Базисы Грёбнера-Ширшова универсальных обертывающих простых конформных супералгебр Ли серии W N

Алгебра и логика, 43, N 2 (2004), 197—219

УДК 512.554.342:512.554.558

¨ БАЗИСЫ ГРЕБНЕРА–ШИРШОВА УНИВЕРСАЛЬНЫХ ОБЕРТЫВАЮЩИХ ПРОСТЫХ КОНФОРМНЫХ СУПЕРАЛГЕБР ЛИ СЕРИИ WN ∗) П. C. КОЛЕСНИКОВ § 1. Предварительные сведения В этом параграфе приводятся необходимые сведения из теории конформных алгебр [1]. Также будут рассматриваться наиболее важные с точки зрения физических приложений примеры конформных алгебр. Классификация [2, 3] простых конформных супералгебр Ли конечного ранга над полем C представляет собой описание четырех бесконечных серий и двух исключительных конформных супералгебр. Здесь приводится описание основной серии WN , все остальные алгебры этой классификации содержатся в WN (для подходящего N ) как подалгебры. Основы теории базисов Гр¨ебнера–Ширшова ассоциативных конформных алгебр заложены в [4, 5] (см. также [6]). Как и в случае классических алгебр, одним из основных направлений применения этой теории является изучение ассоциативных обертывающих для алгебр Ли. Поскольку аналог теоремы Пуанкаре–Биркгоффа–Витта не выполняется для произвольной конформной алгебры Ли [7] (см. также [6]), остается исследовать по возможности более широкие специальные классы алгебр. Одним из таких классов является серия простых конформных супералгебр ∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований, проект N 01-01-00630а.

c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2004

198

П. С. Колесников

WN . Для построения универсальных обертывающих для супералгебр этой серии будет использоваться более общее понятие псевдоалгебры, рассмотренное в § 2. 1.1. Конформные алгебры. Понятие конформной (супер) алгебры было введено в [1] как важный инструмент исследования вертексных (киральных) алгебр. Последние возникли в задачах математической физики [8], строгое определение было дано позднее в [9]. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1 Пусть K — поле характеристики нуль. Конформной алгеброй называется левый K[D]-модуль C, снабженный семейn , где n ∈ Z+ — неотрицательное целое ством K-билинейных операций

число, удовлетворяющих следующим свойствам: n b=0 для любых a, b ∈ C выполняется a

(1.1)

при достаточно большом n; n b = −na Da

n−1

n Db = D(a n b) + na b, a

n−1

b.

(1.2)

Условия (1.1) и (1.2) называются условиями локальности (locality) и полуторалинейности (sesqui-linearity) соответственно. Конформная супералгебра представляет собой, как обычно, прямую n Cj ⊆ сумму четного и нечетного подмодулей: C = C0 ⊕ C1 , причем Ci

⊆ C(i+j)mod2 . Четность однородного элемента a обозначим через p(a). Функцией локальности называется отображение N : C × C → Z+ , ставящее в соответствие двум элементам a, b ∈ C минимальное неотрицаm b = 0 при всех m > n. тельное n = N (a, b) такое, что a

Конформная алгебра называется ассоциативной, если она удовлетворяет тождеству n y) m z = (x

  n X n (−1)s x s

n−s

(y

m+s

z)

(1.3)

i=0

или, эквивалентно, n   X n n (y m z) = x (x s i=0

n−s

y)

m+s

z.

(1.3′ )

Базисы Гр¨ебнера–Ширшова универсальных обертывающих

199

Соотношение (супер)антикоммутативности имеет вид n y = −(−1)p(x)p(y) x

X 1 (−1)n+s Ds (y s!

n+s

x).

(1.4)

s>0

(Сменой знака правой части получается соотношение коммутативности.) Здесь длина суммы в правой части зависит от значения N (y, x), поэтому соотношение (анти)коммутативности не является тождеством в смысле универсальной алгебры. Конформный аналог тождества Якоби не зависит от локальности: n   X n p(x)p(y) m n m n x (y z) − (−1) y (x z) = (x n−s y) m+s z. (1.5) s s=0

Если конформная (супер)алгебра удовлетворяет соотношениям (1.4) и (1.5), то она называется лиевой. Ассоциативная конформная алгебра C, снабженная новой операцией a

n

n b − (−1)p(a)p(b) b = a

X (−1)s s>0

s!

Ds (b

n+s

a),

(1.6)

является конформной (супер)алгеброй Ли. Как и в классическом случае, назовем ее присоединенной алгеброй Ли и обозначим C (−) . ЛЕММА 1.1 [7]. Пусть C — ассоциативная конформная алгебра. Имеет место равенство p(a)p(b)

n (b m c) − (−1) a

n   X n m (a n c) = b (a s

s

b)

n+m−s

c.

i=0

ПРИМЕР 1.1. Пусть A — алгебра над полем K. Можно построить конформную алгебру Cur A = K[D] ⊗ A, по определению положив   (1 ⊗ ab), если n = 0, n (1 ⊗ b) = (1 ⊗ a)  0, если n > 1.

Полученная конформная алгебра называется алгеброй петель (loop) или

токов (current). Если A — ассоциативная или лиева алгебра, то конформная алгебра Cur A обладает тем же свойством. ПРИМЕР 1.2. Рассмотрим K[D]-модуль, свободно порожденный од0 v = Dv, v 1 v = 2v, v n v = 0 при n > 2. ним элементом v. Положим v

200

П. С. Колесников

Получается конформная алгебра Ли Vir, называемая алгеброй Вирасоро (Virasoro algebra). ПРИМЕР 1.3. Пусть h — алгебра Ли. Полупрямое произведение Cur h ⋉ Vir представляет собой конформную алгебру Ли, порожденную над K[D] элементами алгебры h и элементом v, со следующими соотношениями: 0 b = [ab], v 0 v = Dv, v 1 v = 2v, v 0 a = Da, v 1 a = a. a

Эти порождающие локальны: N (a, b) = 1 для a, b ∈ h, N (v, x) = 2. (Все невыписанные произведения вычисляются при помощи соотношения антикоммутативности.) 1.2. Простые конформные супералгебры WN . Вначале сформулируем ЗАМЕЧАНИЕ 1.1. В [10] доказано, что любая простая конформная алгебра Ли конечного ранга над C изоморфна либо Cur h для простой конечномерной алгебры Ли h, либо конформной алгебре Vir. Всякая полупростая конформная алгебра в тех же условиях изоморфна прямой сумме алгебр вида Vir, Cur h и Cur h ⋉ Vir. В случае супералгебр аналогом алгебры Вирасоро является серия конформных супералгебр Ли WN , N > 0 (W0 = Vir). Обозначим через Λ(N ) ассоциативную алгебру Грассмана от N > 0 антикоммутирующих переменных, через W (N ) — супералгебру Ли всех дифференцирований Λ(N ). Будем обозначать ∂i =

