Геометрия: Методические рекомендации для студентов III курса математического факультета. Часть 1

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет Кафедра геометрии

ГЕОМЕТРИЯ Методические рекомендации для студентов III курса математического факультета Часть 1

Екатеринбург 2008

Данное пособие является составной частью учебнометодического комплекса по дисциплине «Геометрия» и призвано оказать помощь студентам в самостоятельной работе по изучению теоретического материала, выполнению индивидуальных заданий. В него включены: программа курса, тематические планы лекций и практических занятий, материалы для практических занятий, домашних заданий и контрольных работ, а также вопросы к коллоквиуму, зачету и экзамену. Составители: Толстопятов В.П., к. ф.-м. н., доцент кафедры геометрии Унегова Т.А., к. ф.-м. н., доцент кафедры геометрии

2

Содержание Программа курса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Лекции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Практические занятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Материалы для практических занятий и домашних работ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 5. Вариант контрольной работы . . . . . . . . . . . . . . .19 6. Вариант тестового задания для контроля остаточных знаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 7. Вопросы к экзамену . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 8. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 1. 2. 3. 4.

3

1. Программа курса Теория гладких кривых линий Вектор-функции (в.-ф.) одной действительной переменной, действия с ними. Предел и непрерывность в.-ф. в точке. Дифференцируемость в.-ф., правила дифференцирования. Теорема и формула Тэйлора для в.-ф. Понятие элементарной кривой, простой дуги, гладкой кривой. Примеры. Касательная прямая и нормальная плоскость к гладкой кривой, их уравнения. Длина дуги кривой, ее вычисление. Натуральный параметр и его связь с касательным ортом. Вектор кривизны, кривизна, главная нормаль. Репер Френе, его координатные оси и плоскости, их уравнения в случаях натурального и произвольного параметра. Формулы Френе. Кривизна и кручение кривой, геометрический смысл их обращения в нуль. Вычисление кривизны и кручения. Теорема о натуральных уравнениях кривой. Поведение гладкой кривой вблизи ее точки относительно репера Френе. Теория гладких поверхностей Гладкие поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Криволинейные координатные сети на поверхности. “Явное” и “неявное” задание поверхностей. Плоскость в разных системах координат. Поверхности вращения, их проверка на гладкость. Круговые цилиндр и конус. Сфера. Тор. Линейчатые поверхности и торсы (развертывающиеся поверхности), признак торса. Цилиндрические и конические поверхности. Поверхности касательных, 4

главных нормалей и бинормалей гладкой кривой. Геликоид. Лист Мебиуса. Теорема о торсах. Первая квадратичная форма и длины дуг на поверхности. Углы между кривыми на поверхности, координатный угол, биссекторные кривые, ортогональные траектории семейства кривых. Вторая квадратичная форма. Нормальная кривизна линии на поверхности, ее вычисление. Нормальная кривизна поверхности в данном направлении, ее связь с кривизной нормального сечения. Асимптотические направления и линии. Омбилические точки. Индикатриса Дюпена и типы точек на поверхности. Формула Эйлера. Главные кривизны как экстремумы нормальной кривизны, их нахождение. Гауссова и средняя кривизны. Главные направления и линии кривизны. Координатные сети из линий кривизны. Деривационные формулы для поверхности. Понятие об изгибании и внутренней геометрии поверхности. Геодезическая кривизна линии на поверхности, ее связь с кривизной плоской проекции и вычисление (в частности для координатных линий). Геодезические линии. Полугеодезическая сеть. “Кратчайшесть” геодезических. Теоремы Гаусса и Бонне. Поверхности постоянной гауссовой кривизны. Торсы как поверхности нулевой гауссовой кривизны. Их связь с линиями кривизны. 2. Лекции 1. Векторные функции числового аргумента. 2. Понятие кривой. Уравнение кривой. Гладкие кривые. 5

