Основы Matlab: Учебно-методическое пособие

М И Н И СТ Е РСТ В О О БРА ЗО В А Н И Я И Н А У К И РО ССИ Й СК О Й Ф Е Д Е РА Ц И И В О РО Н Е Ж СК И Й ГО СУ Д А РСТ В Е Н Н Ы Й У Н И В Е РСИ Т Е Т

О снов ы MATLAB У чебно-метод и ческоепособи епо направлени ю 010500 (510200) и специ альности 010501 (010200) «При клад ная математи каи и нф ормати ка»

В оронеж 2005

2 У тверж д ено научно-метод и чески м советом протокол № 6 от20 и юня 2005 г. ф акультетаПМ М

Состави тель К ры ж ановская Ю .А .

У чебно-метод и ческое пособи е под готовлено на каф ед ре техни ческой ки бернети ки и автомати ческого регули ровани я ф акультета при клад ной математи ки , и нф ормати ки и механи ки В оронеж ского госуд арственного уни верси тета. Рекоменд уется д ля студ ентов 4 курса д /о ф акультета При клад ной математи ки , и нф ормати ки и механи ки .

3 Д анное пособи е сод ерж и т свед ени я по и спользовани ю си стемы MATLAB и ее при менени ю д ля мод ели ровани я си стем автомати ческого управлени я . М атери ал основы вается наMATLAB верси и 6.5. Пособи еразд елено на4 части , посвя щ енны х опи сани ю базовы х возмож ностей MATLAB, созд ани ю сценари ев, и спользовани ю MATLAB д ля анали за си стем автомати ческого управлени я и и спользовани ю и нструментари я SIMULINK. К роме того, при вод я тся при меры и зад ани я д ля и нд и ви д уального вы полнени я . М атери алы опробованы при провед ени и лабораторны х заня ти й. Пособи е пред назначено д ля студ ентов 4 курса д невного отд елени я , и зучающ и м д и сци пли ну «Т еори я автомати ческого управлени я » , и мож ет бы ть и спользовано д алее при и зучени и д и сци пли н специ али заци и . С о дер ж а н и е 1. О сновны евозмож ности … … … .… … … … … … … ..… … .… … … … … … … ..4 1.1. Ч и сла, матри цы , векторы … … ..… … … … … … … … … … .… … … … … … … .… 4 1.2.Си стемы уравнени й … … .… … … … … … … … … … … … … … … … … … ..… … ...6 1.3. При мерпрограмми ровани я … … … ..… … … … … … … … … … … … … … … … ..6 1.4. Граф и кав MATLAB… … … … … … … … … … … … .… … … … … … … … … … … 6 1.4.1. 2-D граф и ка… … … … … … … … … … … … … .… … … … … .… … … .… … … … … .6 1.4.2. 3-D граф и ка.… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...… 9 2. M-ф айлы … … .… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 12 2.1. Созд ани еМ -ф айлов в ви д еМ -сценари ев… … … … … … … … … … … … … … .12 2.2. Созд ани еМ -ф айлов в ви д еМ -ф ункци й … … … … … ...… … … … … … … … ...12 2.2.1. О пи сани еф орматаМ -ф ункци и … … … … … … … … … .… … … … … … … … … … .14 2.2.2. О пи сани еф орматаМ -ф ункци и … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..… 15 3. При менени е MATLAB д ля анали за си стем автомати ческого управлени я … … … … … … … … .… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..… .… … 13 3.1. Преобразовани еЛ апласав MATLAB — ф ункци я laplace … … … … … … … .13 3.2. Созд ани еперед аточны х ф ункци й— tf … … … … … … … … … … … … … … ....13 3.3. В заи мноепреобразовани еф орм перед аточны х ф ункци й … … … … … … .....14 3.4. О ценка д и нами ки объекта управлени я по зад анной перед аточной ф ункци и … … … … … … … … … … ..… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...15 3.5. Д и нами чески еи частотны ехарактери сти ки СА У … … … … … … … … … .… 15 3.6. А нали з и си нтез СА У метод ом корневого год ограф а… … … … … … … … … 17 3.7. О пи сани еси стем в пространствесостоя ни й … … … … … … … … … … … ..… 20 3.8. У стойчи востьли нейны х си стем … … … … … … … … … … … … … … … … ..… 29 3.9. Си нтез опти мального управлени я сполной обратной свя зью … … … … … .33 4. SIMULINK … ...… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 38 4.1. Н ачало работы … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .… ..38 4.2. Созд ани емод ели … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .… … ..39 4.3. Т екстовы енад пи си … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 40 4.4. И зменени епараметров расчета… … … … … … … … … … … … … … … … … … 40 4.5. В ы полнени ерасчета… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ..40 4.6. Заверш ени еработы … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ...40 Л и тература… … … … … … … … … … .… … … … … … … … … … … … … … … … … … 40

4

1. О снов ны е в озм ож ност и MATLAB – од новременно операци онная сред а и я зы к программи ровани я , наи более си льной стороной которой я вля ется возмож ность многократного вы полнени я реали зованны х программ. О д ни м и з главны х направлени й ее и спользовани я я вля ется реш ени е зад ач математи ческой теори и автомати ческого управлени я . О собенностя ми вы полнени я и сслед овани й и расчетов в MATLAB я вля ется больш ая скоростьвы чи слени й и прозрачность технологи й. 1.1. Ч и сла, м ат ри цы , в е кт оры Д ля зад ани я матри цы a 1 2 3 4

в команд ном окнеслед уетвы полни тьслед ующ ую команд у: >> a = [ 1 2; 3 4 ]

Д ля отображ ени я матри цы след уетнапечататьееи мя : >> a

Пред усмотрено такж е вы полнени е след ующ и х операци й с матри цами и векторами : — слож ени е, вы чи тани е(+, -); — умнож ени е(*); — обращ ени е(inv); — д елени е(/); — возвед ени ев степень(^); — транспони ровани е('). — cозд ани ени ж ней треугольной матри цы А : tril(А ). — cозд ани еверхней треугольной матри цы А : triu(А ).  вращ ени ематри цы А относи тельно верти кальной оси : fliplr(A).  вращ ени ематри цы А относи тельно гори зонтальной оси : flipud(A).  поворотматри цы А накратное900 значени е: rot90(A,k), гд еk = ±1, ±2,... множ и тель, накоторы й умнож ается угол 900.  ф орми ровани еед и ни чной матри цы зад анного размераn: eye(n).  ф орми ровани е ед и ни чной матри цы по размеру д анной квад ратной матри цы А : eye(size(A)).  матри ца ед и ни ц д анного размера n×m: ones(n,m). Д ля созд ани я квад ратной матри цы : ones(n).  матри цаед и ни ц по размеру зад анной матри цы А : ones(size(A)).  матри ца нулей д анного размера n×m: zeros(n,m). Д ля созд ани я квад ратной матри цы : zeros(n).  матри цанулей по размеру зад анной матри цы А : zeros(size(A)).  и звлечени ед и агонали зад анной матри цы А : diag(A).  вы чи слени еслед аматри цы А : trace(A).  маги чески й квад ратразмераn (n>2): magic(n).  созд ани ед и агональной матри цы по зад анной матри цеА : diag(diag(A)).  собственны ечи слад ействи тельной и ли комплексной матри цы А : eig(A).  вы д елени естроки ли столбцов матри цы : A = [1 2 3;4 5 6]; A(:,2:3) — 2-й и 3-й столбцы