∂ ∂ξi ,

i = 1, . . . , N . Диф-

ференцирования ∂i считаются нечетными. В силу [2] конформная супералгебра Ли WN имеет вид WN = K[D] ⊗ (W (N ) ⊕ Λ(N )), где a a

0

f = a(f ), a f

0

1

0

b = [a, b], a

n

b = 0 при n > 1,

f = (−1)p(a)p(f )+1 f a, a

g = −D(f g), f

1

g = −2f g, f

n

n

f = 0 при n > 2,

g = 0 при n > 2.

(1.7)

Базисы Гр¨ебнера–Ширшова универсальных обертывающих

201

Здесь a, b ∈ W (N ), f, g ∈ Λ(N ). Базис WN над K[D] состоит из элементов fI = ξi1 . . . ξir ∈ Λ(N ), I = {i1 , . . . , ir }, i1 < · · · < ir , r > 0, и fI ∂j , j = = 1, . . . , N . Следовательно, ранг WN как K[D]-модуля равен (N + 1)2N . ЗАМЕЧАНИЕ 1.2 [2, 3]. Любая простая супералгебра Ли конечного ранга (K = C) является подалгеброй в WN для подходящего N . 1.3. Базисы Гр¨ ебнера–Ширшова ассоциативных конформных алгебр. Хорошо известно и широко применяется понятие базиса Гр¨ебнера–Ширшова для обычных лиевых и ассоциативных (некоммутативных) алгебр [11—13]. Основы аналогичной теории для ассоциативных конформных алгебр заложены в [4, 5]. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Базисом Гр¨ебнера–Ширшова ассоциативной конформной алгебры называется множество S элементов свободной ассоциативной конформной алгебры C(X, N ), порожденной множеством X с функцией локальности N (см. [14, 15]), если S замкнуто относительно композиции (см. [4, 5], а также [6]). Отличие случая конформных алгебр от классических случаев состоит в том, что здесь необходимо рассматривать несколько больше типов композиций (их описание приведено, напр., в [6, 16]). Как видно из приведенной ниже формулировки, понятие базиса Гр¨ебнера–Ширшова ассоциативной конформной алгебры позволяет решать те же задачи, что и в случае обычных алгебр (проблема равенства, нахождение линейного базиса и др.). Далее через Id (S) будем обозначать дифференциальный идеал в C(X, N ), порожденный множеством S ⊆ C(X, N ). ЛЕММА о композиции (теорема Бухбергера) [5]. Пусть S — базис n s m v для Гр¨ебнера–Ширшова в C(X, N ), а f ∈ Id (S). Тогда либо f = u n sD i для некоторого s ∈ S некоторого D-свободного s ∈ S, либо f = u

(u, v — конформные мономы). Запись wDi означает, что Di применяется к последней букве слова w. Старшее слово f конформного многочлена f можно определять, используя различные способы упорядочивания базисных мономов в C(X, N ). В дан-

202

П. С. Колесников

ной работе используется следующий порядок: [a1

n1

. . . ak

nk

Ds ak+1 ] ≤ [b1

m1

. . . bl

ml

Dq bl+1 ]

при k < l или, в случае k = l, если слово (a1 , n1 , . . . ak , nk , ak+1 , s) меньше либо равно (b1 , m1 , . . . bk , mk , bk+1 , q) лексикографически (при заданном линейном порядке для ai , bj ∈ X и обычном порядке на Z+ ). В случае обычных (лиевых, ассоциативных) алгебр верно и обратное утверждение леммы о композиции. В случае конформных алгебр замкнутость относительно композиции является более сильным (зато алгоритмически проверяемым) условием на множество S, из которого следует, что n s m v] или f¯ = [u n s f ∈ Id (S) ⇒ f¯ = [u ¯1 ¯2 Dt ],

(1.8)

где s1 , s2 ∈ S, u, v — конформные слова (такие, что [u], [v] являются базисными в C(X, N )), u, s1 — D-свободные, 0 6 n, m < N . Именно это условие применяется для алгоритмического определения, например, равенства нулю данного многочлена в конформной алгебре C(X, N | S) = = C(X, N )/Id (S), поэтому целесообразно ввести следующее определение. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3 [17]. Назовем слабым базисом Гр¨ебнера–Ширшова множество S ⊆ C(X, N ), если оно удовлетворяет условию (1.8). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Конформное слово w ∈ C(X, N ) называется Sn s m v и w 6= u n s приведенным, если w 6= u ¯1 ¯2 Dt (здесь рассматриваются

конформные слова без расстановки скобок, а кроме того, как и в (1.8), s1 , s2 ∈ S, [u], [v] — базисные в C(X, N ), u, s1 — D-свободные, 0 6 n, m < < N ). ЛЕММА о композиции (diamond лемма) [5]. Пусть S — базис Гр¨ебнера–Ширшова в C(X, N ). Тогда образы S-приведенных мономов образуют базис алгебры C(X, N | S). Если S является D-свободным, то верно и обратное утверждение. Очевидно, верен также ”слабый“ аналог последней леммы. ЛЕММА 1.2. Множество S является слабым базисом Гр¨ебнера–Ширшова в C(X, N ) тогда и только тогда, когда множество Sприведенных мономов образует базис алгебры C(X, N | S).

Базисы Гр¨ебнера–Ширшова универсальных обертывающих

203

Таким образом, даже если нам известен линейный базис факторалгебры C(X, N | S), нахождение базиса Гр¨ебнера–Ширшова идеала Id (S) не является столь же простой задачей, как в обычном случае. Для случая D-свободных соотношений определения 1.2 и 1.3 эквивалентны. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.1. Пусть S˜ ⊆ S ⊆ C(X, N ), причем S˜ состоит из всех D-свободных соотношений множества S; образы Sприведенных слов линейно независимы в C(X, N | S); S˜ замкнуто относительно композиции и содержит все композиции правого умножения ˜ Тогда S — базис Гр¨ебнера–Ширшова. [5, 6] соотношений из S \ S. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Любой конформный многочлен f ∈ C(X, N ) представим в виде f=

X k

αk vk +

X

αi [ui

ni

si

mi

wi ] +

X

αj [uj

nj

Dqj sj ],

(1.9)

j

i

где vk ∈ B, si ∈ S — D-свободные, sj ∈ S, ni , mi , nj < N , ui , wi , uj — конформные мономы (ui , uj — D-свободны), αi , αj , αk ∈ K и v k , ui

ni

si

mi

wi , u j

nj

sj Dqj ≤ f .

