kazanskij gosudarstwennyj uniwersitet
temy kursowyh rabot i samostoqtelxnyh nau~nyh issledowanij po geometrii dlq stude...
60 downloads
258 Views
647KB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
kazanskij gosudarstwennyj uniwersitet
temy kursowyh rabot i samostoqtelxnyh nau~nyh issledowanij po geometrii dlq studentow I { II kursow
u^EBNO-METODI^ESKOE POSOBIE
kAZANX | 2002
pe~ataetsq po re{eni` u~ebno-metodi~eskoj komissii mehaniko-matemati~eskogo fakulxteta kgu
sOSTAWITELI: D-R FIZ.-MAT. NAUK {APUKOW b.n., D-R FIZ.-MAT. NAUK {URYGIN w.w., KAND. FIZ.-MAT. NAUK iGUDESMAN k.b., KAND. FIZ.-MAT. NAUK mALAHALXCEW m.a., KAND. FIZ.-MAT. NAUK fOMIN w.e., KAND. FIZ.MAT. NAUK {USTOWA e.p. nAU^NYJ REDAKTOR: KAND. FIZ.-MAT. NAUK iGUDESMAN k.b. rECENZENT: KAND. FIZ.-MAT. NAUK pODKOWYRIN a.s. pRAKTIKA POKAZYWAET, ^TO STUDENTY MLADIH KURSOW MEHMATA OBY^NO ISPYTYWA@T OPREDELENNYE ZATRUDNENIQ S WYBOROM TEM KURSOWYH RABOT. dLQ TOGO, ^TOBY OBLEG^ITX IM \TU ZADA^U I NAPISANO NASTOQ]EE POSOBIE. oNO PODGOTOWLENO PREPODAWATELQMI KAFEDRY GEOMETRII kAZANSKOGO GOSUDARSTWENNOGO UNIWERSITETA I SODERVIT IROKIJ DIAPAZON TEM PO ANALITI^ESKOJ I DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRII, NA^ALAM TOPOLOGII, ... pOSOBIE PREDNAZNA^ENO W OSNOWNOM DLQ STUDENTOW I { II KURSOW PO SPECIALXNOSTI MATEMATIKA .
tEMY KURSOWYH RABOT OB_EDINENY PO NAU^NYM RUKOWODITELQM I RAZDELAM. |TO POZWOLQET NESKOLXKIM STUDENTAM RABOTATX PO ODNOJ TEMATIKE, A RUKOWODITELX IMEET WOZMOVNOSTX PRO^ESTX PO \TOJ TEMATIKE WWODNU@ LEKCI@. wYPOLNENIE KURSOWOJ RABOTY PO GEOMETRII PREDPOLAGAET IZU^ENIE REKOMENDUEMOJ LITERATURY I SAMOSTOQTELXNU@ RABOTU PO DANNOJ TEME. oFORMLENIE TITULXNOGO LISTA KURSOWOJ RABOTY OSU]ESTWLQETSQ SOGLASNO PRIWEDENNOMU OBRAZCU. w KONCE KURSOWOJ RABOTY PRIWODITSQ SPISOK ISPOLXZOWANNOJ LITERATURY S UKAZANIEM AWTORA, NAZWANIQ KNIGI ILI STATXI, MESTA IZDANIQ, IZDATELXSTWA I GODA IZDANIQ. pODGOTOWLENNAQ KURSOWAQ RABOTA SDAETSQ NAU^NOMU RUKOWODITEL@. oCENKA S ROSPISX@ PREPODAWATELQ, OSU]ESTWLQWEGO PROWERKU, ZAPISYWAETSQ NA TITULXNYJ LIST KURSOWOJ RABOTY, W WEDOMOSTX GRUPPY I W ZA^ETNU@ KNIVKU STUDENTA. pRIWEDENNYE NIVE TEMY KURSOWYH RABOT I KONKRETNYE ZADANIQ MOGUT BYTX IZMENENY PO VELANI@ STUDENTA I S SOGLASIQ NAU^NOGO RUKOWODITELQ. pLAN KURSOWOJ RABOTY OBSUVDAETSQ S RUKOWODITELEM. rUKOWODITELX TAKVE OPREDELQET KONKRETNOE ZADANIE DLQ SAMOSTOQTELXNOJ RABOTY PO WYBRANNOJ TEME.
2
kazanskij gosudarstwennyj uniwersitet
kAFEDRA GEOMETRII kURSOWAQ RABOTA gruppa affinnyh preobrazowanij ploskosti
wYPOLNIL STUDENT II KURSA 514 GRUPPY iWANOW i.i. nAU^NYJ RUKOWODITELX PROF. pETROW p.p.
kAZANX | 2002
1
tEMY, PREDLOVENNYE iGUDESMANOM k.b.
1.1 fRAKTALXNAQ GEOMETRIQ kOGDA-TO BOLXINSTWU L@DEJ KAZALOSX, ^TO GEOMETRIQ W PRIRODE OGRANI^IWAETSQ TAKIMI PROSTYMI FIGURAMI, KAK LINIQ, KRUG, KONI^ESKOE SE^ENIE, MNOGOUGOLXNIK, SFERA, KWADRATI^NAQ POWERHNOSTX, A TAKVE IH KOMBINACIQMI. oDNAKO MNOGIE PRIRODNYE SISTEMY NASTOLXKO SLOVNY I NEREGULQRNY, ^TO ISPOLXZOWANIE TOLXKO ZNAKOMYH OB_EKTOW KLASSI^ESKOJ GEOMETRII DLQ IH MODELIROWANIQ PREDSTAWLQETSQ BEZNADEVNYM. kAK, K PRIMERU, POSTROITX MODELX GORNOGO HREBTA ILI BEREGOWOJ LINII W TERMINAH GEOMETRII? kAK OPISATX TO MNOGOOBRAZIE BIOLOGI^ESKIH KONFIGURACIJ, KOTOROE MY NABL@DAEM W MIRE RASTENIJ I VIWOTNYH? pREDSTAWXTE SEBE WS@ SLOVNOSTX SISTEMY KROWOOBRA]ENIQ, SOSTOQ]EJ IZ MNOVESTWA KAPILLQROW I SOSUDOW I DOSTAWLQ@]EJ KROWX K KAVDOJ KLETO^KE ^ELOWE^ESKOGO TELA. pREDSTAWXTE, KAK HITROUMNO USTROENY LEGKIE I PO^KI, NAPOMINA@]IE PO STRUKTURE DEREWXQ S WETWISTOJ KRONOJ. zASLUVIWAET WNIMANIQ TOT FAKT, ^TO POQWLENIE FRAKTALOW (E]E NE POLU^IWIH \TOGO IMENI) W MATEMATI^ESKOJ LITERATURE OKOLO STA LET NAZAD BYLO WSTRE^ENO S PRISKORBNOJ NEPRIQZNX@, KAK \TO BYWALO W ISTORII RAZWITIQ MNOGIH DRUGIH MATEMATI^ESKIH IDEJ. oDIN IZWESTNYJ MATEMATIK, {ARLX |RMIT, DAVE OKRESTIL IH MONSTRAMI. pO KRAJNEJ MERE, OB]EE MNENIE PRIZNALO IH PATOLOGIEJ, PREDSTAWLQ@]EJ INTERES TOLXKO DLQ ISSLEDOWATELEJ, ZLOUPOTREBLQ@]IH MATEMATI^ESKIMI PRI^UDAMI, A NE DLQ NASTOQ]IH U^ENYH. w REZULXTATE USILIJ bENUA mANDELXBROTA TAKOE OTNOENIE IZMENILOSX, I FRAKTALXNAQ GEOMETRIQ STALA UWAVAEMOJ PRIKLADNOJ NAUKOJ. mANDELXBROT WWEL W UPOTREBLENIE TERMIN FRAKTAL, OSNOWYWAQSX NA TE4
ORII FRAKTALXNOJ (DROBNOJ) RAZMERNOSTI hAUSDORFA, PREDLOVENNOJ W 1919 GODU. zA MNOGO LET DO POQWLENIQ EGO PERWOJ KNIGI PO FRAKTALXNOJ GEOMETRII, mANDELXBROT PRISTUPIL K ISSLEDOWANI@ POQWLENIQ MONSTROW I DRUGIH PATOLOGIJ W PRIRODE. oN OTYSKAL NIU DLQ IMEWIH DURNU@ REPUTACI@ MNOVESTW kANTORA, KRIWYH pEANO, FUNKCIJ wEJERTRASSA I IH MNOGO^ISLENNYH RAZNOWIDNOSTEJ, KOTORYE S^ITALISX NONSENSOM. oN I EGO U^ENIKI OTKRYLI MNOGO NOWYH FRAKTALOW, NAPRIMER, FRAKTALXNOE BROUNOWSKOE DWIVENIE DLQ MODELIROWANIQ GORNOGO I LESNOGO LANDAFTOW, FLUKTUACIJ UROWNQ REK I BIENIQ SERDCA. s WYHODOM W SWET EGO KNIG PRILOVENIQ FRAKTALXNOJ GEOMETRII STALI POQWLQTXSQ KAK GRIBY POSLE DOVDQ. |TO KOSNULOSX KAK MNOGIH PRIKLADNYH NAUK, TAK I ^ISTOJ MATEMATIKI. dAVE KINOINDUSTRIQ NE OSTALASX W STORONE. mILLIONY L@DEJ L@BOWALISX GORNYM LANDAFTOM W FILXME zWEZDNOE PERESELENIE II: GNEW HANA, SKONSTRUIROWANNYM S POMO]X@ FRAKTALOW.
tEMA 1. mNOVESTWA DROBNOJ RAZMERNOSTI rAZDELIM OTREZOK PRQMOJ NA N RAWNYH ^ASTEJ. tOGDA KAVDU@ ^ASTX MOVNO S^ITATX KOPIEJ WSEGO OTREZKA, UMENXENNOJ W 1=r RAZ. o^EWIDNO r I N SWQZANY SOOTNOENIEM Nr = 1 (RIS. 1). eSLI KWADRAT RAZBITX NA N RAWNYH KWADRATOW (S PLO]ADX@, W 1=r2 RAZ MENXE PLO]ADI ISHODNOGO), TO SOOTNOENIE ZAPIETSQ KAK Nr2 = 1. eSLI KUB RAZBITX NA N RAWNYH KUBOW (S OB_EMOM, W 1=r3 RAZ MENXE OB_EMA ISHODNOGO), TO SOOTNOENIE ZAPIETSQ KAK Nr3 = 1. zAMETIM, ^TO RAZMERNOSTX d OB_EKTA, BUDX TO ODNOMERNYJ OTREZOK, DWUMERNYJ KWADRAT ILI TREHMERNYJ KUB, POQWLQETSQ KAK STEPENX r W SOOTNOENII MEVDU N , ^ISLOM RAWNYH PODOB_EKTOW, I KO\FFICIENTOM PODOBIQ r. a IMENNO: Nrd = 1 : 5
N = 3 r = 1=3 d = 1 N = 9 r = 1=3 d = 2
N = 27 r = 1=3 d = 3
rIS. 1. sWQZX RAZMERNOSTI I KO\FFICIENTA PODOBIQ K0
K1
K2
K3
rIS. 2. tRIADNAQ KRIWAQ kOHA mNOVESTWA, POSTROENNYE NA RIS. 1, OBLADA@T CELOJ RAZMERNOSTX@. zADADIMSQ WOPROSOM, WOZMOVNO LI TAKOE POSTROENIE, PRI KOTOROM POKAZATELX d NE QWLQETSQ CELYM. oTWET, KAK MY UBEDIMSQ | REITELXNOE DA! tAKOE MNOVESTWO NAZYWAETSQ SAMOPODOBNYM FRAKTALOM. wELI^INU d NAZYWA@T FRAKTALXNOJ (DROBNOJ) RAZMERNOSTX@ ILI RAZMERNOSTX@ PODOBIQ. rASSMOTRIM TRIADNU@ KRIWU@ kOHA. eE POSTROENIE NA^INAETSQ S 6
rIS. 3. pOSTROENIE KOWRA sERPINSKOGO OTREZKA EDINI^NOJ DLINY K0. uBEREM SREDN@@ ^ASTX I DOBAWIM DWA NOWYH OTREZKA TAKOJ VE DLINY, KAK POKAZANO NA RIS. 2. nAZOWEM POLU^ENNOE MNOVESTWO K1. pOWTORIM DANNU@ PROCEDURU MNOGOKRATNO, NA KAVDOM AGE ZAMENQQ SREDN@@ TRETX DWUMQ NOWYMI OTREZKAMI. oBOZNA^IM ^EREZ Kn FIGURU, POLU^IWU@SQ POSLE n-GO AGA. mOVNO DOKAZATX, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX fKng1n=1 SHODITSQ K NEKOTOROJ PREDELXNOJ KRIWOJ K , KOTORAQ I NAZYWAETSQ TRIADNOJ KRIWOJ kOHA. eSLI WZQTX KOPI@ K , UMENXENNU@ W TRI RAZA (r = 1=3), TO WSE MNOVESTWO K MOVNO SOSTAWITX IZ N = 4 TAKIH KOPIJ. sLEDOWATELXNO, OTNOENIE SAMOPODOBIQ WYPOLNQETSQ PRI UKAZANNYH N I r, A RAZMERNOSTX FRAKTALA BUDET: ln4 d = ln3 1 2618 :
1) oPREDELITE RAZMERNOSTX PODOBIQ KOWRA sERPINSKOGO, KOTORYJ STROITSQ, KAK UKAZANO NA RIS. 3. dOKAVITE, ^TO SUMMA PLO]ADEJ TREUGOLXNIKOW, WYKINUTYH PRI POSTROENII KOWRA sERPINSKOGO, RAWNQETSQ PLO]ADI ISHODNOGO TREUGOLXNIKA. pUSTX > 0. pOSTROJTE MNOVESTWO, RAZMERNOSTX PODOBIQ KOTOROGO RAWNA . 2) pUSTX N (") | MINIMALXNOE ^ISLO AROW RADIUSA ", NEOBHODI7
MYH DLQ POKRYTIQ KOMPAKTNOGO MNOVESTWA A Rn. pREDEL (ESLI ON SU]ESTWUET) ln N (") ; lim "!0 ln "
OPREDELQET RAZMERNOSTX mINKOWSKOGO MNOVESTWA A. iSPOLXZUQ PAKET PROGRAMM Mathematica 4.0, SOSTAWXTE PROGRAMMU DLQ WY^ISLENIQ RAZMERNOSTI mINKOWSKOGO. 3) pO KNIGE 61] RAZBERITE OPREDELENIE RAZMERNOSTI hAUSDORFA I WOSSTANOWITE PROPU]ENNYE DETALI. kAK SWQZANY MEVDU SOBOJ RAZMERNOSTI PODOBIQ, mINKOWSKOGO I hAUSDORFA? kAKIE IZ NIH INWARIANTNY OTNOSITELXNO AFFINNYH PREOBRAZOWANIJ?
tEMA 2. L-SISTEMY pONQTIE L-SISTEM, TESNO SWQZANNOE S SAMOPODOBNYMI FRAKTALAMI, POQWILOSX TOLXKO W 1968 GODU BLAGODARQ aRISTRIDU lINDENMAJERU. s IH POMO]X@ MOVNO STROITX MNOGIE IZWESTNYE SAMOPODOBNYE FRAKTALY. dLQ GRAFI^ESKOJ REALIZACII L-SISTEM W KA^ESTWE PODSISTEMY WYWODA ISPOLXZUETSQ TAK NAZYWAEMAQ TERTL-GRAFIKA (turtle | ^EREPAKA). pRI \TOM TO^KA (^EREPAKA) DWIVETSQ PO \KRANU DISKRETNYMI AGAMI, PRO^ER^IWAQ SWOJ SLED. w NAEM RASPORQVENII IMEETSQ TRI PARAMETRA (x y ), GDE (x y) | KOORDINATY ^EREPAKI, | NAPRAWLENIE, W KOTOROM ONA SMOTRIT. ~EREPAKA OBU^ENA INTERPRETIROWATX I WYPOLNQTX POSLEDOWATELXNOSTX KOMAND, ZADAWAEMYH KODOWYM SLOWOM. kODOWOE SLOWO PREDSTAWLQET SOBOJ REZULXTAT RABOTY L-SISTEMY I W PROSTEJEM SLU^AE MOVET WKL@^ATX W SEBQ SLEDU@]IE BUKWY: F { PEREMESTITXSQ WPERED NA ODIN AG, PRORISOWYWAQ SLED. + { UWELI^ITX UGOL NA WELI^INU . - { UMENXITX UGOL NA WELI^INU . 8
rIS. 4. pOSTROENIE SNEVINKI kOHA rAZMER AGA I WELI^INA PRIRA]ENIQ PO UGLU OSTA@TSQ NEIZMENNYMI DLQ WSEH PEREME]ENIJ ^EREPAKI. fORMALXNO, DETERMINIROWANNAQ L-SISTEMA SOSTOIT IZ ALFAWITA, SLOWA INICIALIZACII, NAZYWAEMOGO AKSIOMOJ ILI INICIATOROM, I NABORA POROVDA@]IH PRAWIL, UKAZYWA@]IH, KAK SLEDUET PREOBRAZOWYWATX SLOWO PRI PEREHODE OT UROWNQ K UROWN@ (OT ITERACII K ITERACII). L-SISTEMA, SOOTWETSTWU@]AQ SNEVINKE kOHA (RIS. 4), ZADAETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM: = =3.
aKSIOMA: F++F++F (RAWNOSTORONNIJ TREUGOLXNIK). pOROVDA@]EE PRAWILO: newf = F-F++F-F. nA PERWOM AGE KAVDAQ BUKWA F W SLOWE-INICIATORE F++F++F ZAMENQETSQ NA F-F++F-F: F-F++F-F++F-F++F-F++F-F++F-F.
pOWTORQQ \TOT PROCESS, NA WTOROM AGE POLU^IM: 9
rIS. 5. pOSTROENIE SNEVINKI kOHA WNUTRX I NARUVU F-F++F-F-F-F++F-F++ F-F++F-F-F-F++F-F++ F-F++F-F-F-F++ F-F++ F-F++F-F-F-F++F-F++ F-F++F-F-F-F++F-F++ F-F++F-FF-F++F-F
I T. D. 1) iSPOLXZUQ PAKET PROGRAMM Mathematica 4.0, REALIZOWATX NA KOMPX@TERE L-SISTEMY, REZULXTATOM RABOTY KOTORYH BYLI BY SLEDU@]IE MNOVESTWA: SNEVINKA kOHA, KRIWAQ pEANO I DR. 2) dOPOLNITX ALFAWIT L-SISTEM SLEDU@]IMI BUKWAMI b { PEREMESTITXSQ WPERED NA ODIN AG, NE PRORISOWYWAQ SLED. { OTKRYTX WETWX. ] { ZAKRYTX WETWX. iSPOLXZUQ NOWYE BUKWY, POSTROITX NA KOMPX@TERE RAZRYWNYE I WETWQ]IESQ MNOVESTWA. pREDLOVITX SOBSTWENNYE WARIANTY DOPOLNENIQ ALFAWITA. 3) tEM ILI INYM SPOSOBOM WNESTI \LEMENT SLU^AJNOSTI W L-SISTEMY. nAPRIMER, PRI POSTROENII SNEVINKI kOHA NAPRAWLENIE WNUTRX ILI NARUVU WYBIRAETSQ SLU^AJNYM OBRAZOM (RIS. 5), ILI SLU^AJNOJ QWLQETSQ DLINA PRO^ER^IWAEMOGO OTREZKA I T. P. 10
C0 C1 C2 C3 rIS. 6. pOSTROENIE KANTOROWA MNOVESTWA 4) rAZRABOTAJTE PODHODY K REENI@ OBRATNOJ ZADA^I: PO ZADANNOMU IZOBRAVENI@ ILI DOSTATO^NO DLINNOMU SLOWU WOSSTANOWITX AKSIOMU, POROVDA@]EE PRAWILO I UGOL . rEENIE OBRATNOJ ZADA^I IMEET BOLXOE ZNA^ENIE DLQ TAKOJ OBLASTI PRIKLADNYH ISSLEDOWANIJ, KAK SVATIE IZOBRAVENIJ, IROKO ISPOLXZU@]EESQ PRI PEREDA^E IZOBRAVENIJ W REALXNOM WREMENI.
tEMA 3. kANTOROWO MNOVESTWO kLASSI^ESKOE MNOVESTWO kANTORA, ILI PYLX kANTORA, NAZWANO PO IMENI gEORGA kANTORA, KOTORYJ OPISAL EGO W 1883 GODU. fRAKTALXNYE SWOJSTWA PYLI kANTORA IME@T OGROMNOE ZNA^ENIE, OSOBENNO U^ITYWAQ TOT FAKT, ^TO MNOGIE IZWESTNYE FRAKTALY QWLQ@TSQ BLIZKIMI RODSTWENNIKAMI \TOGO MNOVESTWA. pOSTROENIE KLASSI^ESKOJ PYLI kANTORA NA^INAETSQ S WYBRASYWANIQ SREDNEJ TRETI (NE WKL@^AQ KONCY) EDINI^NOGO OTREZKA. nA SLEDU@]EM I WSEH OSTALXNYH AGAH MY WYKIDYWAEM SREDN@@ TRETX (NE WKL@^AQ KONCY) WSEH OTREZKOW TEKU]EGO UROWNQ. tAKIM OBRAZOM, MY POLU^AEM (RIS. 6) POSLEDOWATELXNOSTX MNOVESTW:
C0 = 0 1] 11
C1 = 0 31 ] 32 1] C2 = 0 19 ] 92 13 ] 23 97 ] 89 1] . ..
T1
pREDELXNOE MNOVESTWO C = Cn NAZYWAETSQ KLASSI^ESKIM KANTOROn=0 WYM MNOVESTWOM. 1) uDIWITELXNO, NO FAKT, ^TO SU]ESTWUET IN_EKTIWNOE OTOBRAVENIE C NA OTREZOK 0 1], PRI TOM, ^TO LEBEGOWA MERA (DLINA) KANTOROWA MNOVESTWA RAWNA NUL@. pOSTROJTE \TO OTOBRAVENIE, QWLQETSQ LI ONO BIEKCIEJ? 2) pROWERXTE, ^TO TO^KA POPADAET W KLASSI^ESKOE MNOVESTWO kANTORA TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA W NEKOTOROM EE TROI^NOM PREDSTAWLENII OTSUTSTWU@T EDINICY. pUSTX 0 < < 1. pOSTROJTE MNOVESTWO TIPA KANTOROWA, RAZMERNOSTX PODOBIQ KOTOROGO RAWNA . dLQ KAKIH \TO WOZMOVNO? 3) iNOGDA KANTOROWYM MNOVESTWOM NAZYWA@T L@BOE KOMPAKTNOE, SOWERENNOE I WPOLNE RAZRYWNOE MNOVESTWO. dOKAVITE, ^TO C UDOWLETWORQET \TIM SWOJSTWAM. sOHRANQ@TSQ LI ONI PRI GOMEOMORFIZME? pROILL@STRIRUJTE NA PRIMERE, ^TO RAZMERNOSTX PODOBIQ NE QWLQETSQ TOPOLOGI^ESKIM INWARIANTOM. 4) oPREDELIM SUMMU KANTOROWYH MNOVESTW: C + C = fz : z = x + y GDE x y 2 Cg : dOKAVITE, ^TO C + C = 0 2]. tEMA 4. sISTEMY ITERIROWANNYH FUNKCIJ oBRATIMSQ K ODNOMU IZ NAIBOLEE GLUBOKIH DOSTIVENIJ W POSTROENII FRAKTALOW | SISTEMAM ITERIROWANNYH FUNKCIJ (sif). mATEMATI^ESKIE ASPEKTY BYLI RAZRABOTANY dVONOM hAT^INSONOM W 1981 G., 12
A SAM METOD STAL IROKO IZWESTEN BLAGODARQ mAJKLU bARNSLI I DRUGIM. pODHOD NA OSNOWE sif PREDOSTAWLQET HOROU@ TEORETI^ESKU@ BAZU DLQ MATEMATI^ESKOGO ISSLEDOWANIQ MNOGIH KLASSI^ESKIH FRAKTALOW, A TAKVE IH OBOB]ENIJ. pUSTX (X d) | METRI^ESKOE PROSTRANSTWO. pREOBRAZOWANIE T : X ! X NAZYWAETSQ SVIMA@]IM OTOBRAVENIEM (ILI SVATIEM), ESLI SU]ESTWUET TAKOE ^ISLO s < 1, ^TO d(T (x) T (y)) sd(x y) x y 2 X :
w OB]EM SLU^AE, DLQ TOGO ^TOBY POSTROITX sif, WWEDEM W RASSMOTRENIE SOWOKUPNOSTX SVIMA@]IH OTOBRAVENIJ T1 T2 : : : Tm DEJSTWU@]IH NA Rn. |TI m OTOBRAVENIJ ISPOLXZU@T DLQ POSTROENIQ ODNOGO SVIMA@]EGO OTOBRAVENIQ T W PROSTRANSTWE K WSEH NEPUSTYH KOMPAKTOW IZ Rn. pREOBRAZOWANIE hAT^INSONA T : K ! K OPREDELQETSQ SLEDU@]IM OBRAZOM:
T(E ) = T1(E ) T2(E ) Tm (E ) E 2 K : tAKIM OBRAZOM, sif NAZYWA@T SOWOKUPNOSTX WWEDENNYH WYE OTOBRAVENIJ WMESTE S ITERACIONNOJ SHEMOJ: E0 = KOMPAKTNOE MNOVESTWO (PROIZWOLXNOE) E1 = T(E0) E2 = T(E1) ..
oSNOWNAQ ZADA^A TEORII sif | WYQSNITX, KOGDA sif POROVDAET PREDELXNOE MNOVESTWO E : E = nlim !1 En 13
rIS. 7. rANDOMIZIROWANNYJ KOWER sERPINSKOGO W SMYSLE SHODIMOSTI W METRIKE hAUSDORFA. eSLI PREDEL SU]ESTWUET, TO MNOVESTWO E NAZYWA@T ATTRAKTOROM sif. pRI^EM ATTRAKTOR ^ASTO (NO NE WSEGDA!) OKAZYWAETSQ FRAKTALXNYM MNOVESTWOM. 1) pOSTROJTE sif DLQ KANTOROWA MNOVESTWA (RIS. 6 NA S. 11), TRIADNOJ KRIWOJ kOHA (RIS. 2 NA S. 6) I KOWRA sERPINSKOGO (RIS. 3 NA S. 7). wY^ISLITE RAZMERNOSTI PODOBIQ \TIH MNOVESTW. kAK SWQZANA RAZMERNOSTX PODOBIQ S KO\FFICIENTAMI SVATIJ? 2) dETERMINIROWANNYJ ALGORITM POSTROENIQ sif SOSTOIT W NEPOSREDSTWENNOM PRIMENENII SOWOKUPNOSTI SVIMA@]IH OTOBRAVENIJ K PROIZWOLXNOMU KOMPAKTNOMU MNOVESTWU (WOZMOVNO DAVE K EDINSTWENNOJ TO^KE). iSPOLXZUQ PAKET PROGRAMM Mathematica 4.0, ZAPROGRAMMIROWATX DETERMINIROWANNYJ ALGORITM DLQ sif I POSTROITX RAZLI^NYE FRAKTALXNYE MNOVESTWA. 3) tEM ILI INYM SPOSOBOM WWEDITE \LEMENT SLU^AJNOSTI W sif. nAPRIMER, W SLU^AE KOWRA sERPINSKOGO, PRI POSTROENII KOTOROGO OBY^NO UDALQETSQ SREDNQQ IZ ^ETYREH TREUGOLXNYH OBLASTEJ (RIS. 3 NA S. 7), 14
MY MOVEM SLU^AJNO UDALQTX L@BOJ IZ ^ETYREH TREUGOLXNIKOW (RIS. 7) I T. P. 4) rANDOMIZIROWANNYJ ALGORITM POSTROENIQ sif ZAKL@^AETSQ W SLEDU@]EM. pUSTX T1 T2 : : : Tm | SOWOKUPNOSTX SVIMA@]IH OTOBRAVENIJ. zAFIKSIRUEM PROIZWOLXNU@ TO^KU X0, ZATEM, SLU^AJNYM OBRAZOM, IZ DANNYH SVIMA@]IH OTBRAVENIJ WYBEREM ODNO I PRIMENIM K X0, POLU^ENNU@ TO^KU OBOZNA^IM X1. pOWTORQQ OPISANNU@ PROCEDURU SNOWA I SNOWA, POLU^IM POSLEDOWATELXNOSTX TO^EK X0 X1 X2 : : : NA PLOSKOSTI. oTBROSIM NESKOLXKO NA^ALXNYH TO^EK POSLEDOWATELXNOSTI. oKAZYWAETSQ, RASSTOQNIE OT L@BOJ IZ OSTAWIHSQ TO^EK DO ATTRAKTORA ISHODNOJ sif TEM MENXE, ^EM BOLXE NA^ALXNYH TO^EK MY OTBROSILI. iSPOLXZUQ PAKET PROGRAMM Mathematica 4.0, ZAPROGRAMMIROWATX RANDOMIZIROWANNYJ ALGORITM DLQ sif I POSTROITX RAZLI^NYE FRAKTALXNYE MNOVESTWA. 5) pUSTX C 2 K. sGU]A@]IM PREOBRAZOWANIEM, ILI PROSTO SGU]ENIEM, NAZYWAETSQ OTOBRAVENIE TC : K ! K TC (E ) = C E 2 K
mNOVESTWO C MY BUDEM NAZYWATX PODMNOVESTWOM SGU]ENIQ. pUSTX W NAEM RASPORQVENII IMEETSQ sif, ZADANNAQ SVIMA@]IMI OTOBRAVENIQMI Ti i = 1 m. dOBAWIM K NIM SGU]ENIE TC . pOLU^ENNU@ sif BUDEM NAZYWATX SISTEMOJ ITERIROWANNYH FUNKCIJ SO SGU]ENIM (ssif). w ^EM PREIMU]ESTWO KOMPX@TERNOJ REALIZACII ssif PO SRAWNENI@ S sif? iSPOLXZUQ PAKET PROGRAMM Mathematica 4.0, POSTROITX ssif. 6) rAZRABOTAJTE PODHODY K REENI@ OBRATNOJ ZADA^I: PO ZADANNOMU IZOBRAVENI@ WOSSTANOWITX sif. pOLU^ENNYE REZULXTATY PRIMENITE K IZOBRAVENI@ NA RIS. 8. 15
rIS. 8. pAPOROTNIK 7) pREDPOLOVIM, ^TO SVATIQ Ti QWLQ@TSQ PREOBRAZOWANIQMI PODOBIQ S KO\FFICIENTAMI si I, KROME TOGO, WYPOLNENO USLOWIE OTKRYTOGO MNOVESTWA, T. E. SU]ESTWUET OTKRYTOE MNOVESTWO V Rn, TAKOE, ^TO T(V ) V I Ti (V ) \ Tj (V ) = PRI i 6= j . dOKAZATX, ^TO HAUSDORFOWA RAZMERNOSTX ATTRAKTORA sif RAWNA t, GDE t OPREDELQETSQ IZ URAWNENIQ m X i=1
sti = 1 :
tEMA 5. dISKRETNYE DINAMI^ESKIE SISTEMY pROSTEJAQ DISKRETNAQ DINAMI^ESKAQ SISTEMA SOSTOIT IZ NA^ALXNOJ TO^KI x0 I ITERIRUEMOJ FUNKCII f : x0 = NA^ALXNAQ TO^KA x1 = f (x0) x2 = f (x1) ..
