Математика: опорные конспекты лекций и задания к практическим занятиям (для студентов I курса психологического факультета очной формы обучения)

Федеральное агентство по образованию Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского

И.А. Круглова

МАТЕМАТИКА Опорные конспекты лекций и задания к практическим занятиям (для студентов I курса психологического факультета очной формы обучения)

Изд-во ОмГУ

Омск 2005

УДК 51 ББК 22.1 К 840 Рекомендованы к изданию редакционно-издательским советом ОмГУ Рецензенты: доцент кафедры математического анализа ОмГУ, канд. физ.-мат. наук И.А. Латыпов; доцент кафедры практической психологии ОмГПУ, канд. психол. наук Н.В. Белякова; доцент кафедры алгебры ОмГУ, канд. физ.-мат. наук А.С. Штерн

Круглова И.А. К 840 Математика: опорные конспекты лекций и задания к практическим занятиям (для студентов I курса психологического факультета очной формы обучения) / И.А. Круглова. – Омск: Изд-во ОмГУ, 2005. – 32 с. ISBN 5-7779-0578-1 Представлен в компактной форме наиболее важный материал курса «Высшая математика». Занятия включают опорные конспекты, задания для аудиторной и домашней работы, список рекомендуемой литературы. При составлении опорных конспектов применялись методы, основанные на приемах психологического восприятия человеком информации и влияния на подсознание как источник стимулирования, использовались приемы мнемоники, что создает исключительно благоприятные условия для быстрого запоминания всего материала. Для студентов I курса психологического факультета очной формы обучения. УДК 51 ББК 22.1

ISBN 5-7779-0578-1

© И.А. Круглова, 2005 © Омский госуниверситет, 2005

ВВЕДЕНИЕ Данные опорные конспекты представляют собой краткое содержание тем курса математики, изучаемых на практических занятиях 1-го и 2-го семестров со студентами психологического факультета ОмГУ. В 2003 г. Д.И. Смыгалиным под руководством И.А. Кругловой была выполнена дипломная работа «Опорные конспекты по математике для студентов I курса психологического факультета». Эксперимент показал эффективность данного метода и высокую результативность студентов при сдаче зачета и экзамена. В чем же секрет такого успеха? У человека преобладающим является зрительное восприятие. Зрительная память напрямую связана с развитым воображением: то, что человек может себе представить, он, как правило, легче запоминает и воспроизводит. При работе с опорными конспектами делается упор на зрительные образы – формы, расположение, символы. Эмоциональная память – это память на переживания. Она участвует в работе всех видов памяти, но особенно проявляется в человеческих отношениях. На эмоциональной памяти основана прочность запоминания материала: то, что у человека вызывает эмоции, запоминается без особого труда и на более долгий срок. Рекомендуется самостоятельная окраска пунктов конспекта, что вносит индивидуальную эмоциональную составляющую в его запоминание. Ведущая система восприятия у каждого индивидуальна, поэтому чем больше видов памяти будет задействовано, тем лучше будет усвоен материал. Каждое из 14 (1–7, 10–16) занятий включает: опорный конспект, задания для аудиторной работы, домашние задания. В опорных конспектах используются следующие приемы: ключевые слова, принцип золотого сечения, линии прошлого–будущего, цветовая окраска конспекта. Таким образом, опорные конспекты могут служить пособием, помогающим в короткий промежуток времени рассмотреть достаточно емкий материал. При этом опорные конспекты не заменяют других методов изложения материала. Известно, что для ученого и инженера математика – это орудие, для математикапрофессионала – религия, а для обычного человека – камень преткновения. Будем надеяться, что данный курс поможет по-другому взглянуть на математику, вскрыть ее внутреннюю логику и связи.

3

ОПЕРАЦИИ

a + b = ( a x + bx )i + ( a y + by ) j + ( a z + bz ) k разложение

a − b = ( a x − bx )i + ( a y − by ) j + ( a z − bz ) k

a = ax i + a y j + az k a{a x ; a y ; a z }

Умножение на число

ВЕКТОР

Скалярное произведение

m ⋅ a = max ⋅ i + ma y ⋅ j + maz ⋅ k Направление

a ⋅ 0 = 0; a ≠ 0 ∀k ∈ R ∀ a ,

⇒

⎧⎪ b = k a k ⋅a = b ⇔ ⎨ ⎪⎩b || k a

k > 0, a ↑↑ b;

a ⋅ b = a b cos α = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2

+ длина

a = a x2 + a y2 + a z2

a ⊥ b ⇒ a ⋅b = 0

k < 0, a ↑↓ b

ОК 1.1

4

Занятие 1. ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

4. В прямой призме ABCA1 B1C1 АВ=ВС=1, AA1 = 6 , ∠ВАС=30°. Найдите углы между прямыми AC1 и A1 B .

I. Теоретические сведения. Вектор (от лат. vector, букв. «несущий») – направленный отрезок прямой, у которого один конец (точка А) называется началом вектора, другой конец (точка В) – концом вектора. Термин «вектор» ввёл У. Гамильтон (ок. 1845); обозначения a – Ж. Арган (1806), AB – А. Мёбиус.

5. Дан куб ABCDA1 B1C1 D1 . Используя метод координат найти угол между прямыми AB1 и A1 D . 6. Даны векторы a и b . Найти ( a + 3b )( a − b ) , если a {2; −2;1} , b = 3i − k . 7. Дан вектор a ( 5; −1; 4 ) . При каком значении k вектор d {10; k ;8}

Основные понятия: коллинеарные (сонаправленные, противоположно направленные) векторы, равные и противоположные векторы, компланарные векторы, угол между векторами, единичный и нулевой векторы, координаты вектора.

а) коллинеарен вектору a , б) перпендикулярен вектору a . III. Задания для внеаудиторной работы. 1. Дан параллелепипед ABCDA1 B1C1 D1 . Медианы треугольника BB1C пе-

Основные операции. • Сумма и разность векторов – геометрически (правила треугольника, параллелограмма, многоугольника) и в координатах. Умножение на число. • Скалярное произведения. Скалярный квадрат вектора.

ресекаются в точке М. Разложить вектор AM по векторам AA1 = a , AB = b , AD = c .

• Теорема 2. Сумма квадратов диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов всех его сторон.

• • • •

a+c ) 3

2. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1 B1C1 D1 , основанием которого служит квадрат со стороной а. Найдите угол между прямыми C1 D и A1C , если боковое ребро равно 2а. ( arccos 0,3 ) 3. Ребро правильного тетраэдра DABC равно a. Точка О – центр грани АВС. Найти скалярное произведение векторов: BC ⋅ AD , OB ⋅ CO ,

Примеры применения векторов при решении задач.

• Теорема 3. О длине медианы треугольника ( ma =

(b+

2b 2 + 2c 2 − a 2 ). 2

Теорема 4. О точке пересечения медиан треугольника. Теорема косинусов. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема о трех перпендикулярах.

DC ⋅ OA

(0;

a2 a2 ; − ) 6 6

4. Докажите, что если в четырехугольной пирамиде проекция одной из вершин основания на диагональное сечение лежит на высоте этого сечения, проведенной к диагонали основания, то одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно этой диагонали. 5. Даны векторы a и b . Найти ( 2a + b )( a − b ) , если a {1; −3; 2} ,

II. Задания для аудиторной работы. 1. ВМ – медиана треугольника АВС, О – произвольная точка пространства. Разложите вектор BM по векторам OA = a , OB = b , OC = c . 2. Докажите, что в правильной четырехугольной пирамиде EABCD прямая, проходящая через основание высоты пирамиды и точку пересечения медиан грани ЕАВ, перпендикулярна прямой АВ. 3. Ребро правильного тетраэдра DABC равно a. Точка О – центр грани АВС. Найти скалярное произведение векторов: OA ⋅ BO , AD ⋅ OC , AB ⋅ CD .

b = −2 j + 4 k .

(–6)

Литература: 1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия: Учеб. для 10–11 кл. ср. шк. М.: Просвещение, 1992. (Гл. IV, V). 2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. шк., 1996. Т. 1. (Гл. II).

5

i a × b = x1 b ( x2 ; y 2 ; z 2 ) x2

a ( x1 ; y1 ; z1 )

a ×b = c

j y1 y2

k z1 z2

c = a b sin ϕ = S c ⊥b

+ Правая тройка

c⊥a a × b = −(b × a );

a × (b + c ) = a × b + a × c ;

(ma ) × b = a × (mb ) = m(a × b );

a || b ⇒ a × b = 0.

