Аналитические преобразования Фурье и экспоненциальные аппроксимации, I

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 5 (2003). С. 3–152 УДК 517.5 АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬ...

Author: Седлецкий А.М.

4 downloads 188 Views 1MB Size Report

This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!

Report copyright / DMCA form

DOWNLOAD PDF

Современная математика. Фундаментальные направления. Том 5 (2003). С. 3–152 УДК 517.5

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ, I c 2003 г. °

А. М. СЕДЛЕЦКИЙ

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Глава 1. Обозначения и некоторые сведения из анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1. Общие обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Медленно меняющиеся функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Системы в банаховых пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Интерполяция линейных операторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5. Преобразование Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 p 1.6. Пространства Харди H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.7. Целые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Примечания и дополнения к главе 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Глава 2. Распределение нулей финитных преобразований Фурье (Лапласа) . . . . . . . . . 16 2.1. О нулях финитного преобразования Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2. О нулях синус- и косинус-преобразований Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3. Границы для нулей финитного преобразования Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4. Нули целой функции экспоненциального типа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 О принадлежности всех нулей целой функции экспоненциального типа криволинейной полуплоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Примечания и дополнения к главе 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Глава 3. Оценки преобразований Фурье и Лапласа и их применения . . . . . . . . . . . . . 41 3.1. Асимптотическое поведение финитного преобразования Лапласа . . . . . . . . . . . . . 41 3.2. Комплексные варианты абелевой теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3. Убывающие финитные преобразования Фурье и их применения к аппроксимации . . . . 52 3.4. Финитные преобразования Фурье без нулей в окрестности вещественной оси . . . . . . 56 Примечания и дополнения к главе 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Глава 4. Полнота и минимальность систем экспонент в весовых Lp -пространствах . . . . . 58 4.1. Условия полноты и минимальности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.2. Преобразование Лапласа как оператор в пространствах Lpα . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.3. Условия полноты в терминах целой функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.4. Мажорантный критерий полноты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Примечания и дополнения к главе 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Глава 5. Устойчивость классов финитных преобразований Фурье и ее применение . . . . . 80 5.1. Сохранение классов F Lqu(t),a и Fa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.2. Сохранение класса F L2a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.3. Сохранение классов F Lqa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.4. Целые функции класса С. Бернштейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Целые функции класса С. Бернштейна, не являющиеся преобразованиями Фурье—Стилтьеса и мультипликаторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.5. Избытки систем экспонент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Примечания и дополнения к главе 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Глава 6. Равномерная минимальность систем экспонент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 c °2003 МАИ

3

4

ПРЕДИСЛОВИЕ

6.1. Необходимые условия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Устойчивость равномерной минимальности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Полные, минимальные, но не равномерно минимальные системы экспонент . . . . . . . Полные, минимальные, но не равномерно минимальные в Lp и C системы экспонент с отделимым вещественным спектром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примечания и дополнения к главе 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава 7. Негармонические ряды Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. Формулы для частичных сумм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Суммируемость и равносуммируемость негармонических рядов . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Равносходимость и равномерная минимальность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Негармонические ряды без свойства Римана—Лебега . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Примечания и дополнения к главе 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

116 119 127 127 129 130 130 135 141 143 148 149 152

ПРЕДИСЛОВИЕ Первым значительным опытом изучения (как самостоятельного объекта) преобразований Фурье, являющихся аналитическими функциями, и систематического их применения к различным вопросам анализа, в том числе и к вопросам аппроксимации функций, по-видимому, следует считать книгу Р. Пэли и Н. Винера [71]. С тех пор теория преобразования Фурье в комплексной области обогатилась рядом методов и достижений; дальнейшее существенное развитие получила и та ветвь теории аппроксимации в вещественной области, которая неразрывно связана с аналитическими преобразованиями Фурье. В данной монографии предпринята попытка суммировать эти достижения и методы и изложить современное состояние соответствующих разделов теории аппроксимации. Мы рассматриваем три класса аналитических преобразований Фурье: 1) финитные преобразования Фурье, 2) преобразования Фурье на полупрямой, 3) преобразования Фурье быстро убывающих функций (на всей прямой). Сначала рассмотрим финитные преобразования Фурье—Стилтьеса, т. е. преобразования Фурье меры, сосредоточенной на конечном отрезке: Zb eizt dσ(t),

F (z) =

var σ(t) < ∞,

−∞ < a −1/2, вырожденная гипергеометрическая функция F11 (a; c; iz) при Re c > Re a > 0. Действительно, ³ z ´−ν 2

1 Jν (z) = 1/2 π Γ(ν + 1/2)

F11 (a; c; z)

Γ(c) = Γ(a)Γ(c − a)

Z1 eizt (1 − t2 )ν−1/2 dt, −1

1 ν>− , 2

Z1 ezt ta−1 (1 − t)c−a−1 dt,

Re c > Re a > 0,

0

а принадлежность функций sin z, cos z классу (1) следует из формул Эйлера. Класс функций (1) содержит в себе известный класс Ba2 , по определению состоящий из целых функций экспоненциального типа 6a, принадлежащих L2 на вещественной оси; по теореме Пэли—Винера класс Ba2

ПРЕДИСЛОВИЕ

5

совпадает с классом функций, представимых в виде Za eizt f (t)dt,

F (z) =

f ∈ L2 .

−a

Функции вида (1) часто встречаются в спектральной теории, в теории дифференциальноразностных уравнений, в негармоническом анализе. Они находят применение в радиофизике, оптике, теории связи. Функции (1) — это целые функции экспоненциального типа. А потому несомненный интерес представляет аналитический аспект их теории; под этим мы понимаем поведение функций (1) в комплексной плоскости и, в частности, распределение их нулей. Существуют общие закономерности, вытекающие из теории целых функций, но речь идет о выяснении упомянутых свойств в зависимости от функции σ(t). Этим занимались Е. К. Титчмарш, Г. Харди, Г. Пойа, М. Картрайт и др. С одной стороны — в силу важности класса функций (1) — аналитический аспект имеет значительный самостоятельный интерес. С другой стороны, он теснейшим образом связан с проблемами негармонического анализа. Негармонический анализ Фурье (или просто негармонический анализ) — это теория аппроксимации функций посредством систем экспонент exp(iλn t),

λn ∈ Λ ⊂ C,

(2)

на конечном интервале вещественной прямой. Сюда входит исследование таких вопросов, как полнота, минимальность, базисность систем (2) в различных функциональных пространствах, поведение биортогональных рядов по системе (2) на конечном отрезке — негармонических рядов Фурье. Эти вопросы рассматривались в работах Р. Пэли и Н. Винера, Н. Левинсона, Л. Шварца, Ж.-П. Кахана, П. Кусиса, Р. Редхеффера, А. Бь¨ерлинга и П. Мальявена, Б. Я. Левина, А. Ф. Леонтьева, Н. К. Никольского, Б. С. Павлова и С. В. Хрущева, Р. Янга, автора настоящей работы и других авторов. Интерес к аппроксимативным свойствам систем (2) на конечном отрезке мотивируется множеством факторов. Укажем один из них, предварительно заметив, что система (2) есть обобщение тригонометрической системы exp(int), n ∈ Z. Система (2) (или система линейных комбинаций функций (2)) часто выступает как система собственных функций некоторого оператора. Так, система собственных функций оператора дифференцирования D = −iy 0 с «размазанным» краевым условием Zb y(t)dσ(t) = 0,

var σ(t) < ∞,

a

совпадает с системой (2), где Λ — последовательность корней функции (1). Приведем и такой пример: система ³ 1´ t, n ∈ N, sin n − 4 является системой собственных функций задачи Штурма—Лиувилля, соответствующей уравнению Лаврентьева—Бицадзе со специальными краевыми условиями. Одна из целей этой книги состоит в том, чтобы изложить аналитический аспект теории финитного преобразования Фурье и дать его применения к негармоническому анализу. Далее, мы хотим рассматривать преобразования Фурье функций, сосредоточенных на полупрямой. Однако несколько удобнее, совершив поворот в комплексной плоскости, рассматривать преобразования Лапласа. Итак, пусть Z F (z) = e−zt f (t)dt, Re z > 0, (3) R+

6

ПРЕДИСЛОВИЕ

где f (t) — локально интегрируемая функция, такая, что функция F (z) аналитична в полуплоскости Re(z) > 0. Класс функций (3) содержит в себе класс Харди H 2 в правой полуплоскости; по теореме Пэли—Винера класс H 2 совпадает с классом функций (3), где f ∈ L2 . 0 Если f ∈ Lp (R+ ), 1 < p 6 2, то по теореме Хаусдорфа—Юнга F (z) ∈ H p , 1/p + 1/p0 = 1, и, следовательно, нули zn функции (3) подчиняются известному условию Бляшке X Re zn < ∞. 1 + |zn |2 Однако уже переход к случаю f ∈ Lp , p > 2, резко меняет ситуацию. Мы излагаем результаты о распределении нулей функции (3), относящиеся к этому и к более общему случаю, когда f ∈ Lpα , где Lpα — это Lp -пространство на полупрямой R+ относительно меры tα dt. Кроме того, мы изучаем оператор f → F, действующий из пространств Lpα в весовые пространства аналитических при Re z > 0 функций, а также обратный оператор F → f. Потребность в описании нулей функций (3) с f ∈ Lp вызвана, в частности, проблемой Мюнца— Саса. Известная теорема Мюнца гласит: если 0 < µ1 < . . . < µn < . . . , то полнота системы степеней ¡ µn ¢ x (4) в пространстве C0 [0, 1] = (f ∈ C[0, 1] : f (0) = 0) равносильна условию X 1 = ∞. µn O. Cас рассмотрел комплексные показатели с условием µn > −1/2. Теорема Саса утверждает, что полнота системы (4) в L2 (0, 1) равносильна условию X Re µn + 1/2 = ∞. 1 + |µn + 1/2|2 Под проблемой Мюнца—Саса будем понимать проблему описания полных систем степеней (4) в пространствах Lp (0, 1), 1 6 p < ∞, и C0 [0, 1]. Заметим, что условие принадлежности всех функций системы (4) пространству Lp (0, 1) (C0 [0, 1]) есть условие Re µn > −1/p (> 0). Если рассматривать C[0, 1] вместо C0 [0, 1], то к системе (4) следует присоединять функцию, тождественно равную единице. Замена переменной x = exp(−t) позволяет переформулировать проблему Мюнца—Саса как проблему описания полных систем экспонент exp(−λn t),

Re λn > 0,

в пространствах Lp (R+ ), p > 1, и C0 (R+ ) = (f ∈ C[0, ∞) : f (∞) = 0), где λn = µn + 1/p в случае Lp и λn = µn в случае C0 . Благодаря этой переформулировке вопрос о распределении нулей 0 функций (3) с f ∈ Lp становится аналитическим эквивалентом проблемы Мюнца—Саса (для пространств Lp ). Мы излагаем современное состояние проблемы Мюнца—Саса. Наконец, мы рассматриваем преобразования Фурье быстро убывающих функций, т. е. функций вида exp(−a|t|α )f (t), a > 0, α > 1, (5) где сомножитель f (t) относительно мал при больших |t|, так что преобразование Фурье функции (5) Z (6) F (z) = eizt exp(−a|t|α )f (t)dt, a > 0, α > 1, R

есть целая функция. В качестве примера приведем известное тождество Z ³ t2 ´ ³ z2 ´ 1 eizt exp − exp − = dt, z ∈ C. 2 2π 2 R

Функции вида (6) рассматривали Г. Харди, Г. Морган, И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, К. И. Бабенко, М. М. Джрбашян, Р. Залик и др.

1.1. ОБЩИЕ

7

ОБОЗНАЧЕНИЯ

Мы хотим осветить, в основном, следующие вопросы. Пусть f ∈ Lp (R), p > 1 (или f принадлежит пространству Lp со степенным весом). Какими интегральными свойствами во всей плоскости обладает функция (6)? Наоборот, какие свойства целой функции F (z) влекут ее представимость в виде (6) с f ∈ Lp (или с f ∈ Lp со степенным весом)? Представленные результаты отчасти аналогичны явлениям, присущим классическому (вещественному) анализу Фурье. Наряду с этим выявлены оригинальные факты, отражающие специфику убывающего веса. Сферой применения здесь служит теория аппроксимационных свойств взвешенных систем экспонент eiλn t exp(−a|t|α ), Λ = (λn ), a > 0, α > 1, (7) в пространствах Lp (R), p > 1. Эта теория (Р. Залик, Б. Факсен и др.), с одной стороны, возникает в процессе естественного распространения негармонического анализа (с конечного интервала на всю прямую). С другой стороны, она инициирована следующей аппроксимационной теоремой Н. Винера: линейные комбинации сдвигов f (t − λ), λ ∈ R, функции f ∈ L2 (R) плотны в L2 (R) тогда и только тогда, когда ее преобразование Фурье fb 6= 0 почти всюду. В силу теоремы Планшереля эта теорема может быть переформулирована так: если g ∈ L2 (R), то условие g 6= 0 почти всюду необходимо и достаточно для полноты семейства eiλt g(t),

λ ∈ R,

(8)

в L2 (R). Оказывается, в случае надлежаще убывающего веса g(t) из семейства (8) можно выделить последовательность (!) функций eiλn t g(t), Λ = (λn ), λn → ∞, образующих полную систему в L2 (R). Мы рассматриваем наиболее часто встречающийся случай g(t) = exp(−a|t|α ), т. е. систему (7), и находим как необходимые, так и достаточные условия полноты систем (7) в пространствах Lp (R), p > 1. Среди последовательностей Λ, являющихся корнями целых функций порядка β = α/(α − 1) из специально построенного класса, полностью описаны те, которые порождают полные и одновременно минимальные в Lp (R) системы (7). Итак, данная работа знакомит читателя с современным состоянием того направления в анализе, которое можно охарактеризовать так: аналитический аспект преобразования Фурье и его аппроксимационные применения. Предлагаемая работа явилась итогом значительного творческого периода, в процессе которого автору помогали общения со многими математиками и научными группами. Выражая здесь признательность им всем, я особо хочу выделить моего научного руководителя в аспирантуре, члена-корреспондента АН СССР, профессора Алексея Федоровича Леонтьева.

ГЛАВА 1 ОБОЗНАЧЕНИЯ И НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АНАЛИЗА 1.1.

ОБЩИЕ

ОБОЗНАЧЕНИЯ

R, R+ , Z, Z+ , N, C — стандартные обозначения соответственно множеств: вещественных чисел, положительных чисел, целых чисел, неотрицательных целых чисел, натуральных чисел, комплексных чисел. Rn — n-мерное вещественное евклидово пространство. Lp (X, dµ) — пространство измеримых (относительно неотрицательной, вполне аддитивной меры µ) на измеримом множестве X ⊆ Rn функций с нормой ÃZ !1/p |f (x)|p dµ(x)

kf kp,dµ = kf kp :=

,

1 6 p < ∞.

X

L∞ (X, dµ) — пространство

измеримых функций с нормой

kf k∞,dµ = kf k∞ := inf(M : |f (x)| 6 M, x ∈ X\E, µ(E) = 0).

8

ГЛАВА 1. ОБОЗНАЧЕНИЯ

И НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АНАЛИЗА

Lpα (X) := Lp (X, |t|α dt), 1 6 p < ∞, α > −1, X ⊂ R. kf kp,α — норма функции f в пространстве Lpα (X). Lp (X) = Lp0 (X), L∞ (X) = L∞ (X, dt). C[a, b] — пространство непрерывных на отрезке [a, b] функций с нормой kf k = sup(f (t) : t ∈ [a, b]). C0 [0, 1] — подпространство в C[0, 1], состоящее из функций, для которых f (0) = 0. C0 [0, ∞) — пространство функций, непрерывных на [0, ∞), для которых f (t) → 0, t → ∞, с sup-нормой. V [a, b] — класс функций ограниченной вариации на [a, b]. var(σ(t) : a 6 t 6 b) — вариация функции σ(t) на отрезке [a, b]; если ясно, о каком отрезке идет речь, пишем var σ(t). f ∗ g — свертка функций f и g, т. е. Z (f ∗ g)(x) = f (x − t)g(t)dt, x ∈ R. R

fb (или fb) — преобразование Фурье функции f. fe (или fe) — обратное преобразование Фурье функции f. f (или (dσ)e) — обратное преобразование Фурье—Стилтьеса функции σ. dσ supp f — носитель f. dist(Z, W ) — расстояние между множествами Z, W ⊂ C или между подпространствами Z, W банахова пространства B. F (Z) = 0 ⇐⇒ F (z) = 0 ∀z ∈ Z ⊂ C. f (t) ∼ g(t), t → t0 ⇐⇒ f (t)/g(t) → 1, t → t0 . |F (z)| ³ |G(z)|, z ∈ Z ⇐⇒ 0 < m 6 |F (z)/G(z)| 6 M < ∞, z ∈ Z. Если z ∈ C, то x = Re z, y = Im z, r = |z|, θ = arg z. lαp — пространство числовых последовательностей (an ) с нормой µX ¶1/p p α k(an )kp,α := |an | (|n| + 1) , 1 6 p < ∞, α ∈ R; lp = l0p . l∞ — пространство ограниченных числовых последовательностей с нормой k(an )k∞ := sup |an |. Символ ³ будет также применяться для обозначения эквивалентности норм в банаховых пространствах. Пусть Λ = (λn )∞ 1 — последовательность в C, |λn+1 | > |λn |. Если λ = λn+1 = . . . = λn+m ∈ Λ, а λs 6= λ при s 6 n и s > n + m + 1, то число m называют кратностью точки λ в Λ. ∆ρ (Λ) — плотность последовательности Λ при порядке ρ, т. е. n . n→∞ |λn |ρ

∆ρ (Λ) = ∆ρ := lim

(1.1.1)

∆ρ (Λ), ∆ρ (Λ) — верхняя и нижняя плотности Λ при порядке ρ: их определения получаются из (1.1.1) заменой lim на lim и lim соответственно. В отличие от плотности, верхняя и нижняя плотности существуют для любой последовательности Λ. Условие X 1 <∞ |λn |ρ влечет за собой условие ∆ρ (Λ) = 0. nΛ (t) = n(t) — число точек Λ в круге |z| < t. nF (t) = n(t) — число корней функции F (z) (с учетом кратности) в круге |z| < t. Zr NΛ (r) = 0

nΛ (t) dt, t

Zr NF (r) = 0

nF (t) dt. t

1.2. МЕДЛЕННО

МЕНЯЮЩИЕСЯ ФУНКЦИИ

9

Эквивалентное определение плотности: n(t) ; t→∞ tρ для ∆ρ (Λ) и ∆ρ (Λ) в (1.1.2) следует заменить lim на lim и lim соответственно. Если Λ = (λn ) ⊂ R, то по определению ½ число точек λn на [0, t) при t > 0, Λ(t) := −число точек λn на (t, 0) при t < 0. ∆ρ (Λ) = lim

(1.1.2)

Λ(t) называется считающей функцией последовательности Λ ⊂ R. 1.2. МЕДЛЕННО

МЕНЯЮЩИЕСЯ ФУНКЦИИ

Положительная функция h(t) называется правильно меняющейся, если она измерима на некоторой полупрямой t > A > 0 и существует α ∈ R такое, что для всех λ > 0 h(λt) = λα . t→∞ h(t) lim

При этом α называется порядком функции h(t). Функция l(t) называется медленно меняющейся на бесконечности, если она является правильно меняющейся функцией порядка α = 0, т. е. l(t) положительна и измерима при t > A и при всех λ>0 l(λt) lim = 1. (1.2.1) t→∞ l(t) Обозначаем через L∞ класс медленно меняющихся функций на бесконечности. Из определения следует, что функция h(t) является правильно меняющейся функцией порядка α тогда и только тогда, когда h(t) = tα l(t), l(t) ∈ L∞ . (1.2.2) Функция l(t) называется медленно меняющейся в нуле, если l(1/t) ∈ L∞ . Класс таких функций обозначаем через L0 . Положительная функция b(t) (t > A > 0) называется медленно меняющейся на бесконечности в смысле Зигмунда, если при любом δ > 0 и при всех достаточно больших t функция tδ b(t) возрастает, а функция t−δ b(t) убывает. Класс медленно меняющихся функций на бесконечности в смысле Зигмунда обозначаем через L∞ Z. Функция b(t) называется медленно меняющейся функцией в смысле Зигмунда в нуле, если b(1/t) ∈ L∞ Z. Класс таких функций обозначаем через L0 Z. Если ясно, о какой базе (t → ∞ или t → 0) идет речь, то слова «на бесконечности» и «в нуле» опускаем и пишем L и LZ вместо L∞ , L0 и L∞ Z, L0 Z. Свойства функций класса L. Пусть l(t) ∈ L = L∞ . Тогда: 1) при любом ε ∈ (0, 1) предельное соотношение (1.2.1) равномерно по λ ∈ [ε, 1/ε]; 2) найдется непрерывно дифференцируемая функция l0 (t) ∈ L такая, что l0 (t) ∼ l(t), t → ∞, и µ ¶ l0 (t) 0 l0 (t) = o , t → ∞; (1.2.3) t 3) при любом δ > 0 tδ l(t) → ∞, t−δ l(t) → 0, t → ∞; 4) пусть l(t) ∈ L∞ , и пусть функция l(t) ограничена на каждом интервале вида (0, A), 0 < A < ∞, пусть, далее, функция f (t) такова, что при некотором γ > 0 функция tγ f (t) интегрируема на (1, ∞), а функция t−γ f (t) интегрируема на (0, 1); тогда при всех достаточно больших x функция l(xt)f (t) интегрируема на R+ и Z Z l(xt)f (t)dt = l(x)(1 + o(1)) f (t)dt, x → ∞; R+

5) LZ ⊂ L;

R+

10

ГЛАВА 1. ОБОЗНАЧЕНИЯ

И НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АНАЛИЗА

6) пусть функция b(t) положительна и непрерывна на интервале (0, δ) и дифференцируема на нем, за исключением, быть может, конечного числа точек; тогда условие b(t) ∈ L0 Z равносильно условию b0 (t) = o(b(t)/t), t → +0; 7) пусть b(t) ∈ L0 Z, и пусть функция b(t)/t интегрируема в правой окрестности нуля; тогда Z1/r B(r) := 0

b(t) dt ∈ L∞ t

и b(1/r) = o(B(r)), r → ∞. 1.3. СИСТЕМЫ

В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Пусть B — банахово пространство, B ∗ — его сопряженное, т. е. пространство линейных непрерывных функционалов на B. Пусть (en )∞ 1 ∈ B. Через ∞ clos((en )∞ 1 ) = clos((en )1 ; B) обозначаем замыкание линейной оболочки системы (en )∞ 1 в B. Система (en )∞ ∈ B называется: 1 а) полной (в B), если clos((en )∞ 1 ) = B; б) минимальной (в B), если при всех n ∈ N en 6∈ clos((ek )k6=n ; B); в) равномерно минимальной, если при всех n ∈ N dist(en , clos((ek )k6=n )) > δken k, где δ > 0 от n не зависит; г) базисом пространства B, если для каждого элемента x ∈ B существует единственный ряд по системе (en ), сходящийся к x (в B): x=

∞ X

cn en

(cn — скаляры).

1

Неполнота системы (en ) в B равносильна существованию нетривиального функционала f ∈ B ∗ , аннулирующего систему (en ), т. е. f (en ) = 0 для всех n ∈ N. Минимальность системы (en ) в B равносильна существованию системы сопряженных функци∗ оналов (fn )∞ 1 ∈ B , т. е. fn (em ) = δnm . Систему (fn ) называют также биортогональной системой по отношению к системе (en ). Если система полна и минимальна в B, то система сопряженных функционалов единственна. В этом случае равномерная минимальность системы (en ) равносильна условию sup kfn k · ken k < ∞. n

Если система образует базис пространства B, то она полна, минимальна и равномерно минимальна в B. Пусть система (en ) полна и минимальна в B; пусть (fn ) ∈ B ∗ — (единственная) сопряженная система функционалов. Тогда каждому элементу x ∈ B отвечает биортогональный ряд (типа Фурье) ∞ X x∼ cn en , cn = fn (x). 1

Система (en ) образует базис в B тогда и только тогда, когда этот ряд сходится к x (в B) для любого x ∈ B. Пусть H — (сепарабельное) гильбертово пространство. Базис (en )∞ 1 пространства H называют базисом Рисса, если он эквивалентен ортонормированному, т. е. для всех x ∈ H kxk ³ k(cn )k2 .

1.5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

1.4. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

11

ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Пусть B1 , B2 — банаховы пространства. Пишем T : B1 → B2 , если T — ограниченный линейный оператор, действующий из B1 в B2 . Теорема (Теорема Рисса—Торина в упрощенной форме). Пусть dµ (dν) — мера на X ⊆ Rn (на Y ⊆ Rm ). Пусть 1 6 p0 < ∞, и пусть T : L∞ (X, dµ) → L∞ (Y, dν),

kT k 6 M∞ ,

T : Lp0 (X, dµ) → Lp0 (Y, dν),

kT k 6 M0 .

Тогда при всех p ∈ (p0 , ∞) T : Lp (X, dµ) → Lp (Y, dν),

p /p

1−p0 /p kT k 6 M∞ M0 0 .

При пользовании теоремой Рисса—Торина бывает полезным следующее Замечание. Пусть dµ = wdσ, где dσ — мера Лебега, а w — положительный, локально интегрируемый вес. Тогда L∞ (X, dµ) = L∞ (X, dσ) := L∞ (X). Действительно, Z Z µ(E) = dµ = wdσ = 0 ⇐⇒ σ(E) = 0. E

E

Определение. Пусть X(Y ) — множество в Rn (Rm ) с мерой dµ (dν). Пусть g = T f — линейный оператор, где функция f определена на X, а функция g определена на Y. Говорят, что оператор T имеет слабый тип (p, q), если существует постоянная M > 0 такая, что для всех t > 0 и f ∈ Lp (X, dµ) µ ¶q M ν(y : |T f | > t) 6 kf kp . t При этом число M называют константой слабого типа. Если T : Lp → Lq , то говорят, что оператор T имеет сильный тип (p, q). Теорема (Теорема Марцинкевича). Пусть 1 6 pi 6 qi 6 ∞, i = 0, 1. Пусть линейный оператор T имеет одновременно слабый тип (p0 , q0 ) и (p1 , q1 ) с константами слабого типа M0 и M1 соответственно. Тогда если θ ∈ (0, 1), а 1/p = (1 − θ)/p0 + θ/p1 , 1/q = (1 − θ)/q0 + θ/q1 , то оператор T имеет сильный тип (p, q): T : Lp (X, dµ) → Lq (X, dν),

kT k 6 KM01−θ M1θ ,

где K от θ не зависит. 1.5.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Преобразование Фурье функции f ∈ L1 (R) определяется так: Z 1 b e−ixt f (t)dt, x ∈ R. f (x) = 2π

(1.5.1)

R

Теорема Римана—Лебега утверждает, что fb(x) → 0, x → ±∞. Обратное преобразование Фурье функции f ∈ L1 (R) определяется так: Z e f (t) = eitx f (x)dx, t ∈ R.

(1.5.2)

R

Если f, fb ∈ то f = (fb)e. Когда речь идет о преобразовании Фурье функции f, заданной на конечном отрезке, то полагаем, что f = 0 вне этого отрезка. L1 (R),

12

ГЛАВА 1. ОБОЗНАЧЕНИЯ

И НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АНАЛИЗА

Теорема (Теорема Планшереля). Пусть f ∈ L2 (R). Тогда при R → ∞ функции 1 fbR (x) := 2π

ZR e−ixt f (t)dt,

x ∈ R,

−R

L2 (R).

сходятся в Предельную функцию называют преобразованием Фурье функции f и обоb значают через f (x). Имеют место следующие свойства: 1) равенство Парсеваля 2πkfbk2 = kf k2 , 2) формула обращения ZR f (t) = l.i.m. eitx fb(x)dx, R→∞ −R

где l.i.m. — это предел в L2 (R). Таким образом, для функции из L2 (R) ее преобразование Фурье существует в специальном смысле. Тем не менее для удобства и единообразия и в этом случае пишут формулы (1.5.1), (1.5.2). Впредь мы также будем писать для преобразования Фурье формулу (1.5.1), каждый раз понимая ее в подходящем смысле. Теорема (Теорема Питта). Пусть 1 < p 6 q < ∞, 0 6 α < p − 1, −1 < β 6 0, 1+α 1+β + = 1. p q Тогда если f ∈ Lpα (R), то fb ∈ Lq (R) и kfbkq,β 6 Ckf kp,α , где C от f не зависит.

(1.5.3)

β

Отметим важные частные случаи. При 1 2, α = p − 2, β = 0, а в другой раз p = q 6 2, α = 0, β = p − 2, то получаем теорему Харди—Литтлвуда. Теорема (Теорема Харди—Литтлвуда). и kfbkp 6 Cp kf kp,p−2 .

1) Пусть 2 6 p < ∞, f ∈ Lpp−2 (R). Тогда fb ∈ Lp (R)

2) Пусть 1 < p 6 2, f ∈ Lp (R). Тогда fb ∈ Lpp−2 (R) и kfbkp,p−2 6 Cp kf kp .

Для применений имеет смысл уточнить множество значений параметра α, удовлетворяющих (в зависимости от p) условиям теоремы Питта. Сделаем это. Положим q = p. Тогда из (1.5.3) следует, что α = p − 2 − β, и так как −β > 0, то α > p − 2. Но по условию 0 6 α < p − 1. Значит, мы получили необходимое условие max(0, p − 2) 6 α < p − 1.

(1.5.4)

Теперь предположим, что это условие выполнено, и покажем, что множество пар (q, β) таких, что выполнены условия теоремы Питта, непусто. Для этого снова положим q = p; тогда в силу (1.5.3) β = p − 2 − α, и (1.5.4) показывает, что −1 < β 6 0. Таким образом, по теореме Питта fb: Lpα → Lqβ хотя бы для q = p, β = p − 2 − α. Мы пришли к уточненной формулировке, которой и будем пользоваться в дальнейшем. Теорема (Уточненная формулировка теоремы Питта). Пусть 1 < p < ∞ и выполнено условие (1.5.4). Тогда если p 6 q < ∞, −1 < β 6 0 и выполнено условие (1.5.3), то fb: Lpα → Lqβ . Выделим в отдельную формулировку частный случай β = 0. Замечание 1.5.1. Пусть 1 < p < ∞ и выполнено условие (1.5.4). Тогда p fb: Lpα → Lq (= Lq0 ), где q = . p−1−α

1.6. ПРОСТРАНСТВА ХАРДИ H p

13

ПРОСТРАНСТВА ХАРДИ H p

1.6.

Пусть 0 < p 6 ∞. Через H p = H p (|z| < 1) обозначается пространство аналитических в круге |z| < 1 функций, для которых Ã Z2π !1/p |F (reiθ )|p dθ

kF kp = sup

0
<∞

при

0
0

и kF kp = sup |F (z)| < ∞

при

p = ∞.

|z|<1

Каждая функция F (z) ∈ H p , 0 < p 6 ∞, имеет почти всюду на окружности |z| = 1 угловые граничные значения F (eiθ ), 0 < θ < 2π, причем F (eiθ ) ∈ Lp (0, 2π). При этом функция F (z) полностью определяется функцией F (eiθ ) своих граничных значений. Пусть (zn ) — последовательность всех нулей функции F (z) ∈ H p , |zn | 6 |zn+1 | < 1. Тогда имеет место условие Бляшке X (1 − |zn |) < ∞. Через H p (x > 0) обозначается пространство аналитических в правой полуплоскости x > 0 функций, для которых ÃZ !1/p |F (x + iy)|p dy

kF kp = sup x>0

< ∞,

0 0

Каждая функция F (z) ∈ H p (x > 0) имеет почти всюду на мнимой оси угловые граничные значения, причем функция F (iy) граничных значений принадлежит Lp (R). Имеет место свойство единственности: если F (iy) = 0 на множестве положительной меры, то F (z) ≡ 0. Если F (z) ∈ H p (x > 0), p < ∞, то F (z) → 0 при r → ∞ в каждой полуплоскости вида Re z > δ > 0. Пусть (zn ) — последовательность всех нулей функции F ∈ H p (x > 0), 0 0. Тогда имеет место следующее условие Бляшке для полуплоскости: X Re zn < ∞. (1.6.1) 1 + |zn |2 Пусть (zn )∞ 1 — последовательность точек из правой полуплоскости Re z > 0 с условием (1.6.1); пусть m — кратность точки 1 в этой последовательности. Тогда бесконечное произведение (произведение Бляшке) ∞ ³ z − 1 ´m Y z − zn |1 − zn2 | B(z) = (1.6.2) z+1 z + z¯n 1 − zn2 1

задает аналитическую функцию в полуплоскости Re z > 0. При этом |B(z)| < 1, x > 0, и множество нулей функции B(z) совпадает с последовательностью (zn ). Пусть F ∈ H p (x > 0), пусть (zn ) — все нули функции F (z). Тогда имеет место факторизация F (z) = G(z)B(z),

где G ∈ H p (x > 0),

G(z) 6= 0,

Re z > 0,

а B(z) — произведение Бляшке (1.6.2). Теорема (Теорема Пэли—Винера). Пространство H 2 (x > 0) совпадает с классом функций, представимых в виде Z F (z) = e−zt f (t)dt, Re z > 0, (1.6.3) R+

где f ∈ L2 (R+ ).

14

ГЛАВА 1. ОБОЗНАЧЕНИЯ

И НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АНАЛИЗА

В (1.6.3) функция f с точностью до постоянного множителя есть обратное преобразование Фурье функции F (iy) ∈ L2 (R). Из теоремы Хаусдорфа—Юнга вытекает следующая Теорема (Обобщение теоремы Пэли—Винера). 1) Если f ∈ Lp (R+ ), 1 6 p 6 2, то функция q (1.6.3) принадлежит H (x > 0), 1/p + 1/q = 1 и kF kq 6 Cp kf kp . 2) Если F (z) ∈ H p (x > 0), 1 6 p 6 2, то имеет место представление (1.6.3) с f ∈ Lq (R+ ) и kf kq 6 Cp kF kp . В последующем будут встречаться пространства H p в других полуплоскостях. Изменения, которые при этом следует произвести, очевидны. 1.7.

ЦЕЛЫЕ

ФУНКЦИИ

Пусть функция F (z) аналитична в угле α < arg z < β и непрерывна при α 6 arg z 6 β. Порядок F (z) в этом угле обозначаем через ρ, тип F (z) при порядке ρ обозначаем через σ. Через hF (θ) обозначается индикатор функции F (z) при порядке ρ, т. е. log |F (reiθ )| , α 6 θ 6 β. r→∞ rρ Говорят, что F (z) имеет экспоненциальный тип в угле α 6 θ 6 β, если ρ 6 1, причем если ρ = 1, то σ < ∞. Целая функция F (z) называется функцией вполне регулярного роста, если равномерно по θ ∈ [0, 2π] log |F (reiθ )| hF (θ) = lim , 0 6 θ 6 2π, r→∞ rρ hF (θ) = lim

r6∈E

где E — некоторое множество на полупрямой R+ , такое, что mes (E ∩ (0, r)) = o(r),

r → ∞.

Пусть целая функция F (z) имеет порядок ρ и вполне регулярный рост, а целая функция G(z) имеет порядок не выше ρ. Тогда hF G (θ) = hF (θ) + hG (θ),

α 6 θ 6 β.

Теорема (Теорема Фрагмена—Линдел¨ефа). Пусть F (z) имеет минимальный (т. е. нулевой) тип при порядке ρ в угле α 6 θ 6 β, причем β − α = π/ρ. Тогда если |F (z)| ограничен на сторонах угла, то |F (z)| ограничен той же константой всюду в угле α 6 θ 6 β. Если F (z) → 0 при r → ∞, arg z = α, β, то F (z) → 0, r → ∞, равномерно относительно arg z ∈ [α, β]. Индикатор является тригонометрически ρ-выпуклой функцией, т. е. если при некоторых a, θ0 имеет место неравенство hF (θ) 6 a cos ρ(θ − θ0 ) в двух точках θ1 , θ2 таких, что α 6 θ1 < θ2 6 β,

θ2 − θ1 <

π , ρ

то это неравенство имеет место всюду на отрезке [θ1 , θ2 ]. Если F (z) — целая функция, то индикатор hF (θ) есть непрерывная, 2π-периодическая, тригонометрически ρ-выпуклая функция, θ ∈ R. Пишем F (z) ∈ [ρ, σ], если F (z) — целая функция порядка не выше ρ, причем если ее порядок равен ρ, то тип не превосходит σ. Если индикатор целой функции F (z) при порядке ρ неположителен, то F (z) ∈ [ρ, 0]. Через Bap обозначаем класс целых функций экспоненциального типа 6a, принадлежащих Lp на вещественной оси.

1.7. ЦЕЛЫЕ

15

ФУНКЦИИ

Теорема (Теорема Пэли—Винера). Класс Ba2 совпадает с классом функций, представимых в виде Za F (z) = eizt f (t)dt, (1.7.1) −a

где f ∈

L2 .

Теорема Хаусдорфа—Юнга позволяет дать следующие обобщения. 0 Если f ∈ Lp , 1 6 p 6 2, то функция (1.7.1) принадлежит Bap . 0 Если F (z) ∈ Bap , 1 6 p 6 2, то справедливо представление (1.7.1), где f ∈ Lp . Пусть (zn ) — последовательность в C, пусть zn 6= 0. Будем говорить, что ряд (бесконечное произведение) X 1 ³Y³ z ´´ 1− zn zn сходится в смысле главного значения, если существует предел ¶ Y ³ X 1 µ z´ lim lim 1− . R→∞ R→∞ zn zn |zn |
|zn |
Отнесем к классу C (классу Картрайт) все целые функции экспоненциального типа, для которых существует интеграл Z log+ |F (x)| dx, 1 + x2 R

где log+ x = max(0, log x), x > 0. Теорема (Теорема Картрайт). Пусть F (z) ∈ C, и пусть (zn ) — ненулевые корни функции F (z). Тогда: 1) F (z) есть функция вполне регулярного роста с индикатором hF (θ) = h± | sin θ|, 2) 3) 4) 5)

±θ ∈ [0, π],

где ¯h± — некоторые вещественные числа, такие, что h+ + h− > 0; ¯ X¯ ¯ 1 ¯ Im ¯ < +∞; ¯ zn ¯ для любого ε ∈ (0, π/2) сужение последовательности (zn ) на каждый из углов | arg z| < ε, |π − arg z| < ε, имеет плотность при порядке 1, равную (h+ + h− )/(2π); X 1 ряд сходится в смысле главного значения; zn имеет место представление Y³ z´ F (z) = ceikz z m 1− , zn где k = (h− −h+ )/2, m — кратность нулевого корня, а бесконечное произведение сходится в смысле главного значения.

Условия теоремы Картрайт (а значит, и ее утверждения) выполняются для целой функции вида ZB eizt dσ(t),

F (z) =

−∞ < A 0), то фигурирующие в утверждении 1) числа h± таковы: h+ = −A, h− = B. В частности, если B = −A = a, то hF (θ) = a| sin θ|.

16

ГЛАВА 2. ОБОЗНАЧЕНИЯ

ПРИМЕЧАНИЯ

И НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ АНАЛИЗА

И ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ

1

Свойства медленно меняющихся функций содержатся в [6,48]. Сведения о системах в банаховых пространствах можно почерпнуть в [10]. Интерполяционные теоремы Рисса—Торина и Марцинкевича доказаны, например, в [2, 7]. Теорема Питта в оригинальной работе [72] доказана для рядов Фурье; для преобразования Фурье она установлена в [85]. Разумеется, теоремы Хаусдорфа—Юнга и Харди—Литтлвуда были доказаны раньше (см., например, [51]). Материал по пространствам Харди хорошо изложен в книгах [3, 11, 63]. Сведения по целым функциям взяты из [12, 59].

ГЛАВА 2 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ (ЛАПЛАСА) 2.1. О

НУЛЯХ ФИНИТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛАПЛАСА

2.1.1. Сначала мы рассмотрим синус- и косинус-преобразования Фурье на полупрямой, т. е. функции Z Z V∞ (x) = f (t) sin xt dt, U∞ (x) = f (t) cos xt dt, x > 0. R+

R+

Для существования интегралов достаточно потребовать, чтобы f (t) монотонно стремилась к 0 при t → +∞, а также чтобы tf (t) ∈ L1 (0, 1) в случае V∞ и f (t) ∈ L1 (0, 1) в случае U∞ . Функцию f (t), t > 0, назовем ступенчатой функцией с шагом h > 0, если f (t) постоянна на интервалах (hn, h(n + 1)), n ∈ Z+ . (2.1.1) Теорема 2.1.1. Пусть функция f (t) 6≡ 0 неотрицательна, не возрастает при t > 0 и f (t) → 0, t → ∞. Пусть tf (t) ∈ L1 (0, 1). Тогда: 1) V∞ (x) > 0, x > 0; 2) для того чтобы число x > 0 было корнем функции V∞ , необходимо и достаточно, чтобы f (t) была ступенчатой функцией с шагом h = 2π/x; 3) если f (t) — ступенчатая функция с шагом h, то функция V∞ имеет бесконечное множество положительных корней 2π k, k ∈ N. h Доказательство. 1) При фиксированном x > 0 имеем xk =

V∞ (x) =

∞ X k=0

(2.1.2)

(k+1)π/x Z

π/x ∞ Z ³ X π´ sin(xt + kπ)dt = f (t) sin xt dt = f t+k x

kπ/x

k=0 0

π/x ∞ Z ³ ³ ³ X π ´´ π´ = − f t + (2k + 1) sin xt dt. (2.1.3) f t + 2k x x k=0 0

Так как f (t) не возрастает, то функция µ ¶ µ ¶ 2kπ (2k + 1)π ϕk (t) = f t + −f t+ , x x

³ π´ t ∈ 0, , x

k ∈ Z+ ,

неотрицательна на (0, π/x). Значит, все интегралы в правой части (2.1.3) неотрицательны. Это доказывает 1). 2) Пусть V∞ (x) = 0 при некотором x > 0. Тогда все интегралы в правой части (2.1.3) равны нулю. Отсюда, из неотрицательности ϕk (t) и из того, что sin xt > 0 при 0 < t < π/x, следует, что

2.1. О

НУЛЯХ ФИНИТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ϕk (t) = 0 почти всюду на (0, π/x), т. е. µ ¶ µ ¶ 2kπ (2k + 1)π f t+ =f t+ x x

ЛАПЛАСА

почти всюду на

17

³ π´ 0, . x

В силу невозрастания f (t) это означает, что f (t) постоянна на интервалах (2.1.1) с h = 2π/x. Необходимая часть утверждения 2) доказана. Пусть f (t) постоянна на интервалах (2.1.1) с h = 2π/x. Тогда ϕk (t) = 0 на (0, π/x) при всех k ∈ Z+ , и все интегралы в правой части (2.1.3) равны нулю, т. е. V∞ (x) = 0. Утверждение 2) доказано. 3) По условию f (t) постоянна на интервалах (2.1.1). Но тогда при любом k ∈ N она подавно постоянна на интервалах (hn/k, h(n + 1)/k), n ∈ Z+ , и утверждение 3) следует из утверждения 2). Теорема 2.1.1 доказана. Следствие 2.1.1. Пусть для функции f (t) выполнены все условия теоремы 2.1.1. Тогда если f (t) убывает на некотором интервале, то V∞ (x) > 0,

x > 0.

Теорема 2.1.2. Пусть функция f (t) 6≡ 0 неотрицательна, выпукла на полупрямой t > 0 и f (t) → 0, t → +∞. Пусть f (t) ∈ L1 (0, 1). Тогда: 1) U∞ (x) > 0, x > 0; 2) для того чтобы число x > 0 было корнем функции U∞ , необходимо и достаточно, чтобы правая производная f+0 (t) была ступенчатой функцией с шагом h = 2π/x; 3) если f+0 (t) — ступенчатая функция с шагом h, то функция U∞ имеет бесконечное множество корней (2.1.2). Доказательство. Так как f выпукла, то правая производная f+0 существует и не убывает. А так как f (t) → 0, t → ∞, то f+0 (t) 6 0 и f+0 (t) → 0, t → +∞. В частности, f (t) не возрастает. Отсюда и из интегрируемости f (t) в (0, 1) следует свойство tf (t) → 0, t → +0, которое, в свою очередь, влечет свойство tf+0 (t) ∈ L1 (0, 1). Таким образом, если заменить f (t) на −f+0 (t), то все условия теоремы 2.1.1 будут выполнены. Значит, к правой части равенства Z xU∞ (x) = (−f+0 (t)) sin xt dt R+

(получаемого интегрированием по частям) применима теорема 2.1.1, из которой все и следует. Теорема 2.1.2 доказана. Следствие 2.1.2. Пусть для функции f (t) выполнены условия теоремы 2.1.2. Тогда если f (t) строго выпукла на некотором интервале, то U∞ (x) > 0, 2.1.2. Пусть

x > 0.

Применим теорему 2.1.1 к вопросу о распределении корней преобразования Лапласа. Z e−zt f (t)dt,

F+ (z) =

f ∈ L1 (R+ ).

(2.1.4)

R+

Очевидно, функция F+ (z) аналитична в полуплоскости Re z > 0 и непрерывна при Re z > 0. Заметим еще, что если f (t) вещественна, то корни F+ (z) располагаются комплексно сопряженными парами; поэтому при изучении чисто мнимых корней достаточно рассматривать те, что лежат на положительной мнимой полуоси. Теорема 2.1.3. Пусть функция f (t) 6≡ 0, неотрицательна и не возрастает при t ∈ R+ . Тогда: 1) у функции F+ (z) нет корней в полуплоскости Re z > 0; 2) для того чтобы число iy (y > 0) было корнем функции F+ (z), необходимо и достаточно, чтобы функция f (t) была ступенчатой функцией с шагом h = 2π/y;

18

ГЛАВА 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

НУЛЕЙ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ (ЛАПЛАСА)

3) если f (t) — ступенчатая функция с шагом h, то у функции F+ (z) имеется бесконечное множество чисто мнимых корней 2πni zn = , n ∈ Z\{0}. (2.1.5) h Доказательство. Пусть z = x + iy. Имеем Z − Im F+ (z) = e−xt f (t) sin yt dt. (2.1.6) R+

Из условий теоремы следует, что если x > 0, то функция e−xt f (t) неотрицательна и не возрастает при t > 0 и убывает на некотором интервале. По следствию 2.1.1 функция − Im F+ (z) не обращается в нуль в полуплоскости Re z > 0. Значит, и функция F+ (z) не обращается в нуль в этой полуплоскости. Утверждение 1) доказано. Пусть iy (y > 0) — корень функции F+ (z). Тогда формула (2.1.6) доказывает, что − Im F+ (iy) = V∞ (y) = 0. По утверждению 2) теоремы 2.1.1 функция f (t) является ступенчатой функцией с шагом h = 2π/y, и остается доказать утверждение 3). Пусть f (t) = cn (> 0), t ∈ (hn, h(n + 1)), n ∈ Z+ . Тогда n(n+1) Z ∞ ∞ X X −zt −zh e dt = (1 − e ) zF+ (z) = z cn cn e−hnz , n=0

n=0

hn

где ряд справа сходится абсолютно и равномерно в силу интегрируемости f. Мы видим, что точки (2.1.5) действительно являются корнями функции F+ (z). Теорема 2.1.3 доказана. Теорема 2.1.4. Пусть функция f (t) положительна и непрерывна при t > a > −∞ и дифференцируема вне возможного конечного множества E. Далее, пусть eαt f (t) ∈ L1 (a, ∞) при некотором α ∈ R и f 0 (t) α<− , t > a, t 6∈ E. (2.1.7) f (t) Тогда у функции Z∞ + Fa (z) = e−zt f (t)dt a

нет корней в полуплоскости Re z > −α. Доказательство. Из условия eαt f (t) ∈ L1 (a, ∞) следует, что функция Fa+ (z) аналитична при Re z > −α и непрерывна при Re z > −α. Так как Z az + e Fa (z) = e−zu f (u + a)du, R+

то мы можем считать, что a = 0, т. е. можем иметь дело с функцией F+ (z). Рассмотрим функцию Z F+ (z − α) = e−zt eαt f (t)dt. R+

(eαt f (t))0

eαt f (t)(α

Благодаря условию (2.1.7) = + f 0 (t)/f (t)) < 0, t 6∈ E. Значит, функция f1 (t) = eαt f (t) убывает на R+ и для нее выполнены условия теоремы 2.1.3. По этой теореме у функции F+ (z − α) нет корней в полуплоскости Re z > 0. Следовательно, у функции F+ (z) нет корней в полуплоскости Re z > −α. Теорема 2.1.4 доказана. В качестве примера рассмотрим неполные гамма-функции Zh

Z∞ z−1 −u

Γ(z; h) =

u 0

e

du,

uz−1 e−u du,

Γ(z; h) = h

2.1. О

НУЛЯХ ФИНИТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛАПЛАСА

19

где h > 0 фиксировано. Положив u = et , a = log h, запишем Z∞ Z∞ −zt Γ(z; h) = e f (−t)dt, Γ(−z; h) = e−zt f (t)dt, a

−a

exp(−et ).

eαt f (t)

L1 (a, ∞)

где f (t) = Так как ∈ при всех α ∈ R, то Γ(z; h) — целая функция, а αt 1 так как e f (−t) ∈ L (a, ∞) при всех α < 0, то функция Γ(z; h) аналитична при Re z > 0. Имеем −f 0 (t)/f (t) > h при t > log h. По теореме 2.1.4 функция Γ(−z; h) не имеет корней при Re z > −h. Значит, функция Γ(z; h) не имеет корней при Re z 6 h. Мы доказали Следствие 2.1.3. Все корни функции Γ(z; h) лежат в полуплоскости Re z > h. Далее, −(f (−t))0 /f (−t) = f 0 (−t)/f (−t) = −e−t > h при t > − log h, и из теоремы 2.1.4 вытекает Следствие 2.1.4. Функция Γ(z; h) не имеет корней при Re z > h. 2.1.3. Теперь займемся корнями преобразований Лапласа, синус- и косинус-преобразований Фурье функций, сосредоточенных в интервале (0, 1). Рассмотрим следующие целые функции Z1

Z1 zt

e f (t)dt, V (z) =

F (z) = 0

Z1 f (t) sin zt dt, U (z) =

0

f (t) cos zt dt, 0

где f ∈ L1 (0, 1), когда речь идет о F (z) и U (z), и tf (t) ∈ L1 (0, 1) в случае функции V (z). Для того чтобы применить теоремы 2.1.1, 2.1.2, считаем функцию f (t) продолженной нулем на полупрямую t > 1. Пусть f (t) > 0, 0 < t < 1; тогда условие ступенчатости функции f (t) с шагом h означает, что точка 1 является концом одного из интервалов (2.1.1), т. е. h = 1/N при некотором N ∈ N. Так как значения f (t) на соседних интервалах могут совпадать, то условие ступенчатости равносильно тому, что f (t) постоянна на интервалах вида (tj , tj+1 ),

j = 0, N − 1;

tj рациональны, t0 = 0,

tN = 1.

(2.1.8)

Назовем монотонную функцию f (t) (0 < t < 1) исключительной, если она постоянна на интервалах вида (2.1.8). При этом наименьший общий знаменатель дробей tj назовем шагом исключительной функции. Так как выпуклая функция непрерывна, то для применения теоремы 2.1.2 мы должны принять условие f (1 − 0) = 0. Учитывая четность U (z) и нечетность V (z), а также то, что U (0) > 0 в случае f > 0, из теорем 2.1.1, 2.1.2 получаем следующие утверждения. Теорема 2.1.5. Пусть функция f (t) положительна и не возрастает в интервале (0, 1). Тогда: 1) для того чтобы функция V (z) не имела ненулевых вещественных корней, необходимо и достаточно, чтобы f (t) не была исключительной функцией; 2) если f (t) — исключительная функция с шагом h, то функция V (z) имеет бесконечное множество положительных корней (2.1.2). Теорема 2.1.6. Пусть функция f (t) положительна и выпукла в интервале (0, 1) и f (1−0) = 0. Тогда: 1) для того чтобы функция U (z) не имела вещественных корней, необходимо и достаточно, чтобы правая производная f+0 (t) не была исключительной функцией, 2) если f (t) есть исключительная функция с шагом h, то U (z) имеет бесконечное множество положительных корней (2.1.2). Следствие 2.1.5. Пусть функция f (t) положительна и выпукла в интервале (0, 1) и f (1−0) = 0. Если, кроме того, f (t) строго выпукла на некотором подынтервале, то у функции U (z) нет вещественных корней. Функция F (z) сводится к функции F+ (z). Действительно, Z1 e

−z

e−zt f (1 − t)dt.

F (z) = 0

20

ГЛАВА 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

НУЛЕЙ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ (ЛАПЛАСА)

Невозрастание функции f (1 − t), 0 < t < 1, равносильно неубыванию функции f (t). Далее, эти функции одновременно являются исключительными функциями, причем их шаги совпадают. Поэтому из теоремы 2.1.3 вытекает Теорема 2.1.7. Пусть функция f (t) положительна и не убывает в интервале (0, 1). Тогда: 1) все корни функции F (z) лежат в левой полуплоскости Re z 6 0; 2) у функции F (z) нет корней на мнимой оси тогда и только тогда, когда f (t) не является исключительной функцией; 3) если f (t) — исключительная функция с шагом h, то функция F (z) имеет на мнимой оси бесконечное множество корней (2.1.5).

2.2. 2.2.1.

О

НУЛЯХ СИНУС- И КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ

Здесь мы изучим распределение нулей целых функций вида Z1 U (z) =

Z1 f (t) cos zt dt,

V (z) =

0

f (t) sin zt dt,

f ∈ L1 (0, 1)

0

Теорема 2.2.1. Пусть функция f (t) положительна и не убывает в интервале (0, 1). Тогда все нули функции U (z) вещественны и просты. Все положительные нули функции U (z) располагаются по одному в каждом из интервалов ³ π 3π ´ ³ 3π 5π ´ ³ 5π 7π ´ , , , , , 2 2 2 2 2 2

(2.2.1)

и только в них. Доказательство. Так как f (t) > 0, то U (π/2) > 0. Теперь покажем, что U (π/2 + 2πn) > 0, n ∈ N. Имеем

U

³π 2

´

Z1

+ 2πn = 0

³ π´ f (t) cos 2πn + t dt = 2 1/(4n+1) Z

= 0

π f (t) cos(4n + 1) t dt+ 2

+

n−1 X

(4k+5)/(4n+1) Z

k=0 (4k+1)/(4n+1)

π f (t) cos(4n + 1) t dt. 2

В силу положительности и неубывания f (t), все интегралы под знаком суммы неотрицательны. Поэтому

U

³π 2

´

1/(4n+1) Z

+ 2πn > 0

Мы доказали, что U (π/2 + 2πn) > 0, n ∈ Z+ .

π f (t) cos(4n + 1) tdt > 0. 2

2.2. О

НУЛЯХ СИНУС- И КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ

21

Теперь покажем, что U (3π/2 + 2πn) < 0, n ∈ Z+ . Имеем

U

³ 3π 2

´

Z1

+ 2πn = 0

π f (t) cos(4n + 3) t dt = 2 2/(4n+3) Z

= 0

π f (t) cos(4n + 3) t dt + 2

3/(4n+3) Z

π f (t) cos(4n + 3) t dt+ 2

2/(4n+3)

+

n−1 X

(4k+7)/(4n+3) Z

k=0 (4k+3)/(4n+3)

π f (t) cos(4n + 3) t dt, 2

причем в случае n = 0 последняя сумма отсутствует. Так как f (t) положительна и не убывает, то справа средний член отрицателен, а остальные слагаемые неположительны. Значит, U (3π/2 + 2πn) < 0. Итак, U

³π ´ 2

> 0,

U

³ 3π ´ 2

< 0,

U

³ 5π ´ 2

> 0,

U

³ 7π ´ 2

< 0,

... .

(2.2.2)

Так как функция U (x) вещественна и непрерывна, то отсюда следует, что в каждом из интервалов (2.2.1) находится хотя бы один нуль функции U (z). В силу четности U (z) интервалы, симметричные с (2.2.1), также содержат хотя бы по одному корню U (z). Покажем, что в каждом из всех этих интервалов находится только один простой нуль функции U (z) и что других нулей у U (z) нет. Этим доказательство теоремы 2.2.1 будет закончено. Так как U (0) > 0, то можно считать, что U (0) = 1. Воспользуемся формулой Иенсена Zr 0

nU (t) 1 dt = t 2π

Z2π log |U (reiθ )|dθ.

(2.2.3)

0

Рассмотрим сначала левую часть. Обозначим через n1 (t) число точек ±(π/2 + πn), n ∈ N, в интервале (−t, t), t > 0. Тогда n1 (t) = 0 при |t| < 3π/2 и

n1 (t) = 2k при

π π + πk < t < + π(k + 1), 2 2

k ∈ N.

(2.2.4)

В силу сказанного выше о нулях U (z), имеем nU (t) > n1 (t), t > 0. Мы должны доказать, что в каждом из интервалов (2.2.1) и симметричных им интервалов лежит только один простой нуль функции U (z) и что других нулей у U (z) нет. Предположим противное: у U (z) есть еще один нуль z0 6= 0 (сюда входит предположение о том, что один из нулей U (z) в упомянутых интервалах является кратным). В силу четности U (z) точка −z0 будет также нулем U (z). Значит, при некотором b > 0 будем иметь: nU (t) > n1 (t),

0 < t n1 (t) + 2,

t > b.

22

ГЛАВА 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

НУЛЕЙ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ (ЛАПЛАСА)

Используя это и (2.2.4), оценим снизу левую часть в формуле (2.2.3). Пусть r = πn + 3π/2; тогда Zr 0

n

X nU (t) dt > C + (2k + 2) t k=1

π/2+π(k+1) Z

dt = t

π/2+πk

=C +2

µ n X (k + 1) log 1 + k=1

= O(1) + 2 = O(1) + 2

n X k=1 n X

µ (k + 1) 1+

k=1

n X k=1

¶

1 k + 1/2

=

1 1 − k + 1/2 2(k + 1/2)2

¶ =

n

X k+1 1 = − k + 1/2 (k + 1/2)2 k=1

r + O(1). (2.2.5) π Теперь рассмотрим правую часть формулы (2.2.3). По теореме Римана—Лебега U (x) → 0, x → ±∞. Так как U (z) — целая функция экспоненциального типа 61, то отсюда и из теоремы Фрагмена—Линдел¨ефа следует оценка U (z) = o(e|y| ), |z| → ∞. Значит, = O(1) + 2n = 2

1 2π

Z2π 0

r log |U (reiθ )|dθ 6 log o(1) + 2 , π

r → ∞.

(2.2.6)

Так как log o(1) → −∞, то оценки (2.2.5) и (2.2.6) противоречат формуле Иенсена (2.2.3). Теорема 2.2.1 доказана. В последующих теоремах будет фигурировать понятие исключительной функции. Оно введено в п. 2.1. Заметим еще, что V (0) = 0. Теорема 2.2.2. Пусть функция f (t) положительна, не убывает в интервале (0, 1) и не является исключительной. Тогда все нули функции V (z) вещественны и просты. Все положительные нули V (z) располагаются по одному в каждом из интервалов (π, 2π),

(2π, 3π),

(3π, 4π),

...

(2.2.7)

и только в них. Доказательство. Из определения V (z) и из положительности f (t) следует, что V 0 (0) > 0 (т. е. точка z = 0 является простым нулем V (z)) и V (π) > 0. Покажем, что V (π + 2πn) > 0,

n ∈ N.

Имеем Z1 V (π + 2πn) =

f (t) sin(2n + 1)πt dt = 0 1/(2n+1) Z

=

f (t) sin(2n + 1)πt dt+ 0

+

n−1 X

(2k+3)/(2n+1) Z

f (t) sin(2n + 1)πt dt.

k=0 (2k+1)/(2n+1)

В правой части первый член положителен, а все слагаемые под знаком суммы неотрицательны в силу положительности и неубывания f (t). Значит, V (π + 2πn) > 0, n ∈ Z+ .

2.2. О

НУЛЯХ СИНУС- И КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ

23

Теперь убедимся, что V (2πn) < 0, n ∈ N. Имеем Z1 V (2πn) =

f (t) sin 2πnt dt = 0

=

n−1 X k=0

(k+1)/n Z

f (t) sin 2πnt dt =

n−1 X

Z1/n ³ k´ f t+ sin 2πnt dt = n

k=0 0

k/n

=

n−1 X k=0

1/(2n) Z µ

0

³k + 1 ´¶ k´ f t+ −f − t sin 2πnt dt. (2.2.8) n n ³

При фиксированном k = 0, n − 1 рассмотрим функцию ³k + 1 ´ ³ k´ 1 ϕk (t) = f −t −f t+ , 0 0 при этом значении k, и соответствующий этому k интеграл в правой части (2.2.8) отрицателен. Остальные слагаемые неположительны, так как f (t) не убывает. Мы показали, что V (2πn) < 0, n ∈ N. Таким образом, V (π) > 0,

V (2π) < 0,

V (3π) > 0,

V (4π) < 0,

... .

(2.2.9)

Функция V (x) вещественна и непрерывна, поэтому из (2.2.9) следует, что у V (x) имеется хотя бы один корень в каждом из интервалов (2.2.7). В силу нечетности V (z) у нее имеется хотя бы один корень в каждом из интервалов, симметричных с (2.2.7). Далее, точка z = 0 является простым нулем функции V (z). Рассмотрим функцию V0 (z) = V (z − π/2). По доказанному функция V0 (z) имеет простой нуль z = π/2, а также хотя бы по одному нулю в интервалах ³ 5π 3π ´ ³ 3π π ´ ³ 3π 5π ´ ³ 5π 7π ´ ..., − ,− ,− , , , , − , , ... . 2 2 2 2 2 2 2 2 Пусть n1 (t) имеет тот же смысл, что и в доказательстве теоремы 2.2.1. Имеем nV (t) > n1 (t), t > 0. Остается доказать, что в каждом из интервалов (2.2.7) и им симметричных лежит только один простой нуль функции V (z) и что кроме них и простого нуля z = 0 у функции V (z) нулей больше нет. Предположим противное: у функции V (z) есть еще один нуль. В силу нечетности V (z) это будет означать наличие двух дополнительных нулей по отношению к тем, о которых говорилось. Тогда и функция V0 (z) будет иметь два дополнительных нуля, а потому при некотором b > 0 будем иметь nV (t) > n1 (t), 0 < t < b, nV (t) > n1 (t) + 2, t > b. Именно эти соотношения привели к противоречию при доказательстве теоремы 2.2.1. Это противоречие мы получим и теперь. Теорема 2.2.2 доказана. Теорема 2.2.3. Пусть функция f (t) возрастает и выпукла в интервале (0, 1). Пусть, кроме того, f (0 + 0) = 0. Тогда все нули функции V (z) вещественны и просты. Все положительные нули V (z) располагаются по одному в каждом из интервалов ³ 3π ´ ³ 5π ´ ³ 7π ´ , 2π, , 3π, , ... π, 2 2 2 и только в них. Доказательство. Выполнены условия теоремы 2.2.2; значит, справедливы и ее утверждения. Поэтому наша задача состоит только в том, чтобы показать следующее: нуль функции V (z), лежащий в интервале (πn, π(n + 1)), на самом деле лежит в интервале (πn, π(n + 1/2)). Так как V (π + 2πn) > 0, а V (2πn) < 0, то достаточно убедиться в том, что ³ 5π ´ ³ 7π ´ ³ 9π ´ ³ 3π ´ < 0, V > 0, V < 0, V > 0, . . . . (2.2.10) V 2 2 2 2

24

ГЛАВА 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

НУЛЕЙ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ (ЛАПЛАСА)

По условию в интервале (0, 1) существует правая производная f+0 (t), причем f+0 (t) не убывает. Так как f (t) возрастает, то f+0 (t) > 0. Из монотонности и интегрируемости f (t) вытекает условие (1 − t)f (t) → 0, t → 1 − 0. Интегрируя по частям и используя это условие, а также условие теоремы f (0 + 0) = 0, получаем ³

π´ V (2n + 1) = 2

Z1 0

π 2 f (t) sin(2n + 1) t dt = 2 (2n + 1)π

Z1 0

π f+0 (t) cos(2n + 1) t dt. 2

(2.2.11)

Последний интеграл есть U ((2n + 1)π/2), где в роли f (t) выступает f+0 (t). (Функция f+0 (t) может оказаться неинтегрируемой, но в данном случае важно лишь существование интегралов (2.2.11).) Так как f+0 (t) положительна и не убывает, то мы можем воспользоваться неравенствами (2.2.2), которые и дают (2.2.10). Теорема 2.2.3 доказана. Теорема 2.2.4. Пусть функция f (t) положительна, возрастает и выпукла в (0, 1), причем ее правая производная не является исключительной функцией. Тогда все нули функции U (z) вещественны и просты. Все положительные нули U (z) располагаются по одному в каждом из интервалов ³ π ´ ³ 3π ´ ³ 5π ´ ,π , , 2π , , 3π , . . . . 2 2 2 и только в них. Доказательство. Благодаря теореме 2.2.1 и неравенствам (2.2.2), достаточно проверить, что U (π) < 0,

U (2π) > 0,

U (3π) < 0,

U (4π) > 0,

...

