Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
ИНФОРМА...
4 downloads
265 Views
22MB Size
Report
This content was uploaded by our users and we assume good faith they have the permission to share this book. If you own the copyright to this book and it is wrongfully on our website, we offer a simple DMCA procedure to remove your content from our site. Start by pressing the button below!
Report copyright / DMCA form
Министерство образования и науки Российской Федерации НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ЯДЕРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИФИ»
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ КОНФЛИКТА Учебное пособие для вузов В двух частях
Часть I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИГР Допущено Учебно-методическим объединением по образованию в области прикладной математики и управления качеством в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 230400 «Прикладная математика»
Москва 2010
УДК 519.83(075) ББК 22.193я7 И74 ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ КОНФЛИКТА. Учебное пособие для вузов. В двух частях. М.: НИЯУ МИФИ, 2010. ISBN 978-5-7262-1235-7 Часть I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИГР./Л.В. Колобашкина, М.В. Алюшин. – М.: НИЯУ МИФИ, 2010. – 164 с. В части 1 пособия изложены основные положения и сведения из теории игр, подробно рассмотрены методы выбора оптимальных стратегий поведения в антагонистических и неантагонистических конфликтах. Большое внимание уделено рассмотрению аналитических и графических методов определения равновесных ситуаций в играх с нулевой суммой выигрыша и в биматричных игровых задачах. Приведены критерии определения оптимальных стратегий в «играх с природой». Рассмотрены методы принятия решений в антагонистических и неантагонистических позиционных играх с полной и неполной информацией. Все представленные методы сопровождаются примерами. Пособие предназначено для студентов НИЯУ МИФИ и других высших учебных заведений, обучающихся по специальностям «Прикладная математика», «Прикладная математика и информатика», «Математические методы в экономике». Доступность изложения материала делает знакомство с принципами рационального поведения в конфликтах привлекательным и для широкого круга читателей. Подготовлено в рамках Программы создания и развития НИЯУ МИФИ. Резензент: д-р техн. наук, проф. А. И. Гусева
ISBN 978-5-7262-1235-7 ISBN 978-5-7262-1263-0 (Ч.1)
© Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ», 2010
.................................................................................................. 5 ........................................................................................................ 7 1. ................................................................................ 11 . .............. 11 .................................... 15 « » ............................ 18 ........................................................................ 23 ..................................................................... 26 1.5.1. 2 2 ................................. 26 1.5.2. ............................................................ 28 1.5.3. , . 2 2 ............................... 30 1.6. 2 n m 2 .......................................................................... 34 1.6.1. 2 n ............................................................................... 34 1.6.2. m 2 .............................................................................. 39 1.7. n n ......................................... 41 1.7.1. n n .......... 41 1.7.2. n n ......... 45 1.7.3. .................................................... 51 1.8. m n ........................................ 56 1.8.1. m n ................................................................ 56 1.8.2. m n ............................................................... 65 1.9. ...................... 71 2. ( « ») ................................................................. 76 2.1. ................................. 76 2.2. ....................... 79 2.3. ........................................................................... 82 2.3.1. « » ..................................... 82 2.3.2. « » ................................ 85 3. .................................................................................. 92 3.1. ........................................................ 92 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.
3
3.2. 3.3. 3.4.
...................... 95 2 2 .......... 102 m n.
-
........................................ 109
3.4.1. 3.4.2. 4. 4.1. 4.2. 4.3.
m n ............................................................................ 104 ................................................... 111 .................. 125 ....................................................................... 125 .............................................. 127 ............................................................. 131
4.4. ................................................................ 153 ................................................................................... 162
4
,
-
. . I«
»
, ,
.
1 . , .
-
, , .
-
. 2 ,
, ».
«
«
»,
, ,
-
. 3 . ,
-
,
.
4 .
, ,
. 5
Часть II «Оптимальное поведение и психоэмоциональное состояние» состоит из 16 глав. В этой части пособия анализируются применяемые на практике методы диагностики психоэмоционального состояния человекаоператора, от скорости и правильности принятия решения которого часто зависит безопасность и даже жизнь других людей. В главе 1 дана классификация применяемых на практике методов и средств для диагностики психоэмоционального состояния человека. Приведены оценки достоверности получаемых результатов, а также оценки сложности технической реализации применяемых методов и средств. Анализируется изменение психоэмоционального состояния человека и описаны основные методы диагностики психоэмоционального состояния человека. Рассматриваются прямые пассивные и активные методы регистрации биоинформации, а также методы регистрации биоинформации с биологической обратной связью. В главе 2 представлен анализ особенностей реализации таких методов, как электроэнцефалограмма головного мозга; томографические методы; регистрация кожно-гальванической реакции; анализ параметров дыхания, фотоплетизмограммы, анализ двигательной активности человека; рассматривается информативность метода регистрации психоэмоционального состояния на основе анализа пульса человека. В главе 3 анализируются возможности применения специализированных тестов для оценки психоэмоционального состояния человека. Рассматриваются тесты Люшера, Спилберга–Ханина, шкалы Гамильтона и Цунга, методики Холмса и Рея. Глава 4 посвящена диагностике психоэмоционального состояния на основе анализа характеристик излучения Кирлиана. Рассматриваются основные функциональные узлы систем диагностики на основе эффекта Кирлиана, а также возможности эффекта Кирлиана для экспрессдиагностики психоэмоционального состояния человека в реальном масштабе времени. В главах 5 и 6 анализируются перспективы использования датчиков газа, биосенсоров и приборов анализа стресса по голосу. Рассматриваются особенности и перспективы применения нейро-БИС. В главе 7 приведен анализ особенностей технической реализации и перспектив применения метода, основанного на изучении динамики движения глаз для регистрации психоэмоционального состояния человека.
6
. ,
.
-
. , , . ,
,
:
,
;
,
; ,
,
,
-
; ,
-
; . ,
-
,
, ,
. , -
. «
».
,
-
, ,
.
, , 7
. .
: ,
,
; -
;
; . ,
,
,
,
,
-
. ,
, -
, .
, , . ,
-
,
, . , .
, , ,
, ,
,
,
,
. ,
(
),
-
. , ,
. , .
-
. . 8
.
,
.
,
-
. . . ,
: -
; . , .
-
. .
[4]: :
n
.
-
. ; :
.
,
. , ; : ,
,
-
. ,
.
; (
: )
( ,
: 9
). -
. , ; :
.
-
, . ,
,
-
. , . .
,
,
,
. ,
,
; : .
-
,
, .
-
,
; :
,
,
-
.
-
. , ; , ; .
,
.
10
-
1.
1.1.
. ,
.
«
». -
.
. -
. , . [1]. «
»
. ,
,
,
. «
»
-
-
. , . , ,
,
. -
: ,
; (
); .
11
, , :
,
. ,
, .
m
:
1,
2,
m,
,
-
, : B1, B2,
n
,
( i , Bj ) ( ( i,
Bn. a ij ,
-
a ij > 0)
a ij < 0),
Bj .
1
m n, ( ). ... 2
n
a11 a12 a 21 a 22 ... ... a m1 a m 2
... a1n ... a 2 n ... ... ... a mn
5 10
6 3 . 4 1 ,
A1 A2 . ... Am
. A
. 3, ( . .),
2,
,
,
1 .
1 . .
A1 , 6 . .
B2 , 6 . .
,
. ,
, . .
. . . . 12
1.1. . . (
, . .), .
,
-
, -
. ,
:
,
. aij
(i
j )( 1) i j ,
3 3
A
2 3
3 4
4 5 .
4
5
6
1.2.
[2].
-
n (
, n
). .
j-
( j = 1,
, n),
-
, pj
. .
, ,
. .,
lj . . (
. 1.1). 1.1
1
2
3
4
5
pj ( . .)
32
32
32
32
32
lj ( . .)
16
8
4
4
2
/
, . ( (
),
).
n 13
.
i-
,
i
j-
Bj
. n n. 32 16
8 4
A
4 2 1.3. 2,
1
16
16
16
8 32
8 4
8 4 .
4 4 2 2 ( )
32 2
32 4
4 32 -
. 1=
,
. 0.8.
,
-
.
. , 2
= 0.6. , .
2
,
(
-
) ,
(
)
. (
)
1
A2 (
2 ; .
:
)
2
-
: 1
;
2
. . ,
-
, . 14
(1
A
2)
: 0.32 0 . 0 0.128
0
1
0
(1
2)
2 1
, ,
-
.
1.2. ,
-
. ,
.
iail
l
a jl ,
[1, m]
jali
, l
alj ,
[1, n] .
, ,
.
,
-
: B1
A
B2 B3 5 2 4 A1 4 8 9 A2 7 3 6 A3 1 5 3 A4 7 3 6 A5
, ,
,
3,
5, B1 5 A 4 7
-
5
:
B2 B3 A1 2 4 8 9 A2 3 6 A3 1 5 3 A4 15
ii-
.
3,
1
,
, , , .
,
1
3,
-
. ,
4,
2
,
2,
4
.
,
:
B1 B2 B3 4 8 9 A2 7 3 6 A3
A
. j-
j.
,
,
, -
. 3,
2
,
,
, 3,
,
, : A
B1 B2 4 8 A2 7 3 A3
, . -
,
i
: ail
j
l
[1, n].
a jl
,
j
. 16
-
,
j
ali
i
l [1, m].
alj
-
j
,
. , (
),
.
. 1.4.
: B1 4 6 1 3
1.
B2
B3
B4
B5
5 9 3 6 1 10 0 2 4 2 3 10 2 8 1 4
A1 A2 A3 A4
3 2
1,
5
4. :
B 1 B4 A1 4 3 A2 6 0 A3 1 3 A4 3 1 2.
3
4
1. : B 1 B4 A1 4 3 6 0 A2
3.
4:
1
B4 3
A1
0
A2
17
4.
2
1
B4 3
A1
!
:
7 2 5 3 7 6 9 1 4 2 . 2 4 0 1 9
1.
2 5 3 . 9 1 4
:
4 6 0 3 1
9 2 10 1
2.
1 5 2 4
8 1 9 0
3 6 4 4
6 6 . 3 9
5 1
:
1.3.
2 9
«
. i [1, m ]
,
aij* i*,j*
»
. -
j [1, n]
ai*j* .
ai*j,
,
,
.
,
, »
.
« ,
. .
-
, .
,
1.2, ,
. « . 18
»
:
a1min a2min ... ammin
a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n . . . . a m1 a m 2 ... a mn
A
a1max
a2max
max min aij i
.
j
... anmax
min max aij j
i
: ,
(
)
-
. i-
, -
i. i
,
, . . .
-
aimin
min aij j
. -
i,
aimin .
,
, , .
-
: max aimin i
max min aij . i
j
,
[1]. ,
, . , 19
-
,
.
. . j-
, -
j. j
,
, . . .
a max j
max aij i
. j,
( . a max j
,
, -
)
, , .
-
: min a max j
min max aij .
j
j
i
, -
. . , , . ,
-
(
), . ,
,
-
. « : . 20
».
1.5.
«
»,
-
1.1. ,
A
2
3
: 4
3 4
4 5
5 6
4
4
3 5 5
3.
6 4
,
.
3, . .
,
-
, 3. :
,
4. ,
max min aij i
min max aij .
j
j
i
[1]. ,
;
«
» ( ,
). = = .
i,
,
j
-
. :
-
, . 21
,
,
.
,
-
. , (
).
, , .
1.6. :
A
10
6
9 14
6 16 -9 5 3 -3
14
7 6
6
6.
16
6 = = 6. ,
,
, . . = 6.
1
2,
.
-
,
. !
1. A
. 3 4 1 6 0 7 9 2 1 :
.
1;
4
.
8 2 4 2. A
9 0 7 . 8 1 5 :
2
. 22
1.4. ,
-
,
. ,
,
,
. ,
, . x
-
m,
m
-
: x1 x[m
... .
1]
xm
xi
i-
.
y
n-
-
,
n
B:
y[n
y1 ... . yn
1]
y
yj
-
B
. : m
xi
1, xi
yj
1, y j
0,
i 1,...,m ;
i 1 n
0, j
1,..., n .
j 1
, : ,
, ,
, .
23
-
[5] (
)
Ai , B j xi ,
xi y j .
-
yj
-
Ai , B j
aij .
, : m
n
aij xi y j .
ha (x, y ) i 1 j 1
x, y.
x ,y , : m
n
m
n
m
aij xi y j i 1 j 1
n
aij xi y j i 1 j 1
aij xi y j .
(1.4.1)
i 1 j 1
x ,y , ,
: , . (1.4.1). : ,
x
-
y ,
,
.
:
y
,
x , ,
, ,
. , ;
, (
):
24
m
n
aij xi y j . i 1 j 1
-
:
x Ay , x ,y
. : . ,
-
,
, .
, , . . ,
:
.
. ;
0,
0
.
«
»
«
0 », . .
; -
,
-
. . , ,
,
,
-
. ,
-
. [1]. , ,
,
, . , -
, . 25
: .
1.5.
2 2
1.5.1. 2 2, : B1 a11 a21
B2 a12 a22
A1 A2
,
, .
, , . . ( x1 , x2 ); y
: x :
*
= ( 1,
[1].
( y1 , y 2 )
2).
,
,
, , .
2 2
(
,
).
x , , .
, ,
, -
. . *
1,
= ( 1,
2).
11,
1 21.
2
26
(
= -
,
)
,
, ,
: a11 x1
-
a21 x2
. 2.
,
-
:
a11 x1 a21 x2
,
a12 x1
,
a22 x2
x1 x1 x2
a22 a22
a11 1 x1
1
:
a21 , a12 a21 a11 a12 a22 a12
a11
a11a22 a11 a22
x2
a21
,
a21a12 . a12 a21
. (
)
y ,
, , a12 y2
, ,
a11 y1 a21 y1 a22 y2 y1 y1 y2
1.7.
a11
:
, ,
y2 1. a22 a22
a12 a12
a21
,
1 y1 .
, 1 3
5 2
.
.
: : 27
2,
3.
x1 x2
: x
1.5.2.
2 5 1 2 3 5 2 1 x1 . 5 1 1 3 2 ; y 5 5
3 , 5
2 3 1 , 1 2 3 5 5 4 y2 1 y1 . 5 2 3 5 13 . 2 3 5 5 1 4 13 ; . 5 5 5 y1
,
mH
(m1H ,...., mnH ),
,
i 1,..., n
hi (m H ) max hi (m). mi
m
H
hi (m) mi 2 2,
0 , i 1,..., n . : B 1 B2 a11 a12 a21 a22
2
1
x.
2
1
y.
A
A1 A2 1
x,
1
y,
y 1 y a11 a12 x a 21 a 22 1 x .