Векторное произведение

векторов

Смешанное

( abc ) = ( a × b ) ⋅ c = a (b × c )

( a ; b; c ) = ( b; c ; a ) = ( c ; a ; b ) ( b; a ; c ) = − ( a ; b; c ) ( c ; b; a ) = − ( a ; b ; c ) ( a ; c; b ) = − ( a ; b; c )

– число

a, b, c −компланарны ⇒ (a; b; c) = 0

a ( x1; y1; z1 ) ⎫ x1 ⎪ b ( x2 ; y2 ; z2 ) ⎬ ⇒ a; b; c = x2 c ( x3 ; y3 ; z3 ) ⎪⎭ x3

(

a

)

y1

z1

y2

z2

y3

z3

знай

c

b

(

V1 = a; b; c

)

(

)

1 1 V2 = V1 = a; b; c 6 6 ОК 1.2

6

Занятие 2. ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

I. Повторение темы «Векторы на плоскости и в пространстве». 1. Даны векторы a = mi + 3 j + 4k и b = 4i + m j − 7k . При каких значениях m эти векторы перпендикулярны? Могут ли эти векторы быть коллинеарными? Записать координаты векторов. 2. Найти ( 5a + 3b )( 2a − b ) , если a = 2, b = 3, a ⊥ b. II. Задания для аудиторной работы. Векторное произведение. Ориентированные тройки векторов. 3. Изобразив

векторное

произведение

векторов

на

кубе,

доказать:

AB × AD = A1 A,

C1C × C1 D1 = C1 B1 , CB1 × BC1 = 2 DC.

4. Ввести систему координат, вычислить векторное произведение векторов AB × AD , C1C × C1 D1 , CB1 × BC1 через вычислительную формулу. Сравните результат с результатом в предыдущей задаче. Смешанное произведение. 5. Вычислив смешанное произведение векторов ( AB; AD; A1 A) , убедитесь, что тройка векторов ( AB; AD; A1 A ) – правая. (Аналогично ( C1C; C1 D1 ; C1 B1 ) , ( CB1 ; BC1 ; 2 DC ) ).

Геометрические приложения векторного и смешанного произведения. Объем параллелепипеда и площадь параллелограмма. 6. Даны четыре точки с координатами А(2,2,2); В(4,3,3); С(4,5,4); К(5,5,6). Найти длины сторон получившегося тетраэдра, угол между ребрами, площади боковых граней, объем. III. Задания для внеаудиторной работы. 1. Дан единичный куб ABCDA1 B1C1 D1 . Изобразить результат векторного произведения а) AC1 × DD1 ; b) AC1 × DB1 . ( B1 D1 , 2CD1 ) Результат проверить, решив задачу вторым способом. Для этого введите систему координат и используйте вычислительную формулу для нахождения векторного произведении через координаты. 2. Даны координаты точек А1(1;–1;0); А2(2;–1;–1); А3(–2;1;3) А4(1;–2;0). Найти координаты всех векторов и их длины; угол между векторами А1 А2 и А1 А3 ; площадь параллелограмма, построенного на векторах А1 А2 и А1 А3 . Найти объем параллелепипеда построенного на векторах А1 А2 , А1 А3 и А1 А4 . ( А1 А2 = 2 ; А1 А3 = 22 ; А1 А4 = 1 ; А2 А3 = 6 ; А2 А4 = 3 ; А3 А4 = 3 3 ; S A A A = 2 2 , V = 0 ) 1 2 3

IV. Подготовиться к самостоятельной работе № 1 по материалам 1 и 2 занятий. Литература: 1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия: Учеб. для 10–11 кл. ср. шк. М.: Просвещение, 1992. (Гл. IV, V). 2. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. шк., 1996. Т. 1. (Гл. II).

7

⎧ Ax + By + Cz + D = 0 ⎨ 2 2 2 ⎩A + B + C ≠ 0 n = Ai + B j + C k n ⊥ ( Ax + By + Cz + D = 0) x − x1 x2 − x1

y − y1 y2 − y1

z − z1 z2 − z1 = 0

x3 − x1

y3 − y1

z3 − z1

A( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z 0 ) = 0

Общее

n и точка

По трем точкам

пучок

Уравнение ПЛОСКОСТИ

в отрезках

A1x + B1 y + C1z + D + λ ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0 α

β

Взаимное расположение плоскостей

A1 B1 C1 = = A2 B 2 C 2 ∠(α ; β ) ? ∠(n1 ; n2 )

cos α =

D≠0 x y z + + =1 a b c

расстояние от точки до плоскости

⇒ ||

A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0 ⇒ ⊥

A1 A2 + B1 B2 + C1C 2 A12 + B12 + C12 ⋅ A22 + B22 + C 22

d=

Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B2 + C2 ОК 1.3

8

Занятие 3. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ

Взаимное расположение плоскостей. 5. Выяснить взаимное расположение плоскостей а) 2 x + 3 y − 6 z + 1 = 0 и 4 x + 6 y − 12 z = 0 ; б) 2 x + 3 y − z + 5 = 0 и 3 x + 1 y + 9 z − 4 = 0 .

I. Самостоятельная работа № 1. II. Задания для аудиторной работы.

Угол между плоскостями.

Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 и вектор нормали. Частные случаи: • А=0 – плоскость параллельна оси Ox (В=0 – Oy, C=0 – Oz); • D=0 – проходит через начало координат; • А=В=0 – плоскость перпендикулярна оси Oz (А=С=0 – ⊥ Oy, В=C=0 – ⊥ Ox); • А=D=0 плоскость содержит ось Ox (В=D=0 – содержит ось Oy, C=D=0 –содержит ось Oz); • А=В=D=0 – плоскость совпадает с плоскостью xOy (А=С=D=0 – с xOz, В=C=D=0 с yOz).

6. Вычислить угол между плоскостями x + 2 y − z = 0 и 4 y − 7 z + 3 = 0. Расстояние от точки до плоскости. 7. Вычислить

расстояние 2x − 4 y + z + 3 = 0 .

от

точки

M (1; 2; 3)

до

плоскости

до

плоскости

III. Задания для внеаудиторной работы. 1. Найти

расстояние

от

2 x − 3 y − 4 z + 12 = 0 .

1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M ( 2; 3; 5 ) и

точки

M (1; 3; −2 )

(d =

13 29

)

2. Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки M ( 2; 3;−5 ) на

перпендикулярной вектору n = 4i + 3 j + 2k . 2. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку M ( 2; 3;−1) и параллельной плоскости 5 x − 3 y + 2 z − 10 = 0 .

плоскость 4 x − 2 y + 5 z − 12 = 0

(

7 5 ) 3

3. Найти уравнение плоскости, зная, что точка P ( 4; −3;12 ) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость. ( 4 x − 3 y + 12 z − 169 = 0 )

У к а з а н и е . Решить задачи двумя способами: через общее уравнение плоскости и с помощью уравнения плоскости через точку и вектор нормали.

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M ( 3; −1; −5 ) и перпендикулярной плоскостям 3x − 2 y + 2 z + 7 = 0 и 5 x − 4 y + 3 z + 1 = 0 ( 2 x + y − 2 z − 15 = 0 )

Уравнение плоскости по трем точкам. 3. Из точки P ( 2; 3;−5 ) на координатные плоскости опущены перпендикуляры. Составить уравнение плоскости, проходящее через их основания.

5. Какой угол образует с плоскостью x + y + 2 z − 4 = 0 вектор a = i + 2 j + k ?

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A ( 5; 4; 3) и отсекающей равные отрезки на осях координат.

5 6

( arc sin ) Литература: 1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. шк., 1996. Т. 1. (Гл. II).

У к а з а н и е . Решить задачу двумя способами: 1) через уравнение плоскости, проходящей через три точки, 2) с помощью уравнения плоскости в отрезках.