5  Зад ани е матри ц по случайному равномерному закону — rand (напри мер, rand(3,4))  Зад ани е матри ц по случайному нормальному закону — randn (напри мер, randn(2,5))  Получени е помощ и д ля зад анной встроенной ф ункци и : help-пробелф ункци я .  О пераци и смасси вами (перед знаком ари ф мети ческого д ействи я стави тся точка), напри мер: [1 2 3;4 5 6].^2 — возвед ени е каж д ого элемента матри цы в квад рат.  Ф орми ровани е коэф ф и ци ентов характери сти ческого поли нома зад анной чи словой матри цы А : poly(A).  Ф орми ровани е характери сти ческого поли нома зад анной чи словой матри цы А : poly(sym(A)). По умолчани ю незави си мой переменной поли нома я вля ется х ; незави си мая переменная поли номамож етназначаться (напри мер s): poly(sym(A),sym('s')).  Ф орми ровани е коэф ф и ци ентов характери сти ческого поли нома матри цы А по еезад анны м собственны м чи слам: poly(eig(A)).  Ф орми ровани е характери сти ческого поли нома по зад анны м корня м, я вля ющ и ми ся элементами вектораР : poly(P).  Ф орми ровани е поли нома с коэф ф и ци ентами , я вля ющ и ми ся элементами зад анного вектора Р: poly2sym(P). Степень поли нома на ед и ни цу меньш е размерности зад анного вектораР.  Размерностьматри цы А : size(A).  Сумми ровани е элементов столбцов матри цы А : sum(A). Результат — строка, состоя щ ая и з суммы элементов каж д ого столбцаматри цы А .  Ф орми ровани епрои звед ени я элементов столбцов матри цы А : prod(A).  Ф орми ровани е матри цы с элементами и з возмож ны х перестановок элементов зад анного чи слового вектораР: perms(P).  Сумми ровани еэлементов вектораР: sum(P). Результат— чи сло.  Д ли навектораР: length(P).  Ф орми ровани епрои звед ени я элементов вектораР: prod(P). Получени еи нф ормати вны х свед ени й о чи слах: 1. О пред елени е простого чи сла: если а - простое чи сло, то ф ункци я isprime(a) возвращ ает 1 (ед и ни цу), в проти вном случае буд ет 0 (ноль). В ели чи на зад аваемого чи сла а и меет опред еленны е ограни чени я (поря д ка д еся тков ми лли онов). 2. О пред елени е просты х чи сел и з д и апазона 2 . . . а: primes(a). В ели чи на чи сла а такж е ограни чена. Ф ункци я primes(a) возвращ ает вектор, элементы которого я вля ются просты ечи слаи з д и апазона2 . . . а. 3. О пред елени езнакзад анного чи слаа: sign(a). А ргументом ф ункци и sign могутбы тьчи сла, вы раж ени я , математи чески еф ункци и . 4. О круглени ечи слаад о бли ж айш его целого: round(a). 5. А бсолютное значени е зад анного чи сла и ли вы раж ени я — abs: abs((35)/2), abs(-2^3) 6. Разлож ени ечи слаN напросты емнож и тели : factor(N).

6 1.2. С и ст е м ы урав не ни й Рассмотри м си стему ли нейны х уравнени й: ax + by = p cx + dy = q

Е емож но запи сатькакAX = B, гд екоэф ф и ци енты матри цы А : ab cd

В ектор В в правой части : p q

Е сли матри цаА обрати ма, то X = (1/A)B, и ли , и спользуя нотаци ю MATLAB, X = A\B.

Д ля реш ени я си стемы , зад аваемой матри цей а, при вед енной вы ш е, и вектором b = [ 1; 0 ] , след уетвы полни тьслед ующ ее: >> a = [ 1 2; 3 4 ] >> b = [ 1; 0 ] >> a\b

О тмети м, что b в д анном случае– вектор-столбец. 1.3. При м е р програм м и ров ани я Пустьзад аны матри цаa: 0.8 0.1 0.2 0.9

и вектор-столбец x: 1 0

Буд ем счи тать, что x пред ставля ет собой населени е город а. Первая строка (1) зад ает д олю общ его населени я в запад ной части город а, вторая – в восточной полови не. Прави ло x = ax зад ает и зменени е д оли населени я с течени ем времени . М атри цааобозначает, что населени езапад ной части остается в ней с вероя тностью 0.8 и перемещ ается в восточную часть с вероя тностью 0.2, аналоги чно д ля восточной части город а, населени е остается в ней с вероя тностью 0.9 и перемещ ается в запад ную частьс вероя тностью 0.1. Т аки м образом, распред елени е населени я по частя м город а мож ет бы ть пред сказано/вы чи слено на зад анны й пери од путем вы полнени я след ующ и х д ействи й: >> a = [ 0.8 0.1; 0.2 0.9 ] >> x = [ 1; 0 ] >> for i = 1:20, x = a*x, end

Зам е чани е : в д анном случае бы л рассмотрен при мер ци кла for. А налоги чно могутбы тьи спользованы ци клы д руги х ти пов. 1.4.

Граф и ка в MATLAB

1.4.1. 2-D граф и ка

Д ля построени я д вумерны х граф и ков и спользуются команд ы plot (в д екартовой си стемекоорд и нат), fplot и ли polar (в поля рной си стемекоорд и нат). При мер 1. Д ля построени я граф и каф ункци и y = sin(t) наи нтервалеотt = 0 д о t = 10 вы полни теслед ующ ее: >> t = 0:.3:10; >> y = sin(t); >> plot(t,y)

7 Результатпред ставлен наРи с. 1. К оманд аt = 0:.3:10; опред еля етвектор скомпонентами , меня ющ и ми ся от0 д о 10 с ш агом 0.3. В торая команд а (y = sin(t);) опред еля ет вектор, чьи ми компонентами я вля ются sin(0), sin(0.3), sin(0.6), … . И , наконец, plot(t,y) и спользует значени я векторов t и y д ля построени я граф и ка.

Ри с. 1. Д ля прори совки ли ни й сетки послекоманд ы plot след уетчерез запя тую указать команд у grid. Граф и кв поля рной си стемекоорд и натстрои тся аналоги чны м образом: t=0:0.01:2*pi; y=3*(1+sin(t)); polar(t,y)

Д ля совмещ ени я граф и ков в од ной си стеме коорд и нат и спользуется ф ункци я hold on, напри мер: t=0:0.01:2*pi;y1=3*(1+sin(t));y2=3*(1-sin(t)); polar(t,y1),hold on,polar(t,y2,'r')

Д ля совмещ ени я трех и более граф и ков с помощ ью ф ункци и hold on второй, трети й, … граф и ки указы ваются через запя тую, напри мер: t=0:0.01:2*pi;y1=3*(1+sin(t));y2=3*(1-sin(t)); y3=3*(1+cos(t)); y4=3*(1-cos(t)); polar(t,y1),hold on,polar(t,y2,'r'),polar(t,y3,'g'),polar(t,y4,'k')

Д ля построени я граф и ков зад анны х ф ункци й мож ет бы ть и спользована команд аfplot:

% Г р афик фу н к ции sin(t) ил и sin(x) и т .д . в пр ед ел ах по ар гу м ен т у от − 3π д о + 3π : » fplot('sin(t)',[-3*pi 3*pi]),grid % Набор в рабочей строке MATLAB

% Г р афик фу н к ции sin(t) в пр ед ел ах по t от − 3π д о + 3π с огр ан ич ен ием от -0.7 д о 0.7 » fplot('sin(t)',[-3*pi,3*pi,-0.7,0.7]),grid % С ов м ещ ен ие н еск ол ьк их гр афик ов : sin(t), exp(-0.5t), 3cos(t) » fplot('[sin(t),exp(-0.5*t),3*cos(t)]',[-1,10,-4 5]),grid

8 Граф и ки такж е могутсопровож д аться поя снени я ми с помощ ью ф ункци и gtext, title, xlabel, ylabel, напри мер: t=0:0.01:2*pi;y=sin(t);plot(t,y),grid,gtext('t'),gtext('y') % т р ебу ем ые сим в ол ы (t и y) у ст ан ав л ив ают ся в позиции к у р сор а м ыш и. t=0:0.01:2*pi;y=sin(t); plot(t,y),grid,title('Синусоида'),xlabel('радианы'), ylabel('функция'),gtext('t'),gtext('y') » fplot('[sin(t),3*cos(t)]',[-1,10,-4 ,5]),grid,title('y_1-sin(t), y_2-3cos(t)'),gtext('y_1'),gtext('y_2') % т р ебу ем ые сим в ол ы н а гр афик е у ст ан ав л ив ают ся в позиции к у р сор а м ыш и.

Е сли несколько граф и ков совмещ ены , то д ля размещ ени я поя снени й мож но и спользовать ф ункци ю legend, при чем я рлы к мож ет бы ть установлен в разли чны частя х граф и ка: t=0:0.01:2*pi;y1=sin(t);y2=cos(t); plot(t,y1,'r'),grid,hold on,plot(t,y2), legend('s1','c2') % у ст ан ов к а яр л ык а по у м ол ч ан ию %в л ев ом в ер хн ем у гл у : legend('s1','c2', 2); %в л ев ом н ижн ем у гл у : legend('s1','c2', 3); %в пр ав ом н ижн ем у гл у : legend('s1','c2', 4); %в пр ав ом в ер хн ем у гл у : legend('s1','c2', 1); %в н е р абоч ей обл аст и гр афик а: legend('s1','c2', -1);

У становкад ля граф и ков цветов осущ ествля ется в соответстви и со след ующ и ми ключевы ми обозначени я ми , при вед енны ми в Т абли це1.: Т абли ца1. О бозначени ецвета Y M C R G B W K

Ц вет(по-англи йски ) yellow magenta cyan red green blue white black

Ц вет(по-русски ) Ж елты й светло-ф и олетовы й светло-зелёны й К расны й Зелёны й голубой (си ни й) Белы й Ч ерны й

Д ля начертани я граф и ков разли чны ми си мволами и спользуются ключевы е си мволы , при вед енны ев Т абли це2. Т абли ца2. О бозначени еси мвола 1 • (обы чная точка) O X * S D V ^ < > P

А нгли йскоеназвани е 2 point

Русскоеназвани е 3 Т очка

circle x-mark star suare diamond triangle (down) triangle (up) triangle (left) triangle (right) pentagram

