ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÏÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÏÅÄÀÃÎÃÈ×ÅÑÊÈÉ ÈÍÑÒÈÒÓÒ èì. Ñ.Ì. ÊÈÐÎÂÀ
À.À. ÊÈ...
7 downloads
326 Views
2MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ ÏÑÊÎÂÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÏÅÄÀÃÎÃÈ×ÅÑÊÈÉ ÈÍÑÒÈÒÓÒ èì. Ñ.Ì. ÊÈÐÎÂÀ
À.À. ÊÈÐÑÀÍÎÂ
ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß È ËÈÍÅÉÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ I ñåìåñòð (êóðñ ëåêöèé)
ÏÑÊÎÂ 2003
ÁÁÊ 22.151ÿ73 Ê 435 Ïå÷àòàåòñÿ ïî ðåøåíèþ êàôåäðû àëãåáðû è ãåîìåòðèè è ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî ñîâåòà ÏÃÏÈ èì. Ñ.Ì. Êèðîâà Ðåöåíçåíòû: Ìåäâåäåâà È.Í. êàíä. ôèç. ìàò. íàóê, äîöåíò êàôåäðû àëãåáðû è ãåîìåòðèè Ïñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ïåäàãîãè÷åñêîãî èíñòèòóòà èì. Ñ.Ì. Êèðîâà. Êîøìàê Â.Ê. êàíä. òåõí. íàóê, äîöåíò êàôåäðû âûñøåé ìàòåìàòèêè Ïñêîâñêîãî ïîëèòåõíè÷åñêîãî èíñòèòóòà. Êèðñàíîâ À.À. Ê 435 Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ è ëèíåéíàÿ àëãåáðà. I ñåìåñòð. Êóðñ ëåêöèé. Ïñêîâ: ÏÃÏÈ, 2003.-236 ñ. - ISBN 5-87854-273-0  ó÷åáíîì ïîñîáèè èçëàãàåòñÿ îñíîâíîé ìàòåðèàë, âõîäÿùèé â îáúåäèí¸ííûé êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðû, â ñîîòâåòñòâèè ñ äåéñòâóþùèì îáðàçîâàòåëüíûì ñòàíäàðòîì.  I ñåìåñòðå èçó÷àþòñÿ ìàòðèöû, îïðåäåëèòåëè, ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, âåêòîðíàÿ àëãåáðà, ïðÿìûå è ïëîñêîñòè, ëèíèè è ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà. Äëÿ ñòóäåíòîâ ïåäàãîãè÷åñêèõ èíñòèòóòîâ. Òàáë. 1. Èë. 101. Áèáëèîãð. 21 íàçâ. Ê 435
ISBN 5-87854-273-0
© Êèðñàíîâ À.À.,2003 © Ïñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ïåäàãîãè÷åñêèé èíñòèòóò èì. Ñ.Ì. Êèðîâà, 2003 (ÏÃÏÈ èì. Ñ.Ì.Êèðîâà), 2003
ÑÎÄÅÐÆÀÍÈÅ 1. Ìàòðèöû 1.1. Îïðåäåëåíèå è âèäû ìàòðèö ..................................................... 7 1.2. Òðàíñïîíèðîâàííàÿ ìàòðèöà ..................................................10 1.3. Ñëîæåíèå ìàòðèö. Óìíîæåíèå ìàòðèöû íà ÷èñëî. ................11 1.4. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü ìàòðèö ................................................13 1.5. Ñèìâîë Σ . Ïðàâèëî ñóììèðîâàíèÿ Ýéíøòåéíà ....................17 1.6. Óìíîæåíèå ìàòðèö ...................................................................20 1.7. Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ýëåìåíòàðíûå ìàòðèöû. ....23 1.8. Âûðîæäåííûå è íåâûðîæäåííûå ìàòðèöû. ............................26 1.9. Îáðàòíàÿ ìàòðèöà. ...................................................................29 1.10. Ðàíã ìàòðèöû ..........................................................................32 1.11. Îñíîâíûå òåîðåìû î ðàíãå ìàòðèöû .....................................35 2. Îïðåäåëèòåëè 2.1. Îïðåäåëèòåëè II è III ïîðÿäêîâ ...............................................39 2.2. Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû n -ãî ïîðÿäêà ....................................41 2.3. Ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëåé ..........................................................46 2.4. Âû÷èñëåíèå îáðàòíîé ìàòðèöû ñ ïîìîùüþ îïðåäåëèòåëÿ ...54 3. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé 3.1. Îïðåäåëåíèå è âèäû ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ..................55 3.2. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ m = n ...................................59 3.4. Ïðàâèëî Êðàìåðà .....................................................................60 3.5. Òåîðåìà Êðîíåêåðà-Êàïåëëè ...................................................63 3.6. Îáùåå ïðàâèëî íàõîæäåíèÿ ðåøåíèé .....................................64 3.7. Ïðèâåä¸ííàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ............................66 3.8. Îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé .......................71 4. Âåêòîðíàÿ àëãåáðà 4.1. Îïðåäåëåíèå âåêòîðà è ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè .75 4.2. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü âåêòîðîâ. ............................................79 4.3. Áàçèñ. .........................................................................................81 4.4. Ñèñòåìû êîîðäèíàò ..................................................................82 4.4.1. Äåêàðòîâà (àôôèííàÿ) ñèñòåìà êîîðäèíàò .......................82 4.4.2. Äåëåíèå îòðåçêà â äàííîì îòíîøåíèè. .............................84 4.4.3. Äåêàðòîâà ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò. ...............85 4.4.4. Ïîëÿðíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò. ...........................................85 4.4.5. Öèëèíäðè÷åñêàÿ è ñôåðè÷åñêàÿ ñèñòåìû êîîðäèíàò. ......87 4.5. Ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò .....................................................88 4.5.1. Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ÏÑÊ íà ïëîñêîñòè. .....................88 1*
4.5.2. Ïîâîðîò ÏÑÊ â ïëîñêîñòè. ............................................... 90 4.6. Ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ ........................................................ 93 4.6.1. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ. .................................. 93 4.6.2. Ïðîåêöèÿ âåêòîðà íà ïðîèçâîëüíóþ ïðÿìóþ. ................. 97 4.6.3. Îðèåíòàöèÿ ïðÿìîé, ïëîñêîñòè è ïðîñòðàíñòâà ............. 98 4.6.4. Ïëîùàäü îðèåíòèðîâàííîãî ïàðàëëåëîãðàììà, îáú¸ì îðèåíòèðîâàííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ....................................... 100 4.6.5. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ ......................... 101 4.7. Ïðîèçâåäåíèÿ òð¸õ âåêòîðîâ .................................................. 105 4.7.1. Ïðîñòåéøåå ïðîèçâåäåíèå òð¸õ âåêòîðîâ ...................... 105 4.7.2. Âåêòîðíî-âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå òð¸õ âåêòîðîâ ......... 105 4.7.3. Âåêòîðíî-ñêàëÿðíîå (ñìåøàííîå) ïðîèçâåäåíèå òð¸õ âåêòîðîâ ............................................................................ 108 5. Ïðÿìûå ëèíèè è ïëîñêîñòè 5.1. Ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðÿìîé ..................................... 112 5.2. Ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè ................................ 113 5.3. Ïðÿìàÿ ëèíèÿ íà ïëîñêîñòè ................................................... 114 5.4. Âåêòîðíûå óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòè è ïðÿìîé ........................... 118 5.5. Óñëîâèÿ ïàðàëëåëüíîñòè ïëîñêîñòåé è ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè .................................................................................. 125 5.6. Óðàâíåíèå ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå ........................................ 129 5.7. Ïðÿìàÿ íà ïëîñêîñòè. Îñíîâíûå çàäà÷è ............................... 132 5.8. Ïðÿìàÿ è ïëîñêîñòü â ïðîñòðàíñòâå. Îñíîâíûå çàäà÷è ....... 149 6. Ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà 6.1. Ïàðàáîëà ................................................................................. 160 6.1.1. Äèðåêòîðèàëüíîå ñâîéñòâî ïàðàáîëû ............................ 161 6.1.2. Êàñàòåëüíàÿ ê ïàðàáîëå .................................................. 162 6.1.3. Îïòè÷åñêîå ñâîéñòâî ïàðàáîëû ...................................... 163 6.2 Ýëëèïñ ...................................................................................... 165 6.2.1. Ôîêàëüíîå ñâîéñòâî ýëëèïñà .......................................... 167 6.2.2. Äèðåêòîðèàëüíîå ñâîéñòâî ýëëèïñà ............................... 168 6.2.3. Êàñàòåëüíàÿ ê ýëëèïñó ..................................................... 170 6.2.4. Îïòè÷åñêîå ñâîéñòâî ýëëèïñà ......................................... 171 6.3. Ãèïåðáîëà ................................................................................ 173 6.3.1. Ôîêàëüíîå ñâîéñòâî ãèïåðáîëû ..................................... 174 6.3.2. Äèðåêòîðèàëüíûå ñâîéñòâà ãèïåðáîëû ......................... 176 6.3.3. Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ãèïåðáîëå .............................. 177 6.3.4. Îïòè÷åñêîå ñâîéñòâî ãèïåðáîëû .................................... 178
6.4. Óðàâíåíèÿ ãèïåðáîë, ýëëèïñîâ è ïàðàáîë îòíåñ¸ííûå ê âåðøèíå ....................................................................................... 179 6.5. Óðàâíåíèÿ ýëëèïñîâ, ïàðàáîë è ãèïåðáîë â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ ............................................................... 182 7. Ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà. Îáùàÿ òåîðèÿ 7.1. Îáùåå ïîíÿòèå î ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà ............................. 185 7.2. Ïðåîáðàçîâàíèå êîýôôèöèåíòîâ ïðè çàìåíå ÏÑÊ .............. 187 7.2.1. Ïðåîáðàçîâàíèå êîýôôèöèåíòîâ ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå ÏÑÊ ............................................................................ 187 7.2.2. Ïðåîáðàçîâàíèå êîýôôèöèåíòîâ ïðè ïîâîðîòå ÏÑÊ ... 188 7.3. Ïîíÿòèå èíâàðèàíòà. Îñíîâíûå èíâàðèàíòû ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà ............................................................................ 190 7.4. Öåíòð ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïðåîáðàçîâàíèå ê öåíòðó .. 195 7.5.Ñòàíäàðòíîå óïðîùåíèå ëþáîãî óðàâíåíèÿ ëèíèè âòîðîãî ..... ïîðÿäêà ïóò¸ì ïîâîðîòà îñåé ÏÑÊ .............................................. 197 7.6. Óïðîùåíèå óðàâíåíèÿ öåíòðàëüíîé ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà ........................................................................................... 198 7.7. Óïðîùåíèå óðàâíåíèÿ ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà áåç .................... îïðåäåë¸ííîãî öåíòðà ................................................................... 203 7.8. Êëàññèôèêàöèÿ ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà ............................... 210 8. Ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà 8.1. Öèëèíäðè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè ................................................ 211 8.2. Êîíóñû âòîðîãî ïîðÿäêà ........................................................ 215 8.3. Ýëëèïñîèäû, ãèïåðáîëîèäû è ïàðàáîëîèäû ........................ 219
ÃÐÅ×ÅÑÊÈÉ ÀËÔÀÂÈÒ
Α, α àëüôà
Β, β áåòà
Γ, γ ãàììà
∆, δ äåëüòà
Ε, ε ýïñèëîí
Ζ, ζ äçåòà
Η, η ýòà
Θ, θ, ϑ òåòà
Ι, ι éîòà
Κ, κ êàïïà
Λ, λ ëÿìáäà
Μ, µ ìþ
Ν, ν íþ
Ξ, ξ êñè
Ο, ο îìèêðîí
Π, π ïè
Ρ, ρ ðî
Σ, σ ñèãìà
Τ, τ òàó
Υ, υ èïñèëîí
Φ, ϕ ôè
Χ, χ õè
Ψ, ψ ïñè
Ω, ω îìåãà
7
1. Ìàòðèöû 1.1. Îïðåäåëåíèå è âèäû ìàòðèö Îïðåäåëåíèå 1.1. Òàáëèöà ÷èñåë (âåùåñòâåííûõ èëè êîìïëåêñíûõ)
a11 a21 A= ... a m1
a12 a22 ... am 2
... a1n ... a2 n ... ... , ... amn
(1.1)
ñîñòîÿùàÿ èç m ñòðîê è n ñòîëáöîâ, íàçûâàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíîé ìàòðèöåé ðàçìåðà m × n . ×èñëî ñòðîê è ñòîëáöîâ ìàòðèöû À, åñëè ýòî íåîáõîäèìî, ìîæíî óêàçàòü òàê: Am× n . Ýëåìåíòû ai1 , ai 2 ,..., ain îáðàçóþò ñòðîêó ïîä íîìåðîì i , à ýëåìåíòû a1 j , a2 j ,..., amj îáðàçóþò ñòîëáåö ïîä íîìåðîì j . Ýëåìåíò aij ëåæèò íà ïåðåñå÷åíèè i -é ñòðîêè è j -ãî ñòîëáöà ìàòðèöû A è ìû áóäåì âñåãäà èìåòü â âèäó, ÷òî ïåðâûé èíäåêñ îáîçíà÷àåò íîìåð ñòðîêè, à âòîðîé - íîìåð ñòîëáöà.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ìàòðèöó (1.1) áûâàåò óäîáíåå çàïèñàòü â âèäå
a11 a12 A= ... am 1
a12 a22 ... a2m
... a1n ... an2 ... ... . ... anm
(1.2)
 äàííîì ñëó÷àå èíäåêñ ñòîÿùèé ââåðõó îáîçíà÷àåò íîìåð ñòðîêè, à âíèçó - íîìåð ñòîëáöà. Äâå ìàòðèöû áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíûìè åñëè îíè èìåþò îäèíàêîâûå ðàçìåðû, à ýëåìåíòû, ñòîÿùèå íà îäèíàêîâûõ ìåñòàõ ðàâíû
8
äðóã äðóãó. Ìàòðèöû Am× n è Bm× n ðàâíû åñëè
aij = bij , i = 1,2,..., m ; j = 1,2,..., n . Åñëè ÷èñëî ñòðîê ìàòðèöû ðàâíî ÷èñëó ñòîëáöîâ, ò.å. m = n , òî òàêàÿ ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ êâàäðàòíîé ìàòðèöåé ïîðÿäêà n .  ÷àñòíîñòè ïðè n = 1 ìû èìååì êâàäðàòíóþ ìàòðèöó ñîñòîÿùóþ èç îäíîé ñòðîêè è îäíîãî ñòîëáöà - ïðîñòî ÷èñëî è ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü âåùåñòâåííûå ÷èñëà êàê êâàäðàòíûå ìàòðèöû ïîðÿäêà 1 . Ýëåìåíòû aij ( a ij ) ó êîòîðûõ íîìåð ñòðîêè ðàâåí íî-
(
)
ìåðó ñòîëáöà ( a11 , a22 ,..., ann ) èëè a11, a22 ,..., ann ñîñòàâëÿþò ãëàâíóþ äèàãîíàëü êâàäðàòíîé ìàòðèöû. Ìàòðèöó ðàçìåðîâ 1× n , ñîñòîÿùóþ èç îäíîé ñòðîêè è n ñòîëáöîâ íàçîâ¸ì ñòðîêîé äëèíû n èëè ïðîñòî ñòðîêîé. Ïðèìåð ñòðîêè äëèíîé 3: A = (5 0 2 ) Ìàòðèöó ðàçìåðîâ m × 1 , ñîñòîÿùóþ èç m ñòðîê è îäíîãî ñòîëáöà íàçîâ¸ì ñòîëáöîì âûñîòû m èëè ïðîñòî ñòîëáöîì.
1 Ïðèìåð ñòîëáöà âûñîòû 2: B = . 0 ×àñòî áûâàåò óäîáíî çàïèñàòü ìàòðèöó âèäà (1.2) â âèäå ñòðîêè èëè ñòîëáöà. Òàê ïîëàãàÿ â (1.2) a1n a11 a12 an2 a12 a22 a1 = a 2 = an = ... ... , ... , ..., am am am 1 2 n ìû ìîæåì çàïèñàòü ìàòðèöó (1.2) â âèäå ñòðîêè A = (a1 a 2 ... a n ) ,
èëè ïîëàãàÿ
(1.3)
9
(
)
(
a1 = a11 a12 ... a1n , a 2 = a12
(
)
a22 ... an2 , ...,
a m = a1m a2m ... anm ìû ìîæåì çàïèñàòü ìàòðèöó (1.2) â âèäå
)
a1 a2 A= ... . am
(1.4)
Îòìåòèì íåñêîëüêî ñïåöèàëüíûõ ìàòðèö: 1. Ìàòðèöà ó êîòîðîé îòëè÷íû îò íóëÿ ëèøü ýëåìåíòû ãëàâíîé äèàãîíàëè: aij ≠ 0 , åñëè i = j è aij = 0 , åñëè i ≠ j
a11 0 0 a22 A= ... ... 0 0
... 0 ... 0 ... ... ... ann
íàçûâàåòñÿ äèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé ïîðÿäêà n . 2. Ìàòðèöà, ó êîòîðîé ðàâíû íóëþ ýëåìåíòû ëåæàùèå íèæå (âûøå) ãëàâíîé äèàãîíàëè
a11 a12 0 a22 A= ... ... 0 0
... a1n a11 0 ... a2 n a21 a22 = A ... ... ... ... , a ... ann n1 an 2
... 0 ... 0 ... ... , ... ann
íàçûâàåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî âåðõíåé (íèæíåé) òðåóãîëüíîé ìàòðèöåé.
10
1.2. Òðàíñïîíèðîâàííàÿ ìàòðèöà Ðàññìîòðèì ìàòðèöó ðàçìåðîì m × n
a11 a21 A= ... a m1
a12 a22 ... am 2
... a1n ... a2 n ... ... . ... amn
Ýòîé ìàòðèöå ìû ìîæåì ñîïîñòàâèòü ìàòðèöó B ñîñòîÿùóþ èç n ñòðîê è m ñòîëáöîâ ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó. Ýëåìåíòû êàæäîé ñòðîêè ìàòðèöû A çàïèøåì â ñòîëáåö â òîì æå ïîðÿäêå:
a11 a12 B= ... a 1n
a21 a22 ... a2 n
... am1 ... am 2 ... ... . ... amn
Òàêèì îáðàçîì ìû ìàòðèöå Am× n ñîïîñòàâèëè ìàòðèöó Bn× m , êîòîðóþ íàçîâ¸ì òðàíñïîíèðîâàííîé ê ìàòðèöå A è ââåä¸ì îáîçíà÷åíèå: B = AT . Ïåðåõîä A → AT íàçîâ¸ì îïåðàöèåé òðàíñïîíèðîâàíèÿ. Ïðèìåð.
1 3 A = 0 2 , 5 0
1 0 5 , AT = 3 2 0
(A )
T T
1 3 = 0 2 . 5 0
Íà ïðèâåä¸ííîì ïðèìåðå ìû âèäèì, ÷òî ïîâòîðíàÿ îïåðàöèÿ òðàíñïîíèðîâàíèÿ ïðèâîäèò íàñ ê èñõîäíîé ìàòðèöå, ò.å.
(A )
T T
= A.
11
1.3. Ñëîæåíèå ìàòðèö. Óìíîæåíèå ìàòðèöû íà ÷èñëî. Ïóñòü ìàòðèöû A è B ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó ìàòðèö M ðàçìåðà m × n . Ìû ìîæåì ñîïîñòàâèòü èì òðåòüþ ìàòðèöó C ∈ M , ýëåìåíòû êîòîðîé ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè:
cij = aij + bij ,
i = 1,..., m , j = 1,..., n .
(1.4)
Îïðåäåëåíèå 1.2. Ìàòðèöó C , îïðåäåëÿåìóþ ïî ìàòðèöàì A è B â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (1.4) áóäåì íàçûâàòü èõ ñóììîé, ò.å. C = A+ B . Êàê ìû âèäèì, îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ ìàòðèö äà¸ò â ðåçóëüòàòå ìàòðèöó èç òîãî æå ìíîæåñòâà M , ò.å. ðàçìåðû ìàòðèö ïðè ñëîæåíèè íå ìåíÿþòñÿ. Ïðèìåð.
2 5 A = 0 1 , 7 3
1 3 B = 2 8 , 0 1
2 5 1 3 2 + 1 5 + 3 3 8 C = 0 1 + 2 8 = 0 + 2 1 + 8 = 2 9 . 7 3 0 1 7 + 0 3 + 1 7 4 Îïðåäåëåíèå 1.3. Ìàòðèöà C , ýëåìåíòû êîòîðîé cij ðàâíû ïðîèçâåäåíèÿì ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ aij ìàòðèöû A íà ÷èñëî λ (âåùåñòâåííîå èëè êîìïëåêñíîå), íàçûâàåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ìàòðèöû A íà ÷èñëî λ è îáîçíà÷àåòñÿ êàê C = λA :
cij = λaij ,
(1.5) i = 1,..., m , j = 1,..., n . Êàê ìû âèäèì, îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ ìàòðèöû íà ÷èñëî äà¸ò â ðåçóëüòàòå ìàòðèöó èç òîãî æå ìíîæåñòâà M , ò.å. ðàçìåðû ìàòðèö ïðè óìíîæåíèè èõ íà ÷èñëî íå ìåíÿþòñÿ.
12
Ïðèìåð.
2 5 5 ⋅ 2 5 ⋅ 5 10 25 2 5 A = 0 1 , λ = 5 . C = λA = 5 ⋅ 0 1 = 5 ⋅ 0 5 ⋅ 1 = 0 5 . 7 3 5 ⋅ 7 5 ⋅ 3 35 15 7 3 Èç ñâîéñòâ ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ ñëåäóåò: äëÿ ëþáûõ ìàòðèö A, B è C îäèíàêîâûõ ðàçìåðîâ m × n è ëþáûõ ÷èñåë λ èç íåêîòîðîãî ïîëÿ K âûïîëíåíû ðàâåíñòâà: 1. A + B = B + A ; 2. (A + B ) + C = A + (B + C ) ;
3. λ ⋅ (A + B ) = λA + λB ; 4. (λ + γ )⋅ A = λA + γA ;
5. (λγ )⋅ A = λ(γA) . Ìàòðèöà, âñå ýëåìåíòû êîòîðîé ðàâíû íóëþ, íàçûâàåòñÿ íóëåâîé ìàòðèöåé:
0 0 0 0 0 . , O = (0 0 0 0 ), O = O = 0 0 0 0 0 Åñëè O - íóëåâàÿ ìàòðèöà ðàçìåðîâ m × n , òî A+ O = O + A = A.
Ìàòðèöó (−1)⋅ A áóäåì íàçûâàòü ïðîòèâîïîëîæíîé ìàòðèöå A è îáîçíà÷èì êàê − A . Î÷åâèäíî, ÷òî A + (− A) = O . Ñóììó ìàòðèö A + (− B ) íàçîâ¸ì ðàçíîñòüþ è çàïèøåì êàê Ïðèìåð.
C = A− B .
2 5 1 3 2 2 − 1 5 − 3 1 A = 0 1 B = 2 8 C = A − B = 0 − 2 1 − 8 = − 2 − 7 , . . 7 3 0 1 2 7 − 0 3 −1 7
13
1.4. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü ìàòðèö Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî M ïðÿìîóãîëüíûõ m × n ìàòðèö. Ñóììà äâóõ ïðîèçâîëüíûõ ìàòðèö èç M åñòü ñíîâà ìàòðèöà èç M . Ïðîèçâåäåíèå ïðîèçâîëüíîé ìàòðèöû èç M íà ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî èç ïîëÿ K åñòü ñíîâà ìàòðèöà èç M . Îïðåäåëåíèå 1.4. Îïåðàöèè ñëîæåíèÿ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà M íå âûâîäÿùèå íàñ èç äàííîãî ìíîæåñòâà (âíóòðåííÿÿ îïåðàöèÿ) M × M → M è óìíîæåíèÿ ýëåìåíòà ìíîæåñòâà M íà ÷èñëî èç ïîëÿ K äàþùèå ñíîâà ýëåìåíò èç M (âíåøíÿÿ îïåðàöèÿ) K × M → M íàçûâàþò ëèíåéíûìè îïåðàöèÿìè. Èñïîëüçóÿ ëèíåéíûå îïåðàöèè, ìû ìîæåì ñîñòàâëÿòü èç ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà M ìàòðèö ôèêñèðîâàííîãî ðàçìåðà m × n A1 , A2 , ..., Ak
è ÷èñåë èç ïîëÿ K α1 , α 2 , ..., α k
âûðàæåíèÿ âèäà (1.6) α1 A1 + α 2 A2 + ... + α k Ak ∈ M , êîòîðûå â äàëüíåéøåì ìû áóäåì íàçûâàòü ëèíåéíûìè êîìáèíàöèÿìè ìàòðèö. Åñëè êàêàÿ-òî ìàòðèöà A ïðåäñòàâëåíà êàê ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ (1.6) äðóãèõ ìàòðèö, ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî äàííàÿ ìàòðèöà A ïî íèì ðàçëîæåíà. Ïðèìåð. Ïóñòü p1 , p 2 , p 3 ñòîëáöû âûñîòû 4. Òîãäà ñòîëáåö q âûñîòû 4 ïî íèì ðàçëîæåí, åñëè ïðè íåêîòîðûõ êîýôôèöèåíòàõ α1 , α 2 , α 3 q = α1p1 + α 2p 2 + α 3p 3
èëè ïîäðîáíî
14
p11 p12 p31 α1 p11 + α 2 p12 + α 3 p13 q1 p12 p22 p32 α1 p12 + α 2 p22 + α 3 p32 q2 3 = α1 ⋅ 3 + α 2 ⋅ 3 + α 3 3 = 3 3 3 p1 p2 p3 α1 p1 + α 2 p2 + α 3 p3 . q q4 p4 p4 p4 α p4 + α p4 + α p4 1 2 2 2 3 3 3 1 1 Ýòî ìàòðè÷íîå ðàâåíñòâî ìîæíî çàïèñàòü, èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå ðàâåíñòâà ìàòðèö, â âèäå ñèñòåìû èç ÷åòûð¸õ ÷èñëîâûõ óðàâíåíèé:
q1 = α1 p11 + α 2 p12 + α 3 p31 , q 2 = α1 p12 + α 2 p22 + α 3 p32 , q 3 = α1 p13 + α 2 p23 + α 3 p33 , q 4 = α1 p14 + α 2 p24 + α 3 p34 . Ïðåäëîæåíèå 1.1. Êàêîâà áû íè áûëà ñèñòåìà ìàòðèö ôèêñèðîâàííîãî ðàçìåðà m × n , íóëåâàÿ ìàòðèöà Om× n ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî ýòèì ìàòðèöàì â ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ñ íóëåâûìè êîýôôèöèåíòàìè. Òàêóþ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ áóäåì íàçûâàòü òðèâèàëüíîé.
α1A1 + α 2 A2 + ... + α k Ak = O
(1.7)
ïðè α1 = α 2 = ... = α k = 0 . Î÷åâèäíî, ÷òî òàêàÿ êîìáèíàöèÿ ñóùåñòâóåò âñåãäà. Âîïðîñ ñîñòîèò â òîì, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ëè îíà åäèíñòâåííî âîçìîæíîé? Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ äà¸ò . Ñèñòåìó ìàòðèö A1 , A2 , ..., Ak áóäåì íàçûâàòü ëèíåéíî íåçàâèñèìîé, åñëè íóëåâàÿ ìàòðèöà ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî íåé îäíîçíà÷íî, ò.å. èç
α1A1 + α 2 A2 + ... + α k Ak = O ñëåäóåò α1 = α 2 = ... = α k = 0 .  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, ò.å. åñëè (1.7) âûïîëíÿåòñÿ è ïðè ýòîì íå âñå α i = 0 , ñèñòåìó ìàòðèö A1 , A2 , ..., Ak áóäåì íàçûâàòü ëèíåéíî çàâèñèìîé.
15
Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ñòîëáöû
1 0 0 e1 = 0 e2 = 1 e3 = 0 , , . 0 0 1
(1.8)
Ýòè ñòîëáöû ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè, òàê êàê ðàâåíñòâî αe1 + βe2 + γe3 = O âîçìîæíî ëèøü ïðè α = β = γ = 0 .
1 0 0 α 0 0 α 0 α ⋅ 0 + β ⋅ 1 + γ ⋅ 0 = 0 + β + 0 = β = 0 , 0 0 1 0 0 γ γ 0 îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî α = β = γ = 0 . Ïî ñòîëáöàì òèïà e1 , e2 , e3 ðàñêëàäûâàþòñÿ âñå ñòîëáöû âûñîòû òðè. Ïðèìåð. Ðàçëîæèòü ïî ñòîëáöàì e1 , e2 , e3 ñòîëáåö A = (5 9 2)T . Çäåñü ìû èñïîëüçóåì çíàê òðàíñïîíèðîâàíèÿ ìàòðèöû äëÿ ýêîíîìèè ìåñòà íà ëèñòå. Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ýòîò ïðè¸ì ïîñòîÿííî.
α 5 A = αe1 + βe2 + γe3 = β = 9 . α = 5 , β = 9 , γ = 2 γ 2 èëè
1 0 0 5 0 0 5 A = 5 ⋅ 0 + 9 ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 = 0 + 9 + 0 = 9 . 0 0 1 0 0 2 2 Îïðåäåëåíèå 1.6. Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n , ñîñòîÿùàÿ èç ñòîëáöîâ òèïà (1.8)
16
1 0 E = ... 0
0 1 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... , 1 n × n
íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íîé ìàòðèöåé ïîðÿäêà n . Ïðåäëîæåíèå 1.2. Ñòîëáöû (ñòðîêè) åäèíè÷íîé ìàòðèöû ëèíåéíî íåçàâèñèìû è îáëàäàþò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî êàæäûé ñòîëáåö (ñòðîêà) ñ òåì æå ÷èñëîì ýëåìåíòîâ ðàñêëàäûâàþòñÿ ïî íèì. Ïðåäëîæåíèå 1.3. Ñèñòåìà èç k > 1 ìàòðèö ïîðÿäêà m × n ëèíåéíî çàâèñèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà õîòÿ áû îäíà èç ìàòðèö ýòîé ñèñòåìû åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ äðóãèõ. Äîïóñòèì, ÷òî ñèñòåìà α1A1 + α 2 A2 + ... + α k Ak = O
(1.7)
ëèíåéíî çàâèñèìà. Òîãäà õîòÿ áû îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ α i îòëè÷åí îò íóëÿ. Ïóñòü äëÿ îïðåäåë¸ííîñòè α1 ≠ 0 . Òîãäà èç (1.8) ñëåäóåò: A1 = −
α2 α α A2 − 3 A3 − ... − k Ak . α1 α1 αk
Ïðåäëîæåíèå 1.4. Åñëè íåêîòîðûå èç ìàòðèö A1 , A2 , ..., Ak ñîñòàâëÿþò ñàìè ïî ñåáå ëèíåéíî çàâèñèìóþ ñèñòåìó ìàòðèö, òî è âñÿ äàííàÿ ñèñòåìà ìàòðèö ëèíåéíî çàâèñèìà. Äîïóñòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò íåòðèâèàëüíàÿ íóëåâàÿ êîìáèíàöèÿ èç ïåðâûõ s ìàòðèö, ò.å. α1 A1 + α 2 A2 + ... + α s As = O ïðè α1 ≠ 0 , α 2 ≠ 0 , ..., α s ≠ 0 . Ìû ìîæåì ê ýòîé êîìáèíàöèè äîáàâèòü òðèâèàëüíóþ íóëåâóþ êîìáèíàöèþ èç îñòàëüíûõ k − s ìàòðèö α s +1 As+1 + α s + 2 As + 2 + ... + α k Ak = O ïðè α s +1 = α s + 2 = ... = α k = 0 .  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èëè ëèíåéíóþ íóëåâóþ êîìáèíàöèþ ìàòðèö
17
α1A1 + α 2 A2 + ... + α s As + α s +1As +1 + α s + 2 As + 2 + ... + α k Ak = O ñ îòëè÷íûìè îò íóëÿ êîýôôèöèåíòàìè α1 ≠ 0 , α 2 ≠ 0 , ..., α s ≠ 0 , ÷òî è äîêàçûâàåò íàøå ïðåäëîæåíèå î ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè äàííîé ñèñòåìû. Èç ïðåäëîæåíèÿ 1.4 ñëåäóåò, ÷òî åñëè â ñèñòåìó (1.7) âõîäèò íóëåâàÿ ìàòðèöà ñèñòåìà áóäåò ëèíåéíî çàâèñèìîé. Èç ïðåäëîæåíèÿ 1.2 ñëåäóåò Ïðåäëîæåíèå 1.5. Ëþáûå ìàòðèöû, âõîäÿùèå â ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ ñèñòåìó ìàòðèö, ñàìè ïî ñåáå ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Îáðàòíîå ïðåäïîëîæåíèå ïðîòèâîðå÷èëî áû ïðåäëîæåíèþ 1.4. Ïðåäëîæåíèå 1.6. Åñëè ìàòðèöà B ðàñêëàäûâàåòñÿ â ëèíåéíî íåçàâèñèìóþ êîìáèíàöèþ ìàòðèö A1 , A2 , ..., Ak , òî êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ α1 , α 2 , ..., α k îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò äâà ðàçëè÷íûõ ðàçëîæåíèÿ ìàòðèöû B :
B = α1 A1 + α 2 A2 + ... + α k Ak è B = β1 A1 + β2 A2 + ... + β k Ak . Ñîñòàâèì ðàçíîñòü èç ýòèõ ðàçëîæåíèé: B − B = (α1 − β1 )A1 + (α 2 − β 2 )A2 + ... + (α k − βk )Ak = O .
Ïî ïðåäïîëîæåíèþ A1 , A2 , ..., Ak ëèíåéíî íåçàâèñèìû è íàì îñòà¸òñÿ ïîëîæèòü
(α1 − β1 ) = (α 2 − β2 ) = ... = (α k − βk ) = O ,
îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò α i = βi , i = 1,2,..., k , ÷òî äîêàçûâàåò åäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ.
1.5. Ñèìâîë Σ . Ïðàâèëî ñóììèðîâàíèÿ Ýéíøòåéíà  ìàòåìàòèêå ÷àñòî ðàññìàòðèâàþòñÿ ñóììû áîëüøîãî ÷èñëà ñëàãàåìûõ, èìåþùèõ ñõîäíûé âèä è îòëè÷àþùèõñÿ òîëüêî èíäåêñàìè. 2 À.À. Êèðñàíîâ
18
Íàïðèìåð
x1 + x2 + ... + xn .
(1.9) n
Äëÿ òàêèõ ñóìì ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ñèìâîë Σ , ïîñëå i =1
êîòîðîãî ñòîèò íåêîòîðîå âûðàæåíèå, ñîäåðæàùåå èíäåêñ i . Âûðàæåíèå (1.9) â òàêîì ñëó÷àå çàïèøåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: n
∑ xi = x1 + x2 + ... + xn . i =1
Èíäåêñ i íàçûâàåòñÿ èíäåêñîì ñóììèðîâàíèÿ. Î÷åâèäíî, ÷òî â êà÷åñòâå èíäåêñà ñóììèðîâàíèÿ ìîæåò áûòü âçÿòà ëþáàÿ áóêâà, íàïðèìåð n
∑ x p = x1 + x2 + ... + xn , p =1
âàæåí ëèøü äèàïàçîí èçìåíåíèÿ èíäåêñà ñóììèðîâàíèÿ.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèâåä¸ì åù¸ îäíî âûðàæåíèå 3
∑ xk yk = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 . k =1
Çàìåòèì, ÷òî íàñ íè÷òî íå îáÿçûâàåò ñòàâèòü èíäåêñ ñóììèðîâàíèÿ âíèçó. Òîëüêî ÷òî ïðèâåä¸ííîå âûðàæåíèå ìû ìîæåì çàïèñàòü è òàê: 3
∑ x k y k = x1 y1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 , k =1
èëè 3
∑ xk y k = x1 y1 + x2 y 2 + x3 y 3 . k =1
Ñóììèðîâàíèå îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: 1.
n
n
k =1
k =1
∑ (αxk ) = α∑ xk ,
19
2.
m
m
m
l =1
l =1
l =1
∑ (xl + yl ) = ∑ xl + ∑ yl .
Åñëè èìååòñÿ âûðàæåíèå çàâèñÿùåå îò äâóõ èíäåêñîâ, ïðèíèìàþùèõ çíà÷åíèÿ 1,..., n è 1,..., m , ìû ìîæåì ïðîñóììèðîâàòü âûðàæåíèå ñíà÷àëà ïî îäíîìó èíäåêñó, à çàòåì, ïî äðóãîìó:
n m n m n = a a ∑ ∑ ij ∑ ∑ ij = ∑∑ aij . i =1 j =1 j =1 i =1 i =1 j =1 m
(1.10)
Åñëè ïîä aij ïîíèìàòü, íàïðèìåð, ýëåìåíòû ìàòðèöû (1.1), òî âûðàæåíèå (1.10) åñòü ñóììà ýëåìåíòîâ äàííîé ìàòðèöû ïîëó÷åííàÿ ñëîæåíèåì ýëåìåíòîâ ïî ñòðîêàì, à çàòåì ïî ñòîëáöàì èëè íàîáîðîò. Ðåçóëüòàò ñëîæåíèÿ â îáîèõ ñëó÷àÿõ áóäåò îäèíàêîâ. Íà ïðàêòèêå ìû ìîæåì âñòðåòèòüñÿ ñ âûðàæåíèÿìè çàâèñÿùèìè îò òð¸õ bijk , ÷åòûð¸õ wijkl è âîîáùå îò ëþáîãî ÷èñëà èíäåêñîâ, ïðèíèìàþùèõ ñàìûå ðàçíîîáðàçíûå çíà÷åíèÿ è ðàñïîëîæåííûõ â ñàìûõ ðàçëè÷íûõ êîìáèíàöèÿõ.  òàêèõ ñëó÷àÿõ, êàê ïîêàçûâàåò (1.10), íàì ïðèä¸òñÿ ïèñàòü ñîîòâåòñòâóþùåå êîëè÷åñòâî çíàêîâ ñóììèðîâàíèÿ Σ . Äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè âûðàæåíèé ñîäåðæàùèõ ñóììû, Ýéíøòåéíîì áûëî ââåäåíî ïðàâèëî ñîêðàù¸ííîé çàïèñè òàêèõ âûðàæåíèé. Åñëè èíäåêñ ñóììèðîâàíèÿ â ôîðìóëå ïîâòîðÿåòñÿ äâàæäû, ïðè÷¸ì îäèí ðàç âíèçó è îäèí ðàç ââåðõó - çíàê Σ íå ïèøåòñÿ. Ïðèìåð. 3
∑ xk y k = x1 y1 + x2 y 2 + x1 y1 = xk y k . k =1
m
n
m
∑ ∑ xik yk = ∑ xik yk . i =1 k =1
2*
i =1
20
1.6. Óìíîæåíèå ìàòðèö Äëÿ íåêîòîðûõ ìàòðèö A è B ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî èõ ïðîèçâåäåíèå AB . Ýòî ìîæíî ñäåëàòü åñëè ÷èñëî ñòîëáöîâ ìàòðèöû A ðàâíî ÷èñëó ñòðîê ìàòðèöû B , ò.å. åñëè íàì çàäàíû ìàòðèöû Am× n è Bn× r . Ïðè ýòîì ìû ïîëó÷èì ìàòðèöó (1.11) Cm× r = Am× n ⋅ Bn× r . Ïóñòü A - ñòðîêà äëèíîé n , à B - ñòîëáåö âûñîòîé n , òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ (1.11) C1×1 = A1× n ⋅ Bn×1 åñòü ìàòðèöà ðàçìåðà 1× 1 , ò.å. ïðîñòî ÷èñëî:
A ⋅ B = (a1 a2
b1 b2 ... an )⋅ = a1b1 + a2b 2 + ... + anb n = ai b i . ... bn
Ïðèìåð.
(1.12)
A = (1 3 2 ) , B = (4 1 7 )T .
4 C = A ⋅ B = (1 3 2 )⋅ 1 = 1 ⋅ 4 + 3 ⋅1 + 2 ⋅ 7 = 4 + 3 + 14 = 21 . 7 Ðàññìîòðèì òåïåðü äâå ïðîèçâîëüíûå ìàòðèöû a11 a21 A= ... a m1
a12 a22 ... am 2
b11 b12 ... b1r a1n b21 b22 ... b2 r ... a2 n è B= . ... ... ... ... ... ... b ... amn n1 bn 2 ... bnr ...
Ïðåäñòàâèì ìàòðèöó A âèäå m ñòðîê (ai1 ai 2 ... ain ), i = 1,..., m , à ìàòðèöó B â âèäå r ñòîëáöîâ
21
b1 j b2 j ... , j = 1,..., r . bnj Ñîñòàâèì ïðîèçâåäåíèå i -é ñòðîêè íà j -é ñòîëáåö â ñîîòâåòñòâèè ñ (1.12), â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì ÷èñëî cij : n
cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ... + ain bnj = ∑ aik bkj . k =1
(1.13)
Ïîëó÷åííîå ÷èñëî cij çàïèøåì íà ïåðåñå÷åíèè i -é ñòðîêè è j -ãî ñòîëáöà â ìàòðèöå C = A ⋅ B . Òàê êàê i ïðîáåãàåò çíà÷åíèÿ îò 1 äî m , à j îò 1 äî r ìû ïîëó÷èì m ⋅ r òàêèõ ÷èñåë, êîòîðûå è ñîñòàâÿò ìàòðèöó
c11 c12 c21 c22 C = A⋅ B = ... ... c m1 cm 2
... c1r ... c2 r ... ... . ... cmr
Òàêèì îáðàçîì ïðè ïåðåìíîæåíèè ìàòðèö Am× n è Bn × r êàæäàÿ ñòðîêà ìàòðèöû Am× n óìíîæàåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíî íà êàæäûé ñòîëáåö ìàòðèöû Bn× r è ïîëó÷àþùèåñÿ ÷èñëà cij â ñîîòâåòñòâèè ñ èíäåêñàìè çàïîëíÿþò ìàòðèöó C . Ñëåäñòâèå 1.1. Èç (1.13) ñëåäóåò, ÷òî j -é ñòîëáåö ìàòðèöû AB åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñòîëáöîâ ìàòðèöû A ñ êîýôôèöèåíòàìè, ðàâíûìè ýëåìåíòàì j -ãî ñòîëáöà ìàòðèöû B , à i -ÿ ñòðîêà ìàòðèöû AB åñòü ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñòðîê ìàòðèöû B ñ êîýôôèöèåíòàìè, ðàâíûìè ýëåìåíòàì i -é ìàòðèöû A .
22
Ïðèìåð.
5 4 1 0 3 , B = . A = 6 7 3 1 2 Òàê êàê ÷èñëî ñòîëáöîâ ìàòðèöû A ðàâíî ÷èñëó ñòðîê ìàòðèöû B , ìû ìîæåì ñîñòàâèòü èõ ïðîèçâåäåíèå: 5 4 1 0 3 5 ⋅1 + 4 ⋅ 3 5 ⋅ 0 + 4 ⋅ 1 5 ⋅ 3 + 4 ⋅ 2 ⋅ = = C = A ⋅ B = 6 7 3 1 2 6 ⋅1 + 7 ⋅ 3 6 ⋅ 0 + 7 ⋅1 6 ⋅ 3 + 7 ⋅ 2 17 4 23 . = 27 7 32 Çàìåòèì, ÷òî ïðîèçâåäåíèå B ⋅ A ñîñòàâèòü íåëüçÿ. Ïðèâåä¸ííûé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî äëÿ ìàòðèö íå âûïîëíÿåòñÿ êîììóòàòèâíûé çàêîí óìíîæåíèÿ, ò.å. â îáùåì ñëó÷àå A⋅ B ≠ B ⋅ A . Åñëè èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî A⋅ B = B ⋅ A , ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìàòðèöû A è B êîììóòèðóþò èëè ïåðåñòàíîâî÷íû. Íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ïåðåñòàíîâî÷íîñòè ìàòðèö ÿâëÿåòñÿ èõ ïðèíàäëåæíîñòü ê ìíîæåñòâó êâàäðàòíûõ ìàòðèö, îäíàêî ýòî óñëîâèå íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì. Ïðèìåð.
1 2 −1 8 − 9 22 , B = . AB = BA = . A = −1 3 − 4 7 − 11 13 Èç ôîðìóëû (1.9) ñ î÷åâèäíîñòüþ ñëåäóþò ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö: 1. Ñî÷åòàòåëüíîå
(AB )C = A(BC ) ;
2. Ðàñïðåäåëèòåëüíîå ñâîéñòâî óìíîæåíèÿ ìàòðèö îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ
(A + B )C = AC + BC ,
23
A(B + C ) = AB + AC ; 3. Åñëè A - êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n , à E è O ñîîòâåòñòâåííî åäèíè÷íàÿ è íóëåâàÿ ìàòðèöû ïîðÿäêà n , òî AE = EA = A , A O = OA = O ; 4. Åñëè AB èìååò ñìûñë, òî
α(AB ) = (αA)B = A(αB ) ;
5. Åñëè îïðåäåëåíî AB , òî îïðåäåëåíî è B T AT , è ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî
(AB )T
= BT AT .
1.7. Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ýëåìåíòàðíûå ìàòðèöû. Îïðåäåëåíèå1.7. Ê ýëåìåíòàðíûì ïðåîáðàçîâàíèÿì ñòðîê (ñòîëáöîâ) ìàòðèöû îòíîñÿòñÿ: 1. Óìíîæåíèå ñòðîêè (ñòîëáöà) íà ÷èñëî λ ≠ 0 ; 2. Ïðèáàâëåíèå îäíîé ñòðîêè (ñòîëáöà) ê äðóãîé ñòðîêå (ñòîëáöó). Ôàêòè÷åñêè ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñòðîê ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä ìàòðèöàìè (ñòðîêàìè). Áîëåå ñëîæíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ (ñîñòîÿò èç íàáîðîâ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé): 3. Ïðèáàâëåíèå ê îäíîé ñòðîêå (ñòîëáöó) äðóãîé ñòðîêè (ñòîëáöà), óìíîæåííîé íà ÷èñëî λ ≠ 0 ; 4. Âû÷èòàíèå îäíîé ñòðîêè (ñòîëáöà) èç äðóãîé ñòðîêè (ñòîëáöà); 5. Ïåðåñòàíîâêà äâóõ ñòðîê (ñòîëáöîâ) ìåñòàìè. Ïðèìåð. Ïîêàçàòü ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé îïåðàöèþ ïåðåñòàíîâêè äâóõ ñòðîê.
a a + b a + b a + b b b → → → → → . b b b − a − b − a − a a
24
Âîçìîæíîñòü âû÷èòàòü îäíó ñòðîêó èç äðóãîé è îòëè÷èå îò íóëÿ ÷èñëîâîãî ìíîæèòåëÿ èìåþò ïðèíöèïèàëüíîå çíà÷åíèå: ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ îáðàòèìû. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ïåðåéäÿ îò ìàòðèöû A ê ìàòðèöå B ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, ñ ïîìîùüþ äðóãîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ìû ñìîæåì âåðíóòüñÿ îò B ê A . Ïðåäëîæåíèå 1.7. Êàæäîå ýëåìåíòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå ñòðîê ìàòðèöû A ðàçìåðîâ m × n ðàâíîñèëüíî óìíîæåíèþ ìàòðèöû A ñëåâà íà íåêîòîðóþ êâàäðàòíóþ ìàòðèöó S ïîðÿäêà m . Ïðè ýòîì S íå çàâèñèò îò A , à ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ òåì ïðåîáðàçîâàíèåì, êîòîðîå îíà îñóùåñòâëÿåò. Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó óìíîæåíèÿ òðåòüåé ñòðîêè ìàòðèöû
a b A=d e m n
c f l
íà ÷èñëî λ ≠ 0 . Âîçüì¸ì åäèíè÷íóþ ìàòðèöó òðåòüåãî ïîðÿäêà è óìíîæèì å¸ òðåòüþ ñòðîêó íà λ è ïîëó÷åííóþ ìàòðèöó ïðèìåì â êà÷åñòâå ýëåìåíòàðíîé ìàòðèöû S1 . Óìíîæèì òåïåðü èñõîäíóþ ìàòðèöó A ñëåâà íà S1 .
1 0 0 a b S1 A = 0 1 0 ⋅ d e 0 0 λ m n
c a b c f = d e f . l λm λn λl
Ðàññìîòðèì òåïåðü çàäà÷ó ïðèáàâëåíèÿ ïåðâîé ñòðîêè èñõîäíîé ìàòðèöû ê å¸ âòîðîé ñòðîêå. Âîçüì¸ì ñíîâà åäèíè÷íóþ ìàòðèöó òðåòüåãî ïîðÿäêà, ñëîæèì ó íå¸ âòîðóþ ñòðîêó ñ ïåðâîé, îáîçíà÷èì å¸ ÷åðåç S 2 è óìíîæèì èñõîäíóþ ìàòðèöó ñëåâà íà S 2 .
25
1 0 0 S2 = 1 1 0 . 0 0 1 1 0 0 a b S2 A = 1 1 0 ⋅ d e 0 0 1 m n
c a f = a + d l m
b c b+c c+ n l
f .
Òåïåðü ïîñìîòðèì êàêîå äåéñòâèå íà èñõîäíóþ ìàòðèöó îêàçûâàåò ïîñëåäîâàòåëüíîå óìíîæåíèå ñëåâà íà S 2 S1 .
1 0 0 1 0 0 a b S 2 S1 A = 1 1 0 ⋅ 0 1 0 ⋅ d e 0 0 1 0 0 λ m n b c a 1 0 0 a = 1 1 0 ⋅ d e f = a + d 0 0 1 λ m λn λl λm
c f = l
b c b+e c+ f λn λl
.
Îïðåäåëåíèå 1.8. Ìàòðèöû, óìíîæåíèå íà êîòîðûå îñóùåñòâëÿåò ýëåìåíòàðíûå îïåðàöèè áóäåì íàçûâàòü ýëåìåíòàðíûìè ìàòðèöàìè. Èç ïðèâåä¸ííîãî âûøå ïðèìåðà ìû âèäèì, ÷òî ýëåìåíòàðíûå ìàòðèöû ìîæíî ïîëó÷àòü èç åäèíè÷íîé ìàòðèöû íåîáõîäèìîãî ïîðÿäêà åñëè îñóùåñòâèòü íàä íåé òðåáóåìóþ ýëåìåíòàðíóþ îïåðàöèþ. Ýòî î÷åâèäíî èç ðàâåíñòâà SE = S . Ïðèâåä¸ííûé âûøå ïðèìåð ïîêàçûâàåò òàêæå, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîå âûïîëíåíèå ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñòðîê îñóùåñòâëÿåòñÿ óìíîæåíèåì èñõîäíîé ìàòðèöû ñëåâà íà ïðîèçâåäåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòàðíûõ ìàòðèö, ïðè÷¸ì ìíîæèòåëü, ñîîòâåòñòâóþùèé ïðåîáðàçîâàíèþ, ñäåëàííîìó ïîçæå, ñòîèò ëåâåå: S k ...S 2 S1 A .
26
Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñòîëáöîâ ïîëó÷àþòñÿ óìíîæåíèåì èñõîäíîé ìàòðèöû Am×n ñïðàâà íà ýëåìåíòàðíóþ ìàòðèöó ïîðÿäêà n . Ïðèìåð.
a b A ⋅ S1 = d e m n
c 1 0 0 a b λc f ⋅ 0 1 0 = d e λf . l 0 0 λ m n λl
1.8. Âûðîæäåííûå è íåâûðîæäåííûå ìàòðèöû. Îïðåäåëåíèå 1.9. Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ âûðîæäåííîé, åñëè å¸ ñòðîêè ëèíåéíî çàâèñèìû. Âûðîæäåííîé áóäåò êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ó êîòîðîé åñòü íóëåâàÿ ñòðîêà èëè ìàòðèöà èìåþùàÿ äâå îäèíàêîâûå ñòðîêè. Ïðèìåðîì íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû ìîæåò ñëóæèòü åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. Ïðåäëîæåíèå 1.8. Ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñòðîê ïåðåâîäÿò íåâûðîæäåííóþ ìàòðèöó â íåâûðîæäåííóþ, à âûðîæäåííóþ â âûðîæäåííóþ. Ïóñòü ñòðîêè a1 , a2 ,..., an ìàòðèöû A ëèíåéíî íåçàâèñèìû, ò.å. èõ òðèâèàëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ
α1a1 + α 2 a2 + ... + α n an = O ïðè α1 = α 2 = ... = α n = 0 . Åñëè ìû, äîïóñòèì, ïðèáàâèëè êî âòîðîé ñòðîêå ìàòðèöû å¸ ïåðâóþ ñòðîêó, òîãäà α1a1 + α 2 (a1 + a2 ) + ... + α n an = (α1 + α 2 )a1 + α 2 a2 + ... + α n an = O .
Òàê êàê èñõîäíàÿ ñèñòåìà ñòðîê a1 , a2 ,..., an ëèíåéíî íåçàâèñèìà ìû äîëæíû ïîëîæèòü α1 + α 2 = α 2 = ... = α n = 0 , îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî α1 + α 2 = 0 , èëè α1 = 0 . Ìû âèäèì, ÷òî íîâàÿ ñèñòåìà ñòðîê a1 , a1 + a2 ,..., an òîæå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìîé.
27
Åñëè ìû, íàïðèìåð, óìíîæèì íà λ ≠ 0 òðåòüþ ñòðîêó, òîãäà
α1a1 + α 2 a2 + α 3λa3 ... + α n an = O , à òàê êàê α 3 = 0 , ðàâíî íóëþ è α 3λ , è íîâàÿ ñèñòåìà ñòðîê ëèíåéíî íåçàâèñèìà. Âòîðóþ ÷àñòü ïðåäëîæåíèÿ ìîæíî äîêàçàòü èñïîëüçóÿ îáðàòèìîñòü ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Ïóñòü A âûðîæäåííàÿ ìàòðèöà. Åñëè äîïóñòèòü, ÷òî ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåâîäÿò å¸ â íåâûðîæäåííóþ ìàòðèöó, òî îáðàòíûå ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåâåäóò íåâûðîæäåííóþ ìàòðèöó â íåâûðîæäåííóþ, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò èñõîäíîìó ïðåäïîëîæåíèþ. Ñëåäñòâèå 1.2. Âñå ýëåìåíòàðíûå ìàòðèöû íåâûðîæäåíû. Ïðåäëîæåíèå 1.9. Êàæäàÿ íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñòðîê ìîæåò áûòü ïðåâðàùåíà â åäèíè÷íóþ ìàòðèöó. Ïóñòü íàì äàíà íåâûðîæäåííàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n è ïóñòü å¸ ñòðîêè a1 , a 2 ,..., a n . Íàøà ïåðâàÿ çàäà÷à çàêëþ÷àåòñÿ â ïîëó÷åíèè åäèíèöû íà ìåñòå a11 . Åñëè â ïåðâîì ñòîëáöå òàêàÿ åäèíèöà óæå ñîäåðæèòñÿ, íàïðèìåð â i ñòðîêå, ìû ýòó ñòðîêó ìîæåì ïîìåíÿòü ìåñòàìè ñ ïåðâîé ñòðîêîé åäèíèöà îêàæåòñÿ íà ìåñòå a11 . Åñëè åäèíèöû â ïåðâîì ñòîëáöå íåò, ìû ìîæåì âçÿòü ëþáîé ýëåìåíò ïåðâîãî ñòîëáöà îòëè÷íûé îò íóëÿ (à îí îáÿçàòåëüíî íàéä¸òñÿ â ñèëó íåâûðîæäåííîñòè ìàòðèöû) è ïîäåëèâ åãî íà ñàìîãî ñåáÿ ýòó åäèíèöó ïîëó÷èòü. Òåïåðü äëÿ âñåõ ñòðîê ñ i = 2,..., n áóäåì âû÷èòàòü èç i -é ñòðîêè ïåðâóþ ñòðîêó, óìíîæåííóþ íà ai1 .  ðåçóëüòàòå ýòîé îïåðàöèè ìû ïîëó÷èì ïåðâûé ñòîëáåö åäèíè÷íîé ìàòðèöû. Òåïåðü âî âòîðîì ñòîëáöå ìû ìîæåì ýëåìåíò a 22 , åñëè îí íå ðàâåí íóëþ, ïîäåëèòü íà ñàìîãî ñåáÿ è ïîëó÷èòü åäèíèöó íà ìåñòå a 22 . Òåïåðü äëÿ âñåõ ñòðîê ñ i = 3,..., n áóäåì âû÷èòàòü èç i -é ñòðîêè âòîðóþ ñòðîêó óìíîæåííóþ íà ai 2 .  ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì íóëè âî âòîðîì ñòîëáöå íèæå ãëàâíîé äèàãîíàëè. Ïîñòóïàÿ òàê è äàëüøå ìû ïîëó÷èì åäèíèöû íà
28
ãëàâíîé äèàãîíàëè è íóëè íèæå ãëàâíîé äèàãîíàëè. Êîãäà áóäåò ïîëó÷åíà åäèíèöà íà ìåñòå a nn íåòðóäíî áóäåò ïîñòóïàÿ óæå èçâåñòíûì ñïîñîáîì ïîëó÷èòü íóëè âûøå ãëàâíîé äèàãîíàëè. Òàêîé ìåòîä ïðåîáðàçîâàíèÿ ìàòðèöû íàçûâàåòñÿ ìåòîäîì Ãàóññà-Æîðäàíà ñ âûáîðîì âåäóùåãî ýëåìåíòà ïî ñòðîêå. Ïðîäåìîíñòðèðóåì ìåòîä Ãàóññà-Æîðäàíà íà ñëåäóþùåì ïðèìåðå. Ïðèìåð. Ïðèâåñòè ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé äàííóþ ìàòðèöó ê åäèíè÷íîé.