9

⎧ x = lt + x1 ; ⎪ ⎨ y = mt + y1 ; ⎪ z = nt + z . 1 ⎩ ⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D = 0; ⎨ ⎩ A2 x + B2 y + C 2 z + D = 0

Помни про модуль

cos α =

M 1 ( x1 , y1 , z1 ) M 2 ( x2 , y 2 , z 2 )

параметрически

две плоскости

l1l2 + m1m2 + n1n2 l12 + m12 + n12 ⋅ l22 + m22 + n22

cos( a; b) = cos( a; b) = ...

x − x1 y − y1 z − z1 = = x 2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1 через две точки

Угол между прямыми

Прямая в пространстве каноническое

Взаимное расположение прямой и плоскости

x − x1 y − y1 z − z1 = = cosα cos β cosγ x − x1 y − y 1 z − z 1 = = l m n

sin( a , α ) = cos( a ; n ) = ...

пересекает 1) Al + Bm + Cn ≠ 0 2) Al + Bm + Cn = 0, Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0− 3) Al + Bm + Cn = 0, Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0− ∈ A B C = = 4) l m n

Угол между прямой и плоскостью

Условие компланарности

Условие перпендикулярности

x2 − x1

y 2 − y1

z 2 − z1

l1 l2

m1 m2

n1 n2

=0

ОК 1.4 10

Занятие 4. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Контрольные вопросы (I блок) 1) Сформулируйте, какие векторы называются: коллинеарными (сонаправленными, противоположно направленными), равными, коллинеарными, компланарными. 2) Какой угол называют углом между векторами? 3) Какие векторы называют единичными, нулевыми? Что можно сказать о координатах этих векторов? 4) Что такое правило треугольника, правило параллелограмма, правило многоугольника? 5) Сформулируйте: • свойства суммы и произведения на число (геометрически и в координатах); • скалярное произведение, скалярный квадрат вектора. 6) Сформулируйте и докажите с помощью векторов следующие теоремы. • Сумма квадратов диагоналей параллелепипеда; • О длине медианы треугольника; • О точке пересечения медиан треугольника; • Теорему косинусов; • Признак перпендикулярности прямой и плоскости; • Теорему о трех перпендикулярах. 7) Что такое векторное и смешанное произведение векторов? Как его вычислить, зная координаты исходных векторов? В чем геометрический смысл векторного произведения. 8) Дайте формулы уравнения прямой в пространстве (уравнениями двух плоскостей, через две точки, канонические уравнения, параметрическое уравнение). 9) Условие компланарности двух прямых. Угол между прямыми, угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности прямой и плоскости, перпендикулярности прямой и плоскости. 10) Уравнение плоскости (общее, в отрезках, через три точки). 11) Как найти угол между плоскостями (дайте формулу)? В чем состоит условие параллельности и перпендикулярности плоскостей?

I. Получить домашнюю контрольную работу № 1. II. Задания для аудиторной работы. 1. Уравнения прямых 2 x − y + 3 z − 1 = 0 и 5x + 4 y − z − 7 = 0 привести к каноническому виду. ⎧2 x + 3 y + 3 z − 9 = 0, ⎩4 x + 2 y + z − 8 = 0.

2. Построить прямую ⎨

3. Из начала координат опустить перпендикулярна прямую x − 2 y −1 z − 3 = = . 2 3 1 x y z = = прямой определить параметр n так, чтобы эта 2 −3 n x +1 y + 5 z = = прямая пересеклась с прямой и найти точку их пересече3 2 1

4. В уравнениях

ния. 5. Составить уравнения прямой, проходящей через точку М (3; 2; –1) и пересекающей ось Ох под прямым углом. x +1 y −1 z − 2 = = провести плоскость, параллельную пря−1 2 3 x y + 2 z −3 . = = мой −1 2 −3

6. Через прямую

Литература: 1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. шк., 1996. Т. 1. (Гл. II).

11

⎛a b ⎞ A = ⎜⎜ 1 1 ⎟⎟ ⎝ a2b2 ⎠ ⎛ a1 ⎜ A = ⎜ a2 ⎜a ⎝ 3

b2 b2 b3

Матрица II порядка c3 ⎞ ⎟ c2 ⎟ c 3 ⎟⎠

Сумма AиB

Матрица III порядка

⎛ a11 a12 a13 ⎞ ⎛ b11 b12 b13 ⎞ ⎛ a11 + b11 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ a 21 a 22 a 23 ⎟ + ⎜ b 21 b 22 b 23 ⎟ = ⎜ a 21 + b 21 ⎜ a a a ⎟ ⎜b b b ⎟ ⎜ a + b 31 ⎝ 31 32 33 ⎠ ⎝ 31 32 33 ⎠ ⎝ 31

2

Произведение

Произведение m на А

1

A на B

a12 + b12 a 22 + b 22 a 32 + b32

a13 + b13 ⎞ ⎟ a 23 + b 23 ⎟ a 33 + b33 ⎟⎠

c12

⎛ a11a12a13 ⎞ ⎛ b11b12b13 ⎞ ⎛ c11 a11b12 + a12b22 + a13b32 c13 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ . . ⎟ ⎜ a21a22 a23 ⎟ ⋅ ⎜ b21b22 b23 ⎟ = ⎜ c21 ⎜ a a a ⎟ ⎜b b b ⎟ ⎜ c a b + a b + a b c ⎟ ⎝ 31 32 33 ⎠ ⎝ 31 32 33 ⎠ ⎝ 31 31 12 32 22 33 32 33 ⎠

Определитель

AB ≠ BA

помни

DA =

⎛ a11a12 a13 ⎞ ⎛ ma11ma12 ma13 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ m ⋅ ⎜ a21a 22 a23 ⎟ = ⎜ ma 21ma 22 ma 23 ⎟ ⎜ a a a ⎟ ⎜ ma ma ma ⎟ ⎝ 31 32 33 ⎠ ⎝ 31 32 33 ⎠

a11 ..a1n

помни

⎛1 0 0⎞ ⎟ ⎜ E = ⎜0 1 0⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎠ ⎝

a m1 ..a mn

Научись считать *+

a1b1c1 D A = a 2 b2 c 2 = a1 a 3 b3 c 3

b2 c 2 b3 c 3

− b1

a2 c2 a3 c3

+ c1

a 2 b2 a 3 b3

B обратная к A: AB=BA=E ⎛ a11 / D A a 21 / D A a31 / D A ⎞ ⎜ ⎟ −1 B = A = ⎜ a12 / D A a22 / D A a32 / D A ⎟ ⎜a / D a 23 / D A a33 / D A ⎟⎠ A ⎝ 13

ОК 1.5 12

У к а з а н и е . Решить задачу тремя способами: 1) «звездочкой», 2) «разложением по строке», 3) с помощью преобразования определителя.

Занятие 5. ДЕЙСТВИЯ С МАТРИЦАМИ I. Сдать домашнюю контрольную работу № 1.

3 5 9. Вычислить определитель 1 2 −2 − 3 1 3

II. Задания для аудиторной работы. Линейные преобразования и матрицы. ⎛3

5

⎜4 ⎝

3

7⎞

⎛1

2 4⎞ ⎟ 3 −2 ⎟ . ⎜ −1 0 1 ⎟ ⎝ ⎠ 5⎞ ⎛2 3 ⎞ ⎟, B = ⎜ ⎟. 1⎠ ⎝ 1 −2 ⎠

2 4 2 4

III. Задания для внеаудиторной работы. 1. Найти значение матричного многочлена 2А2+3А+5Е, если Е – единичная мат⎛ 28 15 16 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 19 36 15 ⎟ ⎜ 30 19 28 ⎟ ⎝ ⎠

⎛1 1 2⎞

рица третьего порядка и A = ⎜ 1 3 1 ⎟ . ⎜ ⎟

⎛1 3 1⎞ ⎛ 2 1 0⎞ 3. Найти произведения матриц АВ и ВА, если A = ⎜ 2 0 4 ⎟ , B = ⎜ 1 −1 2 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 2 3⎟ ⎜3 2 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 2⎞ 3 ⎛ 4. Найти А , если A = ⎜ ⎟. ⎝1 4⎠

⎜4 1 1⎟ ⎝ ⎠

⎛ 5 8 4⎞

2. Какую матрицу нужно прибавить к матрице A = ⎜ 3 2 5 ⎟ , чтобы получить ⎜ ⎟ ⎜7 6 0⎟ ⎝ ⎠

⎛2 1 1⎞ 5. Дана матрица A = ⎜ 1 2 1 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜1 1 2⎟ ⎝ ⎠

⎛ –4 –8 –4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ –3 –1 –5 ⎟ ⎜ –1 –6 1 ⎟ ⎝ ⎠

единичную матрицу?

