الحمد ل الذي بحمده تتم الصالحات ذو القعدة 1436
رفع الستار عن قاتنون التنتظار
1 4
α
B
x
M
محمد بن تنوة
A
التوزيعات
قاتنون التنتظار تمهيد
يكتسي موضوع التنتظار أهمية قصوى في حياتنا اليومية و ل يخلو يوم إل و التنسان معرض
له )و هو من قدر اللله( ففي الطريق إشارات المرور )الضواء( تلزمنا التنتظار ،كذا اتنتظار المريض الدخول على الطبيب ،كذا اتنتظار وصول الحافلة إلى المحطة … .إلخ.
الشكالية
هل يخضع التنتظار إلى قاتنون )توزيع( يحكمه ؟ و هل يمكن الستفادة منه لمعرفة أحسن
النماذج و استغللها ؟
العمل لحل هذه الشكالية
لحل هذه المشكلة تنفرض وضعية طبيعية حقيقية و هي موعد يضرب بين صديقين في مدة زمنية محددة) و لتكن ساعة لتسهيل متابعة البحث ثم تعمم في تنهاية الدراسة ( ،حيث
يأتيان خلل هذه المدة عشوائياا مما يؤدي إلى وقوع التنتظار ل محالة
ملحظة :بمقدور تلميذ من المستوى النهائى )ثاتنوي علمي أو رياضي ( أن يتابع البحث 1
الوضعية
يتفق صديقان على اللتقاء بين الساعة الثاتنية عشر و الثالثة عشر )مدة ساعة و ليس
بالضرورة بين الثاتنية عشر و الثالثة عشر( ،حيث يأتي كل منهما خلل المدة)عشوائيا ( ،مما 2
يجعل مسألة التنتظار مطروحة و تفرض علينا مواقف عملية )قد تصل إلى إلغاء الموعد ( و 3
تنفسية )القلق و التضمر(
يتعامل الناس مع هذه الظاهرة)التنتظار( بطرق مختلفة ،فمنهم من يأتي بداية المدة و منهم
من يقلق بعد ربع ساعة من وصوله و منهم من ينتظر إلى تنصف الوقت أي إلى الثاتنية عشر و
تنصف ثم يقلق و الناس إزاء هذه الظاهرة نماذج كثيرة … ....و منهم من يلغي الموعد بمجرد 1
أتم منهاج السنة الثالثة المقرر )بدون عتبة (كون التوزيعات المستمرة أخر درس.
2التوزيع المنتتظم المستمر على المجال ][0 ; 1 3
.
مع زبون أو مريض)الطبيب ينتظر أو المريض ينتظر دوره(
3
مرور ربع ساعة من وصوله .
لذلك تنلتبع في بحثنا هذا خطوات معدودة ،تنرى لزومها تسهيلا لتتبع البحث خطوة خطوة ليسهل الفهم ،مستخدمينا أدوات رياضية من دوا ل ل و حساب تفاضلي و حساب تكاملي
) (integralو قياس ) (measureو مفهوم الحتمال ) (probabilityو التوزيعات )(distributions
الخطوات الملتبعة :
(1حل بعض الحالت الخاصة )تسهيل للقارئ تتبع الحالة العامة( (2حل الحالة العامة على المجال ][0 ; 1 (3إيجاد قاتنون الحتمال )توزيع التنتظار( على المجال ] [0 ; 1و حساب وسائطه. (4تعميم قاتنون الحتمال على المجال ] [a ; bو تحليل وسائطه. (5استثمار قاتنون الحتمال )توزيع التنتظار( في تسيير التنتظار.