(2.2.12)

Интегрируя по частям и применяя условие (1 − t)f (t) → 0, t → 1 − 0, находим Z1 U (πn) = 0

1 f (t) cos πnt dt = − πn

Z1 f 0 (t) sin πnt dt. 0

Последний интеграл есть V (πn), где в роли f выступает f+0 . Функция f+0 (t) положительна, не убывает и не является исключительной. Поэтому мы вправе воспользоваться неравенствами (2.2.9), которые дают (2.2.12). Теорема 2.2.4 доказана. Теорема 2.2.5. Пусть функция f (t) положительна, вогнута, убывает и ее правая производная, взятая со знаком минус, не является исключительной функцией. Тогда все нули функции U (z) вещественны и просты. Все положительные нули U (z) располагаются по одному в каждом из интервалов (π, 2π), (2π, 3π), (3π, 4π), . . . (2.2.13) и только в них. Доказательство. По условию функция −f+0 (t) положительна, не убывает и не является исключительной функцией. Поэтому в формуле Z1 U (πn) = 0

1 f (t) cos πnt dt = πn

Z1 (−f+0 (t)) sin πnt dt 0

последний интеграл имеет вид V (πn), где функция −f+0 (t), выступающая в роли f (t), удовлетворяет всем условиям теоремы 2.2.2. Пользуясь неравенствами (2.2.9), видим, что имеют место неравенства, противоположные неравенствам (2.2.12). Значит, у функции U (z) имеется хотя бы один корень в каждом интервале (2.2.13) и в каждом симметричном интервале. Надо доказать, что в каждом интервале этой объединенной системы корень у U (z) единственный и простой и что других корней у U (z) нет. Если бы это было не так, то у U (z) было бы еще четыре нуля. Действительно, если бы у U (z) был еще один корень в каком-нибудь интервале (2.2.13), то в силу неравенств, противоположных (2.2.12), в этом интервале у U (z) было бы два дополнительных

2.2. О

НУЛЯХ СИНУС- И КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ

25

корня. Это же рассуждение относится и к интервалу (0, π), так как U (0), U (π) > 0. В силу четности U (z) в этом случае действительно у U (z) нашлось бы еще четыре нуля. Теперь предположим, что U (z) имеет невещественный корень z0 . Он не может лежать на мнимой оси, так как Z1 U (iy0 ) =

f (t) ch(y0 t)dt > 0. 0

Так как U (z) вещественна на вещественной оси и четна, то следующие четыре точки z0 , z¯0 , −z0 , −¯ z0 являются корнями U (z). Итак, в любом случае у U (z) имеется еще четыре корня. Это означает, что если обозначить через n1 (t) число точек ±2π, ±3π, . . . в круге |z| < t, то при некотором b > 0 будем иметь nU (t) > n1 (t), 0 < t < b; nU (t) > n1 (t) + 4, t > b. Но n1 (t) = 0 при 0 < t < 2π и n1 (t) = 2k − 2 при πk < t < π(k + 1), k ∈ N, k > 2. С использованием этого левая часть в формуле Иенсена (2.2.3) оценивается так: если r = π(n + 1), то Zr 0

n

X nU (t) dt > C + (2k + 2) t k=2

π(k+1) Z

dt = t

πk

¶ µ µ ¶ n n X X 1 1 1 =C +2 (k + 1) log 1 + = O(1) + 2 (k + 1) − = k k 2k 2 k=2

k=2

= O(1) + 2

n X

1+2

n X k=2

k=2

1 r = O(1) + 2n + log n = 2 + log r + O(1). k n

А правая часть в (2.2.3), как мы видели при доказательстве теоремы 2.2.1, имеет оценку сверху (2.2.6). Мы получили противоречие. Теорема 2.2.5 доказана. В следующей теореме утверждения зависят от знака интеграла Z1 f (t)dt.

(2.2.14)

0

Теорема 2.2.6. Пусть функция f (t) возрастает, выпукла в (0, 1) и ее правая производная не является исключительной функцией. Пусть, далее, f (a) = 0 в некоторой точке a ∈ (0, 1). Тогда: 1) если интеграл (2.2.14) положителен, то все нули функции U (z) вещественны и просты, причем все положительные нули располагаются по одному в каждом из интервалов (0, π),

(π, 2π),

(2π, 3π),

...

(2.2.15)

и только в них; 2) если интеграл (2.2.14) отрицателен, то у U (z) имеется два простых чисто мнимых корня, а остальные корни U (z) вещественны и просты, причем все положительные корни располагаются по одному в каждом из интервалов (π, 2π),

(2π, 3π),

(3π, 4π),

...

(2.2.16)

и только в них. Доказательство. В условиях теоремы 2.2.6 справедливы неравенства (2.2.12), установленные в процессе доказательства теоремы 2.2.4 (по сравнению с теоремой 2.2.6 теорема 2.2.4 содержит условие f > 0, но оно при выводе неравенств (2.2.12) не использовалось). Значит, в каждом из интервалов (2.2.16) находится хотя бы один корень функции U (z). В части 1) U (0) > 0. Но U (π) < 0, и поэтому в интервале (0, π) лежит хотя бы один корень U (z). В части 2) U (iy) = 0 при некотором y > 0. Для доказательства этого факта запишем Ã Za Z1 ! U (iy) =

+ 0

f (t) ch(yt)dt = I1 (y) + I2 (y). a

26

ГЛАВА 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

НУЛЕЙ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ (ЛАПЛАСА)

Фиксируем b ∈ (a, 1). Тогда f (t) > f (b) > 0, если t > b; поэтому при y → +∞ Z1 I2 (y) >

Z1 f (t) ch(yt)dt > f (b)

b

ch(yt)dt = f (b)

sh y (1 + o(1)). y

b

Далее,

Za |I1 (y)| 6 M

ch(yt)dt 6 M 0

sh(ay) . y

Значит, I2 (y) → +∞, I1 (y) = o(I2 (y)), y → +∞, и, следовательно, U (iy) → +∞, y → +∞, т. е. U (iy) > 0 при всех достаточно больших y. Но в части 2) U (0) < 0. Так как функция U (iy) вещественна и непрерывна, то отсюда следует существование у U (z) хотя бы одного мнимого нуля iy0 , y0 > 0. В силу четности U (z) число −iy0 также будет нулем U (z). Остается доказать следующее. В части 1) в каждом из интервалов (2.2.15) и симметричных к ним лежит один простой корень U (z) и других корней у U (z) нет. В части 2) в каждом из интервалов (2.2.16) и симметричных к ним лежит один простой корень U (z), имеется пара комплексно сопряженных чисто мнимых простых корней и других корней у U (z) нет. Предположим противное, т. е. что у U (z) найдется еще один корень, и придем к противоречию. Следующие рассуждения относятся одновременно к обоим утверждениям 1), 2). Пусть n1 (t) есть число точек ±π, ±2π, . . . в круге |z| < t, т. е. n1 (t) = 0 при 0 < t < π и n1 (t) = 2k при πk < t < π(k + 1), k ∈ N. По сделанному предположению найдется b > 0 такое, что nU (t) > n1 (t), 0 < t < b; nU (t) > n1 (t) + 1, t > b. Тогда для левой части формулы (2.2.3) имеем оценку Zr 0

¶ π(k+1) ¶ µ ¶ Z n−1 n µ Xµ X nU (t) dt 1 1 1 dt > C + 2 k+ = C1 + 2 k+ log 1 + = t 2 t 2 k k=1

k=1

πk

¶µ ¶ n µ X 1 1 1 r = O(1) + 2 k+ − 2 = O(1) + 2n = 2 + O(1). 2 k 2k π k=1

Это противоречит оценке (2.2.6). Теорема 2.2.6 доказана. 2.3.

ГРАНИЦЫ

ДЛЯ НУЛЕЙ ФИНИТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛАПЛАСА

2.3.1. Рассматриваются преобразования Лапласа мер, сосредоточенных на конечном отрезке. Не снижая общности, считаем этот отрезок симметричным относительно точки 0. Итак, речь идет о целых функциях вида Za F (z) = ezt dσ(t), var σ(t) < ∞, 0 < a < ∞. (2.3.1) −a

Из представления (2.3.1) сразу следует оценка |F (z)| 6 V ea|x| ,

x = Re z,

V = var σ(t).

(2.3.2)

В этом подпункте мы выделим класс мер dσ(t), для которых оценка (2.3.2) сверху совпадает с оценкой снизу (с точностью до постоянного множителя) вне некоторой вертикальной полосы, т. е. когда |F (z)| > Aea|x| , A > 0, |x| > h > 0. (2.3.3) Теорема 2.3.1. Пусть F (z) — функция (2.3.1). Тогда: 1) для того чтобы при некотором h > 0 имела место оценка |F (z)| > Aea|x| ,

A > 0,

x > h (x 6 −h),

(2.3.4)

2.3. ГРАНИЦЫ

ДЛЯ НУЛЕЙ ФИНИТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛАПЛАСА

27

необходимо и достаточно, чтобы функция σ(t) имела скачок в точке t = a (t = −a), т. е. чтобы σ(a) 6= σ(a − 0) (σ(−a) 6= σ(−a + 0)); (2.3.5) 2) при выполнении условия (2.3.5) все нули функции F (z) лежат в некоторой левой (правой) полуплоскости Re z 6 h (Re z > −h). Доказательство. Второе утверждение сразу следует из первого. Первое утверждение достаточно доказать для полуплоскости x > 0. Пусть 0 < δ < 2a; имеем az

F (z) = Ae

a−0 a−δ Z Z zt + e dσ(t) + ezt dσ(t) = Aeaz + I1 + I2 ,

(2.3.6)

−a

a−δ

где A — возможный скачок функции σ(t) в точке t = a. Пусть d > 0. Фиксируем δ > 0 столь малым, чтобы var(σ(t) : a − δ 6 t < a) < d. Затем фиксируем h > 0 столь большим, чтобы V e−δx 6 d при x > h. Тогда |I1 | 6 deax , (a−δ)x

x > 0,

(2.3.7)

ax

|I2 | 6 V e 6 de , x > h. (2.3.8) Предположим, что условие (2.3.5) выполнено, т. е. A = σ(a) − σ(a − 0) 6= 0. Положим d = |A|/4. Тогда из (2.3.6), (2.3.7), (2.3.8) получаем |F (z)| > (|A|/2)eax , x > h, т. е. условие (2.3.5) влечет оценку (2.3.4). Наоборот, пусть условие (2.3.5) не имеет места. Тогда в (2.3.6) A = 0. Положим d = ε/2. Теперь (2.3.6), (2.3.7), (2.3.8) дают |F (z)| 6 εeax , x > h = h(ε). Так как ε > 0 здесь можно взять произвольно малым, то это противоречит оценке (2.3.4). Утверждение 1) доказано. Теорема 2.3.1 верна. Из теоремы 2.3.1 сразу следует Теорема 2.3.2. Для того чтобы для функции (2.3.1) была верна оценка (2.3.3) при некотором h > 0, необходимо и достаточно, чтобы функция σ(t) имела скачки в точках t = ±a, т. е. чтобы σ(a) 6= σ(a − 0), σ(−a) 6= σ(−a + 0). (2.3.9) Случай (2.3.9) заслуживает более детального изучения. Заметим, что класс функций (2.3.1) с условием (2.3.9) содержит в себе функции sh z, ch z. Обозначим через n± (t) (t > 0) число нулей функции F (z) в полукруге |z| < t, Im z ≷ 0. Справедлива Теорема 2.3.3. Пусть F (z) — функция (2.3.1), и пусть выполнены условия (2.3.9). Тогда: 1) все нули zn функции F (z) лежат в некоторой вертикальной полосе | Re z| 6 h; at 2) n± (t) = + O(1), t → ∞; π 3) вне кружков радиуса δ > 0 с центрами в точках zn справедлива оценка |F (z)| > c(δ)ea|x| ,

c(δ) > 0.

Замечание 2.3.1. Из утверждений 1), 2) теоремы 2.3.3 следует, что при условии (2.3.9) iπn zn = + O(1), n → ±∞, a где zn (n ∈ Z) — все нули функции (2.3.1). Лемма 2.3.1. Пусть функция F (z) аналитична и ограничена в полосе | Re z| < H. Пусть, кроме того, все нули F (z) лежат в полосе | Re z| < h < H, причем на прямой Re z = h модуль F (z) отделен от нуля. Тогда: 1) число нулей функции F (z) в прямоугольнике | Re z| < h, | Im z − t| < 1 ограничено, t ∈ R; 2) для z, лежащих в полосе | Re z| 6 h вне кружков радиуса δ с центрами в нулях F (z), верна оценка |F (z)| > c(δ) > 0. (2.3.10)

28

ГЛАВА 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

НУЛЕЙ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ (ЛАПЛАСА)

Доказательство. Пусть wn = xn + iyn → ∞, |xn | 6 h, xn → x0 , |x0 | 6 h. Обозначим h1 = (H + h)/2, r = (H − h)/2. Если n достаточно велико, то |xn − x0 | < r. Будем рассматривать только такие n. Рассмотрим последовательность функций Fn (z) = F (z − x0 + xn + iyn ),

z ∈ Π1 = (z : | Re z| < h1 , | Im z| < 2).

(2.3.11)

По соглашению | Re(z − x0 + wn )| < H, если z ∈ Π1 . По условию функции Fn (z) аналитичны и равномерно ограничены в Π1 . По принципу компактности некоторая подпоследовательность Fnk (z) сходится равномерно внутри Π1 . Пусть G(z) — предельная функция. Функция G(z) аналитична в Π1 . Если z ∈ Π1 и Re z = h − xn + x0 , то по условию |Fn (z)| = |F (h + i(y + yn ))| > ∆ > 0. Поэтому G(z) 6≡ 0. Утверждение 1) докажем от противного. Пусть для некоторой последовательности yn → ∞ число нулей F (z) в прямоугольнике | Re z| < h, | Im z − yn | < 1 неограниченно возрастает. Положим xn = x0 = 0 и рассмотрим последовательность Fn (z) (см. (2.3.11)) и соответствующую предельную функцию G(z). По предыдущему шагу G(z) аналитична в Π1 и G(z) 6≡ 0. Обозначим через Γ простой замкнутый контур, обладающий свойствами: Γ содержится в Π1 , Γ содержит прямоугольник Π = (z : | Re z| < h, | Im z| < 1), Γ не проходит через нули G(z). Ясно, что число нулей G(z) внутри Γ конечно. По теореме Гурвица при всех достаточно больших n число нулей функции Fn (z) внутри Γ равно числу нулей функции G(z). Но число нулей функции Fn (z) неограниченно возрастает. Мы получили противоречие. Утверждение 1) доказано. Доказывая 2), снова предположим противное: найдутся число δ и последовательность точек wn = xn + iyn → ∞, |xn | 6 h, такие, что точки wn лежат вне кружков радиуса δ с центрами в нулях F (z) и F (wn ) → 0, n → ∞. (2.3.12) Так как |xn | 6 h, то переходя в случае необходимости к подпоследовательности, можно считать, что xn → x0 . Рассмотрим последовательность функций (2.3.11) и соответствующую предельную функцию G(z). Как мы знаем, G(z) аналитична в Π1 и G(z) 6≡ 0. В силу (2.3.12) и (2.3.11) G(x0 ) = 0. По теореме Гурвица при всех достаточно больших n функция Fn (z) имеет в круге |z − x0 | < δ/2 хотя бы один нуль. Но по построению Fn (z) не обращается в 0 в этом круге. Противоречие. Утверждение 2) доказано. Лемма 2.3.1 верна. Лемма 2.3.2. Пусть функция G(z) аналитична при |z| < 1, непрерывна при |z| 6 1 и не обращается в 0 при |z| 6 1. Пусть 0 < m 6 |G(z)| 6 M < ∞,

|z| = 1.

Тогда если |z| 6 R < 1, то | arg G(z) − arg G(0)| 6 C(R, m, M ). Доказательство. Благодаря условиям леммы функция log g(z) аналитична при |z| < 1 и непрерывна при |z| 6 1. Поэтому ее мнимая часть arg G(z) выражается через ее вещественную часть log |G(z)| с помощью сопряженного интеграла Пуассона 1 arg G(z) = 2π

Zπ log |G(eit )| Im −π

eit + z dt + arg G(0). eit − z

¯ ¯ ¯ ¯ Так как по условию ¯ log |G(eit )|¯ 6 C(m, M ), а dist(eit , z) > 1 − R > 0, то требуемая оценка верна. Лемма 2.3.2 доказана. Лемма 2.3.3. Пусть функция G(z) аналитична в области E, ограниченной простым замкнутым контуром L, непрерывна на замыкании E и не обращается в 0 при z ∈ E. Пусть 0 < m 6 |G(z)| 6 M < ∞,

z ∈ L.

Тогда для любого компакта K ⊂ E найдется константа C(K, m, M ) такая, что для любых точек z1 , z2 ∈ K | arg G(z1 ) − arg G(z2 )| 6 C(K, m, M ).

2.3. ГРАНИЦЫ

ДЛЯ НУЛЕЙ ФИНИТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛАПЛАСА

29

Лемма 2.3.3 сразу получается из леммы 2.3.2 путем конформного отображения области E на круг. Доказательство теоремы 2.3.3. Фиксируем h > 0 достаточно большим. Тогда по теореме 2.3.2 верна оценка (2.3.3). Из нее следует, что все нули функции F (z) лежат в вертикальной полосе | Re z| < h. Утверждение 1) верно. Далее, фиксируем H > h. Тогда из (2.3.2) и (2.3.3) следует, что для F (z) выполнены все условия леммы 2.3.1. По этой лемме утверждение 3) имеет место для полосы | Re z| 6 h. Вместе с оценкой (2.3.3) это полностью дает утверждение 3). Докажем основное утверждение 2). Будем доказывать его для n+ (t); случай n− (t) разбирается аналогично. Обозначим через A и B скачки функции σ(t) в точках a и −a соответственно. Положим d = |A|/4. Тогда из (2.3.6), (2.3.7), (2.3.8) получаем F (z) = Aeaz (1 + w+ (z)),

1 |w+ (z)| < , 2

Re z > h.

(2.3.13)

Заметим, что оценку (2.3.13) мы получили, отделив в интеграле (2.3.1) скачок функции σ(t) в точке a и оценив слагаемые в формуле (2.3.6). Отделяя скачок функции σ(t) в точке −a и поступая аналогично, находим F (z) = Be−az (1 + w− (z)),

1 |w− (z)| < , 2

Re z 6 −h.

(2.3.14)

Подчеркнем, что функции w± (z) аналитичны в соответствующих полуплоскостях. Мы уже отмечали, что условия леммы 2.3.1 для F (z) выполнены. На основании этой леммы можно утверждать следующее. Существуют число γ > 0 и последовательность rk ↑ ∞ такие, что rk+1 − rk = O(1),

k → ∞,

(2.3.15)

F (z) не обращается в 0 в прямоугольниках Pk = (z : | Re z| < h, rk − γ < Im z < rk + γ) и |F (z)| отделен от 0 на границе Pk равномерно по k. Кроме того, из (2.3.2) следует, что |F (z)| ограничен на границе Pk равномерно по k. По лемме 2.3.3 имеем: изменение аргумента функции F (z) на горизонтальном отрезке Ik = (z : | Re z| 6 h, Im z = rk ) есть O(1) равномерно по k. Фиксируем b ∈ [0, 1) так, чтобы на горизонтальном отрезке I = (z : | Re z| 6 h, Im z = b) не было нулей F (z). Ясно, что изменение аргумента F (z) на I есть некоторая константа. Далее, так как arg ez = arg(eax eiay ) = ay, то из (2.3.13) и (2.3.14) следует, что как при обходе вертикального отрезка J+ = (z : Re z = h, b 6 Im z 6 rk ) снизу вверх, так и при обходе вертикального отрезка J− = (z : Re z = −h, b 6 Im z 6 rk ) сверху вниз для изменения аргумента функции F (z) верно соотношение ∆ arg F (z) = ark + O(1), k → ∞. Это соотношение вместе с имеющимися фактами об изменении аргумента F (z) на отрезках I, Ik дает: при полном обходе прямоугольника, ограниченного отрезками I, J+ , Ik , J− , ∆ arg F (z) = 2ark + O(1),

k → ∞.

Значит, по принципу аргумента число нулей F (z) в этом прямоугольнике равно (a/π)rk + O(1), k → ∞. С другой стороны, в силу леммы 2.3.1 и того, что вне полосы | Re z| 6 h нет нулей F (z), упомянутое число нулей равно n+ (rk ) + O(1). Таким образом, n+ (rk ) = (a/π)rk + O(1), k → ∞, и чтобы отсюда получить утверждение 2), достаточно сослаться на (2.3.15) и на утверждение 1) леммы 2.3.1. Теорема 2.3.3 доказана. 2.3.2. Здесь мы исследуем границы для нулей финитного преобразования Лапласа непрерывной функции. Теорема 2.3.4. Пусть Z1 ezt f (t)dt,

F (z) = −1

f ∈ C[−1, 1],

f (±1) = 1,

30

ГЛАВА 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

НУЛЕЙ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ (ЛАПЛАСА)

и пусть ω(δ) — модуль непрерывности функции f (t). Тогда все достаточно большие по модулю нули функции F (z) лежат на множестве ³1´ |x| 6 Krω , x = Re z, r = |z|, r где K — некоторая константа. Доказательство. Разобьем интервал (−1, 1) на 2m равных частей. Пусть ³j´ j−1 j f (t) = f − ψj (t), 6 t 6 , j = 1 − m, m. m m m Тогда |ψj (t)| 6 ω(1/m). Рассмотрим случай x > 0 (случай x < 0 рассматривается аналогично). Имеем m X

F (z) =

j=1−m

j/m Z

³ ³j´ ´ ezt f − ψj (t) dt = m

(j−1)/m

=

m X j=1−m

³j´ f m

j/m Z zt

e dt −

m X j=1−m

(j−1)/m

j/m Z

ezt ψj (t)dt = I1 + I2 . (2.3.16) (j−1)/m

Далее, m X

|I2 | 6

j=1−m

I1 =

2m−1 X j=0

j/m Z

ext ω

³1´ ³ 1 ´ ex − e−x , dt = ω m m x

(2.3.17)

(j−1)/m

³ j ´ ez(1−j/m) − ez(1−(j+1)/m) = f 1− m z =

2m−1 ¢ ez ez ez X ³ j ´¡ −zj/m + f 1− e − e−z(j+1)/m − e−z/m = z z m z j=1

2m−1 µ ez X

ez = + z z

j=1

¶¶ µ ¶ µ ³ j´ 1 e−z j−1 −zj/m f 1− −f 1− e − f −1 + = m m m z µ ¶ ez ez 1 e−z = + I3 − f −1 + , (2.3.18) z z m z

где в силу неравенства et > 1 + t, t > 0, µ ¶ µ ¶ −x/m µ ¶ ∞ X 1 1 e 1 m −jx/m |I3 | 6 ω e =ω 6 ω . m m 1 − e−x/m m x

(2.3.19)

j=1

Теперь, комбинируя (2.3.16), (2.3.17), (2.3.18), (2.3.19) и полагая m = [r], получаем µ µ ¶ ¶ rω(1/r) zF (z) = ez 1 + O − (1 + o(1))e−2z x

(2.3.20)

(мы применили свойство модуля непрерывности ω(2δ) 6 2ω(δ), по которому ω(1/m) 6 2ω(1/r) при r > r0 ), o(1) → 0, r → ∞. Если f ≡ const, то F (z) = cz −1 sh z. В этом случае все нули F (z) лежат на мнимой оси и доказывать нечего. Пусть f 6≡ C; тогда хорошо известно, что ω(δ) > Aδ при некотором A > 0. Пусть K > 0, пусть x > Krω(1/r). Тогда x > AK в силу только что упоминавшегося свойства модуля непрерывности. Значит, если K достаточно велико, то ¯ ¯ µ ¶ ¯ 1 ¯ rω(1/r) −2z ¯O − (1 + o(1))e ¯¯ 6 , r > r0 , ¯ x 2

2.4. НУЛИ

ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА

31

и внешняя скобка в (2.3.20) отделена от 0. Итак, в области x > Krω(1/r), r > r0 , нет нулей F (z). Теорема доказана. Замечание 2.3.2. Теорема 2.3.4 остается верной при замене условия f (±1) = 1 условием f (±1) 6= 0. Действительно, случай f (±1) 6= 0 может быть сведен к случаю f (±1) = 1 с помощью элементарных преобразований. 2.4. О

ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ВСЕХ НУЛЕЙ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА КРИВОЛИНЕЙНОЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ

2.4.1.

Сначала речь пойдет о целых функциях экспоненциального типа F (z), для которых Z log |F (x)| существует интеграл dx. (2.4.1) 1 + x2 R

Мы получим необходимое условие для того чтобы все нули целой функции экспоненциального типа с условием (2.4.1) располагались в криволинейной полуплоскости y 6 h(|x|) или y > h(|x|),

x ∈ R,

z = x + iy,

(2.4.2)

где функция h(t) с точностью до знака является правильно меняющейся функцией. Последнее означает, что одна из функций ±h(t) является правильно меняющейся. В этом случае полагаем sign h = ±1. Теорема 2.4.1. Пусть целая функция F (z) имеет экспоненциальный тип a > 0 в обеих полуплоскостях y > 0 и y 6 0, и пусть выполнено условие (2.4.1). Предположим, что все нули F (z) лежат на первом (втором) множестве (2.4.2), где h(t) (t > 0) с точностью до знака есть правильно меняющаяся функция порядка α ∈ [0, 1), ограниченная на каждом отрезке вида [0, A], A > 0. Тогда log |F (−iy)/F (iy)| 2a sign h lim 6 y→∞ |h(y)| cos(πα/2) µ ¶ log |F (−iy)/F (iy)| 2a sign h lim > . |h(y)| cos(πα/2) y→∞ Замечание 2.4.1. Из теоремы Картрайт следует, что условие α ∈ [0, 1) в теореме 2.4.1 не является ограничением. Лемма 2.4.1. Пусть 0 6 α < 1, и пусть l(t) — функция класса L∞ , ограниченная на каждом отрезке полупрямой t > 1. Тогда при любом m ∈ [1, ∞) Z∞ α t l(t) xα l(x) x dt ∼ , x → ∞ (c > 0). (2.4.3) π x2 + c2 t2 2c1+α cos(πα/2) m

Доказательство. Положим f (t) = tα /(1+c2 t2 ). Тогда при любом γ ∈ (0, 1−α) выполнены условия свойства 4) из п. 1.2). По этому свойству при x → ∞ Z Z α Z α x tα l(t) xα t l(xt) xα l(x) t dt dt = dt ∼ . (2.4.4) π x2 + c2 t2 π 1 + c2 t2 πc1+α 1 + t2 R+

R+

R+

Но последний интеграл равен π/(2 cos(πα/2)). Поэтому остается учесть, что если интеграл в левой части (2.4.4) разбить на два интеграла по (0, m) и (m, ∞), то слагаемое, отвечающее первому интегралу, даст O(1/x), что по свойству 3) (п. 1.2) есть o(xα l(x)). Лемма 2.4.1 доказана. Лемма 2.4.2. Пусть α и l(t) — те же, что в лемме 2.4.1. Тогда при любом натуральном m ∞ x X nα l(n) xα l(x) ∼ , π n=m x2 + c2 n2 2c1+α cos(πα/2)

x → ∞ (c > 0).

(2.4.5)

32

ГЛАВА 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

НУЛЕЙ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ (ЛАПЛАСА)

Доказательство. Благодаря свойству 2) из п. 1.2 мы можем считать, что l(t) непрерывно дифференцируема и tl0 (t) = o(l(t)), t → ∞. (2.4.6) Интеграл в левой части (2.4.3) разобьем на сумму интегралов по интервалам (n, n + 1), n ∈ N, n > m, к каждому из которых применим теорему о среднем. Получим x π Далее,

µ

Z∞ m

∞ tα l(t)dt x X tαn l(tn ) = , x2 + c2 t2 π n=m x2 + c2 t2n

tα l(t) x2 + c2 t2

¶0

n < tn < n + 1.

(2.4.7)

µ ¶ tα−1 l(t) tl0 (t) 2c2 t1+α l(t) = 2 α + − . x + c2 t2 l(t) (x2 + c2 t2 )2

Используя это равенство, свойство (2.4.6) и свойство 1) из п. 1.2, с применением теоремы Лагранжа получаем, что если N достаточно велико, то ¯ ∞ µ ¶¯ ¯x X nα l(n) tαn l(tn ) ¯¯ ¯ − ¯ ¯= ¯ π n=m x2 + c2 n2 x2 + c2 t2n ¯ ¯ µ ¶ ¶¯¯ ∞ µ ¯ α l(n) α l(t ) X x n t 1 ¯ ¯ n + = ¯O − n ¯6 ¯ x π x2 + c2 n2 x2 + c2 t2n ¯ n=N Ã ∞ ! µ ¶ ∞ X X nα−1 l(n) n1+α l(n) 1 2 +x = +c 6O x x2 + c2 n2 (x2 + c2 n2 )2 n=N n=N µ ¶ ³X X ´ 1 =O +x + . (2.4.8) 1 2 x Фиксируем ε > 0 так, чтобы α + ε < 1. С использованием свойства 3) из п. 1.2 находим ∞ X

∞ X x nα−1 l(n) 1 l(n) C1 · < < ε. ε 1−ε 2−α−ε (1+ε)/2 (1−ε)/2 2 2 2 2 2 2 1 x c n x (x + c n ) (x + c n ) n=N n=N P Аналогично такая же оценка получается для x 2 . Подставляя эти оценки в (2.4.8) и возвращаясь к (2.4.7), видим, что левые части в (2.4.3) и (2.4.5) отличаются друг от друга на O(x−ε ) при x → ∞. Остается сослаться на лемму 2.4.1 и на свойство 3) из п. 1.2. Лемма 2.4.2 доказана.

x

X

=

Нам понадобятся также оценки произведений типа Бляшке. Пусть zn — последовательность в C с условием ¯ µ ¶¯ X X¯ ¯ | Im zn | ¯ Im 1 ¯ = < ∞. (2.4.9) ¯ ¯ zn |zn |2 Тогда произведение типа Бляшке B(z) =

Y 1 − z/zn 1 − z/¯ zn

(2.4.10)

сходится всюду, кроме точек z¯n [12]. Лемма 2.4.3. Пусть последовательность zn имеет плотность ∆1 = ∆ 6= 0 и расположена в криволинейной полосе 0 < y 6 h(x), x > 0, z = x + iy, где h(t) — положительная функция, удовлетворяющая условиям теоремы 2.4.1. Тогда произведение (2.4.10) типа Бляшке сходится и log |B(iy)| π∆ >− . h(y) cos(πα/2) y→∞ lim

2.4. НУЛИ

33

ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА

Доказательство. Пусть zn = xn + iyn . По условию 0 < yn 6 xαn l(xn ),

xn > 1,

n > n0 ,

(2.4.11)

где l(t) — функция из представления (1.2.2). Так как α < 1, то по свойству 3) из п. 1.2 yn 6 x1−δ n , δ > 0, n > n1 ; в частности, yn = o(xn ). Поэтому |zn | ∼ xn , n → ∞. Значит, во-первых, выполнено условие (2.4.9), гарантирующее сходимость произведения (2.4.10), и, во-вторых, в силу существования плотности ∆1 = ∆ > 0 справедливы неравенства 1−ε 1+ε , D= . ∆ ∆ Отсюда и из свойства 1) (п. 1.2) вытекает, что l(xn ) ∼ l(n), n → ∞; следовательно, dn 6 xn 6 Dn,

n > n2 ;

d=

(1 − ε)l(n) 6 l(xn ) 6 (1 + ε)l(n),

n > n3 .

(2.4.12)

(2.4.13)

Оценим модуль общего члена произведения B(iy) при достаточно больших y. Имеем ¯ µ ¯ ¶1/2 ¯ 1 − iy/zn ¯ 4yyn ¯= 1− ¯ . ¯ 1 − iy/¯ zn ¯ x2n + (y + yn )2

(2.4.14)

По неравенству Коши при y > 0, n ∈ N x2n

4yyn 4yyn 2yn . 6 2 6 2 2 x n + yn xn + (y + yn )

(2.4.15)

x2n

4yyn < ε, + (y + yn )2

(2.4.16)

Так как yn = o(xn ), то отсюда 0<

y > 0,

n > n4 .

Но если 0 < t 6 ε < 1, то log(1 − t) > (1 + δ(ε))(−t), где δ(ε) → 0 при ε → 0. Используя это и (2.4.16) и вспоминая (2.4.14), видим, что при y > 0, n > n4 ¯ ¯ µ ¶ ¯ 1 − iy/zn ¯ 2yy n ¯ > (1 + δ(ε)) − log ¯¯ . (2.4.17) 1 − iy/¯ zn ¯ x2n + (y + yn )2 С помощью неравенств (2.4.11), (2.4.12) и правого неравенства (2.4.13) находим 0<

x2n

2yyn 2yyn 2yxα l(xn ) nα l(n) < 2 6 2 n 2 6 2Dα (1 + ε)y 2 , 2 2 xn + y xn + y y + d2 n2 + (y + yn )

где y > 0, n > n4 . Возвращаясь к (2.4.17), получаем log |B(iy)| =

∞ X n=1

¯ ¯ ∞ X X ¯ 1 − iy/zn ¯ m−1 ¯= log ¯¯ + > 1 − iy/¯ zn ¯ m 1

>O

³1´ y

− 2Dα (1 + ε)(1 + δ(ε))y

∞ X nα l(n) , 2 + d2 n 2 y m

y → ∞.

Так как ε можно взять сколь угодно малым, а δ(ε) → 0 при ε → 0, то остается учесть значения D и d (см. (2.4.12)) и сослаться на лемму 2.4.2 и свойство 3) из п. 1.2 Лемма 2.4.3 доказана. Лемма 2.4.4. Предположим, что последовательность zn имеет плотность ∆1 = ∆ 6= 0, что выполнено условие (2.4.9) и что все точки zn лежат на множестве x > 0,

y > h(x),

z = x + iy,

где h(t) — положительная функция, удовлетворяющая условиям теоремы 2.4.1. Тогда для произведения (2.4.10) справедливо соотношение log |B(iy)| π∆ 6− . y→∞ h(y) cos(πα/2) lim

34

ГЛАВА 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

НУЛЕЙ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ (ЛАПЛАСА)

Доказательство. Условие (2.4.9) гарантирует сходимость произведения (2.4.10). Фиксируем ε ∈ (0, 1/2); тогда из представления (1.2.2) и свойства 3) из п. 1.2 следует, что h(x)= xα l(x) < εx, x > A > 0, где l(t) ∈ L∞ . Введем криволинейный сектор S = (z : x > A, h(x) 6y 6 εx). С точностью до конечного числа на множество S не попали те точки zn , которые лежат в секторе y > εx, x > 0. Но из (2.4.9) следует, что точки zn , лежащие в этом секторе, образуют последовательность нулевой плотности. Значит, сужение последовательности zn на S имеет — подобно всей последовательности — плотность ∆. И так как при удалении сомножителей из произведения (2.4.10) модуль этого произведения не уменьшится, то мы с самого начала можем считать, что последовательность zn , имеющая плотность ∆ > 0, целиком лежит на множестве S, т. е. xn > A > 0,

xαn l(xn ) 6 yn 6 εxn .

(2.4.18)

Так как ε < 1/2, то 0 < 2yn /xn < 1. Поэтому используя (2.4.14), (2.4.15) и неравенство log(1 − t) < −t, 0 < t < 1, имеем ¯ ¯ ¯ 1 − iy/zn ¯ 2yyn ¯ ¯<− log ¯ , y > 0, n ∈ N. (2.4.19) ¯ 2 1 − iy/¯ zn xn + (y + yn )2 В силу (2.4.18) при y > 0, n ∈ N 2yyn 2yxαn l(xn ) > . x2n + (y + yn )2 x2n + (y + εxn )2 Оценивая последнее выражение снизу с помощью (2.4.12) и левого неравенства (2.4.13), найдем: при y > 0, n > m 2yyn 2dα (1 − ε)ynα l(n) . (2.4.20) > x2n + (y + yn )2 y 2 + 2εDyn + (1 + ε2 )D2 n2 Но 2εyDn 6 εy 2 + εD2 n2 , и потому y 2 + 2εyDn + (1 + ε2 )D2 n2 6 (1 + ε)(y 2 + (1 + ε2 )D2 n2 ). Подставляя это в (2.4.20), а затем полученное в (2.4.19), получаем, что ∞ ³1´ nα l(n) 1−ε X log |B(iy)| 6 O y − 2dα . y 1 + ε n=m y 2 + (1 + ε2 )D2 n2

(2.4.21)

Так как y α l(y) = h(y), то по лемме 2.4.2 последнее выражение при y → ∞ эквивалентно величине πdα (1 − ε)h(y) −¡ . ¢1+α (1 + ε2 )1/2 D (1 + ε) cos(πα/2) Но d = (1 − ε)/∆, D = (1 + ε)/∆, а ε можно взять произвольно малым. Кроме того, yh(y) → ∞ по соответствующему свойству класса L (см. п. 1.2). Значит, (2.4.21) дает требуемое соотношение. Лемма 2.4.4 доказана. Доказательство теоремы 2.4.1. Нули функции F (z) в полуплоскости y > 0 и y < 0 обозначаем соответственно через an и −bn . Пусть Y 1 − z/bn Y 1 − z/an , B2 (z) = . B1 (z) = 1 − z/¯ an 1 − z/¯bn Так как F (z) имеет экспоненциальный тип в полуплоскости y > 0 и выполнено условие (2.4.1), то (см. [12]) при y > 0 Z ³π ´ log |F (t)| y dt + h y + log |B1 (iy)|. (2.4.22) log |F (iy)| = F π t2 + y 2 2 R

Применяя эту же формулу к функции F (−z), получаем, что при y > 0 Z ³ π´ y log |F (−t)| log |F (−iy)| = dt + h y + log |B2 (iy)|. F − π t2 + y 2 2 R

(2.4.23)

2.4. НУЛИ

ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА

35

По условию hF (±π/2) = a; кроме того, интегралы в (2.4.22) и (2.4.23) совпадают. Вычитая (2.4.22) из (2.4.23), находим ¯ ¯ ¯ F (−iy) ¯ 1 ¯ = log log ¯¯ + log |B2 (iy)|, y > 0. (2.4.24) F (iy) ¯ |B1 (iy)| Мы будем рассматривать случай sign h = 1. Случай sign h = −1 сводится к нему переходом к функции F (−z). − + Пусть все нули F (z) лежат на первом множестве (2.4.2). Пусть (an ) = (a+ n )∪(an ), где Re an > 0, Re a− n < 0. По теореме Картрайт при любом ε ∈ (0, π/2) сужение множества нулей функции F (z) на каждый из углов | arg z| 6 ε, |π−arg z| 6 ε образует последовательность плотности a/π. Из (2.4.2) и свойств медленно меняющихся функций следует, что за возможным исключением конечного числа − точек эти последовательности включают в себя последовательности a+ n и an соответственно. Это − + − дает возможность дополнить последовательности a+ n и an до последовательностей zn и zn так, + − что каждая из последовательностей zn и zn удовлетворяет условиям леммы 2.4.3 с ∆ = a/π. Обозначим Y 1 − z/z + Y 1 − z/z − n n B+ (z) = , B (z) = . (2.4.25) − 1 − z/¯ zn+ 1 − z/¯ zn− По лемме 2.4.3 a log(1/B± (iy)|) 6 . lim y→∞ h(y) cos(πα/2) Но (an ) ⊆ (zn+ ) ∪ (zn− ). Значит, |B1 (iy)| > |B+ (iy)| · |B− (iy)| и lim

y→∞

log(1/B1 (iy)|) 2a 6 . h(y) cos(πα/2)

Остается подставить это в (2.4.24) и учесть, что |B2 (iy)| < 1, y > 0. Случай первого множества (2.4.2) разобран. Пусть теперь все нули F (z) лежат на втором множестве (2.4.2). По условию h(t) ограничена на каждом отрезке; по определению h(t) > 0 при всех достаточно больших t. Отсюда и из второго условия (2.4.2) следует, что в нижней полуплоскости y < 0 лежит не более конечного числа нулей функции F (z). Не снижая общности, считаем, что в этой полуплоскости нулей у F (z) нет, т. е. в формуле (2.4.24) слагаемое с B2 (iy) отсутствует. − Пусть an , a+ n , an — те же точки, что в доказанной части теоремы. Из условий теоремы и из − теоремы Картрайт следует, что и для a+ n , и для −an выполнены условия леммы 2.4.4 с ∆ = a/π. По этой лемме log(1/|B± (iy)|) a lim > h(y) cos(πα/2) y→∞ в обозначениях (2.4.25) с zn± = a± n . Так как |B1 (iy)| = |B+ (iy)| · |B− (iy)|, то отсюда log(1/|B1 (iy)|) 2a > . h(y) cos(πα/2) y→∞ lim

Подставляя это в (2.4.24), получаем требуем оценку и во втором случае (2.4.2). Теорема 2.4.1 доказана. 2.4.2. В приводимых ниже следствиях предполагается, что F (z) — целая функция, имеющая экспоненциальный тип a в обеих полуплоскостях y ≷ 0 и удовлетворяющая условию (2.4.1). Следствие 2.4.1. Пусть при любом ε > 0 вне полуплоскости Im z 6 H + ε (Im z > H − ε), −∞ < H < ∞, лежит не более конечного числа нулей функции F (z). Тогда ¯ ¯ ¯ ¯ µ ¶ ¯ F (−iy) ¯ ¯ F (−iy) ¯ 2aH 2aH ¯6e ¯>e lim ¯ lim ¯¯ . ¯ y→∞ ¯ F (iy) ¯ y→∞ F (iy) Действительно, если H 6= 0, то, ограничившись случаем нижней полуплоскости, положим h(t) = H +ε и будем считать ε > 0 столь малым, что sign(H +ε) = sign H. Тогда либо h(t), либо −h(t) есть правильно меняющаяся функция порядка α = 0. Меняя h(t) на конечном отрезке (что не нарушит

36

ГЛАВА 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

НУЛЕЙ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ (ЛАПЛАСА)

правильного изменения), добьемся того, чтобы все нули F (z) лежали на первом множестве (2.4.2). По теореме 2.4.1 ¯ ¯ ¯ F (−iy) ¯ ¯ ¯ 6 exp(2a|H + ε| sign H), lim y→∞ ¯ F (iy) ¯ и так как ε можно взять произвольно малым, а |H| sign H = H, то для нижней полуплоскости с H 6= 0 следствие 2.4.1 доказано. Случай H = 0 сразу следует из доказанного случая, в котором |H| можно взять сколь угодно малым. Случай верхней полуплоскости разбирается аналогично. Следствие 2.4.2. Пусть (zn )∞ 1 — нули функции F (z). Если Im zn → H то

(−∞ 6 H 6 ∞),

n → ∞,

¯ ¯ ¯ F (−iy) ¯ ¯ ¯ = e2aH . lim y→∞ ¯ F (iy) ¯

(2.4.26) (2.4.27)

Действительно, случай конечного H содержится в следствии 2.4.1, а случай, когда предел в (2.4.26) равен −∞ (или ∞), сразу из него следует, так как в следствии 2.4.1 можно положить отрицательное (положительное) H сколь угодно большим по модулю и учесть неотрицательность функции |F (−iy)/F (iy)|. Замечание 2.4.2. Условие (2.4.27), будучи необходимым, не является достаточным, как показывает пример функции F (z) = (sin z)/z + 1. Действительно, для этой функции условие (2.4.27) выполнено с H = 0. Однако, нули F (z) не лежат ни в какой горизонтальной полосе. Пусть функция h(t) определена на некоторой полупрямой t > A. Скажем, что последовательность точек (zn )∞ 1 асимптотически распределяется вдоль кривой y = h(|x|), если Im zn = (1 + o(1))h(| Re zn |),

n → ∞.

Следствие 2.4.3. Пусть функция h(t) удовлетворяет условиям теоремы 2.4.1. Тогда если последовательность (zn )∞ 1 нулей функции F (z) асимптотически распределяется вдоль кривой y = h(|x|), то ¯ ¯ ¯ F (−iy) ¯ 2a ¯ ¯∼ log ¯ h(y), y → ∞. ¯ F (iy) cos(πα/2) В самом деле, если фиксировать ε ∈ (0, 1), то по условию все точки zn , начиная с некоторой, попадут на множество (1 − ε)h(| Re z|) 6 Im z 6 (1 + ε)h(| Re z|), (2.4.28) где | Re z| > A1 . Изменим h(t) на конечном отрезке [0, A1 ] так, чтобы все точки zn лежали на множестве (2.4.28), где Re z ∈ R, и чтобы видоизмененная функция сохранила свойства функции h(t), присутствующие в формулировке теоремы 2.4.1. Пользуясь этим, применим: первое утверждение теоремы 2.4.1, заменив h(t) на (1 + ε)h(t), и второе утверждение теоремы 2.4.1, заменив h(t) на (1−ε)h(t), после чего останется учесть, что ε можно взять сколь угодно малым и что |h| sign h = h. 2.4.3. Теперь рассмотрим наиболее интересный случай, когда F (z) есть преобразование Фурье финитной меры, т. е. Za F (z) = eizt dσ(t), var σ(t) < ∞. (2.4.29) −a

Покажем, что в данном случае условиям теоремы 2.4.1 можно придать несколько иную форму. Будем считать без дополнительных оговорок, что точки ±a служат для σ(t) точками роста. Из этого, в частности, следует, что F (z) имеет экспоненциальный тип a в обеих полуплоскостях y > 0, y 6 0. При фиксированном δ ∈ (0, 2a) свяжем с функцией σ(t) функцию ¯−1 ¯ ¯ Zδ ¯ Zδ ¯ ¯ ¯ ¯ X ¯ ¯ ¯ ¯ −yt −yt (2.4.30) (y) = ¯ e dσ(a − t)¯ · ¯ e dσ(t − a)¯ , δ ¯ ¯ ¯ ¯ 0

0

2.4. НУЛИ

ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА

37

которая положительна на полупрямой y > 0, за исключением не более чем P счетного множества точек — нулей числителя и знаменателя. Отметим, что поведение функции δ (y) при y → ∞ (y → −∞) характеризуется поведением функции σ(t) на сколь угодно малых отрезках, прилегающих к точкам ±a. Будем писать mes log E < ∞, если множество E ⊂ (1, ∞) имеет конечную логарифмическую длину, т. е. Z x−1 dx < ∞. E

Предложение 2.4.1. Если F (z) — функция (2.4.29), то для любого δ ∈ (0, 2a) ¯ ¯ X ¯ F (−iy) ¯ ¯ ¯ = (1 + o(1)) (y), y → ∞, y 6∈ E, mes log E < ∞. ¯ F (iy) ¯ δ Лемма 2.4.5. Пусть var(µ(t) : 0 6 t 6 δ) < ∞, причем точка 0 служит для µ(t) точкой роста. Тогда Ã Zδ !−1 e−δy

e−yt dµ(t)

→ 0,

y → ∞,

y 6∈ E,

mes log E < ∞.

0

Доказательство леммы 2.4.5. Рассмотрим целую функцию экспоненциального типа Zδ eizt dµ(t).

M (z) = 0

Так как точка 0 есть точка роста функции µ(t), то hM (π/2) = 0 [59]. Далее, для M (z) выполнено условие (2.4.1). По теореме Альфорса—Хейнса [59, c. 116] из этого условия вытекает, что y −1 log |M (iy)| → hM (π/2) = 0,

y → ∞,

y 6∈ E,

mes log E < ∞.

Значит, при любом ∆ ∈ (0, δ) |M (iy)| > e−∆y ,

y > y1 ,

y 6∈ E,

mes log E < ∞,

откуда и следует утверждение леммы 2.4.5. Доказательство предложения 2.4.1. Пусть δ ∈ (0, 2a), y > 1. Имеем Za

a−δ Z Za e dσ(t) = + = I1 (y) + I2 (y), yt

F (−iy) = −a

−a

a−δ

Z0 y(a−δ)

|I1 (y)| 6 V e

,

I2 (y) = e

ay

e−yt dσ(a − t). δ

Значит,

Ã F (−iy) = e

¡ ¢ O e−δy +

ay

!

Z0 e

−yt

dσ(a − t) ,

y → ∞.

(2.4.31)

δ

Аналогично

Ã F (iy) = eay

¡ ¢ O e−δy +

Z0

! e−yt dσ(t − a) ,

y → ∞.

(2.4.32)

δ

Теперь предложение 2.4.1 следует из (2.4.31), (2.4.32) и леммы 2.4.5. Символ предела будем снабжать «звездочкой», т. е. писать lim∗ , если переменная y не принимает y→∞

значений из некоторого исключительного множества конечной логарифмической длины. Благодаря предложению 2.4.1, в случае (2.4.29) условия теоремы P2.4.1 и ее следствий могут быть записаны в виде предельных соотношений с участием функции δ (y).

38

ГЛАВА 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

НУЛЕЙ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ (ЛАПЛАСА)

Теорема 2.4.2. Пусть функция h(t) с точностью до знака является правильно меняющейся функцией, удовлетворяющей условиям теоремы 2.4.1, причем в случае α = 0 значения h(t) отделены от нуля на некоторой правой полупрямой. Тогда если все нули функции (2.4.29) лежат на первом (втором) множестве (2.4.2), то при любом δ ∈ (0, 2a) Ã ! P P log δ (y) 2a sign h 2a sign h ∗ log δ (y) ∗ lim 6 > lim . y→∞ |h(y)| cos(πα/2) |h(y)| cos(πα/2) y→∞ Следствие 2.4.4. Пусть при любом ε > 0 вне полуплоскости Im z 6 H + ε (Im z > H − ε), −∞ < H < ∞, лежит не более конечного числа нулей функции (2.4.29). Тогда при любом δ ∈ (0, 2a) ¶ µ X ∗X 2aH 2aH ∗ (y) > e . (y) 6 e lim lim δ

y→∞

y→∞

δ

Следствие 2.4.5. Пусть (zn )∞ n=1 , |zn+1 | > |zn | — все нули функции (2.4.29). Тогда если Im zn → H то при любом δ ∈ (0, 2a)

(−∞ 6 H 6 ∞), X

lim∗

δ

y→∞

n → ∞,

(y) = e2aH .

Следствие 2.4.6. Пусть функция h(t) удовлетворяет условию теоремы 2.4.2. Тогда если последовательность (zn )∞ 1 всех корней функции (2.4.29) асимптотически распределяется вдоль кривой y = h(|x|), то при любом δ ∈ (0, 2a) X 2a h(y), y → ∞, y 6∈ Eδ , mes log Eδ < ∞. log (y) ∼ δ cos(πα/2) 2.4.4. Опишем некоторые случаи, когда в формулировках теоремы 2.4.2, а также следствий 2.4.4–2.4.6 можно избавиться от исключительного множества (т. е. писать lim вместо lim∗ ), P а также упростить выражение (2.4.30) для δ (y). Лемма 2.4.6. Если при некотором δ ∈ (0, 2a) Ã Zδ !−1 Ã Zδ e

−δy

e

−yt

dσ(a − t)

→ 0,

0

−δy

!−1 −yt

e

e

dσ(t − a)

→ 0, y → 0,

(2.4.33)

0

то для данного значения δ исключительное множество в предложении 2.4.1, а значит, и в теореме 2.4.2 и ее следствиях 2.4.4–2.4.6 отсутствует. Действительно, предложение 2.4.1 выводилось нами на основании леммы 2.4.5, содержащей условие (2.4.33) вместе с исключительным множеством. Но теперь в (2.4.33) исключительное множество отсутствует. Значит, оно отсутствует и в лемме 2.4.5, и в предложении 2.4.1. Лемма 2.4.7. Пусть функция g(t) интегрируема на (0, δ) и почти всюду сохраняет знак. Тогда Ã Zδ !−1 −δy −yt e e g(t)dt → 0, y → ∞. (2.4.34) 0

Доказательство. Обозначим левую часть в (2.4.34) через E(y). Нужно доказать, что 1/E(y) → ∞, y → ∞. Пусть для определенности g(t) > 0 почти всюду. Фиксируем произвольный отрезок I = [δ1 , δ2 ] ⊂ (0, δ); тогда Z g(δ − v)dv = C(I) > 0, I

1 = E(y) и лемма 2.4.7 верна.

Zδ eyv g(δ − v)dv > eδ1 y C(I) → ∞, 0

y → ∞,

2.4. НУЛИ

39

ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА

Лемма 2.4.8. Пусть функция g(t) интегрируема, положительна и не возрастает на (0, δ] 0 < δ < ∞. Тогда при всех достаточно больших y Z1/y Zδ Z1/y c1 g(t)dt < e−yt g(t)dt < c2 g(t)dt, 0

0

0 < c1 < c2 < ∞.

0

Доказательство. Первая оценка очевидна. Докажем вторую. Запишем Zδ I :=

Z1/y Zδ e−yt g(t)dt = + =: I1 + I2 .

0

0

1/y

В силу монотонности функции g(t) µ ¶ Z1/y µ ¶ ¢ 1 1 ¡ 1 −yt e dt = g 1 − e−1 , I1 > g y y y 0

µ ¶ Zδ µ ¶ ¢ 1 1 1 ¡ −1 −yt I2 6 g e − e−δy . e dt = g y y y 1/y

Значит, если y > y0 , то I2 6 CI1 , и Z1/y I = I1 + I2 6 (1 + C)I1 < (1 + C) g(t)dt. 0

Вторая оценка также верна. Лемма 2.4.8 доказана. Из лемм 2.4.6 и 2.4.7 вытекает Следствие 2.4.7. Пусть при некотором δ0 ∈ (0, 2a) функция σ(t) абсолютно непрерывна на отрезках a − δ0 6 |t| 6 a и на каждом из них производная σ 0 (t) сохраняет знак почти всюду. Тогда в формулировках теоремы 2.4.2 и ее следствий 2.4.4–2.4.6 для δ ∈ (0, δ0 ] исключительное множество отсутствует. Следствие 2.4.8. Пусть для функции σ(t) выполнены условия следствия 2.4.7. Пусть, далее, функция |σ 0 (t)| не возрастает в интервале (−a, −a + δ0) и не убывает в интервале (a − δ0 , a). Пусть, кроме того, при α = 0 в теореме 2.4.2 и в следствии 2.4.6 выполнено условие |h(t)| P → ∞, t → ∞. Тогда в формулировках теоремы 2.4.2 и ее следствий 2.4.4–2.4.6 выражение δ (y) может быть заменено выражением ¯−1 ¯ ¯ Z1/y ¯ Z1/y ¯ ¯ ¯ ¯ X ¯ ¯ ¯ ¯ 0 0 σ (t − a)dt¯ . σ (a − t)dt¯ · ¯ (y) = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0

0

Доказательство. Так как в (2.4.30) присутствует знак модуля, то можно считать, что сама производная σ 0 (t) положительна и не убывает на (a − δ0 , a). Тогда функция σ 0 (a − t) положительна и не возрастает на (0, δ0 ). По лемме 2.4.8 при δ ∈ (0, δ0 ] ¯ ¯ Z1/y ¯ ¯ Zδ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ σ 0 (a − t)dt¯ + O(1), y → ∞. log ¯ e−yt dσ(a − t)¯ = log ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0

Аналогично,

0

¯ ¯ Z1/y ¯ ¯ Zδ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 −yt σ (t − a)dt¯ + O(1), log ¯ e dσ(t − a)¯ = log ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0

0

y → ∞.

40

ГЛАВА 2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Так как |h(t)| → ∞, t → ∞, то отсюда P log (y) δ

h(y)

НУЛЕЙ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

P log (y) = + o(1), h(y)

ФУРЬЕ (ЛАПЛАСА)

y → ∞,

и следствие 2.4.8 доказано. Следствие 2.4.9. Пусть функция σ(t) имеет скачок в точке t = −a, а в окрестности точки t = a допускает асимптотику µ ¶ 1 ρ σ(a − t) ∼ t l , t → 0 + 0; ρ > 0, l(t) ∈ L, (2.4.35) t где l(t) → 0, t → ∞, в случае ρ = 0. Если все нули функции (2.4.29) асимптотически распределены вдоль кривой y = h(|x|), где h(t) удовлетворяет условиям теоремы 2.4.1 и |h(t)| → ∞, t → ∞, в случае α = 0, то ρ h(x) ∼ − log x, x → ∞, когда ρ > 0, 2a µ ¶ 1 1 h(x) ∼ − log , x → ∞, когда ρ = 0. 2a l(x) Доказательство. По абелевой теореме [52] из (2.4.35) следует, что Zδ e−yt dσ(a − t) ∼ Γ(1 + ρ)y −ρ l(y),

y → ∞.

(2.4.36)

0

В силу же наличия скачка у функции σ(t), по теореме 2.3.1 Zδ e−yt dσ(t − a) → const 6= 0,

y → ∞.

(2.4.37)

0

Далее, log l(y) = o(log y), y → ∞, по свойству функции класса L, и l(t) → 0, t → ∞, по предположению (при ρ = 0). Поэтому из (2.4.36) и (2.4.37) следует, что X log (y) ∼ −ρ log y, y → ∞, если ρ > 0, (2.4.38) δ µ ¶ X 1 log (y) ∼ − log , y → ∞, если ρ = 0. (2.4.39) δ l(y) Очевидно, что 1/l(t) ∈ L. Теперь, так как 1/l(t) ∈ L и 1/l(t) → ∞, t → ∞, то log(1/l(t)) ∈ L. Значит, в правых частях (2.4.38) и (2.4.39) присутствуют функции класса L, т. е. правильно меняющиеся функции порядка α = 0. Сопоставляя следствие 2.4.6 с соотношениями (2.4.38) и (2.4.39), получаем требуемую асимптотику для h(x). Следствие 2.4.9 доказано. ПРИМЕЧАНИЯ

И ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ

2

2.1. Материал п. 2.1 частично содержится у Е. К. Титчмарша [51], Г. Пойа [73], Г. Х. Харди и В. Рогозинского [53]. То, что при рассмотрении синус-преобразования Фурье достаточно требовать интегрируемости tf (t) (вместо f (t)) в правой окрестности нуля, замечено И. В. Островским и И. Н. Переселковой [70]. Результаты пп. 2.1.2, 2.1.3, в сущности, принадлежат Г. Пойа [73], хотя в [73] большая часть материала лишь намечена. Приводимое здесь доказательство теоремы 2.1.7 по сравнению с оригиналом упрощено. 2.2. Здесь также представлены теоремы Г. Пойа [73]. Оригинальные доказательства несколько изменены; изменения (принадлежащие автору) относятся к той части доказательств, где применяется формула Иенсена. В статье [37] рассмотрен вопрос о том, как влияет поведение функции f (t) в окрестности точки t = 1 на распределение нулей функций U (z) и V (z) внутри интервалов, фигурирующих в теоремах 2.2.1 и 2.2.2. В [83] показано, что если в теореме 2.2.3 отказаться от условия f (0 + 0) = 0, существенного для ее доказательства, то присутствующие в этой теореме интервалы заменяются интервалами (π, 2π), (2π, 5π/2), (3π, 4π), (4π, 9π/2), . . . .

3.1. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ

ПОВЕДЕНИЕ ФИНИТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛАПЛАСА

41

2.3. М. Картрайт [61] рассматривала целые функции (2.3.1), когда σ(t) абсолютно непрерывна и σ 0 ∈ V [−a, a], причем σ 0 (±a ∓ 0) 6= 0. Для них в [61] доказаны утверждения 1), 2) теоремы 2.3.3. С помощью интегрирования по частям этот случай сводится к случаю σ ∈ V [−a, a], σ(±a ∓ 0) = 0. Теоремы 2.3.1, 2.3.2 и утверждения 1), 3) теоремы 2.3.3 доказаны автором [32], не знавшим в то время о статье [61]. Оригинальное доказательство [61] утверждения 2) теоремы 2.3.3 очень сложно; приводимое здесь упрощенное доказательство взято из [40]. Теорема 2.3.4 принадлежит М. Картрайт [61]. Как доказал В. Э. Кацнельсон [9], даваемые этой теоремой границы для нулей функции F (z) в определенном смысле расширить нельзя. 2.4. Результаты этого пункта принадлежат автору [42, 45, 81]. Приведем два утверждения, доказанные в [81] с помощью результатов п. 2.4. Пусть выполнены условия теоремы 2.1.7. Тогда для того чтобы все нули F (z) лежали в некоторой вертикальной полосе, необходимо и достаточно, чтобы f (0 + 0) > 0 и f (1 − 0) < ∞. Пусть F (z) — функция (2.3.1), пусть σ(a − 0) 6= 0. Тогда для того чтобы все нули F (z) лежали в вертикальной полосе, необходимо и достаточно, чтобы σ(−a + 0) 6= 0. Достаточность содержится в теореме 2.3.2; в [81] доказана необходимая часть.

ГЛАВА 3 ОЦЕНКИ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ И ЛАПЛАСА И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ 3.1. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ

ПОВЕДЕНИЕ ФИНИТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛАПЛАСА

3.1.1. Описание асимптотических свойств преобразований Фурье и Лапласа представляет интерес в связи с различными приложениями. Они будут играть ключевую роль в нашем последующем изучении негармонических рядов Фурье. Для этой цели важно установить асимптотику преобразования Лапласа функций, обладающих дополнительной зависимостью от параметров. Рассмотрим функцию Za e−zu u−α b(u)ϕ(t, z, u)du,

Φα (z, t) =

0 < Re α < 1,

0

где функция ϕ(t, z, u) определена: по t — на некотором множестве T ⊆ R, по z — на некотором неограниченном множестве P ⊆ (z : Re z > 0), по u — на полуинтервале (0, a]. Для степенной функции здесь и в дальнейшем считаем фиксированной ветвь z β = exp(β log z), θ = arg z ∈ (−π, π). Теорема 3.1.1. Пусть b(u) — медленно меняющаяся функция в смысле Зигмунда, имеющая ограниченную вариацию на каждом отрезке [h, a], 0 < h < a, а функция ϕ(t, z, u) удовлетворяет условиям: 1) |ϕ(t, z, u)| 6 M < ∞, t ∈ T, z ∈ P, u ∈ (0, a]; 2) var(ϕ(t, z, u) : 0 < u 6 a) 6 M, t ∈ T, z ∈ P ; 3) ϕ(t, z, u) → ϕ(t, z, 0 + 0) при u → 0 + 0 равномерно по t, z. Тогда при r = |z| → ∞, z ∈ P, равномерно по t µ ¶ 1 α−1 (ϕ(t, z, 0 + 0) + o(1)). Φα (z, t) = Γ(1 − α)z b r Доказательство. Пусть θ = arg z ∈ [−π/2, π/2]. При фиксированных 0 < ω < Ω < ∞ ZΩ/r ZΩ ¡ ¢ −zu −α α−1 e u du = r exp − ueiθ u−α du := rα−1 I. ω/r

ω

(3.1.1)

42

ГЛАВА 3. ОЦЕНКИ

ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ

И

ЛАПЛАСА

И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

Применим теорему Коши к функции e−w w−α к контуру, составленному из отрезков [ω, Ω], [ωeiθ , Ωeiθ ] и соединяющих их дуг Γ1 , Γ2 окружностей |z| = ω, Ω. Получим ZΩ I=e

iθ(α−1)

Z e−x x−α dx + I1 + I2 ,

e−w w−α dw.

Ij =

ω

(3.1.2)

Γj

Покажем, что I1 , I2 → 0 при ω, 1/Ω → 0 равномерно относительно θ. Тогда из (3.1.1) и (3.1.2) будет следовать, что ZΩ/r e−zu u−α du = Γ(1 − α)z α−1 (1 + o(1)) (3.1.3) ω/r

при ω, 1/Ω → 0 равномерно относительно θ. Пусть β = arg w; имеем |β| 6 π/2 на дугах Γ1 , Γ2 . Далее, | exp(−w)| = exp(−|w| cos β) 6 1, и, значит, |I1 | 6 ω − Re α (длина Γ1 ) 6 |I2 | 6 Ω

1−Re α

π 1−Re α ω , 2

Zπ/2 π exp(−Ω cos β)dβ 6 Ω− Re α . 2 0

Следовательно, объявленное утверждение относительно I1 , I2 доказано; (3.1.3) имеет место. Выберем γ, δ > 0 так, чтобы 0 < Re α − γ < Re α + δ < 1, и зафиксируем h > 0 столь малым, чтобы на (0, h] функция uγ−Re α b(u) убывала, а функция uδ b(u) возрастала. Запишем Ã Zω/r ZΩ/r Zh Za ! Φα = S1 + S2 + S3 + S4 =

+ 0

+

ω/r

e−zu u−α b(u)ϕ(t, z, u)du

+

Ω/r

(3.1.4)

h

и оценим по отдельности слагаемые Sj . В силу возрастания функции uδ b(u) и условия 1) ω/r Zω/r ³ ω ´δ ³ ω ´ Z ³ω ´ δ − Re α−δ (u b(u))u du 6 M |S1 | 6 M u− Re α−δ du = M1 rRe α−1 b b ω 1−Re α. (3.1.5) r r r 0

0

При оценке S3 , не снижая общности, считаем функцию ϕ вещественной. Пусть S3 = J1 + iJ2 , где Zh ¡ γ−Re α ¢ ¡ ¢ J1 = u b(u) ϕ(t, z, u) Re e−zu u−γ−i Im α du, Ω/r

а J2 отличается от J1 тем, что перед последней скобкой вместо Re присутствует Im . Пользуясь убыванием функции uγ−Re α b(u), применим к J1 вторую теорему о среднем. Получим Zξ ³ Ω ´γ−Re α ³ Ω ´ ¡ ¢ b Re ϕ(t, z, u) e−zu u−γ−i Im α du, J1 = r r

(3.1.6)

Ω/r

где Ω/r < ξ < h. Рассмотрим функцию Zu E(z, u) = e−zv v −γ−i Im α dv,

Re z > 0,

0 6 u 6 a.

0

Так как Re(γ + i Im α) = γ ∈ (0, 1), то, повторяя рассуждения, приведшие нас к (3.1.3), заключаем, что равномерно по t, u |E(z, u)| = O(rγ−1 ), r → ∞. (3.1.7)

3.1. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ

ПОВЕДЕНИЕ ФИНИТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛАПЛАСА

43

Теперь, интегрируя по частям, видим, что интеграл в (3.1.6) равен ¯ξ ϕ(t, z, u)E(z, u)¯

u=Ω/r

Zξ −

E(z, u)dϕ(t, z, u).

