Полные теории с конечным числом счётных моделей I

Алгебра и логика, 43, N 1 (2004), 110—124

УДК 510.67

ПОЛНЫЕ ТЕОРИИ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СЧЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ. I∗) С. В. СУДОПЛАТОВ

Одной из основных задач современной теории моделей является решение спектральной проблемы, т. е. проблемы описания для различных классов теорий T функций I(T, λ) числа попарно неизоморфных моделей теории T в мощности λ. Как известно [1], спектральная проблема решена в целом для счетных полных теорий в несчетных мощностях λ. До настоящего времени одной из малоисследованных проблем остается проблема описания числа I(T, ω) попарно неизоморфных счетных моделей теории T для данных классов полных теорий. В этой связи следует отметить гипотезу Воота, согласно которой не существует теории T с условием ω < I(T, ω) < 2ω . Большое количество результатов связано с теориями, имеющими конечное (большее 1) число счетных моделей. С одной стороны, построены примеры нестабильных теорий, удовлетворяющих условию 1 < I(T, ω) < ω и обладающих различными дополнительными свойствами. С другой стороны, более тридцати лет известна проблема существования стабильной теории с конечным (большим 1) числом счетных моделей. Для различных подклассов класса стабильных теорий установлено отсутствие теорий с условием 1 < I(T, ω) < ω. В настоящей работе приводится синтаксическая характеризация класса элементарных полных теорий с конечным числом счетных моделей ∗)

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований, проект N 02-01-00258. c Сибиpский фонд алгебpы и логики, 2005

Полные теории с конечным числом счетных моделей

111

(теор. 1), которая является аналогом известной теоремы Рыль-Нардзевского о счетно категоричных теориях и основана на классификации теорий по квазипорядкам Рудина–Кейслера и функциям распределения числа предельных над типами моделей. Устанавливаются основные свойства указанных характеристик. Вводится понятие упорядоченной раскраски, исследуется роль таких раскрасок в построении теорий с конечным (большим 1) числом счетных моделей, а также приводится пример ω-стабильной теории с упорядоченной раскраской, индуцирующей континуум предельных над данным типом попарно неизоморфных моделей. Здесь используется стандартная теоретико-модельная терминология из [2]. Если не оговорено противное, рассматриваются лишь счетные полные теории. Через S(T ) обозначается множество всех типов теории T над пустым множеством. ОПРЕДЕЛЕНИЕ [3]. Тип p(¯ x) ∈ S(T ) называется мощным или властным в теории T , если в каждой модели M теории T , реализующей тип p, реализуется и любой тип q ∈ S(T ), т. е. M |= S(T ). Наличие властного типа влечет, что теория T — малая, т. е. множество S(T ) счетно, а значит, для любых типа p ∈ S(T ) и его реализации a ¯ существует простая модель Ma¯ над a ¯. Поскольку все простые модели над реализациями типа p изоморфны, эти модели часто будем обозначать через Mp . Условие о том, что тип p(¯ x) властный, равносильно тому, что любой тип из S(T ) реализуется в модели Mp , т. е. Mp |= S(T ). ЛЕММА 1 [3]. Если 1 < I(T, ω) < ω, то теория T имеет неглавный властный тип. ОПРЕДЕЛЕНИЕ [4]. Кортеж a ¯ полуизолирует кортеж ¯b (над ∅), если найдется формула ϕ(¯ x, a ¯) ∈ tp(¯b/¯ a), для которой ϕ(¯ x, a ¯) ⊢ tp(¯b). При этом говорят, что формула ϕ(¯ x, a ¯) свидетельствует о полуизолированности ¯b над a ¯. Если p ∈ S(T ), то через SIp обозначается отношение полуизолированности на реализациях типа p:

112

С. В. Судоплатов SIp = {(¯ a, ¯b) | |= p(¯ a) ∧ p(¯b) и a ¯ полуизолирует ¯b}. Очевидно, что для любого типа p ∈ S(T ) отношение SIp образует

