Математический анализ: Методические рекомендации для студентов II курса математического факультета (4 семестр)

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет Кафедра математического анализа

Математический анализ Методические рекомендации для студентов II курса математического факультета, 4 семестр

Екатеринбург 2007

1

Данное пособие является составной частью учебно-методического комплекса по дисциплине «Математический анализ, 4 семестр» и призвано оказать помощь студентам в самостоятельной работе по изучению теоретического материала, выполнению индивидуальных заданий. В него включены: программа курса, тематические планы лекций и практических занятий, материалы для практических занятий, домашних заданий и контрольных работ, а также вопросы и задачи к экзамену. Составители: Густомесов В.А., Ткаленко Н.В.

Содержание 1.

Программа курса .......................................................................................................3

2.

Лекции........................................................................................................................ 4

3.

Практические занятия ............................................................................................... 4

5.

Материалы для контрольной работы ........................................................................7

6.

Материалы к экзамену............................................................................................... 8

6.1

Вопросы к экзамену................................................................................................... 8

6.2

Задачи к экзамену ......................................................................................................9

Литература ........................................................................................................................ 10 Приложение. Методические советы студентам .............................................................. 11

2

1.

Программа курса

Основные определения. Свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости. Геометрический ряд. Остаток ряда. Теорема об остатках. Положительные ряды. Необходимое и достаточное условие сходимости. Теоремы сравнения. Признаки Коши и Даламбера. Интегральный признак сходимости положительного ряда. Сходимость произвольных числовых рядов. Абсолютная и неабсолютная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Оценка суммы остатка ряда лейбницевского типа. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Теорема Дирихле. Умножение рядов. Суммирование числовых рядов. Равномерная и неравномерная сходимость функциональной последовательности. Критерий Коши равномерной сходимости. Функциональные ряды. Область сходимости. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов. Степенные ряды. Теорема Абеля. Теорема об области сходимости степенного ряда. Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Нахождение сумм степенных рядов. Ряд Тейлора. Разложение функций в ряды Тейлора. Приближенные вычисления с помощью степенных рядов. Тригонометрический ряд. Ортогональные системы функций. Ортогональность тригонометрической системы функций. Теорема о равномерно сходящемся тригонометрическом ряде. Определение тригонометрического ряда Фурье. Особенности ряда Фурье четной и нечетной функций. Разложение функций в ряд Фурье. Теорема Дирихле. Теоремы о почленном дифференцировании и интегрировании ряда Фурье. Разложение функций в ряд Фурье.

3

2. 1.

Лекции Основные определения. Свойства сходящихся рядов. Необходимое условие сходимости. Геометрический ряд.

2.

Остаток ряда. Теорема об остатках. Положительные ряды. Необходимое и достаточное условие сходимости. Теоремы сравнения.

3.

Признаки Коши и Даламбера.

4.

Интегральный признак сходимости положительного ряда.

5.

Сходимость произвольных числовых рядов. Абсолютная и неабсолютная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Оценка суммы остатка ряда лейбницевского типа.

6.

Свойства абсолютно сходящихся рядов. Теорема Дирихле. Умножение рядов.

7.

Равномерная и неравномерная сходимость функциональной последовательности. Критерий Коши равномерной сходимости.

8.

Функциональные ряды. Область сходимости. Признак Вейерштрасса.

9.

Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов.

10.

Степенные ряды. Теорема Абеля.

11.

Теорема об области сходимости степенного ряда. Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.

12.

Свойства степенных рядов. Ряд Тейлора. Разложение функций в ряды Тейлора.

13.

Приближенные вычисления с помощью степенных рядов.

14.

Тригонометрический ряд. Ортогональные системы функций. Ортогональность тригонометрической системы функций. Теорема о равномерно сходящемся тригонометрическом ряде. Определение тригонометрического ряда Фурье.

15.

Особенности ряда Фурье четной и нечетной функций. Разложение функций в ряд Фурье. Теорема Дирихле.

16.

Теоремы о почленном дифференцировании и интегрировании ряда Фурье.

17.

Разложение функций в ряд Фурье.

3.

Практические занятия [2-4, 8]

1. Нахождение сумм числовых рядов. 2. Применение теорем сравнения для исследования сходимости положительных рядов. 3. Применение теорем сравнения для исследования сходимости положительных рядов. 4. Признаки Коши и Даламбера; их применение. 5. Несобственные интегралы. Интегральный признак сходимости рядов; его применение. 4

6. Исследование сходимости произвольных числовых рядов. Абсолютная и неабсолютная сходимость. 7. Абсолютная и неабсолютная сходимость. Закрепление пройденного материала. 8. Контрольная работа №1 по теме «Числовые ряды». 9. Функциональные последовательности и ряды. Нахождение области сходимости. 10. Исследование вопроса о равномерной и неравномерной сходимости. 11. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов. Степенные ряды. Нахождение радиуса и области сходимости. 12. Свойства степенных рядов. Нахождение сумм степенных рядов. 13. Разложение функций в ряды Тейлора. Приближенные вычисления с помощью степенных рядов. 14. Контрольная работа № 2 по теме «Функциональные ряды». 15. Разложение функций в ряд Фурье. 16. Дифференцирование и интегрирование функционального ряда. 17. Заключительное занятие. Анализ типичных ошибок, допущенных при выполнении домашней и аудиторных контрольных работ. 4.