: 28
y ha (x, y) = ( x 1 x )A (1.5.1) . 1 y Заметим, что hb (x, y)= – ha (x, y). Точка Нэша (хН, уН) определяется из уравнений [6]: ha (x, y ) hb (x, y ) 0, 0. x y Зная точку Нэша (хН, уН), можно легко определить оптимальные стратегии xТ x H 1 x H ; y T y H 1 y H и цену игры .
Пример 1.8. Найти решение игры 2 2 с использованием понятия равновесия по Нэшу: 1 3 А . 5 2 Решение. Определим по формуле (1.5.1) математическое ожидание выигрыша игрока А: 1 3 y ha (x, y) = ( x 1 x ) 5 21 y xy 5(1 x) y 3(1 y ) x 2(1 x)(1 y ) 5 xy 3 y x 2. Определим точку Нэша: ha ( x, y ) 1 5 y 1 0; y H ; x 5 hb (x, y ) ha (x, y ) 3 5 x 3 0; x H , y y 5 (хН, уН) координаты точки равновесия по Нэшу. Таким образом, получаем оптимальные стратегии в данной игре: 3 2 x Т x H 1 x H , 5 5 1 4 yT y H 1 y H . 5 5 Цена игры в точке Нэша:
29
3 5
x Ay
:
3 5
x
1 5 4 5
1 3 5 2
2 5 2 ; y 5
1 5
13 . 5 4 ; 5
13 . 5
,
,
-
. 1.5.3.
2 2 2 2
-
[1].
2 2 B1 a11
B2 a12
A1
a 21
a 22
A2
:
.
,
(x1, x2), i.
i
-
a1i x1 a2i x2
x1
a1i
( a2 i
a1i ) x2 ,
i 1, 2,
(1.5.2)
i,
x2 1 .
i
,
.
-
. XOY .
, = 0)
1 2
( 1,
2.
(x = 1) SA
,
x1
1
SA x2 1,
II. II
2),
(
2 1
I
( 2
I 2.
30
). 1 :
1,
a11 (a21 a11 ) x2 .
1
a11 ,
1
a21 .
2
I
-
II
1,
. 1».
-
«
1 1
,
,
1
SA= (x1, x2), (1.5.2)
M,
,
SA
1 1
x2: x1.
1 2
2.
2 2
. 1.1
I
II B1
B2
M
K a21
a12 B1
a11
x2
x1
L B2 a22
*
A1
S
*
x A2
A
. 1.1
SA , , ( )
. , 1, 1M 2
). 31
2
(
-
. . .
x2 , SA 2
-
x2: x1, M, , , x1 , . .
-
x2
x1 .
1 1,
2
,
, ,
-
. .
. 1.2
, 2,
SA
[0 1] .
1,
2
. . -
. B2
B1 B2
B1
M B2
a22= a11=
B1
A2= S *
1
A1= S
. 1.2
B2 B1
*
A2 . 1.3
. 1.3
,
SA
. 32
[1 0] .
, S ( (
( y1 , y 2 ) . . 1.1) y1
KL).
S K 2
, -
1
K K
2
I:
1
y1*
KB2 KB2 KB1
y1*
LB2 , LB2 LB1
,
II. y2
1
KB1 KB 2 KB1
y1
S
LB1 . LB 2 LB1
( y1 , y 2 )
,
-
, . , .
,
, ,
-
. 1.9.
:
2 3
4
3 . 4
1
. . 1.4. 0.1 ;
x2*
0.42 ;
x1*
x 2*
1
2
x1
x2
-
2
-3
33
x -3
. 1.4
0.58 ;
2
1
LB2 LB2 LB1
y1*
4.1 0.58 ; y 2* 7
1 y1*
0.42.
,
-
, , 0.1; S A
:
1.6.
.
2 n
*
0.58 0.42 ; S B
*
0.58 0.42 .
m 2 ,
2 2
, , [1, 5]. 1.6.1.
2 n 2 n. 2 n: 1
B1
B5
2
a11 a21
A
a12 a22
4
n
... a1n ... a2 n
2 2
.
:
M
, -
n n
4
2
x2
1
,
x1
0
5
1
2
2
,
n
3
3
1
2(
. 1.5).
x -
. 1.5
.
1. 2.
. .
, 34
-
x2
2
SA 3.
( x1 , x2 ) , x1
1 x2 .
, , ,
( . . ).
(
. 1.5
2
5
). 4.
2 2(
5)
2
,
, .
: SA
, ( x1 x2 ) , S B
. 1.5,
(0 y 2 0 0 y5 ). ,
.
(0,
)(
. 1.6, ).
x1
1,
1, x2
-
0.
, (0, . (1,
)(
,
)
.
. 1.6, ).
x1
2,
0, x2
-
1.
, (1, . (
,
) .
-
. 1.6, ). ,
MM ,
.
-
: , 35
-
N
N.
SA x2 [ x2 , x2 ] , x1
1
0
,
( x1 , x2 ) ,
x2 .
0
1
1
1
(K)
-
3
M
M 2
(L)
2
1 3
x2 0
x1
x2
N N
x1
1
x
. 1.6
,
MM
L B2
LB2
, . .
y1*
LB2 LB2 LB1
2 2. , ,
2.
1
0,
36
y 2 1 y1
1.
, , :
2.
3
LB2
,
,
LB2 LB2 LB3
y3* ,
0,
,
-
:
y2
1 y3
1.
,
, ,
-
. . 1.10. 2 n:
-
2
5
4
10
3
1
4
6
.
.
-
. 1.7.
4
10
3
4
1
3 2 K -5
1
x1
x2
0
2
1 3
L -4
2 4
. 1.7
x2*
1
1.2 ; 0.65;
x1* 1 x1*
0.35; 37
-6
x
y 2*
LB3 LB3 LB2
2.8 5
1.2, S A 1.11.
*
:
0.56;
y3* 1 y 2*
0.35 0.65 , S B
*
0.44. 0 0.56 0.44 0 .
2 n:
0.4 0.7 1
1
0.7 0.5
.
. . 1.8. 1
3
1
1 M M
2
2
(K) 0.7
0.7 (L) 0.5
3
0.4 1
x1
x2
0
x
1
x1
x2 . 1.8
0.7. x2*
x1* :
0.5 x2*
x1*
0.6,
1 x2* .
, (
y 2*
1 , y1*
0.7; S *A
: S B*
2).
y3*
0.
( x1* x2* ) , x2 [0.5, 0.6], x1* 1 x2* ;
0 1 0 . 38
1.6.2.
m 2 , m
. : 1
A
2
a11 a21 ... am1
a12 1 a22 2 ... ... am 2 m ,
2 n. m
A
,
m
2 n
-
, . 1.9).
(
-
A1
A4 A3 M
A2
A2
A3
A1
. 1.9
y2
A4
y1
1
0
. 1. 2.
. .
,
3.
y2
2
S
( y1 , y 2 ) ; y1
, 39
1 y2 .
-
,
( . . ).
(
. 1.9
1
3
). 4.
2 2(
1
,
3),
-
. ,
. 1.9,
:
S A*
( x1* 0 x3* 0 0) ,
S
,
( y1* y 2* ) .
2 n
-
. . 1.12. m 2:
-
6
4
3 4
1 2 .
0 1
5 6
. . 1.10.
6 4 3 K 0 -1
1
5
3
6 5
4 2 4
2
y2
y1
5
1
L 1
x
3
-2
1
-4 . 1.10
40
y 2*
2.1; 4L
x 2*
4L
:
S A*
2.1 ;
SB
2.9 2.9 1.1
2L
*
0.58
y1*
0.42,
0
1 y 2*
x4* 1 x2*
0.73,
0.73
0.58;
0 0.27
0.27.
0 ;
0.42 .
! 3 2
1.
3
1
5
2
: x
.
0 0.44 0.56 0 ; y
3 5
2.
. 5 3
: x
2 3
3 1
0.45 0.55 ;
-0.75.
0.47 0 0 0.53 ;
-1.26.
5 . 2
0.47 0.53 ; y
1.7.
n n
1.7.1.
n n , n n ,
. -
, n n:
A
1
2
a11 a21 ... an1
a12 a22 ... an 2 41
...
n
... a1n ... a2 n ... ... ... ann
A1 A2 ... An
x1, B
, xn,
n
n
y1, ..., yn.,
xi
yj
1,
i 1
1.
j 1
:
x Ay , = (x1, ..., xn), y = (y1, . ( ).
x
(1.7.1)
, yn)
, -
[6], : ha ( *,
*
n
)=
+
xi 1) ,
a( i 1
hb ( *,
*
n
)=
+
b(
y j 1) , j 1
a
,
.
b
: h (x , y ) xi hb (x , y )
0,
hb (x , y ) yj
i 1,...,n,
h (x , y )
0,
0,
j 1,...,n,
(1.7.2) 0.
b
, (1.7.2),
,
, 1.13.
. -
3 3:
y1
y2
y3
1 3 4 x1 2 2 1 x2 2 1 6 x3 42
.
(1.7.1)
-
.
x1 y1 ( x1 2 x2 ha( *, *
hb( ,
x2
2 x3 )
*
) =
*
) =
1 3 4 2 2 1 2 1 6
x3
y2 (3 x1 2 x2
a ( x1
x2
b ( y1
x3 y2
y1 y2 y3
x3 ) y3 (4 x1 x2 6 x3 ). ha( *, *) hb( *, *). 1);
y3 1) . :
ha (x , y ) x1
y1 3 y2
ha (x , y ) x2
2 y1
2 y2
ha (x , y ) x3
2 y1
y2
hb (x , y )
y1
y2
4 y3
a
0;
y3
a
0;
6 y3
a
0;
y3 1 0.
b
hb (x , y ) y1
x1 2 x2
2 x3
b
0;
hb (x , y ) y2
3x1 2 x2
x3
b
0;
hb (x , y ) y3
4 x1
x2 6 x3
b
0;
ha (x ,y )
x1
x2
x3 1 0.
a
4 y1 , y 2 , y3 ,
x1 , x2 , x3 ,
b .
43
4
:
. ,
,
y1
y2
3 y3
y2 5 y3
0;
y1
y3 1.
y2
:
0;
2-
1- ;
2-
3- ;
:
y *T
8 5 1 . 14 14 14
.
, ,
2 x1
-
:
x3
0;
1-
x1
x2
5 x3
0;
x1
x2
x3 1.
2- ;
2-
3- ; -
x1
1 ; x2 14
: 11 ; x3 14
2 . 14
,
:
x *T
1 11 2 . 14 14 14 ,
:
v
x Ay
. x *T
1 14
11 2 14 14
1 11 2 , y *T 14 14 14 44
1 3 4 2 2 1 2 1 6
8 14 5 14 1 14
27 . 14
8 5 1 , 14 14 14
27 . 14
-
1.7.2.
n n , ,
A
x
T
( x1 , x2 ,..., xn ), y
T
1
2
a11 a21 ... an1
a12
: ...
n
... a1n ... a2 n ... ... ... ann
a22 ... an 2
A1 A2 ... An
.
( y1 , y2 ,..., yn )
x* , ,
. ,
-
, , , ,
.
x ,
,
,
.
,
,
. 1.5.1: a11 x1
a 21 x 2
... a n1 x n
;
a12 x1
a 22 x 2
... a n 2 x n
;
(1.7.3)
. . . . . . . . . . . . . . . a1n x1
a 2n x2
... a nn x n
.
n
xi
1
.
i 1
45
, . -
x1 , x2 ,..., xn
, -
, :
a21 ... an1
1 a21 ... an1
a22 .
... an 2 . .
1 a22 . .
... an 2 . .
1 a2 n
... ann
a11
a2 n ... ann a21 ... an1
a12 .
a22 .
... an 2 . .
a1n
a2 n
... ann
. x1
x2
a11
... an1
a11 1 ... an1
a12 .
... an 2 . .
a12 1 ... an 2 . . . .
.
a1n ... ann a11 a21 ... an1 a12 .
a22 .
a1n
a2 n ... ann
a1n 1 ... ann
1
;
2
;
... an 2 . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a11 a12
xn
a21 ... a22 ...
a11 a12
a21 ... 1 a22 ... 1
. . . . a1n a2 n ... a11 a21 ... an1 a12 a22 ... an 2
. a1n
. a2 n
. a1n
. a2 n
. . ... ann 46
. . ... 1
n
.
, (
1
2
:
...
n)
a a1
a2 ...
an
1.
.
(1.7.4) -
x1, x2,
, xn.
a1
x1
a1
x2
a1
a 2 ... a2 a 2 ...
an an
; ;
(1.7.5)
. . . . . . . . . . . . . . an xn . a1 a 2 ... a n
x
T
, ( x1 , x2 ,..., xn ) .
y ,
T
, ,
. : 11 y1
12 y 2
...
1n y n
a21 y1 a22 y2 ... a2n yn
; ;
. . . . . . . . . . . . . . . . . an1 y1 an 2 y2 ... ann yn
.
n
yi
1
.
i 1
y1 , y 2 ,..., y n . 47
. y1
y2
a11 a21 . an1 a11 a21 . an1 a11 a21 . an1
a12 a22 . an 2 a12 a22 . an 2
. a12 a22 . an 2
... ... . ... ... ... . ...
a1n a2 n . ann a1n a2 n . ann
1 a12 ... a1n 1 a22 ... a2 n . . . . 1 an 2 ... ann
1
;
... ... . ... ... ... . ...
a1n a2 n . ann a1n a2 n . ann
a11 1 ... a1n a21 1 ... a2 n . . . . an1 1 ... ann
2
;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
yn
a11 a12 a21 a22 . . an1 an 2 a11 a12 a21 a22 . . an1 an 2
... ... . . ... ... a1n ... a2 n . . ... ann
a11 a21 . an1
a12 ... 1 a22 ... 1 . . . an 2 ... 1
. .
an . a
n
yi
1,
i 1
a~1
a~ ~ a 2 ... 48
. a~n
(1.7.6)
(1.7.6)
y1 y2
y1, y2, , yn, :
a~1
a~2
a~1
a~2
a~1 a~2
...
; a~n
...
; a~n
(1.7.7)
. . . . . . . . . . . . . . a~n yn . a~1 a~2 ... a~n ,
(1.7.4) -
(1.7.6), (1.7.5) .
(1.7.7)
.
, ,
, . . .
-
. x
T
1.14. ( x1 , x2 , x3 ) , y
T
( y1 , y2 , y3 ) y1 y2
y3
1 3 4 x1 . 2 2 1 x2 2 1 6 x3
. x ( x1 , x2 , x3 ) (1.7.5). T
(1.7.4) :
1 2 2 a
1
3 2 1 4 1 6 1
2
2
1 1
2 1
1 6
49
27;
1;
1 1 2 2
3 1 1 4 1 6
1 a3
11;
2 1
3 2 1
2.
