О вполне аддитивных вектор-функциях. II

И З В Е С Т И Я А К А Д Е М И И Н А У К СССР BULLETIN DE L"* ACADEMIE D E S SCIENCES DE UURSS Серия м а т е м а т и ч е с к а я

ю (1946),

Serie mathematique.

277-279

А. А. Л Я П У Н О В

О ВПОЛНЕ АДДИТИВНЫХ ВЕКТОР-ФУНКЦИЯХ. Н {Представлено

академиком

А. Н. Колмогоровым)

Д а е т с я пример вполне аддитивной вектор-функции, лишенной с к а ч ­ ков, определенной на всех измеримых множествах отрезка [0, 2тс], при­ нимающей з н а ч е н и я из Компактного п а р а л л е л е п и п е д а пространства 1 и имеющей невыпуклое множество значений. Х

В работе под таким же названием (*) нами было показано, что вполне аддитивная вектор-функция, лишенная скачков, определенная на системе подмножеств некоторого множества, инвариантной относи­ тельно счетных сумм и пересечений и взятия дополнений, и принимаю­ щая значения из w-мерного эвклидова пространства, имеет выпуклое множество значений. Мы покажем, что это свойство теряется, если вместо конечномерного пространства взять бесконечномерное, хотя бы даже компактное пространство. Рассмотрим последовательность функций / „ ( я ) , Xi( )> • • •> Xn( )i • • •> определенных на отрезке [0, 2тг] = Д, принимающих значения + 1 и — 1, образующих полную ортогональную систему функций на этом отрезке и таких, что x

x

2-я:

Хо(я)= + 1 ,

^ y (x)dx

= 0

n

о при п = 1, 2, 3, . . . * Обозначим и

п

=

Шх)=+1].

Тогда mes U = mes CU = т. при п

n

п > 1.

Определим вполне аддитивную вектор-функцию F (Е) для всех изме­ римых множеств отрезка [0, 2тг]. Значение функции F (Е) есть вектор, лежащий в компактном параллелепипеде пространства 1 и имеющий координаты: г

Е

F(E) = {y [E), 9

уЛЕ),

(Е),

Уп

...}. 2

* Пример т а к о й системы можно найти в книге З и г м у н д а ( ).

А . А.

278

Очевидно, функция легко видеть, что

F (Е)

ЛЯПУНОВ

вполне

аддитивна

и лишена

скачков;

2тг

' CR) = { > ъ> у > • • • > ^ , • • • } > так как 2те

2т:

2

О

2"

2"

О

Если бы множество значений функции F (Е) было выпукло, то оно содержало бы все точки вида \F(R), где 0 < Х < 1 , так как оно содер­ жит точки ( 0 , 0, . . ., 0, . . . ) и F(R). Мы покажем, однако, что она 1 1 не содержит точки -^F(R). Допустим, что F{E)=~F(R), т. е. 1

к = (Е)=

J +ft>(*) dx= ^ dsc = mes£

Уо

^

^

^

(

^

^

^

^

t

^

^

-

^

Я

^

^

^

f

при

^

ft>0.

ЕГ7*

Следовательно, mes 7? = -

и

mes (2?(7 ) == ~ n

при

?г>0.

Но тогда mes СЕ =

и mes (U СЕ) = ~

ъ

n

Положим C D ( # ) = + 1 , если х£Е

при п > 0.

и ш ( ж ) = — 1, если х£СЕ;

тогда

2т: х

^ Хо ( ) bо

0 3

(ж) d# = mes

— mes СЕ = 0,

2т:

^

со

(#)

r

(%) dx = mes U Е

— mes t/ СЕ = 0, n

п

0

т. е. функция системы у^ (х), 0

системы.

OJ(X) оказывается Xi(^)>

Полученное

ортогональной

ХгЛ#)>

противоречие

ч

т

о

ко всем

противоречит

доказывает,

функциям

полноте этой

что точка

~ F (R)

не принадлежит множеству значений функции F (Е) *. ПОСТУПИЛО •29.

L

1945

ЛИТЕРАТУРА 1

2

Л я п у н о в Д. А . , О вполне аддитивных в е к т о р - ф у н к ц и я х , И з в . Ак. Н а у к СССР, серия матем., 4, 1940. Зигмунд А . , Тригонометрические ряды, М.—Л., 1939.

* Н а с т о я щ е е сообщение в н е с к о л ь к о иной р е д а к ц и и было н а п р а в л е н о в Труды П е д а г о г и ч е с к о г о ин-та им. Л н б к н е х т а , но ввиду в о е ш ю г о времени не было напе­ чатано.

279'

FONCTIONS VECTEURS-COMPLETEMENT ADDITIVES A. LIAPOUNOFF. SUR LES FONCTIONS-VECTEURS COMPLE ТЕМЕ N T ADDITIVES RESUME

Nous dormons un exemple d'une fonction-vecteur completement additive, definie sur tous les ensembles mesurable du segment [0, 2ти], dont les valeurs appartiennent au parallelepipede compacte de Pespace Z et dont Pensemble de valeurs n'est pas convexe (cf. ( )). x

1

%