предпорядок. ЛЕММА 2 [4]. Если p ∈ S(T ) — неглавный властный тип, то отношение SIp несимметрично. Таким образом, наличие неглавного властного типа p(¯ x) предполагает существование формулы ϕ(¯ x, y¯), l(¯ x) = l(¯ y ), такой, что для любой (некоторой) реализации a ¯ типа p выполняются следующие условия: 1) ϕ(¯ a, y¯) ⊢ p(¯ y ); 2) ϕ(¯ x, a ¯) 6⊢ p(¯ x), и более того, найдется такой кортеж ¯b, реализующий тип p, что |= ϕ(¯b, a ¯) и a ¯ не полуизолирует ¯b. В дальнейшем, если не оговорено противное, рассматривается только класс малых теорий. Пусть p и q — типы из S(T ). Говорим, что тип p подчиняется типу q (или p не превосходит q по квазипорядку Рудина–Кейслера) и пишем p ≤RK q, если Mq |= p, т. е. модель Mp является элементарной подмоделью модели Mq , что обозначается Mp  Mq . Кроме того, используется и следующая терминология: модель Mp подчиняется модели Mq (или не превосходит модели Mq по квазипорядку Рудина–Кейслера) и пишем Mp ≤RK Mq . Синтаксически условие p ≤RK q (а, значит, и условие Mp ≤RK ≤RK Mq ) записывается так: существует формула ϕ(¯ x, y¯) такая, что множество q(¯ y ) ∪ {ϕ(¯ x, y¯)} совместно и q(¯ y ) ∪ {ϕ(¯ x, y¯)} ⊢ p(¯ x). Поскольку теория малая, ϕ(¯ x, y¯) можно выбрать так, что для любой формулы ψ(¯ x, y¯) из совместности множества q(¯ y ) ∪ {ϕ(¯ x, y¯), ψ(¯ x, y¯)} следует q(¯ y ) ∪ {ϕ(¯ x, y¯)} ⊢ ⊢ ψ(¯ x, y¯). При этом формула ϕ(¯ x, y¯) называется (q, p)-главной. Типы p и q называются взаимоподчиняемыми, взаимореализуемыми или эквивалентными по Рудину–Кейслеру (p ∼RK q), если p ≤RK q и q ≤RK p, а модели Mp и Mq называются взаимоподчиняемыми или эквивалентными по Рудину–Кейслеру (Mp ∼RK Mq ). Очевидно, что отношения подчинения образуют квазипорядки, а от-

Полные теории с конечным числом счетных моделей

113

ношения взаимоподчиняемости являются отношениями эквивалентности. При этом, как показано в [5], отношение подчинения на типах образует известный квазипорядок Рудина–Кейслера. Невзаимоподчиняемые модели Mp и Mq неизоморфны. Кроме того, неизоморфные модели могут найтись и среди взаимоподчиняемых. В качестве иллюстрации рассмотрим ПРИМЕР Эренфойхта (теория Tn с условием I(Tn , ω) = n > 3). Пусть Tn — теория модели hQ,
образующих разбиение множества рациональных чисел Q с условиями |= ∀x, y (x < y → ∃z (x < z ∧ z < y ∧ Pi (z))), i = 0, . . . , n − 3. Рассмотрим типы pi (x) ∈ S 1 (∅), изолируемые множествами формул {ck < x | k ∈ ω} ∪ {Pi (x)}, i = 0, . . . , n − 3. Очевидно, что модели Mp0 , . . . , Mpn−3 взаимоподчиняемы и попарно неизоморфны. Синтаксическую характеризацию изоморфизма моделей Mp и Mq дает следующее ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Модели Mp и Mq изоморфны тогда и только тогда, когда существуют соответственно (p, q)- и (q, p)-главные формулы ϕp,q (¯ y, x ¯) и ϕq,p (¯ x, y¯) такие, что множество p(¯ x) ∪ q(¯ y ) ∪ {ϕp,q (¯ y, x ¯), ϕq,p (¯ x, y¯)} совместно. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Ma¯ и M¯b — простые модели над реализациями a ¯ и ¯b типов p(¯ x) и q(¯ y ) соответственно. При наличии изоморфизма моделей Ma¯ и M¯b существование (p, q)- и (q, p)-главных формул ϕp,q (¯ y, x ¯) и ϕq,p (¯ x, y¯) с условием совместности множества p(¯ x) ∪ q(¯ y ) ∪ {ϕp,q (¯ y, x ¯), ϕq,p (¯ x, y¯)} следует из того, что Ma¯ и M¯b реализуют лишь главные типы над a ¯ и ¯b соответственно, причем Ma¯ = M¯′ b

