Алгебра, и логика, 39, N 5 (2000), 567-585
УДК 512,542
РАСПОЗНАВАНИЕ КОНЕЧНЫХ ПРОСТЫХ m
L3(2 )
ГРУПП
m
И Us{2 ) П О П О Р Я Д К А М И Х Э Л Е М Е Н Т О В * )
В . Д . М А З У Р О В , М. Ч . СУ, Ч . П. Ч А О Введение
Для конечной группы G обозначим через u)(G) множество порядков ее элементов. Это множество замкнуто относительно делимости и поэтому однозначно определяется подмножеством }л{С)) состоящим из максималь ных по делимости элементов множества cu(G). Будем говорить, что конечная группа G распознаваема по ш(Сг) (короче, распознаваема), если каждая конечная группа Я со свойством и(Н) = UJ(G) изоморфна G. К настоящему времени доказано, что распознаваемы следующие ко нечные простые группы: £2(2)? Ч > 3, q ф 9 [1—5], группы Сузуки Sz(q) ~ = 2B2(q) [б], группы Ри Re(q) = 2G2(q) [7] и 2 F 4 ( 9 ) [8], L 3 (4) [9], L3(8) [10], £ 3 (7),L 4 (3),<3 2 (3), 2 F 4 (2)'.[11], £/ 3 (ll) [12], U4(Z) [13], f/6(2) [14], Og(2), O 10 (2) [15], спорадические группы, отличные от J2 [4, 14, 16—20], а так же знакопеременные группы Ап для п = 5,1б,р,р+ 1,р+ 2, где р ^ 7 ~ простое число, [21—27]. Цель настоящей работы — доказать, что все неабелевы простые груп пы £ з ( 2 т ) и С/з(2т) распознаваемы, а любая простая группа S±(2m) нерас*'Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь ных исследований, проект N 99-01-00550, Национального фонда естественных наук Ки тая, грант N 19871066, и Министерства государственного образования Китая, грант N 98083.
©
Сибирский фонд алгебры и логики, 2000
568
В. Д. Мазуров, М. Ч. Су, Ч. П. Чао
познаваема, В качестве следствия получаем список всех распознаваемых конечных простых групп G, для которых 4£ $ w(G) при t > 1. Множество и(Н) конечной группы Н определяет граф Грюнберга— Кегеля GK(H): его вершинами являются простые делители порядка груп пы Я , два простых числа р, q полагаем смежными, если Я содержит элемент порядка pq. Число компонент связности графа GK(H)
обозна
чим через «(Я), а г-тую компоненту связности — через 7г,- = тгДЯ), г = 1,...,$(Я). Для группы Я четного порядка пусть 2 £ TTI. Обозначим через /^ = /х»(Я) (соответственно, через о/г = Ui(H)) множество, состоящее из чисел п G /л(Я) (соответственно, п £ ^ ( Я ) ) таких, что каждый простой делитель числа тг принадлежит 7Г,-.
Предварительные результаты Л Е М М А 1. 2?cvm С? — конечная группа с несвязным графом GK(G), то выполняется одно из следующих условий: а) s(G) = 2 , G — FC — группа Фробепиуса с ядром F и дополнением С, и K{F), ТГ(С) — связные компоненты графа GK(G); б) s(G) = 2, G = ЛВС, г
n\(G)-груп
пы. В п. г и п.д граф GK(P)
несвязен, s(P) ^ s(G), и существуют та
кие i,j ^ 2, что ni(G) = 7tj(P). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО см. в [28]. Л Е М М А 2. 1. Пусть G — группа Фробениуса с ядром F и допол нением С. Тогда а) подгруппа F нильпотентна;
Распознавание групп L^(2m) и £/з(2 т )
569
б) любая подгруппа группы С порядка pq, где р u q (не обязательно различные) — простые числа, является циклгьческой. В частности, лю бая силовская подгруппа нечетного порядка группы С циклична, а силовская 2-подгруппа группы С будет циклической или (обобщенной) группой кватернионов. Если 0(C) = 1, то либо С является 2-группой, либо С содержит подгруппу индекса ^: 2, изоморфную 51/2(3) или 5^2(5). 2, Пусть G — конечная группа, N
то р\С\ £ u(G) для некоторого простого
делителя р порядка N. Если, дополнительно, полный прообраз F в G ~группа Фробениуса с ядром N, то
\с\- П ре«(G). p€>(N)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Утверждение п. 1а — это теорема Томпсона [29], доказательство п. 16 см. в [30, 31], п. 2 — это лемма 1 в [24]. Л Е М М А 3. В п. б леммы 1 подгруппа В является
циклической
группой нечетного порядка, С — циклической группой, и G содержит элемент порядка |С| • \\
р.
p€n(A)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По лемме 2 подгруппа В нильпотентна с ци клическими или кватернионными силовскими подгруппами. Если \В\ — четное число, то ВС не может быть группой Фробениуса. Поэтому В — циклическая группа нечетного порядка, и С — абелева группа как группа автоморфизмов циклической группы В. Поскольку С не содержит элемен тарных абелевых р-подгрупп порядка р 2 , группа С является циклической. Последнее утверждение леммы является частным случаем леммы 2.2. Л Е М М А 4. Пусть р — простое число, as—
натуральное число,
$ ^ 2. Тогда верно одно из следующих утверждений: а) сугцествует простое число q, которое делит р3 — 1, но не делит р1 — 1 для всех натуральных t < s; б) s = 6 up = 2; в) s ~ 2 и р ~2* — I для некоторого натурального числа t.