4 1 1 : 1
x1 x2 x3
2
( 1)
3
a1
a1 a2
a1
a2 a2
a1
a3 a2
27 ( 11)
( 2)
27 ; 14
a3
1 1 ; ( 1) ( 11) ( 2) 14
a3
11 11 ; ( 1) ( 11) ( 2) 14
a3
2 2 . ( 1) ( 11) ( 2) 14
yT (1.7.7).
( y1 , y 2 , y3 )
-
:
1 3 4 1
1 2 1 1 1 6
8;
1 1 4 ~ 2
2 1 1
5;
2 1 6 1 3 1 ~ 3
2 2 1 2 1 1
1. -
: 50
a1 8 8 ; y1 a1 a2 a3 (8) (5) (1) 14 a2 5 5 ; y2 a1 a2 a3 (8) (5) (1) 14 a3 1 1 . y3 a1 a2 a3 (8) (5) (1) 14 27 1 11 2 8 5 1 , y *T , . Ответ: x * T 14 14 14 14 14 14 14 1.7.3. Метод обратной матрицы Данный метод позволяет находить решение игровых задач размерности n×n, содержащих только активные стратегии. Поэтому перед началом решения необходимо убедиться в отсутствии седловой точки и исключить заведомо невыгодные стратегии. Модель игры в данном случае будет идентична модели, рассмотренной в п. 1.7.2: В1 В2 ... Вn a 11 a12 ... a1n A1 A a21 a22 ... a2 n A2 ... ... ... ... ... a n1 an 2 ... ann An Определим оптимальные стратегии игроков x T ( x1 , x 2 ,..., x n ), y T ( y1 , y 2 ,..., y n ) и цену игры . Для определения оптимальной стратегии x * игрока А составим систему уравнений в предположении, что А применяет свою оптимальную смешанную стратегию, а В свои чистые стратегии, аналогично тому, как это было сделано в п. 1.7.2. 51
a11 x1 a 21 x 2 ... a n1 x n ; a12 x1 a22 x2 ... a n 2 xn ; . . . . . . . . . . . . . . . a x a x ... a x . 2n 2 nn n 1n 1
(1.7.8)
n
x
i
1 – условие нормировки.
i 1
Запишем систему (1.7.8) в векторно-матричной форме [7]: x T А (1)1n , (1.7.9) где (1)1n - вектор размерности 1 n, состоящий из одних единиц. Умножим обе части равенства (1.7.9) справа на А-1: x T АА -1 (1)1n А -1 . Откуда следует: x T (1)1 n А -1 . Введем в рассмотрение новый вектор вида: x T ~ x T (1)1n А - 1 . n
Поскольку
x
i
1,
i 1
n
i 1
~ xi
n
xi
1
.
(1.7.10)
i 1
С помощью соотношения (1.7.10) определяем цену игры : 1 . (1.7.11) n ~ xi
i 1
Тогда вектор оптимальной стратегии xT стороны А будет: ~ x T x T ~x T n , i 1,..., n . (1.7.12) ~ xi
i 1
52
Далее определяем оптимальную стратегию y * игрока В. Для этого составим соответствующую систему уравнений: а11 y1 а12 y2 ... а1n yn ν ; a y a y ... a y ν ; 21 1 22 2 2n n . . . . . . . . . . . . . an1 y1 an2 y2 ... ann yn ν.
(1.7.13)
n
y
i
1 условие нормировки.
i 1
Запишем систему (1.7.13) в векторно-матричной форме: Аy (1)n 1 , (1.7.14) где (1) n 1 – вектор размерности n 1, состоящий из одних единиц. Умножим обе части уравнения (1.7.14) слева на А-1: А -1 Аy А -1 (1)n 1 , откуда получим y А -1 (1)n 1 . Введем в рассмотрение вектор вида: y (1.7.15) y А -1 (1)n 1 . Из соотношения (1.7.15) имеем: n n ~y y j 1 , (1.7.16) j j 1 j 1
n
поскольку
y
i
1.
i 1
Из условий (1.7.15) – (1.7.16) определяем вектор оптимальной стратегии y T стороны В: ~ y T y T ~ y T n , i 1,..., n , (1.7.17) ~y j
j 1
а также значение цены игры, которое, естественно, должно совпасть со значением, рассчитанным по формуле (1.7.11): 53
1
.
n
(1.7.18)
yj j 1
1.15.
,
:
1 3 4 2 2 1 . 2 1 6 -1
.
.
: det(A ) 1
2 1 1 6
3
2 1 2 6
2 2 2 1
4
1 11 3 10 4 ( 2)
27
:
adj(
-1
~ x
T
2 1 3 1 3 2
)
adj( ) det( A )
(1)1
-1 n
1 6 4 6 4 1
1 27
1
1
2 2 1 2 1 2
11 10 2
1
1 6 4 6 4 1
2 2 1 2 1 2
14 2 5
5 7 4
11 27 10 27 2 27
14 27 2 27 5 27 54
2 1 3 1 3 2
11 14 5
10 2 7
11 27 10 27 2 27
14 27 2 27 5 27
5 27 7 27 4 27
1 27
2 5 . 4
5 27 7 . 27 4 27
11 27
2 . 27
(1.7.12), (x1, x2, x3) ,
: T
x
1 11 2 . 14 14 14 (1.7.11):
1 n
xi
1 27
11 27
2 27
1
27 . 14
i 1
(1.7.15)
-1
y
(1)n
11 27 10 27 2 27
1
~ y*: 14 5 27 27 1 2 7 1 27 27 1 5 4 27 27
8 27 5 . 27 1 27
( y1 , y 2 , y3 )
(1.7.17), ,
:
8 5 1 y *T . 14 14 14 8 5 1 1 11 2 , y *T , 14 14 14 14 14 14
. x *T
n n.
!
2 1.
2 0 : x *T
1 2 1 6 17
1 0 . 2 1 17
10 ;y* 17 55
9 17
2 17
6 ; 17
14 . 17
27 . 14
2.
4 3 1 А 4 1 2 . 2 3 3
1 Ответ: x * T 6
1 13 4 ; y *Т 9 18 9
1 9
4 23 ; . 9 9
1.8. Методы решения матричных игр m×n 1.8.1. Решение игр размерности m×n методами линейного программирования Решение любой матричной игры m n сводится к задаче линейного программированиях [1, 5]. Рассмотрим игру m n с m стратегиями А1, А2,…,Аm игрока А и n стратегиями В1, В2,…,Вn игрока В, которая задается матрицей В1 В2 ... Вn a11 a12 ... a1n A1 A a21 a22 ... a2n A2 ... ... ... ... ... am1 am 2 ... amn Am Требуется найти решение игры, т.е. оптимальные смешанные стратегии игроков А и В xТ ( x1 ,..., xm ) , y Т ( y1 ,..., yn ) и цену игры . Сначала найдем оптимальную стратегию ( x1 ,..., xm ) игрока А. Эта стратегия должна обеспечить выигрыш, не меньший цены игры, при любом поведении второго игрока и выигрыш, равный цене игры, при его оптимальном поведении. Цена игры нам неизвестна, поэтому зададим ее в виде некоторого положительного числа . Для того чтобы выполнялось условие > 0 достаточно, чтобы все элементы матрицы были неотрицательные. Этого всегда можно добиться, если воспользоваться аффинным правилом, определяющим допустимые преобразования матрицы игры и её цену. 56
. cik
,
aik
,
i 1,..., m ;
k
1,..., n,
,
> 0, (
-
,
),
. ,
,
,
.
> 0.
,
( x1 ,..., x m ) ,
.
-
, ,
,
,
-
:
a11 x1
a21 x2 ... am1 xm
;
a2 n x2 ... amn xm
;
... a1n x1
(1.8.1)
m
xi
1.
i 1
(1.8.1) :
xi (1.8.1) a11 z1
... a1n z1 z1
zi
(i 1,..., m).
(1.8.2)
a 21 z 2
: ... a m1 z m
1;
a 2n z 2
... a mn z m
1;
... z m
1
57
.
-
(1.8.3)
( ) ;
1
,
-
,
(1.8.3). , . z1 , z 2 ,..., z m , m
aik zi
1,
(1.8.4)
k 1,..., n,
i 1
L
:
m
L
zi
(1.8.5)
min .
i 1
, x
-
( x1 ,..., x m )
. (y1,
, yn)
.
, ,
,
,
, , -
1/ . , -
, ,
,
. -
:
a11w1 a12 w2 ... a1n wn
1;
...
(1.8.6)
a m1w1 am 2 w2 ... a mn wn yj
wj
; wj
1, ,
: 58
w1 ... wn
1
(1.8.7)
,
yj, j = 1,
, n. ,
-
, (1.8.7). , .
w1 , , wn
, n
a ik wk
1,
(1.8.8)
i 1,..., m ,
k 1
L . n
L
wk
(1.8.9)
max .
k 1
. ,
,
-
m n . m n
-
. 1.16.
-
C
0
1
0 1
1 0
1 0 . 1
. I.
, ,
, . = 1, 59
-
A
1 2 0 1 0 1 . 2 1 0
II. x
.
( x1 ,..., xm )
1. (1.8.4) (1.8.5): m
zi
min,
i 1
zi
m
0, k
1,..., n ; i 1,..., m .
aik z i 1, i 1
z1
L
z1
z2
2 z3
2 z1 z2
z3
z2
z3
min,
1;
(1 )
1;
1.
2.
: m
min( L) max( L)
max[0 (
zi )]. i 1
(1 ) . min( L)
max( L)
z1
z2
2 z1 z2
z3 z6
3.
max[0 ( z1
2 z3
z4
z5
1;
z2
z 3 )].
1; (2 )
1. (2 )
z4, z5, z6. .
(2 )
( 1):
max( L) max[0 ( z1 60
z2
z 3 )];
z1 2 z1 z2
z2
2 z3
z3 z6
z5
z4
1;
1;
(3 )
1.
-
(
. 1.2). 1.2
z4 z5 z6 -L
z1
z2
z3
z4
z5
z6
-1 -2 0 1
-1 0 -1 1
-2 -1 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
-1 -1 -1 0
, -
,
. (
). . aij . 1.2
0. )
,
( ,
-
.
4. )
-
:
; ) ,
, . (
( L))(
. 1.3). 61
1.3
z4 z5 z2 -L
z1
z2
z3
z4
z5
z6
-1 -2 0 1
0 0 1 0
-2 -1 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
-1 0 -1 1
0 -1 1 -1 1.4
z4 z1 z2 -L
z1
z2
z3
z4
z5
z6
0 1 0 0
0 0 1 0
-1.5 0.5 0 0.5
1 0 0 0
-0.5 -0.5 0 0.5
-1 0 -1 1
0.5 0.5 1 -1.5
. 1.4: z1 = 0.5; z2 = 1;
z3 = 0;
L = 1.5.
, 1
L= 5. x1
2 . 3
=1.5,
xi
xi z1
2 1 3 2
1 ; 3
x2
z2
2 1 3
2 ; 3
x3
z3
6. : 2 1 3
1 . 3
:
x III. y ( y1 ,..., y n )
1 3
2 3
0 ;
. 62
1 . 3
zi : 2 0 0. 3
1. (1.8.8). (1.8.9): n
wk
max ;
k 1
wk
n
aik wk
0, i 1,..., m ;
k
1,..., n .
1;
k 1
L'
w1
w1
2 w2 1 ;
w1
w3 1 ;
2w1
w2
w3
max ;
(4 )
w2 1 .
2.
: n
max( L' )
max[0 (
wi )]. k 1
(4 ) : max( L' )
max[0 ( w1
w2
w1
2w2
1;
w1
w3
2w1 3.
w4 w5
w2
1;
w6
-
w3 )];
(
1. .1.5). 1.5
w4 w5 w6 L
w1
w2
w3
w4
w5
w6
1 1 2 -1
2 0 1 -1
0 1 0 -1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
, -
. 63
1 1 1 0
( . 1.5
), . (
aij
0 ).
(
)
-
,
,
. 4.
-
(
. 1.6 1.7).
. 1.6
w4 w3 w6 L
w1
w2
w3
w4
w5
w6
1 1 2 0
2 0 1 -1
0 1 0 0
1 0 0 0
0 1 0 1
0 0 1 0
1 1 1 1 1.7
w2 w3 w6 L
w1
w2
w3
w4
w5
w6
0.5 1 1.5 0.5
1 0 0 0
0 1 0 0
0.5 0 -0.5 0.5
0 1 0 1
0 0 1 0
0.5 1 0.5 1.5
L= 5.
1
= 1.5,
. 1.7: w1 = 0, w2 = 0.5, w3 = 1. 2 , . 3 yi 64
yi
wi :
y1
2 0 0; 3
w1
y3
y2 2 1 3
w3
2 1 3 2
w2
1 ; 3
2 . 3
6.
. 2 1 3 ,
1 3
. x
2 3
1 0 3
0 ; y
1 . 3
II.6.
2 ; 3
1 . 3
!
.
0 3
1.
4
2 1 5 9
: x
2.
0
1
5
0
5 : x
.
3
5
4 ; y 9
2 7 0
7 9
0
2 ; 9
8 . 9
5 5 . 15
5 6 0 ; y 11 11
0
5 . 11
10 1 0 ; 11 11
1.8.2. m n . ,
.
m n (
-
)
, 65
рования. Одним из наиболее часто применяемых численных методов решения игровых задач является метод БраунаРобинсон [8], который основывается на выборе игроком наилучшей стратегии в ответ на накопленный выигрыш противника. Основная идея итерационного метода Брауна–Робинсон заключается в том, что разыгрывается «мысленный эксперимент», в котором стороны А и В применяют друг против друга свои стратегии, стремясь выиграть побольше (проиграть поменьше). Эксперимент состоит из ряда «партий» игры. Начинается он с того, что один из игроков, скажем А, выбирает произвольно одну из своих стратегий Аi. Противник (игрок В) на это отвечает той из своих стратегий Bj, которая наименее выгодна для А, то есть обращает выигрыш при стратегии Аi в минимум. На это А отвечает той из своих стратегией Аk, которая дает ей максимальный выигрыш при стратегии противника Вj. Далее снова наступает очередь игрока В. Он отвечает игроку А той своей стратегией Вl, которая является наихудшей не для последней, примененной игроком А стратегии Аk, а для смешанной стратегии, в которой до сих пор примененные стратегии Аi и Аk встречаются с равными вероятностями. Таким образом, на каждом шаге итерационного процесса каждый игрок отвечает на очередной ход другого той своей стратегией, которая является оптимальной для него относительно смешанной стратегии противника, в которую чистые стратегии входят в пропорциях, определяемых частотой их применения. Вместо того чтобы вычислять каждый раз средний выигрыш, можно пользоваться накопленным за предыдущие партии выигрышем и выбирать ту стратегию, при которой этот накопленный выигрыш максимален (минимален). Данный итерационный процесс является сходящимся. Если такую чередующуюся последовательность партий продолжать достаточно долго, то средний выигрыш, приходящийся на одну партию, будет стремиться к цене игры ν, а частоты применения стратегий A1 ,..., Am и B1 ,..., Bn будут приближаться к их вероятностям x1 ,..., xm и y1 ,..., yn в оптимальных смешанных стратегиях x , y . Недостаток метода БраунаРобинсон в медленной сходимости. 66
-
. ,
. , . 1.17.