для некоторого кортежа ¯b′ , реализующего тип q(¯ y ). Предположим теперь, что существуют (p, q)- и (q, p)-главные формулы ϕp,q (¯ y, x ¯) и ϕq,p (¯ x, y¯) такие, что множество p(¯ x) ∪ q(¯ y ) ∪ {ϕp,q (¯ y, x ¯),

114

С. В. Судоплатов

ϕq,p (¯ x, y¯)} совместно. Установим изоморфизм моделей Ma¯ и M¯b . Из существования (p, q)-главной формулы ϕp,q (¯ y, x ¯) следует, что модель M¯b можно выбрать как элементарную подмодель модели Ma¯ . С другой стороны, наличие (q, p)-главной формулы ϕq,p (¯ x, y¯) и совместность множества p(¯ x) ∪ q(¯ y ) ∪ {ϕp,q (¯ y, x ¯), ϕq,p (¯ x, y¯)} дают возможность так выбрать модель M¯b , что она будет элементарно вкладываться в модель Ma¯ с константным выделением кортежа a ¯ ˆ¯b. Поскольку модель Ma¯ элементарно вкладывается в любую модель, константно содержащую a ¯, это же будет верно и для модели M¯b . В силу изоморфизма любых двух простых моделей модели Ma¯ и M¯b изоморфны. 2 Обозначим через RK(T ) множество PM типов изоморфизма моделей Mp , p ∈ S(T ), с отношением подчинения, индуцированным отношением подчинения ≤RK между моделями Mp , т. е. RK(T ) = hPM, ≤RK i. Будем говорить, что типы изоморфизма M1 , M2 ∈ PM взаимоподчиняемы (M1 ∼RK M2 ), если взаимоподчиняемы их представители. Очевидно, что квазиупорядоченное множество RK(T ) имеет наименьший элемент, представляющий собой тип изоморфизма простой модели. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Если I(T, ω) < ω, то RK(T ) — конечное квазиупорядоченное множество, фактор-множество RK(T )/∼RK которого по отношению взаимоподчинения ∼RK образует частично упорядоченное множество с наибольшим элементом. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Конечность множества PM очевидна, а наличие наибольшего элемента в RK(T )/∼RK следует из существования властного типа, которому подчиняется любой тип из S(T ). 2 Следующие два замечания являются очевидными. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Теория T будет ω-категоричной тогда и только тогда, когда |RK(T )| = 1. ЗАМЕЧАНИЕ 2. Если |RK(T )| = 2, то любой неглавный тип является властным. В приведенном примере Эренфойхта теории Tn с условием I(Tn , ω) = n квазиупорядоченное множество RK(Tn ) состоит из наименьше-

Полные теории с конечным числом счетных моделей

115

го элемента и (n − 2)-х взаимоподчиняемых элементов, соответствующих моделям Mp0 , . . . , Mpn−3 . Таким образом, все упорядоченные множества RK(Tn )/∼RK двухэлементны и линейно упорядочены. Напомним, что последовательность моделей (Mn )n∈ω называется элементарной цепью, если Mn — элементарная подмодель модели Mn+1 , n ∈ ω. Элементарная цепь (Mn )n∈ω называется элементарной над типом p ∈ S(T ), если Mn ≃ Mp для любого n ∈ ω. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Если I(T, ω) < ω, то для любой счетной модели M теории T существуют тип p ∈ S(T ) и элементарная цепь S (Mn )n∈ω над типом p такие, что M = Mn . n∈ω

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Очевидно, что любая счетная модель M