570
В. Д. Мазуров, М. Ч. Су, Ч. П. Чао ДОКАЗАТЕЛЬСТВО см. в [32]. Простое число q из п. а называется примитивным простым делите
лем числа р" — 1. Л Е М М А 5. Пусть Р = L3{2m).
Тогда
а.) и{Р) состоит из всех делителей чисел 4, 2(2™ - 1)/(3,2 г а — 1), 2 т - 1, (2 2га - 1)/(3,2 г а - 1), ( 2 2 т + 2 т + 1 ) / ( 3 , 2 т - 1); б) если Р
moG=P.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть F — поле порядка q = 2 m , и а - фик сированный порождающий элемент его мультипликативной группы. По ложим L — SLs(F). Тогда порядок подгруппы
ее F,e3 = 1
ад =
равен (3, д—1). Отождествим Р с группой L/Z(L) внутренних автоморфиз мов группы L. Пусть d — автоморфизм группы L, индуцированный сопря1 жением матрицей
пусть / — полевой автоморфизм группы
а
L, переводящий каждую матрицу а = (а^) G L в матрицу (а?-), и пусть # — графовый автоморфизм, переводящий каждую матрицу а в транспо нированную обратную матрицу ' а " 1 . Легко вычислить, что 1 (5.1) инволюция t для (d,f,g).
1
является неподвижной
точкой
1 Единственная силовская 2-подгруппа Т в Ci,(t) состоит из S + 1 /3 S
матриц вида (/3,7^)
7
1 7
5
{3 5 + 1
/3? 7; 5 £ F, и является ин-
вариантной относительно А = {d, f,g). Для всех /3,-, 7»> ^
г
— 1? 2, спра
ведливо (fa, 7i, <*i) (Аг, 72, *2) = (£i + /32, 71 + 72, <$i + S2 + Pi 72) • Кроме того, Т — силовская 2-подгруппа в L, и все инволюции из Z(T) сопряжены в NL(T).
Распознавание групп L^(2m) и Us{2m)
571
Далее, можно проверить прямыми вычислениями, что в обозначени ях (5.1) верно следующее: (5.2) пусть В = {(/3,0,6) | 0,6 6 F}, С = {(0 ) 7 ,*) I 7,<* G ^ } Тогда В и С — элементарные абелевы группы u T = В С Порядок лю бого элемента из Т \ (В U С) равен 4. Подгруппы В и С
инвариантны
относительно подгруппы (d, / ) и В9 — С. По [33] можно отождествить Aut(L) = РА, где А = (с/, / , р) с Aut(P). Поскольку Г П Z[L) = 1, можно отождествить подгруппу Т с ее образом в Р . Тогда (5.3) CAut(P)(0 — ^ А 'U А действует на Т точно. Очевидно, что (5.4) порядок автоморфизма d равен q - 1, порядок / равен т, по рядок g равен 2 и d* = f~ldf
= d2, dff = d""1, /
Поскольку d(3j
где 0 ^ х ^ (3, q - 1) - 1, О < у < m -- 1, 0 ^ z < 1, р e P .
Любая инволюция из Р сопряжена с £, поэтому любой элемент и четного порядка из Р сопряжен с элементом из Cp{t). По 5.3, Cp(t)
=
= Р(е/) и порядок элемента и либо равен 4, либо является делителем числа 2(9-1)/(3,9-1). Пусть h — элемент из Р нечетного порядка s 6 м(Р), и h — его прообраз в £ наибольшего порядка. Если h неприводим над Р , то порядок элемента h равен q2+q+l,
а порядок элемента h равен (q2 + q+l)/(3,
£—1).
Если. Л приводим, то h содержится либо в подгруппе группы L, изоморф ной (q — 1) х (q — 1), либо в циклической подгруппе порядка q2 — 1. Сле довательно, порядок элемента h равен q — 1 или (#2 — 1)/(? — 1? 3). Таким образом, п. а доказан. Пусть Р < G < Aut(P). Поскольку Aut(P) = РА, то G = P ( G П Г] А). Если G П А содержит элемент h простого порядка р, сопряженный с нетривиальным элементом из {/), то в случае р = 2, /i централизует в Р нетривиальный элемент порядка (22т + 2 m + l ) / ( 3 , 2 m - 1), взаимно простого с 2 т — 1, а в случае р ф 2, h централизует в Р элемент порядка 4.