3 1 2 3 0 3 2 1 2 3 1 2 A = 1 2 3 ~ 0 3 2 ~ 0 3 2 ~ 0 1 2 3 ~ 4 0 5 4 0 5 0 − 8 − 7 0 8 7 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 0 0 ~ 0 1 2 3 ~ 0 1 2 3 ~ 0 1 0 ~ 0 1 0 = E . 0 0 5 3 0 0 1 0 0 1 0 0 1 Çäåñü ìû ïîìåíÿëè âòîðóþ ñòðîêó ñ ïåðâîé, à äàëåå âñå âû÷èñëåíèÿ äîñòàòî÷íî ïðîçðà÷íû. Ïðåäëîæåíèå 1.10. Êàæäóþ âûðîæäåííóþ ìàòðèöó ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñòðîê ìîæíî ïðåâðàòèòü â ìàòðèöó, ó êîòîðîé ïîñëåäíÿÿ ñòðîêà íóëåâàÿ. Åñëè â âûðîæäåííîé ìàòðèöå áîëåå äâóõ ñòðîê, òî îäíà èç å¸ ñòðîê ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé îñòàëüíûõ. Ïåðåñòàâèì ýòó ñòðîêó íà ïîñëåäíåå ìåñòî è âû÷òåì èç íå¸ ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ îñòàëüíûõ ñòðîê, êîòîðîé îíà ðàâíà. Ïðåäëîæåíèå 1.11. Êàæäóþ íåâûðîæäåííóþ ìàòðèöó ìîæíî ðàçëîæèòü â ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòàðíûõ ìàòðèö.  ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 1.8 íàéäóòñÿ òàêèå ýëåìåíòàðíûå ìàòðèöû T1 , T2 ,...,Tm , ÷òî
Tm ...T2T1 A = E .
(1.14)
29
Òàê êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé îáðàòèìû, òî ñóùåñòâóþò òàêèå ýëåìåíòàðíûå ìàòðèöû, äëÿ êîòîðûõ
S1S 2 ...S m E = A èëè (1.15) S1S 2 ...S m = A . Ïðåäëîæåíèå 1.12. Êàæäóþ âûðîæäåííóþ ìàòðèöó ìîæíî ðàçëîæèòü â ïðîèçâåäåíèå
S1S 2 ...S mV , ãäå S1 , S 2 ,..., S m - ýëåìåíòàðíûå ìàòðèöû, à V - ìàòðèöà, ïîñëåäíÿÿ ñòðîêà êîòîðîé ñîñòîèò èç íóëåé. Äàííîå ïðåäëîæåíèå ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ïðåäëîæåíèÿ 1.9. Ëåêöèÿ ¹4.
1.9. Îáðàòíàÿ ìàòðèöà.
Îïðåäåëåíèå 1.10. Ìàòðèöà X íàçûâàåòñÿ îáðàòíîé äëÿ ìàòðèöû A , åñëè (1.17) XA = AX = E . Ðàíåå ìû óñòàíîâèëè, ÷òî äâå ìàòðèöû ìîãóò áûòü ïåðåñòàíîâî÷íûìè, åñëè îíè îáå êâàäðàòíûå è îäíîãî ïîðÿäêà. Òàêèì îáðàçîì îáðàòíóþ ìàòðèöó ìîæåò èìåòü òîëüêî êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà, õîòÿ ýòîãî è íåäîñòàòî÷íî. Ïðåäëîæåíèå 1.13. Ïðîèçâåäåíèå íåâûðîæäåííûõ ìàòðèö - íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà. Ðàññìîòðèì ïðîèçâåäåíèå íåâûðîæäåííûõ ìàòðèö A è B AB . Íà îñíîâå ïðåäëîæåíèÿ 1.10 ðàçëîæèì ìàòðèöó A â ïðîèçâåäåíèå
ýëåìåíòàðíûõ
ìàòðèö:
A = S1S 2 ...S m .
Òîãäà
AB = S1S 2 ...S m B ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü êàê ðåçóëüòàò äåéñòâèÿ íà ìàòðèöó B ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòðèöàì S1 , S 2 ,..., S m . Â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäëîæåíèåì 1.7 ýòîò ðåçóëüòàò åñòü íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà.
30
Ñëåäñòâèå 1.3. Ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòàðíûõ ìàòðèö íåâûðîæäåíî. Ïðåäëîæåíèå 1.14. Åñëè õîòÿ áû îäíà èç ìàòðèö A èëè B âûðîæäåíà òî è AB - âûðîæäåííàÿ ìàòðèöà. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè A íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà, òî B - âûðîæäåííàÿ. Ïîëàãàÿ A = S1S 2 ...S m çàïèøåì
AB = S1S 2 ...S m B .  ñîîòâåòñòâèè ñî âòîðîé ÷àñòüþ ïðåäëîæåíèÿ 1.7 ìû âûíóæäåíû ïîëîæèòü B âûðîæäåííîé ìàòðèöåé, èíà÷å AB áûëî áû íåâûðîæäåííîé ìàòðèöåé. Åñëè A - âûðîæäåííàÿ ìàòðèöà, òî â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäëîæåíèåì 1.11 AB = S1S 2 ...S mVB , ãäå ïîñëåäíÿÿ ñòðîêà ìàòðèöû V íóëåâàÿ, íóëåâîé áóäåò è ïîñëåäíÿÿ ñòðîêà ìàòðèöû VB . Òàêèì îáðàçîì ìàòðèöà AB ïîëó÷àåòñÿ ýëåìåíòàðíûì ïðåîáðàçîâàíèåì âûðîæäåííîé ìàòðèöû VB è ïîýòîìó ñàìà âûðîæäåíà. Ñëåäñòâèå 1.4. Âûðîæäåííàÿ ìàòðèöà íå èìååò îáðàòíîé. Ïðåäëîæåíèå 1.15. Äëÿ ëþáîé íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ îáðàòíàÿ ìàòðèöà. Ðàññìîòðèì ôîðìóëó (1.14) (1.14) Tm ...T2T1 A = E , ïðåäëîæåíèÿ 1.11 è îáîçíà÷èì ïðîèçâåäåíèå ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ÷åðåç X :
Tm ...T2T1 = X . Òåïåðü ìû ìîæåì ñêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé íåâûðîæäåííîé êâàäðàòíîé ìàòðèöû A ñóùåñòâóåò òàêàÿ ìàòðèöà X , ÷òî XA = E . Äîêàæåì ñïðàâåäëèâîñòü çàïèñè AX = E . Òàê êàê ìàòðèöà X åñòü ïðîèçâåäåíèå íåâûðîæäåííûõ ìàòðèö Tm ...T2T1 , îíà è ñàìà íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà, à çíà÷èò èìååò îáðàòíóþ ìàòðèöó Y , ò.å.
31
YX = E . Ðàññìîòðèì ïðîèçâåäåíèå
Y (XA) = Y .
Ñ äðóãîé ñòîðîíû
(YX )A = A .
Òîãäà
Y (XA) = (YX )A = Y = A . Îáðàòíàÿ ê A ìàòðèöà X ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé, òàê êàê åñëè ïîëîæèòü, ÷òî X1 A = E è X 2 A = E , òîãäà
(X1 − X 2 )A = O
èëè
X1 = X 2 . Îáðàòíóþ ê A ìàòðèöó ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü êàê A −1 . Ñèìâîë -1 ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü êàê ïîêàçàòåëü ñòåïåíè. Òîãäà äëÿ êâàäðàòíîé ìàòðèöû A ïîêàçàòåëü ñòåïåíè k ∈ Z ìû ìîæåì ïîíèìàòü êàê
Ak = A ⋅ A ⋅ ... ⋅ A , ò.å. ìàòðèöà A óìíîæåíà ñàìà íà ñåáÿ k ðàç. Î÷åâèäíî, ÷òî
(A )
−1 k
( )
= A− k , A 0 = E , Am ⋅ An = A m+ n , A −1
−1
= A.
(AB )−1 = B −1 A−1 , òàê êàê
(AB ) ⋅ (B −1 A−1 ) = A(BB −1 )A−1 = AA−1 = E .
(A A)
T
( )
T
( ) ( ) T
−1
= AT A −1 = E èëè A −1 = AT . Ïðèâåä¸ì ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû. Åñëè ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåâîäÿò ìàòðèöó A â E , òî îíè æå ïåðåâîäÿò ìàòðèöó E â ìàòðèöó A −1 , òàê êàê −1
32
Tm ...T1 E = Tm ...T1 = A −1 . Ïðîäåìîíñòðèðóåì ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû íà ñëåäóþùåì ïðèìåðå. Ïðèìåð. Íàéòè ìàòðèöó, îáðàòíóþ äàííîé. 1 0 0 A = 1 1 2 . 1 1 3 Ïðèïèøåì ê äàííîé ìàòðèöå ñïðàâà åäèíè÷íóþ ìàòðèöó òàêîãî æå ïîðÿäêà. Ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ñòðîê ïåðåâåä¸ì äàííóþ ìàòðèöó â åäèíè÷íóþ, òîãäà åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà ñïðàâà ýòèìè æå ïðåîáðàçîâàíèÿìè ïåðåéä¸ò â îáðàòíóþ ê A . Èòàê:
0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 2 0 1 0 ~ 0 1 2 − 1 1 0 ~ 1 1 3 0 0 1 0 0 1 0 − 1 1 0 0 1 0 0 1 ~ 0 1 0 − 1 3 − 2 . 0 0 1 0 −1 1 0 0 1 A = − 1 3 − 2 . 0 −1 1 −1
1.10. Ðàíã ìàòðèöû Îïðåäåëåíèå 1.11. Ïóñòü â ìàòðèöå Am× n ñóùåñòâóåò ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà èç r ñòðîê è íåò ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìû èç áîëüøåãî ÷èñëà ñòðîê. Òîãäà ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ñòðî÷íûé ðàíã ìàòðèöû Am× n ðàâåí r .
33
Íóëåâàÿ ìàòðèöà íå ñîäåðæèò ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñòðîê è å¸ ñòðî÷íûé ðàíã ïî îïðåäåëåíèþ ðàâåí íóëþ. Ñòðî÷íûé ðàíã åäèíè÷íîé ìàòðèöû En ðàâåí, î÷åâèäíî, n , òàê êàê âñå ñòðîêè åäèíè÷íîé ìàòðèöû (ïðåäëîæåíèå 1.2) ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ è ñòîëáöîâûé ðàíã ìàòðèöû Am× n . Îí ðàâåí r , åñëè åñòü ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà ñîñòîÿùàÿ èç r ñòîëáöîâ, è íåò ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìû èç áîëüøåãî ÷èñëà ñòîëáöîâ. Çàìåòèì ñðàçó, ÷òî ñòîëáöîâûé ðàíã åäèíè÷íîé ìàòðèöû En â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäëîæåíèåì 1.2 òàê æå ðàâåí n è ìû âèäèì, ÷òî ó åäèíè÷íîé ìàòðèöû ñòðî÷íûé è ñòîëáöîâûé ðàíãè ñîâïàäàþò è ðàâíû ïîðÿäêó åäèíè÷íîé ìàòðèöû. Ïîêàæåì, ÷òî åñëè â ìàòðèöå Am× n èìååòñÿ r ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñòðîê è ëþáàÿ ñèñòåìà èç r + 1 ñòðîêè ëèíåéíî çàâèñèìà, ìû ìîæåì îòûñêàòü â äàííîé ìàòðèöå íåâûðîæäåííóþ ïîäìàòðèöó ïîðÿäêà r . Ïóñòü äëÿ îïðåäåë¸ííîñòè ÷èñëî ñòðîê ìåíüøå ÷èñëà ñòîëáöîâ, ò.å. m < n è r < m . Ïóñòü òàêæå r ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñòðîê ðàñïîëîæåíû â ìàòðèöå Am× n â ïðîèçâîëüíîì ïîðÿäêå. Èñïîëüçóÿ ïðåîáðàçîâàíèå 5 èç îïðåäåëåíèÿ 4.7 ïåðåäâèíåì (ñ îäíîâðåìåííûì èçìåíåíèåì íîìåðîâ ñòðîê) ýòè ñòðîêè ââåðõ, òàê ÷òîáû îíè ðàñïîëîæèëèñü â ïåðâûõ r ñòðîêàõ íàøåé ìàòðèöû. Èñõîäíàÿ ìàòðèöà Am× n ïðèìåò âèä:
a11 a12 a21 a22 A= ... ... a m1 am 2
3 À.À. Êèðñàíîâ
... ... ... ...
a12 a11 a1n ... ... a2 n a ar 2 ⇒ A = r1 a(r +1)1 a(r +1)2 ... ... amn ... a am 2 m1
... ... ... ... ... ...
a1n ... arn a(r +1)n . ... amn
34
Òàê êàê ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè ÿâëÿþòñÿ òîëüêî ïåðâûå r ñòðîê, à ñòðîêè ñ íîìåðàìè r + 1 , r + 2 , ..., m åñòü èõ ëèíåéíûå êîìáèíàöèè, ìû ìîæåì ýòè ñòðîêè ñäåëàòü íóëåâûìè è ìàòðèöà
Am× n ïðèìåò âèä: a11 a12 ... ... a a A = r1 r 2 0 0 ... ... 0 0
... a1n ... ... a11 ... arn èëè A = ... ... 0 a r1 ... ... ... 0
a12 ... a1n ... ... ... . ar 2 ... arn
Ðàññìîòðèì òåïåðü ìàòðèöó
a11 A = ... a r1
a12 ... ar 2
... a1n ... ... ... arn
ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðåäëîæåíèÿ 1.9. Åñëè áû ÷èñëî ñòðîê r áûëî áû ðàâíî ÷èñëó ñòîëáöîâ n , ìû èìåëè áû íåâûðîæäåííóþ ìàòðèöó ïîðÿäêà n , êîòîðóþ ìåòîäîì Ãàóññà-Æîðäàíà ìîæíî áûëî áû ïðèâåñòè ê åäèíè÷íîé ìàòðèöå. Òàê êàê â íàøåé ñèòóàöèè ÷èñëî ñòðîê ìåíüøå ÷èñëà ñòîëáöîâ, ò.å. r < n , òî ïðèìåíÿÿ ìåòîä Ãàóññà-Æîðäàíà ê íàøåé ìàòðèöå Ar × n ìû, î÷åâèäíî, ïðèâåä¸ì å¸ ê âèäó: 1 0 A= ... 0
0 ... 0 a1′(r +1) 1 ... 0 a2′ (r +1) ... ... ... ... 0 ... 1 ar′ (r +1)
... a1′n ... a2′ n ... ... . ′ ... arn
(1.15)
Òàêèì îáðàçîì ìû ïîëó÷èëè ìàòðèöó â êîòîðîé ñîäåðæèòñÿ íåâûðîæäåííàÿ (åäèíè÷íàÿ) ïîäìàòðèöà ïîðÿäêà r , ñòîëáöû êîòîðîé, â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 1.2, ëèíåéíî íåçàâèñèìû è âñå îñòàëüíûå n − r ñòîëáöîâ ìàòðèöû ñ íîìåðàìè r + 1, r + 2,..., n åñòü èõ ëèíåéíûå êîìáèíàöèè.
35
Îïðåäåëåíèå 1.12. Ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ñòðîêè è ñòîëáöû ìàòðèöû Am× n áóäåì íàçûâàòü áàçèñíûìè ñòðîêàìè è áàçèñíûìè ñòîëáöàìè, íåâûðîæäåííóþ ïîäìàòðèöó, ñòîÿùóþ íà ïåðåñå÷åíèè áàçèñíûõ ñòðîê è ñòîëáöîâ íàçîâ¸ì áàçèñíîé ïîäìàòðèöåé èëè áàçèñíûì ìèíîðîì. Îïðåäåëåíèå 1.13. Ðàíãîì ìàòðèöû Am×n (ìèíîðíûì ðàíãîì) íàçûâàåòñÿ ïîðÿäîê áàçèñíîé ïîäìàòðèöû (áàçèñíîãî ìèíîðà). Ðàíã íóëåâîé ìàòðèöû ïî îïðåäåëåíèþ áóäåì ñ÷èòàòü ðàâíûì íóëþ. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè òðàíñïîíèðîâàíèè ìàòðèöû å¸ ðàíã íå ìåíÿåòñÿ, òàê êàê ïðè òðàíñïîíèðîâàíèè ìàòðèöû (1.15) å¸ áàçèñíàÿ ïîäìàòðèöà ïåðåõîäèò ñàìà â ñåáÿ. Î÷åâèäíî òàê æå, ÷òî ðàíã ëþáîé ïîäìàòðèöû A′ ìàòðèöû íå ïðåâîñõîäèò ðàíãà ìàòðèöû A . Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî áàA çèñíàÿ ïîäìàòðèöà ìàòðèöû A′ ñîäåðæèòñÿ è â ìàòðèöå A . Îïðåäåëåíèå 1.14. Ìàòðèöó Am×n áóäåì íàçûâàòü óïðîù¸ííîé, åñëè íåêîòîðûå r å¸ ñòîëáöîâ ÿâëÿþòñÿ ïåðâûìè r ñòîëáöàìè åäèíè÷íîé ìàòðèöû ïîðÿäêà m è åñëè r < m å¸ ïîñëåäíèå m − r ñòðîê íóëåâûå. Åñëè ìû îòáðîñèì íóëåâûå ñòðîêè, òî ìû è ïîëó÷èì ìàòðèöó (1.15) â êà÷åñòâå óïðîù¸ííîé ìàòðèöû, ïîëó÷åííîé èç èñõîäíîé ìàòðèöû ìåòîäîì Ãàóññà-Æîðäàíà.
1.11. Îñíîâíûå òåîðåìû î ðàíãå ìàòðèöû ÒÅÎÐÅÌÀ 1.1. Ó ëþáîé ìàòðèöû Am× n ñòðî÷íûé ðàíã ðàâåí ìèíîðíîìó ðàíãó è ðàâåí ñòîëáöîâîìó ðàíãó. Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ñîäåðæèòñÿ â ïóíêòå 1.10 è çàêëþ÷àåòñÿ â ïîëó÷åíèè ìàòðèöû (1.15). Èç òåîðåìû 1.1 ñëåäóåò, ÷òî âñå òðè îïðåäåëåíèÿ ðàíãà ìàòðèöû îïðåäåëÿþò íà ñàìîì äåëå îäíî è òîæå ÷èñëî, êîòîðîå ìû áóäåì íàçâàòü ïðîñòî ðàíãîì ìàòðèöû è îáîçíà÷èì êàê RgA = r . 3*
36
ÒÅÎÐÅÌÀ 1.2. Êàæäûé ñòîëáåö (ñòðîêà) ìàòðèöû ðàñêëàäûâàåòñÿ â ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ å¸ áàçèñíûõ ñòîëáöîâ (ñòðîê). Êàæäûé èç áàçèñíûõ ñòîëáöîâ ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî áàçèñíûì ñòîëáöàì åñëè âçÿòü ñàì ýòîò ñòîëáåö ñ êîýôôèöèåíòîì åäèíèöà, à îñòàëüíûå ñòîëáöû ñ íóëåâûìè êîýôôèöèåíòàìè. Íàïðèìåð. Ïóñòü áàçèñíûå ñòîëáöû îáîçíà÷åíû êàê e1, e 2 ,...,e r , à îñòàëüíûå êàê
a r +1, a r + 2 ,...,a n , òîãäà äëÿ áàçèñíîãî ñòîëáöà e3 ìîæåì çàïèñàòü: e3 = 0 ⋅ e1 + 0 ⋅ e 2 + 1 ⋅ e3 + 0 ⋅ e 4 + ... + 0 ⋅ er . Äëÿ íåáàçèñíîãî ñòîëáöà, íàïðèìåð, a r + 2 ïî òåîðåìå 1.1 íàéäóòñÿ òàêèå êîýôôèöèåíòû α1, α 2 ,..., α r , λ , ÷òî
α1e1 + α 2e 2 + ... + α r e r + λa r +2 = O . Çäåñü λ ≠ 0 , òàê êàê â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷èëè áû ëèíåéíóþ çàâèñèìîñòü áàçèñíûõ ñòîëáöîâ è ìû ìîæåì çàïèñàòü: α α α1 e1 − 2 e 2 − ... − r e r . λ λ λ Ïîäîáíîå ðàâåíñòâî, íî ñ äðóãèìè êîýôôèöèåíòàìè, ìû ìîæåì çàïèñàòü è äëÿ ëþáîãî íåáàçèñíîãî ñòîëáöà, ÷òî è çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî íàøåé òåîðåìû. Î÷åâèäíî, ÷òî âñ¸ ñêàçàííîå ñïðàâåäëèâî è äëÿ ñòðîê ìàòðèöû. ar + 2 = −
ÒÅÎÐÅÌÀ 1.3. Ïðèïèñûâàíèå ê ìàòðèöå Am× n ñòîëáöà b âûñîòû m íå ìåíÿåò å¸ ðàíãà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ýòîò ñòîëáåö - ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñòîëáöîâ ìàòðèöû Am×n . Ïóñòü ó íàñ èìååòñÿ ìàòðèöà Am× n ðàíãà r . Ïðèïèñûâàÿ ê íåé ñòîëáåö b ïîëó÷èì ìàòðèöó
a11 a12 a22 a Ab = 21 ... ... a m1 am 2
... a1n ... a2 n ... ... ... amn
b1 b2 ... . bm
37
Åñëè RgAb = RgA = r , òîãäà áàçèñíûå ìèíîðû, ÷èñëà áàçèñíûõ ñòîëáöîâ è áàçèñíûõ ñòðîê ó îáåèõ ìàòðèö îäèíàêîâûå è ñòîëáåö b ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî áàçèñíûì ñòîëáöàì ìàòðèöû Am×n . Îí, î÷åâèäíî, áóäåò è ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âñåõ ñòîëáöîâ ìàòðèöû Am× n , òàê êàê ìû ýòî ìîæåì ïðåäñòàâèòü â âèäå:
b = β1e1 + β 2e 2 + ... + βr e r + 0 ⋅ a r +1 + ... + 0 ⋅ a n , ãäå ïî ïðåæíåìó e1, e 2 ,...,e r - áàçèñíûå ñòîëáöû, à a r +1, a r + 2 ,...,a n îñòàëüíûå ñòîëáöû ìàòðèöû Am× n . Îáðàòíî, åñëè b ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî ñòîëáöàì ìàòðèöû
Am× n , òî âû÷èòàÿ èç ñòîëáöà b åãî ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ìû ïîëó÷èì âìåñòî ñòîëáöà b íóëåâîé ñòîëáåö, êîòîðûé íå ìîæåò èçìåíèòü ðàçìåðà áàçèñíîé ïîäìàòðèöû ìàòðèöû Am× n , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. ÒÅÎÐÅÌÀ 1.4. Åñëè â ìàòðèöå Am× n åñòü r ñòîëáöîâ, ïî êîòîðûì ðàñêëàäûâàþòñÿ âñå å¸ ñòîëáöû, å¸ ðàíã íå ïðåâûøàåò r ( RgA ≤ r ). Åñëè ýòè r ñòîëáöîâ ëèíåéíî íåçàâèñèìû - å¸ ðàíã ðàâåí r . ÒÅÎÐÅÌÀ 1.5. Åñëè ìàòðèöà Am×r ñîñòîèò èç r ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ñòîëáöîâ âûñîòû n , òî å¸ ìîæíî äîïîëíèòü n − r ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè ñòîëáöàìè âûñîòû n äî íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû ïîðÿäêà n . Äîêàçàòåëüñòâî äàííîé òåîðåìû ñðàçó ñëåäóåò èç ïðåäëîæåíèÿ 1.2 è ïðåäëîæåíèÿ 9. ÒÅÎÐÅÌÀ 1.6. Ðàíã ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ìàòðèö íå ïðåâîñõîäèò ðàíãîâ ñîìíîæèòåëåé. Ïóñòü îïðåäåëåíî ïðîèçâåäåíèå AB . Ñîñòàâèì ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó
C = (A AB ) .
Òàê êàê AB - ïîäìàòðèöà ìàòðèöû Ñ , å¸ ðàíã íå ïðåâîñõîäèò ðàíãà ìàòðèöû C :
38
RgAB ≤ RgC . Â ñèëó ñëåäñòâèÿ 1.1 ñòîëáöû ìàòðèöû AB åñòü ëèíåéíûå êîìáèíàöèè ñòîëáöîâ ìàòðèöû A è â ñèëó òåîðåìû 1.3 ìû ìîæåì çàïèñàòü: RgC = RgA èëè RgAB ≤ RgA . Ñîñòàâèì òåïåðü ìàòðèöó C ′ èç ñòðîê ìàòðèö B è AB :
B . C ′ = AB Çäåñü òàê æå ìàòðèöà AB ÿâëÿåòñÿ ïîäìàòðèöåé ìàòðèöû C ′ è å¸ ðàíã íå ïðåâîñõîäèò ðàíãà ìàòðèöû C ′ : RgAB ≤ RgC ′ .  ñèëó ñëåäñòâèÿ 1.1. ñòðîêè ìàòðèöû AB åñòü ëèíåéíûå êîìáèíàöèè ñòðîê ìàòðèöû B è â ñèëó òåîðåìû 1.3 ìû ñíîâà ìîæåì çàïèñàòü: RgC ′ = RgB èëè RgAB ≤ RgB . ÒÅÎÐÅÌÀ 1.7. Åñëè A - íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà è îïðåäåëåíû ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö AB è CA , òî
RgAB = RgB è RgCA = RgC . Òàê êàê A - íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà, å¸ ìîæíî ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñâåñòè ê åäèíè÷íîé ìàòðèöå E A òîãî æå ïîðÿäêà è ðàíãà, ÷òî è ìàòðèöà A . Òîãäà: à
RgAB = RgE AB = RgB , RgCA = RgCE A = RgC .
39
2. Îïðåäåëèòåëè 2.1. Îïðåäåëèòåëè II è III ïîðÿäêîâ Ïðè èçó÷åíèè êâàäðàòíûõ ìàòðèö ìîæíî ââåñòè â ðàññìîòðåíèå íåêîòîðóþ ÷èñëîâóþ ôóíêöèþ, ïîçâîëÿþùóþ äîâîëüíî ëåãêî ñäåëàòü âûâîä î âûðîæäåííîñòè èëè íåâûðîæäåííîñòè äàííîé ìàòðèöû. Îïðåäåëåíèå 2.1. ×èñëîâàÿ ôóíêöèÿ íà ìíîæåñòâå âñåõ êâàäðàòíûõ ìàòðèö ïîðÿäêà n íàçûâàåòñÿ îïðåäåëèòåëåì (äåòåðìèíàíòîì)1 ïîðÿäêà n , à å¸ çíà÷åíèå íà ìàòðèöå A - îïðåäåëèòåëåì A , åñëè îíà îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè. 1. Êàêóþ áû ñòðîêó êâàäðàòíîé ìàòðèöû ìû íå âçÿëè, ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì îäíîðîäíûì ìíîãî÷ëåíîì îò ýëåìåíòîâ ýòîé ñòðîêè. Äëÿ i -îé ñòðîêè ìàòðèöû A ýòî çíà÷èò, ÷òî (2.1) f (A) = h1ai1 + h2 ai 2 + ... + hn ain , ãäå h j - êîýôôèöèåíòû íå çàâèñÿùèå îò ýëåìåíòîâ i -é ñòðîêè
ai1 , ai 2 ,..., ain , íî çàâèñÿùèå îò ýëåìåíòîâ îñòàëüíûõ ñòðîê ìàòðèöû.
2. Çíà÷åíèå ôóíêöèè f (A) íà ëþáîé âûðîæäåííîé ìàòðèöå ðàâíî íóëþ. 3. Çíà÷åíèå ôóíêöèè f (A) íà åäèíè÷íîé ìàòðèöå ðàâíî åäèíèöå.
Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû A îáîçíà÷àåòñÿ êàê det A èëè A . Ïðåæäå ÷åì èçó÷àòü ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëåé, ðàññìîòðèì îïðåäåëèòåëè ìàòðèö ïåðâîãî, âòîðîãî è òðåòüåãî ïîðÿäêîâ.
Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ïåðâîãî ïîðÿäêà A = (a11 ) èëè ïðîñòî ÷èñëà åñòü, î÷åâèäíî, ñàìî ýòî ÷èñëî:
a11 = a11 . 1 Â íåêîòîðîé ëèòåðàòóðå îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû íàçûâàåòñÿ äåòåðìèíàíòîì ìàòðèöû.
40
Ðàññìîòðèì ìàòðèöó âòîðîãî ïîðÿäêà
a12 a . A = 11 a21 a22 Ïîä îïðåäåëèòåëåì ìàòðèöû âòîðîãî ïîðÿäêà áóäåì ïîíèìàòü ÷èñëîâóþ ôóíêöèþ f (A) = h1a11 + h2 a12 = a11a22 − a12 a21
èëè
A = a11a22 − a12 a21 . Ïðèìåð. A =
(2.2)
1 2 = 1 ⋅ 4 − 2 ⋅ 3 = 4 − 6 = −2 . 3 4
1 2 - íåâûðîæäåíà. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìàòðèöà A = 3 4 Ïîä îïðåäåëèòåëåì ìàòðèöû òðåòüåãî ïîðÿäêà a11 a12 A = a21 a22 a 31 a32
a13 a23 a33
áóäåì ïîíèìàòü ÷èñëîâóþ ôóíêöèþ îò ýëåìåíòîâ i -é ñòðîêè çàäàííóþ âûðàæåíèåì èëè
f (A) = h1ai1 + h2 ai 2 + h3 ai 3
A = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a13a22 a31 − a11a23a32 − a12 a21a33 . (2.3) Èç (2.3) íåòðóäíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèÿ äëÿ h j , íàïðèìåð, äëÿ ïåðâîé ñòðîêè èìååì:
f (A) = (a22 a33 − a23 a32 )a11 − (a21a33 − a23 a31 )a12 + (a21a32 − a22 a31 )a13 . Çäåñü: h1 = (a22 a33 − a23 a32 ) , h2 = −(a21a33 − a23 a31 ) , h3 = (a21a32 − a22 a31 ).
41
Ñôîðìóëèðóåì ïðîñòîå äëÿ çàïîìèíàíèÿ ãåîìåòðè÷åñêîå ïðàâèëî âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëåé òðåòüåãî ïîðÿäêà: - ñî çíàêîì (+) áåðóòñÿ ïðîèçâåäåíèÿ ýëåìåíòîâ ñîåäèí¸ííûå ïðÿìîé ëèíèåé è òðåóãîëüíèêàìè
o o o o o o , o o o
- à ñî çíàêîì (-) -
o o o o o o . o o o
Ïðèìåð. 1 2 3 2 1 4 = 1 ⋅1 ⋅1 + 0 ⋅ 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 2 ⋅ 3 + 0 ⋅ 2 ⋅ 4 − 3 ⋅1 ⋅ 0 − 1⋅ 4 ⋅ 3 − 1 ⋅ 2 ⋅ 2 = 3 0 3 1
2.2. Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû n -ãî ïîðÿäêà Ïðåæäå ÷åì îáñóäèòü âîïðîñ îá îïðåäåëèòåëå ìàòðèöû n ãî ïîðÿäêà, ðàññìîòðèì åù¸ ðàç áîëåå âíèìàòåëüíî îïðåäåëèòåëè ìàòðèö âòîðîãî è òðåòüåãî ïîðÿäêîâ. Èòàê, ìàòðèöà âòîðîãî ïîðÿäêà, n = 2 :
a11 a12 = a11a22 − a12 a21 . a21 a22 Îïðåäåëèòåëü ñîäåðæèò ñóììó èç äâóõ ñîìíîæèòåëåé â êàæäîì ñëàãàåìîì, ïî îäíîìó èç êàæäîé ñòðîêè è ïî îäíîìó èç êàæäîãî ñòîëáöà. Îäíî ñëàãàåìîå âçÿòî ñî çíàêîì (+ ) , äðóãîå ñî çíàêîì (− ) .
42
Ìàòðèöà òðåòüåãî ïîðÿäêà, n = 3 :
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 a23 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13 a21a32 − a33 − a13a22 a31 − a11a23a32 − a12 a21a33 .
Îïðåäåëèòåëü òðåòüåãî ïîðÿäêà ñîäåðæèò ñóììó èç òð¸õ ñîìíîæèòåëåé ïî îäíîìó èç êàæäîé ñòðîêè è ïî îäíîìó èç êàæäîãî ñòîëáöà, ïîëîâèíà ñëàãàåìûõ âçÿòà ñî çíàêîì (+ ) , à ïîëîâèíà
ñî çíàêîì (− ) . Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî ÷èñëî ñîìíîæèòåëåé â ñóììàõ ñîâïàäàåò ñ ïîðÿäêîì îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû. Çàìåòèì, òàê æå, ÷òî 2 = 1 ⋅ 2 = 2! , à 6 = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 3! . Âåðîÿòíî, ñëåäóåò îæèäàòü, ÷òî îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû n -ãî ïîðÿäêà áóäåò ñîäåðæàòü n! ñëàãàåìûõ ñîñòîÿùèõ èç n ñîìíîæèòåëåé ïî îäíîìó èç êàæäîé ñòðîêè è ïî îäíîìó èç êàæäîãî ñòîëáöà. Ïîëîâèíà èõ áóäåò ñî çíàêîì (+ ) , à ïîëîâèíà ñî çíàêîì (− ). Ïîêàæåì ýòî. Ïóñòü p - íåêîòîðîå ïðîèçâåäåíèå, ñîñòîÿùåå èç ýëåìåíòîâ ìàòðèöû n -ãî ïîðÿäêà, ñîäåðæàùåå ïî îäíîìó ýëåìåíòó èç êàæäîé ñòðîêè è ïî îäíîìó ýëåìåíòó èç êàæäîãî ñòîëáöà.
Ïóñòü ìíîæèòåëü âõîäÿùèé èç ïåðâîé ñòðîêè èìååò âèä a1α , ãäå α - íîìåð ñòîëáöà 1 ≤ α ≤ n . Ìíîæèòåëü èç âòîðîé ñòðîêè èìååò âèä a 2β , ãäå β - íîìåð ñòîëáöà 1 ≤ β ≤ n è ò.ä. Ìíîæèòåëü èç ïîñëåäíåé n -é ñòðîêè áóäåò èìåòü âèä a nω , ãäå ω íîìåð ñòîëáöà 1 ≤ ω ≤ n . Òàêèì îáðàçîì
p = a1α ⋅ a2β ⋅ ... ⋅ anω .
(2.4)
Òàê êàê âñå ñîìíîæèòåëè â (2.4) âçÿòû ïî îäíîìó èç êàæäîé ñòðîêè è ïî îäíîìó èç êàæäîãî ñòîëáöà, âñå èíäåêñû α, β,..., ω
43
ðàçëè÷íû è, ñëåäîâàòåëüíî, îáðàçóþò ïåðåñòàíîâêó (αβ...ω) èç
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë (12...n ) . Ñ ïðîèçâåäåíèåì (2.4) òàêèì îáðàçîì ñâÿçàíà îïðåäåë¸ííàÿ
ïåðåñòàíîâêà (αβ...ω) .
Íàîáîðîò, åñëè âçÿòü êàêóþ-íèáóäü ïåðåñòàíîâêó (αβ...ω)
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 1,2,..., n è ïî íåé ñîñòàâèòü ïðîèçâåäåíèÿ (2.4), òî ýòè ïðîèçâåäåíèÿ, î÷åâèäíî, áóäóò èìåòü ìíîæèòåëè ïî îäíîìó èç êàæäîé ñòðîêè è ïî îäíîìó èç êàæäîãî ñòîëáöà è ÷èñëî èõ áóäåò n! . Äàäèì òåïåðü ñëåäóþùåå ïðåäâàðèòåëüíîå Îïðåäåëåíèå 2.2. Îïðåäåëèòåëåì ìàòðèöû n -ãî ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ ñóììà âñåõ n! ïðîèçâåäåíèé ýëåìåíòîâ ýòîé ìàòðèöû, âçÿòûõ ïî îäíîìó èç êàæäîé ñòðîêè è ïî îäíîìó èç êàæäîãî ñòîëáöà. Ïðè ýòîì êàæäîå ïðîèçâåäåíèå ñíàáæåíî çíàêîì (+) èëè (-) ïî íåêîòîðîìó ïðàâèëó. Ñôîðìóëèðóåì ïðàâèëî äëÿ çíàêà. Âåðí¸ìñÿ ñíîâà ê îïðåäåëèòåëÿì âòîðîãî è òðåòüåãî ïîðÿäêîâ:
a11 a12 = a11a22 − a12 a21 . a21 a22 Íîìåðà ñòðîê ìû çàðàíåå ðàçìåñòèëè â îäíîì è òîì æå ïîðÿäêå 1,2 . Ïîñìîòðèì êàê ðàñïîëîæåíû íîìåðà ñòîëáöîâ: + a11a22 - â äàííîì ïðîèçâåäåíèè ñòîëáöû îáðàçóþò ïåðå-
ñòàíîâêó (12 ) , ñîâïàäàþùóþ ñ íàòóðàëüíûì ðÿäîì. − a12 a21 - çäåñü ñòîëáöû îáðàçóþò ïåðåñòàíîâêó (21) , â êîòîðîé íàðóøåí ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îäèí ðàç, ÷èñëî 2 ñòîèò ïåðåä ÷èñëîì 1. Âûïèøåì òåïåðü ïîðÿäêè íîìåðîâ ñòîëáöîâ äëÿ îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû òðåòüåãî ïîðÿäêà (2.3) ó÷èòûâàÿ, ÷òî íîìåðà ñòðîê
ñíîâà ðàñïîëîæåíû â íàòóðàëüíîì ïîðÿäêå (123) :
44
+
(123) , (231) , (312); (321), (132), (213).
Ìû âèäèì, ÷òî â ïÿòè ïåðåñòàíîâêàõ ðàñïîëîæåíèÿ íåêîòî-
ðûõ ïàð íîìåðîâ ïðîòèâîïîëîæíû èõ íàòóðàëüíîìó ðÿäó (123) . Òàêîå ÿâëåíèå ìû áóäåì íàçûâàòü íàðóøåíèåì ïîðÿäêà èëè èíâåðñèåé.
Îïðåäåëåíèå 2.3. Ïóñòü èìååòñÿ ïåðåñòàíîâêà (αβ...ω) íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 1,2,..., n . Ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî äâà ÷èñëà, âõîäÿùèõ â ýòó ïåðåñòàíîâêó, îáðàçóþò èíâåðñèþ, åñëè áîëüøåå ÷èñëî èç íàøåé ïàðû ïðåäøåñòâóåò ìåíüøåìó. ×èñëî ïàð, îáðàçóþùèõ èíâåðñèþ, íàçîâ¸ì ÷èñëîì èíâåðñèé äàííîé ïåðåñòàíîâêè è îáîçíà÷èì áóêâîé s .  íàòóðàëüíîì ðÿäå (1 2 ... n ) èíâåðñèé íåò: s = 0 .
2  ðÿäå (n n − 1 ... 2 1) ñîäåðæèòñÿ î÷åâèäíî s = Cn =
n(n − 1) 2
ïàð èíâåðñèé.
Ïðèìåð.  ïåðåñòàíîâêå (3 1 5 2 4 ) èìååòñÿ ÷åòûðå ïàðû èíâåðñèé:
(3 1) , (3 2 ) , (5 2 ) , (5 4 ) . Ëåãêî óâèäåòü, ÷òî äëÿ ïîäñ÷¸òà ÷èñëà èíâåðñèé â ïåðåñòà-
íîâêå (αβ...ω) ñëåäóåò ïîäñ÷èòàòü, ñêîëüêî äëÿ êàæäîãî ÷èñëà èìååòñÿ ñëåäóþùèõ çà íèì ìåíüøèõ åãî ÷èñåë è çàòåì ñëîæèòü âñå íàéäåííûå çíà÷åíèÿ. Âåðí¸ìñÿ ê íàøåìó ïðèìåðó (3 1 5 2 4 ) .
×èñëî ïàð èíâåðñèé s = 2 + 0 + 2 + 0 + 0 = 4 . Îïðåäåëåíèå 2.4. Ïåðåñòàíîâêà íàçûâàåòñÿ ÷¸òíîé, åñëè îíà ñîäåðæèò ÷¸òíîå ÷èñëî ïàð èíâåðñèé, è íàçûâàåòñÿ íå÷¸òíîé â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Ïðàâèëî äëÿ çíàêà. Ïóñòü p - ôèêñèðîâàííîå ïðîèçâåäåíèå, âõîäÿùåå â ñîñòàâ îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû ïîðÿäêà n . Âûïèøåì ñîìíîæèòåëè ïðîèçâåäåíèÿ p â ïîðÿäêå ñëåäîâàíèÿ ñòðîê:
45
p = a1α ⋅ a2β ⋅ ... ⋅ anω . Î÷åâèäíî, ÷òî íîìåðà ñòîëáöîâ äàäóò ïåðåñòàíîâêó (αβ...ω) . Ïðîèçâåäåíèå p áåð¸òñÿ ñî çíàêîì (+), åñëè ýòà ïåðåñòàíîâêà ÷¸òíàÿ, è ñî çíàêîì (-), åñëè îíà íå÷¸òíàÿ.
Åñëè ÷èñëî ïàð èíâåðñèé â ïåðåñòàíîâêå (αβ...ω) ðàâíî s , ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ïðîèçâåäåíèå p âõîäèò â îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ñî çíàêîì (− 1)s .
Äëÿ ïðèìåðà ðàññìîòðèì ñ êàêèìè çíàêàìè âõîäÿò ñëàãàåìûå â îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ïîðÿäêà òðè:
+ a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 − a13 a22 a31 − a11a 23 a32 − a12 a21a33
(1 2 3) s = 0 ; (2 3 1) s = 1 + 1 + 0 = 2 ; (3 1 2 ) s = 2 + 0 + 0 = 2 ; (3 2 1) s = 2 + 1 + 0 = 3 ; (1 3 2 ) s = 0 + 1 + 0 = 1 ; (2 1 3) s = 1 + 0 + 0 = 1 .
Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ïîðÿäêà n ìîæíî çàïèñàòü òàê:
a11
a12
a21
a 22
... an1
... an 2
... a1n ... a2 n (αβ ω) = ∑ (− 1)s ... a1α a2β ...anω . (2.5) ... ... (αβ...ω) ... ann
(2.5) åñòü ôîðìóëà ïîëíîãî ðàçëîæåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû n ãî ïîðÿäêà. Çàìå÷àíèå 2.1. Åñëè ìàòðèöà èìååò íóëåâóþ ñòðîêó èëè íóëåâîé ñòîëáåö, òî â ïðîèçâåäåíèÿ p = a1α ⋅ a2β ⋅ ... ⋅ anω îáÿçàòåëüíî áóäóò âõîäèòü ýòè íóëåâûå ýëåìåíòû, è òàêèì îáðàçîì îïðåäåëèòåëü äàííîé ìàòðèöû áóäåò ðàâåí íóëþ.
46
Äëÿ äèàãîíàëüíîé, âåðõíåé è íèæíåé òðåóãîëüíûõ ìàòðèö îïðåäåëèòåëü áóäåò îäèí è òîò æå è áóäåò ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ äèàãîíàëüíûõ ýëåìåíòîâ:
A = a11a22 ...ann .
2.3. Ñâîéñòâà îïðåäåëèòåëåé Ñâîéñòâî 1. Ïðè òðàíñïîíèðîâàíèè ìàòðèöû å¸ îïðåäåëèòåëü íå ìåíÿåòñÿ. T
A= A .
(2.6)
Ñâîéñòâî 1 ãîâîðèò î òîì, ÷òî ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðèè îïðåäåëèòåëåé ñòðîêè è ñòîëáöû çàíèìàþò ðàâíîïðàâíîå ïîëîæåíèå è åñëè íàì áóäåò èçâåñòíî íåêîòîðîå ñâîéñòâî îïðåäåëèòåëÿ îòíîñÿùååñÿ ê ñòðîêàì (ñòîëáöàì), òî ìû ìîæåì ñêàçàòü, ÷òî òàêîå æå ñâîéñòâî èìåþò è ñòîëáöû (ñòðîêè). Ïðèìåð.
1 2 , A = 3 4 1 3 , AT = 2 4
A=
1 2 = −2 ; 3 4
AT =
1 3 = −2 . 2 4
Ñâîéñòâî 2. Åñëè äâå ñòðîêè (ñòîëáöà) ìàòðèöû ïîìåíÿòü ìåñòàìè, å¸ îïðåäåëèòåëü óìíîæèòñÿ íà ÷èñëî (-1). Ïðèìåð. Ïîìåíÿåì ìåñòàìè ñòðîêè ó ìàòðèöû A ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà, òîãäà:
3 4 , B = 1 2
B=
3 4 =2. 1 2
Ñâîéñòâî 3. Åñëè ìàòðèöà ïîðÿäêà n èìååò äâå îäèíàêîâûå ñòðîêè (ñòîëáöà), å¸ îïðåäåëèòåëü ðàâåí íóëþ. Ýòî ñâîéñòâî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ñâîéñòâà 2.
47
Îïðåäåëåíèå 2.5. Ïóñòü íàì äàíà ìàòðèöà ïîðÿäêà n
a 11 a A = 21 ... a n1
a12 a22 ... an 2
... a1n ... a2 n ... ... . ... ann
Âû÷åðêíåì â íåé ñòðîêó ïîä íîìåðîì i è ñòîëáåö ïîä íîìåðîì k , è ñäâèíåì, íå íàðóøàÿ ïîðÿäêà, îñòàëüíûå ýëåìåíòû.
 ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì ìàòðèöó ïîðÿäêà (n − 1) , ÿâëÿþùóþñÿ
ïîäìàòðèöåé ìàòðèöû A , êîòîðóþ ìû îáîçíà÷èì êàê Dik è íàçîâ¸ì äîïîëíèòåëüíîé ïîäìàòðèöåé. Äîïîëíèòåëüíûì ìèíîðîì (ìèíîðîì) ýëåìåíòà aik íàçîâ¸ì ÷èñëî d ik = Dik .
(2.7)
Ïðèìåð. Äàíà ìàòðèöà
a11 a A = 21 a 31 a 41
a12 a22
a13 a23
a32 a42
a33 a43
a14 a24 a34 . a44
Íàéòè äîïîëíèòåëüíóþ ïîäìàòðèöó äëÿ ýëåìåíòà a23 .  ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì 2.5 âû÷åðêíåì â èñõîäíîé ìàòðèöå ñòðîêó ïîä íîìåðîì 2 è ñòîëáåö ïîä íîìåðîì 3
a11 a A = 21 a 31 a 41
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
è ñäâèíåì íå íàðóøàÿ ïîðÿäêà îñòàâøèåñÿ ýëåìåíòû.  ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì äîïîëíèòåëüíóþ ïîäìàòðèöó D23 :
48
a11 D23 = a31 a 41
a12 a32 a42
a14 a34 , a44
äîïîëíèòåëüíûé ìèíîð ýëåìåíòà a23 åñòü
d 23 = D23
a11 = a31 a41
a12 a32 a42
a14 a34 . a44
Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ìàòðèöû ïîðÿäêà n ìû ìîæåì ñîñòàâèòü n äîïîëíèòåëüíûõ ìèíîðîâ, ïî îäíîìó äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòà. Ëåììà 2.1. Åñëè âñå ýëåìåíòû ïåðâîé ñòðîêè ìàòðèöû ïîðÿäêà n ðàâíû íóëþ, êðîìå a11 , òî å¸ îïðåäåëèòåëü ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ 2
ýëåìåíòà a11 íà åãî äîïîëíèòåëüíûé ìèíîð d11 . Â áîëåå ïîäðîáíîé çàïèñè ýòî âûãëÿäèò òàê:
a 11 a A = 21 ... a n1
0 a22 ... an 2
... 0 a 22 ... a2 n a D11 = 32 ... ... , ... ... ann an 2
a23 a33 ... an 3
... a2 n ... a3n ... ... , ... ann
A = a11d11 .
d11 = D11 ,
(2.8)
Ðàâåíñòâî (2.8) ñðàçó ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ 2.1 è óðàâíåíèÿ (2.1) f (A) = h1ai1 + h2 ai 2 + ... + hn ain ,
(2.1)
ãäå h1 = d11 , à h2 = h3 = ... = hn = 0 .
A = f (A) = h1a11 = a11d11 .
Ðàññìîòðèì òåïåðü ìàòðèöó ïîðÿäêà n ó êîòîðîé â i -é ñòðîêå âñå ýëåìåíòû ðàâíû íóëþ, êðîìå ýëåìåíòà aik .
49
a11 ... a (i −1)1 A= 0 a(i +1)1 ... an1
... a1n ... ... a(i −1)(k +1) ... a(i −1)n ... 0 0 a(i +1)(k +1) ... a(i +1)n . ... ... ... an (k +1) ... ann
... a1(k −1) a1k ... ... ... ... a(i −1)(k −1) a(i −1)k ... aik 0 ... a(i +1)(k −1) a(i +1)k ... ... ... ... an (k −1) ank
a1(k +1) ...
Ðàñïðîñòðàíèì ëåììó 2.1 íà ýòîò áîëåå îáùèé ñëó÷àé. Áóäåì ïîñëåäîâàòåëüíî ïåðåäâèãàòü i -þ ñòðîêó ââåðõ, ìåíÿÿ å¸ ìåñòàìè ñ âûøåëåæàùèìè ñòðîêàìè íå íàðóøàÿ ïîðÿäêà èõ ñëåäîâàíèÿ. Íàì ïðèä¸òñÿ ñäåëàòü i − 1 ïåðåñòàíîâêó ñòðîê è ïðè êàæäîé òàêîé çàìåíå îïðåäåëèòåëü, â ñîîòâåòñòâèè ñî ñâîéñòâîì 2, áóäåò ìåíÿòü çíàê.  êîíå÷íîì èòîãå ìû ïîëó÷èì:
0 i −1 a11 A = (− 1) ... a n1
... aik ... a1k ... ... ... ank
... 0 ... a1n ... ... . ... ann
Ñòðîêà ñ íóëÿìè òåïåðü íàõîäèòñÿ ââåðõó. Ïåðåñòàâëÿÿ k -é ñòîëáåö âëåâî k − 1 ðàç ñäâèíåì åãî íà ìåñòî ïåðâîãî ñòîëáöà, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì:
aik i −1 k −1 a1k A = (− 1) (− 1) ... ank
0 a11 ... an1
... 0 ... a1n ... ... . ... ann
Ïðèìåíÿÿ ëåììó 2.1 îêîí÷àòåëüíî çàïèøåì: 4 À.À. Êèðñàíîâ
50
A = aik (− 1)
i +k
d ik ,
(2.9)
ãäå d ik - äîïîëíèòåëüíûé ìèíîð ýëåìåíòà aik . Çäåñü ìû ó÷ëè, ÷òî
(− 1)i −1 (− 1)k −1 = (− 1)i +k −2 = (− 1)i +k (− 1)−2 = (− 1)i + k
1
(− 1)
2
= (− 1)
i +k
.
Îïðåäåëåíèå 2.6. Äîïîëíèòåëüíûé ìèíîð d ik ýëåìåíòà aik ìàòðèöû ïîðÿäêà n âçÿòûé ñî çíàêîì (− 1)i+ k , íàçûâàåòñÿ àëãåáðàè÷åñêèì äîïîëíåíèåì ýëåìåíòà aik . Îáîçíà÷àÿ àëãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå ýëåìåíòà aik ÷åðåç
Aik çàïèøåì: Aik = (− 1)
i +k
d ik .
(2.10)
Ïðèìåð.
1 2 3 Äàíà ìàòðèöà A = 4 5 6 . Íàéòè àëãåáðàè÷åñêîå äîïîë7 0 1 íåíèå A23 äëÿ ýëåìåíòà a23 . Íàéä¸ì ñíà÷àëà äîïîëíèòåëüíûé ìèíîð d 23 :
d 23 =
1 2 7 0
= −14 .
Òîãäà A23 = (− 1)2+3 d 23 = (− 1)5 ⋅ (− 14 ) = 14 . Ñëåäñòâèå 2.1. Äëÿ ýëåìåíòîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà ãëàâíîé äèàãîíàëè, àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ ñîâïàäàþò ñ äîïîëíèòåëüíûì ìèíîðîì, ò.å. äëÿ i = k Aii = (− 1) d ii = d ii . 2i
(2.11)
51
Ëåììà 2.2. Åñëè âñå ýëåìåíòû i -é ñòðîêè ìàòðèöû ïîðÿäêà n , êðîìå aik ðàâíû íóëþ, òî å¸ îïðåäåëèòåëü áóäåò ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ýëåìåíòà aik íà åãî àëãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå. A = aik Aik .
(2.12)
Ëåììà 2.2. åñòü ïðÿìîå ñëåäñòâèå ëåììû 2.1 è îïðåäåëåíèÿ 2.1, åñëè â ôîðìóëå (2.1) ïîëîæèòü Aik = hk , ò.å.
A = f (A) = 0 ⋅ ai1 + ... + 0 ⋅ ai (k −1) + aik Aik + 0 ⋅ ai (k +1) + ... + 0 ⋅ ain .
Ñâîéñòâî 4. Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ïîðÿäêà n ðàâåí ñóììå ïðîèçâåäåíèé âñåõ ýëåìåíòîâ êàêîé-íèáóäü îäíîé ôèêñèðîâàííîé ñòðîêè (ñòîëáöà) íà å¸ (åãî) àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ, ò.å. äëÿ ñòðîê ñ i = 1,2,..., n n
A = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ... + ain Ain = ∑ ais Ais ; s =1
(2.13)
äëÿ ñòîëáöîâ ñ k = 1,2,...,n n
A = a1k A1k + a2 k A2 k + ... + ank Ank = ∑ ask Ask . s =1
(2.14)
äëÿ òîãî, ÷òîáû óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ñâîéñòâà 4 äîñòàòî÷íî ñðàâíèòü ôîðìóëû (2.13) è (2.14) ñ (2.1), ïîëîæèâ Ai1 = h1 ,..., Ain = hn
èëè
A1k = h1 ,..., Ank = hn . Ñâîéñòâî 5. Ñóììà ïðîèçâåäåíèé ýëåìåíòîâ îäíîé ñòðîêè (ñòîëáöà) ìàòðèöû ïîðÿäêà n íà àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ýëåìåíòîâ äðóãîé ñòðîêè (ñòîëáöà) ðàâíà íóëþ, ò.å. äëÿ ñòîê:
a j1 Ai1 + a j 2 Ai 2 + ... + a jn Ain = 0 , åñëè i ≠ j ;
(2.15)
äëÿ ñòîëáöîâ: a1l A1k + a2 l a2 k + ... + anl Ank = 0 , åñëè l ≠ k . 4*
(2.16)
52
Ðàññìîòðèì îïðåäåëèòåëü, â êîòîðîì j -ÿ ñòðîêà çàìåíåíà íà i -þ ñòðîêó è i ≠ j :
i A= j
a11 ... ai1 ...
a12 ... ai 2 ...
ai1 ... an1
ai 2 ... an 2
... ... ... ... ... ... ...
a1n ... ain ... ain . ... ann
Òàê êàê â îïðåäåëèòåëå ñîäåðæàòñÿ äâå îäèíàêîâûå ñòðîêè, òî ïî ñâîéñòâó 3 îí ðàâåí íóëþ. Ðàçëîæèì íàø îïðåäåëèòåëü ïî j -é ñòðîêå: n
A = ∑ ais Ajs = 0 . s =1
(2.17)
Î÷åâèäíî, ÷òî ðàâåíñòâî (2.17) áóäåò ñïðàâåäëèâî è â òîì ñëó÷àå, êîãäà ýëåìåíòû j -é ñòðîêè íå ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè i -é ñòðîêè, òàê êàê àëãåáðàè÷åñêèå ýëåìåíòû Ajs îò ýëåìåíòîâ j -é ñòðîêè â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèÿìè 2.5 è 2.6 íå çàâèñÿò. Ðàâåíñòâà (2.13) - (2.17) ìîæíî çàïèñàòü â áîëåå îáùåì âèäå: n
A , i = j,
∑ ais Ajs = 0,
(2.18) i ≠ j. Ñâîéñòâî 6. Åñëè âñå ýëåìåíòû êàêîé-íèáóäü ñòðîêè (ñòîëáöà) óìíîæèòü íà ÷èñëî λ ≠ 0 , òî è îïðåäåëèòåëü óìíîæèòñÿ íà ýòî æå ÷èñëî. Ìíîæèòåëü, îáùèé äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ ñòðîêè (ñòîëáöà) ìîæåò áûòü âûíåñåí çà çíàê îïðåäåëèòåëÿ. s =1
53
Ïðèìåð.
A=
2 4 2 4 1 2 = 6 èëè A = = 2⋅3⋅ =6. 3 9 3 9 1 3
Èç ñâîéñòâ 6 è 3 ñëåäóåò Ñâîéñòâî 7. Åñëè ìàòðèöà ïîðÿäêà n èìååò äâå ïðîïîðöèîíàëüíûå ñòðîêè (ñòîëáöà), òî å¸ îïðåäåëèòåëü ðàâåí íóëþ. Ñâîéñòâî 8. Åñëè âñå ýëåìåíòû i -é ñòðîêè ìàòðèöû ïîðÿäêà n ïðåäñòàâëåíû â âèäå
aik = bik + cik , k = 1,...,n , òî å¸ îïðåäåëèòåëü ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû äâóõ îïðåäåëèòåëåé, ó êîòîðûõ â ñòðîêå ïîä íîìåðîì i áóäóò ñòîÿòü ýëåìåíòû bik è cik :
a11 a12 ... ... A = bi1 + ci1 bi 2 + ci 2 ... ... a1n a2 n
... a1n a11 ... ... ... ... bin + cin = bi1 ... ... ... ... an1 ann
... a1n a11 ... ... ... ... bin + ci1 ... ... ... ... ann an1
... a1n ... ... ... cin . ... ... ... ann
(2.19) Ñâîéñòâî 9. Îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ïîðÿäêà n íå èçìåíèòñÿ, åñëè ê îäíîé å¸ ñòðîêå (ñòîëáöó) ïðèáàâèòü äðóãóþ ñòðîêó (ñòîëáåö) óìíîæåííóþ íà ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî λ . Ñâîéñòâî 10. Äëÿ ëþáûõ äâóõ ìàòðèö ïîðÿäêà n A⋅ B = A ⋅ B .