3. Касательная прямая. Длина дуги кривой. 4. Канонический репер. Формулы Серре-Френе. Кривизна и кручение кривой. Натуральные уравнения кривой. 5. Расположение кривой относительно репера Френе в окрестности точки кривой. 6. Векторная функция двух скалярных аргументов. Понятие поверхности. Линии на поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке. 7. Развертывающиеся поверхности. 8. Первая квадратичная форма поверхности. 9. Вторая квадратичная форма поверхности. Кривизна линии на поверхности. 10. Индикатриса Дюпена. Главные направления на поверхности в точке. 11. Теорема Родрига. Полная и средняя кривизна. Формула Эйлера. Строение поверхности в окрестности точки эллиптического, гиперболического и параболического типа. 12. Линии кривизны на поверхности. Поверхности постоянной кривизны. Минимальные поверхности. 13. Подвижный репер поверхности. Деривационные формулы. Внутренняя геометрия поверхности. Теорема Гаусса. 14. Геодезическая кривизна как элемент внутренней геометрии поверхности. Изометричные поверхности. 15. Геодезические линии. Теорема Гаусса-Бонне. Сумма углов геодезического треугольника. 16. Конформные отображения. 17. История развития дифференциальной геометрии. 6

3. Практические занятия 1. Скалярное, векторное и смешанное умножение свободных векторов. Метод координат на плоскости и в пространстве. 2. Линии в евклидовом пространстве. Виды уравнений кривой. 3. Линии в евклидовом пространстве. Виды уравнений кривой. 4. Репер Френе. 5. Репер Френе. 6. Кривизна и кручение кривой. 7. Эволюты и эвольвенты. 8. Контрольная работа. 9. Поверхности в пространстве. Касательная плоскость и нормаль. 10. Линии на поверхности. Первая квадратичная форма поверхности. 11. Линии на поверхности. Первая и вторая квадратичные формы поверхности. 12. Линии на поверхности. Первая и вторая квадратичные формы поверхности. 13. Главные кривизны. Полная и средняя кривизна. 14. Главные кривизны. Полная и средняя кривизна. 15. Задачи дифференциальной геометрии на доказательство. 16. Задачи дифференциальной геометрии на доказательство. 17. Контрольная работа.

7

4. Материалы для практических занятий и домашних работ Занятие 1. Скалярное, векторное и смешанное умножение свободных векторов. Метод координат на плоскости и в пространстве. Задачи 1. Для векторов a  (3,1,2) и b  (1,2,1) , координаты которых заданы в ортонормированном базисе, вычислить [2a  b, b] . 2. Определить ориентацию заданной тройки векторов. 3. Построить ортонормированный базис, содержащий орт заданного вектора. 4. Определить, компланарность четырех заданных точек. 5. Найти уравнение прямой, содержащей биссектрису треугольника с заданными вершинами. 6. Найти ортогональную проекцию точки на прямую, проекцию точки на плоскость. 7. Написать уравнение сферы данного радиуса, касающейся данной плоскости в данной точке. 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через две данные точки перпендикулярно заданной плоскости. 9. Написать уравнение биссекторной плоскости двугранного угла при ребре тетраэдра, вершины которого заданы координатами в прямоугольной системе координат.

8

10. Написать уравнения прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данной прямой и пересекающей ее. 11. Найти точку, симметричную данной точке относительно данной точки (прямой, плоскости). 12. Определить взаимное расположение данных прямых, вычислить расстояние между ними. 13. Найти проекцию прямой на плоскость. Занятие 2-3. Линии в евклидовом пространстве. Виды уравнений кривой. Задачи 1. Найти параметризацию окружности x 2  y 2  a 2 , приняв за параметр угол между осью Ox и прямой, проходящей через точку окружности и ее центр. 2. Отрезок постоянной длины a , перпендикулярный некоторой прямой l , скользит по прямой одним из своих концов. Если расстояние, проходимое этим концом, пропорционально углу поворота отрезка вокруг прямой, то второй конец описывает кривую, называемую винтовой линией. Найти а) параметрические уравнения винтовой линии; б) длину дуги винтовой линии от точки M 0 t  0 до произвольной точки M ; в) уравнения винтовой линии в естественной параметризации; проверить, что r   1 . 3. Интересный класс кривых, имеющих широкое применение в технике, составляют трохоиды и рулетты. Такие кривые образуются движением точки ка9

кой-нибудь кривой, катящейся без скольжения по другой, неподвижной кривой. Пусть окружность радиуса R катится без скольжения по прямой. Тогда каждая точка окружности описывает кривую, называемую циклоидой. Найти: а) параметрические уравнения циклоиды; б) длину одной арки циклоиды. 4. Пусть по окружности радиуса a катится без скольжения окружность радиуса a . Если подвижная окружность находится вне неподвижной окружности, то ее точка P описывает эпициклоиду. Если же подвижная окружность находится внутри неподвижной окружности, то точка P подвижной окружности описывает гипоциклоиду. 1 4