(1.10)

Если f — композиция многочленов из S, то αk = 0 для всех k, так как vk линейно независимы в C(X, N | S). Кроме того, все слагаемые в правой части (1.9) также D-свободны, если f — композиция D-свободных многочленов или композиция правого умножения. Осталось убедиться, что добавление к S˜ остальных соотношений из S не приведет к появлению новых нетривиальных композиций. Действительно, основное свойство композиций вида (f, g)w состоит в том, что (f, g)w < w. Таким образом, равенство (1.9) при выполнении условия (1.10) превращается в определение тривиальности композиции (f, g)w по модулю S. Аналогично, композиции левого умножения соотношений из S \ S˜ также тривиальны. 2 1.4. Универсальные обертывающие конформные алгебры. Задача построения ассоциативной обертывающей конформной алгебры для лиевой конформной алгебры L подробно рассмотрена в [7]. Очевидно,

204

П. С. Колесников

не существует универсальной обертывающей в классе всех ассоциативных конформных алгебр. Если же для алгебры L, порожденной множеством X с функцией локальности N , зафиксировать ”ассоциативную“ функцию локальности для порождающих (обозначим ее L), то в классе ассоциативных конформных алгебр, порожденных тем же множеством X с новой функцией локальности L, можно построить универсальную обертывающую. А именно, если L = Lie C(X, N | S), то UL (L) = C(X, L | S a ),

(1.11)

где S a состоит из соотношений S, записанных в ассоциативной форме посредством (1.6), а также соотношений, определяющих локальность N в лиевом смысле на порождающих. Следует отметить, что гомоморфизм ϕL : L → UL (L) не всегда инъективен (следовательно, соответствующее представление не является точным). Более того, существуют такие алгебры L (например, свободная конформная алгебра Ли), что при любом L гомоморфизм ϕL не является инъективным [7]. Для простых конформных супералгебр серии WN оказывается возможным построить точное универсальное представление. Мы исследуем соответствующую универсальную обертывающую для минимальной функции локальности L, при которой отображение ϕL остается инъективным. § 2. Псевдоалгебры При изучении конформных алгебр оказывается полезным более общее понятие псевдоалгебры [18, 19] как ”многомерной“ конформной алгебры. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Пусть H — алгебра Хопфа. Псевдоалгеброй над H (H-псевдоалгеброй) называется левый H-модуль A, снабженный Hбилинейной операцией ∗ : A ⊗ A → (H ⊗ H) ⊗H A,

(2.1)

называемой псевдопроизведением. Здесь H действует на H ⊗ H справа посредством коумножения ∆: (f ⊗ g) · h = (f ⊗ g)∆(h).

Базисы Гр¨ебнера–Ширшова универсальных обертывающих

205

Будем рассматривать случай H = K[D], ∆(D) = 1 ⊗ D + D ⊗ 1, ε(D) = 0, S(D) = −D. Можно интерпретировать H как универсальную обертывающую одномерной алгебры Ли, тогда понятия H-псевдоалгебры и конформной алгебры совпадают. Используя преобразование Фурье на H ⊗ H (см., напр., [19]), любой элемент f ⊗ g ∈ H ⊗ H можно единственным образом представить в виде f ⊗g =

X (−1)n

n>0

n!

(Dn ⊗ 1)∆(hn ), hn ∈ H.

Следовательно, для любых a, b ∈ A можно записать a∗b=

X (−1)n n!

n>0

(Dn ⊗ 1) ⊗H cn , cn ∈ A.

(2.2)

Таким образом, для любых a, b ∈ A однозначно определяется конечный набор {cn } ⊂ A. Как легко проверить [19], все аксиомы конформной алгебры n b = cn . выполняются при a

Условие (1.3) ассоциативности конформной алгебры превращается на языке псевдопроизведения в тождество a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c,

(2.3)

где для вычисления итерированного псевдопроизведения используется формула (F ⊗H a) ∗ (G ⊗H b) = (F ⊗ G ⊗H 1)(∆(n) ⊗ ∆(m) )(fi ⊗ gi ) ⊗H ci , здесь F ∈ H ⊗n , G ∈ H ⊗m ,

(2.4)

P (fi ⊗gi )⊗H ci = a∗b. Отображение ∆(n) : H → i

→ H ⊗n (итерированное копроизведение) строится по правилу ∆(1) = idH , ∆(n) = (idH ⊗n−2 ⊗ ∆)∆(n−1) . Как легко видеть, (H ⊗n ⊗H A) ∗ (H ⊗m ⊗H A) ⊆ (H ⊗n+m ⊗H A). ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.1. Пусть H — кокоммутативная алгебра Хопфа, A — некоторая H-комодульная алгебра, т. е. ассоциативная алгебра, снабженная коассоциативным гомоморфизмом ∆A : A → H ⊗ A.

206

П. С. Колесников

Обозначим ∆A (a) =

P

a(1) ⊗ a(2) . Тогда на A = H ⊗ A можно определить

(a)

структуру ассоциативной H-псевдоалгебры следующим образом: (h ⊗ a) ∗ (g ⊗ b) =

X

(hb(1) ⊗ g) ⊗H (1 ⊗ ab(2) ).

(2.5)

(b)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимо проверить только справедливость равенства (2.3) для элементов A вида 1 ⊗ A. Действительно, пусть a, b, c ∈ A, тогда по (2.4) P (1 ⊗ a) ∗ ((c(1) ⊗ 1) ⊗H (1 ⊗ bc(2) )

(1 ⊗ a) ∗ ((1 ⊗ b) ∗ (1 ⊗ c)) = =

P

(c)

(1 ⊗ c(1) ⊗ 1)(id ⊗ ∆)(b(1) c(2) ⊗ 1) ⊗H (1 ⊗ ab(2) c(3) ).