16
pOSLEDOWATELXNOSTX fxng1n=0 = ff (n)(x0)g1n=0 NAZYWA@T ORBITOJ TO^KI x0. bUDEM POLAGATX x0 DEJSTWITELXNYM ^ISLOM, A FUNKCI@ f \LEMENTARNOJ, NAPRIMER: x2 + c cx(1 ; x) cos x. oPREDELIM NEPODWIVNU@ TO^KU OTOBRAVENIQ f KAK TO^KU x, UDOWLETWORQ@]U@ USLOWI@ f (x) = x. nEPODWIVNAQ TO^KA NAZYWAETSQ PRITQGIWA@]EJ W TOM SLU^AE, ESLI ORBITY WSEH TO^EK IZ NEKOTOROJ EE OKRESTNOSTI (WOZMOVNO, O^ENX MALOJ) SHODQTSQ K NEJ. nEPODWIVNAQ TO^KA NAZYWAETSQ OTTALKIWA@]EJ, ESLI ORBITY WSEH DOSTATO^NO BLIZKIH K NEJ TO^EK UDALQ@TSQ OT NEE. oRBITA NAZYWAETSQ PERIODI^ESKOJ S PERIODOM p, ESLI xn+p = xn DLQ n = 1 2 : : :. 1) pROWEDITE KOMPX@TERNOE ISSLEDOWANIE DINAMIKI ITERIROWANIQ FUNKCIJ S MODULEM. sRAWNITE DINAMIKU DLQ PRIWEDENNYH NIVE SLU^AEW: a) y = ;jxj + 1 b) y = ;4jx ; 1=2j + 2 c) y = ;2jx ; 1=2j + 1 d) y = ;jx ; 1=2j + 1=2 e) y = ;8jx ; 1=2j + 4 f ) y = ;4jxj + 2 :
2) iSSLEDUJTE NEPODWIVNYE TO^KI FUNKCII f (x) = x2 + c PRI RAZLI^NYH c. kAKIE IZ NIH QWLQ@TSQ PRITQGIWA@]IMI, A KAKIE OTTALKIWA@]IMI? pRI KAKIH ZNA^ENIQH x0 I c ORBITA TO^KI x0 OGRANI^ENA? 3) rASSMOTRIM FUNKCI@ f (x) = x2 + c PRI ;3=4 < c < 1=4. u NEE SU]ESTWUET DWE NEPODWIVNYE TO^KI | OTTALKIWA@]AQ I | PRITQGIWA@]AQ. pO MERE TOGO KAK c UBYWAET I STANOWITSQ MENXE ;3=4 PRITQGIWA@]AQ NEPODWIVNAQ TO^KA STANOWITSQ OTTALKIWA@]EJ. w TO VE WREMQ FUNKCIQ f 2 DOSTAWLQET PARU PRITQGIWA@]IH NEPODWIVNYH TO^EK, KOTORYE PRIWODQT K POQWLENI@ CIKLA S PERIODOM 2 DLQ 17
f . gOWORQT, ^TO SISTEMA PRETERPEWAET BIFURKACI@ UDWOENIQ PERIODA, KOGDA c PROHODIT ^EREZ ZNA^ENIE ;3=4. iSPOLXZUQ KOMPX@TER, NAJDITE DRUGIE ZNA^ENIQ c, PRI KOTORYH PROISHODIT UDWOENIE PERIODA. nA OSNOWANII POLU^ENNYH DANNYH WY^ISLITE KONSTANTU fEJGENBAUMA. 4) pOKAVITE, ^TO TO^KI BIFURKACII DLQ FUNKCIJ 1 ; x2 I x2 + c SOWPADA@T. mOVNO LI TO VE SAMOE SKAZATX O FUNKCII c sin(x), ILI O cx(1 ; x)? dLQ KAVDOJ IZ UKAZANNYH FUNKCIJ WY^ISLITE KONSTANTU fEJGENBAUMA.
tEMA 6. hAOS w 1979 GODU |DWARD lORENC IZ mASSA^USETSKOGO TEHNOLOGI^ESKOGO INSTITUTA OPUBLIKOWAL STATX@ pREDSKAZUEMOSTX: MOVET LI WZMAH KRYLYEK BABO^KI W bRAZILII PRIWESTI K OBRAZOWANI@ TORNADO W tEHASE? . w \TOM NAZWANII OBRAZNO WYRAVENA OSNOWOPOLAGA@]AQ ^ERTA HAOSA | SU]ESTWENNAQ ZAWISIMOSTX OT NA^ALXNYH USLOWIJ. iNYMI SLOWAMI, MOGUT LI NEZNA^ITELXNYE IZMENENIQ NA^ALXNYH USLOWIJ PRIWESTI K SU]ESTWENNYM IZMENENIQM OKON^ATELXNOGO REZULXTATA? rASSMOTRIM METRI^ESKOE PROSTRANSTWO (X d). bUDEM NAZYWATX OTOBRAVENIE f : X ! X HAOTI^ESKIM, ESLI WYPOLNENY SLEDU@]IE USLOWIQ: 1. f OBLADAET SU]ESTWENNOJ ZAWISIMOSTX@ OT NA^ALXNYH USLOWIJ. 2. f TRANZITIWNO. 3. pERIODI^ESKIE TO^KI f PLOTNY W X . sTROGAQ FORMULIROWKA PERWOGO USLOWIQ TAKOWA. pUSTX x 2 X , A U | OTKRYTOE MNOVESTWO, SODERVA]EE x. oTOBRAVENIE f OBLADAET SU]ESTWENNOJ ZAWISIMOSTX@ OT NA^ALXNYH USLOWIJ, ESLI DLQ NEKOTOROGO > 0 SU]ESTWU@T TAKOE CELOE ^ISLO n > 0 I TAKAQ TO^KA y 2 U , ^TO 18
d(f (n) (x) f (n)(y)) > . oTOBRAVENIE f NAZYWAETSQ TRANZITIWNYM, ESLI DLQ L@BOJ PARY U V NEPUSTYH OTKRYTYH MNOVESTW SU]ESTWUET CELOE NEOTRICATELXNOE n, TAKOE, ^TO f (n)(U ) \ V 6= . nAKONEC, SWOJSTWO PLOTNOSTI PERIODI^ESKIH TO^EK OZNA^AET, ^TO W L@BOJ OKRESTNOSTI L@BOJ TO^KI IZ X SU]ESTWUET PO KRAJNEJ MERE ODNA PERIODI^ESKAQ TO^KA. 1) dOKAVITE, ^TO KWADRATI^NAQ FUNKCIQ f (z ) = z 2 HAOTI^NA NA OKRUVNOSTI S 1 C . pRIWEDITE DRUGIE PRIMERY HAOTI^NYH FUNKCIJ. 2) fUNKCIQ ( 3x x 1=2 f (x) = 3 ; 3x x > 1=2 INOGDA NAZYWAETSQ TENTOOBRAZNYM OTOBRAVENIEM. rASSMOTRIM EGO DINAMIKU PRI ITERIROWANII. pUSTX x0 | NA^ALXNAQ TO^KA, I PUSTX xn = f (xn;1) ILI, ^TO RAWNOSILXNO, xn = f (n) (x0). oBOZNA^IM ^EREZ MNOVESTWO NA^ALXNYH TO^EK, KOTORYM SOOTWETSTWU@T OGRANI^ENNYE ORBITY fxn g1n=0. dOKAVITE, ^TO SOWPADAET S KLASSI^ESKIM KANTOROWYM MNOVESTWOM C . qWLQETSQ LI TENTOOBRAZNOE OTOBRAVENIE HAOTI^NYM NA C ? 3) pUSTX C | KLASSI^ESKOE KANTOROWO MNOVESTWO. nAPOMNIM, ^TO KAVDOMU x 2 C SOOTWETSTWUET EDINSTWENNOE TROI^NOE PREDSTAWLENIE x = 0 x1 x2x3 : : : (PO OSNOWANI@ 3)
W KOTOROM KAVDAQ CIFRA xi LIBO 0, LIBO 2. dOKAVITE, ^TO FUNKCIQ B (x) = 0 x2 x3x4 : : :
HAOTI^NA NA C . 4) sIMWOLXNOE PROSTRANSTWO NA N \LEMENTAH OPREDELQETSQ KAK 19
rIS. 9. mNOVESTWO v@LIA DLQ z 2 ; 0 7382 + 0 0827i MNOVESTWO WSEH POSLEDOWATELXNOSTEJ
1 2 3 : : :
eSLI
n 2 f1 : : : N g :
= 1 2 3 : : : I = 123 : : :
TO RASSTOQNIE MEVDU NIMI OPREDELQETSQ KAK d( ) =
1 j ; j X n n
n : ( N + 1) n=1 dOKAVITE, ^TO SIMWOLXNOE PROSTRANSTWO ( d) ESTX METRI^ESKOE PROSTRANSTWO, A OPERATOR OBRATNOGO SDWIGA
B ( 1 2 3 : : :) = 2 3 4 : : :
HAOTI^EN. tEMA 7. kOMPLEKSNAQ DINAMIKA wEROQTNO, NELXZQ PRIWESTI PRIMER TAKOGO KOMPX@TERNOGO \KSPERIMENTA, KOTORYJ WPE^ATLENIEM OT REZULXTATOW PREWOSHODIL BY TO ^UWSTWO UDIWLENIQ I WOSHI]ENIQ, KOTOROE WYZYWAET GRAFI^ESKOE POSTROENIE MNOVESTW v@LIA (RIS. 9) I MNOVESTWA mANDELXBROTA NA PLOSKOSTI (RIS. 10). 20
rIS. 10. mNOVESTWO mANDELXBROTA DLQ z 2 + c mNOVESTWO v@LIA FUNKCII f , OBOZNA^AEMOE J (f ), OPREDELQETSQ KAK J (f ) = @ fz 2 C : f (n) (z ) ! 1 PRI n ! 1g : tAKIM OBRAZOM, MNOVESTWO v@LIA FUNKCII f ESTX GRANICA MNOVESTWA TO^EK z , STREMQ]IHSQ K BESKONE^NOSTI PRI ITERIROWANII f (z ). mNOVESTWO NAZWANO W ^ESTX FRANCUZSKOGO MATEMATIKA gASTONA v@LIA (1893 { 1975), KOTORYJ ODNOWREMENNO S pXEROM fATU (1878 { 1929) W 1917 {1919 GG. NAPISAL OSNOWOPOLAGA@]IE STATXI PO ITERIROWANI@ FUNKCIJ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO. mNOVESTWO mANDELXBROTA M DLQ POLINOMA f (z ) = z 2 +c OPREDELQETSQ KAK MNOVESTWO WSEH c 2 C , DLQ KOTORYH ORBITA TO^KI 0 OGRANI^ENA, TO ESTX M = fc 2 C : ffc(n) (0)g1n=0 OGRANI^ENAg: 1) ~TO QWLQETSQ MNOVESTWOM v@LIA DLQ f (z ) = z 2? iSPOLXZUQ PAKET 21
rIS. 11. pERIODY OBRAMLENIJ PROGRAMM Mathematica 4.0, POLU^ITE IZOBRAVENIQ MNOVESTW v@LIA DLQ f (z ) = z 2 + c. 2) iSPOLXZUJTE KOMPX@TER DLQ POLU^ENIQ IZOBRAVENIJ MNOVESTW v@LIA DLQ KAKOGO-NIBUDX POLINOMA OT z . 3) rASSMOTRITE KWADRATI^NYE OTOBRAVENIQ ALGEBRY DUALXNYH ^ISEL W SEBQ. kAKIE MNOVESTWA v@LIA ONI POROVDA@T? iSPOLXZUQ KOMPX@TER, POLU^ITE IZOBRAVENIQ \TIH MNOVESTW. 4) iSPOLXZUQ PAKET PROGRAMM Mathematica 4.0, POSTROJTE MNOVESTWO mANDELXBROTA I PRIBLIVENNO OPREDELITE CENTR (ZNA^ENIE c) KAKOGOLIBO \LEMENTA OBRAMLENIQ, NAPRIMER ODNOJ IZ OKRUVNOSTEJ, KASA@]IHSQ GLAWNOJ KARDIOIDY. zATEM WY^ISLITE OPREDELENNYJ U^ASTOK ORBITY ffc(n)(0)g I POSTARAJTESX PO EE ASIMPTOTI^ESKOMU POWEDENI@ 22
OPREDELITX PERIOD. pRODELAJTE \TO DLQ NESKOLXKIH OKRUVNOSTEJ, OTME^ENNYH NA RIS. 11. 5) iSPOLXZUJTE KOMPX@TER DLQ POLU^ENIQ IZOBRAVENIQ MNOVESTWA mANDELXBROTA DLQ f (z ) = z 3 + c. pOKAVITE, ^TO ESLI jcj > 2, TO ORBITA z STREMITSQ K 1.
tEMA 8. pROBLEMA k\LI w 1879 GODU S\R aRTUR k\LI POSTAWIL ZADA^U ITERIROWANIQ KOMPLEKSNYH FUNKCIJ. pROBLEMA k\LI ZAKL@^AETSQ W ISSLEDOWANII SHODIMOSTI KLASSI^ESKOGO ALGORITMA nX@TONA NAHOVDENIQ KUBI^ESKIH KORNEJ, NO PRI USLOWII, ^TO WE]ESTWENNYE ^ISLA ZAMENQ@TSQ NA KOMPLEKSNYE. dLQ f (z ) = z 3 ; 1 NULI RAWNY KUBI^ESKIM KORNQM IZ 1, I ITERACII nX@TONA PRINIMA@T WID:
3 z n zn+1 = zn ; 3z;2 1 : n 1 iME@TSQ TRI KUBI^ESKIH KORNQ IZ 1, A IMENNO ! 1 = 1 !2 = ; 2 + p p i 23 !3 = ; 12 ; i 23 . oBLASTX PRITQVENIQ DLQ KORNQ !j ESTX MNOVESTWO
A(!j ) = fz0 2 C : nlim !1 zn = !j g : k\LI POSTAWIL ZADA^U OPISANIQ OBLASTEJ A(!1) A(!2) A(!3). 1) iSPOLXZUQ PAKET PROGRAMM Mathematica 4.0, POSTROJTE GRAFI^ESKOE IZOBRAVENIE OBLASTEJ PRITQVENIQ KUBI^ESKIH KORNEJ IZ EDINICY, RASKRASIW KAVDU@ OBLASTX W SWOJ CWET. 2) dLQ SHEMY ITERIROWANIQ 2 z n zn+1 = zn ; 2z; 1 n SOOTWETSTWU@]EJ PRIMENENI@ METODA nX@TONA K f (z ) = z 2 ;1, POKAVITE, ^TO ESLI z0 LEVIT W PRAWOJ POLUPLOSKOSTI, TO zn ! +1 PRI n ! 1, 23
A ESLI z0 LEVIT W LEWOJ POLUPLOSKOSTI, TO zn ! ;1 PRI n ! 1. eSLI VE z0 LEVIT NA MNIMOJ OSI, TO PROCESS ITERIROWANIQ NE SHODITSQ. 3) iSPOLXZUQ KOMPX@TER, POSTROJTE GRAFI^ESKOE IZOBRAVENIE OBLASTI PRITQVENIQ A(1) DLQ FUNKCIJ a) f (z ) = z 4 ; 1 b) f (z ) = z 3 ; z c) f (z ) = z 3 ; z 2 + z ; 1 :
rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 28], 52], 58], 61], 63].
1.2 nAGLQDNAQ KOMPX@TERNAQ GEOMETRIQ W TEORII ^ISEL w TAKOJ SLOVNOJ TEORII, KAKOJ QWLQETSQ TEORIQ ^ISEL, INOGDA TRUDNO DAVE SFORMULIROWATX PRAWDOPODOBNU@ GIPOTEZU. sOWREMENNYE WY^ISLITELXNYE SREDSTWA POZWOLQ@T PRAWILXNO WYBRATX GIPOTEZU W REZULXTATE OBRABOTKI BOLXOGO \KSPERIMENTALXNOGO MATERIALA I EGO IZOBRAVENIQ W NAGLQDNOM WIDE. mNOGOE ZAWISIT OT SPOSOBA IZOBRAVENIQ INFORMACII. nUVNO TAK UDA^NO ZAKODIROWATX EE NAGLQDNYMI OBRAZAMI, ^TOBY WOZNIKA@]IE NA \KRANE KOMPX@TERA KARTINY POMOGALI ISSLEDOWATEL@ UGADYWATX PRAWILXNOE NAPRAWLENIE ISSLEDOWANIQ. rASSMOTRIM ZADA^U O PREDSTAWLENII NATURALXNYH ^ISEL n 1 W WIDE SUMM n = nr1 + nr2 + nrs (1) GDE WSE ^ISLA ni , 1 i s, | NEOTRICATELXNYE CELYE. fIKSIRUEM PROIZWOLXNYE ZNA^ENIQ r 2 I s 1. w TAKOM SLU^AE WSE NATURALXNYE ^ISLA RAZBIWA@TSQ NA DWA KLASSA. k ODNOMU KLASSU OTNOSQTSQ WSE TE NATURALXNYE ^ISLA, KOTORYE PREDSTAWLQ@TSQ W WIDE (1), A KO WTOROMU KLASSU | ^ISLA, KOTORYE NELXZQ PRI DANNYH PARAMETRAH r I s PREDSTAWITX W WIDE (1). wOZNIKAET OB]AQ ZADA^A (OBOB]ENNAQ 24
PROBLEMA wARINGA): KAK OPISATX KAVDYJ IZ UKAZANNYH WYE KLASSOW? wOZXMEM BESKONE^NU@ LENTU I RAZMETIM EE NA ODINAKOWYE KWADRATIKI, W KOTORYE POSLEDOWATELXNO WPIEM NATURALXNYE ^ISLA. fIKSIRUEM CELOE ^ISLO d I RAZOBXEM \TU BESKONE^NU@ LENTU NA KUSKI DLINY d. |TO ^ISLO NAZOWEM MODULEM IZOBRAVENIQ. pERWYJ OTREZOK DLINY d UKLADYWAEM NA PERWU@ STROKU \KRANA, WTOROJ OTREZOK LENTY | NA WTORU@ STROKU I T. D. tOGDA \KRAN ZAPOLNITSQ NATURALXNYMI ^ISLAMI OT 1 DO NEKOTOROGO N , OPREDELQEMOGO RAZMEROM \KRANA. oTME^AQ ^ERNYM NEPREDSTAWIMYE W WIDE (1) ^ISLA (PRI ZADANNYH r s d), A BELYM | PREDSTAWIMYE, MY POLU^AEM NA \KRANE KOMPX@TERA NEKOTORYJ PQTNISTYJ ^ERNO-BELYJ KOWER, SOSTOQ]IJ IZ ^ERNYH I BELYH KWADRATIKOW. fIKSIRUEM r = 2 I NA^NEM UWELI^IWATX PARAMETR s = 1 2 3 : : : . wELI^INU d FIKSIRUEM. iTAK, MY IZU^AEM WOPROS O PREDSTAWIMOSTI ^ISEL W WIDE: A) KWADRATA NEKOTOROGO ^ISLA, B) SUMMY DWUH KWADRATOW, W) SUMMY TREH KWADRATOW I T.D. pOSMOTRIM NA HARAKTER IZMENENIQ KARTINY NA \KRANE (RIS. 12). sNA^ALA (PRI s = 1) PO^TI WESX \KRAN | ^ERNYJ. kOE-GDE WIDNY BELYE KWADRATIKI. wIDNO, NASKOLXKO MALO ^ISEL, QWLQ@]IHSQ KWADRATAMI. pRI UWELI^ENII s \KRAN NA^INAET BELETX . nAKONEC, PRI s = 4 WESX \KRAN WSPYHIWAET BELYM CWETOM. ~ERNYE KWADRATIKI IS^EZLI. pRI s = 5 KARTINA UVE NE MENQETSQ: \KRAN OSTAETSQ BELYM. kOMPX@TERNAQ GIPOTEZA: SUMMY ^ETYREH KWADRATOW DOSTATO^NO, ^TOBY PREDSTAWITX W WIDE (1) L@BOE NATURALXNOE ^ISLO. oKAZYWAETSQ, MY UWIDELI NA \KRANE IZWESTNU@ TEOREMU lAGRANVA, DOKAZANNU@ IM W 1740 G. tEOREMA lAGRANVA. l@BOE NATURALXNOE ^ISLO PREDSTAWIMO W WIDE SUMMY ^ETYREH KWADRATOW. 25
rIS. 12. pREDSTAWIMOSTX ^ISEL W WIDE SUMMY KWADRATOW 1) nAPIITE PROGRAMMU, KOTORAQ PO ZADANNYM r s I d STROIT ^ERNOBELYJ KOWER, PODOBNYJ IZOBRAVENNYM NA RIS.12. 2) wARXIRUQ PARAMETRY, NAJDITE ZAKONOMERNOSTI W IZOBRAVENIQH I PREDLOVITE GIPOTEZY, OB_QSNQ@]IE \TI ZAKONOMERNOSTI. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 54].
26
rIS. 13. pARABOLI^ESKAQ KA^ALKA 2
tEMY, PREDLOVENNYE mALAHALXCEWYM m.a.
2.1 oSOBENNOSTI GLADKIH OTOBRAVENIJ tEORIQ OSOBENNOSTEJ DIFFERENCIRUEMYH OTOBRAVENIJ POQWILASX KAK SAMOSTOQTELXNAQ MATEMATI^ESKAQ DISCIPLINA W 60H{70H GODAH PROLOGO WEKA I POLU^ILA IROKU@ IZWESTNOSTX POD NAZWANIEM TEORIQ KATASTROF , TAK KAK POZWOLILA OPISATX SKA^KOOBRAZNYE IZMENENIQ I KA^ESTWENNYE PEREHODY W POWEDENII FIZI^ESKIH SISTEM, W ^ASTNOSTI, POTER@ USTOJ^IWOSTI. rASSMOTRIM PROSTOJ PRIMER FIZI^ESKOJ SISTEMY: PARABOLI^ESKU@ KA^ALKU, KOTORU@ LEGKO SDELATX SAMOSTOQTELXNO. iZ PLOTNOGO KARTONA WYREVEM DWA ODINAKOWYH KUSKA PARABOLY I SKREPIM MEVDU SOBOJ (SM. RIS. 13). pRIKREPIM K PARABOLI^ESKOJ KA^ALKE GRUZIK (NAPRIMER, S POMO]X@ MAGNITA). kA^ALKA NAKLONITSQ I ZAJMET NEKOTOROE POLOVENIE RAWNOWESIQ. eSLI MY EE TOLKNEM, TO ONA LIBO ZAJMET NOWOE POLOVENIE RAWNO27
WESIQ, LIBO WERNETSQ W ISHODNOE. wOZNIKA@T SLEDU@]IE WOPROSY: 1) SKOLXKO WSEGO POLOVENIJ RAWNOWESIQ IMEET PARABOLI^ESKAQ KA^ALKA PRI RAZLI^NYH POLOVENIQH GRUZIKA? 2) KAK BUDET IZMENQTXSQ POLOVENIE RAWNOWESIQ, ESLI NEPRERYWNO MENQTX POLOVENIE GRUZIKA? pARABOLI^ESKAQ KA^ALKA IMEET ODIN WNUTRENNIJ PARAMETR (UGOL MEVDU OSX@ PARABOLY I PLOSKOSTX@ STOLA), I DWA UPRAWLQ@]IH PARAMETRA (a b), ZADA@]IH POLOVENIE GRUZIKA. pRI FIKSIROWANNYH ZNA^ENIQH UPRAWLQ@]IH PARAMETROW (a b), POLOVENIQ RAWNOWESIQ SISTEMY SOOTWETSTWU@T KRITI^ESKIM TO^KAM POTENCIALXNOJ \NERGII V(ab)(). tAKIM OBRAZOM, MY POLU^AEM DWUHPARAMETRI^ESKOE SEMEJSTWO FUNKCIJ V(ab)(), I ZADA^A SOSTOIT W OPISANII DEFORMACII MNOVESTWA KRITI^ESKIH TO^EK = fxjV(0ab)(x) = 0g FUNKCIJ SEMEJSTWA PRI IZMENENII PARAMETROW (a b). oKAZYWAETSQ, ^TO K ZADA^E OPISANIQ DEFORMACII MNOVESTWA KRITI^ESKIH TO^EK FUNKCIJ IZ n-PARAMETRI^ESKOGO SEMEJSTWA PRI IZMENENII PARAMETROW SEMEJSTWA SWODITSQ CELYJ KLASS PROBLEM, NA^INAQ OT OPISANIQ ZAWISIMOSTI REENIJ ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ OT KO\FFICIENTOW I LOKALXNOGO WIDA OGIBA@]EJ SEMEJSTWA KRIWYH, I ZAKAN^IWAQ TEORIQMI OSTOJ^IWOSTI SUDOW I FAZOWYH PEREHODOW MEVDU RAZLI^NYMI SOSTOQNIQMI WE]ESTWA.
tEMA 1. kA^ALKI wO WWEDENII OPISANA PARABOLI^ESKAQ KA^ALKA. tAKIM VE OBRAZOM MOVNO SDELATX \LLIPTI^ESKU@ I GIPERBOLI^ESKU@ KA^ALKI. 1) sDELATX MODELI \LLIPTI^ESKOJ, GIPERBOLI^ESKOJ I PARABOLI^ESKOJ KA^ALOK. pROWESTI \KSPERIMENT PO OPREDELENI@ POLOVENIJ RAWNOWESIQ PRI RAZLI^NYH POLOVENIQH CENTRA TQVESTI. 2) sKOLXKO POLOVENIJ RAWNOWESIQ MOVET IMETX KA^ALKA PRI RAZLI^28
NYH POLOVENIQH CENTRA TQVESTI? 3) kAK WEDUT SEBQ POLOVENIQ RAWNOWESIQ PRI IZMENENII CENTRA TQVESTI KA^ALKI? rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 18], gL. 1 39], gL. 1.
tEMA 2. pARALLELI PLOSKIH KRIWYH pARALLELX@ PLOSKOJ KRIWOJ ; NAZYWAETSQ KRIWAQ ;0, POLU^ENNAQ SDWIGOM TO^EK KRIWOJ ; WDOLX EE NORMALEJ NA POSTOQNNOE RASSTOQNIE. 1) nAJTI PARALLELI DLQ KRIWYH WTOROGO PORQDKA. 2) nAJTI OSOBYE TO^KI POLU^ENNYH PARALLELEJ I OPREDELITX IH TIP. 3) nAPISATX PROGRAMMU POSTROENIQ PARALLELEJ KRIWOJ NA QZYKE Mathematica (ILI NA L@BOM QZYKE PROGRAMMIROWANIQ). rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 18], gLAWY 5, 7.