Ω/r

Из условий 1), 2) и оценки (3.1.7) следует, что модуль этого выражения есть O(rγ−1 ) при r → ∞ равномерно по t. Возвращаясь к (3.1.6), имеем ³Ω´ |J1 | 6 CrRe α−1 b Ωγ−Re α. r Аналогичная оценка верна для J2 . Значит, ³Ω´ |S3 | 6 M2 rRe α−1 b Ωγ−Re α , γ − Re α < 0. (3.1.8) r При оценке S4 учтем, что функция H(u) = u−α b(u)ϕ(t, z, u) на отрезке [h, a] имеет ограниченную вариацию и ограничена по модулю (то и другое — равномерно по t, z). С помощью интегрирования по частям получаем, что ¯ Za ¯ ¯ M ¯1 ¯ 3 −zu ¯ |S4 | = ¯ H(u)de ¯ 6 , z ∈ P. (3.1.9) ¯ ¯z r h

Остается оценить S2 . В силу (3.1.3) ZΩ/r ³1´ S2 = b e−zu u−α du+ ϕ(t, z, 0 + 0) r ω/r

ZΩ/r ³ ³1´ ´ + e−zu u−α b(u)ϕ(t, z, u) − b ϕ(t, z, 0 + 0) du = r ω/r

³1´ = Γ(1 − α)z α−1 b ϕ(t, z, 0 + 0)(1 + o(1)) + J, (3.1.10) r где o(1) → 0 при ω, 1/Ω → 0. Оценим входящее в J выражение ³1´ b(u)ϕ(t, z, u) − b ϕ(t, z, 0 + 0) = r µ ³1´ ³ 1 ´¶ +b (ϕ(t, z, u) − ϕ(t, z, 0 + 0)). (3.1.11) = ϕ(t, z, u) b(u) − b r r Так как b(u) ∈ LZ, то (см. п. 1.2) равномерно по ∆ ∈ [η, 1/η] (0 < η < 1) b(∆u) ∼ b(u),

u → 0 + 0.

(3.1.12)

Благодаря этому свойству, при r → ∞ ¶ µ ³ ´¶ µ¯ ³ 1 ´¯ ω Ω 1 ¯ ¯ =o b . max ¯b(u) − b ¯: 6 u 6 r r r r С учетом этого и условий 1), 3) максимум модуля левой части в (3.1.11) по u ∈ [ω/r, Ω/r] есть o(b(1/r)) при r → ∞ равномерно по t, и µ ³ ´¶ ZΩ/r µ ³ ´¶ 1 1 − Re α rRe α−1 Ω1−Re α, |J| 6 o b u du = o b r r

r → ∞.

(3.1.13)

0

Соединим полученные оценки. Пусть ε > 0; из (3.1.5) и (3.1.8) следует, что можно фиксировать ω и 1/Ω столь малыми, чтобы ³ω ´ ³Ω´ |S1 | < εrRe α−1 b , |S3 | < εrRe α−1 b , r r

44

ГЛАВА 3. ОЦЕНКИ

ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ

И

ЛАПЛАСА

И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

а также чтобы входящая в (3.1.10) величина o(1) по модулю была < ε, после чего берем r0 столь большим, чтобы при r > r0 ³1´ |J| < εrRe α−1 b r (что возможно в силу (3.1.13)) и ³1´ |S1 |, |S3 | < 2εrRe α−1 b r (что возможно в силу (3.1.12)). Учитывая это, оценки (3.1.9), (3.1.10) и возвращаясь к (3.1.4), видим, что при r > r0 ³1´ Φα (z, t) = Γ(1 − α)z α−1 b (ϕ(t, z, 0 + 0)(1 + α0 ) + α1 + α2 + α3 + α4 ), r где |α1 |, |α3 | < 2ε, |α0 |, |α2 |, |α4 | < ε. Так как ε произвольно, а |ϕ| 6 M, то этим теорема 3.1.1 доказана. Следствие 3.1.1. Пусть var g < ∞, g(0 + 0) 6= 0, пусть функция b(u) удовлетворяет условиям теоремы 3.1.1, и пусть Za G(z) = e−zu u−α b(u)g(u)du, 0 < Re α < 1. 0

Тогда для любого фиксированного h ∈ R при r → ∞, Re z > h ³1´ G(z) = Γ(1 − α)z α−1 b (g(0 + 0) + o(1)). r Действительно, положив w = z − h, имеем Re w > 0, и к функции Za ¡ ¢ G(w + h) = e−wu u−α b(u) e−hu g(u) du

(3.1.14)

0

e−hu g(u),

применима теорема 3.1.1 с ϕ = P = (w : Re w > 0). Записав для G(w + h) асимптотику, даваемую этой теоремой, и возвращаясь к переменной z, с учетом свойства (3.1.12) получаем асимптотику (3.1.14). Следствие 3.1.2. Пусть b(u) ∈ LZ и 0 < Re α < 1. Тогда найдется функция A(z), аналитическая в полуплоскости Im z > 0, не имеющая там нулей и такая, что ³1´ α−1 A(z) = z b (1 + o(1)), r = |z| → ∞. (3.1.15) r Для доказательства заметим, что по определению класса LZ найдется a0 ∈ (0, a) такое, что функция b(u) имеет ограниченную вариацию на отрезке [ε, a0 ] при любом ε ∈ (0, a0 ). Переопределим функцию b(u) на [a0 , a], полагая b(u) = b(a0 ), a0 6 t 6 a. Тогда функция b(u) удовлетворяет условиям теоремы 3.1.1. По следствию 3.1.1 справедлива асимптотика (3.1.14) в правой полуплоскости Re z > 0. Поэтому у G(z) нет нулей в пересечении этой полуплоскости с внешностью круга |z| < R0 при достаточно большом R0 . Следовательно, достаточно положить A(z) = cG0 (−iz), где G0 (z) = G(z + R0 ), а c — подходящая константа. Следствие 3.1.3. Пусть l(t) ∈ L∞ . Тогда найдется функция B(z), аналитическая в полуплоскости Re z > 0, не имеющая там нулей и такая, что B(z) ∼ l(r),

r = |z| → ∞.

Доказательство. По свойствам 2) и 6) из п. 1.2 найдется функция b(t) ∈ LZ такая, что b(1/r)∼ l(r), r → ∞. Благодаря этому достаточно положить B(z) = cA(iz)(z + 1)1−α , где A(z) — функция из следствия 3.1.2, а c — подходящая константа. Вернемся к функции Φα (z, t). Рассмотрим крайние вещественные случаи α = 0 и α = 1. Теорема 3.1.2. Пусть функция b(t) ∈ LZ и удовлетворяет условиям: 1) b(t) ∈ V [h, a] при любом h ∈ (0, a);

3.1. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ

ПОВЕДЕНИЕ ФИНИТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛАПЛАСА

45

2) b(t) → +∞, t → 0 + 0; 3) b(t) выпукла в интервале (0, h1 ) при некотором h1 ∈ (0, a). Пусть, далее, для функции ϕ(t, z, u) выполнены условия 1), 2) теоремы 3.1.1, а также условие 4) var(ϕ(t, z, u) : 0 < u 6 a) → 0 при h → 0 + 0 равномерно относительно t ∈ T и z ∈ P. Тогда при r = |z| → ∞, z ∈ P ³1´ Φ0 (z, t) = z −1 b (ϕ(t, z, 0 + 0) + o(1)) r равномерно относительно t ∈ T и arg z. Доказательство. Фиксируем h < h1 и ω > 0. Считаем r столь большим, что ω/r < h. Запишем Zω/r Zh Za + + = I1 + I2 + I3 . Φ0 (z, t) = 0

ω/r

(3.1.16)

h

Применяя неравенство var(f g) 6 (var f ) sup |g| + (var g) sup |f | к функциям b(u) и ϕ(t, z, u), с учетом условия 1) теоремы 3.1.2, а также условий 1), 2) теоремы 3.1.1 имеем var(b(u)ϕ(t, z, u) : h 6 u 6 a) 6 M1 (h). (3.1.17) Кроме того, так как Re z > 0 при z ∈ P, то | exp(−zu)| 6 1,

z ∈ P,

u ∈ (0, a].

Поэтому интегрирование по частям в I3 дает равномерную оценку ³1 ´ |I3 | = O , r → ∞. r

(3.1.18)

(3.1.19)

Далее, в силу принадлежности b(u) ∈ LZ, функция b(u)u1/2 положительна и возрастает в полуинтервале (0, ω/r], если r достаточно велико. Беря r именно таким, находим с использованием условия 1) теоремы 3.1.1 и неравенства (3.1.18) Zω/r ω ³ω ´ |I1 | 6 M (b(u)u1/2 )u−1/2 du 6 2M b . r r

(3.1.20)

0

В I2 интегрируем по частям. При этом под b0 (u) понимаем правую производную. В силу выпуклости b(u) (условие 3)) она существует всюду в (0, h1 ), где совпадает с обычной производной, за исключением, быть может, счетного множества. Имеем 1 I2 = − z

Zh b(u)ϕ(t, z, u)de−zu = ω/r

=

´ ¡ ¢ 1³ ³ω ´ ³ ω´ b ϕ t, z, exp −ωeiθ − b(h)ϕ(t, z, h)e−zh + z r r Zh

Zh −zu 0

+

e ω/r

b (u)ϕ(t, z, u)du +

e−zu b(u)dϕ(t, z, u) =: J1 + J2 .

ω/r

Через ε(ω) обозначаем величину, бесконечно малую при ω → 0, а через ε(r, ω) — бесконечно малую величину при r → ∞ и при фиксированном ω (то и другое равномерно относительно r, θ, t и θ, t соответственно). Тогда ³ ¡ ¢ ω´ = ϕ(t, z, 0 + 0) + ε(r, ω) (3.1.21) exp −ωeiθ = 1 + ε(ω), ϕ t, z, r

46

ГЛАВА 3. ОЦЕНКИ

ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ

И

ЛАПЛАСА

И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

(при написании второго соотношения в (3.1.21) мы использовали условие 4)), и в силу условия 1) теоремы 3.1.1 ³1´ 1 1 ³ω ´ I2 = b (ϕ(t, z, 0 + 0) + ε(ω) + ε(r, ω)) + O + (J1 + J2 ). (3.1.22) z r r z Из (3.1.20) следует, что I1 = ε(ω)b(ω/r)/r. Объединяя это с (3.1.19) и (3.1.22), находим ³1´ 1 1 ³ω ´ Φ0 (z, t) = b (ϕ(t, z, 0 + 0) + ε(ω) + ε(r, ω)) + O + (J1 + J2 ). (3.1.23) z r r z По условиям 2), 3) при достаточно малом h функции (−b(u))0 и b(u) положительны и не возрастают на (0, h]. Не ограничивая общности, функцию ϕ полагаем вещественной. Применим к J1 вторую теорему о среднем. Получим Ã ! Zξ1 Zξ2 ³ω ´ J1 = b0 Re exp(−zu)ϕ(t, z, u)du + i Im exp(−zu)ϕ(t, z, u)du , r ω/r

ω/r

где ω/r < ξ1 , ξ2 < h. Теперь, интегрируя по частям с использованием (3.1.18) и условий 1), 2) теоремы 3.1.1, имеем J1 = b0 (ω/r)O(1/r). Величина O(1/r) здесь равномерна. И так как b0 (t) = o(b(t)/t), t → 0 + 0 (см. п. 1.2), то J1 = ε(r, ω)b(ω/r), r → ∞. Далее, из положительности и невозрастания функции b(u) и неравенства (3.1.18) следует, что ³ω ´ ´ ³ ω |J2 | 6 b var ϕ(t, z, u) : 6 u 6 h . r r По условию 4) ³ω ´ |J2 | 6 ε(h)b . r Подставляя полученные оценки для J1 , J2 в (3.1.23), имеем ³1´ 1 ³ω ´ Φ0 (z, t) = b (ϕ(t, z, 0 + 0) + ε(ω) + ε(h) + ε(r, ω)) + O . (3.1.24) z r r Фиксируя сначала ω и h достаточно малыми, а затем r0 достаточно большим, мы можем сделать сумму ε(ω)+ε(h)+ε(r, ω) сколь угодно малой при r > r0 равномерно по t. Далее, в силу условия 2), O(1/r) = o(1/r)b(1/r), и, чтобы теперь из (3.1.24) получить требуемую асимптотику для функции Φ0 (z, t), остается вспомнить, что b(ω/r) ∼ b(1/r) при фиксированном ω и при r → ∞. Теорема 3.1.2 доказана. Обозначим Z1/r B(r) = 0

b(t) dt. t

Теорема 3.1.3. Пусть для функций b(t) и ϕ(t, z, u) выполнены условия теоремы 3.1.1. Пусть, кроме того, Z b(t) dt < ∞. t 0

Тогда при r = |z| → ∞, z ∈ P Φ1 (z, t) = B(r)(ϕ(t, z, 0 + 0) + o(1)) равномерно относительно t ∈ T и arg z. Доказательство. Так как b(u) ∈ LZ, то функция u−1 b(u) положительна и убывает на (0, h] при некотором h ∈ (0, a). Считаем ω достаточно малым, а r достаточно большим. Запишем Φ1 (z, t) в виде суммы (3.1.16) и оценим интегралы Ik . Поступая точно так же, как в начале доказательства теоремы 3.1.2, сперва имеем оценку ¡ ¢ var u−1 b(u)ϕ(t, z, u) : h 6 u 6 a 6 M1 (h) (взамен (3.1.17)), а затем и равномерную оценку (3.1.19).

3.1. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ

ПОВЕДЕНИЕ ФИНИТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛАПЛАСА

47

Далее, по условию 3) теоремы 3.1.1 ϕ(t, z, u) = ϕ(t, z, 0 + 0) + R(t, z, u), где |R(t, z, u)| 6 ε(r, ω), 0 < u 6 ω/r. Значит, Zω/r I1 = ϕ(t, z, 0 + 0) 0

b(u) −zu e du + u

Zω/r b(u) −zu R(t, z, u) e du. u 0

Обозначим через K1 , K2 интегралы в правой части. Благодаря (3.1.18) Zω/r |K2 | 6 ε(r, ω) 0

³r´ b(u) . du = ε(r, ω)B u ω

Используя первое соотношение (3.1.21), имеем Ã Zω/r ! Zω/r ³r´ ¡ −zu ¢ b(u) b(u) K1 = ϕ(t, z, 0 + 0) du + e −1 du = ϕ(t, z, 0 + 0)(1 + ε(ω))B . u u ω 0

(3.1.25)

(3.1.26)

0

Объединяя (3.1.25), (3.1.26), получаем ³r´ ³r´ (ϕ(t, z, 0 + 0)(1 + ε(ω)) + ε(r, ω)) = B (ϕ(t, z, 0 + 0) + ε(ω) + ε(r, ω)), (3.1.27) ω ω так как по условию 1) теоремы 3.1.1 |ϕ| равномерно ограничен. Теперь, считая ϕ вещественной и пользуясь убыванием и положительностью функции u−1 b(u), применим к Re I2 , Im I2 вторую теорему о среднем. Получим Ã ! Zξ1 Zξ2 r ³r´ Re e−zu ϕ(t, z, u)du + i Im e−zu ϕ(t, z, u)du , (3.1.28) I2 = b ω ω I1 = B

ω/r

ω/r

где ω/r < ξ1 , ξ2 < h. Интегрируя по частям и применяя условия 1), 2) теоремы 3.1.1, видим, что выражение в скобках в (3.1.28) допускает равномерную оценку O(1/r). Значит, |I2 | 6 (c/ω)b(ω/r), где c от θ и t не зависит. Но b(ω/r) = o(B(r/ω)), r → ∞, при фиксированном ω (см. п. 1.2). В итоге полученная оценка для I2 , оценки (3.1.19) и (3.1.27) вместе с (3.1.16) дают ³r´ ³1´ Φ1 (z, t) = B (ϕ(t, z, 0 + 0) + ε(ω) + ε(r, ω)) + O . (3.1.29) ω r Фиксируем ω столь малым, чтобы |ε(ω)| < ε/2, после чего берем r0 столь большим, чтобы |ε(r, ω)| < ε/2, r > r0 . Тогда |ε(ω) + ε(r, ω)| < ε, r < r0 . По свойству 7) из п. 1.2 B(r) ∈ L∞ , и потому ³r´ ³1´ B ∼ B(r), O = o(B(r)), r → ∞. ω r Подставляя полученные оценки в (3.1.29), получаем требуемую асимптотику. Тем самым теорема 3.1.3 доказана. Предложение 3.1.1. Пусть для функции b(t) выполнены условия теоремы 3.1.3, а функция ϕ(z, u) определена для z ∈ P, где P имеет прежний смысл, и для u ∈ [0, a], причем: 1) существует h1 ∈ (0, a] такое, что ϕ(z, u) = ϕ(z, 0),

0 < u 6 h1 ,

z ∈ P;

2) var(ϕ(z, u) : u ∈ [0, a]) 6 M < +∞, z ∈ P ; 3) |ϕ(z, u)| 6 M, u ∈ [0, a], z ∈ P. Тогда при r → ∞, z ∈ P Za ³1´ b(u) ϕ(z, u)du = B(r)ϕ(z, 0)(1 + o(1)) + O Φ1 (z) := e−zu u r 0

равномерно относительно arg z.

48

ГЛАВА 3. ОЦЕНКИ

ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ

И

ЛАПЛАСА

И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

Действительно, при достаточно малом h > 0 функция b(u)/u убывает на (0, h) и ϕ(z, u) = ϕ(z, 0) при 0 6 u 6 h. Тогда при ω/r < h записываем Φ1 (z) в виде правой части (3.1.16). Благодаря условиям 2), 3), для I3 верна оценка (3.1.19). Для I2 сохраняется оценка (3.1.28). Далее, в силу условия 1) Ã Zω/r ! Zω/r ¡ −zu ¢ b(u) b(u) I1 = ϕ(z, 0) du + e −1 du . u u 0

0

Но это выражение лишь первым сомножителем отличается от величины K1 из доказательства теоремы 3.1.3. Поэтому ³r´ (1 + ε(ω)). I1 = ϕ(z, 0)B ω Объединяя оценки для Ik и пользуясь тем, что b(r/ω) = o(B(r/ω)), убеждаемся в справедливости предложения 3.1.1. 3.1.2. Здесь мы займемся изучением финитных преобразований Фурье специального вида. Они понадобятся в дальнейшем. Пусть Za b(a − |t|) L(z) = eizt k(t)dt, k(t) ∈ V [−a, a], k(±a ∓ 0) 6= 0. (3.1.30) (a − |t|)α −a

Теорема 3.1.4. Пусть 0 < Re α < 1, а функция b(t) удовлетворяет условиям теоремы 3.1.1. Тогда: 1) все корни функции L(z), за исключением, быть может, конечного числа, просты, и для них имеет место асимптотическая формула: при n → ±∞ µ ¶ µ ¶ π 1−α 1 k(−a + 0) λn = n+ sign n + log − + o(1); (3.1.31) a 2 2ai k(a − 0) 2) если dist(z, Λ) > δ > 0 и |z| > δ, то справедливы оценки 0 < c1 (δ) 6

|L(z)| |z|Re α−1 b(1/r) exp(a|y|)

6 c2 (δ) < ∞.

(3.1.32)

Доказательство. Разбивая интеграл в (3.1.30) на два — по (0, a) и по (−a, 0), запишем L(z) = L1 (z) + L2 (z). Имеем Za iaz L1 (z) = e e−izu u−α b(u)k(a − u)du. (3.1.33) 0

По следствию 3.1.1 в каждой полуплоскости Im z 6 h (h > 0) при r = |z| → ∞ ³1´ L1 (z) = Γ(1 − α)eiaz (iz)α−1 b (k(a − 0) + o(1)). r В частности, в каждой горизонтальной полосе | Im z| 6 h n³ ´o ³1´ π exp i az + (α − 1) sign x (k(a − 0) + o(1)), L1 (z) = Γ(1 − α)rα−1 b r 2 где величина o(1) равномерна. Аналогично для Za −iaz L2 (z) = e eizu u−α b(u)k(u − a)du

(3.1.34)

(3.1.35)

0

имеем: в каждой полуплоскости Im z > −h при r → ∞ ³1´ L2 (z) = Γ(1 − α)(−iz)α−1 b e−iaz (k(−a + 0) + o(1)) r и равномерно в каждой полосе | Im z| 6 h ³1´ n ³ ´o π L2 (z) = Γ(1 − α)rα−1 b exp −i az + (α − 1) sign x (k(−a + 0) + o(1)), r 2

(3.1.36)

(3.1.37)

3.1. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ

ПОВЕДЕНИЕ ФИНИТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ЛАПЛАСА

49

Утверждается, что при достаточно большом h вне полосы | Im z| 6 h нет нулей L(z) и 0 < c1 6

|L(z)| rRe α−1 b(1/r)ea|y|

6 c2 < ∞.

(3.1.38)

Для доказательства рассмотрим функцию H(z) = L1 (z)/A(z), где A(z) — функция из следствия 3.1.2. Из (3.1.33) вытекает, что |L1 (z)| ограничен в верхней полуплоскости; вместе с асимптотикой (3.1.15) это показывает, что H(z) имеет минимальный тип при порядке 1 в полуплоскости y > 0. Но из (3.1.15) и (3.1.34) следует, что |H(z)| ограничен на вещественной оси. По теореме Фрагмена—Линдел¨ефа |H(z)| ограничен при y > 0, т. е. ³1´ |L1 (z)| 6 C|A(z)| 6 C1 rRe α−1 b , y > 0. r С учетом этого и (3.1.36) имеем: если h достаточно велико, то ³1´ |L(z)| 6 |L1 (z)| + |L2 (z)| 6 CrRe α−1 b eay , y > 0, r ³1´ eay , y > h > 0. |L(z)| > |L2 (z)| − |L1 (z)| > c1 (h)rRe α−1 b r Значит, при Im z > h нет нулей L(z) и справедливы оценки (3.1.38). Аналогично рассматривается случай Im z 6 −h. Итак, вне полосы | Im z| 6 h нет нулей L(z) и справедливы оценки (3.1.38). Если же | Im z| 6 h, то, обозначая k(a − 0) = eiA , k(−a + 0) = eiB , имеем согласно (3.1.35) и (3.1.36) при x → ±∞ µ ¶ L(z) A+B π A−B = 2i exp sin az + (α − 1) sign x + + o(1). Γ(1 − α)rα−1 b(1/r) 2 2 2 Отсюда следует асимптотика (3.1.31). Отсюда же вытекает утверждение 2) для полосы | Im z| 6 h (для внешности этой полосы оно уже установлено). Далее, производная L0 (z) имеет тот же вид, что и L(z), только k(t) меняется на itk(t). Поэтому в асимптотике (3.1.31) для нулей производной L0 (z) под знаком логарифма изменится знак, что означает сдвиг последовательности Λ на π/(2a). Следовательно, L0 (λn ) 6= 0 при |n| > n0 , т. е. при |n| > n0 нули L(z) просты. Теорема 3.1.4 доказана. Замечание 3.1.1. Класс целых функций, описываемых теоремой 3.1.4, содержит две интересные модели. Во-первых, в этот класс входят функции (2/z)ν Jν (z), где Jν (z) — функции Бесселя (см. предисловие). Во-вторых, имеют место следующие тождества [67]: ¶ ¶ µ Zπ ∞ µ Y z2 1 t 2β izt 1− (3.1.39) = c(β) e dt, Re β > − , cos 2 (n + β) 2 2 n=1

−π

∞ µ Y z 1− n=1

z2 (n + β)2

¶

βc(β) = i

Zπ eizt −π

sin(t/2) dt, (cos(t/2))1−2β

Re β > 0,

(3.1.40)

где

Γ2 (1 + β) . (πΓ(1 + 2β)) В обеих моделях b(t) ≡ 1. В тождестве (3.1.40) α = 1 − 2β, β = (1 − α)/2, λn = n + ((1 − α)/2) sign n; уместно сравнить эту точную формулу для λn с асимптотикой (3.1.31). c(β) = 22β−1

Из теоремы 3.1.4 и тождеств (3.1.39) (где в роли α выступает −2β) и (3.1.40) (где α = 1 − 2β) вытекает Следствие 3.1.4. Вне кружков одинакового радиуса с центрами в точках n + β sign n (n ∈ Z) справедлива оценка ¯ ∞ µ ¶¯¯ ¯ Y 1 z2 ¯ ¯ 1− (3.1.41) ¯ ³ |z|−2 Re β eπ|y| , 0 < | Re β| < . ¯z 2 ¯ (n + β) ¯ 2 n=1

50

ГЛАВА 3. ОЦЕНКИ

ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ

И

ЛАПЛАСА

И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

Замечание 3.1.2. Как покажет теорема 8.1.6, оценка (3.1.41) остается верной и при Re β = 0, после чего легко доказывается ее справедливость для всех Re β > −1/2. Теорему 3.1.4 мы доказали, опираясь на теорему 3.1.1. Повторяя рассуждения, но используя теоремы 3.1.2, 3.1.3 вместо теоремы 3.1.1, получаем следующие результаты. Теорема 3.1.5. Пусть в (3.1.30) α = 0, а для функции b(t) выполнены условия теоремы 3.1.2. Тогда имеют место утверждения 1), 2) теоремы 3.1.4 с α = 0. Теорема 3.1.6. Пусть в (3.1.30) α = 1, а для функции b(t) выполнены условия теоремы 3.1.3. Тогда имеет место утверждение 1) теоремы 3.1.1 с α = 1 вне кружков радиуса δ с центрами в точках λn и 0 справедливы оценки 0 < c1 (δ) 6

|L(z)|e−a|y| 6 c2 (δ) < ∞. B(r)

3.2. КОМПЛЕКСНЫЕ

ВАРИАНТЫ АБЕЛЕВОЙ ТЕОРЕМЫ

Мы рассматриваем преобразование Лапласа и преобразование Лапласа—Стилтьеса Z Z −zt F (z) = e f (t)dt, M (z) = e−zt dµ(t) R+

(3.2.1)

R+

в следующих предположениях: f (t) — локально интегрируемая функция такая, что F (x) существует при всех x > 0; µ(t) — неубывающая функция такая, что M (x) существует при всех x > 0. Ясно, что тогда функции F (z) и M (z) аналитичны в правой полуплоскости Re z = x > 0. Через Sβ обозначаем угол | arg z| < β. Теорема 3.2.1. Пусть Re α > −1, и пусть f (t) ∼ tα l(t),

t → +0

(t → +∞),

где l(t) ∈ L0 (L∞ ). Тогда равномерно в каждом угле Sβ , β < π/2, ³1´ 1 F (z) ∼ Γ(1 + α)l , z → ∞ (z → 0), r z 1+α Теорема 3.2.2. Пусть ρ > 0, и пусть µ(t) ∼ tρ l(t),

(3.2.2)

r = |z|.

(3.2.3)

t → +0 (t → +∞),

где l(t) ∈ L0 (L∞ ). Тогда равномерно в каждом угле Sβ , β < π/2, ³1´ 1 M (z) ∼ Γ(1 + ρ)l , z → ∞ (z → 0). r zρ Для доказательства теорем 3.2.1, 3.2.2 понадобится Теорема (Теорема Линдел¨ефа [4]). Пусть функция H(z) аналитична и ограничена на множестве |z| > R, z ∈ Sβ (|z| < R, z ∈ Sβ ), β < π. Тогда если H(x) → a, x → ∞ (x → 0), то H(z) → a, z → ∞ (z → 0) равномерно в каждом угле Sβ−ε , ε > 0. Доказательство теоремы 3.2.1. Предположим, что условие (3.2.2) выполнено для t → 0, где l(t) ∈ L0 . Тогда l(1/t) ∈ L∞ . По следствию 3.1.3 существует функция B(z), аналитическая и без нулей в полуплоскости Re z > 0 и такая, что B(z) ∼ l(1/r), r = |z| → ∞. Рассмотрим аналитическую функцию H(z) = Имеем

z 1+α F (z) , B(z)

|z| > 1,

r1+Re α |H(z)| 6 C l(1/r)

z ∈ Sβ+ε ,

β+ε<

Z e−xt |f (t)|dt, R+

x = Re z.

π . 2

3.2. КОМПЛЕКСНЫЕ

51

ВАРИАНТЫ АБЕЛЕВОЙ ТЕОРЕМЫ

По условию |f (t)| ∼ tRe α l(t), t → 0. И так как теорема 3.2.1 верна для вещественных z [62], то ³ r ´1+Re α µl(1/x)¶ |H(z)| 6 C1 , z ∈ Sβ+ε . (3.2.4) x l(1/r) Так как β + ε < π/2, то C(1/x) 6 1/r 6 1/x, и потому l(1/x) ∼ l(1/r), r → ∞, по соответствующему свойству функций класса L (см. п. 1.2). Значит, (3.2.4) дает |H(z) 6 C2 < ∞,

|z| > R2 ,

z ∈ Sβ+ε .

В силу справедливости теоремы 3.2.1 для вещественных z, имеем H(x) → Γ(1+α), x → ∞. Значит, выполнены условия теоремы Линдел¨ефа. По ней H(z) → Γ(1 + α), z → ∞ равномерно в угле Sβ . А это и означает справедливость асимптотики (3.2.3) при z → ∞. Случай z → 0 рассматривается аналогично. Теорема 3.2.1 доказана. Теорема 3.2.2 доказывается по аналогии; для вещественных z она доказана в [52]. Благодаря теореме 3.2.2 мы можем присоединить к теореме 3.2.1 крайнее значение α = 1. Следствие 3.2.1. Пусть f (t) ∼ t−1 l(t), t → 0, где l(t) ∈ L0 . Тогда равномерно в каждом угле Sβ , β < π/2, Z1/r F (z) ∼ t−1 l(t)dt,

z → ∞,

r = |z|.

0

Следствие 3.2.2. Пусть f (t) ∼

t−1 l(t),

t → ∞, где l(t) ∈ L∞ , причем

Z∞ t−1 l(t)dt = ∞.

(3.2.5)

Тогда равномерно в каждом угле Sβ , β < π/2, Z1/r t−1 l(t)dt, F (z) ∼

z → 0,

(3.2.6)

A

где A — достаточно большое число. Доказательство. Часть первого интеграла в (3.2.1), отвечающая полупрямой (δ, ∞), δ > 0, имеет экспоненциальное убывание. Поэтому и по условию следствия 3.2.1 мы можем считать, что f (t) = t−1 l(t), 0 < t 6 δ; f (t) = 0, t > 0. Пусть Zt µA (t) = u−1 l(u)du, 0 6 A < t. A

Тогда мы можем записать F (z) в виде M (z). Так как l(t) > 0, то µ0 (t) не убывает. Далее, так как l(t) ∈ L0 , то и µ0 (t) ∈ L0 (п. 1.2). Следовательно, выполнено условие теоремы 3.2.2 при t → 0, ρ = 0, и мы получаем утверждение следствия 3.2.1. Пусть A — достаточно большое число. Часть первого интеграла в (3.2.1), соответствующая интервалу (0, A), есть O(1). С другой стороны, в силу (3.2.5) правая часть в (3.2.6) стремится к бесконечности при r → 0. Поэтому мы можем считать, что f (t) = 0, 0 < t 6 A; f (t) = t−1 l(t), t > A. Снова µA (t) не убывает и µA (t) ∈ L∞ вместе с l(t). Значит, выполнено условие теоремы 3.2.2 при t → ∞, ρ = 0. По ней асимптотика (3.2.6) имеет место. Оба следствия доказаны. Применим полученные результаты к целым функциям вида Za ezt g(t)dt,

G(z) = −a

0 < a < ∞,

g(t) ∈ L1 (−a, a).

52

ГЛАВА 3. ОЦЕНКИ

ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ

И

ЛАПЛАСА

И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

Следствие 3.2.3. Пусть Re α > −1 и при t → a − 0 ¡ ¢ g(t) ∼ (a − t)α l(a − t) g(t) ∼ (a − t)−1 l(a − t) ,

(3.2.7)

где l(t) ∈ L0 . Тогда при r → ∞ в каждом угле Sβ , β < π/2, Ã ! Z1/r eaz Γ(1 + α)l(1/r) l(t) G(z) ∼ dt . G(z) ∼ eaz z 1+α t 0

Следствие 3.2.4. Пусть функция ν(t) ∈ V [−a, a] и не возрастает в некоторой левой окрестности точки t = a. Тогда следующие условия эквивалентны: 1) выполнено соотношение ν(t) ∼ (a − t)ρ l(a − t),

t → a − 0,

ρ > 0,

2) равномерно в каждом угле Sβ , β < π/2, Za eaz Γ(1 + ρ)l(1/r) N (z) := ezt dν(t) ∼ , zρ

l(t) ∈ L0 ;

(3.2.8)

r → ∞.

−a

Доказательство. Фиксируем δ > 0. Тогда a−δ Z Za Zδ ¡ x(a−δ) ¢ az G(z) = =O e +e + e−zt g(a − t)dt. −a

0

a−δ

Теперь утверждение следствия 3.2.3 вытекает из теоремы 3.2.1. По аналогии импликация 1) =⇒ 2) в следствии 3.2.4 вытекает из теоремы 3.2.2. Импликация 2) =⇒ 1) верна на основании тауберовой теоремы Караматы [52, гл. 13, раздел 5]. Следствия 3.2.3 и 3.2.4 доказаны. Замечание 3.2.1. В частности, если условие (3.2.7) ((3.2.8)) выполнено, то функция G(z) (N (z)) имеет не более конечного числа нулей в каждом угле Sβ , β < π/2. Следствия 3.2.3 и 3.2.4 могут быть переформулированы для правой окрестности точки t = −a и для угла | arg z − π| 6 β < π/2. 3.3. УБЫВАЮЩИЕ 3.3.1.

ФИНИТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ФУРЬЕ

И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ К АППРОКСИМАЦИИ

Целые функции вида Za eizt dσ(t),

F (z) =

0 < a < ∞,

var σ(t) < ∞,

(3.3.1)

−a

не могут убывать вдоль вещественной оси слишком быстро, так как в этом случае сходится интеграл Z log− |F (x)| dx (log− x = min(0, log x)) 1 + x2 R

(см. [12]). Поэтому если |F (x)| 6 exp(−ω(|x|)), где ω(x) > 0, то

Z∞

|x| > x0 ,

ω(x) dx < +∞. x2

(3.3.2)

(3.3.3)

Интересно, что верен и обратный факт. Справедлива Теорема 3.3.1. Пусть ω(x) — положительная неубывающая функция (x > 0), для которой выполнено условие (3.3.3). Тогда для любого a > 0 найдется целая функция F (z) вида (3.3.1), удовлетворяющая оценке (3.3.2).

3.3. УБЫВАЮЩИЕ

ФИНИТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ФУРЬЕ

53

И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ К АППРОКСИМАЦИИ

Доказательство. Фиксируем последовательность (εn )∞ 1 ↓ 0 так, чтобы ∞ X

εn 6 a;

(3.3.4)

1

положим F (z) =

∞ Y

cos(εn z).

1

Равномерная сходимость этого произведения на компактах в C гарантируется сходимостью ряда в (3.3.4). Далее, так как | cos z| 6 exp(| Im z|), то µµ X ¶ ¶ ∞ |F (z)| 6 exp εn |y| . 1

Вместе с (3.3.4) это означает, что F (z) — целая функция экспоненциального типа 6a, ограниченная на вещественной оси. Пусть 0 < γ < π/2, cos γ = e−1/2 , γ < 1. При фиксированном x > 0 обозначим через ν(x) количество натуральных чисел n таких, что cos(εn x) 6 cos γ = e−1/2 . Тогда |F (x)| 6 exp(−ν(|x|)/2), и нам остается уточнить выбор εn с тем, чтобы при достаточно больших x выполнялось неравенство ν(x) > 2ω(x). Мы только уменьшим ν(x), если будем учитывать лишь те n, для которых γ 6 εn x 6 1. Последние неравенства перепишем в виде 1 1 x6 6 ρx, ρ = > 1. (3.3.5) εn γ Пусть ϕ(y) — положительная возрастающая функция (y > 0) такая, что ϕ(n) = 1/εn . Пусть ψ(x) — обратная к ней функция. Тогда условия (3.3.5) записываются в виде ψ(x) 6 n 6 ψ(ρx), откуда следует, что ν(x) > ψ(ρx) − ψ(x), и мы добиваемся требуемого неравенства ν(x) > 2ω(x), положив Zx 2 ω(t) ψ(x) = dt, x > x0 . (3.3.6) log ρ t x0

В самом деле, 2 ν(x) > ψ(ρx) − ψ(x) = log ρ

Zρx x

ω(t) dt > 2ω(x), t

x > x0 .

Итак, мы задаем ψ(x) посредством (3.3.6). Затем полагаем εn = 1/ϕ(n), где ϕ — обратная функция к ψ. Остается убедиться, что выполнено условие (3.3.4). Имеем N X 1

εn =

N X 1

1 < ϕ(n)

Таким образом, в силу (3.3.3) ряд

P

ZN 0

dy = ϕ(y)

ϕ(N Z )

x0

dψ(x) 2 = x log ρ

ϕ(N Z )

x0

ω(x) dx. x2

εn сходится и его сумма ограничена сверху выражением Z∞ 2 ω(x) dx, log ρ x2 x0

которое может быть сделано меньше a за счет выбора x0 . Итак, построенная целая функция F (z) имеет экспоненциальный тип 6a и удовлетворяет оценке (3.3.2). Покажем, что F (z) представима в виде (3.3.1). Из формулы Эйлера 2 cos(εn z) = eiεn z +e−iεn z следует, что функция cos(εn z) есть преобразование Фурье—Стилтьеса функции ограниченной вариации (равной 1), сосредоточенной на [−εn , εn ]. Но тогда функция N Y cos(εn z) FN (z) = 1

54

ГЛАВА 3. ОЦЕНКИ

ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ

И

ЛАПЛАСА

И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

также есть преобразование Фурье—Стилтьеса некоторой функции σN (t) ограниченной вариации, равной 1, носитель которой содержится на [−a, a]. Обозначим через σ(t) слабый предел σN (t). В силу построения получим представление (3.3.1). Теорема 3.3.1 доказана. 3.3.2. Для применения теоремы 3.3.1 к вопросу о полноте систем экспонент (степеней) нам понадобится следующая Теорема 3.3.2. Пусть для последовательности Λ = (λn )∞ 1 , 0 < |λn | 6 |λn+1 |, выполнено условие ∞ X 1 < ∞. (3.3.7) |λn | n=1

Тогда бесконечное произведение G(z) = z

m

¶ ∞ µ Y z2 1− 2 m ∈ Z+ λn

n=1

определяет целую функцию минимального типа при порядке 1 с оценкой |G(x)| 6 exp(θ(|x|)),

x ∈ R,

где θ(x) — положительная возрастающая функция, для которой Z∞ 0

θ(x) dx < ∞. x2

Доказательство. Ясно, что nΛ (t) = 0 в некоторой правой окрестности нуля. Из условия (3.3.7) следует, что последовательность Λ имеет нулевую плотность при порядке 1. По эквивалентному определению плотности nΛ (t)/t → 0, t → ∞. Пользуясь этим при интегрировании по частям, находим Z∞ Z∞ ∞ nΛ (t) dnΛ (t) X 1 = < ∞. (3.3.8) dt = t2 t |λn | 0

1

0

Теперь оценим |G(z)|. По условию (3.3.7) бесконечное произведение G(z) сходится равномерно на компактах в C, т. е. G(z) — целая функция. Имеем (log+ x = max(0, log x)) log |G(z)| 6 m log+ |z| +

∞ X n=1

µ ¶ µ ¶ Z∞ |z|2 |z|2 + log 1 + = m log |z| + log 1 + 2 dnΛ (u). |λn |2 u 0

После интегрирования по частям получаем Z∞ log |G(z)| 6 m log+ |z| + 2 0

nΛ (u) |z|2 du. u u2 + |z|2

(3.3.9)

Обозначим правую часть через θ(|z|). Тогда требуемая оценка для |G(x)| верна. Из nΛ (t)/t → 0, t → ∞, следует, что θ(t)/t → 0, t → ∞, и тогда (3.3.9) показывает, что G(z) — целая функция класса [1, 0]. Положительность и возрастание θ(t) очевидны. Наконец, Z∞ 1

θ(t) dt = C + 2 t2

Z∞ 1

dt t2

Z∞ 0

nΛ (u) t2 du = u u2 + t2 Z∞ =C+ 0

в силу (3.3.8), и теорема 3.3.2 доказана.

nΛ (u) du u

Z∞ 1

dt π 6C+ 2 2 u +t 2

Z∞ 0

nΛ (u) du < ∞, u2

3.3. УБЫВАЮЩИЕ

ФИНИТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ФУРЬЕ

И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ К АППРОКСИМАЦИИ

55

Теорема 3.3.3. Пусть для последовательности (λn )∞ 1 , 0 < |λn | 6 |λn+1 |, выполнено условие (3.3.7). Тогда при любом a > 0 найдется целая функция H(z) вида Za eizt h(t)dt,

H(z) =

h ∈ C[−a, a],

h(±a) = 0,

(3.3.10)

−a

обращающаяся в 0 в точках λn . Доказательство. Для последовательности λn выполнено условие теоремы 3.3.2. Пусть G(z), θ(x) — функции из теоремы 3.3.2. Тогда для функции ω(x) = θ(x) + log(1 + x2 ), x > 0, выполнено условие (3.3.3) теоремы 3.3.1. Пусть F (z) — функция из этой теоремы. Рассмотрим функцию H(z) = F (z)G(z). Ясно, что H(z) — целая функция экспоненциального типа 6a, обращающаяся ¡ ¢ 2 −1 в нуль в точках λn и такая, что H(x) = O (1 + x ) , x ∈ R. В частности, H(x) ∈ L2 (R). По теореме Пэли—Винера H(z) представима в виде (3.3.10) с h(t) ∈ L2 (−a, a). Но H(x) ∈ L1 (R), а h(t) есть преобразование Фурье функции H(x). Поэтому h(t) ∈ C(R). Но h(t) = 0 вне [−a, a]. Значит, h(t) ∈ C[−a, a], h(±a) = 0. Теорема 3.3.3 доказана. 3.3.3.

Докажем следующую теорему.

Теорема 3.3.4. Пусть −∞ < A δ|λn |, δ > 0, и достаточно, чтобы ∞ X 1 = ∞. (3.3.12) |λn | n=1

Доказательство. Достаточность. Предположим противное: система (3.3.11) неполна в Lp (A, B). Тогда найдется линейный функционал на Lp (A, B), аннулирующий систему (3.3.11). Другими словами, найдется функция g(t) ∈ Lq (A, B), g 6≡ 0, 1/p + 1/q = 1, такая, что целая функция ZB eizt g(t)dt

L(z) =

(3.3.13)

A

P обращается в 0 в точках λn . Так как | Im λn | > δ|λn |, δ > 0, то по теореме Картрайт 1/|λn | < ∞, что противоречит условию (3.3.12). Мы разобрали случай Lp ; случай C разбирается так же. Необходимость. Предположим, что условие (3.3.12) не выполнено, и докажем, что система (3.3.11) неполна в L1 (A, B) (подавно она будет неполна и во всех других пространствах, фигурирующих в теореме). Для этого достаточно построить целую функцию L(z) вида (3.3.13) с g ∈ L∞ (A, B) такую, что L(λn ) = 0 при всех n. Для последовательности λn выполнено условие (3.3.7). Пусть a = (B − A)/2, и пусть H(z) — функция из теоремы 3.3.3. Тогда функция L(z) = H(z)ei(A+a)z удовлетворяет всем нужным требованиям. Теорема 3.3.4 доказана. ¡ ¢ Заменяя в (3.3.11) iλn на −λn , получаем переформулировку теоремы 3.3.4 для системы e−λn t . При этом условие | Im λn | > δ|λn | заменится условием | Re λn | > δ|λn |,

δ > 0.

(3.3.14)

После этого, полагая x = e−t , a = e−A , b = e−B , мы приходим к следующему результату. Теорема 3.3.5. Пусть 0 < a < b < ∞. Для того чтобы система степеней ¡ λn ¢∞ x n=1 , 0 < |λn | 6 |λn+1 |, была полна в Lp (a, b), 1 6 p < ∞, или в C[a, b], необходимо, а в предположении (3.3.14) и достаточно, чтобы выполнялось условие (3.3.12).

56

ГЛАВА 3. ОЦЕНКИ

3.4. ФИНИТНЫЕ

ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ФУРЬЕ

ФУРЬЕ

И

ЛАПЛАСА

И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

БЕЗ НУЛЕЙ В ОКРЕСТНОСТИ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ

Обозначим через Fa класс целых функций (3.3.1). Пусть F (z) ∈ Fa , и пусть точки ±a являются точками роста для функции σ(t). Тогда по теореме Картрайт при любом ε > 0 сужение последовательности нулей функции F (z) на каждый из углов | arg z| 6 ε, |π − arg z| 6 ε образует последовательность с плотностью a/π, а нули F (z), не попавшие в эти углы, удовлетворяют условию (3.3.7) и, в частности, образуют последовательность нулевой плотности. С другой стороны, если последовательность λn удовлетворяет условию (3.3.7), то по теореме 3.3.3 существует функция F (z) ∈ Fa такая, что F (λn ) = 0 для всех n. Значит, мнимые части подпоследовательностей нулей функции класса Fa могут расти сколь угодно быстро. Действительно, какова бы ни была функция ϕ(x) ↑ +∞, x → +∞, можно подобрать λn так, чтобы Im λn > ϕ(Re λn ) при всех n и чтобы выполнялось условие (3.3.7), после чего останется сослаться на теорему 3.3.3. Подчеркнем, что здесь λn — подпоследовательность нулей F (z), причем достаточно редкая. Ставится вопрос: насколько быстро могут расти мнимые части нулей функции класса Fa в целом? Другими словами, требуется описать «окрестности» вещественной прямой, в каждой из которых хотя бы одна функция класса Fa не имеет нулей. Из сказанного выше следует, что множества |y| 6 ε|x|, ε > 0 (z = x + iy), для этой роли не подходят. Будем искать упомянутые «окрестности» в виде |y| 6 α(|x|)|x|, x ∈ R, (3.4.1) где α(x) (x > 0) — положительная функция. Поставленный вопрос решен здесь в случае, когда α(x) — медленно меняющаяся функция. Имеет место Теорема 3.4.1. Пусть α(x) (x > 0) — положительная, ограниченная на каждом отрезке, медленно меняющаяся функция. Для того чтобы существовала функция класса Fa , не имеющая нулей на множестве (3.4.1), необходимо и достаточно, чтобы Z∞ α(x) dx < ∞. (3.4.2) x Доказательство. Сначала заметим, что достаточно доказать теорему 3.4.1, заменив множество (3.4.1) множеством |y| 6 α(|x|)|x|, |x| > x0 при некотором x0 > 0. Чтобы в этом убедиться, покажем: если у некоторой функции F (z) класса Fa нет нулей на этом множестве, то у некоторой функции F0 (z) того же класса их нет на множестве (3.4.1). Рассмотрим множество |y| 6 α(|x|)|x|, |x| 6 x0 . Оно ограничено, так как функция α(x) ограничена на [0, x0 ]. Значит, целая функция F (z) имеет на этом множестве конечное число нулей (если их вообще нет, то полагаем F0 = F ). Пусть z1 , . . . , zs — эти нули. Тогда функция F0 (z) = F (z)/((z −z1 )·. . .·(z −zs )) — искомая. Действительно, у нее нет нулей на множестве (3.4.1), и так как |F (x)| 6 M < ∞, то по теореме Пэли—Винера F0 (z) ∈ Fa . Второе замечание состоит в следующем: при доказательстве теоремы мы можем считать, что α(x) ∈ LZ. В самом деле, в силу п. 1.2 существует функция β(x) ∈ LZ, асимптотически эквивалентная функции α(x). Замена α(x) на Cβ(x) не меняет условия (3.4.2). С другой стороны, 1 β(x) 6 α(x) 6 2β(x), x > x1 . (3.4.3) 2 Поэтому, доказав достаточность теоремы для функции 2β(x) (в роли α(x)), мы установим существование функции класса Fa , у которой в силу (3.4.3) нет нулей на множестве |y| 6 α(|x|)|x|, |x| > x0 , после чего останется сослаться на замечание, сделанное в начале доказательства. Пусть, наоборот, у функции F (z) нет нулей на множестве (3.4.1). Тогда, опять же в силу (3.4.3), их нет на множестве |y| 6 (1/2)β(|x|)|x|, |x| > x1 , и снова по тому же замечанию достаточно доказать необходимую часть теоремы для функции β(x)/2. Итак, в дальнейшем α(x) ∈ LZ. Необходимость. Пусть у некоторой функции F (z) класса Fa все нули лежат вне множества (3.4.1). Пусть для простоты a = π. Пусть zn — последовательность нулей F (z), лежащих в угле | arg z| 6 π/4; пусть zn = xn + iyn , rn = |zn |. Тогда n/rn → 1. Значит, x2n (1 + yn2 /x2n ) = rn2 ∼ n2 , откуда 1/2 6 |xn |/n 6 2, n > n0 . Отсюда по свойству 1) из п. 1.2 1 |yn | > |xn |α(|xn |) > nα(n), n > n1 . (3.4.4) 3

3.4. ФИНИТНЫЕ

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ФУРЬЕ

57

БЕЗ НУЛЕЙ В ОКРЕСТНОСТИ ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ

По теореме Картрайт для нулей F (z), а тем более для подпоследовательности zn , выполнено условие типа Бляшке X |yn | < ∞. rn2 P Благодаря (3.4.4) и тому, что rn ∼ n, отсюда следует сходимость ряда α(n)/n. Функция α(x)/x убывает при x > x0 в силу соглашения α(x) ∈ LZ. Поэтому сходимость ряда влечет сходимость интеграла в (3.4.2). Необходимость доказана. Достаточность. Положим θ(x) = xα(x). Функция θ(x) возрастает при x > x0 (снова благодаря принадлежности α(x) ∈ LZ). Изменим θ(x) на [0, x0 ] так, чтобы θ(x) была положительной и возрастала на [0, ∞). Благодаря (3.4.2), для θ(x) выполнено условие Z∞ θ(x) dx < ∞. x2 По теореме 3.1.1 найдется нетривиальная функция G(z) ∈ Fa такая, что |G(x)| 6 exp(−5aθ(|x|)),

x ∈ R.

(3.4.5)

Оценим |G(z)|. Пусть B(z) — функция из следствия 3.1.3 и пусть A(z) = B(−iz). Тогда A(z) = α(|z|)(1 + o(1)),

Im z > 0,

|z| → ∞.

(3.4.6)

Рассмотрим аналитическую функцию H(z) = G(z)e4azA(z) , y > 0. Так как α(x)/x убывает при x > x1 , то из условия (3.4.2) следует, что α(x) → 0, x → ∞. Значит, функция H(z), подобно G(z), имеет экспоненциальный тип 6a. В силу (3.4.5) и (3.4.6) модуль H(z) ограничен на вещественной оси. По теореме Фрагмена—Линдел¨ефа |H(z)| 6 C exp(ay), y > 0, т. е. |G(z)| 6 C exp(ay − 4a Re(zA(z))),

y > 0.

(3.4.7)

Беря в другой раз H(z) = G(z)e−4azA(z) и повторяя рассуждения, получаем оценку |G(z)| 6 C exp(ay + 4a Re(zA(z))),

y > 0.

(3.4.8)

Величину o(1) из (3.4.6) запишем в виде o(1) = α1 + iα2 , где α1 , α2 ∈ R и α1 , α2 → 0. Тогда Re(zA(z)) = rα(r) Re((cos θ + i sin θ)(1 + α1 + iα2 )) = rα(r)((1 + o(1)) cos θ + o(1) sin θ). Значит, при r > r0 rα(r) π , 0 6 θ = arg z 6 , (3.4.9) 2 4 rα(r) 3π Re(zA(z)) 6 − , 6 θ 6 π. (3.4.10) 2 4 Соединяя оценки (3.4.7) и (3.4.9) при x > 0 и оценки (3.4.8) и (3.4.10) при x 6 0, получаем следующее. Если y > 0, | tg θ| 6 1, r > r0 , то Re(zA(z)) >

|G(z)| 6 C exp(a(|y| − 2rα(r))).

(3.4.11)

Аналогично оценка (3.4.11) получается для y 6 0, | tg θ| 6 1, r > r0 , т. е. оценка (3.4.11) верна для множества | tg θ| 6 1, r > r0 . Рассмотрим функцию F (z) = G(z) + 2C. Так как G(z) ∈ Fa , а 2C есть преобразование Фурье– Стилтьеса точечной массы, сосредоточенной в точке t = 0, то F (z) ∈ Fa . Оценка (3.4.11) показывает, что у F (z) нет нулей на множестве (z : | tg θ| 6 1) ∩ (z : ea(|y|−2rα(r)) 6 1), т. е. на множестве (z : | tg θ| 6 1)∩(z : |y| 6 2rα(r)) (3.4.12) (то и другое при r > r0 ). Для второго множества (3.4.12) | sin θ| 6 2α(r) → 0, r → ∞. Значит, во-первых, при достаточно большом r0 второе множество (3.4.12) содержится в первом, а потому у F (z) нет нулей на множестве |y| 6 2rα(r), r > r0 . Во-вторых, r ∼ |x| при |x| → ∞ равномерно на последнем множестве, и поэтому α(r) ∼ α(|x|). Следовательно, у F (z) нет нулей на пересечении множества (3.4.1) с множеством (z : |x| > x0 ) при достаточно большом x0 . Функция F (z) — искомая. Теорема 3.4.1 доказана.

58

ГЛАВА 4. ОЦЕНКИ

ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ПРИМЕЧАНИЯ

ФУРЬЕ

И

ЛАПЛАСА

И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

И ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ

3

3.1. Результаты принадлежат автору [36, 39]. В [36] рассмотрен случай 0 < Re α < 1, а в [39] — крайние вещественные случаи α = 0 и α = 1. Функция A(z) из следствия 3.1.3 построена в виде преобразования Лапласа. Функцию A(z) с такими же свойствами А. А. Гольдберг и И. В. Островский [5] построили в виде подходящего бесконечного произведения. 3.2. Теорема 3.2.1 ранее была известна для случая l(t) ≡ 1 [62]. В общем случае медленно меняющейся функции l(t) теоремы 3.2.1 и 3.2.2 были известны для вещественных z (см. соответственно [62] и [52]). Предлагаемые здесь расширения абелевой теоремы для углов в комплексной плоскости следуют статье [82]. 3.3. Теорему 3.3.1 открыли А. Ингам [66] и Н. Левинсон [67]. Для вещественных λn теорема 3.3.5 доказана Л. Шварцем [77]. Необходимую часть теоремы 3.3.4 впервые доказал Р. Редхеффер [74]. Изложение п. 3.3 следует, в основном, статье В. Люксембурга и Ж. Кореваара [68]. Обозначим через r(Λ) радиус полноты системы exp(iλn t), т. е. нижнюю грань тех a > 0, для которых данная система неполна в L2 (−a, a). В теореме 3.3.4 речь идет о свойстве r(Λ) = 0. Точную характеристику радиуса полноты в терминах последовательности Λ получили А. Бь¨ерлинг и П. Мальявен [57, 58]. 3.4. Теорема 3.4.1 содержится в статье [37].

ГЛАВА 4 ПОЛНОТА И МИНИМАЛЬНОСТЬ СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ В ВЕСОВЫХ Lp -ПРОСТРАНСТВАХ 4.1. УСЛОВИЯ

ПОЛНОТЫ И МИНИМАЛЬНОСТИ

4.1.1. Фиксируем a > 0. Пусть ω(t) — (неотрицательный) вес на (−a, a). Через Lpω(t),a обозначаем пространство Lp ((−a, a), ω(t)dt) при 1 6 p < ∞ и пространство с нормой kf (t)ω(t)kL∞ (−a,a) при p = ∞. При ω(t) ≡ 1 (т. е. в невесовом случае) пишем Lp вместо Lp1,a . Норму в Lpω(t),a обозначаем через k · kp,ω(t) . Определим Ωp как класс весов ω(t), удовлетворяющих условиям 0

ω ∈ L1 , ω −1/p ∈ Lp ∞

ω∈L , ω

−1

при 1 6 p < ∞, 1

∈L

(4.1.1)

при p = ∞.

Эти условия обеспечивают топологические вложения L∞ ,→ Lpω(t),a ,→ L1 . Впредь отождествляем функционал (линейный непрерывный функционал) с функцией, его пред0 ставляющей. Имеем (Lpω(t),a )∗ = Lpu(t),a , 1 6 p < ∞, при следующей реализации функционала: Za (h, f ) =

f (t)h(t)dt,

f ∈ Lpω(t),a ,

0

h ∈ (Lpω(t),a )∗ = Lpu(t),a ,

(4.1.2)

−a 0

u(t) = (ω(t))−p /p

при 1 < p < ∞,

u(t) = (ω(t))−1

при p = 1.

(4.1.3)

Ясно, что если веса ω, u связаны формулой (4.1.3), то из принадлежности ω ∈ Ωp , 1 6 p < ∞, следует принадлежность u ∈ Ωp0 , 1 < p0 6 ∞. Через Fa обозначаем класс функций вида Za eizt dσ(t),

F (z) = −a

σ ∈ V [−a, a],

(4.1.4)

4.1. УСЛОВИЯ

59

ПОЛНОТЫ И МИНИМАЛЬНОСТИ

а через F Lqu(t),a класс функций вида Za f ∈ Lqu(t),a ,

eizt f (t)dt,

F (z) =

(4.1.5)

−a 0

где 1 6 q 6 ∞, u ∈ Ωq . Таким образом, классы F Lpu(t),a и Fa состоят из обратных преобразований Фурье функционалов на Lpω(t),a и на C = C[−a, a], если веса ω, u связаны соотношением двойственности (4.1.3). Из определения следует, что функция F (z) класса Fa есть целая функция экспоненциального типа 6a с индикатором hF (θ) 6 a| sin θ| и что F Lqu(t),a ⊂ Fa . Через Λ = (λn , mn )∞ n=0 , |λn+1 | > |λn |, обозначаем последовательность комплексных точек λn , каждая из которых считается со своей кратностью mn ∈ N. С последовательностью Λ свяжем систему экспонент ¡ ¢∞ e(Λ) = eiλn t , iteiλn t , . . . , (it)mn −1 eiλn t n=0 . (4.1.6) ¡ iλ t ¢∞ Если последовательность Λ проста, т. е. mn ≡ 1, то e(Λ) = e n n=0 . Нас интересует вопрос о полноте и минимальности системы e(Λ) в пространствах Lpω(t),a и C. Лемма 4.1.1. Неполнота системы e(Λ) в Lpω(t),a , 1 6 p < ∞, где ω ∈ Ωp (в C) равносильна 0

существованию нетривиальной функции F ∈ F Lpu(t),a , где вес u связан с ω формулой (4.1.3) (функции F ∈ Fa ), такой, что F (Λ) = 0. Доказательство. Ограничимся случаем пространства Lpω(t),a . Неполнота системы e(Λ) равносиль0

на существованию нетривиального функционала f ∈ (Lpω(t),a )∗ = Lpu(t),a , где вес u(t) выражается через ω(t) посредством функционала (4.1.3), аннулирующего систему e(Λ), т. е. Za (it)j eiλn t f (t)dt = 0,

n ∈ Z+ ,

j = 0, mn − 1.

−a

А это и равносильно существованию нетривиальной функции F (z) вида (4.1.5) с q = p0 такой, что F (Λ) = 0. Лемма 4.1.1 доказана. Лемма 4.1.2. Пусть λ — корень функции F (z) вида (4.1.5), где u ∈ Ωq (вида (4.1.4)). Тогда: Za F (z) 1) = eizt fλ (t)dt, где z−λ −a

Ã

Zt fλ (t) = −i

e−iλ(t−u) f (u)du

= −i

−a

2)

F (z) ∈ F Lqu(t),a z−λ

!

Zt

e−iλ(t−u) dσ(u) ;

(4.1.7)

−a

(∈ Fa ).

Доказательство. Если F (z) — функция (4.1.4), то запишем ее в виде Za F (z) =

Zt e

−a

i(z−λ)t

d

eiλu dσ(u),

−a

проинтегрируем по частям и учтем условие F (λ) = 0. Для функции (4.1.4) часть 1) доказана, а тем самым она доказана и для функции (4.1.5), так как в этом случае dσ(u) = f (u)du. Для доказательства части 2) достаточно убедиться, что fλ ∈ Lqu(t),a (∈ L1 ). А это так в силу ограниченности функции fλ (t) на (−a, a), которая в случае второй формулы (4.1.7) очевидна, а в случае первой следует из принадлежности f ∈ L1 . Лемма 4.1.2 доказана.

60

ГЛАВА 4. ПОЛНОТА

И МИНИМАЛЬНОСТЬ СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ В ВЕСОВЫХ

Lp -ПРОСТРАНСТВАХ

Лемма 4.1.3. Пусть λ — корень функции F (z) вида (4.1.5), где u ∈ Ωq (вида (4.1.4)). Тогда при любом µ 6∈ Λ z−µ G(z) := F (z) ∈ F Lqu(t),a (∈ Fa ), z−λ причем Za Zt izt G(z) = e fµ (t)dt, fµ (t) = f (t) + i(µ − λ) e−iλ(t−u) f (u)du (4.1.8) −a

Ã

−a

µ Zt ¶ ! −iλ(t−u) dσµ (t) = dσ(t) + i(µ − λ) e dσ(u) dt .

Za eizt dσµ (t),

G(z) = −a

(4.1.9)

−a

Доказательство. Достаточно записать G(z) = F (z)+(λ−µ)F (z)/(z −λ) и применить лемму 4.1.2. Теорема 4.1.1. Для минимальности системы e(Λ) в Lpω(t),a , 1 6 p < ∞, где ω ∈ Ωp (в C) необходимо и достаточно существование целой функции экспоненциального типа F (z) такой, что 0 F (z) ∈ F Lpu(t),a (∈ Fa ), z − λ0 где вес u(t) связан с ω(t) посредством (4.1.3), и F (Λ) = 0. Доказательство. Ограничимся случаем пространства Lpω(t),a . Необходимость. Пусть система e(Λ) минимальна в Lpω(t),a . Тогда существует биортогональная система (hn,0 (t), hn,1 (t), . . . , hn,m−1 (t))∞ (4.1.10) n=0 , 0

все функции которой принадлежат Lpu(t),a = (Lpω(t),a )∗ . Биортогональность означает, что ½

Za l iλj t

(it) e

hn,k (t)dt =

−a

1, 0

когда n = j, k = l, в остальных случаях.

(4.1.11)

Рассмотрим целую функцию Za eizt h0,m0 −1 (t)dt.

F (z) = (z − λ0 ) −a 0 F Lpu(t),a ,

Тогда F (z)/(z − λ0 ) ∈ и в силу (4.1.11) F (Λ) = 0. Это доказывает необходимую часть. Достаточность. Пусть F (z) — функция, фигурирующая в теореме. Сначала рассмотрим случай, когда Λ проста. Пусть ln — кратность корня λn функции F (z). Перейдем к функции Φn (z) = F (z)/(z − λn )ln −1 . Тогда Φn (λk ) = 0, k 6= n, Φn (z) имеет простой корень в точке z = λn и по условию теоремы и по лемме 4.1.2 Za 0 Φn (z) = eizt hu (t)dt, hu ∈ Lpu(t),a . 0 Φn (λn )(z − λn ) −a

Очевидно, при z = λn левая часть равна 1. Значит, (hn , eiλk t ) = δnk , т. е. мы построили биорто0 гональную систему hn (t) ∈ Lpu(t),a и тем самым доказали минимальность системы e(Λ) в Lpω(t),a . Попутно мы увидели, что если все корни λn функции F (z) просты, то hn (t) = Fbn (t),

n ∈ Z,

Fn (z) =

F (z) . − λn )

F 0 (λn )(z

(4.1.12)

Рассмотрим общий случай кратной последовательности Λ. По условию F (z) обращается в нуль в точке λn с некоторой кратностью ln > mn . Рассмотрим функцию F (z) Φn (z) = . (z − λn )ln −mn

4.1. УСЛОВИЯ

61

ПОЛНОТЫ И МИНИМАЛЬНОСТИ

Пусть An,i — коэффициенты главной части лорановского разложения функции 1/Φn (z) в окрестности точки z = λn , т. е. mn X An,i 1 = + правильная часть. Φn (z) (z − λn )i i=1

Рассмотрим целые функции Hn,k (z) =

mn −k An,k+i Φ(z) X , k! (z − λn )i

k = 0, mn − 1.

(4.1.13)

i=1

По условию теоремы и по лемме 4.1.2 имеют место представления Za Hn,k (z) = eizt hn,k (t)dt, hn,k ∈ Lqu(t),a .

(4.1.14)

−a

Надо убедиться в справедливости соотношений (4.1.11). Достаточно проверить, что ½ 1, когда n = j, k = l, (l) Hn,k (λj ) = 0 в остальных случаях. (l)

То, что Hn,k (λj ) = 0 при j 6= n, очевидно. Чтобы разобрать случай j = n, запишем Hn,k (z) в виде Hn,k (z) =

mn An,i Φn (z)(z − λn )k X = k! (z − λn )i i=k+1

=

Φn (z)(z − λn )k k!

µ

¶ k X An,i 1 − − правильная часть = Φn (z) (z − λn )i i=1

=

∞ X (z − λn )k + Bn,i (z − λn )i , k! i=mn

так как λn — корень Φn (z), кратности mn . Отсюда видно, что если k, l = 0, mn − 1, то число (l) Hn,k (λn ) равно 1, когда k = l, и равно 0, когда k 6= l. Итак, (4.1.10) — биортогональная система к 0

e(Λ). Так как hn,k ∈ Lpu(t),a , то система e(Λ) минимальна в Lpω(t),a . Теорема 4.1.1 доказана. Наибольший интерес вызывают системы, являющиеся одновременно полными и минимальными. При фиксированном a > 0 целую функцию экспоненциального типа F (z) назовем порождающей функцией системы e(Λ), если множество корней F (z) совпадает с Λ = (λn ; mn )∞ n=0 и ее индикатор hF (θ) = a| sin θ|. Существование порождающей функции, конечно, зависит от последовательности Λ. Теорема 4.1.2. Для того чтобы система e(Λ) была полной и минимальной в Lpω(t),a , 1 6 p < ∞, где ω ∈ Ωp (в C), необходимо и достаточно существование порождающей функции F (z) системы e(Λ) со свойствами: 0 F (z) 1) F0 (z) := ∈ F Lpu(t),a (∈ Fa ); z − λ0 0 2) F (z)E(z) 6∈ F Lpu(t),a (6∈ Fa ) для любой целую функцию E(z) минимального типа при порядке 1. В обоих случаях вес u(t) связан с весом ω(t) с помощью формулы (4.1.3). Доказательство. Необходимость. По теореме 4.1.1 из минимальности системы e(Λ) в Lpω(t),a (в C) следует существование нетривиальной целой функции экспоненциального типа F такой, что 0 F0 (z) ∈ F Lpu(t),a (∈ Fa ) и F (Λ) = 0. Других корней у F (z) нет. Действительно, существование у 0

F (z) корня µ 6∈ Λ по лемме 4.1.3 приводило бы к тому, что F (z) ∈ F Lpu(t),a (∈ Fa ). По лемме 4.1.1 это означало бы неполноту системы e(Λ) в рассматриваемом пространстве.