6. Найти сумму матриц А2+А+Е. ⎛3 2 2⎞ ⎜5 3 4⎟ ⎝ ⎠

Вычисление определителей.

рить умножением.

• Определитель не изменится, если строки определителя заменить столбцами, а столбцы – соответствующими строками. • Общий множитель элементов какой-нибудь строки (или столбца) может быть вынесен за знак определителя. • Если элементы одной строки (столбца) определителя соответственно равны элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю. • При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный. • Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответственные элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число (теорема о линейной комбинации параллельных рядов определителя).

1 3 4. Вычислить определитель 0 0 0

2 2 4 0 0

0 3 3 5 0

0 0 4 4 6

0 0 0. 5 5

(640)

IV. Подготовится к самостоятельной работе № 2 по материалам занятия 5. Литература. 1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. шк., 1996. Т. 1.

3 2

8. Вычислить определитель третьего порядка −1 2 4 . 7

⎛ 10 20 −30 ⎞ ⎟ 20 ⎟ . Найти обратную матрицу. Результат прове⎜ 0 0 10 ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 0,1 –0, 2 0, 7 ⎞ ⎜ ⎟ 0,1 –0, 2 ⎟ ⎜ 0 ⎜ 0 0 0,1 ⎟⎠ ⎝

3. Дана матрица A = ⎜ 0 10 ⎜

7. Найти матрицу обратную к данной A = ⎜ 1 3 1 ⎟ , сделайте проверку. ⎜ ⎟

5

.

У к а з а н и е . Решить задачу двумя способами: 1) «разложением по строке», 2) с помощью преобразования определителя.

1. Найти сумму матриц. A = ⎜ 2 −1 0 ⎟ , B = ⎜ 2 ⎜ ⎟ ⎜

2 ⎟⎠ 3 2. Найти матрицу 2А+5В, если: A = ⎛⎜ ⎝4

7 3 3 5

3 6

13

⎛ a1 1 ⎜ ⎜ a 21 A=⎜ . ⎜ ⎜ . ⎜a ⎝ m1

a12 ... k a 2 2 ... . . am 2

. . ...

⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ . ⎟ a m n ⎟⎠

a1 n a2n k .

Минор – определитель k-го порядка, k ≤ m, k ≤ n , элементы стоят на пересечении выделенных строк и столбцов.

РАНГ матрицы

У матрицы A: C ⋅ C миноров порядка k k m

k n

max M ( k × k ) ≠ 0 ⇔ r = k r ( A) = r ( B ) ⇒ A и B эквивалентны A ~ B используй

Элементарные преобразования 1) замена строк столбцами, столбцов – соотв. строками 2) вычеркивание строки, все элементы которой = 0 3) перестановка строк матрицы 4) умножение строки на число ≠ 0 5) прибавление к элементам одной строки элементов другой строки пример:

⎛1 2 3 4 ⎞ ⎛1 2 3 4⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 2 4 6 8 ~ 0 0 0 0 ⎟ ⇒ Ответ: r=1 ⎟ ⎜ ⎜ ⎜3 6 9 12⎟ ⎜0 0 0 0⎟ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝

ОК 1.6 14

Занятие 6. РАНГ МАТРИЦЫ I. Самостоятельная работа № 2. II. Задания для аудиторной работы. У к а з а н и е к з а д а ч а м 1–3. Решить задачу двумя способами: 1) по определению найти все миноры, 2) с помощью преобразования матрицы. 1.

2.

3.

4.

⎛1 Определить ранг матрицы ⎜⎜ 2 ⎜3 ⎝ ⎛3 Определить ранг матрицы ⎜⎜ 1 ⎜1 ⎝ ⎛4 Определить ранг матрицы ⎜⎜ 0 ⎜0 ⎝

4⎞ ⎟ 4 6 8 ⎟. 6 9 12 ⎟⎠ 5 7⎞ ⎟ 2 3 ⎟. 3 5 ⎟⎠ 3 2 2⎞ ⎟ 2 1 1 ⎟. 0 3 3 ⎟⎠ 5λ −λ ⎞ ⎛ λ ⎜ Определить ранг матрицы A = ⎜ 2λ λ 10λ ⎟⎟ . ⎜ ⎟ ⎝ −λ −2λ −3λ ⎠ 2 3

У к а з а н и е к з а д а н и я м 5–6. Определите по формуле общее число миноров третьего и второго порядка. Сколько из них оказались базисными? ⎛0 2 0 0⎞

5.

6.

Определить ранг матрицы ⎜⎜ 1 0 0 4 ⎟⎟ и найти ее базисные маноры.

⎜0 ⎝ ⎛1 Определить ранг матрицы ⎜⎜ 3 ⎜1 ⎝

0 3 0 ⎟⎠ 2 1 3 4⎞ ⎟ 4 2 6 8 ⎟ и найти ее базисные маноры. 2 1 3 4 ⎟⎠

III. Задания для внеаудиторной работы. ⎛1 0 0 0

1.

5⎞

⎛1

5⎞

Верно ли выполнено преобразование ⎜⎜ 0 0 0 0 0 ⎟⎟ ∼ ⎜ ⎟ ? Определить ранг. ⎜ 2 0 0 0 11⎟ ⎝ 2 11⎠

(да, r = 2 )

⎝

2.

⎠ ⎛1 0 2 0 0⎞ ⎛1 0 2 0⎞ Верно ли выполнено преобразование ⎜⎜ 0 1 0 2 0 ⎟⎟ ∼ ⎜ ⎟ ? Определить ранг. Базисными ⎜ 2 0 4 0 0⎟ ⎝0 1 0 2⎠ ⎝ ⎠

минорами являются миноры второго порядка этой матрицы, отличные от нуля. Все ли базисные миноры 0 2 0 2 0 2 1 0 1 0 2 0 0 1 1 0 , , ) , , , , указаны ? (да, r = 2 , 0 1 0 2 0 2 2 0 0 4 1 0 2 0 4 0 ⎛1 2 3 6⎞

3.

Определить ранг матрицы ⎜⎜ 2 3 1 6 ⎟⎟ . Решить задачу двумя способами: 1) по определению най⎜ 3 1 2 6⎟ ⎝ ⎠

ти все миноры, 2) с помощью преобразования матрицы. Литература. 1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. шк., 1996. Т. 1.

15

(r = 3)

⎧a11 x1 + ... + a1n x n = b1 ; ⎪ . . ⎨. ⎪a x + ... + a x = b . nn n n ⎩ n1 1

⎛ a11 ⎜ ⎜a A = ⎜ 21 ... ⎜ ⎜a ⎝ n1

AX = B (*),

A ⋅ X = B совместна ⇔ r(A) = r(A1 )

a12 a 22

... ...

...

...

an2

...

⎛ a11 ⎜ ⎜a A1 = ⎜ 21 ⎜ ... ⎜a ⎝ n1

a12

...

a 22

...

...

...

an 2

...

a1n b1 ⎞ ⎟ a2 n . ⎟ ... . ⎟⎟ a nn bn ⎟⎠

a1n ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a 2n ⎟ x2 ⎟ ⎜ ⎜ b2 ⎟ −1 , X= , = B ⎟ ⎜ ... ⎟ ⎜ ... ⎟ ⇒ X = A B ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜x ⎟ ⎜b ⎟ a nn ⎟⎠ n ⎝ ⎠ ⎝ n⎠

Пойми

Метод Гаусса ⎛* ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝

*

*

* 0

0

⎛* *⎞ ⎜ ⎟ * ⎟ ∞ решений ⎜ 0 ⎜0 0 ⎟⎠ ⎝

* *

*

0

*

*⎞ ⎟ * ⎟ 1 решение * ⎟⎠

⎛* ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝

* *

*

0

0

*⎞ ⎟ * ⎟ Ø решений a ⎟⎠

Формулы Крамера

xk =

Ak A

⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟ x ⎜ ⎟ A ≠ 0 ⇒ ⎜ 2 ⎟ − решение (*); x ... ⎜ k ⎟ ⎜ x ⎟ ⎝ n ⎠

,

a 11 A k = ...

...

a 1 k −1 ...

b1

a 1k +1 ...