tEMA 3. wIDIMYE KONTURY POWERHNOSTEJ iZOBRAZITX WIDIMYJ KONTUR POWERHNOSTI | TAKAQ ZADA^A STOIT NE TOLXKO PERED HUDOVNIKAMI, NO I PERED KONSTRUKTORAMI, DIZAJNERAMI, SOZDATELQMI KOMPX@TERNYH IGR. oSOBENNO AKTUALXNO REENIE \TOJ ZADA^I DLQ RAZRABOTKI SISTEM AWTOMATIZIROWANNOGO PROEKTIROWANIQ. oKAZYWAETSQ, ^TO DAVE ESLI POWERHNOSTX GLADKAQ, EE WIDIMYJ KONTUR MOVET SODERVATX OSOBYE TO^KI, KOTORYE NEOBHODIMO U^ITYWATX PRI POSTROENII \TOGO KONTURA. 1) wYQSNITX, IME@TSQ LI OSOBYE TO^KI NA WIDIMOM KONTURE A) POWERHNOSTI WTOROGO PORQDKA B) POWERHNOSTI WRA]ENIQ W) POWERHNOSTI, ZADANNOJ URAWNENIEM x3 + yx + z = 0 (SBORKI uITNI) (RISUNOK 14)? 29
rIS. 14. sBORKA uITNI 2) eSLI SMOTRETX NA TOR SWERHU, TO WIDIMYJ KONTUR PREDSTAWLQET SOBOJ KOLXCO (RIS. 15 (A)), ESLI SBOKU | TO ZAKRUGLENNYJ PRQMOUGOLXNIK (RIS. 15 (B)). kAK PROISHODIT DEFORMACIQ NESWQZNOJ KRIWOJ (RIS. 15 (A)) W SWQZNU@ KRIWU@ (RIS. 15 (B)), ESLI POWORA^IWATX NAPRAWLENIE, WDOLX KOTOROGO MY SMOTRIM, IZ WERTIKALXNOGO POLOVENIQ W GORIZONTALXNOE? rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 18], gL. 5, P. 7 8], P. 12.
tEMA 4. kAUSTIKI SISTEMY LU^EJ, OTRAVENNYH OT KRIWOJ WTOROGO PORQDKA kAK IZWESTNO, ESLI W ODIN IZ FOKUSOW \LLIPSA POMESTITX ISTO^NIK SWETA S , TO OTRAVENNYE LU^I SOBERUTSQ W DRUGOM FOKUSE (TAM BUDET NABL@DATXSQ QRKO SWETQ]AQSQ TO^KA). rASPOLOVIM TEPERX ISTO^NIK S 30
(B) (A)
rIS. 15. wIDIMYE KONTURY TORA W DRUGOJ TO^KE. tOGDA MY BUDEM NABL@DATX QRKO SWETQ]U@SQ LINI@ | KAUSTIKU (W PEREWODE S GRE^ESKOGO, KAUSTIKA ZNA^IT VGU^AQ ). |TA LINIQ ESTX OGIBA@]AQ SEMEJSTWA OTRAVENNYH LU^EJ. 1) nAJTI KAUSTIKI LU^EJ, OTRAVENNYH OT KRIWOJ WTOROGO PORQDKA (PRI RAZLI^NYH RASPOLOVENIQH ISTO^NIKA S ). oPISATX RASPOLOVENIE OSOBYH TO^EK KAUSTIKI. 2) nAPISATX PROGRAMMU NAHOVDENIQ KAUSTIKI LU^EJ, OTRAVENNYH OT KRIWOJ WTOROGO PORQDKA. 3) oPISATX IZMENENIE KAUSTIKI LU^EJ, OTRAVENNYH OT KRIWOJ WTOROGO PORQDKA, PRI DWIVENII ISTO^NIKA S . rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 18], gL. 5, 7 7], P. 8.
tEMA 5. oTOBRAVENIE mONVA-tEJLORA pUSTX : a b] ! R2 ESTX GLADKAQ REGULQRNAQ KRIWAQ, TO ESTX KASATELXNYJ WEKTOR d=dt NE OBRA]AETSQ W NULX. fIKSIRUEM t0 2 a b] I WOZXMEM SISTEMU PRQMOUGOLXNYH KOORDINAT NA PLOSKOSTI, OSI KOTOROJ 31
SUTX KASATELXNAQ I NORMALX K KRIWOJ W TO^KE t0. tOGDA W OKRESTNOSTI \TOJ TO^KI KRIWAQ QWLQETSQ GRAFIKOM NEKOTOROJ FUNKCII y = f (x), PRI^EM f (0) = 0, f 0 (0) = 0. oTOBRAVENIE mONVA-tEJLORA ESTX OTOBRAVENIE : a b] ! Rk , SOPOSTAWLQ@]EE TO^KE t0 NABOR PROIZWODNYH (f 00 (0) : : : f (k+2)(0)) FUNKCII y = f (x) W TO^KE x = 0. 1) nAJTI OTOBRAVENIE mONVA-tEJLORA DLQ KRIWYH WTOROGO PORQDKA, DLQ SPIRALI, DLQ LEMNISKATY bERNULLI. 2) wYPOLNITX UPRAVNENIE 9.4 IZ 18]. 3) pOSTROITX OBOB]ENIE OTOBRAVENIE mONVA-tEJLORA DLQ POWERHNOSTI, WZQW ZA OSI KOORDINAT W TO^KE POWERHNOSTI GLAWNYE NAPRAWLENIQ I NORMALX. iSSLEDOWATX EGO SWOJSTWA. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 18], gLAWA 9.
tEMA 6. fUNKCII KWADRATA RASSTOQNIQ NA PLOSKIH I PROSTRANSTWENNYH KRIWYH rASSMOTRIM GLADKU@ KRIWU@ W Rn, ZADANNU@ PARAMETRI^ESKIM URAWNENIEM ~r = ~r(t), t 2 a b]. dLQ L@BOJ TO^KI S RADIUS-WEKTOROM ~u OPREDELENA FUNKCIQ F (t ~u) = jj~r(t) ; ~ujj2. zNA^IT, DLQ KAVDOJ KRIWOJ OPREDELENO n-PARAMETRI^ESKOE SEMEJSTWO FUNKCIJ F (t u1 : : : un ), GDE
~u = (u1 : : : un). 1) nAJTI GEOMETRI^ESKIJ SMYSL KRITI^ESKIH TO^EK FUNKCIJ SEMEJSTWA F (t ~u) DLQ n = 2 3. 2) nAJTI BIFURKACIONNOE MNOVESTWO SEMEJSTWA F (t ~u) DLQ n = 2 3. 3) wYPOLNITX UPRAVNENIQ 7.4, 7.6 IZ 18]. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 18], gLAWA 7.
tEMA 7. oSOBENNOSTI SETI LINIJ KRIWIZNY iZWESTNO, ^TO ESLI W TO^KE p POWERHNOSTI R3 GLAWNYE KRIWIZNY 32
RAZLI^NY, TO W \TOJ TO^KE ESTX DWA ORTOGONALXNYH GLAWNYH NAPRAWLENIQ. eSLI VE GLAWNYE KRIWIZNY W TO^KE p SOWPADA@T (W \TOM SLU^AE TO^KA p NAZYWAETSQ OMBILI^ESKOJ), TO L@BOE NAPRAWLENIE QWLQETSQ GLAWNYM. pUSTX p | OMBILI^ESKAQ TO^KA. w OB]EJ SITUACII, W NEKOTOROJ OKRESTNOSTI U (p) NET DRUGIH OMBILI^ESKIH TO^EK, PO\TOMU W OBLASTI U (p) n fpg OPREDELENA SETX LINIJ KRIWIZNY, TO ESTX DWA ODNOPARAMETRI^ESKIH SEMEJSTWA LINIJ, KASA@]IHSQ GLAWNYH NAPRAWLENIJ. nADO WYQSNITX KAK WYGLQDIT \TA SETX W MALOJ OKRESTNOSTI OMBILI^ESKOJ TO^KI. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 34], P. 85 24].
tEMA 8. oSOBENNOSTI SETI ASIMPTOTI^ESKIH LINIJ iZWESTNO, ^TO ESLI W TO^KE p POWERHNOSTI R3 POLNAQ KRIWIZNA Kp() OTRICATELXNA, TO W \TOJ TO^KE ESTX DWA ASIMPTOTI^ESKIH NAPRAWLENIQ. tAKIM OBRAZOM, W OBLASTI , GDE KRIWIZNA OTRICATELXNA, IMEETSQ SETX ASIMPTOTI^ESKIH LINIJ. nADO WYQSNITX KAK WYGLQDIT \TA SETX W MALOJ OKRESTNOSTI GRANICY OBLASTI. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 34], P. 85.
tEMA 9. oSOBENNOSTI GAUSSOWA OTOBRAVENIQ pUSTX R3 | POWERHNOSTX, ZADANNAQ PARAMETRIZACIEJ ~r = ~r(u v), (u v) 2 R2. pUSTX ~n = ~n(u v) ESTX EDINI^NAQ NORMALX K POWERHNOSTI W TO^KE ~r(u v). oTOBRAVENIE (u v) ! ~n(u v) IZ OBLASTI W DWUMERNU@ SFERU S 2 NAZYWAETSQ GAUSSOWYM OTOBRAVENIEM. eSLI WWESTI NA SFERE KOORDINATY ( ), TO GAUSSOWO OTOBRAVENIE W KOORDINATAH MOVNO ZAPISATX KAK OTOBRAVENIE F PLOSKOSTI W PLOSKOSTX, = (u v), = (u v). 33
1) dOKAZATX, ^TO MATRICA qKOBI DF OTOBRAVENIQ F NEWYROVDENA W TO^KE (u0 v0 ) TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA KRIWIZNA POWERHNOSTI W \TOJ TO^KE NE RAWNA NUL@. 2) sOGLASNO TEOREME uITNI (SM. 18]), ESLI MATRICA DF W TO^KE (u0 v0) WYROVDENA (TO^KA NAZYWAETSQ OSOBOJ), NO OTLI^NA OT NULEWOJ MATRICY, TO S POMO]X@ ZAMENY KOORDINAT OTOBRAVENIE F MOVNO PRIWESTI K ODNOMU IZ DWUH WIDOW: A) (u v) ! (u2 v), B) (u v) ! (u3 + uv v). nAJTI USLOWIQ W TERMINAH GEOMETRII POWERHNOSTI , POZWOLQ@]IE
OPREDELITX K KAKOMU IZ DWUH WIDOW PRIWODITSQ GAUSSOWO OTOBRAVENIE W OKRESTNOSTI OSOBOJ TO^KI. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 8], P. 2 34], P. 77.
2.2 aLGEBRAI^ESKAQ GEOMETRIQ aLGEBRAI^ESKAQ GEOMETRIQ IZU^AET ALGEBRAI^ESKIE MNOGOOBRAZIQ, TO ESTX KRIWYE I POWERHNOSTI (W TOM ^ISLE MNOGOMERNYE), ZADANNYE SISTEMAMI POLINOMIALXNYH URAWNENIJ: 8 1 > < p1 (x : : :. xn ) = 0 .. > : 1 n pm (x : : : x ) = 0
GDE pa(x1 : : : xn), a = 1 : : : m, SUTX POLINOMY OT PEREMENNYH x1, . . . , xn S KO\FFICIENTAMI W NEKOTOROM POLE k. pROSTEJIMI PRIMERAMI ALGEBRAI^ESKIH MNOGOOBRAZIJ SLUVAT KRIWYE WTOROGO PORQDKA. uVE W \TOM SLU^AE WIDNO, ^TO POLE k IGRAET SU]ESTWENNU@ ROLX: ALGEBRAI^ESKAQ KRIWAQ, ZADANNAQ URAWNENIEM x2 + y2 = 0, ESTX ODNA TO^KA, ESLI k | POLE WE]ESTWENNYH ^ISEL, PARA PERESEKA@]IHSQ PRQMYH, ESLI k ESTX POLE KOMPLEKSNYH ^ISEL, I MNOVESTWO IZ 9 TO^EK, ESLI k ESTX POLE OSTATKOW PRI DELENII NA 5. 34
aLGEBRAI^ESKAQ GEOMETRIQ TESNO SWQZANA S DRUGIMI RAZDELAMI MATEMATIKI: MATEMATI^ESKIM ANALIZOM, DIFFERENCIALXNYMI URAWNENIQMI, TEORIEJ ^ISEL. nAPRIMER, OSNOWNAQ ZADA^A TEORII DIAFANTOWYH URAWNENIJ SOSTOIT W NAHOVDENII CELO^ISLENNYH REENIJ URAWNENIQ WIDA a0xn + a1xn;1 + : : : + an = 0, GDE a0, a1, . . . , an SUTX CELYE ^ISLA, TO ESTX NAHOVDENIQ ALGEBRAI^ESKOGO MNOGOOBRAZIQ, ZADANNOGO \TIM URAWNENIEM, NAD POLEM RACIONALXNYH ^ISEL. w ^ASTNOSTI, ZNAMENITAQ TEOREMA fERMA UTWERVDAET, ^TO, PRI n 3, ALGEBRAI^ESKAQ KRIWAQ xn + yn = 1 NE SODERVIT RACIONALXNYH TO^EK, I W DOKAZATELXSTWE TEOREMY fERMA SU]ESTWENNO ISPOLXZU@TSQ METODY ALGEBRAI^ESKOJ GEOMETRII.
tEMA 1. kRIWYE WTOROGO PORQDKA NA PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI w KURSE ANALITI^ESKOJ GEOMETRII DOKAZYWAETSQ, ^TO KRIWAQ WTOROGO PORQDKA ESTX ODNA IZ SLEDU@]IH KRIWYH: 1) \LLIPS, 2) GIPERBOLA, 3) PARABOLA, 4) PARA PRQMYH (PERESEKA@]IHSQ, PARALLELXNYH, ILI SOWPADA@]IH). w DANNOJ RABOTE PREDPOLAGAETSQ DOKAZATX SOOTWETSTWU@]U@ KLASSIFIKACIONNU@ TEOREMU DLQ KRIWYH WTOROGO PORQDKA NA AFFINNOJ PLOSKOSTI NAD PROIZWOLXNYM POLEM. 1) pUSTX k | PROIZWOLXNOE POLE, HARAKTERISTIKA KOTOROGO OTLI^NA OT DWUH. dOKAZATX, ^TO NEPUSTAQ NEWYROVDENNAQ KRIWAQ WTOROGO PORQDKA NA PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI NAD k PROEKTIWNO \KWIWALENTNA KRIWOJ
xz = y2. 2) sFORMULIROWATX I DOKAZATX KLASSIFIKACIONNU@ TEOREMU DLQ KRI-
WYH WTOROGO PORQDKA NA AFFINNOJ PLOSKOSTI NAD PROIZWOLXNYM POLEM k.
rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 45], gL. 1, P. 1. 35
tEMA 2. rACIONALXNYE KRIWYE aLGEBRAI^ESKAQ KRIWAQ ;, ZADANNAQ URAWNENIEM p(x y) = 0, NAZYWAETSQ RACIONALXNOJ, ESLI SU]ESTWU@T RACIONALXNYE FUNKCII r(t) = a(t)=b(t), q(t) = c(t)=d(t), GDE a(t), b(t), c(t), d(t) | POLINOMY, TAKIE, ^TO x = r(t), y = q(t) ESTX PARAMETRIZACIQ KRIWOJ ;, TO ESTX p(r(t) q(t)) = 0 DLQ L@BOGO t. 1) pOSTROITX RACIONALXNU@ PARAMETRIZACI@ KRIWOJ WTOROGO PORQDKA. 2) pOSTROITX RACIONALXNU@ PARAMETRIZACI@ KRIWOJ y2 = x2 + x3. 3) nAJTI WSE RACIONALXNYE REENIQ URAWNENIQ x2 + y2 = p, GDE p | PROSTOE ^ISLO. 4) nAJTI WSE RACIONALXNYE REENIQ URAWNENIQ y2 = x2 + x3. 5) pUSTX RACIONALXNAQ KRIWAQ ZADANA URAWNENIEM g(x y) = 0, I y(x) | FUNKCIQ, ZADANNAQ NEQWNO \TIM URAWNENIEM. dOKAZATX, ^TO INTEGRAL g(x y(x))dx, WYRAVAETSQ ^EREZ \LEMENTARNYE FUNKCII. rASSMOTRETX W KA^ESTWE PRIMERA KRIWYE WTOROGO PORQDKA. 6) dOKAZATX, ^TO KRIWAQ y2 = x(x ; 1)(x ; 2) NE DOPUSKAET RACIONALXNOJ PARAMETRIZACII. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 45], gL.I, P. 1,2 55], gL.I, P. 1.
tEMA 3. sTRUKTURA GRUPPY NA KUBIKE pUSTX ; | KUBIKA NA KOMPLEKSNOJ PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI, ZADANNAQ URAWNENIEM y2z = x(x ; z )(x ; 2z ) (RISUNOK 16). zAFIKSIRUEM TO^KU O NA ;. dLQ L@BYH TO^EK A B 2 ; OBOZNA^IM ^EREZ R TRETX@ TO^KU PERESE^ENIQ PRQMOJ AB I ;. pROWEDEM PRQMU@ OR, ONA PERESE^ET ; E]E W ODNOJ TO^KE, OBOZNA^IM EE C . pOLOVIM A + B = C . oKAZYWAETSQ, \TA OPERACIQ ZADAET NA ; STRUKTURU ABELEWOJ GRUPPY, IZOMORFNOJ PROIZWEDENI@ GRUPP S 1 S 1 , GDE S 1 ESTX FAKTOR-GRUPPA R=Z , TOPOLOGI^ESKI 36
rIS. 16. kUBI^ESKAQ KRIWAQ y2z = x(x ; z )(x ; 2z ) USTROENNAQ KAK OKRUVNOSTX. tAKIM OBRAZOM, ; S TOPOLOGI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ ESTX TOR. pRI WYPOLNENII DANNOJ KURSOWOJ RABOTY PREDPOLAGAETSQ RAZOBRATXSQ W DOKAZATELXSTWE \TOGO FAKTA (WESXMA NEPROSTOM), IZLOVENNOM W 45], gL. 1, 2, I REITX UPRAVNENIQ K \TOJ GLAWE.
2.3 |LEMENTY TEORII GRAFOW kONE^NYJ GRAF ESTX FIGURA, SOSTOQ]AQ IZ KONE^NOGO ^ISLA TO^EK (WERIN), SOEDINENNYH NEPERESEKA@]IMISQ KRIWYMI (DUGAMI). s POMO]X@ TEORII GRAFOW MOVNO REITX SAMYE RAZNOOBRAZNYE ZADA^I, NA37
^INAQ OT DETSKIH GOLOWOLOMOK, W KOTORYH TREBUETSQ WYQSNITX MOVNO LI NARISOWATX DANNU@ FIGURU, NE OTRYWAQ KARANDAA OT BUMAGI, I KON^AQ SLOVNEJIMI ZADA^AMI, WOZNIKA@]IMI W TEORII OPTIMIZACII. |LEMENTY TEORII GRAFOW ISPOLXZU@TSQ I PRI REENII OLIMPIADNYH ZADA^ (SM. 19]). nAPRIMER, RASSMOTRIM ZADA^U: DOKAZATX, ^TO ^ISLO L@DEJ, KOGDA-LIBO VIWIH NA zEMLE I SDELAWIH NE^ETNOE ^ISLO RUKOPOVATIJ, ^ETNO . zADA^A LEGKO REAETSQ S POMO]X@ SLEDU@]EGO RASSUVDENIQ. pOSTROIM GRAF, WERINY KOTOROGO | L@DI, KOGDA-LIBO VIWIE NA zEMLE, A DUGI | RUKOPOVATIQ. w TEORII GRAFOW DOKAZYWAETSQ TEOREMA O TOM, ^TO ^ISLO WERIN GRAFA, IZ KOTORYH WYHODIT NE^ETNOE ^ISLO DUG, QWLQETSQ ^ETNYM. iZ \TOJ TEOREMY NEMEDLENNO SLEDUET TREBUEMOE UTWERVDENIE.
tEMA 1. |JLEROWA HARAKTERISTIKA GRAFA rAZOBRATX PARAGRAF 4 KNIGI 17] I REITX ZADA^I W \TOM PARAGRAFE.
tEMA 2. iNDEKS PERESE^ENIQ gRAF NAZYWAETSQ WLOVIMYM W PLOSKOSTX, ESLI EGO MOVNO NARISOWATX NA PLOSKOSTI BEZ SAMOPERESE^ENIJ. uZNATX, DOPUSKAET LI GRAF WLOVENIE W PLOSKOSTX WESXMA SLOVNO, I TUT NA POMO]X PRIHODQT TOPOLOGI^ESKIE INWARIANTY. w NASTOQ]EJ KURSOWOJ RABOTE PREDPOLAGAETSQ IZU^ITX SWOJSTWA ODNOGO IZ OSNOWNYH TOPOLOGI^ESKIH INWARIANTOW | INDEKSA PERESE^ENIQ, S POMO]X@ KOTOROGO MOVNO REITX DANNU@ ZADA^U. rAZOBRATX PARAGRAF 5 KNIGI 17] I REITX ZADA^I W \TOM PARAGRAFE.
tEMA 3. pRIMENENIE TEORII GRAFOW K REENI@ OLIMPIADNYH ZADA^. rEITX ZADA^I IZ GLAW "gRAFY-1", "gRAFY-2" KNIGI 19]. 38
2.4 tOPOLOGI^ESKIE INWARIANTY POWERHNOSTEJ eWKLIDOWA GEOMETRIQ IZU^AET SWOJSTWA FIGUR, NE MENQ@]IHSQ PRI DWIVENIQH EWKLIDOWA PROSTRANSTWA, TO ESTX PRI PREOBRAZOWANIQH PROSTRANSTWA, SOHRANQ@]IH RASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI. mNOVESTWO POWERHNOSTEJ EWKLIDOWA PROSTRANSTWA BESKONE^NO, W NEGO WHODQT, NAPRIMER, WYPUKLYE I NEWYPUKLYE MNOGOGRANNIKI, SFERY, KONUSY, CILINDRY, \LLIPSOIDY, GIPERBOLOIDY, PARABOLOIDY. s TO^KI ZRENIQ EWKLIDOWOJ GEOMETRII WSE \TI POWERHNOSTI RAZLI^NY, TO ESTX MY NE MOVEM SOWMESTITX \TI POWERHNOSTI KAK TWERDYE TELA S POMO]X@ DWIVENIQ. oDNAKO, ESLI PREDPOLOVITX, ^TO ONI SDELANY IZ REZINY, TO OKAZYWAETSQ, ^TO TETRA\DR, SFERA I DODEKA\DR | ODNA I TA VE POWERHNOSTX. s DRUGOJ STORONY, SFERA I TOR (BUBLIK) | \TO RAZNYE POWERHNOSTI. sWOJSTWA POWERHNOSTEJ, NE MENQ@]IESQ PRI NEPRERYWNOJ DEFORMACII, NAZYWA@TSQ TOPOLOGI^ESKIMI INWARIANTAMI. w NASTOQ]EE WREMQ IZWESTEN CELYJ RQD TOPOLOGI^ESKIH INWARIANTOW, S POMO]X@ KOTORYH, W ^ASTNOSTI, UDALOSX POSTROITX TOPOLOGI^ESKU@ KLASSIFIKACI@ ZAMKNUTYH POWERHNOSTEJ.
tEMA 1. oRIENTIRUEMYE I NEORIENTIRUEMYE POWERHNOSTI 1) rEITX ZADA^I IZ P. 10 KNIGI 17]. 2) dOKAZATX, ^TO SFERA ESTX ORIENTIRUEMAQ POWERHNOSTX, A PROEKTIWNAQ PLOSKOSTX | NEORIENTIRUEMAQ POWERHNOSTX. 3) pOSTROITX W QWNOM WIDE WLOVENIE BUTYLKI kLEJNA I PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI W ^ETYREHMERNOE PROSTRANSTWO. 4) pOSTROITX W QWNOM WIDE POGRUVENIE BUTYLKI kLEJNA I PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI W TREHMERNOE PROSTRANSTWO I NARISOWATX SOOTWETSTWU@]IE POWERHNOSTI S POMO]X@ KOMPX@TERA. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 17], P. 10 31], gL. 4, P. 5. 39
tEMA 2. |JLEROWA HARAKTERISTIKA POWERHNOSTI I WEKTORNYE POLQ wOZXMEM NA POWERHNOSTI KONE^NOE MNOVESTWO TO^EK, I SOEDINIM IH DUGAMI TAK, ^TO WSQ POWERHNOSTX RAZBIWAETSQ NA KRIWOLINEJNYE TREUGOLXNIKI. ~ISLO V ; E + F , GDE V | ^ISLO TO^EK, E | ^ISLO DUG, F | ^ISLO TREUGOLXNIKOW, NE ZAWISIT OT RAZBIENIQ I NAZYWAETSQ \JLEROWOJ HARAKTERISTIKOJ POWERHNOSTI. 1) nAJTI \JLEROWU HARAKTERISTIKU SFERY, PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI, TORA, BUTYLKI kLEJNA. 2) rEITX ZADA^I IZ P. 11 KNIGI 17]. 3) rEITX ZADA^I IZ P. 14 KNIGI 17]. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 17], P. 11, P. 14.
tEMA 3. tOPOLOGI^ESKAQ KLASSIFIKACIQ ZAMKNUTYH POWERHNOSTEJ 1) rAZOBRATX DOKAZATELXSTWA KLASSIFIKACIONNOJ TEOREMY DLQ POWERHNOSTEJ (17], P.12 31]). 2) rEITX ZADA^I IZ P. 12, P. 13 KNIGI 17]. 3) sOSTAWITX PROGRAMMU, KOTORAQ OPREDELQET TIP POWERHNOSTI, ESLI DANA EE RAZWERTKA. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 17], P. 12, P. 13 31] gL. 4, 5.
2.5 sIMPLEKTI^ESKAQ GEOMETRIQ wEKTORNOE PROSTRANSTWO V , NA KOTOROM ZADANA SIMPLEKTI^ESKAQ FORMA, TO ESTX KOSOSIMMETRI^ESKAQ NEWYROVDENNAQ BILINEJNAQ FORMA !, NAZYWAETSQ SIMPLEKTI^ESKIM PROSTRANSTWOM. pRIMEROM SIMPLEKTI^ESKOJ FORMY SLUVIT KOSOE PROIZWEDENIE NA PLOSKOSTI. sIMPLEKTI^ESKOE PROSTRANSTWO QWLQETSQ ANALOGOM EWKLIDOWA PROSTRANSTWA, ESLI 40
RASSMATRIWATX SKALQRNOE PROIZWEDENIE (v w) = !(v w), NO, KONE^NO, SIMPLEKTI^ESKAQ GEOMETRIQ SOWERENNO NEPOHOVA NA EWKLIDOWU (K PRIMERU, L@BOJ WEKTOR ORTOGONALEN SAM SEBE). 1) dOKAZATX, ^TO RAZMERNOSTX SIMPLEKTI^ESKOGO PROSTRANSTWA ^ETNA. 2) sIMPLEKTI^ESKOE PREOBRAZOWANIE ESTX LINEJNOE OTOBRAVENIE A : V ! V TAKOE, ^TO !(Av Aw) = !(v w) DLQ L@BYH v w 2 V . A) dOKAZATX, ^TO MNOVESTWO SIMPLEKTI^ESKIH PREOBRAZOWANIJ S OPERACIEJ KOMPOZICII ESTX GRUPPA. B) dOKAZATX, ^TO OPREDELITELX MATRICY SIMPLEKTI^ESKOGO PREOBRAZOWANIQ RAWEN EDINICE. 3) pODPROSTRANSTWO W SIMPLEKTI^ESKOGO PROSTRANSTWA V NAZYWAETSQ IZOTROPNYM, ESLI !(w1 w2) = 0 DLQ L@BYH DWUH WEKTOROW w1 w2 2 W . iZOTROPNOE PODPROSTRANSTWO MAKSIMALXNOJ RAZMERNOSTI NAZYWAETSQ LAGRANVEWYM. A) dOKAZATX, ^TO ESLI W | LAGRANVEWO PODPROSTRANSTWO SIMPLEKTI^ESKOGO PROSTRANSTWA V , TO dim V = 2 dim W . B) dOKAZATX, ^TO DLQ L@BYH DWUH LAGRANVEWYH PODPROSTRANSTW SU]ESTWUET SIMPLEKTI^ESKOE PREOBRAZOWANIE, PEREWODQ]EE ODNO W DRUGOE. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 27] (x13), 53] (gLAWA 1, P. 2).
2.6 pROSTRANSTWA gALILEQ I mINKOWSKOGO pRINCIP OTNOSITELXNOSTI gALILEQ GLASIT, ^TO SU]ESTWU@T SISTEMY KOORDINAT (NAZYWAEMYE INERCIALXNYMI), KOTORYE OBLADA@T SLEDU@]IMI DWUMQ SWOJSTWAMI: 1) WSE ZAKONY PRIRODY WO WSE MOMENTY WREMENI ODINAKOWY WO WSEH INERCIALXNYH SISTEMAH KOORDINAT 2) WSE SISTEMY KOORDINAT, DWIVU]IESQ OTNOSITELXNO INERCIALXNOJ SISTEMY KOORDINAT RAWNOMERNO I PRQMOLINEJNO, INERCIALXNY. |TOT PRINCIP OPRE41
DELQET GEOMETRI^ESKIE SWOJSTWA PROSTRANSTWA-WREMENI NX@TONOWOJ MEHANIKI, NAZYWAEMOGO GALILEEWYM PROSTRANSTWOM. gEOMETRIQ PROSTRANSTWA-WREMENI NAKLADYWAET DOSTATO^NO VESTKIE OGRANI^ENIQ NA URAWNENIQ DWIVENIQ MATERIALXNYH TO^EK I TWERDYH TEL. |KSPERIMENT POKAZYWAET, ^TO DWIVENIE S OKOLOSWETOWYMI SKOROSTQMI NE MOVET BYTX OPISANO W RAMKAH NX@TONOWOJ MEHANIKI. dLQ OPISANIQ TAKOGO DWIVENIQ PRIMENQETSQ SPECIALXNAQ TEORIQ OTNOSITELXNOSTI |JNTEJNA, A GEOMETRIQ PROSTRANSTWA-WREMENI QWLQETSQ GEOMETRIEJ mINKOWSKOGO. cELX@ DANNOJ KURSOWOJ RABOTY QWLQETSQ IZU^ENIE GEOMETRI^ESKIH SWOJSTW PROSTRANSTW gALILEQ I mINKOWSKOGO, I IH FIZI^ESKIH PRILOVENIJ. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 6], 27].