О круж ность К рести к Звезд очка К вад рати ки А лмаз треугольни к(вни з) треугольни к(вверх) треугольни к(левы й) треугольни к(правы й) пя ти конечная звезд очка

9 H : -. --

hexagram solid dotted dashdot dashed

ш ести конечная звезд очка непреры вная ли ни я пункри рная ли ни я (:) ш три х-пункти рная ли ни я разры вная ли ни я

Д ля построени я граф и ков такж е мож ет бы ть и спользован и нтеракти вны й граф и чески й калькуля тор — funtool. Д ля этого в команд ной строкеMATLAB нуж но набратьф ункци ю funtool и запусти тьнавы полнени е(Enter). 1.4.2. 3-D граф и ка

Д ля построени я трехмерны х граф и ков и спользуется ф ункци я plot3, которая в некотором смы сле я вля ется аналогом ф ункци и plot. С помощ ью plot3 ф орми руется построени ели ни и в трехмерном пространстве по зад анны м трем векторам. Н апри мер, д ля построени я пространственной спи рали вы полни те след ующ ее: » t=0:0.05:9*pi; x=2*sin(t);y=cos(t);% t, x, y — вектора одинакового размера » plot3(x,y,t,'r*'),grid, » xlabel('ось X'),ylabel('ось Y'),zlabel('ось Z-t') » title('Пространственная спираль')

Зам е чани е . Поя снени я кграф и ку спомощ ью ф ункци й gtext д ля 3D-граф и ки непри меня ются . Д ля ф орми ровани я пря моугольной сетки на плоскости пред назначена команд а meshgrid. » [x,y]=meshgrid(-5:0.5:5,-5:0.5:5); » plot(x,y),xlabel('X'),ylabel('Y') % Р езу л ьт ат ом д ейст в ия фу н к ции meshgrid яв л яет ся фор м ир ов ан ие "осн ов ан ия" в пл оск ост и XOY % д л я пост р оен ия н ад эт им осн ов ан ием пр ост р ан ст в ен н ой фигу р ы.

Д ля построени я граф и ков пространственны х сетчаты х ф и гур и спользуется команд аmesh. Под робно команд ы работы сграф и кой опи саны в [1,5]. При мер2. Построени еграф и каф ункци и д вух переменны х. Построи м граф и кф ункци и z(x,y) = x exp( - x^2 - y^2): >> [x,y] = meshdom(-2:.2:2, -2:.2:2); >> z = x .* exp(-x.^2 - y.^2); >> mesh(z)

Первая команд а созд ает матри цу, чьи элементы я вля ются точками реш етки с ш агом 0.2 по верти кали и гори зонтали в квад рате -2<=x<=2, -2<=y<=2. В торая команд а зад ает матри цу, элементы которой пред ставля ют собой значени я ф ункци и z(x,y) в узлах реш етки . Послед ня я команд а и спользует эту и нф ормаци ю д ля построени я граф и ка. Результатпред ставлен наРи с.2.

10

Ри с.2. Задани я. 1. В ы полни тьря д матри чны х операци й. 2. Просумми роватьэлементы 3 строки зад анной матри цы , 2 столбца. 3. Сф орми роватьхарактери сти чески й польном зад анной матри цы . 4. Реш и тьси стему ли нейны х уравнени й. 5. О пред ели тьразмерностьзад анной матри цы , столбца. 6. Сф орми роватьпрои звед ени я элементов столбцов матри цы . 7. Построи тьграф и кзад анной ф ункци и назад анном и нтервалев поля рной и д екартовой си стеме коорд и нат с и спользовани ем разли чны х ти пов поя снени й. 8. Построи ть с помощ ью fplot граф и ки след ующ и х ф ункци й и и х комби наци й с соответствующ и ми областя ми опред елени я : lg ( x ), log 2 ( x ), tn( x ), ctg ( x ), arcsin( x ), arccos( x ),

x2 − x x3 + 2 x 2 + x

9. В ы полни тьпостроени я граф и ков с помощ ью fplot разны ми цветами и си мволами . 10. Самостоя тельно прод елать возмож ны е построени я и вы чи слени я с и спользовани ем funtool: граф и ки станд артны х ф ункци й, д и ф ф еренци ровани е и и нтегри ровани е ф ункци ональны х вы раж ени й, обращ ени еф ункци й, слож ени ед вух ф ункци й и т.д . 11. Сравни тьрезультаты при менени я plot3(x,y,Z),grid и mesh(Z). 12. Построи тьграф и кф ункци и д вух переменны х.

11 13. Построи ть пространственную спи раль, д обави ть поя снени е (legend), смени тьцвет и си мволы граф и ка, установи тьновы й д и апазон и зменени я t, поменя тьместами x, y и t в plot3. 14. В ли тературе найти способ построени я сплош ны х пространственны х ф и гур и вы полни тьпостроени е. 15. Построи тьсф еру разли чны ми способами .

2. M-ф айлы По опред елени ю ф айлы , которы е сод ерж ат в себе я зы ковы е код ы си стемы MATLAB, назы ваются М -ф айлами . 2.1. С оздани е М -ф айлов в в и де М -сце нари е в М -сценари и пред ставля ют собой послед овательность д ействи й и ли запи сь вы чи сли тельны х алгори тмов, которы е затем оф ормля ются си стемой MATLAB в ви д еm-ф айлов (срасш и рени ем m) [5]. Т екстМ -сценари я мож етбы тьнапи сан в любом текстовом ред акторе (текстовы й д окумент) и затем перенесен в си стему MATLAB, гд ед олж ен бы тьсохранен в окнеред акторакакm-ф айл. При мер3. 1. Созд атьв команд ном окне MATLAB матри цу: а = [1 2 3;4 5 6] и ли а = [1,2,3;4,5,6]; '

2. Т ранспони роватьматри цу а: а1 = а ; 3. Созд атьматри цу b = [10 20 30;40 50 60]; 4. Перемнож и тьматри цы а1 и b: с = а1*b; 5. Н а экране созд ать над пи сь 'Перемнож ени е матри ц а1 и b:' с помощ ью disp('Перемнож ени ематри ц а1 и b: '); 6. В ы вести результатперемнож ени я , набрав в команд ной строкеобозначени ес и наж ав клави ш у Enter; 7. Ч тобы не бы ло вы вод а промеж уточны х результатов, то в конце каж д ой строки (команд ы ) след уетстави тьточку сзапя той ; . 8. Прод елатьпред ы д ущ и епункты команд сточкой сзапя той и без. 9. Пункты 1-6 запи сатьв М -ф айле. Д ля этого в команд ной строке набрать

edit. К ак только откроется окно текстового ред актора, повтори ть набор команд пп. 1-6 и сохрани тьпод каки м-ли бо и менем (напри мер, Lab1). Т ем самы м созд али М - сценари й. 10. В ы йти и з ред акторав команд ноеокно MATLAB. 11. Запусти тьна вы полнени е созд анны й М - сценари й. Д ля этого в акти вной команд ной строкенабратьи мя М - сценари я и наж атьклави ш у Enter; 12. Д ля возвращ ени я в ред актор с целью ред акти ровани я созд анного М - ф айла в команд ной строке набрать edit и через пробел и мя ж елаемого ф айла (напри мер, Lab1).

12 13. В М - ф айле мож но запи сы ватькомментари и . О ни созд аются с помощ ью знака %. Т .е. после знака % мож но пи сать как на русском, так и на англи йском и т.д . В се, что наход и тся за знаком %, я вля ется невы полня емы ми д ействи я ми , д аж е если там буд ут запи саны станд артны е команд ы MATLAB. Задани е : Созд атьМ - сценари и д ля вы полнени я зад ани й пред ы д ущ ей части 2.2. С оздани е М -ф айлов в в и де М -ф ункци й М -ф айлы могут бы тьф ункци ональны ми (М -ф ункци я ми ), если они сод ерж ат аргументы (вход ны е переменны е) и созд ают вы ход ны е д анны е. М -ф айлы обеспечи вают расш и ря емостьсред ы MATLAB, позволя ют д обавля тьновы е встроенны е ф ункци и к уж е сущ ествующ и м ф ункци я м MATLAB. М - ф айлы ти па М -ф ункци й пред ставля ют собой, каки М -сценари и , обы чны е текстовы е ф айлы , созд аваемы е с помощ ью ред актора ф айлов. Н апи сани е М -ф ункци и начи нается сключевого словаfunction. 2.2.1. Ф орматзаголовкаМ - ф ункци и : function [список выходных переменных] = <имя функции>(<список входных переменных>); % список выходных переменных может быть условным, т.е просто символ. % Сохранение М-файла как М-функции должно быть с именем, которое указывается в поле заголовка М-функции.