«
»
x , y
, :
B1
B2
2
3
3 4
4 5
B3 4 A1 5 A2 6 A3
.
, -
5( 5,
): B1
7 2
A
(
B2
B3
9
2 9 0 9 0 11
A1 A2 A3
. 1.8). . 1.8:
1 2 3 5
k; ;
i
k B1 , B2 , B3
( ,
). (
,
), ,
j
6,
. . ; 67
-
6 7 9
;
j 1,
2,
k -
(
3
,
j
).
-
( ). ; 10
,
-
,
k;
11
,
-
,
k;
12 ,
. . 1.8. , 3. .
3 5-
-
, , B2
. . B2 .
7 9-
. ,
2,
.
-
. 3
3 5-
2,
. .
. . 10-
.
11.
12:
-
? . 1. 2.
. .
-
. , .
, 68
69
Ai
A3
A2
A2 A2 A1 A3 A1 A2
k
1
2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A2
1
A2
1
2
1
11+2=13 13+2=15 15+7=22 22+9=31 31+7=38 38+2=40 40+7=47 47+2=49 49+7=56 56+2=58
9+2=11
9
B1
3
11+0=11
11
B3
5
B2
B2
Bj
6
9+9=18 11+0=11 B3 18+9=27 11+0=11 B3 27+2=29 11+9=20 B3 29+0=29 20+11=31 B2 29+2=31 31+9=40 B2 31+9=40 40+0=40 B1 40+2=42 40+9=49 2 42+9=51 49+0=49 1 51+2=53 49+9=58 2 53+9=62 58+0=58 1
0+9=9
0
B2
4
4+9=13 13+9=22 22+9=31 31+2=33 33+2=35 35+7=42 42+2=44 44+7=51 51+2=53 53+7=60
2+2=4
2
A1
7
18+0=18 18+0=18 18+0=18 18+9=27 27+9=36 36+2=38 38+9=47 47+2=49 49+9=58 58+2=60
9+9=18
9
A2
8
0+11=11 11+11=22 22+11=33 33+0=33 33+0=33 33+9=42 42+0=42 42+9=51 51+0=51 51+9=60
0+0=0
0
A3
9
4.5
9 2
3.67 2.75 4 4.84 4.43 5 4.67 4.9 4.82 4.83
0
0 1
10
9
9
6 5.5 6.6 5.5 5.14 5.25 5.22 5.1 5.27 5
18 2
9 1
11
4.84 4.13 5.3 5.17 4.79 5.12 4.95 5 5.05 4.92
6.75
4.5
12
1.8
3.
, , .
, ( -
(
). . 8-
. ,
40, . .
.
,
-
5. , 5,
: 5 5 5 0. ,
,
,
,
8,
8
: 2 8 4 A2: x2= 8 2 A3: x3= 8
1 ; 4 1 ; 2 1 . 4
A1: x1=
x
T
1 4
1 2
1 B1: y1= ; 8 4 1 B2: y2= ; 8 2 3 B3: y3= . 8
1 . 4
y
T
1 8
1 2
3 . 8
1 4
1 2
1 . 4
, ,
x
T
: 1 4
1 2
1 ; 4
y
70
T
,
-
, , , , 12-
. 1.8,
. 12
.
.
. 12
4 1 A1: x1= ; 12 3 6 1 A2: x2= ; 12 2 2 1 A3: x3= . 12 6 1 1 1 xT . 3 2 6
: 1 ; 4 1 ; 2 1 . 4 1 . 4
3 B1: y1= 12 6 B2: y2= 12 3 B3: y3= 12 1 1 yT 4 2
,
-
, ,
. :
, , ,
. ,
-
, , . . .
1.9.
, . 71
-
,
, : «
» [1]. «
»
«
-
»
.
«
» , . .
«
»
,
.
, ; . «
»
. , (
) ;
,
-
, . ,
,
,
,
.
,
,
-
. : ; . . . 1.18.
.
, 1.3,
. 72
-
( )
2,
1
. 1=
. 0.8.
,
-
.
. , 2
= 0.6. , .
2
,
(
-
) ,
(
)
. .
:
(
) ;
1
-
2
. ( :
) ;
1
2
-
. . , :
A
(1
2
)
0
1
0
(1
2
)
2 1
0.32 0 . 0 0.128 -
: x1
a11
a22 a22
x2 1 x1 y1
a11
y2 1 y1
a21 a12 a21
0.128 0 0.32 0.128 0 0
0.286;
0.128 0 0.32 0.128 0 0
0.286;
0.714; a22 a22
a12 a12
a21
0.714. 73
Таким образом, оптимальные смешанные стратегии сторон в данной игре будут следующие: для стороны А x T 0.29 0.71 ; для стороны В y T 0.29 0.71. С точки зрения тактики это означает, что истребителю надо будет приблизительно в 70% случаев атаковать бомбардировщик Б2 (следует из стратегии x ); а стороне В приблизительно в 30% случаев бомбу помещать на первый бомбардировщик, а в 70% – на второй (согласно стратегии y ). Пример 1.19. Техническая задача. В распоряжении комплекса ПВО имеются четыре разработанных образца зенитных управляемых ракет: А1, А2, А3, А4, предназначенных для стрельбы по самолетам [1]. Известны типы самолетов противника В1, В2, В3, В4, В5, которые он может применять, однако неизвестно заранее — в какой пропорции. Вероятности поражения самолета противника при применении каждого типа вооружения заданы матрицей: В1 В2 В3 В4 В5 0 .2 0.4 0.6 0.4 0.7 А1 А 0.3 0.4 0.6 0.5 0.8 А2 0.4 0.5 0.6 0.5 0.8 А3 0.7 0.3 0.5 0.2 0.1 А4 Требуется исходя из принципов теории игр обосновать пропорции, в которых надо заказывать вооружение различных типов. Решение. Сначала необходимо исключить из рассмотрения заведомо невыгодные и дублирующие стратегии. После применения отношений доминирования матрица игры принимает вид: В1 В4 В5 А 0.4 0.5 0.8 А3 0.7 0.2 0.1 А 4 Построим геометрическую интерпретацию этой игры (рис. 1.11). Из графика видно, что активными стратегиями противника являются В1 и В4 , т.е. игра сводится к игре 2×2: 74
1
4
0.4 0.5
3
0.7 0.2
4
B5
:
x
T
0 0 x3
4
x4 ;
0.2 0.7 0.4 0.2 0.5 0.7 1 x4 1 x3 . 6 0.2 0.4 0.5 0.7 0.4 0.2 0.5 0.7 T y y1 0 0 y 4 0
5 , 6
x3
0.2 0.5 0.4 0.2 0.5 0.7
y1
B1
1
4
5
x4
3
0.45.
. 1.11
; 0. 3 0 .6
1 , 2
y4
1 y1
1 . 2
,
,
:
A1
A4
A2 ,
3
5:1. ( ) , 1
4
(
1:1.
75
0,45).
2. «
(
»)
2.1. ( )
,
-
. »,
«
-
, », «
« ,
»
,
.
, -
,
:
, ,
,
-
, FOREX,
, ,
, «
. . -
» [1]. ,
,
: (
),
,
«
» !
«
»
. , ,
, »
«
:
, ,
, «
, , .
.
». 76
, ,
,
«
» ,
)
( ,
»)
(«
. .
:
1,
2,
,
;
, 1,
2,
, aij
».
« Ai,
(
j
. 2.1): 2.1
j
1
2
a11 a21
a12 22
a1n a2n
am1
am2
amn
i
=
1 2
( ),
(
)
-
. ,
,
-
. , (
-
,
. .1.2).
«
», ,
«
»
. , . (
«c
») ,
, -
, 77
.
».
« rij
Ai
-
,
j
,
j,
, Ai.
, r ij ,
aij. » j, -
« , ).
( j.
: rij = j=
j
aij,
max aij . i
-
R = || rij || ,
= || aij || . ,
2.1. ,
, 3,
.
,
4.
(
: 1, 2, .2.2).
. (Ai) || aij || (
j)
2.2 j 1
2
3
4
i
=
1 2 3
1 3 4
4 8 6
5 4 6
9 3 2
|| rij || .
. ( 8, 6, 9).
|| rij || ( 78
4, . 2.3).
-
«
».
,
( .
.
2.2) :
21
=
24
= 3. 2.3 j 1
2
3
4
i
R=
3 1 0
1 2 3
4 0 2
1 2 0
0 6 7
, «
. »
4, . .
1
3
2
4-
,
, . .
1
;
4
9, . .,
2,
3 9, . .
6
-
. . 2.3): r21 = 1, r24 = 6.
2
(
, .
2.2. «
» -
[2]. 1.
.
, :
W
max min aij .
1 i m 1 j n
79
, . .
, . .
2.
-
, , .
-
. , , . . W
min max rij .
1 i m1 j n
,
, . -
3.
-
. -
,
. ,
: W
max [ min a ij
(1
1 j n
1 i m
[0,1] 1, 0, ».
-
) max aij ], 1 j n
. . « ,
,
:
,
»
«
-
.
0 .5 .
4.
.
« » . . Qj =1/ , j = 1, , n ,
W
,
, Ai,
max
1 i m
80
1 n
n
aij . j 1
.
,
,
,
-
. ,
«
»
,
, ,
-
. 2.2.
«
»
-
):
(
6 3 9
5
A= 3 4 5 13 . 9 6 4 11 ,
0.5 ,
,
-
.
. 1. W
max min aij
max [3; 3; 4] = 4.
j
i
,
3.
2. :
3 3 0 8 R
W
6 2 4 0 . 0 0 5 2
min max rij
,
i
min [8; 6; 5] = 5.
j
3.
3. W
max[ min a ij i
,
j
(1
) max aij ] j
A2. 81
max [6; 8; 7.5] = 8.
4.
Q1 = Q2 = Q3 = Q4 = 1/4; W
1 n
max i
n
aij
max M i ; i
j 1
M1 = 6·l/4 + 3·l/4 + 9·l/4 + 5·l/4 = 23/4; M2 = 3·l/4 + 4·l/4 + 5·l/4 + 13·l/4 = 25/4; M3 = 9·l/4 + 6·l/4 + 4·1/4 + 11·l/4 = 30/4. 3.
3,
-
3,
.
2.3.
-
, . ,
-
. . ,
[1].
«
2.3.1.
»
»
«
, «
»,
. : || aij || (i = 1,
, m; j = 1,
Q1, ,Qn 1,
,
«
n;
. 82
, n); »
. , *
= i,
-
: a~ max a~i
max[Q1a i1 ... Qn ain ] .
i
(2.3.1)
i
. ,
,
,
1,
. i,
,
1:
n
1,
max ai1
1
i
.
«
»
max a ij i
:
, . ,
-
j
jj .
-
,
j j.
, ,
Qj
-
,
: Q1
Q2
1
2
(2.3.2)
... Qn n .
.
a
Q1
Q2
1
... Qn ,
n
.
(2.3.3)
> a~ .
a~ a~
2
, a~
: 83
(2.3.3), (2.3.1)
n
max
n
Q j aij
i
Qj
j 1
. » (2.3.4)
«
(2.3.4)
, , » ( max( f ) = min( f )). :
»
«
C.
j
j 1
«
n
Qj (
min i
(2.3.5)
aij ) .
j
j 1
(
j
a ij )
rij ,
: n
ri
Q jrij .
(2.3.6)
j 1
, . ,
-
ri : C
(2.3.7)
min ri . i
*
,
-
. . 2.3.
, . 2.4: 2.4 j 1
2
3
4
1 3 4 0.1
4 8 6 0.2
5 4 6 0.5
9 3 2 0.2
i 1
=
2 3
Qj
84
Qj «
»
j.
, ,
« ,
(
»
-
) C = 2. . . 2.5).
(
2.5 j 1
2
3
4
3 1 0 0.1
4 0 2 0.2
1 2 0 0.5
0 6 7 0.2
ri
i 1
R=
2 3
Qj
1.6* 2.3 1.8
(2.3.6): r1
0.1 3 0.2 4 0.5 1 0.2 0 1.6;
r2
0.1 1 0.2 0 0.5 2 0.2 6
r3
0.1 0 0.2 2 0.5 0 0.2 7 1.8.
min ri i
(2.3.7): min (1.6, 2.3, 1.8) 1.6
2.3;
2.
1.6,
,
, ,
, . .
-
1.
2.3.2.
«
»
«
» »
«
j,
.
, B1, , Bk.
k 85
-
, :
1,
,
n
. -
Bl :
j
P(Bl / , n; l = 1,
( j = 1,
j
)
, k)
,
-
. ,
-
: || aij || (i = 1,
« «
»
1,
» , n;
Q1,
, m; j = 1,
, n);
, Qn Bl
j
(j = 1, ,n; l = 1, ,k ); . ,
Bl, «
: 1,
,
«
n
Q1, Q1l , ..., Q nl , 1,
,
» » -
, Qn ,
«
,
n
» Bl.
:
Q j P ( Bl /
Q jl
j
)
n
Q j P ( Bl /
,
j 1, ..., n.
(2.3.8)
j)
j 1
« Q1l , ..., Q nl ,
Qn *
~* l
,
» Q1,
, -
Bl ).
( . 2.4.
2.3 ( . . 2.4) : Q1 = 0.1; Q2 = 0.2; Q3 = 0.5; 86
Q4 = 0.2
. :
1,
2,
3.
-
P(B l / j) 1,
2,
3,
-
4
. 2.6).
(
2.6 j 1
2
3
4
0.2 0.1 0.7
0.9 0.1 0
0.4 0.5 0.1
0.3 0.3 0.4
Bl B1 B2 B3
=
, .
, -
, , . .
,
-
1.
Q j1 , j 1, ..., 4, «
»
1,
2,
3,
(2.3.8)
4
1:
Q11
Q1P ( B1 /
1
)
4
Q j P (B1 /
j
)
j 1
0.1 0.2 0.1 0.2 0.2 0.9 0.5 0.4 0.2 0.3 Q21
Q2 P( B1 /
2
0.02 0.46
0.043;
)
4
Q j P( B1 /
j
)
j 1
0.2 0.9 0.1 0.2 0.2 0.9 0.5 0.4 0.2 0.3 87
0.18 0.392; 0.46
-
~ Q31
0 .2 0.46
~ Q41
0.435;
0.06 0.46
0.130.
. 2.4. . 2.7. 2.7 j
1
Ai A1 A2 A3
~ Q j1
2
3
a i(1)
4
1 3 4
4 8 6
5 4 6
9 3 2
4.956 5.395* 5.394
0.043
0.392
0.435
0.130
(1) i
(i =1, 2, 3)
: 4
~ Q j1 a ij .