(2.6)

(b),(c)

С другой стороны, ((1 ⊗ a) ∗ (1 ⊗ b)) ∗ (1 ⊗ c) = =

P

P ((b(1) ⊗ 1) ⊗H (1 ⊗ ab(2) )) ∗ (1 ⊗ c) (b)

(b(1) ⊗ 1 ⊗ 1)(∆ ⊗ id)(c(1) ⊗ 1) ⊗H (1 ⊗ ab(2) c(2) ).

(2.7)

(b),(c)

В силу кокоммутативности алгебры H выражения (2.6) и (2.7) совпадают. 2 Аналогично доказывается ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.2. Пусть H — коммутативная алгебра Хопфа, A — некоторая H-комодульная алгебра. Тогда структуру ассоциативной H-псевдоалгебры на A = H ⊗ A можно определить так: (h ⊗ a) ∗ (g ⊗ b) =

X

(h ⊗ ga(1) ) ⊗H (1 ⊗ a(2) b).

(2.8)

(a)

ПРИМЕР 2.1. Пусть A — ассоциативная алгебра над полем K. Определим на A структуру K[D]-комодульной алгебры, положив ∆A (a) = 1⊗a. Тогда псевдоалгебра A = K[D]⊗A с псевдопроизведением (2.5) изоморфна конформной алгебре петель Cur A из примера 1.1. ПРИМЕР 2.2. Рассмотрим ассоциативную алгебру многочленов A = = K[v]. Положив ∆A (v) = D ⊗ 1 + 1 ⊗ v, получим K[D]-комодульную алгебру. Соответствующая ассоциативная конформная алгебра A = K[D] ⊗ K[v]

Базисы Гр¨ебнера–Ширшова универсальных обертывающих

207

с псевдопроизведением (2.5) содержит алгебру Vir как подалгебру присоединенной конформной алгебры Ли. ПРИМЕР 2.3. Пусть h — алгебра Ли. Рассмотрим ассоциативную алгебру A = U (h) ⊗ K[v] со структурой K[D]-комодульной алгебры, определенной равенствами ∆A (a ⊗ 1) = 1 ⊗ (a ⊗ 1), ∆A (1 ⊗ v) = D ⊗ (1 ⊗ 1) + 1 ⊗ (1 ⊗ v). Тогда полупрямое произведение Cur h ⋉ Vir представляет собой конформную подалгебру Ли в присоединенной алгебре (K[D] ⊗ A)(−) , где ассоциативное псевдопроизведение определено по (2.8). Приведенные примеры (с учетом предложения 1.1) позволяют найти базисы Гр¨ебнера–Ширшова универсальных обертывающих для L = = Cur h, Vir, Cur h ⋉ Vir, соответствующих минимальной функции локальности L, при которой отображение L → UL (L) инъективно. (Эти базисы найдены в [6] при помощи алгоритма Бухбергера–Ширшова.)

§ 3. Базисы Гр¨ ебнера–Ширшова алгебр UL (WN ) В этом разделе будет построена ассоциативная псевдоалгебра над H = K[D] и доказано, что универсальная обертывающая конформной супералгебры WN содержится в этой псевдоалгебре как подалгебра. 3.1. Псевдоалгебра A. Рассмотрим ассоциативную алгебру A с единицей, порожденную множеством X = {v, ξi , ∂i | i = 1, . . . , N } с соотношениями [v, x] = 0, x ∈ {ξi , ∂i }, ξj ξk = −ξk ξj , ∂i ∂k + ∂k ∂i = 0, ∂i ξj + ξj ∂i = δij .

(3.1)

Определим на A структуру H-комодульной алгебры так: ∆(v) = 1 ⊗ v + D ⊗ 1, ∆(ξi ) = 1 ⊗ ξi , ∆(∂i ) = 1 ⊗ ∂i

(3.2)

(все необходимые свойства легко проверяются). Через A обозначим ассоциативную псевдоалгебру H ⊗A с псевдопроизведением (2.8). Определим четность элементов A посредством равенств p(v) = 0, p(ξi ) = p(∂i ) = 1, i = 1, . . . , N .

208

П. С. Колесников ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.1. Линейное отображение ϕ : WN → A(−) ,

заданное по правилу (h ⊗ fI ) 7→ −(h ⊗ ξi1 . . . ξir v), (h ⊗ fI ∂i ) 7→ (h ⊗ ξi1 . . . ξir ∂i ), где I = (i1 , . . . , ir ), является инъективным гомоморфизмом псевдоалгебр (конформных супералгебр) Ли. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для того, чтобы установить инъективность, найдем базис алгебры A при помощи метода базисов Гр¨ебнера–Ширшова [12]. Упорядочим порождающие следующим образом: v < ξ1 < · · · < ξN < ∂1 < · · · < ∂N . Соотношения алгебры A имеют вид vξi − ξi v = 0, v∂i − ∂i v = 0, i = 1, . . . , N ; ξi ξj + ξj ξi = 0, ∂i ∂j + ∂j ∂i = 0, i > j, i, j = 1, . . . , N ; ∂i ξj + ξj ∂i = δij , i, j = 1, . . . , N ; ξi2 = 0, ∂i2 = 0, i = 1, . . . , N. Непосредственная проверка показывает, что эти соотношения замкнуты относительно композиции. Значит, линейный базис алгебры A состоит из слов εN δ1 δN v n ξ1ε1 . . . ξN ∂1 . . . ∂N , n > 0, εi , δj ∈ {0, 1}.

Следовательно, образы элементов, порождающих WN над H, при отображении ϕ линейно независимы. В дальнейшем будет использоваться обозначение ξI = ξi1 . . . ξir для элемента алгебры A в отличие от fI ∈ Λ(N ), I = {i1 , . . . , ir }. Проверим, что ϕ является гомоморфизмом псевдоалгебр. Достаточно установить справедливость определяющих соотношений (1.7). Действительно, в псевдоалгебре WN произведение [fI ∂i ∗ fJ ], где I = (i1 , . . . , ir ) и J = (j1 , . . . , js ), имеет вид [fI ∂i ∗ fJ ] = (1 ⊗ 1) ⊗H (fI ∂i (fJ )) + (−1)|J|(|I|+1) (D ⊗ 1) ⊗H (fJ fI ∂i ).

