Наибольшее собственное многообразие m-групп

Алгебра и логика, 42, N 5 (2003), 624—635

УДК 512.54

НАИБОЛЬШЕЕ СОБСТВЕННОЕ МНОГООБРАЗИЕ m-ГРУПП∗) В. М. КОПЫТОВ, Й. РАХУНЕК Введение Исследование групп монотонных преобразований линейно упорядоченных множеств и связанных с ними упорядочений на группах имеет довольно давнюю историю. В частности, с этими объектами непосредственно связаны полуоднородно упорядоченные группы, которые ввел Лоренцен [1, 2] и изучали Клиффорд [3], Конторович и Кокорин [4], Блудов и Кокорин [5] и др. авторы. Ими были получены некоторые основные свойства групп, близких к группам монотонных преобразований. Однако глубина изучения таких групп значительно уступала развитым теориям линейно упорядоченных, решеточно упорядоченных и правоупорядоченных групп, а также групп автоморфизмов линейно упорядоченных множеств. Значительный сдвиг в изучении групп монотонных преобразований произошел после работы Жироде и Люка [6], в которой дано несколько отличающееся по форме, но по сути то же самое определение полуупорядоченной группы, установлена связь таких групп с группами монотонных преобразований линейно упорядоченных множеств и достаточно подробно исследованы связанные с ними решеточно упорядоченные группы. Предложенная концепция оказалась особенно продуктивной за счет расширения сигнатуры решеточно упорядоченной группы и введения новой ∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований, проект N 99-01-00-156.

c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2003

Наибольшее собственное многообразие m-групп

625

универсальной алгебры — m-группы. Основные свойства многообразий mгрупп и их связь с теорией многообразий l-групп исследовали Жироде и Рахунек [7]. Большое число вопросов возникло о строении и свойствах таких групп. Многие из них решены, но значительное число проблем, главным образом связанных с особенностями дополнительной операции m-групп, остались открытыми. Одним из ключевых был вопрос о существовании в многообразии всех m-групп наибольшего собственного подмногообразия. Соответствующую теорему для решеточно упорядоченных групп доказал Холланд [8]. В предлагаемой работе аналогичная теорема доказывается для многообразий m-групп. Все используемые здесь понятия теории l-групп и терминология в основном соответствуют книгам [9, 10]. В § 1 приводятся основные результаты по теориям l- и m-групп, применяемые в этой работе.

§ 1. Предварительные сведения и обозначения Решеточно упорядоченной группой, или l-группой, называется группа G, на которой задано отношение ≤ частичного порядка такое, что hG; ≤i является решеткой, причем для любых элементов x, y, a, b из G неравенство x ≤ y влечет axb ≤ ayb. Эквивалентным образом l-группу G можно задать как алгебру сигнатуры l = {·, e,−1 , ∨, ∧}, удовлетворяющую следующим аксиомам: hG; ·, e,−1 i — группа; hG; ∨, ∧i — решетка; u(x ∨ y)v = uxv ∨ uyv, u(x ∧ y)v = uxv ∧ uyv для любых x, y, u, v из G. Согласно [7], m-группой называется алгебраическая система G сигнатуры m = {·, e,−1 , ∨, ∧, ∗ } такая, что hG; ·, e,−1 , ∨, ∧i является l-группой, а одноместная операция ∗ задает автоморфизм группы hG; ·, e,−1 i порядка 2 и антиавтоморфизм решетки hG; ∨, ∧i, т. е. ∗ взаимнооднозначно отображает G на себя, причем выполняются соотношения (xy)∗ = x∗ y∗ ,

(x∗ )∗ = x,

(x ∨ y)∗ = x∗ ∧ y∗ ,

(x ∧ y)∗ = x∗ ∨ y∗ .