малой теории T представима в виде объединения элементарной цепи (Mn )n∈ω , где для любого n ∈ ω существует тип p ∈ S(T ) такой, что Mn ≃ Mp . Поскольку I(T, ω) < ω, из этой последовательности можно выбрать бесконечную подпоследовательность моделей (Mnm )m∈ω , все элементы которой изоморфны некоторой модели Mp . 2 Модель M называется предельной над типом p, если M =

S

Mn

n∈ω

для некоторой элементарной цепи (Mn )n∈ω над типом p и M 6≃ Mp . ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Существует предельная модель над типом p тогда и только тогда, когда для любой (некоторой) реализации a ¯ типа p существует реализация ¯b типа p в модели Ma¯ и кортеж c¯ ∈ Ma¯ такие, что tp(¯ c/¯b) — неглавный тип. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что существует предельная S над типом p модель M = Mn , где Mn ≃ Mp , M0 = Ma¯ , a ¯ |= p, и n∈ω

нет ¯b ∈ p(M0 ) и c¯ ∈ M0 таких, что tp(¯ c/¯b) — неглавный тип. Тогда в мо-

делях Mn (а, значит, и в модели M) реализуются лишь главные типы над любыми реализациями типа p, лежащими в Mn (в M). Следовательно, модель M является простой над реализацией типа p, получаем противоречие с тем, что она предельна. Обратно, допустим, что для некоторого a ¯ |= p найдутся кортежи ¯b ∈ p(M0 ) и c¯ ∈ M0 такие, что q(¯ x, ¯b) = tp(¯ c/¯b) — неглавный тип. Построим

116

С. В. Судоплатов

элементарную цепь (Ma¯n )n∈ω над типом p, удовлетворяющую следующим условиям: a ¯0 = ¯b, a ¯1 = a ¯ и tp(¯ an+1 /¯ an ) = tp(¯ a/¯b). Покажем, что модели S M= Ma¯n и Mp неизоморфны. Предположив противное, найдем кортеж n∈ω

c¯ ∈ p(Ma¯n ) такой, что M = Mc¯. Однако по построению модели M тип q(¯ x, a ¯n ) опускается в модели Mc¯ и в то же время реализуется в модели M, получаем противоречие. 2 СЛЕДСТВИЕ 1. Если отношение полуизолированности SIp на реализациях типа p в модели Mp несимметрично, то существует предельная над типом p модель. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По предложению 4 достаточно заметить: если a ¯ — реализация типа p, то найдется кортеж ¯b ∈ p(Ma¯ ) такой, что ¯b не полуизолирует a ¯, а следовательно, tp(¯ a/¯b) — неглавный тип. 2 СЛЕДСТВИЕ 2. Если Mp и Mq — взаимоподчиняющиеся неизоморфные модели, то существуют модели, предельные над типом p и над типом q. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть a ¯, ¯b — реализации типа p, c¯ — реализация типа q такие, что M¯b ≺ Mc¯ ≺ Ma¯ (которые существуют в силу Mp ∼RK Mq ). Так как Mp 6≃ Mq , то по предложению 1 тип tp(¯ a/¯ c) не является главным, а значит, tp(¯ a/¯b) — неглавный тип. Следовательно, по предложению 4 существует предельная модель над типом p. Существование предельной модели над типом q доказывается аналогично. 2 ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5. Если типы p1 и p2 взаимоподчиняемы и существует предельная модель над типом p1 , то существует модель, предельная как над типом p1 , так и над типом p2 . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Построим по индукции элементарную цепь моделей (Ma¯n )n∈ω такую, что а) для четных n модели Ma¯n являются простыми над типом p1 , а для нечетных n — простыми над типом p2 ; S б) модель Ma¯n не является простой ни над типом p1 , ни над ти-

пом p2 .

n∈ω

Полные теории с конечным числом счетных моделей

117

По предложению 4 сущестует тип q(¯ x, a ¯0 ), a ¯0 |= p1 , не реализуемый в модели Ma¯ , но реализуемый в некоторой модели M¯ ≻ Ma¯ , ¯b |= p1 . Обоb

