0,z=0で
戻 っ て くる と きのx座
標 は,ま
で の 飛 距 離 を 表 す こ と に な る.式(11.72)こ な お,式(11.72)か
投 射 した 物 体 が 再 び も と の 高
さ に 物 体 が も との 高 さ(z=0)に そ2.5.2項
ら,投 射 角 θが θ1=45°+α
の 式(2.1)に
戻るま
ほ か な ら な い.
の 場 合 と θ2=45°-α
の場 合
と で 飛 距 離 が 等 し く な る こ と は 簡 単 に 示 す こ とが で き る(三 角 関 数 の 加 法 定 理 を わ ざ わ ざ使 う ま で もな く,単 位 円 を描 い て 調 べ れ ば 明 らか で あ る).図11.15に
お いて
投 射 角 が30° の 場 合 と60° の 場 合 で 飛 距 離 が 等 し くな る の は 偶 然 で は な か っ た の で あ る. 補 足 競 技 と して の砲 丸 投 げ の飛 距 離 を式(11.72)で 求 め て は い け ない.そ れ は砲 丸 の投 射 位 置 の 高 さ と着 地位 置 の高 さが 異 な る し,飛 距 離 を測 る基 準 の 位置 はサ ー ク ルの 端 だか らで あ る.走 り幅跳 び の飛 距 離 とな れ ば さ らに話 は複 雑 で あ る し,槍 投 げ,ス キー の ジ ャ ン プの よ うに空 気 抵 抗 を無視 で きない 場合 に は さ ら に補 正 が 必 要 であ る.で は,本 項 の 議 論 は競 技 へ の 応 用 に は役 に立 た な い ので あ ろ うか.答 え は否.ま ず,単 純 な条 件 か ら考察 を始 め,必 要 に応 じて 条 件 を増 や して 近似 の精 度 を上 げて い く とい う のが 科 学 の 方法 なの で あ る. sin関 数 はsin90° め に は2θ=90°,す
の と き最 大 値1を
と る.そ
な わ ち 投 射 角 度 を θ=45°
の た め 式(11.72)の
最 大 値 を得 る た
とす れ ば よ く,そ の と きの 飛 距 離 は
v02/ gと な る.た だ し こ の 議 論 はv0が 一 定 で あ る と い う条 件 下 に お い て の み 正 しい. 現 実 の 投 擲 競 技 や 幅 跳 び な ど の 場 合 は 初 速v0が θ に 依 存 す る と考 え られ る.こ の 辺 に 関 し て は13.3節 補足
で 簡 単 に触 れ る.
運 動が 放物 線 の頂 点 に関 して対 象 にな る こ とを利 用 す れ ば も う少 し横 着 して式
(11.71)を 求め る ことが で き る.放 物 線 の頂 点 は鉛 直 方 向 の速 度 がゼ ロに な った と き と考 え られ る.す なわ ち そ の ときの 時刻t0は,式(11.66)に おい てz(t0)=0と し てt0=v0sinθ/gと 求 め られ る88).物 体 が 投 射 時 の高 さに戻 っ て くる 時刻 は運 動 の対 称 性 か らt=2t0と な お,放
し て よ い.こ
物 線 の 頂 点 の 高 さhは
れ を 式(11.67)に
代 入 し て 式(11.71)が
式(11.68)にt0を
と 求 め ら れ る.と と が わ か る.滞
こ ろ で こ の 式 とt0=v0sinθ/ gを 見 比 べ る と,h=1/2gt02で 空 時 間 をT=2toと す れ ばh=1/8gT2と 求 め ら れ る.垂
高 さ を滞 空 時 間 か ら推 定 す る た め に こ の 式 は よ く使 わ れ る.10.2節 滞 空 時 間 か ら 跳 躍 高 を 求 め る “公 式 ” を ノ タ マ ワ ッ テ イ ル が,そ で あ る.た
だ し,こ
そ れ は,離
地 時 と 着 地 時 の 姿 勢 の 差 の 問 題,お
得 ら れ る.
代 入 す れ ば 簡 単 にh=(v0sinθ)2/2g あるこ 直跳 びの
に お い てS嬢
が
れ は この式 の こ と
の 式 で 跳 躍 高 を 求 め る 際 に は い ろ い ろ と注 意 す べ き こ と が あ る. よ び 跳 躍 高 の 定 義 の 問 題 で あ る.こ
の 問 題 に つ い て は 各 自 よ く考 え て も ら い た い89).
11.4.2等
速 円運 動
等 速 円 運 動 に 関 し て は今 ま でp.97の て きた.こ
こ で は そ の 復 習 を しつ つ,物
課 題 とp.125の
補 足 で そ こ は か と な く触 れ
体 が等 速 円運動 す るた め に は物体 に どの よ
う な 力 が 働 け ば よ い か を考 え よ う. さて 今,等
速 円 運 動 が 図11.16の
図11.16円
よ う にx-y平
運 動.θ
面 内 で 行 わ れ る と し よ う.そ
は時 間の 関 数 で あ る.
して
回転 の 中心 を原 点 と し,回 転 の半 径 をrと す る.物 体 が原 点 を中心 とす る半 径rの 円 周上 に乗 って い るの だ か ら(こ れ は 円運 動 の 条件 で あ り,等 速 円運 動 の 条件 で は ない),x軸
と動径 の なす角 を θと して,物 体 の位 置 ベ ク トルrは
(11.73) と書 け る.速 い.θ
度 ベ ク トルvを
求 め る た め に は 式(11.73)を
時 間 で微 分 してや れ ば よ
は時 間 が経 つ につ れ て変化 す る こ とに注 意 して三 角 関数 の微 分 法 と合成 関数
の 微 分 法 と を 考 え れ ば,
(11.74) と な る.こ
れ を利 用 して 式(11.73)の
時 間微 分 を 実 行 す る と,
(11.75) と な る.こ
こ で,速
度 ベ ク トルv(=r)と
る こ と が 簡 単 に わ か る.ゼ は,そ
位 置 ベ ク トルrと
ロ ベ ク トル で な い 二 つ の ベ ク トル の 内 積 が0と
の 二 つ の ベ ク トル の な す 角 が90°
わ ち,物
の 内 積 を と る と0に
体 が 円 運 動 を す る 場 合,速
と い う こ とで あ る(p.71の
な
い うこ と
例 参 照).す
な
度 ベ ク トル は 円 の接 線 方 向 を 向 く90)と い う こ と
が わ か る. 補足
実 は物 体 が 曲線 運動 を行 っ てい る と き,曲 線 上 の任 意 の 点(た だ し尖 っ た部
分 ――微 分 不 可 能 な点 ――は除 く)に お け る速 度 ベ ク トルは そ の点 にお け る接 線 方 向 を向 く.こ れ は,物 体 が 平 面 内 で(2次 元 的 に)運 動 して い て も,空 間内 で(3次 元 的 に)運 動 してい て も同 じで あ る91). 課題
式(11.73)のrと
解説
解 答 略.
さて,次
式(11.75)のvと
の 間 にr・v=0が
に この 円運 動 が “ 等 速 ” で あ る 条 件,す
条 件 を 考 え よ う.v=rθ(-sinθ,cosθ)で
成 り立 つ こ と を 示 せ.
な わ ち│v│(=│r│)が
一定 で あ る
あ る か ら,
(11.76) で あ り92),rが
定 数 で あ る こ と を 思 い 出 す と,動 径 の 角 速 度 θが 定 数 で あ れ ば 円 運
動 の 速 度 の 大 き さ(速 さ)が 一 定 に な る こ とが わ か る.こ こ う.す
の一 定 の 角速 度 を ω とお
る と,
(11.77)
よ り,
(11.78) と な る.こ
こ に θ0は 積 分 定 数 で,t=0に
(11.77),式(11.78)を
お け る 動 径 とx軸
との な す 角 を表 す.式
用 い る と式(11.73),式(11.75)は
(11.79) (11.80) と な る.こ
れ ら が,中
表 す こ と に な る.次
心 が 原 点 で 半 径 がrの に 加 速 度 ベ ク トルaを
等 速 円 運 動 を す る物 体 の 位 置 と速 度 を 求 め て み よ う.こ
を 時 間 で 微 分 し て や れ ば よ い.式(11.74)を
の た め に は 式(11.80)
利 用 して こ れ を 実 行 す る と,
(11.81) と な る.式(11.79)と
式(11.81)と
を 見 比 べ る と,
(11.82) で あ る こ とが わ か る.す rω2で あ り,向
な わ ち,等
速 円 運 動 に お い て は 加 速 度 ベ ク トル の 大 き さ は
き は 回 転 の 中 心 方 向 を 向 く こ と が わ か る93).な
速 円 運 動 の と き に しか 成 り立 た な い こ と に 注 意 せ よ.つ 度 を 「 大 き さ はrω2で
あ り,向
あ っ た.こ
般 に 速 度 の 大 き さ(速
で あ る か ら(p.71の
垂 直 で あ り,rとa(=r)は
れ よ り,速 度rと
加 速 度rは
さ)が 一 定 の 場 合94),速
に な る こ と が 次 の よ う に 示 さ れ る.ま さが 一 定 な の でCを
ず,速
度 ベ ク トル と加 速 度 ベ ク トル が 垂 直 度 ベ ク トル をvと
正 の 定 数 と し て│v│2=Cと 例 参 照),v・v=Cと
と0と
な る).内
し て よ い.と な る.内
す 角 が90°
れ は,加
し よ う.速
度 の大 き
こ ろ で,│v│2=v・v
積 の 微 分 公 式(6.7節
積 で は 交 換 則 が 成 り立 つ か ら(5.5.2項 得 ら れ る.こ
平行
垂 直 で あ る こ と が わ か る.一
用 し て こ の 式 の 両 辺 を 時 間 で 微 分 す る とv・v+v・v=0と な わ ちv・v=0が
ま り,一 般 の 円 運 動 で 加 速
参 考 に して ほ しい.
速 円 運 動 に お い て はrとv(=r)は
(向 き は 逆)で
等
き は 回 転 の 中 心 方 向 を 向 く」 とや っ て は い け な い.
こ の 点 に 関 し て は 次 の 補 足2を 補 足1等
お,式(11.82)は
参 照)を
利
な る(定 数 は 微 分 す る 参 照),結
速 度 ベ ク トルvと
局2v・v=0,す
速 度 ベ ク トルvと
の な
で あ る こ と を示 し て い る.
補 足2不 等 速 円 運動 にお い て は接 線 方 向 の加 速 度 成 分 は ゼ ロで はな い.不 等 速 円 運 動(半 径rは 一 定 だが 角速 度 ω は一 定 で ない 運 動)も 含 め て一 般 の 円運 動 の場 合, 中心 方 向 の 加速 度 成 分a⊥ と接 線 方 向 の加 速 度 成 分a は
であ る こ とが純 粋 に数 学的 に示 され る95)(た だ し,v=│v│と
した).こ れ よ り,θ≠0,
す な わ ち ω ≠0な らば,す な わ ち角 速 度が 一 定 で な け れ ば,加 速 度 の接 線 方 向成 分 a‖ はゼ ロで な く,そ れ ゆえ 加速 度 は 中心 方 向 を 向か ない こ とに な る.
次 に,等 速 円運 動 を行 わせ る ため に は質 量mの
物体 に どの よ うな力 が作 用 す れ ば
よい か を考 え よ う.と い っ て も,こ こ まで準 備 が 整 って しま え ば後 は 簡単 であ る. 運 動 方程 式
(11.83) と 式(11.82)よ
り,
(11.84) な る 力 が 物 体 に作 用 し,か つ 初 期 条 件 と して,あ 大 き さ がrω で あ り,そ r(=│r│),角
る 瞬 間 に お い て 物 体 の持 つ 速 度 の
の 向 きが 力 の 方 向 と垂 直 な ら ば,物
速 度 ω の 等 速 円 運 動 を す る こ と に な る96).も
体 は原 点 を中心 に半径 ち ろ ん 速 度 の 大 き さvは
(11.85) で あ る. 補 足r=│r│やv=│v│が
一 定 で あ る と い っ て も,r,vそ
の も の は 向 きが 刻 一 刻 と
変 化 し て い く以 上,定 ベ ク トル で は な い.よ く 「等 速 な の に なぜ 加 速 度 が ゼ ロ で な い の か 」 と い う 疑 問 を 持 つ 人 が い る が,加 速 度 の 定 義 を思 い 出 し て ほ し い.加 速 度(ベ ク トル)の
定 義 はlimv(t+Δt)-v(t)/Δtで
な い の で あ る.v(t+Δt)-v(t)は
あ り,lim│v(t+Δt)│-│v(t)│/Δtで ゼ ロ ベ ク トル で は な い の で,加
ゼ ロ ベ ク トル に な ら な い の は 不 思 議 で は な い.な 定(rω2)で
お,加
速 度 ベ ク トル の 大 き さ は 一
あ っ て も 向 き は 刻 一 刻 と変 化 し て い る こ と に 注 意 せ よ.そ
円 運 動 を 与 え る た め の 力 も,大
き さ は 一 定(mrω2)で
に 円 運 動 の 中 心 に 向 か う よ う に)変
は
速 度 ベ ク トル が
あ る が,向
の た め,等
速
き を 刻 一 刻 と(常
え て い る.
こ れ は 次 の よ う に 言 い 換 え る こ と が で き る. 物 体 が 半 径r,角
速 度 ω の 等 速 円 運 動 を 行 う と し て―― 運 動 を ま ず 想 定 し
て―― そ の 運 動 を引 き起 こ す た め に 必 要 な 力 は 式(11.84)よ に 向 か い,大 い れ ばmv2/rに
き さ がmrω2な
る も の で あ る.こ
り,回 転 の 中心
の 大 き さ は 式(11.85)を
用
等 しい.
円 運動 を扱 う際 には 固定 され た直交 座 標 に よ る表示 が 煩 わ しい こ ともあ る.運 動 をむ しろ瞬 間瞬 間 の中心 方 向成 分 とそれ に直 交す る方 向成 分(接 線 方 向成分)に 分 け て考 え る と よい.角 速 度 ω の等 速 円運動 の場合,加 速 度ベ ク トルの 中心 方 向成 分 は
(11.86)
で与 え られ,接 線 方 向成 分 はゼ ロで あ る こ とが 本 項 の 議論 か ら理解 で きよ う(こ れ は力 学 の問題 とい うよ りは数 学 の問題 で あ る).こ の こ とよ り,等 速 円運 動 を考 察 す る際 には,と
りあ えず 回転 の 中心方 向 の運 動 方程 式97)
(11.87) を 考 え て お け ば よい. 補足 「 式(11.87)は 等 速 円運 動 に おい て物 体 に働 く遠心 力 の公 式 じゃな い の?」 と い う人 が い るか も しれ な い.本 節 の議 論 に お いて は,そ れ は誤 りで あ る.と い う の も,こ の物 体 に は遠 心力 な ど働 い てい ない か らで あ る.「 そ ん な馬鹿 な!回 転 運 動 して い る物体 に は遠 心力 が 働 い て い るは ず だ.」 とい う人が い るか も しれ な い.そ れ も誤 りで あ る.“ 物 体 が 回転 して い る,し てい ない” と “物体 に遠 心 力 が働 い て い る, 働 い て い ない ” とは ま っ た く無 関 係 で あ る.遠 心 力 が 働 い て い る か ど うか は,観 測 者(観 測座 標 系)が どの よ うな運動 を してい る か だけ が 問題 なの で あ る.こ の点 につ い て は第18章 で 解 説 す る. 課題 図11.17の よう な円 錐 振 り子(物 体 は 糸 を支 持 して い る点 か らhだ け離 れ た水 平 面 内 を円 運動 して い る)の 周 期 をg,hを 用 い て表 せ.た だ し,糸 の 質量 や 空 気抵 抗,あ らゆ る摩 擦 力 は無 視 す る.
図11.17円
錐 振 り子
解 説 こ れ も基 本 通 り物 体 に働 い て い る力 を数 え上 げ る こ とか ら始 め よ う.ま ず 物 体 の 表 面 を ぐる りと撫 で回 し,物 体 に糸が 接 して い るの を発 見 す る.こ の 糸 か ら受 け る力(糸 の張 力 と い っ て よい)をSと しよ う.あ とは重 力mgを 考 えれ ば よい(物 体 の 質 量 をmと した) .こ れ よ り運 動 方 程 式 は
(11.88)
とな る.次 に座 標 系 を設定 して 成 分計 算 を行 お う.ま ず鉛 直 方 向 成 分 を考 え る.鉛 直 上 向 き を正 とす れ ば,物 体 に作用 す るSの 鉛 直 成 分 はScosθ で あ り(S=│S│),mgの 鉛直成分 は-mgと な る.物 体 は水 平 面 内 を運 動 してい るの だか ら鉛 直 方 向 の加 速 度 は ゼ ロで あ る. よ って鉛 直成 分 の 運 動 方程 式 は
(11.89) と な る.こ
れ よ りただ ち に
(11.90) が 得 られ る.次 に 円運 動 の 中心 方 向成 分 を考 え よう.重 力 は こ の方 向 には成 分 を持 た ず,張 力 の この方 向 の成 分 はSsinθ で あ る.ま た 円運 動 の加 速 度 の この 方向 の 成分 は円 運動 の 半径 をr,角 速 度 を ω とす れ ばrω2で あ った か ら,中 心 方 向成 分 の 運 動 方程 式 は
(11.91) と な る.ω 長 さ をl,糸 る.こ
が 求 め られ れ ば,等
速 円 運 動 の 周 期Tは2π/ω
の 関 係 か ら 求 め られ る.さ
が 鉛 直 方 向 に 対 し て な す 角 を θ とす れ ば 図11.17か
の 式 と 式(11.90)を
式(11.91)に
て,糸
ら 明 ら か にr=lsinθ
の であ
代入す ると
(11.92) が 得 ら れ る.こ
れ よ り ω は,
(11.93) と 求 め ら れ る.こ
こ で 図11.17よ
りh=lcosθ
で あ る か ら 式(11.93)は,
(11.94) と な る.よ
っ て,周
期Tは
(11.95) と求 め られ る.次 元 解 析 を行 え ば式(11.95)の
右 辺 の 量 が 時 間 の次 元 を持 っ て い る こ とは す
ぐに確 か め られ る で あ ろ う.
身体 運動 は関節 運 動 の 組 み合 わせ であ り,関 節 の運動 は本 質 的 に回転 運 動 で あ る こ とを考 え れ ば,回 転 運動 の基礎 を 身 につ け る こ とは身体 運動 を深 く考 察 す る ため の 第一 歩 とい え よ う.等 速 円運 動 は 回転運 動 の最 も基本 的 な もので あ る.別 にハ ン マ ー投 げ とか をや らない 人 で も,本 項 の 内容 はぜ ひ理 解 してお い て も らいた い.本 項 の 内容 を知 らず に運 動 中の 関節 トル ク に関 して議論 す る こ とはで きない.
11.4.3惑
星 の運 動
惑 星 の公 転 運動 を太 陽 を 中心 とす る等 速 円運動 と見 な し,そ の原 動 力 とな る力 は どの よ うな性 質 を持 つ か考 え よ う. 惑 星 が太 陽の まわ りを等 速 円 運動 して い る とい う こ とは,11.4.2項
の議 論 を思 い
出せ ば,惑 星 は常 に太 陽 の方 向 に 向か っ て力 を受 けて い る こ と にな る.こ の こ とが すべ ての惑 星 に対 して成 り立 って い る以上,惑 星 は太 陽 か ら引 力 を受 けて い る と考 えて よい だ ろ う.こ の太 陽 か ら受 け る引力 の 大 きさ をFと 道 の半径 をr,角 速度 を ω,惑 星 の質量 をmと
し よう.そ して,公 転軌
す れ ば(太 陽方 向 に関 す る)惑 星 の 運
動方 程 式 は,
(11.96) と な る.と (11.96)に
こ ろ で,惑
星 の 公 転 周 期 をTと
す れ ば ω=2π/Tで
あ るか らこ れ を式
代 入す る と
(11.97) が 得 られ る.と
こ ろ で ケ プ ラ ー に よ っ てT3とT2の
さ れ て い る(ケ プ ラ ー の 第3法
則,8.5.2項
間 に は 比 例 関 係 が あ る こ とが 示
参 照).す
なわち
(11.98) と い う 関 係 が 成 り立 つ.そ
こ で 式(11.97)か
らr3/T2を
作 り 出 す こ と を 考 え よ う.
ま ず 式(11.97)を
(11.99) と変 形 す る.こ
の 両 辺 にr2を
か け る こ とに よ り
(11.100) が 得 られ る.こ (11.100)の
こ で π は 定 数 で あ り,式(11.98)よ
左 辺 は 定 数 と な る.こ
れ を改 め てkと
りr3/T2も お こ う.す
定 数 で あ る か ら式
な わ ち 式(11.100)を,
(11.101) と書 き 直 す.こ
れ よ りた だ ち に
(11.102)
が 得 ら れ る.と り,rは
こ ろ でFは
惑 星 が 太 陽 か ら 受 け る 力 で あ り,mは
太 陽 と惑 星 と の 間 の 距 離 で あ っ た.つ
惑 星 の質 量 で あ
ま り,
主張A:「 惑 星 が 太 陽 か ら受 け る引力 は 惑 星 の質 量 に比 例 し惑 星-太陽 間 の距 離 の2乗 に反 比例 す る」 こ と が ケ プ ラ ー の 第3法 ら,太
則 か ら帰 結 さ れ た の で あ る.と
ころ で作用 反作 用 の法則 か
陽 も 同 じ大 き さ の 引 力 を惑 星 か ら受 け て い る は ず で あ る.す
な わ ち,
主 張B:「 太 陽 が 惑 星 か ら受 け る引 力 は 惑 星 の質 量 に比例 し惑 星-太陽 間 の距 離 の2乗 に反 比例 す る」 と い う こ と に な る.と
こ ろ で 主 張Aと
主 張Bと
部 分 で 対 称 性 が 崩 れ て い る こ と が わ か る.対
を 見 比 べ る と,ア
ンダー ライ ン の
称 性 を よ くす る た め に は 主 張Bの3番
目 の ア ン ダ ー ラ イ ン の 部 分 を 「太 陽 」 に直 した い と こ ろ で あ る.し
か し そ うす る と,
太 陽 が 惑 星 か ら 受 け る 力 と惑 星 が 太 陽 か ら受 け る力 が 異 な っ て し ま い,作 の 法 則 に 反 し て し ま う の で は な い か?こ
主 張C:太
用 反作 用
の 問 題 は,
陽 と惑 星 が 及 ぼ し合 う引力 は太 陽 の質 量 に も惑 星 の質 量 に も比
例 し,惑 星-太 陽 間の 距離 の2乗 に反比 例 す る. と仮 定 す る こ と に よ り解 決 す る98).す が 及 ぼ し合 う 引 力FはCを
な わ ち,太
陽 の 質 量 をMと
し て 太 陽 と惑 星
比 例 定 数 と し て,
(11.103) で あ る と仮 定 す る の で あ る.こ で,太
陽 の 質 量Mが
の 式 は,す
べ て の惑 星 の公 転 に太 陽 が絡 ん で い るの
定 数 と し て 式(11.100)の
比 例 定 数kの
中 にk=GMの
形で
潜 り込 ん で し ま っ て い る と考 え る こ と に相 当 す る. さ ら に 式(11.103)か 式(11.103)の わ ち,こ
ら次 の よ う な こ と も考 え ら れ な い で あ ろ う か.
中 に は 質 量 と距 離 とい う一 般 的 な量 しか 入 っ て い な い.す
の 式 に よ っ て 表 さ れ る 引 力 は,何
な
も太 陽 と惑 星 の 間 だ け に働 くの
で な く,す べ て の 物 体 の 間 に働 く の で は な い か.す
な わ ち,質
を持 つ 二 つ の 物 体 が 距 離rだ
者 の間 には
け 離 れ て い る と き,両
量m1,m2
(11.104) の 力 が 働 い て い る の で は な い か.
以 上 の 議 論 に は す さ ま じ い ば か りの 知 性 の 閃 き と い う か,洞 察 力 を感 じ られ る(少 な く と も筆 者 に は).よ しろ.飛
く,「 実 験 を した ら,そ
躍 を す る な.」 と い う 人 が い る.そ
の デ ー タ か ら い え る こ とだ け を 議 論
れ は あ る 意 味 で は 正 しい.事
た議 論 が 科 学 の 発 達 を 妨 げ た こ と は 歴 史 上 数 限 りな くあ る.し
か し,目
実,飛
躍 し
に見 え な い
もの を “ 見 よ う” とす る 意 志 が 科 学 を躍 進 させ る こ とが あ る の も ま た 事 実 で あ り,そ れ こ そ が 科 学 の 醍 醐 味 な の で あ る. ケ プ ラ ー の 第3法 る.こ
則 か ら 一 気 に こ れ だ け の こ と を 読 み 取 っ た の は ニ ュ ー トン で あ
れ だ け で も ニ ュ ー ト ンの 驚 嘆 す べ き才 能 が うか が え る が,も
見 出 し た 関 係 式(11.104)が ら,式(11.104)に
ケ プ ラ ー の 第3法
は そ れ ほ ど 意 味 は な い.つ
説 は 法 則 と は 呼 べ ず,現
則 し か 説 明 す る こ とが で き な い の な ま り,一 つ の 現 象 しか 説 明 で き な い 仮
象 の 単 な る 言 い 換 え で しか な い か ら で あ る.
ニ ュ ー ト ン は 自 ら 式(11 (11.104)で
しニ ュ ー ト ン の
.104)の
応 用 例 を 見 出 し た.“ リ ン ゴ ”が 落 ち る の も式
表 さ れ る 引 力―― 地 球 と リ ン ゴが 互 い に及 ぼ し合 う 引 力 ―― に よ る も の で
は な い か と 考 え た の で あ る.し
か し,こ
の よ う な 定 性 的 な 議 論 だ け で は 式(11
を 確 か め た こ と に な ら な い.も
う少 し定 量 的 な 議 論 は で き な い だ ろ う か.ニ
.104) ュー ト
ン は考 え る.
リ ンゴが 落下 す る際 に働 く力 は 地球 か らの引 力 で あ る.リ ン ゴの落 下 運動 の運 動 方程 式(の 地球 の 中心 方 向 成分)は
(11.105) に よ っ て 記 述 さ れ る に 違 い な い.た 球 の 質 量 で あ り,aは 間 の 距 離 で あ る.さ
だ し,m1,m2は
そ れ ぞ れ リ ン ゴ ,地
リ ン ゴ の 加 速 度 で あ る99).そ て,式(11.105)の
両 辺 をm1で
し てrは
リ ン ゴ と地 球
割 っ てや れ ば
(11.106) が 得 られ る.す
な わ ち,地 球 か らの 距 離rが 一 定 な ら,地 球 か らの 引 力 の み を
受 け て 運 動 す る 物 体 の 加 速 度 は 自 身 の 質 量m1に 実 際 に,地
よ ら な い こ とが 示 され る.
表 近 辺 の 落 体100)の 加 速 度 が 物 体 の 質 量 に よ らずg=9.8m/s2
に な る の は こ の こ とが 原 因 な の で は な い か.す
なわ ち ,
(11.107) とい う こ とで あ る.と 変 化 しな い.と
こ ろ で,こ
い う こ と は,rは
の 値 は 地 表 か ら の 高 さが 多 少 変 わ っ て も 地 表 か ら の 高 さ で は な く,地 球 の 中 心 か
ら の 距 離 とす る の が 正 し い だ ろ う.そ
うす れ ば,地
差 は 地 球 の 半 径 に 比 べ れ ば 無 視 で き る の で,gが 力 のr依
表 か らの高 さの多 少 の
標 高 に よ ら な い こ とが 説
明 で き る.で
は,引
と こ ろ で,そ
の 高 さ は 地 球 の 半 径 に比 べ れ ば 数 千 分 の1程
存 性 は ど う や れ ば 検 証 で き る か.山
差 を検 出 す る こ と は 至 難 の 技 だ.も そ う だ,月
だ.地
違 い な い.と
に登 っ た
度 で あ る.こ
の
っ とrを 変 化 さ せ られ な い で あ ろ う か.
球 の ま わ り を 回 る 月 に 働 く力 も地 球 か ら の 引 力 で あ る に
い う こ と は,月
ち 式(11.106)に
の 運 動 も同 じ運 動 方 程 式(11.105)に,す
従 う は ず だ.た
月 の 間 の 距 離 で あ る.と
だ し,今 度 はm1は
こ ろ で,地
月 の 質 量 でrは
球 の 半 径 は 約R=6400km101)で
こ とが 測 量 技 術 の 発 展 に よ りわ か っ て い る.ま
た,緯
ある
度 の 違 う 場 所 か ら月
を 観 測 す る こ と に よ り,地 球 か ら月 ま で の 距 離 は お よ そ60Rで わ か っ て い る.こ
なわ 地球 と
あ る こ とも
こ ま で わ か っ て い れ ば 月 の 加 速 度 を “リ ン ゴ ”の 加 速 度
gで 表 せ る で は な い か.つ
ま り,式(11.106)に
よ っ て リ ン ゴ の 加 速 度gと
月 の 加 速 度amは
(11.108) と表 せ る.辺
々 を 割 っ て 整 理 す れ ば す ぐ に,
(11.109) が 得 ら れ る.つ 加 速 度 の3600分
ま り,地 球 の ま わ りを 回 る 月 が 持 つ 加 速 度 は 地 表 で の 重 力 の1に
な る に 違 い な い.と
速 度 ω で 等 速 円 運 動 して い る と し よ う.す
こ ろ で,月 る と,月
は 地 球 の ま わ り を角 の 加 速 度 は 式(11.86)
よ り
(11.110) と 表 せ る.式(11.109),式(11.110)よ
り
す なわ ち
(11.111) が 得 ら れ る.と
こ ろ で 月 の 公 転 周 期Tと
ω の 関 係 はT=2π/ω
で 表 せ る.
これ よ り月の公 転 周 期 は
(11.112)
に な る は ず で あ る.さ
あ,Rに
9.8m/s2,π
代 入 し て 計 算 して み よ う.す
に3.14を
と求 め られ る.こ
地 球 の 半 径6400km=6.4×106m,gに
れ は 一 日 が24時
を使 え ば 簡 単 に27.3日
間 で あ り,1時
る とT=2.36×106s 間 が3600秒
で あ る こ とが わ か る.27.3日――
であ るこ と
こ れ は天 体 観 測 に
よ っ て 得 られ た 月 の 公 転 周 期 と 一 致 す る で は な い か! ま さ に 大 成 功 で あ っ た.こ
う して 式(11.104)は
法 則(lawofuniversalgravitation)―― 残 さ れ た 仕 事 は 式(11.104)の versalgravitation)――
単 な る 仮 説 か ら法 則―― 万 有 引 力 の
へ と昇 華 し た の で あ る. 中 の 比 例 定 数G――
万 有 引 力 定 数(constantofuni-
を実 験 的 に 定 め る こ とだ が,重
あ り,実 験 は 非 常 に 困 難 な も の で あ っ た.そ
力 は きわ め て弱 い相互 作 用 で
の 困 難 を 克 服 し,最 初 に 万 有 引 力 定 数
を測 定 した の は キ ャ ベ ン デ ィ ッ シ ュ(Cavendish,1731-1810)で な方 法 は こ こ で は紹 介 しな い102).な と さ れ て い る.こ に な る.す
のGの
な わ ち,rに
お,現 在Gの
値 と式(11.107)を
の 巧妙
用 い れ ば 地 球 の 質 量 が 求 め られ る こ と
地 球 半 径6400km,gに9.8m/s2を
量m2が6.0×1024kgと
あ る が,そ
値 は約6.67×10-11N・m2/kg2
代 入 す れ ば,地
球の質
求 め ら れ る(確 か め よ).
課題 地 球 の 赤 道 上 空 に静 止 して 見 え る人 工 衛星 を静止 衛星 とい うが,静 止 衛 星 は 地球 か ら の 重 力 に よ り地 球 の ま わ りを周 期24時 間の 等 速 円 運動 を して い る.静 止 衛 星 の 軌 道 の地 表 か らの高 さ を求 め よ. 解説 静 止衛 星 の地 球 の 中心 か らの距離 をr,角 とす る と,
とな り,ま た角 速 度 ω と周期Tと
速 度 を ω,質 量 をmと
し,地 球 の質 量 をM
の 関係 は
で あ る.こ れ らに必 要 な数 値 を代 入 す れ ば よい.r
4.2×104kmと
プ ラ ーの 第3法 則 を静 止 衛 星(軌 道半 径r,周 期1日)と に適 応 して も よい.ケ プ ラ ーの 第3法 則 は惑 星 の
求 め られ る.こ れ は ケ
月(軌 道 半 径38万km,周
期27日)
(軌道 半径)3/ (周期)2 が惑 星 に よ らず 一 定 とい う こ とで あ るが,こ れ は地 球 に よる万 有 引力 に よ って 円 運 動(楕 円 運動)を して い る 月 と人 工 衛 星 の 間 に も成 り立 つ.よ って,
が 成 り立 つ こ と に な る.27=33で r
4.2×104kmが
あ る こ と に 注 意 す れ ば 計 算 は 筆 算 で も 楽 に で き,同
得 ら れ る.さ
ら地 球 の 半 径(約6400km)を
て,問
じ く,
題 は 地 表 か ら の 高 さ を 求 め よ と い う の だ か ら,rか
引 け ば よ い.答
え は お よ そ3.6×104kmと
な る.
補 足1ニ ュ ー トンの運 動 の 法則 と,ニ ュ ー トンの 万有 引 力 の法 則 はそ の後 天 文 学 に応 用 され て様 々 な成 果 をあ げ る こ と に な るが,ニ ュー トンは万 有 引 力 の法 則 を発 見 した後,し ば ら くそ の発 表 を控 え て い た.そ れ は,“ リ ンゴ”の 落 下 を扱 う際 に, リ ンゴ と地 球 との距 離 を地 球 の半 径 と して なぜ よ いか につ い て合 点 が い か な か った か らで あ る.し か し,こ の 問題 は,「地 球 を細 か く分割 し,そ れ ぞ れ の部 分 が リン ゴ に及 ぼ す万 有 引 力 を足 し合 わせ る」 とい う巧 妙 な方法 でニ ュ ー トンが 自 ら解 決 した. ニ ュ ー トンは 球対 称 に質 量 が分 布 して い る2物 体 が あ る とき,そ れ らの 物体 間 に働 く万 有 引 力 は,そ れ ぞれ の 物 体 の質 量 が そ の 中心 のみ に存 在 して い る と して計 算 し て よい こ と を証 明 した ので あ る.そ の方 法 は 多少 込 み 入 って い る ので こ こで は紹 介 しな いが,証 明 の 際 に は幾何 学 と積 分 法 の 考 え 方が 巧 み に用 い られて い る.も ち ろ ん積 分 法 はニ ュ ー トンが 体 系 化 した もの だ.こ の時 代 の 科 学 は ま さ にニ ュー トン に よっ て切 り開 か れ て い っ たの で あ る. 補足2ハ ンマ ー投 げ を思 い出 そ う.実 際 の競 技 と は異 な り,試 技 者 は単 に 自分 を 中心 と してハ ンマ ー を一 定 の 角 速度 で 回す こ とに しよ う.し か し,実 際 にや っ てみ れ ば わ か るが,試 技 者 は多 少 ハ ンマ ー に振 り回 され て しま う.も う少 し正確 に い う と,試 技 者 とハ ンマ ー か ら なる系 の重 心 が 回 転 の 中心 と な り,ハ ンマ ー の重 心 と試 技 者 の重 心 は そ の まわ りを同 じ角速 度 で 回 る こ と にな る103).そ の 理 由 は本 書 で は 考察 しな いが,同 じこ とが 太 陽 と惑 星の 運 動 にお い て も成 り立 っ てい る.た だ,太 陽 の質 量 は惑 星 の 質量 に比 べ て圧 倒 的 に大 き く,太 陽 と惑 星 か らな る系 の 重心 は太 陽 の重 心 の位 置 の きわ め て近 くにあ る104).地 球 と月 に関 して も同 じこ とが い え る. そ の た め,本 項 で行 っ た近似 は 十分 許容 され るこ とに な る.ま た,実 際 の 惑 星 の運 動 は太 陽 を焦 点 とす る楕 円 で あ るが(ケ プ ラー の第1法 則),万 有 引力 の法 則 を認 め れ ば,初 期 条 件 に よ って 惑 星 が 太 陽 を焦 点 とす る楕 円 運動 をす る こ とが 導 か れ(太 陽 の質 量 を十分 大 きい とみ な す),そ の場 合 で もケ プ ラー の第3法 則 が成 り立 つ こと が示 さ れ る.こ の 点 に 関 して もニ ュ ー トンは キ チ ンと示 して い る.
11.4.4振 図11.18の
り子 の 運 動 よ う な振 り子(pendulum)を
考 え よ う.糸
の 長 さ はlで
質量 は無視 で
き る と し,お も り(質 点 と し て 扱 え る とす る)の 質 量 はmと
す る105).お
す る力 は 糸 か ら受 け る 力Sと
も りの 運 動 方 程 式 は
重 力mgで
あ る.よ
っ て,お
も り に作 用
(11.113) と書 くこ とが で き る.く
ど い よ う だ が,ベ
な く運 動 方 程 式 “質 量 × 加 速 度=外
ク トル を 用 い て 運 動 方 程 式 を立 て た 後,自 い.振
り子 の 運 動 の 場 合,運
ク トル を用 い れ ば 座 標 系 を 意 識 す る こ と
力 の 合 力 ” を形 式 的 に 立 て る こ とが で き る.ベ 分 の 選 ん だ 座 標 系 で の 成 分 を考 え れ ば よ
動 の 形 態 か ら振 り子 の 支 点 を原 点 に し た 極 座 標(p.51
参 照)を 用 い る の が 一 番 素 直 な の だ ろ う が,こ に した 直 交 座 標 系 を 図11.18の
こ で は 敢 え て 振 り子 の 最 下 点 を原 点
よ う に 設 定 し,こ れ を用 い て 式(11.113)の
成分計 算
図11.18振
を す る こ と を考 え よ う.ま
ず,糸
り子 の運 動
の 張 力 と重 力 は,糸
が 鉛 直 方 向 と な す 角 を θ とす
れ ば,
(11.114) と な る.ま
た,図11.18か
ら
(11.115) が 成 り 立 つ こ と も 簡 単 に 確 認 で き る で あ ろ う.以 (11.115)よ
上,式(11.113),式(11.114),式
り,
(11.116) (11.117) が 成 り立 つ こ と が わ か る.こ き な い.そ
こで,適
と を 考 え よ う.そ
の 方 程 式 は 残 念 な が ら我 々 の レベ ル で は 解 く こ とが で
当 な 近 似 を 行 っ て,我
々 が 解 く こ と の で き る 形 に 帰着 させ る こ
の と き役 に 立 つ の がsinθ,cosθ
こ れ ら の 式 の 最 初 の2項
の マ ク ロ ー リ ン 展 開 式 で あ る106).
を 書 き 出 す と,
(11.118)
(11.119) で あ る107).こ
こ で,θ が1(rad)よ
の 第2項(以
りず っ と小 さ い と き,式(11.118),式(11.119)
降)は そ れ ぞ れ の 式 の 第1項
に比 べ て 無 視 す る こ と が で き る108).よ
っ
て,θ が 十 分 小 さ い と き に は
(11.120) と し て よ い.こ
の 近 似 を 用 い る と 式(11.116),式(11.117)は,
(11.121) (11.122) と近 似 で き る こ と に な る.式(11.122)よ
りS=mgと
な り,こ
れ を 式(11.121)に
代入する と
(11.123) が 得 ら れ る.こ
れ は ただ ち に
(11.124) と変 形 で き る.こ
の 微 分 方 程 式 は 単 振 動 の と き扱 っ た 式(11.48)と
とい う こ と は,解
も一 致 す る は ず で あ る.11.10節
形 が 一 致 す る.
の 議 論 に な ら え ば,θ は
(11.125) と な る こ と が 容 易 に確 か め ら れ よ う109).こ
れ よ り振 り子 の 周 期T=2π/ω
は
(11.126) と 求 め る こ とが で き る.こ
の 式 に は 振 り子 の お も りの 質 量 や 振 幅 が 入 っ て い な い.
振 り子 の 周 期 は も っ ぱ ら 糸 の 長 さ と重 力 加 速 度 だ け に 依 存 す る の で あ る110).糸 長 さ を1m,重 簡 単 に2.0秒
力 加 速 度 を9.8m/s2,π
ウ ォ ッチ を 用 意 して 実 験 し て み よ う.空 た め に,お 円 玉 や50円
を3.14と
に な る こ と が わ か る は ず で あ る.さ
の
して 振 り子 の 周 期 を計 算 して み よ. あ,長
さ1mの
振 り子 とス ト ッ プ
気 抵 抗 な どの 影 響 を(相 対 的 に)小 さ くす る
も り に は 密 度 が 大 き くて あ る 程 度 重 い も の を 用 い る と よ い で あ ろ う.5 玉 数 枚 に 糸 を通 して 振 り子 を作 る の が 簡 単 で よ い か も しれ な い.1往
復
の 時 間 が 測 りに く け れ ば10往 こ の 振 り子 を10往 き る で あ ろ う.次
復 の 時 間 を 測 れ ば よ い(相 対 誤 差 が 小 さ く な る111)).
復 さ せ れ ば20秒
とい う時 間 が 非 常 に正 確 に測 れ る こ とが 確 認 で
に お も りの 質 量 を い ろ い ろ 変 え て み よ.振
り子 の 周 期 が お も りの
質 量 に ほ と ん ど依 存 し な い112)こ とが 確 か め ら れ る で あ ろ う. 課 題 周 期1秒 の振 り子 を得 るた め に は糸 の 長 さを どの くらい に す れ ば よい か を予 想 し,実 験 で そ れ を確 か め よ. 解説
振 り子 の 周 期 を表 す 式(11.126)に
lが2倍,3倍,4倍 3倍,4倍
は,糸
の 長 さlが√lの
形 で 入 っ て い る.す
に な る と周 期 は√2倍,√3倍,√4(=2)倍
に す る た め に は 糸 の 長 さ を4倍,9倍,16倍
周 期 をl=1mの
と き の 周 期2秒
に す れ ば よ い.答
え は0.25m(25cm)に
の1/2に
に な る.逆
に し な く て は な ら な い.さ
し た い の だ か ら,糸
な わ ち,
に周 期 を2倍, て,今
は
の 長 さ は1mの(1/2)2=1/4倍
な る.
補足 振 り子 の 問題 は更 に,振 り子 の支 点 が外 力 に よっ て動 く場 合,あ るい は,糸 の 長 さ が変 わ る場 合,と さ ま ざ まな バ リエ ー シ ョンが 考 え られ るが,そ れ らは本 書 の レベ ル を超 え るの で扱 わ ない.そ もそ もこれ らの 運動 は,理 工 系 の教 養 課 程 レベ ル の力 学 の話 題 と して も難 しい くらい だ.し か し,こ の よう な運 動 は,ブ ラ ン コ を こ ぐ と き,あ るい は 歩 い た り走 った りす る際 に腕 を振 る と きな ど に よ く見 られ る 日常 的 な運 動 で あ る.大 学 教 養 課 程 の 力 学 は質 点 の 運動 と,質 点 系 の 簡単 な運 動 と,剛 体 の簡 単 な運 動 とに 限 られ る.そ れ に対 して,身 体 運動 は一 般 に(何 も体 操 の よ う な 運動 を例 に 出 さ な く とも)は るか に複 雑 で あ る.ま と もに取 り扱 お う とす る と,理 工 系 の専 門課 程 レベ ル の力 学 ・数 学 が必 要 に な る.本 書 は ス ポー ツ科 学 を専 攻 す る人 が力 学 を学 ぶ 際 に最 初 に ひ も解 く本 と して書 か れ て い るが,例 題 と して 身体 運 動 そ の もの を 中心 に して い ない の はそ の た め であ る.つ ま り,力 学 を初歩 か ら学 ぼ う と す る 人 に と って 身体 運 動 の 例 を前 面 に押 し出す の は不 適 切 なの で あ る.そ こで,本 書 で は力 学 の 問 題 と して最 もや さ しい部 類 の 運 動 をオ ー ソ ドッ クス に取 り上 げ,実 際 の 身体 運 動 をそ れ に どう引 き付 け て考 えて い くか を解 説 す る とい う方針 を と って い る.
11.5井 N嬢
戸 端会 議
ふ ー ん,加
速 度 っ て 加 え られ た 力 に 比 例 す る ん だ.私,力
る の か っ て 思 っ て い た.で S嬢
で も加 速 度 が2倍
も,考
え て み れ ば,そ
な ら 同 じ時 間 で 得 ら れ る 速 度 も2倍
N嬢
と い う よ り も,速 度 の 変 化 量 が2倍
S嬢
そ っ か.加
っ て速度 と関係 す
ん な 気 も す る わ ね. に な る っ て こ と よ ね.
に な る と い っ た 方 が い い と 思 う わ.
速 度 は 速 度 の 変 化 率 だ も ん ね.実
際 の 速 度 は 最 初 の 速 度 と か も影
響 す る ん だ っ た わ. N嬢
で も100m走
な ん か は ど う か し ら.あ
た と え ば ス ク ワ ッ トで200kg挙 よ ね.も
し2人
れ は み ん な 初 速 度 は ゼ ロ で 共 通 よ ね.
げ る 人 と100kg挙
げ る 人 で は力 が 倍 違 う の
の 体 重 が 同 じ な ら 加 速 度 が 倍 違 っ て,結
局 得 られ る 速 度 も倍
に な っ て,同
じ 距 離 走 る た め に か か る 時 間 は 半 分 に な り そ う よ ね.で
際 に は ス ク ワ ッ トで200kg挙 100kgし
げ る 陸 上 選 手 は100mを10秒
か 挙 げ ら れ な い 一 般 人 は14秒
も,実
ち ょ い 程 度 で,
程 度 で 走 る の だ か ら,時 間 は倍 違 わ な
い わ. S嬢
ち ょっ と待 っ て.同
じ時 間 な ら速 度 変 化 が 倍 っ て こ と だ っ た ん で し ょ.速 度
が 大 き く な れ ば 当 然 早 く100mを
走 り き っ ち ゃ う ん だ か ら,速
度 は倍 に な ら
な い の よ. N嬢
な る ほ ど.じ
S嬢
そ して,距
ゃ あ,等
加 速 度 の と きの 公 式,x=x0+v0t+1/2at2を
え ー っ と,最 初 の 位 置 を ゼ ロ と して,初
使 え ば,
速 度 もゼ ロ だ か ら …
離 は 共 通 だ か ら そ れ をlと お い てl=1/2at2ね.だ
はt=√2l/aと
か らか か る 時 間
な る わ.
N嬢
だ か ら力 が 倍 に な っ て 加 速 度 が 倍 に な れ ば か か る 時 間 は1/√2倍
S嬢
逆 に 力 が 半 分 に な れ ば 加 速 度 も半 分 で,か 1.4倍
N嬢
相 当 い い 数 値 ね.で
も待 っ て.そ
人 の 質 量 が と も に80kgな と180kgwで
れ だ け か し ら.考
ま あ,ス
え て み れ ば ス ク ワ ッ トで
っ て 体 重 が あ る ん だ も の.例
え ば2
ら,実 際 に 持 ち 上 げ て い る 重 さ は そ れ ぞ れ280kgw
倍 に な ら な い わ.
ク ワ ッ トで は 下 腿 の 重 さ は 実 際 に は負 荷 に 加 え な く て い い の か も し
れ な い け ど,そ N嬢
ま りお よ そ
く ら い に な る の ね.
倍 挙 げ て も力 は 倍 と は な ら な い の よ.だ
S嬢
か る 時 間 は√2倍,つ
に な る の ね.
の 考 察 は い い 線 行 っ て い る と思 う よ.
ス ク ワ ッ トで 測 定 さ れ る 筋 力 に は 場 合 に よ っ て は 補 正 が 必 要 っ て こ と ね.そ う考 え る と,100m走
る の に か か る 時 間 は 基 本 的 に 筋 力 の 平 方 根 に反 比 例 す
る と い う の は ち ょ っ と怪 しい わ ね. S嬢
う ー ん,力
が 強 くな る 要 因 の 一 つ に 筋 断 面 積 の 増 加 が 考 え ら れ る わ よ ね.筋
が 太 くな っ た ら質 量 が 大 き く な っ て,加 N嬢
え ー っ と,ト
速 度 を 上 げ る 目 的 に は マ イ ナ ス だ わ.
レ ー ニ ン グ して も筋 の 長 さ は 変 ら な い とす る と,筋
面 積 だ け に比 例 す る の か.そ
して,質
の体 積 は断
量 は 体 積 に比 例 す る と す る と,結 局,質
量 は 筋 の 断 面 積 に 比 例 す る の ね. S嬢
つ ま り,質 Fも
量 をm,断
a=F/m=k2S/k
1S=k2/k1ね.あ 一 定 っ て こ と? N嬢
面 積 をSと
し て,m=k1Sか.そ
断 面 積 に 比 例 す る と す る と,F=k2Sね.と
ま あ,発
ら,定
し て,発
揮筋力
い う こ と は,加
速度は
数 に な っ ち ゃ っ た.筋
力 を増 して も加 速 度
揮 筋 力 の 増 加 に は 筋 断 面 積 の 増 加 を 伴 わ な い こ と も あ る か ら一 概 に
そ う は い え な い ん だ ろ う け ど.
S嬢
あ っ,肝
心 な こ と忘 れ て た.体
な い.そ
の 質 量 を 忘 れ ち ゃ 駄 目 だ わ.こ
には筋 肉以 外 に もい ろい ろ な組 織 が あ る じゃ れ をMと
お い て,と
りあ え ず 一 定 と
す る と,加 速 度 はa=F/m+M=k2S/k1S+M=k2/k
1+M/Sね.最 右 辺 のM/Sの 部 分 は, 大 き くす る こ と に よ っ て 小 さ くな る わ.つ ま り,
トレ ー ニ ン グ に よ っ てSを
最 右 辺 の 分 母 は ト レ ー ニ ン グ に よ り小 さ く な り,結 果 と して 加 速 度 は 大 き く な る.こ N嬢
れ は な ん か し っ く り く る わ ね.
そ う ね.た
だ,ど
ん な にSを
大 き く して もM/Sは0以
下 に は な れ な い か ら,加
速 度 に は大 き く な れ る 限 界 が あ る こ と に な る の か.つ ら100m走
が√2倍
速 く な る,と
ま り,筋 力 が 倍 に な っ た
い う こ と は な い の ね.一
般 人 とオ リ ン ピッ
ク 選 手 の 差 は や は り単 純 に筋 力 の 差 だ け じ ゃ な い の よ.そ
こ に は き っ と走 法
の 問 題 とか も考 え な くち ゃ い け な い の ね. S嬢
今 は100m走
の 話 だ っ た け ど,こ
質 量 で あ るMが
大 き くな っ て,筋
れ が 道 具 を使 っ た 競 技 に な る と,筋
以外 の
力 の 果 た す 役 割 が 更 に 大 き く な りそ う ね.
つ ま り,「 ス ピ ー ドを つ け る た め に筋 力 の 増 加 は 必 要 か 」 とい う命 題 に は 「選 手 の 現 在 の 筋 力 」 と 「競 技 種 目特 性 」 の 両 方 を 考 え な くて は い け な い と い う こ と ね. N嬢
前 提 な く筋 力 と ス ピ ー ドの 関 係 を 論 じ る こ と は で き な い の ね.後,疑 て い た ん だ け ど,筋 線 維 っ て 確 か,短 る の よ ね.遅
S嬢
あ ら,そ 人 と10秒
問 に思 っ
縮 速 度 が 速 い の と遅 い の が 混 在 して い
い 筋 線 維 は速 い 筋 線 維 が 短 縮 す る の を妨 げ た り しな い の か し ら.
ん な こ と考 え た こ と も な か っ た わ.で の 人 で 引 く こ と を考 え よ う よ.も
た と き 人 力 車 を100m走
らせ る の に30秒
も,人
力 車 を,100m15秒
し100m10秒
の
の人 が一 人 で 引 い
か か る な ら,100m15秒
の人 は決
し て 足 手 ま とい に は な ら な い ん じ ゃ な い か し ら. N嬢
な る ほ ど.筋 線 維 だ け の 性 質 を考 え る の で な く,何 を ど う動 か して い る か も考 慮 し な くて は い け な い の ね.こ う こ と ね.そ
課題
こ で も総 合 的 に もの を考 え る こ とが 大 切 と い
れ に して も,人 力 車 を 例 に 出 す な ん て,あ
な た い つ の 時代 の 人?
彼 女 た ち もい ろ い ろ と考 え る こ とが で き る よ うに な っ て きた よ うだ.し か し,上 の考
察 で は筋 の力-速 度特 性,走 速 度 が大 き くなる に従 っ て大 き くな る様 々 な抵抗113),走 る動作 の 特殊 性,周 期 運動 で あ るが ゆ え の力(地 面 反力,関 節 トル ク)と 変位(重 心 変位,関 節 角度 変 化)あ るい は 速度(重 心 速度,関 節角 速 度)と の位 相 差 な どの考 察 が 含 まれ て い ない.こ れ ら も含 め て,100m走 を “ 科 学 ”せ よ. 解説
こ れ は 自 由課題 とす る(よ い理 論 が で きた ら教 え て頂 きた い).
注 1)ニ ュー トンの 運 動 方 程 式 そ の もの は ニ ュ ー トンが 定 式化 した わ け で は な い. 2)公 転 運 動 の よ う な運 動
,さ ら には3次 元 空 間 内 の 曲線 運 動 は扱 う. 3)並 進 運 動 と直 線 運 動 を ご っ ち ゃ に しな い よ うに . 4)「 質量 を持 った 点」 とい うよ り 「1点 に 集 中 した質 量」 とい うニ ュ ア ンス で使 う と きは “pointmass” と い う表 現 を使 う. 5)極 座 標 や そ の ほか の 方 法 で 表 す こ と もあ る . 6)も ちろ ん ,こ うい う理 由で 大 き さ とい う物 体 の 持 つ属 性 を考 え る必 要が な くなる こ と もあ ろ うが,そ れ が す べ て で は ない. 7)さ ら にい えば ,運 動 方 程 式 で 機 械 的 に運 動 を扱 う だ け な らば 別 に物 体 外 の 点 の 座 標 で も って そ の 物 体 の 運 動 を記 述 す る こ とが―― も しそ の 点 が 物体 と同 じ並 進 運 動 を して い る な ら ば―― で き る. 8)質 量 中 心 ,重 心 に関 して は12.3,16.3節 参 照. 9)く どい よ うだ が ,必 ず し も物 体 内 の 点 で あ る必 要 は な い. 10)ど う都 合 が よい か は お い お い 明 らか に な って い くで あ ろ う.な お,物 体 の 質 量 中心(重 心)は 必 ず し も物 体 “内 ” に あ る とは 限 らな い. 11)あ る物 体 の 重 心 の 位 置 を実 際 に計 算 で 求 め るの は困 難 な場 合 が 多 い が ,こ こで 話 して い るの は 理 論 上 の 問 題 で あ る. 12)便 宜 的 に,「 質量 中心(重 心)の 運 動 方 程 式 」 とい う こ とは あ る.12.3節 参 照. 13)本 章 で は 以 降
,物 体 を質 点 と見 な して議 論 を行 う.言 い換 えれ ば,実 際 に は大 き さが あ る 物体 で も, そ の 大 き さ を意 識 す る 必 要 が な い 運 動 だ け を扱 う とい うこ と だ. 14)基 本 的 に力 も変 位 も速 度 も加 速 度 もみ なベ ク トル 量 で あ り ,一 般 的 な議 論 をす る と きに は これ らの 量 を第5章 に な らいFの よ う に ボ ー ル ド体 で 表 す.し か し,話 が 直線 上(1次 元)に 限 られ る と き は 単 にFの よ うに 書 く.こ の 場 合 も向 きを 反 映 してFは 正 負 の 量 い ず れ も取 り得 るが,と き には 敢 えてFと い う文 字 そ の もの は正 と し(大 き さの み を表 す と し),力 の 向 きを プ ラス,あ るい は マ イ ナ ス の 記 号 で 表 す こ と もあ る.本 や 論 文 を読 む と き,あ るい は 自分 で 運 動 方 程 式 を立 て る 際,こ れ らの 点 は 常 に 意 識 して お か な くて は な らな い. 15)人 が 平 地 を “完全 な”等 速 度 で進 ん で い る と きは ,加 速度 はゼ ロ,す な わち 人 に働 く力 の合 力 は ゼ ロ で あ る.空 気 抵 抗 が ゼ ロ とみ なせ る場 合,地 面 か ら人 が 受 け る 力 の 水 平 方 向 成 分 もゼ ロ とな る.実 際 の 歩 行 運 動 で は 足 の 着 地 位 置 は 身 体 重 心 の 前 方 にあ り,こ の 足 が 地 面 か ら受 け る 力 の 水 平 方 向 成 分 は(着 地 の 瞬 間 か ら しば ら くの 間)負 と なる.結 果 と して 身体 重 心 速 度 は 減少 す る.等 速 で 歩 い て い る とい っ て も,一 般 に は,身 体 重 心 が “平均 して”等 速 度 で 動 い て い る だ けで,精 密 に測 定 す れ ば 身 体 重 心 は 加速 と減速 を繰 り返 す.で は,“ ほ ぼ完 全 な”等 速 歩 行,な い し走 運 動 と い う もの は あ る で あ ろ うか.あ る とす れ ば どの よ うな もの で あ ろ うか.歩 行 に関 して は,能 役 者 の 滑 る よ うな 歩 法 が か な り “完 全 な” 等速 歩 行 な の で は な い か と筆 者 に は思 え る(測 定 した こ とは な い が).走 運動 に 関 して は11.5節 で少 しだ け取 り上 げ る. 16)地 表 近 辺 で 人 が 受 け る この 力 を そ の 人 の体 重 と呼 ぶ の で あ っ た. 17)“ 地 球 が 人 を 引 く重 力 ”の 反 作 用 は “人 が 地 面 を押 す 力 ”で は ない こ と に注 意 せ よ. 18)も ちろ ん ,人 が 地 面 を押 す(蹴 る)力 も地 球 に関 す る 運動 方 程 式 に入 って くる.人 が 歩 くと,こ の 力 に よっ て 地 球 は “よ ろ め く” わ け で あ る.も っ と も,地 球 の 質 量 は圧 倒 的 に大 きい の で そ の よ ろ め きは小 さす ぎて 測 定 で きな い. 19)本 書 で は ,“ 垂 直 ” とい う言葉 と “鉛 直 ” とい う言 葉 を区 別 す る.“ 垂 直 ” と い う言 葉 は,あ る直線 な り平 面 に 対 して90° を なす,と い う意 味 で 使 う(曲 線,曲 面 に対 して は,そ れ ぞ れ 接 線,接 平 面 に 対 して90° を なす,と い う意 味 で 使 う).そ れ に 対 し,“ 鉛 直 方 向” とい う言葉 は,“ 重 力 方 向(重 力 に 平行 方 向)” とい う意 味 であ る.な お,“ 水 平 方 向 ” とい う言葉 は “重力 に対 し垂 直 方 向” とい う意 味 で使 う. 20)フ ォー ス プ レー トの 中 に は垂 直 抗 力 の ほ か に,抗 力 の 面 に平行 な成 分,す なわ ち 人 の足 の 裏 と フ ォー ス プ レー トの 間 に働 く摩 擦 力 も測 定 で きる もの もあ る.フ ォー ス プ レー トは,も ち ろん,人 が フ ォー ス プ レー トに 及 ぼ して い る 力 を直 接 に は 測 定 して い る の だ が,作 用 反作 用 の 法 則 に よ り,フ ォー ス プ レー トが 人 に 及 ぼ して い る 力 を測 定 して い る とい って も よい.フ ォー ス プ レー トで 測 定 され る 力
を単 に “床 反力 ” とか “地 面 反力 ” と呼 ぶ所 以 で あ る.繰 り返 す が,体 重 計 にせ よ,フ ォー ス プ レ ー トにせ よ,第 一 義 的機 能 は,上 に乗 って い る 物体 の 重 さ(物 体 に作 用 す る重 力)や 質量 を測 定 す る も の で は な い こ とを 強調 して お こ う. 21)あ と “強 い力(強 い相 互作 用:stronginteraction)” と “弱 い力(弱 い相 互作 用:weakinteraction)” と呼 ば れ る二 つ を加 え た 四 つ の 力(相 互 作 用)が
自然 界 に存 在 す る 基 本 的 な力(相 互作 用)で あ る.
最 後 に あ げ た 二 つ の力(相 互 作 用)は,素 粒 子 論 を勉 強 し ない 限 り意 識 し な くて よい. 22)正 確 に はf(x)=0と い う定 数 関 数 も解 であ る. 23)た とえ 力 の 定 量化 を 運動 方程 式 に よ っ て行 う場 合 で も.力 と加 速 度 は異 質 な物 理 量 なの で あ る. 24)定 数 を微 分 す れ ば0に な るか ら ,0を 積 分 す る と定 数 に な る. 25)速 度 は 大 き さだ け で な く向 きを も含 ん だ概 念 で あ り,ベ ク トル量 で あ る.そ の た め,“ 等 速 度 運 動 ” と “等 速 直 線 運 動 ” は 同 義 に な るの で あ る.そ れ に対 し,速 さ とは 速 度 の 大 き さの こ とで あ る.そ の た め,“ 等 速 運 動 ” とい っ て も直線 運動 とは 限 らな い.“ 等 速 円 運 動 ” とい う言葉 は あ っ て も “等 速 度 円 運 動 ” とい う言 葉 は ない. 26)物 体 に働 く外 力 の 合 力 が ゼ ロで も
,力 の モ ー メ ン トと呼 ばれ る量 が ゼ ロ で な い場 合 は 回転 運 動 が 起 こ って し ま う.し か し,そ の 場 合 も重 心 は等 速直 線 運動 を行 う.こ こ ら辺 の こ と は第15章 および
第16章 で触 れ る. 27)今 まで の 「ma=Fよ
りa=F/m」
る と――す な わ ち,a=d2x/dt2と た が(aと る(aと
とは 意味 が違 う こ と に注 意 せ よ.今
す る と――運 動 の法 則 よ りa=F/mが
い う量 に 関 す る方 程 式 の 解 がF/m),こ い う量 の 定 義 式).す
まで の は 「加 速 度 をaと
こ で は 「F/mとい う量 をaと
る と,「 式(11.7)か
す
成 り立 つ 」 とい う意 味 で あ っ お く」 とい う意 味 で あ
ら加 速 度d2x(t)/dt2はaと い う大 き さ(向 きを含 め
て)に な る」 とい う流 れ で あ る. 28)本 書 で は基 本 的 に,物 理 量 を表 す 文 字 に既 に単 位 を含 ませ て い る.し か し,こ の 問 題 で はtな どの 文 字 は単 に数 値 と考 え,単 位 は 外 に 出 して 明 示 して い る こ とに 注 意 せ よ. 29)こ こ で は不 定 積 分 を求 め てか ら任 意 定 数 を決 定 す る と い う方 法 を と らな か っ た .こ の 点 に 関 して は p.107の 補 足1と,p.141の 式(9.4)と その 下 の説 明 を参 照 せ よ. 30)「 水 平 な」 と は 「重 力 方 向 に対 し垂 直 な 」 とい う こ とで あ っ た . 31)以 下 の 説 明 は 丁寧 す ぎて わか りに くい か も しれ な い.図11.2を
紙 に書 き写 し,そ の 図 に 自分 で い ろ い ろ と書 き込 ん だ り,説 明 を簡 潔 に ま とめ た り しな が ら読 む と よい.
32)p .13で 触 れ た 重 力 質 量 をmg,慣
性 質 量 をmiと
す る と運動 方 程 式 はmia=mggと
な る.重
力
質 量 と慣 性 質 量 を 同一 視 し,同 じmで 表 した式 がma=mgで あ る. 33)(地 球 の 自転 に よ る遠 心 力 の 効 果 を考慮 した上 で の)重 力 加 速度 に は “g”,重 力 場 の 強 さ を表 す 係 数 に は “g” を使 って 両 者 を区 別 して い るテ キス トもあ るが,本 書 で は そ の辺 に は こ だ わ らず “g”で 統 一 す る. 34)「 回転 運 動 」 に 関 して は第15章
お よび 第16章 で 説 明 す る. 35)「 質量 中心 」 と い っ て も構 わ な い.こ の 点 に関 して は16.3節 参 照. 36)そ の力 は 図11 .2に は示 され てい ない. 37)抗 力 ,床 反 力,地 面 反 力 な ど と呼 ぶ. 38)F6の(仮 想 的 な)作 用 点 は今 は一 切 考 えな い .図 で も見 や す い よ うに 描 い て い る だ け で あ る. 39)地 球 の運 動 方程 式 に加 え るべ き量 で あ る. 40)本 書 の レベ ル で は 重 力 は “遠 隔 力(actionatadistance)”
と考 え る .そ の よ う な立 場 で は,あ ま り “重 力場 ” な ど とい う言 葉 は 使 わ な い方 が よい の か も しれ な いが,そ こ ら辺 に は こ だ わ らず,説 明 の都 合 で “重 力 場 ” とい う言 葉 を使 う こ と もあ る. 41)接 触 面 を通 して働 く力 や 糸 の 張 力 な ん か も,も と をた だ せ ば(分 子 間 の)静 電 気 力 な の だ が,そ れ と は 区 別 す る. 42)そ っ ち の 方 が便 利 な こ と もあ る . 43)y軸 の向 き を逆 にす れ ばmg=(0 44)こ れ はF1 ちF6xは
,mg)で
あ る.
xが 負 の と き,す な わ ち手 で 箱 を 引 っ 張 る と き も成 り立 つ.こ 正 の量 と な る.
の 場 合,-F1xは,す
なわ
45)「 大 き さが 等 し く向 きが 反 対 」 とい う と “作 用 反作 用 の法 則 ” を思 い 出 し
,「物 体 を手 で押 した力 の 反 作 用 が 床 か ら物 体 に 及 ぼ され る摩 擦 力 で あ る.」 と勘 違 い す る 人が い るの で 注 意 し よう.作 用 反 作 用 と い う言 葉 はあ く まで2物 体 間 の 相 互作 用 に つ い て使 う言 葉 で あ る.第3の 物 体 で あ る箱 を介 し て の力,す な わ ち手 が 箱 に及 ぼす 力 と床 が 箱 に 及 ぼ す 力 との 間 に使 う言 葉 で は な い. 46)前 に説 明 した通 り ,最 大 静 止 摩 擦 力 が μ0Nで あ り,静 止 摩 擦 力 は 他 の外 力 との 関係 で変 化 す るの で あ る.あ る い は,こ の よ う な 間違 い をす る人 は,後 で説 明 す る動 摩 擦 力 の 性 質 と静 止 摩 擦 力 の 性 質 と を ゴ ッチ ャ に して い るの か も しれ な い. 47)床 が 動 か な くて も ,箱 が 変 形 運 動 を して 箱 の 質 量 中 心 が 加 速 度 を持 つ場 合 も同様 に考 え られ る. 48)少 し数 学 的 に書 け ば “θ → θ0-0” とな る . 49)さ ら に ,ど の よ う な加 速 度 で お も りを動 か して い るか も実 際 に筋 が 発 揮 して い る張 力 を推 定 す る際 に は考 慮 しな くて はな らな い. 50)16 .5節 参 照. 51)こ の 方 向 に は力 は作 用 して お らず ,結 果 と して 加 速 度 は0で あ る. 52)xが 減 少 す る と き,す な わ ちx<0の と きv1>0で あ る こ と に注 意. 53)yが 増 加 す る と き,す な わ ちy>0の と きv2>0で あ る こ とに注 意. 54)も ちろ ん,そ の 座 標 系 に基 づ い て 正 し く運 動 方 程 式 を立 て,か つ 束 縛 条 件 を書 き下 す こ とが で きれ ば の 話 で あ る. 55)糸 の 張 力 とは 本 来 ,糸 の 各 部 分 に対 して 定 義 され る.す な わ ち,「 あ る(仮 想 的)断 面 の 両 側 の 分 子 同 士 が 及 ぼ し合 う分 子 間 力(静 電 気 力)の 合 力 」 が そ の断 面 にお け る張 力 で あ る. 56)滑 車 と糸 との 間 に摩 擦 が な けれ ば 滑 車 は回 転 せ ず ,滑 車 の 軸 の 摩 擦 や 慣 性 モ ー メ ン トを考慮 す る 必 要 が な く なる. 57)相 対 的 に無 視 で きる とい うこ と. 58)つ ま り速 度 が0と れ ば,物 体1は
い うこ と で あ り,加 速 度 が0と い う こ とで は な い.加 速 度 も0に 静 止 し続 け る こ と に な る.加 速度 が0に な れ な い 場 合,物 体1は
な る こ とが で き 再 び動 き始 め る
(折 り返 して 運 動 を始 め る)こ と に な る. 59)物 体1は 静 止 す る と,糸 か らの 張 力 に 逆 ら う よ うに床 か らの静 止 摩 擦 力 を受 け る.そ の 大 き さ をこ こで はfと お き,向 き を負 号(マ イ ナス 符 号)で 表 した. 60)斜 面 の角 度 が 違 う場 合 ,静 止 時 に “同 じ負荷 ”に調 整 したつ も りで も,動 作 時 の負 荷 が 変 わ って しま う こ とが あ る.同 様 の こ とが トレー ニ ン グマ シ ー ンの 形 態 の 差 に よっ て 起 こる こ とが あ る.ト レー ニ ング 実 験 を行 う と きに,こ うい っ た考 察 を行 う必 要 が 生 じ る こ とが あ るの で 注 意 し よ う. 61)ト レー ニ ン グ実 験 を行 う際 ,多 くの 人 が 運 動 方 程 式 を書 こ う とす ら しな い こ とは気 に な る とこ ろ で あ る.思 っ た とお りの 負 荷 が 目的 とす る 部位 に 正 し くか か っ て い る か ど うか を キ チ ン と判 断 で きる よ うに して ほ しい. 62)本 課 題 で い え ば ,摩 擦 を無 視 で きな い 場 合,静 止 時(ア イ ソメ トリ ック活 動 時)の 筋 張 力 は(お も り の 重 量 が 一 定 で あ る に もか か わ らず)一 意 に は 定 ま らな い,と い う こ と な ど. 63)慣 性 抵 抗 は 第18章 で 説 明 す る慣 性 力 とは まっ た く別 物 で あ る . 64)一 試行 内 でfが
一 定 とい うこ と.一 試 行 の測 定 が 終 わ っ た ら,fを 65)筋 の 短縮 速 度 は 終端 速 度 に達 して い る とす る.
変 えて 次 の 測 定 を行 う.
66)実 際 に は 少 し歪 む よ う で あ る . 67)糸 を微 小 部分 に分 け て考 え よ . 68)直 列 要素 の張 力 が共 通 に な ら な い場 合 の 条 件 もす ぐ にわ か るで あ ろ う. 69)こ れ を フ ッ クの 法 則(Hooke'slaw)と い う.も ち ろ ん,バ ネが 伸 び切 っ て しま えば フ ック の法 則 は 成 り立 た な い し,実 際 に は バ ネ が伸 び切 る 前 に バ ネ の張 力 はバ ネ の伸 張 量 に比 例 しな くな り,フ ッ ク の法 則 は成 り立 た な くな る.さ らに伸 ば す と弾 性 の 限界 を超 え,バ ネ は もと の長 さ に戻 ら な くな る(俗 に 「バ ネ が バ カ に な る」 とい う). 70)単 位 時 間 あ た り何 回振 動 が 行 わ れ る か を振 動 数 とい う .こ れが 周 期 と互 い に逆 数 の 関係 にあ る理 由 を考 え て み よ. 71)2階 の微 分 方程 式 だ か ら,積 分 定 数 は一 般 解 を表 す 式(11.46)あ れ てい る.
る い は 式(11.47)に
二つずつ含 ま
72)単 振 動 の ほ か に ,11.3.7項
で 説 明 す る 減 衰振 動 や,本 書 で は触 れ な いが 強 制 振 動 に 関す る知 識 も 身 体 運 動 に対 す る視 野 を広 げ て くれ る.興 味 を持 っ た人 はぜ ひ,学 習 を進 め て も らい た い. 73)粘 性 係 数 とい う語 は普 通 は も う少 し別 の意 味 に使 うの だが ,ま あ い い こ と に し よ う. 74)ω0≦ γ の と きは 減 衰 が 大 き く,振 動 解 が 得 られ な い.こ の 点 に 関 して の 説 明 は割 愛 す る. 75)こ の場 合 の パ ラメ ー タはp .55の
“パ ラ メー タ” とは 意 味 が 違 う.こ こ で の “パ ラ メ ー タ” の意 味 は
「あ る種 の 方程 式 の 一 般 的形 をあ らわす た め の定 数(係 数)」で あ る.“ パ ラ メー タ(parameter)” い くつ か意 味 が あ る.“TheAmericanHeritageDictionaryoftheEnglishLanguage,Third Edition” an
か ら,“parameter”
equation
that
constant curves
in
the
2.
a.
b. One
a system
Problem.
pay for it" experimental
other
and
of a set
of independent
of measurable
determine
people
its
restricts will
behavior
what
live,
what
such
Usage
Problem.
76)式(11
.60),あ
as
a mean,
that
A distinguishing
る い は式(11.61)の
general
can
be
and
such are or
of housing
form,
varied
variables
is possible mode
same
that
factors,
(New York). c. A factor that school that keeps expanding
A quantity,
of the
or surface
One
that
equations
of a curve
of a set
A factor
shelter•\where
の 説 明 を挙 げ て お こ う.「1.Mathematics.a.Aconstantin
in
equation
or surfaces.
a point. define
varies
には
that as
to express
temperature
varied what
in results:
they
will
an
from
data
characteristic
or
feature. •v
γ は減 衰 の速 さ を表 す.こ
and
the
such
choose,
describes
of
the
of
pressure,
that
b.
Usage
experiment. "All
a
a family coordinates
and
determines a range of variations; the parameters of its curriculum.
is calculated
especially
represent
parameters
and
how
they
a boundary: 3. Statistics. a population.
の 点 に 関 して はp.177の
of will an 4.
式(11.42)
に関 す る 説 明 を参 照 して も らい た い.式(11.42)で は γ がtに 対 して逆 数 の形 で か か っ て い る こ と に注 意 せ よ.式(11.42)に お い て は γ が 大 きい ほ ど収 束 が 遅 くな り,式(11.60),式(11.61)で は γ が 大 きい ほ ど減 衰 が 激 し くな る. 77)面 積 力 とは 物 体 の 表 面 ,ま た は 物体 内 部 の任 意 の 面 を 通 して 両側 の部 分 が及 ぼ し合 う力. 78)“Young'smodulus” を “若 者 の率 ” とか訳 して笑 い を と る人 が た まに い る が ,Youngは あ る(ThomasYoung,1773-1829).ヤ 考 古 学 者 で あ り,医 師 で あ った.彼 は2歳 た.ヤ ング は流 体 力 学 や エ ネ ル ギ ー論,そ
人の名で ング は英 国 の天 才 的 な物 理 学 者 で あ り,古 典 学 者 で あ り, の と きに は もう本 が 読 め,14歳 の 頃 には8か 国 語 を操 っ して本 項 で取 り上 げ た弾 性 体 論 な どに優 れ た業 績 を残 した
が,彼 の 最 も重 要 な研 究 は光 の 性 質 に関 す る も ので あ る.彼 は医 学 生 時 代 に眼 の レン ズ の機 能 や 乱 視,色 覚 の 研 究 を したが,や が て光 の 性 質 そ の もの に関 心 を寄 せ,光 が 波 で あ る こ と を示 す 決 定 的 な 実 験 を行 っ た.ほ か に も,彼 は余 暇 を利 用 して シ ャ ンポ リオ ン(Champollion,1790-1832:フ ラ ン スの 考 古 学 者 ・言語 学 者)に 協 力 し,古 代 エ ジ プ トの 象 形 文 字 の解 読 に大 きな貢 献 を した(p.372 補 足 参 照). 79)軸 方 向 の 弾 性 率 をヤ ン グ率 とい う.ヤ
ン グ率 は 普 通 “E” と表 記 す る こ とが 多 い. 80)応 力-ひ ず み 曲 線 が 非 線 形 に な る場 合 を ,高 次 弾性 とい う こ とが あ る. 81)神 経 生 理 学 でplasticityと い う と,「 環 境 に応 じて 変 化 す る シナ プス の 性 質 ・能 力 」 の こ と. 82)弾 性 率 や 粘 性率 に相 当す る物 理 量 が これ らを観 察 す る際 の 時 間 や周 波 数 に よ り変 化 す る現 象 .“ 緩 和 現 象 ” とい う言 葉 は力 学 的現 象 以 外 で も使 う. 83)こ こで は変 形 の 速 度 の 関数 と して抵 抗 力 が 生 じる物 体 の性 質 を 粘性 と呼 ぶ こ とに し よ う.バ ネ な ど の弾 性 体 で は 運 動 エ ネ ル ギ ー は,弾 性 体 の 変 形 の エ ネ ルギ ー(い わ ゆ る弾 性 エ ネル ギ ー)と して 蓄 え ら れ,再 び運 動 エ ネ ル ギ ー と して取 り出 しう る が,粘 性 体 で は運 動 エ ネ ル ギ ー は 熱 エ ネ ル ギ ー と し て散 逸 し て し ま う. 84)速 度 に比 例 す る抵 抗 が 働 く性 質 . 85)筋 の “収 縮 要 素 ” の説 明 は 「ア ク チ ン,ミ オ シ ン フ ィ ラ メ ン トが ス ラ イ デ ィ ング を起 こす 機 能 をモ デ ル化 した もの」 とで も して お け ば よ い で あ ろ う.収 縮 要素 にせ よ弾性 要 素 に せ よ粘 性 要 素 にせ よ (少 な く と も運 動 方程 式 を立 て た り して 運動 を考 え る 際 に は)数 学 的 なモ デ ル(数 式 で 表 現 され る も の)で あ る.こ れ ら と解 剖 学 的実 在 で あ る筋 線維 や 腱 な ど を1対1に 対 応 させ て はい け ない.例 え ば,筋 線 維 自体 は(数 学 的モ デル と して の)収 縮 要 素 で は ない.筋
線 維 をモ デ ル 化 す る(そ の 機 能 を
数 式 で表 現 す る)の に収 縮 要 素 も弾 性 要 素 も粘 性 要素 もみ な必 要 とな る. 86)x軸 に対 して 仰 角 θ の 方 向 に大 きさv0の 初 速 度 で 物体 を原 点 か ら射 出 す る ,と い うこ と.
87)三 角 関数 の加 法 定 理(4 .5節 参 照)よ り,sin2θ=sin(θ+θ)=2sinθcosθ. 88)こ れ は与 え ら れ た放 物 線 が 極 値(こ の場 合 は極 大 値)を とる と きの 条件 で あ る(6 .4節 参 照). 89)こ う い う 問題 を考 え る た め に は結 果 と して の式 の み を覚 え て お くだ け で は ダ メ で ,ど の よ う な前 提 で ど の よ う な計 算 を して その 式 が 導 か れ た か をお さ えて お か な くて は い け な い. 90)円 周 上 の あ る点 にお け る接 線 は ,そ の 点(接 点)と 円 の 中心 と を結 ぶ 直線 に対 して 垂 直 で あ る とい う の は認 め て も ら い たい と こ ろ.こ の 点 に関 して はp,144の 円 に 関す る課 題 を参 照 せ よ. 91)こ れ は逆 に ,「 接 線 方 向 の 定 義 を 速 度 ベ ク トル の方 向 で与 え る」 と考 え た方 が よい.な お,p.98の 議 論 も参 考 にせ よ. 92)sin2θ+cos2θ=1で あ る こ と に関 して はp .49の 課 題 参 照. 93)rは
回 転 の 中心 方 向 か ら見 た 物 体 の位 置 を表 す ベ ク トル で あ る こ とに注 意 . 94)「 速 度 が 一 定 の場 合 」 と区 別 せ よ.速 度 とは ベ ク トル量 であ っ た.「 速 度 が 一 定 の 運 動 」 とは等 速 直 線 運 動 の こ とで あ る. 95)こ れ は 式(11 .75)をtで 微 分 す る こ とに よ っ て導 くこ とが で きる(そ の 際 ω=θ も時 間 に依 存 す る とせ よ).腕 試 し のつ も りで 計 算 して み て ほ しい. 96)力 の み で は 運 動(の 軌 跡)は 一 般 に確 定 され な い こ と に注 意 し よ う.な お,こ の 初 期 条件 は あ る瞬 間 にお け る速 度 を与 え た だ け であ り,こ れ だ けで は等 速 円 運 動 をす る とい う こ と しか わか ら ない.も し物 体 の 位 置 を 時 間 の 関数 と して 確 定 した け れ ば もう一 つ初 期 条 件,例 え ばあ る時 刻(瞬 間)に お け る物 体 の 位 置 を与 えな くて は い け な い. 97)“ 質 量 ×加 速 度 ベ ク トル=力 ベ ク トル”の 回 転 中心 方 向成 分 を書 き下 した もの .す なわ ち式(11.87) を運 動 方 程 式 と して 書 き下 した 瞬 間 は,rω2は
加速 度(の 中 心 方 向 成 分)と い う意 味 を持 っ て い る.