572
В. Д. Мазуров, М. Ч. Су, Ч. П. Чао
Это противоречит п. а. Если G П (cf, / ) содержит элемент, не принадлежащий Р и не сопря женный элементу из (/), то по 5.5, 2 т - 1 делится на 3, и по 5.1 и 5.4, в Т(А П G) имеется элемент порядка 2(2 т — 1) £ u(G). Теперь, по 5.4, \G : Р\ = 2, и по 5.5, Л П ( ? содержит 2-элемент /г, = pdxfyg.
По 5.1 элемент / = h2 содержится в Т. Если порядок элемента
/ равен 4, то порядок элемента h равен 8, что противоречит п. а. По 5.2, / 6 В П С = ^ ( Г ) , и для элемента и = (1,0,0) Е Г справедливо (ti/i) 2 = = uuhl £ В U С. Снова по 5.2 порядок элемента uh равен 8 £ и>(Р). Лемма доказана. Аналогичные утверждения верны для унитарных групп. Л Е М М А 6. Пусть PQ = C/3(2S), s > 1. Тогда а) U(PQ) состоит из всех делителей чисел 4, 2(2* + 1)/(3,2* •+• 1), 2* + 1, (22* - 1)/(3,2* + 1), (22* - 2* + 1)/(3,2* + 1); б) если P0
Aut(Po) и u(G0) = w(Po), ™<> Go = PQ-
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Полагаем т = 2s, сохраняем обозначения леммы 5 и ее доказательства. Пусть Ро — подполе порядка 2s в F. Группа Ро совпадает с множеством всех неподвижных точек автоморфизма fg в Р . Отсюда по 5.1 (6.1) инволюция t центральна в силовской 2-подгруппе То = CT(fg) = {(/3, / 3 2 \ *) | / М € F, /3 + /З 2 ' = <5 + <52'} группы Ро, и Z(To) = Ф(2о) = {(0,0,5) | 5 £ Ро}- Порядок любого эле мента из Го \Z(To)
равен 4. Подгруппа То инвариантна
Ао = (/, с?2*""1), w Д) действует на TO/Z(TQ)
относительно
точно. Все инволюции из То
сопряжены в NpQ (T 0 ). По [33] имеем (6.2) Aut(Po) - Р 0 А 0 . Из 5.3 следует, что CAUt(Po)(0 ~ Т0Ао- Теперь элементы множества CJ(PO)
могут быть найдены так же, как в доказательстве леммы. Докажем п. б. По 6.2, Go = Р о А где D — Go П Ло- Если порядок
подгруппы D четен и а — инволюция в I?, то по 6.1, baZ(To) ф baZ(To)
Распознавание групп L^(2m) и С7з(2т) для некоторого элемента Ь Е То и {ab)2 = ЬаЬ £ Z(TQ).
573 Значит, порядок
элемента аЬ равен 8, что противоречит п. а. Следовательно, порядок подгруппы D нечетен. В частности, но 6.1, D < {do, / 2 ) , где d0 = d2'"1. Если 1 ф /о € DC){f2), то / 0 централизует под группу группы Р 0 , изоморфную £/з(2) или £/з(4), и Go содержит элемент порядка Ак > 4, что противоречит п. а. Кроме того,
(e.3)Dn(f\dl)^(4)
Простые группы Р с At £ и(Р) для t > 1 р Л6
A*2
4 4,6 4, 6, 15 6, 10, 15 2
3 5 7 7 2* - 1
^2(p*), p простое 3 < p* ~ 3e (rnodS)
(p'+e)/2
P
2
6,(3 2 * + 1 + l)/2,3 2 * + 1 - 1
3 2*+l + 3
L 3 (2) L,(4)
4 4
3 3
Ьз(2т), m = 2s ^ 4
4 , 2 ( 2 m - l ) / 3 , 2 m - l , ( 2 2 m - l)/3
( 2 2 m + 2 m + l)/3
L 3 (2 m ) m = 2s + 1 > 3
4,2(2m-l),22m-l
2 2 m + 2 m -f 1
4,2(2 m + l ) , 2 2 m - l
22m~2m + l
Ai
As Jx L 2 (2 S ), s > 2
G 2 (3 2 * + 1 ),
JJ±
V* 5 7
/*i
19
11 2e + 1 (P'
. +l
+ 1
" e)/2
3 2a + l
_ 3 * +l
+]_
S$>1
7 5
7
m = 2s ^ 2 t/ 3 (2 m ) m = 2s + 1 ^ 3
4,2(2 m + l ) / 3 , 2 m + l , ( 2 2 m - l ) / 3
5 4 (2 m ), m ^ 2
4,2(2m+l),2(2m-l),22m - 1
2 2 m -f 1
2
4
( 2 2 m + 1 - 1)
S2(22m+1),m>I
22rn+l
+
22^+l
_|_ 1
л2т-Н _ 2 2m+i + i
Распознавание групп £з(2 ш ) и £/з(2ш)
575