0

0

значим через Ma¯1 простую модель над реализацией a ¯1 типа p2 , которая является элементарным расширением модели Ma¯0 (она существует в силу взаимоподчиняемости типов p1 и p2 ). На четных шагах 2n + 2 расширяем модель Ma¯2n+1 , a ¯2n+1 |= p2 , до модели Ma¯2n+2 , a ¯2n+2 |= p1 , в которой реализуется тип q(¯ x, a ¯2n ). На нечетных шагах расширяем модель Ma¯2n+2 S до модели Ma¯2n+3 , a ¯2n+3 |= p2 . Очевидно, что модель Ma¯n является предельной как над типом p1 , так и над типом p2 . 2

n∈ω

Предельные модели M и N над типом p называются эквивалентными (M ∼ N), если существуют элементарные цепи (Ma¯n )n∈ω и (N¯bn )n∈ω над типом p, удовлетворяющие следующим условиям: S S 1) M = Ma¯n , N = N¯bn ; n∈ω

n∈ω

2) tp(¯ a0 ˆ a ¯1 ˆ . . . ˆ a ¯n ) = tp(¯b0 ˆ ¯b1 ˆ . . . ˆ ¯bn ) для любого n ∈ ω.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 6. Если M и N — предельные модели над типом p, то M ≃ N тогда и только тогда, когда M ∼ N. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Эквивалентность изоморфных предельных над типом p моделей очевидна. Обратно, предположим, что M и N — эквивалентные предельные модели над типом p, (Ma¯n )n∈ω и (N¯bn )n∈ω — элементарные цепи над тиS S пом p, для которых M = M¯bn , N = N¯bn и tp(¯ a0 ˆ a ¯1 ˆ . . . ˆ a ¯n ) = n∈ω

n∈ω

= tp(¯b0 ˆ ¯b1 ˆ . . . ˆ ¯bn ) для любого n ∈ ω. Тогда константные обогащения M′

и N′ моделей M и N, при которых соответствующие элементы кортежей a ¯n и ¯bn интерпретируют одинаковые константы, будут простыми моделями обогащенной теории. Поскольку M′ и N′ изоморфны, то M ≃ N. 2 f ∈ RK(T )/∼RK — класс, состоящий из типов изоморфизма Пусть M

f чисвзаимоподчиняемых моделей Mp1 , . . . , Mpn . Обозначим через IL(M)

ло классов эквивалентности моделей, каждая из которых предельна над некоторым типом pi . Из предложений 2, 3, 6 и следствия 2 вытекает

ТЕОРЕМА 1. Для любой счетной полной теории T эквивалентны

118

С. В. Судоплатов

следующие условия: (1) I(T, ω) < ω; f < ω для любого M f ∈ (2) теория T мала, |RK(T )| < ω и IL(M)

∈ RK(T )/∼RK .

Если выполненяется условие (1) (или (2)), теория T обладает следующими свойствами: (a) RK(T ) имеет наименьший элемент M0 (тип изоморфизма проg0 ) = 0; стой модели) и IL(M g1 (класс типов изомор(б) RK(T ) имеет наибольший ∼RK -класс M

физма всех простых моделей над реализациями властных типов), и из g1 ) > 1; |RK(T )| > 1 следует IL(M f > 1, то IL(M) f > 1. (в) если |M|

Более того, справедлива следующая декомпозиционная формула: I(T, ω) = |RK(T )| +

m X i=0

fi ), IL(M

g0 , . . . , M g где M m — все элементы частично упорядоченного множества

RK(T )/∼RK , m = |RK(T )/ ∼RK | − 1.

Отметим, что по предложениям 1 и 6 условия из п. 2 теоремы 1 допускают синтаксическую запись и, тем самым, эта теорема является аналогом теоремы Рыль-Нардзевского, дающей синтаксическую характеризацию ωкатегоричности. Пусть p1 , . . . , pn ∈ S(T ) — типы, простые модели над которыми являются представителями всех типов изоморфизма из конечного квазиупорядоченного множества RK(T ) теории T . Будем говорить, что теория T обладает свойством согласованного расширения цепей простых над кортежами моделей (CEP), если для любого типа pi любые две предельные модели над типом pi эквивалентны. Из предложения 5 следует, что если теория T удовлетворяет (CEP), f 6 1 для любого M f ∈ RK(T )/∼RK . Поскольку предельная над то IL(M)