Базисы Гр¨ебнера–Ширшова универсальных обертывающих

209

Вычислим соответствующий псевдокоммутатор в алгебре A: [ξI ∂i ∗ (−ξJ v)] = −(1 ⊗ 1) ⊗H (ξI ∂i ξJ v) + (−1)|J|(|I|+1) (1 ⊗ 1) ⊗H (ξJ vξI ∂i )

(3.3)

− (−1)|J|(|I|+1) (D ⊗ 1) ⊗H (ξJ ξI ∂i ). Поскольку ∂i ξJ − (−1)|J| ξJ ∂i = ∂i (ξJ ), ξI ξJ − (−1)|I||J| ξJ ξI = 0, равенство (3.3) имеет вид [ϕ(fI ∂i ) ∗ ϕ(fJ )] = (1 ⊗ 1) ⊗H ϕ(fI ∂i (fJ )) + (−1)|J|(|I|+1) (D ⊗ 1) ⊗H ϕ(fJ fI ∂i ). Далее, для элементов fI , fJ ∈ Λ(N ) имеем [fI ∗ fJ ] = −(1 ⊗ 1) ⊗H D(fI fJ ) + 2(D ⊗ 1) ⊗H (fI fJ ), а для их образов при отображении ϕ [(−ξI v) ∗ (−ξJ v)] = (1 ⊗ 1) ⊗H (ξI vξJ v) + (1 ⊗ D) ⊗H (ξI ξJ v) − (−1)|I||J| (1 ⊗ 1) ⊗H (ξJ vξI v) − (−1)|I||J| (D ⊗ 1) ⊗H (ξJ ξI v) = (1 ⊗ D) ⊗H (ξI ξJ v) − (D ⊗ 1) ⊗H (ξI ξJ v) = (1 ⊗ 1) ⊗H D(ξI ξJ v) − 2(D ⊗ 1) ⊗H (ξI ξJ v) = −(1 ⊗ 1) ⊗H ϕ(D(fI fJ )) + 2(D ⊗ 1) ⊗H ϕ(fI fJ ). Аналогично, для fI ∂i , fJ ∂j ∈ W (N ) справедливо [fI ∂i ∗ fJ ∂j ] = (1 ⊗ 1) ⊗H [fI ∂i , fJ ∂j ]. Это же равенство, очевидно, выполняется и для их образов в A. 2 3.2. Определяющие соотношения для WN . Нам понадобится новая система порождающих элементов и определяющих соотношений для алгебры WN . Система, которая будет построена, более удобна для нахождения базиса Гр¨ебнера–Ширшова, чем базис WN над H с таблицей умножения (1.7).

210

П. С. Колесников ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.2. Рассмотрим конформную супералгебру Ли

fN , порожденную элементами v, ξi , ∂i , i = 1, . . . , N , с определяющими W

соотношениями ∂j v

0

0

ξi = δij v, ξi

ξi = ξi ξi

0 0

0

ξj = −ξj

0

ξi , ∂i

v = Dξi , ξi

1

v = 2ξi , ∂j

1 ξj = D(ξi 2

1

ξj ), v

0

0

∂j = ∂i

1

∂j = 0,

v = 0, ∂j

1

v = ∂j ,

0

v = Dv, v

(3.4)

v = 2v

1

fN как конформные (считаем p(v) = 0, p(ξi ) = p(∂i ) = 0). Тогда WN ≃ W супералгебры Ли.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Отображение Φ, заданное как v 7→ −f∅, ξi 7→ −f{i} , ∂j 7→ f∅∂j , fN → WN , продолжается до гомоморфизма конформных супералгебр W

поскольку все тождества (3.4) сохраняются. Обратное к нему отображение Ψ, заданное по правилу f∅ 7→ −v, f∅∂j 7→ ∂j , 1 [ξi1 f{i1 ,...,ir } 7→ − 2r−1 1 f{i1 ,...,ir } ∂j 7→ − 2r−1 ∂j

1

1

...

[ξi1

1

1

ξir ],

...

1

ξir ],

тоже является гомоморфизмом конформных супералгебр (достаточно проверить сохранение соотношений (1.7)). Здесь [. . . ] означает правонормироfN ванную расстановку скобок. Поскольку Φ и Ψ взаимно обратны, WN и W

изоморфны. 2

3.3. Выбор функции локальности. Как уже было отмечено, нашей целью является доказательство того, что вложение ϕ : WN → A(−) универсально. Эта естественная конструкция во многом аналогична построению универсальной обертывающей для обычной алгебры Ли: элементы из Λ(N ) ⊕ W (N ) рассматриваются как дифференциальные операторы над некоторой ассоциативной алгеброй [2]. Поэтому одним из наиболее естественных способов выбора функции локальности L для построения универсальной обертывающей по схеме (1.11) является следующий: для

Базисы Гр¨ебнера–Ширшова универсальных обертывающих

211

порождающих a, b зададим значение L(a, b) равным локальности этих элементов в алгебре A. В соответствии с (2.8) получаем L(v, ξi ) = L(v, ∂j ) = L(v, v) = 2,    2, i 6= j,  1, i 6= j, L(ξi , ξj ) = L(∂i , ∂j ) =  0, i = j,  0, i = j,

(3.5)

L(ξi , ∂j ) = 2, L(∂j , ξi ) = 1.

ЗАМЕЧАНИЕ 3.1. Определенная выше функция локальности L минимальна: для любой L′ такой, что L′ (x, y) ≤ L(x, y), L′ 6≡ L, отображение WN в универсальную обертывающую UL′ (WN ) не является инъективным. 3.4. Слабый базис. Определяющие соотношения UL (WN ) имеют вид (здесь не выписаны соотношения ассоциативной локальности) 0 ξi + ξi 0 ∂j − D(ξi 1 ∂j ) = δij , ∂j 0 ξj + 2ξj 0 ξi = D(ξi 1 ξj ) + D(ξj 1 ξi ), 2ξi 1 v = v, ∂i 0 ∂j + ∂j 0 ∂i = 0, v 0 ξi − ξi 0 v + D(ξi 1 v) = Dξi , v 0 v−v 0 ξi + D(v 1 ξi ) = Dξi , ξi

(3.6)

1 v+v 1 ξi = 2ξi , ξi 0 v−v 0 ∂j + D(v 1 ∂j ) = 0, ∂j 1 v+v 1 ∂j = ∂j . ∂j

ЛЕММА 3.1. В конформной алгебре UL (WN ) элементы вида (0)

0 ∂ j1 0 ... 0 ∂jq ], n > 0, 0 ... 0 ξis 0 ... 0 v 0 ξi1 Dt un,I,J := Dt [ v {z } | n раз

(1)

1 ξir+1 1 0 ... 0 ξir Dt ur,I,J := Dt [ξi1 1 ∂ j1 0 ... 0 ∂jq ], r 6 s + 1, 1 ξis ...