しか し,こ の式 か ら 「力 の大 き さはmrω2で あ る」 と した と き には,rω2は 単 な る量 に成 り下 が る. この 区 別 を しっ か りす る こ とは 大切 で あ る.こ れ は 決 して “些 細 な 問題 ” で は な い.力 学 の 本 質 的 な 問 題 で あ る. 98)作 用 反 作 用 の 法 則 を満 た し,か つ対 称性 が よ く,か つ 主張A,Bを 満足 す る とい う こ と. 99)本 来 は 地 球 を基 準 と し た加 速 度 で は な いが ,実 質 的 には 地 球 を基 準 に し た加 速 度 と考 えて よい.こ の 点 に関 して は 深 入 り しな い で お こ う. 100)物 理 用 語 で ,重 力 の 作 用 で 落 下 す る 物体 の こ と. 101)単 位 にはMKS単 位 系 を使 う . 102)質 量10kgの 二 つ の 物 体 を10cm離 10-7kgw程
して 配 置 した と き ,両 物 体 の 間 に働 く重 力 の 大 き さは お よそ 度 であ る.こ の よ う な小 さい力 を当 時 の技 術 で測 定 した キ ャベ ンデ ィ ッ シュ は ま さ に実
験 の 達 人 で あ る.し か し,彼 は 世 に出 る の を極 端 に嫌 い,そ の 業 績 の 多 くは彼 の死 後,発 表 され た. 103)実 際 には 試 技 者 は 地 面 か ら も力 を 受 け て い る の で ,こ の こ と は正 確 に は成 り立 た ない. 104)惑 星 は9個 あ り ,そ れ らが 太 陽 を振 り回 す わ け だ か ら太 陽 は か な り複 雑 な運 動 を し,そ の 影 響 は 再 び 惑 星 に返 っ て くる.し か し,こ の “ゆ らぎ” こ そが 惑 星 の 軌 道 の 長期 的安 定 につ なが って い る(ら しい). 105)こ の よ うな 理 想 的 な振 り子 を 単振 り子(simplependulum)と
い う.
106)p
.121の 式(8.9)お よ び式(8.10). 107)θ の 単 位 は ラ ジア ンで あ る こ と に注 意 .1ラ
ジア ンは180°/π 57.3° で あ っ た. 108)例 え ば θが1/ 5rad( 11.5°)と す れ ば,第2項 は 第1項 の50分 の1以 下 に な る こ とが 簡 単 に確 認 で きる. 109)こ こで は ω=θ と し たの で は ない こ と に注 意 . 110)実 際 に は ,「振 幅 が 十分 小 さ けれ ば周 期 の 振 幅依 存 性 は無 視 で き る」 とい う こ と だ.そ うい う近似 の も と導 か れ た結 論 な の だ か ら. 111)p .28参 照. 112)実 験 の 際 に は 空 気 抵 抗 ,摩 擦 な どの た め,お も りの 質 量 や 形 状 に よっ て 振 り子 の 周期 は わず か に異 な り得 る. 113)「 筋 の力 -速 度 特 性 」 お よび 「速度 が 大 き くな る に従 って 大 き くな る様 々 な抵 抗 」 に よ り,ヒ トは た と え100mと
い え ど,ず
もか か わ らず)10秒
っ と加 速 し続 け る こ とは 出 来 な い.逆
に,(軽
い 負荷 の もの を最 大 努 力 に
近 く加 速 し続 け られ る 人 は 立 派 な ス プ リ ン ター とい え な い(最 高 ス ピー ドに達
す る の に 時 間 がか か りす ぎ).ま た,(短 縮)速 度 最大 の と き発 揮 され る力 は ゼ ロ に な る と い う 「筋 の 力-速 度 特 性 」 を考 えれ ば,ト ップ ス ピー ドを維 持 しよ う とい う レー ス 中 盤 か ら終 盤 か け て 一 歩 一 歩 に 大 きな 加 速 減 速 が 現 れ て しま う よ うな 走 り方 は 好 ま し くない(大 きな 力 が 発 揮 で き る の は最 大 短 縮 速 度 が 走 りに結 びつ い て い な い証 拠)と 思 わ れ る.も ち ろ ん 、 こ の 考 察 は 単 関 節 運 動 の 一 般 論 を 100m走 に直 接 応 用 し ただ け の 不 十 分 な もの で は あ る が,考 察 の 出発 点 に は な る で あ ろ う.
12 運
動
量
第11章 で ニ ュー トンの運 動 方 程 式 を学 んだ.運 動 方程 式 は微 分 方 程 式 で あ る.微 分 方程 式 とはあ る量 の 瞬 間 瞬 間 の 変化 の傾 向(変 化 率)を(そ の 瞬 間 の量 を用 い て) 記 述 す る もの で あ っ た.さ て,運 動 方 程 式 を解 くた め に は,つ ま り物 体 の運 動 の様 子(速 度 や位 置)を 時 間 の 関数 と して表 す た め に は,瞬 間瞬 間 の力 が 与 え られて い な くて は な らな い.す な わち,力 が時 間の 関 数 と して与 え られ て い な け れ ば運 動 方程 式 は解 け ない.し か し,考 えて み れ ば力 が 時 間 の 関数 と して 与 え られ てい る こ とは きわ めて まれ で あ る.で は,力 が時 間の 関 数 と して与 え られ て い な い と き には,運 動 方 程 式 は ま った く無 力 なの だ ろ うか.本 章 と次 章 で は,具 体 的 な力 の形(関 数)に よ らず 運 動 方 程 式 か ら導 か れ る一 般 的 関係―― “運動 量 と力 積 の 関係 ” と “運 動 エ ネ ル ギ ー と仕事 の 関係 ”――を用 い る こ とに よ り,運 動 方程 式 が 解 け な くて もそれ な り に い ろい ろ な こ とが考 察 で き る こ と を示 す こ とに しよ う.本 章 で は “運 動 量 と力積 の 関係 ” を考 え る.
12.1運
動 量 の発 見
少 し歴 史 を振 り返 ろ う.デ 観 点 か ら,物 た.す
カ ル ト(Descartes,1596-1650)は,自
分 の持 つ哲 学 的
体 が 相 互 作 用 し合 う前 後 で は 何 か あ る 量 が 不 変 に保 た れ る と考 え て い
な わ ち,個
々 の 物 体 の 変 化 は 一 見 不 規 則 で と ら え よ うが な く て も,世
界 全体
そ うさい
で考 えれ ば それ らの変 化 は相 殺 され る と考 え てい た.つ ま り,神 は未 来永 劫 不 変 で 完璧 な世界 を造 りた もうた,と 考 えた わ け だ.こ の よ うな思想 は決 して デ カル トだ りんねてんせい
け の もの で はあ るまい.仏 教 にお け る輪廻 転 生 とい う思想 もあ る意 味 で は 同 じよ う な発 想 に基 づ い て い る よ うに思 える.た だ,デ カ ル トは哲 学 者 で あ る と同時 に数学 者 で あ り,ま た科 学 者 で あ っ た.彼 は,物 体 が衝 突 す る様 子 を観 察 し,次 の よ うな 結 論 を引 き出 した. 二 つ の 物 体 が 衝 突 す る と き,そ
の 前 後 で “運 動 の 量 ”の 総 和 は 変 化 し な い.
こ こ で “運 動 の 量 ” と は “質 量 × 速 さ” で 定 義 さ れ る量 で あ る. だ が,こ ば,粘
の 主 張 は 正 し くな い.同
じ質 量 の 粘 土 の 球 を 等 し い 速 さ で 正 面 衝 突 さ せ れ
土 の 球 は く っ つ い て と ま る.つ
ま り,“ 質 量 × 速 さ ” とい う量 は 衝 突 の 前 で
は ゼ ロ で は な い が,衝
突 後 に は ゼ ロ に な っ て し ま うの で あ る.そ
こ で,上
に述 べ た
デ カ ル トの 主 張 の 修 正 案 と し て, 二 つ の 物 体 が 衝 突 す る と き,そ
の 前 後 で “運 動 の 量 ”の 総 和 は変 化 しな い.
こ こ で “運 動 の 量 ” と は “質 量 × 速 度 ”で 定 義 さ れ る 量 で あ る. と い っ た もの が 提 案 さ れ た.デ
カ ル トの 主 張 と比 べ る と,“運 動 の 量 ”の 定 義 に “速 さ ”
と い う ス カ ラ ー 量 の代 わ り に “速 度 ” と い うベ ク トル 量 が 用 い られ て い る.つ こ こ で 定 義 さ れ た “運 動 の 量 ”は ベ ク トル 量 で あ る1).こ linearmomentum)と 量mの
名 付 け ら れ た.数
ま り,
の 量 は 運 動 量(momentum,
式 で 定 義 す る と,速 度vで
運 動 してい る質
物 体 の 持 つ 運 動 量pは
(12.1) と な る.そ
して,二
つ の 物 体 が 相 互 作 用 して も総 運 動 量 が 変 化 しな い と い う こ と は,
二 つ の 物 体 の 持 つ 運 動 量 を そ れ ぞ れp1,p2と
して,
(12.2) す な わ ち,
(12.3) と い う こ と で あ る.と る(v=│v│),と
こ ろ で,2物
体 の 衝 突 に 関 し て は,mv2と
い う量 も保 存 さ れ
い う実 験 事 実 を示 す 科 学 者 もい た(ホ イ ヘ ン ス や レ ン2)な ど).こ
ら の 報 告 を 聞 い た ニ ュ ー ト ン は い ろ い ろ な 物 体 間 の 衝 突 現 象 を 自 ら 調 べ,物 つmv2の
和 は衝 突 前 後 で 必 ず し も保 存 さ れ な い が,運
さ れ る(衝 突 前 後 で 変 化 しな い)こ
と を見 出 し た.彼
動 量 の(ベ ク トル)和 は 保 存
は こ の 事 実 を も と に次 の よ う に
考 え た.
ガ リ レイ の慣性 の法則 に よれ ば孤 立 した物体 は速度 を保 つ性 質 を持 つ.す な わ ち,孤 立 した物 体 は 運動 量 を保 つ性 質 を持 つ.こ れ を逆 に考 え れ ば, 物 体 の運 動 量 を変 化 させ るた め には外 か ら何 らか の働 きか け を してや らな けれ ば な らない とい うこ とだ.こ の作用 を “力” と呼 ぼ う3).そ して,物 体 に作 用 す る力Fと
れ
体 の持
物体 の持 つ運 動 量 との 間 には
(12.4) の関係 が 成 り立 つ と仮 定 しよ う.さ て,物 体1と 物体2が 衝 突(相 互作 用) す る と き,物 体1の 持 つ 運 動 量 は変 化 す る.こ れ は上 述 の仮 定 に従 え ば,
「物 体1は る.物
物 体2か
体1の
ら力 を 受 け,そ
の結 果 運動 量 が 変 化 した」 と考 え られ
持 つ 運 動 量 をp1(t),物
とす る と,こ
体1が
物 体2か
ら受 け る力 をF12(t)
れは
(12.5) と書 け る.同 様 の こ と を物 体2に 関 して も考 えれ ば
(12.6) が 得 ら れ る.た
だ し,物 体2の
受 け る 力 をF21(t)と
持 つ 運 動 量 をp2(t),物
し た.式(12.5),式(12.6)の
体2が
物 体1か
ら
両 辺 を 足 し合 わ せ る と,
(12.7) と な る.と
こ ろ で,物
体 の 衝 突(相 互 作 用)の 際 に は 式(12.3)が
こ とが 実 験 的 に 確 か め られ て い る.こ
れ を 式(12.7)の
成 り立 つ
左 辺 に 代 入 し て,
(12.8) が 得 ら れ る.こ
れは
(12.9) と変 形 で き る.こ
の 数 式 の 意 味 は,「 二 つ の 物 体 が 力 を及 ぼ し合 う と き,そ
れ らの 力 の 大 き さ は 等 し く,向
き は 逆 で あ る 」 と い う こ と だ.
こ う し て ニ ュ ー ト ン は 「二 つ の 物 体 が 衝 突 す る 際 に 運 動 量 が 保 存 さ れ る 」 とい う 事 実 か ら,式(12.4)(運
動 方 程 式)で 表 さ れ る 運 動 の 法 則 と式(12.9)で
用 反 作 用 の 法 則 を見 出 した の で あ る.も ま だ “法 則 ” と は 呼 べ ず,単
表 さ れ る作
ち ろ ん,こ
の 段 階 で は こ れ ら二 つ の 法 則 は
な る 仮 定 に 過 ぎな い.し
か し,こ の 二 つ の 仮 定 を適 用 す
る こ と に よ り,現 実 の あ り と あ ら ゆ る 運 動 が 説 明 で き る こ とが 確 か め ら れ た(そ の う ち の 極 々 一 部 を 前 章 で 取 り扱 っ た).こ
う して これ ら二 つ の 仮 定 は 法 則 へ と昇 華 し
て い っ た の で あ る. な お,運
動 中,質
量 が 一 定 に 保 た れ る な ら式(12.4),す
なわ ち
(12.10) の左 辺 か らmを
微 分 の外 に出 して
(12.11)
とす る こ と が で き る.こ あ ろ う.本
ち ら の 方 が た い て い の 人 に は運 動 方 程 式 と して 馴 染 み 深 い で
書 で も前 章 で は も っ ぱ ら こ の 形 の み を扱 っ た.ニ
を 明 確 に式(12.11)の
よ う に 書 い た の は オ イ ラ ー で あ る.オ
ュ ー トン の 運 動 方 程 式 イ ラ ー の 書 い た “ニ ュ ー
トン の 運 動 方 程 式 ” は や が て ア イ ン シ ュ タ イ ン の 相 対 性 理 論 に よ っ て 修 正 さ れ る4). しか し,ニ ュ ー ト ン の オ リ ジ ナ ル の 運 動 方 程 式 で あ る式(12.4)5)の
12.2運
動 量 と力 積
歴 史 的 に は,衝
突 に 際 して 系 の 運 動 量 が 保 存 さ れ る とい う事 実 か らニ ュ ー トン は
運 動 方 程 式 と作 用 反 作 用 の 法 則 を 見 出 し た.し
か し,一
般 的 な 力 学 の 教 科 書 で は,
運 動 方 程 式 と作 用 反 作 用 の 法 則 か ら衝 突 前 後(衝 突 中 も!)に 存 さ れ る こ と を導 い て い る.本 位 置r(t)の
わ か っ て い れ ば,任
わ か り,か
して,速 度v(t)の
け る 速 度v(t0)が
わ か っ て い れ ば,任
で 計 算 さ れ る.こ
のdv(t)/dt(加速 度)を 与 え て くれ る の が,運
位 置 が わ か れ ば,そ mは
おけ
る 時 刻t0に
動 方程 式
お い て 物 体 に働 く全 外 力 の 合 計(ベ ク ト 度v(t)は
そ の物体 の
体 に 働 く全 外 力 の 合 計 が わ か り,初 速 度 と初 期
の 物 体 の 運 動 を(過 去 か ら 未 来 に わ た っ て)知 る こ とが で き る.
物 体 の 質 量 で あ り,定 数 で あ る8)か ら微 分 の 中 に 入 れ る こ とが で き る.す
と運 動 方 程 式 は,
お
意 の 時 刻 に お け る 速 度v(t)は,
考 え て い る物 体 の 質 量 で あ る.速
ら か の 方 法 で,物
る 時 刻t0に
変 化 率dv(t)/dtがわ か り,か つ,あ
い う 量 は,時 刻tに
ル和)で あ り6),左 辺 のmは 速 度7)で あ る.何
つ,あ
意 の 時 刻 に お け る位 置r(t)は,
で 計 算 さ れ る.そ
辺 のF(t)と
お い て系 の運 動量 が保
節 で も そ の よ う な 議 論 を展 開 して み よ う.
変 化 率 で あ る速 度v(t)=dr(t)/dtが
る 位 置r(t0)が
で あ る.右
形 は生 き残 っ た.
る
と書 く こ と もで き る9).こ
れ は,p(t)=mv(t)と
た 力 に 等 しい こ と を 意 味 して い る.ま
い う量 の 時 間 変 化 率 は,加
え られ
た,
か ら,
が 得 ら れ る.
とす る と10),Δpは,時 す な わ ち,p(t)の p(t)=mv(t)を 時 刻taか
刻taか
ら 時 刻tbの
間 にp(t)が
あ る時 間 にお け る変 化 量 は 時 刻tに
ら 時 刻tbの
変 化 し た 量 を 表 し て い る. に 等 し い こ とが わ か る.
お い て そ の 物 体 が 持 つ 運 動 量 と呼 ぶ.ま
あ い だ に物 体 に加 え ら れ た 力 積(impulse)と
言 葉 を使 う と,「 物 体 の 持 つ 運 動 量 は,加
を
た, 呼 ぶ.こ
れ らの
え られ た 力 積 だ け 変 化 す る 」 と ま と め ら
れ る. 補足
運 動 方 程 式 は,む
しろ
と した方 が基 本 的 な の は12.1節
で述 べ た通 りで あ る.燃 料 を燃 や して ガス を噴 出 さ
せ な が ら飛 ぶ ロケ ッ トの よ う に質 量 が変 化 す る場 合 は,運 動 方 程 式 と して こ の式 を 使 わ な くて は な らな い.つ ま り,
とす る.こ れ は積 の微 分 法 を用 い れ ば
と書 くこ とが で きる11).mが 方 程 式 は,
と 書 け る.
定 数 な らば こ の式 の左 辺 の 第1項 が0と
な り,運 動
12.3質 さ て,こ
点
こ ま で 来 る と,質 点 の 話 か ら 質 点 系(複 数 の 質 点 か ら な る系)の 話 へ と進
む べ き で あ ろ う.ま 子1に
系
ず,図12.1の
働 く力 と して,粒
を 考 え る.同
様 に粒 子2に
ら受 け る 力13)F2を
子2か
よ う に 二 つ の 粒 子1,2か ら 受 け る 力F12と
粒 子2以
働 く力 と し て,粒 子1か
考 え る.そ
ら な る 系 を 考 え る.粒 外 か ら 受 け る 力12)F1
ら受 け る 力F21と
粒 子1以
外 か
れ ぞ れ の 粒 子 の 運 動 方 程 式 は,
(12.12) (12.13) で あ る.と 0で
こ ろ で 作 用 反 作 用 の 法 則 か らF12=-F21で
あ る14).そ
が 得 ら れ る.質
こ で,式(12.12),式(12.13)の
量 は 定 数 とす る と,こ
あ る.つ
ま り,F12+F21=
辺 々 を 足 し 合 わ せ る と,
れは
(12.14) と変 形 で きる15).左
辺 のm1v1+m2v2は
系 の運 動 量 の 合 計 で あ り,右 辺 のF1+F2
は 系 外 か ら系 に 作 用 す る 力―― 外 力―― の 合 計(合 力)で あ る.す
図12.12粒
子系
な わ ち,式(12.14)
は 「系 の 運 動 量 の 時 間 変 化 率 は 外 力 の 合 力 に 等 しい 」 とい う こ と を語 っ て くれ て い る の で あ る.さ
v1,v2は
て,式(12.14)は
位 置r1,r2を
次 の よ う に 変 形 し て い く こ とが で き る.
時 間 微 分 した も の で あ る.そ
こ で,上
の式 は
(12.15) と も書 け る.さ
て,m1+m2は
系 の全 質 量 で あ る.こ
れ をMと
は 系 外 か ら系 に 作 用 す る 力―― 外 力―― の 合 計 で あ る.こ m1r1+m2r2/ m1+m2は
位 置 の 次 元 を持 っ て い る の で,こ れ をRGと
書 こ う.F1+F2
れ をFと
書 こ う.ま
書 こ う.す
た,
る と,式(12.15)
か ら
(12.16) が 得 ら れ る.こ
こ で,
を 系 の 質 量 中 心(centerofmass),あ (12.16)は,粒 は,粒
子1,2か
子1,2の
の 課 題 参 照).な
量 中心
内 分 す る 点 に な っ て い る こ と に 注 意 せ よ(p.77
量 中 心 は重 心 と 呼 ば れ る こ とが あ る が,そ
間 に お け る 重 力 の よ う に,質
量 に 比 例 し て,一
れ は狭 い範 囲 の空
定 方 向 に 働 く力 の 作 用 点 は 質 量 中 心
に あ る と して 取 り扱 う こ とが で き る た め で あ る が,こ し て も らい た い.も
い う.式
ら な る系 の 質 量 中 心 の 運 動 方 程 式 と 呼 ば れ る16).質
位 置 をm2:m1に お,質
る い は 重 心(centerofgravity)と
の 点 に 関 して は16.3節
を参照
し重 力 の 一 様 性 が 保 証 さ れ な い と き は 質 量 中 心 と重 心 の 位 置 は
異 な る こ と に な る が,そ
の 点 に 関 して も16.3節
で 簡 単 に触 れ る.も
っ と も,我 々 の
扱 う範 囲 で は 重 心 と 質 量 中 心 は 同 義 で あ る と して ま っ た く構 わ な い. な お,粒
子n個
が 空 間 に 散 ら ば っ て い る場 合17)の 重 心 の 位 置 ベ ク トルRGは,2
粒 子 系 と 同様 に 考 え る と,
で あ り,質 量 中心(重 心)の 運 動 方程 式 は
(12.17) あ るい は
(12.18) で あ る.こ こでMは
∑Fkで
系 の全 質量 ∑mkで
あ り,VGは
あ り,Fは
重 心 の 速 度dRG/dtで あ る.こ
系 に加 わ っ てい る外 力 の総 和
の 式 に 内 力,す
なわ ち系 内 の粒
子 間 の相 互作 用 は含 まれ な い18).離 散 的 な粒 子 系 で な く,連 続体 を考 える とき も, 連続 体 を仮想 的 に細 か く分 け て考 え れ ば粒 子 系 に還 元 して考 える こ とが で きる.つ ま り, 物 体 の 質量 中心 の加 速度 は物 体 に働 く外 力 に比 例 し,物 体 の質 量 に反 比例 す る.こ れ は,外 力 が物 体 の どの部 分 に働 こ うが,ま た,物 体 が 変形 した り,回 転運 動 を した り して い よ うが 成 り立 つ. な お,式(12.18)よ
り,系
の 時 間 変 化 率 は ゼ ロ,す
に外 力 が 作 用 し な い と き,系 の 運 動 量(重 心 の 運 動 量)19) な わ ち,系
の 運 動 量 は 一 定 に 保 た れ る.こ
則(conservationoflinearmomentum)と
れ を運 動 量 保 存
呼 ぶ.
補 足 ニ ュ ー トン力学 の範 囲 で は 力 の作 用 反 作 用 の法 則 と運 動 量保 存 則 とは 互 角 で あ る.互 い に他 を導 け る.し か し,も っ と視 野 をひ ろ げ る と,運 動 量 保 存 則 の 方 が 基本 的 な法 則 で あ る こ とが わか るの だが,こ の 話 に は これ 以 上触 れ ない で お く.
12.4運
動 量 と力 積 の 単 位
こ れ ま で の 議 論 で,運
動 量 と力 積 の 単 位 に は ま っ た く触 れ な か っ た.読
者 は どこ
か で 「物 理 学 の 学 習 に お い て,単 位 の 概 念 は 非 常 に重 要 で あ る.例
え ば,数 字 の “3”
を 書 く と き に,そ
な の か,は
れ が た だ の “3”な の か,“3m”
な の か,“3kg”
っきり
させ な くて は い け な い.」 とい う よ う な 主 張 を 聞 い た こ とが あ る だ ろ う.ま
っ た くそ
の 通 りで あ る.単
は,な
位 の 概 念 を お ろ そ か に して は 物 理 学 は 成 り立 た な い.で
本 章 の こ れ ま で の 議 論 に単 位 が 出 て こ な か っ た の だ ろ う か.そ す の に 文 字 を使 っ た か らで あ る20).本
章 に 限 らず 本 書 で は,い
ぜ
れ は,“ 物 理 量 ” を表 や,本
書 に 限 らず 大
概 の 自然 科 学 の テ キ ス ト(文 献)で は,文
字 は単 に 数 字(数 値)を 一 般 化 し て 表 して
い る の で は な い(も ち ろ ん そ う い う こ と もあ る が).文 の で あ る.物
理 量 と は,あ
の で あ る.つ
ま り,
る単 位 を 定 め21),そ
物 理 量=数
字 は “物 理 量 ” を 表 し て い る
の 何 倍 か,と
い う こ とで測 られ る も
値 ×単 位
な の で あ る.「 物 理 量 を 文 字 で 表 す 」 と い う の は 「文 字 の 中 に 既 に単 位 を組 み 込 ん で 考 え て い る」 とい う こ と な の だ!こ し て ほ しい.例 をmkgと
の こ と を念 頭 に お い て 本 書 をパ ラ パ ラ と 読 み 返
え ば 「物 体 の 質 量 をmと
す る」 と い う 記 述 は あ っ て も 「 物 体 の質 量
す る 」 と い う 記 述 は な い22).文
物 理 量 を表 す)と 何 が い い か と い う と,物
字 に 単 位 を 含 ま せ る(文 字 で 数 値 で な く 理 量 の 関 係 式(物 理 法 則 や 定 義 式)が 特 定
の 単 位 に 依 存 す る こ と な く表 せ る とい う こ とで あ る23).今 位 系(2.2節
参 照)が 多 く使 わ れ て い る が,そ
れ は 人 間 の 都 合 に 依 存 す る もの で あ り,
物 理 の 本 質 と は 何 ら関 わ りが な い24).「 物 体 が 時 間tの 物 体 の(平 均 の)の 速 さ はv=l/tで 成 り立 つ は ず で あ る25).文
の 世 の 中 で は,MKS単
間 に 距 離lだ
け 進 ん だ と き,
あ る 」 とい う式 は ど の よ う な単 位 系 を用 い て も
字 に 単 位 を 含 め た と き,文 字 の 関 係 式 は 単 な る 数 値 の 計
算 式 を 表 す の で な く,「 物 理 量 の 間 の 関 係 を表 す 式 」 とい う意 味 を持 つ こ と に な る. 物 理 の テ キ ス トが 物 理 量 を 表 す た め に 文 字 を 使 用 し て い る の は 「 数 学 的 な意 味 で の 数 値 の 一 般 化 」 以 上 の 意 味 が あ る の で あ る26). さ て,前
口 上 が 長 くな っ た が,以
上 の よ う な わ け で,理
論 の枠 組 み につ い て話 し
て き た こ れ ま で の 議 論 に お い て は 運 動 量 と力 積 の 単 位 に つ い て触 れ る 必 要 が な か っ た の で あ る27).し
か し,具 体 的 に 実 験 を し,結 果 を ま と め る と な る と,単 位 が 必 要
に な る.そ こ で,運 動 量 の 単 位 をMKS単 位 系 で 考 え て み よ う.運 動 量 の 定 義 式 は “質 量 × 速 度 ” の 形 を して い る .質 量 の 単 位 にkg,速 度 の 単 位 にm/sを 用 い る と, 運 動 量 の 単 位 は “kg・m/s” と な る.次 は “力 × 時 間 ” の 形 を し て い る.力 の 単 位 は “N・s” と な る.物
に力 積 の 単 位 を考 え て み よ う.力 積 の 定 義 式
の 単 位 にN,時
間 の 単 位 にsを 用 い る と,力
積
体 の 運 動 量 の 変 化 量 は 物 体 に加 え られ た 力 積 に 等 しい
の だ か ら,両 者 の 単 位 は 等 し くな ら な く て は い け な い. 課題
運 動 量 の 変 化 量 の 単 位 と 力 積 の 単 位 は 等 しい こ と を 示 せ.
解説
運 動 量 の 変 化 量 は 変 化 前 後 の 物 体 の 持 つ 運 動 量 の 差 で あ る か ら,運
く,“kg・m/s”
と な る.力
積 の 単 位 は “N・s” で あ る が,Nは
動量 の単 位 に等 し
基 本 単 位 で 表 す とkg・m/s2
で あ る か ら,N・sはkg・m/sに 等 し く な る こ と が 容 易 に 確 か め ら れ る.な お,“ 変 化 量 ” と “変 化 率 ” を 混 同 し な い こ と .“ 運 動 量 の 変 化 率 ” は “運 動 量 の 変 化 量 を 変 化 に 要 し た 時 間 で 割 っ た も の ” で あ る.単 る28).
位 はkg・m/sをsで
割 っ たkg・m/s2と
な る.当
然,Nに
等 し くな
本章 で は 運動 量 を導 入 し,そ の性 質 につ い て解説 した.具 体 的 な物 理現 象 を運 動 量 を用 い て ど う考 察 してい くか につ い ては次 章 で 考 え たい.
注 1)先 ほ ど の粘 土 の 例 で い え ば
,衝 突 前 に二 つ の 粘 土 の持 つ “運 動 の 量 ” は大 き さは等 しい が 逆 向 きの ベ ク トル で あ り,加 え る とゼ ロ ベ ク トル に な る.衝 突 後 の粘 土 の速 度 はゼ ロ(ゼ ロ ベ ク トル)な の で, や は り粘 土 の持 つ “運動 の 量” は ゼ ロベ ク トル に な る. 2)ホ イヘ ンス(Huygens ,1629-95)は オ ラ ンダの 非常 に優 秀 な 数学 者 兼,天 文 学 者兼,物 理 学 者 で あ っ たが,ニ ュ ー トン と同 時代 に 生 きた ため,そ の影 はや や 薄 くな っ て しま った 感 が あ る.レ ン(Wren, 1632-1723)は 英 国 の建 築 家 であ る(セ ン トポ ー ル大 寺 院 な どの 寺 院 建 築 が 多 い)が,物 理学 や天 文 学 に も並 々 な らぬ 関心 を抱 い て い た. 3)実 際 に はニ ュー トンは あ ま り力 と力 積 の 概 念 を区 別 せ ず
,“ 力 ” と呼 ん でい た よ うで あ る.本 節 の 内 容 は学 習 者 が 混 乱 を起 こ さ ない よ う に,現 代 的 立 場 か ら歴 史 を 少 し変 え て 説 明 して い る. 4)光 速 に比 べ て十 分 に遅 い 速 度 で 運 動 して い る物 体 に 対 して は まっ た く問題 は な い . 5)ニ ュ ー トン 自身 が 式(12 .4)を 明 確 に書 き表 した わ け で は な い が. 6)こ れ を合 力 とい うの で あ った . 7)物 体 の どの 部 分 の 速 度 か とい う こ とは しば ら く考 え な い で お こ う. 8)と りあ えず は この こ と に疑 問 を持 た な い で も らい た い . 9)こ の 表 記 の 方 が ニ ュー トンの 運 動 方 程 式 の オ リジ ナ ル に近 い . 10)p(t)はdp/ dtの 原始 関 数 で あ る.関 数 の定 積 分 と原 始 関数 と の 関係 につ い て はp.110参 11)こ れ は相 対 論 的 な方 程 式 で は な い . 12)粒 子1 13)粒 子1
,2か
ら な る系 の外 か ら粒 子1に
照.
作 用 す る 力.
,2か ら な る系 の外 か ら粒 子2に 作 用 す る 力. 14)一 般 に系 を構 成 す る粒 子 間 で 作 用 し合 う力(内 力:internalforce)の
和 は ゼ ロ(ゼ ロベ ク トル)に
な る. 15)こ の 式 は 運
動 方程 式 をd(mv)/ dt=Fと 書 い て お い た 方 が 早 く導 け る. 16)系 の 重 心 の 運 動 方 程 式 と もい う. 17)13 .4節 で も う少 し詳 し く解 説 す る. 18)内 力 は 一 つ 一 つ の 粒 子 を考 え る と きに は必 要 で あ る が(着 目 して い る粒 子 に とっ て は外 力 とな る た め),系 全体 で和 を とる とゼ ロベ ク トル に な る の は,多 粒 子 系 の場 合 も2粒 子系 の場 合 も同 じで あ る. 19)系 の 運動 量(系 を構 成 す る粒 子 の運 動 量 の 総和)は 系 の 重 心 の 運 動量(系 の全 質量 × 重心 の速 度)に 等 しい.こ の こ との2粒 子 系 の 場 合 に お け る証 明 は式(12.14)か ら式(12.15)を を参 考 に して も らい た い.一 般 の場 合 に関 して は13.4節 で 扱 う. 20)決 して筆 者 の手 抜 きのせ い で は な い .
導 くと きの 式 変 形
21)長 さな らば ,“ メ ー トル” や “フ ィー ト” な ど. 22)例 外 は あ るが ,そ の場 合 は 明 示 して あ る.例 えばp.162の 課 題 な ど.p.125の 補足 の脚 注 で 「 単位 に つ い て は適 当 に考 え て ほ しい」 と書 い た裏 に も同 様 の 含 み が あ っ た わ け で あ る. 23)も ち ろ ん ,実 用 上 の 問題 もあ る.数 値 と単 位 を分 離 す る と,単 位 をい ちい ち書 くのが 煩 わ し くなる. 単 位 を省 い て表 記 す る と,そ れ は もは や物 理 の 関係 式 で な くな る.ま た,次 元 の チ ェ ッ ク を誤 りや す い. 24)物 理 法 則 は本 来 自然 の 姿 を現 して い る わ けで あ り ,“ 物 差 し” を変 え た と こ ろで そ の 形 は 変 わ らな い わ け で あ る. 25)と い う よ り,こ の 関係 式 が 成 り立 つ よ うな単 位 系 を採 用 し よ う(速 さの 単位 を使 お う)と い う こ とで あ る.そ の よ う な単 位 系 は無 限 に作 る こ とが で き るが,そ
の う ち の どの 単 位 系 を選 んで も,物 理 法
則 は同 じ形 で 書 か れ る ので あ る.同 様 に,MKS単 位 系 で な くて も運 動 方程 式がma=Fと なる よ う な力 の 単 位 を考 えれ ば,本 書 の 内 容 は何 ら書 きか え る必 要 は な い. 26)も ち ろ ん,文 字 を数 値 の み を表 す も の と して用 い て単 位 は外 に く く り出 す とい う表 記 そ の もの は 別 に誤 りで は な い し,そ れ で 首 尾 一 貫 した記 述 を して い る な ら何 ら問題 は な い.し か し,そ の よ うな 表 記 は煩 わ し く,ど こか し ら ミス を犯 して し まい が ち で あ る. 27)具 体 的 な単位 に つ い て考 え る必 要 は な くて も ,単 位 の次 元 につ い て は 考 えて お か な くて は な らな い. 28)物 体 の 運 動 量 の 変 化 率 は そ の 瞬 間 に物 体 に 作 用 した 力 に 等 しい .
13 力学 的 エ ネル ギ ー
エ ネル ギ ー(energy)と
は何 で あ ろ うか.物 理 学 にお い て,エ ネル ギ ー は多分 に抽 象
的 な概 念 であ る.エ ネ ル ギ ー に は様 々 な形 態 が あ る:運 動 エ ネ ル ギ ー,重 力 エ ネル ギ ー,熱 エ ネル ギ ー,電 気 エ ネル ギ ー,化 学 エ ネ ル ギ ー,核 エ ネ ル ギ ー,….こ れ らの量 を計 算 す る 式 が あ り,す べ て を加 え る と(出 入 り も考 慮 して)一 定 値 と な る. 逆 に,あ る(種 の)量 が あ って,そ れ らの和 が と にか く一 定 に な る よ う に定義 され た ものが エ ネ ルギ ー とい っ た とこ ろで あ ろ う1).さ て,物 体 の 運動 に と もな った エ ネ ル ギ ー と して は どの よう な もの を考 え れ ば よい で あ ろ う か.そ れ に は運 動 の 法 則 を 表 した ニ ュー トンの運 動 方 程 式
(13.1) か ら考 察 す るの が よい であ ろ う.力 学 の問 題 の 基本 はす べ て運 動 方程 式 に あ るの だ か ら.な お,本 章 の 内容 は少 し難 しい か も しれ な い.バ イ オ メ カニ ク ス を専 攻 して い ない 人 は13.7節 を と りあ えず 学習 し,ほ か の と ころ は必 要 に応 じて読 む よう にす る とよ い2).
13.1運 p.193の
動 エ ネ ル ギ ー と仕 事 補 足1で
速 度 ベ ク トルvと a・v=0が
速 度 の 向 き が 刻 一 刻 と変 化 し て も大 き さが 変 化 しな い 場 合 に は, 加 速 度 ベ ク トルaの
成 り立 つ.逆
に,a・v=0が
た れ る こ と も容 易 に 示 さ れ る(p.193の で,ニ
な す 角 は90° で あ る こ と を示 した.す
補 足1の
計 算 を逆 に た ど れ ば い い).と
ュ ー ト ン の 運 動 方 程 式 に よ る と加 速 度 ベ ク トルaと
同 方 向 で あ る.そ
なわち
成 り立 つ な ら ば 速 度 の 大 き さ は 一 定 に保 ころ
物 体 に 作 用 す る 力Fは
れ ゆ え,
(13.2) が 成 り立 て ば,つ
ま り,物 体 に 力 が 働 い て も そ れ が 物 体 の 運 動 方 向 に 対 し て 垂 直 で
あ れ ば,物 体 の 速 度 の 大 き さ(速 さ)は 一 定 に保 た れ る こ と に な る.裏 度 の 大 き さが 変 化 す る た め に はF・vと
い う量 は0で
を 返 せ ば,速
あ っ て は な ら な い.こ
の辺 の
事 情 を さ ら に検 討 す る た め に,運 動 方 程 式(13.1)の を と っ て み よ う.す
両 辺 と速 度 ベ ク トルvと
の内積
る と,
(13.3) が 得 ら れ る3).こ
で あ り(6.3節 v=│v│と
こで
参 照),ま
たv・v=v2で
あ る(6.3節
参 照)こ
と を使 う と(た だ し
した),
で あ る こ とが わ か る.こ
の 式 を使 う と式(13.3)は
(13.4) と変 形 で きる.こ の式 は非 常 に重 要 な意味 を持 つ.重 要 な もの には名 がつ い て くる. 左 辺 に現 れ る量
(13.5) を 運 動 エ ネ ル ギ ー(kineticenergy)と す る 力Fの
仕 事 率(power)と
い う4).右
い う.こ
辺 に 現 れ る 量F・vを
れ ら の 言 葉 を 使 う と,式(13.4)は
運 動 エ ネ ル ギ ー の 時 間 変 化 率dK/dtは そ の 物 体 に 働 く力 の 仕 事 率F・vに い う こ と を 表 して い る こ と に な る.仕 ず,そ
事 率F・vが0な
れ ゆ え 物 体 の 速 度 の 大 き さv(=│v│)が
物体 に作用 「物 体 の 等 しい」 と
ら運動 エ ネ ル ギー は変 化 せ
一 定 に保 た れ る の で あ る.
補 足1く どい ようだが,「仕 事 率が ゼ ロ」とは 「力が 働 い てい ない」と同義 で は ない. 「 力 が働 い てい な いか,力 が働 い てい て もその 向 きが 物 体 の速 度 ベ ク トル に垂 直 で あ る」 とい う こ とであ る.ま た,「 速 度 の 大 きさが 変 化 しな い」 と は 「加 速度 が ゼ ロ」 と 同義 で は な い.速 度 の 大 きさが 変 化 しな くて も速 度 の 向 きが 変 化 す れ ば加 速 度 は ゼ ロ にな らな い ので あ る(p.194の 補 足 参 照). 補 足2今
の議 論 で は,F・vに
お け るvは 力 の作 用 点 の速度 で はな く,物 体 の(重
心 の)速 度 で あ る こ と に注 意 しよ う.こ れ は,運 動 方程 式(13.1)の
左 辺mdv/dtのv
が 物 体(の 重 心)の 速 度 だ か らで あ る.な お,物 体が 大 き さを持 つ 場合,物 体 の重 心 その ものが 静 止 して いて も,物 体 が 重 心 まわ りに(地 球 の 自転 の よ うな)回 転 運 動 を した り振 動運 動 を した りして い る こ と もあ る.こ の よ うな運 動 に と もな う運 動 エ ネ ルギ ー も当然考 え られ,そ れ らの 運動 エ ネ ル ギー の変 化 を考 える ため に は5)力 の作 用 点 の速 度 を考 え な くて は な らな くな る の だが,本 章 で は この よ う な運動 は考 え な い.
次 に 微 小 時 間dtの に,式(13.4),す
間 に運 動 エ ネ ル ギ ー が ど れ だ け 変 化 し た か(dK)を
見 るた め
なわち
(13.6) の 両 辺 にdtを
か け る と(r:物
体 の 位 置 ベ ク トル),
が 得 ら れ る6)(右 辺 は そ の 間 に働 い た 外 力Fと,物 る).こ
体 の 移 動 距 離drと
の 内積 で あ
の微 小 変 化 を加 え 合 わ せ る こ と に よ り,
(13.7) な る 式 を得 る7).こ
こ に ΔKは
ギ ー の 差K(rb)-K(ra)で
物 体 がra,rbの
よ っ て得 られ た 総 変 化 量).式(13.7)の 置rbに
位 置 にあ る と きに持 つ 運動 エ ネ ル
あ る(各 区 間 で の 微 小 変 化 量dKを 意 味 は 「物 体 が 力Fを
受 け て位 置raか
移 動 す る 際 に生 ず る 運 動 エ ネ ル ギ ーK(=1/2mv2)の
に等 しい 」 とい う こ とで あ る.式(13.7)の と 呼 ぶ.な
お,運
動 方 程 式(13.1)は
わ ち,mdv(t)/dt=F(t)の
数 で あ る.す
足 し合 わ せ る こ と に
変 化量 は右 辺 の積 分 量
右 辺 の 量 を力 が 物 体 に な し た 仕 事(work)
時 間 を独 立 変 数 と し た微 分 方 程 式 で あ る.す
意 味 で あ る.し
か し,
に お い て は,Fはrの
と い う こ とで あ る.つ
な わ ち,
ら位
な 関
ま り,物 体 が 運 動 して い
る場 合,時 刻 の変 化 と と もに位 置 が 変化 す るの で,こ の位 置 を改 め て独 立 変 数 と見 な してい る ので あ る.こ の よ う に変 数 の変 換 を行 って積 分 す る こ とを置 換積 分 とい うんぬん
う.運
動 方 程 式 にv=dr/dtを
に 思 え る か も しれ な い が,置
か け て 云 々 と い う 式 変 形 は,慣
れ ない 人 に は一 見唐 突
換 積 分 の 常 套 手 段 だ っ た の で あ る.
補 足 置換 積 分 を も っ と機 械 的,か つ 印象 的 にや る方 法 を紹 介 しよ う.と りあ えず わ か りや す く1変 数 の 普 通 の積 分 を考 え よ う.今,t=aか らt=bま で の定 積 分 を計算 す る こ と を考 え る.本 来,こ の積 分 の独 立変 数 はtで あ るが,tが 変化 す るに従 ってxも 変 化 す る.そ れ ゆ え,Fがtと とも に変化 す る と考 える(Fをtの 関数 と見 る)代 わ りに,Fはxと と もに変 化 す る と考 え よ う.す な わ ち,独 立 変 数 をxに してFをxの 関数 と見 な す の であ る.そ してtがaか らbま で 変 化 す る と き に,xがxaか で 計 算 で き る.す
t:a→bの
らxbま
で 変 化 す る とす る と,Iは
な わ ち,
と きx:xa→xbな
ら ば
で あ る.こ れ は,あ た か もdx/dtdt=dxと
い う分 数 計算 を行 い,変 数 の 変 域 を調 整 した,と 見 な せ る.な お,な ぜ こ ん な こ とが 許 さ れ るか につ い て は本 書 で は証 明 し ない.高 校 の教 科 書 な どで確 認 してお い て ほ しい.
課題
図13.1の
よ う に物体 を鉛 直 方 向 に ゆ っ く りじわ じわ とhだ
け持 ち上 げ た.こ の とき
手 が 物体 に な した 仕事W1と 重 力 が物 体 にな した仕 事W2を 求 め よ.次 に,そ の位 置 か ら も との 位 置 に物 体 を ゆ っ く り じわ じわ と下 げ た.こ の と き手 が 物体 に な した仕 事W3と 重力が 物 体 に な した仕 事W4を
求 め よ.
図13.1質
解説 mghで
量mの
物体 をhだ
け 鉛 直 方 向 に動 か す.
「 持 ち上 げ る と,物 体 の位 置 エ ネ ルギ ー はmghと な る.よ って,重 力 の した仕 事 は あ る.」 とす る 人 が い るの で 注 意 しよ う.そ の よ うな人 は,仕 事 と位 置 エ ネ ル ギ ー の
関 係 を誤 解 して い る の で あ る(位 置 エ ネ ル ギ ー につ い て は13.2節 参 照).仕 事 の 定 義 に基 づ い て考 え るた め に,ま ず鉛 直 上 向 き に座標 軸 を取 る.す る と,重 力FgはFg=-mgと 表さ れ る.手 が物 体 に及 ぼ す 力 をFと
と な る.と
こ ろ で,今,物
う こ と が で き る.そ
す る と,物 体 の 運動 方 程 式 は
体 を ゆ っ く り じ わ じわ 動 か す の で あ る か ら,加
速 度 は0と
して扱
れ ゆ え,
が 常 に成 り立 って い る と して よい(こ れ は 物体 を持 ち上 げ る と き も降 ろす と き も成 り立 つ 関 係 で あ る こ とに 注意 せ よ).さ て,物 体 をx=0の
位 置 か らx=hの
位 置 まで持 ち上 げ る と
しよ う8).こ の と き手 が(物 体 に及 ぼ す 力が)物 体 に した仕 事 は,
と求 め られ る.ま た,重 力 が 物 体 に した仕 事 は
と求 め る こ とが で きる.同 様 に,物 体 をhだ 事W4は
け 下 げ る と き手 のす る仕 事W3,重
力 のす る仕
とな る.こ れ でお しまい だが,念 の た め,座 標 軸 を下 向 きに と って 問題 を解 き直 して み よ う. この場 合,運 動 方程 式 は
とな り,加 速 度 を0と す る と
が常 に成 り立 って い る と して よい(こ れ は 物体 を持 ち上 げ る と き も降 ろす と き も成 り立 つ 関 係 で あ る こ と に注 意せ よ).さ て,物 体 の も との位 置 をx=0と す る と,物 体 をh持 ち上 げ る とは物 体 をx=-hま で移 動 す る とい うこ とで あ る こ とに注 意 す れ ば,
と,前 と同 じ結 果 が 得 られ,こ れ らの 仕 事 は座 標 軸 の取 り方 に よ らない こ とが わ か る.そ も そ も仕 事 は,物 体 の変 位 と物体 に働 く力 との 関係 で決 まる の で あ るか ら,座 標 軸 の取 り方 に よ らな い(ス カラ ー量 で あ る)の は 当然 とい え よ う.物 体 を持 ち上 げ る と きは手 が 物体 に作 用 す る力 と同 じ向 きに物 体 が 運 動 す る の で,手 のす る仕事 は正 とな る9).ま た,こ の と き,物 体 の 運 動 方 向 は物 体 に作 用 す る重力 と逆 向 きな の で重 力 のす る仕 事 は負 に な り10),物 体 を降 ろす と きは その 逆 で 正 とな るわ け で あ る11).と ころ で,物 体 を持 ち 上 げ る と き も降 ろす と き も,手 の した仕 事 と重力 の した仕事 の和 は0で あ る.こ れ は,物 体 を動 し始 め る 瞬 間 と物体 を静 止 させ る瞬 間の 速 さが等 しけ れば,す な わ ち,物 体 の運 動 エ ネル ギ ー の トー タル で の 変 化 が0な らば,全 外 力 の した仕 事 が0だ か らで あ る.も し,最 初 と最 後 で 物 体 の運 動 エ ネル ギー が変 化 して い れ ば,全 外 力 の した仕 事――手 の した仕 事 と重 力 の した仕事 の和―― は0に は な らな い. 補 足1腕
屈 筋 群(上 腕 二 頭 筋)の トレーニ ン グで,お
も りを持 っ て素 早 く腕 を 曲
げ る場 合 と腕 をゆ っ く り曲 げ る場 合 を考 え よ う.た だ し,持 ち上 げ る前 後 で のお も りの速 度 は0と す る.お も りの移 動 距 離 が 等 しけ れ ば,お も りが 手 か ら受 け た仕 事 は 当然 等 しい.し か し,上 腕 二頭 筋 の した仕 事 は 前 者 の方 が 大 き くな る.こ れ は次 の よう に直 感 的 に考 え る こ とが で きる.腕 を素 早 く曲 げ る とお も りは大 きな速 度 で 上昇 し,そ れ に ブ レーキ をか け るた め に腕 伸筋 群(上 腕 三頭 筋)が 負 の 仕事 を しなけ れ ば な らない.つ ま り,「お も りの 上 昇距 離 が 等 しい た め手 の(腕 の)し た仕 事 が 一 定 で あ る」 とい っ て も,上 腕 二頭 筋 のす る正 の仕 事 と上 腕 三 頭 筋 の す る負 の仕 事 の 和 が 一 定 とい う こ とで,上 腕 二 頭筋 の した仕 事 が 一 定 とい う こ とで は ない の であ る. 腕 を素 早 く曲 げ て お も りの 上 昇速 度 が 大 き くなる ほ ど,ブ レー キ をか け る ため に上 腕 三 頭 筋 が なす 負 の仕 事 が 増加 す る(絶 対 値 が大 き くなる)12).以 上 よ り,腕 を素 早
く曲 げ る方が 上 腕 二頭 筋 の す る正 の仕 事が 大 きい こ とが わ か る13).短 縮 速 度 の違 い に よ る トレーニ ング効 果 の 違 い を見 る ため に,「腕 のす る仕 事 量 を一定 に して短 縮 速 度 だ け を変 え る」 とい う実 験 を行 う と きに は こ の点 か ら も注 意 が 必 要 で あ る. 補 足2“
仕 事=力
× 移 動 距 離 ”な の で,単 に力 が働 い てい て も物体 が 移 動 しな
け れ ば物 体 の 受 け る仕 事 量 は ゼ ロ で あ る.例 え ば,机 の 上 に重 い本 を乗 せ て おい て も机 か らの 抗 力,あ るい は重 力 は ま った く仕 事 をせ ず,エ ネ ル ギ ーの 消 費 は行 われ な い.し か し,こ れ は我 々 の 感覚 か らは なか な か承 服 しか ね る.例 えば,重 いか ば ん を持 った腕 を一 定角 度 で 曲 げ てお け ば,か ば んは仕 事 を され てい な い はず な の に, 腕 は どん どん疲 れ て い く し,エ ネル ギ ー も(安 静 時 に比 べ 余分 に)消 費 され る.こ れ は,筋 はマ ク ロな仕 事 を して い な くて も ミ ク ロな仕 事 を筋 線維 内部 で 行 って い る た め で あ る14).筋 の す る正 の(短 縮 性 活 動 時 の)仕 事 と負 の(伸 長 性 活動 時 の)仕 事 の 絶対 値 を足 し合 わせ て,そ の 値 と トレーニ ング に よる筋 力 増加 量 を比 較 した り,エ ネ ルギ ー 消費(代 謝)量 を比 較 した りす る実験 が あ る.そ うい う実 験 コ ンセ プ トだ と ア イ ソ メ トリッ ク トレー ニ ング を無 視 せ ざ る を得 な い(ト レーニ ン グ効 果 や エ ネ ル ギ ー効 率 が ∞,あ るい は0に な って しま う)し,筋 の 短縮 速 度 と トレーニ ン グ効 果 の 関係 も不 明確 に な る(筋 線 維 内 で行 われ て い る ミ クロ な仕 事,化 学 反応 に対 す る 考慮 が 欠 け て しま う)15).こ の こ と を 回避 す る 実験 プ ロ トコ ー ル はい くつ か あ る と 思 うが,ト
レー ニ ング実 験 に興 味 の あ る人 は ぜ ひ考 えて も らい た い16).
課 題 バ ネ に質量mの お も りを吊 り下 げ る と 自然 長 か らlだ け伸 びた.こ の 状態 か ら図13.2 の ように バ ネ を3/2lだけ持 ち上 げ た とき,お も りが 手,重 力,バ ネか ら受 け た仕事Wh,Wg,Ws をそ れ ぞ れ 求め よ.
図13.2お
も りを つ りあ い の位 置 か ら3/2lだ け 持 ち上 げ る.
解 説p.230の 課題 と本 質 的 に ま っ た く変 わ らない の だが,前 の 課題 を簡 単 だ か らとい っ て お ろ そか にす る とこの 課 題 は で き ない か も しれ ない.ば ね定 数 が 間接 的 にk=mg/lと 与え られ て い る こ とに気づ き,か つ,前 の課 題 の解 き方が 身 につ い てい れ ば,Wh=9/8mgl,Wg= -3/ 2mgl,Ws=3/8mglで あ る こ とが 計 算 で き る.こ れ ら を全 部 加 え 合 わ せ れ ば0に な る. こ れ は,お も りを持 ち上 げ る前後 で の運 動 エ ネ ル ギ ー に変 化 が 生 じなか った こ とを意 味 して い る.
13.2力
学 的 エ ネ ル ギ ー保 存 則
13.2.11次
元 の場 合
バ ネ に つ な が れ た お も り(質 量m)が う(バ ネ 定 数 をk,自
図13.3の
然 長 か ら の 伸 張 をxと
図13.3バ
よ う に 運 動 し て い る 場 合 を考 え よ
お く).
ネ につ な が れ た お も りの 運 動
運動 方程 式 は,
(13.8) で あ る.右 (13.3)に
辺 の マ イ ナ ス 記 号 は 力 が 常 に 変 位 と逆 向 き に働 い て い る こ と を示 す.式 な ら っ て 式(13.8)の
両 辺 にv=dx/dtを
かけると
(13.9) と な る.こ
れ をp.228に
示 し た テ ク ニ ッ ク で 変 形 す る と,
(13.10) が 得 ら れ る.左
辺 は 物 体 の 運 動 エ ネ ル ギ ー の 時 間 変 化 率 を 表 し,右 辺 は バ ネ が 物 体
に 及 ぼ す 力 の 仕 事 率 を 表 し て い る. と こ ろ で,式(13.10)は
と変 形 で き る.こ の 式 の 意 味 す る と こ ろ は,運 動 エ ネ ル ギ ーK=1/2mv2にU(x)= 1/ 2kx2を 加 え た 量 の 時 間 変 化 率 は017),す な わ ちK+Uは 一 定 値 を と る(保 存 さ れ る)こ と を 示 し て い る.本
章 の 冒 頭 部 で 述 べ た こ と18)か らす る と,こ のUと
い う量
もエ ネ ル ギ ー と して の 資 格 を 持 っ て い る こ と に な る.こ 置 エ ネ ル ギ ー,ま
の 量 をバ ネ の 弾 性 に よ る 位
た は 弾 性 エ ネ ル ギ ー と い う19).K+Uが
も りが 運 動 し て い る と き に,運
一 定 と い う こ と は,お
動 エ ネ ル ギ ー の 増 減 が 弾 性 エ ネ ル ギ ー の 減 増 に等 し
い と い う こ と で あ る. さ て,別 f=-kxを が,こ
の 観 点 か ら こ の 位 置 エ ネ ル ギ ー と い う も の を考 え て み よ う.バ
受 け て い る物 体 は そ の ま まで は加 速 度 を もっ て運 動 して しま うわ け だ れ に 加 速 度 が 生 じ な い よ う に外 力(こ の 場 合 は,バ
意 味)を 加 え る.こ
の 外 力 をfexと
し よ う.お
も り に働 い て い る 力 の 合 力f+fexが0で る.こ
ネ か ら力
の 力 の つ り あ い を保 っ た ま ま,お
動 か し た と き に 外 力fexが
ネか らの力 以外 の力 とい う
も りの 加 速 度 が0と
い う こ と は,お
あ る と い う こ と だ か ら,fex=-fで も り を じわ じ わ とx=aか
1/ 2kx2は,基 準 点 の 座 標aを0と し,X=xと 一般 にバ ネ に限 らず ,物 体 が 場 所(位 置x)に
か らxま
らx=Xま
で
す る仕 事
が 位 置 エ ネ ル ギ ー と し て バ ネ に 蓄 え ら れ る と考 え る の で あ る20).先
え よ う.そ
あ
ほ どのU(x)=
し た も の に ほ か な ら な い. 応 じてf(x)な
の 力 と つ りあ う よ う な外 力fex(x)=-f(x)を
る力 を受 け る 場 合 を考 加 え て 物 体 を 位 置x=a
で 移 動 させ る と き21),
(13.11) とい う積 分 量 が 積 分 経 路 に よ ら な い 性 質 を持 つ よ う な 力f(x)を force)と
い い22),こ
置 エ ネ ル ギ ー,あ (13.11)か U(x)が
の 積 分 で 定 ま るU(x)を
位 置aを
保 存 力(conservative
基 準 と し た 場 所xに
る い は ポ テ ン シ ャ ル エ ネ ル ギ ー(potentialenergy)と
ら,dU(x)/dx=-f(x)で
与 え ら れ る と,そ
あ る こ とが わ か る.逆
お け る位 い う.式
に,ポ テ ン シ ャル エ ネ ル ギ ー
の ポ テ ンシ ャル エ ネ ルギ ー に対応 す る力 は
(13.12) で 与 え ら れ る こ と に な る.U(x)の
値 そ の も の よ りは,そ
よ っ て 力(な ど)を 生 み 出 す 性 質 に 着 目す る と き はU(x)を こ と が 多 い よ う だ.も
ち ろ ん,力
の 関 数 形,あ
る い は微 分 に
単 に ポ テ ン シ ャ ル と呼 ぶ
を “生 み 出 す ” と い っ て も 数 学 的 な 意 味 合 い で の
話 で あ る し,こ れ ま で の 説 明 か らす る と,力
を積 分 す る とい う数 学 的 操 作 に よ っ て
ポ テ ン シ ャ ル が 生 み 出 さ れ る と考 え た 方 が 自然 に感 じ る か も しれ な い.し
か し,空
間 に ポ テ ン シ ャル が 実 在 し,そ れ が 力(“ 場 ”)を 生 み 出 して い る,と 考 え る の が 物 理 学 者 の 考 え 方(イ メ ー ジ)の よ う で あ る. さ て,こ
の よ う な ポ テ ン シ ャ ル エ ネ ル ギ ーUを
用 い る と,運 動 方 程 式 は
と な る(ポ テ ン シ ャ ル に 由 来 す る力 以 外 は働 い て い な い と す る).こ
の 両 辺 にv=dx/dt
を か け る と,
(13.13) が 得 られ る.左
辺 は何 度 も や っ た よ う にd/dt(1/2mv2)と
微 分 法 を使 え ばdU/dtと 変 形 で き る.よ
変 形 で き,右 辺 は 合 成 関 数 の
っ て,式(13.13)は
(13.14) と な り,こ
れ よ り
(13.15) が 得 ら れ る.つ
ま り,運 動 エ ネ ル ギ ー と位 置 エ ネ ル ギ ー を足 し合 わ せ た も の―― こ れ
を 力 学 的 エ ネ ル ギ ー とい う23)―― は 定 数(時 間 に よ ら な い 一 定 値)を で あ る.こ い う.も
とる とい うこ と
れ を 力 学 的 エ ネ ル ギ ー 保 存 則(conservationofmechanicalenergy)と
ち ろ ん,考
え て い る系 に ポ テ ン シ ャ ル か ら 導 か れ る力 以 外 の 力 が 働 く と き
に は 力 学 的 エ ネ ル ギ ー 保 存 則 は 成 り立 た な い.例
え ば,摩
擦 力 や 空 気 抵 抗(こ
れ ら
は 場 所 の 関 数 と し て 書 け な い の で 保 存 力 で は な い24))が 働 く場 合 に は 力 学 的 エ ネ ル ギ ー は保 存 さ れ な い こ と に な る. 課 題 図13.4に お い て,点Aを 基 準 と した と き,質 量mの 物 体 が 点B,点Cで 持 つ位 置 エ ネ ル ギ ー を求 め よ.ま た,点Cを 基準 に した と き,点A,点Bで 物 体 の 持 つ位 置 エ ネ ル ギ ー を求 め よ.た だ し重 力 加 速度 の大 き さ をgと す る. 解 説 ど う考 えて も よい が,重 力 に逆 らって 物 体 を基 準 点 か らそ れ ぞ れ の点 に移 動 す る た め に必 要 な仕 事 量 が そ の点 の 位 置 エ ネ ル ギー を与 え る と考 え るの が わ か りやす い だ ろ う.答 え は順 に,mgh,-mgh,mgh,2mghと なる.同 じ点 に お け る位 置 エ ネル ギ ー で も,基 準 点 の 選 び方 に よ りその値 は異 なっ て しま うこ とが わか る.し か し,点Aと 点Bの 位 置 エ ネ ルギ ー の差 は どの よ う に基 準 点 を 選 ん で もmghと な る.た い て い の場 合 は運 動 前 後 で の位 置 エ ネ ル ギ ー の差 が 問題 とな る こ とが 多 く,そ れ ゆ え位 置 エ ネ ルギ ーの 基準 は どこ に選 んで も問題 にな らない こ とが 多 い. 課題 鉛 直 上方 に速 さv0で 物体 を投 射 した と き,物 体 は ど こまで 上 昇す るか.た だ し重 力 加 速 度 の大 きさ をgと す る.
図13.4
解説 “ 公 式 ” と して この問 題 の解 法 を覚 えて い る 人 もい ようが,こ こで は 面倒 で も最 初 か ら や っ てみ よ う.x軸 を鉛 直 上 向 きに と り,投 射 位 置 の座 標 をx=0と す る.さ て,物 体 の 運 動 方 程 式 は,物 体 の質 量 をm,物
で あ る.こ
の 両 辺 にv=dx/dtを
体 の速 度 をv(=dx/dt)と す る と
か け る と,
(13.16) と な る.左 辺 は繰 り返 し述べ て き たが,
と 変 形 で き る.よ
っ て,式(13.16)は
す なわ ち
と変 形 で きる.こ の式 は
とい う量 が 時 間 に よ らず 一 定 で あ る こ とを示 して い る.こ の 式 の 第2項,
が 重 力 に よ っ て 物 体 の 持 つ 位 置 エ ネ ル ギ ー で あ る.重
力-mgが-dU(x)/d
xで
与 え られ る こ と
に 注 意 せ よ.
(13.17) と い う式 が 力 学 的 エ ネ ル ギ ー が 保 存 さ れ る こ と を 示 し て い る.さ が 一 定 な の だ か ら,こ い.そ 0に
し て,物
れ は い つ で も投 射 時 の 値,す
て,1/2mv2+mgxと
な わ ち1/2mv02+mg0=1/2mv02に
体 が 最 高 点、に 達 し た と き の 位 置 をx=hと
し よ う .最 い う量 は1/2m02+mgh=mghと
な っ て い る こ と か ら,1/2mv2+mgxと
い う量 等 し
高 点 で は物 体 の速 度 は な る.結 局,
が 成 り立 つ こ と に よ り,
(13.18) が得 られ る.な お,物 体 が 再 びx=0の
位 置 に戻 っ て くる と きの速 度 をv1と
す る と,力 学
的 エ ネ ル ギー 保存 則
よ り,│v1│=│v0│が
得 ら れ る.力
学 的 エ ネ ル ギー保 存 則 だ け で は速 度 の 向 きは わ か ら ない が, し て し ま っ て よ い で あ ろ う25).な お,速
こ の く ら い な ら実 験 状 況 か ら た だ ち にv1=-v0と
さv0で 投 射 さ れ た 物 体 の 速 度 が0に な る 時 間 は0=v0-gtよ りt=v0/ gで あ る.物 体 が 投 射 さ れ て か ら再 び も と の 位 置 に も ど る に は こ の 倍 の 時 間 が か か る.こ れ をTと お こ う.す な わ ち,T=2v0/ gで あ る.こ れ よ り,v0=gT/2が 得 ら れ,こ れ を 式(13.18)に 代 入 す る こ とに より
が 得 ら れ る.こ 求 め 方 はp.191で
れ が,滞
空 時 間 か ら “垂 直 跳 び 高 ” を 求 め る “公 式 ” で あ る.こ
こで 紹 介 した
示 した も の よ り若 干 簡 単 で あ ろ う26).
課 題 地 面 か ら高 さhの と ころ か ら初 速 度0で 物 体 を落 と した と き,地 面 につ く直 前 の物 体 の速 度 の 大 きさ を求 め よ.た だ し,空 気 抵 抗 は無 視 し,重 力 加速 度 の大 き さはgと す る. 解説
特 に解 説 す る まで もな か ろ う.答 えは√2ghと
13.2.22次
元,3次
な る.
元 の場合
前項 で,物 体 が 場所 に応 じてf(x)な
る力 を受 け る場 合,
とい う積 分 量 が 積 分経 路 に よ らな い性 質 を持 つ よ う な力f(x)を の 積分 で定 まるU(x)を
位 置aを 基準 と した場 所xに
保 存 力 とい い,こ
お け る位 置 エネ ル ギ ー,あ る
い は ポ テ ン シ ャル エ ネ ル ギ ー と い う こ と を説 明 し,も 力 が 位 置 だ け の 関 数 で あ る と き積 分 量U(x)は に な る こ と を指 摘 して お い た.話
が2次
し話 が 完 全 に 一 次 元 的 な ら ば,
積 分 経 路 に よ らず,そ
元,3次
元 に 進 む と,力 が た と え場 所 だ け の
関 数 で あ っ て も ポ テ ン シ ャ ル が 存 在 す る と は い え な くな る.し で は,場
の 力 は保 存 力
か し,ス
ポー ツ科 学
所 の 関 数 と して 表 さ れ る 力 は 重 力 だ け を考 え れ ば よ く,重 力 は ポ テ ン シ ャ
ル を 持 つ 力― ―保 存 力 ―― で あ る こ と が 示 さ れ る(証 明 略).そ の 場 合 の 一 般 論 は せ ず に,話 み れ ば,重
を重 力 に 限 ろ う.そ
れ で も,話
こ で,2次
元,3次
は ま だ 難 しい.考
元 えて
力 と い っ て も ス ポ ー ツ 科 学 で は 地 表 付 近 の ご くか ぎ られ た 空 間 に現 れ る
一 様 な 重 力 場 だ け が 問 題 に な る .そ で も ま だ 難 し い.そ
こ で,本
こ で,話
を 更 に そ の よ う な 場 合 に 限 ろ う.そ
項 で は あ ま り物 理 的 な 議 論 は せ ず,ご
れ
く簡 単 な 話 を 公
式 的 に 進 め よ う. まず,鉛
直 上 向 き にz軸
を と り,x-y平
を位 置 エ ネ ル ギ ー の 基 準 点 と考 え れ ば,質
面 は 水 平 面 内 に あ る と し よ う.座 標 原 点 量mの
物 体 が 位 置(x,y,z)で
持 つ位 置
エ ネ ル ギー は
と な る.こ 補足
れ を厳 密 に導 くこ と は しな い が,次 の補 足 よ う に考 え れ ば 納 得 で き よ う. 物 体 に 働 く重 力 はmg=(0,0,-mg)で
あ り,そ
れ に逆 ら っ て じ わ じわ と物
体 を 動 か す27)た め に 物 体 に加 え る べ き力 はfex=-mg=(0,0,mg)で
あ る.じ
じ わ 動 か す 限 り,こ れ は 物 体 を動 か す 経 路 に よ ら な い と考 え て よ い.さ 置(0,0,0)か
ら位 置(x,y,z)ま
で 移 動 さ せ る た め にfexが
ネ ル ギ ー と して 蓄 え ら れ る と考 え る の で あ っ た.物 を被 っ た と き,fexが
で あ る.こ
て,物
物体 になす 仕事 が位 置 エ
体 が 微 小 変 位dr=(dx,dy,dz)
物 体 に な す 仕 事 は,
れ を 加 え 合 わ せ る こ と に よ り,
と な る.
と りあ え ず は こ の く ら い の 理 解 で 十 分 で あ る.逆
と与 え ら れ る と,重
力 のz成
分は
に,重
わ
体 を位
力 の ポテ ンシ ャルが
と求 め ら れ る.そ
の ほ か の 成 分,す
と な る.さ
の 場 合 は ポ テ ン シ ャ ル にx,yが
軸,z軸
て,今
な わ ち 重 力 のx成
分,y成
分 は そ れ ぞ れ,
含 ま れ て い な か っ た.x軸,y
の い ず れ も鉛 直 方 向 を 向 い て い な い 座 標 系 で 重 力 の ポ テ ン シ ャ ル を表 せ ば
U(x,y,z)の
関 数 はx,y,zの
変 数 す べ て を 含 ん だ も の と な ろ う.そ
力 の そ の 座 標 系 で のx,y,z成
で 表 さ れ る こ とが 示 さ れ る(本 書 で は そ の 説 明 は 割 愛 す る).な ばd/dxと い う演 算 は,ほ
か の 変 数 で あ るy,zを
る こ と28)を 意 味 して い る.そ 別 さ れ る べ き量 で あ る.こ
の 式 の,例
え
微分す
ま で の 一 変 数 の と きの 微 分 と は 区
の よ う な微 分 を偏 微 分(partialdifferentiation)と
と書 くの が 実 は 一 般 的 で あ る.本
課題
お,こ
あ た か も定 数 と見 な してxで
うい う意 味 で は,今
今 ま で 出 て き た 微 分(常 微 分:ordinarydifferentiation)と
とが 残 っ て い る の だ が,と
の 場 合 も,重
分 は そ れぞ れ
呼 び,
区 別 して
当 は ま だ ま だ い ろ い ろ 説 明 し な くて は い け な い こ
りあ え ず こ の く らい で 当 面 は 間 に 合 う で あ ろ う.
摩擦 が無 視 で きる 図13.5の
よ うな斜 面 上 を物 体 が 初速v1で
点P(標
高h1)か
ら点Q
(標高h2)ま で滑 り降 りる.点Qで 物 体 が 持 つ 速度 の大 き さ を求 め よ.た だ し,空 気 抵 抗 を 無 視 し,重 力加 速 度 の大 き さをgと す る.
図13.5
解 説 斜 面 か らの 摩擦 力 が0と い う こ とは,物 体 は斜 面 か らは速 度(斜 面 の接 線 方 向)に 対 し て垂 直 方 向 に しか力 を受 け な い とい う こ とで あ る.と い う こ とは,13.1節 の議 論 よ り,斜 面 か ら物 体 に作 用 す る抗 力 は物 体 に仕 事 を しない とい う こ とで あ り,力 学 的 エ ネ ル ギ ー保 存 則 が成 り立 つ.よ っ て,物 体 の 質量 をm,物
が 成 り立 つ.こ
体 が 点Qで
持 つ 速 度 の 大 きさ をv2と
して
れよ り
が 得 ら れ る.
13.3A君
の冬休 み
2.5.2項 で,A君
の 夏 休 み の 自 由 研 究 を 取 り上 げ た.そ
の 実 験 の概 要 は 一 定 の 速 さ
v0で 投 射 した 物 体 の 飛 距 離 が 投 射 角 θ に よ っ て ど う 変 わ る か を調 べ た の で あ っ た. そ の 実 験 装 置 は 実 は 図13.6の
よ う な も の で あ り,飛 距 離 は 図 のlで
あ る.
図13.6A君 が 夏休 み の 実 験 で 使 っ た 装 置.斜 面 に沿 っ て 物 体 を滑 らせ,い ろい ろ な角 度 θ で投 射 す る.物 体 を滑 り始 め させ る 高 さhを 変 え な けれ ば投 射 速 度(初 速 度)を 一 定 に保 つ こ とが で き る.
さ て,A君
は 冬 休 み の 実 験 と して,図13.7の
飛 距 離lを 測 定 し た.た 距 離lと
し た.ま
自然 長 か らaだ 課題
よ う な 装 置 を作 っ て,同
だ し,今 度 の 飛 距 離 は 図 の 点Pか
た 実 験 に 用 い られ た バ ネ の 自然 長 はL,ば
じ く物 体 の
ら物 体 の 着 地 点Qま ね 定 数 はkと
での
し,常
け バ ネ を縮 め て か ら急 速 に 解 放 す る も の とす る.
投 射 角 θ と物 体 の 飛距 離 との 関係 を予 想 せ よ.た だ し空気 抵 抗 や 摩擦 を無 視 し,重 力
加 速 度 の 大 き さをgと せ よ. 解説
に
これ は 自由研 究 と して,答 え は示 さな い こ と に し よ う.と りあ え ず ヒ ン トと して,
(1)バ ネ が 自然 長 に戻 った と きに物 体 は バ ネ か ら離 れ る(な ぜ か 考 え よ).
図13.7A君 も一定 量aだ
が 冬 休 み の 実 験 で使 っ た装 置.筒 の長 さ はバ ネの 自然 長Lと 同 じ.バ ネ は いつ け 自然 長 か ら縮 め て 瞬 間的 に解 放 す る.投 射 角 θ は 自 由 に調 整 で き る.
(2)物 体 がバ ネか ら離 れ る瞬 間 の速 度 の 大 きさは,力 学 的エ ネル ギ ー保 存則 よ り求 め る こ と が で き る.こ の値 は,角 度 に依 存 す る.す な わ ち,投 射位 置 と初 速 度 は独 立 で は ない. (3)投 射位 置 と初 速 度(速 さ と投 射 方 向)が わか れ ば,そ の軌 跡 は11.4.1項 で 表 す こ とが で き る.こ れ よ り,飛 距 離lを 求 め る こ とが で きる.
に な ら って数 式
(4)ば ね 定 数kの 大 き さ,お よ びaの 大 きさ も飛 距 離 に絡 ん で くる こ とが 示 され る.こ の 実 験 を,人 が 砲 丸 を投 げ る動 作 に た と える と,こ れ らの 量 は人 の どの よう な能 力 に対 応 す るか 考 え よ.ま た,人 とバ ネ との 違 い に つ いて も考 察 せ よ. とい う こ とを挙 げ てお こ う.図13.7の
よ うな装 置 で は投 射 角,あ る い は投射 位 置 と初速 度 が
独 立 で はな い とい う こ とが ポ イ ン トだ29).似 た こ とが 砲 丸 投 げや 幅 跳 び な どで もい え る.物 とうて き
理 の参 考 書 や 通俗 的 スポ ー ツ科 学 書 で は,こ の 点 を無 視 して投 擲 競 技 の議 論 を して い る もの が多 い.議 論 その もの は正 し く,現 実 の競技 の第 一 近似 と して は 問題 ない の か もしれ な いが, 現 実 の投 擲 競技 の シ ミュ レー シ ョン をす るた め に は まだ まだ考 え な くて はい け な い こ とが 多 い こ とが わ か る.
13.4質 12.3節
点 系 の運 動 エ ネル ギ ー で 質 点 系 の 運 動 量 を考 え た.こ
番 目 の 質 点 の 質 量 をmi,位
置 をri,速
れ を 少 し角 度 を変 え て 見 直 し て み よ う.i 度 をvi(=ri)と
す る と 系 の 全 運 動 量Pは
(13.19) で 定 義 さ れ る.さ
て こ こ で,i番
目の 質点 の位 置 を
(13.20) と書 こ う(図13.8参
照).た
だ し,RGは
系 の 重 心 の 位 置 で,系
の全 質 量
(13.21)
を用 い て
(13.22) で 定 義 さ れ る(12.3節
参 照).ま
位 置 ベ ク トル で あ る.さ
た,ri'=ri-RGは
て,式(13.22)に
式(13.20)を
重 心 か ら見 たi番
目の 質点 の
代 入す る と
(13.23) が 得 ら れ る.式(13.23)の
右辺は
(13.24) と変 形 で き る.RGがiに
よ ら な い ベ ク トル で あ る こ と に注 意 し,か つ,式(13.21)
を 用 い る と,式(13.24)の
最 右 辺 の 第1項
は,
(13.25)
図13.8質
点 系 の 運 動.点Oは
原 点,点Gは
系 の 重 心 を表 す.
と な る.結
局,式(13.23),式(13.24),式(13.25)よ
り
(13.26) す なわ ち
(13.27) で あ る こ と が わ か る30).こ
の 式 を 時 間 で 微 分 す れ ば31),
(13.28) が 得 られ る.と
で あ っ た.こ
と な る.こ
こ ろ で,
れ を 式(13.19)に
の 式 の 最 右 辺 第2項
代 入 して 整 理 す る と,
に式(13.28)を
代 入 す る こ と に よ り,系
の全 運 動量
Pは
と な る.RGは の はiに
系 の 重 心 の 速 度 を表 す.こ
れ をVGと
よ ら な い の で 和 の 記 号 の外 に 出 せ る.す
が 得 ら れ る.こ
れ に 式(13.21)を
お こ う.こ
の ベ ク トル そ の も
る と,
代 入 す る こ とに よ り
(13.29) とい う式 を得 る.こ
の 式 の 右 辺 は重 心 の 速 度 に 系 の 全 質 量 を か け た形 とな っ て い る.
これ を “重 心 の 運 動 量 ” と 略 して 呼 ぶ こ と に し よ う.結 系 の 全 運 動 量(各 質 点 の 持 つ 運 動 量 の 総 和)Pは わ か る.
局,式(13.19)で
定義 され る
系 の 重 心 の 運 動 量 に 等 しい こ とが
ところ で,各 質 点 の運動 量 の 時 間変 化 率 は各 質点 に作 用 す る力 に等 しい.よ って, 系 の全運 動 量 の変化 率 は各 質 点 に働 く力 の合 力 に等 し くな る.こ の議 論 は12.3節 で 行 った.そ の ときの ポ イ ン トは 「内力 の合力 は作 用 反作 用 の法 則 に よ りゼ ロ とな り, 質点 系 の全 運動 量(各 質 点 の持 つ運 動量 の 総和)の 時 間変化 率 は系 に作 用 す る外 力 の 合力(総 和)に 等 しい」 とい うこ とで あ った.質 点系 の全 運動 量 は本 節 の議 論 よ り系 の重 心 の運 動量 に等 しい た め,「系 の重心 の 運動 量 の時 間変 化率 は系 に作用 す る外 力 の合 力(総 和)に 等 しい」 とい う結 論 が得 られ る.こ の最 後 の 関係 を式 で表 す と
(13.30) と な る.こ
こ でFは
各 質 点 に 働 く外 力fiの
合 力 で あ り,
(13.31) と定 義 さ れ る.式(13.30)の
両 辺 に 例 の ご と くVGを
か け て整 理す る と
(13.32) が 得 られ る.一
見,運
動 量 の と き と 同 じ 「系 の 重 心 の 運 動 エ ネ ル ギ ー の 変 化 率 は 外
力 の 仕 事 率 の 総 和 に等 し い 」 と い う主 張 が 成 り立 ち そ う で あ る.し
か し,こ
こ で,
「 外 力 の 仕 事 率 の 総 和 」 とい う言 葉 が 曲 者 で あ る.「 外 力 の 仕 事 率 の 総 和 」 を 文 字 ど お り,「 各 質 点 に作 用 す る 外 力fiの
で 計 算 さ れ る.こ (vi'=ri'と
と な り33),最
仕 事 率fi・viの
総 和 」 と考 え る と,そ
れ を 先 ほ ど と 同 じ よ う にvi=VG+vi'を
の量 は
用 い て整 理 す る と
お い た32)),
右 辺 第2項
は 一 般 に は0に
な ら な い の で あ る.つ
右辺は 「 外 力 の 仕 事 率 の 総 和 」 で は な い.形
式 的 にい えば
ま り,式(13.32)の
「 外 力 の 重 心 に対 す る仕
事 率 」 な の で あ る.こ
れ は あ くま で 「 外 力 と 重 心 の 速 度 ベ ク トル と の 内 積 」 で あ る
こ と に注 意 し よ う34).外
力 の仕 事率 を無 反省 に 「 力 と そ の 力 の 作 用 す る 点(力 の 作
用 点)の 速 度 ベ ク トル と の 内 積 」 と し て 計 算 す る 人 が 多 い が,そ
れ は,重
エ ネ ル ギ ー を論 じ る 際 に は 意 味 が な い こ と に 注 意 せ よ35) .式(13.32)を
心 の運 動
文 章 で表 現
す る と 「系 の 重 心 の 運 動 エ ネ ル ギ ー の 時 間 変 化 率 は 重 心 に 対 す る 外 力 の 仕 事 率 に 等 しい 」 とい う こ と な の で あ る. ま た,運
動 量 の 場 合,“ 系 の 全 運 動 量(∑mivi)”
還 元 で き た が,運 (∑1/2mivi2)”
動 エ ネ ル ギ ー は そ う は い か な い.つ
は “重 心 の 運 動 エ ネ ル ギ ー(1/2MVG2)”
を “重 心 の 運 動 量(MVG)”
に
ま り,“ 系 の 全 運 動 エ ネ ル ギ ー に 還 元 で き な い の で あ る.こ
れ は 次 の よ う に 示 さ れ る.
質 点 系 の全 運 動 エ ネル ギ ーKtは
と な る.こ
こ で 最 右 辺 第2項
で あ る.た
だ し,最 後 か ら2番
は
目 の 等 号 は式(13.28)に
よ る .結 局,系
の
全運 動 エ ネ ル ギ ーは
(13.33) と な り,重 心 の 運 動 エ ネ ル ギ ー1/2MVG2に
等 し くな ら な い36).