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если 4 g fi(P), то силовская 2-подгруппа из Р является элементарной абелевой, и группа Р изоморфна £2(2™), m ^ ^ 2, 1 2 (?), ? = 85 ± 3, 2 G 2 (3 2 s + 1 ), 5 ^ 1 , или Jx. Множество Ц Р ) можно найти так, как это осуществлено в [37] и [38] для случаев Р = 2 G2(3 2 * +1 ) и Р = J\ соответственно. В остальных случаях оно хорошо известно. Поэто му можно считать, что 4 6 м(Р). Множество и(Р) для Р = 22?2(22*+1) определил Сузуки [39]. Посколь ку Ап содержится в Ап+\ и в Ад имеется элемент порядка 12, т о 6 ^ п ^ 8 в случае Р = Ап. Пусть группа Р изоморфна Ln(q). Если п = 2, то g нечетно, и Р содержит элементы порядков (д - 1)/2 и (д + 1)/2. Одно из этих чисел делится на 4, и поэтому (q — 1)/2 = 4 или (q + 1)/2 = 4. Следовательно, § = 9 или д = 7 и в этом случае группа Р изоморфна AQ или Ь$(2). Если п ^ З и число q нечетно, то по [40] Р содержит элемент порядка 8. Пусть число q четно. Для п = 3 заключение следует из леммы 5. Пусть п = 4. Тогда Р ~ SL±{q) содержит подгруппу if, изоморфную GL${q), в которой найдется элемент порядка 4 и которая при q > 2 имеет нетривиальный центр. Поэтому Р = 1ч (2) -- Ag, и заключение следует из [38]. Наконец, если п ^ 5, то Р содержит элемент порядка 2Г ^ 8, прообраз которого в SLn(q) представляется жордановой клеткой размерности п, что неверно. Пусть группа Р изоморфна Un{q), n ^ 3. Если q нечетно, то по [40] в Р найдется элемент порядка 8. Поэтому q четно. При п = 3 заключение следует из леммы 6. Если п ^ 4, то Р содержит подгруппу, изоморфную GUz{q), в которой существует элемент порядка 4 и порядок центра равен q + 1. Значит, для любого числа п £ 4 группа Un(q) содержит элемент порядка 4(q+ 1). Пусть группа Р изоморфна S2n(?)5 ™ ^ 2. Тогда Р содержит в ка честве подгруппы центральное произведение групп Sp2(q) и Sp2n-2{q),
B
котором, очевидно, имеется элемент порядка 4£, t > 1, если g нечетно или п > 2. Поэтому Р = 54(2 m ), и заключение следует из леммы 7. Поскольку любая простая ортогональная группа размерности п > 6 содержит в качестве секции (п~2)-мерную ортогональную группу того же
576
В. Д. Мазуров, М. Ч. Су Ч. П. Чао
типа над тем же полем и Os(q) ~ 54(
L 3 (3) -< 2 F 4 (2) -< 2 F 4 (2 S ),
где А -< В означает, что группа А изоморфна фактор-группе подгруппы группы В, a E$(q) обозначает любую из групп E$(q) и 2E$(q). Поэтому группа Р не может быть изоморфна ни одной из исключительных групп, отличных от 2i?2(
т ^ 3, или {7 3 (2 т ), т ^ 2. Тогда G
удовлетворяет п. в, г г/уш д заключения леммы 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По лемме 8, G удовлетворяет заключению леммы 1. Предположим, что G — группа Фробениуса с ядром F и допол нением С Тогда 7r(F) совпадает с одной из компонент связности графа GK(L).
Если порядок группы F четен, то по лемме 2 группа F нильпо-
тентна, и поэтому период ее равен 4. Следовательно, 7Ti(L) ~ {2}, что неверно. Поэтому порядок группы F нечетен, порядок группы С четен и по лемме 2 силовская 2-подгруппа Г группы С является группой кватер нионов порядка 8 или циклической группой порядка 4. Предположим, Т — группа кватернионов порядка 8. Так как Т нор мализует некоторую силовскую р-подгруппу из О {С) для любого нечет ного простого числа р, которая по лемме 2 является циклической, и в G нет элементов порядка 4р, то подгруппа 0(C) тривиальна, и по лемме 2, я-1(С?) = тг(С)С{2,3 > 5}. Из леммы 8 вытекает, что m = 2 и L изоморфна (7з(4). В этом случае С содержит элемент порядка 15, что противоречит лемме 2.