(1حل بعض الحالت الخاصة:
تنعتبر في هذه الحالت وقت محدد ينتظره الواصل إن لم يجد صديقه الخر قد وصل و هما ربع ساعة ثم تنصف ساعة ثم ثلثة أرباع ساعة و تنحسب احتمال التلقي فيها و ذلك
باستخدام داللة التلقي التي ترفق بكل قيمة xمن المجال ] x ) [0 ; 1هي اللحظة التي يصل فيها أحدهما إلى مكان اللقاء( العدد ) f t ( xو هو مجموع اللقاءات الممكنة )المجموع هنا عبارة عن قياس و هو طول مجال باعتباره القياس الطبيعي ).((lebesgue measure
حساب احتمال الحادثة E 1التالية : 4
" يقرر كل منهما أن ينتظر ربع ساعة أخرى بعد وصوله إن لم يجد صاحبه قد وصل "
الحل:
تنمثل المدة الزمنية)ساعة واحدة( بقطعة مستقيمة ] [ ABطولها واحد حيث تمثل النقطة
Aبداية الساعة أي الدقيقة 0و النقطة Bتنهاية الساعة أي الدقيقة 60و هي القيمة
1و تمثل النقطة Mمنتصف القطعة ] [ ABمنتصف الوقت أي 30دقيقة و تمثل القيمة
1 2
)كما في الشكل( B
M
A
إيجاد داللة اللقاء xإلى زمن وصول أحد هما إلى موقع اللقاء ،فيكون ]x ∈ [ 0 ; 1
تنرمز بالحرف
)و هو عدد حقيقي بالطبع فالزمن مقدار مستمر (.
لكل قيمة للمتغير xعلى المجال ] [0 ; 1تقابلها قيمة )) f 1 ( xطول مجال حصول 4
1 1 ) ; ( تمثل 12 5
اللقاء ( كون أي قيمة من هذا المجال تقابل لقاء متوقع )مثل الثنائية 4
حصول اللقاء لن :أول الواصلين كان بعد 5دقائق و ثاتنيهما بعد 12دقيقة ( 1 مثل: 4
=)f 1 (0 4
لتنه إن وصل أحددهما أول اللقاء فكل ثنائية ) (0 ; yحيث 1 4
و قياس هذا المجال الطبيعي )(lebesgue measureهو B
كذالك :
( 12 )= 12
] [
1 ; y ∈ 0تعتبر لقاء متوقع ، 4
)و هو طول القطعة الحمراء( A
M 1 4
f1 4
لتنه إن وصل أحدهما في منتصف الوقت فيمكن للخر أن يصل قبله بربع ساعة أو يتأخر عنه
]
بربع ساعة ليس أكثر.فيكون مجال التلقي هو
بنفس التحليل السابق تنجد أن ] : [ . المجال ]
1 3 ; 4 4
[
∈x
1 3 ; 4 4
⋯
[
و قياسه
1 2
.
1 =) f 1 (xأي أن الداللة 2
fثابتة على
4
1 3 ; 4 4
تعيين عبارة الداللة
f1 4
على المجال ] [ 1 4
;0
)f (x
B
على المجال
] [ 1 4
;0
M
x
A
من الشكل تنرى أن ) f 1 (xهي مجموع الطولين الحمر و الخضر أي
القيمة xو القيمة الثابتة
4
1 1 أي f 1 (x)= + x : 4 4 4
4أختير الطول كوتنه القياس الطبيعي )measure
(lebesgue
5
تعيين عبارة الداللة
1 4
fعلى المجال ] [ 3 ;1 4
1 4
α
B
على المجال ] [ 3 ;1 4
M
x 1 4
A
من الشكل تنجد أن f 1 ( x)= +αمع x+α=1و هو طول المدة 4
1 5 α=1−xفتكون الداللة كالتالي f 1 (x)= +1−x= −x : 4 4 4
)ساعة( ليكون
العبارة النهائية للداللة
f1 4
1 4
<0≤x
1 3 <≤x 4 4 3 ≤x≤1 4
مما سبق تنجد :
⋯ ⋯ ⋯
{
1 +x 4 f 1 ( x)= 1 2 4 5 −x 4
ملظحظة .1يمكن ملحظة أن ) f 1 (1−x )=f 1 (xو هذا عند 4
4
استخراج قيمة αمما يؤكد أن منحني الداللة f 1متناظر بالنسبة للمستقيم 4
1 2
= xأي
بالنسبة لمنتصف الوقت )منحني الداللة يؤكد
ذالك(
.2الداللة f 1تبلغ قيمتها الحدية 4
]
1 3 ; 4 4
[
1 2
على المجال
أي أتنه من الحسن أن يحاول كلهما
المجيء في هذا الوقت .و أن خارج هذا المجال تقل فيه اللقاءات و يكثر التنتظار
فافهم
.3لحظ أن الداللة f 1ل تقبل الشتقاق عند القيمتين 4
3 1 و 4 4
.