さ らに,内 力 の総 和 は作 用 反作 用 の法 則 に よ りゼ ロベ ク トル に な ったが,内 力 の 仕事 率 の 総和 は一般 に はゼ ロ に な らない.つ ま り,仕 事 率 に は各 質点 の速度 ベ ク ト
ル が 影 響 し,力 の ベ ク トル和 が ゼ ロ で あ っ て も仕 事 率 の 和(各 質 点 に働 く力 ベ ク トル と 各 質 点 の 速 度 ベ ク トル の 内 積 の 和)は 一 般 に は ゼ ロ に な ら な い の で あ る37).よ
っ
て,「 系 の 総 運 動 エ ネ ル ギ ー の 時 間変 化 率 は 外 力 の 与 え る仕 事 率 の 総 和 に 一 般 に は 等 し くな ら な い 」 とい う結 論 が 得 られ る. 補 足 質点 系 を構 成 す る 各質 点(粒 子)に 働 く力 の うち,系 内 の 他 の 質点(粒 子)か ら働 く力 を内力,そ れ以 外 の 力(系 外 か ら働 く力)を 外 力 とい う.も ち ろ ん,一 つ の 質 点 の み に着 目す れ ば どち らの 力 もそ の質 点 に と って は外 力 で あ る.し か し,系 内 の粒 子 に働 く力 をすべ て単 純 に足 し合 わせ る とい わ ゆ る 内力 の 方 は打 ち消 し合 って ゼ ロ(ゼ ロ ベ ク トル)に な って しま う.そ れ ゆ え,質 点 に働 く力 を 内力 と外 力 に分 け る こ とに は 意味 が あ る.そ れ に対 し,そ れ ぞ れ の質 点 に働 く力 の仕 事(力 の 質 点 の 変位 方 向成 分 × 質 点 の変 位)を 足 し合 わ せ る と,内 力 の す る仕 事 は必 ず し も打 ち消 し合 わず,ゼ ロに な らな い場 合 が あ る.よ っ て,質 点系 の総 運動 量(各 質 点 の運 動 量 の 総和)がP1か らP2に,総 運動 エ ネル ギ ー(各 質 点 の運 動 エ ネ ル ギ ーの 総和)が K1か らK2に 変 化 した とす れ ば, P2-P1=外
力 の力 積+内
力 の力 積=外
力 の力 積+ゼ
ロ=外
力 の力 積
と な る が,
K2-K1=外
力 の行 っ た仕 事+内
力 の行 った仕 事
の右 辺 の 第2項 は一 般 に は ゼ ロ にで きな い.し か し,あ る特 別 な束 縛 条 件 が あ る と き には,右 辺 第2項 をゼ ロに で きる.そ の 束縛 条 件 を証 明 な しに挙 げ て お く. (1)二 つ の質 点 間 の距 離 が 変 わ らな い よう に束縛 され て い る と き,互 い に作 用 し合 う力 の行 う仕 事. (2)二 つ の質 点 が 滑 らか な釘 や輪 にか け た糸 で 結 ばれ て い て,糸 が た る む こ とな く 運 動 す る と き,糸 の 張 力 の す る仕 事. (3)質 点系 の一 部 に滑 らか な面 の触 れ合 いが あ る とき,こ の触 れ合 い の点 で 互 い に 作 用 し合 う力 の行 う仕 事. (4)質 点系 の一 部 に粗 い面 の触 れ合 い が あ って 滑 らず に転が る と き,触 れ合 い の面 が 互 い に作 用 し合 う力 の行 う仕 事. (5)糸 が 滑 車 にか か っ て いて,滑 車 との接 触 が 粗 く糸 は滑 車 面 に対 して滑 らか な と き,束 縛 力 の行 う仕 事. これ らの 証 明や 詳細 に関 して は 『力学 』(原島鮮 著,裳 華 房)を 参 照 して も らい たい. 本補 足 も同書 を参 考 に した. 以 上 の 議 論 に よ り,質 点 系 や 連 続 体 の 運 動 に お い て 軽 々 し く力 学 的 エ ネ ル ギ ー 保 存 則 を使 う こ とが で き な い こ とが 納 得 で き た で あ ろ う か.つ
ま り,エ
ネル ギ ー とい
う 量 は 運 動 量 と違 っ て 物 体 の 重 心 運 動 の み を論 じて も不 十 分 な の で あ る.我
々が マ
ク ロ に観 測 す る エ ネ ル ギ ー は物 体 の 重 心 運 動 の 運 動 エ ネ ル ギ ー と 重 心 が 外 力 の 場 に 対 して 持 つ ポ テ ン シ ャ ル エ ネ ル ギ ー で あ る.も
ち ろ ん,さ
ら に,マ
ク ロな 回転 運動
や マ ク ロ な 振 動 な ど を 考 え る こ と もあ る が,と
て も 物 体 を構 成 す る全 原 子 の 持 つ エ
ネ ル ギ ー を個 別 に 測 定 す る こ と は で き な い.そ
れ ゆ え,力
学 的 な 測 定(マ ク ロ な 測
定)に お い て 一 見 エ ネ ル ギ ー(マ ク ロ な 運 動 エ ネ ル ギ ー と マ ク ロ な ポ テ ン シ ャ ル エ ネ
ル ギ ーの 和)が 保 存 され な い場 合 が あ っ て も不 思議 で は ない.実 際,二 つ の物 体 に 衝 突 な どの相 互作 用 を させ る と,系 の全 運 動 量 は保 存 され るが系 の全 力 学 的エ ネル ギ ー は保存 され ない こ とが あ る38)(13.5節 参照).そ の よ うな意 味 で,「 力 学 的エ ネ ル ギ ー保存 則 」 は絶 対 的 な法 則 で は ない. 課題
次 のS嬢
N嬢
身体 運 動 へ の応 用 で,例 え ば,垂 直跳 びの 際 の重 心 運動 を考 えて み よ う よ.跳 ぶ の は 人 の意 志 に よ る んだ け ど,力 学 的 に は運 動 の原 因 を外 力,す なわ ち床 反 力 と重 力 に求 め る
S嬢 N嬢
S嬢 N嬢 S嬢
とN嬢
の 悩 み を解 決 せ よ.
の よね. そ うそ う.も ち ろん,床 反 力 は筋 の発 揮 して い る力 と関係 は あ る んだ ろ うけ ど,そ れ は と りあ えず お い て おか な くち ゃ い け ない の よね. そ こら辺 は頭 で はわ か る んだ け ど実 感 が ない の よ.で も,そ れ は いい と して,と にか く 跳 び上 が る って い う こ とは 運動 エ ネ ル ギ ー を持 つ っ て こ と よね.位 置 エ ネ ル ギ ー も増 え る し.と い うこ と は,床 反力 は正 の仕 事 を して い な くち ゃい け ない の よね. そ う思 う わ. で も,床 は止 ま って い る の よ.仕 事 が “力 × 距 離 ”な らば,距 離 はゼ ロ じ ゃな い.床 は仕 事 しない の よ.こ れ は ど うな っ てい るわ け? す ごー い.す る どい わ.ど う なっ て い る の か し ら.で も待 って.床 って動 い て い る ん じゃ ない の.動 い て ない よ うで も,実 際 に は床 を蹴 っ てい る分,地 球 が 人 と逆 向 きに動
S嬢
くの よ.エ そ っか.地 さ れて,エ そ うよ.そ
N嬢
て い ない よ うに見 え る って こ と じゃ ない. す ごい わ.す る と,も と もと人 も地 球 も止 ま って い て,人 が ジ ャ ンプす る と人 が 正 の エ
N嬢
ネ ル ギ ー保 存 則 は 地球 を含 め る と成 り立 つ の よ. 球 が 逆 向 きに動 くか ら,人 の持 つ エ ネ ルギ ー と地 球 の持 つ エ ネ ル ギ ーが相 殺 ネ ル ギ ー保 存 則 が成 り立 つ の ね. して,地 球 の 質量 は大 きい か ら,1/2mv2のmが 大 きい って こ と よね.す る
と,運 動 エ ネ ル ギ ーが 人 と同 じで も,vは
無 視 で きる く らい小 さい,す な わ ち床 は動 い
ネル ギ ー を持 って,そ れ を相 殺 す る た め に … あ ら,変 だ わ.す る と,地 球 は負 の エ ネ ル ギ ー を持 つ こ とに な っち ゃ うわ. S嬢
本 当 だ.変 ね.運 動 エ ネ ル ギー は1/2mv2で,mもv2も
正 だ か ら運 動 エ ネル ギ ーが 負
に な る っ てい うの は変 ね.位 置 エ ネ ル ギ ー を考 えれ ばい い の か し ら.だ め か.位 置 エ N嬢
ネ ルギ ーは跳 ぶ とや っぱ り増 え る の よね. 運動 量 が保 存 す るっ て い うの は ど うな っ てい る のか し ら.あ あ,も う さ っぱ りわ か らな い.垂 直跳 びみ た い な基本 的 な運 動 が わか らない んだ か ら,ほ か の運 動 な ん て なお さ ら わ か ら ない わ.
解説
本 節 の説 明 を読 み直 せ ば彼 女 達 の議 論 の 問題 点 は どこ にあ るか 明 らか で あ ろ う.以 下,
解 答 の ポ イ ン トの み を述 べ る.各 自 きれ い に ま とめ あ げ て も らい た い. ・ 力 と力 の作 用 点 の 速度 を か けて も身体 の重 心 運 動 とは ま っ た く関 係 な い. ・ 筋 が活 動 す る とき,ミ クロ なエ ネ ル ギ ー(化 学 エ ネ ル ギ ー39))が 関与 す る ため,マ クロ な 力 学 的 エ ネ ル ギ ー保 存 則 は使 え ない.つ ま り,地 球 の 運 動 エ ネ ル ギ ー と人 の 運 動 エ ネ ル ギ ー と重 力 の 位 置 エ ネ ル ギ ーの 和 は保 存 さ れ ない40). ・ 人 の足 の裏 か ら地 球 に 及 ぼ され る力 が 地球 の重 心 に対 して す る仕 事 と,地 面 反 力 が人 の 重 心 に対 して なす 仕事 は等 し くない.二 つ の力 は作 用 反作 用 の法 則 か ら大 き さは等 しい が,地 球 の質 量 は 人 の 質量 に対 しけた 違 い に大 きい の で,両 者 の加 速 度 は ま った く異 な る こ とに な り,そ れ ゆ え両者 が 持 つ 速 度41)も ま っ た く異 な る こ と にな る.よ って,力 と
速 度 の 内積 で あ る仕 事 率 もま っ た く違 う こ とに な る.も ちろ ん,人 の 方 が 圧倒 的 に仕 事 を され て 運動 エ ネル ギ ー を増 す の に対 し,地 球 の運 動 エ ネ ル ギ ー の増 加 は 完全 に無 視 で き る(計 算 で 確 か め よ). ・ 運 動 量保 存 則 は成 り立 って い る.す なわ ち,人 が 被 った 運動 量 の変 化 量 と,そ の際 地 球 が 被 った 運動 量 の 変 化 量 は大 きさ は等 し く向 きは逆 で あ る.両 者 を足 し合 わせ れ ばゼ ロ (ゼ ロベ ク トル)に な る42). ほか に もい ろい ろあ る の で,よ く考 え て もらい た い.ひ ょっ とす る と,過 去 にな され た研 究 の 問題 点 に気 づ き,新 しい視 点 か ら研 究 を始 め る きっ か け に なる か も しれ な い.
13.52物
体 の衝 突 につ い て
本節 で は二つ の物 体が衝 突 した際,そ れぞ れ の物体 の速度 が衝 突前 後 で どの よ うに 変 化す るか を考 える.例 えば ゴ ムボ ール 同士 の 衝突 を思 い描 けば わか る よう に,衝 突 の 際 に物体 が 相 互 に及 ぼ し合 う力 は接触 の初 期 に は小 さ く,だ ん だん大 き くな っ て ピー クに達 し,そ れ か ら また小 さ くなっ てい って,最 終 的 にゼ ロ とな る.し か し, そ の よ うな力-時 間 曲線 の 時 間的 な幅,お よ び ピー クの大 きさ は,柔 らか い ゴム ボ ー ル 同士 が衝 突 す る と き と,鉄 球 同士 が 衝 突す る と き と,粘 土 同士 が 衝 突す る と きで は まっ た く異 なる.ま た,現 実 問題 と して,接 触 中の物 体 同士 の相 互作 用 の 力-時 間 曲線 は正確 には知 る こ とが で きない のが 普 通 で あ る. 補 足 あ る程 度硬 い もの 同士 が衝 突す る場合,非 常 に大 きな力 が ご く短 時 間働 く.衝 突 現 象 に際 して この よ うな働 き方 をす る力 の こ と を撃 力(impulsiveforce)と い う. これ は衝 突 現 象 の 際 の相 互 作 用 の仕 方 を念 頭 に置 い た呼 び方 で あ り,基 本 的 な力 で あ る “重力 ”や “ 静 電 気力 ” と並 べ て考 え て は な らな い.日 常生 活 レベ ル の衝 突現 象 で現 れ る撃 力 は,物 体(の 表 面)を 構 成 す る原 子 同 士 の静 電 気 的 な反発 力 で あ る.
作用 す る力 の時 間 に対 す る 関数 形 が わか らなけ れ ば,刻 一 刻 と変 化 す る速 度 を計 算 す る こ とは で きな い.こ う考 える と衝 突現 象 は と らえ どこ ろが ない よ うに思 え る が,こ れ まで に学 ん だ運 動量 と運動 エ ネル ギ ー を用 いれ ばす べ て の衝 突現 象 に共 通 す る一般 論 を展 開す る こ とが で きる. 補足 衝 突 に も色 々 な タ イ プが あ る.何 も硬 い もの 同士 が ご く短 時 間接 触 して離 れ て い く もの ばか りで は ない.柔 らか い ゴ ムボ ー ル 同士,あ るい は,ば ね 定 数 の小 さ な バ ネが 取 り付 け て あ る物 体 同 士 の衝 突 な ら接触 時 間 は長 くな る だ ろ う し,粘 土 同 士 な らば衝 突 後 に一体 とな って 運動 す るで あ ろ う.プ ラス 電荷 を持 っ た もの 同士 な らば,接 近 す るに つ れ反発 力 が 強 くな り,接 触 す る こ とな くやが て 遠 ざか って い く, とい うこ と もあ りう る43).本 節 の議 論 は,こ れ らす べ て の場 合 に対 して成 り立 つ も の で あ る.
13.5.11次 図13.9の
元 の場合 よ う に,外
力 を 受 け て い な い 物 体1,物
とす る)が そ れ ぞ れ 速 度v1,v2で
体2(質
量 を そ れ ぞ れm1,m2
同 一 直 線 上 を 運 動 し て い る 場 合 を 考 え よ う(右 方
向 を 正 の 向 き と す る).
図13.9直
線 運 動 をす る2物
体 の衝突
これ らの物 体 が 衝 突 を起 こす た め には ・v1>0か
つv2<0
・0≦v2
の い ず れ か が 成 り立 た な くて は い け な い が,以 下 の 議 論 で は こ れ ら三 つ の 場 合 を 区 別 す る 必 要 は な い(衝 突 が 起 こ り さ え す れ ば よ い).さ ぞ れv1',v2'に
な っ た と す る.12.1節
と衝 突 後 の 速 度v1',v2'と
て,衝
で 触 れ た よ う に,2物
突後 の 物体 の速度 が そ れ 体 の 衝突 前 の 速 度v1,v2
の 関 係 を 実 験 を通 し て 綿 密 に 調 べ る こ と に よ り,ニ
ト ン は衝 突 の 前 後 で 運 動 量 が 保 存 さ れ る こ と,す
ュー
なわ ち
(13.34) が 成 り立 つ こ と を 発 見 し44),そ で あ っ た.さ ど うで あ れ,衝
こ か ら運 動 方 程 式 と作 用 反 作 用 の 法 則 を 見 出 した の
ら に ニ ュ ー トン は 二 つ の 物 体 の 組 み 合 わせ が 同 じな ら衝 突 前 の 速 度 が 突 前 後 の 相 対 速 度 の 比v2-v1:v2'-v1'が
一 定 と な る こ と,そ
て そ の 比 の 値 は 物 体 の 組 み 合 わ せ に よ り変 化 す る こ と を 見 出 し た.す
し
な わ ち,
(13.35) で 定 義 さ れ るeは2物
体 の 組 み 合 わ せ に よ っ て 決 ま る 定 数 とい う こ と に な る .
補 足 式(13.35)の 右 辺 にマ イ ナ ス符 号 を付 け る の はeを 正 の量 と して 定 義 した い か らで あ る.実 験 状 況 を思 い 浮 かべ れ ば,衝 突 前 後 で物 体1か ら見 た物 体2の 相 対
速 度 の符 号 が 逆 に なる こ とは明 らか で あ ろ う.物 体1か ら見 れば 衝 突 前 に は物 体2 は近 づ い て くる の に,衝 突 後 に は遠 ざか っ て い くの だか ら(合 体 して一 緒 に動 く場 合,相 対 速 度 はゼ ロに な る). こ のeを
跳 ね 返 り 係 数 と か 反 発 係 数(coefficientofrestitution)と
と は 逆 に,(実
呼 ぶ.こ
験 で 前 も っ て)跳 ね 返 り係 数 を 測 定 して お け ば,任
で 衝 突 し た2物
体 の 衝 突 後 の 速 度v1',v2'を
の議論
意 の45)速 度v1,v2
式(13.34),式(13.35)に
よ って予 想 す
る こ と が で き る46). 課題 図13.10の よ うに直 線 上 を 質量2kgの 物体1が 右 向 きに速 さ6m/sで,質 量3kgの 物体2が 左 向 きに速 さ4m/sで 進 み,正 面 衝 突 した.物 体1と 物 体2が 衝突 す る場 合 の 跳 ね返 り係 数 を0.8と して,衝 突後 の二 つ の 物体 の速 度 をそ れ ぞ れ求 め よ.
図13.10
解説
「衝 突 前 の 速 度 は そ れ ぞ れ6m/s,4m/sだ
う に や っ て は い け な い.速 る な ら,衝
突 前 の 物 体1,物
こ と に 注 意 し て,運
か ら 相 対 速 度 は2m/sで,…
度 と 速 さ の 区 別 を し っ か り し て も ら い た い.右 体2の
」 な どの よ 向 き を 正 方 向 とす
速 度 は そ れ ぞ れv1=6m/s,v2=-4m/sで
動 量 保 存 則 を 表 す 式(13.34)と
衝 突 後 の 速 度v1',v2'を
求 め れ ば よ い.こ
3.2m/sが
得 ら れ る.す
な わ ち,物
3.2m/sで
運 動 す る こ とが わ か る.
体1は
あ る.こ
の
跳 ね 返 り係 数 を 定 義 す る 式(13.35)か
ら
の 連 立 方 程 式 を 解 く と,v1'=-4.8m/s,v2'= 左 向 き に 速 さ4.8m/sで,物
体2は
右 向 きに速 さ
課 題 同 一直 線 上 を速度v1,v2で 進 む 物体1,物 体2が 衝 突 した と き,衝 突後 の二 つ の 物体 の速 度 をそ れ ぞ れ求 め よ.た だ し,両 物体 の 質量 は等 し く,跳 ね返 り係 数 は1と せ よ. 解説
両 物 体 の 共 通 の 質 量 をmと
を 求 め れ ば よ い.こ 体 の 質 量 が 等 し く,跳 10円
玉 を2枚
も う1枚
ね 返 り係 数 が1な
る.す 10円 い.次
に,同
玉 を(つ
よ う に10円
し っ か り押 さ え つ け る.そ
玉A,Bを
ま り,2物
玉Cが
の 上 に 置 き,
ま く正面 衝 突 させ れ ば 速度
っ か く10円
こ に 残 り の10円
玉Bに10円
飛 び 出 して い く こ とが わ か る.そ じ よ う に10円
て,せ
る つ る し た)机
の 実 験 を し て み よ う.図13.11aの
接 触 さ せ て 机 の 上 に 置 き,そ
る と,図13.11bの 玉Aが
の10円
とが 確 認 で き る で あ ろ う.さ
玉 を 用 意 して,別
ら衝 突 後 の 速 度v1',v2' 得 ら れ る.つ
玉 を 机 の 上 を 滑 らせ て 衝 突 さ せ る の で あ る.う
だ か ら も う 一 枚10円 玉A,Bを
式(13.35)か
ら ば衝 突 前 後 で 速 度 が “入 れ 替 わ る ” と い う わ け だ.
用 意 して 実 験 し て み よ う47).1枚
の10円
の 交 換 が 行 わ れ る48)こ 10円
で も し て,式(13.34)と
の 連 立 方 程 式 を 解 く と,v1'=v2,v2'=v1が
玉Cを
玉 を2枚
用 意 した の
よ う に まず2枚
の
ぶ つ け てや るの で あ
ビ タ ッ と 吸 い 付 く よ う に 止 ま り,
の 速 度 は 衝 突 直 前 の10円
玉Cの
速 度 に等 し
接 触 さ せ て 机 の 上 に 置 い て10円
玉Bを
指で上か ら
し て 先 ほ ど の よ う に10円
玉Cを
ぶ つ け て や る の で あ る.ど
うな
る であ ろ うか.10円 玉Bを しっか り指 で押 さ えつ け て い る た め,10円 玉Cの 運動 量 は10 円玉Aに 伝 わ らな いで あ ろ うか.そ して,10円 玉Cは 壁 に ぶ つか った が ご と く,跳 ね返 さ れ て しま うで あ ろ うか.実 験 して み れ ば わか る よ うに,結 果 は先 ほ どの実 験 と ほ とん ど変 わ らない.つ ま り,10円 玉Bに10円 玉Cが ビ タ ッと吸 い付 くよ う に止 ま り,10円 玉Aが 飛 び 出 してい く.こ の現 象 に対 す る(筆 者 の)考 察 はp.254の
補 足1で
述 べ る.
図13.11
13.5.2跳
ね 返 り係 数 に つ い て
前項 で跳 ね返 り係 数 な る もの を現 象論 的 に導 入 した.こ こで は跳 ね返 り係 数 の意 味 をエ ネ ルギ ー論 的観 点 か ら少 しだ け掘 り下 げ て考 え てみ よ う.本 論 に入 る前 に以 下 の こ とを確認 してお い て も らい たい(第12章,13.4節
参照).
衝 突 の 際 に外 力(物 体 同士 が 及 ぼ し合 う力以 外 の力)が 働 か な けれ ば2物 体 か らな る系 の総 運動 量(=各
物 体 の運 動量 の和=系
存 さ れ る.し か し,系 の総 運 動 エ ネル ギ ー(=各
の重 心 の 運動 量)は 保
物体 の運 動 エ ネ ル ギー の
和 ≠ 系 の重心 の運動 エ ネル ギ ー)は 必 ず し も保存 され な い. さ て,13.4節 Ktを
の 式(13.33)で
見 た よ う に,2物
体 か ら なる系 の 総運 動 エ ネル ギ ー
系 の 重 心 運 動 の 運 動 エ ネ ル ギ ー と相 対 運 動 の 運 動 エ ネ ル ギ ー に 分 け て 考 え る
と(本 項 で は 話 を1次
元 に 限 る),
(13.36) と な る.た 度 をVG,2物
だ し,こ
こ で は2物
体 の 質 量 をm1,m2,速
体 の 重 心 に対 す る相 対 速 度 をvr1,vr2と
度 をv1,v2,系 した.2物
の重 心 の速
体 の重 心 に対 す る
相 対 速 度 はvr1=v1-VG,vr2=v2-VGで
定 義 さ れ る が,
とい う重 心 速度 の(定 義)式 を用 い る と,
(13.37) と な る こ とが 簡 単 に 計 算 で き る.式(13.37)を
式(13.36)に
代 入 して 少 し面 倒 な 計
算 を行 え ば,
(13.38) が 得 ら れ る(確
か め よ).M=m1+m2,μ=m1m2/m
1+m2と
お け ば,式(13.38)は
(13.39) と書 き換 え られ る.右
辺 第1項
は重 心 運 動 の エ ネ ル ギ ー を 表 し,右 辺 第2項
体 の 相 対 的 な 運 動 の エ ネ ル ギ ー を表 す と 考 え ら れ る.こ を2物
体 の 換 算 質 量(reducedmass)と
さ て,衝 た め,系
は2物
こ で 導 入 し た μ=m1m2/m 1+m2
い う.
突 に際 して系 に外 力 が働 いて い なけ れ ば系 の重 心 の運 動 量 は保 存 され る
の 重 心 の 運 動 エ ネ ル ギ ー は 変 化 し な い49).つ
の は 式(13.39)の
第2項,2物
動 の エ ネ ル ギ ー をERと
ま り,衝 突 に 際 して 変 化 す る
体 の 相 対 運 動 の エ ネ ル ギ ー な の で あ る.こ
書 こ う.す
の相 対 運
な わ ち,
(13.40) とす る.こ
こ で,衝
変 化 しな い.そ
突 の 際 に2物
れ ゆ え,相
対 運 動 の エ ネ ル ギ ー の 変 化 は2物
み に依 存 す る こ とが 式(13.40)か は,衝
突 前 後 に お け る2物
数 は 衝 突 前 後 に お け る2物
体 の 質 量 は そ れ ぞ れ 変 化 しな い の で 換 算 質 量 μ は
らわ か る.跳
体 の相対 速 度 の変 化 の
ね 返 り係 数 の 定 義 式 で あ る 式(13.35)
体 の 相 対 速 度 の 変 化 を表 して い た.つ
ま り,跳 ね 返 り係
体 の 相 対 運 動 の エ ネ ル ギ ー の 変 化 量(=2物
体 の総 運動
エ ネ ル ギ ー の 変 化 量)と 深 く関 わ っ て い た の で あ る. 課題 表 せ.
衝 突 前 後 で 系 の 運 動 エ ネ ル ギ ー は ど れ だ け 変 化 す る か をm1,m2,v1,v2,eを
用 いて
解説
衝 突 前 後 で 系 の 重 心 速 度 は 変 化 せ ず,2物
か ら(v2'-v1')2に
変 化 す る.た
こ で 式(13.35)よ
体 の 相 対 速 度 を2乗
だ し,v1',v2'は
り(v2'-v1')2=e2(v2-v1)2と
な る.よ
っ て,系
変 化 量 は ΔKt=Kt'-Kt=…=1/2(e2-1)μ(v2-v1)2と μ=m1m2/m1+m2で
あ る.さ
て,e=1の
前 後 で 変 化 し な い こ と が わ か る.こ そ れ に 対 し,0≦e<1で
な い.衝
の運 動 エ ネ ル ギ ー の
な る こ と が わ か る.た
と き ΔKt=0と
な り,系
は,e>1と
の よ う な 衝 突 を 弾 性 衝 突(elasticcollision)と
い う52).日
だ し,
の運 動 エ ネル ギ ー は衝突 の
は 系 の 運 動 エ ネ ル ギ ー は 減 少 す る こ と が わ か る51).こ
突 を 非 弾 性 衝 突(inelasticcollision)と 非 弾 性 衝 突 で あ る.で
し た も の は,(v2-v1)2
衝 突 後 の 物 体 の そ れ ぞ れ の 速 度 で あ る.こ
い う50). の よ うな衝
常 生 活 で 見 られ る衝 突 現 象 の ほ とん どは
な る よ う な 衝 突 は あ る で あ ろ う か.考
え られ な い こ とは
突 の 際 に何 らか の エ ネ ル ギ ーが 運 動 エ ネ ル ギ ー に転 化 され る よ う な仕 掛 け を してお
け ば よ い.例
え ば 接 触 部 分 に 火 薬 を 仕 掛 け て み た り,押
う な 装 置 を取 り付 け て お くな ど の 方 法 が 考 え ら れ る.た (日 常 目 に す る 衝 突 現 象 で は),0≦e≦1が
し縮 め て お い た バ ネ が 解 放 さ れ る よ だ,そ
の よ う な特 別 な場合 を 除 け ば
満 た さ れ て い る と考 え て よ い.
補 足2物 体の運動エネルギー を “ 系 の重 心 の運 動 エ ネル ギ ー ” と “2物体 の相 対 運 動 の運 動 エ ネ ル ギ ー”に分 離 す る と,衝 突 に よ って 変化 す るの は後 者 だ けで あ る. これ まで の説 明 に よ り,跳 ね返 り係 数 を
と書 くこ とが で きる の は明 らか で あ ろ う. 課題 弾 性 衝突(衝 突前 後 で 運動 エ ネル ギ ーが 保 存 され る衝突)で は,跳 ね返 り係 数 が1と な る こ とを示 せ. 解説
こ れ は前 の 課 題 の解 説 か ら明 らか で あ るが,こ
こで は少 し違 うや り方 を紹 介 して お こ
う.ま ず,衝 突 にお い て は運 動 量 が保 存 さ れ るの で
が 成 り立 つ.こ
れ は,
(13.41) と変 形 す る こ とが で きる.ま た,弾 性 衝 突 で は 運 動 エ ネ ルギ ーが保 存 さ れ る こ と に よ り,
が 成 り立 つ.こ
れ は,
と変 形 で きる が,こ れ は さ らに
(13.42) と 変 形 で き る.式(13.42)の =v2+v2'が
得
ら れ る.こ
と な る こ と が わ か る.
両 辺 を 式(13.41)の れ か ら,v2-v1=-(v2'-v1')が
対 応 す る 辺 で 割 っ て 整 理 す れ ば 得
ら れ
,v1+v1'
,e≡-v2'-v1'/v2-v1=1
補足1物 体 の跳 ね返 り係 数 は物 体 の 材 質 の みで な く,二 つ の物 体 の大 きさ(形 状) に も関係 す る.『 続 間違 いだ らけ の物 理 概 念 』(パ リテ ィ編 集 委 員 会 編,丸 善)に は 1次 元 的 な棒 同士 の衝 突 の際 に接 触 面 で 生 じた歪 みが それ ぞ れ の棒 を波 と して伝 わ り,接 触 面 と反 対 側 の端 で反 射 して 再 び接 触 面 に戻 っ て くる タ イ ミ ングが 跳 ね 返 り 係 数 を 変化 させ る こ とを示 す 研 究 が 紹介 さ れ てい る.そ こで 行 わ れ て い る考 察 を簡 単 に ま とめ る と次 の よ うに な る. 波(パ ルス)が 接 触 面 に帰 って くる タ イ ミン グが 合 え ば棒 内 に波 が残 らず, (マ ク ロな 意味 で)エ ネ ル ギー の ロ スが 起 こ らな い ため 跳 ね返 り係 数 は大 き くな る.タ イ ミ ングが 合 わ な い と物 体 内 に 波が 残 り,(マ クロ な意 味 で)エ ネ ル ギ ー の ロス が起 こ る ため に跳 ね返 り係 数 は小 さ くな る. 衝突 の 際 に生 じる波(パ ル ス)の 伝播 が跳 ね返 り係 数 に大 きな影響 を与 えるの はp.250 で 触 れ た10円 玉 の実 験 で も確 か め られ る.指 の よ う な柔 らか い 物体 で10円 玉B を押 さえ て も,振 幅 が微 小 で大 き な振 動 数 を持 つ 波 を止 め る こ とはで きな い の で あ る.実 際,指 に は ほ とん ど衝 撃 を感 じない.ま た,衝 突 面 で生 じた波 が どこ で 出会 うか を考 えれ ば,ど の10円 玉 が 飛 び 出 す かが わ か る.こ こで 別 の 実験 を して み よ う.10円 玉 を図13.12の よ うにテ ー プで とめ る場 合 ととめ な い場 合 を比 較 す る ので あ る.さ あ,実 験 結 果 とそ れ に対 す る考 察 を ま とめ てみ よ う.そ れ な りにお も しろ い 自 由研 究 とな るは ず だ(こ の手 の 実 験 には様 々 なバ リエ ー シ ョンが 考 え られ る の で各 自工夫 せ よ).な お,こ の考 察 は ジ ャン プ動作 の考 察 に役 立 つ の で は と筆者 は密 か に思 って い る の だが,ま あ,そ の話53)に は深 入 り しない で お こ う.
図13.1210円
補 足2大
玉実 験 再 論
きさ を持 つ 物 体 同 士 の衝 突 現 象(普 通 の 衝 突 現 象)で は,物 体 の どの位
置 が接 触 す る かで も衝 突 の様 子 は大 き く変 わ る.例 え ば,打 具 で ボ ール を打 つ と き, 打 具 の “ス イ ー トス ポ ッ ト”か ら外 れ た とこ ろで ボ ー ル を打 つ と,打 具 に余分 な回 転 運 動 が 生 じ,(最 低 で も)そ の エ ネ ル ギ ーの 分 だ け打 具 の 重 心 の(並 進)運 動 エ ネ ル ギ ー とボ ー ルの 重心 の(並 進)運 動 エ ネ ル ギ ーの和 は減 少 す る.す る と(重 心 運 動 に 着 目 した)跳 ね 返 り係 数 は小 さ くな る こ とに な る.“ ス イー トス ポ ッ ト”か ら多 少 離 れ た と ころ に ボ ール が 当 た っ て も大 きな 回転 運 動 が 起 こ らない よ うな打 具 を開 発 す る こ と54)は,打 具 の材 質 の改 良 と並 ぶ 打 具 の改 良法 の 一 つ で あ る55).
補 足3ク ッシ ョン は一般 に は接 触 時 間 を増 や す こ とに よ り衝 撃力 の ピー ク値 を下 げ た り,あ るい は接 触 面 積 を増 やす こ とに よ り圧 力(単 位 面積 あ た りの力)を 減 らす た め に使 わ れ る.し か し,場 合 に よ って は ク ッ シ ョン を用 い た た め跳 ね 返 り係 数 が 大 き くな り,衝 突 の 際 に物 体 が 及 ぼ し合 う力 積 が 増 え て しま う こ と もあ る よ う だ. これ は,鉄 球 を コ ン ク リー トに直 接 落 とす よ り,固 め の ク ッシ ョン を敷 い て,そ の 上 に鉄 球 を落 とす 方 が(ク ッ シ ョ ンの 種類 に よ って は)よ り高 くはず む こ とか ら確 か め られ る.力 積 が大 き くな る効 果 と,接 触 時 間 が増 え る こ と に よ り接 触 時 の(平 均 の)力(相 互作 用)が 減 少す る効 果 との兼 ね合 い に よ り,衝 撃 力 の ピー ク値 は必 ず し も ク ッシ ョ ンの あ る方 が小 さ くな る とは言 い切 れ ない と思 わ れ る.素 手 で もの を 殴 る よ り,グ ロ ー ブ をつ け て もの を殴 った 方が 衝 撃 力 の ピー ク値 や力 積 が 大 き くな る とい う報 告 が あ る.そ の 理 由 は,「 グロ ー ブ をつ け ない と拳 を い ため る恐 れか ら無 意 識 の うち に力 を加 減 を して しま う」 とか 「グ ロ ー ブの 質 量 の分,衝 突 前 の腕 の運 動 量 が 増 え る」 とか,い くつ か考 え られ て い る が,筆 者 は 跳 ね返 り係 数 の 変化 が 占 め る割 合 も多 い ので は ない か と密 か に思 って い る.こ れ は,素 手 で顔 を殴 られ た と き と グ ロー ブ で顔 を殴 られ た と きの 体 験 に基 づ く衝 撃 の 質 の差 か らの筆 者 の 私 的考 察 なの だが,ま だ,測 定器 は “ 顔 面 ”だ け とい う段 階 なの で,こ れ以 上 の考 察 は控 え て お く. 補 足4こ れ まで の議 論 で は衝 突 中 に系 に は外 力 が働 か な い もの と して きた.実 際 の衝突 に際 して は衝突 中 に も重 力 な ど様 々 な外 力 が働 くこ とが あ り,系 の 運動 量,運 動 エ ネル ギ ー を考 え る と きに系 が そ れ らの外 力 か ら受 け る 力積,仕 事 を考 え る必 要 が あ る.た だ,十 分 硬 い もの 同士 の 衝 突 な らば衝 突 中 に働 く撃 力 は外 力 に比べ て 非 常 に大 きい こ とが 多 い.そ の よう な場 合 には,外 力 を無 視 した本 節 の 議 論 をそ の ま ま適 用 で きる.も ち ろん,何 らか の 方 法 で外 力 の効 果 を無視 で きるか ど うか の評 価 は行 って お い た方 が よい の は 当然 で あ る.
13.5.32次 図13.13の
元空 間 での衝 突 問題 よ うに二 つ の物 体 が互 い に近 づ い て正 面 衝突 で ない衝 突 を起 こ し,そ
の後 は なれ てい く場合 で も系 の運 動量 は保 存 され る(二 つ の物体 の 運動 量 の和 は衝突 前 後 で等 しい).こ こで,運 動量 はベ ク トル量 で あ る こ と に注 意 せ よ.そ れ に対 し, 系 の運 動 エ ネル ギ ー(二 つ の物 体 の運 動 エ ネ ル ギ ーの和)は 必 ず し も保存 され ない. 2物 体 が衝 突 後 くっつ い た ま ま運 動 す る場 合,衝 突 後 の 物体 の速 度 を求 め るの は 難 し くな い.し か し,そ うで ない場 合 の一 般論 は弾 性衝 突(2物 体 の 運動 エ ネ ルギ ー の和 が保 存 され る衝 突)で あ って も,非 弾性 衝 突(2物 体 の 運動 エ ネ ル ギー の和 が保 存 され ない衝突)で あ っ て も難 しい.1次
元 の 場合 の よ うな跳 ね返 り係 数 を定 義 す
る こ と もで きな くは ない が,現 実 問 題 と して それ ほ どは役 に立 た ない.と にか く,2 次 元 空 間,さ らに は3次 元空 間で の衝 突 現象 の一般 論 は難 しい.そ こで,本 項 で は これ以 上 こ の問題 に触 れ な い こ とにす る.た だ,図13.14の
よ うに,静 止 した物体
に別 の 物体 が 弾 性 的 に衝 突 す る場 合(運 動 エ ネル ギ ーが保 存 され る場 合)の 問題 は,
高 校 時 代 に 物 理 を 選 択 し た 人 な ら ば コ ン プ トン 効 果(Comptoneffect)56)を
勉強 し
た と き に扱 っ て い る とい う こ との み 指 摘 し て お こ う.
13.5.4分
裂
衝 突 現象 を考察 す る際 に運 動量 の保存 則 が 大 きな役割 を果 た した.運 動 して い る 物 体 が何 らか の原 因で 分裂 した と きに も,も し系 に働 く外 力 が無 視 で きるな らば運 動 量 保存 則 を使 っ た議 論 が で きる.さ らに,二 つの 物体 が衝 突 した こ とに よ り分 裂 が引 き起 こ され た場合57)も,系 に働 く外 力 が無 視 で きるな らば系 の運動 量 は保 存 さ れ る. 課題
以 下 の 文 の 誤 り を 正 せ.
(1)図13.15aの よ う に,質 量m1,m2を 持 っ た 物 体1,2が 一 体 と な っ て 速 度v0で 運動 し て い る と す る.物 体1を 外 力 に よ っ て 急 激 に 止 め た と こ ろ,物 体2が 飛 び 出 し た.こ の と き の 物 体2の り立 つ.よ
速 度 をvと
す る と,運
動 量 保 存 則 よ り,(m1+m2)v0=m2vが
っ て,
とな り,分 裂 後 の 物体2の
速 さ は も との速 さ よ りも大 き くな る.
図13.13(a)衝
突 前;(b)衝
突後
成
図13.14(a)衝
突 前;(b)衝
突後
(2)図13.15bの よ うに,質 量m1,m2を 持 った物 体1,2が 適 当 な発 射 装 置(縮 め られ た バ ネや 火薬 の入 っ た筒 を考 え れ ば よい)を 介 して接 触 し,速 度v0で 運動 して い る とす る.発 射装 置 が 作 動 した とこ ろ,物 体1の 度vは,エ
速度 は0に
な った.そ の と きの物 体2の
ネ ル ギー 保存 則
よ り,
と求 め られ る.た だ し,発 射 装置 の質 量 は 無視 で きる もの とす る.
図13.15
速
解説 (1)物 体1に 外 力 を作 用 させ た の だか ら系 の 運動 量 は保 存 さ れ ない.そ れ ゆ え運 動 量 保 存 則 を適 用 す る こ と はで きな い.分 裂 に際 して,物 体1と 物 体2と の 間 に どの よ う な力 が働 い たか は明 らかで はな い が,も し何 の力 も働 か ない の な らば(二 つ の物 体 は単 に接 触 して い た だけ な らば),分 裂 後 の物 体2の 速 度 はv0の
ままで あ る.
(2)発 射 装 置 が作 動 す れ ば系 の 運動 エ ネル ギ ー は保存 され ない.エ ネル ギ ー保存 則 を考 え る な らば,運 動 エ ネ ル ギー の ほ か に系 の持 つ 内 部 エ ネル ギ ー や熱 発 生 も考慮 しな くて は い けな い.例 えば,も し発射 装 置が 縮 め られ たバ ネな らばバ ネの弾 性 エ ネル ギー を,火 薬 を 使用 した もの な ら ば火薬 の持 って いた 化 学 的エ ネ ル ギ ー を考 慮 しな くて はい け ない.こ うい った エ ネル ギー も考慮 す れ ばエ ネルギ ー は保 存 され るが,い ず れ にせ よ本 問 で は発射 装 置 に よっ て “ 解 放 され た”内部 エ ネ ルギ ーの 大 きさは与 え られ てい な いの でエ ネ ルギ ー 保 存則 は使 え ない.し か し,発 射装 置 が どの ような もの で あれ,系 に とって 内力 と して働 く以上,系 の運動 量 は変 化 しない(保 存 され る).そ れ ゆ え,(m1+m2)v0=m10+m2v が 成 り立 ち,v=m1+m2v/m20と
求 め られ る.
「身体 運 動 にお い て,体 幹 に近 い セ グ メ ン ト(体 節)を 急 停 止 させ る こ と に よ り運 動 量 の 移 動 や エ ネ ル ギー の 移動 が起 こ り,隣 接 す る末 端 に近 い セ グ メ ン トを加 速 す る こ とが で きる.例 えば もの を蹴 る と き,動 作 の途 中 か ら大 腿 部 を股 関節 伸 筋 群 に よ り急 停 止 させ る と,膝 関 節 伸筋 群 が 活動 しな くて も下 腿 部 が加 速 され る」 とい う こ とを無 反省 に信 じて い る人 が い るが, この課 題 を参 考 に して 考 え直 して も らいた い.な お,「 下 腿 部 が加 速 され る」 とい うのが 下 腿 部 の 重心 速 度 で な く,下 腿 部 の 末 端 速 度 に 関 して の 話 な らば,さ らに別 の こ と を考 え な くて はい け な い.こ の 問題 に 関 して は16.7.5項 で触 れ る.
13.6棒 N嬢
高跳 び に関 す る世 界 で最 も粗 い議 論
棒 高 跳 び な ん て さ,7mく
らい の 棒 を使 え ば,簡 単 に 世 界 記 録 を 更 新 で き る ん
じ ゃ な い か し ら. S嬢
そ れ は 無 理 よ.そ 棒,曲
N嬢
け ど,今
の 世 の 中 ど ん ど ん材 料 科 学 が 発 達 して い る か ら,そ
す ご く軽 くて,し S嬢
ん な に棒 が 長 か っ た ら重 くて 走 れ な い わ.そ
れ に,そ
んな
げ る の 大 変 よ. の うち長 くて も
か も程 よい 弾 性 を 持 っ た 棒 が 開 発 さ れ る ん じ ゃ な い の.
そ れ は そ う か も しれ な い け ど,結
局 棒 高 跳 び っ て い う の は,走
る こ とに よ っ
て 身 体 が 持 っ た 運 動 エ ネ ル ギ ー を棒 の 弾 性 エ ネ ル ギ ー に 変 換 し て,そ
れ を改
め て 身 体 の 位 置 エ ネ ル ギ ー に 変 換 す る っ て い う の が 本 質 と な る 競 技 よ ね.す る と,助
走 の 運 動 エ ネ ル ギ ー が ロ ス な く棒 に 蓄 え ら れ て,そ
ギ ー に 変 換 さ れ て も,
れが 位 置 エ ネ ル
よ り,
し か 重 心 を結 局 は 持 ち 上 げ ら れ な い わ.も 10m/s,g〓10m/s2と 面 か ら1mく
し てh〓5mと
ち ろ んvは
な る わ.ま
ら い の と こ ろ に あ る し,棒
助 走 の ス ピ ー ドよ.v=
あ,身 体 重 心 が も と も と地
の 一 端 を地 面 に つ け た 後 に 更 に 地 面
を蹴 る こ と に よ っ て 助 走 の と き に 身 体 が 持 っ て い た 運 動 エ ネ ル ギ ー 以 上 の エ ネ ル ギ ー を棒 に 蓄 え る こ と も不 可 能 と は 言 え な い し,身 体 重 心 が バ ー を 超 さ な く て も 身 体 が バ ー を ク リ ア す る テ ク ニ ッ ク は あ る で し ょ う し,腕 体 を 押 し上 げ る こ と も で き る で し ょ う か ら,多 て も6mの
バ ー を 跳 び 越 す こ と は で き る わ け よ ね.で
の 特 性 の 前 に,力 け ね.6mを
で更 に身
少 の エ ネ ル ギー の ロ スが あ っ も,い
ず れ に せ よ,棒
学 的 な エ ネ ル ギ ー か ら 考 え た 上 で の 限 界 とい う の が あ る わ
大 幅 に 越 す こ と は,ど ん な に優 れ た 棒 を 開 発 して も無 理 な ん じ ゃ
な い か し ら.も
ち ろ ん,棒
が 自 らエ ネ ル ギ ー を 発 生 す る 仕 掛 け を し て お け ば
別 で し ょ う け ど ね. N嬢
あ な た,今
日 は妙 に 雄 弁 ね.で
な お も ち ゃ を 作 っ た と き,ボ 私,ば
っ か.う
ー ん.じ
ー ル が 弾 む 高 さ っ て,ば
ゃ あ,図13
.16の よ う
ね 定 数 と 無 関 係 な の?
ね 定 数 が 大 き い ほ ど よ く弾 む の か と思 っ て い た け ど.
図13.16バ
S嬢
も,そ
バ ネ が 傾 い た り し な け れ ば,ば む よ ね.も
ネ の つ い た お もち ゃ
ね 定 数 の 大 小 は 関 係 な く,も
し弾 ま な い とす れ ば,そ
との 高 さま で弾
れ はエ ネ ル ギ ーの散 逸 が 起 こ って い る と
い う こ とで,ば
ね 定 数 の 大 小 で は な く,実
発 生 す る摩 擦 熱 な どが 原 因 よ ね.あ
際 のバ ネが運 動 す る こ とに よ って
る い は,バ
ネ は 実 際 に は 質 量 を持 つ か ら,
地 面 に ぶ つ か っ た と き 変 に バ ネ が 波 打 っ て そ の 波 が 残 っ ち ゃ う と,そ 心 運 動 の エ ネ ル ギ ー の ロ ス に つ な が る と思 う わ.も
ち ろ ん,バ
ぎ る とバ ネ が 弾 性 の 限 界 を超 え て 縮 ん で し ま っ て,う
れ も重
ネ が柔 らか す
ま く弾 ま な い とい う こ
と も あ る と 思 う け ど. N嬢
ふ ー ん.じ
ゃ あ,と
りあ え ず は こ の お も ち ゃ が 弾 む 様 子 は ば ね 定 数 と無 関 係
と い う こ と? S嬢
う う ん.到 とや,バ
達 す る 高 さ が 同 じ と い う だ け で,バ
ネが どこ まで縮 むか とい う こ
ネ と地 面 の 接 触 時 間 は ば ね 定 数 に 依 存 す る わ.
N嬢
そ の 接 触 時 間 っ て ど う 求 め れ ば い い の か し ら58).
S嬢
バ ネが 地 面 に 接 触 した 後 は,ボ らmg/kだ
ー ル は つ りあ い の 位 置,つ
け縮 ん だ 位 置 を 中 心 に 単 振 動y(t)=Asinωt+Rcosωtを
と に 着 目 す れ ば い い の よ.つ
期 条 件 は,接
や っ た よ ね.も
地 の 瞬 間 をt=0と
と,初
S嬢
して 後 は 離 地 の 瞬 間,す
求 め れ ば い い わ け ね.つ
よ ね.わ
ら 求 め ら れ る わ.
れ ら の 初 期 条 件 か らy(t)=Asinωt+RcosωtのA,Bを
れ ば い い の か.そ のtを
れ は もち ろ ん
速 度 と し てy'(0)=-√2ghね.
こ れ は 力 学 的 エ ネ ル ギ ー 保 存 則,1/2mv2=mghか な る ほ ど.そ
あ,結
か け重
ち ろ ん 角 振 動 数 は√k/m
し てy(0)=mg/k,こ
バ ネ の 自然 長 に対 応 して い る の よ.あ
N嬢
行 うこ
り あ い の 位 置 に 着 目 す る こ と に よ り,見
力 を考 慮 しな くて 済 む の はp.181で で,初
ま りバ ネ が 自 然 長 か
求め
な わ ちバ ネが 自然 長 に戻 った と き
ま り,y(t)=mg/kと
な るtを
求 めれ ば いい
構 大 変 だ わ.
手 計 算 をす る と 結 構 大 変 ね.で
も,今 は か な り便 利 な ソ フ トが あ る か ら ね.そ
れ を 利 用 し て 計 算 す れ ば い い わ. N嬢
な る ほ ど ね.人
様 は ア イ デ ィ ア だ け を 出 して,や
に任 せ よ,と い う わ け ね.Mathematicaが
と 求 め ら れ る わ59).m,kの
ほ か にhに
時 間 を 使 っ て もい い わ よ ね.ま 後,こ h→
の 式 か らh→0の
も 依 存 す る の ね.hの
こ ろ で,筋,腱
代 わ りに滞 空
れ は こ こ ま で くれ ば 簡 単 だ か らい い か.
極 限 でt=2π√m/kで
∞ の 極 限 でt=π√m/kで
も な 話 だ わ60).と
あ,そ
っかい な計算 は コ ンピュー タ
手 元 に あ る か ら これ を利 用 す る と,
こ れ は系 の 振 動 の 一 周 期,
こ れ は 系 の 振 動 の 半 周 期 ね.こ
れ は もっ と
の 持 つ弾 性 組織 の弾 性定 数 は 身体 運動 に ど
うい う 影 響 を 持 つ の か し ら.エ
ネ ル ギ ー 的 に は 弾 性 定 数 は 関 係 な くて,た
だ
単 に ス ピ ー ドだ け に 関 係 す る の か し ら. S嬢
ど う だ ろ う.関
節 に は 動 作 の 可 動 域 もあ る か ら,そ
み で き る量 に は 限 界 が あ る よ ね.弾 に な る ん じ ゃ な い か し ら.つ
も そ も弾 性 組 織 が 伸 び 縮
性 定 数 が 小 さ す ぎ る の は そ こ ら辺 で 問 題
ま り,動
作 中 に十 分 にエ ネ ル ギー を蓄 え る こ と
が で き な くな る こ と も あ る とい う こ と ね.あ
と,そ
の 人 の持 つ 筋 の収 縮 特 性
も合 わ せ て 考 え な く っ ち ゃ い け な い と思 う わ. N嬢
え っ?ど
S嬢
う ー ん.一
う い う こ と? 言 で は 説 明 で き な い わ.弾
性体 の振 動 の リズ ム を活 用 で きる か ど
う か は 筋 の 能 力 に 関 係 す る っ て と こ ろ か し ら. N嬢
ます ま す わ か ん な い わ. 補足
話 が 長 くな る の で,彼 女 達 の 会話 は こ こ ら辺 で打 ち切 って も ら う こ とに しよ
う.こ の続 き は,読 者 に 自 由 に考 え て も らい たい.た だ,彼 女 達 の この話 の流 れ に は 二 つ のパ ター ンが 隠 されて い る こ とを注 意 して お く.一 つ は,実 際 の 身体 運 動 か ら出発 して,そ の 動作 を力 学 的 に と らえ よ う とす る もの で あ り,も う一 つ は,純 粋 に力学 の知 識 ・手 法 を学 び,そ の例 題 を 身体 運 動 に求 め よ うとす る もの で あ る.も の を考 え る ため の ヒ ン トは ど こ に ころが っ てい るか わ か らない.一 見 回 り道 の よ う で も,力 学 を キチ ン と学 習 して お くこ とは将 来 き っ と役 に立 つ で あ ろ う.
13.7エ
ネル ギーの単 位
今 ま で,ま
っ た くエ ネ ル ギ ー の 単 位 に 触 れ な か っ た61).本
節 で は,エ
数 値 で 表 す た め の 単 位 に つ い て 解 説 し よ う.単 位 系 に はMKS単 ま ず,運
動 エ ネ ル ギ ー は1/2mv2で
(kg・m/s2)・m=N・mで れ る.運
あ る.仕
位 系 を使 う.
の 単 位 はkg・(m/s)2=
事 の 単 位 も “力 × 距 離 ” よ り “N・m”
と得 ら
動 エ ネ ル ギ ー の 変 化 量 は な さ れ た 仕 事 量 に 等 し い の だ か ら,両 者 の 単 位 が
等 し くな る の は 当 然 で あ る.こ 呼 び,記
表 さ れ る こ と か ら,そ
ネ ルギ ー を
号 で “J”と表 す.こ
単 位 で あ る.仕
事 率 は"力
の “N・m” と い う 単 位 を改 め て ジ ュ ー ル(joule)と の “J”がMKS単
× 速 度"よ
位系 で の エ ネ ル ギ ーお よび仕 事 の
り単 位 は"N・m/s=J/s"と
な る.単
位 を
見 れ ば わ か る よ う に 仕 事 率 は 単 位 時 間 あ た りの 仕 事 量 と と ら え る こ とが で き る.そ れ は,短 時 間dtあ Fdx/ dt=Fdx/dt=Fvと
た りの 仕 事 量Fdxか な り,ま
ら,単
位 時 間 あ た りの仕 事 量 を求 め れ ば
さ に仕 事 率 の 定 義 に 一 致 す る こ と か ら も納 得 で き よ
う.な
お,仕
く.こ
の 単 位 は 蒸 気 機 関 で 有 名 なJamesWatt(1763-1819)に
も の で あ る.
事 率 の 単 位 “J/s” を改 め て ワ ッ ト(watt)と
呼 び,記
号 で “W” と 書
ち な ん で つ け られ た
課題 「鉄 腕 ア トム62)は10万 馬 力 だ63)」,と い う と き な ど に 用 い ら れ る 馬 力(horsepower) は 仕 事 率 の 単 位 で,1馬 力 は75kgw・m/sで あ る.こ れ は 何 ワ ッ トに 相 当 す る か.
解説1kgwを9.8Nと
して 計算 す れ ば よい.10万
馬 力=7.35x107Wと
な る.こ れ よ
り,ア トム が 全 力 で,す なわ ち10万 馬 力 で1秒 間活 動 す る と7.35×107Jの 仕事 をす る こ とが わ か る.石 炭 や ガ ソ リ ンの燃 焼 熱 は1gあ た りお よそ104Jで あ るか ら,こ れ らを燃 料 と して使 う とア トム は1秒 間 あ た り10t近 くを消 費 す る こ とに な る(実 際 に は熱 効率 とい う もの も考 えな くて はい け な い).ア トム の小 さい体 に こん な量 の 燃料 を蓄 えて お くわ け に はい か な い.そ こで ア トム は原 子 力(ウ ラ ンの 核 分 裂反 応 だ と思 わ れ る)を 使 っ て い る.1gの ウ ラ ンは核 分裂 反 応 に よっ て お よそ1011Jの ば 申 し分 ない. と こ ろ で,力 て き た.18世
エ ネ ルギ ー を生 み 出 す.エ ネル ギ ーの 量 だ け な ら
学 的 な エ ネ ル ギ ー に 関 す る 考 察 と は 別 に,熱 紀 中 頃 ま で は,あ
や 温度 の研 究 が な され
ま り熱 と温 度 と い う 量 の 区 別 は な か っ た が,18世
紀 後 半 頃 か ら 熱 と は 物 体 間 を移 動 す る 特 別 な物 質―― カ ロ リ ッ ク――が 担 う もの で あ り,物 体 が カ ロ リ ッ ク を 受 け 取 る と,そ が 広 ま っ た.そ
ロ リ ッ ク 説(calorictheory)は し,1798年
体 に よ っ て 異 な る.こ
の よ うな カ
そ れ な り に 実 験 的 裏 付 け の あ る も の で あ っ た.し
か
に ル ン ホ ー ドは 金 属 を削 る と き に発 生 す る 熱 は 力 学 的 な仕 事 に よ り も た
ら せ る こ と を 裏 付 け る 実 験 を行 い,カ 補足
れ に 比 例 し た 温 度 変 化 が 起 こ る とい う認 識
の 比 例 係 数 は 熱 容 量 と呼 ば れ,物
ロ リ ッ ク 説 は否 定 さ れ た.
「仕 事 に よ り熱 が 無 限 に取 り出 され る以 上,熱 の 物 質 説 は し りぞ け られ るべ
きだ ろ う」 とい うわ けで あ る.な お,“ カロ リ ック説 ”は,「 た と え一 連 の 実験 を十 分 に説 明 す る こ とが で きる仮 説 で あ っ て も必 ず し も真 理 で は な い場 合 が あ る」 とい うこ との よ い実 例 とい え よ う.で は,何 を も って “ 真 理 で な い” こ とが検 証 さ れ る のか.そ れ もま た,実 験(と そ の考 察)に よ るの で あ る.物 理 学 の 法則 の検 証 が実 験 に基 づ くもの で あ る以 上,い か な る物 理 法 則 も真 理 であ る とは 断定 で き ない.し か し,そ の法 則 を否定 す る実験(現 象)が 見 つ か ら ない 時点 で は,そ の法 則 は正 しい も の と して扱 って よい とい うの が経 験 数 理 科 学 で あ る物 理 学 の ル ー ル なの で あ る. さ ら に,1843年
に ジ ュ ー ル(JamesPrescottJoule,1818-1889)は
巧 み な装 置 を作
り,仕 事 量 と発 生 す る 熱 量 の 間 の 定 量 的 測 定 を 行 っ た64).彼 等 価 性 を 示 した の で あ る.そ
して,現
昇 させ る た め に 必 要 な 仕 事 量 は4.186Jで
ロ リ ー)と 定 義 し た.結
を も と に して 行 え ば よ い こ と に な る.
水 の 温 度 を1℃
あ る こ と を 示 した.な
学 的 考 察 と は 独 立 に 熱 現 象 を 扱 う 人 々 は1gの 要 な 熱 量 を1cal(カ
は こ う して 熱 と仕 事 の
在 の 単 位 を 使 え ば,1gの
水 の 温 度 を1℃ 局,Jとcalの
お,こ
上
の よ うな力
上 昇 させ る た め に 必
換算は
13.8エ
ネ ル ギ ー保 存 則
こ こ で 疑 問 に な る の が 今 ま で 何 気 な く使 っ て き た 温 度 と い う量 で あ る .こ と い う量 を ま ず 現 象 論 的 に導 入 し よ う.説
の温 度
明 は あ ま り厳 密 に や る と 難 しい の で
か い と こ ろ を 省 き な が ら行 う.本 節 を 読 ん だ 後,熱
,細
力 学 の 簡 単 な テ キ ス トに 挑 戦 し
て も らい た い. 簡 単 の た め,ま 態 は,圧 力,体
ず 気 体 に 関 して 考 え よ う65).容
器 に入 れ ら れ た 気 体 の マ ク ロ な 状
積 の よ う な い くつ か の 物 理 量(状 態 変 数)の 組 に よ っ て 表 さ れ る .こ
の 気 体 の 容 器 の 断 熱 性,気
密 性 が 十 分 高 け れ ば,内
か ら孤 立 し て い る と考 え ら れ る.さ
て,外
部 の 気 体 は 容 器 外 の 世 界(外 界)
界 か ら孤 立 し た 気 体 を用 意 した と き ,十
分 な 時 間 が 経 て ば 気 体 の 状 態 を特 徴 づ け る 状 態 変 数 は あ る 一 定 の 値 に 落 ち 着 き,そ れ 以 上 時 間 が 経 っ て も変 わ る こ とが な い と い う事 実 が 経 験 法 則 と して 知 ら れ て い る . こ の と き,考 体Aの
え て い る 気 体 は熱 平 衡 状 態 に あ る とい う .次
入 っ た 容 器 と同 じ く熱 平 衡 状 態 に あ る 気 体Bの
し よ う.た
に,熱
だ し,接 触 面 の 断 熱 性 は不 完 全 な も の で あ り,ま
きる もの とす る.す
る と,気 体Aの
平 衡状 態 にあ る気
入 っ た 容 器 と を接 触 させ た と た その 熱容 量 は無 視 で
状 態 変 数 は 変 化 す る の が 普 通 だ が,十
分 時 間が
経 て ば も と と 違 っ た 値 に 落 ち 着 く.す な わ ち,別 の 熱 平 衡 状 態 に 達 す る わ け で あ る . ま た,気
体Bも
同 様 に も と と 違 っ た 熱 平 衡 状 態 に 落 ち 着 く.つ
十 分 時 間 が た て ば,気
体Aと
気 体Bの
互 い の状 態 変 数 はそ れ以 上 変 化 しない 状 態
に 落 ち着 くの で あ る.こ
の と き,気 体Aと
で あ る と い う.気
体Aと
気 体Bを
さ て,気 体Aと
気 体Bが
気 体Bと
気 体Cは
ま り,接 触 して か ら
気 体Bは
熱 平 衡(thermalequilibrium)
合 わ せ た系 は熱 平 衡状 態 にあ る とい っ て も よい.
熱 平 衡 で あ り,か つ,気 体Aと
気 体Cが
熱 平 衡 で あ る と き,
熱 平 衡 で あ る こ とが 経 験 法 則 と して 知 られ て い る66) .こ
気 体 に 限 ら ず 一 般 に 成 り立 ち,熱 力 学 の 第0法 と呼 ば れ る こ とが あ る.こ
の 法 則 か ら,系
す る こ と が で き る こ と に な る.す
間 の 熱 平 衡 を特 徴 づ け る 状 態 変 数 を 導 入
な わ ち,「 こ の 状 態 変 数 が 共 通 の 系 は 熱 平 衡 に あ
る 」 と い う こ とが で き る よ う な 状 態 変 数 が 存 在 す る と い う こ と だ .こ そ 温 度(temperature)で
あ る.そ
の法 則 は,
則(zerothlawofthermodynamics)
し て研 究 が 進 み,温
の状 態 変数 こ
度 の 等 しい 系 を接 触 さ せ て も
(マ ク ロ な 意 味 で)何 も起 こ らな い が,温 度 の 異 な る系 を接 触 さ せ る と熱(heat)の 動 が 起 こ り67),や が て そ れ ぞ れ の 系 の 温 度 は 等 し くな る,す る と い う こ とが わ か っ た.そ
して,熱
度 の 目盛 りの 向 きが 定 め ら れ た68).後 め る か を 決 め な くて は い け な い が,そ か ら始 め れ ば,と
移
なわ ち熱平 衡 が 実現 す
が 高 温 の 系 か ら低 温 の 系 に 移 動 す る よ う に 温 は 温 度 の 目 盛 りの 幅(温 度 の 単 位)を
どう定
れ は 非 常 に難 しい 問 題 で あ る .基 本 的 な こ と
て も 数 ペ ー ジ や そ こ ら で 説 明 で き る こ と で は な い .そ
こ で 涙 を飲
ん で,国 際 単 位 系 で 用 い ら れ て い る 温 度 の 単 位 は “ケ ル ビ ン(kelvin)” で あ り,記 号 で “K” と書 く と だ け 述 べ て お こ う.こ Celsius,℃)69)の
の ケ ル ビ ン の 刻 み 幅 は セ ル シ ウ ス 度(degree
刻 み 幅 に 等 し い70).
以 上 の 議 論 は 現 象 論 的 に 熱 や 温 度 と い う 量 を考 え た も の で あ る.や
が て,原
子論
が 発 達 し,温 度 と は 物 体 を構 成 す る 原 子 な い し分 子 の 無 秩 序 な(ミ ク ロ な レ ベ ル の) 運 動(熱 運 動)の 運 動 エ ネ ル ギ ー の 平 均 値 を表 し,そ ク ロ な運 動 エ ネ ル ギ ー が ほ か の 物 体 に伝 わ る と き,そ が 判 明 し た.つ
ま り,熱(heat)と
し て,熱(heat)と
は 物 体 が 持 っ て い る量 で な く,(熱
エ ネ ル ギ ー の 移 動 形 態(移 動 量)だ と い うわ け で あ る.こ
本 語 に 騙 さ れ な い よ う に し て も らい た い72).な
部 エ ネ ル ギ ー(internalenergy)と
子,イ
熱 エ ネ ル ギ ー(thermalenergy)と
こ れ は 先 ほ ど述 べ た エ ネ ル ギ ー の 移 動 形 態 と し て の 熱(heat)と る.日
の ミ
的 接 触 に よ る)
れ に対 し,マ ク ロ な 意 味 で
静 止 して い る 物 体 の 持 つ ミ ク ロ な エ ネ ル ギ ー(構 成 原 子,分 運 動 に よ る エ ネ ル ギ ー の 総 和71))は
は,こ
の大 きさ を表 す量 で あ る こ と
お,熱
オ ンの無 秩 序 な 呼 ば れ る が,
は ま っ た く別 物 で あ エ ネル ギ ーの こ とを内
呼 ぶ こ と も あ る.
補 足 内 部 エ ネル ギ ー と熱 エ ネ ル ギ ー を 同 義 で使 うこ とは 多 い が73),内 部 エ ネ ル ギ ー は さ らに広 い意 味 を持 つ こ と もあ る.物 体 の 巨視 的 な(マ ク ロな)エ ネ ル ギー は 物体 の重 心 運 動 の エ ネ ル ギ ー と重 心 まわ りの回 転 運 動 のエ ネル ギ ー と物 体 に働 く外 力 に よ る位 置 エ ネ ルギ ー の和 で あ る.微 視 的 な(ミ ク ロ な)エ ネル ギ ー は,物 体 を構 成す る原 子 の持 つ 運 動 エ ネ ルギ ー と位 置 エ ネル ギ ーの和 で あ る74).微 視 的 なエ ネ ル ギ ー(の 総和)か ら巨視 的 な エ ネ ルギ ー を差 し引 い た残 りが,物 体 が 内 部 に隠 し持 つ エ ネ ル ギ ー――内 部 エ ネ ル ギ ー――で あ る.
体温 を体 温計 で測 ろ う.体 温 計 は最 初,体 温 よ り温 度 が低 い.こ れ は,体 温計 を 構 成す る原 子 の平均 運 動 エ ネ ルギ ーが 身体 を構 成 す る原子 の平均 運 動 エ ネル ギ ー よ り小 さい こ とを示 す.体 温計 と身体 を接 触 させ る こ とに よ り,接 触 面 で そ れぞ れ を 構 成 す る原 子 が 衝 突 し,運 動 エ ネ ルギ ー の均 等 化 が行 わ れ る(詳 細 略).す な わ ち, 高 温物 体 か ら低 温 物体 にエ ネ ル ギー が熱 と して移動 す る.結 果 と して体温 計 を構 成 す る原 子 の 熱運 動 は激 し くな り温度 が 上 昇す る.体 温 計 に エ ネル ギ ーが移 動 した た め 身体 の持 つ熱 エ ネル ギー は減 少 し,体 温 は少 し下が ろ う とす るが,体 の熱 容量 は 十分 大 きい し,体 温 を保 とう と化 学 変化 が 起 こ る75)ので体 温 は一 定 に保 た れる と考 えて よい.そ
して,最 終 的 に体 温 計 の 温度 と身 体76)の温 度(体 温)が 等 し くな っ た
ところで 熱 の移 動 が や む77).こ の状 態 こそ 「 体 温 計 と体(の 体温 計 と接 触 して い る 部 分)と の 熱平 衡状 態 」 で ある.そ して,原 子 が 激 し く運 動 す る よ うに な った ため, 体 温計 の 中 の水 銀 の原 子 間距 離 が少 し大 き くな る(詳 細 略).つ ま り,水 銀 は膨張 す る.こ の膨 張 の度合 い は水 銀 の 持 つ熱 エ ネ ル ギー の増 加,す なわ ち温 度 に対 応す る とい う こ とに な る.体 温 計 の 目盛 りを読 ん で温 度 を知 る とい う行為 は,水 銀 の膨 張
具 合 を 温 度 と対 応 付 け て 測 定 し て い る こ と に ほ か な ら な い78). 少 し しつ こ い 説 明 を した が,力 て い る か が わ か っ た と思 う.仕 が,な
学 的 な エ ネ ル ギ ー が どの よ う に 温 度 や 熱 と対 応 し
事 と熱 が 対 応 す る量 で あ る こ と を ジ ュ ー ル は 示 した
ぜ 両 者 が 対 応 関 係 に あ る の か は 長 い 間 わ か ら な か っ た.し
達 した 今,そ
の 謎 は 解 け た.原
子 の 運 動 こ そ 熱(物 体 の 接 触 に と も な う分 子,原
の衝 突 に よるエ ネル ギ ーの “ 見 え な い 形 で の ”流 量)と 仕 事(マ も な う,エ
ネ ル ギ ー の “見 え る 形 で の ”流 量)と
補 足 系 の 内部 エ ネ ル ギー の 変化 量 を ΔU,系 た熱 をQと す る と,
が 成 り立 つ(系
さ ら に,化
子
クロ な形 態変 化 に と
を結 ぶ 鍵 だ っ た の で あ る. にな され た仕 事 をW,系
の マ ク ロ な エ ネ ル ギ ー は 変 化 し な い と す る).こ
(firstlawofthermodynamics)と
か し,原 子 論 が 発
に加 え られ
れ を 熱 力 学 第1法
則
い う79).
学 変 化 に よ っ て 原 子 間 の 結 合 が 変 化 し,そ
れ に と も な っ て,電
子 と原
子 核(あ る い は 陽 イ オ ン)の 位 置 関 係 が 変 化 す る こ と に よ っ て 静 電 気 力 に よ る 位 置 エ ネ ル ギ ー が 変 化 し,そ の 変 化 分 は 原 子,分 こ う し て,化 な っ た.ま
子 の 運 動 エ ネ ル ギ ー の 変 化 に転 化 さ れ る.
学 変 化 に と も な う熱 の 出 入 り(化 学 エ ネ ル ギ ー)が 説 明 さ れ る よ う に
さ に原 子 論 の 勝 利 と 言 っ て よ い だ ろ う.な
お,動
物 は化 学 エ ネ ルギ ー を
(マ ク ロ な)力 学 的 エ ネ ル ギ ー に 変 換 す る こ と に よ り運 動 を行 っ て い る の で あ る が, そ の 機構 は ま だ 完 全 に は 解 明 さ れ て い な い. エ ネ ル ギ ー に は 様 々 な 形 態 が ま だ ま だ あ る .そ ネ ル ギ ー,さ か,と
れ ら は,結
局,物
ら に は 原 子 の 持 つ 運 動 エ ネ ル ギ ー を ど れ だ け 変 化 さ せ る こ とが で き る
い う こ と で 定 量 化 さ れ て い る.逆
う信 念 に よ っ て,各
に い え ば,全
種 の エ ネ ル ギ ー が 定 義 さ れ,定
エ ネ ル ギ ー は 保 存 さ れ る とい 量 化 さ れ て い る と言 っ て よ い.
そ の よ う な 恣 意 的 論 理 体 系 が 許 さ れ る の で あ ろ うか.今 た 論 理 体 系 が 破 綻 を き た し た こ と は な い80).す す る 自 然 現 象 は 見 つ か っ て い な い.そ
ま で,こ
な わ ち,こ
理 学 の 法 則 と は こ うい う もの で あ る.つ
て 推 論 さ れ た 命 題 は,ど の 現 象 が 現 れ て,さ で,真
実 の も の と,あ
う して作 られ て き
の よ う な 論 理 体 系 を否 定
れ ゆ え,「 あ ら ゆ る 形 態 の エ ネ ル ギ ー の 和 は
保 存 さ れ る 」 とい う エ ネ ル ギ ー 保 存 則(conservationofenergy)は い の で あ る.物
体 の持 つ 運動 エ
正 しい と して よ
ま り,「 現 象 か ら帰 納 に よ っ
の よ う な 反 対 仮 説 に よ っ て も妨 げ ら れ る べ き で な く,ほ か
ら に 精 確 に さ れ 得 る か,そ
れ と も 除 外 さ れ ね ば な ら な くな る ま
る い は き わ め て 真 実 に近 い も の と,み
な され な けれ ば な らな
い 」81)の で あ る. 本 節 で は エ ネ ル ギ ー 論 の 極 々 さ わ り の 部 分 だ け に触 れ た.ス
ポー ツ科 学 で はエ ネ
ル ギ ー を 話 題 に し た研 究 が 多 い.「 代 謝 に よ る エ ネ ル ギ ー 生 成82)と 力 学 的 仕 事 量 と
の 関 係 」 な ど は よ く テ ー マ に な っ て い る が,ま が あ い ま い に 扱 わ れ て い る研 究 が あ る.こ 熱 の 関 係,さ
れ に “エ ネ ル ギ ー ” や “ 仕 事 ”の 概 念
の 方 面 の 研 究 を す る な ら ば,化
学 反応 と
ら に は 熱 と仕 事 の 関 係 に つ い て 学 習 して お か な くて は な ら な い.
課 題 あ る 人 の一 日 に摂取 した熱 量 は2000kcalで あ った.こ れ は何Jに 相 当す るか.さ ら に,質 量100kgの 物 体 の 運 動 エ ネル ギ ーが そ の値 に等 し くな るた め には,物 体 の速 さは どの くらい で な くて は な ら ない か.ま た こ の熱量 が 断 熱 容器 に入 れ られ た100kgの た とき,温 度 は どれ だ け上 昇 す るか. 解説
食 物 の 熱 量 を 表 す 単 位 と し て はkcalの
ま り,1kcal(=1000cal)=1Calで お よ そ8.4×106Jで
あ る.質
に は1/2mv2=8.4×106Jよ
ほ か にCalも
あ る.さ 量100kgの り,速
さvは
あ る.両
て,1calは
約4.2Jで
水 に加 え られ
者 は 同 じ単 位 で あ る.つ あ る か ら,2000kcalは
物 体 の 運 動 エ ネ ル ギ ー が8.4×106Jと 約410m/sで
な くて は い け な い.こ
な るた め れ は常 温 で の
音 速(約340m/s)よ り も 速 い.ま た,100kgは100×103g=105gで あ る こ とに注 意 す れ ば,こ の 熱 量 は100kgの 水 を20℃ だ け 上 昇 さ せ る こ とが 計 算 で き る.
13.9社
会 問 題 に 目 を向 け る2人
N嬢
エ ネ ル ギ ー 保 存 則 を 学 ん で か え っ て わ か ら な くな っ た こ とが あ る わ.
S嬢
何 が.そ
り ゃ あ,エ ネ ル ギ ー とは 何 か とい う こ と は よ く わ か らな い し,い ろ い
ろ な 形 態 の エ ネ ル ギ ー が 具 体 的 に ど う計 算 さ れ る か は こ の 本 で は 扱 っ て い な い け ど,エ N嬢
ネ ル ギ ー が 保 存 さ れ る と い う概 念 は 何 と な く納 得 で き る じゃ な い.
で もエ ネ ル ギ ー が 保 存 さ れ る な ら,何 存 在 す る わ け?も ら,人
で
「エ ネ ル ギ ー 消 費 量 」 て い う 言 葉 が
ち ろ ん 身 体 運 動 な ら わ か る わ.身
間 が 外 界 に 対 し て 仕 事 を す れ ば,仮
体 運 動 の主役 は人 間 だか
に外 界 と人 間 を合 わせ た系 で エ ネ
ル ギ ー が 保 存 され て も 「そ の 人 は エ ネ ル ギ ー を 消 費 し た 」 と 主 張 して も い い と思 う わ.で
も,地 球 規 模 で 「エ ネ ル ギ ー 生 産 」 が ど う の とか 「 エ ネ ルギ ー消
費 」 が ど う の と い う の は 変 な ん じ ゃ な い の. S嬢
随 分 大 き く出 た わ ね.ア た わ.で ば,紙
ナ タ が そ ん な エ コ ロ ジ ス ト と は ち っ と も知 ら な か っ
もそ れ は もの の 生 産 消 費 と 同 じ に考 え れ ば い い ん じ ゃ な い の.例 な ん か の 原 料 は 木 な ど の 植 物 よ ね.そ
の が 生 産 で,そ
れ を 使 っ て,も
え
れ を人様 の役 に立 つ紙 に変 え る
う使 え な い 形 に した り,燃 や し て 二 酸 化 炭 素
な ん か に 分 解 し て し ま う の が 消 費 よ.つ
ま り,エ
す い 形 に す る の が 「エ ネ ル ギ ー の 生 産 」 で,そ 変 え て し ま う の が 「エ ネ ル ギ ー の 消 費 」 よ.ぶ
ネル ギ ー も人 間 の利 用 しや
れ を使 っ て 利 用 し に くい 形 に っ ち ゃ け た 例 で い え ば,石
油,
石 炭,天
然 ガス な どの化 石燃 料 か ら電気 を生 み 出す の が エ ネル ギ ー の生 産 の
例 で,電
気 で 機 械 を動 か して 仕 事 を させ る の が エ ネ ル ギ ー の 消 費 の 例 よ.
N嬢
で も,機
械 に仕 事 を さ せ る と い う こ と は,何
か を動 か す と い う こ と よ ね.動
い た も の は 摩 擦 な どで 熱 エ ネ ル ギ ー を生 産 す る の よ.結
局,エ
ネ ルギ ー の生
産 と消 費 は 表 裏 一 体 な ん じ ゃ な い か し ら. S嬢
確 か に,摩
擦 な ど で 生 じた 熱 エ ネ ル ギ ー が 回 収 で き て 再 び 仕 事 を 生 み 出 す こ
と が で きれ ば,エ N嬢
そ う よ.そ
ネ ル ギ ー 問 題 は 一 気 に 解 決 す る わ ね.
して,そ
ん で し ょ.そ
れ は 原 理 的 に 可 能 な は ず よ.だ
り ゃ,今
は 難 し い か も しれ な い け れ ど,科
ら に 考 え れ ば,人
っ て,一
っと
利 用 す る こ とが で き る 日が 日 あ た り2000kcalの
ギ ー を食 物 か ら摂 取 し,消 費 して い る の よ ね.こ お よ そ100Jの
事 と熱 は等 価 な
ネ ル ギ ー に変 える の
学 技 術 の 進 歩 を考 え れ ば 近 い 将 来,き
摩 擦 で 発 生 す る 熱 エ ネ ル ギ ー を ほ と ん ど100%再 や っ て 来 る ん だ わ.さ
っ て,仕
の 技 術 で は 摩 擦 熱 な ど を100%エ
れ は,平
均 して1秒
エ ネル あた り
エ ネ ル ギ ー を放 出 して い る こ と に な る よ ね(計 算 せ よ).運
し て い な い と き で も,お る と 思 う わ.つ 一 両 あ た り200人
そ ら く,1秒
ま り,人 は50Wの
あ た り50Jの
エ ネ ル ギ ー を放 出 して い
電 気 器 具 と 同 じ な の よ.満
く らい は 余 裕 で 超 す よ ね .つ
の エ ネ ル ギ ー を 放 出 し て い る の よ.こ
動
員 電 車 な ん か,
ま り,一 両 あ た り1万
れ を有 効 利 用 し た ら,も
ワッ ト
の す ご く役 に
立 つ ん じ ゃ な い か し ら. S嬢
そ う か も しれ な い わ ね.満
員 電 車 に 限 ら ず,電 気 冷 蔵 庫 や テ レ ビ,蛍 光 燈,電
気 掃 除 機 な ど の 家 電 製 品 で 発 生 す る 熱 を 再 利 用 で き れ ば,そ
れ ら の 器 具 は外
部 か ら の エ ネ ル ギ ー 供 給 な し に い つ ま で も動 か せ る こ と に な りそ う ね. N嬢
そ う よ.そ
れ は で き る は ず よ.だ
何 で そ の 方 面 の 研 究,す
っ て エ ネ ル ギ ー 保 存 則 に 反 し な い ん だ も の.
な わ ち 捨 て ら れ た 熱 の100%利
用 の研 究 を もっ とや
ら な い の か し ら.日 本 み た い に 資 源 の な い 国 で は,と
っ て も大 切 な こ と だ と
思 う わ. S嬢
ひ ょ っ とす る と外 交 問 題 と か も絡 ん で,う
ま く研 究 が 進 め ら れ な い の か も ね.
輸 出 入 の バ ラ ン ス を 取 ら な い と 困 る 人 が 出 て く る の よ. 本 書 で は エ ネ ル ギ ー 保 存 則 しか 扱 わ な か っ た の で,彼 女 達 の よ う な “迷 案 ”が 生 ま れ て も不 思 議 で は な い.し て も,熱
か し,残 念 な こ と に 仕 事 を100%熱
を仕 事 に変 換 す る に は 実 は 制 限 が あ る.そ
標 は 温 度 差 で あ る.単
に変 え る こ とは で き
の 制 限(効 率)を 決 め る 一 つ の 指
純 に言 っ て し ま え ば,「 熱 は 高 温 物 体 か ら低 温 物 体 に 移 る と き
に 仕 事 を し,そ の 効 率 は 高 温 物 体 と低 温 物 体 との 温 度 差 で 決 ま る あ る 値 を 超 え る こ と が で き な い.そ
して,そ
の 値 は 必 ず1よ
口 に エ ネ ル ギ ー とい っ て も,量
り も小 さ い83).」 の で あ る.つ
だ け で な く,質
ま り,一
を も 問 題 に し な くて は い け な い と い
う こ と で あ る.エ
ネ ル ギ ー の 質 を 問 題 にす る と き に,そ
のエ ネ ルギ ー か ら どれ くら
い の 割 合 で 仕 事 を取 り出 せ る か と い う こ と を基 準 に 考 え る と 人 様 に と っ て は 都 合 が よい.力
学 的 エ ネ ル ギ ー や 電 気 的 エ ネ ル ギ ー は(原 理 的 に は)100%仕
とが で き る.つ
ま り,質
の よ い エ ネ ル ギ ー で あ る.そ
の 悪 い エ ネ ル ギ ー と い う こ と に な る.で エ ネ ル ギ ー)は
ど う で あ ろ うか.例
は,化
え ば,発
れ に対 し,熱
事 に変 え る こ エ ネル ギ ー は質
学 反 応 に と も な うエ ネ ル ギ ー(化 学
熱 反 応 に お い て発 生 し う る エ ネ ル ギ ー
を す べ て 仕 事 に 変 え る こ と は で き る で あ ろ う か.答
え は 「で き な い 」 の で あ る.(定
温 定 圧)化 学 反 応 で 仕 事 と して 利 用 で き得 る エ ネ ル ギ ー の 限 界 値(可 逆 過 程 で 取 り出 され る 仕 事 量)は
自 由 エ ネ ル ギ ー(ギ ブ ス の 自 由 エ ネ ル ギ ー)と 呼 ば れ る84).こ
の こ
うんぬ ん
と を 知 らず し て,「 エ ネ ル ギ ー の 効 率 は 云 々 」 と論 じる の は 場 合 に よ っ て は か な り ま ず い.つ
ま り,効 率 と は 一 般 に
利 用 した量/ もと にな る量 で 定 義 さ れ る わ け だ が,も
と に な る 量 を 「と に か く存 在 す る 量 」 とす る か 「原 理 的
に 利 用 で き る量 」 と す る か で,話 ま い に す る と,既
は 変 っ て くる か ら で あ る.こ
に効 率 が 原 理 的 限 界 に 達 し て い る の に,さ
こ ら辺 の 区 別 を あ い ら に効 率 を 上 げ よ う と
無 駄 な 努 力 を す る こ と に な りか ね な い. な お,「 エ ネ ル ギ ー の 仕 事 へ の 変 換 効 率 」 を 高 め る た め に は 一 般 に “変 換 速 度 ” を 犠 牲 に して や ら な け れ ば な ら な い85).作
業 目 的 を考 え た 上 で エ ネ ル ギ ー 効 率 と変 換
速 度 の バ ラ ンス を ど う取 っ て い くか が 工 業 的 に は 非 常 に 重 要 と な っ て くる86).こ は,身
れ
体 運 動 に お い て も 同 様 で あ ろ う.