(1) i
(2.3.9)
j 1 (1) 1
0.043 1 0.392 4 0.435 5 0.130 9
(1) 2
0.043 3 0.392 8 0.435 4 0.130 3 5.395*;
(1) 3
0.043 4 0.392 6 0.435 6 0.130 2
4.956;
5.394.
. 2.7. ,
-
1 2,
. Q j 2 , Q j 3 (j 1, ..., 4)
« 2,
» :
3
88
,
Q1 P( B2 /
Q12
1
)
4
Q j P( B2 /
j
)
j 1
0.1 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 0.5 0.5 0.2 0.3 ~ Q22
0.02 0.34
~ Q32
0.059;
0.25 0.34
~ Q42
0.06 0.34
0.07 0.2
0.35;
0.735;
Q1 P( B3 /
Q13
0.01 0.029; 0.34
1
0.177;
)
4
Q j P( B3 /
j
)
j 1
0.1 0.7 0.1 0.7 0.2 0 0.5 0.1 0.2 0.4 ~ Q23
0 0 .2
0;
~ Q33
0.05 0 .2
~ Q43
0.25;
0.08 0.2
. 2.7
0.4.
. 2.8, 2,
-
3
. 2, (2) i
,
( 3) i
(i = 1, 2, 3),
-
3
, ,
, 1.
. 2.8. 2.8 1
2
3
4
A1 A2 A3 Q j1
1 3 4
4 8 6
5 4 6
9 3 2
0.043
0.392
0.435
0.130
Qj2
0.029
0.059
0.735
0.177
Q j3
0.35
0
0.25
0.4 89
ai(1) 4.96 5.395* 5.394
ai(2) 5.533* 4.030 5.234
ai(3) 5.2* 3.25 3.7
. . 2.8
-
. 1,
5.395. -
2; 3,
2 1;
5.533,
2
5.2.
3
. : 3
P ( Bl ) max ai( l ) ,
a
i
l 1
i 1,
i
2
(i = 1, 2, 3).
3. 4
P( B1 )
Q j P( B1 /
j
)
j 1
0.1 0.2 0.2 0.9 0.5 0.4 0.2 0.3 0.46; 4
P( B2 )
Q j P( B 2 /
j
)
j 1
0.1 0.1 0.2 0.1 0.5 0.5 0.2 0.3 0.34; 4
P( B3 )
Q j P( B 3 /
j
)
j 1
0.1 0.7 0.2 0 0.5 0.1 0.2 0.4 0.20. a
: 0.46 5.395 0.34 5.533 0.2 5.2 5.403. , (2.3.1).
:
90
a~1 a~
0. 1 1 0 . 2 4 0 . 5 5 0 . 2 9
5.2*;
0.1 3 0.2 8 0.5 4 0.2 3
4.5;
a~3
0 .1 4 0 .2 6 0 .5 6 0 .2 2
5 .0 .
2
a~
: max(5.2, 4.5, 5.0) 5.2.
max a~i i
, : a
a
5.403 5.2 0.203.
:
, -
0.203, .
91
3.
3.1. , ,
-
,
. ,
-
, . (
, ,
) .
-
: .
,
.
,
,
-
, . .
. ,
m . B1 ... Bn A
B
n
:
a11 ... a1n ... ... ... am1 ... amn
A1 ... ; Am 92
B1
... Bn
b11 ... bm1
... b1n ... ... ... bmn
A1 ... . Am
-
, . .
-
,
, . n
1,
: b1n .
na1n ,
,
»,
«
. . 3.1. «
» [5]. .
(
) (
,
).
, ( ).
(+)
[ ].
[+] . .
: [+]
[ ]
[+]
[ ]
(+) ( )
(+) ( ) ,
,
-
: [+] [-] 2 -1 1 0
[+] [-] 2 -2 -1 0
(+) (-) 93
(+) (-)
. xT
; .
y
( x1 ,..., xm )
T
( y1 ,..., yn )
: m
x i 1;
xi
0,
i 1,..., m ;
i 1
(3.1.1)
n
y j 1;
yj
0, j 1,..., n .
j 1
H A, HB
A
. m
n
HA
a ij xi y j
x T Ay;
bij xi y j
x T By.
i 1 j 1 m
n
HB i 1 j 1
: ( . .
,
,
-
)?
. ).
(
, ,
. (x*, y*), : Ay* ( x *T Ay*)(1)m T
B x* ( x * By*)(1)n (1)m ,
1,
(1)n
1
H A (1)m
1
;
(3.1.2)
1
H B (1)n
1
,
(3.1.3)
T
(m 1), (n 1)
1
. 94
-
x*T = (x1, ,xm),
(3.1.2), (3.1.3) y* T = (y1, ,yn)
(3.1.1).
3.2.
, ,
,
,
,
-
.
-
( )
. . .
1. ,
-
:
)
;
)
;
) ) 2.
; . -
. ,
:
)
;
)
;
) ) .
; -
. 95
1 . (
1
)
-
. ,
1.
. ,
,
, . . (
2.
.
)
,
, ,
. -
, . ,
3. ,
,
.
-
, :
k 1,..., n,
aik
a jk
i
. 4. i,
,
. 1 . ,
1. ,
, . .
. (
2.
)
,
, ,
. -
, . ,
3. ,
, ,
bik
b jk
. k 1,..., n ,
, : -
i
. 96
4. i,
,
. 1 ).
3.1 (
-
: 1
2
2 7 1 8
6 1 5 1
3
1
3 4 6 6
2
3 2 4 6
1 2 3 4
3
1 5 1 2
2 1 3 1
1 2 3 4
, . .
.
.
2
,
4
4,
2-
2-
.
-
.
2,
:
1
2
3
2 6 3 1 5 6 8 1 6
1
2
3
1
3 1 2
1
3
4 1 3
3
4
6 2 1
4
. .
,
3,
, . 97
1,
,
-
3.
, : 1
2
3
1
2 6 3 8 1 6
2
3
3 1 2 6 2 1
1 4
1 4
1 . 1 . ,
1. ,
, . .
. (
2.
)
,
, ,
. -
, . 3. ,
, , bik
.
b jk
,
k 1,..., n ,
: -
i
. 4. i,
,
. . ,
1.
, . .
, . .
2. ,
, . 98
,
. -
3. ,
, ,
.
, -
:
a jk
a jl
j 1,..., m ,
k
. ,
4. k,
, 3.2 (
. 1 ).
-
: 1
2
3
5 6 3
1 1
7 1 4 1 5 6
2
3
3 1 2
1
2 5 1 4 1 3
2 3
2 3
, . .
.
.
1
,
3
31-
,
3-
.
.
3,
:
1
-
2
3
1
2
3
5 6 3
1
3 1 2
1
7 1 4
2
2 5 1
2
99
. .
1
.
3
,
. , : 2
3
2
6 3 1 4
3
1 2 5 1
1 2
1 2
2 . .
2 ,
1. ,
, . .
. (
2.
)
,
, ,
. -
, .
-
3. ,
, , bik
.
b jk
,
k 1,..., n ,
: -
i
. 4. i,
,
. . ,
1. ,
, . .
. 100
2.
. ,
,
, . .
3. ,
, ,
:
a jk
.
a jl
,
j 1,..., m,
-
k
. ,
4. k,
,
.
5. ,
, :
. . 3.3 (
2. ).
-
: 1
2
3
5 6 3
1
2
3
1
3 1 2
1
7 1 4
2
2 5 1
2
1 5 6
3
4 1 3
3
, . .
.
.
1
1101
3
,
3-
,
, 1-
1-
.
.
, : 1
2
1
3
2
3
7 1 4
2
2 5 1
2
1 5 6
3
4 1 3
3
. .
2
.
3
,
. , : 1
1
3
7 4 1 6
3
2 1
2
2
4 3 :
3
3
-
,
. 1
3
2 1 4 3
1
3
7 4 1 6
2 3
2 3
.
3.3. 2 2 , ,
, [4]. .
A
B
: 102
-
a 11 a 12 ; a 21 a 22
x
T
x 1 x ; y
T
b11 b12 . b21 b22 2 2 0 x 1;
y 1 y ,
:
0
y 1. -
: xT Ay
HA
( a11 a12
a11 a21
x 1 x
a12 a22
y
(3.3.1)
1 y
a 21 a 22 ) xy ( a12 a 22) x ( a 21 a 22) y a 22; xT By
HB
(b11 b12
x 1 x
b11 b12 b21 b22
y
(3.3.2)
1 y
b21 b22 ) xy (b12 b 22 ) x (b 21 b 22) y b 22.
:
(3.1.2), (3.1.3) a11 a12 y 1 HA ; a 21 a 22 1 y 1 b11 b 21
x
b12 b 22 1 x
HB
1 . 1
: a11 y a12 (1 y ) H A ; a21 y a 22 (1 y ) H A . b11 x
b21 (1 x )
HB;
b12 x
b22 (1 x )
HB.
HA (3.3.3),
(a11 (a11
(3.3.3) (3.3.4) (3.3.1)
: a12 a 21 a 22)(1 x) y (a 12 a 22)(1 x) 0; a12 a 21 a 22) xy (a 12 a 22) x 0. a11
: a12
a 21 a 22
a22
a12
a2 . 103
a1 ;
(3.3.5)
(3.3.5)
: a1 (1 x) y a2 (1 x) 0 ;
(3.3.6)
a1 xy a2 x 0.
(3.3.7)
,
x,
(3.3.7).
(3.3.6) : x = 0,
1) (3.3.6)
(3.3.7)
y,
: a1 y a 2
x = 1, 2) (3.3.7)
(3.3.8)
0;
(3.3.6)
y,
a1 y a 2
(3.3.9)
0;
0 x 1, (1 x), :
3) (3.3.6)
-
:
(3.3.7) a 1y
a2
0
a 1y
a2
0
a1 y
a2
0.
x,
(3.3.10)
, (3.3.7), : a1 y a2 1) (0, y),
K
0; 0
y 1;
2) (x, y),
a1 y a2
0; 0
y 1, 0
3) (1, y),
a1 y a2
0; 0
y 1.
(3.3.6)
a1
a2
-
x 1;
0,
x [0, 1], y
(3.3.8)
[0, 1] ,
(3.3.10)
.
a1
0 , a2
0,
(3.3.8),
(3.3.9),
x
a1 )
x 1.
0,
0,
: (3.3.8)
x 104
0, y
a2 a1
;
) )
x 1, y 0 x 1, y
(3.3.9) (3.3.10)
a1
0,
; .
:
)
(3.3.8)
) )
(3.3.9) (3.3.10)
a1
. 3.1, y 1
a2 ; a1 ; x 1, y 0 x 1, y . K A a1 0 . . 3.1, x
0,
0, y
a1 < 0
y 1
a1 > 0
(x, )
-
(x, )
0
1
x
1 x
0 . 3.1
. (3.3.2)
(3.3.4) : b1 b11 b12 b2
b21
HB
b22 ;
b22 b21 .
L 1) (x, 0),
b1 x b2
: 0 ; 0 x 1;
2) (x, y),
b1 x b2
0; 0
x 1, 0
3) (x, 1),
b1 x b2
0; 0
x 1.
b1
b2
y 1;
:
0,
x [0, 1], y [0, 1].
b1
0 , b2
0,
0, 105
1.
b1 > 0 ,
: y
0,
x
y 1, x 0 y 1, x b1
0, y 0, x y 1, x 0 y 1, x
b2 b1 ; . : ; ;
;
.
L . 3.2: y
b1 > 0 ,
b1
b1< 0
( , y)
( , y) 0
0.
y 1
b1> 0
1
-
1
x
0
x
1
. 3.2
K x
y,
L, . . . -
. 3.3. y
y
L
L
1
1
K
0
1 x
K
0 . 3.3 106
1
x
K
L
(
3.3, ),
(
.
. 3.3, ). , x ,
(3.3.2), ,
. (3.3.1), y. -
; ,
. 3.4.
-
. . :
1,
2.
: .
(
)
, )
(
: 10 1
(
2 ; 1
5 1
2 1
:
,
-
1, ,
5 . . .
10
. . .,
-
. .).
.
K
.
10 2 1 1
14 < 0;
: a1
a2
a11
a12
a21
a22
a12
a 22
1 2
a2 a1
3;
a1 < 0 ,
K 3 14
0;y x;
1;y
y 1;
3 14
0 x 1; 0 107
y
3 . 14
3 14
3 . 14 :
L
B.
. b1
b11
b12
b2
b22
b21 1 1 2 ;
b2 b1
b21
b22
5 2 1 1 9 > 0;
2 . 9 L
b1 > 0 ,
0
x; 0 2 ;y 9
2 9
x; 1
y 1; x 1.
L
K
C
3 , 14
2 ; y 9
x
2 ; 9
x 0
:
.
. 3.4.
y
L
1
C
3 14
0
*
2 9
*
3 14
K
7 ; 9
11 . 14
1 x
2 9
. 3.4
: HA
x 1 x
a11 a21
a12 a22
HB
x 1 x
b11 b12 b21 b22
y
2 9
7 9
2 9
7 9
1 y y 1 y
108
10 1 5 1
2 3 14 1 11 14 2 3 14 1 11 14
4 ; 7 1 . 3
:
*
2 9
7 ; 9
3 14
*
11 ; HA 14
4 1 ; HB . 7 3
3.4. m n. 3.4.1. m n
(m n); m
;n ; x* (m 1); * (n 1). ; (m 1)
-
>0 x 0 . (n 1)
, , (1)m 1, (1)n
; (m n),
: eij
1
, 1,
i 1,..., m; j 1,..., n . (3.1.1) d: max( aij , bij ) 1,
d
(3.1.3) [9].
i, j
i 1,..., m ; j 1,..., n , A1
dE A > 0 ;
B1
dE B > 0 , ,
(3.1.1)
(3.1.3),
: B1T ~x ~ x
(1) n 1 ;
(3.4.1) (3.4.2)
0; 109
(~y, ( B1T ~ x (1)n 1 )) 0 ; ~ A y (1) ;
(3.4.3) (3.4.4)
~ y 0; ~ ( x, ( A ~ y - (1)
(3.4.5) (3.4.6)
1
m 1
1
m 1 ))
0.
:
(3.4.1) B 1T~x
m
(d
~x 1)(1) , n 1 i
(3.4.7)
i 1
x*
~ x m
~ xi
i 1
(3.1.3): 1 ( d m )(1) n 1 . ~ xi
B 1Tx
i 1
(3.4.1) x *T By*
(d
1 m
), ~ xi
i 1
,
~ x
, ,
~ y
~ x d ~y - (1) n 1 ~ y
(~y, ( B1T ~x (1)n 1 )) 0 , (3.1.3) (3.4.1) (3.4.3). (3.1.2) (3.4.4) (3.4.6).
