Математический анализ: Методические рекомендации для студентов I курса математического факультета (I семестр)

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет Кафедра математического анализа

Математический анализ Методические рекомендации

для студентов I курса математического факультета I семестр

Екатеринбург 2007

2

Целью написания методических рекомендаций сориентировать студентов первого курса впервые изучающим математический анализ в педагогическом вузе. Курс математического анализа изучается 5 семестров. Здесь представлена первая часть курса. В конце первого семестра студенты сдают экзамен. В течение семестра вам предстоит выполнить контрольную работу и сдать коллоквиум. Это так называемые контрольные мероприятия, без выполнения которых студент не допускается до экзамена. В методические рекомендации включены: программа курса, тематические планы лекций и практических занятий, материалы для практических занятий, домашних заданий и контрольных работ, а также вопросы и задачи к экзамену. Составители: Н.Г. Фомина.

Содержание 1. Программа курса …………………………………………………………… 3 2. Лекции ……………………………………………………………………… 4 3. Практические занятия ……………………………………………………… 5 4. Материалы для практических занятий и домашних заданий …………… 6 5. Материалы для контрольной работы ……………………………………... 8 6. Вопросы к коллоквиуму……………………………………………………. 9 7. Вопросы к экзамену ………………………………………………………... 11 8. Задачи к экзамену ………………………………………………………..... 13 Литература ……………………………………………………………………. 14 Приложение. Методические советы студентам ……………………………. 15

1. Программа курса. Основные понятия. Числовые множества. Аксиоматика множества действительных чисел. Модуль действительного числа, его свойства. Ограниченные и неограниченные множества. Точные грани числовых множеств; теорема существования и единственности точных граней множеств. Понятие функции, основные свойства функций, числовые функции. Ограниченные функции. Монотонные функции. Обратная функция. Четные и нечетные функции. Периодические функции. Числовые последовательности. Числовые последовательности. Определение предела последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Единственность предела последовательности. Ограниченность последовательности, имеющей предел. Свойства сходящихся последовательностей, имеющих предел. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Арифметические операции над сходящимися последовательностями. Предел монотонной последовательности. Число е. Теорема Кантора о вложенных отрезках. Критерий Коши. Пределы функций. Предел функции. Определения предела по Коши и Гейне, их эквивалентность. Первый замечательный предел. Различные типы пределов. Односторонние пределы. Бесконечные пределы в конечной точке. Локальные свойства функции, имеющей предел. Ограниченность. Знак функции в окрестности, ограниченность обратной функции. Свойства пределов, связанные с неравенствами. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями. Непрерывность функций и их свойства. Непрерывность функции. Точки разрыва функции. Свойства функций, непрерывных в точке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Ограниченность непрерывной функции. Достижимость точных граней. Теорема о промежуточных значениях. Теорема о функции, обратной к монотонной непрерывной функции. Непрерывность элементарных функций. Многочлены и рациональные функции. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Степенная функция с рациональным показателем. Показательная функция. Логарифмическая функция. Гиперболические функции и обратные к ним. Вычисление пределов функций. Раскрытие неопределенностей. Замена переменного при вычислении предела. Второй замечательный предел. Следствия второго замечательного предела. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Замена функций эквивалентными при вычислении пределов.

4

2 Лекции 1. Аксиоматика действительного числа. Модуль действительного числа, его свойства 2. Ограниченные и неограниченные множества. Точные грани числовых множеств; теорема существования и единственности точных граней множеств. 3. Понятие функции, основные свойства функций, числовые функции. Ограниченные функции. Монотонные функции. Обратная функция. Четные и нечетные функции. Периодические функции. 4. Числовые последовательности. Определение предела последовательности. Свойства сходящихся последовательностей. Единственность предела последовательности. Ограниченность последовательности, имеющей предел. Свойства сходящихся последовательностей, последовательности, имеющей предел. 5. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Арифметические операции над сходящимися последовательностями. 6. Предел монотонной последовательности. Число е. 7. Теорема Кантора о вложенных отрезках. Критерий Коши 8. Предел функции. Определения предела по Коши и Гейне, их эквивалентность. Первый замечательный предел. 9. Различные типы пределов. Односторонние пределы. Бесконечные пределы в конечной точке. 10. Локальные свойства функции, имеющей предел. Ограниченность. Знак функции в окрестности, ограниченность функции 1/g(x). Свойства пределов, связанные с неравенствами. Свойства пределов, связанные с арифметическими операциями. 11. Непрерывность функции. Точки разрыва функции. Свойства функций, непрерывных в точке. 12. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Ограниченность непрерывной функции. Достижимость точных граней. Теорема о промежуточных значениях. Теорема о функции, обратной к монотонной непрерывной функции. 13. Непрерывность элементарных функций. Многочлены и рациональные функции. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции 14. Степенная функция с рациональным показателем. 15. Показательная функция. Логарифмическая функция. Гиперболические функции и обратные к ним. 16. Вычисление пределов функций. Раскрытие неопределенностей. Замена переменного при вычислении предела. Второй замечательный предел. Следствия второго замечательного предела. 17. Сравнение функций. Эквивалентные функции. Замена функций эквивалентными при вычислении пределов.