さ て,本
節 の 解 説 は あ ま り に も抽 象 的 で,か
い ろ い ろ な誤 解 を 生 み そ う な 内 容 で あ る.く
つ,粗
く,実 用 に耐 え な い ど こ ろ か
どい よ うで あ る が,ぜ
ひ熱力 学 の テ キ
ス トで 補 っ て も ら い た い.本
書 で 学 ん だ 数 学 の レベ ル で 読 め る テ キ ス ト と し て 『 入
門 熱 力 学 』(小 宮 山 宏 著,培
風 館)を 挙 げ て お く.こ
い 熱 力 学 の 入 門 書 と し て す ぐ れ て い る.物 ては
の 本 は,化
学 の た め のや さ し
理 の た め の や さ しい 熱 力 学 の 入 門 書 と し
『 熱 ・統 計 力 学 の 考 え 方 』(砂 川 重 信 著,岩
波 書 店)を 挙 げ て お く.
注 1)こ ん な 説 明 の 仕 方 で は 味 気 な く感 じ るか も しれ ない .「 “エ ネ ル ギ ー” に は もっ と生 き生 き と した 定 義 の仕 方 が な くて は い け な い」 と思 うか も しれ な いが,物 理 用 語 とは本 来 あ い まい な もので あ る.定 義 が あ い まい な うち に定 式 化 が な され,そ れ に よっ て 意 味 が 明 確 化 し,さ らに は 用 語 の 適 用 範 囲 が 広 が っ て い く,と い うの が物 理学 の特 徴 で あ り,数 学 と違 う と こ ろで あ る.
2)逆 に言 う と
,エ ネ ル ギ ー と か仕 事,仕 事 率 とい う の は難 しい の で あ る.そ れ に もか か わ らず,こ の 言 葉 が 軽 々 し く用 い られ て い るの に は不 安 を感 じ ざる を得 な い.「 物 理 を や っ て い る わ け で ない の だ か ら厳 密 にや る必 要 は な い」 と い う人 も い る か も しれ な い が,生 体 に お け る エ ネ ル ギ ー 論 は 少 な く と も本 書 レベ ル の,す な わ ち 初 等 力 学 レベ ル の エ ネ ル ギ ー論 よ り もは る か に高 級 で あ る(こ の 点 に
関 して は 『エ ネ ル ギ ーの 生 産 と運 動 』(香 川 靖 雄 編,岩 波 書 店)を 読 ん で も らえれ ば納 得 して い た だ け る と思 う).ぜ ひ,本 章 で “エ ネ ル ギ ー” の基 本 概 念 を 身 に つ け て もら い た い. 3)右 辺 を成 分 で書 け ば,F=(Fx,Fy,Fz),v=(vx,vy,vz)と して,F・v=Fxvx+Fyvy+Fzvz で あ る.も ちろ ん,こ れ はFとvと の なす 角 を θ とす る と│F││v│cosθ に等 しい(5.5節 参 照). 4)こ れ はp .216で 触 れ た よ う に,ホ イ ヘ ン ス らが 衝 突 の 際 に保 存 され る の で は ない か と注 目 したmv2 の 半 分 で あ る こ と に注 意 せ よ.ホ イヘ ンス の 推 論 は誤 っ た も の で あ っ た が ,そ の誤 りは そ れ な りに 意 味 の あ る もの だ っ た の で あ る. 5)さ ら に ,物 体 を構 成 す る 分 子 な どの 運動 に と もな う運 動 エ ネ ル ギ ー の変 化 を考 慮 す る場 合 も含 む. 6)こ れ まで しつ こ く注 意 して きた よ う に ,dKやdtと い っ た記 号 は あ くま でdK/dtと い う よ う に セ ッ トで 使 うの が 正 式 で あ る.し
か し,こ の 記号 の も とに は Δt→0に
お け る ΔK/Δtと い う割 り算 が あ
る.そ れ ゆ え,ち ょっ とば か し横 着 を してdKやdtを 微 小 変 化 量 の 意 味 で 使 う こ とが あ る.本 来 こ の微 小 変 化 量 を “微 分 ” と呼 び,微 分 の比dK/dtを “微 分係 数 ” と呼 び,微 分 係 数 を求 め る こ と を “微 分 す る” とい うの で あ る(こ れ は物 理 的 な発 想 で ,数 学 に お け る “微 分 ”,あ る い は “全 微 分 ” に は もっ と しっ か り した定 義 が あ る). 7)こ の式 の右 辺 は あ る 瞬 間 に物 体 に作 用 す る力 と ,そ の と き物 体 が被 る微 小 変 位 との 内積 を計 算 し,そ れ を次 々 に足 し合 わ せ て い く とい う意 味 で あ る.そ の 意 味 さ えわ か って い れ ば計 算 法 は と りあ えず 知 らな くて も よい.な お,こ の よ う な積 分 法 を線 積 分(lineintegral)と 呼 ぶ.こ の積 分 は物 体 の運 動 の軌 跡 に 沿 っ て行 わ れ る か らで あ る.な お,線 積 分 の 結 果 得 られ る 量 は,積 分 の 開 始 地 点 と終 了 地点 だ け で な く,そ の経 路 に も一般 に依 存 す る.経 路 に依 存 しな い の は 特 別 な場 合 で あ る こ と を認 識 して お か な い と,後 で力 学 的エ ネ ル ギ ー保 存 則 な ど を扱 う際 に混 乱 す る こ と に な る. 8)も とあ る位 置 をx=x 0と して,x=x0+hの 位 置 まで 物 体 を持 っ て い く と考 え て も よい. 9)変 位 の方 向 と力 の働 く方 向の なす 角 θ が0° で あ る か ら ,cosθ=1で あ る. 10)変 位 の方 向 と力 の働 く方 向 の なす 角 θ が180° で あ るか ら ,cosθ=-1で あ る. 11)物 体 を降 ろす と きで も手が 物 体 に及 ぼす力 は鉛 直上 向 きで あ る こ とに注 意 せ よ(こ の 問題 の設 定 で は) . 12)た だ し ,上 腕 二頭 筋 の活 動 時 間 を上 手 く コ ン トロ ー ル す れ ば,上 腕 三 頭 筋 を(ほ とん ど)使 わず に重 力 だ けで ブ レー キ をか け る こ と も で き,上 腕 二頭 筋 のす る仕 事 と肘 関 節 屈 曲(平 均)速 度 との 関 係 は さ ら に複 雑 に なる.い ず れ に せ よ,「 主動 筋 の なす 仕 事 量 を一 定 にす る 」 と い う の は ダ イナ ミ ッ ク な 動 作 で は難 しい.逆 に考 え れ ば,こ の よ う な単 純 な動 作 を行 う と きで さ え筋 の使 い 方 に は 多様 性 が 存 在 し,そ れ が 動 作 の 巧 拙 を生 み 出 す 要 因 の 一 つ とな って い る. 13)も ち ろ ん ,実 際 の 因 果 関 係 を考 えれ ば,上 腕 二 頭 筋 が 大 き な仕 事 を す る の で所 定 の位 置 に お も り を 停 止 させ るた め に上 腕 三 頭 筋 が 大 きな 負 の 仕 事 をす る の で あ る. 14)『 フ ァイ ンマ ン物 理 学I力 学 』(坪 井 忠 二 訳 ,岩 波 書 店)参 照. 15)生 理 学 的 な 意 味 は と もか く ,動 作 の 目的 や パ フ ォ ーマ ンス を考 え る と き,正 の仕 事 と負 の仕 事 の 絶 対 値 を足 し合 わ せ る こ とに どの よ うな 意 味 が あ る の か も考 え て い た だ きた い. 16)合 わ せ て ,ト レー ニ ング と仕 事 との 関 係 に なぜ 自分 が 着 目 し よ う と して い る の か も反 省 す る とよ い だ ろ う. 17)U(x)はxを 通 してtと 関 わ って い る.す な わ ちtの 関 数 で あ る.そ れ ゆ え,tで 微 分 した と きに (恒 等 的 に は)0と は な らな い. 18)「 あ る(種 の)量 が あ っ て ,そ れ らの和 が とに か く一 定 に な る よ うに 定 義 され た もの が エ ネ ル ギ ー 」 で あ る とい うこ と. 19)も ち ろ ん 積 分 定 数 分 の不 定 性 は 残 る .す な わ ち,こ の場 合 の 位 置 エ ネ ル ギ ー(弾 性 エ ネ ル ギ ー)は U(x)=1/2kx2+Cと
書 くこ とが で き る.Cを0と
置 くこ と は,今 の場 合,位
置 エ ネ ル ギ ー の基 準
点(Uが0に な る場 所)をx=0に した とい う こ と に過 ぎな い. 20)バ ネ のす る仕 事 が バ ネ の位 置 エ ネ ル ギ ー と して蓄 え ら れ るの で は な い こ と に注 意 せ よ
.
21)こ の書 き方 は誤 解 を生 み や す い か も しれ な いが ,厳 密 に書 こ う とす る と文 字 が 多 くな りす ぎ て わか りに く くな る.こ の “手抜 き” の 書 き方 は よ く使 わ れ る の で慣 れ て ほ しい. 22)も し話 が 完 全 に一 次 元 的 な ら ば ,力 が 位 置 だ け の 関数 で あ る と き積 分 量U(x)は 積 分 経 路 に よ らな い.す な わ ち,そ の力 は保 存 力 に な る. 23)“ 力学 的 エ ネル ギ ー”はmechanicalenergyの 訳 で あ る.こ れ は場 合 に よっ て は “機械 的 エ ネル ギ ー” と も訳 され る.学 問 分 野 に よっ て 同 じ言 葉 の 日本 語 訳 が異 な る こ とは よ くあ る.例 え ば,electric fieldと い う言葉 は 工 学 の 分野 で は “電 界 ” と訳 され るが,物 理 学 の 分 野 で は “電 場 ” と訳 さ れ て い る.こ れ は そ れ ぞ れ の 分 野 で は じめ て こ の 言 葉 を訳 そ う と した 人 が,ほ か の 学 問分 野 で ど う訳 さ れ て い る か を調 べ よ う と しな か っ た結 果 だ ろ う. 24)保 存 力 で な い力 の こ とを非 保 存 力(nonconservativeforce)と いう. 25)+v0の
方 は投 射 時(も ち ろ ん こ の と き もx=0)の
速 度 に対 応 す る.
26)こ
こで は しつ こ く説 明 した が ,普 通 は式(13.17)か ら話 を始 め れ ば よ い. 27)事 実 上 ,加 速 度0で 物 体 を動 か す とい う こ と. 28)U(x ,y,z)の 中 に あ らわ に現 れ て い るxの み を変 数 と見 な して微 分 す る とい う こ と. 29)高 校 物 理 の 実験 で ,本 課 題 の よ う な投 射 装 置 を使 い,な ぜ 投 射 角 が45° の とき に飛 距 離 が 最 大 とな ら ない か を考 察 させ る こ とは,よ い 演 習 とな る で あ ろ う. 30)式(13 .27)は も っ と直 感 的 に導 くこ とが で きる.考 え て み よ. 31)和 の 微 分 は微 分 の 和 で あ る(6 .3節 お よび6.6節 参 照). 32)vi'は 33)VGはiに
系 の 重 心 か ら見 たi番
目の 質 点 の 相対 速 度 で あ る .
よ らな い の で 和 の 記 号 の外 に 出 し,∑fi=Fを
使 っ て変 形 した. 34)連 続 体 も質 点 系 の 特 別 の 場 合 と見 な せ ば 同 じこ とが い え る . 35)重 心 の 挙 動 と力 の作 用 点 の 挙 動 が ま っ た く同 じな ら ば 問題 は な い .ま た,系 の 回転 運 動,振
動運動
の エ ネ ル ギ ーや 変 形 な ど に と も な うエ ネ ル ギ ー を合 わせ て考 え る際 に は 「力 と そ の力 の 作 用 す る点 (力 の作 用 点)の 速 度 ベ ク トル との 内 積」 は重 要 で あ る. 36)式(13 .33)の 最 右 辺 第2項 は 重 心 に対 す る相 対 運 動 の エ ネ ル ギ ー と見 る こ とが で き る. 37)化 学 反 応 に よ り系 を構 成 す る粒 子 の 運 動 エ ネ ル ギ ー の総 和 が 変 化 す る(温 度 が 変 化 した り火 薬 が破 裂 して飛 び散 っ た りす る様 を思 い 浮 か べ よ)の も こ の 内力 のす る仕 事 に よ る. 38)む しろ ,日 常 的 な衝 突 現 象 で は必 ず とい って い い ほ ど系 の 全 力 学 的 エ ネ ル ギ ー は保 存 さ れ な い. 39)原 子 核 ま わ りの電 子 の持 つ ポ テ ン シ ャ ルエ ネル ギ ーの 変 化 . 40)ミ ク ロ な エ ネ ル ギ ー も含 め た広 い意 味 で の エ ネ ル ギー 保 存 則 は成 り立 って い る. 41)何 に対 す る速 度 か は触 れ な い で お こ う. 42)人
と地 球 の 運 動 量 の 変 化 量 の 大 き さは 等 しい の に ,運 動 エ ネ ル ギ ー の 変化 量 は 人 の 方 が 圧倒 的 に大 きい(地 球 の運 動 エ ネ ル ギー の 変 化 量 は事 実 上 ゼ ロで あ る)こ とが 直 感 的 に納 得 で き る よ うに な っ た で あ ろ うか. 43)そ もそ も接 触 とは何 か とい う 問題 もあ るが ,こ こ で は こ だ わ ら ない. 44)こ の事 実 そ の もの は ニ ュ ー トン以前 に も実 験 的 に あ る程 度 確 か め られ て い た. 45)も ち ろ ん ,衝 突 を 起 こす た め の 条件 は満 た して い る とす る. 46)未 知 数 がv1' ,v2'の 二 つ で あ り,そ の 関 係 を表 す独 立 した 方程 式 が2本 47)リ ッチ に500円 玉 を使 っ て も よ い. 48)動 い て い た10円
玉 が 静 止 して ,静 止 して い た10円
た速 度 で 動 き出 す. 49)重 心 運 動 量 はMVGで
玉 が,動
あ る.
い てい た10円
あ り,重 心 の運 動 エ ネ ル ギ ー は1/2MVG2で
玉 が 衝 突 前 に持 って い
あ る.前 者 が 変 化 し なけ れ ば後
者 も変 化 しな い の は 明 らか で あ ろ う.な お,「 系 の 重 心 の 運 動 エ ネ ル ギ ー」 と 「 系 を構 成 す る物 体 の それ ぞ れ の 重 心 の 運 動 エ ネル ギ ー の 総 和 」 を しっ か り区 別 す る こ と. 50)完 全 弾 性 衝 突 とい う こ と もあ る. 51)も ち ろ ん こ れ は系 の マ ク ロ な運 動 エ ネ ル ギ ーが 減 少 した と い う こ と で あ る .そ の減 少 分 は,物 体 を 構 成 す る原 子,分
子 の 運 動 エ ネル ギ ー な ど(内 部 エ ネル ギ ー)を 増 や す の に使 われ て い る.
52)e=0と
な る衝 突 ,す な わ ち相 対 運動 の エ ネ ル ギ ー が す べ て 失 わ れ る よ うな 衝 突 を特 に完 全 非 弾 性 衝 突 と い う. 53)複 数 の セ グ メ ン トの動 くタ イ ミ ング ,さ らに は筋 の 弾性 要 素 の振 動 の 周 期 と収 縮 要 素 の 活 動 す る速 さ の 関係 な ど. 54)“ ス イ ー トス ポ ッ ト” ま わ りの慣 性 モ ー メ ン ト(16 .5節 参 照)を 大 き くす る な ど. 55)“ ス イ ー トス ポ ッ ト” とは何 か .も し,「 手 が 打 撃 の衝 撃 を感 じな い位 置 」 とす る と,そ れ は16.7.4 項 で紹 介 す る “衝撃 の 中心 ” とい う こ とに な る.衝 撃 の 中心 は打 具 の形 状 や 質 量 分 布 の ほ か に グ リ ッ プ の位 置 に依 存 す る.そ れ に対 し,「衝 突 に よっ て打 具 に新 た な 回転 が 生 じ ない位 置 」 とす る と,ス イ ー トス ポ ッ トは衝 撃 の 中心 とは異 な る こ とに な り,そ れ は打 具 の 重 心 か ら打 撃 面 に下 ろ した 垂 線 の足 付 近 にな る.後 者 を普 通 “ス イ ー トス ポ ッ ト” と呼 ん で い るが,少 な くと も,ど ち ら も意 味 の あ る “ス ポ ッ ト” とは い え る. 56)X線 が 電子 に よ っ て散 乱 を受 け た とき電 子 に運 動 エ ネ ル ギー を与 え る結 果 ,自 らの エ ネル ギ ー をそ の分 減 少 させ,波 長 が 長 くな る現 象. 57)2機 の 飛 行 機 が 空 中 で 衝 突 を して 爆 発 を し た場 合 ,あ る い は ウ ラ ン の原 子 核 に 中性 子 が ぶ つ か っ て 核 分 裂 が 起 こ っ た場 合 な ど. 58)接 地 の瞬 間 のバ ネ の長 さ は 自然 長 で あ り ,離 地 の 瞬 間 の バ ネ の 長 さ も 自然 長 で あ る.接 地 して か ら 離 地 す る ま で の時 間が 今 は 問題 に な っ て い る.つ りあ い の位 置 か らつ りあ い の位 置 まで の 時 間 は 単 振 動 の周 期 の半 分 で あ る. 59)Mathematicaだ け で は す べ て の解 が 求 め られ な い .Mathematicaの 出力 を利 用 して 多 少 手 計 算 を し,条 件 に合 う解 を求 め た. 60)実 験 条 件 を イ メ ー ジ し ,「 もっ と もな話 だ わ」 と納 得 で きれ ば か な りの実 力 者. 61)そ の事 情 は12 .4節 で 説 明 した とお り. 62)天 馬 博 士 が 自分 の息 子(ト ビオ)を 交 通 事 故 で 失 っ た と き ,「 トビオ の代 わ りに 」 と思 っ て 造 っ た ロ ボ ッ ト.そ の 後,サ ー カ ス 団 に売 られ 虐待 さ れ て い たが,お 茶 の 水博 士 に 引 き取 られ,人 間の た め に 活 躍 す る.当 時 は 「た と え心 を持 ち,自 分 で 考 え る こ とが で きて もロ ボ ッ トで あ る 以 上 は 人 権 を 認 め られ ない 」 と い う考 えが あ り,ロ ボ ッ ト達 は差 別 扱 い を受 け苦 難 の 日々 を 送 っ て い た が,ア トム は様 々 な事 件 を解 決 しなが ら,ロ ボ ッ トと人 間 との共 存 の道 を追 求 して い く.さ らに 詳 し くは 『手 塚 治 虫 全 集 』 な どで 研 究 して も らい た い. 63)後 に100万 馬 力 に 改 造 され た . 64)エ ネ ルギ ーの 単 位 の “ジ ュ ー ル” は ま さ に彼 に ち な ん で付 け られ た の で あ る 65)気 体 は分 子 間の 相 互 作 用 が な い(非 常 に小 さい)の で
.
,液 体 や 固体 に比 べ て “簡 単 ” なの で あ る.
66)つ ま り,気 体Bと 気 体Cを 同 様 の 方 法 で 接 触 させ て も,そ れ ぞ れ の状 態 変 数 は変 化 しな い とい う こ と. 67)昔 は “カ ロ リッ ク” とい う物 質 の移 動 が 行 われ る と考 え ら れ て い た わ けで あ る . 68)セ ル シ ウ ス(Celsius ,1701-1744)が 水 が 凍 る温 度 と沸 騰 す る温度 を基 準 に して温 度 計 を作 っ た と き は,水 が 凍 る温 度 を100度 と し,水 が 沸 騰 す る温 度 を0度 と した. 69)“ セ 氏 度” ,“摂 氏度 ” な ど と もい う.前 述 のセ ル シウ ス にち な んで 付 け られ た 名前 で あ る.英 語 圏 で は セ ル シウ ス 度 が公 式 に採 用 され る前 に使 用 され て い た 呼 び名 で あ る “百 分 度(degreecentigrade)” もセ ル シ ウ ス度 の 意 味 で用 い てい る.な お,“ 摂 氏 ” とい う表 現 はセ ル シ ウ ス の 中国 語 表 記 “摂爾 修 ” に由 来 す る.“ ミス ター ・セ ル シウ ス ” とい っ た と こ ろか. 70)セ ル シ ウス 度t[℃]と 熱 力 学 温 度T[K]と の関係は ,t+273.15=Tで あ る. 71)風 の な い と きで も ,気 体 分 子 はて ん で ば ら ば ら に運 動 し て い る.そ の平 均 の速 さ は常 温 で秒 速数 百 メー トル に も達 す る.我 々が 気 体 か ら受 け る圧 力 と は,気 体 分 子 が ガ ン ガ ン ぶ つ か っ て くる と きに 我 々 に及 ぼ す 力 に起 因す る.固 体 の 場 合 は,構 成 原 子(分 子,イ オ ン)は 平 衡 点 の まわ り をや は り高 速 で 運 動 して い る.液 体 の 場 合 は固 体 を構 成 す る分 子 の よ う な平 衡 点 を持 た な いが,気 体 の よ う に 長 い 距 離 を 自由 に並 進 運 動 す る こ と はで き ない.つ ま り,液 体 の 構 成 分 子 は高 速 で ミク ロ な振 動 を 行 い なが らゆ っ く り と位 置 を(マ ク ロ に)変 え て い る わ け で あ る. 72)「 風 邪 を ひ い たの で 熱 が あ る」 とい う表 現 は 間違 っ てい る.正 し くは 「 風 邪 を ひい た の で温 度(体 温) が 高 い 」 とす る.ど
う して も 「熱 」 とい う言 葉 を使 い た け れ ば,「 風 邪 を 引 い た の で(普 段 よ り)体
の持 つ熱 エ ネ ル ギ ーが 大 き い」 と言 わ ね ば な らな い.た だ し,日 常 会 話 で こ こ ら辺 を う る さ く言 う と親 身 な看 護 を受 け ら れ な くな る恐 れ が あ るの で 注 意 しな くて は い け な い. 73)特 に単 原 子 分 子 理 想 気体 で は(普 通 は)同 義 と して よ い.単 原 子 分子 理想 気 体 に関 して は 高校 の物 理 や化 学 の教 科 書 を参 照 して頂 き たい. 74)こ れ に原 子 が 内部 に持 つ エ ネ ル ギー を考 え る こ と もあ る. 75)化 学 エ ネ ル ギ ーが 原 子(分 子)の 運 動 エ ネル ギ ー に変 り,身 体 の 持 つ熱 エ ネ ル ギ ーが 上 昇 す る. 76)正 確 に は ,体 温 計 と接 触 して い る部 分. 77)ミ ク ロ な レベ ルで の エ ネル ギ ー の や り と りは(あ ち こ ちで)あ っ て も,ト ー タ ルす る とエ ネ ル ギ ー の や りと りが な く(収 支 が ゼ ロ),見 た 目の 変 化 が 観 測 され な い とい う こ と.こ れが,“ 熱平 衡 ” の意 味 で あ る. 78)最 近 の デ ジ タ ル式 体 温 計 は ま た別 . 79)別 名 ,エ ネ ル ギ ー保 存 則(conservationofenergy)と い う. 80)危 機 は あ っ た が い つ も乗 り越 え られ て きた .今 で も問題 が な い わ け で は な い が,そ の 困 難 もやが て 克服 さ れ て い くで あ ろ う. 81)こ の 引用 は 河辺 六 男 編 集 の 『ニ ュー トン』(中 央 公 論 社 ,中 公 バ ッ クス 世界 の 名著)に 収 め られ て い る ニ ュ ー トンの 『プ リ ンキ ピ ア』 か ら と っ た. 82)「 エ ネ ル ギ ー は保 存 され るの にエ ネル ギ ー が生 成 され る とは ど うい う こ と だ?」 とい う人 は13 .9節 参 照. 83)こ こ ら辺 の 内容 が 熱力 学 の第2法
則(エ ン トロ ピ ー増 大 の 法 則)で あ る . 84)少 し説 明 が 粗 す ぎる よ うだ .詳 し くは熱 力 学 や 熱 化 学 の テ キ ス トな ど を参 照 して ほ しい. 85)「 エ ネ ル ギ ー の 仕 事 へ の 変 換 効 率 」 を高 め るた め には 変 化 を可 逆 的 に行 わ せ な くて は い け な い .そ の た め に は,じ わ じわ と変 化 させ て い くこ と(準 静 的 な変 化)が 必 要 なの で あ る が,こ こ ら辺 の 説 明 も割 愛 せ ざる を得 な い. 86)例 え ば ,エ ネ ル ギ ー の 効率 が よ くて も作 業 に時 間が 無 限 に かか る と なれ ば 使 い 物 にな らな い.
14 これ ま での ま とめ
これ ま で い ろい ろ な こ とを学 んで きたが,身 体 運 動 に 関 して力 学 的 に 考 察 で きる こ とは まだ 限 られて い る.と は い え,第10章
で 取 り上 げた 基本 問題程 度 な ら も う既 に
十分 考 察 が で き る よ うに な っ た こ と と思 う.こ こで,こ れ まで 度 々登 場 して も らっ たS嬢 とN嬢 に改 め て 問題 を解 い て も らお う.な お,本 章 を読 む 前 に必 ず 第10章 の課 題 に対 し自分 な りの解 答 を作 っ て おい て ほ しい.
S嬢
今,第10章
を 読 み 直 す と,と
た ん だ け ど,そ N嬢
そ う ね.わ
っ て も恥 ず か しい わ.少
しは 物 理 に 自信 が あ っ
れ は 根 拠 無 き 自 信 だ っ た わ け ね.
か っ て い る つ も りで も,す ご くい い 加 減 な 理 解 だ っ た わ.1番
で 「F0
は 静 止 時 に働 い て い る重 力 」と言 っ た け ど,静 止 して い よ うが 動 い て い よ うが 身 体 に作 用 す る重 力 の 合 力 は一 定 な の ね.そ
して フ ォ ー ス プ レ ー トに の っ て 静 止 し
て い れ ば,力 の 釣 り合 い の 関係 か ら重 力 と観 測 され る 地 面 反 力 との 大 き さが 等 し くな る とい うだ け だ っ た の ね.そ
の 場 合 は 測 定 され た 地 面 反 力F0と
体 重mgは
等 し くな る ん だ け ど,測 定 の 精 度,す な わ ち与 え ら れ た 物 理 量 の 有 効 数 字 を考 え れ ばm=621/9.8=63.36734693878…
と し て も し ょ うが な い の ね.単
位 も考
え て い な い し.m=F0/g=621[N]/9 .8[m/s2]=621[kg・m/s2]/9.8[m/s2] 63[kg]=6.3×10[kg] とす る の が い い の よ. S嬢2番
で 「エ レベ ー タ ー で 下 降 す る と き は 無 重 力 状 態 に 近 く な っ て,体 る 」 と言 っ た け ど,こ れ も ウ ソ ね1).体
重 は 別 に 減 ら な い の よ.こ
し て い る の は ひ た す ら 地 面 反 力 な ん だ か ら,キ と ダ メ ね.加
速 度 をa,地
立 て る と,ma=F-mgと 変 わ る の ね.も でaの
面 反 力 をFと な っ て,a次
あ,と
して人 の 重心 に関 して運 動 方程 式 を 第 でFと
い う こ とね.後,注
重 力mgと 重 力mgと
の 大小 関係 が の大 小 関係
に か く,か が み 始 め る 瞬 間 は 加 速 度
が 負 で な く っ ち ゃ は い け な い か ら,F<mgで,そ 点Bと
こで 問 題 に
チ ン と基 本 に 帰 っ て 考 え な い
ち ろ ん 力 学 的 因 果 律 か らい え ば,Fと
符 号 が 変 わ る ん だ け ど.ま
重が減
の 瞬 間 を 表 して い る の が
意 し な くち ゃ い け な い の は 加 速 度 の 正 負 と速 度 の
正 負 は 基 本 的 に は 関 係 な い と い う こ と.加 速 度 が 負 と い う こ と は速 度 の 変 化
図14.1垂 直 跳 び を行 っ た 際 の床 反 力 と,そ れ を数 値 的 に積 分 す る こ と に よ り求 め た重 心 速 度 と重 心 変 位.
率 が 負 とい う こ とで,も
しそ の とき速度 が 正 な ら減 速,速 度 が 負 な らその 方
向 に加 速す る,と い うこ とね.か が み込 む ときは初 期 条件 か ら明 らか に速 度
は負 だか ら,加 速 度が 負 の とき は重 心 の速 度 は鉛 直 下 向 きに加 速 され続 け て, 加速 度 が負 か ら正 に転 じる点Eで
下 降速 度 の最 大 値 が得 られ る の よ.こ れが
4番 の答 え. N嬢
そ うね.加 速度 は速 度 の時 間微 分 なの だか ら6.4節 で増 減表 を書 いた ときの考 え方 を その ま ま用 い る こ とが で き るの ね.加 速度 が 負 か ら正 に転 じる とこ ろ で は速 度 の傾 きが負 か ら正 に転 じる とい うこ とで,速 度-時 間関係 の グ ラフ の 形 は “ 極 小値 ”にな る と考 えれ ばい いの ね.そ の後,速 度 グ ラフの傾 き が正 だ とい って も,し ば ら くは負 の速 度 の大 き さが 減 って い くだ けで速 度 は相 変 わ らず負 な のだ か ら,重 心 は相 変 わ らず下 降 し続 け るの ね.そ して,速 度 が 負 か ら正 に転 じる とこ ろが重 心 の位 置 が 最 も低 くな っ た と ころ なの よ.こ れ も,速 度 が位 置 の 時 間微 分 だ と考 え れば,さ っ きの加 速度 と速度 と同 じ議論 が 適用 で きるわ.速 度 が負 か ら正 に転 じる と ころ で は重 心 変位 の傾 きが負 か ら 正 に転 じる とい う こ とで,重 心 位置-時 間 関係 の グ ラフ の形 は “ 極 小値 ” とな る.た だ,速 度 がゼ ロの点 は加 速 度 の グ ラフ か ら読 み取 る しか な い け ど. ど う しよ うか な.せ っか く運 動 量 と力 積 の 関係 を学 ん だの だ か ら,そ れ を使 お うか しら.か が み始 め た 瞬 間か らの運 動 量P=mvの
変 化量 ΔP=mΔv
は かが み始 め た瞬 間 か ら加 え られ た外 力 の力 積 に等 しい とい う関係 を使 えば, が 成 り立 つ わ.こ ね.か
度 が ゼ ロ と い う こ と で,こ な る わ ね.こ S嬢
こ で 重 力 の-mgを
忘 れ ち ゃダ メ
が み 始 め た 瞬 間 の 速 度 は ゼ ロ だ か ら,速 度 の 変 化 量 Δv=0な
の と き,重
そ う ね.mgをFか
れ が 求 め る 条 件.こ
れ を満 た す の は 見 た 目 点Fに
心 の 位 置 が 最 も低 く な っ て,こ
ら引 く と い う の は,線
分ABを
を基 線 と して 考 え れ ば い い とい う こ と ね.そ る 点 は 与 え ら れ た 点 の 中 で はFし
れ が3番
の 答 え.
そ の ま ま伸 ば して,そ
れ
の基 線 の 上 下 の面 積 が等 し くな
か な さ そ うね.次
地 の 瞬 間 の 重 心 の 加 速 度 っ て の は,ジ
ら ば,速
に課 題 の5番
だ け ど,「 離
ャ ンプ の仕 方 に よっ てい ろい ろ あ る ん
だ ろ う け ど,地 球 の 重 力 に 逆 ら っ て 上 に跳 ん で い か な き ゃ い け な い ん だ か ら, 身 体 重 心 の 加 速 度 は 上 向 き にg以 ろ ね.ど
か ら,運 動 方 程 式 にF=0を
地 の 瞬 間 の地 面 反力 は ゼ ロ にな る のだ
代 入 してma=-mg.す
な わ ち 加 速 度 は-gに
な る の よ.鉛
直 上 方 に座 標 軸 の 向 き を と っ て い る か ら,こ
れ は 「ど ん な ジ ャ
ン プ で も,離
地 の 瞬 間 の 鉛 直 方 向 の 加 速 度 は 下 向 き にgと
な る 」 わ け ね.あ
あ,恥 N嬢
上 とな る」 とい う の はデ タラ メ もい い とこ
ん な ジ ャ ン プ の 仕 方 で も,離
ず か しい.
私 も6番
の と こ ろ で 恥 ず か し い 間 違 い を し ち ゃ っ た わ け ね.「 身 体 重 心 を押 し
上 げ て い るDか
らHの
間 で は,重 力 に よ る 下 向 き の 加 速 度gに
打 ち勝 ち,さ
らに その離 地 の瞬 間 の上 向 きの加速 度gを 生み 出 さ な きゃい け ない ん だか ら, 地面 反 力 の ピー ク は 自分 の体 重 の倍 以 上 にな らな き ゃい け ない の は当 然 ね.」 だ な んて.身 体 運動 科 学 じゃな くて,身 体 運 動哲 学 をや っ てい ただ けだ わ.こ ん な こ とい う と哲 学 者 は 怒 る か も しれ ない け ど.と にか く離 地 す る ため には 地 面反 力 が ゼ ロに なれ ば い い の ね.そ して,垂 直 跳 び に よ り,重 心 位 置 が 立 位 静止 時 よ り高 くな るた め に は,細 か い こ と をい わ なけ れ ば,離 地 の瞬 間 の 速 度 が正 な らば い い とい うだ けで,地 面 反 力 の ピー クが体 重 の 倍 以上 な んて 必 要条 件 で も十 分 条件 で もな い わ. S嬢7番
で 「力 曲線 で 囲 まれ た面積,す なわ ち力 を積分 した量 は仕事 」 だ と思 って
い た け ど,違 うの ね.力 を物 体 の 変位 の関 数 と見 て,力 を変 位 で積 分 したの が仕 事 だ った のね. N嬢
この 問題 で は 力 は 時 間の 関数 と して与 え られ て い るか ら,考 えて い る面 積S は 地面 反 力 の 時刻t=0か
らt=t1ま
で の力 積 なの ね.た だ,こ れ だ けで 身
体 の重 心 運 動 速度 を求 め ち ゃ い け ない わ.身 体 の重 心 の 運動 を考 え る ため に は 身体 に働 く外 力 を全 部考 え な き ゃい け ない ん だか ら重力 を忘 れ ち ゃ ダ メな の よ.全 外 力 の 力積 が運 動 量 の変 化 を与 えるわ け で,t=0で
重 心 は静 止,す
なわ ち運 動量 が ゼ ロだ か ら,結 局 運動 量 と力積 の関係 は
と 書 け る わ.こ
の式か ら
ね.
S嬢
とい う こ とが 問 題 で 与 え ら れ て い る わ け ね.後
そ し て,
だ か ら,
とい う こ と が,あ
っ と い う 間 に 求 め ら れ る わ.
N嬢
そ して,問
題 の 条 件 よ りm=F0/gと
S嬢
そ う ね.結
局,
してmを
消 去 す る わ け ね.
は,
ね.力
を 積 分 した 量 が 力 積 で あ る,と
か,仕 事 で あ る,と
か,そ
解 じ ゃ全 然 通 用 しな い こ と が わ か っ た わ.か
とい っ て,こ
に メ チ ャ ク チ ャ 難 し い わ け じ ゃ な い よ ね.結
局,今
ん な安易 な理
こ ら辺 の こ と は 別
ま で キ チ ン と勉 強 して い
な か っ た だ け な ん だ わ. N嬢
そ う ね.じ
ゃ あ,次
は8番.身
体 が 床 か ら離 れ て い る 間 は 身 体 に 働 い て い る
の は 重 力 だ け だ か ら,身 体 の 重 心 の 運 動 は運 動 方 程 式mdv/ ね.だ
か ら 身 体 重 心 の 加 速 度 は-gで
t=t1の
と き に,重
と解 け る わ.も
心 速 度 がv1を
ち ろ ん,こ
一 定 に な る わ.そ
使 え ば,運
dt=-mgに 従 うの して初 期 条件 と して
動方 程 式 は
れ は 足 が 床 か ら離 れ て い る 間 のt1≦t≦t2の
間の
話 だ け ど. S嬢
ま あ,こ
の く らい の 問 題 な ら等 加 速 度 運 動 の 公 式 を使 っ て そ の 式 を求 め ち ゃ っ
て も バ チ は 当 た ら な い と思 う け ど.ま れ る わ ね.そ
し て,離
あ ,と
も か く そ の 式 は も う簡 単 に得 ら
地 の 瞬 間 と 着 地 の 瞬 間 で 姿 勢 が 全 く同 じ とい う 条 件 が
問 題 で 課 せ ら れ て い る か ら,明
らか に着 地 の 瞬 間 の重 心 速度 は離 地 の 瞬 間 の
重 心 速 度 と大 き さ が 等 し く向 きが 逆 と し ち ゃ っ て い い よ ね. N嬢
ま あ,力 学 的 エ ネ ル ギ ー保 存 則 か ら も明 らか ね.と はv=-v1と
い う こ と ね.こ
で,v1=1/2g(t2-t1)と S嬢
ま あ,運
に か くt=t2で
な っ て,こ
動 の 対 称 性 に 着 目 して,滞
れ が 答 え ね. 空 時 間 の 半 分 で 身 体 重 心 は 最 高 点 に達 し,
そ の と きの 速 度 は ゼ ロ と い う こ とで,0=v1-gt2-t1/2か て い い ん だ ろ う け ど ね.で,最
後 の9番
解 け な い の か も し れ な い け ど,ち お そ ら く,t=t3で
は,そ
らす ぐに求 め ち ゃっ
う ね え .本 当 は こ れ だ け で は
ょ っ と し た 仮 定 を置 け ば 解 け る わ.そ
身 体 は 既 に静 止 して い る と い う こ と よ .t=0で
は 静 止 して い る ん だ か ら,運 動 量 の 変 化 量 は ゼ ロ .つ の 間 に 加 え られ た 力 積 は ゼ ロ とい う こ と よ ね.だ
が 成 り立 つ の よ.こ
れ は,
の重 心速 度
れ を さ っ きの 式 に代 入 して-v1=v1-g(t2-t1)
ま り,t=0か
か ら,
れ は, も身体
らt=t3
と い う こ と ね.こ
で,こ
こ で,t1
れ は 条 件 よ り2Sと
か ら,
な る わ.そ
し て,
だ か ら結 局,
で,
と な っ て,後 N嬢
は,Sを
消 去 す れ ば い い こ と に な る わ.
そ れ は も う簡 単 ね.7番
と8番
に,S-mgt1=mv1で,8番
よ.8番 S嬢
の 結 果 を 使 う た め に,8番
そ う ね.結
ね.ま
が 誘 導 に な っ て い る の よ.7番 か らv1=1/2g(t2-t1)だ
あ,こ
でや った よ う
か ら,
と 同 じ条 件 が 必 要 に な る わ け ね.
局,
こ で 求 め た 方 法 以 外 に もい ろ い ろ な 求 め 方 が あ る ん だ ろ う け ど.
こ れ で 一 件 落 着 ね. N嬢
待 っ て.こ
の 問 題 を 解 くた め に,「t=t3で
仮 定 を して い る の よ.こ S嬢
そ う ね.で
も,仮
身 体 は 既 に 静 止 し て い る 」 とい う
の 仮 定 が 成 り立 た な く て は す べ て が パ ー だ わ.
定 が 成 り立 つ と し て 求 め たt3=t1+t2に
お い て は,グ
フ か ら地 面 反 力 はF0=mgに
明 らか に等 し く て 加 速 度 は ゼ ロ ね.し
の 状 態 は ず っ と続 く よ ね.そ
して,問
て い る か ら速 度 は ゼ ロ.だ
か ら,t3で
ラ
か も,こ
題 の 条件 か ら最後 に は この人 は静 止 し は 速 度 ゼ ロ と して い い の よ.つ
ま り仮
定 に 矛 盾 は 生 じ な い わ. N嬢
あ る こ と を 仮 定 し て 解 い て,そ
の 結 果 が も と の 仮 定 と矛 盾 しな い か ら そ の 仮
定 も結 果 も 真 で あ る と い う わ け ね.論 け ど,こ わ よ ね.
理 学 的 に は イマ イ チの よ うな気 が す る
の 場 合 は こ れ で 十 分 な 気 が す る わ.さ
ら に厳 密 に 考 え る ま で も な い
S嬢
そ れ に し て も最 初 に こ の 問 題 を解 い た 時 は 本 当 に い い 加 減 だ っ た わ ね.
N嬢
そ れ が,も
う こ の 問 題 が 解 け る よ う に な っ た ん だ か ら,と
りあ え ず,こ
の本
で 学 ん だ 甲 斐 が あ っ た と い う わ け ね. 補 足1地
面 反 力 デ ー タ(か ら体 重 を引 い た もの)を 数 値 的 に積 分 して 身 体 重 心 速
度 を求 め,そ れ を更 に数 値 的 に積 分 して 身体 重 心変 位 を求 め た グ ラ フを図14.1に 示 す.参 考 に して も らい たい.も し,フ ォー ス プ レー トが あ るな ら同様 の 実験 を行 い, グ ラ フ を描 い て み る こ と を薦 め る2). 補 足2か
が み こみ始 めの 時 点 での 各 グ ラフ の形 に注 目 して も らい た い.地 面 反 力
(か ら体 重 を引 い た もの)に 比 べ 速 度 の 方 が,速 度 に比べ 変 位 の 方 がt軸 にベ ッ タ リ と くっつ い てい る(な か なか ゼ ロ か ら下 が らな い).こ の理 由 を大雑 把 に考 えて み よ う.体 重 を差 し引 い た 地 面 反 力 の こ の 時点―― わ か りや す くす る ため 改 め て 時刻 を t=0と しよ う――で の グ ラ フは上 に凸 で右 下が り,か つt=0で 関 数 の値 も傾 き も ゼ ロで あ る こ と よ り-at2で で積 分 す る と-a/3t3,さ
近 似 で きそ うで あ る(aは 適 当 な 正 の定 数)3).こ れ をt
らにtで 積 分 す る と-a/12t4と なる.t=0で
の “ベ ッタ リ
感 ”が 増 して い くの も もっ と もで あ る4).数 式 だ け で は味 気 ない,と い う人 は微 分 方 程 式 の 数値 的解 法(9.3節
参 照)を 考 える が ご と くグ ラ フ を読 ん でみ よ.
補 足3我 々は 「 力 を最 も強 く発 揮 してい る と きに速度 が 最 大 に な る」 とか,「床 反 力 が 最 も小 さ くな った と きに重 心 が 最 下 点 に達 す る」 な どの よう に,力,速 度,位 置の 変化 が 同期 して(同 相 で)起 こ る と誤 解 しが ち であ る.こ の違 い が よ くわ か っ て い な い と,自 分 が 感 覚 的 に得 た 「どの位 置(姿 勢)の と きに力 を入 れ た り抜 い た りす るか 」 とい うタ イ ミ ン グを 人 に指 導 す る と きに苦 労 す る こ とに な る.自 らが感 じる 発 揮 筋 力 と,外 界 と作 用 し合 う力 との 差 を認 識 し,運 動 を引 き起 こす 因 果 関係 を正 し く把握 す る こ と は動作 を学 ぶ と き に も教 え る と き に も重要 で あ る.
注 1)こ の 問 題 につ い て は第18章 で 改 め て取 り上 げ る . 2)数 値 積 分 を2回 繰 り返 して満 足 の い く結 果 が 得 られ る よ う な実 験 をす るの は 意 外 に 大 変 で あ る こ と が 実 感 で き よ う. 3)こ れ は理 論 的 な も の で は な い.た
だ見 た 目 そ う で き る と い う だ け で あ る.今 は 因 果律 を 調べ た い の で な く,グ ラフ の局 所 的 な概 形 だ け を問 題 に して い る の だか ら これ で よい.も ち ろ ん,局 所 的 に上 に 凸 で 右 下 が り,か つt=0で 関 数 の 値 も傾 き もゼ ロで あ る 関 数 な ら何 で も よい(例 え ばcosωt-1 な ど).そ うい う関 数 はマ ク ロ ー リ ン展 開す れ ば基 本 的 に-at2の 項 が(t=0近 傍 で は)支 配 的 に
な る(0次,1次 の 項 は 存 在 しな い). 4)地 面 反 力 を -at2で な く-a1t-a2t2-a3t3-… て 傾 きが ゼ ロ で な い場 合 も含 め る た め1次
の よ う な多 項 式 で 近 似 して も(t=0に の 項 を入 れ た)同
じ議 論 が で きる.tで
おい
積分す るたびに
最 低 次 数 が 上 が り,そ れ はt=0で の グ ラ フの “ベ ッ タ リ感 ”(0か ら な か なか 変 化 しな い さ ま)に つ な が る.t,t2,t3,… の グ ラ フ を描 い て み れ ば,次 数 が 上 が る につ れ て原 点 付 近 の グ ラ フ の形 が ベ ッ タ リ して くる こ とが 確 か め られ る.な お,こ の “ベ ッ タ リ感 ” を数 学 で ど う表 現 す れ ば よ い か とい う議 論 は こ こで は しな い.
15 回転運動 の初歩
力には ・ 物 体 を変 形 させ る ・ 物 体 の運 動 状 態 を変化 させ る とい っ た性 質 が あ る.二 つ 目の項 目 に関 して は ニ ュ ー トンの 運 動 の法 則 とそ の 使 い 方 を知 って い れ ば よ い.し か し,回 転 運 動 に関 して は この 運 動 の法 則 を もうち ょ っ と使 い や す い形 に直 して 覚 え た方 が 楽 だ.そ れ は次 の よ うに ま とめ られ る. 回 転 とい うか らに は,何 か 回 転 の基 準 点 を まず 設 定 す る必 要 が あ る1).そ の 基準 点 ま わ りの 物 体 の角 運 動 量 の 時 間 変化 率 は物 体 に作 用 す る外 力 の 基 準 点 まわ りの モ ー メ ン トの和2)に 等 しい. こ うは言 って も,力 の モー メ ン ト3)とか,角 運動 量 とい う言 葉 が わか らな けれ ば し ょ うが な い.本 章 で は これ らの言 葉 の 意味 を まず 解 説 し,つ い で簡 単 な回 転運 動 の実 例 をい くつか 考 察 す る こ とにす る.
15.1力 図15.1の
の モ ー メ ン
ト
よ う な ヤ ジ ロ ベ エ を 考 え よ う.棒
の 質 量 が 無 視 で き る 場 合,支
点 の左
右で 「 支 点 か ら お も り ま で の 距 離 × お も りの 重 さ 」 が 等 しい と き に ヤ ジ ロ ベ エ が つ りあ う こ と は 経 験 的 に よ く知 られ て い る.こ
図15.1つ
れ は,支
点 の左 側 にあ るお も りの棒 を
りあ い 状 態 にあ るヤ ジ ロベ エ
反 時 計 回 り に 回 そ う とす る 能 力 の 大 き さ と,支
点 の 右 側 に あ る お も りの 棒 を 時 計 回
り に 回 そ う と す る 能 力 の 大 き さが 等 し い 状 態 に あ る と見 る こ とが で き る.こ に,物
体 に 回 転 運 動 を 生 じ さ せ る作 用4)を 考 え る た め に は,物
の よう
体 に作 用 す る力 の大
き さ だ け で な く,そ の 力 が 軸 か ら ど の く ら い 離 れ た と こ ろ に加 わ る か も考 慮 し な く て は な ら な い.ま
た,ど
の よ う な 向 き に 力 が 加 わ る か も重 要 で あ る.例
え ば,力
の
作 用 線 が 回 転 中 心 を通 る よ う に力 を 加 え て も 回 転 は 起 こ ら な い(そ の 力 は 物 体 の 回 転 に 寄 与 しな い).回
転 を 引 き起 こ す 能 力 に は,力
の回転 中心方 向 に対 す る垂直 成分
の み が 効 い て く る. 以 上 の 考 察 を踏 ま え て,あ
る 点(回 転 の 基 準 と な る 点)ま わ り に 回 転 を引 き起 こ す
能 力(作 用)―― 力 の モ ー メ ン ト(momentofforce)―― ま ず,図15.2の
よ う に 回転 の基 準 点(軸)O5)か
線 を引 く(Oを
始 点 と した 位 置 ベ ク トルOPをr,そ
す る).次
に,そ の 直 線 に対 す る 力 の 垂 直 成 分F⊥
モ ー メ ン トの 大 き さ はN=rF⊥(基 成 分)と rとFの
を 以 下 の よ う に 定 義 す る. ら,力Fの
と変 形 で き る.rsinθ
を求 め る.こ
と
の と き,力 の
と な る(F=│F│と
し,
る と,N=rF⊥=rFsinθ=(rsinθ)F
は,基 準 点 か ら力 の 作 用 線 ま で の 距 離6)で,こ
図15.2力
で直
準 点 か ら作 用 点 ま で の 長 さ × 力 の 垂 直
して 計 算 され る.図15.2で,F⊥=Fsinθ な す 角 を θ と し た).す
作 用 点Pま
の大 き さ をr=│r│を
の モ ー メ ン トの 求 め 方
れを力
の 腕 の 長 さ(leverarm),あ う.こ
る い は モ ー メ ン トア ー ム(momentarm)と
の 言 葉 を使 え ば,力
い
の モ ー メ ン トの 大 き さ は 「モ ー メ ン トア ー ム ×
力 の 大 き さ」 と表 す こ と が で き る. と こ ろ で,N=rFsinθ こ れ はrとFの
と い う量 を 見 る と何 か を思 い 出 さ な い だ ろ う か.そ
ベ ク トル 積r×Fの
転 と い う と き に は,軸 が あ る.そ
大 き さ に な っ て い る の で あ る(5.6節
の 向 き と,そ
こ ら辺 を考 慮 す る と,力
の 軸 ま わ り を ど っ ち 向 き に 回 る か を考 え る必 要 の モ ー メ ン トを 単 にN=rFsinθ
り は,N=r×Fと
ベ ク トル 量 と して 考 え た 方 が よ い.図15.2を
よ う に,基
通 りNに
準 点Oを
を 示 し,力 の モ ー メ ン トNが
う,
参 照).回
平 行(図15.2で
と考 える よ 見 れ ば 明 らか な
は 紙 面 に 垂 直 方 向)な 直 線 が 回 転 軸
物 体 を 回 転 さ せ よ う と す る 向 き はNの
向 き(図15.2
で は 紙 面 に 垂 直 で 手 前 に 向 か っ て く る 方 向)に 右 ネ ジ が 進 む よ う に右 ネ ジ を 回 す 方 向 で あ る7). 課 題 適 当 な座 標系 を設 定 して図15.1の 棒 が 受 け る力 の モ ー メ ン トの各 成 分 を計 算 せ よ.た だ し,棒 の 質量 は無 視 で きる もの と し,お も り一つ あ た りの 質量 はm,重 力 加 速 度 の 大 きさ はgと す る. 解説
こ こ で は 図15.1の
方 向 に,x軸
よ う にz軸
は 鉛 直 上 向 き を 正 方 向 に,y軸
は 手 前 に 向 か っ て く る 方 向 を 正 方 向 に と る.こ
に 右 ネ ジ を 回 し た と き右 ネ ジ の 進 む 向 き がz軸 い い,右
参 照).さ
て,次
と,基
あ,と
準 点 か ら見 た 力f1の
に 回 転 の 基 準 と な る 点 を 定 め よ う.「 そ ん な の に回 転 の 基 準 点 は ど こ
りあ え ず は 基 準 点 を ヤ ジ ロ ベ エ の 支 点 に と っ て み よ う.そ 作 用 点 の 位 置 ベ ク トル はr1=(0,r,0),力f2の
置 ベ ク トル はr2=(0,-3r,0)で f1=(0,0,-3mg),f2=(0,0,-mg)で
あ る.も
の方向
の ベ ク トル 積 は,
は ヤ ジ ロ ベ エ の 支 点 に 決 ま っ て い る 」 と 言 う 人 も多 い と思 う が,別 に と っ て も よ い.ま
か らy軸
の正 方 向 で あ る よ う な直 交座 標 系 を右 手系 と
手 系 で は,a=(ax,ay,az)とb=(bx,by,bz)と
と な る の で あ っ た(5.6.2項
は 棒 に 平 行 で 右 向 き を正
の よ う に,x軸
ち ろ ん,そ あ る.こ
うす る
作 用 点 の位
れ ぞ れ の お も りが 棒 に作 用 す る 力 は
れ ら か ら,お
も りW1,W2に
よ り棒 が
受 け る 力 の モ ー メ ン トは そ れ ぞ れ
とな る.力 の モ ーメ ン トN1,N2はx成
分 のみ を持 つ が,そ れは そ れぞ れ の力 のモ ー メ ン ト
が棒 を回転 させ よ う とす る際 の 回転 軸 がx軸 と平 行 で あ る こ と を意 味 す る.ま た,そ れぞ れ のx成 分 の 符号 が 異 なる の は 回転 させ よ う とす る向 きが 逆 向 きで あ る こ と を示 す.力 のモ ー メ ン トの 向 きに進 む よ うに右 ネ ジ を回 す 向 きが,そ の 力 の モ ー メ ン トが 棒 を回転 させ よ う と す る 向 きで あ る8).な お,棒 に作 用 して い る 力 と して支 点 が 棒 に及 ぼ す力 もあ る.こ の力 は f3=(0,0,4mg)で あ る こ とが力 のつ りあ い の 関係 か らわ か る9).こ のf3に よる力 の モ ー メ ン トは どう な るだ ろ うか.基 準 点(ヤ ジ ロベ エ の 支 点)か ら見 たf3の 作 用 点 の位 置 ベ ク ト ル は 当然0で あ る か ら,力 のモ ー メ ン トはN3=0×f3=0で あ る.こ の よう に,力 の作 用 点 が 回転 の 基準 点 に一致 す る と き,力 の大 きさが どうで あ れ その 力 の モ ーメ ン トはゼ ロ(ゼ
ロ ベ ク トル)に な る.つ ま り,基 準 点 に作 用 す る力 は基 準 点 まわ りの 回転 運 動 に は影 響 を及 ぼ さ な い.こ の こ とは これ か ら も度 々 出て くる が,直 感 的 に も明 らかで あ ろ う.結 局,こ の 棒 に作 用 す る外 力 の全 モ ー メ ン トは
とな る.こ
れ は,基 準 点 ま わ り に 回転 は生 じ な い10)と い う こ と を意 味 して い る.と
こ ろ で,今,棒
は 静 止 し て い る の だ か ら,ど の よ う な 点 を基 準 に 考 え て もそ の ま わ りの 力 の モ ー メ ン トの 和 は ゼ ロ で あ る と予 想 さ れ る.こ
れ を 一 般 的 に 示 す こ とは 簡 単 な の だ が ,こ こ で は具 体 的 にf2の
作 用点
(棒 の 左 端)の ま わ りの 力 の モ ー メ ン トに つ い て の み 考 え よ う.こ の 点 を基 準 と したf1,f2,f3 の 作 用 点 の 位 置 ベ ク ト ル は そ れ ぞ れr1'=(0,4r,0),r2'=(0,0,0),r3'=(0,3r,0) に な る.こ
れ よ り,そ
れ ぞ れ の 力 の モ ー メ ン トはN1'=r1'×f1=(-12rmg,0,0),
N2'=r2'×f2=(0,0,0),N3'=r3'×f3=(12rmg,0,0)と め ら れ よ う.予
な る こ とは 容易 に確 か
想通 り
と な る.
こ の 課 題 の よ う に,「 外 力 の 合 力 が ゼ ロ の 場 合,あ
る1点
の ま わ りの 力 の モ ー メ ン
トの 和 が ゼ ロ と な れ ば 任 意 の 点 の ま わ りの 外 力 の モ ー メ ン トの 和 は ゼ ロ と な る11)」 が,「 外 力 の 合 力 が ゼ ロ で な い 場 合,あ
る 点 の ま わ りで 力 の モ ー メ ン トの和 が ゼ ロ で
あ っ て も任 意 の 点 の ま わ り の 力 の モ ー メ ン トの 和 は ゼ ロ と は な ら な い12)」.こ つ い て は16.4節
15.2質
れに
で 触 れ る.
点 の角 運動 量
さ て,質
点 に 力 が 働 い て い る と きの 運 動 方 程 式 は,
で あ っ た.質
点 の位 置 が 基 準 点 か ら見 てrで
表 され る と し,こ のrと
上 式 とのベ ク
トル 積 を 考 え る こ と に よ り,
(15.1) が 得 ら れ る.右 こ う.左
辺 は ま さ に 基 準 点 ま わ りの 力 の モ ー メ ン トで あ る.こ
れ をNと
お
辺 は ベ ク トル 解 析 の 知 識
(15.2)
を 使 う と(6.7節
参 照),
(15.3) で あ る こ と が わ か る. 課題 解説
式(15.2)を
式(15.3)の
右 辺 に 適 用 す る と 式(15.3)の
も う こ の く ら い な ら解 説 す る ま で も あ る ま い.式(15.3)の
計 算 す る.次
に,dr/dt=vで
あ る こ と と,一
ク トル 積 は ゼ ロ ベ ク トル に な る)こ
運 動 量 をp=mvと r×pを をLと
左 辺 が 得 ら れ る こ と を 示 せ.
と(5.6.2項
般 にa×a=0で 参 照)を
書 く と,式(15.3)の
右 辺 を 式(15.2)に あ る(同
使 え ば 式(15.3)の
右 辺 はd/dt(r×p)と
左 辺 が 導 か れ る.
書 く こ とが で き る.
物 体 の 持 つ 基 準 点 ま わ り の 角 運 動 量(angularmomentum)と お こ う.す
従 って
一 ベ ク トル 同 士 の ベ
い う .こ れ
な わ ち,
(15.4) で 角 運 動 量Lを
定 義 す る.こ
の と き,式(15.1)は
(15.5) と な り,角 運 動 量 の 時 間 変 化 率 は 外 力 の モ ー メ ン トに 等 し い こ とが わ か る . 以 上,一
般 性 を 考 え て3次
向 い て い れ ば,質
元 の 運 動 を考 え た.し
か し,も
し回転 軸 が一 定 方 向 を
点 の 基 準 点 ま わ りの 回 転 運 動 は そ の 基 準 点 を含 み 回 転 軸 に 垂 直 な
平 面 内 の 回 転 運 動 に 還 元 で き る こ とが 多 い.そ の 問 題 を も う一 度 取 り上 げ よ う.平
の 例 と し て11.4.4項
で 扱 っ た振 り子
面 内 で 考 え る 限 り,力 の モ ー メ ン トや 角 運 動 量
を 便 宜 的 に 通 常 の ベ ク トル 量 と考 え ず に,回
転 の 向 き(反 時 計 回 り を 正 と し ,時 計
回 り を 負 と す る)と そ の 大 き さ で 表 す こ とが で き る13).さ よ う に θ を と る と き,物 体 の 円 運 動 接 線 方 向 の 速 度 はv=lθ り子 の 支 点 ま わ りの 物 体 の 角 運 動 量 はL=lmv=ml2θ
て,p.203の
図11.18の
で あ る .そ れ ゆ え,振 で あ る14).次
に,振
の 支 点 ま わ り の 物 体 に 働 く重 力 の モ ー メ ン トはN=-lmgsinθ
で あ る.物
用 す る糸 の 張 力 の モ ー メ ン トは ゼ ロ と な る(理 由 を 考 え よ15)).結
局,回
動 方 程 式 はL=Nよ
と な る.こ
り,
の 両 辺 をml2で
割れば
り子
体 に作
転 運動 の 運
が 得 ら れ る.こ
の 微 分 方 程 式 は 本 書 の レベ ル で は 解 くこ とが で きな い.し
り子 の 振 幅 が 十 分 小 さ い と き に は 任 意 の 時 刻 で θ ≪1と θ で 近 似 し よ う16).す
か し,振
考 え ら れ る の で,sinθ
を
る と上式 は
と な り,式(11.124)と
ま っ た く同 じ式 が 得 ら れ る.
課題 質量mの 物 体 が 図15.3の 運動 して い る.物 体 の持 つ 点Oま せ よ.
よ うに 点Oか ら距 離lだ け離 れ た 直線 上 を17)等速 度vで わ りの角 運 動 量 の大 きさ を求 め よ.た だ し,│v│=vと
図15.3
解説
角 運 動 量 と い う と 回 転 運 動 を 思 い 浮 か べ,回
か も し れ な い.し 動 量Lは,基
か し,物
転 運 動 とい う と 曲線運 動 を思 い 浮 かべ る
体 が ど う 運 動 し て い よ う と,質
準 点 か ら見 た そ の 物 体 の 位 置 ベ ク トルrと
で 定 義 さ れ18),そ
量mの
の 大 き さ は│L│=m│r││v│sinθ=mlvと
な す 角 で あ り,│r│sinθ=│r│sin(180°-θ)=lで
物 体 の 基 準 点 ま わ りの 角 運
物 体 の 速 度vに な る.こ
よ っ てL=mr×v こ で,θ
あ る こ と を 使 っ た.こ
作 用 す る外 力 の モ ー メ ン トは ゼ ロ な の で,物
はrとvと
の
の課 題 で は 物体 に
体 の 角 運 動 量 は 当 然 の こ と な が ら定 数 に な っ て
い る.
15.3中
心
式(15.5)よ
り,力
力 の モ ー メ ン トNが0の
場 合,角
な わ ち 角 運 動 量 は 一 定 で あ る こ と が わ か る.で は ゼ ロ(0)に
な る で あ ろ う か.N=r×Fで
あ っ て もrとFが とFが
運 動 量 の 時 間 変 化 率 が0,す
は どの よ う な 場 合 に 力 の モ ー メ ン ト あ る こ と よ り,r≠0か
つF≠0で
平 行 で あ れ ば 力 の モ ー メ ン トは ゼ ロ に な る こ と が わ か る19).r
平 行 で あ る と い う こ とは,力
い る とい う こ と で あ る.こ
が 回 転 中 心 方 向,あ
るい は その逆 方 向 を向 い て
の よ う な力 を 中 心 力(centralforce)と
体 に作 用 して い る 力 が 中 心 力 の 場 合,角
呼 ぶ.つ
ま り,物
運 動 量 は 一 定 で あ る と い う こ と に な る.
さ て,角
運 動 量 は,L=r×p=r×mv=mr×vで
あ る とい う こ と は,r×vが う 条 件 の も と で).r×vの
あ る.角
運 動 量 が 一定 で
一 定 で あ る と い う こ とで あ る(も ち ろ んmが 大 き さ はrとvと
一 定 とい
の 作 る平 行 四 辺 形 の 面 積 に 等 しい(5.6
節 参 照).r×vが
一 定 で あ る と い う こ とは 回 転 中 心 か ら の 距 離 や 物 体 の 速 度 が 変 化
して も,rとvと
の 作 る平 行 四 辺 形 の 面 積 は 一 定 に 保 た れ る とい う こ とだ20).
補足
この 面積 は 回 転 中心 か ら物 体 ま で 引 い た線 分(動 径)が 単 位 時 間 あ た り掃 く
(通過 す る)面 積――面 積 速 度(arealvelocity)―― の2倍 に等 しい こ とが わ か る(こ こ ら辺 の こ とを考 察 す る の は読 者 に任 せ る).角 運 動 量 の 大 きさ は面積 速 度 に物 体 の 持 つ 質量 を掛 けた 量 の2倍 にな っ て い たの で あ る.さ ら に角 運動 量 ベ ク トル の 向 き は回 転 運 動 の 軸 方 向 を表 して い る こ と も容 易 に 理解 で きる だ ろ う.こ う考 え る と, 角 運 動 量 が物 体 の “回転 の向 き と勢 い” を表 す 量 と して ふ さわ しい もの で あ る こ と が 納得 で きる.
以 上 よ り,物 体 に働 く力 が 中心 力 の み の と き には物 体 の 角運 動 量 が保 存 され21), そ れ は(物 体 の 質量 が変 化 しない な ら)物 体 の面 積 速 度 が 一定 で あ る こ と を意味 す る.例 えば,太 陽か らの万 有 引力 を受 け て太 陽 の ま わ りを 回 る惑 星 の 面積 速 度 は 一 定 であ る.こ れ は,惑 星 に作 用 す る万 有 引力 は(惑 星 が どこに あれ)必 ず 太 陽 とい う 一 点 を向 い てい る ため 中心 力 とな るか らで あ る.も う少 し具 体 的 に説 明 しよ う.惑 星 は太 陽 を一 つ の焦点 と した楕 円軌 道 を描 く22).そ して面 積速 度 が 一定 で あ る とい うこ とは,同 じ時 間 内 に動径 の 掃 く面積 は図15.4の よ うに ど こで も等 し くな る とい う こ とで あ る.こ れ をケ プ ラー の第2法 則 とい う.ケ プ ラー は,惑 星 が 太 陽 に近 い 位 置 にあ る ほ ど公 転 速 度 が大 き くな る こ とに気 づ き,こ れ を何 とか定 量化 しよ う と
図15.4惑 星 は太 陽 か ら遠 くに あ る ほ どゆ っ く り動 くが,同 一 定 で あ る.
じ時 間 に動 径 が掃 く面積 は 常 に
して こ の 法 則 を 見 出 し た の で あ る.も トル が 一 定 で あ る と い う こ と は,角 で あ る と い う こ と で,つ ま り,個
の す ご い 発 想 力 で あ る.な
お,角
運 動量 ベ ク
運 動 量 ベ ク トル の 大 き さ の み な ら ず 向 き も一 定
ま り回 転 運 動 の 軌 道 面 が 一 定 で あ る と い う こ とで あ る.つ
々 の 惑 星 の 運 動 は そ れ ぞ れ 固 有 の 平 面 内 で 行 わ れ る と い う こ と で あ る.
補 足1実 際 には惑 星 同士 の 間 に働 く万有 引 力 に よっ て惑 星 の運 動 は乱 され る.こ の乱 れ は ご くわず か な もの だが,土 星 の外 側 に あ る惑 星 を発 見 す る手 が か りに な っ たの は科 学 史 上 有 名 で あ る23).も う一つ 付 け加 え る な ら,惑 星 の楕 円運動 の焦 点 が 太 陽 の 重 心 で あ る とす るの は,た と え惑 星が 太 陽 系 に一 つ しか ない 場合 で も正 確 で はな い.実 際 には,太 陽 と惑 星 か らな る系 の 重心 を焦 点 とす る必 要が あ る.し か し, 太 陽 は どの惑 星 に比 べ て も圧 倒 的 に質 量 が大 きい の で,太 陽の 重 心 を太 陽 と惑 星 か らな る系 の重 心 と近似 して もそ ん なに 悪 くは ない. 補 足2図15.4は 楕 円 の長 軸 半径 と短軸 半 径 の比 を17:15に して描 い た もので あ る.こ の場 合,惑 星 の公 転 周 期 が100日 だ と して動 径 の 長 軸 に対 す る角 度 を数 値計 算 す る と(近 日点 を0と して)図15.5の よう に なる.図15.4お よび 図15.5か らな らば,ひ ょっ と した らケ プ ラ ーの 第1法 則 も第2法 則 も比 較 的容 易 に導 くこ とが で きる か も しれ ない.し か し,ケ プ ラーが 実 際 に解析 を行 っ た火 星 の場 合 は,長 軸 半 径 と短 軸 半 径 の比 は1.0044:1で,ほ とん ど円 に近 い もの で あ った.実 際,火 星 の 公 転 軌 道 と,動 径 の 長 軸 に対 す る角 度 を計算 す る と図15.6の よ う にな る24).火 星 の軌 道 が 円 で な く楕 円 で あ る こ とを 円軌 道 説優位 の 時代25)に ケ プ ラーが 発 見 した こ とは ま さ に偉 業 であ る26).い や,そ もそ も恒 星 と火 星 の 天 空上 の 位 置 関係 の デ ー タ だ け か ら火 星 の 軌道 を正 確 に作 図す る こ とが で きた こ と だ けを とっ て もケ プ ラー の 数学 能 力 には 驚 嘆 させ られ る.さ らに,こ れ だ け の微 妙 な解析 に堪 え られ る だ け の 観 測 デー タが 望 遠 鏡 の な い時代 に得 られ て い た こ とは奇 跡 と しか思 え ない27).こ の い しずえ
ケ プ ラ ー の研 究 は数 十 年後,ニ 役 割 を果 た した(11.4.3項,第20章
ュ ー トンが 力 学 を築 き上 げ る際 の 礎 と して大 きな 参 照).
図15.5惑 星 の動 径 と楕 円 長軸 との なす 角.近 日点付 近 で は角 度 変 化 が 激 し く(角 速 度 が 大 き く),遠 日点 付 近(50日 付 近)で は 角 度 変 化 が ゆ る や か に(角 速 度 が 小 さ く)な る.
図15.6左 図:火 星 の公 転 軌 道.原 点 が 楕 円 の焦 点 で太 陽 の位 置 に相 当 し,軸 の “1”の 目盛 りは 火 星 軌 道 の短 軸 半径 を 表 す.右 図:火 星 の動 径 が楕 円長 軸 とな す角.近 日点 の角 度 を0と した.
課題
質量 の無 視 で きる糸 の つ いた 質量mの
物 体 が 図15.7の
よ うに滑 らか な水 平 面 の上 に
乗 っ てい る.糸 は水 平 面 にあ い た 大 きさ の無 視 で き る小 さ な穴(そ の位 置 を 点Oと す る)を 通 っ てお り,そ の端 を人 が 握 って い る.物 体 に初 速 度 を与 え,速 さv1,半 径r1の 等 速 円運 動 を させ た.摩 擦 力,空 気抵 抗,糸 の ね じれ の影 響 な ど を無視 して以 下 の 問 い に答 え よ. (1)こ の と きの物 体 の 角 速度 の大 きさ ω1を 求 め よ. (2)次 に人 が糸 を ゆ っ く りとr1/2だ け引 い た.そ の結 果,物 体 は半 径 号 の 等 速 円運 動 を行 う よ うに な っ た. (a)こ の と きの物 体 の速 さv2と 角 速 度 の大 き さ ω2を 求 め よ. (b)人 の した仕 事Wを 求 め よ. (3)フ ィギ ュ アス ケ ー トの 選手 が 回 転 中 に腕 を広 げ た り縮 め た りす る と,角 速 度 が変 化 す る 理 由 を定 性 的 に考 え よ.
図15.7
解説 (1)r1ω1=v1よ
り ω1=v1/r1.
(2)運
動 方 程 式 を 立 て て 途 中 経 過 を 逐 次 考 え て い く よ り も,角 存 則 を 使 う の が 楽 で あ る.
運 動 量保 存 則 とエ ネ ルギ ー保
(a)物
体 に 作 用 す る 糸 の 張 力 は 常 に 定 点Oを 向 い て お り,中 心 力 と考 え ら れ る.そ め,点Oま わ りの 物 体 の 角 運 動 量 は 保 存 さ れ る.そ の た め,mr1v1=mr1/2v2,あ い は 同 じ こ と だ がmr12ω1=m(r1-2)2ω2が ω2=4ω1=4v1/r1と
成 り立 つ.こ
のた る
れ ら の 式 よ り,v2=2v1,
求 め られ る.
(b)人 の した仕 事Wは,系(物 体 と糸)の 力 学 的 エ ネル ギ ーの 増加 分 にな る はず で あ る. 糸 の 質 量 は無 視 で き,物 体 の高 さ は変 化 して い ない か ら,糸 の位 置 エ ネ ル ギー と運 動 エ ネ ルギ ー の変 化,お よび物 体 の位 置 エ ネル ギー の変 化 は無 視 で きる.結 局Wは 物 体 の 運動 エ ネ ル ギー の 増加 分 に等 しい こ とに な る.よ っ て,引 き算 の順 序 に注 意 して,
と な る こ と が わ か る.こ
れ は 次 の よ う に も う少 し 地 道 に 考 え て も よい.ま
だ け 引 く と 円 運 動 の 半 径 はr1-xと る と,角
な る.よ
運 動 量 保 存 則 よ りmr1v1=m(r1-x)vが
で あ る.と
こ ろ で,半
径r,速
人 が 引 く力 はT=mv2/rで 力 はT(x)=m(r1v1)2/(r1 -x)3と
さvの
な る28).こ あ る.人
を 積 み 重 ね る わ け だ か ら,結
局全 部 で
の 仕 事 を す る こ と に な る.こ 変 換 して 積 分 す れ ば よい(置 と 書 き換 え,x:0→r1の と す れ ば よ い の で あ っ た.以
の 計 算 はt=r1-xと 換 積 分).こ
成 り立 つ.こ
参 照),人
こ か ら さ ら に Δxだ はx=0か
をx す
れ よ りv=r1v1/r1-x
が 糸 をx引
な わ ち糸 を い た と きの張
け 糸 を 引 くた め に 人 が す
らx=r1/2ま
で こ の “微 小 ” 仕 事
して29),積
の と き,dt/dx=-1よ
と きt:r1→r1/2で
ず,糸
の と き の 物 体 の 速 さ をvと
円 運 動 を 保 つ た め の 糸 の 張 力,す
あ っ た か ら(11.4.2項
る 仕 事 は ΔW=T(x)Δxで
っ て,そ
分 変 数 をxか
らtに
り,形 式 的 にdx=-dt
あ る か ら積 分 範 囲 はr1か
らr1/2ま で
上 よ り,
が 得 られ る.こ の計 算 は高 校3年 生 レベ ル で あ る.Mathematicaの よ う な数 式処 理 ソ フ トを使 え ば簡 単 に計 算 で き るが,こ の くらい の計 算 はで き る よ うに して お い て も らい た い.と にか く,角 速 度 の 増 加量 は角 運 動 量保 存 則 を使 えば簡 単 に求 め ら れ るが,な ぜ 物 体 の 運 動 エ ネ ル ギ ーが 増加 す るか とい う と,そ の 原 因 は人 が 仕 事 を す る こ とに あ っ た とい う こ とが,こ の 計算 か ら実 感 で きた であ ろ うか. (3)大 雑 把 に言 って,腕 を 曲げ た り伸 ば した りす る の は図15.7の 回転 半 径 を小 さ く した り 大 き く した りす る こ とに相 当す る.氷 か らの 摩擦 力 に よる モ ー メ ン トを無 視 す れ ば ス ケ ー ター の角 運 動 量 が保 存 され る ため,角 速 度が 変 化 す る ので あ る.こ の こ とは,慣 性 モ ー メ ン トを扱 う と き再 び考 え よ う(16.5節 参 照).な お,腕 を 曲 げ る と き,腕 の屈 筋
群 は正 の 仕 事 をす る.腕 を伸 ばす と き,腕 の屈 筋 群 は負 の仕 事 をす る30).エ ネ ル ギ ー 的 な考 察 をす れ ば,こ れが ス ケ ー ターの マ ク ロ な回 転 の運 動 エ ネ ル ギ ーが 変化 す る原 因 であ る.
15.4質
点 系 の角 運動 量
こ れ ま で 質 点 系 の 運 動 量 に 関 し て12.3節 13.4節
で 扱 っ た.本
の 粒 子31)か ら な る系 を 考 え よ う.各
ら見 た 位 置 ベ ク トル をr1,r2,質
く力 に は粒 子2か 力)F1が
点 系 の 運 動 エ ネ ル ギ ー に 関 して
節 で は 質 点 系 の 角 運 動 量 に つ い て 考 察 し よ う.
まず 話 を 簡 単 に す る た め,2つ (空 間 に 固 定)か
で,質
ら受 け る 力F12と
あ り,粒 子2に
量 をm1,m2と
粒 子 の基 準 点
す る.粒
子1に
働
そ れ 以 外 の もの か ら受 け る 力(系 外 か ら受 け る
働 く力 に は粒 子1か
受 け る 力(系 外 か ら受 け る 力)F2が
ら受 け る 力F21と
あ る と考 え る.こ
そ れ 以 外 の もの か ら
こ で,作
用 反作 用 の 法則 か ら
(15.6) が 成 り立 つ.さ r2×mr2に
て,そ れ ぞ れ の 粒 子 の 基 準 点 ま わ りの 角 運 動 量L1=r1×mr1,L2=
関 して は
角 運動量の時 間変化 率=外 力 のモーメ ン ト
角 運動量の時 間変化率=外
が 成 り立 つ.両
力 のモーメ ン ト
式 の 最 左 辺 と最 右 辺 を足 し合 わ せ,式(15.6)を
用いる と
(15.7) が 得 られ る.一 行 で あ る32).つ な る33).よ
般 に,粒
子1が
粒 子2に
ま り,F12‖(r1-r2)で
及 ぼ す 力 は 粒 子1と あ る.そ
粒 子2を
結 ぶ 直線 に平
の た め(r1-r2)×F12=0と
っ て,式(15.7)は
(15.8) とな り,系 の内 力 を含 む項 は消 え て,各 粒 子 に作 用 す る外 力(系 外 か らの力)の モー メ ン トの和34)の み が系 を構 成 す る各 粒 子 の角 運 動 量 の総 和(系 の 角 運動 量)の 時 間
変 化 率 を 決 め る こ とが わ か る.こ る.す
な わ ち,空
付 け る.そ ri,質
間 にN個
し て,空
量 をmiと
れ はN個
間 に 固 定 さ れ た 基 準 点 か ら見 たi番
す る.こ
の 質 点 に 働 く力 に は,質
と系 の 外 部 か ら作 用 す る力 が あ る.そ か ら働 く力 をFi,系
のj番
る36)).上
だ し,Fii=0と
の 式 を1番
こ で,i番
目 の 質 点 に 働 く力 の う ち,系 の 外 部 書 く こ と にす る.i番
目の
す る と,
す る(自 分 が 自 分 に 及 ぼ す 力 は ゼ ロ ベ ク トル で あ
目 の 粒 子 か らN番
子 系 の 場 合 と同 様 に 内 力Fijを
目 の 質 点 の 位 置 ベ ク トル を
点 系 内 の他 の 質点 か ら受 け る力
目 の 粒 子 か ら働 く力 をFijと
粒 子 の 角 運 動 量 をLi=ri×miriと
が 成 り立 つ.た
の粒 子 か ら な る 系 に拡 張 す る こ とが で き
の 粒 子35)か ら な る系 が あ る と し,各 粒 子 に 通 し番 号 を
目 の粒 子 ま で す べ て 足 し合 わ せ る と,2粒
含 む 項 は 消 え て,
(15.9)
が 得 ら れ る.こ
こ で ∑Liは
系 の 総 角 運 動 量 を表 す と 考 え られ る.式(15.9)は
基準 点 まわ りの系 の総 角 運動 量 の 時 間変化 率 は系 に作用 す る外 力 の基準 点 まわ りのモ ー メ ン トの和37)に等 しい. と い う こ と を 主 張 し て い る こ と に な る. 次 に,運 動 量,運
動 エ ネ ル ギ ー の と き と 同 じ よ う に系 の 重 心 を考 え て 式(15.9)を
整 理 し直 し て み よ う(以 下,∑
記 号 の 部 分 は 略 した 書 き方 を す る).ま
ず,13.4節
で 述 べ た,重 心 と系 を構 成 す る 各 粒 子 の 重 心 に対 す る 相 対 位 置 と の 性 質 を復 習 す る. i番 目 の 質 点 の 位 置 を
(15.10) と書 く.こ
こ でRGは
系 の 重 心 の 位 置 で,系
の全 質 量
(15.11) を用 い て
(15.12)
で 定 義 さ れ る.ま で あ る.さ
た,ri'=ri-RGは
て,式(15.12)に
重 心 か ら 見 たi番
式(15.10)を
目 の 質 点 の位 置 ベ ク トル
代入する と
(15.13) が 得 ら れ る.RGが 式(15.13)の
定 ベ ク トル で あ る こ と に 注 意 し,か つ,式(15.11)を
と変 形 で き る.RGがiに を用 い る と,こ
と な る.結
用 い る と,
右辺は
よ ら な い ベ ク トル で あ る こ と に注 意 し ,か つ,式(15.11)
の 式 の 最 右 辺 の 第1項
は,
局,式(15.13)は
(15.14) と な る.M≠0で
あ る か ら 式(15.14)よ
りた だ ち に
(15.15) が 得 られ る.こ の 式 を時 間で微 分 す れ ば,和 の微 分 は微 分 の和 であ る こ とに注意 し て(6.3節 参 照),
(15.16) が 得 ら れ る.
復 習 は これ く らい に して,さ っ そ く系 の全 角 運 動量L≡ い て 整 理 し て み よ う.