حساب احتمال التلقي:
احتمال الحادثة السابقة هو جمع كل قيم الداللة
5
f 1على المجال ] [ 0 ; 1و هو 4
1
p E1 =∫ f 1 ( x)dx 4
1
3 4
4
4
) (
0
4
1 4
1 1 5 =∫ ( + x)dx + ∫ dx + ∫ ( −x)dx 0 4 1 2 3 4 07 =0.4375 16
ملظحظة:
=
.1الحتمال أكبر من الربع بل هو أقرب من النصف منه إلى الربع . 6
.2
07 16
= ) P( E 1هو مساحة الحيز تحت المنحني 4
حساب احتمال الحادثة E 1التالية: 2
" يقرر كل منهما أن ينتظر تنصف ساعة أخرى بعد وصوله إن لم يجد صاحبه قد وصل"
إيجاد داللة التلقي و مكاملتها على المجال
][ 0 ; 1
بتحليل بسيط كما فعلنا مع ربع ساعة تنجدأن الداللة f 1ل تثبت على أي مجال بل 2
متزايدةعلى المجال
] [ 1 2
;0
ثم متناقصة على المجال
] [ 1 ;1 2
و عباراتها كالتي:
)الشكل(
1 2
<0≤x
⋯
1 ≤x≤1 2
⋯
{
1 +x 2 =)f 1 ( x 3 2 −x 2
5
اللقاءات الممكنة
6
الكثير يظن أن الحتمال هو تنسبة التنتظار إلى طول المدة المتفق عليها
7
ملظحظة .1لحظ أن القيمة الحدية واحد عند تنصف الساعة تؤكد وقوع اللقاء إن جاء أحدهما في تنصف الوقت.
1
1 3 + x dx + ∫ − x dx 2 1 2
)
)
(
1
3 x2 + x− 2 2
1 2
( ) (
∫= p E1 0
2
2
|
1 2
ويكون احتمال التلقي هو:
1 2
|
0
1 x2 = x+ 2 2
) (14 + 18 )− (0) + (32 −12 )−(34 − 18
=
3 5 +1− 8 8
=
3 3 + 8 8
=
3 4
=
ملظحظة
احتمال التلقي هوثلثة أرباع و ليس كما يظن البعض أتنه تنصف )طول المجال(،هذا ما يعني
أن من عزم على التنتظار تنصف ساعة أتنه مهتم باللقاء فافهم . 7
1 يمكن أن تلحظ من منحني الداللة أن f 1 ( )=1ما يعني أتنه إن وصل أحدهما في منتصف 2
2
الوقت أن اللقاء أكيد
حساب احتمال الحادثة E 3التالية: 4
" يقرر كل منهما أن ينتظر ثلثةأرباع ساعة أخرى بعد وصوله إن لم يجد صاحبه قد وصل "
إيجاد داللة التلقي و مكاملتها على المجال
][ 0 ; 1
.1يمكن أن تلحظ أتنه إن وصل أحدهما في المجال ] أن الداللة ثابتة و قيمتها 1
.2على المجال ] [ .3على المجال ] [ 1 4
;0
3 ;1 4
7
1 3 ; 4 4
[
أن اللقاء أكيد ،مما يعني
3 الداللة متزايدة و شكلها f 3 (x)= + x 4 4 3 7 الداللة متناقصة و شكلها f 3 (x)=1−x + = −x 4 4 4
هنا الحتمال تنقيس به اهتمام المرء باللقاء
1 4 1 3 <≤x 4 4 3 ≤x≤1 4
<0≤x
فتكون
3 +x 4
⋯
{
f 3 ( x)= 1
⋯
7 −x 4
⋯
4
و يكون احتمال التلقي هو 1 2
p E3 = 2 × ∫ f ( x)dx
) (
0
)
1 2
3
1 4
(
∫ 4 +x dx + ∫ 1 dx 1 4
)
1 2 1 4
| +1 x
0
1 4
|
0
4
×=2
(
3 x2 × =2 x+ 4 2
) ( 0316 +0132 −0+12 −14
× =2
) ( 0632 +0132 + 1632 −3208
× =2
15 ≈0.9375 16
=
ملظحظات
.1ثلثة أرباع ساعة اتنتظار تجعل احتمال التلقي أكثر من . 90 % .2الدوال السابقة تبلغ قيمتها الحدية عند منتصف المدة ،لذلك ينصح بعدم تعجل المجئ للموعد .و عدم التأخر و ذلك لجعل مدة التنتظار أقل ما يمكن. 8
8
" وما أعجلك عن قومك يا موسى " القرآن لنا رجعة لهذا الموضوع
9
(2حل الحالة العامة .