(2.20)
54
2.4. Âû÷èñëåíèå îáðàòíîé ìàòðèöû ñ ïîìîùüþ îïðåäåëèòåëÿ Ðàíåå ìû óñòàíîâèëè (ïðåäëîæåíèå 1.15), ÷òî ëþáàÿ íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà èìååò åäèíñòâåííóþ îáðàòíóþ ìàòðèöó. Èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå îïðåäåëèòåëÿ ìû ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü ïðåäëîæåíèå îá îáðàòíîé ìàòðèöå, ïîäîáíîå ïðåäëîæåíèþ 1.15. Ïðåäëîæåíèå 2.1. Äëÿ òîãî ÷òîáû ìàòðèöà A èìåëà îáðàòíóþ ìàòðèöó, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû å¸ îïðåäåëèòåëü áûë îòëè÷åí îò íóëÿ. Ïóñòü B - ìàòðèöà îáðàòíàÿ ê ìàòðèöå A . Òîãäà AB = BA = E è â ñîîòâåòñòâèè ñî ñâîéñòâîì 10 AB = A ⋅ B = E = 1 ,
îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî A ≠ 0 . Ðàññìîòðèì ìàòðèöó A ïîðÿäêà n ó êîòîðîé A ≠ 0 . Ïîêàæåì, ÷òî ìàòðèöà B âèäà
A11 1 A12 ⋅ B= A ... A1n
A21 A22 ... A2 n
... An1 ... An 2 ... ... ... Ann
(2.21)
ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé ê ìàòðèöå A . Íåïîñðåäñòâåííî âû÷èñëÿÿ ïðîèçâåäåíèÿ AB è BA , â ñîîòâåòñòâèè ñî ñâîéñòâàìè îïðåäåëèòåëåé 4 è 5 óáåæäàåìñÿ, ÷òî ìàòðèöà B îáðàòíàÿ ê ìàòðèöå A .
55
3. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé 3.1. Îïðåäåëåíèå è âèäû ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé Îïðåäåëåíèå 3.1. Ñèñòåìó óðàâíåíèé âèäà
a11x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 , a12 x1 + a22 x 2 + ... + an2 x n = b 2 , .........................................,
(3.1)
a1m x1 + a2m x 2 + ... + anm x n = b m , ìû áóäåì íàçûâàòü ñèñòåìîé m ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ n íåèçâåñòíûìè x1 , x 2 ,..., x n . Èñïîëüçóÿ ïðàâèëî ñóììèðîâàíèÿ Ýéíøòåéíà ñèñòåìó óðàâíåíèé (3.1) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå: (3.2) aki x k = b i , i = 1,2,..., m , k = 1,2,..., n . Êîýôôèöèåíòû ïðè íåèçâåñòíûõ óðàâíåíèé (3.1) ìû ìîæåì çàïèñàòü â âèäå ìàòðèöû
a11 a2 A= 1 ... am 1
a12 a22 ... a2m
... a1n ... an2 ... ... , ... anm
êîòîðóþ ìû áóäåì íàçûâàòü ìàòðèöåé ñèñòåìû. ×èñëà ñòîÿùèå â ïðàâûõ ÷àñòÿõ (3.1), îáðàçóþò ñòîëáåö
b1 b2 b= ... , bm íàçûâàåìûé ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ.
56
Åñëè íåèçâåñòíûå x1 , x 2 ,..., x n , òàê æå çàïèñàòü â âèäå ñòîëáöà
x1 x2 x= ... , xn òîãäà (3.1) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ìàòðè÷íîé çàïèñè:
a11 a12 ... am 1
a12 a22 ... a2m
... a1n x1 b1 ... an2 x 2 b 2 ⋅ = ... ... ... ... ... anm x n b m
èëè (3.3) Ax = b . Ìàòðèöà ñèñòåìû A äîïîëíåííàÿ ñïðàâà ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ b , íàçûâàåòñÿ ðàñøèðåííîé ìàòðèöåé ñèñòåìû (3.1) è îáîçíà÷àåòñÿ áóêâîé B .
a11 a2 B= 1 ... am 1
a12 a22 ... a2m
... a1n ... an2 ... ... ... anm
b1 b2 èëè B = (A b ) . ... b m
(3.4)
Åñëè ñâîáîäíûå ÷ëåíû ñèñòåìû (3.1) ðàâíû íóëþ, òî òàêàÿ ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíîé, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå - íåîäíîðîäíîé. Îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé èìååò âèä: a11x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = 0, a12 x1 + a22 x 2 + ... + an2 x n = 0, ........................................., a1m x1
+
a2m x 2
+ ... +
anm x n
= 0,
(3.5)
57
èëè
aki x k = 0 , i = 1,2,..., m , k = 1,2,..., n . Îïðåäåëåíèå 3.2. Ñîâîêóïíîñòü ÷èñåë α1 , α 2 ,...,α n íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (3.1) åñëè êàæäîå óðàâíåíèå ñèñòåìû îáðàùàåòñÿ â ÷èñëîâîå ðàâåíñòâî ïîñëå ïîäñòàíîâêè â íåãî ÷èñåë
α1 , α 2 ,...,α n âìåñòî ñîîòâåòñòâóþùèõ íåèçâåñòíûõ x1 , x 2 ,..., x n . Ïîëüçóÿñü ïîíÿòèåì ëèíåéíûõ îïåðàöèé ñî ñòîëáöàìè ï1.4 ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü (3.1) êàê a11 a12 2 a2 a x1 ⋅ 1 + x 2 ⋅ 2 + ... + x n ... ... am am 1 2
a1n b1 a2 b2 ⋅ n = ... ... , am bm n
(3.6)
èëè â áîëåå ñæàòîì âèäå
x1a1 + x 2 a 2 + ... + x n a n = b ,
(3.7)
ãäå a1, a 2 ,...,a n - ñòîëáöû ìàòðèöû ñèñòåìû, à b - ñòîëáåö ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ. Îòñþäà ñðàçó âûòåêàåò ñëåäóþùàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (3.1). Ïðåäëîæåíèå 3.1. Ðåøåíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé - ýòî ñîâîêóïíîñòü êîýôôèöèåíòîâ x1 , x 2 ,..., x n , ñ êîòîðûìè ñòîëáåö ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî ñòîëáöàì ìàòðèöû A ñèñòåìû. Íàøà öåëü ñîñòîèò â íàõîæäåíèè âñåõ ðåøåíèé ñèñòåìû (3.1), ïðè÷¸ì ìû çàðàíåå íå äåëàåì íèêàêèõ ïðåäïîëîæåíèé îòíîñèòåëüíî êîýôôèöèåíòîâ aij è ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ b j ñèñòåìû (3.1). ×èñëî óðàâíåíèé m , òàê æå ñ÷èòàåòñÿ íåèçâåñòíûì. Ïðè òàêîì ïîäõîäå ìû ìîæåì îæèäàòü ñëåäóþùèå âîçìîæíîñòè: 1. Ñèñòåìà ìîæåò âîîáùå íå èìåòü ðåøåíèé. 2. Ñèñòåìà ìîæåò èìåòü áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé. 3. Ñèñòåìà ìîæåò èìåòü åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.
58
Ñèñòåìû (3.1) èìåþùèå ðåøåíèÿ áóäåì íàçûâàòü ñîâìåñòíûìè. Ïðè ýòîì åñëè ðåøåíèå åäèíñòâåííîå - ñèñòåìó áóäåì íàçûâàòü îïðåäåë¸ííîé, åñëè ðåøåíèé áåñêîíå÷íî ìíîãî - íåîïðåäåë¸ííîé. Ñèñòåìû íå èìåþùèå ðåøåíèé áóäåì íàçûâàòü íåñîâìåñòíûìè. Êàê ñëåäñòâèå ïðåäëîæåíèé 3.1 è 1.6 ìû ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü Ïðåäëîæåíèå 3.2. Åñëè ñòîëáöû ìàòðèöû A ñèñòåìû ëèíåéíî íåçàâèñèìû, òî ñèñòåìà íå ìîæåò èìåòü äâóõ ðàçëè÷íûõ ðåøåíèé: îíà èëè íåñîâìåñòíà èëè ñîâìåñòíàÿ è îïðåäåë¸ííàÿ. Îñíîâíûì ñðåäñòâîì èññëåäîâàíèÿ è ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (3.1) äëÿ íàñ áóäåò ìåòîä ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ìàòðèöû B . Ïðè÷èíà ýòîãî ëåæèò â ñëåäóþùåì ïðåäëîæåíèè. Ïðåäëîæåíèå 3.3. Ýëåìåíòàðíûì ïðåîáðàçîâàíèÿì ñòðîê ðàñøèðåííîé ìàòðèöû B ñèñòåìû (3.1) ñîîòâåòñòâóþò ïðåîáðàçîâàíèÿ äàííîé ñèñòåìû, íå ìåíÿþùèå ìíîæåñòâà å¸ ðåøåíèé. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè i -ÿ ñòðîêà ìàòðèöû B óìíîæåíà íà ÷èñëî λ ≠ 0 , òî ïðåîáðàçîâàííàÿ ìàòðèöà B ÿâëÿåòñÿ ðàñøèðåííîé ìàòðèöåé äëÿ ñèñòåìû, ïîëó÷åííîé èç (3.1) óìíîæåíèåì i ãî óðàâíåíèÿ íà ÷èñëî λ ≠ 0 . Åñëè â ìàòðèöå B i -ÿ ñòðîêà ïðèáàâëÿåòñÿ ê j -é ñòðîêå, òî â ñèñòåìå (3.1) i -å óðàâíåíèå ïðèáàâëÿåòñÿ ê j -ìó.  ëþáîì ñëó÷àå ïðåîáðàçîâàííàÿ ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì èñõîäíîé ñèñòåìû (3.1). Ìû çíàåì, ÷òî ýëåìåíòàðíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ îáðàòèìû, à çíà÷èò, è èñõîäíàÿ ñèñòåìà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç ïðåîáðàçîâàííîé è ÿâëÿåòñÿ å¸ ñëåäñòâèåì. Ïîýòîìó ìíîæåñòâà ðåøåíèé îáåèõ ñèñòåì ñîâïàäàþò. Ïðèìåð.
x1 + x 2 = 3, x1 − x 2 = −1.
3 1 1 ~ B = 1 − 1 − 1
59
x1 + x 2 = 3, 0 ⋅ x − 2x = −4. 1
2
x1 + x 2 = 3, 0 ⋅ x1 + x 2 = 2. x1 + 0 ⋅ x 2 = 1, 0 ⋅ x + x = 2. 1
x1 = 1, x 2 = 2.
2
3 1 1 ~ ~ 0 − 2 − 4 1 1 3 ~ ~ 0 1 2 1 0 1 . ~ 0 1 2 1 0 1 1 ⋅ + 2 ⋅ = . 0 1 2
3.2. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ m = n  ýòîì ñëó÷àå ìû èìååì ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé âèäà:
a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 , a12 x1 + a22 x 2 + ... + an2 x n = b 2 , .........................................,
(3.8)
a1n x1 + a2n x 2 + ... + ann x n = b n , Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íè îäíî èç óðàâíåíèé ñèñòåìû (3.8) íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé îñòàëüíûõ.  ýòîì ñëó÷àå êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ A áóäåò íåâûðîæäåííîé, ò.å. å¸ ñòîëáöû áóäóò ëèíåéíî íåçàâèñèìû è å¸ îïðåäåëèòåëü áóäåò îòëè÷åí îò íóëÿ. ÒÅÎÐÅÌÀ 3.1. Ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç n óðàâíåíèé ñ n íåèçâåñòíûìè áóäåò ñîâìåñòíîé è îïðåäåë¸ííîé åñëè îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû å¸ êîýôôèöèåíòîâ A îòëè÷åí îò íóëÿ.
60
Çàïèøåì (3.8) â âèäå Ax = b . Òàê êàê ïî óñëîâèþ òåîðåìû ìàòðèöà A íåâûðîæäåííàÿ îíà èìååò îáðàòíóþ ìàòðèöó A−1 è òîãäà èç Ax = b
ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî
x = A−1b . Ïîêàæåì, ÷òî x = A−1b óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìå (3.8). Äåéñòâèòåëüíî
(
) (
)
Ax = A A−1b = AA−1 ⋅ b = Eb = b . Ðåøåíèå åäèíñòâåííî â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 3.2, òàê êàê ñòîëáöû íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû A ëèíåéíî íåçàâèñèìû. Èñïîëüçóÿ ïðåäëîæåíèå 3.2 ìû ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü òåîðåìó 3.1 êàê: Ïðåäëîæåíèå 3.4. Åñëè A - íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n ( A ≠ 0 ), òîãäà ëþáîé ñòîëáåö b âûñîòû n ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî ñòîëáöàì ìàòðèöû A îäíîçíà÷íî. Òàê êàê ìàòðèöà A íåâûðîæäåííàÿ, å¸ ñòîëáöû, â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì 1.12, ÿâëÿþòñÿ áàçèñíûìè ñòîëáöàìè è â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 1.2 ëþáîé ñòîëáåö b âûñîòû n ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî ñòîëáöàì ìàòðèöû A îäíîçíà÷íî. Ñëåäñòâèå 3.1. Åñëè A - íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n ( A ≠ 0 ), òîãäà ëþáàÿ ñòðîêà äëèíû n îäíîçíà÷íî ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî ñòðîêàì ìàòðèöû A .
3.4. Ïðàâèëî Êðàìåðà Ïðàâèëî Êðàìåðà ïîçâîëÿåò íàõîäèòü ðåøåíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ïðè m = n , ò.å. ñèñòåìû (3.8) åñëè A ≠ 0 . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïðèìåíåíèÿ ïðàâèëà Êðàìåðà íàäî ñíà÷àëà âû÷èñëèòü îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû (3.8), åñëè îí íå ðàâåí íóëþ, ìû ìîæåì ïðîäîëæèòü âû÷èñëåíèå íåèçâåñòíûõ.
61
Âûáåðåì ïðîèçâîëüíóþ íåèçâåñòíóþ, íàïðèìåð, x j è â ìàòðèöå A çàìåíèì ñòîëáåö a j ñòîëáöîì ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ b . Îïðåäåëèòåëü ïîëó÷åííîé ìàòðèöû áóäåò èìåòü âèä:
a11 ... a1j −1 b1 a 2 ... a 2j −1 b 2 ∆j = 1 ... ... ... ... a1n ... a nj−1 b n
a1j +1 ... a1n a 2j +1 ... an2 ... ... ... a nj+1 ... ann
(3.9)
èëè â êðàòêîé çàïèñè (ñì. (1.2)):
∆ j = a1 ... a j −1 b a j +1 ... a n . Åñëè çíà÷åíèÿ x1 , x 2 ,..., x n ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (3.8), òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäëîæåíèåì 3.1 è ôîðìóëîé (3.7)
b = x1a1 + x 2 a 2 + ... + x n a n . Ïîäñòàâëÿÿ (3.7) â (3.9) ïîëó÷èì: ∆ j = a1 ... a j −1 òàê:
(3.7)
x1a1 + ... + x n a n
a j +1 ... a n .
Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî 8, ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ìîæíî çàïèñàòü
∆ j = a1 ... a j −1
x1a1 a j +1 ... a n + ...
... + a1 ... a j −1
x ja j
... + a1 ... a j −1
a j +1 ... a n + ...
x nan
a j +1 ... a n .
Âñå ñëàãàåìûå, êðîìå j -ãî èìåþò ïðîïîðöèîíàëüíûå ñòîëáöû è â ñîîòâåòñòâèè ñî ñâîéñòâîì 7 èõ îïðåäåëèòåëè ðàâíû íóëþ è ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ïðèìåò âèä:
∆ j = a1 ... a j −1
x ja j
a j +1 ... a n =
= x j ⋅ a1 ... a j −1 a j
a j +1 ... a n = x j ⋅ A .
62
Îòêóäà ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ ôîðìóëû Êðàìåðà:
xj =
∆j A ,
j = 1,2,...,n .
(3.10)
Ïðèìåð. Íàéòè ðåøåíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ìåòîäîì Êðàìåðà.
x + y − z = 0, 2 x − 3 y + z = −1, x + 2 y − z = 2. Íàéä¸ì îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ:
1 1 −1 A = 2 − 3 1 = −3 . 1 2 −1 Òàê êàê â íàøåì ñëó÷àå ÷èñëî óðàâíåíèé ðàâíî ÷èñëó íåèçâåñòíûõ è îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû íå ðàâåí íóëþ, ìû ìîæåì äëÿ íàõîæäåíèÿ íåèçâåñòíûõ âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè Êðàìåðà.
0 1 −1 ∆ = − 1 − 3 1 = −3 , 2 2 −1 x
1
0
∆x − 3 = = 1. A −3
−1
y
∆ = 2 − 1 1 = −6 , 1 2 −1 1 1 0 ∆ = 2 − 3 − 1 = −9 , 1 2 2 z
x=
y=
∆y − 6 = =2. A −3
z=
∆z − 9 = =3. A −3
63
3.5. Òåîðåìà Êðîíåêåðà-Êàïåëëè Ðàññìîòðèì ñíîâà ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (3.1)
a11x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 , a12 x1 + a22 x 2 + ... + an2 x n = b 2 , (3.1)
........................................., a1m x1
+
a2m x 2
+ ... +
anm x n
m
=b ,
êîòîðóþ ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå (3.3) Ax = b . Ðàññìàòðèâàåìàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé çàäàíà ñâîé ðàñøèðåííîé ìàòðèöåé
(3.4) B = (A b ) . Ïðîñòîå è ýôôåêòèâíîå óñëîâèå, íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå äëÿ ñîâìåñòíîñòè ñèñòåìû (3.1) äà¸ò ÒÅÎÐÅÌÀ 3.2. (Òåîðåìà Êðîíåêåðà-Êàïåëëè). Ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñîâìåñòíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàíã ìàòðèöû A ñèñòåìû ðàâåí ðàíãó ðàñøèðåííîé ìàòðèöû B : RgA = RgB = r . (3.11) Ðåøåíèå ñèñòåìû (3.1) ñóùåñòâóåò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñòîëáåö ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ, â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäëîæåíèåì 3.1, ðàñêëàäûâàåòñÿ â ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ñòîëáöîâ ìàòðèöû A ñ êîýôôèöèåíòàìè x1 , x 2 ,..., x n , à òîãäà â ñèëó òåîðåìû 1.3 ðàíã ðàñøèðåííîé ìàòðèöû áóäåò ðàâåí ðàíãó ìàòðèöû ñèñòåìû. Ïðè ýòîì âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ: 1. r = n , ò.å. ÷èñëî íåèçâåñòíûõ ðàâíî ÷èñëó óðàâíåíèé è A ≠0.
Ñèñòåìà áóäåò ñîâìåñòíîé è îïðåäåë¸ííîé, ò.å. áóäåò èìåòü åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ ôîðìóë Êðàìåðà.
64
2. r < n , ò.å. ÷èñëî íåèçâåñòíûõ áîëüøå ÷èñëà óðàâíåíèé. Ñèñòåìà óðàâíåíèé áóäåò â ýòîì ñëó÷àå ñîâìåñòíîé íî íåîïðåäåë¸ííîé, ò.å. áóäåò èìåòü áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé. Åñëè RgB > RgA - ñèñòåìà óðàâíåíèé áóäåò íåñîâìåñòíîé.  ýòîì ñëó÷àå ñòîëáåö ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé áàçèñíûõ ñòîëáöîâ ìàòðèöû A .
3.6. Îáùåå ïðàâèëî íàõîæäåíèÿ ðåøåíèé Ïóñòü RgB = RgA = r , ò.å. ñèñòåìà (1.3) ñîâìåñòíàÿ. Ðàññìîòðèì ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó (3.4)
a11 a2 B= 1 ... am 1
a12 a22 ... a2m
... a1n ... an2 ... ... ... anm
b1 b2 ... . b m
(3.4)
Òàê êàê ðàíã ðàñøèðåííîé ìàòðèöû B ðàâåí ðàíãó ìàòðèöû A ñèñòåìû, ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî áàçèñíûé ìèíîð ìàòðèöû A ÿâëÿåòñÿ è áàçèñíûì ìèíîðîì ìàòðèöû B . Ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñòðîê ìàòðèöû B ïðèâåä¸ì å¸ ê âèäó (1.15):
1 0 B= ... 0
0 ... 0 ar′1+1 1 ... 0 ar′+21 ... ... ... ... 0 ... 1 ar′r+1
... an′1 ... an′ 2 ... ... ... an′r
b′1 b′ 2 ... . b′r
(3.12)
Ïîëó÷åííîé ðàñøèðåííîé ìàòðèöå áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ýêâèâàëåíòíàÿ èñõîäíîé ñèñòåìà óðàâíåíèé:
65
x1 + x r +1ar′1+1 + ... + x n a′n1 = b′1 , x 2 + x r +1ar′+21 + ... + x n a′n2 = b′ 2 , ............................................., x r + x r +1arr+1 + ... + x n a′nr = b′r , êîòîðóþ ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê:
x1 = b′1 − x r +1ar′1+1 − ... − x n an′1 , x 2 = b′ 2 − x r +1ar′+21 − ... − x n an′ 2 , .............................................,
(3.13)
x r = b′r − x r +1ar′+21 − ... − x n an′ 2 .  ëåâîé ÷àñòè (3.13) ñòîÿò íåèçâåñòíûå ñîîòâåòñòâóþùèå ñòîëáöàì âûáðàííîãî íàìè áàçèñíîãî ìèíîðà (áàçèñíûõ ñòîëáöîâ) - òàê íàçûâàåìûå áàçèñíûå íåèçâåñòíûå. Îñòàëüíûå íåèçâåñòíûå x r +1 , x r + 2 ,..., x n , ïåðåíåñ¸ííûå â ïðàâóþ ÷àñòü (3.13) ìû áóäåì íàçûâàòü ïàðàìåòðè÷åñêèìè. Ïàðàìåòðè÷åñêèì íåèçâåñòíûì ìû ìîæåì ïðèäàâàòü ïðîèçâîëüíûå çíà÷åíèÿ, ïîëó÷àÿ ïðè ýòîì ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñèñòåìû (3.1). Ïðèìåð. Ðåøèòü ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé
x1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7, x1 − x 2 − x 3 + 3x 5 = 8, 2 x1 + x 4 + 4 x 5 = 15, x1 + 3x 2 + 3x 3 + 2x 4 − x 5 = 6. Ñîñòàâèì ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó B è ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñòðîê óïðîñòèì å¸:
5 À.À. Êèðñàíîâ
66
1 1 1 1 −1 −1 B= 2 0 0 1 3 3
1 1 7 1 1 1 1 1 7 0 3 8 0 − 2 − 2 −1 2 1 ~ ~ 1 4 15 0 − 2 − 2 − 1 2 1 2 − 1 6 0 2 2 1 − 2 − 1
1 1 1 1 0 − 2 − 2 −1 ~ 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 0 0
7 1 1 1 1 1 1 7 ~ ~ 0 0 1 1 1 2 − 1 − 1 2 0
1 0 0 1 2 2 15 2 . ~ 0 1 1 1 2 − 1 − 1 2 Óïðîù¸ííàÿ ðàñøèðåííàÿ ìàòðèöà ýêâèâàëåíòíà ñèñòåìå óðàâíåíèé 15 1 4 − x − 2x 5 , 2 2 1 1 x2 = − − x3 − x 4 + x5 . 2 2 x1 =
Çäåñü x1 è x 2 - áàçèñíûå ïåðåìåííûå, à x 3 , x 4 è x 5 - ëþáûå ÷èñëà.
3.7. Ïðèâåä¸ííàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé Îïðåäåëåíèå 3.3. Îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (3.14) Ax = O , ïîëó÷åííàÿ èç íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû (3.1) (3.3) Ax = b ïðèðàâíèâàíèåì íóëþ ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ, íàçûâàåòñÿ ïðèâåä¸ííîé ñèñòåìîé ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.
67
Ïðåäëîæåíèå 3.5. Ïóñòü x 0 - ðåøåíèå ñèñòåìû (3.1) ò.å. Ax 0 = b . Ñòîëáåö x òàêæå áóäåò å¸ ðåøåíèåì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà íàéä¸òñÿ òàêîå ðåøåíèå y ïðèâåä¸ííîé ñèñòåìû (3.14), ÷òî (3.15) x = x0 + y . Ïóñòü x - ðåøåíèå ñèñòåìû (3.1), ò.å. Ax = b . Ðàññìîòðèì ðàçíîñòü
y = x − x0 . Äëÿ íå¸
Ay = A(x − x 0 ) = Ax − Ax 0 = b − b = O . Îáðàòíî, ïóñòü y - ðåøåíèå ïðèâåä¸ííîé ñèñòåìû (3.14) è x = x0 + y , òîãäà
Ax = A(x 0 + y ) = Ax 0 + Ay = b + O = b .
Ýòî ïðåäëîæåíèå ñâîäèò çàäà÷ó îïèñàíèÿ ìíîæåñòâà ðåøåíèé ñîâìåñòíîé íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (3.1) ê îïèñàíèþ ìíîæåñòâà ðåøåíèé å¸ ïðèâåä¸ííîé ñèñòåìû (3.14). Îäíîðîäíàÿ ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñîâìåñòíà âñåãäà. Ÿ ðåøåíèåì áóäåò, íàïðèìåð, íóëåâîé ñòîëáåö âûñîòû n . Òàêîå ðåøåíèå ìû áóäåì íàçûâàòü òðèâèàëüíûì. Ïóñòü ñòîëáöû ìàòðèöû A ñèñòåìû (3.1) ëèíåéíî íåçàâèñèìû, ò.å. RgA = n . Òîãäà ïðèâåä¸ííàÿ ñèñòåìà (3.14) èìååò â ñèëó òåîðåìû 3.2 ï.1 åäèíñòâåííîå òðèâèàëüíîå ðåøåíèå è íåòðèâèàëüíûõ ðåøåíèé íå èìååò. Ïðåäëîæåíèå 3.6. Åñëè x1 è x 2 - ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (3.14), òî ëþáàÿ èõ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ òîæå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (3.14). Ïóñòü x1 è x 2 - ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (3.14), ò.å. 5*
68
Ax1 = O è Ax 2 = O . Òîãäà, î÷åâèäíî, äëÿ ëþáûõ ÷èñåë α è β
A(αx1 + βx 2 ) = A(αx1 ) + A(βx 2 ) = αAx1 + βAx 2 = O . Åñëè ñèñòåìà (3.14) èìååò íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ, òî èç âñåãî ìíîæåñòâà ðåøåíèé ìû ìîæåì âûáðàòü ëèíåéíî íåçàâèñèìûå ðåøåíèÿ, òàêèå, ÷òî âñ¸ ðåøåíèÿ áóäóò ÿâëÿòüñÿ èõ ëèíåéíûìè êîìáèíàöèÿìè. Îïðåäåëåíèå 3.4. Ìàòðèöà F , ñîñòîÿùàÿ èç ñòîëáöîâ âûñîòû n , íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöåé äëÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû (3.14) ñ ìàòðèöåé A ðàçìåðîâ m × n , åñëè: 1. A ⋅ F = O . 2. Ñòîëáöû ìàòðèöû F ëèíåéíî íåçàâèñèìû. 3. Ðàíã ìàòðèöû F ìàêñèìàëåí ñðåäè ðàíãîâ ìàòðèö, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ 1. Åñëè ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà F ñóùåñòâóåò, òî êàæäûé å¸ ñòîëáåö â ñèëó óñëîâèÿ 1 åñòü ðåøåíèå ñèñòåìû (3.14). Ñòîëáöû ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöû F íàçûâàþòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìîé ðåøåíèé. Åñëè ñèñòåìà (3.14) íå èìååò íåòðèâèàëüíûõ ðåøåíèé, òî ôóíäàìåíòàëüíîé ìàòðèöû íåò, åñëè åñòü íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ, ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà ñóùåñòâóåò. Ñîãëàñíî ïðåäëîæåíèþ 3.1 ðåøåíèå îäíîðîäíîé ñèñòåìû (3.14) ñîñòîèò èç êîýôôèöèåíòîâ ðàâíîé íóëþ ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ñòîëáöîâ ìàòðèöû A ñèñòåìû.  äàííîé ñèòóàöèè ðàñøèðåííàÿ ìàòðèöà B ñîâïàäàåò ñ ìàòðèöåé A ñèñòåìû, òàê êàê ñâîáîäíûå ÷ëåíû âñå ðàâíû íóëþ. Ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñòðîê ìàòðèöà A ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê âèäó: 1 0 B = A= ... 0
0 ... 0 ar′1+1 1 ... 0 ar′+21 ... ... ... ... 0 ... 1 ar′+r 1
... an′1 ... a′n2 ... ... . ... an′r
(3.16)
69
Êàæäûé íåáàçèñíûé ñòîëáåö a′r +1, a′r +2 ,...,a′n ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî r áàçèñíûì ñòîëáöàì (ñòîëáöàì åäèíè÷íîé ìàòðèöû ïîðÿäêà r ): a′j = α1j e1 + α 2j e 2 + ... + α rj e r ,
(3.17)
ãäå e i - ñòîëáöû åäèíè÷íîé ìàòðèöû ïîðÿäêà r . Ïåðåïèøåì (3.17) â âèäå: − α1j e1 − α 2j e 2 − ... − α rj e r + + 0 ⋅ a′r +1 + ... + 0 ⋅ a′j −1 + a′j + 0 ⋅ a′j +1 + ... + 0 ⋅ a′n = O
.
Êîýôôèöèåíòû ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà îáðàçóþò ñòîëáåö
(− α
1 j
− α 2j ... − α rj
0 ... 0 1 0 .. 0
)
T
(3.18)
ÿâëÿþùèéñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (3.14). (Åäèíèöà ñòîèò íà j -ì ìåñòå.) Ìû ìîæåì ñîñòàâèòü, î÷åâèäíî, ñòîëüêî òàêèõ ðåøåíèé ñêîëüêî ó íàñ åñòü íåáàçèñíûõ ñòîëáöîâ, ò.å. n − r . Ïîêàæåì, ÷òî âñå n − r ñòîëáöîâ (3.18) ëèíåéíî íåçàâèñèìû, äëÿ ÷åãî ñîñòàâèì èç íèõ ìàòðèöó
− α1r +1 ... r − α r +1 F = 1 0 ... 0
− α1r + 2 ... − α rr + 2 0 1 ... 0
... − α1n ... ... ... − α rn ... 0 ... 0 . ... ... ... 1
(3.19)
Òàê êàê â ïîëó÷åííîé ìàòðèöå ñîäåðæèòñÿ åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n − r ðàíã ìàòðèöû F ðàâåí ÷èñëó ñòîëáöîâ, à çíà÷èò îíè ëèíåéíî íåçàâèñèìû.
70
Ïðåäëîæåíèå 3.7. Åñëè ðàíã ìàòðèöû îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé r ìåíüøå ÷èñëà íåèçâåñòíûõ n , òî ñèñòåìà èìååò ôóíäàìåíòàëüíóþ ìàòðèöó èç n − r ñòîëáöîâ. Òàê êàê ñòîëáöû ìàòðèöû (3.19) ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè îäíîðîäíîé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (3.14) è ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè, îíè, î÷åâèäíî, óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì 1 è 2 îïðåäåëåíèÿ 3.4. Ïîêàæåì, ÷òî óäîâëåòâîðåíî è óñëîâèå 3. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âîçüì¸ì ìàòðèöó (3.16) è äîïîëíèì å¸ íà îñíîâàíèè òåîðåìû 1.5 n − r ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè ñòðîêàìè äî êâàäðàòíîé íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû D ïîðÿäêà n .
1 0 ... D=0 0 ... 0
... ... ... ... ... ... 0 ...
0 1 ... 0 0 ...
0 ar′1+1 0 ar′+21 ... ... 1 ar′+r 1 0 1 ... ... 0
0
... an′1 ... a′n2 ... ... ... an′ r ... 0 . ... ... ... 1
Ïóñòü òåïåðü F - ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèþ 1, ò.å. AF = O , òîãäà ïåðâûå r ñòðîê ìàòðèöû DF áóäóò íóëåâûìè ñòðîêàìè, òàê êàê ïåðâûå r ñòðîê ìàòðèöû D ÿâëÿþòñÿ ñòðîêàìè ìàòðèöû A è ïðîèçâåäåíèå ëþáîé ñòðîêè ìàòðèöû A íà F - åñòü íóëåâàÿ ñòðîêà. Ýòî çíà÷èò, ÷òî
RgDF ≤ n − r , à òàê êàê DF - íåâûðîæäåííàÿ ìàòðèöà, òî â ñèëó òåîðåìû 1.7 RgDF = n − r . Ýòèì ñàìûì ìû ïîêàçàëè, ÷òî ìàòðèöà (3.19) íåîáîñíîâàííî îáîçíà÷åííàÿ íàìè êàê F íà ñàìîì äåëå è åñòü ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà. Ñèñòåìó ñòîëáöîâ ìàòðèöû (3.19) áóäåì íàçûâàòü íîðìàëüíîé ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìîé ðåøåíèé.
71
Âûáèðàÿ äðóãèå áàçèñíûå ñòîëáöû ìû áóäåì ïîëó÷àòü è äðóãèå ôóíäàìåíòàëüíûå ðåøåíèÿ, îäíàêî ÷èñëî èõ âñåãäà áóäåò n−r. Ïóñòü F - ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà ñèñòåìû Ax = O . Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé ñòîëáåö c âûñîòû n − r . Ñîñòàâèì ïðîèçâåäåíèå Fc :
Fn×(n−r ) ⋅ c (n −r )×1 = x n×1 . Åñëè ïîëîæèòü AFc = O , òîãäà Fc = x åñòü ðåøåíèå ñèñòåìû Ax = O , òàê êàê Fc åñòü íå ÷òî èíîå êàê ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ñòîëáöîâ ìàòðèöû F ñ êîýôôèöèåíòàìè èç c .
Ïðåäëîæåíèå 3.8. Ñòîëáåö x ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû Ax = O òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñóùåñòâóåò òàêîé ñòîëáåö c , ÷òî x = Fc . Ïóñòü x - ðåøåíèå ñèñòåìû, ò.å. Ax = O . Ñîñòàâèì ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó F ′ = (F x ) . Òàê êàê êàæäûé ñòîëáåö ìàòðèöû F ′ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû, ìû ìîæåì çàïèñàòü AF ′ = O . Ýòî çíà÷èò, ÷òî RgF ′ = n − r . Òîãäà ïî òåîðåìå Êðîíåêåðà-Êàïåëëè
äîëæåí ñóùåñòâîâàòü ñòîëáåö c , äëÿ êîòîðîãî Fc = x .
3.8. Îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ÒÅÎÐÅÌÀ 3.3. Åñëè x 0 - íåêîòîðîå ÷àñòíîå ðåøåíèå ñèñòåìû (3.1), à F - ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà å¸ ïðèâåä¸ííîé ñèñòåìû (3.14), òî ñòîëáåö (3.20) x = x 0 + Fc ïðè ëþáîì c ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (3.1). Âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (3.20) íàçûâàþò îáùèì ðåøåíèåì ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé.
72
Åñëè F = (f1 f 2
(
... f n−r ), à c = c1 c 2 ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê:
x = x 0 + c1f1 + c 2 f 2 + ... + c n −r f n −r .
... c n−r
) , òî (3.20) T
(3.21)
73
4. Âåêòîðíàÿ àëãåáðà 4.1. Îïðåäåëåíèå âåêòîðà è ëèíåéíûå îïåðàöèè íàä âåêòîðàìè Ïàðó òî÷åê A è B áóäåì íàçûâàòü óïîðÿäî÷åííîé, åñëè èçâåñòíî êàêàÿ èç íèõ ïåðâàÿ, à êàêàÿ - âòîðàÿ. Îïðåäåëåíèå 4.1. Îòðåçîê, êîíöû êîòîðîãî óïîðÿäî÷åíû, íàçûâàåòñÿ íàïðàâëåííûì îòðåçêîì èëè âåêòîðîì. Ïåðâûé èç åãî êîíöîâ íàçûâàåòñÿ íà÷àëîì âåêòîðà, âòîðîé - êîíöîì âåêòîðà. Íà ÷åðòåæå âåêòîð èçîáðàæàåòñÿ ñòðåëî÷êîé (ðèñ. 4.1). Èç îïðåäåëåíèÿ 4.1 ñëåäóåò, ÷òî âåêòîðr íûå âåëè÷èíû äàþò íàì íîâûé ìàòåìàòè÷åña êèé îáúåêò, êîòîðûé õàðàêòåðèçóåòñÿ ÷èñëîB âîé ìåðîé (ñêàëÿðîì) è íàïðàâëåíèåì.  âåêòîðíîé àëãåáðå ñêàëÿðû è âåêòîðû áóäåì ðàñA ñìàòðèâàòü êàê îñîáîãî ðîäà àëãåáðàè÷åñêèå Ðèñ. 4.1. âåëè÷èíû, íàä êîòîðûìè ìû ìîæåì ïðîèçâîäèòü àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè. Ýòè îïåðàöèè îòðàæàþò õàðàêòåðíûå çàâèñèìîñòè, ñóùåñòâóþùèå ìåæäó ñêàëÿðíûìè è âåêòîðíûìè âåëè÷èíàìè â ãåîìåòðèè è ôèçèêå. Èçó÷åíèå ýòèõ îïåðàöèé è ñîñòàâëÿåò ïðåäìåò âåêòîðíîé àëãåáðû. Óñëîâèìñÿ â äàëüíåéøåì îáîçíà÷àòü ñêàëÿðû áóêâàìè è öèôðàìè: a; b; c; á; â ; 1.75; ... Âåêòîðû, â îòëè÷èå îò ñêàëÿðîâ, áóäåì îáîçíà÷àòü áóêâàìè ïîëóæèðíîãî øðèôòà èëè ïèñàòü ñòðåëî÷êó íàä áóêîé: r r r r r a; b; R; ω; AB; f ; i ; j ; k ; ... Îïðåäåëåíèå 4.2. Îòðåçîê, êîíöû êîòîðîãî ñîâïàäàþò, áóäåì íàçûâàòü íóëåâûì âåêòîðîì è îáîçíà÷àòü êàê O . Íàïðàâëåíèå íóëåâîãî âåêòîðà áóäåì ñ÷èòàòü íåîïðåäåë¸ííûì.  âåêòîðíîé àëãåáðå âûáèðàåòñÿ îïðåäåë¸ííàÿ åäèíèöà èçìåðåíèÿ äëèí âñåõ âåêòîðîâ íåçàâèñèìî îò èõ íàïðàâëåíèé. Ïî-
74
ýòîìó äëèíà êàæäîãî íåíóëåâîãî âåêòîðà âûðàæàåòñÿ âïîëíå îïðåäåëåííûì ïîëîæèòåëüíûì ÷èñëîì, êîòîðîå ìû áóäåì íàçûâàòü äëèíîé âåêòîðà èëè åãî ìîäóëåì. Îïðåäåëåíèå 4.3. Ìîäóëåì âåêòîðà íàçûâàåòñÿ åãî äëèíà ïðè óñëîâèè, ÷òî âûáðàíà îïðåäåë¸ííàÿ åäèíèöà èçìåðåíèÿ äëèí. Ìîäóëü âåêòîðà îáîçíà÷àåòñÿ òîé æå áóêâîé, ïîñòàâëåííîé ìåæäó äâóìÿ äâîéíûìè âåðòèêàëüíûìè ÷¸ðòî÷êàìè èëè òîé æå áóêâîé ïðîñòîãî øðèôòà:
AB = AB ; a = a . Âåêòîðû AB è BA èìåþò îäèí è òîò æå ìîäóëü, êîòîðûé ìû è îáîçíà÷àåì êàê ñîîòâåòñòâóþùèé íåíàïðàâëåííûé îòðåçîê AB èëè BA . r r Îïðåäåëåíèå 4.4. Äâà âåêòîðà a è b ðàâíû, åñëè îíè ïàðàëëåëüíû íåêîòîðîé ïðÿìîé (êîëëèíåàðíû), îäèíàêîâî íàïðàâëåíû è r r a = b . Íàä âåêòîðàìè, êàê àëãåáðàè÷åñêèìè îáúåêòàìè, ìîæíî óñòàíîâèòü ëèíåéíûå îïåðàöèè. Ïîä ëèíåéíûìè îïåðàöèÿìè íàä âåêòîðàìè áóäåì ïîíèìàòü îïåðàöèè ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ è óìíîæåíèÿ âåêòîðà íà ÷èñëî. r r Îïðåäåëåíèå 4.5. Ïóñòü íàì äàíû äâà âåêòîðà a è b . Ïîñòðîèì ðàâíûå èì âåêòîðû AB è BC . Òîãäà âåêòîð AC (ðèñ.4.2) áóäåò èõ ñóììîé, ò.å. r r r (4.1) AB + BC = AC èëè a + b = c .
B
r a
r b
A
Ðèñ. 4.2.
C
75
r Îïðåäåëåíèå 4.6. Ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðà a íà âåùåñòâåííîå ÷èñr ëî λ ∈ R , íàçûâàåòñÿ âåêòîð b , óäîâëåòâîðÿþùèé ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: r r à) b = λ ⋅ a ; r r á) âåêòîðû a è b êîëëèíåàðíû (ïàðàëëåëüíû íåêîòîðîé ïðÿìîé); r r â) a è b íàïðàâëåíû îäèíàêîâî, åñëè λ > 0 , ïðîòèâîïîëîær íî, åñëè λ < 0 è åñëè λ = 0 , òî b = O .
Ñâîéñòâà ëèíåéíûõ îïåðàöèé íàä âåêòîðàìè. r r r Ïðåäëîæåíèå 4.1. Äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ a , b è c èç íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà L è ëþáûõ ÷èñåë α è β èç ïîëÿ K r r r r 1o . a + b = b + a . r r r r r r 2o . a + b + c = a + b + c . r r 3o . a + O = a . r r 4o . Âåêòîð (− 1)a - ïðîòèâîïîëîæåí âåêòîðó a è îáîçíà÷àr r åòñÿ êàê − a (ðèñ. 4.3). a r r r r a + (− 1)⋅ a = a − a = O . r −a r r o . (αβ )a = α (β a ) . 5 Ðèñ. 4.3. r r r 6o . (α + β )a = αa + β a . r r r r 7 o . α a + b = αa + αb . r r 8o . 1 ⋅ a = a . r r Îïðåäåëåíèå 4.7. Ðàçíîñòüþ äâóõ âåêòîðîâ a è b íàçûâàåòñÿ r r r a (ðèñ.4.4) ñóììà âåêòîðîâ a + − b . r r r r r r r r r x=a−b r Åñëè b + x = a , òî x = a − b . b
(
)
(
(
)
)
( )
Ðèñ. 4.4.
76
r r Ïðåäëîæåíèå 4.2. Åñëè a ≠ O , òî ëþáîé âåêòîð b êîëëèíåàðíûé r âåêòîðó a , ïðåäñòàâèì â âèäå: r b r r b = ± r a . (4.2) a r r çíàê (+) áåð¸òñÿ åñëè âåêòîðû a è b íàïðàâëåíû îäèíàêîâî, à r r çíàê (-) - åñëè âåêòîðû a è b íàïðàâëåíû ïðîòèâîïîëîæíî. Îáîçíà÷èâ r b r =λ, a (4.2) ìîæíî çàïèñàòü òàê: r r (4.3) b = ± λa . Ñ ïîìîùüþ ëèíåéíûõ îïåðàöèé ìîæíî ñîñòàâèòü ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ âåêòîðîâ ïðèíàäëåæàùèõ íåêîòîðîìó ìíîæåñòâó L : r r r α1a1 + α 2 a2 + ... + α k ak , ãäå α1 , α 2 ,..., α k ∈ K êîýôôèöèåíòû. Ïðåäëîæåíèå 4.1 äà¸ò íàì ïîëíûé íàáîð ñâîéñòâ ïîçâîëÿþùèõ ïðîèçâîäèòü ëþáûå âû÷èñëåíèÿ â ëèíåéíûõ êîìáèíàöèÿõ âåêòîðîâ. r r r Ïðåäëîæåíèå 4.3. Åñëè âñå âåêòîðû a1 , a2 ,..., ak êîëëèíåàðíû (ïàðàëëåëüíû íåêîòîðîé ïðÿìîé), òî ëþáàÿ èõ ëèíåéíàÿ êîìáèíàr r r öèÿ èì êîëëèíåàðíà, à åñëè âåêòîðû a1 , a2 ,..., ak êîìïëàíàðíû (ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè), òî ëþáàÿ èõ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ èì êîìïëàíàðíà. Îïðåäåëåíèå 4.8. Ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ áóäåì ñ÷èòàòü çàìêíóòûì îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé îïåðàöèè, åñëè äëÿ ëþáûõ ýëåìåíòîâ ýòîãî ìíîæåñòâà ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ äàííîé îïåðàöèè ñíîâà r r r ïðèíàäëåæèò ýòîìó ìíîæåñòâó, ò.å., åñëè a , b ∈ L , òî è ar + b ∈ L .
77
Îïðåäåëåíèå 4.9. Ìíîæåñòâî L , çàìêíóòîå îòíîñèòåëüíî ëèíåéíûõ îïåðàöèé, ñ ó÷¸òîì àêñèîì 1o ÷ 8o , íàçûâàåòñÿ âåêòîðíûì ïðîñòðàíñòâîì. Åñëè îäíî âåêòîðíîå ïðîñòðàíñòâî ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì äðóãîãî, òî îíî íàçûâàåòñÿ åãî ïîäïðîñòðàíñòâîì. Ïðèìåð. Ìíîæåñòâî âåêòîðîâ, êîëëèíåàðíûõ äàííîé ïðÿìîé (îäíîìåðíîå ïðîñòðàíñòâî L1 ) è ìíîæåñòâî âåêòîðîâ êîìïëàíàðíûõ äàííîé ïëîñêîñòè (äâóìåðíîå ïðîñòðàíñòâî L2 ) ÿâëÿþòñÿ ïðèìåðàìè âåêòîðíûõ ïðîñòðàíñòâ, ÿâëÿþùèõñÿ ïîäïðîñòðàíñòâàìè òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà L3 . Ââåä¸ì â ðàññìîòðåíèå íóëüìåðíîå ïðîñòðàíñòâî L0 , ñîñòîÿùåå èç îäíîãî íóëåâîãî âåêòîðà O , òîãäà L0 ⊂ L1 ⊂ L2 ⊂ L3 .
4.2. Ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü âåêòîðîâ. r Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî âåêòîð b ðàñêëàäûâàåòñÿ â ëèíåéíóþ r r r êîìáèíàöèþ âåêòîðîâ a1 , a2 ,..., ak , åñëè åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè r r r r (4.3) b = α1a1 + α 2 a2 + ... + α k ak .
Íóëåâîé âåêòîð ðàñêëàäûâàåòñÿ î÷åâèäíî ïî ëþáîé ñèñòåìå âåêòîðîâ. Ìû ïîëó÷èì íóëåâîé âåêòîð O , åñëè â (4.3) ïîëîæèì âñå α i = 0 . Òàêàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ íàçûâàåòñÿ òðèâèàëüíîé. r r r Îïðåäåëåíèå 4.10. Ñèñòåìó âåêòîðîâ a1 , a2 ,..., ak áóäåì íàçûâàòü ëèíåéíî íåçàâèñèìîé åñëè íóëåâîé âåêòîð ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî íåé åäèíñòâåííûì ñïîñîáîì - òðèâèàëüíûì, ò.å. r r r (4.4) α1a1 + α 2 a2 + ... + α k ak = O ïðè α1 = α 2 = ... = α k = 0 .
78
r r r Ñèñòåìà âåêòîðîâ a1 , a2 ,..., ak ëèíåéíî çàâèñèìà åñëè (4.4) ïîëó÷àåòñÿ èç íå¸ íå åäèíñòâåííûì ñïîñîáîì, ò.å. åñëè õîòÿ áû îäèí èç α i îòëè÷àåòñÿ îò íóëÿ èëè α12 + α 22 + ... + α 2k ≠ 0 . Ñâîéñòâà ëèíåéíî-çàâèñèìûõ è ëèíåéíî-íåçàâèñèìûõ âåêòîðîâ. r r r 1. Åñëè ñðåäè âåêòîðîâ a1 , a2 ,..., ak åñòü íóëåâîé âåêòîð, òî âñÿ ýòà ñèñòåìà âåêòîðîâ ëèíåéíî çàâèñèìà. 2. Ñèñòåìà, ñîäåðæàùàÿ îäèí âåêòîð ëèíåéíî çàâèñèìà, åñëè ýòî âåêòîð íóëåâîé. 3. Åñëè ñèñòåìà âåêòîðîâ ëèíåéíî çàâèñèìà, òî ëèíåéíî çàâèñèìà è ëþáàÿ å¸ ÷àñòü. 4. Ëþáàÿ ÷àñòü ëèíåéíî íåçàâèñèìîé ñèñòåìû âåêòîðîâ ëèíåéíî íåçàâèñèìà. r r r Ïðåäëîæåíèå 4.4. Ïóñòü a1 , a2 ,..., ak ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà r r r r âåêòîðîâ. Åñëè x = α1a1 + α 2 a2 + ... + α k ak , òî ýòî ðàçëîæåíèå åäèíñòâåííî. r r r r Ïóñòü x = β1a1 + β 2 a2 + ... + β k ak äðóãîå ðàçëîæåíèå, òîãäà r r r r r x − x = (α1 − β1 )a1 + (α 2 − β 2 )a2 + ... + (α k − β k )ak = O . r r r Òàê êàê ñèñòåìà âåêòîðîâ a1 , a2 ,..., ak ëèíåéíî íåçàâèñèìà ïî îïðåäåëåíèþ, ìû äîëæíû ïîëîæèòü α1 − β1 = α 2 − β 2 = ... = α k − β k = 0 èëè α i = βi , ÷òî äîêàçûâàåò åäèíñòâåííîñòü ðàçëîæåíèÿ. Ïðåäëîæåíèå 4.5. Ñèñòåìà èç k > 1 âåêòîðîâ ëèíåéíî çàâèñèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îäèí èç âåêòîðîâ ðàñêëàäûâàåòñÿ ïî îñòàëüíûì âåêòîðàì. r r r Ïóñòü a1 , a2 ,..., ak ëèíåéíî çàâèñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ, òîãäà r r r α1a1 + α 2 a2 + ... + α k ak = O è îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ îòëè÷åí îò íóëÿ. Ïóñòü ýòî áóäåò, íà-
ïðèìåð, α1 , òîãäà r α r α a1 = − 2 a2 − ... − k ak . α1 α1
79
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè. ÒÅÎÐÅÌÀ 4.1. 1. Ñèñòåìà èç îäíîãî âåêòîðà ëèíåéíî çàâèñèìà åñëè îí íóëåâîé. 2. Ñèñòåìà èç äâóõ âåêòîðîâ ëèíåéíî çàâèñèìà åñëè ýòè âåêòîðû êîëëèíåàðíû. 3. Ñèñòåìà èç òð¸õ âåêòîðîâ ëèíåéíî çàâèñèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ýòè âåêòîðû êîìïëàíàðíû.
4.3. Áàçèñ. Îïðåäåëåíèå 4.11. Áàçèñîì â âåêòîðíîì ïðîñòðàíñòâå L íàçûâàåòñÿ óïîðÿäî÷åííàÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ, òàêàÿ, ÷òî ëþáîé âåêòîð ýòîãî ïðîñòðàíñòâà ïî íåé ðàñêëàäûâàåòñÿ. Èç òåîðåìû 4.1 ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî: 1.  íóëåâîì ïðîñòðàíñòâå áàçèñà íåò. 2.  îäíîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå (ïðÿìàÿ ëèíèÿ) áàçèñ ñîñòîèò èç îäíîãî íåíóëåâîãî âåêòîðà. 3.  äâóõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå (ïëîñêîñòü) áàçèñ ñîñòîèò èç äâóõ óïîðÿäî÷åííûõ íåêîëëèíåàðíûõ âåêòîðîâ. 4.  òð¸õìåðíîì ïðîñòðàíñòâå áàçèñ ñîñòîèò èç òð¸õ óïîðÿäî÷åííûõ íåêîìïëàíàðíûõ âåêòîðîâ. Ñìûñë óïîðÿäî÷åííîñòè çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî, íàïðèìåð, r r r r a , b è b , a ðàçíûå áàçèñû. Òàê êàê âåêòîðû áàçèñà ëèíåéíî íåçàâèñèìû, òî êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ âåêòîðà ïî áàçèñó â ñèëó ïðåäëîæåíèÿ 4.4 îäíîçíà÷íû. Ýòè êîýôôèöèåíòû íàçûâàþò êîìïîíåíòàìè èëè êîîðäèíàòàìè âåêòîðà â äàííîì áàçèñå. r r r Ïðèìåð. Ïóñòü e1 , e2 , e3 - áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå L3 . Òîãäà âåêòîð r a ∈ L3 ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ áàçèñíûõ âåêòîðîâ:
80
r r r r a = α1e1 + α 2e2 + α 3e3 . ×èñëà α1 , α 2 , α 3 è åñòü êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ âåêòîðà r r r r a ïî áàçèñó e1 , e2 , e3 , è ýòî ðàçëîæåíèå åäèíñòâåííî. Òåïåðü âåêr r r r òîð a ïðè çàäàííîì áàçèñå e1 , e2 , e3 ìîæíî çàïèñàòü êàê r r a (α1 , α 2 , α 3 ) . Èç êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ âåêòîðà a ïî äàííîìó áàçèñó ìû ìîæåì ñîñòàâèòü ñòðîêó (α1 α 2 α 3 ) èëè ñòîëáåö
(α1
α 2 α 3 )T . Òàêèì îáðàçîì ìû ìîæåì óñòàíîâèòü âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìåæäó âåêòîðàìè è ìàòðèöàìè ñîñòîÿùèìè èç ñòðîê (ñòîëáöîâ) ñîîòâåòñòâóþùåé äëèíû è ëèíåéíûå êîìáèíàöèè âåêòîðîâ ìû òåïåðü ìîæåì ðàññìàòðèâàòü êàê ëèíåéíûå êîìáèíàöèè ñòðîê (ñòîëáöîâ) èçó÷åííûå íàìè ðàíåå. Ïðåäëîæåíèå 4.6. Ïðè óìíîæåíèè âåêòîðà íà ÷èñëî, âñå åãî êîîðäèíàòû óìíîæàþòñÿ íà ýòî ÷èñëî, à ïðè ñëîæåíèè âåêòîðîâ ñêëàäûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå êîîðäèíàòû. Ýòî ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì ñëåäñòâèåì ïðåäñòàâëåíèÿ âåêòîðîâ â âèäå ñòðîê (ñòîëáöîâ) ñîîòâåòñòâóþùåé äëèíû.
4.4. Ñèñòåìû êîîðäèíàò 4.4.1. Äåêàðòîâà (àôôèííàÿ) ñèñòåìà êîîðäèíàò Çàôèêñèðóåì â ïðîñòðàíñòâå L3 òî÷êó O è ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó M . Îïðåäåëåíèå 4.12. Ðàäèóñ-âåêòîðîì òî÷êè M ïî îòíîøåíèþ ê òî÷r êå O íàçûâàåòñÿ âåêòîð r = OM . r r r Åñëè â ïðîñòðàíñòâå L3 âûáðàí áàçèñ e1 , e2 , e3 , òî òî÷êå M ìîæåò áûòü ñîïîñòàâëåíà óïîðÿäî÷åííàÿ òðîéêà ÷èñåë α1 , α 2 , α 3 - êîìïîíåíòû ðàäèóñ-âåêòîðà rr = OM .
81
Îïðåäåëåíèå 4.13. Äåêàðòîâîé (àôôèííîé) ñèñòåìîé êîîðäèíàò â ïðîñòðàíñòâå íàçûâàåòñÿ ñîâîêóïíîñòü òî÷êè O è áàçèñà r r r e1 , e2 , e3 .Òî÷êà O íîñèò íàçâàíèå íà÷àëà êîîðäèíàò. Ïðÿìûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò â íàïðàâëåíèè áàçèñíûõ âåêòîðîâ íàçûâàþòñÿ îñÿìè êîîðäèíàò. Îñü, ñîîòâåòñòâóþùàÿ áàçèñr r r íîìó âåêòîðó e1 íàçûâàåòñÿ îñüþ àáñöèññ, e2 - îñüþ îðäèíàò, e3 îñüþ àïïëèêàò. Ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç îñè êîîðäèíàò, íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè. Îïðåäåëåíèå 4.14. Ïóñòü äàíà äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò r r r O, e1 , e2 , e3 . Êîìïîíåíòû ðàäèóñ-âåêòîðà z r r = OM òî÷êè M íàçûâàþòñÿ êîîðäèíàòàìè òî÷êè M â äàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò r M (ðèñ.4.5) è îáîçíà÷àþòñÿ êàê x, y, z : r r r r r r OM = r = xe1 + ye2 + ze3 . e3 Çäåñü x - àáñöèññà, y - îðäèíàòà, à z rO r e2 e1 àïïëèêàòà. Êîîðäèíàòû òî÷êè M ìû áó- x y äåì îáîçíà÷àòü êàê M (x, y, z ) . M1 Ðàññìîòðèì (ðèñ.4.6) äâå òî÷êè Ðèñ. 4.5.
M 1 (x1 , y1 , z1 ) è M 2 (x2 , y2 , z2 ) â äåêàðòîâîé M1 r r1
r r r2 − r1 r r2
r e3 r e1
r r r ñèñòåìå êîîðäèíàò O, e1 , e2 , e3 , è íàéä¸ì
O
M2
OM 1 + M 1M 2 = OM 2
èëè r e2
Ðèñ. 4.6.
êîìïîíåíòû âåêòîðà M 1M 2 .
M 1M 2 = OM 2 − OM 1 . Â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäëîæåíèåì 4.6 ìû ìîæåì çàïèñàòü:
M 1M 2 (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ) . 6 À.À. Êèðñàíîâ
(4.5)
82
Ïðåäëîæåíèå 4.7. ×òîáû íàéòè êîîðäèíàòû âåêòîðà íàäî èç êîîðäèíàò åãî êîíöà âû÷åñòü êîîðäèíàòû åãî íà÷àëà. 4.4.2. Äåëåíèå îòðåçêà â äàííîì îòíîøåíèè. Íàéä¸ì êîîðäèíàòû òî÷êè M êîòîðàÿ (ðèñ.4.7) äåëèò îòðåçîê AB â îòíîøåíèè λ µ , ò.å.