Если   , то гипоциклоида называется астроидой, ее уравнение r  a cos3 t; a sin3 t; 0 . Найти длину астроиды. 5. Найти длину дуги линии x 3  3a 2 y, 2 xz  a 2 между 1 3

плоскостями y  a и y  9a . 6. Выяснить совпадают ли кривые  : x  a(t  sin t ); y  2t; z  3t 2 и ~ : y  2e x ; z  y 2  e2 x . t 2

7. Дана линия x  a(t  sin t ); y  a(t  cost ); z  4a sin . Выяснить, является ли заданная параметризация линии гладкой. Домашнее задание ИДЗ. Работа 1. Уравнения кривой. Длина дуги кривой. [6]. 10

Занятие 4-5. Репер Френе. Задачи 1. Найти репер Френе 1 2 1 1 2 1 2 3 2 2 3 2 б) линии x  t; y  e t ; z  e t в точке A0;1;1 . 2. Доказать, что касательные к кривой x 2  3 y; 2 xy  9 z

а) линии x  t 2 ; y  t 3 ; z  t 4 в точке A( ; ; ) ;

образуют постоянный угол с вектором p  1;0;1 . 3. Доказать, что главная нормаль винтовой линии в каждой точке перпендикулярна ее оси. 4. Доказать, что длина отрезка касательной к трактри

се x  a(ln tg  cos ), y  a sin , 0      , от точки 2

касания до оси Ox постоянна. 5. От каждой точки кривой rt   et cost; et sin t; et  в положительном направлении бинормали отложены отрезки длины d  e t 6 . Определить уравнение спрямляющей плоскости новой кривой, образованной концами этих векторов. 6. Найти уравнение линии, образованной концами отрезков длины 8t 2 (2t 2  1) , отложенных в положительном направлении бинормали в каждой точке линии x

t2 2t 3 t4 ; y ; z  , t 0. 2 3 2

Занятие 6. Кривизна и кручение кривой. Задачи 1. Доказать, что кривизна и кручение винтовой линии x  a cost , y  a sin t , z  bt, a  0, b  0 постоянны (кри11

2.

3.

4. 5.

вая во всех точках устроена одинаково, может винтиться, то есть двигаться по себе). Доказать, что кривая x  t 2  1, y  t 2  2, z  t 3 плоская. Найти уравнение плоскости, в которой она лежит. Доказать, что во всякой точке кривой 3 2 3 кривизна и кручение x  3u  u , y  3u , z  3u  u совпадают. Найти натуральные уравнения кривой t t t r t   e a cos t , e a sin t , be , a  0 . Найти натуральные уравнения кривой r  (e t , t 2 , e  t ) .

Домашнее задание ИДЗ. Работа 2. Репер Френе. [6]. Занятие 7. Эволюты и эвольвенты. Задачи 1. Эволютой или разверткой данной плоской кривой называется геометрическое место центров ее кривизны, то есть концов отрезков длины

1 , отложенk

ных от каждой точки линии в положительном направлении главной нормали. Доказать, что касательные к эволюте линии  служат нормалями к линии  . 2. Эвольвентой плоской линии  называется линия, которая пересекает под прямым углом касательные к линии  . Доказать, что линия, полученная при откладывании на каждой касательной данной кривой отрезка, рав12

ного длине дуги, отсчитываемой от некоторой точки данной кривой, является эвольвентой данной кривой. 3. Пусть задана линия  : r  ( x, y,0) . Имеем: r   ( x, y,0) , r   ( x, y,0) , [r , r ]  (0,0, xy  xy) , 3

1 ( x 2  y  2 ) 2 r   x  y  ,  . k xy  xy 2

2

Если касательная к линии  в точке M образует угол  с осью Ox , то единичный вектор  главной нормали к этой кривой в точке M имеет координа



2

2

ты   (cos(  ), sin(  ), 0) или   ( sin  , cos  , 0) . При этом cos 

x x  y 2

2

, sin 

y x  y2 2

.

Тогда уравнение эволюты линии  будет иметь вид: x2  y2 x2  y2 ~ r  (x  y, y  x, 0) . xy  xy xy  xy

Составить уравнения эволюты эллипса x  a cost , y  b sin t . 4. Найти эволюту параболы y 2  2 px . 5. Доказать, что эволюта циклоиды есть циклоида, конгруэнтная данной. 6. Показать, что эволюта астроиды есть астроида, подобная данной, с коэффициентом подобия 2, повер . 2 7. Найти уравнения эвольвент окружности x2  y 2  a 2 .