Класс M всех m-групп образует многообразие сигнатуры m. Среди всех многообразий m-групп можно выделить задаваемые тождествами

В. М. Копытов, Й. Рахунек

626

только лишь сигнатуры l. Разумеется, ими не исчерпываются все многообразия m-групп. Однако, многие важнейшие многообразия m-групп определяются именно так. В частности, важную роль в теории m-групп играет многообразие Nm (m-групп с субнормальными скачками); оно задается тождеством (x ∨ e)−1 (y ∨ e)−1 (x ∨ e)2 (y ∨ e)2 ∧ e = e сигнатуры l и состоит из тех m-групп, которые являются l-группами с субнормальными скачками (нормальнозначными l-группами). Многообразие нормальнозначных l-групп обозначают через Nl . Оно замечательно, как установил Холланд (см., напр., [9, теор. 8.2.2] или [10, теор. 12.2.2]) тем, что является наибольшим собственным многообразием l-групп. Далее Nl (G) — нормальнозначный радикал m- или l-группы G, т. е. выпуклая l-подгруппа в G, порожденная всеми выпуклыми l-подгруппами группы G, принадлежащими Nl . В [7] отмечено, что во всякой m-группе G ее нормальнозначный радикал Nl (G) является m-идеалом, т. е. выпуклой нормальной m-подгруппой. Основной результат предлагаемой работы состоит в том, что Nm — наибольшее собственное многообразие m-групп. Доказательство будем вести, следуя в основном схеме, которую предложил Холланд, хотя для mгрупп имеются значительные отличия, связанные со спецификой дополнительной операции. Активно применяется представление l-группы (mгруппы) автоморфизмами (монотонными преобразованиями) линейно упорядоченного множества. Остановимся подробнее на используемых понятиях и зафиксируем некоторые обозначения. Пусть hX; ≤i — линейно упорядоченное множество. С этим множеством связаны две группы: группа Aut(X) всех автоморфизмов X; группа Mon(X) всех монотонных отображений множества X, т. е. группа всех взаимнооднозначных отображений g множества X на себя и таких, что либо для всех ξ, η из X неравенство ξ ≤ η в X влечет ξg ≤ ηg, либо для всех ξ, η из X неравенство ξ ≤ η в X влечет ξg ≥ ηg. Очевидно, что Aut(X) ⊆ Mon(X), причем Aut(X) 6= Mon(X) то-

Наибольшее собственное многообразие m-групп

627

гда и только тогда, когда существует хотя бы один антиавтоморфизм i множества X, т. е. взаимнооднозначное отображение множества X на себя такое, что неравенство x ≤ y влечет xi ≥ yi. В этом случае X обладает инволютивным антиавтоморфизмом i, т. е. i2 = e. Как отмечено в [6], Mon(X) является полуупорядоченной l-группой относительно операций ∨, ∧, и если зафиксировать какой-либо инволютивный антиавтоморфизм i множества X, то l-подгруппа Aut(X) полуупорядоченной l-группы Mon(X) превращается в m-группу, для которой операция

∗

задается с помощью равенства ξg∗ = ξigi при ξ ∈ X. Эту

полуупорядоченную l-группу Mon(X) с выделенным инволютивным антиавтоморфизмом i обозначим через (Mon(X), i). Как обычно, представлением l-группы G называем всякий l-гомоморфизм ϕ из l-группы G в l-группу Aut(X). Как доказал Холланд (см., напр., [9, теор. 4.1.1] или [10, теор. 4.1.1]), всякая l-группа имеет точное представление автоморфизмами подходящего линейно упорядоченного множества. Обозначим через R(G : V ) решетку правых смежных классов lгруппы G по выпуклой l-подгруппе V с порядком: V x ≤ V y тогда и только тогда, когда vx ≤ y для некоторого v из V . Если этот порядок на R(G : V ) является линейным, то V называют спрямляющей l-подгруппой. Через Γ(G) обозначается корневая система всех спрямляющих l-подгрупп l-группы G. Значением неединичного элемента a из G называется всякая выпуклая l-подгруппа Va , не содержащая a и максимальная с этим свойством. Тогда Va ∈ Γ(G). Множество всех значений неединичных элементов из G обозначают через Γ0 (G). Для каждой подгруппы V из Γ0 (G) существует единственная выпуклая l-подгруппа V , наименьшая среди тех выпуклых l-подгрупп, которые строго содержат V . Как доказал Вольфенштейн (см. напр. [9, теор. 8.2.1] или [10, теор. 9.2.1]), G ∈ Nl тогда и только тогда, когда всякая выпуклая l-подгруппы V из Γ0 (G) нормальна в V . Пусть V ∈ Γ(G). Рассмотрим отображение R группы G в Aut(R(G : V )), задаваемое по правилу V x · R(g) = V xg при V x ∈ R(G : V ), g ∈ G. Отображение R является транзитивным представлением l-группы G, при