При мер 4. Созд ани еМ -ф ункци и . Созд атьМ -ф айл д ля вы чи слени я вы раж ени я : c = a 2 + b 2 , гд е a , b — чи слаи ли матри цы од и наковой размерности . В текстовом ред акторе MATLAB созд аем след ующ и й М -ф айл в ви д е М ф ункци и : function c = fun1(a, b) c = sqrt(a.^2 + b.^2); % Применение точки означает массивное возведение в квадрат. % Созданную М-функцию сохраним под именем fun1? которому редактор MATLAB добавит расширение ".m". % Обращение к функции fun1 может быть выполнено или в командном окне или в М-сценарии.

Д ля этого при мера сначалав команд ном окневы полни м след ующ и ед ействи я : >> fun1(3,4) % в качестве аргументов выбраны значения a=3, b=4 >> ans= 5 % результат выполнения М-функции fun1 с входными аргументами 3 и 4 >> % другой способ использования созданной функции fun1: >> a=3; b=4; >>fun1(a,b) ans= 5 >> % с присвоением результата, например, через z1 >>z1=fun1(a,b) z1= 5

2.2.2. О пи сани еф орматаМ -ф ункци и .

— ли ни я и ли строкаопред елени я ф ункци и , напри мер: function s1=sum1(n,k); (зад ает ключевое слово function , вы ход ны е аргумены s1 , и мя ф ункци и sum1 , вход ны еаргументы ссоответствующ и м поря д ком след овани я . — строкаи ли строки комментари ев (послезнака%)

13 — т е лоф ункци и , котороесод ерж и твсевы чи слени я В се ф ункци и си стемы MATLAB и меют строку опред елени я ф ункци и и собственно тело ф ункци и . И мя ф ункци и мож ет сод ерж атьсвы ш е 30 знаков, при чем первы й знакд олж ен бы тьбуквой. Задани е . Созд атьM-ф ункци ю д ля вы полнени я зад ани й части 1.

3.

При м е не ни е MATLAB для анали за си ст е м ав т ом ат и че ского управ ле ни я

3.1. Пре образов ани е Лапласа в MATLAB — ф ункци я laplace >> syms x y t; % задание символьных переменных >> f1 = t; % зададим функцию-оригинал; >> L1 = laplace(f1) % определение изображения по Лапласу от линейной функции; >> f2 = sym('10'); % функцию f2 = 10 выражаем в символьном виде; >> L2 = laplace(f2) % определение изображения от постоянной; >> f3 = sym('3')*t + sym('7'); % оригинал линейной функции; >> L3 = laplace(f3) % изображение линейной функции; >> f4 = exp(-t); % оригинал экспоненциальной функции (со знаком минус); >> L4 = laplace(f4) % изображение экспоненциальной функции ; >> f5 = exp(t); % оригинал экспоненциальной функции (со знаком плюс); >> L5 = laplace(f5) % изображение экспоненциальной функции ; >> L6 = laplace(exp(t)) >> f6 = sin(x); >> L6 = laplace(f6) % изображение тригонометрической функции sin(x); >> L7 = laplace(cos(x)) % изображение тригонометрической функции cos(x);

3.2. С оздани е пе ре дат очны х ф ункци й— tf % См. help tf;

При мер5. Сф орми руем след ующ ую перед аточную ф ункци ю W1: 12 . W1 = s 3 + 2 s 2 + 3s + 1

Д ля этого в команд ной строкеMATLAB наби раем (и ли созд аем М -сценари й): >> W1=tf(12,[1 2 3 1]) % Результат возвращается в виде: Transfer function: 12 --------------------s^3 + 2 s^2 + 3 s + 1

Ф орми ровани еперед аточны х ф ункци й сразлож ени ем намнож и тели чи сли теля и знаменателя с зад анны м коэф ф и ци ентом перед ачи осущ ествля ется с помощ ью команд ы zpk (zero-pole-gain), си мвол k отображ ает gain. (нули перед аточной ф ункци и — это корни чи сли теля , полюса — корни знаменателя ) При мер 6. Сф орми руем перед аточную ф ункци ю со стати чески м коэф ф и ци ентом, равны м 7.7, и с полюсами s1 = −3.3 , s2 = −0.25 , s3 = −12.7 . Н азовем ееперед аточной ф ункци ей свы д еленны ми нуля ми и полюсами . В команд ной строкеMATLAB наби раем: >> W3=zpk([],[-3.3,-0.25,-12.7],7.7) % Результат возвращается в виде: Zero/pole/gain: 7.7 ------------------------(s+3.3) (s+12.7) (s+0.25) % Символ [] означает, что в числителе передаточной функции характеристический полином %нулевой

14 При мер 7. Сф орми руем перед аточную ф ункци ю со стати чески м коэф ф и ци ентом, равны м 7.7, с полюсами s1 = −3.3 , s2 = −0.25 , s3 = −12.7 и с нуля ми S1 = −5 , S2 = +4 . В команд ной строкеMATLAB наби раем: >> W4=zpk([4,-5],[-3.3,-0.25,-12.7],7.7) % Результат возвращается в виде: Zero/pole/gain: 7.7 (s-4) (s+5) ------------------------(s+3.3) (s+12.7) (s+0.25)

3.3. Взаи м ное пре образов ани е ф орм пе редат о чны х ф ункци й Преобразуем полученную перед аточную ф ункци ю W4 в раци ональную ф орму: % В командной строке MATLAB набираем: » w44=tf(W4) % Результат возвращается в виде: Transfer function: 7.7 s^2 + 7.7 s - 154 --------------------------------s^3 + 16.25 s^2 + 45.91 s + 10.48

Преобразуем раци ональную перед аточную ф ункци ю в ф орму с вы д еленны ми нуля ми и полюсами : % В командной строке MATLAB сформируем простую передаточную функцию вида:

W5 =

10 2

s + 3s + 2 . W5=tf(10,[1,3,2]) % Результат возвращается в виде: Transfer function: 10 ------------s^2 + 3 s + 2 % Полученная передаточная функция соответствует описанию объекта, состоящего из двух последовательно соединенных инерционных звеньев с результирующим коэффициентом

T = 1 , T2 = 2 . передачи, равным 10, и постоянными времени 1 % Передаточная функция с выделенными нулями и полюсами w55: w55=zpk(W5) % Формат преобразования % Результат преобразования Zero/pole/gain: 10 --------(s+2)(s+1)

% Преобразуем раци ональную перед аточную ф ункци ю W2 в ф орму с вы д еленны ми нуля ми и полюсами : w22=zpk(W2) % Формат преобразования % Результат преобразования Zero/pole/gain: 3 (s^2 + 1.667s + 1.333) -------------------------------(s+0.4302) (s^2 + 1.57s + 2.325)

3.4. О це нка ди нам и ки объе кт а управ ле ни я по заданной пе ре дат о чно й ф ункци и Д и нами ка объекта управлени я опред еля ется знаменателем перед аточной ф ункци и , точнее корня ми характери сти ческого уравнени я , составленного и з знаменателя . Е сли корни характери сти ческого уравнени я "левы е", то

15 соответствующ и й переход ны й процесс буд ет установи вш и мся , если ж е корни "правы е", то переход ны й процесс буд ет неустанови вш и мся , т.е. стреми ться к бесконечности (по вы ход ной коорд и нате объекта и ли по всем возмож ны м коорд и натам). Д ля расчета корней характери сти ческого уравнени я мож но и спользовать ф ункци ю eig. При мер 8. О пред ели м корни характери сти ческого уравнени я д ля объекта с перед аточной ф ункци ей W5 и w55. » eig(W5) % W5 — рациональная передаточная функция ans = -2 -1 » eig(w55) % w55 — передаточная функция с выделенными нулями и полюсами ans = -2 -1 % Результат получен один и тот же. Форма w55 позволяет сразу определить корни, если % они простые

3.5. Д и нам и че ски е и част отны е х аракт е ри ст и ки С А У [6] Переход ны ехарактери сти ки — step. О пред елени е. Переход ной характери сти кой (ф ункци ей) объекта (си стемы ) управлени я назы вается его реакци я во времени при возд ействи и на него ед и ни чной ф ункци и (ед и ни чного скачка) при нулевы х начальны х услови я х. %Форматы записи step рассмотрим на примерах с передаточными функциями. W1=tf(12,[1 2 3 1]); % Рациональная передаточная функция » step(W1),grid % С автоматическим установлением временного интервала » step(W1,25),grid % С задаваемым установлением временного интервала от 0 до 25 » Z=zpk([],[-1 -2],4); % Функция с выделенными нулями и полюсами » step(Z),grid % С автоматическим установлением временного интервала » step(Z,13),grid % С задаваемым временным интервалом от 0 до 13 » step(Z,13,'r*'),grid,hold on,step(W1,'g*')% Совмещение двух графиков— 1сп. » step(Z,13,'r*',W1,'g*'),grid % Совмещение двух графиков — 2-й способ

И мпульсны ехарактери сти ки — impulse. Опр ед ел ен ие. И мпульсной характери сти кой (ф ункци ей) си стемы назы вается реакци я си стемы во времени при возд ействи и на нее ф ункци и δ(t) Д и рака (с бесконечно больш ой ампли туд ой и бесконечной малой д ли тельности ). %Форматы записи impulse рассмотрим на примерах с передаточными функциями. W1=tf(12,[1 2 3 1]); % Рациональная передаточная функция » impulse(W1),grid % С автоматическим установлением временного интервала » impulse(W1,25),grid % С задаваемым установлением временного интервала от 0 до 25 » Z=zpk([],[-1 -2],4); % Функция с выделенными нулями и полюсами » impulse(Z),grid % С автоматическим установлением временного интервала » impulse(Z,13),grid % С задаваемым временным интервалом от 0 до 13 » impulse(Z,13,'r*'),grid,hold on,step(W1,'g*')% Совмещение графиков— 1сп. » impulse(Z,13,'r*',W1,'g*'),grid % Совмещение графиков — 2-й способ

При мер8. Пустьзад анаперед аточная ф ункци я СА У .