62

ГЛАВА 4. ПОЛНОТА

И МИНИМАЛЬНОСТЬ СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ В ВЕСОВЫХ

Lp -ПРОСТРАНСТВАХ

Далее, из F0 ∈ Fa следует hF (θ) 6 a| sin θ|. Покажем, что знак строгого неравенства хотя бы в одной точке θ0 противоречит полноте системы e(Λ). Можно считать, что 0 6 θ0 6 π. Тогда из неравенств hF (0), hF (π) 6 0, hF (θ0 ) < a sin θ0 и из тригонометрической выпуклости функции hF (θ) вытекает строгое неравенство hF (θ) < a sin θ для всех θ ∈ (0, π); в частности, b1 := hF (π/2) < a. Но тогда носитель соответствующей функции f в (4.1.5) (меры dσ в (4.1.4)) содержится в [−b1 , a], и потому если обозначить ∆ = (a − b1 )/2 (> 0), то функция G(z) := e−i∆z F (z) ∈ Fb , где b = a − ∆ (< a). Рассмотрим целую функцию S(z) = G(z) sin ∆z/(z 2 − (π/∆)2 ). Ясно, что S(z) ∈ Ba2 . По теореме Пэли—Винера S(z) представима в виде правой части (4.1.5) с f ∈ L2 . Но S(x) ∈ L1 (R), 0 и потому f ∈ C [−a, a]. Значит, S(z) ∈ F L∞ , а в силу вложения L∞ ,→ Lpu(t),a также и S(z) ∈ 0

F Lpu(t),a . Так как S(Λ) = 0, то по лемме 4.1.1 система e(Λ) неполна в Lpω(t),a (в C). Мы доказали, что F (z) — порождающая функция системы e(Λ), для которой выполнено условие 1). Теперь если 0 бы F (z)E(z) ∈ F Lpu(t),a (∈ Fa ) для некоторой целой функции E(z), то по лемме 4.1.1 система e(Λ) была бы неполной в Lpω(t),a (в C), и необходимость доказана. Достаточность. По теореме 4.1.1 условие 1) влечет минимальность системы e(Λ) в Lpω(t),a (в C). Покажем, что условие 2) влечет полноту. Если бы система e(Λ) была неполной, то по лемме 4.1.1 0 нашлась бы нетривиальная целая функция экспоненциального типа G(z) ∈ F Lpu(t),a (∈ Fa ) такая, что G(Λ) = 0. Но Λ — последовательность всех корней функции F (z), и, следовательно, G(z) = F (z)E(z), где E(z) — некоторая целая функция экспоненциального типа. В силу условия 1) F (z) имеет вполне регулярный рост, и потому hG = hF + hE . Но hG (θ) 6 a| sin θ|, а hF (θ) = a| sin θ|. Значит, hE (θ) 6 0, и E(z) имеет минимальный тип при порядке 1. Мы получили противоречие с условием 2), и вся теорема 4.1.2 доказана. Из теоремы 4.1.2 и теоремы Картрайт (п. 1.7) вытекают следующие необходимые условия полноты и минимальности системы e(Λ). Следствие 4.1.1. Если система e(Λ) полна и минимальна в Lpω(t),a , 1 6 p < ∞, ω ∈ Ωp (в C), то: 1) при любом ε > 0 плотность сужения Λ на каждый из углов | arg z| < ε, |π − arg z| < ε равна a/π; ³ 1 ´¯ X ¯¯ ¯ 2) ¯ Im ¯ < +∞; λn X0 1 3) ряд сходится в смысле главного значения; λn 4) порождающая функция системы e(Λ) представима в виде Y0 ³ z ´ , F (z) = c(z − λ0 )m0 1− λn где бесконечное произведение сходится в смысле главного значения. Через B обозначаем какое-нибудь пространство Lpω(t),a , 1 6 p < ∞, или C. Из теоремы 4.1.1 и леммы 4.1.1 вытекает Следствие 4.1.2. Система e(Λ) минимальна в B тогда и только тогда, когда система e(Λ0 ), где Λ0 = (λn ; mn )n6=0 ∪ (λ0 ; m0 − 1), неполна в B. Таким образом, неминимальность системы e(Λ) влечет неполноту системы e(Λ0 ) (в рассматриваемом пространстве). Значит, справедливо Следствие 4.1.3. Если при некотором µ 6∈ Λ функцию eiµt можно сколь угодно хорошо аппроксимировать в B линейными комбинациями системы e(Λ), то система e(Λ) полна в B. Далее, благодаря лемме 4.1.3, из теоремы 4.1.1 и леммы 4.1.1 вытекает Следствие 4.1.4. Полнота (минимальность) системы e(Λ) в пространстве B не нарушится при замене конечного числа точек Λ конечным числом других точек той же суммарной кратности.

4.1. УСЛОВИЯ

ПОЛНОТЫ И МИНИМАЛЬНОСТИ

63

Заметим, что доказательство теоремы 4.1.1 дает и формулы для биортогональной системы. Действительно, в случае простых корней функции F (z) это формулы (4.1.12). В случае кратb n,k (t). Предположим, что Λ совпадает ных корней формула (4.1.14) показывает, что hn,k (t) = H с последовательностью всех корней функции F (z). Тогда в (4.1.13) Φn (z) = F (z), и, применяя формулы для лорановских коэффициентов, получаем Следствие 4.1.5. Пусть Λ = (λn ; mn )∞ 0 — последовательность всех корней целой функции p0 F (z) такой, что F (z)/(z − λ0 ) ∈ F Lu(t),a , 1 6 p < ∞. Тогда система e(Λ) минимальна в Lpω(t),a , причем в качестве функций биортогональной системы можно взять функции µ ¶ mn −k (m −k−i) 1 X F (t) b Mn n (λn ) hn,k (t) = , k! (mn − k − i)! (t − λn )i i=1

где Mn (z) = (z − λn

)mn /F (z),

n ∈ Z+ , k = 0, mn − 1.

Отметим, что осторожное выражение «можно взять» вызвано тем, что биортогональная система необязательно единственна. В последующем мы будем пользоваться именно этими формулами. Замечание 4.1.1. Если все корни функции F (z) просты, то формулы следствия 4.1.5 переходят в формулы (4.1.12). В случае пространства C = C[−a, a] видоизменения в формулах (4.1.12) очевидны; они приводят к следующему утверждению. Замечание 4.1.2. Пусть Λ — последовательность всех корней целой функции F (z) такой, что F (z)/(z − λ0) ∈ Fa , и пусть все эти корни просты. Тогда для биортогональной системы hn (t) ∈ V (−a, a] к системе e(Λ) верны формулы Za F (z) = eizt dhn (t), hn ∈ V. F 0 (λn )(z − λn ) −a

Теперь введем важное для дальнейшего понятие избытка системы экспонент в пространстве B. Договоримся под удалением из Λ (под присоединением к Λ) s точек понимать переход от Λ к последовательности Λ1 такой, что при достаточно большом R сужения Λ и Λ1 на множестве |z| > R совпадают и nΛ1 (t) = nΛ (t) − s (= nΛ (t) + s) при t > R. Предположим, что система e(Λ) полна в B. Число s ∈ Z+ называется ее избытком в пространстве B, если система e(Λ) остается полной после удаления из Λ s точек, но становится неполной после удаления s + 1 точек. Если система e(Λ) остается полной после удаления из Λ любого конечного числа точек, то избыток e(Λ) в B полагают равным +∞. Предположим теперь, что система e(Λ) неполна в B. Тогда число −s (где s ∈ N) называют ее избытком в B, если она остается неполной после присоединения к Λ s−1 точек и становится полной после присоединения к Λ s точек. Если система e(Λ) остается неполной после присоединения к Λ любого конечного числа точек, то избыток e(Λ) в B полагают равным −∞. Благодаря следствию 4.1.4 понятие избытка корректно, т. е. фигурирующее в определении число s не зависит от того, какие именно точки удалять из Λ (присоединять к Λ). Избыток системы e(Λ) в B обозначаем через EB (Λ). В случае B = Lp (−a, a) и B = C[−a, a] вместо EB (Λ) пишем соответственно Ep (Λ) и E∞ (Λ). Замечание 4.1.3. Из соотношения между Lp -нормами следует, что Ep (Λ) 6 Er (Λ), если 1 6 r 0. Отсюда и из следствия 4.1.1 вытекает, что минимальность системы e(Λ) в B равносильна условию EB (Λ) 6 0. Таким образом, полнота и минимальность (одновременно) системы e(Λ) в B равносильна условию EB (Λ) = 0. Лемма 4.1.4. Пусть B = Lpω(t),a , ω ∈ Ωp , 1 6 p < ∞, или B = C = C[−a, a]. Пусть Λ, M ⊂ R и |Λ(t) − M (t)| 6 K < +∞, t ∈ R. Тогда |EB (Λ) − EB (M )| 6 C(K, B) < +∞.

64

ГЛАВА 4. ПОЛНОТА

И МИНИМАЛЬНОСТЬ СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ В ВЕСОВЫХ

Lp -ПРОСТРАНСТВАХ

Для случая B = Lp эта лемма доказана в [56] с константой C(K, B) = 4K + 2. В статье [30] эта константа уточнялась: C(K, B) 6 4K + 1 для всех пространств B = Lp и B = C, а при p = 2 C(K, B) 6 4H. Весовой случай рассматривается по той же схеме; изменения в доказательстве естественны, и мы их опускаем. 4.1.2.

Здесь рассматривается подкласс в классе Ωp , состоящий из весов ωα (t) =

s Y

|t − bj |α ,

2 6 s ∈ N,

−a = b1 < . . . < bs = a,

(4.1.15)

j=1

где в соответствии с условиями (4.1.1) требуется, чтобы 0 6 α < 1 при p = ∞ и −1 < α < p − 1 при 1 < p < ∞ и Lpα,a

− 1 < α 6 0 при p = 1.

(4.1.16)

Lpωα ,a ,

Будем писать вместо и норму в этом пространстве обозначим через k · kp,α . Вспоминая 0 формулы (4.1.2) и (4.1.3), видим, что если 1 6 p < ∞, то (Lpα,a )∗ = Lpβ,a , где β = −αp0 /p при 1 < p < ∞ и β = −α при p = 1. 0

Лемма 4.1.5. Пусть 1 < p0 < ∞, −1 < α < p − 1, β = −αp0 /p. Тогда если F (z) ∈ F Lpβ,a , то |F (z)| = o(1)

ea|y| |y|(1+α)/p

,

y 6= 0,

|z| → ∞. 0

Доказательство. По условию F (t) есть функция (4.1.5), где f ∈ Lpβ,a . По неравенству Г¨ельдера Ã Za ! Za p ep|y|t ωα (t)dt + ep|y|t ωα (−t)dt . (4.1.17) |F (z)|p 6 kf kp0 ,β 0

0

В соответствии с формулой (4.1.15) каждый из интегралов в (4.1.17) не превосходит конечной суммы интегралов вида ZB

ZC p|y|t

Ib =

e

α

(B − t) dt,

ep|y|t (t − c)α dt,

Ic = c

b

где 0 6 b < B 6 a, 0 6 c < C < a. Пусть h = B − b, H = C − c; тогда Zh pB|y|

Ib = e

e

epB|y| t dt = 1+α |y|

−p|y|t α

0

ZH Ic = epc|y| 0

Zh|y| epB|y| e−pv v α dv 6 M 1+α , |y|

(4.1.18)

0

epc|y| ep|y|t tα dt = 1+α |y|

H|y| Z

epv v α dv. 0

Ясно, что какое бы ε > 0 ни фиксировать, найдется Mε > 0 такое, что H|y| Z

epv v α dv 6 Mε ep(H+ε)|y| ,

y ∈ R.

0

Значит, фиксируя ε ∈ (0, a − C), получаем, что Ic 6 M1 epa|y| /|y|1+α . Объединяя эту оценку с оценкой (4.1.18), где B 6 a, находим |F (z)| 6 M (p, α)

ea|y| |y|(1+α)/p

kf kp0 ,β .

(4.1.19)

(Отметим, что оценка (4.1.19) верна и для p = 1.) Это неравенство показывает, что нормы линейных операторов TR (f ) := F (z)|y|(1+α)/p e−a|y| , |z| = R,

4.1. УСЛОВИЯ

65

ПОЛНОТЫ И МИНИМАЛЬНОСТИ

0

действующих из Lpβ,a в C(|z| = R), ограничены при R > 0. Далее, если f ∈ C 1 [−a, a] и f (±a) = 0 (класс таких функций обозначим через C01 ), то, интегрируя по частям в (4.1.5), находим µ a|y| ¶ 2π 0 e F (−z) = (f )b = O . iz |z| Так как (1 + α)/p < 1, то TR (f ) → 0, R → ∞, для любой функции f ∈ C01 . Но класс C01 плотен 0 0 в Lpβ,a . По теореме Банаха—Штейнгауза TR (f ) → 0, R → ∞, для любой функции f ∈ Lpβ,a , что доказывает лемму 4.1.5. Договоримся, что в оставшихся утверждениях п. 4.1 (и только в них) для единообразия формулировок под L∞ α,a понимаем C[−a, a]. Встречающиеся ниже обозначения NΛ (r) и NF (r) введены в п. 1.1. Теорема 4.1.3. Пусть выполнены условия (4.1.16). Пусть, далее, 0 6∈ Λ ∈ C. Тогда если µ ¶( > −∞ при p ∈ (1, ∞), 2a 1+α l(Λ) := lim NΛ (r) − r + log r r→∞ π p = +∞ при p = 1, ∞, то система e(Λ) полна в Lpα,a . Доказательство. Достаточно предположить неполноту системы e(Λ) и доказать, что l(Λ) = −∞ и l(Λ) < +∞ соответственно. 0 Пусть 1 < p < ∞. По лемме 4.1.1 найдется нетривиальная функция F (z) ∈ F Lpβ,a , β = −αp0 /p, такая, что F (Λ) = 0. Можно считать, что F (0) = 1. Действительно, если s — кратность корня z = 0 функции F (z), то следует перейти к функции C((z − µ)s /z s )F (z), µ 6= 0, которая по лемме 4.1.3 принадлежит тому же классу. Тогда, применяя последовательно формулу Иенсена и лемму 4.1.5, получаем при r → ∞ Zπ 1 1+α 2a NΛ (r) 6 NF (r) = r− log r + log o(1). (4.1.20) log |F (reiθ )|dθ = 2π π p −π

Так как log o(1) → −∞, r → ∞, то отсюда следует, что l(Λ) = −∞. Случай 1 < p < ∞ разобран. В случаях p = 1, ∞ вместо леммы 4.1.5 приходится пользоваться соответственно оценкой (4.1.19) и оценкой |F (z)| = O(ea|y| ) для F ∈ Fa . Из-за этого в (4.1.20) o(1) заменяется на O(1), что приводит к условию l(Λ) < +∞. Теорема 4.1.3 доказана. Если система e(Λ) полна в Lpα,a , то по следствию 4.1.1 присоединение к Λ одной точки приводит к неминимальной системе. С другой стороны, при этом функция NΛ (r) увеличивается на C + log r при всех достаточно больших r. Поэтому теорема 4.1.3 допускает следующую переформулировку. Теорема 4.1.30 . Пусть выполнены условия (4.1.16) и 0 6∈ Λ ⊂ C. Тогда если µ ¶ ¶( µ > −∞ при 1 < p < ∞, 1+α 2a − 1 log r lim NΛ (r) − r + r→∞ π p = +∞ при p = 1, ∞, то система e(Λ) неминимальна и полна в Lpα,a , 1 6 p 6 ∞. Теорема 4.1.30 , конечно, может быть переформулирована как необходимое условие минимальности. Для облегчения формулировки теоремы 4.1.4 введем условия ∞ X αn < +∞, n

n=m+1

∞ X αn = +∞. n

(4.1.21)

n=m+1

Теорема 4.1.4. Пусть выполнены условия (4.1.16). Пусть при некотором m ∈ Z+ точки λj , |j| 6 m произвольны. Пусть αn > 0, n > m, αn = O(1). Тогда если при 1 m, (4.1.22) |λn | 6 |n| + 2p

66

ГЛАВА 4. ПОЛНОТА

И МИНИМАЛЬНОСТЬ СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ В ВЕСОВЫХ

Lp -ПРОСТРАНСТВАХ

и выполнено первое условие (4.1.21), а при p = 1, ∞ |λn | 6 |n| +

1+α − α|n| , 2p

|n| > m,

(4.1.23)

и выполнено второе условие (4.1.21), то система (eiλn t ), n ∈ Z, полна в Lpα,π . Доказательство. Остановимся на случае 1 0), а условия (4.1.22) и (4.1.21) выполнены с m = 0. Рассмотрим последовательность Λ1 = (∆) ∪ (λ1±n ), где λ1n = n + ∆, n ∈ N, и λ1−n = −λ1n . Тогда nΛ1 (t) = 0 на (0, ∆) при 0 < t < ∆ и nΛ1 (t) = 2n + 1 при n + ∆ < t < n + 1 + ∆, n ∈ Z+ . Пусть r = N + 1, N ∈ N; тогда N Z+1

NΛ1 (r) = ∆

N X nΛ1 (t) dt = (2n + 1) t n=0

n+∆+1 Z

dt = t

n+∆

¶ 1 = n+∆ n=0 ¶¶µ µ ¶ N µ X 1 1 1 −∆ − = O(1) + 2 (n + ∆) + = 2 n + ∆ 2(n + ∆)2 =

N X

µ (2n + 1) log 1 +

n=0

= 2N − 2∆

N X n=0

1+α 1 + O(1) = 2r − log r + O(1), n+∆ p

и, значит, l(Λ1 ) > −∞ в обозначениях теоремы 4.1.3 с a = π. Представим теперь, что в Λ1 мы изменили только две точки λ1±m (при фиксированном m ∈ N), перейдя к точкам λ2m = λ1m + αm и λ2−m = −λ2m . Пусть Λ2 — новая последовательность. Тогда nΛ2 (t) = nΛ1 (t) при 0 < t < λ1m и при t > λ2m , а если λ1m < t < λ2m , то nΛ2 (t) = nΛ1 (t) − 2. Значит, в этом случае при r > λ2m λ1mZ+αm

NΛ2 (r) = NΛ1 (r) − 2

³ αm ´ dt = NΛ1 (r) − 2 log 1 + . t m+∆

(4.1.24)

λ1m 2 1 2 2 Пусть теперь Λ2 = (λ0 ) ∪ (λ2±n )∞ n=1 , где λn = λn + αn , n ∈ N, и λ−n = −λn . Пусть A = sup αn , s = [A] + 1. Тогда все точки λ1n с номерами n = 0, N − s попадут на интервал (0, N + 1 − s). Значит, все точки λ2n с этими номерами попадут на (0, N + 1). Возможно, на (0, N + 1) попадут и другие точки последовательности Λ2 . Но число их ограничено по N > s. Учитывая это и (4.1.24), при r = N + 1, N > s имеем

NΛ2 (r) = NΛ1 (r) − 2

N −s X n=1

³ log 1 +

αn ´ + O(1). n+∆

Отсюда, благодаря первому условию (4.1.21), имеем NΛ2 (r) = NΛ1 (r) + O(1), r → ∞. И так как по доказанному l(Λ1 ) > −∞, то и l(Λ2 ) > −∞. Остается заметить, что nΛ (t) > nΛ2 (t). Значит, l(Λ) > −∞, и теорема 4.1.4 следует из теоремы 4.1.3 с a = π. При p = 1, ∞ изменения в доказательстве незначительны, и мы их опускаем. Теорема 4.1.4 доказана. Аналогично из теоремы 4.1.30 выводится Теорема 4.1.40 . Если в условиях (4.1.22) и (4.1.23) заменить (1 + α)/(2p) на (1 + α)/(2p) − 1/2, а остальные условия теоремы 4.1.4 сохранить, то система (eiλn t )∞ −∞ будет неминимальной в Lpα,π .

4.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА

КАК ОПЕРАТОР В ПРОСТРАНСТВАХ

Lpα

67

Теорема 4.1.5. Пусть выполнены условия (4.1.16). Пусть sup | Im λn | < +∞, пусть при некотором m ∈ Z+ точки λj , |j| 6 m, произвольны, и пусть | Re λn | 6 |n| +

1+α + α|n| , 2p

|n| > m,

при 1 m, при p = 1, ∞, (4.1.26) 2p где при 1 0, αn = O(1). p Тогда система (eiλn t )∞ −∞ полна в Lα,π . Если в (4.1.25) и (4.1.26) заменить (1 + α)/(2p) на p iλ t (1 + α)/(2p) − 1/2, то система (e n )∞ −∞ будет неминимальной в Lα,π . | Re λn | 6 |n| +

Доказательство. Если | Im λn | 6 H, а | Re λn | 6 |n| + A, то µ ¶ p 1 2 2 |λn | 6 (|n| + A) + H = |n| + A + O . |n| Поэтому при A = (1 + α)/(2p) ± α|n| (A = (1 + α)/(2p) − 1/2 ± α|n| ) утверждение о полноте (неминимальности) следует из теоремы 4.1.40 . Теорема 4.1.5 доказана. 4.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 4.2.1.

КАК ОПЕРАТОР В ПРОСТРАНСТВАХ

Пишем Lpα вместо Lpα (R+ ). Пусть Z G(z) = e−zt g(t)dt,

Lpα

Re z > 0,

R+

и пусть Gθ (r) = G(reiθ ), r > 0, при фиксированном θ ∈ (−π/2, π/2). Теорема 4.2.1. Пусть 1 6 p 6 q < ∞, α 1. Оценим |Gθ (r)| по неравенству Г¨ельдера. Имеем ÃZ !1/p0 ÃZ !1/p0 0 0 0 0 |Gθ (r)| 6 kgkp,α t−αp /p e−p rt cos θ st = kgkp,α (r cos θ)(1+α−p)/p u−αp /p e−p u du . R+

R+

(4.2.2) Здесь важно, что αp0 /p < 1 (это следствие условия α 0. Покажем, что при фиксированном θ ∈ (−π/2, π/2) оператор (Tθ g)(r) = rGθ (r), Lpα

r > 0,

Lqβ−q ,

рассматриваемый как оператор из в имеет слабый тип (p, q), если α 6= −1, т. е. покажем, что ¶ µ Z ckgkp,α q β−q , c = c(θ; p, q, α), (4.2.3) r dr 6 σ E(σ)

где E(σ) = (r ∈ R+ : |(Tθ g)(r)| > σ),

σ > 0.

В силу (4.2.2) |(Tθ g)(r)| 6 cr(1+α)/p kgkp,α ,

c = c(p)(cos θ)(1+α−p)/p ,

68

ГЛАВА 4. ПОЛНОТА

И МИНИМАЛЬНОСТЬ СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ В ВЕСОВЫХ

Lp -ПРОСТРАНСТВАХ

и мы только расширим множество E(σ), если заменим его на множество тех r > 0, для которых ckgkr(1+α)/p > σ, т. е. на множество r > r(σ) при α > −1 и на множество 0 < r < r(σ) при α < −1, где ³ σ ´p/(1+α) r(σ) = . ckgk Значит, при α > −1 левая часть в (4.2.3) не превосходит µ ¶ Z∞ c(cos θ)(1+α−p)/p kgk q p −q(1+α)/p β−q (r(σ)) = , (4.2.4) r dr = q(1 + α) σ r(σ)

где c = c(p, q, α), и при α > −1 нужное утверждение о слабом типе доказано. Если α < −1, то к тому же выводу мы приходим, интегрируя rβ−q dr по (0, r(σ)). Зафиксируем p0 1, p < 2p0 , α < p0 − 1, после чего найдем q0 из условия q0 /p0 = q/p (ясно, что q < 2q0 ). Затем найдем p1 , q1 из условий ¶ ¶ µ µ 1 1 1 1 1 1 1 1 = + = + (4.2.5) , . p 2 p0 p1 q 2 q0 q1 В силу неравенств p < 2p0 , q < 2q0 эти числа положительны. Так как p1 > p, то подавно p1 > 1 и α < p1 − 1. Пусть 1 + α 1 + βi + = 1, i = 0, 1. pi qi Из соотношения q0 /p0 = q/p и из (4.2.5) следует, что q1 /p1 = q/p, и, значит, βi − qi = β − q, i = 0, 1, pi 6 qi . Имея в виду эти неравенства, заключаем по только что доказанному, что оператор Tθ , рассматi , имеет слабый тип (pi , qi ), i = 0, 1. Принимая во внимание риваемый как оператор из Lpαi в Lqβ−q равенства (4.2.5), условие pi 6 qi и содержащуюся в (4.2.4) оценку для константы слабого типа, по теореме Марцинкевича выводим, что оператор Tθ действует как ограниченный из пространства Lpα в пространство Lqβ−q , причем его норма оценивается величиной c(p, q, α)(cos θ)(1+α−p)/p . А это и означает справедливость теоремы 4.2.1 для случая 1 < p < ∞, α 6= −1. Случай 1 < p < ∞, α = −1 вытекает из доказанной части и из следующей интерполяционной теоремы Стейна—Вейса [2, п. 5.5]. Теорема (Теорема Стейна—Вейса). Пусть 1 6 pi , qi < ∞ и G — такой линейный оператор, что G : Lpi (U, wi dµ) → Lqi (V, w ei dν), kGk 6 Mi , i = 0, 1. Тогда G : Lp (U, wdµ) → Lq (V, wdν), e kGk 6 M01−t M1t , где 1 1−t t 1 1−t t = + , = + , 0 < t < 1, p p0 p1 q q0 q1 (4.2.6) p(1−t)/p0 pt/p1 q(1−t)/q0 qt/q1 w = w0 w1 , w e=w e0 w e1 . Чтобы применить эту теорему, положим U = V = R+ , dµ = dν = dx, wi = xαi , w ei = xβi , t = 1/2, a b i = 0, 1. Тогда w = x , w e = x , где µ ¶ µ ¶ p α0 α1 q β0 β1 a= + , b= + , (4.2.7) 2 p0 p1 2 q0 q1 а соотношения (4.2.6) переходят в соотношения (4.2.5). Зафиксируем pi , qi столь близкими к p, q, чтобы 1 < pi 6 qi < ∞ и чтобы выполнялись соотношения (4.2.5). Далее, можно подобрать числа αi так, чтобы первое соотношение (4.2.7) выполнялось с a = −1, αi 6= −1, i = 0, 1. По доказанной части Gθ : Lpαii → Lqβii , kGθ k 6 c(pi , qi , αi )(cos θ)(1+αi −pi )/p, где (Gθ g)(r) = Gθ (r), i = 0, 1. По теореме Стейна—Вейса Gθ : Lp−1 → Lqb ,

kGθ k 6 c(p, q)(cos θ)−1,

4.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА

КАК ОПЕРАТОР В ПРОСТРАНСТВАХ

Lpα

69

и остается убедиться в том, что b = q − 1. Используя соотношения (4.2.7), в первом из которых a = −1, и (4.2.5), получаем µ µ ¶ µ ¶¶ q 1 q0 1 q1 b= q0 − 1 − (1 + α0 ) + q1 − 1 − (1 + α1 ) = 2 q0 p0 q1 p1 µ µ ¶ µ ¶ µ ¶¶ q 1 1 1 1 α0 α1 = 2− + − + − + = q − 1, 2 q0 q1 p0 p1 p0 p1 и при 1 < p < ∞ доказательство теоремы 4.2.1 закончено. Случай p = 1 разбирается непосредственно. Надо доказать, что если 1 6 q < ∞, α < 0, то Gθ : L1α → Lq−1−αq ,

kGθ k 6 c(q, α)(cos θ)α.

(Отметим, что при α < 0 преобразование Лапласа функции g ∈ L1α имеет смысл.) 0 Пусть сначала q > 1. Имеем (Lqβ )∗ = Lqb , b = −βq 0 /q. Единичный шар этого пространства состо0 ит из функций вида ϕ(t)tβ/q , где ϕ пробегает единичный шар B пространства Lq (R+ ). Поэтому, беря g ∈ L1α и учитывая (4.2.1), видим, что норма kGθ (r)kq,−1−αq равна ¯Z ¯ Z ¯ ¯ ¯ ¯ sup ¯ ϕ(r)r−α−1/q dr exp(−treiθ )g(t)dt¯ 6 ¯ ϕ∈B ¯ R+

R+

Z 6 sup ϕ

Z |g(t)|dt

R+

ÃZ

Z e

−tr cos θ −α−1/q

r

|ϕ(r)|dr 6

R+

!1/q

|g(t)|dt R+

e

−qtr cos θ −1−αq

r

R+

ÃZ

= (cos θ)α

dr

=

!1/q Z

e−qu u−1−αq du

|g(t)|tα dt,

R+

R+

что и требовалось. Пусть, наконец, p = q = 1, α < 0. Тогда Z Z Z iθ −1−α −1−α kGθ k1,1−α = |G(re )|r dr 6 r dr e−tr cos θ |g(t)|dt = R+

R+

Z =

|g(t)|dt R+

R+

Z e

Z

−tr cos θ −1−α

r

α

dr = (cos θ)

R+

R+

Z e

−u −1−α

u

du

|g(t)|tα dt,

R+

и теорема 4.2.1 доказана полностью. Замечание 4.2.1. При α = p − 1 теорема 4.2.1 теряет силу. Действительно, если 1 < p < ∞, то найдется функция g ∈ Lpp−1 такая, что g 6∈ L1 (0, 1), и говорить о преобразовании Лапласа в классе Lpp−1 не имеет смысла. Если p = 1, α = 1, то взяв положительную функцию g ∈ L1 = L10 , имеем G(x) → c 6= 0, x → +0, и принадлежность G(x) ∈ L1−1 невозможна. Пусть G(z) имеет прежний смысл. При фиксированном y ∈ R рассмотрим функцию Gy (x) = G(x + iy),

x > 0.

Следствие 4.2.1. Пусть p, q, α, β удовлетворяют условиям теоремы 4.2.1. Пусть g ∈ Lpα . Тогда: 1) Gy (x) ∈ Lqβ при всех y ∈ R и kGy kq,β 6 C(p, q, α)kgkp,α ; 2) при дополнительном условии α > −1 kGy kq,β → 0,

y → ±∞.

70

ГЛАВА 4. ПОЛНОТА

И МИНИМАЛЬНОСТЬ СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ В ВЕСОВЫХ

Lp -ПРОСТРАНСТВАХ

Доказательство. При y = 0 утверждение 1) совпадает с утверждением теоремы 4.2.1 при θ = 0. Случай произвольного y сводится к этому переходом от g(t) к eiyt g(t). В силу утверждения 1) и теоремы Банаха—Штейнгауза, утверждение 2) достаточно доказать для функций g из плотного в Lpα множества. В качестве такого множества возьмем множество характеристических функций отрезков, содержащихся в R+ ¡ ¢ . Итак, пусть 0 < a1 < a2 < ∞, g = 1 на (a1 , a2 ) и g = 0 вне (a1 , a2 ). Тогда G(z) = e−a1 z − e−a2 z /z, |G(z)| < 2/|z| и Z Z xβ dx c tβ dt q q kGy kq,β < 2 = →0 (x2 + y 2 )q/2 |y|q−(1+β) (t2 + 1)q/2 R+

R+

при y → ±∞, так как q −(1+β) > 0 и последний интеграл конечен (то и другое вытекает из (4.2.1) и условия α > −1). Следствие 4.2.1 доказано. В п. 4.3 теорема 4.2.1 будет служить одним из аналитических инструментов. А в главе 8 нам понадобится распространение следствия 4.2.1 на случай более общих операторов. Чтобы его сформулировать, заметим: при p > 1, −1 < α < p − 1 доказательство теоремы 4.2.1 опиралось только на оценку (4.2.2) и на интерполяционную теорему Марцинкевича; специфика преобразования Лапласа была использована лишь для получения оценки (4.2.2). Это означает, что теорема 4.2.1 и утверждение 1) следствия 4.2.1 верны для более общих операторов, подчиняющихся оценке (4.2.2). Кроме того, в дальнейшем будет удобнее иметь дело не с правой, а с верхней полуплоскостью. Итак, справедлива Теорема 4.2.2. Пусть 1 < p0 < p1 < ∞, −1 < α < p0 − 1, p ∈ (p0 , p1 ), p 6 q < ∞ и выполнено условие (4.2.1). Пусть, далее, на функциях h(t) ∈ Lpi (I, ω(t)dt), i = 0, 1, определен линейный оператор h(t) → T (z), Im z > 0, такой, что при любом фиксированном x ∈ R функция T (x + iy) (y > 0) измерима и |T (x + iy)| 6 Mi

khkpi ,ω , 1−(1+α)/p i y

y > 0,

x ∈ R,

i = 0, 1.

Тогда T (x + iy) ∈ Lq (R+ , y β dy) при любом x ∈ R и kT (x + iy)kq,β 6 M khkp,ω , где M < ∞ не зависит от x. 4.3. УСЛОВИЯ

ПОЛНОТЫ В ТЕРМИНАХ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ

4.3.1. Продолжим начатое в п. 4.1 исследование полноты системы экспонент e(Λ) ((4.1.6)) в пространствах Lpω(t),a , Lpα,a и C. Здесь условия полноты будут выражаться с помощью целой функции, множество корней которой совпадает с последовательностью Λ. Теорема 4.3.1. Пусть Λ — последовательность всех корней некоторой целой функции F (z) экспоненциального типа. Пусть 1 6 p < ∞, а −1 < α a и ∃H ∈ R,

∃m > 0 : |F (x + iH)| > δ|x|−m ,

δ > 0,

|x| > 1,

(4.3.1)

p0

также и достаточно, чтобы F (z) 6∈ F Lβ,a , где β = −αp0 /p при 1 < p < ∞ и β = −α при p = 1 (F (z) 6∈ Fa ). 0

Доказательство. Необходимость дается леммой 4.1.1; надо только учесть, что (Lpα,a )∗ = Lpβ,a , где β = −α/p при 1 < p < ∞ и β = −α при p = 1. 0 Достаточность. Пусть F (z) 6∈ F Lpβ,a (6∈ Fa ) и выполнено условие (4.3.1). Предположим противное: система e(Λ) неполна в Lpα,a (в C). По лемме 4.1.1 найдется нетривиальная целая функция 0 экспоненциального типа G(z) ∈ F Lpβ,a (∈ Fa) такая, что G(Λ) = 0. Но Λ — последовательность всех корней функции F (z). Значит, частное E(z) =

G(z) F (z)

(4.3.2)

4.3. УСЛОВИЯ

71

ПОЛНОТЫ В ТЕРМИНАХ ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ

также есть целая функция экспоненциального типа. Так как G ∈ Fa , то |G(x + ih)| 6 M < ∞, x ∈ R, и в силу (4.3.1) и (4.3.2) |E(x + ih)| 6 C(1 + |x|)m ,

x ∈ R.

(4.3.3)

По теореме Картрайт (п. 1.7) функция E(z) имеет вполне регулярный рост. Но тогда индикатор произведения E(z)F (z) равен сумме индикаторов сомножителей, т. е. hG (θ) = hF (θ) + hE (θ),

θ ∈ [−π, π].

(4.3.4)

Из G ∈ Fa следует hG (±π/2) 6 a, а по условию hF (±π/2) > a. Значит, hE (±π/2) 6 0. По теореме Картрайт hE (θ) 6 0, θ ∈ [−π, π], и, следовательно, E(z) имеет минимальный тип при порядке 1. Отсюда и из (4.3.3) вытекает, что E(z) есть многочлен, E(z) = P (z). А это дает противоречие. Действительно, если P (z) ≡ c 6= 0, то G и F пропорциональны; но G принадлежит 0 F Lpβ,a (Fa), а F — нет. Если же P (z) 6≡ c, то P (z) = a0 (z − z1) · . . . · (z − zs), s ∈ N, и в силу (4.3.2) 0

F (z) = G(z)/(a0 (z − z1 ) · . . . · (z − zs )). По лемме 4.1.2 F (z) вместе с G(z) принадлежит F Lpβ,a (Fa ), что противоречит условию. Теорема 4.3.1 доказана. Ради единообразия последующих формулировок (в них и только в них) L∞ a,α в теореме 4.3.2 и в теореме 4.3.3 служат для обозначения пространства C.

L∞ ω(t),a

Теорема 4.3.2. Пусть Λ — последовательность всех корней некоторой целой функции F (z) экспоненциального типа, причем hF (±π/2) > a и выполнено условие (4.3.1). Пусть, далее, 1) F (x) 6∈ Lp/(1+α) (R), если 1 < p < ∞, −1 < α 6 min(0, p − 2); 2) функция F (x) неограничена, x ∈ R, если p = ∞. Тогда система e(Λ) полна в Lpα,a . Доказательство. В силу теоремы 4.3.1 достаточно убедиться, что условия 1), 2) влекут соответственно условия 0

10 ) F 6∈ F Lpβ,a , 20 ) F 6∈ Fa . Импликация 2) =⇒ 20 ) очевидна, так как функция класса Fa ограничена на любой горизонтали. Импликация 1) =⇒ 10 ) будет доказана, если мы проверим, что ¶ µ αp0 p0 F ∈ F Lβ,a , β = − =⇒ F ∈ Lp/(1+α) (R). (4.3.5) p 0

Итак, по предположению F (x) есть обратное преобразование Фурье функции f ∈ Lpβ,a . В силу условий на α имеем 1 < p0 < ∞, max(0, p0 − 2) 6 β < p0 − 1. По замечанию 1.5.1 F (x) ∈ Ls (R), где s = p/(1 + α), и импликация (4.3.5) доказана. Теорема 4.3.2 верна. Следствие 4.3.1. Пусть Λ — последовательность всех корней некоторой целой функции F (z) экспоненциального типа, причем hF (±π/2) > a и выполнено условие (4.3.1) с m = (1 + α)/p, где 1 < p < ∞ и −1 < α 6 min(0, p − 2). Тогда система e(Λ) полна в Lpα,a . Замечание 4.3.1. Невесовой случай α = 0 содержится в теореме 4.3.1 при всех p ∈ [1, ∞) и в теореме 4.3.2 и следствии 4.3.1 при p ∈ [2, ∞). 4.3.2. В теореме 4.3.2 (и в следствии 4.3.1) ограничение α 6 min(0, p − 2) продиктовано применением теоремы Питта для преобразования Фурье. Это ограничение снимается, если вместо горизонтали Im z = H рассматривать мнимую ось, а вместо теоремы Питта применять ее аналог для преобразования Лапласа (теорему 4.2.1). При этом расширяется и класс пространств Lpα,a . Теорема 4.3.3. Пусть ω ∈ Ωp , 1 6 p < ∞, причем ω(t) = (a − |t|)α для a − δ < |t| < a при некотором δ > 0, где −1 < α 1 и −1 < α 6 0 при p = 1. Пусть Λ — последовательность всех корней целой функции F (z) экспоненциального типа, удовлетворяющей условию |F (iy)| > δea|y| |y|−m , δ > 0, m > 0, |y| > y0 . (4.3.6)

72

ГЛАВА 4. ПОЛНОТА

И МИНИМАЛЬНОСТЬ СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ В ВЕСОВЫХ

Lp -ПРОСТРАНСТВАХ

Пусть, кроме этого, 0

e−a|y| F (iy) 6∈ Lpp0 −2+αp0 /p (R), |y|(1+α)/p e−a|y| F (iy) 6∈ L∞ (R), Тогда система e(Λ) полна в Lpω(t),a , 1 6 p 6 ∞.

когда 1 < p < ∞,

(4.3.7)

когда p = 1, ∞.

(4.3.8)

Доказательство. Предположим противное: система e(Λ) неполна в Lpα,a . Тогда найдется нетриви0 альная целая функция G(z) ∈ F Lpβ,a , где β = −αp0 /p при 1 < p < ∞ и β = −α при p = 1 (G ∈ Fa при p = ∞) такая, что G(Λ) = 0. Тогда верно (4.3.2), где E(z) — некоторая целая функция экспоненциального типа. Так как |G(z)| 6 Cea|y| , то из (4.3.2) и (4.3.6) следует, что E(iy) = O(|y|m ), y → ±∞. По теореме Картрайт функция E(iz) (а значит, и E(z)) имеет вполне регулярный рост и h π πi h π 3π i hE (θ) = h± | cos θ|, θ ∈ I± , I+ = − , , I− = , (4.3.9) , 2 2 2 2 причем h+ + h− > 0. По свойству индикатора hF (0) + hF (π) > 0, а из G ∈ Fa следует hG (0), hG (π) 6 0. Отсюда и из (4.3.4) вытекает, что 0 > hG (0) + hG (π) = hF (0) + hF (π) + hE (0) + hE (π) > h+ + h− . Но h+ + h− > 0, и потому h+ + h− = 0. В силу (4.3.9) hE (θ) = h cos θ, h = h+ . Но такой же индикатор имеет и функция ehz . Значит, функция E1 (z) := e−hz E(z) ∈ [1, 0]. И так как на мнимой оси E1 (z) имеет степенной рост, то E1 (z) — многочлен, E1 (z) = P (z) и G(z) = ehz F (z)P (z),

h ∈ R.

(4.3.10)

В случае P ≡ 0 имеем G ≡ 0, что дает противоречие. Пусть P 6≡ 0. Пусть 1 0 Ã Zδ

Z2a −ay

e

G(±iy) =

= 0

Z2a ! e−yt g(±(t − a))dt =: I1 (±iy) + I2 (±iy).

+ 0

(4.3.11)

δ

p0

По условию g(±(t − a)) ∈ L ((0, δ), tβ dt). По теореме 4.2.1 0

I1 (±iy) ∈ Lpp0 −2−β (R+ ).

(4.3.12) 0

Далее, так как g1 (±(t − a)) ∈ L1 (δ, 2a) в силу вложения Lpu(t),a ,→ L1 (вес u(t) связан с ω(t) формулой (4.1.3)), то |I2 (±iy)| 6 e−δy kgk1 , y > 0. (4.3.13) 0

В силу неравенства β < p0 − 1 имеем p0 − 2 − β > −1; следовательно, I2 (±iy) ∈ Lpp0 −2−β (R+ ). Учитывая это и (4.3.12) и возвращаясь к (4.3.11), видим, что 0

e−a|y| G(y) ∈ Lpp0 −2−β (R). А это противоречит условию (4.3.7) и равенству (4.3.10). Случай 1 0.

Так как для I2 оценка (4.3.13) сохраняется и 1 + α > 0, то получаем e−a|y| |y|1+α G(iy) ∈ L∞ (R), и теперь (4.3.8) и (4.3.10) дают противоречие. Если p = ∞, то G ∈ Fa , e−a|y| G(iy) ∈ L∞ (R), и снова (4.3.8) и (4.3.10) дают противоречие. Теорема 4.3.3 доказана. Следствие 4.3.2. Пусть вес ω(t) удовлетворяет условиям теоремы 4.3.3. Пусть Λ — последовательность всех корней целой функции F (z) экспоненциального типа Тогда:

4.4. МАЖОРАНТНЫЙ

73

КРИТЕРИЙ ПОЛНОТЫ

1) если |F (iy)| > δ ea|y| |y|−(1+α)/p ,

δ > 0,

y > y0 > 0 или y < −y0 ,

1 δ ea|y| , δ > 0, y > y0 (> 0) или y < −y0 , то система e(Λ) полна в Lpω(t),a , 1 6 p < ∞. Замечание 4.3.2. Теорема 4.3.3 и следствие 4.3.2 верны, в частности, для пространств Lpα,a . 4.4. МАЖОРАНТНЫЙ

КРИТЕРИЙ ПОЛНОТЫ

Здесь отправной точкой служит теорема 4.1.4, которая в случае |λn | − |n| 6 C = C(Λ) < +∞,

n ∈ Z,

дает следующее достаточное условие полноты системы (eiλn t ), n ∈ Z, в α < p − 1: ∞ X max(|λ±n |) − |n| − (1 + α)/(2p) < +∞. n

(4.4.1) Lpα,π ,

1 < p < ∞, −1 < (4.4.2)

n=1

Напомним, что Lpα,π = Lp ((−π, π), ωα (t)dt), где ωα (t) =

s Y

|t − bj |α ,

2 6 s 6 N,

−π = b1 < . . . < bs = π.

(4.4.3)

j=1

В этом пункте в терминах мажорант частичных сумм ряда в (4.4.2) мы даем критерий полноты системы (eiλn t ), n ∈ Z, в классе всех вещественных последовательностей со свойством (4.4.1). Теорема 4.4.1. Пусть Φ(x) (x > 0) — положительная неубывающая функция. Тогда для того чтобы из условия N X max(|λ±n |) − |n| − (1 + α)/(2p) 6 log Φ(N ), n

N = k, k + 1, . . . ,

(4.4.4)

n=k

где k — некоторое натуральное число, следовала полнота системы (eiλn t ), n ∈ Z, в Lpα,π , 1 < p < ∞, −1 < α < p − 1, для любой вещественной последовательности (λn ) со свойством (4.4.1), достаточно, а в случае когда Φ(x) ∈ L∞ и s = 2 также и необходимо, чтобы Z∞ dt dt = +∞. (4.4.5) tΦ2p0 (t) k

Значения λn , |n| = 0, k − 1, не участвующие в условии (4.4.4), произвольны. Обозначив logj x = log . . . log x, | {z }

j ∈ N,

j раз

и положив Φ(x) =

m Y

(logj x)∆ ,

∆ > 0,

j=1

из теоремы 4.4.1 получаем Следствие 4.4.1. Для того чтобы любая система (eiλn t ), n ∈ Z, λn ∈ R, с условиями (4.4.1) и

N m X X max(|λ±n |) − |n| − (1 + α)/(2p) 6∆ logj+1 N, n j=1

n=n(m)

N > n(m) = [exp exp . . . exp e] | {z } m−1 раз

74

ГЛАВА 4. ПОЛНОТА

И МИНИМАЛЬНОСТЬ СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ В ВЕСОВЫХ

Lp -ПРОСТРАНСТВАХ

где m — некоторое натуральное число, была полна в Lpα,π , 1 < p < ∞, −1 < α < p − 1, достаточно, а при s = 2 также и необходимо, чтобы ∆ 6 1/(2p0 ). В свою очередь, следствие 4.4.1 дает Следствие 4.4.2. Пусть при некотором m ∈ N m j 1+α 1 XY 1 + 0 , |λn | 6 |n| + 2p 2p logk |n|

|n| > n(m),

λn ∈ R,

j=1 k=1

а точки λn , |n| < n(m), произвольны. Тогда система (eiλn t ), n ∈ Z, полна в Lpα,π , 1 < p < ∞, −1 < α < p − 1. Лемма 4.4.1. Пусть an , bn ∈ R, an , bn 6= 0 и считающие функции a(t) и b(t) последовательностей (an ), (bn ) удовлетворяют условию b(t) − a(t) = o(t2 ), t → ±∞. Пусть в каждой точке мнимой оси существует предел µ Y ¯ ¶Áµ Y ¯ ¶ z ¯¯ z ¯¯ ¯ ¯ F (z) = lim ¯1 − ¯ ¯1 − ¯ . R→∞ bn an |bn |
Тогда: 1) F (iy) = exp

Ã

Z y2

! b(t) − a(t) dt , t(t2 + y 2 )

|an |
y ∈ R;

R

2) если b(t) − a(t) = O(1), то Ã Zy F (iy) ³ exp −y

! b(t) − a(t) dt , t

y > 0;

3) если an , bn = n + O(1) и последовательности (an ), (bn ) симметричны, то Ã ! [y] X αn F (iy) ³ exp −2 , y > 1, αn = bn − an . n n=1

Доказательство. 1) Запишем 1 log F (iy) = 2

Z

µ ¶ y2 log 1 + 2 d(b(t) − a(t)) t

R

и проинтегрируем по частям. Так как b(t) − a(t) = o(t2 ), то внеинтегральный член даст нуль и мы получим требуемое соотношение Z b(t) − a(t) log F (iy) = y 2 dt. t(t2 + y 2 ) R

2) Благодаря ограниченности функции ϕ(t) = b(t) − a(t) ¯ ¯ Z Z∞ ¯ ϕ(t)dt ¯¯ dt π ¯ 2 6M . ¯y ¯ 6 2M y 2 2 2 2 ¯ t(t + y ) ¯ t +y 2 y

|t|>y

Теперь из утверждения 1) следует, что Ã

Zy

F (iy) ³ exp y 2 −y

! ϕ(t) dt , t(t2 + y 2 )

y > 0,

и остается убедиться, что выражение ¯ ¯ Zy ¯ Zy ¯ Zy ¯ ¯ ¯ ¯ tϕ(t)dt ϕ(t) ϕ(t)dt ¯ ¯ ¯ ¯ = dt − y 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ t t(t2 + y 2 ) ¯ ¯ t2 + y 2 ¯ −y

−y

−y

4.4. МАЖОРАНТНЫЙ

75

КРИТЕРИЙ ПОЛНОТЫ

ограничено при y > 0. А это действительно так, поскольку оно не превосходит выражения Zy 2M 0

t2

t dt = M log 2. + y2

3) Пусть t > 0. Функция b(t) − a(t) слагается из характеристических функций интервалов (bn , an ) при bn < an (т. е. при αn < 0) и взятых со знаком минус характеристических функций интервалов (an , bn ) при bn > an (интервалы могут пересекаться). Значит, теорема о среднем и условие an , bn = n + O(1) дают Zy 0

[y]

X αn b(t) − a(t) dt = − + O(1). t n n=1

Остается воспользоваться утверждением 2) и четностью функции (b(t) − a(t))/t. Лемма 4.4.1 доказана. Теорема 4.4.2. Пусть λn ∈ R, n ∈ Z, и |λn | 6 |n| + где (αn ) ∈ l∞ . Тогда если

1+α + α|n| , 2p

Ã

Z∞

y −1 exp −2p0

[y] X αn n=1

n ∈ Z,

!

n

dy = +∞,

(4.4.6)

то система (eiλn t ), n ∈ Z, полна в Lpα,π , 1 < p < ∞, −1 < α 1 Ã |B(iy)| > c|A(iy)| exp −2

[y] X αn n=1

n

! ,

c > 0.

Для |A(iy)| справедлива оценка |A(iy)| ³ eπ|y| |y|−(1+α)/p,

|y| > 1

(4.4.7)

(см. следствие 3.1.4). Значит, Ã πy −(1+α)/p

|B(iy)| > c1 e y

exp −2

[y] X αn n=1

n

! ,

y > 1.

(4.4.8)

Пусть теперь (λn ) — последовательность, о которой идет речь в теореме 4.4.2; считаем для удобства, что λ0 = 0 и λn 6= 0 при n 6= 0. Введем последовательность (µn ) следующим образом: µ0 = λ0 = 0 и ¶ µ 1+α , sign µ = sign λn , n 6= 0. |µn | = min |λn |, |n| + 2p Полученная последовательность M = (µn ) удовлетворяет условиям теоремы 4.1.4, и, следовательно, EB (M ) > 0, B = Lpα,π . С другой стороны, |Λ(t) − M (t)| 6 C < ∞, t ∈ R, Λ = (λn ), M = (µn ), благодаря ограниченности последовательности (αn ). По лемме 4.1.4 EB (Λ) > −∞.

76

ГЛАВА 4. ПОЛНОТА

И МИНИМАЛЬНОСТЬ СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ В ВЕСОВЫХ

Lp -ПРОСТРАНСТВАХ

Мы должны доказать полноту системы (eiλn t ) в Lpα,π . Предположим противное: эта система неполна в Lpα,π . Тогда, как мы только что видели, она имеет конечный отрицательный избыток. Это означает, что при некотором натуральном s система ¡ iλn t ¢ ¡ iz t ¢s e ∪ e j j=1 , zj 6∈ (λn ), полна и минимальна в Lpα,π . По теореме 4.1.2 некоторая нетривиальная целая функция Zπ 0 p0 G(z) = eizt g(t)dt, g ∈ Lpβ,π , β = −α , p −π

обращается в нуль в точках (см. (4.4.3)). Тогда

s−1 (λn )∞ −∞ ∪(zj )j=1

и только в них. Фиксируем δ > 0 условием −π+δ < b2

Z2π e Имеем

−πy

G(iy) =

0 g(t − π) ∈ Lp ((0, δ), tβ dt)

Zδ −yt

e

g(t − π)dt =

Z2π +

=: J1 (y) + J2 (y).

0

0

g(t − π) ∈ L1 (δ, 2a).

По теореме 4.2.1 J1 (y) ∈ Lpp0 −2−β (R+ ). Далее,

и

δ 0

0

|J2 (y)| 6 e−δy kgk1 , и так как p0 − 2 − β > −1, то и J2 (y) ∈ Lpp0 −2−β (R+ ). Таким образом, Z∞

¡ ¢p0 0 y p −2−β |G(iy)|e−πy dy < +∞.

(4.4.9)

Теорема будет доказана, если мы убедимся, что это невозможно. По теореме Картрайт ¶ s−1 µ ¶ Yµ z Y z G(z) = z 1− 1− =: L(z)Ps−1 (z), λn zk n6=0

(4.4.10)

k=1

где бесконечное произведение сходится в смысле главного значения. Значит, чтобы придти к противоречию с (4.4.9), достаточно проверить, что Z∞ ¡ ¢p0 0 y p −2−β |L(iy)|e−πy dy = +∞. (4.4.11) Введем последовательность an по следующему правилу: |an | = |λn |, sign an = sign n. Из сходимости бесконечного произведения в формуле (4.4.10) следует сходимость бесконечного произведения из модулей (в том же смысле). А так как ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ iy iy ¯1 − ¯ = ¯1 − ¯, y ∈ R, ¯ ¯ ¯ λn (−λn ) ¯ то в том же смысле сходится и бесконечное произведение ¯ Y ¯¯ ¯ iy ¯1 − ¯, L0 (iy) = |y| ¯ an ¯ n6=0

причем |L(iy)| = L0 (iy). Пусть b0 = 0 и bn = n + ((1 + α)/(2p) + α|n| ) sign n, n 6= 0. Так как |bn | > |an |, то ϕ(t)/t 6 0, t ∈ R, где ϕ(t) = b(t) − a(t). Применим утверждение 1) леммы 4.4.1; тогда Ã Z ! |B(iy)| ϕ(t) dt = exp y 2 · 2 6 1. L0 (iy) t t + y2 R

Следовательно, L0 (y) > |B(iy)|, и в силу оценки (4.4.8) Ã ! [y] X 0 ¡ ¢ c α 0 p n y p −2−β |L(iy)|e−πy > exp −2p0 , y n

y > 1,

c > 0.

n=1

Благодаря этому и условию (4.4.6) свойство (4.4.11) выполняется, и остается только подтвердить условие b(t) − a(t) = o(t2 ), присутствующее в лемме 4.4.1, которую мы применяли. Соотношение

4.4. МАЖОРАНТНЫЙ

77

КРИТЕРИЙ ПОЛНОТЫ

b(t) = o(t2 ) вытекает из явного вида bn и из ограниченности αn . Так как функция G(z) ∈ Fπ , то множество ее корней, а значит, и последовательность Λ, имеет конечную плотность, откуда nΛ (t) = O(t), t → ∞. Но тогда |a(t)| 6 nΛ (|t|) = O(|t|) = o(t2 ), и ссылка на лемму 4.4.1 оправдана. Теорема 4.4.2 доказана. Доказательство теоремы 4.4.1. Достаточность сразу следует из теоремы 4.4.2, так как условия (4.4.4), (4.4.5) вместе с монотонностью функции Φ(t) влекут условие (4.4.6). Основная работа состоит в доказательстве необходимости. Необходимость. Предположим, что условие (4.4.5) не выполнено, и докажем существование вещественной последовательности (λn ) с условиями (4.4.1), (4.4.4) и такой, что система (eiλn t ), n ∈ Z, неполна в Lpα,π , 1 < p < ∞, −1 < α < p − 1, s = 2. Итак, предположим, что +∞ Z 0 t−1 Φ−2p (t)dt < +∞. (4.4.12) Пусть

 1    Φ2 (1/t) , b(t) =  1   , 2 Φ (1/t0 )

0 < t 6 t0 , t0 6 t < π, 0

где t0 выбрано так, чтобы функция g(t) = tα/p−1/p b(t) убывала на (0, t0 ). Такой выбор возможен, так как в силу п. 1.2 мы можем считать, что Φ(t) ∈ L∞ Z, и так как α/p − 1/p0 < 0. Для функции b(t) выполнены условия теоремы 3.1.1. По этой теореме µ

Zπ e

−yt α/p−1/p0

t

0

¶ µ ¶ 1 + α −(1+α)/p 1 b(t)dt ∼ Γ y b , p y

y → +∞.

(4.4.13)

0

В силу (4.4.12), g(t) ∈ Lp ((0, π), tβ dt), β = −αp0 /p, и, значит, g(π − |t|) ∈ Lpβ,π , поскольку s = 2 (см. (4.4.3)). Рассмотрим целую функцию 0

Zπ eizt g(π − |t|) sign t dt

G(z) = −π

и обозначим через (λn ) последовательность ее корней. По лемме 4.1.1 система (eiλn t ) неполна в Lpα,π . Запишем G(z) в виде Zπ G(z) = 2i g(π − t) sin zt dt. 0

Функция g(π − t) положительна и возрастает. По теореме 2.2.2 все корни G(z) вещественны и просты и, не считая корня λ0 = 0, располагаются по одному в интервалах (n, n + 1), n 6= 0, −1. Значит, условие (4.4.1) выполнено и последовательность αn := λn − n − (1 + α)/(2p), n > 0, ограничена. Так как последовательность (λn ) симметрична, то остается убедиться в справедливости условия N X αn 6 log Φ(N ), n

N = k, k + 1, . . . ,

(4.4.14)

n=k

в которое переходит условие (4.4.4). Запишем Zπ

Z0 −yt

G(iy) =

e 0

e−yt g(π + t)dt.

g(π − t)dt − −π

(4.4.15)

78

ГЛАВА 4. ПОЛНОТА

И МИНИМАЛЬНОСТЬ СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ В ВЕСОВЫХ

Последний интеграл равен

Lp -ПРОСТРАНСТВАХ

Zπ e

0

πy

e−yu uα/p−1/p b(u)du. 0

Применяя к нему асимптотику (4.4.13) и учитывая ограниченность первого интеграла в (4.4.15) при y > 0, имеем: если y → +∞, то µ ¶ 1 + α πy −(1+α)/p −2 G(iy) ∼ Γ e y Φ (y). p Пусть A(z) — функция, введенная в начале доказательства теоремы 4.4.2; для нее верна оценка (4.4.7). Значит, ¯ ¯ ¯ G(iy) ¯ ¯ ¯ = O(1) − 2 log Φ(y), y > k. log ¯ A(iy) ¯ С другой стороны, по лемме 4.4.1 ¯ ¯ [y] X ¯ G(iy) ¯ αn ¯ = O(1) − 2 log ¯¯ . A(iy) ¯ n n=1

Следовательно, SN :=

N X αn = RN + log Φ(N ), n

N = k, k + 1, . . . ,

(4.4.16)

n=k

где |RN | 6 M < +∞. В силу (4.4.12) Φ(N ) → +∞, поэтому (4.4.16) показывает, что Sm > M при некотором m > k. Изменим конечное число значений λn , положив λn = n + (1 + α)/(2p), n = 1, m, λ−n = −λn , n = 1, m. Это исправление не повлияет на неполноту системы (eiλn t ). С другой стороны, такой процедуре в (4.4.16) отвечает замена N X αn n

n=k

на

N X αn n

(N > m),

n=m+1

которая уменьшает левую (а значит, и правую) часть на Sm > M. Если же N 6 m, то левая часть в (4.4.16) становится равной нулю. Значит, для исправленной последовательности (λn ), порождающей неполную в Lpα,π систему (eiλn t ), выполнено условие (4.4.14). Теорема 4.4.1 доказана. Теорема 4.4.3. Пусть Φ(x) (x > 0) — положительная неубывающая функция. Тогда для того чтобы из условия N X max |λ±n | − |n| − (1 + α)/(2p) + 1/2 6 log Φ(N ), n

N = k, k + 1, . . . ,

n=k

где k — некоторое натуральное число, следовала неминимальность системы (eiλn t ), n ∈ Z, в Lpα,π , 1 < p < ∞, −1 < α < p − 1, для любой вещественной последовательности (λn ) со свойством (4.4.1), достаточно, а в случае когда Φ(x) ∈ L∞ и s = 2 также и необходимо, чтобы выполнялось условие (4.4.5). Для доказательства теоремы 4.4.3 следует внести в доказательства теорем 4.4.1, 4.4.2 естественные изменения. На этом останавливаться не будем. Рассмотрим вопрос о полноте в Lpα,π системы (eiλn t ), когда µ ¶ 1+α ∆ λn = n + + sign n, n 6= 0, ±1, ∆ ∈ R. (4.4.17) 2p log |n| Подчеркнем, что теорема 4.4.1 и следствие 4.4.1 дают критерии полноты в классе последовательностей (λn ) с определенными условиями, поэтому для индивидуальных последовательностей (λn ) мы можем использовать лишь достаточные части этих критериев. Теорема 4.4.4. Пусть 1 < p < ∞, max(0, p − 2) 6 α < p − 1. Пусть точки λn при n 6= 0, ±1 заданы формулой (4.4.17), а точки λ0 , λ±1 произвольны. Тогда для полноты системы (eiλn t ), n ∈ Z, в Lpα,π необходимо и достаточно, чтобы ∆ 6 1/(2p0 ).

ПРИМЕЧАНИЯ

И ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ

4

79

Доказательство. Благодаря следствию 4.4.2 надо доказать неполноту системы (eiλn t ), n ∈ Z, в Lpα,π , если ∆ > 1/(2p0 ). Для этого рассмотрим бесконечное произведение ¶ ∞ µ ³ z ´Y z2 z ´³ Fα (z) = (z − λ0 ) 1 − 1− 1− 2 . λ−1 λ1 λn n=2

По лемме 5.3.6 и замечанию 5.3.2 для h > 0 верно соотношение |Fα+h (z)| ³ (1 + |z|)−2h , |Fα (z)|

| Im z| > 1.

Но, как показано в [76], ¡ ¢ |F0 (x + i)| = O |x|−1/p (log |x|)−2∆ , Значит, при α > 0

|x| > 2.

¡ ¢ |Fα (x + i)| = O |x|−(1+α)/p (log |x|)−2∆ ,

|x| > 2.

Эта оценка показывает, что если ∆ > 1/(2p0 ), то Fα (x+i) ∈ Lpα (R). По теореме Питта преобразова0 ние Фурье f1 (t) функции Fα (x + i) лежит в Lpβ (R), β = −αp0 /p. Но из соотношения λn = n + O(1) следует, что Fα (z) — целая функция экспоненциального типа с индикатором hF (θ) = a| sin θ|. Значит, f1 ≡ 0 вне [−π, π], и, обозначив f (t) = e−it f1 (t), имеем Zπ eizt f (t)dt,

F (z) =

0

f ∈ Lpβ (R).

−π

Рассмотрим функцию e−ibz F (z), b ∈ R; ее преобразованием Фурье будет функция f (t + b). 0 0 По доказанному f (t + b) ∈ Lpβ , т. е. f (t) ∈ Lp (R, |t − b|β dt). Полагая b = bj , j = 1, s (см. 0

0

формулу (4.4.3)), делаем вывод, что f ∈ Lpβ,π . Таким образом, F (z) ∈ F Lpβ,π и F (Λ) = 0. По лемме 4.1.1 система (eiλn t ), n ∈ Z, неполна в Lpα,π . Теорема 4.4.4 доказана. ПРИМЕЧАНИЯ

И ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ

4

4.1. Материал п. 4.1 представляет собой обобщение классических результатов, относящихся к невесовому случаю (и к случаю p = 2, когда речь идет о теоремах 4.1.1, 4.1.2) и в существенном содержащихся в [12, 67, 71, 77]. При ω(t) ≡ 1, p = 2, mn ≡ 1 теорему 4.1.1 доказали Р. Пэли и Н. Винер [71] (получившие и формулы (4.1.12) для биортогональной системы), а теорему 4.1.2 — Б. Я. Левин [12]. Следствие 4.1.5 (опять же для ω(t) ≡ 1) содержится в [32]. Весовые пространства Lpω(t),a в негармоническом анализе раньше почти не встречались. Из леммы 4.1.1 и теоремы Картрайт сразу вытекает, что в каждом из следующих двух случаев система e(Λ) полна в Lpω(t),a , где ω ∈ Ωp , или в C: a 1) Λ ⊂ R+ , ∆(Λ) > ; π ³ 1 ´¯ X0 ¯¯ ¯ 2) ¯ < +∞. ¯ Im λn Теорема 3.3.4, дающая следующее необходимое условие X 1 = +∞ |λn | полноты системы e(Λ) в Lp и C, верна и для Lpω(t),a , ω ∈ Ωp . В невесовом случае и при p 6= 1, ∞ лемма 4.1.5 и теорема 4.1.3 принадлежат Н. Левинсону [67]. Он же доказал теорему 4.1.4 для α = 0, 1 < p < ∞ и αn ≡ 0; то, что утверждение сохраняется при 0 6 αn = O(1), если выполнено первое условие (4.1.21), обнаружили автор [25], а также Р. Редхеффер и Р. Янг [76].