Распознавание групп L 3 (2 m ) и С/3(2т) Итак, Т — циклическая группа порядка 4 и 0(C)
577 — нормальное
2-дополнение в С Поскольку в С нет элементов порядка 4t для £ > 1, порождающий элемент группы Г инвертирует 0(C), и группа 0(C) абелева. По лемме 2, группа 0{С) циклическая и /ii(G) = /i(C) = {4, 2|С|}. Это невозможно по лемме 8. Теперь предположим, что G удовлетворяет и. б. Если порядок группы С четен, то по лемме 3, G содержит элемент порядка At > 4, что неверно. Если число \С\ нечетно, то по леммам 5 и 6, Л является 2-группой, и поэтому С -— циклическая группа порядка 2 2 w — 1, тогда, по лемме 3, G содержит элемент порядка 2(2 2ш - 1). Это противоречит леммам 5 и 6, лемма доказана. Л Е М М А 10, Пусть G — конечная группа, для которой u>(G) = = UJ(L)} где группа L — это L 3 (2 m ), m ^ 3, или i7 3 (2 w ), т > 1. Тогда G является расширением П\(Ь)-группы посредством L. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По леммам 8, 9 и 1 (10.1) существует группа Р в таблице такая, что Р — компози ционный фактор группы G, fJ>2(L) — №j(P) для некоторого числа j > 1 и jj>2(L) состоит из единственного числа и(т, 6) = (2 2 m +#2 m +l)/(3,2 m —8), где * = 1 для I = L3(2m) и S = - 1 для L = С/ 3 (2 т ). Далее, /*(Р) С w(L). Поскольку ^(ш, <5) ^ 19 и в силу п. (10.1), Р не изоморфна ни одной из групп А 6 , А 7 , А 8 , £ 3 (2), L 3 (4) и J j . В дальнейшем будем использовать следующее замечание: (10.2) если (2ai - 1) • • • (2аг - 1) = (261 - 1) • • • (2fet - 1), где ai, ...,a r ,bi, ...,&£ — натуральные числа и а = max{ai, ...,a r } > б; mo а ~Ь} где Ь = max{bi, ...,&*}. Действительно, по лемме 4, существует примитивный простой дели тель числа 2а - 1, делящий 26* - 1 для некоторого числа г. Следовательно, а ^ Ь, Поэтому существует примитивный простой делитель числа 2Ъ - 1, делящий 2 J - 1 для некоторого j . Следовательно, а > 6.
578
В. Д. Мазуров, М. Ч. Су Ч. П. Чао Предположим, что группа Р изоморфна 1/2 (2 s ). Тогда ti(m,*) = 2 e ± l .
(1)
После простых преобразований получаем одно из следующих равенств: ( 2 3 т - 1) = (2* - 1)(3,2 т - 1)(2 т - 1), т > 3;
(2)
( 2 3 т - 1)(2S - 1) = (22* - 1)(3,2 т - 1)(2 т ~ 1), т $> 3;
(3)
( 2 6 т - 1)(2 т - 1) = (2* - 1)(2 2та - 1)(3,2 та + 1)(2 3 т - 1), т £ 2;
(4)
( 2 6 т - 1)(2 т - 1)(2* - 1) = (22* - l)(2 2 w - 1)(3,2 т + 1)(2 3 т - 1), т ^ 2.
(5)
Если верно (2), то по (10.2), З т - s, и из (1) получаем ( 2 2 т + 2 т + + 1 ) / ( 3 , 2 т — 1) = 2 3 т — 1, что невозможно для т > 1. Если верно (3), то по 10.2, З т = 2s = 6к для некоторого натурального числа к, и из (1) получаем 24* + 22fc + 1 = 3(23fc + 1), что невозможно. Если же выполняется (4), то 6ш = s и (22та - 2т + 1)/(3,2 W + 1) = 2 6 m - 1, что невозможно. Если верно (5), то 3m = s и ( 2 2 т - 2 т + 1 ) / ( 3 , 2 т + 1) = 2 3 ш + 1, что снова невозможно. Предположим, что Р изоморфна L2(p8), р8 > 3, р8 = ± 3 (mod 8). Тогда и(т,8) = р или w(m,(S) — ( 1. Е с л и ^ ( т , # ) = (q — e)/2Js = ± 1 , то, аналогично, гг(га, <J) +6: делит 2 ( 2 т ~ 5 ) . ЭТО возможно только тогда, когда m = 3, 5 — - 1 , £ = 1, но в этом случае q — 39 не является степенью простого числа. Предположим, что группа Р изоморфна 2 (?2(3 2s+1 ), s ^ 1. Тогда и(т} 8) = 3 2 * + 1 + е38+1 + 1,6 = ± 1 .
(6)
Положим ж = 2 т , у ~ 3 s и заметим, что (ж, Зу) = 1. Если ( 2 т - <$, 3) = 1, то а; (ж + £) — Зу(у + е),и поэтому ж делит у + £, Зу делит х + 6. В частности, ж ^ у + 1, Зу ^ ж + 1- Это невозможно для т ^ 2. Если ( 2 т — <£, 3) — 3, то после простых преобразований равенства (6) получаем: (2ТО + fe3e+1 + 26)(2m - беЗ8*1 - <5) = 0.
Распознавание групп £ 3 (2 m ) я 11з(2гп)
579
Поскольку первый сомножитель левой части нечетен, мы имеем одно из следующих условий: 3*+1=2т-1,
<5 = 1,
e = i;
(7)
3'+1 = - 2 г о + 1, 6 = 1,
е=-1;
(8)
Зв+1 = - 2 г о - 1 ,
5 = -1,
е=1;
(9)
<$ = - 1 ,
е=-1.
3-+1 = 2
т
+ 1,
(Ю)
По лемме 4, равенство (7) выполняется только при га = 2, 5 = 1, что не имеет места. Очевидно, равенства (8) и (9) невозможны. Предположим, что выполняется равенство (10). Если га > 3, то по лемме 4 существует примитивный простой делитель q числа 2 2 w - 1. По определению, q не делит 22 - 1 = 3, но q делит (2 2 w - 1)/(2 W - 1) = 3 5 + 1 . Это противоречие показывает, что т ^ 3. Поэтому m = 3, s = 1, L == 1/з(8), Р =
2
(?2(3 3 ).