Н айд ем ее д и нами чески е и частотны е характери сти ки (в команд ном окне MATLAB. 1. Созд ад и м LTI-объектси менем w, д ля этого вы полни м:

16

2. Н айд ем полюсаи нули перед аточной ф ункци и си спользовани ем команд pole, zero.

3. Построи м переход ную ф ункци ю команд ой step(w). 4. Построи м и мпульсную переход ную ф ункци ю команд ой impulse(w). 5. Д и аграмму Бод еполучи м, и спользуя команд у bode(w). 6. О пред ели м частотны й год ограф Н айкви ста, вы полни в команд у nyquist(w).

А налоги чны е результаты мож но получи ть, и спользуя команд у ltiview(w), с соответствующ и ми настройками в меню “Plot Configuration”. К аж д ая и з построенны х характери сти к полностью и од нозначно опред еля ет рассматри ваемую си стему управлени я . Задани е - вы полни тьперечи сленны ед ействи я сод ни м и з вари антов: №

1.

2.

В и д перед аточной ф ункци и

№

К о эф ф иц ие нты п о лино м о в b0

b1

a0

a1

a2

a3

а4

1.

0

3

1

2

3

0

1

2.

2

6

4

0

1

5

1

3.

0

-3

5

2

0

2

1

4.

4

2

3

4

5

3

1

5.

0

1

-2

-2

-3

-2

0

b0

b1

b2

a0

a1

a2

а3

1.

0

-3

2

4

2

3

9

2.

8

0

-3

-4

-6

-4

-1

3.

-4

6

-2

5

5

0

1

4.

6

-8

-7

0

-6

-3

-1

5.

2

-1

-3

-1

0

-7

-2

b0

b1

b2

a0

a1

a3

a4

17 3.

4.

5.

1.

0

2

8

-3

7

-7

1

2.

-5

0

3

-8

-2

-1

-6

3.

-7

1

2

0

5

2

9

4.

-6

4

-4

1

0

6

3

5.

2

-2

-1

5

3

0

9

1.

0

-5

4

3

7

9

1

2.

7

-6

0

5

8

2

2

3.

-2

-8

2

0

4

3

3

4.

-7

-1

6

9

0

4

2

5.

-3

7

-4

4

5

0

1

b2

b3

a0

a1

a2

a3

a4

1.

0

-5

4

3

7

9

1

2.

7

-6

0

5

8

2

2

3.

-2

-8

2

0

4

3

3

4.

-7

-1

6

9

0

4

2

5.

-3

7

-4

4

5

0

1

3.6. А нали з и си нт е з С А У м е т о до м корне в огогодограф а При менени е метод а корневого год ограф а (К Г) обусловлено ф унд аментальной зави си мостью повед ени я ли нейной СА У от полюсов и нулей ее перед аточной ф ункци и . Полож ени е полюсов перед аточной ф ункци и на комплексной плоскости опред еля ет устойчи вость СА У , а в совокупности с нуля ми ви д и мпульсной переход ной ф ункци и w(t) и переход ной ф ункци и h(t). М етод корневого год ограф а позволя ет наход и тьполюса и нули перед аточной ф ункци и замкнутой си стемы , располагая полюсами и нуля ми разомкнутой си стемы при и зменени и коэф ф и ци ента уси лени я разомкнутой си стемы k. М етод корневого год ограф а я вля ется такж е метод ом проекти ровани я пропорци онального устойчи вого регуля тора. При мер 9. Н еобход и мо и сслед оватьСА У сперед аточной ф ункци я разомкнутой си стемы : . 1. Созд ад и м ZPK-объект, найд ем полюсаи нули разомкнутой си стемы :

18

2. Запусти м SISO-Design Tool с помощ ью команд ы sisotool и ли вы бором соответствующ его пункта в окне “Launch Pad”. Затем необход и мо вы братьв меню View пункт Root Locus (корневой год ограф ), д ля отображ ени я ред актора Root Locus Editor. В правом верхнем углу SISO-Design Tool мож но меня тьти п обратной свя зи (кнопка “+/–” ) и структурную схему СА У . В лабораторной работе пред полагается нали чи е отри цательной обратной свя зи . Затем осущ естви м настройку параметров и и мпорти руем ZPK-объект и з рабочего пространства MATLAB (Ри с. 3.). Д ля загрузки д анны х и з рабочего пространства необход и мо и спользовать меню “File/Import”, в результате которой поя вля ется д и алог Import System Data. Н еобход и мо, чтобы в результате и мпорти ровани я д анны х получи ласьрассматри ваемая схема СА У . И спользуя Root Locus Editor (в этом окне буд ет построен корневой год ограф ) и значени е коэф ф и ци ента уси лени я (зд есьC – Current Compensator), след ует вы полни ть послед ующ и е пункты д анной работы . И зменени е д и нами чески х и частотны х характери сти к замкнутой си стемы при и зменени и K мож но прослед и ть , и спользуя меню “Tools/Loop Responses”. 3. Захвати в “мы ш ью”, перед ви гатькрасны й курсор по корневому год ограф у д о пересечени я ветвей с мни мой осью, опред ели тьзначени е Kкр. Перед ви ж ени е курсора прои сход и т такж е при ввод е значени я коэф ф и ци ента уси лени я C в соответствующ ееполеввод ав верхней части GUI-и нтерф ейса.

19

Ри с. 3. Д ля рассматри ваемого случая K ≈3. Значени е ωкр соответствует мни мой коорд и нате пересечени я К Г мни мой оси . Просмотретьэто значени е мож но в ни ж ней части и нтерф ейсаи ли вы брав меню пункт“View/Closed-Loop Poles”. 4. Зад ад и м значени я 0.5Kкр и 0.25Kкр и опред ели м значени я полюсов. 5. Н апри мер, д ля значени я 0.5Kкр построи м ви д переход ной ф ункци и замкнутой си стемы . Д ля этого необход и мо вы брать в меню пункт “Tools/Loop Responses/Closed-Loop Step”. По результатам построени я переход ной ф ункци и мож но сд елатьвы вод о том, что си стема устойчи ва. М еня я значени я C, мож но уви д еть в соответствующ ее и зменени е переход ной ф ункци и и ли д руги х характери сти к си стемы в д и нами ке. При и зменени и С прои сход и т автомати ческоеобновлени евы бранны х характери сти кзамкнутой си стемы . Задани е : и ссле дов ат ь о дну и з си ст е м с заданны м и парам ет рам и кр

№

В и д перед аточной ф ункци и

№

Значени я Ti [c]

Wp(s) 1.

2.

В арианты п арам е тро в

1.

T1 = 0.5, T2 = 0.1

2.

T1 = 0.1, T2 = 0.01

3.

T1 = 0.1, T2 = 0.9

4.

T1 = 0.01, T2 = 0.1

5.

T1 = 0.15, T2 = 0.2

1.

T = 0.1, ζ = 1

2.

T = 0.05, ζ = 0.707

20

3.

4.

5.

3.

T = 0.03, ζ = 0.1

4.

T = 0.08, ζ = 0.5

5.

T = 0.01, ζ = 0.15

1.

T1 = 0.03, T2 = 0.5, T3 = 0.1, T4 = 0.05

2.

T1 = 0.05, T2 = 0.4, T3 = 0.08, T4 = 0.033

3.

T1 = 0.2, T2 = 0.45, T3 = 0.1, T4 = 0.05

4.

T1 = 0.5, T2 = 0.25, T3 = 0.1, T4 = 0.02

5.

T1 = 0.1, T2 = 0.25, T3 = 0.1, T4 = 0.05

1.

T1 = 0.2, T2 = 0.1, T3 = 0.05, T4 = 0.07, ζ = 0.5

2.

T1 = 0.07, T2 = 0.1, T3 = 0.05, T4 = 0.07, ζ = 0.5

3.

T1 = 0.3, T2 = 0.1, T3 = 0.05, T4 = 0.07, ζ = 0.5

4.