2.7 tREHMERNAQ SFERA I WRA]ENIQ TREHMERNOGO EWKLIDOWA
PROSTRANSTWA
wRA]ENIEM n-MERNOGO ORIENTIROWANNOGO EWKLIDOWA WEKTORNOGO PROSTRANSTWA En NAZYWAETSQ IZOMETRIQ A : En ! En , SOHRANQ@]AQ ORIENTACI@. mNOVESTWO WRA]ENIJ En S OPERACIEJ KOMPOZICII OBRAZUET GRUPPU, OBOZNA^AEMU@ SO(n). iZU^ENIE GRUPP SO(n) PRI RAZNYH n PREDSTAWLQET INTERES NE TOLXKO S TO^KI ZRENIQ EWKLIDOWOJ GEOMETRII, NO I MEHANIKI. nAPRIMER, SWOJSTWA GRUPPY SO(3) ISPOLXZU@TSQ PRI OPISANII WRA]ENIQ TWERDOGO TELA WOKRUG NEPODWIVNOJ TO^KI. l@BOJ \LEMENT GRUPPY SO(2) WRA]ENIJ PLOSKOSTI ZADAETSQ UGLOM POWOROTA, PO\TOMU SO(2) ODNOMERNA I S TOPOLOGI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ PREDSTAWLQET SOBOJ OKRUVNOSTX. gRUPPA SO(3) USTROENA ZNA^ITELXNO SLOVNEE, NO OKAZYWAETSQ, ^TO ONA TESNO SWQZANA S TREHMERNOJ SFEROJ S 3 | POWERHNOSTX@, ZADAWAEMOJ URAWNENIEM x21 + x22 + x23 + x24 = 1 W 42
^ETYREHMERNOM PROSTRANSTWE. pRI WYPOLNENII DANNOJ KURSOWOJ PREDPOLAGAETSQ DOKAZATX, ^TO NA TREHMERNOJ SFERE S 3 SU]ESTWUET OPERACIQ UMNOVENIQ, PREWRA]A@]AQ S 3 W GRUPPU, I SU]ESTWUET S@R_EKTIWNYJ GOMOMORFIZM : S 3 ! SO(3), QDRO KOTOROGO ESTX GRUPPA Z2 = f;1 1g. tAKVE PREDPOLAGAETSQ NAJTI INTERPRETACI@ KRIWYH I POWERHNOSTEJ, RASPOLOVENNYH NA TREHMERNOJ SFERE, S POMO]X@ WRA]ENIJ TREHMERNOGO EWKLIDOWA PROSTRANSTWA. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 27] (x11).
2.8 gRUPPY ZAMO]ENIJ s DREWNEJIH WREMEN ARHITEKTORY UKRAA@T ZDANIQ POWTORQ@]IMISQ UZORAMI | ORNAMENTAMI. iH MOVNO WIDETX WS@DU | NA NARUVNYH STENAH DOMOW, WO WNUTRENNIH POME]ENIQH: NA POLU, NA POTOLKE, NA STENAH. oRNAMENTAMI UKRAA@T POSUDU I ODEVDU, POWTORQ@]IESQ MOTIWY ^ASTO ISPOLXZU@TSQ W VIWOPISI (WPE^ATLQ@]IJ PRIMER | GRAW@RY |ERA). kAVETSQ, ^TO RAZNOOBRAZIE ORNAMENTOW BESKONE^NO, NO \TO NE SOWSEM TAK. dOPUSTIM, MASTER-PARKET^IK, SOZDA@]IJ ORNAMENT, ZAPOLNQET DANNYJ U^ASTOK PLOSKOSTI, STANDARTNYMI PLITKAMI, S ODNOJ STORONY KOTORYH NANESEN UZOR. oKAZYWAETSQ, ^TO SU]ESTWUET TOLXKO PQTX RAZLI^NYH SPOSOBOW ZAMOSTITX PLOSKOSTX PLITKAMI (DWA IZ NIH IZOBRAVENY NA RISUNKE 17). sTROGOE MATEMATI^ESKOE DOKAZATELXSTWO \TOGO FAKTA OPIRAETSQ NA TEORI@ DISKRETNYH GRUPP IZOMETRI^ESKIH PREOBRAZOWANIJ EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI (14], gL. 1). tEORIQ DISKRETNYH GRUPP PREOBRAZOWANIJ ISKL@^ITELXNO SODERVATELXNA S MATEMATI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ I IMEET MNOGO^ISLENNYE PRILOVENIQ KAK W SAMOJ MATEMATIKE (NAPRIMER, L@BAQ ZAMKNUTAQ POWERHNOSTX ESTX FAKTOR-PROSTRANSTWO PLOSKOSTI PO DEJSTWI@ DISKRETNOJ GRUPPY PREOBRAZOWANIJ ), TAK I W 43
FIZIKE (NAPRIMER, PRI OPISANII KRISTALLOW). rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 14]. 1) rAZOBRATX DOKAZATELXSTWO UTWERVDENIQ O TOM, ^TO SU]ESTWUET TOLXKO PQTX ZAMO]ENIJ PLOSKOSTI ODNOSTORONNIMI PLITKAMI, PRIWEDENNOE W 14] (gLAWA I, P. 1.7), I WOSSTANOWITX PROPU]ENNYE DETALI. 2) nAJTI WSE ZAMO]ENIQ PLOSKOSTI DWUSTORONNIMI PLITKAMI. 3) nAJTI WSE ZAMO]ENIQ DWUMERNOJ SFERY. 4) nAJTI ZAMO]ENIQ TORA I BUTYLKI kLEJNA. 5) dOKAZATX, ^TO SU]ESTWUET BESKONE^NOE ^ISLO TIPOW ZAMO]ENIQ PLOSKOSTI lOBA^EWSKOGO.
2.9 pRIWEDENIE KRIWOJ I POWERHNOSTI WTOROGO PORQDKA K KA-
NONI^ESKOMU WIDU S POMO]X@ KOMPX@TERA
w KURSE ANALITI^ESKOJ GEOMETRII REAETSQ ZADA^A O PRIWEDENII OB]EGO URAWNENIQ KRIWOJ (POWERHNOSTI) WTOROGO PORQDKA K KANONI^ESKOMU WIDU I NAHOVDENIQ KANONI^ESKOJ SISTEMY KOORDINAT DLQ \TOJ KRIWOJ (POWERHNOSTI). oDNAKO, PRI REENII \TOJ ZADA^I PRIHODITSQ PRODELYWATX TRUDOEMKIE WY^ISLENIQ, OSOBENNO DLQ POWERHNOSTI. pO\TOMU, POLEZNO NAPISATX PROGRAMMU, REA@]U@ DANNU@ ZADA^U. nAPISATX PROGRAMMU, RABOTA@]U@ SLEDU@]IM OBRAZOM. pOLXZOWATELX WWODIT KO\FFICIENTY OB]EGO URAWNENIQ KRIWOJ (POWERHNOSTI) WTOROGO PORQDKA. pROGRAMMA WYWODIT 1) KANONI^ESKOE URAWNENIE 2) FORMULY PREOBRAZOWANIQ IZ ISHODNOJ SISTEMY KOORDINAT W KANONI^ESKU@ SISTEMU KOORDINAT 3) RISUNOK KRIWOJ (POWERHNOSTI) W ISHODNOJ SISTEME KOORDINAT.
44
rIS. 17. zAMO]ENIQ PLOSKOSTI
45
2.10 pOSTROENIE ZAME^ATELXNYH KRIWYH S POMO]X@ PAKETA Mathematica cELX@ DANNOJ KURSOWOJ QWLQETSQ POSTROENIE ZAME^ATELXNYH KRIWYH, OPISANNYH W KNIGE 48], I ISSLEDOWANIE IH SWOJSTW S POMO]X@ PAKETA Mathematica.
rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 48].
3
tEMY, PREDLOVENNYE fOMINYM w.e.
3.1 pLOSKIE KRIWYE pLOSKIE KRIWYE | ODIN IZ OB_EKTOW, PRI IZU^ENII KOTORYH ISPOLXZU@TSQ REZULXTATY, POLU^ENNYE W LEKCIONNYH KURSAH PO ANALITI^ESKOJ I DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRIQM. oDNI IZ \TIH KRIWYH INTERESNY W TEORETI^ESKOM OTNOENII, DRUGIE NAHODQT PRAKTI^ESKOE PRIMENENIE, TRETXI OBLADA@T ORIGINALXNYMI OSOBENNOSTQMI FORMY, ^ETW
tEMA 1. uLITKA pASKALQ, E< SWOJSTWA I PRIMENENIE rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 48], GLAWA VI, x2.
tEMA 2. sPIRALX aRHIMEDA rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 48], GLAWA VII, xx1, 2. 46
tEMA 3. lOGARIFMI^ESKAQ SPIRALX rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 48], GLAWA VII, x4.
tEMA 4. cEPNAQ LINIQ rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 48], GLAWA VII, x5.
tEMA 5. tRAKTRISA rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 48], GLAWA VII, x6.
tEMA 6. cIKLOIDA rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 48], GLAWA VII, x11, 16].
tEMA 7. pOGONNAQ KRIWAQ rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 48], GLAWA VII, x14.
tEMA 8. |WOLXWENTA OKRUVNOSTI rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 48], GLAWA VII, x13.
tEMA 9. |PICIKLOIDY I GIPOCIKLOIDY rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 48], GLAWA VII, x3, PP. 1-3.
tEMA 10. kRIWYE {TURMA rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 48], GLAWA VII, x12.
47
3.2 kWATERNIONY I DRUGIE GIPERKOMPLEKSNYE ^ISLA e]< W KOLXNOM KURSE ALGEBRY MY OBNARUVILI, KAKIE UDOBSTWA I PREIMU]ESTWA PREDSTAWLQET PEREHOD OT WE]ESTWENNYH ^ISEL K KOMPLEKSNYM. kWATERNIONY PREDSTAWLQ@T SOBOJ OBOB]ENIE PONQTIQ KOMPLEKSNOGO ^ISLA I NAHODQT IROKOE PRIMENENIE W ALGEBRE I GEOMETRII. kURSOWAQ RABOTA NA \TU TEMU BUDET PREDSTAWLQTX IZ SEBQ OZNAKOMLENIE SO SWOJSTWAMI KWATERNIONOW, IH PRIMENENIEM W GEOMETRII TR
3.3 gEOMETRIQ PSEWDOEWKLIDOWOJ PLOSKOSTI pSEWDOEWKLIDOWA PLOSKOSTX OTLI^AETSQ OT EWKLIDOWOJ TEM, ^TO KWADRAT DLINY WEKTORA MOVET BYTX OTRICATELXNYM ILI RAWNYM NUL@, HOTQ SAM WEKTOR NENULEWOJ. pRIMEROM TAKOGO PROSTRANSTWA, PRAWDA, NE DWUMERNOGO, A ^ETYR
3.4 lINEJNAQ ALGEBRA I \LEMENTARNAQ GEOMETRIQ pREDLAGAEMYE DLQ SAMOSTOQTELXNOGO IZU^ENIQ TEMY KURSOWOJ RABOTY PREDSTAWLQ@T SOBOJ OTDELXNYE PARAGRAFY KNIGI vANA dXEDONNE "lINEJNAQ ALGEBRA I \LEMENTARNAQ GEOMETRIQ". aWTOR KNIGI, ODIN IZ OSNOWATELEJ ZNAMENITOJ GRUPPY MATEMATIKOW n.bURBAKI, POLNOSTX@ PORWAL S TRADICIONNYM IZLOVENIEM GEOMETRII W SREDNEJ KOLE I 48
PRINORAWLIWAETSQ ISKL@^ITELXNO K PROGRAMMAM UNIWERSITETOW I POLITEHNI^ESKIH INSTITUTOW. tO, ^TO K \TIM PROGRAMMAM OTNOENIQ NE IMEET, BYLO IZ_QTO IZ TEKSTA I DAVE IZ UPRAVNENIJ. w \TOJ KNIGE WY NE WSTRETITE NI ^ERTEVEJ, NI ZADA^ NA TREUGOLXNIKI, NA POSTROENIE "CIRKULEM I LINEJKOJ". nAPROTIW, AWTOR STARAETSQ KAK MOVNO RANXE WWESTI PONQTIQ, KOTORYE BUDUT OSNOWNYMI NA PERWOM KURSE wuzA: LINEJNOE I POLILINEJNOE OTOBRAVENIQ, SOBSTWENNYE ZNA^ENIQ OPERATORA, GRUPPA ILI KOLXCO OPERATOROW. bOLEE GLUBOKIE REZULXTATY OTNESENY W UPRAVNENIQ. rEENIE NEKOTORYH IZ \TIH UPRAVNENIJ BUDET SOSTAWLQTX SAMOSTOQTELXNU@ ^ASTX KURSOWOJ RABOTY.
tEMA 1. lINEJNYE OTOBRAVENIQ WEKTORNYH PROSTRANSTW. pOLNAQ LINEJNAQ GRUPPA WEKTORNOGO PROSTRANSTWA rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 21], PP. 3.2.1, 3.2.3-3.2.10, 4.1.13, 4.1.14 A, S. 62, UPR. 2-4, 9, 10.
tEMA 2. pROEKTIROWANIQ I INWOL@CII WEKTORNOGO PROSTRANSTWA rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 21], PP. 3.2.2, 3.2.11, S. 62, UPR. 1, 5,
14.
tEMA 3. pOLILINEJNYE OTOBRAVENIQ WEKTORNYH PROSTRANSTW rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 21], PP. 3.2.12- 3.2.16, S. 63, UPR. 6-8.
tEMA 4. aFFINNYE OTOBRAVENIQ WEKTORNYH PROSTRANSTW rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 21], PP. 3.2.17-3.2.20, S. 64, UPR. 11-13.
49
WA
tEMA 5. pRQMYE I GIPERPLOSKOSTI WEKTORNOGO PROSTRANST-
rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 21], PP. 3.3.1, 3.3.2, 3.3.5, 3.3.6, 3.3.8, 3.3.9, 4.1.15, 4.1.16, S. 71, UPR. 1-5.
tEMA 6. mATRICY I \NDOMORFIZMY WEKTORNOGO PROSTRANSTWA. pODGRUPPY POLNOJ LINEJNOJ GRUPPY WEKTORNOJ PLOSKOSTI rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 21], GLAWA 4, x1, S. 88, UPR. 1-4, 6(a).
tEMA 7. oPREDELITELI \NDOMORFIZMOW WEKTORNOJ PLOSKOSTI rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 21], S. 103, UPR. 1, 3-5, 10.
3.5 dOPOLNITELXNYE GLAWY DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRII
tEMA 1. sFERI^ESKOE OTOBRAVENIE POWERHNOSTI I TRETXQ KWADRATI^NAQ FORMA POWERHNOSTI sFERI^ESKOE OTOBRAVENIE KAVDOJ TO^KE POWERHNOSTI STAWIT W SOOTWETSTWIE TO^KU NA SFERE S RADIUS-WEKTOROM, RAWNYM ORTU NORMALI POWERHNOSTI. |TO OTOBRAVENIE POROVDAET NEKOTORYE OB_EKTY (OPERATOR wEJNGARTENA, TRETX@ KWADRATI^NU@ FORMU), KOTORYE HARAKTERIZU@T SWOJSTWA SAMOJ POWERHNOSTI. sAMOSTOQTELXNAQ ^ASTX KURSOWOJ RABOTY BUDET PREDSTAWLQTX REENIE ZADA^ NA DANNU@ TEMU IZ ZADA^NIKOW PO DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRII. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 33], 35], S. 151, ZAD. 19 43], 50], ZAD. 838, 839 51].
50
tEMA 2. kRIWYE bERTRANA dWE PROSTRANSTWENNYE KRIWYE NAZYWA@TSQ KRIWYMI bERTRANA, ESLI ONI IME@T OB]IE GLAWNYE NORMALI. iZU^ENIE SWOJSTW TAKIH KRIWYH I REENIE ZADA^ BUDET SOSTAWLQTX SODERVANIE KURSOWOJ RABOTY. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 33], xx57-60 35], S. 71-72, ZAD. 8-10.
tEMA 3. pOWERHNOSTI WRA]ENIQ I IH OBOB]ENIQ oGIBA@]AQ ODNOPARAMETRI^ESKOGO SEMEJSTWA SFER NAZYWAETSQ KANALOWOJ POWERHNOSTX@. eSLI CENTRY SFER LEVAT NA PRQMOJ, TO POLU^AEM POWERHNOSTX WRA]ENIQ, A ESLI RADIUSY SFER POSTOQNNY, TO | KANALOWU@ POWERHNOSTX. iZU^ENIE SWOJSTW TAKIH POWERHNOSTEJ I REENIE ZADA^ BUDET SOSTAWLQTX SODERVANIE KURSOWOJ RABOTY. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 33], 34] xx30-33 35], S. 107, ZAD. 15, S. 151, ZAD. 23.
tEMA 4. aSIMPTOTY PROSTRANSTWENNOJ KRIWOJ aSIMPTOTY PLOSKOJ I PROSTRANSTWENNOJ KRIWYH | ODNA IZ HARAKTERISTIK FORMY KRIWOJ. mETODY NAHOVDENIQ ASIMPTOT I REENIE ZADA^ SOSTAWLQ@T SODERVANIE KURSOWOJ RABOTY. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 33], 35], S. 28, ZAD. 5, 6.
tEMA 5. pOWERHNOSTI PERENOSA eSLI W PROSTRANSTWE DANY DWE KRIWYE L1 L2, PERESEKA@]IESQ W TO^KE M0, I TO^KA M0 WMESTE S KRIWOJ L1 PARALLELXNO PERENOSITSQ WDOLX KRIWOJ L2, TO PRI TAKOM DWIVENII KRIWAQ L1 OPISYWAET POWERHNOSTX, NAZYWAEMU@ POWERHNOSTX@ PERENOSA. iZU^ENIE SWOJSTW TAKIH POWERHNOSTEJ I REENIE ZADA^ BUDUT SOSTAWLQTX SODERVANIE KURSOWOJ RABOTY. 51
rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 34] x68 35], S. 88, ZAD. 7, 8, S. 106, ZAD. 2, S. 124, ZAD.14, S. 148, ZAD. 8.
tEMA 6. tRIORTOGONALXNYE SISTEMY POWERHNOSTEJ eSLI W TR
tEMY, PREDLOVENNYE {APUKOWYM b.n.
4.1 gRUPPY PREOBRAZOWANIJ mNOVESTWO G NAZYWAETSQ GRUPPOJ, ESLI DLQ L@BOJ PARY EGO \LEMENTOW OPREDELENA OPERACIQ GRUPPOWOGO UMNOVENIQ c = ab 2 G, UDOWLETWORQ@]AQ SLEDU@]IM USLOWIQM: 1) ASSOCIATIWNOSTX: (ab)c = a(bc) DLQ L@BYH a b c 2 G 2) SU]ESTWOWANIE EDINI^NOGO \LEMENTA GRUPPY e 2 G: ae = ea = a DLQ L@BOGO a 2 G 3) DLQ L@BOGO a 2 G SU]ESTWUET OBRATNYJ \LEMENT a;1 2 G : aa;1 =
a;1a = e. gRUPPY G I G0 NAZYWA@TSQ IZOMORFNYMI, ESLI SU]ESTWUET BIEKTIWNOE OTOBRAVENIE ' : G ! G0 , TAKOE, ^TO '(ab) = '(a)'(b). oSOBOE ZNA^ENIE W MATEMATIKE I EE PRILOVENIQH IME@T GRUPPY, \LEMENTY KOTORYH | PREOBRAZOWANIQ NEKOTOROGO MNOVESTWA M , T.E. EGO BIEKTIWNYE OTOBRAVENIQ NA SEBQ f : M ! M . nAPRIMER, ESLI M | EWKLIDOWA PLOSKOSTX, TO EE PREOBRAZOWANIQMI QWLQ@TSQ PERENOSY, 52
WRA]ENIQ WOKRUG ZADANNOJ TO^KI, DWIVENIQ, SIMMETRII OTNOSITELXNO ZADANNOJ PRQMOJ I T.P. eSLI NA PLOSKOSTI WYBRANA NEKOTORAQ SISTEMA KOORDINAT, TO PREOBRAZOWANIQ MOVNO ZAPISATX ANALITI^ESKI: KOORDINATY PREOBRAZOWANNOJ TO^KI QWLQ@TSQ NEKOTORYMI FUNKCIQMI OT KOORDINAT ISHODNOJ TO^KI x0 = f 1(x y) y0 = f 2 (x y):
wID \TIH FUNKCIJ ZAWISIT KAK OT RASSMATRIWAEMOGO PREOBRAZOWANIQ, TAK I OT WIDA WYBRANNYH KOORDINAT. nAPRIMER, WRA]ENIQ PLOSKOSTI W PRQMOUGOLXNYH KOORDINATAH IME@T WID
x0 = x cos ; y sin y0 = x sin + y cos zDESX NA^ALO KOORDINAT | CENTR WRA]ENIQ, | ORIENTIROWANNYJ UGOL POWOROTA. tO VE PREOBRAZOWANIE W POLQRNYH KOORDINATAH (r ) IMEET DRUGOJ WID: r0 = r 0 = + . eSLI G | GRUPPA PREOBRAZOWANIJ MNOVESTWA M , TO UMNOVENIE W NEJ OPREDELQETSQ FORMULOJ g f (A) = g(f (A)) A 2 M . tOGDA USLOWIE ASSOCIATIWNOSTI WYPOLNENO AWTOMATI^ESKI, EDINICEJ SLUVIT TOVDESTWENNOE PREOBRAZOWANIE IdM , A \LEMENTOM, OBRATNYM K PREOBRAZOWANI@ f QWLQETSQ OBRATNOE K NEMU PREOBRAZOWANIE f ;1 : f f ;1 = f ;1 f = IdM . nAPRIMER, DWIVENIQ EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI W PRQMOUGOLXNYH KOORDI-
NATAH IME@T WID
x0 = x cos ; y sin + a1 y0 = x sin + y cos + a2 nETRUDNO PODS^ITATX, ^TO PROIZWEDENIEM DWUH DWIVENIJ S PARAMETRAMI (a1 a2 ) I (b1 b2 ) QWLQETSQ DWIVENIE S PARAMETRAMI c1 = a1cos ; a2sin + b1 c2 = a1sin + a2cos + b2 = + : |TI FORMULY, PO SU]ESTWU, OPREDELQ@T ZAKON UMNOVENIQ W \TOJ GRUPPE. 53
tE SWOJSTWA FIGUR, KOTORYE NE IZMENQ@TSQ PRI PREOBRAZOWANIQH DANNOJ GRUPPY G, NAZYWA@TSQ INWARIANTNYMI. oNI OBRAZU@T GEOMETRI@ DANNOJ GRUPPY. eSLI PODMNOVESTWO N M PRI DEJSTWII GRUPPY PREOBRAZUETSQ W SEBQ, ONO NAZYWAETSQ INWARIANTNYM. eSLI FUNKCIQ I (A1 : : : Ak ), ZADANNAQ NA MNOVESTWE M , NE IZMENQET SWOIH ZNA^ENIJ PRI PREOBRAZOWANIQH GRUPPY, ONA NAZYWAETSQ INWARIANTOM \TOJ GRUPPY. nAPRIMER, SWOJSTWO PARALLELXNOSTI PARY PRQMYH NA EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI QWLQETSQ INWARIANTNYM PRI PREOBRAZOWANIQH GRUPPY DWIVENIJ, A RASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI ESTX INWARIANT \TOJ GRUPPY. oKRUVNOSTI S CENTROM W NEKOTOROJ TO^KE QWLQ@TSQ INWARIANTNYMI PODMNOVESTWAMI OTNOSITELXNO GRUPPY WRA]ENIJ WOKRUG \TOJ TO^KI. oTYSKANIE INWARIANTNYH SWOJSTW, INWARIANTNYH PODMNOVESTW I INWARIANTOW DANNOJ GRUPPY QWLQETSQ UWLEKATELXNOJ I WAVNOJ ZADA^EJ. sLEDU@]IE ZADANIQ SWQZANY S IZU^ENIEM SWOJSTW NEKOTORYH GRUPP PREOBRAZOWANIJ PLOSKOSTI.
tEMA 1. gRUPPA AFFINNYH PREOBRAZOWANIJ PLOSKOSTI pREOBRAZOWANIE PLOSKOSTI M NAZYWAETSQ AFFINNYM, ESLI WSQKIE TRI KOLLINEARNYE TO^KI, T.E. TO^KI, PRINADLEVA]IE ODNOJ PRQMOJ, PEREHODQT W KOLLINEARNYE TO^KI. |TO RAWNOSILXNO TOMU, ^TO NEKOLLINEARNYE TO^KI PREOBRAZU@TSQ TAKVE W NEKOLLINEARNYE. dOKAZATX, ^TO: 1) wSQKOE AFFINNOE PREOBRAZOWANIE IMEET WID r0 = Ar + a, GDE A | NEOSOBENNYJ LINEJNYJ OPERATOR, a | WEKTOR, I, SLEDOWATELXNO, ONO OPREDELQETSQ PAROJ (A a). w DEKARTOWYH KOORDINATAH PREOBRAZOWANIE ZADAETSQ LINEJNYMI FUNKCIQMI x0 = a11x + a12y + a1 y0 = a21x + a22y + a2 = det(aij ) 6= 0: 54
2) aFFINNOE PREOBRAZOWANIE ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ ZADANIEM PARY REPEROW PLOSKOSTI. 3) aFFINNYE PREOBRAZOWANIQ OBRAZU@T GRUPPU Aff ! (M ). |TA GRUPPA IZOMORFNA GRUPPE (3 3)-MATRIC WIDA A a . zAPISATX ZAKON 0 1
UMNOVENIQ PREOBRAZOWANIJ I OBRATNOE PREOBRAZOWANIE W TERMINAH PAR (A a). 4) aFFINNYE PREOBRAZOWANIQ SOHRANQ@T PARALLELXNOSTX PRQMYH. 5) oTNOENIE TREH KOLLINEARNYH TO^EK = (AB C ), OPREDELQEMOE ;! ;;! RAWENSTWOM ; AC = CB , QWLQETSQ INWARIANTOM GRUPPY Aff (M ). 6) l@BYE DWA TREUGOLXNIKA NA PLOSKOSTI AFFINNO-\KWIWALENTNY. dLQ TOGO, ^TOBY BYLI AFFINNO-\KWIWALENTNY DWA 4-UGOLXNIKA, NEOBHODIMO I DOSTATO^NO, ^TOBY BYLI RAWNY OTNOENIQ, W KOTORYH DELQTSQ IH DIAGONALI.
tEMA 2. pODGRUPPY AFFINNOJ GRUPPY pUSTX G | GRUPPA. pODMNOVESTWO H G NAZYWAETSQ PODGRUPPOJ, ESLI ONO QWLQETSQ GRUPPOJ OTNOSITELXNO TOJ VE OPERACII UMNOVENIQ. pODGRUPPA NAZYWAETSQ NORMALXNYM DELITELEM, ESLI ONA UDOWLETWORQET USLOWI@ aHa;1 = H . nAPRIMER, ESLI G | GRUPPA DWIVENIJ EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI, TO PODMNOVESTWO WRA]ENIJ S CENTROM W L@BOJ FIKSIROWANNOJ TO^KE QWLQETSQ PODGRUPPOJ. pODGRUPPU, I DAVE NORMALXNYJ DELITELX, OBRAZUET TAKVE PODMNOVESTWO PARALLELXNYH PERENOSOW: x0 = x + a1 y0 = y + a2.