80

ГЛАВА 5. ПОЛНОТА

И МИНИМАЛЬНОСТЬ СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ В ВЕСОВЫХ

Lp -ПРОСТРАНСТВАХ

4.2. Теорема 4.2.1 принадлежит автору [80]. Ее утверждение аналогично теореме Питта (см. п. 1.5), но множество параметров в ней шире, чем в теореме Питта. Теорема 4.2.1 является также аналогом теоремы Харди—Литтлвуда [65], утверждающей, что если A(x) — степенной ряд с коэффициентами an , а p, q, α, β — те же, что в теореме 4.2.1, то Ã Z1 !1/q |A(1 − x)|q xβ dx

6 C(p, q, α)k(an )kp,α .

0

В статье [80] эта теорема доказана тем же методом, что и теорема 4.2.1. В 1988 г. В. Г. Кротов дал независимое доказательство теоремы 4.2.1 (не опубликовано), не опирающееся на интерполяционные теоремы. С помощью другого подхода С. Блум [60] нашел необходимые и достаточные условия на веса v и ω, при которых преобразование Лапласа g(t) → G(x) задает ограниченный оператор, действующий из Lp (R+ , vdt) в Lq (R+ , ωdx). В случае v = tα , ω = tβ эти условия совпадают с условиями теоремы 4.2.1. 4.3. Теоремы 4.3.1 и 4.3.2 для невесового случая в существенном принадлежат Б. Я. Левину [12]. Теорема 4.3.3 принадлежит автору и публикуется здесь впервые; утверждения следствия для ω(t) ≡ 1 в чуть менее общей форме присутствуют соответственно в [12] и [75]. 4.4. За исключением теоремы 4.4.4, изложение, в основном, ведется по статье [35], где α = 0. Случай p = 2, α = 0 теоремы 4.4.4 ранее был рассмотрен А. И. Хейфицем [54]. Р. Редхеффер и Р. Янг [76] доказали, что в случае (4.4.17) с α = 0 система (eiλn t ), n ∈ Z, полна в Lp (−π, π) при 2 6 p < ∞, ∆ 6 1/(2p) и неполна при 1 1/(2p). А. Бь¨ерлинг и П. Мальявен [57,58] дали полное описание радиуса полноты системы e(Λ), т. е. величины r(Λ) = sup(a > 0: система e(Λ) полна в L2 (−a, a)). Для этого они ввели специальную характеристику Ae (Λ), названную ими эффективной плотностью Λ, и доказали, что r(Λ) = πAe (Λ).

ГЛАВА 5 УСТОЙЧИВОСТЬ КЛАССОВ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФУРЬЕ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ 5.1. СОХРАНЕНИЕ

КЛАССОВ

F Lqu(t),a

И

Fa

Пусть u(t) — неотрицательный вес на (−a, a), a > 0. Речь пойдет о весовых пространствах Lqu(t),a , введенных в начале п. 4.1. Норму в Lqu(t),a обозначаем через k · kq,u(t) ; в невесовом случае (т. е. при u(t) ≡ 1) пишем k · kq . Рассматриваем веса u(t) класса Ωq , т. е. u ∈ L1 u−1/q

∈

0 Lq

при 1 6 q < ∞;

u ∈ L∞

при q = ∞,

при 1 6 q < ∞;

u−1

при q = ∞.

∈

L1

(5.1.1)

Напомним, что для u(t) ∈ Ωq верны топологические вложения L∞ ,→ Lqu(t),a ,→ L1 . За Fa и F Lqu(t),a также сохраним обозначения п. 4.1, т. е. класс Fa (F Lqu(t),a ) состоит из целых функций экспоненциального типа вида Za F (z) = eizt dσ(t), var σ < +∞ (5.1.2) −a

Ã

!

Za izt

F (z) =

e f (t)dt,

f∈

Lqu(t),a

.

(5.1.3)

−a

Пишем F Lqa вместо F Lq1,a . Будем писать Λ = (λn) ∈ Z(Fa) (∈ Z(F Lqu(t),a )), если Λ — последовательность всех корней некоторой функции F ∈ Fa (∈ F Lqu(t),a ). Договоримся, что всюду в этой главе все точки в последовательностях Λ = (λn ) и M = (µn ) просты, т. е. корню λ функции F

5.1. СОХРАНЕНИЕ

КЛАССОВ

F Lqu(t),a

И

Fa

81

кратности m в последовательности Λ отвечает m точек λs = λs+1 = . . . = λs+m−1 (= λ) с разными номерами. Заметим, что последовательность (λn) принадлежит классу Z(Fa) (Z(F Lqu(t),a)) вместе с последовательностью (−λn ). Ставится следующая задача: описать условия близости последовательностей Λ и M, при которых Λ ∈ Z(F Lqu(t),a ) (∈ Z(Fa )) ⇐⇒ M ∈ Z(F Lqu(t),a ) (∈ Z(Fa )),

(5.1.4)

т. е. речь пойдет о сохранении классов Fa Lqu(t),a и Fa при возмущениях корней принадлежащих этим классам функций. Будем писать Λ, M ∈ (A), если последовательности Λ, M связаны некоторым условием (A), которое предполагается симметричным, т. е. Λ, M ∈ (A) ⇐⇒ M, Λ ∈ (A). Скажем, что условие (A) сохраняет класс F Lqu(t),a (Fa ), если из того, что Λ, M ∈ (A), следует (5.1.4). Теорема 5.1.1. Если u(t) ∈ Ωq , 1 6 q 6 ∞, то условие X |λn − µn | < +∞

(5.1.5)

n

сохраняет класс F Lqu(t),a . Доказательство. Достаточно предположить, что Λ ∈ Z (F Lqu(t),a ), и доказать, что M ∈ Z(F Lqu(t),a ). Предположим, что это доказано для случая, когда возмущениям подвергаются только точки λn с Im λn 6 0, т. е. q q + − + ((λ− n ) ∪ (λn )) ∈ Z(F Lu(t),a ) =⇒ ((µn ) ∪ (λn )) ∈ Z(F Lu(t),a ),

(5.1.6)

− − + − где (λ− n ) = (λn ) ∩ (z : Im z 6 0), (µn ) = (µn : λn ∈ (λn )), (λn ) = (λn )\(λn ). Тогда, переходя к последовательностям (−λn ) и (−µn ) и применяя к ним свойство (5.1.6), получаем требуемое. Это означает, что мы с самого начала можем считать, что Im λn 6 0 для всех n. Итак, пусть Λ — последовательность всех корней некоторой функции F вида (5.1.3). Благодаря лемме 4.1.3 можем считать, что F (0) 6= 0. Положим f0 (t) = f (t) и при n ∈ N

Zt fn (t) = fn−1 (t) + i(µn − λn )

e−iλn (t−u) fn−1 (u)du,

t ∈ (−a, a).

(5.1.7)

−a

По лемме 4.1.3 (z − µ1 ) . . . (z − µn ) F (z) = Fn (z) := (z − λ1 ) . . . (z − λn )

Za eizt fn (t)dt.

(5.1.8)

−a

|e−iλn (t−u) |

Так как Im λn 6 0, то 6 1 для −a < u < t, и потому с помощью неравенства Г¨ельдера и условия (5.1.1) получаем ¯ Zt ¯ Zt ¯ ¯ ¯ ¯ (5.1.9) ¯ e−iλn (t−u) fn−1 (u)du¯ 6 |fn−1 (u)|du 6 Akfn−1 kq,u(t) , ¯ ¯ −a

−a

где A = ku−1/q kq0 , ku−1 k1 соответственно при 1 6 q < ∞, q = ∞. Отсюда и из (5.1.7) следует, что kfn k := kfn kq,u(t) 6 (1 + AB|λn − µn |)kfn−1 k,

n ∈ N,

где B = kuk1 , kuk∞ соответственно при 1 6 q < ∞, q = ∞. А это вместе с условием (5.1.5) дает ограниченность последовательности норм: kfn k 6 C < +∞, n ∈ N. Теперь, снова возвращаясь к (5.1.7) и учитывая (5.1.9) и условие (5.1.1), заключаем, что kfn − fn−1 k 6 ABCD|λn − µn |,

D = kuk1 .

Отсюда и из (5.1.5) вытекает существование предела (в норме Lqu(t),a ) µ ¶ n X lim fn (t) = lim f0 (t) + (fk (t) − fk−1 (t) =: g(t) ∈ Lqu(t),a . n

n

k=1

(5.1.10)

82

ГЛАВА 5. УСТОЙЧИВОСТЬ

КЛАССОВ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ

И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

Пользуясь этим, перейдем к пределу в (5.1.8) при n → ∞ и при любом фиксированном z. Тогда обозначив G(z) = lim Fn (z), будем иметь Za G(z) = eizt g(t)dt, (5.1.11) −a

Q т. е. G ∈ Так как G(0) = F (0) (µn /λn ) 6= 0 (сходимость бесконечного произведения следует из условия (5.1.5)), то G(z) 6≡ 0. Из сходимости fn → g в Lqu(t),a и из (5.1.8) следует, что сходимость Fn (z) → G(z) равномерна в каждом круге. Фиксируем произвольное R > 0. Тогда при всех достаточно больших n функция Fn (z) в круге |z| < R имеет только корни µk : |µk | < R. Значит, эти точки будут и корнями функции G(z). А из равномерной сходимости Fn → G и из теоремы Гурвица следует, что других корней у G(z) в круге |z| < R нет. И так как R произвольно, то (µn ) — последовательность всех корней функции G(z), т. е. M ∈ Z(F Lqu(t),a ). Теорема 5.1.1 доказана. F Lqu(t),a .

Для классов F Lqa = F Lq1,a и Fa условие (5.1.5) можно несколько ослабить. Теорема 5.1.2. Условие

X n

|λn − µn | < +∞ 1 + | Im λn | + | Im µn |

(5.1.12)

сохраняет классы Fa и F Lqa , 1 6 q 6 ∞. Доказательство. Сначала заметим, что (5.1.12) влечет условие ∞ X |λn − µn | < +∞. 1 + | Im λn |

(5.1.13)

n=1

В самом деле, из (5.1.12) следует, что λn − µn = o(mn ), n → ∞, где mn = max(1, |βn |, |vn |), βn = Im λn , vn = Im µn . Разобьем множество индексов N на непересекающиеся множества A1 , A2 , A3 так, что mn = 1, |βn |, |vn | соответственно для n ∈ A1 , A2 , A3 . Тогда из (5.1.12) вытекает сходимость рядов X X |λn − µn | X |λn − µn | |λn − µn |, , . |βn | |vn | n∈A1

n∈A2

n∈A3

Из сходимости первых двух рядов следует сходимость той части ряда в (5.1.13), которая соответствует индексам n ∈ A1 ∪ A2 . А из сходимости третьего ряда следует, что λn − µn = o(vn ), n → ∞, n ∈ A3 . Подавно Im(λn − µn ) = o(vn ), βn − vn = o(vn ) =⇒ |βn | ∼ |vn |, n → ∞, n ∈ A3 . Значит, сходится ряд с общим членом |λn − µn |/|βn |, n ∈ A3 . Следовательно, сходится и часть ряда в (5.1.13), отвечающая индексам n ∈ A3 . Итак, ряд в (5.1.13) сходится. Сначала разберем случай класса F Lqa . По сравнению с доказательством теоремы 5.1.1 изменения начинаются после формулы (5.1.8) (до этого, естественно, Lqu(t),a заменяется на Lq ). После (5.1.8) мы замечаем, что интеграл в (5.1.7) есть сужение на (−a, a) свертки функций e−iλn t ∈ L1 (0, 2a) и fn−1 ∈ Lq (−a, a). Поэтому, применяя известное свойство свертки kf ∗ gkq 6 kf k1 · kgkq , 1 6 q 6 ∞, получаем оценку ° ° Zt Z2a ° ° 2 ° ° −iλn (t−u) kfn−1 kq , (5.1.14) fn−1 (u)du° 6 kfn−1 kq eβn t dt 6 ° e ° ° 1 + |βn | q

−a

0

t ∈ (−a, a). Отсюда и из (5.1.7) имеем

µ ¶ 2|λn − µn | kfn kq 6 1 + kfn−1 kq . 1 + | Im λn |

Вместе с условием (5.1.13) это дает ограниченность последовательности норм kfn kq . Отсюда, из (5.1.7) и из (5.1.14) находим 2C|λn − µn | . kfn − fn−1 kq 6 1 + | Im λn |

5.1. СОХРАНЕНИЕ

КЛАССОВ

F Lqu(t),a

И

Fa

83

Значит, в силу (5.1.13) существует предел (5.1.10) с u(t) ≡ 1, и доказательство заканчивается так же, как в теореме 5.1.1. Случай класса Fa . Теперь F (z) имеет вид (5.1.2). Положим σ0 (t) = σ(t) и dσn (t) = dσn−1 (t) + i(µn − λn )gn−1 (t)dt,

t ∈ [−a, a],

(5.1.15)

где Zt e−iλn (t−u) dσn−1 (u).

gn−1 (t) = −a

По лемме 4.1.3

Za eizt dσn (t),

Fn (z) =

(5.1.16)

−a

где Fn (z) задается первым равенством (5.1.8). Функция gn−1 (t) есть сужение на [−a, a] свертки функции e−iλn t ∈ L1 (0, 2a) с мерой dσn−1 (t). По известному свойству свертки kf ∗ dσk1 6 kf k1 var σ получаем оценку kgn−1 k1 6

2vn−1 , 1 + | Im λn |

vn = var σn (t),

а значит, в силу (5.1.15), и оценку

¶ µ 2|λn − µn | vn−1 , vn 6 vn−1 + |λn − µn | · kgn−1 k 6 1 + 1 + | Im λn |

которая вместе с условием (5.1.13) дает ограниченность последовательности vn . Выделим из последовательности σn (t) (как из последовательности функционалов на C[−a, a]) слабо сходящуюся подпоследовательность σnk (t); пусть µ(t) — слабый предел σnk (t). Тогда var µ < +∞, и, переходя к пределу в (5.1.16) при n = nk → ∞ и обозначая G(z) = lim Fnk (z), получаем для G(z) представление (5.1.11) с заменой g(t)dt на dµ(t). В итоге G ∈ Fa и M — последовательность всех корней функции G(z) (рассуждения такие же, как в конце доказательства теоремы 5.1.1 с использованием условия (5.1.13)). Теорема 5.1.2 доказана. Теорема 5.1.3. Пусть F ∈ F Lqu11 (t),a , 1 6 q1 6 ∞, u1 (t) ∈ Ωq1 или F ∈ Fa , и пусть F (λ) = 0. Тогда F (z) ∈ F Lqu22 (t),a (∈ Fa ) z−λ для любых q2 ∈ [1, ∞] и u2 (t) ∈ Ωq2 . Доказательство. По условию F (z) имеет вид (5.1.3) или (5.1.2). Можно считать, что Im λ 6 0. По лемме 4.1.2 Za F (z) = eizt fλ (t)dt, (5.1.17) z−λ −a

где Zt fλ (t) = −i

Za e

−iλ(t−u)

f (u)du или fλ (t) = −i

−a

|e−iλ(t−u) |

Так как Im λ 6 0, то неравенства (5.1.9), получаем

e−iλ(t−u) dσ(u).

−a

6 1 для −a 6 u 6 t, и, поступая так же, как при выводе

|fλ (t)| 6 Akf kq1 ,u1 (t)

или |fλ (t)| 6 var σ.

Таким образом, fλ (t) ∈ L∞ . Но L∞ ,→ Lqu22 (t) , и в силу (5.1.17) требуемое утверждение верно. Теорема 5.1.3 доказана.

84

ГЛАВА 5. УСТОЙЧИВОСТЬ

КЛАССОВ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

5.2.

СОХРАНЕНИЕ

КЛАССА

ФУРЬЕ

И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

F L2a

5.2.1. В п. 5.2 мы исследуем вопрос об устойчивости класса F L2a . Через Λ(t), M (t) обозначаем считающие функции вещественных последовательностей Λ = (λn ), M = (µn ) (см. п. 1.1). Через Iu обозначаем произвольный интервал длины u на вещественной оси. Теорема 5.2.1. Пусть Λ, M ⊂ R. Тогда условие ! Z∞ Ã Z du < +∞ sup |Λ(t) − M (t)|dt u2 Iu 1

сохраняет класс

(5.2.1)

Iu

F L2a .

Обозначим ϕ(t) = M (t) − Λ(t),

Z S(u) = sup Iu

|ϕ(t)|dt. Iu

Лемма 5.2.1. Пусть Λ, M ⊂ R. Если выполнено условие (5.2.1), то: 1) существует последовательность tj ↑ +∞ такая, что ϕ(tj ) = 0 и

sup(tj+1 − tj ) =: α < +∞;

2) sup |λn − µn | 6 α; S(r) 3) → 0, r → +∞; r ∞ Z |ϕ(t)| 4) dt < +∞. t 1

Доказательство леммы 5.2.1. 1) Если ϕ(t) 6= 0 для всех t > t0 , то |ϕ(t)| > 1 при t > t0 и, значит, S(u) > u. А это противоречит условию (5.2.1). Следовательно, ϕ(tj ) = 0 для некоторой последовательности tj ↑ +∞. Из тех же соображений следует свойство sup(tj+1 − tj ) < +∞. 2) Пусть λn ∈ [tj , tj+1 ]. По смыслу последовательности tj также и µn ∈ [tj , tj+1 ]. Теперь утверждение 2) следует из утверждения 1). 3) В силу неубывания функции S(u) имеем Z∞ Z∞ S(u) du S(r) du > S(r) = . 2 2 u u r r

r

Но по условию (5.2.1) левая часть есть o(1) при r → +∞. Значит, утверждение 3) верно. 4) Интегрируя по частям, получаем Zr Zr Zr Zt Zr |ϕ(t)| 1 dt S(r) S(t) dt = |ϕ(t)|dt + |ϕ(u)|du 6 + dt. t r t2 r t2 1

1

1

1

1

Применив к правой части утверждение 3) и условие (5.2.1), получаем утверждение (5.2.4). Лемма 5.2.1 доказана. Лемма 5.2.2. Пусть Λ, M ⊂ R, пусть выполнено условие (5.2.1), и пусть бесконечное произведение ¯ ¯ Y ¯ 1 − z/µn ¯ ¯ ¯ Φ(z) = lim ΦR (z) = lim ¯ 1 − z/λn ¯ R→∞ R→∞ |λn |,|µn |
сходится в каждой точке прямой Im z = 1. Тогда на этой прямой Φ(z) 6 M < +∞. Доказательство. Можно считать, что Λ(t) = M (t) = 0 при t 6 δ, δ > 0. Пусть tj — последовательность точек из леммы 5.2.1. Запишем ¯ ¯ Ztj ¯ x + i ¯¯ dϕ(t) log Φtj (x + i) = log ¯¯1 − t ¯ 0

5.2. СОХРАНЕНИЕ

КЛАССА

F L2a

85

и проинтегрируем по частям, пользуясь тем, что ϕ(0) = ϕ(tj ) = 0. После этого, переходя к пределу при tj → +∞, найдем ¶ Z µ 1 t−x log Φ(x + i) = − ϕ(t)dt. t (t − x)2 + 1 R+

Таким образом, в силу утверждения 4) леммы 5.2.1 достаточно доказать ограниченность интеграла Z Zx |x − t| · |ϕ(t)| |u| · |ϕ(x − u)| I(x) = dt = du, x ∈ R. 2 (x − t) + 1 u2 + 1 −∞

R+

Если x 6 0, то

Z∞ I(x) =

u|ϕ(x + u)| du 6 u2 + 1

Zx I(x) = 0

u|ϕ(x + u)| du. u2 + 1

R+

|x|

Если же x > 0, то

Z

u|ϕ(x − u)| du + u2 + 1

Z

u|ϕ(x + u)| du. u2 + 1

R+

Следовательно, достаточно показать, что Z u|ϕ(x ± u)| du < +∞. sup u2 + 1 x

(5.2.2)

R+

Интегрируя по частям в интеграле (5.2.2), видим, что он равен ¯ Zu Zu Z∞ Z ¯∞ u uS(u) ¯¯ (1 − u2 )du S(u)du ¯ |ϕ(x ± t)|dt¯ |ϕ(x ± t)|dt 6 2 . − + ¯ 2 2 2 u +1 (1 + u ) u + 1 u=∞ u2 + 1 u=0 0

0

0

R+

Теперь утверждение 3) леммы 5.2.1 и условие (5.2.1) дают (5.2.2). Лемма 5.2.2 доказана. Лемма 5.2.3. Пусть (λn) — последовательность всех ненулевых корней функции F ∈ Fa . Пусть µn 6= 0 и (λn − µn ) ∈ l∞ . Тогда бесконечное произведение Y³ z ´ G1 (z) = 1− µn сходится в смысле главного значения всюду и задает целую функцию экспоненциального типа. Доказательство. По теореме Картрайт верны следующие свойства: P а) ряд 1/λn сходится в смысле главного значения; б) последовательность (λn ) имеет ненулевую плотность. Отсюда и из условия |λn − µn | 6 M < +∞ сразу следует, что для последовательности (µn ) верно свойство б). Покажем, что для (µn ) верно и свойство а). Для этого запишем 1 1 λn − µn = + . µn λn λn µn Так как ряд с общим членом (λn −µn )/(λn µn ) сходится, то свойство а) для (λn ) влечет это свойство для (µn ). В силу существования у (µn ) ненулевой плотности, бесконечное произведение Y³ z ´ z/µn G2 (z) = 1− e µn является каноническим произведением. Показатель сходимости P его корней равен 1. По теореме Бореля порядок целой функции G2 (z) равен 1. Так как ряд 1/µn сходится в смысле главного значения, то G1 (z) = G2 (z) exp(−Sz), где S — сумма упомянутого ряда. Значит, порядок целой P функции G1 (z) равен 1. Наконец, учитывая сходимость ряда 1/µn в смысле главного значения и существование у последовательности (µn ) ненулевой плотности (при порядке 1), по теореме Линдел¨ефа заключаем, что G1 (z) имеет нормальный тип. Лемма 5.2.3 доказана.

86

ГЛАВА 5. УСТОЙЧИВОСТЬ

КЛАССОВ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ

И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

Пусть F (z) ∈ Fa . Переходя к функции F1 (z) = eikz F (z) с подходящим k ∈ R, можно добиться того, что несущий отрезок соответствующей меры dσ в формуле (5.1.2) симметричен, т. е. имеет вид [−b, b] ⊂ [−a, a]. Тогда hF1 (θ) = b| sin θ|. Значит, если (λn ) ∈ Z(Fa ), то мы всегда можем считать, что λn — последовательность всех корней некоторой целой функции F (z) ∈ Fa такой, что hF (θ) = b| sin θ|, 0 < b 6 a. Следовательно, по теореме Картрайт Y³ z ´ F (z) = cz m 1− , m ∈ Z+ , (5.2.3) λn и при любом ε ∈ (0, π/2) сужение (λn ) на каждый из углов | arg z| < ε,

|π − arg z| < ε

(5.2.4)

имеет плотность, равную b/π. Лемма 5.2.4. Пусть функция F ⊂ Fa имеет представление (5.2.3). Пусть µn 6= 0 и (λn − µn ) ∈ l∞ . Положим Y³ z ´ . (5.2.5) G(z) = z m 1− µn Тогда если при некоторых h, α ∈ R |G(z)| 6 M (1 + |z|)α |F (z)|,

Im z = h,

(5.2.6)

то G(z) есть целая функция экспоненциального типа с индикатором hG (θ) = b| sin θ|, 0 < b 6 a. Доказательство. Так как F ∈ Fa , то |F (z)| ограничен на прямой Im z = h, и тогда (5.2.6) показывает, что |G(z)| растет на этой прямой не быстрее степени. Но по лемме 5.2.3 G(z) имеет экспоненциальный тип, а потому |G(z)| имеет такой же рост и на вещественной прямой. Значит, G ∈ C (классу Картрайт). Из (5.2.5) по теореме Картрайт следует, что hG (π/2) = hG (−π/2). И так как в силу условия (λn − µn ) ∈ l∞ сужения последовательностей (λn ) и (µn ) на углы (5.2.4) имеют одинаковую плотность, то благодаря сказанному перед леммой 5.2.4 имеем hG (+π/2) = hG (−π/2) = b и hG (θ) = b| sin θ|. Лемма 5.2.4 доказана. Доказательство теоремы 5.2.1. Так как последовательности Λ, M равноправны, то достаточно доказать, что Λ ∈ Z(F L2a ) =⇒ M ∈ Z(F L2a ). Пусть Λ — последовательность всех нулей некоторой функции F ∈ F L2a . Пусть m — кратность корня z = 0 функции F (z). Пo лемме 4.1.3 мы можем считать, что в последовательности M имеется точка 0 той же кратности m. Имеет место представление (5.2.3). Зададим функцию G(z) посредством (5.2.5). По лемме 5.2.2 имеет место оценка (5.2.6) с h = 1, α = 0. Так как F ∈ F L2a , то по теореме Пэли—Винера F (x + i) ∈ L2 (R). В силу (5.2.6) G(z) принадлежит L2 на прямой y = 1. Так как G(z) имеет экспоненциальный тип, то G(x) ∈ L2 (R). Но по лемме 5.2.2 тип G(z) не превосходит a; значит, по теореме Пэли—Винера G ∈ F L2a . Итак, M есть последовательность всех корней функции G ∈ F L2a . Теорема 5.2.1 доказана. Замечание 5.2.1. Из представления (5.2.3) следует, что поставленная в начале п. 5.1 задача может быть переформулирована следующим образом. Пусть функция (5.2.3) принадлежит классу Fa (или классу F Lqu(t),a ); требуется описать условия близости последовательностей (λn ) и (µn ), при которых функция (5.2.5) также принадлежит классу Fa (или F Lqu(t),a ). Назовем нумерацию последовательности Λ = (λn ) ⊂ R канонической, если . . . 6 λ−n 6 . . . 6 λ−1 < 0 6 λ0 6 λ1 6 . . . 6 λn 6 . . . . Если точка кратная, то она записывается в предыдущей строке соответствующее число раз с разными номерами. Впредь в этой главе полагаем, что нумерация встречающихся вещественных последовательностей каноническая. Следствие 5.2.1. Пусть Λ, M ⊂ R. Тогда условие ! Z∞ Ã X du sup |λn − µn | < +∞ u2 Iu 1

λn ,µn ∈Iu

5.2. СОХРАНЕНИЕ

КЛАССА

F L2a

87

сохраняет класс F L2a . Действительно,

Z

X

|M (t) − Λ(t)|dt 6

|λn − µn |,

λn ,µn ∈Iu

Iu

и выполнено условие (5.2.1). Пусть (Re Λ)(t) — считающая функция последовательности Re Λ = (Re λn ). Последовательность Λ, расположенную в некоторой горизонтальной полосе, назовем несгущающейся, если (Re Λ)(t + 1) − (Re Λ)(t) = O(1), t ∈ R. Следствие 5.2.2. Пусть последовательности Λ, M вещественны и не сгущаются. Тогда условие Z∞ Ã sup 1

X

Iu λ ∈I n u

! |λn − µn |

du < +∞ u2

(5.2.7)

сохраняет класс F L2a . Доказательство. Условие (5.2.7) влечет ограниченность последовательности λn − µn (по тем же соображениям, которые применялись при доказательстве утверждения 2) леммы 5.2.1). Отсюда и из несгущаемости Λ следует, что X X |λn − µn | + O(1). |λn − µn | 6 λn ∈Iu

λn ,µn ∈Iu

Теперь требуемое утверждение вытекает из следствия 5.2.1, условия которого выполнены благодаря (5.2.7). Следствие 5.2.2 доказано. Следствие 5.2.3. Пусть последовательности Λ, M вещественны и не сгущаются. Тогда каждое из следующих условий 1), 2), 3) сохраняет класс F L2a : 1) (λn − µn ) ∈ ls при некотором s < +∞; ∞ 2) |λn − µn | 6 αn , n ∈ Z, где неотрицательные последовательности (αn )∞ 1 , (α−n )1 не возрастают и X 0 αn < +∞; |n| X 1 3) < +∞, |λnk+1 − λnk | ↑ +∞, M = (λi )i6=nk ∪(λnk + αk ), где sup |αk | < +∞. |λnk | Доказательство. 1) Достаточно считать, что s > 1. В силу несгущаемости Λ, на интервале длины u содержится не более ku точек Λ, где k от u не зависит. По неравенству Г¨ельдера µX ¶1/s X 1/s0 s |λn − µn | 6 (ku) |λn − µn | , λn ∈Iu

и выполнено условие следствия 5.2.2. 2) Можно считать, что λn = µn при n 6 0. Пусть λm+1 , λm+2 , . . . , λm+j — точки, попавшие на интервал Iu , j 6 ku. Тогда в силу монотонности αn X

|λn − µn | 6

m+j X

αn 6

n=m+1

λn ∈Iu

[ku] X

αn .

n=1

Пусть A(t) = αn , когда t ∈ (n − 1, n); тогда правая часть в (5.2.8) не превосходит Zku

Zu A(t)dt 6 k

0

A(t)dt. 0

(5.2.8)

88

ГЛАВА 5. УСТОЙЧИВОСТЬ

КЛАССОВ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ

И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

Следовательно, с помощью интегрирования по частям получаем ! Z∞ Ã Z∞ Zu X du du sup |λn − µn | 6k d A(t)dt = u2 u2 Iu 1

λn ∈Iu

1

0

k =− u

Zu 0

Z∞ ∞ ¯∞ X A(u) αn ¯ A(t)dy ¯ +k du 6 M + k , u n u=1 1

n=1

где M < +∞, и снова выполнено условие следствия 5.2.2. 3) Пусть α = sup |αn |, Λ1 (t) — число точек λnk в интервале (0, t), t > 0. Можно считать, что nk > 0. Благодаря монотонности последовательности λnk+1 − λnk , имеем X |λn − µn | 6 αΛ1 (u). λn ∈In

И опять сошлемся на следствие 5.2.2, так как ! Ã ! ¯ Z∞ Ã Z∞ Z∞ X X 1 du du Λ1 (u) ¯¯∞ dΛ1 (u) sup |λn − µn | 6 α Λ (u) = α − + 6 M + α , 1 u2 u2 u ¯u=1 u |λnk | Iu 1

λn ∈Iu

1

1

где M < +∞. Следствие 5.2.3 доказано. 5.2.2. В условии 2) следствия 5.2.3 нельзя отбросить условие монотонности последовательности αn . Это показывает Теорема 5.2.2. Существуют вещественные несгущающиеся последовательности Λ = (λn ), M = (µn ) такие, что: 1) µn − λn → 0 (но немонотонно!); X |µn − λn | 2) < +∞; |n| 3) если Y0 ³ Y0 ³ z ´ z ´ F (z) = z 1− , G(z) = z 1− , λn µn q то F ∈ F L∞ π (в частности, F ∈ F Lπ при всех q ∈ [1, ∞]), а функция G(x) неограничена, x ∈ R (в частности, G 6∈ Fπ ). Доказательство. Положим

(

F (n) =

log−2 n,

n = 22k ,

k ∈ N,

0,

n ∈ Z\(22k ),

k ∈ N,

и рассмотрим интерполяционный ряд Лагранжа F (z) :=

sin πz X (−1)n F (n) . π z−n n∈Z

l2 ,

Так как (F (n)) ∈ то по теореме Котельникова F (z) есть целая функция экспоненциального типа 6 π, принадлежащая L2 на вещественной оси. По теореме Пэли—Винера F (z) представима в виде (5.1.3) с a = π и f ∈ L2. Но последовательность (F (n)/2π) коэффициентов Фурье функции f (t) лежит в l1 . Значит, f (t) непрерывна и, следовательно, F ∈ F L∞ π . Выясним, как устроена последовательность Λ корней F (z). Для этого уточним, какие точки, кроме Z\(22k ), принадлежат Λ. Из положительности значений F (22k ) следует вещественность всех корней функции F (z). В самом деле, пусть z0 = x0 + iy0 — корень F (z), z0 6∈ Z. Тогда z0 — корень функции A(z) = πF (z)/ sin πz, т. е. ∞ X (x0 − 22k )F (22k ) k=1

(x0 − 22k )2 + y02

− iy0

∞ X k=1

F (22k ) = 0, (x0 − 22k )2 + y02

5.2. СОХРАНЕНИЕ

КЛАССА

F L2a

89

откуда y0 = 0. Далее, зафиксировав k ∈ N и записав Ã k ! ∞ X X F (22j ) + A(x) = =: A1 (x) + A2 (x), x − 22j j=1

j=k+1

видим, что если x → 22k + 0, то A1 (x) → +∞, а A2 (x) → c, |c| < ∞. Значит, A(x) > 0 в некоторой правой окрестности точки 22k . Точно так же A(x) < 0 в некоторой левой окрестности точки 22(k+1) . Значит, в интервале (22k , 22(k+1) ) функция A(x) имеет хотя бы один корень. И так как производная A0 (x) = −

∞ X F (22j ) < 0, (x − 22j )2 j=1

то этот корень единственный и простой. Мы доказали, что последовательность Λ вещественна и не сгущается. 2k 2k Пусть . . , 22k + 2k , k ∈ N. Пусть µn = λn , когда S Ik — отрезок натурального ряда 2 + 1, 2 + 2, .−1/2 λn 6∈ Ik ; если же λn ∈ Ik , то положим µn = λn + (1/2)k . Утверждения 1), 2) верны. Верна и часть утверждения 3), касающаяся функции F (z). Мы полностью докажем теорему 5.2.2, если убедимся в неограниченности функции G(x). Покажем, что G(22k ) → ∞. Обозначим ϕ(t) = M (t) − Λ(t). Интегрируя по частям, используя утверждение 2) и применяя теорему о среднем, при x = 22k получаем G(x) = log F (x)

Z

Z

³

x´ log 1 − dϕ(t) = t

R+

ϕ(t) dt − t

Z

∞

X ϕ(t) dt = C + t−x

n=1λ n

R+

R+

Zµn

∞

X αn dt =C+ , t−x γn − x n=1

где λn < γn < µn , αn = µn − λn . Последнюю сумму разобьем на две: S1 и S2 . В S1 n < x, а в S2 n > x. Ясно, что x−1 x−1 X X αx−j αn = O(1) + . |S1 (x)| = O(1) + x−n j n=1

j=1

По построению ненулевые элементы в последней сумме отвечают тем индексам j, для которых 22i + 1 6 22k − j 6 22i + 2i , i = 1, k − 1. Поэтому, обозначив α = sup |αn |, с точностью до O(1) имеем k−1

X 1 |S1 | 6 α

2i 22k −2 X −1

i=1 j=22k −22i −2i

k−1

k−1

k−1

i=1

i=1

i=1

X 1 X 1 2i 1 1 X 1 6 · . = < j 22k − 22i − 2i 2i 22k−2i − 1 − 2−i 3 − 1/2 2i

Таким образом, |S1 (x)| 6 M < ∞ при x = 22k . Займемся суммой S2 (x). В ней γn − x 6 n + 1 − x. Поэтому 1 S2 (x) > 1/2 2k

22n +2k X n=22k +1

k

2 1 X 1 1 = = n + 1 − 22k 2k 1/2 j=1 j + 1

=

1 (log 2k + O(1)) = c(log x)1/2 + o(1), 2k 1/2

c > 0.

Объединяя оценки для S1 и S2 , при x = 22k имеем ¡ ¢ exp(c(log x)1/2 ) |G(x)| > c1 |F (x)| exp c(log x)1/2 = c1 , log2 x и требуемое соотношение G(22k ) → ∞ имеет место. Теорема 5.2.2 доказана. Замечание 5.2.2. Из доказательства теоремы 5.2.2 видно, что и в условии 3) следствия 5.2.3 требование монотонности последовательности λnk+1 − λnk отбросить нельзя.

90

ГЛАВА 5. УСТОЙЧИВОСТЬ

КЛАССОВ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ

И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

5.2.3. Оказывается, класс Z(F L2a ) инвариантен относительно ограниченных чисто мнимых возмущений. Это показывает Теорема 5.2.3. Пусть при всех n Re λn = Re µn

и | Im(λn − µn )| 6 h < +∞.

Тогда последовательности (λn ) и (µn ) одновременно принадлежат классу Z(F L2a ). Доказательство. Обозначаем через (λ∗n ) последовательность, полученную из последовательности (λn) заменой некоторой части ее точек на комплексно сопряженные точки. Пусть F ∈ F L2a , где F (z) — функция (5.2.3); не снижая общности, считаем, что m = 0. Так как ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ¯ ¯ ¯ 1 | Im λ | 1 n ¯ ¯=2 ¯ Im ¯, = 2 ¯ λn − λ ¯ ¯ ¯n |λn |2 λn ¯ P то, применяя теорему Картрайт, заключаем, что ряд 1/λ∗n сходится в смысле главного значения P (подобно ряду 1/λn ). Теперь, рассуждая так же, как при доказательстве леммы 5.2.3, видим, что бесконечное произведение ¶ Yµ z G(z) := 1− ∗ λn есть целая функция экспоненциального типа. Очевидно, |G(x)| = |F (x)| ∈ L2 (R), откуда G(z) принадлежит классу C. Так как плотности последовательностей (λn ) и (λ∗n ) внутри углов (5.2.4) совпадают, то по теореме Картрайт тип G(z) не превосходит a, и по теореме Пэли—Винера G ∈ F L2a . Мы доказали, что операция (λn ) → (λ∗n ) сохраняет принадлежность классу Z(F L2a ). Очевидно, что и сдвиг (λn ) → (λn − ih) сохраняет это свойство. Значит, переходя сначала от (λn ) к последо¯ n , если Im λn > 0, а затем применяя вательности (λ∗n ) такой, что λ∗n = λn , если Im λn 6 0, и λ∗n = λ сдвиг, мы можем считать, что Im λn 6 −h. Итак, пусть (λn ) ∈ Z(F L2 ), Im λn 6 −h. Введем две последовательности (λ± n ) = (λn ± ih) и отметим, что Im λ± 6 0. Пусть (µ ) — произвольная последовательность, удовлетворяющая условиям n n 2 теоремы; в частности (µn ) может совпасть с (λn ). Пусть F ∈ F La , где F (z) — функция (5.2.3) и m = 0. Обозначим ¶ ¶ Yµ Yµ z z ± . F (z) = 1 − ± , E(z) = 1− µn λn По лемме 5.2.3 F ± (z)Qи E(z) — целые функции экспоненциального типа. Убедимся, что бесконечное произведение |µn |/|λ± n | сходятся. Пусть λn = αn + iβn , µn = αn + i(βn + hn ), |hn | < h; βn , hn ∈ R. Тогда ¯ ± ¯2 2 2 2 ¯ λn ¯ ¯ ¯ = αn + βn + h ± 2hβn = 1 + 1 O(1 + |βn |). ¯ µn ¯ 2 2 2 αn + βn + hn + 2hn βn |µn |2 P Значит, |λ± |γn | < +∞, и объявленная сходимость n |/|µn | = 1 + γn , где в силу теоремы Картрайт бесконечного произведения имеет место. Пользуясь ею, имеем ¯ ± ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Y ¯ z − λ± ¯ ¯ F (z) ¯ Y ¯ µn ¯ ¯ z − λ± ¯ n¯ n¯ ¯ ¯ ¯·¯ ¯ ¯= = c ¯ E(z) ¯ ¯ λ± ¯ ¯ z − µn ¯ ¯ z − µn ¯. n

Отсюда

c1 |F + (z)| 6 |E(z)| 6 c2 |F − (z)|, Im z > 0, где 0 < c1 6 c2 < +∞. Левое неравенство вместе с леммой 5.2.4 показывает, что (µn ) ∈ 2 Z(F L2a ) =⇒ (λ+ n ) ∈ Z(F La ). А правое неравенство с учетом простого тождества ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Y¯ ¯ ¯ z − 2ih ¯¯ Y ¯¯ λ+ z ¯¯ n¯ ¯ − + ¯ |F (z − 2ih)| = ¯1 − λ− ¯ = ¯ λ− ¯ · ¯1 − λ+ ¯ = c3 |F (z)| n

приводит к оценке

n

n

|E(z − 2ih)| 6 c4 |F + (z)|, Im z > 2h. 2 2 Эта оценка и лемма 5.2.4 дают импликацию (λ+ n ) ∈ Z(F Ka ) =⇒ (µn ) ∈ Z(F La ). Таким образом, 2 последовательность (µn ) (а в частности и (λn )) принадлежит классу Z(F La ) вместе с последова2 тельностью (λ+ n ), т. е. последовательности (λn ), (µn ) одновременно принадлежат классу Z(F La ). Теорема 5.2.3 доказана.

5.2. СОХРАНЕНИЕ

КЛАССА

F L2a

91

Замечание 5.2.3. Благодаря теореме 5.2.3 условие Λ, M ⊂ R в теореме 5.2.1 и ее следствиях может быть заменено условием принадлежности последовательностей Λ и M некоторой горизонтальной полосе. При этом в теореме 5.2.1 Λ(t), M (t) заменяются на (Re Λ)(t), (Re M )(t), а в следствиях λn , µn заменяются на Re λn , Re µn . Последняя замена относится и к понятию канонической нумерации. 5.2.4. Наша следующая цель — обратить условие 2) следствия 5.2.3 при дополнительном требовании гладкости последовательности αn . Неотрицательную последовательность αn (n ∈ Z) назовем Fa -допустимой (F Lqa -допустимой), если из того, что Λ, M — несгущающиеся последовательности, расположенные в некоторой горизонтальной полосе, и из условия |λn − µn | 6 αn

∀n

следует, что последовательности (λn ) и (µn ) одновременно принадлежат классу Z(Fa ) (классу Z(F Lqa )). ∞ Теорема 5.2.4. Пусть αn > 0, и пусть последовательности (αn )∞ 1 , (α−n )1 не возрастают. 2 Тогда для того чтобы последовательность (αn ) была F La -допустимой, достаточно, а при условии αn+1 ∼ αn , n → ±∞, и необходимо, чтобы X 0 αn < +∞. |n|

Достаточная часть теоремы 5.2.4 дается условием 2) следствия 5.2.3 и замечанием 5.2.3. В силу леммы 4.1.3 можно считать, что αn < 1/2. Поэтому необходимая часть теоремы 5.2.4 содержится в следующем утверждении. Теорема 5.2.5. Пусть положительная последовательность (αn)∞ 1 такова, что αn < 1/2, αn+1 ∼ αn , αn /n ↓ 0, n → ∞, и ∞ X αn = +∞. (5.2.9) n n=1

Тогда существует вещественная симметричная последовательность (λn )n6=0 такая, что: 1 1) (λn ) ∈ Z(F L2π ), λ1 > , λn = n + O(1); 2 2) если µn = λn − α|n| sign n, то (µn ) 6∈ Z(F L2π ). Доказательство теоремы 5.2.5. Обозначим через A(t), t > 1, функцию, графиком которой служит бесконечнозвенная ломаная с вершинами в точках (n, αn /n), n ∈ N. По условию A(t) ↓ 0 и в силу (5.2.9) Z∞ A(t)dt = +∞. (5.2.10) 1

Зададим положительную функцию b(t) соотношением Ã log(1/t) ! µ ¶ Z 1 b2 (t) = A log exp −4 A(u)du , t

0 < t 6 δ0 < π,

(5.2.11)

1

где пока δ0 6 1/e; позже мы уточним значение δ0 . Покажем, что b(t) ∈ L0 Z. Достаточно проверить эту принадлежность для функции b2 (t). После замены y = log (1/t) требуется показать, что при достаточно больших y функция Ã Zy ! g(y) = eδy A(y) exp −4

A(t)dt 1

возрастает, если δ > 0, и убывает, если δ < 0. Для этого мы рассмотрим знак производной g 0 (y) и убедимся, что при больших y он совпадает со знаком δ. При этом речь идет о производной в

92

ГЛАВА 5. УСТОЙЧИВОСТЬ

КЛАССОВ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ

И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

тех точках, где она существует, т. е. при y 6= n. В силу непрерывности g(y) это даст требуемую монотонность всюду на некоторой правой полупрямой. Имеем µ ¶ A0 (y) 0 0 2 sign g (y) = sign(δA(y) + A (y) − 4A (y)) = sign δ + − 4A(y) , A(y) так как A(y) > 0. Но A(y) → 0, y → +∞, поэтому остается воспользоваться предельным соотношением A0 (y) = o(A(y)),

y → +∞,

(5.2.12)

которое имеет место. Действительно, в интервале (n, n + 1) A0 (y) = A(n + 1) − A(n) =

αn+1 αn − ; n+1 n

поэтому для таких y ¯ 0 ¯ ¯ ¯ A (y) ¯ ¯ αn+1 αn ¯¯.³ αn+1 ´ αn n + 1 ¯ ¯6¯ − = − 1, ¯ ¯ A(y) ¯ n+1 n n+1 αn+1 n и, значит, соотношение (5.2.12) есть следствие условия αn+1 ∼ αn . Итак, b(t) ∈ L0 Z. Пользуясь этим свойством, зафиксируем δ0 6 1/e таким, чтобы при 0 < t 6 δ0 функция t−1/2 b(t) убывала. На отрезке [δ0 , π] положим b(t) = b(δ0 ). Определенная таким образом функция b(t) непрерывна в полуинтервале (0, π), а функция t−1/2 b(t) положительна и убывает на нем. Рассмотрим целую функцию Zπ b(π − |t|) F (z) = eizt dt π − |t|)1/2 −π

и обозначим через (λn )n6=0 последовательность ее нулей. Функция F (z) может быть записана в виде Zπ b(π − t) F (z) = f (t) cos zt dt, f (t) = 2 . (π − t)1/2 0

Функция f (t) положительна и возрастает (и, очевидно, интегрируема) в (0, π). По теореме 2.2.1 все нули функции F (z) вещественны и просты; все положительные нули F (z) располагаются по одному в интервалах (n − 1/2, n + 1/2), n ∈ N. Значит, последовательность (λn ) вещественна, симметрична, λ1 > 1/2 и λn = n + O(1). В частности, последовательность (λn ) не сгущается. Для дальнейшего будет важно, что по теореме Адамара и в силу четности F (z) справедливо представление ¶ ∞ µ Y z2 F (z) = c 1− 2 . (5.2.13) λn n=1

Убедимся, что F ∈ F L2π . Для этого достаточно проверить, что b(π − t)/(π − t)1/2 ∈ L2 (0, π). Имеем Zπ π−δ0

b2 (π − t) dt = π−t

Zδ0 0

Z∞

b2 (x) dx = x

µ ¶ 1 2 1 b dy = y y

1/δ0

Z∞ =

Ã log ! Z y 1 A(log y) exp −4 A(t)dt dy = y 1

1/δ0

Z∞

Ã

Zv

A(v) exp −4

= log(1/δ0 )

!

Z∞ e−4u du < ∞.

A(t)dt dv = 1

M

5.2. СОХРАНЕНИЕ

КЛАССА

F L2a

93

Итак, F ∈ F L2π и (λn ) ∈ Z(F L2π ). Далее нам понадобится оценка |F (iy)|. Запишем Ã Z0 F (z) =

Zπ ! eizt

+ −π

0

Z0 F+ (iy) =

e

−yt

−π

b(π − |t|) dt =: F+ (z) + F− (z), (π − |t|)1/2

b(π + t) dt = eπy (π + t)1/2

Zπ e−yu u−1/2 b(u)du. 0

К интегралу в правой части применим абелеву теорему (см. п. 3.2). По ней µ ¶ µ ¶ 1 πy −1/2 1 F+ (iy) ∼ Γ e y b , y → +∞. 2 y Так как слагаемое F− (iy) ограничено при y > 0, то отсюда µ ¶ µ ¶ 1 πy −1/2 1 F (iy) ∼ Γ e y b , y → +∞. 2 y

(5.2.14)

Пусть µn — точки из формулировки теоремы 5.2.5. Положим ¶ ∞ µ Y z2 G(z) = 1− 2 µn

(5.2.15)

n=1

и докажем, что G 6∈ F L2π . Для этого оценим снизу |G(iy)/F (iy)|, пользуясь представлениями (5.2.13) и (5.2.15). По лемме 4.4.1 ! Ã Zy ! Ã log ! Ã [y] ¯ ¯ Z y X αn ¯ G(iy) ¯ ¯ ¯ > c · exp 2 A(t)dt > c · exp 2 A(t)dt . ¯ F (iy) ¯ ³ exp 2 n n=1

1

1

Вместе с асимптотикой (5.2.14) и формулой (5.2.11) это дает оценку ¡ −πy ¢2 e |G(iy)| > cy −1 A(log y),

y > y0 .

Следовательно, в силу (5.2.10) Z∞

¡ −πy ¢2 e |G(iy)| dy > c

y0

Z∞ y0

A(log y) dy = +∞. y

(5.2.16)

Если бы G ∈ F L2π , то по теореме Пэли—Винера Zπ eizt g(t)dt,

G(z) =

g ∈ L2 ,

−π

и, значит, Z2π e

−πy

e−yt g(t − π)dt,

G(iy) =

g(t − π) ∈ L2 (0, 2π).

0

Отсюда по теореме 4.2.1 e−πy G(iy) ∈ L2 (R+ ). Но это противоречит свойству (5.2.16). В итоге G 6∈ F L2π и (µn ) 6∈ Z(F L2π ). Теорема 5.2.4 полностью доказана.

94

ГЛАВА 5. УСТОЙЧИВОСТЬ

КЛАССОВ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

5.3.

СОХРАНЕНИЕ

КЛАССОВ

ФУРЬЕ

И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

F Lqa

5.3.1. За Λ(t) и M (t) сохраняем обозначение считающих функций вещественных последовательностей Λ и M. Справедлива Теорема 5.3.1. Пусть (zn ) = Λ ∪ Γ, (wn ) = M ∪ Γ, где Λ, M ⊂ R. Предположим, что при некотором α > 0 Zt α (5.3.1) (Λ(u) − M (u))du = |t| + O(1), t ∈ R. 2 0

Пусть 1 6 q 6 2 6 p < ∞. Тогда: 1 1 1) если α = − , то (zn ) ∈ Z(F Lqπ ) =⇒ (wn ) ∈ Z(F Lpπ ); q p 1 2) если α = 1 − + ε, ε > 0, то (zn ) ∈ Z(Fπ ) =⇒ (wn ) ∈ Z(F Lpπ ); p 1 3) если α = + ε, ε > 0, то (zn ) ∈ Z(F Lqπ ) =⇒ (wn ) ∈ Z(F L∞ π ). q Лемма 5.3.1. Пусть все точки λn , µn в последовательностях Λ, M ⊂ R просты и выполнено условие (5.3.1), где −2 < α < 2. Тогда (λn − µn ) ∈ l∞ . Доказательство леммы 5.3.1. Пусть ϕ(t) = Λ(t) − M (t). Если |A| < |B|, sign A = sign B, то по условию (5.3.1) ZB α (5.3.2) ϕ(t)dt = |B − A| + O(1) 2 A

равномерно по A, B. Функция ϕ(t) принимает целочисленные значения. Поэтому из (5.3.2) и из условия α ∈ (−2, 2) следует, что длины интервалов (A, B) (или (B, A)), на которых ϕ(t) положительна (т. е. ϕ(t) > 1) или отрицательна (т. е. ϕ(t) 6 −1), ограничены в совокупности. Так как все точки в Λ и M просты, то целочисленная функция ϕ(t) принимает все свои промежуточные значения, в том числе и 0. Следовательно, существует (tk )∞ −∞ такая, что tk → ±∞ при k → ±∞, sup |tk+1 − tk | < +∞ и ϕ(tk ) = 0. По смыслу функций Λ(t) и M (t) на интервалы (tk , tk+1 ) попадают точки с одинаковыми номерами. Значит, |λn − µn | 6 M < +∞, n ∈ Z. Лемма 5.3.1 доказана. Лемма 5.3.2. Пусть выполнены условия леммы 5.3.1, причем α > −1. Тогда при любом y0 > 0 в полуплоскостях | Im z| > y0 верна оценка ¯Y ¯ ¯ 1 − z/µn ¯¯ ¯ ³ (1 + |z|)−α. (5.3.3) ¯ 1 − z/λn ¯ Доказательство. По замечанию 3.1.2 в указанных полуплоскостях для функции ¶ Yµ z Lα (z) := z 1− n + (α/2) sign n справедлива оценка |Lα (z)| ³ (1 + |z|)−α exp(π|y|). Далее, в этих полуплоскостях | sin πz| ³ exp(π|y|). Поэтому, обозначив Y 1 − z/µn 1 − z/n , π(z) := 1 − z/λn 1 − z/(n + (α/2) sign n) достаточно показать, что |π(z)| ³ 1, | Im z| > y0 . Пусть Nα (t), N (t) — считающие функции последовательностей n + (α/2) sign n и n (n ∈ Z) соответственно. Считаем, что 0 6∈ Λ, M. Обозначим h(t) = M (t) − Λ(t) + N (t) − Nα (t). По соглашению h(t) = 0 в некоторой окрестности нуля. Из леммы 5.3.1 следует, что плотности сужений Λ и M на полупрямые t ≷ 0 совпадают. По эквивалентному определению плотности Λ(t) − M (t) = o(t),

5.3. СОХРАНЕНИЕ

КЛАССОВ

F Lqa

95

t → ±∞. Очевидно, |N (t)−Nα (t)| 6 1, поэтому h(t) = o(t2 ), t → ±∞. Пользуясь этим и интегрируя по частям, получаем ¶ ¶ Z µ Z µ z 1 1 log π(z) = 1− dh(t) = − h(t)dt. t t t−z R

R

Воспользовавшись свойством Zt H(t) :=

h(u)du = O(1), 0

которое вытекает из условия (5.3.1) и из соотношения Zt (N (u) − Nα (u))du = 0

α |t| + O(1), 2

еще раз проинтегрируем по частям. Получим Z Z H(t) H(t) log π(z) = dt − dt. t2 (t − z)2 R

R

Отсюда и из ограниченности функции H(t) следует, что |π(z)| 6 c < +∞ при | Im z| > y0 . Точно так же доказывается, что 1/|π(z)| 6 c < +∞ в этих полуплоскостях. Лемма 5.3.2 доказана. Лемма 5.3.3 (см. [7]). Если 1 < q 6 2 6 p < ∞ и |P (n)| 6 c(1 + |n|)−α ,

α=

1 1 − , q p

n ∈ Z,

q p то последовательность (P (n))∞ −∞ есть мультипликатор класса (L , L ).

Напомним, что последнее означает следующее: оператор X X f (t) ∼ fn e−int −→ P (n)fn e−int ∼ g(t) n∈Z

n∈Z

действует ограниченно из Lq (−π, π) в Lp (−π, π). Лемма 5.3.4. Пусть целая функция G(z) имеет экспоненциальный тип 6π и G(z) → 0, Re z → ±∞, на некоторой горизонтали Im z = h1 6= 0. Тогда если для некоторых g ∈ L1 и h ∈ R (h 6= h1 ) Zπ G(n + ih) = ei(n+ih)t g(t)dt, n ∈ Z, (5.3.4) −π

то

Zπ eizt g(t)dt,

G(z) =

z ∈ C.

(5.3.5)

−π

Доказательство. Обозначим правую часть в (5.3.5) через Φ(z). Надо доказать, что Φ(z) = G(z). Так как Φ(n + ih) = G(n + ih), то Φ(z) − G(z) = E(z) sin π(z − ih), где E(z) — целая функция минимального типа при порядке 1. По теореме Римана—Лебега и по условию леммы Φ(z) − G(z) → 0, Re z → ±∞, на прямой Im z = h1 . На этой же прямой | sin π(z − ih)| > δ > 0. Значит, E(z) → 0 на этой прямой, что по теореме Фрагмена—Линдел¨ефа возможно только в случае E(z) ≡ 0. Значит, Φ(z) − G(z) ≡ 0. Лемма 5.3.4 доказана.

96

ГЛАВА 5. УСТОЙЧИВОСТЬ

КЛАССОВ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ

И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

Доказательство теоремы 5.3.1 удобнее проводить, считая, что Im λn = Im µn = −1. Ясно, что тогда утверждение леммы 5.3.2 верно для полуплоскостей y 6 −1 − y0 , y > −1 + y0 . В Λ и M могут присутствовать кратные точки. Но мы можем считать, что все точки в Λ и M просты. Для этого, имея в виду теорему 5.1.2, достаточно подействовать на кратные точки малыми возмущениями, которые не меняют ни условия (5.3.1), ни классов F Lqπ . Считаем также, что точка 0 входит в Λ и M с одинаковой кратностью. 1) Пусть (zn ) ∈ Z(F Lqπ ); это означает, что некоторая целая функция вида Zπ eizt f (t)dt,

F (z) =

f ∈ Lq ,

(5.3.6)

z´ . zn

(5.3.7)

−π

обращается в 0 в точках zn и только в них и F (z) = cz m

Y³

1−

В силу леммы 5.3.1 выполнены условия леммы 5.2.3. По этой лемме бесконечное произведение Y³ z ´ G(z) = cz m 1− (5.3.8) wn задает целую функцию экспоненциального типа. Записывая Y 1 − z/µn G(z) = F (z) =: F (z)P (z) 1 − z/λn

(5.3.9)

и применяя лемму 5.3.2, мы видим, что |G(z)| ³ (1 + |z|)−α |F (z)|,

|y + 1| > y0 > 0.

(5.3.10)

Отсюда и из (5.3.6) следует, что тип G(z) не больше π. Применяя леммы 5.3.2, 5.3.3, видим, что последовательность (P (n)) есть мультипликатор класса (Lq , Lp ). Отсюда и из соотношений (5.3.6), (5.3.9) (при z = n) заключаем, что имеет место представление (5.3.4), где g ∈ Lp , h = 0. Далее, из (5.3.6) и (5.3.10) вытекает, что G(z) → 0, при Re z → ±∞ на горизонтали Im z = −2. Все условия леммы 5.3.4 выполнены. По этой лемме имеет место представление (5.3.5). Так как g ∈ Lp , то G ∈ F Lpπ и (wn ) ∈ Z(F Lpπ ). Утверждение 1) доказано. Доказательства остальных утверждений отличаются незначительными деталями, и отличия вызваны тем, что теперь вместо леммы 5.3.3 мы вынуждены пользоваться другими, заменяющими ее фактами. Так, доказывая утверждение 2), мы исходим из условия (zn ) ∈ Z(Fπ ). Поэтому теперь в (5.3.6) f (t)dt = dσ(t), σ(t) ∈ V. Следовательно, |F (x)| 6 M < +∞, x ∈ R, и по лемме 5.3.2 0

|G(x)| 6 c(1 + |x|)(−1/p +ε) . 0

Это влечет принадлежность G(x) ∈ Lp (R). Так как p0 6 2, то по теореме Хаусдорфа—Юнга верно представление (5.3.5) с g ∈ Lp . Если же речь идет об утверждении 3), то мы должны работать с функцией (5.3.6), где по0 прежнему f ∈ Lq . Тогда опять же по теореме Хаусдорфа—Юнга F (x) ∈ Lq (R). Применяя к (5.3.9) неравенство Г¨ельдера и лемму 5.3.2, получаем ° ° kG(x)kL1 (R) 6 ckF (x)kLq0 (R) °(1 + |x|)−(1/q+ε) °Lq (R) 6 c1 < ∞. Значит, справедливо представление (5.3.5), где g(t) непрерывна и, в частности, g ∈ L∞ (−π, π). Утверждение 3) также верно. Теорема 5.3.1 доказана. Лемма 5.3.5. Пусть последовательности (λn ) и (µn ) лежат в горизонтальной полосе | Im z| 6 h < +∞ и не сгущаются, и пусть Re λn = Re µn для всех n. Тогда ¯ ¯ ¯ Y0 1 − z/λn ¯ ¯ ³ 1, | Im z| > H > h. ¯ ¯ 1 − z/µn ¯

5.3. СОХРАНЕНИЕ

КЛАССОВ

F Lqa

97

Доказательство. Из условий следует сходимость как рассматриваемого бесконечного произведеQ ния, так и произведения 0 |µn /λn |. Поэтому надлежит доказать оценку Y ¯¯ z − λn ¯¯ ¯ ¯ π(z) := (5.3.11) ¯ z − µn ¯ ³ 1, | Im z| > H > h, считая без ограничения общности, что λn , µn 6= 0. Зафиксируем x ∈ R и обозначим Pm := (z : m 6 | Re z − x| < m + 1, | Im z| 6 h), m ∈ Z+ . По условию число точек λn в Pm ограничено по m (пусть числом s). Имеем ¯ ¯ ∞ Y Y ¯ z − λn ¯ ¯ ¯ π(z) = πm (z), πm (z) = ¯ z − µn ¯. m=0

λn ∈Pm

Пусть an = Re λn = Re µn . Тогда если λn ∈ Pm , то ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ z − λn ¯2 ¯ z − (an ∓ ih) ¯ 4|y|h 4|y|h ¯ ¯ 6¯ ¯ ¯ z − µn ¯ ¯ z − (an ± ih ¯ = 1 + (x − an )2 + (|y| − h)2 6 1 + m2 + (|y| − h)2 ,

(5.3.12)

и, следовательно, при |y| > H > h log |π(z)| 6 s

∞ X

µ log 1 +

m=0

6 4sh

4|y|h (|y| − h)2 + m2

∞ X 0

¶ 6

|y| 6 c1 (s, h) + (|y| − h)2 + m2

Z∞ 0

|y|dx = (|y| − h)2 + x2

= c1 (S1 h) +

π |y| 6 c(s, h, H) < +∞. 2 |y| − h

Но, очевидно, оценка (5.3.12) верна и для выражения (|z − µn |/|z − λn |)2 . Значит, ¶ µ 1 6 c(s, h, H) < +∞ при |y| > H > h. log |π(z)| Так как константа c(s, h, H) от x не зависит, то (5.3.11) доказано. Лемма 5.3.5 верна. Из лемм 5.3.2 и 5.3.5 вытекает Лемма 5.3.6. Пусть последовательности Λ, M, расположенные в горизонтальной полосе | Im z| 6 h < +∞, не сгущаются, и пусть последовательности Re λn и Re µn просты. Тогда если при некотором α ∈ (−1, 2) Zt ((Re Λ)(u) − (Re M )(u))du = 0

α |t| + O(1), 2

t ∈ R,

(5.3.13)

то в полуплоскостях | Im z| > H > h имеет место оценка (5.3.3). Аналитической основой доказательства теоремы 5.3.1 послужила оценка (5.3.3). Но и лемма 5.3.6 гарантирует такую оценку. Значит, верно Замечание 5.3.1. Теорема 5.3.1 сохранит силу для несгущающихся последовательностей Λ и M, расположенных в горизонтальной полосе, если условие (5.3.1) заменить условием (5.3.13). Замечание 5.3.2. Условие (5.3.13) выполнено, в частности, если λn , µn ∈ C и λn = n + O(1),

µn = λn +

α sign n, 2

n ∈ I ⊂ Z.

98

ГЛАВА 5. УСТОЙЧИВОСТЬ

КЛАССОВ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ

И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

5.3.2. В п. 5.2 было дано определение F Lqa -допустимой последовательности. Здесь мы изучаем F Lqa -допустимые последовательности при q 6= 2. Теорема 5.3.2.

1) Пусть 1 6 q 6 ∞, q 6= 2. Если αn > 0 и ¯ ¯ 1 ¯¯ 1 1 ¯¯ s = − , (αn ) ∈ l , где s ¯q 2¯

то последовательность (αn ) является F Lqa -допустимой. 2) Если αn > 0 и (αn ) ∈ l2 , то последовательность (αn ) является Fa -допустимой. p p (b) обозначаем пространства Харди H p (Im z > b) и H p (Im z < b). Нормы (b) и H− Через H+ p − в этих пространствах обозначаем соответственно через kF (z)k+ p и kF (z)kp . Пишем H± вместо p (0). H±

Лемма 5.3.7. Пусть точки γn лежат в полосе 0 < A 6 Im z 6 B < ∞, причем |γn − γm | > p δ0 > 0. Тогда если G(z) ∈ H+ , то (G(γn )) ∈ lp и k(G(γn ))kp 6 C(p, δ0 , A, B)kG(z)k+ p. Доказательство леммы 5.3.7. При 0 < δ 6 δ0 , 0 < A кружки Kn = (z : |z − γn | < δ) не пересекаются и лежат в верхней полуплоскости Im z > 0. В силу субгармоничности функции |G(z)|p имеем ZZ 1 p |G(γn )| 6 2 = |G(z)|p dxdy. πδ Kn

Обозначая B1 = B + δ и суммируя эти неравенства, получаем ZZ X ¡ ¢p 2 p πδ |G(γn )| < |G(x + iy)|p dxdy 6 B1 kG(z)k+ , p 0
что и требовалось доказать. Лемма 5.3.7 доказана. Лемма 5.3.8. Пусть последовательности (λn ) и (µn ) лежат в полосе | Im z| 6 h < +∞ и не сгущаются. Тогда если (λn − µn ) ∈ ls , 1 < s < ∞, то при любом b > h функция XZ

λn

S(z) =

n µ n

dt t−z

s (±b). принадлежит классам H± s (b). Пусть y = Im z > b, Доказательство. Ограничимся доказательством того, что S(z) ∈ H+ пусть In — отрезок [µn , λn ], и пусть λ∗n = xn + iyn — точка отрезка In , в которой достигается max(1/|t − z| : t ∈ In ). Тогда, обозначив αn = λn − µn , имеем ¯ λn ¯ µX ¶1/s0 X ¯¯ Z dt ¯¯ X |αn | 1 6 k(αn )ks , ¯ ¯6 ¯ t − z¯ |λ∗n − x − iy| ((x − xn )2 + δ 2 )s0 /2 n n n µn

где δ = b − h. Из несгущаемости последовательности (xn ) следует, что последняя норма ограничена при x ∈ R. Следовательно, |S(z)| 6 M < +∞ при Im z > b, и достаточно доказать, что S(x + ib) ∈ Ls (R), т. е. что ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ ¯ (5.3.14) sup ¯ g(x)S(x + ib)dx¯ < ∞, ¯ kgk=1 ¯ R

где g ∈

0 Ls (R).

Обозначив Z G(z) = R

g(t)dt , t−z

(5.3.15)

5.3. СОХРАНЕНИЕ

КЛАССОВ

F Lqa

99

имеем ¯Z ¯ ¯Z Ã ! ¯ Z ¯ ¯ ¯ ¯ X dt ¯ ¯ ¯ ¯ dx¯ = ¯ g(x)S(x + ib)dx¯ = ¯ g(x) ¯ ¯ ¯ ¯ t − x − ib n In R R ¯ ¯ Z ¯XZ g(x)dx ¯¯ ¯ =¯ dt ¯= ¯ n x − (t − ib) ¯ In R ¯ ¯ ¯ X ¯XZ ¯ ¯ G(t − ib)dt¯ 6 |αn | · |G(tn − ib)|, (5.3.16) =¯ ¯ ¯ n n In

0

где tn ∈ In . Из (5.3.15) и принадлежности g ∈ Ls (R), 1 < s0 < ∞, следует (см., например, [51]), s0 и kG(z)k− 6 M kgk, где M от g не зависит. что G(z) ∈ H− 1 1 s0 Последовательность (tn − ib) лежит в полосе −b − h 6 Im z 6 −ε < 0 и (в силу несгущаемости) может быть разбита на конечное число последовательностей, обладающих свойством отделимости. Применяя лемму 5.3.7 для каждой такой последовательности, а затем суммируя, получаем k(G(tn − ib))ks0 6 M1 kG(z)k− s0 6 M2 kgk, где M2 от g не зависит. Теперь неравенство Г¨ельдера, примененное к правой части (5.3.16), дает (5.3.14). Лемма 5.3.8 доказана. Доказательство теоремы 5.3.2. Пусть (λn ) ∈ Z(F Lqa ) (или ∈ Z(Fa )). Это означает, что (λn ) — последовательность всех корней некоторой целой функции F (z) ∈ F Lqa (или ∈ Fa ). Для F (z) имеет место представление (5.3.7). Рассмотрим бесконечное произведение (5.3.8). Так как (λn − µn ) ∈ ls , то по лемме 5.2.3 G(z) — целая функция экспоненциального типа. Надо доказать, что G(z) ∈ F Lqa (∈ Fa ). По условию | Im λn |, | Im µn | 6 h < +∞. Имеем λn X µn − z G(z) X = log + log = A − S(z), log F (z) µn λn − z где S(z) — функция из леммы 5.3.8. Отсюда G(z) = cF (z) exp(−S(z)),

c 6= 0.