AM MB
=
λ , λ > 0, µ > 0. µ
(4.6)
Òàê êàê λ > 0 è µ > 0 , âåêòîðû AM è MB íàïðàâëåíû â îäíó ñòîðîíó è ìû ìîæåì (4.6) ïåðåïèñàòü òàê: µ AM = λ MB .
(4.7)
Ïóñòü A(x1 , y1 , z1 ) è B (x2 , y2 , z 2 ) êîîðäèíàòû êîíöîâ îòðåçêà
AB , à M (x, y, z ) êîîðäèíàòû òî÷êè M r r r â áàçèñå O, e1 , e2 , e3 . Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (4.5) ðàçëîæèì ðàâåíñòâî (4.7) ïî áàçèr r r ñó O, e1 , e2 , e3 : µ(x − x1 ) = λ(x2 − x ) ,
µ(y − y1 ) = λ(y2 − y ) ,
(4.8)
µ(z − z1 ) = λ(z2 − z ) .
r e3
r e1
A
λ
M
O
µx1 + λx2 , λ+µ
y=
µy1 + λy2 , λ+µ
z=
B
r e2 Ðèñ. 4.7.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî λ + µ ≠ 0 ïðèâåä¸ì ñèñòåìó óðàâíåíèé (4.8) ê âèäó:
x=
µ
µz1 + λz 2 . λ+µ
(4.9)
Åñëè îäíî èç ÷èñåë λ èëè µ ìåíüøå íóëÿ, òîãäà òî÷êà
M áóäåò íàõîäèòñÿ âíå îòðåçêà AB äåëÿ åãî â îòíîøåíèè λ µ .
83
4.4.3. Äåêàðòîâà ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò.
z Ñðåäè ìíîæåñòâà äåêàðòîâûõ (àôr ôèííûõ) ñèñòåì êîîðäèíàò ìîæíî âûák ðàòü òàêóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò (ðèñ. 4.8) r ó êîòîðîé âñå áàçèñíûå âåêòîðû ïîïàðíî j y ïåðïåíäèêóëÿðíû è èõ ìîäóëè ðàâíû åäèr O i íèöå, ò.å. r r r r r r Ðèñ. 4.8. x e1 = e2 = e3 = 1 ; e1 ⊥ e2 ⊥ e3 . Òàêîé áàçèñ íàçûâàåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííûì, à ñèñòåìà êîîðäèíàò - äåêàðòîâîé ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò (ÏÑÊ).  ýòîì ñëó÷àå äëÿ îðòîâ ïðèíÿòî ñïåöèàëüíîå îáîçíà÷åíèå: r r r r r r (4.10) e1 = i , e2 = j , e3 = k , r r r r r r à áàçèñ O, e1 , e2 , e3 çàïèøåòñÿ êàê O, i , j , k . Ðàäèóñ-âåêòîð ïðîèçâîëüíîé òî÷êè M (x, y, z ) â L3 òåïåðü ìîæíî çàïèñàòü òàê: r r r r (4.11) r = xi + yj + zk . Äåêàðòîâû (àôôèííûå) ñèñòåìû êîîðäèíàò íå ÿâëÿþòñÿ åäèíñòâåííûìè ñèñòåìàìè êîîðäèíàò.  çàâèñèìîñòè îò õàðàêòåðà çàäà÷è ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû è äðóãèå ñèñòåìû êîîðäèíàò. Ðàññìîòðèì íàèáîëåå ÷àñòî óïîòðåáëÿåìûå ñèñòåìû êîîðäèíàò. 4.4.4. Ïîëÿðíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò. Âûäåëèì íà ïëîñêîñòè íåêîòîðóþ òî÷êó O è íàçîâ¸ì å¸ ïîëþñîì, èñõîäÿùèé èç òî÷êè O ëó÷ OA íàçîâ¸ì ïîëÿðíîé îñüþ. Âûáåðåì ìàñøòàá äëÿ èçìåðåíèÿ äëèíû. Ïîâîðîò, ñîâåðøàåìûé îêîëî òî÷êè O ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè áóäåì ñ÷èòàòü ïîëîæèòåëüíûì è áóäåì èçìåðÿòü åãî â ðàäèàíàõ. Ïîëîæåíèå ïðîèçâîëüíîé òî÷êè M íà ïëîñêîñòè (ðèñ.4.9) ìîæíî òåïåðü çàôèêñèðîâàòü äâóìÿ ÷èñëàìè: ðàäèóñ-âåêòîðîì 6*
84
r r = OM è óãëîì ϕ ìåæäó ïîëÿðíîé r îñüþ è âåêòîðîì r = OM . Óãîë ϕ áóäåì íàçûâàòü ïîëÿðíûì óãëîì. ϕ r r O Ó ïîëþñà r = O , à óãîë ϕ íå îïl 1 ðåäåë¸í. Îñòàëüíûå òî÷êè ïëîñêîñòè Ðèñ. 4.9. r õàðàêòåðèçóþòñÿ çíà÷åíèåì r > 0 è óãëîì ϕ îïðåäåë¸ííûì ñ òî÷íîñòüþ äî ñëàãàåìîãî êðàòíîãî 2π . r r Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïàðû ÷èñåë (r , ϕ) è (r , ϕ + 2kπ ) , ãäå k - ïðîèçâîëüíîå öåëîå ÷èñëî, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû îäíîé è òîé æå òî÷êè. Îãðàíè÷èì çíà÷åíèÿ ïîëÿðíîãî óãëà â ïðåäåëàõ − π < ϕ ≤ π . Âûáåðåì íà ïëîñêîñòè ÏÑÊ, ïîìåñòèâ å¸ íà÷àëî â ïîëþñ O , îñü àáñöèññ ñîâìåñòèì ñ ïîy ëÿðíîé îñüþ è óñòàíîâèì ñîîòíîøåíèÿ ñâÿçûâàþùèå ïîëÿðM y r íûå êîîðäèíàòû ñ äåêàðòîâûr r ìè. Êàê ëåãêî âèäåòü èç j ðèñ.4.10, äåêàðòîâû ïðÿìîóϕ x ãîëüíûå êîîðäèíàòû òî÷êè r x O i M (x, y ) âûðàæàþòñÿ ÷åðåç å¸ Ðèñ. 4.10. ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû ôîðìóëàìè: M
r r
x = r cos ϕ ,
y = r sin ϕ .
(4.12)
r = x2 + y 2 ,
(4.13)
Çäåñü
sin ϕ =
y x +y 2
2
, cos ϕ =
x x + y2 2
, tgϕ =
y . x
(4.14)
85
4.4.5. Öèëèíäðè÷åñêàÿ è ñôåðè÷åñêàÿ ñèñòåìû êîîðäèíàò.  ïðîñòðàíñòâå îáîáùåíèåì ïîëÿðíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò ÿâëÿþòñÿ öèëèíäðè÷åñêèå (ðèñ. 4.11) è ñôåðè÷åñêèå (ðèñ. 4.13) ñèñòåìû êîîðäèíàò. È äëÿ òåõ, è äëÿ äðóãèõ ôèãóðà, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ ïîëîæåíèå M òî÷êè, ñîñòîèò èç ïîëþñà O , ëó÷à h r n OA , èñõîäÿùåãî èç O , è åäèíè÷ð r r r M′ íîãî âåêòîðà n ïåðïåíäèêóëÿðíîr ãî ê ëó÷ó n . ×åðåç òî÷êó O ïðîâåO ϕ ä¸ì ïëîñêîñòü p , ïåðïåíäèêóëÿðÀ r l íóþ âåêòîðó n . Ëó÷ OA áóäåò ëåæàòü â ýòîé ïëîñêîñòè.
Ðèñ. 4.11.
Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó M . Îïóñòèì èç ýòîé òî÷êè ïåðïåíäèêóëÿð MM ′ íà ïëîñêîñòü p . Öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû òî÷êè M - òðè ÷èñëà r ,ϕ, h . ×èñëà r , ϕ - ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû òî÷êè M ′ ïî îòíîøåíèþ ê ïîëþñó O è ïîëÿðíîé îñè OA , à h - êîìïîíåíòà âåêòîðà MM ′ ïî r âåêòîðó n . Îíà îïðåäåëåíà â ñèëó êîëëèíåàðíîñòè ýòèõ âåêòîðîâ (ðèñ. 4.11). Óñòàíîâèì ñîîòíîøåíèÿ, ñâÿçûâàþùèå öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû ñ ÏÑÊ. Äëÿ ýòîãî ñîâìåñòèì (ðèñ. 4.12) íà÷àëî ÏÑÊ ñ ïîëþñîì O , îñü OX ñîâìåñòèì ñ ëó÷îì OA , ïëîñêîñòü XOY ñîâìåñòèòñÿ ñ ïëîñêîñòüþ p . Èç ðèñ.
Ðèñ. 4.12.
4.12 âèäíî, ÷òî òî÷êà M (r ,ϕ, h ) áóäåò èìåòü â ÏÑÊ êîîðäèíàòû: x = r cos ϕ ,
y = r sin ϕ , z=h.
(4.15)
86
Çàìå÷àíèå. Òàê êàê ïåðâûå äâå öèëèíäðè÷åñêèå êîîðäèíàòû r è ϕ ÿâëÿþòñÿ ïîëÿðíûìè êîîðäèíàòàìè ïðîåêöèè M ′ òî÷êè M íà ïëîñêîñòü p , òî ê ýòèì äâóì êîîðäèíàòàì îòíîñÿòñÿ çàìå÷àíèÿ è âûâîäû ñäåëàííûå â ïðåäûäóùåì ïóíêòå. Ñôåðè÷åñêèå êîîðäèíàòû òî÷êè òðè ÷èñëà (r , ϕ, θ ) . Îíè îïðåäåëÿþòñÿ
(ðèñ. 4.13) òàê: r = OM . Êàê è äëÿ öè-
θ ϕ À
Ðèñ. 4.13.
ëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàò, ϕ - óãîë âåêòîðà OM ′ ñ ëó÷îì OA (äîëãîòà), à θ óãîë âåêòîðà OM (øèðîòà) ñ ïëîñêîñòüþ p .
Êîîðäèíàòû ïðîèçâîëüíîé òî÷êè M (r , ϕ, θ) â ÏÑÊ áóäóò âûãëÿäåòü òàê: x = r cos θ cos ϕ ,
y = r cos θ sin ϕ , z = r sin θ .
(4.16)
4.5. Ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò 4.5.1. Ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ÏÑÊ íà ïëîñêîñòè. Äî ñèõ ïîð ìû ïîëüçîâàëèñü êîíêðåòíî âûáðàííûì áàçèñîì. Îäíàêî, íè÷òî íå ìåøàåò íàì âûáðàòü äðóãîé áàçèñ è â ñâÿçè ñ ýòèì íàñ çàèíòåðåñóåò âîïðîñ î ïåðåõîäå îò îäíîãî áàçèñà ê äðóãîìó. Ðàññìîòðèì äëÿ íà÷àëà íàèáîëåå ïðîñòîé ñëó÷àé ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà (ðèñ.4.14) íà÷àëà ÏÑÊ â íåêîòîðóþ òî÷êó O′(α, β ) . Ïóñòü M (x, y ) - êîîðäèíàòû òî÷êè M â ÏÑÊ O, x, y , à M (x′, y′) - êîîðäèíàòû ýòîé æå òî÷êè â ÏÑÊ O′, x′, y′ . Èç ðèñ.4.14 ñðàçó âèäíî, ÷òî
87
èëè
OM = OO′ + O′M
x = x′ + α , y (4.17) y = y′ + β . β Ðàâåíñòâà (4.17) ïîçâîëÿþò íàì âû÷èñëèòü êîîðäèíàòû òî÷êè â ÏÑÊ O, x, y , åñëè èçâåñòíû å¸ êî-
y′ O′
M x′
x α O îðäèíàòû â ÏÑÊ O′, x′, y′ . Ðèñ. 4.14. Ïîïðîáóåì çàïèñàòü ñèñòåìó (4.17) â ìàòðè÷íîé ôîðìå. Äëÿ ýòîãî íàäî ïîñìîòðåòü íà (4.17) êàê íà ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé, èìåÿ â âèäó, ÷òî α è β êîýôôèöèåíòû ïðè åäèíèöå. Èòàê: x = 1 ⋅ x′ + 0 ⋅ y′ + α ⋅ 1 , y = 0 ⋅ x ′ + 1 ⋅ y′ + β ⋅ 1 , 1 = 0 ⋅ x ′ + 0 ⋅ y′ + 1 ⋅ 1 . Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå åñòü ïðîñòî ÷èñëîâîå ðàâåíñòâî 1 = 1 , êîòîðîå íàì íóæíî ëèøü äëÿ ñîñòàâëåíèÿ ìàòðèöû A ïåðåõîäà
îò O, x, y ê O′, x′, y′ . Ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó èç òð¸õ óðàâíåíèé ìû òåïåðü ìîæåì çàïèñàòü â ìàòðè÷íîé ôîðìå:
x 1 0 α x′ y = 0 1 β ⋅ y′ , 1 0 0 1 1
(4.18)
1 0 α
ãäå A = 0 1 β - ìàòðèöà ïåðåõîäà îò O, x, y ê O′, x′, y′ . 0 0 1
Îáðàòíûå ôîðìóëû î÷åâèäíû: x′ = x − α ,
y′ = y − β .
(4.19)
88
Ôîðìóëû (4.17) è (4.19) ëåãêî ðàñïðîñòðàíèòü íà ñëó÷àé òð¸õìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ðàññìîòðèì òåïåðü êàê âåä¸ò ñåáÿ îòðåçîê M 1M 2 ïðè ïåðå-
õîäå îò îäíîé ÏÑÊ ê äðóãîé. Ïóñòü M 1 (x1 , y1 ) è M 2 (x2 , y2 ) - êîîð-
äèíàòû êîíöîâ çàäàííîãî îòðåçêà â ÏÑÊ O, x, y , à M 1′(x1′ , y1′ ) è
M 2′ (x2′ , y2′ ) - êîîðäèíàòû òîãî æå îòðåçêà â íîâîé ÏÑÊ O′, x′, y′ .
Òàê êàê îòðåçîê M 1M 2 â îáîèõ ÏÑÊ îäèí è òîò æå ìû ìîæåì çàïèñàòü: M 1M 2 = M 1′M 2′
èëè â êîîðäèíàòàõ
x2 − x1 = (x2′ + α ) − (x1′ + α ) = x2′ − x1′ ,
y2 − y1 = ( y′2 + β) − ( y1′ + β) = y′2 − y1′ . Ìû âèäèì, ÷òî ðàçíîñòü êîîðäèíàò âåêòîðà M 1M 2 ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå ÏÑÊ íå ìåíÿþòñÿ. Ýòî ãîâîðèò î òîì, ÷òî âåêòîð ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíîé âåëè÷èíîé, ò.å. âåëè÷èíîé íå çàâèñÿùåé îò âûáîðà ÑÊ, ÷òî ñîáñòâåííî è ïîçâîëÿåò íàì åãî èçó÷àòü. 4.5.2. Ïîâîðîò ÏÑÊ â ïëîñêîñòè. Ðàññìîòðèì ïîâîðîò ÏÑÊ O, x, y âîêðóã òî÷êè O (ðèñ. 4.15) íà óãîë ϕ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî ñòàðàÿ ÏÑÊ ïåðåéä¸ò â íîâóþ ÏÑÊ O, x′, y′ . Âûÿñíèì ñíà÷àëà êàê áóäóò ïðåîáðàçîâûâàòüñÿ îðòû. Èç ðèñ. 4.15 ÿñíî: r r r i ′ = cos ϕi + sin ϕj , r r r j ′ = − sin ϕi + cos ϕj .  ìàòðè÷íîé ôîðìå ýòî ìîæíî çàïèñàòü òàê: r r i′ cos ϕ sin ϕ i r = (4.20) j ′ − sin ϕ cos ϕ ⋅ rj
89
Ðèñ. 4.15
èëè ãäå
e′ = A ⋅ e ,
(4.21)
r r i′ i e′ = r , e = r j′ j ñòîëáöû ñîñòàâëåííûå èç áàçèñíûõ âåêòîðîâ, à
cos ϕ sin ϕ A = (4.22) − sin ϕ cos ϕ ìàòðèöà ïðåîáðàçîâàíèÿ áàçèñíûõ âåêòîðîâ ïðè ïîâîðîòå ÏÑÊ íà óãîë ϕ . Èç (4.21) ñðàçó ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå ñòàðûõ áàçèñíûõ âåêòîðîâ ÷åðåç íîâûå: èëè
e = A−1e′ r r i cos ϕ − sin ϕ i ′ r = j sin ϕ cos ϕ ⋅ rj ′ .
(4.23)
(4.24)
−1 T Çàìå÷àíèå. Ñðàâíèâàÿ (4.20) è (4.24) ìû âèäèì, ÷òî A = A . Òàêèå ìàòðèöû íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè. Èõ èçó÷åíèåì ìû çàéì¸ìñÿ ïîçæå.
90
M
y
x′ y′ x
Ðèñ. 4.16.
r Ðàññìîòðèì òåïåðü êàê âåä¸ò ñåáÿ ðàäèóñ-âåêòîð r = OM ïðè ïîâîðîòå ÏÑÊ íà óãîë ϕ (ðèñ. 4.16).  ñèëó èíâàðèàíòíîñòè âåêòîðà èìååì: r r r r r r r r r r = xi + yi = x′i′ + y′j ′ = x′ cos ϕi + sin ϕj + y′ − sin ϕi + cos ϕj = r r = (x′ cos ϕ − y′ sin ϕ)i + (x′ sin ϕ + y′ cos ϕ) j .
(
) (
)
Ñðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè áàçèñíûõ âåêòîðàõ ïîëó÷èì: x = x′ cos ϕ − y′ sin ϕ , y = x′ sin ϕ + y′ cos ϕ .  ìàòðè÷íîé ôîðìå ýòè ðàâåíñòâà çàïèøóòñÿ òàê:
(4.25)
x cos ϕ − sin ϕ x′ = ⋅ y sin ϕ cos ϕ y′ èëè
r = AT ⋅ r′ .
(4.26)
r x x′ Çäåñü r = è r′ = êîîðäèíàòû ðàäèóñ-âåêòîðà r = OM äî y y′ è ïîñëå ïîâîðîòà ÏÑÊ íà óãîë ϕ . Îáúåäèíÿÿ ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ è ïîâîðîò ìû ìîæåì èç ôîðìóë (4.17) è (4.26) ñîñòàâèòü îáùóþ ôîðìóëó: x = x′ cos ϕ − y′ sin ϕ + α , y = x′ sin ϕ + y′ cos ϕ + β .
(4.27)
91
Óðàâíåíèÿ (4.27) ñ ó÷¸òîì (4.18) ìîæíî ïåðåïèñàòü â ìàòðè÷íîé ôîðìå:
x cos ϕ − sin ϕ α x′ y = sin ϕ cos ϕ β ⋅ y′ . 1 0 0 1 1
(4.28)
4.6. Ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ Îïåðàöèÿ ïåðåìíîæåíèÿ äâóõ âåêòîðîâ, ñ îäíîé ñòîðîíû, äîëæíà ïîä÷èíÿòüñÿ â îñíîâíîì òåì æå çàêîíàì, ÷òî è îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ ÷èñåë, ñ äðóãîé ñòîðîíû, îíà äîëæíà îáîáùàòü ðàñïðîñòðàí¸ííûå â ãåîìåòðèè è ôèçèêå êîíêðåòíûå îïåðàöèè. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî è ñòîé è ñ äðóãîé òî÷åê çðåíèÿ äîëæíû ñóùåñòâîâàòü äâå îïåðàöèè óìíîæåíèÿ äâóõ âåêòîðîâ. Îäíà äà¸ò â ðåçóëüòàòå ÷èñëî - ñêàëÿð è ïîýòîìó íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíûì óìíîæåíèåì. Äðóãàÿ äà¸ò â ðåçóëüòàòå âåêòîð è ïîòîìó íàçûâàåòñÿ âåêòîðíûì óìíîæåíèåì äâóõ âåêòîðîâ.  êà÷åñòâå ïðèìåðîâ ìû ìîæåì ðàññìîòðåòü ïîíÿòèå ðàáîòû êàê ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ âåêòîðíûõ r r âåëè÷èí - ñèëû F è ïåðåìåùåíèÿ s , â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷àåòñÿ ñêàëÿðíàÿ âåëè÷èíà - ðàáîòà A .  ôèçèêå èçâåñòíà è äðóãàÿ ôèr çè÷åñêàÿ âåëè÷èíà - ìîìåíò ñèëû L , êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ âåêòîðîì è ïîëó÷àåòñÿ êàê ðåçóëüòàò óìíîæåíèÿ äâóõ âåêòîðíûõ âåëè÷èí: r r ñèëû F è ïëå÷à ñèëû R . 4.6.1. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ.
r r Ïîä óãëîì ìåæäó âåêòîðàìè a è b áóäåì ïîíèìàòü óãîë ìåæäó ýòèìè âåêòîðàìè ïðèâåä¸ííûìè â îáùåå íà÷àëî (ðèñ. 4.17). r r Åñëè óãîë ïðÿìîé áóäåì ñ÷èòàòü âåêòîðû a è b ïåðïåíäèêóëÿðr íûìè (îðòîãîíàëüíûìè) äðóã ê äðóãó è îáîçíà÷àòü ýòî êàê ar ⊥ b .
92
Òàê êàê
cos ϕ = cos(2π − ϕ) , ìû ìîæåì ñîñòàâèòü âûðàæåíèå Ðèñ. 4.17.
(ar, br )= ab cos ϕ ,
(4.29) r r ãäå a = a , à b = b , îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþùåå íåêîòîðîå ÷èñr r ëî a , b . r r Îïðåäåëåíèå 4.15. ×èñëî a , b îïðåäåëÿåìîå ôîðìóëîé (4.29) íàr r çûâàåòñÿ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ a è b .  ðàçëè÷íîé ëèòåðàòóðå ìîæíî âñòðåòèòü òàêèå îáîçíà÷åíèÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ: r r rr r r ab , a ⋅ b , a, b . Ìû áóäåì ïðèäåðæèâàòüñÿ òðåòüåãî âàðèàíòà.
( )
( )
( )
Ðàâåíñòâî ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ íóëþ. Ïî îïðåäåëåíèþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ðàâåíñòâî r r a, b = 0 ðàâíîñèëüíî ðàâåíñòâó ab cos ϕ = 0 .
( )
À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëèáî a = 0 , ëèáî b = 0 , ëèáî cos ϕ = 0 , r r r r ò.å. ëèáî a = O , ëèáî b = O , ëèáî a ⊥ b . Åñëè ñ÷èòàòü, ÷òî íóëåâîé âåêòîð ïåðïåíäèêóëÿðåí ëþáîìó íåíóëåâîìó âåêòîðó, ðàâåíñòâî íóëþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ìû ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü òàê: r Ïðåäëîæåíèå 4.8. Óñëîâèåì îðòîãîíàëüíîñòè äâóõ âåêòîðîâ a è r b ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî íóëþ èõ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ: r r (4.30) a, b = 0 .
( )
93
Ìû âèäèì, ÷òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ â àëãåáðàè÷åñêîì îòíîøåíèè ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ ÷èñåë: èç ðàâåíñòâà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ íóëþ óæå íå âûòåêàåò ðàâåíñòâî íóëþ îäíîãî èç ñîìíîæèòåëåé. Òåì íå ìåíåå àëãåáðàè÷åñêèå çàêîíû óìíîæåíèÿ ÷èñåë ïîëíîñòüþ ïåðåíîñÿòñÿ íà ñêàëÿðíîå óìíîæåíèå âåêòîðîâ. Çàêîíû ñêàëÿðíîãî óìíîæåíèÿ. Èç îïðåäåëåíèÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (4.29) ñëåäóåò, ÷òî: r r r r 1. a , b = b , a - çàêîí ïåðåìåñòèòåëüíîñòè (êîììóòàòèâíîñòè); r r r r r r r 2. a , b + c = a , b + (a , c ) - ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí; r r r r r r 3. λ a , b = λa , b = a , λb - çàêîí ñî÷åòàòåëüíîñòè îòíîñèòåëüíî
( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) (
)
ñêàëÿðíûõ ìíîæèòåëåé; r r r2 r 4. (a , a ) = aa cos 0o = a äëÿ ëþáûõ a ; r r r 5. (a , a ) > 0 , åñëè a ≠ O . Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå èìååò ñìûñë, åñëè âûáðàíà åäèíèöà èçìåðåíèÿ äëèí âåêòîðîâ.
r r r Âåêòîðû îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà i , j , k óäîâëåòâîðÿþò ðàâåíñòâàì: r r r r r r i , i = j , j = k , k = 1, r r r r r r i , j = i , k = j,k = 0 . Ïðåäëîæåíèå 9. Åñëè áàçèñíûå âåêòîðû ïîïàðíî îðòîãîíàëüíû, òî êîìïîíåíòû ëþáîãî âåêòîðà íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëå: r r r r (4.31) a = α1e1 + α 2e2 + α 3e3 , ãäå (ar, er ) (ar, er ) (ar, er ) α1 = r 21 , α 2 = r 22 , α 3 = r 32 . (4.32) e1 e2 e3
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
94
 ÷àñòíîñòè, åñëè áàçèñ îðòîíîðìèðîâàí, òî: r r r r r r x = a, i , y = a, j , z = a, k ; r r rr r r r r r r a = a, i i + a , j j + a , k k
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
èëè
(4.33)
r r r r (4.34) a = xi + yj + zk . ÒÅÎÐÅÌÀ 4.2. Åñëè áàçèñ îðòîíîðìèðîâàííûé, òî äëÿ ëþáûõ r r âåêòîðîâ a (x1 , y1 , z1 ) è b (x2 , y2 , z 2 ) èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî: r r (4.35) a , b = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 . r r Äåéñòâèòåëüíî, ïîäñòàâëÿÿ â (4.35) âìåñòî âåêòîðîâ a è b èõ ðàçëîæåíèÿ (4.34), ïîëó÷èì: r r r r r r r r a , b = x1i + y1 j + z1k , x2 i + y2 j + z2 k = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 . Òåîðåìà 4.2 ïîçâîëÿåò íàïèñàòü âûðàæåíèå äëèíû âåêòîðà ÷åðåç åãî êîìïîíåíòû â ÏÑÊ: (ar , ar ) = x 2 + y 2 + z 2 èëè r (4.36) a = x2 + y 2 + z 2 ,
( )
( ) (
)
à òàêæå âûðàæåíèå äëÿ êîñèíóñà óãëà ìåæäó âåêòîðàìè r r a, b x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 cos ϕ = r r = (4.37) 2 a ⋅b x + y2 + z2 ⋅ x2 + y2 + z 2 .
( )
1
1
1
2
2
2
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (4.36) ìîæíî ïîëó÷èòü ôîðìóëó äëÿ âû-
÷èñëåíèÿ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè M 1 (x1 , y1 , z1 ) è
M 2 (x2 , y2 , z2 ) :
M 1M 2 =
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − z1 )2
.
(4.38)
95
4.6.2. Ïðîåêöèÿ âåêòîðà íà ïðîèçâîëüíóþ ïðÿìóþ. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå òåñíî ñâÿçàíî ñ ïîíÿòèåì ïðîåêöèè âåêòîðà. Ïóñòü íàì çàäàí âåêòîð AB è íåêîòîðàÿ ïðÿìàÿ l . Îïóñòèì èç òî÷åê A è B ïåðïåíäèêóëÿðû íà ïðÿìóþ è îáîçíà÷èì èõ îñíîâàíèÿ A′ è B ′′ B′ (ðèñ. 4.18). Âåêòîð A′B′ áóäåì íàçûâàòü âåêòîðíîé ïðîåêöèåé âåêòîðà AB íà ïðÿìóþ l è áóäåì îáîçíà÷àòü êàê:
Ðèñ. 4.18.
A′B′ = Ïðl AB . Èç îïðåäåëåíèÿ ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî ïðîåêöèè ðàâíûõ âåêòîðîâ íà ïàðàëëåëüíûå ïðÿìû ðàâíû ìåæäó ñîáîé. r Çàäàäèì íà l íåíóëåâîé âåêòîð e , òîãäà r (4.39) A′ B′ = AB′′ = αe . r r Ïðåäñòàâèì âåêòîð AB êàê AB = A′ B′ + B′′B = αe + b , ãäå r r âåêòîð b = B′′B ⊥ e . Òîãäà r r r r r r r r r r r2 AB, e = αe + b , e = α(e , e ) + b , e = α(e , e ) = α e
(
èëè
) (
)
( )
r ( AB, e ) α= r e
2
.
Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííîå çíà÷åíèå α â (4.39), ïîëó÷èì r AB, e r Ïðl AB = r 2 e . (4.40) e
(
)
Ïðèâåä¸ì áåç äîêàçàòåëüñòâ íåñêîëüêî ñâîéñòâ âåêòîðíûõ ïðîåêöèé: r à) ïðîåêöèÿ âåêòîðà a íà ïðÿìóþ l ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ
96
r ìîäóëÿ âåêòîðà a êîñèíóñ óãëà ϕ ìåæäó âåêòîðîì è ïðÿìîé, ò.å. r (4.41) Ïðl a = a cos ϕ ; á) ðàâíûå âåêòîðû èìåþò ðàâíûå ïðîåêöèè íà îäíó è òóæå ïðÿìóþ; â) ïðîåêöèè äâóõ âçàèìíî ïðîòèâîïîëîæíûõ âåêòîðîâ íà îäíó è òó æå ïðÿìóþ îòëè÷àþòñÿ òîëüêî çíàêîì: r r Ïðl (− a ) = −Ïðl (a ) ; ã) ïðîåêöèÿ ñóììû âåêòîðîâ íà êàêóþ-ëèáî ïðÿìóþ ðàâíà ñóììå ïðîåêöèé ñëàãàåìûõ âåêòîðîâ íà ýòó ïðÿìóþ; ä) ïðîåêöèÿ ïðîèçâåäåíèÿ ñêàëÿðà íà âåêòîð ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ýòîãî ñêàëÿðà íà ïðîåêöèþ âåêòîðà íà òó æå ïðÿìóþ; å) ïðîåêöèÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâ ðàâíà òîé æå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè èõ ïðîåêöèé.
r r r r r r Ïðèìåð. Íàéòè ïðîåêöèþ âåêòîðà a = 3i + 2 j íà âåêòîð b = i − 2 j . r r r a , b r 3 ⋅1 + 2 ⋅ (− 2) r 1r r b b Ïðb a = r 2 b = 2 = − 2 5 . 1 + (− 2 ) b
( )
4.6.3. Îðèåíòàöèÿ ïðÿìîé, ïëîñêîñòè è ïðîñòðàíñòâà
r Âûáåðåì (ðèñ. 4.19) íà ïðÿìîé l íåíóëåâîé âåêòîð e1 , êîòîðûé ìû ìîæåì ïðèíÿòü â êà÷åñòâå r e áàçèñíîãî âåêòîðà. Ïðÿìóþ ëèíèþ l â ýòîì ñëó÷àå áóäåì ñ÷èòàòü íàïðàâëåííîé ïðÿìîé (îñüþ). Âñå áàçèO Ðèñ. 4.19. ñû íà ïðÿìîé, î÷åâèäíî, ðàçäåëÿòñÿ íà äâà êëàññà: áàçèñíûå âåêòîðû èç r e îäíîãî êëàññà íàïðàâëåíû (ðèñ. 4.20) îäèíàêîâî, à èç äðóãîãî - ïðîòèâîïîO ëîæíî. r e Åñëè èç äâóõ êëàññîâ áàçèñîâ âûáO ðàí îäèí, òî ãîâîðÿò, ÷òî ïðÿìàÿ l îðèÐèñ. 4.20.
97
åíòèðîâàíà. Áàçèñû âûáðàííîãî êëàññà íàçîâ¸ì ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííûìè èëè ïîëîæèòåëüíûìè. Äâà áàçèñà íà ïëîñêîñòè îäèíàêîâî îðèåíòèðîâàíû, åñëè â îáåèõ áàçèñàõ (ðèñ. r r 4.21) êðàò÷àéøèé ïîâîðîò îò e1 ê e2 ïðîr r r r èçâîäèòñÿ â îäíó ñòîðîíó: e1, e2 è e1′, e2′ (ðèñ. 4.21) îðèåíòèðîâàíû îäèíàêîâî, r r r r à e1, e2 è e1′, e2′ - (ðèñ. 4.22) îðèåíòèðîâàíû ïðîòèâîïîëîæíî. Ïëîñêîñòü áóäåò îðèåíòèðîâàíà, åñëè èç äâóõ êëàññîâ áàçèñîâ âûáðàí îäèí. Îðèåíòàöèþ áàçèñà íà ïëîñêîñòè ïðèíÿòî ñ÷èòàòü ïîëîæèòåëüíîé, åñëè r r êðàò÷àéøèé ïîâîðîò îò e1 ê e2 ïðîèçâîäèòñÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (ðèñ. 4.21).
r r r Áàçèñ e1, e2 , e3 â ïðîñòðàíñòâå (ðèñ. 4.23) áóäåì íàçûâàòü ïðàr r r âûì åñëè ñ êîíöà âåêòîðà e3 êðàò÷àéøèé ïîâîðîò îò e1 ê e2 ñîâåðøàåòñÿ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå (ðèñ. 4.24) r r r áàçèñ e1, e2 , e3 áóäåì íàçûâàòü ëåâûì.
7 À.À. Êèðñàíîâ
98
Ïðîñòðàíñòâî íàçûâàåòñÿ îðèåíòèðîâàííûì, åñëè èç äâóõ êëàññîâ áàçèñîâ âûáðàí îäèí. Áàçèñû âûáðàííîãî êëàññà íàçûâàþòñÿ ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííûìè. Ìû áóäåì âñåãäà ïðèäåðæèâàòüñÿ ïðàâîé îðèåíòàöèè ïðîñòðàíñòâà, ñ÷èòàÿ ïîëîæèòåëüíûìè ïðàâûå áàçèñû è áóäåì âñåãäà ïîìíèòü î òîì, ÷òî íè÷òî íå ìåøàåò íàì âûáðàòü ëåâûé áàçèñ è åãî îðèåíòàöèþ ñ÷èòàòü ïîëîæèòåëüíî îðèåíòèðîâàííîé - âñ¸ ýòî îòíîñèòåëüíî. Åñëè ïðîñòðàíñòâî îðèåíòèðîâàíî, òî îðèåíòàöèþ ëþáîé ïëîñêîñòè (ðèñ. 4.25) â í¸ì ìîæíî çàäàòü, óêàçàâ îðèåíòàöèþ ïðÿìîé. Ïðè ýòîì r r ïîëîæèòåëüíûì áàçèñîì a, b íà ïëîñêîñòè áóäåì ñ÷èòàòü òàêîé, êîòîðûé âìåñòå ñ ïîëîæèòåëüíûì áàçèñîì r n íà ïðÿìîé ñîñòàâëÿåò ïîëîæèòåëüíûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà r r r a, b, n .  ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî îðèåíòàöèÿ ïëîñêîñòè îïðåäår ëåíà íîðìàëüíûì âåêòîðîì n .  îðèåíòèðîâàííîì ïðîñòðàíñòâå àíàëîãè÷íî ìîæíî çàäàòü îðèåíòàöèþ ïðÿìîé ëèíèè. Äëÿ ýòîãî íóæíî çàäàòü îðèåíòàöèþ ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ê ýòîé ïðÿìîé. Òîãäà ïîëîæèòåëüíûì r áàçèñîì a íà ïðÿìîé (ðèñ. 4.26) áóäåò òàêîé áàçèñ, êîòîðûé âìåñòå ñ áàçèñíûìè r r âåêòîðàìè b, n ïëîñêîñòè ñîñòàâëÿåò ïîëîæèòåëüíûé áàçèñ ïðîñòðàíñòâà. 4.6.4. Ïëîùàäü îðèåíòèðîâàííîãî ïàðàëëåëîãðàììà, îáú¸ì îðèåíòèðîâàííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà Ïóñòü íà ïðÿìîé ëèíèè âûáðàí áàçèñíûé âåêòîð, ò.å. ïðÿìàÿ îðèåíòèðîâàíà. Òîãäà äëèíå ëþáîãî íåíóëåâîãî âåêòîðà íà äàííîé ïðÿìîé ìîæåò áûòü ïðèïèñàí çíàê (+), åñëè íàïðàâëåíèå
99
âåêòîðà ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì áàçèñíîãî âåêòîðà è çíàê (-) â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Ðàññìîòðèì ïàðàëëåëîãðàìì íà ïëîñêîñòè (ðèñ. 4.27) îáðàçîâàííûé óïîðÿäî÷åííîé ïàr r ðîé âåêòîðîâ e1 , e2 ïðèâåä¸ííûõ ê îáùåìó íà÷àëó. Åñëè âåêòîðû îáðàçóþò ïðàâûé áàçèñ íà ïëîñêîñòè ìû áóäåì ïðèïèñûâàòü ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà çíàê (+), åñëè íåò - (-).
Ðàññìîòðèì òåïåðü ïàðàëëåëåïèïåä (ðèñ. 4.28) ïîñòðîåííûé r r r íà óïîðÿäî÷åííûõ âåêòîðàõ e1 , e2 , e3 ïðèâåä¸ííûõ ê îáùåìó íàr r r ÷àëó. Åñëè îðèåíòàöèÿ âåêòîðîâ e1 , e2 , e3 , îáðàçóþùèõ ïàðàëëåëåïèïåä, îáðàçóåò ïðàâûé áàçèñ - ïðèïèøåì îáúåìó ïàðàëëåëåïèïåäà çíàê (+), åñëè íåò - (-). 4.6.5. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ Êàê ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âîçíèêàåò èç ïîíÿòèÿ ðàáîòû, òàê âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ âîçíèêàåò èç ïîíÿòèÿ, íàïðèìåð, ìîìåíòà ñèëû. r Îïðåäåëåíèå 4.16. Âåêòîðíûì ïðîèçâåäåíèåì äâóõ âåêòîðîâ a è r r b íàçûâàåòñÿ âåêòîð N , êîòîðûé: 7*
100
r à) èìååò ìîäóëü N ÷èñëåííî ðàâíûé ïëîùàäè îðèåíòèðîr r âàííîãî ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåííîãî íà âåêòîðàõ a è b ; á) íàïðàâëåí ïåðïåíäèêóëÿðíî ê ïåðåìíîæàåìûì âåêòîðàì â òó ñòîðîíó, îòêóäà íàèìåíüøèé ñîâìåùàþùèé èõ ïîâîðîò îò ïåðâîãî âåêòîðà êî âòîðîìó âèäåí ïðîèñõîäÿùèì ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. r r Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ a è b îáîçíà÷àåòñÿ îäíèì èç ñëåäóþùèõ ñïîñîáîâ: r r r r rr (4.42) a × b , ab , a, b . Ìû áóäåì ïðèäåðæèâàòüñÿ òðåòüåãî âàðèàíòà. Èç ãåîìåòðèè èçâåñòíî (ðèñ. 4.29), ÷òî ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà ÷èñëåííî ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ äâóõ åãî íåïàðàëëåëüíûõ ñòîðîí íà ñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè. Ïîýòîìó ìû ìîæåì ñîñòàâèòü ôîðìóëó äëÿ ìîäóëÿ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ: r r N = a ⋅ b sin ϕ . (4.43)
[ ] [ ]
Óñëîâèå ðàâåíñòâà íóëþ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Ðàâåíñòâî íóëþ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ò.å. r r a, b = O ,
[ ]
ðàâíîñèëüíî ðàâåíñòâó íóëþ åãî ìîäóëÿ: ab sin ϕ = 0 . Ýòî ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî ëèáî a = o , ëèáî b = 0 , ëèáî r r r r sin ϕ = 0 , ò.å. ëèáî a = O , ëèáî b = O , ëèáî îíè ïàðàëëåëüíû a b . Èìåÿ â âèäó, ÷òî íóëåâîé âåêòîð O êîëëèíåàðåí ëþáîìó âåêòî-
101
ðó, ìû ìîæåì ñôîðìóëèðîâàòü óñëîâèå ðàâåíñòâà íóëþ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ òàê: Îïðåäåëåíèå 4.17. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ ðàâíî íóëþ åñëè ýòè âåêòîðû êîëëèíåàðíû. Çàìå÷àíèå. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðà ñàìîãî íà ñåáÿ âñåãäà ðàâíî íóëåâîìó âåêòîðó: [ar, ar ] = O . Çàêîíû âåêòîðíîãî óìíîæåíèÿ. Èç îïðåäåëåíèÿ 4.16 âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî r r r r 1. a, b = − b , a ,
[ ] [ ]
ò.å. âåêòîðíîå óìíîæåíèå àíòèêîììóòàòèâíî. r r r r r r r 2. a + b , c = [a, c ]+ a, b - ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí. r r r r 3. λa, b = λ a, b - ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí îòíîñèòåëüíî ñêàëÿð-
[( ) ] [ ] [ ] [ ]
íûõ ìíîæèòåëåé.
Âåêòîðíûå ïðîèçâåäåíèÿ áàçèñíûõ âåêòîðîâ â ÏÑÊ. Èç ñâîéñòâ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî: r r rr r r (4.44) i , i = O , j , j = O , k, k = O . Ïðè ðàññìîòðåíèè âåêòîðíûõ ïðîèçâåäåíèé ðàçíîèì¸ííûõ îðòîâ ñóùåñòâåííûì ÿâëÿåòñÿ îðèåíòàr k öèÿ áàçèñà â ïðîñòðàíñòâå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì çàäàíà ïðàâàÿ (ðèñ. 4.30) ÏÑÊ. r Ó÷èòûâàÿ, ÷òî áàçèñíûå âåêòîðû j r r r i , j , k íîðìèðîâàíû (èõ ìîäóëè ðàâíû
[ ]
r i
[ ]
[ ]
åäèíèöå), ïîëó÷èì (ðèñ. 4.31): Ðèñ. 4.30.
102
r i
r
r
[ir, rj ]= k , [rj , ir ]= −k ,
[rj , kr ]= ir , [kr, rj ]= −ir , [kr,ir ]= rj , [ir, kr ]= − rj .
r k
r j
(4.45)
Ðèñ. 4.31.
Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ âåêòîðîâ â êîîðäèíàòíîé ôîðìå. Ïóñòü äâà âåêòîðà â ÏÑÊ èìåþò âèä: r r r r r r r r a = ax i + ay j + az k , b = bxi + by j + bz k . r r Ñîñòàâèì âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå a, b â êîîðäèíàòíîé
[ ]
ôîðìå: r r r r r r r r a, b = ax i + a y j + az k , bx i + by j + bz k = rr r r r r = ax bx i , i + ax by i , j + ax bz i , k + rr r r r r + ay bx j , i + ay by j , j + ay bz j , k + rr r r r r + az bx k , i + az by k , j + az bz k , k = r r r r r r = ax by k − ax bz j − a y bx k + a y bz i + az bx j − az by i
[ ] [
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ]
èëè
[ ]
] [ ] [ ] [ ]
[ar, br ]= ir(a b − a b )− rj (a b − a b )+ kr(a b y z
z y
x z
z x
x y
)
− ay bx .
Íåòðóäíî óâèäåòü, ÷òî êîýôôèöèåíòû ïðè îðòàõ åñòü îïðåäåëèòåëè âòîðîãî ïîðÿäêà:
[ar, br ]= ir ⋅ ab
y
y
az r ax − j⋅ bz bx
az r ax +k⋅ bx bz
ay by .
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî åñòü ðàçëîæåíèå îïðåäåëèòåëÿ òðåòüåãî ïîðÿäêà ïî ïåðâîé ñòðîêå, ýëåìåíòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ îðòû r r r i , j , k ò.å.:
103
r i r r a, b = ax bx
[ ]
r k az . bz
r j ay by
(4.46)
4.7. Ïðîèçâåäåíèÿ òð¸õ âåêòîðîâ 4.7.1. Ïðîñòåéøåå ïðîèçâåäåíèå òð¸õ âåêòîðîâ
r r r Ïðîñòåéøåå ïðîèçâåäåíèå òð¸õ âåêòîðîâ a, b , c ïîëó÷àåòñÿ åñëè óìíîæèòü äâà âåêòîðà ñêàëÿðíî è ðåçóëüòàò óìíîæèòü íà òðåòèé âåêòîð, ò.å. r r r r a, b ⋅ c = λc , r r ãäå λ = a, b . ßñíî, ÷òî â ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì âåêòîð, êîëëèíåàðíûé ñ r âåêòîðîì c . ßñíî, òàê æå, ÷òî r r r r r r a, b ⋅ c ≠ a ⋅ b, c r r åñëè âåêòîðû a è c íå êîëëèíåàðíû.
( )
( )
( )
( )
4.7.2. Âåêòîðíî-âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå òð¸õ âåêòîðîâ Âåêòîðíî-âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå òð¸õ âåêòîðîâ ïîëó÷àåòñÿ âåêòîðíûì óìíîæåíèåì âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ âåêòîr r r ðîâ a, b íà òðåòèé âåêòîð c , ïðè ýòîì ìû, î÷åâèäíî, ïîëó÷èì r ñíîâà âåêòîð, êîòîðûé îáîçíà÷èì êàê R : r r r r R = a, b , c . r Òàê êàê âåêòîð R åñòü âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ r r r r N = a, b è âåêòîðà c , îí áóäåò ïåðïåíäèêóëÿðåí (ðèñ. 4.32) êàê r r r r âåêòîðó N = a, b , òàê è âåêòîðó c .
[ ]
[[ ] ]
[ ]
[ ]
104
[ ]
r r r N = a, b r c
r b r r r r R = a, b , c r a
[[ ] ] Ðèñ. 4.32.
r Èç ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè âåêòîðà R ê âåêòîðíîìó ïðîèçâår r r r äåíèþ N = a, b ñëåäóåò, ÷òî îí ëåæèò â ïëîñêîñòè âåêòîðîâ a è r b , è ðàçëàãàåòñÿ ïî íàì â ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ âèäà: r r r (4.47) R = λa + µb . r Òàê êàê R ⊥ cr - èõ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ðàâíî íóëþ: r r r r r r r r r R, c = λa + µb , c = λ(a, c ) + µ b , c = 0 èëè
[ ]
( ) ((
))
( )
µ λ r r =− r r . (a, c ) b , c
( )
Îáîçíà÷èâ ýòè ðàâíûå îòíîøåíèÿ ÷åðåç σ , ïîëó÷èì: µ λ r r =− r r =σ (a, c ) b, c
( )
èëè
rr rr µ = σ(a, c ), λ = −σ b, c . Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â (4.47), ïîëó÷èì: r rr r rr r R = σ b (a, c ) − a b, c .
( )
{
( )}
(4.48)
Îïðåäåëèì ÷èñëî σ . Äëÿ ýòîãî ââåä¸ì ÏÑÊ, ñîâìåñòèâ îñü r OX ñ âåêòîðîì a . Îñü OY ïåðïåíäèêóëÿðíà îñè OX è ëåæèò â
105
r r r r ïëîñêîñòè âåêòîðîâ a è b (ðèñ. 4.32). Ðàçëîæèì âåêòîðû a , b è r c ïî îðòàì âûáðàííîé íàìè ÏÑÊ: r r a = ax i , r r r b = bx i + by j , (4.49) r r r r c = cx i + c y j + cz k . r r r r rr Âû÷èñëèì òåïåðü R = a, b c = N , c . Òàê êàê r r r i j k r r r r N = a, b = ax 0 0 = ax by k , bx by 0
[[ ] ] [ ]
[ ]
òî
r i r r r r r r r r r R = N , c = ax by k, c = ax by k, cx i + c y j + cz k = 0 cx r r = −ax by c y i + ax by cx j .
[ ] [
] [
]
r k a x by = cz (4.50)
r j 0 cy
r Âû÷èñëèì òåïåðü R ïî ôîðìóëå (4.48). Çäåñü, â ñîîòâåòñòâèè ñ (4.49) èìååì: rr (ar, cr ) = ax cx , b , c = bx cx + by cy .
( )
Òîãäà r rr r rr r r r r r R = σ b (a, c ) − a b , c = σ bx i + by j ⋅ ax cx − ax i ⋅ bx cx + by c y = r r r r = σ ax bx cx i + ax by cx j − ax bx cx i − ax by c y i = r r = σ − ax by c y i + ax by cx j . (4.51)
{
{ {
( )} {(
)
}
Ñðàâíèâàÿ (4.50) è (4.51) ïîëó÷èì: σ =1 .
(
}
)}
106
Îêîí÷àòåëüíî óðàâíåíèå (4.48) çàïèøåòñÿ òàê: r r rr r rr R = b (a, c ) − a b , c èëè
( )
[[ar,br ]cr ]= br(ar,cr ) − ar(br,cr ).
(4.52
Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðîèçâåäåíèå r rr a, b, c .
[ [ ]]
Èç ñâîéñòâ âåêòîðíîãî óìíîæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî: rrr r rr a, b, c = − b, c a èëè ñ ó÷¸òîì (*) r rr r r r r r r a, b, c = − c ⋅ b , a − b ⋅ (c , a ) èëè r rr r r r r rr a, b, c = b ⋅ (a, c ) − c ⋅ a, b .
(4.53)
Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå õîðîøî çàïîìèíàåòñÿ êàê àáö=áàö-öàá. Çàìåòèì, ÷òî r rr r rr a, b c ≠ a, b, c .
(4.54)
[ [ ]] [[ ] ]
[ [ ]] { ( )
[ [ ]]
}
( )
[[ ] ] [ [ ]]
4.7.3. Âåêòîðíî-ñêàëÿðíîå (ñìåøàííîå) ïðîèçâåäåíèå òð¸õ âåêòîðîâ Âåêòîðíî-ñêàëÿðíîå (ñìåøàííîå) ïðîèçâåäåíèå òð¸õ âåêòîðîâ åñòü ïðîèçâåäåíèå âèäà r r r a, b , c , êîòîðîå ìû áóäåì â äàëüíåéøåì îáîçíà÷àòü êàê r rr a, b, c .
([ ] ) (
)
Î÷åâèäíî, ÷òî ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå òð¸õ âåêòîðîâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñêàëÿð. Âûÿñíèì ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ. r r r Äëÿ ýòîãî (ðèñ. 4.33) ïîñòðîèì íà äàííûõ âåêòîðàõ a , b è c ïàðàëëåëåïèïåä.
107
Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî ïëîùàäü îðèåíòèðîâàííîãî ïàðàëëåëîãðàììà, ïîñòðîåír r íîãî íà âåêòîðàõ a è b åñòü: r r S = a, b = ab sin ψ .
[ ]
r r r S = a, b r c
[ ]
h
r b
Òîãäà îáú¸ì îðèåíòèðîâàííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà äàííûõ âåêòîðàõ åñòü:
r a
Ðèñ. 4.33.
rr V = Sh = Sc cos ϕ = S, c
èëè
( )
r rr V = a, b , c .
(
)
(4.55)
Îïðåäåëåíèå 4.18. Âåêòîðíî-ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå òð¸õ âåêòîðîâ, îáðàçóþùèõ ïðàâóþ ñèñòåìó, ðàâíî îáú¸ìó ïàðàëëåëåïèïåäà, ïîñòðîåííîãî íà ýòèõ âåêòîðàõ. Ñâîéñòâà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ. 1. Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå òð¸õ âåêòîðîâ íå çàâèñèò îò ãðóïïèðîâêè ìíîæèòåëåé: r r r r rr a, b , c = a, b, c - ñâîéñòâî ñî÷åòàòåëüíîñòè.
([ ] ) ( [ ])
2. Ïðè ïåðåñòàíîâêå ìíîæèòåëåé, íå íàðóøàþùåé ïîðÿäêà èõ ñëåäîâàíèÿ (ðèñ. 4.34), ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå íå ìåíÿåòñÿ. Åñëè ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ ìíîæèòåëåé íàðóøàåòñÿ - ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå ìåíÿåò ñâîé çíàê. rr r rr r r rr r r r r r r r rr a, b, c = b, c , a = c, a, b = − b , c, a = − c , a, b = − a, b, c - ñâîé-
(
) (
) (
) (
) (
) (
)
ñòâî êðóãîâîé ïåðåìåñòèòåëüíîñòè. 3. Ñêàëÿðíûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíîñèòü çà çíàê ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ:
108
r a
(λar, br,cr )= λ(ar,br, cr ) - ñâîéñòâî ñî÷å-
òàòåëüíîñòè îòíîñèòåëüíî ñêàëÿðíûõ ìíîæèòåëåé. r b
r c
Ðàâåíñòâî íóëþ ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ.
Èñõîäÿ èç ãåîìåòðè÷åñêîãî ñìûñëà ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ìîæíî ñðàçó ñêàçàòü, ÷òî ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå òð¸õ âåêòîðîâ ðàâíî íóëþ, åñëè ðàâåí íóëþ îáú¸ì ïîñòðîåííîãî íà ýòèõ âåêòîðàõ ïàðàëëåëåïèïåäà. Ýòî âîçìîæíî åñëè âåêòîðû êîìïëàíàðíû èëè èìår r r þòñÿ äâà îäèíàêîâûõ âåêòîðà, ò.å. a, a, b = 0 . Ðèñ. 4.34.
(
)
Îïðåäåëåíèå 4.19. Óñëîâèåì êîìïëàíàðíîñòè òð¸õ âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî íóëþ èõ ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå òð¸õ âåêòîðîâ â ÏÑÊ. r r r Ðàññìîòðèì âåêòîðû a , b è c â ÏÑÊ: r r r r a = ax i + a y j + az k , r r r r b = bx i + by j + bz k , r r r r c = cx i + c y j + cz k . r rr Âû÷èñëèì ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå a, b, c
(4.56)
( [ ]) ñ ó÷¸òîì (455):
r i rr b, c = bx cx
[ ]
r j by cy
r k r by bz = i ⋅ cy cz
bz r bx − j⋅ cz cx
bz r bx +k⋅ cx cz
by cy ,
109
(ar,[br,cr ])= a
x
by cy
bx bz + az cz cx
bz b − ay x cz cx
by c y .
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî åñòü íå ÷òî èíîå, êàê ðàçëîæåíèå îïðåäåëèòåëÿ
ax bx cx
ay by cy
az bz cz
ïî ïåðâîé ñòðîêå, ò.î. ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå â ÏÑÊ èìååò âèä:
ax r rr a, b, c = bx cx
(
)
ay by cy
az bz . cz
(4.57)
Èç óðàâíåíèÿ (4.57) ñðàçó ìîæåì íàïèñàòü óñëîâèå êîìïëàíàðíîñòè òð¸õ âåêòîðîâ â ÏÑÊ:
ax bx cx
ay by cy
az bz = 0 . cz
(4.58)
110
5. Ïðÿìûå ëèíèè è ïëîñêîñòè 5.1. Ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðÿìîé Îïðåäåëåíèå 5.1. Ïðÿìàÿ ëèíèÿ l íà ïëîñêîñòè è â ïðîñòðàíñòâå r îïðåäåëåíà, åñëè çàäàíà òî÷êà M0 è çàäàí íåíóëåâîé âåêòîð a , ïàðàëëåëüíûé ïðÿìîé. Òî÷êó M0 áóäåì íàçûâàòü íà÷àëüíîé òî÷êîé ïðÿìîé, à âåêr òîð a - íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì ïðÿìîé. r r Ïóñòü r0 - ðàäèóñ âåêòîð a M r rr r r− 0 òî÷êè M0 è a - íàïðàâëÿþM0 r ùèé âåêòîð. Ðàññìîòðèì r l r r0 (ðèñ. 5.1.) ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó M ∈ l ñ ðàäèóñ âåêòîðîì r e3 r r r r e2 r . Âåêòîð M0M = r − r0 ïàr Î Ðèñ. 5.1. e1 ðàëëåëåí ïðÿìîé l (âåêòîðó r a ) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà òî÷êà M ëåæèò íà ïðÿìîé l . Òîãäà, â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäëîr æåíèåì 4.2, íàéä¸òñÿ òàêîå ÷èñëî t , ÷òî M0M = ta èëè r r r (5.1) r − r0 = ta . Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ìîæíî çàïèñàòü òàê: r r r = r0 + ta . Íàîáîðîò, êàêîå áû ÷èñëî t ìû íè ïîñòàâèëè â (5.1), âåêòîð r áóäåò îïðåäåëÿòü íåêîòîðóþ òî÷êó r M ëåæàùóþ íà ïðÿìîé l . Óðàâíåíèå (5.1) íàçûâàåòñÿ âåêòîðíûì ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèåì ïðÿìîé, à âåëè÷èíà t ∈ R íàçûâàåòñÿ ïàðàìåòðîì. Âåêòîðíîå ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðÿìîé âûãëÿäèò îäèíàêîâî è â ïëàíèìåòðèè è â ñòåðåîìåòðèè.  ðàçëîæåíèè ïî ñîîòâåòñòâóþùåìó áàçèñó (îïðåäåëåíèå 4.14) îíî áóäåò èìåòü äâà èëè òðè óðàâíåíèÿ:
111
rr r 1.  áàçèñå Oe1e2 e3 (òð¸õìåðíîå ïðîñòðàíñòâî) x = x0 + lt, y = y0 + mt, z = z0 + nt, r r r r ãäå a = le1 + me2 + ne3 . rr  áàçèñå Oe1e 2 (ïëîñêîñòü) x = x0 + lt, y = y0 + mt,
(5.2)
(5.3)
r r r ãäå a = le1 + me 2 . Óðàâíåíèÿ (5.2) è (5.3) íàçûâàþòñÿ ïàðàìåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå è íà ïëîñêîñòè.