5

3 Практические занятия 1. Метод математической индукции. 2. Модуль числа, его свойства, неравенства с модулем. 3. Точные грани числовых множеств. 4. Функция и ее свойства. 5. Определение предела последовательности. 6. Арифметика пределов последовательностей. 7. Вычисление пределов последовательностей. 8. Вычисление пределов последовательностей. Контрольная работа №1. 9. Определение предела функции, его свойства. 10. Различные типы пределов. Односторонние пределы. Бесконечные пределы в конечной точке. 11. Вычисление пределов функций. 12. Вычисление пределов функций. 13. Вычисление пределов функций. 14. Вычисление пределов функций. 15. Вычисление пределов функций. 16. Исследование функции на непрерывность в точке. 17. Исследование функции на непрерывность на множестве.

6

4 Материалы для практических занятий и домашних заданий Занятие 1: Метод математической индукции. [1]: № 1, 3, 5, 7, 9, 11. Д/З: № 2, 4, 6, 8, 10. Занятие 2: Модуль числа, его свойства, неравенства с модулем. [1]: № 21, 23, 25, 29. Д/З: № 22, 24, 26, 28. Занятие 3: Точные грани числовых множеств. [1]: № 15, 17, 19. Д/З: № 16, 18, 20 Занятие 4: Функция и ее свойства. [2]: № 30, 36, 47, 54,117, 129, 138. Д/З: № 31, 35, 48, 55, 58, 130, 143. Занятие 5: Определение предела последовательности. [1]: № 41, 43, 45. Д/З: № 42, 44. Занятие 6: Арифметика пределов последовательностей. [1]: № 93, 95,128, 130, Д/З: № 92, 94, 127, 129. Занятие 7: Вычисление пределов последовательностей. [1]: № 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60. Д/З: № 47, 49, 51, 53, 55, 57, 59. Занятие 8: Вычисление пределов последовательностей. Контрольная работа №1. Занятие 9: Определение предела функции, его свойства. [1]: № 401, 403, 405, 409. Д/З: № 402, 404, 406, 410. Занятие 10: Различные типы пределов. Односторонние пределы. Бесконечные пределы в конечной точке. [2]: № 196, 198, 204, 207. Д/З: № 197, 201, 208, 210. Занятие 11: Вычисление пределов функций. [2]: № 268 – 288 четные. Д/З: № 269 – 287 нечетные. Занятие 12: Вычисление пределов функций. [2]: № 289 – 303 нечетные. Д/З: № 290 – 304 четные. Занятие 13: Вычисление пределов функций. [2]: № 314 – 348 четные. Д/З: № 315 – 347 нечетные.

7

Занятие 14: Вычисление пределов функций. [2]: № 351- 363 нечетные Д/З: № 352- 364 четные Занятие 15: Вычисление пределов функций. [1]: № 365 –378 нечетные Д/З: № 366 – 378 четные. Занятие 16: Исследование функции на непрерывность в точке. [1]: № 666, 668, 674. Д/З: № 667, 671, 675. Занятие 17: Исследование функции на непрерывность на множестве. [1]: № 676 – 686 четные, 731. Д/З: № 677 – 687 нечетные. [1] Б.П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 2001. [2] Г.Н. Берман Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 2003.

8

5 Материалы для контрольной работы Прим. Ниже приведены типичные задачи. 1. Исходя из определения предела последовательности, доказать равенство: 2n  3

2

lim 7n  6  7 . n 

2. Доказать отсутствие предела:

x

lim sin 2 . x 

3. Вычислить пределы: 

lim

1  2x  3 x 2

x 4

  