-
H , HB
x*, y * , : 110
~ x, ~ y, -
~x
x*
m
,
~ y
y*
n
~ xi
i 1
H
d
(3.4.8)
; ~ yi
j 1
1 n
;
HB
~ yi
d
1 m
.
(3.4.9)
~ xi
i 1
j 1
(3.4.1)
(3.4.6).
-
3.4.2. I. 1.
1.
1
d max ( a ij , bij ) 1 ,
d
: i 1,..., m ; j 1,..., n .
i, j
2.
: A1 dE A ; B1 dE B , eij 1, i 1,..., m ; j 1,..., n ,
E
,
,
,
. x0 ,
II. 0 y .
A *0
3. 1 1 1 a11 1 a12
A *0
... 1m ... a1m1 ... a1m 2
... ... ... a11n ... a1mn
: 1
1 0
... ... ... ... 0 0 ... 1
A *0
A 1T
n n, (e 1,
... n 0 ... 0 1 ... 0 . 2
, en). 111
In
n
y0 :
4. 1 a
y 10 Tn
a
min ai11 , i = 1,
,m
i
1
0 ... 0 ,
A 1T ,
(
A *0 ).
-
i*
.
i,
. B*0
5.
B *0
b 11 1 b11 1 b 21
... ... ...
: b1n b11n b21n
... ... ... 1 b m1 1 ... bmn B*0
f1 f 2 ... fm 1 0 ... 0 0 1 ... 0 . ... ... ... ... 0 0 ... 1 B1
Im
m
m, (f 1, ,fm ). 6.
x0 : x10
b
m
0 ... 0
1 b
0 ... 0 ,
min bi1* j , j = 1, ..., n (b
i*-
j
B1 ). j*, 1 . b
-
.
j, i*-
x0 ,
.
III. 7. . 112
.
.
:
e j y 0 b1j x 0 1
0 , j 1 ,..., n ,
f iT x 0 a1i T y 0 1
0 , i 1 ,..., m ,
a1i , e j
B*0 .
b1j , f i
A *0 ;
,
-
.
8
,
15. .
p(x) q(y). fi ,
p(x) f iT x
b1j ,
0,
b1j x
p(x)
q( y)
f i , b1j / f iT x 0, b1j x
e
1 0:
1 0.
q(y): 0, a1i T y 1 0 .
1 j, a i / e j y
p( x 0 )
,
q (x 0 )
-
: p(x 0 ) {f1,..., fi * 1, b j * , f i * 1,..., f m} ;
q(y 0 ) {ai* , e 2 ,..., e n }. M (x, y): e M (x , y ) er , fs r fs
M (x , y ), M (x , y ),
e1 ,..., e n , f 1 ,..., f m ,
M (xi , y j )
. 15,
b 1r p (x ) . a 1s q( y )
e r q (y ) f s p (x )
(xi , yj ) ,
8. .
IV. 8.
q (y 0 )
e1 ,..., e n
f1 ,..., f m
p (x 0 ) ,
-
A1*
B1* . ,
, e
f, 113
.
,
,
. A1* ,
e1 a i*.
:
-
,
,
; -
( ) A *0 ,
,
*
i -
, ,
11 12
A1*
... -1 i1
...
22
...
2n 2
.
21
...
1n 1
, -
... ...
-1 . ..
i* 1,1
1
i* 1,2
0
...
ai11 , ai1*1
-1
i*
1,
j
i* 1,2
... 0
i* 1, n i*- 1
i* 1,1
... i* 1, n
-1
: ... ... ... ...
-1 ...
i* 1
aij1
ij
m1
q11 ...
q 1n
1
m2
q21 ...
q2 n
2
... ... q n1 ...
... ... q nn n
y10
yn0
... mn m
-1
...
1 i1 i * j
a .
A1*
9. y
(e1 ,..., e n )
0
0 1
0 2
(y
0 n
... y ) ,
y
. i
a1i y 0 ,
A*0 .
a1i
i =1, ..., m, i
A 1* ,
1
. j-
10. ** j
j
j
:
min
0 kj q jr 0 1 k m 1 r n
1
k kj
,
yr0 ; q jr
114
** j
max
0 sj q jt 0 1 s m 1 t n
1
s sj
,
yt0 . q jt
j
** j
,
. A 1* ,
, j j
** j ,
j
** j =0,
=
.
.
,
j
-
. B1* ,
11. i,
j
i = 1, ..., m,
-
q ji
1,
j
1
i
pij . .
V. 12.
x y: x0 y0
xi yi
pi, qj B1*
ip
i
, i 1,..., m , j q , j 1,..., n ,
P
j
Q,
-
A1* .
13.
q(yj), p(xi)
(
j
(
1,..., m ; j 1,..., n .
i
j
j
)
j
j
) :
y r0
1
k
q jr
kj
,
1
m
,
.
,
mj
q(y 0 )
am \ e j .
p(x i): p(x i ) p(x 0 )
b m \ fi .
q(y j )
14.
(x i , y j )
M (x i , y j )
, ,
7. . 15.
115
-
,
A1T ,
.4
y0
A *0 . : y 10 Tn
1 a
0
... 0 .
, .
,
,
A 1T
-
1 a
y0 ,
,
. .
~ x, ~ y,
15.
H , HB
x*, y *
-
(3.4.8), (3.4.9). x*
x
y*
m
~ y n
xi
H
d
j 1
;
i 1
1 n
;
~ yi
;
HB
~ yi
d
1 m i 1
j 1
3.5.
4 9 7 2 ; 8 2 3 6
. 2 7 8 1 B
9 2 4 4 . 4 8 3 5
. I. 1. d
. -
6 3 2 8 A
~ xi
1 1: max(aij , bij ) 1 9 1 10; i, j
116
2. A1
1 1 1 1 10 1 1 1 1 1 1 1 1
6 3 2 8 4 9 7 2 8 2 3 6
4 7 8 2 6 1 3 8 ; 2 8 7 4
1 1 1 1
2 7 8 1
8 3 2 9
B1 10 1 1 1 1 1 1 1 1
9 2 4 4 4 8 3 5
1 8 6 6 . 6 2 7 5 x0 ,
II. 0 y .
A *0
3.
A *0 1 1
A *0
A1T
1 2
1 3
In 1
n
2
; 3
4
4 7
6 1
2 8
1 0
0 1
0 0
0 0
8 2
3 8
7 4
0 0
0 0
1 0
0 1
.
y0 :
4. a
min ai11
2 , i = 1, ,m;
i
1 2
y 10 Tn
0 0 0 .
, :i
*
3.
B*0
5. B *0
B1
Im
m
:
.
B
* 0
b 11 b 12 b13 b14 f1
f2
f3
8 1 6
0 1 0
0 . 0 1
3 8 2
2 6 7 117
9 6 5
1 0 0
x0 .
6. min bi1* j
b
2,
j
i*-
j = 1,..., n, b x10
1 . 2
0 0
m
B1 ;
, : j
*
2.
III. 7.
. .
:
e jy
0
b1j
x
0
1
0 , j 1,..., n .
j =1 e1 y 0 b11 x0 1 12 0 0 0
1 0 0 0
0 0 12
8 1 6
1
1 3 1 2
,
1 0.
,
-
, y0
x0
. p(x) q(y).
. ,
.
, f,
e .
, -
,
,
. q(y 0 ).
e1 ,..., en
A *0 ,
-
e1 ,
, a3 ,
. 118
q(y0 )
e1 , e2 , e3 , e4
a3 , e2 , e3 , e 4 .
* 0
.
,
p( x 0 )
f 1, f 2, f 3
f1 , f 2 , b 2 .
(xi, yj) (a, f) (b, e)
q(y j)
,
p(xi) 1 n(
1
m,
-
). ( x 0 , y 0 ). q(y 0 )
1
m = 3: (f1 , f 2 , a 3 ) . 1 2, 1.
(b, e) b2 , e2 , e3 , e 4 . y0
x0
,
p(x 0 )
(a, f )
n 4: -
.
.
IV. 8.
A1* ,
0
q( y ) :
e1, e 2 , e 3 , e 4 1
A1*
2 9 6 6
9.
2
3
3 23 18 4
1 0 0 0 i
1
2
12 4 7 2 2
3
0 1 0 0
a1i y 0 ,
0 0 1 0
i = 1, ..., m,
A*0 :
1
4 7 8 2
119
12 0 0 0
4
0 0 . 0 1
2;
a1i
12 0 0 0
3;
12 0 2 8 7 4 0 0
1.
6 1 3 8
2
3
1 y0
1
1
1
1
2
1:
3
1
A1*
2
3
1
2
3
4
2
3
1
12
0 0 0
9
23 0
4
1 0 0
6
18 0
6
4
1 10.
,
2
7 2 0 1 0
0
2
0
12
0 0 1
0
0
0
j-
j
** j
: j
** j
min
1
k
0 , kj q jr 0 , 1 k m , 1 r n
,
yr0 ; q jr
,
yt0 . q jt
kj
1
s
max
0, sj q jt 0, 1 s m, 1 t n
sj
j:
120
A 1* (
-
* j
)
( ** j ).
, ** j : ** 1
1 ; 2
max
1 ; 9 2 ; 23 1 ; 6
min
2
min
3
12 12
2 ; 23
0
min
4
12 4
2 ; 18
1 ; 9 1 ; 6 1 . 6
3
4
0 ; 1
0;
1
2
2 ; 3
2 ; 4
2 ; 23
12 72
12 2
** 2
1 ; 9
** 3
1 ; 6
** 4
0 1
max
0 1
max
0 1
max
* j
j
=
** j ,
** j =0,
.
,
j
1
2
3
1
2
3
1
12
0
0
0
9
23
0
4
1
0
6
18
0
7 2
0
1
0 2 23 (a 2 ) 0 1 9 (a 2 )
6
4
0
2
0
0
1
1
2
0
. :
A1*
0
A1* ,
, * j
0
0
2
12
0 121
3
0
4
0
0
1 6 (a 1 )
-
B1* :
11. b1 * 1
B
b2
1 0 23 0 3 1 2
0
b3
b4
17 2 22 7 2
f1
f2
f3
32 1 0 14 0 1 52 0 0
5/2
3/2
0
3 2 5 17 (b3 ) 4 2 23(b1 ) 12 0 0
1/2
V. 12. y:
. x x1
0 0
1 2
5 1 0 17
3 2
x2
0 0
1 2
2 0 1 23
4
x3
0 0
1 2
0 0 0
y1 y2 y3 y4
1 2 1 2 1 2 1 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
13. ,
1 2
5 17 0
0 2 23
0 0
1 ; 17 7 ; 46
1 ; 2
1 0 0 0 ; 2 2 7 2 4 1 0 0 0 0 ; 23 46 23 1 7 1 1 0 1 0 0 0 ; 9 2 9 9 1 1 1 2 0 0 1 0 0 . 6 6 6 p(xi), q(yj) i 1,..., m ; j 1,..., n . p( x1 ) . i 1
0
1 0 0 0 2
p( x i ) :
p( x1 ) {p( x0 ) , f 1, *
1),
122
bm } \ {f1 } . p(x0) bm, (
)(
b3.
, f1 f2 f1 f2 f1 f2
: b2 b2 b2
b3 f1 f1
f2 b1 f2
b2 b2 b2
P( x);
a3 a3 a3
e2 e2 e2
e3 e3 e3
e4 e4 e4
a3 a3 a3
e2 a2 e2
e3 e3 a2
e4 e4 e4
a3
e2
e3
e4
a3
e2
e3
a1
14.
Q(y ).
(x i , y j )
M (x i , y j )
,
7.
x2 , y 2 . p(x 2 ) q (y 2 ) (f1 , a 2 , a 3 ) . n 4 b 1, b 2 , e 3 , e 4 . , ~ y2 , x2 , ~ 15.
1 (b, e) M ~ x 2, ~ y2
x* 0 7 46 7 46
y*
HB
d
2 23 2 23 2 23 2 23 1 m
xi
e 1,.e 2 , e 3, e 4 , f1, f 2 , f3 . .
~ x2 , ~ y2 x*, y *
0
(a, f) m = 3 1
7 46 7 46
0
0 0 0 0
10
46 11
i 1
123
:
4 7 ; 11 11
7 4 11 11
5
9 ; 11
0 0 .
-
H
1
d
46 11
10
n
yi
5
9 . 11
j 1
: x* 5
H
: x*
: x*
3. : x* 5.6;
: x* H
. 5 4 . 2 5
0.17 0.83 ; H
0.33 0.67 ; y *
0.714 0.286 ;
5.67 .
4 5 6
7 6 2
7 8 3 ; 8 0 5
8 4 3 . 2 1 5
0.375 0 0.625 ; y * HB
0.2 0 0.8 ;
3.88 .
3 6
2
9
5
11
4
6
9
0
13 9 7 3 5 10 6 11
;
7
5
4
11 12 0
9
0 0.333 0.667 0 ; y *
7.54; H B
3.5; H B
7 1 . 5 8
7 0 14 10 1 8
4.
9 . 11
0.75 0.25 ; y *
5.14; H B
7 4 0 0 ; 11 11
y*
5
HB
4 8 ; 6 3
2.
H
9 ; 11
! 1 4 ; 6 3
1.
H
4 7 ; 11 11
0
6.33 .
124
3
.
0.385 0 0 0.615 ;
4.25 .
4.
-
-
, ,
,
,
.
, ,
,
.
4.1. ,
, , [5]. , ,
,
. ,
-
, (
). -
,
,
,
,
,
.
-
. ( ), . . 125
, (
. 4.1). t2
t1
t3
t4
2 1
1
A
t5
t6
2 1
t8
2 1
A
1
t7
A
2
2
A
1
2
B
B
1
2
O . 4.1
.
,
( ,
,
)
. ,
,
-
(
). , )
(
, ),
(
-
( ), . »
«
, .
,
,
, .
, . ( ), 126
-
( .
.
. 4.1).
-
. 4.1
.
.
-
.
ti
. ( )
,
,
, .
-
, . .
,
-
, .
,
,
-
,
. , , .
,
(
) ,
.
. , .
4.2. (
)
-
. ,
, (
,
). 127
-
( . .
,
-
). . .
, ).
(
,
. , (
-
),
. ,
(
),
-
, . . .
,
. , ,
.
: , ).
2(
1(
),
, ),
1(
2(
. 4.1.
-
: 1{1 , 2} . 2{1 , 2} ,
, ).
. . . 128
W (x, ) W(1,1)= 1, W(2,1)= -2, W(1,2)= -1, W(2,2)= 2.
:
. 4.2.
1
-1
1
-2
2
2 2
1
B
B
1
2
A
. 4.2
. , ,
,
,
,
: 1
«
= 1»,
«
2
= 2».