∑Liを
系 の重 心 を用
(15.17) 最 後 の等 号 の ところは,RG,RGはiに 使 っ て 整 理 し た38).式(15.17)の に よ っ て0に
な る.結
局,系
無 関係 で あ るため に ∑ 最 右 辺 の 第2項
と 第3項
の外 に出せ る こ とを
は 式(15.15),式(15.16)
の総 角運 動 量 は
(15.18) と な る こ とが わ か る.こ
こ で,式(15.18)の
の 角 運 動 量 とい う こ とが で き る.こ
右 辺 第1項
は 基 準 点 ま わ りの 系 の 重 心
れ を,
(15.19) と お く こ と に す る39).ま
た,式(15.18)の
る 角 運 動 量 と い う こ とが で き る.こ
右 辺 第2項
は重心 まわ りの系 の 回転 に よ
れ を,
(15.20) とお く こ と に す る.式(15.18)は
系 の総 角運 動 量 を
(15.21) の よ う に “重 心 の 基 準 点 ま わ りの 角 運 動 量 ” と “重 心 ま わ りの 系 の 角 運 動 量 ” に 分 離 で き る こ と を 示 して い る が,こ
の イ メ ー ジ は “地 球 の 重 心 の 太 陽 ま わ りの公 転 運 動 ”
と “地 軸 ま わ りの 地 球 の 自転 運 動 ” を思 い 浮 か べ れ ば わ か りや す か ろ う. さ て,次
に 系 の 総 角 運 動 量 の 時 間 変 化 率 を考 え よ う.式(15.21)を
時 間 で微 分 す
る と
(15.22)
と な る が,右
辺 の 各 項 を 別 々 に 考 え て み よ う.ま
ず 第1項
は
(15.23) と な る.最
後 か ら2番
目 の 等 号 の と こ ろ で は ベ ク トル 積 の 積 の 微 分 法 と,同
トル 同 士 の ベ ク トル 積 は ゼ ロ ベ ク トル に な る こ と を使 っ た.ま
系 の重 心 の 運動 方程 式MRG=Fを
使 った.た だ しFは
た,最
じベ ク
後 の等 号 で は
外 力 の合 力F=∑Fi
で あ る.重 心 の基 準 点 まわ りの角運 動量 の時 間変化 率 は外 力(の 合 力)が 重 心 に作用 してい る と して計 算 した外 力(の 合 力)の モ ー メ ン トに等 しい こ とが わ か る.次 に式 (15.22)の 右 辺 第2項
を同様 に変形 してい く と,
(15.24) と な る(も う 式 変 形 の 仕 方 を 説 明 す る ま で も な か ろ う).こ
の 式 は 重 心 ま わ りの 系 の
角 運 動 量 の 時 間 変 化 率 は 個 々 の 粒 子 に働 く外 力 の 重 心 ま わ りの モ ー メ ン トの 総 和 に 等 しい40)こ と を 示 し て い る. さ て,以
上 を ま とめ る と以 下 の よ う に な る.
・ 質 点 系 の 総 角 運 動 量L(=∑Li=∑ri×miri)の す る 個 々 の 粒 子 に働 く外 力Fiの に等 しい.す
な わ ち,L=∑ri×Fiで
・ 質 点 系 の 総 角 運 動 量Lは
時 間 変 化 率Lは
系 を構 成
基 準 点 ま わ りの モ ー メ ン トの 総 和 ∑ri×Fi あ る.
重 心 の 基 準 点 ま わ りの 角 運 動 量LG=RG×MRGと
系 を構 成 す る 粒 子 の重 心 ま わ りの 角 運 動 量 の 和L'=∑(ri'×miri')に す な わ ち,L=LG+L'で が 得 られ る.
あ る.こ
等 しい.
れ を時 間 微 分 す る こ と に よ り,L=LG+L'
・ 系 の 重 心 の 基 準 点 ま わ りの 角 運 動 量 の 時 間 変 化 率LGは F(=∑Fi)が し い.す
系 に働 く外 力 の 合 力
系 の 重 心 に働 い て い る と し て 計 算 した モ ー メ ン トRG×Fに な わ ち,LG=RG×Fが
成 り立 つ.
・ 系 の重心 まわ りの角 運 動量L'の
時 間変 化率L'は
系 を構成 す る各 粒子 に働 く外
力 の 重 心 ま わ りの モ ー メ ン トの 総 和 ∑(ri'×Fi)に ∑(ri'×Fi)が
等
等 しい.す
な わ ち,L'=
成 り立 つ.
これ らは文 章 で “文 学 的”に表 現 す る よ りも,数 式 で 表現 した方 が 簡潔 で意 味 もわ か りやす い(そ れぞ れ の項 目の 「す なわ ち」 以 降).数 式 を読 む練 習 を よ く積 んで も らい た い. 補足
“運 動量 と力 積 の 関係 ” にせ よ “運動 エ ネル ギ ー と仕 事 の 関係 ”にせ よ “角運
動量 と力 のモ ー メ ン トの 関係 ” にせ よ41),み なニ ュー トンの運 動 方程 式 か ら数 学 的 に導 か れ た もの で あ る.そ の 意 味 で は原 理 的 に新 しい こ と は何 もな い.こ れ らは単 に扱 う問題 に応 じて運 動 方 程 式 の 適用 の仕 方 を変化 させ た もの,と 思 っ て よい だ ろ う.し か し,運 動 量 も運 動 エ ネル ギ ー も角 運 動 量 もやが て力 学 を超 え て定 義 され る よ うに な る.例 え ば光(光 子)は 質 量 を持 た ない.し か し,運 動 量 も運動 エ ネル ギ ー も持 って い る.電 子 は 大 きさ を(と りあ えず)持 た ない.し か し,あ た か も大 き さを 持 つ物 体 が 自転 して い るか の ご と く角運 動 量 を持 つ.だ が,そ ん な こ とは今,考 え る必 要 な い.む しろ 「 力 学 の 基 本 は 運動 方 程 式 にあ る」 とい う こ とを しっか り認識 して も らい たい.
15.5力
の モ ー メ ン トと角 運 動 量 の 単 位
単 位 と は 量 を具 体 的 な 数 値 で 表 す と き に 重 要 で あ る こ と は も ち ろ ん だ が,そ
の次
元 を 考 え る と い う こ と は 物 理 量 の 意 味 を 考 察 す る と い う こ と で あ り,そ の 点 で も重 要 で あ る.そ
の こ と を示 す た め に,本
節 で は 少 し高 い 立 場 か ら力 の モ ー メ ン トと角
運 動 量 の 単 位 に つ い て 考 え て み よ う. 力 の モ ー メ ン トの 単 位 は 定 義 式r×Fよ ち42),仕 位 をMKS単
事,あ
り(各 成 分 は)[長
る い は エ ネ ル ギ ー の 次 元 に 等 し く な る.実
位 系 で 表 せ ば[N・m]と
な り,こ
れ は[J]に
さ × 力]の 次 元 を持
際,力
の モ ー メ ン トの 単
等 しい.も
ち ろ ん,力
の
モ ー メ ン トは ベ ク トル 量 で あ る の に対 し,仕 事 や エ ネ ル ギ ー は ス カ ラ ー 量 で あ る か ら両 者 は 厳 密 に 区 別 す る 必 要 が あ る.そ 変 化(変 位)」 で あ り,力 は な っ か ら意 味 が 違 う.そ
も そ も,仕 事 の[長 さ]は
の モ ー メ ン トの[長 さ]は こ で,力
の モ ー メ ン トの 単 位 と仕 事 の 単 位 が 等 し い の は
偶 然 に 過 ぎ な い ―― と 言 っ て し ま え ば 話 は 簡 単 な の だ が,果 せ て し ま っ て よ い の だ ろ うか.単
「(物体 の)位 置 の
「(作用 点 の)位 置 」 で あ る か ら,
た してそ れ だ け で済 ま
位 が 似 て い る(共 通 で あ る)と い う こ と は,両 者 の
間 に 何 ら か の つ な が りが あ る の で は な か ろ うか.こ
の 点 に つ い て も う少 しだ け 深 く
考 察 して み よ う. 図15.8の
よ う に伸 縮 しな い 長 さrの
軸 と θ の 角 度 を な し て い た と す る.そ
糸 の 端 に物 体 が 取 り付 け て あ り,糸 は 最 初x
が θ+dθ
に な っ た と き43),物
と変 化 す る.三
で あ る.dθ
の 物 体 に 力Fが
角 関 数 の 加 法 定 理(4.5節
が 十 分 小 さ い と き,cosdθ
っ て,物
とx軸
との なす角
参 照)を 使 え ば,
は1,sindθ
う と,
と な る.よ
働 き,糸
体 の 位 置 ベ ク トル は
体 の 位 置 の 変 位 ベ ク トルdrは
図15.8
はdθ
と 近 似 で き る44)こ
とを使
と な る.x,yは
も ち ろ ん 物 体 の 最 初 の 位 置 のx座
の 間 に 力F=(Fx,Fy)が
と な る.下
標 とy座
標 で あ る.こ
れ よ り,こ
物 体 に な した 仕 事 δWは45),
線 部 は 力 の モ ー メ ン トのz成
分 に 他 な ら な い46).つ
ま り,
(15.25) と な る.こ
れ は,力
方 向 の 変 位 をdsと
した と きの
(15.26) と 完 全 に 対 応 して い る.力
の 単 位 は 式(15.26)よ
に な る47).そ
の モ ー メ ン トは 式(15.25)よ
れ に 対 し,力
つ は ず で あ る.MKS単 rad(ラ
位 系 で 考 え れ ば[J/rad]と
ジ ア ン)と い う 単 位 は4.3節
と し て 定 義 さ れ て い る.つ
り[仕 事/長 さ]の 次 元 を持 つ こ と り[仕 事/角 度]の 単 位 を 持
書 きた い と こ ろ だ.し
か し,こ の
で 述べ た よ うに 円弧 の長 さを半 径 で割 った もの
ま り次 元 は[長 さ/長 さ]で,無
次 元 と な る48).そ
の た め,
力 の モ ー メ ン トの 単 位 は 仕 事 の 単 位 と見 か け 同 じ に な る の で あ る. 補足
物 体 の 位 置 を記 述 す るの に,何 も直 交 座 標 を用 い る必 要 は な い.極 座 標 の よ
うに,動 径 と角 度 を用 い て もよい.物 体(系)の 位 置 を指 定 す る の に用 い られ る変数 を一般 化 座標 と い う,そ して,“ 仕 事=□ × 一般 化 座標 の 変化 分 ” と表 した と き, □ を一般 化 力 とい う49).一 般 化座 標 が 長 さ の次 元 を持 つ と き,一 般 化 力 は力 の 次元 を持 つ こ とに な るが,一 般 に は一 般 化力 は力 の次 元 を持 つ と は限 らな い こ と に注 意 せ よ.力 の モ ー メ ン トは角 度 を一般 化 座標 に選 ん だ と きの一 般 化 力 だ った の であ る. 角 運 動 量 の 単 位 は 定 義 式mr×vよ な る.こ
れ をMKS単
り[質
量
× 長 さ × 速 度]の
位 系 で 書 け ば[kg・m・m/s]=[kg・m2/s]で
ま た[kg・m・m/s]=[(kg・m/s2)・m・s]=[(N・m)・s]=[J・s]と
次 元 を持 つ こ と に あ る が,こ
れ は
表 す こ とが で
き る.
補足
運 動 エ ネ ル ギ ー をT,一
般 化 座標 をqiで 表 した と き,∂T/∂qiを 一般 化 座 標qi
に共役 な 一般 化 運 動量 とい う50).角 運 動 量 は角 度 に共役 な一 般化 運 動 量 と考 え られ る51).こ こ ら辺 は大 学 で 学 ぶ(古 典)力 学――解 析 力 学――で は非 常 に重 要 な こ とだ が,本 書 で は こ れ以 上 は 深 入 り しない で お く.
注 1)ど こ に定 め て もい い の で,都 合 の い い と こ ろ に決 めれ ば よい.
2)“外 力 の基 準 点 まわ りの モ ー メ ン トの 和 ” で あ っ て な い こ とに 注 意.つ
,“ 外 力 の和 の 基準 点 まわ りの モ ー メ ン ト” で は ま り,個 々 の外 力 の モ ー メ ン トを計 算 して か ら和 を と ら な くて は い け な い.外
力 の 合力 の モ ー メ ン トで は な い. 3)固 定軸 まわ りの運 動 を考 える と きに は
,そ の 固定 軸 まわ りの力 のモ ー メ ン トの こ と を トル ク(torque) とか 回 転 力 とい う. 4)正 確 に は “角 運 動 量 を変 化 させ よ う とす る作 用 ”. 5)こ れ は 回転 運動 を考 え る ため の 基 準 点(基 準 軸)で あ って ,都 合 に よ っ て ど こ に選 ん で も よい.何 も ヤ ジ ロベ エ を考 え て い るか ら とい って,そ の支 点 のみ しか 資 格 が な い とい うわ け で は な い ので あ る. この 点 に関 して は 次 の 課 題 を 参 照 して も らい た い. 6)点 か ら直 線 まで の 距 離 とは ,そ の 点 か ら直線 に 下 ろ した垂 線 の 長 さ で あ る. 7)実 際 に どの向 き に物体 が 回転 す る か は その 他 の 力 の モ ー メ ン トや初 期 条 件 との 兼 ね合 いで 決 まる .こ れ は,い くつ か の 力 が働 い て い る と きの物 体 の 速 度 の 向 きが ど うな る か と同 じで あ る. 8)今 の 場 合 ,N1は 時 計 回 りに,N2は 反 時 計 回 り に棒 を回 転 させ よ う と して い る. 9)棒 の 加 速 度 が ゼ ロ(ゼ ロ ベ ク トル)で あ る か ら棒 に 作 用 す る 力 の 合 力 は ゼ ロ(ゼ ロベ ク トル)と な ら な くて は い け な い. 10)正 確 にい う と ,“ 角 運 動 量 の 変 化 は 生 じな い ” とい う こ とで あ る. 11)こ の よ うな と き,す な わ ち 「 外 力 の合 力 が ゼ ロ で あ り,か つ(任 意 の 点 の まわ りの)外 力 の モ ー メ ン トの 和 が ゼ ロ」 の 場 合,“ 外 力 は つ りあ って い る ” とい う. 12)前 に も述 べ た が “外 力 のモ ー メ ン トの 和 ” と “外 力 の和(合 力)の モ ー メ ン ト” を区 別 せ よ. 13)も ち ろ ん,こ れ は力 の モ ー メ ン トや 角 運 動 量 をベ ク トル量 と して ま ず考 え,そ の ベ ク トル の 回 転 運 動 平 面 に 垂 直 な 成 分 を取 り上 げ た の と 同 じで あ り,今 まで の 扱 い と異 質 な もの で は ない.回 転 運 動 平 面 内 の成 分 を角 運 動 量 は持 た な い の で そ の成 分 は無 視 して よ い の で あ る.こ れ は,ベ ク トル 量 で あ る速 度 を一 次 元 運 動 の 場 合 には 符 号 付 きの 一 つ の 数 で 表 して 十 分 な の と同 じで あ る. 14)円 運 動 で あ るか ら ,速 度 は物 体 と回 転 中 心 を結 ぶ 直 線(動 径)に 垂 直 で あ る こ とに 注 意. 15)理 由 は今 ま での こ と か ら簡 単 に わ か る と思 うが ,そ れ を 一言 で ま とめ る と 「物体 に 作 用 す る 糸 の 張 力 が 中心 力 と して働 い て い るか ら」 で あ る.中 心 力 につ い て は15.3節 参 照. 16)sinθ の マ ク ロ ー リ ン展 開式 の1次 の 項 まで を と った こ と に相 当 す る . 17)点 と直 線 の距 離 は
,点 か ら直 線 に下 ろ した 垂 線 の 長 さで 定 義 され る. 立 って 物 体 の 運 動 を 目で追 う た め に は首 を振 ら な くて は い け な い か ら,物 体 の点 Oま わ りの “回転 ”が 意 識 で き よ う. 19)も ち ろ んr=0ま た はF=0で あ って もr×F=0と な る .r=0の と き,力 は基 準 点 に作 用 18)こ の場 合 ,点Oに
す る こ とに な り,基 準 点 ま わ りの角 運 動 量 に は影 響 しな い.こ の こ とに はp.284で 触 れ た.ま た, F=0の と きは 角運 動 量が 変 化 しな い の は 当然 と言 え ば 当然 で あ る.こ の例 は 図15.3で 扱 っ た. 20)L=r×vが 一 定 で あ る とい う こ とは ,も ち ろ ん大 き さだ け で な く向 き も一定 で あ る とい う こ とで あ る.こ の こ と は物 体 の 回転 軌 道 面 は一 定 で あ る こ と を意 味 す る こ とが わ か るで あ ろ う. 21)物 体 に作 用 す る 力 の モ ー メ ン トの 総 和 が ゼ ロの と き角 運 動 量 が 一 定 と な る こ と を角 運 動 量 保 存 則 (conservationofangularmomentum)と い う. 22)こ れ は ケ プ ラ ー の第1法 則 と呼 ば れ る .楕 円 とそ の焦 点 に 関 して は各 自調 べ て ほ し い.高 校 の数 学 の教 科 書 程 度 の知 識 で十 分 で あ る. 23)天 王星 は1781年 に偶 然発 見 さ れ た .そ して,こ の 天 王 星 の 軌 道 の乱 れ か ら,「 こ の場 所 に こ の くら い の大 き さの 惑 星 が存 在 す るは ず だ」 と計 算 した学 者 が い て,そ の 方 向 に天 体 望 遠 鏡 を向 け た らは た して海 王 星 が あ っ た の で あ る.海 王 星 は 地 球 か ら見 れ ば 非 常 に 暗 い 星 で,当 然 肉眼 で は見 えず,と て も偶 然 見 つ け られ る代 物 で は な い.こ れ は,ニ ュ ー トン力 学 の 適 用 範 囲 の 広 さ を示 す 一 つ のエ ピ ソ ー ドで あ る.な お,冥 王 星 の発 見 は半 ば予 測 に基 づ き,ま た,半 ば偶 然 に な さ れ た よ うで あ る. 24)長 軸 半 径 と短 軸 半 径 の比 は1.0044:1 ,公 転周 期 は687日 と した. 25)そ れ以 上 に天 動 説 が 優 位 な時 代 で あ っ た. 26)実 際
,ケ プ ラ ー は最 初,火 星 の 軌 道 は 円 で あ り,太 陽 は 単 に中 心 か ら離 れ て い る だ け と考 え て,太 陽 の位 置 と火 星 の軌 道 を計 算 した.そ の 解 析 結 果 は 測 定 デ ー タ とか な りよ く一 致 し た.し か し,ケ プ ラ ー は 自分 の解 析 結 果 に満 足 せ ず に最 初 か ら解 析 をや り直 して楕 円軌 道 を得 た の で あ る(20.2節
参 照).
27)火 星 の デ ー タ を肉 眼 で 行 い得 る最 高 の 精 度 で収 集 したの は テ ィコ ・ブ ラ ーエ(TychoBrahe
,15461601)と い う天 文 学 者 で あ る. 28)糸 を 十 分 ゆ っ く り引 く とす る と,各 瞬 間 瞬 間 で は物 体 は 円 運 動 を して い る と見 なせ る.こ こ ら辺 は も う少 し説 明 す べ きこ とが あ る が,議 論 が う る さ くな る の で こ こで は触 れ ない. 29)言 う まで もな い こ とで あ る が ,こ こ で はtは た だ の 変 数 で あ り,時 間 を表 して い る の で は な い. 30)「 腕 の伸 筋群 のす る正 の 仕 事 の大 きさ に比 べ ,腕 の 屈 筋 群 の す る負 の 仕 事 の 絶対 値 の方 が 大 きい」 と い うこ と.な お,実 際 の 運動 で は肘 関節 の み で な く肩 関節 も 関与 す るが,同 様 の 議 論 が で きる. 31)各 粒 子 は 質 点 と見 なせ る とす る . 32)こ れ が成 り立 た な い と きの こ とは 当面 考 え な くて よ い . 33)平 行 な ベ ク トル 同士 の ベ ク トル積 は ゼ ロベ ク トル に な る ので あ った(5 .6.2項 参 照). 34)“ 外 力 の モ ー メ ン トの和 ” で あ っ て “外 力 の 和 の モ ー メ ン ト”で は ない こ と に注 意 せ よ. 35)各 粒 子 は 質点 と見 なせ る とす る . 36)自 分 が 自分 に及 ぼ す 力 ,つ ま り自 己力 の 問題 は当 面 考 え な くて よい.大 抵 の 人 は一 生 考 え な くて よい. 37)何 回 か述 べ た こ と で あ るが ,“ 外 力 の 基 準 点 まわ りの モ ー メ ン トの和 ” で あ っ て,“ 外 力 の和(合 力) の基 準 点 ま わ りの モ ー メ ン ト”で は な い こ と に注 意.つ ま り,個 々 の外 力 の モ ー メ ン トを計 算 して か ら和 を と らな くて は い け な い. 38)∑cai=ca1+ca2+ca3+
…=c(a1+a2+a3+…)=c∑ai
39)MRGは
い う まで もな く重 心 の 運 動 量 で あ る .式(15.19)と 式(15.4)と を 見 比 べ れ ば,LGは ま さ に重 心 の角 運 動 量 と呼 ぶ にふ さ わ しい こ とが 納 得 で き よ う. 40)先 ほ ど の 「外 力 の 合力 の 基 準 点 ま わ りの モ ー メ ン ト」 と し っか り区 別 す る こ と.な お ∑ 記号 に 関 して は略 した書 き方 を して い るが,誤 解 の 恐 れ はな い だ ろ う. 41)細 か く言 えば ,“ 運動 量 と力 積 の関 係 ”,“運 動 エ ネ ル ギ ー と仕 事 の 関 係 ” に並 ぶ の は “角 運 動 量 と角 力 積 の 関係 ” で あ る(p.326の 補 足 参 照).な お,“ 角 運動 量 と力 の モ ー メ ン トの 関 係 ” に対 応 す る の は “運動 量 と力 の 関係 ” お よび “運 動 エ ネル ギ ー と仕 事 率 の 関係 ”で あ る. 42)力 のモ ー メ ン トの 大 きさ のみ を考 えれ ばrFsinθ で あ るが ,sinθ が もと も と無 次 元(三 角 形 の 一辺 の長 さ を他 の 辺 の 長 さで 割 っ た もの で あ る こ と よ り)で あ る こ と を考 えれ ば,大 きさ に 関 して も[長 さ × 力]の 次 元 を持 つ こ とに な る. 43)本 来 ,dθ の か わ りに Δθ を使 うべ きか も しれ な い が,本 節 で は多 少 略 した形 を使 う.ま た,角 度 変 化 と変 化 に要 し た時 間 は十 分 小 さ く,こ の 間Fは 一 定 と見 なせ る もの とす る. 44)cosdθ ,sindθ の マ ク ロー リ ン展 開(8.2節 参 照)に お い てdθ の1次 の 項 まで と った. 45)δ は ギ リ シ ャ文 字 で “デ ル タ” と読 む(Δ は 大 文 字 で δ は小 文 字) .微 小 量 で あ る こ と を示 す の に “d”を今 ま で使 っ て き たが ,こ れ は気 分 的 に は “微 小 変 化 量 ”,す な わ ち変 化 の 前 後 の 量 が 定 義 さ れ る よ う な量 に対 して “変 化 後-変 化 前 ” とい う意 味 で 使 う こ とが多 い.例 え ば,「 こ の物 体 は こ れ これ の 運 動 エ ネ ル ギ ー を最 初 に持 っ て い たが,次 の瞬 間 に物 体 の持 つ運 動 エ ネ ル ギ ー は こ れ こ れ に な って い た 」 と い う場 合,運 動 エ ネ ル ギ ーKの 変化 を “dK” の よ う に表 した りす る.そ れ に対 し, 「こ の物 体 は こ れ これ の 仕 事 を最 初 に 持 っ て お り,次 の 瞬 間 に 物体 の持 つ 仕 事 は これ これ にな っ て い た」 とは言 え ない.仕 事 はエ ネ ル ギ ー の移 動 の 形 態 な の で あ る(13.8節 参 照).そ こ ら辺 に こ だ わ っ て,物 体 に な され る微 小 仕事 を表 す の に “dW” の よ う な表 記 を用 い たが ら ない 人 が 結構 い る.こ こ で も,そ の よ う な人 た ち にな らい,“ δW” とい う表 記 を採 用 した. 46)今 はx -y平 面 で 考 えた が ,他 の 平面 に 関 して も 同様 の こ とが 考 え られ,力 の モ ー メ ン トの他 の成 分 が 得 られ る. 47)普 通 は仕 事 が[力
× 長 さ]の 次 元 を持 つ と考 え る が ,こ こ で は仕 事 を 中心 に考 え る.
48)そ の ため
,θ=πradを 単 に θ=π と書 い て よい の で あ る. 49)こ の 説 明 はか な り粗 い .詳 し くは 解 析 力 学 の テ キ ス トで勉 強 して も らい た い. 50)も っ と一 般 に 系 の ラ グ ラ ン ジ ア ンLと い う もの を考 え,∂L/∂qiで 一 般 化 運 動 量 を定 義 す る方 が 普 通 で あ る. 51)普 通 の 運 動 量mvは のx成
,運 動 エ ネ ル ギ ーT=1/2mv2と,mv=dT/dvの
分mxはT=1/2m(x2+y2+z2)か
ら ∂T/∂xと 求 め られ る.
関係 が あ る.さ
らに,運 動 量
16 剛体 の運動
11.1節 で,物 体 の運 動 を扱 うた め に “ 質 点 ” とい う概 念(モ デ ル)を 導 入 した.「 物 体 を質 点 と して扱 う(近 似 す る)」 とは 「 物 体 の 形 状 や大 きさ を考 え ず に物 体 の 運 動 を扱 う」 とい う立 場 を表 明 した もので あ る.こ れ は今 まで 見 て きた よ う に,現 実 の 物 体 の 運動 を扱 う上 で も非常 に役 立 つ モ デ ル(近 似 法)で あ る.し か し,本 質 的 に物 体 の 大 き さ,形 状 を無 視 で きな い運 動 が あ る の も事 実 で あ る.例 え ば,同 じ地 球 の 運 動 で も,地 球 の公 転 運 動 を扱 う と き には 地 球 を質 点 と して扱 うこ と は非 常 に精 度 の高 い 近似 とい え るが,地 球 の 自転 運 動 を扱 う と きに は本 質 的 に地 球 の大 き さや 形 状 を考 えな くて はい け ない.ま た,地 球 の 自転 運 動 を扱 う と きに は地 球 の 大 き さや 形 状 を一 定 と して考 え て よい が1),地 震,さ ら には 造 山運 動 な どを扱 う と きに は 地 球 の 形 状 の変 化 を扱 わ な くて は い け ない.結 局,同 じ物 体 で あ っ て も,ど の よ うな 運 動 に着 目す る かで 適 切 な 近似 モ デル を適 宜 選択 す べ きで あ る とい う こ とだ.本 章 では “ 剛 体 ”とい うモ デ ル を用 い て 「 物体 の大 き さや形 状 は 無視 で きな いが,物 体 の 変 形 は 無視 で きる」 よ うな 運動 を扱 う.
16.1剛
体
と は
物 体 の 運 動 を 扱 う際,物 体 を 剛 体(rigidbody)と
体 の 大 き さ と形 状 は 考 慮 す る が 変 形 を無 視 す る 場 合,「 物 し て 扱 う(見 な す,近 似 す る)」 と い う.剛 体 とは 質 点 と 同
じ く,物 体 の 運 動 を 扱 う た め の モ デ ル で あ る2).そ と 回 転 運 動 の 合 成 ” と し て と ら え る こ と が で き る.こ い が3),直
し て,剛
体 の 運 動 は “並 進 運 動
れ を厳 密 に 説 明 す る の は 難 し
感 的 に は 次 の よ う な 例 を 考 え れ ば よ い.
消 しゴ ムの適 当 な場 所 に楊 枝 を刺 し,楊 枝 を指 で つ ま んで くる くる ね じ り なが ら振 り回す. この よ うな場合 は消 し ゴム に特 定 の回転 軸 が あ る ので,そ の軸 の運 動 と,軸 まわ り の消 しゴ ムの 回転 運 動 を考 えれ ば よい.場 合 に よって は 回転 軸 で な く,あ る点 が 回 転 中心 と して与 え られ てい る と き もあ る.そ の場 合,そ の点 の(並 進)運 動 と,そ の 点 まわ りの物 体 の 回転 運動 を考 えれ ば よい.し か し,特 定 の 回転軸(回 転 中心)が 与 え られ て ない こ とも多 い.例 え ば,消 しゴム に ひね りを加 えて放 り投 げ る場 合 な ど
であ る.そ の よ うな場合,消
しゴム の質 量 中心 の運動 と,質 量 中 心 ま わ りの消 しゴ
ムの 運動 を考 え るの が よい.な ぜ な ら,角 運動 量 は15.4節 で学 んだ よう に,“ 基準 点 まわ りの 質量 中心 の 角運 動 量 ” と “質 量 中心 ま わ りの系 の(相 対 的 な)角 運 動 量” とに分 離 で きる し,第11章
で学 んだ よ うに,質 量 中心 の並進 運動 は外 力 の合 力 だ け
(各外 力 の作用 点 の情報 は不 要)で 決 定 され るか らで あ る. 以 上 の よ う に書 くと,「 剛体 の 運動 恐 る る に足 らず 」 と思 われ るか も しれ ないが, 剛 体 とい う単純 なモ デ ル であ って もそ の運 動 の一 般論 をす るの は非常 に難 しい.直 方 体 の消 しゴム に ひね りを加 え て放 り投 げた と きの 消 しゴム の運 動 は,理 工 系 の教 養 課 程 で もあ ま り例 題 と して取 り上 げ な い くらい 難 しい問 題 な の で あ る.そ こで, 本 書 で は剛 体 の運 動 の 一般 論 を展 開す る こ とは諦 め,剛 体 の運 動 の うちで も回転 軸 ここ ろ も と
が 固 定 さ れ て い る場 合 の み を 扱 う.「 そ れ だ け で は 心 許 な い 」 とい う 人 も 多 か ろ う が,こ
れ だ け で も ス ポ ー ツ バ イ オ メ カ ニ ク ス の 論 文 の 多 く(平 面 内 で の 回 転 運 動 を
論 じた 論 文)を 読 む こ と が で き る の で,と 補足
り あ え ず は 安 心 し て も ら い た い.
物体が硬い とき 「 物 体 を剛 体 と見 なす 」 の で は な い.物 体 の 形状 の変 化 を考
慮 しな くて す む場 合 に 「物 体 を剛体 と見 なす 」 の で あ る4).例 え ば釣 り竿 を し な ら せ て 固定 す る.こ の と き,釣 り竿 に働 い て い る力 と釣 り竿 の 運動(静 止 状 態)と の 関 係 は 剛体 の力 学(静 力 学)を 用 い て 精確 に(近 似 な く)記 述 され る.釣 り竿 が 動 い て い て もそ の形 が 保 た れ て い る な ら,や は り釣 り竿 を剛体 と見 な して 運動 方程 式 を立 て れ ば よい.そ の 運 動 方程 式 は近似 式 で は な く,厳 密 に正 しい 式 で あ る.
16.2剛
体 に働 く力 の 合 成
16.2.1平
行 でない二 つ の力の 合成
剛 体(質 量 をMと
を立 て る た め に は,個
す る)の 質量 中心RCMの
々 の 外 力fiの
合 力(ベ
並 進 運動 の方程 式
ク トル 和)∑fiの
み が 必 要 と な る.
外 力 の ベ ク トル和 を考 える際 には,個 々 の外 力fiの 作 用 点(着 力 点)は ま った く問 題 にす る必 要 はな い.そ れ に対 し,角 運動 量 の方程 式
図16.1力 の モ ー メ ン トri×fiは 動 させ て も変 化 しな い.
に お い て は,右
作 用 点 を作 用 線 の 方 向 に どの よ う に移
辺 で 力 の モ ー メ ン ト を計 算 す る と き に 個 々 の 外 力fiの
置 ベ ク トル5)riが の よ う に,力
力 ベ ク トルfiの
必 要 と な る.し
ベ ク トルfiの
か し,個
作 用 点 の位
々 の 力 の モ ー メ ン トri×fiは
図16.1
作 用 点 を 作 用 線 の 方 向 に ど の よ う に 移 動 させ て も変 化
しな い. 課 題 力 のモ ー メ ン トri×fiは 図16.1の よ うに,力 ベ ク トルfiの に どの よ う に移 動 させ て も変 化 しな い こ とを証 明 せ よ. 解説
図16.1か
ら 明 ら か に,力
メ ン トア ー ム)は き さ)は
変 わ ら な い.力
ri+Δriに
の 作 用 点 を力 の 作 用 線 方 向 に ず ら し て も力 の 腕 の 長 さ(モ
変 化 し な い6).よ
明 は 終 わ りだ が,ベ
っ て,力
の モ ー メ ン トの 大 き さ(力
の モ ー メ ン トの 向 き7)も 変 化 し な い の は 明 ら か で あ ろ う.こ
移 動 させ た と す る.た
だ し,条
件 よ り Δri‖fiで
トri×fiに
局,力
な る が,最
あ る.新
右 辺 第2項
ー
の 腕 の 長 さ × 力 の大
ク トル の 知 識 を 使 え ば も う 少 し 機 械 的 に で き る.力
は(ri+Δri)×fi=ri×fi+Δri×fiと な る8).結
作 用 点 を作 用 線 の 方 向
れで証
の 作 用 点 をriか
ら
しい 力 の モ ー メ ン ト
は,Δri‖fiよ
り0と
の 作 用 点 を 力 の 作 用 線 方 向 に ず ら し た と き の モ ー メ ン トは も と の モ ー メ ン
等 し い こ と が わ か る.
以 上 の 議 論 よ り,剛 体 の 運 動(重 心 運 動 と 回転 運 動 の 組 み 合 わ せ に よ っ て 表 現 す る こ とが で き る)は,個
々 の 力 の 作 用 点 を そ の 作 用 線 方 向 に 適 当 に 移 動 さ せ て も変 わ
ら な い こ と に な る.そ
の た め,剛
が そ れ ぞ れ 点P,Qに
働 い て い る と き,こ
る.二
体 に 図16.2aの
れ らの 力 を 一 つ に 合 成 す る の は 簡 単 で あ
つ の 力 の作 用 線 を延 長 し,そ の 交 点Rを
を 作 図 し て や れ ば よ い(図16.2b).つ Rに
力F(=f1+f2)が
で あ る.こ
の よ う に,剛
よ う に平 行 で な い 二 つ の 力f1,f2
始 点 と して 二 つ の 力 の ベ ク トル 和F
ま り点P,Qにf1,f2が
作 用 す る場 合 とで は,剛
作 用 す る 場 合 と,点
体 は ま っ た く同 じ運 動 を す る の
体 に働 く平 行 で な い 二 つ の 力 は 必 ず 一 つ の 力 に合 成 で き る
(還 元 し て 考 え る こ と が で き る)9).
図16.2平
補足
行 で ない 力 の 合 成
この よ うに力 の 合 成 をす る と,合 力 の作 用 点 が 剛体 の外 に出 て し まう こ とが
あ る.そ れ は そ れで ま った く構 わ ない.数 学 的 に は,そ れ で計 算 して も まっ た く同 じ運 動 が 得 られ る.ど う して も気 持 ちが 悪 い とい う人 は合 力 ベ ク トル の始 点(作 用 点)を そ の作 用 線 の 方 向 にず ら して 剛体 内 に持 って くれ ば よい.
16.2.2平
行 な二 つ の 力 の 合 成
図16.3の
よ う に 剛 体 に 働 く二 つ の 力f1,f2が
平 行 な 場 合 は,そ
れ らの 力 を ど の
よ う に 合 成 す れ ば よ い だ ろ う か.
図16.3平
行 な力 の 合 成
力 ベ ク トル その もの は前項 と同様 に
(16.1) とす れ ば よ い.問 あ る.こ
題 はFの
作 用 点R(位
れ も前 項 と同 様 に,合
置 ベ ク トル をRと
成 さ れ た 力Fの
す る)を ど こ に お く か で
モ ー メ ン トがf1,f2個
々の モ ー メ
ン トの 和 に 等 し く な る よ う に 定 め れ ば よ い.す
な わ ち,
(16.2) とな る よ う にRを Qの
定 め れ ば よ い の で あ る.た
位 置 ベ ク トル で あ る.さ
ルf(≠0)と0で
だ し,r1,r2は
て,今,f1‖f2で
な い 適 当 な 実 数s,tを
力f1,f2の
あ る か ら,こ
作 用 点P,
れ らに平 行 な ベ ク ト
用 い て,
(16.3) と表 す こ と が で き る.式(16.3)を
式(16.1)に
代 入す る と
(16.4) が 得 ら れ る.式(16.3),式(16.4)を
式(16.2)に
代 入 し整 理 す る と
(16.5) が 得 ら れ る.式(16.5)を
成 り立 た せ る た め に は,s+t≠0な
ら ばRと
して
(16.6) を 選 ん で や れ ば よい.こ な ら,す s,tが
の よ う な 位 置 ベ ク トルRで
な わ ちf1,f2が
異 符 号 な ら,す
点 で あ る10)(5.7節 で は,s+t=0,す
表 さ れ る 点Rは,s,tが
同 じ 向 き な ら ば 線 分PQを│t│:│s│に な わ ちf1,f2が
同符 号
内 分 す る 点 で あ る.
逆 向 き な ら ば 線 分PQを│t│:│s│に
外分 す る
参 照). な わ ちf1=-f2の
と き(f1とf2は
が 等 しい と き)は ど うす れ ば よ い だ ろ う か.残 力 に合 成 す る こ と は で き な い.こ
念 な が ら,こ
互 い に 逆 向 きで 大 き さ れ ら二 つ の 力 は 一 つ の
れ ら二 つ の 力 が 剛 体 を 回 転 させ よ う とす る 能 力 を
持 っ て い る こ と は 直 感 的 に も明 ら か で あ る が,合
力 は ゼ ロ(ゼ ロ ベ ク トル)で あ る.
ゼ ロ ベ ク トル を 以 っ て ゼ ロ ベ ク トル で な い モ ー メ ン トを 生 み 出 す こ と は で き な い の で あ る.な
お,剛 体 の2点
に働 く互 い に逆 向 き で 大 き さ の 等 しい 力f,-fの
力(coupleofforces)と
呼 ぶ.偶
と な る.こ
力 の モ ー メ ン トを計 算 す る 際 に,力
の 式 か ら,偶
相 対 的 な 位 置 ベ ク トルr1-r2の
組 を偶
力 の モ ー メ ン トは
の作 用 点 の情 報 は そ の
み が 必 要 で あ る こ とが わ か る.相
対 的 な位 置 ベ ク
トル の み が 必 要 と い う こ と は,位
置 ベ ク トル の 始 点 の 取 り方 は偶 力 の モ ー メ ン トに
影 響 を 与 え な い とい う こ と で あ る.そ
の た め,偶
力 の モ ー メ ン トに 関 し て は “点 ∼
ま わ り の ” と い う断 り を入 れ な く て も よ い こ と に な る. 力 の 合 成 に つ い て は16.2.1項 の 問 題 が 解 け る は ず で あ る.こ
と16.2.2項
に述 べ た こ とだ けで基 本 的 には すべ て
こ で は 課 題 は 特 に 設 け な い が,各
自十 分 に 練 習 を積
ん で も ら い た い.
16.3剛
体 の重 心
本 節 で は 剛 体 に働 く重 力 を合 成 す る こ と を考 え る.p.163で 物 体 の 各 部 分 に働 く.そ の 運 動 と,あ
も述 べ た が,重
の(物 体 の 各 箇 所 に 働 く)重 力 に よ っ て 剛 体 の 質 量 中 心11)
る 基 準 点 ま わ り の 剛 体 の 回 転 運 動 が 決 定 さ れ る わ け だ が,そ
た く等 しい 運 動 を 引 き 起 こ す よ う な 一 つ の 力Fと う わ け で あ る.こ 系 と見 な し),そ
力 は
の 問 題 を考 え る た め に,剛
そ の 作 用 点RGを
れ とま っ
求 め よ う とい
体 を 便 宜 的 に 微 小 部 分 に 分 け て(質 点
の 各 微 小 部 分 に 働 く重 力 を 合 成 す る こ と を考 え よ う.ま ず,分
た 各 微 小 部 分 に番 号 を付 け,i番
目 の 微 小 部 分 の 質 量 をmi,位
の 重 力 の 強 さ(重 力 加 速 度)をg(ri)と
す る12).こ
の と き,剛
置 をri,そ
解 し
の位 置 で
体 の 質 量M,剛
体 の
質 量 中 心RCMは
(16.7) と表 さ れ る.質
量 中 心RCMの
運 動(運 動 方 程 式)が 等 し く な る よ う にす る た め に は,
(16.8) が 剛 体 の ど こ か に働 け ば よ い(こ の 段 階 で は作 用 点 は ど こ で も よ い).後 動 が 等 し くな る よ う に,す う にFの
作 用 点RGを
な わ ち,基
は,回
転運
準 点 ま わ り の 力 の モ ー メ ン トが 等 し くな る よ
定 め て や れ ば よ い.こ
れ は16.2節
の 議 論 に 従 っ て,
(16.9) が 成 り立 つ よ う にRGを 重 力 中 心,あ 式(16.9)と
決 定 す れ ば よ い.式(16.9)に
る い は 重 心(centerofgravity)と
よ っ て 定 め られ るRGこ
そ,
呼 ぶ べ き量 で あ る13).式(16.7)と
を 比 べ れ ば わ か る よ う に,質 量 中 心RCMと
重 心RGと
の定 義式 は異 な
る.よ
っ て,一
般 に はRCM≠RGで
あ る.し
か し,我
々 が 重 力 を考 え る と き は 地
表 の 十 分 狭 い 空 間 に お け る重 力 場 を 相 手 に す る こ と が 多 い.そ と見 な せ る.こ
れ を改 め てgと
お こ う.す
の 場 合,g(r)は
一定
る と,式(16.8)は
(16.10) と な る.つ
ま り,Fは
加 速 度)gを
剛 体 の 全 質 量Mに
か け た も の に 等 し く な る.ま
剛 体 の 存 在 す る 空 間 の 重 力 場 の 強 さ(重 力 た こ の と き,式(16.9)は
よ り
と 変 形 で き,
(16.11) と す る こ とが で き る.こ
れ は 質 量 中 心 の 定 義 式 で あ る式(16.7)に
一 致 す る.す
なわ
ち,一 様 な 重 力 場 中 で は 質 量 中 心 と重 心 は 一 致 す る の で あ る14).そ
の た め,本
は 本 節 以 外 は 質 量 中 心 と重 心 と を 区 別 し な い こ と に し て い る し,他
の力 学 の テ キス
書で
トで も大 抵 は 質 量 中 心 と重 心 と を 区 別 し て い な い の で あ る. 補 足1剛 体 の運 動 は外 力 の総 和(合 力)と,外 力 の モー メ ン トの総 和(と 初 期 条件) で 決定 さ れ る.逆 に い うと,合 力 と力 のモ ー メ ン トの和 さ え等 し けれ ば,力 は ど の よ うに働 いて も剛体 は 同 じ運 動 をす る とい う こ とで あ る.重 力 に関 して は,剛 体 に 働 く全 重 力 が 重 心 とい う一 点 に作 用 す る と見 な して も剛体 の運 動 に対 す る効 果 は変 わ らない とい う こ とだ.も し,物 体 が剛 体 で な けれ ば,つ ま り変 形 が 可能 な らば,物 体 全 体 の 運動(物 体 の部 分 部分 の運 動)を 論 じる ため には重 力 の 作用 点 を重 心 に還 元 して考 え るだ け で は不 十 分 で あ る.同 様 に,身 体 運 動 を論 じる際 に 「重力 は 身体 の 重 心 に働 く」 とす る だ けで は,多 くの場 合 不 十 分 で あ る こ と に なる. 補 足2身
体 を剛 体 と見 なせ る セ グ メ ン ト(体 節)に 分 け る こ とが 許 さ れ る な らば
(許 され る 運動 を扱 う な ら ば),各 セ グ メ ン トに働 く重 力 の作 用 点 は そ れ ぞ れ の セ グ メ ン トの 重 心 の位 置 で あ る と して よい.身 体 重 心 の位 置 は,各 セ グメ ン トの重 心 に そ れ ぞ れ のセ グメ ン トの質 量 に等 しい 質量 の質 点 が 存在 す る と考 え,そ れ らの質 点 系 の重 心 を改 め て 求 め れ ば よい.質 点 系 の 重 心 の 求 め 方 は12.3節,13.4節 を参 照 せ よ.
16.4剛
体 に作用 す る力の つ りあい
剛 体 に い くつ か の力 が働 い て い る に もかか わ らず,剛 体 が つ りあ い の状 態 に あ る と き,剛 体 に作 用 して い る力 は どの よ うな条件 を満 た してい る であ ろ うか.剛 体 が つ りあ い の状 態 に あ る こ とを数学 的 に表 現 す る方 法 は い くつ か あ るが,一 番 簡 単 な の は, (a)剛 体 の 重 心15)をRGと
した と きRG=0,か
わ り の 剛 体 の 角 運 動 量 をLと とい う もの で あ ろ う17).(a)の
つ,(b)あ
条 件 を 満 た す た め に は,剛
(ゼ ロ ベ ク トル)で あ れ ば よ い.す
る 一 点16)の ま
した と き,L=0
な わ ち,剛
体 に 働 く力 の 合 力 が ゼ ロ
体 に 働 くi番 目 の 力 をfiと
し た と き,
(16.12) な ら ば よ い.ま
た,(b)の
条 件 を 満 た す た め に は,fiの
トル を あ る 点 を基 準 に し てriと
作 用 点(着 力 点)の 位 置 ベ ク
し た と き,
(16.13) で あ れ ば よ い(力 の モ ー メ ン トの 和 が ゼ ロ).こ と こ ろ だ が,一
れ で メ デ タ シ,メ
デ タ シ と言 い た い
つ 疑 問 が 残 る.
仮 に 同 じ力 が 同 じ場 所 に働 い て い て も,力 異 な っ て し ま う.つ で あ っ て も,他
ま り,あ
の モ ー メ ン トは 基 準 点 に よ っ て
る一 点 の ま わ りの 力 の モ ー メ ン トの 和 が ゼ ロ
の 点 の ま わ りの 力 の モ ー メ ン トの 和 は ゼ ロ に は な ら な い こ
とが あ る の で は な い か.実
際,剛
体 に 一 つ だ け 力 が 働 い て い る と き,そ
作 用 線 上 に 基 準 点 を と れ ば 力 の モ ー メ ン トは ゼ ロ に な る が,そ 合 は ゼ ロ に は な ら な い.つ ま う の で あ る.よ
条 件 は 不 十 分 な の で は な い か.
そ の 説 は ま っ た く も っ て 正 しい.(b)の
条 件 だ け で は 剛 体 に 働 く力 の つ りあ い の 条
か し,条 件 が “(a)か つ(b)”
と な る と,「 任 意 の 点 の ま
わ りの力 の モ ー メ ン トの 和 は ゼ ロ に な る 」 こ とが 示 せ る の で あ る.次 を 示 そ う.ま よ う.す
ず,適
当 な 一 点Oを
な わ ち,点Oを
れ以外 の場
ま り,基 準 点 に よ っ て は 角 運 動 量 は 変 化 し て し
っ て,(b)の
件 に は な ら な い の で あ る.し
の
に,そ の 証 明 法
基 準 と し た と き の 力 の モ ー メ ン トの 和 をNと
始 点 と し た 力fiの
作 用 点Piの
位 置 ベ ク トル をriと
し して
(16.14)
図16.4
とす る(図16.4参 点O'を
照).次
始 点 と したPiの
に,点O'を
基 準 と し た 力 の モ ー メ ン トN'を
位 置 ベ ク トル をri'と
考 え よ う.
す る とN'は
(16.15) と な る.こ
こ でO'Oをr0と
お くと
(16.16) と な る.式(16.16)を
式(16.15)に
と な り,最 右 辺 でr0がiに
代 入 す る と
関 係 の な い 定 ベ ク トル で あ る こ とか ら和 記 号 の 前 に 出 せ
ば18),
(16.17) が 得 ら れ る.式(16.17)の
右 辺 に 式(16.14)を
代 入す る と
(16.18) と な る こ と が わ か る.よ な り,あ
っ て,式(16.12)が
成 り立 て ばN'=Nが
る 一 点 の ま わ りの 力 の モ ー メ ン トの 和Nが0に
力 の モ ー メ ン トの 和N'も0に
成 り立 つ こ と に
な れ ば 他 の 点 の ま わ りの
な る の で あ る.
課 題 図16.5の よ うに,質 量mの 一様 な棒 を壁 に立 て か け る.こ こで床 は水 平 で あ り,壁 は床 に対 し垂 直 で あ る.棒 と床 との なす 角 θ を少 しず つ小 さ く して い く と き,θ が どれ だ け に な る と棒 は滑 り出す か.滑 り出す 直 前 の θを求 め よ.棒 と壁 を そ れぞ れ μ1,μ2と し,重 力 加 速 度 の 大 きさ をgと す る.
棒 と床 の 間 の静 止 摩擦 係 数
図16.5
解 説 棒 の 長 さ を2aと す る と,棒 の 重心 は両 端A,Bか らそ れ ぞ れaず つ離 れ て い る こ と に な る.さ て,棒 が ま さ に滑 り出 そ う とす る と き,棒 の 両端A,Bは と も に最 大 静 止 摩 擦 の 状 態 に な っ てい る(解 説 は必 要 ない だ ろ う).そ の た め,図16.5に 示 した静 止 摩 擦 力f1,f2 は垂 直 抗 力N1,N2に 対 して
の 関係 に あ る19).後 は力 の つ りあ い の 条件 を 書 き下 す だ け で あ る.合 力 が ゼ ロ とい う条 件 よ り,
(16.19) (16.20) が得 られ る.次 に,任 意 の一 点 の ま わ りの力 の モ ー メ ン トが ゼ ロ とい う条 件 だが,そ の 点(回 転 の基 準 点)は ど こ に取 っ て もい い.し か し,な るべ く計 算 を簡 単 にす る た め に,未 知 の 力 が た くさん働 い てい る とこ ろ(作 用 点)を 選 ぶ と よい.あ る力 の作 用 点 を基 準 と した と き,そ の力 は力 の モ ー メ ン トに寄 与 しな い か らで あ る20).こ こで はBま で あ る とい う式 を立 て る と(反 時計 回 りを正 とす る),
わ りの モ ー メ ン トが ゼ ロ
(16.21) と な る21).以
上,3式
よ りN1,N2を
消 去 してtanθ
と な る.「 こ の 式 を 満 た す0° ≦ θ≦90° 角 関 数 を8.6節
で 学 ん だ の で,
と答 え て お こ う.
を 求 め る と22)
な る θ が 答 え 」 と し て も よ い の だ が,せ
っ か く逆 三
16.5固 図16.6の
定 軸 ま わ りの 角 運 動 量 と慣 性 モ ー メ ン ト よ う に,剛 体 が 空 間 に 固 定 さ れ た あ る軸 に よ っ て 貫 か れ て い る場 合 の 運
動 を 考 察 し よ う.た
だ し,軸
と剛 体 の 間 の 摩 擦 は 無 視 で き る も の とす る.
図16.6固
定 軸(z軸)ま
わ りの 剛 体 の 回 転
軸 が 固定 され てい る ため,剛 体 の運 動 は 剛体 の 軸 ま わ りの 回転 角 だ けで 指定 す る こ とが で きる.つ ま り,こ の回転 角(の 変 化 の様 子)を 決 定づ け る方程 式 は どの よ う な もの か を考 えれ ば よい.回 転 運 動 を考 える ため の最 も自然 な量 は角 運 動 量 で あ る ため,剛 体 の軸 まわ りの角 運動 量 に着 目 しよ う.こ の角 運 動量 を剛体 の軸 まわ りの 回転 角 で表 す こ とが で きれ ば,回 転 運動 の式 軸 まわ りの角運 動 量 の変 化 率=軸
(16.22)
まわ りの外 力 のモ ー メ ン ト
が 回 転 角 を 決 定 づ け る方 程 式 と な る. ま ず,考 軸 と し,そ
え や す くす る た め に 座 標 系 を 設 定 し よ う.空
間 に 固 定 さ れ た 回 転 軸 をz
れ に 直 交 す る 軸(空 間 に 同 じ く固 定 さ れ た もの23))をx軸
向 き は ど う で も よ い),x軸
とz軸
は 右 手 系 を な す と す る24)).次
の 両 方 に 直 交 す る よ う にy軸
う に す る),OPとx軸
の 垂 線 の 足 をOと
し(こ の 点Oが
着 目 し,そ
の た め,z
の 点 か ら軸 に
座 標 系 の 原 点 とな る よ
と の な す 角 θ を 剛 体 の 軸 ま わ り の 回 転 角 と す る.θ
て 剛 体 の 位 置 が 一 意 的 に 定 ま る の は 直 感 的 に 明 らか で あ ろ う.さ を 使 っ て こ の 剛 体 のz軸
て,残
ま わ りの 角 運 動 量 を 表 し て や る こ とで あ る.こ
ま で 度 々 や っ て き た よ う に 剛 体 を微 小 部 分 に 分 割 し25),i番
の
を 定 め る(座 標 系
に,剛 体 の 軸 ま わ りの 回 転 角 を定 め る.そ
軸 上 に な い 剛 体 内 の 一 点(剛 体 に 対 し固 定 さ れ た 点)Pに 向 か っ て 垂 線 を 下 す.そ
と し(x軸
によっ
る作 業 は θ の た め,今
目 の微 小 部 分 の 位 置 を
ri=(xi,yi,zi),速 らz軸
度 をvi(=ri),質
に 下 し た 垂 線 がx軸
量 をmiと
す る.ま
と な す 角 を θiと す る26).こ
た,i番
目の微 小 部分 か
の と き,
(16.23) と表 す と,δiは 時 間 に よ ら な い 定 数 と な る27).さ
て,こ
の 微 小 部 分 のz軸
ま わ りの
角 運 動 量Lz,iは28),
(16.24) と な る.と
こ ろ で,riのx-y平
面 へ の 正 射 影29)の
長 さ をriと
お く と30),
(16.25) と な る.こ
れ を 時 間 で 微 分 す る と,riは
時 間 に よ ら な い 定 数 で あ る か ら31),
(16.26) と な る32).と い.つ
こ ろ で,式(16.23)に
ま り,剛 体 の 各 部 分 がz軸
お い て δiが時 間 に よ ら な い た め,θiは
θに 等 し
ま わ り に 回 る 角 速 度 は θで 共 通 で あ る.こ
のこと
を 使 う と式(16.26)は,
(16.27) と な る.式(16.25),式(16.27)を
式(16.24)に
代 入 す る と,
(16.28) と な る33).こ のz軸
れ を す べ て の 各 微 小 部 分 に 関 して 足 し合 わ せ る こ と に よ り,剛 体 全 体
ま わ り の 角 運 動 量(角 運 動 量 のz成
分)Lzが
求 め ら れ る.す
な わ ち,
(16.29) と な る34).こ
こ で,
(16.30) とお こ う.こ
のIを
用 いると
(16.31)
と な る.こ
れ を 用 い て 式(16.22),す
な わ ち,
Nz:z軸
まわ りの力 の モ ー メ ン ト
(16.32)
を書 き下 す と,
(16.33) あ る い は 同 じ こ と だ が,
(16.34) と な る.こ れ は,今
れ が 求 め た か っ た “回 転 角 θ を 決 め る た め の(運 動)方 程 式 ” で あ る.こ まで慣 れ 親 しんだ運 動 方程 式
と形 式 的 に 完 全 に 対 応 し て い る.位
置xに
対 応 す る 量 が 回 転 角 θで あ り,速 度vに
対 応 す る 量 が 角 速 度 ω で あ り,加 速 度dv/dtに対 応 す る 量 が 角 加 速 度dω/dtであ り,力F に対 応 す る量 が 力 の モ ー メ ン トNzで す る 量Iに
あ る.そ
し て,質
量(慣 性 質 量35))mに
も名 前 が つ い て い て,慣 性 モ ー メ ン ト(momentofinertia)と
慣 性 モ ー メ ン トの 定 義 式(16.30)か と りか た に 依 存 す る36).よ
ら明 ら か な よ う に,慣
対応
呼 ば れ る.
性 モ ー メ ン トは 基 準 軸 の
っ て,「 ∼ ま わ りの 」 とい う断 り を入 れ な い 限 り,「 こ の
剛 体 の 慣 性 モ ー メ ン トは … で あ る 」 と い う こ と は で き な い.剛
体 の慣 性 モ ーメ ン
トは 基 準 と な る 軸 を指 定 し な くて は 決 定 さ れ な い の で あ る. 補 足 式(16.30)よ り,同 じ質 量 を持 った もの で も,そ の 質 量分 布 が 軸 か ら遠 くに 偏 って い る ほ ど慣 性 モ ー メ ン トが 大 き くな る こ とが わ か る.p.289の 課、 題 で 取 り上 げた フ ィギ ュ ア ス ケー ター が 手 を広 げ る動作 は体 軸 ま わ りの慣 性 モ ー メ ン トを大 き くす る動 作 で あ り,腕 を縮 め る動 作 は体 軸 まわ りの慣 性 モー メ ン トを小 さ くす る動作 だ った ので あ る.氷 か らの摩擦 力 に よる軸 まわ りのモ ー メ ン トを無 視 す れ ばIω=0 と なる こ とよ り,Iω は一 定 とな る.Iが 大 き くな れ ば ω が小 さ くな り,Iが なれ ば ω が 大 き くな る とい うわ け で あ る. 課題
質 量M,長
小 さく
さlの 太 さ一様 で真 っ直 ぐな細 長 い棒 が あ る.
(1)端 点 を通 り棒 に直 交 す る 軸 ま わ りの 慣 性 モ ー メ ン トを求 め よ. (2)中 心 点 を通 り棒 に直 交 す る軸 ま わ りの慣 性 モ ー メ ン トを求 め よ. た だ し,棒 の密 度(線 密 度)は ど こ も一定 とす る. 解 説 棒 の 線 密度(単 位 長 さあ た りの 質量)を σ とす る と,σ=M/lで あ り,棒 の Δxiの 長 さの 部 分 の 質量 はmi=σ Δxiで あ る.あ とは慣 性 モ ー メ ン トの 定 義式(16.30)を 用 い て 計 算 す れ ば よい.
図16.7z軸
(1)図16.7aの
ま わ りの細 い棒 の慣 性 モ ー メ ン ト
よ う に 座 標 軸 を と る.
(16.35) (2)図16.7bの
よ う に 座 標 軸 を と る.
(16.36) 次 に,図16.6の
剛 体 が,や は り固 定 さ れ たz軸
運 動 エ ネ ル ギ ー を 求 め よ う.こ
ま わ り に 回転 運 動 して い る と き に持 つ
れ も,各 微 小 部 分 の 持 つ 運 動 エ ネ ル ギ ーKi=1/2mivi2
の 和 を計 算 す れ ば よい.vi2=xi2+yi2で
で あ る こ とが 容 易 に 計 算 で き る.よ
あ る こ と と式(16.27)を
っ て,剛
利 用 す る と,
体 の持 つ 全 運動 エ ネ ル ギー は
(16.37) と な る こ とが わ か る.
課題
式(16.37)が
成 り立 つ こ と を 示 せ.
解説
これ は解 説 の必 要 はあ る まい.た だ,こ こで も質 点 の 運動 エ ネル ギ ー1/2mv2と
剛体 が
固定 軸 まわ りに 回転 して い る と きの 運 動 エ ネ ルギ ー1/2Iω2と の 間 に きれ い な対 応 関係 が あ る こ とを指 摘 して お こ う. 慣 性 モ ー メ ン トは 次 元 的 に は[質 量 × 長 さ2]と い う量 で あ る.そ メ ン トIを
I=剛 と 表 し て み よ う.こ gyration)と
こ で,慣
性モー
無 理 矢 理,
の と き,長
呼 ぶ.Iの
体 の 質 量 × κ2
さ の 次 元 を 持 つ 量 で あ る κ を 回 転 半 径(radiusof
定 義式 を使 え ば
と計算 され る.こ の式 か ら回転 半径 κは 剛体 の 各部 分 の 回転 軸 か らの距 離 に質量 の 重 み を付 けて平 均(2乗 平 均)を とっ た量 とな って い る こ とが わか る. 課題
太 さ一 様 で 真 っ直 ぐな細 長 い 棒 が あ る.棒 の 長 さはlと す る.
(1)端 点 を通 り棒 に直交 す る軸 まわ りを 回転 す る と きの 回転 半 径 を求 め よ. (2)中 心 点 を通 り棒 に直交 す る軸 まわ りを 回転 す る と きの 回転 半 径 を求 め よ. ただ し,棒 の密 度 は ど こ も一 定 と し,棒 の太 さ は考 えな くて よい とす る. 解説
こ れ は 式(16.35),式(16.36)を
利 用 す れ ば よい.(1)はl/√3,(2)はl/√12=l/2√3
と な る.
補 足1身 体 運動 を解 析 す る と きに,身 体 の 各 セ グ メ ン トの 慣性 モ ー メ ン トが必 要 にな る こ とが あ る.被 験 者 ご との デ ー タが 手 に入 れ ば 問題 な いが,そ れ は 一般 に は 困 難 で あ る.そ の た め 多 くの場 合 は先行 研 究 の デ ー タに 基 づ く資 料 を利 用 せ ざる を 得 な い わ け だが,そ の よ うな資 料 で は,各 セ グ メ ン トの 重心 ま わ り,な い し端 点 ま わ りの慣 性 モ ー メ ン トが セ グ メ ン トの 長 さに対 す る 回転 半径 の比 で与 え られ て い る こ とが あ る.そ の場 合,慣 性モ ー メ ン トを “セ グ メ ン トの質 量 ×(回 転 半 径)2” で計 算 す れ ば よい.な お,セ グ メ ン トの 質 量 も大 抵 は先 行研 究 に基 づ く形 態 デ ー タか ら 推 定 す る. 補 足2質
量M,軸Oま
わ りの 回転 半径 κ の 剛体 の具 体 的 な イ メー ジは 、半 径 が
κ で太 さの 無 視 で きる 質量Mの “車輪 ”で あ る37)(図16.8参 照).こ こで,「 太 さ を無 視 した ら質量 な ど考 え られ な いで はな い か」 と思 って は い け な い.こ れ は 質 点 と同様,理 論 上 のモ デ ル な の で あ る.
複 雑 な形 を した剛 体 に関 して は,そ の慣 性 モ ー メ ン トを定 義式 に基 づ い て計 算 す る こ とは非 常 に困難 で あ る.そ の ため,適 当 な実 験 を行 って実 測 す る こ と にな る. そ の際,次 の課題 の結 果 は有 用 で あ る.
図16.8軸Oま わ りの 回転 半 径 が κ の 剛 体 は,同 質 量 の 半 径 κ の車 輪(質 量 はす べ て外 側 に集 中)と 同等 と見 なす こ とが で き る(軸Oま わ りの 回転 に 関 して は).
課題
次 の こ と を証 明せ よ.
(1)図16.9aの よ うに,質 量Mで あ る剛 体 の重 心Gを 通 るあ る軸(z軸 とす る)ま わ りの 慣 性 モ ー メ ン トをIG,そ の軸 に平 行 でdだ け離 れ た 軸(z'軸 とす る)の まわ りの慣 性 モ ー メ ン トをIと す る と
(16.38) が 成 り立 つ. (2)図16.9bの よ う に,薄 い 平 板 状 の 剛 体 の 一 点Oを 通 り,板 に 垂 直 な 軸(z軸)ま わ りの 慣 性 モ ー メ ン トをIz,点Oを 通 り板 に 平 行 で 互 い に 直 交 す る 二 つ の 軸(x軸,y軸)ま わ り の 慣 性 モ ー メ ン ト をIx,Iyと
す る と,
(16.39) が 成 り立 つ.
図16.9
解説
略 解 を示 す.
(1)図16.9aの
よう に座 標 軸 を とる と
と な る の で,z軸
ま わ りの 慣 性 モ ー メ ン トIは
と計 算 さ れ る が,∑mi=Mで お よ びGが
あ る こ と とIG=∑mi(xi'2+yi'2)で
重 心 で あ る こ と よ り ∑miyi'=0で
あ る こ と,
あ る こ と を 使 う と 式(16.38)が
得 ら
れ る. (2)平 板 状 の剛 体 を考 え てい るの で剛 体 内 の点 のz座 標 はす べ て0と
と な る.こ
れ よ りた だ ち に 式(16.39)が
して よい.そ れ ゆ え,
導 か れ る.
これ らの結 果 を用 い る と,あ る一 つ の 軸 の まわ りの慣 性 モ ー メ ン トが わか った と き,他 の軸 の慣 性 モ ー メ ン トが 簡 単 な計 算 で 求 め られ る こ とが あ る.覚 えて お い て損 の な い定 理 で あ る. 課 題p.313の 課 題 にお い て,質 量M,長 さlの 太 さ一 様 で 真 っ直 ぐな細 長 い棒 の端 点 を 通 り棒 に直 交 す る軸 まわ りの慣 性 モ ー メ ン トIと 中心 点(重 心)を 通 り棒 に直交 す る軸 まわ り の慣 性 モ ー メ ン トIGを 求 め た.こ れ らI,IGの 間 に式(16.38)の 関係 が あ る こ と を示 せ. 解 説d=l/2と
16.6固
す れ ば 容易 に確 か め られ る で あ ろ う.
定軸 の ない場合 の 剛体 の運 動
固定 軸,さ らに は固 定 点が ない場 合 の 剛体 の 運動 は難 しい.確 か に,数 学 的 には 剛体 の 運動 は重心 の運 動 方程 式 と,重 心 ま わ りの 回転 運動 の方程 式 のみ を考 察 す る こ とに よ り決 定 され る こ とを示 す こ とは で きる.そ して,重 心 の運 動 方程 式 を考 察 す る こ とは それ ほ ど難 しい こ とで は ない.し か し,重 心 まわ りの 回転 運動 の方 は一 筋 縄 で はい か ない.例 えば,剛 体 の重 心 を通 るあ る軸(剛 体 に固定)を 設 定 した と し よ う.そ の軸 まわ りの慣性 モ ーメ ン トは確 か にた だ一 つ 定 め る こ とが で きる.し か し,そ の軸 自体 が空 間内 で どん どん方 向 を変 えて い っ て し まう.そ の ため,軸 まわ りの 回転運 動 と回転 軸 の 回転 運 動 とを同 時 に扱 わ な くて はな らず,あ る一 つ の軸 ま わ りの慣 性 モ ー メ ン トが わ か った だ けで は ど う しよ う もない ので あ る38).回 転 軸 が 動 い て も向 きを変 え ない場 合(回 転 軸 が平 行 移 動 す る場 合),例 え ば,斜 面 を円柱 が 転 が り落 ち てい く場 合 な どは比 較 的容 易 に扱 う こ とが で き るが,一 般 の場合 を扱 う
に は準 備 しな くて はな らない 数学 だけ で も大変 で あ る.そ の ため,本 書 で は この 問 題 には これ 以上 立 ち入 らない こ とにす る.体 操 競技 にみ られ る ひね りを加 えた 空 中 回転 な どを扱 い たい 人 は,本 書 に続 い て しか るべ き参 考 書 で勉 強 して も らわね ば な らな い.回 転 運 動 につ いて 比較 的 容易 に書 か れ てお り,か つ具体 的 な例 も多 い テ キ ス トと して 『コマ は なぜ 倒 れ ない か』(安井久 一 著,共 立 出版)を あ げ てお く.な お, こ こ ら辺 の話 題 は古典 力 学 の最 高 峰 と も言 え る問題 で あ り,オ イ ラ ー を始 め とす る 多 くの天 才達 が そ の定 式 化 に挑 んで い った.そ の成 果 は現 代 文 明 を支 え る一 つ の技 術 的基 盤 とな っ てい る.
16.7具
体 的 な例
抽 象 的 な話 が 続 い た.本 節 で は 剛 体 の 簡 単 な 運動 の具 体 例 を い くつ か取 り上 げ よ う.
16.7.1ト
ル ク測 定 器
あ る トル ク 測 定 器 で は,ア
ー ム が 等 角 速 度 運 動 す る よ う に フ ィー ドバ ッ ク が か か
る よ う に 設 計 され て お り,そ の と き に 要 す る トル ク(軸 ま わ りの 力 の モ ー メ ン ト)を トル ク-時 間 曲線 と して 出 力 す る.こ 取 り付 け,ア
の 測 定 器 の ア ー ム に 図16.10の
ー ム が 下 降 す る と き に描 か れ る 出 力 曲 線 を 考 え よ う.ア
よ うにお も りを ー ムの長 さ を
図16.10
l,お
も りの 質 量 をm,重
す る39).ま
た,鉛
力 加 速 度 をgと
し,ア ー ム そ の も の の 質 量 は 無 視 で き る と
直 線 と ア ー ム の なす 角 を 図16.10の
よ う に θ とす る.ア
ー ムの角
速 度 θ を ω(条 件 よ り定 数)と と な る.さ
て,ア
し,時 刻t=0に
お け る θ を0と
ー ム が 一 定 角 速 度 で 運 動 す る と い う こ と は,お
す る と,θ(t)=ωt も り に作 用 す る 重
力 の 軸 ま わ り の トル ク(力 の モ ー メ ン ト)Ngと
トル ク測 定 器 が 逆 向 き に 発 生 す る ト
ル ク が 等 しい と い う こ と で あ る.そ
ら れ る トル ク 曲 線 はNgを
の た め,得
関 数 と して 表 した も の(グ ラ フ)と な る.こ
時 刻tの
れ がNg(t)=lmgsinθ(t)=lmgsinωt
と な る こ とは 容 易 に わ か る で あ ろ う. 補足
図16.11の
よ うな装 置 で腕 の屈 曲 トル ク を測 定 す る こ とを考 え よ う.本 項 で
取 り上 げ た よ うな(軸 ま わ りの トル ク を記録 す る)ト ル ク測 定 器 を用 い る場 合,得 ら れ る 測定 値 は前腕 を とめ るベ ル トの位 置(lの 大 き さ40))に 依 存 す る で あ ろ うか.も し,ト ル ク測 定 器 の 軸 の位 置 と肘 関節 の 回 転 中心(軸)が 一 致 す る な ら,ト ル クの測 定 値 は原 理 的 にはlに 依 存 しな い(理 由 を考 え よ41)).し か し,ト ル ク測 定 器 の軸 の 位 置 と肘 関 節 の 回 転 中心(軸)が
一 致 しな い場 合 は トル ク の測 定 値42)はlに
よっ て
異 なる.そ して,こ の場 合 は得 られ る値 を腕(肘 関節)屈 曲 トル ク と呼 ん で はい け な い.同 様 に,前 腕 を とめ るベ ル トの と こ ろ に フ ォー ス トラ ンス デ ュ ーサ(力 を測 定 す る装 置)を つ け て 得 られ る力 とlを か け あ わせ て肘 関節 屈 曲 トル ク とす るの も測 定 の仕 方 に よっ て は まず い こ とが あ る.そ れ は,図16.11で い えば,lがfの 肘関 節 ま わ りの モ ー メ ン トアー ム に な っ てい ない 場 合 で あ る.前 章 と本 章 の説 明 を よ く 理 解 し,「せ っ か く実 験 した の に,意 図 した力 学 的 負荷 が かか って い なか った」 とい うこ とが ない よ う,測 定 環 境 に 十分 注 意 を払 う よ うに して も らい た い. なお,腕 相 撲 は単 純 な トル ク比 べ で は ない.そ の ため,や り方 次 第 で は筋 力 に劣 っ た者 が 筋 力 に勝 る者 に勝 つ こ とが(あ る程 度)可 能 で あ る.こ れ は “ い か さ ま” トル ク測 定 と同 じ方法 を用 い るの で あ る43).
図16.11腕
16.7.2滑 図16.12の
屈 曲 トル ク の測 定
車の 運動 よ う に半 径r,中
き つ け て 引 く.糸
心 軸 ま わ り の 慣 性 モ ー メ ン トIの 滑 車 に 軽 い 糸 を 巻
と滑 車 の 間 に は 滑 り は な く,軸 は き わ め て 滑 ら か に 回 転 す る と し
て,糸
を 引 く力Tと
滑 車 の 角 速 度 ω と の 関 係 を 考 え よ う.
図16.12滑
車 の 運 動(1)
滑 車 と,そ れ に巻 き付 い て い る糸 の 部 分 を一 体 化 し て 内 界 と考 え れ ば,そ の 部 分 で の 糸 と滑 車 の 相 互 作 用 を考 え る必 要 は な い44).ま な い 部 分 の 張 力 は,糸 よ っ て,滑
た,糸
の う ち 滑 車 に巻 き付 い て い
の 質 量 が 無 視 で き れ ば ど こ もTと
見 なせ る(理 由 を 考 え よ).
車 と そ れ に 巻 き 付 く糸 か ら な る 系(以 降,単
れ る力(糸 の 張 力)の 軸 ま わ りの モ ー メ ン トはrTと
に “滑 車 ” とい う)に 加 え ら
な る.よ
っ て,
(16.40) が 成 り立 つ こ と に な る.こ
れ で,お
な い 水 平 面 上 に 乗 せ た 質 量mの
し ま い だ が45),次
に 図16.13の
よ う に,摩 擦 の
お も りを 糸 で 水 平 に 引 っ張 る と き,上 で 考 察 した 滑
車 と 同 等 の 負 荷(“ 抵 抗 感 ”)を 与 え る た め に はmを
どの くらい にす れ ば よい か考 え
よ う.こ
加 速 度 が 滑 車 の 場 合(図16
れ は,「 糸 を 同 じ力Tで
と お も りの 場 合(図16.13)と い う問 題 と 同 じで あ る.さ
引 い た と き,点Aの
で 同 じに な る よ う に お も りの 質 量mを て,図16.13に
お い て 右 向 き にx軸
.12)
設 定 せ よ」 と
を と る と,お
も りの
運動 方程 式 は
(16.41)
図16.13
と な る.あ
と は,dω/dtとd2x/dt2と の 関 係 を考 え れ ば よ い.こ
す れ ば 糸 がrΔ θほ ど け,点Aが
Δx=rΔ
れ は,滑 車 が Δ θ だ け 回 転
θだ け 右 に進 む こ と を 考 え れ ば 簡 単 に わ
か る.
の 両 辺 を,糸
と な る.左
を Δx引
く の に 要 し た 時 間 Δtで 割 り,Δt→0の
辺 は ま さ にdx/dtで あ り,右
辺 はrdθ/df,す
な わ ち,rω
極 限 を とれ ば
で あ る.つ
ま り,
(16.42) が 成 り立 つ.こ の 両辺 を時 間 で さ らに微 分 す る と
(16.43) が 得 ら れ る46).式(16.43)を
式(16.41)に
代 入す る と
(16.44) が 得 ら れ,式(16.40)と
式(16.44)を
比 較 し て,I=mr2,す
なわ ち
を得 る47). 次 に,図16.14の
よ う に 半 径r,慣
性 モ ー メ ン トIの 滑 車 に軽 い 糸 を 巻 きつ け,糸
の 端 に 質 量mの
お も り を取 り付 け た と き の お も りの 運 動 を考 え て み よ う.「 糸 の 張
力 はT=mgで
あ る か ら … 」 と や っ て は い け な い の は11.3.4項
の と き と同 じ で あ る.糸
の 張 力 をTと
で 取 り上 げ た 問 題
す る とお も りの 運 動 方 程 式 は
(16.45) とな り,滑 車 の運動 方 程 式 は
(16.46) と な る.ま
た,束
縛 条件 は
(16.47)
図16.14滑
で あ る.こ
車 の 運 動(2)
れ ら 三 つ の 式 か ら お も りの 加 速 度a=d2x/dt2を
同 時 に滑 車 の 角 加 速 度 ω=dω/dt,糸 の 張 力Tも
求 め れ ば よ い.も
求 め られ る.結
ち ろ ん,
果 は,
(16.48) と な る.
課 題 半径r,慣 性 モー メ ン トIの 滑 車 に 図16.15の よ う に軽 い糸 を掛 け,質 量m1,m2の お も りをつ る す.糸 と滑 車 は 滑 らな い と して,左 側 の糸 の張 力S1,右 側 の 糸 の張 力S2,左 側 のお も りの 加速 度(下 向 きを正 とす る)aを
図16.15ア
求 め よ.
トウ ッ ドの 装 置
解 説 左 側 の お も りを記 述 す る際 に は鉛 直 上 向 き を,右 側 のお も りを記述 す る とき に は鉛 直 下 向 きを正 方 向 と し,ま た滑 車 の 回 転 に 関 して は反 時計 回 りを正 方 向 とす る と,以 下 の 運 動 方程 式 が 得 られ る.
これ と束 縛 条 件
を連 立 させ て解 け ば よい.解 は,
と な る48).こ
の 課 題 に お い て,m1=m,m2=0,S1=Tと
す れ ば 式(16.48)が
得 られ る
こ と は い う ま で も な い.
16.7.3実 図16.16の
体 振 り子 よう に,水 平 に固定 され た軸(太 さ,摩 擦 を無視 す る)に よ って貫 か れ
た 剛体(質 量M)が
軸 の ま わ りを揺 れ る運動 を考 え よ う.こ の よう な系 を実体 振 り
子(剛 体 振 り子,物 理 振 り子,複 振 り子)と い う49).剛 体 の運 動 を考 える ため に,剛 体 の重心Gか
ら軸 に下 した垂線 の足 をOと
図16.16実
し,線 分OGが
体 振 り子
鉛 直 下方 向 となす角 を θ
と して(図16.16に
示 し た よ う に,反
を 考 え る こ と に す る.線 は-Mghsinθ
分OGの
と な る.そ
時 計 回 り を正 方 向 とす る),こ
長 さ をhと
の た め,軸
す る と,軸
の θの 振 る 舞 い
ま わ りの 重 力 の モ ー メ ン ト
ま わ りの 剛 体 の 慣 性 モ ー メ ン トをIと
す る と,
(16.49) が 成 り立 つ50).式(16.49)は う な ら│θ│≪1と
本 書 の 範 囲 で は 解 く こ とが で きな い が,微
な り,そ の 場 合 はsinθ
小 振 動 を扱
θ と近 似 で き る の で51),式(16.49)を
(16.50) と近 似 し よ う.こ (16.50)の
解 は,ω
れ は,今
ま で に も度 々 出 て き た 単 振 動 の 運 動 方 程 式 で あ る52).式
≡√Mgh/Iと
し て53),
(16.51) で表 され る こ とに な る(A,α
は任 意 定 数 で初 期 条件 に よ り決 まる).こ の振 動 の 周
期 は もち ろ ん
(16.52) と な る.と 照).こ
こ ろ で,長
さlの 単 振 り子 の 周 期 はT=2π√l/gで
の 式 と式(16.52)と
を 見 比 べ る と,本
あ っ た(11.4.4項
参
項 で 扱 っ た 実 体 振 り子 の 周 期 は
(16.53) の 単 振 り子 と同 じ周 期 で 振 動 を 行 う こ と に な る54).こ (lengthofequivalentsimplependulum)と
のlEを
相 当 単 振 り子 の 長 さ
い う.
補 足1質 量mの お も りが 長 さlの 伸 び縮 み しな い糸 に取 り付 け られ た単 振 り子 の軸 まわ りの慣 性 モ ー メ ン トはml2で あ る.そ して,軸 か ら重心 まで の距 離 はlで あ る.こ れ らの値 を使 えば,単 振 り子 の 問題 を本項 と 同 じ方法 で 解 くこ とが で きる. 補 足2実
体 振 り子 の場 合,軸 まわ りの 回転 運 動 を考 え るの が 簡単 で あ る.未 知 の
力 で あ る軸 か らの力 を意 識 しな くて よい か らで あ る55).重 心 運動 の式 と重心 ま わ り の回 転 運動 の式 を立 て て考 え よう とす る と,軸 か ら剛体 に働 く力(未 知 量)を 含 んだ 複 雑 な連 立 方程 式 を立 て て解 か な くて は な らな くな る.重 心運 動 と重 心 の ま わ りの 運 動 に分 け て 剛体 の運 動 を考 え るの は一 般 的 だが,場 合 に よっ て は よ りや さ しい 方 法 が あ るか も しれ ない とい うこ とを常 に意識 してお か な くて は な ら ない.な お,本 項 で 示 した方 法 で振 れ角 θの挙 動 を求 め て しま えば,後 は重 心 の位 置 をh,θ で表 す こ とが で き,そ れ と重 心 の 運動 方 程 式 と を合 わせ て軸 か ら剛体 に働 く力 を計 算 す る こ とが で きる.
16.7.4衝
撃 の 中心
静止 して い る56)剛体 の重 心 か ら外 れ た場 所 に撃 力 を作 用 させ た と きの剛 体 の運 動 を考 え よ う.剛 体 の全 運 動量 の変 化量 は加 え られた力 積 に等 し く,ま た剛 体 の運 動 量 は重 心 の 運動 に対 応 して い た.よ っ て,剛 体 の 重心 は加 え られ た撃 力 の 方 向 に動 き出す こ とに な る.一 方,撃 力 は剛体 の 重心 か ら外 れ た と ころ に加 え られ る の だか ら重心 の ま わ りにモ ー メ ン トを持 ち,剛 体 に重心 ま わ りの 回転 運 動 を生 じさせ る. 回 転運 動 の結 果,重 心 か ら見 て撃 力 の作 用 点 と反対 側 の 部分 は重 心 に対 して(相 対 的 に)撃 力 の方 向 と逆 方 向 に動 き始 め る こ とに なる.つ ま り,剛 体 の 重心 は撃 力 の 方 向 に進 み始 め るが,剛 体 内の あ る部 分 は撃 力 の方 向 と反対 側 に移 動 し始 め る とい うこ とだ57).こ の よ うに考 え る と,撃 力 を与 え られ た瞬 間(直 後),動 か な い(速 度 ゼ ロの)点(撃 力 に よっ てそ の方 向 に進 も うとす る作用 と,回 転 に よっ て逆 向 きに動 こ う とす る効 果 が 打 ち消 し合 う点)が 存 在 す る こ とが 予想 で きる.そ の点 を撃 力 の 作 用 点 に対 す る衝 撃 の 中心(撃 心,centerofpercussion)と の よ うに,太 さの無 視 で きる棒 の重 心Gか
い う.例 えば 図16.17
らhだ け離 れ た点Oに
瞬 間 的 に力積P
を棒 と垂 直 に加 えた と しよ う.棒 の重心 ま わ りの 回転 半 径 を κG,棒 の質量 をMと す る と,“ 運 動量 の変化 量=加
え られ た力 積 ”で あ るか ら
(16.54) “角 運 動 量 の 変 化 量 =加
え ら れ た 力 積 の モ ー メ ン ト”で あ る58)か ら
(16.55) が 成 り立 つ.た だ し,V,ω
は撃 力 が加 え られ た直後 の棒 の重 心 の 速度(撃 力 の方 向
を正 とす る)と 角 速 度(反 時 計 回 り方 向 を正 とす る)で あ る.