( x  x  1) x 4  3x  5 x  x (2  x)tg lim 4 x 2 x  1 2 x 1 ( ) lim x2 x  21

lim

2

1 5

9

6. Вопросы к коллоквиуму Билет № 1 1. Рациональные числа и их свойства. 2. Теорема о верхней грани множества. 3. Пользуясь определением предела, доказать равенство. Билет № 2 1.Сравнение вещественных чисел. 2. Число е. 3. Пользуясь определением предела, доказать равенство. Билет № 3 1. Свойства вещественных чисел, связанные неравенствами. Лемма о существовании рационального числа, заключенного между двумя действительными. 2.Теорема о верхней грани множества. 3. Пользуясь определением предела, доказать равенство. Билет № 4 1. Теорема об отделимых множествах. 2. Число е. 3. Пользуясь определением предела, доказать равенство. Билет № 5 1.Ограниченность сходящейся последовательности. 2.Теорема о верхней грани множества. 3.Пользуясь определением предела, доказать равенство. Билет № 6 1. Единственность предела последовательности. 2. Число е. 3. Пользуясь определением предела, доказать равенство. Билет № 7 1.Теорема о «зажатой» переменной. 2.Теорема о верхней грани множества. 3.Пользуясь определением предела, доказать равенство. Билет № 8 1.Теорема о сравнении пределов сходящихся последовательностей. Следствия. 2. Число е. 3. Пользуясь определением предела, доказать равенство.

10

Билет № 9 1.Свойства бесконечно малых последовательностей. 2.Теорема о верхней грани множества. 3.Пользуясь определением предела, доказать равенство. Билет № 10 1.Арифметические операции над сходящимися последовательностями. 2. Число е. 3. Пользуясь определением предела, доказать равенство. Билет № 11 1.Монотонная последовательность. Точные грани последовательности. 2.Теорема о верхней грани множества. 3.Пользуясь определением предела, доказать равенство. Билет № 12 1. Признак сходимости монотонной последовательности. 2. Число е. 3. Пользуясь определением предела, доказать равенство. Билет № 13 4. Рациональные числа и их свойства. 5. Теорема о верхней грани множества. 6. Пользуясь определением предела, доказать равенство. Билет № 14 1.Сравнение вещественных чисел. 2. Число е. 3. Пользуясь определением предела, доказать равенство. Билет № 15 1.Сравнение вещественных чисел. 2. Число е. 3. Пользуясь определением предела, доказать равенство. Билет № 16 1.Сравнение вещественных чисел. 2. Число е. 3. Пользуясь определением предела, доказать равенство.

11

7. Вопросы к экзамену 1.

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32.

Определение предела последовательности. Примеры. Сходящиеся последовательности. Примеры. Расходящиеся последовательности. Примеры. Единственность предела последовательности. Ограниченность сходящейся последовательности. Теоремы о сравнении членов последовательностей и их пределов. Теорема о зажатой переменной. Бесконечно малая и бесконечно большая последовательности. Связь между ними. Свойства бесконечно малой последовательности. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности. Арифметические операции над сходящимися последовательностями. Предел монотонной последовательности. Признак сходимости монотонной последовательности. Число е. Теорема Кантора о вложенных отрезках. Подпоследовательность. Теорама о существовании сходящейся подпоследовательности ограниченной последовательности (теорема Больцано-Вейерштрасса). Фундаментальная последовательность. Ограничченность фундаментальной последовательности. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности (критерий Коши). Понятие функции. Равенство функций. Опреации над функциями. Способы задания функций. Графики функции. Преобразования графика функции y  g (x) . График дробно-линейной функции. Четные и нечетные функции. Ограниченные и неограниченные функции. Монотонные функции. Периодические функции. Обратная функция. Предел функции. Примеры. Определение предела функции по Коши и по Гейне. Эквивалентность определений предела функции по Коши и по Гейне. Односторонние пределы функции. Бесконечные пределы функции в конечной точке. Примеры. Конечные пределы функции в бесконечной точке. Примеры. Свойства пределов фукций. Ограниченность функции в окрестности предельной точки. Сохранение функцией знака предела функции, отличного от нуля в окрестности предельной точки.

12

33. Ограниченность функции y  34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50.

1 в окрестности предельной точки, g ( x)

при условии, что g(x) имеет ненулевой предел. Теорема о сравнении функци и их пределов. Теорема о зажатой переменной для функций. Арифметика пределов функций. Пределы монотонных функций. Вычисление пределов функций. Замена переменной при вычислении пределов. Первый замечательный предел. Второй замечательный предел. Следствия второго замечательного предела. Непрерывность функции в точке. Примеры. Свойства непрерывных в точке функций. Точким разрыва функции, их классификация. Непрерывность функции на пножестве. Ограниченность непрерывной на отрезке функции (первая теорема Вейерштрасса). Достижимость точных граней непрерывной на отрезке функцией (вторая теорема Вейерштрасса). Теорема Коши о нулях непрерывной на отрезке функции. Теорема Коши о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции. Теорема об обратной функции к непрерывной на отрезке функции.