T1 = 0.01, T2 = 0.1, T3 = 0.1, T4 = 0.07, ζ = 0.5

5.

T1 = 0, T2 = 0.1, T3 = 0.1, T4 = 0.07, ζ = 0.5

1.

T1 = 0.05, ζ 1 = 0.3, T2 = 0.1, ζ 2 = 0.3, T3 =T4 = 0.01

2.

T1 = 0.05, ζ1 = 0.3, T2 = 0.1, ζ 2 = 0.3, T3 =T4 = 0.05

3.

T1 = 0.05, ζ 1 = 0.707, T2 = 0.07, ζ 2 = 0.3, T3 =T4 = 0.1

4.

T1 = 0.05, ζ 1 = 0.707, T2 = 0.07, ζ 2 = 0.3, T3 =T4 = 0.05

5.

T1 = 0.05, ζ 1 = 0.3, T2 = 0.05, ζ 2 = 0.3, T3 =T4 = 0.1

3.7. О пи сани е си ст е м в про ст ранст в е сост ояни й[6,7] М етод пространства состоя ни й (метод переменны х состоя ни я ) основан на поня ти и "состоя ни е си стемы ". Состоя ни е д и нами ческой си стемы опи сы вается совокупностью ф и зи чески х переменны х xi(t), ..., xn(t), характери зующ и х повед ени е си стемы в буд ущ ем при услови и , если и звестно состоя ни е в и сход ны й моментвремени и при лож енны екси стемевозд ействи я .

21 В Control System Toolbox и меется ти п д анны х, опред еля ющ и х д и нами ческую си стему в пространстве состоя ни й. Си нтакси с команд ы , созд ающ и й непреры вную LTI (Linear Time Invariant)-си стему в ви д е ss-объекта c од ни м вход ом и од ни м вы ход ом SS(A, B, C, D). В эту ф ункци ю в качестве параметров перед аются матри цы уравнени й состоя ни й и вы ход ов ви д а М атри цу д и нами ки D буд ем счи татьв д анном случаенулевой. Д ля вы полнени я работы могутпри меня ться команд ы (Т абли ца3.). Т абли ца3. Си нтакси с

О пи сани е

ctrb(LTI-объект>) ctrb(A, B)

Ф орми ровани ематри цы управля емости

obsv() obsv(A, C)

Ф орми ровани ематри цы наблюд аемости

parallel(,)

Параллельноесоед и нени е

series(,)

Послед овательноесоед и нени е

feedback(,)

Соед и нени еобратной свя зью

append( , … , )

О бъед и нени еси стем

connect(<sys>,,,)

У становлени есвя зей в соед и нени и

Д ля получени я результатов вы чи слени я матри ц, результи рующ ей си стемы , по структурной схеме, воспользуемся послед ни ми д вумя команд ами . Ф ункци я append созд ает объект sys, пред ставля ющ и й собой объед и нени е всех под си стем. При этом первы й вход ной си гнал первой си стемы станови тся вход ом номер 1, второй вход ной си гнал первой си стемы – номер 2 и т.д ., д алее и д утвход ы второй си стемы и т.д .; аналоги чно опред еля ются и вы ход ы . В ф ункци и connect – параметр опред еля ет матри цу свя зей по структурной схеме. М атри ца ф орми руется по след ующ ему прави лу: каж д ая строка пред ставля ет собой од и н вход си стемы sys, первы й элемент – номер вход а (в соответстви и с поря д ком в команд е append), затем и д ут номера вы ход ов, которы е сумми руются и под аются на рассматри ваемы й вход . Параметры , – строки и з номеров вход ов и вы ход ов соед и нени я , я вля ющ и еся внеш ни ми . Н апри мер, д ля послед овательного соед и нени я д вух си стем: sys1= ss(A1, B1, C1, D1) sys2= ss(A2, B2, C2, D2) sys=append (sys1, sys2) sysc=connect(sys, [2 1], [1], [2])

В этом случаенавход второй си стемы (общ и й вход номер 2), поступаетвы ход первой (общ и й вы ход номер 1); вход первой си стемы (номер од и н) и вы ход второй си стемы (номерд ва) я вля ются внеш ни ми .

22 При мер10. Д аны три ли нейны естаци онарны еси стемы :

1.

; 2.

;

; 3.

и и меется структурная схемасоед и нени я си стем:

1. При вед ем си стему 3 кд ругому ви д у, д ля чего введ ем переменны е ;

и , под ставля я и х в и сход ны еуравнени я , получи м –

;

;

.

2. Созд ад и м матри цы первой си стемы –

Созд авая аналоги чно матри цы д вух д руги х си стем, созд ад и м ss-объекты :

23

24

3. И сслед уем наблюд аемостьи управля емостькаж д ой си стемы , д ля чего построи м соответствующ и ематри цы и посчи таем и х ранги –

В и д но, что во всех случая х ранги матри ц управля емости и наблюд аемости совпад аютсразмерностя ми пространствасостоя ни й. 4. Получи м си стему, опред еля емую соед и нени ем.

25 Д ля корректного и спользовани я ф ункци и connect введ ем д ополни тельную си стему, перед аточная ф ункци я которой равна 1. Э кви валентная схема при вед енанаРи с. 4.

Ри с. 4. >> s4 = tf(1) Transfer function: 1 >> sys=append(s1,s2,s3,s4); >> Q=[2 -4 5; 3 1 0; 4 2 0; 5 2 0]; >> in=[1 5]; >> out=[3 4]; >> s_com=connect(sys,Q, in,out);

О бращ ая ськд анны м объекта, мож но получи тьматри цы А , В , С: >> A=s_com.A; >> B=s_com.B; >> C=s_com.C;

4. В ы чи сли м ранги матри ц наблюд аемости и управля емости и тоговой си стемы : >> rank(ctrb(A,B)) ans = 6 >> rank(obsv(A,C)) ans = 6

Результаты показы вают, что д анная си стемауправля емаи наблюд аема. Задани е : и спользоватьод и н и з след ующ и х вари антов № №

У равнени я си стем

Схема

1

1

1.

2.

3.

2

2

1.

2.

3.

3

3

1.

2.

3.

26

4

4

1.

2.

3.

5

2

1.

2.

3.

6

3

2.

1.

3.

7

1

1.

2.

3.

8

2

1.

2.

3.

9

5

1.

2.

3.

27 10

6

1.

2.

3.

11

5

1.

2.

3.

12

7 1.

2.

3.

13

6

1.

2.

3.

14

8 1.

2.

3.

15

8 1.

2.

3.

16

9

1.

2.

3.

28 17

10 1.

2.

18

8 1.

3.

Структурны есхемы квари антам

1.

2.

3.

4.

3.

2.

29

5.

6.

7.

8.

9.

10.

3.8. Уст о йчи в ост ь ли не йны х си ст е м Рассмотри м ли нейную стаци онарную си стему . Д опусти м, что уд алось найти ф ункци ю Л я пунова: V(x)=xTQx, гд е Q – си мметри чная и полож и тельная опред еленная матри ца. Т огд а

О бозначи м = – С (*), тогд а, поскольку С полож и тельно опред елена, си стемааси мптоти чески устойчи вав целом. Болеетого, т.к.

30 ,

матри ца

С

си мметри чна. Н а практи ке целесообразно реш атьобратную зад ачу. В ы би рают какую-ли бо полож и тельно опред еленную полож и тельную матри цу, напри мер C = I. Т огд а мож но получи тьQ. Е сли квад рати чная ф орма Q оказы вается неопред еленной (знакопеременной), то по теореме Л я пунова о неустойчи вости начало коорд и нат неустойчи во. Е сли Q полож и тельно опред елена, то поскольку си стемали нейнаи стаци онарна, начало коорд и натаси мптоти чески устойчи во в целом. О боснованность такого анали за зави си т от того, опред еля ет ли уравнени е (*) од нозначно матри цу Q, если зад ана си мметри чная и полож и тельная С . Справед ли вы след ующ и еутверж д ени я : Е сли n собственны х значени й λ1, … , λn матри цы A таковы , что λi+λj <0 ( ), то и з уравнени я (*) при зад анной матри цеС матри цаQ опред еля ется од нозначно. (Д остаточноеуслови еустойчи вости матри цы А ). Е сли матри ца А устойчи ва и матри ца С полож и тельно опред елена, то матри ца Q такж е полож и тельно опред елена. (Н еобход и мое услови е устойчи вости матри цы А ). Си стемааси мптоти чески устойчи вав том и только том случае, если реш ени еГ, я вля ющ ееся (n×n)-матри цей, уравнени я Л я пунова я вля ется полож и тельно-опред еленной матри цей. Зд есь H – прои звольная полож и тельно-опред еленная си мметри чная матри ца. Д ля опред еленности матри цу H мож но полож и тьед и ни чной. Д ля установлени я полож и тельной опред еленности си мметри чной матри цы Г мож но воспользоваться кри тери ем Си львестра: ∆i > 0 д ля , гд е ∆i – ми норы i-го поря д ка матри цы Г. Д ля опред елени я аси мптоти ческой устойчи вости ли нейны х си стем мож но воспользоваться кри тери ем РауссаГурви ца. Согласно этому кри тери ю, си стема я вля ется устойчи вой, если все ми норы матри цы Гурви цабы ли полож и тельны . А си мптоти ческая устойчи вость опред еля ется аналоги чно, только вместо матри цы A берется матри цаA+BL. При мер11. Пусть зад ана си стема управлени я , опи сы ваемая конечно-разностны ми уравнени я ми в пространствесостоя ни й x(k+1) = A(k) x(k) + B(k) u(k), ( матри ца

, опред еля ющ ая закон управлени я u = Kx,.