Это невозможно, поскольку w(2G2(33)) Э 37 £ и;([/з(8)). Предположим, группа Р изоморфна S4(25), 5 > 1. Тогда u(m,S)
=
= 2 2 s -f 1, и поэтому выполняется одно из следующих условий: ( 2 3 т - 1)(2 2в - 1) = (24* - 1)(2 т - 1)(2W - 1,3), * = 1;
(11)
(2 6то - 1)(2 т - 1)(22* - 1) = (24s - l)(2 3 w - 1)(2 2 т - 1)(2 т - 1,3), <5 = - 1 . (12) По (10.2) либо <£ = 1, Зга = 45, либо 5 = —1,6т = 45. В первом случае левая часть равенства (11) меньше правой части, а во втором случае левая часть равенства (12) больше правой части. Пусть группа Р изоморфна 2 B 2 (2 2 s + 1 ), s > 1. Тогда верно одно из следующих соотношений: и{т,8) =
22*+1-1;
и(т, S) = 2 2 * +1 + e2s + 1, е = ± 1 . Легко проверить, что ни одно из них не может быть выполнено. Предположим, группа Р изоморфна £з(2*), 5 ^ 3 , или U3(2S), 5 ^ 2 . Тогда Цга, 5) = ?л(в,е), где е = 1 для Р = £з(2 5 ) и е = - 1 для Р = J73(2e).
580
В. Д. Мазуров, М. Ч. Су, Ч. П. Чао
Легко проверить, что это равенство выполняется только при rn = s и 8 = е. Поэтому группа Р изоморфна L. По леммам 9, 56 и 66, G явля ется расширением разрешимой 7Гх (С)-группы посредством L. Поскольку fti(G) = 7Ti(£), лемма доказана.
Основные результаты Т Е О Р Е М А 1. Пусть G — конечная группа, для которой UJ(G) = = OJ(L), где L = £ 3 (2 m ), m ^ 1, шш L = 1/"з(2т), т ^ 2. Тогда G изоморф на L. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ЭТОТ факт известен для группы L, равной £з(2) или Хз(4) (см. введение). Поэтому можно считать, что т ^ 3 для L = Хз(2 т ). По лемме 10 фактор-группа G/A изоморфна L для некоторой нормальной 7г1(Ь)-подгруппы А. Докажем, что А = 1. Для этого, не нару шая общности, можно считать, что А — элементарная абелева р-группа. Предположим, что А ф 1. Поскольку граф GK(G) CQ{A)
несвязен, то
ф G. Так как группа L проста, то CQ{A) = А, и G индуцирует при
сопряжении в А группу автоморфизмов, изоморфную L. Если L = L 3 (2 W ), где число га четно, или L = (7з(2 т ), где т нечетно, то I содержит подгруп пу Я , изоморфную С/з(2), которая является группой Фробениуса с ядром порядка 9 и кватернионным дополнением С порядка 8. Итак, если р ~ 2, то по лемме 2.2, G содержит элемент порядка 8 # OJ(L). Если порядок А нечетен, то Ао = Сд(£) ф 1 для некоторой инволю ции t из С, и четверная группа C/(t) действует на Ао- Поскольку неко торая инволюция из C/(t) централизует в Ао нетривиальный элемент, G содержит элемент порядка 4р вопреки предположению. Поэтому можно предполагать, что число т нечетно, если L — L 3 (2 m ), и т четно, если L = [7з(2 т ). В частности, в L нет элементов порядка 6. Поскольку L со держит подгруппу Фробениуса с циклическим ядром порядка 2 2 m ± 2 т + 1 и дополнением порядка 3, порядок группы А нечетен по лемме 2.2. Так как центр Z силовской 2-подгрупны из G нециклический, суще ствует инволюция z e Z, для которой CA{Z) / 1 и силовская 2-подгруппа
Распознавание групп L3(2m) я Us(2m) из
CQ(Z)
действует на
СА{Ъ)> ЕСЛИ Ж2
нетривиальный элемент в CA{Z),
И
581
= г, то а; не может централизовать
поэтому х инвертирует 2
CA{Z). ПО
5.1,
2