(3.7)

где I = {i1 , . . . , is }, J = {j1 , . . . , jq }, i1 < · · · < is , j1 < · · · < jq , t > 0, линейно независимы. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть LA обозначает функцию локальности в ассоциативной конформной алгебре A. Поскольку LA(x, y) = L(x, y) для

212

П. С. Колесников

x, y ∈ X, то в силу универсального свойства UL (WN ) существует гомоморфизм ассоциативных конформных алгебр ψ : UL (WN ) → A, переводящий порождающие v, ∂j , ξi алгебры UL (WN ) соответственно в v, ∂j , ξi v (см. предлож. 3.1 и 3.2). Рассмотрим образы слов (3.7) при отображении ψ. Для любого a ∈ ∈ UL (WN ) 0 a) = (1 ⊗ v)ψ(a) + (D ⊗ 1)ψ(a), ψ(v 0 a) = (1 ⊗ vξi )ψ(a) + (D ⊗ ξi )ψ(a), ψ(ξi 0 a) = (1 ⊗ ∂j )ψ(a), ψ(∂j 1 a) = (1 ⊗ ξi )ψ(a), ψ(ξi

поэтому (0)

ψ(un,I,J ) = v n+s ξi1 . . . ξis ∂j1 . . . ∂jq , (1)

ψ(ur,I,J ) = v r−1 ξi1 . . . ξir ξir+1 . . . ξis ∂j1 . . . ∂jq . Поскольку n > 0 и r − 1 6 s, то старшие части образов слов вида (3.7) и, следовательно, сами слова (3.7) линейно независимы. 2 ТЕОРЕМА 3.1. Слабый базис Гр¨ебнера–Ширшова универсальной обертывающей конформной алгебры UL (WN ) состоит из соотношений (3.5) вместе с 0 ∂j = −∂j 0 ∂i , i > j; ∂i 0 ξj + ξj 0 ∂i − D(ξj 1 ∂i ) = vδij ; ∂i 0 v−v 0 ∂i + D∂i = 0; ∂i 1 ξj = −ξj 1 ξi , ξi 0 ξj = −ξj 0 ξi , i > j; ξi

(3.8) (3.9)

1 v = v; v

(3.10)

0 v = v 0 ξi , ξi 1 v = ξi , v 1 ξi = ξi ; ξi

(3.11)

1 ∂j = ∂j ; v

(3.12)

0 ξi1 0 ... 0 ξi 1 ξi 0 ... 0 ξi 0 ξi 0 ξi [v ] = [ξi1

], k k+1 k−1 k k+1

i1 < · · · < ik+1 ; 0 ξi1 0 ... 0 ξi 1 ∂j ] = [ξi1 0 ... 0 ξi 0 ξi 0 ∂j ], [v

k k−1 k

i1 < · · · < ik ; 0 v 0 x] = [v 0 ∂i 0 x], x ∈ X; [∂i

(3.13)

(3.14) (3.15)

Базисы Гр¨ебнера–Ширшова универсальных обертывающих

213

0 ξj 0 ξk ] + [ξj 0 ∂i 0 ξk ] = δij v 0 ξk , j 6= k; [∂i

(3.16)

0 ξj 1 ξk ] + [ξj 1 ∂i 0 ξk ] = δij ξk , j 6= k; [∂i

(3.17)

0 ξj 0 ∂k ] + [ξj 0 ∂i 0 ∂k ] = δij v 0 ∂k ; [∂i

(3.18)

0 ξj 1 ∂k ] + [ξj 1 ∂i 0 ∂k ] = δij ∂k ; [∂i

(3.19)

1 ξj 0 x] = 2[ξi 0 ξj 1 x], x > ξj , i < j. [ξi

(3.20)

Здесь, как и выше, X = {v, ξi , ∂j | i = 1, . . . , N }. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимо показать, что данная система соотношений определяет тот же идеал свободной ассоциативной конформной алгебры, что и соотношения (3.6), а также проверить условие (1.8). Очевидно, соотношения (3.6) следуют из (3.8)—(3.20). Покажем обратное. В доказательстве нуждаются равенства (3.9)—(3.20). Соотношения (3.15)—(3.19) представляют собой композиции правого умножения [6] не D-свободных соотношений из (3.6). Равенства (3.10) и (3.12) также легко следуют из (3.6), например: 1 v+v 1 ∂ =∂ ∂

1

v = ∂,

1 v = 0 в силу выбора функции локальности. здесь ∂

Первое из соотношений (3.11) получается следующим образом. Умножая ∂

0

0 ξ, получаем ξ справа на 0 ξ 0 ξ] + [ξ 0 ∂ 0 ξ] − D(ξ 1 ∂) 0 ξ −v 0 ξ = [∂ 0 ∂ 0 ξ] − v 0 ξ = ξ 0 v−v 0 ξ = [ξ

(использовалось исключение старших частей соотношений из (3.6)). Далее, 1 v+v 1 ξ = 2ξ ⇒ 0 = [ξ 1 v 1 v] + [v 1 ξ 1 v] − 2ξ 1 v ξ 1 v+v 1 (2ξ − v 1 ξ) − 2ξ 1 v = ξ 1 ξ−ξ 1 v. = v 1 ξ = ξ 1 v = ξ и соотношения (3.11) доказаны. Следовательно, v

214

П. С. Колесников 0 v − v 0 ξ и Рассмотрим композицию пересечения соотношений ξ

1 x = x (x ∈ X) по подслову v: v 0 v) 1 x − (v 0 ξ) 1 x−ξ 0 (v 1 x) + ξ 0 x = v 0 (ξ 1 x) − ξ 0 x. (ξ

Это соотношения (3.13) и (3.14) для k = 1. Для k > 2 легко установить аналогичные равенства, используя соотношения (3.11). Правое умножение соотношения 0 ξj + 2ξj 0 ξi = D(ξ1 1 ξj ) + D(ξj 1 ξi ) 2ξi 2 v и 1 v с учетом (3.11) приводит к равенствам (3.9). на 0 ξi 1 Чтобы получить соотношение (3.20), перепишем моном [v 1 ξj 1 x] следующими двумя способами. В силу (3.13) как