Материалы для практических занятий и домашних заданий

Занятие 1. Нахождение сумм числовых рядов. Задачи [4]: 2727-2735 (нечетные). Домашнее задание [4]: 2728-2736 (четные). Занятие 2. Применение теорем сравнения для исследования сходимости положительных рядов (часть 1). Задачи [4]: 2737-2745 (нечет). Домашнее задание [4]: 2738-2744 (чет). Занятие 3. Применение теорем сравнения для исследования сходимости положительных рядов (часть 2). Задачи [4]: 2747-2753 (нечет), 2771-2777 (нечет). Домашнее задание [4]: 2746-2752 (чет). Занятие 4. Признаки Коши и Даламбера; их применение. Задачи [4]: 2755, 2756, 2757, 2761; 2763, 2765; 2785, 2787. Домашнее задание [4]: 2754, 2758, 2759, 2760, 2762, 2764, 2766, 2788. Занятие 5. Несобственные интегралы. Интегральный признак сходимости рядов и его применение. Задачи [4]: 2366, 2367, 2420, 2422; 2767, 2769. Домашнее задание [4]: 2421, 2423, 2768, 2770. Занятие 6. Исследование сходимости произвольных числовых рядов. Абсолютная и 5

неабсолютная сходимость. Задачи [4]: 2790-2796. Домашнее задание [9]: задания 1-3. Занятие 7. Исследование сходимости произвольных числовых рядов. Абсолютная и неабсолютная сходимость (часть 2). Задачи [4]: 2797-2801. Домашнее задание [5]: 137.4, 146.4 Занятие 8. Контрольная работа №1 по теме «Числовые ряды». Занятие 9. Функциональные последовательности и ряды. Нахождение области сходимости. Задачи [5]: 186.4, 193.4, 194.4(а,г); [4]: 2803-2815 (нечет). Домашнее задание [5]: 192.4 194.4(б,в); [4]: 2802-2816 (чет). Занятие 10. Исследование вопроса о равномерной и неравномерной сходимости. Задачи [4]: 2817, 2818, 1820, 2824, 2821. Домашнее задание [4]: 2819, 2822. Занятие 11. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов. Степенные ряды. Нахождение радиуса и области сходимости. Задачи [4]: 2825, 2879-2889 (нечет). Домашнее задание [4]: 2878-2888 (чет). Занятие 12. Свойства степенных рядов. Нахождение сумм степенных рядов. Задачи [4]: 2827, 2829, 2838. Домашнее задание [4]: 2828, 2839. Занятие 13. Разложение функций в ряды Тейлора. Приближенные вычисления с помощью степенных рядов. Задачи [4]: 2841, 2855, 2857, 2863, 2869; 2905. Домашнее задание [4]: 2856, 2860, 2866, 2912. Занятие 14. Контрольная работа № 2 по теме «Функциональные ряды». Занятие 15. Разложение функций в ряд Фурье. Задачи [4]: 4366, 4371, 4383, 4387, 4391. Домашнее задание [9]: задания 4-12. Занятие 16. Дифференцирование и интегрирование функционального ряда. Задачи [4]: 2831, 2835, 2837, 2840. Домашнее задание [4]: 2830, 2834, 2836. Занятие 17. Итоговое занятие. Анализ ошибок, допущенных при выполнении аудиторных контрольных работ и ИДЗ [9].

6

5.

Материалы для контрольной работы

Прим. Ниже приведены типичные задачи. На контрольной работе могут быть предложены другие аналогичные задачи. Контрольная работа № 1: «Основные методы интегрирования»

ctg 4 x  100 dx ; sin 2 4 x 3x 2  1 ln( x3  x)dx д)  3 x x 3

1) а)



2) а)

 arcsin 4x dx ; б)

б)

x e

2 3x3

dx ;

в)

 tg

x

dx ; x

(3x 2  1)( x3  x  1) ln( x3  x)dx ; в) 3  x x

г)

e

x7 c tg x dx 3) а)  ; б)  ln sin x dx (1  x 2 )5 x 2  3x  2 dx 4)  ( x  1)( x3  1) Контрольная работа № 2: индивидуальное домашнее задание [7].

7

sin 2 x

 1  sin

x

4

x

sin 2 xdx

dx ;

6.

Материалы к экзамену

6.1

Вопросы к экзамену Неопределенный интеграл. 1. Первообразная и неопределенный интеграл. Простейшие свойства интеграла. 2. Таблица основных интегралов. Интегрируемость в элементарных функциях. 3. Интегрирование по частям. Рекуррентная формула. 4. Интегрирование подстановкой, подведение функции под знак дифференциала. Стандартные подстановки. 5. Интегрирование рациональных функций: разложение правильной дроби в сумму простейших. 6. Интегрирование простейших дробей. 7. Метод рационализации. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей. 8. Интегрирование квадратичных иррациональностей, дифференциалов. Понятие об эллиптических интегралах.