5.2. Ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè Ïîëó÷èì òåïåðü ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè π â ïðîñòðàíñòâå (ðèñ. 5.2). r r Ïóñòü p è q äâà å¸ íåêîëëèíåàðíûõ íàïðàâëÿþùèõ âåêòîr ðà âûõîäÿùèõ èç òî÷êè M0 ëåæàùåé â ïëîñêîñòè, r0 - ðàäèóñ âåêòîð òî÷êè M0 , à rr - ðàäèóñ âåêòîð ïðîèçâîëüíîé òî÷êè M . r r Âåêòîð M0M = r − r0 , íà÷àëî êîòîðîãî ëåæèò â ïëîñêîñòè π , ïàðàëëåëåí åé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà òî÷êà M ëåæèò íà ïëîñr r êîñòè.  ñèëó íåêîëëèíåàðíîñòè âåêòîðîâ p è q âåêòîð r r M0M = r − r0 ìîæåò áûòü (òåîðåìà 4.1 ï.2) ïî íèì ðàçëîæåí, ò.å. íàéäóòñÿ òàêèå ÷èñëà t1 è t2 , ÷òî r r r r r − r0 = t1 p + t2 q èëè r r r r r = r0 + t1 p + t2 q .
(5.4)
112 r q
π
r r r − r0
M0 r r0
M r r
r p
r e3
Î
r e2 r e1
Ðèñ. 5.2.
Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ âåêòîðíûì ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè.
Ïóñòü (x0 , y0 , z0 ) è (x, y, z ) êîîðäèíàòû òî÷åê M0 è M â rr r r r r r r r r Oe1e2 e3 , p = p1e1 + p2 e 2 + p3 e , q = q1e1 + q 2 e 2 + q3 e3 , òîãäà (5.4) ìîæíî çàïèñàòü êàê ñèñòåìó óðàâíåíèé
x = x0 + t1 p1 + t2 q1 , y = y0 + t1 p2 + t2 q 2 , z = z0 + t1 p3 + t2 q3 ,
(5.5)
êîòîðóþ ìû áóäåì íàçûâàòü ñèñòåìîé ïàðàìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé ïëîñêîñòè.
5.3. Ïðÿìàÿ ëèíèÿ íà ïëîñêîñòè Âîçüì¸ì ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðÿìîé (5.3) íà ïëîñêîñòè è èñêëþ÷èì èç íåãî ïàðàìåòð t : x − x0 y − y0 = . l m Ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê: t=
m(x − x0 ) = l (y − y0 )
èëè
113
m(x − x0 ) − l (y − y0 ) = 0 . Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî åñòü íå ÷òî èíîå, êàê ðàçâ¸ðíóòàÿ çàïèñü îïðåäåëèòåëÿ âòîðîãî ïîðÿäêà, ò.å. x − x0 l
y − y0 = 0. m
(5.6)
Ïðåäëîæåíèå 5.1.  ïðîèçâîëüíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè óðàâíåíèå ïðÿìîé ëèíèè ñ íà÷àëüíîé òî÷r êîé M0 (x0 , y0 ) è íàïðàâëÿþùèì âåêòîðîì a (l, m ) ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå (5.6). Óðàâíåíèå (5.6) ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü êàê óñëîâèå êîëëèíåàðíîñòè äâóõ âåêòîðîâ. Ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå (5.6):
x − x0 l
y − y0 = m(x − x0 ) − l (y − y0 ) = mx − ly + (ly0 − mx0 ) = 0 . m
Ïîëàãàÿ A = m ; B = −l ; C = ly0 − mx0 ïîëó÷èì îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè: Ax + By + C = 0 . (5.7) Çäåñü ìû ïîëàãàåì, ÷òî êîýôôèöèåíòû A è B íå ðàâíû íóëþ îäíîâðåìåííî, ò.å.
A2 + B 2 ≠ 0 . Ïðîñòîé ïîäñòàíîâêîé â (5.7) ìîæíî ëåãêî óáåäèòüñÿ, ÷òî ÷èñëà x0 = −
AC BC y0 = − 2 2 è A +B A + B2 2
(5.8)
ìîæíî ïðèíÿòü çà íà÷àëüíóþ òî÷êó M0 (x0 , y0 ) ïðÿìîé (5.7). r Ïðåäëîæåíèå 5.2. Âåêòîð a (− B, A) ìîæíî ïðèíÿòü çà íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé (5.7), à òî÷êó (5.8) çà å¸ íà÷àëüíóþ òî÷êó. Åñëè â êà÷åñòâå ñèñòåìû êîîðäèíàò âûáðàòü îðòîíîðìèðî8 À.À. Êèðñàíîâ
114
r âàííóþ äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò, òîãäà âåêòîðó a (− B, A) r ìîæíî ñîïîñòàâèòü ïåðïåíäèêóëÿðíûé ê íåìó âåêòîð n (A, B ) , êîòîðûé ìû áóäåì íàçûâàòü íîðìàëüíûì âåêòîðîì. r r Ïåðïåíäèêóëÿðíîñòü âåêòîðîâ a (− B, A) è n (A, B ) ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ: (ar, nr ) = −BA + AB = 0 . Ðàññìîòðèì ïîâåäåíèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîé (5.7) ïðè: 1. A = 0 , B ≠ 0 , C ≠ 0 , òîãäà (5.7) ïðèìåò âèä C - ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíàÿ îñè àáñöèññ; B 2. A ≠ 0 , B = 0 , C ≠ 0 , òîãäà èìååì By + C = 0 èëè y = −
C - ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíàÿ îñè îðäèíàò; A 3. A ≠ 0 , B ≠ 0 , C = 0 , èìååì ïðÿìóþ ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò Ax + By = 0 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â óðàâíåíèè (5.7) êîýôôèöèåíò B ≠ 0 , ò.å. ïðÿìàÿ íå ïàðàëëåëüíà îñè îðäèíàò. Ïîäåëèâ âñå ñëàãàåìûå óðàâíåíèÿ (5.7) íà B ≠ 0 , ïîëó÷èì: Ax + C = 0 èëè x = −
C A x+ y+ =0 B B
èëè ïîëàãàÿ
−
A C =k è − =b B B
îêîí÷àòåëüíî çàïèøåì y = kx + b . Çàìåòèì, ÷òî
(5.9)
115
A m = . B l Îïðåäåëåíèå 5.2. Îòíîøåíèå êîìïîíåíò íàïðàâëÿþùåãî âåêr òîðà a (l, m ) íàçûâàåòñÿ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì ïðÿìîé (5.9), à ñàìî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ïðÿìîé ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì (ïðèâåä¸ííûì óðàâíåíèåì ïðÿìîé). Óãëîâîé êîýôôèöèåíò k ïðÿìîé y (5.9) â îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìå y = 2x + 2 êîîðäèíàò ðàâåí òàíãåíñó óãëà, êîòîk = tgϕ = 1 ðûé ïðÿìàÿ îáðàçóåò ñ îñüþ àáñöèññ. Óãîë îòñ÷èòûâàåòñÿ îò îñè àáñöèññ â r íàïðàâëåíèè êðàò÷àéøåãî ïîâîðîòà j r r îò i ê j (ðèñ. 5.3). ϕ r x Èòàê Î i k=−
m . (5.10) l Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå (5.6) k = tgϕ =
Ðèñ. 5.3.
x − x0 l
y − y0 = m(x − x0 ) − l (y − y0 ) = 0 . m
Åãî, î÷åâèäíî, ìîæíî çàïèñàòü êàê
m(x − x0 ) = l (y − y0 )
èëè
m (x − x0 ) . l Ñ ó÷¸òîì (5.10) ìû ïîëó÷èì óðàâíåíèå ïðÿìîé ïðîõîäÿùåé y − y0 =
÷åðåç òî÷êó M0 (x0 , y0 ) ñ óãëîâûì êîýôôèöèåíòîì k :
y − y0 = k (x − x0 ) .
8*
(5.11)
116
5.4. Âåêòîðíûå óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòè è ïðÿìîé Âåêòîðíîå ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè (5.4) óòâåðæäàåò, ÷òî òî÷êà M (ðèñ. 5.4) ëåæèò íà ïëîñêîñòè π òîãäà è r r òîëüêî òîãäà, êîãäà r − r0 êîìïëàíàðåí íàïðàâëÿþùèì âåêòîðàì r r p è q . Ýòó êîìïëàíàðíîñòü ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå óêàçàííûõ âûøå âåêòîðîâ: (5.12) (rr − rr0 , pr, qr ) = 0 . r r r n = [p, q ]
r q
r r r − r0
M0 r r0
r p
r e3
Î
π
r r
M
r e2
r e1
Ðèñ. 5.4.
r r r Çäåñü n = [p, q ] íåíóëåâîé âåêòîð ïåðïåíäèêóëÿðíûé ê ïëîñr r êîñòè π , à ñëåäîâàòåëüíî è âåêòîðó r − r0 ∈ π . Óñëîâèå ïåðïåíäèr r r êóëÿðíîñòè âåêòîðîâ r − r0 è n åñòü ðàâåíñòâî íóëþ èõ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ò.å. (5.13) (rr − rr0 , nr ) = 0 . Óðàâíåíèÿ (5.12) è (5.13) áóäåì íàçûâàòü âåêòîðíûìè óðàâíåíèÿìè ïëîñêîñòè. Óðàâíåíèå (5.13), èñïîëüçóÿ ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü òàê: (rr − rr0 , nr ) = (rr, nr ) − (rr0 , nr ) = 0 . r Ïîëàãàÿ − (r0 , n ) = D , ïîëó÷èì åù¸ îäíî óðàâíåíèå ïëîñêîñòè
117
(rr, nr ) + D = 0 .
(5.14)
Âåêòîðíîå ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðÿìîé (5.1) ãîâîðèò î òîì, ÷òî òî÷êà M ëåæèò íà ïðÿìîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà r r r âåêòîð r − r0 ïàðàëëåëåí íàïðàâëÿþùåìó âåêòîðó a .  ýòîì ñëór ÷àå íîðìàëüíûé âåêòîð n (A, B ) ïåðïåíäèêóëÿðåí êàê íàïðàâëÿr r r þùåìó âåêòîðó a , òàê è âåêòîðó r − r0 . Óñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿðr r r íîñòè âåêòîðîâ r − r0 è n åñòü ðàâåíñòâî íóëþ èõ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ò.å. (5.15) (rr − rr0 , nr ) = 0 . Óðàâíåíèå (5.15) íàçîâ¸ì âåêòîðíûì óðàâíåíèåì ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè. Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ìû ìîæåì ïðåîáðàçîâàòü ïðèâåä¸ííûì âûøå ñïîñîáîì: (rr − rr0 , nr ) = (rr, nr ) − (rr0 , nr ) = 0 . r Ïîëàãàÿ − (r0 , n ) = C , ïîëó÷èì íîâîå óðàâíåíèå ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè: (5.16) (rr, nr ) + C = 0 . Ïðåäëîæåíèå 5.3. Åñëè x, y, z - êîìïîíåíòû ðàäèóñ âåêòîðà r â îðòîíîðìèðîâàííîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò, òîãäà r âåêòîðíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè (rr − rr0 , nr ) = 0 r ïðè n ≠ O ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå ëèíåéíîãî ìíîãî÷ëåíà
Ax + By + Cz + D = 0 , ãäå A2 + B 2 + C 2 ≠ 0 . r r r r Ïóñòü r = xi + yj + zk , òîãäà
118
r r r r r + yj + zk , n − (r0 , n ) = r r r r r r r r = x i , n + y j , n + z k , n − (r0 , n ) = 0.
(rr − rr0 , nr ) = (rr, nr ) − (rr0 , nr ) = (xi
r
( ) ( ) ( )
Ïîëàãàÿ
)
r r r r r r r r (5.17) A = i , n , B = j , n , C = k, n , D = −(r0 , n ) âåêòîðíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè (5.13) ìû ìîæåì çàïèñàòü êàê Ax + By + Cz + D = 0 , (5.18) êîòîðîå ìû áóäåì íàçûâàòü îáùèì óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè. Êîýôôèöèåíòû A , B è C îäíîâðåìåííî íóëþ íå ðàâíû, r òàê êàê îòëè÷íûé îò íóëåâîãî íîðìàëüíûé âåêòîð n íå ìîæåò áûòü îäíîâðåìåííî ïåðïåíäèêóëÿðåí âñåì òð¸ì áàçèñíûì âåêòîðàì. r r r r Òàê êàê D = −(r0 , n ) ìû ìîæåì ïîëîæèòü r0 = λn , òîãäà
( )
( )
( )
D D r r D = −λ (n, n ), λ = − r r = − r 2 (n, n ) n è, òàêèì îáðàçîì,
r D r r0 = − r 2 ⋅ n . n
(5.19)
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü íà÷àëüíóþ òî÷êó ïëîñêîñòè åñëè îíà çàäàíà îáùèì óðàâíåíèåì (5.18). Ïðåäëîæåíèå 5.4. Åñëè ñèñòåìà êîîðäèíàò îðòîíîðìèðîâàír íàÿ, âåêòîð n ñ êîîðäèíàòàìè A, B,C ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíûì âåêòîðîì äëÿ ïëîñêîñòè çàäàííîé îáùèì óðàâíåíèåì Ax + By + Cz + D = 0 . Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äàííîãî ïðåäëîæåíèÿ âîñïîëüçóåìñÿ ïðåäëîæåíèåì 4.9 è ôîðìóëàìè (4.31), (4.32) è (5.17). Èòàê, åñëè r r r r n = Ai + Bj + Ck , òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ (4.32) èìååì
119
rr ( n, i ) r r A= = (n, i ) r i
2
,
r r ( n, j ) r r B= = (n, j ) r j
2
,
r r ( n, k ) r r C= = (n, k ) r k
2
,
÷òî ñ ó÷¸òîì êîììóòàòèâíîñòè ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñîâïàäàåò ñ (5.17). Ðàññìîòðèì åù¸ îäèí ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ îáùåãî óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòè èç âåêòîðíîãî óðàâíåíèÿ (5.12) (rr − rr0 , pr, qr ) = 0 . Ïóñòü êîîðäèíàòû âåêòîðîâ â îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò åñòü: r r r r r r − r0 = (x − x0 )i + (y − y0 ) j + (z − z0 )k , r r r r r r r r p = px i + py j + pz k , q = q x i + q y j + q z k . Òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ (4.57) ìû ìîæåì çàïèñàòü
(rr − rr0 , pr, qr ) =
x − x0 px qx
y − y0 py qy
z − z0 pz = 0 qz
èëè, ïîñëå ðàçëîæåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ ïî ïåðâîé ñòðîêå è ïåðåìåíå ìåñòàìè ñòîëáöîâ âî âòîðîì ñëàãàåìîì
x − x0 px qx
y − y0 py qy =
py qy
z − z0 pz = qz
pz p ⋅ (x − x0 ) + z qz qz
px px ⋅ (y − y0 ) + qx qx
py ⋅ (z − z0 ) = 0. qy
Ââåä¸ì îáîçíà÷åíèÿ:
A=
py qy
pz
p B= z , qz qz
px px C= , qx qx
py
qy .
120
Òîãäà, ñ ó÷¸òîì ââåä¸ííûõ îáîçíà÷åíèé,
A(x − x0 ) + B (y − y0 ) + C (z − z0 ) = 0
(5.20)
Ax + By + Cz + D = 0 .
(5.18)
èëè Çäåñü ìû ïîëîæèëè D = − Ax0 − By0 − Cz0 . Ðàâåíñòâî (5.20) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñêàëÿðíîå ïðîr r r r èçâåäåíèå âåêòîðà n = Ai + Bj + Ck è ïåðïåíäèêóëÿðíîãî åìó r r r r r âåêòîðà r − r0 = (x − x0 )i + (y − y0 ) j + (z − z0 )k . Òàê êàê âåêòîð r r r r − r0 ïðèíàäëåæèò ïëîñêîñòè, òî âåêòîð n åñòü íîðìàëüíûé ê äàííîé ïëîñêîñòè âåêòîð. Ðàññìîòðèì òàê íàçûâàåìûå íåïîëíûå óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòè, ïîëó÷àåìûå èç óðàâíåíèÿ Ax + By + Cz + D = 0 (5.18) ïðèðàâíèâàíèåì íóëþ îäíîãî èëè íåñêîëüêèõ êîýôôèöèåíòîâ: 1. D = 0 .  ýòîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ïëîñêîñòè Ax + By + Cz = 0 , êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè x = y = z = 0 , ò.å. äàííàÿ ïëîñêîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò. 2. A = 0 .  ýòîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ïëîñêîñòè By + Cz + D = 0 ïàðàëëåëüíîé îñè Ox , òàê êàê íîðìàëüíûé âåêòîð äàííîé ïëîñr êîñòè n (0, B,C ) ïåðïåíäèêóëÿðåí îñè Ox , êîòîðàÿ çàäà¸òñÿ íàr ïðàâëÿþùèì âåêòîðîì i (1,0,0 ) . Ðàññìàòðèâàåìàÿ ïëîñêîñòü ïåðåñåêàåò ïëîñêîñòü Oyz ïî ïðÿìîé, óðàâíåíèå êîòîðîé â ýòîé ïëîñêîñòè ñîâïàäàåò ñ ñàìèì óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè By + Cz + D = 0 .
121
Ðàññìàòðèâàÿ àíàëîãè÷íûå ñëó÷àè B = 0 è C = 0 ìû ïîëó÷èì ñîîòâåòñòâåííî óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòåé Ax + Cz + D = 0 è Ax + By + D = 0 ïàðàëëåëüíûõ ñîîòâåòñòâåííî îñÿì Oy è Oz . Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò êðàòêî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê: åñëè â îáùåì óðàâíåíèè ïëîñêîñòè îòñóòñòâóåò ÷ëåí, ñîäåðæàùèé îäíó èç êîîðäèíàò, òî ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà ñîîòâåòñòâóþùåé îñè êîîðäèíàò. 3. A = B = 0 .  ýòîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ïëîñêîñòè Cz + D = 0 ïàðàëëåëüíîé ïëîñêîñòè Oxy , òàê êàê íîðìàëüíûé âåêòîð ïîëór ÷åííîé ïëîñêîñòè n (0,0,C ) ïàðàëëåëåí íàïðàâëÿþùåìó âåêòîðó r îñè Oz - k (0,0,1) . Çàìåòèì, ÷òî åñëè ïåðåïèñàòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè Cz + D = 0 â âèäå
D , C òî ìû ìîæåì ñêàçàòü, ÷òî íàøà ïëîñêîñòü îòñåêàåò íà îñè Oz z=−
îòðåçîê, ðàâíûé −
D . C
Ïîëàãàÿ A = C = 0 è B = C = 0 ìû ïîëó÷èì ñîîòâåòñòâåííî óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòåé By + D = 0 è Ax + D = 0 , ïàðàëëåëüíûõ ñîîòâåòñòâåííî ïëîñêîñòÿì Oxz è Oyz . Èòàê, åñëè íåïîëíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè ñîäåðæèò òîëüêî îäíó ïåðåìåííóþ, òî äàííàÿ ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà òîé êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè, ïåðåìåííûå êîòîðîé íå âõîäÿò â ðàññìàòðèâàåìîå íåïîëíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè. 4. A = B = D = 0 .
122
 ýòîì ñëó÷àå ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ïëîñêîñòè Cz = 0 , êîòîðîå è åñòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè Oxy , ò.ê. ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå óäîâëåòâîðÿåòñÿ çíà÷åíèÿìè z = 0 , à ïåðåìåííûå x è y ìîãóò ïðèíèìàòü ëþáûå çíà÷åíèÿ. Êðîìå òîãî, íîðìàëüíûé âåêr òîð ðàññìàòðèâàåìîé ïëîñêîñòè n (0,0,C ) , êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, ïàðàëëåëåí íàïðàâëÿþùåìó âåêòîðó îñè Oz . Ïîëàãàÿ A = C = D = 0 è B = C = D = 0 ìû ïîëó÷èì ñîîòâåòñòâåííî óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòåé By = 0 è Ax = 0 , ñîâïàäàþùèå ñîîòâåòñòâåííî ñ êîîðäèíàòíûìè ïëîñêîñòÿìè Oxz è Oyz . Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé ïóíêòà 3 ïðè D=0.
r r r r Âîçüì¸ì ïðîèçâîëüíûé âåêòîð a = li + mj + nk è ñîñòàâèì ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå r r r r r r (ar, nr ) = li + mj + nk, nr = l i , nr + m j , nr + n k, nr . Ñ ó÷¸òîì (5.17) ýòî ðàâåíñòâî ìîæíî çàïèñàòü êàê (ar, nr ) = Al + Bm + Cn . r Ïðåäëîæåíèå 5.5. Âåêòîð a ñ êîìïîíåíòàìè l, m, n â îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïàðàëëåëåí ïëîñêîñòè Ax + By + Cz + D = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
(
) ( ) ( ) ( )
(5.21) Al + Bm + Cn = 0 . Çàìåòèì, ÷òî ëþáûå äâà íåêîëëèíåàðíûõ âåêòîðà, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ (5.21) ìîãóò áûòü ïðèíÿòû â êà÷åñòâå íàïðàâëÿþùèõ âåêòîðîâ ïëîñêîñòè. Âñ¸ ñêàçàííîå âûøå î ïëîñêîñòè, ìîæåò áûòü ïðèìåíåíî è ê ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè.  ÷àñòíîñòè, èìååò ìåñòî r Ïðåäëîæåíèå 5.6. Âåêòîð a ñ êîîðäèíàòàìè l, m â îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìå êîîðäèíàò ïàðàëëåëåí ïðÿìîé
123
Ax + By + c = 0 òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà (5.22) Al + Bm = 0 . r r r Òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå n = Ai + Bj , óñëîâèå îðòîãîíàëüíîñr r r r òè âåêòîðà n è íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà a = li + mj è åñòü (5.22). r r r Ó÷èòûâàÿ êîëëèíåàðíîñòü âåêòîðîâ r − r0 è a ìû ìîæåì çàïèñàòü âåêòîðíîå óðàâíåíèå ïðÿìîé èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî íóëþ èõ âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ: (5.23) [rr − rr0 , ar ] = O .
5.5. Óñëîâèÿ ïàðàëëåëüíîñòè ïëîñêîñòåé è ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè Ðàññìîòðèì äâå ïëîñêîñòè π1 è π 2 çàäàííûå ñâîèìè îáùèìè óðàâíåíèÿìè:
A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 è A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 . Ïðåäëîæåíèå 5.7. Äâå ïëîñêîñòè A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 è
A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 ïàðàëëåëüíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A1 B1 C1 = = =λ A2 B2 C 2
(5.24)
è ñîâïàäàþò, åñëè åù¸ D1 =λ. D2
(5.25)
Óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè ïëîñêîñòåé π1 è π 2 ýêâèâàëåíòíî r óñëîâèþ êîëëèíåàðíîñòè èõ íîðìàëüíûõ âåêòîðîâ n1 (A1 , B1 ,C1 ) r r r è n 2 (A2 , B2 ,C 2 ), ò.å. n1 = λn 2 , îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò (5.24). Ðàâåíñòâà (5.24) ìîæíî ïîëó÷èòü è äðóãèì ñïîñîáîì, èñïîëüçóÿ, íàïðèìåð, ðàâåíñòâà (5.17):
124
r r r r r r A1 = i , n1 = i , λn2 = λ i , n2 = λA2 è ò.ä. Åñëè îäíîâðåìåííî âûïîëíåíû óñëîâèÿ (5.24) è (5.25), òîãäà óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòåé ýêâèâàëåíòíû, òàê êàê λ ≠ 0 (êîýôôèöèåíòû ïðÿìûõ îäíîâðåìåííî íå ìîãóò áûòü ðàâíûìè íóëþ).
( ) (
) ( )
Óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè äâóõ ïëîñêîñòåé π1 è π 2 ìîæíî ïîëó÷èòü èç ðàâåíñòâà íóëåâîìó âåêòîðó (îïðåäåëåíèå 4.17) âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ èõ íîðìàëüíûõ âåêòîðîâ: [nr1, nr2 ] = O èëè r r r i j k B C1 r C1 A1 r A1 B1 r A1 B1 C1 = 1 i + j+ k =O , B2 C 2 C 2 A2 A2 B2 A2 B2 C 2 èëè
B1 C1 C1 = B2 C 2 C 2
A1 A1 = A2 A2
B1 =0. B2
(5.26)
Ðàâåíñòâà (5.26) åñòü óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè äâóõ ïëîñêîñòåé. Ïðåäëîæåíèå 5.8. Äâå ïðÿìûå l1 è l 2 íà ïëîñêîñòè çàäàííûå îáùèìè óðàâíåíèÿìè A1x + B1 y + C1 = 0 è A2 x + B2 y + C 2 = 0 ïàðàëëåëüíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà A1 B1 = =λ A2 B2
(5.27)
è ñîâïàäàþò, åñëè åù¸ C1 =λ. C2
(5.28)
Åñëè ïðÿìûå l1 è l 2 ïàðàëëåëüíû, òî ïàðàëëåëüíû è èõ íàr r r r ïðàâëÿþùèå âåêòîðû a1 (− B1 , A1 ) è a2 (− B2 , A2 ) , ò.å. a1 = λa2 , îò-
125
êóäà ñðàçó ñëåäóåò (5.27). Åñëè îäíîâðåìåííî âûïîëíåíû óñëîâèÿ (5.27) è (5.28), òî ó÷èòûâàÿ, ÷òî λ ≠ 0 , ìû èìååì ýêâèâàëåíòíûå óðàâíåíèÿ ïðÿìûõ l1 è l 2 . Âîïðîñ î ïàðàëëåëüíîñòè äâóõ ïðÿìûõ l1 è l 2 (íàïðàâëÿþr r ùèõ âåêòîðîâ a1 (− B1, A1 ) è a2 (− B2 , A2 ) ), ìîæíî ðàññìîòðåòü åù¸ èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî (5.7). Åñëè âûïîëíåíû ðàâåíñòâà (5.27), òî
− B1 − B2
A1 − λB2 = − B2 A2
λA2 − B2 =λ − B2 A2
A2 =0. A2
Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè äâóõ ïðÿìûõ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
A1 A2
B1 =0. B2
(5.29)
Çàäà÷à î ïàðàëëåëüíîñòè äâóõ ïðÿìûõ èëè äâóõ ïëîñêîñòåé ìîæåò áûòü ðåøåíà è ñ òî÷êè çðåíèÿ òåîðèè ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ðàññìîòðèì
äâå
ïðÿìûå
A1x + B1 y + C1 = 0
è
A2 x + B2 y + C 2 = 0 . Ñîñòàâèì èç íèõ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé: A1x + B1 y = −C1 , A2 x + B2 y = −C 2 . Åñëè
A1 A2
B1 ≠0, B2
òî ïî òåîðåìå 3.1 íàøà ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå (ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ â íåêîòîðîé òî÷êå) ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ C1 è
C2 . Åñëè æå
126
A1 A2
B1 =0, B2
÷òî âîçìîæíî, íàïðèìåð, ïðè ïðîïîðöèîíàëüíîñòè ñòðîê îïðåäåëèòåëÿ, ò.å. åñëè A1 = λA2 è B1 = λB2 , òîãäà ïîëàãàÿ A1 = λA2 è
B1 = λB2 ñîñòàâèì ðàñøèðåííóþ ìàòðèöó íàøåé ñèñòåìû: A1 A2
B1 B2
− C1 λA2 ~ − C 2 A2
λB2 B2
− C1 λA2 ~ − C 2 0
λB2 0
− C1 − λC 2 + C1 .
 ýòîì ñëó÷àå ðàíã ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ áóäåò ìåíüøå äâóõ, òîãäà r < n è ïî òåîðåìå Êðîíåêåðà-Êàïåëëè ñèñòåìà áóäåò ñîâìåñòíîé è íåîïðåäåë¸ííîé (ïðÿìûå ñîâïàäàþò) åñëè C1 = λC 2 è áóäåò íåñîâìåñòíîé (ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû), åñëè C1 ≠ λC 2 . Ðàññìîòðèì òåïåðü äâå ïëîñêîñòè A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 è
A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 . Ïîëîæèì A1 = λA2 , B1 = λB2 , C1 = λC 2 è ñîñòàâèì ñèñòåìó óðàâíåíèé A1x + B1 y + C1z = − D1 , A2 x + B2 y + C 2 z = −D2 . Ðàñøèðåííàÿ ìàòðèöà äàííîé ñèñòåìû ïðè ñäåëàííûõ âûøå ïðåäïîëîæåíèÿõ ëåãêî ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê âèäó − D1 λA2 λB2 λC 2 − λD2 + D1 , 0 0 0 àíàëèç êîòîðîé ëåãêî äà¸ò ïðèâåä¸ííûå âûøå óñëîâèÿ ïàðàëëåëüíîñòè è ñîâïàäåíèÿ äâóõ ïëîñêîñòåé.
127
5.6. Óðàâíåíèå ïðÿìîé â ïðîñòðàíñòâå Â ïðåäëîæåíèè 5.7 ìû óñòàíîâèëè óñëîâèÿ ïàðàëëåëüíîñòè èëè ñîâïàäåíèÿ äâóõ ïëîñêîñòåé
B1 C1 C1 = B2 C 2 C 2
A1 A1 = A2 A2
B1 =0. B2
(5.26)
Åñëè óñëîâèå (5.26) íå âûïîëíåíî, ò.å. õîòÿ áû îäèí èç îïðåäåëèòåëåé îòëè÷åí îò íóëÿ, ÷òî ðàâíîñèëüíî çàïèñè B1
C1
B2 C2
2
+
C1
A1
C2
A2
2
+
A1
B1
A2
B2
2
≠ 0,
(5.30)
òî ïëîñêîñòè çàäàííûå óðàâíåíèÿìè
A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 , (5.31) A2 x + B2 y + C2z + D2 = 0 îïðåäåëÿþò ïðÿìóþ, êàê ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïëîñêîñòåé. Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìó óðàâíåíèé (5.31) ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü êàê óðàâíåíèå ïðÿìîé ëèíèè â ïðîñòðàíñòâå ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (5.29). Âûÿñíèì ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îáùåãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû (5.31) ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (5.30).  ýòîì ñëó÷àå ðàíã ñèñòåìû ðàâåí 2 è îáùåå ðåøåíèå áóäåò ñîñòîÿòü èç ÷àñòíîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû è ôóíäàìåíòàëüíîãî ðåøåíèÿ å¸ ïðèâåä¸ííîé ñèñòåìû. ×àñòíîå ðåøåíèå ìû ìîæåì ïîëó÷èòü ïîëîæèâ â (5.31) z = 0 , òîãäà (5.31) ïðèìåò âèä
A1x + B1 y + D1 = 0 , A2 x + B2 y + D2 = 0 . Â ñèëó (5.30) îïðåäåëèòåëü A1 A2
B1 ≠0 B2
è ïî ïðàâèëó Êðàìåðà ìû ìîæåì íàéòè åäèíñòâåííîå ðåøåíèå íîâîé ñèñòåìû
128
A1 − D1 − D1 B1 A − D2 − D2 B2 x0 = y0 = 2 A1 B1 è A1 B1 . A2 B2 A2 B2
(5.32)
Òî÷êó M0 (x0 , y0 ,0 ) ìû ìîæåì ïðèíÿòü çà íà÷àëüíóþ òî÷êó ïðÿìîé (5.31). Ôóíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå ïðèâåä¸ííîé ñèñòåìû ïðè z = 1 ìû ìîæåì ïðèíÿòü â êà÷åñòâå íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà ïðÿìîé. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïëîñêîñòè (5.31) èìåþò íîðìàëüíûå âåêr r òîðû n1 (A1, B1,C1 ) è n2 (A2 , B2 , C2 ) , êîòîðûå ïåðïåíäèêóëÿðíû êàê ñîîòâåòñòâóþùèì ïëîñêîñòÿì, òàê è ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïëîñêîñòåé. Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå íîðìàëüíûõ âåêòîðîâ åñòü âåêòîð ïàðàëëåëüíûé ïðÿìîé (5.31) è â ñîîòâåòñòâèè ñ (4.46) ìû ìîæåì íàïèñàòü: r r r i j k r B C1 r A1 C1 r A1 B1 r r r −j⋅ +k⋅ a = [n1, n2 ] = A1 B1 C1 = i ⋅ 1 B2 C2 A2 C2 A2 B2 . A2 B2 C2 Ïîìåíÿâ âî âòîðîì îïðåäåëèòåëè ìåñòàìè ñòîëáöû çàïèøåì êîîðäèíàòû íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà ïðÿìîé â âèäå:
B1 C1 C1 B2 C2 , C2
A1 A1 A2 , A2
B1 B2 .
(5.33)
Ðàññìîòðèì ïàðàìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå ïðÿìîé (5.2)
x = x0 + lt, y = y0 + mt, z = z0 + nt.
(5.2)
r Åñëè íè îäíà èç êîìïîíåíò íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà a (l, m, n ) íå ðàâíà íóëþ ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü (5.2) â âèäå
129
t= èëè
x − x0 y − y0 z − z0 , t= , t= l m n
x − x0 z − z0 y − y0 z − z0 = = , . (5.34) l n m n Óðàâíåíèÿ (5.34) îïðåäåëÿþò ïðÿìóþ êàê ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïëîñêîñòåé, ïåðâàÿ èç êîòîðûõ ïàðàëëåëüíà îñè îðäèíàò (â íå¸ íå âõîäèò ïåðåìåííàÿ y ), âòîðàÿ ïàðàëëåëüíà îñè àáñöèññ (â íå¸ íå âõîäèò ïåðåìåííàÿ x ). Óðàâíåíèÿ (5.34) ìîæíî çàïèñàòü â áîëåå ñèììåòðè÷íîì âèäå, x − x0 y − y0 z − z0 = = . (5.35) l m n Åñëè îäíà èç êîìïîíåíò íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà ðàâíà íóëþ, íàïðèìåð, l = 0 , òîãäà íàäî ïîëîæèòü x = x0 è óðàâíåíèå ïðÿìîé ïðèìåò âèä
x = x0 ,
y − y0 z − z0 = . m n
(5.36)
Äàííàÿ ïðÿìàÿ ëåæèò â ïëîñêîñòè x = x0 , ò.å. ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè x = 0 . Àíàëîãè÷íî çàïèøóòñÿ óðàâíåíèÿ ïðÿìîé (5.36), åñëè íóëþ áóäåò ðàâíà äðóãàÿ êîìïîíåíòà íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà, ò.å. åñëè m = 0 èëè n = 0 . Åñëè íóëþ ðàâíû îäíîâðåìåííî äâå êîìïîíåíòû íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà, íàïðèìåð, l = m = 0 , òî óðàâíåíèå ïðÿìîé ïðèìåò âèä (5.37) x = x0 , y = y0 . Ýòà ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà îñè àïïëèêàò - îñè Oz . Îñòàëüíûå âàðèàíòû ( l = n = 0 è n = m = 0 ) çàïèøóòñÿ àíàëîãè÷íî.
9 À.À. Êèðñàíîâ
130
5.7. Ïðÿìàÿ íà ïëîñêîñòè. Îñíîâíûå çàäà÷è Çàäà÷à 1. Ñôîðìóëèðîâàòü óñëîâèÿ ïàðàëëåëüíîñòè è ñîâïàäåíèÿ äâóõ ïðÿìûõ 1. Åñëè ïðÿìûå çàäàíû óðàâíåíèÿìè â îáùåì âèäå (5.7)
A1x + B1 y + C1 = 0 è A2 x + B2 y + C 2 = 0 ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðåäëîæåíèåì 5.8, â êîòîðîì ãîâîðèòñÿ, ÷òî ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû, åñëè A1 B1 = A2 B2
(5.38)
è ñîâïàäàþò, åñëè A1 B1 C1 = = A2 B2 C 2 .
(5.39)
2. Åñëè ïðÿìûå çàäàíû ïðèâåä¸ííûìè óðàâíåíèÿìè (5.9) y = k1x + b1 è y = k2 x + b2 , òî óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìûõ ñâîäèòüñÿ ê ðàâåíñòâó óãëîâûõ êîýôôèöèåíòîâ, ò.å. k1 = k2 , à óñëîâèÿ èõ ñîâïàäåíèÿ ñâîäÿòñÿ ê ðàâåíñòâàì
(5.40)
(5.41) k1 = k2 è b1 = b2 . 3. Åñëè ïðÿìûå çàäàíû âåêòîðíûìè óðàâíåíèÿìè (5.15) èëè (5.16) (rr − rr1, nr1 ) = 0 è (rr − rr2 , nr2 ) = 0 èëè (rr, nr1 )+ C1 = 0 è (rr, nr2 ) + C2 = 0 , òî óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìûõ ñâîäèòñÿ ê ïàðàëëåëüíîñòè èõ íîðìàëüíûõ âåêòîðîâ (ïðåäëîæåíèå 4.2), ò.å. r r (5.42) n1 = λn2 , à óñëîâèÿ èõ ñîâïàäåíèÿ ñâîäÿòñÿ ê ðàâåíñòâàì
131
r r r r r r n1 = λn2 , r1 = r2 èëè n1 = λn2 , C1 = C2 .
(5.43)
Çàäà÷à 2. Íàéòè òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ ïðÿìûõ  êàêîì áû âèäå íå áûëè çàäàíû óðàâíåíèÿ ïðÿìûõ ìû âñåãäà ñìîæåì ïðèâåñòè ýòè óðàâíåíèÿ ê îáùåìó âèäó (5.7), ïîýòîìó áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî óðàâíåíèÿ ïðÿìûõ è çàäàíû â âèäå (5.7)
A1x + B1 y + C1 = 0 , A2 x + B2 y + C 2 = 0 . Òàê êàê â ýòîì ñëó÷àå îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû óðàâíåíèé ∆=
A1 A2
B1 ≠0, B2
ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðàâèëîì Êðàìåðà (ñì. (3.10)):
∆x =
− C1 − C2
B1 A ∆y = 1 , B2 A2
− C1 − C2 .
(5.44)
Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ áóäåò èìåòü êîîðäèíàòû
x0 =
∆y ∆x è y0 = . ∆ ∆
(5.45)
Çàäà÷à 3. Íàéòè óãîë ìåæäó äâóìÿ äàííûìè ïðÿìûìè Ïîä óãëîì ϕ ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè l1 è l2 , ðàññìàòðèâàåìûìè èìåííî â òàêîì ïîðÿäêå, áóäåì ïîíèìàòü óãîë, íà êîòîðûé íàäî ïîâåðíóòü ïðÿìóþ l1 ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè äî å¸ ñîâïàäåíèÿ ñ ïðÿìîé l2 (ðèñ. 5.5). Ïóñòü íà ïëîñêîñòè çàäàíû äâå ïðÿìûå l1 è l2
A1x + B1 y + C1 = 0 , A2 x + B2 y + C 2 = 0 . 1. ×òîáû íàéòè óãîë ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè íà ïëîñêîñòè, 9*
132 y
ìû ìîæåì âçÿòü èõ íàïðàâëÿþùèå âåêr r òîðû a1 (− B1, A1 ) , a2 (− B2 , A2 ) è âû÷èñëèòü êîñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè, èñïîëüçóÿ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (4.29) (ar1, ar2 ) = ar1 ⋅ ar2 ⋅ cos ϕ .
l2 l1 ϕ
Î
x
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (4.36) è (4.37) ïîëó÷èì
Ðèñ. 5.5.
cos ϕ = Åñëè ϕ =
A1 A2 + B1B2 A12
+ B12 ⋅ A22 + B22 .
(5.46)
π , òî cos ϕ = 0 , òîãäà 2
(5.47) A1A2 + B1B2 = 0 , ÷òî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê óñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè äâóõ ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè. 2. Óãîë ìåæäó ïðÿìûìè l1 è l2 ìîæíî îïðåäåëèòü, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé (5.10) è ðèñ. 5.6 y A k = tgϕ = − . (5.10) B ϕ
l1
l2
ïðÿìûõ l1 è l2 ê îñè Ox , òîãäà, êàê ýòî ñëåäóåò èç ðèñ. 5.6,
ϕ2
ϕ1
Î
Ïóñòü ϕ1 è ϕ2 - óãëû íàêëîíà
x
Ðèñ. 5.6.
tgϕ = tg(ϕ2 − ϕ1 ) =
Ïîäñòàâëÿÿ
ϕ = ϕ2 − ϕ1 è
tgϕ2 − tgϕ1 1 + tgϕ1 ⋅ tgϕ2 .
(5.48)
133
tgϕ1 = −
A1 A tgϕ2 = − 2 è B1 B2
â (5.48) ïîëó÷èì
A1 A2 + B1 B2 A1B2 − A2 B1 tgϕ = = A1 A2 A1A2 + B1B2 1+ ⋅ B1 B2 −
èëè A1B2 − A2 B1 A1 A2 + B1B2 .
tgϕ =
(5.49)
Åñëè ïðÿìûå çàäàíû â ïðèâåä¸ííîì âèäå y = k1x + b1 è y = k2 x + b2 ,
òîãäà ïîäñòàâëÿÿ k1 = tgϕ1 è k2 = tgϕ2
â (5.48) ïîëó÷èì tgϕ =
Åñëè ϕ =
k2 − k1 1 + k1 ⋅ k2 .
(5.50)
π , òî tgϕ íå ñóùåñòâóåò è íàì ñëåäóåò ïîëîæèòü 2 1 + k1k2 = 0 ,
îòêóäà k2 = −
1 k1
(5.51)
åñòü óñëîâèå ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïðÿìûõ çàäàííûõ â ïðèâåä¸ííîì âèäå. Çàäà÷à 4. Óðàâíåíèå ïðÿìîé â îòðåçêàõ Ðàññìîòðèì îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîé íà ïëîñêîñòè Ax + By + C = 0 .
134
Âûïîëíèì î÷åâèäíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ äàííîãî óðàâíåíèÿ: Ax + By = −C , Ax =
x y By = 1 , 1 , A B
x y x y −C = 1. + = −C èëè + = 1 1 −C −C −C A B A B Ââåä¸ì îáîçíà÷åíèÿ: C C = a, − =b A B è ïîäñòàâèì ýòè çíà÷åíèÿ â ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî, òîãäà ïîëó÷èì −
y
l
b
a
Î
Ðèñ. 5.7.
x y + =1 (5.52) a b òàê íàçûâàåìîå óðàâíåíèå ïðÿìîé â îòðåçêàõ. Âåëè÷èíû a è b , êàê ýòî ñëåäóåò èç x ðèñ.5.7, åñòü îòðåçêè îòñåêàåìûå ïðÿìîé íà êîîðäèíàòíûõ îñÿõ.
Çàäà÷à 5. Ðàçáèåíèå ïëîñêîñòè íà äâå ïîëóïëîñêîñòè r n
M ϕ
l
M0
Ðèñ. 5.8.
Ïóñòü íàì äàíà ïðÿìàÿ l è îïðåäår ë¸ííûé å¸ íîðìàëüíûé âåêòîð n . Ïîëóïëîñêîñòüþ, îïðåäåëÿåìîé ïðÿìîé l è å¸ r íîðìàëüíûì âåêòîðîì n , áóäåì íàçûâàòü ìíîæåñòâî òî÷åê (ðèñ. 5.8) M òàêèõ, ÷òî äëÿ íåêîòîðîé òî÷êè M0 íà ïðÿìîé âåê-
π r òîð M0M ñîñòàâëÿåò ñ n óãîë, íå ïðåâûøàþùèé . 2 r Åñëè rr - ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè M , à r0 - òî÷êè M0 , òî îïðåäå-
135
ëåíèå ïîëóïëîñêîñòè ýêâèâàëåíòíî íåðàâåíñòâó (5.53) (rr − rr0 , nr ) ≥ 0 èëè Ax + By + C ≥ 0 . (5.54) îáà ýòè íåðàâåíñòâà ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü êàê óðàâíåíèÿ ïîëîæèòåëüíîé ïîëóïëîñêîñòè. r Ïðÿìàÿ l è íîðìàëüíûé âåêòîð − n çàäàþò äðóãóþ ïîëóïëîñêîñòü ñ óðàâíåíèåì (5.55) (rr − rr0 , nr ) ≤ 0 èëè Ax + By + C ≤ 0 . Ýòó ïîëóïëîñêîñòü ìû íàçîâ¸ì îòðèöàòåëüíîé ïîëóïëîñêîñòüþ. Çàìåòèì îäíàêî, ÷òî òàêîå ðàçáèåíèå óñëîâíî - îíî îïðåäåëåíî íàïðàâëåíèåì r íîðìàëüíîãî âåêòîðà n . Ax + By + C > 0 0 Èçìåíåíèå íàïðàâëåíèÿ C= + y r B ýòîãî âåêòîðà ðàâíîñèëüíî n r x+ a A óìíîæåíèþ óðàâíåíèÿ ïðÿìîé íà (-1). Ïðè ýòîì ïîAx + By + C < 0 ëîæèòåëüíàÿ ïîëóïëîñêîñòü ñòàíîâèòñÿ îòðèöàÐèñ. 5.9. òåëüíîé, è íàîáîðîò. Ìû âèäèì, ÷òî âûáîð îäíîãî èç óðàâíåíèé ïðÿìîé âûäåëÿåò îäíó, ïîëîæèòåëüíóþ ïîëóïëîñêîñòü è òåì ñàìûì îïðåäåëÿåò îðèåíòàöèþ ïðÿìîé. Çàìåòèì, ÷òî åñëè òî÷êà M0 (x0 , y0 , z0 ) ëåæèò íà ïðÿìîé
Ax + By + C = 0 ,
òî òî÷êà ñ êîîðäèíàòàìè (x0 + A, y0 + B ) ëåæèò â ïîëîæèòåëüíîé ïîëóïëîñêîñòè, òàê êàê ïîäñòàâèâ ýòè êîîðäèíàòû â óðàâíåíèå ïðÿìîé ïîëó÷èì
A(x0 + A) + B (y0 + B ) + C = (Ax0 + By0 + C ) + A2 + B 2 > 0 . r Ýòî ãîâîðèò î òîì, ÷òî íîðìàëüíûé âåêòîð n (A, B ) íàïðàâëåí â ïîëîæèòåëüíóþ ïîëóïëîñêîñòü è ñîñòàâëÿåò ñ íàïðàâëÿr þùèì âåêòîðîì a (− B, A) ïðàâóþ ïàðó âåêòîðîâ (ñì. ðèñ. 5.9).
136
Çàäà÷à 6. Íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïðÿìîé Ðàññìîòðèì îáùåå óðàâíåíèå ïðÿìîé Ax + By + C = 0 , (5.7) r r ñ íîðìàëüíûì âåêòîðîì n (A, B ) . Åñëè âåêòîð n íîðìèðîâàí, òî r n = A2 + B 2 = 1 . y  ýòîì ñëó÷àå èç ðèñ. 5.10 ìû âèäèì, ÷òî (5.56) A = cos α , B = sin α , r ãäå α - óãîë íàêëîíà âåêòîðà n ê îñè Ox . Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå ïðÿìîé x (5.7) ñ ó÷¸òîì (5.56)
r n l α
Î
Ðèñ. 5.10.
x cos α + y sin α − p = 0 ,
(5.57)
ãäå
p = −C > 0 . (5.58) Óðàâíåíèå ïðÿìîé âèäà (5.57) áóäåì íàçûâàòü íîðìàëüíûì óðàâíåíèåì ïðÿìîé.  âåêòîðíîé ôîðìå íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïðÿìîé èìååò âèä: (5.59) (nr, rr ) − p = 0 èëè (nr, rr ) = p , òàê êàê r r r r r r n = Ai + Bj , r = xi + yj è ïîäñòàâëÿÿ ýòè çíà÷åíèÿ â (5.59) è ó÷èòûâàÿ (5.58) ïîëó÷èì r r r r (nr, rr ) − p = Ai + Bj , xi + yj − p = Ax + By + C = 0 . r Åñëè n ≠ 1 , òî äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðèâåñòè óðàâíåíèå ïðÿìîé
(
)
(5.7) ê íîðìàëüíîìó âèäó íàäî óìíîæèòü åãî íà íîðìèðóþùèé ìíîæèòåëü
137
λ=±
1
. (5.60) A2 + B 2 äëÿ îïðåäåë¸ííîñòè áóäåì òàê âûáèðàòü çíàê ïåðåä ðàäèêàëîì, ÷òîáû ïðîèçâåäåíèå λC áûëî îòðèöàòåëüíîé âåëè÷èíîé, ò.å. áóäåì áðàòü çíàê (+ ) åñëè C < 0 è (− ) åñëè C > 0 . Âûÿñíèì ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë âåëè÷èíû p â íîðìàëüíîì óðàâíåíèè ïðÿìîé (5.57).  ýòîì ñëó÷àå y r íîðìàëüíûé âåêòîð åñòü n (cos α, sin α ). Ïåðåíåñ¸ì ýòîò âåêòîð â íà÷àëî êîîðäèíàò M (ðèñ. 5.11), òîãäà, ïðè ñîáëþäåíèè óñëîâèé r îòíîñèòåëüíî âûáîðà çíàêà ó p âåêòîð n r K n áóäåò îáðàù¸í â ñòîðîíó ïðÿìîé è l
Î
p = OK åñòü äëèíà ïåðïåíäèêóëÿðà, îïó-
x
Ðèñ. 5.11.
ùåííîãî èç íà÷àëà êîîðäèíàò íà ïðÿìóþ.
Ïóñòü M (x, y ) ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà,
ëåæàùàÿ íà ïðÿìîé l , òîãäà OK åñòü ïðîåêöèÿ âåêòîðà OM r r íà íîðìàëüíûé âåêòîð n . Ó÷èòûâàÿ, ÷òî âåêòîð n íîðìèðîâàí, r ò.å. n = 1 , íà îñíîâàíèè (4.40) çàïèøåì OK = ÏÐ nr OM =
(OMr , nr )⋅ nr = (OM, nr )= x cos α + y sin α n
2
.
(5.61)
Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî r r r r r OM = xi + yj , à n = cos α ⋅ i + sin α ⋅ j . Ñðàâíèâàÿ (5.61) ñ (5.57) ïîëó÷èì
OK = x cos α + y sin α = p .
(5.62)
Èòàê, p åñòü ðàññòîÿíèå îò íà÷àëà êîîðäèíàò äî ïðÿìîé.
138
Çàäà÷à 7. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïðÿìîé y r n
r R
Íàì òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü (ðèñ. 5.12) ðàññòîÿíèå îò
M
íåêîòîðîé òî÷êè M (X ,Y )∉ l
l
h
äî ïðÿìîé l , çàäàííîé îäíèì èç èçâåñòíûõ íàì óðàâíåíèé. K 1. Êàê âèäíî èç ðèñ. 5.12 M0 r r ðàññòîÿíèå h îò òî÷êè M äî 0 K′ N ïðÿìîé l åñòü ìîäóëü ïðîåêr r öèè âåêòîðà M M = R − r0 íà 0 x Î r Ðèñ. 5.12. íîðìàëüíûé âåêòîð ïðÿìîé n . Èñïîëüçóÿ (4.40) ìû ìîæåì çàr r ïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ ïðîåêöèè âåêòîðà R − r0 íà íîðìàëüíûé r âåêòîð ïðÿìîé n r r r r r − r0 , n r R Ïðnr R − r0 = r 2 ⋅n . (5.63) n r a
(
) (
(
)
)
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî r r n r r = n0 è n0 = 1 n
(5.64)
íàïèøåì ôîðìóëó äëÿ îïðåäåëåíèÿ ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè M äî ïðÿìîé l r r R − r0 , n r r r h = Ïðn R − r0 = r . (5.65) n r r r Çàìåòèì, ÷òî âûðàæåíèå R − r0 , n ïîëó÷àåòñÿ èç âåêòîðíî-
(
)
(
(
)
)
ãî óðàâíåíèÿ ïðÿìîé (5.15) (rr − rr0 , nr ) = 0 r åñëè â íåãî âìåñòî òåêóùåãî ðàäèóñ-âåêòîðà r ïîäñòàâèòü ðàäè-
139
r óñ-âåêòîð R äàííîé òî÷êè M (X ,Y ) .  ýòîì ñëó÷àå áóäåò âûïîëíåíî óñëîâèå (5.53) r r r R − r0 , n > 0 , r åñëè òî÷êà M (X ,Y ) è íîðìàëüíûé âåêòîð n ëåæàò â îäíîé ïîëóïëîñêîñòè, è óñëîâèå (5.55) r r r R − r0 , n < 0 , r åñëè òî÷êà M (X ,Y ) è íîðìàëüíûé n âåêòîð ëåæàò â ðàçíûõ ïîëóïëîñêîñòÿõ.
(
)
(
)
Èòàê, äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè M (X ,Y )
äî ïðÿìîé l çàäàííîé âåêòîðíûì óðàâíåíèåì (5.15), íàäî â ëåâóþ ÷àñòü ýòîãî óðàâíåíèÿ âìåñòî òåêóùåãî ðàäèóñ-âåêòîðà rr ïîär ñòàâèòü ðàäèóñ-âåêòîð R äàííîé òî÷êè M (X ,Y ) è ïîëó÷åííûé ìîäóëü ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïîäåëèòü íà ìîäóëü íîðìàëüíîãî r âåêòîðà n ïðÿìîé l . 2. Åñëè ïðÿìàÿ çàäàíà âåêòîðíûì óðàâíåíèåì (5.23) [rr − rr0 , ar ] = O , òî ðàññòîÿíèå îò òî÷êè M (X ,Y ) äî ïðÿìîé l ìîæíî îïðåäåëèòü (ñì. ðèñ. 5.12) èç ñîîòíîøåíèÿ r r R − r0 , a S h= r = r . (5.66) a a
[
[
]
]
r r r Çäåñü S = R − r0 , a - ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà ïîñòðîåír r íîãî íà âåêòîðàõ M0M = R − r0 è a . Òàêèì îáðàçîì ìû âèäèì, ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ðàñ-
ñòîÿíèå îò òî÷êè M (X ,Y ) äî ïðÿìîé l çàäàííîé âåêòîðíûì óðàâíåíèåì (5.23), íàäî â äàííîå óðàâíåíèå ïðÿìîé âìåñòî òåêóùåãî r ðàäèóñ-âåêòîðà rr ïîäñòàâèòü äàííûé ðàäèóñ âåêòîð R òî÷êè
140
M (X ,Y ) è ïîëó÷åííûé ìîäóëü âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ïîäåëèòü r íà ìîäóëü íàïðàâëÿþùåãî âåêòîðà a ïðÿìîé l . 3. Ïóñòü ïðÿìàÿ çàäàíà íîðìàëüíûì óðàâíåíèåì x cos α + y sin α − p = 0 . (5.57) Èç ðèñ. 5.13 ñëåäóåò, ÷òî ìîäóëü ïðîåêöèè ðàäèóñ-âåêòîðà r r R íà íîðìàëüíûé íîðìèðîâàííûé âåêòîð n åñòü r r R, n r r ÏÐ nr R = r 2 ⋅ n = X cos α + Y sin α = h + p , n
( )
îòêóäà h = X cos α + Y sin α − p . y
l h r n
K p
Çäåñü ìû ó÷ëè, ÷òî r r r r r r R = Xi + Yj , n = cos α ⋅ i + sin α ⋅ j , r n =1.
N r R
(5.67)
M (X ,Y )
Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íàéòè
ðàññòîÿíèå îò òî÷êè M (X ,Y ) äî ïðÿ-
ìîé l , çàäàííîé â íîðìàëüíîì âèäå (5.57), íàäî â ýòî óðàâíåíèå ïîäñòàÐèñ. 5.13. âèòü êîîðäèíàòû äàííîé òî÷êè è ìîäóëü ïîëó÷åííîé âåëè÷èíû ïðèíÿòü çà èñêîìîå ðàññòîÿíèå. 4. Ïóñòü ïðÿìàÿ l çàäàíà â îáùåì âèäå x
O
Ax + By + C = 0 . (5.7) Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ìû ìîæåì ïðèâåñòè äàííîå óðàâíåíèå ê íîðìàëüíîìó âèäó, óìíîæèâ åãî íà íîðìèðóþùèé ìíîæèòåëü λ=±
1
(5.60) A2 + B 2 è ïîäñòàâèâ âìåñòî òåêóùèõ êîîðäèíàò x, y êîîðäèíàòû äàííîé òî÷êè M (X ,Y ) . Âûïîëíèâ óêàçàííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïîëó÷èì
141
h=
AX + BY + C A2 + B 2
.
(5.68)
Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè M (X ,Y ) äî ïðÿìîé l , çàäàííîé â îáùåì âèäå (5.7), íàäî â ýòî óðàâíåíèå ïîäñòàâèòü êîîðäèíàòû äàííîé òî÷êè è ìîäóëü ïîëó÷åííîé âåëè÷èíû ðàçäåëèòü íà ìîäóëü íîðìàëüíîãî âåêòîðà äàííîé ïðÿìîé. Çàìå÷àíèå. Åñëè ïðè îïðåäåëåíèè ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè äî ïðÿìîé íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü âîïðîñ î òîì â êàêîé ïîëóïëîñêîñòè ðàñïîëîæåíà äàííàÿ òî÷êà, ïîëîæèòåëüíîé èëè îòðèöàòåëüíîé, ìû äîëæíû â ôîðìóëàõ (5.65), (5.66), (5.67) è (5.68) óáðàòü çíàê ìîäóëÿ. Òîãäà ïîëîæèòåëüíîå çíà÷åíèå h áóäåò ãîâîðèòü î òîì, ÷òî òî÷êà M íàõîäèòñÿ â ïîëîæèòåëüíîé ïîëóïëîñêîñòè, îòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå h ãîâîðèò î òîì, ÷òî òî÷êà M íàõîäèòñÿ â îòðèöàòåëüíîé ïîëóïëîñêîñòè. Çàäà÷à 8. Îòíîøåíèå, â êîòîðîì äàííàÿ ïðÿìàÿ äåëèò îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé äâå äàííûå òî÷êè Îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì êîãäà ïðÿìàÿ l äàíà â îáùåì âèäå Ax + By + C = 0 , (5.7), òàê êàê ìû ìîæåì ëþáîå óðàâíåíèå ïðÿìîé ïðèâåñòè ê îáùåìó âèäó.