нутая относительно данной астроиды на угол

8. Найти уравнения эвольвент параболы y  13

t2 . 4

Занятие 8. Контрольная работа. ИДЗ. Работа 3. Разные задачи [6]. Занятие 9. Поверхности в пространстве. Касательная плоскость и нормаль. Задачи 1. Составить параметрические уравнения сферы, эллипсоида, параболоида вращения, кругового цилиндра, прямого геликоида. 2. В какой точке прямого геликоида касательная плоскость параллельна плоскости  : x  y  z  1  0 ? 3. Доказать, что в соответственных точках двух параллельных поверхностей их касательные плоскости параллельны. 4. Найти образ параболоида вращения при сферическом отображении. Домашнее задание ИДЗ. Работа 4. Гладкие поверхности. Касательная плоскость и нормаль. [6]. Занятие 10.Линии на поверхности. Первая квадратичная форма поверхности. Задачи 1. На поверхности r  u 2  v 2 ; u 2  v 2 ; uv вычислить длину дуги линии u  v между точками ее пересечения с линиями 2u  v  1 и u  2v  3 . 2. На поверхности, для которой 1  du 2  u 2  a 2 dv2 , a  0 , найти периметр криволи-

14

нейного треугольника, образованного линиями 1 2 1 av , u   av 2 , v  1 . 2 2 3. На поверхности r  uu  v; 3u  v; 2uv найти угол между линиями u  v  0, u  v  0 в точке их пересеu

чения. 4. Найти углы криволинейного треугольника, образо1 1 2 2 2 2 ности, для которой 1  du  u  1 dv2 .

ванного линиями u  v 2 , u   v 2 , v  1 на поверх-





5. На сфере найти линии, пересекающие меридианы под углом  . Домашнее задание ИДЗ. Работа 5. Первая квадратичная форма. Внутренняя геометрия поверхности. [6]. Занятие 11-12.Линии на поверхности. Первая и вторая квадратичная формы. Задачи 1. Найти вторую квадратичную форму гиперболического параболоида z  xy . 2. Найти первую и вторую квадратичные формы сферы. 3. На поверхности r  u, v, u 2  v 2  найти нормальную кривизну k n линии u  v 3  0 в точке Au  1, v  1 . 4. Определить асимптотические линии прямого геликоида r  u cosv, u sin v, bv .

15

5. Доказать, что u -линии на поверхности r  1  u cosv, 1  u sin v, u , u  -1 являются асимптотическими линиями. 6. Доказать, что а) линия u  e



v 3

является асимптотической на

поверхности r   u cosv, u sin v,

1  ; u2 

 б) линия u  sin 2v является асимптотической на 2

поверхности r  u cosv, u sin v, a cos2v ; в) линия u  v является асимптотической на поверхности r  e vu , uevu , v . 7. Доказать, что в любой точке линии u  const на поверхности r  u cosv, u sin v, bv соприкасающаяся плоскость совпадает с касательной плоскостью к поверхности.

Домашнее задание ИДЗ. Работа 6. Полная и средняя кривизна поверхности. [6]. Занятие 13-14. Главные кривизны. Полная и средняя кривизна. Задачи 1. Найти главные направления и главные кривизны геликоида r  u cos v, u sin v, bv  . 2. Найти главные кривизны гиперболического параболоида r  u, v, uv в произвольной точке. 3. Исследовать характер точек на поверхности r  a  b cosu cosv, a  b cosu sin v, b sin u , a  b  0 . 16

4. На поверхности r  u cosv, u sin v, u  v найти линии, ортогональные к линиям, вдоль которых K  const . 5. На прямом геликоиде найти уравнения линий, делящих пополам углы между координатными линиями. 6. Доказать, что линии v 2 du 2  u 2 dv 2  0 на геликоиде x  u cosv, y  u sin v, z  av образуют сопряженную сеть. 7. Покажите, что координатные линии на поверхности r  3u  u 3  3uv2 , v 3  3u 2 v  3v, 3u 2  v 2  являются линиями кривизны. 8. Показать, что u -линии являются геодезическими на сфере r  R cosu cosv, R cosu sin v, R sin u  . Домашнее задание ИДЗ. Работа 7. Линии на поверхности. [6]. Занятие 15-16. Задачи дифференциальной геометрии на доказательство. Задачи 1. Доказать, что если все соприкасающиеся плоскости гладкой кривой перпендикулярны некоторой фиксированной прямой, то эта кривая плоская. 2. Доказать, что касательные плоскости в соответствующих точках параллельных поверхностей параллельны. 3. Доказать, что поверхность, параллельная развертывающейся, есть также развертывающаяся. 4. Доказать, что линия поверхности и ее сферический образ имеют в соответствующих точках перпенди17