...

a 1n ...

a n1

...

a nk − 1

bn

a nk + 1

...

a nn

k столбец

ОК 1.7 16

Занятие 7. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

I. Задания для аудиторной работы.

1. Определив ранги матрицы и расширенной матрицы системы, исследовать систему уравнений

⎧ x1 + 3 x2 + 5 x3 + 7 x4 + 9 x5 = 1; ⎪ ⎨ x1 − 2 x2 + 3 x3 − 4 x4 + 5 x5 = 2; ⎪ ⎩2 x1 + 11x2 + 12 x3 + 25 x4 + 22 x5 = 4.

У к а з а н и е к з а д а н и я м 2–4. Решить системы линейных уравнений методом Гаусса, Крамера и обратной матрицы. 2. Решить систему уравнений

⎧3x + 2 y + z = 5; ⎪ ⎨ x + y + z = 0; ⎪4 x − y + 5 z = 3. ⎩ ⎧2x–y + 3z = –12;

3. Решить систему уравнений ⎪⎨3x + 4y–5z = 49; ⎪5x–2y–2z = 2. ⎩

4. Решить систему уравнений

⎧2x–y + 3z = 9; ⎪ ⎨3x–5y + z = –4; ⎪4x–7y + z = 5. ⎩

II. Задания для внеаудиторной работы.

Решить систему уравнений тремя

⎧3x+2y–z = –14; способами а) ⎪⎨ x–5y+2z = 24; ⎪4x–y + 3z = 14. ⎩

б)

⎧ –2x+y+z = 1; ⎪ ⎨ x–2y+z = –2; ⎪ x+y–2z = 4. ⎩

(а) x = −1, y = −3, z = 5 ; б) решений нет III. Подготовиться к аудиторной контрольной работе № 2. Литература: 1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. шк., 1996. Т. 1. 2. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. М.: ЮНИТИ, 1997.

Контрольные вопросы (II блок) 1. Линейные преобразования и матрицы, вычисление определителей.

• Основные понятия (вырожденная и невырожденная матрицы, квадратная матрица, порядок матрицы, симметрические матрицы, равные матрицы, нулевая и единичная матрицы, обратные матрицы, матрица-столбец, минор, алгебраическое дополнение, расширенная матрица). • Операции (сумма матриц, произведение числа на матрицу, произведение двух матриц, нахождение обратной матрицы). • Свойства определителей. Вычисление определителей. 2. Ранг матрицы. 3. Системы линейных уравнений. • Исследование систем т линейных уравнений с п неизвестными. • Метод Гаусса. • Метод обратной матрицы. • Метод Крамера. Занятие. 8. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2 Занятие 9. ЗАЧЕТ

17

Построение графиков y = f ( x ) – исходный график

1) y = f ( x − a ) , сдвиг вдоль Ox на a 2) y = f ( x ) + b , сдвиг вдоль Oy на b 3) y = af ( x ) , растягиваем в a раз вдоль Oy от Оx, если a > 1

следствие : ⎤ ⎥ y = − f ( x) − симметрия относитель но Ох ⎦

сжимаем к Оx, если a < 1 4) y = f (kx ) , растягиваем в k раз к Oy, если k < 1

⎤ ⎥ ⎦

сжимаем в k раз к Oy, если k > 1

следствие : y = f (− x) − симметрия относитель но Оy

5) y = f (x) часть графика, для всех точек которого y ( x) < 0 отображается относительно Ox 6) y = f ( x ) четная функция, строим для x ≥ 0 , для x < 0 получаем симметрией относительно Оу.

y=f(x) x – независимая переменная y – зависимая переменная Все значения x – область определения функции ( D f ) Все значения y – область значений функции ( E f ) Основные элементарные функции

1. Степенные а) линейные y = x

б) квадратичные y = x 2

в) кубические y = x 3

г) обратные y =

1 x

y= x

д) с дробной степенью y=3 x

3. Тригонометрические

y = tgx

y = sin x

y = ctgx

y = cos x

2 . Показательные и логарифмические a >1

0 < a <1

ОК 2.1 18

Занятие 10. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ С ПОМОЩЬЮ СДВИГОВ И СЖАТИЯ

I. Задания для аудиторной работы. lgcosx

1. Построить график функции y =2 . 2. С помощью правил «сдвигов и сжатия», построить графики функций: a) у = x + 4 − 1 ; b) y = x 2 − 6 x + 5 ; c) y = x 2 − 6 x + 5 ; d) y =

x+3 ; x−2 ⎛1⎞

x

e) y = ⎜ ⎟ − 1 ; ⎝2⎠ f) y = lg x − 1 ; g) y =

x −1 − 2 .

3. Функция y = f ( x ) задана графиком. Построить графики функций: a) y = − f ( x ) ; b) y = f ( x ) ; c) y = f ( − x ) ; d) y = f ( x ) ; e) y = f ( x ) − f ( x ) ; f) y =

f ( x) f ( x)

;

⎛1 ⎞

g) y = f ⎜ x ⎟ ; ⎝2 ⎠ h) y = 2 f ( x ) .

II. Задания для внеаудиторной работы. С помощью правил «сдвигов и сжатия», построить графики функций. Сделайте проверку по нескольким точкам: 1. 2. 3. 4.

2x +1 x −1 3 у = x + 3 +1 y=

y = − x3 − 2 y = x2 − 4 x + 3

5.

y = 3x −1 − 2

6.

y = sin x − 1 −

1 2

А

В

Ответы (порядок изменен):

С

D

E

F

III. Подготовиться к самостоятельной работе № 3 по материалам занятия 10. Литература: 1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высшая школа, 1996. Т. 1.

19

⎛1 ⎞ lim⎜ + 1⎟ n→∞ n ⎝ ⎠ n∈ N

⎛1 ⎞ ⎜ + 1⎟ → 1 ⎝n ⎠

Арифметическая прогрессия

q=

Определение

d = a n − a n −1

Формула общего члена

a n = a1 + (n − 1)d an =

Характерное свойство

Геометрическая прогрессия

bn = b1 q n −1

a n −1 + a n +1 2

bn = bn −1bn +1 b1 (1 − q n ) 1− q b ∞ : Sn = 1 1− q Sn =

Гаусс

Сумма

Sn =

bn bn −1

a1 + a n ⋅n 2

Числовые последовательности Способы задания последовательности Формула общего члена

Рекуррентное

an = f ( n )

⎧a1 = ... ⎨ ⎩an +1 = зависит от предыдущих Числа Фибоначчи

Свойства предела функции Пусть ∃ lim f ( x) = A, lim g ( x) = B . Тогда x → x0

1. 2. 3. 4. 5.

x → x0

lim C = C , C ∈ R

x → x0

sin x =1 x→0 x

lim C ⋅ f ( x) = C ⋅ A

lim

x → x0

lim ( f ( x ) ± g ( x) ) = A ± B

1-й замечательный предел,

x → x0

lim f ( x) g ( x) = AB

x → x0

lim

x → x0

x

⎛ 1⎞ lim ⎜1 + ⎟ = e x →∞ ⎝ x⎠

f ( x) A = (B ≠ 0 ) g ( x) B

2-й замечательный предел

lim ( f ( x) ) g ( x ) = A B

x → x0

Для основных элементарных функций: lim f ( x) = f (x0 ) x → x0

20

ОК 2.2

Занятие 11. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ I. Самостоятельная работа № 3 «Построение графиков с помощью сдвигов и сжатия». II. Задания для аудиторной работы. Предел последовательности. 1. Рекуррентное соотношение, формула общего члена: a) 1, 4, 9, 16, 25, … b) 1, 3, 5, 7, 9, 11, … c) 1, 4, 8, 16, 32, 64, … d) 3, 6, 12, 24, 48, … e) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … – Фибоначчи 2. Проверить, удовлетворяет ли an = 3n + 5 ⋅ 2n рекуррентному соотношению an + 2 = 5an +1 − 6an , при a1 = 13, a2 = 29 . 3n 2 −1 ; b) an = 2 . n +1 n2 + 4 1 1 1 1 4. Показать, что последовательность 3, 2 , 2 , 2 ,..., 2 + при n → ∞ имеет пределом число 2. 2 3 4 n

3. Определить предел последовательности: a) an =

Вычислить предел функции.