Ïóñòü òî÷êè M1 (x1, y1 ) è M2 (x2 , y2 ) - êîíöû äàííîãî îòðåçêà
M1M2 è M (x, y ) - òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ îòðåçêà M1M2 ñ äàííîé ïðÿìîé (ðèñ. 5.14).  ñîîòâåòñòâèè ñ (4.6), ïîëîæèâ M1M =k. MM2
λ = k , ìû ìîæåì çàïèñàòü µ (5.69)
142
Çàìåòèì, ÷òî k > 0 , åñëè òî÷êà y M ëåæèò âíóòðè îòðåçêà M1M2 è k < 0 , åñëè òî÷êà M ëåæèò âíå îòðåçêà M1M2 . Èç ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ
h1 h2 .
(5.70)
l h1
M h2
MM1N1 è MM2 N 2 ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî k=−
M1
O
M2
x
Ðèñ. 5.14.
Çíàê (-) ïåðåä äðîáüþ âçÿò ïîòîìó, ÷òî åñëè òî÷êè M1 è M2 ëåæàò â ðàçíûõ ïîëóïëîñêîñòÿõ, âåëè÷èíû h1 è h2 áóäóò ðàçíûõ çíàêîâ, òîãäà êàê k â ýòîì ñëó÷àå áóäåò ïîëîæèòåëüíûì. Åñëè æå òî÷êè M1 è M2 áóäóò ëåæàòü â îäíîé ïîëóïëîñêîñòè, çíàêè ó h1 è h2 áóäóò ñîâïàäàòü, íî òîãäà k áóäåò èìåòü îòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå.
Ïîäñòàâëÿÿ â (5.70) âìåñòî h1 è h2 èõ çíà÷åíèÿ âûðàæåííûå â ñîîòâåòñòâèè ñ (5.68) ìû ìîæåì îêîí÷àòåëüíî çàïèñàòü k=−
Ax1 + By1 + C Ax2 + By2 + C .
(5.71)
Çàäà÷à 9. Ïó÷îê ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè Îïðåäåëåíèå 5.3. Ïó÷êîì ïðÿìûõ íà ïëîñêîñòè áóäåì íàçûâàòü ìíîæåñòâî ïðÿìûõ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ôèêñèðîâàííóþ òî÷êó M0 (x0 ,y 0 ) íàçûâàåìóþ öåíòðîì ïó÷êà. Ïðÿìûå A1x + B1 y + C1 = 0 ,
(5.72) A2 x + B2 y + C2 = 0 ïðèíàäëåæàò ïó÷êó, ò.å. èìåþò òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ, åñëè
143
A1 A2
B1 ≠0. B2
(5.73)
Ïîêàæåì, ÷òî óðàâíåíèå
α(A1x + B1 y + C1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 ) = 0
(5.74)
ïðè α 2 + β2 ≠ 0 , ïðèíàäëåæèò ïó÷êó è ìîæåò áûòü âçÿòî â êà÷åñòâå óðàâíåíèÿ ïó÷êà ïðÿìûõ. Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (5.74) â âèäå
(αA1 + βA2 )x + (αB1 + βB2 )y + (αC1 + βC2 ) = 0 .
(5.75)
Åñëè îäíîâðåìåííî âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
αA1 + βA2 = 0 , αB1 + βB2 = 0 , òî äîëæíî áûòü âûïîëíåíî óñëîâèå A1 A2
B1 =0, B2
ò.å. äàííûå ïðÿìûå ïàðàëëåëüíû, à òàê êàê â ñèëó óñëîâèÿ (5.73)
A1B2 − A2 B1 ≠ 0 , òî äîëæíî áûòü α = β = 0 , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò îïðåäåëåíèþ ïó÷êà ïðÿìûõ. Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå (5.75) îïðåäåëÿåò ïðÿìóþ ëèíèþ. Òàê êàê òî÷êà M0 (x0 ,y0 ) ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì ïó÷êà, å¸ êîîðäèíàòû óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì (5.72) A1x0 + B1 y0 + C1 = 0 , A2 x0 + B2 y0 + C 2 = 0 ,
à ïîòîìó êîîðäèíàòû òî÷êè M0 (x0 ,y0 ) óäîâëåòâîðÿþò è óðàâíåíèþ (5.75), è ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð ïó÷êà. Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî ÷åðåç ëþáóþ òî÷êó M (x′, y′) , îòëè÷íóþ
îò òî÷êè M0 (x0 ,y0 ) ïðîõîäèò ïðÿìàÿ âèäà (5.75). Ïîäñòàâèì êîîðäèíàòû òî÷êè M (x′, y′) â óðàâíåíèÿ (5.72)
144 A1x′ + B1 y′ + C1 = u , A2 x′ + B2 y′ + C 2 = v .
Òàê êàê ïðÿìûå (5.72) íå ìîãóò èìåòü äâóõ òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ, ÷èñëà u è v íå ìîãóò îäíîâðåìåííî áûòü ðàâíûìè íóëþ, ò.å. u 2 + v 2 ≠ 0 . Ýòî ïîçâîëÿåò íàì ïîëîæèòü α = −v , β = u . Ïðè òàêèõ çíà÷åíèÿõ α è β êîîðäèíàòû òî÷êè M (x′, y′) óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ ïó÷êà (5.75). Åñëè íàì èçâåñòíû êîîðäèíàòû öåíòðà ïó÷êà M0 (x0 ,y0 ) , òî óðàâíåíèå ïó÷êà (5.75) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå α (x − x0 ) + β(y − y0 ) = 0 . (5.76)
Çàäà÷à 10. Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äâå òî÷êè (óñëîâèå êîëëèíåàðíîñòè òð¸õ òî÷åê) y
M1 r r1
O
M2 r r2
M
l
r r
Ðèñ. 5.15.
x
Ïóñòü íàì äàíû äâå òî÷êè M1 (x1, y1 ) è M 2 (x2 , y2 ) .  âåêòîðíîì ïàðàìåòðè÷åñêîì óðàâíåíèè ïðÿìîé (5.1) r r r (5.1) r − r0 = ta ìû, â ñîîòâåòñòâèè ñ ðèñ. 5.15, ìîæåì ïîëîæèòü r r r r r r0 = r1 , a = M1M2 = r2 − r1 ,
òîãäà, èñêîìàÿ ïðÿìàÿ áóäåò çàäàíà ïàðàìåòðè÷åñêèì âåêòîðíûì óðàâíåíèåì r r r r (5.77) r − r1 = (r2 − r1 )t èëè â êîîðäèíàòíîé ôîðìå x − x1 = (x2 − x1 )t , y − y1 = (y2 − y1 )t .
(5.78) Èñêëþ÷àÿ ïàðàìåòð t èç óðàâíåíèé (5.78), ïîëó÷èì óðàâíåíèå èñêîìîé ïðÿìîé â âèäå x − x1 y − y1 = x2 − x1 y2 − y1 .
(5.79)
145
Äëÿ ïðèäàíèÿ óðàâíåíèþ (5.79) áîëåå ñèììåòðè÷íîãî âèäà ïåðåïèøåì åãî òàê:
(x − x1 )(y2 − y1 ) = (y − y1 )(x2 − x1 )
èëè x − x1
y − y1
x2 − x1
y2 − y1
=0.
(5.80)
Ïðîñòûì âû÷èñëåíèåì ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî óðàâíåíèþ (5.80) ìîæíî ïðèäàòü è åù¸ áîëåå ñèììåòðè÷íûé âèä: x
y
x1
y1 1 = 0
x2
y2 1
1
.
(5.81)
Çàäà÷à 11. Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äàííóþ òî÷êó ïàðàëëåëüíî äàííîé ïðÿìîé  äàííîé çàäà÷å óäîáíî ïðèâåñòè óðàâíåíèå äàííîé ïðÿìîé ê âèäó (5.9) (5.9) y = kx + b . Òîãäà óðàâíåíèå èñêîìîé ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó M0 (x0 , y0 ) , áóäåò ñîäåðæàòü òîò æå êîýôôèöèåíò k , â ñèëó ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìûõ. Èñïîëüçóÿ (5.11) îêîí÷àòåëüíî çàïèøåì óðàâíåíèå èñêîìîé ïðÿìîé â âèäå (5.11) y − y0 = k (x − x0 ) . Çàäà÷à 12. Óðàâíåíèå ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç çàäàííóþ òî÷êó ïîä çàäàííûì óãëîì ê çàäàííîé ïðÿìîé Ïóñòü íàì çàäàíû (ðèñ. 5.16) ïðÿìàÿ y = k1x + b , òî÷êà
M0 (x0 , y0 ) è óãîë ϕ , òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ (5.50) ìû ìîæåì äëÿ
óãëîâîãî êîýôôèöèåíòà k2 èñêîìîé ïðÿìîé íàïèñàòü 10 À.À. Êèðñàíîâ
146 y l2
M0
(5.50)
k1 + tgϕ 1 − k1tgϕ .
(5.82)
èëè
l1 ϕ
k2 − k1 1 + k1k2
k = tgϕ =
y = k1x + b1
k2 =
Óðàâíåíèå èñêîìîé ïðÿìîé çàïèøåòñÿ êàê O
x
Ðèñ. 5.16.
y − y0 =
k1 + tgϕ (x − x0 ) . 1 − k1tgϕ
(5.83)
Çàìå÷àíèå. Åñëè èñêîìóþ ïðÿìóþ íåîáõîäèìî ïðîâåñòè ÷åðåç äàííóþ òî÷êó ïåðïåíäèêóëÿðíî ê äàííîé ïðÿìîé, òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ (5.51) ìû ìîæåì ñðàçó íàïèñàòü y − y0 = −
1 (x − x0 ). k1
(5.84)
Çàäà÷à 13. Óñëîâèå ïåðåñå÷åíèÿ òð¸õ ïðÿìûõ â îäíîé òî÷êå Ïóñòü íàì äàíû òðè óðàâíåíèÿ ïðÿìûõ, ïðèâåä¸ííûõ ê îáùåìó âèäó A1x + B1 y + C1 = 0 , A2 x + B2 y + C 2 = 0 , A3 x + B3 y + C3 = 0 .
Åñëè äâå ïåðâûå ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ â íåêîòîðîé òî÷êå, òî îíè ïðèíàäëåæàò ïó÷êó (5.74)
(5.74) α(A1x + B1 y + C1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 ) = 0 . Åñëè òðåòüÿ äàííàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïåðâûõ äâóõ ïðÿìûõ, òî îíà òîæå ïðèíàäëåæèò ïó÷êó ïðÿìûõ (5.74) è ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì ïîäáîðå êîýôôèöèåíòîâ α è β óðàâíåíèå (5.74) ïðåäñòàâëÿåò ýòó ïðÿìóþ, ò.å. α(A1x + B1 y + C1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 ) = k (A3 x + B3 y + C3 ) .
147
Ïîëàãàÿ k = − γ ïåðåïèøåì ïîñëåäíåå óðàâíåíèå â âèäå α(A1x + B1 y + C1 ) + β(A2 x + B2 y + C 2 ) + γ (A3 x + B3 y + C3 ) = 0 ,
(5.85)
ãäå α2 + β2 + γ 2 ≠ 0 .
(5.86) Ðàñêðûâ ñêîáêè è ïðèâåäÿ ïîäîáíûå, ïåðåïèøåì ïîñëåäíåå óðàâíåíèå â âèäå (αA1 + βA2 + γA3 )x + (αB1 + βB2 + γB3 )y + (αC1 + βC2 + γC3 ) = 0 . Ïîëó÷åííîå òîæäåñòâî ýêâèâàëåíòíî ðàâåíñòâàì αA1 + βA2 + γA3 = 0 , αB1 + βB2 + γB3 = 0 ,
(5.87)
αC1 + β C2 + γC3 = 0 .
 ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé 3.2 (Êðîíåêåðà-Êàïåëëè) ñèñòåìà (5.87) áóäåò èìåòü íåíóëåâîå ðåøåíèå, åñëè A1
A2
A3
B1
B2
B3 = 0
C1 C 2 C3
,
(5.88)
êîòîðîå ìû ìîæåì ïðèíÿòü â êà÷åñòâå óñëîâèÿ ïåðåñå÷åíèÿ òð¸õ äàííûõ ïðÿìûõ â îäíîé òî÷êå.
5.8. Ïðÿìàÿ è ïëîñêîñòü â ïðîñòðàíñòâå. Îñíîâíûå çàäà÷è Çàäà÷à 14. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òðè òî÷êè Íàì òðåáóåòñÿ ñîñòàâèòü óðàâíåíèå ïëîñêîñòè ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òðè äàííûå òî÷êè M1 (x1, y1, z1 ) , M 2 (x2 , y2 , z2 ) , M3 (x3 , y3 , z3 ) íå ëåæàùèå íà îäíîé ïðÿìîé. 1. Ïðè ðåøåíèè ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ âåêòîðíûì ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè (5.4) 10*
148 r r r r r = r0 + t1 p + t2 q ,
M3 M1 r r r1 r3 r M 2 r2
(5.4) ãäå â ñîîòâåòñòâèè ñ ðèñ. 5.17 è M ðèñ. 5.2 íàäî ïîëîæèòü: r r r0 = r1 ;
r r
r r r p = M1M2 = r2 − r1 ; r r r q = M1M3 = r3 − r1 .
z O
y x
Âûïîëíèâ óêàçàííóþ ïîäñòàíîâêó ïîëó÷èì èñêîìîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè
Ðèñ. 5.17.
r r r r r r r = r1 + t1 (r2 − r1 ) + t2 (r3 − r1 ) .
(5.89)
2. Ãîðàçäî ïðîùå ðåøèòü ýòó çàäà÷ó èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå ñìåøàííîãî ïðîèçâåäåíèÿ òð¸õ âåêòîðîâ M1M , M1M2 è M1M3 (ñì. ï. 4.7.3). Òàê êàê âñå ýòè âåêòîðû ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, èõ ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå ðàâíî íóëþ, ò.å.
(M M,M M ,M M )= 0 . 1
âèäå
1
2
1
3
Èñïîëüçóÿ (4.58) çàïèøåì èñêîìîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â x − x1
y − y1
z − z1
x2 − x1
y2 − y1 z2 − z1 = 0
x3 − x1
y3 − y1
z3 − z1
.
(5.90)
Óðàâíåíèþ (5.90) ìîæíî ïðèäàòü áîëåå ñèììåòðè÷íûé âèä (ñì. çàäà÷ó 10): x
y
z
x1
y1
z1 1
x2
y2
z2 1
x3
y3
z3 1
1 =0
.
(5.91)
149
Çàäà÷à 15. Óðàâíåíèå ïëîñêîñòè â îòðåçêàõ Ðàññìîòðèì îáùåå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè (5.18) (5.18) Ax + By + Cz + D = 0 . Ïîëàãàÿ D ≠ 0 ïî àíàëîãèè ñ çàäà÷åé 4 âûïîëíèì î÷åâèäíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ äàííîãî óðàâíåíèÿ: Ax + By + Cz = −D , Ax =
x y z By = Cz = 1 , 1 , 1 , A B C
−D x y z x y z + + = =1 + + = −D − D − D − D 1 1 1 −D èëè . A B C A B C
Ïîëàãàÿ −
D D D =a, − =b, − =c A B C
ïåðåïèøåì ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî â âèäå x y z + + = 1. a b c
(5.92)
Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè â îòðåçêàõ. Çàäà÷à 16.
Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîé è ïëîñêîñòè
1. Ïóñòü ïðÿìàÿ l çàäàíà âåêòîðíûì ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèåì (5.1) r r r (5.1) r = r0 + a t , à ïëîñêîñòü π çàäàíà âåêòîðíûì óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè (5.13) (5.13) (rr − rr0 , nr ) = 0 èëè (rr − rr0 , pr, qr ) = 0 .  ýòîì ñëó÷àå íàì èçâåñòåí íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé r r r r r a (l , m, n ) è íîðìàëüíûé âåêòîð ïëîñêîñòè n (A, B, C ) , n = [p, q ]. Ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè åñëè å¸ íàïðàâëÿþùèé âåê-
150
òîð ar ïåðïåíäèêóëÿðåí íîðìàëüíîìó âåêòîðó ïëîñêîñòè nr , ò.å., åñëè
(ar, nr ) = 0
èëè Al + Bm + Cn = 0 .
r Åñëè ïðè ýòîì íà÷àëüíûé âåêòîð ïðÿìîé r0
(5.93)
áóäó÷è ïîäñòàâëåííûì â óðàâíåíèå ïëîñêîñòè (5.13) ïðåâðàùàåò åãî â òîæäåñòâî, òîãäà íà÷àëüíàÿ òî÷êà ïðÿìîé ëåæèò â äàííîé ïëîñêîñòè è ïðÿìàÿ òîæå ëåæèò â ïëîñêîñòè. Òàêèì îáðàçîì, ïðÿìàÿ l ëåæèò â ïëîñêîñòè π åñëè îäíîâðåìåííî âûïîëíåíû óñëîâèÿ (5.94) Al + Bm + Cn = 0 è Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 . ßñíî, ÷òî íåâûïîëíåíèå óñëîâèÿ (5.93), ò.å. (5.95) Al + Bm + Cn ≠ 0 , åñòü óñëîâèå ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé è ïëîñêîñòè. Ïðÿìàÿ l ïåðïåíäèêóëÿðíà ê ïëîñêîñòè π åñëè íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé ar ïàðàëëåëåí íîðìàëüíîìó âåêòîðó ïëîñêîñòè nr , ÷òî ðàâíîñèëüíî çàïèñè (5.96) [ar, nr ] = θ , èëè r i
r j
r k
l
m
n =θ
A B C
.
(5.97)
2. Åñëè ïðÿìàÿ l çàäàíà â âèäå A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 , A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 ,
à ïëîñêîñòü π çàäàíà ñâîèì îáùèì óðàâíåíèåì Ax + By + Cz + D = 0 , òîãäà íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé â ñîîòâåòñòâèè ñ (5.33) èìååò êîîðäèíàòû
151 r B a 1 B2
C1 C1 , C2 C 2
A1 A1 , A2 A2 r
B1 B2 ,
íîðìàëüíûé âåêòîð ïëîñêîñòè åñòü n (A, B, C ) , è óñëîâèå ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìîé è ïëîñêîñòè åñòü
(ar, nr ) = 0
èëè A
B1
C1
B2
C2
+B
C1
A1
C2
A2
+C
A1
B1
A2
B2
=0.
Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî åñòü íå ÷òî èíîå êàê A
B
C
A1
B1
C1 = 0
A2
B2
C2
.
(5.98)
Åñëè A
B
C
I = A1
B1
C1 ≠ 0
A2
B2
C2
,
òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Êðîíåêåðà-Êàïåëëè ñèñòåìà óðàâíåíèé Ax + By + Cz + D = 0 , A1x + B1 y + C1z + D1 = 0 , A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, òàê êàê ðàíã ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ðàâåí 3 è ÷èñëî íåèçâåñòíûõ òîæå 3 ( RgI = 3 , n = 3 ) è òðè ïëîñêîñòè ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Çàäà÷à 17. Óãîë ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàì èçâåñòåí íîðìàëüíûé âåêòîð ïëîñr r êîñòè n (A, B, C ) è íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé a (l, m, n ) , òîãäà,
152 r n ψ
r a
êàê ýòî ñëåäóåò èç ðèñ. 5.18, óãîë ìåæäó r íîðìàëüíûì âåêòîðîì n (A, B,C ) è íà-
l
r
ïðàâëÿþùèì âåêòîðîì a (l, m, n ) ìîæåò áûòü ïîëó÷åí èç ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ äàííûõ âåêòîðîâ:
ϕ
π
Ðèñ. 5.18.
cos ψ =
Al + Bm + Cn A2 + B 2 + C 2 ⋅ l 2 + m 2 + n 2
.
Òàê êàê ψ=
π −ϕ, 2
òîãäà, ñ ó÷¸òîì òîãî, ÷òî sin ϕ = cos ψ
áóäåò sin ϕ =
Al + Bm + Cn
.
A2 + B 2 + C 2 ⋅ l 2 + m 2 + n 2
(5.99)
Çàäà÷à 18. Óãîë ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè â ïðîñòðàíñòâå r
Åñëè èçâåñòíû íàïðàâëÿþùèå âåêòîðû ïðÿìûõ a1 (l1, m1, n1 ) è
r a2 (l 2 , m2 , n2 ) , òî óãîë ϕ ìåæäó ïðÿìûìè åñòü óãîë ìåæäó èõ íà-
ïðàâëÿþùèìè âåêòîðàìè è ìû ìîæåì ñðàçó íàïèñàòü, ÷òî cos ϕ =
l1l2 + m1m2 + n1n2 l12
+ m12 + n12 ⋅ l22 + m22 + n22
.
(5.100)
Çàäà÷à 19. Ðàçáèåíèå ïðîñòðàíñòâà íà äâà ïîëóïðîñòðàíñòâà Ðàçáèåíèå ïðîñòðàíñòâà íà äâà ïîëóïðîñòðàíñòâà àíàëîãè÷íî ðàçáèåíèþ ïëîñêîñòè (çàäà÷à 5) íà äâå ïîëóïëîñêîñòè. Ïóñòü íàì äàíà ïëîñêîñòü π ñ íîðìàëüíûì âåêòîðîì nr . Ïîëóïðîñòðàíñòâîì, îïðåäåëÿåìûì ïëîñêîñòüþ π è å¸ íîðìàëü-
153
íûì âåêòîðîì nr , áóäåì íàçûr âàòü ìíîæåñòâî òî÷åê (ðèñ. 5.19) n r r r M òàêèõ, ÷òî äëÿ íåêîòîðîé (r − r0 , n ) > 0 òî÷êè M0 ∈ π âåêòîð M0M ñîϕ ñòàâëÿåò ñ âåêòîðîì nr óãîë, íå
ïðåâûøàþùèé
π . 2
Åñëè rr - ðàäèóñ-âåêòîð òî÷-
r êè M , à r0 - ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè
M0
(rr − rr0 , nr ) < 0r −n
M
r q r p π
r )= r ,n 0 r r − r
0
(
Ðèñ. 5.19.
M0 ∈ π , òîãäà îïðåäåëåíèå ïîëó-
ïðîñòðàíñòâà ýêâèâàëåíòíî íåðàâåíñòâó
(rr − rr0 , nr ) ≥ 0
(5.101)
èëè Ax + By + Cz + D ≥ 0 .
(5.102) Îáà ýòè íåðàâåíñòâà ìû ìîæåì ðàññìàòðèâàòü êàê óðàâíåíèÿ ïîëîæèòåëüíîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà. Î÷åâèäíî, ÷òî ïëîñêîñòü è å¸ íîðìàëüíûé âåêòîð − nr çàäàþò äðóãîå ïîëóïðîñòðàíñòâî ñ óðàâíåíèåì (5.103) (rr − rr0 , nr ) ≤ 0 èëè Ax + By + Cz + D ≤ 0 . Ýòî ïîëóïðîñòðàíñòâî ìû áóäåì íàçûâàòü îòðèöàòåëüíûì ïîëóïðîñòðàíñòâîì, èìåÿ â âèäó óñëîâíîñòü òàêîãî ðàçáèåíèÿ. Âûáîð êîíêðåòíîãî óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòè âûäåëÿåò îäíî ïîëîæèòåëüíîå ïîëóïðîñòðàíñòâî. Êàê è â çàäà÷å 5 íîðìàëüíûé âåêòîð ïëîñêîñòè nr íàïðàâëåí â ïîëîæèòåëüíîå ïîëóïðîñòðàír
r
ñòâî è ñîñòàâëÿåò ñ íàïðàâëÿþùèìè âåêòîðàìè ïëîñêîñòè p è q ïðàâóþ òðîéêó âåêòîðîâ. Çàäà÷à 20. Íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè
Íàì èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî îòëè÷íîãî îò íóëåâîãî âåêr òîðà n (A, B,C ) ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê M (x, y, z ) , äëÿ êîòîðûõ
154
(M M, nr )= 0 ,
(5.104)
0
ãäå M0 (x0 , y0 , z0 ) - íåêîòîðàÿ ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà, ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè, êîòîðîå ìîæíî çàïèñàòü è òàê A(x − x0 ) + B (y − y0 ) + C (z − z0 ) = 0 . (5.105) r
Î âåêòîðå n (A, B,C ) áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî îí îðòîãîíàëåí äàííîé ïëîñêîñòè. r Åñëè âåêòîð n (A, B,C ) íîðìèðîâàí, òîãäà A2 + B 2 + C 2 = 1
è åñëè ïðè ýòîì D ≤ 0 , òî óðàâíåíèå (5.104) åñòü íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè. r
Åñëè n = 1 , òî
r r r r (5.106) n = cos α ⋅ i + cos β ⋅ j + cos γ ⋅ k , ãäå α, β, γ - óãëû, îáðàçîâàííûå âåêòîðîì nr ñ îñÿìè êîîðäèíàò.
Ïîäñòàâëÿÿ (5.106) â (5.105) ïîëó÷èì
x cos α + y cos β + z cos γ − p = 0 ,
(5.107)
ãäå − p = D . Â âåêòîðíîé ôîðìå íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè èìååò âèä (5.108) (nr, rr ) − p = 0 èëè (nr, rr ) = p . Åñëè ïëîñêîñòü çàäàíà óðàâíåíèåì (5.109) Ax + By + cz + D = 0 ,
òî äëÿ ïðèâåäåíèÿ åãî ê âèäó (5.107) íàäî íîðìèðîâàòü âåêòîð nr , ò.å. íàäî óðàâíåíèå (5.109) óìíîæèòü íà íîðìèðóþùèé ìíîæèòåëü µ=±
1 A + B2 + C 2 2
.
(5.110)
Äëÿ îïðåäåë¸ííîñòè áóäåì âûáèðàòü çíàê (+) åñëè D < 0 è çíàê (-) åñëè D < 0 . Ïî àíàëîãèè ñ çàäà÷åé 6 ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî p â óðàâíå-
155
íèè (5.108) ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ ðàññòîÿíèåì îò íà÷àëà êîîðäèíàò äî ïëîñêîñòè. Çàäà÷à 21. Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïëîñêîñòè N h p
K
r n
z
Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è âîñïîëüçóåìñÿ ðåçóëüòàòàìè çàäà÷è 7 ï.3. M Ïóñòü ïëîñêîñòü çàäàíà r R íîðìàëüíûì óðàâíåíèåì (5.108). Èç ðèñ. 5.20 ñëåäóåò, ÷òî ìîäóëü ïðîåêöèè ðàäèóñ-âåêr
O
y x
òîðà R òî÷êè M (X ,Y , Z ) íà íîðìàëüíûé íîðìèðîâàííûé âåêòîð nr åñòü
Ðèñ. 5.20.
r r R, n r r Ïðnr R = r 2 ⋅ n = X cos α + Y cos β + Z cos γ = p + h , n
( )
îòêóäà
r r h = X cos α + Y cos β + z cos γ − p èëè h = n, R − p
( )
(5.111)
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ðàññòîÿíèå îò òî÷êè M (X ,Y , Z ) äî ïëîñêîñòè íàäî â íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïëîñêîñòè (5.108) ïîäñòàâèòü êîîðäèíàòû äàííîé òî÷êè è ìîäóëü ïîëó÷åííîé âåëè÷èíû ïðèíÿòü çà èñêîìîå ðàññòîÿíèå. Åñëè ïëîñêîñòü çàäàíà â îáùåì âèäå, òîãäà h=
AX + BY + CZ + D A2 + B 2 + C 2
.
(5.112)
Çàäà÷à 22. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè Ðàññìîòðèì äâå ñêðåùèâàþùèåñÿ (íå ïàðàëëåëüíûå è íå èìåþùèå îáùèõ òî÷åê) ïðÿìûå l1 è l2 . Èç ãåîìåòðèè èçâåñòíî,
156 r a2
÷òî â ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâóþò äâå ïëîñêîñòè π1 è π 2 , òàêèå, ÷òî: l1 ∈ π1 , l 2 ∈ π 2 è π1 ïàðàë-
M2 l2
h
r r2 r r1
M1
ëåëüíà π 2 .
r a1
Ïóñòü óðàâíåíèÿ ïðÿìûõ l1
l1
è l2 åñòü:
r r r r r r r − r1 = a1t è r − r2 = a2t ,
z y
O
òîãäà äëÿ ïëîñêîñòè π1 ïîëîæèì
Ðèñ. 5.21.
r
(ðèñ. 5.21) íà÷àëüíóþ òî÷êó r1 è
x
r
r
íàïðàâëÿþùèå âåêòîðû a1 è a2 , r
à äëÿ ïëîñêîñòè π 2 â êà÷åñòâå íà÷àëüíîé òî÷êè âîçüì¸ì r2 è íàr
r
ïðàâëÿþùèå âåêòîðû a1 è a2 . Î÷åâèäíî, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè åñòü ðàññòîÿíèå ìåæäó ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè π1 è π 2 . Êàê ñëåäóåò èç ðèñ. 5.21 îáú¸ì ïàðàëëåëåïèïåäà ïîñòðîåír r r r íîãî íà âåêòîðàõ r2 − r1 , a1 è a2 åñòü r r r r V = (r2 − r1, a1, a2 ) ,
à ïëîùàäü åãî îñíîâàíèÿ åñòü
r r S = [a1, a2 ] .
Òîãäà âûñîòà ïàðàëëåëåïèïåäà è ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè åñòü h=
V S
=
(rr2 − rr1, ar1, ar2 ) [ar1, ar2 ]
.
(5.113)
Åñëè ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ, òî îíè ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè è h = 0 , òîãäà
(rr2 − rr1, ar1, ar2 ) = 0
r r
è [a1, a2 ] ≠ 0 .
157
Çàäà÷à 23. Ïó÷îê è ñâÿçêà ïëîñêîñòåé Ïó÷êîì ïëîñêîñòåé áóäåì íàçûâàòü ìíîæåñòâî ïëîñêîñòåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ôèêñèðîâàííóþ ïðÿìóþ, íàçûâàåìóþ îñüþ ïó÷êà. Óðàâíåíèå ïó÷êà ïëîñêîñòåé èìååò âèä α (A1x + B1 y + C1z + D1 ) + β(A2 x + B2 y + C 2 z + D2 ) = 0 , (5.114) ãäå α 2 + β 2 ≠ 0 . Ñâÿçêîé ïëîñêîñòåé íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ïëîñêîñòåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ôèêñèðîâàííóþ òî÷êó, íàçûâàåìóþ öåíòðîì ñâÿçêè. Óðàâíåíèå ñâÿçêè ïëîñêîñòåé èìååò âèä α (A1x + B1 y + C1z + D1 ) + β(A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) +
+ γ (A3 x + B3 y + C3z + D3 ) = 0
ãäå α 2 + β 2 + γ 2 ≠ 0 .
,
(5.115)
158
6. Ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà 6.1. Ïàðàáîëà Îïðåäåëåíèå 6.1. Ëèíèÿ íà åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ ïàðàáîëîé, åñëè ñóùåñòâóåò ñèñòåìà ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàò O, x, y , â êîòîðîé óðàâíåíèå ýòîé ëèíèè èìååò âèä y 2 = 2 px , p > 0 .
(6.1) Ïðåäóñìîòðåííàÿ îïðåäåëåíèåì 6.1 ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò O, x, y , êîîðäèíàòû x, y è ñàìî óðàâíåíèå (6.1) íàçûâàþòñÿ êàíîíè÷åñêèìè. Ïðè x < 0 òî÷åê, óäîâëåòâîðÿþùèõ (6.1) íå ñóùåñòâóåò. Ýòî ãîâîðèò î òîì, ÷òî âñÿ ïàðàáîëà ëåæèò â ïîëóïëîñêîñòè x ≥ 0 . Îñü îðäèíàò Oy (x = 0) ïàðàáîëà ïåðåñåêàåò òîëüêî â îäíîé
òî÷êå O(0,0 ) , êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ âåðøèíîé ïàðàáîëû.
Îñü àáñöèññ Ox (y = 0) ÿâëÿåòñÿ îñüþ ñèììåòðèè ïàðàáîëû, ò.ê. èçìåíåíèå çíàêà ó y íå ìåíÿåò óðàâíåíèÿ (6.1). Íà ýòîì îñíîâàíèè îñü àáñöèññ Ox áóäåì íàçûâàòü îñüþ ïàðàáîëû (ôîêàëüíîé îñüþ). Ôîêàëüíàÿ îñü ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé îñüþ ñèììåòðèè. Çàìåòèì, ÷òî ïàðàáîëà íå èìååò öåíòðà ñèììåòðèè. Èòàê, îñü è âåðøèíà ïàðàáîëû îäíîçíà÷íî õàðàêòåðèçóþòñÿ ÷èñòî ãåîìåòðè÷åñêè, áåç îáðàùåíèÿ ê êàêèì-ëèáî êîîðäèíàòàì: îñü åñòü îñü ñèììåòðèè; âåðøèíà - îáùàÿ òî÷êà îñè è ïàðàáîëû. Ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî îñè êàíîíè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò îäíîçíà÷íî õàðàêòåðèçóþòñÿ ïàðàáîëîé: îñü àáñöèññ - êàê îñü ñèììåòðèè ïàðàáîëû, à îñü îðäèíàò - êàê ïðÿìàÿ ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç âåðøèíó ïàðàáîëû ïåðïåíäèêóëÿðíî îñè ñèììåòðèè. Ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå îñè àáñöèññ òàêæå îïðåäåëÿåòñÿ ïàðàáîëîé - êàê ïîëóïðîñòðàíñòâî â êîòîðîì ðàñïîëîæåíà ïàðàáîëà (ðèñ. 6.1). Ìû ìîæåì ñêàçàòü: êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ñàìîé ïàðàáîëîé.
159
Ñëåäñòâèåì ýòîãî ôàêòà áóäåò òî, ÷òî âñå îáúåêòû, îïðåäåëÿþùèåñÿ ñ ïîìîùüþ êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàò, íî íå çàâèñÿùèå îò îðèåíòàöèè îñè îðäèíàò áóäóò èíâàðèàíòíî (ò.å. áåç êàêîãî-ëèáî ïðîèçâîëà) ñâÿx çàíû ñ ïàðàáîëîé. Ê òàêèì îáúåêòàì (ðèñ. 6.1) îòíîñÿòñÿ: 1) ÷èñëî p - ôîêàëüíûé ïàðàìåòð;
y
F
O
p
2
2) ÷èñëî
p x=− 2
Ðèñ. 6.1.
p - ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå; 2 p
3) òî÷êà F 2 ,0 - êîîðäèíàòû ôîêóñà; 4) ïðÿìàÿ x = −
p - äèðåêòðèñà ïàðàáîëû; 2
5) òî÷êà O(0,0 ) - âåðøèíà ïàðàáîëû; 6) ïðÿìàÿ y = 0 - ôîêàëüíàÿ îñü ïàðàáîëû. 6.1.1. Äèðåêòîðèàëüíîå ñâîéñòâî ïàðàáîëû Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ïàðàáîëà åñòü ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê, ðàâíîóäàë¸ííûõ îò ôîêóñà è äèðåêòðèñû (ðèñ. 6.2). Ïóñòü NM = FM ,
y p N − , y 2
òîãäà
M (x, y )
2
x+ −
p 2
O
p F ,0 2
x
p p = x − + ( y − 0 )2 2 2
Âîçâåäÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî â êâàäðàò ïîëó÷èì 2
Ðèñ. 6.2.
.
2
p p 2 x + = x − + y 2 2
160
èëè y 2 = 2 px .
(6.1) Ýòî ñâîéñòâî ïàðàáîëû íàçûâàåòñÿ äèðåêòîðèàëüíûì ñâîéñòâîì ïàðàáîëû è ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ êàê îïðåäåëåíèå ïàðàáîëû. 6.1.2. Êàñàòåëüíàÿ ê ïàðàáîëå Èç ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà èçâåñòíî, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ê êðèâîé y = f (x ) â òî÷êå M0 (x0 , y0 ) èìååò óðàâíåíèå y − y0 = f ′(x0 )(x − x0 ) .
(6.2) Ýòî îáùåå óòâåðæäåíèå ìû ìîæåì ïðèìåíèòü ê ÷àñòè ïàðàáîëû â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè, ãäå y > 0 , çàäàâàåìîé óðàâíåíèåì y = 2 px .
Òàê êàê ′ 0 = yM
p 2 px0
=
p y0
òî, ñëåäîâàòåëüíî, êàñàòåëüíàÿ ê ïàðàáîëå (6.1) â å¸ òî÷êå M0 (x0 , y0 ) , y > 0 çàäà¸òñÿ óðàâíåíèåì: y − y0 =
p (x − x0 ) . y0
Ïðåîáðàçóåì ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå: yy0 − y02 = px − px0 ,
ãäå y02 = 2 px0 , òîãäà yy0 = p(x + x0 ) .
(6.3) íåòðóäíî ïîëó÷èòü (ïðåäëàãàåì ÷èòàòåëþ ïðîäåëàòü ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî) ýòî æå óðàâíåíèå (6.3) è äëÿ y ≤ 0 . Ïðè y0 = 0 êàñàòåëüíàÿ ñîâïàäàåò ñ îñüþ îðäèíàò. Òàêèì îáðàçîì ìû ìîæåì ñêàçàòü: (6.3) åñòü óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ïàðàáîëå (6.1) â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå M0 (x0 , y0 ) ïðèíàäëåæàùåé ïàðàáîëå.
161
6.1.3. Îïòè÷åñêîå ñâîéñòâî ïàðàáîëû Çàìåòèì, ÷òî êàñàòåëüíàÿ ïåðåñåêàåò îñü àáñöèññ y = 0 â òî÷-
êå A(− x0 ,0) . Ïîëàãàÿ â (6.3) y = 0 ñðàçó ïîëó÷àåì x = − x0 .
Ïîêàæåì, ÷òî òî÷êà A(− x0 ,0) íàõîäèòñÿ (ñì. ðèñ. 6.3) íà òîì
æå ðàññòîÿíèè x0 +
p p îò ôîêóñà F 2 ,0 ïàðàáîëû, ÷òî è òî÷êà 2
êàñàíèÿ M0 (x0 , y0 ) , â ñèëó ÷åãî ∠AM0 F = ∠M0 AF . r a
y
ϕ
ϕ ψ
A(− x,0) O
M0 (x0 , y0 ) r r x
p F ,0 2
Ðèñ. 6.3. Èç ðèñ. 6.3 ñðàçó âèäíî, ÷òî AF = x0 +
p , 2
2
2
p p p FM0 = x0 − + y02 = x0 − + 2 px0 = x0 + . 2 2 2
Ê ýòîìó ðåçóëüòàòó ìîæíî ïðèäòè è èíà÷å. Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé (6.3) òàê:
r
x + x0 y = , y0 p
ãäå a (y0 , p ) - íàïðàâëÿþùèé âåêòîð êàñàòåëüíîé. 11 À.À. Êèðñàíîâ
162
p
r Íàéä¸ì óãîë ϕ ìåæäó a (y0 , p ) è âåêòîðîì FM0 x0 − 2 , y0 .
 ñîîòâåòñòâèè ñ (4.37) èìååì p y0 x0 − + py0 2
(ar, FM )
0 cos ϕ = r = a ⋅ FM0
=
=
2
y02
p + p ⋅ x0 − + y02 2 2
p y0 x0 + 2 = p y02 + p 2 ⋅ x0 + 2
y0 y02
+ p2 . r
Íàéä¸ì òåïåðü óãîë ψ ìåæäó a (y0 , p ) è âåêòîðîì p AF x0 + ,0 . Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (4.37) ëåãêî ïîëó÷èì, ÷òî 2
y0
cos ψ =
y02
+ p2
.
(6.4)
Òàêèì îáðàçîì ìû âèäèì, ÷òî óãîë îáðàçóåìûé ðàäèóñ âåêr
y ϕ
ϕ O
Ðèñ. 6.4.
òîðîì r = FM0 è êàñàòåëüíîé ê ïàðàáîëå ðàâåí óãëó îáðàçóåìîìó êàñàòåëüíîé ñ ôîêàëüíîé îñüþ ïàðàáîëû. Ýòî ñâîéñòâî ïàðàáîëû íàçûâàåòñÿ îïòè÷åñêèì ñâîéñòâîì ïàðàáîëû. x Ôèçè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî åñëè â ôîêóñå ïàðàáîëû ïîìåñòèòü òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà
163
(ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí), òî îòðàæàÿñü îò ïàðàáîëû (ðèñ. 6.4) ëó÷è óéäóò ïàðàëëåëüíî ôîêàëüíîé îñè. Íà ýòîì ñâîéñòâå ïàðàáîëû îñíîâàíî, íàïðèìåð, äåéñòâèå ïðîæåêòîðîâ è ñïóòíèêîâûõ àíòåíí.
6.2 Ýëëèïñ Îïðåäåëåíèå 6.2. Ëèíèÿ íà åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ ýëëèïñîì, åñëè ñóùåñòâóåò ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò, â êîòîðîé óðàâíåíèå ýòîé ëèíèè èìååò âèä: x2 a
2
+
y2 b2
=1, a ≥ b > 0.
(6.5)
Ïðåäóñìîòðåííàÿ îïðåäåëåíèåì 6.5 ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò O, x, y , êîîðäèíàòû x, y è ñàìî óðàâíåíèå (6.5) íàçûâàþòñÿ êàíîíè÷åñêèìè. y M (x, y ) Ïðè b = a (6.5) ïðèìåò âèä M ′(x, ky )
b −a
−c
O
c
a
x
(6.6) ÿâëÿþùèéñÿ óðàâíåíèåì îêðóæíîñòè ðàäèóñà R = a ñ öåí-
òðîì â òî÷êå O(0,0 ) . Òàêèì îáðàçîì îêðóæíîñòü, åñòü ÷àñòíûé ñëó÷àé ýëëèïñà. Ïðè b < a ñðàâíèì (ñì. ðèñ. 6.5) ýëëèïñ (6.5) ñ îêðóæíîñòüþ (6.6).
−b
Ðèñ. 6.5. Ïîëîæèì
x2 + y2 = a2 ,
b = k . Åñëè òî÷êà M (x, y ) ïðèíàäëåæèò îêðóæíîa
ñòè, òî òî÷êà M ′(x, ky ) ïðèíàäëåæèò ýëëèïñó, òàê êàê x2 a2
+
(ky )2 b2
=
x2 a2
+
y2 a2
=1
è íàîáîðîò. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ýëëèïñ (6.5) ïîëó÷àåòñÿ èç îêðóæíîñòè (6.6) 11*
164
ïðåîáðàçîâàíèåì
(x, y ) a (x, ky ) ,
ãåîìåòðè÷åñêè ïðåäñòàâëÿþùèì ñîáîé ñæàòèå ïëîñêîñòè ê îñè àáñöèññ â îòíîøåíèè k .
Ïðè b = a ëþáàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó O(0,0) áóäåò îñüþ ñèììåòðèè ýëëèïñà (îêðóæíîñòè). Òàê êàê â (6.6) âõîäÿò òîëüêî êâàäðàòû êîîðäèíàò, òî êîîðäèíàòíûå îñè áóäóò îñÿìè ñèììåòðèè ýëëèïñà (îêðóæíîñòè) è ïðè b < a íèêàêèõ äðóãèõ îñåé ñèììåòðèè íå áóäåò. Èòàê, ïðè b < a îñè ñèñòåìû êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàò îäíîçíà÷íî õàðàêòåðèçóþòñÿ ýëy ëèïñîì. b Çíà÷èò, ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêîâ êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû åäèíñòâåííû è ïîòîìó −a a O x −c c âñå îáúåêòû, îïðåäåëÿåìûå ñ ïîìîùüþ êàíîíè÷åñêèõ êîîðäèíàò, íî íå çàâèñÿùèå îò −b îðèåíòàöèè êîîðäèíàòíûõ a a x= îñåé, áóäóò èíâàðèàíòíî x = − e Ðèñ. 6.6. e ñâÿçàíû ñ ýëëèïñîì. Ê òàêèì îáúåêòàì (ðèñ. 6.6) ýëëèïñà îòíîñÿòñÿ: 1) ÷èñëî a - áîëüøàÿ ïîëóîñü; 2) ÷èñëî b - ìàëàÿ ïîëóîñü; 3) ÷èñëî c = a 2 − b 2 - ëèíåéíûé ýêñöåíòðèñèòåò; 4) ÷èñëî 2c - ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå; 5) ÷èñëî e =
c b2 = 1 − 2 - ÷èñëîâîé ýêñöåíòðèñèòåò ( 0 ≤ e < 1 ); a a
6) ÷èñëî p =
b2 - ôîêàëüíûé ïàðàìåòð; a
7) ïðÿìàÿ y = 0 - ôîêàëüíàÿ (áîëüøàÿ) îñü; 8) ïðÿìàÿ x = 0 - ìàëàÿ îñü;
165
9) òî÷êà O(0,0) - öåíòð ýëëèïñà;
10) òî÷êè (± a, 0 ) , (0, ± b ) - âåðøèíû ýëëèïñà;
11) òî÷êè (± c, 0) - ôîêóñû ýëëèïñà; 12) ïðÿìàÿ x = ±
a - äèðåêòðèñû ýëëèïñà, e ≠ 0 . e
 ÷àñòíîñòè äëÿ îêðóæíîñòè (6.6): b = a, c = 0, e = 0 , p = a. 6.2.1. Ôîêàëüíîå ñâîéñòâî ýëëèïñà r
r
Ïóñòü r1 è r2 - ëåâûé è ïðàâûé ôîêàëüíûå ðàäèóñû (ðèñ. 6.7)
íåêîòîðîé òî÷êè M (x, y ) ïðèíàäëåæàùåé ýëëèïñó (6.5). Òîãäà, êàê ýòî ñëåäóåò èç ðèñ. 6.7 x2 b2 2 2 r12 = (x + c ) + y 2 = (x + c ) + b 2 1 − 2 = x 2 + 2xc + c 2 + b 2 − 2 x 2 = a a b2 b2 c2 = 1 − 2 x 2 + 2xc + c 2 + b 2 = 1 − 2 = 2 , c 2 + b 2 = a 2 = a a a =
c2 a
2
x 2 + 2cx + a 2 = c = ea = e 2 x 2 + 2eax + a 2 = (ex + a ) . 2
Òàê êàê x ≤ a , òî ex < a , òîãäà r1 = a + ex .
y r r1 −c
O
Ðèñ. 6.7.
M (x, y ) r r2 c
(6.7) Ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî, ïîëó÷èì (6.8) r2 = a − ex . Ñëîæèì ëåâûå è ïðàâûå x ÷àñòè ïîñëåäíèõ äâóõ óðàâíåíèé (6.9) r1 + r2 = 2a .
166
Îáðàòíî, ïóñòü M (x, y ) - òàêàÿ òî÷êà ïëîñêîñòè, ÷òî ñóììà å¸ ðàññòîÿíèé r1 + r2 îò ôîêóñîâ ýëëèïñà ðàâíà 2a : r1 + r2 =
(x + c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2
= 2a .
Ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ïîëó÷èì óðàâíåíèå ýëëèïñà (6.5). Òàêèì îáðàçîì ýëëèïñ åñòü ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî âñåõ òî÷åê, ñóììà ðàññòîÿíèé êîòîðûõ îò ôîêóñîâ ðàâíà 2a . Ýòî òàê íàçûâàåìîå ôîêàëüíîå ñâîéñòâî ýëëèïñà ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ â êà÷åñòâå îïðåäåëåíèÿ ýëëèïñà. 6.2.2. Äèðåêòîðèàëüíîå ñâîéñòâî ýëëèïñà Ðàññòîÿíèå òî÷êè ýëëèïñà M (x, y ) äî ëåâîé (ðèñ. 6.8) äèðåêòðèñû x = −
a ðàâíî e
y d1
P
ex + a a r = 1, x+ = e e e
−c
à äî ïðàâîé a − ex a r −x = = 2 e e e x=−
è r1 a x+ e
=
a e
r2 =e a . −x e
r r1
O
Ðèñ. 6.8.
M (x, y ) d2 r r2
Q
c
x
x=
a e
(6.10)
òàêèì îáðàçîì ýëëèïñ (6.5) åñòü ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî òî÷åê, îòíîøåíèå ðàññòîÿíèé êîòîðûõ îò ôîêóñà äî îäíîèì¸ííîé äèðåêòðèñû ðàâíî e - ÷èñëîâîìó ýêñöåíòðèñèòåòó. Ðàññìîòðèì åù¸ îäèí ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ ñîîòíîøåíèÿ (6.10).
167
Çàïèøåì óðàâíåíèå ïðàâîé äèðåêòðèñû x = −x+
a â âèäå e
a =0. e
Ýòî åñòü íîðìàëüíîå óðàâíåíèå ïðÿìîé, òàê êàê çäåñü A2 = 1 r è íîðìàëüíûé âåêòîð åñòü n (− 1,0) . Åñëè M (x, y ) ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ýëëèïñà, òî å¸ ðàññòîÿíèå îò ïðàâîé äèðåêòðèñû â ñîîòâåòñòâèè ñ (5.68) åñòü d2 = −x +
à òàê êàê
a , e
r2 = a − ex ,
òî r2 a − ex a − ex = = =e a a − ex d2 . −x e e
Ïðèìåíÿÿ ýòè æå ðàññóæäåíèÿ ê ëåâîé äèðåêòðèñå x = − ñðàçó çàïèøåì
a e
r1 a + ex = =e d1 x + a e
èëè r1 r = 2 =e. d1 d 2
(6.11)
Ýòî è åñòü òàê íàçûâàåìîå äèðåêòîðèàëüíîå ñâîéñòâî ýëëèïñà, âïîëíå àíàëîãè÷íîå ñîîòâåòñòâóþùåìó ñâîéñòâó ïàðàáîëû, â êîòîðîå îíî ïðåâðàùàåòñÿ ïðè e = 1 .
168
6.2.3. Êàñàòåëüíàÿ ê ýëëèïñó Âåðõíÿÿ ïîëîâèíà ýëëèïñà (y > 0) åñòü ãðàôèê ôóíêöèè y=
Òîãäà y′ = −
b a2 − x2 . a
b x ⋅ = a a2 − x2
1 a2 − x 2
=
b 1 b2 x ⋅ =− 2 ⋅ . a y a y
Äëÿ y < 0 y=− y′ =
b x ⋅ = 2 a a − x2
b 2 a − x2 , a 1 a2 − x2
=−
b 1 b2 x ⋅ =− 2 ⋅ . a y a y
Òàêèì îáðàçîì, êàñàòåëüíàÿ ê ýëëèïñó â ëþáîé åãî òî÷êå M0 (x0 , y0 ) , (êðîìå òî÷åê ñ êîîðäèíàòàìè (± a, 0) ) çàäà¸òñÿ óðàâíåíèåì y − y0 = −
Óìíîæèì (6.12) íà
b 2 x0 a 2 y0
y0 b2
(x − x0 ) .
, òîãäà
(y − y0 ) y02 b
=−
b 2 x0 a y0 2
(x − x0 )⋅ y02 b
èëè yy0 − y02 b2
èëè
(6.12)
=−
xx0 − x02 a2
169 xx0 a2
+
yy0 b2
=
x02 a2
+
y02 b2
= 1,
òàê êàê x02 a
2
+
y02 b2
=1.
Èòàê, óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ýëëèïñó â òî÷êå M0 (x0 , y0 ) åñòü xx0 yy0 + 2 =1. a2 b
(6.13)
Òàê êàê â âåðøèíàõ (± a, 0 ) êàñàòåëüíàÿ ÿâëÿåòñÿ ëèíèåé x = ±a , òî óðàâíåíèå (6.13) ãîäèòñÿ è äëÿ íèõ. Ìû ìîæåì, òàêèì îáðàçîì, îêîí÷àòåëüíî ñêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèå (6.13) åñòü óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ýëëèïñó (6.5) â åãî ïðîèçâîëüíîé òî÷êå M0 (x0 , y0 ) . 6.2.4. Îïòè÷åñêîå ñâîéñòâî ýëëèïñà Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (6.13) òàê xx0 yy0 + 2 −1 = 0 . a2 b
(6.14)
Ýòî åñòü ïðÿìàÿ ó êîòîðîé
A=
y d1
ψ
r r1 −c
M0 (x0 , y0 ) r ϕ r2
O
Ðèñ. 6.9.
c
d2
x0 y0 , B = 2 , C = −1 . a2 b
Íàéä¸ì ðàññòîÿíèÿ (ðèñ. 6.9) îò ñîîòâåòñòâóþùèõ ôîêóñîâ F1 (− c,0 ) è
F2 (c,0) äî êàñàòåëüíîé x (6.14).
Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ïðÿìîé îïðåäåëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ (5.68)
170
d=
Ïîëîæèì d1 =
AX + BY + C A2 + B 2
.
(5.68)
A2 + B 2 = N , òîãäà
r 1 x0 ⋅ (− c ) y0 ⋅ 0 1 x0 c 1 + 2 −1 = +1 = x0 e + a = 1 . 2 2 N N Na Na a b a
Çäåñü ìû ó÷ëè, ÷òî Èòàê d1 = d2 =
c =e. a
r1 . Na
(6.15)
r 1 x0 ⋅ c y0 ⋅ 0 1 x0 c 1 + 2 −1 = −1 = x0 e − a = 2 N a2 N a2 Na Na b
èëè d2 =
r2 . Na
(6.16)
Ñðàâíèâàÿ (6.15) è (6.16) ïîëó÷èì d1 d 2 1 = = r1 r2 Na ,
íî d1 = sin ϕ , à r1
èëè
d2 = sin ψ r2
ϕ=ψ. (6.17) Ñâîéñòâî (6.17) íàçûâàåòñÿ îïòè÷åñêèì ñâîéñòâîì ýëëèïñà. Îíî çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ëó÷ ñâåòà, èñõîäÿùèé èç îäíîãî ôîêóñà, ïîñëå îòðàæåíèÿ îò ýëëèïñà, ñîáèðàåòñÿ â äðóãîì ôîêóñå.
171
6.3. Ãèïåðáîëà Îïðåäåëåíèå 6.3. Ëèíèÿ íà åâêëèäîâîé ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ ãèïåðáîëîé, åñëè ñóùåñòâóåò ñèñòåìà ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàò O, x, y , â êîòîðîé óðàâíåíèå ýòîé ëèíèè èìååò âèä x2 a2
−
y2 b2
= 1, a > 0 , b > 0 .
(6.18)
Ïðåäóñìîòðåííàÿ îïðåäåëåíèåì 6.3 ïðÿìîóãîëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò O, x, y , êîîðäèíàòû x, y è ñàìî óðàâíåíèå (6.18) íàçûâàþòñÿ êàíîíè÷åñêèìè. Ïðè b = a ãèïåðáîëà íàçûâàåòñÿ ðàâíîáî÷íîé. Èç óðàâíåíèÿ (6.18) âèäíî, ÷òî x ≥ a . Ýòî ãîâîðèò î òîì, ÷òî ãèïåðáîëà ðàñïîëîæåíà âíå ïîëîñû, îãðàíè÷åííîé ïðÿìûìè x = ± a . Òàê êàê â óðàâíåíèå ãèïåðáîëû (6.18) âõîäÿò òîëüêî ÷¸òíûå ñòåïåíè êîîðäèíàò, òî êîîðäèíàòíûå îñè áóäóò îñÿìè ñèììåòðèè ãèb b y= x y=− x a a ïåðáîëû, à òî÷êà O(0,0 ) áóäåò å¸ y öåíòðîì ñèììåòðèè. Íèêàêèõ äðób ãèõ îñåé ñèììåòðèè ó ãèïåðáîëû íåò. Îñè ñèñòåìû êàíîíè÷åñêèõ êîF2 F1 îðäèíàò îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ − a O a −c c ãèïåðáîëîé, ò.å. ñ òî÷íîñòüþ äî çíàêîâ, êàíîíè÷åñêèå êîîðäèíàòû åäèíñòâåííû. Âñå îáúåêòû, îïðåäå−b ëÿåìûå ñ ïîìîùüþ êàíîíè÷åñêèõ a a x=− x= êîîðäèíàò, íî íå ìåíÿþùèåñÿ ïðè e e èçìåíåíèè èõ çíàêîâ, èíâàðèàíòíî Ðèñ. 6.10. ñâÿçàíû ñ ãèïåðáîëîé. Ê òàêèì îáúåêòàì (ðèñ. 6.10) ãèïåðáîëû îòíîñÿòñÿ: 1) ÷èñëî a - äåéñòâèòåëüíàÿ ïîëóîñü; 2) ÷èñëî b - ìíèìàÿ ïîëóîñü;
172
3) ÷èñëî c = a 2 + b 2 - ëèíåéíûé ýêñöåíòðèñèòåò; 4) ÷èñëî 2c - ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå; 5) ÷èñëî e =
c b2 = 1 + 2 - ÷èñëîâîé ýêñöåíòðèñèòåò; a a
6) ÷èñëî p =
b2 - ôîêàëüíûé ïàðàìåòð; a
7) ïðÿìàÿ y = 0 - ôîêàëüíàÿ äåéñòâèòåëüíàÿ îñü (îñü àáñöèññ); 8) ïðÿìàÿ x = 0 - ìíèìàÿ îñü (îñü îðäèíàò);
9) òî÷êà O(0,0 ) - öåíòð ãèïåðáîëû;
10) òî÷êè (± a, 0) - âåðøèíû ãèïåðáîëû;
11) òî÷êè (± c, 0) - ôîêóñû ãèïåðáîëû; 12) ïðÿìûå x = ±
a - äèðåêòðèñû ãèïåðáîëû; e b a
13) ïðÿìûå y = ± x - àñèìïòîòû ãèïåðáîëû. 6.3.1. Ôîêàëüíîå ñâîéñòâî ãèïåðáîëû r
r
Ïóñòü r1 è r2 - ëåâûé è ïðàâûé ôîêàëüíûå ðàäèóñû (ðèñ.
6.11) íåêîòîðîé òî÷êè M (x, y ) ïðèíàäëåæàùåé ãèïåðáîëå (6.18). Òîãäà, êàê ýòî ñëåäóåò èç ðèñ. 6.11 2 r12 = (x + c ) + y 2 = x 2 + 2cx + c 2 +
=
c2 a2
b2 2 2 2 1 + x + 2cx + c 2 − b 2 = − = x b a2 a2
b2
x 2 + 2cx + a 2 = e 2 x 2 + 2eax + a 2 = (ex + a ) .