В. М. Копытов, Й. Рахунек

628

котором R(g) — неединичный элемент в Aut(R(G : V )), если g 6∈ V . Для любого линейно упорядоченного множества X через X обозначается дедекиндово пополнение множества X. Хорошо известно, что существует вложение l-группы Aut(X) в l-группу Aut(X), являющееся lизоморфизмом. Отождествим l-группу Aut(X) с ее образом в Aut(X) относительно этого вложения. Следуя Макклири, l-группу G автоморфизмов линейно упорядоченного множества X назовем l-группой периодических автоморфизмов, если в Aut(X) существует элемент t без неподвижных точек в X, t > e и такой, что gt = tg для любого элемента g из G, а для любых α, ξ из X таких, что α < ξ < αt, выполняется ξ · StG (α) = {ζ ∈ X | α < ζ < αt}. Согласно [6], представлением m-группы G называется всякое представление ϕ l-группы G в l-подгруппу Aut(X) группы (Mon(X), i) для некоторого линейно упорядоченного множества X с выделенным инволютивным антиавтоморфизмом i, причем для всякого элемента g из G выполняется соотношение g∗ ϕ = i · gϕ · i. Вместе с подгруппой Gϕ в Mon(X) рассматривается подгруппа Gϕ · hii, являющаяся полупрямым произведением группы Gϕ и циклической группы hii второго порядка. В [6] доказано, что всякая m-группа имеет точное представление в (Mon(X), i) для подходящего линейно упорядоченного множества X и некоторого инволютивного антиавтоморфизма i. Нам понадобится следующая ТЕОРЕМА (Жироде–Рахунек [7]). Пусть ϕ — представление m-группы G в группе Mon(X). Если подгруппа Gϕ·hii группы (Mon(X), i) является 2-транзитивной группой отображений множества X, то m-группа G порождает многообразие M всех m-групп.

§ 2. Основные результаты Будем говорить, что m-подгруппа V m-группы G нестабильна, если она является максимальной выпуклой l-подгруппой в G и не является нормальной в G. Всякую m-группу с нестабильной m-подгруппой назовем

Наибольшее собственное многообразие m-групп

629

аномальной. Если m-группа G сигнатуры m = {·, e,−1 , ∨, ∧,∗ } является прямым произведением своих l-подгрупп A, B, причем A∗ = B, то G называют разложимой. Доказательство основного результата состоит в том, что в многообразии Xm , порожденном m-группой G, которая не лежит в Nl , содержится либо аномальная m-группа, либо разложимая m-группа, не принадлежащая Nm , а затем устанавливается, что всякая m-группа такого типа порождает многообразие всех m-групп. ЛЕММА 1. Пусть V — спрямляющая l-подгруппа m-группы G, которая не является m-подгруппой. Тогда в G имеется выпуклая l-подгруппа H, являющаяся разложимой m-группой. Притом, если Nl (G) = E, то и Nl (H) = E. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть V∗ 6= V . Выберем произвольный элемент v из V такой, что v > e и v∗ 6∈ V . Тогда v∗ < e. Пусть c = v ∧ v∗−1 , a = vc−1 , a′ = v −1 c−1 и a′∗ = v∗−1 c−1 . Элементы a, a′∗ положительны и ∗ ортогональны: a ∧ a′∗ = vc−1 ∧ v∗−1 c−1 = (v ∧ v∗−1 )c−1 = c · c−1 = e. Отсюда, выпуклые l-подгруппы A и A′∗ , порожденные элементами a и a′∗ соответственно, ортогональны; A ∩ A′∗ = E. Докажем сначала, что A∗ ∩A′∗ 6= E. В противном случае выполняется ′ a−1 ∗ ∧ a∗ = e, отсюда −1 −1 −1 −1 ′ e = a−1 ∗ ∧ a∗ = (vc )∗ ∧ v∗ c −1 −1 −1 = (v(v −1 ∨ v ))−1 ∧ v −1 (v −1 ∨ v ) = (v(v ∧ v∗−1 )−1 )−1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∧ v∗ (v ∧ v∗ ) ∗ −1 −1 ∨ e) = (e ∧ v −1 v −1 ) ∧ (v −1 v −1 ∨ e) = (e ∨ vv∗ )−1 ∗ ∗ ∧ (v∗ v ∗ ∗