図16.17
補 足 両 式 の左 辺 の0は,撃 力 が加 え られ る前 の 剛体 の運 動 量,角 運動 量 をそれ ぞ れ 表す.ま た,式(16.55)の 右 辺 のPhは 加 え られ た力 積 の(重 心 ま わ りの)モ ー メ ン ト,言 い換 えれ ば,力 の モ ー メ ン トの時 間積 分量 で あ る が,こ れ を角 力 積(angular impulse)と 呼 ぶ.こ の言 葉 を使 えば,“ 運動 量 の 変化 量 は加 え られ た力 積 に等 しい ” に対 応 して “ 角 運 動 量 の 変化 量 は加 え られ た角 力積 に等 しい” とい う こ とが で きる. こ こ で,Gか と,O'はGに
ら見 てOと
反 対 側 に あ る 点O'の
運 動 を考 え よ う.h'=GO'と
対 しh'ω の 速 さ で 撃 力 の 方 向 と逆 向 き に動 く59).結
られ た 直 後 のO'の
速 度vは
“O'の 速 度=Oの
速 度+O'のOに
局,撃
する 力が加え
対 す る 速 度 ” よ り,
(16.56) と な る.こ
のvが0に
な る 条 件 は,式(16.54),式(16.55),式(16.56)よ
り,
(16.57) で あ る.つ
ま り,式(16.57)を
ら に,式(16.57)に が 点Oに
満 た す 点O'が
お け るhとh'の
点Oに
対 す る衝 撃 の 中 心 で あ る.さ
対 称 性 を 考 え れ ば,点O'に
対 す る 衝撃 の 中 心
な っ て い る こ とが わ か る.
衝 撃 の 中 心 は バ ッ トや テ ニ ス ラ ケ ッ トで ボ ー ル を 打 っ た と き 実 感 で き る こ と が あ る.バ
ッ トを 握 る位 置(と バ ッ トの 重 心)で 決 ま る 衝 撃 の 中 心 に ボ ー ル が 当 た る と,
手 に 衝 撃 を ほ と ん ど感 じな い.衝 撃 の 中 心 か ら大 き く外 れ た と こ ろ に ボ ー ル が 当 た る と手 に しび れ を 感 じ る こ と に な る. 補足
図16.18の
よ う に棒60)の 両 端 に細 い 糸61)を取 り付 け て水 平 に吊 る す.棒 の
真 ん 中 を手 で ゆ っ く り押 し下 げて い く と棒 が 折 れ る前 に糸 が切 れ る62).次 に,棒 の 真 ん 中 を十分 素 早 く,か つ強 くた た くと糸 が切 れず に棒 が 折 れ る.こ れ は,棒 が 完全 に剛体 で は ない た め,ま ず 手 が ぶ つ か っ た部 分 が大 きな変 形 を受 け,ほ か の 部分 に は そ の変 形 が 瞬 間 的 に は伝 わ らず,実 質上,手 の ぶ つ か っ た部 分 の両 側 が 独 立 した 剛体 と振 る舞 うた め で あ ろ う.糸 で 吊 った場 所 が そ れ ぞ れ の衝撃 の 中心(よ り外 側)
図16.18
にあ れ ば,打 撃 の瞬 間 には 糸 は ほ と ん ど張 力 を感 じない.打 撃部 の瞬 間的 変 形 に棒 が 耐 え切 れ な い と糸 は切 れ ず に棒 だ け折 れ る,と い うわ け だ.も ち ろ ん,棒 が折 れ な けれ ば,押 し下 げ られ た棒 が その ま ま糸 を強 く引 くこ と にな り,糸 は切 れ て しま う.空 手 の デ モ ンス トレー シ ョンで 行 わ れ る板 の試 割 の 際 に どれ だ けの 力 が板 に加 え られ るか を測 ろ う と して,板 の両 側 を支 え る支 柱 に フ ォー ス トラ ンス デ ュ ー サ ー な ど を取 り付 け た と し よ う(図16.19).板 が 割 れ る場 合 と板 が 割 れ ない 場 合 を比 較 す る と,板 が 割 れ た方 が 測 定 され る力 は小 さ くなる こ とが あ り得 る63).そ れ は,以 上 の よ うな理 由 に よ るの で あ る.
図16.19
16.7.5ス
ナ ップの効果
“ス ナ ッ プ 効 果 ” とい う学 術 用 語 が あ る か ど う か た,あ
せん が く
,筆 者 は 浅 学 の た め 知 ら な い.ま
る と し て も本 項 で 用 い る の と違 う 意 味 で 定 義 さ れ て い る か も し れ な い が,こ
こ で は “ス ナ ッ プ 効 果 ” と い う語 を 「運 動 中 の セ グ メ ン ト(体 節)の 一 端(体 幹 側)に (急 激 な)制 動 を か け る こ と に よ り,他 端 の ス ピ ー ド(速 さ)が 大 き くな る 効 果(現 象)」 と い う 意 味 で 用 い る(“ か ら さ お 効 果 ” と呼 ば れ る こ と も多 い64)).で
は,こ
の
ス ナ ッ プ効 果 に つ い て 考 え て い く こ と に し よ う. ま ず,図16.20の
よ う に 長 さlで 質 量 の 無 視 で き る棒 の 先 端 部(点B)に
大 き さ の 無 視 で き る65)お も り を 取 り付 け る(そ の 反 対 の 端 点 をAと を線 分ABと に よ っ て 点Aが
垂 直 方 向 に 速 さvで
直 線 運 動 さ せ る.点Oに
急 激 に 止 め られ た と き,端 点Bの
質 量mで
す る).こ
の棒
仕 掛 け られ た ス ト ッパ ー
速 さ は ど う な る か 考 え よ う.棒
質 量 が 無 視 で き る とす る の で 系 の 重 心 は 点Bで,点Aま
の
わ りの 慣 性 モ ー メ ン トは
(16.58)
図16.20
と し て よ い.ま L=mlvで 明 だ が,そ 点Oま
た,系
の 点Oま
あ る.点Aが
わ りの 系 の 全 角 運 動 量 はp.286の
点Oで
の 力 の 点Oま
止 め ら れ る 瞬 間,ど
わ りの モ ー メ ン トは 明 らか に ゼ ロ で あ る66).よ
わ りの 角 運 動 量 は 保 存 さ れ,mlvの
後 の 棒 の 角 速 度 を ω とす る と,棒 量 はIω で 表 せ る の で,結
課 題 の結 果 よ り
の ような撃 力 が働 い た か は不
ま ま で あ る.点Aが
の 点Aま
わ りの,す
点Oで
な わ ち 点Oま
っ て,系 の 止 め られ た
わ りの 角 運 動
局
(16.59) と な る.式(16.59)のIに
式(16.58)を
代 入 し整 理 す る と
(16.60) が 得 ら れ る.点Bの
速 さv'は
(16.61) で あ る か ら(11.4.2項
参 照),
(16.62) と な り,速 さ は 変 化 しな い こ とが わ か る67).つ ナ ッ プ効 果 は 見 ら れ ず,末 次 に 図16.21の 方 向 に速 さvで
端 部(点B)の
よ う に,長
さl,質
ま り,本 項 冒頭 部 で 述 べ た よ う な ス
速 度 は 方 向 の み が 変 化 す る こ と に な る.
量mで,太
さ 一 様68)の 棒 が 線 分ABに
直 線 運 動 して い る場 合 を考 え よ う.先
パ ー で 棒 の 端 点Aを
急 停 止 さ せ た と き の 点Bの
の 棒 の 角 運 動 量 を考 え よ う.剛
ほ ど と同 じ く,点Oの
速 さ を 考 え る.ま
ず,点Oま
垂直な ス トッ わ り
体 の 基 準 点 ま わ りの 角 運 動 量 は,“ 重 心 の 基 準 点 ま わ
図16.21
りの 角 運 動 量 ” と “重 心 ま わ り の 剛 体 の 角 運 動 量 ” の 和 で あ る が(15.4節 動 が か か る 前 の 後 者 の 角 運 動 量 は ゼ ロ で あ る.ま は1/2mlvで Aま
あ る.よ
っ て,棒
の 点Oま
た,重
心 の 点Oま
わ りの 角 運 動 量
わ り の 総 角 運 動 量 はL=1/2mlvと
わ り の棒 の 慣 性 モ ー メ ン トはp.313の
参 照),制
な る.点
課題 より
(16.63) で あ り,点Aが
点Oで
制 動 を受 け た後 の点Oま
わ りの棒 の角 運動 量 は棒 の角 速度
を ω と してIω で あ る.先 ほ ど と同 じ理 由 に よって,点Oま
わ りの角 運動 量 は棒 が
制動 を受 け る前 後 で保 存 され るか ら
(16.64) で あ る.式(16.64)の1に
式(16.63)を
代 入 し整 理 す る と
(16.65) が 得 ら れ る.点Bの
速 さv'は
式(16.61)で
与 え られ る か ら,
(16.66) と な り,速 さ は 点Aか
さ は も と の3/2倍 と,大
き くな っ て い る こ とが わ か る.た
だ し,重 心 の 速
ら 重 心 ま で の 距 離 が1/2lで あ る こ とか ら
(16.67)
と な っ て も と の 速 さ よ り小 さ く な っ て お り,ま
た,系
の 全 運 動 エ ネ ル ギ ー は69)
(16.68) と な り,や
は り も と の 運 動 エ ネ ル ギ ー1/2mv2よ
り小 さ く な っ て い る70).
補 足 棒 の 端 点Aが 点Oで 固 定 され た後 の系 全 体 の 運動 エ ネ ルギ ー は,上 の よ う に 固定 点A(固 定点O)ま わ りの 回 転 運動 の エ ネ ル ギー と して計 算 す る ほか に,“重 心 の運 動 エ ネ ル ギー+重 心 まわ りの 回 転運 動 の エ ネ ル ギー” と して計 算 す る こ と も で きる71).ま ず,重 心 の運 動 エ ネ ル ギ ーEGは
で あ る(確
か め よ).次
に,重
心 ま わ り の 回 転 運 動 の エ ネ ル ギ ーERは,棒
わ り の 慣 性 モ ー メ ン トIGがIG=1/12ml2で
で あ る(確
か め よ).よ
と な り,式(16.68)と
結 局,系
っ て,系
あ る(p.313の
の 重心 ま
課 題 参 照)こ
と よ り,
の 全運 動 エ ネル ギ ー は
同 じ 結 果 が 得 ら れ る.
の 重 心 の 速 さ,系
の 全 運 動 エ ネ ル ギ ー は 小 さ くな る が,末
き くな る と い うス ナ ッ プ 効 果 が 見 ら れ る こ と に な る.動
端 の速 さが大
作 の 目 的 に よ っ て は,セ
メ ン トの 重 心 速 度 よ り も 末 端 部 の 速 度 の 方 が 重 要 な こ と が あ る.そ
グ
の よ う な 場 合 に,
ス ナ ッ プ 効 果 を 適 切 に用 い る こ と は有 効 で あ ろ う. 課題
図16.22の
よう に棒 の 速度 の方 向 と棒 の角 度 が θで あ る と きの ス ナ ップ効 果 に つ いて
考 察 せ よ. 解説
これ まで の説 明 に な ら って 図16.22のvとv'を
比べ れ ば よい.解 答 は 省 略す る.本
課 題 に よ り,v'/vで 表 され るス ナ ップ効 果 は θ依存 性 が あ り,適 切 にス ナ ップ動 作 を用 い な い と末 端 部 の速 さ を効 果 的 に大 き くす る こ とが で きな い こ とが わか る.な お,実 際 の ス ポ ー ツ競技 で は速 さ(速 度 の大 きさ)だ けで な く,速 度 の向 き も大 切 で あ る.ス ナ ップ動作 は この 点 か ら も考 察す べ きで あ る.
セ グ メ ン ト(体 節)に よ って は セ グ メ ン ト内 で の太 さ の変 化 が無 視 で きな い場 合 もあ る し,用 具 を用 い たス ポ ー ツで は,さ らに用 具 の形状 や質 量分 布 を考 えた モ デ ル を採 用 しな くて はい け ない.そ の場 合 で も基 本 的 に は上 で述 べ て きた考 え方 で ス ナ ップ効 果 を論 じる こ とが で きる.そ の辺 の研 究 は読者 に任 せ よう.
図16.22
補足1実 際 に行 われ る “ ス ナ ップ動 作” には本 項 で 説 明 した “ス ナ ップ効 果 ”に加 えて,セ グ メ ン トに付 着す る筋 群 が 活動 す る こ と に よ り生 ず る関 節 まわ りの モ ー メ ン ト(ト ル ク)が 関 与す る と思 わ れ る.そ うな る と話 は さ らに複 雑 と なる.ま た,実 際 の ス ナ ップ動 作 で は 関節 が 二 つ 以 上 関 与す る こ とが 多 い.例 え ば肘 関 節 を伸 展 す る動 作 にス ナ ップ効 果 を用 い よ う とす る と,あ らか じめ動 か してお い た 上腕 を肩 関 節 まわ りの筋 群 に よっ て静 止 させ るか,逆 向 き に動 か さね ば な らない72).前 腕 の先 端 部(手 部)の 速 度 を増 す ため に,前 腕 が 動 くの と同 じ方 向 に肩 関 節 まわ りの 筋群 を 上 腕 が 加 速 す る よ う に使 うのが 得 か,減 速 させ る よ う に使 うのが 得 か は状 況 に よ り 異 なる であ ろ う.「(目 的 に応 じた)効 果 的 な ス ナ ップ動 作 は い か な る もの か」 とい う こ とは 興味 深 い話 題 で あ る. 補 足2い くつ か の セ グメ ン トが 連 動 して “ 運 動 ”が 滑 らか に体 幹 部 か ら末 端 部 に 伝 わ って い く効 果 を定 性 的 に説 明す るた め に本 項 で考 えた ス ナ ップ効 果 を重 ね 合 わ せ る こ と もで き る と思 うが,ほ か に も(太 さが 一 様 で ない)弦 を伝 わ る波(パ ルス) の振 る舞 い(特 に 自由 端 で の振 る舞 い)と して考 察 してみ る こ と もで きる か も しれ な い.ま た,本 項 で は単 純 に一 軸 ま わ りの 運 動 を考 え た わ けで あ る が,実 際 の セ グメ ン トの 運 動 は 内転,外 転,回 内,回 外 な どの 運動 も とも な う.ス ナ ップ効 果 を本格 的 に論 じるた め に は解 剖 学 的 知見 も十 分 に考慮 しな くて は な らな い.
さて,回 転 運 動 の基 礎 は ニ ュー トンの 運動 方程 式 にあ る とはい え,そ の数 学 的 表 現 は非 常 に難 しい.日 常,よ
く見 られ る回転 運 動 で も力 学 的 にキ チ ンと説 明す るの
は困難 な ものが 多 い.理 工系 教 養課 程 レベ ル で はち ょっ と した コマ の運 動 もお手 上 げで あ る.こ れ が体操 な どに見 られ る身体(剛 体 で な い!)の 複雑 な回 転運 動 に なれ ば,理 工系 の計 算 の プ ロで もち ょっ とひい て しま うの では な か ろ うか.た だ,厳 密 な扱 い は無 理 で も,基 本 とな る こ とを知 って いれ ば,そ れ が 身体 運動 を考 える ヒン トと して役 立 つ こ とは結 構 あ る もの だ.今 まで本 書 で学 ん だ こ と を利 用 し,ま た, 足 りな い と ころ は 自 ら補 い,読 者 が それ ぞ れ の方 法 で 自 由 にこ の問題 に取 り組 まれ る こ とを期待 す る.
注 1)自 転 周 期 の 変 化 な ど を扱 う と き は別 . 2)ち ょっ と数 学 的 に剛 体 の 特 徴 を述 べ れ ば 3)剛 体 の位 置 を表 す た め に は6つ
,「 物 体 内 の任 意 の2点 間 の 距 離 が 一定 で あ る」 と な る. の 変 数 が 必 要 で あ る こ とが 証 明 で き る(剛 体 の 自由 度 は6で あ る
, とい う こ と).そ の た め,適 当 な点 の並 進 運 動 を表 す 式 と,適 当 な点 ま わ りの 回 転 運動 の式 の各 成 分 を考 えれ ば 十 分 な の で あ る(そ れ ぞ れ の成 分 数 は3で あ る).物 体 が 変 形 す る場 合 は,並 進 運 動 と回
転 運 動 の 組 み 合 わ せ だ け で は 物 体 の 一運 動 を 完 全 に は 表 せ な い. 4)こ れ は ,物 体 が 小 さい と き に 「物 体 を質 点 と見 なす 」 の で は な く,物 体 の 大 き さや 形 状 を考 慮 し な くて す む と き 「物 体 を質 点 と見 な す 」 の と同 じで あ る. 5)も ちろ ん ,回 転 を考 え る た め の 基 準 点 を始 点 とす る位 置 ベ ク トル で あ る. 6)力 の 腕 の 長 さに 関 して は15 .1節 参照. 7)力 の モ ー メ ン トは ベ ク トル 量 で あ る . 8)平 行 な ベ ク トル 同 士 の ベ ク トル積 は ゼ ロ ベ ク トル に な る の で あ っ た(5 .6.2項 参 照). 9)い った ん この よ う に力 を合 成 し ,そ の 作 用 点 を求 め て し ま えば,再 びそ の 作 用 点 を力 の 合 成 ベ ク ト ル の 方 向,あ る い は そ の 逆 方 向 に移 動 させ る こ とが で き る.こ の 操 作 を繰 り返 せ ば 基 本 的 にい くつ 力 が働 い て い て も,そ の 力 を一 つ の 力 に合 成 す る こ とが で きる.な お,平 行 な 力 を合 成 す る 方 法 に 付 い て は16.2.2項 参 照. 10)い っ た ん こ の よ う に力 を合 成 し ,そ の作 用 点 を求 め て し ま えば,再 び そ の 作 用 点 を力 の 合 成 ベ ク ト ル の 方 向,あ る い は そ の逆 方 向 に移 動 させ る こ とが で き る.そ う して 選 ば れ たRも 式(16.5)を 成 り立 た せ る こ とが で きる. 11)本 節 で は “質 量 中心 ” と “重 心 ” と を 区別 す る .12.3節
で 定 義 したの は本 節 の 用 法 に従 え ば “質 量 中心 ” で あ る. 12)本 来 ,重 力 の強 さ(重 力 加速 度)は 場所 の 関数 で あ る.つ ま り,空 間 の あ る 点 の位 置 をrで 表 せ ば, そ の 点 の 重 力加 速 度 はg(r)と 表 記 さ れ る. 13)こ の辺 りの説 明 は 『力 学―― 新 しい視 点 に立 っ て』(V .D.バ ー ジ ャー,M.G.オ ル ソ ン 著;戸 田盛 和,田 上 由紀 子 訳;培 風 館)に よ っ た. 14)証 明 は しな い が ,質 量分 布 が球 対 称 の物 体 同 士 が 重 力 を 及 ぼ し合 う と き,剛 体 の 質量 中 心 と重心 は 一致 し ,そ の位 置 は 球 の 中 心 とな る.す な わ ち,物 体 の全 質 量 が 球 の 中 心 に 集 中 して い る と して 万 有 引 力 を計 算 して よ い. 15)質 量 中心 と重 心 の 区別 は も う しない . 16)別 に剛 体 内 の点 で あ る必 要 は な い. 17)(b)の
条 件 は ,あ る一 点 の ま わ りの “回転 運 動 ” の 変 化 が生 じな い,と い う こ と を表 してい る. 18)こ れ はca1+ca2+ca3+…=c(a1+a2+a3+ …)と す る こ とが で き るの と同 じで あ る. 19)静 止 摩 擦 力 に 関 して はp .165参
照.な
お,棒
が壁 か ら受 け る 抗 力(図16.5のF1,F2)の
壁 に平
行 な成 分 と垂 直 な成 分 が そ れ ぞ れ 摩 擦 力 と垂 直抗 力 で あ っ た.水 平 右 向 き を正 にx軸 を,鉛 直 上 向 き を正 にy軸 を取 る と,F1=(N1,f1),F2=(-f2,N2)で あ る.f2,f1の 正 負 は状 況 に よ り 変 わ るが,滑 り出す 直 前 は と も に正 で あ る(理 由 を考 え よ). 20)モ ー メ ン トア ー ムが ゼ ロの ため . 21)垂 直 成 分 を計 算 す る ため に ,sinθ やcosθ を ど う使 え ば よい か を しっ か り考 え る こ と. 22)N1 ,N2は 問 題 で は与 え ら れて お らず,問 題 を解 くため に便 宜 的 に導 入 した量 で あ るか ら消 去 し な くて は い け な い.ま た,θ がsinθ,cosθ の形 で散 ら ば って い る とわ か りに くい の で,tanθ の形 に ま とめ る. 23)剛 体 に固 定 され た軸(剛 体 と と も に動 く軸)で は な い こ と に注 意 . 24)5 .6.2項 参 照. 25)各 微 小 部 分 は質 点 と見 な せ る もの とす る . 26)図16 .6で はi番 目の 質 点 をx-y平 面 内 に描 い た の でriとx軸 との な す 角 が θiと な っ て い る が, 両 者 は一 般 には 異 な る こ と に注 意 せ よ.riのx-y平 面へ の正 射 影 とx軸 との なす 角 が θiで あ る. 27)こ れ こそ 剛 体 の 条 件 で あ る .
28)角 運動 量(ベ ク トル)Li=miri×viのz成
分 .角 運 動 量 の 定 義 式 につ い て は15.2節 を参 照 せ よ.ベ ク トル積 の 計 算(5.6.2項 参 照)を 行 い,そ のz成 分 を 見 れ ば,式(16.24)の 正 しい こ とが わ か る. 29)x-y平 面 に垂 直 な光 線 に よ っ てx-y平 面 にで き る “影 ” と思 え ば よい . 30)riをi番
目 の質 点 か らz軸
に下 ろ した 垂 線 の 長 さ と して も 同 じ.な お,ri=│ri│と
してriを
定義
した の で は な い こ とに 注 意. 31)こ れ も剛 体 の 条 件 . 32)三 角 関 数 の微 分 法 と合 成 関 数 の微 分 法 を使 っ た . 33)cos2θi+sin2θi=1と 34)θ はiに
い う 関係 式 を使 っ た(p .49の
課 題 参 照).
関係 な い の で和 の 計 算 の 外 に 出 した.
35)p .13補 足2参 照. 36)i番 目の 質 点 の 基 準 軸 まで の 距 離riは
基 準 軸 の と りか た に依 存 す る . 37)実 際 には 車 輪 で な くて も よい .と に か く,軸 か ら κ 離 れ た と こ ろの み に全 質 量 が 存 在 す る,と い う イ メー ジで あ る. 38)そ もそ も ,固 定 軸 が ない と き は一 つ の 軸 に着 目す る だ けで は,す な わ ち,角 運 動 量 と力 の モ ー メ ン トの 一 つ の 成 分 を考 える だ け で は 剛 体 の 運 動 が 記 述 で きな い. 39)無 視 で きな い と きの 補 正 は 簡 単 で あ る .必 要 な 量 を 自分 で仮 定 して 考 え て み よ. 40)lは トル ク 測 定 器 の 回転 中 心 軸 か らベ ル トま で の距 離 で あ る . 41)ベ ル トの 位 置 に よ らず ,肘 関 節 屈 筋 群 の 筋 張 力 の 肘 関 節 まわ りの トル ク が 測 定 され る. 42)ベ ル トにか か る力 の 装 置 の 回転 軸 ま わ りのモ ー メ ン トが 装 置 の記 録 す る測 定値 で あ る .こ れ は,ベ ル トにか か る力 の肘 関節 まわ りの モ ー メ ン ト(大 きさ は 肘 関 節 屈 筋 群 の 筋 張 力 の肘 関節 ま わ りの ト ル ク に等 しい)と は(今 の 場 合)異 な る. 43)も ち ろん 腕 相 撲 は 奥 が 深 く,勝 つ た め には い ろ い ろ な コツ が あ る よ うで あ る. 44)内 力 の モ ー メ ン トはゼ ロ にな る(15 .4節 参 照). 45)も し,滑 車が 厚 さ,材 質 一 定 の材 料 で で きて い るな ら,滑 車 の質 量 をM,半 性 モ ー メ ン トは1/2Mr2で あ る こ とが計 算 で き る(証 明 略).こ との 関 係 を求 め る こ とが で き る. 46)こ れ が 束 縛 条 件(p .171参 照)と な る. 47)厚 さ,材 質 一 定 の 滑 車 の 慣 性 モ ー メ ン トは,そ の質 量 をM,半
径 をrと
れ を用 い れ ば,さ
径 をrと
して 滑 車 の 慣
ら に ω とT,M,r
して1/2Mr2で
あ る か ら,
mは 滑 車 の 質量 の半 分 で あ る こ とが わ か る. 48)m1 -m2を 十分 小 さ くす る こ とに よ りaを 小 さ くす る こ とが で き,aの 測 定 が 容 易 に な る.aが 測 定 で きれ ば 重力 加 速 度gを 計 算 す る こ とが で きる.ア トウ ッ ド(Atwood,1746-1807)は この よ う な方 法 に よ って 重 力 加 速 度 を実 験 的 に求 め た. 49)英 語 で はphysicalpendulum ,あ るい はcompoundpendulumと い う. 50)軸 の 太 さ と摩 擦 力 が 無 視 で き る と き ,軸 か ら剛 体 に働 く力 の モ ー メ ン トは ゼ ロ に な る(無 視 で きる) こ と に注 意 せ よ.剛 体 を 支 え る た め に軸 か ら剛 体 に作 用 す る力 の作 用 点 と軸 の 位 置 は 一 致 す る た め, 力 の腕 の 長 さ(モ ー メ ン トア ー ム)が ゼ ロ とな るか らで あ る. 51)こ こ ら辺 の 事 情 は11 .4.4項 と 同様 であ る. 52)11 .3.6項,11.4.4項 な どを 参 照 せ よ. 53)こ こで は ω=θ と した の で は な い こ とに 注意 . 54)運 動 方 程 式 を見 比 べ れ ば ,微 小 振 動 で な くて も,振 れ角(振 幅)が 等 しけ れ ば,両 者 の周 期 が 等 し く な る こ と は一 目瞭 然 で あ る. 55)軸 か ら剛 体 が 受 け る 力 の 軸 ま わ りの モ ー メ ン トはゼ ロ にな る(p .284参 照).も ち ろ ん軸 が 有 限 の太 さ を持 ち,摩 擦 力 が 無 視 で き ない と き に はそ の モ ー メ ン トを考 えな くて は い け な い. 56)静 止 してい る こ と は本 質 的 で は ない が ,イ メー ジ しや す い よ う に この 条 件 を課 す こ と にす る. 57)こ の事 実 を確 認 す るの は身 近 な もの を使 って す ぐで き る.試 して み よ. 58)“ 角 運 動 量 の変 化 率=加 え られ た力 の モ ー メ ン ト”の 両 辺 を時 間 に 関 して積 分 す る と “角 運 動 量 の 変 化 量=加
え られ た 力 積 の モ ー メ ン ト” に な る.
59)半 径 × 角 速 度 が 円運 動 の 接 線 方 向 の 速 さで あ った .ま た,撃 力 を加 え られ た直 後 はO'はGか 見 る と撃 力 の 方 向 と逆 向 き に動 くこ とは 図 か ら明 らか で あ ろ う. 60)割 り箸 な どで も よ い.
ら
61)紙 な どで も よ い. 62)そ うい う棒 と糸 を用 意 した と考 えて も らえ れ ば よい . 63)支 柱 の 位 置 や
,打 撃 が どれ だ け “瞬 間的 に”行 わ れ た か に もよ るが. 64)か ら さお:豆 類 ・粟 な どの 脱 殻 や 麦打 ち に用 い る農 具 .竿 の 先 に,さ
くる る
ら に短 い 竿 を 枢 に よ っ て 自 由 に 回転 で き る よ う に付 け,こ れ を回 して 打 つ もの.(『 広 辞 苑(第 五 版)』 よ り) 65)「 大 き さが 無 視 で き る の に な んで 質 量 を考 え る こ とが で き るの だ」 と悩 む人 が た ま にい る.そ れ は 気 にす る必 要 は な い.理 論 上 の 話 を して い るか ら であ る.ま た,実 験 的 に も棒 の 長 さ に比 較 して 半 径 が 十 分 に小 さい お も りを使 え ば問 題 ない.同 様 に,棒 の 質 量 が 無 視 で き る と は,お も りの 質 量 に 比 較 して 棒 の 質 量 が 十 分 に 小 さけ れ ば よい の で あ る. 66)系 が 軸 か ら受 け る力 の 軸 まわ りの モ ー メ ン トは ゼ ロに な る の で あ っ た(p .284参 照). 67)お も りは も との 速 さの ま ま等 速 円 運 動 をす る こ とに な る . 68)太 さはlに
比 べ て 無 視 で き る とす る .
69)固 定 され た軸(点)Oま
わ りの(制 動 が か け られ た と きの 点Aま
わ りの)回 転 運 動 の エ ネ ル ギ ー を
式(16.37)に 従 って 求 め れ ば よい. 70)制 動(こ こ で は衝 突 に よ る ブ レ ー キ作 用)と は 71)13 .4節 の式(13.33)で,系
,一 種 の非 弾 性 衝 突 で あ る. の 全 運 動 エ ネ ル ギ ー は “重 心 の運 動 エ ネル ギ ー+重
心 まわ りの 各粒 子
(質 点)の 相 対 運 動 エ ネ ル ギ ー の総 和 ” に分 離す る こ と が で き る こ とを示 した.こ こで は,系 は 剛 体 な の で “重 心 まわ りの 各粒 子(質 点)の 相 対 運 動 エ ネ ル ギ ー の総 和 ” を “重心 ま わ りの 系 の(剛 体 の) 回 転 運 動 の エ ネ ルギ ー ” と して よ い の で あ る.こ の こ とを 計 算 で キ チ ン と示 す こ とは 難 し くは ない の で,こ こで は 省 略 す る. 72)こ れ は ,筋,腱,靭 帯 な どに とっ て 相 当 の負 担 に な る と思 わ れ る.
17 関節 トル ク
バ イ オ メカ ニ クス の研 究 にお いて,運 動 中 に発 揮 され る “関節 トル ク”が 論 じ られ る こ とは非 常 に多 い.身 体 運 動 が 関節 運動 の組 み 合 わ せ に よ り発 現 す る こ とを考 えれ ば,そ れ は当 然 の こ と とい え よ う.本 書 で の学 習 も ここ まで 来 て よ うや く関節 トル ク を話 題 とす る こ とが で きる よ う にな っ た.本 章 で は 関節 トル クの 意味 と求 め方 に つ い て解 説 す る.
17.1関
節 トル クの 意 味
ま ず 簡 単 の た め,関 る ピ ン で 点Oの
節 を 図17.1の
と こ ろ で とめ ら れ,互
て い る も の と し よ う.さ
て,θ
え ば 図17.1aの
よ う に 系 を 配 置 し,棒Aを
押 さ え て い る 支 え を 静 か に 離 した と し よ う.こ
軸 と して 時 計 ま わ りに 回 転 し始 め る.
図17.1
課題
この 現象 を説 明 せ よ.
太 さ,摩 擦 の 無 視 で き
い の な す 角 θは 自 由 に変 化 で き る よ う に な っ
を 変 化 させ る た め に は ど の よ う な 操 作 を こ の 系 に ほ
ど こ さ ね ば な ら な い だ ろ う か.例 た ま ま棒Bを
よ う に 二 つ の 棒A,Bが
の と き棒Bは
固定 し 点Oを
解説
図17.1bに
る(棒Bの
示 す よ うに,棒Bに
質 量 をmと
作 用 す る力 は 点Oか
した).点Oま
Oに 対 す る棒Bの 重心 の位 置 ベ ク トル をrと モ ー メ ン トをIOと す る と,
が 成 り立 つ(図17.1の
ら受 け るFと
重 力mgだ
わ りの力 の モ ー メ ン トはN=r×mgで した).そ れ ゆ え,棒Bの
よ う に 座 標 軸 を と っ た).Nx≠0よ
点Oま
り,棒Bは
点Oま
わ りの 慣 性
わ りに 回転 を
始 め る.こ れ で 解 答 は 終 わ り だ が,こ の 課 題 を 解 くの に,点Oま わ り で な く,棒Bの Gま わ りの 回 転 運 動 を 考 え て も よ い.Gま わ りの 力 の モ ー メ ン トはN'=(-r)×Fで 2) .そ れ ゆ え,棒Bの 点Gま わ りの 慣 性 モ ー メ ン ト をIGと す る と,
が 成 り立 つ.Nx'≠0よ る4)が,IO≠IGだ れ る.こ
り,棒BはGま
わ り に 回 転 を 始 め る3).上
し,Nx≠Nx'で
の 証 明 に は 棒Bの
お よ び,p.316の
あ る.そ
けで あ
あ る1)(点
重心 ある
の両 式 で ω は共 通 で あ
れ に も か か わ ら ず 両 式 で は 共 通 のdω/dtが得 ら
重 心 に関 す る運 動 方 程 式
式(16.38)か
ら得 ら れ る
を使 え ば で き るが(r=│r│と
した),少
し厄 介 な ので,こ こ で は証 明 法 は示 さ ない5).た だ,
物体 の 回転 運 動 を扱 う際 に は,自 分 が どの点 を基 準 に とるか に よっ て適 切 な慣性 モ ー メ ン ト や力 の モ ー メ ン トを考 え な くて は い け な い こ と と,正 し く考 え る限 り,ど の 点 を基 準 点 に し て も得 られ る結 果 は 同 じに な る6)こ とは し っか り と覚 えて お い て もらい た い. こ の 例 を 身 体 運 動 に適 応 して 考 え る と,重 メ ン トを持 つ.し
か し,こ
出 され た わ け で は な い.そ
わ り)の モ ー
の モ ー メ ン トは こ の 関 節 を屈 伸 させ る 筋 群 に よ っ て 生 み の た め,バ
イ オ メ カ ニ ク ス で は 重 力 の 関 節 ま わ りの モ ー
メ ン ト を “関 節 トル ク” に 含 め な い7).そ 能 動 的 に屈 曲,な
力 が 関 節 ま わ り(点Oま
う,関 節 トル ク と は,着
目 して い る 関 節 を
い し伸 展 さ せ る 筋 群 が 発 揮 す る 張 力 の 関 節 ま わ りの モ ー メ ン トの
こ と な の で あ る. で は,図17.2aの
よ う に棒Aを
矢 印 の 方 向 に 加 速 度aで
簡 単 の た め に今 度 は 重 力 を 考 え な い こ と に す る8).こ
動 か し た 場 合 は ど う か.
の 場 合 も,棒Bが
点Oま
わ り
を 時 計 ま わ り に 回 転 し始 め る こ とが 直 感 的 に わ か る だ ろ う. 課題
この 現象 を説 明 せ よ.
解説
棒Aを(加
れ る(図17.2b参
速 度 を もっ て)動 かす た め,点Oが 照)9).こ
のFの
棒Bの
作 用 点 とな っ て棒Bに
力Fが
重心 ま わ りの モ ー メ ン トN'=(-r)×Fが
及 ぼさ 棒
図17.2
Bに(棒Bの)重 ク トル をrと
心 まわ りの 回転 運 動 を引 き起 こす10)(点Oに
対 す る棒Bの
重心 の位 置 ベ
した).こ の 運 動 は,先 の課 題 と同 じ記 号 を使 う と,
(17.1) とな る.で は,同 じ運 動 を点Oに 着 目 して記 述 した ら ど うな るか.Fの 作 用 点 は点Oで あ る か らFの 点Oま わ りの モ ー メ ン トは0で あ る(モ ー メ ン トアー ム が ゼ ロで あ る た め).今, 重力 は働 い て い ない と考 え てい る の で,点Oま わ りの力 のモ ー メ ン トの 和 は ゼ ロ とな る.と い うこ とは,点Oま わ りに回 転 は起 こ ら ない こ とに な り,こ れ は 先 ほ どの考 察 と矛 盾 す る. 実 際 に は 回転 が 起 こる の で,今 行 った考 察 に誤 りが あ る こ と に な るが,ど こが 間違 って い た の で あ ろ うか.実 は,点Oを 基準 に して棒Bの 運 動 を考 え る ため には,点Oに 固定 した座 標系 か ら観 測 す るが ゆ えの棒Bに 働 く慣 性 力-maを 考 えな くて はい け ない11)(第18章 参 照).こ の慣性 力 の 作 用 点 は重 力 と同 じよ う に棒Bの 重 心 とな る.こ の 慣性 力 の点Oま わ り の の モ ー メ ン トはN=r×(-ma)と なる.つ ま り,点Oま わ りの棒Bの 回 転運 動 の 方程 式は
(17.2) と な る.式(17.1)と
式(17.2)が
同 じ結 果 を 与 え る こ と を示 す の は か な り難 しい.こ
こ で は,
証 明 抜 き に 認 め て も ら お う.
こ の 場 合,棒Aが あ る.そ
加 速 度 運 動 す る の は 棒Aに
う い う 意 味 で は,能
慣 性 力 の 点Oま
何 らか の力 が作 用 してい るか らで
動 的 な 作 用 に よ っ て 棒Bを
わ りの モ ー メ ン トNを
回 転 させ て い る と考 え て,
関 節 トル ク に 含 め て も よ さ そ う だ が,こ
れ
もバ イ オ メ カ ニ ク ス で は 関 節 トル ク に 含 め な い12). さ て,以 Bに
上 の 議 論 を 踏 ま え て 改 め て 関 節 トル ク を定 義 し よ う.図17.3の
作 用 す る 力 が い くつ か あ る と き,重
力mgや
慣 性 力-maや
よ う に棒
外 力13)Fに
よる
図17.3
モ ー メ ン ト以 外 の 力fk― ―(主
に)筋 の 張 力14)―― の 関 節 ま わ り の モ ー メ ン トの 和
(17.3) (の軸 方 向 成 分)を 関 節Oま と したfkの
わ りの 関 節 トル ク と呼 ぶ.こ
作 用 点 の 位 置 ベ ク トル で あ る15).も
17.3のfj'の ン トは 関 節Oま
よ う に,問
題 と し て い る軸O(関
こ でrkは
ち ろ ん,筋 節O)を
関 節Oを
基準点
の 張 力 とい っ て も,図
またが な い筋 に よ るモ ー メ
わ りの 関 節 トル ク の 計 算 に は 加 え な い16).
補足 慣 性モ ー メ ン トや力 の モ ー メ ン ト(ト ル ク)を 考 える際 に,常 に 基準 点 は何 か を考 え な くて は い け な い こ と を も う一度 強 調 して お く.こ の 区 別が で き ない と次 節 の 内容 は理 解 で きな い.
17.2関
節 トル ク の 求 め 方
さ て,前 節 で 関 節 トル ク を 明 確 に 定 義 した.関
節 トル ク を求 め る に は 定 義 に 従 い,
関 節 を ま た い で セ グ メ ン トに働 く筋 張 力 をfk,関
節 中 心 か ら見 た そ の 筋 張 力 の 作 用
点 の 位 置 ベ ク トル をrkと
し て,
(17.4) (の 軸 方 向 成 分)を 計 算 す れ ば よ い(図17.4参
照).各
筋 の モ ー メ ン トア ー ムlkが
わ
図17.4
か っ て い れ ば,
(17.5) を計 算 す れ ば よ い17).定
義 が 明 ら か な 以 上,計 算 法 を あ れ こ れ 悩 む 必 要 は な い よ う に
思 わ れ る が,実 際 問 題 と して は各 筋 の 張 力 や 付 着 点 は 不 明 で あ る こ とが 多 い た め,定 義 式 で あ る 式(17.4)や で き な い.そ
式(17.5)に
従 っ て 関 節 トル ク を直 接 求 め る こ と は(一 般 に は)
こ で,本 節 で は セ グ メ ン トの 運 動 学 的 デ ー タ18)と セ グ メ ン トに か か る外
力(地 面 反 力 な ど)か ら関 節 トル ク を推 定 す る魔 法 の よ う な 方 法 を紹 介 し よ う19).な お,本 来,力
の モ ー メ ン トは ベ ク トル 量 で あ る が,こ
み を考 え る.そ
の た め,回 転 軸 をx軸
こで は関節 の 回転軸 方 向成 分 の
とす れ ばIGω=Nx(=rFsinθ=yFz-zFy)
な ど と 表 記 し な け れ ば い け な い と こ ろ だ が,煩
わ し い の でIGω=r×Fの
よ うな
表 記 を使 う.
17.2.1身 図17.5の (1)セ
体 末 端 関 節 の トル ク の 計 算 よ う な モ デ ル を考 え る.
グ メ ン トの 質 量m,重
慣 性 モ ー メ ン トIGを
心 の セ グ メ ン ト内 で の 相 対 的 な位 置,重 形 態 学 的 資 料 に 基 づ き推 定 す る.
心 ま わ りの
図17.5関 節 の モ デ ル.関 差 し障 りは な い.
(2)空
節 トル ク を 求 め る モ デ ル と して は
間 に 固 定 さ れ た 座 標 系20)か ら見 た 身 体 末 端 部 の セ グ メ ン トの 重 心 の 加 速 度
RG,お (3)こ
節 の 構 造 を無 視 して い るが,関
よ び 角 速 度21)ω を実 験 デ ー タ に 基 づ い て 計 算 す る22).
こ で,既
知 の 量 と未 知 の 量 を 整 理 して お こ う.ま
節(回 転 軸)の 位 置ROは
軸 か ら セ グ メ ン トに加 わ る力FOは 外 力 の う ち,隣
ず,重
心 位 置 か ら見 た 関
形 態 学 的 資 料 か ら既 知 で あ る と す る.し 未 知 で あ る.次
か し,そ の
に,セ グ メ ン トに作 用 す る
の セ グ メ ン トか ら受 け る力 以 外 の も のFiは
作 用 点Ri(セ
グ
メ ン トの 重 心Gに
対 す る位 置 ベ ク トル)も 含 め て す べ て23)測 定 して お く24).
つ ま り,Fi,Riは
既 知 とす る(i=1,2,…).最
(腱)の 張 力fkと で あ る.た ら 見 たfkの (4)重
そ の 作 用 点 の 位 置rkで
だ し,rkは
あ る が(k=1,2,…),こ
関 節 中 心 か ら見 たfkの
作 用 点 の 位 置 はRO+rkで
心 の運 動 方程 式
後 に セ グ メ ン トに 付 着 す る筋
あ る.
れ は未 知
作 用 点 の 位 置 で あ る.重
心 か
か ら,未 知 量 を既 知 量 か ら計 算 で 求 め る.
(17.6)
(5)重
心 ま わ り の 回 転 運 動 の 方 程 式25)
(17.7)
の 右 辺 を次 の よ う に 展 開,整
理 し て い く.
最 右 辺 の 下 線 部 が ま さ に 求 め た い 関 節 トル ク で あ る.関
節 トル ク は 式(17.7)
と こ の 式 よ り,
(17.8)
と計算 され る こ とが わ か る.理 屈 は多少 厄 介 だが,セ グ メ ン トの重 心 運動 とセ グ メ ン トの 重心 まわ り の 回転 運動 に着 目す るだ けで 関節 ま わ りの筋(腱)張
力の モ ー メ
ン ト,す なわ ち 関節 トル クが 求 め られ る のが お も しろい とこ ろだ. 補足
∑rk×fkは
関節 まわ りの筋(腱)張
力 のモ ー メ ン トと述べ たが,考 え てみ
れ ば こ れ は未 知 の力 の関 節 中心 まわ りの モ ー メ ン トの総 和 で あ る26).す な わ ち,関 節 運動 に能 動 的 に関 わ る主 動 筋 お よび そ の協 働 筋 群,拮 抗 筋 群 の モ ー メ ン トの ほか に,様 々 な粘性 抵 抗(摩 擦力)や 関 節構 造 に基 づ く骨 間力(bone-on-boneforce)に よる モ ー メ ン ト27)も含 ん で しま う(こ れ らの力 もfkに た め).こ の こ とは常 に念 頭 に おい て お く必 要が あ る.
計 算 の 上 で含 ま れ て しま う
課題 本 項 で 求め た トル クは 図17.5に お い て,セ グ メ ン トAに 作 用す る筋張 力 の 関節Oま わ りの トル クで あ る.こ れ をTと す る.筋 が す べ て単 関節 筋 の と き,同 じ筋 群 が セ グメ ン ト Bに 作 用 す る筋 張 力 の 関節Oま 解説
図17.5に
わ りの トル ク の和 は-Tに
お い て,rk×fk=-rk'×fk'で
な る こ とを示 せ.
あ る こ と を 示 せ ば よ い.こ
れ は15.4節
の 議 論28)と 同 じ な の で 説 明 は 割 愛 す る.
補 足1筋 が すべ て単 関 節 筋 の と き,“ 関節Oま の 問題 もない.上 の課 題 で見 た よ う に,関 節Oを
わ りの トル ク” とい う言 葉 には何 は さ むセ グメ ン トA,Bに 働 く関
節Oま わ りの トル ク の大 き さは共 通 だ か らで あ る.不 正確 な言 葉 で表 現 す れ ば 「セ グメ ン トAを セ グ メ ン トBに 向 か わす作 用 と,セ グメ ン トBを セ グメ ン トAに 向 か わ す作 用 が 等 し く,そ の作 用 を関節 トル ク と呼 ぶ」 とい うわ け だ.し か し,二 関 節 筋 が 関与 して くる と 「セ グ メ ン トAを セ グ メ ン トBに 向 か わす 作 用 と,セ グ メ ン トBを セ グ メ ン トAに 向か わす 作 用 が等 し く」 は な らな い と思 われ る.こ の こ とは “関 節 トル ク” とい う言 葉 に対 す る反省 を促 す が,我 々が “関節 トル ク” を問題 にす る と きに は関 節 をは さ む二 つ の セ グ メ ン トの うち どち らか 一 方 に のみ に着 目す る こ とが 多 い29).そ の た め,混 乱 が 起 こる こ とは ない の で あ る. 補 足2「 セ グ メ ン トAを セ グメ ン トBに 向 か わす 作用 と,セ グ メ ン トBを セ グ メ ン トAに 向 か わす 作 用 が等 し く」 な る とい う こ とが画 像 デ ー タ か ら各 関節 の トル ク を求 め る基 本 で あ る.末 端 セ グ メ ン トAに 着 目 して 求 め た関 節Oま わ りの トル クの 符号 を 変 え た もの が,と な りの セ グ メ ン トBに 対 す る(同 じ筋群 に よ る)関 節 Oま わ りの トル ク とな る.こ の こ と を使 っ て,次 の 関節 の 関節 トル ク を求 め るの で あ る(17.2.2項 参 照).で は,二 関節 筋 の 問題 は ど うな るの か.こ れ は質 点系 にお け る角 運動 量 ・トル クの 関 係 の議 論(15.4節)を 思 い 出せ ば,17.2.2項 の計 算 で 身体 全 体 と して のつ じつ まは合 う し,ま た補 足1と
同様 の理 由 もあ り,特 に問題 とす る
必 要 は な い よ うで あ る30).
17.2.2末
端 部 以 外 の 関 節 の トル ク の 計 算
末 端 部 以 外 の セ グ メ ン トは 図17.6に の う ち 一 方 の 関 節 に働 く力FO'+∑fj'と れ て い る と き(前 項 補 足2参 で き る.な
お,記
関 節 トル ク ∑rj'×fj'が
(1)重 心 の運動 方 程 式
既 に計 算 さ
う一 方 の 関 節 の 関 節 トル ク は 以 下 の よ う に 計 算
号 は 基 本 的 に 前 項 と 同 じ だ が,既
は “'” を つ け て 表 す.
から
照),も
示 す よ う に 二 つ の 関 節 に は さ ま れ て い る.そ
に計 算 して 求 め ら れ て い る 量 に
図17.6身
体 の 末 端 に な い 関節 の トル ク の 求 め方
(17.9)
であ る こ とが わ か る. (2)重 心 まわ り の回転 運 動 の方 程 式
(17.10)
の 右 辺 を次 の よ う に 展 開,整
理 し て い く.
最 右 辺 の 下 線 部 が ま さ に 求 め た い 関 節 トル ク で あ る.関
節 トル ク は式(17.10)
と こ の 式 よ り,
(17.11)
と計 算 さ れ る こ と に な る. 重 心 ま わ り の 運 動 を 考 え て い た の に,い
つ の ま に か セ グ メ ン トの 両 端 の 関 節 ま わ
りの トル ク の 関 係 式 が 出 て くる の は お も しろ い.本
来,回
転 軸 の 違 う トル ク
は 足 し た り引 い た り して は い け な い も の な の で あ る31)! さ て,こ の計 算 で は 一 方 の 関 節 に 働 く力FO'+∑fj'と が 既 に 計 算 さ れ て い る こ と を前 提 と し た が,こ で あ ろ う か.そ
れ は,関
節O'を
関 節 トル ク ∑rj'×fj'
れ ら は どの よ う に して 求 め ら れ る の
は さ ん で 接 して い る セ グ メ ン トに 作 用 す る 関 節 間
力 と 関 節 トル ク に マ イ ナ ス 符 号 を つ け た も の と して 求 め ら れ る の で あ る.こ 関 し て は17.2.1項 補 足
の 課 題 お よ び そ れ に 続 く補 足1,補
式(17.8)に
せ よ 式(17.11)に
せ よ,右
足2を
参 考 にせ よ.
辺 の 計 算 に はFO+∑fkと
うか た ま りが あ る.こ れ は 関節 間 力 と呼 ばれ る.FO+∑fkを い る の に ∑fkの
17.3圧
か ため て計 算 して
力 中 心
関 節 トル ク を計 算 す る 際,セ
グ メ ン トに 作 用 す る 外 力32)が 存 在 す る 場 合 は,そ
い た 圧 力 中 心(centerofpressure)の
作 用 点 を――FとF'の
で き る.な
お,こ
れ
節 で は フ ォ ー ス プ レ ー ト を用
計 算 の仕 方 を説 明す る.
“足 が フ ォ ー ス プ レ ー ト に 及 ぼ す 力Fの
と の 位 置 関 係 ” が わ か れ ば,足 F'の
い
関節 ま わ りの モ ー メ ン トが 抽 出 され て しま うの は お も しろ い.
を作 用 点 も含 め て 測 定 し て お か な く て は な ら な い.本
補足
の点 に
作 用 点 ” と “フ ォ ー ス プ レ ー ト と足
に 働 く地 面 反 力(フ
ォ ー ス プ レ ー トが 足 に 及 ぼ す 力)
作 用 点 が 一 致 す る と い う 仮 定 の も と33)―― 知 る こ とが
こ で い う “作 用 点 ” と は16.2節
で 扱 っ た も の と 同 じ 意 味 で あ る.
こ れ を バ イ オ メ カ ニ ク ス で は “圧 力 中 心 ” と 呼 び な ら わ して い る .
こ こ で は,フ
ォ ー ス プ レ ー ト に は 四 つ の セ ン サ ー が あ り,そ
板 か ら 及 ぼ され た 力 を測 定 で き る も の とす る.そ (x2,y2,0),r3=(x3,y3,0),r4=(x4,y4,0)と
れ ぞ れ独 立 して上 の
の 位 置 をr1=(x1,y1,0),r2= し,そ
こ で検 知 され た 力 をそ
れ ぞ れf1=(f1x,f1y,f1z),f2=(f2x,f2y,f2z),f3=(f3x,f3y,f3z),f4= (f4x,f4y,f4z)と は,作
す る.な
お,板
が セ ンサ ー に及 ぼ す 力 と セ ン サ ー が 板 に 及 ぼ す 力
用 反 作 用 の 法 則 に よ り大 き さ が 等 し く,向
き は 逆 で あ る.そ
こ で,こ
こで は
検 知 され た 力 は セ ンサ ー か ら板 に及 ぼ さ れ た 力 と見 な し て 話 を進 め る(図17.7も
そ
の よ う な 立 場 か ら作 成 し て あ る). さて,図17.7の
よ う に フ ォ ー ス プ レ ー トの 一 点R=(x,y,d)にF=(Fx,Fy,Fz)
が 働 い て い る と す る.フ る の だ か ら,重
ォ ー ス プ レ ー トは こ れ ら す べ て の 力 を 受 け て つ りあ っ て い
心34)運 動 の 方 程 式 に 関 し て35)
(17.12)
図17.7フ ォー ス プ レー トに 作 用 す る 力Fの 測 定.力 が 面 に垂 直 な成 分(z成 分)の み を 持 つ 場 合 を 図 示 した が,一 般 に 力 が面 に平 行 な方 向 の成 分(x,y成 分)を 持 っ て い て も よい.
原 点 ま わ りの 回転 運動 の方程 式 に関 して
(17.13) が 成 り立 つ(力 の つ りあ い に 関 して は16.4節 を 解 け ば,Fの
作 用 点R=(x,y,d)のx,y座
参 照).こ
う して得 られ る連 立 方程 式
標 は
(17.14) (17.15) と求 め ら れ る. 補足
圧 力 中 心 を 求 め る式 に は い くつ か 問 題 が あ る.そ
の 一 つ は,方 程 式 系 に 関 す る
純 粋 な 数 学 上 の 問 題 で あ る.連 立 方 程 式 の 理 論 に 関 し て は5.8.1項 で 少 し しか 扱 っ て い な い の で 深 入 りは 避 け る が,連 立 方 程 式(17.12),(17.13)は 一 般 的 に は 解 け ず, 特 殊 な 場 合 しか 解 を 持 た な い こ と が 示 さ れ る(証 明 略).実 際 に は,キ チ ン とつ りあ い の 状 態 が 実 現 して い る 以 上,そ の 特 殊 な 場 合 が 実 現 し て い る は ず で,そ う な らば こ れ で 求 め ら れ る は ず だ,と い う の が 式(17.14),式(17.15)な の で あ る36).も う 一 つ の 問題 は ,理 想 と 現 実 の 問 題 で あ る.つ ま り,セ ンサ ー が 厳 密 な(数 学 的 な 意 味 で の)点 で な い とい う こ と と,フ ォ ー ス プ レ ー トは 完 全 な 剛 体 で な く,力 を 加 え れ ば 歪 み が 生 じ る こ と よ り,連
立 方 程 式(17.12),(17.13)で
的 な もの に な ら ざ る を 得 な い と い う こ と だ.こ て 解 説 す る こ と は で き な い.詳
求 め られ る圧 力 中 心 は近 似
の 問 題 も 難 し く,本
書 で は立 ち入 っ
し く知 りた い 人 は “Shmiedmayer,H.B.,Kastner,
J.(1999)J.Biomechanics32,1237-1242.”
を 参 照 し て 頂 き た い.
注 1)点Oが
作 用 点 で あ るFの
点Oま
だか らで あ る(p.284参 照). 2)Gを 作 用 点 とみ なせ るmgはGま 3)Gか
ら棒Bの
わ りの モ ー メ ン トは0で
あ る .そ れ は モ ー メ ン トア ー ム が ゼ ロ
わ りの モ ー メ ン トを持 た な い(モ ー メ ン トアー ム が ゼ ロ だか ら) .
運 動 を観 測 す る と き,Gが
動 くこ とに よ っ て棒Bに “働 く”慣 性 力(第18章 参 照) も考 慮 しな くて は い け な い.し か し,こ の 慣 性 力 の 作 用 点 はGと 考 えて い い の で,Gま わ りの モ ー メ ン トは ゼ ロ と して よい. 4)確 か め よ . 5)こ の証 明 が で き れ ば,今 まで 学 習 して きた こ とが ほぼ100%身 に つ い て い る と自信 を持 っ て よ い. 6)同 じ結 果 が 得 ら れ るの だか ら ,な るべ く計 算 が 簡 単 に な る よ う に基 準 点 を選 ぶ の が よい. 7)も ち ろ ん ,身 体 運 動 を行 う上 で 重力 に よ る モ ー メ ン トは 無視 で きな い.た だ,術 語 と して は 重 力 に よ る モ ー メ ン トを “関節 トル ク” に含 め な い とい うこ とで あ る. 8)系 を水 平 面 内 に置 い た と考 えれ ば よい . 9)こ れ は非 常 にあ りふ れ た 現 象 だ が ,な ぜ 力 が 働 くか を更 に 突 っ 込 ん で考 え る と,か な り説 明 に 困 る. 考 え て み れ ば,力 と は何 か.物 体 間 の相 互 作 用 は どの よ うに起 こる か.こ の 問 題 につ い て は今 まで い くつ か 暗示 的 な解 説 を して き たが,こ こで は特 に考 え ない で お こ う. 10)慣 性 力 の モ ー メ ン トは先 ほ ど と 同様 にゼ ロで あ る. 11)こ の 問題 を慣 性 力 を用 いず に考 え るの は,す な わ ち慣 性 系 で 考 え るの は難 しい. 12)先 ほ ど も述 べ た よ う に ,関 節 まわ りの 回転 を考 え る上 でN=-r×(-ma)は 重 要 で あ る.た だ, 術 語 と してバ イ オ メ カ ニ ク ス で は “関節 トル ク” と呼 ば な い とい う こ とで あ る. 13)地 面 反 力 や ボ ー ル な ど ,筋 以外 が セ グ メ ン トに及 ぼ す 力 の意 味 で,こ れ まで に使 って きた “外 力”(系 外 か ら系 に作 用 す る 力)と は 意 味 が 違 う.セ グメ ン トに作 用 す る筋 張 力 は こ れ まで の 定 義 に よ れ ば 立 派 な外 力 で あ り,だ か ら こ そ セ グ メ ン トの運 動 に寄 与 す る. 14)“ 主 に” とい う但 し書 き をつ け た の は ,関 節 が 有 限 の 大 き さ を持 つ(点 で な い)こ と に よ り生 じる ト ル ク や組 織 間 の摩 擦 力 な どに よる トル ク を 筋 張 力 に よる トル ク と分 離 す る こ とが で き ない ため,こ れ ら も関節 トル ク に含 め て計 算 さ れ て し ま うか ら であ る. 15)rk ,fkの よ う に添 え字 をつ け たの は,複 数 の 筋 の 存 在 を考 慮 した か らで あ る(k=1,2,…). 16)関 節Oを また が な い筋 の活 動 も関 節Oの 運 動 に影 響 を及 ぼ す が ,術 語 と して はOま わ りの 関節 ト ル ク に は含 め な い. 17)符 号 に は注 意 しな くて は い け な い .ま た,す べ て の筋 張 力 は 同 じ平 面 内 に存 在 す る と し た. 18)位 置 ,速 度,加 速度,角 速度,角 加速 度 の こ と.こ れ らの デ ー タは 画 像 デ ー タか ら算 出 す る こ とが 多 い が,実 験 室 に お い て は特 別 な装 置 を用 い て直 接 求 め る こ と も あ る. 19)こ の 方法 は “BiomechanicsandMotorControlofHumanMovement .”(Winter,D.A.著, JohnWiley&Sons.)に よ る. 20)こ こ で は あ い ま い な 表 現 を して お くが
,地 面 に 固 定 され た 座 標 系 と考 えて も,実 験 室 に固 定 され た 座 標 系 と考 え て もよ い.実 は,慣 性 系(第18章 参 照)な ら何 で も よい. 21)セ グ メ ン トの角 速 度 .関 節 の なす 角 の変 化 率 で は な い. 22)RGは 空 間 に 固 定 さ れ た座 標 系 か ら見 た セ グ メ ン トの重 心 の位 置 ベ ク トル . 23)Fiは
重 力mgを 含 む .重 力 はセ グ メ ン トの 並 進 運 動 に は貢 献 す る.し か し,セ グ メ ン トの重 心 ま わ りの 回転 運 動 に は(モ ー メ ン トア ー ム が ゼ ロ の た め)寄 与 し な い. 24)例 え ば垂 直 跳 び な ら ,足 部 の 受 け る力 と して 地 面 反 力 を測 る と 同時 に足 圧 中心(17.3節 参 照)も 測 定 して お か な け れ ば な らな い. 25)正 確 に は ,重 心 系(重 心 と共 に動 く観 測 系 ≠ 慣 性系)か ら見 た 重 心 ま わ り の 回転 運 動 の 方 程式 で あ る.重 力 の モ ー メ ン トは ゼ ロで あ る の は 当然 の こ と,セ グ メ ン トに “作 用 す る” 慣 性 力 の モ ー メ ン トもゼ ロ で あ る.な ぜ な ら 両者 の作 用 点 は と も に重 心 に あ る と考 え ら れ る か ら で あ る. 26)関 節 中心 に働 く力FOの 関節 中 心 ま わ りの モ ー メ ン トは0で あ る こ とに 注 意 . 27)関 節 中心 点(大 き さゼ ロ)以 外 の 部 分 で も骨 と骨 は “接 して” い る .そ こで 働 く力 は 関節 中心 ま わ り の モ ー メ ン トに寄 与 す る.
28)内 力 の トル クの 総 和 はゼ ロ に なる とい う議 論 . 29)例 え ば肘 関 節 を 曲げ る と き ,“ 前 腕 が 上 腕 に向 か って 動 く” と考 え,そ の トル ク を問 題 にす る.“ 前 腕 に上 腕 が 向 か って 動 く” と は――少 な くと も普 通 は――考 え ない. 30)と 書 き なが ら,筆 者 自 身,多 少 割 り切 れ な い もの を感 じて い る.“ 言 葉 の 問題 ” と割 り切 っ て しま え ば よい の か も しれ ない が. 31)偶 力 に よ る トル ク は 特 に 回 転 中心 を考 え る必 要 は な く,自 由 に 足 し合 わ せ る こ とが で き る(p.306 参 照).関 節 トル ク を偶 力 に よ る トル ク と考 えて 式 を立 て て しま え ば,本 章 で 長 々 と述 べ た こ と は不 用 に なる か も しれ な い.し か し,実 際 の機 構 を考 え る こ と に よ り様 々 な 問題 点 に気 づ く場 合 もあ る. そ こで,本 章 で は 関節 トル クの 意 味(関 節 トル クが 生 み 出 さ れ る し くみ)も 考 慮 に入 れ つ つ,少 し立 ち入 って 関 節 トル クの 計 算 法 を検 討 して み た.こ の 試 み に よ り,読 者 が 関 節 トル ク に対 す る理 解 を 深 め られ る こ と を期待 した い. 32)こ こで は 地 面 反 力 や 重 力 な ど. 33)「FとF'は
作 用 反作 用 の 関係 にあ り(作 用 線 が 一致 し ,か つ,F'=-F),両 者 の作 用 点 は一 致 す る 」 とい う議 論 だ が,一 般 に は作 用 反 作 用 の 関 係 にあ る力 の 作 用 点 は一 致 し ない.例 えば,太 陽 が 地 球 に及 ぼ す 万 有 引 力 と地 球 が 太 陽 に及 ぼ す 万 有 引 力 は作 用 反 作 用 の 関 係 にあ るが,そ れ ぞ れ の 作 用 点 は 約1億5千 万km(太 陽-地 球 間の 距 離)離 れ てい る.こ れ は 極 端 な例 だ か,接 触 した二 物 体 が 及 ぼ し合 う力(そ れ ぞ れ の 物 体 の 表 面 を構 成 す る原 子 間 に働 く静電 気 力)の 作 用 点 も(厳 密 には) 一 致 して い な い .し か し,こ こで は そ の ズ レ を無 視 で き る と仮 定 す るの で あ る.も っ と も,セ グ メ ン トの 並 進 運 動,お よび 回 転 運 動 に対 す る力 の 影 響 は 力 ベ ク トル の 作 用 点 を作 用 線 の 方 向 に どの よ
う に移 動 させ て も変 化 し な い(16.2.1項 る さ く考 える 必 要 は な い. 34)フ ォー ス プ レー トの 重 心 .正 確 に は,セ 35)フ ォー ス プ レー ト自体 に働 く重 力Wを
参 照)の で,ト
ル ク計 算 に お い て こ の 注 で 述 べ た こ と を う
ンサ ー の 上 に の っ て い る板 の重 心. 補 正 した 測 定値 を セ ンサ ー は出 力 す るの で ,Wを
運動方程
式 に入 れ る 必 要 は な い.こ れ は 回転 運動 の 方程 式 に 関 して も 同様 であ る. 36)フ ォー ス プ レー トにz軸 ま わ りの(偶 力 に よる)モ ー メ ン トが 存 在 し うる と仮 定 す る と
,こ れ らの 求め
連 立 方 程 式 は 問 題 な く解 く こ とが で き る.そ の 場 合 も,圧 力 中 心 は式(17.14),式(17.15)で られ る こ とが示 さ れ る.詳 し くは “Biomechanics.”(Nigg,B.M.,Herzog,W編,JohnWiley &Sons.)第3章 を参 考 に して い た だ きた い.
18 慣 性 系 ・非 慣 性 系
人 類 は ニ ュー トン に よっ て物 体 の運 動 を定性 的 に も定量 的 に も扱 え る よ うに な った. しか し,ニ ュ ー トンの 運動 方程 式 に まっ た く問題 が ない わ け で は ない.論 理 的 に考 える とい くつ か 奇 妙 に 思 え る とこ ろが あ る.そ の一 つ は,運 動 方 程 式 は誰 の立 場 で 成 り立 って い るか,と い うこ とだ.運 動 方程 式 には加 速 度 を含 む 項が 現 れ るが,加 速 度 は見 る 人 の立 場 に よっ て異 な る.と い うこ と は,あ る 運動 を観 測 した と き,誰 か (あ る観測 系1))か ら見 て運 動 方 程式 が成 り立 っ て も,ほ か の 人(観 測系)か ら見 る と 運動 方 程 式 が成 り立 っ てい ない とい う こ と も起 こ り得 る こ とに な る.禅 問 答 を一つ. A:ニ
ュ ー トンの運 動 方 程 式 は慣 性 系 で のみ 成 り立 ち ます . B:慣 性系 とは何 で す か. A:ニ ュ ー トンの運 動 方 程 式 が 成 り立 つ 観 測 系 の こ とで す. B:で は,ニ ュ ー トンの 運動 方 程 式 とは い か な る もの で す か. A:慣 性 系 に お い て物 体 の 運動 が満 たす べ き方程 式 です. もう一 つ 問題 点 を挙 げ る とす るな ら,質 量 と力 とい う二 つ の 新 しい概 念 が ニ ュー ト ンの運 動 方程 式 に 同時 に現 れ て い る とい う こ とだ .運 動 方 程 式 の コ ンセ プ トは異 な る物 理 量 の 関係 を表 す こ と にあ る の だが,そ の た め に は,あ らか じめ そ れぞ れ の 量 が 独 立 して 定量 化 さ れて い る必 要が あ る.し か し,ニ ュ ー トンの運 動 方 程 式 で は 互 いが他 に よ りか か っ て定 量化 され て い るの で あ る.以 上 は非 常 に難 しい 問題 で あ る. これ らの 問題 の う ち,前 者 の さわ りの 部 分 だ け を本 章 で 取 り上 げ る こ と に し よ う.
18.1慣
性
系
大抵 の力 学 の テ キス トは最初 に ニ ュー トンの 三つ の 運動 の法則 を並 べ て挙 げ,そ れぞ れ の法 則 に順 次 解 説 を加 え てい くとい う構 成 に なっ てい る.し か し,本 書 で は これ まで敢 えて ニ ュー トンの 三つ の 運動 の 法則 を前 面 に押 し出 して こな か った .そ れ は,本 書 が力 学 を初 め て学 ぶ人 を読 者 対 象 と し,そ の よ うな人 が 学 習 の初期 の段 階 で あれ これ悩 まな い よ う に とい う こ と と,あ る程度 学 習 が進 み,運 動 方 程 式 を 自 在 に操 れ る よう にな っ てか ら改 め て ニ ュー トンの運動 の法則 の意 味 を考 え直 した方 が効 率 的 で あ ろ う と考 えた か らで あ る.力 学 の学 習 が こ こ まで進 ん だ今,機 は熟 し た.以 下 にニ ュ ー トンの 運 動 の法 則 を示 す2).
第1法
則:い か な る物 体 も,外 力が 作 用 しない 限 り静 止 し続 け る か,等 速
直 線 運動 を し続 け る3). 第2法
則:物 体 の運 動 量 の変 化 率 は物 体 に加 え られ た外 力 に等 しい.
第3法
則:2物 体 間 に作 用 し合 う力 は大 きさが等 し く,か つ 方 向 が正 反対
であ る. ニ ュ ー ト ン の 三 つ の 法 則 の そ れ ぞ れ は 必 ず し も ニ ュ ー ト ンが 最 初 に発 見 した わ け で は な い.例 は,な
え ば 運 動 の 第1法
則 は ガ リ レ イ が 慣 性 の 法 則 と呼 ん だ もの で あ る.で
ぜ こ れ ら の 法 則 が “ニ ュ ー トン の 運 動 の 法 則 ” と 呼 ば れ て い る か と い う と4),
ニ ュ ー トン が 力 の 性 質 を 規 定 し,か
つ 力 と運 動 の 関 係 を 論 じ る た め に は こ の 三 つ の
法 則 だ け で 必 要 十 分 で あ る と し5),実 際 に こ れ ら三 つ の 法 則 を 第 一 原 理 と して 壮 大 な 学 問 体 系 で あ る 力 学 を 構 築 し,あ
り とあ ら ゆ る 運 動 を 片 っ 端 か ら説 明 し て の け た
こ とに よ る. さ て,こ ま ず 第3法
こ で 改 め て ニ ュ ー ト ンの 運 動 の 法 則 を 眺 め 直 して み よ う.順 則 で あ る が,こ
則 で あ る が,こ
れ は作 用 反 作 用 の 法 則 で あ り,も
れ に 関 し て は 第11章
序 を変 えて
ち ろ ん非 常 に 重 要 な 法
で 既 に詳 し く述 べ た し,本 章 の テ ー マ と は 直 接
関 係 な い の で こ こ で は 繰 り返 さ な い.た
だ,こ
の 法 則 を 基 本 法 則 と し て 取 り上 げ た
ニ ュ ー トン の 頭 の ど こ か に は,「 物 体 に 及 ぼ さ れ る あ ら ゆ る力 に は,ど
こか にそ の力
を生 み 出 して い る 別 の 物 体 が な くて は い け な い 」 とい う思 い が あ っ た と推 察 され る. 次 に 第2法
則 で あ る が,こ
れ は ニ ュ ー トン の 運 動 方 程 式
あるいは
(18.1) かなめ
と して 定 式 化 さ れ る 法 則 で6),力 16章
学 の 要 と な る 法 則 で あ る.本
書 の 第11章
か ら第
ま で は す べ て こ の 法 則 の 解 説 と使 い 方 の 説 明 に 費 や さ れ て い た.
最 後 に 第1法 で あ る.し
則 で あ る が,こ
れ は 先 ほ ど 述 べ た よ う に 慣 性 の 法 則 と呼 ば れ る も の
か し,こ の 法 則 は 運 動 方 程 式(18.1)の
動 的 に得 られ る 内 容 で あ る.つ
ま り,第1法
ぜ ニ ュ ー ト ン は 第1法
右 辺 に お い てF=0と
則 は 第2法
おけば自
則 に包 含 さ れ て し ま う 法 則
と い え る.で
は,な
則 を敢 え て 設 け,運
い た の か.こ
の 問 い に 対 す る 現 代 的 立 場 か らの 答 え7)は 以 下 の よ う な もの で あ る.
動 の法 則 の最 初 に置
運動 方 程 式 は加 速 度 に関 して の方程 式 であ る.し か し,加 速 度 は物 体 の位 置 の時 間 に関す る2階 微 分 であ る.物 体 の位 置 を記述 す る座標 は観 測系(物
体 の 位 置 を 記 述 す る た め の 座 標 系)に よ っ て 異 な る以 上,物 体 の 加 速 度 も観 測 系 に よ っ て 異 な っ て し ま う こ と に な る.つ 標 系 で は 成 立 し な い.そ を,運
の た め,運
動 方 程 式 を 立 て る 前 に,つ
か な く て は い け な い.そ
inertialsystem)と つ ま り,ガ
ま り力 や 加 速 度 を考 え る前 に 設 定 し て お
の 特 殊 な座 標 系 と は 「物 体 に 外 力 が 作 用 し な い 限
り,そ の 物 体 が 静 止 し続 け る か,等 座 標 系 な の で あ る.こ
ま り,運 動 方 程 式 は任 意 の 座
動 方程 式 を考 える ため の特 別 な座 標 系
速 直 線 運 動 を し続 け る」 と記 述 さ れ る
の 特 殊 な座 標 系 を慣 性 系(inertialreferenceframe,
い う.
リ レ イ の 慣 性 の 法 則 は 物 体 の 性 質 を述 べ た も の で あ っ た が,ニ
が 運 動 の 第1法
則 と し て 慣 性 の 法 則 を 据 え た 瞬 間,そ
れ は 力 学 を建 設 す る た め の 観
測 系―― 慣 性 系―― を 規 定 す る た め の 要 請 と な っ た の で あ る.し 問 が 生 じ る.一
ュー トン
か し,こ
こで二 つ疑
つ 目 は 「物 体 に外 力 が 作 用 して い な い こ と を ど うや っ て 知 る か.そ
れ が 確 か め ら れ な い 限 り,そ の 物 体 が 静 止(等 速 直 線 運 動)し て い て も,観 測 系 が 慣 性 系 か ど う か 判 断 で き な い で は な い か.」 と い う も の で あ る.も し,先 ほ ど触 れ た よ う に,ニ
っ と もで あ る.し
か
ュ ー ト ン は物 体 が 力 を受 け る た め に は そ の 力 の 源 と な る
相 手 の 物 体 が あ る と考 え た.つ
ま り,「 ま わ り に 物 体 が な け れ ば,あ
し て も 十 分 に 離 れ て い れ ば,物
体 は 力 を受 け て い な い と見 な して よ い 」 と考 え た の
る い は,あ
る と
で あ ろ う.実 際 に そ の よ う な(何 もの に も 影 響 さ れ な い)物 体 が あ る か ど う か は 問 題 で は な い.今
は 理 論 上 の 話 を し て い る の で あ る.す
い か も し れ な い が,最
っ き り した 解 答 に は な っ て い な
初 の 疑 問 に つ い て は と りあ え ず こ れ で 我 慢 して も らお う.後
も う 一 つ の 疑 問 は,「 百 歩 譲 っ て 外 力 を 受 け て い な い 物 体 の 存 在 を認 め た と し よ う. しか し,そ の よ う な(外 力 を 受 け て い な い)あ ら ゆ る 物 体 が 静 止,な 動 を し て い る と観 測 さ れ る よ う な 座 標 系 は 存 在 す る の か.」,つ に 存 在 す る か.」 とい う も の で あ る.こ
の 疑 問 に は 答 え られ な い.む
ン力 学 に お い て 慣 性 系 の 存 在 は 証 明 す べ き も の で は な く,力
し ろ,ニ
ュー ト
学 の前 提 と して仮定 す
る 公 準 的 な も の と し て 認 め な くて は い け な い も の な の で あ る.大 ら 出発 し て 矛 盾 の な い 理 論 体 系 を 作 る こ とが で き,か
い し等 速 直 線 運
ま り 「 慣 性 系 は本 当
切 な の は,そ
こか
つ 自然現 象 を十分 に説 明 す る
こ と が で き る か ど う か で あ る8). 補 足 古 代 数 学 にお い て “ 公 準(公 理)” とは 「正 し くは あ るが,そ の正 しさ を よ り 基本 的 な事 実 に よっ て証 明す る こ とが で きない 根 源 的 な もの」 と して,論 理体 系 の 出発 点 とな っ てい た.そ の よ う に して で きた論 理 体系 で最 も古 くか つ 有 名 な ものが ユ ー ク リ ッ ドに よる 幾何 学 体 系 で あ る.と こ ろが,ユ ー ク リッ ドが 公準 と して据 え た もの の 中 に,他 の公 理 に比べ て多 少 複雑 な ものが あ った(平 行 線 の公 理).そ
こで
数学 者 たち は,そ の “ 公 理 ”は本 当 の 意味 で の公 理 で は な く,他 の公 理 を用 い て証 明 で きる もの であ る と考 え,そ の 証 明法 を模 索 した.そ の 一つが,平 行 線 の公 理 を否 定
す る と矛 盾 が生 じる こ とを示 そ う とす る もの(背 理法)で あ った.し か し,平 行 線 の 公 理 を否 定 して も何 ら矛 盾 の 生 じな い幾 何 学 体系 が で きて し まっ た.も ちろ ん,こ の幾 何 学 体 系 は ユ ー ク リ ッ ドの 幾何 学 体 系 とは 別 の もので あ る.そ こで 数 学 者 た ち は悩 ん だ挙 げ句,「 正 しい か どうか が 問題 なの で は な く,論 理 の 出発 点 と して 用 い た と きに矛 盾 の ない 論 理体 系 を築 き上 げ る こ とが で きる もの 」 を新 しい意 味 で の “ 公 準 ” と した.そ して別 の公 準 か ら導 か れ た幾 何 学体 系――非 ユ ー ク リッ ド幾何 学―― も,ユ ー ク リ ッ ドの幾 何 学 も どち ら も本 物 で あ る(論 理体 系 と して優 劣 は な い)と 結 論 を下 した の で あ る.「数 学 の他 の分 野 は と もか く,幾 何 学 は 現実 の図 形 を扱 った も の な の に,本 物 が い くつ もあ って は 困 る で は ない か」 とい う意 見 が 聞 こ えて きそ う だが,そ ん な こ とは数 学 者 に とって は ど うで も よい(?)の で あ る.そ して,こ の よ うな数 学 者 の態 度 は 否定 され るべ きで はな い.20世 紀 に入 って生 まれ た ア イ ン シュ タイ ンの一 般 相 対性 理 論 に よ る と,宇 宙 空 間 は非 ユ ー ク リ ッ ド幾何 学 に よ って記 述 され るべ き もの で あ る こ とが わか った.も し,“そ の時 の 常識 ”で正 しい,正 し くな い を判 断 し,正 し くな い もの を排 除 す る とい う態 度 で数 学 が研 究 され てい た ら,一 般相 対 性 理論 は まだ 生 まれ て い ない と ころ だ った ので あ る.数 学 の世 界 に おい て は, 必 要 に応 じて発 達 した分 野 もあ れ ば,役 に立 つ か ど うか わか らな い ま ま発 達 し,後 に必 要 とされ る よ うに な っ た分 野 もあ る.ま あ,数 学者 た ち には 心行 くま ま研 究 し て も らい ま し ょ う.も ち ろ ん,物 理 学 に お け る “公 準 ”――基 本 法 則――は,単 に無 矛盾 の論 理 体 系 を作 り上 げ るだ け で は い け ない.構 築 さ れ た論 理体 系 が 現 実 に起 こ る現 象 を キチ ン と説 明 で きな けれ ば,そ の物 理 には 意味 が ない.ま た,多 くの 実験 に よる厳 しい 試 練 に耐 え て生 き残 った物 理 法 則 も,た っ た一 つ の 実験 に よ って 覆 さ れ,新 しい物 理 法則 に そ の座 を明 け渡 した り,あ る い は よ り発 展 した形 で 生 まれ 変 わ っ た りす る可 能性 を否 定 で き ない.そ こが 物 理 学 と数 学 との 大 きな違 い で あ る. 以 上,ニ
ュ ー ト ン の 運 動 の 第1法
則 は,慣
性 系 の 存 在 の 主 張 な い し要 請 と し て
ニ ュ ー トン 力 学 に 欠 く こ とが で きな い もの で あ る.そ
して 第2法
則 は,そ
の慣 性系
に お い て 成 り立 つ 法 則 な の で あ る. さ て,運
動 方 程 式 は 慣 性 系 で 物 体 の 満 た す べ き法 則 を表 して い る わ け だ が,も
し,
こ の 世 に(宇 宙 に)慣 性系 が 一 つ しか 存 在 し な い の な ら ば 運 動 方 程 式 は あ ま り役 に立 つ 法 則 と は い え な い.し ば,無
か し,慣 性 系 は,と
りあ えず 一 つ 存 在 す る こ と を仮 定 す れ
数 に 存 在 す る こ とが 次 の よ う に 証 明 で き る9). まず,慣
性 系 の う ち の 一 つ に 固 定 した 直 交 座 標 系 の 軸 をx,y,z軸
標 原 点 をOと
す る.以
と呼 ぶ こ と に す る.さ
て,慣 性 系O-xyzに
対 し て,対 応 す る 座 標 軸 が 平 行
を保 っ た ま ま10)運 動 し て い る 座 標 系O'-x'y'z'(原 と す る)が あ る と し,慣 性 系O-xyzか る(図18.1参
照,た
す る 質 点Pの
慣 性 系O-xyzで
標(x',y',z')と
と し,座
降,こ の よ う に準 備 さ れ た 慣 性 系 を “慣 性 系O-xyz”
ら見 たO'の
だ し図 は 見 や す い よ う に2次 の座 標(x,y,z)と
の 間 に は,図18.1か
点 をO',軸
をx',y',z'
座 標 を(X,Y,Z)と 元 に した).空
す
間 に存 在
座 標 系O'-x'y'z'で
の座
ら明 ら か な よ う に
(18.2)
図18.1一
が 成 り立 つ.こ
つ の 質 点 を 二 つ の座 標 系 に よ り記 述 す る.