1. Зад ад и м матри цы , опред еля ющ и еси стему: >> A=[1 2; -3 4] A= 1 2 -3 4 >> B= [1 2]' B=

),

и и звестна

31 1 2 >> L=[2 1] L= 2 1 2. Определим решение уравнения Ляпунова >> G=dlyap(A, eye(2)) G= -0.2211 -0.1215 -0.1215 -0.1285 3. Произведем расчет главных миноров >> det(G(1:1, 1:1)) ans = -0.2211 >> det(G) ans = 0.0136

По кри тери ю Си львестра реш ени е не я вля ется полож и тельно-опред еленной матри цей, след овательно, си стеманея вля ется аси мптоти чески устойчи вой. 4. А налоги чно мож но опред ели тьсвойство аси мптоти ческой устойчи вости в управля емой си стеме. >> G=dlyap(A+B*L, eye(2)) G= -0.2563 0.0833 0.0833 -0.0498 >> det(G) ans = 0.0058 >> det(G(1:1, 1:1)) ans = -0.2563

По кри тери ю Си львестра реш ени е д и скретного уравнени я Л я пунова не я вля ется полож и тельно-опред еленной матри цей, след овательно, си стема не я вля ется аси мптоти чески устойчи вой. 5. При вед ем текст script-ф айла д ля опред елени я устойчи вости матри цы X на основеи спользовани я метод аРаусса-Гурви ца. %получение коэффициентов характеристического полинома lm= poly(X); %определение размерности [L, N] =size(lm); %создание матрицы с нулевыми значениями g=zeros(N, N); %заполнение нечетных строк матрицы Гурвица s=0; for i=1:2:N j=1; j=j+s; r=0; for r=2:2:N g(i, j)=lm(r); j=j+1; end s=s+1; end %заполнение четных строк матрицы Гурвица s=0; for i=2:2:N j=1;

32 j=j+s; r=0; for r=1:2:N g(i, j)=lm(r); j=j+1; end s=s+1; end g=g(1:N-1, 1:N-1); %вычисление главных миноров minor=1; for i=1:N-1 dd = det(g(1:i, 1:i)); if dd<0 minor=0; end end %вывод результатов if minor==0 disp('СИСТЕМА НЕ УСТОЙЧИВА'); else disp('СИСТЕМА УСТОЙЧИВА'); end

Результат вы чи слени я показы вает, что си стема управлени я не я вля ется аси мптоти чески устойчи вой. Полученны е граф и ки д и нами ки си стемы и ллюстри руют полученны й анали ти чески й результат о неустойчи вости си стемы . Задани е : в ы полни т ь де йст в и я, при в е де нны е в при м е ре для о дной и з си ст е м № №

У равнени я си стем

1

2

3 . 4

5 . 6 . 7

L

33 8

9 . 10 . 11

12

13

14

15

16

17

18 . 19

20

3.9. С и нт е з опт и м альногоуправ ле ни я с полнойобрат нойсв язью Пусть повед ени е мод ели объекта управлени я опи сы вается обы кновенны м д и ф ф еренци альны м уравнени ем x(t)=f (t, x(t), u(t)), гд е х - вектор состоя ни я си стемы , х∈Rn, Rn - n-мерноеевкли д ово пространство; u - вектор управлени я , и u∈U⊂Rn, U - некоторое зад анное множ ество д опусти мы х значени й управлени я , t∈T=[t0, t1] – и нтервал времени ф ункци они ровани я си стемы , моменты начала процессаt0 и окончани я процессаt1 зад аны , f (t, x, u): Т × Rn × U → Rn.

34 Зад ан ф ункци онал качествауправлени я

гд е f 0(t, x, u), F(x) - зад анны е непреры вно д и ф ф еренци руемы е ф ункци и . Пред полагается , что при управлени и и спользуется и нф ормаци я о текущ ем времени и векторесостоя ни я х. При меня емоев каж д ы й моментвремени t∈Т управлени еи меетви д управлени я c полной свя зью по всем переменны м векторасостоя ни я (Ри с. 5.).

Ри с.5. Т ребуется найти такую ф ункци ю u*(t, x) ∈ Un, что . Ф ункци я u*(t, x) ∈ Un назы вается опти мальны м управлени ем сполной обратной cвя зью. Д ля любого начального состоя ни я x0 и з множ ества Rn она порож д ает соответствующ ую опти мальную пару, т.е. опти мальную траектори ю х*(.) и опти мальноепрограммноеуправлени еu*(.). Д остаточны м услови ем ми ни мума ф ункци онала я вля ется уравнени е Беллмана д ля непреры вны х д етерми ни рованны х си стем. Е сли сущ ествуют ф ункци я φ(t, x) ∈ C1,1, уд овлетворя ющ ая уравнени ю Беллманасграни чны м услови ем:

и управлени еu*(t, x) ∈ Un, уд овлетворя ющ ееуслови ю

то u*(t, x) я вля ется опти мальны м управлени ем с полной обратной свя зью. При этом ми ни мальноезначени еф ункци онала . Д ля си нтеза опти мального регуля торов ли нейны х стаци онарны х си стем в Control System Toolbox и меются ф ункци и реш ени й уравнени й Беллмана (Т абли ца4.). Т абли ца4. Ф ункци и Control System Toolbox

35 Си нтакси с

О пи сани е

[K P e] = lqr(A, B, Q, S)

Си нтез непреры вного регуля тора

[K P e] = lqr(A, B, Q, S, N)

Си нтез непреры вного регуля тора

[K P e] = dlqr(A, B, Q, R)

Си нтез д и скретного регуля тора

[K P e] = dlqr(A, B, Q, R, N)

Си нтез д и скретного регуля тора

[K P e] = lqrd(A, B, Q, R, Ts)

Си нтез д и скретного регуля тора

[K P e] = lqrd(A, B, Q, R, N, Ts)

Си нтез д и скретного регуля тора

Ф ункци я lqr вы чи сля ет матри цу коэф ф и ци ентов регули ровани я сред неквад рати чны м ф ункци оналом качествабез терми нального члена:

K cо

, при этом вы чи сля ются матри ца P, я вля ющ ая ся реш ени ем уравнени я Ри ккати и собственны езначени я e матри цы (A – BK). Ф ункци я dlqr вы чи сля ет матри цу коэф ф и ци ентов регули ровани я по всем переменны м состоя ни я K д ля д и скретной си стемы cо сред неквад рати чны м ф ункци оналом качествабез терми нального члена: , при этом вы чи сля ются матри ца P, я вля ющ ая ся реш ени ем уравнени я Ри ккати и собственны езначени я e матри цы (A – BK). Ф ункци я lqrd пред назначенад ля си нтезаопти мального д и скретного регуля тора непреры вной си стемы cо сред неквад рати чны м ф ункци оналом качества: . В качестве параметра в ф ункци ю перед ается ш аг д и скрети заци и Ts, возвращ аются значени я матри цы K д и скретного управлени я , матри ца P, я вля ющ ая ся реш ени ем уравнени я Ри ккати и собственны е значени я e матри цы си стемы управлени я , полученны й в результатед и скрети заци и . При и спользовани и всех команд си нтеза опти мального ли нейного регуля тора по всем переменны м состоя ни я на и сход ны е д анны е наклад ы ваются след ующ и еограни чени я : - си стема, опред еля емая матри цами (A, B), д олж набы тьстаби ли зи руема; - д олж ны вы полня ться неравенстваS> 0, Q – NR–1NT>0, - параматри ц (Q – NR–1NT, A – BR–1BT) нед олж наи метьнаблюд аемы емод ы ссобственны ми значени я ми над ействи тельной оси . При мер 12. М од ели ровани е си стемы управлени я и си нтез опти мального регуля тора. Н и ж епри вод и тся текстscript-ф айла: % Параметры си стемы A=[1 0; -2 1]; B=[1 0; 1 0]';

36 % Параметров кри тери я качествауправлени я Q=[1/2 0;0 1/2]; R=[1/2 0; 0 1/2]; % В ремя регули ровани я T=10; % В ели чи наш ага SS=0.5; % К оли чество ш агов N=T/SS % В ы чи слени епараметров регуля тора [k p e]= dlqr(A, B, Q, R) x = zeros(2, N); u= zeros(2, N-1); % Н ачальны еуслови я x(1,1)=2; x(2,1)=1; % Построени еграф и ков д и нами ки си стемы for i=1:N-1, u(:, i)= - k*x(:, i);, x(:, i+1)=A*x(:, i)+B*u(:, i); end x1= x(1,:); x2= x(2,:); t = 0:SS:T-SS; subplot(4, 1, 1); plot(t, x1, 'b'); subplot(4, 1, 2); plot(t, x2, 'g'); subplot(4, 1, 3); plot(SS:SS:T-SS, u(1, :), 'y'); subplot(4, 1, 4); plot(SS:SS:T-SS, u(2, :), 'r');

Результаты вы чи слени я регуля тора– k= 0.8229 0.8229 p= 3.7343 -1.4114 e= 0.1771 0.1771

след ующ и е: значени я

-0.1771 -0.1771 -1.4114 1.1614 + 0.1771i - 0.1771i

граф и ки д и нами ки си стемы – Ри с. 6.