= (e ∨ v −1 v∗−1 ) ∧ (v∗−1 v −1 ∨ e) = (v −1 v∗−1 ∧ v∗−1 v −1 ) ∨ e. Поэтому в m-группе G выполняется соотношение b = v −1 v∗−1 ∧ v∗−1 v −1 ≤ e.

(1)

Рассмотрим теперь представление R l-группы G правыми сдвигами линейно упорядоченного множества R(G : V ). Из (1) следует, что V R(b) ≤ V.

(2)

В. М. Копытов, Й. Рахунек

630

С другой стороны, верно равенство V R(b) = V (v −1 v∗−1 ∧v∗−1 v −1 ), т. е. V R(b) совпадает с меньшим, относительно порядка на R(G : V ), из смежных классов V v −1 v∗−1 и V v∗−1 v −1 . Очевидно, что V v −1 v∗−1 = V v∗−1 > V в R(G : V ). Тогда V v∗−1 v −1 > > V v −1 = V , т. е. min{V v −1 v∗−1 , V v∗−1 v −1 } > V , а это противоречит соотношению (2). Следовательно, наше предположение A∗ ∩ A′∗ = E неверно и A∗ ∩ A′∗ 6= E. Положим B∗ = A∗ ∩ A′∗ . Очевидно, что B∗ — выпуклая l-подгруппа в G. Тогда B = B∗∗ — выпуклая l-подгруппа в A, поскольку A = A∗∗ . Так как A ∩ A′∗ = E, E 6= B ⊆ A и E 6= B∗ ⊆ A∗ , то B ∩ B∗ = E и m-подгруппа H m-группы G, порожденная B, является прямым произведением своих выпуклых l-подгрупп B и B∗ , т. е. H — разложимая m-группа. Из построения m-подгруппы H следует, что она — выпуклая lподгруппа в G. Поэтому Nl (H) = E, если Nl (G) = E. Лемма доказана. Пусть теперь G — m-группа, а V — ее спрямляющая l-подгруппа. Так же, как и в лемме 1, рассмотрим представление R l-группы G автоморфизмами линейно упорядоченного множества R(G : V ). Для удобства введем линейно упорядоченное множество X, порядково изоморфное множеству R(G : V ), зафиксируем некоторый порядковый изоморфизм τ множества R(G : V ) на X и обозначим через ϑ образ l-подгруппы V под действием τ . Рассмотрим представление ρ l-группы G в Aut(X), положив ξ · gρ = ξτ −1 R(g)τ при ξ ∈ X, g ∈ G. ЛЕММА 2. Пусть V — спрямляющая m-подгруппа m-группы G. Тогда отображение i = (τ −1 )∗ τ является антиавтоморфизмом множества X = R(G : V )τ , а отображение ρ = τ −1 Rτ — представлением m-группы G в Mon(X) c выделенным инволютивным антиавтоморфизмом i. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ξ ∈ X, ξ = V xτ . Тогда ξi = (ξτ −1 )∗ τ = (V x)∗ τ = V∗ x∗ τ = V x∗ τ ∈ X.