0 (ξi 1 (ξj 1 x)) = (v 0 (ξi 1 ξj )) 1 x = [ξi 0 ξj 1 x]. v

С другой стороны, по лемме 1.1 имеем 0 (ξi 1 (ξj 1 x)) = ξi 1 (v 0 (ξj 1 x)) + (v v

0

1 (ξj 1 x) ξ1 )

1 (ξj 0 x) − ξi 0 (ξj 1 x) = ξi

(используем соотношения (3.13) и (3.14)). Следовательно, 1 (ξj 0 x) = 2ξi 0 (ξj 1 x). ξi

Далее, легко заметить, что с помощью соотношений (3.5) и (3.8)— (3.20) любой конформный многочлен можно привести к линейной комбинации слов вида (3.7) с помощью исключений старшего слова, т. е. преобразований n s1 m w] при f¯ = u n s m w, f 7→ f − [u ¯1 n D t s2 ] при f¯ = u n s f 7→ f − [u ¯2 Dt ,

где u, s1 являются D-свободными, 0 6 n, m < 2. (Добавленные композиции правого умножения позволяют избежать исключения старшей части не D-свободного слова, стоящей в начале или середине монома.) Слова вида (3.7) линейно независимы в UL (WN ) по лемме 3.1, следовательно, они образуют линейный базис этой алгебры. По лемме 1.2 соотношения (3.5) и (3.8)—(3.20) образуют слабый базис Гр¨ебнера–Ширшова для UL (WN ). 2

Базисы Гр¨ебнера–Ширшова универсальных обертывающих

215

3.5. Замыкание относительно композиции. На примере алгебры UL (WN ) хорошо заметно, что в случае конформных алгебр замкнутость относительно композиции в смысле [5] (см. также [6]) является более сильным условием, чем (1.8). Так, композиция включения соотношений (3.9) и (3.16) (при j > k) не является тривиальной, поскольку для приведения ее к нулю необходимо использовать не D-свободное соотношение из (3.8). Если удастся построить замыкание относительно композиции множества всех D-свободных соотношений из (3.5) и (3.8)—(3.20), то добавление двух не D-свободных соотношений не приведет к появлению новых нетривиальных композиций в силу предложения 1.1. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.3. Пусть S˜ — система соотношений (3.5), (3.9)—(3.20) вместе с D-свободными соотношениями из (3.8), ∂J = 0 ... 0 ∂jq ], J = {j1 , . . . , jq }, Jt = {j1 . . . jt−1 , jt+1 , . . . , jq }. Тогда для = [∂j1 замыкания S˜ относительно композиции к нему достаточно добавить со-

отношения 0 ∂J 0 ξj ] + [ξj 0 ∂J 0 ξi ] = [ξi

=

q P

0 ξi ]), i > j; 0 ∂Jt 0 ξj ] + δjjt [v 0 ∂Jt (−1)t+1 (δijt [v

(3.21)

t=1

0 ∂J 0 ξi ] = [ξi

q X

0 ξi ]; 0 ∂Jt (−1)t+1 δijt [v

(3.22)

t=1

1 ∂J 0 ξj ] + [ξj 1 ∂J 0 ξi ] = [ξi

=

q P

0 ξi ]), i > j; 0 ξj ] + δjjt [∂Jt (−1)t+1 (δijt [∂Jt

(3.23)

t=1 1 ∂J 0 ξi ] [ξi

=

q X

0 ξi ]; (−1)t+1 δijt [∂Jt

(3.24)

t=1

0 ∂J 0 v] [ξi

q

− (−1)

0 ∂J 0 ξi ] [v

=

q X

0 ξi ]; 0 ∂Jt (−1)t+1 δijt [v

(3.25)

t=1

1 ∂J 0 v] [ξi

q

− (−1)

0 ξi ] [∂J

=

q X

0 v]. (−1)t+1 δijt [∂Jt

(3.26)

t=1

Доказательство проводится по той же схеме, что и теоремы 3.1. Равенства (3.21)—(3.26) выводятся из S˜ аналогично равенствам (3.13) и

216

П. С. Колесников

(3.14). Чтобы доказать замкнутость относительно композиции, найдем ли˜ нейный базис ассоциативной конформной алгебры C(X, 2 | S). ˜ порожденную множеством X Рассмотрим ассоциативную алгебру A, с определяющими соотношениями ξi v − vξi = 0; ξj ξi + ξi ξj = 0, i > j; ξi2 = 0; ∂i ∂j + ∂j ∂i = 0, i > j; ∂i2 = 0; ∂i ξj ξk + ξj ∂i ξk = δij ξk ;

(3.27)

∂j vv = v∂j v; ∂i v∂j = v∂i ∂j ; ∂i ξj ∂k + ξj ∂i ∂k = δij ∂k . ЛЕММА 3.2. Базис Гр¨ебнера–Ширшова алгебры A˜ получается из (3.27) добавлением соотношений q P

ξi ∂J◦ ξj + ξj ∂J◦ ξi =

t=1

ξi ∂J◦ ξi

(−1)t+1 (δijt ∂J◦t ξj + δjjt ∂J◦t ξi ), i > j;

=

q P

t=1

(−1)t+1 δijt ∂J◦t ξi ;

ξi ∂J◦ v = (−1)q v∂J◦ ξi + где ∂J◦ = ∂j1 . . . ∂jq .

q P

t=1

(3.28)

(−1)t+1 δijt ∂J◦t v,

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ассоциативные слова, редуцированные относительно (3.27), (3.28), имеют вид (2)

(1)

wn,I,J = v n ξi1 . . . ξis ∂j1 . . . ∂jq , wn,I,J,x = v n ξi1 . . . ξis ∂j1 . . . ∂jq x,

(3.29)

где I = {i1 , . . . , is }, i1 < · · · < is , x = v, ξi1 при s = 0 или x = ξis+1 > ξis . Пусть f — нетривиальная композиция соотношений (3.27)—(3.28). Тогда f=

X

(1)

αn,I,J wn,I,J +

n,I,J

X

(2)

βn,I,J,x wn,I,J,x .

(3.30)

n,I,J,x

Заметим, что существует гомоморфизм χ : A˜ → A, ядро которого является идеалом, порожденным множеством {∂i ξj + ξj ∂i − δij , ∂j v − v∂j }. В частности, (1)

χ(wn,I,J ) = v n ξi1 . . . ξis ∂j1 . . . ∂jq , (2)

χ(wn,I,J,x ) = v n ξi1 . . . ξis x∂j1 . . . ∂jq .