pODGRUPPY PREOBRAZOWANIJ ^ASTO WOZNIKA@T W GEOMETRII ESTESTWENNYM OBRAZOM. nAPRIMER, ESLI ZADANO PODMNOVESTWO F M , TO SOWOKUPNOSTX H G TEH PREOBRAZOWANIJ GRUPPY G, KOTORYE PREOBRAZU@T EGO W SEBQ, OBRAZU@T PODGRUPPU, NAZYWAEMU@ GRUPPOJ SIMMETRIJ MNOVESTWA F . tAK, RASSMATRIWAQ DWIVENIQ NA PLOSKOSTI, MOVNO GOWORITX 55
O GRUPPE SIMMETRIJ KWADRATA. eSLI VE I | NEKOTORAQ FUNKCIQ NA M , TO PODGRUPPU W G OBRAZU@T TE PREOBRAZOWANIQ, KOTORYE OSTAWLQ@T \TU FUNKCI@ INWARIANTNOJ. sLEDU@]IE ZADA^I SWQZANY S RASSMOTRENIEM RAZLI^NYH PODGRUPP AFFINNOJ GRUPPY PREOBRAZOWANIJ NA PLOSKOSTI. 1) pOKAVITE, ^TO MNOVESTWO PARALLELXNYH PERENOSOW r0 = r + a PLOSKOSTI OBRAZU@T PODGRUPPU I, BOLEE TOGO, NORMALXNYJ DELITELX GRUPPY Aff (M ) AFFINNYH PREOBRAZOWANIJ. |TA PODGRUPPA IZOMORFNA GRUPPE WEKTOROW PLOSKOSTI S OPERACIEJ SLOVENIQ c = a + b (WEKTORNAQ GRUPPA). 2) pOKAZATX, ^TO PODMNOVESTWO Aff0(M ) GRUPPY AFFINNYH PREOBRAZOWANIJ, OSTAWLQ@]IH NEPODWIVNOJ FIKSIROWANNU@ TO^KU, ESTX PODGRUPPA (CENTROAFFINNAQ GRUPPA). oNA IZOMORFNA GRUPPE GL(2) LINEJNYH OPERATOROW 2-MERNOGO WEKTORNOGO PROSTRANSTWA. 3) pOKAZATX, ^TO AFFINNAQ GRUPPA S ESTESTWENNYM OBRAZOM OPREDELENNOJ TOPOLOGIEJ 2-SWQZNA. pOKAZATX, ^TO SWQZNAQ KOMPONENTA EDINICY ESTX PODGRUPPA Aff + (M ) TAKIH AFFINNYH PREOBRAZOWANIJ, KOTORYE SOHRANQ@T ORIENTACI@ FIGUR. 4) pUSTX NA PLOSKOSTI ZADANA NEKOTORAQ OSX l. rASSMOTRIM PREOBRAZOWANIQ, KOTORYE KAVDU@ TO^KU \TOJ OSI OSTAWLQ@T NEPODWIVNOJ, A ESLI TO^KA A EJ NE PRINADLEVIT, TO ONA PREOBRAZUETSQ W TO^KU A0 = f (A) ;! TAKU@, ^TO ; AA0 jjl. tAKOE PREOBRAZOWANIE NAZYWAETSQ SDWIGOM WDOLX OSI l. pOKAZATX, ^TO SDWIG QWLQETSQ AFFINNYM PREOBRAZOWANIEM. oBRAZU@T LI SDWIGI S DANNOJ OSX@ PODGRUPPU AFFINNOJ GRUPPY?
tEMA 3. oDNOPARAMETRI^ESKIE PODGRUPPY AFFINNOJ GRUPPY mNOVESTWO PREOBRAZOWANIJ AFFINNOJ GRUPPY r0 = Ar+a NA PLOSKOS56
TI ZAWISIT OT ESTI PARAMETROW: ^ETYRE IZ NIH OPREDELQ@T MATRICU LINEJNOGO OPERATORA I DWA | WEKTOR PERENOSA a. pRI \TOM TOVDESTWENNOE PREOBRAZOWANIE (EDINICA GRUPPY) SOOTWETSTWUET ZNA^ENIQM A = E , a = 0. pOLOVIW A = A(t), a = a(t), t 2 R, POLU^IM ODNOPARAMETRI^ESKOE MNOVESTWO PREOBRAZOWANIJ. eSLI \TO MNOVESTWO ESTX GRUPPA, TO ONA NAZYWAETSQ ODNOPARAMETRI^ESKOJ. wOPROS: pRI KAKIH USLOWIQH ODNOPARAMETRI^ESKOE MNOVESTWO PREOBRAZOWANIJ OBRAZUET GRUPPU? pUSTX r(x y) | PROIZWOLXNAQ TO^KA PLOSKOSTI. dEJSTWUQ NA NEE PREOBRAZOWANIQMI ODNOPARAMETRI^ESKOJ GRUPPY, POLU^IM KRIWU@ r(t) = A(t)r + a(t) | ORBITU \TOJ TO^KI. mOVNO S^ITATX, ^TO NA^ALXNAQ TO^KA ORBITY SOOTWETSTWUET ZNA^ENI@ PARAMETRA t = 0. kASATELXNYJ WEKTOR ORBITY, WY^ISLENNYJ W NA^ALXNOJ TO^KE, IMEET WID ddtr jt=0 = V r + v,
!
v11 v21 GDE V = 2 2 | (2 2)-MATRICA, v = (v1 v2 ) | WEKTOR. v1 v2 1) pOKAZATX, ^TO PARA (V v) ODNOZNA^NO OPREDELQET ODNOPARAMETRI^ESKU@ GRUPPU PRI ;1 < t < 1. 2) zAPISATX KANONI^ESKIE WIDY MATRICY V NAD POLEM WE]ESTWENNYH ^ISEL R, ISPOLXZUQ PREOBRAZOWANIQ V 0 = TV T ;1 . 3) iNTEGRIRUQ URAWNENIQ dx dy = v11 x + v21y + v1 v12x + v22y + v2 DLQ \TIH KANONI^ESKIH WIDOW I RASSMATRIWAQ RAZLI^NYE SLU^AI, POLU^ITX KLASSIFIKACI@ ODNOPARAMETRI^ESKIH PODGRUPP. 3) nAJTI PREOBRAZOWANIQ \TIH PODGRUPP I SOOTWETSTWU@]IE ORBITY. 4) nAJTI, W ^ASTNOSTI, ODNOPARAMETRI^ESKIE PODGRUPPY GRUPPY DWIVENIJ EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI. 57
tEMA 4. gRUPPA DWIVENIJ PLOSKOSTI I IH KLASSIFIKACIQ dWIVENIEM (ILI IZOMETRIEJ) NAZYWAETSQ PREOBRAZOWANIE A0 = f (A), KOTOROE SOHRANQET RASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI: d(A0 B 0 ) = d(AB ). |TO RAWNOSILXNO INWARIANTNOSTI SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ WEKTOROW. pRIMERAMI DWIVENIJ QWLQ@TSQ PERENOSY, WRA]ENIQ, SIMMETRII OTNOSITELXNO PRQMYH. dOKAZATX SLEDU@]IE SWOJSTWA DWIVENIJ EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI: 1) wSQKOE DWIVENIE PREOBRAZUET PRQMYE W PRQMYE I, SLEDOWATELXNO, QWLQETSQ AFFINNYM PREOBRAZOWANIEM. 2) dWIVENIE ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ PAROJ ORTONORMIROWANNYH REPEROW. 3) sOWOKUPNOSTX WSEH DWIVENIJ Iso(M ) Aff (M ) OBRAZUET PODGRUPPU AFFINNOJ GRUPPY. 4) gRUPPA DWIVENIJ SOSTOIT IZ DWUH KOMPONENT SWQZNOSTI. pRI \TOM DWIVENIQ, SOHRANQ@]IE ORIENTACI@ FIGUR, OBRAZU@T PODGRUPPU, SOSTOQ]U@ IZ SOBSTWENNYH DWIVENIJ Iso+(M ), SWQZNU@ KOMPONENTU EDINICY. 5) sIMMETRIQ OTNOSITELXNO PRQMOJ ESTX DWIVENIE NESOBSTWENNOE. pROIZWEDENIE DWUH SIMMETRIJ ESTX LIBO PERENOS, LIBO WRA]ENIE. pROIZWOLXNOE DWIVENIE RAZLAGAETSQ W PROIZWEDENIE NE BOLEE, ^EM TREH SIMMETRIJ. 6) dATX KLASSIFIKACI@ DWIVENIJ PLOSKOSTI, RASSMATRIWAQ NEPODWIVNYE TO^KI. 7) pUSTX G Aff (M ) | PODMNOVESTWO AFFINNYH PREOBRAZOWANIJ PLOSKOSTI, SOHRANQ@]IH PSEWDOSKALQRNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW. pOKAZATX, ^TO \TO PODGRUPPA (GRUPPA PSEWDOEWKLIDOWYH DWIVENIJ). nAJTI EE PREOBRAZOWANIQ W PRQMOUGOLXNYH KOORDINATAH. pOKAZATX, ^TO ONA SOSTOIT IZ ^ETYREH SWQZNYH KOMPONENT I WYQSNITX IH GEOMETRI^ESKIJ 58
SMYSL.
tEMA 5. gRUPPA SIMMETRIJ FIGURY pUSTX M | EWKLIDOWA PLOSKOSTX I F M | NEKOTOROE PODMNOVESTWO EE TO^EK (FIGURA). sOWOKUPNOSTX DWIVENIJ G Iso(M ) PLOSKOSTI, PREOBRAZU@]IH FIGURU W SEBQ, OBRAZU@T PODGRUPPU, KOTORAQ NAZYWAETSQ GRUPPOJ SIMMETRIJ \TOJ FIGURY. pREOBRAZOWANIQMI \TOJ GRUPPY MOGUT BYTX SIMMETRII OTNOSITELXNO PRQMOJ (OSI SIMMETRII), CENTRALXNAQ SIMMETRIQ OTNOSITELXNO NEKOTOROJ TO^KI (CENTRA SIMMETRII), PERENOSY, WRA]ENIQ. cENTRY SIMMETRIJ, OSI SIMMETRIJ NAZYWA@TSQ \LEMENTAMI SIMMETRII. 1) nAJTI GRUPPU SIMMETRIJ I \LEMENTY SIMMETRII NEKOTORYH GEOMETRI^ESKIH FIGUR: TREUGOLXNIKOW, 4-UGOLXNIKOW, PRQMOJ, KONI^ESKIH SE^ENIJ, POLOSY, OGRANI^ENNOJ PAROJ PARALLELXNYH PRQMYH I DR. 2) nAJTI GRUPPU SIMMETRIJ PRAWILXNOGO n-UGOLXNIKA. rASSMOTRETX SLU^AI, KOGDA n ^ETNO ILI NE^ETNO. 3) dOKAZATX, ^TO DLQ L@BOGO n KONE^NAQ CIKLI^ESKAQ GRUPPA G = f1 a a2 : : : an;1g, an = 1 IZOMORFNA GRUPPE WRA]ENIJ PRAWILXNOGO nUGOLXNIKA. 4) fIGURA F NA PLOSKOSTI NAZYWAETSQ OGRANI^ENNOJ, ESLI MNOVESTWO RASSTOQNIJ d(A B ) MEVDU EE TO^KAMI OGRANI^ENO SWERHU. ~ISLO D(F ) = sup fd(A B ) : A B 2 F g NAZYWAETSQ DIAMETROM FIGURY. dOKAZATX, ^TO ESLI FIGURA OGRANI^ENA, TO ONA IMEET NE BOLEE ODNOGO CENTRA SIMMETRII. 5) mOVNO TAKVE ISKATX GRUPPY SIMMETRIJ FIGUR SREDI AFFINNYH PREOBRAZOWANIJ. tOGDA G | PODGRUPPA AFFINNOJ GRUPPY. nAJTI GRUPPY AFFINNYH SIMMETRIJ PERE^ISLENNYH WYE FIGUR. 59
tEMA 6. rAZLOVENIE AFFINNYH PREOBRAZOWANIJ pUSTX NA PLOSKOSTI ZADANA NEKOTORAQ PRQMAQ l I NEPARALLELXNYJ EJ WEKTOR p. rASSMOTRIM AFFINNYE PREOBRAZOWANIQ, KOTORYE KAVDU@ TO^KU \TOJ PRQMOJ OSTAWLQ@T NEPODWIVNOJ, A ESLI TO^KA A EJ NE PRI;! NADLEVIT, TO ONA PREOBRAZUETSQ W TO^KU A0 = f (A) TAKU@, ^TO ; AA0jjp ;! 0B = k; I A;;! AB , GDE k > 0, A B | TO^KA PERESE^ENIQ PRQMOJ AA0 c l. tAKOE PREOBRAZOWANIE NAZYWAETSQ KOSYM SVATIEM c OSX@ l I KO\FFICIENTOM k. eSLI WEKTOR p ORTOGONALEN PRQMOJ l, TO GOWORQT O PRQMOM SVATII. 1) dOKAZATX, ^TO KOSOE SVATIE QWLQETSQ AFFINNYM PREOBRAZOWANIEM. 2) pOKAZATX, ^TO KOSOE SVATIE ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ ZADANIEM OSI I PARY SOOTWETSTWU@]IH TO^EK. 3) uSTANOWITX SWQZX MEVDU KOSYM SVATIEM I PARALLELXNYM PROEKTIROWANIEM ODNOJ PLOSKOSTI PROSTRANSTWA NA DRUGU@. 4) nAJTI PREOBRAZOWANIE SVATIQ W DEKARTOWYH KOORDINATAH. kAK PREOBRAZU@TSQ RAZLI^NYE FIGURY PRI \TOM PREOBRAZOWANII? 5) dOKAZATX, ^TO WSQKOE AFFINNOE PREOBRAZOWANIE PLOSKOSTI MOVNO PREDSTAWITX W WIDE PROIZWEDENIQ DWIVENIQ I DWUH NEZAWISIMYH SVATIJ. 6) iSPOLXZUQ \TOT REZULXTAT, NAJTI GRANICY OTNOENIJ DLIN OTREZKOW AB I A0B 0 PRI AFFINNOM PREOBRAZOWANII, T.E. 0B 0 j j A k1 jAB j k2 :
tEMA 7. gRUPPA PROEKTIWNYH PREOBRAZOWANIJ pUSTX V | 3-MERNOE WEKTORNOE PROSTRANSTWO. pROEKTIWNOJ PLOSKOSTX@ NAZYWAETSQ MNOVESTWO ODNOMERNYH PODPROSTRANSTW \TOGO 60
PROSTRANSTWA. tAKIM OBRAZOM, TO^KA PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI OPREDELQETSQ NENULEWYM WEKTOROM x 2 V, ZADANNYM S TO^NOSTX@ DO MNOVITELQ. pRI \TOM DWUMERNOMU PODPROSTRANSTWU W V SOOTWETSTWUET PROEKTIWNAQ PRQMAQ l . wSQKIJ NEOSOBENNYJ LINEJNYJ OPERATOR A PROSTRANSTWA V OPREDELQET PREOBRAZOWANIE x0 = Ax PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI, KOTOROE NAZYWAETSQ PROEKTIWNYM PREOBRAZOWANIEM. |TOT OPERATOR TAKVE OPREDELEN S TO^NOSTX@ DO NENULEWOGO MNOVITELQ. w ^ASTNOSTI, TOVDESTWENNOE PREOBRAZOWANIE OPREDELENO OPERATORAMI E . pROEKTIWNAQ GEOMETRIQ IZU^AET TE SWOJSTWA FIGUR F , KOTORYE INWARIANTNY PRI PROEKTIWNYH PREOBRAZOWANIQH. eSLI ZADATX W V BAZIS, TO KOORDINATY (x1 x2 x3) WEKTORA x, OPREDELENNYE S TO^NOSTX@ DO NENULEWOGO MNOVITELQ, NAZYWA@TSQ ODNORODNYMI KOORDINATAMI SOOTWETSTWU@]EJ TO^KI. w \TIH KOORDINATAH PROEKTIWNOE PREOBRAZOWANIE IMEET WID x0i = Aij xj , GDE det(Aij ) 6= 0,
i j = 1 2 3. 1) rASSMOTRETX GEOMETRI^ESKIE MODELI PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI. pOKAZATX, ^TO OTNOSITELXNO ESTESTWENNOJ TOPOLOGII ONA KOMPAKTNA. 2) pOKAZATX, ^TO PROEKTIWNOE PREOBRAZOWANIE ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ PAROJ SOOTWETSTWU@]IH PROEKTIWNYH REPEROW | ^ETWEROK TO^EK, NIKAKIE TRI IZ KOTORYH NE KOLLINEARNY. 3) dOKAZATX, ^TO MNOVESTWO PG() WSEH PROEKTIWNYH PREOBRAZOWANIJ PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI OBRAZUET GRUPPU. 4) pUSTX x = 1a + 1b, y = 2a + 2b | DWE TO^KI PROEKTIWNOJ PRQMOJ. dOKAZATX, ^TO DWOJNOE OTNOENIE ^ETYREH TO^EK \TOJ PRQMOJ abx) (ab xy) = ((ab y) ESTX PROEKTIWNYJ INWARIANT. 5) dOKAZATX, ^TO PODGRUPPA PROEKTIWNOJ GRUPPY, OSTAWLQ@]AQ INWARIANTNOJ ZADANNU@ PRQMU@ l (NESOBSTWENNAQ PRQMAQ), IZOMORF61
rIS. 18. nEOSOBAQ I OSOBAQ GOMOLOGII NA GRUPPE AFFINNYH PREOBRAZOWANIJ. kAKOW GEOMETRI^ESKIJ SMYSL AFFINNOGO INWARIANTA (AB C ) | OTNOENIQ TREH KOLLINEARNYH TO^EK? 6) kAK IZMENQ@TSQ KO\FFICIENTY PRQMOJ 1x1 + 2x2 + 3x3 = 0 PRI PROEKTIWNYH PREOBRAZOWANIQH? dATX OBOSNOWANIE PRINCIPA DWOJSTWENNOSTI W PROEKTIWNOJ GEOMETRII.
tEMA 8. gOMOLOGII pROEKTIWNOE PREOBRAZOWANIE f PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI NAZYWAETSQ GOMOLOGIEJ, ESLI ONO IMEET PRQMU@ l INWARIANTNYH TO^EK. tOGDA ONO IMEET TAKVE PU^OK INWARIANTNYH PRQMYH S CENTROM S . pRQMAQ l NAZYWAETSQ OSX@ GOMOLOGII, A TO^KA S | CENTROM GOMOLOGII. 1) pOKAZATX, ^TO WSQKOE PROEKTIWNOE PREOBRAZOWANIE PLOSKOSTI IMEET PO KRAJNEJ MERE ODNU INWARIANTNU@ TO^KU I ODNU INWARIANTNU@ PRQMU@. 2) rASSMOTRETX DWA TIPA GOMOLOGIJ (RIS. 18) W ZAWISIMOSTI OT TOGO, PRINADLEVIT EE CENTR OSI (OSOBAQ GOMOLOGIQ) ILI NE PRINADLEVIT (NEOSOBAQ GOMOLOGIQ). kAK PROISHODIT PREOBRAZOWANIE TO^EK W \TIH SLU^AQH? 62
3) dOKAZATX, ^TO GOMOLOGIQ ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ SWOEJ OSX@, CENTROM I PAROJ SOOTWETSTWU@]IH TO^EK A A0 = f (A), NE LEVA]IH NA OSI. 4) pUSTX NA PLOSKOSTI ZADANA PRQMAQ. pRIMEM EE ZA NESOBSTWENNU@ PRQMU@ AFFINNOJ PODGRUPPY. rASSMOTRETX GOMOLOGII, OSX KOTORYH QWLQETSQ SOBSTWENNOJ ILI NESOBSTWENNOJ PRQMOJ, A CENTR | SOBSTWENNOJ ILI NESOBSTWENNOJ TO^KOJ. kAKIE AFFINNYE PREOBRAZOWANIQ MY POLU^IM? 5) nEOSOBAQ GOMOLOGIQ NAZYWAETSQ GARMONI^ESKOJ, ESLI (SB AA0 ) = ;1, GDE B | TO^KA PERESE^ENIQ PRQMOJ AA0 S OSX@. dOKAZATX, ^TO GARMONI^ESKAQ GOMOLOGIQ f | INWOL@TIWNOE PREOBRAZOWANIE: f 2 = Id. oBRATNO, WSQKOE INWOL@TIWNOE PROEKTIWNOE PREOBRAZOWANIE QWLQETSQ GARMONI^ESKOJ GOMOLOGIEJ. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 4], 9], 10], 32], 56].
4.2 nEEWKLIDOWY GEOMETRII nEEWKLIDOWY GEOMETRII IME@T DLINNU@ I POU^ITELXNU@ ISTORI@, KOTORAQ NA^INAETSQ S nA^AL eWKLIDA I EGO PQTOGO POSTULATA O PARALLELXNYH. w \TOJ ISTORII OSOBOE MESTO ZANIMAET OTKRYTIE n.i.lOBA^EWSKIM (1826 G.) NOWOJ GEOMETRII, OTLI^NOJ OT EWKLIDOWOJ. oNO STALO NA^ALOM RADIKALXNOGO IZMENENIQ PREDSTAWLENIJ O PROSTRANSTWE, IZMENILOSX I PONIMANIE TOGO, ^TO TAKOE GEOMETRIQ. sOMNENIQ W NEPROTIWORE^IWOSTI GEOMETRII lOBA^EWSKOGO RASSEQLISX LIX POSLE TOGO, KAK BYLI POSTROENY EE MODELI, INTERPRETACII. wSKORE BYL NAJDEN I GRUPPOWOJ PODHOD K PONQTI@ GEOMETRII. s \TOJ TO^KI ZRENIQ GEOMETRIJ MNOGO I IH SODERVANIE SOSTAWLQ@T TE SWOJSTWA FIGUR, KOTORYE INWARIANTNY OTNOSITELXNO ZADANNOJ GRUPPY PREOBRAZOWANIJ. pREOBRAZOWANIQ SOOTWETSTWU@]IH GRUPP IGRA@T W \TIH GEO63
rIS. 19. sFERI^ESKIE PRQMYE METRIQH TU VE ROLX, ^TO I DWIVENIQ W EWKLIDOWOJ GEOMETRII. w SLEDU@]IH NIVE ZADANIQH PREDLAGAETSQ POZNAKOMITXSQ SO SFERI^ESKOJ GEOMETRIEJ, GEOMETRIEJ lOBA^EWSKOGO, S IH MODELQMI, A TAKVE REITX NEKOTORYE ZADA^I.
tEMA 1. sFERI^ESKAQ GEOMETRIQ gEOMETRIQ NA SFERE S 2 EWKLIDOWA PROSTRANSTWA ZNA^ITELXNO OTLI^AETSQ PO SWOIM SWOJSTWAM OT GEOMETRII EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI. pRQMYMI ZDESX QWLQ@TSQ BOLXIE OKRUVNOSTI | SE^ENIQ SFERY DIAMETRALXNYMI PLOSKOSTQMI. iH DUGI, NE PREWYA@]IE POLOWINU OKRUVNOSTI | ANALOGI OTREZKOW PRQMOJ, REALIZU@T KRAT^AJIE RASSTOQNIQ MEVDU TO^KAMI SFERY. kAVDAQ PRQMAQ RAZDELQET SFERU NA DWE POLUSFERY | ANALOGI POLUPLOSKOSTEJ. oDNAKO, OTLI^IE OT EWKLIDOWOJ GEOMETRII PROQWLQETSQ UVE W TOM, ^TO L@BYE DWE SFERI^ESKIE PRQMYE PERESEKA@TSQ, PRI^EM W DWUH DIAMETRALXNO PROTIWOPOLOVNYH (POLQRNYH) TO^KAH A I A (RIS. 19). tAKIM OBRAZOM, EWKLIDOW POSTULAT O PARALLELXNYH ZDESX NE IMEET MESTA. 64
bOLEE TOGO, ^EREZ POLQRNYE TO^KI MOVNO PROWESTI MNOVESTWO SFERI^ESKIH PRQMYH. pO\TOMU MOVNO RASSMATRIWATX DWUUGOLXNIKI S WERINAMI A I A. tREUGOLXNIK ABC OPREDELQETSQ KAK PERESE^ENIE TREH POLUSFER. rAWNYJ EMU TREUGOLXNIK AB C NAZYWAETSQ POLQRNYM. kAK NA SFERE OPREDELITX RAWENSTWO FIGUR? dLQ \TOGO NADO SNA^ALA OPREDELITX PONQTIE DWIVENIQ W \TOJ GEOMETRII. sFERI^ESKAQ GEOMETRIQ IZDAWNA BYLA TESNO SWQZANA S ASTRONOMIEJ, KARTOGRAFIEJ. mETODY IZOBRAVENIQ NEBESNOJ SFERY ILI POWERHNOSTI ZEMNOGO ARA NA PLOSKOJ KARTE | ZADA^A, NAD KOTOROJ LOMALI GOLOWU KRUPNEJIE MATEMATIKI. sFERI^ESKAQ GEOMETRIQ NALA PRILOVENIQ WO MNOGIH OBLASTQH MATEMATIKI, W ^ASTNOSTI, W TEORII FUNKCIJ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO. 1) dOKAZATX, ^TO SUMMA WNUTRENNIH UGLOW SFERI^ESKOGO TREUGOLXNIKA BOLXE . rAZNOSTX = + + ; NAZYWAETSQ SFERI^ESKIM IZBYTKOM TREUGOLXNIKA. 2) dOKAZATX, ^TO PLO]ADX SFERI^ESKOGO TREUGOLXNIKA PROPORCIONALXNA EGO SFERI^ESKOMU IZBYTKU: S = R2 , GDE R | RADIUS SFERY. oTS@DA WYWOD | NA SFERE NET PODOBNYH NERAWNYH TREUGOLXNIKOW I PODOBNYH NERAWNYH FIGUR WOOB]E. 3) wYWESTI FORMULY SFERI^ESKOJ TRIGONOMETRII SNA^ALA DLQ PRQMOUGOLXNYH TREUGOLXNIKOW, A ZATEM DLQ TREUGOLXNIKOW OB]EGO WIDA. pOLU^ITX ANALOGI TEOREM SINUSOW I KOSINUSOW. 4) rASSMOTRETX RAZLI^NYE SPOSOBY WWEDENIQ KRIWOLINEJNYH KOORDINAT NA SFERE. 5) oTOVDESTWLQQ DIAMETRALXNO PROTIWOPOLOVNYE TO^KI SFERY x I ;x, MY POLU^IM PROEKTIWNU@ PLOSKOSTX, NA KOTOROJ L@BYE DWE PRQMYE PERESEKA@TSQ LIX W ODNOJ TO^KE. nA \TOJ PLOSKOSTI ESTX METRIKA, OPREDELQEMAQ METRIKOJ SFERY. tAK WOZNIKAET \LLIPTI^ESKAQ GEO65
rIS. 20. sTEREOGRAFI^ESKAQ PROEKCIQ METRIQ. lOKALXNO ONA SOWPADAET SO SFERI^ESKOJ, NO PRI GLOBALXNOM RASSMOTRENII IMEET RQD SU]ESTWENNYH OTLI^IJ. 6) wYQSNITX PROEKTIWNYJ SMYSL RASSTOQNIQ MEVDU TO^KAMI I UGLA MEVDU PRQMYMI NA \LLIPTI^ESKOJ PLOSKOSTI, ISPOLXZUQ SLOVNOE OTNOENIE ^ETWERKI TO^EK I, SOOTWETSTWENNO, ^ETWERKI PRQMYH.
tEMA 2. sTEREOGRAFI^ESKOE OTOBRAVENIE SFERY sTEREOGRAFI^ESKOE OTOBRAVENIE SFERY S 2 EWKLIDOWA PROSTRANSTWA NA PLOSKOSTX | \TO CENTRALXNOE PROEKTIROWANIE SFERY IZ KAKOJ-LIBO EE TO^KI (POL@SA) NA ZADANNU@ PLOSKOSTX (RIS. 20). oNO OBLADAET ZAME^ATELXNYM SWOJSTWOM KONFORMNOSTI, T.E. SOHRANQET UGLY. |TO DAET WOZMOVNOSTX PRQMOUGOLXNYE KOORDINATY PLOSKOSTI RASSMATRIWATX KAK KOORDINATY NA SFERE. tAK WOZNIKA@T STEREOGRAFI^ESKIE KOORDINATY. sTEREOGRAFI^ESKOE OTOBRAVENIE IROKO PRIMENQETSQ W ASTRONOMII, KARTOGRAFII, W TEORII FUNKCIJ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO. pREDLAGAETSQ RASSMOTRETX SLEDU@]IE WOPROSY. 1) nAJTI FORMULY STEREOGRAFI^ESKOGO OTOBRAVENIQ. 66
2) dOKAZATX, ^TO ONO QWLQETSQ GOMEOMORFNYM OTOBRAVENIEM OBLASTI SFERY S 2 n N , GDE N | POL@S, NA PLOSKOSTX. 3) dOKAZATX, ^TO ONO QWLQETSQ KONFORMNYM OTOBRAVENIEM. pRI \TOM OKRUVNOSTI NA SFERE OTOBRAVA@TSQ W OKRUVNOSTI ILI PRQMYE PLOSKOSTI. 4) pRIMEM PRQMOUGOLXNYE KOORDINATY PLOSKOSTI ZA KOORDINATY SOOTWETSTWU@]EJ TO^KI SFERY. kAKOWY TOGDA BUDUT KOORDINATNYE LINII NA SFERE? 5) pOPOLNIW PLOSKOSTX BESKONE^NO UDALENNOJ TO^KOJ, SOOTWETSTWU@]EJ POL@SU, POLU^IM KONFORMNU@ PLOSKOSTX ILI, ^TO TO VE SAMOE, KOMPLEKSNU@ PROEKTIWNU@ PRQMU@. pOKAZATX, ^TO SFERA GOMEOMORFNA \TOJ PRQMOJ.