1.

lim

3x + 5 x →4 2 x + 3

2. lim

5.

x+4 −2 lim x →0 x

sin 3x 6. lim x →0 x

x →3

x2 − 9 x 2 − 3x

3. lim x →1

x3 − x 2 − x + 1 x 3 + x 2 − x11 5

7. lim

(1 + x )

3

−1

x

x →0

x 3 − 1000 x →10 x − 20 x 2 + 100 x

4. lim

(замена)

8. lim x →0

3

1 − cos 5 x x2

Определить вид точек разрыва функции. x=1 – точка…

x=3 – точка… x=5,4 – точка… x=4 – точка… Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.

Найти точки разрыва функции f ( x ) =

( x − 1)( x + 2 ) . x ( x + 1) ( x 2 − 4 )

Кусочное задание функции. ⎧ 2 x, 0 ≤ x ≤ 1 . Определить точки разрыва, если они есть. ⎩2 − x,1 < x ≤ 2

Нарисовать график функции f ( x ) = ⎨

III. Задания для внеаудиторной работы. 1. Вывести формулу для нахождения формулы общего члена:

a) 1, 7, 31, 127, 511; b) 1, –1, 1, –1, … с)

1 2 3 4 5 6 7 , , , , , , ... 2 5 8 11 14 17 20

( 22 n−1 − 1 ; ( −1)

n+1

;

n ) 3n − 1

2. Вычислить переделы последовательностей: a) an =

2n + 1 ; 6n + 2

1 3

( ; +∞ )

b) an = n3 − 2 .

⎧ x + 4, если x < –1, ⎪ 3. Нарисовать график функции f ( x ) = ⎨ x 2 + 2, если − 1 ≤ x < 1, . Определить точки разрыва. ⎪ 2 x, если x ≥ 1. ⎩

(x=1 – точка разрыва 1 рода (скачок)) 4. Вычислить пределы: a)

lim x →4

5x + 2 ; 2x + 3

b) lim x →3

x −9 . x 2 − 3x 2

IV. Подготовиться к самостоятельной работе № 4 по материалам занятия № 11. Литература: 1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. шк., 1996. Т. 1. 2. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. М.: Наука, 1990.

21

(2; 2)

Уравнение касательной:

y − y 0 = y 0′ ( x − x 0 ) сложная функция

Производная

Производные простейших функций 1. ( x ) ′ = px p

∆f f ( x + ∆x) − f ( x) = lim ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x

f ′( x) = lim

∆ − приращение

y = f (u ) ⎫ ⎬дифференци руемы u = u ( x) ⎭

⇒ y = ( f (u ( x )) − дифференцируема

p −1

2. ( a x ) ′ = a x ln a 1 3. (log a x ) = x ln a 4. (sin x ) ′ = cos x 5. (cos x ) ′ = − sin x 1 6. ( tgx ) ′ = cos 2 x 1 7. ( ctgx ) ′ = − sin 2 x 1 8. (arcsin x ) ′ = 1 − x2 1 9. ( ar cos x ) ′ = − 1 − x2 1 10. ( arctgx ) ′ = 1 + x2 1 11. ( arcctgx ) ′ = − 1 + x2

⇒ y ′ = f ′(u ( x )) ⋅ u ′( x ) ПРАВИЛА дифференцирования Неявная функция

1.C ′ = 0 2.x ′ = 1 3.(U ± V ) ′ = U ′ ± V ′ 4.(cU ) ′ = cU ′ 5.(UV ) ′ = U ′V + UV ′ ′ ⎛ U ⎞ U ′V − UV ′ 6.V ≠ 0, ⎜ ⎟ = V2 ⎝V ⎠

y ( x ) = F ( x, y ) П р и м е р : xy + y 2 + x 2 = 0; y = ? АЛГОРИТМ

1) Дифференцируем по х левую часть уравнения, считая y функцией от х; 2) Результат приравниваем к 0; 3) Решаем линейное уравнение относительно y′ .

ОК 2.3 22

2. Составить уравнение касательной к кривой f ( x ) = sin 2 x − ln ( x + 1) в точке с абсциссой x0 = 0 .

Занятие 12. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ I. Самостоятельная работа № 4.

3. Найти точки графика функции f ( x ) = 3x + 1 , в которых касательная к

II. Задания для аудиторной работы.

этому графику параллельна прямой y =

Доказательство основных формул. 1. Докажите правильность вычисленных производных степенной функции, используя определение производной: x′ = 1 , ( x 2 )′ = 2 x , ( x 3 )′ = 3x 2 . 2. Докажите истинность формулы производной степенной функции для отрицательных степеней, используя правило дифференцирования частного ⎛ 1 ⎞′ ( x − n )′ = ⎜ n ⎟ = − nx − n −1 . ⎝x ⎠ 15 3. Найти производную ( x 4 − 4 x −3 − x 2 + − 3 )′ . x 4. Докажите истинность формулы производной степенной функции для дробных степеней, используя теорему о дифференцировании обратной 1 ′ 1 ′ ⎛ ⎞ m −1 функции: m x = ⎜ x m ⎟ = x m ( x = m y – обратная функция к функции n ⎝ ⎠ m y = x ). 5. Докажите истинность формулы производной функции y = sin x , используя определение производной. 6. Докажите истинность формулы производной функции y = tg x , используя правило дифференцирования частного. ′ 1 ′ 7. Зная, что ( ln x ) = , выведите правило для нахождения ( log a x ) . x 8. Учитывая тот факт, что функции y = log a x и y = a x взаимно обратны, выведите правило для нахождения производной показательной функции. 1 9. Докажите формулу ( arc sin x )′ = . 1 − x2

3 x. 4

Производная неявной функции. 2 2 1) x3 + y 3 − 3xy = 0 ; 2) x sin y + y sin x = 0 ; 3) ( x − 2 ) + ( y − 3) = 16 III. Задания для внеаудиторной работы. 1. Докажите истинность формулы производной функции y = cos x , используя определение производной. 2. Докажите истинность формулы производной функции y = c tg x , используя правило дифференцирования частного. 1 . 3. Докажите формулу ( arc sin x )′ = 1 − x2 4. Вычислить производную неявной функции x 2 + xy − 2 y 3 + 5 = 0 . 2x + y ( y x′ = 2 ) 6y − x 5. Составить уравнение касательной к кривой f ( x ) = x − 3 x 2 в точке с абсциссой x0 = 2 . Постройте графики функции и касательной к ней. ( y = −11x + 12 ) 6. Найти точки графика функции f ( x ) = x + sin x , в которых касательная к этому графику параллельна прямой y = 2 x . ( x0 = 2πk , k ∈ Z )

( )

7. Вычислить производные: 1) y = cos 2 3x ; 2) y = ln 3) y = ( x 3 + 1) cos 2 x ; 4) y = x 3 − x − 1 . ( −3 sin 6 x ;

Производная сложной функции.

10

x ( x5 + 2 )

x5 ; x +2 5

; 3x 2 cos 2 x − 2 ( x3 + 1) sin 2 x ; 3x 2 − 1 )

IV. Подготовиться к самостоятельной работе № 5 по материалам занятия 12.

x 1) y = sin5 ( 3 x − 1) ; 2) y = log 2 ( x3 − x 2 + 1) ; 3) y = x arccos − 4 − x 2 . 2

Литература: 1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. шк., 1996. Т. 1. 2. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. М.: Наука, 1990.

Уравнение касательной. 1. Составить уравнение касательной к кривой y = x 2 − 2 x + 3 в точке с абсциссой x0 = 2 .

23

! Признаки возрастания, убывания

Критические точки

!

