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,)C)12)17 ,)9+D 402 +202)1)O 0 92++D ; ,+1+s2)1)O ,+B 2+4 ,094 3913)2-3 *0:- {b, a, −c} O (2+ C+.0:90)2 -9+D-29+ 1◦ 9+D-29+ 3◦ 92).0)2 : -9+D-29 1◦ 2◦ +.0s)4 2◦ 2+ -9+D-29+ +:0(0)2O (2+ +2+*0s)) Ψa = [a, ·] : E3 3 b 7→ [a, b] ∈ E3
1)D+ , 1A*+4 a ∈ E3 ? a = 0 -9+D-29+ 2◦ 9,+13)2-3 +()9CB 4 +*0:+4 01)) ,)C,+100)4O (2+ a 6= 0 ?+9)C)4 C+.0:02)17-29+ 9 )-.+17.+ @0+9 +.0s)4 -0(010O (2+ , λ 6= 0 9,+13)2-3 [λa, b] = λ[a, b]. ++2+@)) +()9C+ 9,+13)2-3 , λ = 0 O + + 0- 2))-)2 -1(0D λ 6= 0 ? a||b -++2+@)) 9,+13)2-3 +()9C4 +*0:+4 ?-27 9).2+ a b ) .+11)0 [a, b] = c O [λa, b] = d : 2∗ 3∗ -1)C)2O (2+ d||c |d| = |λ||c| O ,+2+4 d = ±λc -20)2-3 ,+9)27O (2+ *0:- {a, b, c} {λa, b, λc} +C0.+9+ +)2+90 + 2+ -1)C)2 : 2++O (2+ λ 0 0 0 1 0 0 0 λ
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; .+-+-44)2(+) *1)D+) +2+*0s)) ?+2+4O :03 9).2+) ,+:9)C)3 *0:-E 9).2++9O 4+s+ 1).+ ,+1(27 F+41 C13 9B (-1)3 9).2+++ ,+:9)C)3 ,+:9+17E 9).2++9 4))4~ [a, b] = [ai ei , bj ej ] = ai bj [ei , ej ] = ai bj εkij ek ,
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0.4 +*0:+4O )-1 [a, b] = c O 2+
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) 402 ,))E+C0 . 24 ck = εkij ai bj .
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"fhlfqILfpjLf pkh¡pqkn plfnMMhKh rIhLokfifML© ' (a, b, c) = 0 ⇐⇒ 9).2+ a O b c .+4,100 (a, b, c) > 0 ⇐⇒ {a, b, c} ; ,09D *0: (a, b, c) < 0 ⇐⇒ {a, b, c} ; 1)9D *0:< -1 9).2+ a O b c ) .+4,100O 2+ |(a, b, c)| ; +*å)4 ,001B 1)1),,)C0O ,+-2+)++ 0 2E 9).2+0E ?)9+) -9+D-29+ 3913)2-3 ),+-)C-29)4 -1)C-29)4 : ,9)C)+D s) F+41 > C13 9(-1)3 -4)@0++ ,+:9)C)3 +.0s)4 -9+D-29+ < ?-27 V ; +*å)4 ,0011)1),,)C0O ,+-2+)++ 0 9).2+0E a O b c O S ; ,1+
0C7 ,0011)1+0440O ,+-2+)++ 0 9).2+0E a b O 0--402B 90)4++ .0. +-+90) ,0011)1),,)C0O 0 h ; 9-+20 ,0011)1),,)C0O +,
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' NfjqhIMJf qh¯ifpqkn L Lg rILlfMfMLf'
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¨ 3913)2-3 20.s) 9).2+ N = [a1, a2] O ,+2+4 09)) ,1+-.+-2 π 0,0913A
4 ,+C,+-20-29+4 L(a1, a2) O ,+E+C3
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E 9C+9~ (r − r0 , [a1 , a2 ]) = 0 ⇐⇒ (r − r0 , a1 , a2 ) = 0.
Ð' efIrfMiLjH©I hrHãfMMJ¡ Lo qhjL Mn rhpjhpq¾ ' -1 :9)-2) +4017D 9).2+ N ,1+-.+-2 π O 2+ 09)) ,),)CB .130 ` O +,
)++ : 2+(. M1 0 N -1)CA
D 9C~ π O 4))2 r = r1 + tN.
Ð' %nppqh©MLf hq qhjL ih rhpjhpqL ' 0--4+24 ,1+-.+-27 π - +40174 9).2++4 N O ,+E+C3
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|Ax1 + By1 + Cz1 + D| √ . A2 + B 2 + C 2
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-1 0,0913A
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|(r1 − r0 , a1 , a2 )| . |[a1 , a2 ]|
Ð'° µKh lf¯iH ikHl© rhpjhpq©lL ' +1 ϕ ∈ [0, π ] 4)sC ,1+-.+-234 π π 09) 1 4)sC ,344 ` 1 2 1 2 -++29)2-29)+O ,1+-.+-234 π1 π2 4+s)2 `2 O ,),)C.134O *27 0DC) ,+ F+41) cos ϕ =
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¨ 09)34 ¨ :0C0A2-3 C9) ,1+-.+-2 π π - +40174 9).2+B 1 2 04 b1 b2 -++29)2-29)+O ,3403 ` ,)C-20913)2 -+*+D ,))-)()) π1 ∩ π2 2E ,1+-.+-2)D
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(
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⇐⇒
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(r1 − r0 , a) a. a2
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D ,),)C.13 :0C0)2-3 --2)4+D 09)D (
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)D ()): 2+(. M ,),)B C.13+ ` O 4))2 9C (x + 1) + 2(y − 0) − (z − 4) = 0 ?+C-2099 9 )+ 09)3 ` O 0DC)4 2+(. K ,))-)()3 ` π ; +-+90) -.+4++ ,)B ,)C.130 4))4~ 2+t+4t+t = 0 O +2.C0 t = − 1 O -1)C+902)17+O 2+(.0 3 .++C02 4))2 2 13 0,0913A
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)) 09)) 1C0 Φ ~ |[r − r0 , a]| = R ⇐⇒ [r − r0 , a]2 = R2 a2 . |a|
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)) .++C02+) 09)) 1C0 Φ ~ x−x y−y 0 0 l m
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2 z−z x−x 0 0 + n l
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²Ø
![Hierachies [Part Ii Of Ii]](https://epdf.tips/img/300x300/hierachies-part-ii-of-ii_5afba0ceb7d7bcdc12225aa8.jpg)