Наибольшее собственное многообразие m-групп

631

Отсюда, i отображает X на X. Если ξ < η в X, то ξi = V x∗ τ и ηi = V y∗ τ , где η = V yτ . Так как ξ < η, то V x < V y, x < vy для некоторого элемента v из V , поэтому x∗ > v∗ y∗ , V x∗ ≥ V y∗ , ξi ≥ ηi. Кроме того, ξi = ηi влечет равенства V x∗ = V y∗ и x∗ = uy∗ для некоторого u из V , значит, x = u∗ y, u∗ ∈ V и ξ = η, что противоречит выбору ξ и η. Таким образом, i является антиавтоморфизмом X. Наконец, ξi2 = (((ξτ −1 )∗ τ )τ −1 )∗ τ = (ξτ −1 )∗∗ τ = ξτ −1 τ = ξ, т. е. i2 = e в группе Mon(X). Покажем, что отображение ρ = τ −1 Rτ является представлением mгруппы G в Mon(X) = Aut(X) · hii. Очевидно, что ρ является представлением l-группы G. Для завершения доказательства достаточно установить равенство g∗ ρ = i · gρ · i для произвольного g из G. А это получаем из следующей цепочки равенств: если ξ ∈ X и ξ = V xτ , то ξi · gρ · i = (ξτ −1 )∗ τ · gρ · i = ((ξτ −1 )∗ τ · τ −1 R(g)τ τ −1 )∗ τ = ((ξτ −1 )∗ R(g))∗ τ = (V x∗ g)∗ τ = V xg∗ τ = (V x)τ · τ −1 R(g∗ )τ = ξ · g∗ ρ. ЛЕММА 3. Всякая разложимая m-группа G, не лежащая в Nm , порождает многообразие M всех m-групп. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть G — m-группа, G 6∈ Nl , и G разложима, т. е. G = V × V∗ , где V — ее некоторая выпуклая l-подгруппа. Очевидно, что V 6∈ Nl . Укажем точнее m-группу G. Она изоморфна как l-группа, lгруппе всех пар (a, b), a, b ∈ V , c покоординатным умножением и порядком, который определяется по правилу: (a, b) ≥ (e, e) тогда и только тогда, когда a ≥ e и b ≤ e в V . При этом в ней выполняется равенство (a, b)∗ = (b, a). Достаточно установить, что для любого слова w(x1 , . . . , xn ) сигнатуры m = {·, e,−1 , ∨, ∧, ∗ }, не равного тождественно e во всех m-группах, найдутся элементы g1 , . . . , gn из m-группы G, для которых w(g1 , . . . , gn ) 6= 6= e в G. Пусть w(x1 , . . . , xn ) — такое слово. Слово w(x1 , . . . , xn ) сигнатуры m представимо в виде слова w′ от 2n переменных x1 , . . . , xn , (x1 )∗ , . . . , (xn )∗ сигнатуры l, т. е. w(x1 , . . . , xn ) =