Çäåñü ìû ó÷ëè, ÷òî
2
173 b2 c2 y 2 = 1 + 2 x 2 , 2 2 2, = e 2 , c = ea . a b =c −a a2 2 r22 = (x − c ) + y 2 = x 2 − 2cx + c 2 +
=
c2 a2
Èòàê
b2 2 2 2 1 + x − 2cx + c 2 − b 2 = − = x b a2 a2 b2
x 2 − 2cx + a 2 = e 2 x 2 − 2eax + a 2 = (ex − a ) . 2
r r r1 = ex + a è r2 = ex − a . y
y
−c
(6.19)
r r1
M r r2
O
c x −c
r r1
M
à)
r r2
O
c
x
á) Ðèñ. 6.11.
1. Ðàññìîòðèì ïðàâóþ âåòâü ãèïåðáîëû. Äëÿ íå¸ x äà (6.19) ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê r1 = ex + a , r2 = ex − a . Èç (6.20) ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî r1 − r2 = 2a . 2. Ðàññìîòðèì òåïåðü ëåâóþ âåòâü ãèïåðáîëû.
≥ a , òîã-
(6.20) (6.21) Äëÿ íå¸
x ≤ −a , òîãäà (6.19) ñëåäóåò ïåðåïèñàòü òàê r1 = −ex − a , r2 = −ex + a .
(6.22)
Èç (6.22) ñëåäóåò, ÷òî r1 − r2 = −2a .
Îáúåäèíèâ (6.21) è (6.23) çàïèøåì
(6.23)
174
r1 − r2 = 2a .
(6.24) Ìû ïîëó÷èëè ñîîòíîøåíèå (6.24), òàêîå æå êàê è ñîîòíîøåíèå (6.9) äëÿ ýëëèïñà. Ãèïåðáîëà åñòü ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî âñåõ òî÷åê, àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà ðàçíîñòè ðàññòîÿíèé êîòîðûõ îò ôîêóñîâ ðàâíà 2a . Ýòî è åñòü ôîêàëüíîå ñâîéñòâî ãèïåðáîëû, ÷àñòî èñïîëüçóåìîå è êàê îïðåäåëåíèå ãèïåðáîëû. Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ïîçâîëÿåò íàì ñäåëàòü íåêîòîðîå ïðåäïîëîæåíèå î ãëóáîêîì ðîäñòâå ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà. 6.3.2. Äèðåêòîðèàëüíûå ñâîéñòâà ãèïåðáîëû Äëÿ ïîëó÷åíèÿ äèðåêòîðèàëüíûõ ñâîéñòâ ãèïåðáîëû âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì, èçëîæåííûì â ï. 6.2.2. Çàïèøåì äèðåêòðèñû ãèïåðáîëû x = ± óðàâíåíèé ïðÿìûõ x−
a â âèäå íîðìàëüíûõ e
a a =0 è x+ =0. e e
Åñëè M (x, y ) åñòü ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ãèïåðáîëû (ðèñ. 6.12), òî å¸ ðàññòîÿíèå äî ïðàâîé äèðåêòðèñû åñòü d2 = x −
a e
y
è â ñîîòâåòñòâèè ñ (6.20) r2 = ex − a . Òîãäà r2 ex − a ex − a = = =e ex − a d2 x − a . e e
P d1 r r1 −c
Q d2
c
O
Ïðèìåíÿÿ ýòè æå ðàññóæäåíèÿ ê äèðåêòðèñå x +
a = 0 è ó÷èòûâàÿ, e
x=−
a e
M (x, y ) r r2
x=
a e
Ðèñ. 6.12.
x
175
÷òî ðàññòîÿíèå îò òî÷êè M (x, y ) äî ëåâîé äèðåêòðèñû åñòü d1 = x +
ïîëó÷èì
a è r1 = ex + a e
r1 ex + a = =e a d1 . x+ e
Îêîí÷àòåëüíî ìû ìîæåì çàïèñàòü r1 r = 2 =e. d1 d 2
(6.25)
Èòàê, ãèïåðáîëà, åñòü ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî âñåõ òî÷åê îòíîøåíèÿ ðàññòîÿíèé êîòîðûõ îò ôîêóñîâ äî îäíîèì¸ííûõ äèðåêòðèñ ðàâíî ÷èñëîâîìó ýêñöåíòðèñèòåòó e . Òàêèì îáðàçîì ïàðàáîëà, ýëëèïñ è ãèïåðáîëà ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû èç îäíîé è òîé æå äèðåêòîðèàëüíî-ôîêàëüíîé êîíôèãóðàöèè. Âñ¸ ðàçëè÷èå çàêëþ÷àåòñÿ â âåëè÷èíå ÷èñëîâîãî ýêñöåíòðèñèòåòà e : e = 0 - îêðóæíîñòü, êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé ýëëèïñà; 0 ≤ e < 1 - ýëëèïñ; e = 1 - ïàðàáîëà; e > 1 - ãèïåðáîëà. 6.3.3. Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ãèïåðáîëå Ðàññìîòðèì ïðàâóþ (x > 0) âåòâü ãèïåðáîëû äëÿ y > 0 , ãðàôèê ôóíêöèè êîòîðîé åñòü y=
Òîãäà (ñì. ï. 6.2.3) y′ =
b x 2 − a2 . a
b x b2 x ⋅ = 2⋅ . a x2 − a2 a y
176
Äëÿ y < 0 èìååì b x2 − a2 , a
y=−
y′ = −
1 x −a 2
2
=−
b 1 ⋅ a y,
b x b2 x ⋅ = 2⋅ . a x2 − a2 a y
Òàêèì îáðàçîì, êàñàòåëüíàÿ ê ïðàâîé ãèïåðáîëå (x > 0) â
ëþáîé å¸ òî÷êå M0 (x0 , y0 ) çàäà¸òñÿ óðàâíåíèåì y − y0 =
b 2 x0 a 2 y0
(x − x0 ) .
Ðàññóæäàÿ äàëåå ïî àíàëîãèè ñ ï. 6.2.3 ïîëó÷èì óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ê ãèïåðáîëå â òî÷êå M0 (x0 , y0 ) xx0 a2
−
yy0 b2
=1.
(6.26)
Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòî æå óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé ïîëó÷àåòñÿ è äëÿ ëåâîé âåòâè (x < 0) ãèïåðáîëû. 6.3.4. Îïòè÷åñêîå ñâîéñòâî ãèïåðáîëû âèäå
Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû ï. 6.2.4 ïåðåïèøåì óðàâíåíèå (6.26) â xx0 a
2
−
yy0 b2
−1 = 0 .
(6.27)
Ýòî åñòü ïðÿìàÿ ó êîòîðîé A=
x0 a
2
, B=−
y0 b2
, C = −1 .
Íàéä¸ì ðàññòîÿíèÿ (ðèñ. 6.13) îò ñîîòâåòñòâóþùèõ ôîêóñîâ F1 (− c, 0 ) è F2 (c, 0) äî êàñàòåëüíîé (6.27). Èñïîëüçóÿ (5.68) ïîëó÷èì
177 d1 =
ex + a r 1 x0 ⋅ (− c ) y0 ⋅ 0 + 2 −1 = = 1 , 2 N Na Na a b
d2 =
ex − a r 1 x0 ⋅ c y0 ⋅ 0 + 2 −1 = = 2 N a2 Na Na b
èëè
y
ϕ r r1
−c
ϕ
d1 d 2 1 = = r1 r2 Na .
M0 (x0 , y0 ) r ψ r2 d2 c
O
Èç ðèñ. 6.13 ìû âèäèì, ÷òî d1 d = sin ϕ , à 2 = sin ψ r1 r2
x
èëè
d1
ϕ=ψ.
(6.28) Ñâîéñòâî (6.28) ãîâîðèò î òîì, ÷òî êàñàòåëüíàÿ äåëèò óãîë Ðèñ. 6.13. ìåæäó ðàäèóñ-âåêòîðàìè òî÷êè M0 (x0 , y0 ) ëåæàùåé íà ãèïåðáîëå ïîïîëàì. Ýòî çíà÷èò, ÷òî åñëè â îäèí ôîêóñ ïîìåñòèòü òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà, òî ëó÷ ñâåòà âûõîäÿùèé èç ñîîòâåòñòâóþùåãî ôîêóñà îòðàçèòñÿ îò ãèïåðáîëû ïî ëèíèè ñîåäèíÿþùå¸ äðóãîé ôîêóñ ãèïåðáîëû è òî÷êó M0 (x0 , y0 ) . Âòîðîé ôîêóñ â ýòîì ñëó÷àå âûñòóïàåò êàê ìíèìûé èñòî÷íèê ñâåòà.
6.4. Óðàâíåíèÿ ãèïåðáîë, ýëëèïñîâ è ïàðàáîë îòíåñ¸ííûå ê âåðøèíå Ðàññìîòðèì ãèïåðáîëó (6.18) x2 a2
−
y2 b2
= 1, a > 0 , b > 0 .
(6.18)
Ïåðåíåñ¸ì íà÷àëî ÏÑÊ (ðèñ. 6.14) â ïðàâóþ âåðøèíó ãèïåðáîëû. Ýòî ðàâíîñèëüíî ïðåîáðàçîâàíèþ 12 À.À. Êèðñàíîâ
178 x′ = x − a , y′ = y .
y
Íàéä¸ì óðàâíåíèå ãèïåðáîëû (6.18) â íîâûõ êîîðäèíàòàõ:
(x′ + a)2
−
a2
y′ 2 b2
=1
èëè
(x′ + a )2 − y′ 2 a2
b2
=
x′2
+
a2
2 y′ 2 x′ + 1 − 2 = 1 . a b
y′
a O O′
x′ c x
Ðèñ. 6.14.
Ïðåîáðàçóÿ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî äàëåå, ïîëó÷èì x′ 2 a2 y′ 2 = 2
+
2 y′ 2 x′ − 2 = 0 , a b
b2 b2 x′ + 2 x′ 2 . a a
(6.29)
Ââåä¸ì îáîçíà÷åíèÿ p=
b2 b2 , q= 2 a a
è ïîäñòàâèì èõ â (6.29), â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì óðàâíåíèå ãèïåðáîëû â ÏÑÊ O′x′y′ y′ 2 = 2 px′ + qx′2 .
(6.30)
Çàìåòèì, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå q=
b2 a2
=
c2 − a2 a2
=
c2 a2
− 1 = e 2 − 1 > 0 , ò.ê. e > 1 .
Ðàññìîòðèì òåïåðü ýëëèïñ (6.5) x2 a
2
+
y2 b2
=1, a ≥ b > 0.
(6.5)
Ïåðåíåñ¸ì íà÷àëî êîîðäèíàò (ðèñ. 6.15) â ëåâóþ âåðøèíó ýëëèïñà, ÷òî ðàâíîñèëüíî ïðåîáðàçîâàíèþ
179 x′ = x + a , y′ = y .
Ñîñòàâèì óðàâíåíèå ýëëèïñà â íîâûõ êîîðäèíàòàõ6
(x′ − a )2 + y′2 a2
b2
= 1.
Ïðåîáðàçóåì ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå
(x′ − a )2 + y′ 2 a2
b2
=
x′2 a2
y
y′
O′ − a −c
−
2 y′ 2 x′ + 1 + 2 = 1 , a b y′ 2 = 2
(6.31)
Ââåä¸ì îáîçíà÷åíèÿ
x′ x
c
O
b2 b2 x′ − 2 x′ 2 . a a
p=
b2 b2 , q=− a a
è ïîäñòàâèì èõ â (6.31), â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷èì óðàâíåíèå ýëëèïñà â ÏÑÊ O′x′y′
Ðèñ. 6.15.
y′2 = 2 px′ + qx′2 .
(6.32)
Çäåñü q=−
b2 a2
=
c2 − a2 a2
= e 2 − 1 > 0 , ò.ê. e < 1 .
Ïðè e = 1 , q = 0 , òîãäà (6.32) ïðèíèìàåò âèä y 2 = 2 px ,
ò.å. ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ïàðàáîëû (6.1), ïîñêîëüêó íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò óæå ïîìåùåíî â âåðøèíó ïàðàáîëû è Oxy ñîâïàäàåò ñ O′x′y′ . Òàêèì îáðàçîì óðàâíåíèÿ ãèïåðáîë, ýëëèïñîâ è ïàðàáîë ìîæíî çàäàòü îäíèì îáùèì óðàâíåíèåì âèäà y 2 = 2 px + qx 2 ,
êîòîðîå ïðè: 12*
(6.33)
180 q > 0 - îïðåäåëÿåò ãèïåðáîëó; q = 0 - îïðåäåëÿåò ïàðàáîëó; −1 ≤ q < 0 - îïðåäåëÿåò ýëëèïñ; q = −1 - îïðåäåëÿåò îêðóæíîñòü êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé ýëëèïñà.
6.5. Óðàâíåíèÿ ýëëèïñîâ, ïàðàáîë è ãèïåðáîë â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ y
x+
p 2
r r ϕ O
x=−
p 2
p 2
M (x, y )
x
x p x− 2
Ðèñ. 6.16.
Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå ïàðàáîëû (ðèñ. 6.16) â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ, î êîòîðûõ ìîæíî áîëåå ïîäðîáíî ïðî÷èòàòü â ï. 4.4.4. Ñîâìåñòèì ïîëþñ ïîëÿðíîé ñèp ñòåìû êîîðäèíàò ñ òî÷êîé F ,0 2 êàíîíè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, ïîëÿðíóþ îñü íàïðàâèì ïî îñè àáñöèññ è çàïèøåì êàíîíè÷åñêîå óðàâíåíèå ïàðàáîëû (6.1)
y 2 = 2 px , p > 0
â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ x = r cos ϕ , y = r sin ϕ . Êàê ñëåäóåò èç ðèñ. 6.16 x−
p = r cos ϕ , 2
ãäå r=x+
p p ,à x=r− . 2 2
Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå x â (6.34) ïîëó÷èì
(6.1)
(4.12) (6.34)
181 r−
èëè
p p − = r cos ϕ 2 2
r − p = r cos ϕ
è îêîí÷àòåëüíî r=
p . 1 − cos ϕ
(6.35)
Áóäåì èìåòü â âèäó, ÷òî äëÿ ïàðàáîëû e = 1 . Ïîëó÷èì òåïåðü óðàâíåíèå ýëëèïñà x2 a2
+
y2 b2
=1, a ≥ b > 0
â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ, ñîâìåñòèâ ïîëþñ (ðèñ. 6.17) ñ ëåâûì ôîêóñîì. Èç ðèñ. 6.17 ñëåäóåò, ÷òî
y M (x, y )
r r1 −c
ϕ
x c
O
(6.5)
x
x + c = r1 cos ϕ
èëè x = r1 cos ϕ − c .
Ðèñ. 6.17.
(6.36) Ðàíåå ìû ïîëó÷èëè âûðàæåíèå äëÿ r1 r1 = a + ex .
(6.7) Ïîäñòàâèì â (6.7) çíà÷åíèå x èç (6.36), òîãäà
r1 = a + ex = a + e(r1 cos ϕ − c ) = a − ce + er1 cos ϕ ,
(6.37)
ãäå a − ce = e =
c c2 a2 − c2 b2 =a− = = a2 − c2 = b2 = = p>0. a a a a
Òîãäà r1 = p + er1 cos ϕ
è îêîí÷àòåëüíî óðàâíåíèå ýëëèïñà â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ áóäåò èìåòü âèä
182 r=
p , 1 − e cos ϕ
0 ≤ e <1.
(6.38)
Ðàññìîòðè óðàâíåíèå ãèïåðáîëû x2 a2
−
y2 b2
= 1, a > 0 , b > 0 .
(6.18)
Ñîâìåñòèì ïîëþñ (ðèñ. 6.18) ñ ïðày âûì ôîêóñîì ãèïåðáîëû, òîãäà
r r2
x − c = r2 cos ϕ
îòêóäà x = r2 cos ϕ + c .
a c
O
M (x, y ) ϕ
Çäåñü (6.20) r2 = ex − a . Ïîäñòàâëÿÿ â (6.20) çíà÷åíèå x , ïîëó÷èì
x x−c
x
Ðèñ. 6.18.
r2 = e (r2 cos ϕ + c ) − a = ec − a + er2 cos ϕ .
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ec − a = e =
c c2 c2 − a2 b2 = −a= = = p>0, a a a a
îêîí÷àòåëüíî çàïèøåì óðàâíåíèå äëÿ ãèïåðáîëû â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ r2 = p + er2 cos ϕ
èëè r=
p , . 1 − e cos ϕ e > 1
(6.39)
Òàêèì îáðàçîì ìû âèäèì, ÷òî ïàðàáîëà, ýëëèïñ è ãèïåðáîëà â ïîëÿðíûõ êîîðäèíàòàõ ìîãóò áûòü çàäàíû îäíèì è òåì æå óðàâíåíèåì r=
p . 1 − e cos ϕ
Ýòî åù¸ ðàç ãîâîðèò î åäèíñòâå ýòèõ ëèíèé.
(6.40)
183
7. Ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà. Îáùàÿ òåîðèÿ
7.1. Îáùåå ïîíÿòèå î ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà Îïðåäåëåíèå 7.1. Àëãåáðàè÷åñêèì óðàâíåíèåì îò ïåðåìåííûõ x1 , x 2 ,..., x n áóäåì íàçûâàòü óðàâíåíèå âèäà F (x1 , x 2 ,..., x n ) = 0 ,
(7.1)
â êîòîðîì ëåâàÿ ÷àñòü F (x1 , x2 ,..., xn ) åñòü ìíîãî÷ëåí îò ýòèõ ïåðåìåííûõ. Ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà F (x1, x2 ,..., xn ) áóäåì íàçûâàòü ñòåïåíüþ óðàâíåíèÿ (7.1).  äàííîì ðàçäåëå ìû îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ìíîãî÷ëåíîâ âòîðîé ñòåïåíè îò ïåðåìåííûõ x è y , ò.å. ìíîãî÷ëåíîâ âèäà F (x, y ) = 0 ,
êîòîðûå ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0
(7.2)
èëè â áîëåå ñèììåòðè÷íîé çàïèñè a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0 .
(7.3) Óðàâíåíèÿ (7.2) è (7.3) åñòü ïðîñòî ðàçíûå âèäû çàïèñè îäíîãî è òîãî æå îáùåãî óðàâíåíèÿ ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà îò ïåðåìåííûõ x è y . Ìû áóäåì ïðèäåðæèâàòüñÿ â äàëüíåéøåì çàïèñè îáùåãî óðàâíåíèÿ ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà â âèäå (7.3). Èòàê, ïóñòü íàì çàäàíî îáùåå óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0
(7.3)
â íåêîòîðîé ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Íàøà çàäà÷à áóäåò çàêëþ÷àòüñÿ â ïîèñêå êàíîíè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò, â êîòîðîé óðàâíåíèå (7.3) ïðèìåò ìàêñèìàëüíî ïðîñòîé - êàíîíè÷åñêèé âèä.  ðåçóëüòàòå íàøèõ ïîèñêîâ ìû ïîêàæåì, ÷òî óðàâíåíèå (7.3) áóäåò îïðåäåëÿòü îäíó èç ñëåäóþùèõ ëèíèé:
184
1. 2. 3.
x2 a2 x2 a
2
x2 a
2
+ + +
y2 b2 y2 b2 y2 b
2
=1, a ≥ b > 0
ýëëèïñ;
= −1 , a ≥ b > 0
ìíèìûé ýëëèïñ;
= 0 , a ≥ b > 0,
1 a
2
+
1 b2
=1
äâå ìíèìûå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå;
4. 5.
x2 a
2
x2 a
2
− −
y2 b2 y2 b
2
=1, a > 0 , b > 0 =0 , a >0, b>0,
ãèïåðáîëà; 1 a
2
+
1 b2
=1
äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå;
6. y = 2 px , p > 0
ïàðàáîëà;
7. y 2 = b 2 , b ≠ 0
äâå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå;
8. y 2 = −b 2 , b ≠ 0
äâå ìíèìûå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå;
9. y 2 = 0
äâå ñîâïàäàþùèå ïðÿìûå.
2
Óñëîâèìñÿ î ñëåäóþùåé òåðìèíîëîãèè: 1) ãðóïïó ñëàãàåìûõ (7.4) áóäåì íàçûâàòü ãðóïïîé ñòàðøèõ ÷ëåíîâ (êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé) äàííîãî óðàâíåíèÿ (7.3); 2) ãðóïïó ñëàãàåìûõ (7.5) 2a13 x + 2a23 y + a33 áóäåì íàçûâàòü ëèíåéíîé ÷àñòüþ (ëèíåéíîé ôîðìîé) äàííîãî óðàâíåíèÿ (7.3); 3) êîýôôèöèåíòû a11 , a12 , a22 - êîýôôèöèåíòû êâàäðàòè÷íîé ôîðìû; a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2
185
4) êîýôôèöèåíòû a13 , a23 , a33 - êîýôôèöèåíòû ëèíåéíîé ôîðìû; 5) êîýôôèöèåíò a33 - ñâîáîäíûé ÷ëåí. Äëÿ ñèììåòðèè ôîðìóëû (7.3) ïîëîæèì a12 = a21 , a13 = a31 , a23 = a32 .
7.2. Ïðåîáðàçîâàíèå êîýôôèöèåíòîâ ïðè çàìåíå ÏÑÊ Ïîñòàâèì ïåðåä ñîáîé çàäà÷ó ïåðåõîäà îò îáùåãî óðàâíåíèÿ ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà (7.3) ê êàêîìó-ëèáî êàíîíè÷åñêîìó âèäó, äëÿ ÷åãî ðàññìîòðèì ïîâåäåíèå êîýôôèöèåíòîâ ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà ïðè ïðîèçâîëüíîì ïðåîáðàçîâàíèè ÏÑÊ íå âûõîäÿ èç îäíîãî îïðåäåë¸ííîãî êëàññà ñèñòåìû êîîðäèíàò, à èìåííî ïðàâîé ÏÑÊ. 7.2.1. Ïðåîáðàçîâàíèå êîýôôèöèåíòîâ ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå ÏÑÊ Ðàññìîòðèì ïðåîáðàçîâàíèå êîýôôèöèåíòîâ ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà (7.3) âûçâàííîå ïåðåíîñîì íà÷àëà êîîðäèíàò (ñì. ï. 4.5.1) â íåêîòîðóþ òî÷êó O′(x0 , y0 ) .  ýòîì ñëó÷àå â ñîîòâåòñòâèè ñ (4.17) çàïèøåì x = x ′ + x0 , y = y ′ + y0 . Ïîäñòàâèì (7.6) â (7.3). Òîãäà ó÷èòûâàÿ, ÷òî
(7.6)
x 2 = x′ 2 + 2x′x0 + x02 , y 2 = y′ 2 + 2 y′y0 + y02 , xy = x ′y′ + x ′y0 + y′x0 + x0 y0
ïîëó÷èì a11 x′ 2 + 2a11 x′x0 + a11 x02 + 2a12 x′y′ + 2a12 x′y0 + 2a12 y′x0 + 2a12 x0 y0 + + a22 y′ 2 + 2a22 y′y0 + a22 y02 + 2a13 x′ + 2a13 x0 + 2a23 y′ + 2a23 y0 + a33 = 0 .
186
Ïîëàãàÿ â ïîñëåäíåì óðàâíåíèè ′ , a11 x0 + a12 y0 + a13 = a13 a12 x0 + a22 y0 + a23 = a′23 ,
′ a11 x02 + 2a12 x0 y0 + a22 y02 + +2a13 x0 + 2a23 y0 + a33 = a33
(7.7) (7.8) (7.9)
çàïèøåì åãî â âèäå ′ x′ + 2a′23 y′ + a33 ′ =0. a11 x′ 2 + 2a12 x′y′ + a22 y′ 2 + 2a13
(7.10) Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå (7.10) ñ èñõîäíûì óðàâíåíèåì (7.3) ìû ìîæåì ñäåëàòü âûâîä: ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå ÏÑÊ â ñîîòâåòñòâèè ñ (7.6) êîýôôèöèåíòû ÷ëåíîâ ñòàðøåé ãðóïïû íå ìåíÿþòñÿ. Êîýôôèöèåíòû ÷ëåíîâ ëèíåéíîé ãðóïïû ìåíÿþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëàìè (7.7) ÷ (7.9). Çàìåòèì, ÷òî èñïîëüçóÿ (7.7) è (7.8) ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü (7.9) òàê ′ = (a11 x0 + a12 y0 + a13 )x0 + (a12 x0 + a22 y0 + a23 )y0 + a13 x0 + a23 y0 + a33 = a33 ′ + a13 )x0 + (a′23 + a23 )y0 + a33 . = (a13
Èëè
′ = (a13 ′ + a13 )x0 + (a23 ′ + a23 )y0 + a33 . a33
(7.11)
7.2.2. Ïðåîáðàçîâàíèå êîýôôèöèåíòîâ ïðè ïîâîðîòå ÏÑÊ Ðàññìîòðèì ïîâîðîò ÏÑÊ Oxy âîêðóã òî÷êè O íà óãîë ϕ ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè (ñì. ï. 4.5.2). Ïðè ýòîì ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè (4.25), ñâÿçûâàþùèìè ñòàðûå è íîâûå êîîðäèíàòû x = x ′ cos ϕ − y′ sin ϕ , y = x ′xinϕ + y′ cos ϕ .
(4.25)
Ïîäñòàâèì (4.25) â (7.3). Òîãäà x 2 = x′ 2 cos 2 ϕ − 2x′y′ cos ϕ sin ϕ + y′ 2 sin 2 ϕ , y 2 = x′ 2 sin 2 ϕ + 2x′y′ cos ϕ sin ϕ + y′ 2 cos 2 ϕ , xy = x′ 2 sin ϕ cos ϕ + x′y′ cos 2 ϕ − x′y′ sin 2 ϕ − y′ 2 sin ϕ cos ϕ .
187
Ïðåîáðàçóåì ïîëó÷åííûå ðàâåíñòâà èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ sin 2 ϕ =
1 − cos 2ϕ 1 + cos 2ϕ 2 , cos ϕ = , 2 sin ϕ cos ϕ = sin 2ϕ : 2 2
x2 =
1 2 1 x ′ (1 + cos 2ϕ) − x ′y′ sin 2ϕ + y′ 2 (1 − cos 2ϕ) , 2 2
y2 = xy =
1 (1 − cos 2ϕ) + x′y′ sin 2ϕ + 1 y′(1 + cos 2ϕ) , 2 2
1 2 1 1 1 x ′ sin 2ϕ + x ′y′(1 + cos 2ϕ ) − x ′y′(1 − cos 2ϕ) − y′ 2 sin 2ϕ = 2 2 2 2 =
1 2 1 x ′ sin 2ϕ + x ′y′ cos 2ϕ − y′ 2 sin 2ϕ . 2 2
Ñ ó÷¸òîì òð¸õ ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâ è (4.25) óðàâíåíèå (7.3) ïðèìåò âèä: 1 1 1 1 a11 x ′ 2 + a11 x ′ 2 cos 2ϕ − a11 x ′y′ sin 2ϕ + a11 y′ 2 − a11 y′ 2 cos 2ϕ + 2 2 2 2
+ a12 x′ 2 sin 2ϕ + 2a12 x′y′ cos 2ϕ − a12 y′ 2 sin 2ϕ + +
1 1 1 1 a22 x′ 2 − a22 x ′ 2 cos 2ϕ + a22 x ′y′ sin 2ϕ + a22 y′ 2 + a22 y′ 2 cos 2ϕ + 2 2 2 2 2a13 x ′ cos ϕ − 2a13 y′ sin ϕ + 2a23 x ′ sin ϕ + 2a23 y′ cos ϕ + a33 = 0 .
Ãðóïïèðóÿ ÷ëåíû ïåðåïèøåì ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå 1 1 2 2 (a11 + a22 ) + 2 (a11 − a22 )cos 2ϕ + a12 sin 2ϕ x ′ + 1 + 2 − (a11 − a22 )sin 2ϕ + a12 cos 2ϕ x ′y′ + 2 1 1 + (a11 + a22 ) − (a11 − a22 )cos 2ϕ − a12 sin 2ϕ y′ 2 + 2 2 + 2(a13 cos ϕ + a23 sin ϕ)x ′ + 2(a23 cos ϕ − a13 sin ϕ)y′ + a33 =
′ x′ 2 + 2a12 ′ x′y′ + a22 ′ y′ 2 + 2a13 ′ x′ + 2a′23 y′ + a33 ′ =0. = a11
188
Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ ïåðåìåííûõ ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòîâ îáùåãî óðàâíåíèÿ ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà ïîñëå ïîâîðîòà ÏÑÊ íà óãîë ϕ ′ = a11
1 (a11 + a22 ) + 1 (a11 − a22 )cos 2ϕ + a12 sin 2ϕ , 2 2
′ =− a12 ′ = a22
1 (a11 − a22 )sin 2ϕ + a12 cos 2ϕ , 2
1 (a11 + a22 ) − 1 (a11 − a22 )cos 2ϕ − a12 sin 2ϕ , 2 2
(7.12) (7.13) (7.14)
′ = a13 cos ϕ + a23 sin ϕ , a13
(7.15)
a′23 = a23 cos ϕ − a13 sin ϕ ,
(7.16)
′ = a33 . a33 Îêîí÷àòåëüíî çàïèøåì
(7.17)
′ x′ 2 + 2a12 ′ x′y′ + a′22 y′ 2 + 2a13 ′ x′ + 2a′23 y′ + a33 ′ =0. a11
âîä:
(7.18) Àíàëèçèðóÿ óðàâíåíèÿ (7.12) ÷ (7.17) ìû ìîæåì ñäåëàòü âû-
′ , a12 ′ , a22 ′ 1) ïðè ïîâîðîòå ÏÑÊ íà óãîë ϕ êîýôôèöèåíòû a11 ãðóïïû ñòàðøèõ ÷ëåíîâ âûðàæàþòñÿ ëèøü ÷åðåç óãîë ϕ è êîýôôèöèåíòû ñòàðøèõ ÷ëåíîâ a11 , a12 è a22 ; ′ è a′23 âûðàæàþòñÿ 2) êîýôôèöèåíòû ëèíåéíîé ôîðìû a13
ëèøü ÷åðåç óãîë ϕ è êîýôôèöèåíòû ëèíåéíîé ôîðìû a13 è a23 ; ′ = a33 ïðè ïîâîðîòå ÏÑÊ íå ìåíÿåòñÿ. 3) ñâîáîäíûé ÷ëåí a33
7.3. Ïîíÿòèå èíâàðèàíòà. Îñíîâíûå èíâàðèàíòû ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà Ðàññìîòðèì îäèí èç âàæíåéøèõ âîïðîñîâ ñâÿçàííûõ ñ òåîðèåé ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà, à èìåííî, âîïðîñ îá èíâàðèàíòàõ. Íà÷í¸ì ñ ïîÿñíåíèÿ ýòîãî ïîíÿòèÿ íà ïðèìåðå. Ñëîæèâ óðàâíåíèÿ (7.12) è (7.14), ïîëó÷èì:
189 ′ + a22 ′ = a11 + a22 . a11
Èòàê, ìû âèäèì, ÷òî ïðè ïîâîðîòå ÏÑÊ âåëè÷èíû a11 è a22 èçìåíÿþòñÿ êàæäàÿ â îòäåëüíîñòè (îáðàùàÿñü â íîâûå âåëè÷è′ è a22 ′ ), íî èõ ñóììà îñòà¸òñÿ íåèçìåííîé. Íåèçìåííûìè ýòè íû a11 âåëè÷èíû, êàê ìû ýòî âûÿñíèëè ðàíåå, îñòàþòñÿ è ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå ÏÑÊ. Èòàê, ñóììà êîýôôèöèåíòîâ ïðè êâàäðàòàõ ïåðåìåííûõ â (7.3) (7.19) I1 = a11 + a22 îñòà¸òñÿ íåèçìåííîé ïî îòíîøåíèþ ê ïàðàëëåëüíîìó ïåðåíîñó è ïîâîðîòó ÏÑÊ. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî âûðàæàþò, ãîâîðÿ, ÷òî I1 åñòü èíâàðèàíò óðàâíåíèÿ (7.3) ïðè óêàçàííûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ÏÑÊ. Âîîáùå, âñÿêàÿ ôóíêöèÿ f (a11 , a12 , a22 , a13 , a23 , a33 )
îò êîýôôèöèåíòîâ óðàâíåíèÿ (7.3) íàçûâàåòñÿ èíâàðèàíòîì ïðè ïðåîáðàçîâàíèè ÏÑÊ, åñëè çíà÷åíèå ýòîé ôóíêöèè îñòà¸òñÿ íåèçìåííûì ïðè ïåðåõîäå îò îäíîé ÏÑÊ ê äðóãîé, ò.å. åñëè ′ , a12 ′ , a22 ′ , a13 ′ , a23 ′ , a33 ′ ) = f (a11, a12 , a22 , a13 , a23 , a33 ) . f (a11 Îñíîâíîå çíà÷åíèå ïîíÿòèÿ èíâàðèàíòà ñòàíåò ÿñíûì, åñëè çàìåòèòü, ÷òî âûðàæåíèå âèäà f (a11 , a12 , a22 , a13 , a23 , a33 ) òîëüêî â òîì ñëó÷àå ìîæåò ïðåäñòàâëÿòü ãåîìåòðè÷åñêóþ âåëè÷èíó, õàðàêòåðíóþ äëÿ ñàìîé ðàññìàòðèâàåìîé ëèíèè, à íå çàâèñÿùóþ îò ñëó÷àéíîãî ïîëîæåíèÿ îñåé êîîðäèíàò, åñëè òîëüêî ýòî âûðàæåíèå åñòü èíâàðèàíò. Ïîýòîìó âîïðîñ îá îòûñêàíèè èíâàðèàíòîâ - åñòü îäèí èç ñàìûõ âàæíûõ êàê â òåîðèè ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà, òàê è â ãåîìåòðèè âîîáùå. Ïðèâåä¸ì åù¸ îäèí ïðèìåð èíâàðèàíòà ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà. Èç óðàâíåíèé (7.12) ÷ (7.14) ñëåäóåò: ′ − a′22 = (a11 − a22 )cos 2ϕ + 2a12 sin 2ϕ , a11 ′ = −(a11 − a22 )sin 2ϕ + 2a12 cos 2ϕ . 2a12
Âîçâîäÿ ýòè ðàâåíñòâà â êâàäðàò è ñêëàäûâàÿ, ïîëó÷èì
190
(a11′ − a22′ )2 + 4a12′ 2 = (a11 − a22 )2 + 4a122 , îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî âûðàæåíèå
(a11′ − a22′ )2 + 4a12′ 2 = (a11 − a22 )2 + 4a122 åñòü òîæå èíâàðèàíò.
(a11 − a22 )2 + 4a122
(7.20)
Ýòîò èíâàðèàíò ìîæåò áûòü ïåðåïèñàí è òàê:
(a11 − a22 )2 + 4a122 = a112 − 2a11a22 + a222 + 4a122 = 2 2 2 = a11 − 2a11a22 + a22 + 4a12 + 2a11a22 − 2a11a22 =
(
2 2 2 2 = a11 + 2a11a22 + a22 + 4a12 − 2a11a22 = (a11 + a22 ) − 4 a11a22 − a12 2
èëè
(a11 − a22 )2 + 4a122 = (a11 + a22 )2 − 4(a11a22 − a122 ).
)
(7.21)
Çàìåòèì, ÷òî åñëè ìû èìååì íåñêîëüêî èíâàðèàíòîâ I1 , I 2 ,..., I n , òî ëþáàÿ èõ ôóíêöèÿ F (I1 , I 2 ,..., I n ) åñòü òîæå èíâàðèàíò. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî åñëè I1 , I 2 ,..., I n íå ìåíÿþòñÿ ïðè çà-
ìåíå ÏÑÊ, òî íå áóäåò ìåíÿòüñÿ è F (I1 , I 2 ,..., I n ) . Òàêèì îáðàçîì åñëè I1 = a11 + a22
èíâàðèàíò, òî è I12 = (a11 + a22 )
2
òîæå èíâàðèàíò. Âû÷èòàÿ èç (7.21) I12 ïîëó÷èì èíâàðèàíò
(
)
2 , − 4 a11a22 − a12
ðàçäåëèâ êîòîðûé íà −4 îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì íîâûé èíâàðèàíò I 2 : 2 I 2 = a11a22 − a12 =
Çäåñü ìû ó÷ëè, ÷òî a12 = a21 .
a11 a21
a12 a22 .
(7.22)
191
Ñ ïîìîùüþ äîâîëüíî óòîìèòåëüíûõ âû÷èñëåíèé (èëè èñïîëüçóÿ òåîðèþ êâàäðàòè÷íûõ ôîðì, êîòîðóþ ìû áóäåì èçó÷àòü âî âòîðîì ñåìåñòðå) ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ′ a11 ′ a21
′ a12 ′ a22
′ a31
′ a32
′ a13 a11 a′23 = a21 ′ a33 a31
a12
a13
a22
a23
a32
a33
,
ò.å. a11
a12
a13
I 3 = a21
a22
a23
a31
a32
a33
(7.23)
åñòü òîæå èíâàðèàíò ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà. Èòàê, ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó âàæíîìó âûâîäó: âûðàæåíèÿ I1 , I 2 , I 3 åñòü îðòîãîíàëüíûå èíâàðèàíòû óðàâíåíèÿ ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà. Çàìå÷àíèå. Ðàññìîòðèì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå I 2 − λE = O
èëè a11 − λ
a12
a21
a22 − λ
= 0.
(7.24)
Ðàñêðîåì îïðåäåëèòåëü (7.24) a11 − λ
a12
a21
a22 − λ
2 = (a11 − λ )⋅ (a22 − λ ) − a12 =0
èëè
(
)
2 λ2 − (a11 + a22 )λ + a11a22 − a12 =0,
èëè ñ ó÷¸òîì (7.19) è (7.22) λ2 − I1λ + I 2 = 0 ,
(7.25)
îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò èíâàðèàíòíîñòü êîðíåé λ1 è λ 2 â ñèëó èíâàðèàíòíîñòè êîýôôèöèåíòîâ I1 è I 2 .
192
Èíâàðèàíòû I1 è I 2 åñòü ôóíêöèè îò λ1 è λ 2 â ñèëó õîðîøî èçâåñòíîé íàì èç øêîëüíîé ïðîãðàììû òåîðåìû Âèåòà, ò.å. I1 = λ 1 + λ 2 à I 2 = λ 1 ⋅ λ 2 . (7.26) Ê èíâàðèàíòàì ìû ìîæåì ïðèïèñàòü è ðàíãè îïðåäåëèòåëåé I 2 è I 3 , ò.å. RgI 2 è RgI 3 åñòü òîæå èíâàðèàíòû. Ãåîìåòðè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà è èõ ðàñïîëîæåíèå âïîëíå îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèåì èõ èíâàðèàíòîâ I1 , I 2 , I 3 .
 çàâèñèìîñòè îò çíàêà I 2 îíè ðàçäåëÿþòñÿ íà ñëåäóþùèå òèïû: I 2 > 0 - ýëëèïòè÷åñêèé òèï; I 2 < 0 - ãèïåðáîëè÷åñêèé òèï; I 2 = 0 - ïàðàáîëè÷åñêèé òèï.
Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì òðè êàíîíè÷åñêèõ óðàâíåíèÿ ýëëèïñà, ãèïåðáîëû è ïàðàáîëû: 1. Ýëëèïñ
x2 y2 + = 1 èëè 9x 2 + 16 y 2 − 144 = 0 . 16 9
Çäåñü a11 = 9 , a22 = 16 , a12 = 0 , òîãäà I2 =
2. Ãèïåðáîëà
9
0
0 16
= 144 > 0 .
x2 y2 − = 1 èëè 9x 2 − 16 y 2 − 144 = 0 . 16 9
Çäåñü a11 = 9 , a22 = −16 , a12 = 0 è òîãäà I2 =
9
0
0 − 16
= −144 < 0 .
3. Ïàðàáîëà y 2 = 6x èëè y 2 − 6x = 0 .
193
Çäåñü a11 = 0 , a22 = 1 , a12 = 0 , a13 = −3 è òîãäà I2 =
0 0 0 1
=0.
7.4. Öåíòð ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïðåîáðàçîâàíèå ê öåíòðó  ï. 7.2.1. ìû óñòàíîâèëè, ÷òî ïðè ïàðàëëåëüíîì ïåðåíîñå ÏÑÊ èçìåíÿþòñÿ ëèøü êîýôôèöèåíòû ëèíåéíîé ãðóïïû â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëàìè (7.7), (7.8) è 97.9). Çàäàäèìñÿ âîïðîñîì, êàê íàéòè òàêóþ ÏÑÊ O′x′y′ , ïîëó÷åííóþ èç ÏÑÊ Oxy ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì, ÷òîáû óðàâíåíèå (7.10) ïðèíÿëî âèä ′ =0. a11 x′ 2 + 2a12 x′y′ + a22 y′ 2 + a33
(7.27)
Ýòî çíà÷èò, ÷òî ìû äîëæíû íàéòè òàêóþ ÏÑÊ O′x′y′ , â êîòîðîé ′ = 0 è a23 ′ = 0. a13 Åñëè x0 , y0 - êîîðäèíàòû O′ èñêîìîé ÏÑÊ, òîãäà èç óðàâíåíèé (7.7) è (7.8) ìû èìååì ñèñòåìó óðàâíåíèé a11 x0 + a12 y0 + a13 = 0 , a12 x0 + a22 y0 + a23 = 0 ,
(7.28) êîòîðóþ ìû áóäåì íàçûâàòü óðàâíåíèÿìè öåíòðà ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà, à òî÷êà O′(x0 , y0 ) , ãäå x0 , y0 - ðåøåíèå ñèñòåìû (7.28) öåíòð ýòîé ëèíèè. Ïîÿñíèì ïîíÿòèå öåíòð ëèíèè. Ïóñòü íà÷àëî ÏÑÊ ïåðåíåñåíî â òî÷êó O′ . Òîãäà óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà (7.3) ïðèìåò âèä (7.27). Ïóñòü òî÷êà M (x′, y′) ïðèíàäëåæèò ðàññìàòðèâàåìîé ëèíèè l , òîãäà è òî÷êà M * (− x′,− y′) ñèììåòðè÷íàÿ òî÷êå M îòíîñèòåëü13 À.À. Êèðñàíîâ
194
íî O′ òîæå ïðèíàäëåæèò ëèíèè l . Òàêèì îáðàçîì, åñëè ñóùåñòâóåò öåíòð ñèììåòðèè O′ äëÿ l , òî îòíîñèòåëüíî ýòîãî öåíòðà òî÷êè ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà l ðàñïîëàãàþòñÿ ñèììåòðè÷íî ïàðàìè è öåíòð ëèíèè l åñòü öåíòð å¸ ñèììåòðèè. Çàìå÷àíèå. Åñëè ëèíèÿ l èìååò öåíòð ñèììåòðèè, òî äëÿ íå¸ ′ . I 3 = I 2 ⋅ a33
(7.29)
Ýòî ñëåäóåò èç òîãî ôàêòà, ÷òî a11
a12
I 3 = a21 ′ a31
a22 ′ a32
′ a13 a11 a′23 = a21 ′ a33 0
a12 a22 0
0
a ′ ⋅ 11 0 = a33 a21 ′ a33
a12 a22
′ = I 2 ⋅ a33
.
Èç (7.29) ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî ′ = a33
I3 I2 .
(7.30)
Íàëè÷èå öåíòðà ó ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà ñâÿçàíî ñ ðàçðåøèìîñòüþ ñèñòåìû óðàâíåíèé (7.28), ò.å. åñëè ñèñòåìà óðàâíåíèé (7.28) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, ëèíèÿ l áóäåò öåíòðàëüíîé. Òàê êàê îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ ñèñòåìû (7.28) åñòü a11
a12
a21
a22
= I2 ,
òî íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì íàëè÷èÿ öåíòðà åñòü îòëè÷èå îò íóëÿ ýòîãî îïðåäåëèòåëÿ, ò.å. åñëè I2 ≠ 0
ëèíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà l èìååò öåíòð. Èç ñêàçàííîãî âûøå ìû ìîæåì ñäåëàòü ñëåäóþùèé âûâîä: Ëèíèè ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà I 2 > 0 è ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà I 2 < 0 è òîëüêî îíè ÿâëÿþòñÿ öåíòðàëüíûìè ëèíèÿìè.
Èòàê, åñëè ëèíèÿ (7.3) öåíòðàëüíàÿ, òî ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì å¸ â òî÷êó O′(x0 , y0 ) ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòü å¸ â âèäå (7.27) ′ =0. a11 x′ 2 + 2a12 x′y′ + a22 y′ 2 + a33
(7.27)
195
7.5. Ñòàíäàðòíîå óïðîùåíèå ëþáîãî óðàâíåíèÿ ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà ïóò¸ì ïîâîðîòà îñåé ÏÑÊ Ïîêàæåì, ÷òî ëþáîå óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà (7.3) ïóò¸ì ïîâîðîòà ÏÑÊ ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî ê óðàâíåíèþ, â êî′ x ′y′ , ò.å. áóäåò a12 ′ =0. òîðîì íå áóäåò ñîäåðæàòüñÿ ñëàãàåìîãî 2a12 Òàêîå óïðîùåíèå íàçûâàåòñÿ ñòàíäàðòíûì. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â èñõîäíîì óðàâíåíèè (7.3) a12 ≠ 0 . Ïóñòü óãîë ϕ - óãîë ïîâîðîòà íîâîé ÏÑÊ Ox′y′ îòíîñèòåëüíî ñòàðîé ′ = 0 ïîëó÷èì ÏÑÊ Oxy . Îáðàùàÿñü ê óðàâíåíèþ (7.13) ïðè a12 −
1 (a11 − a22 )sin 2ϕ + a12 cos 2ϕ = 0 , 2
(7.31)
ãäå a12 ≠ 0 ïî îïðåäåëåíèþ. Òîãäà a11 − a22 2a12
(7.32)
2a12 a11 − a22 .
(7.33)
ctg 2ϕ =
èëè tg 2ϕ =
Èòàê, åñëè ìû ïîâåðí¸ì ÏÑÊ Oxy íà óãîë ϕ â ñîîòâåòñòâèè ′ ïðèìåò çíà÷åíèå ñ (7.32) èëè (7.33), òî â íîâîé ÏÑÊ Ox′y′ a12 ′ = 0 ) è óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà (7.3) ïðèìåò íóëü ( a12 âèä
′ x′ 2 + a′22 y′ 2 + 2a13 ′ x′ + 2a23 ′ y′ + a33 ′ = 0. a11
(7.34) Ïðèìåíèì ñòàíäàðòíîå óïðîùåíèå ê ÷àñòíîìó âèäó ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà, ò.å. ê ëèíèè âèäà ′ =0. a11 x′ 2 + 2a12 x′y′ + a22 y′ 2 + a33
(7.27) Ýòî åñòü óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà, èìåþùåé öåíòð èëè ïðÿìóþ öåíòðîâ. Òàê êàê ëèíåéíàÿ ÷àñòü îòñóòñòâóåò, òî íà÷àëî êîîðäèíàò ÏÑÊ åñòü öåíòð ëèíèè l . Ïîëîæèì äëÿ îïðåäåë¸ííîñòè, ÷òî 13*
196 2 I 2 = a11a22 − a12 ≠ 0,
ò.å. öåíòð îäèí. Åñëè ïîâåðíóòü ñèñòåìó îñåé òàê, ÷òîáû îäíà èõ íèõ ñîâïàëà ñ îäíèì èç ãëàâíûõ äèàìåòðîâ (ñ îäíîé èç îñåé ñèììåòðèè), òî äðóãàÿ îñü ñîâïàä¸ò ñ äðóãèì ãëàâíûì äèàìåòðîì (äðóãîé îñüþ ñèììåòðèè) è ìû ïîëó÷èì óðàâíåíèå, ãäå áóäåò îòñóòñòâîâàòü ′ x ′y′ . ñëàãàåìîå 2a12 Ïîêàæåì, ÷òî åñëè ïîâåðíóòü îñè â ñîîòâåòñòâèè ñ (7.32) èëè ′ = 0 , òî (7.33), ò.å. åñëè a12 ′ è λ 2 = a′22 , λ1 = a11
(7.35)
ãäå λ1 è λ 2 åñòü êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (7.24). Íàì èçâåñòíî, ÷òî ïðè ïðåîáðàçîâàíèè êîîðäèíàò ′ + a′22 I1 = a11 + a22 = a11
è 2 ′ a′22 − a12 ′ 2 = a11 ′ a′22 . I 2 = a11a22 − a12 = a11
Ñ äðóãîé ñòîðîíû â ñîîòâåòñòâèè ñ (7.26) èìååì I1 = λ 1 + λ 2 è I 2 = λ 1 ⋅ λ 2 è ìû ìîæåì ïîëîæèòü ′ è λ 2 = a′22 λ1 = a11 è óðàâíåíèå (7.27) òîãäà ïðèìåò âèä ′ =0. λ1 x′ 2 + λ 2 y′ 2 + a33
(7.36)
7.6. Óïðîùåíèå óðàâíåíèÿ öåíòðàëüíîé ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà Ïóñòü ëèíèÿ (7.3) öåíòðàëüíàÿ, ò.å. 2 I 2 = a11a22 − a12 ≠ 0.
(7.37)
Ïåðåíîñÿ íà÷àëî êîîðäèíàò â öåíòð O′(x0 , y0 ) ëèíèè, ò.å. ïîëàãàÿ
197 x = x ′ + x0 , y = y ′ + y0 ,
ãäå x0 , y0 - ðåøåíèå ñèñòåìû (7.28) ïðèâåä¸ì (7.30 ê âèäó a11 x ′ 2 + 2a12 x ′y′ + a22 y′ 2 +
I3 = 0. I2
(7.38)
Âçÿâ äàëåå âìåñòî ÏÑÊ O′x′y′ ñèñòåìó îñåé O′x′′y′′ , êîòîðàÿ ñîñòàâëÿåò ñ îñüþ Ox′ óãîë ϕ , îïðåäåëÿåìûé ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé (7.32) èëè (7.33), (ïóñòü äëÿ îïðåäåë¸ííîñòè) tg 2ϕ =
2a12 a11 − a22 ,
(7.33)
ïðèâåä¸ì óðàâíåíèå (7.38) ê âèäó λ1 x ′′ 2 + λ 2 y′′ 2 +
I3 =0 I2
(7.39)
èëè ïîëàãàÿ k=
I3 I2
(7.40)
ê âèäó λ1 x′′ 2 + λ 2 y′′ 2 + k = 0 ,
(7.41)
ãäå λ1 è λ 2 åñòü êîðíè óðàâíåíèÿ λ2 + I1λ + I 2 = 0 .
(7.25)
Òàê êàê ïî óñëîâèþ (7.37) 2 I 2 = a11a22 − a12 ≠ 0,
òî íè îäèí èç êîðíåé λ1 è λ 2 íå ðàâåí íóëþ. Ðàññìîòðèì òåïåðü âñåâîçìîæíûå ñëó÷àè êîìáèíàöèè çíàêîâ êîýôôèöèåíòîâ óðàâíåíèÿ (7.41). I
3 I. k = I ≠ 0 , ò.å. I 3 ≠ 0 . 2
À. Ïóñòü λ1 , λ 2 è k èìåþò îäèíàêîâûå çíàêè ( ± λ1 , ± λ 2 , ± k ).
198
 ýòîì ñëó÷àå (k ≠ 0) λ1 x′′ 2 + λ 2 y′′ 2 + k = 0
(7.41)
ìîæíî ïåðåïèñàòü òàê
Ïîëàãàÿ
λ1 2 λ 2 2 x ′′ + y′′ + 1 = 0 . k k
(7.42)
λ1 λ 1 1 = 2 è 2 = 2 k a k b
(7.43)
çàïèøåì (7.42) êàê x ′′ 2 a
2
+
y′′ 2 b2
= −1 , - ìíèìûé ýëëèïñ.
(7.44)
Äëÿ òîãî, ÷òîáû ðåàëèçîâàëñÿ ìíèìûé ýëëèïñ, ò.å. ÷òîáû λ1 è λ 2 áûëè îäíîãî çíàêà ñ ó÷¸òîì (7.25)
λ2 + I1λ + I 2 = 0
íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî ÷òîáû I 2 > 0 , òàê êàê I 2 = λ1 ⋅ λ 2 .
 ýòîì ñëó÷àå èç óñëîâèÿ k=
I3 I2
ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî çíàê ó k áóäåò ñîâïàäàòü ñî çíàêîì I 3 . Äàëåå, òàê êàê I1 = a11 + a22 = λ1 + λ 2 , çíàê ó λ1 è λ 2 áóäåò ñîâïàäàòü ñî çíàêîì I1 . Èòàê, ìíèìûé ýëëèïñ õàðàêòåðèçóåòñÿ óñëîâèÿìè: I 2 > 0 , I 3 ≠ 0 , I 3 è I1 îäíîãî çíàêà. B. λ1 è λ 2 îäíîãî çíàêà ïðîòèâîïîëîæíîãî çíàêó k ( ± λ1 , ±λ 2 , m k ). Ïîëàãàÿ â (7.42)
199 λ1 λ 1 1 =− 2 è 2 =− 2 k k a b
(7.45)
ïðèâåä¸ì åãî ê âèäó −
x ′′ 2 a2
−
y′′ 2 b2
+1 = 0
èëè x ′′ 2 a2
+
y′′ 2 b2
= 1 - äåéñòâèòåëüíûé ýëëèïñ.
(7.46)
 ýòîì ñëó÷àå I 2 = λ1 ⋅ λ 2 > 0 , òàê êàê çíàêè λ1 è λ 2 ñîâïàäàþò, çíàê I1 = λ1 + λ 2 òîæå ñîâïàäàåò ñî çíàêîì λ1 è λ 2 , çíàê ó k ñîâïàäàåò ñî çíàêîì I 3 è ïðîòèâîïîëîæåí çíàêó I1 , òîãäà èç k=
I3 I2
ñëåäóåò, ÷òî çíàê ó I 3 ïðîòèâîïîëîæåí çíàêó I1 . Òàêèì îáðàçîì äåéñòâèòåëüíûé ýëëèïñ ðåàëèçóåòñÿ åñëè I 2 > 0 , I 3 ≠ 0 , I 3 è I1 ðàçíûõ çíàêîâ. C. λ1 è λ 2 èìåþò ðàçíûå çíàêè ( ± λ1 , m λ 2 ), I 3 ≠ 0 .  ýòîì ñëó÷àå I 2 = λ1 ⋅ λ 2 < 0 è ïîëàãàÿ â (7.42) λ1 λ 1 1 =m 2 è 2 =± 2 , k k a b
(7.47)
ïîëó÷èì x ′′ 2 a2
−
y′′ 2 b2
= ±1 - ãèïåðáîëà.
Ñëó÷àé ãèïåðáîëû õàðàêòåðèçóåòñÿ óñëîâèÿìè I 2 < 0 , I 3 ≠ 0 è, êàê ýòî ñëåäóåò èç (7.25), I1 ≠ 0 . II. k = 0 èëè â ñèëó (7.40) - I 3 = 0 .  ýòîì ñëó÷àå (7.41) ïðèìåò âèä
(7.48)
200
λ1 x′′ 2 + λ 2 y′′ 2 = 0 .
(7.49)
À. Ïóñòü λ1 è λ 2 îäíîãî çíàêà - I 2 > 0 . Ïîëàãàÿ â (7.49) λ1 = ± k12 è λ 2 = ± k22
(7.50)
ïðèâåä¸ì åãî ê âèäó k12 x′′ 2 + k22 y′′ 2 = 0 .
(7.51)
Ðàñêëàäûâàÿ (7.51) íà ìíîæèòåëè ïîëó÷èì
(k1x′′ + ik2 y′′)⋅ (k1x′′ − ik2 y′′) = 0
èëè k1 x ′′ + ik2 y′′ = 0 , k1 x ′′ − ik2 y′′ = 0 .
(7.52) Ñèñòåìà óðàâíåíèé (7.52) åñòü ñîâîêóïíîñòü äâóõ ìíèìûõ ñîïðÿæåííûõ ïðÿìûõ - âûðîæäåííûé ýëëèïñ. Ýòîò ñëó÷àé õàðàêòåðèçóåòñÿ óñëîâèÿìè I1 ≠ 0 , I 2 > 0 , I 3 = 0 . Â. Ïóñòü λ1 è λ 2 ðàçíûõ çíàêîâ - I 2 < 0 . Ïîëàãàÿ â (7.49) λ1 = ± k12 è λ 2 = m k22
(7.53)
ïðèâåä¸ì åãî ê âèäó k12 x′′ 2 − k22 y′′ 2 = 0 .
(7.54)
Ðàñêëàäûâàÿ (7.54) íà ìíîæèòåëè ïîëó÷èì
(k1x′′ + k2 y′′)⋅ (k1x′′ − k2 y′′) = 0
èëè k1 x ′′ + k2 y′′ = 0 , k1 x ′′ − k2 y′′ = 0 .
(7.55) Ñèñòåìà óðàâíåíèé (7.55) åñòü ñîâîêóïíîñòü äâóõ äåéñòâèòåëüíûõ ïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìûõ, êîòîðûå îïðåäåëåíû óñëîâèÿìè I1 ≠ 0 , I 2 < 0 , I 3 = 0 .
201
7.7. Óïðîùåíèå óðàâíåíèÿ ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà áåç îïðåäåë¸ííîãî öåíòðà Íàì îñòà¸òñÿ ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ (7.3) (7.3) óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ, õàðàêòåðèçóþùåìó ïàðàáîëè÷åñêèé òèï ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0
2 I 2 = a11a22 − a12 =0.
(7.56)  ýòîì ñëó÷àå ëèíèÿ, â ñîîòâåòñòâèè ñ ðåøåíèåì ñèñòåìû (7.28), èëè âîâñå íå èìååò öåíòðà, èëè èìååò ïðÿìóþ öåíòðîâ. Íà÷í¸ì ïðåîáðàçîâàíèå (7.3) ñ ïîâîðîòà îñåé, ÷òîáû ïðèâåñòè êâàäðàòè÷íóþ ôîðó a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2
ê âèäó λ1 x ′ 2 + λ 2 y ′ 2 .