(1حساب احتمال الحادثة E tالتالية :
"يقرر كل منهما أن ينتظر t
من الزمن بعد وصوله إن لم يجد صاحبه قد وصل "
(2تعيين داللة التلقي
تنميز ثلث حالت هي:
أ (.داللة التلقي ل تبلغ القيمة الواحد .و هي ب (.داللة التلقي تبلغ القيمة واحد.و هي ت (.و الحالة
1 2
1 2
>. t
= tو قد درست من قبل.
1 أ (.إيجاد داللة التلقي من أجل 2 الحالة
1 2
<. t
<. t
1 = tهي حالة خاصة من هذه الحالة ،حيث تكون الداللة ثابتة على المجال 4
] [ t ; 1−tو تكون متزايدة على ] [ 0 ; tو متناقصة على ] [ t ; 1−tو منحنيها متناظر بالنسبة للمستقيم
1 = xفتكون داللة التلقي كالتالي : 2
⋯ 0≤x
{
t+x f t (x )= 2 t t + 1 −x
في الشكل المقابل منحنيات الداللة f tمن أجل القيم
1 5
1 4
1 3
.
1 ب (.إيجاد داللة التلقي من أجل 2 الحالة
>t
3 = tهي حالة خاصة من هذه الحالة حيث تبلغ الداللة القيمة 1على المجال 4
] [1−t ; tبحيث إذا جاء أحدهم في هذا المجال لكان اللقاء مؤكد ،و تكون الداللة متزايدة
على ] [0 ; 1−tو متناقصة ] [t ; 1فتكون داللة التلقي كالتالي:
0 ≤ x < 1−t 1−t ≤ x < t t ≤ x ≤1
⋯ ⋯ ⋯
المنحنيات التالية هي للداللة f tمن أجل القيم
{
t+x f t (x )= 1 t + 1 −x 5 3 2 ، ، 6 4 3
11
.3إيجاد قاتنون الحتمال
1 حساب داللة الحتمال ) F Xتوزيع المتغير العشوائي التنتظار ( Xمن أجل 2 احتمال التنتظار إلى غاية tمن المدة الزمنية هو
<t
)p(X ≤ t)=F X (t
و يحسب كما في الحالت السابقة : 1
F X (t )=∫ f t ( x ) dx 0
1
t
1−t
= ∫ (t + x) dx + ∫ 2 t dx+ ∫ (1−x+ t)dx 1−t
x2 + t x |11−t 2
0
t
t
+ x−
1−t
+ 2t x |t
|
0
x2 = t x+ 2
2
)(1−t t2 1 = t + −0 + 2 t (1−t )−2 t 2 +(1− +t)−(1−t− ))+t(1−t 2 2 2 2
2 ) (1−t 2 3t 2 2 1 = + 2 t−2 t −2 t + + t−1+ t+ −t+t 2 2 2 2
3t2 1 1 t2 +3 t− + + −t 2 2 2 2
=−
= 2 t−t 2
1 حساب داللة الحتمال ) F Xتوزيع المتغير العشوائي التنتظار ( Xمن أجل 2 1
F X (t )=∫ f t ( x ) dx 1
0 1−t
t
= ∫ (t + x)dx + ∫ 1 dx+∫ (1−x +t)dx t
1−t
1
0
1−t
|
|
t x x2 )=(tx+ ) + (x)|1−t + (x − + tx 2 0 2 t
)
2
(1−t )2 1 t2 2 = t(1−t)+ ) −0 + ( t−(1−t ) ) + (1− + t)−( t− +t 2 2 2
)
(
)
( (
t2 1 t2 2 1 = t−t + −t+ + ( 2t−1 )+ +t−t− 2 2 2 2 2 2 −t 1 1 t = + + 2t−1+ − 2 2 2 2 2 = 2 t−t