(3.31)

(1) Предположим, f¯ = wn,I,J . Тогда χ(f ) = χ(f¯) 6= 0 в A. Следовательно, f 6= 0

˜ поскольку базис алгебры A известен. Значит, f¯ = w(2) . Тогда в перв A, n,I,J,x вую сумму разложения (3.30) должно входить слово v n ξi1 . . . ξis x∂j1 . . . ∂jq , как видно, оканчивающееся на ∂j .

Базисы Гр¨ебнера–Ширшова универсальных обертывающих

217

Таким образом, (3.30) должно содержать слагаемые, оканчивающиеся как на ∂j , так и на ξi или v. Очевидно, такой композиции из соотношений (3.27)—(3.28) построить нельзя, поскольку в каждом из них либо все слагаемые оканчиваются на ∂j , либо ни одно слагаемое не оканчивается на ∂j . Поэтому всякая композиция пересечения или включения имеет такой же вид и не может содержать одновременно слагаемые, оканчивающиеся на ∂j и на ξi или v. Следовательно, соотношения (3.27)—(3.28) замкнуты ˜ 2 относительно композиции, а слова (3.29) образуют базис алгебры A. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО предложения 3.3. Так как A является гомо˜ то A˜ с кодействием (3.2) является комодульной алморфным образом A, геброй. ˜ = H ⊗ A˜ с псевЛегко проверить, что ассоциативная псевдоалгебра A допроизведением (2.8) является гомоморфным образом конформной ал˜ (все определяющие соотношения сохраняются). Соответгебры C(X, 2 | S) ствующее отображение переводит порождающие v, ξi , ∂j в 1⊗v, 1⊗vξi , 1⊗∂j соответственно. Конформные слова, редуцированные относительно S˜ и (3.21)—(3.26), имеют вид 0 ∂J 0 xD t , 0 ...v 0 ξi1 0 ... 0 ξis v 1 ∂J 0 xD t , 1 ... 1 ξis 0 ... 0 ξir ξi1

(3.32)

где x = v при s = 0, или x = ξis+1 > ξis , или x = ∂jq+1 > ∂jq . ˜ следовательно, линейОбразы слов (3.32) линейно независимы в A, ˜ состоит из элементов [w], где ный базис конформной алгебры C(X, 2 | S) w — слово вида (3.32). Из леммы о композиции для D-свободных соотношений следует, что S˜ вместе с (3.21)—(3.26) замкнуто относительно композиции. 2 В качестве следствия получается следующая ТЕОРЕМА 3.2. Базис Гр¨ебнера–Ширшова универсальной обертывающей конформной алгебры UL (WN ) состоит из соотношений (3.5), (3.8)—(3.26). Работа выполнена под руководством Л. А. Бокутя и И. В. Львова, которым автор выражает глубокую благодарность.

218

П. С. Колесников ЛИТЕРАТУРА 1. V. G. Kac, Vertex algebras for beginners, (Univ. Lect. Ser. 10), Providence, RI, Am. Math. Soc., 1996. 2. D. Fattori, V. G. Kac, Classification of finite Lie conformal superalgebras, preprint. 3. S.-J. Cheng, V. G. Kac, A new N = 6 superconformal algebra, Commun. Math. Phys., 186, N 1 (1997), 219—231. 4. L. A. Bokut, Y. Fong, W.-F. Ke, Gr¨obner–Shirshov bases and composition lemma for associative conformal algebras: an example, in: Combinatorial and computational algebra. Int. conf. comb. comput. algebra, May 24—29, 1999, Hong Kong, China (Contemp. Math., 264), Providence, RI, Am. Math. Soc., 2000, 63—90. 5. L. A. Bokut’, Y. Fong, W.-F. Ke, Composition-diamond lemma for associative conformal algebras, J. Algebra, 272, N 2 (2004), 739—774. 6. Л. А. Бокуть, Ю. Фонг, В.-Ф. Ке, П. С. Колесников, Базисы Гр¨ебнера и Гр¨ебнера–Ширшова в алгебре и конформные алгебры, Фундам. прикл. матем., 6, N 3 (2000), 669—706. 7. M. Roitman, Universal enveloping conformal algebras, Sel. Math., New Ser., 6, N 3 (2000), 319—345. 8. A. A. Belavin, A. M. Polyakov, A. B. Zamolodchikov, Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory, Nucl. Phys. B, 241, N 2 (1984), 333—380. 9. R. E. Borcherds, Vertex algebras, Kac–Moody algebras, and the Monster, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 83 (1986), 3068—3071.

10. A. D’Andrea, V. G. Kac, Structure theory of finite conformal algebras, Sel. Math., New Ser., 4, N 3 (1998), 377—418. 11. А. И. Ширшов, Некоторые алгоритмические проблемы для алгебр Ли, Сиб. матем. ж., 3, N 2 (1962), 292—296. 12. Л. А. Бокуть, Вложения в простые ассоциативные алгебры, Алгебра и логика, 15, N 2 (1976), 117—142. 13. G. M. Bergman, The diamond lemma for ring theory, Adv. Math., 29, N 2 (1978), 178—218. 14. M. Roitman, On free conformal and vertex algebras, J. Algebra, 217, N 2 (1999), 496—527.

Базисы Гр¨ебнера–Ширшова универсальных обертывающих

219

15. L. A. Bokut, Y. Fong, W.-F. Ke, Free associative conformal algebras, Proc. 2nd Tainan-Moscow Algebra Comb. Workshop, Tainan, 1997, Springer-Verlag, Hong Kong, 2000, 13—25. 16. Л. А. Бокуть, П. С. Колесников, Базисы Гребнера–Ширшова: от зарождения до наших дней, в сб. ”Вопросы теории представлений алгебр и групп. 7“ (Записки научн. семин. ЛОМИ, 272), 2000, 26—67. 17. B. Buchberger, Ein algorithmisches Kriterium f¨ ur die L¨osbarkeit algebraischen Gleichungssystems, Aequationes Math. 4 (1970), 374—383. 18. A. Beilinson, V. Drinfeld, Chiral algebras, preprint. 19. B. Bakalov, A. D’Andrea, V. G. Kac, Theory of finite pseudoalgebras, Adv. Math., 162, N 1 (2001), 1—140.

Поступило 21 марта 2002 г. Адрес автора: КОЛЕСНИКОВ Павел Сергеевич, Институт математики СО РАН, пр. Ак. Коптюга, 4, г. Новосибирск, 630090, РОССИЯ. e-mail: [email protected]