Äëÿ ýòîãî, êàê ìû óæå çíàåì, íàäî ïîâåðíóòü êîîðäèíàòíûå îñè íà óãîë ϕ , îïðåäåëÿåìûé ñîîòíîøåíèåì tg 2ϕ =
2a12 a11 − a22 .
(7.33)
Âåëè÷èíû λ1 è λ 2 îïðåäåëÿòñÿ èç óðàâíåíèÿ a11 − λ
a12
a21
a22 − λ
=0
(7.24)
èëè λ2 − I1λ + I 2 = 0 ,
(7.25)
êîòîðîå â ñèëó (7.56) I 2 = 0 ïðèìåò âèä λ2 − I1λ = 0 .
Òàêèì îáðàçîì ìû ìîæåì ïðèíÿòü λ1 = 0 , λ 2 = I1 , â ñèëó ÷åãî óðàâíåíèå (7.3) ïðèìåò âèä
(7.57)
202
′ x′ + 2a23 ′ y′ + a33 = 0 . I1 y′ 2 + 2a13
(7.58)
Îòìåòèì åù¸ îäèí ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ óðàâíåíèÿ (7.58). Çàìåòèì, ÷òî åñëè a11 = 0 , òî âû ñèëó (7.56) è a12 = 0 , è óðàâíåíèå (7.3) ñðàçó èìååò âèä (7.58). Ïóñòü a12 ≠ 0 , òîãäà êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü òàê: a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 = =
(
)
1 2 2 a11 x + 2a11a12 xy + a11a22 y 2 = a11
(
)
1 2 2 1 2 2 (a11x + a12 y)2 . a11 x + 2a11a12 xy + a12 y = a11 a11
Çäåñü ìû ó÷ëè, ÷òî èç (7.56) ñëåäóåò 2 . a11a22 = a12
Òåïåðü óðàâíåíèå (7.3) ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó 1 (a11x + a12 y)2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0 . a11
(7.59)
Äëÿ ïðèâåäåíèÿ (7.59) ê âèäó (7.58) äîñòàòî÷íî ïîâåðíóòü îñè êîîðäèíàò òàê, ÷òîáû íîâàÿ îñü Ox′ ñîâïàëà ñ ïðÿìîé a11 x + a12 y = 0 , èáî â òàêîì ñëó÷àå ìû áóäåì èìåòü a11 x + a12 y = ky′ , ãäå k - íåêîòîðîå ÷èñëî. Ïðè ïîâîðîòå îñåé íà óãîë ϕ (ñì. 4.25) èìååì y′ = − x sin ϕ + y cos ϕ .
(7.60)
Ïîäñòàâëÿÿ y′ â (7.60) ïîëó÷èì a11 x + a12 y = k (− x sin ϕ + y cos ϕ) ,
îòêóäà a11 x + a12 y = − k sin ϕ ⋅ x + k cos ϕ ⋅ y . Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè ïåðåìåííûõ, ïîëó÷èì
203 k sin ϕ = −a11 , k cos ϕ = a12
(7.61)
èëè 2 2 , k 2 cos 2 ϕ = a12 . k 2 sin 2 ϕ = a11
÷èì
Ñêëàäûâàÿ ëåâûå è ïðàâûå ÷àñòè ïîñëåäíèõ ðàâåíñòâ ïîëó-
(
)
2 2 2 2 k 2 sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = a11 + a12 = a12 = a11a22 = a11 + a11a22 =
= a11 (a11 + a22 ) = a11 I1
èëè k 2 = a11 I1 ,
ò.å. k = ± a11 I1 .
(7.62)
Ðàâåíñòâà (7.61) ìîæíî òåïåðü çàïèñàòü òàê cos ϕ =
a12
−a
11 , sin ϕ = ± a I , ± a11 I1 11 1
(7.63)
a11 a = − 12 , a12 a22
(7.64)
èëè tgϕ = −
òàê êàê a11 a11a22 a2 a = = 12 = 12 , ãäå a a = a 2 . 11 22 12 a12 a12 a22 a12 a22 a22
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî (7.33) åñòü ñëåäñòâèå (7.63) è (7.64). Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííûå cos ϕ è sin ϕ â (7.59) ñ ó÷¸òîì (7.60) ïîëó÷èì: k2 2 ′ x ′ + 2a23 ′ y′ + a33 = 0 , y′ + 2a13 a11
à òàê êàê k = ± a11I1 ,
ìû ñðàçó ïîëó÷àåì óðàâíåíèå (7.58).
(7.62)
204
Çàìåòèì, ÷òî èñïîëüçóÿ (7.63) ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü ôîðìóëû (7.15) è (7.16) òàê: ′ = a13 cos ϕ + a23 sin ϕ = a13 a′23 = a23 cos ϕ − a13 sin ϕ =
a13 a12 − a23 a11 ± a11 I1 a23 a12 + a13 a11 ± a11 I1
,
(7.65)
.
(7.66)
Ñîñòàâèì èíâàðèàíò I 3 äëÿ óðàâíåíèÿ ′ x ′ + 2a23 ′ y′ + a33 = 0 . I1 y′ 2 + 2a13 0 I3 = 0 ′ a13
0 I1 ′ a23
′ a13 0 ′ = −a13 ′ a23 I1 a33
(7.58) ′ a13 ′ 2 I1 = − a13 ′ a23
èëè ′ =± − a13
I3 I1 .
(7.67)
Çàìåòèì, ÷òî â (7.67) I1 è I 3 äîëæíû áûòü ðàçíûõ çíàêîâ. Ðàññìîòðèì òåïåðü äâà ñëó÷àÿ. À. I 3 ≠ 0 - ïàðàáîëà. ′ ≠0. Åñëè I 3 ≠ 0 , òî èç (7.67) ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî è a13
Ïóò¸ì ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà íà÷àëà êîîðäèíàò Ox′y′ â òî÷êó O′′(α,β) óðàâíåíèå (7.58) ïåðåéä¸ò (ñì. (7.10)) â óðàâíåíèå ′′ x ′′ + 2a′23 ′ y′′ + a33 ′′ = 0 . I1 y′′ 2 + 2a13
(7.68) Íàøà çàäà÷à ñîñòîèò â òàêîì ïîäáîðå êîîðäèíàò òî÷êè ′′ ) è ÷åòâ¸ðòûé (a33 ′′ ) êîýôôèöèåíòû â O′′(α, β ) , ÷òîáû òðåòèé (a23 ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (7.68) èñ÷åçëè (ñòàëè íóëÿìè). Ïîëàãàÿ
205 x ′ = x ′′ + α , y′ = y′′ + β ,
ñ ó÷¸òîì òîãî, ÷òî y′ 2 = y′′ 2 + 2βy′′ + β 2 ,
çàïèøåì (7.58) òàê ′ x′′ + 2a13 ′ α + 2a′23 y′′ + 2a23 ′ β + a33 = 0 . I1 y′′ 2 + 2I1βy′′ + I1β 2 + 2a13
Ãðóïïèðóÿ ÷ëåíû ïåðåïèøåì ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî òàê ′ x′′ + 2(I1β + a23 ′ )y′′ + I1β 2 + 2a13 ′ α + 2a23 ′ β + a33 = 0 . I1 y′′ 2 + 2a13
Ïîëàãàÿ â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå ′ α + 2a23 ′ β + a33 = (I1β + a23 ′ )β + 2a13 ′ α + a23 ′ β + a33 I1β 2 + 2a13
ïåðåïèøåì åãî òàê
′ x′′ + 2(I1β + a23 ′ )y′′ + (I1β + a23 ′ )β + 2a13 ′ α + a23 ′ β + a33 = 0 . I1 y′′ 2 + 2a13
Ñðàâíèâàÿ ýòî óðàâíåíèå ñ (7.68) èìååì ′′ = a13 ′ , a13 ′ = I1β + a′23 , a′23
′′ = (I1β + a23 ′ )β + 2a13 ′ α + a23 ′ β + a33 . a33
′ =0 è Îòñþäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âûïîëíåíèÿ óñëîâèé a′23 ′′ = 0 , êîîðäèíàòû α è β íàäî ïîäîáðàòü òàê, ÷òîáû âûïîëíÿa33
ëèñü ðàâåíñòâà ′ = 0, I1β + a23 ′ α + a23 ′ β + a33 = 0 , 2a13
êîòîðûå áóäóò âûïîëíåíû, åñëè ïîëîæèòü β=−
′ a23 1 α=− ′ 2a13 I1 ,
′2 a33 − a23 I1 .
(7.69)
Óðàâíåíèå (7.58) ÷åðåç (7.68) ïåðåéä¸ò â ′ x′′ = 0 , I1 y′′ 2 + 2a13
(7.70)
êîòîðîå ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòü êàê y′′ 2 = 2Px′′ ,
(7.71)
206
ãäå P=−
′ a13 I1 .
Ìû âèäèì, ÷òî ïàðàìåòð p ðàññìàòðèâàåìîé íàìè ïàðàáîëû p= P
è ïðè P > 0 ìû èìååì p = P , åñëè P < 0 ìû ìîæåì âìåñòî x′′ âçÿòü − x ′′ , ò.å. íàïðàâèòü îñü O′′x ′′ â îáðàòíóþ ñòîðîíó è òîãäà (7.71) ìîæíî çàïèñàòü êàê y′′ 2 = −2Px′′
èëè y′′ 2 = 2 px′′ ,
(7.72)
ãäå p = −P > 0 . Çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ P ñ ó÷¸òîì (7.67)
P=−
′ a13 =− I1
± − I1
I3 I1
=m −
I3 . I13
Òîãäà p= P =+ −
I3 I13
.
(7.73)
Çàìåòèì, ÷òî I13 è I 3 , ñòîÿùèå ïîä êîðíåì, èìåþò ðàçíûå çíàêè. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ïðîâåä¸ííûõ ïðåîáðàçîâàíèé òàêîâ: 1) Oxy a Ox′y′ - îñü Ox′ áûëà íàïðàâëåíà ïàðàëëåëüíî îñè ñèììåòðèè ïàðàáîëû ; 2) Ox′y′ a O′′x′′y′′ - íà÷àëî êîîðäèíàò ïåðåíåñåíî â âåðøèíó ïàðàáîëû O′′(α,β ) . Òàêèì îáðàçîì îñü O′′x′′ ÿâëÿåòñÿ îñüþ ñèììåòðèè ïàðàáîëû, à íîâîå íà÷àëî êîîðäèíàò O′′(α,β) - âåðøèíîé ïàðàáîëû.
207
Â. I 3 = 0 - ïàðà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ. ′ = 0 è óðàâíåíèå (7.58) ïðèíèìàåò âèä  ýòîì ñëó÷àå a13
I1 y′ 2 + 2a′23 y′ + a33 = 0 .
(7.74)
Ïåðåíåñ¸ì íà÷àëî êîîðäèíàò â òî÷êó O′′(α,β ) , ïîëàãàÿ x ′ = x ′′ + α , y′ = y′′ + β .
Óðàâíåíèå (7.74) â ðåçóëüòàòå òàêîé ïîäñòàíîâêè ïðèìåò âèä ′ β + a33 = 0 . I1 y′′ 2 + 2 I1βy′′ + I1β 2 + 2a′23 y′′ + 2a23
Ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì
′ )y′′ + (I1β + a23 ′ ) + a23 ′ β + a33 = 0 . I1 y′′ 2 + 2(I1β + a23
(7.75)
Ïîëàãàÿ ′ = 0, I1β + a23
ïîëó÷èì β=−
′ a23 I1 , α - ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, íàïðèìåð α = 0 . (7.76)
Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå β â (7.75) ïîëó÷èì ′ β + a33 = I1 y′′ 2 − I1 y′′ 2 + a23
′2 a23 + a33 = 0 . I1
Ïîëàãàÿ k = a33 −
′2 a23 I1
(7.77)
ïåðåïèøåì ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî òàê I1 y′′ 2 + k = 0 .
(7.78) ßñíî, ÷òî (7.78) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïàðó ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ y′′ = ± −
k I1 .
ïðè ýòîì, åñëè k è I1 îäíîãî çíàêà - ïðÿìûå ìíèìûå, åñëè ðàçíûõ äåéñòâèòåëüíûå.
208
7.8. Êëàññèôèêàöèÿ ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà Ïóñòü íàì äàíî óðàâíåíèå ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà (7.3) a11 x 2 + 2a12 xy + a22 y 2 + 2a13 x + 2a23 y + a33 = 0 .
(7.3) Õàðàêòåð ëèíèè (7.3) öåëèêîì îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè âåëè÷èíàìè, ÿâëÿþùèìèñÿ èíâàðèàíòàìè ïðè ïðåîáðàçîâàíèè ÏÑÊ: (7.19) I1 = a11 + a22 ; a21
a12 a22 ;
a11
a12
a13
I 3 = a21
a22
a23
a31
a32
a33
I2 =
a11
(7.22)
.
(7.23)
Äîãîâîðèìñÿ, ÷òî ìû âñåãäà ìîæåì òàê çàïèñàòü óðàâíåíèå (7.3), ÷òîáû I1 = a11 + a22 áûëî áîëüøå íóëÿ. Òîãäà: 1. Ëèíèÿ (7.3) ðàñïàäàåòñÿ íà äâå ïðÿìûå (äåéñòâèòåëüíûå èëè ìíèìûå) åñëè I 3 = 0 . 2. Íåðàâåíñòâî I 2 > 0 õàðàêòåðèçóåò ýëëèïòè÷åñêèé òèï ëèíèè (7.3). 3. Íåðàâåíñòâî I 2 < 0 õàðàêòåðèçóåò ãèïåðáîëè÷åñêèé òèï ëèíèè (7.3). 4. Ðàâåíñòâî I 2 = 0 õàðàêòåðèçóåò ïàðàáîëè÷åñêèé òèï ëèíèè (7.3). Ñâåä¸ì ïåðå÷èñëåííûå âûøå èíâàðèàíòû â òàáëèöó.
209
Òàáëèöà 7.1. I1
I2
I3
òèï ëèíèè
>0
>0
>0 <0 =0
ìíèìûé ýëëèïñ äåéñòâèòåëüíûé ýëëèïñ âûðîæäåííûé ýëëèïñ äâå ñîïðÿæåííûå ìíèìûå ïðÿìûå
>0
<0
≠0 =0
ãèïåðáîëà ïàðà ïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìûõ
>0
=0
≠0 =0
ïàðàáîëà ïàðà ïàðàëëåëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ èëè ìíèìûõ ïðÿìûõ
14 À.À. Êèðñàíîâ
210
8. Ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà Ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà ðàññìàòðèâàåìûå â ïðîñòðàíñòâå, ÿâëÿþòñÿ àíàëîãîì ëèíèé âòîðîãî ïîðÿäêà íà ïëîñêîñòè. Òàêèì îáðàçîì, ïî àíàëîãèè ñ óðàâíåíèåì ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà F (x, y ) = 0 , óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà áóäåò çàäàíî óðàâíåíèåì F (x, y, z ) = 0 , (8.1)
ãäå F (x, y, z ) - íåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí âòîðîé ñòåïåíè îò x, y, z . Èç-çà îòñóòñòâèÿ âðåìåíè ìû îãðàíè÷èìñÿ ëèøü êðàòêèì îïèñàíèåì âñåõ âîçìîæíûõ òèïîâ ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà. Íà÷í¸ì èçó÷åíèå ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà ñ íàèáîëåå ïðîñòîãî ñëó÷àÿ, êîãäà óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè (8.1) íå ñîäåðæèò îäíîé èç êîîðäèíàò, ïóñòü äëÿ îïðåäåë¸ííîñòè ýòî áóäåò êîîðäèíàòà z . Äîãîâîðèìñÿ, î òîì, ÷òî â äàëüíåéøåì ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò (ÏÑÊ).
8.1. Öèëèíäðè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè Èòàê, ìû ðàññìàòðèâàåì ÷àñòíûé ñëó÷àé ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà (8.1) F (x, y, z ) = 0 , êîãäà ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (8.1) íå çàâèñèò îò z .  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (8.1) ïðèíèìàåò âèä (8.2) F (x, y ) = 0 .
Ïóñòü íåêîòîðàÿ òî÷êà M 0 (x0 , y0 , z0 ) ïðèíàäëåæèò ðàññìàòðèâàåìîé íàìè ïîâåðõíîñòè (8.2). Î÷åâèäíî, ÷òî âñå òî÷êè ñ êîîðäèíàòàìè x0 , y0 , z ïðè ëþáûõ z òîæå ïðèíàäëåæàò ïîâåðõíîñ-
òè (8.2). Ëåãêî óâèäåòü, ÷òî âñå òî÷êè âèäà x0 , y0 , z îáðàçóþò ïðÿ-
211
ìóþ, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ê ïëîñêîñòè Oxy . Ðàññìîòðèì äâå òî÷-
êè ïîâåðõíîñòè (8.2) - M 0 (x0 , y0 , z0 ) è M (x0 , y0 , z ) , è ñîñòàâèì óðàâíåíèå ïðÿìîé (5.35)
èëè
x0 − x0 y0 − y0 z − x0 = = l m n x = x 0 , y = y0 .
(5.37) Ìû èìååì ïðÿìóþ ïàðàëëåëüíóþ îñè àïïëèêàò z îñè Oz . Òàêèì îáðàçîì ìû M 0 (x0 , y0 , z0 ) âèäèì, ÷òî âìåñòå ñ òî÷êîé M 0 (x0 , y0 , z0 ) íà ïîâåðõíîñy M (x, y, z ) òè (8.2) ëåæèò (ðèñ. 8.1) è ïðÿìàÿ (5.37), ïðîõîäÿùàÿ O ÷åðåç òî÷êó M 0 (x0 , y0 , z0 ) ïàðàëëåëüíî îñè Oz . Ðèñ. 8.1. x Îïðåäåëåíèå 8.1. Ïîâåðõíîñòü, êîòîðàÿ ñîñòîèò èç ïðÿìûõ ëèíèé, ïàðàëëåëüíûõ çàäàííîìó íàïðàâëåíèþ, íàçûâàåòñÿ öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ èëè öèëèíäðîì, à ïðÿìûå ëèíèè - å¸ îáðàçóþùèìè. Ëèíèþ, ëåæàùóþ íà ïîâåðõíîñòè è ïåðåñåêàþùóþ âñå îáðàçóþùèå íàçîâ¸ì íàïðàâëÿþùåé ëèíèåé. Èòàê, ïîâåðõíîñòè íå ñîäåðæàùèå îäíîé èç êîîðäèíàò, îïðåäåëÿþò öèëèíäð ñ îáðàçóþùèìè, ïàðàëëåëüíûìè ñîîòâåòñòâóþùåé îñè êîîðäèíàò. Îïðåäåëåíèå 8.1 ãîâîðèò î òîì, ÷òî öèëèíäðè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà ýòî ïîâåðõíîñòè, íàïðàâëÿþùèå ëèíèè êîòîðûõ, åñòü ëèíèè âòîðîãî ïîðÿäêà ðàññìîòðåííûå â ï. 7.1: ýëëèïñ, ìíèìûé ýëëèïñ, äâå ìíèìûå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå, ãèïåðáîëà, äâå äåéñòâèòåëüíûå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå, ïàðàáîëà, äâå äåéñòâèòåëüíûå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, äâå ìíèìûå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, äâå ñîâïàäàþùèå ïðÿìûå.
14*
212
Öèëèíäðè÷åñêèå ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà. Òèï [1]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.2) ïðèíàäëåæàò ýëëèïòè÷åñêèå öèëèíäðû - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà x2 a
2
+
y2 b
2
=1, a ≥ b > 0 .
z
y
(8.3) O
Êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ ïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè öèëèíäðà (8.3), íà÷àëî êîîðäèíàò - åãî öåíòðîì ñèììåòðèè è ïðè a ≠ b äðóãèõ ïëîñêîñòåé ñèììåòðèè íåò.
x
Ðèñ. 8.2.
Òèï [2]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.3) ïðèíàäëåæàò ìíèìûå ýëëèïòè÷åñêèå öèëèíäðû - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà x2 a2
+
y2 b2
z
y = −1 , a ≥ b > 0 .
(8.4)
O
x
Ýòî ïîâåðõíîñòè íå èìåþùèå âåùåñòâåííûõ òî÷åê. Òèï [3]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.4) ïðèíàäëåæàò äâå ìíèìûå (êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûå) ïåðåñåêàþùèåñÿ ïî âåùåñòâåííîé ïðÿìîé ïëîñêîñòè - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà x2 a2
+
y2 b2
=0,
a2
z y
(8.5)
ãäå a > 0 , b > 0 è, êðîìå òîãî, 1
Ðèñ. 8.3.
+
1 b2
=1.
Âåùåñòâåííûå òî÷êè êàæäîé òàêîé ïîâåðõíîñòè ñîñòàâëÿþò ïðÿìóþ.
O
x
Ðèñ. 8.4.
213
Òèï [4]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.5) ïðèíàäëåæàò ãèïåðáîëè÷åñêèå öèëèíäðû - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà x2 a2
−
y2 b2
=1, a > 0 , b > 0 .
z y O x
(8.6)
Êàæäàÿ ïëîñêîñòü z = h ïåðåñåêàåò öèëèíäð (8.6) ïî ãèïåðáîëå, èìåþùåé â ÏÑÊ Oxy êàíîíè÷åñêèé âèä (8.6).
Ðèñ. 8.5.
z
Òèï [5]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.6) ïðèíàäëåæàò äâå äåéñòâèòåëüíûå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïëîñêîñòè - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà x2 a2
−
y2 b2
=0,
y O
x
(8.7)
ãäå a > 0 , b > 0 è, êðîìå òîãî, 1 a2
+
1 b2
=1.
Ðèñ. 8.6.
z
Òèï [6]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.7) ïðèíàäëåæàò ïàðàáîëè÷åñêèå öèëèíäðû - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà O y 2 = 2 px , p > 0 .
(8.8)
Êàæäàÿ ïëîñêîñòü z = h ïåðåñåêàåò öèëèíäð (8.8) ïî ïàðàáîëå, èìåþùåé â ÏÑÊ Oxy êàíîíè÷åñêèé âèä (8.8).
y
x
Ðèñ. 8.7.
Òèï [7]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.8) ïðèíàäëåæàò äâå ðàçëè÷íûå äåéñòâèòåëüíûå ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
214
z
z
z
O
y
y
y O
x
x
Ðèñ. 8.8.
Ðèñ. 8.9.
y2 = b2 , b > 0 .
O
x
Ðèñ. 8.10. (8.9)
Òèï [8]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.9) ïðèíàäëåæàò äâå ðàçëè÷íûå ìíèìûå (êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûå) ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà y 2 = −b 2 , b > 0 .
(8.10)
Òèï [9]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.10) ïðèíàäëåæàò äâå ñîâïàäàþùèå äåéñòâèòåëüíûå ïëîñêîñòè - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà y2 = 0 .
(8.11)
8.2. Êîíóñû âòîðîãî ïîðÿäêà Îïðåäåëåíèå 8.2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òðîéêè ÷èñåë (x, y, z ) è
(λx, λy, λz ), ãäå λ
- ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî, ïðèíàäëåæàò îäíîé è òîé æå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, è, êðîìå òîãî, äëÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî s F (λx, λy, λz ) = λs F (x, y, z ) .
(8.12)  ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèþ F áóäåì íàçûâàòü îäíîðîäíîé ôóíêöèåé ñòåïåíè s . Ðàññìîòðèì ïîâåðõíîñòü S , îïðåäåëÿåìóþ â íåêîòîðîé ÏÑÊ óðàâíåíèåì âèäà
215 F (x, y, z ) = 0 ,
ãäå F - îäíîðîäíàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà åñëè òî÷êà M (x, y, z )∈ S , òî ïðè ëþáîì
z
λ â ñèëó (8.12) òî÷êà N (λx, λy, λz )∈ S .
l
N
M
y Ðàäèóñ-âåêòîðû òî÷åê (ðèñ. 8.11) áóäóò êîëëèíåàðíû, â ñèëó ÷åãî òî÷êà N áóx äåò ëåæàòü íà ïðÿìîé OM . O Ðèñ. 8.11. Îïðåäåëåíèå 8.3. Ïîâåðõíîñòü, êîòîðàÿ ñîñòîèò èç ïðÿìûõ ëèíèé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ôèêñèðîâàííóþ òî÷êó O , íàçûâàåòñÿ êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ èëè êîíóñîì. Ïðÿìûå ëèíèè íàçûâàþòñÿ å¸ îáðàçóþùèìè, òî÷êà O - âåðøèíîé êîíóñà. Ëèíèÿ, ëåæàùàÿ íà ïîâåðõíîñòè, íå ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç âåðøèíó êîíóñà è ïåðåñåêàþùàÿ âñå îáðàçóþùèå, íàçûâàåòñÿ íàïðàâëÿþùåé ëèíèåé. Èòàê, ïîëàãàÿ â (8.12) s = 2 ìû ðàññìîòðèì êîíóñû âòîðîãî ïîðÿäêà F (x, y, z ) = 0 . Òèï [10]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.12) ïðèíàäëåæàò äåéñòâèòåëüíûå êîíóñû âòîðîãî ïîðÿäêà - ïîâåðõíîñòè èìåz þùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà x2 a2
+
y2 b2
−
z2 c2
=0,
ãäå a ≥ b > 0 , c > 0 ,
1 a
2
(8.13) +
1 b
2
+
1 c2
=1.
Êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ ïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè êîíóñà (8.13), à íàx ÷àëî êîîðäèíàò - åãî öåíòðîì ñèììåòðèè. Ïåðåñå÷¸ì êîíóñ (8.13) ïëîñêîñòüþ z = h , ïàðàëëåëüíîé ïëîñêîñòè Oxy . Çäåñü h - ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî.  ïåðåñå÷åíèè (ðèñ. 8.12) ïîëó÷èòñÿ ëèíèÿ
O
y
Ðèñ. 8.12.
216 x2 a2
+
y2 b2
−
h2 c2
= 0, z = h ,
ïðîåêöèÿ êîòîðîé íà ïëîñêîñòü Oxy äà¸òñÿ óðàâíåíèåì x2 a2
+
y2 b2
−
h2 c2
= 0 èëè
x2 a2
Ðàçäåëèâ ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî íà x2 a2h2 c2 a c
+
y2 b2h2 c2
=1
èëè
+
y2 b2
h2 c2
=
h2 c2
.
ïîëó÷èì
x2 y2 + = 1, a′ 2 b′ 2
b c
ãäå a′ = ⋅ h , b′ = ⋅ h - ïîëóîñè ýëëèïñà. Òàêèì îáðàçîì, ïåðåñå÷åíèå êîíóñà (8.13) ïëîñêîñòüþ z = h åñòü ýëëèïñ ñ ïîëóîñÿìè a′ è b′ , ñ öåíòðîì íà îñè Oz . Ëþáîé òàêîé ýëëèïñ ìîæíî âçÿòü â êà÷åñòâå íàïðàâëÿþùåé êîíóñà (8.13).  ÷àñòíîñòè, åñëè ïîëîæèòü a = b ìû ïîëó÷èì ïðÿìîé êðóãîâîé êîíóñ x 2 + y2 − k 2z2 = 0 ,
ãäå k =
(8.14)
a . c
Ïåðåñåêàÿ ïðÿìîé êðóãîâîé êîíóñ (8.14) ïëîñêîñòÿìè z = h , h ≠ 0 , ìû áóäåì ïîëó÷àòü îêðóæíîñòè x2 + y2 = k 2h2
ðàäèóñà R = k ⋅ h ñ öåíòðàìè íà îñè OZ . Ïëîñêîñòü z = 0 ïåðåñå÷¸ò êîíóñ (8.14) ïî òî÷êå O , à ïëîñêîñòè x = 0 è y = 0 ïåðåñåêóò êîíóñ ïî îáðàçóþùèì. Ïëîñêîñòè x = h è y = h ïðè h ≠ 0 ïåðåñåêóò êîíóñ (8.13) ïî ãèïåðáîëàì (ðèñ. 8.13à) ñ ïîëóîñÿìè
217
z
z
O
O
y
y x
x
á
à Ðèñ. 8.13. c b c a ⋅ h , ⋅ h è ⋅ h , ⋅ h , a a b b
à êîíóñ (8.14) ïî ãèïåðáîëàì ñ ïîëóîñÿìè
c c ⋅ h , h è ⋅ h , h . a b
Ïëîñêèìè ñå÷åíèÿìè è íàïðàâëÿþùèìè êîíóñà (8.13) ÿâëÿþòñÿ è ïàðàáîëû (ðèñ. 8.13á). Ðàññìîòðèì ñå÷åíèå êîíóñà ïëîñêîñòüþ c x + h , ïðè h ≠ 0 . a Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå z â (8.13) ïîëó÷èì z=
2
c x + h 2 2 x y a =0 + 2 − 2 2 a b c
èëè
218
z
y2
h h2 = + x 2 , ac b2 c2
èëè y2 = 2
hb 2 ha . x + ac c
(8.15)
y
Ìû ïîëó÷èëè óðàâíåíèå ïàðàáîëû ñ
O
ha
âåðøèíîé â òî÷êå − c ,0 . Çàìåòèì, áåç äîêàçàòåëüñòâà, ÷òî ïåðåñå÷åíèå êîíóñà (8.13) è (8.14) ïëîñêîñòüþ ñ íåáîëüøèì óãëîì íàêëîíà ê ïëîñêîñòè Oxy ìû â ïåðâîì ñëó÷àå ïîëó÷èì îêðóæíîñòü, à âî âòîðîì (ðèñ. 8.14) ñëó÷àå - ýëëèïñ.
x
Ðèñ. 8.14.
Òèï [11]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.15) ïðèíàäëåæàò ìíèìûå êîíóñû âòîðîãî ïîðÿäêà - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
z
=0,
(8.16)
O
y
x 1
1
1
ãäå a ≥ b ≥ c > 0 , 2 + 2 + 2 = 1 . a b c Åäèíñòâåííîé âåùåñòâåííîé òî÷êîé ìíèìîãî êîíóñà ÿâëÿåòñÿ òî÷êà O(0,0,0) .
Ðèñ. 8.15.
8.3. Ýëëèïñîèäû, ãèïåðáîëîèäû è ïàðàáîëîèäû Òèï [12]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.16) ïðèíàäëåæàò ýëëèïñîèäû - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
219 x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
=1,
(8.17)
ãäå a ≥ b ≥ c > 0 - ïîëóîñè ýëëèïñîèäà. Çàìåòèì, ÷òî èç óðàâíåíèÿ ýëëèïñîèäà (8.17) ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè ÿâëÿz þòñÿ ïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè ýëëèïñîèäà, à íà÷àëî êîîðäèíàò - åãî öåíòðîì ñèììåòðèè. O Ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà a , b è c íàçûâàþòñÿ ïîëóîñÿìè ýëëèïñîèäà. Ýëëèïñîèä ëåæèò âíóòðè ïðÿ- x y ìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà − a ≤ x ≤ a , −b ≤ y ≤ b , −c ≤ z ≤ c , Ðèñ. 8.16. ò.å. ýëëèïñîèäû ÿâëÿþòñÿ îãðàíè÷åííûìè ïîâåðõíîñòÿìè è âñå ïëîñêèå ñå÷åíèÿ ýëëèïñîèäà ÿâëÿþòñÿ îãðàíè÷åííûìè êðèâûìè âòîðîãî ïîðÿäêà - ýëëèïñàìè. Ïóñòü a 2 ≥ b 2 ≥ c 2 . Ðàññìîòðèì ïåðåñå÷åíèå ýëëèïñîèäà (8.17) ñ ïëîñêîñòüþ z = h ïðè h < c . Ïîäñòàâëÿÿ z = h â (8.17) ïîëó÷èì x2
+
a2
y2 b2
= 1−
h2 c2
èëè x2 2 a 1− h c2
+
y2 2 b 1− h c2
=1
.
(8.18)
Òàêèì îáðàçîì ìû âèäèì, ÷òî ïëîñêîñòü z = h ïðè h < c ïåðåñåêàåò ýëëèïñîèä (8.17) ïî ýëëèïñó ñ ïîëóîñÿìè a 1−
h2 c2
, b 1−
h2 c2
,
êîòîðûå äîñòèãàþò ìàêñèìóìà ïðè h = 0 è ìîíîòîííî óáûâàþò
220
äî íóëÿ ïðè h → c . Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî ïåðåñåêàÿ ýëëèïñîèä (8.17) ïëîñêîñòÿìè y = h è x = h ïðè h > b è h > a ìû ïîëó÷èì â ñå÷åíèÿõ ýëëèïñû ñ ïîëóîñÿìè h2
a 1−
b2
, c 1−
h2 b2
è h2
b 1−
a2
, c 1−
h2 a2
.
Åñëè â ýëëèïñîèäå (8.17) a = b ≠ c , òî åãî ïåðåñå÷åíèå ñ ïëîñêîñòüþ z = h äàñò íàì îêðóæíîñòü x2 a2
+
y2 a2
= 1−
h2 c2
ðàäèóñà rh =
a 2 c − h2 . c
Ñàì ýëëèïñîèä â ýòîì ñëó÷àå (ðèñ. 8.17) ïîëó÷àåòñÿ âðàùåíèåì ýëëèïñà x2 a2
+
z2 c2
=1, y = 0
âîêðóã îñè Oz . Òàê êàê c < a , òî âðàùåíèå ýëëèïñà ïðîèñõîäèò âîêðóã åãî ìåíüøåé îñè è ìû èìååì â ýòîì ñëó÷àå òàê íàçûâàåìûé z ñæàòûé ýëëèïñîèä. Åñëè a > b = c , òî ñå÷åíèå ýëëèïñîèäà ïëîñêîñòüþ x = h äà¸ò y íàì îêðóæíîñòè y2 b2
+
z2 b2
= 1−
h2 a2
x
Ðèñ. 8.17.
221
z z
y x
O
y Ðèñ. 8.18.
x
Ðèñ. 8.19. ðàäèóñà rh =
b 2 a − h2 . a
Ñàì ýëëèïñîèä â ýòîì ñëó÷àå (ðèñ. 8.18) ïîëó÷àåòñÿ âðàùåíèåì ýëëèïñà x2 a2
+
z2 b2
= 1, y = 0
âîêðóã îñè Ox . Ïîëó÷åííûé ýëëèïñîèä íàçîâ¸ì âûòÿíóòûì ýëëèïñîèäîì âðàùåíèÿ. Åñëè a = b = c ýëëèïñîèä (ðèñ. 8.19) ÿâëÿåòñÿ ñôåðîé ðàäèóñà a . Òèï [13]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.20) ïðèíàäëåæàò ìíèìûå ýëëèïñîèäû ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà x2 a
2
+
y2 b
2
+
z2 c
2
= −1 ,
z
O
(8.19)
ãäå a ≥ b ≥ c > 0 . Îíè âåùåñòâåííûõ òî÷åê íå èìåþò.
y x
Ðèñ. 8.20.
Òèï [14]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.21) ïðèíàäëåæàò äâóïîëîñòíûå ãèïåðáîëîèäû - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà
222 x2 a2
+
y2 b2
−
z2 c2
z = −1 ,
(8.20)
ãäå a ≥ b > 0 , c > 0 . Âèä óðàâíåíèÿ (8.20) ñðàçó ãîâîðèò î òîì, ÷òî êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ ïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè, à íà÷àëî êîîðäèíàò ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì ñèììåòðèè äâóïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà. Êàê ñëåäóåò èç ðèñ. 8.21 ïëîñêîñòü z = h x
O
y
ïðè h < c íå ïåðåñåêàåò ãèïåðáîëîèä, ïðè h = c èìååò ñ ãèïåðáîëîèäîì òî÷êè êàñà-
íèÿ (0,0, c ) è (0,0,−c ) . Ïðè h > c ïëîñêîñòü
Ðèñ. 8.21.
z = h ïåðåñåêàåò ãèïåðáîëîèä (8.20) ïî ýëëèïñó x2 a
2
+
y2 b
2
=
h2 c2
−1
ñ ïîëóîñÿìè a
h2 c2
−1 è b
h2
−1 ,
c2
ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèìè îò íóëÿ äî +∞ êîãäà h âîçðàñòàåò îò c äî +∞ . Êàæäàÿ ïëîñêîñòü y = h ïåðåñåêàåò ðàññìàòðèâàåìûé íàìè ãèïåðáîëîèä ïî ãèïåðáîëå z2 c2
−
x2 a2
= 1+
h2 b2
ñ ïîëóîñÿìè c 1+
h2 b2
è a 1+
h2 b2
,
ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèìè îò c è a äî +∞ ïðè âîçðàñòàíèè h
223
îò íóëÿ äî +∞ . Êàæäàÿ ïëîñêîñòü x = h ïåðåñåêàåò íàø ãèïåðáîëîèä ïî ãèïåðáîëå z2 c
2
−
y2 b
2
= 1+
h2 a2
ñ ïîëóîñÿìè c 1+
h2 a2
è b 1+
h2 a2
,
ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèìè îò c è b äî +∞ ïðè âîçðàñòàíèè h îò íóëÿ äî +∞ . Òàêèì îáðàçîì, ôîðìà äâóïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà íàìè ïîëíîñòüþ âûÿñíåíà è ìû âèäèì, ÷òî îí ñîñòîèò äâóõ ñèììåòðè÷íûõ ÷àñòåé (ïîë), ðàñïîëîæåííûõ ñîîòâåòñòâåííî â ïîëóïðîñòðàíñòâàõ z ≥ c è z ≤ −c . Òèï [15]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.22) ïðèíàäëåæàò îäíîïîëîñòíûå ãèïåðáîëîèäû - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà x2 a2
+
y2 b2
−
z2 c2
=1,
ãäå a ≥ b > 0 , c > 0 . Âèä óðàâíåíèÿ (8.21) ñðàçó ãîâîðèò î òîì, ÷òî êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ ïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè, à íà÷àëî êîîðäèíàò ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì ñèììåòðèè îäíîïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà. Êàæäàÿ ïëîñêîñòü z = h ïåðåñåêàåò (ðèñ. 8.22) îäíîïîëîñòíîé ãèïåðáîëîèä ïî ýëëèïñó x2 a2
ñ ïîëóîñÿìè
+
y2 b2
z
(8.21)
= 1+
y x
h2 c2
Ðèñ. 8.22.
224
a 1+
h2 c2
è b 1+
h2 c2
,
ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèìè îò a äî +∞ , åñëè h âîçðàñòàåò îò íóëÿ äî +∞ . Ïðè h = 0 ìû ïîëó÷àåì òàê íàçûâàåìûé ãîðëîâîé ýëëèïñ x2 a
2
+
y2 b2
=1.
(8.22)
Åñëè a = b ðàññìîòðåííûå âûøå ñå÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿ îêðóæíîñòÿìè, à ãèïåðáîëîèä (8.21) íàçûâàåòñÿ îäíîïîëîñòíûì ãèïåðáîëîèäîì âðàùåíèÿ. Êàæäàÿ ïëîñêîñòü y = h ïðè h < b ïåðåñåêàåò ðàññìàòðèâàåìûé íàìè îäíîïîëîñòíîé ãèïåðáîëîèä (8.21) ïî ãèïåðáîëå x2 a
2
−
z2 c
2
= 1−
h2
(8.23)
b2
ñ ïîëóîñÿìè a 1−
h2 b2
è c 1−
h2 b2
,
ìîíîòîííî óáûâàþùèìè îò a è c äî íóëÿ, êîãäà h âîçðàñòàåò îò íóëÿ äî b . Ïëîñêîñòü y = h = b ïåðåñåêàåò (ðèñ.8.23) ðàññìàòðèâàåìûé íàìè ãèïåðáîëîèä, êàê ýòî ñëåäóåò èç (8.23), ïî ïàðå ïðÿìûõ x2 a
2
−
z2 c2
= 0,
à ïðè h > b - ïî ãèïåðáîëå ñ ïîëóîñÿìè c
h2 b
2
−1 è a
h2 b2
−1 ,
Ðèñ. 8.23.
225
ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèìè îò íóëÿ äî +∞ , êîãäà h âîçðàñòàåò îò b äî +∞ . Ìíèìûå (äåéñòâèòåëüíûå) (ðèñ. 8.24) z îñè ãèïåðáîë, ïîëó÷àþùèõñÿ ïðè h > b , ïàðàëëåëüíû äåéñòâèòåëüíûì (ìíèìûì) îñÿì ãèïåðáîë, ïîëó÷àþùèõñÿ ïðè h < b . Ñëó÷àé ïåðåñå÷åíèÿ ãèïåðáîëîèäà (8.21) ïëîñêîñòüþ x = h àíàëîãè÷åí ðàññìîòðåííîìó âûøå ïåðåñå÷åíèþ ãèïåðáî-
y ëîèäà ñ ïëîñêîñòüþ y = h . Îäíèì èç çàìå÷àòåëüíûõ ñâîéñòâ îä- x íîïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå öåëèêîì íà í¸ì ëåæàùèõ ïðÿìûõ (ñì. ðèñ. 8.23). Îïðåäåëåíèå 8.4. Ïîâåðõíîñòü â ïðîñòðàíñòâå íàçûâàåòñÿ l -êðàòíî ëèíåé÷àÐèñ. 8.24. òîé ïîâåðõíîñòüþ, åñëè ÷åðåç ëþáóþ å¸ òî÷êó ïðîõîäèò l è òîëüêî l ðàçëè÷íûõ ïðÿìûõ, öåëèêîì íà íåé ëåæàùèõ. Ýòè ïðÿìûå íàçûâàþòñÿ ïðÿìîëèíåéíûìè îáðàçóþùèìè ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòè. Ñôîðìóëèðóåì (áåç äîêàçàòåëüñòâà) äëÿ îäíîïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà (8.21) ñëåäóþùåå Ïðåäëîæåíèå 8.1. Îäíîïîëîñòíîé ãèïåðáîëîèä ÿâëÿåòñÿ äâàæäû ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòüþ.  ïîëüçó ýòîãî ïðåäëîæåíèÿ ñëóæèò òîò ôàêò, ÷òî ïðè ïåðåñå÷åíèè ãèïåðáîëîèäà ïëîñêîñòÿìè y = h = b è x = h = a ìû ïîëó÷àåì ïàðû ïåðåñåêàþùèõñÿ â òî÷êàõ ïðèíàäëåæàùèõ ãîðëîâîìó ýëëèïñó ïðÿìûõ. ßñíî, ÷òî ëþáàÿ ïëîñêîñòü êàñàòåëüíàÿ ê îäíîïîëîñòíîìó ãèïåðáîëîèäó â òî÷êàõ ãîðëîâîãî ýëëèïñà áóäåò ïåðåñåêàòü åãî ïî ïàðå ïðÿìûõ. Òàêèì îáðàçîì (áåç äîêàçàòåëüñòâà) ìû ìîæåì ïðåäïîëîæèòü, ÷òî êàæäàÿ ïðÿìîëèíåéíàÿ îáðàçóþùàÿ îäíîïîëîñòíîãî ãè15 À.À. Êèðñàíîâ
226
ïåðáîëîèäà ïåðåñåêàåò åãî ãîðëîâîé ýëëèïñ. Ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïðÿìîëèíåéíûõ îáðàçóþùèõ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó M 0 (x0 , y0 ) ãîðëîâîãî ýëëèïñà, èìåþò âèä x = x0 − u
a y0 t , b
y = y0 + u
b x0t , a
z = ct ,
(8.24)
ãäå u = ±1 . Äâå ïðÿìîëèíåéíûå îáðàçóþùèå îäíîïîëîñòíîãî ãèïåðáîëîèäà áóäåì íàçûâàòü îäíîèì¸ííûìè, åñëè èì ñîîòâåòñòâóåò îäíî è òî æå çíà÷åíèå u . Òàêèì îáðàçîì âñå îáðàçóþùèå ðàçáèâàþòñÿ íà äâà êëàññà, êîòîðûå îáû÷íî íàçûâàþòñÿ ñåìåéñòâàìè ïðÿìîëèíåéíûõ îáðàçóþùèõ ãèïåðáîëîèäà (8.21). Òèï [16]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.25) ïðèíàäëåæàò ýëëèïòè÷åñêèå ïàðàáîëîèäû - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà x2 y2 + = 2z , p q
ãäå p ≥ q > 0 . Âèä óðàâíåíèÿ (8.25) ñðàçó ãîâîðèò î òîì, ÷òî êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ ïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè ýëëèïòè÷åñêîãî ïàðàáîëîèäà. Ïðè p ≠ q äðóãèõ ïëîñêîñòåé ñèììåòðèè ó íåãî íåò. Ïëîñêîñòü z = h ïðè h < 0 íå ïåðåñåêàåò ïàðàáîëîèä, ïðè h = 0 èìååò ñ ïàðàáîëîèäîì åäèíñòâåííóþ îáùóþ òî÷êó O(0,0,0) è ïðè h > 0 ïåðåñåêàåò ïàðàáîëîèä ïî ýë-
(8.25)
z
x O
y Ðèñ. 8.25.
227
ëèïñó x2 y2 + = 2h p q
ñ ïîëóîñÿìè 2hp è
2hq ,
ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèìè âìåñòå ñ h îò íóëÿ äî +∞ . Ïëîñêîñòè y = h è x = h ïåðåñåêàþò íàø ïàðàáîëîèä ïî ïàðàáîëàì ñ ôîêàëüíûìè ïàðàìåòðàìè p è q , ñ âåðøèíàìè ñîîòâåòñòâåííî â òî÷êàõ 2 2 0, h, h h, 0, h 2q è 2 p
è ñ ðîãàìè íàïðàâëåííûìè â ñòîðîíó âîçðàñòàíèÿ z . Òèï [17]. Ê ýòîìó òèïó (ðèñ. 8.26) ïðèíàäëåæàò ãèïåðáîëè÷åñêèå ïàðàáîëîèäû - ïîâåðõíîñòè èìåþùèå â ÏÑÊ Oxyz óðàâíåíèå âèäà x2 y2 − = 2z , p q
ãäå p > 0 , q > 0 . Âèä óðàâíåíèÿ (8.26) ñðàçó ãîâîðèò î òîì, ÷òî êîîðäèíàòíûå ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ ïëîñêîñòÿìè ñèììåòðèè ýëëèïòè÷åñêîãî ïàðàáîëîèäà. Äðóãèõ ïëîñêîñòåé ñèììåòðèè ó íåãî íåò. x Èç âñåõ ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà ýòî ñàìàÿ òðóäíàÿ äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ïîâåðõíîñòü. Ïëîñêîñòü z = h ïðè h < 0 ïåðåñåêàåò ïàðàáîëîèä (8.26) ïî ãèïåðáîëå x2 y2 − = −2h p q 15*
(8.26)
z y
O
Ðèñ. 8.26.
228
èëè y2 x2 − =1 2hq 2hp
ñ ïîëóîñÿìè − 2hq è
− 2hp ,
ìîíîòîííî óáûâàþùèìè îò +∞ äî íóëÿ, êîãäà h âîçðàñòàåò îò −∞ äî íóëÿ. Äåéñòâèòåëüíàÿ îñü ýòîé ãèïåðáîëû ïàðàëëåëüíà îñè Ox , à ìíèìàÿ - îñè Oy . Ïðè h = 0 ïëîñêîñòü z = 0 ïåðåñåêàåò (ðèñ. 8.27) ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä ïî ïàðå ïðÿìûõ z y x2 y2 − =0. p q x Ïðè h > 0 ïëîñêîñòü z = h ïåðåO ñåêàåò íàø ïàðàáîëîèä ïî ãèïåðáîëàì x2 y2 − = 2h p q
Ðèñ. 8.27.
ñ ïîëóîñÿìè 2hp è
2hq ,
ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèìè âìåñòå ñ h îò íóëÿ äî +∞ . Äåéñòâèòåëüíàÿ îñü ýòîé ãèïåðáîëû ïàðàëëåëüíà îñè Oy , à ìíèìàÿ - îñè Ox . Ïëîñêîñòü y = h ïðåñåêàåò ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä ïî ïàðàáîëå x2 h2 = 2z + p q
èëè
229 h 2 x 2 = 2 p z + 2q h 2 − 0 h , , ñ ïàðàìåòðîì p è âåðøèíàìè 2q , íàïðàâëåííîé ðîãàìè
ââåðõ. Ïëîñêîñòü x = h ïåðåñåêàåò ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä ïî ïàðàáîëå h2 y2 = −2z + q p
èëè h 2 y 2 = −2q z − 2 p 2 h, 0, h q ñ ïàðàìåòðîì , âåðøèíàìè 2 p , íàïðàâëåííîé ðîãàìè âíèç.
Ïëîñêîñòè y = 0 è x = 0 ïåðåñåêàþò ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä ïî ãëàâíûì ïàðàáîëàì: íåïîäâèæíîé ïàðàáîëå x 2 = 2 pz , y = 0
(8.27)
è ïîäâèæíîé ïàðàáîëå y 2 = −2qz , x = 0 ,
(8.28)
îáðàù¸ííûå ðîãàìè â ðàçíûå ñòîðîíû. Ïðåäëîæåíèå 8.2. Ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä ÿâëÿåòñÿ äâàæäû ëèíåé÷àòîé ïîâåðõíîñòüþ. Ðàíåå ìû ïîêàçàëè, ÷òî ïðè h = 0 ïëîñêîñòü z = 0 ïåðåñåêàåò (ðèñ. 8.27) ãèïåðáîëè÷åñêèé ïàðàáîëîèä ïî ïàðå ïðÿìûõ x2 y2 − =0 p q
230
èëè
x y x y + ⋅ − =0. (8.29) p p q q Ìû ìîæåì ïðåäïîëîæèòü, ÷òî âñÿêàÿ ïðÿìîëèíåéíàÿ îáðàçóþùàÿ ãèïåðáîëè÷åñêîãî ïàðàáîëîèäà (8.26) ïåðåñåêàåò ïëîñêîñòü z = 0 èëè ðàñïîëîæåíà â íåé.
Ïóñòü M 0 (x0 , y0 , z 0 ) - ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà ãèïåðáîëè÷åñêîãî ïàðàáîëîèäà (8.26) è ïóñòü ïðÿìàÿ
x = x0 + tl , y = y0 + tm , z = z 0 + tn , ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó M 0 , öåëèêîì ëåæèò íà ïàðàáîëîèäå. Êîîðäèíàòû ðàññìàòðèâàåìîé ïðÿìîé äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ (8.26)
(x0 + tl )2 − (y0 + tm )2
= 2(z 0 + tn ) , p q êîòîðîå ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê è ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ ìîæíî çàïèñàòü òàê l 2 m2 lx my + 2t 0 − 0 − n = 0 . t 2 − p q p q Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âîçìîæíî ïðè l 2 m2 − =0 p q
(8.30)
è
lx0 my0 − −n=0. p q Èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî
(8.31)
231
l m = =λ, ( u = ±1 ) p u q èëè l:m =
p :u q .
Ïîäñòàâëÿÿ âî âòîðîå ðàâåíñòâî çíà÷åíèÿ l = λ p è m = λu q ,
ïîëó÷èì
x y λ 0 − u 0 = n , p q îòêóäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî ñ òî÷íîñòüþ äî ïðîïîðöèîíàëüíîñòè (8.30) è (8.31) èìåþò äâà è òîëüêî äâà ðåøåíèÿ: x y p :u q : 0 − u 0 . p q Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî äâå ïðÿìûå ñ íàïðàâëÿþùèìè âåêòîðàìè l :m:n =
l=
p,
m=u q ,
n=
x0 p
−u
y0 q
öåëèêîì ëåæàò íà ãèïåðáîëè÷åñêîì ïàðàáîëîèäå (8.26). Ïðÿìûå ñ u = 1 îáðàçóþò îäíî ñåìåéñòâî îáðàçóþùèõ (ðèñ. 8.28), à ñ u = −1 - äðóãîå.  çàêëþ÷åíèå ìû ìîæåì ñêàçàòü, ÷òî êëàññèôèêàöèÿ ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà ïîëíîñòüþ èñ÷åðïûâàåòñÿ ïåÐèñ. 8.28.
232
ðå÷èñëåííûìè ñåìíàäöàòüþ òèïàìè ïîâåðõíîñòåé âòîðîãî ïîðÿäêà â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå. Íè äëÿ îäíîé ïîâåðõíîñòè íå ñóùåñòâóåò äâóõ ÏÑÊ, â êîòîðûõ îíà èìåëà áû ðàçëè÷íûå óðàâíåíèÿ ýòèõ òèïîâ. Òàêèì îáðàçîì âñå ïîâåðõíîñòè âòîðîãî ïîðÿäêà èñ÷åðïûâàþòñÿ 1) ýëëèïñîèäàìè (äåéñòâèòåëüíûìè [12] è ìíèìûìè [13]) , 2) ãèïåðáîëîèäàìè (îäíîïîëîñòíûìè [15] è äâóïîëîñòíûìè [14]), 3) ïàðàáîëîèäàìè (ýëëèïòè÷åñêèìè [16] è ãèïåðáîëè÷åñêèìè [17]), 4) êîíóñàìè âòîðîãî ïîðÿäêà (äåéñòâèòåëüíûìè [10] ìíèìûìè [11]), 5) öèëèíäðàìè âòîðîãî ïîðÿäêà (äåéñòâèòåëüíûìè ýëëèïòè÷åñêèìè [1] è ìíèìûìè ýëëèïòè÷åñêèìè [2], ïàðàáîëè÷åñêèìè [6] è ãèïåðáîëè÷åñêèìè [4]), 6) ïàðàìè ïëîñêîñòåé (äåéñòâèòåëüíûõ ïåðåñåêàþùèõñÿ [5], ìíèìûõ ïåðåñåêàþùèõñÿ [3] è äåéñòâèòåëüíûõ ïàðàëëåëüíûõ è ðàçëè÷íûõ [7], ìíèìûõ ïàðàëëåëüíûõ [8], äåéñòâèòåëüíûõ ñîâïàäàþùèõ [9]).
233
Ëèòåðàòóðà
1. Àëåêñàíäðîâ Ï.Ñ. Êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðû. Ì.: Íàóêà, 1979. 2. Áåêëåìèøåâ Ä.Â. Êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðû. Ì.: ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2000. 3. Áåêëåìèøåâà Ë.À., Ïåòðîâè÷ À.Þ., ×óáàðîâ È.À. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è ëèíåéíîé àëãåáðå. Ì.: Íàóêà, 1987. 4. Áîðåâè÷ Ç.È. Îïðåäåëèòåëè è ìàòðèöû. Ì.: Íàóêà, 1970. 5. Âåðíåð À.Ë., Êàíòîð Á.Å., Ôðàíãóëîâ Ñ.À. Ãåîìåòðèÿ, ÷.1., ÷.2. - ÑÏá.: Ñïåöèàëüíàÿ ëèòåðàòóðà, 1997. 6. Äàíêî Ï.Å., Ïîïîâ À.Ã. Âûñøàÿ ìàòåìàòèêà â óïðàæíåíèÿõ è çàäà÷àõ. ×. I. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1967. 7. Åôèìîâ Í.Â. Êâàäðàòè÷íûå ôîðìû è ìàòðèöû. Ì.: Íàóêà, 1967. 8. Åôèìîâ Í.Â. Êðàòêèé êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. - Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1969. 9. Åôèìîâ Í.Â., Ðîçåíäîðí Ý.Ð. Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ìíîãîìåðíàÿ ãåîìåòðèÿ. Ì.: Íàóêà, 1970. 10. Çàäà÷íèê-ïðàêòèêóì ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè è âûñøåé àëãåáðå. Ë.: Èçäàòåëüñòâî ËÃÓ, 1986. 11. Èëüèí Â.À., Ïîçíÿê Ý.Ã. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ. Ì.: Íàóêà, 1968. 12. Êèðñàíîâ À.À. Çàäà÷íèê-ïðàêòèêóì ïî ëèíåéíîé àëãåáðå. Ìàòðèöû. Äåòåðìèíàíòû. Ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ïñêîâ: ÏÃÏÈ, 2002. 13. Êèðñàíîâ À.À. Êîìïëåêñíûå ÷èñëà. Ïñêîâ: ÏÃÏÈ, 2002. 14. Ëàïòåâ Ã.Ô. Ýëåìåíòû âåêòîðíîãî èñ÷èñëåíèÿ. Ì.: Íàóêà, 1975. 15. Ìàòåìàòèêà â ñîâðåìåííîì ìèðå. Ì.: Ìèð, 1967. 16. Ìèëîâàíîâ Ì.Â. è äð. Àëãåáðà è àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ. × 1. Ìí.: Àìàëôåÿ, 2001. 17. Ìîäåíîâ Ï.Ñ., Ïàðõîìåíêî À.Ñ. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. Ì.: Íàóêà, 1976.
234
18. Ìóñõåëèøâèëè Í.È. Êóðñ àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1967. 19. Ïîñòíèêîâ Ì.Ì. Ëåêöèè ïî ãåîìåòðèè. Ñåìåñòð I. Àíàëèòè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ. Ì.: Íàóêà, 1986. 20. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî ãåîìåòðèè. Ïîä ðåä. Â.Ò. Áàçûëåâà. Ì.: Ïðîñâåùåíèå, 1980. 21. Øèëîâ Ã.Å. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç. Êîíå÷íîìåðíûå ëèíåéíûå ïðîñòðàíñòâà. Ì.: Íàóêà, 1969.
Ê 435 Àëåêñàíäð Àëåêñååâè÷ Êèðñàíîâ
ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß È ËÈÍÅÉÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ I ñåìåñòð (êóðñ ëåêöèé)
ISBN 5 -87854 -273 -0
9 785878 542739
Èçäàòåëüñêàÿ ëèöåíçèÿ ÈÄ ¹ 06024 îò 09.10.2001 ãîäà. Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 24.07.2003 ã. Ôîðìàò 60õ90/16. Îáúåì èçäàíèÿ: 14,75 ó.ï.ë. Òèðàæ 300 ýêç. Çàêàç ¹ . Ïñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ïåäàãîãè÷åñêèé èíñòèòóò èì.Ñ.Ì.Êèðîâà, 180760, ã.Ïñêîâ, ïë.Ëåíèíà, 2. Ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêèé îòäåë ÏÃÏÈ èì.Ñ.Ì.Êèðîâà, 180760, ã.Ïñêîâ, óë.Ñîâåòñêàÿ, 21, òåëåôîí 2-86-18.