В. М. Копытов, Й. Рахунек

632

= w′ (x1 , . . . , xn , (x1 )∗ , . . . , (xn )∗ ). Построим новое слово w′′ сигнатуры l, заменив переменные (xi )∗ в w′ на переменные yi , при i = 1, 2, . . . , n. Очевидно, что w′′ не обращается в единицу хотя бы на одной l-группе. Так как V 6∈ Nl , в V найдутся a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn такие, что значение c = w′′ (a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ) в V слова w′′ (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ) после подстановки в него ai , bi вместо xi , yi соответственно, отлично от единицы. Пусть gi = (ai , bi ) в G при i = 1, 2, . . . , n. Тогда (gi )∗ = (ai , bi )∗ = (bi , ai ) и w(g1 , . . . , gn ) = w′ (g1 , . . . , gn , (g1 )∗ , . . . , (gn )∗ ) = (w′′ (a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn ), w′′ (b1 , . . . , bn , a1 , . . . , an )) = (c, c′ ) 6= e, так как c 6= e. Поэтому m-многообразие, порожденное m-группой G, порождает многообразие M всех m-групп. ТЕОРЕМА (основная). Всякая m-группа G, не лежащая в Nm , порождает многообразие M всех m-групп. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть G — m-группа, и G 6∈ Nl . Не ограничивая общности можно считать, что Nl (G) = E, т. е. в G нет выпуклых l-подгрупп из Nl . Так как G не является нормальнозначной, по теореме Вольфенштейна в G найдется выпуклая спрямляющая l-подгруппа V из Γ0 (G) такая, что V не будет нормальной в накрывающей V выпуклой lподгруппе V . Если V∗ 6= V , то, по лемме 1, m-группа G содержит разложимую выпуклую m-подгруппу H = A × A∗ . В G нет выпуклых l-подгрупп из Nl , поэтому H 6∈ Nm . По лемме 3 многообразие m-групп, порожденное H, совпадает с многообразием M всех m-групп, следовательно, G порождает M. Пусть V∗ = V . Тогда для накрывающей выпуклой l-подгруппы V выполняется V ∗ = V , т. е. V является m-группой. Пусть τ : R(V : V ) → X — порядковый изоморфизм линейно упорядоченного множества R(V : V ), V τ = ϑ. По лемме 2 представление ρ: ξ · gρ = ξτ −1 gτ l-группы V автоморфизмами линейно упорядоченного множества X является представлением m-группы V в m-группе (Mon(X), i), где i — инволютивный антиавто-

Наибольшее собственное многообразие m-групп

633

морфизм множества X такой, что ξi = (ξτ −1 )∗ τ . Тогда V ρ — стабилизатор точки ϑ в V ρ. Так как V — максимальная выпуклая l-подгруппа в V и по известному результату Холланда (см. [9, теор. 4.5.1] или [10, теор. 4.5.1]), V ρ является o-примитивной подгруппой в Aut(X). По классификационной теореме Макклири (см. напр., [9, теор. 4.5.2] или [10, теор. 4.5.2]), V ρ будет либо o-2-транзитивной подгруппой в Aut(X), либо l-группой периодических автоморфизмов множества X, причем стабилизатор StV ρ (α) каждой точки α из X действует точно и o-2-транзитивно на каждой из своих неединичных орбит. Рассмотрим эти возможности. Пусть сначала V ρ является o-2-транзитивной на X. Тогда V ρ · hii будет 2-транзитивной группой преобразований множества X. Так как V ρ — транзитивная подгруппа в Mon(X), достаточно доказать, что стабилизатор точки ϑ в V ρ · hii транзитивен на множестве X \ {ϑ}. Заметим, что StV ρ·hii (ϑ) = V ρ · hii. Пусть α, β ∈ X и α 6= ϑ 6= β. Если α, β < ϑ или α, β > ϑ, то существует элемент g в V , для которого α · gρ = β (это следует из o-2-транзитивности Gρ). Если же α < ϑ < β, то α, βi < ϑ и найдется g из V , для которого α = βi · gρ. Итак, V ρ · hii является 2-транзитивной группой, и по теореме Жироде–Рахунека m-группа V ρ (тогда и m-группа G) порождает многообразие M. Наконец, пусть V ρ является m-подгруппой в (Mon(X), i) и l-группой периодических автоморфизмов множества X с периодом t, t > e, t ∈ ∈ Aut(X), где X — дедекиндово пополнение множества X. В этом случае l-группа V ρ действует точно и o-2-транзитивно на множестве X ′ = {ξ ∈ ∈ X | ϑ < ξ < ϑt}. Рассмотрим ограничение ρ′ представления ρ l-группы V на X ′ . Пусть W — полный прообраз в V стабилизатора W ρ′ в V ρ′ точки ϑ′ = ϑ · aρ из X ′ , где a — некоторый элемент из V , W = {w ∈ V | ϑ′ · wρ = ϑ′ · wρ′ = ϑ′ }. Очевидно, что W = V ∩ a−1 V a. Так как V ρ′ o-2-транзитивна на X ′ , то W является максимальной выпуклой l-подгруппой m-группы V, но не будет нормальной в V . Если W∗ 6= W , то, по лемме 1, V содержит разложимую выпуклую m-подгруппу B. Так как Nl (G) = E, а B — выпуклая l-подгруппа в G, то