главным типом модель не существует, то при |RK(T )/∼RK | = 2 наличие (CEP) влечет существование единственной с точностью до изоморфизма

Полные теории с конечным числом счетных моделей

119

модели M, тип изоморфизма которой не лежит в RK(T ) (при этом модель M является насыщенной). Таким образом, на основании теоремы 1 справедлива ТЕОРЕМА 2. Пусть теория T удовлетворяет (CEP). Эквивалентны следующие условия: (1) I(T, ω) < ω; (2) теория T мала и |RK(T )| < ω. При этом справедливо неравенство I(T, ω) 6 |RK(T )| + |RK(T )/∼RK | − 1, которое превращается в равенство при |RK(T )/∼RK | 6 2. СЛЕДСТВИЕ 3. Для любой полной теории T эквивалентны следующие условия: (1) I(T, ω) = 3; (2) теория T мала, обладает (CEP) и |RK(T )| = 2. Пусть M — модель некоторой, не обязательно счетной, теории. Напомним [6], что раскраской модели M называется любая функция Col : M → λ ∪ {∞}, где λ — некоторый кардинал, ∞ — символ бесконечности. При этом для любого a ∈ M значение Col(a) назовем цветом элемента a. Пару hM, Coli назовем цветной моделью. Цветная модель hM, Coli отождествляется с обогащением модели M одноместными предикатами Colµ = {a ∈ M | Col(a) = µ}, µ < λ. Обозначим через IECThM,Coli множество кортежей a ¯ ∈ M , для которых тип tphM,Coli (¯ a) определяется типом кортежа a ¯ в модели M, а также цветами элементов кортежа a ¯. Раскраска Col модели M называется внутренне несущественной, если множество IECThM,Coli состоит из всех непустых кортежей модели M. Раскраска Col модели M называется внутренне почти несущественной, если для любого кортежа a ¯ ∈ M существует кортеж ¯b ∈ M , расширяющий кортеж a ¯ и такой, что ¯b ∈ IECThM,Coli . Для любой модели M′ |= Th(hM, Coli) естественным образом определяется раскраска Col′ : M ′ → λ ∪ {∞} по следующим правилам:

120

С. В. Судоплатов 1) Col′ (a) = µ, если M′ |= Colµ (a); 2) Col′ (a) = ∞, если M′ 6|= Colµ (a) для любого µ < λ. В дальнейшем модель M′ обозначим через hM′ , Col′ i, а обеднение

модели hM′ , Col′ i до сигнатуры Σ(M) — через M′ . Любое обогащение T ′ теории T попарно несовместными одноместными предикатами Colµ , µ < λ, назовем цветной теорией. Очевидно, что любая цветная теория является теорией некоторой цветной модели hM, Coli, где M |= T . Раскраска Col модели M называется (почти) несущественной, если для любой модели hM′ , Col′ i цветной теории Th(hM, Coli) соответствующая раскраска Col′ внутренне (почти) несущественна. Пусть M — некоторая модель теории T , ϕ(x, y) — формула теории T . Раскраска Col : M → λ ∪ {∞} (где λ — бесконечный кардинал) называется ϕ-упорядоченной, если выполняются следующие условия: а) для любых µ 6 ν < λ существуют элементы a, b ∈ M такие, что |= Colµ (a) ∧ Colν (b) ∧ ϕ(a, b); б) если µ < ν < λ, то нет элементов c, d ∈ M таких, что |= Colµ (c) ∧ ∧ Colν (d) ∧ ϕ(d, c). Напомним, что теория T называется транзитивной, если T имеет единственный 1-тип над ∅. Почти несущественная раскраска Col модели M называется n-несущественной, n ∈ ω \ {0}, если (M ′ )n ⊆ IECThM′ ,Col′ i для любой модели hM′ , Col′ i |= Th(hM, Coli). Очевидно, любая несущественная раскраска является n-несущественной для кажого n > 1. Если Col : M → λ ∪ {∞} — сюръективная 1-несущественная раскраска модели M транзитивной теории T , то множество 1-типов теории Th(hM, Coli) над ∅ состоит из типов pµ (x), µ ∈ λ ∪ {∞}, где pµ (x) — тип, изолируемый формулой Colµ (x), µ ∈ λ, p∞ (x) — неглавный тип, изолируемый множеством формул {¬Colµ (x) | µ < λ}. Отметим, что в примере Эренфойхта теории T3 с тремя счетными моделями обогащение модели транзитивной теории Th(hQ,
Полные теории с конечным числом счетных моделей