(
(y2
1[y 1, y2]. y1 (y1 {1, 2}) , {1, 2})
, ) , , x 1 , a y2 ,
, ,
,
= 2. [2,1]
= 1, 1-
1= 2.
, = 2,
y 1. , 1 2
B3 4
.
[1,1] [1,2] [2,1] [2,2]
: (« = 1 (« = x (« x (« = 2
x»); x»); x»); x»). 129
-
, . ,
, [1,2].
2
1
= 1,
(1), [1,2]
,
= 1. W (x,y) = W(1,1) =1. . : 1
=1 =2
1 2
[1,1] W(1,1) W(2,1)
2
[1,2] W(1,1) W(2,2)
1 1 2 2 ,
1 2
B3 [2,1] W(1,2) W(2,1)
4
[2,2] W(1,2) W(2,2)
1 , 2
,
, . .
: 1 (1) = 1, = 1. 4.2.
3
[2,1]. 2-
-
,
1= 2. -
.
1
-1
1
-2 1
2 B
1
,
2
-
2 B
A
,
{1, 2}, ,
,
2 . 4.3.
. 4.3
,
130
: -
,
, .
. ,
:
«
1
= 1»,
«
2
= 2». ,
( .
, . 4.3), «
1
y = 1»,
2
: «
y = 2».
: 1
=1 =2
1 2
2
y=1
y=2
W(1,1) W(2,1)
W(1,2) W(2,2)
1 2
1 . 2 . ,
: SA* = [2/3 1/3]; = 0.
-
SB * = [1/2 1/2].
.
, .
,
, ,
, . 4.2,
4.1
, )
( . .
4.3.
131
,
, . 4.3. 1-
: : {1,2}.
2-
:
, {1,2}.
32-
: 1{1,2}1.
z
, W(x, , z)
: W(1,1,1) = -2, W(2,l,l) = 3, W(1,1,2) = 4, W(2,l,2) = 0, W(1,2,1) = 1, W(2,2,l) = -3, W(1,2,2) = 4, W(2,2,2) = -5. . 4.4 -2
1
4
A 1
. -4
1
2 1
A
3
0 -3
2 1
A
2
B
2 1
-5
A
2
1 B 2
1
2 A . 4.4
. ,
1[y1, y2], 1
4.1:
, ,
, , , . 132
[1,1] (« = 1 x»); [1,2] (« = x x»); B3 [2,1] (« x x»); [2,2] (« = 2 x»). 4 : 3. , z), (x {1, 2}) , ( , a z (z {1, 2}) , 1. 3, (2,1) , 13z = 1. = 2, , : (1,1), (1,2), (2,1), (2,2). 1 2 3 4 , , . , (1,2), 2 [2,1]. =1, , =2 ( 3 =1, y2 y1 z=2 , 1 2
,
,
=2). .
W( , , z) = W(1,2,2) = 4. .
-
: 1
1 2 3 4
(1,1) (1,2) (2,1) (2,2)
2
[1,1] W(1,1,1) W(1,1,2) W(2,1,1) W(2,1,2)
[1,2] W(1,1,1) W(1,1,2) W(2,2,1) W(2,2,2)
B3 [2,1] W(1,2,1) W(1,2,2) W(2,1,1) W(2,1,2)
2 4
2 4
1 4
1 4
3 0
3 5
3 0
3 5
133
.
4
[2,2] W(1,2,1) W(1,2,2) W(2,2,1) W(2,2,2)
,
12-
: SA* = [8/11 3/11 0 0]; = 4/11. 4.4. : {1,2}. :
-
SB *=[0 5/11 0 6/11].
1-
,
-
{1,2}. 3-
:
z ,
{1,2},
. ,
4.3. . 4.5. -2
4
1
1
2 1 A 1
3
-4
2 1 A
A
2
1
0 -3
-5
2 1
2 A 2
B
B 1
2 A . 4.5
,
,
4.3: (1,1),
1
2
(1,2),
(2,1),
3
4
(2,2).
: 1
«
y = 1»;
2
«
y = 2». ) -
( : 134
1
1 2 3 4
(1,1) (1,2) (2,1) (2,2)
y=1 W(1,1,1) W(1,1,2) W(2,1,1) W(2,1,2)
2 4 3 0
2
y=2 W(1,2,1) W(1,2,2) W(2,2,1) W(2,2,2)
1 4 . 3 5
, : SA* = [2/3 0 1/3 0]; SB *= [4/9 5/9]. = 1/3. . 4.4, , 4.3 , , . 4.5. 1: : {1,2}. 2: {1,2}. 3: , 12{1,2}. z , 4.3.
-
,
-
,
,
. 4.6. ,
11 2
B3 4
[1,1] [1,2] [2,1] [2,2]
[y1, y2], (« = 1 (« = x (« x (« = 2 135
4.3: x»); x»); x»); x»).
4
-2 1
A
0
3 1
2 1
1
2
A
-4
-3
2
1
A 1
-5
2 A
2
1
1
2
B
B 2 A
. 4.6
, 3-
1,
2-
. 3-
z
z1
y. , ..
[z1, z2].
(z1 {1,2})
,
, ,
,
= 1,
z2 (z2 {1, 2})
-
, , = 2.
(x, [z1, z2]). x (x {1, 2}) , z1
, ,
2,
x = 2,
13( = 1), ,
(2,[2,1]) 3z = 2, = 2. 136
3( = 2). , 1-
, z2 2,
= 1,
-
z = 1,
, (1,[1,1]), (2,[1,1]), ,
1 5
. ,
2 6
,
(1,[1,2]), (2,[1,2]),
3 7
(1,[2,1]), (2,[2,1]),
4 8
: (1,[2,2]), (2,[2,2]).
(1,[2,1]), 3 x = 1 ( 2 2, x=1 1), z = 2 ( , 3 y=1 2). W( , , z)= W(1,1,2)= 4.
-
[1,2].
3),
=1(
-
. : 1
1 2 3 4 5 6 7 8
(1,[1,1]) (1,[1,2]) (1,[2,1]) (1,[2,2]) (2,[1,1]) (2,[1,2]) (2,[2,1]) (2,[2,2])
[1,1] W(1,1,1) W(1,1,1) W(1,1,2) W(1,1,2) W(2,1,1) W(2,1,1) W(2,1,2) W(2,1,2)
2 2 4 4 3 3 0 0
2
[1,2] W(1,1,1) W(1,1,1) W(1,1,2) W(1,1,2) W(2,2,1) W(2,2,2) W(2,2,1) W(2,2,2)
2 2 4 4 3 5 3 5
1 4 1 4 3 3 0 0
137
B3 [2,1] W(1,2,1) W(1,2,2) W(1,2,1) W(1,2,2) W(2,1,1) W(2,1,1) W(2,1,2) W(2,1,2)
1 4 1 4 . 3 5 3 5
4
[2,2] W(1,2,1) W(1,2,2) W(1,2,1) W(1,2,2) W(2,2,1) W(2,2,2) W(2,2,1) W(2,2,2)
, .
: 3 (1,[2,1]) : SB *= [0 0 0 1].
[2,2]. 4 SA* = [0 0 1 0 0 0 0 0]; = 1. 4.6. 1: : {1,2}. 2:
, {1,2}.
32-
: ,
1{1,2}.
z
, ,
4.3. . 4.7. 1
-2
4
1
2 1 A 1
-4
3
2 1 A
A
2
1
0 -3
-5
21
2 A 2
B
B 1
2 A . 4.7
1-
,
[y1, y2], 1 2
B3 4
[1,1] [1,2] [2,1] [2,2] 3-
4.3:
(« = 1 (« = x (« x (« = 2
,
x»); x»); x»); x»). 21-
138
, . .
, . . .
z x. , .. z 1 (z1 {1, 2}) , 1{1, 2}) 1-
(z2
[z1, z2]. , x = 1, z2 ,
, x = 2.
: (x, [z1, z2]). , (1,[1,1]), (2,[1,1]), ,
1 5
: (1,[1,2]), 3 (1,[2,1]), 4 (1,[2,2]), (2,[1,2]), 7 (2,[2,1]), 8 (2,[2,2]). (2,[2,1]) 7 x = 2, 3z=1(
2 6
1x=2 . . z2). , (i = 1,2), ..
, , zi , -
x , : ,
2,
1
3
4,
5
7,
8.
6
, .
( , z),
(x {1, 2}) , a z (z {1, 2})
,
13-
,
. ,
(2,1) z = 1.
3-
= 2, ,
,
1,
4.3: 1
(1,1),
2
(1,2),
3
(2,1), ,
4
(2,2). ,
-
, 4.3,
1-
,
(2- )
. 139
.
4.7. 11 2-
: 0.5,
,
-
2
.
: 1-
{1,2}, . 3-
:
z
,
{1,2},
2-
1-
.
, W(x, , z),
,
. . 4.8. -2
4
1
1
2 1
-4
2 1 2
1
3
0 -3
-5
21
2
1
1
2 2 . 4.8
. , : 1
(1),
2
(2). 1-
. [z1, z2 ],
1
z1 (z1 {1, 2}) , , = 1, z2 (z2 {1, 2}) , = 2. , : [1,1], 2 [1,2], B3 [2,1], 4 [2,2]. 140
,
-
, , B3 = 1, = 1,
-
. , [2,1].
(1), 1 : 1) = 1 2) = 2. z = 2.
B3 W (x, , z) = W (1, 1, 2) = 4. B3
= 2, = 1,
z = 1.
W (x, , z) = W (2, 1, 1) = 3. -
10.5,
0.5
,
,
4·0.5 + 3·0.5= 3.5. . ,
:
=1 1
(1) (2)
1 2
B3 [2,1] W(1,1,2) W(1,2,2)
2
[1,1] W(1,1,1) W(1,2,1)
2 1
[1,2] W(1,1,1) W(1,2,1)
2
4
1
4
4 4
4
[2,2] W(1,1,2) W(1,2,2)
;
=2 [1,2] W(2,1,2) W(2,2,2)
B3 [2,1] W(2,1,1) W(2,2,1)
0
0
1
1 2
(1) (2)
2
[1,1] W(2,1,1) W(2,2,1)
3 3
3
5 141
3
5
.
4
[2,2] W(2,1,2) W(2,2,2)
0.5
1
1
2
3 .5
2
3.5
4 .5
.
, .
: (1)
1
SA* = [1 = 0.5. 4.8. 11,
: SB *= [1
0
0
0].
: 2/3, 2{1, 2},
x = 1, ,
0];
[1,1].
1
3{1,2},
, 2
1-
z , 2-
1x = 2, ,
-
1/3. y
2{1, 2},
3{1,2},
.
y 1z
,
. W(x, , z),
,
. . 4.9. -2
4
1
-4
1
2 1
3
2 1
0 -3
-5
21
2
A 1
2
A
1
2 B
1
2 . 4.9
142
, -
y, z , , 31, 2
1,
(
2-
x = 1, z (z {1,2}) x = 2.
12-
,
{1, 2}) ,
-
y = 1,
3-
z = 2. 1
1
, 1, 1 ,
: 1, 2 ,
2
1, 1 ,
1, 2 ,
2
3
2, 1 ,
4
2, 2 .
3
: 2, 1 ,
4
2, 2 .
,
-
. ,
,
1, 2 ,
2
2, 1 .
3
: 1) x = 1
2) x = 2. = 1 y),
(
2-
3- ( :
=2 (
2-
z).
y),
3-
(
-
z). = 1, y = 1,
2
2-
-
2-
-
3-
3
z = 1. W (x, , z) = W (1,1,1) = 2. = 2, y = 2,
3
3-
2
z = 2. W (x, , z) = W (2,2,2) = 5. 2/3
-
11/3, ,
, :
( 2)·2/3 + ( 5)·1/3 = 3. 143
. ,
:
=1 1
2
1, 1
1, 2
B3 2, 1
2, 2
4
1
1, 1
W(1,1,1)
W(1,1,2)
W(1,1,1)
W(1,1,2)
2
1, 2
W(1,1,1)
W(1,1,2)
W(1,1,1)
W(1,1,2)
3
2, 1
W(1,2,1)
W(1,2,2)
W(1,2,1)
W(1,2,2)
4
2, 2
W(1,2,1)
W(1,2,2)
W(1,2,1)
W(1,2,2)
2 2
4 4
1 1
2 2
4 4
1 1
4 4 4 4
;
=2 1
2
1, 1
1, 2
B3 2, 1
2, 2
4
1
1, 1
W(2,1,1)
W(2,1,1)
W(2,2,1)
W(2,2,1)
2
1, 2
W(2,1,2)
W(2,1,2)
W(2,2,2)
W(2,2,2)
3
2, 1
W(2,1,1)
W(2,1,1)
W(2,2,1)
W(2,2,1)
4
2, 2
W(2,1,2)
W(2,1,2)
W(2,2,2)
W(2,2,2)
3 0 3 0
3 0 3 0
3 5 3 5
144
3 5 . 3 5
: 1 4
1 3 5 2
11 8
7 9
5 3
5 8
1 3
11 13
.
,
-
: SA* = [5/11 0 6/11 0]; = 41/33.
SB *= [0 0 8/11 3/11].
[4]. 4.9. ,
-
. 4.10. . 4.10 (
, ),
, ). : q1, q2, , q11; t 1, t2, , t15. tk (k = 1,.,15),
(
, W (t 1) = 10, W (t 4 ) = 20, W (t 7 ) = -10, W (t 10) = -30, W (t 13) = -30,
W (t2) = -10, W (t5) = 30, W (t8) = 30, W (t11) = 0, W (t14) = 30,
W (t3) = W (t6) = W (t9 ) = W (t12) = W (t15) =
-
W (t k ) : 10, 0, 20, 30, 15. :
{q2, q3}
{q8, q10, q11}. : {q4, q7} {q5, q6}. , : 1
2. 1-
1, (1-2
3 -
3), [x 1, x2].
145
2
q11
t15
146
2 3
q9
1
2
t14
q4
2
1 3
q10
t13
1
2
1
t12
1
2 q8
t11
0.7
1
t10
t9
q7
2
q1 . 4.10
3
0.2
2 q3
1
2
t8
1
t7
1
0.1
t6
q6
3
t5
2
2
q2
1
t4
t3
q5
3
1
2
t2
1
t1
,
, [x1, x2] 1-2 1{q2, q3},
. . 2
1 . x 1, (
), . . x1({q2, q3}) {1,2}. 3 {q8, ( ), . .
x2, 1( q10, q11}), x2({q8, q10, q11}) {1,2}. , (x1({q2, q3}) = 1, 1 [1,1] [1,2] (x1({q2, q3}) = 1, 2 (x1({q2, q3}) = 2, 3 [2,1] (x1({q2, q3}) = 2, 4 [2,2] . 4.10 , , 3 (2-3). 2
4 : x2({q8, q10, q11}) = 1); x2({q8, q10, q11}) = 2); x2({q8, q10, q11}) = 1); x2({q8, q10, q11}) = 2). : 1 (2-3
[y1, y2].