биномиальных

9. Интегрирование тригонометрических функций. Определенный интеграл (Римана). 10. Определение и свойства площади (меры Жордана) плоской фигуры. Критерии квадрируемости. 11. Интеграл Римана как предел интегральных сумм. 12. Необходимое условие интегрируемости. 13. Суммы Дарбу, их свойства. Верхний и нижний интегралы Дарбу. 14. Критерий интегрируемости через суммы Дарбу. Следствие о пределе сумм Дарбу. 15. Равномерная непрерывность функции на промежутке. Теорема Кантора, следствие. 16. Классы интегрируемых функций: непрерывные, монотонные функции. 17. Геометрический смысл интеграла Римана. 18. Свойства интеграла. 19. Интеграл с переменным верхним пределом, его дифференцируемость. 20. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование по частям и подстановкой в интеграле Римана. 21. Вычисление площади плоской фигуры через определенный интеграл. 22. Кубируемость тел. Вычисление объема тела с известными площадями поперечных сечений. Объем тела вращения. 23. Спрямляемые кривые. Вычисление длин кривых через определенный интеграл.

8

Задачи к экзамену

6.2 Найти 1)

 (sin

5)

e

9)



12)

x

3

dx dx 2 ; 3)  3 ; 4)  x sin ax dx ; 8 x 8 3 x 1 x 1 1 dx ; 7)  6)  3 dx ; 8)  arctg ax dx ; x 1 x 1 1 x 3 dx dx x dx 10)  4 ; 11) ,  x 4  16  x4  16 ; x  x3 ln 5 4 e x dx dx 3  x2 13)  x e dx ; 14)  ; 15)  . x 1  2 x  1 e 1 ln 2 0

x  sin 4 x) dx ; 2)

sin x dx ;

x 2  a 2 dx ;

dx  sin x  cos x  1 ;

x

3

16) Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y=2-x2, y=| x|. 17) Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями y=x3, y=2x. 18) Найти объем прямого кругового цилиндра высотой H с радиусом основания R, рассматривая цилиндр как тело вращения.

9

Литература Учебники: 1. 2. 3.

Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.,1989 Уваренков И.М., Малер М.З. Курс математического анализа. Т.1. М., 1966 Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М., 1969.

Задачники: 4. 5. 6.

Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М., 1975. Виленкин Н.Я. Задачник по курсу математического анализа. Ч.1. М., 1971. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М., 1990.

Методические разработки: 7. 8.

9.

Числовые ряды. Метод.разработка.(сост.Жаворонков В.Д.) Св.:СвГПИ,1989. Контрольная работа по теме «Ряды и дифференциальные уравнения» и индивидуальные домашние задания для студентов 3 курса математического факультета. Методическая разработка. Екатеринбург, УрГПУ, 1997г. Методические указания к решению задач и индивидуальные домашние задания по теме «Ряды». Метод. Разработка/ Урал.гос.пед.ун-т; сост.А.Р.Данилин, Н.Г.Фомина, М.А.Альшанский. Екатеринбург,2000.

10

Приложение. Методические советы студентам Лекция. Как ее слушать и записывать 1. Лекция  основной вид обучения в вузе. 2. В лекции излагаются основные положения теории, ее понятия и законы, приводятся факты, показывающие связь теории с практикой. 3. Накануне лекции необходимо повторить содержание предыдущей лекции (а также теорию по изучаемой теме в школьных учебниках геометрии, если эта тема была представлена в них), а затем посмотреть тему очередной лекции по программе (по плану лекций). 4. Полезно вести записи (конспекты) лекций: для непонятных вопросов оставлять место при работе над темой лекции с учебными пособиями. 5. Записи лекций следует вести в отдельной тетради, оставляя место для дополнений во время самостоятельной работы. 6. При конспектировании лекций выделяйте главы и разделы, параграфы, подчеркивайте основное. Практическое занятие. Как к нему готовиться 1. Практическое занятие  наиболее активный вид учебных занятий в вузе. Он предполагает самостоятельную работу над лекциями и учебными пособиями. 2. К каждому практическому занятию нужно готовиться. Подготовку следует начинать с повторения теории (по записям лекций или по учебному пособию). После этого нужно решать задачи из предложенного домашнего задания. Организация самостоятельной работы 1. Бюджет времени студента определяется временем, отведенным на занятия по расписанию и на самостоятельную работу. Задание и материал для самостоятельной работы дается во время учебных занятий, на этих же занятиях преподаватель осуществляет контроль за самостоятельной работой. 2. Для выполнения объема самостоятельной работы необходимо заниматься в среднем 4 часа (академических) ежедневно, т.е. по 24 часа в неделю. На сам остоятельную работу по каждой дисциплине по математике следует расходовать по 3-4 часа в неделю. 3. Начинать самостоятельные занятия следует с первых же дней семестра, установив определенный порядок, равномерный ритм на весь семестр. Полезно для этого составить расписание порядка дня.

11

Учебно-методическое издание: «Математический анализ». Методические рекомендации для студентов II курса математического факультета, 4 семестр. Составители: Густомесов В.А., Ткаленко Н.В.

12