В. М. Копытов, Й. Рахунек

634

Nl (B) = E и B 6∈ Nl . Применив лемму 3, получаем, что m-группа B (а тогда и G) порождает многообразие M. Если W∗ = W , то V является аномальной m-группой, и ρ′ — представление l-группы V в Aut(X ′ ). Как хорошо известно, линейно упорядоченное множество X ′ порядково изоморфно множеству R(V : W ) с каноническим изоморфизмом τ ′ : W xτ ′ = ϑ′ · xρ′ для всякого x из V . При этом справедливо соотношение ξ · vρ = ξτ ′−1 vτ ′ для всех ξ из X ′ и v из V . По лемме 2 отображение i′ : ξi′ = (ξτ ′−1 )∗ τ ′ является антиавтоморфизмом второго порядка множества X ′ , и ρ′ задает представление m-группы V в (Mon(X ′ ), i) такое, что ξ · v∗ ρ′ = ξ · i′ · vρ′ · i′ . Вспомним, что m-подгруппа V ρ′ в (Mon(X ′ ), i′ ) является o-2-транзитивной l-группой. Как доказано выше, такая m-группа будет 2-транзитивной группой преобразований множества X ′ , и, по теореме Жироде–Рахунека, V ρ′ порождает многообразие M всех m-групп. Так как V ρ′ является m-гомоморфным образом выпуклой m-подгруппы исходной m-группы G, то и в этом случае m-группа G порождает многообразие M всех m-групп. Теорема доказана. СЛЕДСТВИЕ. Многообразие Nm всех нормальнозначных m-групп является наибольшим собственным подмногообразием в решетке всех mмногообразий.

ЛИТЕРАТУРА ¨ 1. P. Lorenzen, Uber Halbgeordnete Gruppen, Arh. Math., Karlsruhe, 2, N 1-2 (1949/1950), 66—70. ¨ 2. P. Lorenzen, Uber Halbgeordnete Gruppen, Math. Z., 52, N 5 (1949), 483—526. 3. A. H. Clifford, Partially ordered groups of the second and third kinds, Proc. Am. Math. Soc., 17, N 1 (1966), 219—225. 4. П. Г. Конторович, А. И. Кокорин, Об одном типе частично упорядоченных групп, Матем. зап. Уральск. ун-та, 3, N 3 (1962), 27—31. 5. В. В. Блудов, А. И. Кокорин, Полуоднородно упорядочиваемые группы, в сб. ”Алгебраические системы“, Иркутск, 1976, 3—16.

Наибольшее собственное многообразие m-групп

635

6. M. Giraudet, F. Lucas, Groupes ´a moti´e ordonn´es, Fundam. Math., 139, N 2 (1991), 75—89. 7. M. Giraudet, J. Rachunek, Varieties of half lattice-ordered groups of monotonic permutations of chains, Czech. Math. J., 49, N 4 (1999), 743—766. 8. W. Ch. Holland, The largest proper variety of lattice-ordered groups, Proc. Am. Math. Soc., 57, N 1 (1976), 25—28. 9. В. М. Копытов, Решеточно упорядоченные группы, М., Наука, 1984. 10. V. M. Kopytov, N. Ya. Medvedev, The theory of lattice-ordered groups, Dordrecht a.o., Kluwer Academic Publ., 1994.

Адреса авторов: КОПЫТОВ Валерий Матвеевич,

Поступило 24 января 2001 г.

РОССИЯ,

RACHUNEK, Jirj, b R, 77700, Olomouc, C

630090, г. Новосибирск,

POLSKA 36.

Морской пр., 64, кв. 2. Тел.: (3832) 34-43-98. e-mail: [email protected]