(5.3.17)

s (±2h). H±

По лемме 5.3.8 S(z) принадлежит классам В частности, |S(z)| ограничен в полуплоскостях | Im z| > b := 3h, и потому к G(z) применима лемма 5.2.4 (с учетом (5.3.17)), показывающая, что функция G(z) имеет экспоненциальный тип 6a. Далее, в полуплоскостях | Im z| > b G(z) = cF (z)(1 + O(S(z))) = cF (z) + F1 (z), где F1 (z) = F (z) · O(S(z)),

| Im z| > b.

(5.3.18)

Функция F1 (z), будучи разностью двух целых функций экспоненциального типа 6a, принадлежит тому же классу. Надо доказать, что F1 ∈ F Lqa (∈ Fa ). 0 Пусть 1 < q < 2. Так как F ∈ F Lqa , то по теореме Хаусдорфа—Юнга F (x + ib) ∈ Lq (R). По лемме 5.3.8 S(x + ib) ∈ Ls (R), 1/s = 1/q − 1/2. Так как 1/q 0 + 1/s + 1/2 = 1, то по неравенству Г¨ельдера интеграл Z F (x + ib)S(x + ib)ϕ(x)dx (5.3.19) R

существует для любой функции ϕ ∈ L2 (R). Значит, F (x + ib)S(x + ib) ∈ L2 (R), и в силу (5.3.18) F1 (x + ib) ∈ L2 (R). Так как F1 (z) — целая функция экспоненциального типа, то отсюда F1 (x) ∈ L2 (R). По теореме Пэли—Винера F1 (z) ∈ F L2a . Но 1 < q < 2, и потому F1 (z) ∈ F Lqa . Случай 1 < q < 2 разобран. Если 2 < q < ∞, то F (z) ∈ F Lqa ⊂ F L2a . Теперь 1/s = 1/2 − 1/q, 1/s + 1/q + 1/2 = 1, и по неравенству Г¨ельдера интеграл (5.3.19) существует для любой функции ϕ ∈ Lq (R). Значит,

100

ГЛАВА 5. УСТОЙЧИВОСТЬ

КЛАССОВ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ

И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

F (x + ib)S(x + ib) ∈ Lq (R), F1 (x) ∈ Lq (R). По теореме Хаусдорфа—Юнга F1 ∈ F Lqa . Мы разобрали случай 2 < q < ∞. В случаях q = 1, ∞ и F ∈ Fa по условию и по лемме 5.3.8 S(x + ib) ∈ L2 (R). Если q = 1 или F ∈ Fa , то |F (x + ib)| 6 M < +∞, x ∈ R, и в силу (5.3.18) F1 (x + ib) ∈ L2 (R). Значит, F1 (z) ∈ F L2a . Но F L2a ⊂ F L1a ∈ Fa , значит, и в этих случаях теорема верна. 2 2 Пусть, наконец, q = ∞. Тогда F (z) ∈ F L∞ a ⊂ F La . Значит, F (x + ib) ∈ L (R), и тогда свойство 2 1 S(x + ib) ∈ L (R) и формула (5.3.18) показывают, что F1 (x + ib) ∈ L (R). Значит, и F1 (x) ∈ L1 (R). Поэтому преобразование Фурье функции F1 (x) ограничено, x ∈ R. Но оно сосредоточено на [−a, a], так как F1 (z) имеет экспоненциальный тип 6a. В итоге F1 ∈ F L∞ a . Теорема 5.3.2 доказана. 0

0

5.4. ЦЕЛЫЕ

С. БЕРНШТЕЙНА, ФУРЬЕ—СТИЛТЬЕСА И МУЛЬТИПЛИКАТОРАМИ

ФУНКЦИИ КЛАССА

НЕ ЯВЛЯЮЩИЕСЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ

5.4.1. Пусть B = Bπ∞ обозначает класс целых функций экспоненциального типа 6π, ограниченных на вещественной прямой (класс С. Бернштейна). Этот класс часто встречается в различных вопросах анализа (см., например, [1]). Если функция F ∈ B является преобразованием Фурье— Стилтьеса, то носитель соответствующей меры лежит на отрезке [−π, π], т. е. Zπ F (z) = eizt dσ(t), σ(t) ∈ V. (5.4.1) −π

Здесь мы будем иметь дело с классами Fa и F Lqa только при a = π. В связи с этим будем писать F и F Lq вместо Fπ и F Lqπ . Ясно, что F ⊂ B. В п. 5.4 рассматриваются некоторые подклассы класса B, характеризующиеся особой правильностью поведения входящих в них функций. Строятся функции, принадлежащие этим подклассам и не являющиеся: а) преобразованиями Фурье—Стилтьеса, б) мультипликаторами класса (Lp , Lp ), 1 < p < ∞, p 6= 2. При этом особое внимание уделяется распределению нулей этих функций. Последний аспект тесно связан с предыдущим материалом данной главы. Целая функция экспоненциального типа F (z) называется функцией типа синуса, если вне некоторой горизонтальной полосы |F (z)| ³ exp(π|y|),

y = Im z.

Класс функций типа синуса обозначаем через S. Из определения следует, что все корни функции класса S лежат в некоторой горизонтальной полосе | Im z| 6 h < +∞. Также из определения и из леммы 2.3.1 сразу вытекают следующие свойства функции F ∈ S: а) число корней zn функции F в прямоугольнике | Re z − t| 6 1, | Im z| 6 h ограничено; в частности, кратности корней ограничены в совокупности; б) если dist(z, (zn )) > δ > 0, то |F (z)| > Ceπ|y| ,

C = C(δ) > 0.

(5.4.2)

По теореме 2.3.2 класс SF := S∩F совпадает с классом функций (5.4.1), где σ(±π∓0) 6= σ(±π). Заметим еще, что неравенство, противоположное (5.4.2), выполняется во всей плоскости для любой функции класса B. Ограниченная измеримая функция m(x) (x ∈ R) называется мультипликатором класса (Lp, Lp ), 1 6 p 6 ∞, если для любой функции ϕ ∈ Lp (R) ∩ L2 (R) найдется функция ϕ1 ∈ Lp (R) ∩ L2 (R) такая, что ϕ(x)m(x) b =ϕ b1 (x) и kϕ1 kp 6 Ckϕkp , где C от ϕ не зависит [50]. Множество мультипликаторов класса (Lp , Lp ) обозначаем через Mp . Хорошо известно, что F ⊂ Mp . Значит, SF ⊂ SMp := S ∩ Mp ⊂ S.

(5.4.3)

Мы увидим, что при 1 < p < ∞ все эти включения являются собственными, за исключением случая p = 2 в правом включении.

5.4. ЦЕЛЫЕ

С. БЕРНШТЕЙНА

ФУНКЦИИ КЛАССА

101

Зададим функцию H(z) интерполяционным рядом Лагранжа H(z) = sin πz

∞ X n=1

eiθn l(n) , (−1)n nγ (z − n)

1 0<γ6 , 2

(5.4.4)

где l(t) ∈ L∞ , а θn — произвольная последовательность из R; в частности, (eiθn ) — произвольная расстановка знаков ±. Пусть F (z) = sin πz + aH(z),

a 6= 0,

a ∈ C.

(5.4.5)

Теорема 5.4.1. Пусть F (z) — функция (5.4.5), где H(z) — функция (5.4.4). Тогда: 1) F (z) ∈ S; 2) все нули zn функции F (z) можно пронумеровать так, что n ∈ Z и верна асимптотическая формула ¶ µ l(|n|) log |n| zn = n + O , n → ±∞; (5.4.6) |n|γ 3) если a ∈ R и |a| достаточно мал, то все нули функции F (z) вещественны и просты и располагаются по одному в интервалах (n − 1/2, n + 1/2), n ∈ Z, и только в них; 4) если γ = 1/2 и ∞ 2 X l (n) = +∞, (5.4.7) n n=1

то при надлежащей расстановке знаков в (5.4.4) F 6∈ F ; 5) если 1 0, l(t) ≡ 1, то F (x) 6∈ Mp . Лемма 5.4.1. Пусть H(z) — функция (5.4.4), где l ∈ L∞ . Тогда: 1) H(z) — целая функция экспоненциального типа 6 π и справедлива оценка |H(z)| 6 Ceπ|y| l(r)

log r , rγ

r = |z| > 2,

y = Im z;

(5.4.8)

2) если γ = 1/2 и выполнено условие (5.4.7), то при надлежащем выборе знаков eiθn в (5.4.4) H(z) 6∈ F ; 3) если выполнены условия утверждения 5) теоремы 5.4.1, то H(x) 6∈ Mp . Доказательство леммы 5.4.1. Можно считать, что l(t) ∈ L∞ Z. Хорошо известно (см., например, [14]), что если (cn ) ∈ ls , s < ∞, то сумма интерполяционного ряда Лагранжа X cn sin πz n (−1) (z − n) n∈Z

есть целая функция экспоненциального типа 6π. Функция H(z) представима в таком виде, где (cn ) ∈ ls , s > 1/γ, по определению класса L∞ Z. Значит, H(z) — целая функция экспоненциального типа 6π. Оценим |H(z)| на прямой Im z = 1. Считаем, что l(t) > 0 при t > 1. Имеем |H(x + i)| 6 C

∞ X n=1

nγ ((n

l(n) . − x)2 + 1)1/2

(5.4.9)

Фиксируем A ∈ N из условия, что функция l(t)t−γ убывает на (A, ∞). Пусть x — достаточно 4 P большое положительное число. Сумму ряда в (5.4.9) запишем в виде Si , где суммирование в i=1

S1 , S2 , S3 , S4 ведется соответственно по следующим множествам индексов: 1 6 n 6 A, A < n 6 x/2, x/2 < n 6 2x + 1, n > 2x + 1. Ясно, что S1 (x) = O(1/x). Суммы S2 , S4 мажорируем интегралами, пользуясь убыванием функции l(t)t−γ . В S2 x − n > x/2, и потому 2 S2 < x

X A
l(n) 2 < nγ x

Zx/2 0

2 l(t) dt = γ tγ x

Z1/2 0

l(x) l(ux) du ∼ c γ , uγ x

x → +∞

102

ГЛАВА 5. УСТОЙЧИВОСТЬ

КЛАССОВ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ

И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

(мы применили свойство 3) функции класса L из п. 1.2). С применением того же свойства получаем, что Z∞ Z∞ 1 l(x) l(t)dt l(ux)du S4 < = γ ∼ c γ , x → +∞. γ γ t (t − x) x u (u − 1) x 2x

2

Далее, так как l(t) ∈ L, то max(l(t) : x/2 6 t 6 3x) ∼ l(x), x → +∞. Поэтому l(x) S3 < c γ x

X

x/2
1 l(x) 6 2c γ 1/2 2 x ((x − n) + 1)

Z3x

dt l(x) log x 6 c1 1/2 2 xγ ((t − x) + 1)

x/3

при x > x1 . Объединяя полученные оценки для Si , видим, что |H(x + i)| 6 cl(x)(log x)x−γ , x > x2 . Но если x > 0 и если в ряде (5.4.9) заменить x на −x, то сумма ряда уменьшится. Значит, |H(x + i)| 6 c

l(|x|) log |x| , |x|γ

|x| > x2 .

(5.4.10)

Пусть функция A(z) аналитична и без нулей в полуплоскости Im z > 0, причем A(z) ∼ l(r),

r = |z| → ∞,

Im z > 0.

(5.4.11)

Такая функция существует, см. следствие 3.1.3. Рассмотрим аналитические функции H+ (z) = H(z)

zγ , A(z) log z

Im z > 1,

H− (z) = H(z)

(z − 2i)γ , A(z − 2i) log(z − 2i)

Im z 6 1.

Подобно H(z), функция H+ (z) (H− (z)) имеет экспоненциальный тип 6π в полуплоскости y > 1 (y 6 1) и в силу (5.4.11) и (5.4.10) ограничена по модулю на прямой y = 1. По теореме Фрагмена— Линдел¨ефа H± (z)| 6 ceπ|y| , y ≷ 1. С учетом (5.4.11) это и означает, что верна оценка (5.4.8). Утверждение 1) доказано. По условию (5.4.7) последовательность (l(n)n−1/2 ) 6∈ l2 . Следовательно [55, п. 14.3.5], при некоторой расстановке знаков ± последовательность l(n) , n > 1, (5.4.12) n1/2 не является последовательностью коэффициентов Фурье—Стилтьеса. В силу (5.4.4) последовательность H(n), n ∈ Z, совпадает с (5.4.12). Если бы H(z) ∈ F , то последовательность H(−n)/(2π) была бы последовательностью коэффициентов Фурье—Стилтьеса. Но это не так. Значит, H(z) 6∈ F . Утверждение 2) верно. 3) Верно следующее промежуточное утверждение. Если cn , n ∈ Z, — последовательность коэффициентов Фурье (2π-периодической) функции f ∈ Lp (−π, π), то последовательность dn : d2n = c2n , d2n−1 = 0 есть последовательность коэффициентов Фурье функции (f (t) + f (t + π))/2 ∈ Lp (−π, π). В (5.4.4) положим θn = −cn log n, c > 0, n > 2; θn = 0, n 6 1; l(t) ≡ 1; рассмотрим функцию cn = 0,

ϕ(t) =

n 6 0;

cn = ±

∞ X exp(icn log n) n=2

n1/2 logβ

n

eint ,

c > 0,

β > 1.

Ряд сходится равномерно на [−π, π] (см. [6, гл. 5, раздел 4]), поэтому ϕ ∈ C[−π, π] ⊂ Lp [−π, π]. Пусть Zπ 1 Φ(z) = e−izt ϕ(t)dt, 2π −π

т. е. Φ = ϕ, b где ϕ ∈

Lp (R)

(ϕ(t) = 0 при |t| > π). Ясно, что

Φ(n) = 0,

n 6 1;

Φ(n) =

exp(icn log n) , n1/2 logβ t

n > 2.

(5.4.13)

5.4. ЦЕЛЫЕ

ФУНКЦИИ КЛАССА

С. БЕРНШТЕЙНА

103

Рассмотрим функцию H(z)Φ(z). Утверждается, что если 2 < p < ∞, а 0 < γ < 1/2−1/p, то функция H(x)Φ(x) не может быть преобразованием Фурье функции из Lp (R) ∩ L2 (R). Предположим противное: H(x)Φ(x) = fb(x), f ∈ Lp (R) ∩ L2 (R). Так как H(z)Φ(z) есть целая функция экспоненциального типа 62π, то 1 H(z)Φ(z) = 2π

Z2π e−izt f (t)dt,

f ∈ Lp (−2π, 2π).

−2π

Значит, если обозначить через cn /2 коэффициенты Фурье функции f по системе exp(int/2), n ∈ Z, то ³n´ ³n´ cn = H Φ , n ∈ Z. (5.4.14) 2 2 В силу (5.4.4), H(n) = 0, n 6 1; H(n) = (exp(−icn log n))/nγ , n > 2. Объединяя это с (5.4.13) и (5.4.14), видим, что c2n = 1/(n1/2+γ logβ n), n > 2; c2n = 0, n 6 1. В силу промежуточного утверждения ряд ∞ X eint n1/2+γ logβ n n=2 является рядом Фурье (по системе exp(int/2)) некоторой функции f1 ∈ Lp (−2π, 2π). По известной асимптотике [6, гл. 5, раздел 2] сумма этого ряда при t → +0 асимптотически совпадает с функцией c/(t1/2−γ logβ (1/t)), а потому не лежит в Lp (0, 2π), так как по условию γ < 1/2 − 1/p. Итак, f1 6∈ Lp (−2π, 2π), и полученное противоречие показывает, что H(x) 6∈ Mp , 2 < p < ∞. Но Mp = Mp0 , и утверждение 3) верно в полном объеме. Лемма 5.4.1 доказана. Доказательство теоремы 5.4.1. Так как sin πz ∈ F ⊂ Mp , а по лемме 5.4.1 H(z) 6∈ F , H(x) 6∈ Mp соответственно при выполнении условий утверждений 4), 5), то утверждения 4), 5) верны. Фиксируем δ ∈ (0, 1/2). Пусть Kn = (z : |z − n| < δ). Тогда S 0 < m(δ)eπ|y| 6 | sin πz| 6 eπ|y| , z 6∈ Kn . (5.4.15) n∈Z

Объединяя эти оценки с оценкой (5.4.8) и учитывая определение класса LZ, заключаем, что если натуральное N достаточно велико, то ¯ ¯ ¯ aH(z) ¯ 1 1 ¯ ¯ (5.4.16) ¯ sin πz ¯ 6 2 , |z| = N + 2 , |z − n| = δ, |n| > N, 0 < Aeπ|y| 6 |F (z)| 6 Beπ|y| ,

1 |z| > N + , 2

z 6∈

S

Kn .

(5.4.17)

|n|>N

Оценки (5.4.17) показывают, что F ∈ S. Утверждение 1) верно. Левая оценка (5.4.17) показывает, что при |z| > N + 1/2 вне кружков Kn нет нулей F (z). Далее, на основании (5.4.16), (5.4.5) и теоремы Руше делаем вывод о том, что число нулей функции F (z) как в круге |z| < N + 1/2, так и в кружках Kn , |n| > N, равно числу нулей функции sin πz. Но все нули функции sin πz просты и совпадают с последовательностью Z. Значит, мы можем так пронумеровать последовательность (zn ) всех нулей функции F (z), что zn = n + εn , n ∈ Z, причем |εn | < δ, |n| > N. Подставляя zn = n + εn в формулу (5.4.5), находим с применением леммы 5.4.1 и соответствующего свойства функций класса L ¶ µ l(|n|) log |n| , n → ±∞. | sin πεn | = O |n|γ Так как εn = O(sin πεn) при |εn | < 1/2, то асимптотика (5.4.6) доказана. Утверждение 2) имеет место. Если |a| достаточно мал, то неравенства (5.4.17) верны на границах всех кружков Kn , n ∈ Z. По теореме Руше в каждом из них лежит ровно один нуль функции F (z). По доказанному других нулей у F (z) нет. Если бы у F (z) был невещественный корень zm , то в силу вещественности F (x) комплексно сопряженное число z¯m также было бы корнем F (z). Но тогда в кружке Km лежало бы не менее двух корней функции F (z), а это не так. Значит, все нули F (z) вещественны. Утверждение 3) верно. Теорема 5.4.1 доказана.

104

ГЛАВА 5. УСТОЙЧИВОСТЬ

КЛАССОВ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ

И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

Замечание 5.4.1. Утверждение 5) теоремы 5.4.1 показывает, что при p 6= 2 правое включение (5.4.3) является собственным. В отношении левого включения (при всех 1 < p < ∞) это будет доказано в главе 8. 5.4.2. Пусть α ∈ R, b(t) ∈ L∞ Z. Обозначим через S(α; b(r)) класс целых функций экспоненциального типа, для которых вне некоторой горизонтальной полосы eπ|y| b(r) , r = |z|. rα Ясно, что S(0; 1) = S. Заинтересуемся функциями классов S(α; b(r)), не входящими в класс F . Предварительно заметим, что при α < 0 все функции класса S(α; b(r)) не ограничены на горизонтальных прямых и потому не входят в класс B, а подавно и в класс F . Если же α > 1/2, то по теореме Пэли—Винера S(α; b(r)) ∈ F . На роль канонической функции (которой в теореме 5.4.1 служила функция sin πz) теперь введем функцию Zπ b(1/(π − |t|)) B(z) = eizt k(t)dt, 0 < α < 1, (5.4.18) (π − |t|)1−α |F (z)| ³

−π

где фиксированные функции b(t), k(t) удовлетворяют условиям: ´ ³1 ´ ³ 1 ,∞ , b(t) ∈ L∞ Z, var b(t) : 6 t 6 A < ∞ ∀A ∈ π π k(t) ∈ V [−π, π],

k(±π) := k(±π ∓ 0) 6= 0.

(5.4.19) (5.4.20)

Лемма 5.4.2. Пусть выполнены условия (5.4.19), (5.4.20). Тогда: 1) все нули wn функции B(z) можно пронумеровать так, что n ∈ Z и верна асимптотическая формула µ ¶ α 1 k(−π) wn = n + sign n + c + o(1), n → ±∞, c = log − ; (5.4.21) 2 2πi k(π) 2) вне кружков радиуса δ с центрами в точках wn и 0 0 < C1 (δ) 6

|B(z)|rα 6 C2 (δ) < ∞, eπ|y| b(r)

r = |z|,

(5.4.22)

3) если функция b(1/(π − t)) k(t) (5.4.23) (π − t)1−α положительна и не убывает на (0, π), а функция k(t) четна или нечетна, то все нули функции B(z) вещественны и просты. Лемма 5.4.2 показывает, что в ее условиях B(z) ∈ S(α; b(r)). Доказательство. Утверждение 2) и асимптотика (5.4.21) имеют место по теореме 3.1.4. Остается проверить часть утверждения 1), касающуюся согласованности этой асимптотики с нумерацией n ∈ Z, и справедливость утверждения 3). Так как функция k(t) четна или нечетна, то функция B(z) может быть записана в виде функции U (z) или V (z), где Zπ Zπ U (z) = 2 f (t) cos zt dt, V (z) = 2i f (t) sin zt dt, 0 α−1 t) .

0

а f (t) = b(1/(π − t))k(t)(π − Для функции f (t/π) выполнены все условия теорем 2.2.1, 2.2.2. По этим теоремам все нули функции B(z) вещественны и просты. Утверждение 3) верно. Возвратимся к утверждению 1). Удобно считать, что участвующая в (5.4.21) константа c = 0. Этого всегда можно добиться, переходя к функции B(z + ∆); для дальнейшего важно, что этот переход не нарушит оценки (5.4.22). Итак, c = 0. Тогда из (5.4.21) следует, что недостающая часть

5.4. ЦЕЛЫЕ

ФУНКЦИИ КЛАССА

С. БЕРНШТЕЙНА

105

утверждения 1) о согласованности нумерации и асимптотики равносильна следующему утверждению: при всех достаточно больших натуральных N в круге |z| < N + 1/2 лежит ровно 2N + 1 нулей функции B(z). Априори, в силу (5.4.21), можно утверждать только, что число нулей B(z) в круге |z| < N + 1/2 при достаточно больших N равно 2N + 1 + m, где m — некоторое целое число. Надо показать, что m = 0. Пусть W (t) есть число точек wn в круге |z| < t, пусть Z(t) и N (t) играют ту же роль по отношению к последовательностям (zn ) и (Z\{0}) ∪ {1/2} соответственно, где α 1 zn = n + sign n, n 6= 0; z0 = . (5.4.24) 2 2 Дальнейшие рассуждения основаны на формуле Иенсена Zr 0

n(t) 1 dt = t 2π

Z2π log |F (reiθ )|dθ,

(5.4.25)

0

в которой F (z) — целая функция с условием F (0) = 1, а n(t) — число нулей F (z) в круге |z| < t. Пусть F (z) = cz −1 (z − 1/2) sin πz, где c выбрано так, чтобы F (0) = 1. Тогда n(t) = N (t), и с учетом неравенств (5.4.15) формула (5.4.25) дает Zr N (t) 1 dt = 2r + O(1), r = N + → ∞. t 2 0

Далее, Z(t) = N (t) при n + α/2 < t < n + 1, n ∈ N и 0 < t < 1. Если же n < t < n + α/2, то Z(t) = N (t) − 2. Значит, если r = N + 1/2, то Zr 0

Z(t) dt = t

Zr

N

X N (t) dt − 2 t

n=1

0

n+α/2 Z

n

dt = t

= 2r + O(1) − 2

N X n=1

³ α´ log 1 + = 2r − α log r + O(1). (5.4.26) 2n

Будем считать, что B(0) = 1. Этого условия можно добиться, переходя к функции cz −s (z − 1/2)s B(z), где s — кратность корня z = 0 функции B(z); этот переход не нарушит оценки (5.4.22), а функцию W (t) изменит лишь на конечном интервале. В круге |z| < N + 1/2 при достаточно большом N содержится 2N + 1 точек zn и 2N + 1 + m точек wn . Сравнивая (5.4.21) и (5.4.24), заключаем, что ¶ [µ α α W (t) = Z(t) + m, t ∈ I := n + + o(1), n + 1 + + o(1) , 2 2 где n > n0 и W (t) = Z(t) + O(1) при всех t > 0. Дополнительные к I интервалы (до полупрямой t > n0 ) имеют вид (n+α/2+o(1), n+α/2+o(1)). Такой же вид имеют интервалы, полученные в результате возможного наложения друг на друга составляющих интервалов в I. Объединение тех и других интервалов обозначаем (In ). Тогда при r = N + 1/2 ¯ ¯ Zr Zr N Z ¯ W (t) X dt Z(t) + m ¯¯ ¯ 6 c + c dt − dt . ¯ ¯ 1 ¯ ¯ t t t n=n 0

Однако

0

0

µ ¶ N Z N X X dt o(1) = log 1 + = o(log r), t n + α/2 + o(1) n=n n=n 0

In

r=N+

0

и, следовательно, с учетом (5.4.26) получаем, что Zr W (t) dt = 2r − (α − m + o(1)) log r + O(1), t 0

In

r=N+

1 → ∞, 2

1 → ∞. 2

(5.4.27)

106

ГЛАВА 5. УСТОЙЧИВОСТЬ

КЛАССОВ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ

И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

С другой стороны, в силу (5.4.22) 1 2π

Z2π log |B(reiθ )|dθ = 2r − α log r + log b(r) + O(1).

(5.4.28)

0

Так как b(t) ∈ L, то log b(r) = o(log r). Теперь, полагая в формуле (5.4.25) F (z) = B(z), n(t) = W (t) и учитывая оценки (5.4.27) и (5.4.28), видим, что m = 0. Лемма 5.4.2 доказана. Замечание 5.4.2. Так как нумерация нулей целой функции ведется с учетом кратностей, то утверждение 1) леммы 5.4.2 показывает, что все достаточно большие по модулю нули функции B(z) просты. Теорема 5.4.2. Пусть 0 < α < γ 6 1/2, и пусть для функций b(t), k(t) выполнены условия (5.4.19) и (5.4.20). Пусть B(z) — функция (5.4.18), H(z) — функция (5.4.4), где l(t) ∈ L, и пусть F (z) = B(z) + aH(z), a 6= 0, a ∈ C. (5.4.29) Тогда: 1) F (z) ∈ S(α; b(r)); 2) все нули zn функции F (z) можно пронумеровать так, что n ∈ Z и µ ¶ l(|n|) log |n| zn = wn + O , n → ±∞, b(|n|) · |n|γ−α где wn — нули функции B(z); 3) если функция (5.4.23) положительна и не убывает на (0, π), причем k(t) четна или нечетна, а a ∈ R и |a| достаточно мал, то все нули функции F (z) вещественны и просты; 4) если выполнено условие (5.4.7), то при γ = 1/2 и надлежащем выборе знаков в (5.4.4) F (z) 6∈ F ; 5) если γ < |1/p − 1/2|, 1 0, l(t) ≡ 1, то F (x) 6∈ Mp . Доказательство. Пусть Kn = (z : |z − wn | < δ), где δ фиксированно настолько малым, чтобы Kn ∩SKm = ∅ при n 6= m; это возможно в силу асимптотики (5.4.21). Тогда оценки (5.4.22) верны вне Kn и вне окрестности нуля. Объединим оценки (5.4.22) и (5.4.8). Так как α < γ, то с учетом определения класса LZ получим: если натуральное число N достаточно велико, то ¯ ¯ ¯ aH(z) ¯ 1 1 ¯ ¯ (5.4.30) ¯ B(z) ¯ 6 2 , |z| = N + 2 , |z − wn | = δ, |n| > N, T eπ|y| b(r) 1 (5.4.31) , r = |z| > N + , z 6∈ Kn (|n| > N ). α r 2 Оценка (5.4.31) показывает, что F (z) ∈ S(α; b(r)), т. е. утверждение 1) имеет место. Далее, по построению (см. (5.4.18)) B(z) ∈ F . По лемме 5.4.1 H(z) 6∈ F при должном выборе знаков. Значит, F (z) 6∈ F , и утверждение 4) также верно. Из (5.4.30) и теоремы Руше вытекает, что функции F (z) и B(z) имеют одинаковое число нулей в круге |z| < N +1/2, и что в кружке Kn (|n| > N ) содержится ровно один нуль функции F (z), как и у функции B(z) (см. замечание 5.4.2). Других нулей у F (z) при |z| > N + 1/2 нет, как показывает (5.4.31). Отсюда с помощью утверждения 1) леммы 5.4.2 выводим: можно так пронумеровать последовательность zn нулей F (z), что n ∈ Z и zn = wn + εn , где εn → 0 в силу произвольности δ. Подставим zn = wn + εn в (5.4.29). Так как F (zn ) = 0, то с учетом оценки (5.4.8) и подходящего свойства класса L из 1.2 получаем ¶ µ l(|n|) log |n| , n → ±∞. (5.4.32) B(wn + εn ) = O |n|γ |F (z)| ³

Чтобы из этой оценки извлечь оценку для εn , разложим B(wn + εn ) в ряд Тейлора с центром в точке wn и с шагом εn . Так как B(wn ) = 0, то получим B(wn + εn ) − B 0 (wn )εn =

∞ X B (k) (wn )εk

n

k=2

k!

.

(5.4.33)

5.4. ЦЕЛЫЕ

ФУНКЦИИ КЛАССА

С. БЕРНШТЕЙНА

107

По неравенству С. Бернштейна и теореме Фрагмена—Линдел¨ефа ¯ ¯ (k) ¯B (wn )¯ 6 eπh π k sup(|B(x)| : x ∈ R) = cπ k , h = sup | Im wn |. Значит, правая часть в (5.4.33) по модулю не превосходит c

∞ X (π|εn |)k k=2

k!

= c(exp(π|εn | − 1 − π|εn |)) = o(εn ).

Таким образом, B(wn + εn ) ∼ B 0 (wn )εn ,

n → ∞.

(5.4.34)

При достаточно малом δ > 0 и при |n| > n0 внутри окружности (z : |z − wn | = δ) содержится единственный корень wn функции B(z). Поэтому записывая 1/B 0 (wn ) в виде интеграла Коши по этой окружности от функции 1/B(z), с помощью утверждения 2) леммы 5.4.2 получаем µ ¶ µ ¶ 1 b(|n|) b(|wn |) =O . =O B 0 (wn ) |wn |α |n|α Подставив это в (5.4.34), а затем полученное в (5.4.32), находим µ ¶ l(|n|) log |n| εn = zn − wn = O , n → ±∞. b(|n|)|n|γ−α Утверждение 2) доказано. Утверждение 3) доказывается так же, как в теореме 5.4.1. Если |a| достаточно мал, то неравенства (5.4.30) имеют место на границах всех кружков Kn , n ∈ Z. По теореме Руше в каждом кружке Kn содержится ровно один нуль функции F (z), как и у функции B(z) (см. утверждение 3) леммы 5.4.2). Других нулей у F (z) по доказанному нет. В силу вещественности F (x) нули F (z) располагаются комплексно сопряженными парами. И так как центры wn кружков Kn лежат на вещественной прямой, то все нули функции F (z) вещественны. Утверждение 3) верно. Утверждение 5) следует из того, что B(x) ∈ F ⊂ Mp , а по лемме 5.4.1 H(x) 6∈ Mp . Теорема 5.4.2 доказана. Замечание 5.4.3. Условие α < γ применялось в ходе доказательства теоремы 5.4.2 только для установления оценок (5.4.30) и (5.4.31). Однако для справедливости этих оценок достаточно, чтобы H(z) = o(B(z)) при |z| → ∞ вне кружков Kn . Поэтому доказательство теоремы 5.4.2 и ее утверждения 1)–4) остаются в силе и при α = γ, если в этом случае потребовать, чтобы l(t) log t = o(b(t)),

t → ∞.

(5.4.35)

Действительно, леммы 5.4.1, 5.4.2 показывают, что (5.4.35) влечет оценку H(z) = o(B(z)). Добавим, что в этом случае функция b(t) не может быть произвольной, так как оценку (5.4.35) следует совместить с условием (5.4.7). Замечание 5.4.4. При p > 2, 1/p < α < γ = 1/2 функция F (z) из теоремы 5.4.2 дает пример функции, принадлежащей Lp (R), p > 2, но не являющейся преобразованием Фурье—Стилтьеса. 5.4.3. Сопоставим теоремы 5.4.1, 5.4.2 с теоремой 5.3.2. Пусть F (z) — функция (5.4.5), где a ∈ R и |a| достаточно мал; пусть zn — нули F (z). По теореме 5.4.1 F (z) ∈ S, при должном выборе знаков в (5.4.4) F (z) 6∈ F и (zn − n) ∈ l2+ε для любого ε > 0. Теорема 5.3.2 показывает, что эта близость точек zn и n в шкале классов ls является наилучшей из возможных, т. е. не существует функции F (z) с вещественными нулями zn и такой, что F (z) ∈ S, F (z) 6∈ F , (zn − n) ∈ l2 . Точно так же близость нулей (zn − wn ) ∈ l1/(1/2−α)+ε (ε > 0 — любое), описываемая теоремой 5.4.2 в случае γ = 1/2, неулучшаема в силу теоремы 5.3.2. Однако не менее важным является тот факт, что, наоборот, теоремы 5.4.1, 5.4.2 подтверждают неулучшаемость теоремы 5.3.2 в шкале классов ls . Следствие 5.4.1. В теореме 5.3.2 утверждение 2) теряет силу при замене l2 на l2+ε (ε > 0 — любое), а утверждение 1) теряет силу при замене ls на ls+ε (ε > 0 — любое) в случае 1 < q < 2.

108

ГЛАВА 5. УСТОЙЧИВОСТЬ

КЛАССОВ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ

И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

Доказательство. Пусть wn = n, n ∈ Z, пусть zn = wn +αn — нули функции F (z) из теоремы 5.4.1, где a ∈ R и |a| достаточно мал. Пусть Φ(z) = sin πz. В данном случае αn ∈ R, (αn ) ∈ l2+ε (ε > 0 — любое), Φ ∈ F , F 6∈ F . Значит, условие (αn ) ∈ l2+ε (ε > 0 — любое) уже выводит из класса F . Перейдем к утверждению 1). Пусть k(t) = 1, l(t) = 1, 1 − α = 1/q, 1 < q < 2; тогда 0 < α < 1/2. Фиксируем b(t) ∈ LZ так, чтобы µ ¶ 1 −1/q (π − |t|) b ∈ Lq (−π, π) π − |t| и чтобы функция (5.4.23) была положительной в (0, π) и не убывала. Тогда функция B(z) (см. (5.4.18)) лежит в F Lq ; пусть wn — ее корни. По лемме 5.4.2 они вещественны и просты. Пусть F (z) — функция из утверждения 4) теоремы 5.4.2, пусть zn — ее корни. Тогда F 6∈ F и если a ∈ R и |a| достаточно мал, то по утверждениям 3), 2) теоремы 5.4.2 все точки zn вещественны и просты и (αn ) = (zn − wn ) ∈ ls+ε при всех ε > 0. Таким образом, условие (αn ) ∈ ls+ε (ε > 0 — любое) выводит из класса F Lq . Следствие 5.4.1 доказано. 5.5. 5.5.1.

ИЗБЫТКИ

СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ

С последовательностью Λ = (λn )n ⊂ C связываем систему экспонент ¡ ¢ e(Λ) = eiλn t , iteiλn t , . . . , (it)mn −1 eiλn t , n ,

где mn — кратность точки λn . Аналогично, система e(M ) отвечает последовательности M = (µn ). Фиксируем a > 0 и через B обозначаем пространство Lpω(t),a , 1 6 p < ∞, считая, что ω(t) ∈ Ωp (см. начало п. 4.1). Через EB (Λ) обозначаем избыток системы e(Λ) в пространстве B; определение избытка дано в п. 4.1. Избыток системы e(Λ) в Lp и C обозначаем соответственно через Ep (Λ) и E∞ (Λ). В настоящем пункте изучается вопрос об устойчивости избытка системы экспонент в пространствах B и C = C[−a, a], т. е. вопрос об условиях близости последовательностей Λ и M, влекущих равенство EB (Λ) = EB (M ) (E∞ (Λ) = E∞ (M )). (5.5.1) Как и в п. 5.1, пишем Λ, M ∈ (A), если последовательности Λ, M связаны условием (A), которое считаем симметричным по отношению к Λ и M. Будем говорить, что условие (A) сохраняет избыток EB (E∞ ), если Λ, M ∈ (A) влечет (5.5.1). Лемма 5.5.1. Для того чтобы условие (A) сохраняло избыток EB (E∞ ), необходимо и до0 статочно, чтобы условие (A) сохраняло класс F Lpu(t),a (Fa ), где 0

u(t) = (ω(t))−p /p

при 1 < p < ∞,

u(t) =

1 ω(t)

при p = 1.

(5.5.2)

Доказательство. Ограничимся рассмотрением избытка EB . Достаточность. Надо доказать (5.5.1). В силу равноправия Λ и M, достаточно доказать неравенство EB (M ) 6 EB (Λ). Если EB (Λ) = +∞, то доказывать нечего. Пусть избыток EB (Λ) конечен. Удаляя из Λ и M или присоединяя к Λ и M одинаковое число точек (что не меняет разности EB (Λ) − EB (M )), добьемся того, чтобы EB (Λ) = −1. Тогда по теореме 4.1.2 найдется целая функция F (z) класса 0 F Lpu(t),a , где u(t) задается формулой (5.5.2), причем множество корней F (z) совпадает с Λ. Так 0

как Λ, M ∈ (A), то по условию найдется целая функция G(z) класса F Lpu(t),a , множество корней которой совпадает с M. По той же теореме 4.1.2 EB (M ) = −1 = EB (Λ), и случай конечного EB (Λ) разобран. Остается разобрать случай EB (Λ) = −∞. Он означает, что при любом s ∈ N система e(Λs ), где Λs = Λ ∪ (zj )sj=1 , неполна в B. По лемме 4.1.1 некоторая нетривиальная целая функция F (z) 0

класса F Lpu(t),a обращается в нуль в точках Λs . Пусть Z — множество всех корней F (z); тогда Z = Λ ∪ (zj )sj=1 ∪ Γ, где Γ — некоторое не более чем счетное множество. Обозначим W = M ∪ 0

(zj )sj=1 ∪ Γ. Так как Λ, M ∈ (A) =⇒ Z, W ∈ (A), то найдется целая функция G(z) класса F Lpu(t),a такая, что множество ее корней совпадает с W. В частности, G(Ms ) = 0, и по лемме 4.1.1 система

5.5. ИЗБЫТКИ

109

СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ

e(M ) ∪ (eitj t )sj=1 неполна в B, т. е. EB (M ) 6 −s. Так как s ∈ N произвольно, то EB (M ) = −∞ = EB (Λ), и достаточная часть доказана. Необходимость. Надо доказать, что если условие (A) сохраняет избыток EB , то оно сохраняет 0 0 и класс F Lpu(t),a . Пусть Λ ⊂ Z(F Lpu(t),a ). Тогда EB (Λ) < 0. Можно считать, что EB (Λ) = −1. 0

По предположению и EB (M ) = −1. По теореме 4.1.2 найдется целая функция G(z) ∈ F Lpu(t),a 0

такая, что множество ее корней совпадает с M, т. е. M ⊂ Z(F Lpu(t),a ). Таким образом, условие 0

(A) сохраняет класс F Lpu(t),a , и лемма 5.5.1 доказана. Лемма 5.5.1 дает возможность переформулировать результаты о сохранении классов F Lqu(t),a и Fa , полученные в пп. 5.1–5.3, как утверждения об устойчивости избытка системы экспонент. Из теорем 5.1.1, 5.1.2 вытекают следующие утверждения. Теорема 5.5.1. Пусть B = Lpω(t),a , где 1 6 p < ∞, ω(t) ∈ Ωp . Тогда если X |λn − µn | < +∞, n

то EB (Λ) = EB (M ). Теорема 5.5.2. Если

X n

|λn − µn | < +∞, 1 + | Im λn | + | Im µn |

то Ep (Λ) = Ep (M ) при всех p ∈ [1, ∞]. При переформулировке результатов п. 5.2 начнем с теоремы 5.2.3, а затем будем учитывать замечание 5.2.3. Теорема 5.5.3. Если для всех n Re λn = Re µn

и | Im(λn − µn )| 6 C < +∞,

то E2 (Λ) = E2 (M ). Теорема 5.5.4. Если | Im λn |, | Im µn | 6 h < +∞ и x+u Z∞ Ã Z sup x∈R

1

|(Re Λ)(t) − (Re M )(t)|dt x

!

du < +∞, u2

то E2 (Λ) = E2 (M ). Следствие 5.5.1. Если | Im λn |, | Im µn | 6 h < +∞ и ! Z∞ Ã X du | Re(λn − µn )| sup < +∞, u2 x∈R 1

x
то E2 (Λ) = E2 (M ). Следствие 5.5.2. Пусть последовательности Λ, M лежат в горизонтальной полосе и не сгущаются. Тогда если ! Z∞ Ã X du sup | Re(λn − µn )| < +∞, u2 x∈R 1

x
то E2 (Λ) = E2 (M ). Следствие 5.5.3. Пусть последовательности Λ, M лежат в горизонтальной полосе и не сгущаются. Тогда каждое из следующих условий 1)–3) достаточно для справедливости равенства E2 (Λ) = E2 (M ): 1) (Re(λn − µn )) ∈ ls при некотором s < +∞;

110

ГЛАВА 5. УСТОЙЧИВОСТЬ

КЛАССОВ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ

И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

∞ 2) | Re(λn − µn )| 6 αn , n ∈ Z, где неотрицательные последовательности (αn )∞ 1 , (α−n )n=1 не возрастают и X 0 αn < +∞; (5.5.3) |n| X 1 3) < +∞, | Re(λnk+1 − λnk )| ↑ +∞, | Re λnk | S M = (λi )i6=nk (λnk + αk ), где sup |αk | < +∞.

В достаточном условии 2) следствия 5.5.3 условие монотонности последовательностей α±n , n ∈ N, отбросить нельзя, как показывает следующая переформулировка теоремы 5.2.2. Теорема 5.5.5. Существуют вещественные несгущающиеся последовательности Λ = (λn ) и M = (µn ) такие, что: 1) λn − µn → 0 (но немонотонно); X0 |λ − µn | 2) < +∞; |n| 3) Ep (Λ) 6= Ep (M ) при всех p ∈ [1, ∞]. Определим класс Mp (1 6 p 6 ∞) как класс неотрицательных последовательностей αn , n ∈ Z, таких, что из условия несгущаемости Λ и M, а также из | Im λn |, | Im µn | 6 h < +∞ и из |λn − µn | 6 αn ,

n ∈ Z,

следует равенство избытков Ep (Λ) = Ep (M ). Из этого определения, из определения Fa - и F Lqa -допустимых последовательностей (см. п. 5.2) и из леммы 5.5.1 сразу следует Лемма 5.5.2. Последовательность αn > 0 тогда и только тогда принадлежит классу Mp , 0 1 6 p < ∞ (классу M∞ ), когда она является F Lpa -допустимой (Fa -допустимой). Благодаря этому теорема 5.2.4, теорема 5.3.2 и следствие 5.4.1 дают следующие утверждения. ∞ Теорема 5.5.6. Пусть αn > 0, и пусть последовательности (αn )∞ 1 , (α−n )n=1 не возрастают. Тогда для того чтобы (αn ) ∈ M2 , достаточно, а при условии αn+1 ∼ αn , n → ±∞, и необходимо выполнение условия (5.5.3).

Теорема 5.5.7. 1) Если 1 6 p 6 ∞, p 6= 2 и 1/s = |1/p − 1/2|, то ls ∈ Mp . 2) Если 2 0. В связи с теоремой 5.5.7 отметим, что достаточное условие 1) следствия 5.5.3 может быть сформулировано так. Следствие 5.5.4. Если s < +∞, то ls ∈ M2 . Отметим еще результат о возмущениях тригонометрической системы. Следствие 5.5.5.

1) Если (αn ) ∈ l2 , то система ¡ i(n+αn )t ¢ e , n ∈ Z,

(5.5.4)

неполна в C[−π, π]. 2) Пусть l(t) ∈ L∞ и (l(n)/n1/2 ) 6∈ l2 . Тогда найдется последовательность (αn ) ∈ R такая, что µ ¶ l(|n|) log |n| αn = O , n → ±∞, (5.5.5) |n|1/2 и система (5.5.4) полна в C[−π, π]. Так как тригонометрическая система неполна в C[−a, a], то утверждение 1) следствия 5.5.5 сразу вытекает из теоремы 5.5.7 при p = ∞. Для доказательства утверждения 2) вспомним теорему 5.4.1, по которой найдется функция F (z) типа синуса, не принадлежащая классу Fπ и такая, что множество ее корней имеет вид λn = n + αn , n ∈ Z, где αn удовлетворяет условию (5.5.5), после чего полнота соответствующей системы (5.5.4) вытекает из теоремы 4.3.1.

5.5. ИЗБЫТКИ

5.5.2.

111

СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ

Следующая теорема не имеет прямого аналога среди результатов пп. 5.1–5.4.

Теорема 5.5.8. Пусть последовательности Λ = (λn ), M = (µn ) вещественны, не сгущаются и λn − µn → 0, n → ±∞. Тогда |Ep (Λ) − Ep (M )| 6 1,

1 6 p 6 ∞.

Доказательство. По условию sup |Λ(t)−M (t)| < +∞. По лемме 4.1.4 избытки Ep (Λ), Ep (M ) либо конечны, либо равны бесконечности одного знака. В случае бесконечности доказывать нечего. Случай конечных избытков сводится (путем добавления к Λ, M или изъятия из них одинакового числа точек) к следующему: Ep (Λ) = −1. Учитывая равноправие Λ и M, достаточно доказать, что Ep (M ) 6 0, т. е. что система e(M0 ), где M0 = M \{µ0 }, неполна в Lp (−a, a) (в C[−a, a] при p = ∞). 0 Так как Ep (Λ) = −1, то по теореме 4.1.2 существует целаяQфункция F (z) класса F Lpa (Fa ), обращающаяся в нуль в точках Λ и только в них. Q Тогда F (z) = (1−z/λn ); считаем, что 0 6∈ Λ, M. Рассмотрим бесконечное произведение G(z) = (1 − z/µn ). По лемме 5.2.3 G(z) — целая функция экспоненциального типа. Обозначим αn = µn − λn и оценим |G(z)/F (z)| на прямой Im z = 1. Имеем ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Y ¯¯ 1 − z/µn ¯¯ X X ¯ G(z) ¯ ¯ α z |αn | ¯ ¯ = log ¯ ¯= ¯1 + n log ¯¯ log . (5.5.6) 6 |z| ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ F (z) 1 − z/λn µn λn − z ¯ |µn | · |λn − z| Ограничимся рассмотрением случая x = Re z > 0. Пусть m = max(sup |Λ(t + 1) − Λ(t)|, sup |M (t + 1) − M (t)|). Не снижая общности, считаем, что точки λn , µn , попавшие на отрезок [−1, 1], совпадают. Сначала оценим часть суммы в (5.5.6), отвечающую отрицательным индексам: X n<0

6α

X n<0

∞

X 1 =α |µn | · |λn − x|

X

j=1 −j−16λn <−j

1 6 |µn | · |λn − x| 6 αm

∞ X j=1

∞

1 αm X = j(j + x) x

µ

j=1

¶ 1 1 − . j j+x

Но последняя сумма есть log x + O(1). Действительно, Ã N ! ¶ N ∞ µ X X1 X 1 1 1 − = lim − 6 N →∞ j j+x j j+x j=1

j=1

j=1

Ã 6 lim

N →∞

ZN

1+ 1

dt − t

N Z+1

1

dt t+x

! =

= 1 + lim log N →∞

N (1 + x) = 1 + log(1 + x). N +1+x

Поэтому при x = Re z > 0 X n<0

|αn | αm 6 (log x + O(1)). |µn | · |λn − x| x

Сумму в (5.5.6), отвечающую положительным индексам, разобьем на три суммы которых соответственно λn < nx , nx 6 λn < Nx , λn > Nx , где

(5.5.7) P P P 1, 2, 3, в

nx = max(n ∈ N : n + 1 6 x), Nx = min(n ∈ N : n − 1 > x). P P P При работе с 1 и 2 будем применять неравенство |λn − z| > |λn − x|, а при работе с 3 — неравенство |λn − z| > 1. Имеем

112

ГЛАВА 5. УСТОЙЧИВОСТЬ

X

ФУРЬЕ

И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

n

X

1

КЛАССОВ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

x X 1 1 6 6 mα = µn (x − λn ) (j − 1)(x − j) j=2 1<λn <x ¶ nx µ mα X 1 1 2mα = + = (log x + O(1)), (5.5.8) x−1 j−1 x−j x

j=2

X 3

6α

X λn >Nx

1 µn (λn − x)

6 mα

∞ X

1 = (j − α)(j − x) j=Nx ¶ ∞ µ 1 1 mα mα X + = (log x + O(1)), (5.5.9) = x−α j−x j−α x j=Nx

X 2

6α

X nx 6λn
³1´ 1 3mα 6 =O . λn − α nx x

(5.5.10)

Объединяя оценки (5.5.7)–(5.5.10) с (5.5.6), получаем |G(z)| 6 c|F (z)| · |z|4mα,

Im z = 1.

(5.5.11)

Благодаря лемме 4.1.1 надо доказать, что G(z) 0 ∈ F Lpa (∈ Fa ). z − µ0 Так как изменение конечного числа точек в M не меняет избытка Ep (M ), то, полагая µi = λi (i = 0, ±1, . . . , ±N ), беря N достаточно большим и учитывая условие µn − λn → 0, добьемся того, чтобы 4mα = 4m sup |αn | < 1/2. Тогда (5.5.11) дает оценку ¡ ¢ 1 |G0 (z)| = |F (z)| · O (1 + |z|)−δ , δ > , y = 1. (5.5.12) 2 Отсюда и из леммы 5.2.4 следует, что экспоненциальный тип функции G0 (z) не превосходит a. Да0 лее, если 2 6 p0 6 ∞, то F (z) ∈ F Lpa ⊂ F L2a , и тогда (5.5.12) показывает, что G0 (x + i) ∈ L1 (R). Значит, G0 (x) ∈ L1 (R) и обратное преобразование Фурье функции G0 (x) ограничено на прямой. Но оно сосредоточено на [−a, a] в силу сказанного об экспоненциальном типе G(z). Следовательно, 0 G0 ∈ F Lpa . Если 1 < p0 < 2 или F ∈ Fa , то |F (x + i)| ограничен, x ∈ R. В силу (5.5.12) G0 (x + i) ∈ L2 (R), 0 откуда следует, что G0 ∈ F L2a ⊂ F Lpa ⊂ Fa , и теорема 5.5.8 полностью доказана. G0 (z) :=

Замечание 5.5.1. Как показывает теорема 5.5.5, знак равенства в теореме 5.5.8 достигается. 5.5.3. До сих пор мы варьировали последовательности показателей в системе экспонент, но функциональное пространство оставалось неизменным. Сейчас мы будем сравнивать избытки систем экспонент в различных пространствах. Теорема 5.5.9. Пусть Bi = C или Bi = Lpωii (t),a , i = 1, 2, 1 6 pi < ∞, ωi (t) ∈ Ωpi . Тогда какова бы ни была последовательность Λ ⊂ C, |EB1 (Λ) − EB2 (Λ)| 6 1. Доказательство. В силу равноправия пространств, достаточно доказать неравенство EB2 (Λ) − EB1 (Λ) 6 1. Для этого, в свою очередь, достаточно предположить, что EB1 (Λ) = −1, и доказать, что EB2 (Λ) 6 0. Будем считать, что веса ui (t) ∈ Ωp0i связаны с ωi (t) соотношением двойственности (5.5.2). По p0

теореме 4.1.2 найдется целая функция F (z) класса Fa или F Lu11 (t),a такая, что множество ее p0

корней совпадает с Λ. По теореме 5.1.3 F (z)/(z − λ1 ) ∈ F Lu22 (t),a ⊂ Fa . По лемме 4.1.1 система

5.5. ИЗБЫТКИ

113

СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ

e(Λ1 ), где Λ1 = Λ\{λ1 }, неполна в B2 , т. е. EB2 (Λ1 ) < 0. Тогда EB2 (Λ) 6 0, и теорема 5.5.9 доказана. Теорема 5.5.10. Пусть последовательности Λ, M лежат в горизонтальной полосе и Zt ((Re Λ)(u) − (Re M )(u))du = 0

α |t| + O(1), 2

t ∈ R.

Пусть, кроме того, Λ и M не сгущаются, если хотя бы одна из последовательностей Λ, M не является вещественной. Предположим, что 1 0, то Ep (M ) 6 E∞ (Λ); p 1 3) если α = 1 − + ε, ε > 0, то E1 (M ) 6 Eq (Λ). q Доказательство. 1) Случай Eq (Λ) = +∞ тривиален. Поэтому достаточно предположить, что Eq (Λ) < 0, и доказать, что Ep (M ) < 0. Итак, по предположению система e(Λ) неполна в Lq = Lq (−π, π). По лемме 4.1.1 некоторая 0 нетривиальная целая функция F (z) класса F Lqπ обращается в нуль в точках Λ. Пусть (zn ) — последовательность всех корней функции F (z). Тогда (zn ) = Λ ∪ Γ, где Γ — некоторое не более 0 чем счетное множество, и (zn ) ∈ Z(F Lqπ ). Положим (wn ) = M ∪ Γ. Так как 1 < q 0 6 2 6 p0 < ∞ 0 и 1/q 0 − 1/p0 = α, то по замечанию 5.3.1 (wn ) ∈ Z(F Lpπ ). Значит, система e(M ) неполна в Lp , т. е. Ep (M ) < 0. Утверждение 1) доказано. Точно так же и остальные утверждения выводятся из замечания 5.3.1. Теорема 5.5.10 верна. Замечание 5.5.2. Утверждения теоремы 5.5.10 верны, в частности, если α λn = n + O(1), µn = λn + sign n, n ∈ Z. 2 Так как по замечанию 4.1.1 Ep (M ) > Eq (M ), 1 6 p < q 6 ∞, то верно

(5.5.13)

Замечание 5.5.3. Если последовательности Λ и M имеют вид (5.5.13) с α > 0, то Eq (M ) 6 Eq (Λ). 5.5.4. Теперь изучим вопрос об устойчивости полноты и минимальности (одновременно) в пространствах Lpα,π при возмущениях тригонометрической системы eint , n ∈ Z. Теорема 5.5.11. Пусть α = 0 при p = 1 и max(0, p − 2) 6 α 1, n ∈ Z, 2p 2 2p 1 ε 6 (Re µn − n) sign n 6 − ε при p = 1, n ∈ Z, 2 то система (eiµn t ), n ∈ Z, полна и минимальна в Lpα,π .

(5.5.14)

(5.5.15) (5.5.16)

Лемма 5.5.3. Пусть 1 < p 6 q < ∞, выполнено условие (5.5.14), −1 < β 6 0 и (1 + α)/p + (1 + β)/q = 1. Тогда если G(z) — целая функция экспоненциального типа 6π и G(x + iH) ∈ Lpα (R) b + iH) ∈ Lq . при некотором H ∈ R, то G(x β,π b + iH) ∈ Lq = Lq (R, |x|β dx). Однако e−ibx G(x + iH) ∈ Lpα Доказательство. По теореме Питта G(x β −ibx b b b при любом b ∈ R, а (e G(x + iH)) = G((x + b) + iH). По только что сказанному G((x+b)+iH) ∈ q β q β b + iH) ∈ L (R, |x − b| dx), b ∈ R. Отсюда и из того, что носитель L (R, |x| dx) или, что то же, G(x b + iH) содержится в отрезке [−π, π] (ведь G(z) — целая функция экспоненциального типа 6π), G(x

114

ГЛАВА 5. УСТОЙЧИВОСТЬ

КЛАССОВ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ

И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

b + iH) ∈ Lq ((−π, π), ωβ (t)dt), где вес ωβ задается формулой (4.4.3). А это и следует, что G(x b + iH) ∈ Lq , и лемма 5.5.3 доказана. означает, что G(x β,π Доказательство теоремы 5.5.11 благодаря теореме 4.1.5 сводится к доказательству минимальности. Воспользуемся результатом Н. Левинсона [67]: если λn ∈ R и |λn − n| 6 1/4 − ε/2, ε ∈ (0, 1/2), то система (eiλn t )n∈Z минимальна в L2 = L2 (−π, π). Отсюда с учетом теоремы 5.2.3 имеем: если ε ∈ (0, 1/2) и при всех n ∈ Z 1 ε 1 ε | Im λn | 6 h < +∞, − + 6 (Re λn − n) sign n 6 − , (5.5.17) 4 2 4 2 то система (eiλn t )n∈Z минимальна в L2 . По замечанию 5.5.3 при p = 2, α = 0 теорема верна. Кроме того, по теореме 4.1.2 в условиях (5.5.17) ¶µ ¶ ∞ µ Y z z F (z) := 1− 1− ∈ F L2π . (5.5.18) λn λ−n n=1

Рассмотрим целую функцию ¶µ ¶ ∞ µ Y z z G(z) := 1− 1− . µn µ−n n=1

0

По теореме 4.1.1 достаточно проверить, что G(z) ∈ F Lpβ,π , где β = −αp0 /p при p 6= 1 и β = −α при p = 1. Так как µn = n + O(1), то G(z) — целая функция экспоненциального типа π. Значит, b + iH) существует, то оно равно нулю вне если при некотором H ∈ R преобразование Фурье G(x [−π, π]. Поэтому достаточно доказать, что при некотором H ∈ R b + iH) ∈ Lp0 ; G(x β,π

β=−

αp0 p

при p 6= 1,

β = 0 при p = 1.

(5.5.19)

Пусть 1 6 p 6 2. Пусть (µn ) — произвольная последовательность, удовлетворяющая условиям теоремы. Зададим последовательность (λn ) соотношением µn = λn +

∆ sign n, 2

∆=

1+α 1 − + ε, p 2

(5.5.20)

где ε = 0 при p = 2 и ε > 0 при p < 2 (α = 0 при p = 1). Тогда последовательность (λn ) удовлетворяет условию (5.5.17), и потому верно свойство (5.5.18). При H > h по замечанию 5.3.2 и по лемме 5.3.2 верна оценка |G(x + iH)| 6 c|F (x + iH)|(1 + |x|)−∆ ,

x ∈ R.

(5.5.21)

В силу (5.5.18) F (x + iH) ∈ L2 (R). Поэтому если p = 2, то ∆ = α/2, и если α > 0, то (5.5.21) означает, что G(x + iH) ∈ L2α (R). Если же p < 2, α > 0, то применяя неравенство Г¨ельдера с показателями r = 2/p и r0 = 2/(2 − p) и используя (5.5.21), получаем Z Z p α |G(x + iH)| |x| dx 6 C1 |F (x + iH)|p (1 + |x|)α−∆p dx 6 R

R

Ã Z !1/r0 ° °p 6 C1 °F (x + iH)°2 2 (1 + x)2(α−∆p)/(2−p) dx < +∞, R+

так как в силу (5.5.20) 2(∆p − α)/(2 − p) > 1. Итак, G(x + iH) ∈ Lpα (R), если 1 6 p 6 2, α > 0. Если p = 1, то α = 0, и свойство (5.5.19) верно. Его справедливость при 1 < p 6 2 следует из леммы 5.5.3 (с q = p0 , β = −αp0 /p). Пусть теперь 2 < p < ∞. Тогда 1 < p0 < 2, и все рассуждения, начиная с (5.5.20), повторяются с заменой p и α на p0 и α0 , где в соответствии с условием (5.5.14) 0 6 α0 < p0 − 1. В результате мы 0 b + iH) ∈ Lp00 приходим к выводу, что G(x + iH) ∈ Lpα0 (R). По лемме 5.5.3 G(x p −2−α0 ,π . Потребуем, 0 0 0 чтобы p − 2 − α = −αp /p; тогда желаемое свойство (5.5.19) будет выполнено. Надо только проверить, что это требование совместимо с условием 0 6 α0 < p0 − 1 и со второй формулой (5.5.20).

ПРИМЕЧАНИЯ

И ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ

5

115

Имеем α0 = = p0 − 2 + αp0 /p. Отсюда и из неравенств p − 2 6 α < p − 1 (см. (5.5.14)) следует 0 6 α0 < p0 − 1. Наконец, подставляя найденное выражение для α0 во вторую формулу (5.5.20) (где α, p заменены на α0 , p0 ), получаем µ ¶ ε 1 + α0 1 1 0 p0 1 1+α 1 ∆− = − = p − 1 + α − = − . 2 p0 2 p0 p 2 p 2 Итак, все требуемые совмещения имеют место. Случай 2 < p < ∞ разобран. Теорема 5.5.11 доказана. Замечание 5.5.4. Теорема 4.1.5 показывает, что в условии (5.5.15) правую часть нельзя увеличить (нарушается полнота), а в левой части нельзя положить ε = 0 (нарушается минимальность), и что в правой части (5.5.16) нельзя положить ε = 0 (нарушается полнота). ПРИМЕЧАНИЯ

И ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ

5

Лемма 5.5.1 показывает эквивалентность задач о сохранении классов финитных преобразований Фурье и об устойчивости избытка системы экспонент. Первая из этих задач, как самостоятельная, ранее, за исключением [84], не рассматривалась. Но как вспомогательная, она, по существу, содержалась в ходе доказательств результатов, относящихся ко второй из упомянутых задач. Автору представляется предпочтительным выделить устойчивость финитных преобразований Фурье в отдельный вопрос, а уже затем результаты, полученные в этом направлении, применять к задаче об устойчивости избытка. 5.1. Эквивалент теоремы 5.1.2 для конечного p содержится в статье [75]; первоначально в несколько ослабленной форме он появился в [56]. Теоремы 5.1.1 и 5.1.3 являются новыми. 5.2. В основном, изложение ведется в духе статей [27] и [31]. Исключение составляет теорема 5.2.2, доказанная в [33], и теорема 5.2.3, которую сначала при дополнительном предположении | Im λn |, | Im µn | 6 h < ∞ доказал Ю. Эльснер [64] (см. также [90]), а в общем случае Д. Петерсон (об этом см. [75]). Условие | Im(λn − µn )| 6 h в теореме 5.2.3 является существенным [34]. 5.3. Здесь изложены результаты статьи [33], хотя в [33] теорема 5.3.2 доказана для вещественных Λ и M. Лемма 5.3.5 впервые появилась в [23]. 5.4. Функцию типа синуса в анализ ввел Б. Я. Левин [13, 14]. Роль этой функции в негармоническом анализе станет более ясной после знакомства с главой 8. Первый пример функции класса S, не входящей в класс Fπ , построен в [24]. Прием, предложенный в этой статье, получил развитие в [79]. Материал п. 5.4 содержится в [44] и частично в [47]. 5.5. Первоначальные результаты по устойчивости избытка системы экспонент в Lp получены в работах Р. Пэли и Н. Винера [71] (где и было введено понятие избытка), Н. Левинсона [67], У. Александера и Р. Редхеффера [56]. Теоремы 5.5.1–5.5.7, 5.5.10 имеют своих двойников в пп. 5.1– 5.3. Теорема 5.5.8 взята из [33]. Теорема 5.5.9 является новой. Теорема 5.5.11 своим истоком имеет следующую теорему Н. Левинсона [67]: если λn ∈ R, sup |λn − n| < 1/(2p0 ), где 1 < p 6 2, то система (eiλn t ), n ∈ Z, полна и минимальна в Lp (−π, π). Невесовой вариант теоремы 5.5.11 (т. е. относящийся к случаю 1 6 p 6 2, α = 0) получен в [26] и [33]. Для весовых пространств Lpα,π теорема 5.5.11 публикуется здесь впервые. Теорема 5.5.11 теряет силу при p > 2, α = 0 [35]. Ряд результатов об устойчивости (и изменении) избытка, не вошедших в данную работу, можно найти в обзоре [75]. Обозначим через Epl (Λ) избыток системы e(Λ) в пространстве Соболева Wpl (−a, a), а через l E∞ (Λ) — избыток этой системы в C l [−a, a]. Тогда Ep (Λ) = Epl (Λ) + l, 1 6 p 6 ∞ (см. [29]).