121

Col, заданную следующими условиями:   если a < c0 ,   0, Col(a) = 2k + 1, если a = ck ,    2k + 2, если ck < a < ck+1 . Легко заметить, что раскраска Col ϕ-упорядочена, где ϕ(x, y) ⇋ x < y. Кроме того, отношение SIp∞ на множестве реализаций властного типа p∞ несимметрично, о чем свидетельствует формула ϕ. В примерах Эренфойхта Tn , n > 4, константные обогащения моделей hQ, <, P0 , . . . , Pn−3 i также можно рассматривать как цветные модели с несущественными упорядоченными раскрасками. В [7, 8] построены примеры 1-несущественных упорядоченных раскрасок моделей ω-стабильных транзитивных теорий, задающих несимметричность отношения SIp∞ . Укажем достаточные условия того, что ϕупорядоченность 1-несущественной раскраски влечет несимметричность отношения SIp∞ и это свойство выполняется посредством формулы ϕ. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 7. Пусть ϕ(x, y) — главная формула транзитивной теории T , Col — 1-несущественная ϕ-упорядоченная раскраска модели M теории T такая, что из hM′ , Col′ i |= Th(hM, Coli) и hM′ , Col′ i |= ϕ(a, b) вытекает (a, b) ∈ IECThM′ ,Col′ i . Тогда для любой (некоторой) реализации a типа p∞ (x) выполняются следующие условия: (1) если |= ϕ(a, b), то |= p∞ (b) и a полуизолирует b; (2) если |= ϕ(a, b) и |= p∞ (a), то b не полуизолирует a. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. (1) Предположим противное, т. е. |= p∞ (a), |= ϕ(a, b) и 6|= p∞ (b). Тогда для некоторого µ множество {¬Colν (x) | ν < < λ} ∪ {ϕ(x, y), Colµ (y)} совместно и, в частности, таким будет {¬Colν (x) | ν 6 µ} ∪ {ϕ(x, y), Colµ (y)}. Тогда |= ∃x, y (Colµ (y) ∧ Colα (x) ∧ ϕ(x, y)) для некоторого α > µ, а это противоречит п. ”б“ определения ϕупорядоченности раскраски Col. Таким образом, из |= ϕ(a, b) следует |= p∞ (b), и, значит, a полуизолирует b. (2) Предположим противное, т. е. |= p∞ (a), |= ϕ(a, b) и b полуизолирует a. Из условия следует, что формула ϕ(x, b) не может свидетельствовать