tEMA 3. dWIVENIQ SFERY W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE dWIVENIQ SFERY | \TO PREOBRAZOWANIQ, SOHRANQ@]IE EE METRIKU. |TI PREOBRAZOWANIQ ZADA@TSQ ORTOGONALXNYMI PREOBRAZOWANIQMI PROSTRANSTWA r0 = Ar. oNI PREOBRAZU@T SFERU W SEBQ. mATRICY \TIH PREOBRAZOWANIJ ORTOGONALXNY I W PRQMOUGOLXNYH KOORDINATAH UDOWLETWORQ@T USLOWI@ AtA = E . eSLI RASSMOTRETX STEREOGRAFI^ESKOE OTOBRAVENIE SFERY NA PLOSKOSTX, TO ORTOGONALXNYM PREOBRAZOWANIQM SOOTWETSTWU@T NEKOTORYE PREOBRAZOWANIQ KONFORMNOJ PLOSKOSTI. pOLAGAQ z = x + iy, IH MOVNO ZAPISATX KAK PREOBRAZOWANIQ z 0 = f (z z ) KOMPLEKSNOJ PROEKTIWNOJ PRQMOJ. 1) dOKAZATX, ^TO ORTOGONALXNYE PREOBRAZOWANIQ OBRAZU@T GRUPPU, ZAWISQ]U@ OT TREH PARAMETROW. oNA NAZYWAETSQ ORTOGONALXNOJ GRUPPOJ O(3). 2) dOKAZATX, ^TO ORTOGONALXNAQ GRUPPA SOSTOIT IZ DWUH SWQZNYH KOMPONENT. pRI \TOM PREOBRAZOWANIQ, SOHRANQ@]IE ORIENTACI@ SFERY, 67
OBRAZU@T PODGRUPPU SO(3), SOSTOQ]U@ IZ WRA]ENIJ | SWQZNU@ KOMPONENTU EDINICY. 3) dOKAZATX, ^TO PRI STEREOGRAFI^ESKOM OTOBRAVENII ORTOGONALXNYM PREOBRAZOWANIQM SOOTWETSTWU@T ANALITI^ESKIE PREOBRAZOWANIQ KONFORMNOJ PLOSKOSTI z 0 = f (z ) ILI z 0 = f (z ), IME@]IE WID z 0 = az + b ILI z 0 = az + b ;bz + a ;bz + a GDE a b | KOMPLEKSNYE KO\FFICIENTY, UDOWLETWORQ@]IE USLOWI@ aa + bb = 1. 4) nAJTI TE PREOBRAZOWANIQ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO, KOTORYE SO-
OTWETSTWU@T WRA]ENIQM SFERY WOKRUG ZADANNOJ OSI ILI SIMMETRII OTNOSITELXNO DIAMETRALXNOJ PLOSKOSTI.
tEMA 4. pSEWDOEWKLIDOWY PROSTRANSTWA I SPECIALXNAQ TEORIQ OTNOSITELXNOSTI pSEWDOEWKLIDOWO PROSTRANSTWO OTLI^AETSQ OT EWKLIDOWA LIX TEM, ^TO SKALQRNYJ KWADRAT WEKTORA a2 QWLQETSQ HOTQ I NEWYROVDENNOJ, NO NEOPREDELENNOJ KWADRATI^NOJ FORMOJ. nAPRIMER, W TREHMERNOM PSEWDOEWKLIDOWOM PROSTRANSTWE E13 W KANONI^ESKOM BAZISE a2 = x2 + y2 ; z 2 . tEM NE MENEE, PO SWOIM METRI^ESKIM SWOJSTWAM \TO PROSTRANSTWO SU]ESTWENNO OTLI^AETSQ OT EWKLIDOWA. 4-MERNOE PSEWDOEWKLIDOWO PROSTRANSTWO SIGNATURY (+++;), NAZYWAEMOE PROSTRANSTWOM mINKOWSKOGO, LEVIT W OSNOWE SPECIALXNOJ TEORII OTNOSITELXNOSTI |JNTEJNA | RELQTIWISTSKOJ MEHANIKI. pREDLAGAETSQ, NAPRIMER, RASSMOTRETX SLEDU@]IE WOPROSY. 1) iZOTROPNYE NAPRAWLENIQ PROSTRANSTWA, IZOTROPNYJ KONUS. tRI TIPA PRQMYH I PLOSKOSTEJ. 2) gRUPPA PSEWDOEWKLIDOWYH DWIVENIJ (GRUPPA pUANKARE). dOKAZATX, ^TO ONA SOSTOIT IZ ^ETYREH KOMPONENT SWQZNOSTI. 68
3) kAK OPREDELITX WEKTORNOE PROIZWEDENIE WEKTOROW W 3-MERNOM PSEWDOEWKLIDOWOM PROSTRANSTWE I KAKOWY EGO SWOJSTWA? 4) rEENIE METRI^ESKIH ZADA^ ANALITI^ESKOJ GEOMETRII NA PSEWDOEWKLIDOWOJ PLOSKOSTI I W PSEWDOEWKLIDOWOM PROSTRANSTWE. 5) pREOBRAZOWANIQ lORENCA. |FFEKTY SOKRA]ENIQ DLINY I ZAMEDLENIQ WREMENI W SPECIALXNOJ TEORII OTNOSITELXNOSTI.
tEMA 5. sFERY PSEWDOEWKLIDOWA PROSTRANSTWA pUSTX E13 | TREHMERNOE PSEWDOEWKLIDOWO PROSTRANSTWO SO SKALQRNYM PROIZWEDENIEM (a b). wYBEREM PRQMOUGOLXNYE KOORDINATY. tOGDA SKALQRNYJ KWADRAT RADIUS-WEKTORA TO^KI PRIMET KANONI^ESKIJ WID r2 = x2 + y2 ; z 2. pO\TOMU URAWNENIQ SFER S CENTROM W NA^ALE KOORDINAT ZAPIUTSQ W WIDE r2 = R2. tAKIM OBRAZOM, SFERY MOGUT BYTX DWUH TIPOW | WE]ESTWENNOGO I MNIMOGO RADIUSA. rASSMOTRIM SFERU MNIMOGO RADIUSA x2 + y2 ; z 2 = ;R2:
oNA IZOBRAVAETSQ W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE DWUPOLOSTNYM GIPERBOLOIDOM. dALEE, OTOVDESTWIM EE DIAMETRALXNO PROTIWOPOLOVNYE TO^KI ILI, ^TO TO VE SAMOE, RASSMOTRIM LIX WERHN@@ POLOSTX \TOJ SFERY S 2, NALOVIW USLOWIE z R. kAK I DLQ OBY^NOJ SFERY, ROLX PRQMYH ZDESX IGRA@T BOLXIE OKRUVNOSTI | SE^ENIQ SFERY DIAMETRALXNYMI PLOSKOSTQMI (RIS. 21). nA ^EM OSNOWYWAETSQ \TO UTWERVDENIE? oKAZYWAETSQ, SFERA S 2 QWLQETSQ MODELX@ PLOSKOSTI lOBA^EWSKOGO. ~TOBY UBEDITXSQ W \TOM, PREDLAGAETSQ RASSMOTRETX SLEDU@]IE WOPROSY. 1) nAJTI PARAMETRI^ESKIE URAWNENIQ SFERY, WYBRAW W KA^ESTWE PARAMETROW SFERI^ESKIE KOORDINATY. 69
rIS. 21. sFERA PSEWDOEWKLIDOWA PROSTRANSTWA 2) dOKAZATX, ^TO SUMMA WNUTRENNIH UGLOW SFERI^ESKOGO TREUGOLXNIKA MENXE . |TO RAWNOSILXNO WYPOLNENI@ POSTULATA O PARALLELXNYH W FORME lOBA^EWSKOGO. wELI^INA = ; ( + + ) NAZYWAETSQ DEFEKTOM TREUGOLXNIKA. 3) pOKAZATX, ^TO PLO]ADX TREUGOLXNIKA PROPORCIONALXNA EGO DEFEKTU: S = R2 . 4) wY^ISLITX W SFERI^ESKIH KOORDINATAH METRIKU SFERY I POKAZATX, ^TO EE GAUSSOWA KRIWIZNA POSTOQNNA I OTRICATELXNA: K = ; R12 .
tEMA 6. dWIVENIQ PLOSKOSTI lOBA^EWSKOGO rASSMOTRIM MODELX PLOSKOSTI lOBA^EWSKOGO NA SFERE S 2 MNIMOGO RADIUSA PSEWDOEWKLIDOWA PROSTRANSTWA E13. tOGDA DWIVENIQ \TOJ PLOSKOSTI PREDSTAWLQ@TSQ PSEWDOORTOGONALXNYMI PREOBRAZOWANIQMI PRO70
STRANSTWA E13, T.E. LINEJNYMI OPERATORAMI, SOHRANQ@]IMI SKALQRNOE PROIZWEDENIE: (Aa Ab) = (a b). mATRICY \TIH OPERATOROW UDOWLETWORQ@T USLOWI@ AtgA = g, GDE g | MATRICA METRI^ESKOGO TENZORA. w PRQMOUGOLXNYH KOORDINATAH ONA IMEET KANONI^ESKIJ WID g = diag(++ ;). pREDLAGAETSQ RASSMOTRETX SLEDU@]IE WOPROSY. 1) pOKAZATX, ^TO PSEWDOORTOGONALXNYE OPERATORY OBRAZU@T GRUPPU | PSEWDOORTOGONALXNU@ GRUPPU O(2 1). |TA GRUPPA ZAWISIT OT TREH PARAMETROW. 2) dOKAZATX, ^TO GRUPPA O(2 1) SOSTOIT IZ ^ETYREH SWQZNYH KOMPONENT. pRIWESTI PRIMERY PREOBRAZOWANIJ, PRINADLEVA]IH \TIM KOMPONENTAM. 3) wYDELITX PODGRUPPU G O(2 1) PREOBRAZOWANIJ, PEREWODQ]IH SFERY MNIMOGO RADIUSA W SEBQ. iMENNO \TI PREOBRAZOWANIQ QWLQ@TSQ DWIVENIQMI PLOSKOSTI lOBA^EWSKOGO. 4) pOKAZATX, ^TO GRUPPA G DWUSWQZNA. pRI \TOM PREOBRAZOWANIQ, PRINADLEVA]IE KOMPONENTE EDINICY, SOHRANQ@T ORIENTACI@ FIGUR. |TO SOBSTWENNYE DWIVENIQ. 5) nAJTI ODNOPARAMETRI^ESKIE PODGRUPPY GRUPPY DWIVENIJ PLOSKOSTI lOBA^EWSKOGO I IH ORBITY.
NA
tEMA 7. pLOSKOSTX lOBA^EWSKOGO. mODELX bELXTRAMI-kLEJ-
pRI AKSIOMATI^ESKOM POSTROENII GEOMETRII lOBA^EWSKOGO SOHRANQ@TSQ WSE AKSIOMY EWKLIDOWOJ GEOMETRII, KROME AKSIOMY O PARALLELXNYH, KOTORAQ ZAMENQETSQ EE OTRICANIEM. lOGI^ESKAQ NEPROTIWORE^IWOSTX POLU^ENNOJ TEORII DOKAZYWAETSQ NAHOVDENIEM EE MODELI W RAMKAH DRUGOJ TEORII. dLQ GEOMETRII lOBA^EWSKOGO TAKOJ MODELX@ QWLQETSQ, NAPRIMER, MODELX bELXTRAMI-kLEJNA, KOTORAQ POLU^AETSQ CEN71
rIS. 22. mODELX bELXTRAMI-kLEJNA TRALXNYM PROEKTIROWANIEM SFERY MNIMOGO RADIUSA S 2 PSEWDOEWKLIDOWA PROSTRANSTWA NA KASATELXNU@ EWKLIDOWU PLOSKOSTX SFERY. tOGDA S 2 OTOBRAVAETSQ NA OTKRYTYJ KRUG B 2 : x2 + y2 < R2 \TOJ PLOSKOSTI (RIS. 22). 1) zAPISATX UKAZANNOE OTOBRAVENIE f : S 2 ! B 2 W KOORDINATAH I POKAZATX, ^TO \TO GOMEOMORFIZM. 2) pOKAZATX, ^TO OBRAZAMI SFERI^ESKIH PRQMYH QWLQ@TSQ HORDY KRUGA B 2. 3) pROANALIZIROWATX WZAIMNOE RASPOLOVENIE DWUH PRQMYH. kAK, W ^ASTNOSTI, IZOBRAVA@TSQ PARALLELXNYE I ORTOGONALXNYE PRQMYE NA \TOJ MODELI? 4) nAJTI RASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI I WYQSNITX EGO PROEKTIWNYJ SMYSL. 5) kAK REALIZU@TSQ DWIVENIQ PLOSKOSTI lOBA^EWSKOGO NA \TOJ MO72
DELI? 6) pOKAZATX, ^TO NA MODELI bELXTRAMI-kLEJNA WYPOLNQ@TSQ WSE AKSIOMY PLOSKOSTI lOBA^EWSKOGO.
tEMA 8. pARALLELIZM W PLOSKOSTI lOBA^EWSKOGO gEOMETRIQ lOBA^EWSKOGO OBLADAET ZAME^ATELXNYM SWOJSTWOM: W NEJ SU]ESTWUET WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU OSTRYMI UGLAMI I OTREZKAMI. |TO SOOTWETSTWIE OPREDELQETSQ FUNKCIEJ lOBA^EWSKOGO = (x). wSLEDSTWIE \TOGO W GEOMETRII lOBA^EWSKOGO ZADANNYJ OTREZOK MOVNO POSTROITX ^ISTO GEOMETRI^ESKIMI SREDSTWAMI, NE ZADAWAQ \TALONA DLINY. wEDX MOVNO VE WSEGDA POSTROITX, NAPRIMER, PRQMOJ UGOL! ~TOBY PONQTX, W ^EM TUT DELO, NADO RAZOBRATXSQ W SWOJSTWAH PARALLELXNYH PRQMYH. 1) kAK OPREDELQ@TSQ PARALLELXNYE PRQMYE W PLOSKOSTI lOBA^EWSKOGO? kAKOWY IH SWOJSTWA? 2) oPUSTIM PERPENDIKULQR IZ KAKOJ-LIBO TO^KI ODNOJ PARALLELI NA DRUGU@ (RIS. 23). tOGDA PERWAQ IZ NIH OBRAZUET OSTRYJ UGOL S \TIM PERPENDIKULQROM. oN NAZYWAETSQ UGLOM PARALLELXNOSTI W DANNOJ TO^KE I ZAWISIT OT WYBORA \TOJ TO^KI. fUNKCIQ lOBA^EWSKOGO DAET ZAWISIMOSTX MEVDU \TIM UGLOM I DLINOJ PERPENDIKULQRA. kAKOWY EE SWOJSTWA? 3) nAJTI ANALITI^ESKOE WYRAVENIE FUNKCII lOBA^EWSKOGO. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 10], 22], 31], 36], 47], 57].
73
rIS. 23. uGOL PARALLELXNOSTI 5
tEMY, PREDLOVENNYE {URYGINYM w.w.
5.1 gEOMETRI^ESKIE PREOBRAZOWANIQ NA EWKLIDOWOJ PLOSKOS-
TI
sLEDU@]IE TEMY PREDPOLAGA@T IZU^ENIE GEOMETRI^ESKIH PREOBRAZOWANIJ PLOSKOSTI METODAMI ANALITI^ESKOJ GEOMETRII I IH PRIMENENIE PRI REENII KONKRETNYH ZADA^. w ^ASTNOSTI, NEKOTORYE SOWOKUPNOSTI PREOBRAZOWANIJ OKAZYWA@TSQ ZAMKNUTYMI OTNOSITELXNO KOMPOZICII PREOBRAZOWANIJ I WZQTIQ OBRATNOGO PREOBRAZOWANIQ, DRUGIMI SLOWAMI, OBRAZU@T GRUPPU. w TAKIH SLU^AQH WOZNIKA@T WOPROSY IZU^ENIQ SWOJSTW, INWARIANTNYH OTNOSITELXNO PREOBRAZOWANIJ DANNOJ GRUPPY.
tEMA 1. sIMMETRII OTNOSITELXNO PRQMOJ I WRA]ENIQ rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 11], rAZDEL 1, gLAWA III 59], 1]. 74
pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 49], 318, 319, 320, 335, 336, 358, 374, 540.
tEMA 2. sKOLXZQ]IE SIMMETRII sKOLXZQ]EJ SIMMETRIEJ NAZYWAETSQ PREOBRAZOWANIE PLOSKOSTI, PREDSTAWLQ@]EE SOBOJ KOMPOZICI@ SIMMETRII OTNOSITELXNO NEKOTOROJ PRQMOJ ` I PARALLELXNOGO PERENOSA NA WEKTOR, PARALLELXNYJ PRQMOJ `. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 11], rAZDEL 1, gLAWA III 59], 1]. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 49], 348, 349, 353, 354, 355, 356.
tEMA 3. gRUPPA GOMOTETIJ I PARALLELXNYH PERENOSOW sOWOKUPNOSTX GOMOTETIJ PLOSKOSTI SO WSEWOZMOVNYMI CENTRAMI I KO\FFICIENTAMI I PARALLELXNYH PERENOSOW NA PROIZWOLXNYJ WEKTOR QWLQETSQ PRIMEROM GRUPPY PREOBRAZOWANIJ. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 11], rAZDEL 1, gLAWA III 20], 59], 1]. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 49], 388, 389, 390, 392, 402.
tEMA 4. aFFINNYE PREOBRAZOWANIQ PLOSKOSTI aFFINNYM PREOBRAZOWANIEM PLOSKOSTI NAZYWAETSQ PREOBRAZOWANIE, USTANAWLIWA@]EE SOOTWETSTWIE MEVDU TO^KAMI, IME@]IMI ODINAKOWYE KOORDINATY OTNOSITELXNO DWUH SISTEM KOORDINAT, OPREDELQEMYH PROIZWOLXNYMI AFFINNYMI REPERAMI (O e1 e2) I (O0 e01 e02). k ^ISLU AFFINNYH PREOBRAZOWANIJ OTNOSQTSQ WSE DWIVENIQ PLOSKOSTI, PODOBIQ, A TAKVE RASTQVENIQ I SVATIQ OTNOSITELXNO NEKOTOROJ PRQMOJ. sWOJSTWA GEOMETRI^ESKIH FIGUR, KOTORYE SOHRANQ@TSQ PRI AFFINNYH PREOBRAZOWANIQH, SOSTAWLQ@T SODERVANIE AFFINNOJ GEOMETRII PLOSKOSTI. w AFFINNOJ GEOMETRII STANOWQTSQ BESSMYSLENNYMI TAKIE PONQTIQ OBY^NOJ (EWKLIDOWOJ) GEOMETRII PLOSKOSTI, KAK RASSTOQNIE MEVDU TO^KAMI I WELI^INA UGLA MEVDU WEKTORAMI. 75
rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 11], rAZDEL 1, gLAWA III. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 49], 434, 440, 441, 442, 443, 444, 445, 446,
451, 457, 458, 464, 465, 470.
tEMA 5. pRIMENENIE AFFINNYH PREOBRAZOWANIJ W GEOMETRII KRIWYH WTOROGO PORQDKA nEKOTORYE ZADA^I STANOWQTSQ PROSTYMI POSLE PRIMENENIQ AFFINNOGO PREOBRAZOWANIQ. nAPRIMER, PREOBRAZUQ \LLIPS x2=a2 + y2=b2 = 1 W OKRUVNOSTX, MOVNO LEGKO WY^ISLITX EGO PLO]ADX. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 11], rAZDEL 1, gLAWA III. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 13] 864, 866, 869, 878,887, 888, 892, 893, 896, 902, 903, 904, 909.
tEMA 6. iNWERSIQ iNWERSIQ PREDSTAWLQET SOBOJ SIMMETRI@ OTNOSITELXNO NEKOTOROJ OKRUVNOSTI !. tO^NEE, ESLI O | CENTR OKRUVNOSTI !, A R | EE RADIUS, TO INWERSIQ OTNOSITELXNO OKRUVNOSTI ! OTNOSIT TO^KE M TO^KU M 0 ;;! ;;! ;;! TAKU@, ^TO ;;! OM 0 OM I jOM 0j jOM j = R2. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 11], x33 1], gL. V. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 1], gL. V, ZADA^I 242, 245, 246, 247, 248, 250, 251, 252, 253.
tEMA 7. gRUPPY PREOBRAZOWANIJ PLOSKOSTI rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 11], rAZDEL 1., gLAWA III. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 49], 483, 486, 489, 490, 491, 493.
5.2 pROEKTIWNAQ PLOSKOSTX pROEKTIWNAQ PLOSKOSTX POLU^AETSQ IZ OBY^NOJ (AFFINNOJ) PLOSKOSTI DOBAWLENIEM DOPOLNITELXNYH TO^EK, S^ITA@]IHSQ TO^KAMI PERESE^E76
NIQ PU^KOW PARALLELXNYH PRQMYH I OBRAZU@]IH NA PLOSKOSTI DOPOLNITELXNU@ PRQMU@ (NAZYWAEMU@ BESKONE^NO UDALENNOJ). pROEKTIWNAQ GEOMETRIQ PLOSKOSTI IZU^AET SWOJSTWA FIGUR NA PLOSKOSTI, SOHRANQ@]IESQ PRI PROEKTIWNYH PREOBRAZOWANIQH, KOTORYE WKL@^A@T W SEBQ AFFINNYE PREOBRAZOWANIQ, A TAKVE PREOBRAZOWANIQ, PRI KOTORYH BESKONE^NO UDALENNAQ PRQMAQ MOVET PEREJTI W OBY^NU@ PRQMU@. pARABOLA y = x2 NA PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI DOPOLNQETSQ E]E ODNOJ TO^KOJ, W KOTOROJ SHODQTSQ DWE WETWI PARABOLY (\TO BESKONE^NO UDALENNAQ TO^KA OSI Oy), I MOVET BYTX OTOBRAVENA PROEKTIWNYM PREOBRAZOWANIEM NA OKRUVNOSTX. pRI \TOM OBNARUVIWAETSQ, ^TO U PARABOLY I OKRUVNOSTI MNOGO OB]IH GEOMETRI^ESKIH SWOJSTW. gIPERBOLA PRIOBRETAET NA PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI PARU DOPOLNITELXNYH TO^EK I TAKVE OKAZYWAETSQ FIGUROJ, KOTORAQ PROEKTIWNYM PREOBRAZOWANIEM MOVET BYTX PEREWEDENA W OKRUVNOSTX (A, ZNA^IT, I W PARABOLU). sLEDU@]IE TEMY PREDPOLAGA@T IZU^ENIE NEKOTORYH \LEMENTOW PROEKTIWNOJ GEOMETRII PLOSKOSTI I PRIMENENIE METODOW PROEKTIWNOJ GEOMETRII PRI REENII KONKRETNYH ZADA^ OBY^NOJ (EWKLIDOWOJ, AFFINNOJ) GEOMETRII.
tEMA 1. pROEKTIWNYE KOORDINATY I PROEKTIWNYE PREOBRAZOWANIQ rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 12], rAZDEL 3, gLAWY I, II 37], lEKCII
25, 26, 28.
pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 13], 948, 949, 953, 955, 958, 959, 960, 961,
975, 977, 1005, 1007, 1013, 1018, 1022, 1025, 1029 49], 1141, 1142, 1146, 1147, 1150, 1179, 1180, 1182, 1188, 1189, 1190, 1199, 1201, 1203. 77
tEMA 2. tEOREMY dEZARGA, pAPPA I DRUGIE TEOREMY PROEKTIWNOJ GEOMETRII tEOREMA dEZARGA UTWERVDAET, ^TO ESLI PRQMYE AA0, BB 0 I CC 0 , PROHODQ]IE ^EREZ WERINY TREUGOLXNIKOW ABC I A0B 0 C 0 PERESEKA@TSQ W ODNOJ TO^KE S , TO TO^KI U , V I W PERESE^ENIQ SOOTWETSTWU@]IH STORON (AB I A0 B 0 , BC I B 0 C 0, CA I C 0A0 ) LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ. |TA TEOREMA QWLQETSQ TEOREMOJ PROEKTIWNOJ GEOMETRII, NA EWKLIDOWOJ (AFFINNOJ) PLOSKOSTI WOZNIKAET NESKOLXKO WARIANTOW \TOJ TEOREMY, POSKOLXKU L@BAQ IZ TO^EK A, A0, B , B 0 , C , C 0 , S , U , V , W MOVET OKAZATXSQ BESKONE^NO UDALENNOJ. nAPRIMER, ESLI BESKONE^NO UDALENNOJ QWLQETSQ TO^KA U , ^TO \KWIWALENTNO TOMU, ^TO STORONY TREUGOLXNIKOW AB I A0B 0 PARALLELXNY, TO IZ TEOREMY dEZARGA SLEDUET, ^TO PRQMAQ V W PARALLELXNA \TIM STORONAM (U | OB]AQ TO^KA \TIH TREH PRQMYH). tEOREMA pAPPA UTWERVDAET, ^TO ESLI TO^KI A, B I C LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ `, A TO^KI A0 , B 0 I C 0 LEVAT NA DRUGOJ PRQMOJ `0, TO TO^KI U , V I W , QWLQ@]IESQ TO^KAMI PERESE^ENIQ, SOOTWETSTWENNO, PRQMYH AB 0 I A0 B , BC 0 I B 0 C , CA0 I C 0 A, LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ. kAK I W SLU^AE TEOREMY dEZARGA NA EWKLIDOWOJ (AFFINNOJ) PLOSKOSTI WOZNIKAET NESKOLXKO WARIANTOW TEOREMY pAPPA. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 12], rAZDEL 3, gLAWY I, II 37], lEKCIQ 28 1], 14], 15].
pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 49], 1132, 1133, 1134, 1136, 1137, 1138 13],
978.
tEMA 3. pRINCIP DWOJSTWENNOSTI DLQ PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI pRINCIP DWOJSTWENNOSTI DLQ PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI ZAKL@^AETSQ W SLEDU@]EM: ESLI W KAKOJ-NIBUDX TEOREME PROEKTIWNOJ GEOMETRII, W 78
FORMULIROWKE KOTOROJ U^ASTWU@T TOLXKO PRQMYE I TO^KI, WS@DU ZAMENITX SLOWO PRQMAQ NA SLOWO TO^KA, SLOWO TO^KA NA SLOWO PRQMAQ, A SLOWA PROHODIT ^EREZ I LEVIT NA POMENQTX MESTAMI, TO POLU^ITSQ NOWAQ (NAZYWAEMAQ DWOJSTWENNOJ K PERWOJ) TEOREMA. pRIMEROM MOVET SLUVITX DWOJSTWENNAQ TEOREMA dEZARGA (SM. PREDYDU]U@ TEMU), KOTORAQ OKAZYWAETSQ OBRATNOJ TEOREMOJ K TEOREME dEZARGA. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 12], rAZDEL 3, gLAWY I, II 37], lEKCIQ 28 15].
pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 13], 979, 980, 987, 988, 990.
tEMA 4. |LLIPS, GIPERBOLA I PARABOLA NA PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI nA PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI WSE \LLIPSY, GIPERBOLY I PARABOLY \KWIWALENTNY MEVDU SOBOJ, \TO POZWOLQET PRI REENII ZADA^, PRIMENQQ PODHODQ]EE PROEKTIWNOE PREOBRAZOWANIE, PREOBRAZOWYWATX KAKU@-LIBO IZ \TIH KRIWYH W L@BU@ DRUGU@. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 12], rAZDEL 3, gLAWY I, II 37], lEKCII 25, 26, 28 5].
pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 49], 1203, 1204, 1205, 1208, 1209, 1210,
1211, 1212, 1214, 1215, 1242, 1243, 1244, 1246, 1247, 1249, 1250 13], 1044, 1048, 1051, 1052, 1058.
5.3 gEOMETRIQ MNOGOMERNYH AFFINNYH I EWKLIDOWYH PRO-
STRANSTW
tEMA 1. gEOMETRIQ AFFINNOGO PROSTRANSTWA RAZMERNOSTI n aFFINNOE PROSTRANSTWO RAZMERNOSTI n PREDSTAWLQET SOBOJ MNOVESTWO An, KAVDAQ PARA TO^EK A B KOTOROGO OPREDELQET NEKOTORYJ WEKTOR 79
;AB ;! IZ n-MERNOGO WEKTORNOGO PROSTRANSTWA. gEOMETRI^ESKOE TREHMER-
NOE PROSTRANSTWO QWLQETSQ PRIMEROM AFFINNOGO PROSTRANSTWA. pRI \TOM K AFFINNOJ GEOMETRII \TOGO PROSTRANSTWA OTNOSQTSQ WSE FAKTY I SOOTNOENIQ OBY^NOJ GEOMETRII, W KOTORYH NE ISPOLXZUETSQ PONQTIE SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ WEKTOROW (A WMESTE S NIM I PONQTIQ MODULQ WEKTORA I WELI^INY UGLA MEVDU WEKTORAMI). pRIMEROM AFFINNOGO PROSTRANSTWA RAZMERNOSTI n QWLQETSQ KOORDINATNOE PROSTRANSTWO Rn, \LEMENTAMI KOTOROGO QWLQ@TSQ STROKI (x1 x2 : : : xn ) WE]ESTWENNYH ^ISEL (KOORDINAT ) DLINY n. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 11], rAZDEL 2, gLAWA IV, 23], 14]. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 49], 318, 319, 320, 335, 336, 358, 374, 540 41] 1874, 1879, 1880, 1881, 1886, 1887, 1888, 1890, 1891, 1892, 1893, 1895, 1896, 1899 29], 6.3, 6.4, 6.17.
tEMA 2. gEOMETRIQ EWKLIDOWA PROSTRANSTWA RAZMERNOSTI n eWKLIDOWO n-MERNOE PROSTRANSTWO En QWLQETSQ NEPOSREDSTWENNYM OBOB]ENIEM GEOMETRI^ESKOGO TREHMERNOGO PROSTRANSTWA. oNO OPREDELQETSQ KAK AFFINNOE PROSTRANSTWO RAZMERNOSTI n, NA KOTOROM WWEDENA OPERACIQ SKALQRNOGO PROIZWEDENIQ WEKTOROW (a b), OBLADA@]AQ OBY^NYMI SWOJSTWAMI. w En MOVNO IZMERQTX RASSTOQNIQ MEVDU TO^KAMI, PRQMYMI I MNOGOMERNYMI PLOSKOSTQMI, A TAKVE UGLY MEVDU WEKTORAMI. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 11], rAZDEL 2., gLAWA IV., 23], 14]. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 49], 984, 985, 986, 987, 988, 989, 990, 991, 992 41] 1393, 1394, 1395, 1396, 1397, 1398, 1405, 1898 29], 6.8, 6.9, 6.10, 6.11, 6.12, 6.13, 6.14.