параметров опти мального

37

Ри с. 6. Задани е : осущ е ст в и т ь м оде ли ров ани е заданной си ст е м ы уче т о м в ы бранногоф ункци онала. М од ельси стемы

управ ле ни я с

Ф ункци онал качествауправлени я

1. 1. 2. 3.

2. 1.

2.

38

3.

1. 3. 2.

3.

1. 4. 2.

3.

4. SIMULINK Программа Simulink я вля ется при лож ени ем кпакету MATLAB, реали зующ и м при нци п ви зуального программи ровани я . При этом пользователю не нуж но д осконально и зучатья зы кпрограмми ровани я и чи сленны еметод ы математи ки , д остаточно общ и х знани й, требующ и хся при работе на компьютере и , естественно, знани й той пред метной области , в которой он работает. Д ля работы с Simulink не требуется знатьсам MATLAB и остальны е его при лож ени я , од нако д оступ кф ункци я м MATLAB и его и нструментам остается откры ты м, что позволя ет и спользовать и х при мод ели ровани и в Simulink. Пользователь мож ет созд авать свои собственны е би бли отечны е блоки , и зменя тьсущ ествующ и е, а такж е составля тьновы е би бли отеки блоков. В процессе мод ели ровани я мож но след и ть за прои сход я щ и ми в си стеме процессами с помощ ью специ альны х блоков, а затем пред ставля тьрезультаты мод ели ровани я в ви д еграф и ков и ли табли ц. 4.1. Началоработы Д ля того чтобы начатьработатьс Simulink, мож но воспользоваться од ни м и з трех способов: - в команд ном окнеMATLAB вы полни тькоманд у Simulink; - воспользоваться кнопкой бы строго д оступа (Simulink) на панели и нструментов;

39 - вы братьопци ю Open… в меню File и откры тьф айл мод ели (mdl ф айл) в том случае, если мод ель уж е бы ла ранее созд ана и отлаж ена. В результате эти х д ействи й на экране буд ет отображ ено О кно обозревателя разд елов би бли отеки Simulink. Под робно состав окна обозревателя опи сан в [2,3]. 4.2. С оздани е м оде ли Созд атьновы й ф айл мод ели мож но спомощ ью кнопки бы строго д оступа и ли опци и File/New/Model главного меню. О кно мод ели показано наРи с. 7.

Ри с7. Т еперьмож но при ступатькмод ели ровани ю. Д ля этого след ует располож и ть нуж ны е блоки в окне мод ели : откры тьсоответствующ и й разд ел би бли отеки , затем, указав курсором на требуемы й блоки наж ав на левую кнопку “мы ш и ”, “перетащ и ть” блокв созд анное окно, уд ерж и вая кнопку наж атой, после этого след ует соед и ни тьблоки . Размеры блоков и и х размещ ени ев окнеи зменя ются станд артны м д ля ви зуальны х сред способом. Параметры блоков, установленны е “по умолчани ю”, меня ются в окне ред акти ровани я параметров, д ля чего след ует указатькурсором на и зображ ени е блока и д важ д ы щ елкнуть левой клави ш ей “мы ш и ”. При зад ани и чи сленны х параметров след ует и метьв ви д у, что в качестве д еся ти чного разд ели теля д олж на и спользоваться точка, а незапя тая . Послевнесени я и зменени й нуж но закры тьокно кнопкой OK. После установки на схеме всех требуемы х блоков элементы схемы соед и ня ются . Д ля этого указатькурсором на “вы ход ” блока, а затем наж атьи , не отпуская левую клави ш у “мы ш и ”, провести ли ни ю квход у д ругого блока и отпусти тьклави ш у. В случае прави льного соед и нени я и зображ ени е стрелки на вход еблокаи зменя етцвет. Д ля созд ани я точки разветвлени я в соед и ни тельной ли ни и нуж но под вести курсор к пред полагаемому узлу и , наж ав правую клави ш у “мы ш и ”, протя нутьли ни ю. Д ля уд алени я ли ни и требуется вы брать ли ни ю (каки блок), азатем наж атьклави ш у Delete. После составлени я схемы она сохраня ется в ви д е ф айла на д и ске с помощ ью опци и File/Save As... в главном меню мод ели . В д альнейш ем загрузка мод ели

40 осущ ествля ется с помощ ью опци и File/Open... в окне обозревателя би бли отеки и ли и з основного окнаMATLAB. 4.3. Т е кст ов ы е надпи си Д ля повы ш ени я нагля д ности мод ели уд обно и спользоватьтекстовы е над пи си . Д ля созд ани я над пи си нуж но указать мы ш ью место над пи си и д важ д ы щ елкнутьлевой клави ш ей мы ш и . А налоги чно мож но и змени тьи под пи си к блокам мод ели . След ует и метьв ви д у, что возмож ны труд ности при попы тке и спользовани я ки ри лли чески х ш ри ф тов (отображ ени е над пи сей в нечи таемом ви д е, обрезани е над пи сей, сообщ ени я об ош и бках, а такж е невозмож ность откры тьмод ельпослееесохранени я ). 4.4. И зм е не ни е парам е т ров расче т а Перед вы полнени ем расчетов требуется зад ать параметры расчета, что осущ ествля ется спомощ ью пунктаменю Simulation/Parameters. О кно настройки параметров расчетаи меет4 вклад ки : • Solver (Расчет) — установкапараметров расчетамод ели . • Workspace I/O (В вод /вы вод д анны х в рабочую область) — установка параметров обменад анны ми срабочей областью MATLAB. • Diagnostics (Д и агности ка) — вы бор параметров д и агности ческого реж и ма. • Advanced (Д ополни тельно) — установкад ополни тельны х параметров. У становка параметров расчета мод ели вы полня ется с помощ ью элементов управлени я , размещ енны х на вклад ке Solver. Более под робная и нф ормаци я о вклад ках при вед енав [2]. 4.5. Вы полне ни е расче т а Запускрасчетавы полня ется спомощ ью вы борапунктаменю Simulation/Start. и ли и нструмента напанели и нструментов. Процессрасчетамож но заверш и ть д осрочно, вы брав пунктменю Simulation/Stop и ли и нструмент . Расчеттакж е мож но останови ть(Simulation/Pause) и затем прод олж и ть(Simulation/Continue). 4.6. Зав е рш е ни е рабо ты Д ля заверш ени я работы необход и мо сохрани тьмод ельв ф айле, закры тьокно мод ели , окно обозревателя би бли отек, атакж еосновноеокно пакетаMATLAB. Задани е : и спользовать Simulink д ля мод ели ровани я од ной и з при вед енны х вы ш еси стем.

Ли т е рат ура 1.Потемки н В .Г. Справочни кпо MATLAB: справ. пособи е / В .Г.Потемки н.М .:Д И А Л О Г-М И Ф И , 1998. -318с.

41 2.Ч ерны х И . В . SIMULINK: сред а созд ани я и нж енерны х при лож ени й / И .В . Ч ерны х; под общ . ред . В .Г. Потемки на.— М .: Д И А Л О Г-М И Ф И , 2004 . 3.Д окументаци я по MATLAB.(http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/techdoc/matlab.html). 4.Matlab Tutorial Matlab Basics Tutorial.(http://www.engin.umich.edu/group/ctm/basic/basic.html). 5. Потемки н В . Г. В вед ени е в MATLAB / В . Г. Потемки н.— М .: Д и алогМ И Ф И , 2000 6. Н и кульчев Е .В . Практи кум по теори и управлени я в сред е MATLAB: У чебноепособи е/ Е .В . Н и кульчев. - М .: М ГА ПИ , 2002 7. Бойко О .Г. М етод и чески е указани я клабораторному практи куму по курсу О сновы автомати ческого управлени я .(http://ebook.webservis.ru/help/sam/boyko/b01/b11.htm).

42 Состави тельК ры ж ановская Ю ли анаА лександ ровна Ред актор Т и хоми роваО .А .