116

ГЛАВА 6. УСТОЙЧИВОСТЬ

КЛАССОВ ФИНИТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ФУРЬЕ

И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

ГЛАВА 6 РАВНОМЕРНАЯ МИНИМАЛЬНОСТЬ СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ 6.1.

НЕОБХОДИМЫЕ

УСЛОВИЯ

Продолжаем исследование аппроксимационных свойств системы экспонент ¡ ¢∞ e(Λ) = eiλn t , iteiλn t , . . . , (it)mn −1 eiλn t n=0 , ассоциированной с последовательностью Λ = (λn ; mn )∞ n=0 комплексных чисел λn ; mn — кратность точки λn . Здесь речь пойдет о равномерной минимальности. Последовательность Λ называется отделимой, если inf(|λn − λm | : n 6= m) > 0. Теорема 6.1.1. Пусть система e(Λ) равномерно минимальна в B = C[−a, a] или в B = Lpω(t),a , где 1 6 p < ∞, ω(t) ∈ Ωp . Тогда: 1) последовательность Λ отделима; 2) если к тому же все точки λn лежат в горизонтальной полосе, то sup mn < +∞. Доказательство. Пусть |λn − λm | 6 C < +∞. Если B = Lpω(t),a , то ° iλ t ° °e n − eiλm t °p = B

Za

¯ iλ t ¯p ¯ ¯ ¯e n ¯ ¯1 − ei(λm −λn )t ¯p ω(t)dt,

−a

и потому

° iλ t ° ° ° °e n − eiλm t ° 6 C1 |λm − λn | · °eiλn t ° . (6.1.1) B B Ясно, что (6.1.1) верно и в случае B = C. Но если inf(|λn −λm | : n 6= m) = 0, то (6.1.1) противоречит равномерной минимальности системы e(Λ), и утверждение 1) доказано. 2) Можно считать, что a = 1. Пусть сначала B = Lpω(t),a . Определим алгебраический многочлен P2s (t) формулой 1 − P2s (t) = (1 − t2 )s . Пусть βn = Im λn ; тогда ° iλ t ° °e n − P2s (t)eiλn t °p = B

Z1 e−pβn t (1 − t2 )sp ω(t)dt = I1 + I2 , −1

где I1 , I2 — интегралы соответственно по множествам |t| < δ и δ < |t| < 1. Так как sup |βn | = h < +∞, то 0 < m 6 e−pβn t 6 M < +∞ для всех t ∈ [−1, 1] и n. Для произвольного ε > 0 фиксируем δ > 0 таким, чтобы kω(t)kL1 (−δ,δ) < ε/M. Пусть c = kω(t)kL1 (−1,1) . Тогда ε I1 < ε 6 cm

Z1 e−pβn t ω(t)dt = −1

° ε ° °eiλn t °p , B cm

°p ° ° ¡ ¢ps ° I2 6 1 − δ 2 °eiλn t °B = o(1)°eiλn t °B , равномерно относительно λn ∈ Λ. И в силу произвольности ε ³ °¢ ¡ ¢2s ´ ¡° dist eiλn t , clos tj eiλn t j=1 = o °eiλn t ° ,

s → +∞, s → ∞,

что противоречит равномерной минимальности, если sup mn = +∞. Случай B = Lpω(t),a разобран. В случае B = C положим t2 − P2s (t) = t2 (1 − t2 )s−1 . Последнее выражение достигает своего максимума на [−1, 1] в точках t2 = 1/s. Поэтому max(t2 − P2s (t)) ∼ 1/(es), s → ∞, и ° 2 iλ t ° ° ° °t e n − P2s (t)eiλn t ° 6 M 6 M °t2 eiλn t ° C C s ms равномерно относительно λn ∈ Λ. Отсюда ³ °¢ ¡ ¢2s ´ ¡° dist t2 eiλn t , clos tj eiλn t j=4 = o °t2 eiλn t ° , s → +∞,

6.1. НЕОБХОДИМЫЕ

117

УСЛОВИЯ

и доказательство заканчивается так же, как в предыдущем случае. Теорема 6.1.1 доказана. Пусть последовательность Λ проста (т. е. mn ≡ 1). Если система e(Λ)Pполна и минимальна в B, где B = C[−a, a] или B = Lpω(t),a , то мы знаем (следствие 4.1.1), что ряд 0 1/λn сходится в смысле главного значения. Если к тому же система e(Λ) равномерно минимальна и sup | Im λn | < ∞, то можно утверждать больше. Теорема 6.1.2. Пусть последовательность Λ проста и лежит в горизонтальной полосе. Тогда если система e(Λ) полна и равномерно минимальна в B = C[−a, a] или в B = Lpω(t),a (1 6 p < ∞, ω(t) ∈ Ωp ), то ¯ ¯ ¯ ¯ X0 1 ¯ ¯ sup ¯ lim ¯ < +∞. ¯ R→∞ λ − λ m n m¯ | Re λn |
Доказательство. Ограничимся рассмотрением пространства Lpω(t),a . Пусть (hn (t)) — биортогональная система к системе e(Λ). Применяя критерий равномерной сходимости (п. 1.3) и используя условие h = sup | Im λn | < +∞, имеем sup khn (t)kp0 ,u(t) < +∞,

(6.1.2)

n

где веса ω(t) и u(t) связаны друг с другом соотношениями двойственности (4.1.3). Пусть Za Hn (z) = eizt hn (t)dt, n ∈ Z+ .

(6.1.3)

−a

Тогда Hm (λm ) = 1, Hm (λn ) = 0 при n 6= m и других нулей у Hm (z) нет. Рассмотрим функции Fm (z) = Hm (z + λm ), m ∈ Z+ . Тогда Fm (0) = 1, (λn − λm )n6=m — все нули функции Fm (z) и Za eizt fm (t)dt,

Fm (z) =

fm (t) = eiλm t hm (t).

(6.1.4)

−a

Отсюда, из свойства (6.1.2) и из того, что sup | Im λn | < +∞, следует ограниченность последова0 (0). тельности Fm По теореме Картрайт ´ ³ Y0 z ; Fm (z) = lim 1− R→∞ λn − λm | Re(λn −λm )|
значит,

X0

0 (log Fm (z))0z=0 = Fm (0) = − lim

R→∞

| Re(λn −λm )|
1 . λn − λm

0 (0) Fm

следует, что при всех m Отсюда и из ограниченности последовательности ¯ ¯ ¯ ¯ X0 1 ¯ ¯ lim ¯ ¯ 6 M < +∞. ¯ R→∞ λn − λm ¯

(6.1.5)

| Re(λn −λm )|
При фиксированном m сравним суммы X0 1 | Re λn |
λn − λm

,

X0 | Re(λn −λm )|
1 . λn − λm

(6.1.6)

Здесь Re λn такова: −R < Re λn < R в первой сумме и −R + λm < Re λn < R + λm во второй. Значит, в силу отделимости последовательности λn (теорема 6.1.1) и условия sup | Im λn | 6 h < +∞, суммы (6.1.6) отличаются слагаемыми, число которых ограничено константой, зависящей от m, но не от R. Но для таких слагаемых ³1´ 1 =O , R → ∞, |λn − λm | R

118

ГЛАВА 6. РАВНОМЕРНАЯ

МИНИМАЛЬНОСТЬ СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ

так как для них либо Re(λn − λm ) > R, либо Re(λn − λm ) < −R. Поэтому пределы сумм (6.1.6) при R → ∞ совпадают, и утверждение теоремы 6.1.2 следует из (6.1.5). Теорема 6.1.2 доказана. В связи с утверждением 1) теоремы 6.1.1 возникает следующий вопрос. Пусть | Im λn | 6 h < +∞, а система e(Λ) полна и равномерно минимальна в Lp . Существует ли прямоугольник t < Re z < t + l,

| Im z| 6 h

(6.1.7)

сколь угодно большой ширины l, свободный от точек Λ? Если опустить требование полноты, то ответ тривиально положителен, так как удаление элементов из равномерно минимальной системы не нарушает этого свойства. При условии полноты это уже не так. Назовем множество Λ, лежащее в полосе | Im z| 6 h, относительно плотным, если существует такое число l, что каждый прямоугольник (6.1.7) содержит хотя бы одну точку Λ. Отрицательный ответ на поставленный вопрос дает Теорема 6.1.3. Пусть последовательность Λ проста и расположена в горизонтальной полосе. Тогда если система e(Λ) полна и равномерно минимальна в Lpω(t),a (1 6 p < ∞, ω(t) ∈ Ωp ), то множество Λ относительно плотно. 0

p Доказательство. Пусть (hn (t))∞ 0 — биортогональная система, hn ∈ Lu(t),a (см. формулу (4.1.3)). Рассмотрим функции Hn (z), задаваемые формулой (6.1.3). Как мы знаем, Hn (λn ) = 1, Hn (λm ) = 0 при m 6= n и других нулей у Hn (z) нет. Будем писать для удобства λ(n) вместо λn . Предположим противное: последовательность Λ не является относительно плотной. Тогда существуют последовательности nj ∈ N и lj → +∞ такие, что полоса

Re λ(nj ) < Re z < Re λ(nj ) + lj

(6.1.8)

не содержит нулей функции Hnj (z). Пусть для определенности Re λ(nj ) > 0. Введем функции Fn (z) = Hn (z + λn ). Тогда Fn (0) = 1 и справедливо представление (6.1.4). Как мы видели при доказательстве теоремы 6.1.2, выполнено условие (6.1.2). Отсюда, из (6.1.4) и из условия | Im λn | 6 h < +∞ следует, что sup kfn kp0 ,u(t) < +∞.

(6.1.9)

n

Значит, последовательность fnj слабо компактна, т. е. существует такая последовательность 0

(mk ) ⊂ (nj ), что последовательность fmk слабо сходится. Пусть f (t) ∈ Lpu(t),a — слабый предел последовательности fmk (t), и пусть Za F (z) = eizt f (t)dt. (6.1.10) −a

В силу слабой сходимости fmk → f, имеем: для любого z ∈ C Fmk (z) → F (z).

(6.1.11)

Так как Fn (0) = 1, то F (z) 6≡ 0, и, значит, f (t) 6≡ 0. По теореме Картрайт у функции (6.1.10) имеется бесконечно много нулей в полуплоскости Re z > 1. Фиксируем нуль z0 функции F (z) в этой полуплоскости. Пусть l = 1 + Re z0 . Так как kfn k1 6 ckf kp0 ,u(t) , то вытекающая из (6.1.4) оценка |Fn (z)| 6 kfn k1 exp(π|y|),

y = Im z,

и свойство (6.1.9) показывают, что последовательность Fmk (z) равномерно ограничена в каждом круге, а значит, компактна. Следовательно, для некоторой последовательности (mk ) сходимость (6.1.11) равномерна в круге |z − z0 | 6 1. Так как z0 — нуль функции F (z), то по теореме Гурвица при всех достаточно больших k у функции Fmk (z) имеется нуль в круге |z − z0 | < 1/2, а значит, и в полосе 0 < Re z < l. Но это равносильно тому, что при всех достаточно больших k функция Hmk (z) имеет нуль в полосе Re λ(mk ) < Re z < Re λ(mk ) + l. Так как (mk ) ⊂ (nj ), то последнее противоречит отсутствию нулей у функции Hnj (z) в полосе (6.1.8), где lj → ∞. Теорема 6.1.3 доказана.

6.2. УСТОЙЧИВОСТЬ

6.2. УСТОЙЧИВОСТЬ

РАВНОМЕРНОЙ МИНИМАЛЬНОСТИ

119

РАВНОМЕРНОЙ МИНИМАЛЬНОСТИ

6.2.1. В этом пункте мы докажем, что основные условия п. 5.5, сохраняющие полноту (минимальность) системы экспонент в Lp , сохраняют также и равномерную минимальность. Здесь ∞ рассматриваются простые последовательности Λ = (λn )∞ 0 и M = (µn )0 (⊂ C) и соответствующие им системы экспонент ¡ ¢ ¡ ¢ e(Λ) = eiλn t , e(M ) = eiµn t , n ∈ I, (6.2.1) где I — некоторое множество индексов. В нижеследующих теоремах 6.2.1–6.2.3 предполагается, что 0 6∈ Λ, M и системы (6.2.1) полны и минимальны в Lp = Lp (−a, a). По теореме 4.1.2 бесконечные произведения Y³ Y³ z ´ z ´ F (z) = 1− , G(z) = 1− (6.2.2) λn µn P P и ряды 1/λn , 1/µn сходятся в смысле главного значения, причем F, G — целые функции экспоненциального типа a. В упомянутых теоремах последовательности Λ и M лежат в горизонтальной полосе и отделимы. Поэтому мы придем к эквивалентному понятию сходимости бесконечного произведения и ряда в смысле главного значения, если под этим будем понимать следующее: Y ³ X z ´ X 1 1 F (z) = lim 1− , = lim . R→∞ λn λn R→∞ λn | Re λn |
Q0

| Re λn |
P0

будем обозначать бесконечные произведения и ряды, в и При фиксированном m через которых пропущен индекс n = m. Пусть Fn (z) =

F (z) , z − λn

Gn (z) =

F (z) . z − µn

(6.2.3)

Теорема 6.2.1. Пусть последовательности Λ и M отделимы и расположены в горизонтальной полосе, т. е. | Im λn |, | Im µn | 6 h < ∞, n ∈ I, (6.2.4) и пусть Re λn = Re µn , n ∈ I. (6.2.5) 2 2 Тогда если одна из систем (6.2.1) полна и равномерно минимальна в L = L (−a, a), то и другая обладает тем же свойством. Лемма 6.2.1. Пусть выполнено условие (6.2.4), пусть (λn − µn ) ∈ l∞ , причем 0 6∈ Λ, M, и пусть системы (6.2.1) полны и минимальны в L2 . Предположим, что: 1) при некотором H > h |G(z)| 6 C|F (z)|, Im z = H, ¯ 0 ¯ ¯ F (λn ) ¯ ¯ 6 M < +∞, n ∈ I. 2) ¯¯ 0 G (µn ) ¯ Тогда если система e(Λ) равномерно минимальна в L2 , то и система e(M ) обладает тем же свойством. Доказательство. По теореме 4.1.2 F (z) и G(z) — целая функция экспоненциального типа a и b n ∈ L2 (R). По замечанию 4.1.1 биортогональные системы (fn ) и (gn ) соответственно к систеFbn , G мам e(Λ) и e(M ) имеют вид 1 1 b n (t). fn (t) = 0 Fbn (t), gn (t) = 0 G (6.2.6) F (λn ) G (µn ) Так как sup | Im λn | < +∞, то условие равномерной минимальности для системы en = exp(iλn t) принимает вид sup kfn k < +∞ (6.2.7) (см. п. 1.3). По условию и sup | Im µn | < +∞; поэтому равномерная минимальность системы e(M ) в L2 будет доказана, если мы проверим, что sup kgn k < +∞.

(6.2.8)

120

ГЛАВА 6. РАВНОМЕРНАЯ

МИНИМАЛЬНОСТЬ СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ

Так как Fn и Gn — целая функция экспоненциального типа, то kFn (z)kL2 (R+iH) 6 M kFn (x)kL2 (R) ,

(6.2.9)

kGn (x)kL2 (R) 6 M kGn (z)kL2 (R+iH) ,

(6.2.10)

где M от n не зависит. По условию (λn − µn ) ∈ l∞ ; отсюда и из (6.2.4) следует, что |z − λn | 6 C|z − µn |, n ∈ Z0 , на прямой Im z = H. Пользуясь этим, условиями 1), 2) леммы 6.2.1 и свойствами (6.2.9), (6.2.10), а также равенством Парсеваля, примененным к (6.2.6), находим √ 2πkgn kL2 (−a,a) =

1

M kGn kL2 (R) 6 0 kGn (z)kL2 (R+iH) 6 |G (µn )| ° ° ° M2 M1 ° ° G(z) ° 6 0 6 0 kFn (z)kL2 (R+iH) 6 ° ° |G (µn )| z − λn L2 (R+iH) |F (λn )| |G0 (µn )|

6

√ M3 kFn kL2 (R) = M3 2πkfn kL2 (−a,a) , 0 |F (λn )|

и в силу (6.2.7) условие (6.2.8) выполнено. Лемма 6.2.1 доказана. Доказательство теоремы 6.2.1. Пусть система e(Λ) равномерно минимальна в L2 . По теореме 5.5.3 система e(M ) полна и минимальна в L2 , и остается доказать ее равномерную минимальность. Достаточно проверить выполнение условий 1), 2) леммы 6.2.1, так как остальные ее условия, очевидно, выполнены (из доказанной ниже теоремы 6.2.4, в частности, будет следовать, что предположение 0 6∈ Λ, M не снижает общности). По условию (6.2.5) в прямоугольнике | Re z| 6 R, | Im z| 6 h содержится одинаковое число точек λn и µn . Поэтому из соотношений µ ¶ µ ¶ 1 Y0 λm 1 Y0 µm 0 0 F (λm ) = − 1− , G (µm ) = − 1− (6.2.11) λm λn µm µn следует, что F 0 (λm ) µm Y0 λn − λm µn = . (6.2.12) 0 G (µm ) λm µn − µm λn Q Покажем, что бесконечное произведение |µn /λn |2 сходится. Для этого обозначим αn = Re λn = Re µn , βn = Im λn , γn = Im µn . Имеем ¯ ¯2 2 2 2 2 ¯ µn ¯ ¯ ¯ = αn + γn = 1 + γn − βn =: 1 + δn . ¯ λn ¯ αn2 + βn2 αn2 + βn2 Из отделимости последовательности Λ и из ее распределения в горизонтальной полосе P следует, что |αn | > c|n|, |n| > n0 . Отсюда и из условия |δn |, а это Q (6.2.4) вытекает сходимость ряда влечет сходимость бесконечного произведения |µn /λn |2 . Теперь, возвращаясь к (6.2.12), видим, что ¯ 0 ¯ Y0 ¯¯ λn − λm ¯¯2 ¯ F (λm ) ¯2 ¯ ¯ ¯ ¯ (6.2.13) ¯ µn − µm ¯ . ¯ G0 (µm ) ¯ 6 C Обозначим λ± n = αn ± ih. Тогда − 2 2 2 |λn − λm |2 6 |λ+ n − λm | 6 (αn − αm ) + (2h) ,

|µn − µm | > max(δ; |αn − αm |), где δ = inf(|µn − µm |; n 6= m). Поэтому ¯ ¯ ¯ λn − λm ¯2 4h2 ¯ ¯ 61+ =: 1 + 4h2 εn . ¯ µn − µm ¯ max(δ 2 ; (αn − αm )2 )

6.2. УСТОЙЧИВОСТЬ

РАВНОМЕРНОЙ МИНИМАЛЬНОСТИ

121

Пусть константа s ограничивает число точек αn на отрезке Ik := (x : k − 1/2 6 x − αm 6k +1/2), k ∈ Z; s не зависит от m и k. Тогда X

εn 6

X

εn +

αn ∈I0

X X

∞

εn 6

|k|>1 αn ∈Ik

X 1 s + 2s = M < +∞, δ (k − 1/2)2 k=1

где M от m не зависит. Значит, правая часть в (6.2.13) мажорируется константой, не зависящей от m. Условие 2) леммы 6.2.1 выполнено. Q Проверим условие 1). В силу сходимости бесконечного произведения |µn /λn |2 имеем ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Y ¯ z − µn ¯2 ¯ G(z) ¯2 Y ¯ z − µn ¯2 ¯ λn ¯2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (6.2.14) ¯ z − λn ¯ · ¯ µn ¯ = C ¯ z − λn ¯ . ¯ F (z) ¯ = Пусть Im z = H > h. Тогда ¯ ¯ ¯ z − µn ¯2 (x − αn )2 + (H + h)2 c1 ¯ ¯ ¯ z − λn ¯ 6 (x − αn )2 + (H − h)2 = 1 + (x − αn )2 + c2 . При фиксированном x обозначим через Jk отрезок (α : k − 1/2 6 x − α 6 k + 1/2), k ∈ Z. Тогда X X X X 1 6 6 + 2 2 (x − αn ) + c n αn ∈J0

|k|>1 α∈Jk

∞

6

X s 1 + 2s = M < +∞. 2 c (k − 1/2)2 k=1

Эта оценка вместе с соотношением (6.2.14) показывает, что условие 1) леммы 6.2.1 также выполнено. Теорема 6.2.1 доказана. Замечание 6.2.1. Так как последовательности Λ и M равноправны, то, проверив условие 1) леммы 6.2.1, мы фактически доказали, что если выполнены условия (6.2.4), (6.2.5) и последовательности Λ, M не сгущаются, то |F (z)| ³ |G(z)|,

Im z = H.

При этом в M и Λ допускаются кратные точки; тогда если s — кратность точки µn , то множитель 1 − z/µn в бесконечном произведении (6.2.2) повторяется s раз. Теорема 6.2.2. Пусть последовательности Λ, M отделимы, лежат в горизонтальной полосе и выполнено одно из условий: 1) (λn − µn ) ∈ ls , s < +∞, 2) |λn − µn | 6 αn , n ∈ I = Z, где αn ↓ 0 при αn → ±∞, и ∞ X α±n n=1

n

< +∞.

Тогда если одна из систем (6.2.1) полна и равномерно минимальна в L2 , то и другая обладает тем же свойством. Доказательство. Считая, что Re λn , Re µn 6= 0 при всех m, рассмотрим последовательности Re Λ := (Re λn ) и Re M := (Re µn ). По теореме 5.5.3 системы e(Λ) и e(Re Λ) одновременно полны (минимальны) в L2 . Это же относится и к другой паре систем e(M ), e(Re M ). (Надо иметь в виду, что в последовательностях Re Λ и Re M уже могут встретиться кратные точки; тогда, конечно, система e(Re Λ) или e(Re µ) понимается с учетом присоединенных функций, например, как в начале п. 6.1.) Для последовательностей Re Λ и Re M выполнено одно из условий 1), 2) теоремы 6.2.2. По следствию 5.5.3 системы e(Re Λ), e(Re M ) одновременно полны (минимальны) в L2 . Значит, и системы e(Λ), e(M ) одновременно полны (минимальны) в L2 . Поэтому достаточно предположить, что система e(Λ) полна и равномерно минимальна в L2 , и доказать, что система e(M ) равномерно минимальна в L2 .

122

ГЛАВА 6. РАВНОМЕРНАЯ

МИНИМАЛЬНОСТЬ СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ

Наряду с функциями (6.2.2) рассмотрим функции ¶ ¶ Yµ Yµ z z Φ(z) = 1− , Ψ(z) = 1− . Re λn Re µn В п. 5.2, в ходе доказательства теоремы 5.2.1 и следствия 5.2.3, установлено, что если для последовательностей Re Λ, Re M выполнено одно из условий 1), 2) теоремы 6.2.2, то |Φ(z)| ³ |Ψ(z)|,

Im z = H > h.

Но по замечанию 6.2.1 |F (z)| ³ |Φ(z)|,

|G(z)| ³ |Ψ(z)|,

Im z = H > h,

и, значит, условие 1) леммы 6.2.1 выполнено. Проверим условие 2) этой леммы. Сначала покажем, что ¯ ¯ ¯ ¯ X0 1 ¯ ¯ sup ¯ lim ¯ < +∞. µn − µm ¯ m ¯ R→∞

(6.2.15)

| Re µn |
Обозначим εn = λn − µn ; по условию последовательность εn ограничена. Из отделимости последовательностей Λ, M следует, что |λn − λm |, |µn − µm | > δ|n − m|,

δ > 0.

(6.2.16)

Поэтому ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

¯ ¯ X0 1 1 ¯ − ¯= λn − λm µn − µm ¯ | Re µn | | Re λn |
6 c1 + c

X0 | Re λn |
X0

| Re λn |
¯ ¯ εn − εm ¯ ¯6 (λn − λm )(µn − µm ) ¯

1 6 |λn − λm | · |µn − µm |

∞ X c X0 1 1 6 C1 + 2 = C1 + C2 = M < +∞, δ (n − m)2 n2 n=1

и промежуточное утверждение (6.2.15) верно по теореме 6.1.2. Пусть Λ(R) обозначает число точек λn в прямоугольнике | Re z| 6 R, | Im z| 6 h. Из условий теоремы следует, что Λ(R) − M (R) = O(1). И так как общий член в бесконечном произведении (6.2.11) стремится к 1 при |n| → ∞, то из (6.2.11) и на этот раз вытекает формула (6.2.12). Если выполнено одно из условий 1), 2) теоремы 6.2.2, то X |µn − λn | |λn |

< +∞.

(6.2.17)

Это следует из того, что последовательность Λ имеет ненулевую плотность и, следовательно, |λn | ∼ C|n|, C 6= 0, n → ±∞; в случае условия 1) к этому надо добавить неравенство Г¨ельдера. Благодаря (6.2.17) бесконечное произведение ¶ Y µn Y µ µn − λn = 1+ λn λn

6.2. УСТОЙЧИВОСТЬ

123

РАВНОМЕРНОЙ МИНИМАЛЬНОСТИ

сходится. Значит, в силу (6.2.12), имеем ¶ Y0 λn − λm Y0 µ F 0 (λm ) εn − εm =C =C 1+ = G0 (µm ) µn − µm µn − µm Ã µ ¶! X0 εn − εm = C exp lim log 1 + = R→∞ µn − µm | Re µn |
где O равномерно по m. Отсюда, из ограниченности последовательности εn и из (6.2.15) мы получаем, что Ã¯ ¯ 0 ¯! ¯ X0 ¯ F (λm ) ¯ ¯ ¯ ε n ¯ ¯ ¯ lim ¯ . ¯ G0 (µm ) ¯ 6 M exp ¯R→∞ µn − µm ¯ | Re µn |
Значит, учитывая (6.2.16), достаточно убедиться в том, что ¯ ¯ X0 ¯ εn ¯ ¯ ¯ ¯ n − m ¯ 6 M < +∞,

(6.2.18)

где M от m не зависит. В случае условия 1) соотношение (6.2.18) следует из неравенства Г¨ельдера. Пусть выполнено условие 2). Тогда µ ¶ 1 αn = O , n → ±∞. (6.2.19) log |n| Действительно, рассматривая для определенности n > 0, в силу монотонности αn имеем ∞ X αn n=1

n

=S>

n X αk k=1

k

> Cαn log n.

Пусть для определенности m > 0. Тогда X0 ¯¯ εn ¯¯ X0 X ¯ ¯ + =: S1 + S2 . ¯n − m¯ = n>0

Ясно, что S2 < S. Далее,

X

S1 =

06n<m/2

Учитывая, что |εn | 6 αn , имеем X 1

X 3

При оценке

P

X

+

+

m/26n<2m

n<0

X

n>2m

=:

X 1

+

X 2

+

6

m 2α1 = α1 , 2 m

=

X αn X αn 1 62 6 2S. n 1 − m/n n

n>2m

X 3

.

n>m

P воспользуемся соотношением (6.2.19). Пусть α(n) = αn ; тогда 2 не превосходит Ã ! ³m´ ³m´ X X 1 1 α + 6 Cα log m 6 M < +∞, 2 m−n n−m 2 2

m/26n<m

m6n<2m

и условие 2) леммы 6.2.1 проверено. Теперь теорема 6.2.2 следует из леммы 6.2.1. Теорема 6.2.3. Пусть последовательности Λ, M отделимы и лежат в горизонтальной полосе. Пусть 1 6 p 6 ∞, p 6= 2 и ¯ ¯ 1 ¯¯ 1 1 ¯¯ s (λn − µn )n∈I ∈ l , = − . s ¯p 2¯

124

ГЛАВА 6. РАВНОМЕРНАЯ

МИНИМАЛЬНОСТЬ СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ

Тогда если одна из систем (6.2.1) полна и равномерно минимальна в Lp = Lp (−a, a), то и другая обладает тем же свойством. (Напомним, что в формулировках, и только в них, L∞ = C[−a, a].) Доказательство. Здесь удобнее считать, что a = π. По теореме 5.5.7 системы (6.2.1) одновременно полны и минимальны в Lp . Поэтому достаточно предположить, что система e(Λ) полна и равномерно минимальна в Lp , и доказать, что система e(M ) равномерно минимальна в Lp . Считаем, что 0 6∈ Λ, M. Пусть сначала 1 < p < ∞. Пусть (fn ), (gn ) — биортогональные системы к системам e(Λ), e(M ); 0 fn , gn ∈ Lp . Имеют место формулы (6.2.6), где F, G, Fn , Gn определены в (6.2.2) и (6.2.3). Так как система e(Λ) полна и равномерно минимальна в Lp , то верно свойство (6.2.7). Наша цель — доказать, что kgn k 6 Ckfn k, n ∈ I, (6.2.20) где C от n не зависит. Мы добьемся этого, внося соответствующие дополнения в схему доказательства теоремы 5.3.2. Пусть h = sup | Im λn |. Подразумевая главное значение логарифма, имеем Zµn dt µn 1 − z/µn + log . (6.2.21) = log t−z 1 − z/λn λn λn

Из условия

(λn − µn ) ∈ ls следует свойство (6.2.17), а значит, и сходимость ряда с общим членом log(µn /λn ). Поэтому, суммируя (6.2.21) по всем n 6= m, получаем µn

Sm (z) :=

X0 Z

dt = t−z

λn

=

X0

µ³ Y ³ ¶ 0 µn z ´´³ Y0 ³ z ´´−1 log + log 1− 1− = λn µn λn X0 G(z)(µm − z)−1 µm Gm (z) µn + log = log + C1 , = log · −1 λn F (z)(λm − z) λm Fm (z)

откуда По лемме 5.3.8 Sm (z) ∈

H s (h

Gm (z) = cFm (z) exp(Sm (z)). + 1/2) и

kSm (z)ks 6 Ck(λn − µn )ks = M < +∞.

(6.2.22) (6.2.23)

Отсюда по известным свойствам H p -функций заключаем, что Sm (z) → 0,

|z| → ∞,

Im z > h + 1 =: h2 ,

(6.2.24)

|Sm (z)| 6 M < +∞, Im z > h2 (h > | Im λn |, | Im µn |, n ∈ I), где M от m не зависит. На основании последнего свойства и (6.2.22) делаем вывод, что при Im z > h2 Gm (z) = cFm (z)(1 + O(Sm (z))) =: cFm (z) + Φm (z),

(6.2.25)

где величина O равномерна относительно m. Так как Fm , Gm — целая функция экспоненциального типа a, то и Φm (z) — целая функция экспоненциального типа a. Подставим z = n + ih2 в формулу Φm (z) = Fm (z) · O(Sm (z)). С учетом первой формулы (6.2.6) для всех n ∈ Z, получим Zπ ¡ ¢ 0 Φm (n + ih2 ) = F (λm ) · O(Sm (n + ih2 )) eint e−h2 t fm (t) dt. −π

(6.2.26)

6.2. УСТОЙЧИВОСТЬ

РАВНОМЕРНОЙ МИНИМАЛЬНОСТИ

125

По лемме 5.3.7 из (6.2.23) следует, что (Sm (n + ih2 ))n∈Z ∈ ls и k(Sm (n + ih2 ))ks 6 M < +∞.

(6.2.27)

Сейчас нам понадобится Лемма 6.2.2. Если (γn ) ∈ ls , где 1/s = |1/p − 1/2|, 1 < p < ∞, p 6= 2, то (γn ) — мультипликатор класса (Lp , Lp ) с нормой 6Ck(γn )ks . s Лемма 6.2.3. Пусть 1 < q < 2 и 1/s = 1/q − 1/2. Если (P (n))∞ −∞ ∈ l , то (P (n)) — мульq 2 типликатор класса (L , L ).

Доказательство леммы 6.2.3. Пусть gn — коэффициенты Фурье некоторой функции из Lq = Lq (−π, π). Надо доказать, что (gn P (n)) ∈ l2, как только (P (n)) ∈ ls. По теореме Хаусдорфа— 0 Юнга (gn ) ∈ lq . Так как 1/q 0 + 1/s + 1/2 = 1, то по неравенству Г¨ельдера (gn P (n)xn ) ∈ l1 для любой последовательности (xn ) ∈ l2 . Это означает, что (gn P (n)) ∈ l2 . Лемма 6.2.3 доказана. При 1 < p < 2 лемма 6.2.2 есть следствие леммы 6.2.3 и неравенства kf kp 6 Cp kf k2 . Случай 2 < p < ∞ следует из рассмотренного и из того факта, что классы мультипликаторов (Lp , Lp ) и 0 0 (Lp , Lp ) совпадают. Продолжим доказательство теоремы 6.2.3. По лемме 6.2.2 из (6.2.27) следует, что последовательность O(Sm (n + ih2 )), n ∈ Z, (6.2.28) 0

0

является мультипликатором класса (Lp , Lp ) с ограниченной по m нормой. Поэтому (6.2.26) записывается в виде Zπ ¡ 0 Φm (n + ih2 ) = F (λm ) eint e−h2 t ϕm (t))dt, n ∈ Z, (6.2.29) −π

где kϕm kp0 6 Ckfm kp0 .

(6.2.30)

Далее, (6.2.29) показывает, что для Φ = Φm и h2 = h + 1 выполнено условие (5.3.4) леммы 5.3.4. Из (6.2.6) следует ограниченность |Fm (z)| на каждой горизонтали Im z = h1 , что вместе с (6.2.24) дает другое условие Φm (x + ih1 ) → 0, x → ±∞, этой леммы. По ней Zπ 0

eizt ϕm (t)dt,

Φm (z) = F (λm )

z ∈ C.

−π

Возвращаясь к (6.2.25), с учетом (6.2.6) получаем, что F 0 (λm ) Gm (z) = G0 (µm ) G0 (µm )

Zπ eizt (cfm (t) + ϕm (t))dt, −π

откуда gm (t) =

F 0 (λm ) (cfm (t) + ϕm (t)). G0 (µm )

В процессе доказательства теоремы 6.2.2 мы установили, что если (λn − µn ) ∈ ls , то ¯ 0 ¯ ¯ F (λn ) ¯ ¯ ¯ ¯ G0 (µn ) ¯ 6 M < +∞, n ∈ I.

(6.2.31)

(6.2.32)

Благодаря этому (6.2.31) и (6.2.30) дают требуемую оценку (6.2.20). Случай 1 < p < ∞, p 6= 2, разобран. Если p = 1, ∞, то s = 2, т. е. последовательность (6.2.28) лежит в l2 и ее норма ограничена по m. Пусть p = 1; тогда в (6.2.26) fm ∈ L∞ . Так как последовательность (γn ) ∈ l2 есть мультипликатор класса (L∞ , L∞ ) с нормой 6ck(γn )k2 , то в (6.2.29) ϕm ∈ L∞ , и (6.2.30) выполняется с p0 = ∞. Снова оценка (6.2.20) следует из (6.2.31).

126

ГЛАВА 6. РАВНОМЕРНАЯ

МИНИМАЛЬНОСТЬ СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ

Пусть p = ∞, т. е. речь идет о пространстве C[−π, π]. Пусть (σn ), (νn ) (∈ V ) — биортогональные системы к системам e(Λ) и e(M ) соответственно. По замечанию 4.1.2 Zπ Zπ Fn (z) G(z) = eizt dσn (t), = eizt dνn (t), n ∈ I. (6.2.33) F 0 (λn ) G0 (λn ) −π

−π

Поэтому теперь в (6.2.26) fm (t)dt = dσm (t), и в силу равномерной минимальности kσm kV = var σn + |σn (0)| 6 C < ∞.

(6.2.34)

Из равенства Парсеваля следует, что последовательность (γn ) ∈ l2 есть мультипликатор класса (dV, L2 ) (см. [55]), а значит, и класса (dV, L1 ), с нормой 6ck(γn )k2 . Поэтому теперь в (6.2.29) ϕm ∈ L1 и kϕm k1 6 M kσm kV . (6.2.35) Используя формулы (6.2.33), теперь вместо (6.2.31) имеем dνm (t) =

F 0 (λm ) (cdσm (t) + ϕm (t)dt). G0 (µm )

(6.2.36)

Пусть τm (t) — неопределенный интеграл от ϕm (t). Тогда ϕm (t)dt = dτm (t),

kτm kV = kϕm k1 ,

и в силу (6.2.36), (6.2.32), (6.2.34) и (6.2.35) мы получаем оценку kνm k 6 C < +∞, доказывающую равномерную минимальность системы e(M ) в C. Теорема 6.2.3 доказана. 6.2.2. Следующая лемма не только применяется при доказательстве теоремы 6.2.4, но и оправдывает сделанные в доказательствах теорем 6.2.1–6.2.3 допущения о том, что Re λn , Re µn 6= 0. Лемма 6.2.4. Пусть en , n ∈ Z+ , — элементы банахова пространства B. Тогда если обе системы (en )n6=0 , (en )n6=1 минимальны, то они эквивалентны. Доказательство. Обозначим через B1 , B2 , B3 подпространства, натянутые соответственно на системы (en )n6=0 , (en )n6=0,1 и вектор e1 . В силу минимальности первой из этих систем, B1 есть прямая сумма B2 и B3 , т. е. произвольный элемент f ∈ B1 однозначно представим в виде f = g + c1 e1 , где g ∈ B2 , c1 — скаляр и kgk, |c1 | 6 Akf k. Зададим на B1 линейный оператор T : en → en , n > 2, e1 → e0 . Тогда T f = g + c1 e0 и kT f k 6 A(1 + ke0 k)kf k. Значит, оператор T ограничен. Аналогично устанавливается ограниченность обратного оператора, и лемма 6.2.4 доказана. Теорема 6.2.4. Пусть B = C[−a, a] или B = Lpω(t),a , где 1 6 p < ∞, ω(t) ∈ Ωp . Пусть ∞ X

|λn − µn | < +∞.

(6.2.37)

n=0

Тогда если одна из систем

¡ iλn t ¢∞ e , n=0

¡ iµn t ¢∞ e n=0

(6.2.38)

равномерно минимальна в B, то эти системы эквивалентны в B. Доказательство. Воспользуемся следующим фактом [18, с. 127]. Пусть (en ) — минимальная система в банаховом пространстве B; пусть (fn ) — система сопряженных функционалов. Тогда если hn ∈ B и X khn − en k · kfn k < 1, (6.2.39) то системы (en ) и (hn ) эквивалентны. Пусть для определенности система eiλn t =: en , n ∈ Z+ , равномерно минимальна в B. Из определения равномерной минимальности и из теоремы Хана—Банаха следует существование такой системы сопряженных функционалов (fn ), что D := sup ken k · kfn k < +∞. n

(6.2.40)

6.3. ПОЛНЫЕ,

МИНИМАЛЬНЫЕ, НО НЕ РАВНОМЕРНО МИНИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЭКСПОНЕНТ

127

Далее, по условию последовательность (λn − µn ) ограничена, и потому для всех t ∈ [−a, a] и n ∈ Z+ ¯ i(µ −λ )t ¯ ¯e n n − 1¯ 6 C|µn − λn |, C < +∞. (6.2.41) Пользуясь условием (6.2.37), фиксируем m столь большим, чтобы ∞ X n=m+1

Докажем эквивалентность систем ¡ iλn t ¢∞ e , n=0

|λn − µn | <

1 . 2CD

(6.2.42)

¡ iλn t ¢m ¡ iµn t ¢∞ e ∪ e . n=0 n=m+1

(6.2.43)

Обозначим вторую систему в (6.2.43) через (hn ). Тогда если B = Lpω(t),a , то в силу (6.2.41) Ã Za !1/p ¯ iλ t ¯p ¯ ¯p i(µ −λ )t ¯e n ¯ ¯1 − e n n ¯ ω(t)dt khn − en kB = 6 C|λn − µn | · ken kB . −a

Ясно, что результирующее неравенство верно и в случае B = C. Вместе с (6.2.40) и (6.2.42) оно означает, что выполнено условие (6.2.39). По цитированному результату из [18] системы (6.2.43) эквивалентны. В частности, вторая система (6.2.43) минимальна. Заменим в ней eiλm t на eiµm t . Новая система останется минимальной по следствию 4.1.4. По лемме 6.2.4 полученная система эквивалентна системе (en ). В полученной системе заменим eiλm−1 t на eiµm−1 t и т. д. После m + 1 шагов с применением леммы 6.2.4 получим эквивалентность систем (6.2.38). Теорема 6.2.4 доказана. Итак, условие (6.2.37) сохраняет равномерную минимальность, а также свойство быть базисом. 6.3.

ПОЛНЫЕ,

МИНИМАЛЬНЫЕ, НО НЕ РАВНОМЕРНО МИНИМАЛЬНЫЕ В

Lp

И

C

СИСТЕМЫ ЭКСПОНЕНТ С ОТДЕЛИМЫМ ВЕЩЕСТВЕННЫМ СПЕКТРОМ

По теореме 6.1.1 отделимость последовательности Λ = (λn ) является необходимым условием равномерной минимальности системы ¡ iλn t ¢ e , λn ∈ Λ, (6.3.1) в пространствах Lp = Lp (−a, a), 1 6 p < ∞, и C = C[−a, a], a > 0. Спрашивается, существуют ли полные и минимальные, но не равномерно минимальные в Lp и C системы экспонент (6.3.1) с отделимым вещественным спектром Λ? Здесь мы даем положительный ответ на этот вопрос, полагая для удобства a = π. Введем нужные для формулировок обозначения. Рассмотрим вещественную последовательность M = (µn )∞ −∞ ,

. . . < µ−n < . . . < µ−1 < µ0 6 0 < µ1 < . . . < µn < . . . .

Через Ms обозначаем конечные симметричные наборы точек µn , т. е. Ms = (µn ), −s 6 n 6 s, s ∈ N. Пусть Ms + h — сдвиг набора Ms на величину h, т. е. Ms + h = (µn + h), −s 6 n 6 s. В формулировках, как всегда, L∞ = C[−π, π]. Лемма 6.3.1. Пусть система

¡ iµn t ¢ e , µn ∈ M ⊂ R, (6.3.2) p неминимальна в L , 1 6 p 6 ∞. Тогда если последовательность Λ содержит подпоследовательность сдвигов Ms + hs , s = sj → ∞, hs ∈ R, то система (6.3.1) не является равномерно минимальной в Lp . Доказательство. Так как система (6.3.2) неминимальна в Lp , то найдется точка µ = µk ∈ M такая, что dist(exp(iµt), clos(exp(iµn t), µn ∈ M, n 6= k)) = 0. Следовательно, если обозначить ¡ ¢ ρs = dist exp(iµt), clos(exp(iµn t), µn ∈ Ms , n 6= k) ,

128

ГЛАВА 6. РАВНОМЕРНАЯ

МИНИМАЛЬНОСТЬ СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ

то ρs → 0,

s → ∞.

(6.3.3)

Обозначим ρs (h) = dist(exp(i(µ + h)t), clos(exp(iγn t), γn ∈ Ms + h, γn 6= µ + h)). Ясно, что при любом h ∈ R ρs (h) = ρs . (6.3.4) Пусть s настолько велико, что µ ∈ Ms . Так как Λ содержит сдвиг Ms + hs , то расстояние от функции exp(i(µ + hs )t), принадлежащей системе (6.3.1), до замыкания линейной оболочки остальных функций этой системы не больше, чем ρs (hs ). Но в силу (6.3.4) и (6.3.3) ρs (hs ) → 0, s = sj → ∞. Поэтому упомянутое расстояние стремится к 0 при s = sj → ∞. А это и означает, что система (6.3.1) не является равномерно минимальной в рассматриваемом пространстве. Лемма 6.3.1 доказана. Теорема 6.3.1. Пусть M = Z ∪ {±1/2}. Пусть Λ = Λ− ∪ Λ+ , где Λ− = (n)0−∞ , а Λ+ =

∞ S

(Ms + hs ),

s=1

s X hs = (2k + 1) − (s − 1),

5 h1 = , 2

s > 2.

k=1

Тогда: 1) система (6.3.1) после удаления из нее или присоединения к ней не более чем конечного (зависящего, вообще говоря, от p) числа экспонент полна и минимальна, но не равномерно минимальна в Lp , 1 6 p 6 ∞; 2) последовательность Λ отделима (и, очевидно, вещественна). Доказательство. Система (6.3.1) получена присоединением к тригонометрической системе двух экспонент. Поэтому система (6.3.1) неминимальна в C, а значит, и в Lp . Последовательность Λ+ содержит последовательность сдвигов Ms + hs ; по лемме 6.3.1 система (6.3.1) не является равномерно минимальной в Lp , 1 6 p 6 ∞. Это свойство сохраняется после удаления из Λ− (а тем более, после присоединения к Λ) конечного числа точек. Убедимся, что последовательность Λ отделима и что |λn − n| 6 L < ∞,

n ∈ Z.

(6.3.5)

Достаточно проверить отделимость Λ+ и свойство (6.3.5) для n ∈ N. Так как набор Mk содержит 2k + 1 точек, то выражение s X (2k + 1) Ns = k=1

есть число точек объединенного набора s S

(Mk + hk ).

(6.3.6)

k=1

Поэтому самая правая точка набора (6.3.6) — она же самая правая точка набора Ms + hs — есть λ(Ns ) (для удобства пишем λ(n) вместо λn ). Далее, самая правая точка набора Ms есть s − 1 при s > 2. Значит, при сдвиге Ms на hs самая правая точка результирующего набора Ms + hs совпадет с Ns , т. е. λ(Ns ) = Ns . Число точек этого набора равно 2s + 1; поэтому самая левая его точка λ(Ns − 2s) будет Ns − 2s + 2 (последняя «двойка» возникает из-за присутствия в M двух нецелых точек ±1/2). Итак, набор Ms + hs располагается на отрезке Js = [Ns − 2s + 2, Ns ],

s > 2,

и |λn − n| 6 2 для λn ∈ Ms + hs , s > 2. Набор M1 + h1 располагается на отрезке [2, 3], и |λn − n| 6 1 для λn ∈ M1 + h1 . Расстояние между соседними отрезками Js равно 3; если же λn , λm ∈ Js , s > 1, то |λn − λm | > 1/2. Таким образом, последовательность Λ отделима и выполнено условие (6.3.5). Так как избыток тригонометрической системы в Lp, 1 6 p < ∞, и C равен соответственно 0 и 1, то из (6.3.5) и леммы 4.1.4 следует, что избыток системы e(Λ) в Lp и C конечен. Теорема 6.3.1 доказана.

ПРИМЕЧАНИЯ

И ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ

6

129

Укажем также простую процедуру построения заведомо неполной, минимальной, но не равномерно минимальной системы экспонент с вещественным отделимым спектром. Пусть M — последовательность из теоремы 6.3.1. Положим ∞ S (Ms + 2s ). Λ= s=1 P Ясно, что последовательность Λ положительна и отделима. Далее, 1/|λn | < +∞. Отсюда следует (см. примечания и дополнения к главе 4), что система (6.3.1) неполна, а значит, и минимальна в C[−π, π] и Lp (−π, π), 1 6 p < ∞. Последовательность M порождает, как мы видели при доказательстве теоремы 6.3.1, неминимальную систему (6.3.2), а последовательность Λ содержит последовательность сдвигов Ms + 2s . По лемме 6.3.1 система (6.3.1) не является равномерно минимальной в Lp , 1 6 p < ∞, и C. ПРИМЕЧАНИЯ

И ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ

6

6.1. Теорема 6.1.2 доказана в [46], а теорема 6.1.3 — в [41]. 6.2. Материал взят из статьи [46]. Теорема 6.2.4 содержит в себе, в частности, следующую теорему Р. Янга [89]. Пусть точки λn , µn лежат в горизонтальной полосе и выполнено условие (6.2.37). Тогда если одна из систем (6.2.38) образует базис в L2 , то и другая обладает тем же свойством. 6.3. Теорема 6.3.1 дает недостаточно конструктивный ответ на рассматриваемый вопрос. В работе [43] (ценой более сложных рассуждений) построены явные классы систем со свойствами, указанными в названии пункта. Сформулируем соответствующие результаты из [43]. Пусть 0 6 αn 6 d < 1/4, n ∈ N, и ∞ X αn = +∞. n n=1

Обозначим через U последовательность всех натуральных чисел, лежащих на отрезках [2s − s, 2s + s], s > 3. Положим µn = 0 при n 6 0 и µn = n − αn при n > 0. Тогда если µ∞ ¶ ¡ ¢ S Λ = µn : n ∈ Z\U \{0} ∪ (Ms + 2s ) , (6.3.7) s=3

то система e(Λ) полна и минимальна, но не равномерно минимальна в L1 (−π, π). Пусть αn и U — те же, за исключением того, что теперь d < 1/8. Пусть µ0 = 0, µn = n + 1/2 при n < 0 и µn = n − 1/2 − αn при n > 0. Тогда если последовательность Λ определена формулой (6.3.1), то система e(Λ) полна и минимальна, но не равномерно минимальна в C[−π, π]. Пусть 1 3, s ∈ N. Пусть µ ¶ 1 Λ = (n : n < 0)∪(n : n ∈ V )∪ n − 0 : n ∈ N\V . p Тогда система e(Λ) полна и минимальна, но не равномерно минимальна в Lp (−π, π). Во всех трех случаях последовательность Λ вещественна и отделима. Отметим еще следующее простое свойство. Если последовательность Λ лежит в горизонтальной полосе, то из равномерной минимальности системы e(Λ) в Lp (−a, a) при некотором p ∈ [1, ∞) следует ее равномерная минимальность в Lr (−a, a) при всех r > p и в C[−a, a].

130

ГЛАВА 7. РАВНОМЕРНАЯ

МИНИМАЛЬНОСТЬ СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ

ГЛАВА 7 НЕГАРМОНИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУРЬЕ 7.1. ФОРМУЛЫ 7.1.1.

ДЛЯ ЧАСТИЧНЫХ СУММ

Фиксируем a > 0. Предположим, что система экспонент ¡ ¢∞ e(Λ) = eiλn t , iteiλn t , . . . , (it)mn −1 eiλn t n=0 ,

ассоциированная с последовательностью Λ = (λn ; mn )∞ 0 (|λn+1 | > |λn |), минимальна в пространстве Lpω(t),a , 1 6 p < ∞, ω(t) ∈ Ωp . Пусть ¡ ¢∞ 0 hn,0 (t), hn,1 (t), . . . , hn,mn −1 (t) n=0 ∈ Lpu(t),a — биортогональная система; веса u(t) и ω(t) связаны друг с другом соотношением двойственности (4.1.3). Произвольной функции f ∈ Lpω(t),a сопоставим ее биортогональный ряд по системе e(Λ): Za mX ∞ n −1 X iλn t k f (t) ∼ e cnk (it) , cnk = f (t)hn,k (t)dt. (7.1.1) n=0

k=0

−a

В нем бывает удобно объединять члены, соответствующие одному значению λn , и записывать его в виде ∞ X f (t) ∼ Pmn −1 (t)eiλn t , deg Pmn −1 (t) 6 mn − 1. (7.1.2) n=0

Если последовательность Λ = (λn ) проста, то ряд (7.1.1) приобретает более компактный вид Za ∞ X iλn t f (t) ∼ cn e , cn = f (t)hn (t)dt. n=0

−a 0

Пусть L(z) — порождающая функция системы e(Λ). Предположим, что L(z)/(z − λ0 ) ∈ F Lpu(t),a . Тогда по следствию 4.1.5 система e(Λ) минимальна в Lpω(t),a , и формулы для биортогональной системы имеют вид µ ¶ mn −k (m −k−i) b 1 X L(t) Mn n (λn ) hn,k (t) = , (7.1.3) i k! (mn − k − i)! (t − λn ) i=1

где Mn (z) = (z − λn проста, то

)mn /L(z),

n ∈ Z+ , k = 0, mn − 1. В частности, если последовательность Λ

µ ¶ 1 L(t) b hn (t) = 0 . (7.1.4) L (λn ) t − λn Впредь ряд (7.1.1), построенный с помощью биортогональной системы (7.1.3), будем называть негармоническим рядом Фурье (или просто негармоническим рядом) функции f по системе e(Λ). 0 Трудно проверяемое условие L(z)/(z − λ0 ) ∈ F Lpu(t),a вынуждает нас сузить класс весов ω(t), а именно ограничиться рассмотрением пространств Lpα,a , где 1 < p < ∞,

max(0, p − 2) 6 α < p − 1.

Пусть показатель q связан с p соотношением 1+α 1 + = 1. p q

(7.1.5)

(7.1.6)

Тогда 1/q 0 + (1 + γ)/p0 = 1, γ = −αp0 /p, 1 < q 0 6 p0 < ∞, причем благодаря (7.1.5) 1 < q 0 6 2. Значит, если L(u) 0 ∈ Lq (R), (7.1.7) u − λ0

7.1. ФОРМУЛЫ

131

ДЛЯ ЧАСТИЧНЫХ СУММ

0

то, применяя лемму 5.5.3, видим, что L(u)/(u − λ0 ) ∈ F Lpγ,a . Таким образом, если выполнены условия (7.1.5), (7.1.6), (7.1.7), то система e(Λ) минимальна в Lpα,a . Введем обозначения X X Sr (t, f ) = Pmn −1 (t)eiλn t , Sr+ (t, f ) = Pmn −1 (t)eiλn t , (7.1.8) |λn |
|λn |0

Zr Rr (t, f ) = Sr (t, f ) −

fb(u)eiut du,

(7.1.9)

fb(u)eiut du.

(7.1.10)

−r

Zr Rr+ (t, f )

Sr+ (t, f )

=

− 0

Выражение Sr (t, f ) есть частичная сумма ряда (7.1.2), отвечающая тем λn , для которых |λn | < r. Считая функцию f ∈ Lpα,a продолженной нулем на |t| > a, обозначим Z b f (u)L(u) F (z) = du, z 6∈ R. (7.1.11) u−z R

По теореме Питта (п. 1.5) fb ∈ Lq (R). Отсюда и из (7.1.7) следует, что функция F (z) аналитична в полуплоскостях y ≷ 0. Предположив, что на окружности |z| = r нет точек Λ, выведем формулу Z 1 F (z) Rr (t, f ) = dz. (7.1.12) eizt 2πi L(z) |z|=r

Для этого рассмотрим выражение 1 2πi

Z

Z fb(u)L(u)du

R

eizt dz . (u − z)L(z)

(7.1.13)

|z|=r

Для его вычисления достаточно знать значения внутреннего интеграла в точках u 6= λn , ±r. Поэтому выражение (7.1.13) равно Ã ! Z Zr izt X e fb(u)L(u) du − fb(u)eint du. Res (7.1.14) z=λn (u − z)L(z) |λn |
R

−r

Для вычисления вычета Res

z=λn

µ ¶ eizt 1 Mn (z) (mn −1) = eizt (u − z)L(z) (mn − 1)! u − z z=λn

применяется формула Лейбница, что дает L(u) Res

z=λn

mX mn −k (m −k−j) n −1 eizt (it)k X Mn n (λn ) L(u) = eiλn t · = (u − z)L(z) k! (mn − k − j)! (u − λn )j k=0

j=1

= eiλn t

mX n −1

(it)k Hn,k (u),

k=0

где Hn,k — прообраз Фурье функции hn,k . Подставляя полученное в (7.1.14) и «перебрасывая» по равенству Парсеваля значок b с функции f на функцию Hn,k , видим, что выражение (7.1.13) совпадает с Rr (t, f ). Теперь переход к формуле (7.1.12) достигается изменением в (7.1.13) порядка интегрирования, законного, так как fb(u)L(u)/(1 + |u|) ∈ L1 (R) (в силу (7.1.7) и fb = Lq (R)), а особенность |u − z|−1 на плоскости является локально интегрируемой.

132

ГЛАВА 7. НЕГАРМОНИЧЕСКИЕ

РЯДЫ

ФУРЬЕ

Аналогично в предположении L(iy) 6= 0 выводится формула Z F (z) Rr+ (t, f ) = eizt dz, L(z)

(7.1.15)

c+ r

где c+ r = (z : |z| = r, Re z > 0) ∪ [−ir, ir]. Формула (7.1.14) показывает, что общий член ряда (7.1.2) записывается в виде ¶ µ Z eizt Pmn −1 (t)eiλn t = fb(u)L(u) Res du. z=λn (u − z)L(z) R

Если λ 6∈ R, то при достаточно малом δ > 0 окружность Γn = (z : |z − λn | = δ) не содержит внутри себя других корней функции L(z) и не пересекает вещественную ось. Тогда Z Z Z 1 eizt dz 1 F (z) eizt iλn t b Pmn −1 (t)e = f (u)L(u)du = eizt dz = Res F (z). (7.1.16) z=λn L(z) 2πi (u − z)L(z) 2πi L(z) Γn

R

Γn

Мы доказали следующую лемму. Лемма 7.1.1. Пусть выполнены условия (7.1.5), (7.1.6), и пусть порождающая функция L(z) системы e(Λ) такова, что выполнено условие (7.1.7). Тогда система e(Λ) минимальна в Lpα,a , и если f ∈ Lpα,a , то верны формулы (7.1.12), (7.1.15), где F (z) задается посредством (7.1.11). Кроме того, если λn 6∈ R, то верна формула (7.1.16). 7.1.2. Пусть теперь K(z) — функция, аналитическая при |z| < 1 и непрерывная при |z| 6 1. Положим µ Z ³ z ´¶ eizt Pmn −1 (t; K, r)eiλn t = fb(u)L(u) Res K du, z=λn (u − z)L(z) r R

Sr (t, f, K) =

X

Pmn −1 (t; K, r)eiλn t ,

|λn |
Zr Rr (t, f, K) = Sr (t, f, K) − −r

³u´ fb(u)K eiut du. r

Из предыдущих рассуждений видно, что 1 Rr (t, f, K) = 2πi

Z

³z ´ eizt F (z)K dz. L(z) r

(7.1.17)

|z|=r

При K(z) ≡ 1 выражение Sr (t, f, K) совпадает с частичной суммой Sr (t, f ) ряда (7.1.2). В дальнейшем K(z) будет ядром суммирования. Это означает, что вне круга |z| 6 1 функция K(z) считается тождественным нулем, и выполнены условия: 1) 2) 3)

K(z) четна, K(0) = 1, b |K(x)| 6 K0 (|x|), где K0 (x) не возрастает на R+ и K0 (x) ∈ L1 (R+ ).

Тогда выражение Sr (t, f, K) играет роль линейного среднего ряда (7.1.2) относительно метода суммирования, порождаемого ядром K(z). Примером ядра суммирования является ядро Рисса K(z) = Kν (z) = (1 − z 2 )ν , ν > 0 [86]. В случае когда все точки Λ лежат в горизонтальной полосе | Im z| 6 h < +∞, вместо круговых сумм (7.1.8) бывает более удобно рассматривать прямоугольные частичные суммы, а именно: X X Sr (t, f ) = Pmn −1 (t)eiλn t , Sr+ (t, f ) = Pmn −1 (t)eiλn t , (7.1.18) | Re λn |
0
7.1. ФОРМУЛЫ

133

ДЛЯ ЧАСТИЧНЫХ СУММ

где выражения под знаком суммы имеют прежний смысл (ясно, что (7.1.18) — конечные суммы). Пусть величины Rr (t, f ), Rr+ (t, f ) связаны с этими модифицированными суммами с помощью прежних формул (7.1.9), (7.1.10). Обозначим через Γr (H) (Γ+ r (H)) границу прямоугольника | Re z| 6 r, | Im z| 6 H (0 6 Re z 6 r, | Im z| 6 H), считая, что H > h и что на прямых Re z = 0, ±r нет точек Λ. Вывод формул (7.1.12), (7.1.15) был основан на вычислении вычетов в полюсах функции L(z), попавших внутрь окружности |z| = r (внутрь контура c+ r ). Теперь мы должны учитывать полюса, попавшие внутрь Γr (H) и Γ+ (H). Это означает, что формулы (7.1.12), (7.1.15) сохраняют силу с r + + естественной заменой |z| = r на Γr (H) и cr на Γr (H). Итак, в случае (7.1.18) верны формулы Z Z 1 F (z) 1 + izt F (z) dz, Rr (t, f )) = eizt dz, (7.1.19) Rr (t, f )) = e 2πi L(z) 2πi L(z) Γ+ r (H)

Γr (H)

где H > h, а F (z) — функция (7.1.11). 7.1.3.

Здесь порождающая функция системы e(Λ) имеет вид Za eizt dσ(t),

L(z) =

var σ(t) < +∞.

(7.1.20)

−a 0

Ясно, что L(x) ∈ L∞ (R), откуда L(x)/(x − λ0 ) ∈ Lq , q 0 > 1. По лемме 7.1.1 система e(Λ) минимальна в Lpα,a , как только выполнены условия (7.1.5), (7.1.6). Однако благодаря представлению (7.1.20) можно утверждать больше: система e(Λ) минимальна в L1 = L1 (−a, a). Действительно, по лемме 4.1.2 µ ¶ Zt L(t) b = −i e−iλn (t−v) dσ(v), (7.1.21) t − λn −a

и мы видим, что все преобразования Фурье в формулах (7.1.3) принадлежат L∞ = (L1 )∗ . Мы доказали минимальность системы e(Λ) в L1 , а в силу топологического вложения Lpω(t),a ,→ L1 , 1 < p < ∞, ω(t) ∈ Ωp , и во всех пространствах Lpω(t),a . Итак, биортогональный ряд (7.1.1) отвечает теперь каждой функции f из L1 . Преобразуем форf обратное преобразование Фурье (Фурье—Стилтьеса) и мулу (7.1.11). Обозначаем через fe (dσ) −izt f а через e± — сужения функции e−izt на полупрямые t ≷ 0 соответственно. Так как L(u) = dσ,  1 ] −izu  когда y > 0,   u − z = e− , (7.1.22)  1  ] −izu  = − e+ , когда y < 0, u−z то при y > 0 функция L(u)/(u − z) есть обратное преобразование Фурье свертки i(e−izt − ∗ dσ(t)), которая при x ∈ (−a, a) равна Za −izx eizt dσ(t). ie x

Значит, по равенству Парсеваля при y > 0 Z F (z) = R

L(u) fb(u) du = i u−z

Z

¡ ¢ fb(u) e−izu ∗ dσ(u) edu = −

R

Za =i −a

¡ ¢ f (u) e−izu ∗ dσ(u) du = i −

Za

−a

Za f (u)e

−izu

eizt dσ(t).

du u

134

ГЛАВА 7. НЕГАРМОНИЧЕСКИЕ

РЯДЫ

ФУРЬЕ

Рассматривая точно так же в случае y < 0 нижнюю строку в (7.1.22), получаем Za F (z) = −i

Zu f (u)e

−izu

eizt dσ(t).

du

−a

−a

Меняя в обоих случаях порядок интегрирования, видим, что  Za Zu     dσ(u) eiz(u−v) f (v)dv,    −a F (z)  −a =  i Za Za     dσ(u) eiz(u−v) f (v)dv,   

y > 0, (7.1.23) y < 0.

u

−a

(Заметим, что функция F (z) непрерывна в полуплоскостях y > 0, y 6 0.) Утверждается, что для общего члена ряда (7.1.2) верна формула Pmn −1 (t)e

iλn t

eizt = i Res z=λn L(z)

Za

Zu e

izu

e−izv f (v)dv.

dσ(u)

−a

(7.1.24)

−a

Действительно, если E(z) — повторный интеграл в (7.1.24), то по построению F (z) = iE(z) при y > 0 и F (z) = iE(z) − 2πiL(z)fb(z) при y < 0. Подставляя эти выражения для F (z) в формулу (7.1.12), находим 1 Rr (t, f ) = 2π

Z e

izt F (z)

L(z)

Zr fb(u)e

dz −

|z|=r

iut

du = i

X |λn |
−r

eizt E(z) Res − z=λn L(z)

Zr fb(u)eiut du. −r

Вспоминая смысл величины Rr (t, f ), видим, что формула (7.1.24) верна. Аналогично, Pmn −1 (t, K, r)e

iλn t

eizt ³ z ´ K = i Res z=λn L(z) r

Za

−a

Zu dσ(u)

eiz(u−v) f (v)dv.

(7.1.25)

−a

Выведем еще одну формулу для F (z). Пусть σ1 (t) = σ(−t); тогда из (7.1.20) следует, что L(u) = −2π(dσ1 (u))b. Значит, fb(u)L(u) = −2π(f ∗ dσ1 )b(u). (7.1.26) Подставляя это в (7.1.11), а затем используя первую формулу (7.1.22) и равенство Парсеваля, находим Z F (z) = −2πi e−izt (f ∗ dσ1 )(t)dt, y > 0. (7.1.27) R−

Но supp f, supp dσ1 ⊂ [−a, a], и потому supp (f ∗ dσ1 ) ⊂ [−2a, 2a]. Это означает, что в (7.1.27) интегрирование фактически ведется по (−2a, 0). В случае y < 0 вместо первой формулы (7.1.22) используется вторая, интегрирование в формуле типа (7.1.27) сначала ведется по R+ , а затем по (0, 2a). В итоге мы получаем следующие формулы:  Z0     − e−izt (f ∗ dσ1 )(t)dt, y > 0,     −2a F (z) (7.1.28) =  2πi 2a Z      e−izt (f ∗ dσ1 )(t)dt, y < 0,   0

где σ1 (t) = σ(−t).

7.2. СУММИРУЕМОСТЬ

7.2.