5.2, 6.1, 6.2 существуют два элемента ж, у такие, что х = у = г и жу — элемент порядка 4. Поскольку ж у централизует Сд(г), G содержит эле мент порядка 4р для некоторого числа р > 1. Это последнее противоречие завершает доказательство теоремы. В отличие от групп Ьз(2ш) и (7з(2т), для простых симплектических групп 54(9) верно следующее П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е . Для любого целого числа т ^ 2 существует расширение Е элементарной 2-грушы посредством L 2 (2 2m ), для которого u{E)^u{SA{2m)). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть N - естественный модуль для L = = SL 2 (2 2m ) = L2(22w) над полем F порядка 2 2 т и пусть V = 2V ® W , где а — автоморфизм порядка 2 поля F. Тогда для любого элемента h £ L порядка £ т^ 2 характеристические корни преобразования h пространства V равны АЛ2 , А"""1 А2 , АА~2 , А'"1А""2 , где А — примитивный корень степе ни t из единицы. Поэтому V тогда и только тогда содержит собственный вектор для h с собственным значением 1, когда t делит 2го - 1 или 2W + 1. Поскольку fi(L) — {2,22m - l,2 2 m + 1}, для естественного полупрямого произведения Е модуля V" на L имеет место равенство /i(E) - {4,2(2 т + 1),2(2 т - 1),2 2 т - 1,2 2т 4- 1}. По лемме 8, и(Е) = w(54(2m)). Предложение доказано. ТЕОРЕМА 2. Пусть G — конечная простая неабелева группа та кая, что 4£ 0 w{G) для всех натуральных чисел t > 1. Тогда верно одно из двух следующих утверждений: а) группа G изоморфна А7; Ag; J\\ £ 2 (2 т ), га > 1; L2(g), q — степень простого числа, 3 < q = ±3(mod8); 2 G 2 (3 2m+1 ), m > 1; 2 B 2 (2 2m+1 ), m ^ 1; £з(2 т ), ш ^ 1, нлп 17з(2т), т > 1, и G распознаваема по to(G); б) группа G изоморфна А6 или S4(2m), m > 1, u существует беско нечно много попарно неизоморфных групп Н таких, что и(Н) = w(G).
582
В. Д. Мазуров, М. Ч. Су, Ч. П. Чао ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По лемме 8, G изоморфна одной из групп за
ключения теоремы. Распознаваемость групп из п. а, отличных от £ з ( 2 т ) , т ^ 1, и 173(2ТО), т > 1, доказана Р. Брандлом, Ч.Прэгер и В.Ши (см. введение). Группы £ 3 ( 2 т ) ,
то)1и
£/*з(2т), т > 1, распознаваемы по те
ореме 1. Заключение известно также и для Ае (см. [23]). Наконец, если группа G изоморфна 54 (2 m ), га > 1, то по предложению существует груп па Н такая, что и(Н) = u{G) и Н содержит нетривиальную разрешимую подгруппу. По [42, лемма 1] существует бесконечно много таких групп Н. Теорема доказана. ЗАМЕЧАНИЕ. Недавно Ж . А н и В.Ши [43] доказали распознавае мость групп L 3 (2 m ), т ^ 0 (mod6) и f/ 3 (2 m ), m"ф.3 (mod6), и высказали гипотезу, что число неабелевых простых нераспознаваемых групп конечно. Теорема 2, в частности, опровергает эту гипотезу. М. Ч. Су и Ч. П. Чао выражают свою благодарность профессору Вуджи Ши за руководство и помощь.
ЛИТЕРАТУРА 1. W.Shi, A characteristic property of A$ (in Chinese), J. Southwest-China Teachers University, 3 (1986), 11-14. 2. W. Shi, A characteristic property of PS£2(7), J. Aust. Math. Soc, Ser. A, 36, N 3 (1984), 354-356. 3. W. Shi, A characterization of some projective special linear groups (in Chinese), J. Southwest-China Teachers Univ., Ser. B2, 1985, 2—10. 4. W. Shi, A characteristic property of J i and PSL2(2n)
(in Chinese), Adv. Math.,
Beijing, 16 (1987), 397-401. 5. R, Brandl, W. Shi, The characterization of P5X(2, q) by its element orders, J. Algebra, 163, N 1 (1994), 109-114. 6. W, Shi, A characterization of Suzuki simple groups, Proc. Am. Math. Soc, 114, N 3 (1992), 589-591. 7. R. Brandl, W. Shi, A characterization of finite simple groups with abelian Sylow 2-subgroups, Ric. Mat., 42, N 1 (1993), 193-198.