(
)
>t
مما سبق داللة الحتمال F Xمن أجل
1 1 < tو 2 2 2
3 و لدينا 4
=) lim F X ( tمع 1 2
→t
( 12 ) = 34
> tهي
F X (t )=2 t −t
F Xأي أن Fمستمرة عند القيمة
1 2
نتيجة داللة احتمال التنتظار على المجال ] [0 ; 1هي F X (t )=2t −t 2 :
قاتنون احتمال التنتظار: عموما يعطى قاتنون الحتمال على ℝفيكون كالتالي :
t<0 ]t ∈ [0 ; 1 t >1
{
0 F X (t )= 2 t −t 2 1
⋯ ⋯ ⋯
و منحنيه
ملظحظة
واضح أن F Xمستمرة على ℝو قابلة للشتقاق ما عدا عند القيمة . 0 يمكن حساب كل الحالت السابقة : 3 15 1 3 1 1 1 2 7 ، FX = ، F X = ) (=2× − = 4 16 2 4 4 4 4 16
)(
)(
)(
. FX
13
داللة الكثافة الحتمالية للتنتظار و منحنيها
بما أن داللة الكثافة الحتمالية هي مشتقة داللة الحتمال إذن داللة الكثافة
t<0 ]t ∈ ]0 ; 1 t>1
{
0 f (t )= 2−2 t 0
⋯ ⋯ ⋯
متوسط التنتظار ) μ X =E (X متوسط التنتظار يحسب كالتالي 1
E (X )=∫ t×f (t)dt 0
1
= ∫ 2 t−2 t 2 dt 0
1
|
2 3 =t − t 3 0 2
2 3
= 1− 1 3
و منه
1 3
=μX
=
X للتنتظارσ X التنحراف المعياري و يحسب كالتالي 1
σ =∫ f (t )×( t−μ X )2 dt 2 X
0
1
1 2 =∫ (2−2 t)×(t− ) dt 3 0 1
2 1 =∫ (2−2 t)(t 2− t+ )dt 3 9 0 1
4 2 4 2 =∫ (2t 2− t+ −2t 3 + t 2− t)dt 3 9 3 9 0 1
=∫ (−2 t 3+ 0
10 2 14 2 t − t+ )dt 3 9 9 1
|
=
−1 4 10 3 7 2 2 t + t − t + t 2 9 9 9 0
=
−1 10 7 2 + − + 2 9 9 9
5 1 = − 9 2
=
1 18
σ X=
1 √ 18
و منه
μ X + σX
F X (μ X −σ X ≤ t ≤ μ X +σ X )=
=
∫
2−2t dt
μ X −σ X
4 √2 9
≃ 0.6285
15
و يمكن التأكد من أن
نتيجة )جديدة( .1متوسط التنتظار هو ثلث فترةاللتقاء )و ليس النصف( مع اتنحراف معياري أقل من ربع المدة 9
.2حوالي 63 %من اللقاءات تتم داخل المجال ] . [ μ X − σ X ; μ X + σ X بمعنى آخر :إذا كنت تلتقي صديقاا لك بين الساعة السابعة و الثامنة)مرات كثيرة ( فإن معدل التنتظار هو عشرون دقيقة و في غالب الحيان يمتد بين ستة دقائق و أربع و ثلثون
دقيقة
علميا :إذا تم اللقاء قبل مضي ستة دقائق فليس هناك اتنتظار )أو ل تنسميه اتنتظار( و إن جاوز الربع و ثلثين دقيقة )على القل مرات عديدة ( كذالك ل تنسميه اتنتظار فل بد من تغيير مدة
اللتقاء ليصح اسم التنتظار عليه.