кулярные касательные тогда и только тогда, когда линия на поверхности является асимптотической. 5. Доказать, что при сферическом отображении поверхности линия на поверхности и ее образ будут иметь параллельные касательные тогда и только тогда, когда эта линия является линией кривизны. 6. Доказать, что два направления сопряжены тогда и только тогда, когда одно из них ортогонально сферическому образу другого. 7. Доказать, что сферический образ плоской линии кривизны поверхности есть окружность или ее часть. 8. Доказать, что асимптотическая сеть минимальной поверхности ортогональна. 9. Доказать, что на развертывающейся поверхности все точки являются точками параболического типа. 10. Доказать, что геодезическая линия является линией кривизны тогда и только тогда, когда она плоская. 11. На поверхности, образованной главными нормалями некоторой пространственной кривой эта кривая является асимптотической. Доказать. 12. Доказать, что в точках гиперболического типа на поверхности линии кривизны делят пополам углы между асимптотическими линиями. 13. Доказать, что если асимптотическая линия на поверхности является линией кривизны, то нормаль к поверхности вдоль этой линии постоянна. 14. Доказать, что меридианы поверхности вращения являются геодезическими линиями. 15. Доказать, что параллель поверхности вращения будет геодезической тогда и только тогда, когда каса18

тельные к меридианам в точках их пересечения с этой параллелью параллельны оси вращения. 16. Доказать, что на эллипсоиде не существует асимптотической сети. 17. Доказать, что полная кривизна линейчатой поверхности не может быть положительной. ИДЗ. Работа 8. Разные задачи. [6]. Занятие 17. Контрольная работа. 5. Вариант контрольной работы 1. На поверхности z  axy найти ортогональные траектории прямолинейных образующих. 2. Доказать, что на поверхности r  1  u cosv, 1  u sin v, u  координатная сеть является сетью линий кривизны. 3. Доказать, что на линейчатой поверхности, образованной главными нормалями кривой, эта кривая является асимптотической линией. 4. На поверхности x  u 2  v 2 , y  u 2  v 2 , z  uv в точке Pu  1, v  1 вычислить кривизну нормального сечения, проходящего через касательную к линии v  u 2 . 5. Найти уравнение главной нормали геодезической линии на поверхности z  x 3  y 3 в точке M 1,2,9  . 6. Доказать, что если в каждой точке линии на поверхности нормальная кривизна совпадает с кривизной кривой, то эта линия является геодезической. 19

7. Доказать, что координатная сеть на поверхности является асимптотической тогда и только тогда, когда L  N  0. 8. Найти угол, под которым пересекаются прямолинейные образующие гиперболического параболоида z  axy . 9. На поверхности r   u cosv, u sin v, 

1   найти линии, u2 

сопряженные u -линиям. 10. На параболоиде z  x 2  y 2 найти угол между параболами x  x0 и y  y0 . 11. Доказать, что в каждой точке линии u  const на поверхности r  u cosv, u sin v, bv соприкасающаяся плоскость совпадает с касательной плоскостью к поверхности. Какое направление имеет касательный вектор к линии u  const ? 12. Доказать, что геодезическая линия является асимптотической тогда и только тогда, когда она является частью прямой.

6. Вариант тестового задания для контроля остаточных знаний 1. Найти высоту призмы ABCA1B1C1 , если AB  (2,3,0) , AC  (1,1,0) , CC1  (3,1,2) . 2. Определить множество всех точек плоскости, расстояние от каждой из которых до точки A(4,0) вдвое больше расстояния до точки B(1,0) .

20

3. Доказать, что прямая 2 x  3 y  4  0 является неподвижной для преобразования, заданного формулами 12   5 x  x  y  4,  13 13   y  12 x  5 y.  13 13 4. Составить уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к линии x  2t , y  ln t , z  t 2 в точке A ( t  1).