СУММИРУЕМОСТЬ

И РАВНОСУММИРУЕМОСТЬ НЕГАРМОНИЧЕСКИХ РЯДОВ

135

И РАВНОСУММИРУЕМОСТЬ НЕГАРМОНИЧЕСКИХ РЯДОВ

7.2.1. После того как мы ввели понятие негармонического ряда Фурье, естественно возникают вопросы о сходимости и суммируемости этого ряда в отдельных точках, по норме пространства, о равномерной сходимости, о поведении коэффициентов cnk и т. д. — вопросы, подсказанные теорией тригонометрических рядов Фурье. Поведение негармонического ряда зависит, конечно, от распределения последовательности Λ или, что то же, от свойств порождающей функции L(z). Но есть один замечательный результат, справедливый в самом общем случае. Это теорема Шварца—Леонтьева о суммировании негармонического ряда методом Абеля (Пуассона). Наметим шаги ее доказательства. Речь идет о ряде (7.1.2), когда порождающая функция имеет вид (7.1.20), а разлагаемая функция f ∈ L1 . Из определения порождающей функции следует, что функция σ(t) не сводится к постоянной на сколь угодно малых отрезках |t| ∈ [a − δ, a], прилегающих к точкам ±a. Тогда L(z) обладает следующими свойствами. Во-первых, для любого β0 > 0 найдется β ∈ [0, β0 ) такое, что существует предел ³π ´ log |L(reiθ )| lim = a| sin θ|, θ = ± +β . (7.2.1) r→∞ r 2 Во-вторых, существуют число ρ > 0 и последовательность rk → ∞, rk+1 /rk → 1, такие, что log |L(reiθ )| > (a| sin θ| − ε)r для rk −ρ 6 r = |z| 6 rk +ρ, k > k0 (ε). Фиксируем малое β > 0 такое, что существует предел (7.2.1). Пусть Dk− = (z : |z| < rk , π/2 + β 6 | arg z| 6 π), Dk+ = (z : |z| < rk , | arg z| 6 π/2 + β). Тогда для любого δ > 0 существуют пределы X lim Pmn −1 (z)eiλn z = f− (z), (7.2.2) k→∞

lim

k→∞

λn ∈Dk−

X

Pmn −1 (z)eiλn z = f+ (z)

(7.2.3)

λn ∈Dk+

соответственно в областях E− = (z : |x| < a − δ, y < 0) и E+ = (z : |x| < a − δ, δ/(4 sin β) > y > 0). При этом для сколь угодно малого δ1 > 0 в пересечениях E+ ∩(y > δ1 ) и E− ∩(y < −δ1 ) сходимость равномерна. Наконец, при |x| < a − δ и при малых y > 0 имеет место формула Za y f (t)dt f+ (x + iy) + f− (x − iy) = + ϕ(z) − ϕ(¯ z ), (7.2.4) π (x − t)2 + y 2 −a

где z = x + iy, z¯ = x − iy, функция ϕ(z) (вполне определенным образом зависящая от f и L) аналитична в бесконечном угле, вершина которого лежит в точке ia ctg β, а стороны проходят через точки ±a (при β = 0 угол вырождается в вертикальную полосу |x| < a). Формула (7.2.4) по существу и есть основной результат, так как из него по известным свойствам интеграла Пуассона сразу вытекают следующие утверждения: при y → +0 1) для почти всех x, |x| < a − δ, выполняется предельное соотношение f+ (x + iy) + f− (x − iy) → f (x),

(7.2.5)

2) kf+ (x + iy) + f− (x − iy) − f (x)kL1 (|x|
136

ГЛАВА 7. НЕГАРМОНИЧЕСКИЕ

РЯДЫ

ФУРЬЕ

изложения), что точка λ0 в Λ проста. Пусть f ∈ Lpα,a . Утверждается, что ряд (7.1.2) функции f0 (t) = f (t) − c0 eiλ0 t , построенный по формуле (7.1.16), совпадает с рядом (7.1.2) функции f0 (t), построенным по формуле (7.1.24), в которой следует заменить L(z) на L(z)/(z − λ0 ), т. е. все действительно свелось к случаю (7.1.20). А только что сформулированное промежуточное утверждение доказывается сначала непосредственной проверкой для функции f (t) = eiµt , µ 6∈ Λ. Отметим, что если Λ проста, то негармонический ряд Фурье функции eiµt имеет вид eiµt ∼

X L0 (λ

L(µ) eiλn t . n )(µ − λn )

(7.2.6)

Затем это утверждение распространяется на произвольную функцию f ∈ Lpα,a в силу полноты множества экспонент в Lpα,a предельным переходом в формуле (7.2.1) для cn,k . Для доказательства подобных утверждений этот прием часто использовал А. Ф. Леонтьев. 7.2.2. В теории негармонических рядов Фурье одно из центральных мест занимают теоремы равносходимости и равносуммируемости, т. е. теоремы, которые при определенных условиях на последовательность показателей Λ утверждают, что для всех функций f из некоторого класса и для любого δ > 0 kRr (t, f )kC[−a+δ,a−δ] → 0,

r → ∞,

kRr (t, f, K)kC[−a+δ,a−δ] → 0,

r → ∞,

(7.2.7)

где K(z) — то или иное ядро суммирования. Эти теоремы полезны тем, что сводят вопрос о поведении негармонического ряда функции f внутри интервала (−a, a) к вопросу о поведении классического ряда Фурье (по системе exp(iπnt/a), n ∈ Z). Стоит отметить, однако, что теорема равносходимости не решает вопроса о сходимости негармонического ряда по норме Lpα,a или о его равномерной сходимости на [−a, a]. В этом подпункте докажем теорему равносуммируемости в классе L1 для средних Рисса (т. е. для ядра суммирования Kν (z) = (1 − z 2 )ν , ν > 0), когда порождающая функция L(z) имеет вид Za eizt dσ(t),

L(z) =

var σ(t) < +∞.

(7.2.8)

−a

Теорема 7.2.1. Пусть порождающая функция L(z) системы e(Λ) имеет вид (7.2.8), и пусть существует последовательность окружностей |z| = rk ↑ ∞ таких, что |L(z)| >

Cea|y| , |z|s

s > 0,

|z| = rk ,

y = Im z.

(7.2.9)

Тогда если ν > s, то для любой функции f ∈ L1 = L1 (−a, a) ° ° °(a − |t|)1+ν Rr (t, f, Kν )° → 0, r = rk → ∞. C[−a,a] Доказательство. Применяем формулы (7.1.17) и (7.1.23): Z F (z) ³ z ´ 1 eizt K dz, Rr (t, f, K) = 2πi L(z) r

(7.2.10)

|z|=r

F (z) = i F (z) = i

Za

Zu dσ(u)

−a

−a

Za

Za dσ(u)

−a

u

eiz(u−v) f (v)dv

при y > 0,

(7.2.11)

eiz(u−v) f (v)dv

при y < 0.

(7.2.12)

7.2. СУММИРУЕМОСТЬ

И РАВНОСУММИРУЕМОСТЬ НЕГАРМОНИЧЕСКИХ РЯДОВ

137

¯ ¯ В формуле (7.2.11) ¯eiz(u−v) ¯ = e−y(u−v) 6 1, так как y, u − v > 0. Значит, функция F (z), аналитическая при y > 0 и непрерывная при y > 0, ограничена в полуплоскости y > 0. По лемме Римана—Лебега Zu e−ixv f (v)dv → 0, x → ±∞, −a

равномерно относительно u ∈ [−a, a]. Значит, и F (x) → 0, x → ±∞. По теореме Фрагмена— Линдел¨ефа F (z) → 0, |z| → ∞, y > 0. Аналогично, из формулы (7.2.12) получаем тот же результат для нижней полуплоскости. В итоге F (z) → 0,

|z| → ∞.

(7.2.13) reiθ

Пользуясь этим, оценкой (7.2.9), а также тем, что для z = ¯ ³ z ´¯ ¯¡ ¢ν ¯¯ ¯ ¯ ¯ ¯Kα ¯ = ¯ 1 − e2iθ ¯ 6 c|θ|ν , r из формулы (7.2.10) получаем: при |t| < a, r = rk Z |Rr (t, f, K)| = o(1) rs |θ|ν e−|y|(a−|t|) |dz| = |z|=r

Zπ/2 rs+1 θν e−r sin θ(a−|t|) dθ = = o(1) 0

= o(1)r

s+1

µ ¶ Zπ/2 2 ν θ exp − rθ(a − |t|) dθ = π 0

= o(1)r

s−ν

1 (a − |t|)ν+1

Z∞ e−τ dτ = o(1) 0

rs−ν , (a − |t|)ν+1

и так как ν > s, то теорема 7.2.1 доказана. Замечание 7.2.1. В процессе доказательства теоремы 7.2.1 мы практически установили, что при любом H > 0 Za Zu dσ(u) eiz(u−v) f (v)dv → 0, |z| → ∞, y > −H. −a

−a

7.2.3. В этом подпункте рассматривается порождающая функция (7.2.8), которая одновременно является функцией типа синуса. Из результатов п. 2.3 следует, что это равносильно существованию скачков у функции σ(t) в точках ±a: σ(±a) 6= σ(±a ∓ 0).

(7.2.14)

Соответствующий класс негармонических рядов содержит в себе класс рядов Фурье по тригонометрической системе. Действительно, пусть a = π, L(z) = 2i sin πz; тогда по формуле Эйлера L(z) представима в виде (7.2.8), где функция σ(t) состоит только из двух скачков в точках ±π. В этом случае e(Λ) = (eint ), n ∈ Z, и негармонический ряд (7.1.1) превращается в тригонометрический ряд Фурье. Назовем последовательность 0 < rk ↑ ∞ подходящей, если множество окружностей |z| = rk находится на положительном расстоянии от множества Λ. Пусть B — некоторое пространство функций, определенных на (−a, a), B ,→ L1 . Скажем, что система e(Λ) образует в пространстве B обобщенный базис суммирования относительно метода K, если система e(Λ) минимальна в B и если для любой функции f ∈ B и для любой подходящей последовательности rk kSr (t, f, K) − f (t)kB → 0, r = rk → ∞.

138

ГЛАВА 7. НЕГАРМОНИЧЕСКИЕ

РЯДЫ

ФУРЬЕ

В рассматриваемом нами случае (7.2.8) система e(Λ) неполна в C = C[−a, a], и необходимым условием того, чтобы заданная функция f ∈ C аппроксимировалась сколь угодно хорошо в C линейными комбинациями системы e(Λ), является условие Za f (t)dσ(t) = 0. (7.2.15) −a

Обозначим через Cdσ подпространство в C, состоящее из функций со свойством (7.2.15). Выделим класс ядер суммирования, обладающих свойством ¯ Z ¯ ¯ K(eiθ ) ¯ ¯ ¯ (7.2.16) ¯ θ ¯ dθ < +∞. 0

Ядро Рисса Kν (z) = (1 −

z 2 )ν ,

очевидно, этим свойством обладает.

Теорема 7.2.2. Пусть порождающая функция системы e(Λ) имеет вид (7.2.8), причем выполнено условие (7.2.14). Пусть последовательность Λ отделима. Пусть rk — подходящая последовательность, и пусть функция K(z) аналитична при |z| < 1 и непрерывна при |z| 6 1 (в частности, K(z) — ядро суммирования). Тогда верны следующие утверждения. 1 1) Для°любой функции ° f ∈ L имеем: iλ t n ° ° а) Pmn −1 (t)e → 0, n → ∞, C[−a,a] б) c°nk → 0, n → ∞, ° в) °(a − |t|)Rr (t, f, K)°C[−a,a] → 0, r = rk → ∞, ° !° Ã N |λ ZN | ° ° X ° ° fb(x)eixt dx ° Pmn −1 (t)eiλn t − = 0. г) lim °(a − |t|) ° N →∞ ° n=0

C[−a,a]

−|λN |

2) Если ядро суммирования K(z) обладает свойством (7.2.16), то система e(Λ) образует в L1 и Cdσ обобщенный базис суммирования относительно метода K. Утверждение 2) есть аналог теоремы Фейера. Утверждения в), г) — это утверждения о равносуммируемости и равносходимости в более сильном варианте по сравнению с (7.2.7). °X ° ° m ° j Лемма 7.2.1 (см. [21]). Имеют место оценки |ai | 6 c(m)° aj t ° , i = 0, m. ° ° j=0

C[−a,a]

Доказательство теоремы 7.2.2. 1) По теореме 2.3.3 все точки Λ лежат в некоторой горизонтальной полосе | Im z| 6 h < +∞, число точек Λ в прямоугольнике | Re z − t| 6 1, | Im z| 6 h ограничено, t ∈ R (и в частности sup mn = m < ∞), и для любого δ > 0 вне кружков радиуса δ с центрами в точках λn верна оценка |L(z)| > C(δ) exp(a|y|),

C(δ) > 0.

(7.2.17)

Фиксируем δ таким, чтобы окружности Γn = (z : |z −Sλ| = δ) не пересекались; это можно сделать в силу отделимости Λ. Тогда оценка (7.2.17) верна на Γn . Применяя ее и замечание 7.2.1 к правой части формулы Z izt Za Zu e 1 iλn t dσ(u) eiz(u−v) f (v)dv Pmn −1 (t)e = 2π L(z) Γn

−a

−a

(см. (7.1.24)), получаем утверждение а). Так как sup mn = m < +∞, то б) следует из а) и леммы 7.2.1. Пусть rk — подходящая последовательность; тогда на объединении окружностей |z| = rk верна оценка (7.2.17). Применим ее и (7.2.13) к оценке правой части формулы (7.2.10). С учетом ограниченности ядра K(z) при |z| 6 1, получим: если |t| < a, то при r = rk → ∞ Z |Rr (t, f, K)| = o(1) |z|=r

Zπ/2 o(1) e−|y|(a−|t|) |dz| = o(1)r . e−2rθ(a−|t|)/π dθ = a − |t| 0

(7.2.18)

7.2. СУММИРУЕМОСТЬ

139

И РАВНОСУММИРУЕМОСТЬ НЕГАРМОНИЧЕСКИХ РЯДОВ

Это доказывает утверждение в). При K(z) ≡ 1 соотношение (7.2.18) показывает, что ° Ã !° Zr ° ° X ° ° iλn t iut Pmn −1 (t)e − fb(u)e du ° °(a − |t|) ° ° |λn |
→0

(7.2.19)

C[−a,a]

−r

при r = rk → ∞. Фиксируем подходящую последовательность rk так, чтобы rk+1 − rk = O(1); это возможно благодаря свойствам последовательности Λ, отмеченным в начале доказательства. По этим же свойствам число точек Λ в кольце rk < |z| < rk+1 ограничено по k. При фиксированном N ∈ N точка λN принадлежит некоторому кольцу rk < |z| < rk+1 , k = k(N ). Тогда суммы N X X Pmn −1 (t)eiλn t , Pmn −1 (t)eiλn t n=0

|λn |
отличаются друг от друга слагаемыми, число которых ограничено по N. По утверждению а) разность между этими суммами стремится к нулю равномерно на [−a, a] при N → ∞. Но тем же свойством обладает и разность |λ ZN |

Zrk fb(x)e

ixt

fb(x)eixt dt,

dt − −rk

−|λN |

так как |λN | − rk = O(1), а fb(x) → 0 при x → ±∞. Теперь утверждение г) следует из (7.2.19). 2) Пусть g ∈ L∞ и Za G(z) = eizt g(t)dt. −a

Тогда |G(z)| 6 2kgk

ea|y| , |y|

y 6= 0.

(7.2.20)

Теперь, привлекая формулу (7.2.10), находим, что ¯ Za ¯ ¯ Z Z ¯ ¯ ³z ´ ¯ 1 1 ¯ ¯ ¯ izt F (z) kRr (t, f, K)kL1 = sup ¯ g(t)dt K sup ¯ dz ¯ = e ¯ 2π kgk=1 ¯ 2π kgk=1 ¯ L(z) r −a

¯ ³z ´ ¯ G(z) ¯ F (z)K dz ¯. ¯ L(z) r

|z|=r

|z|=r

Применяя для оценки правой части неравенства (7.2.17), (7.2.20), замечание 7.2.1 и вспоминая смысл величины Rr (t, f, K), получаем ° ° Zr ° ³x´ ° ° ° dx° °Sr (t, f, K) − eixt fb(x)K ° ° r −r

L1

¯ Zπ/2 ¯ ¯ K(eiθ ) ¯ ¯ ¯ = o(1) ¯ sin θ ¯ dθ = o(1) −π/2

при r = rk → ∞ благодаря условию (7.2.16). Но интеграл под знаком нормы сходится к f (t) в L1 при r → ∞ (ведь K(z) — ядро суммирования). Поэтому Sr (t, f, K) → f (t) в L1 при r = rk → ∞. Так как f — произвольная функция из L1 , то мы доказали часть утверждения 2), касающуюся пространства L1 . Пусть теперь f ∈ Cdσ . Если y > 0, то ¯ ¯ Zu Zu ¯ ¯ kf k ¯ ¯ iz(u−v) f (v)dv ¯ 6 kf k e−y(u−v) dv 6 , ¯ e ¯ ¯ |y| −a

−a

и такая же оценка верна для внутреннего интеграла в формуле (7.2.12) при y < 0. Значит, |F (z)| 6 Ckf k/|y|. Используя для оценки правой части в (7.2.10) это неравенство, неравенство (7.2.17) и

140

ГЛАВА 7. НЕГАРМОНИЧЕСКИЕ

РЯДЫ

ФУРЬЕ

условие (7.2.16), получаем: при r = rk → ∞, |t| 6 a ¯ ¯ ¯ Zr Zπ/2 ¯ ¯ ¯ ³x´ ¯ K(eiθ ) ¯ ¯ ¯ ixt ¯ ¯ e dx¯ 6 Ckf k ¯Sr (t, f, K) − fb(x)K ¯ sin θ ¯ 6 M1 kf k, ¯ ¯ r −r

−π/2

где M1 (как и последующие константы M2 , M ) от f и rk не зависит. Так как K(z) — ядро суммирования, то ¯ Zr ¯ ¯ ¯ ³x´ ¯ ¯ ixt e dx¯ 6 M2 kf k, r > 0. ¯ fb(x)K ¯ ¯ r −r

Таким образом, при |t| 6 a |Sr (t, f, K)| 6 M kf k,

r = rk → ∞.

Это означает, что нормы линейных операторов Srk : Cdσ → C ограничены в совокупности. Надо доказать, что последовательность этих операторов сходится к тождественному оператору. По теореме Банаха—Штейнгауза для этого достаточно доказать, что [−a,a]

Sr (t, f, K) ⇒ f (t),

r = rk → ∞

(7.2.21)

для всех функций f из некоторого плотного в Cdσ множества. Таким множеством может служить множество линейных комбинаций системы e(Λ) (это мы покажем чуть позже). Следовательно, (7.2.21) достаточно доказать для функции ¡ ¢ f (t) = a0 + a1 t + . . . + amj −1 tmj −1 eiλj t = Pmj −1 (t)eiλj t , λj ∈ Λ. (7.2.22) Так как негармонический ряд (см. (7.1.1)) построен с помощью биортогональной системы, то в этом случае он сведется к единственному вычету (см. (7.1.24)) в точке z = λj и даст функцию (7.2.22); при этом функция eizt A(z) := L(z)

Za

Zu dσ(u)

−a

eiz(u−v) f (v)dv

−a

аналитична всюду, кроме точки z = λj , в чем можно убедиться непосредственным вычислением правой части. Значит, при r > |λj | сумма Sr (t, f, K) также сведется к единственному вычету в точке z = λj , т. е. (см. (7.1.24)) ³z ´ Sr (t, f, K) = i Res A(z)K . (7.2.23) z=λj r Из свойства 1) в определении ядра суммирования следуют предельные соотношения ³z ´ ³ ³ z ´´(i) K → 1, K → 0, r → ∞, i ∈ N, r r

(7.2.24)

равномерные в окрестности точки z = λj . Теперь, если для подсчета вычета в (7.2.23) применить формулу Лейбница, учесть соотношения (7.2.24) и тот факт, что i Res A(z) = f (t), z=λj

получим требуемое свойство (7.2.21). Осталось доказать полноту системы e(Λ) в пространстве Cdσ . По построению система e(Λ) неполна в C, но в силу оценки (7.2.17) система e(Λ) ∪ (eiµt ), µ 6∈ Λ, полна в C по теореме 4.3.2. По следствию 4.1.2 система e(Λ) ∪ (eiµt ) полна и минимальна в C. Поэтому C = CΛ ⊕ Cµ , где CΛ = clos e(Λ), а Cµ — одномерное пространство, натянутое на eiµt . По построению eiµt 6∈ Cdσ , и потому Cdσ ⊂ CΛ . Это доказывает требуемую полноту и всю теорему 7.2.2.

7.3. РАВНОСХОДИМОСТЬ

7.3. РАВНОСХОДИМОСТЬ 7.3.1.

И РАВНОМЕРНАЯ МИНИМАЛЬНОСТЬ

141

И РАВНОМЕРНАЯ МИНИМАЛЬНОСТЬ

Пусть (en )∞ n=1 — система элементов банахова пространства B; обозначим ¡ ¢ Be := clos (en )∞ 1 ;B .

Пусть система (en ) минимальна; пусть (fn ) — (какая-нибудь) биортогональная система к (en ). Тогда каждому элементу x ∈ B ставится в соответствие биортогональный ряд по системе (en ): x∼

∞ X

cn en ,

cn = cn (x) = (fn , x).

n=1

Утверждается, что если x ∈ Be , то коэффициенты cn не зависят от выбора биортогональной системы (напомним, что единственность биортогональной системы равносильна полноте системы (en ), т. е. условию Be = B). Действительно, если x ∈ Be , то найдутся коэффициенты ckN такие, что N X B ckN ek → x, N → ∞, (7.3.1) k=1

и действуя на (7.3.1) функционалом fn , получаем, используя биортогональность, что cnN → cn = (fn , x). Пусть теперь (gn ) — другая биортогональная система к (en ); действуя на (7.3.1) функционалом gn , получаем, что cn = (gn , x), и промежуточное утверждение доказано. Лемма 7.3.1. Если система (en ) ∈ B равномерно минимальна, то kcn (x)en k → 0,

n → ∞,

(7.3.2)

для любого элемента x ∈ Be . Доказательство. Из равномерной минимальности системы (en ) по следствию из теоремы Хана— Банаха вытекает существование такой биортогональной системы (fn ), что ken k · kfn k 6 M < +∞,

n ∈ N.

Значит, kcn en k = |(fn , x)| · ken k 6 kfn k · kxk · ken k 6 M kxk. Это показывает, что последовательность операторов x → cn (x)en имеет ограниченные в совокупности нормы. Но если x — (конечная) линейная комбинация системы (ek )∞ 1 , то cn = 0 для всех достаточно больших номеров n. Таким образом, (7.3.2) верно для всех элементов x из плотного в Be множества. По теореме Банаха—Штейнгауза (7.3.2) верно для всех x ∈ Be . Лемма 7.3.1 доказана. Назовем систему (en )∞ 1 ⊂ B почти нормированной, если ken k ³ 1,

n ∈ N.

Теорема 7.3.1. Пусть (en )∞ 1 — почти нормированная, минимальная система элементов банахова пространства B. Тогда следующие условия попарно эквивалентны: 1) система (en ) равномерно минимальна; 2) для любого элемента x ∈ Be верно свойство (7.3.2); 3) для любого элемента x ∈ Be cn (x) → 0,

n → ∞.

Доказательство. Эквивалентность условий 2) и 3) есть следствие почти нормированности системы (en ). По лемме 7.3.1 1) =⇒ 2). Но тогда 1) =⇒ 3), и остается доказать импликацию 3) =⇒ 1). Предположим противное: система (en ) не является равномерно минимальной. Тогда найдутся последовательности nk ∈ N и hk ∈ clos((en )n6=nk ; Be ) такие, что kenk − hk k = o(kenk k) = o(1),

k→∞

142

ГЛАВА 7. НЕГАРМОНИЧЕСКИЕ

РЯДЫ

ФУРЬЕ

(мы учли почти нормированность системы (en )). Обозначим xk = enk − hk . Тогда cnk (xk ) = 1,

kxk k → 0,

k → ∞.

Это означает, что последовательность норм функционалов cnk на Be неограничена. По принципу равномерной ограниченности найдется элемент x ∈ Be такой, что последовательность cnk (x) неограничена. А это противоречит условию 3). Теорема 7.3.1 доказана. ∞ 7.3.2. Рассматривается простая с ней ¡ iλ t ¢∞ последовательность Λ = (λn )0 ⊂ C pи ассоциированная p (−a, a), 1 6 p < ∞ n система экспонент e(Λ) = e . Пусть система e(Λ) минимальна в L = L 0 p0 — (какая-нибудь) биортогональная система к e(Λ). Произвольной (a > 0); пусть (hn (t))∞ ∈ L 0 функции f ∈ Lp сопоставим ее негармонический ряд по системе e(Λ): Za ∞ X iλn t f (t) ∼ cn e , cn = (hn (t), f (t)) := f (t)hn (t)dt. n=0

Обозначим

LpΛ

=

clos(e(Λ); Lp )

−a

и

rN (t, f ) =

N X

|λ ZN |

e−ixt fb(x)dx.

cn eiλn t −

n=0

(7.3.3)

−|λN |

Теорема 7.3.2. Пусть последовательность Λ лежит в горизонтальной полосе, и пусть система e(Λ) минимальна в Lp , 1 6 p < ∞. Предположим, что существует точка t ∈ R такая, что для любой функции f ∈ LpΛ выполняется условие rN (t, f ) → 0,

N → ∞.

Тогда: 1) последовательность Λ отделима; 2) если к тому же множество Λ относительно плотно, то система e(Λ) равномерно минимальна. Доказательство. Пишем для удобства λ(n) вместо λn . 1) Предположим противное: последовательность Λ не является отделимой, т. е. найдутся подпоследовательности индексов mk , nk такие, что λ(nk )−λ(mk ) → 0, k → ∞. Пусть для определенности mk < nk . Утверждается, что существует функция f ∈ LpΛ , для которой sup |cn (f )| > 0.

(7.3.4)

n

Для доказательства положим fk (t) = eiλ(nk )t − eitλ(mk )t . Так как λ(nk ) − λ(mk ) → 0 и sup | Im λn | = h < +∞, то kfk kp → 0. Но cnk (fk ) = 1. Значит, последовательность норм функционалов cnk на LpΛ неограничена. По принципу равномерной ограниченности найдется функция f ∈ LpΛ такая, что последовательность cnk (f ) неограничена. Функция f искомая: для ее коэффициентов справедливо свойство (7.3.4). По предположению теоремы rnj (t, f ) → 0,

rnj −1 (t, f ) → 0,

j → +∞.

Вычитая друг из друга последние соотношения и учитывая (7.3.3), получаем Z iλ(nj )t cnj e − eitx fb(x)dx → 0, j → ∞, Ij

где Ij = (|λ(nj − 1)| < |x| < |λ(nj )|, x ∈ R). Так как mj 6 nj − 1 < nj , то |λ(nj )| − |λ(nj − 1)| 6 |λ(nj )| − |λ(mj )| 6 |λ(nj ) − λ(mj )| → 0.

(7.3.5)

7.4. НЕГАРМОНИЧЕСКИЕ

РЯДЫ БЕЗ СВОЙСТВА

РИМАНА—ЛЕБЕГА

143

Значит, mes Ij → 0, j → +∞. Далее, по теореме Римана—Лебега fb(x) → 0, x → ±∞. Поэтому интеграл в (7.3.5) есть o(1) при j → +∞. С другой стороны, в силу (7.3.4) и того, что sup | Im λn | < +∞, первое слагаемое в (7.3.5) отделено от нуля. Мы получили противоречие, доказывающее утверждение 1). 2) Если бы система e(Λ) не была равномерно минимальной, то по теореме 7.3.1 для некоторой функции f ∈ LpΛ было бы выполнено условие (7.3.4). Значит, снова первое слагаемое в (7.3.5) отделено от нуля, а второе есть o(1) в силу теоремы Римана—Лебега и свойства sup mes Ij < +∞, вытекающего из относительной плотности множества Λ. Снова получено противоречие. Теорема 7.3.2 доказана. 7.4. НЕГАРМОНИЧЕСКИЕ

РЯДЫ БЕЗ СВОЙСТВА

РИМАНА—ЛЕБЕГА

К настоящему моменту теория негармонических рядов наиболее продвинута в классе последовательностей Λ, расположенных в горизонтальной полосе. В классе таких последовательностей со свойством отделимости (а также при наличии некоторых дополнительных условий) негармонические ряды сохраняют многие ключевые свойства тригонометрических рядов Фурье. Особенно отчетливо это будет видно после знакомства с главой 8 (пока мы располагаем теоремой 7.2.2). В данном пункте устанавливается, что в классе отделимых последовательностей Λ со сколь угодно медленным стремлением к бесконечности последовательности Im λn существуют негармонические ряды, которые с точки зрения поведения общего члена заметно отличаются от тригонометрических рядов Фурье. Здесь удобней вместо системы (eiλn t ) рассматривать систему (eλn t ), а в качестве исходного интервала рассматривать интервал (0, 1). Изменения, которые при этом следует внести в формулы п. 7.1, очевидны. Итак, пусть порождающая функция системы (eλn t ) имеет вид Z1 ezt dσ(t),

L(z) =

var σ < +∞.

0

(eλn t )

Тогда система минимальна в функции f выглядит так: f (t) ∼

X λn

L1 (0, 1),

и если f ∈ L1 (0, 1), то негармонический ряд Фурье

ezt Res z=λn L(z)

Z1

Zu f (v)ez(u−v) dv.

dσ(u) 0

(7.4.1)

0

В ситуации, которую мы будем рассматривать, функция L(z) имеет не более конечного числа кратных корней, поэтому ряд (7.4.1) может быть записан в виде X f (t) ∼ q(t) + cn eλn t , (7.4.2) |n|>n0

где q(t) — квазиполином, равный сумме вычетов в (7.4.1), берущихся во всех кратных точках λn . Скажем, что негармонический ряд (7.4.1) обладает свойством Римана—Лебега в точке t, если в этой точке общий член ряда (7.4.1) стремится к нулю при n → ∞ для любой функции f ∈ L1 (0, 1). Это определение мотивировано известной теоремой Римана—Лебега, по которой тригонометрический ряд Фурье таким свойством обладает во всех точках t ∈ R. Спрашивается: существуют ли в классе отделимых последовательностей Λ негармонические ряды Фурье без свойства Римана—Лебега при всех t ∈ (0, 1) со сколь угодно медленным стремлением к −∞ вещественных частей λn ? В настоящем пункте мы даем конструктивный положительный ответ на этот вопрос. Пусть функция b(t), 0 < t 6 1, удовлетворяет условиям:  1) b(t) ∈ L0 Z,     2) b(t) ∈ V [ε, 1] при всех ε ∈ (0, 1),  1 (A) Z  b(t)    3) dt < +∞.   t 0

144

ГЛАВА 7. НЕГАРМОНИЧЕСКИЕ

РЯДЫ

ФУРЬЕ

Введем целую функцию Z1 ezt

G(z) = 0

b(t) dt; t

(7.4.3)

пусть Z1 z

ezt dσ(t).

L(z) = e − G(z) =:

(7.4.4)

0

Очевидно, var σ(t) < ∞ и σ(t) имеет (единичный) скачок в точке t = 1. Обозначим через Λ = (λn ) последовательность всех корней функции L(z). По теореме 2.3.1 последовательность Λ лежит в некоторой левой полуплоскости Re z 6 h < +∞. Обозначим Z1/r B(r) = 0

b(t) dt, t

r > 1.

(7.4.5)

В силу условия 3) из набора (A) функция B(r) определена при всех r > 1; из п. 1.2 нам известно, что B(r) ∈ L∞ . По теореме 3.1.3 G(z) = B(r)(1 + o(1)),

r → ∞,

(7.4.6)

равномерно в полуплоскости Re z 6 h. Отсюда следует, что G(z) 6= 0 в области D0 = (z : Re z < h, |z| > R0 ) при достаточно большом R0 , а потому уравнение ez = G(z) для отыскания нулей λn функции L(z) можно записать в виде exp(z − log G(z)) = 1, что равносильно счетной системе уравнений z − log G(z) = 2πin,

|n| > n0 .

(7.4.7)

Покажем, что при достаточно большом n0 каждому n, |n| > n0 , в области D0 отвечает единственный корень λn уравнения (7.4.7). Для этого достаточно убедиться, что если R0 достаточно велико, то функция w = z − log G(z) осуществляет однолистное отображение области D0 на некоторую область D, содержащую бесконечные части w = iv, |v| > v0 , мнимой оси. Предварительно докажем оценку G0 (z) = o(B(r)),

r = |z| → ∞,

Re z 6 h.

(7.4.8)

Пусть Re z0 6 h. Зафиксируем ρ > 0 и обозначим через Γ окружность |z − z0 | = ρ. Дифференцируя формулу Коши, имеем Z 1 G(t)dt G0 (z0 ) = . (7.4.9) 2πi (t − z0 )2 Γ

Пусть z0 + ρeiθ0 — точка окружности Γ, в которой достигается max(|G(z)| : z ∈ Γ). Тогда из (7.4.9) следует, что ¯ ¡ ¢¯ (7.4.10) ρ|G0 (z0 )| 6 ¯G z0 + ρeiθ0 ¯. Теперь, применяя последовательно асимптотику (7.4.6), справедливую при Re z 6 h + ρ, и свойство 1) функций класса L из п. 1.2, получаем ¯¢ ¯ ¡ ¡¯ ¢¯ ¯G z0 + ρeiθ0 ¯ ∼ B ¯z0 + ρeiθ0 ¯ ∼ B(r0 ) (7.4.11) при r0 = |z0 | → ∞, Re z0 6 h. Так как ρ в этих рассуждениях можно взять сколь угодно большим, то из (7.4.10) и (7.4.11) вытекает оценка (7.4.8). Вернемся к функции w. Доказывая однолистность отображения, осуществляемого ею, допустим противное, т. е. что при сколь угодно большом R найдется пара точек z1 , z2 ∈ D0 , |z1 | > |z2 | > R, в которых функция w принимает одинаковые значения: w(z1 ) = w(z2 ). Тогда z1 − z2 = log G(z1 ) − log G(z2 ).

(7.4.12)

7.4. НЕГАРМОНИЧЕСКИЕ

РЯДЫ БЕЗ СВОЙСТВА

РИМАНА—ЛЕБЕГА

145

Из формулы Ньютона—Лейбница, примененной к отрезку [z1 , z2 ], следует, что модуль правой части в (7.4.12) не превосходит ¯ 0 ∗ ¯ ¯ ¯ ¯ G (z ) ¯ 0 ¯ ¯ ¯, |z1 − z2 | · (log G(z))z=z ∗ = |z1 − z2 | · ¯¯ G(z ∗ ) ¯ где z ∗ ∈ [z1 , z2 ]. Таким образом, (7.4.12) дает неравенство ¯ 0 ∗ ¯ ¯ G (z ) ¯ ¯. 1 6 ¯¯ G(z ∗ ) ¯

(7.4.13)

Предположим, мы уже доказали, что z ∗ → ∞ при R → ∞. Тогда, подставляя в (7.4.13) соотношения (7.4.6) и (7.4.8), получаем противоречивое неравенство 1 6 o(1). Значит, достаточно убедиться, что z ∗ → ∞ при R → ∞. Для этого заметим, что log G(z) = log B(r) + o(1) в силу (7.4.6) и что log B(r) = o(r), r → ∞, по одному из свойств медленно меняющихся функций. Следовательно, w = z(1 + o(1)), z → ∞, и равенство w(z1) = w(z2) приводит к тому, что z1 ∼ z2 , R → ∞. Отсюда и следует, что z ∗ → ∞ при R → ∞. Итак, мы доказали, что каждому n, |n| > n0 , отвечает один и только один корень λn уравнения (7.4.7) (он же — корень функции L(z)). Найдем асимптотику λn . Из (7.4.7) и из того, что z − log G(z) ∼ z (как мы только что видели), следует, что λn ∼ 2πin. Значит, в силу асимптотики (7.4.6) и соответствующего свойства класса L из 1.2, верно соотношение G(λn ) ∼ B(|λn |) ∼ B(|n|), n → ±∞, откуда log G(λn ) = log B(|n|) + o(1), Подставляя это в (7.4.7), имеем

¶ 1 λn = 2πin − log + o(1), B(|n|)

n → ±∞.

µ

n → ±∞,

т. е. нули λn функции L(z) асимптотически приближаются к кривой ¶ µ 1 , |y| > y0 . x = − log B(|y|)

(7.4.14)

(7.4.15)

Нам понадобится также асимптотика производной L0 (λn ). Чтобы ее получить, продифференцируем почленно (7.4.4), подставим z = λn и к правой части применим соотношения (7.4.14) и (7.4.8). Найдем, что L0 (λn ) ∼ B(|n|), n → ±∞. (7.4.16) Это и есть искомая асимптотика. Из нее, в частности, следует, что все достаточно большие по модулю нули λn функции F (z) просты. Таким образом, ряд (7.4.1) действительно приобретает вид (7.4.2), где Z1 Zu 1 λn u cn = 0 e dσ(u) f (v)e−λn v dv. (7.4.17) L (λn ) 0

0

Преобразуем формулу для cn . К внутреннему интегралу в (7.4.17) прибавим интеграл по (u, 1) от f (v)e−λn v dv, а затем его же вычтем. Так как по построению Z1 eλn u dσ(u) = L(λn ) = 0, 0

то отсюда 1 cn = − 0 L (λn )

Z1

Z1 e

0

λn u

f (v)e−λn v dv.

dσ(u) u

(7.4.18)

146

ГЛАВА 7. НЕГАРМОНИЧЕСКИЕ

РЯДЫ

ФУРЬЕ

Воспользуемся явным видом (7.4.4),(7.4.3) функции σ(t), т. е. в интеграле (7.4.18) учтем скачок σ(u) в точке u = 1 и абсолютно непрерывную часть. Так как внутренний интеграл в (7.4.18) равен нулю при u = 1, то 1 cn = 0 L (λn )

Z1 e

λn u b(u)

u

0

Обозначим

Z1 du

f (v)e

−λn v

u

e−λn dv = 0 L (λn )

Z1 e

λn u b(u)

u

0

1−u Z ϕ(z, u) = f (1 − t)e−zt dt,

1−u Z du f (1 − t)eλn t dt.

(7.4.19)

0

0 6 u 6 1.

0

Очевидно, для ϕ(z, u) выполнены условия 2), 3) предложения 3.1.1, где P = (z : Re z > 0). Если предположить дополнительно, что f = 0 в некоторой правой окрестности нуля, то, конечно, выполнено и условие 1). Следовательно, обозначив через C0 [0, ∆, 1] подпространство в C[0, 1], состоящее из функций, обращающихся в нуль на [0, ∆], по предложению 3.1.1, примененному к интегралу в (7.4.19), с учетом асимптотик (7.4.16) и (7.4.14) будем иметь: если f ∈ C0 [0, ∆, 1], 0 < ∆ < 1, то при n → ±∞ Ã µ ¶! Z1 e−λn 1 cn = (1 + o(1)) B(|n|)(1 + o(1)) f (1 − t)eλn t dt + O = B(|n|) |n| 0

= (1 + o(1))

¶ 1 . (7.4.20) dv + O |n|B 2 (|n|) µ

Z1 f (v)e

−λn v

0

Теперь все готово для доказательства следующей теоремы. Теорема 7.4.1. Пусть Λ — последовательность всех корней целой функции (7.4.4), где G(z) определена посредством (7.4.3), причем функция b(t) удовлетворяет условиям (A). Пусть h(u) (u ∈ R+ ) — произвольная положительная функция такая, что h(u) → 0, u → +∞. Тогда найдется функция f ∈ C[0, 1], коэффициенты (7.4.17) негармонического ряда (7.4.2) которой подчиняются оценке h(n) |cn (f )| > , n = nk → ∞, (7.4.21) B(n)(− log B(n)) где nk — некоторая последовательность натуральных чисел. Доказательство. Обозначим Z1 f (t)e−λn t dt,

An (f ) =

λn = αn + iβn ,

n ∈ N.

0

eiβn t

Положим fn (t) = при 1/2 6 t 6 1, fn (t) = 0 при 0 6 t 6 1/4, и пусть fn (t) линейна на отрезке [1/4, 1/2] так, чтобы fn ∈ C[0, 1]. Тогда fn ∈ C0 [0, 1/4, 1], и, заметив, что An (f ) можно рассматривать как непрерывный линейный функционал на пространстве C0 [0, 1/4, 1], находим Z1 Z1/2 Z1 ¡ ¢ ¡ |αn |/2 ¢ e−αn − e−αn /2 e−αn t = + O e−αn /2 , =O e + An (fn ) = + −αn 1/4

1/2

1/2

т. е. для n > n0 в силу асимптотики (7.4.14) |An (fn )| > m0

m1 e|αn | > . |αn | B(n)(− log B(n))

(7.4.22)

Но норма fn в C0 [0, 1/4, 1] равна единице, а B(n) → 0 при n → ∞; следовательно, (7.4.22) показывает, что последовательность норм функционалов B(n)(− log B(n)) An , Dn = h(n)

7.4. НЕГАРМОНИЧЕСКИЕ

РЯДЫ БЕЗ СВОЙСТВА

РИМАНА—ЛЕБЕГА

147

рассматриваемых на пространстве C0 [0, 1/4, 1], неограничена. По теореме Банаха—Штейнгауза найдется функция f ∈ C0 [0, 1/4, 1], для которой последовательность Dn (f ) неограничена. Значит, 2h(n) , n = nk → ∞. (7.4.23) B(n)(− log B(n)) Функция f — искомая. Действительно, из формулы (7.4.20) (которой можно пользоваться, так как f = 0 на [0, 1/4]) получим ¶ µ 1 cn (f ) = (1 + o(1))An (f ) + O , n → +∞. (7.4.24) nB 2 (n) Чтобы теперь воспользоваться оценкой (7.4.23), вспомним ¡свойство ¢ 3) из п. 1.2, по которому второе −2/3 слагаемое в правой части (7.4.24) есть, по крайней мере, o n . С другой стороны, ясно, что при доказательстве теоремы достаточно ограничиться достаточно медленно убывающими функциями h(u) такими чтобы, например, правая часть в (7.4.23) была не меньше, чем n−1/2 . Таким образом, в (7.4.24) главным является первое слагаемое (при n = nk ), и в силу (7.4.23) мы получаем требуемую оценку (7.4.21). Теорема 7.4.1 доказана. |An (f )| >

Следствие 7.4.1. Пусть выполнены условия теоремы 7.4.1. Тогда найдется функция f ∈ C[0, 1], для которой при всех t < 1 cn eλn t → ∞,

n = nk → ∞.

(7.4.25)

Доказательство. Действительно, пусть f — функция из утверждения теоремы 7.4.1, отвечающая функции h(u) = 2/ log(1/B(u)). Тогда в силу (7.4.21) и асимптотики (7.4.14) при n = nk ¯ λ t ¯ h(n) exp(t log B(n)) 1 ¯cn e n ¯ > = 1−t , B(n)(− log B(n)) B (n)(− log B(n))2 и так как B(n) → 0, то при всех t < 1 соотношение (7.4.25) имеет место. Следствие 7.4.1 доказано. Следствие 7.4.2. Пусть выполнены условия теоремы 7.4.1. Тогда система e(Λ) = (eλn t ) не является равномерно минимальной в Lp (0, 1) при всех p ∈ [1, ∞) и в C[0, 1]. Доказательство. По следствию 4.3.2 система e(Λ) полна в Lp = Lp (0, 1) при всех p ∈ [1, ∞). Кроме того, как отмечалось, система e(Λ) минимальна в L1 , а значит, и в Lp , 1 < p < ∞, и в C = C[0, 1]. Поэтому избыток Ep (Λ) = 0, 1 6 p < ∞. Далее, по построению система e(Λ) неполна в C, т. е. E∞ (Λ) < 0. Но |Ep (Λ) − E∞ (Λ)| 6 1 (см. теорему 5.5.9), и потому E∞ (Λ) = −1. Пусть 1 6 p < ∞. Тогда из (7.4.14) следует, что |eλn t | > (1/2)B t (n) при n > n0 . Значит, для таких n Z1 ° λ t °p Kp 1 − B p (n) 1 pt °e n ° > B (n)dt = C > , p p 2p (− log B(n)) (− log B(n)) 0

и, взяв за f функцию из теоремы 7.4.1, при h(u) = 1/(− log B(u)) в силу (7.4.21) будем иметь ° λ t° Np °cn e n ° > → +∞, n = nk → ∞, p B(n)(− log B(n))2+1/p что по лемме 7.3.1 противоречит равномерной минимальности системы e(Λ). В случае пространства C имеем E∞ (Λ) = −1. Это означает, что при µ 6∈ Λ и при подходящем cµ функция f1 = f − cµ eiµt ∈ CΛ [0, 1]. В частности, cn (f1 ) = cn (f ) − cµ cn (eµt ). Но cn (eµt ) → 0, n → ∞, в силу формулы (7.2.6) и асимптотики (7.4.16). И так как cn (f ) → ∞ для функции f из следствия 7.4.1, то cn (f1 ) → ∞, и снова не выполнено необходимое условие равномерной минимальности, содержащееся в лемме 7.3.1. Следствие 7.4.2 доказано. Итак, следствие 7.4.1 показывает, что в условиях теоремы соответствующий негармонический ряд Фурье не обладает свойством Римана—Лебега при всех t < 1. Из асимптотики (7.4.14) следует, что последовательность Λ отделима. Остается убедиться, что в рассматриваемом классе показателей λn можно добиться сколь угодно медленного стремления к −∞ вещественных частей λn . Напомним, что последовательность λn асимптотически приближается к кривой (7.4.15), где log(1/B(y)) → ∞ при y → +∞. Поэтому достаточно доказать следующее

148

ГЛАВА 7. НЕГАРМОНИЧЕСКИЕ

РЯДЫ

ФУРЬЕ

Предложение 7.4.1. Пусть g(u) > 0, g(u) ↑ ∞ при u → +∞. Тогда найдется функция b(t), удовлетворяющая условиям (A) и такая что для соответствующей функции B(r), заданной посредством (7.4.5), выполнено неравенство µ log

1 B(u)

¶ 6 g(u),

u > u0 .

(7.4.26)

Для доказательства понадобится следующая лемма М. Л. Гольдмана (см. [31]). Лемма 7.4.1. Пусть g(u) (u > 1) — положительная функция такая, что g(u) ↑ +∞ при u → ∞. Тогда найдется функция l(u) (u > u0 ) такая, что 1) l(u) 6 g(u), 2) l(u) ↑ +∞, 3) l(u), ul0 (u) ∈ L∞ Z. Доказательство предложения 7.4.1. Построим B(r) в виде (7.4.5), где для b(t) выполнены условия (A), и так, что 1 6 g(u), u > u0 . (7.4.27) B(u) Тогда подавно будет выполнено неравенство (7.4.26). Пусть l(u) — соответствующая функция из леммы 7.4.1. Положим B(r) = 1/l(r). Тогда условие (7.4.27) выполнено, B(r) → 0, r → ∞, и надо только показать, что, отправляясь от имеющейся функции B(r), можно подобрать функцию b(t) так, чтобы имело место представление (7.4.5) и выполнялись бы условия (A). По лемме 7.4.1 l(r) = 1/B(r) ∈ L∞ Z. Отсюда и из определения следует, что B 2 (r) ∈ L∞ Z. Далее, по лемме 7.4.1 rl0 (r) ∈ L∞ Z. Значит, и произведение B 2 (r)(rl0 (r)) ∈ L∞ Z, т. е. −rB 0 (r) ∈ L∞ Z. Обозначим ³1´ −rB 0 (r) = b ; r тогда b(t) ∈ L0 Z, т. е. условие 1) из набора (A) выполнено. Теперь 1 ³1´ B 0 (r) = − b , r r и так как B(r) → 0, r → +∞, то Z∞

Z∞ B 0 (u)du =

B(r) = − r

r

Z1/r 1 ³1´ b(t) b du = dt. u u t 0

Следовательно, функция b(t)/t интегрируема справа от нуля (условие 3) из набора (A)), и справедливо представление (7.4.5). Так как b(t) ∈ L0 Z, то функция b(t)/t убывает на (0, δ) при некотором δ > 0. Если δ > 1, то свойство 2) из набора (A) очевидно. Если 0 < δ < 1, то переопределим b(t) на [δ, 1], полагая b(t) = b(δ), δ 6 t 6 1. Условие 2) будет выполнено. На условия 1), 3), а также на значения функции B(r) при достаточно больших r это переопределение не повлияет. Предложение 7.4.1 доказано. ПРИМЕЧАНИЯ

И ДОПОЛНЕНИЯ К ГЛАВЕ

7

7.1. Негармонические ряды Фурье впервые появились у Р. Пэли и Н. Винера [71], которым была известна формула (7.1.4) для случая α = 0, p = 2. То, что Rr (t, f ) представимо в виде (7.1.13), доказал Н. Левинсон [67]. Формула (7.1.23) встречается у С. Верблюнского [87]. Для невесового случая (т. е. для f ∈ Lp ) материал п. 7.1 (за исключением формулы (7.1.28)) содержится в [32, 84]. 7.2. Теорема 7.2.1 принадлежит В. А. Молоденкову [20]. Менее полные варианты теоремы 7.2.2 содержатся в [19, 22, 87]; представленный вариант взят из [32] (см. также [84]).

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

149

7.3. Систему (eiλn t ), минимальную в Lp = Lp (−a, a), 1 6 p < ∞, назовем системой равносходимости в классе Lp , если для любой функции f ∈ Lp и любого δ ∈ (0, a) lim krN (t, f )kC[−a+δ,a−δ] = 0

N →∞

(в обозначении (7.3.3)). Первая теорема равносходимости для негармонических рядов Фурье доказана в [71]: если sup |λn − n| < 1/π 2 , λn ∈ R, то (eiλn t )n∈Z — система равносходимости в классе L2 , a = π. Эта теорема была существенно расширена в [67]: если sup |λn − n| < 1/(2p0 ), 1 < p 6 2, λn ∈ R, то система (eiλn t )n∈Z есть система равносходимости в классе Lp . На комплексные показатели это утверждение обобщено в [23]. В. А. Ильин [8] установил следующий критерий: если последовательность (λn ) расположена в горизонтальной полосе и не сгущается, а система (eiλn t ) полна и минимальна в Lp , 1 6 p < ∞, то она является системой равносходимости в классе Lp тогда и только тогда, когда она равномерно минимальна. Благодаря теореме 7.3.2 (доказанной в [41]) условие несгущаемости в теореме В. А. Ильина может быть опущено. Из этой теоремы, в частности, следует, что в классе последовательностей (λn ), расположенных в горизонтальной полосе, всякий базис (eiλn t ) в Lp , 1 < p < ∞, является системой равносходимости в классе Lp . Другой подход к равносходимости предложил А. М. Минкин [69]. Явление равносходимости еще будет объектом нашего внимания в главе 8. 7.4. Материал этого пункта содержится в статье [38]. Близкие результаты есть в [28, 49, 88]. Продолжение следует. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23.

Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. — М.: Наука, 1965. Берг Й., Л¨ефстр¨ем Й. Интерполяционные пространства. Введение. — М.: Мир, 1980. Гарнетт Дж. Ограниченные аналитические функции. — М.: Мир, 1984. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1966. Гольдберг А. А., Островский И. В. Распределение значений мероморфных функций. — М.: Наука, 1970. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 1. — М.: Мир, 1966. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Т. 2. — М.: Мир, 1966. Ильин В. А. Необходимые и достаточные условия базисности в Lp и равносходимости с тригонометрическим рядом спектральных разложений по системе экспонент// Докл. АН СССР. — 1983. — 273, № 4. — C. 789–793. Кацнельсон В. Э. О расположении в комплексной плоскости нулей преобразования Фурье// Докл. АН СССР. — 1966. — 171, № 2. — C. 272–274. Крейн С. Г. (ред.) Функциональный анализ. — М.: Наука, 1972. Кусис П. Введение в теорию пространств H p . — М.: Мир, 1984. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. — М.: Гостехиздат, 1956. Левин Б. Я. О базисах показательных функций в L2 // Зап. матем. отд. физ.-мат. фак-та ХГУ и ХМО, Сер. 4. — 1961. — 27. — С. 39–48. Левин Б. Я. Интерполяция целыми функциями экспоненциального типа// Матем. физика и функц. анал., ФТИНТ АН УССР. — 1969. — вып. 1. — С. 136–146. Леонтьев А. Ф. О свойствах последовательностей полиномов Дирихле, сходящихся на интервале мнимой оси// Изв. АН СССР, сер. матем. — 1965. — 29, № 2. — C. 269–328. Леонтьев А. Ф. Ряды экспонент. — М.: Наука, 1976. Леонтьев А. Ф. Последовательность полиномов из экспонент. — М.: Наука, 1980. Мильман В. Д. Геометрическая теория пространств Банаха// Успехи матем. наук. — 1970. — 25, № 3. — C. 113–174. Молоденков В. А. О разложениях по собственным функциям одной краевой задачи// Дифф. уравн. и вычисл. матем. — СГУ. — 1975. — вып. 2. — С. 56–65. Молоденков В. А. Равносуммируемость по М. Риссу разложений по некоторым системам показательных функций// Матем. заметки. — 1974. — 15, № 3. — C. 381–386. Натансон И. П. Конструктивная теория функций. — М.: Гостехиздат, 1949. Седлецкий А. М. О функциях, периодических в среднем// Изв. АН СССР, сер. матем. — 1970. — 34, № 6. — C. 1388–1412. Седлецкий А. М. Негармонические ряды Фурье// Сиб. матем. журн. — 1971. — 12, № 5. — C. 1100–1114.

150

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

24. Седлецкий А. М. О биортогональных разложениях по показательным функциям// Изв. АН СССР, сер. матем. — 1972. — 36, № 3. — C. 583–590. 25. Седлецкий А. М. Полные и равномерно минимальные системы показательных функций в Lp (−π, π) // Труды МЭИ. — 1972. — вып. 146. — С. 167–174. 26. Седлецкий А. М. Полные и минимальные системы экспонент в пространствах Lp (−π, π), 1 6 p 6 2// Труды МЭИ. — 1976. — вып. 290. — С. 63–69. 27. Седлецкий А. М. Избытки систем показательных функций// Матем. заметки. — 1977. — 22, № 6. — C. 803–814. 28. Седлецкий А. М. Об одном классе биортогональных разложений по показательным функциям// Изв. АН СССР, сер. матем. — 1977. — 41, № 2. — C. 393–415. 29. Седлецкий А. М. О полноте систем экспонент в пространствах дифференцируемых функций// Труды МЭИ. — 1977. — вып. 334. — С. 98–103. 30. Седлецкий А. М. О разности избытков двух систем показательных функций// Труды МЭИ. — 1978.— вып. 357. — С. 98–102. 31. Седлецкий А. М. Избытки систем экспоненциальных функций// Изв. АН СССР, сер. матем. — 1980.— 44, № 1. — C. 203–218. 32. Седлецкий А. М. Биортогональные разложения в ряды экспонент на интервалах вещественной оси // Успехи матем. наук. — 1982. — 57, № 5. — C. 51–95. 33. Седлецкий А. М. Избытки близких систем экспонент в Lp // Сиб. матем. журн. — 1983. — 24, № 4.— C. 164–175. 34. Седлецкий А. М. О чисто мнимых возмущениях показателей λn в системе {exp (iλn t)} // Сиб. матем. журн. — 1985. — 26, № 4. — C. 151–158. 35. Седлецкий А. М. О полноте и неминимальности систем экспонент в Lp (−π, π)// Сиб. матем. журн. — 1988. — 29, № 1. — C. 159–170. 36. Седлецкий А. М. О равномерной сходимости негармонических рядов Фурье// Труды МИАН. — 1991.— 200. — С. 299–309. 37. Седлецкий А. М. О нулях преобразования Фурье финитной меры// Матем. заметки. — 1993. — 53, № 1. — C. 111–120. 38. Седлецкий А. М. Негармонические ряды Фурье без свойства Римана—Лебега// Изв. РАН, сер. матем.— 1994. — 58, № 6. — C. 123–136. 39. Седлецкий А. М. Разложения по собственным функциям оператора дифференцирования с размазанным краевым условием// Дифф. уравн. — 1994. — 30, № 1. — C. 70–76. 40. Седлецкий А. М. О числе нулей целой функции, часто встречающейся в негармоническом анализе// Вестник МЭИ. — 1994. — № 4. — C. 85–88. 41. Седлецкий А. М. Аппроксимативные свойства систем экспонент в Lp (a, b)// Дифф. уравн. — 1995.— 31, № 10. — C. 1639–1645. 42. Седлецкий А. М. Когда все нули целой функции экспоненциального типа лежат в криволинейной полуплоскости (необходимое условие)// Матем. сб. — 1995. — 186, № 9. — C. 125–134. 43. Седлецкий А. М. Построение полных минимальных, но не равномерно минимальных в Lp и C систем экспонент с отделимым вещественным спектром// Матем. заметки. — 1995. — 58, № 4. — C. 582–595. 44. Седлецкий А. М. О целых функциях класса С.Н. Бернштейна, не являющихся преобразованиями Фурье—Стилтьеса// Матем. заметки. — 1997. — 61, № 3. — C. 367–380. 45. Седлецкий А. М. О принадлежности всех нулей финитного преобразования Фурье криволинейной полуплоскости// Труды 2-го Междунар. семинара «Дифф. уравн. и их прил.» — Самара, 1998. — С. 152– 158. 46. Седлецкий А. М. Об устойчивости равномерной минимальности системы экспонент// Метрич. теор. функций и смежн. вопр. анализа. — М.: АФЦ. — 1999. — С. 221–237. 47. Седлецкий А. М. Базисы, встречающиеся при решении уравнений смешанного типа// Дифф. уравн.— 1999. — 35, № 4. — C. 507–515. 48. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. — М.: Наука, 1985. 49. Скоков А. В. О биортогональных разложениях интегрируемых функций в ряды экспонент// Вестник МЭИ. — 1994. — № 4. — C. 89–94. 50. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. — М.: Мир, 1973. 51. Титчмарш Е. К. Введение в теорию интегралов Фурье. — М.: Гостехиздат, 1948. 52. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 2. — М.: Мир, 1984. 53. Харди Г. Х., Рогозинский В. В. Ряды Фурье. — М.: Физматгиз, 1959. 54. Хейфиц А. И. Характеристика нулей некоторых специальных классов целых функций конечной степени// Теор. функций, функц. анал. и их прил., Харьков. — 1968. — 9. — С. 3–13.

СПИСОК

ЛИТЕРАТУРЫ

151

55. Эдвардс Р. Ряды Фурье в современном изложении. Т. 2. — М.: Мир, 1985. 56. Alexander W. O., Redheffer R. The exess of sets of complex exponentials// Duke Math. J. — 1967.— 34. — P. 59–72. 57. Beurling A., Malliavin P. On Fourier transforms of measures with compact support// Acta Math. — 1962. — 107. — P. 291–309. 58. Beurling A., Malliavin P. On the closure of characters and the zeros of entire functions// Acta Math.— 1967. — 118. — P. 79–93. 59. Boas R. P. Entire functions. — New York: Academic Press, 1954. 60. Bloom S. Hardy integral estimates for the Laplace transforms// Proc. Amer. Math. Soc. — 1992. — 116. — P. 417–426. 61. Cartwright M. The zeros of certain integral functions // Quart. J. Math. — 1930. — 1. — P. 38–59. 62. Doetsch G. Handbuch der Laplace-Transformation. B. 1. — Basel, 1950. 63. Duren P. L. Theory of H p spaces. — New York: Academic Press, 1970. 64. Elsner J. Zul¨assige Ab¨anderungen von Exponential-systemen in Lp (−A, A)// Math. Z. — 1971. — 120.— P. 211–220. 65. Hardy G. H., Littlewood J. E. Elementary theorems concerning power series with positive coefficients and moment constants of positive functions// J. Reine Angew. Math. — 1927. — 157. — P. 141–158. 66. Ingham A. E. A note on Fourier transforms// J. London Math. Soc. — 1934. — 9. — P. 29–32. 67. Levinson N. Gap and density theorems. — New York: Publ. Amer. Math. Soc., 1940. ¨ 68. Luxemburg W. A. J., Korevaar J. Entire functions and Muntz–Sz´ asz type approximation// Trans. Amer. Math. Soc. — 1971. — 157. — P. 23–37. 69. Minkin A. M. Equiconvergence theorems for differential operators// J. Math. Sciences. — 1999. — 96, № 6. — P. 3631–3715. 70. Ostrovskii I. V., Peresyolkova I. N. Nonasymptotic results on distribution of zeros of the function Eρ (z; µ)// Anal. Math. — 1997. — 23. — P. 283–296. 71. Paley R., Wiener N. Fourier transforms in the complex domain. — New York: Publ. Amer. Math. Soc., 1934. 72. Pitt H. R. Theorems on Fourier series and power series // Duke Math. J. — 1937. — 3. — P. 747–755. ¨ 73. Polya G. Uber die Nullstellen gewisser ganzer Funktionen// Math. Z. — 1918. — 2. — P. 352–383. 74. Redheffer R. Elementary remarks on completeness// Duke Math. J. — 1968. — 35. — P. 103–116. 75. Redheffer R. Completeness of sets of complex exponentials// Advanc. Math. — 1977. — 24. — P. 1–62. 76. Redheffer R., Young R. M. Completeness and basis properties of complex exponentials// Trans. Amer. Math. Soc. — 1983. — 277. — P. 93–111. ´ 77. Schwartz L. Etude des sommes d’exponentielles r´eelles. — Paris: Hermann, 1943. 78. Schwartz L. Th´eorie g´enerale des fonctions moyenne-p´eriodiques// Ann. Math. — 1947. — 48. — P. 857– 918. 79. Sedletskii A. M. On completeness of the systems {exp (ix(n+ihn ))}// Anal. Math. — 1978. — 4. — P. 125– 143. 80. Sedletskii A. M. An analogue of a Hardy–Littlewood theorem for Laplace transform and its applications // Anal. Math. — 1985. — 11. — P. 343–354. 81. Sedletskii A. M. On zeros of Laplace transform of finite measure// Integral Transforms and Special Functions. — 1993. — 1. — P. 51–59. 82. Sedletskii A. M. Complex variants of Abelian theorem for Laplace transform// Integral Transforms and Special Functions. — 1995. — 3. — P. 107–112. 83. Sedletskii A. M. Addition to Polya’s theorem on zeros of Fourier sine-transforms// Integral Transforms and Special Functions. — 2000. — 9. — P. 65–68. 84. Sedletskii A. M. Fourier transforms and approximations. — Amsterdam: Gordon and Breach Science Publishers, 2000. 85. Stein E. Interpolation of linear operators// Trans. Amer. Math. Soc. — 1956. — 83. — P. 482–492. 86. Stein E. M., Weiss G. Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces. — New York: University Press, Princeton, 1971. 87. Verblunsky S. On an expansion on exponential series // Quart. J. Math. — 1956. — 7, № 27. — P. 231–240. 88. Verblunsky S. On a class of integral functions// Quart. J. Math. — 1957. — 8, № 32. — P. 312–320. 89. Young R. On perturbing bases of complex exponentials in L2 (−π, π)// Proc. Amer. Math. Soc. — 1975.— 53. — P. 137–140. 90. Young R. M. An introduction to nonharmonic Fourier series. — New York: Academic Press, 1980.

152

ПРЕДМЕТНЫЙ Базис со свойством Рисса, II-4 суммирования, I-137 II-37 Избыток EB (Λ), I-63 Ep (Λ), I-63 E∞ (Λ), I-63 системы экспонент, I-63 Класс Apα , II-56 Bap , I-14 Cdσ , I-138 F , I-100 Fa , I-56 F B ∗ , II-127 ∗ F B+ , II-127 q F L , I-100, II-127 F Lm q , II-39 F Lq+ , II-127 F Lqu(t),a , I-59 F Lqa , I-80 F V , II-127 F V m , II-39 F V+ , II-127 H p , I-13 Kα (a, b), II-114 L, I-9 L , II-84 L0 , I-9 L∞ , I-9 LZ, I-9 L0 Z, I-9 L∞ Z, I-9 Mp , I-100 Mp , I-110 P(a), II-56 S, I-100 SF , I-100 SMp , I-100 Zα (a, b), II-104 Zbα (a, b), II-104 Zeα (a, b), II-104 Λβ (R), II-26 Λβ [A, B], II-19 Λpβ (R), II-26 Φ, II-61

УКАЗАТЕЛЬ

Ψ, II-61 Константа K(β, a), II-89 Мультипликатор, рядов Фурье, I-95 преобразований Фурье I-100 Остаток Rr (t, f ), I-131 Rr+ (t, f ), I-131 Rr (t, f, K), I-132 Плотность ∆ρ (Λ), I-8 Последовательность F Lqa (Fa )-допустимая, I-91 несгущающаяся, I-87 отделимая, I-116 подходящая, I-137 простая, I-59 Преобразование Гильберта, II-4 Проблема Мюнца—Саса, II-45 Пространство Ap (β, a), II-97 Ap+ (β, a), II-97 Ap− (β, a), II-97 C m , II-38 C0 , II-46, 127 C0 [0, 1], II-45 C0 [0, ∞), II-46 C0+ , II-127 Cdσ , II-17 Lp (X, dµ), I-7 Lpα (X), I-7 Lq+ , II-127 Lpα,a , I-64 Lpω(t),a , I-58 Lpdσ , II-26 Wpm , II-38 Радиус полноты, I-58 Ряд биортогональный, I-10 негармонический, I-130 Свойство Римана—Лебега, I143 Семейство сдвигов Λ(f ), II-114 Система биортогональная, I-10 минимальная, I-10 полная, I-10

Анатолий Мечиславович Седлецкий Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова E-mail: [email protected]

почти нормированная, I-141 равномерно минимальная, I10 равносходимости, I-149 экспонент e(Λ), I-59 Соотношение двойственности, I-59 Спектр системы, I-127 Сумма Sr (t, f ), I-131 Sr+ (t, f ), I-131 Sr (t, f, K), I-132 Теорема Вейерштрасса, II-45 Картрайт, I-15 Линдел¨ефа, I-50 Марцинкевича, I-11 Мюнца, I-6 обобщенная, II-49 Питта, I-12 Пэли—Винера, I-13 обобщение, I-14 Планшереля, I-12 равносуммируемости, I-136 равносходимости, I-136 Рисса—Торина, I-11 Саса, I-6, II-45 Стейна—Вейса, I-68 Фрагмена—Линдел¨ефа, I-14 Харди—Литтлвуда, I-12 Хаусдорфа—Юнга, I-12 Условие (Ap ), II-4 Ωp , I-58 Бляшке, I-5, 13, II-47 для полуплоскости, I-13 Саса, II-62 Функция Eβ (z; µ), II-139 nΛ (t), I-8 NΛ (r), I-8 медленно меняющаяся, I-9 порождающая, I-61, II-149 считающая, I-9 типа синуса, I-100 Ядро суммирования, I-132