122

С. В. Судоплатов

о полуизолированности элемента a над элементом b. С другой стороны, найдется формула ψ(x, y) такая, что |= ψ(a, b) и ψ(x, b) ⊢ p∞ (x). При этом множество p∞ (x) ∪ p∞ (y) ∪ {ϕ(x, y) ∧ ψ(x, y)} совместно, а поскольку тип p∞ (x) является неглавным, множество p∞ (x) ∪ p∞ (y) ∪ {ϕ(x, y) ∧ ¬ψ(x, y)} совместно. Значит, множество {¬Colµ (x) ∧ ¬Colµ (y) | µ < λ} ∪ {ϕ(x, y)} не изолирует полный тип. Последнее противоречит тому, что формула ϕ(x, y) является главной, а также соотношению (a, b) ∈ IECThM′ ,Col′ i для любых (a, b) с условием |= ϕ(a, b). Таким образом, из |= ϕ(a, b) и |= p∞ (a) следует, что b не полуизолирует a. 2 Заметим: заключение предложения 7 остается справедливым, если предположить, что ϕ(x, y) — дизъюнкция главных формул. Различные элементарные цепи над одним и тем же типом могут порождать неизоморфные предельные модели, при этом образуется континуум попарно неизоморфных предельных моделей, как показывает следующий ПРИМЕР. Рассмотрим счетную модель M0 связного бесконтурного ациклического графа hM0 , Ri (см. [7]), в котором каждый элемент имеет бесконечное число образов и бесконечное число прообразов. Обогатим сигнатуру новыми двухместными предикатами R0 и R1 , образующими разбиение предиката R со следующим условием: для любого элемента a ∈ M0 существует бесконечное число образов и бесконечное число прообразов как по R0 , так и по R1 . Теперь определим 1-несущественную R-упорядоченную раскраску Col : M0 → ω ∪ {∞} полученной модели так, чтобы каждый элемент цвета n имел 1) для любого µ > n (включая ∞) бесконечное число образов цвета µ как по R0 , так и по R1 ; 2) для любого m 6 n бесконечное число прообразов цвета m как по R0 , так и по R1 . Из [6, теор. 2.3] следует, что теория Th(hhM0 , R, R0 , R1 i, Coli) ω-стабильна и, в частности, существует простая модель Mp∞ над реализацией типа p∞ (x). По предложению 7 отношение SIp∞ несимметрично, о чем свидетельствуют формулы R0 (x, y) и R1 (x, y).

Полные теории с конечным числом счетных моделей

123

Покажем, что существует 2ω попарно неизоморфных предельных моделей над типом p∞ . С этой целью построим по индукции элементарные цепи (Mα|n )n∈ω\{0} , α ∈ 2ω , над типом p∞ . Если модели Mα|1 , . . . , Mα|n уже построены, а Mα|n — простая модель над реализацией aα|n типа p∞ , то в качестве Mα|n+1 возьмем простую модель над реализацией aα|n+1 типа p∞ , S Mα|n . Погде |= Rα(n) (aα|n+1 , aα|n ). Обозначим через Mα модель n∈ω\{0}

следовательности α и β из 2ω назовем эквивалентными, если существуют k, m ∈ ω такие, что α(k + n) = β(m + n) для всех n ∈ ω. Очевидно, что модели Mα и Mβ изоморфны тогда и только тогда, когда α и β эквивалентны. Поскольку каждый класс эквивалентности счетен, имеется 2ω классов эквивалентности. Выбирая из каждого класса по одной модели, получаем 2ω попарно неизоморфных предельных моделей над типом p∞ . 2 В заключение автор выражает глубокую благодарность Е. А. Палютину за внимание к работе и полезные замечания.

ЛИТЕРАТУРА

1. B. Hart, E. Hrushovski, M. S. Laskowski, The uncountable spectra of countable theories, Ann. Math. (2), 152, N 1 (2000), 207—257. 2. Справочная книга по математической логике, ч. 1, Теория моделей, под ред. Дж. Барвайса, М., Наука, 1982. 3. M. Benda, Remarks on countable models, Fundam. math., 81, N 2 (1974), 107— 119. 4. A. Pillay, Countable models of stable theories, Proc. Am. Math. Soc., 89, N 4 (1983), 666—672. 5. D. Lascar, Ranks and definability in superstable theories, Isr. J. Math., 23, N 1 (1976), 53—87. 6. С. В. Судоплатов, Несущественные совмещения и раскраски моделей, Сиб. матем. ж., 44, N 5 (2003), 1132—1141. 7. С. В. Судоплатов, О мощных типах в малых теориях, Сиб. матем. ж., 31, N 4 (1990), 118—128.

124

С. В. Судоплатов 8. С. В. Судоплатов, Типовая редуцированность и мощные типы, Сиб. матем. ж., 33, N 1 (1992), 150—159.

Поступило 24 октября 2001 г. Окончательный вариант 24 апреля 2002 г. Адрес автора: СУДОПЛАТОВ Сергей Владимирович, кафедра алгебры и матем. логики, Новосибирский гос. тех. университет, пр. К. Маркса, 20, г. Новосибирск, 630092, РОССИЯ. e-mail: [email protected], [email protected]