80
tEMA 3. wYPUKLYE FIGURY W n-MERNOM EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE fIGURA F W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE En NAZYWAETSQ WYPUKLOJ, ESLI WMESTE S KAVDOJ PAROJ SWOIH TO^EK A B 2 F \TA FIGURA SODERVIT WESX OTREZOK AB ], SOEDINQ@]IJ \TI TO^KI. pREDPOLAGAETSQ IZU^ITX SWOJSTWA WYPUKLYH FIGUR I, W ^ASTNOSTI, WYPUKLYH MNOGOGRANNIKOW. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 11], rAZDEL 2, gLAWA VI, 14]. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 49], 1057, 1058, 1059, 1060, 1062, 1063, 1065, 1066, 1067, 1068, 1069 41], 984, 985, 987, 988, 989, 990, 991, 992.
tEMA 4. pRAWILXNYE I POLUPRAWILXNYE MNOGOGRANNIKI W EWKLIDOWYH PROSTRANSTWAH mNOGOGRANNIK P W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE En NAZYWAETSQ PRAWILXNYM, ESLI DLQ L@BYH DWUH POSLEDOWATELXNOSTEJ F0 F1 F2 Fn = P I F00 F10 F20 Fn0 = P , SOSTOQ]IH IZ k-MERNYH GRANEJ Fk I Fk0 MNOGOGRANNIKA P , \TOT MNOGOGRANNIK MOVNO TAKIM OBRAZOM NALOVITX NA SEBQ, ^TO GRANX Fk SOWPADET S GRANX@ Fk0 . wYPUKLYJ MNOGOGRANNIK P W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE E3 NAZYWAETSQ POLUPRAWILXNYM, ESLI WSE EGO GRANI QWLQ@TSQ PRAWILXNYMI MNOGOUGOLXNIKAMI (RAZLI^NYH TIPOW) I WSE MNOGOGRANNYE UGLY KONGRU\NTNY. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 11], rAZDEL 2, gLAWA VI, 14]. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 49], 1074, 1075, 1076, 1077, 1078, 1079, 1080, 1081, 1082, 1086, 1087, 1088 14], 12.5.2, 12.5.3, 12.5.4, 12.5.5, 12.6 41], 1393, 1394, 1395, 1396, 1397, 1398, 1405, 1898.
tEMA 5. gEOMETRIQ SFER W EWKLIDOWYH PROSTRANSTWAH w RAMKAH \TOJ TEMY MOGUT BYTX RASSMOTRENY RAZLI^NYE ASPEKTY GEOMETRII OKRUVNOSTEJ NA PLOSKOSTI, DWUMERNYH SFER W TREHMERNOM 81
PROSTRANSTWE I SFER Sn RAZMERNOSTI n W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE En+1, W TOM ^ISLE: STEPENX TO^KI OTNOSITELXNO SFERY, RADIKALXNYE PLOSKOSTI, PU^KI SFER I OKRUVNOSTEJ, POL@SY I POLQRNYE PLOSKOSTI OTNOSITELXNO SFERY, WPISANNYE I OPISANNYE SFERY MNOGOGRANNIKOW. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 46], gLAWA 6, 2], kNIGA 8, gLAWA 3, 14], gLAWA 10, 1]. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 2], 679, 680, 682, 683, 684, 687, 688, 689, 690, 700, 701, 703, 709, 711, 748.
tEMA 6. iNWERSIQ OTNOSITELXNO SFERY I STEREOGRAFI^ESKAQ PROEKCIQ iNWERSIQ OTNOSITELXNO SFERY RADIUSA R S CENTROM W TO^KE O OT;;! ;;! ;;! NOSIT TO^KE M TO^KU M 0 , TAKU@, ^TO ;;! OM 0 OM I jOM 0j jOM j = R2. sTEREOGRAFI^ESKAQ PROEKCIQ USTANAWLIWAET WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU TO^KAMI SFERY Sn I GIPERPLOSKOSTI En W En+1, KOTORYE LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ FIKSIROWANNU@ TO^KU N 2 Sn . oBY^NO W KA^ESTWE GIPERPLOSKOSTI En BERETSQ LIBO ;! DIAMETRALXNAQ PLOSKOSTX, ORTOGONALXNAQ WEKTORU ; ON , LIBO KASATELX! NAQ PLOSKOSTX, ORTOGONALXNAQ WEKTORU ;; ON I PROHODQ]AQ ^EREZ TO^KU S 2 Sn, DIAMETRALXNO PROTIWOPOLOVNU@ TO^KE N . rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 46], gLAWA 11, 2], dOPOLNENIQ KO WTOROJ ^ASTI, gLAWA 1, 14], gLAWA 10. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 2], 748, 750, 755, 756, 757, 758, 767, 769, 771, 774, 775, 776, 777,780, 783, 787.
tEMA 7. kWATERNIONY I IH PRIMENENIE W GEOMETRII kWATERNIONY QWLQ@TSQ OBOB]ENIEM KOMPLEKSNYH ^ISEL I PREDSTAWLQ@T SOBOJ WEKTORY x1 + x2i + x3j + x4k ^ETYREHMERNOGO PROSTRANSTWA 82
H, KOTORYE MOVNO PEREMNOVATX, POLXZUQSX SLEDU@]EJ TABLICEJ UMNOVENIQ: i2 = j2 = k2 = ;1, ij = ;ji = k, jk = ;kj = i, ki = ;ik = j. s POMO]X@ KWATERNIONOW MOVNO PREDSTAWLQTX WRA]ENIQ TREHMERNOGO I ^ETYREHMERNOGO EWKLIDOWYH PROSTRANSTW. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 14], gLAWA 8, x8.8, 25], 62]. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: ZADA^I IZ 14] 62].
tEMA 8. gEOMETRIQ TREHMERNOJ SFERY S
3
tREHMERNAQ SFERA S3 MOVET RASSMATRIWATXSQ KAK MNOVESTWO KWATERNIONOW (SM. PREDYDU]U@ TEMU) EDINI^NOGO MODULQ: (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 +(x4)2 = 1. pRI \TOM TO^KI SFERY S3 MOVNO PEREMNOVATX PO PRAWILU UMNOVENIQ KWATERNIONOW, W REZULXTATE ^EGO NA SFERE S3 WOZNIKAET STRUKTURA GRUPPY, OPREDELQ@]AQ SPECIFIKU EE GEOMETRII, NAPRIMER, NA \TOJ SFERE WOZNIKAET PONQTIE PARALLELXNYH OKRUVNOSTEJ RADIUSA 1.
rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 14], gLAWA 8, x8.8, 15], gLAWA 18, x18.8. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: ZADA^I IZ 14] 15].
5.4 tOPOLOGIQ tOPOLOGI^ESKIMI SWOJSTWAMI FIGUR NAZYWA@TSQ SWOJSTWA, SOHRANQ@]IESQ PRI NEPRERYWNYH PREOBRAZOWANIQH. tAK POWERHNOSTX KUBA (ILI TETRA\DRA) S TOPOLOGI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ NEOTLI^IMA OT SFERY, NO SFERA I TOR (POWERHNOSTX BUBLIKA) | \TO RAZNYE POWERHNOSTI. w OB]EM SLU^AE MNOVESTWA, NA KOTORYH IMEETSQ STRUKTURA (OTKRYTYE PODMNOVESTWA), POZWOLQ@]AQ RASSMATRIWATX NEPRERYWNYE PREOBRAZOWANIQ, NAZYWA@TSQ TOPOLOGI^ESKIMI PROSTRANSTWAMI.
83
tEMA 1. dWUMERNYE MNOGOOBRAZIQ dWUMERNOE MNOGOOBRAZIE | \TO TOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO, KAVDAQ TO^KA KOTOROGO IMEET OKRESTNOSTX, KOTORU@ MOVNO WZAIMNO ODNOZNA^NO I WZAIMNO NEPRERYWNO OTOBRAZITX NA KRUG BEZ GRANICY. pRIMERAMI DWUMERNYH MNOGOOBRAZIJ QWLQ@TSQ SFERA, TOR, LIST mEBIUSA, BUTYLKA kLEJNA. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 26], gLAWY 5, 11 17], ~ASTX II 30], gLAWA 1. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 26], 17], 30], ZADA^I W SOOTWETSTWU@]IH RAZDELAH.
tEMA 3. kRIWYE pEANO nEPRERYWNOJ KRIWOJ W TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE X NAZYWAETSQ NEPRERYWNOE OTOBRAVENIE : 0 1] ! X OTREZKA 0 1] R W \TO PROSTRANSTWO. nEPRERYWNAQ KRIWAQ NA PLOSKOSTI R2 ZADAETSQ DWUMQ NEPRERYWNYMI FUNKCIQMI x = x(t), y = y(t). oKAZYWAETSQ, SU]ESTWU@T NEPRERYWNYE KRIWYE NA PLOSKOSTI, PROHODQ]IE ^EREZ WSE TO^KI KWADRATA 0 x 1, 0 y 1. tAKIE KRIWYE NAZYWA@TSQ KRIWYMI pEANO. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 26], gLAWA 12 17], x7, 8. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 26], 17], ZADA^I W SOOTWETSTWU@]IH RAZDELAH.
tEMA 3. fUNDAMENTALXNAQ GRUPPA PROSTRANSTWA pETLEJ W TO^KE x TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA X NAZYWAETSQ NEPRERYWNAQ KRIWAQ : 0 1] ! X , NA^ALOM I KONCOM KOTOROJ QWLQETSQ TO^KA x. pROIZWEDENIEM 1 2 DWUH PETELX W TO^KE x NAZYWAETSQ PETLQ 84
: 0 1] ! X , KOTORAQ PREDSTAWLQET SOBOJ POSLEDOWATELXNOE PROHOVDENIE SNA^ALA TRAEKTORII PERWOJ PETLI, A ZATEM TRAEKTORII WTOROJ: (t) = 1(2t) PRI t 2 0 0 5], (t) = 1(2t ; 1) PRI t 2 0 5 1]. eSLI RASSMATRIWATX PETLI S TO^NOSTX@ DO NEPRERYWNOJ DEFORMACII, TO OPERACIQ PREWRA]AET MNOVESTWO KLASSOW \KWIWALENTNYH PETELX W GRUPPU, NAZYWAEMU@ FUNDAMENTALXNOJ GRUPPOJ TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA. fUNDAMENTALXNYE GRUPPY POZWOLQ@T RAZLI^ATX NE\KWIWALENTNYE (NEGOMEOMORFNYE) TOPOLOGI^ESKIE PROSTRANSTWA. tAK FUNDAMENTALXNAQ GRUPPA SFERY SOSTOIT IZ ODNOGO \LEMENTA, POSKOLXKU L@BAQ PETLQ MOVET BYTX PRODEFORMIROWANA W POSTOQNNU@ PETL@ (t) = x PRI L@BOM t 2 0 1], A NA TORE PETLQ, OBHODQ]AQ OTWERSTIE, NE MOVET BYTX PRODEFORMIROWANA W POSTOQNNU@, I PO\TOMU FUNDAMENTALXNAQ GRUPPA TORA NE TRIWIALXNA. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 26], gLAWY 12{15 17], x21, 30], gLAWA II. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 26], 17], 30], ZADA^I W SOOTWETSTWU@]IH RAZDELAH.
tEMA 4. sWQZNYE I LINEJNO SWQZNYE PROSTRANSTWA tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO X NAZYWAETSQ SWQZNYM, ESLI EGO NELXZQ PREDSTAWITX W WIDE DWUH NEPUSTYH NEPERESEKA@]IHSQ OTKRYTYH PODMNOVESTW X1 X2. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO X NAZYWAETSQ LINEJNO SWQZNYM, ESLI WSQKIE DWE EGO TO^KI MOVNO SOEDINITX NEPRERYWNOJ KRIWOJ, TO ESTX DLQ L@BYH DWUH TO^EK x y 2 X NAJDETSQ NEPRERYWNAQ KRIWAQ : 0 1] ! X S NA^ALOM (0) = x I KONCOM (1) = y. eSLI PROSTRANSTWO NE QWLQETSQ SWQZNYM, TO TO^KI x1 2 X1 I x2 2 X2 NELXZQ SOEDINITX NEPRERYWNOJ KRIWOJ. oKAZYWAETSQ IME@TSQ SWQZNYE PROSTRANSTWA, NE QWLQ@]IESQ LINEJNO SWQZNYMI. 85
rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 26], gLAWY 9, 12 30], gLAWA II. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: 26], 30], ZADA^I W SOOTWETSTWU@]IH RAZDELAH.
5.5 nEEWKLIDOWY GEOMETRII
tEMA 1. gEOMETRIQ lOBA^EWSKOGO. aKSIOMATI^ESKIJ PODHOD K POSTROENI@ gEOMETRIQ PLOSKOSTI lOBA^EWSKOGO MOVET BYTX POSTROENA NA OSNOWE ZAMENY PQTOGO POSTULATA eWKLIDA, PREDPOLAGA@]EGO, ^TO ^EREZ TO^KU, NE LEVA]U@ NA PRQMOJ, MOVNO PROWESTI NE BOLEE ODNOJ PRQMOJ, NE PERESEKA@]EJ DANNU@, NA PROTIWOPOLOVNU@ AKSIOMU, SOGLASNO KOTOROJ ^EREZ TO^KU, NE LEVA]U@ NA PRQMOJ, MOVNO PROWESTI BOLEE ODNOJ PRQMOJ, NE PERESEKA@]EJ DANNU@. iSPOLXZUQ \TU NOWU@ AKSIOMU WMESTO PQTOGO POSTULATA eWKLIDA, MOVNO WMESTO TEOREM EWKLIDOWOJ GEOMETRII POLU^ATX TEOREMY GEOMETRII lOBA^EWSKOGO, KOTORAQ SU]ESTWENNO OTLI^AETSQ OT GEOMETRII eWKLIDA. nAPRIMER, W GEOMETRII lOBA^EWSKOGO SU]ESTWUET PRAWILXNYJ PQTIUGOLXNIK, U KOTOROGO WSE UGLY PRQMYE, I SU]ESTWUET PRAWILXNYJ PQTIUGOLXNIK, U KOTOROGO WSE UGLY RAWNY =3, NO NE SU]ESTWUET PRAWILXNOGO ^ETYREHUGOLXNIKA, U KOTOROGO WSE UGLY PRQMYE (TO ESTX NE SU]ESTWUET KWADRATA). rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 57] 64], gLAWA 5. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: ZADA^I IZ 64], 57], 49].
tEMA 2. pSEWDOEWKLIDOWO PROSTRANSTWO. mODELX GEOMETRII lOBA^EWSKOGO NA SFERE PSEWDOEWKLIDOWA PROSTRANSTWA pSEWDOEWKLIDOWYM PROSTRANSTWOM TIPA (n 1) NAZYWAETSQ AFFINNOE PROSTRANSTWO En1 (RAZMERNOSTI n +1) SO SKALQRNYM PROIZWEDENIEM WEK86
TOROW, IME@]IM W KANONI^ESKOM BAZISE SLEDU@]IJ WID: (x y) = x1y1 + : : : + xn yn ; xn+1yn+1. tAKOE SKALQRNOE PROIZWEDENIE NAZYWA@T TAKVE PSEWDOEWKLIDOWYM. sFEROJ MNIMOGO RADIUSA W PROSTRANSTWE E21 NAZYWAETSQ MNOVESTWO TO^EK, ZADAWAEMOE URAWNENIEM WIDA (r ; r0)2 = ;R2 . s TO^KI ZRENIQ AFFINNOJ GEOMETRII \TA SFERA PREDSTAWLQET SOBOJ DWUPOLOSTNYJ GIPERBOLOID. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 38], lEKCII 12 A,B,W 12], rAZDEL 4, x22 47], gLAWA 3, x1, 2 20], x6 40], 27]. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: ZADA^I IZ 40], 20], 49]. tEMA 3. gEOMETRIQ lOBA^EWSKOGO. mODELX k\LI-kLEJNA gEOMETRIQ lOBA^EWSKOGO REALIZUETSQ NA OBLASTI PROEKTIWNOGO PROSTRANSTWA Pn, OGRANI^ENNOJ GIPERPOWERHNOSTX@ WTOROGO PORQDKA !, IME@]EJ URAWNENIE (x1)2 + : : : + (xn)2 ; (xn+1)2 = 0. dWIVENIQMI PROSTRANSTWA lOBA^EWSKOGO Hn (\TO PROSTRANSTWO NAZYWA@T TAKVE GIPERBOLI^ESKIM PROSTRANSTWOM) QWLQ@TSQ PROEKTIWNYE PREOBRAZOWANIQ PROSTRANSTWA Pn, PEREWODQ]IE W SEBQ GIPERPOWERHNOSTX !. w ^ASTNOSTI, GEOMETRIQ PLOSKOSTI lOBA^EWSKOGO REALIZUETSQ WNUTRI OKRUVNOSTI x2 + y2 = 1 NA EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI. pRQMYMI W \TOJ GEOMETRII QWLQ@TSQ HORDY OKRUVNOSTI. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 12], rAZDEL 4, x22 47], gLAWA 3, x1, 2 40].
pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: ZADA^I IZ 40], 49].
tEMA 4. gEOMETRIQ lOBA^EWSKOGO. mODELX pUANKARE gEOMETRIQ PROSTRANSTWA lOBA^EWSKOGO W MODELI pUANKARE WOZNIKAET W OBLASTI, OGRANI^ENNOJ SFEROJ Sn;1 EWKLIDOWA PROSTRANSTWA En. pRI \TOM PRQMYMI W MODELI pUANKARE OKAZYWA@TSQ DUGI OKRUVNOSTEJ, PERESEKA@]EJ SFERU Sn;1 POD PRQMYM UGLOM. 87
w ^ASTNOSTI, GEOMETRIQ PLOSKOSTI lOBA^EWSKOGO REALIZUETSQ WNUTRI OKRUVNOSTI x2 + y2 = 1 NA EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI. wMESTO OBLASTEJ, OGRANI^ENNYH SFEROJ Sn;1 ILI OKRUVNOSTX@ DLQ POSTROENIQ GEOMETRII lOBA^EWSKOGO MOVNO TAKVE BRATX, SOOTWETSTWENNO, POLUPROSTRANSTWO, OGRANI^ENNOE GIPERPLOSKOSTX@, I POLUPLOSKOSTX, OGRANI^ENNU@ PRQMOJ. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 40], 15], 47], gLAWA 3, x8. pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: ZADA^I IZ 40], 49], 15].
tEMA 4. gEOMETRIQ NA SFERE I \LLIPTI^ESKAQ GEOMETRIQ eSLI W PROEKTIWNOM PROSTRANSTWE Pn ZADATX MNIMU@ GIPERPOWERHNOSTX WTOROGO PORQDKA ! S URAWNENIEM (x1)2 + : : : + (xn)2 + (xn+1)2 = 0 I W KA^ESTWE DOPUSTIMYH PREOBRAZOWANIJ WZQTX PROEKTIWNYE PREOBRAZOWANIQ PROSTRANSTWA Pn, PEREWODQ]IE W SEBQ GIPERPOWERHNOSTX !, TO PROEKTIWNOE PROSTRANSTWO PREWRATITSQ W \LLIPTI^ESKOE PROSTRANSTWO. pOSKOLXKU PROEKTIWNOE PROSTRANSTWO MOVNO POLU^ITX IZ SFERY Sn OTOVDESTWLENIEM PROTIWOPOLOVNYH TO^EK (PRI \TOM OTOBRAVENIE p : Sn ! Pn QWLQETSQ DWULISTNYM NAKRYTIEM), A LINEJNYE PREOBRAZOWANIQ, SOHRANQ@]IE KWADRATI^NU@ FORMU (x1)2 + : : : + (xn)2 + (xn+1)2, QWLQ@TSQ WRA]ENIQMI SFERY, TO GEOMETRIQ \LLIPTI^ESKOGO PROSTRANSTWA W MALOM SOWPADAET S GEOMETRIEJ SFERY. nA \LLIPTI^ESKOJ PLOSKOSTI L@BYE DWE RAZLI^NYE PRQMYE IME@T ROWNO ODNU OB]U@ TO^KU (PARA DIAMETRALXNO PROTIWOPOLOVNYH TO^EK, PO KOTORYM PERESEKA@TSQ BOLXIE OKRUVNOSTI SFERY). rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 12], rAZDEL 4, x22 47], gLAWA 2, x1, 2 40] 15].
pRIMERNYJ SPISOK ZADA^: ZADA^I IZ 40], 49], 15]. 88
6
tEMY, PREDLOVENNYE {USTOWOJ e.p.
6.1 pROEKTIWNAQ GEOMETRIQ. mETODY IZOBRAVENIJ. pROEKTIWNAQ GEOMETRIQ WOZNIKLA W SWQZI S ZADA^EJ IZOBRAVENIQ TEL NA PLOSKOSTI. zADA^A \TA ESTESTWENNYM OBRAZOM WOZNIKAET W STEREOMETRII EE ZNA^ENIE DLQ VIWOPISI I ARHITEKTURY O^EWIDNO. pRI PROEKTIROWANII TEL NA PLOSKOSTX (PRI IZOBRAVENII \TIH TEL NA PLOSKOSTI) MNOGOE W NIH ISKAVAETSQ: MENQ@TSQ DLINY OTREZKOW, WELI^INY UGLOW I T.D. oDNAKO IME@TSQ I TAKIE SWOJSTWA, KOTORYE ODINAKOWY DLQ TELA I EGO IZOBRAVENIQ NA PLOSKOSTI. nAHOVDENIE TAKOGO RODA SWOJSTW I SOSTAWLQET OSNOWNU@ ZADA^U PROEKTIWNOJ GEOMETRII. bAZIRUQSX NA NIH, MY MOVEM OBLEG^ITX POSTROENIE IZOBRAVENIQ TELA NA PLOSKOSTI. pROEKTIWNYM PREOBRAZOWANIEM MNOVESTWA TO^EK PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI NAZYWAETSQ TAKOE WZAIMNO ODNOZNA^NOE PREOBRAZOWANIE, PRI KOTOROM L@BYE TRI TO^KI, LEVA]IE NA ODNOJ PRQMOJ, PEREHODQT W TO^KI, TAKVE LEVA]IE NA ODNOJ PRQMOJ, PRINADLEVA]EJ \TOJ PLOSKOSTI. nETOVDESTWENNOE PROEKTIWNOE PREOBRAZOWANIE NAZYWAETSQ GOMOLOGIEJ, ESLI ONO IMEET PRQMU@, SOSTOQ]U@ IZ INWARIANTNYH TO^EK (TEH TO^EK, KOTORYE PEREHODQT SAMI W SEBQ), I, KROME TOGO, E]E ODNU INWARIANTNU@ TO^KU. wOT NEKOTORYE IZ TEM KURSOWYH PO \TOMU RAZDELU:
tEMA 1. sPOSOBY POSTROENIQ OBRAZA I PROOBRAZA TO^KI ZADANNOJ GOMOLOGII zDESX PREDPOLAGAETSQ POLU^ITX PORQDOK PRAKTI^ESKIH DEJSTWIJ DLQ POSTROENIQ NA PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI OBRAZA (PROOBRAZA) TO^KI, ESLI GOMOLOGIQ ZADANA OSX@, CENTROM I PAROJ SOOTWETSTWENNYH TO^EK (ILI TREMQ PARAMI SOOTWETSTWENNYH TO^EK). 89
tEMA 2. oTOBRAVENIQ PRQMYH PRI ZADANNOJ GOMOLOGII zDESX PREDPOLAGAETSQ POSTROITX OBRAZY I PROOBRAZY RAZLI^NYH PRQMYH, ESLI GOMOLOGIQ ZADANA OSX@, CENTROM I PAROJ SOOTWETSTWENNYH TO^EK (ILI TREMQ PARAMI SOOTWETSTWENNYH TO^EK). oPISATX PORQDOK POSTROENIQ. pUSTX ZADANA GOMOLOGIQ f I DWE PRQMYE p I q (p 6= q). nA PRQMOJ p NAJTI TO^KU, PROOBRAZ (OBRAZ) KOTOROJ LEVIT NA PRQMOJ q (p 6= f (q)).
tEMA 3. tEOREMA dEZARGA I EE PRIMENENIQ DLQ POSTROENIJ NA PLOSKOSTI tEOREMA dEZARGA. eSLI PRQMYE, PROHODQ]IE ^EREZ SOOTWETSTWU@-
]IE WERINY DWUH TREUGOLXNIKOW, PROHODQT ^EREZ ODNU TO^KU (DEZARGOW CENTR), TO SOOTWETSTWU@]IE STORONY \TIH TREUGOLXNIKOW PERESEKA@TSQ W TO^KAH, LEVA]IH NA ODNOJ PRQMOJ. 1) w EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI PROTIWOPOLOVNYE WERINY ODNOGO PARALLELOGRAMMA RASPOLOVENY SOOTWETSTWENNO NA PROTIWOPOLOVNYH STORONAH (ILI IH PRODOLVENIQH) WTOROGO. dOKAZATX, ^TO OBA PARALLELOGRAMMA IME@T OB]IJ CENTR SIMMETRII. 2) w EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI DANY TREUGOLXNIK I TRI PARALLELOGRAMMA, DLQ KAVDOGO IZ KOTORYH ODNA STORONA TREUGOLXNIKA SLUVIT DIAGONALX@, A DWE DRUGIE { SMEVNYMI STORONAMI. dOKAZATX, ^TO WTORYE DIAGONALI \TIH PARALLELOGRAMMOW PERESEKA@TSQ W ODNOJ TO^KE. 3) w EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI W ^ETYREHUGOLXNIK WPISANA TRAPECIQ, PARALLELXNYE STORONY KOTOROJ PARALLELXNY EGO DIAGONALI. dOKAZATX, ^TO NEPARALLELXNYE STORONY TRAPECII PERESEKA@TSQ NA DRUGOJ DIAGONALI. 4) iSPOLXZUQ TEOREMU dEZARGA, DOKAVITE, ^TO MEDIANY TREUGOLXNIKA PERESEKA@TSQ W ODNOJ TO^KE. 90
5) nA ^ERTEVE OGRANI^ENNYH RAZMEROW ZADANY DWE PARY PRQMYH: p I q PERESEKA@]IESQ W TO^KE A I u I v PERESEKA@]IESQ W TO^KE B: tO^KI A I B NE UME]A@TSQ NA LISTE BUMAGI (NEDOSTUPNY). pOSTROITX DOSTUPNU@ ^ASTX PRQMOJ (AB ): tAKOGO TIPA ZADA^I WOZNIKA@T, NAPRIMER, PRI POSTROENII SE^ENIJ MNOGOGRANNIKOW. w SLEDU@]IH KURSOWYH RABOTAH PREDPOLAGAETSQ POSTROENIE IZOBRAVENIJ PROSTRANSTWENNYH FIGUR I IH SE^ENIJ, S ISPOLXZOWANIEM SWOJSTW PARALLELXNOGO PROEKTIROWANIQ I TEOREMY dEZARGA O PARE SOOTWETSTWENNYH TREUGOLXNIKOW.
tEMA 4. pOSTROENIE RAZLI^NYH SE^ENIJ PIRAMID I TO^EK WSTRE^I PRQMOJ S GRANQMI I SE^ENIQMI tEMA 5. pOSTROENIE RAZLI^NYH SE^ENIJ PARALLELEPIPEDA I TO^EK WSTRE^I PRQMOJ S GRANQMI I SE^ENIQMI tEMA 6. pOSTROENIE RAZLI^NYH SE^ENIJ PRAWILXNOJ ESTIUGOLXNOJ PRIZMY I TO^EK WSTRE^I PRQMOJ S GRANQMI I SE^ENIQMI
wO WSEH WYE PERE^ISLENNYH TEMAH OB_EKTY ZADANY W WIDE GEOMETRI^ESKOGO MESTA TO^EK. rEENIQ ZADA^ NE TREBU@T KAKIH-LIBO WY^ISLENIJ, A OSNOWYWA@TSQ NA IZWESTNYH OPREDELENIQH I TEOREMAH PROEKTIWNOJ GEOMETRII. zAMETIM, ^TO REZULXTATY RABOT MOGUT BYTX ISPOLXZOWANY PRI PREPODAWANII MATEMATIKI W KOLE, A TAKVE DLQ ORGANIZACII KRUVKOW I FAKULXTATIWOW. w SLEDU@]IH KURSOWYH RABOTAH RASSMATRIWAEMYE OB_EKTY ZADANY SWOIMI KOORDINATAMI ILI URAWNENIQMI. rEENIE ZADA^I WYPOLNQETSQ S POMO]X@ SOOTWETSTWU@]IH ANALITI^ESKIH WY^ISLENIJ I ZATEM DELA@TSQ SOOTWETSTWU@]IE RISUNKI. nAPRIMER: 91
tEMA 7. oSOBENNOSTI RASPOLOVENIQ TO^EK I PRQMYH NA PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI zDESX RASSMATRIWA@TSQ WOPROSY SLEDU@]EGO TIPA: 1) kAKOWA OSOBENNOSTX RASPOLOVENIQ TO^KI NA PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI OTNOSITELXNO NEKOTOROGO PROEKTIWNOGO REPERA, ESLI ODNA IZ KOORDINAT TO^KI W \TOM REPERE NULEWAQ? 2) kAKOWA OSOBENNOSTX RASPOLOVENIQ PRQMOJ (AB ) OTNOSITELXNOGO NEKOTOROGO REPERA NA PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI, ESLI W \TOM REPERE PERWYE PARY KOORDINAT TO^EK A I B PROPORCIONALXNY? sFORMULIRUJTE I REITE DWOJSTWENNU@ ZADA^U. 3) pOSTROITX TO^KU (PRQMU@) PO EE KOORDINATAM W RAZLI^NYH REPERAH NA PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI.
tEMA 8. pREOBRAZOWANIE KOORDINAT TO^KI PRI GOMOLOGII tREBUETSQ POLU^ITX FORMULY PROEKTIWNOGO PREOBRAZOWANIQ, QWLQ@]EGOSQ GOMOLOGIEJ NA PROEKTIWNOJ PLOSKOSTI. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 13], 3].