Если f(x) в т.ч. x0 имеет экстремум ⇒ ′ f ( x0 ) = 0 или f ′( x0 ) не ∃

1. Если f ′( x0 ) > 0 , то f(x) возрастает в точке x0 2. Если f ′( x0 ) < 0 , то f(x) убывает в точке x0

f(x)

∃

Необходимое условие ЭКСТРЕМУМА

в (.) x0

1 достаточное

2. Достаточное x0 - критическая точка I рода

f ( x) k = lim ( ) x → ±∞ x b = lim ( f ( x ) − kx )

f ′′( x0 ) > 0 ⇒ x0 − min f ′′( x0 ) < 0 ⇒ x0 − max

x → ±∞

Достаточные условия выпуклости вверх (выпуклости вниз)

f(x)

в (.) x0 f ′′( x ) < 0

f ′′( x ) > 0

ОК 2.4 24

Занятие 13. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ

III. Задания для аудиторной работы. 1. Исследовать свойства функций, заданных графиком: a) b)

I. Самостоятельная работа № 5 – «Вычисление производных». II. План исследования функций. 1) Исследование вида зависимости y = f (x) : a) область определения; b) точки разрыва; c) четность и нечетность; d) периодичность; e) точки пересечения с осями координат; f) участки знакопостоянства. 2) Асимптоты: a) вертикальные; b) наклонные. 3) Исследование по первой производной: a) критические точки 1-го порядка; b) участки монотонности; c) точки локальных экстремумов. 4) Исследование по второй производной: a) критические точки 2-го порядка; b) участки выпуклости и вогнутости; c) точки перегиба. 5) Заполнить таблицу и построить график ( xi – нули, точки разрыва функции, критические точки обоих порядков, взятые в порядке возрастания). x

( −∞; x1 )

x1

( x1 ; x2 )

x2

( x2 ; x3 )

x3

c)

d)

2. Построить графики функций: 1) y = 3 1 − x3 ; 2) y =

x2 + 1 ex ; 3) y = . x−2 x

IV. Задания для внеаудиторной работы. Построить графики функций:

a) y =

x−5 ; x+7

b) y = ( x + 4 )2 ( x + 5) .

( x3 ; x4 )

y ( x)

Литература: 1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. шк., 1996. Т. 1. 2. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. М.: Наука, 1990.

y′ ( x ) y ′′ ( x )

выводы 25

! Необходимый признак сходимости! ∞

Если

∑a n =1

!Достаточный признак сходимости! S n = const

сх-ся ⇒ lim a n = 0

n

n→∞

Если при n → ∞, ∃ lim S n = S

Свойства сходящихся

n →∞

Если при n → ∞, ∃ lim S n = S

∑a Если ∑ a

1. Если 2.

n n

сходится и его сумма =S, то сходится и

∑b

n

∑c ⋅ a

n →∞

n

и его сумма = c ⋅ S .

сходится ⇒ ∑ (a n ± bn ) сходится и его сумма S = S1 ± S 2 .

3. На сходимость ряда не влияют отбрасывания, добавления, изменения конечного числа слагаемых.

S n = a1 + a2 + a3 + ... = ∑ ak

Числовой ряд

∀i ∀bi ≥ ai при ∀bi ≥ ai при

∑ b − сходится ⇒ ∑ a − сходится i

i

положительного

∑ a − расходится ⇒ ∑ b − расходится i

lim

i

n→∞

ПРИМЕР: 1 − расходится ∑ n =1 n ∞ 1 − сходится ∑ n n =1 2

an +1 =ρ an

Если для ряда ∃ неотрицательного lim n an = ρ n →∞

∞

⎧ ρ > 1, расходится ⎪ ⎨ ρ < 1, сходится ⎪ ρ = 1, ??? ⎩

ОК 2.5 26

4. Достаточные признаки сходимости ряда. 4.1. Признаки сравнения:

Занятие 14. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

I. Получить домашнюю контрольную работу № 3.

a)

II. Задания для аудиторной работы. 1. Сумма ряда. С помощью частичных сумм, определить сумму ряда:

a) Sn = −1 + 3 − 5 + 7 − 9 + ... + ( −1)n ( 2n − 1) ; b) Sn =

b)

1 1 1 + + ... + 1⋅ 2 2 ⋅ 3 n ( n + 1)

c) d)

2. Определение и свойства сходимости ряда. a) Доказать, что гармонический ряд расходится (определить lim ( S2 n − S n ) ). x →∞ 1 2

1 4

1 2n

1 1 1 + ... + ; 1! 2! n! ∞ n b) ∑ n ; n =1 2 ∞ 1 c) ∑ 2 ; n =1 n ∞ 1 d) ∑ . n =1 ⋅n !

a) 1 + +

сходится. 3 2

4 3

c) Определить сходимость ряда ln 2 + ln + ln + ... + ln d) Доказать, что ряд

2n + 3n 6n n =1 ∞

∑

n +1 . n

сходится, используя свойства

сходящихся рядов. e) Определить вид сходимость ряда: 1+1+1+1+… 5 2 +1 . 4 2n 3 5 2n + 1 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 2 + + + ... + n = (1 + 1) + ⎜ 1 + ⎟ + ⎜ 1 + ⎟ + ... + ⎜ 1 + n 2 4 2 4 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 3 2

Определить вид сходимость ряда: 2 + + + ... + Так

как

4.3. Признак Коши: a)

n

b)

⎞ ⎟, ⎠

сделайте важный вывод о сходимости суммы рядов данного типа.

c)

3. Необходимый признак сходимости ряда.

a)

d)

1 1 1 1 + + ... + . Убедитесь, что lim =0. x →∞ n ( n + 1) 1⋅ 2 2 ⋅ 3 n ( n + 1)

b) Докажите, что ряд расходится

∞

4n + 3

∞

⎛ n ⎞ ∑ ⎜ ⎟ n =1 ⎝ 2n + 1 ⎠ ∞ 1 ; ∑ 2 n =1 n ∞

n

;

n

⎛ 1⎞ ∑ ⎜1 + ⎟ ; n⎠ n =1 ⎝ ∞ 1 . ∑ n n + 1) ln ( n =1

Литература: 1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. шк., 1996. Т. 2. 2. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. М.: Наука, 1990.

∑ 5n − 7 . n =1

c) Выпишите пять членов ряда, проверьте необходимый признак an =

;

4.2. Признак Деламбера:

b) Доказать по определению, что ряд геометрической прогрессии 1 + + + ... +

1 1 1 + + ... + ; lg n lg 2 lg 3 1 1 1 ; 1+ + + ... + 2 3 n 1 1 1 1+ + + ... + 2 1⋅ 2 2 ⋅ 2 n ⋅ 2n 1 1 1 1 + 2 + 2 + ... + 2 . 2 3 n

2n 2 + 1 . 3n 2 − 2

27

Интегральный признак сходимости ряда Если f (x) при x ≥ 1

непрерывна положительна монотонно

∫

⇒

∞

∑

n = 1

∞

u или n

∫ f ( x)dx( N ≥ 1)

N

(где) иn = f ( n)

f ( x ) d x = F ( x ) + co n st , где

F ′( x ) = f ( x )

Непосредственное интегрирование

Интегрирование по частям

∫ udv =uv − ∫ vdu

1. ∫ dx = x + C 2.

m ∫ x dx =

x m +1 +C m +1

Удавы увы без воды

dx

∫ x = ln x + C 4. ∫ e dx = e + C

3.

x

где u, v непрерывно

x

дифференцируемы

ax +C ln a 6. ∫ cos xdx = sin x + C 5. ∫ a x dx =

∫

Правила интегрирования

dx

= arcsin x + C 1− x2 8. ∫ sin xdx = − cos x + C

7.

( ∫ f ( x ) dx ) = f ( x ) d ( ∫ f ( x ) dx ) = f ( x ) dx '

Замена переменной

∫ dF ( x ) = F ( x ) + C

∫ f ( x )dx = ∫ f (ϕ ( t ) )ϕ ( t ) dt '

∫ af ( x ) dx = a ∫ f ( x )dx , где a = const ∫ ( f ( x ) ± f ( x ) )dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ f ( x )dx 1

ТЕОРЕМА

2

1

2

– Лейбниц b

∫ f (x )dx = F (x )

b a

= F (b ) − F (a ) , где F ′( x) = f ( x)

a

ОК 2.6 28

Занятие 15. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

I. Сдать домашнюю контрольную работу № 3. II. Задания для аудиторной работы. 1. Методы непосредственного интегрирования.

a) ∫

3x 4 + 2 x 2 − 3x + 7 dx ; x2

⎛

c) ∫ e x ⎜ 3 − ⎝

8 b) ∫ ⎛⎜ 5 x 4 − 2 + 3 x + 1⎞⎟dx ; cos x

⎝

⎞ e ⎟ dx ; 2sin x ⎠ −x

∫ sin

d)

2

⎠

dx . x cos 2 x

2. Интегральный признак сходимости ряда. ∞

M

∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx M →∞

N

– несобственный интеграл

N

a) С помощью интегрального признака доказать, что гармонический ряд расходится b) С помощью интегрального признака доказать, что ряд

∞

1 ∑ x сходится n =1

4

3. Метод замены переменных. x

d)

∫

3xdx 3

(x

2

− 3)

c) ∫ x 2 ( 3 + 2 x3 )dx ;

b) ∫ ( 3x − 5)7 dx ;

a) ∫ e 2 dx ; 2

;

e)

∫

3cos xdx 1 + 2sin x

f) ∫ sin ( 4 x + 3)dx .