の 式 を時 間 で 微 分 す る と,
(18.3) と な り,こ
れ か ら た だ ち に,
(18.4) が 得 ら れ る.こ
の 式 か ら,X,Y,Zが
ち 座 標 系O'-x'y'z'が に は,慣
慣 性 系O-xyzに
性 系O-xyzか
体11)は 座 標 系O'-x'y'z'か に な る12).そ
の た め,慣
い る 物 体,す
な わ ち,外
力 が ゼ ロ の 物 体)は,座
そ れ ぞ れ 一 定 値 を と る場 合,す
なわ
対 して 等 速 直 線 運 動 を して い る場 合
ら見 て 等 速 直 線 運 動(静 止 を 含 む)を 行 っ て い る 物 ら見 て も等 速 直 線 運 動(静 止 を含 む)を 行 う こ と 性系 か ら見 て 静 止,な
い し等 速 直 線 運 動 を行 っ て
力 の 作 用 し て い な い 物 体(作 用 し て い る外 力 の 合 標 系O'-x'y'z'で
も静 止,な
い し等 速 直 線 運 動 を 行
う こ と に な る.「 物 体 に 外 力 が 作 用 し な い 限 り,そ
の 物 体 が 静 止 し続 け る
か,等
速 直 線 運 動 を し続 け る 」 と観 測 さ れ る 座 標 系 を 慣 性 系 と い う の だ か
ら,座
標 系O'-x'y'z'は
慣 性 系 と して の 資 格 を持 つ こ と に な る .
この よ うに,慣 性 系 に対 し(相 対 的 に)等 速 直 線運 動 を してい る座標 系 はすべ て慣 性 系 と なる.逆 に,慣 性 系 に対 して等 速 直線 運動(静 止 を含 む)以 外 の運 動 を してい る 座 標 系 は慣 性 系 た り得 ない こ と もわか る13).そ の よ うな座標 系 を非慣 性 系 とい う.
18.2非
慣 性 系 か ら見 た 物 体 の 運 動
18.2.1慣
性 力
質量mの
物体 が机 の上 に乗 っ て静止 してい る とし よう.そ の物 体 が静止 状 態 にあ
るの は,物 体 が机 か ら受 け る抗 力Rと,物
体 が 地球 か ら受 け る重力mgが
つ りあ っ
て い る ため と説 明 され る.つ ま り,物 体 の 運動 方程 式 を書 き下 す と
と な る とい う わ け だ. と こ ろ で,今,観
測 者 が 適 当 に行 っ た り来 た り しな が ら物 体 を観 測 す れ ば,物
体
は 来 た り行 っ た りす る よ う に 見 え る で あ ろ う. 補足
もち ろん “見 える” とい うの は “ 認 識 す る” とい う心 理 的作 用 を含 む言 葉 で あ
り,物 体 と観 測 者 との 相対 的 位 置 関係 が変 化 して も,物 体 と周 囲 の他 の物 体 との相 対 的 位 置 関係 が 変 化 しな け れ ば,物 体 が 来 た り行 った りす る よ うに は見 え ない(認 識 で き ない)と い う人 もい よ う.こ の よ うに 人 間の 心 理 作 用 に影 響 を受 け る よ うな こ と を,物 理 学 の基 礎 を論 じる際 に は持 ち 出 して はい け な い ので あ っ て,万 人 が 納 得 で き る こ と14)を基礎 に据 え な くて はい け な い.そ こで,本 当 は 「 観 測 者 が 動 く」 とす る の で は な く,「物 体 の運 動 を記 述 す る た めの座 標 系 が動 く」 と しなけ れ ば な ら ない.こ の 問題 は本 章 で 繰 り返 し議 論 す る こ とにす る.
す る と,こ の観 測者 に とっ て は物 体 は加速 度 を持 つ こ とに なる.そ れ に対 し,観 測 者が 動 こうが 動 くまいが,物 体 に働 い てい る力(Rとmg)は
変化 せ ず,物 体 に働 く
外 力 の合 力 は相 変 わ らず ゼ ロで あ る.よ っ て,こ の観測 者 が この物 体 の運 動 を考 察 す る限 り,運 動 方 程 式(質 量 × 加 速度=外
力)は 成 り立 たな い こ と にな る.実 は,
この観 測 者 の立場――観 測系― ― は慣 性系 で は な く,運 動 方程 式 が成 り立 た な くて も ま った く問題 は ない.運 動 方程 式 は慣 性 系 に おい て のみ成 り立 つ もので あ り,慣 性 系 で ない観 測 系――非慣 性 系――で運 動方 程式 を立 て よ う と した こ とが そ もそ も誤 り な ので あ る.し か し,実 際 に運 動 を考 え るの は観 測者 で あ る以 上,観 測者 の立場 で 運 動 を記述 で きた 方が 便 利 な こ とは多 い.そ こで,観 測 者 の立 場(観 測 者 と と もに 動 く座 標系)が 非 慣性 系 の と きで も適 当 な補 正 項 を入 れ て,ニ ュ ー トンの運 動 方程 式 が 成 り立 つ よ うにで きた ら非常 にあ りが た か ろ う.こ の “ 補 正 項”――後 でわ か る よ うに力 の 次元 を持 つ―― を慣 性 力(inertialforce)と い う.そ して,「 運 動 方程 式 が成 り立 た ない の で補 正 項 を入 れ た」 と言 わず に,(数 式 的 に は同 じこ とな の だが) 「慣性 力 が働 くと考 えれ ば運動 方程 式 が成 り立 つ」 と言 うこ とにす るの で あ る.先 ほ どの例 で い え ば,動 く観測 者 か ら見 た物体 の 持 つ加 速 度 を 「 机 か らの抗 力 と地 球 か らの重 力 と慣 性 力 の合 力 に よっ て生 じた」 と説 明 す る(言 い張 る)の で あ る.
図18.2 が 一人 が 乗 っ て い る 台 車 を 勢 い よ く引 っ 張 る.(a)と(b)で ,人 の 認 識 す る “力 ” は 異 な る.
補足1こ
人 の受 け る力 は 同 じは ず だ
の よ うに,ニ ュー トン力 学(古 典 力 学)に お い て は,慣 性 力 は観 測 者 の都
合 で現 れ た(運 動 方程 式 を非 慣 性系 で も成 り立 たせ るた め の)数 学 的補 正 項 で あ り, そ の 意味 で偽 の力 で あ る15).し か し,こ こ に人 間 の 認 識 の 問題 を混 ぜ て考 え る と, 話が こ んが らが りや す い.ヒ トは神 経 筋 活 動 に よる刺 激 や 視 覚 刺 激 な どを脳 で 処 理 して “ 真 の 力 ”か ど うか を判 断 し よ う とす る か らで あ る.例 え ば,図18.2aの よう に人 をせ まい 台 車 に のせ て,そ の 台車 を紐 で 急 に 前 方へ 引 っ張 った とこ ろ,そ の 人 が後 ろ に倒 れ た とす る.そ の 人 は 「台車 か ら受 け た力 の(自 分 の)重 心 まわ りのモ ー メ ン トが重 心 まわ りの 回転 運 動 を引 き起 こ した」 と主 張 す る で あ ろ う(こ の 人 は慣 性 力 を感 じて い な い).そ れ に対 し,本 質 的 に 同 じ現 象 で も,図18.2bの
よ うに台 車
が人 よ り大 き くな り,そ の 台 車 のへ りに壁 を取 り付 け て人 が そ の外 を見 え ない よ う にす れ ば16),人 は 「自分 の 重 心 が何 らか の力 で 後 方 に 引か れ,そ の力 の足(足 と台 車 の 接触 点)ま わ りの モ ー メ ン トが 足 まわ りの回 転運 動 を引 き起 こ した」 と主 張 す る であ ろ う(こ の 人 は慣 性 力 を感 じた).両 者 の違 い は 単 に “外 ”が見 え るか ど うか17) であ り,そ れ だ け でそ の 人 の感 じ方 は変 わ って しま う.つ ま り,“ ヒ トの感 覚 ” を持 ち出 して慣 性 力 を理解 しよ う と して はい け な い.「 “ヒ トの感 じる力 ”か ら “重力 や 電 磁 気 力 な どの真 の力 ” を差 し引 い た ものが 慣 性 力 で あ る」 ので は ない こ とを しっ か り理 解 して ほ しい. 補 足2「 地 面 に置 い て あ る物 体 には慣 性 力 は作 用 しな い が,動 いて い る(加 速 中 の)電 車 の 中の 物体 に は慣性 力 が作 用 して い る」 とい う主 張 は誤 りで あ る.慣 性 系 か ら見 る(運 動 を記述 す る)限 り,物 体 が 地面 に置 い てあ ろ うが,電 車 の 中 に あ ろ うが, 宇 宙 空 間 を浮 遊 して い よ うが,そ の物 体 に は慣 性 力 は働 か な い,と しな け れ ば な ら ない.非 慣 性系 か ら見 る(運 動 を記述 す る)限 り,物 体 が 地面 に置 い て あ ろ うが,電 車 の 中 に あ ろ うが,宇 宙 空 間 を浮遊 して い よ うが,そ の物 体 に は慣 性 力 が働 く,と しな け れ ば な らな い.物 体 や 人 の 運動 が 問 題 なの で は な く,観 測 座標 系 の運 動 が 問 題 な の で あ る.「(慣 性 系 に対 して加 速 度 運 動 す る)電 車 の 中 の物 体 に は慣 性 力 が 働 く」 とい うの は 誤 りで あ る こ と を知 らな け れ ば な らな い.「(慣 性系 に対 して加 速 度 運 動 す る)電 車 に 固定 した座 標 系 か ら見 る と,物 体(電 車 の 中 に あ る物 体 だ ろ うが 地 面 に対 して静 止 して い る物 体 だ ろ うが)の 運 動 方程 式 を 立 て る た め に は慣 性 力 を導 入 しな けれ ば な らない 」 とす る のが 正 しい. で は,具
体 的 に慣 性 力 は い く ら に な る か.つ
ま り,物 体 の 運 動 を 記 述 す る た め の
座 標 系 を 慣 性 系 か ら 非 慣 性 系 に 乗 り換 え る と き,運 動 方 程 式 を 成 り立 た せ る た め に ど の よ う な 補 正 を 行 わ な け れ ば な ら な い か.そ 本 書 の レベ ル を超 え る 数 学 も必 要 と な る.そ は 諦 め,18.2.2項
18.2.2観
と18.2.3項
の 一 般 論 は か な り込 み 入 っ て い る 上, こ で,慣
性 力 の一 般論 を展 開す る こ と
で 簡 単 な 二 つ の場 合 の み を具 体 的 に 考 え る こ と に す る.
測 系 が 直 線 運 動 を して い る 場 合
本 項 で は 再 びp.353の
図18.1を
用 い て 考 察 を 行 う.慣
性 系O-xyzと,そ
れ に
対 し て 対 応 す る 座 標 軸 が 平 行 を保 っ た ま ま 運 動 し て い る18)座 標 系O'-x'y'z'(原 をO',軸
をx',y',z'と
(X,Y,Z)と
す る.さ
座 標(x,y,z)と
す る)が あ る と し,慣 性 系O-xyzか て,空
間 に 存 在 す る 質 量mの
座 標 系O'-x'y'z'で
ら見 た 点O'の
質 点Pの,慣
の 座 標(x',y',z')と
点
座標 を
性 系O-xyzで
の 間 に は,図18.1か
の ら明
らか な よ うに
(18.5) が 成 り立 つ.こ
の 式 を時 間 で 微 分 して い く と,
(18.6) (18.7) が 得 られ る.物
体 の 運 動 を 慣 性 系 か ら 見 る と(物 体 の 運 動 を慣 性 系 で 記 述 す る と)
ニ ュ ー トン の 運 動 方 程 式 が 成 り立 つ(ニ ュ ー トン の 運 動 の 第2法 Pに 働 く外 力 をF=(Fx,Fy,Fz)と
則)の だ か ら,質 点
す る と,
(18.8) が 成 り立 つ.式(18.8)に
式(18.7)を
代 入 す る と,
(18.9) が 得 られ る.と
こ ろ で,x',y',z'は,も
た と きの 加 速 度 に ほ か な ら な い.そ 運 動 方 程 式 “質 量 × 加 速 度=外 はx',y',z'と
ち ろ ん,質
点Pを
座 標 系O'-x'y'z'か
の た め,座 標 系O'-x'y'z'か
力 ” を 立 て よ う とす る以 上,運
せ ざ る を 得 な い.し
ら質 点Pを
ら見
観 測 し,
動 方程 式 内 の加速 度
か し,
(18.10)
は 一 般 に は 成 り立 た な い.成 が 成 り立 つ 場 合 も あ る.そ う に,X,Y,Zが
り立 つ の は 式(18.9)な れ は,式(18.9)と
す べ て0の
対 す る 加 速 度 が ゼ ロ,す
場 合,す
式(18.10)を
合,運
成 り立 つ,す
慣 性 系O-xyzに
慣 性 系O'-x'y'z'は
O'-x'y'z'は
の場 合
ら質 点 の 運 動 を見 た 場
い に(相 対 的 に)等 速 直 線 運 動 を す る 慣 性
い う20).し
な く と も一 つ は)0で
動 方 程 式 “質 量 × 加 速 度=外
合 に よ っ て は,非
成 り立 た な い.運
動方
れ は こ れ で ま っ た く不 思 議 で も何 で も
慣 性 系 で あ るO'-x'y'z'に
述 した い こ と(記 述 す る と便 利 な こ と)が あ る.そ 物 体 の 質 量 ×O'-x'y'z'系
こで 問題 に し
の 座 標 系 か ら観 測 す る 限 り,運
力 ”,す な わ ち,式(18.10)は
程 式 は慣 性 系 で の み 成 り立 つ も の だ か ら,こ
か し,こ
な い 場 合 で あ る .こ の と き,座 標 系
慣 性 系 で は な い―― 非 慣 性 系 で あ る.こ
な い の だ が,場
対 して等 速 直線
力 学 的 に は ま っ た く対 等 と な る19)こ れ を ガ リ レ イ の
相 対 性 原 理(Galileanprincipleofrelativity)と た い の は,X,Y,Zが(少
慣 性 系O-xyzに
慣 性 系 と な る 場 合―― で あ る.こ
な わ ち,「 慣 性 系O'-x'y'z'か
動 方 程 式 が 成 り立 つ 」 の だ か ら,互
系O-xyzと
ち ろ ん,式(18.10)
見 比 べ れ ばす ぐわか る よ
な わ ち 座 標 系O'-x'y'z'の
な わ ち座 標 系O'-x'y'z'が
運 動 を して い る 場 合―― 座 標 系O'-x'y'z'が は,式(18.10)が
の で あ る.も
お い て物体 の運 動 を記
の 場 合 は,
で の 物 体 の 加 速 度=…
とい う形 を持 った方 程式(運 動方 程式 もど き)が あ る と大 変 に役 に立つ .こ の よ うな え
せ
“似 非 運 動 方 程 式 ” は 式(18
.9)か ら
(18.11) と,簡 単 に得 る こ とが で き る.こ 度=物
体 が 受 け る外 力+(-物
と “和 訳 ”す る こ と が で き る.こ 量 ×O'-x'y'z'系
のO-xyz系
の 式 は,“物 体 の 質 量 ×O'-x'y'z'に お け る物 体 の加 速
体 の 質 量 ×O'-x'y'z'系 こ で 下 線 部,す
のO-xyz系
に 対 す る 加 速 度)”
な わ ち 力 の 次 元 を 持 つ “-物 体 の 質
に対 す る 加 速 度 ” を単 な る 補 正 項 と見 ず に,「 “力 ” だ!」
と無 理 矢 理 思 い 込 め ば(外 力 の 一 種 だ と無 理 矢 理 思 い 込 め ば) ,非 慣 性 系O'-x'y'z'に お い て も見 か け 上 運 動 方 程 式 が 成 立 す る の で 便 利 で あ る21).こ
の “思 い 込 み の 力 ”
を 慣 性 力 とか 見 か け の 力 と い う の で あ る22). 補 足 も し,慣 性 系 に対 して並 進 運 動 を して い る座 標 系 の座 標 軸 が 慣 性 系 の座 標 軸 と平行 で な けれ ば,O'-x'y'z'系 のO-xyz系 に対 す る加 速 度 ベ ク トル の成 分 を改 め てO'-x'y'z'系 で 考 え な くて はい け な い23).そ こ ら辺 を意 識 して,本 項 で はベ ク ト ル を用 いず に,敢 え て最 初 か ら成 分 計算 に徹 した.も ち ろ ん,ベ ク トル と基 底 の変 換 に 関 して精 通 して い れ ば,ベ ク トル を用 い て考 えた 方 が コ ンパ ク トで わ か りやす い で あ ろ う.そ れ は18.2.3項 で もい え る .し か し,本 書 で は基 底 変換 に関 して は十 分 に学 習 して い な い の で,地 道 に成 分 計 算 を して い く.
課 題 図18.3の よ うに電 車 の 天 井 に糸 で つ る したお も り(質 量m)を 取 り付 け る.電 車 の 地 面 に対 す る加 速度 が 水 平 方 向右 向 きにa(一 定)で あ る と き,お も りの付 い て い る糸 の角 度 を 図 の よ うに θ に して 静 か に手 を放 す と,θ は変 化 しな か っ た.θ とaと の 関係 を求 め よ.た だ し,重 力 加 速 度 の 大 きさ をgと す る.
図18.3
解 説 電 車 の 加 速度 をa(│a│=a),糸 の 張力 をT(│T│=T)と す る.ま ず慣 性 系(例 えば 地面 に固 定 して座 標 系)で 考 え よ う.条 件 よ り物体 は電 車 に対 しては 静止 してい る の だか ら, 慣 性 系(地 面)か ら見 れ ば加 速 度aで 運動 してい る こ と にな る.ま た物 体 に作 用 す る力 は,接 して働 く力 と して 糸 の張 力T,離 れ て働 く力 と して 重力mgの み で あ る(図18.3a参 照).こ れ よ り運 動 方 程 式 は
(18.12) とな る.こ の方 程 式 を水平 方 向(右 向 きを正 とす る)と 鉛 直 方 向(上 向 きを正 とす る)に 分 け て 成 分 を書 き下 す と,そ れぞ れ
と な る.こ れ よ りた だ ち にa/g=tanθ
が 得 られ,こ れ が 答 え で あ る.次 に,こ の 問題 を電
車 と と もに動 く座 標 系 を用 い て考 えて み よ う(図18.3b参
照).こ の座 標 系 に対 して は物 体 は
静 止 して お り,加 速 度 は0で あ る.ま た,慣 性 系 に対 す る座 標 系 の24)加 速度 がaで あ るか ら,こ の物 体 に はT,mgに 加 え て慣 性 力-maが 働 く(と す る).よ って 運動 方 程 式 は
(18.13) とな る.式(18.12)と
式(18.13)は
数 学 的 に は 同値 で あ る が,そ れぞ れ の導 出 の際 の 考 え 方
は違 う こ と に注意 せ よ(も ち ろ ん最 終 的 に得 られ る答 えは 同 じで あ る).
この程 度 の 問題 な ら,慣 性 系 で 考 え よ うが,非 慣 性 系 で考 え よ うが,考 えやす さや 計算 の手 間 に差 は な い.し か し,場 合 に よって は どち らを採用 す るか で考 えやす さ や計 算 の 手 間 に差 が 出 る こ とが あ る.例 え ば,慣 性 系 で見 る場 合 よ り非 慣 性系 で見 た 方が 物 体 の運 動 が単 純 にな る と きは非慣 性 系 を採 用 した方 が 楽 であ る.そ の よう な例 を一 つ だ け挙 げ てお こ う.
図18.4
課 題 図18.4の よ う に,エ レベ ー タの天 井 にば ね定 数kの バ ネに つ る した質 量mの お もり を取 り付 け る.エ レベ ー タの加 速 度 が 鉛 直上 向 き にa(一 定)で あ る とき,お も りを鉛 直 方 向 に は じい て振 動 させ た.エ レベ ー タ に乗 って い る人 か ら見 た と きのお も りの振 動 の周 期 を求 め よ. 解説
この課 題 は慣 性系 で考 え る よ りも,エ レベ ー タ と と もに動 く座 標系 を用 い て物 体 の 運
動 を考 え た方 が わか りや す い.x軸 を鉛 直 上 向 き に と り,座 標 原 点 をバ ネ が 自然 長 にあ る と きの お も りの 位 置 とす る.す る と,お も りが バ ネ か ら受 け る力 は-kx,お も りに作 用 す る重 力 は-mgと 表 され る.さ て,慣 性 系 に対 す る観 測 座 標 系 の 加速 度 がaで あ る か ら,こ の物 体 に は-kx,-mgに 加 え て慣 性 力-maが 働 く(と す る).よ っ て運 動 方 程 式 は
す な わ ち,
とな る.こ れ は,p.181の 式(11.50)のgをg+aに 変 えた もの と な って い る25).そ の と き の議 論 を思 い 出せ ば,本 課 題 の お も りも(エ レベ ー タ内の 人 か ら見 る と)単 振 動 を行 い,そ の 周 期 は2π√m/kと な る こ とが わ か る で あ ろ う.振 動 の 中心 を求 め る こ とは,練 習 問題 と し て残 して お く.な お,エ レベ ー タに 固定 した座標 系Sで 記 述 した物 体 の 運 動 に ,地 面 か ら見 たS自
身 の運 動 を足 し合 わせ れば,物 体 の地 面 に対 す る運 動 が 得 られ る.
18.2.3観
測 系 が 一 定 角 速 度 で 回 転 運 動 を して い る 場 合
物 理選 択 の 高校 生 が遠 心 力 とい う言葉 を正 し く使 って い るの を筆 者 は ほ とん ど見 た こ とが な い.「 回転 して い る物 体 には遠 心力 が働 いて い る」 とほ とん どの高 校 生 は 言 うの であ る.遠 心力 が 働 い て い るか い ない か と物体 が 回転 してい るか い ない か は まっ た く無 関係 で あ る.な ぜ,高 校 生 の 多 くが こん な誤 解 を してい る のか .そ の疑
問 に対 す る筆 者 の 答 え は 「高 校 物 理 の 問 題 集 の 多 くが 誤 っ た 記 述 を し て お り26),多 くの 教 師 も(仮 に そ の 誤 り に気 づ い て い て も,穴 埋 め 問 題 を解 くた め に は そ れ で 不 都 合 は な い と して)そ の 誤 っ た 言 葉 遣 い で 問 題 を解 い て み せ る か ら 」 で あ る.な
る
ほ ど,受 験 レ ベ ル の 問 題 を解 くに は誤 っ た “遠 心 力 ” を使 っ て も答 え は 出 る か も しれ な い.し
か し,そ れ で は 力 学 で 肝 心 な 「因 果 関 係 に対 す る感 性 」 が 育 た な い 上,よ
り レ ベ ル の 高 い 問 題 を考 え る と き に か え っ て 障 害 と な っ て し ま う.本 力 と コ リ オ リの 力 に つ い て 初 等 的 な 解 説 を 試 み る が(2次 に 話 を 限 る),こ
元,回
項 で は,遠
心
転角 速度 一 定 の場合
れ らの 力 は慣 性 系 に 対 し観 測 系 が 回 転 運 動 を して い る場 合 に現 れ る
慣 性 力 で あ る こ と を ま ず 強 調 して お こ う. さ て,図18.5の
よ う に,慣 性 系x-yに
し て い る とす る.回
と の な す 角 が θ の と き,座 慣 性 系x-yに
対 し て 座 標 系X-Yが
転 の 中 心 点 は 両 座 標 系 に 共 通 の 原 点Oと 標 系X-Yに
お い て(a,b)と
一定 角 速度 ω で 回転 す る27).x軸
とX軸
い う成 分 を持 つ ベ ク トル は
おいては
(18.14) と い う成 分 を持 つ こ と に な る.つ
ま り,あ
る ベ ク トル を 座 標 系X-Yで
成 分 表示 し
た もの に行 列
(18.15) を左 か らか け て や れ ば,同 項 参 照)28).ま
た,慣
じベ ク トル の 慣 性 系x-yに
性 系x-yに
お い て(p,q)と
図18.5
お け る 成 分 が 得 ら れ る(5.8.2
い う 成 分 を 持 つ ベ ク トル は 座 標 系
X-Yに
おいては
(18.16) と い う 成 分 を 持 つ こ と に な る.つ
ま り,あ
る ベ ク トル を慣 性 系x-yで
成 分 表 示 した
もの に行 列
(18.17) を左 か らか けて や れ ば,同 じベ ク トルの 座標 系X-Yに
お け る成 分 が得 られ る29).
そ の ため,二 つ の座 標系 か ら同 じ質 点 を観 測 した場 合,そ れ ぞ れ の座 標系 にお ける 座 標 間 には
(18.18) あ る い は 同 じ こ と だ が,
(18.19) と い う 関 係 が あ る こ と に な る.さ
て,慣
性 系x-yか
ら 質 点(質 量 をmと
動 を観 測 す る と運 動 方 程 式 が 成 り立 つ の だ か ら,質 点 に作 用 す る力Fの で の成 分 表 示 を(Fx,Fy)と
す る)の 運 慣 性 系x-y
す ると
(18.20) が 成 り立 つ.こ れ を座 標 系X-Yで
の 方程 式 に変 換 す る ため に,両 辺 にBを
左 から
かける と
す な わ ち,
(18.21) が 得 られ る.式(18.21)の り,こ れ をF=(FX,FY)と
右 辺 は 質 点 に 作 用 す る 力Fの 書 こ う.す
座 標 系X-Yで
の成 分 で あ
な わ ち,
(18.22)
で あ る.そ
れ に 対 し,式(18.21)の
質 点 の 加 速 度(ベ
左 辺 をmで
ク トル)の 座 標 系X-Yで
な ら な い の は,こ れ は 座 標 系X-Yか
割 っ た も の は 慣 性 系x-yか
の 成 分 で あ る が,こ
ら見 た
こで 注 意 し な くて は
ら見 た 質 点 の 加 速 度(X,Y)に
等 し くは な い,
す な わ ち,
(18.23) と い う こ と で あ る30).こ
の た め,座
標 系X-Yで
は運 動 方程 式
え
は 成 り立 た な い こ と に な る.で
は,非
慣 性 系 で あ るX-Y系
せ
で “ 似 非 運 動 方程 式 ”
(18.24) を 成 り立 た せ る た め に は ど の よ う な補 正 を行 わ な くて は な ら な い か.こ え る た め,ま
ず 式(18.18)の
最 左 辺 と最 右 辺 を 時 間 で 微 分 す る.す
の 問い に答
る と,
(18.25) が得 られ る31).こ の最 左 辺 と最 右 辺 を さ らに 時 間 で微 分 す る と,多 少 計 算 は面倒 だが
(18.26) が 得 られ る32).こ
の 式 は ま た,
と書 く こ と が で き,こ
の 式 の 両 辺 にB(=A-1)を
左 か ら か け て や る こ と に よ り,
(18.27)
が 得 ら れ る.式(18.27),式(18.22)を
式(18.21)に
代 入 す る と,
(18.28) え せ
が 得 ら れ る.こ
れ を 用 い てX-Y系
で “ 似 非 運 動 方 程 式 ”(18.24)を 書 き下 す と,
(18.29) とな る.こ の右 辺 第二 項 こそ,非 慣 性系X-Yで
運 動 方程 式 を見 か け上 成 り立 たせ
る ため の補 正 項――慣性 力――であ る.こ の慣 性 力 を
(18.30) の よ う に二 つ に分 離 し,
(18.31) と書 く こ と に し よ う.ベ で あ る か ら,Frは
ク トル(X,Y)は
た だ し,r=√X2+Y2で
呼 ぶ.遠
心 力 の 大 き さ は│Fr│=mrω2と
あ り,質 点 の 原 点 か ら の 距 離 で あ る.そ
ら見 た 質 点 の 速 度(X,Y)に
リ の 力(Coriolisforce)と 座 標 系X-Yか
原 点 か ら見 た 質 点 の 位 置
質 点 を 原 点 か ら遠 ざ け よ う とす る “力 ” と い う こ と に な る33).こ
れ を 遠 心 力(centrifugalforce)と
座 標 系X-Yか
座 標 系X-Yの
呼 ば れ る.コ
な る.
れ に対 しFcは,
直 交 す る 方 向34)に 働 く “力 ” で コ リ オ リ オ リの 力 の 大 き さ は│Fc│=2mωVで,
ら見 た 質 点 の 速 さV=√X2+Y2に
比 例 す る.
課 題 長 さrの 糸 の 一 端 を慣 性系 の原 点 に 固定 し,他 端 に質 量mで 大 き さの無 視 で きる物 体 を取 り付 け,半 径r,角 速 度 ω(一 定)の 等 速 円運 動 を行 わせ る.慣 性系 か ら見 た 物 体 の運 動 方 程 式 の原 点 方 向 成分 を書 け.ま た,原 点 を中心 と し,慣 性 系 に対 して角 速 度 ω で 回転 して い る座 標系 か ら見 た物 体 の運 動 方 程 式 を書 け.た だ し,糸 の張 力 をTと せ よ. 解 説 慣 性 系 か ら見 た物 体 の 加速 度 の原 点 方 向成 分 はrω2で あ り,こ れ は糸 の 張 力 に よっ て 生 じる と考 え られ る.運 動 方程 式 は,
(18.32) とな る.次 に,物 体 と と もに 回転 す る座 標 系 か ら見 る場 合,物 体 は止 ま っ て見 え る(加 速 度 ゼ ロ).糸 の 張 力 が働 い て い る の に なぜ 物体 は加 速 度 運 動 を し ない の か?そ れ は もち ろ ん,観 測 系 が物 体 と と もに動 い てい るせ い なの だ が,こ れ を,慣 性 力 で あ る遠 心力mrω2と
糸 の張
力 が つ りあ って い る とみ なす の が,回 転 座 標系 で運 動 を記 述 す る人 の 考 え 方 で あ る.そ の 人 は運 動 方 程 式 を
(18.33) と書 く.式(18.32)と
式(18.33)は,数
な る も の で あ る こ と に 注 意 し よ う.な
学 的 に は 同 じ か も しれ な い が,物 お,こ
理 的 に は考 え方 が 異
の 回 転 座 標 系 で は 物 体 は 静 止 し て い る の で,コ
リ オ リ の 力 は 働 か な い35).
課題 前 の 課題 でr=1m,ω=1rad/sと とす る.物 体 が,慣 性 系 で 点(1m,0m)に
し,回 転 座 標系 か ら見 た物 体 の座 標 は(1m,0m) 来 た 瞬 間 に糸 が切 れ た.慣 性系,お よび 回転 座標
系 のそ れ ぞ れ に お け る物 体 の そ の後 の 軌 跡 をパ ソ コ ン を用 い て描 け. 解 説 パ ソ コ ンを用 いて 描 け ば よ い の だか ら,遠 心 力 や コ リオ リの力 を考慮 した運 動 方程 式 を解 く必 要 は な く,式(18.19)を 直 接 利 用 す れ ば よい.ま ず考 えや す い 慣性 系 で の運 動 か ら 処 理 して い こ う.糸 が切 れ た瞬 間 の 時刻 をt=0と し,そ の と きの物 体 の位 置 と速 度36)は そ れ ぞれr0=(1,0),v0=(0,1)で あ る か ら(単 位 を省 略 して 表 記す る),
と な る.こ
れ を グ ラ フ に した の が 図18.6の
(18.19)よ
り37),
とな る.こ れ をグ ラ フ に した の が 図18.6の
左 側 で あ る.こ
れ を 回 転 座 標 系 か ら 見 る と,式
右 側 で あ る(曲 線 の 媒 介 変数 表 示 に関 して は4.4
節 参 照).回 転 座 標 系 か ら見 る と,「糸 が切 れ た瞬 間 は物 体 の 速 さはゼ ロ なの で コ リオ リの 力 は働 か ず,遠 心 力 に よ って 物体 は原 点 と正 反 対 の 向 きに動 き始 め,そ の後 は 遠心 力 とコ リオ
図18.6左:慣 性 系 か ら見 た物 体 の 運 動.点 線 は も との 円運 動 の 軌 跡.右:同 じ運 動 を回 転 す る座 標 系 か ら見 た もの.な お グ ラ フ は と も に0≦t≦6の 範 囲 で 描 い た.二 つ の グ ラ フ を ト レー シ ン グ ペ ーパ ー に写 し取 り,原 点 を重 ね合 わせ て互 い に 回転 させ てみ よ.
リの 力 に よ り複 雑 な軌 跡 を描 く」 と解 釈 され る.慣 性 系 か ら見 れ ば 「 物 体 に は力 が働 か な い ので 等 速 直線 運 動 を行 い(方 向 は も との 円運 動 の接 線 方 向),回 転 系 か ら見 る と物 体 が複 雑 な 軌 跡 を描 くの は観 測 者 が勝 手 に回 っ て い るか らだ」 と解釈 す る こ と にな る.な お,弾 道 弾38) を北 半 球 で発 射 す る と弾 道 が進 行 方 向 に対 して右 向 きに どん どん そ れ て い くの で,そ の辺 を 考 慮 して ミサ イ ル を撃 た な くて は い け ない.こ れ は地 球 の 自転 に よる コ リ オ リの 力 の なせ る 技 で あ る39).ま た,南 半 球 で は逆 向 きの 補 正 を しな くて はい けな い40). 補 足 本 項 で は観 測系 が2次 元 等 速 回 転 運動 を行 う と きの み に 話 を 限定 した.3次 元,不 等速 回転 運 動 の と きに は話 は 更 に複 雑 に な る.
18.3慣
性 力 に まつ わ る 話
「ス ペ ー ス シ ャ トル 内 は な ぜ 無 重 力 か.」 と聞 か れ た ら ど う答 え れ ば よ い だ ろ うか. 「ス ペ ー ス シ ャ トル は 高 い と こ ろ を 飛 ん で い る の で,地 球 か ら の 重 力 を ほ と ん ど感 じ な い た め.」 と思 っ て い る 人 は い な い だ ろ う か.な の 大 き さ は 地 球 の 中 心 か ら の 距 離 の2乗 う で あ る.し
か し,ス
る ほ ど,地 球 か ら受 け る 万 有 引 力
に 反 比 例 す る の で,一
見 この答 え は正 しそ
ペ ー ス シ ャ トル の 軌 道 の 地 表 か ら の 高 さ は 高 々500kmで
り,こ れ は 地 球 の 半 径(約6400km)の10分 トル に は 地 表 の80%以
の1も
な い.そ
あ
の た め,ス
ペ ース シ ャ
上 の 万 有 引 力 が キ チ ン と働 い て い る の で あ る.で
は,な ぜ 地
球 に送 られ て く る ス ペ ー ス シ ャ トル 内 の 映 像 の 中 で 乗 組 員 た ち は フ ワ フ ワ して い る の だ ろ うか.こ
れ は 簡 単 に い う と,ス ペ ー ス シ ャ トル も そ の 中 の 人 も 地 球 の 重 力 の
み を 受 け る 自 由 落 下 運 動41)を 行 っ て い る た め42),ス
ペ ー ス シ ャ トル に 固 定 し た 座
標 系 で 観 測 す る 限 り,慣 性 力 と重 力 が つ りあ う た め で あ る43).こ
れ は,箱
の中 に虫
を 入 れ て 放 り投 げ た状 況 と ま っ た く 同 じ で あ る(空 気 抵 抗 の 影 響 は 無 視 す る)44).箱 が 手 か ら離 れ た 後 は,箱 「こ れ は,高
が 上 昇 す る と き も下 降 す る と き も 虫 は 重 力 を “ 感 じ な い ”.
い ビ ル か ら 飛 び 降 り た と き,空
る 」 と説 明 し た い と こ ろ だ が,空
て し ま う 」 人 もい る か も し れ な い45).い る ”こ と が で き る の だ ろ う か.ヒ 学 の 問 題 と い う よ りは,物
中で 人 は 重力 を感 じない の と同 じで あ
気 の 流 れ と ま わ りの 風 景 の 変 化 か ら 「重 力 を感 じ や,そ
も そ も ヒ トは 重 力 や 慣 性 力 を “感 じ
トの 感 じ る “ 力 ” と は 何 か.こ
こ ら辺 は 純 粋 に物 理
理 学 と神 経 生 理 学 と心 理 学 の 複 合 的 問 題 で あ る と思 わ れ
る.物
理 学 で は(古 典 力 学 の 範 囲 で は),重
力 や 慣 性 力 は 明 確 に 定 義 さ れ た概 念 で あ
る.し
か し,日
て(ヒ
トの 感 覚 と交 じ り合 っ て)使 わ れ て い る.
常 会 話 で は,“ 無 重 力 ” とか “遠 心 力 ” な ど の 言 葉 が,物
理 学 を離 れ
反 動 を つ け た ジ ャ ン プ で よ く使 わ れ る 「抜 重 」 とい う言 葉 は何 を 意 味 す る か.「 ス ピ ー ドス ケ ー トの 選 手 」 は コ ー ナ ー で コ ー ス を 外 れ て し ま っ た と
き,そ れ を 「遠 心 力 の せ い 」 に して よ い の か.さ 心 力 に負 け て し ま い ま し た ね 」 と 言 う と き,解 採 用 し て い る の か.ま
た,ハ
行 っ て い る」 の か.K-146)で
ら に,そ れ を解 説 者 が 「遠 説 者 は ど の よ う な座 標 系 を
ンマ ー 投 げ の 選 手 は 「遠 心 力 を 使 っ て 投擲 を ホ ー ス ト選 手47)は
「遠 心 力 を う ま く利 用 した
回 し蹴 り」 を放 っ て い る の だ ろ う か. バ イ オ メ カ ニ ク ス の 論 文 を書 く と き に は こ れ ら の 言 葉 遣 い に 注 意 し な くて は い け な い.し
か し,ス ポ ー ツ を 指 導 す る現 場 で は む し ろ 感 覚 的 な意 味 で の “ 抜 重 ”や “ 遠心
力 ” は 使 い 心 地 が よ い48).こ
れ は,生
理 学 者 が ど ん な に眉 を ひ そ め よ う と,「 “ 運動
神 経 ” の よ い 選 手 の 競 技 力 を 更 に 伸 ば す た め に “反 射 神 経 ” を鍛 え る ト レ ー ニ ン グ を工 夫 しな く て は い け な い 」 と考 え る コ ー チ が 存 在 し,し て 適 切 な ト レー ニ ン グ 処 方 を行 え る の と同 じ で あ る.本 「ス ポ ー ツ科 学 を ア カ デ ミ ッ ク な 立 場 か ら研 究 し,さ は,状
か も,彼
ら が 選 手 に対 し
節 で 言 い た か っ た こ と は,
ら に現 場 で 役 立 て よ う とす る 人
況 に 応 じて 言 葉 を使 い 分 け る 必 要 が あ る(柔 軟 な 言 葉 遣 い が 求 め ら れ る)」 と
い う こ と と,そ
の た め に も本 章 の 内 容 は よ くマ ス タ ー して お い て も ら い た い と い う
こ と だ. 課題
某漫画で 「 跳 び あが った とき,そ の頂 点 で は上 向 きの力 と下 向 きの力 が つ りあ い,一 瞬
浮 遊状 態 にな る」 とい う趣 旨の 記述 が あ っ た(剣 術 の奥 義 に関 わ る こ と ら しい).誤 解説
りを正 せ.
解 答 略.
課題 通 常 の力 学 の テキ ス トを見 る と,慣 性 力 を解 説 した章 に,「台風 が 渦 を巻 く原 因」,「プー ル の栓 を抜 く と水 が 渦 を巻 く原 因 」 が 地球 の 自転 に よ る コ リオ リの力 に あ り(北 半球 と南 半 球 で 渦 の 向 きが 逆 に な る),「 潮 の満 ち引 きの原 因」が 月(あ るい は太 陽)と 地球 の相 対 的 な公 転 運 動 に よる遠 心 力 にあ る こ とが 説 明 され て い る.ほ か に もい ろい ろ と興 味 深 い 話題 が 挙 げ られ て い る こ とが 多 い.各 自 の興 味 に応 じて調 べ て み よ. 解説
解 答 略. 補 足 本 章 で は慣性 力 と重 力 を厳 密 に 区別 した.し か し,考 えて み れ ば慣 性 力 も重 力 も と もに質 量 に比例 す る もの で あ り,観 測 系 が慣 性 系 か 非 慣 性系 か判 断 で きな い 場合 に は,両 者 を区別 す る手 段 は ない.例 え ば,窓 の つ い てい ない エ レベ ー タ に乗 っ てい る 人が 突 然 体 重 が増 え た よ う に感 じた とす る.こ の人 が 常 識 的 な判 断 力 の持 ち 主 な ら 「エ レベ ー タが 上 向 きに正 の 加速 度 を持 った 運動 を始 め た の だ」 と涼 しい顔 を し,「エ レベ ー タの真 下 に突然 大 きな 星が 現 れ て重 力 が 強 くな った の だ」 と怯 え る 人 を笑 うだ ろ う.し か し,エ レベ ー タ内(局 所 的 な 空 間内)の 人 に とっ て,こ れ ら二 つ の 判 断 を 区別 す る手段 は物 理 学 には な い ので あ る.こ の問 題 は,大 抵 の人 に とっ ては 考 え る に値 しない ど うで も よい 問題 か も しれ ない.し か し,こ の 問題 に真剣 に 取 り組 ん だ 人 間が い た.そ れが ア イ ンシ ュ タ イ ンで,出 来 上 が った 理論 を一 般相 対 性 理 論 とい う.一 般 相 対性 理 論 は現代 の華 々 しい 宇 宙論 を支 え る基礎 理論 の 一 つ で あ る.
注 1)運 動 を記 述 す る た め の座 標 系 2)ニ ュ ー トンの本 来 の表 現 を
.
,現 代 的立 場 か ら多少 変 更 して い る. 3)静 止 状 態 を速 度 ゼ ロの 等 速 直 線 運 動 と考 えて も よい が ,ニ ュー トン に な ら っ て,こ こで は二 つ を分 け て 記 して お く. 4)“ ニ ュ ー トンの ” と呼 ん だ の は ,も ち ろ ん,ニ ュ ー トンの 後 の 時代 の 人 々 で あ る. 5)実 際 の力(個 々 の具 体 的 な力)が ど う生 じ るか とい うこ とに 関 して は別 の 法 則 が 用 意 され る必 要 が あ る.例
え ば,万 有 引力 の法 則 は “運動 の法 則 ” で な く,“ 具 体 的 な力 の法 則 ” で あ る.ま
た,力 学 の
論 理 展 開 に は 高 度 な 数 学 が 用 い られ る.本 文 で い って い るの は,あ くまで も力 と運 動 に 関す る基 本 的 関係 が 三 つ の 法則 に 集約 さ れ る と い う こ とで あ る. 6)“ ニ ュ ー トンの運 動 の 第2法 則 ” を い わ ゆ る “ニ ュ ー トンの 運 動 方 程 式 ” と して 明確 に 定 式化 した の は ニ ュ ー トンで は な くオ イ ラ ー や そ れ以 降 の 人 々 で あ る. 7)「 ア イ ンシ ュ タイ ンの 相 対性 理 論 を 知 る 現 代 の 立 場 か ら古 典 力 学 を考 え直 してみ れ ば」 とい う意 味 だ が,ニ
ュ ー トン本 人 は また 別 の こ と を考 えて い た と思 わ れ る.こ の 点 に関 して は 『古 典 力 学 の 形
成 』(山 本 義 隆 著,日 本 評 論 社)に 詳 しい 考 察 が あ る の で,そ ち らを参 照 して い た だ き た い. 8)ニ ュ ー トンの運 動 の 三 つ の 法 則 は 皆 この よ うに(理 論 の前 提 と して)と ら え るべ き もの で あ る
.角 度 を変 え て い う と,ニ ュ ー ト ンの 運 動 の 法 則 以外 の原 理 を前 提 と して理 論 を作 る こ とが で き,そ れが 自然 現 象 を 十 分 に 説 明 す る こ とが で きれ ば,そ れ は そ れ で 少 し も構わ な い.そ の よ う に して で き た 力 学(≠ ニ ュー トン力 学)が,自 然 現 象 をニ ュ ー トン力 学 と同 等 の精 度 で 説 明 で き る な らば 「ニ ュ ー トン力 学 と違 う体 系 だ か ら間 違 っ て い る 」 とい って は い け な い.両 者 は 対 等 なの で あ る.よ りよ く 自然 現 象 を説 明 で きれ ば,“ よ り優 れ た” 力 学 な の で あ る.実 際,ア イ ンシ ュ タ イ ンは別 の仮 説 を第 一原 理 と し て相対 性 理論 を構築 し ,ニ ュ ー トン力 学 で は説 明 で きな い現 象 を説 明 した り,ニ ュ ー トン 力 学 か らは 思 い も よ らな い 現 象 を 予 想 した り した.そ れ らの 予 想 は 実 験 に よ り正 しい もの と確 認 さ れ(現 在 の測 定 技 術 で は まだ 不 明 の もの も残 って い る),相 対 性 理論(相 対 論 的力 学)は ニ ュ ー トン の
力 学 よ り優 れ た 力 学 と見 な され る こ と とな った.も ち ろ ん,日 常 生 活 レベ ル の 力 学 現 象 で はニ ュ ー トン力学 も相 対 論 的 力 学 も実 質 上 同精 度 で あ り,ニ ュ ー トン力 学 の方 が や さ しい 形 を して い る の で, ニ ュ ー トン力学 の価 値 は ま っ た く下 が る こ と は な い. 9)こ の証 明 に は 暗黙 の う ち に 「あ ら ゆ る座 標 系 で時 間 は共 通 に刻 まれ る」 こ とが 仮 定 され て い る . 10)回 転 さ え起 こ っ て な け れ ば 平 行 性 を仮 定 す る 必 要 は な い が ,計 算 を煩 わ し く しな い ため,こ の 仮 定 を 設 け て お く. 11)x ,y,zが そ れ ぞ れ一 定 値 を と る物 体. 12)x' ,y',z'が そ れ ぞ れ 一 定 値 を と る. 13)証 明 は 簡単 な の で省 略 す るが ,各 自確 かめ て ほ しい. 14)難 し くて 理解 で きな い とい う こ と は あ るか も しれ ない が . 15)実 際 ,慣 性 力 の こ と を見 か け の 力(apparentforce)と もい う. 16)台 車 で な く 17)あ る い は
,電 車 が 急 発 進 す る状 況 を思 い 浮 か べ て も ら って も よい.
,自 分 の足 場 が 本 来 安 定 した もの で あ る と思 え るか ど うか. 18)回 転 さ え起 こ っ て な け れ ば平 行 性 を仮 定 す る 必 要 は な い が ,計 算 を 煩 わ し く しな い た め,こ の 仮 定 を 設 け て お く. 19)と もに力 学 の基 本 法 則 を満 たす 以 上 ,優 劣 が ない とい う こ と. 20)こ こ に 「 相 対 性原 理 」 とい う言 葉 が 出 て きた.こ れ は本 来 「物 理 法 則 は観 測座 標 系 に よ ら ない 」 とい う主 張 で あ る.も ちろ ん,観 測 座 標 系 を変 えれ ば 物 理 量(の 値)そ の もの は変 化 す る.し か し,そ の 変 化(物 理量 の変 換)は あ る規 則 にの っ と って 行 わ れ る もの で あ り,そ の よ うな変 換 に よ っ て物 理 量 間 の 関係(物 理 法 則)は 変化 しな い とい うの だ.本 項 で 述 べ た慣 性 系 間 で の物 体 の 位 置,速 度,加 速 度 の変 換 法 を ガ リ レイ変 換(Galileantransformation)と い う.「 古 典 力 学 の 法 則 は ガ リ レ イ変 換 に よ り不 変 で あ る」 とい う の が ガ リ レイ の相 対 性 原 理 で あ る.し か し,ガ リ レイ 変 換 は 電 磁 気 学 の 法 則 を不 変 に保 た な い こ とが わ か っ た.そ こ で,誕 生 した の が ア イ ンシ ュ タイ ンの 特 殊 相 対 性 理 論 (原 理)で あ る.こ の特 殊 相 対 性 理論 は そ れ まで の 力 学 を大 き く(見 方 に よ っ て は,少 しば か り)書 き換 え る こ と と な った.な お,重 力 の 理 論 に まで 相対 性 原 理 を拡 張 したの が 一 般 相 対 性 理 論 で あ る.
21)今 ま で学 習 して き た多 くの手 法 をそ の ま ま使 う こ とが で き るか ら便 利 な の で あ る . 22)“ 真 の力 ” は ニ ュ ー トンの 運動 の第3法
則 ,す な わ ち作 用 反 作 用 の 法 則 を満 たす もの で あ っ た.慣 性 力 に 関 して は,作 用 反 作 用 の 法 則 を考 え られ ない.慣 性 力 の “見 か けの 力 ” た る ゆ え んで あ る. 23)本 項 の場 合 で も厳 密 には そ うな の だが ,両 座 標 系 の座 標 軸 が平 行 の場 合 は,結 局 は 同 じこ と に な る. 24)“ 物 体 の” で は な い .今 は た ま た ま物 体 の 加 速 度 もaだ が,そ ん な もの は慣 性 力 とは無 関 係 で あ る. あ くまで,観 測 系 の 加速 度 のみ が 重 要 で あ る.こ の こ とは次 の課 題 で よ り一層 明確 に な る で あ ろ う. 25)式(11 .50)で はx軸 の方 向 を鉛 直 下 向 き と してい る こ と に注 意. 26)遠 心 力 の説 明 で誤 っ た こ とを書 い て い る こ とは少 な い の だ が ,問 題 の解 答 と して 「遠心 力 」 とい う 言 葉 を使 う と き不 適 切 な文 脈 で使 っ て い る もの が 多 い. 27)原 点 が 共 通 なの で ,18.2.2項 の よ うに “O-xy系 ” とはせ ず に,簡 単 に “x-y系 ” な どの よ うに表 記 す る. 28)慣 性 系x-yは 座 標 系X-Yを-θ だ け 回 転 させ た もの に相 当 す る . 29)座 標 系X
-Yは
慣性 系x-yを
の 関係 が あ る こ とは5.8.2項
θ だ け 回転 させ た もの に 相 当 す る.な お,行 列A,Bは で 述 べ た 通 りで あ る.す
なわ ち,AB=BA=Eで
互 い に 逆行 列 あ る(Eは
単位
行 列). 30)こ の こ とは式(18
.27)で 明 らか に な る. 31)積 の微 分 法 と合 成 関 数 の微 分 法 を最 初 の 式 変形 で用 い て い る.ま た,θ=ω 32)計 算 を実 行 して確 かめ よ .そ の 際,ω 一定 と して い るの だか ら,ω=0で
で あ る こ とに注 意 せ よ. あ る こ と に注 意 せ よ.式
(18.26)か ら,式(18.23)が 確 かめ ら れ る. 33)質 点 の位 置 をrと す る と ,rとFrは 平 行 で,向 き も一 致 す る.そ の ため,Frは 原 点 と質 点 とを 結 ぶ 直線 を延 長 す る方 向 を 向 くこ と に な る. 34)V=(X ,Y)と す る と,Fc・V=0で あ るか らFcとVの な す角 は90° で あ る.向 きはVの 向 きに対 して右 を 向 く(ω が正 の場 合)が,こ の 点 に 関 して は 自分 で 図 を描 い て 確 か め て ほ しい. 35)コ リオ リの 力 は 向 転座 標 系 か ら見 た物 体 の 速 さ に比 例 す る. 36)円 運 動 の 速 度 は ,接 線 方 向 を 向 き,大 き さ は 円運 動 の半 径 をrと してrω で あ る(11.4.2項 参 照). 37)θ=ωtで あ り,ω=1で あ るか ら θ=tで あ る. 38)ロ ケ ッ ト推 力 で い っ た ん大 気 圏外 に 出 て ,後 は重 力 のみ を受 けて 飛 ぶ ミサ イ ル. 39)地 球 は 自転 して い る た め ,正 確 に は 慣 性 系 で は な い.そ の た め,ミ サ イ ル の よ うに 高 速 で飛 距離 の 長 い 物体 の 運動 で は,地 球 上 で 運 動 を観 測 す る 限 り,コ リオ リの 力 の 影 響 を考慮 しな くて は い け な い(コ リ オ リの 力 は物 体 の 速 さ に比 例 す る の で あ っ た). 40)こ れ は ,ラ イ フ ル銃 な どで 遠 距 離 射 撃 をす る と き に もい え る.緯 度 に も よ るの だ が,1000m近 い遠 距 離 射 撃 をす る と北 半 球 と南 半 球 で 照準 が 数cmず れ て しま う こ とが あ る.こ の 点 に関 して 『ゴル ゴ13』(小 学 館 ビ ッ グ コ ミ ック連 載 中 の人 気 漫 画)に 文 句 をつ け て い る本 が あ った が,本 屋 で 立 ち 読 み した だ け な の で タイ トル は忘 れ た. 41)自 由 “落 下 ” とい うと “地 面 に 落 ち る こ と” をイ メー ジ しが ち だ が ,力 学 的 に考 え れ ば 「(外力 と し て)重 力 の み を受 けて 運 動 す る 」 こ との 方 が 本 質 的 で あ る. 42)あ る 軌 道 に乗 る まで は 噴 射 に よ って 軌 道 と速 度 の 確 保 を行 うが ,そ の 後 は 噴 射 に よる 加 速 は 行 わ な い.次
に 噴射 を行 うの は地 表 に 戻 る た め(と 微 妙 な軌 道 の 修 正 の た め)で あ る.子 供 百 科 事 典 を見 る
と,ボ ー ル を(水 平 に)投 げ る と き,そ の 速 さを 大 き く してい けば ボ ー ル は 遠 くま で到 達 す る こ とが で き,あ る速 さを超 す と地 球 を くる くる 回 りだす 図 が 載 って い る が,ま さに そ の イ メー ジで あ る(空 気 抵 抗 は 無 視 す る). 43)ス ペ ー ス シ ャ トル の 加 速 度 は そ の場 所 での 重力 加 速 度gで
あ るか ら,ス ペ ー ス シ ャ トル か ら質 量
mの 物 体 を観 測 す る と,そ の 物 体 に は-mgの 慣 性 力 が “働 く” こ とに な る. 44)エ レベ ー タ に乗 って い る と き,エ レベ ー タ をつ って い る ワ イヤ ー が 切 れ た 状 況 を思 い 浮 か べ て くれ て も よい(ブ レ ー キ は働 か ない とす る). 45)筆 者 は 試 した こ とが な い の で 断 定 は で きな い が . 46)キ ッ クボ ク シ ン グや 空 手 の チ ャ ン ピオ ンク ラ ス の選 手 を集 め て 開か れ る打 撃 系 格 闘 技 の 大 会 . 47)K -1選 手 の 中で,特 にテ クニ ッ ク に定 評 の あ る 選 手. 48)多 くの 人 が “遠 心 力 ” を “円 心 力” と書 い て し ま うの も,こ の 感 覚 の せ い で あ ろ う.
19 番 外 編:フ
ー リ エ解 析 の 怪
本 章 で は,デ ー タ処 理 にお い て よ く用 い られ る フー リエ解 析(Fourieranalysis)に つ い て少 し触 れ て お く.離 散 デ ー タ を フ ー リエ解 析 す る ため の プ ログ ラ ム は今 や 簡 単 に手 に入 る の で,取 得 した 筋電 図や 心 拍 数 に どの よ う な周 波 数 成分 が 含 まれ て い るか を手 軽 に調 べ る こ とが で きる.し か し,そ の際 どう して も知 っ て お か な けれ ば な ら ない こ とが あ る.本 章 で は フ ー リエ 解析 の手 法 よ りも む しろ そ の よ う な注 意 事 項 を直 感 的 に説 明す る.な お,本 章 の内 容 だ け で は本 格 的 にス ペ ク トル解 析 をす る には あ ま り役 に立 た ない.本 章 の対 象 は あ くまで も 「さ ら りと周 波 数成 分 を調べ,深 入 りは しな い」 とい う人 で あ る.も ち ろん,よ り高 度 なス ペ ク トル解 析 の本 を読 む 際 の 敷 居 を 下 げ る 目的 で 本 章 を読 む とい うの もよい.
19.1フ
ー リエ解 析 の 注 意 事 項
得 ら れ た(離 散)デ ー タ の ス ペ ク トル 解 析1)に 離 散 フ ー リ エ 変 換 を用 い る の は 一 般 的 で あ る.高
速 フ ー リエ 変 換(fastFouriertransform:FFT)の
現2)と 強 い パ ソ コ ン の 開 発 に よ り,デ だ3).し
か し,離
ア ル ゴ リズ ム の 出
ー タ に フ ー リエ 変 換 を施 す の は 今 の 時 代 容 易
散 フ ー リ エ 変 換 を 施 し て も 自 分 が 得 た い と思 っ て い る ス ペ ク トル
が 得 ら れ な い 場 合 が あ る こ と は 知 っ て お か な い とい け な い.そ
こ で,本
節 で は フー
リエ 変 換 に 関 す る 基 本 事 項 を い くつ か 挙 げ よ う. 変 動 す る現 象 を,様 う と す る と き,そ
々 な 周 波 数 の 三 角 関 数 の 重 ね 合 わ せ(足
を 求 め る 方 法 が フ ー リ エ 変 換 で あ る4).こ ピ ュ ー タ に任 せ て も よ い の だ が,離 も次 の2点
し合 わ せ)と
して 表 そ
れ ぞ れ の 周 波 数 の 三 角 関 数 を どの く ら い の 割 合 で 足 し合 わ せ る か こ ま で 理 解 して お い て,後
の こ とは コ ン
散 デ ー タ5)を フ ー リ エ 変 換 す る と き に は 最 低 で
に 注 意 し な くて は い け な い6).
サ ン プ リン グ周波 数
離 散 デ ー タ を フ ー リエ 変 換 し て もサ ン プ リ ン グ 周 波 数 の 半 分
の 周 波 数 の 成 分 ま で しか 求 め ら れ な い.100Hzで 以 下 の 成 分 しか 求 め ら れ な い.つ る シ グ ナ ル は100Hz以 に は2倍
ま り,1秒
サ ン プ リ ン グ し た ら,50Hz 間 に50回
以 上 ジ グザ グ と 変 化 す
上 の 周 波 数 で サ ン プ リ ン グ し な くて は い け な い(実 際
以 上 の 周 波 数 で サ ン プ リ ン グ す る こ と が 望 ま れ る).こ
れ はなぜ か 少
図19.1シ
グナ ル の 周 波 数 が 異 な っ て い て も,デ ー タが 離 散 的 で あ る た め に 区別 で き ない 様 子
し考 え て み よ う.図19.1上 正 弦 波 を 表 し て い る.こ
段 は10Hzの
正 弦 波(サ イ ン カ ー ブ)と90Hzの
れ を サ ン プ リ ン グ 周 波 数100Hzで
に 記 録)し た 様 子 を 図19.1の
中 段 に プ ロ ッ ト し た.サ
両 者 で ま っ た く等 しい こ とが わ か る.つ 合,10Hzの
正 弦 波 と90Hzの
れ は,図19.1の で は,な
記 録(0.01秒
ごと
ンプル され たデ ー タ は
ま り,100Hzで
サ ン プ リ ング した場
正 弦 波 は ま っ た く区 別 で き な い の で あ る.こ
下 段 の よ う に グ ラ フ を 重 ね れ ば さ ら に わ か りや す い だ ろ う.
ぜ こ の よ う な こ とが 起 こ る の で あ ろ うか.そ
れ は次 の補 足 の よ うに
考 え る と よ い で あ ろ う. 補足
サ ン プ リ ン グ 周 波 数 をn[Hz]と
す る.こ
の と き,k番
目に サ ンプル され
る デ ー タ は サ ン プ リ ン グ を 開 始 して か らk/n[s]後 の も の で あ る7).そ 数f[Hz]の は,sinが
正 弦 波F(t)=sin2πftの 周 期2π
値 はF(k/n)=sin2πfk/nと
な る が,こ
れ
の 周 期 関 数 で あ る こ と よ りsin2πfk/n=sin(2πfk/n-2πk)=
sin2π(f1/n-1)k=sin2π(f-n)k/n=-sin2π(n-f)k/nと n-f[Hz]の
の と き周 波
正 弦 波G(t)=-sin2π(n-f)tの
な り,周 時 刻t=k/nに
波数
お け る 値G(k/n)
に等 しい こ と が わ か る.つ
ま り,サ
の 正 弦 波 とn-f[Hz]の
な お,こ
ン プ リ ン グ 周 波 数 がn[Hz]の
と き,f[Hz]
正 弦 波 は 区 別 で き な い こ と に な る.
こ ら辺 の 話 は,映 画 の 映 像 な どで 車 の タ イ ヤ や 扇 風 機 の フ ァ ンが ゆ っ
く り回 っ た り,逆 向 き に 回 っ た り し て る よ う に見 え る8)こ と に 似 て い る(ど う 似 て い る か 考 察 して み よ)9). サ ン プ リ ン グ 時 間 有 限 区 間 の フ ー リ エ 変 換 で は 連 続 的 な ス ペ ク トル は 得 ら れ な い. あ る 基 本 周 波 数 の 整 数 倍 の 周 波 数(振 動 数)の ス ペ ク トル が 得 ら れ る だ け で あ る.そ
の 基 本 周 波 数 と は “デ ー タ をサ ン プ ル した 時 間(サ ン プ リ ン グ 時 間)の
逆 数 ”で あ る.つ
ま り,1秒
間 の サ ン プ リ ン グ な ら1Hzが
整 数 倍(0Hz,1Hz,2Hz,3Hz,…)の ン プ リ ン グ な ら0.5Hzの 分 が 求 め ら れ る.例 20倍
整 数 倍(0Hz,0
え ば1分
れ を20倍
と か,ち
.5Hz,1Hz,1.5Hz,…)の
間 の 脈 拍 数 は2回
す る と,40回,60回,80回
か3回
と な る.測
だ け測 っ て
か4回
程度であろ
り始 め の タ イ ミ ン グ
ょ っ と した 誤 差 が 測 定 結 果 を 大 き く狂 わ す こ と に な る.ゆ
化 す る シ グ ナ ル を短 時 間 測 定 して も粗 す ぎ る.3秒 デ ー タ)を 測 定 す る こ と は,1分
間(1/20分
間 あ た りの 脈 拍 を20回
の
間 のサ 周 波数 成
間 あ た りの 脈 拍 を 知 り た い と き,3秒
して も う ま く い か な い.3秒
う.こ
基 本 周 波 数 で,そ
周 波 数 成 分 が 求 め ら れ る.2秒
っ く り変
間)脈 拍(離 散
刻 みで 測定 した こ と
に な る こ と に 注 意 し よ う.実 験 の デ ー タ の 解 析 で は 自分 で 適 当 に デ ー タ を 切 り出 す こ と に な ろ うが,そ
の サ ン プ リ ン グ 時 間 をTと
周 波 数 解 析 を し て い る こ と に な る11).例 に な る.こ
の 場 合,離
け だ と,本
来0.1Hz離
た り,逆
に1Hz異
す る と,1/T刻
え ばT=1sの
と き,刻
み10)で
み 幅 は1Hz
散 ス ペ ク トル(線 ス ペ ク トル)の ピ ー ク を 単 純 に と る だ れ て い る 周 波 数 の シ グ ナ ル が,同
じ周 波 数 と判 断 さ れ
な っ た も の と判 断 さ れ る 可 能 性 が あ る .5∼6Hz程
シ グ ナ ル をサ ン プ リ ン グ 時 間1秒
で 測 定 し,FFTを
度 の
施 し て ス ペ ク トル の ピ ー
ク を 求 め る と い う の は 多 少 無 理 が あ る12). 長 くな っ た が,サ
ン プ リ ン グ 周 波 数 は ス ペ ク トル の 周 波 数 の 上 限 を 決 め,サ
リ ン グ 時 間 は 周 波 数 の 刻 み を 決 め る,と 補足
ンプ
い う こ とは 覚 え て お か な くて は い け な い .
ス ペ ク トル の 概 念 の 起 こ り もま たニ ュー トンで あ る.ニ ュ ー トン は1660年
頃 に太 陽 光 をプ リズ ム で分 解 し,あ る光 に ど の よ うな 光 が どの くらい 混 じっ て い る か を調 べ る分 光学 の基 礎 を作 っ た.光 の色 の違 い は光 の波 長 の違 い(周 波 数 の違 い) に よ る.ど んな 波 長(周 波 数)の 光 が どの くらい 含 まれ て い る か を波 長(周 波 数)の 順 に並 べ たモ ノ をス ペ ク トル とい う.そ の後,ス ペ ク トル とい う言 葉 は分 光 学 以 外 で も使 われ る よ うに な っ た. 課題
周 波 数3Hzの
正 弦 波 を サ ン プ リ ン グ 周 波 数100Hzで
秒 間 サ ン プ リ ン グ し,そ
の デ ー タ を フ ー リエ 変 換 し,ピ
そ れ ぞ れ1秒
間,1.52秒
ー ク 周 波 数 を 求 め よ.
間 ,2
解説
こ れ は コ ン ピ ュ ー タ で シ ミ ュ レ ー シ ョ ン して も ら え ば よ い.サ
間,1.52秒
間,2秒
ン プ リ ン グ 時 間 が1秒
間 の 場 合 の ピ ー ク 周 波 数 は そ れ ぞ れ,3Hz,3.289…Hz,3Hzで
あ る.
サ ン プ リ ン グ時 間が た また ま シグ ナ ル の周 波 数 の整 数 倍 にな っ た ときの み 正 しい周 波 数 が 得 ら れ て い る こ と に 注 意 せ よ.ま は 別 に4桁
で は な い.サ
た,サ
ン プ リ ン グ 時 間 が1.52秒
ン プ リ ン グ 時 間 が1秒
間,1.52秒
数 成 分 の 刻 み は そ れ ぞ れ1Hz,0.65789…Hz,0.5Hzな
間 の と きの周 波 数 の有 効 数 字
間,2秒
間 の と きに得 られ る周 波
の で あ る.な
よ っ て 得 ら れ た パ ワ ー ス ペ ク トル13)を 図19.2に
示 す.有
エ 変 換 し た の で ス ペ ク トル は 離 散 的 で あ る こ と,お
お,フ
ー リエ変 換 に
限時 間の 離 散 デ ー タを離 散 フー リ
よ び サ ン プ リ ン グ 時 間 が1.52秒
間のとき
に は ス ペ ク トル に 歪 み が 生 じ て い る こ と に 注 意 せ よ14).
図19.2サ ン プ ル され た デ ー タ(左 列)と,そ れ を フ ー リエ 変 換 した 結 果(右 列),本 来 “純 粋 な ”3Hzの シ グ ナ ルが,サ ンプ リ ング 時 間 に よ っ て スペ ク トル が 歪 む こ とが あ る.な お,サ ン プ リ ング 周 波 数 が100Hzな の で,50Hzの 周 波 数 成 分 まで しか 求 め られ ず,ま た,サ ン プ リ ン グ時 間 が 長 くな る に 従 っ て 基 本 周 波 数 が 小 さ く な り,フ ー リエ 解 析 で 得 られ るス ペ ク トル の 刻 み が 細 か くな っ て い る こ とに 注意 せ よ.
補足
フ ー リ エ(Fourier,1768-1830)は
ラ ン ス 革 命 で 投 獄 さ れ た り,ナ に な っ た り,な
フ ラ ン ス の 物 理 学 者 ・数 学 者 で あ る.フ
ポ レ オ ン と エ ジ プ トに 行 っ た り,そ
か な か 忙 し い 人 で あ っ た よ う だ.1810年
頃,熱
れが も とで 病気
伝 導 現 象 の 法 則 を表
す微 分 方 程 式 を解 くた め に フー リエ 級数 フ ー リ エ 積 分 を 発 明 し た.な お,フ ー リ エ は エ ジ プ トか ら フ ラ ン ス に 戻 っ て き た と き,古 代 エ ジ プ トの 象 形 文 字 の 書 か れ た
石 を持 ち帰 っ た.そ の石 を食 い入 る よ う に眺 め る少 年 が い た.少 年 が フ ー リエ にそ の石 に何 が 書 か れ て い るの か を尋 ね た と こ ろ,フ ー リエ は 「誰 に もわ か ら ない ん だ よ.」 と答 えた.少 年 は 誓 っ た.「 い つ か,こ の不 思議 な文 字 を解読 してや ろ う.」彼 こそ,後 にRosettastoneの 碑 文 に書 か れ た古 代 エ ジプ ト象 形 文 字 の解 読 に成 功 し た シ ャ ンポ リオ ンで あ る(p.211参
19.2フ
照).
ー リエ解 析 の 直 感 的 理 解
有 限 の 長 さ を持 つ 離 散 デ ー タ を フ ー リエ 解 析 す る気 分 を味 わ っ て み よ う.図19.3a は,あ
る 時 間(と
りあ え ずT=2π[s]と
リ ン グ 周 波 数 は100/T=100/2
π[Hz]で
し よ う)測 定 さ れ た デ ー タ で あ り,サ あ っ た と す る15)(デ
値 か ら構 成 さ れ て い る こ と に な る).こ
れ を,Tを
数 とす る)三 角 関 数 で 近 似 し て い く.ま
ず,周
(図19.3b).そ 波 数0の
の 定 数 は,デ
成 分 で あ る.そ
ー タ は 全 部 で100個
基 本 周 期 とす る(1/Tを
波 数0,す
ンプ の数
基本 周 波
な わ ち定 数 関 数 で 近 似 す る
ー タ の 平 均 値 とす る の が よい だ ろ う16).こ
の定 数 が周
の 定 数 を も と の デ ー タ か ら差 し引 く と,近 似 し き れ な か っ
た 部 分 が 残 る(図19.3c).こ
れ を今 度 は,周 期Tの
(近 似 し きれ な い 部 分)の2乗
和 が 最 も小 さ くな る よ う に 最 小 二 乗 法 で 求 め た 三 角 関
数 が 図19.3dの あ る19).こ る.次
実 線 で あ る18).こ
れ を,差
に こ れ を,周
三 角 関 数17)で 近 似 し よ う.残 差
の 三 角 関 数 の 振 幅 が 周 期Tの
期T/2の
三 角 関 数20)で 近 似 す る.そ
こ の グ ラ フ の 残 差 を 求 め る と 図19 .3gの よ う に な る.同 の 三 角 関 数 で 残 差 を 近 似 して い く様 子 が 図19.3mま
あ る21).こ
の様 子 が 図19 .3fで あ る. 様 に,周
期T/3,T/4,T/5
で 示 して あ る .こ
れ た 三 角 関 数(周 波 数0,1/T,2/T,3/T,4/T,5/T)の した の が 図19.3nで
三角 関数 の 成分 で
し引 い た 部 分(近 似 し き れ な か っ た 部 分:残 差)が 図19 .3eで あ
和 と,も
う して 求 め ら
との デ ー タ と を比 較
の 操 作 を繰 り返 せ ば も っ と近 似 が よ くな っ て い くの
は 明 らか で あ ろ う(残 差 を 次 々 と 減 ら して い くの だ か ら22)).た
だ し,こ こ で は デ ー
タ が100個
と谷 を作 る に は 数 値
が 最 低2つ
しか な い の で,こ
の 操 作 は50回
必 要 で あ る か ら,100個
の で あ る.こ
しか で き な い.山
の デ ー タ か ら は 高 々50個
の と き の 周 期 はT/50,周
波 数 は50/Tで
の 山 と谷 しか 作 れ な い
あ る .以 上 で,前
節 で述 べ た
サ ン プ リ ン グ周 波 数 と サ ン プ リ ン グ 時 間 の 話 が 何 と な くで も理 解 し て も ら え た で あ ろ う か. さ て,実
際 に こ ん な や り方 で 各 周 波 数 の 成 分(各
三 角 関 数 の 振 幅 と位 相)を
て い く の は し ん ど い(最 小 二 乗 法 を何 十 回 も繰 り返 す の は 大 変 だ) .そ も っ と効 率 の よい 方 法 が フ ー リエ 変 換 で あ る.先 入 りす る 必 要 は あ ま りな い が,興
求め
こで登 場 す る
ほ ど も述 べ た よ う に ,計 算 法 に 深
味 の あ る人 は各 自調 べ て もらい た い.
(e)をc2sin(2t+δ2)で
も との デ ー タ
c2と
も との デ ー タ を定 数 (平均 値:a0)で 近似 近 似 で きな か った 部 分:残 差
(b)の
残 差 。 こ れ を 、1つ
の
山 と谷 で 近 似 した の が(d)。
(c)をc1sin(t+δ1)で
c1と
δ1は 最小2乗
近似
法で求 めた
再び残差。これを今度 は
2つ の 山 と谷 で近 似(次 図)
δ2は 最小2乗
近 似
法で求めた
(f)の 残 差
(g)をc3sin(t+δ3)
(3つ の 山 と谷)で 近 似
(h)の 残 差
(i)をc4sin(4t+δ4)
(4つ の 山 と谷)で 近 似
(j)の 残 差
(l)の 残 差
と
(k)をc5sin(5t+δ5)
(5つ の 山 と谷)で 近 似
も との デ ー タ との 比 較
図19.3三 角 関 数 で 任 意 の 関数(時 系 列 デー タ)を 近 似 して い く例.横 る.周 波 数 軸 で な い こ とに注 意.
補 足1普
通 の フ ー リエ解 析 の 本 に は,ま ず 区 間[0,T]で
軸 は時 間 軸(t軸)で
あ
与 え られ た 関数 を三 角 関
数 の和
で表 せ る と仮 定 し23),そ の係 数 を求 め る方 法 と して フ ー リエ 変 換 を導入 して い る. そ して,そ の 妥 当性 を検 討 す る,と 続 く.し か し,こ こ では敢 え て逆 に,フ ー リエ係 数 の 最 終性 とい う もの を意識 した導 入 を離散 デ ー タ を用 い て試 み てみ た.こ れ に は ち ょ っ と した配 慮 が あ るの だ が,ど んな もん で し ょう.な お多 項 式 に よ る最小 二乗 法 近 似 は,次 数 を順繰 り と上 げて い くこ と はで きな い.例 えば,同 じデー タ を2次 式 で 近似 す る場 合 と,3次 式 で近 似 す る場 合,両 者 で0次 の項,1次 の項,2次 の項 の係 数 は変 わ って しま う24).す な わ ち,2次 式 で 近似 した残 差 を3次 の項 で 近似 す るの で は な い.こ れ だ け で何 の話 を して い るか わか って しま う人 は,本 書 を読 む必 要 は ない,と い う矛 盾 に満 ちた 補足 で あ った.な お,フ ー リエ 級 数(Fourierseries) の形 ∑cksin(2πkt/T+δk)を
見 て,ベ ク トル の 内積 の形 ∑
□k○kを
思い出 し
た 人 は非 常 にす る どい.本 書 で 学 ん だ だ け で,ベ ク トル,積 分,フ ー リエ解 析 の奥 に何 や ら共通 す る ものが 潜 ん でい る こ とを感 じ取 り “ワ ク ワク” して しま う人 は,数 学 を や っ てい れ ば そ の世 界 で 生 きて い け たか も しれ な い.
補 足2デ ー タ を関 数 で近 似 す る と,あ る とこ ろで は 過大 に近似 し,あ る とこ ろで は過 小 に近 似 す る こ とに な る.す な わち,残 差 に は正 ・負が 現 れ る.こ こ ら辺 が,近 似 を進 め る に当 た っ て,よ り高周 波 の三 角 関 数が 必 要 に なる直 感 的理 由 と言 っ て よ か ろ う. 補 足3フ
ー リエ 級 数
は項 別 に微 分 ・積 分 を行 う こ とが可 能 で あ る.例 え ば,
で あ る.こ れ は もち ろ ん導 関数dy(t)/dtのフー リエ 級 数 にな っ て い る.こ の 式 を見 れ ば わ か る よ うに,関 数 を微 分 す る と,振 動 数 の大 き な成 分 が(相 対 的 に)強 くな っ て くる25).実 験 デー タに高 周 波 の ノ イ ズが 乗 っ てい る場 合,そ の デー タを数 値微 分す る とノ イズ が 拡 大 され て しま うの は こ の ため で あ る. 補足4本
来 な らこ こで フー リエ 変換 を も う少 し定 式化 し,さ らに フー リエ変 換 の一
般化 と もい うべ きラプ ラス変換 に触 れ,合 わせ て,デ ー タのス ム ージ ング(smoothing) の 方法 の一 つ で あ る デ ジ タ ル フ ィル タの設 計 法 につ い て述 べ る べ きで あ ろ うが 割愛 す る.
19.3最
小 二 乗法 につ いて一言
前節で “ 最 小 二 乗 法 ” とい う言 葉 が 出 て き た の で 少 しだ け 説 明 して お く.こ の 解 説 は ど の 統 計 の テ キ ス トに も載 っ て い る の で,詳 あ る量x(独
立 変 数,あ
し くは そ ち ら を参 照 し て も らい た い.
る い は 回 帰 分 析 の場 合 は説 明 変 数 と も呼 ば れ る)が 変 化 し
た と き,そ れ に 対 応 して 別 の 変 数y(従
属 変 数,あ
るい は回帰 分析 の場合 は 目的変数
と も呼 ば れ る)も 変 化 す る と き,こ の 二 つ の 量 の 間 に どの よ う な 関係 が あ る か を 考 え る.い
ろ い ろ と考 え て,yとxと
は,そ
の 比 例 定 数 は ど う な る か.こ
る しか な い.つ
ま り,y=axと
は 比 例 す る の で は な い か と仮 定 した と し よ う.で れ は 大 抵 は,実
仮 定 し,そ のaを
で あ る(こ の 操 作 を 回 帰(regression)と ロ ッ ト し,見
は,測
定 デ ー タを グラ フ用紙 に プ
た 目 も っ と も よ さ そ う な 直 線 を 定 規 で 引 い て,そ
れ で は あ ん ま り だ,と
い う だ け で は な い の だ が,そ
法 が 考 え 出 さ れ た26).こ 差)の2乗
い う).昔
際 に 測 定 し た デ ー タ か ら決 定 す 測 定 デ ー タに合 うよ うに求 め るの
れ は,モ
の 後,ガ
の 傾 き を 求 め た.こ ウス に よって 最小 二 乗
デ ル 式 に よ り定 ま る 値 と 測 定 値 と の 間 の ズ レ(残
の 総 和 が 最 小 に な る よ う に モ デ ル 式 中 の パ ラ メ ー タ(今 の 場 合 はa)を
定 す る 方 法 で あ る.具
体 的 に ど う計 算 す れ ば い い か は 知 ら な くて も よ い が,必
決 要に
応 じて パ ソ コ ン を ど う使 っ た ら い い か は 知 っ て お い た 方 が よ い.最 意 味 で は,デ さ て,回
ー タ 解 析 の 基 本 で も あ り,切
帰 に お い て,目
的 変 数 が 説 明 変 数 の1次
以 外 の と き を 非 線 形 回 帰 と い う.し
式 の と き 線 形 回 帰 と い い,そ
式 で あ る と い う 点 で,こ
る こ と を 非 線 形 回 帰 と言 うが,こ 二 乗 法 に よ る 回帰 とい え る.そ
れ に 対 し,パ
れ る の が 非 線 形 最 小 二 乗 法 で あ る.非
線 形 の 言 葉 を使 う.例
え ば,
の モ デ ル の パ ラ メ ー タa,b,cを
の 式 はa,b,cに
数 ・三 角 関 数 の 中 に 入 っ て い る な ど,1次
当 に 定 め,そ
れ
か し,最 小 二 乗 法 に お い て は パ ラ メ ー タ(回 帰 分
析 で い う “回 帰 係 数 ”)に 関 して 一 次 式 か 否 か で 線 形,非
な ら,yはxの2次
小 二乗 法 は あ る
り札 で も あ る か ら で あ る.
関 して は1次
式 な の で,線
求め 形最 小
ラ メ ー タ が 分 数 関 数 の 分 母 や 指 数 ・対
式 の 形 を してい な い ときの 回帰 に用 い ら
線 形 最 小 二 乗 法 で は パ ラ メ ー タ の 初 期 値 を適
れ を 出 発 点 に して パ ラ メ ー タ を 少 しず つ 動 か し て い っ て,モ
デ ル式 と
測 定 値 と の 間 の 残 差 平 方 和 を 小 さ く して い く とい う 方 法 が 用 い ら れ て い る(線 形 最 小 二 乗 法 の 方 は も っ と直 接 的 に 求 め ら れ る)が,こ
れ 以 上 知 る 必 要 は(自 分 で プ ロ グ
ラ ム を 開 発 し よ う と思 わ な い 限 り)な い で あ ろ う.最
小 二乗 法 を使用 す る際 の 注 意
点 に 関 して は 統 計 学 の テ キ ス トで 学 ん で も ら い た い.
注 1)ど ん な 周 波 数 の 波 が どの く らい の 強 さで 混 じ って い るか を分 析 す る こ と,と 言 っ た ら簡 単 す ぎ る か も知 れ な い が,と りあ え ず こ ん な とこ ろ で よ し と しよ う. 2)有 限個 の 離 散 的 な デ ー タ に対 す る フー リエ 変 換 は ち ょ っ と特 別 な形 を し て い る .こ の計 算 を能 率 的 に 行 う方 法 がFFTで,CooleyとTukeyが1965年 に発 表 した. 3)FFTの ア ル ゴ リ ズ ム(計 算 手 順)は 別 に知 らな くて も,ど こ か の サ ブ ル ー チ ンラ イ ブ ラ リー を利 用 す れ ば 問 題 な い. 4)相 手 が 連 続 関 数 か 離散 関 数 か ,有 限 区 間 か無 限 区 間 か,な どで,い くつ か バ リエ ー シ ョン は あ る. 5)実 験 に よ って 得 られ る デ ー タは 離 散 的 なデ ー タで あ る.も ち ろ ん デ ー タ の個 数 は有 限 で あ る.以 下 の 話 は こ の よ うな 実験 デ ー タ を フ ー リエ解 析 す る際 の 注意 点 で あ る. 6)さ らに 詳 し くは ス ペ ク トル解 析 の本 を読 ん で も らい た い . 7)サ ンプ リン グ開 始 時 刻 を0[s]と
す れ ば ,「k-1/n[s]後 の もの」 と した 方 が い い か も しれ な いが,そ
の
辺 は 今 は 重 要 で は な い. 8)場 合 に よっ て は 止 まっ て 見 え る こ と もあ る . 9)結 局 ,周 期 的 な 現 象 を “と ぎれ と ぎれ に”観 測 す る と,周 期 を見 誤 る とい う こ と であ る. 10)Tの 単 位 を “s”とす る と ,1/Tの 単位 は “Hz” とな る. 11)サ ンプ リ ング 時 間Tを 正 確 に シ グ ナ ルの 基 本 周 期 の 整 数 倍 に す る こ とが で きれ ば 問題 ない が ,そ れ が で きる く らい な らそ もそ もFFTで 周 波 数 を求 め る必 要 は ない.ま た,ソ フ トに よっ て は,FFT の デ ー タ数 を2n個 と して計 算 す る もの が あ る.そ うい う場 合 は適 当 な補 間 な い し削 除 が行 わ れ て い る は ず で あ る.そ の た め,異 な っ た範 囲 を と っ たつ も りで も,周 波 数 の刻 み が 同 じに な る 場合 が あ る.な お,こ
の 注 は 多 少 不 親 切 で あ る.後
に 出 て くる 課題 で 具体 的 に確 認 して も らい た い.