6.2 aFFINNYE PREOBRAZOWANIQ NA PLOSKOSTI I W PROSTRANSTWE. tEMY KURSOWYH RABOT \TOGO RAZDELA POSWQ]ENY AFFINNYM PREOBRAZOWANIQM (NAPRIMER, SDWIGAM, SVATIQM, WRA]ENIQM, SIMMETRIQM, PARALLELXNYM PERENOSAM) RAZLI^NYH FIGUR NA PLOSKOSTI I W PROSTRANSTWE. nAPOMNIM, ^TO WSQKOE AFFINNOE PREOBRAZOWANIE, ZAPISANNOE W DEKARTOWYH KOORDINATAH, IMEET WID x0 = Ax + a, GDE x I x0 | RADIUS-WEKTORY SOOTWETSTWU@]IH TO^EK, A | LINEJNYJ OPERATOR, a | WEKTOR. 92
tEMA 1. sWQZX AFFINNYH PREOBRAZOWANIJ W TREHMERNOM PSEWDOEWKLIDOWOM PROSTRANSTWE I OKRUVNOSTEJ NA EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI mEVDU TO^KAMI TREHMERNOGO EWKLIDOWA PROSTRANSTWA I ORIENTIROWANNYMI OKRUVNOSTQMI EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI MOVNO USTANOWITX WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE. nADO WYQSNITX, KAKIM PREOBRAZOWANIQM BUDUT PODWERGATXSQ OKRUVNOSTI W EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI, ESLI RASSMOTRETX AFFINNYE PREOBRAZOWANIQ NEKOTORYH TIPOW W TREHMERNOM EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE. i NAOBOROT, KAKOE AFFINNOE PREOBRAZOWANIE WOZNIKAET W TREHMERNOM EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE, ESLI OKRUVNOSTI NA EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI PODWERGA@TSQ NEKOTOROMU PREOBRAZOWANI@ (NAPRIMER, PREOBRAZOWANIQM lAGERRA 60]).
tEMA 2. nEPODWIVNYE TO^KI I INWARIANTNYE NAPRAWLENIQ AFFINNOGO PREOBRAZOWANIQ tO^KA x0 OSTAETSQ NEPODWIVNOJ PRI AFFINNOM PREOBRAZOWANII, ESLI x0 = Ax0 + a, T.E. (E ; A)x0 = a. sLEDOWATELXNO, OTYSKANIE TAKIH TO^EK SWODITSQ K SISTEME LINEJNYH NEODNORODNYH URAWNENIJ. pREDPOLAGAETSQ RASSMOTRETX RAZLI^NYE SLU^AI I KONKRETNYE PRIMERY. eSLI OPERATOR A OBLADAET SOBSTWENNYM WEKTOROM: Ax = x, TO \TOT WEKTOR ZADAET INWARIANTNOE NAPRAWLENIE NA PLOSKOSTI ILI W PROSTRANSTWE. pRQMYE, IME@]IE \TO NAPRAWLENIE, PREOBRAZU@TSQ W SEBQ ILI W PARALLELXNYE PRQMYE. iSSLEDOWATX WOPROS: PRI KAKIH USLOWIQH SU]ESTWU@T INWARIANTNYE NAPRAWLENIQ, SKOLXKO IH MOVET BYTX? rASSMOTRETX PRIMERY.
tEMA 3. sIMMETRII OTNOSITELXNO PRQMOJ tEMA 4. gOMOTETII NA PLOSKOSTI 93
w SLEDU@]IH KURSOWYH RABOTAH PREDPOLAGAETSQ REITX ZADA^U TAKOGO TIPA: NA AFFINNOJ (ILI EWKLIDOWOJ) PLOSKOSTI ILI W AFFINNOM (ILI EWKLIDOWOM) PROSTRANSTWE ZADANA NEKOTORAQ GEOMETRI^ESKAQ FIGURA. nAJTI AFFINNYE PREOBRAZOWANIQ, OTOBRAVA@]EE TO^KI \TOJ FIGURY W TO^KI DRUGOJ ZADANNOJ FIGURY (W ^ASTNOSTI, OSTAWLQ@]IE DANNU@ FIGURU NEPODWIVNOJ). iZU^ITX \TO PREOBRAZOWANIE, WYQSNIW EGO GEOMETRI^ESKIE SWOJSTWA. rASSMOTRETX W KA^ESTWE FIGUR NEKOTORYE KRIWYE ILI POWERHNOSTI. nAPRIMER:
tEMA 5. pREOBRAZOWANIQ, PEREWODQ]IE PARABOLU W SEBQ tEMA 6. pREOBRAZOWANIQ, PEREWODQ]IE \LLIPS W SEBQ tEMA 7. pREOBRAZOWANIQ, PEREWODQ]IE GIPERBOLU W SEBQ tEMA 8. pREOBRAZOWANIQ, PEREWODQ]IE CILINDR W SEBQ tEMA 9. pREOBRAZOWANIQ, PEREWODQ]IE KONUS W SEBQ tEMA 10. pREOBRAZOWANIQ, PEREWODQ]IE \LLIPSOID W SEBQ tEMA 11. pREOBRAZOWANIQ, PEREWODQ]IE PARABOLOID W SEBQ tEMA 12. pREOBRAZOWANIQ, PEREWODQ]IE GIPERBOLOID W SEBQ rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 13], 60].
6.3 gEOMETRIQ KRISTALLOW. gEOMETRI^ESKI PRAWILXNAQ WNENQQ FORMA KRISTALLOW, OBRAZU@]IHSQ W PRIRODNYH ILI LABORATORNYH USLOWIQH, NATOLKNULA U^ENYH NA MYSLX, ^TO KRISTALLY OBRAZU@TSQ POSREDSTWOM REGULQRNOGO POWTORENIQ W PROSTRANSTWE ODNOGO I TOGO VE STRUKTURNOGO \LEMENTA, TAK SKAZATX, KIRPI^IKA. pRI ROSTE KRISTALLA W IDEALXNYH USLOWIQH FORMA 94
EGO W TE^ENIE WSEGO ROSTA OSTAETSQ NEIZMENNOJ, KAK ESLI BY K RASTU]EMU KRISTALLU NEPRERYWNO PRISOEDINQLISX BY \LEMENTARNYE KIRPI^IKI. tAKIMI \LEMENTARNYMI KIRPI^IKAMI QWLQ@TSQ ATOMY ILI GRUPPY ATOMOW. kRISTALLY SOSTOQT IZ ATOMNYH RQDOW, PERIODI^ESKI POWTORQ@]IHSQ W PROSTRANSTWE I OBRAZU@]IH KRISTALLI^ESKU@ REETKU. tO^E^NU@ GRUPPU SIMMETRII KRISTALLI^ESKOJ REETKI MOVNO OPREDELITX KAK SOWOKUPNOSTX OPERACIJ SIMMETRII, T.E. PREOBRAZOWANIJ, OSU]ESTWLENNYH OTNOSITELXNO KAKOJ-NIBUDX TO^KI REETKI, W REZULXTATE KOTORYH REETKA SOWME]AETSQ SAMA S SOBOJ. sU]ESTWU@T PQTX TIPOW DWUMERNYH REETOK I ^ETYRNADCATX PROSTRANSTWENNYH. ~ETYRNADCATX REETOK bRAWE OBY^NO PODRAZDELQ@TSQ NA SEMX SISTEM, W SOOTWETSTWII S SEMX@ RAZLI^NYMI TIPAMI \LEMENTARNYH Q^EEK. sLEDU@]IE TEMY PREDPOLAGA@T IZU^ENIE TO^E^NOJ GRUPPY SIMMETRII KRISTALLI^ESKOJ REETKI I ISSLEDOWANIE NEKOTORYH FIZI^ESKIH SWOJSTW KRISTALLOW, OPISYWAEMYH \TOJ REETKOJ. pRIWEDENNYE NIVE ZADA^I REA@TSQ METODAMI ANALITI^ESKOJ GEOMETRII. wOT NEKOTORYE IZ NIH:
tEMA 1. sIMMETRII MONOKLINNOJ S CENTRIROWANNYMI OSNOWANIQMI PROSTRANSTWENNOJ REETKI bRAWE tEMA 2. sIMMETRII ROMBI^ESKOJ S CENTRIROWANNYMI OSNOWANIQMI PROSTRANSTWENNOJ REETKI bRAWE tEMA 3. sIMMETRII KUBI^ESKOJ PRIMITIWNOJ Q^EJKI bRAWE tEMA 4. sIMMETRII MONOKLINNOJ PRIMITIWNOJ Q^EJKI bRAWE 95
tEMA 5. sIMMETRII ROMBI^ESKOJ GRANECENTRIROWANNOJ PROSTRANSTWENNOJ REETKI bRAWE tEMA 6. sIMMETRII ROMBI^ESKOJ OB_EMNOCENTRIROWANNOJ PROSTRANSTWENNOJ REETKI bRAWE tEMA 7. sIMMETRII DWUMERNYH KRISTALLI^ESKIH REETOK rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 20], 13].
6.4 dIFFERENCIALXNAQ GEOMETRIQ. lINEJ^ATAQ GEOMETRIQ W AFFINNOM PROSTRANSTWE. sLEDU@]IE TEMY KURSOWYH RABOT PREDPOLAGA@T IZU^ENIE RAZLI^NYH PREOBRAZOWANIJ SETEJ, LINIJ I OBLASTEJ NA POWERHNOSTQH EWKLIDOWA PROSTRANSTWA, A TAKVE NAHOVDENIE SOOTWETSTWU@]IH \TIM PREOBRAZOWANIQM AFFINNYH PREOBRAZOWANIJ EWKLIDOWA PROSTRANSTWA, W KOTOROM NAHODITSQ DANNAQ POWERHNOSTX. wOT NEKOTORYE TEMY TAKOGO TIPA:
tEMA 1. sWQZX PREOBRAZOWANIJ NA SFERE I W AFFINNOM PROSTRANSTWE tEMA 2. sWQZX PREOBRAZOWANIJ NA KONUSE I W AFFINNOM PROSTRANSTWE tO^KE I WEKTORU, ZADANNYM NA NEKOTOROJ POWERHNOSTI (KOTORU@ BUDEM NAZYWATX INDIKATRISOJ) AFFINNOGO PROSTRANSTWA, MOVNO WZAIMNO ODNOZNA^NO POSTAWITX W SOOTWETSTWIE ORIENTIROWANNU@ PRQMU@ W AFFINNOM PROSTRANSTWE. a IMENNO, TO^KE NA INDIKATRISE S RADIUSWEKTOROM ~r I WEKTORU ~v KASATELXNOMU K INDIKATRISE W \TOJ TO^KE, STAWITSQ W SOOTWETSTWIE ORIENTIROWANNAQ PRQMAQ, PROHODQ]AQ ^EREZ KONEC WEKTORA ~v W NAPRAWLENII WEKTORA ~r: tOGDA TEKU]EJ TO^KE M 96
NA INTEGRALXNOJ LINII WEKTORNOGO POLQ ~v , ZADANNOGO NA INDIKATRISE, I WEKTORU ~vM SOOTWETSTWUET SEMEJSTWO ORIENTIROWANNYH PRQMYH W AFFINNOM PROSTRANSTWE (ZDESX ~vM - WEKTOR WEKTORNOGO POLQ ~v WY^ISLENNYJ W TO^KE M ). eSLI INTEGRALXNAQ LINIQ { NEPRERYWNAQ KRIWAQ, TO \TO SEMEJSTWO ORIENTIROWANNYH PRQMYH BUDET LEVATX NA NEKOTOROJ LINEJ^ATOJ POWERHNOSTI (KAK BY OBRAZOWYWATX \TU POWERHNOSTX). pREDPOLAGAETSQ IZU^ITX SWOJSTWA \TOJ LINEJ^ATOJ POWERHNOSTI. i NAOBOROT, RASSMOTREW LINEJ^ATU@ POWERHNOSTX OPREDELENNOGO WIDA, POLU^ITX SOOTWETSTWU@]EE WEKTORNOE POLE NA POWERHNOSTI I IZU^ITX EGO SWOJSTWA. wOT NEKOTORYE IZ TEM \TOGO RAZDELA:
RE
tEMA 3. lINEJ^ATYE POWERHNOSTI I WEKTORNYE POLQ NA SFE-
tEMA 4. lINEJ^ATYE POWERHNOSTI I WEKTORNYE POLQ NA \LLIPTI^ESKOM PARABOLOIDE tEMA 5. lINEJ^ATYE POWERHNOSTI I WEKTORNYE POLQ NA GIPERBOLI^ESKOM PARABOLOIDE tEMA 6. cILINDRY I WEKTORNYE POLQ NA SFERE tEMA 7. oDNOPOLOSTNYE GIPERBOLOIDY I WEKTORNYE POLQ NA SFERE tEMA 8. oDNOPOLOSTNYE GIPERBOLOIDY I WEKTORNYE POLQ NA PARABOLOIDE tEMA 9. oDNOPOLOSTNYE GIPERBOLOIDY I WEKTORNYE POLQ NA DWUPOLOSTNOM GIPERBOLOIDE dRUGIE TEMY KURSOWYH RABOT PO \TOMU RAZDELU: PUSTX TO^KA DWIVETSQ PO NEKOTOROMU NAPERED ZADANNOMU ZAKONU PO NEKOTOROJ DANNOJ PO97
WERHNOSTI. nAJTI LINEJ^ATU@ POWERHNOSTX, SOOTWETSTWU@]U@ TAKOMU DWIVENI@ TO^KI. iZU^ITX SWOJSTWA \TOJ POWERHNOSTI. wOT NEKOTORYE IZ TEM TAKOGO TIPA:
tEMA 10. dWIVENIE TO^KI PO SFERE I SOOTWETSTWU@]AQ EE DWIVENI@ LINEJ^ATAQ POWERHNOSTX W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE w RAMKAH \TOJ TEMY MOVET BYTX RASSMOTRENA, NAPRIMER, ZADA^A: PUSTX TO^KA DWIVETSQ PO SFERE TAK, ^TO ONA ODNOWREMENNO RAWNOMERNO PEREME]AETSQ OTNOSITELXNO NEKOTOROJ PRQMOJ l EWKLIDOWA PROSTRANSTWA. t.E., \TA TO^KA, WRA]AQSX WOKRUG PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ CENTR SFERY I PARALLELXNOJ l TO PRIBLIVAETSQ K NEJ, TO UDALQETSQ OT NEE, PRI \TOM OSTAWAQSX NA SFERE. iZU^ITX SWOJSTWA SOOTWETSTWU@]EJ LINEJ^ATOJ POWERHNOSTI W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE.
tEMA 11. dWIVENIE TO^KI PO DWUPOLOSTNOMU GIPERBOLOIDU I SOOTWETSTWU@]AQ EE DWIVENI@ LINEJ^ATAQ POWERHNOSTX W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE w RAMKAH \TOJ TEMY MOVET BYTX RASSMOTRENA, NAPRIMER, ZADA^A: PUSTX TO^KA DWIVETSQ PO DWUPOLOSTNOMU GIPERBOLOIDU TAK, ^TO ONA ODNOWREMENNO RAWNOMERNO PEREME]AETSQ OTNOSITELXNO NEKOTOROJ PRQMOJ l EWKLIDOWA PROSTRANSTWA. t.E., \TA TO^KA, WRA]AQSX WOKRUG PRQMOJ, PROHODQ]EJ ^EREZ CENTR ODNOPOLOSTNOGO GIPERBOLOIDA I PARALLELXNOJ l, TO PRIBLIVAETSQ K NEJ, TO UDALQETSQ OT NEE, PRI \TOM OSTAWAQSX NA DWUPOLOSTNOM GIPERBOLOIDE. iZU^ITX SWOJSTWA SOOTWETSTWU@]EJ LINEJ^ATOJ POWERHNOSTI W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE. k KAVDOJ TEME \TOGO RAZDELA MOGUT BYTX SDELANY SOOTWETSTWU@]IE RISUNKI, WYPOLNENNYE S POMO]X@ KOMPX@TERA, A TAKVE SOSTAWLE98
NY PROGRAMMY DLQ WY^ISLENIJ NEOBHODIMYH PRI IZU^ENII WNUTRENNEJ GEOMETRII SOOTWETSTWU@]EJ LINEJ^ATOJ POWERHNOSTI. rEKOMENDUEMAQ LITERATURA: 34], 50].
lITERATURA 1] aDAMAR v. |LEMENTARNAQ GEOMETRIQ. ~ASTX I. pLANIMETRIQ. { m.: u^PEDGIZ, { 1948. 2] aDAMAR v. |LEMENTARNAQ GEOMETRIQ. ~ASTX II. sTEREOMETRIQ. { m.: u^PEDGIZ, { 1958. 3] aLEKSANDROWA e.w. pOSOBIE K REENI@ ZADA^ PO RAZDELU mETODY IZOBRAVENIJ. { u^EBNOE POSOBIE. { 1998. 4] aLEKSANDROW p.s. lEKCII PO ANALITI^ESKOJ GEOMETRII. { m.: nAUKA. { 1968. 5] aLEKSANDROW p.s. kURS ANALITI^ESKOJ GEOMETRII I LINEJNOJ ALGEBRY. { m.: nAUKA. { 1979. 6] aRNOLXD w.i. mATEMATI^ESKIE METODY KLASSI^ESKOJ MEHANIKI. { m.: nAUKA. { 1974. 7] aRNOLXD w.i. tEORETI^ESKAQ ARIFMETIKA. { m.: nAUKA. { 1978. 8] aRNOLXD w.i. tEORIQ KATASTROF. { m.: nAUKA. { 1990. 9] aTANASQN l.s., bAZYLEW w.t. gEOMETRIQ. ~ASTX I. { m. { 1986. 10] aTANASQN l.s., bAZYLEW w.t. gEOMETRIQ. ~ASTX II. { m. { 1987. 11] bAZYLEW w.t., dUNI^EW k.i., iWANICKAQ w.p. gEOMETRIQ I. { m.: pROSWE]ENIE. { 1974. 99
12] bAZYLEW w.t., dUNI^EW k.i. gEOMETRIQ II. { m.: pROSWE]ENIE. { 1975. 13] bAHWALOW s.w., mODENOW p.s., pARHOMENKO a.s. sBORNIK ZADA^ PO ANALITI^ESKOJ GEOMETRII. { m.: nAUKA. { 1964. 14] bERVE m. gEOMETRIQ. t. 1. { m.: mIR. { 1984. 15] bERVE m. gEOMETRIQ. t. 2. { m.: mIR. { 1984. 16] bERMAN C. cIKLOIDA. { m.: nAUKA. { 1968. 17] bOLTQNSKIJ w.g., eFREMOWI^ w.a. nAGLQDNAQ TOPOLOGIQ. { m.: nAUKA. { 1982. 18] bRUS dV., dVIBLIN p. kRIWYE I OSOBENNOSTI. { m.: mIR. { 1988. 19] gENKIN s.a., iTENBERG i.w., fOMIN d.w. lENINGRADSKIE MATEMATI^ESKIE KRUVKI. { kIROW: asa. { 1994. 20] dUBROWIN b.a., nOWIKOW s.p., fOMENKO a.t. sOWREMENNAQ GEOMETRIQ. mETODY I PRILOVENIQ. { m.: nAUKA. { 1979. 21] dX
26] kOSNEWSKI ~. nA^ALXNYJ KURS ALGEBRAI^ESKOJ TOPOLOGII. { m.: mIR. { 1983. 27] kOSTRIKIN a.i., mANIN `.i. lINEJNAQ ALGEBRA I GEOMETRIQ. { m.: nAUKA. { 1986. 28] kRONNOWER r.m. fRAKTALY I HAOS W DINAMI^ESKIH SISTEMAH. oSNOWY TEORII. { m.: pOSTMARKET. { 2000. 29] mALAHALXCEW m.a., fOMIN w.e., {APUKOW b.n., {URYGIN w.w. zADA^I PO TENZORNOMU ANALIZU I RIMANOWOJ GEOMETRII. { kAZANX: u^EBNOE POSOBIE. { iZD.-WO kAZANSK. UN-TA. { 1993. 30] mASSI u., sTOLLINGS dV. aLGEBRAI^ESKAQ TOPOLOGIQ. wWEDENIE. { m.: mIR. { 1977. 31] mI]ENKO a.s., fOMENKO a.t. kURS DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRII I TOPOLOGII. { m.: iZD. mgu. { 1980. 32] mODENOW p.s., pARHOMENKO a.s. gEOMETRI^ESKIE PREOBRAZOWANIQ. { m. { 1961. 33] nORDEN a.p. kRATKIJ KURS DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRII. { m. { 1958. 34] nORDEN a.p. tEORIQ POWERHNOSTEJ. { m.: gOSTEHIZDAT. { 1956. 35] pOGORELOW a.w. lEKCII PO DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRII. { hARXKOW { 1956. 36] pODRAN w.e. mODELI PLOSKOSTI lOBA^EWSKOGO. { nOWGOROD: u^EBNOE POSOBIE. { 1998. 37] pOSTNIKOW m.m. aNALITI^ESKAQ GEOMETRIQ (lEKCII PO GEOMETRII. sEMESTR I). { m.: nAUKA. { 1979. 101
38] pOSTNIKOW m.m. lINEJNAQ ALGEBRA (lEKCII PO GEOMETRII. sEMESTR II). { m.: nAUKA. { 1986. 39] pOSTON t., sT@ART i. tEORIQ KATASTROF I EE PRILOVENIQ. { m.: mIR. { 1980. 40] pRASOLOW w.w. gEOMETRIQ lOBA^EWSKOGO. { m.: mcnmo. { 2000. 41] pROSKURQKOW i.w. sBORNIK ZADA^ PO LINEJNOJ ALGEBRE. { m.: nAUKA. { 1967. 42] rAEWSKIJ p.k. rIMANOWA GEOMETRIQ I TENZORNYJ ANALIZ. { m. { 1953. 43] rAEWSKIJ p.k. kURS DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRII. { m. { 1956. 44] rv mATEMATIKA { 1971. { N 7. { REFERAT 7a10. 45] rID m. aLGEBRAI^ESKAQ GEOMETRIQ DLQ WSEH. { m.: mIR. { 1991. 46] rOZENFELXD b.a. mNOGOMERNYE PROSTRANSTWA. { m.: nAUKA. { 1966. 47] rOZENFELXD b.a. nEEWKLIDOWY PROSTRANSTWA. { m.: nAUKA. { 1969. 48] sAWELOW a.a. pLOSKIE KRIWYE. { m.: gOSTEHIZDAT. { 1960. 49] sBORNIK ZADA^ PO GEOMETRII. pOD RED. bAZYLEWA w.t. { m.: pROSWE]ENIE. { 1980. 50] sBORNIK ZADA^ PO DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRII. pOD RED. fEDENKO a.s. { m.: nAUKA. { 1979. 51] tORP dV. nA^ALXNYE GLAWY DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRII. { m.: mIR. { 1982. 52] fEDER e. fRAKTALY. { m.: mIR. { 1991. 102
53] fOMENKO a.t. sIMPLEKTI^ESKAQ GEOMETRIQ. { m.: iZD. mgu. { 1980. 54] fOMENKO a.t. nAGLQDNAQ GEOMETRIQ I TOPOLOGIQ: mATEMATI^ESKIE OBRAZY W REALXNOM MIRE. 2-E IZD. { m.: iZD. mgu, iZD. ~ERO . { 1998. 55] {AFAREWI^ i.r. oSNOWY ALGEBRAI^ESKOJ GEOMETRII. t. 1,2. { m.: nAUKA. { 1988. 56] {IROKOW p.a., {IROKOW a.p. aFFINNAQ DIFFERENCIALXNAQ GEOMETRIQ. { m. { 1959. 57] {IROKOW p.a. kRATKIJ O^ERK OSNOW GEOMETRII lOBA^EWSKOGO. { m.: nAUKA. { 1983. 58] {REDER m. fRAKTALY, HAOS, STEPENNYE ZAKONY. { iVEWSK.: iZD. uDMURT. UN-TA. { 2000. 59] qGLOM i.m. gEOMETRI^ESKIE PREOBRAZOWANIQ. tOM I. { m.: gittl. { 1955. 60] qGLOM i.m. gEOMETRI^ESKIE PREOBRAZOWANIQ. tOM II. { m.: gittl. { 1956. 61] Falconer K.J. The Geometry of Fractal Sets. { Cambridge Univ. Press. { 1985. 62] Koecher M., Remmert R. Hamilton's quaternions. In H.-D. Ebbinghaus et al. Numbers. { Springer. { 1988. 63] Mandelbrot B. The Fractal Geometry of Nature. { New York.: W.H. Freeman and Company. { 1977. 64] Wylie C.R. Foundation of geometry. { McGraw-Hill. { 1964. 103
sODERVANIE 1 tEMY, PREDLOVENNYE iGUDESMANOM k.b. 4 1.1 fRAKTALXNAQ GEOMETRIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 nAGLQDNAQ KOMPX@TERNAQ GEOMETRIQ W TEORII ^ISEL . . 24 2 tEMY, PREDLOVENNYE mALAHALXCEWYM m.a. 2.1 oSOBENNOSTI GLADKIH OTOBRAVENIJ . . . . . . . . . . . . 2.2 aLGEBRAI^ESKAQ GEOMETRIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 |LEMENTY TEORII GRAFOW . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 tOPOLOGI^ESKIE INWARIANTY POWERHNOSTEJ . . . . . . . . 2.5 sIMPLEKTI^ESKAQ GEOMETRIQ . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 pROSTRANSTWA gALILEQ I mINKOWSKOGO . . . . . . . . . . 2.7 tREHMERNAQ SFERA I WRA]ENIQ TREHMERNOGO EWKLIDOWA PROSTRANSTWA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 gRUPPY ZAMO]ENIJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 pRIWEDENIE KRIWOJ I POWERHNOSTI WTOROGO PORQDKA K KANONI^ESKOMU WIDU S POMO]X@ KOMPX@TERA . . . . . . . . 2.10 pOSTROENIE ZAME^ATELXNYH KRIWYH S POMO]X@ PAKETA
27
3 tEMY, PREDLOVENNYE fOMINYM w.e. 3.1 pLOSKIE KRIWYE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 kWATERNIONY I DRUGIE GIPERKOMPLEKSNYE ^ISLA . . . . 3.3 gEOMETRIQ PSEWDOEWKLIDOWOJ PLOSKOSTI . . . . . . . . . 3.4 lINEJNAQ ALGEBRA I \LEMENTARNAQ GEOMETRIQ . . . . . . 3.5 dOPOLNITELXNYE GLAWY DIFFERENCIALXNOJ GEOMETRII
46
Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .
27 34 37 39 40 41
42 43 44 46 46 48 48 48 50
4 tEMY, PREDLOVENNYE {APUKOWYM b.n. 52 4.1 gRUPPY PREOBRAZOWANIJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 104
4.2 nEEWKLIDOWY GEOMETRII . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 tEMY, PREDLOVENNYE {URYGINYM w.w. 5.1 gEOMETRI^ESKIE PREOBRAZOWANIQ NA EWKLIDOWOJ PLOSKOSTI 5.2 pROEKTIWNAQ PLOSKOSTX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 gEOMETRIQ MNOGOMERNYH AFFINNYH I EWKLIDOWYH PROSTRANSTW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 tOPOLOGIQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 nEEWKLIDOWY GEOMETRII . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
74 74 76
79 83 86
6 tEMY, PREDLOVENNYE {USTOWOJ e.p. 89 6.1 pROEKTIWNAQ GEOMETRIQ. mETODY IZOBRAVENIJ. . . . . . 89 6.2 aFFINNYE PREOBRAZOWANIQ NA PLOSKOSTI I W PROSTRANSTWE. 92 6.3 gEOMETRIQ KRISTALLOW. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6.4 dIFFERENCIALXNAQ GEOMETRIQ. lINEJ^ATAQ GEOMETRIQ W AFFINNOM PROSTRANSTWE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
105