13

8 Задачи к экзамену Прим. Ниже приведены типичные задачи. На экзамене могут быть предложены другие аналогичные задачи.  Доказать по определению Коши, что 2x 2  x  1  3 lim x 1 x 1

 Вычислить пределы: x3  2x  1 x  1 x 5  2 x  1 (2) n  3n 2. lim n  (2) n 1  3 n 1

1. lim

3. lim x 2

4. lim

2 x  5  5x  1 x 3  2x 2  x  2 2x

3,14 2

3

 x2

x 

3x 3  x  3 cos x  cos a 5. lim x a xa xa 6. lim  x  x  a  

x

 Доказать по определению Коши непрерывность функции f ( x) 

x3 в точке a  2. 2

 Доказать по определению Коши непрерывность функции f ( x)  cos3x.

 Доказать, что

lim [ x  1] не существует. x 1

 Исследовать на непрерывность функцию

x2  1  f ( x)    ln x  x 2  1

при x  0 при x  0 при 0  x  1 при x  1

14

Литература 1. Г.Н. Берман. Сборник задач по курсу математического анализа.  М.: Наука, 2003. 2. В.А. Густомесов. Введение в математический анализ: Контрольная работа для заочного отделения. Индивидуальные задания для очного отделения математического факультета.  Екатеринбург: УрГПУ, 1995. 3. А.Р. Данилин, Т.Ф.Филиппова Введение в математику: учебное пособие.  Екатеринбург: УрГПУ, 1995. 4. Л.Д. Кудрявцев. Краткий курс математического анализа.  М.: Наука,1989. 5. А.Р. Данилин, В.А. Густомесов. Теория предела. Метод. разработка.  Свердловск: СвГПИ, 1985. 6. И.М. Уваренков, М.З Маллер. Курс математического анализа. Т.1.  М.: Просвещение, 1966. 7. М.В. Шабунин, В.А. Тер-Крикоров. Математический анализ.  М.: Наука, 2005.

15 Приложение. Методические советы студентам Лекция. Как ее слушать и записывать 1. Лекция  основной вид обучения в вузе. 2. В лекции излагаются основные положения теории, ее понятия и законы, приводятся факты, показывающие связь теории с практикой. 3. Накануне лекции необходимо повторить содержание предыдущей лекции (а также теорию по изучаемой теме в школьных учебниках геометрии, если эта тема была представлена в них), а затем посмотреть тему очередной лекции по программе (по плану лекций). 4. Полезно вести записи (конспекты) лекций: для непонятных вопросов оставлять место при работе над темой лекции с учебными пособиями. 5. Записи лекций следует вести в отдельной тетради, оставляя место для дополнений во время самостоятельной работы. 6. При конспектировании лекций выделяйте главы и разделы, параграфы, подчерки вайте основное. Практическое занятие. Как к нему готовиться 1. Практическое занятие  наиболее активный вид учебных занятий в вузе. Он предполагает самостоятельную работу над лекциями и учебными пособиями. 2. К каждому практическому занятию нужно готовиться. Подготовку следует начинать с повторения теории (по записям лекций или по учебному пособию). После этого нужно решать задачи из предложенного домашнего задания. Организация самостоятельной работы 1. Бюджет времени студента определяется временем, отведенным на занятия по расписанию и на самостоятельную работу. Задание и материал для самостоятельной работы дается во время учебных занятий, на этих же занятиях преподаватель осуществляет контроль за самостоятельной работой. 2. Для выполнения объема самостоятельной работы необходимо заниматься в среднем 4 часа (академических) ежедневно, т.е. по 24 часа в неделю. На самостоятельную работу по каждой дисциплине по математике следует расходовать по 3-4 часа в неделю. 3. Начинать самостоятельные занятия следует с первых же дней семестра, установив определенный порядок, равномерный ритм на весь семестр. Полезно для этого составить расписание порядка дня. Как пользоваться материалами для практических занятий, домашних заданий и контрольных работ а) б)

Материалы каждого занятия содержат: вопросы по теории (для самоконтроля); задачи для аудиторного и самостоятельного решения. Задачи могут быть условно разбиты на три уровня:

А  минимальный, В  нормальный, С  более высокий. Любую из задач уровня А должен уметь решать каждый студент, претендующий на удовлетворительную оценку. Задачи уровня В и С должны уметь решать студенты, претендующие на оценки «хорошо» и «отлично», соответственно.

16

Учебно-методическое издание: Математический анализ. Методические рекомендации для студентов I курса математического факультета. Составители: Н.Г. Фомина