12)5∼6Hzに
対 す る1Hzの 相 対 誤 差 は20%程 度 に な っ て しま う. 13)パ ワ ー スペ ク トル の求 め方 の 説 明 は 割 愛 す る. 14)有 限 区 間の デー タ を フー リエ解 析 す る 限 り ,得 られ る ス ペ ク トル はあ く まで も離 散 的 な もの とな る. こ れ を軽 々 し く線 で結 ん で は い け な い.も ち ろ ん何 らか の 目 的が あ る場 合 は,す べ て を理 解 した 上 で,線 で 結 んで も よい が. 15)サ ン プ リ ン グ周 期 はT/100=2π/100[s] . 16)最 小 二 乗 法 で 定 数 関 数 近 似 をす る と,そ の 定 数 は デ ー タの 平均 値 とな る. 17)Tの 間 に 山 と谷 を1回 ず つ経 験 して も との 値 に戻 る 三 角 関 数 .な お,三 角 関 数 とい って も,こ こ で はサ イ ン関 数(あ る い は コサ イ ン 関数)の み を 考 え る. 18)最 小 二 乗 法 につ い て は19 .3節 参 照. 19)“ パ ワー ” を考 え る た め に は振 幅 の2乗 にす る. 20)Tの 間 に2回
を考 えな くて は い け な いが ,こ こで はそ こ まで 考 え な い こ と
ず つ 山 と谷 を経 験 して も との値 に戻 る三 角 関 数 .
21)周 波 数 の 刻 み が1/Tと
な っ て い る こ と に注 意 . 22)端 っ この 方 はあ ま り収 束 しな い こ とが あ る(Gibbs現
象) .
23)∑akcos2πkt/ T+∑bksin2πkt/Tと
個 な らkは0か 24)あ る デ ー タ(xk b2x2+b3x3で 25)(角)周 波 数kω
らn-1ま
し て も よ い.同
じ こ と で あ る(4.5節
参 照).デ
ー タ 数 がn
で を取 る.
,yk),k=1,2,3,… をy=a0+a1x+a2x2で 近 似 した 場合 とy=b0+b1x+ 近似 した場 合 とを 比 較す る と,a0≠b0,a1≠b1,a2≠b2で あ る. の成 分 がakか らkωakと な る .そ の結 果,kが 大 き くな る ほ ど(高 周 波 成 分 ほ ど),
強 度 が 高 くな る. 26)最 初 に最 小 二乗 法 を考 え 出 した の は ガ ウス で あ る と言 わ れ て い る(最 初 に 公 に発 表 した の はル ジ ャ ン ドル(Legendre,1752-1833)で,ル た).ガ
ジ ャ ン ドル とガ ウ ス の 間 には い ざ こ ざが 生 じ る こ と とな っ
ウス は 十代 で 最小 二 乗 法 を考 案 し,さ らに 一 時行 方 不 明 に な って い た小 惑 星 ケ レス の以 前 の
観 測 デ ー タ に対 し最 小 二 乗 法 を用 い て 軌 道 を決 定 し,ケ レス の 再 発 見 に貢 献 し た.ガ ウス に とっ て は 最 小 二 乗 法 は 些 細 な 発 見 だ った よ うだ が,後 に最 小 二 乗 法 は 科 学 の 多 くの 分 野 で 欠 く こ との で き な い 道 具 とな り,ま た 理論 的側 面 の研 究 も深 く行 わ れ る こ と とな っ た.
20 古典 力学小史
2.5.3項 で ケ プ ラー の第3法 則 を取 り上 げ た.こ れ は デー タ解 析 にお け る心構 え を示 す ため の 例題 と して取 り上 げ た の だ った が,そ の後,期 せ ず して ケ プ ラ ー は本 書 の そ こ こ こで顔 を 出す こ と にな っ た.せ っか く ここ ま でケ プ ラー に親 しん だの で,本 章 で はケ プ ラー の時 代,お よび そ の前 後 に起 こっ た物 理 学 史 上 の 出来 事 につ い て 述 べ てみ た い1).ケ プ ラー は1571年 に生 まれ,1630年 に没 した ドイツ の天 文 学 者 で あ る.
20.1古 夜,都
代 会 で は街 灯 が 道 を 照 ら し,ネ
は 死 語 と化 し た.し
か し,古 代,夜
オ ン は 色 鮮 や か に 輝 く.星
明 か りとい う言 葉
は ま さ に 闇 の 世 界 で あ り,空 気 も澄 ん で い た ろ
またた
ぜ い じゃ く
う,夜 空 に は無 数 の 星 が 瞬 い て い た に 違 い な い.脆
弱 な 明 か り しか 持 た ず に 天 を
仰 ぎ見 る 古 代 人 の 星 へ の 関 心 は 現 代 人 よ り も は る か に 高 か っ た こ と で あ ろ う.こ 思 い は 占 星 術 を 生 み 出 す.人 な観 測 が 求 め ら れ た2).こ
生,さ
ら に は 国 の 運 命 を に な う も の と し て,星
の
の精 確
う して,古 代 よ り人 々 は 以 下 の こ と に 気 づ い た の で あ る.
・ 星 の 織 り成 す 図 形(星 座)は 形 を変 え る こ と は な い.す
な わ ち,星
の相対 位 置 は
不 変 で あ る. ・ そ れ ら の 星 座 は1日
た つ と ほ ぼ 同 じ位 置 に戻 っ て く る が,実
に 戻 る 時 刻 は 毎 日規 則 的 に ず れ て い き,1年 な る3).す
な わ ち,1年
際 に は,同
た つ と,ず れ が1日(24時
じ位 置 間)分 に
た つ と星 座 は 再 び も と の 時 刻 に 同 じ場 所 に位 置 す る こ
と に な る. ・ い くつ か の 星(昔
は5つ4)だ
さ ま よ う 星 とい う こ とで,惑
け 確 認 さ れ て い た)は 一 見 不 規 則 に動 く.こ 星(planet)と
相 対 的 位 置 を 変 え な い 星 は 英 語 で はstarで
呼 ば れ る よ う に な っ た.ち
れ は,
な み に,
あ り,日 本 語 で は(惑 星 と区 別 す る
場 合 に は)恒 星 と 呼 ぶ. ・ 突 然 天 に 現 れ る 天 体 が 二 つ あ る.一 る.(超)新
星 は,突
つ は(超)新
然 明 る く輝 き 出 す が,し
星 で あ り,も
う一 つ は 彗 星 で あ
ば ら くす る と徐 々 に 暗 く な っ て い
く.恒
星 との 相 対 的 な位 置 は不 変 で あ る.そ
な び か せ て 横 切 り,や (超)新 星 や 彗 星 は,神 た,恒
秘 的 な もの,何
考 案 さ れ た.こ
舞 い は 予 測 で きた が,星
の 運 動 を長 期 的 に 予 測 す る こ と は で き な か っ た.な 古 代 よ り存 在 し た が,あ
教 上 の 問 題 の ほ か に,誰
か らで あ ろ う.そ
度 な(複 雑 な)天 動 説 モ デ ル(geocentric
の 天 動 説 モ デ ル に よ り,短 期 的 な 星(恒 星 と惑 星)の 振 る
動 説(heliocentrictheory)も な 理 由 は,宗
星 は 恒 星 の 間 を尾 を
か の 運 命 を 暗 示 す る も の と考 え ら れ た5).ま
星 や 惑 星 の 運 動 を 説 明 す る た め,高
theory)が
れ に 対 し,彗
が て 飛 び 去 っ て 消 え て し ま う.
お,地
ま り広 ま ら な か っ た.そ
の主
も地 球 が 動 い て い る こ と を 実 感 で き な か っ た
の よ う な 人 間 の 体 感 は と もか く,天 体 の 運 動 を 説 明 す る モ デ ル と
し て の 地 動 説 を改 め て 主 張 し始 め た の が コ ペ ル ニ ク ス(Copernicus,1473-1543)で あ る.彼
は,天
動 説 モ デ ル よ りは る か に単 純 な モ デ ル で,天
動 説 よ り精 度 よ く天 体
の 運 動 を説 明 す る こ と に 成 功 した.加
え て観 測 デ ー タを地 動 説 モデ ル に当 て は め る
こ と に よ り,各
陽 と惑 星 の 平 均 距 離(相 対 距 離)を 算 出 し た.
惑 星 の 公 転 周 期 と,太
し か し,太 陽 中 心 の 円 運 動 神 話 を 信 じた 彼 は や は り天 体 の 運 動 を 完 全 に 正 確 に は 再 現 す る こ とが で き ず,つ
じつ ま 合 わ せ に―― 天 動 説 モ デ ル ほ どで は な い に せ よ―― い
ろ い ろ と奇 怪 な 仮 定 を持 ち 込 ま な くて は な ら な か っ た.ま た りは,宗
20.2近
動 説 に対 す る 風 当
代 への過 渡期
コ ペ ル ニ ク ス よ りお よ そ1世
紀 遅 れ て 世 に 生 ま れ た ケ プ ラ ー は,コ
考 え が 基 本 的 に は 正 し い と 直 感 した.彼
係 す る と考 え た.正
で あ る が6),そ
多 面 体 は,正4面
類 しか な い.こ
ペ ル ニ クス の
は 幾 何 学 の 天 才 で あ る と 同 時 に神 秘 的 な る
もの へ の 憧 れ も強 く,奇 妙 な 世 界 観 を持 っ て い た.例 星 は 地 球 を 含 め て6個
面 体 の5種
た,地
教 上 の 問 題 も あ り非 常 に 強 か っ た.
れ は,世 体,正6面
え ば,太
陽 の ま わ りを 回 る惑
の 中 に存在 す る正多 面 体 の種 類 に関 体,正8面
体,正12面
体,正20
れ と球 を う ま く組 み 合 わ せ る こ と に よ り,惑 星 の 数 の6
と,各 惑 星 の 軌 道 半 径 の 比 を求 め た.そ
して そ の 値 は そ こ そ こ の 精 度 で コペ ル ニ ク
ス の 求 め た 惑 星 軌 道 半 径 比 に 一 致 した の で あ る.ケ
プ ラ ー は(今 日 か ら見 れ ば 偶 然
の 一 致 で しか な い と思 え る)自 説 を 確 か な も の と す る た め に,さ
ら に正 確 な 惑 星 運
動 の デ ー タ を求 め た. 当 時,世 界 で 最 も精 密 な天 体 観 測 を行 っ て い た の は テ ィ コ ・ブ ラ ー エ(TychoBrahe, 1546-1601)で
あ っ た.彼
は,当 時 出 現 し た 新 星 を ネ タ に,デ
う な 天 文 台 お よ び 特 別 な 機 器 を 作 らせ,肉
ンマ ー ク国王 に城 の よ
眼 で な さ れ 得 る最 高 の 精 度 で の 天 体 観 測
を20年
に わ た り行 っ て い た.と
た が,あ
る意 味 で は 「 何 年何 月何 時 に天 の こ の位 置 に火 星 が あ りま した」 とい っ た
類 の 生 デ ー タ で あ る.テ
は い え,テ
ィ コ の 収 集 した デ ー タ は 精 確 で は あ っ
ィ コ は テ ィ コ で 独 自 の 宇 宙 モ デ ル(天 動 説 と 地 動 説 の 折 衷
案 的 な もの)を 持 っ て お り,自 分 の デ ー タ で こ れ を 証 明 し よ う と考 え て い た が,膨 大 な 量 の 観 測 デ ー タ の 解 析 を 行 う だ け の 数 学 力 は な か っ た.テ
た
ィ コは幾何 学 に長 け
た 後 継 者 を求 め た. 運 命 は 二 人 を 引 き合 わ せ た.出
会 い の 後,一
年 ほ ど で テ ィ コ は 世 を 去 る.そ
テ ィ コの デ ー タ は そ の ま ま ケ プ ラ ー の 手 に 渡 っ た7).当
時 の 天 文 学 者 の 関 心 は,惑 星
の 奇 妙 な 振 る舞 い を い か に 単 純 な モ デ ル で 説 明 す る か と い う 点 に あ っ た .ケ も こ の 問 題 に取 り組 ん だ.優 向 を持 っ て い た 彼 は,惑 と した.し こ で,太
か し,太
し て,
プ ラー
れ た 数 学 的 才 能 と神 秘 め い た も の に 対 して 愛 着 す る 性
星 の 軌 道 は 世 の 中 で 最 も単 純 で 美 しい 図 形―― 円―― で あ る
陽 を 中 心 に した の で は,惑
星 の 運 動 は う ま く説 明 で き な い .そ
陽 は 円 の 中 心 か ら外 れ て い る と した .こ の よ う な モ デ ル(仮 説)を 立 て た ケ
プ ラ ー は テ ィ コ の デ ー タ を 使 っ て モ デ ル 中 の パ ラ メ ー タ を 決 定 し よ う と し た .6年 の 歳 月 が 過 ぎ,900ペ
ー ジ分 に も及 ぶ 計 算 の 結 果,つ
の 位 置 が 求 め られ た.こ 度 に して60分
の8度
い に火 星 の 軌 道 を 表 す 円 と太 陽
の モ デ ル と テ ィ コ の デ ー タ を 改 め て 見 比 べ る と,最 大 で 角
以 上 ず れ る こ と は な か っ た.非
常 に苦 労 し た計 算 の 後 の 小 さ な
誤 差―― 普 通 な ら 「測 定 誤 差 で あ る 」 と か 「ま あ こ ん な も ん だ ろ う」 で す ま し た くな る の が 人 情 だ.し
か し,テ
ィ コ の 観 測 の 精 密 さ と 自 分 の 計 算 の 正 確 さ を知 っ て い た
ケ プ ラ ー は こ の 違 い を 許 さ な か っ た.そ
し て,観 測 デ ー タ に こ そ真 理 が あ る と し て ,
6年 に わ た る 計 算 を あ っ さ り と捨 て て し ま っ た の で あ る.こ ラ ー を次 の 段 階 へ と押 し進 め た.ケ
の勇 気 あ る決 断 が ケ プ
プ ラ ー は そ れ ま で の 作 業 仮 説 に代 わ る 新 た な 計
算 法―― 驚 嘆 す べ き計 算 法―― を 考 案 し,ま ず 地 球 の公 転 軌 道 を求 め,次 度 一 定 の 法 則 を見 出 し た.次 し,3年
後,つ
に,ケ
い に 火 星 の 軌 道 を 決 定 す る こ と に 成 功 し た.現
点 の 一 つ とす る 楕 円 で あ っ た.こ Nova)』
で 発 表 され た.そ
れ ら の 発 見 は,1609年
こ で は,第1法
積 速 度 一 定 則 が あ げ ら れ て い る(15.3節 8.5.2項 で 触 れ た 第3法 で 発 表 し た.ケ
れ た 図形 は太 陽 を焦
に 『 新 天 文 学(Astronomia
則 と し て楕 円 軌 道 則 が,第2法 参 照).そ
則 を発 見 し,1619年,『
則 と して 面
して そ の 約 十 年 後 に,ケ
プラ ー は
世 界 の 和 声 学(HarmoniceMundi)』
プ ラ ー は こ の 三 つ の 法 則 の 奥 に ,宇 宙 を 支 配 す る更 な る 基 本 原 理 が
存 在 す る こ と を予 感 して い た.と す ぎ,自
い で面積 速
プ ラ ー は 新 しい 方 法 で 火 星 の 軌 道 の 計 算 に着 手
同 時 に,そ
の 深 遠 な る法 則 を見 出 す に は 時 代 が 早
分 の生 きてい る うち に は これ らの現 象 は理 解 され な い こ と も知 っ て い た.
『世 界 の 和 声 学 』 の 中 で ケ プ ラ ー は 語 る.「 こ の 本 は お そ ら く100年
も の 間,読
者 を
待 つ で あ ろ う.」 ケ プ ラ ー は 未 来 に 自 分 の 遺 志 を継 ぐ者 を 求 め た の で あ る.
20.3“
読 者 ”の 出現
古 い 思 想 と新 しい 思 想 が 対 立 す る 激 動 の 時 代 で あ っ た.ケ
プ ラ ー と 同 時 代 の 人,
ガ リ レ イ は そ れ ま で の 「位 置 に よ る 運 動 状 態 の 記 述 」 か ら 「時 間 に よ る 運 動 の 記 述 」 へ と考 え を 進 め,一
大 セ ンセ ー シ ョ ン を 引 き 起 こ し た .ま
た,実
験,推
論,理
想化
を組 み 合 わ せ る 近 代 科 学 の 方 法 を 確 立 し た の もガ リ レ イ で あ る と い っ て よ か ろ う. ほ か に も,自 作 し た 天 体 望 遠 鏡 で 木 星 の ま わ り の 衛 星 を観 測 し,地 動 説 の 有 利 を 説 い た.し
か し,こ れ が も とで 宗 教 裁 判 に か け ら れ た こ とは よ く知 られ て い る.ま
ケ プ ラ ー を は じ め,太
陽 と惑 星 の 間 に 距 離 の2乗
た,
に反比 例 す る力 が働 いて い るの で
は な い か と,憶 測 な が ら も主 張 す る 者 も 出 て き た. 1684年1月,三
人 の 男 た ち が 喫 茶 店 で 惑 星 の 運 動 につ い て 話 し込 ん で い た.そ
う ち の レ ン8)が 言 う.「 惑 星 の 軌 道 は 楕 円 だ.こ い る.そ
して,我
々 は,惑
ろ う か.す
な わ ち,太
れ は ケ プ ラ ー に よ っ て確 か め られ て
星 は 太 陽 に 引 き つ け られ て い て,そ
反 比 例 す る の で は な い か と考 え て い る9).こ
の
の 力 は距 離 の二 乗 に
の 二 つ は 何 とか 結 び 付 け ら れ な い で あ
陽 か ら の 距 離 の 二 乗 に反 比 例 す る 力 を惑 星 は 受 け る の で,惑
星 は楕 円 軌 道 を 描 くの で は な か ろ う か.」 若 い エ ドモ ン ドが 叫 ん だ.「 素 晴 ら しい. しか し,そ
れ は ど う や っ て 示 し た ら い い の だ ろ う.僕
な.」 エ ドモ ン ドの 数 学 力 に は 定 評 が あ っ た.し 難 問 で あ っ た.そ
の数 学力 で は見 当 もつか ない
か し,そ
の彼 を して もこの 問題 は
こ に フ ッ クが 口 を は さ ん だ.「 そ れ は 簡 単 だ.」 フ ッ ク は 弾 性 体 論
に お け る “フ ッ ク の 法 則 ” に そ の 名 を残 す イ ギ リ ス の 著 名 な 物 理 学 者 だ が,虚
勢を
張 る の が 好 き な 男 で も あ っ た.「 な ら そ の 証 明 を 見 せ て く れ.」 と言 う 二 人 に 対 し, 「い ず れ.」 と答 え る だ け で,結 な か っ た.知
局 数 ヶ 月 が 過 ぎて も フ ッ ク は 証 明 を 示 す こ とが で き
的 好 奇 心 に あ ふ れ る エ ドモ ン ドは 焦 っ た.そ
思 い 出 し た.「 ニ ュ ー ト ン に 会 お う.彼 う.」1684年8月,エ 先 生.も
は 天 才 だ.き
し て,一
人 の男 の こ とを
っ と役 立 つ 意 見 が 聞 け る だ ろ
ドモ ン ドは ケ ン ブ リ ッ ジ に ニ ュ ー ト ン を 訪 ね た.「 ニ ュ ー トン
し,太 陽 か らの 距 離 の 二 乗 に 反 比 例 す る 引 力 を惑 星 が 受 け る と し た ら,惑
星 の 軌 道 は ど う な る の で し ょ う か.王
立 協 会 で は 誰 も 解 決 で き な い の で す.も
し,
何 か ご助 言 が あ りま した ら … 」 「 楕 円 で す.」 ニ ュ ー トン は即 座 に答 え た.「 ど う し て そ ん な こ と が 言 え る の で す か,先
生.」 「 昔,計
算 し た か ら で す10).」 エ ドモ ン ド
の 心 臓 は 高 鳴 っ た.「 そ の 証 明 法 を ぜ ひ 見 せ て 欲 しい の で す が.」 ニ ュ ー トン は 机 の 引 き出 し を探 した が,膨
大 な 量 の 計 算 用 紙 に 埋 も れ,つ
い に発見 す る こ とはで きな
か っ た.「 こ れ は 見 つ か り ま せ ん な.も
う何 年 も前 に 計 算 し た こ と な の で.も
度 計 算 して 送 っ て あ げ ます よ.」 計 算 は そ の 年 の 暮 れ,エ ら れ た.計
ドモ ン ドの も と に 送 り届 け
算 に 目 を通 し た エ ドモ ン ドは す ぐ に そ の 科 学 的 価 値 を見 抜 い た.「 こ の
業 績 を広 く世 に 知 ら し め さ な く て は な ら な い!」 ニ ュ ー ト ン を訪 ね た.ニ で,惑
エ ドモ ン ドは 同 意 を得 る た め 再 び
ュ ー トン は エ ドモ ン ド を迎 え て 言 っ た .「 あ な た の お か げ
星 の 運 動 に つ い て い ろ い ろ 考 え て み た ん で す よ.そ
い る ん で す.」 エ ドモ ン ドは 興 味 を覚 え,そ ら見 せ て も ら っ た.そ か っ た.惑
う一
れ を今,大
学 で講 義 して
の 書 きか け の 講 義 ノ ー トを ニ ュ ー ト ンか
こ に は 太 陽 と 惑 星 の 問 題 が あ っ た.し
か し,そ
れ だ けで は な
星 の 運 動 は 自 由 空 間 に お け る “あ り と あ ら ゆ る”粒 子 の 運 動 に ま で 一 般
化 さ れ て い た の で あ る.「 こ れ は … 」 エ ドモ ン ドは そ こ に そ れ ま で の 科 学 を根 底 か ら変 え て しま う も の―― 真 理 ―― が 存 在 す る こ と を 直 感 した.エ 振 り回 し て 叫 ん だ.「 世 界 中 が 待 ち 望 ん だ も の だ.先
ドモ ン ドは ノ ー トを
生 は これ をす ぐに王 立協 会 に
送 り,出 版 し,世 の 人 々 に伝 え な くて は い け ませ ん.」 ニ ュ ー トン は 多 少 面 食 ら っ た が,こ
の 若 者 の 純 真 さ に 打 た れ,講
送 る こ と を約 束 した.そ
義 ノ ー トが 完 成 し,修
れ か ら 十 数 ヶ 月 の 間 の ニ ュ ー トン の 活 動 は 超 人 的 で あ っ た.
食 事 も睡 眠 も ほ とん ど と ら ず に,彼
は 全 能 力 を 注 ぎ込 ん で 物 理 学 の 基 本 原 理 の 研 究
と,そ の 数 学 的 表 現 に取 り組 ん だ11).原 か に 上 回 る も の と な っ た.エ 受 け,さ
ら に,財
稿 は 質,量
と も にエ ドモ ン ドの 予 想 を は る
ドモ ン ドは 図 表 の 作 成 や 校 正 を含 む 一 切 の 雑 用 を 引 き
政 難 の 王 立 協 会 に代 わ っ て 出 版 費 の ほ と ん ど を 自 費 で ま か な っ た.
こ う して物理 学 史上 最 高 の名著 PrincipiaMathematica)』
『自 然 哲 学 の 数 学 的 諸 原 理(PhilosophiaeNaturalis
が1687年
夏,完
成 し た(以 降 『プ リ ン キ ピ ア 』 と略 す).
ケ プ ラー の 『 世 界 の 和 声 学 』 が 出 版 さ れ て か ら約70年
20.4彗
正 が終 わ りしだい協 会 に
後 の こ とで あ っ た.
星の導 き
エ ドモ ン ドは 長 い 間神 秘 的 な 訪 問 者―― 彗 星―― に 関 心 を 寄 せ て い た .当
時,一
度
現 れ た 彗 星 は 宇 宙 の か な た に飛 び 去 り,二 度 と戻 っ て 来 る こ と は な い と考 え ら れ て い た.彗
星 の 軌 道 は ち ょ っ と見 に は 直 線 に 見 え た し,そ
る こ と な ど 肉 眼 で は 不 可 能 な こ とで あ っ た か ら で あ る.他 い る.惑
星 の 不 可 解 な 振 る舞 い も,ケ
説 明 で き る こ とが わ か っ た.し て し ま う の で あ る.そ そ の 軌 道 を記 録 した.軌
の 天 体 は 規 則 的 に動 い て
プ ラ ー に よ り単 純 な楕 円 軌 道 の 組 み 合 わ せ で
か し,彗 星 だ け は 違 う.突
ん な 時,1682年,明
もそ も個 々 の 彗 星 を見 分 け
然 現 れ,ど
こか に飛 び 去 っ
る く輝 く彗 星 が 現 れ た.エ
道 は 正 確 に は 直 線 で は な か っ た.し
か し,ど
ドモ ン ドは の よ うな 曲線
で あ る か は わ か ら な か っ た(測 定 さ れ る 軌 跡 は あ ま りに も短 す ぎた).こ た,エ
の難 問 もま
ドモ ン ドに ニ ュ ー ト ン の も と を 訪 れ させ た 一 つ の 原 因 とい っ て も い い だ ろ う.
ニ ュ ー ト ン の 『プ リ ン キ ピ ア 』 を 読 ん だ エ ドモ ン ドは,彗 円 軌 道 を 描 い て い る と思 う よ う に な っ た.も は ず で あ る.エ
星 は(非 常 に つ ぶ れ た)楕
しそ う な ら 彗 星 は 周 期 的 に戻 っ て く る
ドモ ン ドは考 え た.「 こ れ を 自分 で 実 証 で きな い で あ ろ う か.」 し か
し,肉 眼 で 見 て も 彗 星 の 見 分 け は つ か な い し,そ
もそ も 写 真 な ど な い 時 代 で あ る.
過 去 の 彗 星 を ど う 比 較 す れ ば い い の だ ろ う か.そ
こ で エ ドモ ン ドは 考 え た.「 軌 道
が 太 陽 を 焦 点 とす る楕 円 で あ る と す れ ば,そ 観 測 し た1682年
の 軌 道 は3点
の 彗 星 の 軌 道 を決 定 し よ う.次
の す べ て の 軌 道 を 同 様 に 決 定 して い こ う.も
に,過
で 決 ま る.ま
ず,自
去 の 彗 星 の 記 録 を 調 べ,そ
し軌 道 が 一 致 す る も の が あ れ ば,そ
は 同 一 の 彗 星 と見 な し て よ い は ず だ.」 エ ドモ ン ドは 記 録 を あ さ っ た.彗 た と い う 記 録 は 多 い.し で あ る.過 う か.ま
か し,欲
分 の
れ
星 が現 れ
し い の は 単 に 現 れ た と い う 事 実 で な く,そ の 軌 道
去 の 記 録 に 軌 道 を割 り出 す に 十 分 な位 置 情 報 が 盛 り込 ま れ て い る で あ ろ
た,仮
に位 置 情 報 が 十 分 に 記 録 さ れ て い た と して も,そ
こ の 位 置 に あ っ た と い う も の で あ り,そ い た に せ よ,手
れ はあ くまで 空 の
こ か ら軌 道 を 確 定 す る 方 法 は,確
計 算 で は 非 常 に 困 難 な も の で あ る.こ
エ ドモ ン ドは 果 敢 に挑 戦 した.「 こ れ も違 う.こ
立 され て
の 気 の 遠 くな る よ う な作 業 に
れ も 違 う.」 こ う し て,何
の 彗 星 の 軌 道 を計 算 し て い っ た あ る 日,1607年
十年分 も
に 現 れ た 彗 星 の 軌 道 を計 算 し終 え た
エ ドモ ン ドは 興 奮 に 身 を震 わ せ た.「 こ れ だ!1682年
の 彗 星 に 軌 道 が 一 致 す る!」
く
1607年
の 彗 星―― こ れ は 奇 し く もケ プ ラ ー に よ っ て 観 測 さ れ た 彗 星 で あ っ た.こ
彗 星 は 約75年
前 に現 れ た も の で あ る.こ
こ と を 意 味 して い よ う.と だ ろ うか.そ た.1531年
い う こ と は,そ
の さ ら に 約75年
の
とい う
前 に彗 星 が 現 れ て い な い
の 軌 道 は 再 び 自分 の 観 測 した 彗 星 に 一 致 す る の で は な か ろ うか.あ に彗 星 は 観 測 さ れ て い た.し
も 十 分 に 盛 り込 ま れ て い た.記 あ っ た.エ
の こ と は こ の 彗 星 の 周 期 が 約75年
か も幸 運 な こ と に,そ
録 か ら計 算 さ れ た軌 道 は,再
ドモ ン ドは さ ら に 古 い 文 献 を あ さ っ た.あ
の記録 には位 置情 報
び見 覚 えの あ る もの で
っ た.1456年.そ
して1305
年 に も彗 星 は 記 録 さ れ て い た.こ
れ は1456年
気 の 遠 くな る よ う な作 業 の 末,エ
ドモ ン ドは 確 信 し た.「 これ ら の 彗 星 は 同 一 の も の
で あ る.」 そ して,予 年,エ
ドモ ン ド49歳
さ れ て き た.エ
か ら2周
っ
言 した.「 こ の 彗 星 は1758年 の 時 の こ と で あ っ た.そ
し,彗 星 が 現 れ な け れ ば ….す
れ ま で,彗
1727年3月20日,ア
星 の 出 現 は予 測 不 可能 と
れ は エ ドモ ン ドの20年
ュ ー トン の 確 立 した 力 学 の 実 証 に も な る.だ べ て は53年
に及ぶ
に 再 び 姿 を 現 す で あ ろ う.」1705
ドモ ン ドの 予 言 が 確 か め ら れ れ ば,そ
業 が 報 い ら れ る だ け で な く,ニ
期 前 に あ た る.20年
の作 が,も
後 の 未 来 に 託 さ れ た.
イ ザ ッ ク ・ニ ュ ー ト ンが85歳
で こ の 世 を 去 っ た.エ
ドモ
ン ドは そ れ か ら15年
後 の1742年
長 寿 と考 え て よ い だ ろ う.し 予 言 の 年,1758年
星 は つ い に現 れ た.最
か し,そ
の 後 も,エ
時 と して は十分 に の 歳 月 を 残 し て い た.
か し,年
も終 わ ろ う と し
初 は 望 遠 鏡 で や っ と見 え る 点 の よ う な
れ は 日増 し に輝 き を 増 し,そ
空 を 駆 け 抜 け た の で あ る.そ さ れ,1986年
か し,予 言 の 年 に は ま だ16年
は 何 事 も な く過 ぎ よ う と し て い た.し
た ク リス マ ス の 夜,彗 も の で あ っ た.し
に 息 を ひ き と っ た.86歳,当
の優 雅 な尾 を なび かせ て 天
ドモ ン ドの 彗 星 は1835年,1910年
に観測
に再 度 そ の 姿 を 現 し た.
エ ドモ ン ド ・ハ レ ー(EdmondHalley,1656-1742)―― レ ー 彗 星(Halley,scomet)」
は,こ
彗 星 に与 え られ た名
の 純 真 な 天 文 学 者 を,周
者 と し て永 遠 に 称 え 続 け る の で あ る. 補足 17.9倍
ハ レ ー 彗 星 の 公 転 周 期 は お よ そ75.8年,軌 で あ る12).こ
れ は75.82/3
法 則(2.5.3項,11.4.3項 る こ とが わ か る.ハ 参 考 ま で に,太
お よ びp.130参
17.9に
レ ー 彗 星 も ま た,太
道 長軸 半 径 は 地球 の そ れ のお よそ 一 致 す る.す
照)は
「ハ
期 的彗 星 の 最初 の発見
な わ ち,ケ
プ ラ ー の 第3
ハ レ ー 彗 星 に対 し て も 成 り立 っ て い
陽 系 を 構 成 す る “兄 弟 ” な の で あ る.な
陽 系 の 各 惑 星 と ハ レー 彗 星 の お お よ そ の 軌 道 を 図20.1に
ら の 天 体 の 運 動 を解 き 明 か す た め に 多 くの 科 学 者 が 生 涯 を さ さ げ,そ
示 す.こ
お, れ
れが 近 代 の 科
学 を 生 み 出 し た の で あ る.
図20.1太 陽 系 の 惑 星 とハ レ ー彗 星 の お お よそ の 軌 道.各 軌 道 は 『天 文 年 鑑2000』(誠 文堂 新 光 社)の デ ー タ を も と に,軌 道 面 の傾 きな どを 無視 して計 算 した.各 軌 道(楕 円)の 共 通 焦 点 に位 置 す る 点 が太 陽 を表 す.左 図:水 星,金 星,地 球,火 星 お よび ハ レー彗 星 の軌 道.右 図:火 星,木 星,土 星,天 王 星,海 王 星,冥 王 星 お よび ハ レー 彗 星 の 軌 道.冥 王 星 は1979年1月 下 旬 頃 か ら1999年3月 中旬 頃 まで 海 王 星 軌 道 の 内 側 にあ った.
20.5ニ
ュ ー トン の 力 学 の そ の 後
ニ ュ ー トン は 紛 れ も な く史 上 最 も偉 大 な 物 理 学 者 で あ る.し
か し,ニ
ュ ー トン の
『プ リ ン キ ピ ア 』 で 用 い ら れ て い る 方 法 は 幾 何 学 的 な 方 法 で あ り,発 展 性 に 欠 け る上, 学 ぶ の に非 常 な 困 難 を伴 う も の で あ っ た13).こ
れ を 本 書 で 学 ん だ よ う な “ニ ュ ー ト
ン力 学 ”の 形 式 に した の は オ イ ラ ー を 始 め とす る ヨ ー ロ ッパ 大 陸 の 物 理 学 者,数 者 達 で あ っ た14).今
日,ニ
ュ ー トン の 運 動 方 程 式 と呼 ば れ て い る もの で す ら ニ ュ ー
トン が 定 式 化 した もの で は な く,オ イ ラ ー が 考 え 出 し た もの で あ る.ま 点 系,剛
学
体 の 力 学 も オ イ ラ ー に よ り体 系 化 さ れ た.つ
ま り,我
学 の ほ と ん ど は ニ ュ ー トン オ リ ジ ナ ル の もの で は な く,ニ 上 か け て 整 備 さ れ て き た も の で あ る と い う こ と だ.物
た,質 点,質
々が本 書 で学 ん だ力
ュ ー トン の 死 後100年
理 学 者 達 は い わ ゆ る “ニ ュ ー
ト ンの 運 動 方 程 式 ・法 則 ” と適 切 な モ デ ル を使 っ て 力 学 を 発 展 させ て い っ た.原 的 に こ そ ニ ュ ー トン の 運 動 の 法 則 を 超 え る も の は な い と は い え,弾 力 学 な ど,連 続 体 の 力 学 も独 自 の 進 化 を とげ た.ま
以
理
性 体 力学 や 流体
た,こ の よ う な 方 向(対 象 に 則 し
た 具 体 的 な 応 用 法)と は 別 に,“ ニ ュ ー トン の 運 動 方 程 式 ” を よ り形 式 的 か つ 解 析 的 に 表 そ う とい う流 れ も起 こ っ た.同 段 に 変 わ る か らで あ る15).こ
じ こ とで も表 現 形 式 次 第 で 応 用 の しや す さ が 格
う し た 試 み は ラ グ ラ ン ジ ュ(Lagrange,1736-1813),
ハ ミル トン(Hamilton,1805-1865)ら
の 解 析 力 学 とい う形 で 結 実 す る.そ
触 れ る こ と は 本 書 で 解 説 した 程 度 の 数 学 で は 不 可 能 で あ る が,こ
の 内容 に
こに古 典力 学 の枠
組 み は 完 成 した の で あ っ た16).
20.6現
代物 理学 の誕 生
完 成 され た力学 の体系 の美 しさ と,天 文 学 を始 め とす る多 くの 応用 的 分野 での 力 学 の成功 は物 理学 者 達 に 「人類 は 自然 の し くみ を完全 に理解 す るた め の根 本 的 原 理 を手 に した」 と信 じ込 ませ た.つ ま り,「すべ ての 自然 現象 は究 極 におい て,物 質 を 構 成 す る粒 子 の,力 学 の法 則 に基 づ く運 動 の結 果 と して説 明 され るべ きだ とす る固 い信念 」17)が物理 学者 の 間 で育 って い ったの で ある.こ う した力学 的 自然 観 は実際, 熱力 学,電 磁気 学 な ど多 くの分 野 の 初期 の発 展 を支 え た.し か し,そ の よ うな物理 学 の発 展 はや が てい くつ かの 内部 矛 盾 を呈 し始 め,ま た実験 技 術 の進 歩 もニ ュー ト ン力 学 の適 用 限界 を明 らか に し始 めた.特 に19世 紀 末 か ら20世 紀初 頭 にか けて な された多 くの 実験 の示 した結 果 は当 時 の物 理学 を根底 か ら揺 るが した.物 理 学 者達 はや が て 自分 達 の創 った もの は 自然 現象 が 従 うべ き法則 で は な く,自 然現 象 を説 明
す る た め の 仮 説 の 体 系 に過 ぎ な い こ と を 認 め ざ る を得 な か っ た18).も
ち ろ ん,古
い
理 論 体 系 に 適 当 な 仮 定 を つ ぎ た して つ じつ ま を 合 わ せ よ う と い う 試 み も多 くな さ れ た が,そ
れ ら は す べ て 失 敗 に 終 わ っ た.こ
学(quantummechanics)と
の 物 理 学 最 大 の 危 機 を 救 っ た の は量 子 力
相 対 性 理 論(theoryofrelativity)で
しい 理 論 は プ ラ ン ク(Planck,1858-1947),ボ デ ィ ン ガ ー(Shrodinger,1887-1961),ハ ア イ ン シ ュ タ イ ン(Einstein,1879-1955)な
子 核 物 理 学,物
ど に よ っ て20世
紀 最 初 の20∼30年
の 後,こ
れ らの理論 を基 礎
性 物 理 学 が 華 々 し く展 開 さ れ た.20世
発 展 した こ れ ら の 物 理 学 を 現 代 物 理 学(modernphysics)と 学 を古 典 物 理 学(classicalphysics)と
ュ レー
イ ゼ ンベ ル ク(Heisenberg,1901-1976),
ほ ど の 間 に疾 風 怒 涛 の 勢 い で 築 き 上 げ ら れ て い っ た.そ と し て 素 粒 子 物 理 学,原
あ り,こ れ ら の 新
ー ア(Bohr,1885-1962),シ
い う.ス
い い,そ
紀 に
れ まで の物 理
ポ ー ツ 科 学 を研 究 す る に 当 た っ て,
こ れ ら現 代 物 理 学 は お ろ か 古 典 物 理 学 の 多 く さ え も学 ぶ 必 要 は な い か も し れ な い . し か し,細 部 に 立 ち 入 ら な く て も,古 し た と き,ど は,我
典 物 理 学 の 考 え 方 や,さ
らに それ が危 機 に瀕
の よ う な 革 命 的 発 想 の も と新 しい 物 理 学 が 生 ま れ て き た か を知 る こ と
々 の 考 え 方 ・発 想 の 次 元 を 高 め る の に役 立 つ こ と も あ ろ う.そ
こ に は 単 に知
識 を 身 に つ け る 以 上 の 価 値 が あ る と思 わ れ る19). 補足
現 代 文 明 を支 え る多 くの技 術 が――例 え ば蛍 光燈―― つ を とっ てみ て も――現 代
物 理 学 の発 達 に支 え られ てい る20).し か し,現 代 物 理 学 の成 果 は 必 ず し も人 間 に恩 恵 を もた らす ばか りで は な か っ た こ とは周 知 の通 りで あ る.科 学 は善 か 悪 か とい う 議 論 は 無 責任 で 不 毛 な もの も多 い が,現 代 が科 学 と人 間 の 関 わ りにつ い て 真剣 に考 えな くて は い け ない 時代 で あ るの は確 か で あ る.最 後 に ピエ ー ル ・キ ュ リー の ノ ー ベ ル 賞講 演 の結 び の 言葉 を紹 介 して お こ う21). … で ,ひ と はい ちお う疑 って み る こ とが で き ます.人 間 は 自然 の秘 密 を 知 っ て は た して と くをす るだ ろ うか,そ の秘 密 を利 用 で きる ほ ど人 間 は成 熟 してい るで あ ろ うか,そ れ と もこ の知 識 はか れ に有 害 な ので は な い だ ろ うか と.ノ ー ベ ル の発 見 が も って こ い の例 で す.強 力 な爆 薬 はひ とび とに 驚 くべ き仕 事 をす る こ と を許 し ま した.そ れ は 諸 国民 を戦 争 にひ きず りこ む大 犯 罪 人 の手 に かか れ ば,恐 ろ しい 破 壊 の 手段 と もな ります. が,わ た く しは,ノ ーベ ル と と もに,人 間 は新 しい発 見 か ら,悪 よ り も い っそ う多 くの善 を ひ きだ す で あ ろ う と考 え る もの の ひ と りで あ ります .
注 1)こ こ ら辺 の こ とを概 観 す る こ とは新 しい 学 問 が 生 み 出 され る瞬 間 を追 体 験 す る こ とで あ り ,そ れ は 場 合 に よ って は読 者 諸 氏 が学 問 を続 け る上 で 参 考 に な る か も しれ な い.そ の ため,“ ス ポ ー ツ科 学 の 本 ” と して は 異 例 で はあ るが,敢 え て こ の よ う な 章 を付 け加 え て み た.な お,本 章 は い くつ か の力 学 の テ キス トや 科 学 史 の本,な らび に 『物 理 学辞 典 』(培 風 館)を 参 考 に した が,特 に20.2節,20.3
節,20.4節 は 『ニ ュー トンの 生 涯 』(ス ーチ ン 著,渡 辺 正 雄 監 訳,田 村 保 子 訳,東 京 図書)お よび 『COSMOS(上 巻)』(カ ー ル ・セ ー ガ ン 著,木 村 繁 訳,朝 日新 聞社)を も とに 執筆 した. 2)占 星術 の ほ か に ,農 作 業 の 開 始 時 期 な ど を知 る た め,あ る い は 旅 先 で 方位 を確 認 す る た め な ど,実 用 的 な 目的 で も星 の 運行 の観 測 は行 わ れ た. 3)正 確 に は ま だ少 しだ け違 う .そ のず れ を修 正 す るた め に4年 に一 度,う る う年(leapyear)と いう ものが 設 け られ て い る.さ
らに100年
に 一度,本
来 うる う年 で あ るべ き年 が う る う年 とな らな い(2
月 が29日 にな ら ない)年 が あ る(そ れ に も400年 に 一度 例 外 が あ り,西 暦2000年 はその例外の 年)の も 同 じ理 由で あ る. 4)水 星 ,金 星,火 星,木 星,土 星. 5)現 在 ,超 新 星(supernova)は 重 い星 が そ の 一 生 の 最後 に大 爆 発 を起 こす こ とに よ り突 如 明 る さ を増 した もの で あ る こ とが わ か って い る.超 新 星 爆 発 は そ れ まで に星 の 内 部 で 起 こ って い た 核 融 合,あ る い は 爆 発 の 際 に起 こ った 核 融 合 に よ って で きた 様 々な 元 素 の 原 子 を宇 宙 空 間 にば ら ま く.地 球 に 存 在 す る水 素 以 外 の 元 素 は こ う して 生 まれ た もの で あ る.現 代 宇 宙 論 は 「我 々 の 体 は星 の 残 骸 を集 め て 創 られ て い る」 と主 張 す るの だ!な お,新 星 は 超 新 星 と は別 の 理 由 に よ り突 如 明 る さ を増 した 星 なの だ が,そ の 解 説 は 割 愛 す る. 6)当 時 ,惑 星 は 土 星 ま で しか 知 られ て い な か っ た.天 王 星,海 王 星,冥 王 星が 発 見 され た の は ケ プ ラー の 死 後 の こ とで あ る.こ の こ とは ケ プ ラー に とっ て は 幸 い で あ っ た ろ う. 7)テ ィ コ とケ プ ラー はあ ま り仲 が よ くな か っ た よ う だ .ケ プ ラ ー は片 田舎 出身 の 純 朴 で 気 の 弱 い 青 年 で あ っ たの に対 し,テ ィ コ は横 柄 で 金 遣 い も気 性 も荒 い 男 だ っ た ら しい.テ ィ コ は金 で 作 っ た鼻 を つ け て い た.若 い 頃,あ る男 と どち らが優 れ た数 学 者 で あ るか をめ ぐっ て決 闘 を行 い,鼻 を失 っ た た め で あ る.ケ プ ラ ー は テ ィ コが 死 ん だ こ と に よ っ て テ ィ コ の デ ー タ を受 け取 る こ とが で き た とい っ て も過 言 で は な い.テ ィ コ の死 に様 も あ ま り格 好 の よい も ので は な か っ た よ う であ るが,こ こで は 触 れ ない で お く. 8)も う ,お 忘 れ の 読 者 も多 い と思 うが,彼 はp.216で 一度 登 場 して い る. 9)当 時 ,力 は物 体 の速 度 と結 び付 け て考 え ら れ て い た.そ して惑 星 が 太 陽 か ら遠 くに あ る ほ ど公 転 の 速 さが 急 に小 さ くな る ので この よ う な説 が 生 まれ た の で あ る. 10)2 .5.3項 補 足 参 照. 11)ニ ュ ー ト ンの息 抜 きの 方 法 は化 学 実 験 で あ った とい う. 12)彗 星 の軌 道 は惑 星 の軌 道 に比 べ て偏 平 な た め ,い くつ か の 惑 星 の軌 道 と交差 す る.そ の た め彗 星 は 惑 星 と ニ ア ミス を起 こ し(と きに は惑 星 と衝 突 す る こ と もあ る),惑 星 か らの 重 力 を 受 け て軌 道 や周 期 が乱 さ れ る こ とが あ る.公 転 周 期 や 軌 道 長 軸 半 径 は惑 星 に比 べ る と安 定 して い な い. 13)ニ ュ ー トンは 幾何 学 的手 法 を用 い て運 動 の 法 則 を 多 くの 自然 現 象 に適 用 して みせ たが,そ れ はニ ュ ー トン だか らで きた の で あ る.ま た,自 然 現 象 を観 察 して,そ の 原 因 とな る力 を導 き出す 問 題 は幾何 学 的手 法 で あ る程 度 で き る と して も,力 か ら運 動 を導 く こ とは少 数 の例 外 を除 い て ほ ぼ不 可 能 で あ る. 14)ニ ュ ー トン を生 ん だ イギ リス で は ,ニ ュ ー トンの 後 継 者 た る物 理 学 者 は しば ら く輩 出 さ れ な か っ た. 15)例 え ば ,漢 字 を使 っ て 数 字 を表 す こ と しか 知 らな か っ た ら,人 類 は 数 学 を こ こ ま で 発 達 させ る こ と は で きな か っ た で あ ろ う. 16)ニ ュ ー トン力 学 の 抽 象 的 発 展 形 態 と もい え る 解 析 力 学 は,そ
の 後,ニ
ュ ー トン力 学 と異 な る 原 理 に
基 づ く量 子 力 学 の 構築 にお い て 重 大 な 役 割 を果 た す こ とに な る.つ ま り,ニ ュ ー トンの 運動 の法 則 とい う基 本原 理 か ら多 少 離 れ て 形 式 的 な 発展 を 遂 げ た解 析 力 学 は,基 本原 理 を取 り替 えて も,(多 少 の 変 更 は もち ろ ん あ っ た が)う ま く対 応 す る こ とが で き たの で あ る.「 本 質 的 に 同 じだ」 とい っ て便 利 さや 形 式 面 の 追 求 が 軽 視 され て い た ら,量 子 力 学 は まだ 現 在 の よ う には発 展 して い な い と ころ で あ った ろ う.科 学 の 世 界 で は新 しい 事 実,法 則 の 第 一 発 見 者 の み が 称 賛 を受 け る傾 向 が あ る.し か し,科 学 の 進 歩 には そ れ を 洗 練 させ る作 業 も重 要 で あ る こ と を忘 れ て は な ら ない. 17)『 物 理 学 序 論 と して の 力 学 』(藤 原 邦 男 著 ,東 京 大 学 出版 会)よ り引用. 18)「 人 間 は 自然 の 法 則 を知 り,そ れ を 自分 の 目 的 に 合 う よ う に利 用 して高 い 文 化 を 創 造 し た けれ ど, け っ して 自然 の 法 則 を 自分 で 作 り出 す 独 裁 者 に は な りえ ない.自 分 の せ まい 経 験 か ら得 た 常 識 が ど こで も通 用 しな け れ ば な らな い とい う の は,独 裁 者 と同 じ よう な考 え方 だね.」 『物 理 の世 界 』(湯 川 秀 樹,片 山 恭 久,山 田 英 二 著,講
談 社 現 代 新 書)よ
り引用.
19)本 書 に よ って 物 理 学 に興 味 を覚 え た人 は物 理 学 の一 般 向 け解 説 書 を読 ん で み る と よい
.推 薦 す べ き 本 は多 い が,こ こで は 『量 子 力 学 の世 界 』(片 山泰 久 著,講 談社 ブ ル ー バ ック ス)を 一 冊 だ け 挙 げ て お く. 20)も ち ろ ん 適 用 の 限 界 は 示 され は した が ,古 典 物 理 学 も現 役 と して現 代 文 明 に 貢献 して い る. 21)『 キ ュ リー夫 人 伝 』(エ ー ヴ ・キ ュ リー 著 ,川 口篤,他 訳,白 水 社)よ り引用(エ ー ヴは キ ュ リー 夫 妻 の 次 女).な お,こ の 講 演 は1905年6月6日 に行 わ れ た.ピ エ ー ル が そ の 悲 劇 的最 期 を迎 え る の は こ の10ヶ 月 後 で あ る(p.14参 照).
付 録Aギ
A.1ギ
リシ ャ文 字 ・単位
リ シ ャ文 字
本 書 で は様 々 な 量 を表 す た め に,通 頻 繁 に使 用 した.表A.1に
常 の ア ル フ ァ ベ ッ トの ほ か に ギ リ シ ャ 文 字 も
ギ リ シ ャ文 字 とそ の 読 み 方 を示 す.
表A.1ギ
A.2単
リシ ャ文 字
位
本 書 で は2.1節
お よ び2.2節
で 単 位 系 に つ い て 概 論 を述 べ,そ
て様 々 な 単 位 を 導 入 し て い っ た.こ
こ で,バ
の 後,必
要 に応 じ
イ オ メ カ ニ ク ス の 分 野 で 頻 繁 に使 わ れ
る 単 位 を ま と め て お こ う. まず,表A.2に 節,2.2節
国 際 単 位 系(SI)の
角 度 の 単 位rad(4.3節,8.2節 上,表A.2に
基 本 単 位 を あ げ る.定
を 参 照 し て い た だ き た い(温 度 の 単 位Kに
含 め た.次
は,物 理 量 の 定 義 式,あ
義,説
明 に 関 し て は2.1
関 して は13.7節
参 照).な
参 照)は 基 本 単 位 で は な く補 助 単 位 と さ れ る が,便 に,誘
導 単 位(組 立 単 位)を 表A.3に
示 す.こ
お, 宜
れ らの単 位
る い は 物 理 量 間 の 関 係 式,物 理 法 則 に 基 づ き 基 本 単 位 に よ っ
て 表 す こ と が で き る が,固
有 の 名 称 ・記 号 を持 つ も の も あ る.備
考 欄 には基本 単 位
に よ る 表 し方 の 一例 を記 す と と も に,本
表A.2基
表A.3SI誘
書 で の 参 照 箇 所 も示 し た.
本 単位
導 単 位(組 立 単 位)
付録B本
書 で扱 った数学公式
本 書 で は基 礎 か ら一 歩 一歩 数 学 と力 学 の解 説 を行 った.こ れ は基 礎 知 識 の体 系 的 理解 を 目指 した ため であ るが,知 りた い と ころ を検 索 す る には多 少不 便 と思 わ れ る. 本 付 録 で は,本 書 で使用 した数 学 の公 式 を簡 潔 にま とめ る こ とに よ りそ の欠 点 を補 い,ハ ン ドブ ッ ク と して の便 宜 をは か った .
B.1演
算
則
・ 交換 則 ○z1+z2=z2+z1 ○z1z2=z2z1
・結合則 ○z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3 ○z1(z2z3)=(z1z2)z3
・分配則 ○z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 ○(z1+z2)z3=z1z3+z2z3
B.2指 m,n,を
数 ・累 乗 根 正 の 整 数,a,bを
正 の 実 数 と す る.
・ 指数 法則 am×an=am+n,(am)n=am×n,(ab)n=anbn ・ 累 乗 根:n√an=a
・ 指 数 の拡 張 0以 下 の 整 数 へ の 拡 張:a0=1,a-n=1/an
有 理 数r=n/mへ
B.3展
の 拡 張:ar=an/m=m√an,a-r=1/ar
開 ・因 数 分 解 の 基 本 公 式
・(a+b)(a-b)=a2-b2 ・(a±b)2=a2±2ab+b2 ・(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd
B.42次 xの2次
方 程 式 の解 の公式 方 程 式ax2+bx+c=0(た
だ し,a≠0)の
と な る.
B.5三
角 比 ・三 角 関 数 の 基 本 公 式
・sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα ・tanα=
sinα/ cosα
・cos2α+sin2α=1
1/ ・1+tan2α= cos2α
・sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ ・cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ ・sinαcosβ=1/ 2{sin(α+β)+sin(α-β)} ・cosαcosβ=1/2{cos(α+β)+cos(α-β)} ・sinαsinβ=-1/ 2{cos(α+β)-cos(α-β)} ・sinA+sinB=2sin
・sinA-sinB=2cos ・cosA+cosB=2cos
A+B/
A-B/ cos
2 A+B/ sin
2 A+B/ 2
cos
2 A-B/ 2 A-B/ 2
解 は,
・cosA-cosB=-2sinA+B/2sinA-B/2
・asinθ+bcosθ=√a2+b2sin(θ+α)=√a2+b2cos(θ-β) 座 標 平 面 上 に 点P(a,b)を は座 標 平 面 上 に 点Q(b,a)を
B.6逆
.た
と っ た と き,OPがx軸 と っ た と き,OQがx軸
の 正 方 向 と なす 角 で あ る.
三 角 関数
・y=sinx,-π/ 2≦x≦ ・y=cosx,0≦x≦
π/2⇔x-Arcsiny,-1≦y≦1 ⇔x=Arccosy
π
,-1≦y≦1
・y=tanx,-π/ 2<x<π/2⇔x=Arctany,-∞
B.7対
数 関数 の基 本公 式
・y=ax⇔x=logay(aは1以 ・ 対 数 法 則(a,cは1以
外 の 正 の 実 数 ,yは 外 の 正 の 実 数,A,B,bは
○logaAB=logaA+logaB ○logaA/B=logaA-logaB ○logabp=plogab
logcA/
○logaA=
logca
B.8ベ
ク
トル
・ 有向 線 分 で 表 した と きのベ ク トルの和 ・差 AB+BC=AC,OA-OB=BA ・ 成 分 で 表 し た と き の ベ ク トル の 和 a=(a1,a2),b=(b1,b2)と ○a=b⇔a1=b1か ○ka=(ka1,ka2) ○a+b=(a1+b1,a2+b2) ○a-b=(a1-b1,a2-b2) ○│a│=√a12+a22
・差
す る と, つa2=b2
・大 き さ
だ し,α は
の 正 方 向 と な す 角 で あ り,β
正 の 実 数)
正 の 実 数)
○0=(0,0) 同 様 の 式 が3次
元 ベ ク ト ル で も 成 り 立 つ.a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
と す る と, ○a=b⇔a1=b1か
つa2=b2か
ka=(ka1,ka2,ka3)
つa3=b3 ○
○a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3) ○a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) ○│a│=√a12+a22+a32 ○0=(0,0,0)
・ ベ ク ト ル の 計 算 則(k,lは
実 数)
○a+b=b+a ○(a+b)+c=a+(b+c) ○k(a±b)=ka±kb ○(k±l)a=ka±la
・ 分 点 の位 置 ベ ク トル ○ 線 分ABをm:nに
内 分 す る 点Cの
位 置 ベ ク トルcは,
外 分 す る 点Cの
位 置 ベ ク トルcは,
と な る.
○ 線 分ABをm:nに
と な る.
・内積 ○2次
元 ベ ク ト ルa=(a1,a2),b=(b1,b2)の
同 様 に3次 と き,
元 ベ ク トルa=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)の
な す 角 が θ の と き,
なす角 が θの
○ 内積 の性 質 *交
換 則:a・b=b・a
*分
配 則:a・(b+c)=a・b+a・c
*(ka)・b=a・(kb)・=k(a・b)(kは
実 数)
*a・a=│a│2,│a│=√a・a
・ ベ ク トル 積 ○a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz)の
な す 角 が θ の と き,
で あ り,こ
れ は 大 き さ は│a││b│sinθ,向
aか
向 き に 右 ネ ジ を 回 し た と き に右 ネ ジ の 進 む 方 向 の ベ ク トル で
らbの
きはaとbの
張 る平 面 に垂 直 で
あ る. ○ ベ ク トル 積 の 性 質 *交
換 則 は 成 り立 た な い:a×b=-b・a
*分
配 則:a×(b+c)=a×b+a×c
B.9行
列
・ 行 列 の和 ・差 は型 が 同 じ もの 同士 の み 許 され,対 応 す る成 分 同士 の和 ・差 を計 算 す る.行 列 と実 数 の積 は,行 列 の そ れぞ れ の成 分 を与 え られ た実 数倍 す れ ば よい.こ れ らの演 算 で は行 列 の型 は変 わ らない こ とに注 意. ・ 行 列 の積 ○
○
○
・ 行列 と す る と,
に お い てad-bc≠0の
と き,
が 成 り立 つ.た A-1をAの
で あ り単 位 行 列 と呼 ば れ る.ま
だ し,Eは
た,
逆 行 列 と呼 ぶ.
・ 回転 を表 す 行 列: こ の 行 列 を任 意 の2次
元(列)ベ
ク トルaに
左 か ら か け る とaを
θ だ け(反 時
計 ま わ りに)回 転 させ た ベ ク トル を得 る こ とが で き る.
B.10微
分
・ 時 刻tに
法
お け る 物 体 の 位 置 をx(t)と
す る と,
で あ るが,(こ の極 限 と して)瞬 間 的 な変化 率 を求 め るのが 微 分法 であ り,
と い う よ う な 記 号 を 用 い る.も が 得 ら れ る.こ
と の 関 数x(t)を
微 分 し た結 果,新
れ を も と の 関 数 の 導 関 数 とい う.こ
る 関 数 を 最 初 の 関 数 に対 す る2階
導 関 数,あ
る い は2次
導 関 数 と い う.記 号 で は
の よ う に表 す.今,物
体 の 運 動 の こ と を話 して い る の で,変
度 と呼 ば れ,x″(t)は
加 速 度 と呼 ば れ る.な
は も との 関 数x=x(t)の
時 刻tに
お,x-tグ
た な 関 数x'(t)
れ を さ ら に 微 分 して 得 ら れ
化 率x'(t)は
特 に速
ラ フ に描 い た 場 合,x'(t)
お け る 接 線 の 傾 き を 表 す.
・ 微 分法 の基本 法 則 ○{f(x)=±g(x)}'=f'(x)±g'(x)(複
号 同 順)
○{cf(x)}'=cf'(x)(cは
定 数)
○{f(x)g(x)}'=f'(x)g(x)十f(x)g'(x)
○(f(x)/ g(x))'= ○y=f(u),u=g(x)に
f'(x)g(x)-f(x)g'(x)/ g(x)2 お い て,f(u),g(x)が
と も に 微 分 可 能 な ら ば,
こ れ を 合 成 関 数 の 微 分 法 と い う. ○y=f(x)が
あ る 区 間 で 逆 関 数 を 持 ち,f'(x)≠0な
ら ば,
が 成 り立 つ. ・ 物 体 の 位 置 ベ ク トル をr(t)=(x(t),y(t),z(t))と
す る と き,速 度 ベ ク トルv(t),
加 速 度 ベ ク トルa(t)は
B.11積
分
・ 全 変 化 量=短
法
時 間変 化 量 の和=∑(変
化 率 ×短 い時 間)=∑v(t)Δtで
あ り,
この極 限 を とる操 作 が 定積 分 で あ る.す な わ ち,
に よ っ てv(t)のt=aか 号,文
字 は7.2節
・F'(x)=f(x)と う.そ
てF(x)+Cも ・F(x)をf(x)の
で の 定 積 分 を定 義 す る(こ こ で 使 用 し た 記
な る よ う なF(x)をf(x)の
して,F(x)=∫f(x)dxと
性 が あ る.す
原 始 関 数 と な る.こ 原 始 関 数 と す る と,
となる.
原 始 関 数,あ
表 記 す る.原
な わ ち,F(x)がf(x)の
・ 積 分法 の基 本法 則 ○
らt=bま
に 共 通). る い は不 定積 分 とい
始 関 数 に は任 意 の 定 数 分 の 不 定
原 始 関 数(の 一 つ)な ら,Cを の 定 数Cを
積 分 定 数 と 呼 ぶ.
定数 と し
○
(cは 実 数)
(複号 同順)
○
○
(cは 定 数)
(部分積 分)
○
○x=φ(t)の
と き,
(置換 積 分)
B.12微
分 法 ・積 分 法 の 公 式
・ 代 表 的 な関数 の微 分 公 式
・ 代 表 的 な関数 の積 分 公 式
B.13マ
ク ロ ー リ ン展 開
・f(x)=f(0)+f'(0)x+1/2!f″(0)x2+…=∑1/k!f(k)(0)xk
cf.テ
ー ラ ー 展 開:f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+1/2!f'(a)(x-a)2+… =∑1/ k!f(k)(a)(x-a)k
・ 具 体例 ○xが
十 分 小 さ い と き に,(1+x)α
1+αx
○ex=1+x+x2/ 2・1+x3/3・2・1+x4/4・3・2・1+…=∑xk/k!
cf.上 式 でx=1と
お く こ と に よ り,e=∑1/k!
○sinx=x-x3/ 3!+x5/5!-…+(-1)n-1x2n-1/(2n-1)!+… =Σ(-1)k-1x2k-1/ (2k-1)! ○cosx=1-x2/ 2!+x4/4!-…+(-1)nx2n/(2n)!+…=Σ(-1)kx2k/(2k)! ○cf.オ
B.14微
イ ラ ー の 公 式:eiθ=cosθ+isinθ
分 方程 式
・ 概 念:一 つ,あ るい は い くつ か の変 数 に関す る一 つ,あ るい は い くつ か の関 数 と,そ の導 関数 との 間 の方 程式 の形 で書 かれ た 関係 を微 分 方程 式 とい う.独 立 変 数 の数 が 一 つ の と き,特 に常 微 分 方程 式 とい う.微 分 方 程式 中 に現 れ る導 関 数 の最 高 階 数 を,そ の微 分 方程 式 の 階数 とい う.与 え られた微 分 方 程式 を満 た す 関 数 を求 め る こ と を微 分 方程 式 を解 く とい い,求 め られ た 関数 を微 分 方 程 式 の解 とい う. ・ 力 学 に現 れ る基 本 的 な微 分 方程 式 とそ の解.積 分 定数 は初 期 条件 に よ り決 定 さ れ る. ○dx/ dt=v0⇒x=v0t+x0 ○d2x/d t2=a⇒x=1/2at2+v0t+x0 ○dx/dt=x⇒x=Cet ○dx/dt=-x⇒x=Ce-t ○mdv/d t=mg-kv⇒v-Ce-k/mt+mg/k ○d2x/d t+ω02x=0⇒x=asin(ω0t+α) ○d2x/dt2+ω02x+2γdx/ dt=0⇒
*γ<ω0の
と きx=Ce-γtsin(√
*γ>ω0の
と きx=e-γt{Ae√
*γ=ω0の
と きx=e-γt(A+Bt)(臨
○d2x/dt2+ω02x+2γdx/d x=F0√( な お,こ
衰 振 動) γ2-ω02t}(過
減 衰)
界 減 衰)
t=F0cosωt⇒ ω02-ω2)2+4γ2ω2cos(ωt-δ),た
だ しtanδ=2γ
ω/ω02-ω2
こ で 示 し た 解 は こ の 微 分 方 程 式(強 制 振 動 を表 す 運 動 方 程 式)の
特 解 で あ る(一 般 解 で は な い).ω=√ こ る.
ω02-γ2t+α)(減 γ2-ω02t+Be-√
ω02-2γ2の
と き 共 鳴(共 振)が 起
索
引
和 文 索 引 ア行
温 度263
カ行
ア イ ン シ ュ タ イ ン13,32,366, 367,387
圧 電効 果14 圧 電 素 子14 圧 力 中 心345 ア ル キ メ デ ス52,103 ア ンペ ア11
回帰376 階乗136 回転 半径315 外 力157 ガ ウ ス45,116,378 ガ ウス 平 面44
位 置 エ ネ ル ギ ー234,237 一 次 変 換86
角 運 動 量285 角 運 動 量 保 存 則299 角 周 波 数181 角 振 動 数181 角 速 度98 角 力 積300,326 加 速 度10,92,97,140,156 傾 き102 加 法36 ガ リ レ イ33,382 ― の 相 対 性 原 理357
位 置 ベ ク トル77,89 一 般 解142 一 般 化 運 動 量298 一 般 化 座 標298 一 般 化 力298 因果 関 係27 イ ン ピ ー ダ ン ス61 う る う年388 運 動 エ ネ ル ギ ー228 運 動 の法 則158,349 運動 方 程 式157,217 運動 量216,219 運動 量 保 存 則222 鋭 角49,61 エ ネ ル ギ ー227 エ ネ ル ギ ー保 存則265,272 演 繹33 円 周 率52,134 遠 心 力10,363 オイ ラー137,218,318,386 ―の 公 式125 応 力185 オー ダー15 重 さ10
ガ リ レ イ変 換367 カ ロ リ ー262 カ ロ リ ック説262 換 算 質量252 関数89 慣 性13 ―の法 則99,350 慣 性 系351 慣 性 質量13 慣 性 抵 抗174 慣 性 モ ー メ ン ト313 慣 性 力354 関 節 トル ク335,336,338 完全 弾性 衝 突270 完 全 非 弾 性衝 突271 カ ンデ ラ11 ギ ガ15
機 械 的 エ ネ ル ギ ー270 奇 数36 帰 納33 基 本 周 期61 基 本 単 位11 逆 関数126 逆 三角 関 数132 既 約 分 数44 キ ャベ ンデ ィ ッシ ュ201 共 役複 素 数60 行 列79 極 形 式60 極 限 値101 極 座 標89 極 小 値95 極 大 値96 虚 数38,41 虚 数 単 位38 虚 部38 キ ロ15 キ ロ グ ラム11,12 キ ロ グ ラム 重10,31 キ ロ ポ ン ド31 筋 張 力172 偶 数36 偶 力305 撃 心325 撃力248 結合 則39 ケ プ ラ ー31,128,130,197, 287,379,380 ―の 第1法 則31,299 の 第2法 則287 ― ― の 第3法 則31 ,130,197 ケ ル ビ ン11,264 原 始 関 数111,141 現 象 論186
原 子 論186 減衰 振 動183 現 代 物 理 学387 減 法36 交換 則38,71,75 合成 関数 の微 分 法93 光速13 拘 束 条件171 高 速 フ ー リエ 変換369 剛体301 剛体 振 り子323 恒 等 式158 光 年18 抗 力157,174 合 力157 国 際 単 位 系11 誤 差19,20 古 典 物 理 学387 弧 度52 コペ ル ニ クス380 コ リ オ リの 力363 コ ン プ トン効 果256 コ ン プ ラ イ ア ンス185
サ行 最 小 公 倍 数44 最 小 二 乗 法376 最 大 公 約 数37 最 大 静 止 摩 擦 力166 作 用 線157,303 作 用 点303 作 用 反 作 用 の法 則157,217 三角 関 数49 ――の 微 分119 三角 比47 三 平方 の 定理49 次 元12 仕 事71,229 仕 事 率228 指 数15 指 数 関 数117 ――の 微 分117 指 数 法 則15 自然 数35,41 自然 対 数126 ――の 底118 自然 対 数 の 底116,131 四 則 演 算37 実 験24 実 数37,41
実 体 振 り子323 質 点155 質点 系220,241,291 実 部38 質量10,13,63,156 質量 中心156,221,307 シ ャ ン ポ リオ ン211,373 周 期61 周 期 関数51 重心156,221,306,307 収 束101 終端 速 度175 周波 数181 重 量10 重 量 キ ロ グ ラ ム31 重 力10,157,238,366 重 力 加 速度10,163 重 力 質 量13 ジ ュ ー ル(人 名)262 ジュ ー ル(単 位)261 シュ レー デ ィ ンガ ー387 瞬 間 の 速 度91 純 虚 数38 衝 撃 の 中 心325 常 微 分239 常 微 分 方 程 式142 乗 法36 常 用 対 数126 助 変 数55 除 法36 信 号 対 雑 音 比152 身体 重 心307 振 動 数181 振 幅54 水 中体 重13,33 垂 直 抗 力157,164 数 値 積 分115 数 値 微 分101 数 直 線42 ス カ ラ ー63 ス テ ィ ッフ ネ ス186 静 止摩 擦 係 数166 静 止 摩 擦 力165 整 数36,41 静 摩擦 係 数166 積 分139 積 分 定 数112 積 分 法103 ―― の 基 本 法 則114 接 線 の 傾 き92 絶 対値42,43,60
セ ル シ ウス271 セ ル シ ウス 度264 ゼ ロベ ク トル63 線 積 分269 セ ンチ15 相 関 関 係27 増 減 表94 相 似 形61 相 対 性 理 論13,32,366,367, 387 相 対 速 度99 速 度11,63,91,92,97,140 束 縛 条 件171 塑 性184,186 塑 性 体186
タ行 対 数 微 分132 単位9,10,156,222,261,296 単位 円49 単位 行 列80 単位 系11 単位 ベ ク トル69,71,76 単振 動181 弾性184 弾性 エ ネ ル ギ ー234 弾 性係 数185 弾 性 コ ンプ ラ イ ア ンス185 弾 性衝 突253 弾 性 体185 弾 性 定 数185 弾 性 率185 弾 塑 性 体186 単 振 り子212 力10,156 ――の 腕 の 長 さ283 のモー メン ―― ト282 置 換積 分114,116 地 動 説380 中心 力286 張 力172,210 直 交 座 標89 強 い相 互 作 用209 定 義 式158 テ ィコ ・ブ ラ ーエ300,380 定積 分107 テ ー ラ ー展 開122 デ カ15
デ カ ル ト215 デ シ15
パ ラ メー タ55,211
電 磁 気 力157 天 動 説380
ピエ ー ル ・キ ュ リー14 非慣 性 系353 ひ ず み185 ピタ ゴ ラ ス の定 理61 非 弾 性 衝 突253 微 分139,269 微 分 係 数101,269 微 分 法91 ―― の 基 本 法 則93
ナ行
微 分 方 程 式139,142 の 解142 ―― の階 ―― 数142 の数値 ―― 的 解 法147 非 保 存 力270 百 分 度271 秒11,13
内積70 内部 エ ネ ルギ ー264 内力224 ナ ノ15 2階 導 関 数92 2次 導 関 数92 ニ ュ ー トン31,116,130,137 199,382 ―― の 運動 方程 式155 ニ ュ ー トン(単 位)11 ,157 熱263 熱 運動264 熱 エ ネ ル ギ ー264 熱 平 衡263 熱 力 学263 ―― の 第0法 則263 の 第1法 則265 ―― の 第2法 則272 ―― 粘 性184,186 粘 性 抵 抗174 粘 弾 性 体186
ハ行 媒 介 変 数55 ハ イ ゼ ンベ ル ク387 背 理法44 跳 ね返 り係 数250,251 ば ね定 数185 ハ ミル トン386
――の 成 分68 ベ ク トル積74 ヘ ル ツ15
反 発係 数250 万 有 引 力10 ――の 法則201 万 有 引 力 定 数201
度(角 度 の 単位)51 等 加 速 度 直 線運 動161 導 関 数91,140 等 速 円 運 動98 等 速 直 線 運 動160 等 速 度 運 動160 動摩 擦 係 数166 動摩 擦 力166 特解142 トル ク299,318 鈍 角61
速 さ97
並 進 運 動155 ヘ ク ト15 ベ ク トル63
馬 力262 ハ レー385 ハ レー 彗 星385
,
フー リエ372 フ ー リエ解 析369 フ ォー ス プ レー ト13,345 複 素 共 役60 複 素 数38,41 複 素 平 面44 複 振 り子323 フ ッ ク382 ―― の 法 則185,210 物 理 学9 物 理 振 り子323 不 定87 不 定 積 分111 不 能87 部 分 積 分114 プ ラ ンク387 振 り子202 プ リ ンキ ピア383 分 子37 分 子 論186 分 数37 分 配 則39,71,75 分 母37 平 均 の 傾 き92 平 均 の 速 度91 平 行 移 動54
,387
偏 角59 変 化 率92 変 数 分 離 形144 偏 微 分239 ホ イヘ ン ス216,269 方 程 式158 放 物 線190 ボー ア387 保 存 力234,237 ポ テ ン シ ャ ル エ ネ ル ギ ー234, 238 ポ ン ド31
マ行 マ イ ク ロ15 マ ク ロ ー リ ン展 開122 摩 擦 力157,164 マ リー ・キ ュ リー14 見 か け の力367 右 手 系77 ミ リ15 無 限 級 数41 無 理 数37 メー トル11,12 メガ15 面 積 速 度287 モ ー メ ン トア ー ム283
ヤ行 約 分37 ヤ ン グ211 ヤ ン グ率185 有 効 数 字19 有 向線 分63 誘 導 単 位11 有 理 数36,41 余 弦 定 理78 弱 い 相 互作 用209
ラ ・ワ 行
力 学 的 エ ネ ルギ ー 保 存 則235 力 積219
ラグ ラ ンジ ュ386 ラジ ア ン52
リサ ー ジ ュ61
ル ジ ャ ン ドル378 レ ン216,382 連 立 方 程 式80
リサ ー ジ ュ 図形55 力 学 的 エ ネ ル ギ ー235
量 子 力 学387
ワ ッ ト261
欧 文 ・記 号 索 引
A A 11 absolute value 42 acceleration 92, 97 acceleration due to gravity 10, 163 acceleration of gravity 10, 163 acute angle 61 addition 36 ampere 11 amplitude 54 angular frequency 181 angular impulse 326 angular momentum 285 angular velocity 98 apparent force 367 Archimedes 103 areal velocity 287 arg 59 argument 59 average velocity 91
coefficient of static friction 166 common logarithm 126 complex conjugate 60 complex number 38 complex plane 44 compound pendulum 333 Compton effect 256 conservation of angular momentum conservation of energy 265, 272 conservation of linear momentum conservation of mechanical energy conservative force 234 constant of universal gravitation constraint 171 convergence 101 Copernicus 380 Coriolis force 363 cos 48 couple of forces 305 Curie, Marie 14 Curie, Pierre 14
B base base Bohr
126 unit 387
D d 15 da 15 damped oscillation 183 deduction 33 definite integral 107 degree 51 degree Celsius 264 degree centigrade 271 denominator 37 derivative 91 derived unit 11 Descartes 215 differential 91 differential equation 142 dimension 12 division 36 drag 174
11
C c
15
cal 262 caloric theory 262 candela 11 Cavendish 201 cd 11 Celsius 271 center of gravity 221, 306 center of mass 221 center of percussion 325 center of pressure 345 central force 286 centrifugal force 10, 363 Champollion 211 circle ratio 52 circular constant 52 classical physics 387 coefficient of kinetic friction coefficient of restitution 250
E
166
Einstein 387 elastic coefficient elastic collision elastic compliance elasticity 185
185 253 185
299 222 235 201
I
elastic modulus 185 electromagnetic interaction energy 227 even number 36 exponential function 117 external force 157
157
F fast Fourier transform 369 FFT 369 first law of thermodynamics force 10 force of gravity 10 Fourier 372 Fourier analysis 369 four operations 37 four rules 37 fraction 37 frequency 181 friction 157 function 89
265
G G 15 Galilean principle of relativity Galilean transformation 367 Galilei 33 Gauss 45 Gaussian plane 44 geocentric theory 380 gravitation 10 gravitational force 10 gravitational interaction gravitational mass 13 gravity 10
357
J 157 J
261
Joule(人 joule(単
H h 15 Halley 385 Halley's comet 385 Hamilton 386 heat 263 Heisenberg 387 heliocentric theory 380 homographic transformation Hooke's law 210 horsepower 262 Huygens 224 Hz 15
identity matrix 80 Im 38 imaginary number 38 imaginary part 38 imaginary unit 38 impossible 87 impulse 219 impulsive force 248 inconsistent 87 indefinite 87 indefinite integral 111 induction 33 inelastic collision 253 inertia 13 inertial force 354 inertial mass 13 inertial reference frame 351 inertial system 351 infinite series 41 inner product 70 instantaneous velocity 91 integer 36 integral 103 integration 103 internal energy 264 internal force 224 inverse function 126 inverse trigonometric function irrational number 37 irreducible fraction 44
名)262 位)261
Jとcal262
K
86
K 11, 264 k 15 kelvin 11, 264 Kepler 31 kg 10, 11 kgf 31 kgw 10, 31 kilogram 11 kilogram-force
31
133
O
kilogram-weight Kilopond 31 kinetic energy kinetic friction kp
31
N
228 166
N
11, 157
n 15 natural natural
31
logarithm number
Newton(人
L
名)31
newton(単
Lagrange 386 law of action and reaction 157 law of universal gravitation 201 lb 31 leap year 388 Legendre 378 lever arm 283 limiting value 101 limit value 101 linear momentum 216 linear motion of uniform acceleration linear transformation 86 linear uniform motion 160 line integral 269 line of action 157 Lissajous 61 Lissajous figures 55 local maximum 96 local minimum 95 logarithmic function 126 Ludolph number 52
リ)15
m(メ
ー トル)11
Maclaurin expansion mass 10, 13 mass point 155 matrix 79 mechanical energy meter
122
11 physics 387 of elasticity arm 283
moment of force 282 moment of inertia 313 momentum 216 multiplication 36
force 157
位 系)11
185
270
number line 42 numerator 37
obtuse
161
angle
61
odd number 36 order 15 ordinary differentiation orthogonal coordinates
239 51
P•EQ parallel
displacement
54
parameter 55, 211 parametric representation partial differentiation
55 239
51 333 14
plasticity 186 point mass 208
270
MKSsystemofunits(MKS単
modern modulus moment
nonconservative normal force
physical pendulum physics 9 piezoelectric effect Planck 387
15
m(ミ
位)11
particle 155 pendulum 202 period 61 periodic function
M M
126 35
polar coordinates position vector potential energy pound 31 power 228
51 77 234
primitive function 111 primitive period 61 purely imaginary number Pythagorean theorem 61
quantum
mechanics
387
38
R
theorem of three squares 61 theory of relativity 387 thermal energy 264 thermal equilibrium 263 torque 299 translation 54 translational motion 155 trigonometric function 49 trigonometric ratio 47 Tycho Brahe 300, 380
rad 52 radian 52 radius of gyration 315 rational number 36 Re 38 reaction 157 real number 37 real part 38 reduced mass 252 reductio ad absurdum 44 reduction 37 reduction to absurdity 44 regression 376 relative velocity 99 relaxation phenomenon 186 resultant force 157 right-handed system 77 rigid body 301
U uniform motion 160 unit 9 unit circle 49 unit matrix 80 universal gravitation
V
S s 11 scalar 63 second 11 Shrodinger 387 SI 11 signal-to-noise ratio 152 significant digit 19 significant figure 19 similar figures 61 simple harmonic oscillation simple pendulum 212 sin 48 SN比152 speed 97 spring constant 185 static friction 165 stiffness 186 strain 185 stress 185 subtraction 36 system of units 11
vector 63 vector product 74 velocity 63, 91, 92, 97 viscosity 186
181
W 261 Watt(人 名)261 watt(単 位)261 weak interaction weight 10 whole number work 229 Wren 224
Young Young's zeroth
W
175
36
211 modulus law
185
of thermodynamics
記号 ≡158
122
209
Y•EZ
T tan 48 Taylor expansion temperature 263 terminal velocity
10
μ15 π52 ∝ 130
263
著者略歴 ふか しろ せん
し
しば や ま
深 代 千 之
柴
1955年 1983年
1967年 1992年 1994年
群 馬県 に生 まれる 東京 大学大 学 院教育学 研究科 博 士課程 修了 鹿屋 体育 大学 1988年(財)ス ポー ツ医 ・科 学研 究所 現 在 東京 大学大 学 院総合 文化研 究科 助 教授 ・教育 学博士 日本 および国際 バイオメカニ クス 学 会理事 主 著 跳 ぶ科学(編 著,大 修 館書店) スポ ーツ科学 へ の招 待 (ベースボールマ ガジン社)
あきら
山
明
1996年
東 京都 に生 まれ る 東京 大学理 学部物 理学 科卒 業 東京大 学大 学院理 学系研 究科 修士 課程修 了 東京 大学大 学院 総合文 化研 究科 生命 環境科 学系 修士課 程修 了 同博士 課程在 学
現
在
ス ポ ー ツ基 礎 数 理 ハ ン ドブック 2000年9月20日 2010年4月25日
定価 はカバ ー に表 示
初版 第1刷 第5刷
著 者 深
代
柴
山
発行者 朝
倉
発行所 株式 会社
朝
千
之 明
邦 倉
書
造 店
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話03(3260)0141
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