;

У к а з а н и е . Выполнить проверку.

4. Метод интегрирования по частям. a) ∫ x sin 2 xdx ; b) ∫ ( 2 x − 3) e3 x dx ; c) ∫ xarctgxdx . III. Задания для внеаудиторной работы.

1. Вычислить интегралы: 2 x3 − 3x + 7 dx ; x

a)

∫

c)

3 + 2 x sin 2 x ∫ sin 2 x

b) ∫ ⎛⎜ 4 x 3 − ⎝

5 ⎞ + 3x ⎟dx ; 2 cos x ⎠ 2 3

.

( x3 − 3x + 7 ln x + c ; x 4 − 5tgx +

2. С помощью интегрального признака доказать, что ряд

3x + c ; −3ctgx + x 2 + c ) ln 3

∞

1 ∑ x сходится. n =1

3

3. Вычислить интегралы: a) ∫ sin 7 x cos xdx ;

b) ∫

3 x 2 dx

(2 − x )

3 4

c) ∫ e2 x e 2 x − 1dx 4. Вычислить интегралы: a) ∫ xe x dx ; c) ∫ x cos xdx

; (−

1 1 1 1 cos8 x − cos 6 x + c ; +c; 3 3 16 12 3 3( 2 − x )

(e

2x

− 1) + c ) 3

b) ∫ arctgxdx ; 1 2

( e x ( x − 1) + c ; xarctgx − ln 1 + x 2 + c ; x sin x + cos x + c )

Литература: 1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. шк., 1996. Т. 2. 2. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. М.: Наука, 1990.

29

Вычисление площадей плоских фигур

Методы интегрирования

Формула Ньютона – Лейбница b

∫ f (x )dx = F (x )

b a

= F (b ) − F (a )

a

где F ' ( x ) = f ( x ) 1. Интегрирование по частям b

∫ udv

b

=uv

b a

−

a

b

2.

b

S (Ф ) = ∫ [ f ( x ) − g ( x )]dx

S (Ф ) = ∫ f ( x )dx a

∫ vdu

,

a

где u, v непрерывно дифференцируемы на [a, b] Замена переменной b

β

∫ f (x )dx = α∫ f (ϕ (t ))ϕ (t )dt , '

a

a

где x = ϕ (t ) , α ≤ t ≤ β , a = ϕ (a ) , b = ϕ (b )

Выучи!

Вычисление объема тела вращения Свойства определенного интеграла b

1.

∫ a

a

f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx b

b

a

2.

∫ f (x )dx

Vx = ∫ S ( x)dx

= 0

a

a

b

3.

∫

c

f ( x )dx =

∫

a

f ( x )dx +

a

∫ f (x )dx

b

V x = π ∫ y 2 ( x ) dx

c

b

4.

b

b

a

b

∫ ( f (x ) ± f (x ))dx = ∫ f (x )dx ± ∫ f (x )dx 1

2

1

a

a

b

b

a

a

2

a

5. ∫ cf ( x )dx = c ∫ f ( x )dx , где c = const

ОК 2.7 30

e) Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оy фигуры, ограниченной линиями y = x 2 , y = x.

Занятие 16. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ I. Задания для аудиторной работы.

II. Задания для внеаудиторной работы.

1. С помощью интегрального признака определить является ряд сходящимся или расходящимся: 1 1 1 + + ... + a) 2ln 2 3ln 3 ( n + 1) ln ( n + 1) ∞

b)

1. С помощью интегрального признака, определить является ряд сходя∞ ∞ 1 ; b) ∑ n −1,1 . (расх.; сх.) щимся или расходящимся: a) ∑ n =1 10n + 1 n =1

1

2

∑ (10n − 1) ln (10n − 1)

∫ (x

2. Вычислить интегралы: a)

n =1

d)

2. Вычислить интегралы: a)

∫

3dx cos 2 x

∫

dx

0 7

c)

0 3

(8 − x )

π

b)

3ln 2 xdx ∫1 x

∫e 0

x

cos xdx

+ 3cos x )dx

2sin xdx

3.

2

4.

1

f)

2x ∫ xe dx 0 3

h)

∫x

2

∫ 3x

2 2

π/2

π/2

g)

2x

∫ (1 − cos x )

d)

e

e)

∫ ( 2e 0 π

2

− 3x + 7 ) dx ; b)

−1 4

π/4

2

5.

ln x dx

2

6.

3. Геометрический смысл неопределенного интеграла. a) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: 1 y = x 2 + 1, y = 0, x = −2, x = 3. 2 b) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: 1 1 y = x + 2, y = x 2 . 3 9 c) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: π y = sin x, y = 0, x = − , x = π. 2 d) Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями y 2 = 4 x, y = 0, x = 0, x = 4.

ln 3

x 2 − 7 dx ; e)

e dx ; f) 2x −1

∫e

ln 2

x

π/2

1

dx ∫0 e2 x ; c)

xdx ; g) 2 π / 6 sin x

∫

π/3

⎛

2

∫ ⎜⎝ sin x + cos 0

2

⎞ ⎟ dx ; x⎠

π

∫e

x

sin xdx .

0

(1 + eπ ) ) 1⎛ 1⎞ 1 1 3 π 3 (19,5; ⎜1 − 2 ⎟ ; + 2 3 ; 26; ln ; + ln 2 ; 6 2⎝ e ⎠ 2 2 2 2 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = − x 2 − 1, y = 0, x = −1, x = 2. (6) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 1 1 y = x 2 + 1, x ∈ [ 0;1] , y = − x 2 + 1, x ∈ [ 0;3] , y = − x + 3, x ∈ [1;3] . (1 ) 9 3 Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, 64π ограниченной линиями y = x 2 + 1, y = 2. ( ) 15 Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оy фигуры, ограниченной линиями y = x 2 , y = 1, y = 4, x = 0. ( 7,5π ) III. Подготовиться к аудиторной контрольной работе № 4.

Литература: 1. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. шк., 1996. Т. 2. 2. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов. М.: Наука, 1990. Занятие 17. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4

31

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ........................................................................................................................................... 3 Занятие 1. Векторы на плоскости и в пространстве (ОК 1.1) ...................................................... 5 Занятие 2. Векторное и смешанное произведение векторов (ОК 1.2) ........................................ 7 Занятие 3. Уравнение плоскости (ОК 1.3) ..................................................................................... 9 Занятие 4. Уравнение прямой в пространстве. Решение задач (ОК 1.4) .................................. 11 К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы (I б л о к ) .................................................................................... 11 Занятие 5. Действие с матрицами (ОК 1.5) ................................................................................. 13 Занятие 6. Ранг матрицы (ОК 1.6) ................................................................................................ 15 Занятие 7. Системы линейных уравнений (ОК 1.7).................................................................... 17 К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы (I I б л о к )................................................................................... 17 Занятие 8. Контрольная работа ................................................................................................. 17 Занятие 9. Зачет............................................................................................................................ 17 Занятие 10. Построение графиков с помощью сдвигов и сжатия (ОК 2.1).............................. 19 Занятие 11. Предел последовательности и предел функции (ОК 2.2) ...................................... 21 Занятие 12. Производная функции (ОК 2.3)................................................................................ 23 Занятие 13. Исследования функции с помощью производной (ОК 2.4) .................................. 25 Занятие 14. Числовые ряды (ОК 2.5)............................................................................................ 27 Занятие 15. Неопределенный интеграл (ОК 2.6) ........................................................................ 29 Занятие 16. Определенный интеграл (ОК 2.7) ............................................................................ 31 Занятие 17. Контрольная работа ............................................................................................... 31

Учебное издание

Технический редактор Н.В. Москвичёва Редактор Е.С. Радионова Подписано в печать 13.04.05. Формат бумаги 60х84 1/8. Печ. л. 4,5. Уч.-изд. л. 4,5. Тираж 150 экз. Заказ 151. Издательство ОмГУ 644077, г. Омск, пр. Мира, 55А, госуниверситет

32