,
1),
{q4, q7} 1 ,
1
-
,
, [1,1]
-
2. [y1, y2] 12-3 {q 4, q7},
y1, ,
-
( ), . . y1({q4, q7}) {1,2}. y2, 1( 1 {q 5, q6}), ( ), . . y2({q5, q6}) {1,2,3}. 6 : (y1({q4, q7}) = 1, y2({q5, q6}) = 1); 147
2 3 4 5 6
[1,2] [1,3] [2,1] [2,2] [2,3]
(y1({q4, q7}) = 1, (y1({q4, q7}) = 1, (y1({q4, q7}) = 2, (y1({q4, q7}) = 2, (y1({q4, q7}) = 2, 1, 2, 3 )
q1 ( 0.2, 0.7.
y2({q5, q6}) = 2); y2({q5, q6}) = 3); y2({q5, q6}) = 1); y2({q5, q6}) = 2); y2({q5, q6}) = 3). 0.1, q9, 2
1/3,
1
2/3. ({Ai, Bj}, q, a), q
; ,
{Ai, Bj}(i = 1, ,4; j = 1, ,6) Ai, Bj, . {Ai, Bj}
,
, ; q
-
, ({Ai, Bj}, q, a) = 1;
,
2
, [1,2]:
({Ai, Bj}, q, a) = 0.
,
-
x1({q2, q3}) = 1, x2({q8, q10, q11}) = 2, 6 [2,3]: y1({q4, q7}) = 2, y2({q5, q6}) = 3. {A2, B6}. : q1 q2 q3 q4 q5 q6
({A2, B6}, q1, 1) = 0.1, p({A2, B6}, q1, 2) = 0.2, p({A2, B6}, q1, 3) = 0.7; p({A2, B6}, q2, 1) = 1, ({A2, B6}, q2, 2) = 0; p({A2, B6}, q3, 1) = 1, ({A2, B6}, q3, 2) = 0; p({A2, B6}, q4, 1) = 0, ({A2, B6}, q4, 2) = 1; p({A2, B6}, q5, 1) = 0, p({A2, B6}, q5, 2) = 0, ({A2, B6}, q5, 3) = 1; p({A2, B6}, q6, 1) = 0, ({A2, B6}, q6, 2) = 0, ({A2, B6}, q6, 3) = 1; 148
q7 p({A2, B6}, q7, 1) = 0, q 8 p({A2, B6}, q8, 1) = 0, q 9 p({A2, B6}, q9, l) = 1/3, q 10 p({A2, B6}, q10, 1) = 0, q 11 p({A2, B6}, q11, 1) = 0, {A i, Bj} , . ,
({A2, B6}, q7, 2) = 1; ({A2, B6}, q8 , 2) = 1; ({A2, B6}, q9, 2) = 2/3; ({A2, B6}, q10, 2) = 1; ({A2, B6}, q11, 2) = 1. ; tk ; q1, , qr , ({Ai, Bj}, tk) tk, -
{Ai, Bj}.
({Ai , B j }, q s , a s (t k )),
({Ai, Bj}, tk) = s
1,.., r
qs
, , as(tk )
-
qs ,
, tk.
,
{A2, B6}, ,
({A2, B6}, t1) = = ({A2, B6}, q1, 1) · ({A2, B6}, q2, 1) · ({A2, B6}, q5, 1) = = 0.1 · 1· 0 = 0; =
({A2, B6}, t2) = ({A2, B6}, q1, 1) · ({A2, B6}, q2, 1) · ({A2, B6}, q5, 2) = = 0.1 · 1 · 0 = 0;
P({A2, B6}, t3) = = ({A2, B6}, q1, 1) · ({A2, B6}, q2, 1) · ({A2, B6}, q5, 3) = = 0.1 · 1 · 1 = 0.1; P({A2, B6}, t4) = = ({A2, B6}, q1, 1) · ({A2, B6}, q2, 2) · ({A2, B6}, q6, 1) = = 0.1 · 0 · 0 = 0; P({A2, B6}, t5) = = ({A2, B6}, q1, 1) · ({A2, B6}, q2, 2) · ({A2, B6}, q6, 2) = = 0.1 · 0 · 0 = 0; 149
P({A2, B6}, t6) = = ({A2, B6}, q1, 1) · ({A2, B6}, q2, 2) · ({A2, B6}, q6, 3) = = 0.1 · 0 · 1 = 0; = =
P({A2, B6}, t7) = ({A2, B6}, q1, 2) · ({A2, B6}, q3, 1) = 0.2 · 1 = 0.2; P({A2, B6}, t8) = ({A2, B6}, q1, 2) · ({A2, B6}, q3, 2) · ({A2, B6}, q7, 1) = = 0.2 · 0 · 0 = 0;
P({A2, B6}, t9) = = ({A2, B6}, q1, 2) · ({A2, B6}, q3, 2) · ({A2, B6}, q7, 2) = = 0.2 · 0 · 0 = 0; =
P({A2, B6}, t10) = ({A2, B6}, q1, 3) · ({A2, B6}, q4, 1) · ({A2, B6}, q8, 1) = = 0.7 · 0 · 0 = 0;
P({A2, B6}, t11) = = ({A2, B6}, q1, 3) · ({A2, B6}, q4, 1) · ({A2, B6}, q8, 2) = = 0.7 · 0 · 1 = 0; P({A2, B6}, t12) = = ({A2, B6}, q1, 3) · ({A2, B6}, q4, 2) · ({A2, B6}, q9, 1) ({A2, B6}, q10, 1) = 0.7 · 1 · 1 3 · 0 = 0; P({A2, B6}, t13) = = ({A2, B6}, q1, 3) · ({A2, B6}, q4, 2) · ({A2, B6}, q9, 1) ({A2, B6}, q10, 2) = 0.7 · 1 · 1 3 · 1 = 7/30; P({A2, B6}, t14) = = ({A2, B6}, q1, 3) · ({A2, B6}, q4, 2) · ({A2, B6}, q9, 2 ) ({A2, B6}, q11, 1) = 0.7 · 1 · 2 3 · 0 = 0;
=
P({A2, B6}, t15) = ({A2, B6}, q1, 3) · ({A2, B6}, q4, 2) · ({A2, B6}, q9, 2) ({A2, B6}, q11, 2) = 0.7 · 1 · 2 3 · 1 = 7 15 . 150
, 15
P ({Ai , B j }, tk ) 1. k 1
, . M ij ( Ai , B j )
Ai, Bj.
-
: 15
M ij ( Ai , B j )
W (tk ) P ({ Ai , Bj }, tk ), 1
k
W (t k ) t k ( k = 1, ..., 15);
, ({Ai, Bj}, tk) tk ,
,
{A i, Bj}. ,
{A2, B6}, 15
M 26 ({A2 , B6})
W (t k ) P ({Ai , B j }, tk ) 1
k
10 0.1 ( 10) 0.2 ( 30) 7 30 15 7 15
1.
: 1
1 2 3 4
[1,1] [1,2] [2,1] [2,2]
[1,1] M11 M21 M31 M41
[1,1] [1,2] [2,1] [2,2]
[1,1] -22 -1 -13 8
1
1 2 3 4
2
[1,2] M12 M22 M32 M42 2
[1,2] -24 -3 -12 9
B3 [1,3] M13 M23 M33 M43
[2,1] M14 M24 M34 M44
B3 [1,3] -22 -1 -15 6
[2,1] 20 -1 27 6
151
4
4
5
[2,2] M15 M25 M35 M45 5
[2,2] 18 -3 28 7
6
[2,3] M16 M26 M36 M46 6
[2,3] 20 -1 25 4
. : B3 [1,3] -15 6
[2,1] [2,2]
3 4
6
[2,3] 25 4
, : S A* = [0 0 1/21 20/21]; = 5. ,
-
SB *= [0 0 1/2 0 0
1/2].
. .
-
M ij
{Ai, Bj}. :
W (t k ) (k = 1, 2, ..., n),
-
{ tk } ); ( M ij (i = 1, 2, .., l; j = 1, 2, , m),
-
{A i, Bj}
-
)
(
, . W (t k )
, M ij
. . . ,
-
, (WA, WB) . .
,
,
152
-
4.4.
, ,
,
,
,
,
.
-
, . ,
, ,
. , . ,
-
. .
-
.
,
. -
. ,
, . . -
: { i} (i = 1,
, n)
, . . , .
;
{Bj} ( j = 1,
, m)
B, . . B, 153
.
;
{tk} (k = 1,
,l)
, : (W ; W ) ( , ).
,
, -
. , . ,
, .
-
, ,
, 2 2,
1
2
. 3
2
, 2
1
1 2 3 . .
1 1,
1 ,
. . 4.11 [10]. -
, . . ,
-
. , : ,
-
( )
,
, .
, , ( 154
, ).
155
5; 1
1
2
2; 3
1
6
2
5; 1
1
5; 10
1; 2
4; 3
3
2
1
5
3
6; 2
1
4
2
2
3
1
-1; 4
1 7
3
5
2
1 6 2
2; 4
. 4.11 .
1
1
1; 8
1; 4
1
2
2
8; -5
3
0; 5 1 3
2
1 2
0; 6
2
4
1
8
2
7
2
1; 8
2
1
1 2; 3
4; 1
2
1; 2 2 1; -1 3 -5; 6
1
3; 5
3
-2; 8
. 6 1,
. , ,
4( 1).
5,
2 3
-
6. ,
3, .
, : F (A6) = max {W (1); W (2); W (3)} = max {4(1); 5(2); 6(3)} = 6(3)1. 6 ( 3): 3F (A6) = W (3) = 2(3). . 5. . : 2( 1, , 1 5), 6, 2, F (A6) = = 2. , , , . , 11, 2, 6. : « » « ». , « », . . « » , . , 2( 2 ). 5 : F ( 5) = max {W (1); F (A6)(2)} = max {2(1); 2(2)} = 2(2).
1
, . 156
5 (
26): F ( 5) = F (A6)(2) = 6(2). 4. 4
. , F ( 4) = max {W (1); F ( 5)(2);W (3)}= = max {2(1); 6(2); -1(3)} = 6(2). , 2,
:
5. 4 F ( 4) = F ( 5)(2) = 2(2). 1
: , 3
5.
3: F ( 3) = max {5(1); 5(2)}=5(2) . : 2. F ( 3) = 10(2). 7: 2; F ( 7) = max {1(1); 2(2)}=2(2) F ( 7) = 4(2). 6: F ( 6) = max {F (A7)(1); W (2)} = max{4(1); -5(2)} = 4(1) 1; F ( 6) = F (A7)(1) = 2(1). 5: F ( 5) = max {W (1); F ( 6)(2)}= max {1(1); 2(2)}=2(2) 2; F ( 5) = F ( 6)(2) = 4(2). 3, 4, 5, 1: F ( 1) = max {F (A3)(1);F (A4)(2); F (A5)(3)}= =max {10(1); 2(2); 4(3)}= 10(1). , 1, 3: 157
-
F ( 1) = F (A3)(1) = 5(1). .
-
7: ( 7) = max {1(1); 8(2); 8(3)} = 8(2) F
2,
; F ( 7) = 1(2). 8: F ( 8) = max {W (1); F ( 7)(2)}= max {2(1); 1(2)} = 2(1) 1; F ( 8) = 3(1). 4: F ( 4) = max {F (A8)(1);W (2)} = max{3(1); 5(2)} = 5(2) 2; F ( 4) = 3(2). 3: 2; F ( 3) = max {5(1); 6(2)} = 6(2) F ( 3) = 0(2). 3, 4, 2: F ( 2) = max {F ( 3)(1); F ( 4)(2)}= max {0(1); 3(2)}=3(2) 2; F ( 2) = 5(2). 2: 3; F ( 2) = max {2(1); -1(2); 6(3)} = 6(3) F ( 2) = -5(3). 1! F ( 1) = max {F ( 1)(1); F ( 2)(2); F ( 2)(3)}= = max {5(1); 3(2); -5(3)}=5(1) 1; F ( 1) = F ( 1)(1) = 10(1). :
1
(
11)
1, , 2. 158
1 3,
1-
*
(
*
,
-
), :
*
*
1 2 2 2 2 3 2 1 ;
1 3 2 2 2 1 2 .
,
*
( :
*
,
)
1, 1, 3. ,
.
( : FA* = 5; « « ,
A
,
)
-
» »,
-
FB* = 10.
.
,
-
, ,
*
( *
2
2
(
*
, .
1
1
(
*
*
)
,
2 ,
*
3 *
): 2
*
1;
3 3 2 2 1 1 3.
)
: :
( A = 3;
*
,
1,
2,
4.
*
) = 5. .
-
,
:
, 5; -5
-3; 3.
159
! . 1. 6; 5
8; 3
7; 7 1
2; 5 1
2
2
-5; 5 3
5
4
4; 5
2
1
5; 5 1
6; 3
3; 3
2
1
5
4
2 3
4; 4 4; 7
3
2 1
1
3
5; 5
2
2
1 2
6; 6
1
2
2
2
1 1
5; 7
3
1
: . *
1
2
1
2
2;
7;
A
*
3 1 2 1 1;
*
3 1 1 1 3;
7.
. *
1
1
2
2
1;
A=
7;
160
= 7.
2. -1; 1
2; 3 7; 5
-1; 5
1
1 2
2
5 4
2; 6
1
1; 5
2; 2
5; 4
8; 4
2 2
1
1
2 6
2
2; 1
2; 4
1
4; 4
1
1
1
3
2
2
1
2
1
2
2
5
4; 3
1
4; 5
2
3; 6
3
2
3
4
3
3
1
: . *
1
1
2
1
2;
A
7;
*
3 2 1 2 2 1;
4;
*
3 2 2 2 1 2;
5.
. *
3
2
1
1
2;
A=
161
= 4.
1. 2.
. . . .
.:
, 1972. . .:
, 2006.
SPSL
3.
. . :
4. 5.
.
. . . . . .
, 2005.
. . : . . , 2003. 6. . ., . . - , 2007. 7. . . , 2006. 8. . . : . .: , 2004. 9. ., . . .: , 1974. 10. http://www.ras.ru/ph/0006/764SQSDU.pdf
162
, 1977. . .
-
.: .
,
.:
.: ,
-
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ КОНФЛИКТА
Любовь Викторовна Колобашкина, Михаил Васильевич Алюшин
Часть I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ИГР
Редактор Е.Н. Кочубей Подписано в печать 30.12.2009. Формат 6084 1/16 Объем 10,25 п.л. Уч. изд. л. 10,25. Тираж 200 экз. Изд. № 1/1/2а Заказ № 1 Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ». 115409, Москва, Каширское шоссе, 31. ООО «Полиграфический комплекс «Курчатовский». 144000, Московская область, г. Электросталь, ул. Красная, д. 42