ملظحظة:
10 داللة الكثافة الحتمالية )( PDFتعطينا كل المعلومات عن التنتظار)المتغير العشوائي ( X
فمثلل :
الجواب عن السؤال "ما احتمال أن يكون التنتظار بين ربع ساعة و عشرون دقيقة ؟" 1 3
( 14 ≤ t ≤ 13 )= ∫ f (t) dt
FX
1 4
1 2 1 3
|
هو :
t2 = 2 t− 2
) ( 12 )−( 32 − 181
= 1−
1 ≃ 0.11 9
=
يعني أتنك إذا اتنتظرت ربع ساعة و قررت أن تنتظر خمسة دقائق أخرى فإن احتمال مجيئه
فيها هو 0.11
9
لن
√ 18 > 4
Probability density function 10
.4قاتنون التنتظار العام
11 Xهو المتغير العشوائي المستمر التنتظار على المجال ][a ; b ) ( a
.1داللة كثافة التنتظار X
باعتبار داللة كثافة التنتظار على المجال ] [0 ; 1تآلفية و تنعدم عند القيمة 1و معدومة
خارج المجال ] ، [0 ; 1تنجعل داللة كثافة Xعلى المجال ] [a ; bتآلفية و تنعدم من أجل
القيمة bو معدومة خارج المجال ] [a ; bفتكون داللة الكثافة
t
b b
و بما أن
∫ f (t )dt =1
فتكون
a
⋯ ⋯ ⋯
{
0 )f (t )= α (b−t 0
2 =α فإن 2 )(b−a
t
⋯
] t ∈ ]a ; b
⋯
t>b
⋯
0 2 ) (b−t (b−a)2 0
{
=) f (t
و هذا منحنيها في الشكل التالي :
11مثلا ][1 ; 4
بين الساعة الواحدة زوالا و الساعة الرابعة مساءاا
17
.2معدل اتنتظار X ∞+
μ X = ∫ f (t)×t dt ∞−
2 (b−t)×t dt + 0 2 )(b−a
b
∫= 0 + a
2 (bt−t 2) dt 2 )( b−a
b
∫= a
b
|
))
2 bt 2 t 3 × − 2 2 3a )(b−a
=
2 b3 b3 a2 b a3 × − − − 2 2 3 2 3 )(b−a
=
2 b3 a2 b a 3 × − + 6 2 3 (b−a)2
=
1 3 2 3 ) ×( b −3 a b+2 a 2 )3(b−a
=
1 ) )×( (b−a)2 (2 a+b 2 )3(b−a
=
2 a+b 3
=
()
)
هنا ظهر
2 a+b 3
(( (
ومنه
= μ Xكمقدار ثلث المدة الزمنية و موقع باعتبار
2 a+b 3
=μX
2 a+ b b−a =a+ 3 3
.3التنحراف المعياري للتنتظار X Xكالتالي :
يحسب التنحراف المعياري σ Xللتنتظار
∞+
σ X =∫ f (t)×(t−μ x ) dt 2
2
∞−
b
= 0 + ∫ f (t )×(t−μ x ) dt +0 2
a
2
b
2 2 a+b × (b−t)× t− dt ∫ 2 3 (b−a) a ⋯= 2 )(b−a = 18
)
(
=
و منه
b−a =σ X √ 18
ملظحظات و نتائج .1لحظ أن
2 a+b b−a =a+ 3 3
= μ xأي أن معدل التنتظار هو ثلث المدة الزمنية من فترة
1 التنتظار و أن التنحراف المعياري أقل من ربع المدة الزمنية ) = 0.2357 ... √18 4 √2 .2لحظ أن أغلب التنتظارات في المجال ] [μ x − σ X ; μ X + σ Xو احتمالها 9 )مساحة الجزء المظلل في الشكل السابق (أي ما يعادل . 62.85 %
(
.3لحظ أن التنحراف المعياري قريب من المتوسط )أو تنوعاا ما كبير ( ما يفسر صعوبة تحسس وجود قاتنون يضبط التنتظار.
.4يمكن أن تنطلق على المجيئ في المجال ] [a ; μ X −σ Xبالعجلة و المجيئ في المجال 1 2 √2 ] [μ X +σ X ; bبالتراخي و لكل منهما تنفس احتمال و هو − 2 9 .5يمكن الحكم على أن الذي يتعجل اللقاء قبل الفترة ] [μ x − σ X ; μ X + σ Xأتنه قلق و
.
الذي يصبر بعدها أتنه صبور . عملي اا :يحسن بالذاهب إلى الموعد أن ل يتعجل بداية الموعد و ل يتأخر بل يحاول
جهده أن يقترب من الثلث الول من المدة المتفق عليها كي ل ينتظر كثيراا و ل يترك
صاحبه ينتظر كثيراا و اللله أعلم
.6التنتظار متغير عشوائي مستمر له قاتنون و وسائط يحسن إدراجه في المقرر
12
مباشرة
بعد التوزيع المستمر المنتظم على مجال ] ) [ 0 ; 1أو ] ( [ a ; bكوتنه حقيقي كما أن
أدوات دراسته بسيطة )المستوى النهائي كافي( و هو كافي لزاحة كثير من الغموض
الذي يحوم حول المفاهيم التي يصعب على الطالب هضمها كالمتغير العشوائي
المستمر و دالة الكثافة الحتمالية و المل الرياضي و التنحراف المعياري و قاتنون
الحتمال كوتنه خطوة لبد منها في مدارج المفاهيم المجردة في وحدة التوزيعات.
و لله الحمد في الولى و الخرة
12أو في وحدة التوزيعات ) (distributionsضمن التوزيعات المستمرة
19