7. Вопросы к экзамену 1. Понятие кривой. Гладкие кривые. Допустимая замена параметра для гладкой кривой. 2. Касательная к гладкой кривой. Теорема о существовании и единственности касательной в каждой точке гладкой кривой. 3. Спрямляемые дуги, длина простой дуги. Длина гладкой кривой. 4. Длина дуги как функция. Натуральный параметр. Производная векторной функции по натуральному параметру. 5. Канонический репер в точке гладкой кривой. 6. Формулы Серре-Френе. 7. Вычисление кривизны и кручения гладкой кривой, заданной в произвольной параметризации. 8. Геометрический смысл обращения в нуль кривизны гладкой кривой. 9. Геометрический смысл обращения в нуль кручения гладкой кривой. 21

10. Расположение кривой относительно канонического репера. 11. Понятие поверхности. Гладкая поверхность класса C k . Допустимая замена криволинейных координат. 12. Кривые на поверхности. Координатные линии. Координатная сеть. 13. Касательная к линии на поверхности. Касательная плоскость и нормаль поверхности. 14. Развертывающиеся поверхности. Аналитическое условие развертывающихся поверхностей. Примеры развертывающихся поверхностей. 15. Теорема о классификации торсов. 16. Первая квадратичная форма поверхности. Вычисление длины дуги на поверхности. 17. Первая квадратичная форма поверхности. Вычисление угла между кривыми на поверхности. 18. Первая квадратичная форма поверхности. Понятие площади поверхности, ее вычисление. 19. Вторая квадратичная форма поверхности. Нормальная кривизна поверхности, вычисленная в точке в данном направлении. 20. Индикатриса Дюпена. Типы точек на гладкой поверхности. 21. Асимптотические линии на поверхности. Характеристическое свойство асимптотических линий. 22. Нормальная кривизна поверхности в точке в данном направлении. Асимптотические направления и типы точек на поверхности. 23. Главные направления на поверхности в точке. Теорема Родрига. 22

24. Главные направления на поверхности в точке. Вывод уравнения для нахождения главных направлений. 25. Главные кривизны поверхности в точке. Полная Гауссова и средняя кривизна поверхности в точке. 26. Формула Эйлера. Главные кривизны поверхности в точке как наибольшее и наименьшее значения нормальной кривизны поверхности в точке. 27. Линии кривизны на поверхности. Теорема Монжа. 28. Строение поверхности в окрестности точек различных типов. 29. Подвижной репер поверхности. Деривационные формулы. 30. Внутренняя геометрия поверхности. Теорема Гаусса. 31. Внутренняя геометрия поверхности. Геодезическая кривизна как элемент внутренней геометрии поверхности. 32. Изометричные поверхности. Условие изометричности поверхностей. Свойства изометрии. 33. Геодезические линии на поверхности, их свойства. Теорема Гаусса – Бонне, сумма углов геодезического треугольника.

8. Литература 1. Атанасян, Л. С. Геометрия. Ч. 2 [Текст] / Л. С. Атанасян, В. Т. Базылев. – М.: Просвещение, 1987.

23

2. Атанасян, Л. С. Сборник задач по геометрии. Ч.2 [Текст] / Л. С. Атанасян, В. А. Атанасян. – М.: Просвещение, 1975. 3. Базылев, В. Т. Геометрия. Ч.2 [Текст] / В. Т. Базылев, К. И. Дуничев. – М.: Просвещение, 1975. 4. Бакельман, И. Я. Высшая геометрия [Текст] / И. Я. Бакельман. – М.: Просвещение, 1967. 5. Линии и поверхности в евклидовом пространстве [Текст]: метод. разработка / В. П. Толстопятов. Екатеринбург: УрГПУ, 1997. – 60 с. 6. Комплект индивидуальных заданий по курсу дифференциальной геометрии [Текст] / Т. А. Унегова, В. П. Толстопятов. – Екатеринбург: УрГПУ, 1994. – 28 с. 7. Погорелов, А. В. Дифференциальная геометрия. [Текст] / А. В. Погорелов. – М.: Наука, 1969. Учебно-методическое издание Геометрия. Методические рекомендации для студентов III курса математического факультета. Часть 1 Составители: Толстопятов В. П., к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры геометрии Унегова Т. А., к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры геометрии 24

Геометрия Методические рекомендации для студентов III курса математического факультета Часть 1

Подписано в печать Формат 60х84/16 Бумага для множительных аппаратов. Усл. печ. л. 1,5 Тираж 100 экз. Заказ Уральский государственный педагогический университет 620017 Екатеринбург, пр. Космонавтов, 26

25