Распознавание групп Ьз(2ш) и *7з(2ш)
583
8. Н. W.Deng, W.J.Shi, The characterization of Ree groups 2 F 4 (g) by their element orders, J. Algebra, 217, N 1 (1999), 180-187. 9. W. Shi, A characterization of some projective special linear groups, J. Math. Res. Expo., 5 (1985), 191-200. 10. F.J.Liu,
A characteristic property of projective special linear group £3(8) [in
Chinese], J. Southwest-China Normal Univ., 22, N 2 (1997), 131-134. 11. 5. Lipschutz, W. Shi, Finite groups whose element orders do not exceed twenty, Frog. Nat, Sci., 10, N 1 (2000), 11-21. 12. M. R. Aleeva, On recognizability of groups lh(q),q odd, Маломерная тополо гия и комбинаторная теория групп, Тез. докл. между нар. конф. Челябинск, 1999, 12. 13. W. Shi, A characterization of the finite simple group £/4(3), An. Univ. Timi§., Ser. Stiinte Mat., 30, N 2 - 3 (1992), 319-323. 14. W. Shi, H. L. Li, A characteristic property of Mu and PSU(Q, 2) (in Chinese), Acta Math. Sin., 32, N 6 (1989), 758-764. 1.5. W. Shi, G. Y. Tang, A characterization of some orthogonal groups, Prog. Nat. Sci., 7, N 2 (1997), 155-162. 16. V/.Shi, A characteristic property of Mathieu groups [in Chinese], Chin. Ann. Math., Ser. A, 9, N 5 (1988), 575-580. 17. W.Shi, A characterization of the Conway simple group C02, J. Math. Res. Expo., 9 (1989), 171-172. 18. W. Shi, A characterization of the Higman-Sims group, Houston J. Math., 16, N 4 (1990), 597-602. 19. H. L. Li, W. Shi, A characteristic property of some sporadic simple groups [in Chinese], Chin. Ann. Math, Ser. A, 14, N 2 (1993), 144-151. 20. W. Shi, The characterization of the sporadic simple groups by their element orders, Algebra Colloq., 1, N 2 (1994), 159-166. 2L W.Shi, A characteristic property of A 8 , Acta Math. Sin., New Ser., 3 (1987), 92-96. 22. Д. Brandl, W. Shi, Finite groups whose element orders are consecutive integers, J. Algebra, 143, N 2 (1991), 388-400. 23. С E. Praeger, W. Shi, A characterization of some alternating and symmetric groups, Commun. Algebra, 22, N 5 (1994), 1507-1530.
584
В. Д . Мазуров,
М. Ч. Су, Ч. П. Чао
24. В. Д. Мазуров, Характеризации конечных групп множествами порядков их элементов, Алгебра и логика, 36, N 1 (1997), 37—53. 25. А. В. Завариицин, Порядки элементов в накрытиях групп Ln(q) и распозна ваемость знакопеременной группы A1Q, Новосибирск, ГНИУ Ин-т дискрет, матем. информ., препринт N 48, 2000. 26. А. С. Кондратьев, В. Д. Мазуров, Распознавание знакопеременных групп простой степени по порядкам их элементов, Сиб. матем. ж., 4 1 , N 2 (2000), 360-371. 27. А. В. Заварницин, Распознавание по множеству порядков элементов знако переменных групп степени г+1 и г + 2 для простого г, Новосибирск, ГНИУ Ин-т дискр. матем. информ., препринт N 47, 2000. 28. J. S. Williams, Prime graph components of finite groups, J. Algebra, 69, N 2 (1981), 487-513. 29. J. G. Thompson, Normal p-complements for finite groups, Math. Z., 72, N 2 (1960), 332-354. 30. H. Zassenhaus,
Kennzeichnung
endlicher
linearen
Gruppen
als
Permutationsgruppen, Abh. Math. Semin. Univ. Hamb., 11 (1936), 17— 40. 31. H. Zassenhaus, Uber endliche Fastkorper, Abh. Math. Semin. Univ. Hamb., 11 (1936), 187-220. 32. K.Zsigmondy,
Zur Theorie der Potenzreste, Monatsh. Math. Phys., 3 (1892),
265-284. 33. J. Diedonne, La geometrie des groupes classiques, Berlin, Springer-Verlag, 1955. 34. М.Холл, Теория групп, М., ИЛ, 1962. 35. М. Aschbacher, G. M, Seitz, Involutions in Chevalley groups groups over fields of even order, Nagoya Math. J., 63, N 1 (1976), 1-91. 36. R. Carter, Centralizers of semisimple elements in finite classical groups, Proc. Lond. Math. Soc, III. Ser., 42, N 1 (1981), 1-41. 37. H. N. Ward, On Ree's series of simple groups, Trans. Am. Math. Soc, 121, N 1 (1966), 62-89. 38. J.H.Conway,
R.T.Curtis,
S.P.Norton,
R.A.Parker,
R.A. Wilson, Atlas of
finite groups, Oxford, Clarendon Press, 1995. 39. M.Suzuki,
On a class of doubly transitive groups, Ann. Math. (2), 75, N 1
(1962), 105-145.
Распознавание
групп Х з ( 2 т ) и
Us(2m)
585
40. Я. W. Carter, P. Fong, The Sylow 2-subgroups of the finite classical groups, J. Algebra, 1, N 2 (1964), 139-151. 41. E. Stensholt, Certain embeddings among finite simple groups of Lie type, J. Algebra, 53, N 1 (1978), 136-185. 42. В.Д.Мазуров,
Распознавание конечных групп по множеству порядков их
элементов, Алгебра и логика, 37, N 6 (1998), 651—666. 43. З.В.Ап,
W.J.Shi,
The characterization of finite simple groups with no
elements of order six, Commun. Algebra, 28, N 7 (2000), 3351-3358.
Адреса авторов:
Поступило 29 октября 1998 г.
М А З У Р О В Виктор Данилович,
M.C.XUandH.P.CAO
РОССИЯ,
Department of Mathematics,
630090, г. Новосибирск,
Sichuan University,
пр. Ак. Коптюга, 4,
610000, Chengdu,
Институт математики СО РАН.
CHINA.
e-mail:
[email protected]
